ORDINARY
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Philip Hartman
THE JOHNS HOPKINS UNIVERSITY
JOHN WILEY & SONS
New York-London-Sydney
1964

Ф. Хартман
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Перевод с английского
И. X. САБИТОВА и Ю. В. ЕГОРОВА
Под редакцией
В. М. АЛЕКСЕЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1970

УДК 517 91
Книга Ф. Хартмана — одного из крупнейших специалистов по теории
дифференциальных уравнений — возникла на основе различных курсов,
которые автор неоднократно читал студентам и аспирантам разных специаль-
специальностей. Только первые ее главы включают традиционный материал, в том
или ином виде входящий во все учебники. Далее следует изложение каче-
качественной теории дифференциальных уравнений, в котором особый интерес
представляет круг вопросов, связанных с теоремой о поведении диффеомор-
диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. И, наконец, остальная часть книги
посвящена более специальным вопросам (асимптотическое интегрирование
систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д.).
Упражнения (содержащие задачи различной трудности, частично с реше-
решениями) играют в этой книге особую роль. Они не только позволяют читателю
проверить, как он усвоил материал, но и указывают ему возможные направ-
направления дальнейшего развития теории.
Широта охвата материала, систематичность и четкость изложения делают
книгу хорошим учебным пособием для студентов высших учебных заведений,
однако и специалисты найдут в ней много ценного и интересного.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
18-70

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Открывая новую книгу, читатель вправе задать вопрос, как
много нового найдет он в ней по сравнению с тем, что есть в книгах,
которые уже имеются в его распоряжении.
Впрочем, теория обыкновенных дифференциальных уравнений
не слишком избалована обилием литературы, как переводной, так
и отечественной, особенно если речь идет о книгах, охватывающих
многие аспекты теории, а не посвященных одному из специальных
ее разделов, хотя бы и столь обширному, как теория устойчивости
или нелинейные колебания. Поэтому можно надеяться, что многие
математики — от студентов до вполне сложившихся специалистов —
не откажутся иметь на своей книжной полке предлагаемое их вни-
вниманию сочинение, даже если на ней уже стоят книги Немыцкого
и Степанова, Сансоне или Коддингтона и Левинсона.
Книга Филипа Хартмана — одного из крупнейших специали-
специалистов по теории дифференциальных уравнений — не является, строго
говоря, ни учебником (хотя, как это видно из предисловия автора,
в ее основе лежит курс лекций), ни специальной монографией.
Она занимает промежуточное положение между этими двумя кате-
категориями или скорее объединяет их; вероятно, лучше всего к ней
подходило бы несколько старомодное название: «Трактат об обык-
обыкновенных дифференциальных уравнениях». Автор неторопливо
продвигается от основ теории к ее специальным ветвям, заглядывает
в многочисленные закоулки, отмечает возможные приложения.
Особенно важно, что трактат носит отчетливый отпечаток творче-
творческой индивидуальности и вкусов автора. Это последнее обстоя-
обстоятельство во многом определяет лиио книги и придает интерес даже
тем ее главам, содержание которых можно найти в доступной широ-
широкому кругу читателей литературе.
Обширный трактат Хартмана можно разделить на три части.
Материал первой из них (составляющей приблизительно 1/5 всей
книги, а именно до середины главы V и начало главы XI) довольно
стандартен и в той или иной форме входит во все учебники. Вторая
часть книги (занимающая примерно 1/3 объема и заканчивающаяся
главой IX) посвящена тому, что обычно называют качественной
теорией дифференциальных уравнений. Некоторые из рассматри-
рассматриваемых здесь вопросов достаточно хорошо освещены в имеющейся

Предисловие редактора перевода
литературе, например исследование окрестности особой точки
на плоскости, другие менее популярны, как, например, теорема
Фробениуса об интегрируемости систем уравнений в полных диф-
дифференциалах. Впрочем, как раз изложение теоремы Фробениуса,
пожалуй, недостаточно современно, и несколько тяжеловесное обра-
обращение с внешними дифференциалами может затруднить читателя.
Как мне кажется, впервые, если не считать журнальных публи-
публикаций, появляется изложение результатов А. Дж. Шварца о ми-
минимальных множествах потоков на двумерных многообразиях, до-
дополняющих классическую теорию Пуанкаре — Бендиксона (этому
посвящена глава VII).
Особенно следует остановиться на главе IX. Круг рассматри-
рассматриваемых здесь вопросов связан с теоремой об устойчивом и неустой-
неустойчивом интегральных многообразиях в окрестности неподвижной
точки диффеоморфизма. Эта теорема и ее обобщения играют видную
роль в современной теории обыкновенных дифференциальных
уравнений (теории векторных полей и однопараметрических групп
диффеоморфизмов на многообразиях), и владеть результатами
главы IX, по-видимому, необходимо каждому, кто желает зани-
заниматься этой теорией. Теорема о топологической сопряженности
диффеоморфизма и его дифференциала в окрестности неподвижной
точки (теорема Хартмана — Гробмана) и аналогичная теорема
о дифференцируемой сопряженности (Стернберг) до сих пор были
представлены лишь в журнальных статьях. Совершенно справедливо,
что они нашли теперь место и в издании, рассчитанном на широкий
круг читателей.
Наконец, третья часть — почти вся вторая половина книги —
посвящена более специальным вопросам. Асимптотическое инте-
интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго поряд-
порядка, дихотомия и т. д.— все это имеет свою историю, восходящую
к классикам: Ляпунову, Пуанкаре, Штурму и другим,— и отра-
отражено в обширной литературе, ориентироваться в которой стало
почти невозможно. Разумеется, на отбор материала в этой части
большое влияние оказал личный вкус автора: как правило, здесь
наиболее полно представлены темы, которыми занимался сам
Хартман. Однако если учесть богатство и разнообразие интересов,
отразившихся как в исследованиях Хартмана, так и в его многочис-
многочисленных совместных работах с А. Уинтнером, то найдется не слиш-
слишком много разделов классической теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, которые не были бы упомянуты, хотя бы
мельком или в упражнениях.
Кстати, говоря об упражнениях, следует отметить их особую
роль в этой книге. Большей частью в упражнениях сообщается
информация о возможных направлениях дальнейшего развития
только что изложенной теории: иногда в одно-два упражнения
сконцентрировано содержание целой журнальной статьи.

Предисловие редактора перевода
В последнее десятилетие математическая активность в области
обыкновенных дифференциальных уравнений значительно оживи-
оживилась. Появились новые темы, наметилось определенное сближение
с дифференциальной топологией, идеи которой проникают в диф-
дифференциальные уравнения все глубже и глубже. Все эти вопросы
остались за пределами книги Хартмана. Однако для области, кото-
которой она посвящена и в которой так много сделал ее автор, эта книга
остается полезным и нужным пособием, которое, как можно наде-
надеяться, пригодится всем, кто работает в ней.
Перевод осуществлен И. X. Сабитовым (главы I—VIII и XII)
и Ю. В. Егоровым (остальная часть). Отдельные опечатки и мелкие
неточности оригинала устранены без особых упоминаний. Более
существенные изменения внесены в доказательство теоремы 12.2
главы IX, где в связи с обнаруженной ошибкой пришлось, не меняя
плана доказательства, переработать некоторые оценки. В свою
очередь это повлекло за собой сокращение пунктов доказательства
и в некоторых случаях изменение нумерации формул. Разумеет-
Разумеется, за все эти изменения полную ответственность несет автор
этих строк.
В. М. Алексеев

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
В основу этой книги положен курс лекций по обыкновенным
дифференциальным уравнениям, который я время от времени читал
студентам старших курсов и аспирантам, специализирующимся
по математике, физике или инженерным наукам. Я предполагаю,
что читатель знает теорию матриц и если еще не овладел в совер-
совершенстве теорией функций вещественного переменного, то знаком
с ней в достаточной мере.
У меня никогда не возникало искушения рассыпать щедрой
рукой примечания по всей книге и объявить ее учебником для начи-
начинающих или для продвинутых студентов — я считаю, что этому
курсу должны предшествовать фундаментальные курсы анализа,
алгебры и топологии.
Эта книга содержит больше материала, чем любой годовой курс,
когда-либо прочитанный мною, но не охватывает всех вопросов,
которые я рассматривал в различных курсах. Каждый из этих
курсов наряду с основными разделами теории дифференциальных
уравнений всегда включал приложения к другим дисциплинам
(например, к дифференциальной геометрии). «Основной курс»
составляют глава I, § 1—3 главы II, § 1—6 и 8 главы III, глава IV
(за исключением приложения в § 3 и части (ix) в § 8), § 1—4
главы V, § 1—7 главы VII, § 1—3 главы VIII, § 1—12 главы X,
§ 1—4 главы XI и § 1—4 главы XII.
Многие вопросы рассматриваются в этой книге гораздо глубже,
чем в стандартных учебниках. Изложение построено так, что более
сложные, но менее существенные проблемы отнесены в конец главы
(и/или в приложение к ней). Вообще, материал каждой главы опи-
опирается только на сведения, содержащиеся в самой этой главе и пред-
предшествующей ей части «основного курса». Например, завершив
чтение основного курса, можно перейти к главе IX или к оставшей-
оставшейся части главы XII, или к главе XIV и т. д. Исключения составляют
часть I главы VI, которая, как указано в ней, зависит от § 5—12
главы V, и часть III главы XII, не существенная сама по себе,
но являющаяся хорошим введением к главе XIII.
Упражнения можно в первом приближении разделить на три
категории в соответствии с их трудностью. Многие упражнения
являются шаблонными; они дают читателю возможность проверить,

JO Из предисловия автора
насколько он понял только что изложенные методы. Более трудные
упражнения снабжены указаниями в конце книги (в некоторых
случаях эти указания упрощают доказательства). Наконец, в самых
трудных упражнениях даются ссылки на источники; эти упражне-
упражнения должны показать возможные обобщения и направления даль-
дальнейшего развития исследований, а также ознакомить изучающих
данный предмет с существующей литературой.
В теории дифференциальных уравнений существенно использует-
используется «интегрирование дифференциальных неравенств», и это обстоя-
обстоятельство подчеркивается сводкой некоторых основных данных,
относящихся к этой области, в главе III и в § 4 главы IV.
Большая часть материала этой книги подобрана так, чтобы
продемонстрировать не только результаты, но и важнейшие методы:
сведение задач теории дифференциальных уравнений к теории
«отображений» (см. приложение к главе VII и главу IX); применение
простых топологических соображений (§ 1 главы VIII, § 2—7 гла-
главы X и § 6 главы XIV); использование теорем о неподвижной точке
и других основных результатов функционального анализа (см. гла-
главы XII и XIII).
С чувством глубокой признательности я вспоминаю ныне покой-
покойного профессора Аурела Уинтнера, у которого и вместе с которым
я изучал теорию дифференциальных уравнений, сначала как сту-
студент, а затем как сотрудник. Эта признательность носит не только
личный характер (нас связывали многолетние узы тесного сотруд-
сотрудничества), но и обусловлена тем вкладом, который внес профессор
Уинтнер в возрождение теории дифференциальных уравнений
после второй мировой войны.
Филип Хартман
Балтимора, Мериленд

Глава I
Предварительные сведения
§ 1. Вводные замечания
Рассмотрим систему из d дифференциальных уравнений первого
порядка с начальными условиями
y' = f(t,y), y(to) = Uo. A.1)
Здесь у' = dyldt, у = (у1, ..., yd) и / = QF1, ..., fd) суть d-мерные
векторы; вектор-функция1) f(t, у) определена на некотором (d+ 1)-
мерном (t, ^-множестве Е. В большей части книги будет пред-
предполагаться, что / непрерывна. В этом случае вектор-функция
y = y(t), определенная на ^-интервале </, содержащем точку t = t0,
называется решением задачи Коши A.1), если y(to) = yo, (t, y(t))£E,
y(t) дифференцируема и у'(t) = f (t, y(t)) для всех t£J. Ясно, что
производная функция y(t) является тогда непрерывной. Эти требо-
требования на у эквивалентны следующим условиям: y(t0) = у0,
(t,y(t))£E, y(t) непрерывна и
t
y(t) = yo+ \f(s,y(s))ds, t£J. A.2)
Го
Задачу Коши, состоящую из системы уравнений m-го порядка
и начальных условий
zM = F(t,z,zW,...,z<™-% zM(to) = z\p, / = 0, ...,m-l
A.3)
(где z^=--djz/dtj, z и F являются е-мерными векторами, a F опре-
определен на некотором (me+1)-мерном множестве Е), можно рассма-
рассматривать как частный случай задачи A.1), в которой у есть d = me-
мерный вектор, имеющий вид у= (z, z^l\ ..., z(m-V) (или, более
точно, y=(zi, ..., ze, zv', ..., ze\ ..., ze(m-V))\ соответственно
/ (*, У) = (zA\ • • •, ^(w-1}, F (/, у)) и y0 = Bo, 41), .. •, 4— D).
Например, если е=1, так что г —скаляр, то задачу A.3) можно
х) В дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, вместо слов
«вектор-функция / (t> у), у (t) и т. д.» мы пишем просто «функция / (/, у), у (t)
и т. д.».—Прим. перев.

12 Гл. /. Предварительные сведения
переписать так:
{у')' = у\ ..., ОГ-1)'^™, (ym)' = F(t,y\...,ym),
где уг = г, y2 = z\ ..., ^m = 2C»-D.
Первая серия вопросов, которую нам нужно рассмотреть, тако-
такова: 1) локальные теоремы существования (имеет ли задача A.1)
какое-либо решение у (t)f определенное для /, близких к /0?)"»
-
с
Г
(t-cJ
4
t
Рис. 1.
2) глобальные теоремы существования (в каком интервале измене-
изменения ^ существует решение задачи A.1)?); 3) теоремы единственности
решений.
Важность второго вопроса становится ясной из рассмотрения
следующего примера. Пусть у, / являются скалярными функциями,
и пусть / (t, у) определена для 0</<1, |у|<1. Может слу-
случиться, что система A.1) с (*0, Уо) = @, 0) имеет для 0< ?< 1/2
решение у = у (t)f возрастающее от 0 до 1 при увеличении / от О
до 1/2. Тогда, вообще говоря, нельзя ожидать, чтобы решение
у (t) можно было продолжить до значений t > 1/2.
Рассмотрим другой скалярный случай, когда функция / (/, у)
определена для всех (/, у):
У' = У\ У@)=с (О0). A.4)
Легко видеть, что функция у = cl{\ — ct) является решением
задачи A.4), однако это решение существует только в интервале
— оо << t < 1/с, зависящем от начального условия.
Чтобы проиллюстрировать важность третьего вопроса, рас-
рассмотрим снова случай скалярного у, и пусть
У' = \У\1'\ </@) = 0. A.5)
Эта задача имеет бесчисленное множество решений. Действи-
Действительно, наряду с решением у (t) = 0 существует еще однопара-
метрическое семейство решений, определяемое равенствами у (t) = О
для t < с, у (t) = (t — c)V4 для ?>с, где с>0 (см. рис. 1). Эта
ситуация является типичной, так как если задача A.1) имеет более
одного решения, то она имеет «континуум» решений; см. теоре-
теорему II 4.1.

§ 2. Основные теоремы 13
§ 2. Основные теоремы
В этом параграфе вводятся некоторые обозначения и термины,
а также приводятся используемые в дальнейшем определения
и теоремы. Доказательства большинства из этих теорем будут опу-
опущены.
Мы будем часто использовать символы О и о; например, выра-
выражение / (t) = О (g (/)) при t ->■ оо означает, что существует постоян-
постоянная С, такая, что | / (t) | <! С | g (f) | для больших /, в то время
как запись f (t) — о (g (t)) при t—^oo означает, что эта постоянная
С > О может быть выбрана произвольно малой (так что если
g (t) ф 0, то / (t)/g (t) -+ О при / -+ оо).
Термин «функция» в дальнейшем означает, как правило, ото-
отображение некоторого заданного множества векторного пространства
Re в пространство Rd, не обязательно той же размерности. Через
Rd обозначается нормированное вещественное d-мерное векторное
пространство элементов у = (у1, . . ., yd) с нормой | у |. Если
не оговорено противное, то обычно
\у | = max (l^l \yd\), B.1)
а символ || у || обозначает евклидову норму.
Если у0 — некоторая точка и Е — подмножество пространства
Rd, то расстояние dist (у0, Е) от у0 до Е определяется как
inf | у0 — у |, у £ Е. Если Ei и Е2—два подмножества из Rd,
то число dist (Еи Е2) = inf | yi — у2 \ для у± 6 Еи у2 6 Е2 назы-
называется расстоянием между Ei и Е2. Если Е<± (или Е2) компактно,
а Еи Е2 замкнуты и не имеют общих точек, то dist (Eu Е2) > 0.
Если Е — открытое множество или замкнутый параллелепипед
в Rd, то соотношение / £ Сп (£), 0 ■< п < оо, означает, что вектор
f {у) непрерывен на Е и его компоненты имеют непрерывные частные
производные всех порядков k <; п относительно у1, . . ., yd.
Говорят, что функция f(y, г) = [(у1, . . ., yd, г1, . . ., ze),
определенная на (г/, г)-множестве Е> где у g Rd, удовлетворяет
условию Липшица на Е относительно у, если существует постоян-
постоянная К у такая, что
| / (уи г) — / (у29 г) |< К I #i — у2 I Для всех (у7-, 2) 6 £, B.2)
где / = 1,2. Любая постоянная /С, удовлетворяющая неравенству
B.2), называется постоянной Липшица (для / на Е). (Допустимые
значения К зависят, конечно, от нормы в /- и ^/-пространствах.)
Семейство F функций / (y)f определенных на некотором у-мно-
жестве Е с Rd, называется равностепенно непрерывным, если для
любого е > 0 существует б = б (е) > 0, такое, что | / (#i) —
— / (#2) I < е Для любых уи У2£Е, | yi — у2 |< б и / 6 F. В этом
определении существенно то, что б (г) не зависит от функции f
и выбирается одновременно для всех / 6 F. В дальнейшем наиболее

]4 Гл. I. Предварительные сведения
часто будут встречаться такие равностепенно непрерывные семей-
семейства F, когда все / 6 F удовлетворяют условию Липшица на Е
и существует постоянная К > 0, являющаяся постоянной Липшица
одновременно для всех / 6 F; в этом случае можно положить
б - в/К-
Лемма 2.1. Если последовательность функций, непрерывных
на компактном множестве £", сходится на Е равномерно, то она
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.
Теорема 2.1 (принцип выбора Кантора). Пусть на у-множестве
Е задана равномерно ограниченная последовательность функций
/i (у) у /г (*/)» • • • • Тогда для любого счетного множества D cz E
существует подпоследовательность fni (у), /П2 (у), . . ., сходящая-
сходящаяся на D.
Доказательство. Пусть D состоит из точек уи у2, . . . . Пред-
Предположим, что /тг (у) — вещественная скалярная функция; в случае,
когда fn (у) = (fit (у), • • •» fn (у)) есть d-мерный вектор, доказа-
доказательство проводится аналогично. Последовательность чисел
А (У)» /2 (у)у • • • ограничена, и потому по теореме Больцано —
Вейерштрасса существует последовательность целых чисел п± A) <
< Я! B) < . . ., такая, что lim fn (r/i), n = /г± (k), существует.
Аналогично, найдется подпоследовательность п2 A)<я2 B)< . . .
последовательности щ A), щ B) . . ., для которой существует
lim fn (y2), я = я2 (&). Продолжая эти рассуждения, мы после-
довательно получаем подпоследовательности nj (k) положительных
целых чисел, таких, что nj A) < nj B) << . . . и существует
lim /„ (уг), где я = я7- (k) и i = 1, 2, . . ., /. Искомой последо-
h
вательностью является «диагональная последовательность»
< п2 B) < я3 C)< . . . .
Различные варианты этого доказательства в дальнейшем будут
называться «стандартным диагональным процессом».
Следующие два утверждения обычно связывают с именами
Асколи и Арцела.
Теорема 2.2 (о продолжении сходимости). Пусть на компактном
у-множестве Е задана равностепенно непрерывная последователь-
последовательность функций fi (у), f2(y)9 . . -, сходящаяся на некотором плотном
в Е подмножестве. Тогда последовательность Д (у), /2 (у), ...
сходится равномерно на Е.
Теорема 2.3 (принцип выбора). Пусть на компактном у-множе-
у-множестве Е a Rd задана равномерно ограниченная и равностепенно
непрерывная последовательность функций Д (у), /2 (у), ... . Тогда

§ 2, Основные теоремы 15
существует подпоследовательность fn (у), fn (г/), . . ., равномерно
сходящаяся на Е.
Последняя теорема может быть получена как следствие двух
предыдущих. Применяя теорему 2.3 к надлежащим образом выбран-
выбранной подпоследовательности, мы приходим к следующим выводам.
Замечание 1. Если в утверждении теоремы 2.3 точка у0 £ Е
и /о является предельной точкой последовательности /i (yo)y
/2 (Уо)> . . ., то подпоследовательность fni (у), /П2 (у), ... может
быть выбрана так, что предельная функция / (у) будет удовлетво-
удовлетворять условию / (г/о) = /о-
Замечание 2. Если в теореме 2.3 все (равномерно) сходящиеся
подпоследовательности последовательности Д (у), /2 (у), . . . имеют
один и тот же предел, скажем / (у), то в выборе сходящихся подпо-
подпоследовательностей нет необходимости, поскольку / (у) является
тогда равномерным пределом самой последовательности ft (у)у
f2 (у), .... Это следует из замечания 1.
Теорема 2.3 и приведенные ниже ее следствия будут не раз.
использоваться нами в последующем.
Теорема 2.4. Пусть у, f £ Rd и /0 (/, у), А (/, у), f2 (/, у), . . .—
последовательность непрерывных в параллелепипеде R: /о<С/<С
*< to + а> \ У — Уо I <^ b функций, таких, что
n(t,y), B.3)
причем сходимость равномерная в R.
Далее, пусть уп (t) является решением задачи Коши
на отрезке [tOi to-{-a], где п=1, 2, ..., и пусть
tn—>t0, Уп-^Уо при п—>оо. B.5)
Тогда существует подпоследовательность уп^ @, Уп2 @» • • • > равно-
равномерно сходящаяся на [t0, to-\-a]. Для любой такой подпоследо-
подпоследовательности предельная функция
yo(t) = limyn (t) B.6)
является решением уравнения B.40) яа отрезке [t0, to + a]. В част-
частности, если B.40) обладает на [t0, tQ + a] единственным решением
У = УоУ), то
yo(t) = \lm yn(t) равномерно на [to,to + a]. B.7)
П->оо
Доказательство. Так как функции /ч, /2» • • • непрерывны и схо-
сходимость в B.3) является равномерной в R, то существует постоянная

J6 Гл. I. Предварительные сведения
/С, такая, что | fn (t, у) |< К для л = 0, 1, . . . и (/, j) 6Л;
см. лемму 2.1. Поскольку | у„ (О I -< К, ясно, что /С есть постоян-
постоянная Липшица для уи Уъ, • • •, так что эта последовательность
является равностепенно непрерывной. К тому же она равномерно
ограничена, так как | уп (t) — у0 | -< Ь. Поэтому существование
равномерно сходящейся подпоследовательности следует из теоре-
теоремы 2.3. Из соотношения B.3), леммы 2.1 и равномерности сходи-
сходимости в B.6) сразу же следует, что
равномерно на [t0, to + a] при k—->оо. Следовательно, в равенстве
t
yn(t) = yn+ \ fn(s, yn(s))ds, где n = nk и k—>oo, можно при-
менить предельный переход под знаком интеграла. Отсюда следует,
что функция yo(t), определяемая соотношением B.6), является
решением задачи B.40).
Для доказательства последнего утверждения теоремы достаточно
заметить, что предполагаемая единственность решения у0 (t) урав-
уравнения B.40) означает, что пределом каждой (равномерно) сходя-
сходящейся подпоследовательности последовательности r/i (/), у2 (t), ...
является у о (t). Поэтому справедливость B.7) вытекает из приве-
приведенного выше замечания 2.
Теорема 2.5 (о неявной функции). Пусть х, у, /, g суть d-мер-
ные векторы, a z — некоторый е-мерный вектор. Пусть функция
f (у, z) непрерывна по (у, z) вблизи точка (у0, г0), имеет непрерыв-
непрерывные частные производные по компонентам вектора у, якобиан
(dfldyh) Ф 0 в точке (у, г) = (у0, z0), и пусть х0 = f (у0, z0).
Тогда существуют положительные числа г и б, такие, что если
х и z фиксированы, \ х — х0 \< 8 и \ z — zo|<6, то уравнение
х = f (у, z) имеет единственное решение у = g (x, г), удовлетво-
удовлетворяющее неравенству \ у — у0 | < г. Кроме того, функция g (x, z)
непрерывна в области \ х — *0|<S, \ z — z0 \ < б и имеет непре-
непрерывные частные производные по компонентам вектора х.
Относительно более сильной формы этой теоремы см. упр. II.2.3.
§ 3. Гладкие аппроксимации
В некоторых ситуациях необходимо или расширить область
определения функции /, например, заданной и непрерывной на зам-
замкнутом параллелепипеде, или равномерно ее аппроксимировать
гладкими (класса С1 или С0*) относительно некоторых переменных
функциями. Для получения таких расширений или аппроксимаций
(значения которых заключены в тех же пределах, что и значения /)
можно использовать следующие рассуждения.

§ 3. Гладкие аппроксимации 17
Пусть / (t, у) определена на R: /0<^<^ь \ у | <; Ь> и пусть
I / (t, У) К М. Определим f* (/, у) для t0 < t < U и всех у фор-
формулой /* (/, у) = f (/, у), если |у|<&,и/*(/,{/) = / (/, Ьу1\у\),
если | у | > &. . Ясно, что /* (/, у) непрерывна для /0 << ^-< h
(у произвольно) и что | /* (t, у) | <; М. В некоторых случаях
более удобно заменить /* таким расширением функции /, которое
обращается в нуль при больших значениях | у |. Таким расшире-
расширением служит функция /° (t, у) = f* (/, у) ф° ( | у | ), где ф° (s) —
непрерывная функция для s>0, удовлетворяющая условиям
О < Ф° (s)< 1 Для s> 0, ф° (s) = 1 для 0 < s < Ь и ф° (s) - О
для s > Ь + 1.
Для того чтобы равномерно аппроксимировать / (t, у) на R
функциями /8 (/, у), являющимися, например, гладкими относи-
относительно компонент у, выберем сначала функцию ф (s) класса С°°
при s>0, удовлетворяющую условиям ф (s) > 0 для 0 <; s < 1
и ф (s) = 0 для s> 1. Тогда существует постоянная с> 0, зави-
зависящая только от ф (s) и от размерности d, такая, что для каждого
8> О
-j-oo -f"°°
j J ..d^=lf C.1)
J
где || r/1| = B I #fe I2I/2 обозначает евклидову длину г/. Положим
-|-оо -f-oo
fe(t,y) = cs-d J ... j /»(/,т1)ф(е-2||у-т]|р)^...сгт)й, C.2)
где т] = (тI, ..., rf), так что
-f-oo -f-oo
... drf. C.3)
Так как /8 (/, у) получается при фиксированном / усреднением
значений функции /° в шаре \\г\ — у || ^ 8, то ясно, что сходимость
/е —>- /° (е —>- 0) будет равномерной на множестве {^о <С^ <i А>
у произвольно}. Заметим, что | fz \ <; М для всех 8 > 0 и что
/е (^ f/) = 0 ДЛЯ | У |>6 + 1 + 8. КрОМе ТОГО, /е (/, у)
имеет по у1, . . ., yd непрерывные частные производные всех
порядков.
Из последней формулы видно, что если функция /° (t, у) имеет
по у1, . . ., yd непрерывные частные производные порядка k, то они
равномерно аппроксимируются соответствующими производными
ФУНКЦИЙ /8 (U У).
2-241

18 Гл. I. Предварительные сведения
§ 4. Замена переменных в интегралах
Для того чтобы не прерывать некоторых последующих доказа-
доказательств, удобно доказать сейчас следующую лемму.
Лемма 4.1. Пусть t, и, U — скаляры, U (и) — непрерывная
функция на отрезке А ^ и <[ Б, и — и (t) — непрерывная функ-
функция ограниченной вариации на я <; / <; &, такая, что А -< и (t) <;
< В. Тогда для я < / < &
j U(u(s))du(s)= j U(u)du, D.1)
a u(a)
где слева стоит интеграл Римана — Стильтьеса, а справа —
интеграл Римана,
В этой лемме по существу утверждается возможность замены
переменных t-^u, определяемой функцией и = и (t), даже если
и (t) не является монотонной (и абсолютно непрерывной).
Доказательство. Если и (t) имеет непрерывную производную,
соотношение D.1) для а ^. t -^b справедливо, так как в этом случае
оба интеграла в D.1) равны нулю при t = а и имеют одинаковую
производную U (и (/)) и' (t). Если и (t) не имеет непрерывной про-
производной, то выберем последовательность непрерывно дифферен-
дифференцируемых на a^t^b функций ut (t), u2 (t), . . ., удовлетворяю-
удовлетворяющих следующим условиям: А ^ ип (t) <; 5, ип (f) -+■ и (f) равно-
равномерно на отрезке [а, 6], я-^-оо, и таких, что последовательность
полных вариаций функций и± (t), u2 (t) на [а, Ь] ограничена. (Суще-
(Существование таких функций ut (t), u2 (t) следует из предыдущего пара-
параграфа1)). Ясно, что для функций ип (f) равенство D.1) справедливо.
Применяя тогда теорему о предельном переходе под знаком инте-
интеграла, мы получим требуемое равенство D.1)*
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 2. Теоремы 2.2 и 2.3 восходят к Асколи [1] и Арцела [1], [2].
г) Строго говоря, в предыдущем параграфе нет оценки вариации аппрок-
аппроксимирующих функций. Ее можно получить из формулы C.3).— Прим. ред.

Глава II
Теоремы существования
§ 1. Теорема Пикара — Линделёфа
В этой главе будут доказаны теоремы существования различ-
различного типа. Одной из простейших и полезных является следующая
Теорема 1.1. Пусть у, f 6 Rd; функция f (t, у) непрерывна
в параллелепипеде R: to-^ t-^ t0 + а, \ у — Уо \ ^ b и удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица по у. Пусть М является верхней границей
для | / (/, у) | на R и а = min (a, b/М). Тогда задача Коши
y'=f(t, У), У (to) =Уо A.1)
имеет на отрезке [tOy t0 + ос] единственное решение у = у (t).
Ясно, что соответствующая теорема существования и единствен-
единственности верна и в том случае, когда параллелепипед R заменен обла-
областью /0 — о* <Ji t <; tOi \ у — у о | <; Ь. Из этих «правой» и «левой»
теорем существования ясно также, что задача A.1) имеет решение
и в области \ t — t0 | <; а, \ у — у0 \ <; Ь, причем для \ t — t0 \ -< а
это решение единственно, так как в точке t = t0 происходит гладкое
смыкание решений справа и слева.
Выбор а = min (а, ЫМ) в теореме 1.1 является вполне естест-
естественным. Действительно, с одной стороны, является необходимым
требование а <; а. С другой стороны, требование а <; ЫМ обу-
обусловлено тем, что если у = у (t) есть решение задачи A.1) на отрезке
[/0, t0 + а], то из условия | у' (t) |<; М следует, что | у (f) — у0 | <;
^ М (t — to)9 a эта граница не превосходит Ъ только при / — t0 <C
<6Ш
Замечание 1. В теореме 1.1 символ | у \ может обозначать любую
норму в Rd, а не обязательно евклидову норму или норму B.1).
Другое доказательство единственности см. в упр. II 1.1.1.
Доказательство методом последовательных приближений. Пусть
у0 (t) = у0. Предположим, что уи (/) определена на [t0, t0 + a],
непрерывна и удовлетворяет неравенству | у& (t) — у0 \ ^ Ьу
k — 0, 1, . . ., п. Положим
t
lf(s,yn(s))ds. A.2)
to
2*

20 Гл. II. Теоремы существования
Так как функция f(t, yn{t)) определена и непрерывна на [t0, to + a],
то же самое верно и для yn+i(t). Ясно также, что
t
\f(s,yn(s))\ds<Ma<»b.
Следовательно, все функции yo(t), yt(t), ... определены и непре-
непрерывны на [t0, to + a] и | уп (t) — у01 < Ь.
Докажем по индукции, что
\yn^t)-yn{t)\<MKn^~lf+1 , /o</<^o + a, A.3.)
дг = 0, 1, ..., где /С обозначает постоянную Липшица для f. Ясно,
что неравенство A.30) верно. Предположим, что справедливы соот-
соотношения A.3t), ..., (l.Sn-i). Из равенства A.2) при л>1 полу-
получаем соотношение
t
yn+i (t) — yn (t) = j [/ (s, #д (s)) -/ (s, r/^ (s))] ds,
которое по определению К дает неравенство
[Уп+i (t)-yn(t)\<K^\yn (s)-yn-i (s) | ds.
to
Отсюда в силу A.3^-!) получаем
Тем самым A.3Д) доказано.
Из A.3Д) следует, что ряд
S [^i@-^» @1 = У (О
п=0
равномерно сходится на [to,to + a]. Следовательно,
= hmyn(t) A.4)
также равномерно. Так как f{t,y) равномерно непрерывна в R,
то при я—>оо функции f(t,yn(t)) равномерно стремятся на
[to, to + a] к f{t,y\t)). Поэтому в равенстве A.2) можно перейти
к пределу под знаком интеграла, и мы получим
t
= yo+\f(s,y(s))ds. A.5)
'0

§ 2. Теорема Пеано 2V
Следовательно, функция y(t) из соотношения A.4) является реше-
решением задачи A.1). Докажем его единственность. Пусть y = z(t) —
какое-либо решение системы A.1) на [to,to-\-a]. Тогда
t
2@ = ^0+ jf(S, 2 (S))£fa. A.6)
to
Очевидной индукцией, использующей соотношение A.2), получаем
неравенство
A.7)
Из A.4) и A.7) при п—^ оо следует, что \y(t) — z(t)\^Ot т. е.
= z(t). Теорема полностью доказана.
Замечание 2. Так как z — у, то неравенство A.7) дает оценку
ошибки приближения:
МКП^^П+\ . A.8)
Упражнение 1.1. Покажите, что если к условиям теоремы 1.1
добавлена еще аналитичность функции / (/, у) в R (т. е. для каждой
точки (/°, у0) 6 R существует окрестность, в которой / (/, у) пред-
ставима как сходящийся степенной ряд по степеням t — t°,
У1 — У01> • • •, Уа — yod), то решение у = у (t) задачи Коши A.1)
является на [/0, to + a1 аналитическим. Аналогичные теоремы
справедливы и в том случае, когда t и компоненты векторов у и f
могут быть комплекснозначными.
Упражнение 1.2. Если в теореме 1.1 начальное значение у0
заменить некоторым близким значением v9 то задача Коши у' =
= f (U у), у (t0) = v будет иметь единственное решение у = у (t, v)
на некотором отрезке [/0, t0 + PI, не зависящем от v. Покажите, что
у (t, v) удовлетворяет условию Липшица по (/, v) для значений v,
близких к у0, и /6 [t0, t0 + pl-
§ 2. Теорема Пеано
В следующей теореме, которую нам сейчас предстоит доказать,
отсутствуют условие Липшица для / (/, у) и утверждение о един-
единственности решения.
Теорема 2.1. Пусть у, / 6 Rd; функция f (t, у) непрерывна
в R: toKt<to + a9 \y-yo\<b; \ f (t, у) |< М в R; а =
= min (а, ЫМ). Тогда задача Коши A.1) имеет на отрезке
Uo, t0 + а] по крайней мере одно решение у = у (t).
В этой теореме | у \ означает любую подходящую норму в Rd.,

22 Гл. II. Теоремы существования
Доказательство. Возьмем некоторое S > 0 и обозначим через
Уо (/) некоторую d-мерную вектор-функцию класса С1, заданную
на [t0 — б, to] и удовлетворяющую условиям yo{to) = yo, у'(?о) =
= f{to,yo) и \уоУ) — Уо\<Ь, \y'0(t)\<M. Определим на отрезке
[*о —Мо + а] Функцию yB(t), 0<е<б, положив ye(t) = ()
на [/0 — б, *о1 и
j f (s, #s(s — e))ds на [*<>, *o + «1- B.1)
to
Этой формулой продолжение у& (t) функции yQ (t) определяется
на [fo» *o + aib ai = min(a, e), так что ye(t)^LC1 на отрезке
[t0 — 6, /0 + ai] и там же
ЫО-Уо|<£. B.2)
Формула B.1) может быть теперь использована для продолжения
функции ye(t) на отрезок [t0 — б, to + a2], a2 = min (a, 2e), как
функции класса С1, удовлетворяющей неравенству B.2). Продолжая
эти рассуждения, мы получаем, что формула B.1) определяет yE(t)
на [t0, t0 + a] таким образом, что уе(£) удовлетворяет B.2) и при-
принадлежит классу С1 на всем отрезке [t0 — б, /0-j-a].
Так как \y&(t)\^M, то семейство функций ye(t), 0<e<6,
является равностепенно непрерывным. Поэтому, по теореме 1.2.3,
найдется последовательность 8t > е2 ..., гп —> 0, п —> оо, такая,
что на [t0 — б, /0 + а] существует равномерный предел
Из равномерной непрерывности / следует, что последовательность
f (t, У г (t—&п)) при п-^-оо равномерно стремится к / (t, у (t)).
Таким образом, в равенстве B.1), в котором г = еп, допустим
предельный переход под знаком интеграла, и мы получаем соот-
соотношение A.5). Следовательно, у (t) является решением задачи
Коши A.1). Теорема доказана.
В дальнейшем довольно часто будет использоваться следующее
важное следствие теоремы Пеано.
Следствие 2.1. Пусть функция f (t, у) непрерывна в некотором
открытом (t, у)-множестве Е и удовлетворяет в нем условию
I / {U У) I <J М. Пусть Ео — некоторое компактное подмножество
множества Е. Тогда существует число а > 0, зависящее от Е, Ео
и М, такое, что если (t0, у о) 6 Ео, то задача Коши A.1) разрешима
и каждое ее решение существует в отрезке \ t — t0 \ <; а. '
Действительно, если а = dist (Ео, дЕ), где дЕ — граница мно-
множества Е, то а = min (a, а/М). В тех приложениях, когда / не яв-
является ограниченной на £, множество Е в следствии 2.1 нужно

§ 2. Теорема Пеано 23
заменить каким-либо его открытым подмножеством Е°, имеющим
компактное замыкание в £ и содержащим Ео.
Упражнение 2.1 (полигональная аппроксимация). В предполо-
предположениях теоремы 2.1 определим следующим образом множество
функций уъ (t). Пусть 2: /0<^i< • • • < tm = to + a есть некоторое
разбиение отрезка [t0, to + a] с диаметром разбиения 8(S) =
= max (tk+i — tk), k = 0, ..., m— 1. Функцию y^(t) на отрезке
[t0, ti] положим равной yo + (t —t0) f (tOi y0). Далее, если y^(t)
определена на [t0, tk], k < m, и | y% (t) — y01 < b, то на отрезке
[tk, tk+i] положим функцию у я (t) равной у z (tk) + (t — th) f (tk, у% (tk)).
Таким образом, yz(t) будет определена на [^о»^о + а1 как непре-
непрерывная кусочно линейная функция. Докажите теорему 2.1, получив
решение задачи Коши A.1) как предел подходящим образом выбран-
выбранной последовательности y^tf), y^2(t),... с8B„)—>0, м-^оо.
(Заметим, что если решение задачи A.1) не единственно, то этот
способ может дать не все ее решения; см. случай одного уравнения
у' = \у\1'\
Упражнение 2.2 (другое доказательство теоремы Пеано).
Существует последовательность непрерывных функций f\(t,y),
fzit, У), • • •, равномерно сходящихся в R к f(t, у), причем fn(t, у)
удовлетворяет условию Липшица по у и | fn (t, у) \ < М для (t, y)£R,
гс=1, 2, ... . Рассмотрите решения задач Коши yr = fn(t, у),
У (to) = У о и примените теоремы 1.1 и 1.2.4. (В отличие от метода,
рассмотренного в упр. 2.1, этим методом можно получить все
решения задачи Коши A.1); см. доказательство теоремы 4.1.)
Упражнение 2.3. [В этом упражнении приводится более точная
форма теоремы 1.2.5 о неявной функции (без параметра г). Для
формулировки теоремы нужно сначала определить для (d x d)-
матрицы А ее норму ||Л||. Пусть Rd есть d-мерное (вещественное)
векторное пространство с любой подходящей нормой \у\. Тогда
по определению || А || = тах| Ау\ для |у|=1. Эта норма ||Л|| зави-
зависит от выбора нормы \у\ в Rd.] Пусть х = f(у) — функция класса
С1 в D: |^|<6, и пусть /@) = 0. Допустим, что матрица Якоби
fy(y) = (df/dyk), /, k=l, ..., d, невырожденна в D. Положим
М = max у/ (у) ||, Mi = max || fy (у) || для y^D, где ft;1 —матрица,
обратная к fyi а Ц/^Ц и || fy || — нормы соответствующих матриц.
Пусть Di —область, определяемая условием \у\^ЫММ^ (Заме-
(Заметим, что MMi>l. Почему?) Тогда существует область Do, такая,
что Dtc Do с: D, и функция x = f(y) определяет взаимно одно-
однозначное отображение (замыкания) области Do на (замкнутый)
шар Do: \x\<.b/M; см. рис. 1. Предполагая теорему 1.2.5 о неяв-
неявной функции известной, получите сформулированный сейчас
результат из теоремы 2.1 (Пеано). Для этого представьте сначала

24
Гл. II. Теоремы существования
уравнение x = f(y) для у в виде £/ = /(#), где £=^0 есть некото-
некоторый постоянный вектор, а затем дифференцированием по t полу-
получите дифференциальное уравнение yf = fy1{y) и рассмотрите реше-
\у\=Ъ/ММх
\х\=Ъ/М
Рис. 1.
ние, удовлетворяющее начальному условию у@) = 0. (Можно
обойтись и без применения теоремы 1.2.5 о неявной функции,
если воспользоваться результатами § V.6.)
§ 3. Теорема о продолжении решения
Пусть функция / (t, у) непрерывна на (t, у)-множестве Еу
и пусть у = у (t) является решением системы
У' = f(t, У) C.1)
в некотором интервале J. Этот интервал / будет называться правым
максимальным интервалом существования решения у (t), если
не существует продолжения у (t) на какой-либо интервал Ju при
котором у (f) оставалось бы решением системы C.1); подразуме-
подразумевается, что / — собственное подмножество интервала Ju т. е. /
и /i имеют различные правые концы. Аналогично определяется
левый максимальный интервал существования решения у (t). Мак-
Максимальный интервал существования определяется как интервал,
являющийся одновременно и левым, и правым максимальным
интервалом существования.
Теорема 3.1. Пусть f (/, у) непрерывна на открытом (t, у)-мно-
жестве Е, и пусть у (t) является в некотором интервале решением
системы C.1). Тогда функция у (t) может быть продолжена {как
решение) на максимальный интервал существования (со_, со+).
Кроме того, если (со_, со+) — максимальный интервал существо-
существования, то у (t) стремится к границе дЕ множества Е при t-^-(d-
и t -+• со+.

§ 3. Теорема о продолжении решения 25
Продолжение у (f), вообще говоря, не обязательно будет един-
ственным, и соответственно со± зависит от выбора продолжения.
Утверждение «у (t) стремится к дЕ при t -> co+» означает, что или
со+ = оо, или со+ <С °°, а при t, близких к со+, точки (t9 у (t)}
не принадлежат ни одному компактному подмножеству множества Е.
Доказательство. Пусть Еи Е2, ...—открытые подмножества»
множества __£, такие, что Е= \jEn, замыкания Еи Е2, ... ком-
компактны и Еп a En+i (например, пусть Еп = {(t, у): (t, y)£E,\t\<C nr
\у\<Сп и dist((t, у), дЕ)>1/п}). В силу следствия 2.1 суще-
существует число 8Л>0, такое, что если (/0, У о)— произвольная точка
из Еп, то все решения системы C.1), проходящие через (t0, y0)»
можно продолжить на отрезок \t — ^0|<е7г.
Рассмотрим какое-либо решение у (f) системы C.1) на некотором^
интервале J. Если / не является правым максимальным интервалом
существования, то у (t) может быть продолжено на интервал, содер-
содержащий правую концевую точку интервала J. Поэтому в доказа-
доказательстве существования правого максимального интервала суще-
существования можно предполагать, что у (t) определено в замкнутом
интервале а ^ t <; b0 и не допускает продолжения на интервал
а<^< оо.
Пусть fti — такое большое число, что (fe0, у (Ьо)) £ ЕП1. Тогда
функцию y(t) можно__продолжить на отрезок [Ьо, Ь0~{-гП1]. Если^
(bQ-\-eni, y(bo~\-eni))£Enii то y(t) может быть продолжено дальше
на отрезок [Ь0 + еП1, Ь0 + 2гП1] длины еП1. Продолжая это рассу-
рассуждение, мы видим, что существует целое число ]\>1, такое, что
у (t) продолжается на отрезок а < t < bi9 где bi = b0 + ]\еП1
Аналогично, возьмем такое большое п2, чтобы (Ьи у (Ь{))£ЕП2.
Тогда существует целое число /2>1, такое, что функция y(t)
может быть продолжена на отрезок а<^<62» где b2 = bi + ]2^п2
и (&2, У(Ь2))$ЁПЛ.
Повторяя эти рассуждения, мы получим последовательности
целых чисел лг± < пг <... и чисел b0 < bi < ..., такие, что у (t)
продолжается на [а, со+), где щ=\\тЬь, причем (Ьи, у (bk))&Enh.
Поэтому последовательность точек фиуф$), ф2,уф?))<> ••• илк
не ограничена, или имеет предельную точку на границе дЕ
области Е.
Чтобы показать, что y(t)-^>dE) когда ^—>со+, оставаясь на
правом максимальном интервале [а, со+), достаточно убедиться, что
никакая предельная точка последовательности {tu y(ti)), (t2, y(t2)), ...,,
где tn—>co+, не может быть внутренней точкой множества Е~
А этот факт вытекает из следующей леммы.

26 Гл. II. Теоремы существования
Лемма 3.1. Пусть f(t,y) непрерывна на (t, у)-множестве Е,
у (t) является решением системы C.1) на интервале [а, б), 6<сх>,
и пусть существует последовательность /А, гг, ..., такая, что
#<*л—>б| я—>оо и \\n)y(tn) = y0 существует. Если f(t,y) огра-
ограничена на пересечении множества Е и какой-либо окрестности
точки (б, у0), то
l() t->6. C.2)
Если, кроме того, f(b,yQ) определена (или может быть опреде-
определена) так, что f(t, у) непрерывна в точке (б, у0), то у (t) £ С1 [а, б]
и является решением системы C.1) на отрезке [а, б].
Доказательство. Пусть е>0 так мало и Ме>1 так велико,
что | / (t, у) | < Ме для (t, у), принадлежащих пересечению Е с парал-
параллелепипедом 0<б — £<е, \у — уо\<&. Если п — такой большой
номер, что 0<б — tn*Ce/2me и | у (tn) — yo\ <е/2, то
\y(t)-y(tn)\<Me{6-tn)<V2 для ^<^<б. C.3)
В противном случае существует наименьшее число t1, такое,
что Ь<Р<6,\у (Р)-у (tn) \ = Me F-tn) < е/2. Отсюда | у (t)-y0 \ <
<8/2 + | y(tn) — уо\<& для tn^ct^t1. Поэтому | у' (t) | <Ме для
/ 6 [^, ^]. Значит, | у (t1) - у (tn) | < Ме (t1 - tn) < МЕ (б - *п). Это до-
казывает C.3) и, следовательно, C.2). Последнее утверждение лем-
леммы справедливо, поскольку у1(t) = f(t, y(t))—>f(d, y0) при t—>б.
Следствие 3.1. Пусть f(t, у) непрерывна в полосе to<^t^to-\-
-(-#(<; сю), y(:R.d, и пусть y = y(t) является решением задачи
Коши A.1) на правом максимальном интервале J. Тогда или
J или J = [to,6), 6^to + a, и |у@|->°° при t—>6.
Более общо, имеет место
Следствие 3.2. Пусть f(t,y) непрерывна на замыкании Е
^открытого (t, у)-множества Е, и пусть задача Коши A.1) обла-
обладает решением y(t) на правом максимальном интервале J. Тогда
или J-=[t0, оо), или J=[t0, б], б < оо и (б, у (б)) £д£\ или J =
= [^0»в)» б<оо U \y{t)\—>oo при t—>6.
Несколько другой, но очень полезный результат содержится
в следующей теореме.
Теорема 3.2. Пусть функции f(t,y) и fi(t, у), /2(^ #),.-•
определены и непрерывны на открытом (t, у)-множестве Е и
fn(t,y)-+f(t,y), n->oo, C.4)
равномерно на каждом компактном подмножестве множества Е.
Пусть yn(f) является решением задачи Коши
y' = fn(t,y), y(tn) = yn0, C.5)

§ 3. Теорема о продолжении решения 27
{tni Упо)£Е и (оз^-, (оп+)— его максимальный интервал существова-
существования. Пусть, наконец,
(tn, Упо) —» (t0, Уо) 6 Е, п —» оо. C.6)
Тогда задача Коши
Уо C.7)
имеет решение y(t) с максимальным интервалом существования
{со_, (о+) и при этом существует последовательность положитель-
положительных целых чисел #1<^2< ..., обладающая следующим свойством:
если со_</1<^2 <со+, то и>п- < t1 < t2 <C ып+ для n = tik при
больших k и
ynk(t)->y(t), &->oo, C.8)
равномерно для ^</</2. В частности,
Пт©л_<©_<©+<Нта>л+, n = nk—> оо. C.9)
Доказательство. Пусть £1? Ег, ...—открытые подмножества
множества Е, такие, что Е= [}Еп, замыкания £\, £2, • • • ком-
компактны и £я с: En+i. Предположим, что (t0, у0) £ Eu так что
(^7 Упо) б £i при достаточно большом п.
В излагаемом нами доказательстве будет построено решение
@ только на его правом максимальном интервале существования
o, co+). Построение решения на левом максимальном интервале
проводится аналогично.
По следствию 2.1 существует число еь не зависящее от п при
больших /г, такое, что любое решение системы C.5) [или C.7)],
проходящее через любую точку (tn, уп0) £ £i [или (t0, y0) 6 ^il, про-
продолжается на отрезок длины 2г^ с центром в точке t = tn [или
t = t0]. По теореме Арцела отсюда следует, что при подходящем
выборе последовательности ni < п2 < . . . предел у (f) из C.8)
существует равномерно в t0 -< t <! /0 + ^i и является решением
задачи Коши C.7). Если точка (t0 + 81, У (*о + 8i)) 6 Еи то после-
последовательность п4 < м2 < . . . может быть заменена подпоследо-
подпоследовательностью (которую мы снова обозначим через п^ < п2 <...)»
такой, что предел в C.8) существует равномерно в /0 + 8i <J ^ ^
^ to + 28j и является решением задачи Коши C.7). Этот процесс
можно повторить или бесконечное число раз — тогда мы получим
У (t) для 2*о < t<. оо, или его можно повторить только / раз, так
что (to + тги у (t0 + тъд) 6 ^i Для т = 0, ...,/— 1, но не
для т = j.
В последнем случае положим ^ = to + j^i и выберем целое
число г> 1 так, чтобы {tu у (it)) 6 Ег. Повторяя предыдущие рас-
рассуждения с новым ег > 0 (зависящим от г, но не зависящим от п
при больших /г), мы получим у (t) или на интервале ^ -< f < оо,
или на отрезке tt < / < ^ + /i^, где (^ + тег, у (^ + mer)) 6 £V

28 Гл. II. Теоремы существования
для т = О, . . ., /i — 1, но не для m = /i. Положим fa = *i +
+ ]\ег и повторим изложенные выше рассуждения и т. д.
В итоге мы получим последовательность t0 < t\ < . . . значе-
значений f и подпоследовательности
«и <л12< . . .,
последовательности лг± < п2 < • • • (каждая из которых является
подпоследовательностью предыдущей). Если rik = ятл> то сходи-
сходимость в C.8) является равномерной на отрезке t0 <^ < <; /т. Поло-
Положим со+ = lim tm (<оо). Так как (*т+ь У (tm+i)) $ £т, т =
= 1, 2, . . ., то [/0, о)+) является для у (t) правым максимальным
интервалом существования. Обычный диагональный процесс при-
приводит к искомой последовательности nl< п2<С ... . Теорема
доказана.
§ 4. Теорема Кнезера
В этом параграфе будет доказана теорема, относящаяся к случаю
неединственности решения задачи Коши.
Теорема 4.1. Пусть f (t, у) непрерывна в области R: t0 <I t ^
<<o + fl,lj/-?ol<6. Пусть \f(t,y)\<CM,a = min (а, ЫМ)
и t0 < с ^ t0 -{- а. Обозначим через Sc множество тех точек ус,
для которых на отрезке [t0, с] существует решение у = у (t) задачи
Коши
У' =f(t, У), y(to) = yo, D.1)
такое, что у (с) = ус, т. е. включение ус 6 Sc означает, что ус
является точкой, достигаемой при t = с некоторым решением задачи
Коши D.1). Тогда множество Sc является континуумом, т. е.
замкнутым связным множеством.
Упражнение 4.1. Если у является скаляром, то теорема 4.1 имеет
очень простое доказательство даже без предположения t0 <; с <;
<С t0 + а. Утверждение теоремы тогда состоит в том, что Sc являет-
является или пустым множеством, или одной точкой, или замкнутым
^/-интервалом. Докажите теорему 4.1 в этом случае, показав сначала,
что если ух, у2 £ Sc (так что задача Коши D.1) имеет решения
yj (t) на [to, с] и yj (с) = yj для /=1,2) и если уг < у0 < у29
то у0 6 Sc.
Доказательство. Обозначим через 2 множество решений задачи
Коши D.1). Отрезок [t0, с] принадлежит области существования
каждого из них и Sc = {у (с): у (t) 6^}. Покажем, что 5С зам-
замкнуто. Пусть Упс-+Ус, п-+оо, и ync£Sc. Тогда упс = Уп(с)

§ 4. Теорема Кнезера 29
для некоторого уп (t) 6 2. По теореме 1.2.4 последовательность
У\ @» «/г @» • • • обладает некоторой подпоследовательностью,
которая равномерно сходится на Уо, с] к некоторому у @ 6 2.
Ясно, что ус = у (с) 6 5С.
Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда 5С
является несвязным множеством и потому состоит из двух непу-
непустых замкнутых множеств S0 и S1, не имеющих общих точек.
Так как Sc ограничено, то расстояние dist (S°, S1) = 6 > 0, где
dist (S°, S1) = inf | y° — y1 | для y° 6 5°, y1 6 S1. Для любого у
положим в (у) = dist (у, S0) — dist (у, S1), так что е (у) >- 6 > О,
если у 6 S1, и £ (у) <С — 6 < 0, если у 6 S0. Функция в (у) непре-
непрерывна и е (у) ф 0 для у 6 5С.
Пусть 8 > 0 и у (t) ^2. Тогда существует непрерывная функция
g (t, у), зависящая от 8 и (фиксированного) у (t), определенная
для всех у и to^t^c и обладающая следующими свойствами:
1) |£(*. 0) 1<М + е;
2) |/(/, У)~^(/, У) К в, (t, y)eR; D.2)
3) g" (t, у) удовлетворяет условию Липшица по у;
4) У = У @ является решением задачи Коши
У' =g(t, у), у (t0) -Уо. D.3)
Убедимся, что такая функция g (t, у) существует. Обозначим через
g*(t, у) функцию, обладающую свойствами 1) — 3), заменив М -\- г
на М в 1) и 8 на е/2 в D.2); см. § 1.3. Пусть g (/, у) = g* (t, у) +
~rf(t, y(f))-g*(t, y(t)). Тогда
так что свойства 1) и 2) для g выполнены. Свойство 3) очевидно,
а 4) следует из того, что g (t, у (t)) = f (t, у (t)) = у' (t).
Пусть у - у о (О, У1 @ € 2 и у о (с) 6 5°, у! (с) 6 S1. Пусть для
данного е > 0 функции g0 (/, у) и gi (t, у) обладают свойствами
1) — 4), где у = уо (t), yi (if) соответственно. Рассмотрим однопара-
метрическое семейство задач Коши
y' = geV,y), y(to)=yo, D.4)
где 0 < Э < 1 и
ge(t,y) = Qgi(t,y) + (l-Q)go(t,y). D.5)
Так как ge(t, у) удовлетворяет условию Липшица по у, то D.4)
имеет единственное решение y = y(t,Q); см. теорему 1.1. В силу
теоремы 1.1 (в которой 6>0 произвольно) это решение суще-
существует на отрезке [to,c], поскольку gQ ограничена, |g"e(^y)|<
<Л1 + 8 в полосе to^Ct<Cc, у любое.
Заметим, что из неравенства \gd{t, у)\КМ-\-е, с</04-а сле-
следует, что \у (t, 0) — уо|< (М + г)а для /0<^<^- Согласно теоре-
реме 1.2.4, у(/, Q)—>y(t, 0O), 9—>Э<ь равномерно по t на отрезке

30 Гл. II. Теоремы существования
[/0, с]. Поэтому, в частности, у (с, 9), а значит, и е(у(с, 9)) является
непрерывной функцией от 9. Поскольку у (с, 0) = у0 (с) 6 S0, у (с, 1) =
=yi(c)GS1, так что е(г/(с, 0))< — б<0, е(у(с, 1))>6>0, то суще-
существует значение 0 = т|, 0<т)<1, такое, что е (у (с, т))) = 0.
Если г/о @ и #i @ фиксированы, то выбор г) зависит только
от 8, так что т] = т] (е). Пусть 8= 1//г, п> 1, и пусть gn (<, г/) =
= gQ(t,y), ГДе Э = т)AМ). Тогда соотношения D.2) и D.5) пока-
показывают, что
\f(t,y)-gn(t,y)\<Vn, (t,y)£R, D.6)
а в силу выбора 0 = -г| задача Коши
y' = gn(t,y), УУо) = Уо D.7)
имеет на [t0, с] (единственное) решение y = y(n)(t), такое, что
е (*/(п) (с)) = 0- Последовательность yA)(t), yB)(t), ... обладает
некоторой подпоследовательностью, равномерно сходящейся на
[to,c], скажем к y = y(t). Так как | у^п) (t) — yo\<b для /0<^<
<min(c, /'о f b/(M4- \lrij) и min(c, /0 + Ь/(Л1+ 1/п))—>с при n—> oor
то из теоремы 1.2.4 следует, что у (t) является на отрезке [tOi c\
решением задачи Коши D.1). При этом е(у (с))= lime (^ ()H
П>оо
Но тогда у (c)£Sc и е (у (с)) = 0. Мы получили противоречие.
Теорема доказана.
Упражнение 4.2. Покажите на примерах, что множество 5е
не обязано быть выпуклым, если d > 1, где d — размерность век-
вектора у\ например, если d = 2, множество 5С может быть границей
круга.
Упражнение 4.3. (а) Пусть / (t, у) непрерывна для всех у и
to < t <; t0 + а, и пусть /0 < с •< ^о ~г а. Предположим, что все
решения у (t) задачи Коши D.1) определены на отрезке t0 ^ t ^ с.
Тогда 5С является континуумом. (Ь) Покажите на примерах, что
Sc может быть несвязным, если d =■ 2, и не все решения задачи
Коши D.1) существуют на отрезке t0 ^ t ^ /0 + с.
Упражнение 4.4. Пусть fit, у) и с такие, как в теореме 4.1
или упр. 4.3(а), и пусть Tc = {(t,y): to<t<to + c, y=--y(t)
для некоторого решения задачи Коши D.1)}. В частности, Sc^-
= {У' (с, У) (zTc}- (а) Пусть у* — граничная точка множества Sc.
Покажите, что задача Коши D.1) имеет решение y = y*(t), такое,
что у*(с)=у* и точка (t, у* (t)) находится на границе множества Тс
для ^0<^<^0+с. Эта теорема принадлежит Фукухаре; см. Кам-
Камке [2]. (Ь) Пусть (*!, ух) — некоторая точка границы множества Гс,
где £o<^i<c- Покажите, что не всегда существует решение y(t)
задачи Коши D.1), такое, что y(ti) = yi и (t,y(t)) принадлежит
границе Тс на любом отрезке /0<^<^ + 8, 8>0. Этот результат
принадлежит Фукухаре и Нагумо; см. Дигель [1].

§ 5. Пример неединственности 31
§ 5. Пример неединственности
Чтобы проиллюстрировать, как «плохо» может обстоять дела
с единственностью, покажем, что существует (скалярная) функ-
функция U(t,u), непрерывная на (t, ^-плоскости и такая, что для
каждой начальной точки (t0, u0) задача Коши
u' = U(t,u), u(to) = uo E.1>
имеет более одного решения на каждом отрезке [tOi t0 -f- г\
и [t0 — e,t0] при любом е>0.
Обозначим через So совокупность линий
и = 41 + cos nt и и = 41-\-2 — cos я/,
-оо</<оо, f = 0, ±1, ..., У }
составленных из дуг, определенных на отрезках единичной длины,
k<t<k+l и & = 0, ± 1,
Для каждого /г = 0, 1, 2, ... будет построено множество Sn
дважды непрерывно дифференцируемых дуг
u = ujk(t),^<t<^±±, /\* = 0, ±1, .... E.3)
Символ Sn будет обозначать или множество дуг E.3), или мно-
множество точек на этих дугах. Множество Sn дуг E.3) будет обла-
обладать следующими свойствами:
1) Ujk(t)<uJ+itk(t) для ~^r<t<^ ; E.4)
2) дуги u = Ujk(t) и u = Uj+itk@ имеют ровно одну общую конце-
концевую точку; 3) для каждой пары /, k имеется по крайней мере
один индекс /г, такой, что uh} k-i = Uh+i, k-i=-Ujk в точке t = k/2n,
и индекс i, такой, что Uitk+i=-tU+itk+i = Ujk в точке t = (k+l)/2n;
4) любые две дуги из Sn, обладающие общей точкой, имеют в этой
точке и общую касательную; отсюда 5) любая непрерывная дуга
u=u(t), определенная, скажем на а<^<.6, и составленная из
некоторых дуг множества Sn добавлением других дуг из Sn, может
быть продолжена (и не единственным образом) на — оо<^<<оо,
оставаясь при этом в классе С1 (и кусочно в классе С2); 6) если
Un(t, и) определена в точках множества Sn как угловой коэффи-
коэффициент касательной в точке (t, u)£Sn, то Un(t, и) равномерно непре-
непрерывна на Sn и дуги из 5) составляют множество решений уравнения
и'= Un(t, и); E.5)
7) множества So, Su ... удовлетворяют условию Sn cz Sn+u так
что Un+i(t,u) является продолжением функции Un{t,u); 8) мно-
множество S= \jSn концевых точек (&/2n, ujk(kj2n)I где /, k = 0r

Гл. II. Теоремы существования
ч= 1, ... и м = 0, 1, ..., всюду плотно; и, наконец, 9) функция
n(t,u), E.6)
определенная на S=\jSn, имеет (единственное) непрерывное про-
продолжение на всю плоскость. Условие 9) является единственным
нетривиальным условием. (Построение S отражено на рис. 2.)
P и с. 2.
Жирные кривые соответствуют дугам из So- Жирные и светлые кривые соответствуют
дугам из Si, если то=3 Построение дуг из Si, не принадлежащих So, описано
выше дуги u(t) — uo(t)t u\(t), «2@. «3@=0@ определены на [а, &]=[0,1], а дуги
fo@, 0i(O. 02@—Ha [с,Ь]=[1/2,1]. Из этого чертежа ясно, как So или Si делят плос-
плоскость на множества G.
ПуСТЬ Я2=
мп =
и уи =
E.7)
Предположим, что множество Sn уже построено и таково, что:
а) функции E.3) удовлетворяют неравенствам
\*jk(t)\, \u"jk(t)\<Mn; E.8)

§. 5 Пример неединственности 33
b) если
dn = sup max (| uJ+it k (t) — ujk (t) |, | wJ+1,1* @ — u)k (t) |), E.9)
то
dn<En-, E.10)
с) если n >> 0 и ни одна дуга из Sn-i не лежит между и — щъ (t)
и u = uhh{t), то
ИП0-^@1<^-14е„. E.11)
Множество дуг Sn+i будет получено из Sn добавлением на каждом
отрезке [й/2п, Bk+ l)/2n+1] и [Bfe+ l)/2n+1, (fe+ l)/2n] конечного
числа дуг, расположенных между дугами u = Ujk(t) и u = uj+itk(t)
из 5Л. Дуги из Sn и эти добавленные дуги составят множество Sn+i.
Для удобства положим u(t) = ujk(t), v(t) = uj+itk(t), a = k/2n,
Ь = (й + 1)/2п, с = (а-\- b)/2. Предположим, что u(a) = v(a) (построе-
(построения в случае u(b) = v(b) аналогичны). Тогда u(t), v(t) определены
на отрезке [a, b], b — a = 2~n\
u(t)<v(t) на (a, ft], u(a) = v(a), u'(a) = v'(a); E.12)
I«'(ON Iи"@1. К@1. К(О1<ЛЬ; E.13)
\u(t) — v(t)\, \u'(t)-vf(t)\<dn<en. E.14)
Пусть т = тп > 0 — некоторое целое число, которое будет уточ-
уточнено позже. Для i = 0, 1, ...,тиа<^<& положим
о=ц(О + [у(О_ц(О]^_ EЛ5)
Тогда uo(t) = u(t), um{t) = v(t) и
и @ < «4 (/) < ui+l {t) <v(t), a<t<b, E.16)
tii(a) = u(a), u'i(a) = u' (a), i = 0, 1, ...,m. E.17)
Из неравенств E.14) ясно, что
|ил —«*|<|А —*'|"^-<d*' E.18)
\щ\ <Мп, \u'h — m\<\h — i\^-<Cdn, E.19)
|wi| <Mn. E.20)
Для i = 0, I, ..., m~l и с = (а + ^)/2 на [с, b] положим
Щ (t) = ut (t) sin2 2п+1я (/ — с) + ^г+1 @ cos2 2n+1n (t-c), E.21)
и, поскольку с — a = b — c= l/2n+1, получим, что
щ (t) < vt (t) < wi+1 @ для c<t<by E.22)
vi = Ui+iJ Vi=iii + i при £ = с и Vi = iii, v'i=u'i, t = b. E.23)
3—241

34 Гл. II. Теоремы существования
Равенства в E.23), содержащие производные, следуют из того, что
vi = u'i sin2 2п+1я (t — c)+ui + i cos2 2п+1я (t — с) +
Из соотношений E.24) и E.18) —E.20) получаем, что
\vi\<Mn + 2п+1я -^ , \vi\<Mn + Bn+2 + 22П+Зя) я ^ . E.25)
Кроме того, в силу E.21)
Vi — Ui = (ui+i — и{) cos2 2п+1я (t — c),
vt — Ui+i = (iii — Ui+i) sin2 2n+1n (t — c),
так что соотношения E.18) —E.19) приводят к неравенствам
\Vi — uh < — , \v'i— ^|<A + 2п+1я)-^. для ft = /, i+l. E.26)
Наконец, пусть т — тп выбрано столь большим, что
Bп+2 + 22-+зя) я -^ < i*±i-. E.27)
Для того чтобы получить Sw+1 из 5П, впишем между u = u(t}
и u = v(t) дуги u = tii(t), / = 0, ..., /72, на [а, с] и дуги u = ui(tI
j' = 0, ..., /72, u = vh(t), h = 0, ..., m—1, на [с, й]. Из E.19),
E.20), E.25) —E.27) ясно, что тогда неравенства E.8) и к E.10)
остаются в силе и при замене м на п+1. Аналогичное; утвер-
утверждение для E.11) следует из E.19), E.26) и E.27).
Этим завершается построение последовательности So cz S^d ....
Ясно, что множество S=\jSn всюду плотно в (t, ^-плоскости.
Докажем теперь непрерывность функции U (t, и), определяемой
согласно E.6). Пусть р> п> 0. Дуги Sn делят плоскость на замкну-
замкнутые множества G вида G — {(£, и): у < t <б, ап(^) < а< уп (^)}, причем
ни одна точка из 5П не является внутренней для G; каждая из дуг
u = un(t) и u = vn(t), 7<^<б, б —7=2/2п, состоит из двух дуг
множества Sn; un = vn при t = y, б и ип<ivn на (у, 6).J
Пусть (t0, up) £Gf|Sp, и пусть (f1, w1) — любая точка границы
множества G. Оценим разность
Рассмотрим сначала случай р — п. Тогда (/0, ир) находится на гра-
границе G, и пусть, скажем, up = un(t0). Так как Un(t, un(t)) = un (t)f
то из неравенств E.8) видно, что
Таким образом, в этом случае Ар = Дд< 4УИ/2П.
Пусть р>п. Можно считать, что (t0, up) ^SP\SP^. Пусть
un = un(t0) и un^.Un+i< • • • <^р» где (t0, Uj) является наивысшей

Примечания 35
точкой сегмента t = t0, ^•_1<w<^-) принадлежащего Sj, j =
= м-f 1» ..., p. Тогда в силу неравенства E.11)
I Up (*<ь uJ+i) — Up (t0, uj) \<dj+ &j+i < 2&j.
Отсюда
I Up (to,rup)-Up%,'un) |< 2 2 ey.
Если это неравенство объединить с неравенством ДЛ<4УИ/2П, мы
получим, что
оо
AP<rfr, где r^ = -^r + 2^eJ.
i=n
Рассмотрим теперь две точки (ttj ut), i = 0, 1, в 5Р, /?>гс.
Каждая из этих точек (tt, иг) содержится в области G = Gt описан-
описанного выше вида. Существуют точки (£*, иг), принадлежащие гра-
границе Gt, такие, что
(где, например, (/°, u°) = (t1, и1), если GQ = Gi). Тогда из полученной
выше оценки для Ар следует, что
| U (t0, щ)-U (tu щ) \<2гь + \ип(t\ и")-Un (t\ и1) |.
Так как Un (t, и) равномерно непрерывна на 5Д, из трех последних
неравенств следует, что U (t> и) равномерно непрерывна на 5.
Поэтому U (t, и) имеет непрерывное продолжение на всю (t, ^-пло-
^-плоскость, которое мы также обозначим через U (t> и).
Теперь нужно доказать, что уравнение E.1) обладает требуемым
свойством. Ясно, что любая непрерывная дуга и = и (t) на [с, d],
составленная из дуг множества 5, является решением уравнения
E.1). Теорема о продолжении решения 3.1 или случай d = 1 тео-
теоремы 4.1 показывают, что если (t0, и0) — любая точка множества G
описанного выше вида, то задача Коши E.1) имеет решение и = и (/),
V <С t^ 8, удовлетворяющее при t = у, б условиям и = un = vn.
Тогда, используя дуги из Sn, это решение можно продолжить —
причем не единственным образом — влево от t = у (вправо от
t = б). Если п достаточно велико, отрезок [7, б], содержащий t0,
может быть сделан произвольно малым. Утверждение доказано.
ПРИМЕЧАНИЯ
По поводу литературы, а также исторических вопросов, связанных
с теоремами существования, см. Пенлеве [1], Вессио [1], Мюллер [3] и Камке
[4, I, стр. 2, 33].
§ 1. Теорема 1.1 восходит к Коши (см. Муаньо [1]) и Липшицу [1].
Доказательство ее методом последовательных приближений принадлежит
Пикару [1] и Линделёфу [1], хотя в частных случаях этот метод встречается
3*

36 Гл. II. Теоремы существования
еще у Лиувилля и Коши. Теорему существования из упр. 1.1 часто связы-
связывают с именами Коши и Пуанкаре, которые для ее доказательства исполь-
использовали метод мажорант. Методом последовательных приближений она
доказана фон Эшерихом [2].
§ 2. Теорема 2.1 принадлежит Пеано [2]. Упрощения в доказательстве
были сделаны Ми, Балле Пуссеном, Арцела, Монтелем и Перроном. При-
Приведенное здесь доказательство использует идею Тонелли [1]. Полигональная
аппроксимация из упр. 2.1 восходит к Коши (метод Коши — ЛипшицаI).
Результат упр. 2.3 принадлежит Важевскому [4], но доказательство
с учетом указаний может оказаться новым; см. Неванлинна [1] и Хайнц [3].
Результаты такого типа часто включают «степень непрерывности» для fy (у)
в у = 0; см. Ямабе [1], Бартл [1] и Стернберг и Уинтнер [1].
§ 4. Теорема 4.1 принадлежит Г. Кнезеру [1]; приведенное здесь доказа-
доказательство дано по Мюллеру [2]; для примыкающих сюда результатов см. Пью
[1]. Указание к упр. 4.2 принадлежит Пью (не опубликовано); см. также
Фукухара и Нагумо [1]. Задача, сформулированная в упр. 4.3 (а), рассмот-
рассмотрена Камке [2]; упр. 4.4 принадлежит Фукухаре [1]; см. также Камке [2],
Фукухара [2], Фукухара и Нагумо [1]. Относящийся сюда пример см.
у Дигеля [1].
§ 5. Первый пример такого типа был предложен М. А. Лаврентьевым
[1]; приведенный здесь пример принадлежит Хартману [27].
г) Или даже к Эйлеру. В связи с этим в советской литературе этот метод
часто называют «методом ломаных Эйлера».— Прим. ред.

Глава III
Дифференциальные неравенства
и единственность
«Интегрирование» различных дифференциальных неравенств —
наиболее важный технический прием, используемый в теории диф-
дифференциальных уравнений. В первой части главы излагаются
основные результаты этого типа, которые будут неоднократно
использоваться на протяжении всей книги. Во второй части рас-
рассматриваются непосредственные приложения изложенных резуль-
результатов, в том числе и некоторые теоремы единственности.
Повсюду в этой главе у, z, / и g являются d-мерными векторами,
а и, v, U и V — скалярами.
§ 1. Неравенство Гронуолла
Один из наиболее простых и полезных результатов, включающих
в себя интегральное неравенство, состоит в следующем.
Теорема 1.1. Пусть u(t),v(t) — неотрицательные функции,
непрерывные на [а, Ь]\ С ;> 0 — некоторая постоянная', кроме того
t
v(t)*£C+\v(s)u{s)ds, a<t<b. A.1)
а
Тогда
t
v(t)<Cexp \ u(s)ds, a<t<b. A.2)
В частности если С = 0, то v(t)==O.
По поводу, обобщения теоремы см. следствие 4.4.
Доказательство. Случай 1: С>0. Пусть V (t) обозначает правую
часть неравенства A.1), так что v(t)^V(t), У (*)>С>0, a<t^b.
Значит, V (t) = u(t)v(t)<u(t)V (t). Так как К>0, VIV^u,
V (а) = С, то, интегрируя по [a, t], получаем V (t)<Cexp \ u(s)ds.
а
Используя неравенство v(t)<V(t), получаем отсюда A.2).

38 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
Случай 2: С = 0. Если неравенство A.1) выполняется при С = 0,
то случай 1 влечет за собой справедливость неравенства A.2) при
любом С>0. Устремляя С к 0, получаем, что v(t) = O.
Упражнение 1.1. Покажите, что из теоремы 1.1 можно полу-
получить утверждение теоремы 11.1.1 относительно единственности.
§ 2. Максимальные и минимальные решения
Пусть U (t, и) — некоторая непрерывная функция на плоском
(/, ^-множестве Е. Под максимальным решением u = u°(t) задачи
Коши
u' = U{t,u), u(to) = uo B.1)
мы понимаем такое ее решение на максимальном интервале суще-
существования, что если и (t) — любое решение задачи B.1), то имеет
место неравенство
u(t)<u»(t) B.2)
для всех f, принадлежащих их общему интервалу существования.
Минимальное решение определяется подобным же образом.
Лемма 2.1. Пусть U (t, и) непрерывна в прямоугольнике
R: to<t^.to + a, \у — уо\<Ь; пусть \U(t, н)|<М и a=rnin(a, b/M).
Тогда задача Коши B.1) имеет на отрезке [t0, ^o + a] решение
u = u°(tI обладающее тем свойством, что любое решение u = u(t)
задачи ur = U (t, и), и (t0) <и0 удовлетворяет на отрезке [tQ, t0-f a]
неравенству B.2).
Из этой леммы и доказательства теоремы II.3.1 о продолжении
решения вытекает следующая теорема существования максимального
и минимального решений (которая будет сформулирована только
для открытого множества Е).
Теорема 2.1. Пусть U (t, и) непрерывна на некотором откры-
открытом множестве Е и (to,uo)£E. Тогда уравнение B.1) имеет
максимальное и минимальное решения.
Доказательство леммы 2.1. Пусть 0<a'<a. Тогда, по тео-
теореме Н.2.1, задача Коши
u' = U(t,u)+l/n, u(to) = uo B.3)
при достаточно большом п имеет на отрезке [^о^о + <^'] решение
u = un(t). По теореме 1.2.4, существует последовательность
>Ч < Иг < • •., такая, что предельная функция
u°(t) = limunk(t) B.4)
является решением задачи Коши B.1), причем сходимость в B.4)
равномерна на [t^ '

§ 3. Правые производные 39
Убедимся, что на [to,to + a'] справедливо неравенство B.2).
Для этого, очевидно, достаточно проверить, что для всякого доста-
достаточно большого фиксированного п
B.5)
Предположим противное. Тогда существует точка t = tiy 4<^i<
<Cto + a\ такая, что u(ti)>un(ti). Поэтому в полуинтервале \t0, f4)
существует наибольшее значение t = t2, где u(t2) = un(t2), так что
u(t)>un(t) на (f2, tt]. Но из B.3) следует, что un(t2) = и' (t2) + 1/л,
так что un{t)>u(t) при t(>t2), близких к t2. Это противоречие
и доказывает неравенство B.5). Так как число ar <C.ol произвольно,
лемма полностью доказана.
Замечание. Из единственности решения u = u°(t) следует, что
un(t)—>u°(t) равномерно на [/0, *о + а']> когда п—>оо непрерывно.
§ 3. Правые производные
В последующем нам потребуются следующие две леммы.
Лемма 3.1. Пусть и (t) £ С1 [а, Ь]. Тогда \u(t)\ имеет для
a^t<C.b правую производную DR\u(t)\, где
C.1)
причем DR\u(t)\ = u' (t)sgpu(t), если u(t)^O, и DR\u(t)\ = \u'(t)\,
если u(t) = 0. В частности, \DR \ и (t) 11 = | и' (t) |.
Утверждение, касающееся DR\u(t)\, очевидно, если и(г)Ф0.
В случае, когда и (t) = 0, нужно исходить из соотношения u(t-\-h) =
= h(u' @ + оA)), /г->0, так что | и (t + h) \ = А(| и' (t) \ +о A)) при
А0
Лемма 3.2. Пусть y = y{t)^C1[a, b]. Тогда \y(t)\ имеет правую
производную DR\y(t)\ и \ DR \ у (t) 11< |у' (t) \ для а<t < b.
Так как \y(t)\ = max(| у1 (t) (,
индексы k, для которых | у (t) \ = \ y{t)
у (t) |), то существуют
Дальше через & будем
обозначать какой-либо из этих индексов. По последней лемме,
1^@1 имеет правую производную, так что
\lf{t + h)\ = \y{t)\-]h{DR\if{t)\ + o{\)) при А-*0 + . (*)
Для малых h >> 0 справедливо соотношение | у (t + h) \ —
= max^ | ф (t + h) |, так что, считая k в (*) равным тах^, мы получим
Значит, DR\y{t)
\D\h(t)\
существует и равняется max^DB|^(/)|. Кроме
\hr {\\' {)\ Л 32
, R\y{) ущу р ^B|^()
того, \DR\yh(t)\ =\yhr {t)\<\y' {t)\. Лемма 3.2 доказана.
Упражнение 3.L Покажите, что лемма 3.2 верна и в том случае,
когда | у | обозначает евклидову длину вектора у.

40 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
§ 4. Дифференциальные неравенства
В следующей теореме речь идет об интегрировании некоторого
дифференциального неравенства. Это один из наиболее часто
используемых результатов в теории дифференциальных уравнений
Теорема 4.1. Пусть U (t, и) непрерывна в открытом (ty ^-мно-
^-множестве Е и и — и0 (t) — максимальное решение задачи Коши B.1).
Пусть функция v (t) непрерывна на lt0, t0 + а], удовлетворяет усло-
условиям v (t0) -< и0, (t, v (t)) 6 Е и имеет в точках t0 -< t < t0 + а
правую производную DRv (t), такую, что
)^U(t, v(t)). D.1)
Тогда на общем интервале существования функций и0 (t) и v (t)
выполняется неравенство
v (t) < и0 @. D.2)
Замечание 1. Если неравенство D.1) заменено противоположным
и v (^o) ^> ^о, то утверждение D.2) должно быть заменено нера-
неравенством v (t) ^> и0 (t), где и = и0 (t) является минимальным реше-
решением задачи Коши B.1). Соответственно, если в теореме 4.1 функ-
функция v (t) непрерывна на отрезке t0 — а ^ t ^ t0, имеет левую
производную DLv (t) на (t0 — a, t0], удовлетворяющую неравенству
DjP (t) ^ U (t, v (/)), и v (t0) ^ и0, то неравенство D.2) снова
должно быть заменено неравенством v (t) >- и0 (t).
Замечание 2. Из доказательства теоремы 4.1 будет ясно, что
она верна и в том случае, когда «правая производная» заменена
«верхней правой производной», определяемой формулой C.1),
в которой обычный предел lim нужно заменить верхним преде-
пределом Пгп.
Доказательство теоремы 4.1. Очевидно, достаточно показать,
что неравенство D.2) справедливо на Uo, t0 + б] для некоторого
б > 0. Действительно, если и0 (t) и v (t) определены на Uo, t0 + р],
то в случае существования такого б > 0 множество тех значений t,
для которых верно D.2), не может иметь верхней границы, отлич-
отличной от р.
Пусть п > 0 достаточно велико, и пусть б > 0 выбрано незави-
независимо от п таким, что задача B.3) имеет решение и = ип (t) на
отрезке [to, t0 + б]. Как и в доказательстве леммы 2.1, достаточно
проверить, что v (t) <; ип (t) на [t0, t0 + б], но доказательство этого
факта совершенно аналогично доказательству неравенства B.5)
из § 2.
Следствие 4.1. Пусть v (t) непрерывна на [а, Ь] и имеет там
правую производную DRv (t) <; 0. Тогда v (t) <; v (a).

§ 4. Дифференциальные неравенства 41
Следствие 4.2. Пусть U (t, и) и и0 (t) определены, как в теоре-
теореме 4.1. Пусть функция V (t, и) непрерывна на Е и удовлетворяет
условию
V(t, и)< U(t, и). D.3)
Пусть v = v (t) является решением задачи Коши
v' = V(t, v), v(t0) = M<"o) D.4)
на некотором отрезке lt0, t0 + а]. Тогда неравенство D.2) справед-
справедливо справа от точки t = t0 на любом общем интервале существо-
существования функций v (t) и и0 (t).
Из замечания 2 ясно, что если v (t) может быть продолжена
на интервал, лежащий слева от t — t0, то на этом интервале нера-
неравенство D.2) должно быть заменено неравенством v (f) ^ u0 (t),
где и0 @ — минимальное решение задачи B.1), причем uo>v(to).
Следствие 4.3. Пусть функции U (t, и) >- 0 и и0 (t) определены,
как в теореме 4.1, а и = uQ (t) — минимальное решение задачи Коши
и' = — U (t, и), и (to) - и0 (>0). D.5)
Пусть у = у (t) — некоторая вектор-функция класса С1, определен-
определенная на отрезке [t0, to + ct] и такая, что а°< | у (t0) \ ^ и0,
it, \y(t)\)eE и
I У' (t) I < U (t, \y(t)\), to<Ct<tQ + a. D.6)
Тогда на любом общем интервале существования и0 (t) и у (t) [u° (t)
и у (t)] справедливо первое [второе] из двух неравенств
ио (t)<\y (t) I < и* (t). D.7)
Это следствие сразу же вытекает из теоремы 4.1 и замечания 1,
так как \ у (t) | имеет правую производную, удовлетворяющую
в силу леммы 3.2 неравенствам — | у' (t) \ ^ DR \ у (t) \ ^ \у' (t) |.
(Согласно упр. 3.1, это следствие справедливо и в том случае,
когда | у | обозначает евклидову норму.)
Упражнение 4.1. (а) Пусть f(t, у) непрерывна в полосе
S: а</<&, у любое, и пусть fh(t, у1, ..., yd) является неубываю-
неубывающей относительно каждой из компонент уг, ьфк, вектора у. Пред-
Предположим, что задача Коши у' = /(/, у), у(а) = Уо имеет при некото-
некотором фиксированном у0 единственное решение y = y(t), определенное
на [а, Ь]. Пусть, далее, непрерывная на [а, Ь] вектор-функция
^ (t) = (z1 (/), ... zd (t)) такова, что каждая ее компонента zk(t),
fe=l, ..., d, имеет правую производную и zk(a)*Cy%, DRzk(t)<c
< fk(t,z(t)) для a<t<b [или zk (a)>y\ и DRzk(t)> fk(t, z(t)) для
a<^<6]. Тогда zk(t)*cyk(t) [или zk(t)>yk(t)] для a<t<b.
(Условия, наложенные на z, выполнены, если g{t,y) непрерывна
на S, функция г (t) является решением системы z' = g(t, z) и zk(a) <

42 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
< У1 gk(t, У) <fk(t, У) на 5 [или zk(а) >у*, gk(t, у) > fk(*, у) на S].)
См. также замечание к упр. 4.3.
(b) Если в (а) любая задача Коши для системы y' = f(t,y)
имеет единственное решение, fk (t, у) возрастает относительно у\
1фк, k=l, ..., d, и zj(a)<yj0 [или ^(а)>у{] по крайней мере
для одного индекса /, то zh(t)<y%(t) [или zh(t)>y^{t)} для
a<:t<cb, k= 1, ..., d.
(c) Если в добавление к предположениям п. (а) существует еще
индекс /г, такой, что функция fh(t,y) является неубывающей отно-
относительно yh, то разность у% (t) — zh (t) будет неубывающей (или
невозрастающей) на а<^<6.
(d) Если выполнены предположения пп. (Ь) и (с), то разность
yo(t) — zh(t) является возрастающей (или убывающей) на [а, Ь].
(e) Пусть и, U — вещественные скалярные функции, а у =
= Q/1, ..., yd) — вещественный d-мерный вектор. Пусть функция
U (t, у), непрерывная в полосе а<^<6, у любое, такова, что
решения уравнения u^ = U(t, и, и', ..., а^)) однозначно опре-
определяются заданными начальными условиями, и пусть U (t, у1, ..., yd)
не убывает относительно каждой из первых d— 1 компонент у3,
/=1, ..., d—1, вектора у. Пусть щ (t), u2 (t) — два решения
уравнения u^=U на [а, Ь] с условием и[^ (а) *с и^ (а) для
/ = 0, ..., d-\. Тогда u[»(t)<up(t) для / = 0, ..., d-\
и а</<&; более того, разность u^(t) — u[fi(t) является неубы-
неубывающей для / = 0, ..., d — 2 и а^&
Упражнение 4.2. Пусть f(t,y), g(t,y) непрерывны в полосе
а < t < ft, у любое, и таковы, что fk (t, у) <С gk (t, у) для k = 1, ...
... d и для каждого k = 1, ..., d одна из функций fk (t, у1, ..., yd)
и gk{t,yx, ...,у) не убывает относительно #\ t =^= fe. Пусть на
[а, Ь] функция у (t) является решением задачи Коши у' = f (t, у),
= у0, a z@ —решением задачи z'=g(t,z), z(a)=z0, где
% для k=i, ..., d. Тогда ^@<2&@ для &
Упражнение 4.3. Пусть f{t,y) непрерывна в области to<t<
<to-7-a, \у — Уо\<Ь и такова, что ее компонента /ft(<, у1, ...,yd)
является неубывающей относительно каждого у\ 1фк. Покажите,
что задача Коши у' = f(t, у), y(to)=yo имеет максимальное [мини-
[минимальное] решение yo(t), такое, что если у = у (t) — любое другое
решение этой .задачи, то #*@<#?@ [yh (t)> Уо (t)] на любом их
общем интервале существования.
Замечание. Предположение упр. 4.1 (а) о том, что задача
Коши yr = f(t, у), у(а) = Уо имеет единственное решение, может
быть отброшено, если заменить у (t) максимальным (или минималь-
минимальным) решением yo(t).
Упражнение 4.4. Пусть f (t, у), g (t, у) линейны относительно у,
скажем fh{t,y) = ^ akj (t) yj + fk (t) и gk (t, y) = ^ bkj (t) y> + £ @.

§ 5. Теорема Уинтнера 43
где akJ(t), bhj{t), fk(t) и gk(t) непрерывны на [a, b]. Пусть у (t)
и z(t) являются решениями задачи y' = f(t,y), у(а) = у0 и г' =
= g(t, z), z (a) = z0 соответственно. (Эти решения существуют
на [а, Ь]; см. следствие 5.1.) Какие условия на ajk(t), bjk{t),
fk(t), gk(t), y0 и z0 обеспечивают для a<t^b неравенства |fe()|
|/@| kU d?
|/@|
Теорема 4.1 имеет «интегральный» аналог, в котором, однако,
требуется, чтобы U была монотонной относительно и. В этом случае
имеется следующее обобщение теоремы 1.1:
Следствие 4.4. Пусть U (/, и) непрерывна и не убывает относи-
относительно и в области /0 <^ t <; t0 + #, и любое. Пусть и = и0 (/) —
максимальное решение задачи Коти B.1) на [/0, t0 + а]. Пусть
на этом же отрезке задана функция v (/), удовлетворяющая нера-
неравенству
t
v(t)<vo+\u(s,v(s))ds, D.8)
I
где vo<Uq. Тогда v(t)<u°(t) для
Доказательство. Пусть V (t) обозначает правую часть неравен-
неравенства D.8), так что v(t)<V(t) и V (t) = U(t, v(t)). В силу моно-
монотонности U имеем V (/)< 0 (t, V (t)). Следовательно, по теореме 4.1
V(t)<cu°(t) на [to,to + a]. Значит, v(t)<Cu°(t), что и требовалось
доказать.
Упражнение 4.5. Установите аналог следствия 4.4 для случая,
когда постоянная v0 в неравенстве D.8) заменена непрерывной
функцией vo(t).
Упражнение 4.6. Пусть у, /\ z суть d-мерные векторы; / (t, у)
непрерывна в области to*Ct<Cto-{-a, у любое, и такова, что
fh (t, у1, ..., yd) не убывает относительно каждого у\ j = 1, ..., d.
Пусть максимальное решение yo(t) задачи Коши у' = f (t, у), y(to) =
= у0 существует на [/0, to-\-a]; см. упр. 4.3. Пусть z (t) является
t
непрерывной вектор-функцией, такой, что zh (t)<y% + \ fk(s, z(s))ds
to
для /о<^<^о+а- Тогда на всем этом отрезке z (t)<y%(t).
§ 5. Теорема Уинтнера
Теорема 4.1 и ее следствия могут быть использованы для опре-
определения интервалов существования решений некоторых дифферен-
дифференциальных уравнений.
Теорема 5.1. Пусть U(t, и) непрерывна в области to*ct<cto + a,
и>0 и максимальное решение задачи Коши B.1), где

44 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
существует на [to,to + a]; например, пусть U(t, и) = \р(и), где
\р(и) — непрерывная и положительная при а>0 функция, такая,
что
оо
j du/ty (и) = оо. E.1)
Предположим, что f(t,y) непрерывна в полосе to<t^.to + ar
у любое, и удовлетворяет условию
\f{t,y)\<U(t,\y\). E.2)
Тогда максимальный интервал существования решения задачи
Коти
y'=f(t,y), y(to) = yo, E.3)
где \уо\Ки>о, совпадает с [t0, to-{-a].
Замечание 1. Ясно, что условие E.2) необходимо потребовать
только для больших \у\. Подходящими функциями ty(u) являются,
например, ty(u) = Cu, Culnu, ... (для больших и и постоянной С).
Доказательство. Из неравенства E.2) следует, что на любом
интервале, где существует у (t), выполнено неравенство D.6). Поэтому
в силу следствия 4.3 на любом таком интервале выполнено второе
неравенство из D.7), а тогда основное утверждение теоремы выте-
вытекает из следствия П.3.1.
Для завершения доказательства остается показать, что если
выполнено условие E.1), то для U{t,u) = 'ty{u) максимальное
решение задачи Коши
E.4)
существует на [to,to + a]. Так как i|?(m)>0, to из E.4) следует,
что для любого его решения и (t)
t u(t)
и'(t)dt/ty(u(t))= \ dulty(u). E.5)
to uo
Заметим, что неравенство 1|з > 0 влечет за собой неравенства
и' (t) > 0, и (t) > 0 для t> t0. В силу следствия П.3.1 решение
и (t) не может существовать на отрезке [t0, t0 + а] только в том
случае, если оно существует в некотором полуинтервале [t0, б)
и стремится к оо при tf —>■ б (<#). Это, однако, приводит к противо-
противоречию, так как левая часть E.5) при £->6 стремится к б—. to>
а правая часть — к оо (в силу E.1)). Теорема доказана.
Замечание 2. Рассуждения, примененные при доказательстве
теоремы 5.1, можно использовать и для получения априорных оце-
оценок решений у (f) задачи Коши E.3). Например, если i|? (и) опре-

§ 6. Теоремы единственности 45
делена так, как в теореме 5.1, положим
и
= J
wo
и обозначим через г/ = Ф(а) функцию, обратную к v = y¥(u). Тогда
из условия | / (t, у) | < я|? (| у |) следует, что для решения # (/) задачи
Коши E.3) верна оценка
см. E.5).
Упражнение 5Л. Пусть f (t, у) непрерывна в полосе t0 <] * <]
< t0 + а, у любое. Пусть | / (t, у) |< ф (/) -ф (| # |), где функция
Ф (/) ^- 0 интегрируема на Uo, U + a], a ij)(m) положительна и непре-
непрерывна для м>0и удовлетворяет условию E.1). Покажите, что
в этом случае справедливы теорема 5.1 и аналог замечания 2.
Следствие 5.1. Если A (t)— непрерывная (d x й)-матрица и g(t)~
непрерывная вектор-функция на [t0, го-\-а\, то {линейная) задача
Коши
), yjito) = yo E.6)
имеет единственное решение у = у (t), и это решение существует
при всех t 6 Uq, t0 + а].
Это следствие вытекает из теоремы 11.1.1 и теоремы 5.1 с г|з (и) =
= С A + и), где постоянную С нужно взять достаточно большой.
В скалярном случае теорема 5.1 допускает следующее «обра-
«обращение»:
Следствие 5.2. Пусть U (t, и), V (t, и) — непрерывные функции,
удовлетворяющие неравенству D.3) в полосе t0 ^ t <C t0 + а, и
любое. Пусть некоторое решение v = v (t) задачи Коши D.4), опре-
определенное на [t0, 6), б <; t0 + а, обладает следующим свойством:
v @-> °о при t-*- 6. Тогда максимальное решение и = и0 (t) урав-
уравнения B.1) имеет максимальный интервал существования [t0, co+),
гйе со+ <; б и и0 (t) -+■ оо при t-+ co+.
§ 6. Теоремы единственности
Одно из основных применений теоремы 4.1 и ее следствий состоит
в получении теорем единственности. Докажем сначала теорему,
часто называемую общей теоремой единственности Камке.
Теорема 6.1. Пусть f (t, у) непрерывна в параллелепипеде
R' U <[ t <; /0 + а, \ У — У о I < Ь. Пусть со (t, и) — непрерывная
(скалярная) функция на Ro: t0 < / < t0 + а, 0 < и < 2Ь, обла-
обладающая следующими свойствами: 1) со (/, 0)^= 0; 2) единственным

46 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
решением и = и (f) дифференциального уравнения
u' = u(t,u), F.1)
удовлетворяющим на любом полуинтервале (^o»^o + eJ следующим
условиям:
u(t)->0 и J^L_»o при t->to + O, F.2}
является функция u(t) = O. Пусть для точек (t, yj, (t,y2)^Rf
t>t0, имеет место неравенство
\f(Uyi)-f(Uy$\«b{Jt,\yx-yz\). F.3)
Тогда задача Коти
y' = f(t,y), y(to) = yo F.4)
на любом отрезке [t0, ^0 + 8] имеет не более одного решения.
В предположениях теоремы 6.1 единственность решения можно-
утверждать также для любой задачи y' = f(t,y), y(ti) = yu ti^/=t{i.
Теорема 6.1 остается справедливой и в том случае, когда \у\
обозначает евклидову норму.
Упражнение 6.1. Покажите, что теорема 6.1 не верна, если
условие F.2) заменено условием u(t), u'(t)—>0 при / = /0 + 0.
Доказательство. Из того факта, что
©(*, 0) = 0, to<t<ito + a, F.5)
следует, конечно, что функция и (t) = 0 является решением урав-
уравнения F.1).
Предположим, что для некоторого е>0 задача Коши F.4)
имеет на [t^to + e] два различных решения: y = yt(t) и y = yz(t).
Положим y(t) = yi(t) — y2(t). Уменьшая, если это необходимо, е,
можно считать, что у^0-{-г)Ф0 и \y(to-\-e)\<z2b. Кроме того,
УУо)=У' (*о) = О. Согласно F.3), \y'(t)\<a(t, \y(t)\) для ^(/0, /0+е].
Из следствия 4.3 (и замечания 1 к теореме 4.1) вытекает, что
если и = и0 (t) — минимальное решение задачи Коши и' = со (t, и),
u(to + e) = \y(to + B)\, где 0< | у (to + E) |<267 то
\y(t)\>uo(t) F.6)
на любом интервале, лежащем в (/0, ^о + е], на котором существует
и0 @; см. рис. 1.
Из доказательства теоремы П.3.1 (о продолжении) и леммы 2.1
видно, что и0 (t) можно продолжать как минимальное решение
влево от t0 + б до тех пор, пока при некоторых значениях t точка
(t, u0 (t)) не подойдет как угодно близко к какой-либо точке из dR0.
В процессе этого продолжения неравенство F.6) остается справед-
справедливым, так что при некоторых /точка (/, и0 (t)) подходит как угодно
близко к точке вида (б, 0) 6 dR0, где б >- t0. Если б > tQ, то из

§ 6. Теоремы единственности
47
условия F.5) видно, что и0 (t) можно продолжить на весь интервал
(to, t0 + е], считая и0 (f) s= 0 для t 6 (^о> б]. Таким образом, левый
максимальный интервал существования и0 (t) есть (t0, t0 + e].
Но из F.5) и F.6) следует, что и0 (f)-+0 и и0 (t)l(t — t0)->■ О
при f-*fo + O. В силу предположения теоремы относительно
Р и с. 1.
уравнения F.1), и0 @ = 0. Поскольку это противоречит начальному
условию и0 (^о + б) = \ у (tQ + е) | =^= 0, теорема 6.1 доказана.
Следствие 6.1 (критерий Нагумо). Если t0 = 0, mo функция
со (/, w) = м/f удовлетворяет условиям теоремы 6.1 (т. е. утвержде-
утверждение теоремы 6.1 остается справедливым, если неравенство F.3)
заменено условием
I f (*, Уд ~ f (U Уд \<\У1-У* \l(t - to) F.7)
для (t,yi), (t,y2)£R, t>t0).
Упражнение 6.2. Функция &(t, u) = u/t в следствии 6.1 не
может быть заменена функцией со (/, и) = Cult ни при каком С> 1.
Покажите, что если С>1, то существует вещественная функция
ft б 01 ||1
f(t,y), непрерывная в области
при t > 0 условию
удовлетворяющая
С | у i —у 2 I
и тем не менее такая, что задача Коши y' = f(t, у), у@) = 0 имеет
более одного решения.
Следствие 6.2 (критерий Осгуда). Если /0 = 0, то в качестве
®(t,u) в теореме 6.1 можно взять функцию со (t9 и) = ф (t) ty(u),
где ф (t) > 0 и непрерывна на 0 < £< а\ \р (и) непрерывна для и > 0,
яC(°) = 0, i|>(m)>0 /гр^ и>0 и [ф@^<оо, j dw/ajj («) = оо.
0+ 0+
Заметим, что условие непрерывности ф@ в этом следствии
может быть ослаблено. Можно непосредственно доказать, что
соответствующая теорема единственности верна и в предположе-
предположении интегрируемости ф (t) для

48 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
Упражнение 6.3 (обобщение следствий 6.1 и 6.2). Пусть to = O.
(a) Если функция ф (t) > 0 непрерывна для 0 < t < а, то функция
io(t, u) = (p(t)u удовлетворяет предположениям теоремы 6.1 тогда
а
и только тогда, когда lim ( \ ф (s) ds + In t\ < oo при t —>0 + .
(b) Пусть функция ф (t) > 0 непрерывна для 0 < t < a, if> (и) непре-
непрерывна для 0 < и < 2&, -ф @) = 0, if> (и) > 0 для 0 < и < Ь
и \ d«/i|? (и) = оо. Покажите, что функция со (tf, м) = Ф @ if> (и) удов-
0+
летворяет условиям теоремы 6.1, если для каждого С>0 выпол-
а
нено неравенство lim ^Ф (С+ Г ф (s) ds) > 0 при t —> 0, где и =
= Ф(и) является функцией, обратной к Y (ы)= \ ds/гр (s).
Упражнение 6.4. Пусть if> (и) непрерывна для | и \ < 1 и гр @) = 0.
Покажите, что задача Коши u' = ty(u), u@) = 0 имеет единствен-
единственное решение u(t) = Q, если не существует такого е, 0<е<1, что
или г|?(г/)>0 для 0<а<8 и 1/г|)(и) интегрируема (по Лебегу)
на [0,е], или if» (м) < 0 для — е < и < 0 и 1 /if) (w) интегрируема
(по Лебегу) на [ — е, 0].
Упражнение 6.5. Пусть /, со удовлетворяют предположениям
теоремы 6.1. Покажите, что существует функция со0(£, и), которая
непрерывна в замыкании области Ro, не убывает относительно и
(при фиксированном t) и обладает теми же свойствами, что и со (t, и):
1) со0 (t, 0) ^ 0; 2) единственным решением задачи Коши и' = со0 (^, w),
и (t0) = 0 на любом отрезке [£0, ^0 + е] является и (f) ^ 0; 3) | / (^, у4) —
— f (U У2) |<©о(^» \У\ — Уъ I)- (Заметим, что, поскольку ю0 непре-
непрерывна в замыкании 7?0, любое решение уравнения w' = co0(^w),
определенное в полуинтервале (/0, ^0 + £] и удовлетворяющее усло-
условиям F.2), непрерывно дифференцируемо и является решением
в обычном смысле на отрезке [t0, t0-{-&].)
Упражнение 6.6. (а) Пусть е0, ..., 8^_! — некоторые неотри-
неотрицательные постоянные, такие, что ео+ . . . +8^= 1. Пусть U (t, y) =
= U(t, у1, .. ., yd) — вещественная функция, непрерывная в обла-
области R: 0 < t < а, | yh | < Ъ для k = 1, ..., d и такая, что при t > 0
\U(t,yt)-U{Uy2)\< S e^^-^+l)!^"^!^-^!.
R— 1
Покажите, что (скалярное) уравнение d-ro порядка и^ =
= U (t, и, и', ..., ^-D) имеет не более одного решения (на любом

§ 6. Теоремы единственности 49
отрезке 0 < t < е < а), удовлетворяющего начальным условиям и @) =
= и0, и' = и0, ..., a(d-i)@) = wCd-1), где и0, и'о, ..., и<*-1>_
заданные числа из области | и | < b. (b) Покажите, что утвержде-
утверждение (а) остается верным, если постоянные е0, ..., e^-i заменены
непрерывными неотрицательными функциями ео(О, • ••> ed-i @»
такими, что 80 (t) + ... + ed-i @ < 1 •
Упражнение 6.7. (а) Пусть f(t,y) непрерывна в области
R: 0</<а, |#|<Ь. Пусть щ@, и), оJ(*, и) — неотрицательные
функции, непрерывные в /?0: 0<<^<а, |w|<26, не убывающие
по и при фиксированном / и удовлетворяющие следующим усло-
условиям: (dj(t, 0) = 0,
\f(t,yi)-f(t,y2)\<^j(t1\yi-y2\), /=1, 2.
Далее, пусть на отрезке [0, а] определены непрерывные неотрица-
неотрицательные функции a(t) и C@, удовлетворяющие условиям а@) =
= р@) = 0, Р@>0 для 0<^<а и а(^)/р@->0 при t->0.
Пусть каждое решение u(t) уравнения и' = (d{(t, и), определенное
для малых t>0 и стремящееся к нулю при t—»0, удовлетворяет
неравенству u(t)^.a(t) на любом своем интервале существования.
Наконец, предположим, что v(f) = Q является единственным реше-
решением уравнения v' = co2 (t, v) для малых t > 0, обладающим таким
свойством: v(t)/$(t)—>0 при t—>0. Тогда задача Коши y' = f(t, у),
^/ @) = 0 имеет ровно одно решение. (Ь) Докажите, что функции
оо± (/, и) = Си1, (о2 (t, и) = ku/t удовлетворяют предположениям п. (а),
если/г>0, 0<Я< 1, k(\ — Х)< 1 иа(/)-СA-1)/1/AЛ Р@ = ^-
Следующая теорема включает «одностороннее неравенство»
и дает «одностороннюю единственность».
Теорема 6.2. Пусть f{t, у) непрерывна в области /0<^</0-f а,
\ у — уо\<.Ь. Считая у и f евклидовыми векторами, предполо-
предположим, что
y2-yi)<0 F.8)
для /о<^<^ои-а и \Уг — Уо\<Ь, i= 1, 2, где точка обозначает
скалярное произведение. Тогда задача F.4) имеет на любом
отрезке [t0, ^0 + £Ь £>0, не более одного решения.
Если теорему единственности желательно иметь для отрезков
[to — e, t0], то достаточно потребовать выполнения неравенства,
обратного к F.8).
Следствие 6.3. Пусть U (t, и) — непрерывная вещественная
функция в области to*Ct<Cto + a, \ и — и0 \ < Ь, не убывающая отно-
относительно и (при фиксированном t). Тогда задача Коши и'=
= U(t, и), u(to) = uo имеет на любом отрезке [/0, to + e], e>0,
не более одного решения.
4—241

50 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
Доказательство теоремы 6.2. Пусть у = у± (t), у = y2(t) — реше-
решения задачи Коши F.4) на [t0, ^0 + 8Ь Обозначим через b(t) =
= IIУ2 @ — У\ @ [|2 = (Уг — Уд' (Уг — У\) квадрат евклидовой длины
вектора у2@ —#i@> так ЧТО 6(/0) = 0, 6(/)>0. Но в силу нера-
неравенства F.8) 6' (t) = 2(у'2 — у'г) • (у2 — уд < 0. Следовательно, д (t) = О
на [£0, ^о + 8Ь чт0 и требовалось доказать.
Упражнение 6.8 («одностороннее» обобщение критерия Нагумо
и теоремы 6.2). Теорема 6.2 остается справедливой, если F.8)
заменить более слабым условием:
§ 7. Теорема единственности ван Кампена
В следующей теореме единственности для задачи Коши
y' = f(t,y), У(*о) = Уо GЛ)
условия налагаются главным образом не на f{t,y), а на семейство
решений.
Теорема 7.1. Пусть f(t, у) непрерывна в параллелепипеде
R'- to<t<^0 + а, \у — уо\<Ь. Пусть в области /0<^ ^1<^о + я,
I У\ — Уо|<Р(<^) существует функция г) (t, t^ r/4), обладающая
следующими свойствами: 1) для фиксированной точки (tu y{)
функция y = v\(t, tu yt) является решением задачи Коши
y' = f(t,y), У{к) = Уи G.2)
2) ц (t, ti, yt) удовлетворяет условию Липшица относительно ух
и, наконец, 3) никакие две дуги решений y = r){t,ti,yi) иу =
= v\(t, t2, у%) не проходят через одну и ту же точку (/, у),
за исключением случая, когда r\(t, tt, yfi = x\{t, tz, yz) для ^0</<
</0 + ^- Тогда y = r\(t,t0, y0) является единственным решением
задачи Коши G.1) для значений ^o<^i<^o + a5 \У\ — Уо\<&-
Упражнение 7.1. Покажите, что существование непрерывной
функции t\(t, /l5 у2), обладающей свойствами 1) и 3) (но не обла-
обладающей свойством 2)), не гарантирует единственности решения
задачи Коши G.1).
Упражнение 7.2. Если f(t, у) удовлетворяет условию Липшица
относительно у, то можно показать, что функция y = r\{t, tit yj,
удовлетворяющая условиям теоремы 7.1, существует (для малых
Р>0); см., например, упр. И.1.2. Покажите, что обратное невер-
неверно, т. е. существование функции r\(t> ti9 y^, удовлетворяющей
условиям 1) —3), не обеспечивает для f(t, у) выполнения усло-
условия Липшица относительно у (при у, близких к у0).

§ 7. Теорема единственности ван Кампена
51
Доказательство теоремы 7.1. Пусть у (t) — любое решение
задачи G.1); мы покажем, что y(t) = r){t,tQ,y0) для малых
o
Условие 2) означает, что существует постоянная /С, такая, что
Уг\ G.3)
для
o и \у1 — уо|<Р> 1 г/г — #ol<p.
Пусть |/(/, г/)|<М в R. Тогда любое решение у(/) задачи
Коши G.1) удовлетворяет неравенству \y(t) — yo\^M(t — ^0)<P/2,
если /0<^</0 + Р/2М. Значит, функция т](£, s, y(s)) определена
и he, s, 0(s)) — 0(s)|<M|f —s|<p/2, если fo<^. s<^0 + P/2M.
Отсюда
|ri(f, s, #(s)) —#o|<P> если /0</, s<^0 + r, G.4)
где Y = min(a, р/2УИ). Условие 3) означает, что каждая дуга у =
= *] ё, <i» yi) однозначно определяется любой своей точкой. Поэтому
из неравенства G.3) при yl~y(ti) ny2 = ir\(ti, s, #(s)) следует, что
hC 'i. УУд)-г\У,8,у(8))\<К\у(и)-х\Уи s, y(s))l G.5)
где to<t, tu s<to + y; см. рис. 2.
Зафиксируем £ на отрезке [Аь^о + у]- Покажем, что
Рис. 2. Случай с( = dim у — 1.
4*

52 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
Для этого положим
a(s) = i\(t, t0, yo) — 4(t, s, y(s)), *o<s<*(<*o + y)» G.7)
так что o(t0) = 0 и o(t) = i:(t). Тогда из G.5) и G.7) получаем
\o(ti)-o(s)\<K\y(ti)-4(ti,s,y(s))\. G.8)
Так как y = v\(t, s, y(s)) является решением системы у'' = /, прохо-
проходящим через точку (s, z/(s)), то ясно, что т]^, s, у (s)) = у (s) +
+ (*i—- s) [f (s, #(s)) + o A)], когда ti —» s. Аналогично, y(ti) =
= y(s) + (ti-s)lf(s,y(s)) + o(l)] при^-^s. Тогда из G.8)
получаем, что a (/i) — а (s) = /C| /i — s\ о A) при ^ —> s; следова-
следовательно, dcr/ds существует и равна 0. Поэтому на отрезке /0<
<s<^ функция o(s) постоянна и равна a(to) = O. В частности,
т(^) = а(^) = 0, так что тождество G.6) действительно справедливо.
Теорема доказана.
Упражнение 7.3 (односторонний аналог теоремы 7.1). Пусть
f(t, у) непрерывна в R: /0<^</0 + а, \у — Уо\<Ь. Пусть в области
to<tl<t<toJra, \У1 — Уо\<И<ь) существует функция tj(Mi, f/i)»
обладающая следующими свойствами: 1) для фиксированной точки
(ti, yi) функция y = r[(t, tt, yt) является решением задачи Коши
G.2); 2) существует постоянная /С, такая, что для тах(/ь /2)<
</*</< t0 -f а имеет место неравенство
|Л(*> h, yi) — 4(t, h, Уъ)\<К\ц$*, tt, yi) — y\(t*, t2, y2)\.
Тогда y = t\(t, tt, yt) является единственным решением задачи
Коши G.2) в достаточно малых отрезках [tu /i + £]. £>0, распо-
расположенных справа от ^ (единственность слева от ti не обязательна).
§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова
Пусть функция f(t,y) непрерывна в открытом (^^-мно-
(^^-множестве Q, и пусть Йо — открытое подмножество Q. Обозначим
через dQ0 и Qo соответственно границу и замыкание множества £20.
Тогда (^о, Уо)£д&о П ^ называется точкой выхода (или входа) для
множества Qo по отношению к системе
y' = f(t,y), (8.1)
если для каждого решения y = y(t) этой системы, удовлетворяю-
удовлетворяющего начальному условию y(to) = yo, существует е>0, такое, что
(t, y(t))£Q0 для to — e<t<to (или для to<:t<to + z). Если,
кроме того, (t, y(t))&QQ при достаточно малом ей to<t <^0 + e
(или при t0 — е < t < t0), та тачка (/Ог Уа) называется точкой строгого
выхода (или строгого входа). Точку (f0, yo)(zdQo fl &, не являю-
являющуюся точкой выхода, мы будем в дальнейшем называть точкой
невыхода.

§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова 53
Лемма 8.1. Пусть f(t, у) непрерывна в открытом множестве
Q и % —открытое подмножество Q, такое, что <3Q0 П Й или
пусто, или состоит из точек невыхода. Пусть у (t) — решение
системы (8.1), удовлетворяющее при некотором t° условию
(t°, y(t°))£Q0. Тогда (t, y(t))£Q0 для всех t, принадлежащих пра-
правому максимальному интервалу существования [/°, со+).
Действительно, если утверждение леммы неверно, то сущест-
существует наименьшее значение t = to(>t°), для которого (t0, y(to))£
£dQ0 П ^- Но в таком случае (/0, y(t0)) будет точкой выхода, что
противоречит предположению. Тем самым лемма доказана.
Пусть u(t, у) — вещественная функция, определенная в окрест-
окрестности точки (ti, yi)£Q. Пусть у(t) — решение системы (8.1), удов-
удовлетворяющее условию y(ti) = yi. .Если функция u(t, y(t)) диффе-
дифференцируема в точке t = ti, то ее производная называется производ-
производной от и в точке (ti, i/4) вдоль траектории у = у (t) и обозначается
через u(ti, r/i). Если u(t, у) имеет непрерывные частные произ-
производные, то ее производная вдоль траектории существует и для
ее вычисления не нужно знать явного вида решения системы (8.1).
Действительно,
u(t, y) = du/dt + (gradu).f(t, у), (8.2)
где точкой обозначено скалярное умножение, а вектор grad^ =
= (ди/ду1, . . ., ди/дус1) является градиентом и относительно у.
Пусть точка (t0, yo)£dQo[)Q, и пусть u(t, у) — функция
класса С1, определенная в окрестности N точки (t0, y0) и такая,
что (t, у)£% f] N тогда и только тогда, когда и (t, у) <0. Тогда
для того, чтобы (^0, у0) была точкой выхода, необходимо, чтобы
ll{tfr ^/о)>О, и достаточно, чтобы u(t0, у0) > 0) (в этом случае
(/"о, у о) на самом деле будет точкой строгого выхода). В свою
очередь неравенство u(t, y)<0, (/, у)б^о» является достаточным
условием для того, чтобы (t0, y0) была точкой невыхода.
В случае, когда рассматриваемая система
У' = 1(У) (8-3)
является автономной (т. е. ее правая часть не зависит от t), опре-
определения аналогичны приведенным выше. Например, пусть f (у)
непрерывна в открытом ^/-множестве Q> пусть й0 — открытое
подмножество множества Q и у0 £dQ0[)Q. Тогда точка у0 назы-
называется точкой выхода для Qo по отношению к системе (8.3), если
для каждого решения y(t) этой системы, удовлетворяющего началь-
начальному условию у @) = г/о> существует 8 > 0, такое, что у (t) 6 ^о
при t 6 (—£, 0). Если к тому же у (f) (£ Qo Д^я 0 < t < г (при
некотором 8 > 0), то у0 называется точкой строгого выхода. Оче-
Очевидно, что в рассматриваемом случае можно доказать лемму, ана-
аналогичную лемме 8.1.

54 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
Рассмотрим некоторые применения введенных понятий. Будем
считать, что функция / (у) определена в открытом множестве,
содержащем точку у = 0. Функция V (у), определенная в окрест-
окрестности точки у = 0, называется функцией Ляпунова, если: 1) она
имеет непрерывные частные производные; 2) при | у \ > 0 (=0) соот-
соответственно V (у) > 0 (=0); 3) производная V вдоль траектории
удовлетворяет условию V (у) <; 0.
Теорема 8.1. Пусть f (у) непрерывна в открытом множестве,
содержащем точку у = 0, причем f @) = 0, и пусть существует
функция Ляпунова V (у). Тогда решение у == 0 системы (8.3) является
устойчивым по Ляпунову,
г,гдеУ>г\
Р и с. 3.
Устойчивость по Ляпунову решения у = 0 означает, что для
произвольного 8 > 0 существует б (е) > 0, такое, что если | у0 | <
< 6 (е), то решение у (t) системы (8.3) с начальным условием у @) =
= у0 существует и при всех t ^> 0 удовлетворяет неравенству
I У {t) I < 8- Если, кроме того, у (t) -> 0 при *-►■ оо, то решение
у = 0 системы (8.3) называется асимптотически устойчивым
(по Ляпунову). Грубо говоря, устойчивость решения у = 0
по Ляпунову означает, что если некоторое решение у (t) начинается
вблизи у = 0, то оно остается вблизи у = 0 и в будущем (/ ^ 0);
асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения у = 0 озна-
означает, кроме того, что у (t) -+0 при ^ -> оо.
Доказательство. Пусть 8 > 0 — любое число, для которого
точки I у | <^ 8 содержатся в том открытом множестве, на котором
определены / и V. Пусть для произвольного ц > 0 число б (т))
выбрано так, что 0 < б (т)) < 8 и V (г/) < tj при | у \ < б (г)).
Для большей ясности дальнейших рассуждений полезно обра-
обратиться к рис. 3. Так как V (у) непрерывна и положительна на сфере
| У I = £> то существует число ц = rj (г) > 0, такое, что У (у) > г]

§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова 55
при всех | у | = е. Обозначим через Qo открытое множество
{у- I У I < 8» У (У) < ч}- Его граница dQ0 содержится в множестве
{У- I У I < 8> ^ (У) = ч}- Функция м (у) = V (г/) — т] удовлетво-
удовлетворяет при | у | < в условию и (у) < 0 тогда и только тогда, когда
х/ £ Qo- Ясно, что м = V <^ 0. Поэтому ни одна точка из dQ0 не яв-
является точкой выхода. Следовательно, в силу леммы, аналогичной
лемме 8.1, решение у (t) системы (8.3), удовлетворяющее условию
у @) 6 ^о, остается в Qo Для всех t из его правого максимального
интервала существования [0, со+). Из того, что Qo содержится
в шаре | у | <; 8, принадлежащем Q, следует, что со+ = оо;
см. следствие II.3.2.
Наконец, положим б (8) = б (rj (е)), так что для | у | < б (г) < 8
функция V (у) < г]. Следовательно, условие | у @) | < б (е) озна-
означает, что у @) 6 ^о- Поэтому у (/) существует и остается в Qo Для
всех t >- 0. В частности, | у (f) | < 8 для t >- 0. Теорема доказана.
Упражнение 8.1. Пусть / (у) непрерывна в открытом множестве,
содержащем точку у = 0, и пусть f @) = 0. Пусть у системы (8.3)
существует непрерывный первый интеграл V (у) (т. е. функция,
постоянная вдоль решений у = у (t) системы (8.3)), который в у = 0
имеет строгий экстремум (максимум или минимум). Тогда решение
у = 0 системы (8.3) является устойчивым.
Теорема 8.2. Если, в предположениях теоремы 8.1, V (у) < 0 (=0)
соответственно при \ у \ > 0 (=0), то решение у == 0 системы (8.3)
является асимптотически устойчивым (по Ляпунову).
Доказательство. Будем использовать обозначения, использовав-
использовавшиеся при доказательстве предыдущей теоремы. Пусть у (f) —
решение системы (8.3) с начальным условием | у @) | < б (е).
Так как V <С 0, то V (у (t)) не возрастает и при t -> оо монотонно
стремится к некоторому пределу, скажем с ;> 0.
Предположим, что с = 0. Тогда у (f) -»■ 0 при /-> оо. Действи-
Действительно, в противном случае найдется е0 > 0, такое, что для некото-
некоторых сколь угодно больших значений t будет выполняться неравен-
неравенство 80 <1 | у (t) 1-^е. Однако для 80 <1 | у (t) I <! 8 существует
постоянная т0 > 0, такая, что V (у) > т0; следовательно,
У (У @) > то > 0 для некоторых сколь угодно больших t. Но это
невозможно, так как с = 0. Значит, y(t)-+O при ^->оо.
Предположим, что с > 0, так что 0 <С с <ц и V (у) < с/2,
если | г/ | < б (с/2) < 8. Значит, | у (f) | >- б (с/2) для больших t.
Но из предположений относительно V следует, что существует число
т > 0, такое, что V (у) < — т < 0, если б (с/2) < | г/ |< 8.
В частности, V (у (t)) <^ — m < 0 для всех больших ty что невоз-
невозможно. Следовательно, с = 0 и г/ (t) -> 0 при ^ -> оо. Теорема
доказана.

56 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
Результат, в котором устанавливается неустойчивость решения
у = О, сформулирован в следующем упражнении.
Упражнение 8.2. Пусть / (у) непрерывна в открытом множестве
Е, содержащем точку у = 0, и пусть / @) = 0. Пусть на Е опре-
определена функция V (у), V @) = 0, имеющая непрерывные частные
производные и производную вдоль траектории V (у), которая <С
или = 0 при | у | > 0 или = 0 соответственно. Пусть V (у) при-
принимает отрицательные значения при некоторых значениях у, сколь
угодно близких к у = 0. Тогда решение у = 0 не будет устойчивым
(по Ляпунову).
Для неавтономных систем имеют место аналоги теорем 8.1
и 8.2, зависящие от надлежащей модификации определения функ-
функции Ляпунова. Пусть / (/, у) непрерывна в области / ^> Т, | у | <С Ьу
и пусть
/ (t, 0) = 0, t > Т. (8.4)
Функция V {t, у), определенная для t ;> Т, | у | <С Ъ, называется
функцией Ляпунова, если: 1) V {t, у) имеет непрерывные частные
производные; 2) V (t, 0) = 0 при t ^ Г, а для | у \ <; Ь существует
непрерывная функция W (у), такая, что W (у) > 0 или = 0 при
| у | > 0 или = 0 соответственно, и V (/, у) > W (у) для t > Г;
3) производная V вдоль траектории удовлетворяет условию
V (t, у) < 0.
Теорема 8.3. Пусть f (t, у) непрерывна в области t^>T9\y\^b
и удовлетворяет условию (8.4), и пусть существует функция Ляпу-
Ляпунова V (/, у). Тогда решение у = 0 системы (8.1) равномерно устой-
устойчиво {по Ляпунову).
Здесь устойчивость по Ляпунову означает, что для произволь-
произвольного е > 0 существуют б (е) > 0 и t (г) ;> Т, такие, что если у (t)
является решением системы (8.1), удовлетворяющим условию
I У (^°) I < $ (е) для некоторого t° ^> t (e), то у (t) существует
и I У @ I < £ при всех / ^> /°. Если, кроме того, у (t) -+ 0 при
/-> оо, то решение г/== 0 называется асимптотически устойчивым
по Ляпунову. «Равномерность» устойчивости или асимптотической
устойчивости означает, что t (г) может быть выбрано равным Т
для всех 8 > 0.
Теорема 8.4. Пусть f (t, у) и V (/, у) удовлетворяют условиям
теоремы 8.3. Кроме того, предположим, что существует непре-
непрерывная функция Wi (у)у | у | -< Ь, такая, что W\ (у) > 0 шш = 0,
когда \ у \ > 0 ала = 0 соответственно, и V (t, у) -< — l^i (j/)
для t ^ Т. Тогда решение у = 0 системы (8.1) равномерно асимпто-
асимптотически устойчиво {по Ляпунову).
Упражнение 8.3. (а) Докажите теорему 8.3. (Ь) Докажите тео-
теорему 8.4.

§ 9. Последовательные приближения 57
§ 9. Последовательные приближения
После того как доказана теорема II. 1.1, естественно поставить
вопрос: всякое ли решение задачи Коши
У' =f(U */), У (to) = Уо (9.1>
может быть получено как предел последовательности (или под-
подпоследовательности) приближений, определенных в § II. 1? Ответ
в общем случае отрицательный, как это будет видно из следующего
примера:
и! = U (/, и)у и @) - 0, (9.2)
в котором и — скаляр, а функция U (t> и) будет определена для
/^0 и всех и.
Возьмем нулевое приближение uQ (t) = 0 и положим
t
un+i (t)= J U (s, un (s)) ds, n>0.
0
Пусть U (t, 0) = 2t\ тогда щ (t) = t2. Положим U (t, t2) - — 2t,
откуда u2 (t) = — t2. Наконец, положим U (t, —f) = 2/, так что
u3 (t) = t2. Тогда u2n (t) = — t2 для n > 0 и u2n+1 (t) = t2 для
n ;> 0. Для получения желаемого примера остается только доопре-
доопределить U (t, и) для всех и как непрерывную функцию.
Один из возможных способов состоит в следующем. Положим
U (t, и) = 2/, если а<0, U (t, и) = — 2/, если и >- /2, а для
0 <; и ^ t2 при фиксированном t > 0 определим U (t, и) как линей-
линейную функцию от и. Таким образом мы получаем пример, в котором
U (t, и) не возрастает относительно и (при фиксированном t^-0).
Тогда решение задачи (9.2) единственно (следствие 6.3), но ни одна
подпоследовательность последовательных приближений к нему
не сходится.
Однако оказывается, что если решение задачи Коши (9.1) един-
единственно в силу того, что выполнены условия теоремы 6.1, то после-
последовательные приближения сходятся к этому решению.
Теорема 9.1. Пусть R, Ro, /, со удовлетворяют предположениям
теоремы 6.1, | / (/, у) \^М в области R и а = min (a, b/М). Тогда
функции
t
Уо (t) = Уо, Уп @ = у0 + J / (s, Уп-i (s)) ds, n>\, (9.3)
to
определены на отрезке [t0, t0 + а] и равномерно сходятся на нем
к решению у = у (t) задачи Коши (9.1).
Доказательство. Согласно результату упр. 6.5, можно считать,
что со (/, и) непрерывна в замыкании Ro и при фиксированном t

58 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
не убывает относительно и. Последовательность приближений (9.3)
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на [/0, ^о + а]>
и потому она обладает равномерно сходящейся подпоследователь-
подпоследовательностью. Если предположить, что уп (t) — уп^ (t) ->■ 0 при п -> оо,
то из (9.3) следует, что предел любой такой подпоследовательности
является единственным решением у (t) задачи (9.1). Отсюда вытека-
вытекает, что и вся последовательность уОу уи ... равномерно сходится
к y(f)\ см. замечание 2 к теореме 1.2.3. Таким образом, остается
только доказать, что К (t) = 0, где
40 ^НН */„$-*/*-! (О I- (9-4)
71->оо
Так как | /1 < М в /?, то
IУп (ti)-Уп-i(*4) \<\уп(к)-Уп-i(к) | + 2М|U~к|.
Для больших значений п правая часть этого неравенства не пре-
превосходит величины %(t2) + s + 2M\ti —12\, где е>0. Следова-
Следовательно, Я (ft) < Я (t2) + е + 2М | ti —121. Так как е > 0 произвольно
мало и tt, t2 можно поменять местами, то | X (ti) — X (t2) \ <
<27W|/1 —12\. В частности, K(t) непрерывна для ^££
В силу соотношений (9.3),
t
Уп+i (t) — уп (t) = j If (s, yn (s)) — / (s, yn-i (s))] ds.
to
Отсюда, в силу неравенства F.3),
I Уп+i (t) — Уп (t) | < j (o (s, | yn (s) — yn-i (s) |) ds.
to
Для любого фиксированного t из [t0, ^0 + ^] можно найти после-
последовательность целых чисел щ < пг < ..., такую, что | yn+i (t) —
— yn(t)\—>k(t) при n = rik—>oo, и по этим же п = п^ равномерно
существует предел ХА (s) = \\т\уп (s) — yn-i (s) |, f0 < «< ^о + «•
Поэтому
(t)< [ со (s, XA (s)) ds.
Так как Xd (s) < lim [ уп (s) — yn-i (s) \ = Я (s) и со (£, i/) монотонна
по и, то
i
co(s,

§ 9. Последовательные приближения 59
В силу следствия 4.4, Я(£)<г/0(г), где t/0 — максимальное решение
задачи Коши
uf = (o(t, и), u(to) = O.
Так как эта задача имеет единственное решение и0 (t) = 0, то
Я (t) = 0. Доказательство теоремы завершено.
Упражнение 9.1. Покажите, что в предположениях упр. 6.7 (а)
последовательные приближения (9.3), где уо = О, to = O, равномерно
сходятся для 0<£<min(a, ЫМ) к решению задачи Коши у' =
/) () о
Упражнение 9.2. Пусть для векторов y = (y1,-.*,yd) и z =
= (z1, ...,zd) запись y>z означает, что yh>zh, l<£<d. Пусть
f = (f1' •• ->fd)> У={Уг1 •• -»#d)- Предположим, что f {U у) непре-
непрерывна в области R: 0<J<a, |t/|<6 и что f(t, yt)<f(t, y2) при
У1^-У2- (а) Определим на 0<£<а = т две последовательности
последовательных приближений уо± (t), yi± (t), ..., где уо± (t) =
= ±МA,...,1)^ и
@ = J
о
J (n-i)± (s)) ds, r/= 1, 2,
о
Покажите, что у0+ (t) > yi+ (t) > ... и #0- @ < У\- @ < • • • и
обе последовательности сходятся равномерно к некоторым реше-
решениям задачи yr = f(t, у), у@) = 0. (Ь) Покажите, что yo±(t) могут
быть заменены непрерывными на [0, а] функциями #о± (t), удов-
удовлетворяющими условиям | уо± (t) | < Ь и
t t
Уо+ (t) > { f (s, y0+ (s)) ds, yo_ (t) < j / (s, */o- (s)) ds
о о
(например, если f(t,yo)>O, можно взять */0-@=#o)-
Упражнение 9.3. (а) Пусть f(t, у) непрерывна для/> 0 и всех
у, а при ух<у2 удовлетворяет условию f (tn z/i)<f (Л z/г) (обозна-
(обозначение r/>z см. в упр. 9.2). Пусть у (t) является решением системы
y'=—f(t, у), удовлетворяющим при t>0 неравенству y(t)<
<у@)\ см., например, § XIV. 2. Рассмотрим последовательные
приближения у0 (t), yi (t), ..., определенные соотношениями у0 (t) ^
f(s, yn-i(s))ds для л = 1, 2, ... . Пусть
о
Zn(t) обозначает «ошибку», т. е. zn(t) = yn(t) — y(t). Пока-
Покажите, что (— 1)п2Л(/)>0 для /1 = 0,1,... и (-l)nz'n(t)>0
дляп=1, 2, ... и £>0. (Сходимость последовательных прибли-

60 Гл. III. Дифференциальные неравенства и единственность
п
жений не утверждается.) (Ь) Пусть Sn(t)= 2 (~ l)mtm/m\ обоз-
начает п-ю частичную сумму ряда Маклорена для е~х. Покажите,
что (— l)n(Sn(t) — е~1)>0 для п = 0, 1, ... и t>0.
Упражнение 9.4. Пусть U (t, и) вещественна и непрерывна
для />0 и произвольного и. Предположим, что функция U (t, и}
при фиксированном t является неубывающей по и. Пусть и0, и'о —
фиксированные числа, а и (t) — решение уравнения и' = —О (t, и).
Определим для и (t) последовательные приближения, положив
) '
= u0(t)- f (t-s)U(s, Un-tisftds, t/ = 1, 2
Функции uo(t), ui(tI ... определены для />0. (а) Предположим,
что и (t) на своем правом максимальном интервале существования
[0, (о+) удовлетворяет условию и (t) *С и0-\-u'ot. Покажите, что
й+ = оо и что «ошибка» vn (t) = un (t) — и (t) удовлетворяет неравен-
неравенствам (—1)пМ0>0, (— 1)Х@>0 Для ^=1, 2, ... и t>0.
(Сходимость последовательных приближений не утверждается.)
(Ь) Пусть
C*(f)=S (-l)m/2W/Bm)! и Sn(t)=j] (-\)тГ-т~ЧBт^1)\
обозначают п-е частичные суммы рядов Маклорена для cost
и sin t соответственно. Покажите, что
(—lnC^O-cosfjX) и (-\)n[Sn(t)-smt]>0
для и = 0, 1, ... и t>0. (с) Пусть функция U (t, u) = q(t)u, где
д(/)>0, непрерывна и не убывает при t>0. Используя теорему
XIV.3.loo и следующие за ней замечания, покажите, что утверж-
утверждение (а) справедливо, если ио>О и и'0>0 (т. е. покажите, что
и (t) *с и0-{-u'ot для />0).
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1. Теорема 1.1 по существу восходит к Пеано [1]. Частный случай
был сформулирован и доказан Гронуоллом [1]; немного более общая форма
этой теоремы (которая содержится в следствии 4.4) дана Рейдом [1, стр. 290].
Приведенное здесь доказательство принадлежит Титчмаршу [1, стр. 97—98].
§ 2. Максимальные и минимальные решения рассматривал Пеано [1];
см. Перрон [4].
§ 4. Дифференциальные неравенства вида D.1) встречаются в работах
Пеано [1] и Перрона [4]. Теорема 4.1 и ее доказательство заимствованы
из работы Камке [1] и по существу восходят к Пеано. Упр. 4.2 и 4.3 рас-
рассмотрены Камке [2]; см. Важевский [7]. Частный случай следствия 4.4 приве-
приведен у Бихари [1]. Упр. 4.6 взято у Опяля [1].

Примечания 61
§ 5. Результаты типа теоремы 5.1 и упр. 5.1 впервые получены Уинтне-
ром [11, [4].
§ 6. Теорема 6.1 принадлежит Камке [1]. Более ранний ее вариант,
в котором требуется, чтобы со (t, и) была непрерывной также при t = О,
был дан Перроном [6]. (Упр. 6.5, принадлежащее Олеху [2], показывает, что
теорема Перрона в некотором смысле не является менее общей, чем теорема
Камке.) Для случая d = 1 ранние результаты типа теоремы Перрона были
получены Бомпиани [1] и Янагой [1]. По поводу упр. 6.1 см. Шарский [1].
Относительно следствия 6.1 см. Нагумо [1]; его несколько более точная
форма впервые доказана Розенблаттом [1] при со (t, и) = Cult, где 0< С <i 1.
Пример такого типа, который рассматривается в упр. 6.2, был предложен
Перроном [8]. Относительно следствия 6.2 см. Осгуд [1], относительно
упр. 6.3(а) — Леви [1, стр. 46—47], упр. 6.4 — Уоллах [1], упр. 6.5 —
Олех [2]. Частный случай упр. 6.6 см. в работе Уинтнера [22], упр. 6.8(а) —
в работе Ф. Брауэра [1], который обобщил результат части (Ь), принадлежа-
принадлежащий М. А. Красносельскому и С. Г. Крейну [1].
Относительно других теорем единственности, связанных с приведенными
в этой главе теоремами, см. Ф. Брауэр и Стернберг [1], где вместо оценки
I #2 (t) — yi (t) | взята оценка функции V (t, | у2 (t) — у± (t) |). О более
ранней литературе, относящейся к теоремам единственности, см. Мюллер [3]
и Камке [4, стр. 2 и 33].
§ 7. Теорема 7.1 принадлежит ван Кампену [2].
§ 8. Термины «точка выхода» и «точка входа» восходят к Важевскому
15]. Упражнение 8.1 принадлежит Дирихле [1]; первое его решение было дано
Лагранжем [1, стр. 36—44] в предположениях аналитичности V (у) и знако-
знакоопределенности гессиана (д2У/дугду^) функции V в точке у = 0. Этот резуль-
результат предшествует теореме 8.1 Ляпунова. Теоремы 8.1 и 8.2, упр. 8.2, а также
теоремы 8.3 и 8.4 принадлежат Ляпунову [2] (и составляют основу его так
называемого «прямого», или «второго» метода); см. Ла-Салль и Лефшец [1].
О литературе и недавних результатах в этом направлении см. Хан [1], Анто-
€евич [1], Массера [2] и Красовский [4].
§ 9. Пример несходящегося процесса последовательных приближений при-
принадлежит Мюллеру [1]. Теорема 9.1 в приведенной формулировке принадле-
принадлежит Олеху [2], которому удалось освободиться от предположения монотон-
монотонности функции со (t, и), встречавшегося в более ранних вариантах этой
теоремы. Начальные варианты и частные случаи этой теоремы можно найти
у Розенблатта [1], ван Кампена [3] (см. также Хевиленд [1]), Дьедонне [1],
Уинтнера [1], Ла-Салля [1], Коддингтона и Левинсона [1], Висванатама [1]
и Важевского [8]. Сведение доказательства теоремы 9.1 к доказательству тож-
тождества X (t) = 0 принадлежит Дьедонне (и, независимо от него, Уинт-
неру), а затем использовалось и другими авторами. Упр. 9.1 принадлежит
Ф. Брауэру [1], обобщившему результат Люксембурга [1]. Упр. 9.2 (а) при-
принадлежит Мюллеру [1], а 9.2 (Ь) — Ла-Саллю [1]. Относительно упр. 9.3 (а)
см. Хартман и Уинтнер [16]; относительно упр. 9.4 см. Уинтнер [16].

Глава IV
Линейные дифференциальные
уравнения
В этой главе uf vy р обозначают скалярные величины; с, у, г, /, g
суть d-мерные векторы (столбцы); Л, В, Y, Z — матрицы. Скаляры,
компоненты векторов и элементы матриц предполагаются ком-
комплексными.
§ 1. Линейные системы
В этой главе мы установим некоторые элементарные факты,
относящиеся к линейным системам дифференциальных уравнений
как в однородном случае
y' = A(f)y, A.1)
так и в неоднородном
y' = A(f)y+f(f). A.2)
Во всей этой главе A (t) обозначает непрерывную (d x cQ-матрицу,
а / (/)— непрерывный вектор, / 6 [a, b]. Напомним следующий
основной результат, приведенный выше в виде следствия II 1.5.1.
Лемма 1.1. Задача Коши для уравнения A.2) с начальным условием
У (t0) = у09 A.3)
а <^ t0 <; by имеет единственное решение у = у (t), и это решение
существует на отрезке [а, 6].
Тот факт, что элементы матрицы A (t) и компоненты вектора у
являются комплексными, не играет роли при использовании след-
следствия III.5.1. В самом деле, система A.2) эквивалентна некоторой
вещественной системе для 2d-мерного вектора, полученного выделе-
выделением вещественной и мнимой частей компонент вектора у. Впрочем,
простейшее доказательство леммы 1.1 получается непосредствен-
непосредственным применением стандартного метода последовательных прибли-
приближений.
Упражнение 1.1. Докажите лемму 1.1 методом последователь-
последовательных приближений (это доказательство дает также мажорантную
оценку | у (t) | < ек I *-'° 11 у0 \, где К обозначает такую константу,
что \A(t)y\*cK\y\ для всех векторов у и а<^<6; см. неравен-
неравенство D.2) ниже).

§ 1. Линейные системы 63-
Упражнение 1.2. Пусть A(t) = (ajk(t)) (не обязательно непре-
непрерывна, но) интегрируема на [а, 6], т.е. элементы ajk{t) инте-
интегрируемы по Лебегу на [а, 6]. Методом последовательных прибли-
приближений покажите, что лемма 1.1 остается справедливой. В этом
случае решение y(t) интерпретируется как непрерывное решение
интегрального уравнения
или, что эквивалентно, у (t) удовлетворяет начальному условию
A.3), абсолютно непрерывна на [а, 6], а производная у' (t) удовле-
удовлетворяет A.1) всюду, за исключением множества лебеговой меры
нуль.
Из единственности решений задачи A.1), A.3) вытекает
Следствие 1.1. Если у = у (t) является решением системы A.1)
и У (to) = 0 для некоторого t0 6 [а, Ь]у то у (t) == 0.
Для решений систем A.1) и A.2) имеет место следующая оче-
очевидная
Теорема 1.1 (принцип суперпозиции). 1) Пусть у = yt (f)>
У2 (t) — решения системы A.1). Тогда любая их линейная комбина-
комбинация у = ciyi (f) + С2У2 @ с постоянными коэффициентами си сг
также является решением этой системы. 2) Если у = yi (f) и у =
= у о (t) являются соответственно решениями систем A.1) и A.2),
то у = у о @ + yi @ является решением системы A.2). Обратно,
если у = у о (/), у0 (t) являются решениями системы A.2), то у =
= У о @ — У0 @ является решением системы A.1).
Векторное уравнение A.1) может быть заменено матричным диф-
дифференциальным уравнением
Y' = А @ Г, A.4)
где Y обозначает матрицу с d строками и (произвольным) числом k
столбцов. Ясно, что матрица Y = Y (t) является решением уравне-
уравнения A.4) в том и только в том случае, когда каждый столбец матри-
матрицы Y, рассматриваемый как вектор-столбец, является решением
системы A.1).
Из следствия 1.1 и принципа суперпозиции вытекает, что если
Y = Y (f) является (d x ^-матричным решением уравнения A.4),
то ранг матрицы Y (/) не зависит от /. Другими словами, если
#i (/), . . ., уТ (t) суть г решений системы A.1), то постоянные
векторы #i (/0), . . ., У г (to) линейно независимы для некоторого
t0 в том и только том случае, когда они линейно независимы для
каждого t0 6 f#, b].
Ниже, если не оговорено противное, для уравнения A.4) будут
рассматриваться только (d х ^-матричные решения Y = Y (f).

64 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
В этом случае или det Y (f) ~ 0, или det Y (t) Ф О для всех /.
Этот факт в усиленной форме можно сформулировать в виде сле-
следующей теоремы.
Теорема 1.2 (Лиувилль). Пусть Y = Y (t) является (d x (^-мат-
(^-матричным решением уравнения A.4), A (t) = det Y (t) и а <; t0 <; b.
Тогда для всех t 6 [a, b]
t
A(t) = A (t0) exp J tr A (s) ds. A.5)
to
Для квадратной матрицы А = (a^) ее след tr А определяется
как сумма диагональных элементов, т. е. tr A = ^ajj.
Доказательство. Пусть A(t) = (ajk(t)), /, k= I, . .., d. Обычное
разложение определителя A(/) = dety (/), где Y (t) = (yjk(t)), и пра-
правило дифференцирования произведения d скалярных функций при-
приводят к равенству
где Yj(t) является матрицей, полученной из матрицы Y (t) заменой
ее /-Й строки (у{ (t), ..., у\ (t)) производными (у^ (Г), . .., уУ (/)).
Так как, согласно A.1), yJk (t) = ^>]ajiyi, то ясно, что /-я строка
г
матрицы У j{t) состоит из суммы в а77- раз увеличенной /-й строки
матрицы Y (t) и линейной комбинации остальных строк У7- (t).
Поэтому det Yj(t) =а^ det Y(t)n, следовательно, Ar (t) = (tv A (t)) A (t),
что и дает требуемое равенство A.5).
Под фундаментальной матрицей Y (t) системы A.1) или урав-
уравнения A.4) понимают решение уравнения A.4), такое, что
det Y (t) Ф 0. Для того чтобы показать существование фундамен-
фундаментальной матрицы, достаточно взять матрицу Y(t), столбцы которой
tji{t), ..., уа @ являются решениями системы A.1), удовлетво-
удовлетворяющими начальным условиям yj(t0) =yjo, где у10, ..., уао суть
(постоянные) линейно независимые векторы. Ясно, что таким путем
можно получить любую фундаментальную матрицу Y (t). Специаль-
Специальную фундаментальную матрицу, удовлетворяющую условию
Y(to,to) = I, , A.6)
мы будем обозначать через Y (t) = Y (t, t0).
Упражнение 1.3. Пусть A(t) является (d x d)-матрицей, непре-
непрерывной в t>0 и такой, что каждое решение y(t) системы A.1)
ограничено для /> 0. Пусть Y (t) — фундаментальная матрица систе-
системы A.1). Покажите, что Y'1 (t) ограничена тогда и только тогда,
t
когда Re Г \ tr Л (s) ds | ограничена снизу.

§ 2. Вариация постоянных 65
Если Y (t) — решение уравнения A.4) и с —постоянный вектор,
то, согласно принципу суперпозиции,
y(t) = Y(t)c A.7)
также является решением системы A.1). Более того, если Y (t) —
фундаментальное решение уравнения A.4), то каждое решение
системы A.1) представимо в виде A.7), где c = Y~1 (t0) y(t0), т. е.
. A.8)
В частности, если Y (t) = Y(t, /0)> то
A.9)
Очевидно, верно и более общее утверждение: если Y = Y0 (t) является
матричным решением уравнения A.4) и С — постоянная (dxd)-
матрица, то Y (t) = Yo (t) С также является решением уравнения A.4).
Если Y0(t) является фундаментальным решением уравнения A.4), то
таким путем можно получить все (d x cQ-матричные решения урав-
уравнения A.4), причем для получения всех фундаментальных решений
достаточно брать С с detC=£O.
Лемма 1.2. Пусть Y (t) = Y (t, t0) является фундаментальным
решением уравнения A.4), удовлетворяющим условию A.6). Тогда
для t0, /£[а, b]
tQ) = Y(t,s)Y(s,t0). A.10)
Доказательство. В силу только что сделанных выше замечаний
при С = Y E, /0) правая часть A.10) определяет фундаментальную
матрицу, равную Y (s, t0) при t = s. Так как левая часть соотно-
соотношения A.10) обладает теми же свойствами, то в силу теоремы един-
единственности (лемма 1.1) она совпадает с правой частью.
§ 2. Вариация постоянных
В дальнейшем мы часто будем пользоваться линейной заменой
зависимых переменных в A.1) и A.2).
Теорема 2.1. Пусть Z (t) является непрерывно дифференцируемой
и невырожденной (d х &)-матрицей для а^ t ^ b. Тогда при линей-
линейной замене переменных у -+■ г, где
y = Z(t)z, B.1)
система A.2) преобразуется в систему
z' = Z-1 @ [A (t) Z @ -Z'(t)]z + Z (t) f (t). B.2)
В частности, если Z(t) является фундаментальной матрицей
для системы
, B.3)

66 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
где матрица В (t) = Z' (t) Z (/) непрерывна на а</<6, система
B.2) принимает вид
B.4)
Чтобы получить B.2), достаточно заметить, что B.1) влечет
за собой у' = Z'z-\-Zz', так что zr = jj (у' — Z'z), и остается только
подставить сюда у' из A.2).
В частном случае, когда A(t) = B(t), Z(t) = Y(t), где Y(t) —
фундаментальная матрица системы A.1), замена переменных назы-
называется «вариацией постоянных», так как она получается заменой
постоянного вектора с в A.7) переменным вектором z. В этом
случае система B.4) сводится к z' = У (/)/(/), так что ее решения
получаются в квадратурах:
где с = z (t0) — постоянный вектор. В силу B.1) это равенство дает
нам первую часть сформулированного ниже следствия 2.1. Вторая
его часть следует из A.10).
Следствие 2.1. Пусть Y(t) —фундаментальная матрица систе-
системы A.1). Тогда решения системы A.2) определяются формулой
)ds]. B.5)
to
В частности, если Y (/) = Y (t, t0), формула B.5) принимает сле-
следующий вид:
г
(s)ds. B.6)
Формулы B.5) или B.6) показывают, что если известны решения
системы A.1), то решения системы A.2) определяются в квадрату-
квадратурах. Для произвольного с член Y (t) с в B.5) является просто про-
произвольным решением системы A.1).
Упражнение 2.1. Пусть A (t) непрерывна на некотором /-интер-
/-интервале (не обязательно замкнутом или ограниченном), Z (t) — неко-
некоторая непрерывно дифференцируемая невырожденная матрица„
aF(/) — фундаментальная матрица системы A.1). Пусть при заме-
замене переменных у = Z (t) z система A.1) принимает вид г' = С (t) z\.
см. B.2), где / (/) = 0. Пусть для любой матрицы А матрица Л*
является комплексно сопряженной и транспонированной к А. Обо-
Обозначим через Ан = (А + Л*)/2 эрмитову часть матрицы А. (а) По-
Покажите, что если Z (t) унитарна (т. е. Z* (/) = Z (*)), то Сн (t) =.

§ 3. Редукция к системам меньшего порядка 67
= Z*@ AH (f) Z (/) (так как производная . произведений
Z*(f) Z(i) = / равна 0). (b) Пусть 1 (t) = Y (f) Q (*), так что
матрица Q = Y~XZ непрерывно дифференцируема и невырожденна.
Покажите, что С (t) = — Q^1 (/) QJ (t). В частности, матрица С @
треугольная (или диагональная), если Q (t) треугольная (или диат
тональная).
Упражнение 2.2 (продолжение), (а) Покажите, что существует
унитарная матрица Z (/), такая, что С (t) треугольна; в этом случае
С (t) ограничена, если ограничена A (t). (b) Покажите, что сущест-
существует ограниченная матрица Z (t), такая, что С (t) диагональна.
Не утверждается, что Z (t) может быть выбрана так, что Z (/)
ограничена.
§ 3. Редукция к системам меньшего, порядка
Если известны г линейно независимых решений системы A.1),
то нахождение остальных ее решений может быть сведено к реше-
решению некоторой однородной линейной системы из d — г дифферен-
дифференциальных уравнений. Простейшие формулы, по которым осущест-
осуществляется это сведение, являются, однако, «локальными», т. е. при-
применимыми лишь в некоторых подинтервалах отрезка [а, Ь] и изме-
изменяющимися при переходе от одного подинтервала к другому.
Пусть Y = Yr(t) есть (d X г)-матричное решение уравнения A.4)*
Пусть нам дана некоторая точка t = to£[a, b]. Перенумеруем ком-
компоненты вектора у так, что если Yr(t)=(yk(t)), /=1, •••, d
и k= 1, ,.,, г, и
где Yr{ есть некоторая (г х г)-матрица, то det Yrl (t0) Ф 0. Обозна-
Обозначим через [у, б] произвольный Подинтервал из [а, 6], содержащий
точку t0 и такой, что на нем det Yn (t) Ф 0. А теперь рассмотрим
(d X d) -матрицу
где Id-r — единичная [{d — r) x (d— г)]-матрица. Очевидно, что
det Yn (t) Ф 0 для t£[y,&]. Простые вычисления показывают, что
Z (t) является матрицей вида
Id-r/
где через Zr2(t) обозначена следующая \(d — г) х г]-матрица:
)Y(t)Yl)
C.4)
5*

68 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Заметим, что Z' (t) = (Y'r (t), 0) = A (t) (Yr (t), 0), т. е.
Произведем в системе A.1) замену переменных y = Z(t)z; тогда
B.2) дает нам (при f(t) = O) дифференциальное уравнение дляг(/).
Так как правая часть уравнения B.2) при f(t) = O имеет вид
Z'1 (t) [A (t) Z (t) — Z'(t)]z, то отсюда в силу C.2) и C.5) полу-
получаем, что
'(t)=Z-*(t)A(t)^0 ^z. C.6)
Пусть Лц(/), Л22 (t) — квадратные (г х г)- и [(d — r) x (d— г)]-матри-
цы, такие, что
*,«;■ C-7)
далее, пусть
*=(*). C.8)
где Zi и г2 — некоторые г- и (d — г)-мерные векторы соответственно.
Тогда из C.3) и C.8) видно, что система C.6) распадается на две
системы:
*i = Y£(t)Ai2(t)z2, C.9)
г2 = [Zr2 (t) Л12 @ + Л22 @1 г2. C.10)
Заметим, что C.10) представляет собой линейную однородную
систему относительно (d — г)-мерного вектора z2 и что вектор г4
получается в квадратурах, если известен вектор z2. В системе (ЗЛО)
матрица Zr2 (/) задается формулой C.4). Очевидно, что сведение
системы A.1) к (ЗЛО) справедливо только на том отрезке [у, 6], где
матрица Yrl (t) является невырожденной. Полученный результат
можно сформулировать в виде следующей леммы.
Лемма 3.1. Пусть Y -= Yr (t) — некоторое (d X г)-матричное
решение уравнения A.4) на отрезке [а, Ь], такое, что если оно пред-
представлено в виде C.1), то det Yri (t) = del (у{ (f))9 k, j = 1, . . ., r,
не обращается в нуль на некотором отрезке [у, S] cz [а, Ь]. Тогда
замена переменных B.1), где Z (t) определяется по формуле C.2),
сводит систему A.1) на отрезке [у, S] к системе C.9) — (ЗЛО),
в которой матрицы Л12, Л22 и Zr2 задаются соответственно фор-
формулами C.7) и C.4).
Приложение. Рассмотрим систему A.1), в которой элементы
матрицы A(t)~(ajk(t)) удовлетворяют на отрезке [а, Ь] условиям
аи м @ ф 0 и ajk (t) = 0, k > / + 2. C.11)

§ 3. Редукция к системам меньшего порядка 69
Легко проверить, что в этом случае решение y = y(t) системы A.1)
известно, если известна его первая компонента u = y1(t).
Следствие 3.1. Пусть матрица A(t) удовлетворяет на [а, Ь]
условию C.11), и пусть система A.1) имеет d решений
yi(t), •-., y<i(t)i таких, что для k=l, ..., d и а</<6
Wh(t) = det(yUt))¥=O, f, /=1, ...,*• C.12)
Тогда система A.1) эквивалентна одному дифференциальному
уравнению d-го порядка для компоненты и^у1 вида
(Оси... {fl2[fli(floW)T> ••.)' = О, C.13)
где
W2-
U / <>dl
C.14)
причем 1F_! = 1FO = 1, aOi = 1.
Доказательство. Мы будем проводить доказательство, при-
применяя последовательно d—\ раз процесс, описанный в лемме 3.1,
при г = 1. Введем обозначения:
Wii-^h--h = M(yi&) для /и, я=1, ...,*, C.15)
^jft = ^12...a-lfi;12...a-lffc ДЛЯ /, Й = СС + 1, . . ., d. C.16)
Покажем, что стандартная формула для миноров «присоединенного
определителя» приводит к следующему соотношению:
WlaW* - W?aW%h = Wf^Wa-t. C.17)
Чтобы убедиться в этом, условимся сначала, что некоторый сим-
символ (например, Wa-i или W%) обозначает по смыслу или матрицуу
или ее определитель. Пусть утп —алгебраическое дополнение
(т, п)-го элемента [(а + 1) х (а+ 1)]-матрицы W^1. В частности,
Yacx = Wfk, 7a, a+i = ~ W&, Yo+i. a = — ^ak И Yo+1, o+i = С РаССМО-
трим произведение определителей И??&+1Г, где
7lcc Ylcc+1
Г = detl
x-1
О ... О Yacc Ycc,cc+1
... О Ya+l,a Ta+i.o+i,
Yaa Ya,a+1
7a+i,a Ya+i, cx+1

70
Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Тогда W£lT = W&1 (W%W%a-W%WZk). С другой стороны, пере-
перемножая матрицы, получаем
/ 0 0 \
Kyi ... yLi
0
Два последних соотношения и дают нам C.17). Для того чтобы
систематизировать обозначения, будем использовать символы уA)
и Л1- (a}h) вместо у и А соответственно. Тогда Wt = у\1П (t) Ф 0.
Введем новые переменные уB) с помощью вариации постоянных,
определяемой матрицей C.2) при г=1. Именно,
Т.. ui — ui /a ui ..и — uk а\игА-ик k — 2 d f3 18^
Будем рассматривать yl2) как (d— 1)-мерный вектор, у{2) =
= (У2BI • • • if/<2>)» так что УB) не будет считаться компонентой
вектора у2- Тогда система A.1) сводится, согласно C.9), C.10)
и, C.4), к системе
уB)
k=2
У}т '
4, /, А = 2, ..., d, (D2)
так что, если известны решения системы (D2), решения уравнения (D°)
будут определяться в квадратурах. Используя C.18) и известные
решения r/(i)i, ..., y^d системы A.1), мы получим d—1 решений
), ..., yfiy(t)), j= 2, ..., d, системы (D2), а именно:
C.19)
{) Wi=^ 0, и поэтому к системе (D2) снова
можно применить процесс редукции. Предположим, что мы произ-
произвели ос—1 раз замену переменных Ти ..., Та^ и каждая из них
имела вид
В частности, y{{fJ (t) =
7"а-
где
что
?., = #«,. @ »?.+ „ + »?в+1„ * = а + 1, ..., d, C'20)
= (У*(а+1)'••••» #?а+1>) есть (d —а)-мерный вектор, так
не входит в число его компонент. Предположим, что

§ 3. Редукция к системам меньшего порядка 71
в результате этих замен мы получили ДЛя#^а+1), #(а+о следующую
систему:
d k
где /, fe=-a+l, ..., d, и допустим, что соотношения
определяют d — a + 1 решений у(а)г = (f/<S>r (t), • • •, i/?a)r @) систе-
системы (Da). В частности, так как Waa^Wa, имеем
Исходя из вида Га и соотношения C.17), легко проверить, что систе-
система (DaM) имеет d-a решений »(a+i)j = (^a++1i)j(O» • • • > ^a+ш О)»
/ = ос —•- 1, ..., d, которые определяются формулой C.21а+1). Дей-
Действительно, в силу C.21а) и C.22) соотношение C.20) показывает,
? f»i''l|!'
Если заменить здесь ^а), у^а) на y^a)j., t/« ., определяемые форму-
формулой C.21а), и использовать равенства Wa = Waa и C.17), то мы
получим требуемую формулу C.21 а+1).
Заметим теперь, что у^ является 1-мерным вектором y(d) = yfd)
и что (Dd) представляет собой однородное линейное уравнение,
имеющее, согласно C.22), общее решение вида yfd)(t) = cWd/Wd-n
где с — произвольная постоянная. Таким образом, (D^) эквивалентно
уравнению
№'
Условие C.11), которое мы пока еще не использовали, и индукция,
проведенная по а, показывают, что a% = a,jk, если
— a, ..., d — 1. Отсюда
aa,a+i И а?л = 0 для &>ос + 2, C.24)
так что, согласно C.22), уравнение (D2+i) сводится к уравнению

72 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Заметим, что в силу соотношения C.22) первое уравнение для Та
из C.20) дает
!^ a=h -**-\. C.26)
Отсюда, используя уравнение C.25), получаем
а=1, ..., d — 2,
или, согласно C.14),
В силу C.18), компонента и = у\1) определяет компоненту ylB) =
^=Wou/Wi = aou, которая, согласно формуле C.27), удовлетворяет
уравнению (aou)r = y32)/ai. Аналогично, уC2) = аг (аои)' удовлетворяет
уравнению [а± (аоиуу = у<^)/а2. Повторяя это рассуждение, приходим
к уравнению
Но из C.25) при a = d— 1 получаем, что
Остается заметить, что требуемый результат C.13) следует теперь
из C.23).
§ 4. Основные неравенства
Обозначим через ||Л|| норму матрицы А, определяемую соот-
соотношением
Лу| для |у|=1. D.1)
Введенная норма матрицы А зависит от выбора нормы \у\ вектора у.
Если норма | у | выбрана как евклидова или как | у \ =
= max (If/1), ..., |r/d|), то для решений системы A.2) можно ука-
указать следующую оценку.
Лемма 4.1. Пусть y = y(t)—решение системы A.2), и пусть
/, to£[a, b]. Тогда
t t
\y(t)\<{\y(to)\ + \l (/(s)ds)|}exp| J||i4(s)||ds|. D.2)
to to
Доказательство. Непосредственно из A.2) следует, что имеет
место неравенство | у' \ < || Л (t) || • | у \ +1 f (t) |, являющееся аналогом
неравенства (III.4.6). Поэтому, если и0 (t) является (единственным)

§ 4. Основные неравенства 73»
решением уравнения
и' = Н№ + |/@|, D.з>
удовлетворяющим условию и (t0) = и0 с и0 = | у (t0) |, т. е. если»
t s t
и° (t) = {и0 + j | f (s) I exp( - J || Л (r) || dr) dsj exp j || A (s) || ds,
то из следствия III.4.3 и следующего за ним замечания вытекает,,
что \y(t)\<u°(t) для to*ct<b. Это дает нам требуемое неравен-
неравенство D.2), но пока для /0<^- Аналогично, если u = uo(t) является»
решением уравнения
удовлетворяющим условию u(to) = uo( = \y(to\), т. е. если
t s t
«o(O={«o-Jl/(s)l(expjH(r)||dr)ds}exp(-Jp(s)||ds),
to to to
то \y(t)\>uo(t) для /0<^ Поменяв в полученном неравенстве t
на t0 и обратно, мы получим для £</0 требуемое неравенство D.2).
Следствие 4.1. Пусть A0(t), Ai(t), A2(t), ...—последователь-
...—последовательность непрерывных (d x d)-матрац, a f$(t), fi(t), f2(t) —последо-
—последовательность непрерывных векторов, а<^<6, таких, что при
п —> оо
An (t) —> Л @» /и @ —> /о @ равномерно на [а, Ь].
Пусть у = Уп @ является решением задачи Коши
у' = Ап (t) y+fn (t), у (tn) = Уд, D.4)
и (tn, Уп) —> (^о» Уо) >W « -» °° • Тогда уп (t) ->yo(t)
равномерно на [а, Ь].
Доказательство. Ясно, что нормы || Л4 (t) ||, || A2 (t) ||, ...
и |/i(OI» 1/г @1» ••• равномерно ограничены на [а, Ь]. Поэтому
по лемме 4.1 нормы |#i@|» |f/2@|» ••• также равномерно ограни-
ограничены; скажем, \yn(t)\<c, м=1, 2, ..., а</<6. Правые части-
fn(t> y) = An(t)y+fn(t) дифференциальных уравнений D.4П) при
п—>оо стремятся равномерно к /(*, у) = A(Oy + fo(O Для а</<6
и |у|<с. А теперь остается только применить теорему 1.2.4.
Обозначим через А* матрицу, комплексно сопряженную и транс-
транспонированную по отношению к матрице Л, и пусть Ан=-т* (А + А*) —
эрмитова часть матрицы А. Обозначим через

74 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
скалярное произведение пары векторов у, z (так что для векторов
с комплекснозначными компонентами произведение у-г комплексно
сопряжено с z-y). В частности,
Ay-z = y-A*z. D.5)
Пусть, наконец, [х0 и [i° обозначают наименьшее и наибольшее
собственные значения матрицы Лн, т. е. наименьший и наибольший
корень многочлена det(AH — Я/) относительно Я. (Из того, что
Ан эрмитова, следует, что ее собственные значения вещественны.)
Если норма || у || является евклидовой, то [i0 и [i° определяются
следующим образом:
|io = inMVj/ и [i° = supAHy.y для \\у\\=1 D.6)
или
\io = ini Re (Ay-у) и \i° = sup Re (Ay-у) для ||f/|| = l, D.7)
где Re а обозначает вещественную часть комплексного числа а.
Если У (t), z (t) — дифференцируемые вектор-функции, то
(y(t)-z(t))' = y'(t).z(t) + y(t).z'(t); в частности, (||у(*)||2)' =
= y'(t)-y(t) + y @• У' @ = 2Re [yf (t)• у (t)]. Отсюда вытекает сле-
следующая
Лемма 4.2. Обозначим через \\y\\ евклидову норму вектора у,
через \i0 (t) и [i° (t) соответственно наименьшее и наибольшее
собственные значения эрмитовой части Ан (t) матрицы Л(/),
и пусть у (t) —решение системы A.2). Тогда
Vo(t)\\y\\-\\f(t)\\<\\y\\'<li°(t)\\y\\ + \\f(t)\\ D.8)
(где \\y\\' означает левую или правую производную функции \\y\\).
Следовательно, для а<^0</<6
t t t
1!</(О|1<Ы'о)||ехр j v*{s)ds+ J ||f (s)|| (exp j ^ (r) dr) ds, D.9)
t t t
IIУ (t) II > IIУ (to) II exp j ^o (s) ds - j j| f (s) \\ (exp j ^0 (r) dr) ds. D.10)
Доказательство. Неравенства D.8) следуют непосредственно
из A.2) и определения D.7). Действительно, если у(()Ф0, то
([|@|l2)V||@IHR[40@]/||@|l а если 0@ = 0,
получаем, что | D \\ у (/) || | = \\ f (t) ||, где D = DH или D = DL. Из не-
непрерывности матрицы Л @ вытекает непрерывность функций \i0 (t)
и [х°@> так что D.9) и D.10) получаются из соотношения D.8),
«если применить к нему теорему III.4.1 и использовать следующее
за ней замечание 1.

§ 5. Системы с постоянными коэффициентами 75
Пусть у (t) — некоторая функция, определенная для t > 0. Число т
называется показателем (Ляпунова) функции y(t), если для любого
г > 0 существуют положительные постоянные Со (е) и С (е), такие,
что при всех больших t
\\у (t)\\<C(г) e^+zV D.11)
и для некоторых произвольно больших t
Если у(г)фО для больших t, то определения D.11) и D.12) числа т
эквивалентны следующему:
х = \\mt~1 In || у (t) ||. D.13)
Если A (t) непрерывна для ^>0, то в силу лемм 4.1 и 4.2 для
того, чтобы каждое решение y(t)=?kO однородной системы A.2)
обладало некоторым показателем т, достаточно, чтобы функция
t
t-^\\A(s)\\ds
о
была ограничена, причем в этом случае
t
\т\<ШГ! \\\A(s)\\ds.
Более общим достаточным условием является ограниченность сверху
функций
Г1 \ ii° (s) ds и — t \ \i0 (s) ds,
J J
0 0
t t
\\mt~1 \ jli0 (s)ds<x< lim^ I jli° (s)ds.
§ 5. Системы с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему
y' = Ry, E.1)
где R — постоянная (d x d)-MaTpnM. Пусть У\Ф0 — некоторый
постоянный вектор и Я — комплексное число. Подставляя
У = У1<Р E.2)
в E.1), видим, что для того, чтобы E.2) было решением системы
E.1), необходимо и достаточно выполнение равенства
Ryi = byt.' E.3)

76 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Следовательно, в этом случае к является собственным значением,
а у1 ф 0 — соответственно собственным вектором матрицы R.
Таким образом, каждому собственному значению А, матрицы R
соответствует по крайней мере одно решение системы E.1), имею-
имеющее вид E.2). Если R имеет простые элементарные делители (т. е.
если R имеет d линейно независимых собственных векторов уи ...
• • •» Udy соответствующих собственным значениям Яь . . ., Xd), то
У = 0/1*4 ...,^*') E.4)
является для E.1) фундаментальной матрицей.
В общем случае фундаментальная матрица может быть найдена
следующим образом. Последовательные приближения решения задачи
Коши у@) = с для системы E.1) определяются следующими фор-
формулами:
Уо (t) = c, yn(t) = c+\j Ryn-i (t) dt, n> 1, E.5)
о
и по индукции мы получаем, что
^P). E.6)
Это приводит к такому определению: для произвольной (dxd)-Mar-
рицы В положим
ев = / + В + -^+...+-|1+..., E.7)
где матричный ряд справа может рассматриваться как d2 (скаляр-
(скалярных) рядов, каждый из которых соответствует одному элементу
матрицы ев. Если B = (bjk), то из D.1) видно, что |6д|<||В||,
где /, & = 1, . ..,d. Так как из D.1), очевидно, следует, что
||ВП!!<||£|Г, то, обозначив Вп = {Ь%)), получаем \Ь^ \<\\В\\п.
Таким образом, каждый из d2 рядов для элементов матрицы ев
является сходящимся. Стандартные рассуждения, связанные с функ-
функциональным уравнением для экспоненциальной функции, показы-
показывают, что
ев+с = евес, если ВС = СВ. E.8)
Отсюда ясно, что функции E.6) сходятся равномерно на любом
ограниченном ^-интервале к вектору у = ешс, который в силу E.5)
является решением системы E.1). Другими словами, матрица
Y(t) = eRt E.9)
является для системы E.1) фундаментальной и Y@) = I.
Рассмотрим неоднородную систему
E.10)

§ 5. Системы с постоянными коэффициентами
77
соответствующую E.1). В этом случае формула B.6) для общего
решения системы A.2) примет такой вид:
t
)f(s)ds. E.11)
to
Пусть Q —постоянная невырожденная матрица. Замена пере-
переменных
преобразует E.1) в систему
z' = Jz, где J = Q~1RQ.
Эта система имеет фундаментальную матрицу Z = eJi. Исходя
из равенства R = QJQ~1 и определения E.7), легко проверить, что
eRt = QeJtQ~1, где J = Q~1RQ. E.12)
Так как умножение фундаментальной матрицы, скажем еш, справа
на постоянную невырожденную матрицу, скажем Q, снова дает
фундаментальную матрицу, отсюда следует, что матрица
Y(t) = QeJt E.13)
является для E.1) тоже фундаментальной.
Пусть матрица Q выбрана так, что J имеет нормальную жорда-
нову форму, т. е.
J = diag[J(l), ...,J(g)h E.14)
где /"(/) является квадратной [h (у) х h (у)]-матрицей, все диагональ-
диагональные элементы которой равны X = X(j), и если /г(у)>1, то под-
диагональные элементы равны единице, а остальные —нулю.
Следовательно,
О 0 ... О 0 0\
1 X 0 ... О О О
J (/) = | 0 1 X ... О О О
E.15)
де Xz=X(j),
0 0 ... 0 1 Я/
= h(j) и Кн — нильпотентная квадратная матрица:
/0 0 0 ... 0 0 0\
1 0 0 ... 0 0 0
0 1 0 ... 0 0 0
\0 0 0 ... 0 1 0/
E. Ю)
'Кроме того, сумма всех h (у) равна d, т. е. A(l)+... i-h(g) = d.
Матрица J (j) вырождается в скаляр k = X(j), и соответствующая
матрица /Сл = 0, если А(/)=1.

Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Из того, что J = diag [J A), . ..,</(§)], следует, что Jn =
= diag[Jn(l), ...,Jn(g)]. Отсюда
exp// = diag[exp,J(l)/, ..., exp/ (g) t]. E.17)
В силу E.8) и E.15), exp J (j) i = eu exp KhU где X = k(j), h = h(j).
Заметим, что Кп домучается из Ки сдвигом поддиагональных
единиц вниз на следующую диагональ, а К{ получается сдвигом еди-
единиц вниз еще на одну диагональ и т. д. В частности, /Сл= 0. Поэтому
exp J (/) t = eKt
0
1
-^- t
h-i
th-2
\(h-\)\ (/г-2
0\
0
... 1
E.18)
h^h{j) и h = k(j). Формулы E.12), E.17) и E.18) полно-
полностью определяют для системы E.1) ее фундаментальную мат-
матрицу E.9).
Из этих формул следует, что если вектор у (t) является решением
системы E.1), то его компоненты являются линейными комбинация-
комбинациями экспонент в*-*1)* , . . ., ek^)t c коэффициентами, представляю-
представляющими собой полиномы относительно t. Эти полиномиальные коэф-
коэффициенты нельзя, конечно, выбирать произвольно.
Таким образом, определение решений системы E.1) сводится
к алгебраической задаче нахождения нормальной жордановой фор-
формы J матрицы R и определения матрицы Q, такой, что J = Q~XRQ.
Простейший случай, рассмотренный в начале этого параграфа,,
который привел нас к формуле E.4), соответствует ситуации, когда
h (j) =- 1 для всех / = 1, . . ., g и g = d, так что в этом случае
exp J (j) t является A х 1)-матрицей (скаляром) еи, Я = X (/).
Отметим, что если собственные значения матрицы R обозначить
через Яь . . ., Xd, то система E.1) всегда имеет d линейно независи-
независимых решений у1 (t), . . ., yd (t), таких, что показатель вектора yj (t)
равен т = Re XJ9 j = 1, . . ., d\ см. D.13).
§ 6. Теория Флоке
Как это видно из следующей теоремы, рассмотрение системы,
с переменными, но периодическими коэффициентами теоретически
может быть сведено к системе с постоянными коэффициентами.

§ 6. Теория Флоке 79
Теорема 6.1. Пусть в системе
у' = P(t) у F.1)
Р (t) является непрерывной (d x ф-матрицей, определенной для
— оо < t < оо и периодической с периодом р, т. е.
P(t + p) = P (/). F.2>
Тогда любая фундаментальная матрица У (t) системы F.1) допу-
допускает представление вида
Y(t)=Z(t)e**, F.3)
где Z(t+p) = Z(t), a R — постоянная матрица (и R, и Z являются
(d х d)-мampuцaмu).
Если у0 — некоторый собственный вектор матрицы R, соответ-
соответствующий собственному значению Л, так что eRty0 = yQeKi, то реше-
решение y = Y(t)y0 системы F.1) представимо в виде y = zl(t)ekt, где
вектор zi(t)=Z(t) у0 имеет период р. И вообще из описания струк-
структуры матрицы ет в § 5 следует, что если у (t) является произ-
произвольным решением системы F.1), то его компоненты представляют
собой линейные комбинации членов вида a(t)theu, где a(t-±-p) =
= a (t), k целое, 0<fe<.d—1,а Я — собственное значение матрицы/?.
Заметим, что ни матрица /?, ни ее собственные значения систе-
системой F.1) определяются неоднозначно. Например, представление F.3)
может быть заменено представлением Y (t) = Z (t) e-27lite(R+2niIv, т. е.
матрица Z(t) заменяется матрицей Z(t)e~2slit, а матрица R — матри-
матрицей /? + 2ш7. С другой стороны, собственные значения матрицы eR
однозначно определяются системой F.1). Из следующего ниже
доказательства будет видно, что матрица eR определяется фунда-
фундаментальной матрицей Y (t) так, что если Y (t) заменена произволь-
произвольной фундаментальной матрицей Y(t)C0, где Со —постоянная невы-
невырожденная матрица, то eR заменяется матрицей CoeRC~l. Собствен-
Собственные значения ov . .., od матрицы С = eRp называются характери-
характеристическими множителями1) системы F.1). £сли К^ ...,hd —
собственные значения матрицы R, то е11, . . ., ех& являются соб-
собственными значениями матрицы eR, такими, что при надлежащем
выборе нумерации oi = eK^), ..., od = eKdv. Числа Х4, .. ., hd, кото-
которые системой F.1) определяются только с точностью до 2тп,
называются характеристическими показателями системы F.1).
Из F.3) видно, что система F.1) имеет d линейно независимых
решений yi(t), ..., yd(t), таких, что показатель вектора yj(t)
равен T<7- = ReJiJ- = pRelna</, /=1, . ..,d.
Доказательство теоремы 6.1. Так как Y (t) является фундамен-
фундаментальной матрицей системы F.1), то из F.2) следует, что матрица
х) Или мультипликаторами.— Прим. ред.

80 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Y (t + р) также будет фундаментальной для этой системы. Поэто-
Поэтому, согласно предшествующему лемме 1.2 замечанию, существует
постоянная невырожденная матрица С, такая, что
Y (t + р) = Y (О С. F.4)
Ниже мы покажем, что из условия det G Ф 0 следует существо-
существование (но не единственность) матрицы R, такой, что
F.5)
т. е. \nC = Rp. Если это так, то F.4) можно переписать в виде
e**. F.6)
Определим Z(t) по формуле F.3), т. е. положим Z(t) = Y (t) е~ш\
см. E.8). Тогда Z(t + p) - Y(t + p) е~Е^+^ = [Y {t + p) e~Rv\ e~Rt =
= Y(t)e-Rt согласно F.6). Таким образом, Z (t-\-p) = Z (t), что
и утверждалось.
Для завершения доказательства осталось проверить существо-
существование матрицы R, удовлетворяющей равенству F.5). Так как F.5)
эквивалентно соотношению QCQ = exp pQRQ'1, то можно счи-
считать, что матрица С представлена в нормальной жордановой форме.
Более того, рассуждения предыдущего параграфа показывают, что
достаточно рассмотреть тот случай, когда С является матрицей
вида J = Я/ + К, где все элементы К равны нулю, за исключением
поддиагональных элементов, равных 1; см. E.14) и E.17). Но
из det J = Xd Ф 0 следует, что X ф 0. Записав J — к (I + КЩ
и заметив, что In A + t) — t —12/2 + t3/3—. . ., мы вправе ожи-
ожидать, что In J определяется равенством
оо
- - ^ ^=~- . F.7)
т. е. что J = Xes или, что эквивалентно, / + /(A = es. Доказатель-
Доказательство последних утверждений нетрудно провести следующим образом.
Заметим, что ряд в F.7) на самом деле является конечной
суммой, так как Kd = 0. Формальная перегруппировка рядов для
получения формулы
n=0 j—1
т. е. формулы exp [In A + t)\ = 1 + t> справедлива при | t \ <С 1.
Ясно, что те же самые формальные вычисления дадут es = 1 + /СД,
и они законны, так как степени матрицы К коммутируют, а сходи-
сходимость рассматриваемых рядов очевидна.

§ 7. Сопряженные системы 81
§ 7. Сопряженные системы
Рассмотрим снова систему A.1). Если матрица Л* является
комплексно сопряженной и транспонированной к Л, то система
Z'= -Л* @ 2 G.1)
называется сопряженной по отношению к системе A.1). Соответ-
Соответствующая неоднородная система имеет вид
z'=-A*(t)z-g(t). G.2)
Относительно систем A.1) и G.1) можно высказать ряд утвер-
утверждений. Первым из них является следующая
Лемма 7.1. Для того чтобы невырожденная (d x d)-матрица
У (t) была фундаментальной для системы A.1), необходимо
и достаточно, чтобы матрица (У* (t))'1 = (У (t))* была фунда-
фундаментальной для системы G.1).
Это утверждение следует из того, что если У (t) имеет непре-
непрерывную производную Y', то (У (*))' = — У (t) У (t) У (/); это
можно проверить1) дифференцированием тождества У (£) У (£) = /.
Таким образом, если У(/) является для системы A.1) фундамен-
фундаментальной матрицей, так что Y' = AY, то (У)' = —У~М, а из этого
равенства транспонированием и переходом к комплексно сопря-
сопряженному получаем равенство (У*~1)'= —Л* (У*). Обратный пере-
переход доказывается аналогичным образом.
Упражнение 7.1. Покажите, что система A.1) имеет унитарную
фундаментальную матрицу У (t) в том и только в том случае, когда
система A.1) является самосопряженной, т. е. когда матрица Л (t)
косоэрмитова: А=—А*. Если в этом случае y = y(t) — решение
системы A.1), то евклидова норма j|#(/)|| постоянна.
Лемма 7.2 (формула Грина). Пусть A(t), f (t), g (t) непрерывны
на отрезке а<^<6; у (t) —решение системы A.2); z(t) — решение
системы G.2). Тогда для любого t, a<^<6, выполняется равенство
t
lf(s)-z(s)-y(s).g(s))ds = y(t).z(t)-y(a).z(a), G.3)
где точка обозначает скалярное умножение.
Для доказательства этой формулы достаточно взять производ-
производную от обеих частей и учесть, что Ay-z = y-A*z.
*) Существование производной (К)' для невырожденной матрицы У выте-
вытекает из обычного представления У через элементы У и ее детерминант.—
Прим. ред.
6—241

82 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
§ 8. Линейные уравнения высших порядков
В этом параграфе мы будем считать р0 @» Pi @» • • •» Р<м (*)» ^ (О
непрерывными вещественными или комплексными функциями, опре-
определенными на отрезке [а, Ь]. Будут рассмотрены линейное одно-
однородное уравнение
(t)u = O (8.1)
и соответствующее ему неоднородное уравнение
(t). (8.2)
Эти уравнения можно свести к рассмотренным выше системам A.1)
и A.2), если положить у = {и^0), м*1), ..., w(d-1)), где и = @>
(8.3)
0 1 0 0 ... 0
0 0 1 0 ... 0
О 0 0 0 ... 1
-Ро —Pi —Р2 —Рз ••• —Pd-l/
и f (f) = @, . . ., О, А@). Однако представляется полезным при-
привести здесь некоторые существенные факты, относящиеся к этому
важному частному случаю.
(i) Задача Коши и (t0) = иОу u'(tQ) = и'о, . . ., w^) (/0) =
= и{*~Х) для уравнения (8.2), где и0, и'о, . . ., и{*~{) суть d про-
произвольно заданных чисел, имеет единственное решение и = и (/),
существующее на всем отрезке [а, Ь]. В частности, если уравнение
(8.2) заменить уравнением (8.1) и считать, что и0 = и0 = . . .
. . . = и^) = 0, то и @ =s 0; отсюда следует, что ни одно решение
иA)ф0 уравнения (8.1) не может иметь на отрезке a^t^b
бесконечное множество нулей.
(и) (принцип суперпозиции), (а) Пусть и = и± (/),
и2 (t)—Два решения уравнения (8.1). Тогда любая их линейная
комбинация и = с^щ (t) + c2u2 (t) с постоянными коэффициентами
Ci и с2 также является решением уравнения (8.1). (Ь) Если и = и (t)
и и = щ (f) являются соответственно решениями уравнений (8.1)
и (8.2), то функция и = и (f) + Ut (t) является решением уравне-
уравнения (8.2); обратно, если и = и0 (/), щ (t) являются решениями
уравнения (8.2), то и = и0 (/) — щ (t) является решением урав-
уравнения (8.1).
Если функции щ (/), . . ., Uh (t) обладают непрерывными про-
производными вплоть до порядка k — 1, то их вронскианом, или опре-
определителем Вронского, W (t) = W (t; uu • . ., и*), называется опре-

§ 8. Линейные уравнения высших порядков 83
делитель
и{ и2
и\ и'ч
Совокупность А непрерывных функций м4 (t), . . ., м* (/) на
отрезке а<^ t^ib называется линейно зависимой, если существуют
k постоянных cl9 . . ., cki не все из которых равны нулю, такие, что
с^ (/) + ... -+ ckuk (t) = 0 для всех / 6 [я, 61. В противном слу-
случае функции ии • • ., Мд называются линейно независимыми.
Ясно, что если функции ии • • ., Uk имеют непрерывные производ-
производные до порядка k — 1, то необходимым условием их линейной зави-
зависимости является тождественное обращение в нуль их вронскиана:
W (t\ ии . . ., Uk) = 0, а <С t <^ b. Ясно также, что обратное
утверждение неверно (например, щ (t) и и2 (t) могут быть линейно
независимыми на отрезке 0 <^ t ^ 1, если щ (/) = 0 для 0 <^ t ^ 1/2
nu2(t) - 0для 1/2 <*< 1,хотя W(t; ии и2) = 0для0< ^< 1).
Для k = d решений уравнения (8.1) справедливо, однако, следую-
следующее утверждение:
(iii) Пусть Ui(t), . . ., ud(t)—решения уравнения (8.1) и
W (t) = W (/; ии . . ., ud) — их вронскиан. Тогда
t
W (t) exp j pd_! (s) ds = W (t0) для a<t, to<b (8.4)
и «i, . . ., Md линейно зависимы тогда и только тогда, когда врон-
вронскиан W (t) равен нулю хотя бы в одной точке, причем в последнем
случае W (t) г= 0 для всех /, а <; t < Ь.
Формула (8.4) в силу (8.3) является частным случаем формулы
A.5). Последняя часть утверждения (iii) является следствием един-
единственности (i) и принципа суперпозиции (и).
(iv) Пусть щ (/), . . ., titj-i (t) суть d — 1 линейно независимых
решений уравнения (8.1). Тогда (8.1) эквивалентно уравнению
[W (t; и, tin ..., Md-i) exp \ pd^ (s) dsl = 0 (8.5)
a
относительно неизвестного u{t). Когда d = 2, уравнение (8.5)
сводится к уравнению
t
Y = и? (t) exp ( — j pi (s) ds) , где и, (*) ¥= 0.
Если известны d линейно независимых решений и{ (/), . . ., ud (/)
уравнения (8.1), можно воспользоваться соотношением B.5) для
6*

84 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
нахождения формулы, дающей решения уравнения (8.2) в квадра-
квадратурах. Это сразу же следует из легко проверяемого утверждения:
(v) Пусть для некоторого фиксированного s, a <C s <; b, функ-
функция и = и (/; s) является решением уравнения (8Л), определяемым
при t = s начальными условиями
и==и>= m_==u(d-2) = 0i w(d-i)=if (8.6)
и пусть w0 (£) — произвольное решение уравнения (8.1). Тогда
функция
t
и (t) = щ (t) + \ и (t; s) h (s) ds (8.7)
a
является решением уравнения (8.2), удовлетворяющим при t = a
следующим условиям: и^Ца) = uW(a), k = 0, . . ., d — 1.
Из A.7) и леммы 1.2 нетрудно получить, что и (/; s) и ее первые d
производных и', . . ., u(d) no t непрерывны относительно (tf s)
для a^it, s^.b. Поэтому, в частности, интеграл в (8.7) сущест-
существует и является функцией, имеющей d непрерывных производных
по t, допускающих вычисление по обычным формальным правилам.
Прямая проверка с подстановкой (8.7) в (8.2) показывает, что функ-
функция (8.7) является решением уравнения (8.2), удовлетворяющим
указанным выше начальным условиям.
(vi) Рассмотрим дифференциальное уравнение
W(d) + ad_lM(d-i>+ ... + flla' + аоы = 0 (8.8)
с постоянными коэффициентами а0, ..., ad^. Уравнение
Xd + ad-{Xd-1 -Ь ... + а^ + а0 = 0 (8.9)
называетсяJхарактеристическим по отношению к уравнению (8.8).
Если ввести вектор у = (и^~г\ . . ., и!у и), то уравнение (8.8)
эквивалентно системе E.1), где R обозначает постоянную матрицу,
равную
'— dd-i —ctd-2 —ad-3--- —cii —-ао\
1 0 0 ... О О
R=\ 0 1 0 . . О О
О 0 0 ... 1 О
(8.10)
Заметим, что компоненты вектора у выписаны в порядке, обратном
тому, который рассматривался при сведении (8.1) к A.1).
Легко проверить, что функция и = еи является решением
уравнения (8.8) тогда и только тогда, когда Я — корень уравнения
(8.9). Действительно, уравнение (8.9) совпадает с характеристиче-
характеристическим уравнением det (XI — R) = 0 для R. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим соотношение Ry = Ху, где у Ф 0. Мы видим, что это

§ 8. Линейные уравнения высших порядков 85
соотношение имеет место в том и только в том случае, когда X удо-
удовлетворяет (8.9) и у = с (Xй, . . ., X2, X, 1), где с — некоторая
постоянная. Таким образом, X является собственным значением
матрицы R тогда и только тогда, когда X удовлетворяет (8.9). Отсю-
Отсюда следует, что если корни уравнения (8.9) различны, то (8.9)
является характеристическим уравнением для R. Если же все или
некоторые его корни совпадают, то коэффициенты а0, • • ., ad-i
в (8.9) и соответственно в (8.10) можно добавлением произвольно
малых величин изменить так, чтобы получающееся в результате
уравнение имело различные корни и чтобы оно тем самым было
характеристическим уравнением для измененной матрицы R.
Устремляя к нулю упомянутые выше добавки Kaiy мы получим тре-
требуемое утверждение.
Упражнение 8.1. Получите индукцией по d другое доказатель-
доказательство того, что уравнение (8.9) совпадает с det (XI — R) = 0. (Еще
одно доказательство получается из упр. 8.2.)
Если X является корнем уравнения (8.9) кратности га, 1 <
<ra<d, то функции ti — eu, teu, ..., tm-ielt являются решениями
уравнения (8.8). Чтобы проверить это, обозначим через L [и] выра-
выражение, получающееся в левой части уравнения (8.8), если в него
подставлена любая функция и, имеющая d непрерывных производ-
производных. Таким образом, (8.8) эквивалентно уравнению L[u] = 0. Обоз-
Обозначим через F (X) полином, стоящий в правой части уравнения (8.9),
так что F = dF/dX= ... ~dm~-lF/dXm-1 -=-0 при рассматриваемом
значении X. Заметим, что L [eu] = F (X) eu, и так как коэффициенты
уравнения (8.8) постоянны, то L [thext] = L \дке**/дкк] = dkL \еи]1дХк =
= дк (F (X) ev)/dXh = 0 для & = 0, ..., т—1 и данного значения X.
Таким образом, если ХA), ...,Мё") СУТЬ различные корни
уравнения (8.9) и если h(j) обозначает кратность корня а(/), то
формулами ы = ЛЛ(*>', /—1, ...,g и & = 0, ..., А(/) — 1, опре-
определяются d ( = йA)+.. .-t-A(d)) решений уравнения (8.8).
Упражнение 8.2. (а) Покажите, что функции u = tkex^t, где
/=1, ...,£ и & = 0, ...,/i(/) —1, линейно независимы. (Ь) Пусть
У (t)~ фундаментальная матрица для уравнения y' = Ry, столбцы
которой являются решениями-векторами у^^-^, .. ., и<°>), соот-
соответствующими функциям и (или г/@)) — theW>llk\ в следующем
порядке: первые столбцы соответствуют номерам j = 1 и k = h A) — 1,
Ml)-2, ...,0; затем идут / = 2 и fe = ftB)—1, АB) —2, ...,0
и т.д. Пусть J = diag [У A), ..., J (g)] в обозначениях § 5. Пока-
Покажите, что Y'1 {t) RY (t) = J, т.е. что Y(t)J = RY(t) или, что
эквивалентно, У (t) J = Y' (t). В частности, матрица J = У @) RY @)
является для ^нормальной жордановой формой, (с) Для другого
Доказательства п. (а) и для использования этого факта в доказа-

86 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
тельстве теоремы Х.17.5 покажите, что
M1)MJ) (8.11)
(vii) Если коэффициенты р0 (t), ..., pd_4 (t) уравнения (8.1)
являются периодическими с периодом р, то соответствующая
линейная система A.1) первого порядка в силу (8.3) также имеет
периодические коэффициенты с периодом р, и тогда применимы
результаты § 6.
(viii) (сопряженные уравнения). Рассмотрим дифферен-
дифференциальное уравнение d-ro порядка
Pd(t)uW + pd-i(t)u«-»+...+pi(t)u' + p0(t)u = Q (8.12)
с комплекснозначными коэффициентами, заданными на отрезке
a*Ct^.b, где функция pk(t) имеет k непрерывных производных,
& = 0, 1, ..., d. Уравнение, сопряженное к (8.12), по определению
имеет следующий вид:
(8.13)
Заметим, что интегрирование по частям дает равенство
ь ъ
*> v]ba- J и**-
применяя его повторно, получаем
ь k-i
J
j=0
Таким образом, если u(t), v (t) имеют непрерывные производные
вплоть до d-ro порядка и
L[u]= S Pk(t)uW(t), L*[v]= 2 (-l)hlPk(t)v(t)]ih\ (8.14)
h=Q k=0
TO
b <i k-i
^ [^ Ж-1№-!-»фки)ш]Ьа. (8.15)
fe=0 ;=0
Это так называемая формула Грина. Ее дифференциальная форма
L[u]v-ul*[v] = \ 2 S (-^^(^-«(pjklO^y (8.16)
^k=Q i=0 J
называется тождеством Лагранжа.

' § 8. Линейные уравнения высших порядков 87
Из (8.15) следует, что если и, v суть решения соответственно
уравнений (8.12) и (8.13), то
2 2 (-1)''и<Л-Ь1>(рЛа)<'>== const. (8.17)
ь=о j=o
(ix) (факторизация по Фробениусу). Предположим,
что уравнение (8.1) имеет d решений Ui(t), ...,Ud(t), таких, что
Wk(t) = W(t; щ, ...,ик)ФО для Л=1 rf. (8.18)
Тогда уравнение (8.2) можно переписать в таком виде:
... {(Ыа^ооц)']'}' ...)' = МО. (8.19)
где aj = Wywj-iWJ+i и W0 = W.i = Wd+i= I. Это утверждение
вытекает из следствия 4.1.
Упражнение 8.3 (Пойя). Пусть коэффициенты ро(О» • • •» Pd-i(t)
уравнения (8.1) непрерывны на а<£<&. Если функция и (*)
имеет на этом же отрезке d непрерывных производных, то положим
L [v] (t) == vW @ + Pd-i (О^*-» @ + • • • +Ро @ у (О,
так что уравнение (8.2) принимает вид L [и] = /г (£). Если функция
у @ имеет k — 1 ( >- 0 ) непрерывных производных и v (t0) =
= v' (t0) = . . . = ^;'~1) (^o) = 0, то точка t = t0 будет называться
нулем функции v (t) порядка по меньшей мере k. Будем говорить,
что уравнение (8.1) обладает на интервале (а, Ь) свойством (W),
если (8.1) имеет d решений щ (f), . . ., ud (t), удовлетворяющих
на а < t < b условию (8.18); для k = d это условие является три-
тривиальным в силу (iii). (а) Нули и свойство (W). Покажите, что если
уравнение (8.1) не имеет решения и (t) Ф 0, обладающего d нулями
на [а, Ь) (с учетом их кратности), то (8.1) обладает на (а, Ь) свой-
свойством (W). В остальной части этого упражнения мы будем предпо-
предполагать, что уравнение (8.1) обладает на (а, Ь) свойством (W).
(Ь) Обобщение теоремы Ролля. Пусть функция v (t) имеет на (а, Ь)
непрерывные производные порядка d и по [крайней мере d+1
нулей (с учетом их кратности). Тогда существует по крайней
мере одна точка / = 0£(а, Ь), в которой L[v] (Э) = 0. (с) Частич-
Частичное обращение утверждения (а). Покажите, что в интервале (а, Ь)
ни одно решение и(г)фО уравнения (8.1) не имеет d нулей
(с учетом их кратности), (d) Интерполяция. Пусть А>1;
т\ + • • • -г mk = d, где rrij (> 1) — целые . числа; ^ < ... < tk —
точки из (а, Ь) и и]г\ t= 1, ..., ту, j = 1, ..., А, — произвольные
числа. Тогда уравнение (8.1) имеет единственное решение u = u(t),
удовлетворяющее условиям и^ (tj) = wj*), i = 1, ..., rrij и / = 1, ...
...,£. (e) Уравнение L [и] = 1. Докажите утверждение (d) для
L[m] = 1. (f) Теорема о среднем значении. Пусть A, mt, ...,mk

88 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
и tu ...,tk определены, как в (d). Пусть v (t) имеет d непрерыв-
непрерывных производных в интервале (а, Ь)\ пусть ^(^ — единственное
решение уравнения (8.1), удовлетворяющее условиям u^(tj) =
= ^(i) (tj) Для i = 1, ..., т и / = 1, ..., k; u = uo(t) — единствен-
единственное решение уравнения L(u) = I, удовлетворяющее условиям
ио1) (Ь) = О Для i = 19 • • •» mj и У = 1» ..., fe; a<t<b. Если отре-
отрезок [у, б] с: (а, Ь) содержит точки ^, ^ и /0, то существует
по крайней мере одна точка t = Q£(y, б), в которой ^(^о) = ^(^о) +
+1/0 (^0) L [v] (Э). (Утверждения (Ь) — ({) сводятся к стандартным
теоремам, если (8.1) представляет собой тривиальное уравнение
<d> = 0 с решениями w=l, ^, ...,/d~1.)
Упражнение 8.4. Пусть коэффициенты р0 (t), . . ., pd-i(t) урав-
уравнения (8.1) непрерывны в (а, Ь). Покажите, что уравнение (8.1)
имеет решение и (t) щЬ 0, обладающее d нулями (с учетом крат-
кратности) в интервале (а, Ь) в том и только в том случае, когда у него
есть решение и (t) ф 0 с d различными нулями в этом интервале.
См. Хартман [15].
§ 9. Замечания о замене переменных
В этом параграфе содержатся замечания, которые будут исполь-
использованы в последующих главах.
(i) Если R является постоянной (d x ^-матрицей, то обычная
нормальная жорданова форма J — Q~XRQ класса матриц, подобных
Ry описывается формулами E.14) — E.16). В дальнейшем часто
будет полезным замечание о том, что единицы, стоящие на под-
диагонали матрицы Кн в E.16), могут быть заменены любым г ф 0.
Это вытекает из следующей формулы:
где J (/') определяется формулой E.15), a Q8 = (
(и) Рассмотрим вещественную нелинейную систему дифферен-
дифференциальных уравнений вида
y' = Ry + f(t,y), (9.1)
где R — постоянная матрица. При линейной замене переменных
с постоянными коэффициентами
y = Qz, detQ^O, (9.2)
система (9.1) принимает вид
z' = Jz + Q-*f(t,Qz), J = Qr1RQ. (9.3)
Хотя R и является^матрицей с вещественными элементами, ее соб-
собственные значения не обязаны быть вещественными. Соответствен-
Соответственно, не обязательно существует вещественная матрица Q, такая,

§ 9. Замечания о замене переменных 89
что J имеет нормальную жорданову форму. А для матрицы Q с ком-
комплексными элементами функция / (t, Qz) может быть не определена.
Однако следует отметить, что для многих целей формальная
замена переменных (9.2) с комплексной матрицей Q допустима,
если интерпретировать (9.2) и (9.3) подходящим образом. Формаль-
Формальные операции над системой (9.3) тогда являются законными.
Если матрица Q выбрана так, что / = Q^RQ является нормаль-
нормальной жордановой формой, то столбцы матрицы Q являются собствен-
собственными векторами матрицы R или ее степеней. Далее, если R имеет
а вещественных собственных значений (с учетом кратности), 0 <;
<; а <^ d, то другие собственные значения матрицы R образуют
пары комплексно сопряженных чисел. Пусть d — а = 2р. Соот-
Соответственно можно предположить, что первые Р столбцов матрицы Q
являются комплексно сопряженными по отношению к следующим Р
столбцам и что последние а столбцов состоят из вещественных
чисел. Таким образом, если через Qo обозначить матрицу
\о о ij
где Ih — единичная (h x й)-матрица, то QQ0 будет матрицей с веще-
вещественными элементами. Замена переменных
y^QQoW (9.4)
преобразует (9.1) в систему
w* = Qo'JQow+Q^Q-1!(t, QQo-'), (9.5)
которая эквивалентна следующей системе:
(QowY - J (Qow) + Qf (U QQow). (9.6)
Дифференциальные уравнения в (9.5) являются вещественными;
дифференциальные уравнения в (9.6) представляют собой линейные
комбинации одного или двух уравнений из (9.5) с постоянными
коэффициентами, равными 1 или ± /•
В последующем уравнение (9.3) следует интерпретировать
как (9.6). Это эквивалентно соглашению считать в (9.3) zk+$ = zk
для k = 1, ..., [3, a zk+2$ — вещественными для k = 1, ..., а.
Таким образом, мы можем рассматривать (9.3) в переменных
w=(w\ ...,^d), где o/fe = (zft + ?)/2 и ю*+Э= -i (zk-zk)/2 для
*=1, ..., р, a wk = zk для 2p<£<d.
Упражнение 9.1. Пусть R — постоянная (d X d)-матрица с соб-
собственными значениями Ки ..., hd, такими, что Ки ..., Яд являются
простыми собственными значениями для некоторого k, l<^<d.
Пусть G @ —непрерывно дифференцируемая (d X ^-матрица,
заданная для t > 0 и такая, что G (t) —> 0 при t —> оо

90 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
оо
и \ || С (*)||Л<оо. (а) Покажите, что для больших t матрица
R + G(t) имеет k простых собственных значений Xj(t), таких, что
kj (t) —> Xj при t —> оо; функции Xj (t) непрерывно дифференцируемы
оо
и f | X) (t) \dt<oo для / = 1, ..., k. (b) Пусть Qo — постоянная
невырожденная матрица, такая, что Qo1RQo = diag[Xi, . ..,ХА, Ео],
где Ео — некоторая [(d — k) x (d—k)]-матрица (например, предполо-
предположим, что Q^RQq является для R нормальной жордановой формой).
Пусть er = {е\, ..., е%) где е\ = 1 или 0, когда / = г или \фг
соответственно. Покажите, что для больших t матрица R-\-G(t)
имеет собственный вектор ijj{t), [R + G (t)]yj(t) = Xj(t) yj(t), такой,
что yj(t)—>Qoej при t—>oo к yj(t) имеет непрерывную производ-
производную, удовлетворяющую для /=1, ...,& следующему условию:
оо
I |] y)(t) || eft < оо. (с) Покажите, что для больших t существует
непрерывно дифференцируемая невырожденная матрица Q (f), такая,
со
что Q(oo) = lim(Q (/) существует и невырожденна, \ || Q' (t) \\ dt < оо
и Q-Ht)[R + G(t)]Q(t) имеет вид diag[^(/), ...,M0> E (t)], где
Е (t) — некоторая [(d — k) x (d— й)]-матрица.
ДОБАВЛЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 10. Фундаментальные матрицы
В добавлении мы будем иметь дело с линейной системой диффе-
дифференциальных уравнений
У' - A (t)y, A0.1)
в которых t является комплексной переменной, а элементы матрицы
A (t) представляют собой однозначные аналитические функции от t,
определенные в некотором открытом множестве Е из /-плоскости.
Слово «аналитический» используется здесь в смысле «регулярно
аналитический». В достаточно малой окрестности любой точки
to £ Е система A0.1) имеет фундаментальную матрицу Y (/), являю-
являющуюся аналитической функцией от t (т. е. ее элементы являются
аналитическими функциями от t). Это утверждение доказывается
путем некоторой модификации доказательства теоремы существо-
существования методом последовательных приближений (лемма 1.1); см.
упр. II. 1.1. Отсюда в случае, если множество Е односвязно, по тео-
теореме монодромии мы получаем, что матрица Y (t) существует во всей
области Е и является там однозначной и аналитической.

§ 10. Фундаментальные матрицы 91
В большей части добавления рассматривается случай, когда
область Е не является односвязной, а представляет собой круг
О < | / | < а с выколотой точкой t = 0 (эту область мы будем
в дальнейшем называть кольцом).
Лемма 10.1. Пусть A (t) — однозначная аналитическая матрица,
заданная в кольце 0 < | t | < а. Предположим, что A (t) (т. е.
по крайней мере один из ее элементов) в точке t = 0 не является
аналитической. Тогда система A0.1) не может иметь фундамен-
фундаментальной матрицы Y (f), которая была бы в кольце 0 < | / | < а
однозначной и аналитической функцией, допускающей продолжение
на t = 0 с условием det Y @) Ф 0.
Доказательство. Предположив противное, мы получим, что
матрицы Y (t) и Y'1 (/) являются аналитическими во всем круге
| t | < а. Но в таком случае матрица A (t) = Y' (t) Y (t) будет
иметь в точке t = 0 устранимую особенность, что исключено по
предположению.
Теорема 10.1. Пусть A (t) — однозначная аналитическая ма-
матрица, заданная в кольце 0 < | t \ < а. Тогда любая фундаменталь-
фундаментальная матрица Y (t) (которая не обязательно является однозначной)
системы A0.1) допускает представление вида
Y(t) = Z(t)tR, A0.2)
где Z (t) — однозначная аналитическая матрица в области
|^|<С#, R — постоянная матрица и
^e2 Aаз)
п==0
Если Т—некоторая постоянная невырожденная матрица, то
матрица Y(t)T является фундаментальной и
Y(t)T = Z @Т(Г^пТ) = [Z (t)T] tr~lRT.
Матрица Т может быть выбрана так, что T"TRT будет иметь нор-
нормальную жорданову форму. Вид матрицы tT~l RT = ехр (Т~гЯТ In t)
можно установить с помощью формулы E.18) после замены в ней t
на In /.
Доказательство. Пусть Y (t) — фундаментальная матрица систе-
системы A0.1), определенная локально в окрестности некоторой точки
t0 = t, 0 < | t0 | < а, и продолженная аналитически на остальные
t, что, возможно, делает ее многозначной. Пусть при обходе точкой t
окружности с центром в точке t = 0 матрица Y (t) возвращается
в окрестность точки t = t0 со значением Yo (t). Так как A (t) одно-
однозначна, то Y0(t) останется для системы A0.1) фундаментальной
матрицей. Поэтому найдется постоянная невырожденная матрица С,

92 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
такая, что
Yo (t) = Y (t) С. A0.4)
В силу аналитичности соотношение A0.4) останется справедливым
и для аналитических продолжений матриц Y (t) и Y0(t).
Рассмотрим для фиксированного г, 0 </*<<#, матричную
функцию Y (9, г) = У (reie) аргумента 8, — оо < 0 < оо. Тогда
из A0.4) следует, что Y (9 +2л, г) = У (8, г) С или 7F+2л, г) =
= У (8, г) e2niR, где 2ш7? = 1пС; см. § 6. Легко видеть, что
функция Z0(8, r) = Y @, г) e~iRQ имеет по 9 период 2я; см. фор-
формулу F.6).
Заметим теперь, что матрица Zo(9, r) r~R = Y (9, r)e-iRQr-R =
= У (£) ^~н является аналитической функцией от /, которая одно-
однозначна (ибо Z0(9, r) имеет по 9 период 2я). Теорема доказана.
Принимая во внимание то, что матрица Y (t) из A0.2) является
для системы A0.1) фундаментальной, можно установить ряд свойств
матриц Z(t) и R. Например, найдем для Z (t) дифференциаль-
дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет. Так как матрица R
коммутирует с tR и (tR)' = RtR/t, то из A0.1) и A0.2) следует, что
Отсюда
A0.5)
Уравнение A0.5) не принадлежит классу рассмотренных выше
матричных дифференциальных уравнений, так как Z здесь входит
в правую часть и как множитель слева (в ZR), и как множитель
справа (в AZ). Для того чтобы можно было работать с уравнением
A0.5), удобно выписать в некотором определенном порядке d2
элементов Zjk матрицы Z = (Zjk) и рассматривать A0.5) как одно-
однородную линейную систему для сB-мерного вектора Z. Мы получим
систему вида
Г = А (О Z, A0.6)
где A (t) есть некоторая (d2 X сР)-матрица. Каждый ее элемент
представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов
матриц A (t) и R/t с постоянными коэффициентами. Поэтому A (t)
является в области 0 < | t | < а однозначной и аналитической.
В частности, если элементы A (t) аналитичны в t = 0 или имеют
там простой полюс, то же самое будет верно и для элементов
матрицы A(t).
Для того чтобы не прерывать следующие далее рассуждения,
сформулируем и докажем одну простую алгебраическую лемму.
Пусть В — постоянная (d x cQ-матрица, Х — переменная (d X d)-

§ 10. Фундаментальные матрицы 93
матрица и У — их коммутатор, т. е.
Y = ВХ—ХВ. A0.7)
Расположим d2 элементов матриц X и Y в некотором определенном
порядке и будем рассматривать A0.7) как линейное преобразование
г/2-мерного пространства X в себя. Тогда матрицу A0.7) можно
представить в виде
A0.8)
где X и Y суть сB-мерные векторы, а В — некоторая (d2 x ^2)-матрица.
Лемма 10.2. Пусть Хи ..., Xd суть d собственных значений
матрицы В. Тогда d2 собственных значений матрицы В равны
соответственно Xj — Xk, /, k=l, ..., d.
Доказательство. Пусть Т — невырожденная (d x ^-матрица,
и пусть С = Т~гВТ, так что В и С имеют одинаковые собственные
значения. Пусть матрица С связана с С так же, как В с В. Тогда
собственные значения матриц С и В совпадают. Чтобы убедиться
в этом, заметим, что соотношение A0.8) эквивалентно соотноше-
соотношению T-1YT = C(T~1XT), так как коммутатор A0.7) может быть
записан в следующем виде:
(Т^ВТ) (Т^ХТ) - (Т^ХТ) (Т-гВТ) = T-WT.
Поэтому из равенства ВХ = XX, например, следует, что (СТ~гХТ) =
= к(Т-1ХТ).
Предположим сначала, что собственные значения матрицы В
различны, и выберем Т так, чтобы С = diag 1АЬ . . ., Xd]. Тогда
если X = (Xjk) иУ= (yjk), то видно, что соотношение Y = СХ —
— ХС эквивалентно соотношениям yjk = (Xj — Xk) Xjk, /, k —
= 1, . . ., d. Следовательно, матрица С является диагональной
порядка dl с элементами Xj — Яд, /, k = 1, . . ., d, и лемма в этом
случае доказана.
Если некоторые собственные значения матрицы В совпадают,
возьмем последовательность матриц Вп (каждая из которых имеет
различные собственные значения), сходящуюся к В при п -> оо
(существование такой последовательности очевидно: достаточно
предположить, что матрица В дана в нормальной жордановой
форме, и тогда матрицы Вп можно получать малым изменением
ее диагональных элементов). Собственные значения ХЫу ...
. . ., Xdn матриц Вп можно перенумеровать так, чтобы Xjn-+Xj
для всех /= 1, . . ., d, п -> оо. Тогда собственные значения матриц
Вп соответственно будут стремиться к собственным значениям
матрицы В. Доказательство общего случая сводится теперь к уже
рассмотренному выше частному случаю.

94 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
§11. Простые особенности
В формуле A0.2) матрица Z (/) разлагается в окрестности точки
/ = 0 в ряд Лорана. Точка t = 0 называется для системы A0.1)
регулярной особой точкой, если A0.1) имеет фундаментальную матри-
матрицу A0.2), в которой элементы матрицы Z (f) не имеют в t = 0 сущест-
существенной особенности (т. е. в точке t = 0 они или аналитичны, или
имеют полюс). В этом случае имеет место
Следствие 11.1. Пусть матрица A (t) аналитычна и однозначна
в области 0<|^|<# и точка t = 0 является для системы A0.1)
регулярной особой точкой. Тогда система A0.1) имеет фунда-
фундаментальную матрицу Y (f) вида
где матрица С постоянная, а матрица Zo (t) аналитическая в круге
\t\<a.
Действительно, если Z (t) из формулы A0.2) имеет в ^ = 0
самое большее полюс, то A0.2) можно переписать в виде Y(t) =
= Z (t) tntR~nI = Zo (t) tc, где матрица Zo (t) = Z (t) tn аналитична
в t = 0 при подходящем выборе целого числа я>0, a C = R — nl.
Если особенность матрицы А (/) (т. е. каждого ее элемента)
в точке t = 0 есть самое большее полюс порядка 1, то будем
говорить, что система A0.1) имеет в точке ^ = 0 простую особен-
особенность или что t = 0 есть простая особая точка этой системы.
В этом случае система A0.1) может быть представлена в виде
y (+%*f)y, ()
где Б, Л4, Аг — постоянные матрицы, а ряд
В+5 Aktk A1.2)
сходится в круге 11 \ < а.
Если ввести новую независимую переменную s=lnf, то фор-
формула A1.1) принимает вид
Akehs)y, Res<a. A1.3)
(Относительно этой системы при вещественном s см. гл. X.) Если
Ах = А2 = . . . = 0, то уравнение A1.3) превращается в dylds =
= By, и тогда оно имеет решение у = eBs = tB\ см. § 5 и след-
следствие 11.1.
Теорема 11.1 (Соваж). Пусть в точке t = 0 система A0.1)
имеет простую особенность, так что A0.1) представима в виде

§ 11. Простые особенности 95
A1.1), где ряд A1.2) является при \ t | < а сходящимся. Тогда точка
\ = 0 является для системы A1.1) регулярной особой точкой.
Эта теорема сразу же вытекает из следующей леммы:
Лемма 11.1. Пусть в точке t = 0 система A0.1) имеет
простую особенность, и пусть эта система имеет однозначное
и аналитическое в области 0 < | t | < а решение у (t). Тогда у (t)
в точке t = 0 или аналитично, или имеет полюс.
Так как эта лемма применима и к системе A0.6), отсюда следует,
что матрица Z (t) из A0.2) или аналитична в точке t = 0, или имеет
в ней полюс.
Доказательство леммы 11.1. Пусть Э фиксировано, 0 <С Э < 2я,
и пусть / = reiQ, так что dt — eiedr и потому вектор у (reiQ) является
решением системы
где 0 </*<#• Из условий, наложенных на матрицу A(t), следует
существование постоянной с, такой, что || A (reie) у \\<с\\ у\\/г
при 0</*<а/2, где через \\y\\ обозначена евклидова норма.
Поэтому любое решение уфО удовлетворяет неравенству
d\\y\\ c\\y\\
dr ^ г
при 0 < г < а/2. Отсюда || у (reiQ) \\ < С/гс для 0 < г < а/2 и под*
ходящим образом подобранной постоянной С. Значит, если п —
некоторое положительное целое число, п^> с, то функция tny (t)
ограничена для малых \ t \ и, следовательно, аналитична в точке
t = 0. Таким образом, у (f) имеет в точке t = 0 самое большее
полюс порядка п. Лемма доказана.
Теорема, обратная к теореме 11.1, неверна. Это легко видеть
из следующего примера. Система
имеет фундаментальную матрицу
которая представима в виде A0.2) с Z (t) = Y (f) и R = 0. Значит,
точка t = 0 является для этой системы регулярной особой точкой,
но простой особенностью она не является. Однако частичное обра-
обращение теоремы 11.1 все же имеет место.
Теорема 11.2. Пусть (d x д)-матрица Q (t) однозначна и анали-
аналитична в области 0 < | t \ < а и такова, что точка t = 0 является
для системы
w' = Q(t)w A1.4)

96 Гл. IV. Линейные дифференцьильные уравнения
регулярней гуэбой точкой. Тогда существуют матрица Р (t), являю-
являющаяся полиномом относительно t и удовлетворяющая условию
det P (t) == 1, и диагональная матрица D = diag [а A), . . ., a (d)]
с целыми а (/) >- 0, такие, что замена переменных
w = T(t)y, T(t) = P(t)tD A1.5)
преобразует систему A1.4) в систему вида A1.1) — A1.2), для
которой точка t = О будет простой особой точкой.
Доказательство. Так кяк особая точка / = 0 является для
системы A1.4) регулярной, то система A1.4) имеет фундаменталь-
фундаментальную матрицу W (t) вида
17 (>)= *(*)**, A1.6)
где матрица R постоянная, н X (t) аналитическая при | t \ < а.
Предположим сначала, чт.) d X @) Ф 0. Тогда матрица X (t)
существует и аналитична г и | * | < а, а матрица Q (ft =
= W (t) W'1 (t) представима в ииде
'-1. A1.7)
Отсюда видно, что Q (t) имеет в точке / = 0 самое большее полюс
первого порядка, так что особая точка t - 0 является для A1.4)
простой, и поэтому для доказательства теоремь, достаточно поло-
положить Р (t) = /, D = 0.
Рассмотрим теперь случай det X @) = 0. Пусть существуют
матрицы Р (t) и D указанного выше вида, такие, что
X(t) = P(t)t»Z(t), A1.8)
где матрица Z(t) аналитическая при \t\<Ca и det Z @)^0. Тогда
W(t) = T (t) Z (t) tR, если T(t) = P (t) tD,
так что замена переменных A1.5) преобразует систему A1.4)
в систему yf = Qo(t) у, для которой матрица Y(t) = Z(t)tR будет
фундаментальной. По аналогии с формулой A1.7)
Следовательно, точка t = 0 будет для новой системы у' = Qo (О У
простой особой точкой. Теорема 11.2 будет доказана, если окажется
справедливой следующая
Лемма 11.2. Пусть X (t) — аналитическая в круге \t\<ia
матрица, такая, что det X (t) ^k 0. Тогда X (t) допускает представ-
представление вида A1.8), где матрица Р (t) является полиномом относи-
относительно t и det P (f) = 1, D = diag [a A), . . ., a (d)] с целыми
а (]) >- 0, а матрица Z (t) аналитическая в круге \ t \ < а, причем
det Z @) ф 0.

§ П. Простые особенности
97
Замечание 1. Соотношения A1.8), det P (t) = 1 и det Z @) Ф 0
показывают, что
a(l)+...+a(d) = af A1.9)
где сс>0 есть порядок нуля определителя матрицы X(t) в точке
Доказательство. Преобразуем уравнение A1.8) к виду
p-1(t)X(t) = tDZ{t). A1.10)
Из обычного способа построения обратной матрицы (с помощью
миноров, деленных на определитель) вытекает, что обе матрицы
Р @ и Р (t) обладают указанными в лемме свойствами. Поэтому
вместо того, чтобы находить Р (/), можно искать Р (f), а это,
как мы увидим, проще. К тому же в процессе доказательства мы
получим матрицу Р (/), такую, что det P (t) равен постоянной,
отличной от нуля, но не обязательно равной 1. А тогда нужная
нам нормировка det Р (/) = 1 проводится тривиальным образом.
Искомая матрица Р (/) будет построена как произведение
конечного числа элементарных матриц N, действующих одним
из следующих трех способов: 1) умножение матрицы слева на N,
после которого /-я и k-я строки матрицы меняются местами; напри-
например, умножение на матрицу
'0 1 0 ...
1 0 0 ...
N=1 0 0 1 ...
\,0 0 0 . . . 1,
слева меняет местами 1-ю и 2-ю строки; 2) умножение на Af слева,
после которого /-я строка увеличивается в к Ф 0 раз, например при
Af = diag [I, . . ., 1, Я, 1, . . ., 1]; 3) умножение на N слева,
после которого /-я строка заменяется суммой /-й строки и увеличен-
увеличенной в р (t) раз k-и строки, где р (t) — полином и к < /; например,
для / = 2 и k = 1
/1 0 0 . . . 0\
1 0 ... 0
0 0 1
о
\0 0 0 ... 1/
Каждая из этих элементарных матриц N удовлетворяет условию
det N = const =^0.
Пусть X(t) = (xjk{t))j и пусть порядок нуля определителя
(^) в точке t = 0 равен а>0. Сопоставим каждой /-й строке
7-241

98 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
матрицы X(t) целое число а(/)>0, такое, что Xjk(t) = j)
где t)jk (t) аналитичны в точке £ = 0 и по крайней мере одна
из функций t/ji(t), ..., Ujd{t) в этой точке не равна нулю. В част-
частности,
X(t) = tEY(t)9 где £ = diag[a(l), ..., a
так что detX(t) = tndetY (t), где n = a(l)+ ... +a(d). Отсюда
a(l) + ...+a(d)<a. A1.11)
Если в A1.11) имеет место знак равенства, то det Y @) Ф 0 и лемма
становится тривиальной с Р (t) — / и D — Е.
Если в A1.11) стоит знак строгого неравенства, то мы покажем,
что умножением матрицы X (f) слева на конечное число матриц
типа N можно получить матрицу Хо (/), такую, что a A) + ...
. . . + a (d) = а, где через а A), . . ., a (d) обозначены целые
числа, построенные по матрице Хо (t) так же, как по X (t) построены
a A), . . ., a (d). Тогда матрица Хо (t) = P (f) X (t) будет иметь
вид tDZ @, где det Z @) Ф 0.
Можно считать, что а A) < ... <a (d); в случае необходимости
этого можно добиться, умножая X (t) слева на матрицы N вида 1).
Пусть ejk = yjh(O), так что xJk(t) = ta^ (sJk+ . ..). По условию,
наложенному на yjk{t), хотя бы одно из чисел ги, ..., sid отлично
от нуля. Допустим, что elm, 1 < т<d, — первое из этих чисел,
которое отлично от нуля. Умножая, если это необходимо, матриц\
X\t) слева на матрицу iV вида 2), можно считать, что elm=l.
Далее, заменяя /-ю строку матрицы X(t) суммой этой же строки
и p(f)= —£jmta('j)~~~a{i) Раз взятой 1-й строки, мы можем добиться,
чтобы 8;т = 0 для / = 2, ..., d. После всех этих преобразований
получим, что матрица новых элементов Sjh = yjk(O) (если, напри
мер, т = 2) имеет вид
/0 1 е13 . .
0 823 • •
0 833 . .
0 sd3 . .
Величины a A), . . ., a (d) при всех этих преобразованиях не умень-
уменьшаются.
Допустим, что не все элементы е2ь . . ., е2сг второй строки
равны нулю, и пусть первый отличный от нуля элемент есть г2п.
Тогда можно считать (в случае необходимости умножая на матрицы
вида АО, что г2п = 1 и s^ = 0, / = 3, . . ., d.
Эту процедуру можно применить к 3-й, 4-й строке и т. д., пока
мы не дойдем до какой-либо /-й строки, все элементы которой
Sji» • • •> Ejd равны нулю. В этом случае число а (/) можно заме-

§ 11. Простые особенности 99
нить большим, которое мы снова обозначим через а (/). Затем,
если это окажется необходимым, мы снова переставим строки так,
чтобы а A) <;...<; a (d) и опять повторим предыдущую про-
процедуру.
После конечного числа таких операций процесс введения еди-
единицы (слева и снизу от которой стоят нули) в каждую из d строк
прекратится, так как в силу неравенства а A) + . . . + a (d) <; a
индекс а (/) можно увеличивать лишь конечное число раз.
Первый столбец е1Ь г2и • • •» sdl содержит по крайней мере
один отличный от нуля элемент. В противном случае отличные
от нуля элементы могут находиться лишь в последних d — 1 столб-
столбцах, причем все элементы, стоящие под ними, равны нулю. Но тогда
найдется строка ejit . . ., Ejdy целиком состоящая из нулей, что
противоречит нашему построению. Значит, если e^i — первый
отличный от нуля элемент первого столбца, то по построению
8Я1 = 1 и ет1 = 0, т Ф п. Перенесем п-ю строку на место первой,
не нарушив при этом порядка расположения остальных строк.
В новой матрице не все из d— 1 элементов е22, . . ., Sd2 BT<>
рого столбца равны нулю; даже точнее, только один из них (скажем
ет2) равен 1, а остальные равны нулю. Это доказывается теми же
рассуждениями, которые использовались в предыдущем абзаце.
Сдвинем га-ю строку на место второй. Продолжая этот процесс,
мы получим матрицу Хо (t)9 для которой соответствующая матрица
(&jk) имеет единицы на главной диагонали и нули ниже нее, так
что det (ejft) = 1.
Таким образом, наше построение дает матрицу Хо (t) =
- Р-1 (О X (t) вида tDZ @, где Zo - (sJh), det Z @) = 1 и D =
= diag [a A), . . ., a (d)]9 причем a A), . . ., a (d) связаны с Хо (t)
так же, как а A), . . ., a (d) с X (t). Тем самым лемма полностью
доказана.
Упражнение 11.1. Докажите, что если (d x ^-матрица Q (t)
является в области 0 < | t \ < а однозначной и аналитической,
то для того, чтобы особая точка / = 0 была регулярной для системы
A1.4), необходимо, чтобы элементы матрицы Q (t) имели в t = 0
самое большее полюс (т. е. точка t = 0 не будет для Q (t) сущест-
существенно особой).
Упражнение 11.2. Пусть ^0(s) — матрица, элементы которой
являются функциями, аналитическими в кольце a<C|s|<oo.
Точка s = оо называется для системы
простой особой (регулярной особой) точкой, если точка £ = 0,
где t=\ls, является для системы у' = A(t)y, A(t)= — t~2A0 (lit),
лростой особой (регулярной особой) точкой, (а) Для того чтобы
7*

НЮ Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
особая точка s = oo была для системы A1.12) простой, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы Ао (s) —> О при | s \ —> оо. (Ь) Пусть
матрица A(t) аналитическая для всех t=^tu t2, ..., tn, оо. Для
того чтобы точки t = tu ..., tn, оо были простыми особыми точ-
точками, необходимо и достаточно, чтобы A(t) была представима
в виде А @ = (f - t^Ri +... + (*- Q-tRn, где Rt Rn -
постоянные матрицы.
Теорема 11.3. Пусть ряд A1.2) сходится при \t\<a,
и пусть ряд
% y (
n=0
является формальным решением системы A1.1) в том смысле,
что ут 0 < п < оо, удовлетворяют равенствам
Вуо = О, A1.14)
п
пуп-=Вуп-\- 2 Лд#д_Л. A1.15^)
Тогда ряд A1.13) является при \t\<ia сходящимся.
Доказательство. Так как ряд A1.2) при |£|<<а сходится, то
1Иа||<ср\ Л=1,2, ..., A1.16)
для некоторых постоянных с > 0, р > 0 в том смысле, что
| Aky\Kcpk | у\ для всех векторов у. (Например, в качестве р
можно взять любое число р> На.) Выберем г>0 столь большим,
чтобы
Пусть т—такое целое число, что \Ву\<Ст\у\ для всех векто-
векторов у. Тогда матрица В — nI является при я>т невырожденной,
так как \Ву — пу\>(п — т)\у\ФО при любом уФО. Таким
образом, если п>т, то уравнение By — ny = z имеет решение у
при любом данном г, причем
1 fl 1 < ■ _ ; в частности, |*/|<|z|, если п>т. A1.18)
Пусть 7 > 0 выбрано столь большим, что неравенства
\Уп\<угп A1.1%)
верны для п = 0, ..., т. Проверка индукцией показывает, что
неравенства A1.19) справедливы для всех п. Действительно, пусть

§ 11. Простые особенности 101
A1.19^) верно для п = 0, ..., /—1, где j—l>m. Тогда
j
BiJj — jyj = Zj, где zy= — 2 ^Wj-a.
Согласно A1.16) и предположению индукции,
а в силу A1.17) имеем |гу-|<у/*5. Отсюда и из A1.18) следует,
||||^ И
у () |у|у д
что |#./|<|2./|<Т^- Индукция закончена.
Следовательно, ряд A1.13) является сходящимся при | t \ < 1/г,
и потому при малых |/|>0 он дает решение системы A1.1).
Но тогда он сходится при | / | < а и является решением системы
A1.1) в области 0 < | t | < а, так как ни одно решение системы
A1.1) не имеет в этой области особенностей.
Упражнение 11.3. Покажите, что теорема 11.1 неверна, если
систему A1.1) заменить системой A0.1) и при этом не предполагать,
что точка t = 0 является простой особой.
Следствие 11.2. Пусть ряд A1.2) сходится при | t | < а, и пусть
собственные значения Хи . . ., Xd матрицы В таковы, что разности
Kj — А,&, /, k = 1, . . ., d, равны или нулю, или нецелым числам.
Тогда система A1.1) имеет фундаментальную матрицу вида
Y(t)=Z(t)tB, A1.20)
где ряд Z(t) = I + Z$ + Z42 + • • • является сходящимся при \t\<a.
Доказательство. Матрица A1.20) является решением системы
A1.1) в том и только том случае, когда матрица Z удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Aktk)Z\ A1.21)
см. A0.5). В свою очередь формальный ряд
оо
Z= 2 Zktk A1.22)
удовлетворяет уравнению A1.21) тогда и только тогда, когда
имеют место равенства
BZ0-Z0B = 0, A1.23)
nZn = BZn -ZnB+^] AkZn-k (П. 24)
для л=1, 2, ... . Вместо того чтобы считать A1.21) и A1.23) —
{11.24) (d х ^)-матричными уравнениями, будем рассматривать

102 Гл. /V. Линейные дифференциальные уравнения
их как системы уравнений для б[2-мерных векторов. Для любой
постоянной матрицы D уравнение
имеет единственное решение, если рФ^ — к/н /» k = 1, ..., d.
Следовательно, наша система уравнений может быть переписана
в виде BZn — \iZn — D, где матрица В, согласно лемме 10.2, явля-
является (d2 х д[2)-матрицей с d2 собственными значениями, равными
'kj— Яд, /, k = 1, ..., d.
Так как матрица Zo = I удовлетворяет A1.23), то остальные
матрицы Zi, Z2, . . . могут быть найдены последовательно из урав-
уравнений A1.24). Полученный таким образом ряд A1.22) в силу теоре-
теоремы 11.3 будет сходиться при | t | < а. Тем самым доказательство
следствия закончено.
Если окажется, что собственные значения Яь . . ., Xd матрицы
В не удовлетворяют условиям следствия 11.2, то можно сделать
замену переменной у:
у = ц (/) г], где det U (t) Ф 0 при t^O, A1.25)
так, чтобы система A1.1) перешла в новую систему
о
S Dkth)x\> A1.26)
для которой следствие 11.2 уже будет применимым. В этом слу-
случае у системы A1.1) существует фундаментальная матрица вида
Y{t) = U(t)Z(t)tc, A1.27)
где U (t) является полиномом от /, a Z (/) имеет тот же вид, что
и в A1.20). Точная формулировка этого утверждения содержится
в следующей лемме.
Лемма 11.3. Пусть ряд A1.2) сходится при \t\<Za. Тогда
существует матрица U (/), обладающая следующими свойствами:
U (/) является полиномом от t\ det U (t) Ф 0 при t Ф 0; замена
переменных по формуле A1.25) преобразует систему A1.1) в систему
A1.26), в которой сомножитель при ц представляет собой степенной
ряду сходящийся при \ t \ < а, а если обозначить собственные значе-
значения матрицы С через \iu . . ., fid, то разности \ij — ц,А, /, k =
= 1, . . ., d, равны или нулю, или нецелым числам.
Замечание 2. Из доказательства будет ясно, что если Хи ...
. . ., Xd — собственные значения матрицы В из A1.1), то числа
М-ь • . ., Цй можно перенумеровать так, чтобы разности А,,- — \ij =
= n-j !> 0 были целыми числами.
В приводимом ниже доказательстве решения системы A1.1)
не предполагаются известными (и в то же время оно дает алгоритм

§ П. Простые особенности 103
для определения матрицы С в системе A1.26), т. е. матрицы С
в следствии 11.1). Если же для системы A1.1) известна фундамен-
фундаментальная матрица, как в следствии 11.1, то для леммы 11.3 можно
получить другое доказательство, из которого, однако, не вытекает
следующее за ней замечание 2.
Упражнение ПА, Вывести лемму 11.3 из леммы 11.2.
Доказательство леммы 11.3. Предположим сначала, что матри-
матрица В дана в нормальной жордановой форме В = diag [/ A), . . .
• •> J (g)h гда J (/) представляет собой жорданову клетку вида
E.15), причем к = к (/), h = h (/), / = 1, . . ., g. Пусть В2 =
^diag[/ B), . . ., J (g)]y так что В2 есть (е X ^-матрица,
где е = d — h A).
Сделаем замену переменных
y = V(t)i\, где V(t) = diag[tlhiiy /e], A1.28)
d /лA,, h суть единичные матрицы соответствующих индексу раз-
размерностей. Тогда система A1.1) принимает вид
Разложив матрицу-коэффициент по степеням t, мы получим
^ = (^+2 Alkth)i\, A1.29)
k=i
де С1, А\ — постоянные матрицы, причем
(l) — Ihii) Al2\ /Ai{ А1
/де Л14 и Л22 суть соответственно [А A) х Л A)]- и (е х е)-матрицы.
Гаким образом, если собственные значения матрицы В равны
А- A), ..., X A) и khii)+i, ..., Xdi то собственные значения матрицы С1
соответственно будут равны ХA)— 1, ...,ХA)— 1и ЯЛA)+1, ..., Xd.
Если матрица В дана не в нормальной жордановой форме,
го требуемый результат получается заменой y = TiVi(t)ir\, где
матрица T~1BTi имеет нормальную жорданову форму. Тогда ясно,
что искомая матрица U (t) задается формулой U (t) = TtVi (t) x
* ^2^2 @ ... TjVj(t)i где 7\ — постоянная невырожденная матрица,
=* У*@ имеет такой же вид, что и У (/) в A1.28), k=l, ...,/.
Теорема 11.4. Пусть ряд A1.2) сходится при \t\<a. Пусть
^ — некоторое постоянное комплексное число и ni(>0) — число
линейно независимых векторов у, удовлетворяющих равенству
By = Xy. Тогда число Nx(>0) линейно независимых решений

J04 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
системы A1.1), имеющих вид
y{t) = th 2 УпР, A1.31)
71=0
удовлетворяет оценке
max (л*,, пх+и .. .)<^<^ + ^я+1+• • • • A1.32)
В частности, для числа No линейно независимых решений у (t)
системы A1.1), аналитических при t = 0, имеет место следую-
следующая оценка:
по<тах(по, щ .. .)<Л^о<^о + ^1+ • • • • A1.33)
В A1.31) не предполагается, что у0 Ф 0. Относительно обобще-
обобщения теоремы 11.4 см. теорему 13.1.
Доказательство теоремы 11.4 вытекает из доказательства лем-
леммы 11.3 и следующей леммы.
Лемма 11.4. Пусть ряд A1.2) сходится при \ t | < а. Тогда
число Л/\ Q> 0) линейно независимых решений системы A1.1) вида
A1.31) удовлетворяет неравенству
#*</ijt + rtui+... • (П.34)
Если из чисел А,, А,+ 1, X + 2, ... только первое является собст-
собственным значением матрицы В, то
Nh = nh A1.35)
и коэффициент у0Ф0 в любых решениях A1.31) системы A1.1).
Доказательство. Можно считать, что Х = 0; в противном слу-
случае после замены переменных y~tkr] система A1.1) заменяется
системой
*т]' = (Я-Л/+ V ЛА**)т|,
a 1 + i, дя+fe — соответственно числами k и пи.
Ряд A1.13) является решением системы A1.1) тогда и только
тогда, когда справедливы A1.14) и A1.15Д), п = 1, 2, ... . Урав-
Уравнение A1.14) имеет п0 линейно независимых решений, и если най-
найдены решения уравнений A1.14), A1.15i), . . ., A1.15a_i), то реше-
решения уравнения A1.15а) будут иметь вид z0 + zky где yk = z0 есть
частное решение уравнения A1.15&), a zk принадлежит я&-мерному
линейному многообразию решений уравнения Bz — kz = 0. Нера-
Неравенство A1.34) тем самым доказано.
Для доказательства последней части леммы предположим, что
X = 0 есть собственное значение матрицы В, а остальные собствен-
собственные значения этой матрицы не совпадают ни с одним из чисел

§ 11. Простые особенности 105
X = 1, 2, ... . Тогда уравнение A1.14) имеет п0 линейно неза-
независимых решений у о, и если уравнения A1.14), A1.15^, . . .
. . ., A1.15^) решены, то уравнение A1.15^) имеет единственное
решение. Значит, при данном у0 векторы уи у2, . . . определяются
единственным образом. Соответствующий ряд A1.13) сходится
при | t | < а и потому по теореме 11.3 является решением системы
A1.1). Таким образом, формула A1.35), а вместе с ней и лемма 11.4
доказаны.
Доказательство теоремы 11.4. Так как неравенство A1.34)
леммы 11.4 уже доказано, то остается доказать лишь левую часть
оценки A1.32). Поскольку N^ >- A^+i >- . . ., то это будет сде-
сделано, как только мы убедимся в том, что
NK>nx. A1.36)
Как и при доказательстве леммы 11.4, не теряя общности, можно
предположить, что Ы0 в A1.35) и считать, что п0 > 0 (в про-
противном случае неравенство A1.36) тривиально). В силу леммы 11.4
можно также предполагать, что матрица В имеет целое и положи-
положительное собственное значение.
Из доказательства леммы 11.3 ясно, что существует замена
переменных A1.25), где U (t) является полиномом от t, переводящая
систему A1.1) в систему A1.26), в которой собственные значения
матрицы С совпадают с собственными значениями матрицы В,
за исключением какого-либо целочисленного собственного значения
X = п > 0, переходящего в X = 0. Пусть пх (С) обозначает для
матрицы С то же самое, что и п% для В. Покажем, что
no(Q>no. A1.37)
Для этой цели достаточно проанализировать доказательство лем-
леммы 11.3 и убедиться в том, что на каждом шаге имеет место аналог
неравенства A1.37). Таким образом, если первый шаг ведет от A1.1)
к A1.29), то достаточно показать, что
п0 (С1) > п0. A1.38)
Пусть матрица В дана в нормальной жордановой форме, В —
= diag U A), . . ., J (g)]y и пусть к A) > 0 есть целое число.
Сделаем замену переменных A1.28), переводящую систему A1.1)
в A1.29), где матрица С задается формулой A1.30). Так как X A) Ф 0
и В2 дана в нормальной жордановой форме, то ясно, что п0 строк
матрицы В2 содержат только нули. Значит, ранг матрицы О
из A1.30) не превосходит d — п0, так что имеет место неравенство
A1.38). Отсюда вытекает справедливость неравенства A1.37).
Так как ни одно из чисел X = 1, 2, ... не является собствен-
собственным значением матрицы С, то из последней части леммы 11.4 сле-
следует, что система A1.26) имеет п0 (С) линейно независимых решений

.106 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
г) (f), регулярных при / = 0. Поскольку U (t) является полиномом
от t, то A1.25) показывает, что система A1.1) имеет по меньшей мере
п0(С)линейно независимых решений у (/), регулярных при / = 0.
Отсюда и из A1.37) вытекает A1.36) при X = 0 (как было отмечено,
это не уменьшает общности рассуждений). Теорема 11.4 доказана.
Упражнение 11.5. (а) Пусть A (f) = (ajk @) есть (dx^-матри-
(dx^-матрица, аналитическая при | t | < а. Пусть а (/) = 0 или 1, и пусть
а < d, где а = а A) + . . . + a (d). Тогда система
= 2 ajk(t)y\ /=1 d,
имеет по меньшей мере d — а линейно независимых решений, анали-
аналитических при t = 0. (b) Пусть функции а0 (t), а{ (t) аналитичны
при \t\<Ca. Тогда дифференциальное уравнение
имеет по крайней мере одно решение и (t) Ф 0, аналитическое
при £ = 0. По поводу обобщения этого упражнения см. § 13.
^ 12. Уравнения высших порядков
Рассмотрим дифференциальное уравнение d-ro порядка
t)u = ^ A2.1)
з котором коэффициенты являются однозначными аналитическими
функциями в «пунктированном» круге 0<|£|<я. Вместо того
чтобы представлять уравнение A2.1) обычным способом как
систему первого порядка, преобразуем его в систему относительно
вектора у = {у1, ..., yd), где
yj = V-luV-l\ /=1, ..., d. A2.2)
Гогда
tyir = (j-l)y' + yI+l, /=1, ...,d-l,
d A2.3)
ty*' (dl)yd 2 P^VpVtf
Таким образом, точка ^ = 0 будет для этой системы про-
простой особой точкой, если функция td~kph(t) является аналити-
аналитической в точке £ = 0 при & = 0, ..., d— 1, т. е. если pd-i@ имеет
в точке t — 0 самое большее полюс первого порядка, pd-г (О —
самое большее полюс второго порядка, ..., po(t) — самое большее
полюс d-ro порядка. Положим в этом случае
t) = bk+ 2 pkntn, k = 0, ...,d-l, A2.4)
71=1

§ 12. Уравнения высших порядков
107
где bk и pkn — постоянные, а ряд, стоящий в правой части, схо-
сходится при \t\<ia. Тогда уравнение A2.1) имеет вид
u{d) -+ t^aa-i (t) м<*-1> + ... + r^Dai (t) и' н- /"Ч @ и = 0, A2.5)
где функции ао(О» ..., ^^-i @ являются в точке ^ = 0 аналити-
аналитическими. Система A2.3) соответственно переписывается в виде A1.1),
где В — постоянная матрица вида
0
0
0
О
1
1
0
0
0
1
2
0
0
0
1
3
0
0
О
О
A2.6)
0 0 0 0 ... 1
Матрица коэффициентов правой части системы A2.3) сводится
к постоянной матрице В, если pkn = 0 для k = 0, ..., d—1 ил =
— 1, 2, ... . Это соответствует случаю, когда A2.1) имеет вид
где Ьо, . . ., bd-i — постоянные. Уравнение A2.7) называется диф-
дифференциальным уравнением Эйлера. Его решения легко определить,
если учесть, что фундаментальная матрица для соответствующей
системы A2.3) равна Y (t) = tB\ см. замечание, следующее за A1.3).
Гогда, как известно, решения уравнения A2.7) являются линейны-
линейными комбинациями функций вида th (log t)k.
Числа к и допустимые значения k определяются по нормальной
жордановой форме матрицы В. Очевидно, уравнение A2.7) имеет
решения и — tk в том и только том случае, когда к является соб-
собственным значением матрицы В. Подставляя и = tK в A2.6), видим,
что этот случай возможен тогда и только тогда, когда F (к) = 0,
где
d
F(^)= 2 bd4X(k—l) ... (X — j + l) и bd=l. A2.8)
VpaBHeHne F(k) = 0 называется для уравнения A2.5) характери-
характеристическим.
Пусть к A), . . ., к (g) — различные решения уравнения F (к) =
■-= 0 с соответствующими кратностями Л A), . . ., h (g), где
h A) + . . . -f h (g) = d. Тогда множество линейно независимых
решений уравнения A2.7) состоит из функций вида №> (log /)\
где / = 1, . . ., g и к = 0, . . ., h (/) — 1.
Упражнение 12.1. (а) Докажите последнее утверждение с помо-
помощью рассуждений такого же типа, что и в § 8 (vi) (после упр. 8.1).

108 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
(Ь) Замечания, касающиеся систем A1.1) и A1.3), показывают, что
замена переменной t = ё3 приводит систему A2.3), соответствую-
соответствующую уравнению A2.7), к системе с постоянными коэффициентами.
Непосредственной проверкой убедитесь, что подстановка t = e*
приводит A2.7) к уравнению с постоянными коэффициентами,
и получите отсюда, что утверждение (а) вытекает непосредственно
из § 8 (vi).
Вернемся к общему уравнению A2.1) и соответствующей систе-
системе A2.3). Докажем следующую теорему.
Теорема 12.1 (Фукс). Пусть функции pk (f) являются однознач-
однозначными и аналитическими в области 0 < \ t | < а. Тогда для того,
чтобы точка t = 0 являлась для системы A2.3) регулярной особой,
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке система A2.3) имело
простую особенность (т. е. необходимо и достаточно, чтобы ряд
в правой части формулы A2.4) сходился).
Ясно, что точка t = 0 является для системы A2.3) регулярной
особой в том и только том случае, когда решения уравнения A2.1)
представляют собой линейные комбинации функций вида
tx (log t)h a (/), где a (f) является функцией, аналитической при
\t\<a.
Доказательство. Достаточность условия следует из теоремы 11.1
Остается доказать лишь необходимость.
Из теоремы 10.1 следует, что уравнение A2.1) имеет по крайней
мере одно решение вида и± (/) = /яа4 (f), где функция а4 (t) анали-
аналитическая в кольце 0 < | t \ < а. Если предположить, что точка
t = 0 является для системы A2.3) регулярной особой точкой, то
функция о^ (t) будет иметь в t = 0 самое большее полюс. В действи-
действительности за счет выбора X можно считать, что о^ (t) является в точ-
точке t = 0 аналитической. В частности, а4 (t) Ф 0 для малых | t \ > 0
Доказательство будем вести индукцией по d. Рассмотрим сначала
уравнение 1-го порядка
с решением и± (t) = /яа4 (/), где а{ (t) аналитична в точке t = 0.
Ясно, что функция ро @ = — и>'г (t)lui (t) имеет в точке t — 0
самое большее полюс порядка d = 1.
Предположим, что d> 1 и что теорема для уравнений порядка
d — 1 справедлива. Пусть и = и± (t) является решением описан-
описанного выше типа. Введем для малых /> 0 новую зависимую пере-
переменную v = u/Ui. Тогда A2.1) перейдет в уравнение вида
(t)v«-V + .. . +qo(t)vr = Ъ, A2.9)
которое для функции v' будет уравнением (d-r-l)-ro порядка.

§ 12. Уравнения высших порядков 109
Легко видеть, что
«7d-2 @ = Cdi (uJUi) + pd-i (t),
d-U lPd-i (u'JUi) + pd_2, A2.10)
q0 (t) = Cd, d-i (uW-D/иО + См. d-2Pd-i (uf 2/Ui) + ... + Pi @.
и так как u = ui(t) является решением уравнения A2.1),
0 = uW/Ui + pa-i (u[*-v/ud + ... + Ро (t), A2.11)
где через С/* = /!/&! (/ — k)\ обозначены сочетания из / по k.
Уравнение A2.9), как уравнение порядка d— 1 для v', имеет
решение v' = (u/ui)', определяемое произвольным решением и (/)
уравнения A2.1). Следовательно, точка £ = 0 является регуляр-
регулярной особой точкой для системы, связанной с A2.9). Поэтому по пред-
предположению индукции функция td~x~hqh (f) является в точке t = 0
аналитической, k = 0, . . ., d — 2. Значит, и[кУщ имеет в точке
t = 0 самое большее полюс порядка k. Тогда из A2.10) и A2.11)
следует, что pd-i имеет в точке / = 0 самое большее полюс поряд-
порядка 1, pd-2 — полюс порядка 2 и т. д. Теорема доказана.
Упражнение 12.2. Пусть функции р0 (t), ..., pd-i (t) анали-
аналитические в кольце а < 11 \ < оо. Точка t = оо называется для
уравнения A2.1) простой особой (или регулярной особой) точ-
точкой, если она является простой особой (или регулярной особой)
точкой для системы A2.3); ср. упр. 11.2. (а) Для того чтобы
точка £=оо была для уравнения A2.1) простой особой, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ^^рд (^) —>0 при |^|—>оо, k =
= 0, ..., d— 1. (b) Пусть функции Po(t), -.., Pd-i (t) аналитиче-
аналитические при t^tu...,tni оо. Точки t = tl,...,tn, оо будут
для A2.1) простыми особыми точками в том и только в том случае,
когда функции pd-h (t) имеют вид pd-k (t) = (t — ^) ...
... (t — tn)~kak (t), k = 1, ..., d, где ak (t) — полином степени не
больше чем k(d—1). (Дифференциальные уравнения с такими свой-
свойствами называются уравнениями типа Фукса.)
Для уравнения A2.5) второго порядка (d = 2) с регулярной
особой точкой / = 0 изучение поведения фундаментальных решений
является сравнительно простой задачей. Решения уравнения можно
попытаться сначала определить в виде ряда
оо
и = & 2 cktk A2.12)
с помощью метода неопределенных коэффициентов. Если корни
^ь ^2 характеристического уравнения F (к) = 0 [ср. A2.4) и A2.8I
таковы, что разность к{ — i2 не является целым числом, то мы
получим в этом случае два решения вида A2.12) с к = Хи Я2; см.
•следствие 11.2. Если Я4 — к2 ^ 0 есть целое число, то таким путем

НО Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
мы все еще можем получить одно решение и (t) вида A2.12) с X = Я4;
см. лемму 11.4. Второе линейно независимое решение v (f) может
быть получено, согласно результату § 8 (iv), из равенства
(v/uY = и-2 (t) exp — s-Ч (s) ds.
Упражнение 12.3. Изучите поведение решений в (конечных)
особых точках следующих уравнений: (а) Ри" + tu' + (Р — \х2) и =
= О (уравнение Бесселя); (Ь) A — Р) и" — 2tu' + п (п + I) и = О
(уравнение Лежандра); (с) A — Р) и" — 2tu' + [п (п + 1) —
— т2 A — Р)~г] и = 0 (присоединенное уравнение Лежандра).
§ 13. Кратные особенности
В этом параграфе будет доказана теорема о числе аналитиче-
аналитических решений одного частного вида линейных однородных систем,
для которых точка t — 0 является особой, но не обязательно
простой.
Теорема 13.1 (Леттенмейер). Пусть A (f) = (ajk @)
(d x d)-матрица, аналитическая в точке t = 0. Пусть а (/) ^> Г
есть целое число для j = 1, . . ., d, и пусть а < d, где а --
— а A) + . . . + а (d). Тогда система
MV- 2 ajk(t)y\ /=1, ...,d, A3.Г
имеет по крайней мере d — а линейно независимых решений, анали-
аналитических в точке t = 0.
Эта теорема является обобщением теоремы 11.4, которая соот-
соответствует случаю а (/) = 0 или 1; ср. упр. 11.5.
Доказательство. Решения системы A3.1), аналитические в точке
/ = 0, будут найдены методом неопределенных коэффициентов.
Пусть функции ajk(t) имеют в окрестности нуля следующие разло-
разложения:
ajh(t)= 2 а,А,тГ. A3.2;
Рассмотрим решение у (t) = (у1 (£), ..., yd (t)) системы A3.1), компо-
компоненты которого суть сходящиеся ряды
y}(t)= S у\Р- A3.з>

§ 13. Кратные особенности Ш«
Тогда коэффициенты у*т должны удовлетворять системе
d m
[т-а (/) + l]y'm_aa)+i = Д Д aJh, m-ny^ A3.4,m>
где /=1, ...,d и т = 0, 1, ... . Ясно, что yJm = 0 при /гг< 0.
Обратно, если совокупность чисел у*п удовлетворяет A3.4) и каж-
каждый из рядов A3.3) для /=1, .. ч d при малых |tf| сходится,
то вектор y(t) = (y1(t), ...,yd(t)) будет решением системы A3.1),
аналитическим в точке / = 0.
Пусть N — некоторое достаточно большое фиксированное целое
число, точное значение которого будет определено позже. Разобьем
систему A3.4jm) на две системы:
24: A3.4jm) для /=1, ...,d и 0<m<N + a (/) —2, A3.5)
22: (ISAjm) для /=1, ..., d и m>N + a(j)-l. A3.6)
Так как по предположению ряды A3.2) являются сходящимися,
то существуют положительные числа сир, такие, что
К*,т|<^> /, *=1, ...,d; /и = 0, 1, ... . A3.7)
Пусть 0 < 9 < 1. Введем следующие обозначения:
6 A3.8)
fl^ft, m+aG)-n-l (врГ
Cjm,hn= • A3.9)
Последние соотношения эквивалентны следующим:
Таким образом, система 22 может быть переписана в виде
d m
h=ln=0
где A = /7z —a(/)+1, или, иначе, в виде
гг m-faO')-l
Zjm+ 2 2
ft I
и, наконец, так:
d m-fa(i)-l d iV— 1
Z/m+ 2 2 Cjm,knZkn=— 2 2 Cjm, pqZpq, Ш> N. A3.10)
fcl iV l0
Ясно, что внутренняя сумма в левой части (для
+ a(/)~ 1) равна нулю, если m-\-a(j) = N.

112 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Пусть р, ^ — фиксированные целые числа, удовлетворяющие
неравенствам l<p<d и 0<<7<Л/г — 1- Рассмотрим вместо A3.10)
следующую систему:
d m+a(;)-l
Z/m + 2 2 Cjm,knZkn = CjmtPq, A3.11)
h=l n=N
где /=1, ...,d и m^N. Покажем, что если iV достаточно
велико, то система A3.11) имеет решение 2^ = 2^, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям
|z?£|<2 для /=1, ...,d и /гс>#. A3.12)
Для этой цели заметим сначала, что, согласно A3.7) и A3.9)
m
Значит, если с' и с" — подходящим образом выбранные постоян
ные (не зависящие от р, q, N), то
2j \Cjm,pq\ ^-Д^" 2j U — ,V2A —62)'
m+a (i) — 1 m+a(;)—1 oo
2j Kjm,^| <m2 2j y <m2 Zj ° <m2*
n=.Y n=iV n=l — a (i)
Отсюда при достаточно большом Af и произвольных допустимых
р и q получим
d с»
2 2 кл»,рд|2^ж<1- A3.13)
d d oo m+a (i) — 1 oo
2 2 S 2 i'M.te|««*v 2 i<|- (i3.i4)
Начиная с этого места, мы будем считать, что N выбрано так,
что справедливы неравенства A3.13) и A3.14). Обозначим через
\i> N некоторое фиксированное целое число и заменим бесконеч-
бесконечную систему A3.11), где /=1, . ..,d и m>N', конечной систе-
системой уравнений
d v
2?m+ 2 2 Cjm,hnZ%n= — СМ| pg, A3.15)
fc=l n=iV
где y = l, ...,d, Af<m<|a и
v = v(/, m, |i) = min[|i, m + a (/) — !]. A3.16)

§ 13. Кратные особенности 113
Систему A3.15) можно переписать в виде
Е + С£ = л. A3.17)
где через £ обозначен e = d(\i — N+ 1)-мерный вектор [с компо-
компонентами zfm, j = 1, ..., d и т = N, ..., |i; через т| обозначен
^-мерный вектор с компонентами — cjnit pq для значений / = 1, ..., d
и m = N, ..., |а, а через С —некоторая (е X е)-матрица. Из A3.13)
и A3.14) ясно, что (в евклидовой норме)
||г]||<1 и || С||< 1/2.
Значит, система A3.17) имеет единственное решение |, удовлет-
удовлетворяющее условию ||£||<2, так как || т| || = || 1 + С11| > || 11| —
—1| СН || > || 5 ||/2. Следовательно, конечная система A3.15) имеет
единственное решение г%, причем
Используя канторовский диагональный процесс (теорема 1.2.1),
можно выбрать такую последовательность целых чисел (N <) [х A) <
<С j.i B) << ..., что существуют пределы
Заметим, что определяемое соотношениями A3.15) и A3.16) число
v = v(/, m, fi)—»m + a (/) — 1 при |u-^oo. Поэтому, устремив
в A3.15) число \i = \x(h) к оо, мы получим, что zjj£ при
/■=1, ...,d и m>N являются решением системы A3.11), удо-
удовлетворяющим неравенству A3.12).
Следовательно, если zpq — произвольные dN чисел, определен-
определенные для р=1, ...,d и <7 = 0, ...,// — 1, то решение систе-
системы A3.10) для / = 1, ..., d и m > N будет задаваться соотношениями
d iY-1
Zjm~ 2j ^J ZjmZpq- A3.18/m)
p=l Q=0
Другими словами, уравнения системы 2г из A3.6) (т. е. уравне-
уравнения системы A3.10) для /=1, ...,d и m^>N) удовлетворены,
если для /=-1, ...,d и т>N выполнены соотношения A3.18jm).
Таким образом, если у*т или, что эквивалентно, zjm будут
удовлетворить системам 2i и A3.18), то они будут удовлетворять
и исходной системе A3.4,т). Положим a* = max[a(l), ...,a(d)].
Очевидно, что система 2t содержит d(N + a*— 1) неизвестных z,-m,
где /=1, ...,d и т = 0, ...,N + a* — 2; см. A3.4jm) для
/=1, ...,d и 0<т<Л^ + а (/) —2. Таким образом, система 2i
состоит из [N — 1 + а A)] + ... + [N — 1 + a (d)} = d (Л/ — 1) + а урав-
уравнений, где a = a(l)-b ... +a(d).
8—241

114 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
Добавим к системе 2i множество (возможно, пустое) уравнений
2з- A3.18,-т), где /=1, ...,d, N<m<N + a*-2.
Система 2з состоит из d(a*— 1) уравнений и содержит те же
самые d(N + a*— 1) неизвестных, что и 2i- Значит, объединен-
объединенная система 2i и 2з имеет по крайней мере d(N + a* — 1) —
— [d (Л/" — 1) + а + d (а* — 1)] = d — а линейно независимых решений.
Взяв произвольное решение объединенной системы 2i и 2з>
мы из уравнений A3.187-m), m>N + а* — 2, и системы 2з найдем
соответствующее решение системы 22. Полученное в итоге мно-
множество чисел i4 = z,-m/(9p)m, где /=1, ...,d и т = 0, 1,...,
будет решением систем 2i и 2г* ^ силу A3.12) и A3.18) най-
дется^постоянная с07 такая, что |z/m|<c0; значит, | yjm \ < co/(Qp)m
для всех / = 1, ..., d и т > 0. Следовательно, если ] t \ < 0р,
то ряды A3.3) для всех /= 1, ..., d сходятся. Теорема доказана.
Упражнение 13.1 (Перрон). Пусть функции aj(t), / = 0, ..., d,
являются аналитическими при \t\<.a. Пусть а —целое число,
0<a<d. Покажите, что уравнение
имеет по крайней мере d — а линейно независимых решений, ана-
аналитических в точке £ = 0.
Упражнение 13.2 (Леттенмейер). (а) Пусть A(t) и X (t) суть
(d X ^-матрицы, аналитические в точке t==0. Пусть detX(^)^O
и detX(O имеет в точке t = 0 нуль порядка a, 0<a<d. Тогда
система
X(t)y' = A(t)y A3.19)
имеет по крайней мере d — а линейно независимых решений, ана-
аналитических в точке t = 0. (b) Пусть матрицы X (t) и A (t) анали-
аналитические в односвязной ^-области £, такой, что в ней detX(f)=p=O
и detX(/) имеет точно а нулей с учетом их кратности. Пусть
a<id. Тогда система A3.19) имеет по крайней мере d — а линейно
независимых решений y(t), аналитических в Е.
Упражнение 13.3. Пусть матрица X (t) такая же, как
в упр. 13.2 (а). Пусть f(t, y) = f(t, г/1, ..., yd) — некоторый d-мер-
ный вектор, каждая компонента которого является аналитической
функцией (т. е. представляется сходящимся степенным рядом)
от t, у1, ..., yd- Тогда система
X(t)y' = f(t, у)
имеет (d — а)-параметрическое семейство решений y(t), аналити-
аналитических в точке t = 0. См. Басе [1].

Пр имечания 115
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1. Равенство A.5) в теореме 1.2 так же, как его частный случай (8.4),
было дано Лиувиллем [2] в 1838 г., но некоторые авторы связывают с именем
Лиувилля только формулу (8.4), а A.5) называют формулой Якоби. Теорему
1.2 доказал в 1845 г. также Якоби [1, iy, стр. 403] в том частном случае,
когда система A.1) заменена одним линейным уравнением второго порядка;
соответствующая формула (8.4) встречается в одной работе A827 г.) Абеля
11, I, стр. 251]. Понятие фундаментальной системы решений принадлежит
Лагранжу (приблизительно 1765 г.); см. [2, I, стр. 473]. Термин «фундамен-
«фундаментальная система решений» был введен Фуксом [4, стр. 117] в 1866 г.
§ 2. Метод вариации постоянных (и следствие 2.1) по существу принад-
принадлежит Лагранжу A774—1775 гг.); см. [2, IV, стр. 9 и 159]. Результат упр. 2.2
восходит к Перрону [11]. Он был доказан также Дилиберто [1], [2]. Доказа-
Доказательство, приведенное в указаниях и использующее упр. 2.1, принадлежит
Рейду [4].
§ 3. Возможность понижения порядка уравнения, если известно одно»
его решение, была установлена Даламбером A762—1765 гг.) для линейного
уравнения d-ro порядка. Следствие 3.1 для случая, когда система A.1>
заменена одним уравнением d-ro порядка [см. (8.2) и (8.19)], в неявном виде
содержится в одном результате, полученном в 1833 г. Либри [1, стр. 185—
194], который высказал также предположение о возможности распростране-
распространения этого результата на системы. В явном виде следствие 3.1 для уравнения
d-ro порядка доказано в 1874 г. Фробениусом [1].
§ 5. Для аналогичного случая линейного уравнения d-ro порядка общее
решение [§ 8 (vi)] было получено Эйлером A743 г.).
§ 6. Теорема 6.1 для уравнения d-ro порядка была доказана в 1883 г.
Флоке [1].
§ 7. Уравнение, сопряженное к линейному уравнению d-ro порядка,
было найдено Лагранжем около 1765 г.; см. [2, I, стр. 471]. Сопряженная
система G.1) была определена в 1837 г. Якоби; см. [1, IV, стр. 403]. Термин
«сопряженный» введен в 1873 г. Фуксом [1, стр. 442].
§ 8. См. примечания к § 1—7. Упр. 8.3 содержит результат Пойя [1]; см.
комментарии Хартмана [15].
§ 9. Формализм преобразований, связанный с формулами (9.1)—(9.6),
широко использовал Биркгоф [3]. В основе упр. 9.1 лежат рассуждения,
встречающиеся у Чезари [1]; см. также Левинсон [3].
Добавление. Исторический обзор и литературу см. в работах Шлезин-
Шлезингера [2], Форсайта [1], а также в статье Хильба [1]; о позднейших исследова-
исследованиях см. Шмидт [1].
§ 10. Изучение задач, возникающих из представления A0.2), было
начато Риманом в работе 1857 г. (ср. [1, стр. 379—390]) и независимо от него
в 1865 г. Фуксом (см. [1, стр. 124]). Теорема 10.1 в существенной своей части
принадлежит Гамбургеру [1]; в приведенном доказательстве мы следуем
Коддингтону и Левинсону [2]. Хотя статья Уинтнера [5] и содержит много
ошибочных утверждений, в том числе и основную теорему, но тем не менее
в ней есть ряд хороших идей, например предложение рассматривать A0.5)
не как матричное уравнение, а как систему A0.6) из d2 уравнений; о приме-
применениях см. § 11.
§ 11. Теорема 11.1 принадлежит Соважу [1]; у Хильба [1] см. ссылку
на Хорна и Шлезингера. Приведенное в тексте доказательство взято у Бирк-
8*

116 Гл. IV. Линейные дифференциальные уравнения
гофа [1]. Частичное обращение — теорема 11.2 — было получено Соважем
я Кенигсбергером; первое полное доказательство принадлежит Хорну [1].
Приведенное здесь доказательство восходит к Шлезингеру [1, стр. 141—162],
который в свою очередь ссылается на то, что лемма 11.2 доказана Кронекером.
Об аналогичных доказательствах этой леммы см. Леттенмейер [1] и Мозер [2];
обобщения были получены Гильбертом, Племелжем и Биркгофом; по поводу
ссылок см. Биркгоф [2]. Следствие 11.2 и лемма 11.3 содержатся в работе
Раша [1, стр. 113]. Применения их в связи с A1.25)—A1.27) даны Шмидтом
[1]. Упражнение 11.5 является частным случаем результата теоремы 13.1
Леттенмейера [1].
§ 12. Теорема 12.1 была доказана в 1868 г. Фуксом [1, стр. 212]. В част-
частных случаях она сначала была получена Риманом [1, стр. 379—390]. При-
Приведенное в тексте доказательство "необходимости принадлежит Томе [1];
у Хилба [1] можно найти ссылку на Фробениуса.
§ 13. Теорема 13.1, принадлежащая Леттенмейеру [1], обобщает резуль-
результат Перрона [1] из упр. 13.1, в котором рассматривается одно уравнение
i-ro порядка. Приведенное выше доказательство является модификацией
доказательства Леттенмейера, которое в свою очередь основано на получен-
полученном Хилбом [2] доказательстве теоремы Перрона. Относительно упр. 13.2 см.
Леттенмейер [1].

Глава V
Зависимость от начальных
условий и параметров
§ 1. Предварительные замечания
Пусть на открытом (/, г/)-множестве Е задана вектор-функция
/ (/, у), обладающая следующим свойством: если точка (tOi у0) 6 Еу
то задача Коши
У* =f(t, У), У (к)-У, A.1)
имеет единственное решение у (t) = т] (t> tOi y0), определенное
на некотором максимальном /-интервале (со_, со+), где со± зависят
от (t0, У о)- В этой главе мы рассмотрим свойства гладкости
(т. е. свойства непрерывности и дифференцируемое™) решения
Л (U tOi г/о)-
Часто встречается более общая ситуация, когда вместо одной
задачи A.1) задается некоторое семейство задач Коши
У' =f(U У, *), у (t0) = t/0, A.2)
зависящее от множества параметров г = (г1, . . ., ге)у причем для
каждого фиксированного z задача A.2) имеет единственное решение
у (t) = rj (t, to, у о, ^). В большинстве случаев вопрос о зависимости
решений задачи A.1) от t и (tOy y0) может быть сведен к вопросу
о зависимости от t и z решений семейства задач Коши A.2) при
фиксированном начальном условии у (t0) — yo\ обратно, вопрос
о зависимости решений задач A.2) от t, t0, y0 и z может быть сведен
к вопросу о гладкости решений такой задачи Коши, в которой нет
зависимости от внешнего параметра г. Первое сведение осуще-
осуществляется заменой переменных t, у -> t — t0, у — у0, превращаю-
превращающей A.1) в задачу
У' =f(t-t0, У-Уо)> У@) -0, A.3)
в которой значения z = (t0, y0) = (t0, yLQ9 . . ., у*) можно рас-
рассматривать как множество параметров (при фиксированном началь-
начальном условии у @) = 0). Второе (обратное) сведение получается заме-
заменой A.2) задачей Коши
y' = f(t,y,*)9 г' = 0; y(to) = yo, г (t0) = г0 A.4)
Для (d + е)-мерного вектора (у, z), в которой уже нет внешнего
параметра, причем здесь в качестве (t0, у о, z0) берется любой воз-
возможный набор значений (t, yf z). По этой причине некоторые

118 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
из приводимых ниже теорем будут сформулированы для задачи
A.2), но доказательства их будут даны применительно к зада-
задаче A.1).
Всюду дальше х, у, т), / 6 Rd, z 6 Re, где d, e ]> 1.
§ 2. Непрерывность
Предположение о единственности решения влечет за собой
непрерывность общего решения у = r\ (t, t0, у0, z) уравнения
У' - f (U У, г).
Теорема 2.1. Пусть функция f (/, у, г) непрерывна на открытом
(t, у, г)-множестве Е, и пусть для каждого (t0, у0, г) £ Е задача
Коша A.2) с фиксированным z имеет единственное решение у (t) =
= Л {U t0, уOi г). Пусть (о_ < t < (о+ является максимальным
интервалом существования решения у (f) = rj (/, /0, г/0> г). Тогда
со+ = (о+ (/о, 1/о, г) (или со_ = (о_ (/0, г/0, г)) является полунепрерыв-
полунепрерывной снизу (сверху) функцией от (t0, у0, z) £ Е, a rj (t, /0, уо, z)
непрерывна на множестве (о_ < t < (о+, (/0, Уо> 2) 6 £"•
Ясно, что со+ [со_] может принимать значение +оо [—оо]. Полу-
Полунепрерывность снизу функции (о+ в точке (tl9 yu z±) означает, что
если t° < со+ (/ь уи 2^, то (о+ (/0, Уо, г) > /° для всех (/0, Уо, z),
близких к (tu yu 2i); другими словами,
со+ (/ь г/ь Zi) < lim @+ (f0, г/о, z0)
при (/о, «/о» z0)-> (tfi, t/i, Zi). Аналогично определяется и полуне-
полунепрерывность сверху функции со _.
Легко видеть, что функции со± (/0, У о, z) не обязаны быть непре-
непрерывными. Пусть (tu Уи z^ ^ Е и /i < t° < со+ (/ь уи 24).
Если £ заменить множеством, полученным из него удалением
точки (/, у, z) = (t\ г) (/°, tu Уи гд, z^, то со+ (tu Уи Zi) будет
теперь равняться t°, но значения со+ для всех остальных точек
(^о, Уо» z) вблизи (^, уь 2Х) не изменятся.
Замечание. Пусть / (t, у, г) и г] (/, /0, Уо, z) определены так же,
как в теореме 2.1. При фиксированных (/, /0, z) соотношение
у = г] (/, /0, Уо, z) можно рассматривать как отображение, пере-
переводящее уо в у. Предположение о единственности решения задачи
A.2) для (/0, Уо, z) 6 £ означает, что это отображение взаимно
однозначно. Действительно, обратное отображение задается соот-
соотношением Уо = Ц (tOf t, у, z). Из теоремы 2.1 следует, что отобра-
отображение уо-> У непрерывно.
Доказательство. Так как задача A.2) может быть заменена зада-
задачей A.4), а вектор (у, z) — вектором у, то без потери общности
можно предположить, что / не зависит от г. Итак, будем считать,

§ 3. Дифференцируемость 119
что / (t, у) определена на открытом (t, у)-множестве Е и что задача
A.1) имеет единственное решение у (t) = г) (/, /0, у0) на макси-
максимальном интервале существования со_</<со+, где со± =
= со± (tOf У о)- Покажем, что в таком виде теорема 2.1 будет просто
следствием теоремы П.3.2 для случая fn (t, у) = f (ty у), п =
= 1, 2, ....
Для того чтобы убедиться в том, что функция со+ (/0, у о) являет-
является полунепрерывной снизу, выберем в Е последовательность
точек (/ь г/iо), (t2, у20), . . ., таких, что (tny уп0) -> (t0, у0) 6 Е и
<о+ (/«, У^о) -> <^ (<°°) при л -> оо, где с — Ит со+ (/*, у*) при
(/*, у*) -> (/0, у о)- Так как решение задачи A.1) единственно,
то из теоремы II.3.2 следует, что с ^> со+ = ^+ (/о» Уо)> а это и озна-
означает полунепрерывность снизу функции со+ (/0, У о)- Доказательство
полунепрерывности сверху функции со _ (/0, у0) проводится ана-
аналогично.
Заметим, что в случае, когда fn = /, п = 1, 2, . . ., и решение
задачи A.1) единственно, выбирать подходящую подпоследова-
подпоследовательность в теореме II.3.2 не нужно. Отсюда следует, что ц (/, /0, у о)
является непрерывной функцией от (/0, у о) при каждом фиксиро-
фиксированном /, со_ (/о, Уо) < t < co-f. (/0, Уо); в действительности эта
непрерывность является даже равномерной для t1 ^ t ^ t2y
со _ (/0, Уо) < ^ < t2 < сон- (/0, Уо)- Другими словами, для любого
s >> 0 существует б80 > 0, зависящее от (tOi yOi t1, /2), такое, что
при | /0 — ti |, | уо — r/i | < бе0 для всех Z1 <; / <; /2 выполняется
неравенство
h(*» ^o» Уо) — г|(^ ^i, y
Но из непрерывности т] (^, t0, у0) по ^ при фиксированном (^0, Уо)
следует, что существует 681>О, зависящее от (^0, у0, t1, t2), такое, что
h(^ ^о^ Уо) — ^ E, ^о^ Уо)|<£>
если |^ —s|<6el, tl*Cs,t<Ct2. Поэтому, если бе = min Fе0, 681)
и \t — s\, \to — ti\, |у0 — yi|<6e, то
ЛE, ^о» f/o) —il(^ *i» У0|<28.
Доказательство теоремы 2.1 тем самым завершено.
§ 3. Дифференцируемость
Если предположить, что f (t, у, г) принадлежит классу С1,
то общее решение у = г) (/, /0, у0, г) задачи A.2) тоже принадле-
принадлежит классу С1. Этот результат, даже в более сильной форме, содер-
содержится в следующей теореме.
Теорема 3.1 (Пеано). Пусть функция f(t,y,z) непрерывна
а открытом (t, у, г)-множестве Е и обладает там непрерыв-

120 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
ными частными производными df/dyk, dfldz1 no компонентам
векторов у и z. Тогда (i) единственное решение y = r[(t, t0, yo,z)
задачи A.2) принадлежит классу С1 в открытой области его
определения со_ < t < со+, (t0, у0, z) £ Е, где со± = со± (tOy у0, г)\
(ii) далее, если J (t) = J (t, t0, y0, z) обозначает матрицу Якобы
(df/dy), вычисленную в точке y = r](t, t0, y0, z), т. е.
C.1)
y=r\(t, to, j/o, 2)
то (a)x = dr)(t, t0, y0, z)/dy^ будет решением задачи Коши
x' = J(t)x, x(to) = eh, C.2)
где eh = (el, .. .,^), e{ = 0 при кф]',е*=1; (b) x = d<r\(t,to,yOiz)/dzt
будет решением задачи Коши
x' = J(t)x + gj(t), x(to) = O, C.3)
где gj (t) = gj (t, t0, y0, z) есть вектор df (t, y, z)ldz\ взятый в точке
y^^iUtfr Уь,г)\ (с) производная <3г) (/, /0, у0, z)/dt0 будет опре-
определяться формулой
Д^/о,*). C-4)
Единственность решения задачи A.2) гарантируется, например,
теоремой II. 1.1. Заметим, что утверждения, касающиеся дц/ду^
и задачи C.2) или дч\!дгд и задачи C.3), формально получаются
как результат дифференцирования обоих уравнений задачи A.2),
т. е. уравнений
Л' (*> ^ Уы 2) = / (U т), г), г) (^0, t0, г/0, г) = у0
по переменным у1* или z\ Аналогично, формальное дифференциро-
дифференцирование этих уравнений по /0 показывает, что х = дг\1д10 является
решением уравнения xf = J (t) х, удовлетворяющим начальному
условию х (t0) — — ti' (/0, ^ т]о* г) = — / (Го, у0, z). Но / (/0, у0, г) -----
= 2/^(^0» Уо» z)eh> и потому C.4) является формальным следствием
уравнений C.2) и принципа суперпозиции (теорема IV. 1.1) для
линейной системы х' = J (t) x.
Более общо, если y(t, s) является 1-параметрическим семейством
решений уравнений у'' = / (t, у, z) при фиксированном г, у (t0, s0) =■ у0
и у (^, s) принадлежит по (/!, s) классу С1, то его частная произ-
производная x = dy(t, s)/ds при s = s0 также является решением системы
xr = J (t) х. По этой причине уравнение х' = J (t) x называется для
задачи A.2) уравнением в вариациях вдоль решения у = r\ (t, t0, yo> г).
Утверждение, касающееся х = дг\/дуъ и задачи C.2), показы-
показывает, что матрица Якоби (д'ц/дуо) является фундаментальной для

§ 3. Дифференцируемость 12]
системы х' — J (/) х и обращается при t = t0 в единичную матрицу.
В частности, из теоремы IV. 1.2 вытекает
Следствие 3.1. В предположениях теоремы 3.1 для @_</<(и+
где аргумент подинтегрального выражения равен (s, rj (s, /0> Уо> %)•> z)~
Замечание. Согласно C.5), det (дг\/ду0) Ф 0. Таким образом,
непрерывное взаимно однозначное отображение у0 —>y = t](t, t0, y0, г)
при фиксированном (/, to> z), рассмотренное в замечании к тео-
теореме 2.1, принадлежит классу С1 и имеет обратное отображение,
принадлежащее относительно (/, /0, у, г) классу С1. Это утвержде-
утверждение относительно обратного отображения очевидно также из явной
формулы у —> у0 = т] (/о, t, у, г).
Упражнение 3.1 (Лиувилль). Пусть f (у) принадлежит классу С1
в открытом множестве Е, и пусть y = r\(t, y0) является единствен-
единственным решением задачи 1<оши y' = f(y), y(to) = yo для (to,yo)£E.
Покажите, что отображения г/0 —> г/, определяемые функциями
y = T[(t, y0) при фиксированном t, сохраняют объем в том и только
том случае, когда div / (у) = 2 dfh/dyh — 0.
Заметим, что из утверждения о том, что х = дг\!ду* является
решением задачи C.2), следует существование повторной произ-
производной д (dr\/dyb)/dt и ее совпадение с / (t) дц1ду^. Последнее выра-
выражение является непрерывной функцией от t, t0, у0, г. Отсюда
по теореме Шварца следует, что д {dr\ldt)ldy^ существует и совпа-
совпадает с д (d\\ldy^)ldt. Подобное же замечание относится и к dr\/dzJ.
Заметим также, что в правой части формулы C.4) переменная /
встречается только в дц/ду^. Тем самым доказано
Следствие 3.2. В предположениях теоремы 3.1 вторые смешан-
смешанные производные д21ц/ду^ dt = d2i\]/dt ду%, д2гц/дг] dt = д2ц/д1 дг .
d2iY)/dtodt = d2r\/dt dt0 существуют и непрерывны.
Чтобы не прерывать доказательства теоремы 3.1, докажем
сначала одну простую лемму. В случае, когда рассматриваются
векторы, она представляет собой удобную замену теоремы Лагранжа
из дифференциального исчисления, так как позволяет избежать
некоторой громоздкости в рассуждениях, связанной с тем, что
в равенстве у(Ъ) — у (а) = (Ь — а) (у1' @^, ..., yd' (9d)), a<Qk<:by
значения Эд зависят от k.

122 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
Лемма 3.1 г). Пусть f (t, у) непрерывна на множестве (a, b) x К,
еде К —открытое выпуклое у-множество, и пусть / имеет
непрерывные частные производные dfldyk no компонентам у.
Тогда на множестве (а, Ъ) х К X К существуют непрерывные
.функции fb(t, Уи Уг), &= 1, ..., d, такие, что
i и 1> п\ d/ (t, у) п fiv
Ыь #> У)^—^— ' \6-ь)
• и если (/, yi9 y2) £ (а, Ь) х /( X К, то
d
f (t, Уг)-1Ц, уд = 2 h (t, г/i, Уг) {у\~У§. C.7)
-Функции fh (t, Уи У2) определяются формулой
U (t, У, Ы = j Ш2У1±£=Ш-<Ь. C.8)
Доказательство. ПоложимF (s) = f (t, sy2+ (I — s) y{), где 0 < s < 1.
Определение функции F (s) корректно в силу выпуклости множе-
множества К. Очевидно,
2 ^ »^
Отсюда видно, что правая часть формулы C.7) равна F(l)~
— F(Q), если fk(U У\, у?) определять формулой C.8). Так как
F (\) = f(t, y2) и F(O) = f(t, yj, то тем самым лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.1. Так как задачу A.2) можно заме-
заменить задачей A.4), а вектор (у, г) — вектором у, то при доказатель-
доказательстве существования и непрерывности частных производных реше-
решения г] без потери общности можно считать, что / не зависит от г.
Таким образом, мы будем рассматривать лишь задачу Коши A.1),
имеющую решение у = ч\ (t, t0, У о) > где со_ < / < со+.
Для того чтобы упростить область, на которой следует рас-
рассматривать функцию г), введем два произвольных числа а и Ь, удо-
удовлетворяющих следующим условиям: со_ < а < Ь < со+, со± =--
= со± (tu у^). Тогда по теореме 2.1 функция т] (/, /0, у0) определе-
определена и непрерывна для значений /, а ^ t ^ Ь, и (t0, yo)9 близких
к (ti9 yi). В последующем будут рассматриваться только такие
{U to, У о)- Так как утверждения теоремы 3.1 имеют локальный
характер, то ясно, что их достаточно доказать для внутренних
точек такого (/, /0, у0)-множества.
а) Докажем сначала существование производной дч\/дуЬ. Пусть
h — некоторый скаляр и е& — вектор, входящий в C.2). Для
Часто называемая «леммой Адамара».— Прим. ред.

§ 3. Дифференцируемость 123
малых | h | положим
yh(t) = ri(t,to,yo + hek). C.9)
Функция tjh (t) определена на а</<6 и, согласно теореме 2.1,
yh(t)-*yo(t), Л->0, C.10)
равномерно на [а, Ь]. Из условия задачи A.1) следует, что
(yh(t) — yo(t)y = f(t,yh(t)) — f(t,yo(t)). Применяя лемму 3.1 при
Уг = Ук$) и yt = yo(t), получаем
d
(yh (t) - уо ФУ = S /a {U у, @, fto @) (^ @ - ^ @)- C*21}
fe=i
Обозначим
Xh = yh(t)-yo(t) ^ кф0, (ЗЛ2)
Существование производной <Эт] (/, /0, уо)/ду^ эквивалентно суще-
существованию \imXh(t) при h—^0.
Из A.1) и C.9) получаем, что yh (t0) = у0 -\- hek, так что
Xh(to) = ek. Значит, согласно C.11) и C.12), функция x = Xh(t)
является решением задачи Коши
x' = J(t; h)x, x(to) = ek, C.13)
где J (t\ h) обозначает (d x ^-матрицу, в которой k-и столбец есть
вектор fk у, Уо (t), yh @)- Из формулы C.6), непрерывности fk (f, y^ y2)
и соотношения C.10) следует, что J (t; h) —»У (/; 0) при А —» 0
равномерно относительно г^[а,Ь], где / (/; 0) = J (t) есть матрица,
определенная по формуле C.1).
Будем рассматривать задачу C.13) как семейство задач Коши,
зависящее от параметра h, причем правая часть J (t\ h) x этого диф-
дифференциального уравнения непрерывна на открытом множестве
a<:t<Zby \h\ мало и х произвольно. Так как решения задач
C.13) единственны, то из теоремы 2.1 следует, что общее решение
является непрерывной функцией от h (при фиксированных (/, /0))-
В частности, х (t) = lim xh (/), А->0, существует и является
решением задачи C.2) в интервале а <С t <b. Отсюда следует
существование производной д\\ (t, t0, УоIду^.
Для проверки непрерывности этой производной по всем ее аргу-
аргументам перепишем C.2) следующим образом:
*' = J{U /о, Уо)х, x(t0) - ek, C.14)
т. е. как семейство задач Коши, зависящее от параметра (tQ, yQ).
Поскольку / (/, t0, уо) является непрерывной функцией от
(t, у, to, Уо) и задача Коши для линейного уравнения имеет един-
единственное решение, то из теоремы 2.1 следует, что решение х =
= дг\ (/, tOi Уо)/ду% задачи C.14) непрерывно по всем его аргу-
аргументам.

124 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
Ь) Докажем теперь существование и непрерывность производной
дц (/, t0, yo)/dto. Положим
o)-Mt, *o, Уо)
Решение задачи Коши у' = /, у (t0) = т] (t0, to + h, y0) совпадает
с решением задачи y' = f, y(to + ti) = yo, т. е. r\(t> to + h, уо) =
= Л (*» *0, т] (*0, ^о + К у0)). Поэтому
i\(t, t0, y0).
Так как т) (<, t0, y0) имеет по компонентам у0 непрерывные частные
производные и т) (/<>, ^о + ^» ^о)-^Л(^о» ^о» Уо) = Уо при /г—»0, то
когда Я—>0. Из теоремы Лагранжа (о конечном приращении)
и равенства уо = j\(tQ-\-h, to-\-h, у0) следует, что существует 9 = 9^.
такое, что
Л*Co. to + h, yQ)-y%= -hr\k'(to + Qh, tQ + h, у0), 0<9< 1.
Функцию T)fe/ (to+Qh, to+h, у0) = fh (to+Qh, т) (/0+6Л, ^oi-^. Уо)) при
Я —>0 можно представить как /h (t0, yQ) + o(l). Поэтому npj^
h—>0 имеем
Отсюда видно, что dr\/dto=l\mxh(t) существует и удовлетворяет
соотношению, аналогичному C.4). А из этого соотношения следует,
что dr\/dt0 является непрерывной функцией от (t, t0, y0).
с) Возвращаясь к задаче A.2) (так что / может теперь зависет!
от z), мы видим, что ц = ц (t, t0, уOi г) принадлежит классу С1
Применяя к A.4) результаты, только что доказанные для A.1),
легко проверить справедливость утверждений, относящихся к C.2),
C.3) и C.4). Эту проверку мы предоставляем читателю
Из доказательства теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.3. Пусть функция f (/, у, z, 2*) непрерывна на
открытом (t, у, г, г*)-множестве Е, где z* — вектор произвольной
размерности. Предположим, что f имеет непрерывные частные про-
изводные первого порядка по компонентам векторов у и г. Тогда
задача Коши
у' = f(t, у, z, г*), y(to) = yo (ЗЛ5)
имеет при фиксированных z, z* единственное решение г\ =
= Ц (t* t0, у о, z, г*), где (tOy y0, z, z*) 6 Е. Это решение обладает
частными производными первого порядка по t, t0 и компонентам

§ 4. Существование производных высших порядков J2t>
у, z и частными производными второго порядка d2r\/dt dt0, d2r\/dt ду%,
d2r\/dt dzL Наконец, эти частные производные от г\ непрерывны
по (t, t0, у0, г, z*).
Доказательство. Так как частные производные от т|, встречаю-
встречающиеся в этих утверждениях, вычисляются при фиксированном z*,
то их существование следует из теоремы 3.1. Их непрерывность
по (/, t0, у0, z, z*) получается, как и при доказательстве теоре-
теоремы 3.1, путем использования аналогов соотношений C.1), C.2),
теоремы 2.1 и аналога формулы C.4).
§ 4. Существование производных высших порядков
Вопрос о существовании производных высших порядков общего
решения легко решается на основе теоремы 3.1 и следствия 3.3
Теорема 4.1. Пусть f (t, у, z, z*)— функция, непрерывная но
открытом (t, у, г, г*)-множестве Е и такая, что она обладает
непрерывными частными производными по компонентам у и z вплоть
до порядка ту т^> 1. Тогда задача Коши
у' =/(/, у, z, z*), у (to) = у о D.1)
имеет единственное решение т] = т] t, t0, y0, z, z*) при фиксиро-
фиксированном (z, z*) и (to, Уо, z, z*) 6 E, обладающее всеми частными
производными вида
.. .+|3ел
!D 2)
где i<l, /0<1, /о + 2Рл + 2сс;<т.
Доказательство будем проводить индукцией по т (сначала для
случая iQ = 0). Теорема для т = 1 верна в силу следствия 3.3
при любой размерности вектора z*. Предположим, что она спра-
справедлива и для случая, когда в утверждении теоремы вместо т
взято т — 1 0>1).
Рассмотрим аналог задачл C.2):
х' = J (tf toy уо, г, ^*) х, х (t0) = eh, D.3)
где J = (dfldy) при у = т) (/, t0, y0, z, z*). В силу условий,
наложенных на f, и предположения индукции правая часть
J (U to> Уо, z, z*) х уравнения D.3) имеет непрерывные частные
производные порядка ^ т — 1 по компонентам х, у0 и z. Поэтому
по предположению индукции решение х = дц (t, t0, y0, z, z*)/dy*
задачи D.3) имеет по компонентам у0 непрерывные частные произ-
производные всех порядков <; т — 1, и каждая из этих частных произ-
производных обладает непрерывными частными производными по /.

J6 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
Подобным же образом из аналога задачи C.3) видно, что дц/дг*
имеет по компонентам у0 и z непрерывные частные производные всех
порядков <; т — 1, и каждая из этих производных обладает непре-
непрерывной производной по t. Тем самым индукция завершена, и мы
получаем, что т] (/, t0, yOi z, z*) имеет все непрерывные частные
производные вида D.2) при i0 = 0, i <; 1, 2 ak + 2 Р; <^ т.
Существование и непрерывность производных вида D.2) при
i'o = 1, i < 1, 2 аь + 2 Р; < т — 1 следует из аналога форму-
формулы C.4). Теорема доказана.
Следствие 4.1. Пусть функция f (t, у, г) принадлежит в откры-
открытом (t, у, г)-множестве Е классу Cw, m ^> 1. Тогда решение у =
— Л (U to, Уо, z) задачи A.2) принадлежит классу С71 во всей области
его существования.
Доказательство этого утверждения мы предоставляем читателю
в качестве упражнения.
§ 5. Внешние производные
В этом параграфе мы введем несколько новых полезных понятий.
Все они будут иметь локальный характер.
Под двумерной поверхностью S класса Ст, т ^ 1, в евклидовом
^/-пространстве Rd понимается множество точек у 6 Rd» которое
с помощью отображения вида у = у (и, v) может быть приведена
во взаимно однозначное соответствие с некоторой открытой обла-
областью D евклидовой плоскости (и, v)\ при этом требуется, чтобы
отображение у (и, v) принадлежало классу Ст и чтобы векторы
ду/ди и dy/dv были линейно независимыми в каждой точке обла-
области D. Тогда вектор-функция у = у (и, v) называется допустимой
параметризацией поверхности 5.
Если у = у (и, v) — любая заданная в D (вектор-) функция
класса С™, т ^ 1, такая, что векторы ду/ди и dy/dv линейно незави-
независимы в некоторой точке (и0, v0) 6D, а значит, и вблизи (иОу ио)у
то множество точек у = у (и, v) для {и, v), близких к (uOi vo)>
определяет кусок поверхности. По теореме о неявной функции
отображение (и, v) -> у является вблизи (uOi v0) взаимно одно-
однозначным.
Рассмотрим кусок поверхности So класса С1 с допустимой пара-
параметризацией у = у (и, v), определенной на односвязной ограни-
ограниченной открытой области Do, и кусочно С^-гладкую жорданову
кривую С, лежащую в Do и ограничивающую некоторую область
D d Do. Пусть S и J обозначают соответственно у-образы обла-
области D и кривой С. Кратко о такой ситуации мы будем говорить
как о «куске ^-поверхности 5, ограниченном кусочно ^-гладкой
жордановой кривой /».

§ 5. Внешние производные 127
Дифференциальной r-формой на открытом множестве Е назьк
вается формальное выражение
d d
ii ii
с вещественными коэффициентами, определенными, на ir,
Ри ... гг (у) = ±Ph ... дГ (У) в зависимости от четности или нечетности
перестановки (ju ... jr) набора (iu ...,ir). В частности,
Рч ... гг (у) = 0, если хотя бы два из индексов iu ..., £Г равны,
между собой. Форма со называется непрерывной (или класса Ст,
или равной 0), если ее коэффициенты непрерывны (или класса Ст,
или тождественно равны 0) в Е. Последовательность дифферен-
дифференциальных /--форм на Е называется равномерно ограниченной (или
равномерно сходящейся), если соответствующие последователь-!
ности их коэффициентов равномерно ограничены (или равномерно,
сходятся). Дифференциальные r-формы можно складывать по оче-.
видному закону. Дифференциальные г- и s-формы можно умно-_
жать, получая при этом (г+ s)-формы, с выполнением обычны^
законов ассоциативности, дистрибутивности и закона антиком-"
мутативности dyl Д dy3 = —dy] Д dyl; см. § VI.2.
Говорят, что непрерывная линейная дифференциальная форма,
A-форма Пфаффа)
d
ю = 2 Pj{y)dy] E.1)
обладает на Е непрерывной внешней производной йоз, если на Е-
существует непрерывная 2-форма
d d
d(*=% 2 Pij(y)dyl Д dy\ pu= -Pju E.2)
такая, что для любого куска ^-поверхности 5 из £, ограничен-
ограниченного Сх-кусочно гладкой жордановой кривой J, справедлива фор-
формула Стокса
]]• E.31,
S J
Ясно, что если 5 есть образ области D на поверхности
So: у~у(ц^ у) дЛЯ (и, v) £D и J есть образ жордановой кривой С,
то формула E.3) означает, что
d d d
S РЛУ{и, v))dyj(u, v)= { 2 2 Ри(У(и, v))^-^-dudv
С j=l D i=l j=l '
E.4),
при обычной ориентации кривой С.
J

128 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
Если коэффициенты pj(y) в E.1) принадлежат классу С1, то со
имеет внешнюю производную d(u — ^dpj(y)/\dyJ, или
Бывают, однако, случаи, когда форма E.1) имеет непрерывную
внешнюю производную, даже если коэффициенты в E.1) просто
непрерывны. Рассмотрим, например, случай, когда существует
вещественная функция U (у) класса С1, такая, что со = dU (т. е.
Pi (у) = dU/dy3); тогда со имеет внешнюю производную dco = 0.
Основная лемма о существовании непрерывных внешних произ-
производных формулируется следующим образом:
Лемма 5.1. Пусть E.1) есть непрерывная линейная дифферен-
дифференциальная 1-форма, определенная на открытом множестве Е. Форма
E.1) имеет в Е непрерывную внешнюю производную E.2) в том
и только в том случае, когда на каждом открытом множестве
Е° с компактным замыканием Е° а Е существует последователь-
последовательность l-форм со1, со2, ... класса С1, равномерно сходящаяся на Ео
к со и такая, что последовательность dec1, dec2, . . . также схо-
сходится на Е° равномерно (при этом dcon —>- dec равномерно на Е°
при п ->- оо).
Доказательство. Если на Е° существует последовательность
со1, со2, . . . указанного в лемме вида и если в случае со = со"
формула E.3) переписана в виде E.4), то переход к пределу под
знаком интеграла дает E.3). Таким образом, существование ука-
указанной последовательности со1, со2, ... является достаточным для
существования непрерывной внешней производной dco.
Обратно, если E.1) является непрерывной 1-формой на £ с не-
непрерывной внешней производной E.2), то будем аппроксимировать
коэффициенты форм со и rfco по методу § 1.3. А именно, пусть ф (/)
определена, как в § 1.3. Положим, считая г = 1/п,
р{п) (у) = сг~а { ... J Pi (у - л) Ф («Г2 |! л ||2) d^ ... d4d,
— оо —оо
-j-oo -j-oo
p\f(y) = сг-« { ... j ри(у-
Так как эти интегралы в действительности берутся по шарам
!|т)||<е, то р[п) и р^ определены на множествах Еп, состоящих
из тех точек у, у которых (евклидово) расстояние от границы Е
больше чем е=1М. В частности, при достаточно большом п они

§ 5. Внешние производные 129
определены на Е° и при п -—> оо стремятся там равномерно соот-
соответственно к pi и pij.
Определим на Е° при больших п формы соп = 2 Р^ dyj и ап =
= 2 2 РгТ (У) dyl Л Ф5' принадлежащие классу С°°. Пусть 5 —
кусок (^-поверхности в Е°, ограниченный кусочно Сх-гладкой
жордановой кривой /. Тогда, если е=1/п достаточно мало
и ||ii||<e, поверхность S(r\), полученная переносом поверхности S
на вектор — т), будет находиться в £, и потому для S(t]) спра-
справедлива формула E.3). Перепишем эту формулу в виде, анало-
аналогичном формуле E.4):
g pj (у (и, v) — т|) dyd (и, v) =
Умножив обе части этого соотношения на се d(p (e j| r\ ||2), про-
проинтегрируем по drf .. . dr\d в области ||т)||<е. Очевидная пере-
перестановка порядка интегрирования показывает, что полученный
результат можно интерпретировать как формулу Стокса \ соп =
j
= \ \ ап. Значит, оO1 имеет в £° непрерывную внешнюю произ-
*s
водную d(dn = a\ Лемма доказана.
Замечание. Для того чтобы узнать, имеет ли непрерывная
1-форма E.1) непрерывную внешнюю производную E.2), доста-
достаточно проверить справедливость формулы Стокса E.3) для прямо-
прямоугольников S на координатных 2-плоскостях у1 = const для 1Ф\, k,
где 1 < / <&<d. Справедливость этого замечания вытекает из сле-
следующего результата:
Упражнение 5.1. Непрерывная дифференциальная 1-форма E.1),
определенная на открытом множестве Е, имеет непрерывную внеш-
внешнюю производную в том и только том случае, когда существует
непрерывная 2-форма E.2), такая, что для каждой пары
/, k (l</<fe<d) и фиксированного у1([ф], ьфк) 1-форма
Pj (У) dyj -j- pk {у) dyk имеет непрерывную внешнюю производную
Pjkdyd Д dykjrpkjdyk /\dyd; или же в том и только том случае,
когда формула Стокса E.3) справедлива для всех прямоуголь-
прямоугольников S на 2-плоскостях у1 = const для i Ф у, k, где Scz E.
Упражнение 5.2. Пусть непрерывная дифференциальная
1-форма E.1) обладает непрерывной внешней производной, и пусть
9-^241

130 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
pi (у) имеет непрерывную производную по yJ при фиксированном
У =7^=1. Покажите, что тогда pj(y) имеет непрерывную частную
производную по у1.
Упражнение 5.3. Пусть pj (у), /=1, . ..,d, суть непрерывные
на Е функции, такие, что pj (у) имеет непрерывные частные произ-
производные по компонентам yk, &=£/, вектора у. Покажите, что
тогда E.1) имеет непрерывную внешнюю производную.
Для краткости мы будем дальше использовать применительно
к 1-формам и их внешним производным «векторные» и «матричные»
обозначения. Например, упорядоченное множество из е 1-форм
оI? .. ., сое кратко будет обозначаться через со — (%, . .., (ое). Ана-
Аналогично, если эти формы имеют непрерывные внешние производ-
производные, то dco будет обозначать упорядоченное множество 2-форм:
day — (dco1? .. ., dode). Наконец, если А = (aij(y)) есть (е х ^-матрич-
^-матричная функция на Е, то со = А (у) dy будет означать упорядоченное
d
множество 1-форм со = @0!, ...,сое), где coj = 2 аа
0=1
= 1, ...,е.
§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости
Основной результат этой главы (теорема 3.1) о дифференци-
дифференцируемое™ общего решения допускает следующее обобщение:
Теорема 6.1. Пусть функция f (t, у, z) непрерывна в откры-
открытом (t, у, г)-множестве Е. Задача Коили
y' = f(t, У, 2), y(to)=yo F.1)
тогда и только тогда имеет при всех (t0, у0, г)^Е единственное
решение y = r\(t, t0, у0, г), принадлежащее в его области определе-
определения классу С1 по (t, t0, y0, z), когда каждая точка из Е обла-
обладает открытой окрестностью Е°, в которой существуют непре-
непрерывная невырожденная (d X £)-матрица A (t, у, г) и непрерывная
(d х е)-матрица С (t, у, г), такие, что d дифференциальных 1-форм
a = A(dy — fdt) + Cdz F.2)
с переменными dt, dy1, ..., dyd, dz1, ..., dze имеют в Е° непре-
непрерывные внешние производные.
В отличие от теоремы 3.1 предположения теоремы 6.1 инва-
инвариантны относительно (^-преобразований переменных t, у, z.
Ясно, что если А=(аиу, у, г)) и C = (cik(t, у, z)), то F.2)
представляет собой упорядоченную совокупность 1-форм, i-я

§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости J3J
из которых имеет вид
d d e
ю* = S я«> dt/ - ( 2 а*Л) Л + S с* <fc\ F.3)
j=l k=l k=l
где i=l, . ..,d. Если эта форма имеет непрерывную внешнюю
производную, то последняя будет дифференциальной 2-формой
вида
d d d e
^ Pi; Л Л dy* + S Y**^ Л Л* +
h 1
S S ^^ Л% S P; Л y S
j= 1 fe= 1 j= 1 h= 1
+ S 2 bijhdz* Л d«/j+ S S elVAd2* Л dzft. F.4)
j=ife=i j=ik=i
где a,ijk=^ —ttikj, Piv» Yja» 5u&> Zijk=—Zikj суть непрерывные
функции от (/, г/, г). В этом случае определим (d X ^-матрицу
F (t, у, г) = (ftj (U у, г)) и (d х в)-матрицу Л^ (г, у, г) = (/г^- (/, г/, г))
следующими равенствами:
/i; = Pi;-2 2«i/. F-5)
fe=l
nu=V«/+i*«/- F-6)
ft=l
Доказательство теоремы 6.1 будет приведено в § 11. Из него
будет вытекать
Следствие 6.1. Пусть функция f(t, у, г) такая жсг как
в теореме 6.1, и пусть в Е° существуют указанные в тео-*
реме 6.1 матрицы A(t, у, г) и C(t, у, г). Будем рассматривать
только точки (t, у, z)£E°. Тогда функция х = дг\/дуЪ является
решением задачи
[Л(/, r\,z)x]'=F(t, т], z)x, x(to) = eh, F.7)
а х = дц/дгг— решением задачи
[A(U л. z)x + ct(t, ц, z)\' = F(t, т], z)x + m{U л. z), x(/0)-0,
F.8)
где ct(t, у, z) и nt (t, у, z) суть i-e столбцы соответственно
матриц C{t,y,z) и N (t, у, z), *'=1, . . ., е; r\ = r\(t, tQ, y0, z).
Заметим, что решение х = х (t) задачи F.7) не обязательно
имеет производную, но А (х, т), z) x (t) имеет производную, удо-
удовлетворяющую уравнению F.7). Очевидная замена переменных
сводит линейные уравнения в F.7) и F.8) к виду, рассмотренному
в гл. IV; ср. A1.1) — A1.3).
9*

132 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
Утверждения, касающиеся задач F.7) и F.8), более удобно
записать в виде матричных уравнений
,^]'^М,^, |L = / при t = tQ, F.9)
г), Z)*L + C(*f ть г)]' =
2jL ,ri,z), -g- = 0 при * = *<>, F.10)
где dr\ldyOi dr\ldz — матрицы Якоби.
Упражнение 6.1. Пусть f(t, у, у') —непрерывный d-мерный
вектор, определенный в открытом (t, у, г/')-множестве Е. Пусть
(iu ..., id) — произвольная совокупность d целых чисел, 0<^<d,
такая, что ни одно целое число, кроме 0, не встречается в ней
более одного раза. Пусть t = y°1 и предположим, что компонента
fk(y°i У у У') обладает непрерывными частными производными
по каждому из своих аргументов, за исключением, возможно,
у%к. Тогда задача Коши
У" = f (*. У> У'), У (to) = Уо, У' (to) = У or
где y'0k¥=0i е^ли ik¥=0, имеет единственное решение у =
= i\(t, t0, Уо, Уо), причем функции r\ (t, t0, yOi у'о), ц' (t, t0, yOi y'o)
принадлежат классу С1.
Следующие два упражнения представляют собой применения
теоремы 6.1 и следствия 6.1 к дифференциальной геометрии.
Упражнение 6.2. (а) Пусть через (gjk(x))i где х=^(хг, ..., xd),
обозначена невырожденная симметричная (d X d)-матрица, элемен-
элементами которой являются вещественные функции, принадлежащие
классу С1 при малых ||*||, и пусть (g]h (x)) — обратная матрица.
Рассмотрим задачу Коши
d d
^'+I]I]r>V' = 0, х@) = х0, x'@) = x'o F.11)
для геодезических линий метрики ds2 = 2S gjkdxj dxk, где коэф-
коэффициенты T)k = 1% (х) обозначают символы Кристоффеля 2-го рода,
определяемые формулами
d а я
m=l
Предположим, что ds2 имеет непрерывный тензор римановой кри-
кривизны в том смысле, что каждая из d% дифференциальных 1-форм

§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости 133
со*. = 2 Г}и dxk имеет непрерывную внешнюю производную. Пока-
к
жите, что при малых | /1, \хо\ и произвольном х'о задача Коши F.11)
имеет единственное решение x=l(t, х0, х'о) и что l(t, х0, х'о)
и I' (t, х0, х'о) суть функции класса С1 от своих 2d+l аргументов.
(Ь) Пусть z = (z1, . ..,ze) и х = (хг, ...,xd), где e>d, и пусть
z = z(x) при малых ||л:|| есть функция класса С2 с матрицей
Якоби (dzj/dxh) ранга d. Покажите, что утверждения п. (а) при-
применимы к ds2 = || dz ||2 = SS §jh dxd dxP, где g> равно скалярному
произведению (dz/dx^^dz/dxf1). (с) Покажите, что в метрике ds2 =
= [\+9(x2)*/3][(dx1J + (dx2J], где d=2, через точку дго-О
в направлении х'0 = A, 0) проходит более чем одна геодезическая.
Упражнение 6.3. Пусть {hjh{y)), где у = (уг, у2), есть симмет-
симметричная B х 2)-матрица, элементами которой являются вещественные
функции, принадлежащие при малых \\y\\ классу С2, такая, что
det (hjk) < 0. Пусть а — знакопеременная квадратичная форма:
a = S S hJkdyjdy\
Тогда а представляется в виде произведения a = 2оIсо2, где со^
со2 —линейно независимые дифференциальные 1-формы. (Заметим,
что а не является дифференциальной 2-формой, а а = 2со1со2 явля-
является обычным, а не внешним, произведением.) (а) Существует
единственная непрерывная дифференциальная 1-форма со12, такая,
что
da)! = со12 Д со2, dco2 = со4 Д со12.
(Ь) Предположим, что а имеет непрерывную кривизну К = К {у)
в том смысле, что сомножители со^ со2 могут быть выбраны так,
что со12 обладает непрерывной внешней производной, при наличии
которой К определяется формулой
d<D12 = /<u>1 Л ®2-
Покажите, что для малых || и || существуют функции у (и) = у (и1, и2)
класса С1, такие, что у@) = 0 и отображение у = у(и) преобра-
преобразует а в форму
где Г = Г(ц)>0 принадлежит классу С1 и имеет непрерывную
вторую смешанную производную, такую, что
(Можно показать, что у = у (и) принадлежит классу С2; см. Харт-
ман [16].) (с) Покажите, что утверждение (Ь) применимо, если
°ь = 0 есть дифференциальное уравнение асимптотических линий

134 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
на куске С3-поверхности отрицательной кривизны, лежащей в евкли-
евклидовом пространстве R3. (d) Покажите, что утверждение (Ь) приме-
применимо, если а = О есть дифференциальное уравнение линий кривиз-
кривизны на куске С3-поверхности без омбилических точек, лежащей в R3.
§ 7. S- и L-липшицевы формы
Доказательство достаточности в теореме 6.1 распадается на две
части: единственность и дифференцируемость. Оказывается, если
интересоваться только единственностью, то необходимое и доста-
достаточное условие, приведенное в теореме 6.1, можно значительно
ослабить. Рассмотрим случай, когда нет параметра z, т. е. когда
У' =fV, у), y(to) = yo. G.1)
Соответственно А = A (t, у) и аналог соотношения F.2) имеет вид
со = A (dy — fdt). G.2)
Здесь со = (a>i, . . ., cod), где
<o* = S ЯиФМ2 atJf5)dt, G.3)
и если производная "dco существует, то
dcoi = 2 S aijk dyj Д dyh + 2 р„dt f\ dy , G.4)
где aiJk= — ccikj, Pi7" СУТЬ непрерывные функции от (t, у). Соот-
Соответственно
F = (ftj), где /„ = pt/ - 2 S aijkf\ G.5)
Понятие дифференциальной 1-формы со с непрерывной внешней
производной обобщает понятие С^-формы со. По аналогии с леммой
5.1 можно дать следующее обобщение понятия 1-формы со с коэф-
коэффициентами, удовлетворяющими условию Липшица.
Непрерывная линейная дифференциальная 1-форма E.1), опре-
определенная в области Еу называется S-липшицевой в Е, если в Е
существует последовательность 1-форм со1, со2, ... класса С1,
таких, что соп ->■ со равномерно на Е при п ->■ оо и dco1, dco2, . . .
равномерно ограничены в Е.
Упражнение 7.1. Покажите, что если коэффициенты формы E.1)
удовлетворяют в Е условию Липшица, то эта форма является
S-липшицевой.
Упражнение 7.2. Рассмотрим случай размерности d = 2. Пусть
форма
со - Pi (У) dy1 + р2 (у) dy2

§ 7. S- и L-липшицевы формы 135
непрерывна в открытой односвязной (г/1, #2)-области £", и пусть
в Е существует такая ограниченная измеримая функция pi2 ({/),
что для любого подмножества S а Е, ограниченного кусочно
^-гладкой жордановой кривой «/,
{ Pi (У) dy1 + Р2 (У) dy2 = j j p12 (у) dy\dy\
j s
Покажите, что со тогда является S-липшицевой в любом открытом
подмножестве Ео с компактным замыканием Ео с Е. (Ясно, что
здесь «измеримость» означает измеримость по плоской мере Лебега.)
В нашем случае можно сказать, что со имеет «ограниченную внеш-
внешнюю производную». Это понятие не допускает простого обобщения
на случай произвольной размерности d, так как кусок (двумерной)
поверхности S всегда имеет d-мерную меру нуль, если d > 2.
Условие S-липшицевости каждой из d форм в G.2) может быть
обобщено следующим образом. Пусть функция / (/, у) непрерывна,
а матрица A (t9 у) непрерывна и невырожденна в Е. Тогда форма
G.2) называется L-липшицевой в Е, если в Е существует последо-
последовательность форм со1, со2, ... вида
<on = An(t, у) [dy-fn(t, y)dt], G.6)
принадлежащих классу С1 и таких, что соп—>со равномерно в Е
при п—>оо; кроме того, требуется существование постоянных с0
и с. удовлетворяющих в Е условию
c0I<AZFn<cI, /i=l, 2, ... . G.7)
Здесь Fn = Fn(t, у) — матрицы, определяемые из G.6) формулами,
аналогичными G.3) —G.5). Неравенства G.7) имеют следующий
смысл: если В и С —две (d X ^-матрицы, то неравенство В<С
означает, что соответствующие квадратичные формы удовлетворяют
неравенству g-B£<£-C£ для всех вещественных d-мерных век-
векторов £, где точка означает скалярное умножение. Неравенство f В <
< С эквивалентно неравенству Вн < Сн, где Вн = (В + В*)/2 'озна-
'означает эрмитову часть матрицы Б.
Форма G.2) называется L-липшицевой сверху в Е, если нера-
неравенство G.7) заменено следующим неравенством:
A*nFn<cI, л=1, 2, ... . G.8)
Рассмотрим эти условия, когда Ли/ принадлежат классу С1.
В этом случае внешняя производная формы G.2) может быть
формально вычислена по формуле d® = dA /\ (dy — fdf) — Adf Д dt,

136 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
которая дает
^ 1 / daik °aU \
d ь С7'9)
дац ^ - ^fb - v
G 10)
(
Отсюда и из G.5) видно, что
daij ^ dfk ^\ rk dcLiJ
'lJ ~~ dt ^~ 2a lh dyj 2л дук
Если B = A*F = (bu) и G = A*A, то
где матрица Н = (htj) является кососимметрической. Это можно
показать следующим образом: частная производная матрицы G = А*А
по t равна G' = А*А'+ А*'А, так что эрмитова часть матрицы А*А'
равна G72. Это объясняет замену первого слагаемого в G.10)
соответствующим слагаемым в G.11). Такое же замечание приме-
применимо и к третьим слагаемым с дифференцированием по ук вместо t.
О других применениях формулы G.11) см. § XIV. 12.
Упражнение 1.3. Пусть / (t, у) непрерывна в Е и удовлетворяет
условию [/ (/, у2) — f (t, r/i)] -(у2 — */i) < 0. Покажите, что форма
со = dy — f (t, у) dt является L-липшицевой сверху, Ап = I в G.6)
и с = 0 в G.8).
§ 8. Теорема единственности
Обобщение теоремы единственности, содержащейся в теоре-
теореме 6.1, таково:
Теорема 8.1. Пусть функция f (t, у) непрерывна в открытом
(t, у)-множестве Е, и пусть в Е существует непрерывная невырож-
невырожденная матрица А (/, у), такая, что 1-формы G.2) являются там
S- или, более общо, L-липшицевыми. Тогда задача G.1) имеет един-
единственное решение у = т) (t9 t0, у0) при любом (t0, у0) 6 Е. Кроме
того, функция ц (t, /0, Уо) удовлетворяет условию Липшица в любом
компактном подмножестве ее области определения.
Доказательство этой теоремы мы приведем ниже, в § 10. Кроме
этой теоремы можно сформулировать также теорему об односторон-
односторонней единственности, аналогичную теореме III.6.2. Она приведена
в следующем упражнении.

§ 9. Лемма 137
Упражнение 8.1. Пусть f и А определены так же, как в теоре-
теореме 8.1, с тем лишь исключением, что от формы G.2) требуется только
ее L-липшицевость сверху в Е. Тогда задача G.1) для любого
(^о> У о) € Е имеет решение у = ц (t, t0, у о), единственное справа
(t ^ to) от t0. Кроме того, для t^>t*^> max (tu t2) имеет место
неравенство вида
I Ц (U h, yt) — ц (t, t2, y2) | < const | т) (t*, t» yx) — т) (t*, t2, y2) |,
справедливое на любом компактном подмножестве из области опре-
определения решения ц (t, tQ, yQ).
Упражнение 8.2. (Другое одностороннее обобщение следствия
III.6.1.) Пусть функция f (t, у) непрерывна на множестве R: 0 <;
^ /^ а, | у | ^ 6, и пусть на R существует непрерывная, невы-
невырожденная матрица A (t, у), такая, что форма G.2) является L-лип-
шицевой сверху в ]?е: @<) 8</<а, | у | < Ь, но с соотноше-
соотношением G.8), замененным на
FnAnx<Y , т. е. Atfn<^ в Re /г= 1, 2
Тогда задача G.1) имеет единственное решение при t0 = 0, | у0 \ < Ъ.
§ 9. Лемма
Доказательство теоремы 8.1 будет опираться на теорему II 1.7.1
и следующую лемму.
Лемма 9.1. Пусть функция f (t.t у) принадлежит классу С1,
и пусть A (t, у) — невырожденная матрица класса С1, определенная
в открытом множестве Е и такая, что
A*F < ii (t) А*А, (9.1)
где |л (t) — некоторая непрерывная функция. Пусть У = ц (t) =
~ Ц {U ^о, У о) является решением задачи G.1) и J (/, у) — матрица
Якоби (df/dy). Тогда решение х (t) линейного «уравнения в вариацияхъ
x' = J(t, r\(t))x (9.2)
при t^t0 удовлетворяет неравенству
t
II А (*, л)х (t) ||< || Л ft,, Уо) х (t0) || exp j ji (s) ds. (9.3)
to
Доказательство. Дифференцирование выражения A (t, r\ (t)) x (t)
с учетом (9.2) и G.10) показывает, что из (9.2) следует равенство
(9.4)

138 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
верхний индекс «нуль» указывает, что аргумент равен (t, у) —
= (t, т]) с т] = Ti @ = л (f, h, Уо)- Значит,
(А°х) • (А°хУ = x-(A°)*F°x, (9.5)
так как A°x-Fox = x-(Ao)*F°x. Заметим, что \\\\
-л;-(Ло)Мол;. Отсюда и из (9.1), (9.5) следует, что d\\A°x\\2/dt<
< 2(i (t) || A°x ||2, так что интегрирование дает (9.3); см. лемму IV.4.2.
Заметим, что если
c> 0, (9.6)
т>\, (9.7)
то —cmA*A^cA*F<CcmA*A. В этом случае (9.3) и соответствую-
соответствующее неравенство при t^Ct0 показывают, что
||Л°л:(О||<||4(/о, yo)x(to)l\expcm\t-to\, (9.8)
где r\(t), а значит, и x(t) определены, как выше. В частности,
поскольку x = di\(t, t0, Уо)/ду* является по теореме 3.1 решением
уравнения (9.2), то из (9.6) и (9.7) вытекает, что
(/, t0, уо)
K\t — to\. (9.9)
Оценки для dr\(t, t0, yo)/dto получаются из следующего аналога
формулы C.4):
d
dr\(t, t0, уо) __ _ у дц (Мо, у0) ?к и и\ /g jq\
§ 10. Доказательство теоремы 8.1
Рассмотрим сначала случай, когда f и А принадлежат классу С1.
Пусть (ti, у\)£Е, и пусть Е° обозначает выпуклую открытую
окрестность точки (tu у{) с компактным замыканием Е° а Е. Тогда
по теореме существования Пеано (следствие II.2.1) найдутся откры-
открытое множество ЕоаЕ° и числа а, Ъ (>^>а), такие, что если
Со» Уо)£Ео, то решение r\(t, tQ, y0) существует на отрезке а<^<6
и (/, т]) £ Е°. Заметим, что Ео, а и Ъ зависят только от Е° и верх-
верхней границы | / | в Е°.
Предположим дополнительно, что в Е° справедливы неравенства
(9.6) и (9.7). Тогда (9.9) и (9.10) показывают, что существует
постоянная К (зависящая только от Е°, верхней границы | /1 на Е°
и от т, с), такая, что
ЫМо, W-'HC, t0, y°)\<K\yo-y°\ A0.1)
для а</<6, {to, Уо)£Ёо, (to,yo)£Eo\
hC t0, yo)-r\(t, P, yo)\<K\to-t<>\ A0.2)

§ 10. Доказательство теоремы 8.1 139
для a<t<b, (t0, y
Ы*> t0, yo)-r\(t*, t0, yo)\ <K\t-t*\ A0.3)
для а < t, t* < b, (t0, //о) € ^o- Наконец, поменяв местами t и t0
в (ЮЛ), получим, что
A0.4)
при условии, что а</<6, (/, tj (*, *0, уо))£Ёо, V, Л (*» ^
Очевидно, существует окрестность ЕооаЕо точки G1? #4), такая,
что последнее условие (для A0.4)) выполнено, если отрезок [а, 6]
достаточно мал и (t0, у0), (t0, У°)£Е00.
Подчеркнем еще раз, что [а, Ь], Ео, Еоо и постоянная К
в A0.1) —A0.4) зависят только от Е°, верхней границы | /1 на мно-
множестве Е° и справедливости в Е° неравенств (9.6) и (9.7).
Вернемся к случаю, когда / и А не обязательно принадлежат
классу С1. Мы предполагаем только, что f и А непрерывны,
матрица А невырожденная и форма G.2) является L-липшицевой
в каждом открытом множестве Е° с компактным замыканием
2Г° с: Е. Тогда существует последовательность упорядоченных набо-
наборов из d 1-форм
<*w = An(t, y)dy-hn(t, y)dt,
определенных в Е°, с коэффициентами из класса С1, такая, что
Ап —-> A, hn—> Af равномерно в Е° при /2-^оои при этом выпол-
выполнено неравенство G.7). Так как матрица А невырожденна, то для
больших п матрицы Ап (t, у) также являются невырожденными в Е°.
Пусть, например, это верно для всех п\ тогда о)<п) можно предста-
представить в виде
G>w = An(t, y)[dy-fn(t, y)dt], A0.5)
где fn = An1hn —> / равномерно в Е° при п —> оо. Можно считать,
что неравенство G.7) выполняется в£°с постоянной со=—с<0;
можно также предполагать, что существует число /л>1, такое,
что в Е°
т-1/<Л*Лд<т/, /и>1, м=1, 2, ... . A0.6)
Пусть при (ti9 У\)^Е множество £°, выделенное в последнем
абзаце, является выпуклой открытой окрестностью точки (^, yt)
с компактным замыканием Е° а Е. Так как последовательность
fy /n /г» • • • равномерно ограничена для (t,y)£E°, то найдется
открытая окрестность Ео точки (tt, y4), такая, что если (/0, уо)£Ео,
то задача G.1) или задача
y' = h(U У), y(to) = yo (Ю.7)
имеют какое-либо решение y = y(t) и (t,y(t))£E° при a<^<fo,
где а, &(>^>а) не зависят от /г и решения у@« Значит, суще-

140 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
ствует постоянная /С, не зависящая от п и такая, что если у =
= v\n(ti t0, y0) есть решение задачи A0.7), то для него верны
соотношения A0.1) — A0.4) с г)=г\п. В частности, последователь-
последовательность т)! (t, t0, f/0), г]2 (t, t0, y0), ... равномерно ограничена и равно-
равностепенно непрерывна для а<£<&, (t0, yo)£E°. Поэтому из нее
можно выделить подпоследовательность (которую после перену-
перенумерации можно считать полной последовательностью), такую, что
предел
Л ('» U, Уо) = Нт т|д {U tQ, y0) A0.8)
П->оо
существует равномерно для а ^ t ^ b, (t09 уо) 6 Ео.
По теореме 1.2.4, функция у = ц (t, to, y0) является решением
задачи G.1) для a^t^b. Кроме того, при выполнении условий,
наложенных на t, t0, yOi y°, остаются справедливыми соотношения
A0.1) и A0.4). Но из неравенства A0.4) следует, что если точка
(t, tOi Уо) достаточно близка к (ti9 tu ух), то две различные дуги
у = т] (t, to, у о) не могут проходить через одну и ту же точку (t, у).
Поэтому, в силу теоремы III.7.1, функция у = r\ (t, tit z/i) является
на достаточно малых отрезках [^ — 8, /J, \tu U + г] единствен-
единственным решением задачи G.1) с начальным условием (tOy у0) = (tu yd-
Так как (tu f/i) — произвольная точка из Е, теорема 8.1 доказана.
§11. Доказательство теоремы 6.1
Достаточность. Предположим, что существуют непрерывные
матрицы Л и С, такие, что форма F.2) имеет непрерывную внеш-
внешнюю производную и det А Ф 0 в окрестности произвольной точки
из Е. Покажем сначала, что достаточно рассмотреть случай, когда
/ не зависит от г. Для этого перепишем F.1) в виде A.4) и обозна-
обозначим (г/, г) символом у^> так что соответствующий вектор (/, 0)
заменится на f^. Пусть А^ (t, y#) обозначает матрицу
(А с)
\0 1)'
и пусть со*=- Ax{dy* — f*dt). Тогда со^ = (со, dz), где со определяется
по формуле F.2). Значит, со* имеет непрерывную внешнюю произ-
производную. Таким образом, если у символов у^ f^, A% отбросить
звездочки, то становится ясным, что достаточно рассмотреть лишь
тот случай, когда f = f(t, у) не зависит от г.
Пусть (tv уд, Е°, Ео, а, Ъ, формы A0.5) и x\n(t, t0, y0) опре-
определены так же, как в доказательстве теоремы 8.1. Тогда предель-
предельный переход в A0.8) будет равномерным на множестве а<^<6,
(to,yo)£E°. Кроме того, в очевидных обозначениях, функция х =
= дг\п/ду% является решением задачи Коши
[An(t, r\n)x]' = Fn(t, r\n)x, x(to) = ek; A1.1)

§11. Доказательство теоремы 6.1 14]
см. вывод (9.4) из (9.2). Вводя новые переменные
xm = An(t, Цп)х, A1.2)
видим, что
х*' = Fn (t, г\п) Аи1 (/, г\п) х*, х* (t0) = An (/0, y0) ek. A1.3)
Поскольку предельные переходы Ап (t, r\n) —> A (t, rj), Fn (t, цп) —>
—> F (t, г]), Ап1 (t, Цп)—> A'1 (t, г]) равномерны относительно
a<Ct*Cb, (t0, yo)£Eo, то следствие IV. 4.1 показывает, что при фик-
фиксированном (*0, Уо)£Ёо предел Y\mAn(t. r\n) дцп1дуЪсуществует, рав-
П_>оо
номерен относительно а</<6 и является решением задачи
х*' = F(U ц) А-1 (/, г]) ^*, х* (t0) = Л (/0, */0) ^. (П.4)
В действительности этот предел существует и равномерен относи-
относительно а<^<6 и (£0, Уо)£Ео. Это можно показать, например,
с помощью теоремы 2.1, построив семейство линейных дифферен-
дифференциальных уравнений х*г = Н (/, t0, у0, г) х*, где матрица Н (t, t0, y0, e)
непрерывна относительно (t, t0, у0, е) и превращается при 8= \1п в
/^д (Л Лд)^1 (U г\п) и при е = 0 в F (t, г)) Л (*, г]).
Отсюда следует, что предел
Hmff- A1.5)
существует и равномерен относительно а < / < b, (t0, у0) £Е0 и яв-
является решением задачи
[A(U Vi)x]' = F(U x[)x, x(to) = eh. A1.6)
Следовательно, стандартная теорема о переходе к пределу под зна-
знаком производной обеспечивает существование производной дц/ду^
для а<; £<; 6, (/0, Уо) 6 £о и ее совпадение с A1.5). Как и в дока-
доказательстве теоремы 3.1, видно, что производная dr\/dt0 существует
и задается формулой (9.10), являющейся аналогом формулы C.4).
Тем самым доказано, что функция т) (/, t0, y0) принадлежит
классу С1, если точка (t, t0, y0) достаточно близка к (/, tu «/t), где
(^ь У\) — произвольная точка из Е. Если теперь выбирать а и Ъ
произвольно, ограничиваясь лишь условием существования
ц (t, tu yt) на отрезке a<[ ^<; 6, то, применив конечное число раз
формулы типа т) (/, t0, у0) = Ц (t, /*, r\ (t*, t0, У о)), мы придем
к выводу, что функция ц (t, t0, у0) принадлежит классу С1 во всей
ее области существования.
Из приведенных выше рассуждений попутно вытекают также
все утверждения следствия 6.1, кроме того, которое относится
к задаче F.8). Его проверку мы оставляем читателю в качестве
упражнения.

142 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
Необходимость. Предположим, что задача F.1) имеет единствен-
единственное решение ц = ц (t, tOj y0, z), принадлежащее классу С1. Пусть
точка (tu Уи Zi) 6 Е фиксирована. Тогда найдется окрестность Е°
точки (tu Уи Zi), такая, что функция ц (/, tOf y0, г) определена
на отрезке, содержащем t0, tiy если (t0, у о, г) £ Е°. Кроме того,
матрица Якоби (дг\/ду0) в точке (/, t0, у о, г) =(tif tu yu z^ являет-
является единичной, и потому можно считать окрестность Е° столь малой,
что в ней det (дг\ (/ь t0, у0, го)/дуо) ф 0 для всех (/0, Уо, г0) 6 Е°.
Рассмотрим при фиксированном /i функцию ц (tu t, у> г) от
(t, у, г) 6 Е°. Имеем
dr\ (ti9 U У, *)= (|J) ldy-f(t, У, z) dt] + (il) dz, A1.7)
где использована формула C.4) с заменой (/0, у0) на (t, у). Значит,,
если A (t, у, г) = (дц/ду0) в точке (/, /0, у0, z) = (tt, /, у, г) и
C(t, у, z) = dr\(ti, t, у, z)l dz у то форма со в F.2) становится!
равной форме со = rfrj (^±, t, у, z), имеющей непрерывную внешнюю
производную d(D = 0. Кроме того, det.4^=0. Это завершает дока-
зательство.
§ 12. Первые интегралы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
У' = f(t, У), A2.1)
в которой f определена и непрерывна в открытом множестве Е.
Вещественная функция и (/, у), определенная в открытом подмно-
подмножестве EqczE, называется первым интегралом системы A2.1),
если она постоянна вдоль решений системы A2.1), т. е. если у =
= у (t) есть произвольное решение системы A2.1) в /-интервале
(а, 6), такое, что (/, у (/)) 6 Ео при а < t < 6, то функция и (t, у (/)>
не зависит от t.
Лемма 12.1. Пусть и (/, у) — некоторая функция класса С1,
заданная в открытом множестве Ео cz E. Функция и (t, у) будет
первым интегралом системы A2.1) в том и только том случае, когда
она является решением следующего линейного уравнения в частных
производных:
Ж+2-£г/*(^) = 0. A2-2)
Действительно, уравнение A2.2) эквивалентно соотношению
du(t, y(t))/dt = O для всех тех решений y = y(t) системы A2.1),
для которых (/, у (/)) £ Ео.
Теорема 12.1. Пусть функции и = чI (t, у), г]2 (t, у), ...,r]d(/, у)
класса С1 суть первые интегралы системы A2.1), заданные

§ 12. Первые интегралы
в открытом подмножестве EQa E и такие, что якобиан
det(dr\/dy)f где ц = (ц1, ц2, ..., ца), отличен от нуля. Пусть
(t0, Уо)£Ео, r\0 = r\(t0, у0), и пусть функция y = y(t, ц) является
обратной по отношению к r\ = r\(t, у) для (t, т]), близких к (t0, т]0).
Тогда при фиксированном г\ функция y = y(t, ц) является реше-
решением системы A2.1). Далее, если (tQ,y0)£E0 и функция u(t, у)
принадлежит классу С1 для (t, у), близких к (/0, у0), то u(t, у)
является первым интегралом системы A2.1) в том и только
том случае, когда для х\, близких к т]0, существует функция
и = и (г)) класса С1, такая, что и (t, y) = U (г) (/, у)) при (t, у),
близких к (tQ, у0).
Доказательство. Так как функции и = ц1 (t, у), i = 1, ..., d,
являются первыми интегралами системы A2.1), то из A2.2) сле-
следует, что
Значит, (дц/ду)'1 (dr\/dt)Jrf = O. Поскольку функция y = y(t, r\)
является обратной по отношению к т] = г](/, у), то ясно, что
у' ~dy/dt= — (дц/ду)'1 (дц/dt), и потому y = y(t,r\) с фиксирован-
фиксированным г] является решением системы A2.1). Первая часть теоремы
доказана.
Если U (rj) принадлежит классу С1, то из A2.2) сразу же сле-
следует, что функция и (t, у) = U (т] (tf у)) является первым интегралом.
Обратно, пусть u(t, у) — первый интеграл для (t, у), близких
К (t0, у0). ПОЛОЖИМ U (Г[, t)=u(t, y(t, У])). ЯСНО, 4TOU(t,y) =
= U(r\(t, у), t). Значит, достаточно проверить, что U (ц, t) не зави-
зависит от /. Но dU/dt^du/dt-}-^ (du/dyk)ykf, а это выражение равно
нулю в силу A2.1) и A2.2). Теорема доказана.
Теорема 12.2. Пусть функция f(t, у) непрерывна в открытом
множестве Е. Тогда для того, чтобы система A2.1) имела d
первых интегралов ц = ц (t, у) класса С1, определенных в окрест-
окрестности заранее заданной точки (t0, y0) £Е и удовлетворяющих
в ней условию det (дц/ду) Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы
задача Коши у' = /, у (t0) = у0 имела единственное решение
y = r[(t, t0, уq), принадлежащее классу С1 по всем своим аргументам.
Доказательство. Если у = т](/, t0, y0) существует и принадлежит
классу С1, то положим ц (/, y)=r\(tQ, t, у) для значений (t, у),
близких к (t0, yQ) при фиксированном t0. Тогда каждая компонента
вектора r\ (t, у) будет первым интегралом, так как ц (t, у (t)) равна
постоянной у (t0). Кроме того, матрица (дц (t, уIду) является в точке
t = t0 единичной и поэтому невырожденной для t близких к t0.
Обратно, если компоненты вектора г) = ц (t, у) суть первые
интегралы класса С1, определенные в окрестности точки (t0, у0) £ £,

144 Гл. V. Зависимость от начальных условий и параметров
det (дг\/ду) =£ О и y = y(t, r\) — обратная к r\ (t, у) функция, то поло-
жим г](/, tQ, yo) = y(t, r\(t0, у0)). Тогда r\(t,tQ,y0) будет решением
задачи Коши y' = f, #(*о) = Уо> принадлежащим классу С1. При фик-
фиксированном tQ имеем dr\(t^ t, y) = (dr\(t0, t, y)/dyo)[dy — f(t, y)dt];
см. A1.7). Поэтому из теоремы 6.1 следует, что решение у =
= Tl('»'o»#o) задачи y' = f, уУо) = уо единственно и принадлежит
классу С1.
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 3. Теорема 3.1 была впервые доказана независимо друг от друга
Пикаром (см. Дарбу [1, стр. 363]) и Бендиксоном [1]. Они рассматривали
случай d = 1 и использовали метод последовательных приближений. (Еще
раньше ее доказал Николетти [1], но при дополнительном предположе-
предположении выполнения условия Липшица для частных производных функции /.)
Теорема 3.1 (без параметра г) была доказана Пеано [3], который использовал
метод, подобный изложенному в тексте (с тем лишь отличием, что вместо
теоремы 2.1 он опирался на оценку вида | xh (t) | ■< ехр с \ t — t0 \ для
C.12), где с связано с оценками функций | dfl/dyi |; ср. с леммой IV.4.1).
Этот результат был повторно получен фон Эшерихом [2], который использо-
использовал метод последовательных приближений, и Линделёфом [2], который
использовал метод, подобный приведенному в тексте; лемма 3.1 приведена
в работе Адамара [3, стр. 351—352], но с другим доказательством.
§ 5. Определение непрерывной внешней производной было дано Э. Кар-
ганом [1, стр. 65—71]. Лемма 5.1 принадлежит Жиллису [2] (в более общей
форме она была использована для утвердительного ответа на вопрос Э. Кар-
тана о наличии непрерывной внешней производной у формы шг Д o)s при усло-
условии, что г-форма шг и s-форма os обладают непрерывными внешними про-
производными). Доказательство леммы 5.1, приведенное в тексте, принадлежит
А. Картану [1, стр. 62—63].
§ 6. Теорему 6.1 см. у Хартмана [17]; приведенное в тексте доказа-
доказательство дано по Хартману [26]; для d = 1 ср. с [14]. Относительно упр. 6.2
и его обобщений на экстремали см. Хартман [17]. Относительно упр. 6.3
ом. Хартман [14].
§ 7 и 8. См. Хартман [26].
§ 9. См. Хартман [26]. Лемма 9.1 по существу принадлежит Льюису [2]
(ср. с Опялем [8]); относительно обобщений см. Льюис [3].
§ 12. Теорема 12.1 восходит к работе Лагранжа за 1779 г.; ср. [2, IV,
стр. 624—634].

Глава VI
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения с частными производными
В этой главе мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные
с уравнениями в частных производных, для решения которых можно
использовать методы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. Части I и II являются независимыми друг от друга.
ЧАСТЬ I. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
§ 1. Уравнения в полных дифференциалах
Пусть Н (у, z) = (ha) — непрерывная (d X в)-матрица, опре-
определенная в открытом (d + е)-мерном множестве Е. Рассмотрим
систему уравнений в полных дифференциалах
dy-H(y,z)dz = 0,
или
е
dy — ^jhij(y,z)dz=O, i'■ -=■ 1, .. ., а, A*1)
и начальное условие
у(го) = уо, A.2)
заданное для некоторой точки (у0, z0) £E. Система A.1) является крат-
краткой записью следующей совокупности уравнений в частных произ-
производных:
-Л— _= hif(y,z), i= I, .. ., d; j = 1, . .., e. A.3)
Если е = 1, то A.3) превращается в систему обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений; теоремы существования и единствен-
единственности решений для соответствующей задачи Коши были доказаны
в предыдущих главах. Если е> 1, то в общем случае система A.1)
вовсе не обязана иметь решения. Например, предположим, что
Н (у, z) принадлежит классу С1. Если A.1) имеет решение у = у (z)
класса С1, то из A.3) ясно, что у (г) тогда принадлежит С2 (так как
правая часть в A.3) принадлежит С1). Но в таком случае d2yi/dz1dzm =
= d2y1/dzmdz\ что приводит к условию
d d
10-241

146 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
для i = 1, . . ., dn /, m = 1, . . ., в, которое должно выполняться
во всех точках (у, z) = (у (г), г). Таким образом, в этом случае
необходимым условием разрешимости задачи A.1) — A.2) для
произвольной точки (у0, z0) 6 Е является тождественное выполнение
«условий интегрируемости» A.4) во всей области Е. Если Н 6 С1,
то, как мы увидим далее, это необходимое условие является также
достаточным для существования решения у = у (z, z0, у о), и, более
того, в этом случае решение задачи A.1) — A.2) единственно,
а у (г, z0, Уо) принадлежит С1 по всем своим аргументам.
Вместо того чтобы работать непосредственно с A.1) — A-2)>
оказывается более удобным ввести 1-форму
(о = А(у, z) [dy — Н (у, г) dz\ A.5)
где А (у, г) обозначает непрерывную и невырожденную (d x d)-
матрицу, и решить следующий вопрос: при каких условиях в
(d + е)-мерной окрестности точки (r]0, z0) существует функция
У = УA\, *) A.6)
класса С1, такая, что выполняются соотношения
У СПо, z0) = у о, (У о, г0) 6 Е, A.7)
и отображение A.6) преобразует форму A.5) в дифференциальную
форму вида
со = D (т), г) drj A.9)
от dr] ^(^т]1, . . ., dr]d) с коэффициентами, зависящими, конечно,,
от (т), г)? (Введение матрицы Л (у, г) в A.5) сделано только для
удобства и нисколько не влияет на существо вопроса.) Если такая
функция у = у (т], г) существует, то форма A.5) называется вполне
интегрируемой в точке (/0, z0).
Если функция у =у (г|, г) принадлежит классу С1 и если в соот-
соотношение A.5) подставить dy = (ду/дц) dy\ + (ду/dz) dz, то ясног
что в результате мы получаем A.9) тогда и только тогда, когда
($))=0, A.10)
причем в этом случае
A(y,z)(^)=D(r\,z). A.11)
В частности, из A.8) следует, что матрица D (т|, г) невырожденная.
Возможность преобразования формы A.5) к виду A.9) эквива-
эквивалентна возможности удовлетворить уравнению A.10), т. е. урав-
уравнениям A.1) или A.3). Поэтому полная интегрируемость системы
A.1) или формы A.5) равносильна существованию семейства решений

§ 1. Уравнения в полных дифференциалах 147
у = у (т), г) системы (Ы), зависящего от параметров ц =
= (тI, . . ., r]d) и удовлетворяющего условиям A.7) и A.8).
Вопрос о существовании функции A.6) можно рассмотреть
несколько с другой точки зрения. А именно, нужно узнать, когда
для формы со из A.5) существует локальный «интегрирующий мно-
множитель», т. е. когда существует невырожденная непрерывная матри-
матрица Е (у, г), такая, что Е(у, г)со является полным дифференциалом:
Е (уу z) со = dr\ (уу г). Ясно, что такая матрица Е (у, г) существует
в том и только в том случае, когда поставленный выше вопрос имеет
решение; в этом случае Е (у, z) = D'1 (т) (у, г), г), где ц (у, г) —
функция, обратная к у = у (т), г).
Наконец, существует и еще один подход к рассмотрению вопроса
о существовании функции A.6). Поставим задачу нахождения
вещественных функций и = и (у, г) от d + e независимых аргу-
аргументов, удовлетворяющих следующей системе из е линейных диф-
дифференциальных уравнений с частными производными:
d
Xjlu]^-^r+21hij(iJ,z)-^r = 0, j=l,...,e, A.12)
где Н (у, г) — непрерывная (d X е)-матрица, заданная в Е. Систе-
Система A.12) называется системой, сопряженной к системе A.1).
Система A.12) называется полной в Е, если она обладает там
d решениями и = т]1 (у, z), . . ., r\d (у, г), для которых их матрица
Якоби (дц/ду, дц/dz) имеет в каждой точке максимальный ранг
(=d). Из A.12) видно, что это условие относительно ранга выпол-
выполняется тогда и только тогда, когда матрица (дц (у, г)/ду) является
невырожденной. Если такие d решений т]1, . . ., ца существуют,
то систему A.12) можно переписать в виде
E)+ ($■)»<* «>-<>• с-13'
Умножение на (дц/ду)'1 показывает, что A.13) эквивалентно урав-
уравнению
Из условия det (дц/ду) Ф 0 следует, что локально функция г) =
= т] (у, г) имеет обратную функцию у = у (rj, z) класса С1, для
которой ду/дг =—(дц/ду)'1 (дц/dz). Значит, A.14) равносильно
тогда уравнению A.10), т. е. A.3). Это рассуждение можно обра-
обратить, и мы получаем, что полная интегрируемость системы A.1)
или формы A.5) в точке (у0, г0) эквивалентна полноте системы
A.12) в окрестности точки (//о, z0). ^ частности, если е>\ и
Н (у, z) ^ С1, то для полноты системы A.12) в окрестности каждой
точки (у0, z0) £E необходимо и достаточно, чтобы условия A.4)
выполнялись тождественно в Е. Эти условия в силу A.12) можно
10*

148 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
переписать в виде
Xm[hij] = XJ[him], г = 1, .. .,d; т, /= 1, . ,.,е. A.15)
Рассуждения, использовавшиеся в § V.12, показывают, что
если задача A.1) — A.2) имеет решение при всех (у0, г0) 6 Е,
то функция и (у, г) класса С1 на Ео си Е будет решением системы
A.12) в том и только том случае, когда она является первым инте-
интегралом системы A.1), т. е. если и (у (г), z) = const для любого
решения у = у (г) системы A.1), такого, что (у (г), г) £ Ео.
Система A.1) или эквивалентная ей система A.10), для которой
выполнены условия интегрируемости A.15), называется системой
Якоби. В теореме 3.2 приводятся условия существования и един-
единственности решений таких систем. В этой теореме не предполагается,
что Н (у, г) принадлежит классу С1, так что условия интегрируе-
интегрируемости принимают вид, отличный от A.15), и в действительности
задаются в более удобной алгебраической форме (так что громозд-
громоздкие соотношения A.4) в вычислениях не встречаются). Эта теорема
будет получена на основе теоремы 3.1, в которой рассматривается
вопрос о полной интегрируемости системы A.1) или формы A.5).
Упражнение 1.1. (а) Пусть bik (у), ..., bdk (у), & = 1, 2, суть 2d
функций класса С1. Определим дифференциальные операторы
в частных производных Хи [и] = ^jbjk(y) ди/ду3, k=l, 2, и опера-
i
тор Х12 [и] = 2 (Х2 [bij]— Xi [b2j]) ди/ду3. Покажите, что Xi2 явля-
э
ется коммутатором операторов Хх и Х2 в том смысле, что если
и (у) принадлежит классу С2, то Xi2{u] = Xl[X2(u)]—X2[Xi(u)].
(b) Покажите, что если и (у) принадлежит классу С1 и Xk [и] — 0,
k= 1, 2, то Х12[и]=0. Относительно обобщений см. упр. 8.2(Ь).
Упражнение 1.2. Пусть в открытом множестве Е из (d -f ^-мер-
^-мерного ^-пространства задана непрерывная [(d + e) х <?]-матрица В (х) =
= (Ьи(х)) ранга е, i = 1, ..., d-fe; / = 1, . .., е\ х= (х1, .. . ,xd+e).
Далее, для / = 1, ...,е определим дифференциальные операторы
Yj[u] = %bij(x)du/dx\ Система (•) Yj[u]=0, /=l,...,e, назы-
называется полной в Е, если у нее существует d решений и = г\1 (х), ...
..., r\d (х) класса С1, таких, что [(d + е) х й]-матрица Якоби
(dy]k/dxj) имеет ранг d. Используя теорему 3.1, покажите, что если
матрица В (х) принадлежит классу С1, то система (*) полна
в окрестности каждой точки х0 £ Е тогда и только тогда, когда
коммутатор Yjk операторов Yj и Yk (см. упр. 1.1) является линей-
линейной комбинацией операторов У4, ..., Yе (т. е. тогда и только тогда,
когда существуют функции cjkm(x), /, k, /тг= 1, ..., е, такие, что
S или, что равносильно, Yk [btj] — Yj [bih] =
x) bim (x), /, k = l, ...,e; r = 1, ...,d + e).

§ 2. Алгебра внешних форм 149
§ 2. Алгебра внешних форм
Для того чтобы условия интегрируемости можно было записать
в более удобной форме, напомним здесь некоторые простые факты
теории внешних форм.
Пусть 0 < г < d и Crd = d\lr! (d — г)!. Рассмотрим векторное про-
пространство W размерности С£, определенное над полем веществен-
вещественных чисел и имеющее базисные векторы е1ь..| , где 1</1</2<---
...<Or<d. Тогда любой вектор co£W имеет единственное пред-
представление
где йь..г —вещественные числа. Введем обозначения ejb..j, для
/i> . . ., /г = 1, . • •, d, где ejb..j = 0 при равенстве двух каких-либо
индексов ]\у ..., /г и ejlm,,j = + е^.,,1 в соответствии с тем, четно
или нечетно число транспозиций при переходе от (/А, ..., ir)
к (/i»-«-»/r)» 1 < *'i< • •. < ir<d. Тогда любой вектор cogW"
можно представить единственным образом в виде
d d
ii=i "'' ir=i Jl" >:?г л "Jr
с коэффициентами, подчиненными условиям
где (/j, ..., /г) получается из (ii4 . .., /г) соответственно четным
или нечетным числом транспозиций и 1 < ix < ... < ir<d. В част-
частности, Cjx ..jr = 0, если какие-либо два из индексов /1? .. ., /?• совпа-
совпадают. Изменим обозначение ejltm.j «базисных элементов», положив
eh...ir = dyh Л ••• Л ^Уг- Тогда вектор со становится дифферен-
дифференциальной г-формой
» = 2^,.^Л...ЛФ^ B-2)
с постоянными коэффициентами, подчиненными условию B.1).
Как и в предыдущей главе, произведение дифференциальной
/"-формы сог и s-формы cos есть дифференциальная (г + 5)-форма,
определяемая так, чтобы выполнялись обычные законы ассоциатив-
ассоциативности, дистрибутивности и закон антикоммутативности dyl Д dyJ =
= —dydf\dy\ так что сог Д со8 = (— l)rscos Д со7*. Произведение,
получаемое по этим правилам, будет называться «внешним» произ-
произведением.
«Преобразование базиса» в векторном пространстве W диффе-
дифференциальных r-форм можно производить следующим образом. Пусть

150 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
Т = (tij) — некоторая невырожденная (d x й)-матрица, и пусть
d
dyl = ^ ttjdrf, det (^) Ф 0, B.3)
i=i
и преобразование «базисных» элементов пространства W опреде-
определяется внешним произведением
№ Л • • • Л dyjr = (S thM) Л • • • Л (S t}jidr{).
Тогда со из B.2) превращается в дифференциальную r-форму вида
© = 2та...^1Л--« Л dr)j\ B.4)
где сохраняется условие, аналогичное B.1).
Для того, чтобы убедиться, что это определение действительно
приводит к невырожденному преобразованию базиса простран-
пространства W, необходимо доказать следующую лемму.
Лемма 2.1. Пусть «преобразование базиса» B.3) переводит
B.2) в B.4). Форма B.2) равна 0 (т. е. все Cjlt..j равныО) в том
и только том случае, когда равна нулю форма B.4) (т. е. все
Yii...ir равны 0).
Из ассоциативности правила B.3) «преобразования базиса»
следует, что если
преобразует форму B.4) в
со = 2б;ь..;Д^Л ... Л^Ч B.5)
то
преобразует форму B.2) в B.5). Значит, для доказательства леммы
достаточно положить (Sij) = (tij)~1.
Если некоторые из dyk являются линейными комбинациями дру-
других1) (например, если dyh+1, ..., dyd являются линейными комби-
х) В этом месте в оригинале допущена неточность. Согласно данному выше
определению внешней формы, символы dyi являются базисными элементами
в пространстве 1-форм и потому фраза «dyh+1, ..., dyd являются линейными
комбинациями дифференциалов dy1, ,.,ydyh» не имеет смысла. Точно так же
не имеет смысла и формулировка леммы 2.2 (линейно независимые элементы o)j
векторного пространства W приравниваются нулю).
Дело в том, что обычно s-формы рассматриваются как элементы вектор-
векторного пространства, сопряженного к пространству s-векторов. (Определение

§ 2. Алгебра внешних форм 151
нациями дифференциалов dy1, ..., dyh с постоянными коэффициен-
коэффициентами), то B.2) превращается в г-форму от dy1,..., dyh. Это замечание
используется в следующей лемме.
Лемма 2.2. Пусть o)l9 ...,cos — линейно независимые диффе-
дифференциальные l-формы и со — дифференциальная r-форма с постоян-
постоянными коэффициентами. Внешнее произведение щ /\ ... Д со5 Д со
равно 0 в том и только том случае, когда из равенств щ = ...
...=cos^O следует, что со = 0.
Пусть формы щ, ..., (os заданы формулами
со*= 2 s*/V> *'=1. • >s- B-6)
Предположение об их линейной независимости означает, что
со15 . .., cos, рассматриваемые как векторы, являются линейно неза-
независимыми, т. е. ранг матрицы (stj) равен s, где i=l,...,s
и / = 1, ..., d. Соотношения (ot = ... = cos = 0 означают, что s диф-
дифференциалов dy3 могут быть выражены как линейные комбинации
остальных d — s дифференциалов dyh, причем в этом случае со
превращается в r-форму от этих последних дифференциалов.
Утверждение леммы состоит в том, что эта r-форма равна О
(т. е. все ее коэффициенты равны 0) тогда и только тогда, когда
о)А Д ... Д ю8 Д о) = 0.
пространства s-векторов, 5=1, ..., d, полностью аналогично приведенному выше
определению пространства 5-форм; см. примечание на стр. 153.) Внешние произведе-
произведения dy%1/\ ... /\dy s образуют биортогональный базис к аналогичному ба-
базису в пространстве s-векторов; в частности, 1-формы dy* являются просто
координатами 1-векторов. Внешнее произведение s-векторов определяется так
же, как и для форм, и имеет место равенство
dyh А ... Л dy1' (at Д ... Д яг) = det {aj),
где dj —dyk (aj) есть k-я координата вектора а у
Теперь формулировка леммы 2.2 приобретает смысл. В самом деле, система
из s линейных (и линейно независимых) уравнений (Oj = 0J= • • • =cos = 0 опре-
определяет в пространстве 1-векторов (d — s)-MepHoe подпространство L. Беря
любые г векторов а±, ..., аТ £ L, образуем их внешнее произведение а^ Д ... Даг,
являющееся г-вектором. Если при этом всегда со (аА Д ... Д аг) = 0 (по усло-
условию со является г-формой, т. е. линейной функцией на пространстве г-векто-
ров), то говорят, что из равенства соА= ... =cos = 0 следует равенство со = 0.
Лемма 2.2 утверждает, что это эквивалентно равенству со4 Д ... Д cos Д со = 0
Корректная формулировка леммы 2.2, не использующая структуру сопря-
сопряженного пространства в пространстве форм, дана автором ниже: равенство
wi Д ... Д cos Д со = 0 равносильно тому, что
© = а4 Д cOi+...+ав Д со5.
Доказательство этой леммы также корректно. Некоторые пояснения к нему
даны в примечаниях на стр. 152.— Прим. ред.

152 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
Из доказательства будет видно, что утверждение леммы 2.2
может быть сформулировано еще и так: произведение щ Д ...
... Д cos Л ю равно нулю в том и только том случае, когда сущест-
существует s дифференциальных (г— 1)-форм а4, ...,as, таких, что
со = а4 Д cot + . .. + as Д cos.
Доказательство. Присоединим к (d x з)-матрице (stj) d — s но-
новых строк так, чтобы получилась невырожденная (d x ^-матри-
^-матрица. Рассмотрим преобразование базиса B.3), где (ttj)= (stj)'1.
Тогда по отношению к новому базису (Di = dr\\ 1</<s, и пусть
в нем со задается, скажем, формулой B.4). Произведение cdj Д ...
... Д cos Д со равно нулю тогда и только тогда, когда каждое
из ненулевых слагаемых формы со содержит сомножитель со* = drf
для l^Ci^Cs1), т. е. со = 0 тогда и только тогда, когда со^...
... =cds = 02). Таким образом, утверждение леммы справедливо
в базисе (dr]\ ...,dr]d), и поэтому, в силу леммы 2.1, оно спра-
справедливо и в базисе (dy1, ..., dyd).
§ 3. Теорема Фробениуса
Основной результат, относящийся к форме A.5), принадлежит
Фробениусу и заключается в следующем.
Теорема 3.1. Пусть Н (у, г) — непрерывная (d x е)-матрица,
заданная на открытом множестве Е. Для полной интегрируемости
1) Т. е., как и утверждалось выше, когда со представляется (вообще
говоря, неоднозначно) в виде
со = 04 Л dvI + ... + as Л dr\* = а{ /\ со± + ... + &s Л ws- (A)
— Прим. ред.
2) Поясним это утверждение. Пусть dj — базисные векторы в пространстве
1-векторов, биортогональные к dif, т. е. йц1 (dj) = 6tj. Если форма со имеет
вид B.4), то
© Vh А ... Л djr) = ^ 7гь. .ir det (^'k (%)) = Vix.. jr-
Если из равенств со1= ... =cos = 0 следует, что со = 0, то у- • = со (dj Л--*
... /\dj ) — 0 для любого набора индексов, в котором все /& > s, так как для
таких jk и 1 <; г'<J s всегда со* (dj ) = dT]*(dj ) = 0. Поэтому в этом случае
снова имеет место соотношение (А).
Обратно, пусть имеет место такое разложение, и пусть ait ..., аг — произ-
произвольный набор векторов, на которых формы щ, /=1, ...,s, обращаются
в нуль. Из B.4) следует, что
со (fll Л ... Л аг) = ^ У,-,...ir det [dTj
Но если верно (А), то у$ j ф 0 только в том случае, когда среди его индек-
индексов ]\ есть индекс <!s. Но тогда соответствующий определитель содержит
йй й б П ( Д Д ) 0
]\ < у рд
по крайней мере один нулевой столбец. Поэтому со (а± Д ... Д ar) =
Таким образом, и посылка, и заключение леммы 2.2 эквивалентны разло-
разложению (А), а следовательно, эквивалентны и между собой. —Прим. ред.

§ 3. Теорема Фробениуса 153»
формы со о = dy — Н (у, z) dz в точке (у0, г0) необходимо и доста-
достаточно, чтобы в окрестности этой точки существовала непрерывная
невырожденная (d x d)-матрица А (у, г), такая, что форма со =
= (coi, . . ., cod), определенная равенством со = Лсоо, имеет непре-
непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую условиям
//)/fo 0 i 1rf 31>
Равенства C.1) представляют собой условия интегрируемости.
Левая их часть есть внешнее произведение d дифференциальных
1-формсоь . . ., 0)^ и дифференциальной 2-формы dec*; условия C.1)
будут использованы в такой эквивалентной форме (лемма 2.2):
из равенства со = 0 (т. е. coi = . . . = со^ = 0) следует, что dco = О
(т. е. d«i = . . . = dcod = 0) *).
Упражнение 3.1. Покажите, что условия C.1) сводятся к A.4),
если А (у, г) = I и Н (у, г) принадлежит классу С1.
г) Хотя определение дифференциальной формы и ее внешней производ-
производной было дано выше (см. § V.5), нелишне дать некоторые пояснения, чтобы
избежать путаницы, возникающей при формальном подходе к этим поня-
понятиям. Мы ограничимся простейшим определением, достаточным, однако,
для целей этого параграфа. Пусть X — векторное пространство и Е — его-
открытое подмножество. Дифференциальная /"-форма на Е есть функция
со = со(*, |(П),
определенная на произведении ЕхХ{Г\ где Х(п — пространство г-векторов
(ХA>=Х), линейная по £<Г) и непрерывная (или класса Ск) по х. «Слой»
х X Х(Г> называется пространством r-векторов, касательных к Е в точке х.
В частности, 1-векторы из х X ^A) называются просто касательными вектора-
векторами в точке х. Фиксируем в Ха) = Х базис {dj}, так что для х£Х справед-
справедливо разложение x=^x^dj. Внешние произведения д-^ Д ... Д д- образуют
в Х<г> базис. Дифференциал функции f (х), определенной на Е, есть дифферен-
дифференциальная 1-форма
В частности, дифференциалы координатных функций fj(x) = xi (определенные
в Е как в подмножестве X)
dxi(l) = V
образуют в каждом пространстве (*XXA>)* базис, биортогональный к {dj}.
Внешние произведения dxn Д ... Д dx r образуют базис в пространстве
(д;Х^(Г))*, сопряженном к пространству касательных /--векторов в точке х.
Поэтому каждая дифференциальная r-форма может быть разложена по этому
базису:
Это выражение и было принято в § V.5 за определение дифференциальной
формы. Внешняя производная (или внешний дифференциал) dco является (г+1)-
формой и определяется, как в § V.5/ с помощью формулы Стокса. Если функ-
функции р ■ • (х) принадлежат классу СЦЕ), то
d0»=SdW,...j> (x) A dx\ A - Л хй*г
— Прим, ред.

Л54 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
Теорему 3.1 можно дополнить следующей леммой.
Лемма 3.1. Пусть Я (уу г) — непрерывная (d x е)-матрица,
заданная на открытом множестве Е. Пусть Q = £1 (Е) обозначает
.множество (возможно, пустое) непрерывных невырожденных (d x d)-
матриц А (у, г), (у, z) £ Е, таких, что форма со = A [dy — Hdz]
имеет непрерывную внешнюю производную. Тогда условия интегри-
интегрируемости C.1) или выполняются для всех матриц A £ Q, или не вы-
выполняются ни для одной матрицы A £Q.
Например, если Н (у, z) принадлежит классу С1, так что форма
dy — Hdz имеет непрерывную внешнюю производную, и если усло-
условия A.4) не выполнены, то условия C.1) не выполняются ни при
каком выборе непрерывной невырожденной матрицы А.
Упражнение 3.2 (упрощенный вариант леммы 3.1). Пусть матри-
матрицы А (у, z) и Н (у, z) непрерывны, det А ф О, и пусть форма
со = A\dy — И (у, z) dz] имеет непрерывную внешнюю производ-
производную, удовлетворяющую условиям интегрируемости C.1). Пусть
А о (у, z) — некоторая невырожденная (d X ^-матрица класса С1.
Покажите, что форма Ао (у, г) со имеет непрерывную внеш-
внешнюю производную, определяемую равенством d (Л0со) = Л0Жо +
+ (dA0) /\ (о, и получите отсюда, что форма Л0со удовлетворяет
условиям интегрируемости, аналогичным условиям C.1).
Упражнение 3.3. Пусть х, у, z — вещественные переменные;
Р (я, у, г), Q (х, у, z), R (х, у, z) ~ вещественные функции класса С1,
причем Р2 + ^2 + ^2=т^= 0. Покажите, что для существования локаль-
локального интегрирующего множителя формы со = Р dx-t-Qdy + Rdz
условие интегрируемости со Д dco = 0 сводится к равенству
P(RQ) Q(PR) RQP) 0
Упражнение 3.4. Покажите, что если матрица Н (у, г) непре-
непрерывна в £ив£ существует непрерывная невырожденная матрица
А (уу z), такая, что форма со = A [dy — Я (у, z) dz] имеет непре-
непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую условиям инте-
интегрируемости C.1), то каждая точка (уо> z0) 6 Е обладает окрестно-
окрестностью £о, в которой определена последовательность 1-форм
со1, со2, . . . класса С1, таких, что соп удовлетворяет условиям интегри-
интегрируемости и последовательности соп ->■ со, dcon -> dco сходятся рав-
равномерно в Е при п-> оо.
Упражнение 3.5. Пусть матрица Я (у, г) непрерывна в Е.
Покажите, что форма со = dy — Я (у, z) dz имеет непрерывную
внешнюю производную dco, удовлетворяющую условиям интегри-
интегрируемости C.1), в том и только том случае, когда Я (у, г) обладает
непрерывными частными производными по компонентам вектора у

§ 4. Доказательство теоремы 3.1 155
(ср. с упр. V.5.1) и для 1 <; / < т <; е, i = 1, . . ., d
\hudzi + himdz™= JJ 2 (^hkm-dj^hkJ)dzjdz™ C.2)
J S ft=l ^
по всем прямоугольникам 5 с границами J, Sc£, лежащими
в двумерных плоскостях у = const И2^ = const, k Ф /, m; см. A.4).
Теорема 3.2. Пусть матрица Н (у, г) непрерывна в открытом
множестве Е. Система A.12) является полной в окрестности какой-
либо точки {у о, г о) 6 Е тогда и только тогда, когда в окрестности
точки (г/о> z0) существует непрерывная невырожденная матрица
А (у, z), определяемая так же, как в теореме 3.1. В частности, если
е> 1 и Н (у, г) принадлежит классу С1, то для (локальной) пол-
полноты системы A.12) необходимо и достаточно чтобы выполнялись
условия A.4) (или A.15)).
Понятие полноты системы сразу же приводит к такому резуль-
результату :
Следствие 3.1. Пусть матрица Н (у, г) непрерывна в некоторой
окрестности точки (у0, z0), и пусть система A.12) полна (т. е.
обладает d решениями и = rj1 (у, г), . . ., r\d (у, г), такими, что
вектор г) = (гI, . . ., rjd) удовлетворяет условию det (дц/ду) Ф 0).
Положим т]0 = rj (yQ, z0). Пусть и (у, г) — вещественная функция
класса С1, заданная в некоторой окрестности точки (у0, г0). Она
является решением системы A.12) в том и только в том случае,
когда существует функция U (ц) класса С1, определенная для ц,
близких к г]о, и такая, что и (у, z) = U (г) (у, г)) для всех (у, г),
близких к (уо, z0).
Доказательства теоремы 3.1 и леммы 3.1 будут даны соответ-
соответственно в § 4 и 5. Теорема 3.2 является следствием теоремы 3.1
и рассуждений, использовавшихся в § 1. Доказательство следствия
3.1 подобно доказательству теоремы V.12.1, и приводить мы его
не будем.
§ 4. Доказательство теоремы 3.1
Необходимость. Пусть в некоторой окрестности точки (rH, z0)
существует функция у = у (ц, г) класса С1, удовлетворяющая
соотношениям A.7), A.8) и преобразующая форму
ao = dy-H(y, z)dz D.1)
в форму
со о - Do (г], г) dx\. D.2)
Тогда матрица Do (т), z) = (ду/дг\) является невырожденной; см.
A.11). По условию A.8) функция A.6) имеет в некоторой окрест-

156 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
ности точки (уо, г0) обратную функцию т| = г) (у, г) класса СЧ
Пусть А (у, z) = Dq1 (г) (у, z), г), так что матрица А (у, г) непре-
непрерывная и невырожденная. Кроме того, форма со = A (dy — Hdz) =
= dt] имеет непрерывную внешнюю производную dec = d (dx\) = 0.
Тем самым «необходимость» доказана.
Доказательство «достаточности» будет основываться на следую-
следующей лемме, которая яснее выявляет роль условий интегрируемо-
интегрируемости C.1).
Лемма 4.1. Пусть функция f (t9 у, z) непрерывна в некоторой
окрестности точки (t0, Уо> z0), и пусть там существуют непрерыв-
непрерывная невырожденная (d х д)-матрица A (t, у, г) и непрерывная
(d х ё)-матрица С (t9 у, г), такие, что форма
со = A{dy — fdt — Cdz) D.3)
имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую усло-
условиям C.1). Пусть у = г] (t, /0, у и z) есть решение задачи Коша
У' =/(*, У, г), у (t0) = yx. D.4)
Тогда матрица
не зависит от t.
Доказательство леммы 4.1. По теореме V.6.1 задача Коши
D.4) имеет единственное решение y = 4\(t, t0, y{, г) класса С1.
В обозначениях следствия V.6.1 (ср. (V.6.9) — (V.6.10)) матрица
Y = A(t, т], z)(dx\ldy^ является фундаментальной для линейной
системы
Y' = F(t, г], z)A-1(t,i\,z)Y, D.6)
a Y — А (/, г], г) [(дц/дг) — С (/, т], г)] является решением уравнения
Y' = F (/, г], г) Л (*, т], z) У+ Л^ (/, Т1, z) + T7 (/, т), г) С (/, т], г).
D.7)
Отметим некоторые различия с обозначениями § V.6; сейчас у нас
у{ играет роль прежнего у0 и —АС в формуле D.3) совпадает с С
из (V.6.2).
При фиксированном /0 замена переменных (t9 у, г) ->- (/, уь г),
где (/ = г] (/, /0, г/i, z), переводит D.3) в форму
)~C(t^,z)]dz}. D.8)
Так как коэффициенты в D.8) имеют непрерывные производные
по t, то из доказательства леммы V.5.1 видно, что

§ 4. Доказательство теоремы 3.1 157
где многоточие заменяет члены, содержащие dy{ Д dy\, dy[ Д dzk
и &£ Д dzk. В силу замечаний, сделанных относительно уравнений
D.6) и D.7), имеем
dt Д ^ + [> (|1) + #] Л Д dz + ..., D.9)
где аргументом А, С, F и N является (/, г), z), а т) = tj (/, *0, */t, z).
Выберем1) dt/i при фиксированных (tf, г/ь z) таким, чтобы
<о = 0, т. е.
тогда D.9) принимает вид dec = {...}dt Д dz-f (члены, содержащие
dzj Д dzfe), где {. ..} задается равенством
Так как для dyi9 определяемого соотношением D.10), форма
со равна 0, то из леммы 2.2 и условий интегрируемости C.1) следует,
что dco = 0. В частности, {...} = 0, т. е. N + FC = 0. В этом
случае уравнение D.7) сводится к D.6). Значит, матрица Y =
= A (dr\/dyi) является фундаментальным решением системы D.6),
а матрица Y = А [(дц/dz) — С] является матрицей-решением той
же самой системы D.6). Следовательно, существует матрица С0,
не зависящая от t и такая, что
см. § IV. 1. Поскольку матрица D.5) совпадает с С0, лемма доказана.
Доказательство «достаточности» в теореме 3.1. Допустим, что
существует непрерывная невырожденная матрица А (у, z), удо-
удовлетворяющая условиям теоремы. Изменим обозначения: пусть
t = z1; если е = 1, то пусть г2 = 0; если е > 1, то пусть г2 обозна-
обозначает (е — 1)-мерный вектор (г2, . . ., ze). Тогда систему A.1) можно
переписать в виде
® = А(у, U z2) Idy — fdt — C2dz2]9
х) Смысл дальнейшего изложения состоит в том, что в касательном про-
пространстве 1-векторов рассматривается подпространство L, определяемое усло-
условием со = 0, т. е. равенством D.10). Для любой пары векторов ai4a2^L по
условию должно выполняться равенство d(o(ai/\a2) = 0. Выберем а{ и а2 так,
чтобы dt(ai) = \1 dz(ai) = 0 (тогда в силу D.10) и dy(ai) = 0)9 dt(a2) = 0,
dzi (a2) = 0 (/ ф k), dzu (а%)= 1 (dy (а2) определяется из D.10)). Тогда
Д a2) = {N + FC} dt Д dz (fll Д
ибо dt Л dzk (fli Л «2) =
1 0
0 1
= 1, а все остальные внешние произведения обра-
обращаются на а± Да2 в нуль. —Прим. ред.

158 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
где / — первый столбец матрицы Я, а С2 — матрица, состоящая
из других столбцов матрицы Я. Пусть y = v](t, z2, уд есть реше-
решение задачи у' = f(y, t, z2), У(г1)^=У1 ПРИ фиксированном zj. Замена
переменных (у, t, z2)-^(y{, t, z2) преобразует форму со в форму
Последнюю форму можно переписать следующим образом:
H2(yu z2)dz2],
где Я2 в силу леммы 4.1 не зависит от * = zb, см. D.8) и D.5).
Форма со удовлетворяет, конечно, условиям интегрируемости
в новых переменных (уи z).
Если е=1, так что z2 = 0, то теорема доказана. Если е>1,
то снова изменим обозначения, положив z2 = t и z3 = 0 или
23^ (г3, ..., ze) в соответствии с тем, будет ли е^=2 или е>2г
и перепишем со в виде
(o = Ai(y, z1, Л z3) [dy^ — f^t — C^dz^],
где /± = /± (^/i, *, z3) состоит из первого столбца матрицы Я2, а мат-
матрица С3 — из остальных. Пусть yi=^ % (/, z3, Уг)~ решение задачи
y[ — h(yiitiZ3)i У1(г1) = У2, так что г]! не зависит от г1. Замена
переменных (уи г1, /, £з)-^(#2> z1, /, z3) переводит со в форму вида
« = А2 (у2, z) [dy2 — Я3 dz3],
где, в силу леммы 4.1, матрица Я2 = Я3 (у2» zs) не зависит от г2.
Если е = 2, так что г3 = 0, то теорема доказана. Ясно, что этот
процесс можно продолжить и тем самым получить доказательства
теоремы для любого е > 2.
§ 5. Доказательство леммы 3.1
Так как условия интегрируемости являются локальными, то
можно считать, что Е есть окрестность точки (у0, z0). Предположим,
что множество Q (Е) не пусто и что для некоторого его элемента
выполнены условия интегрируемости. Тогда по теореме 3.1 сущест-
существует функция у = у (г), z), удовлетворяющая условиям A.7) — A.8)
и переводящая форму
(D0 = dy — H(y, z)dz E.1)
в форму
Пусть Л (г/, г) —произвольный элемент из Q(E). Тогда форма
E.3)

§ 6. Система A.1) 159*
переходит в форму
fi> = D(Tl, z)A|f где D = A(y, z) (Щ) . E.4)
Так как замена переменных (у, г) —>(ц, г) задается функциями
класса С1, то свойство иметь непрерывную внешнюю производную-
(см. определение в § V.5) при этом не теряется. Поэтому из соот-
соотношения A^Q(E) следует, что форма E.4) имеет непрерывную
внешнюю производную. Из доказательства леммы V.5.1 ясно, что*
dco имеет вид
dco = 2 2 Ajh (т), г) dr/ Л *lft+ 2 2 5Д (t],z) dr/ Adz\ E.5)
где Ajk — — Лд/, Б7-£ суть непрерывные d-мерные векторы.
Поскольку матрица D (т|, z) невырожденная, то равенство со = О
эквивалентно равенству dr] = 0, а тогда dco = 0. Значит, форма
E.4) удовлетворяет условиям интегрируемости. Но тогда форма
E.3), которая получается из E.4) заменой переменных (т|, г) ->~
-*- (у, г) класса С1, также удовлетворяет условиям интегрируемости.
Лемма доказана.
§ 6. Система A.1)
Теоремы из § 3 дают необходимые и достаточные условия суще-
существования локальных решений задачи Коши A.1) — A.2).
Теорема 6.1. Пусть Н (у, г) — непрерывная (d x е)~матрица
на открытом множестве Е. Необходимое и достаточное условие
для того, чтобы задача A.1) — A.2) имела единственное решение
у = у (z, zOi Уо) класса С1, определенное для z, близких к г0 при
любом (уо> zo)£E, состоит в следующем: форма A.5) должна
быть в точке (у0, z0) вполне интегрируемой, т. е. для каждой
точки (уо, z0) существует матрица А (у, z), определенная так же,
как в теореме 3.1. В этом случае, если произведение'
R'- (II У — Уо II <^ Ь) X (|| z — z0 || <; а) двух евклидовых шаров содер-
содержится в Е и | г] •# (у, z) S I ^М для всех евклидовых единичных
d-мерных векторов г\, е-мерных векторов £ и точек (у, z) £ R+
то решение у = у (z, z0, у о) существует в шаре \\г — z0 || <!
<; min (а, ЫМ).
Как было отмечено в § 1, при е > 1 и Н (у, z) 6 С1 равенства
A.4) является необходимым и достаточным условием существования
локальных решений задачи Коши A.1) — A.2) при произвольном
(Уо, г0).
Особо важным случаем уравнения A.1) является случай, когда
матрица Н (у, г) линейна по у. Пусть Но (z), Hi (z), . . ., Hd (z)
суть непрерывные (d X е)-матрицы, определенные в открытом

J60 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
^-множестве D, и пусть
Я (у, г) = Но (г) + 2 Hk (г) y\ F.1)
так что задача Коши A.1) —A.2) принимает следующий вид:
dy - [Но (z) + S Hk (z) yk] dz = 0, у (zo) - #<>. F.2)
я— 1 ,
Следствие 6.1. Пусть Hk(z)^(hkij(z)), где k = 0, ..., d, суть
непрерывные (d х е)-матрицы (i = 1, . .., d ^ / -=- 1, • • •, е)
<в открытом z-множестве D. Тогда для существования решения
y = y(z, zQ, уо) задачи F.2) при всех zo£D (y0 произвольно) необ-
необходимо и достаточно, чтобы для 1 < / < т < d и г = 0, 1, .. ., d
имели место равенства
d
[ hrijdz' + hrimdzm = ^2i J (hhijhrkm-hkimhrkj)dzJ dzm F.3)
J fe=l S
для каждого прямоугольника S с границей J, SaD, на 2-мер-
2-мерных координатных плоскостях zh-= const, h-фт, j. В этом слу-
случае решение у — y(z, z0, y0) задачи F.2) единственно и принад-
принадлежит классу С1 по всем своим аргументам. Если матрицы
Я0(г), ..., Ha(z) принадлежат классу С1, то условия F.3) экви-
эквивалентны следующим:
Onrij ^. hrim ^i
-^Г + Zl hkijhrkm =- dzj -f 2j hhimhrkj- F.4)
Это следствие вытекает из теоремы 6.1 и следующих упраж-
упражнений.
Упражнение 6.1. (а) Пусть Яо, . . ., Hd принадлежат классу С1.
Покажите, что условия F.4) являются для со = dy — Я (у, z) dz
условиями интегрируемости, если Я (у, z) определяется формулой
F.1). (Ь) Пусть Яо, . . ., На непрерывны. Покажите, что форма
& = dy — Я (у, z) dz, где Я (у, z) определяется с помощью F.1),
имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую
условиям интегрируемости в том и только в том случае, когда выпол-
выполнены условия F.3) из следствия 6.1.
Упражнение 6.2 (продолжение). Покажите, что если матрица
Я (у> z), определенная в F.1), непрерывна, то существует непре-
непрерывная невырожденная матрица А (у, z), такая, что форма
A (dy — Hdz) имеет непрерывную внешнюю производную, удо-
удовлетворяющую C.1) в том и только в том случае, когда это имеет
место для dy — Hdz.

§ 6. Система A.1) 161
Доказательство теоремы 6.1 вместе с обычной теоремой моно-
дромии будет использовано в линейном случае, когда Я опреде-
определяется формулой F.1), для доказательства существования решений
«в целом».
Следствие 6.2. Пусть Я {у, г) непрерывна для z £D и всех у, где
D — открытая односвязная область. Предположим, что достаточ-
достаточные условия теоремы 6.1 локальной разрешимости задачи Коши
A.1) — A.2) выполнены. Пусть для каждого компактного подмно-
подмножества Do с: D существует постоянная /С — К {Do), такая, что
II Н {у, г) ||< К (II #11+1) для z 6 Do и всех у. Тогда решение
У (г) = У (z> zo> У о) задачи A.1) — A.2) существует для всех z 6 D.
Далее будет ясно, что с учетом теоремы III.5.1 условие
II Н (у, z) ||< К (II #11+1) можно усилить.
Доказательство теоремы 6.1. Необходимость. Пусть задача
Коши A.1) — A.2) имеет единственное решение у = у (z, z0, у о)
класса С1, определенное для z, близких к z0. Матрица Якоби (ду/ду0)
совпадает в точке г = z0 с единичной, и потому вблизи z0 она являет-
является невырожденной. Считая z0 фиксированным, положим у (z, ц) =
— у {z, z0, т|). Функция у (z, ц) вблизи точки (r]0, z0) = (#0, 20)
принадлежит классу С1; кроме того, она удовлетворяет A.7), A.8)
и преобразует форму D.1) в D.2), так как при фиксированном г\
функция у (г) = у (z, т|) является решением уравнения A.1), т. е.
уравнения A.10). Значит, «необходимость» в теореме 6.1 следует
из «необходимости» в теореме 3.1.
Единственность. Пусть у = у (z) является решением задачи
Коши A.1) — A.2), существующим, скажем, в евклидовом шаре
II z — го||<а. Рассмотрим для фиксированного (евклидова) еди-
единичного ^-мерного вектора £ значения У\ (t) = у (z0 + tQ функции
у (г) для z = z0 + t£,9 0< /< а. Согласно A.1) — A.2)/имеем
^- = Я(#1,20 + ^)£, УЛ0) = у0. F.5)
Если матрица Я (у, z) достаточно гладкая (например, удовле-
удовлетворяет условию Липшица по у), то задача Коши F.5) имеет един-
единственное решение, которое необходимо совпадает с ух (t) =
^= у (z0 + tQ для 0 <; t <; а. То же самое можно утверждать и при
наших условиях, а именно при условии, что А и Я непрерывны,
det А Ф 0 и форма A.5) имеет непрерывную внешнюю производную.
Действительно, тогда формы
А(уи Zo + tQ[dyi-H(yi, zo + m^dt] F.6)
при фиксированных z0, £ имеют непрерывные внешние производ-
производные. (Это сразу следует из определения внешней производной;
см. §V.5.) Поэтому для доказательства единственности остается при-
применить теорему V.6.I.
11-241

162 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
Существование. По теореме 3.1 существует функция у (ц, г)
класса С1, удовлетворяющая A.7), A.8) и преобразующая A.5)
в A.9). При г) = т)о функция у (тH, г) является решением задачи
A.1) — A.2), т. е. существует у (z, z0, у о) = у (л о, z)- Остается
проверить, что у (г, z0, У о) принадлежит классу С1 по всем своим
аргументам. В силу условия A.8), функция A.6) имеет вблизи точки
(Уоу 2?о) обратную функцию т] = ц (у, г) класса С1. Но функция
У (Л (Уи zi)y z) ПРИ фиксированном (yi9 Zi), т. е. при фиксированном
rj — ^ (^ь 2i), является решением уравнения A.1), равным #i
при г = Zi. Другими словами, имеет место равенство г/ (г, zb #А) =
= У (Л (#ь Zi), г), которое показыв ет, что у (г, гь ^) принад-
принадлежит С1.
Область существования. Легко проверить, что из условий, нало-
наложенных на Я в последней части теоремы 6.1, следует, что решение
У\ (О = У\ (ty Q задачи F.5) существует при 0 <; ^<; а, где а =
= min (а, Ь/М), для всех единичных векторов С- Действительно,
если || #1 |Г есть правая или левая производная, то из F.5) и усло-
условий, наложенных на Я, вытекает, что | ||#i ||' | <; М; см. доказа-
доказательство леммы III.4.2. Из существования и единственности реше-
решений задачи Коши A.1) — A.2) при всех (t0, у0) следует, что у{ (t,t)
совпадает с функцией у (г) от z = z0 + tt> и что у = у (z) есть реше-
решение задачи A.1) — A.2). Теорема 6.1 доказана.
Упражнение 6.3. Предположим, что Я (у, z) принадлежит клас-
классу С1 и что имеет место A.4). Используя F.5), докажите существо-
существование решения задачи Коши A.1) — A.2).
Упражнение 6.4. Предположим, что Я (у, z) принадлежит клас-
классу С1 и что имеет место A.4). Пусть z0 = 0. Докажите существование
решения задачи Коши A.1) — A.2) следующим способом. Пусть
hj (у, z) есть d-мерный вектор, представляющий /-й столбец матрицы
Я (у, г). Определим у = yt (z1) как решение задачи dy'dz1 =
= hi (у, г1, 0, . . ., 0), у @) = у0. Если yUi (z1, . . ., г') уже
определено, то пусть yj (z1, . . ., z1) является решением задачи
dy/dz3 - hj Q/, z\ . . ., z\ 0, . . ., 0), у @) - yUi (z\ . . ., z1'1).
Покажите, что у = ye (z1, . . ., ге) является искомым решением
задачи A.1) — A.2).
Доказательство следствия 6.2. Из теоремы III.5.1 и условий
следствия 6.2 ясно, что при фиксированном £ решение у{ = r/i (/)
уравнения F.5) существует на любом ^-интервале J, содержащем
точку / =0 и таком, что все точки z = г0 + tt, g D. Согласно дока-
доказательству единственности решений у (г) = у (z, z0, Уо) задачи Ко-
Коши A.1) — A.2), решения у (z, zob yOi) и у (z, z02, У02) уравнения
A.1), определенные в z-шарах с центрами в zoi, z02, где zoi = г0 +
+ ^£, #ог = ?i (^0, ^ь h 6 ^» совпадают в любой общей области

§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных 163
их определения. Следовательно, решение у = у (z, zOi у о) можно
определить на открытом подмножестве из D, содержащем отрезок
г=го + И, t£J.
Эти рассуждения показывают, что то же самое верно, если отре-
отрезок г = z0 + tt, заменен любой ломаной Р a D, которая начинается
в z0 и не имеет самопересечений. Если рассмотреть две такие лома-
ломаные Ри Ръ которые начинаются в z0 и заканчиваются в zit то два
решения у (г, г0, уо)9 определенные в окрестностях Pi и Ръ будут
совпадать при г = г^. Действительно, если ломаные Pi9 P2 доста-
достаточно близки друг к другу, то это ясно. А в общем случае это следует
из односвязности области D. Значит, решение у (г) = у (z, z0, у о)
может быть определено (как однозначная функция от z) во всей
области D, что и требовалось доказать.
ЧАСТЬ II. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОД КОШИ)
§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производ-
производных
f(*,,A...,!A|L,...,.*)=o G.1)
для вещественной функции и = и (у) от d независимых переменных,
где F (и, у, р) — вещественная функция от 1 + d + d перемен-
переменных, изменяющихся в открытом множестве E2d+i- Решением урав-
уравнения G.1) называется функция и = и {у) класса С1, определенная
в некотором открытом ^-множестве Ed и такая, что точки
{и {у), у, иу (у)) принадлежат £2d+i при у 6 Ed и обращают G.1)
в тождество относительно у. Здесь иу (у) = (ди/ду1, . . ., ди/дуй)
обозначает градиент функции и (у).
Вообще говоря, обычно ищут решение, принимающее на какой-
нибудь гиперповерхности S заранее заданные значения, т. е.
решают так называемую задачу Коши G.1). Сформулируем ее
точнее. Пусть S — кусок ^-гиперповерхности в ^/-пространстве,
т. е. 5 есть множество точек
5: y = E(Y). YHY1. .••>/-1)> G.2)
где £ (у) принадлежит в окрестности точки y — Yo классу С1 и ранг
матрицы (д£/ду) равен d — 1. Пусть на S задана функция ср, или,
что равносильно, пусть задана функция Ф = ф (y)> где y изменяется
вблизи Yo- Тогда «начальное условие» состоит в том, что на поверх-
поверхности S решение и — и (у) должно обращаться в ф, т. е.
и (^ (Y)) = Ф (Y). G.3)
Теоремы существования, которые мы докажем, будут локальными
в том смысле, что они дают решения и = и (у), определенные толь-
11*

164 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
ко для у, близких к у о = £ (yo). Мы будем пользоваться так назы-
называемым методом характеристик, который принадлежит Коши
и часто называется его именем. С помощью этого метода поставлен-
поставленная задача сводится к задаче теории обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Для систем уравнений в частных производных
первого порядка аналога этого метода не существует.
Введем обозначения: Fu = dF/ди, Fy = (dF/ду1, . . ., dF/dyd)
и Fp = (OF/dp1, . . ., dF/dpd). Точка будет обозначать обычное
скалярное произведение двух d-мерных векторов.
Для того чтобы разъяснить идею применяемого метода, рас-
рассмотрим следующие эвристические рассуждения для частного слу-
случая линейного уравнения G.1) в частных производных, имеющего вид
я— 1
т. е. F (и, у, р) не зависит от а и представляется в виде F (и, у, р) =
= 2 fk{y)ph==z^P (У)'Р- Если и = и (у) — решение уравнения G.4),
•a y = y(t) — решение системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
y' = f = Fp, G.5)
то из G.4) видно, что u(y(t)) = const. Решения y = y(t) системы
G.5) называются характеристиками дифференциального уравне-
уравнения в частных производных G.4).
Предположим, что ни одна характеристика не касается поверх-
поверхности S. Для S, заданной в виде G.2), это условие может быть
выражено так:
[fi) ] G.6)
Здесь 1{д£/ду), Fp] обозначает (d X d)-матрицу, первые d — 1 столб-
столбцов которой составляют [d X (d — 1)]-матрицу Якоби C1; (у)/ду),
а последний столбец есть вектор Fp.
В этом случае поверхность S называется нехарактеристической.
Совокупность характеристик, исходящих из точек поверхности S,
заполняет в ^-пространстве (малую) область £<*. Значение и (у)
решения и в точке у 6 Еа должно быть тем же самым, что pi заданное
значение функции ср (y) в начальной точке £ (y) 6 5 характеристики,
проходящей через у\ см. рис. 1. Обратно, следует ожидать, что
функция и (у), определенная в Еа таким образом, должна быть
решением задачи G.3) — G.4). При подходящих условиях гладко-
гладкости на F это действительно так; см. § V. 12 по поводу соотношений
между решениями уравнения G.4) и первыми интегралами систе-
системы G.5).
Рассмотрим вместо линейного уравнения G.4) более сложное,
скажем квазилинейное, уравнение [т. е. уравнение, в которое

§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных 165
частные производные высшего (= первого) порядка входят линей-
линейным образом]
d
F^y%fk(u,y)j^ + U(u1y) = O. G.7)
Пусть нам известно его решение и = и (у); рассмотрим решение у (t)
системы G.5), в которой справа стоит / (и, у) = f (и (у), у). Тогда
Рис. 1.
из уравнения F = О следует, что du (у (t))ldt = — U (и (у (/)), у (/)).
Тем самым мы приходим к системе обыкновенных (автономных)
дифференциальных уравнений
*/' = /, н'=-£/, G.8)
в которой правые части суть функции только от и и у (т. е. от t
они не зависят). Далее мы увидим, что задача Коши для квази-
квазилинейного уравнения F = 0 может быть сведена к задаче Коши для
системы G.8).
Определим характеристики для случая общего нелинейного
уравнения G.1). Вообще говоря, по отношению к решению они уже
не будут его линиями уровня, как это было в линейном случае.
Предположим, что в G.1) функция F (а, у, р) принадлежит классу
С1 в некотором открытом (и, у, /?)-множестве, а и = а (у) — клас-
классу С2. Можно освободиться от «нелинейности» уравнения G.1),
продифференцировав G.1) по какой-либо фиксированной компо-
компоненте ут вектора у. Тогда для и мы получим квазилинейное урав-
уравнение второго порядка, т. е. уравнение, линейное относительно
вторых частных производных от и. Это уравнение формально может
быть записано как уравнение первого порядка, квазилинейно-
относительно рт = ди/дут:
*^д^ +№ т
^ dpi dyi дут г иН
ft=l

166 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
Тогда, по аналогии с рассмотренным выше, мы приходим к обык-
обыкновенным дифференциальным уравнениям
*mL-1L i~i d dpm - ( dF i f vm)
dt ~ дрГ J~ lf •••' a' ~~aT-~ \ду™~^РиР ''
к которым можно добавить уравнение duldt = 2 (ди/ду3) yjr или
d
^L_V Л dF
dt ~ A P д j '
Эти дифференциальные уравнения для yj и и не зависят от т.
Положив т = 1, 2, . . ., d, получаем систему автономных обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений для и, у, р, которые могут
быть переписаны так:
y' = Fp, p'=-Fy-pFu, u' = p.Fp, G.9)
где аргумент в функциях FU1 Fy, Fp равен (иу у, р), так что они
не зависят от /. Решение у = у (/), р = р (/), и = и (t) системы G.9)
называется характеристической полосой, а проекция и (f), у (t)
решения на (м, ^-пространство называется характеристикой.
Условие вида
РР(и,у,р)ф0 G.10)
гарантирует от вырождения характеристики в точку. «Вывод»
системы G.9) будет получен как формальный результат в лемме 8.2.
Решение задачи Коши G.1), G.3) не может существовать, если
на S не существует вектора р ~ р (у), являющегося в точке у =
= £ (у) градиентом функции и (у) и удовлетворяющего условиям
E(Y). P) = °> GЛ1)
p.^, f=i, ...,d__l. G.12)
дуг дуг
Последнее условие получается в результате дифференцирования
равенства G.3) по у1. В частности, существует вектор ро = Р(?о)»
такой, что
F(Uo,yo,po) = O, G.13)
р ЪМ = ?2Ш9 г = 1 d-l. G.14)
дуг ду1
Предположим, что «начальные данные не являются характеристи-
характеристическими в точке у = 7о^» т- е- что
О* GЛ5)
где первые d — 1 столбцов матрицы в левой части G.15) состоят
из векторов <5£Go)W, f = 1, . . ., d — 1, а последний столбец

§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных 167
есть Fp (и0, уОу ро)- Тогда по теореме 1.2.5 о неявной функции
из G.13), G.14), G.15) и из условий у = £ (у) 6 С2, F 6 С\ <р € С2
следует, что система G.11) — G.12) имеет в окрестности точки
7 = 7о единственное решение р = р (у) класса С1, которое обра-
обращается в р0 при у = 7о, т. е. р (у0) = р0.
Заметим, что в нелинейном случае мы не можем говорить о том,
что «поверхность S является нехарактеристической», но можно
лишь сказать, что «начальные данные являются нехарактеристиче-
нехарактеристическими». Начальные данные состоят из поверхности S: у = £ (у),
функции ф (у), вектора р0 и (при выполнении G.15)) неявной
функции р (у). По непрерывности из G.15) следует, что
. Р(У))]ФО G.16)
для 7, близких к Yo- Когда имеет место неравенство G.16), началь-
начальные данные называются нехарактеристическими.
Упражнение 7.1. Предположим, что F в G.1) не зависит от и.
Каков вид системы G.9) для характеристической полосы? Пока-
Покажите, что определение и по G.9) сводится к квадратурам.
Задача Коши G.1), G.3) часто рассматривается в другой форме,
которую мы сейчас и получим. Она будет использована в § 11.
Предположим, что поверхность S из G.2) принадлежит классу С1.
Без потери общности можно считать, что у0 = 0 и что S в G.2)
задана в виде yd = яр (у1, . . ., г/*), где г|э 6 С2 для значений
(г/1, . . ., у*-1) вблизи 0, а яр @) = 0. Если
введены как новые координаты, которые мы снова будехМ обозна-
обозначать через у, то в новых координатах S представляет собой вблизи
точки у = 0 кусок гиперплоскости уа = 0. Уравнение G.1) пре-
преобразуется в другое уравнение того же вида, хотя, например, может
случиться, что если исходная функция F принадлежит С2, то новая
функция F имеет непрерывные первые и вторые производные,
за возможным исключением производных вида d2F/dyddyh. Условие
G.15) в новых координатах принимает вид dF (иОу yOj po)/dpd Ф 0.
Таким образом, если выполнено условие G.13), то из уравнения
F (ц> У, р) = 0 можно найти pd через и, у, р1, . . ., pd~x, скажем
по формуле pd = — Н (а, у, /?\ . . ., pd~1)» и тогда уравнение
G.1) будет эквивалентно уравнению pd + Н (и, у, р1, . . ., pd~1) =
= 0 для значений (и, уу р)> близких к (иОу у0, р0).
Значит, если изменить обозначения, заменив d — 1 на d и у
на (у, t), то задача Коши принимает вид
щ+1Н(и, U У, иу) = 0, G.17)
и@, У) = <9(У), G.18)

168 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
где и = и (t, у) — искомая, а ф (у) — заданная начальная функ-
функции, щ = duldt, иу = (ди/ду1, . . ., du/dyd).
Упражнение 7.2. (а) Запишем Н как Н (и, t, у, q), где у =
— (У1'» • - ••> Уй) и g = (g1, . . ., qd). Найдите дифференциальные
уравнения для характеристических полос дифференциального урав-
уравнения G.17), используя / как независимую переменную. (Ь) Упро-
Упростите результат части (а), предполагая, что Н (/, у, q) не зависит
от и. (Заметим, что в том случае, когда Н есть гамильтонова функ-
функция, уравнение G.17) является уравнением Гамильтона — Якоби
и нетривиальные части соответствующих уравнений характеристи-
характеристической полосы представляют собой уравнение движения в гамиль-
тоновой форме.)
§ 8. Характеристики
Установим теперь связь между решениями уравнения G.1)
и характеристическими полосами или характеристиками.
Лемма 8.1. Пусть F (и, у, р) принадлежит классу С1. Тогда
F (и, у, р) является первым интегралом системы G.9), т. е. F
постоянна вдоль любого решения этой системы.
Доказательство. Достаточно проверить следующее: если
(у (f), p {t)y и (/)) — решение системы G.9), то производная
функции F (и (/), у (/), р (£)) равна 0. А это эквивалентно очевид-
очевидному равенству
Лемма 8.2. Пусть F (и, у, р) 6 С1 в открытом множестве
E*d+u и пусть функция и = и (у) £ С2 является решением уравне-
уравнения G.1) в открытом множестве Ed. Тогда для у0 £ Ed существует
характеристическая полоса и (t), у (/), р (/), определенная для малых
\ t \ и такая, что и (t) = и (у (/)), р (/) = иу (у (/)) и у @) = у0.
В частности, в (и, ^-пространстве дуга (и, у) = (и (/), у (/))
лежит на гиперповерхности и = и (у) и вектор (— 1, р (t)) совпа-
совпадает с нормалью к этой гиперповерхности в точке (и, у) =
= (и (О, У @)- Следовательно, если и = и (у) 6 С2 является реше-
решением уравнения G.1), то гиперповерхность и = и (у) можно рас-
рассматривать как поверхность, составленную из характеристик.
Следствие 8.1. Если решения задач Коши, поставленных для
системы G.9), единственны {например, если F £ С2) и если и =
= ui (у) 6 С2, и = и2 (у) £ С2 суть два решения уравнения G.1),
«касающиеся» друг друга в точке у = у0 (т. е. щ (у0) = и2 (yd),
uiy (Уо) = ^2у (Уо))* то они «касаются» друг друга вдоль всей харак-
характеристической дуги у = у (/).

§ 8. Характеристика 169
Доказательство леммы 8.2 представляет собой повторение
«вывода» уравнений G.9). Рассмотрим решение у = у (f) следую-
следующей задачи Коши:
У' = Рр(и(у), у, иу(у)), 0@) = й>. (8.1)
Дифференцирование уравнения G.1) псГут дает
d
р ди dF , v dF д*и п ,ft 9
Положим p{t) = uy(y(t)). Тогда из (8.1) следует, что (8.2) можно-
считать m-й компонентой вектора Fup + Fy + pr = 0, где аргумент
в fu и Fy есть (u(y(t)), y(t), p(t)). Кроме того, если u = u(y(t)),
то W = uy(y(t))-y' равно /?--Fp, в силу (8.1). Таким образом,
функции y = y(t), P = uy(y(t)), u = u(y{t)) являются решением
уравнений G.9). Лемма доказана.
Замечание. Справедливость леммы 8.2 при условии и {у) 6 С1
и rf>2 до сих пор не установлена. В этом направлении есть
частичный результат для d>2 и полный ответ для d= 2.
Упражнение 8J. Пусть F (и, у, р)^Сг и и (у) 6 С1 — решение
уравнения G.1) в окрестности точки г/=г/0- (а) Пусть т фикси-
фиксировано, l<m<d. Покажите, что существует такое решение y(t)
задачи Коши
у' = Fp (и (у), у, иу (у)), у@) = Уо,
что функция pm(t) = [du(y)/dym]y==y(t) имеет непрерывную произ-
производную по /, удовлетворяющую равенству (рт)' = —dF/dy111 — Fupm,
где аргумент в dFldym и Fu есть [u(y(t)), y(t), uy{y(t))\.
(b) В частности, если решение задачи Коши у' = FP (и (у), у, иу{у)),
У @) = Уо единственно (так что у (/) в утверждении (а) не
зависит от /72), то лемма 8.2 справедлива. (Это утверждение
применимо, например, если F (и, у, р) зависит от р линейно.) (с)
Если Ррф0 в точке (и, у, р) = (и(у0), уо, иу (у0)) и d = 2, то
результат леммы 8.2 справедлив (при условии, что F^C1, utC1).
Упражнение 8.2. Пусть F (и, у, р) и G(u,y,p) принадлежат
классу С1 в открытой (и, у, р)-области. Определим функцию
Н (и-> У, Р) равенством
(Если F и G линейны относительно р и не зависят от и, то Н соот-
соответствует «коммутатору» F и G, определенному в упр. 1.1.) Пусть
и (у) 6 С1 есть решение обоих уравнений F = 0hG = 0b некоторой
^-области D. (а) Покажите, что если дополнительно известно, что
н (у) принадлежит классу С2, то и (у) также является решением

170 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
уравнения Н = 0. (Ь) Покажите, что если и (у) 6 С1 и через каж-
каждую точку (и, у, р) = (и (у0), у0, иу (г/о)) проходит характеристи-
характеристическая полоса для F = 0, как в лемме 8.2 (например, если упр. 8.1(Ь)
применимо), то и (у) является решением уравнения Н = 0.
§ 9. Теорема существования и единственности
Основная теорема относительно уравнения G.1) состоит в сле-
следующем.
Теорема 9.1. Пусть F (и> у, р) принадлежит классу С2 в от-
открытой области E2d+n и пусть (а0, у0, р0) £E2d+i- Пусть поверх-
поверхность S из G.2) является частью гиперповерхности класса С2,
определенной для у, близких к у0, и £ (у0) = у0. Пусть ср (у) —
функция класса С2, определенная для у, близких к у0, и ф (у0) = у0.
Наконец, пусть имеют место соотношения G.13), G.14) и G.15).
Тогда в окрестности Ed точки у~Уо задача Коти G.1) —G.3)
имеет единственное решение и = и(у) класса С2.
Из G.15) следует, что Fv (ио> уо> р0) ф 0 и что ранг матрицы
(д£ (у)/ду) равен d—l. Условие Fp (и0, у0, р0) ф0 обеспечивает
существование гиперповерхности 5, удовлетворяющей G.15),
Например, если дР1драФ0 в точке (и0, у0, р0), то в качестве 5
можно взять гиперплоскость yd = yo.
Доказательство. Согласно рассуждениям § 7, для у, близких
к 7о» существует единственная функция р = р(у) класса С1, удо-
удовлетворяющая условиям G. И) —G.12) и р(уо) = ро. Пусть
y = Y(t,y), p = P(/, у), u = U(t,y) есть решение системы G.9),
удовлетворяющее начальному условию
P@,y) = p(y), U@,y) = <p(y). (9.1)
По теореме V.3.1 это решение единственно и Y (t, у), Р (t, у),
U (t, у), Y' (t, у), Р' (t, у), V (t, у) принадлежат классу С1 для
малых \t\ и у, близких к у0. Так как F — первый интеграл системы
G.9), то
F(U(t,y), Y(t,y), P(t,y)) = O. (9.2)
Действительно, функция в левой части (9.2), согласно лемме (8.1),
не зависит от t, а при t = 0 левая часть (9.2) сводится к G.11).
Из первой части системы G.9) и формул (9.1) при (/, у) =
= @, у) следует, что якобиан (dY (/, у)/д (t, у)) при / = 0, Y = Yo
равен
Поэтому из условия G.15) получаем, что этот якобиан отличен
ют нуля. Следовательно, при г/, близких к у0, существует един-

§ 9. Теорема существования и единственности 171
ственное отображение
t = t(y), у = у(у), (9.3)
обратное к
Yy). (9.4)
Отображение (9.3) принадлежит классу С1. Положим
u(y) = U(t(y),y{y)) (9.5)
для у, близких к у0. Тогда (9.2) принимает вид
F(u(y),y, P[t(y),y(y)) = 0.
Следовательно, утверждение теоремы о существовании решения
будет доказано, если мы покажем, что
uy(y) = P(t(y),y(y))> (9.6)
т. е. du (у) —P(t (у), у (у)) dy. При замене переменных в (9.4)
y—>(t, у) с отличным от нуля якобианом это равенство равносильно
следующему:
dU (t, у) = % P(t, у) ^hJl dyj + P (t, y) Y' (t, y) dt
i=i ^
или
mdl-P(tt у)?ГШ = о, /=!,..., d-l, (9.7)
d\' dyJ
U'(t,y)-P(t,y)Y'(t,y) = O. (9.8)
Равенство (9.8) следует из G.9). Остается проверить только (9.7).
Пусть при фиксированном у левая часть равенства (9.7) обо-
обозначена через hj(t). Заметим, что, согласно G.12) и (9.1),
М0) = 0. (9-9)
Пусть F = F (u,y,p), u = U(t,y),y = Y(t,y), p = P(t,y). Диффе-
Дифференцирование левой части (9.7) по t дает
ц ррт
dyi dyi dyi
Замена порядка дифференцирования законна, так как у', р', и
принадлежат классу С1. С учетом G.9) последнее соотношение
принимает такой вид:
дуэ дуэ дуз дуэ ду3 dy-i
Если продифференцировать (9.2) по у\ то видно, что сумма
последних двух слагаемых равна —Fudu!dy\ Отсюда
r._ F (^L n ду \-FX-

172 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
Так как Xj (t) удовлетворяет линейному однородному дифферен-
дифференциальному уравнению и начальному условию (9.9), то Xj (t) = 0.
Значит, (9.5) является решением задачи G.1) — G.3). Кроме
того, функция и (у) принадлежит классу С2, так как ее градиент
(9.6) принадлежит классу С1. Наконец, если F 6 С2, так что реше-
решения системы G.9) единственным образом определяются начальными
условиями, то единственность решения задачи G.1) — G.3) в классе
С2 следует из леммы 8.2, замечаний к ней и только что завершенного
доказательства существования. (Относительно доказательства един-
единственности см. следующий параграф.)
Следует упомянуть, что когда начальные данные не являются
нехарактеристическими, то в общем случае решения не существует.
В некотором смысле теорема 9.1 в той части, которая связана
с «существованием», не удовлетворительна, так как в ней идет
речь о решениях класса С2, в то время как естественнее было бы
искать решения только класса С1. Разумно поставить вопрос о воз-
возможности ослабления в теореме 9.1 условий дифференцируемое™
с тем, однако, чтобы все еще можно было получать решения класса
С1. На этот вопрос до некоторой степени можно ответить отри-
отрицательно.
Упражнение 9.1. Пусть х, у— вещественные переменные
и / (х) — непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция.
Покажите, что задача их — иу + / (х + у) = 0, и @, у) = 0 не
имеет решения в классе С1. Значит, непрерывность функции F недо-
недостаточна для существования решения.
Упражнение 9.2. Даже если F £ С1 и начальные данные анали-
тичны, то этих условий недостаточно для того, чтобы можно было
утверждать существование решений. Пусть х, у, q — веществен-
вещественные переменные. Пусть f (q) — вещественная функция класса С1
при малых | q |, такая, что производная dfldq не удовлетворяет
в точке q = 0 условию Липшица. Покажите, с одной стороны, что
процесс, описанный при доказательстве теоремы 9.1, не дает реше-
решения задачи их = / (иу), и @, у) = у2/2. (Трудности возникают
в связи с тем, что аналог функции (9.4) не имеет обратной функции.)
С другой стороны, из упр. 8.1(с) следует, что если решение сущест-
существует, то оно должно получаться указанным процессом. Следова-
Следовательно, решения в С1 не существует.
Упражнение 9.3. Последнее упражнение показывает, что сле-
следующая теорема в некотором смысле является наилучшей: теоре-
теорема 9.1 остается справедливой, если условие «F, £ (у), <р, и (у) при-
принадлежат С2» заменить условием «F, £ (у), ср, и (у) принадлежат
С1 и их частные производные удовлетворяют условию Липшица».
См. Важевский [3]. Эту теорему можно доказать, надлежащим
образом модифицируя доказательство теоремы 9.1 и используя

§ 10. Лемма Хаара и единственность
173
при этом, например, тот факт, что удовлетворяющие условию
Липшица функции обладают почти всюду полными дифференциа-
дифференциалами. По поводу другого доказательства см. Дигель [2].
§ 10. Лемма Хаара и единственность
Пусть задача G.1), G.3) заменена задачей G.17), G.18), т. е.
задачей
ut + H (и, U у, иу) == 0, A0.1)
и@, */) = ф(#). A0.2)
Из теоремы 9.1 следует, что если Н(и, t, у, q) £С2 в открытой
области E2+2di содержащей точку (и, t, у, q) =(ф@), 0, 0, фу @))
и Ф (у) б С2 для у, близких к у=0, то задача A0.1), A0.2) при малых 111
и \у\ имеет единственное решение u = u(t,y) класса С2. Вопрос
о единственности решений задачи A0.1), A0.2) оказывается весьма
простым.
Теорема 10.1. Пусть Н (и, t, у, q) определена в открытом
множестве E2+2d, содержащем точку (и, t, у, q) — 0, и удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица относительно (и, q). Пусть ф (у) есть
функция класса С1, удовлетворяющая условиям ф @) = 0, уу @) = 0.
Тогда задача A0.1), A0.2) имеет в окрестности Еа точки у = 0
самое большее одно решение.
Теорема доказывается путем применения следующей ниже
леммы (при C = N = 0) к разности v = u2(t, y) — ui(t, у) двух
решений Ui(t, у) и u2{t, у).
Лемма 10.1. Пусть v — v (/, у) — вещественная функция класса С1
на множестве £?: 0</<а( <а), у'-
удовлетворяющая следующим условиям:
\v@,y)\<C,
d
:L(a — t
1=
■vt\
dv
dyk
M\v\
A0.3)
A0.4)
где L, M>0 и C,N>0 обозначают некоторые постоянные.
Тогда на R
еш~\
М
A0.5)
См. рис. 2.
Доказательство, Пусть С", N' — произвольные постоянные,
причем
, N<N'. A0.6)

174
Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
Положим
так что
„ eMt-l
M
^2
ди
A0.7)
A0.8)
У,
*= 1 ду
Покажем, что на R
u(t,y)-v(t,y)>0, A0.9)
откуда предельным переходом С —>С, N' —>N получается неравен-
неравенство
еш-\
М
A0.10)
Замена v на — v в этом рассуждении дает нам в итоге A0.5).
Из A0.3), A0.6) и A0.7) ясно, что и — и>0 при малых ^>0>
Если в R неравенство A0.9) неверно, то найдется точка (/0, yo)^Rv
У
La
y=L(a-t)
P и с. 2. Случай d = dim у = 1.
где 0<Ct0<:a, такая, что неравенство A0.9) остается справедли-
справедливым в части R с условием 0 < t < t0, а в точке (t0, y0) будет иметь
место равенство.
Для любого из 2d выборов знаков ± точки отрезков
(t,y) = (t,±L(to-t) + y], ..., ±L(to-t) + y$) A0.11)
находятся bR при 0<^<^0 и | ± L (t0 — t) + y* |< L (a — t), так
как \yl|<L(a —10); см. рис. 2. Разность a — v в точках A0.11)

§ 10. Лемма Хаара и единственность 175
положительна для 0<^<^0 и равна нулю при t = t0. Следова-
Следовательно, производная разности u — v вдоль линии A0 Л1) в точке
t = t0 неположительна. Отсюда
d
»t-vi+^(±L)^=^)-<0 в (to,yQ). A0.12)
Из A0.8) имеем ut = Mu + N', так что ut = Mv + N' = М \ v\ + Nr
при (t, y) = (t0, y0). Этот факт и равенство иу = 0 приводят к нера-
неравенству
d
vt>M\v\ + N' + L 2 (±-0") в (^W-
Если знаки ± выбраны так, что ± dv/dyh = | dv/dyk | в точке
(t0, у0), то полученное неравенство противоречит A0.4), так как
Л/'>Л/. Тем самым A0.9) имеет место всюду в R, и лемма дока-
доказана.
Упражнение 10 А. (а) Пусть В обозначает (t, г/)-множество
B = {(t, y):Q<t<a, ck +Lkt<yh<dk-Lkt, k=l, ..., d},
где Lk>0, Ck<dk и 2L&a<d& — ^а- Пусть u(t,y) — вещественная
функция класса С1, определенная на В. Положим т (s) = max и (s, у),
где максимум берется по множеству B8 = {(t, y):(t, y)£B, t = s}.
Тогда m(t)y 0<^<^, имеет правую производную DRm(t) и суще-
существует точка (t, у о) 6 Ви такая, что в ней m(t) = u (t, у0) и DRm (t) =
d
= du/dt— 2 \duldyh\Lh. (b) Пусть функция u>(t,u) непрерывна
k=i
для 0<Ct<Ca, и>0 и такова, что u(/)^0 является единственным
решением уравнения u' = a(t,y), определенным в 0</<е(<а)
и удовлетворяющим условиям и (t) —» 0, и (t)lt —> 0 при t —» 0 + .
Пусть Я (м, t, у, q) непрерывна для значений (и, U у, ?)» близких
к (и, U У, q) = 0, и
\Н (и1У t, у, qi) — H(u2, t, у, q2)\<YiLk\qX — q\\Jr®{t, \щ — ы2|).
Пусть (р(у)^Сх для малых \у\ и ф@) = 0, ц>у@) = 0. Тогда задача
A0.1), A0.2) имеет в области В самое большее одно решение.
Упражнение 10.2. (а) Пусть В обозначает ограниченное
(t, г/)-множество, определяемое неравенствами 0 < t < а, &7- (/, у) > 0,
/=-1, ..., /л, где bj(t,y) суть вещественные функции класса С1.
Предположим, что каждая граничная точка множества В лежит
или на £ = 0, t = a, или на k из m гиперповерхностей bj(t, y) = 0,
1<^<т; кроме того, если k гиперповерхностей bj(t,y) = O,
скажем, / = /i, ..., /а, имеют общую точку (£,#), то ^ дифферен-

176 Гл. VI. Уравнения в полных дифференциалах
d
циальных 1-форм 2 {dbjldy1) dyl, где / = /t» • -., /а, являются
г= 1
в точке (/, у) линейно независимыми. Пусть функция Н (и, /, у, q)
определена в A + 1 + d + б?)-мерной области Е, проекция которой
на (t, ^-пространство содержит множество В. Пусть u(t, у),
v {U У) — вещественные функции класса С1 на В, такие, что
(и, U у, иу)£Е, (v, U У-, vy)£E. Предположим, что щ>Н(и, t, у, иу),
У/<Я (v, t, у, vy) на В и что и @, у)>0. Наконец, предположим,
что в каждой граничной точке (t, у) множества В, общей k гипер-
гиперповерхностям bj (t, у) — 0, j = ]\, ..., /&, имеет место неравенство
Н(и, U У, иу)-Н{и, U У, [и-
h
я,
дЬН
dt
г=1 " г=1
справедливое для всех неотрицательных чисел Я4, ..., Xk, таких,
что (и, t, у, [и — 2 hibjjy) £ В. Тогда всюду на В выполняется
неравенство и (/, y)>v (t, у); см. Нагумо [3]. (Ь) Пусть В—то же
самое (t, г/)-множество, что и в упр. 10.1(а). Пусть функция
Н (и, t, у, q) определена на A + l + d + cO-мерном множестве Е,
проекция которого на (t, ^-пространство содержит В, и пусть
| Н (a, t, у, ft) —# (м, *, у, <7г) |<2 £* I ?i — ?2 I- Пусть функции
u(t, у), v(t,y) принадлежат на В классу С1 и таковы, что:
1) (и, U У, иу) g E, (v, U У, vy) g E; 2) ut > Я (и, /, у, иу) и t^ <
< Я (у, ^, ^/, vy) в £"; 3) м @, y)>v @, у). Тогда всюду на В имеет
место неравенство u(t, y)>v(t, у), (с) Получите из утвержде-
утверждения (Ь) лемму 10.1.
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1. Связи между системами A.1) и A.12) рассматривались еще Булем
A862 г.); об исторических справках и ранней литературе см. Вебер [1].
Обсуждение условий интегрируемости и теорем существования для системы
Якоби встречается у Якоби [1, V, стр. 39] и у Клебша [2], который ввел
понятие «полной системы» A.12) (см. также ссылку на Майера [1] в связи
с упр. 6.3).
Результат упр. 1.1 (Ь) принадлежит Е. Шмидту. О ссылках на Шмидта,
Перрона и Жиллиса и об обобщениях п. (Ь) см. Островский [1]. Дальней-
Дальнейшие обобщения, основанные на работе Плися [2], даны Хартманом [13];
см. упр. 8.2.
§ 2. См. Э. Картан [1, стр. 49—64].
§ 3. В предположении аналитичности теорема 3.1 принадлежит Фробе-
ниусу [2]. Формулировка приведенной в тексте теоремы, не использующая
условий дифференцируемости, принадлежит Хартману [17]. В приведенном
здесь доказательстве автор следует Э. Картану [1, стр. 99—100]. О подобной,
но в некотором смысле менее общей теореме относительно якобиевых систем
см. Жиллис [1].
§ 6. Рассуждения, встречающиеся в доказательствах существования
решения задачи A.1)—A.2) в теореме 6.1, а также в теореме предложенной

Примечания 177
в упр. 6.3, восходят к Майеру [1J; ср. Каратеодори [1, стр. 26—30]. Доказа-
Доказательство, кратко очерченное в упр. 6.4, было использовано Вейлем [2,
стр. 64—68]. Еще одно доказательство, использующее последовательные
приближения, было предложено Никлиборком [1]; ср. также Жиллис [1].
§ 7—9. Задача, рассмотренная в § 7, представляет собой простейший
пример так называемой «задачи Коши» из теории дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных1). Дифференциальные уравнения G.9) для
характеристической полосы, теорема 9.1 и ее доказательство (в предположе-
предположении аналитичности) принадлежат Коши (около 1819 г.); см., например,
[1, стр. 423—470]. Однако еще на несколько лет раньше Пфафф [1] также
рассмотрел задачу определения решений уравнения G.1) и тоже ввел —
но весьма громоздким способом — систему G.9) для характеристической
полосы с тем, чтобы свести задачу к обыкновенным дифференциальным урав-
уравнениям. Изучение неаналитических уравнений G.1) невозможно, конечно,
без знания теоремы V.3.I. Действительно, обе работы — Пикара и Бендик-
сона A896 г.),— упомянутые в связи с теоремой V.3.1, посвящены решению
неаналитических линейных уравнений в частных производных. Теорема,
подобная теореме 9.1, была дана Гроссом [1]. О более полной трактовке этого
вопроса см. Каратеодори [1] и Камке [5]. Относительно теоремы, содержа-
содержащей слегка ослабленные условия дифференцируемости, см. упр. 9.3 и работы
Важевского [3] и Дигеля [2]. Области существования решений были
исследованы Камке, а также Важевским [2]. Относительно упр. 8.1 см.
Плись [2]. Пример в упр. 9.1 предложен Перроном [1].
§ 10. Лемма 10.1 была дана Хааром [1] с целью доказать теорему 10.1
о единственности (эта статья содержит ошибочное доказательство леммы 8.2
при условии и £ С1). Об упр. 10.1 см. Важевский [1] (и Турский [1] —
по поводу обобщения, содержащегося в упр. 10.2). Относительно упр. 10.2
см. Нагумо [3].
*) Следуя принятой в русской литературе терминологии, термин
автора «initial value problem» мы перевели как «задача Коши», независимо
от класса рассматриваемого уравнения.— Прим. перев.
12-241

Глава VII
Теория Пуанкаре — Бендиксона
Большая часть этой главы (§ 2—9) посвящена геометрии реше-
решений дифференциальных уравнений на плоскости (d = 2). То обстоя-
обстоятельство, что исследование проводится именно для плоскости>
является существенным, поскольку мы постоянно будем поль-
пользоваться теоремой Жордана (о том, что замкнутая жордано-
ва кривая делит плоскость на две области). В § 10 полученные
результаты применяются к некоторым нелинейным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям второго порядка.
В приложении (§ 12) изложены недавние результаты относи-
относительно распространения теории Пуанкаре — Бендиксона с пло-
плоскости на 2-мерные многообразия. Последний параграф (§ 14)
посвящен изучению поведения решений дифференциальных урав-
уравнений на торе.
§ 1. Автономные системы
Система дифференциальных уравнений
y' = f(y)> (i.i)
в которую независимая переменная t не входит явным образом,
называется автономной. Тривиальное, но важное свойство таких
систем заключается в том, что если у = у (/), а < t< p, является
решением системы A.1), то у = у (t + /0) также будет решением
в интервале а — to<i t <С Р — t0 при любом t0. Орбитой называет-
называется множество точек у, через которые проходит решение у = у (t)
системы A.1), безотносительно к параметризации.
Любую систему у' = / (t, у) можно рассматривать как авто-
автономную, если зависимую переменную у заменить (d + 1)-мерным
вектором (t, у) и рассмотреть вместо системы у' = f систему ? = 1,
У' = f {U у), где знак «штрих» означает дифференцирование по но-
новому независимому аргументу. Однако в большинстве случаев это
замечание оказывается бесполезным.
Точка у0 называется стационарной или особой точкой систе-
системы A.1), если f (у0) = 0, и регулярной, если / (у0) Ф 0. Стацио-
Стационарные точки у о характеризуются тем, что постоянная у (f) = у»
является решением системы A.1). Когда решения системы A.1)

§ 1. Автономные системы 179
однозначно определяются начальными данными, из равенств
/ (Уо) = ° и у (t0) = у0 для некоторого t0 следует, что у (t) = */0.
Но в общем случае это не так.
Если система A.1) имеет решение С+: у = у (t)> определенное
на полупрямой t^>tOy то множеством Q (С+) его со-предельных
точек называется множество (возможно, пустое) точек yQ, для каж-
каждой из которых существует последовательность to<i ^i <C . . .,
такая, что tn -> оо и у (tn) -> у0 при п-> оо. Соответственно, если
С~: У == У @ есть решение, определенное для t ^ t0, в рассмотре-
рассмотрение вводится множество А (С~) его а-предельных точек. Если
решение С: у = у (t) существует на — оо < t < оо, то множество
его предельных точек по определению есть A(C)[)Q(C).
Замечание 1. Множество Q (С+) содержится в замыкании мно-
множества точек С+: у = у (t), t^> tQ.
Теорема 1.1. Предположим, что f (у) непрерывна на открытом
у-множестве Е и что С+: у = у+ (t) является решением системы A.1)
для значений t >- 0. Тогда множество Q (С+) замкнуто. Если С +
имеет в Е компактное замыкание, то Q (С+) связно.
Доказательство. Проверка того, что множество Q(C+) замк-
замкнуто, тривиальна. Для доказательства последней части теоремы
заметим, что, согласно замечанию 1, множество Q (С+) компактно.
Предположим, что Q (С4) несвязно. Тогда оно представимо как
объединение двух замкнутых (и поэтому компактных) множеств
Q и С2, таких, что расстояние dist (С1? С2) = б >0. Яснот что
существует последовательность 0<.ti<.t2<i. - - значений t, удов-
удовлетворяющих условию dist (y+(t2n+i)j Cx)—>0, dist (y+ (t2n), C2)—>0?
п—>оо. Поэтому при больших п найдется точка t = t%,, такая, что
in<tn<tn^ ' dist(y+ (tn), Ct) > 6/4, i= 1, 2. Последовательность
У+ (t%), y+ (tt)i • • • имеет предельную точку у0, так как С+ по ус-
условию имеет компактное замыкание. Очевидно, что у0 cz Q (С+) и
dist (г/0, Ct) >б/4, £=1,2. Это противоречие и доказывает теорему.
Теорема 1.2. Пусть f и С+ определены так же, как в теоре-
теореме 1.1 и уо£Е (}Q(C+). Тогда задача Коши
Уо A.2)
имеет по крайней мере одно решение у = у0 (t) с максимальным
интервалом существования (со_, со+), такое, что в этом интер-
интервале yo(t) £Q(C+). В частности, когда С+ имеет в Е компактное
замыкание, решение Со: y = yo(t) существует на ( — оо, оо)
и C0UA(C0)U^(C0)czQ(C+).
Орбита Со: # = #o(O» со_</< со+, такая, чтоС0с= Q(C+) для
некоторого С+, но С+ qL Со, называется ((непредельной орбитой.
Если, кроме того, решение y — y$(t) является периодическим, т. е.
#о (f + р) = #о @ Для всех ' и некоторого р>0, то орбита
12*

180 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
С0:у = у0 (t) называется (а)-)предельным циклом. (Из условия С+ с£ Со
следует, что не всякое периодическое решение Со: y = yo(t) является
предельным циклом; рассмотрите семейство замкнутых орбит.)
Доказательство. Пусть t0< tt <... и /„ —> со, уп—>Уо при
п —> оо, где уп = у+ (tn). Тогда уп (t) =y+(t + tn) является решением
задачи
y' = f(y)> у@) = уп. A.3)
Поэтому из теоремы 11.3.2, где fn (t, у) = / (у), /2=1,2,...,
следует, что задача A.2) имеет решение у0 (t) с максимальным
интервалом существования (со_, со+) и существует такая последо-
последовательность положительных целых чисел п A) < п B) < . . ., что
у0 (/) = lim 0n(fc) (/) = lim y+ (t + tn{k)), A.4)
причем сходимость равномерна на каждом отрезке из интервала
<о_ < t < со+. Ясно, что #о @ 6 Q (С+) для о)_ < / < о)+. Тем
самым первая часть теоремы доказана.
Вторая часть теоремы, относящаяся к существованию у0 (t)
на (—со, со), является непосредственным следствием теоремы П.3.1,
из которой вытекает, что или правый максимальный интервал
[0, со+) существования у = у0 (t) равен [0, со), или у0 (t) стремится
к дЕ при t -> со+ <С оо.
Последняя часть, касающаяся множеств А (Со) и Q (Со), следует
из A.4) и замкнутости Q (С+).
Замечание 2. Если решения всех задач Коши для системы A.1)
единственны, то выбор подпоследовательности в доказательстве
теоремы излишен; поэтому из соотношения уп = у+ (tn) -> у0,
п-> со, следует, что предельный переход
yo(t) = hmy+(t + tn) A.5)
П-*оо
равномерен на каждом ограниченном отрезке из (со_, со+).
Следствие 1.1. Если множество Q (С+) состоит из единственной
точки у0 6 Е, то у0 является стационарной точкой и y+(t) -> у0
при /-> со.
§ 2. Теорема об индексе
В случае, когда рассматривается плоскость (d = 2), где спра-
справедлива теорема Жордана, понятия предыдущего параграфа можно
развить дальше и перейти к теории Пуанкаре — Бендиксона. Это
будет сделано в § 4—6. Для того чтобы не прерывать доказательств,
мы сначала займемся изучением свойств индекса стационарной
точки на плоскости.

§ 2. Теорема об индексе 181
Напомним, что жорданова кривая / определяется как тополо-
топологический образ окружности; другими словами, J есть у-множество
точек у = у (/), а<; t <; b, где у (t) — непрерывное отображение,
У (а) = У (Ь) и у (s) Ф у (t) для а <; s < / < 6. Мы сформулируем
сейчас теорему Жордана, на которую будем неоднократно ссы-
ссылаться. Ее доказательство можно найти, например, у Ньюмена
[1, стр. 115] или Вольперта [1]* и Филиппова [1]*.
Теорема Жордана. Если J — плоская жорданова кривая, то ее
дополнение в плоскости состоит из объединения двух непересекаю-
непересекающихся связных открытых множеств Е\ и Е2у граница каждого
из которых есть /, т. е. дЕх = дЕ2 = J.
Одно из множеств Е\ или Е2 ограничено и называется внутрен-
внутренней областью кривой /; эта внутренняя область односвязна.
Рассмотрим на плоскости у = (у1, у2) непрерывную дугу
J:y = у (f), а <; / <; Ь. Пусть т] = т] (f) Ф 0, а <; t <; b, — непре-
непрерывный 2-мерный вектор, исходящий из точки у (t), т. е. г) Ф О
есть векторное поле на J. Введем в рассмотрение угол ф = ф (/),
отсчитываемый от положительного направления A, 0) оси у1 до век-
вектора т] @, так что cos ф = т]1]!! т] |[, sin ф = т]2/|| ц |J, где
II Л II2 = (Л1J + (л2J- Эти формулы определяют ф (t) с точностью
до 2я&, но если угол ф (/) в некоторой точке, скажем / = а, уже
определен, то ф (/) как непрерывная функция определяется дальше
единственным образом. Под ф (/) мы понимаем всюду в дальнейшем
именно такое непрерывное продолжение. Определим число /л (/)
равенством
Например, если поле т] (t) непрерывно дифференцируемо то
и
I
Если J = Ji + J2 в том смысле, что J: у = у (t), a<t<cb,
J F a<t<c, и J2: y = y(t), c^t<b, то
Если поле т] (t) задано произвольной функцией t, то /л (J)
не имеет ничего общего с J, но в приложениях ц (t) обычно будет
«вектором с началом в точке у ~ у (/)» кривой /.
Дальше нас в основном будет интересовать случай, когда кри-
кривая J является жордановой, причем мы будем считать, что J поло-
положительно ориентирована и поле цф 0 непрерывно на / (так что
У (а) = У (Ь) и ц (а) = т] F)). [Мы будем рассматривать только
кусочно ^-гладкие жордановы кривые J: у = у (t), так что поло-
положительная ориентация означает, что нормальный вектор
(—dyVdt, dyVdf) Ф 0, определенный всюду, за исключением угло-

Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
вых точек, направлен внутрь /.] В этом случае ясно, что число
/т, («/) целое, и оно называется индексом поля г\ по отношению к кри-
кривой J.
Теорема 2.1 (теорема об индексе). Пусть J: у = у (/), О <; t <;
-< 1,— положительно ориентированная жорданова кривая класса
С1 и г] (/) = dy/dt (ф 0) — касательное поле к J. Тогда jn (J) = 1.
Доказательство. Определим в треугольнике A: 0<;s<; /<; 1
функцию г) (s, t) следующим образом: г) (s, f) = [i/ (/) — у (s)]/(t — s),
если s ф t или (s, /) ^ @, 1), x\ (/, /) - ^ (/) и tj @, 1) = — r\ @, 0).
Рис. 1.
Ясно, что функция т] (s, /) непрерывна и rj E, /) Ф 0 в Д. Заметим,
что векторы г) @, 0 и г) (/, 1) ориентированы противоположно;
см. рис. 1.
Предположим, что точка у ~ у @) 6 J выбрана так, что каса-
касательная к / в точке у @) параллельна к уг-оси и вся / лежит выше
этой касательной. Так как область А односвязна, то можно (един-
(единственным образом) определить непрерывную функцию ср (s, t),
такую, что ф @, 0) = 0 и ф (s, /) дает значение угла между поло-
положительным направлением уг-оси и вектором ц (s, t). Тогда
2я/т, (/) = ф A, 1) — ф @, 0), как это видно из рассмотрения
функции ф (ty t).
Расположение кривой / гарантирует, что 0<ф @, t)^ n
и что ф @, 1) нечетно кратно я, откуда ф @, 1) = п. Аналогично
из равенства ф (s, 1) — ф @, 1) = ф (s, 1) — я для 0 <; s <; 1 вид-
видно, что ф A, 1) — я = я. Значит, ф A, 1) = 2я. Так как 2njn (J) =
= Ф A, 1) — ф @, 0) = ф A, 1), то теорема доказана.

§ 2. Теорема об индексе
183
Сглаживая углы кусочно Сх-гладкой кривой /, можно доказать
Следствие 2.1. Пусть J: y = y(t), 0<^<l, — положительно
ориентированная кусочно Сг-гладкая жорданова кривая с углами
в t-точках (О <) tt < ... < tn (< 1), и пусть r\ (t) = dyldt для t Ф tk.
Обозначим Jk' y~y{t), 4-1<^<6г, k=l, ..., n-\-l, считая
t0 = 0 и tn+i = 1. Тогда
n-f-l n
2я 2 /т, (A) + 2 (Ф* - я) = 2л,
ftt fei
фЛ, 0<ф^<2я,
внешнему углу при вершине y(tk).
?1 =21t
Рис. 2.
Заметим, что ф& — я, —я<фд — я<л;, есть угол от т] (^ — 0)
до Л^а + О); см. рис. 2.
Основная идея доказательства теоремы 2.1 содержится в сле-
следующей лемме.
Лемма 2.1. Пусть J: у = у (f), a ^. t ^ Ьу— жорданова кривая
и £ (t), к] (t) — два векторных поля на /, которые можно (непре-
(непрерывно) продеформировать одно в другое без обращения в нуль в какой
бы то ни было точке. Тогда j$(J) = /л («/).
Возможность деформации без обращения поля в нуль означает,
что существует непрерывное векторное поле ц (t, s), a<;^<;6,
0< s< 1, такое, что tj (t, 0) = I (/), ц (/, 1) = ц (t), ц (a, s) =
= ц (by s) и г) (U s) ф 0. Например, r\ (t, s) = A — s) g @ +
+ sr\ (t) является такой деформацией, если I (t) и r\ (t) ни при
каком t не направлены противоположно друг другу.

184 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Доказательство. Пусть / (s) обозначает индекс поля г\ (/, s)
при фиксированном s. Ясно, что / (s) зависит от s непрерывно,
но так как j (s) есть целое число, то / (s) = const. В частности,
/ @) = / A).
§ 3. Индекс стационарной точки
Будем предполагать, что функция / (у) = / (у1, у2) непрерывна
в открытом плоском множестве Е. Как и раньше, стационарной
точкой называется точка, где / = 0, а точка, где /=^=0, называется
регулярной.
Пусть /: у = у (/), а <; t <; b, есть некоторая дуга в Е, на кото-
которой f (у) Ф 0. Определим // (J) = /л (/), где г) (/) = / (у (t)). Напри-
Например, если / (у) и у (t) класса С1, то // (/) вычисляется с помощью
криволинейного интеграла:
y где f = (M«)- C.1)
Если / — положительно ориентированная жорданова кривая
в £, на которой / Ф 0, то целое число // (J) называется индексом
поля f no отношению к кривой J.
Лемма 3.1. Пусть JQ и J\— две жордановы кривые в Е, которые
можно продеформировать в Е друг в друга, не проходя при этом
через стационарную точку. Тогда // (/0) = // («А)-
Предположение леммы означает существование непрерывной
функции у (/, s), а<;^<;й, 0 <; s<;l, такой, что (i) при фиксиро-
фиксированном s каждая кривая J (s): у — у (/, s) является жордановой
кривой в Е\ (ii) / @) = /0, / A) = Л и (iii) / (у (/, s)) ф 0. Дока-
Доказательство леммы такое же, как и леммы 2.1.
Следствие 3.1. Пусть J — положительно ориентированная жор-
жорданова кривая в Е, такая, что внутренняя область кривой J при-
принадлежит Е и f (у) Ф 0 на кривой J и во внутренней области.
Тогда jf (J) = 0.
Доказательство. Так как внутренняя область D жордановой
кривой является односвязной, то J можно продеформировать
(оставаясь в D) в малую окружность Ji9 содержащую внутри себя
некоторую точку у0. Так как / (у0) Ф 0, то ясно, что, если окруж-
окружность /i достаточно мала, изменение угла между / (у) и ^-осью
при обходе вокруг /i будет мало. Так как jf (Ji) — целое число,
то // (Ji) = 0. По лемме 3.1 jf (J) = 0.
Пусть Уо£Е. Лемма 3.1 показывает, что целое число // (/)
не зависит от конкретного вида жордановой кривой / в классе
тех кривых J в Е, внутренние области которых принадлежат Е
и не содержат стационарных точек, за возможным исключением

§ 3. Индекс стационарной точки 185
точки t/o- Это целое число // (J) называется индексом jf (у0) точки
у о по отношению к полю f. В силу следствия 3.1 индекс // (у0) = О,
если точка у0 регулярная. Поэтому мы будем рассматривать только
индексы изолированных стационарных точек у0.
Следствие 3.2. Пусть J — положительно ориентированная жор-
данова кривая в Е> на которой f (у) Ф О, и пусть внутренняя область
кривой J принадлежит Е и содержит только конечное число ста-
стационарных точек у и . . ., уп. Тогда jf (J) = jf (#i) + ...+// {yn).
Справедливость этого утверждения сразу же следует из того,
что кривую / можно продеформировать в кривую, состоящую
Рис. 3.
из окружностей с центрами в стационарных точках и «разрезов»
между ними, проходимых в противоположных направлениях;
см. рис. 3.
Упражнение 3.1. Покажите, что индекс точки @, 0) поля
/о (у) = {ay1 + by2, су1 + dy2) равен +1 или —1 в соответствии
с тем, будет ли ad — be > 0 или ad — be < 0.
Упражнение 3.2 (продолжение). Пусть поле /0 (у) определено,
как в предыдущем упражнении, и пусть Д (у)—непрерывное поле,
определенное для малых || у ||, причем Д (у)/\\ у \\ -> 0 при у —> 0.
Покажите, что если f (у) = /0 (у) + А (у), то точка у = О
является изолированной стационарной точкой и ее индекс
// @) = ± 1 в соответствии с тем, будет ли ad — be ^ 0.
Упражнение 3.3. Пусть f (у) 6 С1 в открытом множестве Е
и якобиан det (df/dy) = д (/\ р)/д (у1, у2) отличен от нуля во всех
точках, где / = 0. Пусть «/ — положительно ориентированная
жорданова кривая в £, внутренняя область / которой принадлежит
Е, и f (у) Ф 0 на /. Покажите, что в / содержится самое большее
конечное число стационарных точек уи . . ., yk и что jf (J) =

186 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
= п+ — /i_, где п+ и п_ обозначают число тех стационарных точек,
в которых соответственно det (df/dy) > 0 или det (df/dy) < 0.
Теорема 3.1. Пусть поле f (у) непрерывно в открытом множестве
Еу и пусть у = ур (/) является периодическим решением уравнения
У' = f (у)> имеющим период р, т. е. ур (t + р)=ур @» — °° < t <
< оо. Пусть у = ур (/), 0 <С /<; р,— жорданова кривая с внут-
внутренней областью I a E, и пусть f (yp (f)) Ф 0. Тогда I содержит
стационарную точку.
Доказательство. Пусть / — жорданова кривая, у = ур (/),
О <; t <J p, с положительной ориентацией. По теореме 2.1 индекс
// (J) = 1 Ф 0. Поэтому утверждение теоремы вытекает из след-
следствия 3.1.
Изучение стационарных точек и их индексов мы продолжим
в § 6.
§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона
Рассмотрение дифференциального уравнения у' = f (у), начатое
в § 1, теперь будет продолжено для плоского случая (d = 2) с при-
применением теоремы Жордана. Основным результатом здесь является
следующая теорема Пуанкаре — Бендиксона:
Теорема 4.1. Пусть поле f (у) = / (у1, у2) непрерывно в открытом
плоском множестве Е, и пусть С+: у ~ у+ (f) есть решение урав-
уравнения
y' = f(y) D-1)
для /^0, имеющее компактное замыкание в Е. Предположим,
кроме того, что у+ (^) Ф у+ (t2) для 0 -< t\ < t2 < °° и что Q (С+)
не содержит стационарных точек. Тогда Q (С+) состоит из точек у
периодического решения Ср: у = ур (f) уравнения D.1). Далее, если
р > 0 — наименьший период решения ур (/), то ур (tt) Ф ур (t2)
для 0 <; tt < /2 < р, т. е. кривая J: у = ур (t), 0 <; / <; р, является
жордановой.
Если задачи Коши для уравнения D.1) имеют единственные
решения, то либо у+ (U) Ф у+ (t2) для 0 <; ti < t2 < оо, либо реше-
решение у+ (t) является периодическим (т. е. у+ (t + р) = у+ (t) при
всех t для некоторого фиксированного положительного числа р).
В последнем случае (исключенном в теореме 4.1) множество Q (С+)
совпадает с множеством С+.
Из доказательства теоремы 4.1 будет видно, что С+ является
спиралью, наворачивающейся на замкнутую кривую Q (С+): у =
= Ур @ или извне, или изнутри; см. рис. 4. Будет установлено
также такое

§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона 187
Следствие 4.1. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1,
и пусть р > 0 — период решения у = ур (t). Тогда существует
последовательность (О <;) U < h < • • •» гпакая, что
y+(t + tn)->yp(t) npun^oo D.2)
равномерно относительно t £ [О, р] а
tn+i — tn—>P при п—>оо. D.3)
Доказательство теоремы 4.1. Прямолинейный отрезок L в Е
называется трансверсалью для уравнения D.1), если ни в одной
Р и с. 4.
точке # 6 L вектор / (у) Ф О и не параллелен отрезку L. Все пере-
пересечения L с решением у = у (t) уравнения у' = f (у) происходят
в одном и том же направлении при увеличивающемся /.
Доказательство разобьем на пять этапов.
(a) Пусть у0 £ Е, f (у0) Ф О и L — трансверсаль, проходящая
через у0. Тогда из теоремы Пеано следует, что найдутся малая
окрестность Ео точки у0 и число 8 > 0, такие, что каждое решение
У = У° @ задачи Коши у' = /, у @) = у0 для у0 £ Ео существует
в отрезке | / | <; е и пересекает L при этих значениях / точно один
раз. В самом деле, если взять произвольное б > 0, то Ео и 8 могут
быть выбраны так, что у0 (t) существует и отличается от у0 + // (у0)
при | / | ^ е не больше чем на б | / |. Значит, если окрестность Ео
достаточно мала, то решение у = у0 (f) пересекает L по крайней
мере один раз, но в то же время оно при | / | <; е может пересечься
с L не больше одного раза, так как пересечения его с L должны
иметь одинаковые направления.
В частности, отсюда следует, что если у = у° (t) — решение
уравнения у' — / в некотором конечном отрезке, то у = у0 (t)
пересекается с L самое большее конечное число раз.
(b) Пусть L — трансверсаль, которую без потери общности
можно считать отрезком #2-оси, где у = (у1, у2). Предположим,

188
Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
что у = у+ (/) пересекается с L в точках, отвечающих значениям
f = fi < /з <•••'» тогда #+ (fn) будет строго монотонной функ-
функцией от п.
Чтобы убедиться в этом, предположим без потери общности, что
при пересечениях с L значение у1 возрастает (т. е. у1 при пересе-
пересечении меняет знак с минуса на плюс). Рассмотрим случай у\ (Q <
< У\ {Q\ см. рис. 5. Множество, состоящее из дуги у = у+ (/),
t\ < t ^С *2> и прямолинейного отрезка у\ (ti) <; у2 <; у\ (t2) на
у2-оси, образует жорданову кривую /. Для всех t> t2 точки у =
= у+ (t) лежат или во внешней, или во внутренней областях кри-
кривой / в силу предположений относительно у+ (t) и того факта, что
пересечения у+ с L происходят только в одном направлении. Отсюда
ясно, что у\ (£2) < у\ (^з)> и это рассуждение можно продолжить
далее для остальных точек.
Рис. 5.
(c) Проверим теперь, что если L — трансверсаль, то Q (С+)
содержит самое большее одну точку из L. Действительно, если
у0 £ LC\Q (С+), то из (а) следует, что у = у+ (t) пересекает L
бесконечное число раз (а именно всякий раз, когда она проходит
достаточно близко от точки у0). С увеличением / точки пересечения
у = у+ (t) с L монотонно стремятся к у0 вдоль L согласно (Ь).
Значит, множество L{]Q(C+) не может содержать точки, отлич-
отличной от у0.
(d) Так как С+ ограничено, то Q (С+) не пусто. Пусть yQ £Q (С+).
По теореме 1.2 задача Коши у' = f, у @) = у0 имеет решение
Со: У = Уо @. — °° < t < оо, содержащееся в Q (С+); значит,
Q (Co) cz Q (С+).
Множество п (Со) не пусто. Пусть у° 6 й (Со), так что точка у0
регулярная, поскольку Q (С+) не содержит стационарных точек.
Поэтому через точку у° проходит трансверсаль L0, и у = у0 (t)
имеет вблизи у0 бесконечное число пересечений с L0; но у° и каждое
пересечение у0 (t) с L0 принадлежит Q (С+). Согласно (с), все эти
точки должны совпадать. В частности, существуют /4 < <2, такие,

§ 4, Теорема Пуанкаре — Бендаксона
189
что у<) = у0 (ti) = у о (t2)- Значит, уравнение D.1) имеет периоди-
периодическое решение у = уР @ периода р = t2 — tu такое, что ур (/) =
= у о @ для U <С t <C t%- Поскольку у о (t) ни на одном /-интервале
не обращается в постоянную, можно считать, что ур (t°) Ф ур (/0)
для 0< fo< t°<p.
(е) Покажем, что Q (С+) совпадает со своим подмножеством
Ср. у = Ур @» — °° < t < °°- Если это не так, то множество
Q (С+)\ Ср не пусто. Тогда Ср содержит точку уи являющуюся
Рис. 6.
предельной точкой для Q (С+) \ Ср, так как Q (С+) связно по тео-
теореме 1.1. Пусть Li — трансверсаль, проходящая через yt. Любой
малый шар с центром в у\ содержит точки у2 6 ^ (С+) \ Ср. Для
любой такой точки у2 уравнение у' = f имеет решение у = у2 (f),
— оо < t < оо, такое, что у2 @) = у2 и у2 @ 6 ^ (С+) в силу тео-
теоремы 1.2. Если точка у2 достаточно близка к уи то у2 (t) пересекает
трансверсаль L4. Согласно (с), это пересечение должно быть обя-
обязательно в точке #i.
Так как у2 (J Ср, то такое пересечение невозможно, если задачи
Коши для D.1) имеют единственные решения. В общем случае этот
факт можно доказать следующим образом. Пусть у2 (tp) 6 Ср, в то
время как у2 (f) (J Ср для 0 < /< /р. Так как точка у2 (tp) регу-
регулярная, найдется трансверсаль Lp, проходящая через у2 (tp).
Тогда малое смещение трансверсали Lp в подходящем направлении
дает трансверсаль Lp0, которая пересекает Ср и у = у2 (t) в двух
различных точках; см. рис. 6. Это противоречит части (с). Теорема
доказана.
Замечание. В последующем нам потребуется такой факт: рас-
рассуждения пункта (е) показывают, что если С+: у = у+ (/), /!> 0,
обладает свойством у+ (/4) Ф у+ (/2), иФ t2, и если точка
Уо 6 й (С+)П£ регулярная, то у точки у0 найдется такая окрест-
окрестность ЕОу что решение задачи у' = Д у @) = #0 в fi (C+) f| Eo
единственно. Если, кроме того, Q (С+) связно ивЙ (С+) существует
периодическая орбита Ср: у = ур (t)y состоящая только из регу-
регулярных точек, то Q (С+) =Ср.

190 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Доказательство следствия 4.1. Пусть у0 = ур @), и пусть L0 —
трансверсаль, проходящая через уо. Пусть последовательные пере-
сечения Ь° с у = у+ (t) происходят в точках @ <;) tt < t2 < . . . .
Тогда у+ D) стремится к #° монотонно вдоль /А Поскольку у =
= Ур @ — единственное решение задачи у' = /, у @) = у0 в Й (С+)^
то из аналога замечания 2 к теореме 1.2 видно, что в D.2) сходи-
сходимость равномерна на каждом отрезке, в частности на O^t^p.
Заметим, что у+ D + р)-+■ ур (р) = уо при п-*- оо. Следова-
Следовательно, если е>0ип велико, то y+ (t) пересекает L0 в отрезке
tin + Р — е, 4 + р + е]. Отсюда 4-и < 4 + /? + е. Кроме того»,
величина || у+ D + t) — ур (t) || мала при больших п и 0 < 8 <;
<; t <; р — г < /7, откуда следует, что существует б > 0, такое,
что || у+ (tn + t) — Уо || > б для 0<8</</7 — е. В частности,
для значений г ^С t ^ р — 8 не существует пересечений с L0. Сле-
Следовательно, 4+i ;> 4 + Р — е при больших п. Тем самым след-
следствие 4.1 доказано.
Теорема 4.2. Пусть f и С+ определены так же, как в теореме 4.1^
с той лишь разницей, что Q (С+) содержит конечное число п ста-
стационарных точек уравнения D.1). Если п — 0, то применима тео-
теорема 4.1. Если п = 1 и Q (С+) состоит из одной точки, то приме-
применимо следствие 1.1. Если 1 <; п < оо и Q (С+) не вырождается
в точку, то Q (С+) состоит из стационарных точек уь #2, . . ., уп
и конечной или бесконечной совокупности орбит Со: у = у0 (t)r
— оо^ос_</<ос+<;оо, не проходящих через стационарные-
точки и таких, что пределы уо(а±)=^\\т у (t) при г->а±сущест-
вуют и совпадают с одной из точек уи . . ., уп.
Может оказаться, что у0 (а+) = у0 (а_). Не утверждается, что
(а_, а+) есть максимальный интервал существования решения
у = у0 (/). Но если начальные условия определяют решение урав-
уравнения D.1) единственным образом, так что единственное решение
уравнения D.1), проходящее через стационарную точку yk> есть
у (t) = уь, то тогда а_ = — оо, а+ = + оо; см. лемму II.3.1.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда п ^> 1 и Q (С+)
не вырождается в точку. Так как множество Q (С+) по теореме 1.1
связно, оно содержит регулярные точки у0. Для любой такой точки
у о у задачи у' = /, у @) - i/0 существуют решения С* : у = у+ (/),
— оо < /< + оо, остающиеся при всех t в Q (С+). Пусть С# обо-
обозначает любое такое решение.
Рассмотрим только CJ: у = у* (f), f^> 0. Случай /<0 раз-
разбирается аналогично. Могут быть две возможности: (i) существует
первое положительное значение / = а+, для которого у+ (а+)
является стационарной точкой (т. е. одной из точек уи . . ., уп)>
или (ii) y# (t) не является стационарной точкой ни при каком конеч-
конечном t ^>> 0.

§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона 191
Рассмотрим случай (И). Если п (CJ) содержит регулярную
точку у0, то, согласно части (d) доказательства теоремы 4.1, С+
содержит траекторию периодического решения Ср: у = ур (t).
Но тогда Ср содержит стационарную точку yt; в противном случае,
согласно части (е) и замечанию к доказательству теоремы 4.1>
Q (С+) = Ср. Но это невозможно, так как у% (t) щк уг при t^> 0.
Значит, в случае (И) множество Q (CD может содержать только
стационарные точки, и так как оно связно, то состоит лишь из одной
стационарной точки уш.
Итак, в случае (И) Q (CJ) есть стационарная точка уп и у* (f) ->-
-»■ у* при t-*~ оо согласно следствию 1.1. Значит, любая регулярная
точка г/о» принадлежащая множеству Q (С+) указанного типа, нахо-
находится на дуге Со: У = Уо (/), а _ < * < а+.
Остается показать, что множество таких дуг Со не более чем
счетно. Заметим, что если точка у0 6 ^ (С+) регулярная, то ука-
указанное выше решение С#: у = у# (t) является единственным в доста-
достаточно малом интервале | / | < е; ср. с частью (е) и замечанием после
доказательства теоремы 4.1. Следовательно, никакие две дуги
решения Со друг с другом встретиться не могут.
Так как у+ (/4) Ф у+ (t2), t2 > h, то можно считать, что у+ (t)
при t ^> 0 не совпадает ни с одной из стационарных точек уи . . .
. . ., уп. В противном случае у+ (/), t ^> 0, можно заменить на у_и (/),
t^> t0, при подходящем /0> 0. Кроме того, если точка у0 6 ^ (С+)
регулярная, то #+(/) =^= у0 Для t % 0, так как последовательность
пересечений у = y+(t) с трансверсалью, проходящей через у0,
стремится к уо строго монотонно; см. часть (Ь) доказательства
теоремы 4.1. Значит, С+ и Со не могут иметь общей точки.
Допустим, что существует несчетное множество дуг Со, относи-
относительно которых тогда можно предположить, что они соединяют
одну и ту же пару стационарных (не обязательно различных) точек.
Любая пара этих соединяющих дуг (или одна дуга) образует жор-
данову кривую J. Так как жордановых кривых с попарно непере-
непересекающимися внутренними областями существует не более чем
счетное множество, то найдутся три различные кривые /, скажем
A, J2 и J3y такие, что J3 будет содержаться в замыкании внут-
внутренних областей 1п кривых Jn, n = 1,2. Но это невозможно, так
как С+ не пересекается с Jn и находится или между /4 и /2, или
между J2 и J3.
В следующей теореме мы снимаем предположение о том, что
(Ь) Ф y+(t2) при U ф /2.
Теорема 4.3. Пусть f (у) = / (у1, у2) непрерывна в открытом
плоском множестве Е, и пусть С+: у = у+ (t) есть решение урав-
уравнения D.1) для t^O с компактным замыканием в Е. Тогда Q (С+)
содержит замкнутую (периодическую) орбиту Ср: у = ур (f) урав-
уравнения D.1), которая может свестись к одной стационарной точке
Ур @ = Уо-

192 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендаксона
Доказательство. Предположим, что Q (С+) не содержит стацио-
стационарных точек. Пусть у0 6 Q (С+), и пусть С+: у = у0 (f) есть реше-
решение, существование которого гарантируется теоремой 1.2, так что
Со+ с Q (С+). Так как Q (С+) замкнуто, Q (С+) с= Q (С+). Если
У о (tt) Ф У о (Q Для 0 < ti < t2 < оо, то Q (С+) является по тео-
теореме 4.1 замкнутой орбитой у = ур (t). Если же у0 (tt) = у0 (t2)
для некоторых tu t2 с условием 0 <; /4 < /2 < °°» то Q содержит
периодическую траекторию у = Ур (t) с периодом р = t2 — tu
совпадающую с у0 (t) при ti <; t <; t2. Значит, в любом случае
Q (С+) содержит замкнутую орбиту у = ур (f).
Теорема 4.4. Пусть функция f (у) непрерывна в открытой одно-
связной плоской области Е, где f (у) Ф 0, и пусть у — у (t) есть
решение уравнения D.1) на его максимальном интервале существова-
существования (со_, со+). Тогда у = у (t) выходит из любого компактного
подмножества Ео cz Е, когда t -> со+ (или t -> со_).
Доказательство. Если, например, С+: у = у (f), to <C t < со+,
содержится в некотором компактном подмножестве Ео а Е для
некоторого t0, то со+ = оо по теореме II.3.1 и Q (С+) содержит
периодическое решение у = ур (t) в силу теоремы 4.3. Так как
/ =й= 0 в Е, то функция ур (t) ни на каком ^-интервале не может быть
постоянной. Пусть ti будет первым значением t > /0, для которого
Ур (ti) = Ур (to)- Тогда'кривая J: у = уР (t), /0 < ^< <i. является
люрдановой. Значит, уравнение D.1) имеет периодическое решение
у = у0 (t) периода р = tt — t0 такое, что у0 (t) = ур (t) для t0 <
^ /<; ti. Так как область £ односвязна, то внутренняя область
кривой J: у = у0 (t), t0 <; /< tu содержится в Е. По теореме 3.1
во внутренней области кривой J тогда должна содержаться стацио-
стационарная точка, что противоречит условию f Ф 0. Теорема доказана.
§ 5. Устойчивость периодических решений
Вернемся к ситуации теоремы 4.1.
Теорема 5.1. Пусть f, С+ и Ср удовлетворяют предположениям
теоремы 4.1. Тогда существует г > 0, такое, что если у0 находится
от Q (С+) = Ср: у = ур (t) на расстоянии не больше чем 8, и при-
притом с той же стороны (извне или изнутри) от Ср, что и С+, то
задача
y'=f(y), У(О) = уо E.1)
имеет решение Со: у = у0 (t) для t^>09 такое, что у0 (h) Ф у0 (t2)
при иФ^ип (С*) - Ср.
Доказательство. Пусть, для определенности, орбита С+ является
внешней по отношению к Ср. Пусть у0 = ур @); LQ — трансверсаль,
проходящая через у0 и пересекающаяся с y+(t) при значениях

§ 5. Устойчивость периодических решений
193
параметра @ <) U < t2 < . . . . Значит, точки у+ (tn) стремятся
к у0 монотонно вдоль L0.
Обозначим через Jn жорданову кривую, состоящую из дуги
кривой у = у+ (t), tn <; £<; tn+u и открытого интервала 1п транс-
версали L0, соединяющего точки у+ (tn) и у+ (k+i)- Пусть Dn —
внутренняя область кривой Jn и Еп = Dn\Dn+i. Заметим, что
множество Еп является открытым и односвязным в Е, так как
/д+i полностью, за исключением лишь точки y+(tn+i), лежит
внутри Jn\ см. рис. 7.
Рис. 7. Заштрихованная область есть Dn±\.
Ясно, что если е > 0 достаточно мало, то множество U Еп
содержит^все точки уо§ С + [)Сру находящиеся от Ср на расстоя-
расстоянии не больше чем 8 и расположенные с той же стороны, что и С+.
В силу следствия 4.1 ясно, что объединение [)Еп, n^>N, при
больших jV расположено в пределах е-окрестности Ср. Так как
f (у) ф 0 для у£Ср, то можно считать, что множество \}Еп не
содержит стационарных точек; в противном случае значения
tu t2y ... можно начать отсчитывать от tN, tN+\, ....
Для доказательства теоремы достаточно рассматривать лишь
точки у0 $ C + U Сру так что у0 6 Еп при некотором п. Пусть у =
= уq @ есть решение задачи E.1) для t, близких к нулю. По тео-
теореме 4.4 продолжение этого решения для увеличивающихся t встре-
встречает границу дЕп множества Еп при некотором конечном значении t.
Пусть t0 есть первое значение t0 > 0, для которого у0 (t0) 6 дЕп,
где дЕп cz С + U /д U Л+i- Можно считать, что у0 (t1) ф у0 (t2)
13-241

194 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
для 0 <; t1 < t2 <^ t0- Если учесть направление пересечений реше-
решений с /„, то мы получим у0 (t0) $ /д, так что у0 (to) G С+{] 1п+и
Если у о (to) £ С+, скажем #0 D) = */ + (*°)i то z/0 @ можно опре-
определить для / > /0 так: у0 @ = У+ (t + t° — t0). Если у0 (t0) 6 L+ir
то уо @ существует для t (> t0), близких к tOi и входит в Еп+\.
Продолжая этот процесс, мы получим у0 (/), определенное для
всех t ^ О, так что или у0 (t) = y+ (t + а) для некоторого а и боль-
больших /, или решение у = у0 @ при увеличении / проходит последо-
последовательно через ЕП9 Еп+и .... Теорема доказана.
Пусть Ср: у = ур (/) есть периодическое решение уравнение
у' = / с периодом р > 0, так что кривая /: у = ур (t), 0 < / < рг
является жордановой. Решение Ср называется орбитально устой-
устойчивым извне при t->-i~oo, если для каждого е>0 существует
б = б8> 0, такое, что если точка у0 лежит во внешней области
кривой / на расстоянии <б от нее, то все решения CJJ": у = у0 (t)
задачи E.1) существуют и остаются при /!>0 в е-окрестности /.
Решение Ср называется асимптотически орбитально устойчивым
извне при /-> + оо, если существует б > 0, такое, что если точка
у о лежит во внешней области кривой «/ на расстоянии < б от нее,
то все решения С+: у = у о (t) задачи E.1) существуют при />О
и Q (Q) = /. Можно сформулировать аналогичные определения^
заменив внешнюю область на внутреннюю и / или t-^+oo на
t -> —оо.
Теорема 5.2. Пусть функция f (у) непрерывна в открытом пло-
плоском множестве Е, и пусть решения уравнения у' = f определяются
начальными условиями однозначно. Пусть Ср: у = ур (t) есть перио-
периодическое решение уравнения у' — f с наименьшим положительным
периодом р. Тогда (i) для того чтобы Ср было асимптотически
орбитально устойчивым извне при /->-(-оо, необходимо и доста-
достаточно, чтобы орбита Ср являлась Q (С^)-множеством для некоторого'
решения CJ: у = у о @> ^ ^ 0» расположенного во внешней области
Ср\ (ii) для того чтобы Ср было орбитально устойчивым извне при
/-> +оо, необходимо и достаточно, чтобы или орбита Ср являлась
Q (C+)-множеством для некоторого решения CJ", расположенного
во внешней области Ср, или чтобы для каждого г > 0 существовало
периодическое решение уравнения A.1), расположенное во внешней
части г-окрестности Ср.
Доказательство. В (i) «необходимость» тривиальна, а «достаточ-
«достаточность» следует из теоремы 5.1. В (ii) «достаточность» ясна из тео-
теоремы 5.1. Для доказательства «необходимости» предположим, что
решение Ср орбитально устойчиво извне. Так как решения задач
Коши для системы E.1) единственны, то / (у) Ф 0 на Ср, а значитг
и в некоторой его е0-окрестности. Пусть С+: у = у0 (t), />- 0, есть
решение уравнения у' = /, расположенное во внешней части
е-окрестности решения Ср, где е < 80. Тогда CJ имеет в Е ком-

§ 6. Точки вращения 195
пактное замыкание и Q (CJ) не содержит стационарных точек, так
что Q (Q), согласно теореме 4.1, является орбитой периодического-
решения уравнения у' = /. Значит, или Q (С+) = С^, или Q (С+)
есть периодическая орбита, расположенная во внешней части
е-окрестности орбиты Ср.
§ 6. Точки вращения
В § 6—9 мы изучим поведение решений задачи
y' = f(y), уФ) = уо F.1)
в окрестности изолированной стационарной точки. Пусть / (у)
определена для малых \\ у ||, скажем в открытом множестве, содер-
содержащем точки || у ||^ Ь, и пусть
/@) = 0 и !(у)ф 0, уфО. F.2)
Заметим, что если задача F.1) имеет единственное решение для
всех у о и С+: у = yQ (t) есть решение задачи F.1) с 0 < || у0 ||<
< Ь, определенное на максимальном интервале существования
[О, со+), то из теорем 4.1 и 4.2 вытекает, что возможны лишь сле-
следующие случаи (взаимно не исключающие друг друга): 1) есть
наименьшее t0, О < t0 < ю+, такое, что || у0 (t0) \\ = Ъ\ 2) оо+ = сх>
и траектория С\ представляет собой жорданову кривую, содержа-
содержащую во внутренней области точку у = 0; 3) о)+ — оо и CJ есть,
спираль, «наматывающаяся» на некоторую замкнутую орбиту;
4) со+ = оо и у0 (t) ->■ 0 при t->- оо; 5) со+ = оо, QJ" есть спираль
вокруг точки у = 0 и Q (Q) состоит из конечного или бесконечнога
числа орбит у (/), — оо < /< оо, таких, что у (t) ->• 0 при /-> ± оо.
Под спиралью у = у0 (/), 0 <; /< со+, вокруг точки у0 — О
мы понимаем линию у0 @ =7^= 0, такую, что непрерывное продолже-
продолжение угла arctg y\ (t)ly\ (t) стремится к +оо или —оо при t-> co+.
Если любая окрестность точки у = 0 содержит замкнутые
орбиты, окружающие точку у = 0, то стационарная точка у = О'
называется точкой вращения.
Если точка у = 0 является точкой вращения и если решения
задач Коши F.1) единственны, то множество решений уравнения
у' = / в окрестности точки у = 0 можно описать следующим обра-
образом: существует окрестность £*0 точки у = 0, такая, что решение
Со: У = Уо (t) задачи F.1) при любом у0 £ Ео является или замкну-
замкнутой орбитой, окружающей точку у ~ 0, или спиралью, причем
соответствующие множества Q (Со) и А (Со) представляют собой
замкнутые орбиты, окружающие точку у = 0.
Проиллюстрируем сказанное примерами. Рассмотрим дифферен-
дифференциальные уравнения
У1# = ^(г)-^(г), ^а/ = ^(г) + Уам(г), F.3)
13*

196 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
где и (г) и v (г) суть непрерывные вещественные функции аргу-
аргумента г = \\ у || при малых г>0. В полярных координатах эти
уравнения принимают следующий вид:
r' = ru(r), Q' = v(r). F.4)
Пример 1. Предположим, что и(г) = 0, у(г)=|3:#=0. Тогда F.3)
принимает вид
yv = -№, yv = №, F.5)
а F.4) перепишется как г' = 0, 9' = 1, так что все орбиты (у ф 0)
являются окружностями.
Пример 2. Предположим, что и (г) = г sin (I//*), v (r) — 1. Тогда
из F.4) г' = г2 sin A/г), 8' = 1. Здесь кроме тривиального решения
у = 0 существуют замкнутые орбиты г = 1/шг, я = 1, 2, . . . .
Между орбитами г ~ 1/пп и г = 1/(/г + 1) я выполняется нера-
неравенство (—1)п /*' > 0, так что соответствующие решения будут
спиралями, стремящимися к окружностям г = 1/шт, г = \1(п + 1) я
при /->оои /-> —оо в зависимости от четности или нечетности п.
Пример 3. Пусть описанная выше функция и (г) переопределена
так, что она равна 0, скажем между г = 1/пп и г = 1/(я + 1) л,
для конечной или бесконечной подпоследовательности натураль-
натуральных чисел лг = 1,2, ... . Соответственно спирали между г = 1/пп
и г = 1/(я + 1) я заменяются теперь круговыми орбитами.
Упражнение 6.1. Пусть С — замкнутое множество на отрезке
0<; г<; 1. Покажите, что существуют функции и (г) и v (г), удо-
удовлетворяющие условию Липшица на отрезке 0 ^ г ^ 2, такие, что
и2 (г) + ^2 (г) Ф 0 для г Ф 0, для которых решение системы F.3)
с начальным условием у @) = у0 представляет собой замкнутую
орбиту, если 0 < || у0 II 6 С, и спираль, если || Уо\\$С9 0 <
<НУоН<1.
Точка вращения у = 0, в окрестности которой все орбиты,
за исключением у = 0, являются замкнутыми кривыми, называется
центром. Простейший пример центра дает линейная система F.5)
из примера 1.
§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки
Предположим, что единственным решением задачи у' = f,
у @) = 0 является у= 0 (так что ни одно решение у (t) ф 0 не мо-
может стремиться к 0, когда t стремится к конечному значению).
Простейшими стационарными точками, отличными от точек
вращения, являются так называемые точки притяжения. Изолиро-
Изолированная стационарная точка у = 0 называется точкой притяжения
для t = оо (или t = —оо), если все решения у = у0 (t) задачи

G.1) при <х<0,C>0
G.2) при
G.3) при Л<0
G.2) при Х1<0<Я2
Р и с. 8.

198 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
F.1) при малых || уо II существуют для t ;> 0 (или t <; 0) и у0 (t) -> О
при t -> оо (или / -> —оо). Если, кроме того, все орбиты у0 (t) Ф О
являются спиралями, то точка притяжения у — 0 называется
фокусом. Если все орбиты у0 (t) Ф 0 имеют касательную в точке
у == о, т. е. непрерывное продолжение угла Э (t) = arc tg у\ (t)ly\ (t)
стремится к определенному пределу 60, —оо < 0О < оо, то точка
притяжения у = 0 называется узлом. Узел называется собственным,
если для каждого 60 (mod 2л) существует единственное решение
у = у0 (t), такое, что 9 (t) -> 80; в противном случае узел назы-
называется несобственным.
Примеры точек притяжения различных типов доставляют вещест-
вещественные системы; см. рис. 81). Система
G.1)
определяет точку притяжения для t = оо (или t = —оо), если
а<0 (или а > 0). Эта точка является фокусом, если а, р Ф 0,
и собственным узлом, если а =^ 0, Р = 0. Для системы
У" = КУ\ У2' = Ъ*У* G.2)
точка у = 0 является несобственным узлом2), если Kth^ > 0, ^1=7^= ^2-
В случае
^' = ^, у2' = уг + №-, G.3)
где А, ^= 0, точка у —0 также является несобственным узлом3).
Существуют стационарные точки, не являющиеся ни точками
вращения, ни точками притяжения, и точки притяжения, не отно-
относящиеся ни к фокусам, ни к узлам. Простейшим примером стацио-
стационарной точки, не являющейся точкой притяжения, служит так
называемая седловая точка. Это стационарная точка у -= 0, обла-
обладающая тем свойством, что только конечное число орбит стремится
к 0 при t->■ +00 или —оо. Пример седловой точки4) дает система
G.2), где Яь Я2 вещественны и А,Д2 < 0.
Упражнение 7.1. Проверьте только что высказанные утвержде-
утверждения относительно систем G.1) —G.3).
Упражнение 7.2. Рассмотрим линейную систему у' — Ау, где
А — вещественная постоянная B х 2)-матрица с det А Ф 0, так
что единственной стационарной точкой является лишь точка у ~ 0.
*) Для простейших особых точек, изображенных на рис. 8, в нашей мате-
математической литературе обычно употребляются названия, не вполне соответствую-
соответствующие терминологии автор! А именно представленные на этом рисунке 5 типов
особых точек называются: фокус, дикритический узел (собственный узел по
Хартману), узел (или простой узел), вырожденный узел (последние два — несоб-
несобственные по Хартману), седло.— Прим. ред.
2) Простым узлом согласно1).— Прим. ред.
3) Вырожденным узлом согласно 1).— Пр им. ред.
4) Седлом согласно 1).~ Прим. ред.

§ 8. Секторы 199
Пусть hi и Я2 — характеристические корни матрицы А. Покажите,
что точка у = 0 является точкой притяжения для / = оо (или
/ = —оо) в том и только том случае, когда Re %k < 0 (или >0),
k = 1, 2; точка у = 0 является центром тогда и только тогда, когда
Re %i = Re Я2 = 0; у = 0 будет фокусом тогда и только тогда,
когда Xi и Я2 являются комплексно сопряженными числами с отлич-
отличными от нуля вещественной и мнимой частями; у = 0 есть соб-
собственный узел, если Х{ = Х2 и элементарные делители характери-
характеристической матрицы для А простые; у = 0 есть несобственный узел,
если Хи Х2 > 0> но или ^i =И= ^2» или ^i = ^2> а элементарный
делитель второй степени.
§ 8. Секторы
Рассмотрим теперь общий случай стационарной точки, не являю-
являющейся точкой вращения. Удобно принять при этом следующую
терминологию: решение у — у (/) щк 0 уравнения у' = /, опреде-
определенное в полуинтервале [0, со) (или в полуинтервале (—со, 0])
для 0 <С со <; сю, называется положительным (или отрицательным)
ну ль-решением у если у (/) -> 0 при t —>■ со (или / -> — со). Если
решение задачи у' = f, у @) = 0 единственно, то тогда обязательно
О) = СЮ.
Лемма 8.1. Пусть функция f (у) непрерывна для малых \\y\\,
f @) = 0 и f (у) Ф 0 при у ф 0. Предположим, что точка у = 0
яе является точкой вращения. Тогда существует по крайней мере
одно нуль-решение.
Доказательство. Пусть г > 0 так мало, что в окрестности
|| у || <С 8 нет замкнутой орбиты, окружающей точку у = 0 и пред-
предположим противное, т.е. что в ||г/||^в не существует нуль-
решения.
В таком случае уравнение у' = / не имеет ни одного решения
^о- У = Уо (О Ф 0, определенного при />0 и удовлетворяющего
условию || г/о @ II ^£- Действительно, в противном случае мы
имели бы у о (ti) ф у о (/о)» U Ф h (так как в || у \\ ^ г нет замкну-
замкнутых орбит), и тогда из теоремы 4.2 следовало бы существование
по крайней мере одного положительного нуль-решения. Анало-
Аналогично, уравнение у' — f не имеет решения у = у0 (f) Ф 0, опреде-
определенного при t^O и удовлетворяющего условию !1Уо@П^8-
Значит, если || у0 \\ < г и у0 (t) — решение соответствующей
задачи F.1), найдется отрезок—s<;/<;0, такой, что у0 @) =
= Уоу 11#о(О11<е для—s</<0 и \\yo(—s)\\ = b- Соот-
Соответственно решение у = у0 (t — s) определено для 0 <; t ^ 5,
!| Уо (t — S) || < 8 ДЛЯ 0 < / < S, || у0 (t — S) || = 8 ДЛЯ / = 0 И
у о (t — s) = у о для / — s.

200 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Рассматривая последовательность точек у0 = уи у2, . . ., стре-
стремящихся к началу, мы получим последовательность решений
У = Уп№> 0 < / < ь, таких, что || уп @) || - 8, || уп (t) || < е
для 0 < / < sn и || уп (Sn) || -> 0 при п -> оо. Выбрав соответствую-
соответствующую подпоследовательность и перенумеровав ее, мы можем считать,
что существуют пределы у0 = Пт уд @) и со = Нт 5Л, п -> оо,
где || Уо II = 8 и 0 ^ со <; оо. Если, кроме того, о > 0, то можно
считать, что последовательность уп (/) при я -> оо сходится к пре-
пределу уо @ равномерно на каждом отрезке из полуинтервала [0, со)
и является решением уравнения у' = /.
Ясно, что со > 0. В противном случае при больших п решение
у = уп (t) при 0 <; / <; sn остается в малой окрестности точки у0,
но тогда невозможно, чтобы уп (sn) -> 0 при п -> оо. Если 0 < со <
< оо, то из теоремы существования Пеано видно, что при больших
п решение уп (t) может быть определено на интервале, содержащем
отрезок 0 <; /<; со, и тогда предел у0 (f) = lim yn (t) существует,
а последовательность сходится равномерно на отрезке 0 <; / ^ со.
Значит, уо (со) = lim уп Eд) = 0. Наконец, если со = оо, то yo(t)
определено для /!>0 и II Уо @ II ^ 8, что, как мы видели выше,
невозможно. Полученное противоречие и доказывает лемму.
Предположение. Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что
решение любой задачи Коши у' = / (у), у @) = у0 единственно.
Пусть С — положительно ориентированная жорданова кривая,
окружающая точку у = 0. Решение у — у (t) уравнения у' — / (у)
называется положительным или отрицательным базисным реше-
решением для С, если у (t) определено или для / ;> 0, или для / <; 0;
у @) в С; у (f) находится во внутренней области С при t Ф О
и является нуль-решением.
Пусть у = у{ (f), у2 @ суть два базисных решения для С. Откры-
Открытое подмножество 5 внутренней области кривой С, ограниченное
точкой у = 0, дугами у = У\ (/), у2 @ и (ориентированной замкну-
замкнутой) дугой С12, идущей от yt @) к у2 @), называется сектором кри-
кривой С (определенным упорядоченной парой у = У\ (f), y2 (t))-
Не исключено, что у^ @) = у2 @), так что дуга С12 кривой С может
вырождаться в точку.
Рассмотрим случай, когда уравнение у' — f имеет решение
У = Уо @> — оо < /< оо, находящееся или во внутренней обла-
области С, или на С при всех /, и у о (t + ^i) ^ У\ (f) для t >- 0,
Уо (/ + ^) = У2 @ Для ' <^ 0 ПРИ некоторых ^, ^2 (<^ ^i); см- Рис- 9.
Точка у = 0 и дуга у = Уо @* —°° < ^< °°, образуют жорда-
нову кривую / с внутренней областью /. Если множество 5 содер-
содержит /, то оно называется эллиптическим сектором. Когда /А = t2
(так что у! @) = у2 @) = у0 (ti)) и С12 сводится к точке у0 (h),
то S есть эллиптический сектор, совпадающий с /. Если tt Ф t2>
то S может содержать точки, не входящие в /. Рассматривая слу-

§ 8. Секторы
201
чаи 1)—5), перечисленные в абзаце, следующем за F.2), видимг
что если у = у (t) есть решение задачи F.1) с у @) 6 Л то у (t)
существует для —оо < t < оо и у (/) ->■ 0 при / -> ± оо.
Сектор S, не являющийся эллиптическим и такой, что в мно-
множестве S\jCl2 нет базисного решения, называется гиперболиче-
гиперболическим; см. рис. 10, а. Из п. (а) следующего ниже доказательства тео-
теоремы 9.1 следует, что одна из граничных дуг у = yt (t), y2(t}
Рис. 9. Эллиптические секторы.
гиперболического сектора является положительным базисным реше-
решением, а другая — отрицательным базисным решением.
Сектор 5, обладающий тем свойством, что обе его граничные дуги
У = У1 @> У* @ являются положительными (или отрицательными)
базисными решениями и замыкание 5 не содержит отрицательно го
а б
Рис. 10. а) Гиперболические секторы, 6) параболические секторы.
(или положительного) базисного решения, называется положи-
положительным (или отрицательным) параболическим сектором (рис. 10, б).
Заметим, что сектор S любого типа (эллиптический, гиперболи-
гиперболический или параболический) может содержать решения у = у (t),
—оо < / < оо, удовлетворяющие условию у (t) ->■ 0 при / -> ± оо.
Такая дуга у = у (t) и точка у = 0 образуют жорданову кривую.
В секторе 5 может существовать даже бесконечное число таких

202 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
орбит с попарно непересекающимися внутренними областями жор-
дановых кривых. Обозначим через Se множество точек из S на таких
орбитах вместе с точкой у = 0 и будем называть Se эллиптической
частью сектора S. Тогда множество Se замкнуто. В случае гипер-
гиперболического и параболического секторов множества 5, Se и С12
не пересекаются.
Гиперболический сектор S должен, а параболический сектор S
может содержать открытые дуги решений у = у (/), имеющих обе
свои конечные точки на С12. Замыкание множества точек у на таких
дугах мы обозначим через Sh и назовем его гиперболической частью
сектора S. Из доказательства п. (а) и (Ь) теоремы 9.1 будет видно,
что у = 0 6 Sh или у = 0 (J Sh в соответствии с тем, гиперболичен
или параболичен сектор S.
Лемма 8.2. Предположим, что функция f (у) непрерывна в одно-
связной области Е, содержащей точку у = 0, причем f @) = 0
и f (у) ф 0 для у Ф 0, и пусть решения задач Коши у' = f (у),
у @) = у0 единственны. Обозначим через С жорданову кривую в Е,
окружающую точку у = 0. Тогда число эллиптических и гиперболи-
гиперболических секторов в С может быть лишь конечным.
Доказательство. Допустим, что лемма неверна. Тогда суще-
существуют точка уо£С и последовательность точек уа) @), уB)@), ...
из С, стремящихся к у0 монотонно вдоль С и таких, что точки
yi2n) @) и yBn+i) @) являются начальными точками соответственно
положительных и отрицательных базисных решений уBп)@ и #B71+1)@-
Значит, решение y = yn(t) находится в секторе с границами у =
= У(п-1уЬ) и */<л+1)@» п>1- Ясно, что пределы у{0) (t) = \imyBn)(t),
■уа) (t) = limyi2n+i)(t), n—>оо, существуют равномерно на отрезках
из интервалов £>0 и t<0 соответственно и являются решениями
уравнения у/ = /. Но как точечные множества дуги y = y{Q)(t)
и y — yA)(t) совпадают. Однако это невозможно, в чем можно
убедиться, рассмотрев у@) (t) при малых />0 и у{1) (t) при малых
£<0. Лемма доказана.
Лемма 8.3. Пусть f (у) и С обладают теми же свойствами, как
в лемме 8.2. Если из внутренней области кривой С удалить замы-
замыкания всех гиперболических и эллиптических секторов, то оставшееся
множество или пусто (относительно внутренней области С), или
является объединением конечного числа попарно не пересекающихся
^параболических секторов.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда сущест-
существуют гиперболические и / или эллиптические секторы, а оставшееся
множество представляет собой объединение конечного числа попар-
попарно не пересекающихся секторов. Нужно доказать, что эти секторы
являются параболическими.

§ 8. Секторы 203
Пусть S — сектор, не содержащий ни эллиптической, ни гипер-
гиперболической частей. Предположим сначала, что одно из граничных
базисных решений у = у^ (/), у% (f) сектора S является положи-
положительным, а другое — отрицательным. Покажем, что это приводит
к противоречию.
Пусть для определенности yi (t) — положительное, а у2 (t) —
отрицательное базисные решения; см. рис. 11. При движении от
Hi @) к уг @) вдоль С12 найдется последняя точка у\ (возможно,
совпадающая с у± @)), такая, что для нее решение y = y\(t) задачи
у' = f(y), y@) = y\ существует и остается в S при t>0 (и, значит,
является положительным нуль-решением). Тогда у*фу2@), по-
поскольку 5 не содержит эллиптических секторов. Двигаясь по С12
от у2 @) к у*, мы найдем последнюю точку у\, такую, что для нее
решение у=-у\ (t) задачи у' = f, у @) = у\ существует и остается в 5
при t < 0. Ясно, что у\ Ф у*, так как в 5 нет эллиптического сектора.
Пусть С*2 есть дуга из С12, соединяющая точки у* и у\. Реше-
Решение y = y*(t) (или yt(t)) с аргументом t, увеличивающимся (или
уменьшающимся) от 0, имеет последнюю точку у^ (или угг) на С,
которая может совпасть с у\ (или yl) и которая находится на дуге
(или точке) кривой С, идущей от #i@) до у* (или от у\ до Уъф*))-
Обозначим через Си (или С22) дугу кривой С, идущую от у{1 до у*
(или от у\ до у22), и С12 = СпиС%2{}С22. Пусть y = yu(t) (или
fe(^)) есть решение задачи y' = f, у@) = Уи (или у22) для t>0
(или ^<0). Тогда существует сектор 5*, граница которого состоит
из точки у = 0, базисных решений y = yu(t), Угг($) и дуги С12.
Так как сектор 5* d S, то он не является эллиптическим.
С другой стороны, нет решения y = yo(t) задачи F.1) с С1г

204 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
(без концевых точек), остающегося в S*[}C12 при t>0 или
Для случая уо£С*2 это ясно из определения концевых точек у*,
у\ дуги С*2. Для г/об Си 11^22 это также очевидно, поскольку
решение, начинающееся в такой точке у0, или выходит за преде-
пределы 5, или является частью решений y = y*(t), #1@» которые при
больших 111 принадлежат не множеству 5*, а его границе.
Значит, сектор S* является гиперболическим. Это противоречие
показывает, что граничные базисные решения у = у^ (t), y2 (f)
не могут быть противоположного типа (т. е. положительным
и отрицательным).
Рассмотрим случай, когда оба граничных базисных решения
У = У\ (О» Уъ @ сектора S являются положительными (или отри-
отрицательными). Тогда если сектор S не является параболическим,
то он содержит отрицательное (или положительное) базисное реше-
решение у = у3 (t). Но в этом случае линии yt (/), у3 (t) и у2 (/), у3 (t)
определяют секторы только что рассмотренного типа. Однако это
невозможно, и потому сектор S является параболическим. Лемма
доказана.
Для того чтобы избежать рассмотрения частных случаев, сделаем
следующее замечание. Если точка у = 0 не является точкой враще-
вращения, то по лемме 8.1 существует по крайней мере одно базисное
решение у ~ У\ (f), если С находится в достаточно малой окрест-
окрестности точки у = 0. Если при этом окажется, что эллиптического
и гиперболического секторов нет, то дуги у = tji (t) и у2 (f) = yt (t)
определяют параболический сектор с С12 = С. Значит, для малой
кривой С, которая окружает точку у = 0, не являющуюся точкой
вращения, внутренняя область С всегда распадается на конечное
число эллиптических, гиперболических и параболических секторов»
Упражнение 8.1. Пусть / и С обладают теми же свойствами, что
и в лемме 8.2. Предположим, что замыкание внутренней области /
кривой С не содержит периодических решений. Покажите, что
тогда найдется точка у0 £ С, такая, что решение Со: у = у о @
задачи F.1) существует и остается в / или при / ^> 0, или при
/ <; 0. Значит, у0 (t) есть или нуль-решение, или спираль вокруг
у = 0, такая, что Q (Со) или А (Со) содержит решение у = у (t)y
—оо<^<сю, являющееся одновременно и положительным,
и отрицательным нуль-решением.
§ 9. Стационарная точка общего вида
Целью этого параграфа является доказательство следующей
теоремы.
Теорема 9.1. Пусть функция f (у) непрерывна в односвязной обла-
области Е, содержащей точку у = 0, и пусть f @) = 0, / (у) Ф 0 для
уФ 0 и решения задач Коши F.1) единственны. Пусть С — жорда-

§ 9. Стационарная точка общего вида 205
нова кривая, расположенная в достаточно малой окрестности точки
у = 0 и окружающая эту точку, пе — число эллиптических и nh —
число гиперболических секторов для С. Тогда индекс jf @) точки
у = 0 определяется равенством
2jf@) = 2 + ne-nh. (9.1)
Ясно, что пе = nh = 0 и // @) = 1 для случая точек вращения
у = 0, так что формула (9.1) для них справедлива, и дальше эти
точки рассматриваться не будут. Значит, можно считать, что внут-
внутренняя область кривой С представляет собой объединение эллип-
эллиптических, гиперболических и параболических секторов.
Доказательство. Кривая С будет заменена далее кусочно С1-глад-
С1-гладкой жордановой кривой С, окружающей точку у = 0 и состоящей
Рис. 12.
из дуг решений и их ортогональных траекторий, как это показано
на рис. 12, где Е, Я, Р представляют соответственно эллиптиче-
эллиптический, гиперболический и параболический секторы. Если т] — каса-
касательный вектор кС'и/ — дуга кривой С' с неугловыми концевыми
точками, то в нашем доказательстве число 2я/л (J) будет обозна-
обозначать «вклад» дуги J в 2я/л (С) = 2я, т. е. это число будет давать
угол поворота касательной т] вдоль J с учетом угловых точек в соот-
соответствии со следствием 2.1. Кроме того, //@) =//(С).
Если L—дуга, соединяющая точки Л и В, то символы [АВ],
(АВ) и т. д. будут означать соответственно замкнутую дугу, откры-
открытую дугу и т. д. Пусть для каждого сектора с граничными базис-
базисными решениями у = yt (/), у2 (f) точки At = yt (+е0) для фикси-
фиксированного 80 > 0, где знак «плюс» или «минус» выбирается в соот-
соответствии с тем, положительно или отрицательно базисное решение
Уь (О-

206 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
а) Гиперболические секторы. Пусть S — гиперболический
сектор, определенный кривыми у = у± (/), у2 (/). Для определенно-
определенности предположим, что у = z/i @ является положительным базисным
решением. Тогда At = у± (+ е0), где е0 > 0. Ясно, что Л4 $ Se —
эллиптической части сектора S. Так как Se замкнута, точки у £ S,
близкие к Ai9 также не принадлежат Se.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
y' = g(y), где g = (-f2(y),P(y)), (9.2)
ортогональных траекторий решений уравнения у' = /. Пусть Li =
= [AiBi\9 i = 1, 2, есть дуга решения уравнения (9.2) с начальной
точкой Лг-, такая, что (Л^В^ cz S \ Se\ см. рис. 13. Покажем^
что если дуга Li = Wi5j достаточно коротка и у0 6 (^iBj^
то решение у = у0 @ задачи у' = f, у (е0) = у0 существует и
Уо @ 6 5 на отрезке ео<; ^^ /*, причем у0 (t*) есть единственная
точка решения у = у0 (/), принадлежащая дуге L2 = Dа5а],
и у0 (/*) -> Л 2 при #о -> Л i.
Пусть Т>0, е > 0. Тогда по теореме V.2.1 найдется
такое б = б (е, Т)> 0, что из неравенства \\у0 — Л4 || < б
следует существование у0 (f), удовлетворяющего условию*
II Уо Ь) — Ух (/) ||< е для 80 < t < Г. В частности, у0 @ 6 S для
£о-< ^< 71, если Г и 1/е достаточно велики. Пусть t1 = t1 (y0)
есть наименьшее значение t> e0, при котором у0 (^) 6 Ci2, так что
t1 > Т. Из того, что сектор S гиперболичен и j/0J Se, следует
существование такого t\ Ясно, что t1 (у0) -> оо при #<>-*■ ^i-

§ 9. Стационарная точка общего вида 207"
Выберем уои Уо2> • • • так, чтобы уОп 6 (Л^], А{ = lim уы>
и чтобы существовал предел у0 = lim r/0/i (t1) 6 Ci2, я-> оо, где-
уOn (t) есть решение, определяемое начальным условием Уо = Уоп>
а Р- = t1 (уon)- Значит, решение у-п @ = Уоп (t + f1) существует
и находится в 5 (J С42 для — /^/^0 и у-п @) —>■ #° при п —>- оо.
По теореме V.2.1 на каждом ограниченном интервале — Т<; /< О
существует равномерный предел г/_ос @ = lim y^n @> который
является решением задачи у' = f, У @) = г/° @) 6 Ci2> причем*
г/_оо @ 6 5 для ^<;0. Так как сектор 5 гиперболический, то-
у_оо @ при больших —/ находится на границе этого сектора,
у_оо (t — t0) = у2 (t) для t < 0, где #_оо (—^о) есть последняя:
точка решения у-оо (/), принадлежащая С12 при убывании ^от нуля.
Отсюда следует, что в соответствии с тем, будет ли /0 > 0 или»
to = 0, точка #0 (^ — ^о) или у о (t1) стремится к у2 @) при у0 —>■ Ль
В частности, если у0 достаточно близка к Ль то существует наи-
наименьшее значение t* > е0) ^* = ^* (Уо), такое, что у0 (/*) £ L2 =
= (Л2£2]. Кроме того, у0 (/*) ->■ Л2 при #0->- Л4.
Пусть дуга Li = Wi5J так мала, что /* (#0) существует дляг
всех у0 6 Li. Выберем точку В2 равной у0 (t*) при у0 = £ь см.
рис. 13. Обозначим через Ct внутреннюю точку дуги [АгВг], а через.
/ дугу CiBiB2C2, состоящую из части ортогональной траектории
Li, дуги решения у = Уо @, соединяющей точки 54 и В2, и части
[С2В2] дуги L2. Легко видеть, что в этом случае
2njf (J) = 2я/Г( (J) - я. (9.3>
Действительно, угол между г] и / на [Ci5j) равен я/2. Далее он изме-
изменяется до нуля при прохождении через В\ и равен нулю на (BiB2).
Потом при прохождении через В2 он скачком изменяется до —я/2'
и остается равным этому значению на (В2С2]. В итоге мы получаем,
что 2я [jf (J) — j^ (J)] = — л/2 — я/2 = — я, т. е. (9.3). Если
У\ (t) — отрицательное, а у2 (t) — положительное базисные реше-
решения, то формула (9.3) все равно остается справедливой.
Ъ) Параболические секторы. Пусть S — параболический сек-
сектор и, для определенности, положительный, так что А% есть точка
#«(е0), гДе 8о> 0.
Заметим, что у = 0 (Jj Sn — гиперболической части сектора S.
В противном случае рассуждения п. (а) показывают, что тогда
в 5 U С\2 существует отрицательное базисное решение. Кроме
того, если уфО есть точка из Se, то y$Sn по определению Se
и Sh- Значит, множество Se (] Sn пусто, так что расстояние
dist (Se, Sb) > 0. Ясно, что пересечение Se П С\2 также пусто.
Далее, уг (t) $ Se для i = 1, 2 и t > 0, так как в противном случае
Уг @ 6 Se для i — 1 или 2и/>0и, в частности, уг @) 6 С12 П Se>
а это невозможно. Аналогично yi(t)&Sn для t = 1, 2 и />0,
так как в противном случае yt (t) £Sh для i= 1 или 2 и всех />-0 и^
в частности, предельная точка у = 0 6 S&.

208 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Если Sh не пусто, то найдутся точки у0 6 S, для которых реше-
решение у = Уо{() задачи F.1) на некотором отрезке а_^/^а+
таково, что у0 (/) £ 5 для а_</<а+иу0 (<х±) 6 Си- Дуга реше-
решения у = Уо @, а_ ^ /^ а+, и соответствующая дуга кривой
Ci2, соединяющая точки yQ (a±), образуют жорданову кривую.
Существует конечная или бесконечная последовательность из таких
максимальных жордановых кривых Ji9 J%, ... (максимальных
в том смысле, что их внутренние области являются попарно не пере-
пересекающимися, а объединение Ju /2, ... с их внутренними обла-
областями содержит множество Sh П S); см. рис. 14. Множество точек
из Ci2, не принадлежащих никакой жордановой кривой Jn, вместе
с точками замыкания дуг Jn (] S образует жорданову дугу С12 с=
c(S U Ci2), соединяющую точки у^ @) и у2 @). Обозначим через
S' внутреннюю область жордановой кривой, состоящей из С'12,
точки у = 0 и кривых у = уг (t) для 1=1,2 и t >- 0.
Если Sh пусто, то положим S = S' и С42 = Cj2. Тогда незави-
независимо от того, пусто Sh или нет, Se П 5', так что Se fl Q2 пусто.
Значит, существует ломаная Р: у = р (s), 0 <; s<; 1, соединяющая
точки Ai = р @), Л2 = р A) и /7 (s) e S' \ Se для 0 < s < 1.
Если 0 < s < 1, то решение у = ys (f) задачи Коши у' = /,
у @) = р (s) таково, что ys (f) 6 5 для />0 и j/s (—<s) 6 С12 Для
некоторого 4 > 0. Проведем через каждую точку р (s) 6 Р открытую
ортогональную траекторию L, т. е. дугу решения уравнения (9.2),
проходящую через точку у = р (s), такую, что замыкание дуги L
содержится в S'\Se. Пусть в случаях р @) = Ai и р A) = А2

§ 9. Стационарная точка общего вида
209
соответствующие дуги L будут полузамкнутыми и имеют Л*
в качестве своих концевых, а не внутренних точек.
Ортогональные траектории L могут быть взяты такими корот-
короткими, чтобы^они полностью лежали в S' \ Se. Отсюда будет сле-
следовать, что] решение у = у0 (t) задачи #' = Д у @) = у0 £ L
существует и остается в 5 для /!>0 и пересекает С при некото-
некотором / < 0.
Множество ортогональных траекторий L можно рассматривать
как «открытое покрытие» s-множества O^s^ 1 в том смысле, что
s «содержится» в L, если одна из дуг у = ys (f), 0< /^ /s или
—■ f <С ^-^0, находится в S и содержит некоторую точку из L.
Если's0 «содержится в L», то s, близкое к s0, также «содержится
в L». Значит, по теореме Гейне — Бореля существует конечное
множество U = [А1 В1), L2 - [А2 В2), L3 - [Л3 В3), . . . этих
дуг, такое, что каждое решение у = ys (t) пересекает по меньшей
мере одну из дуг Lu L2, . . . в некоторой точке f (= 0); в этом
случае ys (f) 6 S для t ;> f.
Пусть Ai = y(i), у'B), ..., У(п)==Л2 суть концевые точки дуг
L4, L2, ... . Решение y(fe) @ задачи Коши y' = f(y), у(О) = У(к)
существует и находится в 5 при />0. Кроме того, так как
У(К) £S'\Se, найдется наименьшее t = tk>0, такое, что Pk =
= y(k)( — tk)(zC. Значит, y(k)(t — tk), t>0, является положитель-
положительным базисным решением. После надлежащего изменения нумерации
можно считать, что Pi^y^O), P2, ..., Рп = У2Ф) упорядочены
на С и что Pt^=Pj при 1Фу, см. рис. 15.
Каждая пара решений у = y(k)(t — tk), y = y(k+i)(t — tk+i) опре-
определяет сектор Sk, являющийся подсектором S. Пусть s0 — наиболь-
наибольшее s-значение, 0<s<l, такое, что p(s) встречает дугу у =
14—241

210 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
= y{k)(t — tk)i и Si —наименьшее s-значение, Si>s0, такое, что р(sj
находится на дуге y = y{k+i)(t — tk+i). Тогда y = ys(t) (s фиксиро-
фиксировано, s0 < s <C Si) находится в S& и имеет общую точку по крайней
мере с одним из множеств L1? L2, ... . Так как концевые точки
дуг Li9 L2, ... не принадлежат 5д, то найдется по крайней мере
одна дуга из последовательности Lu L2, ..., которая пересекает
каждое решение y = ys(t) для so<s<Si. Значит, существуют
замкнутые дуги ортогональных траекторий L1, ..., L^, каждая
из которых является частью одной из замкнутых дуг L4, L2, ...,
причем V соединяет точки y = y(k)(t — tk) и y = y(k+i) (t — tb+d-
Можно считать, что L1 начинается в Аи a LN~{ заканчивается
в Л2, т. е. L1 = [AiBi], LN-i = [B2A2].
Пусть С1? С2 —внутренние точки дуг L1, LN~l и / — дуга,
соединяющая точки С4 и С2 и составленная последовательна
из дуг L1, y = yB)(t — t2), L2, y = yC)(t—t3), ..., y=y(N-i)(t—tN-i),
Z-74. Проверим, что
2njf{J)^27ijX](J). (9.4)
Заметим, что касательный вектор т] к / в точке у £ Lk имеет
направление dbg (у), где g(y) определяется по (9.2), а знак «плюс»
или «минус» не зависит от k. (Это можно показать следующим
образом. Предположим, что g (у) направлено в точке ЛА внутрь Sf,
тогда ясно, что g (у) в Bi направлено в S2- По непрерывности оно
остается направленным в S% и вдоль решения у = у^) @> а значит,
будет таким и в начальной точке дуги L2, лежащей на у = #2 (/).
Аналогично, в концевой точке дуги L2 на у = //(з> @ оно направлено
в S3. Продолжая это рассуждение, получаем, что выбор знака
не зависит от k.)
Следовательно, значение синуса угла от т] к / равно -р 1, и пото-
потому угол имеет вид 2пп =F я/2, где я — целое число, а знак +
не зависит от k. На L1 id [CiBJ угол от т] к / равен я/2 (так что
на L2, . . ., LN~i он имеет вид 2пп + я/2). На части кривой J,
состоящей из дуги решения у — у\2) (t — t2), угол от ц к / равен
0 или я. Значит, на L2 он равен я/2. Продолжая это рассуждение
дальше, видим, что на каждой дуге V угол от ц к / равен я/2. Сле-
Следовательно, 2я [jf (J) — /л (J)] = я/2 — я/2 = 0, т. е. равенство
(9.4) доказано.
Легко убедиться, что в случае отрицательного параболического
сектора S подобная конструкция также приводит к соотноше-
соотношению (9.4).
с) Эллиптические секторы. Пусть S — эллиптический сектор
с граничными решениями у = z/i (/), у2 (t), которые являются
дугами некоторого решения y = yo(t), —оо</<сю, лежа-
лежащего в 5. Предположим, что описанные выше построения проде-

§ 9. Стационарная точка общего вида
211
ланы для всех гиперболических и параболических секторов. Так
как эллиптический сектор является смежным с гиперболическим
или параболическим секторами, то найдутся дуга Mg^J решения
У = Уо @ (содержащая внутри себя точки yt @) и у2 @)) и две
дуги [С2Л2), (AiCi] ортогональных траекторий, лежащие соответ-
соответственно во внутренностях двух смежных с S секторов; см. рис. 16
и 17. Если J есть дуга [С2С\\, состоящая из дуги ортогональной
траектории [С2Л2), дуги решения W2-4J и дуги ортогональной
траектории (^iCj, то
. (9.5)
Действительно, на дуге [С2А2), представленной на рис. 16
(или рис. 17), угол от т] к / равен —я/2 (или я/2); на дуге (A2At)
Рис. 17.
он равен 0 (или я), и, наконец, на (AtCtl он становится равным
я/2 (или Зя/2). Значит, 2я [jf (J) — /л (J)] = я/2 — (— я/2) = л
(или Зя/2 — я/2 = я), так что соотношение (9.5) доказано.
d) Завершение доказательства. В построениях частей
(а) и (Ь) для всех гиперболических и параболических секторов
было использовано одно и то же число е0 > 0. Значит, если базис-
базисное решение у = у (t) находится на границе двух таких смежных
секторов, найдется ортогональная траектория [С^С^, пересекающая
решение у = у (t) в некоторой точке Л. Тогда ясно, что для дуги
/ = [Cod]
it(J) = h(J). (9.6)
Значит, если сложить соотношения (9.3), (9.4), (9.5) и (9.6)
по всем дугам J, то мы получим, что 2njf @) = 2я — zmh + ппе>
где слагаемое 2я в правой части равно 2я 2 /л («О по теореме
(об индексе) 2.1 и ее следствию 2.1. Формула (9.2) доказана.
Замечание (которое относится в сущности к следующему ниже
упражнению 9.1). Предположение теоремы 9.1 о «единствен-
14*

212 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
ности решения задачи у' — f (у), У @) = у о» может быть ослаблено
до требования «единственности решения задачи у' = f (у), У @) =
= yOf y0 ф 0». (Это требование подразумевает очевидные измене-
изменения определений «базисного решения», «эллиптического, гипербо-
гиперболического и параболического секторов».) Действительно, заменим
уравнение у' =\f (у) уравнением у' = h (у), где h (у) = || у \\ f (у).
Очевидно, индексы // @) и jh @) равны. Ясно также, что дуга
У = У @> гДе У (О Ф 0» является решением уравнения у' = f (у)
в том и только том случае, когда она становится решением урав-
уравнения dy/ds = h (у) после замены параметра t -+■ s, где ds =
= dtl || у (t) ||. Значит, числа пе и nh одни и те же для обоих урав-
уравнений у' = f (у) и у' = h (у). Наконец, так как у' = h влечет
за собой неравенство || у' ||<; || у || для малых || у ||, мы получаем,
что у = 0 есть единственное решение задачи yr = h (у), у @) = 0.
Упражнение 9.1. Пусть U (у) — вещественная функция класса
С1, определенная для || у ||< &, такая, что С/ @) = 0 и grad g (у) =
= (dUIdy1, dU/dy2) обращается в нуль только в точке у = 0.
Значит, если f (у) = (dU/dy2, —dU/dy1), то U будет постоянной
на'решениях уравнения у' = f. Покажите, что или (i) существует
такое е > 0, что U (у) Ф 0 в 0<||у||<<е, или (И) множество
дуг в области 0 <С || у || <С &, которые соединяют точку у = 0
с II У II — е и на которых U = 0, состоит из конечного (четного)
числа 2д дуг, 2д > 0; кроме того, // @) = 1 — п. [Замечание:
задачи Коши у' = f (у), У @) = у0 ф 0 имеют единственные реше-
решения. (Почему?) Случай i) имеет место, когда точка у = 0 является
точкой вращения, и тогда она будет центром. Это бывает, когда U
имеет в точке у — 0 строгий локальный минимум или максимум.
Случай (и) имеет место, когда точка у = 0 не является точкой
вращения, и тогда ни для какой жордановой кривой С, окружаю-
окружающей точку у = 0, секторы не могут быть эллиптическими и пара-
параболическими.]
Теорема 9.2. Пусть функция f (у) непрерывна в односвязной
области Е и такова, что решения задач Коши F.1) единственны.
Пусть С — положительно ориентированная Сх-гладкая жорданова
кривая в Е, обладающая тем свойством, что f (у) Ф 0 на С и вектор
f (у) касается С только в конечном числе точек уи . . ., уп из С.
Пусть пе и nh обозначают число тех точек уи где дуга решения
у = у (t) задачи у' = /, у @) = yt при малых \ t \ касается С
в точке ух соответственно изнутри и извне (так что пе + nh ^
< п). Тогда 2// (С) = 2 + пе — nh.
Говорят, что дуга решения у = у (f) задачи у' = /, у @) =
= ух 6 С касается С в точке yt изнутри (или извне), если существует
8 > 0, такое, что у (f) при 0 << | t \ <! е расположено во внутренней
(или внешней) области кривой С.

§ 9. Стационарная точка общего вида 213
Доказательство. Пусть к\ обозначает положительно ориентиро-
ориентированный касательный вектор к С. Если пе = nh = О, то ясно, что
угол между т] и / при движении вдоль С не переходит через значения
О (mod я). Тогда целые числа // (С) и /V, (С) равны. Так как /^ (С) =
= 1 по теореме 2.1, то отсюда следует, что 2jf (С) = 2, если пе =
= nh = 0.
с
си
Рис. 18.
Следовательно, можно считать, что одно из чисел пе и nh отлично
от нуля. Точку у0 6 С мы будем называть эллиптической (или гипер-
гиперболической), если дуга решения касается С в точке у0 изнутри
(или извне). Поэтому пе (или nh) равно числу эллиптических (или
гиперболических) точек.
Пусть / = [АВ] — дуга кривой С, концевые точки А и В кото-
которой являются эллиптическими или гиперболическими, причем на С
нет других эллиптических и гиперболических точек. Тогда в ее
внутренней точке у0 6 J дуга решения пересекает С в точке у0
в направлении, не зависящем от у0 (из внутренности во внешность
или из внешности во внутренность). Рассматривая угол между ц
и /, мы видим, что 2njf (J) — 2Я/-Р (J) равен или —я, или 0, или д.
Если одна из точек А и В эллиптическая, а другая гиперболи-
гиперболическая, то ориентации / (у) и касательного вектора т] в обеих точках
А и В или совпадают, или противоположны; см. рис. 18, а. В этом
случае 2njf (J) — 2nj^ (J) = 0.
Если обе точки А и В эллиптические или обе гиперболические,
то / (у) и г\ имеют одинаковую ориентацию в одной из точек А к В
и противоположную в другой. В этом случае 2njf (J) — 2я/т] (J) =
= ± я. Предоставляем читателю проверить, что разность 2я// (J) —
— 2Я/-Р (/) равна я или —я в соответствии с тем, эллиптичны или
гиперболичны обе точки Л и В; см. рис. 18, б.
Значит, если пе (J) и nh (J) обозначают число @, 1 или 2) эллип-
эллиптических и гиперболических концевых точек дугид/, то во всех
случаях
2я/, (/) = 2я/„ (/) + 4 [п* (J) - nh (J)].

214 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Суммируя это соотношение по всем дугам /, получаем требуемый
результат, так как
§ 10. Уравнения второго порядка
В этом параграфе (следствие 10.1) мы укажем некоторые при-
применения теоремы Пуанкаре — Бендиксона, которые связаны с урав-
уравнением второго порядка
u' + h(u,u')u'+g(u) = 0 A0.1)
для вещественной функции и. Это уравнение эквивалентно сле-
следующей автономной системе первого порядка
u' = v, v'= — h(u, v)v — g(u). A0.2)
Если произведение ug(u)>0, то член g (и) в A0.1) называется
«упругой силой» (по аналогии с уравнением гармонического осцил-
осциллятора и" + и = 0). Если h> 0, то «сила сопротивления», член
hu\ стремится уменьшить скорость | и' | (как в уравнении и" +
+ Ни! = 0 с постоянной h > 0). Следующую теорему можно интер-
интерпретировать так: если упругая сила и сила сопротивления не слиш-
слишком малы, то решения уравнения 10.1 ограничены.
Теорема 10.1. Пусть g (и), h (и, v) — вещественные непрерывные
функции, определенные для всех и, v и обладающие следующими
свойствами:
[) решения системы A0.2) однозначно определяются начальными
условиями9,
п) существует число а > 0, такое, что
ug{u)>® nPu \и\>а, A0.3)
g(r)dr->oo, |и|->оо; A0.4)
Ъ
iii) существует число т>0, такое, что
h(u, v)>—т при \и\<£а, — оо<у<оо; A0.5)
iv) если h0 (и) = inf h(u, v) для — оо < v < oo, то
hQ(u)>0 при \и\>а, A0.6)
Ъ
A0.7)

§ 10. Уравнения второго порядка 215
Тогда существует жорданова кривая С, ограничивающая некоторую
область Е, содержащую начало координат, такая, что на С нет
точек выхода г) для области Е, а если и (t)f v (t) есть решение систе-
системы A0.2), начинающееся в момент t = 0, то и (t), v (t) существует
при всех t ^> 0 и (и (f), v (t)) 6 Е при больших t.
Достаточным условием выполнения свойства iv) является суще-
существование числа М>0, такого, что h(u, u)>M>0 для |а|>а,
— оо<у<оо. Отметим, что в приводимом ниже доказательстве
условие iv) используется не полностью и требуется лишь, чтобы
(a) h(u,v)>0 для \u\>a\ (b) h°(u)>0 для и>а, где А°(и) =
и
= inf (и, и) по и< — v0; (с) Л1(а)>0 для и>а и j h1 (r)dr —>оо
а
при м—>оо, где A1(«) = infА(«, и) по и>ио>О с некоторым
фиксированным ио«
Доказательство. Вдоль дуги решения u(t), v (t) системы A0.2)
имеем
%L=-h(u, v)—^-. A0.8)
du v ' ' v x '
Далее и\ v' будут означать производные в A0.2), a dv/du — про-
производную в A0.8). Пусть |g"(^)|<& для |м|<а. Тогда из A0.5)
и A0.8) мы получаем, что
^<т + ~<2т, если |tt|<af |»|>^-. A0.9)
Пусть ф (и) — положительная непрерывная возрастающая функция
от а>а, такая, что
ф (и) > ^ у. И ф(^)-^оо При U-^oo. A0.10)
Тогда из неравенств t/< — ф (и) < — g (и)/ho (и) следует, что и
Л (а, у) >ho(u)> — g (u)/v и потому
•^-<0, если и>а, и<— ф(«). A0.11)
Рассмотрим дуги
Ca:-^ + G(^) = a для |w|>a A0.12)
при больших значениях а > 0. Эти дуги расположены симметрично
относительно м-оси. Часть каждой такой дуги и отрезок линии
и = а (или и = — а) образуют жорданову кривую, ограничиваю-
ограничивающую некоторую область Е+(а) (или £_ (а)); см. рис. 19. Вдоль
См. определение в § II 1.8.— Прим. перев.

216
Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендаксона
решения и (t), v (t) системы A0.2) функция ty (t) = v\f)l2 + G (и (t))
имеет производную г|/ = v (—to — g) + gv = — h (и, v) v2 < 0,
если \ и (t) | >- a, v(f) ф 0. Значит, функция if (t) убывает, так что
Рис. 19.
дуга и = и @, v = v (t) входит в Е± (а) при увеличении t сразу же
после пересечения с граничной кривой Са области Е±(а) и остается
в Е±(а) до тех пор, пока \ и (t) | ]> a.
Рис. 20.
Для удобства перенесем построения, связанные с С, на рис. 20.
Буква на этом рисунке обозначает или точку, или одну из еекоор-

§ 10. Уравнения второго порядка 217
динат; например v2 обозначает или точку (a, v2), или ординату v2.
Выберем а > а столь большим, чтобы
<р(а)>^- и т>2/и- A0ЛЗ>
Выберем а так, чтобы дуга Са проходила через точку А =
= (а, —ф (а)); например, а = ф2 (а)/2 + G (а). В частности, Са
проходит через точку (и, v) = (от, ф (а)). Пусть т > 0 обозначает
точку, где Са пересекается с и-осъю.
Пусть и0 (t), v° (f) есть решение системы A0.2), определенное
начальными условиями (и0 @), v° @)) = (т, 0). Когда t убывает
от нуля, и0 (t) убывает, a v° (t) возрастает до тех пор, пока и0 (t)
не примет значения а в некоторой точке t = t2 < 0. Это вытекает
из соотношения vr = — to — g ^ — g" <C 0, так как из него сле-
следует, что и' = и > 0, пока м >- а. Обозначим через С0 дугу (а, и) =
= (м° @, £>° @)- В силу приведенных выше рассуждений часть
дуги С0 для t2 <; t <; 0 имеет с Са только одну общую точку т.
В частности, если v° (f) = vt при a0 (Q = а и если v0 = ф (а), та
^! > 0О- Кроме того, на С0, согласно A0.8), dv/du <; — А («, у) <;
<; — Ао (м) при а <; w <; а. Значит, если и2 = v° (t2), то
. A0.14)
Положим у = ^о + Я (а)/2 < v2 — Я (а)/2. Тогда тангенсы угла
наклона прямолинейных отрезков, соединяющих у с v2 и у с —ио>-
равны по меньшей мере -|- Н (в)/2а и поэтому превосходят 2т,
в силу A0.13). Определим число Р равенством Р = у2/2 + G (а),
так что дуги С$ будут проходить через точки ± 7-
Пусть С обозначает жорданову кривую, состоящую из дуги
С0 от т до у2, прямолинейного отрезка от v2 до у, дуги Ср от y до
—7» прямолинейного отрезка от —у до —v0, горизонтального-
отрезка от —vQ до Л и дуги Са от А до т. Пусть £ — внутренняя
область кривой С.
Убедимся сначала, что точки кривой С, за исключением точек
на С0, являются для Е точками строгого входа. Для этого достаточ-
достаточно проверить, что дуги решений системы A0.2), достигающие пря-
прямолинейных отрезков на С, пересекают С так, как указано на
рис. 20. Это ясно для горизонтального отрезка, соединяющего*
—v0 и А, так как там и! = v < 0 и dv/du <C 0 согласно A0.11),
а ф (и) монотонна (при и^а). Угловой коэффициент отрезка,,
соединяющего —у с —v0, равен Н (а)/4а > 2т, в то время как
вдоль этого отрезка и' = v < 0, dv/du <2тв силу A0.9), посколь-
поскольку v0 = ф (а) >- Ыт согласно A0.13). Аналогично, угловой коэф-
коэффициент отрезка, соединяющего у с v2, больше чем 2т, и на нем*
у > v0 ;> Ыт, так что и' = v > 0 и dv/du <; 2m.

218 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Остается показать, что каждое решение и (t), v (t) системы
{10.2), начинающееся с t = 0, существует для всех />0 и что
{и (t), v (t)) 6 Е для больших t. Для этого сначала обозначим а
через о о, а жорданову кривую С через С (а0). Тогда для каждого
о >- (т0 описанное выше построение дает жорданову кривую С (о)
и ее внутреннюю область Е (а). Множества Е (а) возрастают вместе
с а, а объединение U = U С (а) при о > о0 находится во внешней
области С (а0). Пусть и (f), v (t) есть решение системы A0.2),
начинающееся в некоторой точке из U при / = 0. Пока (и (t), v (t))
•остается в U, для каждого t существует единственная функция
or = a (t), такая, что (и (t), v (f)) £С (о (t)) и а (t) является невоз-
растающей функцией от t. Отсюда следует, что (и (t), v (t)) сущест-
существует для всех t >- 0; см. следствие П.3.2.
Допустим, что и (/), v (t) никогда не входит в Е (а0), так что
0 (t) ;> а0 для всех t ;> 0. Пусть о^ = lim а (t) при tf-> oo. Тогда
(и (t)y v (t)), когда t увеличивается, подходит как угодно близко
к С (Oi). В этом случае, однако, ясно, что (и (f), v (t)) 6 Е (а4)
для произвольно больших t. Но тогда a (t) < a4 при больших t,
что противоречит монотонности а (t). Теорема доказана.
Следствие 10.1. Предположим, что выполнены условия теоремы
10.1 и, кроме того, g (и) Ф 0 для иФ 0 (так что ug (и) > 0 для
и Ф 0 и начало координат есть единственная стационарная точка
для системы A0.2)), и допустим, что начало координат ни для
какого решения системы A0.2) не является (^-предельной точкой.
Тогда система A0.2) имеет периодическое решение (и0 (f), v0 (t)) щк 0,
асимптотически орбитально устойчивое извне при t-+ oo, а внут-
внутренняя область жордановой кривой и = и0 (t), v = v0 (t) содержит
начало координат.
Доказательство. Если для какого-либо решения (и (/), v (t))
начало координат не является со-предельной точкой, то из теоремы
Пуанкаре — Бендиксона (теорема 4.1) следует, что множество
•его со-предельных точек является периодическим решением
(ио @» уо @)> поскольку (и (t), v (t)) 6 Е при больших t.
Жорданова кривая и = uQ (t)> v = v0 (t) содержит внутри себя,
по теореме 3.1, начало координат. Отсюда также следует, что если
существуют два периодических решения, то одна из соответствую-
соответствующих жордановых кривых содержит в ее внутренней области дру-
другую. Так как все периодические орбиты содержатся в компакте
Е U С, то существует единственное периодическое решение и0 (f),
v0 (f), такое, что жорданова кривая Со: и = и0 (t), v = vQ (f) содер-
содержит все периодические решения в своей внутренней области.
Периодическое решение и0 (t), v0 (t) асимптотически орбиталь-
орбитально устойчиво извне при t -> oo. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
решение и (f), v (/), выходящее при t = 0 из некоторой точки,
принадлежащей внешней области кривой Со. Поскольку начало

§ 10. Уравнения второго порядка 219
координат не является для решения и (t), v (t) (по условию) со-пре-
дельной точкой, множество его «-предельных точек составляет
периодическую орбиту (теорема 4.1), которая необходимо совпа-
совпадает с Со. Значит, наше утверждение следует из теоремы 5.2.
Упражнение 10.1. (а) Пусть g (м), h {и, v) непрерывны для
всех и, v, и пусть е (t) непрерывна для всех t. Предположим, что
решения уравнения
и" + h {и, и') и! + g(u) = e @ A0.15)
определяются начальными условиями однозначно. Пусть сущест-
существуют положительные постоянные а, е0, т, М, такие, что
(i) h (и, v)^M для | и | > а, | v | > a; (ii) h (и, v) > — т для
всех и, v; (iii) \e (f) \**С eQ для всех t\ (iv) ug (и) > 0 для больших
| и | и lim | g (и) | > та + е0 при | и | -> оо. Тогда на (и, ^-пло-
^-плоскости существует жорданова кривая С, такая, что если и (t) есть
решение уравнения A0.15), начинающееся при t = to> то и (t)
существует для t ;> t0, точка (и, v) = (и (/), и' (f)) при больших t
принадлежит внутренней области Е кривой С и (и (t), и! (t)) не мо-
может выйти из Е при увеличении t. (b) Если, кроме того, е (t) перио-
периодична с периодом р > 0, то уравнение A0.15) имеет решение перио-
периода р. См. Опяль [7].
Упражнение 10.2. Покажите, что теорема 10.1 остается спра-
справедливой, если в ней условие (iii) усилено так: h (и, v)^>m>0
для | и | ^ а, — оо<;а<;оо, а условие (iv) ослаблено так:
h (и, v)^-0 для | и | >- а.
Частным случаем уравнения A0.1) является уравнение
u"+h(u)u' +g(u) = 0. A0.16)
Если g (и) = и, то A0.16) называется уравнением Льенара. Изящ-
Изящные простые рассуждения показывают, что при некоторых условиях
уравнение A0.16) имеет периодическое решение, которое является
единственным (с точностью до сдвигов по независимому перемен-
переменному f). Уравнение A0.16) мы будем рассматривать как систему
первого порядка
u' = v-H(u), v=-g{u), A0.17)
где
и и
H(u)=\h(r)dr и G(u)=\g(r)dr. A0.18)
о о
Теорема 10.2. Пусть h (и), g (и) непрерывны для всех и и обла-
обладают следующими свойствами: (i) решения системы A0.17) опре-
определяются начальными условиями однозначно; (ii) h (и) = h (—и),
т. е. функция h (и) четная; Н (и) < 0 для 0 < и<С а, Н (и) > 0
и возрастает для и> а, Н(и)-+оо при и-+оо; наконец, (iii)

220
Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
g (и) = —g (—и), т. е. функция g (и) нечетная, и ug (и) > О
для ифО. Тогда система A0.17) имеет ровно одно периодическое
решение (uQ (f)> v0 (t)) щк 0 с точностью до сдвигов по аргументу
t1), и это решение асимптотически орбитально устойчиво (извне
и изнутри) при t-+- оо.
Конечно, (и (/), v (f)) является (периодическим) решением систе-
системы A0.17) в том и только в том случае, когда и (t) является (перио-
(периодическим) решением уравнения A0.16).
Доказательство. Функции в правых частях системы A0.17)
являются нечетными функциями от (и, v), так что если и (t), v (t)
/v=H(u)
Рис. 21.
есть ее решение, то —и (f), —v (t) тоже будет решением. Каса-
Касательная к дуге решения и (/), v (f) горизонтальна в точке (и, v)
тогда и только тогда, когда и = 0, и вертикальна тогда и только
тогда, когда v = Н (и).
Последующие рассуждения иллюстрируются рисунком 21. Вдоль
решения, начинающегося в точке vi > 0, и (t) возрастает, a v (t)
убывает до тех пор, пока не станет равной Я (и), скажем в точке у.
После этого и (f) убывает, v продолжает убывать, и решение остается
ниже кривой v = Н (и) до тех пор, пока не пересечется с а-осью,
скажем в точке v = v2. В противном случае решение имело бы гори-
горизонтальную касательную в точке, где и Ф 0, или v стремилось бы
к —оо, когда и стремилось бы к конечному значению, а это невоз-
невозможно, так как
Из соображений симметрии ясно, что продолжение этого реше-
решения замкнется в том и только в том случае, когда v2 = — v±. Оче-
г) То есть с точностью до замен t ->■ t + t0.— Прим. перге.

§ 10. Уравнения второго порядка 221
видно, мы можем начать движение с любой точки y> т. е. точки
(у, Я (у)), и определять точки v± или v2, двигаясь вдоль соответ-
соответствующего решения при убывании или увеличении t. Положим
ф G) = (р\ — vl)/2. Тогда, если ф (и, v) = vV2 + G (и),
ф(?)= J
где криволинейный интеграл берется вдоль дуги решения от точки
fi до у2 (через у).
Если 0 < у <; а, то <р (у) > 0, так как вдоль решения dty/dt =
= vv' + g" (м) м' = — g (и) Я (и) > 0. Если у > я, обозначим через
а и Р точки, в которых решение пересекает прямую а = а; см.
рис. 21. Запишем
via Э^2 С67Э
Вдоль дуг решения, относящихся к фь dtyldu = v (dv/du) + g (и) =
= —g(u) H (u)l(v — H (и)) согласно A0.19). Значит, d^ldu > 0,
du>0 на *>!« и d\p/du < 0, du<C0 на Р^2, так что ф4 (у) > 0.
При возрастании у дуга и4а поднимается вверх, так что функция
^ (м) \ Н (и) \/ (v — Н (и)) убывает; дуга $v2 при этом опускается
вниз, так что g (и) \ Н (и) \/ \v — Я (и) | убывает. Значит, ф4 (у)
при возрастании у убывает.
На дуге а^Р имеем di|Vcfo = v + g (и) du/dv = Н (и) > 0,
/iu <C 0. Поэтому
= j H(u)dv<.0 для
Если ауР имеет параметрическое представление и = и (v) =
= и (v, у), то ясно, что и (у, у), а значит и Я (и (и, у)), является
возрастающей функцией от у. Следовательно, из неравенства dv < 0
следует, что ф2 (у) убывает при возрастании у. Если и >- а + б > а,
то Я (и) !>- 6 > 0, где е — некоторая постоянная. Отсюда выте-
вытекает, что ф2 (y) -> °° ПРИ Y -*■ °°-
Таким образом, ф (у) > 0 при 0 < у ^ а> Ф (y) — <Pi (y) +
+ ф2 (y) убывает при у> а и Ф (v) -> °° при у -> °° (так как
Ф2 (Y) -^ °°» а Ф1 (Y) убывает). Следовательно, существует един-
единственное Yoi такое, что ф (yo) = 0. Соответствующее решение систе-
системы A0.17) является нетривиальным периодическим решением,
которое единственно с точностью до сдвигов параметра t.
Тот факт, что Ф (y)< 0 для y > Yo (ф (y) > 0 Для 0 < у < у0),
доказывает, что это периодическое решение асимптотически орби-
тально устойчиво извне (изнутри) при t -> сх>.

222 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Упражнение 10.3. (а) Проверьте, что теорема 10.2 применима
к уравнению ван дер Поля
if + р (и2 — 1) и' + и = 0, A0.20)
где [i > 0 — постоянная. (Ь) Пусть для A0.20) выписана соответ-
соответствующая система A0.17). Каков характер ее стационарной точки
(и, v) = @, 0)?
Упражнение 10.4. Покажите, что если в теореме 10.2 снять
условие «Я (и) > 0 и возрастает при и ^ а», то она останется
,..
7
Рис. 22.
справедливой, если заменить выражения «ровно одно» на «по край-
крайней мере одно» и «извне и изнутри» или на «извне», или на «изнутри».
Упражнение 10.5. Пусть hug удовлетворяют предположениям
теоремы 10.2; кроме того, пусть g (и) возрастает при и > 0, а
jli > 0 — некоторая постоянная. Пусть Г (jli) обозначает предель-
предельный цикл в (и, и)-плоскости уравнения
it + yJi(u)u' +g(u) = 0, A0.21)
т. е. единственное нетривиальное периодическое решение системы
u' = v-\iH{u), v' = -g(u). A0.22)
Покажите, что при jli -> оо цикл Г (jli) стремится к замкнутой кривой,
состоящей из двух горизонтальных прямолинейных отрезков и двух
дуг кривой v = Н (и), как это показано на рис. 22; см. Лефшец
[1, стр. 342—346].
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕБЕ—НДИКСОНА НА ДВУМЕРНЫХ
МНОГООБРАЗИЯХ
Хотя доказательство теоремы Пуанкаре — Бендиксона (тео-
(теорема 4.1) для плоской автономной системы и зависит от теоремы
Жордана, все же оказывается, что аналогичные результаты спра-

§ П. Предварительные сведения 223
ведливы, если выполнены подходящие условия гладкости для про-
произвольных двумерных дифференцируемых многообразий. Это при-
приложение и посвящено результатам такого рода.
§ 11. Предварительные сведения
Объектом изучения в этом приложении будут потоки на дву-
двумерных многообразиях.
Определение. Двумерное многообразие класса Ck. Пусть М —
связное, хаусдорфово топологическое пространство, для которога
(i) задано открытое покрытие М = \J Ua, где а 6 А и А — неко-
некоторое множество индексов; для каждого индекса а существует
непрерывное взаимно однозначное отображение ga множества Ua
на открытый (плоский) квадрат, такое, что (П) если пересечение
Uа П U$ не пусто, то g$ (ga1) есть отображение множества
ga (Ua П ^р) на gp (Ua П f/p), которое принадлежит классу Ck
(причем если k I> 1, то это отображение имеет ненулевой якобиан).
Тогда {М; Ua] ga} называется двумерным многообразием класса Ck.
Пусть т обозначает точку на М\ тогда уа = ga (m) есть функция
от rn^Ua, значения которой являются двумерными (вещественными)
векторами уа = (У а, У а)- Когда т пробегает Ua, значения уа про-
пробегают квадрат, например \уа\, \уа\<. 1. Множество Ua называется
координатной окрестностью любой точки m£Ua, а уа — локальными
координатами точки т = ga1 (уа)- Условие (И) относится к отобра-
отображению ур = g$ (g-1 (ya)), (Замечание в скобке, относящееся к якобиану
д(#р> У%Iд(уа, У а), излишне, так как обратные отображения g$(ga^)
и ga (gp1) предполагаются принадлежащими классу Ск, &> 1.)
Важно подчеркнуть, что двумерное многообразие {М; Ua; ga}
состоит из пространства М, данного его покрытия U^a и данного»
множества гомеоморфизмов ga. Обычно Ua и ga бывают фиксиро-
фиксированными и {М; Ua; ga} тогда кратко обозначают просто через М.
Определение. Пусть М — двумерное многообразие класса С\ k > 0.
Пусть U — открытое множество из М и у = g (m) — некоторый гомео-
гомеоморфизм множества U на открытый квадрат. Тогда U называется
допустимой координатной окрестностью на М, a y=g(m) —
(допустимыми) локальными координатами точки m£U, если
{М\ Ua и U; ga и g} удовлетворяет условиям (i) и (ii) определения
многообразия.
Определение. Пусть М есть двумерное многообразие класса Ck,
Под потоком
класса Ck понимается функция ц(£, т), определенная для
оо, т£М, и принимающая значения в М, такая, чта

224 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
(i) для фиксированного t, Т1: М—>М есть гомеоморфизм из М
на М; (ii) Tl есть группа отображений
РГ = Р+\ т. е. \i(t,ii(s, m)) = [i(t + s,m); A1.2)
в частности, [г@, m) = m; (iii) \b{t,m) есть непрерывная функция
от (t, m); наконец, (iv) если &>1, то \i(t,m) принадлежит как
функция от (t, m) классу Ck.
Последние два условия имеют следующий] смысл. Рассмотрим
произвольно заданные (t0, m0), и пусть Ua — координатная окрест-
окрестность, содержащая точку m0, ya = ga(m>)— локальные координаты
в Uai и пусть [i(t0, mo)(zUfi. Тогда условие (iii) означает, что
\i(t, m)££/p для (t, m), близких к (t0, щ), a (iv) означает, что
принадлежит классу Ch как функция от (t, ya) в открытом (t, ya)-
множестве, на котором определена правая часть.
Лемма 1Ы. Пусть k>l. Тогда для фиксированного t якобиан
отображения S^: уа—>У&, определенного формулой A1.3), не обра-
обращается в нуль (всюду, где определено S^).
Доказательство. В силу] (ii), отображение 5^з имеет обратное
которое по предположению также принадлежит классу Ck, откуда
и следует утверждение леммы.
«Поток» является обобщением понятия «общего решения авто-
автономных дифференциальных уравнений на М»\ см., например,
§ 14 или § IX.2.
Для произвольно заданной точки т0 подмножество С (т0) =
= {ml = \i (/, m0), — оо < /< оо} пространства М называется
орбитой, проходящей через т0. Так как каждая точка т0 6 М
однозначным образом определяет свою орбиту, то из группового
свойства (ii) следует, что орбиты или тождественны, или не имеют
общих точек.
Если орбита С (т0) сводится к точке т0 (т. е. \х (/, т0) = т0
для — оо < t<c oo), эта точка называется стационарной.
Лемма 11.2. Пусть k ^ 1 и т0 6 Ua. Точка пг0 является стацио-
стационарной в том и только в том случае, когда у = ga (\i (t, m0)) имеет
в точке t = 0 равную нулю производную.
Упражнение 11.1. Докажите эту лемму.
Подмножество Mi czfM называется инвариантным множе-
множеством, если TlMi= Mi для каждого /, — оо < t < оо. Таким обра-
образом, Mi является инвариантным подмножеством в том и только
в том случае, когда Т1М± cz Afi для — оо < t < оо, или, что экви-

§ IU Предварительные сведения 225
валентно, в том и только в том случае, когда С (mi) с: Mi для
любого mi 6 М^ В частности, если Mi — замкнутое инвариантное
множество и mi 6 Мь то С (mi) — замыкание орбиты, проходящей
через mi — содержится в Mi.
Подмножество N а М называется минимальным множеством,
если 1) оно является замкнутым инвариантным множеством и 2) не
содержит собственного замкнутого и инвариантного подмножества.
Например, если т0 — стационарная точка, то множество, состоя-
состоящее из одной этой точки, является минимальным. Более общо,
если функция \л (/, т0) является периодической (т. е. если суще-
существует число р > 0, такое, что [i (t + р> т0) = ^ (/, /п0) для
— оо << / << оо), то С (/По) — минимальное множество.
Упражнение 11.2. Пусть М — двумерное многообразие и 7"? —
поток на М. (а) Если множества Mi и М2 инвариантные, то Mi [} М2,
Mi П М2 и Mi \ М2 также являются инвариантными множества-
множествами. (Ь) Если Mi — инвариантное множество, а дМ1у MJ =
— Mi \ dMi суть соответственно его граница и множество вну-
внутренних точек, то dMi и MJ также являются инвариантными мно-
множествами, (с) Если N — минимальное множество, то или N = М,
или N нигде не плотно в М.
Пусть /п0 6 М, и пусть С+ (т0) обозначает полуорбиту С+ (т0) =
= {\i (/, т0), / !> 0}, начинающуюся в т0. Точка т 6 М назы-
называется со-предельной точкой орбиты С+ (т0), если существует после-
последовательность ^-значений 0 < tt < /2 < . . ., такая, что tn -> оо
и |ы (/7М т0)-+т при /г->оо. Множество со-предельных точек
орбиты С+ (/п0) мы будем обозначать через Q (/п0). Для Q (/п0)
справедливы аналоги теорем 1.1 и 1.2.
Упражнение 11.3. Пусть М — двумерное многообразие, Тг —
поток на М класса С0 и то£М. (а) Пусть Cj(т0) = {т = \i(t, m0)
для / > /} - С+ (jx (/, т0)). Тогда Q (т0) = С1 (т0) Г) С2 (т0) П . -.
и Q(m0) замкнуто. (Ь) Если mj g Q (т0), то С (т^ cz Q (т0), т. е.
множество Q (m0) является инвариантным, (с) Если, кроме того,
С+ (т0) имеет компактное замыкание, то Q (m0) связно.
Упражнение 11.4. Пусть Г', М определены так же, как
в упр. 11.3, N — минимальное множество и mo£N. (а) Тогда
Q (/По) с= С (/п0) = N. (Ь) Если, кроме того, Q (т0) не пусто (например,
если N компактно), то Q(mo) = N.
Пусть М, 7f принадлежат классу С\ ^> 1. Пусть t/a —коор-
—координатная окрестность на М и y = ga (m) — локальные координаты
точки m£Ua, так что ga: Ua-^S есть гомеоморфное отображение
Uа в квадрат 5, скажем S: | у11, | у21 < 1. Замкнутая (или открытая)
дуга Г: y = yo(s), |s|<a (или |s|<a), класса С^ в 5 или ее образ
Г: mo{s) = ga1 (Уо($)) в Ua называется трансверсалью потока Г,
15-241

226 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
если нет орбиты, касательной к Г, т. е. если дифференцируемая
дуга y = ga(n>[t, mo(s)]), которая определена для малых \t\ и начи-
начинается в УоЬ) при / = 0, не касается Г ни при каком s из [s|<a
(или |s|<0).
Лемма 11.3. Пусть k> I u mo£Ua есть нестационарная точка
потока Tl\ y = ga(m)— локальные координаты в Ua. Тогда суще-
существует трансверсальная дуга Г: у = у0 (s) или Г: т0 (s)=gu1 (y0 (s)),
|s|<a0, класса Ck, удовлетворяющая условию mo(O)=mo. Более
того, для любой такой трансверсали и достаточно малого а > О
множество U=^{m = \i(t, mo(s)), где |/|<а, \s\<.a} является
допустимой координатной окрестностью, a y = g (m) = (s, /) для
^U являются допустимыми локальными координатами в U.
Упражнение 11.5. Докажите эту лемму.
§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре—Бендиксона
Главной целью этого параграфа является доказательство сле-
следующей теоремы.
Теорема 12.1 (А. Дж. Шварц). Пусть М — двумерное многооб-
многообразие класса С2, Т1 — поток класса С2 на М и N — непустое ком-
компактное минимальное множество. Тогда N является или (i) стацио-
стационарной точкой т0, или (и) периодической орбитой (которая
гомеоморфна окружности), или (Hi) N = М.
В случае (Hi) М = N есть компакт и поток Т1 на нем не имеет
стационарных точек. Из формулы Эйлера — Пуанкаре (связы-
(связывающей род и сумму индексов особых точек векторного поля на М)
следует, что род М тогда равен 1; значит, М гомеоморфно или тору
или бутылке Клейна. Но в действительности на бутылке Клейна
поток без стационарных точек всегда имеет периодическую орбиту.
Значит, в случае (Hi) многообразие М является тором. По поводу
этих замечаний см. Г. Кнезер 12].
Условие Т1 6 С2 не может быть ослаблено до Т1 6 С1, даже если
М 6 С"°; см. упр. 14.3.
Доказательство теоремы 12.1. В силу результата упр. 11.2 (с)
или N = М, или jV нигде не плотно в М. Допустим, что теорема
не верна. Тогда множество N Ф М является компактным, нигде
не плотным минимальным множеством в М, которое не содержит
ни стационарной точки, ни периодической орбиты. Покажем, что
это невозможно. _
Пусть т0 6 N, и пусть U и у = g (m), где у = (s, /), суть те
допустимые координатная окрестность и локальные координаты,
существование которых гарантируется леммой 11.3. Другими сло-
словами, если т = g'1 (у) = g'1 (s, f), где | s |, | / | < а, то т0 =

§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона 227
= g" (О, °)> Г: т0 (s) = g-1 (s, 0) есть трансверсаль класса С2
и при фиксированном s множество g'1 (s, t) = \i (tt m0 (s)) есть
часть орбиты С (m0 (s)).
Будем отождествлять точку т с ее локальными координатами
(s, <); например, будем говорить о точке т0 как о точке @, 0).
Пусть Г представляет прямолинейный отрезок | s | < а, £ = 0,
который является трансверсалью Г: у = g (m0 (s)) = (s, 0). Точка
(s, 0) на Г дальше будет обозначаться просто через s.
Так как ./V не содержит внутренних точек, то ясно, что множество
К = N Г) Г не содержит s-интервала, так что К есть непустое
нигде не плотное множество, замкнутое по отношению к Г. Пусть
W=(-a, a)\K, A2.1)
так что W есть открытое s-множество, обладающее разложением
W = U (а/, Р;) в попарно не пересекающиеся открытые 5-интер-
валы (alf pi), (а2> р2), ....
Обозначим через U множество s-значений на | s \ < а, таких,
что полуорбита C+(m0(s)), начинающаяся при t = 0 в точке
mo(sNr, снова пересекает Г при некотором t > 0. Ясно, что
s-множество U является открытым в интервале | s \ < а.
Пусть для s 6 U величина t (s) обозначает наименьшее положитель-
положительное /-значение (в действительности, t(s)^a), такое, что
\i (/, m0 (s)) 6 Г, и пусть / (s) обозначает s-координату точки
[I (t (s), m0 (s)), т. е.
(/ (s), 0) = г (^ [/ (s), m0 (s)]) для s б £/. A2.2>
Мы можем получить / (s) и / (s) другим способом. Пусть s0 6 i/-
Определим вещественные функции а, т от (s, /) равенством
(а, т) = g hi It, то (s)]) =g(ii It, g-1 (s, 0)])
при малых \ s — s0 |, \ t — / (s0) |. Тогда на орбите, начинающейся
в m0 (s), (а, т) будут координатами точки, соответствующей вре-
времени t. В частности, (а, т) = (/(s), 0), если (s, /) = (s, t(s)). Зна-
Значит, функции а, т принадлежат С2 и имеют неравный нулю яко-
якобиан д (а, т)/<5 (s, 0 согласно лемме 11.1. Рассмотрим для малых
\ о — / (s0) | и | т | обратные функции s = s0 (о, т), / = /0 (а, т).
Тогда t (s) = <0 (s, 0) и f (s) = a (s, / (s)) для малых | s — s0 |.
В частности, / (s), а также и
/ (s) € С2. A2.3)
Заметим, что a (s, f) и т (s, /) при малых | s — s0 [, \ t \ удовле-
удовлетворяют соотношению
(a (s, t + t (s)), t(s, t + t (s))) = (a (s, < (s)), t).
Так как 3 (a, т)/<? (s, /) ^= 0, то отсюда следует, что якобиан пары
(a (s, t+t (s)), t) no отношению к (s, t) не равен нулю, так
15*

228 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
как он равен произведению якобианов д (а, т)/д (s, t) и
д (s, t + t (s))/d (s, t). Значит, частная производная функции
о (s, t + t (s)) no s не равна нулю. Так как / (s) = a (s, t + t (s))
при малых \t |, то отсюда
D/ (s) Ф О для s 6 U, где D = d/ds. A2.4)
Поскольку ./V есть компактное минимальное множество, то из соот-
соотношения mi £ N следует, что С (mi) = Af; см. упр. 11.4. Это пока-
показывает, что если Si 6 К = N (] Г, то st 6 U, т. е. К a U. Пусть
V — открытое подмножество множества U, такое, что
KczVczVaU. A2.5)
В частности, из A2.3) и A2.4) следует существование постоянных
R и С, таких, что
0<UR<\Df(s)\<R, s£V, /?>l, A2.6)
|D2/(s)|<C, s£V и С>1. A2.7)
Ясно, что отображение
/: U-*(-a,a) A2.8)
является взаимно однозначным и имеет обратное отображение f'1 (s).
Далее через fk(s), k = 0y ±1, •••, мы будем обозначать итерации
отображений / и f; например, f°(s) = s, и если s£(/, a f(s)£U,
то p(s) = f(f(s)). В частности, если fe>0, то /fe(s) определено
на i/ П f (U) П • • • П /~(к~1} (f/); подобное же замечание относится
и к случаю fe<0.
Кроме свойств A2.6) и A2.7) функция f (s) обладает еще сле-
следующими свойствами:
1) f(K) = K, A2.9)
так как множество N инвариантно;
2) если fk(s) = s для некоторого s£/C, то ^ = 0, A2.10)
поскольку Л^ не содержит периодических орбит; и, наконец,
3) К — непустое минимальное множество относительно f A2.11)
в том смысле, что К не содержит собственного подмножества Ко,
такого, что;/Со замкнуто относительно К и f(/(o)==/<'o (или, что
эквивалентно, f*1 (Ко) <= Ко).
Остальная часть доказательства сводится к доказательству сле-
следующего утверждения:
Лемма 12.1. Если К —замкнутое, а V, U — открытые мно-
множества на |s|<Ca, связанные соотношением A2.5), то не суще-
существует функции /(s), определенной на V и удовлетворяющей
условиям A2.3) —A2.11).

§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре — Бендаксона
229
Доказательство, (а) Предположим, что лемма не верна, и потому
функция / существует. Обозначим через d расстояние; тогда
s = d(K, (-a, a)\V), так что 0<е<а. A2.12)
Заметим, что если (а,, Р;) — один из интервалов, на которые раз-
разлагается W=( — а, а)\К, то из неравенства Р; — а;<е следует, что
[а,, р,] с V с= f/, A2.13)
так как сс7-, Р7£/С.
(b) Легко видеть, что
есть множество концевых точек а7-, р7-. Действительно, so£K\Ki
в том и только в том случае, когда s0 является предельной точкой
одновременно для двух множеств: /СП( —#>so) и K{](so^)- Тогда
A2.14) следует из A2.4) и A2.9).
(c) Покажем, что существует целое число /, такое, что для
а = аь Р = Рг имеет место включение
Пусть Q —конечное множество концевых точек а7-, Р7- интервалов
(а7, р^) из IF, таких, что ру —а7->8. В силу A2.10) существует
целое п, такое, что ^(a^^Q для &>д. Тогда по A2.14) имеем
fn(a1) = ai или /п(сс1)=Рг для некоторого t и |/fe(Pi) — /^(a^l^e
для д>й. Поэтому A2.15) следует из A2.13).
(d) Пусть п > 0 — некоторое целое число, а [р, q] — замкнутый
s-отрезок, такой, что fk([p, q])czV для 0<^<п. Тогда
>/*+! (S)
(r)
A2.16)
для
&<д и /?<г, s<9- Чтобы убедиться в этом, заметим, что
/fe+i(s) = /(/fe(s)). Значит, если Dfofk(s) обозначает производную
от /, вычисленную в точке fh(s), то
(s)]Dfk
A2.17)
Следовательно,
In -^
(s)
(r)
j=0
и по теореме о конечных приращениях
In
l(s)
(r)
;=0

230 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
при подходящем выборе 97- между f (r) и f (s). Теперь видно, что
A2.16) следует из A2.6) и A2.7).
(е) Пусть а, р определены, как в формуле A2.15) части (с). Тогда
, где 6= § \Dfh {а)\. A2.18)
Чтобы в этом убедиться, заметим сначала, что D/°(s)=l, так что
б>1. Далее, существует 6, £(а, Р), такое, что
fe fteft)| (p-a).
Так как интервалы с концевыми точками fk(oc), /fe(p) содержатся
в ( — а, а) и при &>0 попарно не пересекаются, согласно A2.10),
отсюда следует, что
(Р-а) I \ЩЧвь)\< S |/*(a)-/k(P)l<2a.
fe=0 fe=0
Кроме того, согласно A2.16),
\Dfk (a)|<|D/k@A)|e2a^, fe = 0, I,... .
Тем самым A2.18) доказано,
(f) Пусть d обозначает число
d = E/3CR8(l+a)\ в частности, 0<d<s. A2.19)
Покажем, что для k = 0, 1, ... справедливы следующие соотношения:
fk(loc-d, а + (Ц)сУ, A2.20,)
|/fe(s)-f (a)|<e, где \s-a\<d, A2.2Ц)
|D/fe(s)|<3|D/fe(a)[, где|5-а|<^. A2.22,)
Поскольку fh(a)£K и 8 определено по A2.12), то A2.20,) является
следствием A2.2Ц); ср. с A2.13).
Соотношения A2.2Ц) и A2.22,) при k = 0 тривиальны. Пред-
Предположим, что они справедливы для k = 0, ..., п. Тогда, в силу
A2.16) из п. (d), имеем
\Dfn+i (s)\<\Dfn+i (a)\expCR %\Г (*)-Г (а)\.
3=0
В силу теоремы о конечных приращениях и неравенств A2.22;),
; = 0, ..., /1, получаем
f
fi\fj(s)-f(a)\<\s-a\ j]\f(j)\\\j]
i=o j=o i=o
где Qj расположено между а и s. Поэтому из A2.18) следует, что

§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона 231
Но так как ЗС7? d6 < е/а < 1 и £<3, то тем самым мы получаем
неравенство A2.22Л+1). Из него видно, что
где | a — 0|<|s — a|. Так как из неравенств С> 1 и R> 1 сле-
следует, что 3d6<e, то тем самым доказано неравенство A2.21п+1).
Следовательно, A2.20д) —A2.22а) справедливы для всех k=О, 1, ... .
(g) В силу A2.18) и A2.22*) имеем
lim Dfn (s) =0 равномерно для |a — s|<d. A2.23)
П->оо
По свойству минимальности множества /С, замыкание последователь-
последовательности точек /J+n(a), /г = 0, 1, ... (/ фиксировано), совпадает с К-
Значит, существует достаточно большое fe(>0), такое, что
|/fe(a)-a|<4 и |D/fc(s)|<y для |s-a|<d.
Следовательно, | fh (а ± d) — а | <С d и разность /fe (s) — s имеет в точ-
точках s — a±d противоположные знаки. Поэтому существует s-зна-
чение s0, такое, что fh(s0) = s0 и |s0 — a\<.d. Кроме того,
fnk(sQ) = s0 для /г=1, 2, ... и, согласно A2.23), fnh(a)—>s0 при
/г —-> оо. Так как К замкнуто и соотношение а £ К влечет за собой
fnh{a)dK, то so£/C. Но это противоречит свойству A2.10). Тем
самым лемма 12.1 и теорема 12.1 доказаны.
Лемма 12.2. Пусть М — двумерное многообразие, аТ1 — поток
класса С0 на М. Пусть Mi — непустое компактное инвариантное
подмножество. Тогда М± содержит по крайней мере одно непустое
минимальное множество.
Так как пересечение инвариантных множеств снова является
инвариантным множеством, то эта лемма является непосредствен-
непосредственным следствием леммы Цорна (формулировку и доказательство
которой см. в книге Келли Ш). Теорема 12.1 и лемма 12.1 дают
следующий аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона:
Теорема 12.2. Пусть М — ориентируемое двумерное многообра-
многообразие класса С2, Т1 — поток класса С2 на М и т0 6 М. Предположим,
что Q (/п0) ф М и что Q (/п0) является непустым компактным
множеством, не содержащим стационарных точек. Тогда Q (т0)
есть жорданова кривая со стремящейся к ней спиралью С+(т0).
Если N cz M есть жорданова кривая, не содержащая стацио-
стационарных точек, то говорят, что спираль С+ (т0) стремится к N, если
для каждой точки т 6 N существует трансверсаль Г = Г (/л), про-
проходящая через т и такая, что последовательные пересечения кривой
С+(то) = {т\ — jli (/, /п0), / ^> 0} с Г монотонно стремятся к т.
«Ориентируемость» многообразия М понимается здесь в сле-
следующем смысле. Пусть N cz M есть жорданова кривая класса С1,

232 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
не содержащая стационарных точек. Тогда существуют откры-
открытое множество V, содержащее TV, и гомеоморфизм цилиндра
{E, у\ У2)'- \s |< 1, (у1J + (у2J = 1} на У, такой, что окруж-
окружность s = О отображается на N, а образующие (г/1, г/2) = const
переходят в трансверсали.
Доказательство. По лемме 12.2 множество Q (т0) содержит
непустое компактное минимальное множество N, которое по тео-
теореме 12.1 является жордановой кривой, не содержащей стацио-
стационарных точек. Пусть V — описанная выше окрестность кривой N.
Если рассмотреть образ потока на цилиндрическом образе окрест-
окрестности F, то ясно, что для него остаются справедливыми рассужде-
рассуждения п. (Ь) и (с) доказательства теоремы 4.1. Значит, С+(т0) есть
спираль, стремящаяся к N. Отсюда, в частности, следует, что
N = Q (m0). Доказательство закончено.
§ 13. Каскады на замкнутой кривой
Из замечаний, сделанных после формулировки теоремы 12.1,.
следует, что тор — единственное двумерное многообразие Му
на котором возможны потоки, для которых само М является мини-
минимальным множеством. Поэтому вполне естественно заняться изу-
изучением потоков на торе. Этот параграф является подготовкой для
такого изучения и посвящен «каскадам» на жордановой кривой Г,
или, что эквивалентно, топологическим отображениям Г на себя.
Пусть Г — жорданова кривая, a S: Г -> Г — гомеоморфизм Г
на себя, сохраняющий ориентацию. Дискретную группу гомео-
гомеоморфизмов Sny лг = 0, ± 1, . . ., кривой Г на себя мы называе]У1
каскадом1) на Г. Как и в § 11, можно определить орбиту
С (у): {Sny: п — О, ±1, . . •}, проходящую через точку у 6 Г,
полуорбиту С+ (у) = {Sny: п = 0, 1, . . .}, множество fi (у),
состоящее из со-предельных точек полуорбиты С+ (у), инвариантные
множества, минимальные множества и т. д.
Точки на кривой Г можно считать параметризованными, напри-
например формулой у = у (у), где 0 •< у^ 1, при этом точки у 6 Г,
соответствующие значениям у = 0 и у = 1, совпадают. Или, что
более удобно, Г можно рассматривать как прямую — со < у < со,
на которой отождествляются любые две точки у± и у29 для которых
разность у\ — у2 есть целое число. Тогда отображение Yi = ^7
можно считать вещественной функцией у^ = / (у), обладающей
следующими свойствами:
1) f (у) непрерывна и строго возрастает^
1) Автор употребляет и здесь термин «поток», хотя для дискретной*
группы Sn это вряд ли удачно. По аналогии с «потоками» Д. В. Аносов пред-
предложил для этой ситуации термин «каскад», которым мы воспользовались
при переводе.— Прим. ред.

§ 13. Каскады на замкнутой кривой 233"
2) / (у + 1) = / (у) + 1, так что f (у) — у имеет период 1.
Тот факт, что / (у) не убывает, является следствием сохранения
ориентации при отображении 5. Условие строгого возрастания f
и условие B) вытекают из того, что отображение S является гомео-
гомеоморфизмом. Обратно, любая функция / (у), обладающая свойствами
A) и B), индуцирует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм S"
кривой Г на себя.
Пусть f°(y) = y> и пусть f'1 (у) есть функция, обратная к f(y)~
Пусть /2 (у) = / (/ (у)), Р (у) = f (Р (у)), ... и, аналогично, f~* {у) =
= Г (Г1 (</))> Га(У) = Г1(Г*(У))> •••> так что fn(y) соответствует
отображению Sn для д = 0, ±1, ... и каждая функция fn(у)
обладает свойствами 1) и 2).
Лемма 13.1. Пусть функция f(y) непрерывна на — оо<г/<оо
и обладает свойствами A) и B). Тогда существует такое
число а, что
fn(y)/n-^a при \п\—>оо, у любое; A3.1)
далее, если дп и гп определены соотношениями
na — 6n^mm(fn(y) — y), na + en = max(fn(y)—y), — oo<r/<oo,
так что
то
Ьп>0, £п>0 и дп + еп<1. A3.2)
Число а называется числом вращения отображения S или каскада Sn
на Г.
Доказательство, (а) Непрерывная функция
имеет период 1, в силу свойства B), и удовлетворяет неравенству
M(PW-pm)<l, A3.4)
где рт[или |Зт] = тах[или тт]<рт(у)/\т\. Действительно, пусть
A3.4) не верно. Тогда фт Q/i) — фт (й) = 1 Для некоторых точек
Уь, у2. Поскольку функция фт периодическая, то можно считать,
что jfe<0i<4fe + l- Тогда, в силу A3.3), Г{уд-ГШ =
= l + #i-J/2>l, так что ГЫ>НГЫ = ГA+й). Но
это противоречит тому, что fm строго возрастает.
(Ь) Пусть k> 1 —некоторое целое число. Тогда из A3.3) видно, что
fh (У) = fh (/(i)fe Of)) = /°'-1)fe (У) + Фа (f<''-1)fe (У)).
Отсюда
kh < fk {У) - /(j-i)k (У) < kp\ /=1,2,...;

234 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
в частности, для k= 1
^i<fi(y)-fi'1(y)<^ i=h 2, ... .
Если /г>0 и n = kd + r, где 1<г<&, то сумма этих соотноше-
соотношений для / = 1, ..., d и i = kd+ I, ..., kd + r дает
d£p* + гр4 <Г(У)-У< dk$h + rp1.
По определению рл, Рп и фд(«/) из последнего соотношения полу-
получаем, что
Следовательно,
Нп<р\ A3.5)
Но поскольку Pft — P&—>0 при й—>оо, согласно A3.4), то нижний
и верхний пределы в A3.5) равны, скажем а. Значит, Ц)п(уIп—>а
при п-^оо равномерно относительно у. Тем самым соотношение
A3.1) в случае, когда гг-^ + оо, доказано.
Согласно A3.4) и A3.5), k$k<<Pk(y)<k$h и fcpA<foz<&p\
Значит, если 6k = ka — kfyk и Ek = k$h — ka, то неравенства A3.2)
«справедливы для л = 0, 1, ... .
Заметим, что f~n (y) — y = z — fn (z), где z = f~n(y), так что
для м=1, 2, ... неравенства A3.2) справедливы с Ь-п = гп
и е-тг^бд. Лемма полностью доказана.
Лемма 13.2. Число вращения а отображения S является
топологическим инвариантом, т. е. оно не зависит от пара-
параметризации кривой Г.
Доказательство. Пусть 5 определяется функцией f(y). Измене-
Изменение параметра z = g(y) на Г, сохраняющее ориентацию, задается
•функцией g(y), удовлетворяющей аналогам условий 1) и 2). Если
R: z = g(y), то в z-параметризации отображение S становится
равным RSR'1: z4 = AB), где h (z) = g (f (g'1 (z))) удовлетворяет
условиям 1) и 2). Так как (RSR-1O1 = RSnR~1:~ zn = hn (г) =
= S (Г (g'1 (z))), то отсюда следует, что hn (z) = g (g'1 (г) + па + rn),
где — 671<г7г<87г, согласно A3.2). Пусть ^ (z) = g (z) — z, так что
я|? (г) имеет период 1. Тогда при п-^оо имеем
/гп (г) _ g-i (г) + па + гп+г|) (g-i (z) + na + rn)
— _ >а.
Лемма доказана.
Теорема 13.1. Пусть Sn —каскад на жордановой кривой Г.
Число вращения а отображения S рационально тогда и только
тогда, когда для некоторого целого k > 0 отображение Sh имеет
неподвижную точку yo = Sky0.

§ 13. Каскады на замкнутой кривой 235
Доказательство. Пусть 5 определяется функцией f(y). Пред-
Предположим, что SkyQ = y0 для некоторого &>0, т. е. существует
точка у0 и целое число г, такие, что fk (у0) = у0 + г. Тогда
и a =
Следовательно, а — рациональное число.
Обратно, пусть а рационально и равно г Ik, где k > 0. Тогда
fk (у) — у — г будет принимать, согласно A3.2), как неотрицательные,
так и неположительные значения. Значит, существует такое у0,
что !к(Уо) — Уо — г=0, т. е. Sky0 = y0 для точки 7о£Г, соответ-
соответствующей точке у0. Лемма доказана.
Лемма 13.3. Пусть S имеет иррациональное число вращения а,
точка 7о£Г фиксирована, yn = Sny0, j и k—фиксированные
целые числа и Го — одна из замкнутых дуг на Г, ограниченных
точками yj и yk. Тогда существует такое целое число д>0,
что Гс=Г\ где
Тп = Го U S-' j'k 1Г0 U •.. U S~n I >-ъ 1Г0.
Значит, если у£Г, то найдется i = i(y), 0</</i, такое, что
Sly (ЕГ0.
Доказательство. Пусть для определенности Го — ориентирован-
ориентированная дуга кривой Г, идущая от yk к ^л и пусть
Г(п) = Го U S-(j-k)T0 U ... U S-n(j-h)T0. A3.6)
Значит, ГП = Г(П) или rn = 5n(i"fe)r(n) в соответствии с тем, будет ли
j>k или j<Ck, так что ГсГп в том и только в том случае,
когда ГсГ(п). Поэтому достаточно показать, что если п>0
достаточно велико, то Гс:Г(п). Очевидно, что т-я и (т+1)-я
дуги в правой части соотношения A3.6) имеют общую концевую
точку S~ma~h)yk. Значит, если Г ф Г(п) для п=\,2, ..., то
концевые точки S~n^~h)yk при п —> оо стремятся монотонно к точке
7°£Г. Но тогда у° = \lmS-n(j-k)yk = hmS-Gl-1)a-k)yk = Sj-ky°,
в то время как Sj~k по теореме 13.1 не должно иметь неподвиж-
неподвижных точек. Это противоречие показывает, что при больших п кри-
кривая Г с Г(п).
Значит, если у£Г, т0 y£S~mlJ~klT0 или SmlJ~kly^T0 для неко-
некоторого т—-т(у), 0<m<n. Лемма доказана.
Если Shy0 = y0 для некоторого &>0, то орбита С (у0) состоит
из точек Yo, Sy0, ..., Sky0. Если же Sh ни при каком й=^0
не имеет неподвижной точки, то эта ситуация рассматривается
в следующей теореме.

236 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
Теорема 13.2. Пусть Sn —каскад на жордановой кривой Тг
имеющий иррациональное число вращения а. Пусть для у£Г
символом Q (у) обозначено множество (^-предельных точек полу-
полуорбиты С+ (у). Тогда Q (у) = No не зависит от у, и потому N&
является единственным минимальным множеством потока Sn.
Кроме того, или No = Г, или No есть совершенное нигде не плот-
плотное множество на Г.
Если Л/0 = Г, то поток Sn называется эргодическим.
Замечание. Поскольку No — единственное минимальное мно-
множество потока Sn, так же как и потока S~n, то ясно, что поток Sn
будет эргодическим тогда и только тогда, когда поток S~n эргоди-
ческий. Значит, множество No является множеством предельных
точек или любой полуорбиты С+ (у) = {Sny, п = 0, 1, ...}, или
любой полуорбиты С~(y) = {S~ny, п = 0, 1, ...}, или любой орбиты
С(у) = {$пУ> л = 0, ±1, ...}.
Доказательство. Рассмотрим полуорбиту С+ (у0) и множество
Q (Yo) ее со-предельных точек. Пусть y°€^(Yo) и У — любая точка
из Г. Так как найдутся точки yj, у&£С+(у0), сколь угодно близкие
к у0, и меньшая из дуг Го, ограниченная этими точками, содержит
точку Sly при некотором i>0, то отсюда следует, что Y°gQ(Y),
т. е. Q(yo)c:Q(y). Поменяв ролями у и у0, получим, что множе-
множество No = Q (у) не зависит от y-
Множество No замкнуто и инвариантно. Если y^N0, то у
является предельной точкой орбиты С+ (y) с: Л^о, а значит, и мно-
множества No. Поэтому множество No совершенно. Ясно, что Л^о
является минимальным. Значит, или No— Г, или Л^о нигде не плотно;
см. упр. 11.2 (с). Теорема доказана.
Лемма 13.4. Пусть S имеет иррациональное число вращения а.
Для произвольно заданного у0 функция g (yn + k) — na-\-k, где
yn = fn(y0) и п, k = 0, ± 1, ...» является возрастающей на после-
последовательности чисел { Щ
Доказательство. Нужно показать, что
Г (Уо) + k<fm (у0) + j влечет за собой na + k<Cma + j. A3.7)
Применяя f~m к первому неравенству A3.7), получаем
Гт Ы + k<yo + ] или Гт(у0)-y0<j-k.
Так как fn~m{y) — y не может равняться целому числу, то из нера-
неравенств max(fn-m(y) — y)<:j — k и A3.2) следует, что (п — т)а<
</ — k. Тем самым лемма доказана.

§ 13. Каскады на замкнутой кривой 237
Для следующей теоремы нам потребуется такая простая
Лемма 13.5 (Кронекер). Пусть а— иррациональное число
a sn — каскад на жордановой кривой Г, такой, что соответствую-
соответствующая ему функция f (у) = у + а. Тогда каскад Sn эргодический
{т. е. N0 = T).
В силу замечания, сделанного после теоремы 13.2, это утвержде-
утверждение эквивалентно тому, что множество точек {у = па + k, где
ky п = О, ±1, . . .} плотно на прямой — оо < у < оо. Другими
словами, если [у] обозначает наибольшее целое число, не превос-
превосходящее у, и уп = па — [па] есть дробная часть числа па, то
лемма эквивалентна следующему утверждению: множество точек
{у = Уп> где л = 0, ± 1, . . .} плотно на отрезке 0^7^ 1-
Упражнение 13Л. Докажите лемму 13.5.
Теорема 13.3. Пусть Sn — каскад на жордановой кривой Г,
имеющий иррациональное число вращения а. Каскад Sn будет эрго-
дическим (m. e. No = Г) в том и только в том случае, когда S топо-
топологически эквивалентно «вращению», т. е. в том и только в том
-случае, когда существует сохраняющая ориентацию замена пара-
параметра R: z = g (у), такая, что
RSR-1: г± = г + a. A3.8)
Доказательство. Пусть существует R, удовлетворяющее усло-
бию A3.8). Тогда минимальное множество отображения RSR'1
по теореме 13.2 совпадает с множеством No предельных точек после-
последовательности а, 2а, ... на Г. Так как число а иррациональное,
то это минимальное множество -/Vo = Г. Значит, минимальное мно-
множество для 5 есть Г.
Обратно, пусть А^о = Г есть минимальное множество для S.
Пусть у0 = 0 и уп = fn @), как в лемме 13.4. Тогда на последова-
последовательности {уп + k, n, k = 0, ±1, . . .}, которая плотна на пря-
прямой — оо < у < оо, определена возрастающая функция г = g (у).
Эта функция непрерывна, так как множество ее значений
{па + k, n, k = 0, +1, • • •} плотно в — оо<^<оо, а потому
•существует лишь единственное непрерывное продолжение z до воз-
возрастающей функции на — оо < у < оо. Кроме того, g (у + 1) =
= S (У) + 1- Значит, R: z = g (у) определяет замену параметра на Г.
Из равенства g (f1 @) + k) = па + k следует, что если у =
- Г @) + k, то g (/ (у)) = g (Г+1 @) + k) = (n+l)a + k =
= S (у) + а- Так как множество точек {f1 @) + k) плотно на пря-
прямой — оо < у < оо, то g (f (у)) = g (у) + а для всех у. Следова-
Следовательно, RSR'1: Zi = g (f (g'1 (z))) = z + а. Лемма доказана.
Упражнение 13.2. Пусть Г — окружность и No — произвольное
совершенное нигде не плотное множество на Г. Тогда существует

238 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
сохраняющий ориентацию гомеоморфизм S окружности Г на себя,
имеющий (иррациональное число вращения а я) No в качестве
своего минимального множества; см. Данжуа [1].
Лемма 12.1, использовавшаяся нами при доказательстве тео-
теоремы 12.1, имеет такое следствие.
Теорема 13.4 Пусть Sn — каскад на Г, имеющий иррациональ-
иррациональное число вращения ос. Пусть S определяет функцию f (у). Предполо-
Предположим к тому же, что f (у), /-1 (у) принадлежат классу С2. Тогда
поток S эргодический (т. е. No = Г).
Как видно из следующего упражнения, это утверждение можно
немного усилить.
Упражнение 13.3. (а) Ослабим условие «/ (у), f'1 (у) 6 С2» сле-
следующим образом: «/ (у)> f'1 (у) 6 С1 и dfldy является на отрезке
О <^ У ^ 1 функцией ограниченной вариации». Тогда каскад 5
эргодический (Данжуа; см. ван Кампен [1] *)). (Ь) Если отбросить
условие «dfldy является на отрезке 0 <; у <; 1 функцией ограничен-
ограниченной вариации», то утверждение неверно. См. Данжуа [1].
§ 14. Потоки на торе
Будем рассматривать тор М как квадрат 0 <; х <; 1,О^у^С 1
в (я, */)-шюскости, в котором точки (х, 0), (х, 1) или @, у), A, у)
на противоположных сторонах квадрата считаются отождествлен-
отождествленными, или, что более удобно, будем рассматривать всю (х> ^-пло-
^-плоскость, в которой пары точек (хи г/i), (х2, у2) отождествляются
в том и только в том случае, когда обе разности Х[ — х2> У\ — у2
являются целыми числами.
Рассмотрим на торе М непрерывный поток
Р: х* = Ъу,х,у), уь = ц{г,х,у), A4.1)
так что функции ^ и т) непрерывны на множестве — оо << t, х, у << оо
и Т1 есть группа гомеоморфизмов (х, у)-плоскости на себя. Более
того, поскольку точки (х, у), (х, + 1, у), (х, у+\) на торе отожде-
отождествляются, то
I (*, х+ 1, y) = l(t, х, у) + 1, r\(t, x+ I, y) = r\(t, х, у),
) = i\(txy)+l
(Первая строчка означает, например, что если точка (х, у) перешла
в (Х-\-\,у), то ее орбита просто переносится на 1 в направлении
оси х.) Групповое свойство тз+1 = Т3Тг эквивалентно тому, что
для 1 = 1 или е = -
!) А также дополнение к русскому переводу мемуара Пуанкаре [3] или
Коддингтон и Левинсон [2].— Прим. перев.

§ 14. Потоки на торе 239-
Предположим, что £ и т] имеют непрерывные производные по t.
Тогда Z7! (х, у) = [dg (/, a:, y)/dt]t=0, F2 (х, у) = [Л) (*, х, y)/dt]t=o удо-
влетворяют равенству
и х = £ (tf, х0, #0), y = r\(t, х0, у0) в силу A4.3) являются решением
задачи Коши
x' = Fi(x,y), y' = F2(x,y), A4.5)
х@)=х0, у(О) = уо. A4.6)
Если, например, £, т) £ С1, то из теоремы III.7.1 следует, что
задача A4.5) — A4.6) имеет единственное решение х = £ (t, х0, уо)У
У = '*}(*, х0, уо).
Лемма 14.1. Пусть М — тор и A4.1) — поток на М класса С\
k >- 1 (или непрерывный поток, такой, что I, т) имеют непрерыв-
непрерывные частные производные по t). Предположим, что Тг не имеет
стационарных точек (или что F\ + F\ Ф 0). Тогда существует
жорданова кривая Г класса Ck (или С1) на М, которая трансвер-
сальна к потоку. Кроме того, эта трансверсальная кривая Тне
может быть стянутой в точку по М, так что Г не ограничивает
2-клетки (т. е. подмножества тора, гомеоморфного диску).
Например, пусть F4 (х, у) Ф 0 и F (х, у) = F2IFu так что
система A4.5) имеет те же самые орбиты, что и уравнение
4L
=1, y' = F(x,y). A4.7)
Здесь каждая окружность х = const на М есть трансверсальная
кривая Г.
Доказательство. Рассмотрим дифференциальные уравнения
ортогональных траекторий
х' = F2 (x, у), у' = -Fi (x, у). A4.8)
Пусть х0 (f), уо (f) есть решение системы A4.8), так что
(х0 (t), у0 (/)) Ф const, поскольку F\ + F\ ф 0. Кроме того,
(*о @, Уо @) 6 Ck (или классу С1), так как (Fu F2) 6 С*-1 (или С0).
Предположим сначала, что х = х0 (f), у = у0 (t) есть замкнутая
кривая Г на М, т. е. что существует наименьшее число р > 0
и целые r0, s0, такие, что xQ (t + р) = х0 (/) + г0, #0 (< + р) =
= Уо (t) + So- Ясно, что Г является траысверсалью.
Если кривая х0 (t), y0 (f) является на М незамкнутой, то ее
полутраектория xo(f), y0 (t) для />-0, рассматриваемая как путь
на Му имеет по крайней мере одну со-предельную точку, скажем
(хи ух). Точка (хи У\) содержится в произвольно малом криволи-

'240 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
нейном прямоугольнике R: ABCD на М, у которого дуги АВ и CD
суть дуги решений системы A4.5), а ВС и AD—дуги решений
системы A4.8). Точка х0 (t), у0 (f) находится внутри R для неко-
некоторого большого t — to и выходит из него в некоторой точке Pi
на CD (или АВ) при дальнейшем изменении /, например в первый
раз при tx > to\ затем она встречает АВ (или CD) при некотором
значении t2 > /i впервые в точке Р2- Ясно, что если прямоуголь-
прямоугольник R достаточно мал, то в R найдется дуга Р2Ри которая вместе
с дугой х = х0 (f), у = у о (/) для ti ^ t -^ t2 составит трансвер-
саль Г класса Ск.
Допустим, что трансверсаль Г на М может быть стянута в точку.
Тогда она имеет на (х, г/)-плоскости образ Г, являющийся жорда-
новой кривой класса С1, которая ограничивает открытое множе-
множество Q0. Ясно, что точки на Г являются одновременно или точками
входа, или точками выхода для области Q0 по отношению к системе
{14.5). Тогда индекс Г по отношению к A4.5) равен —1 или +1;
см. § 2. Значит, Qo по следствию 3.1 содержит по крайней мере
одну стационарную точку, что противоречит предположению.
Лемма доказана.
В последующем мы будем предполагать, что
(Oi) М есть тор, а Т1 — поток на М класса Ck, k ^> 1, не имею-
имеющий стационарных точек.
Пусть Г — трансверсальная (жорданова) кривая на М. После
применения подходящего С^-гомеоморфизма плоскости можно счи-
считать, что
(П2) окружность Г: х = 0 является трансверсальной кривой.
В частности, F\ (п, у) ф 0 при п = 0, +1, ... . Без потери
общности можно предположить, что
Fi(n, у)>0, п = 0, ±1, . . ., A4.9)
так как в противном случае t можно заменить на —t.
Пусть то — некоторая точка из Гс М\ предположим, что
полуорбита С+ (то), проходящая через т0, встречает Г снова при
некотором ti > 0. Пусть т\ есть точка этой первой встречи. Дру-
Другими словами, если т0 = @, у0), то существует единственное
ti > 0, такое, что | (ti9 0, у0) = 1 [см. A4.9)], и потому mi =
= A, т] (ti9 0, у0)). Положим / (уо) = г] (tu 0, у0). Множество U
таким образом определенных точек у0 является открытым и перио-
периодическим (в том смысле, что у0 6 U тогда и только тогда, когда
у0 + 1 6 U). Будем предполагать, что
(П3) каждая орбита встречается сТ и функция yt — f (у) опре-
определена для всех у, — оо < у < оо.
Предположение (П3) выполняется, например, если Ft (x, у)
не обращается в нуль [так что система A4.5) «эквивалентна» урав-
уравнению A4.7)] или если нет замкнутых орбит.
Упражнение 14.1. Проверьте это утверждение.

§ 14. Потоки на торе 241
Функция / (у) обладает следующими свойствами: (i) / (у) строго
возрастает; (и) / (у + 1) = / (у) + 1, так что f (у) — у имеет пери-
период 1; (Hi) / (у) 6 С . Свойство (i) следует из того, что две орбиты или
тождественно совпадают, или не имеют ни одной общей точки.
Свойство (и) вытекает из последней строчки формулы A4.2), так
как если х = О и t = tu то I (ti9 О, у) = 1 и / (у) = г] (tif О, у).
Доказательство свойства (Hi) аналогично доказательству свойства
A2.3) в § 12, но несколько проще последнего.
Исходя из результатов § 13, мы получим теперь некоторые тео-
теоремы о потоках на торе. Назовем число а из леммы 13.1 для функ-
функции f(y) числом вращения потока Т1. Тогда из леммы 13.2 вытекает
следующая
Теорема 14.1. Пусть Тх — поток класса С1 на торе М, удовле-
удовлетворяющий предположениям (П±), (П2) и (П3). Тогда для сущест-
существования периодической (замкнутой) орбиты необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы число вращения а потока Т1 было рациональным.
Упражнение 14.2. Пусть поток Т1 такой же, как в теореме 14.1,
и пусть число вращения а рационально. Покажите, что каждая
полуорбита С+(т0) на М есть или жорданова кривая, или спираль,
стремящаяся к множеству Q (/тг0), которое в этом случае является
жордановой кривой.
Из теорем 13.2 и 13.4 вытекает
Теорема 14.2. Пусть Т1 — поток класса С2 на торе М, удовле-
удовлетворяющий предположениям (П1), (П2) и (П3), и пусть его число
вращения а иррационально. Тогда М является минимальным мно-
множеством (и каждая полу орбита С+(/п0) плотна в М).
Если М — минимальное множество, то поток Т1 называется
эргодическим.
Замечание. Теорема 14.2 не верна, если условие «Г'б С2» осла-
ослабить следующим образом: «Т1 6 С1». Ситуация еще более ухуд,
шается, если предположить только, что поток Т{ непрерывен-
\ и т) имеют непрерывные частные производные по t и F\ + F\ ф О,
хотя для других приведенных выше результатов в этом случае
их аналоги имеют место. Это видно из следующего упражнения,
являющегося обобщением результатов упр. 13.3.
Упражнение 14.3. Пусть точки (х, у), (х + 1, у) и (х, у + 1)
отождествлены, так что плоскость превращается в тор УИ, а линия
х = 0 — в окружность Г. (а) Пусть jV0 — произвольное совершен-
совершенное нигде не плотное множество на Г. Тогда существует непрерывная
функция F (х, у) = F (х + 1, у) = F (х, у + 1), такая, что задачи
Коши для A4.7) имеют единственные решения, и если Tl: xf =
= t + Хо> У* — Л {U %q> Уо) есть поток на М, определяемый урав-
16-241

242 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
нением A4.7), и S — соответствующий гомеоморфизм на Г, то
(число вращения а иррационально и) множество No является
единственным непустым минимальным множеством на S. (Ь) Суще-
Существует функция F {х, у) = F (х + 1, у) = F (х, у + 1) класса С1,
такая, что соответствующий поток Тг класса С1 имеет иррациональ-
иррациональное число вращения а, но Т1 не является эргодическим (т. е. М
не является минимальным множеством); см. Данжуа [1].
Простейший поток на М задается соотношениями
A4.10)
он порождается дифференциальными уравнениями
где а —постоянная (совпадающая с числом вращения потока).
Рассмотрим поток вида
xl = t + x, yl = 4\{t,x,y), A4.11)
порождаемый, например, системой дифференциальных уравнений
вида х' = \, у' =F(x, у). Функция f(y), соответствующая потоку
A4.11), равна
ЛA,0,</). A4.12)
Изучая орбиты потока A4.11), достаточно рассмотреть только
т)(£, 0, #), т. е. орбиты, начинающиеся при £ = 0 в точках @, у)
оси у. Действительно, орбита, начинающаяся в точке (х, у), пере-
пересекает х-ось при t= —х, так что
,0,r\( — x, х, у)), A4.13)
поскольку Т1
Проверим, что функция
4(t, 0, у) — at — у ограничена A4.14)
для — оо < t, у < оо . Для этой цели заметим сначала, что
fn (у) = г[ (п, 0, у), так что функция
Л (^» 0, г/) — мое — г/ ограничена
в силу леммы 13.1. Если t = n-\-Q^ где 0<Э1<1, то v\(t, 0, у) =
= г\(п, 0, г[ @1? 0, у)) обладает тем свойством, что
Л {U 0, у) — тх — ц @4, 0, у) ограничена
при na = at — Qta. Кроме того из равенства г) (t, 0, у-\-1) =
= l+r[(t, 0, у) следует, что если у = j + Q2> где О<02<1, то
Л @1> 0, у) — / = г] @lf 0, 02) ограничена,

§ 14. Потоки на торе 243
где j = y — 62. Теперь видно, что A4.14) следует из этих двух
последних соотношений. Утверждение A4.14) в эргодическом слу-
случае можно значительно усилить. В этом и состоит следующий
результат.
Теорема 14.3 (Боль). Пусть Т1 — непрерывный эргодический
поток вида A4.11), заданный на торе М и имеющий {ирра-
{иррациональное) число вращения а. Тогда существуют непрерывные
функции ty(y) и G(t,z), такие, что
A4.15)
A4.16)
Заметим, что для фиксированного у (или t) функция r\(t, 0, у) —
— at — у является почти периодической по t (или периодической
по у).
Доказательство. Пусть z = g (у) — функция, определенная
в теореме 13.3, и пусть ^(#), % (у) — функции периода 1, опреде-
определяемые соотношениями
. A4.17)
Сделаем замену переменных R: (х, z) = (x, g (у)). Тогда Т*
принимает вид
Я71'/?-1: *' = * + *, zl = l{t,x, г), A4.18)
где
Z(t,x,z) = g(v][tJx,g-1(z)]). A4.19)
По аналогии с A4.2) имеем
£ (*, х+ 1, z) = £ (/, х, г), £ (*, х, z+ 1) = 1 + £ (/, *, г), A4.20)
а по групповому свойству отображения RpR'1 (ср. с A4.3))
£(*+ 1, х, z) = £(/, х+ 1, £A, л:, z)) = £(<f л:, £A, дс, г)). A4.21)
Введем краткие обозначения
Ц {U У) = г\ (/, 0, у) и £ (/, г) = £ (*, 0, г). A4.22)
Заметим, что £ A, г) = z + ос в силу равенства / (#) = т] A, у)
и теоремы 13.3. Поэтому из A4.20) — A4.22) вытекает, что
Значит, непрерывная функция
16*

244 Гл. VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
имеет период 1 относительно / (или z) при фиксированном г (или t).
Запишем последнее соотношение так:
E(ff z) = at + z + ^i(tJ at + z). A4.23)
В силу A4.19), r\(t, y) = g-1(fc[t, g(y)]), так что, используя A4.17),
получаем
Следовательно, из A4.23)
4(t,y) = at + g(y) + G(t,at + g(y)), A4.24)
где G(t, z) определяется равенством
Ясно, что G удовлетворяет второй части соотношения A4.15).
Наконец, A4.24) и первая часть формулы A4.17) дают A4.16).
Теорема доказана.
ПРИМЕЧАНИЯ
Большая часть результатов § 1—9 главы содержится или намечена
в мемуаре Пуанкаре [3], состоящем из четырех частей; см. также Бендик-
сон [2]. Л. Брауэр [1] рассматривает подобные задачи без предположений
аналитичности и даже без предположения о наличии только одного реше-
решения, проходящего через данную точку.
§ 1. Термины «а- и ©-предельные точки» принадлежат Дж. Д. Бирк-
гофу [3]; термин «предельный цикл» ввел Пуанкаре [3].
§ 2. Теорема об индексе (теорема 2.1) восходит к Риману [1, стр. 106—
107]. Первая формальная формулировка и доказательство были даны
Дж. Н. Ватсоном [1]. Приведенное в тексте доказательство принадлежит
Г. Хопфу [1], см. также ван Кампен [4].
§ 3. Определение «индекса» было дано Пуанкаре [3, I].
§ 4. См. Пуанкаре [3] (в особенности ч. II) и Бендиксон [2].
§ 5. См. Пуанкаре [3].
§ 6—7. См. Пуанкаре [3].
§ 8—9. О лемме 8.1 см. Бендиксон [2, стр. 26]. Теоремы 9.1 и 9.2 в ана-
аналитическом случае принадлежат Пуанкаре [3] (в особенности ч. I) и Бен-
диксону [2]. Приведенное в тексте доказательство теоремы 9.1 является
результатом переделки и упрощения доказательства Брауэра [1,11] (услож-
(усложненного отсутствием условия единственности решения задачи Коши). Отно-
Относительно упр. 9.1 см. Шильт [1].
§ 10. Задачи рассматриваемого здесь типа восходят к ван дер Полю [1]
и Льенару [1]. Теорема 10.1 является вариантом одного результата Левин-
сона и Смита [1]. Аналогичный результат, касающийся A0.15), был получен
Левинсоном [1], улучшен Лангенхопом [1] и затем, как в упр. 10.1, его уси-
усилил Опяль [7]. Теорема 10.2 является обобщением результата Льенара [1].
По поводу упр. 10.5 см., например, Лефшец [1, стр. 342—346] и приведенные
там ссылки на Фландерса и Стокера [1], Ла-Салля [2] и Стокера [1]. О более
полной разработке относящихся сюда задач и о работах Картрайт, Литтл-
вуда, Даффа, Массеры, Рейтера, Сансоне, Шимицу и др. см. Андронов, Витт

Примечания 245
и Хайкин [1], Боголюбов и Митропольский [1], Боголюбов и Крылов [1Ц
Лефшец [1], Митропольский [1], Конти и Сансоне [1], Стокер [1]. *
Приложение. Исследования такого рода были начаты Пуанкаре [2],
[3, III] для случая дифференциальных уравнений на торе; см. примечания
к § 13, 14.
§ 11. Идеи этого параграфа принадлежат Пуанкаре.
§ 12. Результаты и методы этого параграфа принадлежат А. Дж. Швар-
Шварцу [1]; об обобщениях см. Сакстедер [1]. Аналог теоремы^12.1 для тора был
известен ранее; см. Данжуа [1]. См. также примечания ка§ 13, 14.
§§ 13—14. За исключением теоремы 13.4, упр. 13.1, 13.2 из § 13, теорем
14.2, 14.3 и упр. 14.3 из § 14, результаты и методы этих параграфов по суще-
существу принадлежат Пуанкаре [3,1 II]. Автором были приняты во внимание
уточнения и упрощения, предложенные Данжуа [1] и ван] Кампеном [1];
см. также Зигель [1]. (После Пуанкаре доказательства основной части лем-
леммы 13.1 дали Е. Леви, Боль, Г. Кнезер, Нильсен и Данжуа; для ссылок
см. Боль [1] и ван Кампен[1].) Теорема 13.4 и ее следствие — теорема 14.2—
в аналитическом случае были высказаны в виде предположений Пуанкаре
[3,111]. Первое их доказательство в немного более сильной форме дал Дан-
Данжуа [1] (см. упр. 13.3). Очень простое доказательство peзyльтaтaiДанжуа
было получено ван Кампеном [1]. Похожее доказательство, не использующее,
однако, числа вращения, было предложено Зигелем [1]. Данжуа [1] привел
примеры (см. упр. 13.2 и 14.3) нарушения справедливости этих результатов
при ослабленных условиях гладкости. Теорема 14.3 принадлежит Болю [1].

Глава VIII
Стационарные точки
на плоскости
В этой главе мы продолжим изучение поведения решений авто-
автономных систем на плоскости. Основная теорема существования,
которая будет доказана в § 1, справедлива для автономных систем
произвольной размерности.
§ 1. Теорема существования
В этом параграфе мы рассмотрим автономную систему
z' = f(z) A.1)
для вещественного d-мерного вектора z = (z1, . . ., zd). Под полу-
полутраекторией Г системы A.1) мы будем понимать дугу решения
в z-пространстве: С+: z = г (f), О <; t < со+ «; оо), или С": z =
= z (t), О ;> / > со_ Q> — оо), определенного на правом или левом
максимальном интервале существования. В соответствии с этим Г
будет называться полу траекторией типа С+ или С". Точка 2@)
будет называться концевой точкой полутраектории Г.
Теорема 1.1. Пусть функция f (z) непрерывна в открытом z-mho-
жестве Q. Обозначим через Qo такое открытое подмножество в Q,
что часть его границы, лежащая в Q (т. е. множество dQ0 f| £2)>
является объединением L \J R двух непересекающихся множеств
L и R, где R — компакт, точки L суть точки выхода, а все мно-
множество д£10 П й = L (J R не компактно. Тогда или Qo [} L, или
Qo U R содержит по крайней мере одну полутраекторию Г системы
A.1) с концевой точкой соответственно в L или R.
Определение точки выхода см. в § III.8. В этой теореме не утвер-
утверждается, что L содержит все множество точек выхода области Qo-
Так как граница dQo замкнута по отношению к Q, то из условия
некомпактности множества L [} R следует, что L [} R или не огра-
ограничено, или имеет предельную точку z«>, не принадлежащую Q.
Из доказательства будет ясно, что или существует полутраек-
полутраектория Г типа С"вй0 U ^ с концевой точкой на L, или существует
полутраектория Г в Qo U R с концевой точкой на R. Достаточ-
Достаточные условия для того, чтобы Г с: Qo U R и имела концевую точку
на R, сформулированы в теореме 1.2, которая, однако, не позво-
позволяет определить, к какому типу С+ или С" относится Г.

§ 1. Теорема существования 247
Теорема 1.2. Пусть выполнены все предположения теоремы 1.1
и, кроме того, решения системы A.1) однозначно определяются
начальными условиями, R не пусто, a L [} R связно. Тогда в Qo U R
существует полутраектория с концевой точкой на R.
Условие «L U R связно» может быть ослаблено до условия
«Lo U R связно, где Lo cz L, и Lo U R или не ограничено, или
имеет предельную точку, не входящую в L (J R (т. е. в Q)».
Замечание. Условие теоремы 1.2 о единственности решений
задачи Коши для системы A.1) можно отбросить, если известно,
что на Q существуют гладкие функции fn (z), к = 1, 2, . . .,
аппроксимирующие / (z) равномерно на каждом компактном под-
подмножестве из й и такие, что к системам г9 = fn (г) применима тео-
теорема 1.2. Это утверждение будет проиллюстрировано в следствии 1.1.
Доказательство теоремы 1.1. Для краткости мы будем писать
о)_ (z0), u>+ (z0), т (z0), . . ., хотя, быть может, решения и не опреде-
определяются однозначно выбором начальной точки z0, так что со., со+,
т, . . . зависят от z0 и от рассматриваемого решения. Пусть z (t, z0) —
произвольное решение системы A.1), определенное точкой z @) =
= z0, и пусть его максимальный интервал существования есть
со. (z0) < t < (о+ (z0). Если z0 6 L, то z (/, z0) € ^o Для малых
— t > 0. Если существует точка z0 6 £, Для которой в Qo [} L
имеется полутраектория z (t, z0), определенная на своем левом
максимальном интервале существования со_ (z0) < ^<0, то утвер-
утверждение теоремы 1.1 справедливо.
Поэтому предположим, что для каждой точки z0 6 L и решения
z (f, z0) существует точка т = т (z0), со_ (z0) < т (z0) < 0, такая,
что z (/, z0) 6 ^о Для т (z) < / < 0, но z (т, z0) $ Qo- Тогда
2 (т, z0) 6 ^, и потому, в частности, R не пусто.
Так как R — компакт, а множество L (J 7? не компактно,
то на L существует последовательность точек zb z2, . . ., таких,
что если тт = г (zm), то существует предел z° = lim z (тто, zm) 6 Л
при /п -> оо и либо || zm || -> оо, либо существует Zoo = lim zm
и Zoo $ Q; см. рис. 1.
Положим zm (t) = z (/, z (тт, zm)), так что zm @) = z (rm, zm) 6
6 /?, zm (—тто) = 2m6L, zm @ 6 Qo для 0 < t < — тт. Так как
zm @) -*■ 2° ПРИ w->-oo, то из теоремы П.3.2 следует, что если
последовательность zu z2, . . . выбрана подходящим образом, то
можно считать, что существует решение z° (t) системы A.1), удо-
удовлетворяющее условию z @) = z°, имеющее максимальный интервал
существования (шо> ©°) и такое, что предельный переход
zm@ + z°@, m^oo, A.2)
равномерен на любом /-отрезке U+, /*] из (оH> со0), В частности,
o_(zm) < ^ < /* < co+(zm) для больших /п.

248
Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
Предположим противное: z° (/) (£ Qo U R Для 0 <; / < со0. Тогда
z° (/) (£ Qo П Q = ^о U ^ U # Для 0 <; / <; со0, и потому сущест-
существует точка / = tu 0 < ti < со0, такая, что 2° (/4) $ Qo- Пусть ^ <
< ^2 < 0H- Тогда для больших /п решение zm (tf) определено на
отрезке 0^/<;£2, и на нем справедливо соотношение A.2). Но
zm Ci) $ ^о Для больших т. Следовательно, 0 < — хт < /t для
больших т. В этом случае z° (—тт) — zm (—тт) ->- 0, т -> оо,
Рис. 1.
согласно A.2). Так как zm (—im) = zm и либо \\zm ||—>■ оо, либо
zm -+ Zoo при t ->- оо, мы получаем, что или || г° (—тте) || ->- оо,
или z° (—тт) ->- Zoo $ Q при т -> оо. Но это невозможно, так как
—тт < ^i < со0. Теорема 1.1 доказана.
Доказательство теоремы 1.2. Принимая во внимание доказа-
доказательство теоремы 1.1, достаточно рассмотреть тот случай, когда
существует точка z0 6 L, такая, что (единственное) решение z (/, z0)
находится в Qo {} L '{} R, а потому в Qo U R Для со_ (z0) < / < 0.
Пусть Li — (непустое) подмножество таких точек из L. Ясно, что
Li замкнуто относительно L, так как L состоит из точек выхода;
см. теорему II.3.2.
Если существует точка z° 6 R> являющаяся предельной для
Lu то С": z(ty 2°), co_(z°)<*<0, находится в Q0 U R- Пред-
Предположим поэтому, что L| не имеет на R предельной точки. Тогда
Li замкнуто относительно L [} R.
Следовательно, множество L \ Li имеет предельную точку
Zoo ^ Li\ в противном случае L [} R разлагается на два непустых
взаимно непересекающихся множества (L \ Li) [} R и Liy которые
замкнуты относительно множества L [} R. Но множество L [) R
по условию связно.

§ 1. Теорема существования
249
Значит, можно повторить построение доказательства теоремы 1.1,
с той лишь разницей, что zm £ L \ Lt и zm -+ z«> £ £i- Если
° (t) £l R 0 t
z° (t)
р \
[) R для 0 <; t <. со+ (z0), то доказательство закончено;
Е
< ()
см. рис. 2. Если это не так, то нужно проследить за рассуждениями
L\L
Рис. 2. z° (t) е ^о U
в конце доказательства предыдущей теоремы, чтобы снова прийти
к тому выводу, что — im < tt < со0 и z° (—тт) -^ г оо при т -> оо.
Значит, существует точка ^ = Too (<!0), являющаяся (конечной)
предельной точкой последовательности ть т2, .... Тогда
z° (—Too) = Zoo. Ясно, что too < 0, так как г° @) 6 7?, Zoo 6 £i (a L
Рис. 3. 2° (О G fio U R Для со_ (г0) < * < 0.
и R не пересекаются). Поскольку Zoo 6 Li и решение z (t, Zoo) одно-
однозначно определено точкой Zoo, отсюда следует, что z (t, Zoo) g Qo U -R"
для (o_ (zoo) < ^ < 0; см. рис. З. (Это как раз то место, где исполь-
использовано условие единственности решения задачи Коши для систе-
системы A.1).)

250
Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
В частности, полутраектория z° (t — т») = z (t, z«>), co_ (Zoo) <
<^<;тоо, находится в Qo U R* Так как концевая точка этой
траектории есть z (/«>, z«>) = z° 6 #, то теорема доказана, т. е.
г° @ € Qo U # Для <о_ (z°) < *< 0.
Следствие 1.1. Пусть dim z ;> 2, функция f (z) непрерывна
в открытом множестве Q, содержащем замыкание шарового сектора
Qo={z: 0<||z||<6, Ц-ij- —z*|<T|<2}f A.3)
гЗ^ б, г\ —положительные числа и ||z*||=l, и пусть
f@) = 0. A.4)
Пусть L и R обозначают соответственно боковые и сферические
части границы сектора Qo> т. е.
I _ II -ч
A.5)
A.6)
Предположим, что каждая точка на L является точкой выхода
для Qo. Тогда система A.1) имеет по крайней мере одну полу траек-
траекторию Г в Qo U R U {0} с концевой точкой в R {определенную на
полупрямой t^O или /<; 0); см. рис. 4.
а б
Р и с. 4. а) Г типа С+; б) Г типа С~.
Доказательство. Предположим сначала, что решения системы
{1.1) однозначно определены начальными условиями. Тогда можно
применить теорему 1.2 при условии, что открытое множество Q
из этого следствия заменено открытым множеством, полученным
удалением из Q точки z = 0, и потому д£10 (] Q = L (J R. Значит,
в Qo U R существует полутраектория, например С+: z (/), 0 <; t <
< о)+ «;<х>) с z @) 6 R. Если (о+ < оо, то 2 (t) ->- 0 при /-> о+;
см. лемму П.3.1. Но в этом случае решение z (/) можно продолжить
еа 0 <; t < 00, положив z (t) = 0 для / >- со+. (На самом деле такой

§ 1. Теорема существования 251
ситуации не может возникнуть, если решения системы A.1) опре-
определяются однозначно начальными условиями, так как из равенства
z (t0) = 0 для некоторого t0 следует, что z (t) = 0. Но в общем слу-
случае, который мы сейчас рассмотрим, это может случиться.)
Осталось показать, что следствие 1.1 справедливо и в том случае,
когда не предполагается единственность решения задачи Коши.
Так как точка z 6 L является точкой выхода, то производная функ-
функции и (z) = \\z/\\z\\ — 2* ||2 — г]2 вдоль траектории в точке z 6 L
неотрицательна, т. е.
(z-z*)(z-f)-\\z\\*(z*.f)>Q A.7)
для 0 < || z || < б, || 2 /1| 21| — 2*|| = т]; см. § III.8. Таким образом,
если fe(z) = f(z) — &z*, то
B.г*)B./8)-||2:||2B*./8)>8(||2||2-B.2Т), A.8)
что больше некоторой положительной постоянной есЛ>0, когда
для больших п
■7г<1И<6' Ита"г1=ть (L9)
Пусть ft B), f2 B), ... — последовательность гладких функ-
функций, такая, что fm B) —>■ f B) равномерно на некотором открытом
множестве Q' id Qo. Пусть целое п > 0 так велико, что \/п < б.
Тогда, заменяя, если это необходимо, fm B) на fm B) — 2*/я, мы
можем считать, что существует такое т = т (п), что при выпол-
выполнении условия A.9)
B.2*)B./m)-||2||2B*./m)>^->0, A.10)
причем т (п) —> оо при п -> оо.
Обозначим через Qn открытое множество, полученное из Q'
удалением шара ||г||<1М. Пусть
Q0n={z:±-<\\z\\<6,
и пусть Ln и R суть соответственно боковая и сферическая границы
множества Qon в Qn. Согласно A.10), точка z£Ln является для
Qon точкой выхода по отношению к дифференциальному уравнению
Z'=fm(z). (Ы1)
Значит, по теореме 1.2, уравнение A.11) имеет в йо* U R полу-
полутраекторию Гт с концевой точкой на R. Пусть для определенности
Гт = С+: z = zm (/), 0 < t < хт «оо), где zm @) 6 R.
Здесь 0 ^ t < тт является правым максимальным интервалом
существования при условии, что уравнение A.11) рассматривается
только в Qn. Пусть правым максимальным интервалом существо-
существования решения zm(t) является 0 <;/< шт (<;°°), если A.11)

252 Гл. VI1L Стационарные точки на плоскости
рассматривается в Q1. Значит, tm ^ сот, и из неравенства хт <Z
< com следует, что || гш (тт) || = 1/п.
Выбирая, если это необходимо, подпоследовательность, можно
считать, что при т = т (п) ->■ оо предел z0 = lim zm @) £ R суще-
существует. В силу теоремы II.3.2 можно также считать, что система
A.1) имеет решение zo(t), удовлетворяющее условию z0 @) = z&
и такое, что zm (t) ->■ z0 (t), m = m (n) ->■ оо, равномерно на каж-
каждом отрезке из правого максимального интервала существования
[ 0, со о) решения z0 (/) в й'.
Предположим, что полутраектория Г: z0 (/), 0 <; £< со0, не пол-
полностью находится в Qo \J R U {0}. Тогда z0 (ti) $ Qo для некото-
некоторого tu 0 <^ ti < (o0. Если 8 > 0, то для больших m имеем О <С
< Tm < ^i + в и тт < com. Следовательно,
IIZo(Tm)—Zm (Tm) || -> 0
и || zm (тт) || = \ln -> 0, когда т (/г) -> оо. Значит, если Too —
предельная точка последовательности ть т2, . . ., то z0 (Too) = 0.
Но тогда можно следующим образом изменить определение z0 (/):
если t0 > 0 есть наименьшее значение t, где z0 (t) = 0, то положим
го @ = 0 для всех t >- /0- Теперь Г: zQ (t) определена на 0 <; t < оо
и гт (t) ->■ z0 @ при m (п) -> оо равномерно на 0 ^ t ^ /0 < °°-
Повторяя только что приведенные рассуждения, получаем, что
Zq (t) 6 ^о U R U {0}- Утверждение доказано.
Следствие 1.2. Пусть dim z = 2, выполняются все предположе-
предположения следствия 1.1 и, кроме того,
f (г) ф 0 для 0 Ф z Quo- A.12)
Тогйа полутраектория Г: z (^) г/з следствия 1.1 определена для
t >- 0 ила £ < 0, причем z (t) -►■ 0 /гра / -►■ оо ала / —> — оо.
Доказательство. Если это утверждение неверно, то Г: z (t)
остается для всех t ^ 0 или ^ ^ 0 на положительном расстоянии
от точки z = 0; см. лемму П.3.1. Но в силу A.12) это невозможно
согласно результатам общей теории плоских автономных систем;
см. теорему VI 1.4.4.
Следствие 1.3. Пусть выполнены предположения следствия 1.2.
(i) Если, кроме того, z-f (г) < 0 для z 6 R, то любая полутраек*
тория Т в Q0\J R [] {0} с концевой точкой на R определена для
всех t >- 0; (ii) если z-f (z) > 0 для z 6 R и z (t) — любое решение
системы A.1), причем г @) лежит внутри R (т. е. || z @) || = б,
II z @)/1| z @) || — z*||<t|), то z{t) может быть определено для
всех t <; 0, так что z (f) 6 ^о U R U {0} a z (t) -> 0 при t-^- — оо.
Упражнение 1.1. Докажите следствие 1.3.

§ 1. Теорема существования
253
В следующем утверждении рассматривается другая ситуация.
Следствие 1.4. Пусть dim г = 2, так что L в A.5) является
объединением двух непересекающихся открытых прямолинейных
отрезков Lt и L2. Пусть выполнены предположения следствия 1.2,
но условие у что каждая точка из L является для й0 точкой выхода,
заменено следующим: каждая точка z 6 £i является для й0 точкой
выхода, а каждая точка г 6 L2 является для Qo точкой входа. Тогда
€ Qo или не существует ни одной, или есть по меньшей мере две
полутраектории с концевой точкой на L[) R.
Рис. 5.
Доказательство. Предположим, что в Q0 есть полутраектория
Г° с концевой точкой z°£L{]R. Допустим, что Г° принадлежит
типу С+ (в противном случае заменим t на —t и поменяем ролями
U и L2). Тогда z° eL2[)R. __
Предположим, что z° 6 L2. Тогда каждая точка z0 отрезка
[О, z°] d L2 является концевой точкой некоторой полутраектории
Г° типа С+, расположенной в &о[) L2; см. рис. 5, а.
Предположим, что z° — внутренняя точка R и ни одна точка
2i 6 L2 не является концевой точкой полутраектории в Q0U^2-
Тогда дуга решения системы A.1), проходящая через zb не встре-
встречается с Г° при увеличении t, но обязательно пересекается с R;
см. рис. 5, б. Рассуждения, использовавшиеся при доказательстве
теоремы 1.1, показывают, что тогда в й0 U R найдется полутраек-
полутраектория Го типа С" с концевой точкой г0 6 R- Тем самым следствие 1.4
доказано.
Упражнение 1.2. Пусть выполнены условия следствия 1.4
и, кроме того, г-[(г)Ф0 для г 6 R. Покажите, что тогда в й0
или нет ни одной, или есть бесчисленное множество полутраекторий
с концевыми точками на L [} R.
Для произвольной размерности d = dim г следствие 1.3 имеет
следующий аналог:

254 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
Следствие 1.5. Пусть d >- 2, выполнены предположения след-
ствая 1.1 и, кроме того, z-f (z) Ф О для z 6 Q0U R- Тогда любая
полутраектория Г: z (t) в &o[j R[) {0} С концевой точкой на R
определена на полуоси t^-О или t ^ О и стремится к z = О при
t ->- оо или t-^- — оо б соответствии с тем, будет ли z -f (z) < О
или >0.
Это утверждение очевидно, так как || z || убывает или возрастает;
вместе с t в соответствии с тем, будет ли z-f (г) < 0 или >0.
§ 2. Характеристические направления
В этом параграфе размерность d = 2. Положим г = (х, у)
и перепишем A.1) в виде
х' = Х(х, у), yr=Y(x, у). B.1>
Будем предполагать, что X и Y непрерывны для малых | х [, \ у[
и что
X@,0) = K@f0). B.2)
Введя полярные координаты x = rcosQ, y = rsinQ, преобразуем
B.1) к виду
r'=X(r cos 9, г sin 0) cos 0 + Y (r cos 0, г sin 0) sin 0,
, rsin0)cos0 — X(rcos0, rsin0) sin0. ^2*3^
Направление 0 = 0О, исходящее из начала координат, называется
характеристическим для системы B.1), если существует последо-
последовательность (ru 0i), (г2, 0г), ..., такая, что 1) 0< гп—>0 и Qn—>%
при /г->оо; 2) (Xn,Yn) = (X(xn, yn), Y (хп, уп))Ф@, 0), где
( F iQn), и 3)
Условие B.4) означает, что угол (mod л) между векторами (Хп, Yn)
и (cos0o, sin0o) стремится к 0 при п—>оо.
Лемма 2.1. Пусть Х(х,у), Y(x,y) непрерывны для малых
\х\, \у\, и пусть Х2 + ^2>0 или =0 в соответствии с тем,
будет ли х2 + у2>0 или =0. Пусть система B.1) обладает
решением (x(t),y(t)) для 0< ^<со(<оо), таким, что
0<x2(t)+y2(t)->0 при г->со. B.5)
Пусть г (t) = [х2 @ + У2 (t)]i/2 > 0 и 0 @ является непрерывным
продолжением угла arc tg у (Q/jc @, ^ направление Q = $оне является
характеристическим. Тогда для всех t> близких к со и таких, что
0 (t) = 0О (mod л), или 0' (/) > 0, или 0' (f) < 0.

§ 2. Характеристические направления
255
Доказательство. Ясно, что Э'@ Ф О для всех /, близких к о>
и таких, что 9 @ = 90 (mod 2я). В противном случае существует
последовательность t± < t2 < . . ., такая что tn ->- со, 0 D) =
= 0о(тоA2я) и 0'D) = 0. Но тогда для (rnt Qn) = (г (/„), 0О>
будет иметь место соотношение B.4), так как в этом случае числи-
числитель в формуле B.4) равен нулю в силу B.3). Но это невозможно,
так как направление 0 = 0О не является характеристическим.
Допустим, что лемма не верна. Тогда существует последователь-
последовательность tt < t2 < . . ., такая, что tn ->- со, г (ti) > r (t2), . . .
Рис. 6.
. . ., (__1)*е'D) > 0 и 0 (Q = 0О (mod 2л); см. рис. 6. Обозна-
Обозначим через в (г, 0) правую часть второго уравнения в B.3), так что
(—1)пв (г (tn), 0О) > 0. В силу непрерывности функции в (г, 0О) по-
г > 0 существует г„, такое, что г (tn) >rn> r (tn+1) и в (гп, 0О) = 0.
Так как X2 + Y2 Ф 0 при х2 + у2 Ф 0, отсюда следует, что спра-
справедливо B.4) с (rny Qn) = (гп, 0О), т. е. направление 0О является-
характеристическим. Полученное противоречие и доказывает спра-
справедливость леммы.
Теорема 2.1. Пусть X (х, у), Y (х, у) и (х (t), у (f)) обладают
теми же свойствами, что и в лемме 2.1. Предположим, что каждый
^-интервал, а < 0 < |3, содержит нехарактеристическое направ-
направление. Тогда или существует конечный предел
0o=lim0(f),
B.6>
или (x(t),y(t)) есть спираль, т. е.
\Q(t)\—>oo при t—>(o. B.7)
В случае B.6) направление 0 = 0О является характеристическим.
Доказательство. Предположим противное: 0 (t) при /^-о не
стремится ни к конечному, ни к бесконечному значению. Тогда

256 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
существуют числа а, р, такие, что при t ->- со имеем
( — cx>)<Hm_0(/)<a<p<Hm0(/) (<oo).
По предположению, в 9-интервале существует нехарактеристиче-
нехарактеристическое направление 90, причем a < 90 < р. Так как угол 0 (/) являет-
является непрерывной функцией от /, то сколь угодно близко к со най-
найдется /-значение, где Э (/) = а < 0О, и другое /-значение, где
в (/) = р > 0О. Следовательно, сколь угодно близко к со существу-
существуют /-значения, где 0 (/) = 0О, 0' (/) >- 0, и другие /-значения, где
О (^) = 0Oj 0' (t) ^ 0. Но это невозможно в силу последней леммы.
Значит, 0 (/) при /->-со стремится к конечному или бесконечному
пределу. Справедливость последнего утверждения теоремы 2.1
ясна из определения характеристического направления. Теорема
доказана.
Упражнение 2.1. Пусть X, Y непрерывны для малых | х |, \ у \
и обращаются в нуль в точке @, 0). Пусть яр (г) — положительная
непрерывная функция для малых г > 0, такая, что яр @+) = 0.
Предположим, что пределы
r->0
г|>(г)
r->o
существуют равномерно для 0, близких 0О, и что р2 @) + ^2 @) Ф 0.
Покажите, что 0 = 0О является характеристическим направлением
в том и только в том случае, когда 9@o)cos0o — р @О) sin 0О = 0.
Теорема 2.2. Пусть X (х, у), Y (х, у) непрерывны в треуголь-
треугольнике Т: 0<д:<а, \у\<г\х, и пусть ХфО. Пусть (о(лг, 0) —неот-
—неотрицательная и непрерывная на 0<д:<а, 0<г/<2г]х функция,
такая, что 1) со (х, 0)=0 и 2) функция и(х) = 0 является един-
единственным решением уравнения
%- = <*{х,и), B.8)
удовлетворяющим при малых х > 0 условию
"(*)> -^--^0, х-^0 + . B.9)
Пусть функция
удовлетворяет неравенству
U (х, у2) — U (х, у{) < со (*, у2 — уд для yi <y2 B.11)

§ 3. Системы, близкие к линейным 257
и (*> #i)> (*» У2) G 71- Тогда система B.1) имеет (с точностью до заме-
ны параметра t параметром t + const) #е более одного решения
(* @> У @)» которое при t-^oo [или t—>-—00) удовлетворяет
соотношениям
ff->0. B.12)
Упражнение 2.2. Докажите теорему 2.2. Заметим, что систе-
система B.1) эквивалентна уравнению dyldx = U (х> у).
Упражнение 2.3. Покажите, что теорема 2.2 остается справедли-
справедливой, если в ней условие B.11) заменено условием U (х, у2)—
— U (х, yi) < {у2 — yi)/x для — r\x < yi < у2 < г\х и 0 < х < а.
В частности, это так, когда X > 0 и X, Y имеют непрерывные част-
частные производные Ху, Yy по у, которые в Т удовлетворяют нера-
неравенству XYy — XyY^X4x.
Упражнение 2.4. Заменим в теореме 2.2 треугольник Т обла-
областью ^о- 0 < х <; а, | у | <; Ь\ пусть, кроме того, функция со (х, и)
непрерывна в области 0 < х ^ а, | и \ ^ 26. Покажите, что если
из B.9) устранить условие «и (х)/х-*0», то имеет место аналог
теоремы 2.2, 'но без утверждения \«у (f)lx (t) -> 0» в B.12).
§ 3. Системы, близкие к линейным
Результаты §§ 1 и 2 могут быть применены к двумерным систе-
системам, полученным возмущением линейной системы
z'k=[£*> C.1)
в которой z (л:, у) есть двумерный вектор, а Е — постоянная матрица
с вещественными элементами. Если не оговорено противное, то
в дальнейшем будет предполагаться, что
det E ф 0. C.2)
Пусть Xif Х2 — собственные числа матрицы Е\ очевидно, Я4 и К2
являются или вещественными, или комплексно сопряженными,
так как матрица Е вещественная. Если К = Xi или X = Х2 — про-
простое собственное число или если X = К± = Х2 и Е имеет элементар-
элементарный делитель степени 2, то с точностью до множителя ±1 сущест-
существует единственный (вещественный) единичный собственный вектор
2*, для которого Ez* = Xz*.
Напомним результаты упр. VII.7.1 и 7.2: если Xiy Х2 = ±ф
($ФО)> то точка z = 0 является центром; если \Хи Х2 = а ± t'P
(а^О, р Ф 0), то точка z = 0 есть фокус («достигаемый» при
t = ±00 в соответствии с тем, будет ли а < 0 или > 0); если
^i, Х2 вещественны и det Е = XiX2 > 0, то точка z = 0 является
1 7-241

258 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
точкой притяжения, а именно узлом для t = ±00 в соответствии
с тем, будет ли Xt < 0 или Х2 > 0 (и собственным узлом, если только
Xi = Х2 и Е имеет простые элементарные делители); наконец,
если Хи %2 вещественны и АД2 = det E < 0, то точка 2 = 0 являет-
является седловой.
После надлежащих вещественных линейных замен переменных
можно считать, когда это удобно, что Е задана в одной из следую-
следующих нормальных форм:
C.3-1) C.3-2) C.3-3)
Не о) Ир а) Но J
Xlt Я2 = ±ф Я-j, %2 — а±Ф >ц Я2 вещественны; C.3)
C.3-4) C.3-5)
X = %i = X2 вещественны Я = Я4 = Я2, е =^= О
(простые элементарные (элементарный делитель
делители) степени 2)
В этом параграфе мы будем рассматривать систему
z' = Ez + F(z), C.4)
где функция F (z) непрерывна при малых \\z\\ и
-^- -> 0 при 0 =^ г -> 0. C.5)
Теорема 3.1. Предположим, что имеет место C.2) и непрерывная
функция F (г) удовлетворяет условию C.5). Пусть точка z = О
является для системы C.1) точкой притяжения при t -> +oo, та/с
*/то ось = Re Я^ < 0, /г = 1, 2.
(i) Тогда точка z = 0 является при t ->■ +°° точкой притяжения
и для системы C.4). Более обцо, есла afe < — с < 0, /г == 1, 2, то
существует такая постоянная М = М (с), «/то есла точка \\ z0 \\ Ф О
достаточно близка к нулю, то каждое решение системы C.4) с ##-
чальным условием z @) = г0 существует для />0 и удовлетворяет
следующим условиям:
|| г @ ||< М || г0 || е-с' для г> 0; C.6)
/-1 In || z(t)\\-+a при t->oo, C.7)
где ос = cci ала сх2.

§ 3. Системы, близкие к линейным 259
(и) Если <Х\ <С ol2 <С 0, так что Х\ = аи %2 = а2 вещественны,
и имеет место C.7), то существует предел
■ = *о, C-8)
который является собственным вектором матрицы Е, соответ-
соответствующим собственному числу a (=Xi или Х2). В частности, если
матрица Е задана в нормальной форме C.3-3), то
g — О или Щ -> О при t -> оо C.9)
в соответствии с тем, будет ли а = 7,t или К2.
(iii) Пусть at < а2 < 0. Если г° есть один из двухг) вещественных
единичных собственных векторов матрицы Е, соответствующих
значению X = aiy то система C.4) имеет по крайней мере одно
решение г (t), удовлетворяющее C.8) и C.7) с а = а1в Если г° есть
один из двух вещественных единичных собственных векторов матри-
матрицы Е, соответствующих значению К = а2, и если \\ г0 \\ ф 0 и
II 2о/|| Zo II —2"° II достаточно малы, то любое решение системы C.4)
с начальным условием z @) = z0 существует для t ^> 0 и удовлетво-
удовлетворяет соотношениям C.8) и C.7) с а = а2.
Доказательство п. (i). Произведя, если это необходимо, вещест-
вещественную линейную замену переменных, мы можем считать, что
матрица Е задана в одной из нормальных форм C.3). В случае
C.3-5) можно также предположить, что множитель г > 0 так мал,
что Re X— е/2< — с. Тогда легко проверить, что если г = || z \\
и г Ф 0 достаточно мало, то г'^ — сг. Из этого следует, что вдоль
решения z (t) при| малых ^>0 имеет место неравенство г (/)<!
^ г @) e"zi. Следовательно, если г @) > 0 достаточно мало, то z (t)
существует для t^> 0 и удовлетворяет C.6) с М = 1.
Если матрица £ задана не в нормальной форме и L — невырож-
невырожденная матрица, такая, что L~XEL имеет только что указанный вид,
то неравенство C.6) при замене в нем z на r\ = Lz выполняется
с М = 1. В этом случае C.6) будет верным, если М = || L \\-\\ L'1 ||.
Если ai = а2 < 0 и £ задана в одной из нормальных форм
C.3-2), C.3-4) или C.3-5), то легко видеть, что C.7) следует из соот-
соотношения 0=й= z (f) ->■ 0, ^->оо. Тем самым доказательство п. (i)
для этого случая закончено. (Случаи а4 Ф а2 будут рассмотрены
при доказательствах п. (и) и (iii).)
Доказательство п. (и) и (iii). Предположим, что Е представлена
в нормальной форме C.3-3), так что единичные собственные векторы
матрицы Е суть (±1, 0) для К = Я4 и @, ±1) для X = Х2. Введем-
г) Которые отличаются множителем —1.— Прим. перев.
17*

260 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
полярные координаты z = (r cos 0, sin 0); тогда C.4) при г->0
принимает следующий вид:
rf = [Xi cos2 0 + ^2 sin2 0 + о A)] г,
Г0' = (Яа - Kt) sin 0 cos 9 + o(l). (ЗЛ0)
Мы видим, что характеристическими направлениями (mod 2л)
являются только направления 0 = 0, л/2, л, Зл/2; см. упр. 2.1.
Значит, если 0 Ф г (t) ->■ 0 при tf-> оо, то по теореме 2.1 или г =
= г (tf) есть спираль, или имеет место C.9).
Пусть Qo есть сектор 0 < || г || < б, ||z/||z||—zo||<r], где
z° = @, ±1) и б, г] малы. Легко видеть, что если решение z (t)
начинается в Qo или входит в Qo, то оно остается в секторе Qo,
так как его граничные точки являются для него точками строгого
входа; см. следствие 1.3 (и) при замене t на —t. Значит, такие
решения удовлетворяют условию z (t) ->- 0 при t -> оо я второй
части соотношения C.9), т. е. в итоге равенству C.8). Соотношение
C.7) са = 12 следует из первого уравнения C.10). В частности,
ни одно решение z = z (t) фО, стремящееся к 0 при t—>- оо, не
является спиралью.
Если в определении сектора й0 точку z° взять в виде (±1, 0),
то существование решений z (f) Ф 0, удовлетворяющих C.8), выте-
вытекает из следствия 1.3 (i). Как и выше, такие решения удовлетворя-
удовлетворяют C.7) с а = A,i. Теорема 3.1 доказана.
Теорема 3.2. Пусть собственные значения матрицы Е равны
а ± фу где а ^ 0 и Р Ф 0 вещественны; имеет место C.5); z (t)
есть решение системы C.4), такое, что 0 < || z (f) \\ < б0 для всех t,
и 0 (f) есть непрерывное продолжение угла arc tg у (t)lx (f). Нако-
Наконец, пусть 0 < е < | р |. Тогда существует число бе > 0, такое,
что если бо<;бе, то для больших t
| в @ — р/ \<et. C.11)
В частности, 0 (t) ->■ +°° при t-^oo в соответствии с тем,
будет ли Р > 0 или < 0. Если, кроме того, а < 0, то
0' @ -+ р, откуда t^Q (t) -> р при t-> оо. C.12)
Таким образом, если точка г = 0 является для системы C.1) цент-
центром, то она будет для C.4) центром или фокусом, а если z = 0
является для C.1) фокусом, то она будет фокусом и для системы C.4).
Доказательство. Легко проверить, что^ ни предположения,
ни утверждения теоремы не изменятся, если z подвергнуть веще-
вещественному линейному преобразованию; следовательно, можно счи-_
тать, что матрица Е представлена в нормальной форме C.3-2)
са<0. Пусть F (z) = (F1, Р). Перепишем систему C.4) в виде

§ 3, Системы, близкие к линейным 261
Х' = ах - §у + Я (*, */), у' = рх + ау + Я (х, у). C.13)
Переходя к полярным координатам, получаем
г' = ar + R (г, г]), 9' = р + S (г, 9), C.14)
где
rR = Я cos 9 + Я sin 9, aS = Я cos 9 — Я sin 9, C.15)
так что R (г, 9), S (г, 9) -> 0 при г-> 0+. Значит, существует
такое бе > 0, что | S (г, 0) | < е, если 0 < г <; б8. Поэтому
| 0' — р | < е, если 0 < || z (t) || < б8, откуда вытекает C.11).
Если а < 0, то по теореме 3.1 г (t) ->- 0 при t-*~oo, и тогда
5 (г @, 0 @) -^ 0 при /-^ оо. Отсюда (а < 0) получаем C.12).
Теорема доказана.
Как и следует ожидать, свойство точки z = 0 быть центром
(т. е. то свойство, что решение, начинающееся при / = 0 в произ-
произвольной точке z0 Ф 0, возвращается точно в z0 при некотором
положительном t) очень чувствительно к возмущениям. Это иллю-
иллюстрируется следующим упражнением, показывающим, что никакие
условия малости функции F (z) ф 0 в окрестности точки z = 0
не могут гарантировать того, что точка z = 0 будет для системы
C.4) центром, даже если она и была центром для системы C.1).
Упражнение ЗА. Пусть h (г) непрерывна на отрезке 0 ^ г ^ 1,
и пусть h (г) -> 0 при г ->- 0. Рассмотрим систему C.4) вида
Х' = _р# + xh (г), ^ = рх + y/i (г), C.16)
где г = (х2 + y2)i/2, функция F (z) = (xh (r), yh (r)) непрерывна
для||г||<1 и \\F(z) ||/||z|| = А(г)-^0приг-^0. Если h (г) = 0,
т. е. F = 0, то точка z = 0 является центром. Покажите, что если
h (г) < 0 для 0 < г <; 1, то точка г = 0 для системы C.16) является
фокусом (в t = оо).
Можно также ожидать, что и другие свойства (ki = A,2)> харак-
характеризуемые равенствами, чувствительны к возмущениям (в большей
степени, чем неравенствами). На самом деле это так и есть. Напри-
Например, следующие два упражнения показывают, что если точка 2 = 0
есть узел для системы C.1) с Я4 = Я2 < 0, то даже если выполняется
соотношение C.5), точка z = 0 может быть для системы C.4) фоку-
фокусом независимо от того, какие элементарные делители — простые
или степени 2 — имеет матрица Е. Однако, как будет показано
в теоремах 3.5 и 3.6, подходящие условия малости F (г) в окрест-
окрестности точки г = 0, более сильные, чем C.5), сохраняют этот тип
стационарных точек.
Упражнение 3.2. Пусть Е = diag [Я, Д X < 0. Покажите, что
в области ||г||<;б существует непрерывная функция F (г), удо-
удовлетворяющая условию C.5) и такая, что (а) точка 2 = 0 есть
фокус для системы C.4) или (Ь) система C.4) имеет решение г (t) —> 0

262 Гл. УН I. Стационарные точки на плоскости
при t -> оо, удовлетворяющее любой из семи возможных комбина-
ц 1Й знаков < и = в неравенствах
— оо <lim 9 (t) < llm 9 (t) < оо.
Упражнение 3.3. Пусть матрица Е задана в виде C.3-5) с X < О
и 8=1, так что Е имеет элементарный делитель второй степени
и представлена в нормальной жордановой форме. Покажите, что
для || 2 || <; б существует непрерывная функция F (z), удовлетво-
удовлетворяющая C.5) и такая, что (а) все решения г (t) системы C.4), стре-
стремящиеся к 0 при t -> оо, являются спиралями (т. е. | 0 (/) | ->- оо
при t -> оо); (Ь) спиралями являются лишь некоторые из указанных
решений г (t)\ (с) ни одно решение г (f) -> 0 не является спиралью,
(Случай (Ь) невозможен, если решение системы C.4) однозначно
определяется начальными условиями.) См. теорему 3.3.
Теорема 3.3. Пусть матрица Е имеет вид C.3-5) с К < 0 и г = 1.
Пусть F (г) непрерывна для малых \\z\\ и удовлетворяет C.5),
а г({)ф§ есть решение системы C.4), стремящееся к 0 при /-> оо.
Тогда решение г = г (t) = (x (t)y у (t)) или является спиралью
(т. е. | 9 (t) | -> оо при t ->- оо), или 9 (t) -^ 0 (mod л;) при t ~> оо.
Упражнение ЗА. Докажите теорему 3.3.
Впоследствии мы сформулируем условия, при выполнении
которых или все решения системы C.4) в теореме 3.3 будут спира-
спиралями, или ни одно ее решение не будет спиралью; см. упр. 4.5,
Теорема 3.4. Пусть Е = diag Wu Я2], где Kt < min @, X2)t
a F (г) непрерывна и удовлетворяет условию C.5). Если г° = A, 0)
или (—1, 0), то система C.4) имеет по крайней мере одно решение
z(f)> t^>0, удовлетворяющее соотношениям C.8) и C.7) с а = А^;
далее, если А,2 > 0 и z (t) при больших t есть решение системы C.4),
такое, что z (t) -> 0 при t ->- оо, то для а = Хг справедливо соот-
соотношение C.7) и у (t)lx (f) -> 0 при t -> оо.
Упражнение 3.5. Выведите теорему 3.4 из следствия 1.3 (i).
Упражнение 3.6. Пусть Е = diag (kly А,2), Xt < min @, Х2)у
и пусть F (г) непрерывна, удовлетворяет условию C.5) и
II Fjzu-F (г2) || п
||2i_Za|| >0 при г41 г2~»0 C.17)
(г! =^= z2). Тогда с точностью до перепараметривации (т. е. замены t
на t + const) система C.4) при больших ^ имеет единственную пару
решений z±(t), таких, что 0 ф z±(f) -+- 0 при t -> оо. Эти решения
удовлетворяют условию г± (t) /1| z±(t) \\ -> (±1, 0), когда ^-^оо,
а потому и соотношению C.7) с а = А,1#
Упражнение 3J\ Пусть Я = diag (?ц, Я2) с Л,4 < min @, Я2),
и пусть F (z) непрерывна для малых || г || и удовлетворяет уело-

§ 3* Системы, близкие к линейным 263
вию C.5). Используя теорему 2.2 и / или упр. 2.3, найдите условия,
более общие, чем C.17), при выполнении которых система C.4)
имеет самое большее одно решение (с точностью до замены пара-
параметра), удовлетворяющее условиям г (t) -> 0 и г (t) 11| г (t) || ->
->- A, 0) При t-+ оо.
Этими упражнениями завершается рассмотрение системы C.4)
при условии C.5). Если исключить случай центра, то условия,
немного более сильные, чем C.5), оказываются достаточными для
сохранения характера стационарной точки г = 0 при переходе
от линейной системы C.1) к возмущенной системе C.4). Результаты
такого рода вытекают из общих теорем, приведенных в гл. X (в част-
частности, в § Х.16). Сформулируем здесь для полноты изложения
некоторые из этих результатов. Вывод их на основании резуль-
результатов из гл. X будет предложен в виде упражнений 3.7—3.11; см.
также теорему Х.13.1 и ее следствия в § Х.16.
Первое условие, налагаемое на F (z), связано с функцией
Ф0(л) = тах||^(г)||, ||z||<r, C.18\
(гак что ф0 (г) — непрерывная неубывающая функция для малых
г > 0 и ф0 @) = 0) и состоит в требовании, чтобы
f Г2Фо(г)Лг<оо. C.19)
Оно выполнено, если, например,
C.20)
при некотором е> 0, так как из C.20) следует, что ф0 (r)/ri+e ->- 0
при г -> 0. Условия типа C.18) — C.20) инвариантны относительно
линейных замен переменных г -*• Lz, где L — постоянная матрица,
так что в следующих ниже теоремах предположение о том, что
матрица Е задана в нормальной форме, не влияет на общность
результатов. Это замечание не применимо, если, например, функция
C.18) заменена функцией ф0 (г) = max \\F (г) || для || г \\ = г
и не предполагается, что фо (г) монотонна.
Теорема 3.5. Пусть F (г) непрерывна для малых \\z\\ и удовле-
удовлетворяет условиям C.18) — C.19), и пусть г (t) есть решение систе-
системы C.4) с условием 0 ф z (t) -> 0 при t -> с».
(i) Пусть матрица Е имеет вид C.3-2), где а<0, Р Ф 0. Тогда
существуют такие постоянные с > 0 и 0О, что при t -> оо
C.21)
Обратно, если с>0 и %—заранее заданные постоянные, то
у системы C.4) существует решение z(t), удовлетворяющее C.21).

264 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
(и) Пусть Е = diag Уки k2], А* < k2 < 0. Тогда существует
постоянная d^O или постоянная с2 Ф 0, такие, что или
z(t) = eW(ci + o(l), o(l)), t -> 00, C.22)
или
t -> 00. C.23)
Обратно, если даны постоянные с\Ф 0 и с2Ф 0, то у системы C.4)
существуют решения z (t), удовлетворяющие соответственно C.22)
а C.23).
A11) Пусть Е = diag [Xit Х2], ^1 < 0 < Х2. Гогда существует
постоянная Ci Ф 0, такая, «/то имеет место C.22); обратно, если
d=y£=Q, то существует решение z (t) системы C.4), удовлетворяющее
C.22).
(iv) Пусть Е = diag [X, X], X < 0. Гогда существуют постоян-
постоянные си с2, не равные нулю одновременно, такие, что
г (t) = ^ (Cl + о A), с2 + о A)) при /-> оо. C.24)
Обратно, если даны постоянные d, c2, обе не равные нулю, то систе-
система C.4) имеет решение, удовлетворяющее C.24).
Упражнение 3.8. Назовем теоремой 3.5* аналог теоремы 3.5,
в котором условия C.18), C.19) заменены немного более сильным
требованием:
Ф (г) = sup JJ|M-, 0 <|| z || < г% C.25)
^. C.26)
0+
(а) Получите утверждения (i) и (п) теоремы 3.5* из теоремы X. 1.1
(т. е. из одного из вариантов следствия Х.1.2). (Ь) Получите
утверждения (ш) и (iv) теоремы 3.5* из леммы Х.4.3 (т. е. из
следствия Х.4.2).
Упражнение 3.9. Докажите теорему 3.5, используя аналог
замечания 2, следующего за леммой Х.4.3, и результат упр. 3.8.
Теорема 3.6. Пусть условия C.18), C.19) теоремы 3.5 заменены
условием существования для малых г^> 0 неотрицательной неубы-
неубывающей непрерывной функции ср (г), такой, что
|| F B0 - F (z2) || < Ф (г) || г, - z2 || для || 21 ||, || z2 || < г, C.27)
и пусть для ф (г) имеет место C.26). Тогда постоянные с, 0О из
C.21), постоянная d из C.22) в обоих утверждениях (п) и A11)
и постоянные с\, с2 из C.24) однозначно определяют решение z (t).
(В частности, в случае (iv) точка г = 0 есть собственный узел.)
Упражнение ЗЛО. (а) Получите из теоремы Х.1.1 (т. е. из одного
из вариантов следствия Х.1.2) утверждения теоремы 3.6, касаю-

§ 3. Системы, близкие к линейным 265
щиеся C.21) и C.24). (Ь) Докажите на основании упр. 3.6 утвержде-
утверждения (и) и (II1) теоремы 3.5 относительно постоянной d из C.22).
Если матрица Е имеет элементарные делители второй степени,
то условие C.19) теоремы 3.5 должно быть усилено следующим
образом:
[ r2\lnr\<p0(r)dr<oo. C.28)
oi
При выполнении соотношения C.20) это условие также удовлетво-
удовлетворяется.
Теорема 3.7. Пусть F (z) непрерывна для малых \\z\\ и удовле-
удовлетворяет C.18), C.28). Пусть матрица Е имеет вид C.3-5) с X < 0
и е = 1. Пусть z (t) является решением системы C.4) с малым
II z @) II Ф 0- Тогда z (t) существует для всех /;> 0 и найдется или
постоянная с^ Ф 0, такая, что
z @ = сх<* A + о A), t + о (/)), /-> оо, C.29)
или постоянная с2 ф 0, такая, что
z (t) = с*" (о (I//), 1 + о A)), *-* оо. C.30)
Обратно, если даны постоянные С1Ф 0у с2 ф 0, то существуют
решения z(t), удовлетворяющие соответственно C.29) и LC.30).
Упражнение 3.11. Выведите теорему 3.7 из следствия Х.4.1.
Для того чтобы получить утверждения, касающиеся C.29) [или
C.30)], надо сделать замены зависимых переменных z = (л*, у) ->■
-> (и9 v) по формулам х = еии, у = eut {и + v) [или л: = euu/t,
у = е%* (и + и)] и независимой переменной — по формуле t = е\
Если условия C.18), C.28) ,усилены до C.25) и
J r1\\nr\<p(r)dr< оо, C.31)
°+.
то вывод теоремы из следствия Х.4.1 может быть проведен более
прямым путем. В противном случае [рассуждения необходимо
включают аналог замечания 2 к лемме Х.4.2; см. также следствие
Х.16.3 и упр. Х.16.2.
Теорема 3.8. Пусть условия C.18), C.28) теоремы 3.7 заменены
предположением, что для малых г^> 0 существует неотрицатель-
неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция ф (г), удовлетворяющая
условиям C.27), C.31). Тогда постоянная с2 в C.30) однозначно
определяет решение z (t).
Упражнение 3.12. Получите теорему 3.8, (используя теорему
Х.8.2 и замену переменных из упр. 3.11.

266 Гл. VIIL Стационарные точки на плоскости
§ 4. Более общие стационарные точки
В этом параграфе мы получим результаты, аналогичные рас-
рассмотренным в предыдущем параграфе для случая плоских авто-
автономных систем вида
х' = Р (х, у) + р (*, у), у' = Q (х, у) + q (х, у), D.1)
где Р, Q — однородные полиномы степени т^> 1 и
Р2 (*, У) + Q2 (*, У) = о (г2т), г2 = х2 + у2-» 0, D.2)
(Р + pf + (Q + qf ^ 0, если соответственно х2 + у2 ^ 0. D.3)
Переходя к полярным координатам х = г cos 0, у = г sin0, положим
# (9) = r-m (P cos 9 + Q sin 0), D.4)
5 (9) = г~т (Q cos 0 — Р sin 0). D.5)
Тогда R @) и S @) будут однородными полиномами от sin 0 и cos 0
степени т + 1.
В полярных координатах систему D.1) можно переписать сле-
следующим образом:
г' = rm [R @) + р (г, в)], гб' = rm IS @) + а (г, 0)], D.6)
где функции
p(r, 0) = /-™(/7cos0 + <7sin0),
а (г, 0) = r-m (q cos 0 — р sin 0) ( П
стремятся равномерно по 0 к нулю при г -> 0.
Если 5 @)J^O и R @) ==£0, то для того, чтобы направление
0 = 0о 1было ^характеристическим, необходимо, чтобы S @О) =0,
и достаточноДтобы S @О) = 0, R @О) ф 0; см., например, упр. 2.1.
Если полином S @) ==£0, то он имеет лишь конечное число нулей
(mod 2я). Тогда из теоремы 2.1 вытекает
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия D.2), D.3), и пусть
S @) Ф 0. Если (х (t), у (t)) есть решение системы D.1) для боль-
тих t > 0 [или —/ > 0], удовлетворяющее условию
0 < х2 + у2 -> 0 при t -> оо [или t -> — оо], D.8)
то для непрерывного продолжения 0 (t) угла arc tg у (f)lx (f) или
существует {и конечен) предел 0О = lim 0 (t) D.9)
и S (80) = 0, или
[0 (t) | -> оо при /->■ оо [или t-> —оо]. D.10)
Рассмотрим сначала следующий вопрос. Пусть S (90) = 0.
Существуют ли тогда решения системы D.1), удовлетворяющие

§ 4. Более общие стационарные точки 267
условиям D.8) и D.9)? Мы всегда можем считать, что 90 = 0, так
как, если это необходимо, можно сделать поворот осей. Предполо*
жим, что точка 0=0 есть корень кратности k > 0 для 5 (9), т. е,
S(9) = c09* + o(|9|ft), 9-»0 и с0ф0, k>0. D.11)
Для того чтобы сформулировать нужный результат, введем в рас-
рассмотрение сектор
{ } D.12)
Теорема 4.2. Пусть выполнены условия D.2), D.3), D.11), и пусть
к — целое нечетное число. Тогда при достаточно малых б, х\ > 0
система D.1) имеет в Qo (б, ц) хотя бы одну полутраекторию Г
с концевой точкой на дуге г = б. Для любой такой траектории
имеют место соотношения D.8) и D.9) с 0О = 0. Если, кроме того%
# @) ф 0, то Г определена для больших t > 0 или — £ > 0 б соо/л-
ветствии с тем, будет ли R @) < 0 и;ш > 0.
Упражнение 4.1. (а) Используя теорему 2.2 (и упр. 2.3), полу-
получите достаточные условия единственности (с точностью до замен
t -> t + const) полутраектории Г в теореме 4.2. (Ь) В дополнение
к условиям теоремы 4.2 предположим, что R @) Ф 0. Используя
упр. 2.4, которое лучше применить к D.6), нежели к D.1), полу-
получите достаточные условия единственности Г. Например, покажите,
что если функция
в)
удовлетворяет для — е<01<02<е и малых г>0 условию
где функция г|5(г)>0 непрерывна и 1 гр (r) dr/r < cx>f то Г един*
oi
ственна.
Доказательство. Если 0<г<;б и 9 = =bT]» гАе ^> Т| > 0
достаточно малы, то, согласно D.6) и D.11), со0' ^ 0. Значит, если
с0 > 0, то боковые границы 8 = ± л сектора Qo являются точками
строгого выхода и потому применимо следствие 1.1. Если же
со < 0, то это следствие становится применимым после замены t
на —t. Кроме того, из D.3) вытекает, что применимо также след-
следствие 1.2. Отсюда вытекает существование полутраектории
Г: (х (/), у (/)), удовлетворяющей соотношению D.8). А ее свойство
D.9) вытекает из теоремы 4.1, так как число т) > 0 можно взять
таким малым, что луч 9 = 0 будет в угле | 9 | <; т) единственным
характеристическим направлением. Тем самым первая часть теот
ремы 4.2 доказана. Вторая часть теоремы доказывается еще проше,

268 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
так как вместо следствия 1.1 можно использовать следствие 1.3
(или даже следствие 1.5).
Для того чтобы уточнить теорему 4.2 и рассмотреть случай чет-
четного k > О, предположим, что
R(Q) = d0Qj + o(\Q |j), 0->О, и AОФО9 />0. D.13)
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия D.2), D.3), D.11), где
k >> 0 есть целое четное число, и пусть R @) Ф О {т. е. D.13)
имеет место с j = 0). Тогда при достаточно малых б, г\ > 0 система
D.1) либо яе имеет в Qo (б, г]) /ш одной, либо имеет бесконечное
число полу траекторий Г. Для любой такой полу траектории спра-
справедливы соотношения D.8) w D.9) с 0О = 0.
Первая часть этого утверждения вытекает из упр. 1.2, а вторая
часть — из теоремы 4.1. Относительно различения альтернативных
возможностей в теореме 4.3 см. теорему 4.5 и упр. 4.6, 4.7.
Если / = 0 (так что R @) = d0 Ф 0), k четно и
c0d0>0, [ D.14)
то система D.1) имеет бесконечное число полутраекторий Г, удо-
удовлетворяющих D.8) и D.9) с 0О = 0; см. следствие 1.3 (и). В сле-
следующей теореме мы не будем делать предположения о том, что
k и / имеют одинаковую четность; вместо этого мы будем предпо-
предполагать, что
k>j+ 1 и c0d0>0. D.15)
(Следует отметить, что если и /, и k четны, то условие D.14) не огра-
ограничивает общности, так как тогда замена 0 -> —0 (т. е. у -> —у)
изменяет знак коэффициента с0 (см. D.6)) и оставляет без изменения
знак коэффициента d0.)
Если выполнено D.14), то можно считать, что
с0<0 и d0<0; D.16)
в противном случае t нужно заменить на —t.
Упражнение 4.2. Покажите на примерах, что существуют поли-
полиномы Р и Q (у которых codo < 0, k > 0, четное, / > 0 нечетное,
k > j + 1), такие, что система D.1) ни при каких условиях малости
функций р и q не имеет полутраектории (х (t), у (t)), удовлетворяю-
удовлетворяющей соотношению D.8).
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия D.2), D.3), D.11), D.13),
D.15) и D.16). Тогда существует положительное е0 = е0 (со, d0, /, k),
такое, что если для малых г > 0
\Р(х, У)\, \q(x, У)\< Aп1
(т. е. если при г -> 0 + функции р, q = о (гт+8) с некоторым
е>0), то система D.1) обладает бесконечным числом полутраек-

§ 4. Более общие стационарные точки
269
торий, определенных для />- 0 и удовлетворяющих D.8), D.9)
с 0о = 0.
Прежде чем приступить к доказательству, сделаем следующие
замечания. Пусть б, ц > 0; сА и di — положительные постоянные,
для которых
—S @) < <?i6\ — R @) > ^0'', 0 < 6 < т]. D.18)
Пусть г^ (г) и г|?2 (г) — положительные и непрерывные для 0 < г<] б
функции, такие, что функции из D.7) удовлетворяют следующим
Рис. 7.
условиям:
(г) > max [—а (г, 0)] для 0 < 0 < т],
W > max [р (г, 0)] для 0 < 0 < r\ \
D.19)
opi (r)f ipz (г) ~*~ О ПРИ Т —*" 0~К D.20)
Из D.6) следует, что если г]>0иб = б(т])>0 достаточно малы, то
0'<О для 0<г<6, е=т]. D.21)
Пусть £2i обозначает множество
Qi = {(х, 0): 0 < л < б, 0 < 0 < г], d2ej > ф2 (г)}, D.22)
где d2 — произвольная фиксированная постоянная 0 <i d2 <C di\
см. рис. 7. Тогда из D.6) следует, что на Qt
—г' ;> d3rm& > 0, где d3 = di — d2 > 0, D.23)
—гв' < lciQk + -ф! (г)] rm. D.24)
Значит, в £2i вдоль решения системы D.1) г' < 0, и потому г можно
рассматривать как независимую переменную, так что
г' 9) D.25)
D.26)
Т dr /?F)+р(г, 9) '

270 Гл. У 77/. Стационарные точки на плоскости
Кроме того, согласно D.21) и D.23),
5->0 для 0<г<6, в = т|. D.27)
Теорему 4.4 мы получим из следующей леммы:
Лемма 4.1. Если существует непрерывно дифференцируемая
функция 0 = 0О (г), 0 < г<! б, удовлетворяющая неравенствам
d*Q'r§->Ci& + Mr) D.28)
и d>2®l^> ^2 (г)> то система D.1) имеет бесконечное число полу-
полутраекторий, определенных для t^> 0 и удовлетворяющих D.8),
D.9) с 0о = 0.
Доказательство* Если ввести новую переменную
v = 6i+1, D.29)
то неравенство D.28) принимает такой вид:
r^r>c*vb + r(r), D.30)
где
* ^1±А ЛИ£±!)> D.31)
Из D.30) следует, что 0О (г) -> 0 при г -> 0. Действительно, функция
6oW^>O является возрастающей, и если она, а следовательно
и v, имеет положительный предел при г->0+, то из D.30) для
малых г > 0 получаем, что г dv/dr^> const > 0. Но это противоре-
противоречит тому, что v (r)<; v (т|) — const -In (ц1г) -> —оо при г-> 0+.
Значит/ 90 (г) ->■ 0 при г->0+, что и утверждалось.
Пусть г0 > 0 так мало, что г0 < б, 0ог(^о) < Ц- Пусть 0 = 0 (г)
есть решение уравнения D.25), удовлетворяющее начальному усло-
условию т) > 0 (го)}> 0О (г0); см. рис. 7. Согласно D.27), функция
8 (г) < т| на любом полуинтервале [ги г0), г4 > 0, на котором
она существует. Так как неравенство D.26) остается справедливым
для всех точек (х, у) = (г cos 0 (г), г sin 0 (г)), принадлежащих
йь и так как 0О (г)* удовлетворяет D.28), то из теоремы III.4.1
следует, что 0О (г) < 0 (г) < rj на любом полуинтервале [ги г0),
Ti > 0, на котором существует 0 (г) и для которого соответствую-
соответствующая точка (х, у) 6 £2i. Тогда, поскольку d26^ W^- "Фг (г)> ясно,
что решение 0 (г) может быть определено на @, г0] и соответствую-
соответствующая точка (х, у) 6 £2i. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 4.4. В силу соотношений D.17) и D.19)
функции яр! (г) и я|J (г) можно выбрать так:

§ 4. Более общие стационарные точки 271
Для постоянной 8 > 0, которую мы уточним позже, положим
8
так что
dv0 е (/+1)
0
Г dr -
Неравенство D.28) или D.30) экгивалентно следующему неравенству:
Так как Я > 1, то ясно, что при достаточно малом е0 > 0 выбор
числа е > 0, удовлетворяющего последнему неравенству, вполне
возможен. Далее, неравенство d2§{ (г) ;> г|J (г) с учетом форму-
формулы D.29) принимает вид
d2e W+*> Г
(lnl/r)^*^) (In i/r)*Afc-i-D *
Если d2 > 0 и 8 > 0, то при малых г это неравенство справедливо,
так как fe > / + 1 > /. Таким образом, выполняются предполо-
предположения леммы 4.1, и потому теорема 4.4 доказана.
Если в^теореме 4.4 / = 0, то полученный результат допускает
некоторое усиление.
Теорема 4.5. Пусть выполнены условия D.2), D.3) и D.11)
с с0 < 0, R @) = d0 < 0 w четным k > 0. Положим
(i) Пусть 0<е0<е*, б>0, т]>0. Предположим, что функ-
функция о(гш G) из D.7) удовлетворяет неравенству
D-33)
система D.1) имеет бесчисленное множество полутраекто-
полутраекторий, определенных для t>0 и удовлетворяющих D.8), D.9) £ 0О = О.
(ii) Пусть е*<е°, б>0, г] >0. Предположим, что
') ' 0<r<S' lfll<T». D.34)
Тогда не существует ни одной полутраектории, которая бы удо-
удовлетворяла D.8) и D.9) ^ 90 = 0.
Доказательство утверждения (i) подобно доказательству теоре-
теоремы 4.4. Пусть 0 < —с0 < си 0 < di < —d0, -ф± (г) определена, как
в D.19), и
&! = {(*,#)•• 0</-<6, 0<9<г]}.

272 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
Из D.25) ясно, что если б, г\ > 0 достаточно малы, то, когда
(л:, у) 6 Qi, выполняются неравенства D.27) и
^ r). D.35)
Теперь нужно воспользоваться соответствующим аналогом леммы 4.1:
Лемма 4.2. Пусть с = cjdu ty (r) = i|?i (r)/di. Если существует
непрерывно дифференцируемая функция 80 (г) > 0, 0 < г<; у\9
удовлетворяющая неравенству
^ . D.36)
то утверждение (i) теоремы 4.5 справедливо.
Упражнение 4.3. (а) Докажите лемму 4.2. (Ь) Выведите из нее
теорему 4.5 (i).
Для доказательства утверждения (ii) теоремы 4.5 положим
О < d < —cOi —d0 < du и пусть
О <я|э1 (г)< min [—а (г, 0)] для | 0 |< ц.
Тогда при достаточно малых б, ч\ имеем
dir^L>CiQb + qi{r). D.37)
Лемма 4.3. Пусть с = cjdt, я|з (г) = гр1 (r)/di. £сла для каждого
малого г\ > 0 а г0 > 0 решение задачи Коши
|и = Л D.38)
р некотором ги 0 < rt < rOf удовлетворяет равенству 0 (rt) = —tj,
/по справедливо утверждение (ii) теоремы 4.5.
Упражнение 4.4. (а) Докажите лемму 4.3. (Ь) Выведите из нее
теорему 4.5 (ii).
Упражнение 4.5. Примените теорему 4.5 к случаю т = 1,
Р (х, У) = kx> Q (х, У) = х + Ху, X < 0 (так что D.1) превра-
превращается в систему, рассмотренную в теореме 3.3).
Упражнение 4.6. Из доказательства теоремы 4.5A) ясно, что
если гр (г)^> 0, 0^ г^т), есть произвольная непрерывная функ-
функция с г|) @) = 0 и если уравнение
r^r = cQk + yp(r)f c> 0, D.39)
имеет в @, г\\ решение 0О (г) > 0, то мы можем получить аналоги
теоремы 4.5(i), заменив в ней условие D.33) неравенством —а (г, 0) <
< ег|) (г) с подходящим г > 0. Это упражнение посвящено оты-

Примечания 273
еканию условий на функцию г|) >- 0, при выполнении которых
уравнение D.39) имеет в @, rj] положительные решения. Введем
новую независимую переменную t, положив г = е~^с, так что
dr/r = — dt/c и точка г — О соответствует точке / == оо. Положив
Ф (/) = if> (е~*/с)/с и X = k9 преобразуем D.39) к следующему виду:
в'=-ех-Ф(/), где 6'=-^., D.40)
Я > 0 и ф (t) ^> 0 непрерывна при больших /. Упражнение теперь
заключается в нахождении условий на непрерывную функцию
Ф (/), обеспечивающих существование при больших t положитель-
положительных решений уравнения D.40); для случая X = 2 см. § XI.7. Если
функция ф (t) ^ 0 непрерывна для больших t и соответствующее
уравнение D.40) имеет при больших t положительное решение,
то функцию ф для краткости будем называть функцией класса А^.
(а) Покажите, что если q>(f) принадлежит классу Л^, то
оо
I ф (t) dt < оо. (Ь) Покажите, что ф (t) £ N^ в том и только в том
случае, когда для больших t существует непрерывно дифференци-
дифференцируемая положительная функция 8 = 80(f), такая, что
е' + е*<-Ф; D.41)
отсюда, если qo(t)£Nx и О<<р(О<Фо(О» вытекает, что <p(t)£Nfr
(с) Если \i = X/(K—l), &*=-max(и — ихI{Х— \^^-^ для ^>о
оо
и 0<ф(/)<е*/Л то <p(t)£Nb. (d) Если [<p(t)dt<oo и
оо
.£*_ Где с ft-1^ •■• • D 42)
' * 1 Л/(Л— 1) » \ /
t
есть max [и — (Я— 1) их] для и > 0, то ф (/) g Л^я. (е) Если
Упражнение 4.7. Сформулируйте аналог теоремы 4.5 (i), исполь-
используя части (d) и (е) упр. 4.6.
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1. Теоремы 1.1 и 1.2 являются, возможно, новыми; они получены под
влиянием результата из работы Хартмана и Уинтнера [1], уточняющей
статью Перрона [3]. Результаты этого параграфа допускают усиление, позво-
позволяющее, например, работать с некоторыми случаями уравнения D.6), когда
R F) и 5 @) имеют общий нуль.
§ 2. Основной результат (теорема 2.1) этого параграфа принадлежит
Бендиксону [2], но при условии аналитичности рассматриваемых уравнений.
18-241

274 Гл. VIII. Стационарные точки на плоскости
Изложение в тексте дано по книге Немыцкого и Степанова [1]; см. также
Хартман и Уинтнер [11] и Ковальский [1]. О результатах, связанных с тео-
теоремой 2.2, см. Хоайзель [1], Хартман и Уинтнер [1], Хартман [1] и Кейл [1}.
§ 3. О ранней литературе по поводу рассматриваемых в этом параграфе
вопросов см. статьи Пенлеве [1] и Либманна [1]; см. также Дюлак [1],|[2J.
Исследования такого типа были начаты Брио и Буке [1] для уравнений вида
xdy/dx = ax + by-\- . . ., которые в силу результатов § 2 содержат боль-
большинство случаев уравнения C.4), когда собственные значения матрицы Е
вещественны. Пуанкаре [1] начал изучать решения уравнения C.4) в пред-
предположении аналитичности, когда выполнено условие C.5). Для неаналити-
неаналитического случая первые систематические исследования рассмотренных в § 3
вопросов были выполнены Перроном [3], [5]. Он получил теоремы существо-
существования и единственности типа теорем 3.5—3.8, но при более жестких усло-
условиях. Вейль [4] доказал теоремы существования и единственности для случая
вещественных собственных чисел при условиях, аналогичных условиям
теорем 3.6, 3.8; см. также Хоайзель [1]. Уинтнер был первым, кому удалось
в вопросах существования решений освободиться от той формы условия
Липшица, которая встречается в теоремах 3.6 и 3.8. Теоремы 3.5, 3.7 при-
принадлежат Уинтнеру [6], [11] (и основаны на его статьях [3], [8]). Такого типа
результаты были обобщены Хартманом и Уинтнером [19] на случай неавто-
неавтономных систем произвольной разности; см. § Х.13. Примеры такого рода,
которые встречаются в упр. 3.1 и 3.2(а), были предложены Перроном [5,1)
и модифицированы Хартманом и Уинтнером [11] для получения всех утвержде-
утверждений упр. 3.2 и 3.3.
§ 4. Многие из работ, упомянутых в связи с § 3, относятся и к § 4
(иногда только для т = 1). Большинство статей, относящихся к рассмотрен-
рассмотренным в этом параграфе вопросам, содержат предположение, что 5 @О) = О,
7? @О) ф 0 (т. е. рассматриваются случаи k > О, / = 0); см., например,
Фроммер [1], Форстер [1], Лонн [2], Гробман и Виноград [1], Немыцкий
и Степанов [1]. Частный критерий единственности, содержащий г|) (г)г
в упр. 4.1 (Ь) принадлежит Лонну [1]; относительно другого критерия см.
Гробман и Виноград [1]. Теорема 4.4, по-видимому, является новой. Теоре-
Теорема 4.5 доказана Лонном [2]; для случая k = 2, соответствующего систе-
системе D.1) вида х' = Хх + /?, у' = х + %у + q, как в упр. 4.4, число е* в D.32)
равно — dyAco\ и утверждение (i), и менее точная форма утверждения (и)
были даны ранее Лонном [1].

Глава IX
Инвариантные многообразия
и линеаризация
В этой главе рассматривается поведение решений автономной
системы (произвольной размерности) в окрестности стационарной
точки простого типа или в окрестности периодического решения.
Большая часть полученных здесь результатов будет перенесена
в следующей главе на неавтономные системы совершенно другими
методами; см., например, § IX.6, §§ X. 8 и Х.11. Однако вспомога-
вспомогательные предложения этой главы, касающиеся локальных отобра-
отображений одного евклидова пространства в другое, интересны сами
по себе, позволяют получить ряд результатов, недостижимых дру-
другими методами, и применимы для изучения как стационарных
точек, так и периодических решений.
§ 1. Инвариантные многообразия
Пусть для каждого (вещественного) t определено непрерывное
отображение Tl : I —►- lt окрестности Dt точки I = 0 в евклидовом
^-пространстве в некоторую другую окрестность той же точки
и Тг @) = 0. Множество 5 называется инвариантным относительно
семейства отображений {71*}, если Tl (Dt[\S) a S для всех /.
Множество 5 называется локально инвариантным относительно
{Т1}, если существует такое е > 0, что для любого | 6 5 и всякого
to, удовлетворяющего условию ||Т'£||<е] при 0 <; t <; t0, мы
имеем Т'оI 6 5.
Задача изучения поведения решений гладкой автономной систе-
системы вблизи стационарной точки сводится в некоторых случаях
к сравнению решений линейной системы с постоянными коэффи-
коэффициентами
Г = El A.1)
с решениями возмущенной системы
l' = Et + F (?). A.2)
Если не оговорено противное, мы будем предполагать, что F (\)
принадлежит классу С1 при малых || £ || и
F(l) = о(\\Ъ ||) при £->0 A.3)
18*

276 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
или, что эквивалентно,
A.4)
где d%F — матрица Якоби.
Пусть It = г] (tf, g0) — решение системы A.2), удовлетворяю-
удовлетворяющее начальному условию к] @, So) = So- При фиксированном /
рассмотрим £* = Л (/, So) как отображение Tl: So-> S* окрестности
Dt точки S = 0 в ^-пространстве в некоторую другую окрестность
той же точки. Отображение Т1 определено на множестве Dt точек
So, для которых решение ц (s, So) определено при 0 <; s <; t.
{Отображения Ть образуют локальную группу; см. B.2).)
Множество 5 в ^-пространстве, (локально) инвариантное отно-
относительно семейства отображений Т1, мы будем называть (локально)
инвариантным относительно системы A.2). Таким образом, мно-
множество S инвариантно (или локально инвариантно) относительно
системы A.2) тогда и только тогда, когда из So 6 S следует, что
Л (U So) 6 S для всех t на максимальном интервале существования
решения ц (t, So) (или существует такое 8 > 0, что к] (t0, So) 6 S,
если || т) (U So) || <e при 0< /< to).
Если S — инвариантное множество, то пересечение 5 с шаром
|| S II < в локально инвариантно. Обратно, если S — локально
инвариантное множество, то множество So = U Ть (S (]Dt) инва-
инвариантно. Таким образом, исследование инвариантных множеств
можно свести к изучению локально инвариантных множеств,
и обратно. Это удобно для нас в связи с тем, что если изменить F (S)
вне малого шара || S II < в и определить для новой системы диффе-
дифференциальных уравнений инвариантное множество 50, то пересе-
пересечение So с шаром || S II < 8 локально инвариантно для первоначаль-
первоначальной системы уравнений B.1).
Понятие локально инвариантного множества удобно и по другим
причинам. Условия, налагаемые на F, имеют «локальную» при-
природу, и нет причин ожидать, что инвариантные множества будут
устроены достаточно просто, поскольку понятие инвариантности
является «глобальным». Например, предположим, что dim S = 2
и что система A.2) имеет два решения S = Si @» £г @» определен-
определенные при —оо<^<оо и стремящиеся к нулю при *-^±оо,
как это показано на рис. 1. Тогда множество So, состоящее из точки
S = 0 и точек S = lj @» — °° < t < оо, / = 1, 2, является инва-
инвариантным. Таким образом, So — это кривая с самопересечением.
Но каждое из множеств Si = {S = (S\ 0), | S1 I < е} или S2 =
=s {S = @, S2)» I S2 I < £} при достаточно малом е > 0 является
локально инвариантным и представляет собой дугу класса С1.
После линейной замены переменных с постоянной матрицей N>
O, A.5)

§ 1. Инвариантные многообразия
277
система уравнений A.2) переходит в систему
£' = N-iENZ, + N-XF (Nl). A.6)
Предположим, что матрица N выбрана таким образом, что
iV1£^ = diag[Pf Q], A.7)
где Р и Q суть (d x d)- и (б X £)-матрицы с собственными значе-
значениями ри ..., pd и <7i> ..., qe соответственно, где d>0, е>0 и
Repr<a<0, Re<fr>P>a. A.8)
Представим вектор £ в виде (у, г), где у — вектор размерности d,
а г — размерности е. Тогда (N~1EN)t)^{Py, Qz). Таким образом
Рис. 1.
в новых переменных система линейных уравнений A.1) распадается
на две системы:
у' = Ру, z' = Qz. A.9)
Решение (y(t),z(t)) системы A.9), удовлетворяющее начальным
условиям (у @), z @)) = (у @), 0), будет таким, что z (t) = 0
и 11^@ ||<const/jea*<conste(a+8)*, где / целое, е>0 — любое
число, а / достаточно велико; см. § IV.5. Кроме того, если
(у (t), z (t)) — некоторое решение системы A.9) и ||(г/@» ^@)ll<^(P~e)i
при некотором 8>0и больших />0, то z(£) = 0. Поэтому d-мерная
плоскость z = 0 в пространстве £ = (#, z) инвариантна относительно
A.9) и образована всеми решениями (y(t), z(t)), удовлетворяющими
неравенству || (y(t), z (t)) ||<e(P~8)f при некотором е>0 и при
больших t.
Рассмотрим сначала один вопрос, касающийся системы A.2):
будет ли для этой системы иметь место аналогичная ситуация?

278 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Точнее, существует ли для системы A.2) или A.6), записанной
в виде
у' = Ру + Р±(у,г), z' = Qz + F2{y,z)y A.10)
где Ft и F2 принадлежат классу С1 при малых \\y\\ и ||z|| и таковы,
что
Л. ^2 = О (|| У Ц + 11 Z ID При (у,2)->0, A.11)
d-мерное локально инвариантное /многообразие S вида z = g(y),
определенное при малых \\y\\, и будет ли это многообразие в окрест-
окрестности точки (уу z) = 0 заполнено решениями (у (t), z (t)) системы A.10),
удовлетворяющими условию || (y(t),z(t)) \\ <е(Р-8>* при е>0 и боль-
больших t? В § 6 будет показано, что на этот вопрос можно ответить
положительно.
§ 2. Отображения Т1
(i) Рассмотрим единственное решение \ = ц (/, So) следующей
задачи с начальным условием:
V = El + F(&9 l@) = So. B.1)
Так как решение ч\ (/, 0) = 0, соответствующее £0 = 0, определено
для всех /, то г\ (t9 to) существует на сколь угодно большом интер-
интервале | t\ < t0, если норма || 1о II достаточно мала; см. теоре-
теорему V.2.I.
При фиксированном t решение £* = Л (/, So) определяет ото-
отображение Т1: So"-*"^ пространства переменных S в себя. Множе-
Множество отображений Т1 можно рассматривать как абелеву группу
в том смысле, что если || 10 II настолько мало, что функция S* =
^ Л (t* So) определена на отрезке, содержащем значения t = 0,
tu t2 и U + t2j то для этого £0
/о О\
t. е. т] (ti + /2» So) = Л (*ь Л (^2> So)), поскольку система B.1) имеет
единственное решение.
(и) Рассмотрим преобразование переменных R: S = 20 (S), при-
принадлежащее классу С1 вместе с обратным отображением R'1: S =
=• Хо (С). Тогда B.1) переходит в систему
£ = (N-iEN)Z + G(& С(О) = Ь, B-3)
где G @ = о (|| £ ||) при £-> 0, aW - матрица Якоби: N = (dX0/dQi=Q =
= Э^Х0@). Вообще говоря, функция G(£) не принадлежит классу С1.
Система B.3) имеет, конечно, единственное решение & = £(*» &>)»
поскольку это верно для системы B.1), а отображение R B3anMHq
однозначно. Отображение £0—>^t совпадает с отображением
' >). B.4)

§ 3. Модификация функции F(g) 279
Это легко можно установить, рассматривая действие преобразования
RFR-1. В самом деле, R^ — это точка lo = Xo(t)O), a TlR-% —это
решение %t = f\(t, |0) системы B.1) при фиксированном £0. Следова-
Следовательно, R (TlR-%) — это решение £* = £('»&>) системы B.3) при
фиксированном £0-
(iii) В силу теоремы V.3.1 функция r\(t, £0) принадлежит классу
С1, а ее матрица Якоби Я (t, Но) = dg0T] по переменным £0 является
решением следующей линейной задачи Коши:
Я' (t, £0) = [Е + d^F Ш Я (t, £0), Я (О, Ь) = /- B.5)
Если, в частности, ^0 = 0, то
Я' (t, 0) = EH (t, 0), Я @, 0) - / B.6)
и, значит,
H(t,0) = eEt. B.7)
Поэтому разложение функции т] (/, ^) по переменным g0 при фикси-
фиксированном t имеет вид
Ti(^£o) = ^£o + S(^go). B.8)
где
S(/f0) = 0 и аБоЕ(;, 0) = 0. B.9)
§ 3. Модификация функции Р(Ь)
Для того чтобы обойти некоторые технические трудности (свя-
(связанные, например, с тем, что область определения Dt отображения
Т1\ £о-^£* зависит от i), было бы удобно заменить F (^) в уравне-
уравнении B.1) функцией, определенной для всех £, совпадающей с F (|)
при малых || \ ||, скажем при || I ||<; 5/2, и равной нулю при || I \\ >-
^>s> 0. Если эту новую функцию снова обозначить через F (g),
то решение | = т| (/, g0) системы B.1) будет определено для любого
5о- Таким образом, при любом t область определения отображения
Т1: lo-^li совпадает со всем ^-пространством, и множество ото-
отображений Тг действительно является группой.
Лемма 3.1. Пусть F(I) при малых \\l\\ является вектор-функ-
вектор-функцией класса С1, причем F@)=0, 5^/7@) = 0. Пусть 6>0 — про-
произвольное число. Тогда существуют такое число s = s(QH
(которое стремится к нулю вместе с 6) и такая функция
класса С1, определенная для всех I, что G(%) = F(%) при ||S||
О(g) = 0 при U\\>s и ||ЭД1<9 при всех I.
В этой лемме размерности векторов F и ^ не обязательно сов-
совпадают. Под нормой || А || прямоугольной матрицы Л мы будем
понимать в этой главе норму А как линейного оператора из одного
евклидова пространства в другое, т. е. наименьшую постоянную с,
для которой \\Ау||<с\\у\\ для всех у.

280 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Доказательство. Пусть s>0 настолько мало, что ||d&F(g)||<9/8,
а потому || F (I) || < 9 || g ||/8 при || g || < s. Пусть ф (/) — гладкая веще-
вещественная функция переменной /, определенная при t > 0 и такая,
что ф (/) = 1 при t < (s/2J, 0< ф (t) < 1 при (s/2J < t < s2, ф (t) = 0
при f > s2 и 0 < -dqp/d/ < 2/s2 для * > 0. Положим G (I) =F (g) ср (|| g1|2)
при ||g||<s и G(g) = O при ||.g||>s. Тогда d6G = O при ||g||>s.
Если ||g||<s, то д£ = (dFVdg) cp + 2 (Fl%3) dy/dt и потому ||d6G||<
< (9/8) + 2 (9 || 51|2/8) B/s2) < Э. Лемма доказана.
Таким образом, если нас интересует поведение решений системы
B.1) только в малой окрестности точки 5 = 0, то в соответствии
с леммой 3.1 мы можем, не теряя общности, предполагать, что
F(t)£Ci и
IIW6)||<e (ЗЛ)
при всех I, причем
fE) = 0 при ||5||>s, где5-5(Э). C.2)
Проверим теперь, что существуют такие so = so (s, 9) >0, 90=:
= 90(s, 9), что s0, 90—>0 при s, 6—>0, и если решение 5 = т)С» 5о)
системы B.1) представлено в виде B.8), то
3(^5о) = О при 0<*<1, || go II > so, C.3)
||5sS(f, 5о)||<9о при 0</< 1 и любых 5о- C.4)
Чтобы убедиться в этом, отметим, что из C.1) следует неравенство
|| F (|) || < Э || 5 ||, и потому решение системы B.1) удовлетворяет
оценке ||5'!1^со||5|| при со = ||£'|Ц-9. Значит, для решения 5 = 5@
системы B.1) выполнено неравенство || 5 @ || > || 5о II ехР (— соО»
см. для сравнения лемму IV.4.1. Таким образом, если ||goll^>so>
где so = s ехр с0, то || 5 @ || > s при 0 < t < 1. В этом случае система
B.1) приводится к виду 5'=£» 5(О) = 5о пРи 0</<1, и реше-
решение I @ равно еЕ%, т. е. в B.8) функция 3 (t, 5o) равна 0 при
0<^<1 и ||5ol!>So.
Из соотношения 2 (t, 5о) = *П {U 5о) — eEtlo следует, что дБоВ (t, 5o) =
= H(t,to)-eEt или
аб03 (U go) =-eEi[K (t, go) ~ Л, где К (t, go) = e~EiH (t, g0).
Матрица K(t, g0) имеет производную К' = e~Et (Hf — EH), а в силу
B.5)
К' (t, g0) = e-^F (t,) eEtK (t, go)f К @, g0) - /.
Поскольку норма \\e-EtdiF (vi)eEt\\ не превосходит cfi при 0<^< 1,
где ci = (e^E^J, то из леммы IV.4.1 следует, что норма ||/С(/, g)||
не превосходит ехр ^9 при 0 < t < 1. Следовательно, || К' || <
<(с10)ехрс1Э и потому \\K(t, 5o) — / IKM) expq9 при 0</<1.
Окончательно имеем
\\dl0Z(t, t0) ||<е\\ЕЦс1в) ехрcfi при 0</<1,
т. е. C.4) выполняется, если положить 0о = е11£П (cfi) expct9.

§ 4. Приведение системы к нормальному виду 281
§ 4. Приведение системы к нормальному виду
С помощью линейной замены переменных l = NZ> систему B.1)
можно привести к виду
y^Py + Fifaz), z' = Qz + F2{y,z), y(O) = yo, z@) = z0, D.1)
где N~*EN = diag [Р, Q]. Можно предполагать, что для собственных
значений pj, qk матриц Р, Q выполнены оценки
Re/?y<a<0 и Re^A>p>a. D.2)
Собственные значения невырожденных матриц
А = ер, С = е® D.3)
равны epi, eqh соответственно, причем 0 < | epj | <еа < 1, || e4k || >
> е$ >> еа. Поэтому, если 8 >> 0 произвольно мало, то существуют
такие вещественные невырожденные матрицы Л/1? N2, что матрица
N^ANi = exp (N^PNi) имеет норму <^а+е, а матрица Nl1C~1N2^
= exp(N~1Q-1N2) имеет норму -<£-Р+е. Это можно доказать, рас-
рассматривая «вещественные» аналоги нормальных жордановых форм,
при этом обычные единицы под диагоналями следует заменить еще
на произвольно малое е; см. § IV.9.
Так как diag [Л, С] = ехр diag [P, Q], можно предполагать, что
матрииа N заменена произведением # = diag[Aft, #2]» так что
||Л||<еа+е, ЦС-^Кв-Э+е. D.4)
Можно считать е > 0 настолько малым, что величины
а =\\ А ||, 1/с=\\С-1\\ D.5)
удовлетворяют соотношениям
а<с, а<1. D.6)
Можно также предполагать, что Fb Р2^Сг и
Ft = 0, dyFt = 0, dzFt = 0 при (у, г) = @, 0), f=l, 2, D.7)
ца^ц, цагл|1<8 для всех (^^)» « = i. 2> D-8)
^(^,2) = 0 при ||^||2 + ||2||2>52>0> /=1| 2. D.9)
Соответственно общее решение системы D.1) определяет при фикси-
фиксированном t такое отображение Т1, переводящее точку (у0, г0) в точку
(у, z) ~ (уи zt), так что
Г: yt = epty0 + Y(t, у0, 20), zt = <fi% + Z(t, y0, г0), D.10)
где
У, Z и матрицы Якоби dyQtZ0Y, Z равны нулю D.11)
ПРИ (уо, ^о) = О и при всех /;
\\dyoY\\, \\dt0Y\\, \\dyoZ\\, ||

-282 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
при всех yQ1 zQ и 0 < t < 1;
у = О, Z = 0, если ||f/o||2 + ||^o||2>^, D.13)
при 0<^<1. В D.12), D.13) величины 90, s0 зависят от @, s)
таким образом, что 90, s0—»0 при 9, s—>0. Наконец, множество
отображений Г' образует группу: Th+t2 = 7^74
§ 5. Инвариантные многообразия отображения
Один из основных результатов, который будет доказан в этом
параграфе, относится не ко всей группе отображений Т1, а только
к отображению Т: (у0, zo)—>(yi1 zi)- В приложениях этого резуль-
результата Т = ТХ.
Лемма 5Л. Пусть А есть (d x d)-матрица, С — невырожденная
(е х е)-матрица и справедливы соотношения D.5) и D.6). Пусть
Т: (Уо, z0) —>(yi, Zi) — отображение вида
Т: yi = Ayo + Y(yo, г0), Zi = Czo + Z(yO4 г„), E.1)
где векторы У, Z принадлежат классу С1 при малых ||#о||> ||zo||
w удовлетворяют условию D.11). Тогда существует такая е-мерная
вектор-функция z = g(y), принадлежащая классу С1 при малых
|| у||, что
ff@) = 0t dyg@) = 0, E.2)
а отображения
R:u = y, v = z — g(y) и R'1: у = и, z = v + g(u) E.3)
приводят Т к виду
o), t>i = Сз0 + V ("о, »o)i E.4)
/7, V и их матрицы Якоби равны нулю при (и0, уо) = О, E.5)
V (uQy 0) - 0. E.6)
Условие E.6) означает, что множество точек (uOi v0), лежащих
в окрестности начала координат на плоскости v0 = 0, инвариантно
относительно отображения E.4), т. е. многообразие? = g (у) локаль-
локально инвариантно относительно E.1). При применении леммы 5.1
будут часто использоваться следующие два замечания. Замечание 2
будет полезно в §§ 8—9.
Замечание 1. Ввиду D.11) и леммы 2.1 можно предполагать,
что Y, Z принадлежат классу С1 при всех (у0, z0) и удовлетворяют
D.12) — D.13), где 90, s0 — сколь угодно малые положительные
^числа. Пусть
(^Ц^) E.7)

§ 5. Инвариантные многообразия отображения 283
Покажем, что в этом случае функция g (у) может быть определена
для всех у [так что преобразование RTR'1 будет определено для
всех (г/0» уо)] и условие E.6) будет выполнено для всех и0. Кроме
того, можно указать такую постоянную о = о F0), что
\\dyg(y)\\^o<l, E.8)
причем о -+0 при 90 -> 0.
Замечание 2. Если предположить дополнительно, что с>\9
то g(y)-+0 при || у \\-+ оо.
Мы докажем теперь лемму 5.1 с помощью метода последователь-
последовательных приближений. Другое доказательство будет приведено
в упр. 5.3 и 5.4 в конце этого параграфа.
Доказательство леммы 5.1 и замечания 1. Предположим вре-
временно, что R (т. е. g (у)) нам известно. Тогда из E.1), E.3) следует,
что
щ = Аи0 + Y (и0, v0 + g (uo))9
RTR-1:
Щ = Cv0 + Cg (и0) + Z (и0, vo+g (по)) — E.9)
— g (Аи0 + Y [и0, v0 + g (uo)]).
Отсюда, в силу E.4), имеем
V(u, v) = Cg (и) +Z(u, v + g (и)) - g (Аи + Y [и, v + g (и)]),
E.10)
и условие E.6) эквивалентно условию
g (и) = С {g (Аи + Y [a, g (и)]) -Z(uy g (и))}. E.11)
Таким образом, мы должны показать, что функциональное уравне-
уравнение E.11) имеет решение g (и) из класса С1, удовлетворяющее
<5.2) - E.8).
Уравнение E.11) может быть решено методом последовательных
приближений. Пусть
go(u)^O, E.12)
и после того как найдена функция gn-\(u), положим
gn (и) = С-1 {gn^ (Аи + Y [и, gn-i (и)]) - Z (и, gn-i (и))}. E.13)
Введем для краткости следующие обозначения: gn^i = gn-i (и),
g°n.1 = gn-i(Au + YQ), где YQ = Y(u,gn.i(u)I Z» = Z(u, gn-t(u)).
Очевидно, что gOt gu ... могут быть найдены и принадлежат
классу С1 при всех и. Кроме того, если dgn — матрица Якоби для
функции gn, то
dgn = С {(dgU) [A + dyY° + (dz7°) (dgn-J] - [dyZQ + (dzZQ) (dgn.,)]},
E.14)
где, например, dyY° = dyY(y, z) в точке (у, z) = (u, gn-i(u)).

284 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Определим число а равенством
а = ^Чпг, так что 0<а<1, E.15)
с — а — *зУо
в соответствии с E.7). Покажем по индукции, что
II dgn (и) || <; а при всех и. E.16)
Ясно, что E.16) выполняется при п = 0. Предположим, что E.16)
справедливо, когда п заменено на п—\. Тогда, согласно E.14)
и поскольку а< 1, имеем
Так как ^[о^а + Збо) + 9о1 —а> отсюда следует E.16), что и тре-
требовалось доказать.
Проверим теперь, что dg0, dgu ... равностепенно непрерывны.
Для всякой функции / = / (и) или f = f (у, г) положим
Af = f(u + Au)-f(u) или Af = f(y + Ay, z + Az)-/(#, z).
Пусть
A1F) = sup||Adyt2y,Z|| при \\Ay\\, ||Az||<6, E.17)
где dy>zY, Z — любая из четырех матриц Якоби: dyY, dzY, dyZ, dzZ
для функций Y (у, г), Z(y, z). Покажем по индукции, что
||Ad#i||<:AF) при ||Аи||<б<1, E.18)
где
Ясно, что E.18) выполняется при п — 0. Предположим, что это
неравенство доказано для п— 1. Заметим, что в силу E.16)
\\^gп-м\\<■o\\^u\\<\\^u\\,
откуда
причем последние два неравенства вытекают из D.12) и E.7). Исполь-
Используя тождество A [ft (и) /2 (и)] = fi(u + Аи) Д/2 + (А/0 /2 (и) и неравен-
неравенство а< 1, можно вывести из E.14), что при || Am||<6< 1 выпол-
выполняется оценка
E.21)
В силу E.19) выражение в правой части равно /г (б).

§ 5. Инвариантные многообразия отображения 285
Далее, можно показать, что последовательность gQi gi, ...
сходится равномерно на каждом ограниченном а-множестве. Для
этого достаточно установить, что существуют такие постоянные М и
Л что 0 < г < 1 и при п = 1, 2, ...
\\gn(u)-gn-i(u)\\<M\\u\\rn. E.22)
Это неравенство верно при п= 1, если Миг таковы, что Мг = о.
Предположим, что уже доказано неравенство E.22), в котором п
заменено на п— 1. В силу E.13) величина c\\gn(u)—gnr.i(u)\\
не превосходит
Л gn^ (Аи + Y [и, gn-J) -gn.2 (Аи + Y [a, gn_2]) \\ +
+ \\Z(U, gn-J-Ziu, gn-2)\\-
Первое слагаемое оценивается сверху величиной
j| gn_t (Аи + Y [и, gn-i]) -gn-2 (Аи + Y[u, gn.J) || +
+ || gn_2 (Аи + Y [и, gn-J) — gn-2 (Аи + Y [и, gn-гХ) \\-
Поэтому c\\gn(u) — gn-i(ti)\\ не превосходит величины
М || Аи + Y (и, gn^) || г^ + о%М || и || г-1 + 90М || и || г»,
которая в свою очередь не больше, чем Mr71'1 \\ и \\ (а + 490).
Таким образом, если г = (а + 490)/^ и М = о/г, то справедливость
неравенства E.22) доказана, а тот факт, что г < 1, вытекает из E.7).
Итак, последовательность g^ (а) сходится к g (u) равномерно
на всяком ограниченном множестве. В силу E.13) предельная
функция g (и) удовлетворяет функциональному уравнению E.11).
Наконец, поскольку последовательность dg0, dg{, . . . равномерно
ограничена и равностепенно непрерывна, существует подпоследо-
подпоследовательность, сходящаяся равномерно на каждом ограниченном
^-множестве. Отсюда следует, что g (и) 6 С1. Таким образом, наше
утверждение доказано полностью.
Доказательство замечания 2. Пусть М = max \\g(u) \\ при
IUll<s0. В силу D.13) и E.11) имеем g (и) = C^g (Аи) при
|| и || > s0 и g (и) = C~ng (Апи) при || Ап-ги || > s0. Поэтому,
если || Ап~хи || > s0, но || Апи || < s0, то || g- (w) || < Мс~п. Отсюда
следует справедливость замечания 2, так как если О 1, то при
больших || и || существует единственное целое число п =- п (и),
для которого || Ап~1и || >- s0 > || Лп^ || и п (и) ->- оо при || а || -*■ оо.
Упражнение 5.1. (а) Эта часть упражнения связана с вариантами
леммы 5.1 при различных предположениях относительно гладкости
Y, Z. Вместо прежнего условия о принадлежности У, Z классу С1
и о справедливости D.11), D.12) предположим, что Y, Z удовлетво-
удовлетворяют одному из следующих условий: (i) Y = О, Z = 0 при (у, г) = О
и удовлетворяют условию Липшица с произвольно малой постоян-

286 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
ной Липшица при малых || у ||, || г || [т. е. для всякого 8 > О имеем
|| AY || + || AZ ||< 8 (|| Ау || + || Аг ||), если || у ||, \\ у + Ау \\у
|| 2 || и || 2 + Аг || достаточно малы]; (и) У, Z принадлежат классу
С?п, 1 -< т<; оо, и удовлетворяют D.11); (iii) Y, Z удовлетворяют
(ii) при 1 <; т <С оо, а их частные производные порядка т имеют
модуль непрерывности, не превосходящий (с точностью до умно-
умножения на константу) монотонной неотрицательной функции
hm Ф) -+- О ПРИ в -*- 0+; (iv) У, Z являются аналитическими и удо-
удовлетворяют D.11). Тогда выполняется аналог леммы 5.1, в котором
условие «g (у) £ С1» заменяется соответствующим свойством (i),
(ii), (iii) или (iv).
(b) Проверьте, что если Fu F2 в D.1) обладают свойствами*,
аналогичными (i), (ii), (iii) или (iv), то У = Y (t, yo> z0), Z =
= Z (f, г/о, z0) в D.10) обладают соответствующими свойствами
(i), (ii), (iii) или (iv) по отношению к (yOi г0) равномерно на отрезке
0<^< 1.
Упражнение 5.2. Покажите, что ограничение а < 1 не является
необходимым в лемме 5.1, если Y и Z удовлетворяют условию
Гёльдера (равномерно). [Заметим, что неравенство а + 290 < 1
используется в доказательстве только в связи с E.20), E.21). Этого
можно избежать, если hi (б), а потому и /г (б), взять в виде Сбе
при достаточно малом 8 > 0 и постоянном С]
Следствие 5.1. Пусть Г, g(y)j 90 удовлетворяют предположе-
предположениям леммы 5.1 и замечания 1. Для заданных (у0, г0) положим
(уи Zi) = Т (у09 z0), (у2, Z2) = 7"(f/b ^), .... Тогда, с одной сто-
стороны, z0 = g (уо) влечет за собой \\ (упу zn) \\ = О ((а + 90)п) п/?^
п—^_|_оо (^сла выполнены соотношения D.2), D.3) а t/0 ¥= 0r
тоупф0 при всех n, \\ zn \\ I \\ уп \\ -^ 0 и lim n'1 In || (уп, гп) ||< а
пуоа м->- +°°)» с другой стороны, zo=^g(yo) влечет за собой
(с — 290)п = О (|| (*/„, гп) ||) при п-+ + оо.
Замечание 3. Если с> 1 (так что а < 1 < с), то многообразие
z = g(y) в окрестности точки (у, z) = @, 0) может быть описано
как множество таких точек (у0, z0), что последовательность
(уп, гп) — Тп (уо, г0) обладает хотя бы одним (а тогда и всеми
тремя) из следующих свойств: 1) || (уп, zn) ||-^0 экспоненциально
при я-^+оо; 2)\\{уп, Zn) И-^-Опри п-^+оо;3) точки (уп, zn) лежат
в окрестности начала координат при п = 1, 2, . . . . В случае
а < 1 < с многообразие z = g (у) называется устойчивым много-
многообразием для отображения E.1) при п-+--\-оо\ многообразие, обла-
обладающее соответствующими свойствами при п ->- —оо, называется
неустойчивым
Доказательство следствия 5.1. Заметим, что уравнение zo = g(yo)
эквивалентно равенству v0 = 0. В этом случае v0 = i>4 = ... = О

§ 5. Инвариантные многообразия отображения 28/
в силу E.4), E.6). Соответственно ип = Аип^-\-И{ип-и 0), так что
|KH<(a + 9o)IK-i|l и потому ||^||<(a + e0)nl|^o||->0 при
я__>оо. Следовательно, для произвольного е>0 существует такое
N = Ne, что ||«д||<(а + е) \\ип^\\ при п> N, и потому ||^+2v||<
< (а + г)п || uN || при п > 0. Поскольку yn = un,zn = g (un) = о(\\ ип[\\ >
при п —>оо, имеет место неравенство || (уп, гп) ||<A + а) Ц^дЦ»
и первое утверждение доказано. При этом lim пг1 \п\\ (уп, гп)\\<
<1па. Поскольку с помощью линейного преобразования перемен-
переменных у можно сделать In а сколь угодно близким к а, отсюда сле-
следует, что limrr1ln\\(yn,zn)\\<a.
Из E.10) вытекает, что справедливо соотношение
dvV (u,v) = dzZ (u,v + g (и)) —
-dg{Au + Y[u, v + g(u)])dzY(u, v + g{u)),
так что || dvV ||<9о + сг0о<29о, а если учесть E.6), то можно
утверждать, что ||V (и, v) ||<290|| v\\. Следовательно, из равенства
vn = Cvn-t + V (tin-i, vn-i) вытекает, что || vn || > (с — 290) || vn-i \\ или
|| vn || > (с — 290)п || v01|. Вместе с неравенством || (уп, гп) \\ >
> II ("д, vn) \\ — \\g (tin) || > A —а) || (ип, vn) || это дает последнее
утверждение.
Теорема 5.1. Пусть отображение Т: £0—>£4 имеет вид
Т: ^ = ГЬ, + 3Eо), E.23)
га^ a (g0) g С1 д/?^ жаль/х || g01|, S @) = 0, dioS @) = 0; Г — постоян-
постоянная невырожденная матрица, имеющая d собственных значений,
абсолютная величина которых меньше 1, е0 собственных значе-
значений с абсолютной величиной, равной 1, и е собственных значе-
значений, абсолютная величина которых больше 1, причем d, e0, е>0.
Тогда существует такое отображение R окрестности точки
£0 = 0 на окрестность начала координат в евклидовом (и0, vQ, w0)-
пространстве, что R принадлежит С1, якобиан R не равен нулюг
а отображение RTR'1 имеет вид
0, v0, w0),
RTR-1: w^Bw. + Wiu^v^w,), E.24)
Vt = Cvo + V(uo, v0, w0),
где А, В, С — квадратные матрицы порядков d, e0 и е с собст-
собственными значениями, абсолютная величина которых меньше 1,
равна 1 и больше 1 соответственно', U, V, W и их частные
производные первого порядка равны нулю в начале координат и
7 = 0, W = 0, если уо = О, ^о = О, E.25)
U = 0, W = 0, если ио = О, wo = O. E.26)

288 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Условие E.25) [или E.26I означает, что плоскость v0 = О,
w0 = 0 размерности d [плоскость и0 = 0, w0 = 0 размерности е]
является локально инвариантным многообразием. Если Г не имеет
собственных значений, равных по абсолютной величине 1, так что
dim io = d + е, то переменные wQ, Wi не участвуют в E.24).
Доказательство. (Предлагаем читателю восстановить самостоя-
самостоятельно недостающие подробности.) В силу леммы 5.1 существует
такое отображение Ro' £о —>■ (^о, ^о, и/о) класса С1 с невырождаю-
щимся якобианом, что если отображение R0TR~l определяется
правыми частями формулы E.24), то справедливо E.25). Если
применить лемму 5.1 к отображению (RoTR'1)'1 = RoT^R'1, то
мы получим новое преобразование Rim Отображение R = RiRo
и является искомым.
Полученные результаты весьма полезны в теории дифферен-
дифференциальных уравнений. Это видно из доказательства следующего
предложения, вытекающего из леммы 5.1 и следствия 5.1.
Следствие 5.2. Пусть группа отображений Т1 из класса С1
представлена в виде D.10) и удовлетворяет D.11) и D.12) при 0^
<; ^<; 1 во всех точках (у0, г0). Предположим, что Р и Q — такие
постоянные матрицы, что выполнены соотношения D.2), D.3),
D.5) и D.6), а 9о удовлетворяет E.7). Пусть g(y) — функция,
существование которой утверждается в лемме 5.1 и последующем
замечании 1 для Т = Т1. Тогда отображение R^R'1 имеет вид
RT'R-1: т = ер% + иу,щ^0), u^^o + ^(Uo^o), E.27)
где
V(t, и0, 0) = 0 при всех t, щ. E.28)
Кроме того, если уо^фО и zo = g(yo), то zt = g(yt) при всех t,
УгФО при всех t, || zt || /1| у г || —> 0 и lim f1 In || yt || < а пр^ t —> оо;
^сл^ zo=£g(yo), то (с — 2%)г= 0{\\{уи zt)\\) при t—>oo.
Если с>1>а, то справедливо замечание, аналогичное тому,
которое было сделано после следствия 5.1.
Доказательство. Проверим вначале, что если я</<л+1»
то существуют такие положительные постоянные с{ и с2, что
|| {yu zt) || < с21| (i/n, zn) ||. E.29)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что т1 = Тг~~пТп. Поскольку
0<^ —д<1, из D.10) и D.11) следует, что
|l^-^-n)y,||<e0(||f/n|| + ||^||). E.зо)
Аналогичное неравенство справедливо для г*. Из этих неравенств
вытекает E.29).

§ 5. Инвариантные многообразия отображения 289
Если ZQ = g{yQ), то поведение (уп, гп) при больших п описано
в следствии 5.1. Второе из неравенств E.29) означает тогда, что
при t—^oo
Если предположить, что ггФц(уг) при некотором t, например при
t = t0, то (с — 290)п = О(|| (Уп+to, Zn+to) ||) при п —> оо в соответствии
с утверждением следствия 5.1. Мы пришли к противоречию.
Поэтому Zt = g(yi) при всех /, т. е. vt = 0 при всех t и справед-
справедливо равенство E.28).
Заметим, что если yt = O при некотором t, то равенство zt =
= g(yt) влечет за собой ||z^||<a||^|| = 0 для того же t. Но тогда
(yt, zt) = 0 при всех t в силу группового свойства Т\ Остальные
утверждения следствия 5.2 вытекают из аналогичных утверждений
леммы 5.1 и неравенств E.29).
Два следующих упражнения содержат другое доказательство
леммы 5.1, основанное на методах изучения неавтономных диф-
дифференциальных уравнений из §§ Х.8—10. Основную часть этого
доказательства составляет упр. 5.4 (Ь), приводящее к сравнительно
простому доказательству леммы 5.1; в нем используются не преоб-
преобразования Тп = Т о ... о 7\ а преобразования вида
где Sk зависит от k; см, части (d) и (е) упр. C.4).
Упражнение 5.3. (а) Пусть g —> S^g — непрерывное отображение
пространства R = Rd переменных £ = (£\ ..., ld) в себя при п =
= 1, 2, ... и T7l = SnoSn-lo ... oS4. Пусть S —некоторый компакт
и /Ci, Kz, ... —замкнутые ^-подмножества в R, такие, что
Sn(R\Kn-i)czR\Kn и Kn{]Tn(S) не пусто при /г = 2, 3, ... .
Тогда существует такая точка £o£S, что Тп^£Кп при п =
= 1, 2, ... . (Ь) Пусть £" —невырожденная квадратная матрица
порядка d, F (g) — непрерывная векторнозначная функция, опре-
определенная при всех £ и такая, что i7^) — 0 для больших ||£||. Тогда
преобразование £—>Е%-{-Р (Е,) является отображением на все Rd
(т. е. уравнение El + F (Q =ц имеет хотя бы одно решение I для
каждого r]£Rd).
Упражнение 5.4. (а) Пусть Л, С —те же матрицы, что
и в лемме 5.1. Предположим, что Yn(y, z), Zn (у, г) — непрерыв-
непрерывные функции, определенные при всех (у, z) и п= 1, 2, .. ., кото-
которые равны нулю при больших ||#|| + ||z||. Обозначим через Sn
отображение
Sn: (y,z)-
пусть Tn = Sno Sn-i о ... © Si и Р — проекция (у, ^-пространства
на г-пространство: Р(у, z) = z. Покажите, что при фиксированном yQ
19—241

290 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
отображение
z->PoTn(y0,z)
является отображением на все ^-пространство. (Ь) Пусть Yn, Z^
таковы, что
\\Уп(у,г)\\, \\Zn(y,z)\\<(\\y\\ + \\z\\)8,
где 0<46<с — а. Обозначим через К конус ||z||<||#||, а через.
5 —шар {(у, z): у = у0, \\z\\<\\yo\\}, где у0 — фиксированная точка.
Покажите, что Sn (R\K) cz R\K и существует такая точка z = z(n),
что РоТп(уо, г(П)) = 0, а потому (yQ,z(n))^S и Kf)Tn(S) непусто.
Следовательно, существует точка (yo,zo)£Sy такая, что (ynizn) =
= Тп(у01 zo)£K при п = 0, 1, ... . (с) Докажите, что если
(yn,zn) = Tn(yo,z0)£K при я = 0, 1, ..., то || гЛ || < || #11| <
<(а + 26)п||г/0||, где а + 28<{а + с)/2, но если
(уп, гп) = Тп(у0,
при некотором п (и, следовательно, при всех больших п), то при
большом п
||^||>||^ll>(const)(c-26)n>0, где с-2Ь>\{а + с).
(d) В дополнение к условиям частей (а), (Ь) и (с) предположим,
что функция Qn = {Ynj Zn) удовлетворяет условию
\\Qn(y, z)-Qn(y*, z*)\\<(\\y-y*\\ + \\z-z*\\N
при всех у, z, у*, z*. Введем отображения
% (у,г)-+(Ау + УЦу,г), Cz + Z*n(y,z)) при /i=lf 2, ...,
где
УХ {у, z) = Yn(y + уп, z + гп) — Yn (уп, zn),
Z* (у, z) =Zn(y + yn, z + zn) — Zn (yn, zn),
a (yn, zn) = Tn(y0, z0), так что если (уп, zn) = Tn{y*, г*), то
Докажите, что в утверждении (b) y0 единственным образом опре-
определяется по г0; в действительности, если (уп, zn), (yn,zn)£K при
/2=0. К . . ., ТО
114 — zn\\^\\y^ — yn\\ при м = 0, 1, ... .
(е) Предположим, что выполнены условия (а), (Ь), (с) и (d) и, кроме
того, Yn (у, г), Zn(y,z) принадлежат С1. Пусть z0 = g (y0) — тот
элемент, существование которого утверждается в (Ь). Покажите,
что g (y0) £ С1 (и что частные производные функции g равны нулю
при #о = О, если производные от Yn, Zn равны нулю в точке {у, z) =
-@,0).) В самом деле, пусть T** = S**° SJI^o,... oSf, где

§ 6. Существование инвариантных многообразий 291
S%* — линейное отображение
(и, v) -> (Аи + {дуУп) и + (dzYn) v, Cv + (dyZn) и + (dzZn) v),
причем матрицы Якоби dy>zYn, Zn вычисляются в точке (yn-i, Zn-d*
Пусть ej — (О, ..., О, 1, 0, ..., 0) —вектор, k-я компонента которого
е^ = 0 при кФ\ и в^ = 1 при k = j. Тогда
(ип, Vn) = (дуп (уо)/ду1 дгп (уо)/ду1), п = 0, 1, . ..,
— единственная последовательность, удовлетворяющая условиям
(tin,vn) = T**(u0,v0), uo = ej и |К||<|К|| ПРИ л = 0, U--- •
(f) Выведите лемму 5.1 из утверждения (е), положив S4 = S2= ...
...=7\
§ 6. Существование инвариантных многообразий
Из следствия 5.2 вытекает следующее утверждение:
Теорема 6.1. Пусть в дифференциальном уравнении
t' = El + F&) F.1)
функция F (I) принадлежит С1 и F@) = 0, dzF(O) = O. Предпо-
Предположим, что постоянная матрица Е имеет dt (> 0) собственных
значений с отрицательными вещественными частями, равными аи
где а{ < ... < аг < 0, и d± + • • • + dr = d, в то время как осталь-
остальные собственные значения, если они существуют, имеют неотри-
неотрицательные вещественные части. Если 0<£< — аг, то система
F.1) имеет решения £ = ^ (t) Ф 0, <5ля которых
||g(/)||^->0 при t->oo, F.2)
i/ 5ля всех таких решений
lim Z In || g (/) || = otf при некотором i. F.3)
Кроме того, для достаточно малого г > 0 точка ?• = 0 а множе-
множество точек I, которые принадлежат решениям l(t), удовле-
удовлетворяющим неравенству lim ^ In || g (/) || < at при некотором i
(или lim Г1 In|| I (t) || < 0), /согда ^—>оо, образуют локально
инвариантное многообразие Si (или Sr) класса С1 размерности
dd ( ddd
( )
Очевидно, что отсюда можно получить следующее утверждение:
Следствие 6.1. Пусть F (I) £ С1 /грм малых \\l\\, F @) = 0
и (^(О^О. Система F.1) имеет решение 1 = 1({)фО, удовле-
удовлетворяющее F.2) д/?а некотором е>0, тогда и только тогда,
когда Е имеет хотя бы одно собственное значение с отрица-
отрицательной вещественной частью.
Относительно другого доказательства теоремы 6.1 и ее обобще-
обобщения на неавтономные системы см. §§ Х.8 и Х.11.
19*

292 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Доказательство. Если заменить lim на lim, то последняя часть
теоремы 6.1 вытекает из результатов § 4 и следствия 5.2 с а = а*,
fi = ai+l (или а = ая, Р=0). Эти же рассуждения позволяют
доказать, что при t —> оо из неравенства
вытекает неравенство
при t=l, ..., г, если положить аг+1 = 0. Поэтому равенство
ТЫ Г1 In ||g(/)|| = at
при некотором i влечет за собой lim = lim.
Замечание. Аналогичные результаты мы имеем для решений
£(£)=#= 0, удовлетворяющих условию || I (t) || e~zt —>0 при t-+— оо.
Это следует из того, что после замены /на —t система F.1)
переходит в систему
t' рг р (р\
к которой можно применить теорему 6.1.
Рассуждения, использованные нами при доказательстве тео-
теоремы 6.1 и следствия 5.2, позволяют доказать следующее
утверждение.
Теорема 6.2. Пусть Ей F (%) такие же, как в последней
теореме. Предположим, кроме того, что Е имеет е(>0) соб-
собственных значений с положительными вещественными частями.
Пусть It = I (t, lo) — решение системы F.1), удовлетворяющее
условию ^ @, g0) = g0, и Т1 — соответствующее отображение
lt = l(t,l0)- Пусть е>0. Тогда существует такое отображе-
отображение R окрестности точки £ = 0 в ^-пространстве на окрестность
начала координат в евклидовом (и, v, хю)-пространствег где
dim и = d, dim v = e, dim и + dim v + dim w = dim £, что R £ С1, имеет
не равный нулю якобиан, a RT^'1 имеет вид
, и0, v0, w0),
uo,vo, w0), F.4)
причем U, V, W и их производные по и0, v0, w0 обращаются
в нуль в точке (и0, v0, wo) = O. Кроме того, если vQ = 0, wo = O,
то V = 0, 1^ = 0; если ио = О, wo = O, то U = 0, W = 0; наконец,
||вр||<1, ||e-Q||<l, а собственные значения еР(> равны по абсо-
абсолютной величине 1.

§ 7. Линеаризации 293
Отметим, что замена переменных R: £ ->- (и, v, до) переводит
F.1) в систему вида
uf = ри + Fi (и, v, до), до' = PqW + F2 (u, v, до),
v' = Qv + F3 (u, v, до),
где Fu ^2. ^з равны о (|| и || + || v \\ + \\ до ||) при (и, v, w) -> 0^
(ho Fu Ffr F3 не обязательно принадлежат С1); F2 = 0, F3 = 0,
если v = 0, а; = 0, и /ч = 0, /^ = 0, если и = 0, о; = 0.
Условие 1/ = 0, W = 0 при v0 = 0, оуо = 0 (или U = 0, W = 0,
когда Wo = 0, оуо = 0) означает, что d-мерная плоскость t;0 = 0,
w0 = 0 (или ^-мерная плоскость w0 = 0, оуо = 0) является локаль-
локально инвариантным многообразием. Если Е не имеет собственных
значений с нулевой вещественной частью, то переменные w, w0
отсутствуют; в этом случае многообразие и0 = 0 (или v0 = 0),
образованное дугами решений, стремящихся к нулю при t-^oo
(или t->- — 00), называется устойчивым (соответственно неустой-
неустойчивым) многообразием системы F.1), проходящим через точку 5 = 0.
§ 7. Линеаризации
Предположим, что в дифференциальном уравнении
l' = El + F(l) G.1)
матрица Е не имеет собственных значений с нулевой вещественной
частью. В связи со сделанными выше (по поводу F.5)) замечаниями
возникает вопрос: существует ли замена переменных R: £-> £
класса С1 с ненулевым якобианом в окрестности точки £ = 0, кото-
которая переводит G.1) в линейную систему
V = El G.2)
в окрестности точки £ = 0? В общем случае при dim ?■ > 2 ответ
является отрицательным; см. упр. 7.1 и 8.1, 8.2. Этот вопрос обсуж-
обсуждается в приложении к этой главе.
Упражнение 7.1. Пусть £, т), £ — вещественные переменные.
Рассмотрим следующую систему из трех уравнений:
Г = а\, Л' = (« - У) Л + е6£, £' = - YS,
где а>у>0 и е=^0. Докажите, что не существует невырож-
невырожденного преобразования R: (£, г), Q -> (и, у, а;) класса С1, пере-
переводящего окрестность точки (£, г], £) = 0 в окрестность точки
(м, и, до) = 0, при котором данная система переходит в линейнуш
систему
и' = аи, vr = (а — у) v, до' = — удо.
См. Хартман [21].

294 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Если рассматривать топологические, не обязательно принадле-
принадлежащие классу С1 преобразования, то справедливо следующее утвер-
утверждение.
Теорема 7.1. Предположим, что Е не имеет собственных значе-
значений с нулевой вещественной частью, F (£) 6 С1 при малых || £ ||,
F @) = 0 и дгР@) = 0. Пусть Т1 : £, = т| (/, Ы и £«:£* =
= eEi£o — общие решения систем G.1) и G.2) соответственно.
Тогда существует непрерывное взаимно однозначное отображение
окрестности точки \ = 0 на окрестность точки £ = 0, такое,
wno RTtR'1 = L'; в частности, преобразование R: £ -> £ переводит
решения системы G.1) в окрестности точки % = 0 в решения систе-
системы G.2) с сохранением параметризации.
Таким образом, топологическая структура множества решений
системы G.1) в окрестности точки £ = 0 совпадает со структурой
множества решений системы G.2) вблизи точки £ = 0. Однако
это неверно, если некоторые собственные значения матрицы if
имеют нулевые вещественные части. В этом случае система G.2)
имеет замкнутые интегральные кривые, проходящие сколь угодно
близко от точки £ = 0, но система G.1) может и не иметь таких
кривых в окрестности точки S = 0; см. упр. VIII.3.1. Теорема 7.1
будет доказана в § 9.
§ 8. Линеаризация отображения
Прежде чем решать вопрос о линеаризации группы отображений
Т1, рассмотрим вначале соответствующую задачу для одного ото-
отображения Т.
Лемма 8.1. Пусть А, С — невырожденные постоянные (d x d)-
и (е X е)-матрицы соответственно, и пусть
а = ||ЛЦ<1, 1/с = ||С-1||<1. (8.1)
Пусть отображение Т: (у0, z0) —> Q/t, zt) имеет вид
Т: yi = Ay0 + Y(y0,z0), z1 = Czo + Z(yo,zoI (8.2)
где Y, Z —функции класса С1 при малых ||#0||i llzo||> обращаю-
обращающиеся в нуль вместе с первыми производными при (yOi zQ) = 0.
Тогда существует непрерывное взаимно однозначное отображение
R: и = Ф(у,г), v = V{y,z) (8.3)
окрестности точки (у, z) = 0 на некоторую окрестность точки
(u,v) = 0, при котором Т переходит в линейное отображение
RTR~1 = L: ui = Au0, vi = Cv0. (8.4)
Замечание. В силу леммы 3.1 можно предполагать, что У, Z
принадлежат классу С1 при всех (у0, г0) и удовлетворяют D.12) —

§ 8. Линеаризация отображения 295
{4.13), где Эо, s0 — произвольно малые положительные числа.
В этом случае будет показано, что если 0О > 0 достаточно мало,
то R можно выбрать таким образом, что оно будет непрерывным
взаимно однозначным отображением пространства переменных (у, г)
на пространство переменных (и, v)> при котором Ф(г/, г) = у
и Ч? (у, z) = z для больших || у || и \\г || соответственно; при этом
для всех (и0, v0) будет выполнено (8.4). Эти факты будут полезны
для доказательства теоремы 7.1.
Следующие упражнения дают положительный или отрицатель-
отрицательный ответ на вопрос о существовании линеаризующего отображе-
отображения R, более гладкого, чем (8.3) в лемме 8.1; см. также приложение.
Упражнение 8.1. (а) Используя отображение Т: х1 = ах, у1 =
= ас (у + exz), z1 = cz, где 0 < с < 1 < а, ас > 1 и е > О,
покажите, что если R — произвольное линеаризующее отображе-
отображение, то R и R'1 не принадлежат классу С1. См. Хартман [21].
{Ь) Пусть dim у = dim и <С 2, отображение Т: у^ = А у + Y (у)
принадлежит классу С2 при малых || у Ц, Y обращается в нуль при
у = 0 вместе с производными первого порядка; А —постоянная
матрица, не имеющая собственных значений, абсолютные величины
которых равны 0 или 1. Докажите, что существует такое отображе-
отображение R: у-^и класса С1 окрестности точки у = 0 на окрестность
точки и = 0 с ненулевым якобианом, при котором отображение
RTR'1 становится линейным: RTR'1: ut = Аи (см. Хартман
[25, ч. 3]). (с) Используя пример отображения Т: Xi = е2х + у2,
z/i = гу, где х, у — вещественные переменные и г > 0 фиксирова-
фиксировано, покажите, что в п. (Ь) нельзя выбрать R из класса С2, даже
если Т аналитическое и \\А ||<1. См. Стернберг [3, стр. 812]
и приложение к этой главе.
Упражнение 8.2. Сжатия, (а) Пусть dim у = dim и = d про-
произвольна. Рассмотрите отображение Т: у± = Ay + Y (у), где А —■
невырожденная квадратная матрица порядка d, причем \\ А || < 1
и Y (у) 6 С2 при малых \\ у \\, a Y @) = 0, dyY @) = 0. Покажите,
что существует отображение R: у ->■ и окрестности точки у = 0
на окрестность точки и — 0, при котором 7? @) = 0, R 6 С1 и яко-
якобиан R не обращается в нуль, причем отображение RTR'1 линейно,
л именно RTR'1: Ui = Аи. См. Хартман [20]. (Заметьте, что в силу
упр. 8.1(с) может не существовать отображения R класса С2 даже
в случае аналитической функции Y(y).) (b) Пусть в п. (а) собствен-
собственные значения матрицы А равны аь . . ., ad. Предположим, что
а,- ф amiam2 .. . Л (*)
J ' 1 2 d v /
Для всякой последовательности неотрицательных целых чисел
(пги . . ., md), для которой 1 < 2 т^ <! ^, где п — такое целое
число, что п > In | а/ | / In | ak | при 1 < /, & < d. Пусть У (у) 6 Сп.
Тогда в п. (а) отображение R можно выбрать из класса Сп. Следо-

296 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
вательно, если (*) выполнено для любых последовательностей
неотрицательных целых чисел (ть . . ., та), удовлетворяющих
неравенству 2 mk > 1 и Y (у) 6 С°° (или аналитично), то R можно
выбрать из класса С°° (или аналитическим). См. Стернберг [3]
и приложение к этой главе.
Доказательство леммы 8.1. (а) Поскольку матрица А невырожден-
на, существует такое число а±<С 1, что
\\Ау \\>ai\\y\\ ПРИ всех У> например 1/а4 = || Л1|.
Пусть (yt + Ayu zl + Azl) = T(y0 + Ay0,z0 + Az0). Тогда
\\АУ1-ААУо\\, \\А2^САго\\<%(\\Ауо\\ + \\Аго\\)9
так что
\\A-LAyi-Ayo\\, || C-^Zi - AzolK во (|| Дй || +1| Дг01| )/а„ (8.5)
г„||). (8.6)
В силу (8.6) отображение Т взаимно однозначно при ai — 290>0,
и, согласно D.13), оно является отображением на все (уи ^-про-
^-пространство; ср. упр. 5.3 (Ь). Поэтому существует обратное к Т ото-
отображение из класса С1, имеющее вид
Г: yo = A-iyl + Yi(yuzl), z^C^z. + Z^z,), (8.7)
где
Yi9 Zt и их матрицы Якоби равны нулю при (r/l7 zi) = 0. (8.8)
В силу (8.5) и (8.6)
ll^.z/i, ZiHOi для всех (yi9 zt), (8.9)
если Qi = %/al[(al — 290). Наконец, в силу D.13)
У1 = 0, Zt = 0, если Wy^ + piW^^ (8-Ю)
где Si = So/a. Таким образом, отображение Г удовлетворяет тем же
условиям, что и отображение Т.
В дальнейшем мы будем предполагать, что 90>0 настолько
мало, что
eo<-^minBa, 1 —а, с— 1),
91<-i-minB/cf 1-1/с, 1/а±— 1).
(Ь) Отображение (8.3) должно удовлетворять соотношению
(8.12)

§ 8. Линеаризация отображения ' 297
т. е. равенствам
), Cz + Z(y,z)), (8.13>
), Cz + Z(y,z)). (8.14>
Мы покажем, что функциональное уравнение (8.14) имеет непре-
непрерывное решение W(y,z), определенное для всех (у, z). Для этого
рассмотрим последовательные приближения
%(У,г) = г, (8.150>
ЧГп(у,г) = С-1ЧГ^1(Ау + У(у,г), Cz + Z{y,z)) (8.15Л)
при /z=l, 2, ... . Очевидно, каждая функция Wn(y, г) непре-
непрерывна при всех (у, г). Кроме того,
хРп(у,г) = г, если ||г|[>,'0, (8.16}
при п = 0, 1, ... . Это можно показать по индукции, поскольку
Z(y,z) = 0 при ||z||>sb и ||Cz||>c||z||>||z||.
Для того чтобы доказать сходимость этих последовательных
приближений, введем функции
Wn(y,z)=Wn(y,z)-4n-i(y,z) при /1=1,2,..., (8.17}
так что
T1(y,2) = C-1Z(y,z), (8.18)
ЧГ1 (г/, г) = С-1^ (Лу + Y (y,z), Cz + Z (у, г)) (8.19}
при /г = 2, 3, ... . Докажем по индукции, что существуют такие
положительные числа г (< 1), М, б, что
|[ Wn (у, z) || < Мгп (|| у || +1| z || )б при всех у, г. (8.20)
Поскольку || Ч« (У, г) || < (во/с) (|| у || +1| z ||) при ||y|| + ||||o
и Ч^О/, z) = 0 при ||y|| + ||z||>2s0, ясно, что (8.20) справедливо
при /г=1, если 0<6<1 и Mr = 0oBsoI~6/c. Предположим, чта
(8.20) выполняется, если п заменено на п— 1. Тогда из (8.19)
видно, что
\\Чп (У, г\\\<Мг«-1с* (\\у\\ + \\г\\N/с,
где q = || Л ||+ || С || +290. Так как с>1, можно выбрать 6>0*
настолько малым, чтобы с1б/с<1. Поэтому (8.20) выполняетсядля
всех п, если r = cflc и Mr = Q0Bs0I~6/c.
Таким образом, последовательность Тл (у, z) при п—>оо схо-
сходится равномерно на каждом ограниченном (у, г)-множестве
Ч'О ),
T(yfz) = 2 при || z || > s0, (8.21}

298 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
и справедливо равенство (8.14). Аналогично, существует непрерыв-
непрерывная при всех (у, г) функция Ф(у,г), удовлетворяющая условию
Ф(у,г) = у при \\y\\>si9 (8.22)
т выполняется (8.13). Это сразу видно, если, используя (8.7),
переписать уравнение (8.13) в виде
Ф (Л^ + Yt (yi9 Zi), C-% -j- Zt (#4, гх)) = А'гФ (#t, г,)
•и заметить, что это уравнение аналогично уравнению (8.14),
поскольку || Л || и || С1| меньше 1.
(с) Покажем теперь, что отображение R взаимно однозначно.
Предположим противное, т. е. что существует такая пара точек
'(#10. Zlo), (#20» *2о)» ЧТО
R (#10» *1о) = R (#20» *2<>)» HO (f/10, Zi0) Ф (#20» *2<>)- (8.23)
Положим Г71 (yj0, zj0) = (y^, *,-„) при /г = 0, ± 1, ... и / = 1, 2.
Равенство (8.12) и индукция по /г>0 и /г<0 показывают, что
# (#т» *!*) = R (Ут, г2п) при п = 0, ± 1, ... (8.24)
и, поскольку Т взаимно однозначно,
(#1/1» 21Д) =7^= (#2тг» Z2n) при п = 0, ± 1, ... . (8.25)
В силу следствия 5.1 по Г можно определить многообразие
S+:[z = g(y), а по 7 — многообразие 5": y = h(z), где S± — много-
многообразия класса С1, которые имеют единственную общую точку —
начало координат —и трансверсальны в этой точке. Предположим
вначале, что Q/lo, z10) £ S+, т. е. zlo = g(#lo). Тогда (yini zin) ->0,
.а потому и /? (у1д, zln) —» 0 при /г —»сю. Но тогда (у20, z20) £ S+,
так как иначе || (у2п, ^27г)||—>оо при п—>+ °° в силу следствия,
5.1, и из равенств (8.21), (8.22) вытекает, что || R (yin, zin) || =
= !^(#2я, z27i)||—>oo при п—>+оо, а это приводит нас к проти-
противоречию. Поэтому (yj0, zjQ)£S+ при / = 1, 2 и, следовательно, либо
(#./0» z</o) = O, либо \\iyjn, Zjn)\\—>оо при д-> — оо, так как 5+П5"
состоит из одной точки (у, z) = 0. Но последовательность zjn = g (yjn)
ограничена в силу замечания 2, следующего за леммой 5.1. Поэтому
II (#7/11 zjn) |1 —> оо влечет за собой || yJn || —> оо при п-^—оо. Далее,
равенства (8.22) и (8.24) показывают, что у1п = У2п при больших
— п и, следовательно, zin = g (yln) = g fan) = z2n* Это противоречит
соотношению (8.25).
Таким образом, если (8.23) выполняется, то (yj0, Zj0) (J S+ при
/=1, 2. Аналогично, (yj0, zjQ)$S~ при /=1, 2. Но тогда
||27ъ||-»оо при п}—>оо и /=1,2. (8.26)
Это вытекает из доказательства следствия 5.1, показывающего,
что 0^ = Zjn — g (#t7i) удовлетворяет неравенству || vjn \\ >

^ § 8. Линеаризация отображения 299
>(с —-20)п || vJ0 \\Ф0. Однако в силу замечания 2 после леммы 5.1
-функция g (у) ограничена при всех у, так что выполняется (8.26).
Аналогично
||^||-»оо при п->_оо, /=1, 2. (8.27)
Следовательно, можно так изменить нумерацию точек {yjn, zjn) при
л = 0, ±1, ..., чтобы ||t/jo||>Si при /=1, 2. Поэтому из (8.22)
и (8.23) видно, что
#10 = 020. г^фг^. (8.28)
Определим числа
ад = II0Ш-Й1» II» В« = Ц^-г^Ц (8.29)
при /z = 0, 1, ..., так что ао = О, %Ф0. Следовательно, нера-
неравенство
а„<|3Л (8.30)
выполняется при п = 0. Предположим, что это неравенство доказано,
если п заменено на п— 1. В силу (8.2) и того факта, что {yjn, zjn) =
= T(yj>n^ zJtn-t), мы имеем
а + 2Э0) Р^_
- 290) Ря-j
Следовательно, (8.30) имеет место при всех п >- 0. Из (8.21), (8.24)
и (8.26) следует, что zin = 22Д при больших /г, т. е. р^ = 0 при
больших п. Из (8.29) и (8.30) следует, что аЛ = рд = 0 при больших
я. Поскольку это противоречит (8.25), мы доказали, что R взаимно
юднозначно.
(d) R отображает (у, ^-пространство на все (и, ^-пространство.
В самом деле, поскольку отображение R непрерывно и взаимно
однозначно, его сужение на произвольное компактное множество С
является гомеоморфизмом. Следовательно, по теореме Брауэра
об инвариантности области, R переводит открытые множества
в открытые (доказательство этой теоремы Брауэра имеется в книге
Гуревича и Волмэна [1, стр. 132—133]). Поэтому образ (у, ^-про-
^-пространства при отображении R является открытым множеством.
Для того чтобы показать, что он является также и замкнутым,
рассмотрим такую последовательность (yi9 Zi), (y2, z2)f . . ., для
которой существует lim R (уп, zn) = (и0, v0) при /г->■ оо. Тогда
последовательность (уи 24), (у2, z2), . . . ограничена, поскольку
в противном случае из (8.21), (8.22) вытекало бы, что либо а-коор-
дината, либо v-координата последовательности R (yu ^i),
R (Уъ* Z2)» ... не является ограниченной. Но это противоречит
тому, что R (yn, zn)-+(u0, v0) при n-^оо, и потому существует
такая точка (у0, г0), что R (у0, г0) = (и0, v0).
(e) Таким образом, отображение R имеет непрерывное (одно-
(однозначное) обратное R'1, определенное на всем (и, ^-пространстве,
и из (8.12) вытекает (8.4). Лемма 8.1 доказана.

300 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
§ 9. Доказательство теоремы 7.1
При доказательстве этой теоремы мы будем предполагать, что
Е имеет d собственных значений с отрицательными вещественными
частями и е собственных значений с положительными веществен-
вещественными частями. (Случай, когда d = 0 или е = 0, более прост и фор-
формально может быть получен из общего случая, если добавить фик-
фиктивные компоненты к вектору £.) После предварительной нормали-
нормализации можно предполагать, что отображение Т* имеет вид D.10)
при всех (/, у0, z0), причем выполняется D.11), при 0<;/<; 1
справедливы соотношения D.12) и D.13) и матрицы А = ер, С = е®
удовлетворяют предположениям леммы 8.1.
Можно также считать Эо настолько малым, что лемма 8.1 и сле-
следующее за ней замечание применимы к Т = Т1. Обозначим через
Ro отображение, существование которого утверждается в лемме 8.1,
так что Ro^R'1 = L. Положим
1
R= ^ L-sR0Tsds. (9.1)
Тогда
i
UR = ( j L^RoT*-* ds) P. (9.2)
о
Если принять s — t за переменную интегрирования, то последний
интеграл будет иметь вид
о 1-*
1 L-sRQTsds.
В первом из этих интегралов подинтегральное выражение можно
записать так:
поскольку L = R0T1R~1. Отсюда и из (9.2) получаем
1
Lftf=({ L-*ROTSds)Tl = RTl. (9.3)
о
Таким образом, для завершения доказательства достаточно про-
проверить, что R взаимно однозначно и отображает (у, ^-пространство
на (и, ^-пространство. Для этого представим R и Ro в виде
R: u = U{y,z), v = V (у, г); Ro: u = U0(y, z), v = V0{y, z), (9.4)
где
= y, если ||y||>Si; V0(y,z) = z, если ||z||>s0. (9.5)

§ 10. Периодические решения
301
Из (9.1) и справедливости равенств D.13) при 0</<1 вытекает
существование таких положительных постоянных s2, s3, что
U{y,z) = yy если |M|>s3; V{y,z) = z, если ||z|[>s2. (9.6)
Рассуждения, использованные в п. (с) и (d) предыдущего пара-
параграфа, и равенство (9.3) при t=\ показывают, что R взаимно
однозначно и отображает (у, г)-пространство на (и, ^-пространство.
Следовательно, теорема 7.1 вытекает из (9.3).
§ 10. Периодические решения
Применим теперь леммы 5.1 и 8.1 для изучения решений
в окрестности периодического решения автономной системы
£' = /(!). (ЮЛ)
Лемма 10.1. Пусть f (£) принадлежит классу С1 в некоторой
окрестности точки £ = 0. Пусть £ = т)(£, £0) — решение систе-
системы A0.1), для которого ц @, &>) = &>• Предположим, что функция
, So)
[Р и с. 2.
Т@==т1(^ 0) периодическая с наименьшим периодом р>0. {Таким
образом, у (t) ф const, / (у @) Ф 0 « решение х\ (t, Ho) существует
на некотором открытом t-интервале, содержащем отрезок [0, р],
всл^/ || go|| достаточно мало.) Обозначим через я гиперплоскость
rt:g.f @) = 0, ортогональную к кривой %\ \ = y(t) в точке ^ = 0.
Тогда существует единственная {вещественная) функция t = T (Ho)
мз класса С1 при малых ||Н0||, такая, что т@) = р w г] (/, |о)€л»
вела / = т (|0), т. е.
т](т(Н0), Ш@) = 0. A0.2)
Грубо говоря, если решение начинается в точке £0> близкой
к 0, то в момент времени £ = т(£0), близкий к р, решение пере-
пересекает гиперплоскость л; см. рис. 2.

302 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Доказательство леммы 10.1. Эта лемма сразу же вытекает*
из теоремы о неявной функции. Уравнение г] (f, g0) • / @) = 0 удо-
удовлетворяется, если t = p, £о = О. Производная т)' (t, |a)-f @) =
= f(Mtilo))-f(O) при 10 = 0 равна f (у (t))-f @). При t = p она
равна |f @)|2=^0, так как у{р) = у @) = 0. Отсюда следует наше
утверждение.
Если рассмотреть малые ||So||> ^об^* то
является отображением одной окрестности точки ? = 0 в гипер-
гиперплоскости я на другую. Смысл этого определения очевиден; реше-
решение 5 = г] (/, So) начинается при / = 0 в точке 5о 6 я, и Si =
= Т (So) — это первая точка (при / > 0), где решение S = т) (f, l0}
снова встречается с я. Рассмотрим возможность применения лемм
5.1 и 8.1 и вытекающие из этого следствия. Грубо говоря, мы можем
ожидать результатов следующего типа. С одной стороны, если
матрица Якоби этого отображения в точке £0 = 0 имеет норму,
которая меньше 1, то решение £ = у (t) является орбитально асимп-
асимптотически устойчивым (в том смысле, что если точка 5° достаточна
близка к кривой <ё: I = у (/), то решение I = r\ (t, 5°) «стремится»
к % при £—»-оо, т. е. лежит в сколь угодно малой окрестности
кривой % при больших t). С другой стороны, если dim \ = m
и матрица Якоби этого отображения в точке |0 = 0 имеет только
d (< m — 1) собственных значений, абсолютная величина которых
меньше 1, и (ш — 1) — d собственных значений с абсолютной вели-
величиной, большей 1, то множество точек £о 6 я, для которых !• =
= Ц (t, 5o) «стремится» к 9S при t-^oo, образует d-мерное мно-
многообразие 5.
Для того чтобы вычислить собственные значения матрицы Якоби
отображения Т: ^o^?iB точке 10 = 0, рассмотрим временно про-
произвольное £0 (т. е. не будем требовать, чтобы 5о 6 я). Матрица
Н {U So) = ^о Л (*> 5о) удовлетворяет равенствам
Н' (U £о) = 36/ (л {U So)) H (*, So), H @, So) = /• (Ю.4>
В частности, при ^0 — 0
H'(t,O) = dlf(y(t))H(t,O), Я @,0) = /. (Ю.5)
Заметим, что Я (t, 0) — фундаментальная матрица системы A0.5)
и что матрица коэффициентов dif (y(t)) периодическая с периодом/7.
Из теории Флоке, изложенной в § IV. 6, следует, что Я (t, 0)
имеет вид
H(t,0) = K(t)eDi, где /С(* + />) =/С @, (Ю.6)
т.е. /С@ — периодическая матричная функция, a D — постоянная
матрица. В частности, из соотношений т@) = р и К() К@) 1

§ 10. Периодические решения 30£
следует, что
#(т@), 0) = H(p,0) = eD*. A0.7)
Характеристические корни (или собственные значения)
ви е2> • • •> ет матрицы Н (р, 0) = eDv называются мультиплика-
мультипликаторами периодического решения £ = У @- Заметим, что е\ Ф 0,.
так как матрица И (р, 0) невырожденная. Соответственно»
р'1 In е±, Р~х In е2, . . . называются характеристическими показате-
показателями, так что однозначно определены только вещественные части
характеристических показателей решения \ = у (t). Характери-
Характеристические показатели, взятые по модулю 2ш, являются собствен-
собственными значениями матрицы D (и D не единственна).
Если произвести линейную замену переменных I = N£>, то,
как легко видеть, матрица Н (t, 0) заменяется на NH(t, O)^^
а множество характеристических корней не меняется.
Лемма 10.2. Пусть вектор / (£) удовлетворяет условиям лем-
леммы 10.1, dim I = т и Т — отображение £0-> 5ь определенное-
равенством A0.3), где £0» |4 6 я. Пусть еи . . ., ет — мультипли-
мультипликаторы решения 1- = у (t). Тогда один из них, например ету равен
1, a ei9 . . ., em_i являются собственными значениями матрицы
Якоби отображения Т в точке £0 = 0 6 я. Кроме того, если система
координат в ^-пространстве выбрана так, что
/ @) = @ 0, 1) A0.8>
ц л: 1т = 0, /по последний столбец матрицы Н (р, 0) раеея
@, . . ., 0, 1) и матрица порядка т — 1, получающаяся после
вычеркивания в Н (р, 0) = eD*> последнего столбца и последней стро-
строки, служит матрицей Якоби отображения Т в точке 10 = 0.
Доказательство. Прежде всего проверим, что
Н (р, 0) / @) = / @), A0.9)
т. е. Х= 1—собственное значение матрицы Н (р, 0), а / @) —
соответствующий собственный вектор. Заметим, что y'(t) = f (у (t)).
Если это равенство продифференцировать по t, то мы увидим, что
вектор £ = у' (f) удовлетворяет следующей линейной задаче Коши:
V = d,f{y{t))l, E(O) = v'(O)=/(O). A0.10)
Поскольку Я (t, 0) — фундаментальная матрица этой линейной
системы, равная / при t — 0, имеем у' (t) = H (t, 0) / @); ср.
§ IV. 1. При / = р из этого соотношения следует A0.9).
Таким образом, если A0.8) выполняется, то
последний столбец Н (р, 0) равен @, . . ., 0, 1). A0.11)
Матрица Якоби отображения A0.3), если не налагается условие
1о 6 я, равна

304 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
При £о — 0 отсюда следует, что
д1о h (т Fо), ЕоIбо=о = f @) д1от @) + Я (р, 0).
Первый член справа —это матрица (fl @) дт@)/дЦ), так что пер-
первые /72—1 строк состоят из нулей в силу A0.8). Последнее
слагаемое равно Н(р, 0). Таким образом, лемма доказана.
§ 11. Предельные циклы
Замечания последнего параграфа объясняют, почему при изу-
изучении решений системы A0.1) вблизи кривой £ = у (t) веществен-
вещественные части (нетривиальных) характеристических показателей реше-
решения 5 = у (t) играют ту же роль, какую играют вещественные части
собственных значений матрицы Е при изучении решений системы
A.2) вблизи | = 0.
Теорема 11.1. Пусть f (£) принадлежит классу С1 на некотором
открытом множестве. Предположим, что система A0.1) обладает
периодическим решением i = у (f) с (минимальным) периодом р > 0.
Пусть dim g = т и т — 1 характеристических показателей реше-
решения £ = У @ имеют отрицательные вещественные части, меньшие,
например, чем а < 0. Тогда существуют такие б > 0 и постоянная
L, что для каждого |° из открытого множества dist E°, %) < б,
где Й: I = у (t), 0 <; ^<; /?, существует асимптотическая фаза
t0, такая, что решение g = т) (/, |°) задачи
6' =/(В, 6@) = Б° (ИЛ)
удовлетворяет неравенству
при t>0. A1.2)
В частности, % = y(t) — предельный цикл, который асимптоти-
асимптотически орбитально устойчив.
Доказательство. Как и прежде, положим у @) = 0. В силу
наших предположений после линейной замены переменных £ можно
привести отображения A0.3) к виду
где Е^о)^1 при малых ||£0|| и обращается в нуль вместе с пер-
первыми производными при £о = О, причем а = ||Л||<еа. Поэтому,
если норма ||£0|| достаточно мала, например ||£0||<в, то ||£i||<
•^. еа || £01|. Отсюда следует, что значения t,n = Гп^0 определены
при п = 1, 2, ... и |Un||<ena||£0||—>0 при п—>оо.
Так как задача Коши A1.1) имеет единственное решение, из
теоремы V.2.1 вытекает, что если е>0 произвольно, то сущест-
существует такое б = бе>0, что при условии dist (^f, £°)<б найдется

§ П. Предельные циклы 305
наименьшее положительное значение t = T° (£°), для которого г\ (/, £°)
существует при 0<£<т° и т] (т°, £°)£я, || г] (т°, 2-°) || < 8.
Пусть go=r] (т°, g°) e^. Положим tx=t Aо)+ъ° итп=т (£д.1)+'гп
при м = 2, 3, ..., так что £Л = г)(тп, £°). Очевидно, что т@)=/?
влечет за собой т (|Л) —>/? и т /пр —> 1 при п —> оо. Поэтому
существуют ^0 = lim (тп — гг/?) при я—>оо и некоторая постоян-
постоянная Ьи такая, что
A1.3)
Чтобы доказать это, заметим, что
Так как т@) = р и т(£)£С\ величина | т (%n-t) — Р | не превосходит
L0\\ln-i\\<Loea(n-iy> || |о|| при некоторой постоянной Lo- Следова-
Следовательно, существует t0, удовлетворяющее A1.3) при Li = L0/(l—еа).
Поскольку г] (t, 1°) £ С1, имеем
при некоторой постоянной L2 и 0<^</?. Следовательно, из огра-
ограниченности f (Е) в окрестности % следует, что \\ц (t-\-Tn, g°) —
°l|^||E|| в силу A1.3). Поэтому
2 + L3)e^\\l0\\ при 0</</7.
Если заменить t + np на £, мы получим, что
|| т| (t +10, 1°) - у @ || < (L2 + L3) <**!* || g01|
при np^t^,(n-\~l)p и n = 0, 1, ... . Теорема доказана.
Теорема 11.2. Пусть dim£ = /7z, KQ^C1 на некотором откры-
открытом множестве и система A0.1) имеет периодическое решение
l = y(t) с наименьшим периодом р > 0. (i) Решение £ = £ @ ^ Y @»
определенное при больших t и такое, что
dist(^, t(t))eet->0 при t->oo (ПА)
для некоторого s>0, где %\ \ = 7 @» 0^/^/7, существует
тогда и только тогда, когда решение I = Y @ имеет хотя бы один
характеристический показатель с отрицательной вещественной
частью. (И) £а/ш решение | = у (£) имеет в точности d (^ т — 1)
характеристических показателей с отрицательными вещественными
частями, то множество точек I в окрестности %, лежащих на реше-
решениях \ = | (t) системы A0.1) м удовлетворяющих A1.4) Агра некото-
некотором е > 0, образует (d + 1)-мерное многообразие S класса С1,
(iii) £а/ш Jto/тгя бб^ одда характеристический показатель имеет
положительную вещественную часть, то решение Ь, = у (t) не будет
орбитально устойчивым, (iv) Если 0 << d << т — 1 в условии (п)
и (т — 1) — d характеристических показателей имеют положи-
20—241

306 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
тельные вещественные части, то S можно описать как множество
точек £, близких к% и лежащих на решениях \ = \ (t), для которых
, £@)-»0 при t->oo A1.5)
и (или)
dist (^, I @)< е пра 0<^<оо A1.6)
Зля некоторого достаточно малого е > 0.
Из доказательства и результата упр. 5.1 будет видно, что пред-
предположения о принадлежности / классу С1 и соответствующие утвер-
утверждения относительно 5 могут быть несколько ослаблены или,
наоборот, усилены до аналитичности или принадлежности классу
Ст, 2<;/п<; оо. В случае (iv) существует, конечно, аналогичное
(т — ^)-мерное многообразие, соответствующее t-+- — оо, пере-
пересекающее 5 трансверсально вдоль %', S и соответствующее (т — d)-
мерное многообразие называются устойчивым и неустойчивым мно-
многообразиями решения <ё.
Доказательство. Мы докажем лишь утверждения (и) при 0 <
<Zd<.m—1. Можно предполагать, что у @) = 0 и что A0.8)
выполняется. С помощью линейной замены переменных в плоскости
я [т. е. в подпространстве переменных (g1, . . ., l171'1)] можно при-
привести преобразование 7\ определенное равенством A0.3), к виду
E.1), где Y, Z 6 С1 при малых || у0 ||, || z0 ||, a Y, Z и их матрицы
Якоби равны нулю при (у0, г0) = 0. Здесь dim у0 = dy (у0, г0) =
= A\ . . ., 1т-г), а = ||Л||<1 и \1с= ||С-М!< 1 +в, где
0 > 0 сколь угодно мало. Пусть у = g (z) — многообразие, сущест-
существование которого утверждается в лемме 5.1. Тогда Тп (уо> z0)
определены при п = 1, 2, . . . и || Т1 (у0, г0) ||->-0 экспоненци-
экспоненциально при п ->- оо тогда и только тогда, когда zo = g (y0).
Если || £0 II мало и ^0 6 я, то существует такая точка (у0, z0),
что go = (уо, Zo, 0), где последняя координата есть нуль — вещест-
вещественное число. Рассмотрим множество 2 точек g: g = т] (t, g0)» Для
которых g0 = (r/o, g (Уо), 0Nя и 0<^<т (|0).
Читателю предоставляется проверка того, что подмножество 5
точек 2, лежащих в малой открытой окрестности кривой ^, удо-
удовлетворяет утверждению теоремы.
Замечание, С помощью леммы 8.1 можно установить топологи-
топологическую природу множества решений системы A0.1) вблизи %,
когда вещественные части нетривиальных m — 1 характеристи-
характеристических показателей решения \ = у (t) не равны 0.
Упражнение 11.1. В предположениях теоремы 11.2(i) пусть
\ (t) обозначает решение системы A0.1), удовлетворяющее A1.4)
при некотором г > 0. Докажите существование таких чисел t0
и с> 0, для которых || I (t + t0) — у (t) || ect ->- 0 при t->■ оо.

§ 12. Гладкие линеаризации 307
Теорема 11.3. Пусть вектор f (I) принадлежит классу С1 на неко-
некотором открытом множестве и таков, что у системы существует
периодическое решение £ = у (t) с (наименьшим) периодом р > 0.
Положим
Если А > 0, то решение £ = 7 (О W^ будет орбитально устойчивым.
Если dim | = 2 а А < 0, /да решение \ = у (t) экспоненциально
асимптотически орбитально устойчиво*
Доказательство. Для произвольного m = dim£ из A0.5) сле-
следует, что
det Н (/, 0) - exp j tr дг! (у (s)) ds;
о
ср. с теоремой IV. 1.2. Отсюда
det Н(р, 0) = eA, A1.8)
так что £Л равно произведению £i£2 . . . ет. При А > 0 имеем
| ek | > 1 при некотором Л, а при т = 2 можно предполагать, что
^2^ 1 и ei = £Л. Поэтому теорема 11.3 следует из теорем 11.1
и 11.2.
Упражнение 11.2. Пусть dim 5 = 2, /(£) принадлежит классу С1
на некотором односвязном открытом множестве Е и tr d^f (£) =
= div / (g) Ф 0. Тогда система A0.1) не имеет периодических
решений (^const) и не имеет решений \= \ (f), определенных при
— оо <; t <С оо, для которых существуют £ (± оо) = lim ^ (/) при
t ->■ + оо, такие, что £ (± °°) 6 £"•
ПРИЛОЖЕНИЕ. ГЛАДКО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 12. Гладкие линеаризации
Как уже указывалось ранее, теорема 7.1 и лемма 8.1 становятся
неверными, если утверждение о непрерывности R и R'1 заменить
утверждением, что R и R'1 принадлежат классу С1. В этом и двух
последующих параграфах рассматриваются результаты, касаю-
касающиеся существования гладких линеаризующих отображений R, R~l
при дополнительных предположениях.
Теорема 12.1. Пусть п — целое положительное число (или п = оо).
Существует такое целое число N = N (п)^>2 (или N= оо), что
'для всякой вещественной постоянной невырожденной (d X 6)-матри-
20*

308 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
цы Г с собственными значениями уи . . ., у а, удовлетворяющими
условию
d
Y™iy™2 ... у™* Ф yh при А= 1 d и 2< 2 Щ<М A2.1)
3=1
при любых неотрицательных целых т^ ...,т&, и для любого
отображения
Т:Ь = П + ЕA), A2.2)
где В (£) принадлежит классу CN при малых ||£||, причем
В @) = 0, д^В @) = 0, существует такое отображение R:ti = Z0 (£)
из класса Сп при малых ||£||, что
zo(O) = o, a6zo(O) = /, A2.3)
^ц. A2.4)
Заметим, что A2.1) влечет за собой | у и I Ф 1 при & = 1, . . ., d,
поскольку собственные значения вещественной матрицы Г либо
вещественны, либо образуют комплексно сопряженные пары (напри-
(например, если | Yi I = 1 и 72 = 71= 1/Ть то 71Т2 = Тг)- Если V —
«группа» отображений, порожденная дифференциальным уравне-
уравнением G.1), иГ=Рв A2.2), то Г = еЕ, так что если еи . . ., ed —
собственные значения матрицы Е, то 7/ = ехР ej и соотношения
A2.1) переходят в неравенства m^i + . . . +
Упражнение 12.1. Сформулируйте аналогичную теорему о линеа-
линеаризации дифференциального уравнения G.1) и докажите ее, исполь-
используя теорему 12.1 и ту идею, связанную с формулой (9.1), которая
была использована при выводе теоремы 7.1 из леммы 8.1.
Замечание. Доказательство теоремы 12 указывает способ (по-ви-
(по-видимому, далеко не лучший) отыскания числа N (я), или, что экви-
эквивалентно, числа X = N — п. Пусть число а таково, что 0 < а <<
<а<1 и собственные значения матрицы Г удовлетворяют нера-
неравенству
0 < а < min (| 7* I, 1/| Та IX а < 1 пРи k = 1, . . ., d.
(В частности, в подходящей системе координат нормы матриц Г
и Г меньше, чем с = 1/а; более того, Г = А или Г = diag [Л, В],
где нормы А и В~1 таковы, что а < | А |, | В'1 \ < а.) Тогда N
можно положить равным п + X, взяв в качестве X такое целое
число, что
где
есть число частных производных порядка п для функции от d пере-
переменных; см. A4.29) и п. (к) и A) в доказательстве теоремы 12.2
из § 14.

§ 12. Гладкие линеаризации 309
Теорема 12.1 вытекает из более общей теоремы 12.2. Тот факт,
что теорема 12.1 содержится в теореме 12.2, виден из следующей
леммы, которая доказывается с помощью простых вычислений.
Лемма 12.1. Пусть N ^> 2 — целое число (или N = об). Пусть
Г — вещественная постоянная невырожденная матрица, собствен-
собственные значения которой удовлетворяют A2.1), пусть вектор-функция
Н (I) принадлежит классу CN при малых \\l\\, причем Е @) = 0,
дг S @) = 0 и Т — отображение, определенное в A2.2). Тогда суще-
существует отображение Rii £ = Z4 (£) класса CN при малых \\ I ||,
такое, что Zt @) = 0, d^Zi @) = /, а отображение НА (£) в
П: Zi = n + Si (g), A2.5)
где Т\ = RiTR'1, таково, что все частные производные функции
Hi (£) порядков -^N равны нулю при £ = 0.
Обобщая теорему 12.1, изучим вопрос об «эквивалентности»
двух отображений Т, Tiy не предполагая линейности одного из них.
Теорема 12.2. Пусть отображение A2.5) принадлежит классу
CN при малых \\l\\, где 2<Л/<оо, и а4@) = 0, дс3! @) = 0.
Предположим, что собственные значения у и матрицы Г таковы,
что \yk 1=^=0,1. Пусть я>0 — целое число. Тогда существует
целое число Х = К(п)>0, зависящее только от п и Г и обладаю-
обладающее следующим свойством: если Т в A2.2) принадлежит клас-
классу CN, А^>/г + Я (я), и все частные производные разности
S (g) — St (g) порядка <Л/ равны нулю при £ = 0, то существует
отображение R: £ = Z0(£) класса Сп при малых ||£||, удовлет-
удовлетворяющее A2.3) и такое, что
RTR~1 = Ti. A2.6)
В доказательстве этой теоремы определение R не будет зави-
зависеть от п, и потому R^Cn для любого допустимого п. В частно-
частности, если N = oo, то R£C°°. При этом из доказательства будет
видно, что для любого данного п > 0 предположение о принадлеж-
принадлежности 2, Si классу CN может быть ослаблено до предположения
о принадлежности S, S4 классу Сп+1, если все частные производ-
производные разности S (I) — Ht (I) порядков k < п + 1 не превосходят
c\\l\\N°~hi гДе с — постоянная и NQ > п + Я (п) — фиксированное
число. В этом случае отображение R из класса Сп таково, что
каждая частная производная разности RI — £ порядка / < п не пре-
превосходит с4 ||£ ||^°~;', где Ci — постоянная.
Лемма 12.1 будет доказана в следующем параграфе, а теорема
12.2 — в § 14. Доказательство следующей теоремы, являющейся
аналогом теоремы 12.2 для дифференциальных уравнений, является

310 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
простой модификацией доказательства теоремы 12.2 и предостав-
предоставляется читателю в качестве упражнения; см. упр. 14.1.
Теорема 12.3, Пусть в дифференциальном уравнении^
I'^El + F.H) A2.7)
функция Ft (£) принадлежит классу CN при малых ||£||, где
2<Л/<оо и Fi@)=^0, d^Fi@) = 0, матрица Е не имеет собст-
собственных значений с нулевой вещественной частью и п > 0 — произ-
произвольное целое число. Тогда существует целое число Я = Л(я)>0,
зависящее только от п и Е и обладающее следующим свойством:
если N>n + X(n) и в системе
l' = Et + F(t) A2.8)
вектор F(l) принадлежит классу CN и все частные производные
разности F (l)—Fi(l) порядков <# равны нулю при 1 = 0, то
существует отображение R: t) = Z0(l) из класса Сп при малых
|| £||, удовлетворяющее A2.3) и переводящее A2.7) в A2.8).
Замечания, сделанные после теоремы 12.2 относительно глад-
гладкости 3, В1? можно переформулировать в терминах гладкости F, F^
В частности, из последней части замечания, касающейся отобра-
отображения R, вытекает следующий результат об асимптотическом
интегрировании:
Следствие 12.1. При выполнении условий теоремы 12.3 суще-
существует взаимно однозначное соответствие между решениями
l(t) системы A2.8) и решениями £(*) = Rl(t) системы A2.7),
удовлетворяющими условиям £(<), E,(t)—>0 при t—>oo (или —оо);
кроме того, || £(£) — £(*) ||< const || £(£) И^ при t—>oo (или — оо).
Упражнение 12.2. (а) Пусть бесконечно дифференцируемые при
малых || £|| функции Т и 7\ в A2.2) и A2.5) таковы, что модули
собственных значений уи матрицы Г не равны 0 или 1 и S@) = 0,
ds2@) = 0, Si@) = 0, а,3!@) = 0. Обозначим через Г0, 710 ряды
Тейлора в начале координат (не обязательно сходящиеся), соответ-
соответствующие Г£ и 7\£. Отображение R: ^ = Z0(£), бесконечно диф-
дифференцируемое при малых ||£||, удовлетворяющее A2.3) и такое,
что Tl = RTR~1, существует тогда и только тогда, когда сущест-
существует отображение Ro: £ = £+••• в виде формального степенного
ряда, для которого формально Ti0R0 = R0TQ. (Это утверждение сле-
следует из теоремы 12.2 и леммы 13.1.) Существование отображе-
отображения Ro зависит от разрешимости некоторых линейных уравнений;
см., например, доказательство леммы 12.1. (Ь) Сформулируйте
утверждение, аналогичное (а), в случае, когда отображения 7\ 7\
заменены дифференциальными уравнениями A2.7), A2.8).

§ 13. Доказательство леммы 1291 ЗП
§ 13. Доказательство леммы 12.1
Случай 1 B<iV<oo). Сделав линейную замену переменных,
можно добиться того, что Г будет иметь вид, аналогичный нормаль-
нормальной жордановой форме, за исключением того, что поддиагональ-
ные элементы равны 0 или е>0 (выбор е мы уточним позже;
см. § IV.9). Поэтому преобразование A2.2) можно записать в коор-
координатном виде следующим образом:
1 4 HEf), A3-1)
где /=1, ...,d и 8; = 0 или 8. В равенстве A3.1) и ниже через
(i) обозначен набор \iu ..., id) из d неотрицательных целых чисел;
4
||(iT (g)
Отображение Ri мы определим так, что каждая компонента
вектора /?4£ будет многочленом от (g1, ..., |d):
Rl. ^ = ^+S...S^(m)S(W) При /=1, ...,d, A3.2)
причем должно выполняться равенство RiTR~% = Г^ + ° (|| £ ||N)
или, что эквивалентно,
RJt^-TRtl + oiWlf) при^->0. A3.3)
С точностью до членов порядка о (|| ^ Ц^) /-я компонента левой
части отображения A3.3) равна
v£J+e#-i+ S4>5(i)+S r{m) П (т«б"+8.Б-1+2
(г) (m) a=l (h)
а /-я компонента правой части равна
2 U + ^^.S
(m) (m)
Поэтому A3.3) эквивалентно равенству
П (?
| а=1
+^
(m)
Приравнивая коэффициенты, получаем линейную систему уравне-
уравнений для г\т).
Легко видеть, что в силу A2.1) эти линейные уравнения одно-
однозначно определяют числа г{т) при /=1, ...,d и 2<|m|<JV,
если Ei= ... =8^ = 0. В самом деле, главная часть множителя г$
слева (т. е. член наименьшего порядка относительно I) равна
(Vj — П Vg^*) ^(m)» так что мы можем последовательно определить г\т)

312 Гл. IX, Инвариантные многообразия и линеаризация
сначала для |т| = 2, затем для |т| = 3 и т. д. Это показывает,
что если е4 = ... = Sd = О, то определитель матрицы коэффициентов
при неизвестных г* не равен нулю.
Отсюда следует, что если г > О достаточно мало и е7- = 0 или
8, то матрица коэффициентов невырожденна. Тем самым лемма 12.1
доказана при 2 ^ N < оо.
Замечание. Чтобы рассмотреть случай N = оо, отметим следую-
следующее следствие из уже проведенной части доказательства: если
2<;Af<oo, то существует единственное отображение R\ вида
A3.2), удовлетворяющее лемме 12.1. В самом деле, из доказательства
видно, что Ri определяется единственным образом после некоторой
линейной замены переменных (не меняющей вида отображения
A3.2)). Следовательно, R\ определяется единственным образом
и до того, как производится это линейное преобразование.
Случай 2 (N = оо). Так как Т 6 С°°, можно выписать формальное
(не обязательно сходящееся) разложение в ряд Тейлора в точке
Е = 0:
Т: &= S yjhlh+ 2 4i)lll) при /=1, ...,d,
fc=l |i|^2
где Г = G./а). Приведенное выше доказательство и следующее
за ним замечание показывают, что существует единственное отобра-
отображение, имеющее вид формального степенного ряда
J J w) npH/=lf...fdf A3.4)
для которого имеет место формальное равенство R\T = TR{.
Чтобы закончить доказательство, допустим на время, что спра-
справедлив следующий результат:
Лемма 13.1. Для всякого формального степенного ряда
S r{m)t™ A3.5)
]т\=0
с вещественными коэффициентами существует бесконечно диффе-
дифференцируемая функция г (|), такая, что ее формальный ряд Тей-
Тейлора совпадает с A3.5).
Если лемма 13.1 верна, то искомое бесконечно дифференцируем
мое отображение Ri имеет вид: R& = (г1 (I), . . ., rd (l)), где
функция rj(£) 6 С°° имеет в качестве формального ряда Тейлора
ряд, стоящий в правой части в A3.4). Поэтому для завершения
доказательства леммы 12.1 остается только проверить справедли-
справедливость леммы 13.1.

§ 14. Доказательство теоремы 12.2 313
Доказательство леммы 13.1. Пусть Ф (t) — вещественная беско-
бесконечно дифференцируемая функция, такая, что Ф (t) = 1 при?
|*|<1/4, 0<Ф@<1 при 1/4<|*|<3/4иФ(9 = 0при|*|>3/4.
Легко видеть, что ряд
г(Ъ)= S r{m)tm)O(mil...md\( S I/-(*)!) II ЕЛ2) A3.6)
\т\=0 \i\=\m\
равномерно сходится при ||£||<1, и его сумма является искомой
бесконечно дифференцируемой функцией. Его т-й член, |т|>2,
равен нулю, если не выполнено неравенство
а если оно выполнено, то этот член не превосходит
Поэтому ряд A3.6) равномерно сходится при |||||<1 и г@) = /-@).
Аналогично, ряд A3.6), продифференцированный формально любое
число раз, остается равномерно сходящимся и d^r(i))/(diI)mi ...
... (dld) d = r(m) при 1 = 0. Лемма 13.1 доказана.
§ 14. Доказательство теоремы 12.2
В дальнейшем предполагается, что Г, 7\ принадлежат классу CN
и существует такая постоянная cN, что
||D(m)(r-.T1)g||<^||g||iV-Iw| при малых || g || A4.1)
и | т | = 0, 1, ..., N, где D(m) = а]т|/(а^)Ш1 ... (ЗГ*)Ш<*. В дальней-
дальнейшем рассматриваются только такие |, для которых ||g||</-0<lt
так что ||g||J<||£||fe при j>k.
Используя нормализацию из § 4 и результаты упр. 5.1, можно,
не теряя общности, предположить, что Т и 7\ определены во всем
^-пространстве, взаимно однозначны и сводятся к линейному ото-
отображению Г£ при больших ||£||; кроме того, T = diag[A, В\
и £ = (£_, g+), так что Т имеет вид
Г: Ъ. = А1-
причем Г @, |+) = 0 и Z (|_, 0) = 0, т. е.
М+: |_ = 0 и М-:& = 0 A4.2)
суть инвариантные многообразия; наконец, существуют такие
постоянные
0<а<а<1, A4.3)

314
Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
ЧТО
||K| +, A4.4)
где ||£±|| = ||£||±. Эти неравенства могут быть использованы также
в эквивалентной форме:
В обоих случаях они иллюстрируются на рисунке 3, когда
dim g_ = dim |+ = 1.
Через К+, К0, К~ обозначим множества точек \:
/С+:||6|К11Е||+; /С°:||Б||- = ||Е||+; К". ||£||->Ш+. A4.5)
Таким образом, К0 — поверхность конуса. Пусть K3 = TJK° при
7 = 0, ±1, ...,так что Т-'К' = К° и, в силу A4.4), Kj <= K+ при
Рис. 3.
7 > 0 и К1 с К~ при / < 0 . Обозначим через Q0 множество точек
лежащее между К0 и К1 и включающее К0, т. е.
Кроме того, пусть Qj = TjQ° — соответствующее множество, лежащее
между Kj и /С;'+1 и включающее К?, так что
см. рис. 4. Ясно, что
М± при
так что множества Qj попарно различны, множество К+ \ М+
является объединением всех Qj при />0, а К' \ М"" —объедине-
—объединением всех Qj при /<0. При %$М+[}М~ обозначим через k(Q
то единственное целое число k, для которого ££Qfe«
Для г > 0 обозначим через S (г) шар || 11| < г, /(* (г) = /С* П S (г),
iC° (г) = К° П 5 (г) и Qj = Qj П 5 (г). При заданном г0> 0 существует

Рис. 4.

316 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
такое г± = г± (г0) > 0, что 0</-1</-0, и если ££Qft(r4) при
(или k < 0), то r-j£ £ S (г0) при / = 0, 1, ..., k (или — / = 0? 1, ..., &).
Доказательство распадается на несколько этапов. Для краткости
полностью исследуются только точки ££/(+; очевидные аналогичные
утверждения и рассуждения для случая ££ К~ не приводятся, хотя
мы будем их использовать.
(a) Если &(£)>0, то при / = 0, ...,£(£)
5Н5 A4.6)
||||||?Ц. A4.7)
Это видно из A4.4) и того факта, что Т~°Ъ, £ К+ при / — 0, ..., k (£).
(b) Пусть A>(g)>0. Тогда
а-2^ F) < || g ||+ /1| % ||_ < а-2^ <6>-2. A4.8)
Чтобы это проверить, положим г| = Т~^(^^, так что T]gQ°ci/C+,
но T^Tie/O". Тогда, в силу A4.4),
где k = k(Q, и потому A4.8) следует из того, что ||т]||_<|
и || Г 1т]||_>||Г ^11+.
(с) Существуют постоянные с<1 w х>1, такие, что если
II^EIKcllEH. A4.9)
(В действительности с можно выбрать сколь угодно близким
к а, если к достаточно велико.)
В силу A4.4) и A4.8),
Поэтому, если х настолько велико, что a~2a4>c + ^2 < 1» то нуж-
нужный результат получается при с= (a~2a4x + a2I/2.
(dI) Пусть /q>0 фиксировано, a r1 = ri(r0)>0 выбрано,
как и выше {перед п. (а)), так чтоТ1~к(Щ£8 (г0) дляО<1<1гA)
и ££S(ri). Пусть С> I—-такая постоянная, что для g, T]gS(r0)
выполняется неравенство
IIT'ii-T'iTll^CIII-^ll, (НЛО)
а X и N — такие целые числа, что
A4.11)
!) Начиная с этого места в рассуждении автора содержалась неточность.
Поэтому несколько пунктов в доказательстве при переводе переделаны. — Прим.
ред.

§ 14. Доказательство теоремы 12.2 317
Пусть, наконец, cN — такая постоянная, что A4.1) выполняется
для || £|| </о. Тогда существует такое r2, 0<<.r2<criJ что
1) при / = 0, ..., k{l)
\\Т[Т"Ч1) A)\\<гх для t£K+(r2)\M+; A4.12)
2) существует такая постоянная CN, что
\\T\il)T-h®l-l\\<CN\\l\\N для 1£К+(г*)\М\ A4.13)
Доказательство. Пусть £ g K+ (^2) \ М+, где r2 < /'i пока еще
не определено. Тогда в соответствии с выбором г4
^"feF)geS(r0) для / = 0, ..., Л(£).
Обозначим
и предположим, что для 0 < i < / — 1 < k (g)
nr-^gS^), C@€S(r0). A4.14)
Тогда
откуда по индукции приходим к неравенству
В силу A4.7),
i=0
i=0
Поэтому, если Cax<Ch то
так что
||S(/)||<Cw||||r, где Cw = ^^-F). A4.15)
До сих пор выбор г2 не был уточнен. Положим теперь
, l}.

318 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Тогда, согласно A4.15), || £(/) || <.CiVrf<CJV/'2<Cjvr1/ (CN+ 2)<rr
< г0, и, учитывая A4.7), получаем
Следовательно, A4.14) верно и при t = /. Индукцией убеждаемсяг
что A4.14) верно для 0 <л <&(£), и потому из A4.15) следует,
как и выше, A4.12) для 0</<&(|) и A4.13) (для чего в A4.15)
нужно положить j = k(Q и воспользоваться определением £(/)).
(е) Определение R. Пусть #@) — отображение замыкания Q^
в g-пространство, принадлежащее классу CN, равное тождествен-
тождественному отображению / на К0 и отображению Т{Г~г на К1 и такое, что
HEf-11111 A4.16)
при |т| = 0, ..., Л/ и малых ||£|| с некоторой постоянной dN-
Определим отображение R{k) на Qk, замыкании области Qk> положив-
при ^6Qfe и & = 0, ± 1, ... . Если 1>^М±, положим
Rl = R{k)l для geQ\ A4.18)
Условия R@) = TlT~1 на /С1, RiQ) = I на /^° влекут за собой непре-
непрерывность в точках ££/(\ а потому и во всех точках ^Л/Р. Будем
также предполагать, что Ri0) выбрано так, что
Rt£CN для ЦМ±. A4.19)
Очевидно, такой выбор R(o) возможен; достаточно положить /?@>£ = к
при 0^£ в окрестности К0 и R0 (I) ^Т^Т'1^ при 0^=|в окрестност,
/С1. Можно, например, построить R@) следующим образом: заметим^
что если 0 ф I б К1 = ТК°, то а2< || 11]_ /1| g ||+ <а2, а если 0 ^ \ 6 Q0,
то а2<|||||_/|||||+< 1. Пусть 0<а2<е1<е2< 1, так что мно-
множество {£: 81||g||,<||g||_<82||g||+, 1=^0} лежит внутри_B°, в та
время как множество {£: а2 \\ 11|+< || ? ||_< ||| ||+} содержит Q0. Пусть
функция Ф (t) бесконечно дифференцируема при а2 < t < 1 и такова,
что Ф(*) = 0 при a2<*<e4H®@= 1 при е2<*< 1. При 0=7^ ££ Q(O>
положим
и Rml = 0, если 1 = 0. Заметим, что Rim = / на /С0, Я@) = Г^ на Л:1 и
«-£= [l-Ф (Ц
откуда легко получается A4.16).

§ 14. Доказательство теоремы 12.2
(f) Отображение R удовлетворяет при I (J М± равенству
КП = Т№. A4.20>
Это ясно из A4.17) и A4.18), поскольку при ££Qft мы имеем?
Tl£Qk+i и RTl = Tki+iR@)T-kl = TiRl.
(g) Утверждение (d) остается в силе, если заменить A4.12>
и A4.13) соответственно на
||Г&»Т-*«>6||<Г1 для t£K+(rz)\M\
\\Rl-l\\<CN\\l\\N для Е€/С+(/-2)\М+.
При этом константы г2 и CN в этих формулах будут несколько»
иными, нежели в A4.12) и A4.13), а именно:
CN =
где С^ —константа, обозначенная в A4.13) через CN.
В самом деле, предполагая, что 7^(°>7"fe(^g £ S (г0)
i = 0, ..., /—1, находим, что
Выражение в правой части не превосходит C'rf^ || r~fe(^g ||^ в силу
A4.16), а если использовать A4.7), то его можно оценить величи-
величиной 2NdNCJ || g \\Nak№N. Предполагая, как и выше, что С> 1
и CaN < Сах < 1, получаем
|| Tj#@)T-feF)g- г(Т"ЛF)£ || < 2N dN (CaN)h{l) \\ I ||N<
< 2N dN || I f < 2N d^ < 2ДТ diVr2..
В ходе доказательства п. (d) было получено неравенство ||rjT~fe(^^|| <
<(Civ + 2)r2. Поэтому
|| r^(o>r-ftF)g || < (С^ + 2 + 2NdN) г2<г,.
Индукцией убеждаемся, что приведенные выше неравенства верны
для / = 0, ..., k(Q, что дает первое из неравенств A4.21). Вто-
Второе же, очевидно, вытекает из уже доказанного и A4.13), так как
^l _ 11| < dN || I f + C'N || I f.
В оставшейся части доказательства мы получим оценки произ-
производных от Rl — l при 1^М±. Удобно для этого ввести следующие
обозначения.

320 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Чтобы выделить номер координаты векторов, мы будем записы-
записывать его перед обозначением вектора, а не после, как ранее;
например, f = (x/> •••>d/) и £ = D;, .-:,d£). Через fs мы будем
обозначать производную функции / (£) по Jl. Если (а) = (oq, ..., ad) —
набор из d неотрицательных целых чисел, используется обозначе-
обозначение /(tt) или D(a)f Для производной д'а|//д(Ч-)а1 ... д (dg)°4 Через
/(а)о<П» /;оГ1 обозначается значение соответствующей производной,
вычисленной в точке g = г]. Аналогично, для отображения Т через
Tjl или Г(а)£ обозначаются производные d(TQ/dCQ или (Г^)(а).
Мы докажем, что если Х = к(п) в п. (d) достаточно велико,
то с некоторой постоянной CN (| а |)
-S)(«)ll<Cw(|o|)||ir-l«l A4.22)
при ^ g /С+ (^2)\Л^+ и | а | < п. Доказательство проводится индук-
индукцией по |а|. Соотношение A4.21) соответствует случаю |а| = 0.
Определим при 0=^l^Qk
= R(k)l-l. A4.23)
В силу A4.17),
/?(fc+1)g = 711/?(fe)T-1g для O=H=geQft+1.
и потому
или
S(k+i)l = TiRwT-1l-TiT-1l + Fl для 0^^6Qfe+1, A4.24)
где
F^iTi-T) V1. A4.25)
По правилу дифференцирования сложной функции
#Г£ S S (imR4) (Ri l) [()j I]
m=i h=i
Повторное дифференцирование приводит нас к формуле вида
m=l | 3|=| а |
A4.26)
где вторая сумма берется по всем мультииндексам P = (Pi, ..., Cd),
для которых | C11 = | а \; Фа> Р — это произведение | а | множителей
вида h(T~1)j£)\ Wl*atk — полином (не зависящий от k) от координат
векторов TimoR(k)T~% (Т-1)^)^ при | C|< \а \ и ^оГ1^ при
|у|<С|ос|. Заметим, что полином ^г'а>к не зависит от k; от k
зависят только его аргументы Ti^oR^T'1^ и i^^joT^.

§ 14. Доказательство теоремы 12.2 321
Если среднее слагаемое в правой части A4.24) записать
в виде Т^Т1^ = 7V71!, где / — тождественный оператор, то спра-
справедлив следующий аналог формулы A4.26):
\тхт-*)ыъ =22 (lTim ° т~ч) г/(Э) о r-ig) Фа'р+т*'а,
т=1|р|=|а|
где ¥*' а получается из ¥*•а> k после замены Г1C) oRWT^l и /?$ оГ-1^
на Тк^оГ"^ и /G) о Т^ соответственно. Таким образом, из A4.24)
следует, что
где
2 S A
m=l|PI=|a|
A4.28)
m=l|P|=|a|
(h) Сумма
S S S |'Tlm^|||
Л=1 т=1 |Э1=|а|
определенная при 0 ^= g g Q(ft+!) (r2), яв превосходит постоян-
постоянной L|a|, которая не зависит от k при k = 0, 1, .... В самом
деле, если нормы первых производных от 7\£, Т1^ не превосходят С
при ||£||</о, то |Фа'р|<С|а] и ЦГ^о^Г-^^С. Поэтому
сумма в (h) оценивается через
V 1— А ,
о, 11 (rf !) 1 •
IPHal IPHa|
A4.29)
Замечание. Если г0 достаточно мало, то число С, а следова-
следовательно и Liaj, может быть выбрано в зависимости только от норм
Г и Г.
(i) Существует такое число Со, что
2 2 |^(^1<С0||^^|ГЧа| при 0<\a\<N и ||£||<го.
Л1 IPHIJ
В силу A4.25), дифференцирование FI дает
FA= 2 [(Л-ЛтоГ-
21—241

322 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
Повторное дифференцирование показывает, что hF(^ является
полиномом относительно h(Ti — T)(y)oT-1l и т(Т-1){у) при |у|<|Р1
и m = 1, ..., d и что каждое слагаемое содержит множитель
первого типа. Поскольку существует такая постоянная С'о, что
при 0<|y|<7V и малых ||£||, утверждение (i) доказано.
(j) Существует такое число Со, что
| 2и'|< Со || T-^f при 0<|а|<АГ, ||£||<г0, Л = 0, 1
Если при малых || £ || нормы вторых производных от Т£ не пре-
превосходят С, то по теореме о среднем значении из дифференциаль-
дифференциального исчисления мы получаем такое неравенство:
В силу A4.21) утверждение (j) выполняется, если положить Со =
=ccla|dB i)cw.
(к) Пусть 1<гг<Л7' —Я, выполнены условия утверждения (d)
и X настолько велико, что LvaK<Cl при v— 1, ..., п, где Lv
определено в п. (h). Тогда существует такая постоянная CiY(|a|),
что A4.22) справедливо при 1^К+ (г2)\ М+, если 0<|a|<n.
Доказательство. Обозначим для краткости
S(fc>|1)g= S 2 \mS{l]l\. A4.30)
Утверждение, которое мы доказываем, может быть записано в виде
(?г^|^ A4.31)
при ju < n, 0V= S 6 Qh (r2) и ^ = 0, 1, .... Мы будем доказывать
его индукцией по п. При п = 0 доказываемое утверждение следует
из A4.21) утверждения (g). Предположим, что 0<п<Л/' — X
и наше утверждение уже доказано для 0, 1, ..., п—1.
Вначале мы покажем, что существует постоянная Ст(п), не
зависящая от k и такая, что
| Tjr*. a, k_^i, a i <Cnq ^ у r_lg yN-n A4.32)
для [otI = /г и O=^=ggQ7l+1 (r2). Заметим, что из определения 4fl>a>fe
и f'a в соответствии с A4.26) следует, что выражение в левой
части A4.32) мажорируется
const/ 2 \\TimoR^T-^^Tm)oT-^\\+ 2
UPl^n |yl<n

§ 14. Доказательство теоремы 12.2 323
где const не зависит от k. Так как N>n, рассуждение п. (j)^
показывает, что существует такая постоянная /С^(п), зависящая
от п, но не зависящая от k> что 'первая сумма не превосходит
Kn (п) II Т'1^ Ц^. Поэтому существование постоянной CN0 (n) в A4.32)
вытекает из предположения индукции.
В силу A4.27), п.п. (h), (i), (j), A4.32) и A4.30)
Из A4.16) вытекает существование некоторой постоянной, при
которой
Si0'n)l< const \\lf-n для
Используя A4.33) и проводя индукцию по ft, мы получаем, что
справедливы аналогичные неравенства в случае, когда S@'n\ Qa
заменены на S(k'n\ Qk. Поэтому, если к определено, как в п. (с),
то для конечного множества значений k, k = 0, I, ..., х, суще-
существует такая постоянная CN(n), что
(*)f при 0¥=t£Qk(r2), A4.34)
"-"
^N\)>;jnZ-^ • A4.6b)
I —LnC
Заметим, что в силу (с) LncN-n ^ LnC1 <C 1, если и достаточно
велико (но фиксировано).
Индукция по k позволяет теперь показать, что A4.34) выпол-
выполняется при всех k = 0, 1, .... Предположим, что A4.34) спра-
справедливо при некотором &> х. Тогда в силу A4.33) при 0 Ф \ £ Qh+1 (r2)
имеем
Но || Т^ ||<с|| 11! в силу (с), так что правая часть не превосходит
[LnCN(n) + Cm(n) + 2C0]cN-n\\l\\N'n. Так как из A4.35) следует,
что множитель при ||£||^~п не превосходит CN(n), то неравенство
A4.34) выполняется и после замены k на k+l. Этим завершается
индукция по ft и по /2,
A) Пусть выполнены условия п. (d) и (к). Тогда R может быть
определено на М± так, что R 6 С™ при \\1\\-?С г2.
Доказательство. Было показано, что отображение R, рассмат-
рассматриваемое на Д"+(^2) \ М+> принадлежит классу CN и его частные
производные порядков <^я ограничены при N — п^-Х. Не теряя
общности, можно предполагать, что dim M+ <.d—1 (например^
можно увеличить d, добавив новые, «пустые» координаты к ^4.).,
Поэтому близкие точки множества /С+(г2) \ М+ можно соединить
короткой спрямляемой дугой, лежащей в К+(г2)\М+. Отсюда^
21*

324 Гл. IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
следует, что R и его частные производные порядков ^ п — 1 равно-
равномерно непрерывны в К+(г2)\ М+. Поэтому R можно продолжить
до отображения всего К' (г2) из класса С71. Этим доказано A).
В силу @ и непрерывности R, A4.20) справедливо при || £ ||<[ г2.
Поскольку отображение R близко к тождественному при малых
|| | ||, существует обратное к R отображение из класса С71'1. Этим
доказана теорема 12.2. (Отметим, что X зависит только от Г; см.
п. (с) и замечание, следующее за (h).)
Упражнение 14.1. Докажите теорему 12.3. Для этого рассмот-
рассмотрите «группы» отображений Т\ Т\ вместо дифференциальных уравне-
уравнений и задачу отыскания отображения R, удовлетворяющего равен-
равенству RT1 = T\R. При 1$ М± определите t (I) так, чтобы T~ml £ /С0.
Положите Rl = T\a)T~4l)l. Сужение этого R на Q0 определяет R{0\
как в п. (е). Необходимо только проверить A4.16); но это нера-:
венство можно вывести из (d).
ПРИМЕЧАНИЯ
Идея сведения изучения решений обыкновенных дифференциальных
уравнений к изучению отображений принадлежит Пуанкаре; см., например,
приложение к гл. VII. В частности, о связи с периодическими решениями
автономных систем см. Пуанкаре [3,IV] или [5,111, гл. XXVII]. С этой це-
целью Пуанкаре ввел понятие инвариантного многообразия отображения (в era
работе это «инвариантные кривые»). Основная идея Пуанкаре об изучении^
отображений в теории дифференциальных уравнений использовалась затем
Биркгофом, который провел большое количество исследований в области
теории «динамических систем» и «топологической динамики».
§ 5—6. В случае, когда у0 и z0 одномерны, а Т — аналитическое ото-
отображение, лемма 5.1 принадлежит Пуанкаре [3, IV, стр. 202—204] или
[5, III, гл. XXVII]. Соответствующий результат для Т £ С1 принадлежит
Адамару [2] (который, однако, не доказал, что его инвариантная кривая
принадлежит классу С1) и Стернбергу [1] (рассмотревшему также случай,
отмеченный в упр. 5.1). Льюис [1] обобщил метод Адамара на случай произ-
произвольной размерности, но в предположении, что Л и С имеют простые эле-
элементарные делители; подробные доказательства он провел только в аналити-
аналитическом случае. Лемма 5.1 была сформулирована Стернбергом в [3], где
содержится довольно неполный набросок доказательства, основанный
на последовательных приближениях E.13). Доказательство в тексте, исполь-
использующее этот метод, взято из работы Хартмана [20]; ср. с [28]. (Доказатель-
(Доказательство, содержащееся в упр. 5.3, 5.4, по-видимому, новое. В частности, в них
намечено простое доказательство одного утверждения из упр. 5.4(Ь), при-
принадлежащего Коффману [2]; более слабые утверждения о существовании
и единственности из упр. 5.4(d) имеются в работе Перрона [13]; утвержде-
утверждение упр. 5.3(Ь) имеется у Коффмана в [2].) Аналогичный результат для
дифференциальных уравнений (т. е. теорема 6.1) принадлежит Ляпунову [2,
стр. 291] при условиях аналитичности и Коддингтону и Левинсону [2,
стр. 333] в неаналитическом (или в более общем неавтономном) случае;
ср. § Х.8 и приведенную там ссылку на работу Петровского [1].
§ 7. Теорема 7.1 в случае, когда F, R и R'1 аналитичны, доказана
Пуанкаре в 1879 г. (см. [1, стр. xcix—сх]) при условиях, что элементар-

Примечания 325
ные делители матрицы Е простые, а собственные значения А,1э . . ., *kd этой
матрицы лежат в открытой полуплоскости, Re ег® X > О, комплексной
Л-плоскости и (*) kj ф m{ki + . . , + mdhd для всех наборов (mi, . . ., md)
неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих неравенству т^ + ...
... + md > 1. Аналогичный результат для гладких, но неаналитических F,
R и R, когда Re Kj < О, имеется у Стернберга [3]; ср. упр. 8.2(Ь). Случай,
когда Re kj < 0, F 6 С2 и R, R'1 £ С1, но без диофантовых условий типа (*),
см. в работе Хартмана [20]; ср. упр. 8.1 и 8.2(а). Если не предполагается,
что %i, . . ., %d лежат в открытой полуплоскости Re elQX > 0, но Re Xj Ф 0,
задача для аналитических F, R, R'1 была рассмотрена Зигелем [2] при
условиях, более сильных, чем (*). Случай гладких, но неаналитических
F, R, R'1 изучен Стернбергом [4], Исе и Нагумо [1] и Чеенм [1]; см.
приложение. Теорема 7.1 принадлежит Гробману [1], [2] и Хартману [28],
[21], которые доказали ее различными способами.
§ 8—9. Одномерный случай леммы 8.1 (т. е. когда у0 одномерно и z0
отсутствует) при аналитических 7\ R, R'1 рассмотрен еще Н.Х. Абелем
[1, II, стр. 36—39], Шредером [1], [2] и Кёнигсом [1], [2]; см. также Пикар
[3, гл. IV]. Аналогичные результаты для одномерного случая в предполо-
предположении гладкости вместо аналитичности получил Стернберг [2]. Случай
сжатия (т. е. г/о имеет произвольную размерность d, но Zo отсутствует) при
аналитических 7\ R, R'1 рассмотрен Ло [1] при условии, что собственные
значения а{9 . . ., ad матрицы А таковы, что а/ ф aj^aj22 ... add при
любых неотрицательных целых (mi, . . ., md), для которых т± + ...
...-t-md>l. В приведенном виде лемма 8.1 принадлежит Хартману [21], [28].
В статьях Стернберга [3], [4] и Хартмана [20], [21], [28], отмеченных
в связи с § 7, фактически рассматриваются отображения. Идея использова-
использования (9.1), позволяющая свести теорему 7.1 о дифференциальных уравнениях
к лемме 8.1 об отображениях, принадлежит Стернбергу [3] и применяется
в цитированных работах. Стернберг [3] также рассмотрел вопрос о нормаль-
нормальных формах для RTR'1, отличных от линейных, когда имеются соотноше-
соотношения <Xj — а™1^™2 ... ad d, и обобщил результаты Латтеса [1], [2] на двумер-
двумерные аналитические отображения. Близкие вопросы рассмотрены также в^ра-
ботах Стернберга [5], Мозера [1], Зигеля [3] и Ченя [1]; см. приложение.
Недавно Мозер [3] получил важный результат, относящийся к не рассмот-
рассмотренному здесь критическому случаю, когда некоторые собственные значения
отображения Т имеют абсолютную величину 1, и касающийся вопроса от-
относительно существования замкнутых инвариантных кривых.
§ 10—11. Как уже отмечалось, основные результаты этих параграфов
принадлежат Пуанкаре в аналитическом (трехмерном) случае. Их спра-
справедливость для более общего случая вытекает из обобщений результатов
Пуанкаре на отображения, рассмотренные в предыдущих параграфах этой
главы.
Приложение (§ 12—14). Теорема 12.1 принадлежит Стернбергу [4],
а ее обобщение, теорема 12.2,— Ченю [1]. (Частные нормальные формы,
отличные от линейных, рассматривались Латтесом [1], [2] и Стернбергом [3].)
Доказательство теоремы 12.2, приведенное в тексте, основано на работе
Ченя [1], которая в свою очередь является модификацией работы Стернберга
[4]. Улучшение, полученное Ченем, состоит в следующем: он заметил, что
доказательство Стернберга остается верным и без использования более
ранних результатов этого автора [3], касающихся линеаризации на инва-
инвариантном многообразии. Допустимый выбор % = N — п в теореме 12.1 дан
Стернбергом [3] для случая отображений сжатия; при п = 1 случай общего
Дифференциального уравнения рассмотрен Исе и Нагумо [1]. Упр. 12.1
имеется в работе Ченя [1].

Глава X
Возмущенные
линейные системы
В этой главе излагаются методы асимптотического интегриро-
интегрирования системы дифференциальных уравнений £' == Е% + F (t, £),
которую можно рассматривать как возмущенную линейную систему
уравнений с постоянными коэффициентами £' = ££.
В § 1 этой главы исследуется простой, но важный случай Е = 0.
Поскольку результат достигается в этом случае с помощью очень
простых соображений, имеющих, однако, широкое применение,
мы сочли нужным выделить его.
Один из самых важных методов, используемых в общем случае
произвольного £, основан на простом топологическом принципе,
излагаемом в §§ 2 и 3. Он широко применяется и в других главах.
Совсем другой подход, приводящий к результатам, аналогичным
тем, которые получены в §§ 13 и 16, обсуждается в части III гл. XII.
Для удобства изложения и большей общности мы рассматриваем
в этой главе векторы £ с комплексными компонентами, что позво-
позволяет привести Е к подходящей нормальной форме с помощью
линейной замены переменных; ср. § IV.9. Соответственно, если
5ь £г — Два вектора, то через £i*£2 обозначается их скалярное
произведение 2 £?£?•
R
§ 1. Случай Е— 0
В этом параграфе рассматривается уравнение
l' = F(t,l), A.1)
где вектор F «мал» в некотором смысле. Основной результат содер-
содержится в следующей теореме.
Теорема 1.1. Пусть вектор-функция F(t,l) непрерывна при
t>0, || 11| < б (< оо) и удовлетворяет неравенству
II^P. E) II<Ф@116II. 0-2)
где функция ty(t) непрерывна при t>0 и такова, что
t <оо. A.3)

§ 1. Случай Е = О 327
Если норма || |о|| достаточно мала, например
оо
||go||exp \ i|)(/)d/<6, A.4)
о
то решение I (/) уравнения A.1), удовлетворяющее условию
£(О) = £о» существует при £>О. Кроме того, если функция 7z,(t)
удовлетворяет уравнению A.1) я/ш больших t, например при
t>t0, то
U = Jim g (О « A.5)
существует и g^^O, если £(/)=^=0.
Иными словами, решения системы A.1) при больших t ведут
себя так же, как решения системы g' = 0, а именно как постоян-
постоянные. Теорема 1.1 допускает следующее обобщение.
Теорема 1.2. Пусть вектор F(t, £) удовлетворяет предположе-
предположениям теоремы 1.1, и пусть £оо — произвольный вектор, для которого
оо
|| goo || exp j a|> (/) dt < б (< оо). A.6)
о
Тогда система A.1) имеет по крайней мере одно решение £(/),
удовлетворяющее условию A.5) я/ш />0. £суш, кроме того,
F(t> l) удовлетворяет условию Липшица следующего вида:
1-Ы1. A-7)
то для данного £«, существует в точности одно решение системы
A.1), определенное для больших t и удовлетворяющее A.5).
В последней части теоремы 1.2 утверждается, что условие A.7)
позволяет установить взаимно однозначное соответствие между
решениями | = £«> = const системы g' = 0 и решениями системы A.1),
если предполагается, что || £«> || достаточно мала и 6<оо.
Доказательство теоремы 1.1. Если умножить A.1) скалярно
на |, то из A.1), A.2) вытекает, что
|Е-Е'|<Ф(ОНБ||Я. A.8)
Поскольку d\\ I (t) \\2/dt = 2 Re£-£', интегрирование неравенства A.8)
дает
t t
[| j|]| j|, A.9)
если | (t) существует на /-интервале, содержащем точки t и tQ,
где t=t0. В частности, если to = O и вектор g @) = g0 удовлетво-
удовлетворяет условию A.4), то l(t) существует при всех />0.

328 Гл. X. Возмущенные линейные системы
В общем случае, если решение £ (/) существует при t>tOi то
оно ограничено:
где M(to) = exp^(t)dt. A.10)
to
Отсюда получаем, что || \' (t) || < i|) (t) \\ I (t0) \\ M (tQ) (используя для
оо
этого A.1) и A.2)). Следовательно, интеграл \ £' (t)dt абсолютно
сходится и предел A.5) существует. В самом деле,
{s)ds при t>t0. A.11)
Заметим, что из неравенства A.9) следует, что £(/) = 0 тогда
и только тогда, когда £ (t) обращается в нуль в некоторой точке t0.
Если £(/)=£ 0, то из первого неравенства в A.9) следует, что
^фО. Тем самым теорема 1.1 доказана.
Доказательство теоремы 1.2. Докажем вначале утверждение
о существовании. Для данного to>O обозначим через l = l(t, tQ)
фиксированное решение (оно не обязательно единственно) следую-
следующей задачи Коши:
l' = F{t,l), £(*„) = &<». A-12)
Поскольку неравенство A.9) имеет место для любого t, для кото-
которого определено решение £(/, /0)> из A.6) и ^(^^g^ следует,
что l(t, t0) существует при всех t>0. Следовательно, ||£(/, ^о)||<
<||£оо||Л1 @)<6, где М@) определено в A.10). Поэтому из A.2)
следует, что || £' (/, /0) || < *ф (t) \\ 1^ \\ М @) при всех t > 0; следова-
следовательно, при 0</</0 имеем
^(s)ds. A.13)
t
В частности, семейство функций £ (/, /0) равномерно ограничено
и равностепенно непрерывно на каждом ограниченном /-интервале.
Следовательно, существует последовательность /4 < tz < •.. значе-
значений to, такая, что tn —> °° при п —» оо и предел
£ (*) = lim £(*,*„)
существует равномерно на каждом ограниченном /-интервале. Далее,
£ = £(/) есть решение уравнения A.1). Полагая to = tn в A.13)
и устремляя п —» оо при фиксированном /, получаем
II6@ — 5~||<Л1 @) ||б»И jt|)(s)ds. A.14)
Отсюда вытекает A.5), и теорема существования доказана.

§ 1. Случай Е = О 329
Докажем теперь единственность при условии A.7). Пусть
l = li(t), I2(t)—№a решения системы A.1) при больших t, напри-
например при t>T, удовлетворяющих условию A.5). Пусть l(t) =
= %i(t) — £2 (t)- Тогда из A.1) и A.7) следует A.8), а потому
и A.9) при to>t>T. Если t фиксировано, а в A.9) t0 —> 00, то
отсюда вытекает, что l(t) = 0, поскольку l(t0) —> 0 при t0 —» 00.
Этим завершается доказательство теоремы 1.2.
Мажоранта of> (t) || £1| в A.2), содержащая множитель || £ ||, удобна
тем, что она позволяет доказать в теоремах 1.1 и 1.2 существова-
существование некоторых решений при всех t>0. Более простой результат
о существовании решения при «больших t» содержится в следую-
следующем упражнении.
Упражнение 1.1. Пусть функция F(t, l) непрерывна на произ-
произведении {^>0}xZ5, где D — ограниченное открытое ^-множество.
Пусть \\F(t, I) || < я|э (/) при t > 0 и £ £ D, где г|з (/) — непрерывная
функция, удовлетворяющая A.3). (а) Пусть lo£D. Тогда сущест-
существует число Г, зависящее только от dist(£0, dD) и функции я|)(/)г
такое, что если U^-T, то решение \{t) уравнения A.1), удовлетво-
удовлетворяющее условию £(/о) = £о> существует при всех t>T. Кроме
того, всякое решение системы A.1) при больших t имеет предел
£оо при t —» 00. (b) Пусть loo^D. Тогда существует число Г, зави-
зависящее только от dist(|oo, dD) и функции о|)(/), такое, что система
A.1) имеет при t>T решение l(t), удовлетворяющее A.5),
Упражнение 1.2. Покажите, что теорема 1.1 и первая часть
теоремы 1.2 остаются справедливыми, если вектор F(t, l) непре-
непрерывен при />0 и всех |, если £0 и £«, произвольны, а условие A.2)
заменено условием
где г|) (^) удовлетворяет условиям теоремы 1.1, а ф (г) — непрерыв-
непрерывная при г>0 функция, такая, что
■7Jr=°°- A-3')
Из теорем 1.1 и 1.2 можно вывести некоторые следствия, если
заменить A.1) системой
C' = i4(OE + G(*f £), A.15)
где A (t) — непрерывная матрица порядка d. Решения системы A.15)
следует сравнивать с решениями системы
l' = A{t)l. A.16)
Пусть Z (t) — фундаментальная матрица системы A.16), так что
замена переменных
lZ(fl A.17)

330 Гл. X. Возмущенные линейные системы
приводит систему A.15) к виду
V = Z-1(t)G(t, Z(t)l). A.18)
Применяя к A.18) теоремы 1.1 и 1.2, получаем
Следствие 1.1. Пусть матрица A (t) непрерывна при t > 0
и Z (t) — фундаментальная матрица системы A.16). Предположим,
что функция G(t, £) непрерывна при t>0 и всех £, причем
||Z-40G(/,z(/)9||<^@l|6||, A.19)
где функция t|) (t) удовлетворяет предположениям теоремы 1.1.
Обозначим через ^(t) решение системы A.15), определенное
на некотором t-интереале. Тогда t,(t) существует при ecext>0,
предел
g HZ1 (/)£(*) A.20)
существует и 1ооф0, если £(/)=£0; обратно, для заданного ?оо
существует решение t,(t) системы A.15), удовлетворяющее A.20).
Если матрица Z(t) ограничена при t>0, то мы можем сфор-
сформулировать соответствующий результат, если G (t, I) определена
лишь при ^>0, ||£||<6<°о. Кроме того, мы можем получить
аналог утверждения о единственности в теореме 1.2. Если A(t) =
= А — постоянная матрица, то следствие 1.1 принимает сле-
следующий вид:
Следствие 1.2. Пусть функция G(t, £) непрерывна при £>0
и всех £ и удовлетворяет неравенству
||, A.21)
где ty(t) — такая же функция, как и в теореме 1.1. Пусть ^(t) —
решение уравнения
I), A.22)
определенное на некотором t-интервале. Тогда £(£) определено
при всех />0, существует
и £ оо Ф 0, если £ (t) щЬ. 0; кроме того, если задано £ «, то сущест-
существует решение системы A.22), определенное при всех t^>0 и удовле-
удовлетворяющее A.20).
Упражнение 1.3. Сформулируйте теоремы, соответствующие
следствиям 1.1 и 1.2 так же, как упражнения 1.1 и 1.2 соответст-
соответствуют теоремам 1.1 и 1.2.
В общем случае результат такого Типа, который сформулиро-
сформулирован в следствии 1.2, удобен только тогда, когда матрицы e±At

§ 1. Случай Е = О 331
ограничены при t >- 0. Например, предположим, что d = 2 и
А = diag [1, —1], так что eAt = diag [е', е~Ч. Тогда, если выпол-
выполнены условия следствия 1.2, система A.22) имеет решение вида
£ = е1 A + о A), о A)) при t->- оо, но не обязательно имеет реше-
решение вида £ = е~' (о A), 1 + о A)) при /->■ оо. Кроме того, условие
A.21) может оказаться слишком жестким для того, чтобы иметь
возможность делать такие же выводы, как в следствии 1.2. Резуль-
Результаты, полученные в оставшейся части этой главы, гораздо сильнее;
они получены при менее ограничительных условиях, чем те, кото-
которые рассматривались выше.
Упражнение 1.4. Предположим, что A.1) является линейной
однородной системой вида
Г = G{t)l A.23)
и матрица G(t) непрерывна при £>0. Будем говорить, что система
A.23) принадлежит классу (*), если (i) каждое решение l(t)
системы A.23) имеет предел £«> при /-^оо и (и) для каждого
постоянного вектора £«, существует решение %(t) системы A.23),
такое, что £ (t) —> £«> при t —» оо. (а) Покажите, что A.23) при-
принадлежит классу (*) тогда и только тогда, когда для каждой (или
для какой-нибудь одной) фундаментальной матрицы Y (t) системы
A.23) существует предел Уоо = НтУ(/) при t —» оо, который
является невырожденной матрицей (и что это верно тогда и только
оо
тогда, когда существует Yoo = \imY (t) при t —» оо и \ tr G (s) ds
сходится хотя бы условно). (Ь) Система A.23) принадлежит классу
(*) в том и только в том случае, если сопряженная система £' =
= — G*(t)l принадлежит классу (*); ср. § IV.7. (с) Система A.23)
оо
принадлежит классу (*), если I \\G(t)\\dt<.oo (или, что эквива-
оо
лентно, если G(t) = (gjk(t)) и ^\gjk(t)\dt<oo при /, k= 1,..., d).
Это сразу же следует из теорем 1.1, 1.2. (d) Покажите, что (с)
имеет следующее следствие (являющееся уточнением (с)): система
оо
A.23) принадлежит классу (*), если G0(t) = \ G(s)ds сходится
оо
(возможно, только условно) и либо \ || G(t)G0(t) || dt < оо, либо
оо

332 Г л, X. Возмущенные линейные системы
§ 2. Топологический принцип
Пусть у и / суть d-мерные векторы с вещественными или ком-
комплексными компонентами, а непрерывная функция / (t, у) опре-
определена на открытом множестве Q в пространстве переменных (t, у).
Пусть Q0 — некоторое открытое подмножество в Q с границей
dQ°. Через Q0 обозначим замыкание £2°. Напомним (см. § III.8),
что точка (^о, У о) 6 Q П dQ° называется точкой выхода из области
Q0 по отношению к системе
y'=f(t, у). BЛ)
если для каждого решения у = у (t) системы B.1), удовлетворяю-
удовлетворяющего начальному условию
У (to) = Уо, B.2)
существует такое 8 > 0, что (t, у (t)) 6 Q° для t0 — е <; / < ^0.
Точка выхода (t0, Уо) из области Q0 называется точкой строгого
выхода из области £2°, если (/, у (f)) <f Q° при t0 < t <; t0 + г
для некоторого малого 8 > 0. Множество точек выхода из области
£2° мы будем обозначать через QJI, а множество точек строгого выхо-
выхода — через Q°se.
Если U — топологическое пространство и V — подмножество
в Uу то непрерывное отображение я: [/-> У, определенное на всем
С/, называется ретракцией U на 1/, если сужение я на V является
тождественным отображением, т. е. л (и) £ V для всех и £ U и
п (v) — v для всех v £ V. Если ретракция (/ на V существует,
V называется ретрактом U. Это понятие можно проиллюстрировать
следующими примерами, которые будут использоваться в дальней-
дальнейшем.
Пример] 1. Пусть U — некоторый d-мерный шар |]#||<Сг
в евклидовом ^/-пространстве и V — его граничная сфера || у \\ = г.
Тогда V не является ретрактом U. В самом деле, если бы существо-
существовала ретракция я: U -> У, то существовало бы и отображение U
в себя, а именно отображение у -*- — я (у), не имеющее неподвиж-
неподвижных точек, что невозможно в силу классической теоремы Брауэра
о неподвижных точках (относительно последней теоремы см. Гуре-
вич и Волмэн [1, стр. 64—65]).
Пример 2. Пусть С —«цилиндр», являющийся произведением
евклидовой сферы \\у || = г и евклидова ^-пространства, так что
£ — {(У> и): II У II = гу и произвольно}. Пусть 5 — сечение цилин-
цилиндра С, например S = {(у, и0): ||#||<г, и0 фиксировано}; см.
рис. 1. Тогда множество S П С = {(у, и0): \\ у II = /\ и0 фикси-
фиксировано} является ретрактом цилиндра С [в этом можно убедиться,

§ 2. Топологический принцип
333
взяв в качестве ретракции отображение п (у, и) = (у, ио)]у но
S[)C не является ретрактом S — см. пример 1.
Теорема 2.1. Пусть функция f(t,y) непрерывна на откры-
открытом (/, у)-множестве Q и обладает тем свойством, что реше-
решение системы B.1) определяется однозначно начальными усло-
условиями. Пусть Q0 — открытое подмножество в £2, такое, что
Рис. 1.
Q°e = Q°Sei т. е. все точки выхода из области Q0 являются точ-
точками строгого выхода. Пусть S — такое непустое подмножество
в й° U ^е, что S [} Q°e не является ретрактом S, но является
ретрактом множества Q?. Тогда существует по крайней мере
одна точка (tQ, yo)£S [) Q°, для которой график решения y(t)
задачи Коши B.1), B.2) содержится в Q0 на своем правом мак-
максимальном интервале существования.
у
\
\
Ъ
0
-ь
У
S
/
\
\
/
> t
\
\
Рис. 2.
В качестве иллюстрации рассмотрим систему B.1), когда у —
вещественная переменная и функция f(t, у) непрерывна на мно-
множестве Й, совпадающем со всем пространством точек (t, у). Пусть
Й° — полоса \у\<Ь, —оо</<°°; см. рис. 2. Часть границы Q0,
лежащая в Q, состоит из двух прямых у=±Ь. Предположим, что

334 Гл. X. Возмущенные линейные системы
f(t, b)>0 и f(t, — &)<0, так что Q2 = QJe = aQo fl Q. ПустьЯ —
отрезок прямой, S = {(/, у): f = 0, |y|<6}. Тогда Sfl^J состоит
из двух точек @, ± ft) и является ретрактом множества Q?, но
не является ретрактом S. Поэтому из теоремы 2.1 следует, что
существует хотя бы одна точка @, у0), \уо\<Ь, такая, что решение
системы B.1), определенное условием у(О)=уОУ существует и удов-
удовлетворяет неравенству \y(t)\<ib при всех />0.
Доказательство теоремы 2.1. Предположим, что эта теорема
не верна. Тогда для (^ #о) £ S \ Q2 существует такое число ^==
= *i(*o>#o)» чт0 ^i>^o> решение #(/) задачи Коши B.1), B.2)
определено при to<t<tin(t, у (t)) £Q° при t0<t<ti9 a (t{, у (f4)) ££2£.
Определим отображение я0: S —> QI следующим образом: я0 (t0, y0) =
= (*i> # (tt))y если (/01 yo)£S\ Q°ei и я0 (/o, %) = (*0, r/0), если (/0, t/0) £
gS П й?. Поскольку решение системы B.1) непрерывно зависит
от начальных условий (теорема V.2.1) и Q? = Qs6, отображение я0
непрерывно. Чтобы доказать это, рассмотрим у (t) = г) (/, /°, г/°) —
решение системы B.1), для которого r\(t°, t°, у°) = у°; функция
Л (*» ^°» #°) непрерывна. Предположим, что (/0, yo)£S () Q0 и точка
(i, r/°) близка к (t0, у0). Тогда r\(t, t°, y°) существует на отрезке
[tQ, ti(t0, уо) + г] при некотором 8 и (t, х\{^ t°, у0)) 6Q0 при /0<
< t < /i (/о» Уо) — 8> причем (^ г] {U t°, у0) $ Й°, если / = ^ (/0, у0) + г.
Значит, | U (*°, »°) -^i (/о. Уо) | < е и потому (ti9 ц (t, (t°, у0), *°, у0))
непрерывно зависит от (/°, г/°), т. е. я0 непрерывно по (^0, у0).
Аналогичное рассуждение проходит и в случае, когда (/0, у0) £
(ES П 02.
Пусть л: Q? —> S П ^е есть ретракция множества Q* на S П О?.
Тогда композиция отображений ял0 является ретракцией S на S П 0°.
Существование такой ретракции приводит к противоречию и дока-
доказывает теорему.
Упражнение 2.1. Пусть U — топологическое пространство,
a Vi и У2 — подмножества в (/. Множество К4 называется квази-
квазиизотопическим деформационным ретрактом множества V2 в U,
если существует непрерывное отображение я: F2 X {0<s< 1} —» /7,
при котором (i) я (у21 0) = v2 для у2 6 ^2; (ii) я (^i, s) = v( для yt g 1/4
и 0<s<l; (iii) я (p2i l)€^i Для ^26^2; и (iv) для фиксирован-
фиксированного s из полуинтервала 0 < s << 1 отображение я (у2, s) есть гомео-
гомеоморфизм У2 на его образ. Пусть /, £2, 0° удовлетворяют условиям
теоремы 2.1; S{ — подмножество в Qjj; S —непустое подмножество
в £2° U Si, такое, что SA не является квазиизотопическим деформа-
деформационным ретрактом S [) S4 в Q° [} St. Тогда существует хотя бы
одна точка (/0, yo)£S П О, для которой график решения задачи
B.1), B.2) либо лежит в 0° на своем правом максимальном интер-
интервале существования, либо пересекает впервые дй° в точке, принад-
принадлежащей множеству S \ S4.

§ 3. Теорема Важевского 335
§ 3. Теорема Важевского
Степень применимости теоремы 2.1 существенно зависит от выбо-
выбора множества £2°. Одна из трудностей, возникающих при ее исполь-
использовании состоит в описании множества точек выхода. В некоторых
случаях эта трудность может быть преодолена.
Напомним (см. § III.8), что вещественная функция и (t, у),
определенная на открытом подмножестве в Q, обладает производной
и (ty у) вдоль траектории решения у (t) задачи B.1) — B.2) в точке
(toy У о) у если функция и (t, у (t)) имеет производную в точке t = t0;
в этом случае
to. C.1)
Если у (а потому и /) имеет вещественные компоненты и и (t, у)
принадлежит классу С1, такая производная вдоль траектории сущест-
существует и
и (U y) = du/dt+(gradyu).f) C.2)
где последний член —это скалярное произведение / и градиента
функции и относительно у.
Если у имеет комплексные компоненты, то мы говорим, что
функция и (t, у) принадлежит классу С1, если она имеет непрерыв-
непрерывные частные производные по t и по вещественным и мнимым час-
частям компонент вектора у. Запишем k-ю координату вектора у в виде
yk = ak + iTk, где oky %k вещественны, так что 6k = (t/t-{- yk)/2, Tk =
= (yk — yh)/2i. Этому соответствуют стандартные обозначения:
du/dyk=[du/dok-idu/d%k]/2 и duIdyk=[du/dok + idu/di:k]/2.
Таким образом, если grady и = (ди/ду1, ..., duldyd) и grad- и =
= (ди/ду1, ..., du/dyd), то равенство C.2) следует заменить сле-
следующим:
u(t, y) = du/dt+(grady M)-/ + (grad-tt)./; C.2*)
в этом легко убедиться, если записать B.1) в виде системы из 2d
дифференциальных уравнений для (а, т) = (а1, .. ., od, т1, ..., %d)x).
Открытое подмножество Q0 в Q называется (и, v)-nodMHOMecm-
вом в Q относительно B.1), если существует некоторое (произ-
(произвольное) число вещественных непрерывных функций ui (t, у), ...
• • •» ui(t, у), vi (t, у), ..., vm (t, у), определенных на Q и таких,
что
Q0 = {(/, У)' uj (t, у) < 0, vk (/, у) < 0 для всех /, k}9 C.3)
Напомним, что a»b=y\afbi. —Прим. ред*

336 Гл. X. Возмущенные линейные системы
и если Ua, V& определены как множества
У а = {(/, У)'- ua (t, у) = 0, Uj (t, у) < 0, vk (t, У)<0 для всех /, к),
C.4)
Vp = {(/, У)'- Щ({, t/)=0, и7-(*, #)<0, ра(*, #)<0 для всех /, k),
то производные вдоль траекторий ыа, up определены на Ua9 V&
и таковы, что
и« (*,#)>0 для (t,y)£Ua, C.5)
ор(Лу)<0 для (/, у)е^э C.6)
соответственно вдоль решений, проходящих через точку (/, у).
В этом определении I или /тг могут равняться нулю.
Лемма 3.1. Пусть функция fit, у) непрерывна на открытом
(t, у)-множестве Q и Q0 — некоторое (и, v)-nodмножество в Q
относительно системы B.1). Тогда
I т
Q2 = QJe= UJ/e\U Vfi. C.7)
a=i Э=1
Доказательство. Ясно, что dQ° [] Qcz ([] Ua) [} ([} V^). Кроме
того, множество Q°e П V$ пусто, поскольку если (t0, у0) ^ Ур и у (t) —
решение задачи BЛ), B.2), то, в силу C.6), v&(t, y(t))>0 при
t0 — г < t < /0 Для малого е > 0, так что (t7 у (/)) $ Q11. Следова-
Следовательно,
Q°sec=:Q0ec^(duQ П Q)\ U Vpcz U Ua\ U Vp. C.8)
3=1 a=l 3=1
Пусть (*q, f/0) c: U f/a \ U Vp. Тогда м7- (t0, уо)<Ои vh (/0, y0) < 0
для всех /, k. В силу C.5), существует такое е>0, что
^а (^о» У (t)) < 0 или > 0 при t0 — г < t < t0 или t0 < / < t0 + е соот-
соответственно, если (tQ,y0)£Ua; Uj(t, у (t)) <0 при ^0 — е</</0 + е,
если (/0, y^)^Uj и 1>д(/, y(t))<.0 при ^о — 8</<^о + е для всех й.
Отсюда (/0, #o)G^soe, т. е. [) Ua\ U Крс:Й80е. В силу C.8) лемма
доказана.
Теорема 3.1. Пусть функция f (t9 у) непрерывна на открытом
(t, у)-множестве Q и решения системы B.1) однозначно опреде-
определяются начальными условиями. Пусть Q0 — некоторое (и, v)-nod-
множество в Q относительно B.1). Предположим, что S —
непустое подмножество из Q° \j Q°e, такое, что множество
S [\ Q>1 не является ретрактом S, но является ргтрактом Q°e.
Тогда найдется хотя бы одна точка (t0, yo)£S fl ^°> такая, что
график решения у (t) задачи Коши B.1), B.2) лежит в Q°
на своем правом максимальном интервале существования.

§ 3. Теорема Важевского 337
Эта теорема следует из теоремы 2.1 и леммы 3.1. В некоторых
случаях можно опустить требование единственности решения зада-
задачи B.1), B.2).
Следствие 3.1. Пусть f, Q, Q°, S удовлетворяют всем условиям
теоремы 3.1, однако теперь не предполагается, что решения системы
B.1) однозначно определяются начальными условиями. Предположим,
кроме того, что S — компактное множество и функции Uj (t, у),
Vk (t, у) принадлежат классу С1 (по переменной t и по вещественным
и мнимым частям компонент вектора у). Тогда утверждение тео-
теоремы 3.1 остается справедливым.
Доказательство. Пусть fi (t, у), f2 (t, у), ... —некоторая после-
последовательность функций из класса С1 в Q, которая сходится Kf(t,y)
при п —> оо равномерно на компактных подмножествах из £2.
Пусть Qi9 Q2, • • • —последовательность открытых подмножеств из Q,
таких, что S с: Qt, множество Qn имеет компактное замыкание
Qncz Qn+i hQ=L)S^.
Выделяя, если это нужно, из последовательности ft, f2i ... под-
подпоследовательность, мы можем считать, что
dujdt + (grady ua) • fn + (grad- ua) • fn > 0 на Ua П Q*,
ve;)fn<O на V& П &п.
Следовательно, если ЗД = Й° П &п, то Q^ является (и, ^-подмно-
^-подмножеством множества Qn по отношению к системе
y' = fn(Uy). C.9)
Множество Qne точек (строгого) выхода для множества Qn совпа-
совпадает с Q°e П &п. Поэтому ппе [\ S = Q% {] S не является ретрак-
том S, но Qne П S есть ретракт множества Qne c= Q°e-
Поэтому, в силу теоремы 2.1, существует такая точка
(tn,yn)(zS, что решение y = yn(t) системы C.9), удовлетворяющее
условию уп (tn) = Ут лежит в Qn на своем правом максимальном
интервале существования [tn, tn) относительно Qn- Если рассматри-
рассматривать систему C.9) на Q, а не на Qn, и обозначить через [tnf o)n)
правый максимальный интервал существования уп (t), так что
Тд<а>л<оо, и если тд<оO1, то (тл, yn(xn))czdQn П й-
Поскольку S —компакт, в S существует точка (/0, Уо)> которая
является предельной для последовательности (/lf yt), (t2, 1/2)» ••• •
По теореме II.3.2, существуют решение задачи Коши B.1), B.2),
для которого правый максимальный интервал существования есть
[/0» to), и последовательность целых чисел п A) < п B) < ...,
такая, что yn(k) (t) —> у (t) при k —> 00 равномерно на каждом
отрезке [*0, t*] cz [f0, со).
Отсюда следует, что (t, у (t)) cz Q° П ^ при t0 < t <C со. В самом
Деле, предположим, что существует такое значение t = t°, что to<.
22-241

338 Гл. X. Возмущенные линейные системы
< t° < со и (^°, у (t°)) <J £2°. Тогда для n = n(k) и большого k точка
(*°, Уп (t°)) б Й°» так что (f°, yn (t0)) $ Q°. Поэтому тЛ < t° < сод при
n = n(k) и большом А. Переходя, если это нужно, к подпоследо-
подпоследовательности, можно предполагать, что существует предел т =
= Нгптп(й) при k —> оо, так что 4<т</° и (тл, уЛ(тЛ)) —» (т, у (г)),
когда n = n(k)—> оо. Но это приводит нас к противоречию,
поскольку последовательность (тц, #Л (тЛ)) g дйЛ П й, где n = n(k)y
не может иметь предельной точки (т, у (т)) £ Q.
Так как (/„, j/0)GScfi° f] йиЙ? = Qs°e, то (/Oi y0) g Q°, поскольку
в противном случае (t, у (t))$Q° при ^<^<^o + fi Для некоторого
е > 0. По тем же соображениям (t, у (t)) cz Q° при t0 < t < <d.
Следствие доказано.
§ 4. Подготовительные леммы
Используя теоремы § 3 для асимптотического интегрирования
системы
l), D.1)
где Е — постоянная матрица и вектор F(t, l) «мал», например
ll. D.2)
а функция я|) @ «мала» при больших /, мы получим для них хоро-
хорошую иллюстрацию. В этом параграфе будут сформулированы основ-
основные леммы 4.1, 4.2, 4.3. Их доказательства приводятся в §§ 5—7
и используют результаты § 3. Теоремы об асимптотическом интегри-
интегрировании системы D.1) сформулированы в §§ 8, 11, 13 и 16 и выводят-
выводятся соответственно из леммы 4.1 в §§ 9—10, из лемм 4.1, 4.2 в § 12
и из лемм 4.1—4.3 в §§ 14—15.
Если Е имеет хотя бы два собственных значения с различными
вещественными частями, то после линейной замены переменных
с постоянными коэффициентами можно предположить, что Е =
= diag [P, Ql, I = (у, г), El = (Py, Qz), где dim у + dim z =
= dim I и вещественные части собственных значений ри р<&, • • -
• • ., Яи Цъ • • • матриц Р и Q удовлетворяют неравенствам
Repj<\i, Reqh>[i D.3)
для некоторого числа \i. Мы можем также предполагать, что Р и Q
имеют нормальную форму (см. § IV.9), так что для произвольного
фиксированного е>0 и некоторого с,
0<е<с, D.4)
имеют место неравенства
\\z\\\ D.5)

§ 4. Подготовительные леммы 339
В соответствии с этим запишем D.1) в виде
y'^Py + Fiit, у, z), z' = Qz + F2(t, у, г), D.6)
где F=(Fi, F2). Начальные условия будут иметь следующий вид:
уУо) = Уо> z(to) = zo. D.7)
Если неравенство D.2) справедливо, то из D.5) и D.6) мы полу-
получаем, что
Иногда удобно представить Е в виде diag (Д, А2, А3),
так что £ = (*, у, г) и ET- = (AiXj A2y, A3z), где матрицы Aj таковы,
что для их собственных значений ал, aj2, ... выполняются оценки
Re alh<|i — с, Rea2k = |xf Rea3k>|i + с D.9)
и справедливо неравенство D.4). В этом случае будет предпола-
предполагаться, что выполнены оценки
\\z\\,
y\\. DЛ0)
Будет изучаться задача Коши для системы
D.11)
где F(t, l) = (Fi,F2,F3) и
x(to)=xo, y(to) = yo, z(to) = zo. D.12)
Если D.2) имеет место, из D.10) и D.11) вытекает, что
D.13)
В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначе-
обозначений: х, у, -г —вещественные или комплексные векторы в евклидо-
евклидовом пространстве, 1 = (у, г) или £ = (*, у, г) и F = {Ft, F2) или
F = G^4, .Fg, ^з) — векторы из произведения соответствующих
пространств. Первая лемма относится к задаче D.6), D.7); две
последние —к задаче D.11), D.12).
Лемма 4.1. Пусть ц, е, с — некоторые постоянные, а Р и Q—
постоянные матрицы, удовлетворяющие условиям D.4) и D.5).
Предположим, что вектор-функция F(t, l) — (F2, F2) непрерывна
при t>0 и \\y\\, ||z||<6(<oo) и удовлетворяет D.2), где функ-
22*

340 Гл. X. Возмущенные линейные системы
ция я|)@ непрерывна при t>0 и интеграл
со
т @ = \ Ф (s) e-(c-e>(s-^ ds D.14)
сходится, так что для некоторого Т>0
5т@<1, если t>T. D.15)
Пусть to>T и 0 < || 1/о II < б- Тогда существует хотя бы одно
значение z0, ||zo||<8, такое, что задача D.6), D.7) имеет реше-
решение y(t), z(t), для которого
DЛ6)
Ы01К1Ы|ехр J lp + e + 2$(s)]ds D.17)
to
на его правом максимальном интервале существования o
<со(<оо). В частности, если правая часть D.17) меньше, чем б,
при t>toj то со = оо.
Последнее утверждение вытекает из следствия 1.3.1. Остальная
часть леммы 4.1 будет доказана в § 5.
Лемма 4.2. Пусть |ы, 8, с — некоторые постоянные, a At, Аг,
А3 — постоянные матрицы, удовлетворяющие условиям D.4)
и D.10). Предположим, что вектор-функция F(t, £) = (/r1, F2, F3)
непрерывна при £>0 и \\x\\, \\y\\, ||2||<б(<оо) и удовлетво-
удовлетворяет D.2). Пусть функция ty(t)>0 непрерывна при t>0, инте-
интегралы
t оо
a (t) = \ ф (s) е-(с-(Ы*-*') ds, т (t) = f if (s) e-(c-8Xs-'> ds D.18)
сходятся и существует такое число Т>0, что
7а(*)<1, 7т(/)<1, если ^>Г. D.19)
Пусть to>T, || х01| < 7а(f0) ||t/0||, 0<||t/0||<6. Тогда сущест-
существует по крайней мере одно такое z0, ||го||<б, что задача
Коши D.11), D.12) имеет решение x(t), y(t), z(t), для которого
|| х @ ||< 7а @ || у (ОЦ, II * @1К 7т @|| JKO II. D-2°)
^ t
Hifollexp J (fi-8-3^)ds<||y(O||<||yol|exp j(^ + e + 3^)ds
D.21)
«й призом максимальном интервале его существования to*ct<.
<со(<оо). В частности, если правая часть D.21) меньше 6

§ 4. Подготовительные леммы 341
При применении лемм 4.1 и 4.2 удобно знать, когда
о @, т(/) —>оо при t—>oo. D.22)
Это имеет место, если
я|э(*)->0 при t—>oo или [г|)@^<оо; D.23)
или, в более общем случае, если
8
-/)-1 f ^(r)/ir —>0 при t->oo. D.24)
Из неравенства Гёльдера следует, что достаточным условием
для D.24) (а потому и для D.22)) является следующее:
оо
I \^(t)\pdt<оо для некоторого р> 1. D.25)
Следующее упражнение фактически показывает, что если ij)>,
и с —е>0, то условие D.24) необходимо и достаточно для того
чтобы было справедливым D.22).
Упражнение 4.1. Пусть функция я|)(/) непрерывна при />0
и с —е>0. (а) Покажите, что из D.24) вытекает D.22). Это
можно вывести из следующих оценок:
t
о @ <*-<*-«>«-г) j -ф (s) ds+ [1 + (с- б)] б (Г),
^@<[1 + (с-е)-1]в@ при 0<Г</,
где через б (^) обозначается верхняя грань в D.24). (Ь) Обратно,
покажите, что если a(t) —■>0 или х(t) —>0 при ^ —>оо, то выпол-
выполняется D.24).
Упражнение 4.2. Пусть я|), с —г такие же, как в упр. 4.1,
и пусть D.25) справедливо при некотором р, 1</?<2. (а) Пока-
оо оо
жите, что \ ov (t) dt < оо, \ xv (t) dt<Coo. (b) Выведите, что
оо
J ^(t)[o(t) + T(t)]dt<oo.
Упражнение 4.3. Покажите, что лемма 4.2 остается справед-
справедливой, если е = е (t), c = c(t), \i = \i (t) — непрерывные функции
от tj определенные при t>0 и удовлетворяющие D.4), D.10),

342 Гл. X. Возмущенные линейные системы
а D.18) заменено равенствами
t t
а @ = J гр (s) ехр { - J [с (г) - е (г)] dr} ds,
С» S
т (О = [ я|з (s) ехр { - ( [с (г) - е (г)] dr} ds,
t L t }
причем предполагается, что последний интеграл сходится и для
некоторого Т справедливо D.19).
Лемма 4.3. Пусть выполнены условия леммы 4.2 и, кроме
того, функция г|э(/) удовлетворяет условию D.24) (так что D.22)
выполняется); пусть в неравенствах D.13) \i = 0, 8 = 0 и спра-
справедливы неравенства
\\y'\\<%{t)\\ll т. е. Л2 = 0, ||F2||<1H(/)||S||,] D.26)
где %(t) — такая непрерывная при ^>0 функция, что
j0(/)df<oo; D.27)
пусть, наконец,
II S/o II ехр 3 i|H(s)ds<6. D.28)
j
to
Тогда при co = oo справедливо утверждение леммы 4.2, причем
x(t), z(t)-+0 при t->oo, yoo = \imy(t) D.29)
существует и у^фО. Кроме того, существуют 64>О, 7>0
и для каждого to>T определена положительная постоянная
бг(А))» такая, что если у^фО, х0 — заданные векторы и
||#»||<fii, ||^o||<^2 || f/oo |U то существуют у0 и z0, для кото-
которых задача Коти D.11) —D.12) имеет решение при t>t0,
удовлетворяющее D.20) и D.29). (Если 6=оо, то б4 можно взять
равным оо.)
Замечание 1. Из доказательства этой леммы будет видно, что
существует такая постоянная С, зависящая только от значения
\ %(t)dt no t0<t<.oo, что для указанного решения выполня-
выполняются оценки
\\У®-У-\\<С\\у*
\\x(t)\\<C\\y,\\a(t), || 2
где t>t0 и у^ может равняться у0 или

§ 4. Подготовительные леммы 343
Замечание 2, В доказательстве первой части леммы 4.3 нера-
неравенства D.13) с pi = s=^O и D.26) могут и не выполняться для
всех ||£||<с6. В самом деле, в силу D.21) в доказательстве участ-
участвуют только такие у, для которых ct || у0 || < || у || < с2 \\ у0\\, и потому
^1|Уо||<||Е||<Зс2||Уо|| D.30)
в силу D.20), где
оо
-iy \%(s)ds, /=1,2. D.31)
Аналогично, если имеет место неравенство D.30), то можно не тре-
требовать выполнения неравенств D.13) и D.26). Утверждение во вто-
второй части леммы 4.3 сохраняется, если заменить D.30) неравен-
неравенствами
С1\\Уоо\\<и\\<Зс2\\Уоо\\. D.32)
Эти утверждения позволяют заменить предположения D.2) и D.26),
при которых выводятся неравенства D.13), условием другого типа:
для всякой пары чисел г, R, удовлетворяющих неравенствам 0 < г <
<^(<оо), существует непрерывная функция фгд@>0> опреде-
определенная при />0 и такая, что
|| F (/, £)||<<ргЛ@, если r<||£||</?, D.33)
гл@Л<оо. D.34)
Тогда из D.33) вытекает неравенство
IIF (U I) ||<r\rR @ || 11| для г< || 11|<Я, D.35)
которое аналогично D.2) с
^@ = ^фгд@- D-36)
Заметим, что если при таком выборе функции ^ (t) положить
|Фо(О = <Ф(О» то из D.31) видно, что Cj—>\ при Т—>оо. Поэтому,
если г < 11 у о 11 < R/3 (или г < 11 у со \ \ < R/3), то первая (соответ-
(соответственно последняя) часть леммы 4.3 остается в силе.
Случай \х Ф 0 можно свести к случаю \х = 0 заменой переменных
1 = е^% (если [х>0, необходимо предполагать, что F (t, l) опреде-
определена для />0 и всех I).
Следствие 4.1. Пусть выполнены все условия леммы 4.2. Пред-
положим, что ^ (t) удовлетворяет D.24) (так что справед-
справедливо D.22)) и выполняется неравенство вида
IIУ'~«/1|<^о @ || 11|, т. е. Л2 = [х/, || F21| <я|зо (/) || g ||, D.37)
г^ 'Фо @ — непрерывная при t>0 функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая D.27). Если [х>0, предположим, что б = оо (так что

344 Гл. X. Возмущенные линейные системы
функция F определена при t>0 и всех £). Тогда утверждение
леммы 4.3 останется в силе, если заменить D.29) условием
е-»* х (t), e-^z @ -> 0 при t -> оо, yoo = \im e^ly (t). D.38)
t-±oo
Упражнение 4.4. Докажите следствие 4.1.
Условие Л2 = |я/ можно заменить предположением о том, что
А2 — диагональная матрица (или имеет простые элементарные дели-
делители) и что все ее собственные значения имеют одинаковую вещест-
вещественную часть \i.
Следствие 4.2. Пусть выполнены условия следствия 4.L
но Л2 = diag [\i-\-iyi, ^ + 172» •••]» где yi9 72» ••• — вещественные
числа, а вместо D.37) выполняется неравенство
\\y'-Azy\\<%{t)\\l\V D.39)
Тогда утверждение леммы 4.3 останется в силе, если заменить
D.29) условиями
e-^z(t)->0 при f—>оо, уп^Мте-^уУ). D.40)
Заметим, что последнее утверждение в D.40) означает, что k-я
компонента yfe (t) вектора у (t) удовлетворяет условию e~^lyh)tyk (t) —>
->У1 при *->оо.
Упражнение 4.5. Сведите следствие 4.2 к лемме 4.3 заменой
переменных (я, у, z)—>(u, v, w), определяемой равенствами х = 1
At ^
Упражнение 4.6. Пусть Е — постоянная матрица с собствен-
собственными значениями Х{, ..., %&, причем Л1? ..., Хи — простые собствен-
ные значения с ReA,7-~0 при /=1, ..., &, где l<^<d. Пусть т
собственных значений А,А+1, ..., Xd имеют положительные вещест-
вещественные части, п собственных значений — отрицательные веществен-
вещественные части, где 0<m, ft<d — k и m-\-n = d — k. Пусть матрица
G (t) непрерывна при t > 0, причем G (t) —> 0 при t—>oo,
а элементы gij(t) имеют ограниченную вариацию при />0
оо
(т. е. \ \dgtj(t) |< оо^ . Например, если G(t) непрерывно диф-
оо
ференцируема, пусть G (t) —» 0 при t —» 00 и \ || G' (t) \\ dt < 00.
При больших t матрица E + G(t) имеет k простых непрерывных
собственных значений А,4 (t), ..., Xk (t) и Xj (t) —> A^ при t —» 00;
см. упр. IV.9.1. (а) Покажите, что линейная система l' = [E +
+ G(^)]^ имеет п линейно независимых экспоненциально убываю-
убывающих при t—>оо решений. (Ь) Если Re^7(^)<0 при / = 1, ..., ky
то система £' = [£ + G(/)] \ имеет n + k ограниченных при t—><х>

§ 4. Подготовительные леммы 345»
решений, (с) Если k=l9 то существует вектор сфО, такой, что
l' = [E + G{t)]l имеет решение вида £ = (с + оA))ехр
t
при t —» оо. (d) Если интегралы j Re А,7- (s) ds являются ограничен-
ограниченными при / = 1, ..., &, то существуют k линейно независимых век-
векторов с и ..., ck, для которых система £' = [£ +G @1 £ имеет
решение вида
° A)] ехР 1 kj(s)ds при
оо, /=
О приложениях следствий из леммы 4.3 см. упражнения
в § VIII.3. Другие приложения и обобщения леммы 4.3 и ее след-
следствий даны в §§ 13—16.
Упражнение IX.5.4 является аналогом леммы 4.1 для системы
разностных уравнений. В упр. 4.8 и 4.9 сформулированы аналоги
лемм 4.2 и 4.3.
Упражнение 4.7. Пусть R = Rd— пространство переменных
£ = (£\ ..., ld). При л=1, 2, ... пусть Sn — отображение R в себя
и Тп = 5Л о Su-i о ... о Si. Пусть S —компакт и /Со, /С4, АГ2, ...» /Соо»
#ю» #20» • • • — замкнутые множества в R, такие, что 5 с= /Со П #оо>
5Л(R\^-i) с R\/G», 5Л(/СмПКп-ио) с #Л0* Кп[\Тп(S) непусто
при /г = 1, 2, ... . Тогда существует такая точка £0 £ S, что Tnl0 cz
аКпПКпо при n=U 2, ... .
Упражнение 4.8. Пусть Л, JS, С —квадратные матрицы, удовле-
удовлетворяющие неравенствам
<0||*||, (li-s)\\y\\<\\By\\<(li + s)\\y\\,
где [х>0 и 0<е<с. При /г=1, 2, ... пусть Хп, Yn, Zn —
непрерывные вектор-функции, определенные для всех (х, у, г), рав-
равные нулю при больших ||х|| +1|У || +1|^||. Пусть Tn = SnoSn_iо...
... о 54, где Sn — отображение
:, у, г), yt = By + Yn(x, у, z),
xyz) D- }
(а) Пусть О<0<1 и ||#о|1<0||*/о||- Покажите, что если
О<б<(с-еH/6 и
||)S, D.43)
то существует такое г0, что (хп, уп, гп) = Тп (х0, у0, z0) и
... . D.44)

346 Гл. X. Возмущенные линейные системы
(Ь) Покажите, что если 0 < \i < 1 и
при (п, х, у, г)—>(оо, 0, 0, 0), то из D.44) вытекает, что
Н**||/|Ы1-»0 и || zn ll/ll уп\\-+ 0 при п->оо.
Упражнение 4.9. Пусть А и С —матрицы, удовлетворяющие
неравенствам
|| Л* || <а ||* ||, || Cz || > с || г [|, .где 0<а<1<с.
Пусть 0, Хп, Yn, Zn такие же, как в упр. 4.8, с б< (с—1N/6
в неравенстве D.43). Пусть Tn = SnoSn_±o ... oS4, где Sw опре-
определено в D.42) с В = 1. Предположим, что ряд 'ФоA) + 'ФоB)+ • - ►
сходится и
(a) Пусть (*0, у0» г0) — такой вектор, что для (хт уп, гп) =
= Тп(хОу у0, z0) справедливы неравенства D.44). Покажите, что
существует
Уоо = Итуп. D.45)
П->ОО
(b) Пусть, кроме того, б<A— а) 0/3 и 0 < 3i|H (я) < 1. Пусть
векторы х0, уоо заданы и || *0||<8||^оо||. Покажите, что существует
такой вектор (у0, z0), что для (хт уп, гп) = Тп (х0, yQj z0) выполняются
условия D.44) и D.45).
(c) Сформулируйте аналоги утверждений (а) и (Ь) в случае,
когда матрица В в D.42) равна \il, \хфО (а не /, как выше).
§ 5. Доказательство леммы 4.1
Для того чтобы применить следствие 3.1, положим
Q = {(t,y,z): t>T; \\y\\, |
|| z ||< 5т
Покажем, что Q° является (и, v)-подмножеством множества Q,
определяемым одной функцией и = ||^||2 — 25т2 (t) \\y ||2. Пусть
Поскольку u = 2(Rez-z' — 25т2 Re у-у' — 25тт'|| у ||2), то из D.8)
следует, что на U, где 5т@<1, [|г|| = 5т@||у||<||у|| и ||^||<
<2||у||, имеет место неравенство
Последний множитель положителен, так как т удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
(с — г)т — 1|э — т' = 0

§ 7. Доказательство леммы 4.3 347
и i|)>0. Следовательно, Q0 является (и, и)-подмножеством в Q
я U = Q°e = Q°se.
Заметим, что по определению Q точка (у, z) = @, 0) не лежит
в Q; поэтому (у, z)£Q°e влечет за собой уфО.
Пусть S = {(t0, у0, г): || г || < 5т (*0) || у0||}. Тогда 5 П Йе° = {(/«,. й>* z):
||21| = 5т (/0) ||Уо||}- Множество 5 —шар, || г||<5т (/0) \\Уо\\, а мно-
множество S(]Q°e образует его границу и не является ретрактом S.
Поскольку U = Qei отображение я: Q°e—>S[)Qoe, определяемое фор-
формулой я (/, у, z) = (t0, у0, zx (t0) || уо ||/т (t) || у (t) ||), непрерывно (так
как у Ф 0 на Q° и т (/) >> 0) и потому является ретракцией Q°e на
SflQe. Существование z0 и решения у(/), г (t) задачи D.6), D.7),
удовлетворяющего D.16), вытекает из следствия 3.1.
Так как из D.15), D.16) вытекает, что \\z (t) ||<|| у (t) ||, имеет
место соотношение || \ (t) ||<2 || у (t) ||, и неравенство D.17) следует
из D.8). Этим завершается доказательство леммы 4.1.
§ 6. Доказательство леммы 4.2
Это доказательство аналогично предыдущему. Пусть
Q = {(t,x,y,z):t>T] \\x\\, \\y\\, ||z||<8; (хщу,г)ф0}>
Q° = {(t,x,y,z)£Q: u<0, v<0},
где
u = || z ||з _ 49т2 (t) || у ||2, t; = || х ||2 - 49а2 «) || у \\\
Определим множества
V = {(/, ^, У, ^) G^: и<0, и = 0}.
Легко проверить, что из D.13), D.19) и D.20) вытекает неравен-
неравенство Ш<3||#|| и
наУ, v<0 на V.
Поэтому Q0 является (и, а)-подмножеством множества Q и Q°e =
= U\V = {(t, х, у, z)£Q: и = 0, v<0}.
Пусть S-={(t0, x0, Уо, z): |[г||<7т (/0) || yo||}. Как и выше, можно
показать, что 5 П Q? не является ретрактом S, но является ретрак-
гом Q°. Поэтому лемма 4.2 вытекает из следствия 3.1.
§ 7. Доказательство леммы 4.3
Пусть (х0, Уо, z0) и l(t) = (x(t), y(t),z(t)) будут такими же,
как в лемме 4.2. В силу D.19) и D.20) мы имеем ||£(*)||<
<3||#(f)||. Поэтому из D.26) вытекает, что || у' ||<3i|;0 (t) \\y ||.
Из D.19), D.20) и D.28) следует, что l(t) существует при всех

348 Гл. X. Возмущенные линейные системы
t>t0. Первая часть D.29) вытекает из D.20) и D.22). Из нера-
неравенства || у' || <Зг|H (/) || у || следует существование предела #«,*
не равного нулю, как и при доказательстве теоремы 1.1.
Последняя часть леммы 4.3 не вытекает из леммы 4.2» но
может быть получена из следствия 3.1. Пусть
где Wi, и2, v определяются следующим образом:
оо
«1 = 11 y-yoof-49 || ух ||2 (J -ф0 ds)\
* G-1)
и2 = || г |Р-49т2 @|| у ||2, v = \\x\\*-49o*(t)\\y\\*
и ^ — положительная постоянная, точное значение которой будет
указано далее. Пусть Ua — подмножество в Q, на котором ма = 0
и uj^.0, u<0, a V — подмножество в Q, где и = 0 и ut, ы2<0.
■ •
Тогда, как и в предыдущем параграфе, и2>0 на U2, v<0 на V.
Если ии и2, у<0, то ||£||<3 ||у|| и
оо
^ G.2)
II z/ooII 1 — 7 \ г|)ds <|| у ||<|| yoo || 1 + 7 ibds . G.3)
Так как
оо
Wt = 2 [Re (у — ^/оо)-у'+49Цуоо||2'фо(/) [
L J
то простой подсчет показывает, что на £Д
оо оо
• Г Г /
щ > 141| f/oo ||2гфо @ \ "Фо "s — 3A + 7
Пусть Т настолько велико, что
оо
8fi|Hds<l при t>T.
Следовательно, если /0>Г, то ^!>0 на U^ В этом случае Q0
является (и, у)-подмножеством множества Q и Qe = £2ge есть такое
подмножество из Q, где ии ^2<0, и<0и либо ^==0, либо w2 = 0.

§ 7. Доказательство леммы 4.3
349
Пусть
бо (to) = СГ {
G.4)
Тогда в силу G.3) из || х0 || < б2 (*0) || #«> || следует, что
<o(t0)\\y\\ для уеОР. Пусть
оо
S={(to,xo,y,z): ||г||<7т(/0)\\у||, || r/-^||<7||^.|| J
to
так что 5 с й° U Я°. Топологически множество 5 эквивалентно
шару в (у, ^-пространстве. (Если у, z одномерны, то 5 имеет вид
заштрихованной фигуры на рис. 3.) Ясно, что Sfl^ —это подмно-
подмножество S, на котором щ = 0 или а2 = 0, так что топологически
0
Z
muff
ггПТПТ
Р и с. 3
множество Sfl^e является границей S, но не является ретрак-
том S. С другой стороны, Sf]Q° — ретракт множества QJ!» и рет-
ретракцией служит отображение л: Q^-^^fl^e, определяемое равен-
равенством я (*, х, у, г) = (/0, х0, у0, гт (/0) || у0 ||/т @ || у ||), где функция
У0 = У0 (t, У) выбрана так, что у° — уоо = а(у — */«>) и
а = \ if ds / f if ds.
to <
(Тот факт, что Sfl^? — ретракт множества Q°, легко усмотреть
из геометрических соображений, так как проектирование (t, х, у, г) —>
"~^ (Л ^о» У» z) (^» ^» У» г)-пространства в (t, у, г)-пространство
переводит п°е в множество, являющееся топологической границей
«цилиндра», сечению t = t0 которого соответствует множество
S{]Q°e; ср. пример 2 из § 2.)
Отсюда, используя следствие 3.1, можно доказать существова-
существование такой точки (/о, xQ, yo> zo)£Sn^\ что отрезок интегральной
кривой (/, x(t), y(t), 2@) задачи D.11), D.12) лежит вй° на своем

350 Гл. X. Возмущенные линейные системы
правом максимальном интервале существования [t0, со). Как и выше,
в начале доказательства этой леммы, можно было показать, что
со = оо, если б = оо или если величина ||#«>|| достаточно мала;
тогда выполнены соотношения D.20) и D.29).
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала
Вновь рассмотрим систему вида
l' = Et + F(t, I), (8.1)
в которой
Н*. Е)Н<Ф@1Ш1- (8.2)
В этом параграфе предполагается, что 5 = (у, г), F=(Fi, F2) и
E=diag[P, Q], так что задача Коши для системы (8.1) имеет вид
y' = Py + Fx{t,y,z), z' = Qz + F2(t,y,z), (8.3)
УУо) = Уо, z(to) = zo. (8.4)
Предположим, что собственные значения ри р2, -.. и qi4 q2, ...
матриц Р и Q таковы, что
Re/?7-<|i, Reqk>\i (8.5)
при некотором \х.
Теорема 8.1. Пусть система (8.1) эквивалентна системе (8.3)
и для собственных значений матриц Р и Q выполнены оценки
(8.5); функция F(t,£) непрерывна и удовлетворяет (8.2) при
t>0 и [|у||, ||z||<8(<oo); функция ty(t) непрерывна при />0
и такова, что
8
sup(l+s — t) \ ty(r)dr—>0 при t—>oo.
Если |л>0, мы предполагаем, что 8=оо. Тогда существуют
такие Т>0 и 6j>0, что для каждого to>T и любого у0, норма
которого \\Уо\\<.&и существует вектор z0, обладающий следую-
следующим свойством: задача Коши (8.3), (8.4) имеет решение, опреде-
определенное при t>t0 и такое, что либо (y(t), z(t)) = O, либо y(t)^O
при t>t0, а
II * @|| = о (|| у @||) при *->оо, (8.6)
ТБгЧпШОК!*. (8.7)
t->oo
Если в (8.7) вместо \i поставить \i + 8 > |л, то это утверждение
сразу же вытекает из леммы 4.1 (с 8{ (t0) = оо, если б = оо).
Поскольку линейное преобразование переменных у с постоянными

§ 8. Асимптотическое интегрирование 35Г
коэффициентами не влияет на (8.6), но позволяет выбрать е > О
сколь угодно малым, отсюда следует теорема 8.1. Утверждения
(8.6), (8.7) будут усилены в § 11.
Замечание 1. Из доказательства теоремы 8.1 видно, что если
подвергнуть переменные у и z линейным преобразованиям с посто-
постоянными коэффициентами и заменить г|? (t) на const-^ (t), где const —
некоторая постоянная, то можно считать выполненными соотно-
соотношения D.5) и D.8). После этого ясно, что неравенства D.16), D.17)
в лемме 4.1 выполняются для всякого решения (у (t), z(t))^Q
системы (8.3), удовлетворяющего условиям (8.6) и (8.7).
Теорема 8.2. Пусть выполнены предположения теоремы 8.1
и функция F удовлетворяет условию Липшица
II F 0, Ei) - F (/, Ы || < ф (t) || Et - l2 ||. (8.8)
Пусть t0 достаточно велико, а величина || yQ || достаточно мала.
Тогда вектор z0 и решение (у (/), z (t)) единственны, а функция
zo — g (toy Уо) непрерывна (в действительности удовлетворяет усло-
условию Липшица на каждом компактном подмножестве из ее области
определения).
Если дополнительно предположить, что F гладкая (например,
из класса Ст, т^>1, или аналитическая), то функция г0 =
= g (to, Уо) имеет такую же гладкость. Будем говорить, что функ-
функция нескольких комплексных переменных принадлежит классу
Ст, если она имеет непрерывные частные производные порядка т
по вещественным и мнимым частям этих переменных. В этой тер-
терминологии случаю F 6 С1 соответствует
Теорема 8.3. Пусть выполнены условия теорем 8.1, 8.2 и F (t, £)
имеет непрерывные частные производные первого порядка по веще-
вещественным и мнимым частям компонент вектора £. Предположим
также, что \i < 0. Тогда функция z0 = g (t0, y0) принадлежит
классу С1. Если, кроме того, частные производные функции F по
вещественным и мнимым частям компонент вектора £ обращаются
в нуль при 1 = 0 для всех /, то частные производные функции g
по вещественным и мнимым частям компонент вектора у0 равны
нулю при у о = 0 для всех t$.
Доказательства, приведенные в § 9 и 10, показывают, что тео-
теоремы 8.2 и 8.3 следуют из теоремы 8.1, которая в свою очередь
сразу же вытекает из леммы 4.1. Для приложений сделаем следую-
следующее замечание, которое можно вывести из теорем 8.1—8.3.
Замечание 2. Пусть е > 0 фиксировано и настолько мало, что
М- + е < 0, если |л < 0, и Re qk > \i + s в (8.5). Тогда существует
такое число ре>0, что если условие, налагаемое на if (t), заме-

352 Гл. X. Возмущенные линейные системы
нить более слабым условием
s
J (8-9)
при больших ^ и s>f, то теоремы 8.1—8.3 будут справедливы
после замены (8.6), (8.7) одним таким условием:
(8.10)
t->oo
Заметим, что «условие малости» (8.2) выглядит не очень есте-
естественным, если рассматривать систему (8.1) только при малых |,
например если F (t, £) не зависит от t. В этом случае более есте-
естественными являются условия
и, конечно, \i < 0.
Следствие 8.1. Пусть выполнены предположения теоремы 8.1,
но условие (8.2) заменено условием (8.11); предположим также, что
Ь < оо и (х < 0. Тогда утверждения теоремы 8.1 остаются спра-
справедливыми. Если, кроме того,
l|F%^Ig2(fl У11->0, когда (/, Ь, &)->(«>, 0, 0) (8.12)
/ 2» /ио утверждения теоремы 8.2 сохраняются в следующем
смысле: можно указать такое малое б0 > 0, что если /0 достаточно
велико и || у о || достаточно мало, то существует единственная
функция zQ = g (t0, у о), такая, что решение % (t) = (у (/), z (/))
задачи Коши (8.3), (8.4) определено при t^t0 и удовлетворяет
неравенству || | (^) || ^ б0 и утверждениям теоремы 8.1; кроме того,
функция g (to, уо) равномерно удовлетворяет условию Липшица.
Если, кроме того, F удовлетворяет предположениям о гладкости
теоремы 8.3, то справедливы и утверждения этой теоремы.
Это следствие обобщает последнюю часть теоремы IX.6.1, касаю-
касающуюся существования инвариантных многообразий. Остальная
часть будет обобщена позднее в § 11.
Следствие 8.1 вытекает из замечания 2 в силу того факта, что
(8.11) влечет за собой следующее: для каждого р > 0 существуют
Т ;> 0 и б0 > 0, такие, что
6)||<p||E|| при t>T и |Ш|<80, (8.13)
и соответственно из (8.12) следует, что
\\F (t,ti)-F (t,t2)\\<p\\Zi-h\\ при t>T и ИЬ ||, || & ||< «о;

§ 8. Асимптотическое интегрирование 353
кроме того, если г > О достаточно мало, то \л + г < 0 и из (8.10),
(8.11) вытекает (8.6), (8.7).
Первая часть следствия 8.1 может быть выведена иначе из тео-
теоремы 8.1, если сделать замену переменных
£ = *-««£, (8.14)
где 0<а< —\i. Тогда из (8.1) получаем
а \х заменяется на |я + а<<0. Чтобы применить теорему 8.1, доста-
достаточно доказать существование такой функции ty(t), что г|э (/) —> 0
при t—>оо и
\\*"F(t,e-**Q\\<ip(t)n\\ при ||£||<-i-«.
Заметим, что сс>0, а из (8.11) вытекает, что в качестве такой
функции г|з (/) можно взять
Упражнение 8.1. Решение этого упражнения содержит в себе
доказательства утверждений теорем 8.1 и 8.2 методом последова-
последовательных приближений, а не путем использования следствия 3.1
(и леммы 4.1). С помощью замены переменных (8.14) с подхо-
подходящим а можно, не теряя общности, предполагать, что [i < 0. Если
£=(#(')» z @) — решение системы (8.3), удовлетворяющее условию
(8.7), то легко видеть, что
х
у (t) = epv-^y0+ [ ер<'->Л (s, y(s), г (s)) ds,
i (8.15)
(t) = - j ^(f-«)F2 (s, у (s), г (s))
при этом предполагается, что Р и Q таковы, что
||ep*||<eQH-e><, ||e-Q*||<e-(i*+e)* при t>0. (8.16)
Обратно, если 5 = (у (t), z (f)) — решение системы (8.15), удов-
удовлетворяющее (8.7), то оно является решением системы (8.3). Пока-
Покажите методом последовательных приближений, что если выполнены
предположения (8.2), (8.8), где я|? (/) -> 0 при z*-^oo, то система
(8.15) имеет решение (при достаточно большом /0» малом || у0 ||,
если б < сх)), удовлетворяющее условию у (to) — У о и условиям
(8.6), (8.7). Пусть нулевым приближением служит функция у0 (t) =
= ер^~^уОу z0 (t) = 0, а п-е приближение получается, если под-
подставить (у (s), z (s)) = (уд_1 (s), 2^.i (s)) в правую часть (8.15)
23-241

354 Гл. X. Возмущенные линейные системы
и (У (t)9 z (/)) = (уп @» гп @) — в левую (см. Коддингтон и Левин-
сон [2, гл. 13]). Этим доказана теорема существования 8.1 при
дополнительном предположении (8.8) и условии г|э (/) -> 0. Тео-
Теоремы 8.2 и 8.3 также можно доказать с помощью последовательных
приближений, но по существу в §§ 9 и 10 эти теоремы выводятся
из теоремы 8.1. (Хотя в настоящем изложении метод последова-
последовательных приближений играет второстепенную роль, он все же
очень важен в подобных исследованиях.)
§ 9. Доказательство теоремы 8.2
Можно предполагать, что справедливы соотношения D.4), D.5)
и D.8); см. замечание 1 после теоремы 8.1. Используя функцию
а (/), определенную в D.18), положим
(9-1)
Легко проверить (см. § 5), что если справедливо D.8), Т>0 доста-
достаточно велико и t>T, то
н>0, когда м = 0. (9.2)
Единственность. Предположим, что система (8.1) имеет два
решения lj(t) = (yj(t), Zj(t)), где /=1, 2, удовлетворяющих усло-
условиям yj(to) = yo и (8.7), но zi(t0)^=z2(t0). Положим I(t) = l2(t) —
— £>i(t) = (y(t), z(t)). Тогда из (8.8) вытекает D.8) и потому, в силу
(9.2), du(t, y{t), z(t))/dt>0, если u(U y(t), z(t)) = O. Так как
У (to) = 0, имеем и (tQ, у (t0), z (t0)) > 0 и, следовательно, и (t, y(t),z (t))
не может обращаться в нуль при />^0- Поэтому
|| у @ || < 5а @|| г @|| при t>t0. (9.3)
Поскольку <х@—>0 при t—>сх> (см. упр. 4.1), из D.8) следует, что
. (9.4)
Но это противоречит неравенству || z(t) ||<||S@ II < III2 (t) || +
+1| It (t) ||, поскольку (8.7) выполняется как для g = §i» так и для t = g2.
Непрерывность функции zo = g (t0, у0). Пусть tQ > Го,
||yil|<6i(io)i Zi = g(t0, yx) и li (t) — соответствующее решение
системы (8.1). Введем в систему (8.1) новые переменные, положив
так что (8.1) переходит в систему
E'^E + T^E + MOWtf.MO) (9-6>
и ввиду (8.8)
-bll- 0.7)

§ 10. Доказательство теоремы 8.3 355
Из уже доказанной нами части теоремы 8.2 следует, что если вели-
величина || #2 — УЛ\ достаточно мала, то система (9.6) имеет единствен-
единственное решение £(£), такое, что либо £(£) = 0, либо lim/ In ||£(/) ||<
+ при *-><х>, £('о) = (#2--#1, . ..) и
II Ч @ - г± @ || < 5т @ || № @ - у, @ || (9.8)
при ;>^0, если &(O = £W + Si(O=(jfe(O* ^@)- (Неравенство (9.8)
аналогично неравенству D.16) в лемме 4.1.) Отсюда вытекает, что
функция £ = 1г@ является решением системы (8.1) и что z2 =
±=g(t0,y2). Поэтому, подставляя в (9.8) значение t = t0, получаем
II g (to, y2)-g(to, Уд II < 5т ft,) || У2-У11|. (9.9)
Обозначим через % = l(t, t0, yo) = (y(t, t0, y0), z(t, t0, y0)) един-
единственное решение системы (8.1), существование которого гаранти-
гарантируется теоремой 8.1 и первой частью теоремы 8.2. Тогда
t(to,to,yo) = {yo,g(to,yo)). (9.10)
Из того, что это решение единственно, вытекает равенство
SMo,^ = £(Ui>0('i.'o>0o)) (9-И)
при ^>^о- Для того чтобы доказать непрерывность функции
g(t0, у0) по г0, рассмотрим разность %(t, t0, yo) — l(t, ti9 y0) при
ti>t0 и малых \\уо\\> В силу (9.11) эта разность может быть пред-
представлена в виде £ (t, tt, y(ti, t0, Уо)) — £> {t, tii y0). Неравенство, анало-
аналогичное (9.8), дает нам при t = ti
t0, yo))-g(ti, yo)\\<54(ti)\\y(ti, t0, Уо)~Уо\\.
Поскольку вектор % = %(t,t0, y0) лежит при *о<*<'о+1 и малых
| г/о || в компактном g-множестве, из (8.1) вытекает, что
I I' {t, tQ, у0) || <УИ, если число М является верхней гранью для \\F\\
на этом множестве. Отсюда || I (t{, t0, yQ) — I (t0, t0, y0) \\ < M (ti — t0),
так что
Таким образом, при ^о<^<^о+1 и М = М (t0, yQ)
\\g(ti,yo)-g(to,yo)\\<M(ti-to)[l+5T(ti)]. (9.12)
Неравенства (9.9) и (9.12) завершают доказательство теоремы 8.2.
§ 10. Доказательство теоремы 8.3
Ниже будет показано, что вектор I (f, t0, y0) принадлежит клас-
классу С1, в частности I (t0, t0, у0) = (у0, g (t0, yQ)) 6 С1. При этом мы
будем считать, что все переменные и функции вещественны. Этого
Достаточно для доказательства, поскольку, отделяя вещественную
23*

356 Гл. X. Возмущенные линейные системы
и мнимую части в системе (8.1), мы получим вещественую систему;
как мы отмечали выше (после формулы C.2)), при этом
= (du/dok-idu/dTh)/2, если yh = ok + hk.
Пусть е — некоторый вектор единичной длины в ^-пространстве
О — малое вещественное число. В силу леммы V.3.1
£ =£(' jq j
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению вида
C' = (£ + £i(f,A,yo))E, (Ю.2)
лричем в силу непрерывности I (t, t0, у0)
Ei(t,h,yo)-*dlF(t,l(t,to,yo)) при А->0 A0.3)
равномерно на ограниченных ^-множествах, если d^F— матрица Якоби
функции F по !•. В силу неравенства, аналогичного (9.8), функция
^ 10.1) не превосходит величины
[1 + 5т (t)] Ну(*' *
Из доказательства неравенства (9.8) и аналога неравенства D.17)
в лемме 4.1 видно, что эта величина меньше, чем
[1 + 5т(*)]ехр j
to
Поэтому при фиксированных (/0, у0) семейство функций A0.1)
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно по t на огра-
ограниченных ^-интервалах при f>t0. Следовательно, существует после-
последовательность h^ A2» •••» такая, что hn—>0 и соответствующие
отношения A0.1) стремятся к пределу £ @ = £ (*» *о» #о) равномерно
на ограниченных множествах значений t(>t0). Этот предел удовле-
удовлетворяет линейной системе уравнений
(Ю.4)
начальным условиям вида £ (/0) = (е, г*) при некотором z* и || £ (f) || <
<г(£). Из последнего неравенства видно, что £ (f) = 0 или
Timf4n||£@l|<(i + e. A0.5)
t-+oo
В силу (8.8), ||d6F«f l) ||<ф(/). Из теорем 8.1 и 8.2 следует,
что если /о достаточно велико, то существует единственный вектор
2*, обладающий следующим свойством: система A0.4) имеет реше-
решение, для которого I (t0) = (e, 2*) и выполняется A0.5). Следова-
Следовательно, выбор последовательности hu h2, . . . является излишним

§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение) 357
==1.{^ f
существует равномерно на ограниченных /-интервалах и является
тем единственным решением системы A0.4), для которого выпол-
выполняется соотношение A0.5) и £ (/0) = (е, г*) для единственного г*.
Таким образом, функция I (t, to, у0) имеет частные производ-
производные по компонентам вектора у0. Непрерывность этих производных
как функций от (t, to, Уо) следует из A0.4) с помощью рассуждения,
аналогичного использованному для доказательства A0.6). Суще-
Существование и непрерывность производных dl (t, t0, yo)/dto доказы-
доказывается так же, как и формула (V.3.4) в теореме V.3.I.
Отметим, что если d^F (t, 0) = 0, то система A0.4) сводится
при у0 = 0 к системе £' = Et,. Для единственного решения £ =
— (У (t)9 z (t)) этой линейной системы при условии A0.5) мы имеем
г (/) = 0; ср. § IV.5. Следовательно, дУ(г (t, t0, 0) = 0 и при t = to
это дает равенство dyjg (to, 0) = 0 и завершает доказательство
теоремы 8.3.
§11. Логарифмическая шкала (продолжение)
В этом параграфе мы обобщим теорему 8.1, доказав ее без допол-
дополнительных предположений относительно F. Положим для этого
I = (х, у, г), Е = diag [Ai9 А2, А3] и F (/, х, у, z) = (Fu F2y F3)y
так что задача Коши для системы (8.1) принимает такой вид:
B, A1.1)
A1.2)
Будем предполагать, что собственные значения ау1, aj2, ... матриц Aj
таковы, что
(П.З)
Для некоторого числа (х.
Теорема 11.1. Пусть система (8.1) эквивалентна системе A1.1),
где Аи А2, А3 — матрицы, удовлетворяющие условию A1.3),
и пусть F = (Fu F2, F3), if (f), б и \i будут такими же, как в тео-
теореме 8.1. Тогда существуют 8{ > 0, Т ;> 0 и для каждого to^>T
такая постоянная о (t0) > 0, что если \\ х01| < 7а (/0) II Уо II и
0 < II У о II < Si, то существует вектор z0, обладающий следующим
свойством: задача A1.1), A1.2) имеет при t ;> to решение, удовле-
удовлетворяющее условию у (t) Ф 0 и
|| л (ОН, ||2@11 = о(||г/@||) при /->оо, A1.4)
n. A1.5)
t-УОО

358 Гл. X. Возмущенные линейные системы
Эта теорема, в которой речь идет о некоторых решениях систе-
системы (8.1), сразу вытекает из леммы 4.2 (с б4 = оо, если б = оо).
Заметим, что если |я — наименьшая (или наибольшая) веще-
вещественная часть собственных значений матрицы Е [так что вектор х
(или г) в системе A1.1) отсутствует], то соответствующее утвержде-
утверждение остается в силе. В самом деле, этот случай содержится в тео-
теореме 11.1; отсутствующие переменные х (или г) можно формально
добавить к системе (8.1), выбрав матрицы А\ или А3 надлежащим
образом и положив Л = О или F3 = 0. В следующей теореме
речь идет обо всех решениях системы (8.1).
Теорема 11.2. Пусть выполнены все условия теоремы 11.1, нало-
наложенные на F (t, £). Если б = оо, пусть £о (/) Ф 0 — любое решение
системы (8.1); если б < оо, пусть l0 (t) Ф 0 — такое решение
системы (8.1) для больших t, для которого
ПтГЧп||Ео(О11<О. (П.6)
Тогда предел A1.5) существует и является вещественной частью \i
некоторого собственного значения матрицы Е. Если, кроме того,
система координат в ^-пространстве выбрана так, что система
(8.1) имеет вид A1.1) и справедливы неравенства A1.3), то вектор
I (/) = (х (f), у (t), г if)) удовлетворяет условию A1.4).
Очевидно, что первая часть следствия 8.1 допускает аналогич-
аналогичное обобщение.
Следствие 11.1. Пусть выполнены предположения теоремы 11.1
(или теоремы 11.2), но вместо (8.2) выполняется (8.11), и пусть
б < оо, (я <; 0. Тогда утверждения теоремы 11.1 (или теоремы 11.2)
остаются в силе.
Упражнение 11.1. (а) Рассмотрим линейную систему дифферен-
дифференциальных уравнений
I' = [Е + G(t)]% A1.7)
с непрерывной при £>0 матрицей G(t), такой, что || G (t) || <i]) (t),
где г|)(^) —непрерывная функция, удовлетворяющая условиям D.24).
Пусть £" = diag[^i, ..., Xd] и вещественные части щ, ..., |и^ чисел
^i» •••» ^d различны. Тогда для каждого l</<d система A1.7)
имеет такое решение I (t) = (I1 (t), ..., ld (t)), что £' (t) Ф 0
при больших t, |Sfe(OI = °(|^(OI) ПРИ t—>0 для кф\
и t'1 In | gJ (^) I —> fij при £ -^ oo. (b) Докажите, что если I г|э (/) df <C оо,
то |J (^) = [с + о A)] exp X/ при t—>oo с некоторой постоян-
постоянной сфО.

§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение) 359
Упражнение 11.2. Пусть Z^diag^, Л2, Л3], где Aj — квадрат-
квадратные матрицы, собственные значения ал, aj2, .. . которых удовле-
удовлетворяют условию A1.3). Пусть матрица G(t) непрерывна при />0
и система A1.1) совпадает с A1.7) при £ = (*, #, z) и F (t, I) =
= G(t)l. Предположим, что || G (t) \\<ty (t), где ^(^ — непрерывная
ОО
функция и \ | г|з (t) |p dt < оо при некотором р, 1 < р < 2. Пусть
Л2 — матрица порядка 1, совпадающая с постоянной X, Re A,— \i.
Тогда вектор у одномерный. Пусть l(t) = (x(t), y(t), z(t)) — решение
системы A1.7), удовлетворяющее A1.4) и A1.5). Докажите, что
существует такая постоянная с Ф 0, что
где g (t) — диагональный элемент матрицы G(/), который является
коэффициентом при у во втором уравнении системы A1.1). Отметим,
что это уравнение имеет вид у' = Ху 4- 2 9у @ ** +Я (О У + S га @ г^»
где (^1, ^2» •••' g» ri> ^2» ...)—строка матрицы G(f).
Упражнение 11.3. Пусть функция f (f, у) непрерывна, имеет
непрерывные частные производные по компонентам вектора у в неко-
некоторой (t, ^-области и является периодической по t с периодом
р: f(t + p, y) = f(t, у). Пусть система
У'-fit, у) A1.8)
имеет периодическое решение y = y(t) с периодом р. Исследуйте
поведение решений системы A1.8), удовлетворяющих условию у (to) =
= Уо, где точка (£0, у0) близка к кривой (Л 7@)» 0<^<р, основы-
основываясь на следующих соображениях. Введите новые переменные
C = 0-Y(O- (H.9)
Тогда система A1.8) запишется в виде
£' = /(', £+?('))-/('. v@)
или в виде
£ = P{t)Z + H(t,£), (НЛО)
где
p(w(^i) при у=Т(о, A1Л1)
матрица Р (t) имеет период р, вектор-функция Я (f, £) непрерывна
и имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора £,
Я (/, 0) = 0, 5;Я (^, 0) = 0. Линейная система с начальными условиями
J' = P(t)J, У@) = / A1.12)

360 Гл. X. Возмущенные линейные системы
имеет, согласно результатам теории Флоке (§ IV.6), матрицу-реше-
матрицу-решение J (t) вида
j ™% A1.13)
где К (t +p) = К (t), a Е — постоянная матрица. Замена переменных
l = K{t)l A1.14)
преобразует систему A1.10) к виду
it)H(t,K№). A1.15)
Применяя теоремы из § 8 и настоящего параграфа к системе A1.15),
обобщите результаты §§ IX. 10 и IX. 11. (Заметим, что в рассма-
рассматриваемой ситуации требуется, чтобы матрица еЕ не имела собст-
собственного значения X = I.)
§ 12. Доказательство теоремы 11.2
Ниже будет доказано, что достаточно рассмотреть систему
линейных уравнений. Из (8.2) следует, что решение £ = 5о (t)
системы (8.1), равное нулю при одном значении /, равно нулю
при всех L Поэтому l0 (t) ф 0 при больших U например при t ;> to.
Пусть F = (Я-, Я5, . . .); определим матрицу G (/) = (gjh (t)) сле-
следующим образом:
l
8jh{t)=z II Ео WII» A2Л
при t>t0. Являясь решением системы (8.1), вектор £ = 5о(О удо-
удовлетворяет линейной системе
Е' = (я+е@M. A2.2)
Отметим, что из (8.2) и A2.1) вытекают неравенства
»(О116о(ОН-16? @
Поэтому теорема 11.2 содержится в следующем утверждении:
Лемма 12.1. Пусть матрица G(t) непрерывна при />0м
A2.3)
где функция г|з(*)>0 непрерывна и удовлетворяет D.24). Пред-
Предположим, что l = lo(t) Ф0 — некоторое решение системы A2.2).
Тогда справедливо утверждение теоремы 11.2.
Доказательство леммы 12.1. Обозначим через \1{ <С ku2 < • • • < М»/
различные вещественные части собственных значений матрицы Е.
После замены переменных можно привести матрицу Е к виду
diag [Bti Въ ..., J3/], где собственные значения (Зд матриц Bj таковы,

§ 13. Асимптотическое интегрирование 36J
что Re (Зд = |Л/. Соответственно, пусть I = (уи ..., yf), El =
= (Bi#i, ..., В/У/)» система A2.2) записана в виде
/
y'i = £^ + S Од @ jfc, / = 1, ..., f, A2.4)
Я-— 1
причем функции G^ (t) образуют прямоугольную матрицу
и ||G#@ll<4>@-
Если 1 <#</, число t0 достаточно велико и yq0¥=0, то по теоре-
теореме 11.1 система A2.4) имеет решение I = (yA (f), ...,*// @)> такое, что
Ы*о) = О, если fe<^, yq(t0) = yq0, A2.5)
при ^->оо. A2.7)
Решение %> = %q(t, t0, yq0) единственно в силу теоремы 8.2.
В самом деле, его единственность доказана даже в том случае,
когда A2.6) и 12.7) заменены условием
ИтГЧпЦБфК^ A2.8)
(см. замечание 2, следующее за теоремой 8.3). Поэтому функция
tq{t> to> Уяо) линейно зависит от yq0 (при фиксированных t,to,q).
Так как lq (t, to> 0) ^ 0, существует единственный вектор
(Уloi ..., Ук), такой, что данное решение £0@ имеет вид
ЫО=ЕЫМо,</Я A2.9)
3=1
Действительно, значения у10, . .., у/0 определяются последовательно
следующим образом: если 5o(O = (#i(O> •••» ^//@)» положим ylo =
= f/i(^o); затем полагаем у2о = У2 (t0)— yi2 {t0), где g± (/, ^0» Ую) =
= (#и@» ^12@» •••» f/i/@) и т- Д-
Пусть ^ — наибольшее из значений /, для которых у^ФО в A2.9).
Ясно, что вектор So(O~(i/i(O» •••» У/@) удовлетворяет условиям
A2.6) и A2.7). Лемма доказана.
§ 13. Асимптотическое интегрирование
В этом параграфе изучается асимптотическое поведение решений
£ @ возмущенной линейной системы уравнений
Q, A3.1)
в то время как в § 11 рассматривалось поведение ||@1|
Пусть матрица Е имеет нормальную жорданову форму Е =
= diag [J A), ..., J (g-)], где J (/) есть [А (/) X А (/)]-матрица [как
в (IV.5.15)—(IV.5.16)]. Имеем J(/) = X(/)/MJ) + /CMJ> где /л-еди-

362 Гл. X. Возмущенные линейные системы
ничная (h х /*)-матрица, матрица Кк равна 0 при h= 1, а при
это (А х Л)-матрица, поддиагональные элементы которой равны 1,
л остальные —нулю. В соответствии со случаями h=\ или /г>1
или J(j)yj=№,W, + y), ..., b/? + #i~1), A3.2)
где Ь = М/), 0у=D& •••. 4#). А")
Аналогично, если £ = (#i, ..., ##), то
я система A3.1) имеет вид
yj = J(i)yj + Fj(t,l) при /=1, ...,?. A3.3)
Пусть |ы —одно из чисел ReA,(l), ..., Re^(g-). Индекс / мы
заменяем на р, q или г в соответствии с тем, будет ли Re X (/) <; |ы,
Re А, (/) = |ы или Re А, (у) > |ы. Положим
(д). A3.4)
Пусть /0 — целое число, а C —такое число, что
lo<h*— 1 или Р>1» A3.5)
a /(g), k(q)— целые числа (если такие существуют), для которых
), Р) и А(G)-/(<7)</о- A3.6)
В следующей теореме приводятся достаточные условия, при кото-
которых система A3.3) имеет такое решение, что при t—>oo
= о (е^-Р), если / ^ <7,
где сг — постоянные,
min (k, i
2i= 2 A3-8)
и 2i = 0, если чисел l(q), k(q) не существует.
Заметим, что если в A3.7) отбросить о-члены, то, поскольку
в 2i мы имеем 1 <!/<;&, A3.7) переходит в решение линейной
системы уравнений
£' = ££, т.е. yj = J(j)yj при / = lf..., g. A3.9)
Выбор пределов суммирования / (q) ^ i ^ min (&, & (^)) продик-
продиктован несколькими соображениями. С одной стороны, результаты,
соответствующие случаю i > k, можно легко получить как след-
следствие теоремы 13.1 (но мы этого не будем делать); аналогично,
лервое слагаемое в первой строке формулы A3.7) не имеет смысла

§ 13. Асимптотическое интегрирование 363
при i > Р, и потому мы берем только те i, которые удовлетво-
удовлетворяют условию i <; min (k, k (q)) <; min (k, P), поскольку k^h (q).
С другой стороны, условие i^> I (q) означает, что степень по-
полинома 2i c%qth~ll(k — i)\ не превышает заданного числа /0.
Теорема 13.1. Пусть J (/) — жорданова клетка в системе A3.3);
см. A3.2). Пусть \л = Re i7- для некоторого j. Будем заменять
индекс j на р, q или г в зависимости от того, какое из соотношений
Re Xj << |ы, Re Xj = \i или Re Xj > |ы выполняется; определим h*
no формуле A3.4). Пусть /0 — некоторое целое число и Р — такое
число, что
A3.10)
следовательно, Р>1. Пусть l(q), k(q) —целые числа, удовлетво-
удовлетворяющие условию A3.6) (если они существуют). Пусть вектор-
функция F (*, £) = (Л» •••» ^) непрерывна при t>0 и всех I и
||F(^E)||<*i(OIIEI|. A3.11)
где г^ (/)>0 — такая непрерывная функция, что
lt|I(/)d/<oo. A3.12)
Положим т = 2 Л (р) + 2 [^ (?) — ^ (?)]• Для всякого набора
р q
постоянных cq, I (q) <!&■<& (q), не состоящего из одних нулей,
существует т-параметрическое семейство решений | (t) системы
A3.3), определенное при больших t и удовлетворяющее при t —> оо
асимптотическим соотношениям A3.7).
Утверждение, касающееся m-параметрического семейства реше-
решений, означает по существу, что можно выделить т «начальных
условий» в соответствии с асимптотическим поведением вектора
5 (t) при t-*~ оо, описываемым формулами A3.7); см. утверждение,
следующее за формулой A4.15), в доказательстве теоремы 13.1.
Замечание 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
т,' = Яол + Я(/> г)), A3.13)
где Е° — постоянная матрица, а вектор-функция F° (t, ц) непре-
непрерывна при t^-О и всех г). Пусть L — такая невырожденная
постоянная матрица, что матрица Ь~гЕ°Ь имеет нормальную жорда-
нову форму Е = diag [«/ A), . . ., J (g)]. Тогда замена переменных
г] = Ы переводит систему A3.13) в A3.1) [т. е. в A3.3I, где
F (t, g) = L/70 (t, Lg). Возможность применения теоремы 13.1,
или по крайней мере выполнение условия A3.11), иногда можно
установить, даже не зная явного вида матрицы L, т. е. не приводя
явно A3.13) к A3.1). Действительно, ясно, что || F° (t, r\) \\ <С

364 Гл. X. Возмущенные линейные системы
<^ % if) II Л II влечет за собой неравенство || F (/, I) || ^
<1 c% (t) II I II» если положить, например, с = \\ L ||-|| L ||.
Замечание 2. Из процесса вывода теоремы 13.1 из леммы 4.3
видно, что эта теорема остается справедливой, если функция
F (t, i) определена только при ^ >- О, || £ || < S < оо, когда \i < О
(или когда |ы = 0, h* = 1 и постоянные | cq | достаточно малы).
Теорема 13.1 допускает частичное обращение, касающееся всех
(а не отдельных) решений I (t) системы A3.1), для которых
t-1 In || I (t) ||-> ix при /-> oo A3.14)
(см. теорему 11.2).
Теорема 13.2. Пусть Е = diag [J A), . . ., «/ (g)] и вектор
F (t, l) удовлетворяет всем предположениям теоремы 13.1, за исклю-
исключением того, что условие A3.12) заменено неравенством
o-1t|)i(Od<<oo, где ho>h* A3.15)
(число h0 не обязательно целое). Пусть £(/)=£ 0 — решение си-
системы A3.3), удовлетворяющее условию A3.14). Тогда суще-
существуют такие постоянные с\, k=\, ..., h(q), не все равные
нулю, что если
]'щ = max [k (q) — k] при с\фО, A3.16)
Р = h0 — /о и I (q), k (q) суть соответственно наименьшее и наи-
наибольшее целые числа (если такие существуют), удовлетворяющие
A3.6), то решение \ (t) удовлетворяет асимптотическим соотно-
соотношениям A3.7) при /-> оо.
Следствие и обобщения теорем 13.1, 13.2 рассматриваются
в § 16; см. также § XII.9.
§ 14. Доказательство теоремы 13.1
Замена переменных. Для того чтобы использовать лемму 4.3,
сделаем линейную замену переменных
6=Q@C A4.1)
которая в терминах координат векторов I = (уи ..., уё) и £ = (Z{,..., zg)
определяется формулами
при j Ф k,
где 0 < е < 1, 2i означает суммирование по i от I (q) до min (k, k (q))r
как и в A3.8), а через 2 и обозначается сумма по остальным

§ 14. Доказательство теоремы 13.1 365
целым значениям / из отрезка 1 < / < k, так что
Решение ^(t) системы A3.3) удовлетворяет условиям A3.7), если
соответствующий вектор £(/), определенный по A4.1), удовлетво-
удовлетворяет условиям
г\ = с\ + о(Г-£) при l(q)<i<h(q), AO)
Zj=o(\) в остальных случаях.
Чтобы пояснить значение преобразования A4.1) и записать
возникающую систему дифференциальных уравнений для £» мы
представим ниже отображение A4.1) в виде произведения двух
отображений
t = Q(t): = Q0(t)D(t)Z. A4.4)
Это разложение основано на том факте, что если заменить tk~&
в первой из формул A4.2) на tk~l (и записать этот новый множи-
множитель под знаком суммы 2и)» то эта формула примет вид yq = eJ^tzq.
Замена переменных g = Qo (t) w, w= (wv ..., wq) определится
следующим образом:
lj = eJ^twj, если j = q, lj = e^twJ, если \Фц. A4.5)
Система A3.3) переходит при этом в систему
Щ = W (/) — Vth] wj + e-^Fj (/, Qow), если \
где А = А(/). Пусть, наконец, D(t) — такая диагональная матрица,
что отображение w = D (t) £, записанное в координатах, имеет
такой вид: .
^д = гд, если l(q)<k<k(q),
wkq = tk-hq, если k<l(q) или k>k{q), A4.7)
^^е1-^1-^^^ если /=^?.
Если представить получающуюся систему дифференциальных уравне-
уравнений в виде
(Н.8)
то ее линейная часть ^' = £? определяется соотношениями
z,' = 0, если l(q)Kk<k{q),
^' = (p-^)r12g, если ^</(<?) или k>k(q), A4.9)
} = [^ (/) — ц/л —(Э—1) '"'/ft] 2^, если /^ q,

366 Гл. X. Возмущенные линейные системы
где Je(j) —это матрица, которая получается из J (j) после замены
единиц, стоящих под диагональю, на е; см. § IV.9. Последнюю
часть в A4.9) легко получить, если применить преобразование
Wj—>Zj в два шага: w) —>z]lzh~i —>ti~hJj/ek~i.
Заменим, наконец, независимую переменную / на s, положив
t = e\ так что ^- = %'. A4.10)
Тогда A4.8) перейдет в систему
^ = E4t> + tQrxF(t, QQ, A4.11)
причем линейные части этих уравнений имеют следующий вид:
dzha
-^- = 0, если l(q)<k<k(q),
dzh k
-^- = (Р — k)zq, если k<il{q) или k>k(q), A4.12)
Zj, если / Ф q.
Предварительное доказательство существования. Предполо-
Предположим, что при больших / определена функция i|H (/), такая, что
o. A4.14)
ОО
Последнее условие эквивалентно неравенству I t% (t) ds < оо,
поскольку ds = dt/t. Когда е>0 достаточно мало, к системе A4.11)
можно применить лемму 4.3, если за х принять вектор с компо-
компонентами Zp и Zg, k>k(q), за у принять вектор с компонентами Zg,
l(q)^.k<k(q), и за z принять вектор с компонентами z£ и Zq
при k<cl(q). Из A4.12), очевидно, вытекает существование такой
постоянной с > 0, что Re (z£ dz^/ds) < — с | Zg |2 или >c\zq\2 в соот-
соотб k k()$ &/()Р
(£ ^) | g | \q\
ветствии с тем, будет ли k> k(q)>$ или &</(<7)<Р; следо-
следовательно, Re (z; • dz3/ds) < — ^ || zj ||2 или > ct \\ Zj ||2 в соответствии
с равенствами / = р (т. е. Re X (/) < |ы) или / = г (т. е. Re h (j) > fi),
если e>0 мало, а / велико.
Таким образом, в силу леммы 4.3, из A4.13) и A4.14) выте-
вытекает следующее: если с\, / (q) < k < k (q), — заданные постоянные,
не равные нулю одновременно, то существует такое решение £ (/)

§ 14. Доказательство теоремы 13.1 367
системы A4.11), что при t—>oo
4@ = 4 + 0A) при l(q)<k<k(q),
A4.15)
2:5- = о A) в остальных случаях.
В действительности мы можем при этом указать множество из т
начальных условий для такого £: zl(T) = z% и гд(Г) = г^0 при
k(q)<k^Ch(q), если Г достаточно велико, a|zpo| и |z£o|— Доста-
Достаточно маленькие числа.
Нормы || Q||, || Q!!- Чтобы завершить доказательство, остается-
показать, что из предположений A3.11), A3.12) вытекают нера-
неравенства A4.13), A4.14) и что решение £ (t) системы A4.8), удо-
удовлетворяющее A4.15), одновременно удовлетворяет системе A4.3).
С этой целью мы прежде всего докажем существование такик
положительных чисел с, с', что для больших t
|| Q (t) || e-»4-j°<c, с' <|| Q-1 (t) || eW-fi^c. A4.16)
В силу A4.2) норма Q (t) равна О (eW*), где у =
= max [h* — p, h(q) — l (q)] и максимум берется по всем значе-
значениям q. Из A3.6) вытекает, что h(q) — I (q)^CJo, а в силу A3.10),
Л* — Р</0; поэтому || Q @|| = 0F^°) при £—>оо. Этим доказана
первая часть соотношений A4.16).
Из разложения Q = Q0D матрицы Q при / > 0 в произведение
невырожденных матриц Qo и D видно, что существует матрица Q
и Q~1 = D~1Qo1. Обратное отображение
£ = Q-4, A4.17)
как легко видеть из равенств l = Qow и ^ = D£ [см. A4.5) и A4.7)],
имеет вид
г = ея(в)*2 Ь^^, если
1=1
если fe</(G) или fe>*((/), A4.18)
у), если ]'Фд.
Следовательно, при больших t норма || Q @1| ограничена снизу
и сверху положительной постоянной, умноженной на е~^гР\ где
Y = max[P— I, k (q)— 1]. Так как, в силу A3.6), k(q) — I<f5— 1.
неравенства A4.6) полностью доказаны.

368 Гл. X. Возмущенные линейные системы
Завершение доказательства. В силу A3.11)
IIQ-v^QOKIIQ-Ml
Поэтому, в силу A4.16), имеем
Следовательно, из A3.12) вытекает, что неравенства A4.13) и A4.14)
имеют место, если %(t) = c2t$+i°-ityi(t), и потому система A4.8)
имеет решение £(/), удовлетворяющее A4.15).
Из первой части A4.9) вытекает, что соответствующие уравнения
в A4.8) имеют вид
zhq ={qk)-n. компонента вектора Q/7(zt, QQ,
так что, в силу A4.18),
(~y^(f.Q£). если 1(
где F\ есть (qi)-n координата вектора F. Поэтому
г*' = О(е-»Чъ-^У)\\(&\\) при t->oo,
в силу A3.11). Из A4.16) и ограниченности £,(t) при t—>oo выте-
вытекает, что *
z£' = О (**+*>-ЧМ*)) при
Следовательно, при
Тем самым доказана первая часть A4.3), а вместе с тем и вся тео-
теорема 13.1.
§ 15. Доказательство теоремы 13.2
Эту теорему можно свести к случаю линейной системы с помо-
помощью приема, которым мы воспользовались в начале § 12. Поэтому
мы можем предполагать, что F (t, %) = G (t) 5, где матрица G (t)
удовлетворяет условию || G (t) \\ ^% (/), и заменить систему A3.1)
системой
f = Et + G(t)t. A5.1)
Обозначим через q0 какое-либо фиксированное значение q и через
k0 такое целое число, что 1 ^ k0 ^ h (q0). Тогда уравнение A5.1)
имеет решение lkoqo(t), удовлетворяющее при t-^oo следующим

§ 16. Следствия и уточнения 369
условиям:
*V) +o(e»4k~v), если q =
y\ (t) = о (e»4k~v) , если <? = ft, 1< fe < £0, n . 9.
i/g@ = o(e^ft-v), если <7^=ft, l<fe</z(<7),
ykq(t)=o(eW-v), если /=И=<7.
где y = h0 — h(qo) + ko> 1. Это вытекает из теоремы 13.1, если /0
и р заменить на h(qo) — ko и 7 = /г0— [Л (ft) — &о] и положить Cq = O
или Сд = 0 в соответствии с тем, будет ли (qk) = (qoko) или (qk) Ф (ftfe0)-
Множество решений tqk (t) является множеством из 2 Л (q) линейно
независимых решений. Следовательно, если n = ^h(p), то, по тео-
теореме 8.2, существует в точности п линейно независимых решений
МО» • • •» In @» Для которых
и п + 2 'г (?) линейно независимых решений, для которых
Поэтому, если I (t) ф 0 — решение системы A5.1), удовлетворяющее
A3.14), то существуют такие постоянные е4, ..., сп и с\, что
S @ = 2 с^ @ + S S 4^ @. A5.3)
3=1 q k=l
причем не все с\ равны нулю. Проверку того факта, что отсюда
вытекает теорема 13.2, мы предоставляем читателю.
§ 16. Следствия и уточнения
Если матрица Е в теореме 13.1 имеет простые элементарные
делители (например, если собственные значения матрицы Е различны)
или даже если hm= 1, то /0= 1, р> 1 и условие A3.12) принимает
такой вид:
\ taq>i (t) dt < оо для а = р — 1 > 0;
см. следствие 4.2. В этом случае асимптотические формулы A3.7)
сводятся к равенствам
yq (t) = e^1 [Cq + О (*-«)], yj (t) = в^(9)*О (/-«) При / ^5= ?.
При фиксированном /0 наименьшее допустимое значение р в тео-
теореме 13.1 равно р = /гж —/0 и условие A3.12) переходит в усло-
24—241

370 Гл. X. Возмущенные линейные системы
оо
вие 1 th*~i^i (t)dt<C оо. Выбор большего значения |3 полезен для
увеличения числа членов в асимптотической формуле A3.7) и улуч-
улучшения оценки остаточного члена. Максимальное число членов
в асимптотической формуле A3.7) можно получить, если заменить
A3.12) более сильным условием
2Л*-1г|?1@Л<оо. A6.1)
В этом случае справедливо
Следствие 16.1. Пусть Е = diag [J A), . . ., J (g)]9 \i, h* такие
же, как в теореме 13.1, и пусть функция F (t, £) непрерывна при
t ^> 0 и всех £ и удовлетворяет A3.11), где г]?! (f) > 0 — непрерывная
функция, удовлетворяющая условию A6.1). Пусть £ = |0 (t) Ф 0 —
решение линейной системы £' = Е\, для которого Г1 In || I (t) \\ -> \i
при t-+oo. Тогда система A3.1) имеет решение, для которого
\\l(t) — lo(i)\\e-^->O при /->оо.
В этом следствии не предполагается, что матрица Е имеет нор-
нормальную жорданову форму (см. замечание 1, следующее за теоре-
теоремой 13.1). Если же она имеет такую форму, то мы можем задать
дополнительно некоторое множество 2й (р) начальных условий
Ур (to) = Уро Для достаточно большого to. Следовательно, решение
g (/) удовлетворяет асимптотическим равенствам A3.7), где I (q) = 1,
k (q) = h (q), с* — некоторые постоянные, определенные по Но (/),
/о определено из A3.16), а р = 2h# — /0. Отсюда вытекают асимп-
асимптотические соотношения, о которых говорится в следствии.
Вывод теоремы 13.1 из леммы 4.3 показывает, что предположе-
предположения A3.11), A3.12) могут быть несколько ослаблены.
Следствие 16.2. Пусть предположения A3.11), A3.12) теоремы
13.1 заменены более слабыми:
\ A6.2)
или, более общо,
IIQ @ ^ С Q @ С) II<:* @II £ II* A6.3)
е-»Ч*-*\Р[Ц, Q(t)Q\<%(t)U\\, i=l, ..., k{q), A6.4)
где l = Q(t)t> определяется из A4.2), a ^{t), %(t) —положи-
—положительные непрерывные функции, определенные при />0, такие, что
t
sup(l + s — ty1 [ г|) (г) dr-> 0 при t->oo, A6.5)
0@^<oo. A6.6)
Тогда остаются справедливыми утверждения теоремы 13.1.

§ 16. Следствия и уточнения 371
Упражнение 16.1. С помощью замечания 1, следующего за лем-
леммой 4.3, и доказательства теоремы 13.1 получите более точные
оценки очленовв A3.7) при условиях A6.3) — A6.6) следствия 16.2.
Замечание 2, следующее за теоремой 13.1 и следствием 16.2,
имеет важные следствия. Например, предположим, что вектор F
в A3.1) не зависит от /, так что система A3.1) может быть записана
в виде
l' = E% + F(t), A6.7)
где вектор F(g) определен при ||£||<б<°о и таков, что
||/^)||<С0||£||1+е, 9>0, C0 = const, A6.8)
или таков, что выполнено более слабое условие:
или даже таков, что
где ф (р) — неубывающая функция, определенная при 0 < р < б,
причем
[ оо. A6.11)
Тогда из A4.16) и A6.10) вытекает, что если |ы<0 и ||£||<1Т то
|| Q1] • || F (QQ || < сег»Ч*-1у (се»Ч><>) Се^Р* \\ I ||
при больших t. Поэтому выполняется аналог условия A6.2) с
Если под знаком интеграла A6.11) перейти к новой переменной
интегрирования р = ce^tj° и заметить, что dp/p ~ \idt и In p ~ \it
при £-> оо, то видно, что A6.6) вытекает из A6.11).
Следствие 16.3. Пусть в A6.7) матрица Е имеет вид
diag Ц A), . . ., /(§)], как и в теореме 13.1, а функция F (Q
непрерывна при \\ I \\ < б (<оо) и удовлетворяет A6.10), где ф (р) —
неубывающая функция переменной р, для которой имеет место
A6.11). Пусть \х < 0. Тогда утверждения теоремы 13.1 остаются
в силе после замены A3.3) на A6.7).
Упражнение 16.2. Используя замечание 2, следующее за лем-
леммой 4.3, покажите, что условия A6.10), A6.11) в следствии 16.3
можно заменить условием
|||BII) при Ш|<6, A6.12)
24*

372 Гл. X. Возмущенные линейные системы
где функция фо (р) не убывает при 0 < р < б и
f р-2|1пр|3+'"о-1фо(р)ф<оо. A6.13)
(Это утверждение является несколько более общим, чем следствие
16.3, поскольку из A6.12) вытекает A6.10) с фо (р) = Ф (р) Р-
Впрочем, из монотонности ф0 не вытекает монотонность функ-
функции ф.)
Аналогично, мы получаем следующее утверждение, вытекающее
из доказательств теорем 13.1 и 13.2.
Следствие 16.4. Пусть Е, \i, F и <р будут такими ш, как
в следствии 16.3, но условие A6.11) заменено условием
\ р-1|1пр|ьо-1ф(р)ф<оо, где ho>h* A6.14)
(и h0 не обязательно целое число). Тогда справедливы утвержде-
утверждения теоремы 13.2, если A3.1) заменить на A6.7).
§ 17. Линейные уравнения высших порядков
Результаты §§4, 11, 13 и 16 будут применены теперь к линей-
линейному дифференциальному уравнению порядка d > 1
u(d) + [ax + Pi (/)] u(i~V+... +[ad.i + pd_i (t)] u' + [ad + pd(t)]u = 0.
A7.1)
для вещественной или комплексной функции и. Это уравнение мы
будем рассматривать как возмущенное уравнение
u«»+aiu(d-V+ ... +ad.iu' + adu = 0 A7.2)
«с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для
уравнения A7.2) имеет вид
Xd + ai№-i+...+ad.iX + ad = 0. A7.3)
Уравнение A7.1) может быть записано в виде линейной системы
A7.4)
для d-мерного вектора 1 = (и^-^, ..., и^\ и<°>), где и =
а матрицы R и G(t) таковы, что
/ 01 —02 —03 ••• — CLd-i — 0Д
1 0 0 ... 0 0
\ 0 0 0 ... 1 0 /

§17. Линейные уравнения высших порядков
373
G(t) =
— Pi. —Рг —Рз
0 0 0
0 0 0
— Pd-i ~~pd
о о
о о
о о
\ о
о о
0
о J
Отметим сразу, что если а^ = ... = па = О, то R имеет нор-
нормальную жорданову форму и состоит из одной жордановой клетки
с X = 0 на главной диагонали. Если коэффициенты pi (t), . . .
. . ., pd (/) малы, то уравнение A7.1) можно рассматривать как
возмущенное уравнение uid) = О, линейно независимыми реше-
решениями которого являются функции и = 1, /, . . ., td~x. Можно
проверить, что из следствия A6.2) вытекает следующее утверждение.
Теорема 17.1. Пусть в уравнении A7.1) ах= ... =^ad = 0;
и пусть pi(t), ..., pd(t) —непрерывные, комплексные функции
при />0, удовлетворяющие при некотором а>0 таким исловиям:
k=l, ..., d.
A7.6)
Тогда для любого.], 0</<d— 1, уравнение A7.1) имеет реше-
решение вида u(t) = (t/j\) (l+o (t~a)) при t—>oo, и это соотноше-
соотношение может быть «продифференцировано» d—\ раз, т. е.
= o(tj-h-a) для k = j
d—
A7.7)
Из доказательства будет видно, что для данного j (а не для
любого, как выше), такого, что 0-</-<d—1, достаточное условие
существования решения, удовлетворяющего A7.7), состоит в сле-
следующем:
оо d—j—1 d
J(
ft=i
h=d-j
Доказательство. Поскольку в A7.5) матрица R имеет жорда-
жорданову форму, A7.4) можно отождествить с системой A3.3), положив
F {U l) = G (t) Е, где I = A\ . . ., ^d) и lk - u'd~h\ Чтобы
проверить условие следствия 16.2, заметим, что множества индек-
индексов р и г являются пустыми, и мы имеем только один индекс q.
Соответственно К (q) = 0 и h (q) = d. Пусть /0 = / — значение
индекса / в A7.7), р = d — j + а и / (q) = k (q) = d — j. Тогда
множество 21 в A3.8) не содержит членов при k < d — / или содер-

374 Гл. X. Возмущенные линейные системы
жит в точности один член i = d — /, если d — / <^ k ^ d. Следо-
Следовательно, можно положить с\ = 1 или с\ — 0, если i = d — / или
i Ф d — / соответственно, так что искомое асимптотическое разло-
разложение A7.7) совпадает с (первой частью) A3.7).
Рассмотрим F (/, Q (/) Q = G (t) Q (/) £. Так как только в пер-
первой строке матрицы G (t) имеются ненулевые элементы, этот вектор
можно представить в виде F (/, QQ = (F1, О, . . ., 0), где в соот-
соответствии с A4.1), A4.2) и A7.5)
k=d-j
Z = (z1, ..., zd) и 2и есть сумма по всем значениям t,
и ьф d — /. Следовательно, из неравенства || Q (/) || •< cfi-4 выте-
вытекает, что
+ S \P
k=d—j
с некоторой постоянной с0 при больших /. Так как коэффициентом
при || С II является функция г|H (/"), удовлетворяющая в силу 17.6
оо
неравенству \ г|H (/) dt < оо, теорема 17.1 вытекает из след-
следствия 16.2.
Случай, когда вс£ корни X уравнения A7.3) совпадают, может
быть сведен к рассмотренному в теореме 17.1, если заменить и новой
зависимой переменной v = ue~kt. В другом крайнем случае, когда
X — простой корень уравнения 17.3, справедлива
Теорема 17.2. Пусть уравнение A7.3) имеет простой корень Я,
а Хо — любой другой корень, такой, что Re К Ф Re Ko. Пусть
функции Pi(t)y . . ., pa (t) непрерывны при t >- 0, причем
оо
] \pk{t) \tadt< оо при некотором а>0 A7.8)
и k—l, ..., d. Тогда A7.1) имеет решение u(t), для которого
* = 0, ...,d-l, A7.9)
оо
Доказательство. Это простейший случай следствия 16.2, соот-
соответствующий h (q) = 1. Пусть /о = 0, р = 1 + а- Отождествим систему
A7.4) с A3.13) (см. замечание 1, следующее за теоремой 13.1). Тогда

§ 17. Линейные уравнения высших порядков 375
с некоторой постоянной с. Поэтому A3.11) справедливо с (pi@ =
= cS|Pa@|» и теорема вытекает из следствия 16.2.
Рассмотрим общий случай, когда уравнение A7.3) имеет корень,
например равный нулю, кратности ft, lhd
Теорема 17.3. Пусть Х-=0 —корень уравнения A7.3) крат-
кратности ft, l<ft<d, т. е. ad.h+i = ... = ad = 0 и ad-h=£Q] пред-
предположим, что если Х0Ф0 — другой корень, то ReX0=^=0. Пусть
функции pi(t), ..., pd(t) непрерывны при t>0 и
со
f/*-<»+л+в-1|рА(/)|Л<оо для k = d-h+l, ..., d, A7.10)
<oo для й=1, ...,d-ft A7.11)
при некотором а>0. Тогда для всякого /, 0-</<[/i—1, уравне-
уравнение A7.1) имеет решение u(t), такое, что при t-^oo
^ "'l+i"a) для k = 0, ..., /,
A7.12)
j+l d1
Упражнение 17.1. Докажите теорему 17.3.
Упражнение 17.2. Докажите теорему 17.3 в случае, когда X
произвольно.
Теоремы 17.1—17.3 получены из результатов §§ 13 и 16; мы можем
также применить результаты § 11.
Теорема 17.4. Пусть X — простой корень уравнения A7.3);
предположим, что если Ко — другой корень, то Re Хо Ф Re К.
Пусть функции pi (/),..., pd (t) непрерывны при t^-0 и таковы,
что
Pk(t)~>0 nput->oo, k=\,...,d, A7.13)
или таковы, что выполнено более слабое условие
S
sup(l+s-O \\Ph{r)\dr-*Q при t-^oo A7.14)
для k=\, ..., d. Тогда уравнение A7.1) имеет решение u(t)=£O
при больших t, такое, что
k для k=l, ..., d-\ при t->oo. A7.15)
Доказательство. Достаточно доказать эту теорему для случая
Я = 0, поскольку в противном случае можно заменить в A7.1)
и на ue~Kt. Тогда ad = 0. Запишем A7.1) в виде системы A7.4),

376 Гл. X. Возмущенные линейные системы
A7.5). Пусть У — постоянная невырожденная матрица, такая,
что матрица Y^RY = Е = diag [J A), . . ., J (g)] имеет нормаль-
нормальную жорданову форму. Первый столбец матрицы Y можно взять
равным @, . . ., О, 1), поскольку этот вектор является собствен-
собственным для матрицы R, отвечающим собственному значению X = 0.
Тогда J A) есть A X 1)-нулевая матрица и диагональные элементы
X (/) матриц J (/) таковы, что Re X (/) Ф 0 при / = 2, . . ., d.
Замена переменных £ — Yr\ приводит систему A7.4) к виду
A7.16)
Если у\=(у\1, ..., if*), то из теоремы 11.1 вытекает, что система
A7.16) имеет решение ц (t) Ф 0, для которого rf (/) = о (| т]1 (t) \)
при / —> оо и k = 2, . .., d. Соответствующее решение I (t) = Ут) (/)
системы A7.4), где 1 = A1, ..., gd), удовлетворяет условиям lk(t) =
= o(\ld (t)\) при / —> оо и & = 1, ..., d — 1. Поскольку и (/) =
= gd(/) и u(d-k) = lk при fe=l, ..., d—1, отсюда вытекают соот-
соотношения A7.15).
Нельзя думать, что условие A7.14) в теореме 17.4 может быть
отброшено. Это видно из следующего примера.
Упражнение 17.3. (а) Пусть в уравнении второго порядка
u"—[№ + q(t)]u = 0 A7.17)
функция q{t) непрерывна при t>0 и КеХфО. Покажите, что
для того, чтобы уравнение A7.17) имело решение u(t), удовлетво-
удовлетворяющее условию и'/и—>Х при /—>оо и не равное нулю при боль-
больших /, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
8
-0-1[ \q(r)dr
•О при t->oo . A7.18)
(b) Докажите, что необходимое условие A7.18) в п. (а) является
достаточным, если X — положительное число, а д (/) —вещественная
функция; см. Хартмаи [3]. Соответствующий результат содержится
в упр. XI.7.5.
Теорема 17.5. Предположим, что условие A7.14) теоремы 17.4
заменено более сильным условием
оо
\ \pk(t)\pdt<oo для некоторого р, 1</?<2, A7.19)
при &=1, ..., d. Тогда решение и(г)Ф0 уравнения A7.1), удо-
удовлетворяющее A7.15), удовлетворяет также условию
s при /->оо, A7.20)

§ 17. Линейные уравнения высших порядков 377
где сфО — постоянная,
d
fe=i
F/ = dF/dX, a F — полином левой части соотношения A7.3) {так
что F' (К) = (Х — А,2) ... (К — Xd), где Х2, ..., Kd — корни уравнения
A7.3), отличные от X).
Доказательство. Запишем A7.1) в виде системы A7.4), A7.5)
и произведем замену переменных l = Yr\, где У = У @) — постоян-
постоянная матрица, введенная в упр. IV.8.2, первым столбцом которой
служит вектор (kd~i, ..., X, 1). Тогда система A7.4) переходит
в A7.16), где jE1 = diag [У A), ..., J (g)j, J A) совпадает с A х ^-ма-
^-матрицей X. Так как матрица Y постоянна, из A7.19) следует, что
/7-я степень абсолютных значений элементов Y~XG (t) Y интегрируема
на полупрямой 0 <^ / < оо . Поэтому из теоремы 11.1 вытекает, что
система A7.16) имеет такое решение г)(/), что если ц = (г\1, ..., r]d),
то г]1 (t) Ф 0 при больших t и r\j (/) = о (| г]1 (/) |) при / —> оо
и / = 2, ..., d. Кроме того, в силу упр. 11.2 любое такое решение
удовлетворяет соотношению
J ]ds при /—>oo,
о
где g (t) — элемент матрицы Y~XG (t) У, стоящий на пересечении пер-
первой строки и первого столбца.
Чтобы вычислить g (/), заметим, что, поскольку первый столбец Y
равен (л6*-1, ..., X, 1), элемент матрицы G(t)Y, стоящий на пере-
пересечении первой строки и первого столбца, равен — 2 kd~hpk @•
Все элементы G(t)Y, не входящие в первую строку, равны нулю.
Поэтому верхний левый элемент матрицы У~1О (/) У равен произве-
произведению — 2^d~'Vd@ на соответствующий элемент матрицы У.
Этот элемент У равен алгебраическому дополнению А соответ-
соответствующего элемента матрицы У, деленному на dety. Если раз-
различные корни A7.3) и их кратности равны X, ХB), ..., h(g) и
1, h B), ..., h(g) соответственно, то
[fl[(j) П
3=2 2^i
см. упр. IV.8.2. Определитель, который равен дополнительном)
минору Л, имеет тот же вид, что и dety, но не включает X.
Отсюда следует, что А равен второму сомножителю в выписанном
выше произведении. Поэтому
3=2

378 Гл. X. Возмущенные линейные системы
т. е. имеет место соотношение A7.21). Равенства | = Ут|, lk = u(d-k>>
,и тот факт, что первый столбец матрицы Y равен (А/*~\ ..., X, 1),
завершают доказательство теоремы 17.5.
В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим уравнение
оо
второго порядка A7.7), в котором КекфО и f | q (t) \vdt<. оо при
некотором /?, 1<р<2. Тогда уравнение A7.17) имеет пару реше-
решений, удовлетворяющих соотношениям
t
и'~ ±Хи, и~ехр± j \} + ~^q (s)"\ds при t—>oo. A7.22)
Упражнение 17.4. Пусть q (t) — вещественная функция, непре-
непрерывная при />0, q(t)—>0 при /—>оо, причем вариация q(t) при
/>0 ограничена (например, q(t) монотонна или имеет непрерывную
оо
производную и \ ! q' (t) \dt< оо). Докажите, что тогда (а) уравне-
уравнение u"+[l+q(t)]u = 0 имеет решения и (/), удовлетворяющие
соотношениям
t
и'' ~ ± ш и м(/)^ех𱫠\ [1 + q (s)]1/2ds при /—>оо,
и что (Ь) уравнение м"-р [— 1 + q (t)] и = 0 имеет решения, удовле-
удовлетворяющие соотношениям
t
и' ~ ±и и u(t) — exp ± f [1 — q(s)]V2ds при /—>оо.
(с) Сформулируйте аналогичный результат для уравнения A7.17)
с кфО, не предполагая, что % и q (t) вещественны; см. упр. XI.8.4 (Ь).
Упражнение 17.5. Рассмотрим дифференциальное уравнение
= O. A7.23)
Пусть функция / (/) непрерывно дифференцируема при />0, при-
принимает комплексные значения и
Re /1/2 фф о, JlRe/1^^) 1^=00. A7.24)
(a) Докажите, что если /'/| / |-| Re/1/2 | —>0 при /—>оо, то
уравнение A7.23) имеет решения, удовлетворяющие соотношению
и' ~±fif*{t)u при /->оо. A7.25)
оо
(b) Докажите, что если [ \ Re/1/2 (/) |^ | f (t)lf(t) \pdt < оо при
некотором /?, 1</?<2, то уравнение A7.23) имеет решения, удо-

Примечания 379
влетворяющие соотношению A7.25), а
rfr при /->оо. A7.26)
(с) Докажите, что если функция f'(t)/f3/2 (t) имеет ограничен-
ограниченную вариацию, т. е.
J|d(/7/3/2)|-
. оо ,
и /' (t)/f3/2(t) —>0 при /—>оо, то уравнение A7.23) имеет пару
решений, удовлетворяющих соотношению A7.25) и
при /->оо. A7.27)
Другие результаты такого рода см. в § XI.9. Аналогичные
результаты для случая Re/^^O содержатся в упр. XI.8.5.
Упражнение 17.6. В качестве простого приложения результата
последнего упражнения рассмотрите уравнение Вебера
u" + tu' — 2Ku = 0, A7.28)
где X —постоянная, (а) Вводя новую независимую переменную
s = /2/2, выведите из теоремы 17.4, что A7.28) имеет пару решений
uo(t), Ui(t), не равных нулю при больших t и таких, что uQ~ —tu0,
и[^о{Ы^ при /—»оо. (Ь) Докажите, что уравнение A7.28)
имеет пару решений и01 щ, удовлетворяющих соотношениям
и0—■/-1-2л6?-^2/2? Ui^f2i ПрИ ^._>оо# ^ Найдите асимптотические
соотношения для производных и' решений и уравнения A7.28),
дифференцируя A7.28) и применяя (Ь) (см. также упр. XI.9.7).
ПРИМЕЧАНИЯ
Ссылки на литературу, посвященную результатам, изложенным в этой
главе, можно найти в книгах Чезари [2] и Беллмана [4].
§ 1. Основные результаты, теоремы 1.1 и 1.2, принадлежат Уинтне-
РУ [3], [7], [8], который сформулировал утверждения о существовании в том
виде, в котором оно приводится в упр. 1.2. Линейные случаи, где F (t, £) =
= G (/)£ с некоторой матрицей G (t), были изучены раньше; см. Данкел [1].
Упр. 1.1 имеется в работе Хейла и Онушича [1]; см. § XII.9. Упр. 1.4 см.
в работе Уинтнера [21].
§ 2. Теорема 2.1 сформулирована Важевским [5] и находит широкое
применение в теории дифференциальных уравнений. Специальные случаи
этой теоремы и рассуждения, использованные при ее доказательстве, были
известны ранее; см. Хартман и Уинтнер [1] или Немыцкий и Степанов
[1, стр. 93]. Топологические рассуждения другого типа, полезные в таких
вопросах, имеются у Аткинсона [2]. Упр. 2.1 принадлежит Плисю [1].
§ 3. Результаты этого параграфа получены Важевским [5].

380 Гл. X. Возмущенные линейные системы
§§ 4—7. Леммы 4.1 и 4.2 связаны с результатами Важевского [6], Шмид-
тувны [1], Лоясевича [1] и Хартмана и Уинтнера [17], [19]. Доказательства,
приведенные в тексте, получены на основе упомянутых выше доказательств
Важевского и его учеников; другие доказательства имеются у Хартмана
и Уинтнера. Лемма 4.3 и ее приложения приведены в работах Хартмана
и Уинтнера. Условие типа D.24) введено Хартманом [5]. Упр. 4.6 имеется
у Левинсона [3] (относительно той его части, которая касается ограничен-
ограниченности, см. Чезари [1]); аналогичный результат (см. упр. 17.4) для уравне-
уравнения второго порядка получен Уинтнером [10]. См. работу Чезари [2, стр. 38—
42], где имеются близкие результаты и довольно обширная библиография.
О результатах, связанных с упр. 4.8, 4.9 и их приложениями, см. Коф-
фман [21.
§§ 8—12. Результаты, касающиеся аналитических систем, близкие
к тем, которые излагались в § 8, являются наиболее старыми в этой главе
и восходят к Пуанкаре и Ляпунову [2]. О частном случае линейных дифферен-
дифференциальных уравнений см. работы Пуанкаре [4] и Перрона [2]. Коттон [1]
и затем Перрон [9], [10], [12] систематически исследовали неаналитический
и нелинейный случаи, но при условиях, более сильных, чем приведенные
в тексте. Их результаты были получены методом последовательных прибли-
приближений. См. также работу Беллмана [1], который использовал теоремы
о неподвижных точках для доказательства аналога теоремы 8.1, и работы
Важевского, Хартмана, Уинтнера и др., указанные выше в связи с § 4—7.
Возможность замены условия «г|э (t) -*■ 0 при t ->■ оо» условием D.24) указана
Хартманом [5], а также Хартманом и Уинтнером [19]. В более слабом виде
теорема 8.2 приведена у Петровского [1]. Две последние части следствия
8.1 доказаны Коддингтоном и Левинсоном [2, гл. 13] методом последователь-
последовательных приближений; см. упр. 8.1. Другие приложения метода последователь-
последовательных приближений имеются у Лилло [1]. Сравнительно простые доказательства
теорем 8.2, 8.3 и следствия 8.1, данные в тексте, являются новыми. Теоре-
Теорема ИЛ несколько,, усиливает результат Леттенмейера [2]. Теорема 11.2
доказана Хартманом и Уинтнером [19]. Результаты типа приведенного
в упр. 11.1 восходят к Бохеру [2] и Данкелу [1]; см. примечания к § 13—
16 ниже. Упр. 11.2 впервые рассмотрено Хартманом [5] для случая уравне-
уравнения второго порядка (см. теорему 17.5 с d = 2) и обобщено для более общего
утверждения в упр. 11.2 Хартманом и Уинтнером [17].
§§ 13—16. Результаты типа теоремы 13.1 впервые получены Бохером [2]
для линейного уравнения второго порядка. Используя метод последователь-
последовательных приближений, аналогичный тому, который применяется в упр. 8.1,
Данкел [1] обобщил результат Бохера на произвольные линейные систе-
системы A3.1), где F (t, i) = G (Oil но его результаты не столь точны, как приве-
приведенные здесь. Теоремы 13.1, 13.2 и их следствия из § 16 принадлежат Хартма-
ну и Уинтнеру [19]. Доказательства в тексте, использующие в полной мере
принцип Важевского из § 2, зависят существенно от замены переменных
A4.1)—A4.2), аналогичной той, которая была введена Хартманом и Уинт-
Уинтнером [17] и упрощена Коффманом [2]. См. также Олех [1J.
§ 17. Для случая а = 0 теорема 17.1 была доказана Бохером [2] при
d = 2 и в более слабом виде содержится в результатах Данкела [1] при
произвольном d. Для а = 0 теорема доказана Фаедо [1] и Гизетти [2]. Тео-
Теорема 17.2 и менее точная форма теоремы 17.3 при а = 0 имеются в работах
Данкела [1], Фаедо [1], [2] и Гизетти [1]. Теорема 17.4 обобщает результаты
Пуанкаре [4] и Перрона [2] и содержится в работе Хартмана и Уинт-
Уинтнера [17]. Относительно упр. 17.3 см. Хартман [5]. Теорема 17.5 при d = 2
принадлежит Хартману [5]; результат, сформулированный в тексте, является
новым. Обобщение случая d = 2 имеется у Беллмана [3]. Упр. 17.4 при-
принадлежит Уинтнеру [10], [13] и содержится в более общем результате из
упр. Х1.8.4(Ь). Результаты типа упр. 17.5(а) восходят к Виману [1], [2];
относительно обеих частей (а) и (Ь) см. Хартман и Уинтнер [17].

Глава XI
Линейные уравнения
второго порядка
§ 1. Предварительные сведения
Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто исполь-
используемых в математике и физике, следует выделить линейное уравне-
уравнение второго порядка, имеющее вид
u" + g(t)u* +f(t)u = h(t) A.1)
или
(p(t)u'Y +q(t)u = h(t). A.2)
Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что
функции / @, g (/), h (f) и р (t) ф О, q (/), входящие в эти урав-
уравнения, являются непрерывными (вещественными или комплекс-
комплексными) на некотором /-интервале J, который может быть как огра-
ограниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предпола-
предполагается, что р (/) Ф О, скоро станет ясной.
Из двух выражений A.1) и A.2) последнее является более общим,
поскольку уравнение A.1) может быть записано в виде
(р (t) и')' + р (t) f (t) и = р (t) h (t), A.3)
если определить p(t) следующим образом: 101
t
^exp J g(s)ds A.4)
при некотором a£J. Частичное обращение этого утверждения
также верно, поскольку если функция р (t) непрерывно дифференци-
дифференцируема, уравнение A.2) можно записать в виде
„ , Р' (О , , д (t) _ h (i)
а это уравнение имеет вид A.1).
В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерыв-
непрерывной производной, уравнение A.2) не может быть записано в виде
A.1). Тогда уравнение A.2) можно интерпретировать как линейную
систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного дву-
двумерного вектора х = (х1, х2) = (и, р (f) и'):
). A.5)

382 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Другими словами, решение и = и (t) уравнения A.2) должно быть
такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция
р (t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую
A.2). Если р (/) Ф О и q (t), h (t) непрерывны, к системе A.5),
а потому и к уравнению A.2) применимы стандартные теоремы
существования и единственности для линейных систем из § IV. 1.
(Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие)
типы решений, если предполагать, например, только, что функции
l/p(t)9 q (f), h (/) локально интегрируемы; см. упр. IV. 1.2.)
Частному случаю уравнения A.2) при р (t) == 1 соответствует
уравнение
u" + q(t)u = h(t). A.6)
Если функция р (t) ф 0 принимает вещественные значения, урав-
уравнение A.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены
независимых переменных
t
T-e- s==
при некотором а 6 J. Функция s = s (t) имеет производную dsldt =
= \/р (t) Ф 0 и потому строго монотонна. Следовательно, функция
s = s (I) имеет обратную t = t (s), определенную на некотором
s-интервале. Eiocjje введения новой независимой переменной s урав-
уравнение A.2) переходит в уравнение
-%£-i-p(t)q(t)u = p(t)h(t), A.8)
где аргумент t выражений p(i)q(t) и p(t)h(t) должен быть заме-
заменен функцией t=t(s). Уравнение A.8) является уравнением
типа A.6).
Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то урав-
уравнение A.1) может быть приведено к виду A.6) с помощью замены
неизвестной функции и на г:
t
(l j) A.9)
при некотором a^J. В самом деле, подстановка A.9) в A.1)
приводит к уравнению
t
L££L] ±j(s)ds, A.10)
которое имеет вид A.6).
В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассмат-
рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид

§ 1. Предварительные сведения 383
A.2) или A.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упраж-
упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем.
Упражнение 1.1. (а) Простейшими из рассматриваемых в этой
главе уравнений являются уравнения
м" = 0, и" — о2и = 0, и" + о2и = 0, A.11)
где а Ф 0 — постоянная. Проверьте, что общими решениями этих
уравнений служат функции
u = cleot -\-с2е~°1, и — сх cos ot + с2 sin ot A.12)
соответственно, (b) Пусть a, b — постоянные. Покажите, что функ-
функ0 A.13)
ция и = eKt удовлетворяет уравнению
тогда и только тогда, когда X является решением уравнения
Х2 + ЬХ + а = 0. A.14)
В самом деле, подстановка и = ге~ы'2 [ср. A.9)] приводит A.13)
к виду
z"-f a2z = 0, о2 = а — ~Ь2.
Поэтому, в силу (а), общее решение уравнения A.13) имеет вид
и=--е-ы№(с1 + с2г) или и = С'/^1 ■+■ с2ек* A.15)
в зависимости от того, имеет ли уравнение A.14) кратный корень
% = ~-Ъ или различные корни ки Х2= — у Ъ ± (-^ Ъ2 — а) ".
Если а, Ъ вещественны и Ь2/4 —а<0, можно заменить комплекс-
комплексное представление A.15) общего решения вещественным
A.16)
(с) Пусть fx —постоянная. Покажите, что функция а = tx
является решением уравнения
и"-г-$-и = 0 A.17)
тогда и только тогда, когда X удовлетворяет уравнению
= O, т. е. Л = 1±A-[хI/2. A.18)
Поэтому, если |ы^1/4, общее решение уравнения A.17) имеет-
следующий вид:
и = ^1 + ^4 рФ±, ^i, ^ = у±D~^I/2- О-19)»

384 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Если \i вещественно и [г> 1/4, то общее решение можно записать
в вещественном виде
|I/2 (iI/2] . A.20)
Действительно, замена переменных u = ti'2z и t = es переводит A.17)
в уравнение
Поэтому, в силу (а), общее решение уравнения A.17) имеет вид
u = ti'2(ci + c2\nt) или u = cifa + c2tb* A.22)
в соответствии с тем, будет ли [д, = 1/4 или Ф 1/4.
Упражнение 1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
u" + q(t)u = 0. A.23)
Замена переменных
t = eb и и = № A.24)
приводит A.23) к виду
При заданном постоянном \i рассмотрим последовательность функций
определенную соотношением t2 [qn (t) — l/4/2J = qn~\ (s), где t — e\
гак что qn(t)=t~2 l-^ + qn-i (lnf)] или
n-2 fe n-1
^(^)=r2[4 2 (П1п^)+|Х(П ln^)]для
k=o j=i 3=1
Ini t = In /, In; ^ = In (In7-_i ^), а в случае, если верхний и ниж-
нижний индексы у знака произведения совпадают, мы полагаем его
равным 1. Если q (t) = qn (/), п > 0, в A.23), замена переменных
A.24) приводит A.23) к такому же виду, где t, qn (t) заменены на
^i Яп-i E)« В частности, если |ы вещественно и q = qn(t), n^O,
вещественные решения A.23) имеют бесконечно много нулей при
^больших t > 0 в том и только в том случае, если [i > 1/4.

§ 2. Основные факты 385
§ 2. Основные факты
Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов,
мы получим из результатов гл. IV (в частности, из § IV.8) следствия,
касающиеся однородного и неоднородного уравнений
B.1)
■t). B.2)
Для этого перепишем скалярные уравнения B.1) или B.2) в виде
системы двух уравнений
x' = A(t)x, B.3)
B.4)
где векторы х = (х1, х2), у = (у1, у2) совпадают с векторами
х=(и, p(t)uf), y = (w, p(t)w'), а Л (^— матрица второго порядка:
1
О
A(t)=[ Pit)). B.5)
Если не оговорено противное, то предполагается, что р (t) ф О,
q (t), h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными ком-
комплексными функциями на ^-интервале J (который может быть зам-
замкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).
(i) Если t0 6 J и и0, и0 — произвольные комплексные числа,
то задача Коши для уравнения B.2)
w (to) = по, w'{to) - и0 B.6)
имеет единственное решение, существующее при всех t 6 J\ см.
лемму IV. 1.1.
(ii) В частном случае B.1) уравнения B.2) и при и0 = и0 = О
соответствующим единственным решением служит функция и (t) =
^0. Поэтому, если и (t) фО есть решение уравнения B.1), то нули
функции и (t) не могут иметь предельной точки в У.
(Hi) Принцип суперпозиции. Если и (t), v (t) — решения урав-
уравнения B.1), а Си с2 — постоянные, то функция схи(г) + c2v(t)
является решением уравнения B.1). Если w0 (t) — решение урав-
уравнения B.2), то функция Wi (t) также является решением уравнения
B.2) тогда и только тогда, когда функция и = Wi (t) — Wq (t)
удовлетворяет уравнению B.1).
(iv) Если u(t)9 v (t) — решения уравнения B.1), то соответ-
соответствующие векторные решения системы B.3) х = (и (/), р (t) и' (t)),
у= (v (t), p (t) v'(t)) линейно независимы (в каждой
точке t) тогда и только тогда, когда функции и (t), v (t) линейно
25-241

386 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
независимы в том смысле, что равенство с^и (t) + c2v (t) = О,
где Ci и c2 — постоянные, влечет за собой с± = с2 = 0; см. § IV.8(iii).
(v) Если w @, v (t) — решения уравнения B.1), то существует
постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их врон-
вронскиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество
-^ . B.7>
Это следует из теоремы IV. 1.2, поскольку матричным решением
системы B.3) является
u(t) v(t)
KP(t)u'(t) p(t)v'(th
detX(t)=p(t)W(t) и trA(t) = O\ см. § IV.8 (iv). Простое и прямое
доказательство можно получить из формулы B.9).
(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений
где f = f(t), g— g (t) — непрерывные функции на J. Если умножить
второе уравнение на и, первое —на v и результаты вычесть*
мы получим, что
\ п (ми' uf vW' Pii fv (*2 Я)
так как [р (uvf — u'v)]f = и (pv')r — v {pu')f. Соотношение B.9) назы-
называется тождеством Лагранжа. Его интегральная форма
t
lp(uv'-u'v)t=\ (gu-fv)ds, B.10)
а
где [а, /] <= J, называется формулой Грина.
(vii) В частности, из (v) следует, что и (t) и v (t) — линейно<
независимые решения уравнения B.1) тогда и только тогда, когда
в B.7) с Ф 0. В этом случае всякое решение уравнения B.1) является
линейной комбинацией с^и (t) + c2v (t) функций и (t) и v (f) с посто-
постоянными коэффициентами.
(viii) Если р (t) =s const (например, р (t) ^1), то вронскиан
любой пары решений и (t), v (f) уравнения B.1) равен постоянной.
(ix) В соответствии с результатами общей теории, изложенной
в § IV.3, в случае, когда известно одно решение и (t) Ф 0 уравне-
уравнения B.1), отыскание других решений v (t) этого уравнения (по край-
крайней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного
дифференциального уравнения первого порядка. Если и (t) ф О
на подинтервале J' a J, этим уравнением служит уравнение B.7),
где и — известная функция, a v — искомая. Если поделить B.7)
на и2 (f), то это уравнение запишется в виде
B.11)
Р @ «2 @

§ 2. Основные факты 387
а после интегрирования мы будем иметь
t
B.12)
где a, / 6 «/'; см. § IV.8 (iv). Легко проверить, что если си с —
произвольные постоянные и a, t £ J', то функция B.12) является
решением уравнения B.1), удовлетворяющим B.7) на любом
интервале J', где и (t) ф 0.
(х) Пусть и (/), v (t) — решения уравнения B.1), удовлетворяю-
удовлетворяющие B.7) с сФ 0. При фиксированном s 6 J решением уравнения
B.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) =
= 1, является с1 [и (s) v (t) — и (t) v (s)]. Поэтому решением урав-
уравнения B.2), удовлетворяющим условиям w (to) = w'(to) = 0, слу-
служит функция
t
w (I) = с-1 j [и (s) v(t) — u (i) v(s)]h (s) ds; B.13)
см. § IV.8(v) (проще проверить это непосредственно). Сбщее
решение уравнения B.2) получается прибавлением к B.13) общего
решения с^и (t) + c2v (I) уравнения B.1), что дает
t t
w(t) = u (t) \c{ — г1 \ v (s) h (s) ds] - v (t) \c2 4- c~l \ a (s) h (s) ds\ .
*o to
B.14)
Если замкнутый ограниченный интервал [а, Ь] содержится в J,
то, полагая
ъ
t0 = а, % = с'1 ^ v(s)h (s) ds, c2 = 0,
а
мы получаем из B.14) частное решение
t b
w (t) = с'1 [у (/) J и (s) h (s) ds + u (t) j v (s) h (s) ds] . B.15)
о t
Оно может быть записано в виде
ъ
w(t)=\ G(U s)h(s)ds, B.16)
где
г с *v(t)uis), если a<cs<t,
G^=WMs), если/<5<6. <2-17)
25*

388 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Замечание. Если функция h (t) (не обязательно непрерывная)
интегрируема по [а, Ь], то функция w (t) является «решением»
уравнения B.2) в том смысле, что она имеет непрерывную произ-
производную до', причем функция p(t)w\t) абсолютно непрерывна,
и соотношение B.2) выполняется всюду, за исключением множества
точек / нулевой меры.
Упражнение 2.1. Проверьте, что если а, E, у, б—такие постоян-
постоянные, что
аи(а) + $р(а) и'{а) - 0, yv (b) + 8p(b)v'(b) = О,
то частное решение B.15) уравнения B.2) удовлетворяет соот-
соотношениям
aw (а) + Рр(а) до'(а) = 0, yw(b) + 6p(b) w(b) = 0.
Чрезвычайно простой, но важный случай получается при р = 1,
g == 0, так что уравнение B.1) переходит в и" = 0. Тогда и (t) =
= t — аи v (t) = b — t суть решения уравнения B.1), для которых
и (а) = 0, v (Ь) — 0, и постоянная с в B.7) равна а — Ь. Поэтому
функция
t ъ
[l j] B.18)
удовлетворяет уравнению до" = h (t) и условиям до (a) = до (ft) = 0.
Упражнение 2.2. Пусть [a, ft] с: У. Покажите, что наиболее
общей функцией G (/, s), определенной при а <С s, t ^ b, для кото-
которой B.16) является решением уравнения B.2) при а ^. t ^ b к при
любой непрерывной функции h (/), является функция
2 2
42 £±ajhUj{t)uk(s), если a<s<^,
2
-12 ^bjkUj^Ukis), если
где Л = (а7^), В = (bjk) — такие постоянные матрицы, что
Б-л = (-1 о)
и «1 = м (/), и2 = v (t) — решения уравнения B.1), удовлетворяю-
удовлетворяющие B.7) о. с Ф 0. В этом случае функция G (<, s) непрерывна при
Упражнение 2.3. Пусть а (а возможно, и ft) является бесконечной
граничной точкой У, не принадлежащей У, так что р (f), q (/), /i (/) и

§ 2. Основные факты 389
и (/), v (t) не обязательно имеют пределы при /-> а +0 (или соот-
соответственно при /->& — 0). Пусть, однако, h, и, v таковы, что
интегралы в B.15) сходятся (возможно, только условно). Тогда
функция B.15) удовлетворяет уравнению B.2) на J. [Это можно
проверить, дифференцируя B.15) или прямо подставляя B.15)
в B.2).]
(xi) Вариация постоянных. Рассмотрим одновременно с B.1)
уравнение
(Po(t)w'y +qo(t)w = O, B.19)
где функции ро (t) ф 0, q0 (t) также непрерывны на J. Уравнение
B.19) эквивалентно соответствующей системе уравнений первого
порядка
y' = A0(t)y, B.20)
где
/ 0 Vpo(t)\
y = (u,po(t)u') и Ao(t) = [q{t) 0 j. B-21)
Пусть uo(t), vo(t) — линейно независимые решения системы B.19),
такие, что матрица
Y(t) = [ . , B.22)
\РоЩ РоЩ/
является фундаментальной для системы B.20) и detY(t)=l, т. е.
р0 (uov'o — u'ovQ) = 1.
Отсюда
/
Рассмотрим линейную замену переменных
x = Y(t)y = [ , г , Д B.24)
входящих в систему B.3). Вектор у удовлетворяет системе диффе-
дифференциальных уравнений
y' = C(t)y, где C(t)^Y-\t)[A{t)-A,{t)]Y{t)\ B.25)
см. теорему IV.2.1. Прямой подсчет, использующий B.5), B.21),
B.22) и B.23), показывает, что
В частности, при po(t) = p(t), когда уравнение B.19) имеет вид
0, B.27)

390 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
матрица С (t) зависит от и0 (/), v0 (t), но не зависит от их про-
производных. В этом случае уравнение B.1) и эквивалентная ему
система B.3) сводятся к системе
UqVq vl \
» ]У- B-28)
— U\ —UqVoJ*
Упражнение 2.4. Чтобы пояснить, какой смысл имеют компонен-
компоненты у1, у2 решения у системы B.28) для соответствующего решения
и (/) уравнения B.1), запишем B.1) в виде (pw)' + qow = h (t),
где h = [q0 (/) — q (/)] и (t), w = и (t). Тогда решение и (t) урав-
уравнения B.1) можно представить в виде B.14), где с = 1, а и (t), v (t)
заменены на и0 (t), v0 (t). Используя B.24), где р = р0, а х — дву-
двумерный вектор (и (t), p(t)u'(t)), покажите, что коэффициентами
при и0 (/), v0 (t) в формуле, аналогичной B.14), служат компоненты
у1, у2 соответствующего решения у (t) системы B.28).
(хп) Если известно частное решение и0 (t) уравнения B.27),
не равное нулю на У, то мы можем определить линейно независимые
решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, вхо-
входящую в B.28). В действительности, тот же результат можно полу-
получить более прямым путем. Пусть уравнение B.27) имеет решение
w (t) ф 0 на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в B.1)
на z, так что
и - w{t)z. B.29)
Функция 2 удовлетворяет дифференциальному уравнению
w (рг'У + 2pz'wf + [{pw'Y + qw] 2=0.
Умножая его на w, мы получаем, что
(pw2/)' + w l(pw')' + qw] z = 0 B.30)
или, в силу B.27), что
(pw2zrY +w2(q- (/о) г - 0, B.31)
т. е. подстановка B.29) приводит уравнение B.1) к B.30) или
к B.31). Мы могли также начинать не с решения w (t) дифферен-
дифференциального уравнения B.27), а с функции w (t) ф 0, имеющей
непрерывную производную w'(t) и такой, что p(t) w'(t) непрерыв-
непрерывно дифференцируема. При этом q0 (t) определяется равенством
B.27), так что q0 = — (pw')rIw. Подстановка B.29) будет назы-
называться также вариацией постоянных.
(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рас-
рассмотрим B.1) с р (t) = 1:
и* + q (t) и = 0. B.32)

§ 2. Основные факты 391
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную
второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q (t) > 0, где ± = sgn q (f) B.33)
не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных
u = w(t)z, где w=\q(t)\~m>0. B.34)
Тогда B.32) сводится к B.30), где /? = 1, т. е. к уравнению
-0. B.35)
Замена независимых переменных t —> s, определенная соотношением
переводит B.35) в уравнение
-g±/(sJ = 0, B.37)
где
/(s) = 1-Ti7F±W' B'38)
а аргументом функции д и ее производных служит функция t = t (s),
обратная к функции s = s (t), определяемой из B.36) с помощью
квадратуры; см. A.7). В этих формулах штрих означает дифферен-
дифференцирование по /, так что q' = dqldt.
Замена переменных B.34), B.36) называется подстановкой
Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто
приводит к дифференциальному уравнению типа B.37), в котором
функция / (s) «близка» к постоянной; см. упр. 8.3. Простой предель-
предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1 (с).
(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались
преобразования уравнения B.1) в различные линейные уравнения
второго порядка или в соответствующие линейные системы двух
уравнений первого порядка. (Другие такие преобразования будут
использоваться далее; см. §8 и 9.) Иногда удобно преобразовать B.1)
в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого
чаще всего используется следующий метод. Пусть
r=HtUL, B.39)

392 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
так что г' = (ри')'/и — p~1(puf/uJ. Тогда после деления B.1) на и
результат можно записать в виде
г'+-щ- + 9«)г = 0. B.40)
Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим
B.1). (В общем случае уравнение вида г' = a (/) г2 + Ъ (/) г +
+ с (/), где правая часть является квадратичным полиномом от г,
называется дифференциальным уравнением Риккати.)
Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (/) —
решение уравнения B.1), не равное нулю на /-интервале J' (с: J),
то функция B.39) является решением уравнения B.40) на J'\ обрат-
обратно, если г = г (/) — решение уравнения B.40) на /-интервале
J' (cz У), то, интегрируя B.39), мы получаем решение
уравнения B.1), не равное нулю ни в одной точке из */'.
Упражнение 2.5. Проверьте, что подстановка г = и'/и перево-
переводит уравнение
и" +g(t)u* + / (/) и = 0
в уравнение Риккати
г' + г2 + g (t) r + f (t) = 0.
(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение B.1)
имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее
преобразование (см. §§ 3, 5). Пусть и = и (/) Ф 0 —вещественное
решение уравнения 2.1, и пусть
p = (u2 + p2u'2)i/2>0, ф-Arctg-^r. B.42)
Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то,
фиксируя соответствующее значение функции ф в некоторой точке
/о € J\ мы определяем с помощью второго из равенств B.42) непре-
непрерывно дифференцируемую функцию ф (/). Соотношения B.42) пере-
переводят уравнение B.1) в систему
ф/=7W cos2 ф + ч-®sin2 ф' B'43)
р' = - [я (t)- 7То"] р sin ф cosф* {2А4)
В уравнение B.43) входит лишь одна из неизвестных функций ф.
Если решение ф = ф (/) уравнения B.43) известно, то соответствую-
соответствующее решение уравнения B.44) может быть найдено с помощью
квадратуры.

§ 3. Теоремы Штурма 393
Преимущество уравнения B.43) по сравнению с B.40) состоит
в том, что всякое решение уравнения B.43) существует на всем
интервале J> где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, свя-
связывающего решения уравнений B.1) и B.43).
Упражнение 2.6. Проверьте, что если функция т (/) > 0 непре-
непрерывна на У и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет
ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-
тервалах из J) и если и = и (t) Ф 0 — вещественное решение
уравнения B.1), то равенства
р = (таиа + /А*'аI/2>0, (p=Arctg-^- B.45)
при фиксированном значении ф (/0) для некоторого to£J однозначно
определяют непрерывные функции р(^), ф(/), имеющие локально
ограниченную вариацию и
dy = | — cos2 ф + — sin2 ф j dt -\~ (sin ф cos ф) d (In т), B.46)
d(lnp)= — ——- sin ф cos ф \ dt + (sin2 w)d(\nx). B.47)
Соотношения B.46) и B.47) следует понимать так, что интегралы
Римана — Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непре-
(непрерывные) решения системы уравнений B.46), B.47) определяют реше-
решения уравнения B.1) с помощью соотношений B.45). Заметим, что
если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q (t) p (t) имеет локально огра-
ограниченную вариацию, то, полагая т (/) = р1/2 (/) ф!2 (t) > 0, мы
получаем qlx = х/р = p^Vq1/2, а соотношения B.45), B.46) и B.47)
переходят в равенства
1/2
^1/2 /1 v
б(ф = Jl_ dt+ I у sin ф cos ф) d (In pq)y B.49)
d (In p) = (у sin2 ф ) d (In pq). B.50)
§ 3. Теоремы Штурма
В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение
вида B.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (f) >
> 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное, не-
нетривиальное (т. е. фО) решение». Нас будет интересовать множество
нулей решения и (/). Для изучения этих нулей часто оказывается
полезным преобразование Прюфера B.42), поскольку и (/0) = 0
тогда и только тогда, когда ср (/0) = 0 (mod л).

'394 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Лемма 3.1. Пусть и (t) Ф О — вещественное решение уравне-
уравнения B.1) при t0 <; Л^ t°, где р (t) > О и q (t) вещественны и непре-
непрерывны. Пусть функция и (t) имеет в точности п Q>1) нулей t\ <
< /2 < . . . < 4 при /о < t <; /°. Предположим, что ф (t) —
непрерывная функция, определенная равенством B.42), и О ^
< ф (^о) < я. Тогда ф (tk) = kn и Ф (/) > kn при tk<t^C t°,
•k = 1, . . ., п.
Доказательство. Заметим, что в той точке /, где и = 0, т. е.
где ф = 0 (mod я), производная ф' = р (t) > 0 в силу B.43).
Следовательно, функция ф (t) возрастает в окрестности точек, где
Ф @ = /я Для некоторого целого /. Отсюда следует, что если /0 ^
<а</°и/я<ф (а), то ф (t)>jn при ^ <£<Л а также что если
/я >- ф (а), то ф (/) < /я при to^C t <. а. Тем самым лемма дока-
доказана.
В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два урав-
уравнения
(Pj(t)utY^qj(t)u = OJ / = 1,2, C.1;)
где функции pj (t), qj (t) вещественны и непрерывны на интервале / и
Pi(t)>P2(t)>0, qi(t)<q2(t). C.2)
В этом случае уравнение C.12) называется мажорантой Штурма
для C.1i) на J, а уравнение C.1 j) — минорантой Штурма для C.12).
Если дополнительно известно, что соотношения
qi(t)<q2(t) C.30
или
Pi(t)>p2(t)>0 и q2(t)^0 C.32)
выполняются в некоторой точке t £ J, то уравнение C.12) назы-
называется строгой мажорантой Штурма для C.11) на J.
Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэф-
коэффициенты уравнения C.17) непрерывны на интервале J: t0 ^C t ^C t°,
и пусть уравнение C.12) является мажорантой Штурма для C.11).
Предположим, что функция и = щ (f) ф 0 является решением
уравнения C.10 и имеет точно п (>Л) нулей t = t\ < t2 < • • •< tn
при /о < t 4^. f, а функция и = u2 (t) щЬ 0 удовлетворяет уравне-
уравнению C.12) и
/МО "ПО ^ Р2@^П0 /о а
> C-4)
/ = /о- [Выражение в правой {соответственно левой) части нера-
неравенства C.4) при t = ^о полагается равным +оо, ^ли а2 (^о) — 0
{соответственно если и^ (t0) = 0); в частности, соотношение C.4)
справедливо при t = /о> ^^^ ^i (/о) = 0-1 Тогда и2 (t) имеет при
to <. t ^ tn по крайней мере п нулей. Более того, и2 (t) имеет по край-

§ 3. Теоремы Штурма 395
ней мере п нулей при to< t < tn, если при t = t0 в C.4) имеет
место строгое неравенство или если уравнение C.12) является стро-
строгой мажорантой Штурма для C.11) при /0 ^ t ^ tn-
Доказательство. В силу C.4) можно определить при /0 <; / <! Р
лару непрерывных функций q>i (t), ф2 (О с помощью соотношений
<fj(t)=arctg PjU^]{t) и О<ф1(/о)<ф2(/о)<я. C.5)
Тогда справедливы аналоги соотношения B.43):
Ф; = jjjiy cos2 4>J +4j W sin2 Фу = fj Ц, Ф,)- C.6,-)
Поскольку непрерывные функции fj (/, ф7) гладким образом
зависят от ф7-, решения системы C.6) однозначно определяются
своими начальными условиями. Из C.2) следует, что /4 (/, ф) ^
^ /2 {U ф) при to ^C t ^C f и всех ф. Поэтому последняя часть
C.5) и следствие III.4.2 означают, что
Ф1 (t) < ф2 (/) Для to < t < P. C.7)
В частности, из ф1 (tn) = пп следует, что пп ^ ф2 (tn), и первая
часть теоремы вытекает из леммы 3.1.
Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вна-
вначале, что при t = to в C.4) имеет место строгое неравенство. Тогда
<Pi (to) < Ф2 (^о). Обозначим через ф2о (/) решение уравнения C.62),
удовлетворяющее начальному условию ф2о (^о) — Ф1 (^о)> так что
<р2о (^о) < Ф2 (^о)- Поскольку решение уравнения C.62) однозначно
определяется начальными условиями, ф20 (/) < ф2 (t) при /0 <; t -<
<; t°. Неравенство, аналогичное C.7), означает, что ф1 (t) <[
^ Фго (t) < Ф2 (i) и потому ф2 (tn) > пп. Следовательно, иг (t)
имеет п нулей при to < t < tn.
Рассмотрим теперь тот случай, когда в C.4) имеет место равен-
равенство, но в некоторой точке из [to, tn\ выполняется либо C.3i), либо
C.32). Запишем C.62) в виде
Фа "= -~ cos2 ф2 -Ь qx sin2 ф2 + е (/),
где
8 $ = (Чг "" V") cos2 Ф2 + ^2 - ^/i) sin2 ф2 > 0.
Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотрен-
рассмотренного случая следует, что Ф1 (t) = Ф2 (t) при /0 <С t •< tn- Поэтому
Ф1 @ = Фг V) и е (/) = 0 при /о < / < tn- Так как sin ф2 (t) = О
только в нулях функции и2 (/), то отсюда следует, что q2 (t) = q\ (t)
при to^t^tn и (p~l — p'1) cos2 ф2 = О. Следовательно, если
Pi1 (t) — Pll > 0 при некотором /, то cos ф2 (t) = 0, т. е. и2 = 0.
Если C.34) не выполняется ни при каком / из отрезка [to, tn\y то при

396 Гл. XL Линейные уравнения второго порядка
некотором / имеет место C.32), и потому C.32) справедливо на неко-
некотором подинтервале из [/0> tn]- Но тогда на этом интервале и2 = О
и потому (р2и'2)' = 0- Однако это противоречит условию q2 {t) Ф 0.
Доказательство закончено.
Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть урав-
уравнение C.12) является мажорантой Штурма для C.11) на интервале
«/, и пусть и = Uj (t) ф 0 — вещественные решения уравнений C.1 j).
Пусть ^ (t) обращается в нуль в двух точках t = tiy t2 (> t\) интер-
интервала J. Тогда u2 (t) имеет по крайней мере один нуль на [ti, /2Ь
В частности, если pi = p2, qi= q2 и uiy u2 — вещественные линейно
независимые решения уравнения C.11) = C.12), то нули функции
Ui разделяют нули функции и2 и разделяются ими.
Заметим, что последнее утверждение этой теоремы имеет смысл,
поскольку нули функций щ и и2 не имеют на J предельных точек;
см. § 2(п). Кроме того, их (t), u2 (t) не могут иметь общего нуля
/ = /ь так как в противном случае в силу того, что решения урав-
уравнения C.1i) единственны, w4 (t) = си2 (t), где с = и[(^)/и2(^)
(так что Ui(t) и u2(t) не являются линейно независимыми).
Упражнение 3.1. (а) [Другое доказательство теоремы Штурма
о разделении нулей, когда /?4 (t) = р2 (t) > 0, q2 (t) > 9i (t)-] Пред-
Предположим, что Ui (t) > 0 при ti < / < t2 и утверждение неверно:
например, и2 (t) > 0 при t\ < t <[ t2. Умножая C.1i), где и = ии
на и2, а C.12), где и = и2, на ии вычитая и интегрируя по Ub t\9
получаем
p(t)(u[u2—UiU2)>0 при *i</</2>
где р = Pi = p2\ ср. с выводом формулы B.9). Это означает, что
(Ui/u2Y >- 0; поэтому их/и2 > 0 при t\ < t^C U- (b) Сведите случай
Pi (t) ^ P2 (t) к случаю Pi (t) Ф p2 (t) с помощью приема, исполь-
используемого ниже при доказательстве следствия 6.5.
Упражнение 3.2. (а) Пусть в дифференциальном уравнении
и№ + q(f)u = O C.8)
функция q (t) вещественна, непрерывна и такова, что 0 < т <1
^ Я С) ^ М. Если и = и (t) Ф0 — решение, имеющее два нуля
* = tu U О ti), то п/т1/2 >t2 — h> n/M1'2. (Ъ) Пусть q (/) —
непрерывная при t >- 0 функция и q (t) ->■ 1 при t->- oo. Покажите,
что если и = и (t) фО — вещественное решение уравнения C.8),
то нули функции и (/) образуют последовательность @ <;) /4 <
< t2 < . . ., для которой /д — 4-i ->• л при /г -> оо. (с) Проверьте,
что вещественные решения и (t) Ф 0 уравнения A.17) имеют не более
одного нуля при t > 0, если |i <; 1/4, и эти решения имеют беско-
бесконечно много нулей при / > 0, если |i > 1/4. В последнем случае
множество нулей имеет две предельные точки / = 0 и t = оо.

§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля 397
(d) Рассмотрите уравнение Бесселя
£) = <), C.9)
где [г — вещественный параметр. Вариация постоянных и = t1/2v
переводит уравнение C.9) в уравнение
—£)и = 0, где а-^2-1. C.10)
Покажите, что нули вещественного решения v (t) уравнения C.9)
образуют при t > 0 такую последовательность U < /2 < • • •> что
4 — /л-1 ->■ я при /г-^оо.
Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выпол-
выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция и2 (t) имеет точно
п нулей при to<C t ^C t°- Тогда соотношение C.4) выполняется при
t = t° [где выражение в правой (соответственно левой) части C.4)
при t — t° полагается равным —оо, если и2 (t°) = 0 (соответственно,
Ui (t°) = 0)]. Кроме того, при t = t° в C.4) имеет место строгое
неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.
Доказательство этого утверждения содержится по существу
в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения
о числе нулей функции и2 (t) вытекает последнее неравенство в сле-
следующей цепочке: пп ^ <Pi(/°) ^ ФгЮ < (п + 0я- Аналогично,
в предположениях последней части теоремы доказательство тео-
теоремы 3.1 дает неравенство q>i(/°) < Ф2(/0).
§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля
Этот раздел является одним из важнейших в теории линейных
уравнений второго порядка. Поскольку полное изложение заняло
бы много места и к тому же может быть найдено во многих книгах,
мы отметим лишь некоторые наиболее существенные моменты этой
теории.
Пусть в уравнении
(P(t)u')' + [q(i)+Mu = 0 D.Ц)
функции р (t) > 0, q (f) вещественны и непрерывны при а ^ / ^ Ъ,
а А, — комплексный параметр. При заданных вещественных аир
рассмотрим задачу отыскания по возможности нетривиального
(т.е. ф 0) решения уравнения D.Ц), удовлетворяющего краевым
условиям
и (a) cos а — р (а) и'(a) sin а = 0, /4 2)
и (b) cos р + р (b)u'(b) sin p = 0.

398 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Упражнение 4.1. Покажите, что если А, не вещественно, то задача
D.Ц), D.2) не имеет нетривиального решения.
Упражнение 4.2. Рассмотрите следующий специальный случай
задачи D.Ц), D.2):
и" + %и = 0, и @) = и (я) = 0. D.3)
Покажите, что эта задача имеет решение только тогда, когда А, =
= (п + IJ при п = 0, 1, . . ., и что соответствующее решение
с точностью до постоянного множителя равно и = sin (п + 1) /.
Далее мы покажем, что результаты упр. 4.2 в специальном слу-
случае D.3) являются типичными для общей ситуации D.Ц), D.2).
Теорема 4.1. Пусть функции р (t) > 0, q (t) вещественны и не-
непрерывны при а ^ / <; Ь. Тогда существует неограниченная после-
последовательность вещественных чисел Ао < А^ < . . ., такая, что
(i) задача D. Ц), D.2) имеет нетривиальное (Ф0) решение в том и толь-
только в том случае, если % = А^ при некотором п. (п) Если А, = Яп
и и =Un(t) ф. 0 — решение задачи D.ЦП), D.2), то решение ип (t)
единственно с точностью до постоянного множителя и un(t) имеет
в точности п нулей при а < / < Ь для п = 0, 1, ... . (iii) Если
пФ т, то
ъ
J un(t)um(t)dt = O. D.4)
(iv) £сла А — комплексное число и\Ф"Кп при п = 0, 1, ..., та
существует такая непрерывная функция G (t, s; A) = G (s, /; A),
определенная при a<s, /<&, ^то Зля всякой интегрируемой
на отрезке а < ^ < & функции h (/) уравнение
(p(t)w')' + lq(t) + k]w = h(t) D.5,)
имеет единственное решение w — u(t). удовлетворяющее условиям
w (a) cos a — p (a) w' (a) sin а = 0, ш F) cos |3 — /?(&) ш' (ft) sin C = 0,
D.2')
/, s; K)h(s)dt, D.6)
а функция G (t, s; А) вещественна при вещественных A. (v)
Я = Хп и функция h (t) интегрируема на a<ct < ft. то задача D.5^^)^
D.2') имеет решение тогда и только тогда, когда
ь
un(t)h(t)dt = O; D.7)

§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля 39^
если w (t) — решение задачи D.5^n), D.2'), то w(t) + cun(t) также
является решением, и все решения этой задачи имеют такой
вид. (vi) Если функции ип (t) вещественны и выбраны так, что
ь
ul(t)dt=\ D.8).
(а потому ип (/) определены однозначно с точностью до множи-
множителя =Ь 1), то множество uo(t), u{(t), ... образует полную
ортонормальную последовательность в L2(a, b), т. е. если
h(t)^L2 (a, b), то h{t) представляется в виде ряда Фурье
Ъ
л @ ~ S Cntin W' где Сп = J h 0)"»
b
\h(t)-
h=0
Если функция h (t) в условиях (iv) или (v) не является непре-
непрерывной, то решение уравнения D.5а,) следует понимать так же, как
указано в замечании из § 2(х).
Отметим параллельность утверждений относительно разреши-
разрешимости задачи D.5^), D.2') и соответствующих утверждений для
линейных алгебраических уравнений (kl — L) w = h, где L —
симметричная эрмитова (d X ^-матрица, / — единичная матрица,
a w и h — векторы. Уравнение (к/ — L) и = О имеет решение
и Ф 0 тогда и только тогда, когда к является одним из собственных
значений к1у . . ., kd матрицы L; А,ь . . ., kd вещественны; если
к ф кп, то уравнение (kl — L) w = h имеет единственное решение
w при любом h\ наконец, если к = А^, то (kl —L) w = h имеет
решение w в том и только в том случае, если h ортогонально (т. е.
u-h = 0) всем решениям и уравнения (А/ — L)u = 0.
Доказательство будет лишь намечено; предоставляем читателю
восстановить опущенные детали.
(i) и (п). В силу результата упр. 4.1 достаточно рассмотреть
случай вещественных А,. Пусть и (t, к) — решение уравнения D.Ц),
удовлетворяющее начальному условию
и(а) = sin ос, р(а)и'(а) = cos ос, D.11)
так что и (/, к) удовлетворяет первому из двух условий D.2).
Ясно, что задача D.Ц), D.2) имеет решение (^0) тогда и только*
тогда, когда функция и (t, к) удовлетворяет второму из усло-
условий D.2).

400 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
При фиксированном к определим непрерывную функцию ф (t, к)
переменной t на [а, Ь\ равенством
y^X), Ф(аД) = о. D.12)
Тогда ф(£, к) имеет непрерывную производную и
Ф'- ^ cos2 Ф+ [?(/) +М sin2 Ф, Ф(а) = а; D.13)
см. § 2(xv). Из теоремы V.2.1 следует, что решение ф = ф (/, к)
уравнения D.13) является непрерывной функцией от (/, к) на
отрезке а ^ t ^ 6, — оо < Я < оо. Доказательство теоремы срав-
сравнения Штурма 3.1 показывает, что ф (Ь, Я) возрастает с ростом к.
Не теряя общности, можно предположить, что 0 <; а < я. Заме-
Заметим, что
Ф F, Я) -> оо при Я, —>- оо. D.14)
Чтобы убедиться в этом, введем новую независимую переменную,
определенную равенствами ds = dt/p(t) и s (a) = 0, так что урав-
уравнение D.Ц) перейдет в уравнение
u+p{t)[q(t)i-K]u = Q, t = t(s), u^^. D.15)
Если М ;> 0 — любое число, можно выбрать к > 0 столь боль-
большим, что р (/) [q (t) + к] > М2 для а</<6. Применяя теорему
сравнения Штурма 3.1 к D.15) и уравнению
получаем, что если п — произвольное, а М — достаточно большое
числа, то нетривиальное вещественное решение уравнения D.15)
ь
имеет по крайней мере п нулей на s-интервале 0<s< I dt/p(t),
а
т.е. ф (&, к)>п, если к достаточно велико в силу леммы 3.1.
Проверим теперь, что
ср(Ь, А,)-»0 при Я->— оо. D.16)
В силу леммы 3.1 ф(Ь, А,)>0. Пусть — ^>0 столь велико, что
Р @ [<? @ + ^1 < — М2 < 0. Решением уравнения
удовлетворяющим условиям, аналогичным D.11), где а = 0 и/?^1,
является функция
и (s) = sin a ch Ms + -тг cos а sh Ms.

§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля 401
Аналогом ф (/, Я) служит функция
ф (s, M)=Arc tg ^, ф @, 7W) = а.
u(s)
При всяком фиксированном s>0
^->0 при М->оо;
поэтому ф(&01 Л4)—^0 при Л1 ■—*оо, где 60= \ dt/p(t). В силу тео-
а
ремы сравнения Штурма 3.1, <р(&, Я)<фF0, 7W). Тем самым дока-
доказано D.16).
Предельные соотношения D.14), D.16) и строгая монотонность
функции ф (Ь9 Я) как функции Я показывают, что существуют
такие Яо, Яь . . ., что
Ф (&» К) = Р + ял для л = 0, 1,
где 0 < Р <; я. Кроме того, ср F, Я) =£ Р (mod я), если X =^ Я^.
Отсюда вытекают утверждения (i) и (п).
(iii) Чтобы проверить это утверждение, умножим D.ЦП) на
ит, D.Цт) на «д, вычтем и проинтегрируем по а <; / <; 6,пт. е.
применим тождество Грина B.10) к функциям / = —K.Un(t),
g = — Xmiim(t).
(iv) См. § 2 (x) и упр. 2.1. Найдем и = и (/, Я) и определим t; @
как решение задачи D.1), удовлетворяющее второму из усло-
условий D.2).
(v) Предположим вначале, что задача D.5а, ), D.2') имеет реше-
решение w = w (/). Применим тождество Грина B.10) в случае, когда
q заменено на q + Я^, / = Л, w = и, v = unr g = 0 в B.8) для
того, чтобы получить D.7).
Обратно, предположим, что выполняется D.7). Пусть и (t) =
= ип (/) и v (t) — решение уравнения D.Ца), линейно независимое
с ип (f), так что р (t) luv' — u'v] = сфО. Тогда функция B.15)
является решением уравнения D.5^). Кроме того, w\t) удовле-
удовлетворяет первому из граничных условий в D.2'), поскольку функ-
функция и = ип удовлетворяет этому условию; см. упр. 2.1. С другой
стороны, соотношения D.7) и B.15) показывают, что w (b) =
= w'{b) = 0. Поэтому функция w (t) является решением уравне-
уравнения D.5^), удовлетворяющим краевым условиям D.2').
(vi) Хотя утверждение (vi) составляет основную часть теоре-
теоремы 4.1, оно является следствием элементарных теорем о вполне
непрерывных самосопряженных операторах в гильбертовом про-
пространстве. Для полноты изложения будет намечено доказательство
теоремы о необходимости, и из него будет выведено утверждение
(vi). Здесь предполагается, что читатель знаком с теорией рядов
26-241

402 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Фурье (включая, например, неравенство Бесселя, равенство Парсе-
валя и теорему Фишера — Рисса). Поскольку мы стараемся свести
до минимума обсуждение вопросов, относящихся к теории гиль-
гильбертовых пространств, некоторые из определений и результатов,
сформулированных ниже, могут включать лишние условия.
Введем следующие обозначения и термины:
= (Л /I/2>0, D.17)
где /, g 6 L2 (а, Ь). В силу неравенства Шварца | (/, g) | <;
<1ШН1г11 и ||/ + £||<||/|| + ||£||. Будем говорить, что
последовательность функций fx (/), /2 (/), . . ., принадлежащих
L2 (а, Ь), сходится к / (/) в L2 (а, Ь), если \\fn — / || -> 0 при п ->-
-> оо. Такая последовательность называется слабо сходящейся
к f (t) в L2 (а, Ь), если последовательность || /i ||, || f2 ||, . . . огра-
ограничена и (fn, ф) ->- (f, ф) при п->- оо для каждой функции ср (^) 6
6 L2 (а, Ь). (В последнем определении условие ограниченности
последовательности || ft ||, || /2 ||, ... является излишним, но этот
факт не будет использоваться ниже.) Подмножество Н cz L2 (а, Ь)
называется линейным многообразием, если f, g £ Н влечет за собой
C\f + c2g £ Н при любых постоянных си с2. Оно называется зам-
замкнутым, если условия fn 6 Я при /г = 1, 2, . . ., f £ L2 (а, &)
и II fn — f II ->■ 0 при /г ->- оо влекут за собой f ^ H. Линейное мно-
многообразие Н из L2 (а, &) будет называться слабо замкнутым, если
из условий fn 6 Я при /г = 1, 2, ...,/£ L2 (а, Ь) и fn-*f слабо
при /г ->■ оо вытекает, что f ^ H. (Тот факт, что понятия «замкнуто-
«замкнутости» и «слабой замкнутости» эквивалентны для линейных многооб-
многообразий, здесь не используется.)
Лемма 4.1. Пусть последовательность fu f2, . . . элементов
пространства L2 (а, Ь) такова, что ||/Vill<^l- Тогда сущест-
существуют функция f (t) 6 L2 (a, b) и подпоследовательность fnu){t),
/лB) @» • • • данной последовательности, такие, что \\ f \\ <; 1 и
hu) -*• Ш) слаб° пРи i -*- °°-
Доказательство. Без потери общности можно предположить,
что [а, Ь] = [0, л]. В этом случае каждой функции fn (t) соответ-
соответствует ряд Фурье
оо
fn(t)~ S cnksmkt,
где в силу равенства Парсеваля 2 I °nk I2 = II /л |[2 < 1 • С помощью
k
диагонального процесса Кантора (теорема 1.2.1) можно выбрать
такую последовательность целых чисел l<n(l)<;nB)<c...» что

§ 4, Краевые задачи Штурма — Лиувилля 403
существует предел
ck = limcn(j)k при у—^оо, А=1, 2, ... . D.18)
Заметим, что
Поэтому 2кй|2<1 и, согласно теореме Фишера — Рисса, суще-
существует такая функция f(t)£L2(a, b), что
Из D.18) следует, что (/по> ф)—>(/> ф) при /—*оо, если
cp = sin&/ и А=1, 2, ... . Значит, это верно для любой линей-
линейной формы от sinkt: p(t) = aisint+ ... + атsinmt. Для всякого
элемента ф (/) £ L2 @, я) существует такая линейная форма р (t) от
sinkt, что величина ||ф — р\\ сколь угодно мала и \(fntf) -/, ф) <
< I (/n(i) — /» р) I + I (/Wi) — /,/> — ф) |. При этом | (fnU) - f, р - ф) <
< II fn(j) — f II * IIР ~ Ф II < 2 || /7 — ф ||. Отсюда вытекает утверждение
леммы.
Лемма 4.2. Пусть G — самосопряженный линейный оператор,
определенный на слабо замкнутом линейном многообразии Н из
L2 (а, Ь) и такой, что (Gh, А) = 0 при всех h £ Н. Тогда Gh = 0
для всех h £ Н.
Выражение «G — линейный оператор на Я» означает, что каж-
каждому h 6 Я соответствует единственный элемент w = Gh £ Н и что
если ojj = G/iy при / = 1, 2, то c^i + c2w2 = G (CiAi + c2/z2) при
любых комплексных постоянных Ci и с2. Предположение о само-
самосопряженности оператора G означает, что (Gh, f) = (h, Gf) для
всех /, h 6 Я.
Доказательство. Если /, h ^ L2 (а, Ь) и с — комплексное число,
то 0 = (G (А + с/), А + с/) = 2Re c(GA, /), поскольку (G/, /) =
= (GA, А) = 0. Выбирая с = 1 и с = i, получаем, что (GA, /) = 0.
Полагая / = GA, видим, что GA = 0.
Лемма 4.3. Пусть G — вполне непрерывный самосопряженный
линейный оператор на слабо замкнутом линейном многообразии
Я cz L2 (а, Ь), и пусть Gh=^= 0 при некотором h 6 Я. Тогда G
имеет по крайней мере одно (вещественное) собственное значение
и Ф 0, т. е. существует (вещественное) число а Ф 0 и элемент
h0 6 H, к0Ф О, такие, что Gh0 = [лЛ0.
Линейный оператор G на Н называется вполне непрерывным,
если условия Лп, h 6 Н и К-* h слабо при /г -> оо влекут за собой
|| GK, — Gh || -> 0 при п ->- оо.

404 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Доказательство. Из леммы 4.1, полной непрерывности операто-
оператора G и слабой замкнутости Я вытекает, что оператор G ограничен,
т. е. существует такая постоянная С, что || Gh ||<; С для всех
А 6 Я, удовлетворяющих условию || А || <; 1.
В силу неравенства Шварца, | (Gh, A) | «< || Gh \\-\\ h ||«< С, если
II h || <! 1. Поэтому sup (Gh, h) и inf (Gh, h) по всем h, таким, что
|| h ||<; 1, существуют и конечны. Поскольку Gh=^= 0 для некото-
некоторого h 6 Я, из леммы 4.2 следует, что по крайней мере одно из этих
чисел отлично от нуля. Пусть для определенности \i = sup (Gh, h) Ф
Ф 0. Полагая А = 0, мы получаем, что \i ^> 0 и, следовательно,
pi>0.
Покажем, что существует такой элемент h0 6 Я, что (Gh0, h0) = \i
и II h0 ||<; 1. В самом деле, в Я найдутся такие элементы Аь А2, . . .,
что || Аи || ^ 1 и (ОАи, Ад) -> [я при п ->■ оо. В силу леммы 4.1 можно
предположить, что существует элемент Ао 6 L2 (а, Ь), к которому
слабо сходится последовательность hn при /г->оо, и что
II Ао || ^ 1. Так как Я слабо замкнуто, Ао 6 Я. В силу полной непре-
непрерывности оператора G имеем \\Ghn — GA0||->-0 при /г->оо. Но
(GA0, A0) = (GAn> А,) + 2Re (G (Ао - A,), A7l)+(G(A0-An), Ao - А,).
Из ограниченности оператора G и неравенства Шварца мы зак-
заключаем, полагая /г->- оо, что (GA0, Ао) = [л.
Заметим, что |ы =т^= 0 влечет за собой Ао ф 0. Поскольку ц, > 0,
имеем || Ао || =^ 1, так как в противном случае выполнялись бы
соотношения (GA, А) = [г/|| Ао ||2 > \л при А = Ао/|| Ао |J и || А || = 1.
Чтобы проверить равенство GA0 = \ih0, возьмем в качестве А
любой элемент из Я, удовлетворяющий условиям || А || = 1,
(Ао, А) = 0. Пусть Ае = (Ао + еА)/A + 82I/2 для вещественных s,
так что || Ае ||2 = 1. Тогда функция
(GAe, Ае) - A + s2)-1 {(GA0, Ао) + 2е Re (GA0, A) + s2 (GA, A)}
переменного 8 имеет максимум при & = 0 и потому Re (GA0, A) = 0.
Так как А можно заменить на t'A, отсюда следует, что (GA0, A) = 0
для всех А 6 Я, удовлетворяющих условию (Ао, А) = 0. В част-
частности, (GAo, А) = 0, если А = GA0 — fxA0. Отсюда вытекает, что
^ = || GAo ||2 и || GAo - [*Ао II2 = II GA0 ||2 - 2ц (GA0, Ао) + [i2 = 0.
Тем самым доказано равенство GA0 = piA0 и завершено доказатель-
доказательство леммы.
Окончание доказательства утверждения (vi). Согласно стан-
стандартной теореме теории рядов Фурье, утверждение (vi) неверно
тогда и только тогда, когда существуют функции A (t) 6 L2 (а, Ь),
|| А || Ф 0, имеющие нулевые коэффициенты Фурье (А, ип) = 0 при
/г = 0, 1, ... . Предположим, что (vi) не выполняется, и пусть
Я — множество всех таких элементов A (t) 6 L2 (а, Ь), для которых
(А, Мд) = 0 при /i = 0, 1, ... . Тогда Я — слабо замкнутое линей-
линейное многообразие в L2 (а, Ь), содержащее элементы hф0.

§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля 405
Пусть X — вещественное число, не равное Я^ при п = 0, 1, ... .
Тогда D.6) определяет линейный оператор G, w = GA, на L2 (а, Ь).
Этот оператор является самосопряженным, поскольку
ъ ъ
(GA, /) = j J G (/, s; A.) A (s) 7 (t) ds dt = (A, Gf)
а а
в силу того, что функция G(t,s; X) вещественна и G(t,s; X) =
Кроме того, G —вполне непрерывный оператор. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим последовательность Ап, слабо сходящуюся при
п—>оо к А, и положим wn = Ghn, w = Gh. Тогда разность
ь
wn(t)-w(t)= ( G(/, s; X)[hn(s) — h(s)]ds=(hn — h, G(/, • ; Я))
стремится к 0 при п—>оо для каждого фиксированного /. Кроме
того, в силу неравенства Шварца
ь
\wn(t)-w(t)\2<2C j |G(^, s; ^)|2ds
если || Ад ||2 < С, || A (s) ||2 < С. Следовательно, \\wn—w ||2 =
= \ | a^ (/) —&y (t) |2 d/ -v 0 при /г ->- oo по теореме Лебега. (В дей-
действительности, в силу теоремы 1.2.2, wn(t) ->■ оу (/) при п -> оо рав-
равномерно на отрезке a ^ t ^ &, так как, очевидно, последователь-
последовательность Шь оу2, . . . равномерно ограничена и равностепенно непре-
непрерывна.)
Наконец, заметим, что если h^H,Tow = Gh^H.B самом деле,
из равенства (А, ип) = 0 следует, что (w, ип) = 0, в чем легко
убедиться, применив тождество Грина B.10) к и = ип, f = —\iUn,
v = w9 g = —*kw + А. Поэтому сужение G на слабо замкнутое
линейное многообразие Я определяет вполне непрерывный опера-
оператор на Я.
Из D.5а,) и D.6) видно, что w = Gh ф 0, если А Ф 0. Поэтому
Я содержит элементы А =^= 0 и можно применить лемму 4.3. Пусть
GA0 = fxA0, где Ао 6 Я, || Ао || = 1, рфО. Тогда если оуо = GA0,
из D.5^) и D.6) следует, что функция и = w0 (t) Ф 0 является
решением уравнения D.Ц—i/ц), удовлетворяющим граничным
условиям D.2). В силу утверждения (i) отсюда следует существо-
существование неотрицательного целого числа к, такого, что К — l/\i = Хи
и w0 = сии с некоторой постоянной с Ф 0. Но это противоречит
условию (wQ, ип) = 0 при /г = 0, 1, ... . Теорема доказана.
Упражнение 4.3. Пусть р0 (f) > 0, r0 (t) > 0 и qo(t) — вещест-
вещественные непрерывные функции, определенные на открытом огра-

406 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
ничейном интервале а < t<b. Пусть Хо < Л4 < ... . Пусть
уравнение
u = O, /г = 0, 1,..., D.19)
имеет (вещественное) решение ип (t) при а < t < 6, имеющее не бо-
более /г нулей и такое, что существуют не равные нулю пределы
\imun(t)/uo(t) при /—*а и /—>Ь. (а) Покажите, что если pi(t) =
= Vr0 (t) и\ (t) > 0, /ч @ = 1//70 @ aj @ > 0 и ?1 @ = - VA> @ "S @.
то функция yn (/) = р0 (uoiin+i — u'oun+i) является решением урав-
уравнения
(Pi(t)vfy + lq1(t) + Xn+iri(t)]v = O, /г = 0, 1, ..., D.20)
имеющим не более п нулей при a<Ct<Zb, и существуют не рав-
равные нулю пределы limvn(t)/v0(t) при t—>a и /—»6. (b) Докажите
существование на интервале (а, Ь) таких положительных непре-
непрерывных функций Оо@» ai @» • • •» a^-i @» чт0 функции uo(t), ...
..., ^д-i (/) являются решениями дифференциального уравнения
k-ro порядка:
'}' ...)' = 0. D.21)
Упражнение 4.4 (продолжение), (а) Пусть /?0, г0, ^0»
такие же, как в упр. 4.3. Пусть а<^ < . .. </^
и а1? ..., а^+1 —произвольные числа. Тогда существует единствен-
единственное множество постоянных с0, . . ., с&> такое, что
Wo (tj) + • • • + ckuk (tj) = a,- при / = 1, . . ., k -|- 1. D.22)
Используйте индукцию по k (для всех систем и0, ии . . .) или
упр. IV.8.3. (Этот результат, конечно, применим к (вещественным)
функциям un(t) теоремы 4.1. Если функции р0, г0, <7о имеют произ-
производные достаточно высоких порядков, то интерполяционное свой-
свойство D.22) может быть обобщено, как в упр. IV.8.3(d).) (b) Пусть
а < t0 < . . . < tn < b. Тогда D (t0, . . ., tn) = det (uj (tk)), где
/, k = 0, . . ., ny не равен нулю, (с) Пусть с0, . . ., сЛ — вещест-
вещественные числа и Un (t) = c0Uq (/)+...+ cnun(f). Тогда Un(t) ^
^ 0, если /7Л @ обращается в нуль в п + 1 различных точках
интервала a < / < 6, а если £/„ (/) # 0 обращается в нуль в /г раз-
различных точках, то в каждой из них эта функция меняет знак.
(d) Каждая вещественная непрерывная функция v (/), ортогональ-
ъ
ная к и0, . . ., tin на [а, &] (т. е. такая, что j vujdt = 0 при /=
а
=\0, . . ., /г), меняет знак по крайней мере /г + 1 раз. (е) При
любом выборе постоянных ст, . . ., сп функция стит (/)+...
. . . + спип (t) меняет знак не менее т раз и не более п раз, где
т >< п.

§ 5. Число нулей 407
§ 5. Число нулей
В этом параграфе изучается число нулей вещественных реше-
решений уравнения вида
u*+q(t)u = 0. E.1)
Теорема 5.1. Пусть вещественная функция q (t) непрерывна
на отрезке а</<&. Пусть m(t)>-0— непрерывная функция
на том же отрезке и
ym=M{t_mb){t(l_t) для a<t<b. E.2)
Если вещественное решение u(t)^O уравнения E.1) имеет два
нуля, то
ъ
\jm(t)q+(t)dt>ym(b-a), E.3)
а
где q+ (t) = max(q (t), 0); в частности,
ь
J (t-a)(b — t)q+(t)dt>b-a. E.4)
a
Упражнение 5.1. Покажите, что неравенство E.3) является
«точным» в том смысле, что E.3) может не выполняться, если ут
заменить на ут + 8 при 8 > 0.
Доказательство теоремы 5.1. Предположим, что уравнение E.1)
имеет решение (#0) с двумя нулями на [а, Ь]. Поскольку q+(f) ;>
^ <7 @» уравнение
if + q+ (t) и = 0 E.5)
служит мажорантой Штурма для E.1) и потому имеет решение
и (t) Ф 0 с двумя нулями t = а, р на [а, Ь\\ см. теорему 3.1. Так
как и!' = —q+u, имеем
t
(Р-а) и @ = (Р-0 j (s-a) <?+ (s) a (s)
см. упр. 2.1, в частности B.18). Предположим, что a, p — соседние
нули функции и и что и (t) > 0, если а < ^ < Р- Пусть t = to —
такая точка, что и (t0) = max и (t) при / £ (а, Р). Правая часть
выписанного выше равенства возрастет, если и (s) заменить на и (to).

408 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Поэтому, поделив на и (t0) > 0, получаем
t з
P-a<(P-f) j (S-a)q+(s)ds+(t-a) j (P-s)9+(s)ds,
где t = t0. Поскольку |3 — /<P — s при t>s и / —a<s —а при
8
P — a< \ (P — s)(s — a)q+(s)ds. E.6)
a
Наконец, заметим, что (/ — a) (b — t)/(b — a)^>(t — a) (P — /)/(P — a)
при a^.a^it^$^b\ действительно, дифференцирование по P
и a показывает, что (/ — ос) (Р — /)/(Р — а) возрастает вместе
с Р, если t >- а, и убывает вместе с а, если / <! р. Поэтому E.4)
вытекает из E.6). Соотношение E.3) является следствием из E.2)
и E.4). Теорема 5.1 доказана.
Поскольку (t — а) (Ь — t) <С (Ь — аJ/4, полагая т (t) = 1 в тео-
теореме 5.1, получаем
Следствие 5.1 (Ляпунов). Пусть q (t) — вещественная непрерыв-
непрерывная на отрезке а ^ t ^ b функция. Необходимое условие для того,
чтобы уравнение E.1) имело решение и (t) щЬ 0, обладающее двумя
нулями, состоит в следующем:
=-а- E'7>
Упражнение 5.2. Пусть функция q(t)>0 непрерывна на
а</<6 и уравнение E.1) имеет решение u(t), равное нулю при
t = at b и положительное при /£(a, b). (а) Используя E.7), дока-
ъ ь
жите, что [ q{t)dt>2MIA, где M = maxu(t) и A=[u(t)dt.
а а
(Ь) Покажите, что множитель 2 перед величиной Ml А не может
быть заменен большей постоянной.
Упражнение 5.3. (а) Рассмотрим дифференциальное уравнение
и" + g(t)u'Jrf(t)u = O с вещественными непрерывными на отрезке
0 < t < b коэффициентами, имеющее решение и (t) Ф 0, равное нулю
при / = 0, Ь. Покажите, что
ь ъ ь
b< ^t(b-t)f+(t)dt + max { ^t\g\dt, j {b-t)\g\dt} .
(b) В частности, если |g|<Afi и |/|<М2, имеет место неравенство
1 Мф/2 + М2Ь2/6. Но оно легко может быть выведено из нера-

§ 5. Число нулей 409
о о
венства Виртингера \ u2dt<(b/nJ \u'2dt (которое может быть
доказано, если положить Ь = п, разложить и в ряд Фурье по си-
синусам и применить равенство Парсеваля к и и и'). Покажите, что
1 <УИ1&/я + ЛГ2&2/я2. (с) Результат части (Ь) можно усилить до не-
неравенства \*С2М<})Ы2-\-Мф21п2. См. Опяль [3]. (d) Аналогичный
результат для уравнения порядка d>2 формулируется так. Пусть
дифференциальное уравнение и^ + рх (/) u^d- *> -f ... + pa (t) и = О
имеет) непрерывные коэффициенты при 0</<& и решение
и (/) ф О, обладающее d нулями на [О, Ь]. Пусть | pj (t) \ < Mj.
Тогда
1 < Mib + M2bV2\+... +Md.ibd-1/(d- 1)! + (Mdbd/dl) [(d- l)d-Vdd].
Если функция q (t) = q+ (t) равна положительной постоянной
на [О, Г], то число N нулей решения (^0) уравнения E.1)
на @, Т], очевидно, удовлетворяет неравенству
г т
, E.8)
где последнее неравенство вытекает из неравенства Шварца. Отсюда
следует, что аналогичное неравенство справедливо и в случае
непостоянной непрерывной функции q (t).
Следствие 5.2. Предположим, что функция q (t) вещественна
и непрерывна при 0 ^ t ^ Т. Пусть и (t) Ф 0 — решение уравне-
уравнения E.1) и N—число его нулей на полуинтервале 0 < £<7\ Тогда
E.9)
Доказательство. Пусть N>2 и функция и имеет jV нулей на
@, Т] в точках @ <) ti < t2 < •.. < tN (< Г). В силу следствия 5.1
+ (t)dt>>-—-, если u = tk, v = tk+± E.10)
при & = 1, ..., iV — 1. Так как гармоническое среднее Л/ — 1 поло-
положительных чисел не превосходит их арифметического среднего,
имеем
N-l N-1
 ^ I v
< 2
1 v I I
fti

410 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Поэтому, складывая неравенства E.10) для ft = 1, ...,#—-1,
получаем
h
откуда следует неравенство E.9).
Упражнение 5.4. Покажите, что справедливо неравенство
г
N<^tq+(t)dt+l. E.11)
о
Для этого используйте E.3) с m{t) = t — a вместо E.7).
Заметим, что если q(t)— положительная постоянная, то
г
Аналогичное неравенство справедливо при некоторых более слабых
предположениях относительно непостоянной функции q.
Теорема 5.2. Пусть непрерывная функция q (t) > 0 имеет огра-
ограниченную вариацию при 0 ^ t ^ Т. Предположим, что вещественное
решение и (t) Ф 0 уравнения E.1) имеет N нулей на полуинтервале
О < / < Г. Тогда
] 1^Ш. E.12)
о о
Доказательство. Определим непрерывную функцию ф(/), полагая
9(Q=Arctg qi/2fu , 0<Ф@)<я.
Тогда (см. упр. 2.6; в частности B.49), где р (/) = 1)
т г
о о
По лемме 3.1, N является наибольшим целым числом, не превосхо-
превосходящим ф (Т)/п, так что nN < ф (Т) < я (N + 1). Отсюда следует E.12).
Упражнение 5.5. (а) Пусть функция q (t) непрерывна при
0<Ctf<7\ Пусть и^)фО— вещественное решение и N — число его
нулей на полуинтервале 0<^<Т. Покажите, что
г
| nN — Т | < л + f | 1 — q (t) | dt.
о

§ 5. Число нулей 411
(b) Если, кроме того, функция q{t)>0 имеет непрерывную вторую
производную, то
т т
Ъд'2 q"
_,3/2
о
Следствие 5,3. Пусть q(t)^>0— непрерывная функция огра-
ограниченной вариации на [О, 71] для каждого Г>0. Предположим
также, что
j) Т-^оо; E.13)
о
например, для этого достаточно, чтобы функция q(t) имела
непрерывную производную q'{t), такую, что
q' (t) = o{qV2(t)) при t->oo. E.14)
Пусть и {г)Ф 0 — вещественное решение уравнения E.1) и N(T) —
число его нулей на полуинтервале 0<it<cT. Тогда
г
nN (T) ~ \ qi</2 (t) dt при Г-^оо. E.15)
о
Это вытекает из E.13) и формулы E.12) теоремы 5.2. Отме-
Отметим, что если, например, функция q монотонна и q(t)-->co при
t-^oo, то условие E.14) является ограничением не на скорость
роста функции q(t), а на его регулярность. Это можно видеть
из того факта, что интеграл
*dt 2
имеет предел при Т—>оо; поэтому, вообще говоря, функция
q'/q3/2 «мала» при больших t.
Условия следствия 5.3 являются несколько завышенными
для справедливости соотношения E.15); это видно из сле-
следующих упражнений.
Упражнение 5.6. (а) Пусть q (/) — непрерывная при t>0
функция и
sup I'y07^1 >0 при s-^oo. E.16)
Пусть и (/) ф 0 — решение уравнения E.1) и N(t) — число его нулей
на отрезке 0<^<7\ Тогда имеет место соотношение E.15).
(Ь) Для того чтобы выполнялось условие E.16), необходимо и до-

412 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
оо
статочно следующее: \ qi^2dt = oo и qit + cq-1'2 (t))/q(t) —> 1 при
t —> оо равномерно на каждом фиксированном ограниченном оинтер-
вале прямой — оо < с <С оо.
Упражнение 5.7. Часть (Ь) последнего упражнения допускает
следующее обобщение. Пусть q (t) > 0 — непрерывная при / > О
функция. Пусть функция m (/) > 0 непрерывна при / > О
и [m (/)//я (s)]=t* < С (//s)v при 0 < s < / < оо и некоторых неотри-
неотрицательных постоянных С и у- Условие
sup
оо
выполняется тогда и только тогда, когда \ т (q (/)) dt = <x>
и q(t + c/m [q(t)])/q(t)—> 1, если min [/, t-\-clm(q (t))) —> оо равно-
равномерно на каждом ограниченном с-интервале прямой — оо << с < оо.
Оценка числа N совсем другого типа дается в следующей
теореме:
Теорема 5.3. Пусть функции /?(£)> О, q (t) вещественны
и непрерывны при 0</<Т. Обозначим через u(t), v(t) вещест-
вещественные решения уравнения
(pu')' + qu = 0, E.17)
для которых
Р (О [W (t) v (t)-u(t) v' (t)] = c>0. E.18)
Пусть N —число нулей функции u(t) при 0<Ct<T. Тогда
я- EЛ9)
Доказательство. Пусть а — произвольное вещественное число.
Рассмотрим решения
и* (t) = и (t) cos a + v (t) sin а, у* (t)= —и (t) sin а + v (t) cos а
уравнения E.17). Очевидно,
E.20)
Выберем а так, чтобы и*@) = 0, и пусть Л/* —число нулей функ-
функции u*(t) на полуинтервале 0</<7\
Поскольку из E.20) следует, что и*, v* линейно независимы,
они не имеют общих нулей. Следовательно, можно определить

§ 5. Число нулей 413
непрерывную функцию
q>(*)=Arctg-g|l, <p@) = 0. E.21)
Эта функция непрерывно дифференцируема и, в силу E.20),
Поэтому функция ф (/) возрастает, при этом ф (t) = 0 (mod я) тогда
и только тогда, когда u(t) = 0. Следовательно, Л/* — наибольшее
целое число, не превосходящее ф(Т)/я, и, интегрируя E.22),
получаем
Из теоремы Штурма о разделении нулей следует, что N* < N <
<Af*+l, и потому имеет место E.19).
Упражнение 5.8. Пусть p(t), q(t), u(t), v (t) и N будут
такими же, как в теореме 5.3, и, кроме того, пусть q(t)>Q.
Покажите, что
q (t) dt
nN — с
<2я. E.23)
{Если <7>0, то соотношения E.19) и E.23) получаются как част-
частный случай «двойственности» относительно замены (и, и', q, dt) на
(ри', — и, l/q, qdt)\ см. лемму XIV.3.1.)
Упражнение 5.9. (а) Пусть функция q(t) непрерывна при />0.
Используя E.9) и E.19), покажите, что если все решения урав-
уравнения и" -\-q(t)u = O ограничены, то при больших /
t
•j- j q+ (s) ds > const > 0. E.24)
о
Заменяя в E.19) и, v на и/г, ev, покажите, что если, кроме того,
нетривиальное решение u(t)—>0 при /—>оо, то
t
•^ [ q+(s)ds-^oo при /—>оо. E.25)
о
(Ь) Пусть q(t)>0 при t>0. Используя E.9) и E.23), покажите,
что если первые производные всех решений уравнения и"-\-q(t)u = O
ограничены, то при больших /
t
-j- j q+(s)ds*C const. E.26)

4J4 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Если, кроме того, u'(t)-^Q при t—> оо для некоторого решения
и(г)ф0, то
t
J j >0 при f-»oo. E.27>
(с) Обобщите (а) (или (Ь)) на случай, когда уравнение и" +
+ qu = 0 заменено уравнением (/?и')' + да = О и условие огра-
ограниченности решений (или их производных) заменено условием
u(t) = О A/Ф@) (соответственно и'(*) = О A/Ф (*))), где Ф(# >
> 0 — непрерывная функция.
§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения
Однородное линейное уравнение второго порядка с веществен-
вещественными коэффициентами, определенное на интервале */, называется
осциллирующим (oscillatory) на J, если некоторое (или, что то же
самое, если каждое) вещественное решение (Ф 0) этого уравнения
имеет на J бесконечное множество нулей. Обратно, если каждое
решение (^ 0) имеет не более конечного числа нулей на /, то урав-
уравнение называется неосциллирующим (nonoscillatory) на J. В послед-
последнем случае уравнение называется уравнением без сопряженных
точек (disconjugate) на J, если каждое его решение (фО) имеет
на / не более одного нуля. Если граничная точка / = со интервала
(возможно, бесконечная) не принадлежит этому интервалу, то
уравнение называется осциллирующим при t =со, когда некоторое
(или каждое) вещественное решение (Ф 0) имеет бесконечную после-
довательность нулей, сходящуюся к t = со. В противном случае
уравнение называется неосциллирующим при t = со.
В приложении, §§ 10, 11, будут указаны обобщения многих
результатов этого параграфа на уравнения высшего порядка или
более общие системы уравнений.
Теорема 6.1. Пусть р (t) >> 0, q (f) — вещественные непрерывные
функции на t-интервале J. Уравнение
(p(i)u'Y+q(i)u = 0 F.1)
является уравнением без сопряженных точек на J тогда и только
тогда, когда для каждой пары несовпадающих точек tu t2 6 J и про-
произвольных чисел и и и2 существует единственное решение и = u*(t)
уравнения F.1), удовлетворяющее условиям
и*(ь) = ии u*{Q= u29 F.2)
или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда для каждой
пары линейно независимых решений u(t)y v (t) уравнения F.1)
и (ti) v (t2) - и (t2) v (/0 Ф 0 F.3)
для любых несовпадающих точек tu /2 6 J'.

§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения 415»
Доказательство. Пусть и (t), v (t)—два линейно независимых
решения уравнения F.1). Тогда всякое решение u*(t) имеет вид
и* = CiU (t) + c2v (t). Это решение удовлетворяет F.2) в том и толь-
только в том случае, если
ctu (ti) + c2v (ti) = uu ^u (t2) + c2v (t2) = u2.
Эти линейные уравнения относительно си с2 имеют решения при
любых щ, u2 тогда и только тогда, когда выполнено F.3), или,.
что равносильно, тогда и только тогда, когда система
с^ {ti) + c2v (ti) = 0, c^ (t2) + c2v (t2) = 0
имеет только тривиальное решение Ci = с2 = 0, т. е. в том и толька
втом случае, если единственным решением u*(t) уравнения F.1),
обращающимся в нуль в двух точках / = tu t2, является u*(t) = 0.
Следствие 6.1. Пусть функции р (/) >> 0, q (t) будут такими
же, как в теореме 6.1. Если J — открытое или ограниченное и зам-
замкнутое множество, то уравнение F.1) является уравнением без
сопряженных точек на J тогда и только тогда, когда уравнение
F.1) имеет решение, строго положительное на J. Если J — полу-
полуинтервал (конечный или бесконечный), то уравнение F.1) будет
уравнением без сопряженных точек на J тогда и только тогда,
когда существует решение, строго положительное внутри J.
Пример уравнения и" + и = 0 на /: 0 <; t < n показывает,
что в последней части этой теоремы нельзя утверждать, что суще-
существует решение, строго положительное на всем /.
Упражнение 6.1. Выведите следствие 6.1 из теоремы 6.1 (другое
доказательство намечено в упр. 6.6).
Упражнение 6.2. Пусть р (f) > 0, q (t) >- 0 — непрерывные
со
на интервале/: a^t<i оз (<Соо) функции, такие, что \ dtlp(t) =
= оо. Уравнение F.1) является уравнением без сопряженных
точек на / тогда и только тогда, когда оно имеет решение и (/), удо-
удовлетворяющее условиям и (t) > 0, u'(t) ^ 0 при а < t < со.
Весьма полезным критерием, позволяющим установить, что
уравнение F.1) есть уравнение без сопряженных точек, является
«вариационный принцип», содержащийся в следующей теореме.
Вещественная функция т} (t) на подинтервале [а, Ь], принадлежащем
/, называется допустимой функцией класса Ai(a, Ъ) [или А2(а, Ь)],
если (i) т] (а) = т) (b) = 0 и A1±) ц (/) абсолютно непрерывна и ее
производная !}'(/) принадлежит пространству L2 при а -< t -< Ъ
[или (ii2) y\(t) непрерывно дифференцируема и p(t)r\'(t) непре-

416 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
рывно дифференцируема на а <; ^<; Ь]. Положим
ъ
/(л; a, b)= j (pri'2-^2)^ для ri£A(a, Ъ). F.4)
а
Если г] — допустимая функция класса Л2(а, 6), то первое слагаемое
может быть преобразовано с помощью интегрирования по частям
и потому
ъ
/(т); a, b) = -]r\[(pr\'y + qr\]dt для г\£А2(а, 6). F.5)
Теорема 6.2. Пусть р (t) > 0, q (f) — вещественные непрерывные
функции на t-интервале J. Уравнение F.1) является уравне-
уравнением без сопряженных точек на J тогда и только тогда, когда для
каждого замкнутого ограниченного подотрезка а ^ t <C b, при-
принадлежащего /, функционал F.4) положительно определен на А± (а, Ь)
[или А2 (а, Ь)]; т. е. I (т); а, 6) ;> 0 5ляг] 6 Ai (a, b) [соответствен-
[соответственно у\ 6 А2 (а, Ь)] и I (т); а, Ь) = 0 тогда и только тогда, когда
т) == 0.
Утверждение «только тогда» (необходимость) является более
сильным в случае Ai (a, b), а утверждение «тогда» (достаточность) —
в случае А2 (а, Ь).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что уравнение
F.1)—уравнение без сопряженных точек при а <С t ^ b. Тогда
в силу следствия 6.1 существует решение и (t), положительное
при а <; t <; Ь. Если т] (/) 6 Л4 (а, Ь), положим S @ = Л @/^ @-
Тогда
ъ
1 (tj; а, 6) = J [£2 (рм'2 - <?«2) + р (а2С2 + 2&'ии')] dt.
а
Интегрируя по частям [интегрируя и' и дифференцируя (pw')£2],
получаем, что первое слагаемое равно
ь ъ
']ba- J [Z*u{pu'y
Проинтегрированные члены обращаются в нуль, поскольку г] (а) =
= т) (Ь) = 0 влечет за собой £(а)=£(Ь) = 0. Из последних двух
формул в силу того, что £2w [{ри')г -\-qti] = 0> следует равенство
ъ
I (т|; а, Ь) = j ра2^2 Л для rj = и£ g Л4 (а, Ь). F.7)
а
Ясно, что / (т); а, Ь) >- 0 и / (т); а, 6) = 0 тогда и только тогда,
когда £ (t) = 0. Этим доказана необходимость.

§ 6. Йеосциллирующие уравнениям главные решения 41_7
Достаточность. Предположим, что функционал / (tj; a, b) поло*
жительно определен на Л2 (а, Ь) для любого [а, Ь] с /. Пусть
т) (/) — решение уравнения F.1), имеющее два нуля t = а, Ь 6 «/.
Докажем, что т] (/) = 0. Действительно, т| (/) £ Ла (а, Ь); поэтому
справедливо равенство F.5). Следовательно, / (т); а, 6) = 0,
поскольку т] — решение уравнения F.1). Так как функционал F.4)
положительно определен на А2 (а, Ь), отсюда следует, что г] (t) = 0.
Это означает, что уравнение F.1) является уравнением без сопря-
сопряженных точек на /, и теорема доказана.
Упражнение 6.3. Предположим, что J — незамкнутый ограни-
ограниченный интервал. Покажите, что в теореме 6.2 уравнение F.1)
является уравнением без сопряженных точек на «/, если / (tj; a, b) >-
>- 0 для всех [а, b] cz J и всех г] б Л2 (а, Ь).
Упражнение 6.4. Выведите из теоремы 6.2 теорему Штурма
о разделении нулей (следствие 3.1).
Если Р — постоянная положительно определенная эрмитова
матрица, то существует положительно определенная эрмитова
матрица Ри которая является «квадратным корнем» из Р в том
смысле, что Р = Р\ = Р^Ри см. упр. XIV. 1.2. Можно сформу-
сформулировать аналог этого алгебраического утверждения для диффе-
дифференциального оператора
Заметим, что равенство F.5) можно записать в виде
I (ц; a, b) = (L[T)],T)) для т)€Л(а, Ь)\
см. D.17). Следовательно, равенство F.7) можно записать в виде
Вхместе с квадратичным функционалом F.4) рассмотрим билинейную
форму
ь
I (%, ть; а, Ь) = j {рг)А-ЯЧМ2) dt
а
для %, У]2^Л2{а, Ь). Если v)i£A2(a, b), интегрируя по частям,
получаем, что
б
I Оъ/Ж» а,Ь) = — j тJ [(р%)#
а
27—241

418 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Если u(t) — решение уравнения F.1) и w(^)>0 на [а, 6], то, [как
легко проверить, для %, г\2^А2(а, Ь) и £1 = / Ь /
или
о
а
Ь
V
Поэтому, если определить дифференциальный оператор Lt первого
порядка следующим образом:
1.[т-Р^(оч'-^рч=р^ (|)', (б.8>
мы получим, что
(L[r\ih Tb) = (^ihi], иШ) Для %, т!2бЛ2(а, 6). F.9)
Следовательно, если оператор L (т. е. функционал F.4))^[положи-
F.4))^[положительно определен на А2(а,Ь), так что существует положительное
решение u(t) уравнения F.1) на [а, 6], то формально
В действительности это соотношение справедливо в следующем
смысле:
Следствие 6.2. Пусть р(/)>0, ^@ — непрерывные на J функ-
функции и уравнение F.1) имеет решение w(/)>0 ш /. Пусть опе-
оператор Lx определен формулой F.8) u L* —формально сопряжен-
сопряженный к нему оператор
см. § IV.8(viii). Тогда
непрерывно дифференцируемых функций т], таких, что
функция р (t) tj* абсолютно непрерывна (т. в. йля всехк], для которых
обычно определяется оператор L[x\\).
Это утверждение можно вывести из равенства F.9) или (более
просто) доказать его непосредственно. См. в приложении обобщение
этого результата.
Теорема 5.3 и ее доказательство имеют следующее следствие.

§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения 419
Теорема 6.3. Пусть р (t) > О, q (t) — вещественные непрерывные
функции на ^интервале J. Оператор L является неосциллирующим
на J тогда и только тогда, когда каждая пара линейно независимых
решений u(t), v (t) уравнения F.1) удовлетворяет условию
сdt
2>
Кроме того, уравнение F.1) является уравнением без сопряжен-
сопряженных точек на J тогда и только тогда, когда
ь
dt
I J
для каждой пары вещественных решений и (t), v (t), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию р (u'v — uv') = с Ф 0, и каждого отрезка [а, Ь])а У.
Если J — полуоткрытый интервал, например /: а <; t <
< со С<оо), и уравнение F.1) неосциллирующее при t = со, то
со
F.1) имеет такие решения и (t), для которых интеграл {dt/pu2
сходится, и такие решения, для которых этот интеграл расходится.
Решение, удовлетворяющее последнему условию, называется глав-
главным решением уравнения F.1) при / = со.
Теорема 6.4. Пусть р (t) > 0, q (t) — вещественные непрерывные
на J: a<;^<co «ioo) функции, такие, что уравнение F.1)
является неосциллирующим при t = со. Тогда существует вещест-
вещественное решение и = uQ (t) уравнения F.1), определенное однозначно
с точностью до постоянного множителя одним из следующих усло-
условий (в которых через щ (t) обозначено произвольное вещественное
решение, линейно независимое с и0 (t)):
(i) u0, Ui таковы, что
g|j->0 при *-^<о; F.10)
(и) aOf Ui таковы, что
(О
FЛ1о)
(iii) если T£J больше самого правого нуля функции и0(t) (если
он существует) и их(Т)ф0, mo ux(f) имеет один нуль или
не имеет ни одного нуля при Т</<о) в зависимости оттого,
выполняется ли условие
27*

420 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
или условие
при t = Т\ в частности, F.12i) справедливо для всех t F </), близ-
близких к со.
Ясно, что в F.10) и F.11) рассматриваются только такие значе-
значения t, которые больше самых правых нулей (если они существуют)
функций и0 и м4. Решение и0 (t)> удовлетворяющее одному (а сле-
следовательно, и каждому) из условий (i), (ii), (iii), будет называться
главным решением уравнения F.1) (при / = со). Решение и (t),
линейно независимое с и0 (t), будет называться неглавным решением
уравнения F.1) (при t = со). В силу F.10), F.11) термины «глав-
«главный» и «неглавный» могут быть заменены терминами «малый»
и «большой», однако мы не будем использовать их, поскольку они
относительны. Рассмотрим, например, уравнения и" — и = 0,
и" = 0 и w" + иШ2 = 0 при t >- 1. Примерами главного и неглав-
неглавного решений при / = оо для первого уравнения служат и = е~1
и и = е{\ для второго и = 1 и и = t\ для третьего и = tX/2 и и =
= /1/2 In /; см. упр. 1.1. Доказательство утверждения (ii) приводит
к такому результату:
Следствие 6.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.4.
Пусть и = и @ ф0 — какое-либо вещественное решение уравне-
уравнения F.1), и пусть значение t = Т больше, чем его последний нуль.
Тогда
t
$шкй <6ЛЗ>
— неглавное решение уравненик F.1) при Т<^<со. Если, далее,
и(t) — неглавное решение уравнения F.1), то
является главным решением при 71<£<со.
Доказательство теоремы 6.4.
(i) Пусть u(t), v(t) — два вещественных линейно независимых
решения уравнения F.1) и
p(urv — uv') = c^0. F.15)
Если значение t больше наибольшего нуля функции v(t) (если он
существует), то F.15) эквивалентно
= >^° F.16)

§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения 421
при 7</<со. Поэтому функция u/v монотонна на этом ^-отрезке
и существует предел
причем С может принимать значения ±оо.
Покажем, что и и v могут быть выбраны так, что в F.17) С = 0.
Если после этого положить u (t) = и0 (/), то утверждение (i) будет
доказано. В-самом деле, решение iii (t) линейно независимо с и0 (t)
тогда и только тогда, когда оно имеет вид и^ (t) = c^Uq (t) + c^v (t)
и сх Ф 0; в этом случае равенство С = 0 влечет за собой и^ =
= [^i + о A)] v (t), так что и0 = о (и{) при t-*» со.
Если С = ± оо в F.17), то после перестановки и и v F.17)
будет выполняться при С = 0. Если | С \ < оо, то следует обо-
обозначить функцию и (t) — Cv (t) через и (t); тогда F.15) будет спра-
справедливо, а F.17) будет выполняться при С = 0. Доказательство
закончено.
(п) Заметим, что в силу F.16) и F.17)
г
вне зависимости от того, будет ли | С \ = оо или \ С | < оо.
Если взять в качестве и> v пару и0, ии так что С = 0, то выпол-
выполняется F.Hi). Если же за и, v принять пару^ ии ио> так что
С = + оо, то выполняется F.110).
Доказательство следствия 6.3. Заметим, что если u(t) — реше-
решение уравнения F.1) и и (/) Ф 0 при Т <! t < со, то F.13) определяет
решение и{ (t)> линейно независимое с и (/), и то же верно в отно-
отношении F.14), если интеграл сходится; см. § 2 (ix). В силу (i),отсюда
вытекает следствие 6.3.
(iii) Поскольку и0, и^ можно заменить на —и0, —щ соответ-
соответственно, не меняя нулей и{ и неравенств F.12), мы будем предпола-
предполагать, что
Мо (/) >0 приГ<^<со и Ui(T)>0. F.18)
Умножая F.12) на и0 (Т) их (Т) > 0, видим, что в F.15), где
(и, v) = (ui9 ио)> постоянная с<С 0 или>0 в зависимости от того,
выполняется ли F.120) или F.12^. Поэтому Ui (t)/u0 (t) —>• -F оо
при t-+(u в соответствии с тем, какое из неравенств F.120) или
F.12!) имеет место. Так как щ (Т)/и0 (Т) > 0, а по теореме Штурма
о разделении нулей функция щ имеет при Т < / < со не более
одного нуля, отсюда вытекает утверждение о нулях^функции и{
при Т < t< со.
Остается доказать, что свойство (iii) характеризует главное
решение, т. е. если и0 @ обладает свойством (iii) для любого реше-

422 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
ния щ (/)» линейно независимого с и0 (/), то и0 (/) является главным
решением. В частности, F.12i) выполняется для t(ZJ), близких
к со. Следовательно, \ uo(f) | <; const | щ (/) | при ^-> со. Это при-
приводит нас к противоречию, если и0 (t) не является главным реше-
решением, а в качестве щ (t) выбрано главное решение.
Упражнение 6.5. Предположим, что (i) выполнены предполо-
предположения теоремы 6.4; (ii) уравнение F.1) имеет вещественное решение,
не имеющее нулей при (а <!]) Т <^ t < со, и (iii) uOr (f) — единствен-
единственное решение уравнения F.1), удовлетворяющее условиям иОг(Т) —
= 1, иОг(г) = 0, где Т<г<о); см. теорему 6.1. (а) Покажите,
что при г ->• со решения иОг {{) сходятся к и0 (t) равномерно на ком-
компактных интервалах из J и и0 (/) является главным решением
уравнения F.1) при t = со, удовлетворяющим условию и0 (Т) = 1.
(Ь) Докажите, что (а) неверно, если условие (ii) заменить более
слабым условием, потребовав, чтобы уравнение F.1) было урав-
уравнением без сопряженных точек при Г<;/<Ссо.
Упражнение 6.6. Пусть р (t) > 0, q (t) — вещественные непре-
непрерывные функции и уравнение F.1) является уравнением без сопря-
сопряженных точек на /-интервале У, содержащем точку / = ю «; оо)
в качестве правого конца. Пусть и0 (/) — главное решение урав-
уравнения F.1) при t = (о. Тогда и0 (t) ф 0 внутри J.
Из теоремы сравнения Штурма вытекает, что условие «q (t) <; 0
на J» является достаточным для того, чтобы уравнение F.1) было
уравнением без сопряженных точек на У. В этом случае мы можем
дать некоторую дополнительную информацию о главном решении.
Следствие 6.4. Пусть р (t) > 0, q (t) < 0 — непрерывные функции
на J:a </<oo. Тогда уравнение F.1) имеет главное решение,
удовлетворяющее условиям
uo(t)>O, uQ(t)<0 дляа<а<ы, F.19)
и неглавное решение ui(t), такое, что
«1 (/) > 0, и[ (О > О для a<ct< со. F.20)
Упражнение 6.7. (а) В следствии F.4) условия F.19) одно-
однозначно определяют uo(t) с точностью до постоянного множителя
тогда и только тогда, когда
(О (О
5^ = оо или -jqr(/)£tf = oo. F.21)
(b) Предположим, что выполнено первое из равенств F.21). Исполь-
Используя следствие 9.1» покажите, что главное решение, о котором гово-

§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения 423
рилось в следствии 6.4, удовлетворяет условию щ (t) —> 0 при t —» со
тогда и только тогда, когда
ы t
- j q{t){\drlp{r))dt = oo.
Обобщения, следствия и другое доказательство следствия 6.4
приведены в §§ XIV. 1 и 2,
Доказательство. Предположим сначала, что р (t) = 1, так что
уравнение F.1) имеет вид
= 0, F.22)
где q< 0. График каждого решения u = u(t) уравнения F.22) в пло-
плоскости переменных (t, и) вогнут вверх в точках, где u(t)>0.
Пусть u(t) — решение уравнения F.22), определяемое условиями
и (а) = 1, и' (а) = 1. Тогда график функции u = u(t) является вогну-
вогнутым вверх при а < t < со. В частности, и (t) > и (а) = 1, и' (t) >
со
> и'(а) = 1, так что и (t) > 1 +t. Поэтому интеграл I dt/u2 (t) схо-
сходится, так что и (/) является неглавным решением уравнения F.22).
В силу следствия 6.3, функция
будет главным решением уравнения F.22). Дифференцируя эту фор-
формулу, получаем
(О
ds 1
t
Так как функция и' (t) неубывающая, то
Отсюда получаем F.19). Случай р(/)>0 можно свести к рассмот-
рассмотренному случаю р (t) = 1 с помощью замены независимой перемен-
переменной A.7). Этим завершается доказательство.
Упражнение 6.8. Дайте доказательство той части следствия 6.4,
которая относится к и0 (/), основываясь на следующих соображе-
соображениях. Пусть а<С Т <. со и ит (/) — решение уравнения F.1),
удовлетворяющее условиям ит (а) = 1, ит (Т) = 0; см. теорему 6.1.
Покажите, что и0 (/) = lim ur (t) при Т ->- со существует равно-
равномерно на компактных интервалах из [а, со), является главным
решением уравнения F.1) и удовлетворяет F.19); см. упр. 6.5.

424 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Следствие 6.5* Пусть е дифференциальных уравнениях
(Pj(t)u'Y +q,(f)u = 09 F.23,)
где j = 1,2, функции pj (t)> О, qj (t) вещественны и непрерывны на
J: а <; t < со и уравнение F.232) является мажорантой Штурма
для F,23i), т. е.
Pi>p2>0, якСЯ2- F.24)
Пусть уравнение F,232) la следовательно, и F.23i)] является урав-
уравнением без сопряженных точек, а и2 (/) Ф 0 — вещественное решение
уравнения F.232). Тогда уравнение F.234) имеет главное и10 (О
и неглавное utl (t) решения, такие, что
и <T<1T F-25>
ui0 и2 ип
для всех t, следующих за последним нулем функции и2 (f) (если такой
существует).
Грубо говоря, это следствие утверждает, что главное (соответ-
(соответственно неглавное) решение уравнения F.23i) меньше (больше),
чем главное (неглавное) решение уравнения F.232). Если pi = р2
и функции и2, ui0, tin нормализованы с помощью подходящих
множителей, то из F.25) следует, что ui0 <; и2 <; ип для t, близ-
близких к со.
Упражнение 6.9. В следствии 6.5 главное решение ui0 уравне-
со
ния F.23!) удовлетворяет условию I ulo(q2 — q^)dt<C oo. В част-
частности, если в F.1) <7<0, то главное решение и0 уравнения F.1)
со
удовлетворяет условию \ и\ \ q | ds < оо.
j
Доказательство. Случай 1 (pi = p2). Предположим, что «2 @> О
при 7</<со. С помощью вариации постоянных u = u2z уравнение
F.23i) преобразуется (см. B.31) в § 2 (xii)) в уравнение
(Р&'У + u\(qi-q2)z = 0, F.26)
где qi — q2<0 и
— = -^L + —. F.27)
В силу следствия 6.4, уравнение F.26) имеет решения zo(t), zt(t),
удовлетворяющие условиям го>О, ^<0 и zt>0, г'±>0 при
7^. Искомыми решениями уравнения F.23!) являются ui0 =
Случай 2 (р{фр2). Функция r=^p2uju2 удовлетворяет уравне-
уравнению Риккати г' + г2/р2 + <72 = 0, соответствующему F.232);

§ 6, Неосциллирующие уравнения и главные решения 425
см. § 2(xiv). Это уравнение может быть записано в виде
£ О, F.28)
qo = q2+(l/p2—Upi)(pzu'2/u2J>q2>qi. Но F.28) —это урав-
уравнение Риккати, соответствующее уравнению
(PiWy + qou = O, F.29)
которое является мажорантой Штурма для F.23i). Кроме того,
уравнение F.29) имеет решение [см. § 2(xiv)]
т т
для которого выполняется соотношение
и и2
Применяя случай 1 к F.23!), F.29), получаем искомый результат.
Упражнение 6.10. Пусть в дифференциальных уравнениях
'-fj(t)u = O, F.30)
где /= 1, 2, функции /у, gj непрерывны при 0<^<со(<оо); пусть
0</i @</2@ и gi(t)*Cg2(t). Предположим, что и± (t) — решение
уравнения F.304), такое, что м4 @) = 1 и u±(t)>0, ^(/)<0 при
0<^<со; см. следствие 6.4. Тогда уравнение F.302) имеет реше-
решение u2(t), такое, что м2@) = 1, u'2(t)^O и 0<а2 (/)<^i (t) при
0</<со (в действительности даже такое, что и2@) = \ и 0<
<W2/«i<l, (^i)'<0 при 0</<со).
Следующий результат является теоремой о «выборе» или о «не-
«непрерывности» главного решения.
Следствие 6.6. Пусть pi (/), p2(t), рж (t) и qt (/), q2(t), ...
• ••, qoo(t) — непрерывные функции при а<^<со, такие, что
Pj(t)>0, qj(t)<0 для a</<oo, /=l, 2, ..., оо, F.31,)
Pj (t) -> Poo (/), ^ (/) -> ?оо @ /i/7t/ / -> оо F.32)
. При
я
F.33)
равномерно на каждом замкнутом интервале из а-<^<со. При
1</<ор обозначим через Ujo(t) главное решение уравнения
удовлетворяющее F.19) и
и(а) = 1. F.34)

426 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Тогда существует такая последовательность положительных
чисел j A) < / B) < ..., что предел
и*, (t) = lim uJO @, где j = j (n), F.35)
n-*oo
существует равномерно на каждом замкнутом интервале из а <[
<; t < со и является решением уравнения F.33 »), удовлетворяющим
F.19) и F.34).
Разумеется, выбор подпоследовательности будет излишним (т. е.
можно положить } (п) = п)9 если уравнение F.33 «) имеет един-
единственное решение, удовлетворяющее F.19) и F.34); см. упр. 6.7.
Упражнение 6.11. Утверждение следствия 6.6 становится невер-
неверным, если заменить условие qj (t) <! 0 предположением о том, что
уравнение F.33;) неосциллирующее, а условие F.19) удалено как
из посылки, так и из заключения этого следствия.
Доказательство. Пусть uji (/) — решение уравнения F.33;),
определяемое условиями
ип{а)=\, pj(a)Uji(a) = l. F.36)
Тогда F.20) выполняется и uH(t) является неглавным решением
уравнения F.33;); см. доказательство следствия 6.4. Поэтому,
в силу следствия 6.3, главное решение uj0(t) уравнения F.33;),
удовлетворяющее F.34), задается формулой
(О
Cjujo @ = ин (t) j pjJ$u,i(s) Для а <* < со, F.37)
где
(О
ds
C,-J
p](s)u2jl(s) •
Дифференцируя F.37), получаем
F.38)
так что при t = a имеем
(a)u(a)l
Поэтому последовательность р; (а) и]о (а), / = 1,2,..., ограничена,
если
С;> const > 0 при / = 1, 2, ... . F.39)
Для того чтобы проверить F.39), заметим, что F.36) и предполо-
предположение относительно F.32) влекут за собой равномерную сходимость

§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях 427
Ял @ —* Иоо1 (/) при / —> оо на замкнутых интервалах из множе-
множества а</<со. Поэтому в силу F.38)
для всякого фиксированного Г, а<сГ<о). Отсюда вытекает F.39).
Так как последовательности чисел Uj0 (а) = 1 и И;-о (а) при / =
= 1,2,... ограничены, существуют сходящиеся подпоследователь-
подпоследовательности. Если / A) < j B) < ... — индексы такой последовательности и
l = \imuJ0(a), м;,о = Hm mJ0 (а) Для / = /(л) -» оо,
то из предположения F.32) вытекает, что сходимость в F.35) равно-
равномерна на каждом отрезке [а, Т] а [а, со), где Uoo(t) — решение
уравнения F.33»), удовлетворяющее условиям и^ (а) = 1, и'оо (а) =
= и'оао. Решение и^ (t), очевидно, удовлетворяет F.19) и F.34).
Этим завершается доказательство следствия 6.6.
§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях
В этом параграфе будут получены условия, необходимые
и (или) достаточные для того, чтобы уравнение
u" + q({)u = 0 G.1)
было неосциллирующим. В силу теоремы сравнения Штурма наи-
наиболее простое и одно из наиболее важных достаточных условий
для того, чтобы уравнение G.1) было неосциллирующим (или осцил-
осциллирующим), состоит в том, что уравнение G.1) имеет неосцилли-
рующую (соответственно осциллирующую) мажоранту (соответ-
(соответственно миноранту) Штурма. Например, если q (t) <! 0 (так что
уравнение и" = 0 является мажорантой Штурма для G.1)), то
уравнение G.1) является неосциллирующим. Если q (t) = ц/~2,
то G.1) будет неосциллирующим или осциллирующим при t = оо
в зависимости от того, будет ли |х <; 1/4 или |х > 1/4; см. упр. 1.1 (с).
Таким образом, мы получаем следующий критерий:
Теорема 7.1. Пусть q (t) — непрерывная вещественная функция
для больших t > 0. Если
- оо <!im t2q (t) < 4- [или оо > lim t2q (t) > -J-l, G.2)
то уравнение G.1) является неосциллирующим [соответственно
осциллирующим] при t=oo.
Если же t2q(t) —> 1/4 при / —> оо, то теорема 7.1 не приме-
применима. В этом случае, как видно из результата упр, 1.2, условие

428 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
G.2) можно заменить условиями
/—>oo
или
oo >
Действительно, последовательность функций, приведенная
в упр. 1.2, дает шкалу пробных функций, помогающих установить,
является ли уравнение 7.1 осциллирующим или неосциллирующим
при / = оо.
Критерий, который формулируется в теореме сравнения Штурма,
может быть представлен в следующей удобной форме:
Теорема 7.2. Пусть q (t) — вещественная функция, непрерывная
на J: a <1 t < со (<1оо). Уравнение G,1) является уравнением без
сопряженных точек на J тогда и только тогда, когда существует
непрерывно дифференцируемая функция г (t) при а < / < со, такая,
что
г' + г2 + q (t) < 0. G.3)
Упражнение 7.1. Сформулируйте аналог теоремы 7.2 для слу-
случая, когда J открыто, и для случая, когда J — замкнутое и огра-
ограниченное множество.
Замечание. Из результатов § 1 ясно, что справедлив аналог
теоремы 7.2, если заменить G.1) уравнением вида {pu')r + qu = 0
или и" + gu' + fu — 0 при условии, что G.3) заменено соответ-
соответствующим дифференциальным неравенством Риккати г' + ^!р +
+ q < 0 или г' + г2 + gr + f < 0.
Доказательство. Прежде всего, если уравнение G.1) является
уравнением без сопряженных точек на J, то оно имеет решение
и — и0 (t), которое положительно при а < t < со; см. следствие 6.1.
В этом случае функция г = ио/ио удовлетворяет уравнению Рик-
Риккати
г' + г2 + q (t) = 0 G.4)
при а < t < со. Этим доказана необходимость.
Если существует непрерывно дифференцируемая функция r(t),
удовлетворяющая G.3), обозначим через q0 (t) ^ 0 левую часть
неравенства G.3) при а < t < со, так что /*' + f2 + q — q0 — 0.
Тогда уравнение
if + [q (t) — qo W u = 0
является мажорантой Штурма для уравнения G.1) при а < t < со
и в силу результата § 2 (xiv) имеет положительное решение и =

§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях 429
t
= ехр \ г (s) ds, где а<£<со. Это показывает, что уравнение
е
{7.1) является уравнением без сопряженных точек при а < /< со*
Для завершения доказательства мы должны еще показать, что
если функция щ ($фО является решением уравнения G.1), удо-
удовлетворяющим условиям щ (а) = О и их (и) = 1, то щ (t) ф О
при а< /<со. Предположим, что это не так и щ (t0) = О, где
а < to < со. Поскольку функция ^i меняет знак при / = t0 и реше-
решение уравнения G.1) непрерывно зависит от начальных условий,
отсюда следует, что если е > 0 достаточно мало, то решение урав-
уравнения G.1), удовлетворяющее условиям и (а + £) = 0, w' (a + е) =
= 1, имеет нуль вблизи /0- Это противоречит тому, что уравнение
G.1) является уравнением без сопряженных Точек при а<. t <. со.
Теорема доказана.
Упражнение 7.2. (а) Используя замечание, следующее за тео-
теоремой 7.2, покажите, что если в дифференциальных уравнениях
= 0, G.5,-)
где / = 1, 2, коэффициенты являются вещественными функциями,
непрерывными на J: а ^ / < со (<1оо), такими, что
gi(t)<gAt), h(t)<h(t), G.6)
и если уравнение G.52) имеет решение и (t), удовлетворяющее
условиям и > 0, и' >- 0 при а < / < со, то уравнение G.5t) будет
уравнением без сопряженных точек на J. [Для дальнейших прило-
приложений в упр. 7.9 заметим, что условия, налагаемые на G.52),
выполняются, если уравнение G.52) — уравнение без сопряженных
со г
точек на /, f2(t)^>0 и \ Гехр — \ g2(s)df\ dt = оо; см. упр. 6.2.]
а
(Ь) Пусть / (t) — непрерывная и g (t) — непрерывно дифференци-
дифференцируемая вещественные функции на отрезке а <; t <; Ь. Тогда урав-
уравнение
и" +g(t)u' +f(i)u = O
является уравнением без сопряженных точек на [а, Ь\ если сущест-
существует вещественное 4исло с, такое, что
при а<
Следствие 7.1. Пусть q (t) — вещественная непрерывная
на J: <2<£<со функция, С —постоянная и
t
Q(t)^C-jq(s)ds. G.7)

430 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Если дифференциальное уравнение
u" + A(Z2{t)u = 0 G.8)
не имеет сопряженных точек на J% то уравнение G.1) также
не имеет сопряженных точек на J.
Упражнение 7.3. Покажите, что это следствие не имеет места,
если коэффициент 4 в G.8) заменить постоянной
Доказательство следствия 7.1. Если ввести в уравнение Рик-
кати G.4), соответствующее G.1), новую переменную
P = r-Q, G.9)
так что p' = r' + q, то уравнение G.4) перейдет в уравнение
p' + p2 + 2Qp + Q2 = 0. G.10)
Поскольку 2Qp<p2 + Q2, решение уравнения
p' + 2(P2 + Q2) = 0 G.11)
на некотором интервале удовлетворяет неравенству
P' + p2 + 2Qp + Q2<0. G.12)
Дифференциальное уравнение G.11) может быть записано в виде
о' +о2 + 4Q2 = 0, если а = 2р. G.13)
Наконец, заметим, что G.13) является уравнением Риккати
для G.8).
Таким образом, если уравнение G.8) имеет решение и (/), поло-
положительное на J, то функция а = u'lu удовлетворяет G.13). Следо-
Следовательно, р = а/2 удовлетворяет G.12), а функция г = р + Q
является решением дифференциального неравенства G.3) на J.
В силу теоремы 7.2, этим завершается доказательство следствия.
Упражнение 7.4. Парное к следствию 7.1 утверждение можно
сформулировать следующим образом: пусть q (/) — вещественная
функция, непрерывная на отрезке O^Ct^b. Пусть 0 <; а < Ь,
а — фиксированное число. Предположим, что функция
t
Q(t)=\q(s)ds
обладает тем свойством, что Q (/) ^ 0 при а^ /^6и всякое реше-
решение z (t) уравнения z" + Q2 @ г = 0, г' (а) = 0 имеет нуль на полу-
полуинтервале а< t <! Ь. Тогда решение и (/) уравнения G.1), удовле-
удовлетворяющее условию и' @) = 0, имеет нуль на @, Ы.

§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях 431
Один из основных результатов относительно уравнений G.1),
которые не являются осциллирующими при / = оо, основан на сле-
следующей лемме.
Лемма 7.1. Пусть q (t)— вещественная функция, непрерывная
при 0^.t<oo и такая, что уравнение G.1) является неосцилли-
рующим при t = оо. Тогда для некоторого {или для каждого) ве-
вещественного решения u(t)=£O уравнения G.1)
^<о° GЛ4)
в том и только в том случае, когда существует конечный предел
т t
lim-i- J [^q{s)ds)dt = C. G.15)
Замечание. Важно отметить, что, как это будет видно из дока-
доказательства, условие G.15) можно заменить более слабым условием
г *
limi [ ( \q{s)ds)dt>-oo. G.16)
г=^> о о
Другими словами, если уравнение G.1) является неосциллирующим
при / = оо, то из G.16) следует G.15). В действительности из G.16)
вытекает даже более сильное соотношение:
г *
-jr J \C— J q(s)ds *dt->0 при Г->оо. G.17)
о о
Упражнение 7.5. Пусть функция q(t) удовлетворяет условиям
леммы 7.1. Покажите, что
-■£-->0 при /->сю G.18)
для какого-нибудь (или для каждого) вещественного решения
иA)фО уравнения G.1) тогда и только тогда, когда
t+o
sup ут
0<о<оо1"га J
\ q(s)ds —>0 при t—>oo. G.19)
J
(Заметим, что G.19) выполняется, если, например, q(t)—>0
оо
при t—>оо или \ | q (s) |v ds< oo для некоторого у>\.\

432 Гл. XL Линейные уравнения второго порядка
Доказательство. Предположим вначале, что GЛ4) выполняется
для какого-нибудь вещественного решения u(t)^0 уравнения G.1).
Пусть значение t = а больше наибольшего нуля функции и (t) (если
такой существует). Положим г = и'1и при t>a, так что функ-
функция г удовлетворяет'уравнению Риккати G.4). Интегрируя, получаем
г (t) + j r2 (s) ds = г (а) - | q (s) ds G.20)
а а
при t>a. В силу G.14), равенство ^G.20) можно записать в виде
(s)ds, G.21)
t о
оо
где C ()\ *()d
оо оо
= r(a)—\ r*(s)ds+^ q(s)ds. В силу G.14),
0
Т
-I J
г* (*)<«. -i" j ( Jr2(s)dsJ^-^0 при
Следовательно, из G.21) вытекает G.17) (с учетом неравенства
(а-г РJ<2 (о:2 + р2) для вещественных чисел а, C). Согласно нера-
неравенству Шварца [см. G.22)], из G.17) следует G.15). Поэтому
условие G.15) необходимо для того, чтобы выполнялось G.14).
Для доказательства обратного утверждения предположим, что
выполняется G.16), и (t) ^0 — вещественное решение уравнения G.1)
и u(t)>0 при t>a. Тогда для г = и'/и выполняется G.20),
а интегрируя G.20), получаем
Если выполнено условие G.16), правая часть этого равенства огра-
ограничена сверху. Предположим, что G.14) не имеет места; тогда вто-
второе слагаемое левой части стремится к оо при / —> оо и
t t s
—Lj r(s)ds>-i- j (Jr4<r)da)ds
a a a
при больших t. В силу неравенства Шварца
I/2, G.22)

§ 7. Теорема о неосциллирующих уравнениях 433
и мы получаем неравенство
t t s
4t J r2 (s) ds> ( j ( j r2 (a) da) dsJ
a a a
при больших t. Его можно записать в виде
t S
4tS'>S2, где S(t)= f ( f r2(a)da)ds->oo при ^->оо.
a a
Интегрируя, получаем, что при больших /
Const ^-гт- > In /.
Полученное противоречие показывает, что условие G.14) обяза-
обязательно выполняется. Теорема доказана.
Теорема 7.3. Пусть q (/) — вещественная функция, непрерывная
на 0 <; t < оо. Для того чтобы уравнение G.1) было неосциллирую-
щим при t = оо, необходимо выполнение одного из следующих условий:
т t
— 'т J (I q (s) ds) dt= -°° G-23)
условия G.15) (в последнем случае справедливо соотношение
G.17)).
Отсюда видно, что если, например, q (t) ^ 0, то необходимое
условие для того, чтобы уравнение G.1) было неосциллирующим
оо
при t = оо, состоит в следующем: \ q (t) dt <С оо. В действитель-
ос
ности, как это видно из упр. 7.8, необходимо, чтобы \ Pq (t) dt<C oo
при каждом у < 1.
Доказательство. Предположим, что уравнение G.1) является
неосциллирующим при / = оо, но условие G.23) не выполняется,
так что справедливо G.16). Мы должны проверить справедливость
условия G.17). Но это ясно из доказательства леммы 7.1, которое
показывает, что, с одной стороны, из G.16) вытекает G.14) для
любого вещественного решения и (t) ^= 0 уравнения G.1), а с дру-
другой — что из справедливости условия для какого-нибудь одного
решения вытекает G.17).
Упражнение 7.6. Пусть функция q (t) будет такой же, как
и в теореме 7.3, и, кроме того,
q{t)-*O при *->оо, G.24)
28-241

434 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
или выполняется более общее условие G.19). Тогда для того, чтобы
уравнение G.1) было неосциллирующим при t = оо, необходимо
следующее: либо
т
\ q(t)dt—>—oo при 7->оо, G.25)
о
либо интеграл
оо Т
J q(t)dt=\im J q (t) dt G.26)
о г~*°° о
сходится (возможно, условно).
Упражнение 7.7. (а) Дайте примеры, показывающие, что усло-
условие G.15) в теореме 7.3 совместимо с каждой из трех возможностей:
т т
lim -7jr \ ( \ q(s) ds) dt= — оо, конечен, +оо. G.27)
Т->оо v V J /
О О
(Ь) Покажите, что если в теореме 7.3 функция q(t) полуограни-
полуограничена или даже выполняется более общее условие: существует такое
е>0, что интеграл
s+t
\ q(o)do полуограничен при 0</<оо, 0<s<8,
s
то для того, чтобы уравнение G.1) было неосциллирующим, необ-
необходимо выполнение одного из условий G.15) или G.25). См. Харт-
ман [11].
Заменяя переменные в уравнении G.1) и используя теорему 7.3
(и ее следствия), можно получить новые необходимые условия,
при которых уравнение G.1) не является осциллирующим. Это
видно из следующего упражнения:
Упражнение 7.8. (а) Введите в G.1) новые независимую и зави-
зависимую переменные, положив s = ty, у > 0, г = №~1)/2и, и сформу-
сформулируйте необходимые условия, при которых получающееся урав-
уравнение (а следовательно, и уравнение G.1)) будет неосциллирующим
при t = оо. (Ь) В частности, покажите, что если q (t) ^> 0 и урав-
оо
нение G.1) является неосциллирующим при t = оо, то \ tx~vq (t) dt<
< оо при всех у > 0.
Следующий результат дает условие, совсем не похожее
на G.17) из теоремы 7.3, в случае, когда выполняется условие G.15).
Теорема 7.4. Пусть функция q (t) удовлетворяет условиям тео-
теоремы 7.3, так что уравнение G.1) является неосциллирующим при

§ 7. Теорема о неосциллирующих уравнениях 435
/ = оо, а G.23) не имеет места (так что выполняется G.15)). Тогда
оо t
j exp ( — 7 j Q(s)ds} dt = оо для 0<у<4, G.28)
о
где
t
Q(t) = C-^q(s)ds. G.29)
о
Для приложений интересны случаи, когда выполняется G.26),
так что
с»
Q(t)=^q(s)ds. G.30)
Легко проверить, полагая q (t) = \x/t2 при /1> 1, что постоянная 4
в G.28) не может быть заменена большей постоянной. Интересно
отметить, что в доказательствах следствия 7.1 и теоремы 7.4 исполь-
используется неравенство 2Qp •< р2 + Q2. При доказательстве следствия
7.1 это неравенство используется при выводе G.12) из G.11);
в доказательстве теоремы 7.4 — при переходе от G.10) к неравенству
р' + 4Qp < 0. G.31)
Доказательство. Пусть и = и (/) ф 0 — вещественное решение
уравнения G.1) и Т настолько велико, что и (t) ф 0 при t> Т.
Так как по предположению имеет место G.15), то справедливо
G.14). Поэтому, если г — и'/и> то, интегрируя соответствующее
уравнение Риккати, мы получаем G.21), как и при доказательстве
леммы 7.1. Перепишем G.21) в виде г (/) = р (t) + Q (/), где
оо
р (t) - J r2 (s) ds. G.32)
Поскольку р' = — г2 = — (р + QJ, то справедливо уравнение
G.10). Отсюда следует G.31). В частности, если Q (t) !> 0, то
Р' + VQP < 0 при 0 < у < 4. G.33)
Заметим, что если Q < 0, то G.33) имеет место, так как р' <; 0,
р ;> 0. Поэтому G.33) выполняется при / ^ Т. Так как доказывае-
доказываемое утверждение тривиально в случае, когда q (t) = 0 при боль-
больших t, мы можем исключить этот случай из рассмотрения. Поэтому
г ф 0 при больших t и, следовательно, р (t) > 0. Таким образом,
из G.33) вытекает, что
t
р (t) < р (Г) ехр ( - у j Q (s) ds) при * > Т. G.34)
г
28*

436 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Предположим, что G.28) не имеет места. Тогда из G.32), G.34)
видно, что
оо оо
р (t) dt < оо и потому С tr2 (t) dt < оо
при г = и'/и, где иУ)фО — произвольное вещественное решение
уравнения G.1). Покажем, что это приводит к противоречию. Для
этого заметим, что
С помощью неравенства Шварца получаем, что
Следовательно, существуют такие постоянные с0 и с, что | и (t) \ <
<соехрс (In t)i/2 при больших t. Отсюда следует, что
для всех вещественных решений (ФО) уравнения G.1). Это про-
противоречит существованию неглавных решений (см. теорему 6.4).
Доказательство закончено.
Упражнение 7.9. Пусть в дифференциальных уравнениях
и" -}- q ;(t)u = Oj G.35;)
где / = 1, 2, функции qj (t) вещественны и непрерывны при боль-
больших t, интеграл
qj (s) ds = lim \ qj (s) ds
сходится (быть может, условно), | Qi (t) \ ^ Q2 (t) и уравнение
G.352) является неосциллирующим при t = оо. Покажите, что
уравнение G.354) является неосциллирующим при t = оо.
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические случаи
В этом и следующем параграфах рассматривается задача об
асимптотическом интегрировании уравнений вида
tf + q(f)u = O, (8.1)
где функция q (t) непрерывна при больших t. Всюду, за исключе-
исключением последней части этого параграфа, нас будут интересовать

§ 8. Асимптотическое интегрирование 437
такие случаи, когда коэффициент q (t) близок к постоянной, и слу-
случаи, которые могут быть сведены к предыдущему. В последней
части этого параграфа (см. упр. 8.6, 8.8) мы получим оценки для
| и' | при условии, что функция q (t) ограничена сверху.
Если q (t) — постоянная, например q (t) = X, и X — веществен-
вещественное положительное число, то все решения, грубо говоря, сравнимы
по величине. С другой стороны, если X не является вещественным
положительным числом, то имеется по существу одно решение,
убывающее по абсолютной величине при t->- оо, а другие решения
возрастают. Эти факты показывают, что в случае, когда функция
q (t) близка к постоянной X, нам потребуется различная техника
в зависимости от того, является ли X вещественным положительным
числом или нет. В этом параграфе рассматривается первый случай.
Теорема 8.1. Пусть в дифференциальных уравнениях (8.1) и
t)w = O (8.2)
функции q(t), Qo(t) непрерывны при 0<^<оо, принимают ком-
комплексные значения и таковы, что
(8.3)
для каждого решения w(t) уравнения (8.2). Пусть uo(t), vo(t) —
линейно независимые решения уравнения (8.2). Тогда каждому
решению u(t) уравнения (8.1) соответствует по крайней мере
одна пара таких постоянных а, |3, что
o(l)]v0(t),
'0(t) ( ' }
при t-> оо; обратно, для каждой пары постоянных а, р найдется
по крайней мере одно решение и (t) уравнения (8.1), удовлетворяю-
удовлетворяющее (8.4).
Заметим, что при данном u(t) соотношение (8.4) может ока-
оказаться верным более чем для одной пары постоянных (а, Р). Это
верно, например, если v0 (t) = о (и0 (*)))при t-+ оо.
Интересно отметить, что в теореме 8.1 основное условие (8.3)
не включает производных w'{f) от решения w (t) уравнения (8.2).
Это обстоятельство не имеет места, если заменить (8.1) или (8.2)
более сложным уравнением, как это сделано в упр. 8.4 ниже.
Доказательство. Можно предполагать, что det Y (t) = 1, где

438 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Запишем (8.1) в виде системы первого порядка х' = A(t)x для
двумерного вектора х = (и, и')\ см. B.5). С помощью вариации
постоянных x=Y(t)y можно свести систему х' = A (t) х, напри-
например, к системе у' = С (/) у вида B.28); см. § 2(xi). Поэтому тео-
теорема 8.1 вытекает из линейного случая теоремы Х.1.2; см. упр. Х.1.4.
Следствие 8.1. Пусть q (t) — непрерывная комплексная функция,
определенная при 0 <; / < оо и такая, что
оо
J \l-q(t)\dt«x>. (8.5)
Тогда, если а, $ —постоянные, то существует одно и только
одно решение u(t) уравнения (8.1), удовлетворяющее асимптоти-
асимптотическим равенствам
a + o(l)]cost + [$ + o(l)]smt,
os*. ( )
Равенства (8.6) можно записать так: и = 6cos [^ + Y + ° A)]»
и' = — б sin [t + у + о A)] при t —> с» для некоторых постоян-
постоянных у и б.
Упражнение 8.1. Докажите, что если а и Р — постоянные, то
существует единственное решение v (t) уравнения Бесселя tV +
+ to' + (t2 — М'2) v = 0 при t > 0, такое, что функция w (/) =
= t1/2v (f) удовлетворяет соотношениям (8.6) при t->oo.
Упражнение 8.2. Покажите, что следствие 8.1 остается спра-
справедливым, если заменить условие (8.5) следующими более слабыми
условиями (в которых f (t) = 1 —q (t)): интегралы
оо
. gi(t)= \ f(s)cos2sds,
\
существуют как сходящиеся (возможно, условно) несоб-
оо Г"
ственные римановы интегралы f \ = lim \ при Т —> оо j
оо
и j \gk(t)f (t)\dt<оо при k = 0, I, 2.
Упражнение 8.3. (а) Пусть q(t) — положительная при 0</<оо
функция, обладающая непрерывной второй производной и такая,
что
= OO И
(8.7)

§ 8. Асимптотическое интегрирование
439
Тогда утверждение следствия 8.1 остается справедливым, если
заменить (8.6) следующими условиями:
t t
os f 9i/2
о
= —[a + o(l)]sin
sin \ qW
о
(b) Покажите, что условие (8.7) в п. (а) выполняется, если
>—1/2, q(t)>const>0 при 0<£<оо и функция /@ =
= qa (t) > 0 имеет непрерывную вторую производную, такую, что
оо
\ | f" (t) \dt<. оо. [В действительности, для справедливости утверж-
утверждения (а) достаточно предположить, что / (t) имеет непрерывную
первую производную, которая имеет ограниченную вариацию при
с»
0</<оо, т. е. l|d/'@l<°°- Например, /'(£) —монотонная
ограниченная функция. Это следует из только что доказанного
утверждения, если использовать аппроксимацию q (t) гладкими функ-
функциями.]
Упражнение 8.4. (а) Пусть в дифференциальных уравнениях
qjU^O, / = 0, 1, (8.8;)
комплексные функции р7- (t) •
0^о И
:0, Qj(t), fj(t) непрерывны при
w\z
<7i — Qo I
exp
rods
Po
dt-
.oo,
pow I2
Pi
1
Po
1"^
(8.9)
для всех решений и = w (t) уравнения (8.80). Пусть w0 @» vo @ —
линейно независимые решения уравнения (8.80). Тогда каждому
решению и (f) уравнения (8.8i) соответствует по крайней мере одна
пара постоянных а, |3, для которых справедливы равенства (8.4);
обратно, если a, p — постоянные, то существует по крайней мере
одно решение и (t) уравнения (8.8i), удовлетворяющее (8.4).

440 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
(Ь) Пусть в дифференциальном уравнении (8.1) комплексная функ-
функция q (t) ф 0 непрерывна при 0 <; t < оо и имеет ограниченную
оо
вариацию при 0 < t < оо (т. е. f | dq |< оо), с0 = lim q(t)y
/~>-оо,— положительная постоянная, и решения и (t) уравнения
(8.1) ограничены (например, если q (t) вещественна или, в более
оо
общем случае, если f | Im q (/) | dt < оо, то решения и (/) и их
производные ur(t) ограничены). Пусть а, р — постоянные. Тогда
уравнение (8.1) имеет единственное решение и (/), такое, что при
(l)]cos f ^i/2 (S)ds
о о
(8.10)
где 91/2 (/) —произвольная фиксированная ветвь квадратного корня
из q.
Упражнение 8.5. Пусть (комплексная) функция f (t) не обра-
обращается в нуль, имеет при />0 непрерывную производную и
Предположим далее, что
\^(J^)mdr (8.11)
ограничены при t^>oo. Тогда дифференциальное уравнение
= O (8.12)
имеет пару таких решений, что при t —^ оо
Все степени функции / (/), входящие в эти формулы, можно считать
целыми (положительными или отрицательными) степенями от фик-
фиксированных значений корня четвертой степени из / (/). Условие

§ 8. Асимптотическое интегрирование 441
(8.11), очевидно, выполняется, если f (t) — вещественная положи-
положительная функция и 0 < v2 < 1.
В следующем упражнении будут получены оценки производных
от решений уравнения (8.1) или более общего уравнения
u" + q{t)u = f{t). (8.13)
Упражнение 8.6. Пусть q(t), /(^ — непрерывные при 0<^<^0
вещественные функции. Пусть положительные постоянные s,
1/0>1 и С таковы, что
0<е<-^-, (8.14)
ъ
[q(T)dT<C, если Ь — а<-^- (8.15)
и 0 < а < 6 < /0. (Неравенство (8.15) справедливо, например, если
q(t)<cC2/Q при 0</<^0.) Пусть u = u(t) — вещественное 'решение
уравнения (8.13). Рассмотрите случай
ии'>0 при * = 7\ 0<Г<^0-е/С, S = T + Q/C, U=T + e
или случай
ш/<0 при t = T, 0/С<Г<^о, S = T — Q/C, U = T—e.
(а) Покажите, что в каждом случае
(8.16)
(b) Покажите, что (8.16) справедливо, если заменить | и (U) \
I С
на 2г~1\ \\u\dx (с). Из утверждения (а) вытекает, что если
I *)
0-9/С, то
t+e 1
1"'@!<т=в- i I/1^т-j-Со(в) 2 1"(' + /в)|. (8-17)
t-e i=-l
где C0(e) = max(C/(l—0), C+l/e). (d) Положите
r(t) = \u'(t)\ + C\u(t)\. (8.18)
Покажите, что существует неубывающая при О <С А < min @, 1 — 0)/С
функция К (А), такая, что
ь
r@</C(A){r(fl) + rF)+ } |/Ит} при а<^<6, (8.19)
а
если 6 — а = А и 0&^

442 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Результаты, сформулированные в последнем упражнении, можно
перенести на уравнение вида
u" + p(t)u' + q(t)u = f(t); (8.20)
см. упр. 8.8. В действительности результаты, касающиеся урав-
уравнения (8.20), могут быть выведены из результатов, полученных для
уравнения (8.13), с помощью леммы, содержащейся в следующем
упражнении, не имеющем отношения к дифференциальным урав-
уравнениям.
Упражнение 8.7. Пусть функция h (t) >- 0 имеет ограниченную
вариацию, a g(t) непрерывна на отрезке а ^ t ^ Ъ. Тогда
ь Э
[h{t)dg(t)<(inih + \arh) sup [ dg(t), (8.21)
a a
где интегралы понимаются в смысле Римана — Стильтьеса, а var h
означает полную вариацию функции h(t) на a^t-^b.
Упражнение 8.8. Пусть вещественные функции р (t), q (f), f (t)
непрерывны на отрезке 0</</0им(/) — вещественное решение
уравнения (8.20). Пусть 1/8 > 1 и С — такие положительные
постоянные, что справедливо (8.15). Рассмотрите два случая
в упр. 8.6, заменив (8.14) условиями
s
0<е<9/С£2, где £ = ехр ||р(т)|4т . (8.22)
т
(а) Части (а), (Ь) упр. 8.6 остаются справедливыми, если | и' (t)
в (8.16) заменить на | и' (Т) \/Е. (Ь) Утверждение (с) упражнения 8.6
сохраняется, если заменить \u'(t)\ в (8.17) на \u'{t)\/E^ где
0<е<9/С£2 (8.23)
и
t+Q/C
£ = maxexp f \р(х)\с1т при O<t<to — Q/C.
(с) Утверждение (d) упражнения 8.6 справедливо, если 0 < А <
< min (8, 1 — 8)/С£2, где Е определено в (8.23).
§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические случаи
Асимптотическое интегрирование уравнения и" + q (t) и = 0,
где функция q (t) «близка» к вещественной, но неположительной
постоянной, можно провести, основываясь на результатах гл. X,
как это было сделано в предыдущем параграфе. Однако мы исполь-
используем в этом параграфе совсем другую технику и при этом гораздо

§ 9. Асимптотическое интегрирование 443
глубже учитываем специальную структуру уравнения второго
порядка
(p(t)u')' +q(t)u = 0. (9.1)
Это уравнение эквивалентно системе из двух уравнений, имею-
имеющей вид
t (9.2)
в которой отсутствуют диагональные элементы. (Эта система не мо-
может быть сведена к уравнению вида (9.1), если E (t) или 7 @ обра-
обращаются в нуль.) Основные результаты, касающиеся уравнения
(9.1), будут основываться на леммах, относящихся к системе (9.2).
Система вида (9.2) при 0 <; / < со (^ оо) будет называться
системой типа Z при t = со, если существует
z (со) = lim z (t) при t -> со
для каждого решения (v (i)> z(t)) и z (со) Ф О для некоторого реше-
решения. Легко видеть, что система (9.2) является системой типа Z
тогда и только тогда, когда существуют такие линейно независимые
решения (vj(t), Zj(t)), j = 0, 1, что lim z0 (t) = 0, a lim z4 (/) = 1.
Лемма 9.1. Пусть р (/), у (t) — непрерывные комплексные функ-
функции при 0 < / < со (<; оо). Предположим, что
:«,
(9.32)
или что выполнено более общее условие: интеграл
Г
(/)df=lim \y(t)dt (9.40
Г->со ^
сходится {возможно, условно) и
со со
f |P(s)|r(s)ds<oo, где T{s)= sup I \y(r)dr . (9.42)
система (9.2) является системой типа Z.
Если р (/)==£ 0, то из условия (9.32) вытекает (ЭД). Если
изменить порядок интегрирования, то можно видеть, что условие
(9.32) эквивалентно условию
со
S<oo.

444 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Это означает, что из (9.3) вытекает (9.4). Лемма 9.1 допускает
частичное обращение.
Лемма 9.2. Если $(t) и у (t) — непрерывные вещественные
функции при 0</<со(<оо), не меняющие знака (т. е. р>0
или р<0 и у>0 или v<0), и если система (9.2) является
системой типа Z, то справедливы соотношения (9.3^ — (9.32).
Упражнение 9.1. Обобщите лемму 9.1 на случай, когда систе-
система (9.2) заменена d-мерной системой вида v'f = yj(t)v'+i, где
/=1, ..., d и vd+1 = v1.
Доказательство леммы 9.1. Интегрируя (9.2), получаем
t
v(t)=[ ^(s)z(s)ds + ci, Ci = v{T), (9.5)
c2 = z(T). (9.6)
т
t s t
T T T
После перемены порядка интегрирования мы получаем из послед-
последней формулы, что
t t t
2@= f P(r)z(r) \y(s)dsdr + ci [y(s)ds-rc2. (9.7)
Если t>T, то T^Cr^Ct и из определения Г в (9.42) вытекают
следующие неравенства:
/ со со
JY(s)ds|<:| JV(s)ds| + | Jv(s)rfs|<2r(r). (9.8)
Г Г t
Следовательно,
|z@l<2 j|P(s)|r(s)|z(s)|ds+C,
г
где
С = 2|с1|Г(Г) + |с2|. (9.9)
В силу неравенства Гронуолла (теорема II 1.1.1)
* со
|z(/)|<Cexp2 ( |p(s)|r(s)ds<Cexp2 f |p(s)|T(s)ds (9.10)
при Г< t< со. Отсюда в силу (9.42) следует, что функция г (/)
ограничена. Соотношения (9.7) и (9.42) показывают тогда, что
существует предел z (со) = lim г (/) при t -> со.

§ 9. Асимптотическое интегрирование 445
Если в (9.7) подставить / = со, то мы получим предел г (со).
Для того чтобы показать, что z (со) ф 0 для некоторого решения
уравнения (9.2), выберем начальные условия й = v (Г) = 0 и
с2 = z (T) = 1 в (9.5) и (9.6). Тогда С = 1 в (9.9) и (9.10) и из (9.7)
(9.8) и (9.10) вытекает, что
|z(co)-l|<2
со со
(J|P(r)|r(r)dr)exp2 j|p(s)|r(s)ds.
Г Т
Поскольку правая часть стремится к 0 при Т ->■ оо, отсюда следует,
что если Т достаточно близко к со, то г (со) Ф 0. Тем самым лемма 9.1
доказана.
Доказательство леммы 9.2. Пусть (v (t)y z (t)) — решение урав-
уравнения (9.2), такое, что z (со) = 1. Можно также предположить, что
v (T) = 0 при некотором Т. В противном случае можно прибавить
к (v (/), z (t)) с некоторым множителем решение (v0 (f), z0 (t)) Ф 0,
для которого г0 (со) = 0. В действительности равенство v0 (f) = 0
не может иметь места, поскольку тогда, в силу (9.2), мы будем иметь
г0 (t) = z0 (со) - 0.
Поэтому сх = 0 в (9.6) и из равенства z(co) = 1 видно, что
(9.32) имеет место (поскольку р и у не меняют знака). Если р (/) =^= 0
для /, близких к со, то отсюда вытекает (9.3i). Если же Р (t) = 0
и система (9.2) является системой типа Z, то (9.3i) справедливо, ког-
когда у не меняет знака. Этим завершается доказательство.
Пусть (v(t), z(t))9 (vi(t), Zi(t)) — решения системы (9.2). Тогда
z4 (t) v (t) - Vi(t) z (t) = cQ (9.11)
является постоянной. Это следует из теоремы IV. 1.2 (или может
быть проверено с помощью дифференцирования). Если z^ (t) ф 0,
то после умножения (9.11) на y{t)lz\{t) мы получаем (z/zi)' =
= coy/zi (в силу (9.2)), и поэтому существует такая постоянная си
что
г
j^. (9-12)
если гхф0 на отрезке [7, t]. Аналогично, если v{ Ф 0 на отрезке
[Г, /], то (v/viy=—cofi/v21 и
t
v (t) = c.v, (t) - coVl (t) J l^i . (9.13)
Обратно, если z^O (или viф0) на ^-отрезке [Г, /], то (9.12)
(или (9.13)) и (9.11) определяют решение (v(t), z(t)) системы (9.2).

446 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Упражнение 9.2. Предположим, что система (9.2) является
системой типа Z и что (vi (t), z4 (t)) — такое ее решение, для которого
г1 (со) = 1. (а) Покажите, что существует предел
J z\(t) f^) z\(t)
и что система (9.2) имеет решение (vo(t), zo(t)), для которого
fw (9Л4)
для t, близких к со. (Ь) Если (v(t), z(t)) — произвольное решение
системы (9.2), то
t
t
f |P(s)|ds)
при
Если, кроме того, справедливо (9.3), то для решения (9.14) выпол-
выполняется соотношение
J) (9.15)
существует с = lim v0 (t) при t —-> со и
) при t-> (о. (9.16)
О) СО
Поэтому если у (t) — вещественная функция, не меняющая знака,
то (9.15) можно заменить соотношением
s. (9.17)
Лемма 9.3. Пусть функции Р(/), y(t) удовлетворяют условиям
аеммы 9.1. Предположим, кроме того, что Р(/)>0 и
(9.18)
Тогда система (9.2) имеет пару решений (Vj(t), Zj (/)), / = 0, 1,
удовлетворяющих при t—хя следующим условиям:
(9.190)
(9.19,)
Справедливо частичное обращение этого утверждения.

§ 9. Асимптотическое интегрирование 447
Лемма 9.4. Пусть вещественные непрерывные функции |3(/), y(t)
таковы, что Р (/) >- 0 удовлетворяет (9Л 8), а у (t) не меняет знака.
Пусть система (9.2) имеет решение, для которого выполнено (9.190)
или (9.19i). Тогда имеют место соотношения (9.3) {так что система
(9.2) имеет решения, удовлетворяющие (9.190) и (9.19i)).
Упражнение 9.3. Докажите лемму 9.4.
Доказательство леммы 9.3. В силу леммы 9.1, система (9.2)
имеет решение (vi(t), Zi(t)), такое, что ^i(co) — 1. Поэтому первое
соотношение в (9.190 вытекает из первого уравнения системы (9.2).
Заметим, что интеграл
в силу (9.18) стремится к const при t—>co. Следовательно, интег-
@
рал Ci= \ $(s)ds/vl(s) абсолютно сходится (при 7\ близких к со).
г
Если положить со=1, то из (9.13) следует, что система (9.2)
имеет решение (v, z) = (vo,zo), удовлетворяющее (9.11) с co=U и
Соотношение v0 ~ 1 вытекает из первой части (9.194) и (9.20).
Полагая (v, z, с0) = (v0, z0, 1) в (9.11) и решая это уравнение
относительно 20, получим второе из соотношений (9.190). Этим
завершается доказательство.
Теорема 9.1. Пусть р (t) — положительная функция, a qo(t) —
непрерывная вещественная функция при 0-</<со и уравнение
(p(t)x')' + qo(t)x = O (9.21)
является неосциллирующим при ^ = со. Обозначим через xo(t),
Xi(t) главное а неглавное решения уравнения (9.21); см. § 6. Пред-
Предположим, что q (t) — непрерывная комплексная функция, такая, что
xi{t)V\q{t)-q,(t)\dt <oo, (9.22)
или такая, что выполнено более слабое условие:
со Т
\ (q — qo)x2odt = \im [(q — qo)x2odt существует, (9.230
J Г->со ^
<оо, где r(s)= sup \[(a_a\**dr (9
p(s)x*(s)

448 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Тогда уравнение (9.1) имеет пару решений uo(t), Ui(t), удовле-
удовлетворяющих при t—>со соотношениям
uj~xj, (9.24)
(9-25)
при ]F = О, 1.
Упражнение 9.4. Проверьте, что если q (t) — вещественная
функция, q(t) — qo(t) не меняет знака и уравнение (9.1) имеет
решение uj(t), удовлетворяющее (9.24), (9.25) либо при / = 0,
либо при /=1, то справедливо (9.22).
Условие (9.22) в теореме 9.1 можно сравнить с условием (8.3)
в теореме 8.1. Аналогом условия (8.3) служит более сильное
условие:
со
\ \xi I2 \q — qo\dt<Coo,
поскольку x0 = o(Xi) при t—>со.
Замечание. Из доказательства теоремы 9.1 будет видно, что
если q0 @ ~~ комплексная функция, но существует пара решений,
асимптотически пропорциональных вещественным положительным
функциям xo(t), Xi(t), удовлетворяющим (9.22) (или (9.23)), причем
со со t
I ds/pxl <С.оо, \ ds!pxl —оо, х{ ~ х0 \ dslpx\, то будет справед-
справедлива теорема 9.1.
Упражнение 9.5. Пусть р (t) ФО, q (/), q0 (t) — непрерывные
функции при 0<С/<< со (-< оо), такие, что уравнение (9.21) имеет
решение x{(t), не обращающееся в нуль при больших Л и пусть
существует предел
со Г
dt ._ . __ _ .
' СО,
=lim I при 7
J
J Р(*)х\
а
OJ CO
||<7-<7о|-|*1|2ГЛ<оо, где Г (/) = sup |j^
Тогда уравнение (9.1) имеет пару нетривиальных решений uo(t).
ui (t), таких, что
при

§ 9. Асимптотическое интегрирование 449
Доказательство теоремы 9.1. Вариация постоянных u = xo(t)v
сводит (9.1) к уравнению
q-qQ)v = O (9.26)
для t, близких к со; см. B.31). Запишем это уравнение в виде
системы (9.2), где
z = px\v\ p = JLf v=_4(?-?o). (9.27)
Проверим, что выполнены условия леммы 9.3. Заметим, что усло-
условие (9.18) имеет место, поскольку xo(t) — главное решение уравне-
уравнения (9.21); см. теорему 6.4. Неглавное решение Xi(t) уравнения
(9.21) задается формулой
t t
Xi {t)=Xo {t) \ Twkw=x°{t) Ip (s) dSj (9-28)
а всякое другое неглавное решение, с точностью до постоянного
множителя, равно [I + о A)] Xi (t) при t—>со; см. следствие 6.3.
Условие (9.4) эквивалентно (9.23).
Таким образом, можно применить лемму 9.3. Пусть (и0, z0),
(vn zi) — соответствующие решения системы (9.2) и uo = x(ivQ,
ut = хоъ\ — соответствующие решения уравнения (9.1). Тогда первая
часть асимптотических равенств (9.19^) при / = 0,1 дает (9.24) при
/—0,1. Заметим, что из равенства и = xov следует, что pu'lu =
= px'0/x0 + pv'/v, так что, в силу (9.27), ри /и = рх'0/х0-\- zlx\v.
Поскольку z0/v0=^o A / ( P(s)dsj, мы получаем отсюда соотноше-
соотношение (9.25) при / = 0. Далее
2i/^i = [1+оA)]/^ J P(s)ds = [l+o(l)]/^i,
а из (9.28) мы] ["имеем px'JXi^px'Jxo+1/xoXi. Следовательно,
соотношение (9.25) справедливо и при / = 1. Этим теорема доказана.
Следствие 9.1. Пусть в уравнении
u"-q(t)u = O (9.29)
комплексная функция q (t) непрерывна при больших t и удовле-
удовлетворяет условию
оо
\t\q(t)\dt<oo (9.30)
или более общему условию: существует
оо Т оо
Q(t)= [ q(s)ds=\im\ и [ sup \Q(r)\dt<oo. (9.31)
J Г->оо J J *<r<oo
29—241

450 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Тогда уравнение (9.29) имеет такие решения uo(t), Uiit), что
при t —> оо
(9.32)
ui(t)~t, ui(t)~l. (9.33)
Обратно, если q (t) — вещественная функция, не меняющая знака,
и уравнение (9.29) имеет решение, удовлетворяющее (9.32) или
(9.33), то справедливо (9.30).
Первая часть следствия вытекает из теоремы 9.1, если отождест-
отождествить (9.29) и х" = 0 с (9.1) и (9.21) соответственно. Последнее
уравнение имеет решения х0 (/) = 1, Xi (t) — t. (При условии (9.30)
существование решений и0, щ доказано также в теореме Х.17.1.)
Последняя часть следствия вытекает из леммы 9.4 или упр. 9.4.
Следствие 9.2. Пусть в уравнении
и" — [Я2 -f- q (t)] и = 0 (9.34)
параметр Х>0 и q(t) — комплексная непрерывная функция,
определенная при больших t и удовлетворяющая условию
\q(t)\dt<oo (9.35)
или более общему условию: существует
оо Г оо оо
f q{s)e-2Xsds = \\m \ и \ e2Xt sup I ( q (r) e~2lrdr
(9.36)
Тогда уравнение (9.34) имеет такие решения uo(t), ^(/), что
Щ u'JX - *-*•', «! - w;/X - eu. (9.37)
Обратно, если q(t) — вещественная, не меняющая знака функция
и уравнение (9.34) имеет решение uQ(t) или Ui(t), удовлетворяю-
удовлетворяющее соответствующим условиям в (9.37), то справедливо соот-
соотношение (9.35).
Первое утверждение вытекает из теоремы 9.1, если заменить
(9.1) и (9.21) на (9.34) и х" — №х = 0 соответственно. Последнее
уравнение имеет решения х0 (t) = е~и, xt (t) = ekt. (При условии
(9.35) существование решений и0, ui доказано также в тео-
теореме Х.17.2.)
Упражнение 9.6. Пусть q (t) > 0 — положительная функция при
0<!/<оо, имеющая непрерывную вторую производную, и

§ 9. Асимптотическое интегрирование 451
Тогда уравнение и"— q(t)u = 0 имеет пару решений, удовлетворяю-
удовлетворяющих при /—>оо соотношениям
t
qWu ~ exp ± j qW (s) ds, q~
(Ср. с результатом упр. X.I7.5.)
Упражнение 9.7. Найдите асимптотические формулы для глав-
главного и неглавного решений уравнения Вебера
(где Я — вещественное число), исключив вначале среднее слагаемое,
используя аналог подстановки A.9) и применяя затем результат
упр. 9.6 к получающемуся уравнению; см. упр. Х.17.6.
Следствие 9.3. Пусть в уравнении (9.29) комплексная функ-
функция q(t) непрерывна при больших t и функция Q(t) из (9.31)
такова, что существует
> оо.
f Q(*)d/ = lim f при Т-
Тогда для того, чтобы уравнение (9.29) имело решения uo(t),
wi@» удовлетворяющие при t—^oc соотношениям
М0~Ь u'0(t) = o(l), (9.38)
ui(t)~t, u[(t)~U (9.39)
достаточно, чтобы
оо
^t\Q(t)\2dt<oo. (9.40)
Если q(t) — вещественная функция, то это условие является
также и необходимым.
Доказательство. Легко проверить, что функция
х
) (9.41)
является решением уравнения
x"-[q(t) + Q2(t)]x = 0. (9.42)
Из условий, наложенных на Q, следует, что существует не равный
нулю \\mxo(t) при/—>оо. Соответственно решение уравнения (9.42)
^- (9.43)
асимптотически пропорционально t при /-> оо.
29*

452 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Следовательно, уравнение (9.42) имеет решения, асимптотиче-
асимптотически пропорциональные (положительным) функциям 1 и /. Поэтому,
если заменить (9.1), (9.21) на (9.29) и (9.42) соответственно и если
выполняется (9.40), то замечание, сопровождающее теорему 9.1,
показывает, что выводы этой теоремы остаются в силе. Следователь-
Следовательно, уравнение (9.29) имеет решения и0, ии удовлетворяющие усло-
условиям и0 ~ хо> Ui ~ #1 при /->■ оо. Соотношения (9.25) переходят в
Щ
Поскольку Q (t) -> 0 при /~>оо, ясно, что решения и0, щ после
умножения на некоторые постоянные удовлетворяют (9.38) и (9.39).
Последнее утверждение теоремы вытекает из того факта, что
Ц + Q2 <> ?> когда функция g вещественна; см. упр. 9.4.
С помощью простой замены переменных теорема, касающаяся
уравнения (9.29) с «малой» функцией q (/), может быть переформу-
переформулирована для уравнения (9.34) с «малой» функцией q (/), и обратно:
Лемма 9.5. Пусть q (t) — непрерывная комплексная функция,
определенная при больших t. Тогда замена переменных
u = ve~u, s = Bky1e2Kt, (9.44)
где Я>0, переводит уравнение (9.34) в
JL^L _ е-Шд у) v = 0, (9.45)
а замена переменных
и— v — e v, s— 2
\nt (9.46)
преобразует (9.29) в уравнение
—- — [ 1 + 4t2q (t)] v — 0. (9.47)
Упражнение 9.8. Проверьте эту лемму.
Упражнение 9.9. (а) Пусть Я>0 и q (t) — непрерывная ком-
комплексная функция при больших t, такая, что существуют пределы
оо Т
(* (*
} т—)'
оо Т оо
( Qj, @ e2U dt = lim [ и f | Q @ |2 е4Л( Л < oo.
Тогда уравнение и" — [^2 + ?@1 ^ = 0 имеет пару таких решений,
что при t —•> оо
4

§ 10. Системы без сопряженных точек 453
(Ь) Пусть q(t) — такая непрерывная комплексная функция при/>0,
оо
что I /2Р-1 \q(t) \vdt<. оо при некотором р из отрезка 1<р<2.
Тогда уравнение и" — q(t)u = O имеет решение, удовлетворяющее
соотношениям
t
и ~ exp— \ sq(s)ds и — = о(-Н,
и решение, для которого
г
Ju' 1
sg (s) ds и — ~ —
при /—>oo.
ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК
§ 10. Системы без сопряженных точек
В этом параграфе изучаются системы уравнений вида
[P(t)xr+R(t)x]'-lR*(t)x'-Q(tyx] = O A0.1)
или, более общо, системы вида
x' = A(t)x + B(t)y, y' = C(t)x-A*(tyy. A0.2)
Здесь хну суть ^-мерные векторы и А (/), В (/), С (/), Я (/), Q @,
R (t) суть (d X ^-матрицы (с вещественными или комплексными
элементами), непрерывные на /-интервале </. Наша цель состоит
в том, чтобы обобщить некоторые результаты из § 6. Трудность
заключается в том, что теоремы Штурма из § 3 не имеют здесь
полного аналога.
При изучении систем A0.1) обычно предполагается, что
Р = Р\ Q = Q*, A0.3)
detP^O. A0.4)
Если вектор у определяется равенством
y = P(t)x' + R(t)x, A0.5)
то система уравнений A0.1) может быть записана в виде A0.2). где
А=-Р~^, В = Р~г, С- _Q_#*p-i#, (Ю.6)
так что
В = В*, С = С*, A0.7)
detB=^O. A0.8)
Предположения A0.3), A0.4) мотивируются следующими сооб-
соображениями: условие A0.4) позволяет утверждать, что система

454 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
A0.1) и эквивалентная система A0.2) являются невырожденными
в том смысле, что для задач Коши применимы обычные теоремы
существования. Условие A0.3) делает систему A0.1) формально
«самосопряженной» в том смысле, что если обозначить через •— L [х]
вектор в левой части A0.1), то независимо от того, равно L 1х]
нулю или нет, справедлива формула Грина:
для любых достаточно гладких функций х (t), z (/).
В частности, если х (/), х0 (t) — решения системы A0.1), так
что L [х] = 0, L [х0] = 0, то
х-(Рх'о + Rx0) — (Pxr + Rx) -х0 = const.
Если эта постоянная равна нулю, решения х, х0 называются сопря-
сопряженными решениями системы A0.1).
Система A0.1) называется системой без сопряженных точек на J,
если каждое решение х (t) Ф 0 обращается в нуль на J не более
одного раза. Соответственно, система вида A0.2) будет называться
системой без сопряженных точек на </, если для каждого решения
(х (t), у (t)) Ф- 0 вектор х (t) обращается в нуль на </ не более одного
раза.
Нам будет удобнее рассматривать вместо A0.2) матричные
уравнения
U' = A (t) U + В (t) У, V = C(t) U — Л* (/) У, A0.9)
где U, V — квадратные матрицы порядка d. Заметим, что U (t),
V (f) являются решением системы A0.9) тогда и только тогда, когда
вектор х (t) = U (t) с, у (/) = V (t) с является решением системы
A0.2) для каждого постоянного вектора с. Поэтому все решения
системы A0.2) можнс найти, если нам известны два решения
(£/(*). V(f)), (£/0@, Vo@) системы A0.9), причем
«У @*0. где yW-Q> ^;») ,10.10,
является Bd х 2^)-матрицей. В действительности, Y (t) — фунда-
фундаментальная матрица для системы A0.2).
(i) Если ({/(/), V(t)) — решение системы A0.9) и справедливо
A0.8), то V (t) определяется по U (/), а именно:
BV(t) = U'-AU. A0.11)
(ii) Если справедливо A0.7) и (U(t), V(t)), (U0(t), V0(t)) —
решения системы A0.9), то
i/%-V£/0 = /t0, A0.12)

§ 10. Системы без сопряженных точек 455
где /Со — постоянная матрица. Это легко проверить, дифференцируя
A0.2). Если Ко-0, то решения (£/, V), (Uo, Vo) системы A0.9)
будут называться сопряженными решениями.
(ш) В частности, если U0 = U, V0 = V, то U*V — V*U является
постоянной матрицей. Если она равна нулю, то
£/*У = У*£/, т. е. (U*V)* = V*U A0.13)
— эрмитова матрица. В этом случае решение (U, V) системы A0.9)
называется самосопряженным.
(iv) Пусть (U(t), V (t)) — такое решение системы A0.9), что
deW(t)¥*0 A0.14)
на некотором /-интервале, и пусть
K = U*V-V*U. A0.15)
Рассмотрим «вариацию постоянных»
V0 = UZ9 A0.16)
где (£/0, Vo)— решение системы A0.9), удовлетворяющее условию
A0.12). Тогда
Vo = [/•-! (Ко + V*UZ)
или в силу A0.15)
Vo = VZ + U*-i(Ko-KZ). A0.17)
Так как U'0 = AU0 + BV0 и 17/ = Л£/ + 5К, из A0.16), A0.17) сле-
следует, что
Z' = — (
Поэтому, если Т (/) — фундаментальное решение соответствующего
однородного уравнения и Т (s) = /,
7'= -(и^Ви^ЮТ, T(s) = I, A0.18)
то решения Z имеют вид
Z = Г @ {*j + ( j Г (г) iZ-ifit/*-1 dr)
где Ki — постоянная матрица; см. следствие IV.2.1. Соответственно,
в силу A0.16),
t
Uo (t) = U(t)T (t) {*i + ( j т~г (О U-^BU*-1 dr) /Co} • A0.19)
8
Обратно, легко проверить, что если справедливы соотношения A0.7),
A0.8) и A0.14), то равенства A0.19) и A0.11) определяют реше-
решение системы A0.9), удовлетворяющее A0.12).

456 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
(v) Если при этом (U, V) — самосопряженное решение системы
A0.2), так что К-0 в A0.15), то T(t) = I и A0.19) сводится к
= U (t) {Ki + (l U^BU^dt) Ко} • (Ю.20)
Соответствующее решение (U0(t), V0(t)) системы A0.2) является
самосопряженным тогда и только тогда, когда KtKo = KtKn т. е.
(/№)• =/С?/Со.
Пусть (Uo (t), V (t)) — самосопряженное решение, det Uo (t) Ф О
и det /Ci =7^=0. Перестановка (£/, V) и (£/0, Fo) в A0.12) меняет знаки
элементов матрицы Ко- Поэтому вместо A0.20) мы получим
поскольку Uo (s) — U (s) /Ci-
Теорема 10.1. Пусть матрицы А (/), б (/), С (/) непрерывны
на J. Система A0.2) является системой без сопряженных точек на J
тогда и только тогда, когда для каждой пары точек t = t\, t2 6 J
и произвольных векторов хи х2 уравнение A0.2) имеет (единственное)
решение (х (t), у (/)), удовлетворяющее условиям х (/i) = xi9 x (t*) = х2-
Доказательство аналогично доказательству теоремы 6.1, и пото-
потому мы не приводим его здесь. Оно не зависит от структуры системы
A0.2) и в равной степени применимо к системам вида х' = A (t) x +
+ B(t)y, у' = C(t)x + D (t)y, где матрицы Л, В, С, D непре-
непрерывны.
Чтобы не прерывать в дальнейшем доказательства, мы докажем
сейчас одну лемму (не связанную непосредственно с дифференциаль-
дифференциальными уравнениями).
Лемма 10.1 (Ф. Рисе). Пусть Аи А2, ... — эрмитовы матрицы,
удовлетворяющие условиям
0< Ai < Л2< ...</.
Тогда существует А = lim Ап при п -> оо.
Если Л, В —две эрмитовы матрицы, неравенство Л > В (или
Л ;> В) означает, что матрица Л — В положительно определена
(или неотрицательна). Утверждение «существует Л = lim An при
п ->■ оо» означает, что последовательность Ащ, Л2т], . . . сходится
для каждого фиксированного вектора т].
Доказательство. Заметим, что если Л ^> 0 и £, ц — два произ-
произвольных вектора, то справедливо обобщенное неравенство Шварца

§ 10. Системы без сопряженных точек 457
Для того чтобы доказать его, рассмотрим вектор ge = g -j- в (Л£ • г]) ц
при вещественных 8, так что
Поскольку в правой части стоит квадратичный многочлен от 8,
который неотрицателен при всех вещественных 8, его дискриминант
неположителен. Из этого и следует искомое неравенство.
Пусть Атп = Ап — Ат, где п > т, так что Атп > 0. Тогда
из обобщенного неравенства Шварца вытекает, что
|| Атпу\ ||4 = | Атпу\ • Атпу\ |2 < {Атпу\ • у\) (А2тпу] • Атпч}).
Поскольку 0^сАтп*С1, отсюда следует, что норма матрицы А
Не ПревОСХОДИТ 1 И ПОТОМУ (ЛтпЛ'Лгт'П)^!! Л II2»
Последовательность чисел Апч\ -ц при п = 1, 2, . . . является
неубывающей и ограниченной. Следовательно, она сходится, так
что вектор Апг\ —Атц мал при больших тип. Таким образом,
существует lirri Апг\, что и требовалось доказать.
Теорема 10.2. Пусть A (t), В (t) = Б* (/), С (t) = С* (/) — не-
непрерывные на J матрицы, и пусть В (t) положительно определена.
(i) Если J — полуоткрытый ограниченный интервал или замкнутая
полупрямая, то A0.2) является системой без сопряженных точек
на J тогда и только тогда, когда существует самосопряженное
решение (U(t), V (f)) системы A0.9), такое, что det U (t) ф О
внутри J. (И) Если J — замкнутый ограниченный интервал или
открытый интервал, то A0.2) является системой без сопряженных
точек на J тогда и только тогда, когда система A0.9) имеет само-
самосопряженное решение (U (t), V (t)), такое, что det JJ (t) ф 0 на J.
Доказательство утверждения (i). Пусть для определенности
</ = [а, со), со <; оо. Пусть Y (t) в A0.10) является фундаменталь-
фундаментальной матрицей для системы A0.2), так что Y (/) = / при t = a.
В частности, U (а) = /, V (а) = 0 и Uo (а) - 0, Vo (a) = I. Поэто-
Поэтому и (U(t), V(t)), и (U0(t), V0(t)) являются самосопряженными
решениями системы A0.9), так что A0.13) и аналогичные соотно-
соотношения для f/0, Vo справедливы при / = а. Общее решение системы
A0.2), равное нулю при t = а, задается формулами х = UQ(t)c,
y=V0(t)c для произвольного вектора с. Если система A0.2)
является системой без сопряженных точек на </, то det Uo (t0) Ф О
при а < t0 < со. В противном случае существовал бы вектор с0 Ф 0,
такой, что решение х = Uo (t) с0 обращалось бы в нуль при / = а
и при t = /0- Но тогда х (t) ^ 0, и, поскольку det В Ф 0, мы имели
бы у = VQ (t) c0 = 0.

458 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Обратно, пусть (U(t), V (/))— самосопряженное решение систе-
системы A0.9), такое, что det U (t) ф 0 при а < t < со. Определим реше-
решение Uо (/), Vo (t) системы A0.9) из равенства A0.20), где а < s < со,
/Ci = 0, /Со = I- Тогда £/о (s) = 0. Поскольку матрица В, а значит
и U^BU*'1, положительно определена, отсюда следует, что
det Uо (t) Ф 0 при s < / < со. Ясно, что если (#(/), У @) =^= ° —
решение системы A0.2), причем л: обращается в нуль при t = s,
то оно обязательно имеет вид (х, у) = (U0(t)c, Vo(t)c) и х не
обращается в нуль при s <C / <С со.
Остается показать, что если (х (/), у (t)) ф 0 — решение систе-
системы A0.2) и х (а) = 0, то л: (/) ^= 0 при а < / < со. Для этого доста-
достаточно доказать, что если a<s< со, то существует такое самосо-
самосопряженное решение (U0(f), V0(t)) системы (Ш-9), что Uo (a) = 0
и det £/0 (t) Ф 0 при а < * < s. Пусть
£/, (/) = t/ (t) j _ / + j
так что по формуле, аналогичной A0.20), Uu У\ = В'1 (U[ —
является самосопряженным решением системы A0.9). Поскольку В
положительно определена, множитель {...}, стоящий после
U (t) в последней формуле, отрицательно определен при а < / -< s.
Поэтому det (Д (t) ф 0 при a<Ct^s. В силу соотношения, анало-
аналогичного A0.21),
и @ = Vi @ { - / - J и:1 виг1 dt) .
S
Следовательно,
t t
(-/ + J U^BU^dt) (-/-j U-'BU^dt^I.
s s
Поскольку первый множитель отрицательно определен при a</<s,
второй множитель (являющийся матрицей, обратной к первой) отри-
отрицательно определен. Поэтому матрица
t S
S (t) = - J и-'ВЩ-1 Л = j U^BUf1 dt
s t
положительно определена при a<,t^Cs, возрастает при убывании /
<в том смысле, что S(r) — 5(/)>0 при a<.r<.t<Cs) и 5 (/)</.
Из леммы 6.1 вытекает, что существует
S {а) = Hm S{t)=\ U-'BU^1 dt.
t-+a J

§ 10. Системы без сопряженных точек 459
При a</<s положим
t
а это можно записать также в виде
t
(О = £/i (t) { S (a) - j U? BUt1 dt} .
Отсюда в силу A0.20) следует, что Uo, Vo = В'1 (U'o — AU0) —
самосопряженное решение системы A0.9). Ясно, что Uo (a) = 0
и det (Уо @ Ф 0 при а < / <: s. Этим завершается доказательство
для случая J = [а, со).
Доказательство утверждения (п). Если J — замкнутый ограни-
ограниченный интервал [а, Ь], то мы можем расширить область определе-
определения непрерывных матриц A (f), В (/), С (t) на отрезок J' =
= [а — б, b + б] id / так, чтобы В = Б*, С = С* и матрица В (f)
была положительно определенной. Ясно, что если б > 0 доста-
достаточно мало, то система A0.2) является системой без сопряженных
точек на [а — б, Ъ + б] тогда и только тогда, когда она является
системой без сопряженных точек на </. Поскольку la, b] a
а [а — б, b + б], доказательство в случае J = la, b] вытекает
из уже проведенного доказательства для [а, со).
Пусть множество </ открыто. Рассуждение, проведенное в случае
[а, со), показывает, что если система A0.9) имеет самосопряженное
решение (U0(t), V0(t)) с det Uo Ф 0 на </, то A0.2) является систе-
системой без сопряженных точек на /. Обратное утверждение справедли-
справедливо в силу результата упр. 10.6.
Рассмотрим функционал
ь
/(Л; а, 6)=
A0.22)
где матрицы Р, Q, R определены согласно A0.6). Будем говорить,
что вектор-функция г] (/), определенная на подинтервале la, b] с=
cz У, принадлежит классу ЛА (а, Ь) (или Л2 (а> Ь)), если
(i) г) (а) =г)F) = 0и (iii) ц (t) абсолютно непрерывна, а ее производ-
производная r)'(t) принадлежит L2 на отрезке a^t^.b [или (ii2) r] (t)
непрерывно дифференцируема и вектор-функция Рц' + Rv\ также
непрерывно дифференцируема при а <; t <; b\. Если ц (t) 6 А2 (а, Ь),
то, интегрируя по частям (интегрируя V и дифференцируя Р (/) ч\ +
+ ^ @ Л)» получаем
ь
/(Л; а, Ь)= - j [(Ят1'+/?Т1)'-(/?*т1'-011)]-лЛ. A0.23)

460 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
Если обозначить через —L [х] вектор в правой части равенства A0.1)
независимо от того, равен он нулю или нет, то
ь
/(т];а, &)= JLfo]-T]# для к\£А2(а,Ь). A0.24)
а
Теорема 10.3. Пусть матричные функции A(t), B(t) = B*(t),
С (t) = С* (t) непрерывны на J, а В (t) — положительно определен-
определенная матрица. Система A0.2) является системой без сопряженных
точек на J тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого
ограниченного интервала [а, Ь], лежащего в J, функционал I (ту, а, Ь)
положительно определен на Ах (а, Ь) {или на А2 (а, Ь)), т. е.
I (т); а, Ь) ^> 0 для каждой функции г\ из А\ (а, Ь) (или из А2 (а, &)),
и I (т); а, Ь) = 0 тогда и только тогда, когда г] ^ 0.
Доказательство утверждения «только тогда» аналогично первой
части доказательства теоремы 6.2. Предположим, что система
A0.2) является системой без сопряженных точек на J. Тогда,
если [а, Ь] сг /, существует самосопряженное решение (U (t), V (t))
системы A0.9), такое, что det U (/) ф 0 на la, b].
Для данной функции rj (t) 6 ^i (^, b) определим £ (/), положив
г] (^) = t/ (/) £ (/). Используя соотношение V = PU' + RU, ана-
аналогичное A0.5), и соотношение V = R*U'QU, аналогичное A0.1),
мы видим, что подинтегральное выражение в A0.22) равно
Поскольку PUt'-U't= Ul'-PU'l и R*U£-U^= Ut'-RUZ, эта
подинтегральное выражение может быть представлено в виде
Кроме того, второе слагаемое равно V*(/£'•£= [/*17£'-£ =
= KS'-i/g, поскольку решение (i/, F) является самосопряженным
и удовлетворяет A0.13). Поэтому подинтегральное выражение
в A0.17) равно PUg-UV + (V£-UQ' и, следовательно,
ъ
/(ti; a, 6)= j {PUl'.Ul')dt, A0.25)
а
если т] = [/£ £ Л4 (а, 6) и £ (а) = £ F) = 0. Поскольку матрица
Б (t) положительно определена, Р = Б также положительно
определена. Следовательно, I (у\\ а, Ь) >- 0 и / (rj; a, 6) = 0 тогда
и только тогда, когда £ = 0.
Доказательство утверждения «тогда» совпадает с доказатель-
доказательством соответствующей части теоремы 6.2 и может быть опущено.
Упражнение 10.1 {Якоби). Обозначим через Л3/2 {a, b) множе-
множество вектор-функций на [a, ft], для которых (i) ц (а) = г] (ft) = 0;

§ 10. Системы без сопряженных точек 461
(и) т] (t) непрерывна при а</<Ьи (Hi) отрезок [а, Ь] допускает
такое разбиение а = t0 < h < ... <tm = Ь (зависящее от rj),
что вектор-функции г| и Рк\' + ^ty непрерывно дифференцируемы
на каждом отрезке [(/, (/+J при / = 0, . . ., т— 1. Очевидно,
Ai la, b] zd Лз/2 [a, b] =э Л2 [a, 6]. Пусть матрицы Л (t), В (/) и
С (/) будут такими же, как в теореме 10.3, а У не является ограни-
ограниченным замкнутым интервалом. Покажите, что система A0.2)
является системой без сопряженных точек на J тогда и только
тогда, когда / (г); а, Ь) >- 0 для всех г) 6 Л3/2 {a, b) и всех
fa, b] a J.
Упражнение 10.2. Пусть (d x ^-матрицы Pj(f), Qj(f) непре-
непрерывны при / = 1, 2 на J: a^t^C b и таковы, что (i) Р2 = Р*
и Q2 = Q* — эрмитовы матрицы; (ii) 0 < Р2 <; Re Pi и Re Qi <; Q2,
если неравенство Р2 > 0 означает, что Р2 — положительно опре-
определенная матрица, а неравенство Р2 «< Re Рь например, означает,
что Р2 (t) г|-г| ^ Re [P\ (f) г|-г]] для всех постоянных векторов х\\
наконец, (iii) пусть система {Р^х')' + Q2x = 0 является системой
без сопряженных точек на У. Тогда система {Р\х'У + Qxx = 0
есть система без сопряженных точек на J.
Если функции 5 @> Л @ принадлежат L2 на [a, ft], можно ввести
«скалярное произведение»
В этих обозначениях равенство A0.24) может быть переписано так:
/ (г|: a, b) = (L[x\], r\), если v)£A2(a, b). Соответственно из A0.25)
при г| = ^У£ получаем, что
(Lfo], т|) = (А[т|], Ah]) для r|e4s(a. Ь), (Ю.26)
где
1/2 (Ю.27)
аР " @ — единственная положительно определенная эрмитова матри-
матрица, такая, что (Pi/2 (t)J = P (t) и функция Pi/2 (t) непрерывна на J;
см. упр. XIV. 1.2. Формуле A0.26) соответствует билинейный
функционал
%) = (£! hi], МЛа!) Д^ %, т!2еЛ2(а, 6). A0.28)
Тогда формально L = L*Lle На самом деле это верно в следующем
смысле: функционал A0.27) можно представить в виде
Lili\] = Pi/2(t)ri'-Pi/2(t)U'(t)U-4t)i\, A0.29)
поскольку {U'1)' ——U~xU'U~xi в чем легко убедиться, если про-
продифференцировать тождество U~~1U = I. Следовательно, формально

462 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
сопряженным к L4 является оператор
Ц [г]] = - (Р]/2 (t) цу - U*'1 (t) U*' (t) Pm (t) ц A0.30)
(см. § IV.8 (viii)), т. е.
Ц [г]] = -f/* (U*Plf\y. A0.31)
Следствие 10.1. Пусть матрицы А, В, С такие же, как в тео-
теореме 10.3. Пусть система A0.9) имеет такое самосопряженное
решение ((/(/), V (t)), что det 11(Г)ФО на J. Тогда L = L*L^
m. е. если
LM=-(Py)' + Rv)y + (R*4-Qv)), A0.32)
то
A0-33)
для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции г\ (/)>
такой, что функция Ру)' + Rr\ также непрерывно дифференци-
дифференцируема на J.
Это утверждение можно вывести из A0.28) или, что еще легче,
проверить простым дифференцированием (используя соотношения
V = PU' + RU, V - R*U' — QU).
Теорема 10.4. Пусть матрицы А (/), В (t) - 5* (f), С (t) =
= С* (f) непрерывны на J: a^ t <С со (^ сю), и пусть матрица
В (t) положительно определена. Пусть система A0.2) является
системой без сопряженных точек на J и (U (t), V (t)) — такое
решение системы A0.9), что det U (t) ф 0 при s ^ t < со для неко-
некоторого s g [а, со). Пусть матрица Т (t) определена соотношением
A0.18). Тогда матрица
t
Ss (t) = \ Т-1 (г) U^BU*-1 dt A0.34)
S
невырожденна при s<it < оа и существует
limST1@ = Af, A0.35)
где М зависит от s и матричной функции U (t).
Если в теореме 10.4 М = 0> то решение (U (t), V (t)) системы
A0.9) будет называться главным решением системы A0.9). Можно
показать, что главное решение обязательно является самосопряжен-
самосопряженным. В этом случае Г (г) — / и равенство М = 0 означает, что
df-x» при /-»ю A0.36)

§ 10. Системы без сопряженных точек 463
в том смысле, что
t
U^BU*'1 dt Л-* оо при t-xo
равномерно для всех единичных векторов с. (Сравните A0.36), где
В = Р'1, с определением F.11) главного решения в § 6.)
Теорема 10.5. Пусть А, В, С и J такие же, как в теореме 10.4.
(i) Система A0.9) имеет главное решение (U0(t), Vo(t))> (ii) Другое
решение (U (t), V (/)) является главным тогда и только тогда, когда
(U(t), V (t)) = (Uo (t) Ku У о @ КО, где Ki — постоянная невы-
невырожденная матрица, (iii) Пусть (О (t)> V (£)) — решение системы
A0.9). Постоянная матрица Ко в A0.12) является невырожденной
тогда и только тогда, когда det U (/) ф 0 для t, близких к со, и
U-1 (t) Uo (t) -> 0 при t -> со, A0.37)
причем в этом случае матрица М в A0.35) является невырожденной.
Доказательства теорем 10.4 и 10.5 проводятся одновременно.
Доказательство теоремы 10.5 (!) по существу содержится в дока-
доказательстве теоремы 10.2 (i). Так как система A0.2) является системой
без сопряженных точек на J, существует самосопряженное решение
(Ui (/), Vi @) системы A0.9), такое, что det Ui{f)¥=Q при а<
< t <С со. Пусть а <С а << со и
t
U2 (/) = U, (t) {I + j U?BUfl dt) . A0.38)
Тогда U2, V2 ■= S (f/g — AU2) — самосопряженное решение системы
A0.9), det G2 @=7^=0 при а</<со и
t/i @ = £/2 (f) { / - j ^/-гВ^Г'' Л } A0.39)
a
в силу A0.21). Поэтому
t t
- J и?ви;-х£и) = 1.
Как и при доказательстве теоремы 10.2 (i), отсюда следует, что
существует
М
2 = 1 im 5 (/) = f U^BU*-1 dt, A0.40)

464 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
€сли матрица S(t) определяется следующим образом:
t
U-1BU%-1dt. A0.41)
Предел М2 является невырожденным, поскольку М2 > S (t) и матри-
матрица S (t) ^положительно определена при а</<со.
Определим
со
Uo (t) = U2 (/) J U^BUf1 dt A0.42)
-или, эквивалентно,
t
UQ (t) = иг (t) { M2 - j U^BUf1 dt] . A0.43)
a
Следовательно, G0, Vo — B'1 (U'o — AU0) — самосопряженное решение
системы A0.9) и det £/0 (/) ¥= 0 при а</<со. Поэтому в силу A0.21)
t
U2 (t) = Uo @ {М-1 + j U?BV™ dt} .
а
Значит,
t со
[м?+ { u-'Bur'dt) (j u?BU$-4t) = /
и потому при t—>со
t
со
t
так 1что
( j U?BUZ-1 dt)~1^O при /->со.
а
Поэтому ((/0 (/)• У о @) — главное решение системы A0.9); ср.
с A0.35).
Доказательство теоремы 10.4. Пусть (U (t), V (t))—решение
системы A0.9), такое, что det U (t) ф 0 при s<;/<co. Тогда
матрица S8(t) в A0.34) определена при t >- s.
Покажем сначала, что det Ss (t) Ф 0 при s < t < со. Пусть
tf°(/) = U(t)T(f)Ss(f)
и V° = В-1^0' — Л G°). Это определяет решение (U°, V°) системы
A0.9); см. A0.19). Предположим, что det Ss(to) = 0 при некотором

§ 10. Системы без сопряженных точек 465
to > s; тогда существует постоянный вектор с0 Ф 0, такой, что
вектор-функция х (/) = U° (t) с0 обращается в нуль при t = s, t0.
Поскольку система A0.2) является системой без сопряженных точек
на У, отсюда следует, что U°(f)co= 0. Поэтому S8(t)c0 = 0
и Ss(t)co = O. Так как матрица S'a = T'W^BU*'1 является
невырожденной, мы приходим к противоречию, и потому det Ss (f) ф
Ф 0 при s< t < со.
Покажем теперь, что существует предел A0.35). Пусть
(С/о @» ^о @) —только что построенное главное решение системы
A0.9), так что Uo (f) определяется по A0.42) через самосопряженное
решение (£/а (/), V2 (/)) с det 1/2({)ф0 при а < /< со. Пусть
а <; s < г < w. Рассмотрим функцию
U
Or
г
(t) = U2 (t) j U?BU*-* dt. A0.44)
Ясно, что ((/Or, Vor), где l/Or = B(l/or""^or)» —решение системы
A0.9), поскольку t/Or(O можно представить в виде
г t
и or @ = £/2 @ { j u?BUt-*dt - j f^Bi/;-1 л} ;
a a
ср. с A0.19). Отсюда следует, что если Кг — постоянная матрица
Kr = U*Vor-V*Uor, A0.45)
то, положив Uo (s) = U (s) /Ci по аналогии с A0.19), получаем
£/Ог @ = t/ (/) Г @ {£/-1 (s) £/ог (s) + Sr (/) /Сг}.
Поскольку i/or @ = 0 при t = r, мы видим, что выражение в фигур
ных скобках обращается в нуль при t = r. Отсюда
Из A0.42) и A0.44) ясно, что Uor(t)—>Uo(t) при г->со; следова
тельно, Кг—>Ко при г—>оо, где
Ko = U*Vo-V*Uo. A0.47)
Итак, существует предел
M = lim S71 (г) = - K0U01 (s) U (s). A0.48)
Этим доказана теорема 10.4.
Доказательство теоремы 10.5 (П). Пусть A/@» V @) — главное
решение системы (A0.9). Пусть s —такое число, что det £/ (/) =И= 0
при s</<co, и предел М в A0.35) равен 0. В силу A0.48), М = 0
тогда и только тогда, когда /С0 = 0 в A0.47). Поскольку решение
(£/(» У о) является самосопряженным, отсюда следует, что Ко =
30—241

466 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
= Uq'1VqU0. Потому равенство /Со = 0 влечет за собой
V(t) = V0(t)Uf(t)U(t) при t>s.
Пусть Ki = U~1 (s)U (s). Тогда решение (U (t), V (t)) удовлетворяет
начальным условиям
U(t) = U0(t)K» V(t) = V0(t)Ki A0.49)
при t = s. Поэтому A0.49) справедливо для всех t. Этим доказана
утверждение (п).
Доказательство теоремы 10.5 (Ш). Пусть (U (t), V(t)) — решение
системы A0.9) и Ко определено согласно A0.47). Тогда
t
U @ = Uo(/) {U;1 (s) U(s)- ( j и?ШГхdt)Ko\-
S
Поскольку A0.36) выполняется после замены U на Uo, из A0.36)
следует, что если Ко — невырожденная матрица, то и U (t) невьь
рожденна при Л близких к со. В этом случае
t
I = t/-* (/) Uo (t) [U-1 (s) U(s) - ( J U-'BUt1 dt)K0},
s
и A0.37) вытекает из A0.36), где U заменено на Uo.
Обратно, если матрица U (t) невырожденна при t, близких к со*
и справедливо A0.37), то последняя формула показывает, что
Ко также невырожденна. Поэтому М невырожденна в силу A0.48).
Этим завершается доказательство теоремы 10.5.
Упражнение 10.3. Сформулируйте и докажите аналог след-
следствия 6.3.
Упражнение 10.4 (аналог F.Hi) из теоремы 6.4). Пусть выполне-
выполнены условия теоремы 10.5. Пусть (U (t), V (t)) — самосопряженное
решение системы A0.9), такое, что det U (t) ф 0 для /, близких
к со, и предел М в A0.35) является невырожденной матрицей.
(Заметим, что Т (t) ^ /.) Пусть с Ф 0 — постоянный вектор и
х (t) = U (t) с — решение системы A0.1). Тогда
\ IP (t)x(t)-x(t)]-1dt<oo.
Упражнение 10.5 (аналог упражнения 6.5). Пусть выполнены
условия теоремы 10.5, а < Т < со и (UQr(t), VOr (t)) — решение
системы A0.9), удовлетворяющее условиям UOr(T) = /, UOr(r) =
= 0; ср. с теоремой 10.1. Тогда существует lim (UOr(t)t VOr(t)) =
= (^о@> Vofy) при г->-со, и этот предел является главным
решением.

§11. Обобщения 467
Упражнение 10.6. Пусть / — открытый интервал, А (/), В (t) =
= В* (/), С (t) = С* (t) непрерывны на У и матричная функция
В (t) положительно определена. Пусть система A0.2) является
системой без сопряженных точек на J. Пусть со (<; оо) — правый
конец интервала J и [я, со) cz /. Пусть (Uo (f), Vo (/)) — главное
решение системы A0.9) на [а, со). Тогда det £/0'@ ^ 0 на Л
Упражнение ЮЛ {аналог утверждения (Hi) теоремы 6.4). Пусть
А, Б, С и J такие же, как в теореме 10.4. Пусть (U0(t)9 V0(f)) —
главное решение системы A0.9) и det ио({)ФО при а <; t< со.
Пусть (U (/), V (t)) — самосопряженное решение системы A0.9),
удовлетворяющее условию U (а) Ф 0. Пусть Д = Уо (а) ^о1 (а) —
— V (a) U'1 (а), так что А = А*. Тогда А <; 0 (т. е. Ах-л: <; 0 для
всех векторов х) тогда и только тогда, когда det U' (f) ф 0 при
>
§11. Обобщения
Методы последнего параграфа применимы и в более общих слу-
случаях, которые будут указаны ниже. Результаты, изложенные
в нем, можно рассматривать со следующих точек зрения. Во-первых,
при каких условиях [необходимых и (или) достаточных] функцио-
функционал / (т); а, Ь), заданный формулой A0.22), будет положительно
определенным для всех [a, b] cz J на некоторых классах функций
Л1 (а, Ь) или Л2 (a, ft)? Во-вторых, если это так, то какие следствия
можно получить для решений соответствующих уравнений Эйлера —
Лагранжа A0.1) или их гамильтоновой формы A0.2)?
В этом параграфе рассматриваются аналогичные задачи, но тре-
требование положительной определенности оператора Р заменяется
более слабым, а классы А{(ау 6), А2(а, Ь) — более узкими клас-
классами функций г) @- В частности, мы потребуем, чтобы подходящие
функции г] (f) удовлетворяли некоторым условиям, а именно неко-
некоторым линейным дифференциальным уравнениям (как в задаче
Больца из вариационного исчисления).
Пусть Р (t) = P*(t), Q(t) = Q* (/), R (t) суть непрерывные
(d x ^-матрицы, определенные на J. Рассмотрим функционал
\\dt. A1.1)
Рассмотрим, кроме того, систему из е линейных дифференциальных
уравнений первого порядка
Л1@тГ + ЛГ(*)Л = 0, A1.2)
где M(t)9 N (t) суть (е х ^-матрицы, e<d, элементами которых
являются непрерывные на / комплексные функции. Предполагается,
30*

468 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
что [(d + e) X (d+e)]-эрмитова матрица
{t) M*(t)
w о
является невырожденной. В частности, det Ро (/) =^= О и ранг матрицы
M(t) равен е.
Для вариационной задачи, связанной с функционалом A1.1) при
условиях A1.2), уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид
z)'-(R*x' — Qx + N*z) = 0, A1.4)
0, A1.5)
где z — это е-мерный вектор. (Вывод уравнений A1.4) и отыскание
значения вектора z здесь не приводится.)
Матрица, обратная к A1.3), имеет вид
(
Е (t) F*
E имеет размеры dxd, G —размеры e x e, a Z7 — размеры е х d.
Введем переменные
z/ = P (t) x' + ^ (t) x + M*z. A1.7)
Тогда уравнения A1.5), A1.7) могут быть записаны в виде
Р0(х', z) = (y — Rx, —Nx) или (xr, z) = P~1(y — Rx, —Nx), т. е.
x' = Ey — (ER + F*N)x и z = Fy—(FR + GN) х. Поэтому уравнения
A1.4) и A1.5) переходят в систему
x' = A(t)x + B(t)y, y' = C(t)x-A*(t)y, A1.8)
где
A=-(ER + F*N), B = E, A1.9)
C=-Q- R*ER - R*F*N - N*FR - N*GN.
В частности, из A1.8) следует A1.5).
Предполагается, что Р = Р*, Q = Q*,
Р @Л'г1>0, если цфО и M(f)i\ = 0. A1.10)
Соответственно, 5 - 5*, С = С* и, в силу A1.3) и A1.6),
B(f)M*(f) = 09 ВРц =ть если Mr] - 0; A1.11)
5 (^) — неотрицательно определенная матрица ранга d — е (так что
BPrj.Pri = Pi\-r\9 если Мт) = 0).
Для систем вида A1.8Lследует отметить один факт, не имевший
места в предыдущем параграфе. А именно, если (х (t), у (t)) —
решение системы A1.8), то из этого не следует, что у (t) определяется
по х (/)• Этой трудности можно избежать, введя дополнительное

§ И. Обобщения 469
предположение:
система A1.8) нормальна; A1.12)
оно означает следующее: если решение (х (t), у (t)) системы A1.8)
таково, что х (t) = 0 на некотором подинтервале в «/, то x(t)= О,
t/@ = 0 на J.
Понятия «система без сопряженных точек», «сопряженные реше-
решения системы A0.9)», «самосопряженные решения системы A0.9)»
могут быть введены так же, как и выше.
Упражнение ILL Проверьте справедливость аналогов теорем
10.1 и 10.2. (Как и при доказательстве теоремы 10.2, следует выне-
вынести в конец половину доказательства утверждения, касающегося
открытого интервала J.)
Пусть классы Ах(а, b) [или А2(а, Ь)] вектор-функций r\ (t)
определены, как и выше, но с одним дополнительным условием:
(iii) г] (t) удовлетворяет уравнениям A1.2) всюду, за исключением
^-множества меры нуль.
Упражнение 11.2. Проверьте справедливость аналога теоремы
10.3. Для доказательства заметьте, что если (х (/), у (t)) — решение
системы A1.8), то г] = х (t) — решение системы A1.2). Поэтому
если (U (/), V (/)) — решение системы A0.9), то MU' + NU = 0.
Следовательно, если у\ (t) — решение системы A1.2) и г) = £/£,
то М ([/£') = 0, так что PUfc •[/£' = 0, если только г] == 0.
Упражнение 11.3. Пусть Р (t) имеет ранг d — е (так что Р (t) —
неотрицательная матрица); обозначим через Р1/2 (t) единственный
неотрицательный эрмитов квадратный корень из Р (t) (поэтому
Pl/2 (t) — непрерывная функция; см. упр. XIV.1.2). Если Р (t)
имеет ранг>-^ — е7 обозначим через Ео (t) ортогональную проекцию
векторного пространства на нулевое многообразие матрицы М (t)
и положим P1/2(t) - (E0(t) P(t) E0(t)I/2. Действительно, Р (t)
можно заменить в A1.1), A1.2) на EQ(t) P (t) E0(t), поскольку
Eor\ = г), если Мц = 0. Используя P1/2(t), сформулируйте и дока-
докажите аналог следствия 10.1. (Для справедливости A0.33) понадо-
понадобится дополнительное условие: вектор-функция ц (t) должна удо-
удовлетворять A1.2).)
Упражнение 11.4. Проверьте справедливость аналогов тео-
теорем 10.4 и 10.5, определив главное решение подобно тому, как это
было сделано раньше.
В качестве примера и приложения рассмотрим формально само-
самосопряженное дифференциальное уравнение порядка 2d для скаляр-
скалярной функции и
L{u} = 0, A1.13)

470 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
причем
L{u)= 2 (P2kuW)(h)+i 2 [(p2ft-i«<ft-1))(ft) + (p2ft-i«(ft))(ft)].
A1.14)
где Po(tL ..., p2d@~веЩественные функции на интервале J,
(-l)dP2d(t)>0 A1.15)
и функции p2h @' P2k-i @ имеют k непрерывных производных. Для
данной функции и (t) из класса C2d на J определим вектор у =
= (у1, ..., yd) следующим образом:
у* = (_ 1)" 2 [Дуй*» +1 (Pv-illU-» +P2j+lU^l->)}a-h) A1.16)
при fe=l, ..., d, где p2d+i = 0. Оператор L является формально
самосопряженным в силу формулы Грина:
ъ а
j (L{u}v-uL{v})dt= 2 [P^-^-^-VJa*
где вектор г = (г1, ..., zd) строится по v так же, как у строится
по и. В частности, если и, щ — решения уравнения A1.14), то
d _ _
2 [<-V-^(fe-°] = const,
fel
где #о соответствует м0- Если эта постоянная есть 0, то решения
и, и0 называются сопряженными. Если и = и0 и решения и, и0 явля-
являются сопряженными, то и называется самосопряженным решением.
(Если pi = р3 ^ ... еее p2d _! ^ 0, так что уравнение A1.14) имеет
вещественные коэффициенты, то все вещественные решения являют-
являются самосопряженными.)
Рассмотрим функционал
ь
ь
1{ща, b}= \ L{u}udt.
Формально интегрируя по частям и замечая, что проинтегрирован-
проинтегрированные члены обращаются в нуль, если и = и' — ... =u^d~^ = 0 при
t = a, b, получаем
= f { 2 (-l)"te|«(fe)l2-2 2 (-l)kP2k-ilmu(b)u(b-»\ dt.
fc0 й1
fc=0
A1.18)

§ 11. Обобщения
471
Тогда функционал / (tj; а, Ь) = / {щ а, Ь) является функционалом
типа A1.1) для т]= {и, и', ..., и^-^) и условия A1.2) означают, что
для /=1, ..., d-1. A1.19)
Здесь
P = diag[O, ..., 0, (- l)dp2dh Q = diag [р0, -р2, ..., (- l)*-1/^-*]»
/? = /diag[ — Pi, р3, ..., (—I)d/?2d-ib
а М, Л/" суть [(d—1) X dj-матрицы
(\ 0 ... О 0\ /0 10 ... 0\
О 1 ... О О
\0 0 ... 1 О/
О 0 1 ... О
О 0 0
1/
Соответственно, А — матрица с единицами над диагональю, диаго-
диагональные элементы которой равны @, ..., О, —ipu-Jpzd), а осталь-
остальные элементы — нулю; B = diag[O, ...,0, (—l)d/p2d] и С — эрми-
эрмитова матрица, у которой элементы над диагональю равны
(ipi, —1рз, •••> ( — l)d" ipzd-i), на диагонали стоят элементы
(Ро> — /Ь • ••» (— l)d~2p2d-4^ ( — l)d~V2d-2 + |P2d-i|2/p2d), а все
остальные элементы равны нулю.
Если (х (t), у (t)) — решение системы A1.8), то х (t) =
= (u,u',...,u(d-i>>), где и — решение уравнения A1.13), а компо-
компоненты вектора у находятся из A1.16). Обратно, если ^ — решение
уравнения A1.13), то, отыскивая л;, у по этим правилам, мы полу-
получим решение A1.8). Условие A1.15) обеспечивает выполнение усло-
условий A1.3), AU0) и A1.12).
Заметим, что если (U (t), V (t)) — решение системы A0.9)
и &-й столбец матрицы U (t) равен (ид, и'ъ ..., ^-1)), где u = uk —
решение уравнения A1.13), то det f/(^) — это определитель Врон-
Вронского для решений м4, ..., ^. Решение (U(t),V(t)) является
самосопряженным тогда и только тогда, когда Uj, £/& —сопряжен-
—сопряженные решения уравнения A1.13) при /, k=l, ..., d.
Упражнение 11.5. Сформулируйте аналог теоремы 10.3, опре-
определяя классы Ai(ayb), A2{a,b) в терминах скалярной функции и.
Рассмотрим, наконец, аналог следствия 10.1; ср. с упр. 11.3.
Поскольку Р (t) = diag [0, ..., 0, ( — \)dрыЬ матрица Р1/2 (t) равна
diag @, ..., 0, | p2d |1/2). Вектор т] (t) удовлетворяет условиям,
аналогичным A1.2), тогда и только тогда, когда v\(t) имеет вид
ц = (v (t), v' (/), ..., y(d~1) (t)) для некоторой скалярной функции v (t).
В этом случае значение оператора A0.29) является вектором вида

472 Гл. XL Линейные уравнения второго порядка
(О, ..., 0, Lt {v}), где Ц {v} = сс0 (t) v^ +...+ad(t)v есть диффе-
дифференциальный оператор порядка d, а ао(О> ..., ad(t) суть непре-
непрерывные комплексные функции. На самом деле, из A0.29) следует,
что ao(t) = \p2d(t) |1/2>0. Ясно также, что Li{v} = 0, если v = Uk
и (ид, мл, . . ., и**-1)) есть k-й столбец матрицы U (t). Поскольку
определитель Вронского для решений и4, ..., ud равен detlU(t)=£O,
отсюда следует, что v — u^ ..., ud— это система из d линейно
независимых решений уравнения Lt{v} = 0.
Таким образом, если обозначить через W (w^ ..., wj) определи-
определитель Вронского для / функций wt, ..., wj, то
j, ..., Ud,V)
Для того чтобы доказать это, заметим, что выражение в правой
части этого равенства является дифференциальным оператором
порядка d со старшим коэффициентом | p2d (t) |1/2 и решениями и =
= ии ..., ud. Поэтому, если левую часть в A1.19) записать оче-
очевидным образом в виде линейной однородной системы r\' = Q(t)r)
для r\=(v, v\ ..., у^-1)), то эта система имеет фундаментальное
решение U (t), так что Q = U'U~1. Этим доказано равенство A1.20).
Упражнение 11.6. Если уравнение A1.13) имеет решения
ut(t), ..., ud(t) на /, которые являются попарно сопряженными
(или самосопряженными) и имеют не равный нулю определитель
Вронского W(&!, ..., ud)Ф0 на J, то L{u}== Ь%{Ь±[и]} для всех
функций и из класса Сы на J. Здесь мы использовали следующее
обозначение: если Li{u}=^1 ak(t)u^h\ то L\{u} — ^2i (—1)Ча& @ uYh)y
где сумма 2 берется по значениям 0<&<[d.
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1—2. См. примечания к соответствующим разделам гл. IV. О подста-
подстановке B.34) в § 2 (xiii) см. Лиувилль [1, II, стр. 22—23]. Подстановка г =
= и'Ы, преобразующая уравнение B.32) в уравнение Риккати, исполь-
использовалась в специальных случаях Эйлером (около 1765 г.) и Лиувиллем
A841 г.) для линейных дифференциальных уравнений d-ro порядка. О пре-
преобразовании B.42) в § 2(xv) см. Прюфер [1, стр. 503].
§ 3. Результаты этого параграфа принадлежат Штурму [1]; см. Бохер
[1], [3]. Доказательство, приведенное в данной книге, основывается на работе
Прюфера [1] и подробно приведено в работе Камке [3]. Доказательство
теоремы Штурма о разделении нулей (следствие 3.1), данное в упр. 3.1 (а)
для случая /?i = р2, восходит к Штурму; аналогичное доказательство в общем
случае дал Пиконе [1].
§ 4. Теорема 4.1 имеется в работах Штурма [1] и Лиувилля [1]. Приве-
Приведенные нами доказательства утверждений (i) — (Hi) следуют работе Прю-
Прюфера [1]. Доказательство утверждения (vi) основано на результатах Гиль-
Гильберта и Е. Шмидта об интегральных уравнениях с ядрами Гильберта —
Шмидта; см. Рисе и Секефальви-Надь [1]. Полезные и интересные результаты

Примечания 473
об асимптотическом поведении собственных значений %п имеются у Борга [1],
где даны также ссылки на работы Вейля. Полная характеристика спектра
сингулярных краевых задач в терминах нулей решений дана в работах
Хартмана [6] и Вольфсона [1]. Относительно упр. 4.3 и 4.4 см. Прюфер [1].
§ 5. Теорема 5.1 принадлежит Хартману и Уинтнеру [9] и обобщает след-
следствие 5.1, являющееся интерпретацией одного результата работы Ляпу*
нова [1]. Доказательство теоремы 5.1, приведенное в тексте, принадлежит
Нехари [1]. Тот факт, что множитель 4 в E.7) не может быть увеличен, был
впервые доказан ван Кампеном и Уинтнером [1]. Доказательство упр. 5.1,
приведенное в конце книги, содержится в работе Хартмана и Уинтнера [9}
и является адаптацией доказательства Борга [2]. Об упр. 5.2 см. Харт-
ман и Уинтнер [10]; об упр. 5.3 (а) см. Хартман и Уинтнер [21]; часть (с)
этого упр. приведена в работе Опяля [3]; часть (d) является некоторым
усилением результата Валле-Пуссена [1] (ср. Сансоне [1, т. I, стр. 183],
а также Нехари [2]). Следствие 5.2 и упр. 5.4 принадлежат Хартману и Уинт-
Уинтнеру [5]; относительно обобщений см. Хартман [7]. Теорема 5.2 является
результатом Хартмана и Уинтнера; см. Хартман [7, стр. 642]. Следствие 5.3
получено Виманом [1]; обобщение, содержащееся в упр. 5.6 (а), см. в работе
Хартмана и Уинтнера [2]. Об упражнениях 5.6 (Ь) и 5.7 см. Хартман [18].
О теореме 5.3 см. Милн [1]: ср. Хартман и Уинтнер [5]. Обобщения резуль-
результатов упр. 5.9 (а) и (Ь) на системы из двух уравнений первого порядка были
получены Петти [1] другими методами.
§ 6. Термин «уравнение без сопряженных точек» в такой ситуации вве-
• ден Уинтнером [20]. Теорема 6.2 — классический результат вариационного-
исчисления (Якоби, Вейерштрасс, Эрдман); ср. Больца [1, гл. 2 и 3] или
Морс [2, гл. 1]. Доказательство, приведенное в тексте, основано на преобра-
преобразовании Клебша [1] второй вариации; см. Больца [1, стр. 632]. Следствие 6.2
является частным случаем результатов Хайнца [2]; см. упр. 11.6. Понятие
главного решения для уравнений без сопряженных точек было введено Лейто-
Лейтоном и Морсом [1]; см. Лейтон [1] относительно использования термина «глав-
«главный». Доказательство теоремы 6.4 получено из доказательства, содержащего-
содержащегося в работе Хартмана и Уинтнера [18, приложение]. Следствие 6.4 является
частным случаем теоремы А. Кнезера [2] об уравнениях (не обязательна
линейных) второго порядка; см. гл. XII, ч. I этой книги. Приведенное нами
доказательство принадлежит Хартману [3]; доказательство Кнезера анало-
аналогично доказательству, намеченному в упр. 6.7. О следствии 6.5 см. Хартман
и Уинтнер [6, стр. 635]. О следствии 6.6 см. Хартман и Уинтнер [3]. (О при-
приложении теоремы 6.4 и следствия 6.5 к дифференциальной геометрии
см. Хопф [1].)
§ 7. Теорема 7.1 принадлежит А, Кнезеру [1]. Замечание после тео-
теоремы 7.1 об использовании последовательности функций из упр. 1.2 принадле-
принадлежит Хилле [1] и Хартману [4]. Теорема 7.2 была доказана Уинтнером [20].
О следствии 7.1 и упр. 7.4 см. Хартман [9] и [25] соответственно. Упражне-
Упражнение 7.2 (Ь) является результатом Хартмана и Уинтнера [20] и обобщает
результат Пикара [4, стр. 8]. В работе Хартмана [10] содержится лемма 7.1,
теоремы 7.3, 7.4 и упр. 7.5—7.8. Теорема 7.4 является обобщением результата
Уинтнера [20J.I Упр. 7.8 связано с результатами Уинтнера [9], [15], [20],
Хилле [I] и Лейтона [2]. Упр. 7.9, возможно, является новым (впервые она
было приведено Хилле [1] при дополнительном предположении, что q^t) > 0,
Я2 (t) > 0, а затем Уинтнером [24] при условиях 0 <; Qi (t) < Q2 (t)\ дока-
доказательство, приведенное в конце книги, гораздо проще, чем доказательства
этих авторов). О некоторых результатах, близких к изложенным здесь,
см. Уинтнер [14], Зламал [1], Олех, Опяль и Важевский [1] и Опяль [4].
Об изучении нулей решений некоторых уравнений четвертого порядка
см. Лейтон и Нехари [1].

474 Гл. XI. Линейные уравнения второго порядка
§ 8. Теорема 8.1 является вариантом одного результата Уинтнера [10].
Следствие 8.1 получено Бохером [2]. Об упр. 8.2 см. Проди [1], об упр. 8.3 см.
Уинтнер [12]. Упр. 8.4(Ь) принадлежит Уинтнеру [10] и уточняет результаты
Чезари [1]. Об упр. 8.5 см. Хартман и Уинтнер [17]; о близких результатах
см. Аткинсон [1] и приведенные там ссылки. Относительно упр. 8.6 и 8.8
см. Хартман [25]. Об упр. 8.7 см. Ганелиус [1]; этот"" результат был впервые
использован в связи с линейными дифференциальными уравнениями второго
порядка Бринком [1]
§ 9. Общая схема рассуждений этого параграфа основывается на неопу-
неопубликованных заметках Хартмана и Уинтнера. Лемма 9.1 близка к результа-
результатам Уинтнера [13], [17] об уравнении второго порядка. Аналоги лемм 9.1
и 9.2 для уравнения (9.1) при р (t) > 0 и q (t) •< 0 восходят к Вейлю [1].
Теорема 9.1 — неопубликованный результат Хартмана и Уинтнера. Первая
часть следствия 9.1 является результатом Бохера [2] при условии (9.30)
и Уинтнера [17] при условии (9.31). Аналогично, первая часть следствия 9.20
принадлежит Бохеру [2] при условии (9.35) и Хартману и Уинтнеру [12] при
условии (9.36). Об упр. 9.6 см. Уинтнер [12]. О следствии 9.3 и упр. 9.7
и 9.8 см. Хартман и Уинтнер [ 12]> где приводятся аналоги этих утверждений
и обобщения. О близких результатах см. Опяль [2], [5], [6], Раб [1J, Зламал [1].
§ 10. Термин «сопряженные решения» для случая вещественных систем
A0.1) введен фон Эшерихом [1]; аналог тождества Лагранжа (см. абзац после
формулы A0.8)), на котором основано это определение, принадлежит Клеб-
шу [1]. Относительно соотношений A0.18) и A0.19) см Кауфман и Стерн-
берг [1], Баррет [1] и Рейд [3]. Замечания, сделанные выше относительно
теоремы 6.2, применимы и к теореме 10.3 для вещественных матриц Р, Q и R.
О комплексном случае см. Рейд [2], [3], [5], [6]. Доказательство, приведен-
приведенное в тексте, основано на преобразовании Клебша второй вариации. Упр. 10.1
является особым случаем классической теоремы Якоби о сопряженных точ-
точках. Упр. 10.2 при Pi = Р* и Qi = Qjf является простейшим случаем резуль-
результата Морса [1]; см. Хартман и Уинтнер [22], где Pj и Qj предполагаются
вещественными. Следствие ЮЛ установлено Хайнцем [2]; см. упр. 11.6.
Приведенное доказательство гораздо проще доказательства Хайнца.
Понятие главного решения для систем A0.1) при R (t) = 0 было введено
Хартманом [12], доказавшим аналог теоремы 10.5, где, однако, участвовали
только самосопряженные решения (U (/), V (t)). Определение главного реше-
решения и теоремы 10.4, 10.5 принадлежит Рейду [3]. Хотя главное решение
в смысле Рейда оказывается самосопряженным и потому совпадает с глав-
главным решением в смысле Хартмана, изучение неглавных решений более
удобно, если принять определение Рейда. Доказательство существования
главных решений (теорема 10.5A)) следует доказательству Хартмана [12].
Доказательство существования, принадлежащее Рейду, вынесено в упр. 10.4.
Доказательство теоремы 10.4 и других частей теоремы 10.5 основано на рабо-
работе Рейда [3]. Лемма 10.1 и ее доказательство принадлежат Ф. Риссу; см. Рисе
и Секефальви-Надь [1]. Об упр. 10.3 см. Хартман [12].
§ 11. Результаты этого параграфа, приведенные в упр. 11.1 —11.5, при-
принадлежат Рейду [3]; см. также Сандор [1] и Рейд [6] относительно близких
результатов и их обобщений. Об упр. 11.6 см. Хайнц [2] (и для случая d —
= 1 см. Бринк [1]).

Глава XII
Некоторые применения
теорем о неявных функциях
и неподвижных точках
Многие вопросы теории дифференциальных уравнений решены
с помощью теории неявных функций — либо в классическом ее виде,
либо в более общем виде, включающем теоремы функционального
анализа о неподвижных точках. Эта глава и посвящена некоторым
таким приложениям. В части I рассматриваются вопросы существо-
существования периодических решений линейных и нелинейных дифферен-
дифференциальных уравнений. В части II изучаются решения одной гранич-
граничной задачи для уравнений второго порядка. В части III излагается
некоторая общая абстрактная теория и в качестве иллюстрации
рассматривается ее приложение к вопросам асимптотического инте-
интегрирования.
Хотя части I и II и являются применениями общей теории ча-
части III, мы их излагаем по некоторым причинам отдельно. Первая
причина заключается в важности и сравнительной простоте рас-
рассматриваемых вопросов. Вторая — в том, что части I и II дают
некоторую мотивировку для излагаемой в части III абстрактной
теории. Третья и наиболее важная причина состоит в том, что в диф-
дифференциальных уравнениях всякая общая теория обычно дает
лишь направление для дальнейших исследований. Ее использова-
использование в конкретных ситуациях, как правило, связано с получением
надлежащих сложных оценок, которые позволяют установить,
возможно ли применить эту общую теорию.
В дальнейшем будут использоваться две следующие общие
теоремы. Первая из них является очень простой.
Теорема 0.1. Пусть ф—банахово пространство элементов
х, у, ... с нормами | х |, | у |, ... . Обозначим через То отобра-
отображение шара | х | ^ р пространства Ф в пространство ®, удовле-
удовлетворяющее условию | Го Ы — То 1у] I <С 9 I х — у | с некоторым 9,
О < 9 < 1. Пусть т = | То [0] | и пг < р A — 9). Тогда отобра-
отображение То имеет единственную неподвижную точку х0, т. е. такую
точку х0, что То [х0] — х0. Более того, эта точка х0 может быть
получена как предел последовательных приближений х{ = То [0],
х2 — Tq [Х{], х$ = То [х^], ....
Замечание. Если Го отображает шар | х0 | ^ р в себя, то условие
m <; р A — 9) можно отбросить.

476 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Упражнение 0.1. Убедитесь в справедливости теоремы 0.1
и следующего за ней замечания.
Более сложной является теорема 0.2 о неподвижной точке.
Теорема 0.2 (А. Н. Тихонов). Пусть © — линейное локально
выпуклое топологическое пространство, S — компактное выпуклое
подмножество пространства %, а То — отображение S в себя.
Тогда отображение То имеет неподвижную точку х0 6 S, т. е.
То [Xq] = Xq.
Далее часто используется такое следствие этой теоремы:
Следствие 0.1. Пусть © — линейное локально выпуклое тополо-
топологическое полное хаусдорфово пространство (например, пространство
Фреше или банахово пространство). Пусть S — замкнутое выпуклое
подмножество изЪ и То — отображение S в себя, такое, что образ
T0S множества S имеет компактное замыкание. Тогда То имеет
неподвижную точку х0 6 S.
Теорема 0.2 сначала была доказана Шаудером при условии,
что © — банахово пространство, и в этом случае ее обычно назы-
называют «теоремой Шаудера о неподвижной точке». Доказательство
теоремы 0.2 см. в работе Тихонова [1]1).
В частях I и II следствие 0.1 используется в случае, когда ©
является банаховым пространством С0 или С1, а в части III —
в случае, когда © есть некоторое простое пространство Фреше,
а именно пространство непрерывных на J: 0<; t < со «]оо) функций
с топологией равномерной сходимости на замкнутых отрезках из J.
Следствие 0.1 получается из теоремы 0.2 следующим образом.
Пусть ©, S, То определены так же, как в следствии 0.1. Обозна-
Обозначим через Si замыкание множества T0S, так что 54 есть компакт.
Кроме того, «Si cz 5, так как 5 замкнуто. При наложенных условиях
на © выпуклое замыкание множества Si (т. е. наименьшее замкну-
замкнутое выпуклое множество, содержащее Si) является компактным,,
так как компактно само Si. (В приводимых ниже приложениях
этот результат является непосредственным следствием теоремы
Ариела; см., например, замечание после доказательства теоре-
теоремы 2.2.) Обозначим через S0 это выпуклое замыкание множества Si.
Так как S выпукло, то S° c= S. Значит, То является непрерывным
отображением выпуклого компакта S0 в себя (действительно,.
T0S° cz ToS cz Si cz S°), и потому следствие вытекает из теоремы 0.2.
Рассуждения, проводимые в части III, опираются на теорему
функционального анализа об открытом отображении. Мы будем
использовать ее в следующей форме:
Теорема 0.3 (теорема об открытом отображении). Пусть Хи Х2 —
банаховы пространства, а То — линейный оператор, действующий
г) А также в монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца «Линейные опера-
операторы», ч. I, ИЛ, М., 1962.— Прим. ред.

Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках 477
из Xi в Х2, с областью определения 3) (Го), являющейся линейным
многообразием в Хи и областью значений № (То) = Х2. Пусть
оператор То является замкнутым, т. е. его график *§ (То) =
= {(*и T0Xi): Xi 6 3) (Го)} есть замкнутое множество в банаховом
пространстве Xt х Х2 = {(xit x2): xt £ Xu x2 £ Х2) с нормой
I (*ь х2) | = max (| Xi |, | x2 \). Тогда существует постоянная Кг
обладающая тем свойством, что для каждого х2 6 Х2 существует
по крайней мере один элемент х{ 6 3D (Го), такой, что Тох{ = х2
и | Xi | <С К I х2 |. [В частности, если отображение То взаимно
однозначно, так что xt единственно, то неравенство \ xt \ <;
< К I TQXi | верно для всех х{ 6 SD (Го).1
Доказательство теоремы об открытом отображении, сформули-
сформулированной следующим образом: «Если Р — непрерывное линейное
отображение из банахова пространства X в другое банахово про-
пространство Х2 с областью определения 2D (Р) = Хи областью зна-
значений М (Р) = Х2, то Р отображает открытые множества в откры-
открытые», см. в книге Банаха [1, стр. 38—40] х). Теорема 0.3 получается
в результате применения этой теоремы Банаха к отображению
проектирования Р: § (То) ->■ Х2, где Р (xi9 T0Xi)i= Toxu с учетом
того, что шар с центром в начале & (То) имеет Р-образ, содержащий
шар с центром в начале Х2.
С целью мотивировки последующего изложения рассмотрим
задачу нахождения решения дифференциального уравнения
y'=f°(t> у) (ол)
в некотором множестве S функций у (£). Перепишем это уравнение
в виде
у1 = A {f)y + f{t, у), f(t, у) = f\t, у)-A (t)y.
Предположим, что при некотором выборе A (t) для каждого
х (t) £ S уравнение
у' =A(f)y + f(t, x{t)) @.2)
имеет решение у (/) 6 S. Определим оператор Го: 5 ->■ S, положив
у (t) = То 1х (/)], где у (t) 6 5 есть подходящим образом выбранное
решение уравнения @.2). Тогда ясно, что неподвижная точка у0 (t)
отображения То, т. е. точка, где То [уо (/)] = у0 (t), является реше-
решением уравнения @.1) в S.
Для того чтобы применить только что сформулированные тео-
теоремы, предположим, что S является подмножеством некоторого
подходящего топологического векторного пространства ф. Обычно
удобно ввести другое пространство Ш и два оператора L и Т\.
Оператор L является линейным дифференциальным оператором
L[y] = у' — А (/) у, так что g (t) = L [у (t)], если
y' = A(t)y + g (/). @.3)
А) См. стр. 34—35 украинского перевода или упомянутую выше моногра-
монографию Данфорда и Шварца. — Прим. ред.

478 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Кроме того, мы будем предполагать, что если х (/) 6 5, то g (/) =
= / (/, х (t)) принадлежит Ш и тогда отображение Г4: 5 -»■ Ш
определяется следующим образом: g (/) = Ti lx (f)]. Исследование
оператора То сводится тогда к изучению линейного дифференциаль-
дифференциального оператора L и нелинейного оператора Т±.
Необходимость применения теоремы 0.3 возникает в ситуациях
следующего типа. Предположим, что Ш, © — банаховы простран-
пространства и что |g |$, \У I® обозначают нормы элементов g£$8, У 6®
соответственно. Допустим, что: 1) для каждого g (t) 6 S3 уравне-
уравнение @.3) (т. е. L [у] = g) имеет единственное решение у (/) 6 S cz ©;
2) г/ (£) зависит от g (/) линейно и 3) существует постоянная Кг
такая, что \у |ф<[/С \g |аз- Пусть для отображения Г4: 5->Ш
существует постоянная 9, такая, что | Г4 UJ — Г4 U2] | $ ^
<; 9 | х4 — х2 | ф Для ^ь ^2 6 5. Тогда Го удовлетворяет условию
I То Ui @1 — Го [ха @' I ф <^ 9^С I ^i — ^21 ф- Согласно теореме
0.1, последовательные приближения
будут сходиться тогда к неподвижной точке отображения Го (при
надлежащих условиях на S, х± и 8/Q.
В некоторых ситуациях уравнение L [у] = g" может иметь
решение #, удовлетворяющее условию | у |$ <; /С | g |^, хотя у
не единственно; см., например, теорему 0.3. В этом случае у не обя-
обязательно зависит от g линейно, но последовательные приближения
тогда можно получить следующим образом. Для данного Xi поло-
положим х2 = у, где у — решение уравнения L [у] = Т± [xi (/)]. Если
Xi, x2j . . ., xn_i уже определены для п > 2, определим хп из
уравнения L [хп — xn-i] = T\ Un_J — Tt [xn_2] и неравенства
\ Хп—Xn_t |ф<!/С| Ti [xn_i\ — Tilxn_2]\ <$. Впрочем, эта ситуация
в дальнейшем нам не встретится.
Если неравенства | Tt [x{ (f)] — Tilx2(t)] \ % < 9 | х{ — х2 \ Ф
установить нельзя, то теорему 0.2 все еще можно применить для
доказательства существования неподвижной точки отображения То.
ЧАСТЬ I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
§ 1. Линейные уравнения
В этом параграфе, если не оговорено противное, компоненты
d-мерных векторов у, z считаются вещественными или комплекс-
комплексными. Пусть р > 0 фиксировано. Рассмотрим неоднородную систе-
систему линейных уравнений
A.1)

§ 1. Линейные уравнения 479*
и соответствующую однородную систему
у' = A(t)y, A.2>
где A (f) — непрерывная (d х бО-матрица, a g (t) — непрерывная
на отрезке 0 <; t <! p вектор-функция. Рассмотрим, кроме того,
множество граничных условий
My@)-Ny(p) -0, A.3)
где М и N суть постоянные (d X ^-матрицы. Например, если
М = N = I и A (t), g (t) периодичны с периодом /?, то решение
у (/) системы A.1) или A.2), удовлетворяющее условию A.3), являет-
является периодическим с периодом р.
Лемма 1.1. Пусть матрица A (t) непрерывна при 0 <; t <; /?,
М и N — постоянные (d X $)-матрицы, а матрица Y (t) является
фундаментальной для системы A.2). Система A.2) имеет нетри-
нетривиальное (фО) решение, удовлетворяющее условию A.3), тогда и толь-
только тогда, когда матрица MY @) — NY (p) является вырожденной.
Более того, число k, 0 ^ k <C d, линейно независимых решений за-
задачи A.2), A.3) равно числу линейно независимых векторов с, определя-
определяемых условием
IMY(O) — NY(p)]c = 0, A.4)
т. е. d — k равно рангу Rg [MY @) — NY (/?)].
Это утверждение очевидно, так как общее решение системы A.2)
представляется в виде у = Y (t) с.
Упражнение 1.1. Пусть матрица A (t) периодическая с перио-
периодом р и
Rt, где Z(t + p) = Z(t), A.5)
a R — постоянная матрица; см. § IV.6 (теория Флоке). Система A.2)
имеет нетривиальное (ФО) решение периода р в том и только в том
случае, когда X = 1 является мультипликатором системы A.2),
т. е. когда матрица eRv — / является вырожденной. Число линейно
независимых решений периода р равно числу линейно независимых
решений с системы
[Y@)-Y(p)]c = 0y т. е. (eRv-I)c = 0. A.6)
В случае алгебраических систем неоднородная система Су = g
имеет при любом g решение у тогда и только тогда, когда однород-
однородная система Су = 0 имеет единственное решение у = 0. Аналог
этого утверждения имеет место и в нашем случае.
Теорема 1.1. Пусть матрица A (t) непрерывна на отрезке
0 ^ t ^ /?; пусть М и N — постоянные (d x £)-матрицы, такие,
что (d х Щ-матрица (М, N) имеет ранг d. Система A.1) имеет

480 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
при любой заданной непрерывной функции g (t) решение у (t), удо-
удовлетворяющее A.3), тогда и только тогда, когда задача A.2), A.3)
не имеет нетривиального (Ф0) решения; в этом случае решение
у (t) единственно и существует постоянная /С, не зависящая от g(t),
такая, что
?
\\y(t)\\<K)\\g(s)\\ds, 0</</7. A.7)
о
Доказательство. Общее решение системы A.1) задается форму-
формулой
t
y(t) = Y (t) {c+ j У» (s) g (s) ds} ; A.8)
0
см. следствие IV.2.1. Это решение удовлетворяет условию A.3)
в том и только в том случае, когда
р
[MY@)-NY(p)]c = NY(p) ^Y-1(s)g(s)ds. A.9)
о
Допустим, что задача A.2), A.3) не имеет нетривиального реше-
решения. Тогда по лемме 1.1 матрица V = MY @) — NY (p) является
невырожденной, так что система A.9) имеет единственное реше-
решение с. Подставляя это значение с в A.8), получаем единственное
решение задачи A.1), A.3):
р t
y(t) = Y (t) {l/-W j У"* (s) g (s) ds + J y-i (s) g (s) ds} . A.10)
о о
Ясно, что отсюда следует существование константы /С, удовлетво-
удовлетворяющей неравенству A.7) для 0<С/<!/?.
Итак, первая половина теоремы 1.1 доказана (заметим, что
в этой части условие, что ранг GW, N) равен d, не использовалось).
Обратное утверждение следует из теоремы 1.2.
Упражнение 1.2. Какой вид имеет функция Грина G (/, s)
в последней части теоремы 1.1, т.е. какова функция G (t, s),
0 <; s, / -< р, такая, что
р
y(t)= [G(t,s)g(s)ds
является единственным решением A.10) задачи A.1), A.3)?
Рассмотрим системы, сопряженные к A.1), A.2):
t)z + h(t) = O, A.11)
z' + A*(t)z = 0, A.12)

§ 1. Линейные уравнения 481
где матрица Л* комплексно сопряженная и транспонированная
к А\ см. § IV.7. Рассмотрим также множество граничных условий
/>Z@)-Qz(p)=0, A.13)
где Р, Q — постоянные (d x ^-матрицы. Если у (t) является реше-
нием^системы A.1), a z (t) — решение системы A.11), то формула
Грина (IV. 7.3) имеет вид
llg(s)-z(s)-y(s)-h(s)]ds = [y(t).z(t)]l A.14)
о
В каком случае из граничных условий A.3) и A.13) следует, что
У(Р)-г(Р)-у@).г@) = 0, A.15)
т. е. когда правая часть соотношения A.14) равна нулю? Заметим,
что если матрицы М и Q невырожденные, то это бывает в том
и только в том случае, когда 0 = у (р) • Q~xPz @) — M~rNy (р) • z @) =
=,(Р^^~М-гМ)у(р)-2@) = [М-1 (MP*-NQ*) Q*] у(р)-г@),
при этом из A.3) и A.13) следует A.15) тогда и только тогда,
когда
= 0. A.16)
Лемма 1.2. Пусть М9 N — постоянные (d x д)-матрицы, такие,
что ранг Rg (M, N) = d. Тогда существуют (d x б)-матрицы
Р, Q, удовлетворяющие A.16), имеющие ранг Rg (Я, Q) = d и обла-
обладающие тем свойством, что из соотношений A.3), A.13) следует
A.15). Пара векторов z @), г (/?), удовлетворяющих A.13), я^ зависит
от выбора матриц Р и Q.
Доказательство. Так как ранг Rg GW, N) равен d, то существуют
(d х а)-матрицы Miy Nu такие, что Bd X 2^)-матрица
М —
Ц
является невырожденной. Представим матрицу, обратную к W%
в виде
Р*
так что справедливо A.16) и ранг Rg (Я, Q) — d.
Пусть у и у2, zu z2 суть d-мерные векторы иг\(уиу2)Л = (*i, ^2) ~
соответствующие 2с(-мерные векторы. Тогда
^.^^-i^.^^.^-i^ AЛ8)
так что
Myi--Ny2 = 0, Pzi + Qz2 = 0=$r\-Z = 0. A.19)
31-241

482 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Выбирая t)i = у @), у2 = у (/?), г^ = г @), z2 = — z (р), видим,
что из A.3) и A.13) следует A.16). Тем самым доказательство суще-
существования закончено.
Представление импликации A.3), A.13) =^ A.16) в виде A.19)
позволяет дать простое доказательство последней части леммы.
Сначала заметим, что если вектор т] = {уи у2) ф 0 удовлетворяет
равенству Myi — Ny2 = 0, то Pyi + Qy2 Ф 0. Действительно,
так как ранг Rg (Р, Q) = d, то множество векторов £ =
= (z @), —г (/?)), удовлетворяющих равенству Рг @) — Qz (р) = 0,
совпадает с множеством векторов, удовлетворяющих соотношению
т) •£ = 0 для всех г\ = (уи у2)у таких, что Myi — Ny2 = 0. Значит,
множество векторов £ = (z @), —z (p)) определяется матрицами
уИ, N, и тем самым лемма полностью доказана.
Граничные условия A.13), удовлетворяющие условиям леммы
1.2, далее будут называться сопряженными граничными условиями
по отношению к граничным условиям A.3). Соответственно задачи
A.2), A.3) и A.12), A.13) будут называться «сопряженными
задачами». [Заметим, что условия, сопряженные по отношению
к «граничным условиям периодичности» у (р) = у @) (т. е. М =
= N = I), эквивалентны «условиям периодичности» z (p) = z @)
(т. е. Р = Q = /).]
Для сопряженных задач имеет место аналог алгебраического
результата о том, что если С есть (d X dj-матрица, то число линейно
независимых решений системы Су = 0 совпадает с числом линейно
независимых решений «сопряженной» системы C*z = 0.
Лемма 1.3. Пусть матрица A (f) непрерывна на 0 <; t < р;
М, N — постоянные (d x d)-матрицы, такие, что ранг Rg (M, N) =
= d, а граничные условия A.13) являются сопряженными по отно-
отношению к A.3). Тогда задачи A.2), A.3) и A.12), A.13) имеют оди-
одинаковое число линейно независимых решений.
Доказательство. Так как связь между задачами A.2), A.3)
и A.12), A.13) является симметричной, достаточно показать, что
если задача A.12), A.13) имеет k линейно независимых решений,
где 0 <1 k <; d, то число линейно независимых решений задачи
A.2), A.3) будет не меньше k.
Пусть Y (t) — фундаментальная матрица системы A.2); тогда
У* (/) будет, согласно лемме IV.7.1, фундаментальной матрицей
системы A.12). Определим, как и в A.17), постоянную Bd a 2d)-
матрицу
iY^ Ny^) A.20)
так что матрица U невырожденная и
/PiK*-x@) QlУ*-1(
/y*-i _ w*-i diae гу* @) Y*~1(o)] — \

§ 1. Линейные уравнения 483
Значит, если с0 — постоянный d-мерный вектор, такой, что вектор
z(t) = У* (/) с0 является решением задачи A.12), A.13), то
(У* (с0, —со) = (Ь, 0). Здесь Ъ есть некоторый d-мерный вектор,
и если с0 пробегает некоторое множество k линейно независимых
векторов, то вектор Ъ также пробегает множество k линейно неза-
независимых векторов, поскольку матрица и*~г невырожденная. В силу
A.20) легко видеть, что уравнение (с0, — co) = U*(b, 0) дает
с0 = У* @) Л4* Ъ - У* (р) N*b, A.21)
так что
[У* @) Л4*-У* (р) Л/*] Ь = 0. A.22)
Значит, матрица У*@)М* — Y*(p)N* аннулирует k линейно
независимых векторов Ь, и потому то же самое справедливо и по
отношению к матрице MY@) — NY(p), получаемой из нее транс-
транспонированием и заменой элементов на комплексно сопряженные.
Для завершения доказательства остается применить лемму 1.1;
тем самым лемма 1.3 доказана.
Замечание. Для целей следующего ниже доказательства заме-
заметим, что из только что доказанной леммы вытекает следующее:
соотношение A.22) имеет место в том и только в том случае, когда
вектор с0 в A.21) обладает тем свойством, что решение z = У*-1 (/) с0
системы A.12) удовлетворяет условию A.13).
Другой алгебраический результат состоит в том, что если матри-
матрица С невырожденная, то система Су = g имеет решение у в том
и только в том случае, когда g" ортогональна (т. е. g-z = 0) ко всем
решениям z однородной «сопряженной» системы C*z = 0. Анало-
Аналогичная ситуация имеет место в нашем случае.
Теорема 1.2. Пусть матрица A (t) непрерывна на 0 ^ / ^ р,
М и N — постоянные (d X $)-матрицы, такие, что ранг
Rg (M, N) = d, и пусть задачи A.2), A.3) и A.12), A.13) являются
сопряженными. Предположим, что задача A.2), A.3) имеет ровно k
линейно независимых решений у{ (/),..., yk (/), и пусть Zi (t), ...
. . ., Zk (t) — линейно независимые решения задачи A.12), A.13).
Пусть g (t) непрерывна для 0<С /<; р. Система A.1) имеет решение
У о (t), удовлетворяющее условию A.3), тогда и только тогда, когда
(s)-Zj(s)ds = 0, j=l,...,k. A.23)
В этом случае решения задачи A.1), A.3) задаются в виде у0 (t) +
+ ы\У\ (t) + . . . + ЫкУи @» где «ь • • •» «л — произвольные пос-
постоянные.
Доказательство. Заметим, что, согласно доказательству тео-
теоремы 1.1, задача A.1), A.3) имеет решение в том и только том случае,
31*

484 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
когда система A.9) имеет решение с. А это в свою очередь бывает
тогда и только тогда, когда
v
о
для всех решений Ъ системы A.22). В силу A.21) это эквива-
эквивалентно условию
v v
О = J [g (s) • У*-* (S) Y* (р) N*b] ds=^ g(s)-z (s) ds
о о
для всех решений z = F*(s)c0 задачи A.12), A.13), т. е. условию
A.23). Теорема доказана.
Следующую теорему, скорее всего, следует рассматривать как
частный результат для случая, когда A (f) и g (t) являются перио-
периодическими с периодом р.
Теорема 1.3. Пусть матрица A(t) непрерывна и имеет период р.
Тогда для фиксированной непрерывной функции g (t) с периодом р
система A.1) имеет решение с периодом р в том и только в том
случае, когда A.1) имеет по крайней мере одно ограниченное при
11> О решение.
Доказательство. Необходимость существования ограниченного
решения очевидна. Для доказательства достаточности допустим,
что A.1) имеет некоторое решение у (t), ограниченное для всех
/ ^> 0. Пусть Y (t) — фундаментальная матрица системы A.2),
удовлетворяющая условию У @) = /. Тогда система A.1) имеет
решение периода р в том и только в том случае, когда уравнение
с = Y(p)c + 6, где
имеет решение с\ см. A.9) из доказательства теоремы 1.1.
Если в (L8) с = у @), то для данного решения у (t) системы A.1)
будет выполняться соотношение у (р) = Y(p) у @) + Ь. Так как
у (t + р) также является решением, то у Bр) = Y(p) y(p) + Ъ =
= Y2(p) у @) + Y(p) Ъ + Ъ или, более общо,
{t Yk(p))b. (*)
fe0
Предположим, что система [I — Y (р)]с—Ь не имеет решения. Тогда
матрица [Y(p) — /]* вырожденная, и существует вектор с0, такой,
что [Y(p) — I]*c0 = 0 и Ь-СъФО. Значит, co = Y*(p)co и со =
= (Yk(p))*c0 для & = 0, 1, ... . Умножая уравнение (*) скалярно

^ § 2. Нелинейные задачи 485
на с0, получаем
У {пр) -с0 = у @) -с0 + п (Ь -с0),
так как Yk (р) у @) • с0 = у @) - (Yk (р))* с0. Поскольку Ь-с0ф0,
а последовательность у(р), у{2р), ... ограничена, мы приходим
к противоречию. Теорема доказана.
§ 2. Нелинейные задачи
В этом параграфе рассматривается вопрос о существовании
периодических решений нелинейных систем. С очень незначитель-
незначительными изменениями описываемые здесь методы и результаты приме-
применимы к случаю, когда требование «периодичности» заменено гранич-
граничными условиями вида A.3). Результаты зависят от полученных
в последнем параграфе результатов для линейных систем и, в част-
частности, от «априорной оценки» некоторых решений системы A.1),
определяемой формулой A.7). Первые две теоремы относятся к нели-
нелинейной системе вида
у' = A(t)y + f(t, у), B.1)
в которой у представляет собой вектор с вещественными или ком-
комплексными компонентами.
Теорема 2.1. Пусть непрерывная и периодическая с периодом р
матрица A (t) такова, что система A.2) не имеет нетривиального
решения с периодом р. Пусть К определено, как в формуле A.7)
из теоремы 1.1, где М = N = /. Пусть функция f (/, у) непрерывна
для всех (ty у), периодична по t с периодом р при фиксированном
у и удовлетворяет условию Липшица
\\f(t, yi)-f(t, У2)\\<в\\У1-У2\\ B.2)
для всех t> у и У 2 с такой малой постоянной Липшица 6, что р
< 1. Тогда система B.1) имеет единственное решение периода р.
В действительности вовсе не обязательно, чтобы / (/, у) была
определена для всех у. Если т = max \\f(t, 0) ||, то достаточно
потребовать, чтобы / (t, у) была определена для || у \\ <С г, где
Доказательство. Введем в рассмотрение банахово пространство
® непрерывных периодических функций g (t) периода р с нормой
| g | = max || g (t) ||. Тогда сходимость последовательности gt @i
g2 (t), . . . в Ф эквивалентна обычной равномерной сходимости
на отрезке 0 <I t <C р.
Пусть g (t) — непрерывная функция периода р, удовлетворяю-
удовлетворяющая неравенству \\g (t) !!•</•. В этом случае по теореме 1.1 урав-

486 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
нение
у' -A(t)y = f(U g(Q) B.4)
имеет единственное решение у (t) периода р. Определим на множестве
всех таких g (t) оператор То, положив у (t) = То Ig]. Заметим, что
A.7), B.4) и B.2) показывают, что если z (t) = To [ft], то
То [g] - То [ft] | <
g-h\, B.5)
где | у | = max || у (t) || для 0 <; t <! p. Кроме того, если m =
- max || / (/, 0) ||, то | To [0] | < Kpm.
Значит, теорема 2.1 следует из теоремы 0.1, так как у0 (t) являет-
является неподвижной точкой оператора То, То [уо\ = уо, в том и только
том случае, когда у0 (t) есть периодическое решение системы B.1)
периода р\ см. B.4), где у = То [g].
В теореме 2.1 условие B.2) за счет потери «единственности»
может быть отброшено, если норма ||/(/, у) || мала.
Теорема 2.2. Пусть А (/) и К такие же, как в теореме 2.1. Пусть
/(/, у) непрерывна для \\ у \\ ^ г и всех t, при фиксированных у имеет
по t период р и удовлетворяет условиям
Kp\\f{t,y)\\<r для 0<*</>, ||jH|<r. B.6)
Тогда система B.1) имеет по крайней мере одно периодическое реше-
решение периода р.
Доказательство. Как и выше, определим у (t) = То ig] как
единственное решение системы B.4) с периодом р, где g (t) имеет
период р и | g | ^ г. Для доказательства теоремы достаточно уста-
установить, что оператор То имеет неподвижную точку у0, т. е. у0 =
= То [уо]- Мы сделаем это с помощью следствия 0.1 теоремы Тихо-
Тихонова. Из A.7) и B.6) следует, что у = То [g] удовлетворяет усло-
условию | у | <; г. Другими словами, если 2 есть введенное в последнем
доказательстве банахово пространство, то То отображает шар
| g | <; г пространства 2) в себя. Кроме того, из A.7) следует, что
р
\T0[g\-T0\h}\KK\\\f(t,g{t))-f(t,h{t))\\dt.
о
Так как функция / непрерывна, ясно, что если | g — h ==
= max || g(t)—h (t) || ->- 0, то To Ig] — To [ft] ->- 0. Значит, ото-
отображение То непрерывно.
Если у = То [g], то || у (/) ||<; г и B.4) показывает, что суще-
существует постоянная С, не зависящая от g, такая, что || y'(t) \\ ^ С.
Отсюда следует, что множество функций у (t) = То lg\ из области
значений оператора То ограничено и равностепенно непрерывно.

§ 2. Нелинейные задачи 487
Поэтому по теореме Арцела оно имеет в Ъ компактное замыкание
(т. е. любая последовательность уи Уг-> - • • имеет равномерно схо-
сходящуюся подпоследовательность). Тогда из следствия 0.1 вытекает,
что То имеет неподвижную точку у0. Ясно, что у = у0 (t) является
периодическим решением периода р. Теорема доказана.
Замечание. При выводе следствия 0,1 из теоремы 0.2 Тихонова
необходимо было знать, что выпуклое замыкание области значений
Л (То) оператора То компактно. Как легко видеть, в только что
приведенном доказательстве это требование выполнено, так как
y(t) из М(То) удовлетворяет следующим условиям: i) у (t) непре-
непрерывна и имеет период р\ Н) || у (t) ||< r и iii) || у (f) — у (s) || <
^ С | t — s \. Выпуклая оболочка множества М (То) (т. е. наимень-
наименьшее выпуклое множество, содержащее Л(Т0)) состоит из множества
функций у (/), представимых в виде А,^ (/)+...+ Хпуп (t),
п = 1, 2, ... , kj > 0 и hi + ... + Хп = 1. Ясно, что функции
из этого множества удовлетворяют условиям i) — iii). Замыкание
этого множества функций по норме пространства © (т. е. относи-
относительно равномерной сходимости на 0 ^ t ^C Р) Дает множество
функций, также удовлетворяющих условиям i) — iii). Тогда ком-
компактность этого множества в ® следует из теоремы Арцела. (Ана-
(Аналогичное замечание можно сделать и по поводу других применений
следствия 0.1 в этой главе; см. теоремы 4.2 и 8.2.)
Рассмотрим теперь систему нелинейных дифференциальных
уравнений, зависящих от параметра \i:
х' = F (t, x, jx), B.7)
где F непрерывна, имеет при фиксированных (х, \х) период р по /,
а х и F — вещественные d-мерные векторы. Предположим, что при
[i = 0 система B.7) имеет периодическое решение х = g0 (t). Поло-
Положим у ^ х — go (/); тогда B.7) примет вид
У' = F (/, у + go (О, И) ~ F (t, go (/), 0).
Если F имеет непрерывные частные производные по х и A (t) =
= dxF (/, go (/), 0), где dxF — матрица Якоби вектора F по отноше-
отношению к х, то последнее уравнение имеет вид B.1), где
/ (/, у) - F(t, у + go (О, И) ~ F (/, go (/), 0) - A (t) у,
и II/ (/, у) ||/ II У II -> 0 равномерно по /, 0</< р, при (у, \i)-+0.
В частности, если | jii | мало, то для малых г>> 0 справедливо B.6);
кроме того, / (/, 0) = 0 и для малых || yi ||, || у2 II справедливо
условие B.2) с произвольно малым 6. Тогда из теоремы 2.1 следует,
что если система A.2) не имеет нетривиального периодического
решения периода /?, то система B.7) для каждого малого | fx | имеет
единственное решение х (t) = x (t, \i) периода р. Кроме того,
используя доказательство теоремы 2.1, можно показать, что если

488 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
F зависит от fx гладко, то х (/, [х) тоже зависит от fx гладко. Все
эти утверждения, однако, могут быть доказаны непосредственно
с использованием классической теоремы о неявной функции.
Теорема 2.3. Пусть х, F — вещественные векторы, F (t, х, |ы)
непрерывна для всех t, малых \ \i \ и всех х из некоторой d-мерной
области. Пусть F имеет по t при фиксированных (х, \i) период р
и обладает по компонентам вектора х непрерывными частными
производными. Пусть система B.7) при \i = О имеет решение
х = So (t) периода р, обладающее тем свойством, что если A (t) =
= dxF (t, So (f)> 0), то система A.2) не имеет нетривиального
решения периода р. Тогда для каждого малого | fx | система B.7)
имеет единственное решение х = х (t, \i) периода р с начальной
точкой х @, fx), близкой к g0 @); х (t, [х) является непрерывной
функцией от (t, \i) и х (t, 0) = g0 (t). Если, кроме того, F обладает
по fx непрерывной частной производной, то х (t, |ы) принадлежит
классу С1.
Из доказательства будет ясно, что если потребовать для F
выполнения более сильных условий гладкости (например, F £ Ck
или является аналитической), то соответственно и гладкость
х (/, [х) будет большей (например, х (t> \i) 6 Ck или является ана-
аналитической).
Доказательство. Пусть х = £ (t, х0, \х) — единственное решение
системы B.7), удовлетворяющее начальному условию х @) = х0.
Тогда I (t, x0, fx) непрерывна и имеет непрерывные частные произ-
производные по t и компонентам вектора хо\ см. следствие V.3.3. Кроме
того, если х0 близко к go @), то | (t, x0, \х) существует на отрезке
0 <; t <[ р\ см. теорему V.2.I. Решение х = I (/, х0, |х) имеет
период р в том и только в том случае, когда
I (р, х0, fx) — х0 = 0. B.8)
Так как £ (/, g0 @), 0) = g0 (/), то уравнение B.8) удовлетворено,
если (х0, fx) = (g0 @), 0). Это уравнение может быть решено
относительно х0 = х0 (|ы), если матрица Якоби левой части,
д*01 (р, хо> fx) — /, является в точке (лг0, fx) = (g0 @), 0) невы-
невырожденной. Частные производные от £ (t, x0, fx) по компонентам
вектора х0, вычисленные в точке (х0, \х) = (g0 @), 0), дают решение
уравнения в вариациях системы A.2); см. теорему V.2.I. Действи-
Действительно, матрица Y (t) = dXQl(t, go @), 0) является для A.2) фунда-
фундаментальной и удовлетворяет условию Y @) = /. Поэтому условие,
что система A.2) не имеет периодического решения, эквивалентно
предположению, что матрица Y (р) — / является невырожденной;
см. лемму 1.1, где М = N = /. Значит, к B.8) применима тео-
теорема о неявной функции, а это приводит к непрерывной функции
Хо = *о (М')- Соответственно х = | (t, х0 (|ы), fx) является периоди-

§ 2. Нелинейные задачи 489
ческим решением системы B.7) с периодом р, причем единственным
таким решением для начальных точек х0, близких к g0 @). Другие
утверждения теоремы 2.3 также следуют из теоремы о неявной
функции.
По вопросу о существовании периодических решений в случае,
когда
det [Y(p) — I] = 0,
имеется обширная литература, и мы не будем здесь его рассмат-
рассматривать.
Заметим, что если F в B.7) не зависит от t и g0 (t) Ф const,
то условия теоремы 2.3 не будут выполняться, так как х = g'0(t)
является нетривиальным периодическим решением уравнений
в вариациях для A.2). В этом случае, однако, имеет место следую-
следующий результат:
Теорема 2.4. Пусть х и F — вещественные векторы, F (x, \i)
непрерывна для малых \ \х \ и х из некоторой d-мерной области
и имеет непрерывные частные производные по компонентам векто-
вектора х. Пусть при [х = 0 система
х' = F (х, р) B.9)
имеет решение х = gQ (f) ф const периода р0 > 0, такое, что если
A (f) = dxF (go (/), 0), то ровно один из мультипликаторов систе-
системы A.2) равен 1 (т. е. eRpo имеет в качестве простого собственного
значения А, = 1; см. A.5), где р = р0). Тогда при малых \ \i |
система B.9) имеет единственное периодическое решение х = х (/, (ы)
с периодом р (|ы), зависящим от |ы, такое, что х (/, |ы) близко к g0 (t)f
а период р (\х) близок к ро\ более того, х (/, |ы), р (|ы) непрерывны
и х (/, 0) = go (/), р @) - р0.
Относительно связи между гладкостью F и функций х (/, fx),
р (fx) можно сделать такие же замечания, как и к теореме 2.3.
Геометрические соображения, используемые в следующем ниже
доказательстве, станут более ясными, если обратиться к лемме
IX. 10.1, показывающей, что мы можем получить все решения систе-
системы B.9) вблизи х = go (/), если рассмотрим решения с начальными
точками х @) = х0, близкими к g0 @) и удовлетворяющими
условию, что х0 находится на гиперплоскости я, нормальной
к F(go @)» 0) и проходящей через g0 @).
Доказательство. Пусть х = £ (t, х0, |ы) — единственное реше-
решение системы B.9), удовлетворяющее начальному условию х @) = х0.
Это решение имеет период р в том и только том случае, когда выпол-
выполняется B.8). А уравнение B.8) удовлетворено, если (р, хо> |ы) ==
= (Ро, go @), (г)-
Так как решения системы B.9) однозначно определены началь-
начальными условиями и go (/) Ф const, то отсюда следует, что F (g0 (/), 0) Ф О

490 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
для всех /. Предположим, что координаты в лг-пространстве выбраны
так, что go(O)~O и F @, 0) = @, ...,0, а), аФ0. Обозначим
через я гиперплоскость xd = 0, проходящую через точку g0 @) = 0
перпендикулярно к F @, 0). Возьмем на этой гиперплоскости точку
хо=(х*, ...,х^~1, 0). Тогда для малых \\i\ уравнение B.8) имеет
единственное решение /?, лг0, зависящее от |и, если матрица Якоби
вектора g (/, х0, |ы) — х0 по отношению к х^, ..., xd~^ и / является
в точке (/, х0, \i) = (ро> 0у 0) невырожденной.
Матрица Y (t), в которой столбцы совпадают с векторами
д%/дх*, ..., dl/дх^-1 и ^ в точке (дгО7 (а) = @' 0)' является для A.2)
фундаментальной, а ее последний столбец равен F (go(t), 0). При
i = 0, согласно A.5), имеем
y@) = diag[/d.1, a]=Z@). B.10)
Так как система A.2) имеет в качестве периодического решения
периода р0 — с точностью до постоянных сомножителей — лишь
один последний столбец g'o (t) матрицы У (/), взятой в точке (х0, |ы) =
= @,0), то матрица Y (р0) — Y @) аннулирует векторы с вида
с = @, . • ., 0, cd) и только такие векторы.
Матрица Якоби J вектора g (/, лг0, |ы) — х0 по отношению
к *£, .. ., х<*-1 и / в точке (/, х, \i) = (р0, 0, 0) равна
d-U 0],
а так как последний столбец в К(р0) совпадает с F (go(O), 0) =
= @, ..., 0, а), то / = [У(Ро) — y@)]+diag[0, ..., 0, а]. Если J
вырожденная, то существует вектор с= (с1, ..., cd) Ф 0, такой,
что Jc = 0, т. е.
В силу B.10) и равенства Z@) = Z(p0), это можно представить так:
Z(O){(eRpo-I)
или
Если <:d = 0, то с = 0, так как eRp° — I аннулирует только векторы
вида @, . ..,0, cd). Если cd^0, то (eRpo_/Jc = q. Но это озна-
означает, что число А, = 1 является по меньшей мере двукратным
собственным значением матрицы eRp°. Это противоречие показывает,
что матрица Якоби J невырожденна.
Значит, к B.8) применима теорема о неявной функции, что
дает нам существование искомых функций х* (ц), ..., х^-1 (|ti)
и р (ц). Соответственно, если х0 (|ti) = (х\ (|х), ..., х^-1 (ja), 0),
то х (/, (х) = | (/, х0 (|я), |я) является периодическим решением системы

§ 3. Линейные задачи 491
B.9). Это решение является единственным периодическим решением,
имеющим начальную точку х0 с х% = О, близкую к go(O), и период,
близкий к pQ. Теорема 2.4 доказана.
Упражнение 2.1. Пусть dim* = 2; F (/, х) непрерывна для
всех / и х и имеет по / период р при фиксированных х. Пусть
решение x = x(t, t0, x0) системы
x' = F(t,x), B.11)
удовлетворяющее условию х (t0) = х0, единственно для всех t0, x0
и существует для t>t0. Наконец, пусть для некоторой точки (t0, х0)
решение x(t,to,xo) ограничено при t>t0. Тогда B.11) имеет
по крайней мере одно периодическое решение периода р. См. Мае-
сера [1].
Упражнение 2.2. Пусть а (/) = (а1 (/), ..., ctd(/)), P(*) =
= (P1(f), ..., Pd(/)) кусочно дифференцируемы на 0</<р; aj(/)<
0, /=1, ...,d, и а@) = а(р), Р(О) = Р(р). Пусть
непрерывна в открытом множестве, содержащем Q° = {(t, у): a3 (t)^C
^Cyj^C$J (t) для 0</<;р}, и удовлетворяет условию Липшица
относительно у. Предположим, наконец, что функции
v} (U у) = pi' @ - /j (<, ^ ..., *//-', V (О
не меняют знака (например, r/J>0 или aj<0) и что MJy3<0 для
всех (/, y)£Q°. Тогда y' = f(t, у) имеет по крайней мере одно реше-
решение y = y(t), 0<7<p, такое, что (l,y(t))e&° и у@) = у(р).
См. Кноблох [1].
ЧАСТЬ II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 3. Линейные задачи
В этой части настоящей главы мы будем изучать граничные
задачи для систем уравнений второго порядка. Рассмотрим сначала
линейную неоднородную систему вида
xT = B(t)x + F(t)x' + h(t) C.1)
и соответствующую однородную систему
xT = B(t)x + F(t)x' C.2)
для d-мерного вектора х (с вещественными или комплексными
компонентами). Задача заключается в нахождении решений, удовле-

492 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
творяющих граничным условиям
х@) = х0, х(р) = хр C.3)
при заданных /?>0, х0 и хр. Для неоднородной системы C.1)
условия C.3) без потери общности можно заменить условиями
*@) = 0, *(р) = 0, C.4)
так как если в качестве новой зависимой переменной ввести
x—[(xp — x0)t/p + x0], то система C.1) переходит в другую систему
того же вида с А (/), замененной на h(t) + B (t) (хр — х0) t/p+B (t) x0 +
+ F(t)(xp-x0)/p.
Фактически теория граничной задачи C.1), C.4) содержится
в § 1. Чтобы убедиться в этом, перепишем C.1) в виде системы
первого порядка
' A( ( C.5)
где у=(х,х') есть 2^-мерный вектор, g (t) = (О, А (/)) и A(t) есть
Bd X 2d)-матрица:
О / \
) C-6>
Граничные условия C.4) можно записать так:
My@)-Ny(p) = 0, C.7)
где М, N — постоянные Bd x 2^)-матрицы:
// 0\ /0 0\
м = (о о)' N = (i о)" C-8)
Заметим, что ранг
0 0
Q j
Матрицы 7W, Л/ можно брать не в виде C.8), а в более общем
виде; в этом случае условия C.4) заменятся условиями вида
Мпх @) + MJ2x' @) - Nhx (p) - Nj2x' (p) - 0, /=1,2,
где Мд, Л/д — постоянные (d x ^-матрицы, такие, что матрица
( И> j VM21 М22 Л/21
имеет ранг 2d. Для простоты мы ограничимся рассмотрением
матриц М, N вида C.8) и соответственно граничных условий C.4).
Из леммы 1.1 вытекает следующая
Лемма 3.1. Пусть B(t), F (t) — непрерывные (d x ф-матрицы
на 0</<р; пусть U (t) есть (d х д)-матршное решение задачи

§ 3. Линейные задачи 493
Коти
0, U'(O) = L C.9)
Система C.2) имеет нетривиальное (# 0) решение, удовлетворяющее
условию C.4) в том и только том случае, когда матрица U(p)
вырожденная. Более точно, число k> 0 -^ k <C d, линейно независимых
решений задачи C.2), C.4) совпадает с числом линейно независимых
векторов с, удовлетворяющих уравнению U(p)c = 0.
Соответствующим следствием из теоремы 1.1 является
Теорема 3.1. Пусть B(t) и F(t) непрерывны на 0 <; t <; р. Систе-
Система C.1) имеет решение х (/), удовлетворяющее условию C.4) для
каждой функции h(f), непрерывной на [0, р], тогда и только тогда,
когда задача C.2), C.4) не имеет нетривиального (Ф0) решения.
В этом случае решение х (t) единственно и существует постоянная
К, такая, что
\*(t)\\, \\x'(t)\\<.K]\\h(s)\\ds. C.10)
Упражнение 3.L Докажите теорему 3.1.
Однородная сопряженная к C.5) система имеет вид у' =
= — A*(f) у; она, однако, не эквивалентна системе второго поряд-
порядка, если не наложены дополнительные условия на В или F. Простей-
Простейшее условие такого типа заключается в требовании непрерывной
дифференцируемое™ F (/). В этом случае однородная сопряженная
система у' = — A*(f)y эквивалентна системе
z' = [B*(t)-F*'{t)\z-F*(t)z\ C.11)
а соответствующая неоднородная система такова:
z» = [B* {t)-F*'(t)\z-F* (/)z' + / (/). C.12)
(Фактически условие дифференцируемости можно устранить, записав
члены, содержащие Т7*, в виде (F*z)' и интерпретируя C.11) и C.12)
как системы первого порядка для 2<^-мерного вектора ( —z' — F*z, z).)
Для того чтобы получить соответствующую формулу Грина,
умножим C.1) скалярно на z, C.12) —на х, произведем вычитание
и проинтегрируем от 0 до р. Тогда
= [x'.z-X-z'-Fx-z\C C.13)
о
Значит, если х удовлетворяет C.4), a z — условиям
z@) = 0, z (p) = 0, C.14)

494 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
ТО
р
j[h(t).z(t)-x(t)-f(t)]dt = O, C.15)
О
так что граничные условия C.4) и C.14) являются сопряженными.
Упражнение 3.2. Проверьте, что C.2), C.4) и C.11), C.14)
являются сопряженными граничными задачами в смысле § 1.
Лемма 3.2. Пусть матрица В (t) непрерывна, a F (t) непрерывна
дифференцируема на отрезке O^t^p. Тогда задача C.2), C.4)
имеет то же самое число линейно независимых решений, что и сопря-
сопряженная задача C.11), C.14).
Наконец, из теоремы 1.2 следует
Теорема 3.2. Пусть матрица B(t) непрерывна, a F(t) непрерывна
дифференцируема на [О, р], и пусть они таковы, что задача C.2),
C.4) имеет k, I ^ k <; d, линейно независимых решений. Пусть
Zi (/), . . ., zh (t) суть k линейно независимых решений задачи C.11),
C.14). Пусть h (t) непрерывна на [0, р]. Тогда задача C.1), C.4)
имеет решение в том и только в том случае, когда
р
j h(t).Zj{t)dt = O, /=1, ...,£. C.16)
о
Следующая теорема единственности не имеет аналога в § 1.
Теорема 3.3. Пусть B(t), F (t) —непрерывные (d X d)-матрицы
на 0<Г<р, такие, что
-±F (t) F* (t)) х.х~]>0 C.17)
для всех векторов х (т. е. пусть эрмитова часть матрицы
1
B — ^-FF* является неотрицательно определенной). Пусть g{t)
непрерывна на Q^Lt^Cp. Тогда система
)x' + h{t) C.18)
имеет самое большее одно решение, удовлетворяющее заданным
граничным условиям х@) = х0, х(р) = хр.
Замечание U Теорема 3.3 остается справедливой, если усло-
условие C.17) ослаблено до условия
]\xf C.19)
для всех векторов хфО; см. упр. 3.3.

§ 3. Линейные задачи 495
Доказательство. Так как разность двух решений данной гранич-
граничной задачи является решением задачи
x"=--B(t)xn F(t)x', л: @) = * (р) = 0, C.20)
то достаточно показать, что х = 0 есть единственное решение
задачи C.20).
Пусть х (t) — решение задачи C.20). Положим г (t) = \\x (/) ||2.
Тогда r'-=2Rex-x' и г" = 2Яе(х-х" + \\х' ||2), так что г" =
21R(B( F{t)x/)'X + \\xr\\2]. Легко проверить, что
f Re
Значит,
r =2]\x т~2 t x\\ + 2Ке|д£> 4"^' Jx-xJ . C.21)
Поэтому из C.17) вытекает, что г">0. Так как граничные усло-
условия в C.20) означают, что г@) = г(р) = 0, мы получаем, что
r(t) = O для 0 </</?. Теорема 3.3 доказана.
Упражнение 3.3. (а) Покажите, что если существует вещест-
вещественная функция q(t), 0</<p, такая, что уравнение
не имеет решения r(t)^O с двумя нулями на отрезке 0 •<
(например, q (t) < (я/рJ), и если C.17) ослаблено до условия
i2 C.22)
для всех векторов х, то утверждение теоремы 3.3 остается спра-
справедливым. (Ь) Пусть существует непрерывно дифференцируемая
(d X й)-матрица K(t), O^Ct^Cp, такая, что
KH)]x-x>0 C.23)
для всех векторов х и 0</<р, где i^H = y(/C + /C*)- Тогда спра-
справедливо утверждение теоремы 3.3. (Заметим, что C.23) сводится
к C.17), если /С(*)=0, так что утверждение (Ь) обобщает тео-
теорему 3.3, но не часть (а) этого упражнения.)
Замечание 2. Если F (t) имеет непрерывную производную,
то из C.20) следует, что дг(/) = О в том и только в том случае,
когда 2 = 0 является единственным решением задачи
z" = [В* (/) - F*' (t)]z-F* (t) z', z @) = z (p) = 0; C.24)

496 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
см. лемму 3.2. Поэтому утверждение теоремы 3.3 справедливо,
если В и F в условиях C.17), C.22) и C.23) заменены соответ-
соответственно на В* — F*' и —F*.
§ 4. Нелинейные задачи
Пусть х и / обозначают векторы с вещественными компонен-
компонентами. В этом параграфе мы будем рассматривать дифференциальные
уравнения второго порядка вида
*T = f(t,x,x') D.1)
и вопросы существования решений, удовлетворяющих граничным
условиям
*@) = 0, х(р) = 0 D.2)
или, при данных х0 и лгр,
*@) = *0, х(р) = хр. D.3)
Уравнение D.1) мы будем рассматривать как «неоднородную форму»
уравнения
х" = 0 D.4)
Задача D.2), D.4) не имеет нетривиального решения. Значит,
по теореме 3.1 уравнение
x" = h(t) D.5)
имеет единственное решение, удовлетворяющее D.2). Более того,
это решение задается формулой
t v
x(t)=-y[(p-t) jsA(s)ds + /j(/>-s)A(s)ds] . D.6)
0 t
В этом можно убедиться, продифференцировав равенства D.6)
два раза; см. (XI.2.18). Равенство D.6) мы запишем кратко в виде
р
*@= —JG(/, s)h(s)ds, D.7)
о
где
G(t, s)-= — (p — t)s или G(/, s) = —/(p —s) D.8)
соответственно неравенствам 0-<s<^<!p или 0<^/<!s<;/?. Следо-
Следовательно,
D.9)

§ 4. Нелинейные задачи 497
где Gt = dG/dt. Поэтому из D.6) или D.7), а также из выражений,
полученных из них дифференцированием, вытекает, что
||*(OI|<-f-max||/i(s)||, \\x'(t)\\<fmax\\h(s)\\, D.10)
где max берется по 0<s<p.
Теорема 4.1. Пусть /(/, х, х') непрерывна для O^t^Cp и всех
(х, х') и удовлетворяет условию Липшица относительно х, хг
|] / (£, Xi, хг) — / ^r, #2, x21| ^ yo || %i — -^211 + yi II xi — X2II v*'Li)
с постоянными Липшица Эо, Э4, столб малыми, что
i|i + j^_<l. D.12)
Тогда уравнение D.1) имеет единственное решение, удовлетво-
удовлетворяющее условию D.2).
Замечание 1. Вместо требования, чтобы / была определена для
значений 0-^.t^.p и всех (л:, х'), достаточно считать, что / опре-
определена для 0</<р, ||д:||</?, \\xr \\^4R/p, где R удовлетворяет
неравенству
D.13)
где m = max||/(f, 0, 0) || для 0</<р или просто
D.14)
если /И = тах||/(^, л:, л:') || для ||д:||</?, \\х' ||<4/?/р.
Доказательство. Пусть © — банахово пространство функций
h(t), 0</<^p, имеющих непрерывные первые производные и норму
IA| = maxf max ||А@||, 4 max ||A'@ll) • D.15)
Возьмем в шаре |А|</? из ® некоторую функцию h(t). Пусть x(t)
есть единственное решение уравнения
xT = f(t,h{t),h'(t)), D.16)
удовлетворяющее условию х @) = х (р) = 0. Определим в шаре | h \ <г
из ® оператор Го, положив T0[h(t)] = x(t).
Если хо = То[О] и ||/(/, 0, 0)||</п, то из D.10) при h = f(t, 0, 0)
получаем
[|*о(О11<^. i-\\K(t)\\<^-. D.17)
32-241

498 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Значит, норма функции х0 (t) = То [0] £ ® удовлетворяет неравенству
\T0[0]\<^f-. DЛ8>
Далее, если л:1 = Г0[А1], x2 = T0[li2l, то, согласно D.10) и D.11)
имеем
II *i @-^2 @ ||<-£ (воmaxllfti-ftz ||+ 0! max || h[-h'2||),
II ^i @ — ^ @ II <:^§- (°о max || Л± — Л21| + 9± max || А; — Л; ||).
Если последнее неравенство умножить на р/4, а 0! (р2/8) max \\h[ — h'2\\
переписать в виде @ip/2) [(р/4) max|| Л^ — А^1|], то мы получим
неравенство
(?fi ^) D.19)
Теперь из неравенств D.12), D.13) и D.18) видно, что применима
теорема 0.1, т. е. теорема 4.1 доказана.
Аналогично, если || / (/, х, хг) || < М для || х ||< R, \\ х' || <
<; 4R/p, то часть соотношений D.17), относящаяся к х0 (/), пока-
показывает, что если | А | ^ R, то л: = То Ш удовлетворяет неравенству
| л: | ^ Мр2/8. Значит, если справедливо D.14), то То отображает
шар | А | <; R в себя, и потому в силу D.12) применимо замечание,
относящееся к теореме 0.1. Следовательно, теорема 4.1 и замеча-
замечание 1 полностью доказаны.
Следствие 4.1. Пусть f (t, x, x') непрерывна для 0</<р,
||-^||<^о' ll^ll^^i u удовлетворяет условиям D.11), D.12).
Пусть \\f(t, х, *')||<:M и
Мр2 I Hr W^P Mp -L JLfll
Тогда уравнение D.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее
условиям
х @) = 0, х (р) = х0. D.21)
Упражнение ^4.1. (а) Докажите следствие 4.1. (Ь) Пусть в
следствии 4.1 "* требование || / (/, х, х) \\ <; М ослаблено до
|| / (/, txo/p, хо/р) || <; т для 0 <; / <; р, и пусть R определено
заменой знака <^ в D.13) знаком =. Покажите, что утверждение
следствия 4.1 остается справедливым, если неравенства в D.20)
заменены на R + || х0 || < ^0, ^Rlp + II х0 || / р < /?i.
Теорема 4.2. Пусть f (t, x, x') непрерывна и ограничена, скажем
\\f(U х, /)||<m
для 0 <; t <; р и всех (х, х'). Тогда уравнение D.1) имеет по крайней
мере одно решение х (/), удовлетворяющее условиям х @) = х (р) =

§ 4. Нелинейные задачи 499
= 0 и
\\x(t)\\^^f, ИхЧОК-^. D-22)
Здесь достаточно потребовать, чтобы /(/, х, х') была определена
только для || х || <; тр2/8, || х' || <; тр/2.
Доказательство. Пусть Ф — банахово пространство непрерывно
дифференцируемых функций А (/), 0 <! / <; р, с нормой | A (t) |,
определенной равенством D.15). Рассмотрим A (t) в шаре | А | <;
<: трУ8 из Ф. Для этой функции Л положим х = Го [А], где х (/) —
единственное решение уравнения D.16), удовлетворяющее условию
х@) = х (р) = 0. Тогда || х (t) || < трУ8 и || *'(/) || < тр/2, так
что Го отображает шар | А | •< трУ8 в себя.
Если | Aj |, | А2 |< т/?78 и ^ = То [AJ, х2 = Го [А2], то из
D.7) и D.9) следует, что
р
! -xz\< | j || / (t, К (t), К @) - / С h2 @- ^2 @) II dt.
о
Так как функция / непрерывна, то при | А4 — А2 | ->■ 0 также и
l#i — *2 I -^ 0. Значит, оператор То непрерывен.
Для любой функции х (t) из области значений оператора То,
т. е. для х = То [А] с некоторой А, из D.16) имеем || x"(t)[\\ «< m.
Следовательно, функции х (t) из области значений То [А]/ | А | <;
<1 тр2/8, таковы, что x(t), x (t) ограничены и равностепенно непре-
непрерывны, поскольку
Поэтому из теоремы Арцела следует, что область значений опера-
оператора Го [А] имеет компактное замыкание. Следовательно, применима
теорема Тихонова; доказательство теоремы 4.2 закончено.
Следствие 4.2. Пусть f (t, x, x') непрерывна и удовлетворяет усло-
условию || / ||< М для 0 < t < Г, || х || < До, II х' || < /?!. Пусть р
и х0 удовлетворяют неравенствам 0 < р <; Г и D.20). Гог^а урав-
уравнение D.1) имеет решение, удовлетворяющее условиям D.21). (В част-
частности, при выполнении неравенства 0 < T<CmmBRi/M, (8R0/MI/2)
существует такое б > 0, ^то вслгг || х0 || ^ б, то D.1) имеет реше-
решение, удовлетворяющее D.21) яра р = Т.)
Упражнение 4.2. Докажите следствие 4.2.
Упражнение 4.3. Пусть / (/, х, х') непрерывна для 0 <; t <; /?,
|| х || <; Ro и произвольного х'. Пусть существуют положительные
постоянные а, й, такие, что || / (t, х9 х') ||< а \\ х' ||2 + Ъ для
0 < / < /?, || л: И < Ro. Предположим, что а, й, || х0 \\ таковы, что
32*

500 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
а (Ьр* + 2 || хо ||)< 1 и г* = (ар)-1 {1 - [1 - а (йр2 + 2 ||*0||)]1/2}
удовлетворяют неравенству г*р + 3 || х0 || «< 4R0. Тогда граничная
задача D.1), D.2) разрешима.
Заметим, что следствия 4.1 и 4.2 аналогичны, за исключением
того, что в следствии 4.1 содержится дополнительное предположе-
предположение о выполнимости D.11) и D.12) и соответственно этому имеется
дополнительное утверждение о единственности решения задачи
D.1), D.21). Мы можем доказать и другие теоремы единствен-
единственности.
Теорема 4.3. Пусть f (t, x, xr) непрерывна для 0 «< / <; р и для
(х, х) из некоторого Ы-мерного выпуклого множества. Пусть
f (t, x, xr) имеет непрерывные частные производные по компонентам
векторов х и х'. Пусть матрицы Якоби от f no х, хг
B(t, х, х') - dxf (/, х, х')% F (/, х, х') - dx.f (t, x, xr) D.23)
удовлетворяют неравенству
)-z>-^-\\zf D.24)
для всех (постоянных) векторов гФО. Тогда уравнение D.1) имеет
самое большее одно решение, удовлетворяющее данным граничным
условиям х@) = х0, х(р) = хр.
Используя результат упр. 3.3 (а), условие D.24) можно осла-
ослабить до неравенства
2(B-±.FF')z.z>-q(t)\\z\\*
для всех постоянных векторов z и (/, х, х'), где q(t) удовлетворяет
условиям упр. 3.3(а).
Доказательство. Предположим, что существуют два решения
Xi(t) и x2(t). Положим х(t) — x2(t) — Xi(t)9 так что
х" = f (U х2 @, х'2 @) - / (U х, @, х[ @), х@) = х (р) - 0.
Согласно лемме V.3.1, это равенство можно переписать в виде
х" = Bi it) x + Fi (t) x\ x @) - x (p) = 0,
где
l l
Bi@= Eds, Л@= \Fds, D.25)
о о
а аргумент у В и F в D.25) равен
(/, A - s) Xi {t) + sx2 (t), A - s) x[ (t) + sx2 (t)). D.26)
Для произвольного постоянного вектора г применение к D.25)
неравенства Шварца дает для каждой компоненты вектора F* (t) z

§ 4. Нелинейные задачи 501
следующую оценку:
где аргументом F* является D.26). Отсюда
1
Значит, согласно D.24),
2[Bl(t)-]-Fi(t)F*1(t)]z.z>-£\\z\\>
для всех векторов гфО. Поэтому из теоремы 3.3 и замечания 1
к ней следует, что x(t) = O. Теорема доказана.
Упражнение 4.4. Пусть f{t,x,xr) непрерывна для ()</
и (х, х') из некоторой 2^-мерной области и удовлетворяет условию
Липшица вида D.11), где
2ео+4-е^<^. D.27)
Тогда уравнение D.1) имеет самое большее одно решение, удовлетво-
удовлетворяющее данным граничным условиям x@) = x0j х(р) = хр.
Упражнение 4.5. Пусть f(t,x,x') непрерывна для O^C
и (х, х') из некоторой 2^-мерной области. Пусть Ах = х2 — х^
Ах' = х'2 — х[, Af = f(t, хг, x'2) — f(t, х{, х[), где хи хг, x'v ^ — неза-
независимые переменные. Предположим, что
Ax'\2>0, если Дл£И=О, Ах-Ах'-=0.
Тогда граничная задача х" = f (/, х, х'), х @) = х0, х (р) = хр
имеет самое большее одно решение.
Упражнение 4.6. (а) Пусть х — вещественная переменная. Пусть
/ (t, х, х') непрерывна и строго возрастает по х при фиксированных
(ty xr). Тогда уравнение D.1) имеет самое большее одно решение,
удовлетворяющее заданным граничным условиям х @) = х0, х (р) =
— хр. (Ь) Покажите, что утверждение (а) неверно, если условие
«строго возрастает» заменить условием «не убывает», (с) Покажите,
что если в п. (а) условие «строго возрастает» заменено условием «не
убывает» и если, кроме того, / равномерно удовлетворяет условию
Липшица относительно х\ то заключение (а)^справедливо. (По пово-
поводу теоремы существования в предположениях п. (с) см. упр. 5.4.)
Упражнение 4.7 {метод продолжения). Пусть х — вещественная
переменная. Пусть вещественные функции a(t, x'), Р(/, я') непре-

502 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
рывны для — оо < /, х' < оо и обладают следующими свойствами:
i) а и р при фиксированных х' периодические по t с периодом р > 0;
и) а > 0; iii) | р (t, хг) | -> оо и | а (t, x')/p (t, xr) | -> 0 равно-
равномерно no t при \xr I -^ оо. (а) Покажите, что уравнение
x" = xa (t, xr) + p (t, xf) D.28)
имеет самое большее одно решение периода р:
х@)—х (р) = 0, *'@) — Х'(р) = 0. D.29)
(Ь) Покажите, что если С = max | Р (/, 0) | /a(t9 0) и К так велико,
что Са (/, *')< I P (*, х') | /2 и | Р (/, 0) |< | Р (/, xf) \ /4, когда
| х' | ^ /С, то любое периодическое решение х (f) уравнения D.28)
удовлетворяет неравенствам | х (/) | <; С, | x'(f) \ <; /С. (с) Пред-
Предположим, что а и Р принадлежат классу С1. Покажите, что мно-
множество Х-значений из отрезка 0^Х^ 1, для которых уравнение
х" = ха (/, х') + р (/, х') - р (/, 0) + Хр (t, 0)
имеет периодическое решение, одновременно и замкнуто, и открыто
на 0 ^ X ^ 1. На основе этого докажите, что D.28) имеет единствен-
единственное периодическое решение, (d) Покажите, что в п. (с) предположение
«а, р £ С1» может быть отброшено.
Упражнение 4.8 (продолжение). Пусть а (/, х, х'), р (/, х, х')
непрерывны для — оо << /, х, х' <С оо и обладают следующими
свойствами: i) а и Р при фиксированных (х, х') периодичны по t
с периодом р > 0; ii) a > 0; iii) существует постоянная С, такая,
что | Р (/, х, 0) | <С Са (t, х, 0) для — оо << t, x < оо; iv) при
\х'\ -> оо функции | р (/, ху х')\ -> оо и | а (t, x, х'I$ (/, х, х')\ -+
—>■ 0 равномерно на ограниченных (/, х)-множествах. Покажите,
что уравнение
х" = ха (/, х, xf) + р (/, х, х')
имеет по крайней мере одно периодическое решение.
§ 5. Априорные оценки
Доказательства теорем существования решений граничных задач
в последнем параграфе зависели от нахождения верхних границ
решения и его производных. В этом параграфе мы рассмотрим более
подробно вопрос об априорных оценках и их применениях. Основ-
Основная задача, которую мы будем рассматривать, такова: заданы
d-мерная вектор-функция х (t), принадлежащая на некотором
отрезке [0, р] классу С2, граница для || х (/) || и некоторая мажо-
мажоранта для || х" (f) ||; требуется оценить || х' ||. Для случая веще-
вещественных х (t) верен следующий результат.

§ 5. Априорные оценки 503
Лемма 5.1. Пусть ф (s), где 0<;s<oo, есть положительная
непрерывная функция, удовлетворяющая условию
со
\-!!&=<*>• EЛ)
Пусть R ;> 0 и т > 0. 7Ъгд# существует число М (зависящее только
от ф (s), /? и т), такое, что если х (t)—вещественная функция
класса С2 на 0 ^ t ^ р, айв р ^ т, удовлетворяющая условиям
\x\<R, 1*"|<фA*'1), E.2)
/по | х' |< М для 0 < t < р.
Доказательство. В силу E.1) существует такое число М, что
Покажем, что это число М и обладает требуемым свойством. (Поэто-
(Поэтому вместо E.1) достаточно было бы предположить, что существует
/И, удовлетворяющее E.3).)
Пусть | х (f) | достигает своего максимума в точке t — а,
О ^ а <С р. Мы можем считать, что х'(а) > 0; в противном случае
х можно заменить на —х. Если х'(а) > 2R/x, то существует неко-
некоторая точка /, 0 -^ t ^ ру где x'(t) ^ 2Rlp 4^ 2Rlx. В противном
случае мы имели бы х (р) — х @) > 2R, что противоречит нера-
неравенству | х | -< R. Предположим, что х(а) > 2Rlx, и пусть / = Ъ
есть ближайшая к t = а точка, где x'(t) = 2R/x. Пусть для опре-
определенности Ъ> а. Тогда 0 <; 2Rlx = х'(Ь) <; x'(t) <! х'(а) для
* 6 [а, Ы
Если второе неравенство в E.2) умножить на x'(t) > 0, то
интегрирование по а <]/-<& дает
ь ь
f ,^ @ х" (Q ^^
J ф (*' @)
а а
Даже если не предполагать, что х" Ф 0, то в левой части этого
неравенства все же возможна формальная замена переменной
s = x'(t), после которой мы получаем, что
х'(а)
[ sds <2/?-
J ф (S) ^ '
2R/X
см. лемму 1.4.1. Из E.3) видно, что х'(а) -< М. Значит, или
х\а) < 2Rlx, или jc'(a) < М. В любом случае х'(а) < М. Так
как x'(a) = max | x'(t) \ для 0 ^ / <; р, то лемма тем самым
доказана.

504 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Лемма 5.1 неверна, если х (t) есть d-мерный вектор, d I> 2,
а абсолютные величины в E.2) заменены нормами. Чтобы в этом
убедиться, заметим, что функция ф (s) = ys2 + С > 0, где у и С —
постоянные, удовлетворяет условиям леммы 5.1. Пусть х (t) обо-
обозначает двумерный вектор х (f) = (cos nt, sin nf). Тогда \\x || = 1,
II *'(*) II = I n |, || x'\t) II = n2 = || *' И2. Значит, при R = 1,
Ф (s) = s2 + 1 выполнены неравенства, аналогичные E.2):
II* IK Д. II *" IK Ф (И** ID, E.4)
но такого числа М> что || х' (t) \\ ^ М при любом п, не существует.
Основной результат, относящийся к вектор-функциям, содер-
содержится в следующей лемме:
Лемма 5.2. Пусть ф (s), где 0 <^ s < оо, ^с/пб положительная
непрерывная функция, удовлетворяющая E.1). Пусть а, /С, 7?, т —
неотрицательные постоянные. Тогда существует постоянная М
(зависящая только от ф (s), а, i?, x и К), обладающая следующим
свойством: если х (t) есть вектор-функция класса С2 на 0 ^ t ^ р>
где р >- т, удовлетворяющая E.4), и
II * IK Д. II *" " < ^ + /С, гдб г=\\х ||2, E.5)
то ||*' ||<М «а 0 <*< р.
Доказательство. Покажем сначала, что из одних только нера-
неравенств E.5) можно вывести существование оценки для || x'(t) ||
на любом отрезке [[х, р — [х], 0 < (х <; р/2. Пусть 0 < pi < р
и 0 <; t <; р — (х; тогда
— x(t) — iix'(t)= f (/ + |x — s)x"(s)ds, E.6)
— s>0, и, согласно E.5), имеем
Это неравенство и аналог равенства E.6), в котором х заменено
на г, дают
отсюда
> —ц. E.7)

§ 5. Априорные оценки
505
Аналогично для
приводит к неравенству
соотношение
t
. E.8)
Функция Midi), определенная соотношениями
«ii+Si+j^ для
2 |Л A + a) KI» для , > 2
является непрерывной и невозрастающей функцией от (х>0 (это
можно проверить вычислением производной dMJdyi). Если /?/2<
<2 [R(l +a)/K]1/2, то, полагая \х = р/2 в E.7), находим, что
E.10)
Если р/2>2 [R A+а)/К]1/2, то мы получаем E.10) при
\i = 2[R(l -}-a)/K]1/2- Аналогично из E.8) следует, что
E.11)
E.12)
Складывая E.10) и E.11) при t = p/2, получаем
Из предположений E.4) и E.10), E.11) вытекает, что
E.13)
где знак ± берется в соответствии с тем, будет ли t>p/2 или
/ -<р/2. Пусть функция Ф (s) определена равенством
Тогда по лемме 1.4.1
EЛ5>
где интеграл берется по /-интервалу с концевыми точками t и р/2.
В силу E.13) подинтегральное выражение мажорируется функцией

506 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Отсюда
Поскольку функция Ф возрастает, из E.12) получаем оценку
\\x'(t)\\<M(p), где
М (р) ^Ф Ф [Mi -о-Р +1гР^1 \~^Р) +2ai? ,
а Ф— функция, обратная к Ф. Если р>т, то точка /£[0, р]
содержится в интервале длины т из [0, р]. Только что проведенные
рассуждения показывают, что р может быть заменено на т, и лемма
доказана с М (т) в качестве допустимого выбора М.
Упражнение 5.1. Покажите, что справедлив аналог леммы 5.2,
в котором условие E.5) заменено неравенствами
где р (t) — вещественная функция класса С2 на 0 ^ t ^ р, такая,
что || р (/) || <; /Ci. В этом случае М зависит только от ф (s), a, R,
х и Ki.
Если в лемме 5.1 положить (p(s) = ys2 + С, то мы получим такое
Следствие 5.1. Пусть у, С, а, /С, R, т — неотрицательные
постоянные. Тогда существует такая постоянная М (зависящая
только от у, С, а, R, т, /С), тао £<?уш функция х (t) принадлежит
классу С2 на 0 <; t <i р, г5^ р ^- т, удовлетворяет E.5) ^
IU||</?, ll*"ll<Yl!*'H2 + C, E.16)
mo || ^ ||<ЛГ для 0< /<р.
Замечание 1. Если у в E.16) удовлетворяет условию yR <С 1,
то выполнено неравенство E.5) с
Значит, в следствии]5.1 предположение E.5) при yR < 1 излишне
(но пример, предшествующий лемме 5.2, показывает, что при
7^ = 1 условие E.5) отбросить нельзя). Далее, если для а в E.5)
имеет место неравенство 2aR < 1, то выполняется E.16) с
так что в этом случае условие E.16) излишне. Но даже если d = 1
(так что х (t) — вещественная функция), то условие E.16) при
2aR > 1 не может быть отброшено.

§ 5. Априорные оценки 507
Для проверки первой части замечания 1 отметим, что
г" = 2 (jc-x" + || jc' ||2). E.19)
Отсюда и из E.16) видно, что г" > 2 [A — yR) || *' ||2 — CR].
Повторное применение неравенства E.16) дает соотношение
уг" > 2 [A - yR) (|| х" || - С) - CRy] = 2 [A - yR) || x" || - С],
а это есть не что иное, как E.5) при а и К из E.17). Доказательство
той части замечания, которая относится к E.18), проводится ана-
аналогично.
Упражнение 5.2. Покажите, что если 2aR > 1, то условие E.5)
из следствия 5.1 не может быть отброшено.
В последующем нам пригодится следующий простой факт:
Лемма 5.3. Пусть f (t, х, xr) — функция, непрерывная на мно-
множестве
Е (р, R) = {(t, х, xf): 0 < / < р, ]| х ||< Я, х' произвольно),
E.20)
и пусть f обладает одним (или несколькими) из следующих свойств:
х •/ + II х' ||2 > 0, когда х -х' = 0 и || х || > 0, E.21)
х ■! + II х' ||2 > 0, когда х -х' = 0 и 11x11 = 7?, E.22)
II/II <Ф (II*'II), E.23)
||/||<2a(x-f+||x'|l2) + /t. E.24)
Пусть М > 0. Тогда существует непрерывная ограниченная функ-
функция g (t, х, х'), определенная при 0 -^ t ^ р и произвольных (х, х'),
удовлетворяющая условию
g (t, x, x') = / (t, x, x') для 0 < / < р,
\\x\\<R, II*'II<M
и обладающая соответствующими свойствами из следующей их сово-
совокупности:
x-g+ IU'||2>0, когда х-х'=0 и \\ х || > 0, E.2Г)
х -g + II х' ||2 > 0, когда х -х' = 0 ы || * || > Я, E.22')
11^11<фAи'П), E-23')
||g||<2a(jc.gr+||x'|p) + /C. E.24')
Доказательство. Искомую функцию g мы можем получить сле-
следующим образом. Пусть б (s), где 0<]s< oo, есть вещественная
непрерывная функция, определенная следующим образом: 6=1,
0<6<1 иб = 0, когда s < М, М < s < 2М, s>2M соответ-

508 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
ственно. Положим
6 (||*'|1)/(/,*,*') на
На Е (р, R) имеем тождество
" :-б(||х'
из которого ясно, что g обладает там требуемыми свойствами.
Далее, из справедливости любого из соотношений E.2Г) — E.24')
для || х || = R вытекает его справедливость и для || х || > R. Лемма
доказана.
Заметим, что из неравенств типа E.23), E.24) следует, что реше-
решения уравнения
хГ = f (t, x, x') E.26)
удовлетворяют соответственно условиям E.4), E.5); см. E.19).
Теорема 5.1. Пусть функция /(/, х, хг) непрерывна на множестве
Е (р, R), определенном в E.20), и удовлетворяет неравенствам
*•/ + II *' II2 > 0, если х-х' = 0 и || х || = R9 E.27)
E.24) и E.23), где ф (s)> 0 ^ s < оо,— положительная непрерывная
функция, удовлетворяющая E.1). Пусть \\хо\\, \\xp\\^R. Тогда
уравнение E.26) имеет по крайней мере одно решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям х @) = #о, х (р) = хр.
Из доказательства будет ясно, что условие E.23) при 2aR < 1
может быть отброшено. Далее, если
ll/IKYll*'IP + C, E.28)
где у, С — неотрицательные постоянные и yR < 1, то могут быть
отброшены оба условия E.23) и E.24).
Если х — числовая функция A-мерный вектор), то вместо лем-
леммы 5.2 в доказательстве можно использовать лемму 5.1. Это при-
приводит к такому результату:
Следствие 5.2. Пусть х — вещественная переменная и f(t, x, хг)—
вещественная функция из теоремы 5.1. Тогда утверждение теоре-
теоремы 5.1 будет справедливым, если условие E.24) отсутствует.
Заметим, что в этом случае условие E.27) принимает простой
вид: / (t, +R, 0) > 0 и / (/, —R, 0)< 0 для 0 < / < р.
Доказательство теоремы 5.1. Доказательство сначала будет
проводиться для случая, когда / удовлетворяет не E.27), а нера-
неравенству E.22). Пусть М > 0 есть постоянная, существование
которой гарантируется леммой 5.2 (при р = т). Пусть g (t, x, xf) —
непрерывная ограниченная функция для 0 «< t «< р и произволь-

§ 5. Априорные оценки 509
ных (л;, л:'), удовлетворяющая неравенствам E.25), E.22'), E.23')
и E.24'). По теореме 4.2 граничная задача
х" = g (/, ху *'). х @) = х0$ х (р) = хр
имеет решение х (t). Условие E.22') означает, что г = \\ х (t) ||2
удовлетворяет неравенству г" > 0 при г' = 0иг> R2\ см. E.19).
Значит, г (t) ни в одной точке /, 0 < / < р, где г (t) >- R2, не дости-
достигает максимума. Так как г @) = || х0 ||2, г (р) = || хр II2, то г @),
г (р) удовлетворяют условиям г @), г (р) <; R2, и потому г (/) <; R2
<т. е. II х (t) || <; /?) для 0 <; / <; р. Используя неравенства E.23')
и E.24') и равенство х" — g, получаем, что к х (t) применима лем-
лемма 5.2 и потому || x'(f) || <; М для 0 <! / <; р.
Соответственно из E.25) видно, что х (t) есть решение уравнения
{5.26). Тем самым теорема 5.1 доказана для того случая, когда усло-
условие E.27) усилено до E.22). Чтобы устранить это ограничение,
заметим, что при 8 > 0 функция f (t, x, x') + гх удовлетворяет
условиям теоремы 5.1 так же, как и условию E.22), если ф, К
в E.23) и E.24) заменены соответственно на ф + eR, К + е/?.
Значит, уравнение
*" = /(*,*, х') + гх
имеет решение x = xe(t)9 удовлетворяющее заданным выше гранич-
граничным условиям. Ясно, что || хг (t) ||<!/? и существует постоянная М
<не зависящая от 8, 0<е<1), такая, что \\х'г (t) [|<M. Следова-
Следовательно, если Л^ = тах|| f(t, х, хг) || —|— 1 для 0</<р, ||л;||<;/?,
|| х11|•<М, то || х"г (t) ||<ЛЛ Значит, семейство функций xe(t), x'e(t)
на 0-</<!р равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Тогда по теореме Арцела существует последовательность 1 > е4 >
>е2>..., такая, что е^—>0 при п—>оо и x(t)= lim xe(t)
е=гп-+0
существует и является решением уравнения E.26), удовлетворяющим
условиям x@)=xQ, х(р) = хр. Теорема 5.1 доказана.
Упражнение 5.3. Покажите, что если в теореме 5.1 условие
E.27) усилено следующим образом:
*-/ + |*'1|2>0, когда jt.Jt' = O, E.29)
то уравнение E.26) имеет решение х (/), удовлетворяющее гранич-
граничным условиям х @) = xOi х (р) = 0, и
г > 0, г9 < 0, где г = || х ||2. E.30)
Упражнение 5.4. Пусть и — вещественная переменная. Пусть
h (t, и, и') — вещественная функция, непрерывная для 0 <; / <; р
и всех (и, и') и удовлетворяющая следующим условиям: i) при
фиксированных (/, и') функция h не убывает по и\ ii) | h \ ^
«< Ф (| иг |), где ф ($) — положительная непрерывная неубывающая
для s >- 0 функция, удовлетворяющая E.1); Hi) уравнение и" =

510 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
= h (t> и, и') имеет по крайней мере одно решение и0 (t), которое
существует на 0^ /<С р (например, выполнены условия ii) и iii)r
если | ft | <; а \ и' | + К с постоянными а и /С). Пусть и0, ир —
произвольные числа. Тогда уравнение и" = ft (t, и, и!) имеет
по крайней мере одно решение, удовлетворяющее условиям и @) =
= и0, и (р) = ир (об относящейся сюда теореме единственности
см. упр. 4.5(с)).
Теорема 5.2. Пусть функция f (t, ху хг) непрерывна в
Е (R) = {(/, х, х')\ 0 < / < оо, || х ||< R, х' произвольно). E.31)
Пусть f для каждого р > 0 удовлетворяет на Е (/?, R) (см. E.20))
условиям теоремы 5.1, где ф (s) и постоянные а, К в E.23), E.24)
могут зависеть от р. Пусть \\хо\\-^ R. Тогда уравнение E.26)
имеет решение х (/), которое существует при t ^> 0 и удовлетворяет
условию х @) = х0.
Упражнение 5.5. (а) Докажите теорему 5.2. (Ь) Покажите, что
если в теореме 5.2 условие E.27) усилено до E.29), то решение х (t)
может быть выбрано так, что будет иметь место E.30). (с) Далее,
если E.29) усилено до x-f + \\ х ||2 > 0, то г > 0, г' < 0, f > О
для t ^ 0. (d) Покажите, что в случае, когда х есть 1-мерный вектор
(т. е. числовая функция), условие E.29) в теореме 5.2 и частях (Ь)
и (с) настоящего упражнения может быть отброшено.
Упражнение 5.6. Пусть / (t, x, х') непрерывна на множестве
Е (R) из E.31). Пусть для каждого т, 0 < т < R, и больших t
существует непрерывная функция h (f) = h (/, m), такая, что
сю
[ th(t) dt = оо и x-f (t9 x, x) > ft (/) > 0 для больших /, 0 <
< т <; || х || <; R, х произвольно. Пусть х it) — решение урав-
уравнения E.26) при больших /. Тогда х (t) ->■ 0 при t-^oo.
Упражнение 5.7. Пусть f (t, x, x') непрерывна на множестве
Е (R) (см. E.31)) и имеет непрерывные частные производные по ком-
компонентам векторов х и х'\ пусть матрицы Якоби D.23) удовлет-
удовлетворяют условию у (В + Б*) j-/7/7*^-0; см. C.17). Пусть
|| х0 || <; R. Тогда уравнение E.26) имеет самое большее одно реше-
решение, удовлетворяющее условиям х @) = х0 и || х (t) || ^ R для t ^> 0.
Замечание 2. Основное назначение предположений, связанных
в теоремах 5.1, 5.2 с E.23) и/или E.24), состоит в том, чтобы
выполнялось следующее условие:
Условие (Ар). Существует постоянная М = М (р), обладаю-
обладающая тем свойством, что если х (t) есть решение уравнения х" =
= / (/, х, хг) для 0 <; t <; р, удовлетворяющее условию || х (t) \\ <!
< R, то || x'(t) ||< М для 0 < / < р.

§ 6. Основные факты 511
Упражнение 5.8. Покажите, что если E.27) заменено на E.22)
и условия, включающие E.23) и /или E.24), заменены условием
(Ар), то теорема 5.1, следствие 5.2 и теорема 5.2 остаются справедли-
справедливыми. (В случае теоремы 5.2, конечно, предполагается, что усло-
условие (Ар) имеет место для всех больших р > 0.)
Упражнение 5.9. Пусть / (t, х, хг) непрерывна на множестве
Е (R) из E.31) и удовлетворяет условию (Ар) для всех р >- р0 > 0.
Предположим, что для каждого х0 из \\ х0 ||<] R уравнение E.26)
имеет ровно одно решение х (t) = x (t, хо)9 существующее при
/^0 и удовлетворяющее условию х @) = х0 (см., например, тео-
теорему 5.2 и упр. 5.7). (а) Покажите, что х (/, х0) непрерывно зависит
от (/, х0) для t >- 0, || х0 ||<; R. (Ь) Предположим, кроме того, что
/ (t, х, х') при фиксированных (х, х') периодична по t с периодом
р0. Тогда E.26) имеет по крайней мере одно решение х (t) с перио-
периодом р0.
ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 6. Основные факты
Главными объектами, изучаемыми в этой части, будут неодно-
неоднородная линейная система дифференциальных уравнений
у' = A{t)y + g(i), F.1)
соответствующая однородная система
У' = A{t)y F.2)
и связанная с ними нелинейная система
у' = A(t)y + /(/, у). F.3)
Пусть / обозначает некоторый фиксированный /-интервал
J: 0 ^ t < со (^ оо). Символы х, у, /, g", ... обозначают элементы
^-мерного банахова пространства Y над полем вещественных или
комплексных чисел с нормами || х ||, || у ||, ||/||, \\ g \\, ... .
(Здесь норма || х \\ не обязательно евклидова.) В F.1) свободный
член g = g (t) является локально интегрируемой на «/ функцией
(т. е. интегрируемой на каждом замкнутом ограниченном подотрез-
ке из /). Через A(f) обозначен эндоморфизм пространства Y при
(почти всех) фиксированных /, локально интегрируемый на J.
Следовательно, если в Y выбрана некоторая фиксированная коорди-
координатная система, то A (t) есть локально интегрируемая (d X d)-
матричная функция на /.

512 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Если у (t) — решение системы F.1) на отрезке [0, a] cz J,
то из леммы IV.4.1 вытекает фундаментальное неравенство
а а
\\уИ)\\<{\\у(П\\ + j||g(s)||ds}exp j||
О О
F.4)
Если это неравенство проинтегрировать на [0, а] по /', то мы
получим
а а а
\\y(t)\\<{^\\y(s)\\ds+^\\g(s)\\ds}exV^\\A(s)\\ds, 0<«а.
0 0 0
F.5)
Пусть L = Lj обозначает пространство вещественных функций
Ф (t) на / с топологией сходимости в среднем в L1 на компактных
интервалах из J. Тогда L является пространством Фреше (т. е.
полным, линейным и метрическим пространством). Например,
на L может быть введена следующая метрика (которая, однако,
в дальнейшем использоваться не будет): пусть 0 = to < t± <C
<С t2 < - . -, tn ->■ со при п->- оо, и пусть расстояние d между
<р, if 6 L равно
оо tn
оГ• где /(")=
Соответственно nycio С = Cj обозначает пространство веществен-
вещественных непрерывных функций ф (/) на «/ с топологией равномерной схо-
сходимости на компактных интервалах из «/. Тогда С тоже будет про-
пространством Фреше. Метрика на С, например, вводится так:
оо
Л (ф. 10 = 21 2"[1 + т(я)Г где т(")=П1ах|ф@-'Ф@1-
71=1
Символы I? = Lj, 1 <[ р <! оо, обозначают обычные банаховы
пространства вещественных функций ф (t) на J: 0</<со (<[оо)
с нормами
|ф|р=($|ф@ГЛI/Р, если 1</?<оо,
| Ф | оо = sup vrai | ф (t) |, если р = оо.
Символ L^° обозначает подпространство пространства L°°, состоя-
состоящее из функций ф (t), таких, что <р (/)->■ 0 при t->- со. Для осталь-
остальных банаховых пространств В вещественных измеримых функций
Ф (t) на J нормы ф (t) в В будут обозначаться через | <р |в.

§ 6. Основные факты 513
Замечание. Строго говоря, пространства L, L°°, L^°, . . . являют-
являются пространствами не «вещественных функций», а, скорее, про-
пространствами «классов эквивалентности вещественных функций»,
при этом две функции считаются принадлежащими одному классу
эквивалентности, если они совпадают всюду, за возможным исклю-
исключением множества лебеговой меры нуль. Допуская вольность
речи, поскольку это не приводит к недоразумениям, мы будем
употреблять сокращенную терминологию. В этой терминологии
значение выражений «непрерывная функция в L» или «пересе-
«пересечение L П С» очевидно.
Символами L(Y), LP(Y), B(Y)> . . . будут обозначаться про-
пространства измеримых вектор-функции у (t) на J: 0 <; t <С со (<С<х>)
со значениями в,! У, таких, что Ц> (f) = \\ У (t) \\ принадлежит
L, Ll\ В, .... Для U или В соответственно обозначения норм
| ф \р или I ф |в будут сокращены до | у \р или | у \в.
Мы будем говорить, что банахово пространство 2) сильнее, чем
L(Y), если i) 2) содержится в L(Y) как алгебраическое подпро-
подпространство и И) для каждого а, 0<#<о), существует число
а = а^(а)у такое, что из у @ 6® следует
а
\\\y(t)\\dt<a\y\<%, где а = аФ(а). F.6)
о
(В силу теоремы 0.3 об открытом отображении легко видеть, что
условие ii) эквивалентно следующему: сходимость в ® влечет
за собой сходимость в L(Y).)
Если © — банахово пространство, более сильное, чем L(Y), то
термин «©-решение y(t)» системы F.1) или F.2) означает, что
#(/)€©. Пусть Уф есть множество начальных точек y@)£Y всех
©-решений y(t) системы F.2). Тогда У$ будет подпространством
пространства Y. Пусть Yi — подпространство пространства У, допол-
дополнительное к Уф, т. е. У\ — такое подпространство, что Y =Y<^@YX
есть прямая сумма подпространств УФ и Yu так что каждый элемент
y^Y имеет единственное представление у = Уо + Уи гДе Уо€У<%>
iji^Y^ (Например, если У — евклидово пространство, то Yt может,
но не обязано, быть подпространством пространства У, ортогональ-
ортогональным к Уф.) Обозначим через Ро проекцию пространства У на У$,
аннулирующую У1? т. е. если у = уо + уи где yo£Y<z, yi€Yu
то
Лемма 6.1. Пусть A(t) локально интегрируема на J, и пусть
® — банахово пространство, более сильное, чем L(Y). Тогда суще-
существуют постоянные Со, С1? такие, что если y(t) есть ^-решение
системы F.2), то
и \\у@)\\<С{\у\ъ. F.7)
33—241

514 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Доказательство. 7$ является подпространством конечномерного
пространства Y. Кроме того, между решениями у (t) системы F.2)
и их начальными точками у @) можно установить взаимно однознач-
однозначное линейное соответствие. Значит, множество ©-решений системы
F.2) является конечномерным подпространством пространства ®,
находящимся во взаимно однозначном линейном соответствии с Y$.
Хорошо известно (и нетрудно проверить), что если два конечно-
конечномерных нормированных линейных пространства можно привести
во взаимно однозначное соответствие, то норма некоторого элемента
одного из пространств мажорируется нормой соответствующего
элемента другого пространства, умноженной на константу. (Напри-
(Например, норму в Ct можно выбрать так:
\A(s)\\ds
для любого а, 0<а<о). Это следует из F.6), если положить
в F.5) / = 0, g(s) = 0.)
Пусть 23, © — банаховы пространства, более сильные, чем
Ь(Х). Определим оператор Т = Т^^ из ® в 23 следующим образом:
область определения 3) (Г) cz ® оператора Т состоит из функций
y(t), t£J, которые абсолютно непрерывны (на компактных под-
интервалах из У), у (t) £ ® и у' (t) — A(t) у (t) £ 23. Для такой функ-
функции y(t) значение Ту полагается равным yr (t) — A(t) у (/). Другими
словами, Ty = g, где g (t) £ 23 определяется из F.1).
Лемма 6.2. Пусть A(t) локально интегрируема на «/, и пусть
23, ^ — банаховы пространства, более сильные, чем L(Y). Тогда
Т = Т<$^ является замкнутым оператором, т. е. график
3(T) = {(y(t),g(t)): y{t)£3)(T),g = Ty}
оператора Т является замкнутым множеством в банаховом про-
пространстве £8 х Ф.
Доказательство. Нам нужно показать, что если #i(/), y<i(t), ...
являются элементами множества 3)(Т), gn = Tyn и существуют
пределы у (t) = lim yn (t) в ф и g (t) = lim gn (t) в 23, то у (t) £ 3) (Т)
и g(t) = Ty.
Комбинируя основное неравенство F.5) с неравенством F.6)
и его аналогом для пространства 23, получаем, что
\\yn(t)-ym(t)\\<
а
exp \ \\A (s) || ds.
о

§ 6. Основные факты 515
Значит, у (t) на любом отрезке [0, a] cz J является равномерным
пределом последовательности yi(t), #2@> • •• .
Дифференциальное уравнение F.1) эквивалентно интегральному
уравнению
t t
y(t)=y(a)+^A (s) y(s)ds+^ g (s) ds.
a a
Так как из сходимости последовательности gi7 g2 •.. в 23 следует
ее сходимость в L(Y), то мы получаем, что для y=limyn(t) в ф
и g = \imgn(t) в 23 выполнено уравнение F.1). Наконец, из условий
У £®> g€*8 следует, что у£3)(Т). Лемма доказана.
Пара банаховых пространств B3, Ф) называется допустимой
для уравнения F.1) или для A(t), если каждое из них сильнее,
чем L(Y), и для каждого элемента g(t)£%$ дифференциальное
уравнение F.1) имеет ©-решение. Другими словами, отображение
Т = Т%<$: 3) (Т)—>№ является отображением «на», т. е. область
значений оператора Т совпадает с 23. (Например, если J: 0</<оог
матрица A(t) непрерывная периода р и 2й = © есть банахово про-
пространство непрерывных функций у (/) периода р с нормой \у\% =
= sup || у (I) ||, то пара B>, ®) является для F.1) допустимой в том
и только в том случае, когда F.2) не имеет нетривиального решения
периода р\ см. теорему 1.1.)
Лемма 6.3. Пусть A (t) локально интегрируема на J, пара
B3,®) является допустимой для F.1) и yo(zY§. Если g(t)£%$,
то система F.1) имеет единственное ^-решение y(t), такое, что
Роу(О) = уо. Кроме того, существуют положительные постоян-
постоянные Со и /С, не зависящие от g(t), для которых
\y\x<Co\\yo\\ + K\g\%. F.8)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай уо = О, так что мы
будем отыскивать ©-решения y(t) с y@)£Yi. По условию F.1)
при любом заданном g (t) £ S3 имеет решение у (t) б Ф. Пусть
У(О) = Уо + У1, где Уо = РоУ(О)£У<§, y^Y\- Пусть yo(t) есть реше-
решение однородного уравнения F.2), такое, что уо(О) = уо, так что
#о(О£®- Тогда yi(t) = y(t) — yo(t)£<£) будет решением уравнения
F.1) и yi@) = yi£Yi.
Ясно, что у! (t) является единственным ф-решением уравнения
F.1), имеющим начальную точку в Y{. Значит, между элементами
g£2S и ф-решениями yi(t), такими, что yi@)£Yu уравнения F.1)
имеется взаимно однозначное линейное соответствие. Из доказа-
доказательства леммы 6.2 видно, что если оператор 7\ есть сужение опе-
оператора Т^Т^ на множество, состоящее из элементов y(t)£3)(T)
с #@)£7i, то оператор Т± замкнут. Таким образом, Ti есть замкну-
33*

516 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
тый линейный оператор, взаимно однозначно отображающий свою
область определения из ® на 23. По теореме 0.3 об открытом
отображении найдется постоянная /С, такая, что если Tty = g,
то | у \<$)^СК\ g |sq. Тем самым для случая уо~О теорема доказана.
Если у0 Ф 0, то пусть yt (t) есть единственное ©-решение урав-
уравнения F.1), удовлетворяющее условию ^(О^У^ Пусть yo(t) есть
единственное ©-решение однородного уравнения F.2), такое, что
Уо @) = у0- Тогда у (t) = у0 (t) + У± if) будет единственным ©-реше-
©-решением уравнения F.1) с Роу(О) = уо, и \y\®<\yo(t) fe + |У\ if) b-
По уже доказанной части леммы |#1|ф</С[#|$в и, согласно лемме
6.1, | Уо (t) |^<C0|| уо\\. Лемма 6.3 полностью доказана.
§ 7. Функции Грина
Обозначим через hOa (t) характеристическую функцию отрезка
г, так что
[, если t£[0, a],
), если t$ [0, а].
Аналогично, обозначим через ha(t) характеристическую функцию
полупрямой f>a, так что
1, если
3, если
Банахово пространство S3 функций на J: 0<^ <со (<оо) мы
будем называть тощим в точке t=-a), если из того, что ip @ G Й5
и 0<а<ео. вытекает следующее: hOa(t)ty(t), ha(t)^(t)^si;
\hoaM%> \llnth<\^\& I^Isb—>0приа—>о). Так как ha(t)^(t) =
— ty (t) — hOc (t) ty (t) на /, то свойство «быть тощим в точке ^ = со»
означает, что множество функций hoa (t) г^ (t) из S3, обращающихся
в нуль вне отрезков [0, a] cz J, плотно в S3. 192
Пусть © — банахово пространство, более сильное, чем L (У).
Пусть, как и выше, У4 = Yi<$ есть подпространство пространства Y,
дополнительное к Y<$. Пусть Ро = Ро<§ — проекция пространства У
на Уф, аннулирующая У4, и Р1 = 1 — Ро есть проекция У на Уь
аннулирующая Y<%. Если в У фиксирован базис, то проекции Ро
и Pi можно представить с помощью матриц.
Пусть Uif)— фундаментальная матрица для F.1) на 0<^<о>,
причем U@)=I. Определим для 0<s, ^<со (матричную) функцию
G(t, s) следующим образом:
Г U(t)P0U-i(s) для 0<s<^,
( ' S)~l UWPU-tis) дляО<^<5 ( '

§ 7. Функции Грина 517
При фиксированном t функция G(t, s) непрерывна на 0<s<co,
за исключением точки s = t, где она имеет левый и правый пре-
пределы, соответственно равные U{t)PJJ (t) и —V^P^U'1^).
Теорема 7.1. Пусть A(t) локально интегрируема на J. Пред-
Предположим, что банаховы пространства 23 и ® сильнее, чем L(Y),
пространство Ш в точке со является тощим и ® обладает сле-
следующим свойством: если y(t), у\(t) — непрерывные (вектор-)функ-
ции, отображающие J в Y, и у (t) — у^ (t) = 0 вблизи t = со
(т. е. У1~у2 = 0, за исключением некоторого отрезка [О, a]aJ),
то у(t)G® влечет за собой yi@ 6®- Пара (S3,®) является
допустимой для F.1) в том и только в том случае, когда для
каждого g (t) £ 33 существует в ®
со о
у @ = ( G (/, s) g (s) ds = lim С G (/, s) g (s) ds, G.2)
о ^ о
причем этот предел существует равномерно на каждом компакт-
компактном интервале из J и является единственным ^-решением урав-
уравнения F.1) с
Доказательство. Необходимость. Пусть g(t)£№, ga(t) =
= hoa (t) g (t) - Тогда соотношение G.2) принимает такой
со а
ya(t)=\ G(t, s)ga(s)ds=^G(t, s)g(s)ds. G.3)
о о
где интеграл существует как интеграл Лебега для каждого фикси-
фиксированного t, так как G(t, s) ограничена на 0<s<a и ga(s) инте-
интегрируема на J. В силу первого из соотношений G.1) «вклад» части
0<s<^ в G.3) равен
t t
U (/) Ро j U-1 (s) ga (s) ds = U (/) j G (s) ga (s) ds -
о о
и
Отсюда в силу второго из соотношений G.1) равенство G.3) при-
принимает такой вид:
t
уа (/) = U (/) j U-1 (s) ga (s) ds + U (t) уа @), G.4)
где
ya@)=-Pi ju-i(s)ga(s)ds. G.5)

518 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Согласно G.4) и следствию IV.2.1, ya(t) является решением урав-
уравнения F.1), где g(t) заменено на ga(t).
Добавляя к G.4) интеграл от / до а и вычитая его, нетрудно
получить, что
а а
Уа (t)=-U @ j U-1 (S) ga (S) ds + U (t) Po j U-l (S) ga (s) ds.
t 0
Отсюда
a
U-1 (a) ya (a) = Po j U-1 (s) ga (s) ds£Y%.
о
Значит, для <2<7<<(о функция ya{t) совпадает с решением
U (t) U'1 (а) уа (а) однородного уравнения F.2). Так как начальная
точка этого решения принадлежит У^, то из предположения тео-
теоремы о свойстве пространства ® следует, что #а@€®-
Так как уа@)£Уи согласно G.5), то отсюда следует, что
уа (t) — единственное решение уравнения F.1) (в котором g = ga(t))i
удовлетворяющее условию ya@)€Yi. Значит, по лемме 6.3,
\\К\\
Пусть 0<а<6<о). Тогда, поскольку пространство 58 в точке
t — со является тощим, имеем
ag\<$ —> 0, а—> со.
Значит, в ® существует y = V\mya(t) при а—>со. Кроме того,
g = \\mga(t)£%$. Так как оператор Т = Т%е%, по лемме 6.2, замк-
замкнут, то у (t) является ©-решением уравнения F.1). Из доказа-
доказательства леммы 6.3 видно, что y = \\mya(t), причем сходимость
равномерна на компактных интервалах из J. Отсюда у @) =
= lim r/a @) g Ki- Тем самым необходимость доказана. Достаточ-
Достаточность доказывается легко.
Следствие 7.1. Пусть со = оо; В и D —банаховы пространства
класса ^г#; В' — пространство, сопряженное к В; см. § XIII.9.
Для того чтобы пара (B(Y), D (Y)) была допустимой, i) необхо-
необходимо, чтобы || G (/, -)||£В' при фиксированном t (и потому
интегралы в G.2) являются интегралами Лебега); И) если про-
пространство В в точке со тощее, то необходимо и достаточно,
чтобы соотношение G.2) определяло ограниченный оператор
g—>y из B(Y) e D (Y); 111) достаточно, чтобы r(t)£D, где
r(t) = \ \\G(t, -)|| |Б,; iv) если D = L°°, то необходимо и доста-
достаточно, чтобы г (t) £ L°°.
Упражнение 7.1. Докажите это следствие.

§ 8. Нелинейные уравнения 519
§ 8. Нелинейные уравнения
В этом параграфе мы используем леммы 6.1—6.3 для изучения
нелинейного уравнения
(8.1)
чем
y ()y + f(, у)
Пусть S3, © — банаховы пространства, более сильные,
L(Y), и 2Р —замкнутый шар в ф:
2р = {0(*): y(t)£% \У\ъ<Р}-
Теорема 8.1. Пусть заданы J: 0</<о)(<[оо), локально интег-
интегрируемая (d х ф-матричнач функция A(t) на J, а пара B3, Щ
является допустимой для F.1). Пусть f(t,y(t)) при каждом
#(/)£2р есть элемент пространства 23, удовлетворяющий условию
\f(t, yi(t))-f(t, Jfe@)l»<6|M0-Jfe@fe (8-2)
для всех yi (/), у2 (t) £ 2Р и некоторой постоянной Э; r = \f (/, 0) |^;
i/оё^ф- Предположим, что Со, К-—постоянные из леммы 6.3,
я Э, г, ||{/о|| так малы, что
СоЫ1 + /Сг<рA-в/() " 8/С<1. (8.3)
Тогда уравнение (8.1) имеет единственное решение у(^)£2р,
удовлетворяющее условию
РоУ(О) = уо. (8.4)
Из доказательства будет ясно, что первая часть условия (8.3)
может быть заменена предположением
Co\\yo\\ + K\f(t, y(t))\%<p для всех у(*)£ 1Р. (8.5)
В действительности роль условия (8.3) как раз и заключается
в том, чтобы выполнялось (8.5). В соотношении (8.4) символ Ро
означает проекцию У на У$, аннулирующую некоторое фиксиро-
фиксированное подпространство У1? где Y = Y^)@Yi.
Доказательство. Теорема 8.1 является непосредственным след-
следствием теоремы 0.1 и леммы 6.3. Действительно, так как
f(t, лг(/))£ЯЙ для любого #(/)(Е2р, то из леммы 6.3 и того, что
по предположению пара B3, ф) является допустимой, следует,
что уравнение
' A() f(x(t)) (8.6)
имеет единственное ©-решение y(t), удовлетворяющее (8.4) и F.8),
где g(t) = f(t, x(t)). Определим оператор То из 2Р в ® равенством
i/ (t) = Го [х (/)]. В частности, если m = | То [0] fe, то
где г = |/(/, 0)|». (8.7)

520 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Если Xi(t), x2(t)£2p и yi = T0[xi], У2 = Т0[х2], мы получаем, что
У\ @ ~" Уг @ есть единственное ©-решение уравнения
y' = A(t)y + f(t,xx(t))-f(t, x2{t)),
удовлетворяющее условию Роу @) = 0. Значит, по лемме 6.3
и условию (8.2),
*2fe. (8.8)
Следовательно, применима теорема 0.1, и потому То имеет
единственную неподвижную точку у (t) 6 Ер. Теорема 8.1 доказана.
Утверждение следующей теоремы относится к пространству С (У)
непрерывных функций у (/), действующих из / в У, с топологией
равномерной сходимости на компактных интервалах из /. В ней
содержится предположение, касающееся непрерывности отображе-
отображения Ti ly (t)] = f (t, у (t)) из замыкания подмножества 2РП С (У)
пространства С (Y) в £8. Оно выглядит более естественным, если
работать с банаховыми пространствами Щи® непрерывных функ-
функций на У с нормами, обеспечивающими равномерную сходимость
на J. Это как раз тот случай в частях I и II, когда J заменялось огра-
ограниченным отрезком 0 <; / <; р. Условие непрерывности будет выпол-
выполнено также при различных предположениях в следствии 8.1.
Теорема 8.2. Пусть A(t) локально интегрируема на J; Ж
и ® — банаховы пространства, более сильные, чем L (У); 2Р —
замкнутый шар радиуса ре®; S —замыкание множества
Ер ПС (У) в C(Y). Пусть A(t) и /(/, у) удовлетворяют следующим
условиям: i) пара (9S, Ф) допустимая для F.1); ii) y(t)—>f{t, у (t))
есть непрерывное отображение подмножества S пространства
С (У) в 23; iii) существует г>0, такое, что
г для y(t)£S, (8.9)
и iv) существует функция X(t)£L, такая, что
\\f(t, y(t))\\<K(t) для t£J, y(t)£S. (8.10)
Пусть Со, К —постоянные из леммы 6.3 и Уо^У^- Наконец,
пусть г, Ц г/01| так малы, что
Тогда уравнение (8.1) имеет по крайней мере одно решение
у (t) £ Ер, удовлетворяющее условию Роу @) = у0.
Доказательство. Как и в предыдущем доказательстве, опреде-
определим оператор То из S в ф, положив у=Т0[х], где x(t)£S, а у(t)
есть единственное '©-решение уравнения (8.6), удовлетворяющее
(8.4). Тогда, по лемме 6.3,

§ 8. Нелинейные уравнения 52Г
Отсюда, в силу условия (8.11), То отображает S в себя, точнее,*
в 2pnC(y)ciS.
Заметим, что основное неравенство F.5) влечет за собой
а а а
\\y(t)\\<{~l\\y(s)\\ds+l\\g(s)\\ds}exP J || Л (s) ||ds
0 0 0
для 0</<а, где g(t) = f(t, x(t)). Так как пространство © силь-
сильнее, чем L(Y), то выполнено F.6). Кроме того, для g (t) £ 9S
имеем подобное же неравенство с подходящей константой а<$(а).
Отсюда для O^Ct^Ca получаем
а
}^А(з)\\с1з. (8.12)
Проверим сначала, что отображение То: S—>S непрерывно, где
S рассматривается как подмножество пространства C(Y). Пусть
^@ 65, gj(t) = f(t,xj(t)), yj(t)=T0[xj(t)h / = 1,2; тогда
#i@~~"Уг@ является единственным Ф-решением уравнения F.1)
(где g = g4 — g2), удовлетворяющим условию Ро [yi @) — у2 @)] — 0.
Отсюда по лемме 6.3 получаем, что
Кроме того, для y = yi~y2 и g = gi — g2 имеет место неравен-
неравенство (8.12). Значит, для 0</<а
Так как, по условию ii), сходимость х± (t) —>х2 (t) в С (Y) влечет
за собой сходимость gt —> g2 в Из, то yt (t) —> ^/2 @ равномерно
на отрезках [0, а] из У, т. е. yt (t)—>y2(t) в С (У). Тем самым
доказана непрерывность отображения То: 5—>S. Покажем теперь,
что образ T0S множества S имеет в C(Y) компактное замыкание.
В силу (8.12), где g(t) = f(t, x{t)) и y{t) = T0[x(t)], для 0</<я
имеем
а
|| у @ || < {4- а® (а) Р + а» («) '} «*р J || A (s) || rfs.
о
Значит, множество функций y(t)£T0S равномерно ограничено
на отрезке [0, a]czJ. Если с (а) — число, равное правой части
последнего неравенства, то из (8.6) и (8.10) следует, что
t t
\\y(t)-y(s)\\<c(a) ^\\A(u)\\du+^X(u)du, 0<s</<a.

522 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Поэтому функции y(t) из образа T0S множества S являются
на каждом отрезке [0, а] с: J равностепенно непрерывными. Тогда
из теоремы Арцела следует, что T0S имеет в С (Y) компактное
замыкание. Так как 5 выпукло и замкнуто в С (Y), то из след-
следствия 0.1 вытекает, что То имеет неподвижную точку y(t)dS.
Поэтому теорема 8.2 является следствием того, что y(t) =
T^C(Y)
p
Было бы желательно выяснить, какие условия следует наложить
на S3, Ф, /(/, у) и X(t), чтобы выполнялись предположения и),
Hi) и iv) теоремы 8.2.
Условие (Но) на <$ = В(Х). Пусть 23 = В(Х) (см. § 6), где
Х~ некоторое подпространство пространства Y, а В —банахово
пространство вещественных функций на J, таких, что i) В силь-
сильнее, чем L; и) В в точке / = со является тощим (см. § 7); Hi) В
содержит характеристическую функцию hOa (t) отрезков [0, a] cz J
и iv) если ф4(/)£В и фг(/) — измеримая функция на J, такая, что
|К|Ь E и 1ф2Ь<|ф1Ь-
Для приложений к уравнениям высших порядков особенно
важно иметь возможность взять ЙЗ = В(Х), а не 23 = В (Y). Если
такие уравнения представить как системы уравнений первого
порядка, то «неоднородный член f (t, у)» обычно принадлежит
подпространству X cz Y; например, / (/, у) может иметь вид
(/г, 0, ...,0).
Примерами пространств В, удовлетворяющих условию (Но),
являются пространства B = LP, 1 < р < оо, и B = L™ (но не В = L°°).
Другие такие пространства В можно получить следующим обра-
образом. Пусть г|э (t) > 0 — такая измеримая функция, что гр(/) и 1/^@
ограничены на каждом отрезке 0<^<а(<со). Обозначим через
B = L^o пространство функций ф(/) на J, таких, что ф (t)/ty{t) £L^°,
с нормой | ф |в = | ф/г|?|оо. Пространство В = L^o удовлетворяет усло-
условиям i) — iv). Для этого пространства функция k(t)£B, если
0<Ц/)<гИ0 и ;-^|-->0 при *->ю. (8.13)
Условие (И{) на /(^, у). Пусть f(t, у) непрерывна на произ-
произведении множества J и шара \\у\\^р из У; пусть значения f
принадлежат X и существует функция h(t)£L, такая, что
\\f(t, y)\\<4t) для t£j, \\У\\<Р. (8.14)
Следствие 8.1. Пусть A(t) локально интегрируема на J; пара
BS, ®) допустима для F.1); 2S удовлетворяет условию (Но);
^^^(Y) (или % = L™ (Y))\ f(t, у) удовлетворяет условию (Н^
и Jt(/)£B, r = \X\B. Пусть yo(zY<$. Тогда, если выполнено неравен-

§ 9. Асимптотическое интегрирование 523
ство (8.11), уравнение (8.1) имеет по крайней мере одно реше-
решение у (t) на 0 <; t < со, удовлетворяющее условиям Роу (О) = у0,
\\y(t)IKp ( ( )
Упражнение 8.1. Докажите следствие 8.1.
Упражнение 8.2. Пусть У представлено в виде прямой суммы
@Yu пусть Ро есть проекция У на У$, аннулирующая Уь
и Pi = I — Ро есть проекция У на У1? аннулирующая У$. Пусть
Л (t) локально интегрируема на J: 0-</<оо. Определим G(/, s)
с помощью G.1) и предположим, что существуют постоянные N,
v>0, такие, что \\G(t, s) ||<iV^-v^-sl для s, />0. Пусть f(/, у)
непрерывна для 0<^<оо, ||г/||<р, и пусть \\f(t, y)\\<r,
& ^/обУф- Покажите, что если \\yo\\ и /->>0 достаточно малы, то
уравнение (8.1) имеет решение y(t) для 0<[/<оо, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям || у (t) ||<р и РоУ(О) = уо. (О необходимых и доста-
достаточных условиях, обеспечивающих выполнение предположения,
касающегося G, см. теоремы XIII.2.1 и XIII.6.4.)
§ 9. Асимптотическое интегрирование
В этом параграфе символом </ обозначена полупрямая J: 0<;/<Соо
(так что со = оо). Из теоремы 8.2 вытекает следующее утверж-
утверждение.
Теорема 9.1. Пусть A(t) непрерывна на J: (К</<оо, функ-
функция f(t, у) непрерывна для t~>0, ||y||<p, удовлетворяет условию
\\f{t,y)\\<4t) для />0, I^IKp, (9.1)
а ее значения принадлежат подпространству XaY. Предпо-
Предположим, что или \) ЧОб^1 и паРа (£х№> ®)» где ® = 1°°(У)
(или Ъ = Ь™ (Y)), является допустимой для системы
y' = A(t)y + g(t), (9.2)
или ii) яа J существует такая измеримая функция ^ (t) > О,
что ij)(/) w 1/^@ локально ограничены,
0<Ч0<^@> ^@/^@-^0 ^^ ^-^°° (9.3)
и для каждого g(t)£L(X), такого, что
g(t)/^(t)->0 при t-*oo, (9.4)
уравнение (9.2) имеет ^-решение. Тогда, если tQ достаточно
велико, система
y' = A(t)y + f(t, у) (9.5)
имеет решение для t>t0, такое, что \\y(t)\\^p (и y(t)—>0 при
/—>оо).

524 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
Замечание 1. Предположение п) просто означает, что пара
(Цо №» ©) является для (9.2) допустимой. Фактически предполо-
предположение i) является частным случаем предположения ii), однако
для удобства оно выписано отдельно. По поводу необходимых
и достаточных условий, налагаемых на пару (LX(X), L°° (X)) или
(^(Х), L™ (X)) и обеспечивающих их допустимость для (9.2), где
X = Y, см. теорему ХШ.6.3.
Замечание 2. Пусть U (/) — фундаментальное решение системы
У' = A (t) у, (9.6)
удовлетворяющее условию £/@) = /, и пусть г/об^ф- Тогда, если
норма || г/о || достаточно мала, а /0>0 достаточно велико, реше
ние y(t) в теореме 9.1 может быть выбрано так, чтобы
Пусть Со, К — постоянные из леммы 6.3, связанные с допусти-
допустимостью подходящих пар (Ьг(Х), ф) или (Ь$о(Х), Ф). В соответ-
соответствии с предположением i) или ii) условия малости |] уо|| и роста t0
имеют вид
оо
^ или С0||г/0||+^<Р Для t>t0.
Доказательство. Пусть 2S=L1(X) или 2$ = L^o(X) в соответ-
соответствии с тем, предполагаем ли мы выполненным i) или ii). Тогда
теорема 9.1 вытекает из следствия 8.1, если заменить в нем f(t, у)
и X(t) на ha(t)f(t, у) и ha(t)k(t), где a = t0 и ha(t) равна 1 или 6
в соответствии с тем, какое из соотношений / > а или / < а выпол-
выполнено.
Упражнение 9.1. Часто возникает вопрос такого типа: пусть
у{ (/) — решение однородной системы (9.6); когда система (9.5)
имеет для больших / решение y(t), такое, что y — yi—>0 при
t—^ оо ? Выведите из теоремы 9.1 достаточные условия (для того,
чтобы ответ был положительным).
Желая применить теорему 9.1, рассмотрим уравнение второго
порядка
u" = h(t, и, и') (9.7)
для вещественной функции и. Предположим, что h(t, и, иг) непре-
непрерывна для />0 и произвольных (и, и'). Пусть a, f} — некоторые
постоянные. Поставим такой вопрос: когда уравнение (9.7) имеет
для больших t решение, удовлетворяющее условию
и@ —а* —Р->0 и и'(/) —а->0 при/-*оо? (9.8)

§ 9. Асимптотическое интегрирование 525
Сделаем замену переменной u—>v, где
u = at + P + v; (9.9)
тогда (9.7) принимает вид
xf = h(t, at + fi + v, a + v'), (9.10)
а (9.8) переходит в условие v, v' —>0 при t—>oo. Из теоремы 9.1
вытекает такое
Следствие 9.1. Пусть h(t, и, и') непрерывна для t>0 и произ-
произвольных (и, и') и такова, что
\h(t, at + $ + u, a + u')\<X(t) для \и\, |и'|<Р»
где X (t) — функция, для которой
\ tl (t) dt < оо.
Тогда уравнение (9.7) имеет при больших t решение u(t),
удовлетворяющее условию (9.8).
Упражнение 9.2. (а) Докажите следствие 9.1. (Ь) Примените
его к случаю h — f (t) g (и) с а^О или а = 0. (с) Обобщите это
следствие, заменив (9.7) уравнением uid) = h (/, и, и', . . ., u{d~v).
На самом деле следствие 9.1 является частным случаем теоре-
теоремы Х.13.1, которая в свою очередь может быть выведена из тео-
теоремы 9.1; см. ниже упр. 9.3.
С помощью теоремы 9.1 могут быть решены многие задачи, вклю-
включающие в себя асимптотическое интегрирование. Очень часто эти
задачи ставятся в следующем виде: пусть Q (t) — непрерывно
дифференцируемая для / >- 0 матрица; имеет ли нелинейная систе-
система (9.5) решение у (f), такое, что если
y = Q(t)x, (9.11)
то существует c=\\mx(t) при t—> оо ? Дифференциальное уравне-
уравнение для x(t) имеет вид
х' - Q (t) [А (/) Q @ - Q' (/)] х + Q (/) / (/, Q (t) x). (9.12)
Замена переменных
г = х-с (9.13)
преобразует (9.12) в
z' = Qri{AQ-Q')z + g{t, z, с), (9.14)
где
g(t, z, c)=^Q-l(AQ-Q')c + Q-1f(t, Qz + Qc). (9.15)
Задача, таким образом, сводится к следующей: имеет ли (9.14) для
больших / решение z (t), такое, что z (t) -> 0 при / -> оо? Ясно, что
для ответа на этот вопрос нужно обратиться к теореме 9.1.

526 Гл. XII. Теоремы о неявных функциях и неподвижных точках
В случае утвердительного ответа нам хотелось бы отметитьу
что представление (9.11) и заключение «л: (/) — с->• 0 при /-> оо»
не несут в себе большой информации, если не получены оценки
|| х (t) — с \\ [например, если Q (t) есть B х 2)-матрица Q (t) =
= (qjk (*)), где qkl = (—1) he~\ qk2 = e\ k = 1, 2 и с = A, 0), та
мы можем только утверждать, что у (t) = о (<?'), но не будем иметь
асимптотической формулы вида у (t) = (—1 + о A), 1 + о A)) е~х
при /->■ оо].
Упражнение 9.3. Следуя только что указанной процедуре, выве-
выведите теорему Х.13.1, используя теорему 9.1 (вместо леммы Х.4.3).
ПРИМЕЧАНИЯ
Введение. Использование теорем о неподвижных точках в функциональ-
функциональных пространствах было начато Биркгофом и Келлогом [1]. О теореме 0.2
см. Тихонов [1]. По поводу шаудеровской теоремы о неподвижной точке
см. Шаудер [1]. В связи с замечанием в конце введения см. Грейвс [1]. Как
было упомянуто в тексте, теорема 0.3 принадлежит Банаху [1].
§ 1. Результаты, аналогичные приведенным в этом параграфе, но отно-
относящиеся к одному уравнению второго порядка, восходят к Штурму. Гранич-
Граничные задачи для систем уравнений второго порядка рассматривались Мазо-
ном [1]. Результаты этого параграфа (за исключением теоремы 1.3) при-
принадлежат Буницкому [1]; изложение в тексте дано по Блиссу [1]. Эти резуль-
результаты являются просто введением к общим вопросам, обычно связанным
с разложением по собственным функциям; ссылки на старые работы Гильде-
брандта, Биркгофа, Лангера и других см. у Блисса [1]. Превосходное совре-
современное изложение теории сингулярных, самосопряженных задач см. в работе
Брауэра [2]. Теорему 1.3 см. у Массеры [1], который приведенное дока-
доказательство связывает с именем Боненблюста.
§ 2. Теоремы 2.1. и 2.2 аналогичны теоремам 4.1 и 4.2 соответственно.
Результат упр. 2.1 принадлежит Массере [1] и является обобщением одной
теоремы Левинсона [2]; его доказательство основано на B-мерной) теореме
Брауэра о неподвижной точке. Упражнение 2.2 принадлежит Кноблоху ПК
который использовал для доказательства один вариант теоремы Брауэра
о неподвижной точке, принадлежащий Миранде [1]; ср. Конти и Сансоне
[1, стр. 438—444].
Теоремы 2.3 и 2.4 принадлежат Пуанкаре [5,1, гл. 3 и 4]; см. Пикар
[2,111, гл. 8]. Задачи, относящиеся к случаям «вырождения» в теоремах 2.3>
и 2.4, когда используемый в доказательствах якобиан обращается в нуль,
также рассматривал Пуанкаре, а затем и многие другие, включая Ляпунова.
По поводу некоторых современных работ и ссылок на старые работы см.
Гёльдер [1], Фридрихе [1] и Хейл [1]; об этой задаче в очень общей постановке
см. Льюис [4].
§ 3. Одномерный случай теоремы 3.3 принадлежит Пикару [4]; рас-
распространение ее на системы дано Хартманом и Уинтнером [22]. В одномерном5
случае C.17) может быть ослаблено до условия Re B(t)x*x^- 0; см. Розен-
блатт [2], а также упр. 4.5(с). Критерий единственности в упр. З.З(Ь), среди
прочих других, дан Хартманом и Уинтнером [22]. Теоремы сравнения (типа
теорем Штурма) для самосопряженных систем были доказаны Морсом [1].
§ 4. Теорема 4.1 и ее доказательство принадлежат Пикару [4, стр. 2—7].
Об относящихся сюда результатах в одномерном случае см. Нагумо [2], [4];

Примечания 527
в работах Хартмана и Уинтнера [8] и Лиса [1] можно найти ссылки на Розен-
блатта, Чинквини, Цвирнера и др. Теорему 4.2 доказал Скорца-Драгони [1].
Теорема единственности 4.3 принадлежит Хартману [19]. По поводу упр. 4.6(Ь)
см. Хартман и Уинтнер [8]; относительно упр. 4.6(с), с дополнительным
условием о наличии у / непрерывной частной производной df/дх ^> О, см.
Розенблатт [2]. Относительно упр. 4.7 и 4.8 см. Ниренберг [1].
§ 5. Лемма 5.1 и следствие 5.2 принадлежат Нагумо [2]. Пример, сопро-
сопровождающий лемму 5.2, предложен Хайнцем [1]. Другие теоремы этого пара-
параграфа содержатся у Хартмана [19]. Упр. 5.4 является обобщением одного
результата Лиса [1], который дает доказательство, существенно отличающееся
от доказательства, приведенного в конце этой книги. Об одномерном случае
в упр. 5.5(d) см. Хартман и Уинтнер [8]; этот результат был сначала дока-
доказан А. Кнезером [2] (см. Мамбриани [1]) для случая, когда / не зависит от х'.
О примыкающих сюда результатах см. упр. XIV.2.8 и 2.9. Обобщение резуль-
результата упр. 5.9, включающее почти периодические функции, дано Хартманом
[19] и основано на статье Америо [1].
§ 6. Часть III является развитием статьи Перрона [12], результаты
которого были продвинуты дальше Персидским [1], Малкиным [1], Крей-
ном [1], Беллманом [2], Кучером [1] и Майзелем [1]. За исключением Кучера,
все эти авторы в основном рассматривали случай Ъ = L°°(Y), ф = L°°(Y).
(Обсуждение этих более ранних статей см. у Массеры и Шеффера [1,1].)
Результаты этого параграфа принадлежат Массере и Шефферу [1], которые
рассматривали более общую ситуацию, когда пространство Y не обязатель-
обязательно является конечномерным.
§ 7. О понятии пространства, являющегося в точке со тощим, см.
Шеффер [2,VI]. Функции Грина G этого параграфа встречаются у Массеры
и Шеффера [1,1 или IV]. Теорема 7.1 и следствие 7.1, по-видимому, новые.
§ 8. Теорема 8.1 принадлежит Кордунеану [1]. Теорема 8.2 представ-
представляет собой исправленный вариант аналогичного результата Кордунеану [1]
(см. Хартман и Онушич [1]); см. также Массера [8]. О следствии 8.1 см.
Хартман и Онушич [9]. По поводу упр. 8.2 см. Массера и Шеффер [1,1 или IV].
§ 9. Приведенное здесь применение результатов § 8 дано Хартманом
и Онушичем [1]. О следствии 9.1 см. Хейл и Онушич [1].

Глава XIII
Дихотомии для решений
линейных уравнений
Рассмотрим при / > 0 неоднородную линейную систему дифферен-
дифференциальных уравнений
@.1)
и соответствующую однородную систему
y'-A(t)y = O @.2)
или, в общем случае, неоднородную линейную систему уравнений
порядка т+1
т
и(т+1)+ 2 Pk(t)uik) = f(t) @.3)
и соответствующую однородную систему
a<m+i>+ 2 Pk(t)uik) = 0. @.4)
Предположим, что 23, ® — банаховы пространства векторных
функций и что система @.1) [или @.3)] имеет решение у (/) £ ® [или
и @ € ®1 Для каждой функции g (t) из 23 [соответственно / (/) из Ж],
т. е. пара (S3, ®) является допустимой в смысле § XI 1.6. Тогда
при подходящих условиях на коэффициенты и пространства Щи®
для решений однородных уравнений имеет место (экспоненциальная)
дихотомия в том смысле, грубо говоря, что некоторые решения
малы (экспоненциально малы), а другие велики (или экспоненциаль-
экспоненциально велики) при /-> оо. Утверждения такого типа и обратные к ним
и составляют предмет настоящей главы.
В частности, для системы @.2) мы получим условия, необходи-
необходимые или достаточные для существования матрицы Грина, опреде-
определенной, как в § XII.7, и удовлетворяющей условиям
|| G(*,s)||</С или || G(*,s) || </Се-Ч'-»1
при s, /^-0, где постоянные /С'и v>0. Основные результаты, касаю-
касающиеся системы @.2), приведены в § 6; соответствующие результаты
для системы @.4) содержатся в § 7. Наши рассуждения в основном
будут опираться на теорему XI 1.0.3 об открытом отображении
(фактически на аналоги лемм из § XI 1.6) и следующее основное

§ 1. Обозначения и определения 529
неравенство для решений системы @.1): если у—точка (вещест-
(вещественного или комплексного) векторного пространства Y с нормой
|| у ||, а || A{t) || = sup || A(t)y || для || у \\ = 1, то для решений
системы @.1) справедлива такая оценка:
\\y(t)\\< {\\y(s)\\ + \j\\g(r)\\dr\}exP\^\\A(r)\\dr\ @.5)
s s
для произвольных s, t. Если пространство Y евклидово, эта оценка
может быть усилена:
| j|}| J(r)dr|, @.6)
где \i(t) = sup\ReA(t)y-y\ для \\y\\=l; см. § IV.4.
Нам будет удобно записывать системы @.1), @.2) в виде уравне-
уравнений Ту = g. Ту = 0, где Т — оператор Ту = у' — A{t)y. Чтобы
не рассматривать отдельно систему @.3), мы будем записывать
ее в виде @.1), полагая у = (и, и\ . . ., и(Ш)). Для наших целей,
однако, оказывается выгодным ввести оператор «проектирования»
Р\ в общем случае системы @.1) он является единичным, Ру = у,
а в случае, когда в виде @.1) записана система @.3), Ру = и.
Эта глава делится на две части: в части I изучаются аналоги
систем @.1), @.3), а в части II — аналоги сопряженных систем
уравнений.
ЧАСТЬ L ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Обозначения и определения
(i) Ниже символами у, z, . . . [или и, v9 . . .] обозначаются
элементы конечномерного вещественного или комплексного бана-
банахова пространства Y [или U] с нормами || у ||, || г ||, ... [соответ-
[соответственно || и ||, || v ||, . . .]. Не предполагается, что эти пространства
евклидовы. Например, для произведения пространств X х Y часто
оказывается более удобным использовать норму || (х, у) \\ =
= max (|| х ||, || у ||). К тому же гораздо удобнее работать с угловым
расстоянием между двумя ненулевыми элементами у, z 6 Y9 опре-
определенным равенством
Н1
чем предполагать Y евклидовым пространством и использовать
евклидов угол между у9 г или, например, | sin (у, г) |. (Если Y —
евклидово пространство, то -у в A.1) равно 2 sin —(г/, г) Л
34—241

530 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Заметим, что величина || у ||-|| z \\ у [у, г] равна норме элемента
у || г || -|| у\\ г и потому || {у - г) \\ z || - (|| у || - || z ||) z ||<
<1 2 || z || -|| у — z ||. Переставляя у и z, мы получаем
r/-z||. A.2)
Если X — линейное многообразие в Y и y£Y, положим
d(Xf r/) = dist (J\T, у) = inf \\x — y\\ для х£Х. В частности,
Ы1 ><*(*. 0)- A.3)
Часто будет встречаться условие
\]у\\<£М(Х, у) и Л>1, A.4)
где X — подпространство (т. е. замкнутое линейное многообразие).
Заметим, что неравенство A.4) может выполняться для у 6 X только
тогда, когда у = 0. Если у =Ф 0 и А,— допустимое число в A.4),
отношение 1А можно интерпретировать как «грубую меру угла меж-
между у и линейным многообразием X». Это становится ясным, если
записать A.4) в виде 1А < d (X, у \\ у Ц) - inf || x — у || у Ц ||
для х £ X.
Через F* мы обозначаем пространство, двойственное к У, а через
{Уу У*) — соответствующее «скалярное произведение» элементов
У 6 Y, у* е Y*.
(и) Мы будем предполагать, что в Y (или U) фиксирована неко-
некоторая система координат. Поэтому элемент у 6 Y может быть пред-
представлен в виде у = (у1, . . ., yd), где d = dim Y9 а линейный опе-
оператор из Y в Y определяется квадратной матрицей А порядка d
с нормой || Л || = sup || А у || для || у \\ = 1. (Это сделано только
для того, чтобы можно было использовать теоремы гл. IV в той
форме, в которой они были там приведены.)
(iii) Через J будет обозначаться замкнутая полупрямая 0 <1 t <
< оо, а через J' — ограниченный интервал, лежащий в J. Харак-
Характеристическую функцию интервала J' мы будем обозначать через
hj'(t), так что hj'{t) — 0 или 1 в соответствии с тем, будет ли
t (£ J' или t 6 J'- Аналогично, hs(t) — это характеристическая
функция полупрямой s <^ t < оо и hse(t) — характеристическая
функция отрезка У = [s, s + г].
Символом <pSe(O всегда будет обозначаться неотрицательная
функция, интегрируемая по J с носителем в [s, s + si (т. е. равная
нулю при £<sh/>s+s, так что (ps8@ = %e(t) hse(t)).
(iv) Обозначим через £Г множество нормированных пространств
Ф, элементами которых служат вещественные измеримые функции
Ф (t), определенные на J (точнее, классы эквивалентных функций,
различающихся на множествах нулевой меры), удовлетворяющие
следующим условиям: (а) Ф Ф {0}; (Ь) элементы ф (/) простран-
пространства Ф локально интегрируемы и для всякого ограниченного J'

§ 1. Обозначения и определения 531
существует такое число а = a (J't Ф), что
\ | ф (t) | dt <! а | ф |ф для всех ф g Ф.
Наименьшее число а, удовлетворяющее этому условию, мы будем
обозначать через lAj'U', так что
\ |ф
j'
|ф' для всех ф£Ф; A.5)
см. § 9; (с) если ф£Ф, а г|э — такая вещественная измеримая
функция на </, что |г|э(*) |<|ф(*)|, то г|э£Ф и | ар |ф<| ф |ф; (dj[если
ф£Ф, s>0, гр (/) = 0 при 0</<s, г|э (/) = ф(/ — s) при t>s,
то г|э£Ф и |г|5|ф = |ф|ф; (е) характеристические функции hj>(t)
ограниченных интервалов Г являются элементами пространства Ф.
Если не оговорено противное, всюду в дальнейшем через В и D
обозначаются банаховы пространства из £Г. Ясно, что все про-
пространства Lv на J при 1 <; р <; оо принадлежат У. Также принадле-
принадлежит JT и подпространство L^° пространства L°°, состоящее из функ-
функций ф (/) 6 ^°°, стремящихся к 0 при /-^ оо.
В случае, когда Ф = D\ 1 <; р <; оо, норма | ф \lp будет сокра-
сокращенно обозначаться через | ф |р.
(v) Обозначим через М банахово пространство локально интегри-
интегрируемых функций ф (/) на J (классов эквивалентных функций, раз-
различающихся на множествах меры нуль) с нормой
| ф |лг = SUD I |фE) |dS. A.6)
Очевидно, MtzS'.
(vi) Если Ф 6 ЗГ, обозначим через Фоо линейное многообразие
функций ф (/) 6 Ф с компактными носителями, т. е. функций ф (/) 6
g Ф, равных нулю при больших t. Если, кроме того, Ф — банахово
(т. е. полное) пространство, то Фоо — пополнение (замыкание) Ф^
в Ф.
(vii) Если Ф 6 З' и Y — конечномерное банахово пространство
(над полем вещественных или комплексных чисел), то через Ф (Y)
обозначается нормированное векторное пространство измеримых
функций у (f) (точнее, классов эквивалентных функций, различаю-
различающихся на множествах нулевой меры) из J в Y (т. е. вектор-функций,
компонентами которых являются измеримые функции), так что
функция ф (/) = || у (t) || принадлежит Ф и норма | у (f) |Ф(У),
по определению, равна | ф |ф. Для краткости мы будем обозначать
норму элемента у (t) 6 Ф (Y) через | у |ф. Легко видеть, что если
Ф — банахово пространство, то таким же будет и Ф (F).
34*

532 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
(viii) Обозначим через L пространство вещественных измеримых
функций ф (/) на J (классов эквивалентных функций, различающих-
различающихся на множествах нулевой меры) с топологией сходимости в смысле
L1 на ограниченных интервалах. Соответственно, L(Y) — простран-
пространство локально интегрируемых функций у (t) из J в Y с топологией
сходимости в смысле L1 на ограниченных интервалах.
Условие (Ь) в (iv) [см. A.5)] на пространствах Ф 6 ЗГ означает,
что пространство Ф сильнее, чем L, так что из сходимости в про-
пространстве Ф вытекает сходимость в пространстве L; см. § XII.6.
(ix) Пространство Ф 6 ЗГ называется квазиполным, если условие
«ф @ 6 L, ф (t) (£ Ф» влечет за собой следующее: либо /iOa (t) Ф (/) $
(£ Ф при некотором А > 0, либо | Лодф 1ф —>- °° при А —>- оо. Про-
Пространства Ф = Lp при 1 ^ р ^ оо, очевидно, являются квази-
квазиполными.
. (х) Дихотомии. Предположим, что Y и W — банаховы про-
пространства, a JT — линейное многообразие функций у = у (/), опре-
определенных на J и принимающих значения в У. Каждой функции
у (t) из JT сопоставим неотрицательную функцию py(t), определен-
определенную на /, и элемент у [0] пространства W. Предположим, что ото-
отображение Q из JT в IF, определенное равенством Qy(t) = у 10],
является линейным и взаимно однозначным; у [0] мы будем называть
«начальным значением» функции у (t). Пусть Wo — линейное много-
многообразие, содержащееся в области значений оператора Q.
Если WQ — подпространство (т. е. замкнутое линейное много-
многообразие), мы будем говорить, что оно индуцирует частичную
дихотомию для (JT, ру, у[0]), если существует такая положи-
положительная постоянная Мо и такое неотрицательное число 6°, что
(а) если уЦ)£ЛГ и y[0]£W0, то
py(t)<Mopy(s) при e°<s<*; A.7)
(b) если z(t)£jr, ||г [0] ||< Ы(Г0| z[0]) и К>19 то
s) при s>6°, 0<^<s. A.8)
Подпространство Wo индуцирует полную дихотомию для (jT, у [0]),
если оно индуцирует частичную дихотомию для (JT, Ру, у[®]), где
Pv(t) = \\y(t)\\ и» кРоме того»
(с) существует такая постоянная у0>0, что если функции
y(t), z{t) удовлетворяют условиям (а) и (Ь) соответственно, то
>О при />6° A.9)
Подпространство Wo индуцирует экспоненциальную дихотомию
для (<#% ру, у[0]), если существуют неотрицательное число 6°,-
положительные числа Ми v, v' и для каждого Я>1 положитель-
положительное число М' = М[(К)У такие, что

§ 2. Предварительные леммы 533
(a) если y(t)£JT n y[O]£Wo, то
9у У)<М±е-*«-*)ру (s) при 6°<s</; A.10)
(b) если z{t)£JT, ||г@)||<Ы(Г0, z[0]) и Ь>1, то
[e^^-s)9z{s) при *>6°, 0<s<*. A.11)
Подпространство Wo индуцирует полную экспоненциальную
дихотомию для (JP, у[0]), если оно индуцирует экспоненциальную
дихотомию для (JT, ру, у[0]), где р^ @ = \\У@ ||, и выполнено
условие (с) определения полной дихотомии (т. е. WQ индуцирует
полную дихотомию для (JT, у[0]) и экспоненциальную дихотомию
для (JT, Р„ у[0]), где ру @ = || У @ ID-
Многообразие Wo (необязательно замкнутое) индуцирует инди-
индивидуальную частичную (или экспоненциальную) дихотомию для
G#\ pj,, y[0]), если
(a) для каждой функции y(t)£JfT с у[0]£ Wo существуют
постоянные 9°>0, М0>0 (или Af4, v>0), зависящие от у (t)
и такие, что выполняется условие A.7) (или A.10);
(b) для каждой функции z(t)£jT с г[0]^1^0 можно указать
такие постоянные 9°>0, М'0>0 (или М'1У v'>0), зависящие от
z@, что
z(s), если s>e° и 0</<s A.12)
(или соответственно имеет место A.11)).
В тех случаях, когда это не может привести к недоразумению,
мы будем вместо (J/\ py, у[0]) писать (jT, py)u, аналогично, если
Ру @ = 11 f/@11» вместо (JT, Ру) мы будем писать просто JT-
§ 2. Предварительные леммы
Символы У, jfT, W, Wo, Q, ру @ имеют здесь тот же смыслг
что в п. (х) предыдущего параграфа. Иногда мы будем предпо-
предполагать, что при фиксированном t функция ру (t) является «полу-
«полунормой», т. е.
Pcy(t)<\c\Py(t), Py-z(t)<py(t) + pz(t) ДЛЯ */@, 2@е^Г, B.1)
где с — произвольная постоянная, и / или что существуют 0Х>О и
/Со > 0, такие, что
Py(t)<Ko\\y[O]\\ Для t>&\ B.2)
||z[O]||<MCoP2(O Для t>Q\ B.3)
как только
y(t) tJT с у [0]6 Wo, B.4)
z(t)£JT с \\z[0]\\<M(W0, z[0]), Я>1, B.5)
соответственно.

534 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Заметим, что если Wo — подпространство, то достаточное усло-
условие для того, чтобы Wo индуцировало частичную дихотомию для
(«#\ Py(t)), состоит в следующем: существуют 9°>0 и М0>0,
такие, что соотношения B.4), B.5) влекут за собой неравенство
max(pz(r), py(t))<lMopy-z(s) для 0<r<s</, s>6°. B.6)
В самом деле условия (а) и (Ь) можно получить из B.6), если
положить z=0, взять в качестве А, произвольное число, большее 1,
и соответственно положить у ~ 0.
Следующий результат будет полезен нам в дальнейшем, и, кроме
того, он иллюстрирует понятие полной дихотомии.
Лемма 2.1. Пусть Wo — подпространство из области значений
оператора Q. Обозначим через y(t), z(t) произвольные элементы
из jf t удовлетворяющие B.4) и B.5) соответственно. Если сущест-
существуют такие 6° i> 0, Мо > 0, что
max (|| z (г) ||, \\y(t)\\)<KM0\\z(s)-y(s)\\ при 0<r<s<t B.7)
и s>6°, то Wo индуцирует полную дихотомию для JP (с соот-
соответствующими 6°, Мо, уо=1/Мо). Обратно, если WQ индуцирует
полную дихотомию для JP, то
тах({||г(г)||, ||у(О||)<2Шо7ог||^E)-уE)|| при 0<r<s</
B.8)
и s>e°.
Замечание 1. Множитель 1А, стоящий перед ||г(/)|| в левой
части B.8), может быть отброшен при выполнении такого допол-
дополнительного предположения: если Wo индуцирует полную дихото-
дихотомию для JT и существуют 6х>0, /С0>0> обладающие тем свой-
свойством, что функция ру (t) = \\y(t) || удовлетворяет соотношениям
B.2), B.3), как только выполняются условия B.4), B.5), то суще-
существует постоянная М'о > 0, такая, что
|| z (г) ||<Ш0'Цг (s)-#(s) || при тах(Э°, 61)<r<s.
Доказательство. Предположим, что B.7) выполняется. Полагая
z = 0, в качестве Я выбирая произвольное число, большее 1,
а затем полагая у = 0, получаем условия (а), (Ь) частичной дихо-
дихотомии. Заменяя y(t),z(t)£jr на y(t)/\\y(s)\\,z(t)/\\z(s)\\£jr при
фиксированном s>0°, для которого у (s) Ф 0, z (s) Ф 0, получаем
A.9), где r = s или t = s и уо=1/Мо.
Обратно, предположим, что Wo индуцирует полную дихотомию
для JT. Тогда A.9) и A.2) показывают, что
То max (|| z(s) ||, \\y(s)\\)<2K\\y(s)-z(s)\\,

§ 2. Предварительные леммы 535
если s> 6° и z (s) ф О, у (s) Ф 0. Условия (а), (Ь) полной дихотомии
дают B.8), если s>6° и z(s)фO1 y(s)^=O.
Доказательство последней части леммы после очевидной моди-
модификации дает такое
Следствие 1.2. Пусть Wo — подпространство Q, индуцирующее
полную экспоненциальную дихотомию для JT. Пусть у (t), z(t)
удовлетворяют условиям леммы 2.1. Тогда при 0<r<s</ и
s>6°
у0max(М^-(e-D ||г (г)||, A^v<*-> ||у (/) ||)<2b||z (s)-^(s) ||,
B.9)
где v, v', М'1 = М'1 (A,)>0, Mi u уо> 0 — постоянные, участвую-
участвующие в определении полной экспоненциальной дихотомии.
Мы не будем доказывать замечания 1, следующего за леммой
2.1, поскольку оно является частным случаем следующего более
общего утверждения.
Лемма 2.2. Пусть Wo — подпространство из W, обладающее
тем свойством, что существуют 6° ;> 0, Мо > О, Яо> 1, такие,
что из соотношений B.4), B.5), где X = А,о, вытекает B.6) с А, = А,о.
Пусть функция py(t) удовлетворяет условию B.1) и существуют
такие Э1 ^> 0, /Со > 0, wno соотношения B.4), B.5) влекут за собой
B.2), B.3). Тогда существует такая постоянная М'о > 0, «/то из
B.4), B.5) следует неравенство
pz(r)<)M'Qpy-z(s) при %<Cr<s, B.10)
где ео = тахF0, Э1).
Доказательство. Из определения d(W0, z[0]) видно, что суще-
существуют элементы y°£W°, для которых величина ||у° —г[0]|| сколь
угодно близка к d(W0, z[0]). Поскольку Яо> 1, элемент у0 можно
выбрать так, что для z° = y° — z[0] будет выполнено неравенство
|| г° || < V (Wo, z [0]) - V (^о, z°). Так как Го содержится
в области значений оператора Q, существует такой элемент
y*(t)£jr, что у°[О]-У° и z°(t) = t/°(t) — z(t)€jr с z°[0]=2°.
Поскольку || z [0] || <W (Го, z[Q]) = kd(W0, z°)< Я ||z° [0] ||, отсюда
следуют такие соотношения:
||у0[0]||<||г0[0]|Ц-||^0]||<(А+1)||г°[0]||<2А||г0[0]||. B.11)
Из неравенства pz (г) < pzo (г) + ру° @ и неравенства B.6),
в котором z = 0 и Л, = Я0, следует, что руо(г)<ХоМоруо F0). Нера-
Неравенство B.2) влечет за собой р^о (Эо)</Со||^° [0] ||, так что
Рг(г)<р2ъ(г) + МоКоК\\У°1О]\\- Если применить B.3) к z = z°(t)
с Х = Х0, мы получим, что

536 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Поскольку К> 1, из последнего неравенства и из B.11) видно, что
20K)pz«(r). B.12)
Поэтому B.10) с M'0 = (l+2M0KlK)hM0 следует из B.6), если
(А,, г, у) заменить на (V z°, У° + У)-
Следующая лемма, интересная и сама по себе, будет не раз
использоваться нами в дальнейшем. (Она неверна, если отбросить
предположение о конечномерности пространства W.)
Лемма 2.3. Пусть пространство W конечномерно. Обозначим
через Wq подпространство W, лежащее в области значений операто-
оператора Q, такое, что существуют 9° ;> 0, Мо > 0, для которых из B.4),
B.5) следует B.6). Предположим также, что ру (t) — непрерывная
функция от t для каждой функции у (t) ^Jf\ имеет место BЛ)
и существуют такие Э1 >- 0, Ко > 0, что из B.4), B.5) вытекают
B.2), B.3). Символом X обозначим множество начальных значений
у [0] элементов у (t) 6 Jf\ для которых ру (t)-+0 при /-^оо. Тогда
X a Wo является подпространством в W и существует такая
постоянная М'О9 что из условий
с у[0]£Х, BЛЗ)
T с \\z[0]\\<Xd(X,z[0])y X>1,
следует, что
max(pz(r), py (t)) < Шору-z (s) при 80<r<s</, B.14)
где ео = тах(Э°, б1).
Отсюда сразу получаем
Следствие 2.2. Пусть пространство W конечномерно и Wo —
подпространство в W, индуцирующее полную дихотомию для J'.
Предположим, что \\y(f) || — непрерывная функция от t для у (t) 6 J '
и что из B.4), B.5) вытекает B.2), B.3), если py(t) = \\ у (t) \\
и Э1 = 0 (например, если у [0] = у @)). Пусть X — множество
начальных значений у [0] элементов у (t) из JT> таких, что || у (t) \\ —>-
->■ 0 при t-+-oo. Тогда X cz Wo индуцирует полную дихотомию
для jV\
Доказательство леммы 2.3. Если заменить норму \\w\\ элемен-
элементов из W эквивалентной нормой \\w\\ 0 (т. е. если й || w || ^ || w ||0 -^
<; с2 || w || для постоянных си с2 > 0), то предположение и утвер-
утверждение теоремы не изменятся. Поэтому, не теряя общности, мы
можем считать пространство W евклидовым.
Пусть Wi — подпространство в W, ортогональное к 1FO. Тогда„
если у (t) £_Ж, причем у [0] 6 №о, и z (t) 6 Ж с условием г [0] 6 Wu

§ 2. Предварительные леммы 537
то из B.6) следует, что
max(pz(r), Py(t))<.Mnpy-z{s) при 0<r<s</, s>e°, B.15)
поскольку B.6) справедливо для всех А, > 1.
Из B.6) видно, что X cz Wo. Пусть X1 — подпространство в Wo,
ортогональное к X. Мы покажем вначале, что существует такая
постоянная а > 0, что при выполнении условий х1 (t) 6 *#* и х1 [0] 6
6 X1 имеет место неравенство
P*i(O<«P*i(s), если 0°<s, /<оо. B.16)
Для этого достаточно доказать существование такой постоянной
а{ > 0, что
s>e0. B.17)
Из B.17) и B.2) вытекает неравенство B.16) с a^cq/Co- Для
того чтобы установить существование постоянной cq, заметим, что
в силу B.2) у[0]=0 влечет за собой py(t) = Q при />0°. В част-
частности, pxi(t) определяется по хг[0] однозначно. Пусть р (х1 [0]) =
- inf || рЯ1 (t) || при / > 60. Ясно, что р (х1 [0]) > 0, если х1 [0] Ф 0
(в противном случае pxi(f)—>0 при /—>с», но 0 ^д:1 [0] gX1).
Поскольку B.2) означает, что из сходимости х1 [0] в W вытекает
сходимость pai (t) по норме «sup pA-i (/) при / > 6°», отсюда следует
непрерывность функции ^(^[0]) от ^[О]. Значит, если Х1^^},
то ^(^[О]) имеет на сфере || х1 [0] \\ =-1 положительный минимум
1/ai. Итак, мы получаем B.17) в случае, когда Х1^{0}. Если же
Х1 = {0}, то B.17) очевидно. '
Проверим теперь, что если x(t)£j^ при условии х[0]£Х
и если xx(t)^jT при условии х1[0]£Х1, то
max(p^i(s), px(s))*C3a.M0pxi-x(s) при s>60. B.18)
Предположим, что B.18) не имеет места. Тогда существуют
такие x(t), хг{г) и s>60, что
max(p*i(s), px(s))>3aM0pxi-x(s). B.19)
Поскольку у = х1 (t) — х (t) G Jr и у[0]£ WOy отсюда следует, что
Mopxi-X(s)>pxi-X(t) при />s>60. В силу B.1), B.16) и того
факта, что px(t)—>0 при/—>оо, отсюда вытекают неравенства
max (pxi (s), px (s)) > 3aM0(p^i (/) — рх (/)) > ЗрЛ1 (s),
справедливые при больших t; последнее неравенство следует из
B.16). Из этих соотношений, а также из B.18), B.19) мы полу-
получаем, что max(pxi(s), px (s)) = рх (s) и потому px(s) >3pxi(s).
Следовательно, в силу B.1), pxi-^(s)>2px (s)/3. Поэтому B.19)
влечет за собой рх (s) >2aM0px (s), а это невозможно, так как
постоянные а, Мо в B.15) B.16) должны удовлетворять усло-
условиям а> 1, УИ0> 1- Таким образом, справедливо неравенство B.18).

538 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Из него сразу же следует, что
тах(ря1(г), p^@)<3a2M^i_^(s), если 6°</*<s<X B.20)
Подпространство Х° пространства W, ортогональное к X,
является прямой суммой пространств X1 и Wx. Покажем теперь,
что если x(t)£JT с х[0]£Х, x°(t)£jr и x°[0]gX°, то
тах(Рэсо(г), px(t)XMtpxo_x(s) при e°<r<s</, B.21)
где Mi = S(xrMl. Для этого представим х°[0] в виде х{ [0] -f*1 [0],
где XitOJgl?7! и ^[OJgX1 — ортогональные компоненты. Так как
х1 [0] £ X1 cz Wo лежит в области значений оператора Q, сущест-
существует элемент xx(t)^Jf, для которого Qx1(t) = x1[Q]. Пусть Xi(t) =
= x°(t) — x1^) g JT, так что Qxi(t) = xi [0]. В силу неравенства
B.15), примененного к z=—xu y = x1(t) — x(t),
тах(рЛ1(г), p^-x(s)XAfopKo_x(s) при 9
Поэтому из B.20) вытекает неравенство
тах(рЛ1(г), рЯ1(г), px(O)<3a2/W^pxo_:x:(s) при
откуда следует B.21) с М^боЛИ;}, поскольку в силу B.1)
Лемма 2.3 вытекает теперь из леммы 2.2 (или из ее доказа-
доказательства), где допустимо значение Яо=1, поскольку в евклидовом
пространстве W можно использовать ортогональное разложение.
Доказательство существования экспоненциальных дихотомий
в последующем проводится большей частью так: предварительно
доказывается существование каких-либо дихотомий и затем приме-
применяется
Лемма 2.4. Пусть о ({) —неотрицательная при а</ < оо
функция, для которой существуют положительные постоянные
6<1, Мо и б, такие, что о(t)-?CM0o (s) при a<s</<s-[-S
и o(t + 8)^Qo(t) при t>a. Тогда a (O<Moee-v^~s)a(s) при
a<s</<oo, где v=—б"Чп6>0.
Если в этой лемме предположить, что неравенство а(/ + б)<
■<6а(/) имеет место только при />6(>а), то основное неравен-
неравенство в ее утверждении справедливо при fc<!s<;/ <oo. Оно, однако,
может быть заменено неравенством a(/)</C/0~1e-v^~s>a(s), спра-
справедливым при a<s</<oo, если К' = M™ev(b~a> и /п=
Доказательство леммы 2.4. Ясно, что a(s + n6)<;6na(s) при
HAi = 0, 1, ... . Поэтому если
+l)d, то a@<(M06-1)en+1a(s).
Поскольку £-v e-s)^g-v (п+1) 6 = Q/2+1 ? наше утверждение доказано.

§ 2. Предварительные леммы 539
Применение леммы 2.4 к доказательству существования экспо-
экспоненциальных дихотомий дает в общем случае показатель v' в A.11),
зависящий от Я>1. Для доказательства существования v', не
зависящего от А, будет использоваться следующая лемма. Она
выводится с помощью тех же рассуждений, что и лемма 2.2.
Лемма 2.5. Пусть Wo — некоторое подпространство прост-
пространства W, лежащее в области значений оператора Q. Пусть
существуют такие 9°>0, М'0>0, v'>0, что если ()T
и ||г [0] ||<Aod(IFo, z [0]) при фиксированном ЯО>1, то
pz(t)>M'oev'V-s)pz(s) при 0°<s</. B.22)
Предположим, что функция py(t) удовлетворяет B.1) и суще-
существуют такие Э1>0, /С0>0, А>0, что из B.4), B.5) следует
B.2), B.3) и
9z (t) < MCoPz-y (t + А) при t > в1. B.23)
Наконец, предположим, что выполнено условие (Ь) частичной дихо-
дихотомии; ср, A.8).Тогда справедливо условие (Ь) экспоненциальной дихо-
дихотомии с данным v' (при всех А,>1); см. A.11).
Доказательство. Предположим, что условие B.5) выполняется,
и пусть z(t) = y°(t) — z°(t) есть разложение, использованное при
доказательстве леммы 2.2, так что справедливо B.11). Тогда усло-
условия B.2) и B.3) с г = 2°, ?i=A,0 дают неравенство
руо (t) < 2K02x0Xpz0 (t) при / > е1.
Поскольку z(t) = y°(t) — z°(t), из B.1) следует, что
Применяя B.22) при z = z° и меняя местами s и /, получаем нера-
неравенство
Мо'р2° @ < e~v/(s-^p2o (s) при 00 < / < s,
так что, если заменить s на s —Д,
Afop2o(O<^v'A^"v'(e"°Pz°(s — А) при e°</<s —Д.
В силу B.23) после замены г, f, у, А, на 2°, s —Д, у0, А,о соот-
соответственно
pz°(s — Д)<ЯоКор2E) при s —Д>Э1.
Из B.24) и двух последних неравенств получаем
v/(s-°Pz(s) при e^^s-Д,
если К' = A + 2/С;Я<А) ККоеу'АШ'о > 0. Наконец, неравенство A.8)
в условии (Ь) частичной дихотомии показывает, что

540 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
если G1<I^<s и s > 6° + Л- Повторное применение условия (Ь)
частичной дихотомии позволяет отбросить ограничение / > G1 после
соответствующего изменения множителя XK'Moev'A. Этим заверша-
завершается доказательство леммы 2.5.
Предыдущие леммы и их доказательства позволяют получить
характеристику «полной дихотомии» или «полной экспоненциальной
дихотомии» для линейного многообразия JT решений однородного
уравнения @.2), где У — конечномерное (банахово) пространство.
Пусть U (/) — фундаментальная матрица системы @.2), причем
U @) = I.
Обозначим через Wo, Wi непересекающиеся подпространства
в У, дающие в сумме У (т. е. Y = Wo® Wi), и пусть Ро (или Pi) —
проектирование Y на Wo (или Wi), переводящее W± (или Wo) в нуль.
Определим матрицу Грина G (/, s), положив
G (/, s) = U (t) PoU'1 (s) или G (t, s) = - U (t) P.U-1 (s) B.25)
в соответствии с тем, будет лll0^.s^t<Coo или 0 <C t < s < оо;
ср. (ХП.7.1).
Теорема 2.1. Пусть A (t) — матрица, элементами которой слу-
служат локально интегрируемые (вещественные или комплексные)
функции, определенные при t^>0; пусть jp — множество решений
системы @.2), W = Y и у [0] = у @) 6 У = W. Подпространство
Wq пространства У индуцирует полную дихотомию [или полную
экспоненциальную дихотомию] для (jf, \\ у (t) ||, у@)) тогда и толь-
только тогда, когда для какого-либо (а значит, и для каждого) подпро-
подпространства Wi пространства У, дополнительного к Wo, матрица
Грина B.25) такова, что
\\G(t, s)||</C при s, />0 B.26)
с некоторой постоянной /С—/C(U^i) [или соответственно
\\G(t, s)||</Ce-v(«-8) при s, t>0 B.27)
с некоторыми постоянными К = К (Wi), v = v (Wi) > 0].
Доказательство. Необходимость. Пусть Wo индуцирует полную
дихотомию для (Ж, || у (t) ||, у @)) и Wi — подпространство в У,
дополнительное к Wo. Существует Яо> 1, такое, что если г @N
6Wi, то || z @) || -< Xod (Wo, г @)). Поэтому из леммы 2.1 вытекает,
что для решений у (t), z (t) системы @.2), удовлетворяющих усло-
условиям у @) 6 Wo, г @) 6 Wi, справедливо неравенство B.7) с X = V
Пусть с 6 У произвольно. Тогда функция у (t) = U (t) P0U~1(s)c
при фиксированном s является решением системы @.2) и у @) =
= P0U-1(s)c 6 Wo, у (s) = U(s) P0U-1(s)c. Аналогично, функция
z(t) = — U(t)PiU~1(s) с при фиксированном s будет решением
системы @.2) и г @) - —P^-^s) c^Wu z (s) = — U(s) PiU'^s) c.

§ 3. Оператор Т 541
Поэтому из B.7) и равенства Ро-\- Р\ = I вытекает, что
max (|| U{r)PtU-\s)c ||, || U(i)P0U'\s)c ||) < К \\ с || B.28)
при 0 <; г <; s <; f, если К = ^o^fо- В силу B.25) это эквива-
эквивалентно B.26).
Точно так же, если Wo индуцирует полную экспоненциальную
дихотомию для jjf'\ то, используя B.9) вместо B.7), мы полу-
получим B.27), в котором постоянные /С, v, например, равны
2%оу~х max (Ми \1М[ (Яо)), min (v, v'(k0)) соответственно в терми-
терминах постоянных из B.9).
Упражнение 2.1. Докажите вторую часть теоремы 2.1 (доста-
(достаточность).
§ 3. Оператор Т
Общая теория излагается здесь в несколько абстрактной форме
и может быть применена как к системам @.1) или @.3), так и к дру-
другим задачам. В дальнейшем через В и D обозначаются банаховы
пространства в JT. Результаты этого параграфа аналогичны леммам
из § XII.6.
Пусть У, F — конечномерные банаховы пространства. Рассмот-
Рассмотрим линейный оператор Т из L (Y) в L (F):
Ty(t) = f(t) C.1)
и элементы у = у (/) его ядра ^Г(Т):
Ty{t) = 0. C.2)
Область определения оператора Т обозначим через 3 (Т). Пусть
U — конечномерное банахово пространство, a W — некоторое дру-
другое банахово пространство. (Мы не предполагаем, что W конечно-
конечномерно, хотя в приложениях нам встретится и этот случай. При
рассмотрении, например, дифференциально-разностных уравнений
W уже не будет конечномерным пространством.) Обозначим через
Р оператор, действующий из L(Y) в L(U), а через Q — оператор,
действующий из L (Y) в W. Предположим, что области определения
операторов Р и Q те же, что и у оператора Т: 3) (Р) = 3 (Q) =
= 3 (Т). Элемент w = Qy (/) 6 W мы будем называть начальным
значением функции y(t) и обозначать через у [0]. Через ||-|| мы будем
обозначать норму в каждом из пространств F, F, U или W, если
это не приводит к недоразумениям.
Замечание. Удобно время от времени иллюстрировать различные
положения общей теории на конкретном примере системы @.1).
При этом мы всегда будем предполагать, что A{t), g(f) определены
на J, интегрируемы по всем конечным интервалам «/' с: J и что
у (t) — абсолютно непрерывное решение системы @.1). В этом слу-

542 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
чае пространства Y, F, U, W можно считать совпадающими; опе-
оператор Т определяется равенством Ту = y'{t) — A(t)y(t)\ £$(t) —
это множество функций у (t) из J в У, абсолютно непрерывных
(на каждом «/')*> Py(t) = У @ — тождественный оператор; Qy(t) =
= у@). В приложениях общей теории к системе @.3), где и может
быть вектором, предполагается, что система @.3) записана в виде
системы @.1) для у = (м, и\ . . ., ит)), но />(/) (/) Q@
)
Определение. PD-решения и WD. Пусть D 6 JT — банахово
пространство; у (/) называется PD-решением уравнения C.1) при
заданной функции f(f) £ L(F), если выполняется C.1) и Py(t) £
£D(U). Через Wd = Wd (P) обозначим линейное многообразие
в W, состоящее из начальных значений w = у [0] всех ЛО-решений
уравнения C.2).
Определение. Р-допустимость. Пара (б, D) банаховых про-
пространств из ЗГ называется Р-допустимой для уравнения C.1), если
для каждой функции f (f) £ В (F) уравнение C.1) имеет хотя бы
одно PD-решение у (/).
Относительно оператора Т время от времени будут делаться
различные предположения (Ао), (Ai), . . . или (Bi), (В2), . . . .
Обсудим сейчас эти предположения и некоторые следствия из них.
(Ао) Если у (t) 6 & (Т), то функция и (t) = Py (t) (существенно)
ограничена на каждом интервале J' из J.
Это условие означает, что ответ на вопрос о том, будет ли у (t)
PD-решением уравнения C.1), зависит только от поведения функ-
функции и (/) = Py (t) при больших t\ ср. условия (с), (е) для Ф = О ^J
в § l(iv).
(Ai) Единственность Q. (а) Если выполнено C.2) и у [0] = 0,
то у (t) = 0. (b) Существуют такие положительные постоянные a, Ciy
что из C.1) вытекает оценка
а а
+ \\\f(t)\\dt}. C.3)
о о
Разумеется, она вытекает из неравенства @.5).
(Ai) To же самое предположение, что и (А4), но оценка C.3)
заменена оценкой
а а
\\y[O]\\<C1{cr1^\\Py(t)\\dt+\\\f(t)\\dt\ ■ C.3')
0 0
(Аг) Нормальность Р. Если выполняется уравнение C.1), то<
у (/) единственным образом определяется по Py(t) и /(/); более того>
линейное отображение из L(U) X L (F) в L(Y), определяемое как.

§ 3. Оператор Т 543
(Py(t), Ty(t)) ->- y(t), непрерывно в следующем смысле: если
УпF 6 35 (Т) и существуют пределы u(t) = lim Pyn(t) в L(U),
f(t) = lim 7>Л@ в L(F), то существует предел у (t) = lim #„(*)
в L(K) и */(/) 6 iTO, Ру @ = у (/), Ту @ = / (t).
Главную роль условие (А2) играет в следующем предложении
(ср. с леммой XI 1.6.2):
Лемма 3.1. Пусть выполнено условие (А2). Оператор То из D(U)
в B(F), определяемый равенством То [Ру (t)] = Ту (t) и имеющий
область определения 35(Т0)9 которая состоит из тех элементов
и = Ру (t), лежащих в области значений оператора Р, для которых
и = Ру (t) (:D(U) и Ту (t) 6 B(F), замкнут. Кроме того, при
каждом t > 0 существует постоянная С2 = С2 @> такая, что
t
\\\y{s)\\ds<Cz{t)[\Py\D + \f\B\. C.4)
О
Доказательство. Чтобы доказать замкнутость оператора То,
рассмотрим сходящуюся последовательность (и\, /i), (и2, /2), • . •
элементов, лежащих на его графике, где tin = Pyn (t), fn = Tyn (t)
и tfn(t) ££В(Т). Тогда существуют и = lim un(t) в D(U) и / =
= lim /д (t) в В (F). Поскольку из сходимости в В и D вытекает
сходимость в L [ср. условие A.5) на Ф = б, D 6 JT1, предположе-
предположение (А2) влечет за собой следующее: существует предел у (t) =
= lim yn(t) в L(Y) и г/@ 6 ^(Л, ^У = ", Гу = /. Поэтому
и 6 &>(То) и TqU = f. Следовательно, оператор То замкнут.
Пусть 7\ — оператор, отображающий D (U) X В (F) в простран-
пространство L[o, *](У) функций со значениями в У, интегрируемых по отрез-
отрезку [0, /]; область определения этого оператора k) (Ti) совпадает
с графиком оператора То и 74 (Ру, Ту) = у. Тогда Ti определен
на подпространстве пространства D (U) xB(F). Из (А2) следует,
что оператор Т\ непрерывен и, следовательно, ограничен.
Неравенство C.4) эквивалентно условию ограниченности опера-
оператора Т^
Хотя тривиальное пространство В = {0} не лежит в ,Т, такой
выбор пространства В допускается леммой 3.1. Из замкнутости
оператора То вытекает
Следствие 3.1. Пусть выполнено (А2). Множество элементов вида
и = Ру (/), где у (/) пробегает множество всех PD-решений у рае-
нения C.2), является подпространством (т. е. замкнутым линейным
многообразием) в D (U).
(Аз) Пара (б, D) является Р-допустимой.
Лемма 3.2. Из условий (A4) [или (А{)], (А2) и (А3) вытекает суще-
существование таких постоянных С3, С3о, что если f(f) 6 #(jF), то у рае-

544 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
нение C.1) имеет PD-решение у (t), для которого
\Py\D<C3\f\Bi C.64)
Доказательство. Пусть То — оператор из D(U) в B(F), опреде-
определенный в лемме 3.1. В силу этой леммы То замкнут, а в силу (А3)
он отображает D(U) на все B(F). Из теоремы об открытом отобра-
отображении XI 1.0.3 следует существование постоянной С3.
Если условие (Ai) выполнено, то из C.3), C.4) с / = а и (З.б^
мы получаем оценку
Поэтому, в силу A.5), неравенство C.52) справедливо с С30 =
= С\ {а~гС2 (а) (С3 + 1) +1 hoa )в'}. Если выполняется (А(), то анало-
аналогично из A.5), C.3') и C.5^ вытекает неравенство C.52) с
С30 = Ct {or11 hoa \D>C3 +1 hoa |Б,}.
(A4) WD замкнуто.
Это предположение, очевидно, выполняется, если W (а поэтому
и Wjj) конечномерно.
Лемма 3.3. Пусть выполнены условия (Ai) [или (А[)] и (А2).
Пусть Wdo — какое-либо подпространство пространства W, содер-
содержащееся в WD [например, если справедливо (А4), можно положить
WD0 — WD]. Тогда существует постоянная С4 = С4 (WD0)t такая,
что если у (/) в J' (Т) и у 10] 6 WDOi mo
\РУ Ь<С4||у[0]||. C.6)
Доказательство. Пусть Qo — оператор из D(U) в WDQ, опреде-
определенный равенством Qo [Ру @1 = У [0], где 3)(Q0) — это множество
элементов вида и = Ру (t), таких, что у (t) является PD-решением
уравнения C.2) и у [0] £ WD0. Оператор Qo замкнут в силу C.3)
[или C.3')] и (А2), взаимно однозначен в силу (А4а) и отображает
3(Qo) на все WD09 поскольку WDo a WD- Значит, к Qo примени-
применима теорема об открытом отображении; тем самым лемма 3.3 доказана.
Лемма 3.4. Пусть выполнены условия (А4) [или (А[)], (А2), (А3)
и (А4). Тогда существует постоянная С5, такая, что если % ^> 1,
Ty = f> PyeD(U), feB(F) и \\yl0]\\KM(WD, y№), mo
\Ру\п< ХС5| / |в, || у [0] || < ХС30 | / |Bf C.7)
где С30 — tna же постоянная, что и в C.5). (В частности, в C.7)
допустимо значение X = 1, если у [0] = 0.)
Доказательство. Пусть у = у0 (t) — некоторое PD-решение
уравнения C.1), удовлетворяющее условиям леммы 3.3, такое, что

§ 4. Оценки для \\ Py(t) || 545
I Pyo \d < С3 | / |в, || у0 [0] || < С30 I / 1в- Поскольку функция
У @ — Уо (/) является PD-решением уравнения C.2), мы получаем
из C.6) такую оценку:
I Ру - РУо Ь < С4 || «/ [0] - г/о [0] || < С4 (|| у [0] || + || г/0 [0] ||).
Если со = у [0] — г/о [0] 6 WDy мы имеем
II Уо [0] II = 1Ы0] - о>|| > d (ИЪ, У Ю1) > Я || у [0] ||.
Поэтому справедливо второе из неравенств C.7). Кроме того,
I Ру \d < I РУо \d + С4 A + Я) || у0 [01 ||.
Если Я ^> 1, то отсюда следует, что первое из неравенств C.7) выпол-
выполняется с С5 = С3 + 2С4С30.
§ 4. Оценки для || Py(t) \\
Напомним, что через ф58 (t) мы всегда обозначаем неотрица-
неотрицательную интегрируемую функцию на / с носителем на отрезке
[s, s + e], a |-|i — это норма пространства L1 на Л
(Bie) Пусть 60>0, s>0 и К > 0 фиксированы. Предполо-
Предположим, что для каждой пары у (t), z (t) решений уравнения C.2)
с y(t) — z (t) ф 0 и для всякой функции ф88 (t), удовлетворяющей
условиям § 1 (iii) с s ^> 0О, существует функция j/t (/) f S(T),
такая, что
(i) ^[0] = (constJ[0];
(ii) ||Я2(/)||</С||^1@1|/|фвв|1 при 0</<s;
(iii) у Ру (t) || < К \\ Ру, (t) \\l\ 9ss |i при t > s + e;
(iv) существует постоянная Kr (зависящая от у, z, cpS£), такая,
что \\PyAt)\\<K'\\Py(t)\\ при />s + 8;
(v) \\Tyi(t)\\<K<?8s(t)\\Py(t)-Pz(t)\\ при />0.
Кроме того, если y(t) Ф 0 — решение уравнения C.2), то функ-
функция 1, \\Py(t)\\ интегрируема по всякому замкнутому интервалу J',
лежащему в /.
Замечание 1. Это предположение будет использоваться только
в одном частном случае:
\
В этом случае условие (v) означает, что
\\Tydt)\\<Kh8Z{t), D.2)
а в силу неравенства Гёльдера
^<е-з j \\Py(t)-Pz{t)\\dt. D.3)
S
35-241

546 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Замечание 2. Предположение (Е^е) выполняется при всех
00>0, е>0 с /(=1, если Т — оператор, ассоциированный с систе-
системой @.1), как в замечании из § 3, т. е. Ту (/) = y'(t) — A(t)y (/), Ру (t) =
= y(t) и #[0] = #@). В самом деле, пусть
Ух @ = y{t)\ <Pss (r) dr + z (t) j cpS£ (r) dr.
о t
Тогда Tyi = y[-A(t)yi = ys&(t)[y{t)-z{t)] и yi(t) = \(p8e(t)\iy(t)
При />S + 8, t/i@ = l9ee|i2(/) При 0</<S.
Теорема 4.1. Предположим, что выполнены условия (Ао), (^
[или (А[)], (А2), (Аз), (А4) и (Bje) npw фиксированном г. Пусть
y(t)£J'(T), y[0]£WD и z{t)£jr(Tl \\z[0]\\<M(WD, г[0])
при некотором Я> 1 и s>90. Тогда
max (| /zosP2 |D, \hs+ePy\D)^XK2C5E-*\fi0e\B \ \\P (y-z)\\[dt,
D.4)
гЗ^ К и С5 — постоянные из условия (Вгг) и леммы 3.4 соответ-
соответственно. В частности, если Д>е фиксировано и либо
lldx, D.5)
WD индуцирует частичную дихотомию для (JT (Г), р^ (t)) с 6° = 60 а
М0=1+2К2С5Г(8), где Г(8) = 81 /zoe|B|/zoe \D>. D.6)
В приложениях теоремы 4.1 будет существенным то, что Л40
зависит от 8, но не зависит от А. Неравенства D.10), D.12) в при-
приведенном ниже доказательстве будут использованы при доказа-
доказательстве теорем 4.2 и 4.3.
Доказательство. Применим (В^), выбирая ф88 (/)¥в соответствии
с D.1), так что из (v) следует D.2). Из условий (Ао) и (iv) в (В^)
получаем Py^D(U). Поскольку ||Ы0]|| <bd(WD, \\уА0]\\),
в силу (i) и условия на г[0], из леммы 3.4 и D.2) видно, что
\ Pyi\D<hKC5\h0B\B. Из (ii) и (iii) в условии (В^) следует, что
. D.7)
Поэтому неравенство D.4) является следствием условия 4.3.
Для доказательства утверждений, связанных с D.5), заметим,
что | hiAPy \D < | hs+ePy \D при t > s + 8, Д > 0 и | /zrAPz \D <
^\hOsPz\D, если r + A<s. Поэтому, каковы бы ни были Д>0
и 5>G0, из неравенства D.4) вытекает, что при + A

§ 4. Оценки для || Py(t) || 54_7
имеет место соотношение
s+e
\
тах(|/ггДРг|о, {h^Pyl^^XK2^^ \hos\B \ \\P{y-z)\\dx. D.8)
S
Из соотношений A.5) и Д>е видно, что
S+8
J || Р {у-г) || Л< | /i08 |д' | /zseP (у-*) |^< | /z081^ | /zsAP Q/-z) \D.
D.9)
Поэтому при Д>8, s>90, r>0, r + A<s, s + e</
max(j hrAPz \D, \htAPy \D)<KK2C5T (г) \ hsAP (y-z) \D, D.10)
где Г(е) определено в D.6).
Рассматривая D.10) для случая z^O и Х=^1 вместе с нера-
неравенством
4~\fis+A, \Py\D при s</<s + A, D.11)
получаем условие (а) (т. е. A.7)) частичной дихотомии для py(t) =
= \htbPy\D с 6° = G0 и постоянной Мо, определенной по D.6),—
можно даже отбросить множитель 2 перед вторым слагаемым.
Точно так же, полагая у = 0 в D.10) и используя аналог нера-
неравенства D.11), получаем условие (Ь) (т. е. A.8)) с 6° = 90
и тем же Мо.
Чтобы доказать наше утверждение для случая второй функции
в D.5), применим аналог неравенства D.9) к левой части D.8)
с Д =е и получим
r-f-e t-\-e s-j-e
max( j ||Pz||dT, j \\Ру\\с1т)^кК2С5Т(г) j \\P(y-z)\\dx,
4 t S
D.12)
если r4 8<s, t>s-r-e, s>60. При Д>е пусть &>1 — такое
целое число, что ke<; Д < (k -4- 1) е. Тогда, заменяя / на / + /е,
a s заменяя на s-f /е при / = 0, ...,k— 1 и складывая полученные
неравенства, будем иметь
t+ke s+ke
j j
Кроме того,
t+A S+8
j ||P^||dT<:X/C»C5r(e) j \\P(y-z)\\dx.
t+he s
35*

548 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Если заменить в правых частях двух последних неравенств верхние пре-
пределы интегрирования на s + A, то можно получить второе из двух
следующих ниже неравенств:
Н-Д /+А s-f-A
max( J \\Pz\\dx, j \\Py\\dx)<2%K2C&T(z) J \\P(y-z)\\dx
Г t S
D.13)
при r + A<s, t>s + Ey s>90. Другое неравенство, относящееся
к первому интегралу, получается аналогично. Объединяя D.13)
с неравенствами вида
f-J-A s-J-A s+2A
J \\Py\\dx^ J \\Py\\dx + j \\Py\\dx при s<^<
* S S+A
мы докажем частичную дихотомию для второй функции в D.5)
с 9° = Эо и постоянной Мо из D.6). Этим доказана теорема 4.1.
Следствие 4.1. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1,
пространство D квазиполно (см. (ix) в § 1) и функция z(t)
не является PD-решением уравнения C.2). Тогда
t+г
\ || Pz (г) || dr —> оо при t —> оо.
следует из D.4), г^л^ положить у(/) = 0, i/ определения
квазиполного пространства.
Следствие 4.2. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1;
пространство W конечномерно; функция ру (t) определена, как
б D.5), а б том случае, когда она совпадает с первой функцией
из D.5), py(t) непрерывна. Пусть Wo — множество начальных зна-
значений у [0] для у (t) £ JT (Т), удовлетворяющих условию ру (t) —> О
при t —> оо . Тогда Wo cz I^d u Wo индуцирует частичную дихо-
дихотомию для (JT (Г), ру).
Упражнение 4.1. Проверьте это следствие, используя лемму 2.3
и теорему 4.1 (а также ее доказательство).
Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1, В = 1г
и D = L°° или L^°. Кроме того, пусть условие (В{&) выполнено
для всех е, 0<8<;е0, с постоянными Эо и К, не зависящими от е.
Пусть РJT — множество функций Py(t) для y(t)£jT, и пусть
каждой функции Py(t) сопоставлено «начальное значение» у[0].
Предположим, что \\ Ру (t) \\ непрерывно зависит от t, если у (f) £ JT.
Тогда WD индуцирует полную дихотомию для PJT.

§ 4. Оценки для \\ Py(t) \\ 549
Доказательство. Как видно из доказательства теоремы 4.1,
оценка D.12) справедлива при r + e<s, />s + e, s>90. Поскольку
В = L1 и D = L°° (или Lo°), постоянная Г (е) в D.6) равна е~2 • е • е = 1;
см. A.5). Поэтому
r-J-e *+е s-J-e
max (е-1 j \\Pz\\dx, е j || Py\\dx) <%К2С5г^ \\\P(y-z) || йт.
Г t S
Устремляя е к 0, получаем
max (|| Л (г) ||, \\Py(t)\\)<%K2C5\\P(y-z)(s)\\
при 0<r<s</, s>0°. В силу леммы 2.1 теорема 4.2 доказана.
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия (Ао), (А^), (А2), (А3),
(А4) и (Bte) при всех 8>80>0 с постоянными 0О, /С, я
сящими от 8. Предположим, что
А1Лоа U —>° или Д1 Лод |d-—>0 я/ж А—>оо. D.14)
Тогда WD индуцирует экспоненциальную дихотомию для функ-
функций D.5) при каждом фиксированном Д>е0 с Э° = Эо, постоян-
постоянной M[(k, А), зависящей от А, и постоянными М^ v, v'>0,
не зависящими от А.
Заметим, что если (В, D) = (LP, Lq), где 1</?, д<оо, то D.14)
выполняется при (/?, (/)=т^=A, сх>).
Доказательство. Теорема 4.3 будет выведена из лемм 2.4, 2.5
и теоремы 4.1. Мы проведем доказательство только для первой
функции ру (/) = | ht^Py |d в D.5); доказательство для другой функ-
функции аналогично. Условие D.14) эквивалентно условию
Г (г) = е~21 hOe \в | /z08 \D' —> 0 при е->оо. D.15)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если &>1— целое
число, удовлетворяющее условию 0 < Ы <г) < (k + 1) 8, то | /z0T1 |d- <
-<(&+ 1) | /z08 |d'« Это следует из того факта, что ^'^'-—«наилуч-
^'^'-—«наилучшая» возможная постоянная в A.5). Поэтому т]1 /z0Ti Ь' •<
< (k + 1) ^е1 Л08 |d'<281 hoe \D> при всех г\>г и вторая
из функций переменной А в D.14) ограничена, если е> е0. К тому же
из равенства lim е1Л08 \D> = 0 при е —> оо следует, что е1 hOe \D> —>О
при е-^сх>. Аналогичные рассуждения применимы к первой функ-
функции в D.14), а потому D.14) и D.15) эквивалентны.
Пусть е (> 80) фиксировано и настолько велико, что
Эеее^2С5Г(8)<1. D.16)
Пусть y(t)£jT{T), y[0]£WD, так что неравенство A.7) в усло-
условии (а) частичной дихотомии выполняется при А > е0. Полагая

550 Гл. XIIL Дихотомии для решений линейных уравнений
z = 0, X=l в D.10), получаем
\htAPy\D<Q\h8APy\Di D.17)
если />s + 8hA>8. Поэтому при фиксированном Д > е условие (а)
[см. A.10)] экспоненциальной дихотомии с Э° = 60, Mi = M0Q~1
и v = — е In 6 следует из леммы 2.4, примененной к а (/) = | ht^Py \D.
(Поэтому Mi и v не зависят от Д>е.) Если ео<Л<е, выберем
целое число k > 1 так, чтобы (k — 1) Д < е < kA. Очевидно,
А1/ По уже доказанной части утверждения имеем
\D < | htt kAPy \D
при 60<s</. В силу условия A.7) частичной дихотомии
Эти два неравенства дают условие (а) экспоненциальной дихотомии
с 6° = е0, M^kMfi-1 и v=—е-Чп0.
Чтобы получить условие (Ь) (см. 1.11)), рассмотрим вначале
фиксированное ^0>1. Пусть 8 = 8 (Хо) столь велико, что 0~
= ^0К2С5Г(8)<1. Пусть z{t)£jT(T), ||z[0]||<V(Wz), z[0]).
Тогда неравенство A.8) в условии (Ь) частичной дихотомии выпол-
выполняется приД>8. Полагая у = 0, Х = Х0, 8 —8 (Яо) в D.10), получаем
SAPz\Di если r + A^s и Д>е.
Применяя лемму 2.4 к a (t) = 1 /1 ht&Pz |D, получаем условие (Ь)
экспоненциальной дихотомии при Х = К0 с 9° = 60, M^^XqMqQ'1
и v'= — Д In 6.
Если Д > е, соответствующее условие (Ь) при всех % > 1
с тем же v' будет выведено из леммы 2.5. В самом деле, условие
B.22) мы уже проверили. Условие B.1) очевидно, а B.2) следует
из C.6) с /Со = С4, е'^°- Условие B.3) следует из оценки C.3'),
примененной к y=--z, / = 0, что дает вместе с A.5) неравенство
HztOJl^Cyr1 \ \\Pz(t)\\dt*£.Ciar1\hmPz\D\hm\D'.
о
В самом деле, поскольку из A.8) вытекает неравенство \hOaPz\D^
■< XkM0 \htAPz \d при />max(a, 60), если а-<&Д, отсюда следует
оценка B.3) с K0 = Cia~1 \hOa\D' kM0, О1 = max(a, 60). Наконец,
B.23) вытекает из D.10) с Ко = К2С5Т (г). Таким образом, усло-
условие (Ь) экспоненциальной дихотомии справедливо при Д > 8 с М[ =
= М[ (X, A), v' — v' (Д).
Как и в случае (а), можно показать, что условие (Ь) справед-
справедливо при 80<Д<8 с подходящими постоянными M[(k, А)
и v' = v'(e), не зависящими от Д. Наконец, аналогичные рассужде-
рассуждения показывают, что можно выбрать v' = v'(e) для всех Д>е0.
Тем самым теорема 4.3 доказана.

§ 5. Оценки для \\ y(t) || 551
Теорема 4.4. Пусть выполнены предположения теоремы 4.3
и, кроме того, существует подпространство Wo в W, индуци-
индуцирующее частичную дихотомию для (JT, \\Py(t)\\). Тогда W0 = WD
и WD индуцирует экспоненциальную дихотомию для (JT, \\ Ру (t) ||).
Доказательство. В силу теоремы 4.3, WD индуцирует экспонен-
циальную дихотомию для (JT, py(t)), где py(t)= \ \\Ру(т)\\с1т
при некотором А > 0. Отсюда видно, что если Tz(t) = O и г [0] $ WD,
то функция pz(t) не ограничена при t—>оо и потому г [0] $ По-
Последовательно, WoczWD. Если же z@)&W0, то утвержение,
«ру (t) —> 0 при t —> оо» не имеет места и потому z [0] $ Wd- Поэтому
WDczW0 и, значит, W0 = WD.
Р1спользуя тот факт, что WD — Wo индуцирует частичную дихо-
дихотомию для (jT,\\Py(t)\\) и экспоненциальную дихотомию для
(еу/*, Рт/@), легко видеть, что это подпространство индуцирует
экспоненциальную дихотомию для (jfT, \\Py{t)\\). Детальное дока-
доказательство мы предоставляем читателю.
Теоремы 4.1 и 4.4 можно сразу же применить в случае, когда
оператор Т определен по системе @.1); такие результаты изла-
излагаются в § 6. Эти теоремы непригодны в случае операторов, свя-
связанных с системой @.3), если при этом не налагаются условия огра-
ограниченности на коэффициенты Р^(/). Главная трудность связана
с тем фактом, что в общем случае условие (Е^е) не выполняется.
В следующем параграфе содержатся теоремы, применимые как
к системе @.3), так и к системе @.1).
§ 5. Оценки для || y(t) \\
В этом параграфе мы заменим условие (В^) условием
(В2е) Пусть е>0, Э0>0, К2>0 —фиксированные постоянные.
Для каждого s> 0О и каждой пары у (/), z (/) £ JT (Г), где у [0] £ WD,
существует функция (pse@> удовлетворяющая условию (iii) из § 1.
и функция У\(г)£3(Т), такая, что
(i) ^[0] = (constJ[0];
(ii) | Pz(t)\\KK2\\Pyi(t)\\ при 0</<s;
(iii) i W)||</C2||Pj/i(*)ll ПРИ * + е</<оо;
(i\).Pyi(t)£D(U);
(v) для Tyi(t) выполняется неравенство
\\Tyi(t)\\«P*(t)\\y(t)-z(t)\\; E.1)
(vi) 9s8@ 6^ и существует такое число 6(е), что
|ф58|в<^(е) при s>60. E.2)
Заметим, что E.1) влечет за собой Тух(г)=^О, если t<s или

552 Гл. XI11. Дихотомии для решений линейных уравнений
(В36) Пусть 6>0 фиксировано. Тогда существует такая посто-
постоянная /Сз(д), что: (i) если y(t)£jT(T) и y[0]£WD, то y(t)£D(Y)
и \hs+6y\D<K3(b)\hsPy\D при s>0; (ii) если y{t)£J^{T), то
^os (О РУ @ € Я (tf )> йо. @ у @ 6 ^ (У) и | hos.6y \D<Ks\ hosPy \D
при s>6.
Очевидно, что если условие (В3б) выполнено при б = б0, то оно
справедливо при всех 6>б0. Нам удобно сформулировать сейчас
следующий вариант условия (В3б), который потребуется в части II
этой главы.
(Взоб) Пусть 6>0 фиксировано. Существует такая постоянная
/СзоF), что если /(/) £ Воо(/7) [см. (vi) в § 1], f(t) = O на отрезке
[s —б, s + Д + б] при некотором s>6 и у(/) — некоторое jPD-реше-
ние уравнения Г# = /, то y(t)£D(Y) и | /zsAy |D<K3o(S) | Py\D-
(В4А) Пусть А>0 фиксировано. Решения у(t) уравнения Ту = О
являются непрерывными функциями от t (из J в Y) и существует
такая постоянная /С4(Л), что если y{t)^jV{T), то ||#@1К
</C4(A)||^(s)|l при |s-/|<A.
Ясно, что если условие (В4А) выполнено при некотором Д>0,
то оно справедливо при всех А>0.
Замечание. Если матрица A (t) такова, что
{ ||i4(s)||ds<const при />0, E.3)
или если У —евклидово пространство, а
t+i
\ sup I Re A (s) у- у Ids < const при />0, E.4)
то оператор Г, соответствующий @.1) в силу замечания из § 3,
удовлетворяет условию (В4А). Это видно непосредственно из @.5)
или @.6).
Теорема 5.1. Пусть е, 5>0 фиксированы. Предположили что
выполнены условия (А^ — (А4); (В2е) с постоянной 6(е), не зави-
зависящей от у, г; (В3б) ^г (В4А). Тогда WD индуцирует полную дихо-
дихотомию для jP = jP{T) с 6°^0. Если, кроме того, прост-
пространство D квазиполно и z(t) удовлетворяет уравнению Tz = 0y
но не является PD-решением, то \\z(t)\\—>oo при t —> оо.
Если отбросить условие независимости постоянной Ь(г) от у, г,
то вместо утверждения о полной дихотомии мы получим утверж-
утверждение об индивидуальной частичной дихотомии.
Доказательство. В силу E.1) и условия (В4г)

§ 5. Оценки для \\ у (t) || 553
при s</!<s + e и s>60. Поэтому \у1\в()\Р\в\\УA)
— z(ti)\\ при s</!<s + e. Если ||z[0] || < Xd(WD, z [0]), то,
поскольку Pyi£D(U), из леммы 3.4 следует, что
так что условия (ii) и (Hi) предположения (В2е) влекут за собой
max (\hosPz\Di \к8+еРу\в)^ХК2С5Кз(е)\ч>эе\
В силу (В3б)
max (\hota-&z\D, \hs+e+6y \D)<KK3(b)C5Ki (в) \ <p
Из неравенства в условии (В4е) видно, что при 0<т</0<т + е
и что аналогичное неравенство справедливо для z. Следовательно,
max (|| z (г) ||, || у (/) ||) < %К {г>£ Jj"|д || у (/,) - z (tt) ||,
где 0<r<s-e-6, ^>s + e + 6, s>60H/C(e, 6) =/С3(б)С5/(^(е).
Наконец, применяя условия (В4е + б) и (В460), мы получим, что
max (|| г (г) ||, \\у (t)\\)<XM0\\y(s)-z(s)\\ E.5)
при 0<r<s</, если М0 = ХК(г1 6) 6(е)/С4 (е + б)К4 (в0)/ |й0е |d.
В силу леммы 2.1 отсюда вытекает теорема 5.1.
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия (А^ — (А4), условие
(В2е) п/?а всех е>ео>О с постоянными 90, /С2, не зависящими
от е, с нормой | ф88 |в, я£ зависящей от у, z и такой, что
1%а1в 0 при А->оо E.6)
I Л0А Ь
равномерно при больших s, а также выполнены условия (В3б)
и (В4А). Тогда WD индуцирует полную экспоненциальную дихо-
дихотомию для Jr' = JT (Т) с д°=0.
Доказательство. Положим г^О в (В^). Тогда в силу E.1),
неравенства />s и теоремы 5.1 имеем оценку || 7\#@ [| <^
•zCM0(pSE(t)\\y(s)\\. Рассуждая, как и выше, получаем \hs+s+&y\D^C
^С5Кз(8) М0\ц)8е\в\\ у (s)\\. В силу условия A.7) полной дихото-
дихотомии Mo\hXEy\D>\\y(T; + e)\\-\hoe\D. Поэтому, если / + 2 + S
В силу E.6), можно выбрать г и s0 настолько большими, что
гт—; <,и<1 при s^s0,

554 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
так что \\y(t) ||<6||#(s)|| при s>s0, />s + 2e + 6. Применяя
лемму 2.4 и сопровождающее ее замечание к 6(t) = \\y (t) ||, мы
получим, что справедливо условие (а) для экспоненциальной дихо-
дихотомии с е1 — 0; см. A.10).
Пусть Ао>1 и г (t)£jT (Г), \\z[0]\\^X0d(WD, z[0]). Полагая
# = 0 в (В2е) и рассуждая, как и выше, мы приходим к такому
выводу: если е = е(Я0), s = s(X0) настолько велики, что
1 при s>s0,
то || z(г) ||<:0 ||z(s) ||, когда r<s — е — б, s>s0. Применяя лемму
2.4 к б (t) = 1/1| z(/) |l, получаем условие (Ь) экспоненциальной
дихотомии для h = X0 с 6° = 0; см. A.11).
Условие (Ь) для всех Я>1 с постоянной v', не зависящей
от Я, можно получить теперь из леммы 2.5, полагая ру (t) = \\ у (t) ||.
В самом деле, условие B.22) мы уже проверили, а условие B.1)
очевидно. Для доказательства неравенства B.2) заметим, что C.6)
и условие (В3б) влекут за собой такие соотношения:
для любых />б, А>0. В силу условия (а) частичной дихотомии
Mq | ht^y \D > || у (t) || | /год Id- Отсюда мы получаем B.2) с Ко =
=/Сз F) C4Af0/1/год |d и б1 = 6. Чтобы получить B.3), положим
в C.3) y = z и / = 0. Тогда в силу условия (Ь) частичной дихотомии
при t>a. Это и есть условие B.3) с Ко = С{М0 и Э1 = а. Наконец,
из E.5) вытекает B.23). Поэтому из леммы 2.5 следует справед-
справедливость условия A.11) экспоненциальной дихотомии для Jr'(T).
Мы можем получить результаты, аналогичные теоремам 5.1
и 5.1, при условии, несколько более слабом, чем (В4А):
(В5А) Пусть А>0 фиксировано. Решения y(t) уравнения
Ту = 0 являются непрерывными функциями от t (из J в Y) и суще-
существует такое число /Сз(А), что если y(t)djT(t), то
\\y(t)\\<Ks(A)(\\y(s)\\ + \\y(s + b)\\) при s<*<s-f в, 6<А. E.7)
Условие (В5А) оказывается полезным в приложениях к уравне-
уравнениям второго порядка и выполняется в силу результатов упр. XI.8.6
и 8.8. Относительно этих приложений см. упр. 7.1, 13.1 и 13.2.
Полагая в E.7) s = t — 8/2 и интегрируя по б на отрезке [0, б],
получаем
t+6/2
А)б-1 j \\y(r)\\dr, если t> 6/2 > 0, б < А. E.8)
t-6/2

§ 6. Приложения к системам первого порядка 555
Введем в рассмотрение банахово пространство УB) = Y x Y с нормой
|| Л || = max (II^IUI^ ||), если т) = (у,, у2) Г<2
Теорема 5.3. Пусть г, Д>0 фиксированы. Пусть выполнены
условия (Ai) —(А4); (В2е) с постоянной Ь(г), яе зависящей от у, z;
(Вз-ув) а (В5Д)сД>2е. Для б>0 обозначим через J^6 много-
многообразие функций y] = yf (t) = (y(t), y(t + S)) из J в УB\ где y(t)£
£JT(T), и пусть ц6[0] = у[0]. £Ъш е<8<Д, то WD индуцирует
частичную дихотомию для (Jf\, II Л6 (О II» Лб@)) с 6° = maxF0, е)
и Мо = М0(г, б). Если Зе-<8<;Д, то WD индуцирует полную
дихотомию для Жь с 6° = maxF0 —е, 0) и Yo = 7o(8>6). Если,
кроме того, пространство D квазиполно, е-<8<;Д и y(t) удовле-
удовлетворяет уравнению Ту = 0, но не является PD-решением этого
уравнения, то || г]б(/) || ~> оо при t—>oo.
Упражнение 5.1. Докажите теорему 5.3.
Теорема 5.4. Пусть s0 > 0, До >- 2е0 и е0 -< б <; До. Пусть
выполнены условия (А4) — (А4); (В2е) яра 8 ^ е0 с постоянными 60,
/Сг, ^^ зависящими от е, w | фз8 |в, я^ зависящей от у, z, а условие
E.6) выполняется равномерно для больших s; кроме того, выполнены
условия (В34"8о) и (В5До). Гог5а Wd индуцирует полную экспонен-
экспоненциальную дихотомию для многообразия jf*&t определенного в
теореме 5.3 с 6° = max (Эо, е0).
Упражнение 5.2. Докажите теорему 5.4.
§ 6. Приложения к системам первого порядка
Как мы видели в § 3 и 4, условия (Ао) — (А4) и (Bie) выполняют-
выполняются для оператора Г, определенного по системе @.1) в соответствии
с замечанием из § 3, если положить Ру = у, Qy = у @). Поэтому
из теорем 4.1—4.3 вытекает
Теорема 6.1. Пусть A (t)—матрица, элементами которой
являются локально интегрируемые (вещественные или комплексные)
функции при t^O. Пусть В, D — банаховы пространства из Ф
и пара (В, D) допустима для системы @.1) в том смысле, что для
каждой функции g (f) 6 В (Y) система @.1) имеет решение у (t) 6
6 D (Y). Обозначим через JT множество решений y(t) системы @.2),
а через YD — множество начальных значений у @) для решений
У @ ^ Jr [\D (У)- @ Тогда YD индуцирует частичную дихотомию
для (JT, РУ {t), у @)), где
или py(t)= \ \\y(T)\\dT, F.1)

556 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
а Д> 0 — произвольное фиксированное число, (и) Если, кроме
того, пространство D квазиполно и z(t)djT, но z(t)QD (Y),
то для каждого Д>0
| [| Z (т) || dT—> оо При t—>oo.
*
(iii) Если выполнено D.14), то YD индуцирует экспоненциальную
дихотомию для (jfT, py (t),y(O)), причем показатели v, v' могут
быть выбраны независимо от Д > 0. (iv) Если B = L} и D = L°°
или L™, то Yd индуцирует полную дихотомию для JT.
Упражнение 6.1. Сформулируйте утверждения, вытекающие
из следствия 4.2, для предложений (i) и (iv) теоремы 6.1.
Следующую теорему, за исключением условия (с) полной дихо-
дихотомии (см. A.9)), нетрудно получить из теоремы 6.1 в силу замеча-
замечания, относящегося к E.3) и E.4). С другой стороны, эту теорему
можно вывести из теорем 5.1 и 5.2.
Теорема 6.2. Пусть A (t) — матрица, состоящая из локально
интегрируемых вещественных или комплексных функций, удовле-
удовлетворяющих условию E.3) или E.4). Пусть В, D — банаховы про-
пространства из Ф и пара (В, D) допустима для системы @.1), а
JP, YD такие же, как в теореме 6.1. Тогда YD индуцирует полную
дихотомию для JP. Если, кроме того, D квазиполно и z(t)£jjT,
но z(t)$D(Y), то
||г@||—>оо при t—>oo. F.2)
Наконец, если
А1/год \в —>0 или \ho\\D—>oo при А—>оо, F.3)
то YD индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для jr.
Доказательство. Достаточно проверить условия теоремы 5.1
и (или) теоремы 5.2 для оператора Г, определенного по системе
@Л),сРу = уиу10] = у@).
Условия (Aj) — (А4) были проверены раньше. Как мы уже виде-
видели, условие (ЕЦе) выполняется для всех Эо > 0, 8 >> 0 при К = 1
с произвольной функцией (pse @- Полагая (pse @ = е"\е @ в заме-
замечании 2, предшествующем теореме 4.1, мы получаем, что условие
(В2е) выполняется при всех 60 > 0, е > 0 с К2 — 1 (поскольку
/С = 1 и | ф88 h = 1) и
независимо от s и у (t), z (t). Условие (В3б) тривиально, поскольку
у = Ру. В силу замечания, сделанного перед теоремой 5.1, из E.3)
или E.4) вытекает условие (В4А). Поэтому все предположения тео-

§ 6. Приложения к системам первого порядка 557
ремы 5.1 выполнены и справедливы утверждения, касающиеся
полной дихотомии и F.2).
Для того чтобы применить теорему 5.2, следует проверить усло-
условие E.6), имеющее такой вид:
А | /гОд \d f
Но, как легко видеть, оно эквивалентно F.3); см., например, нача-
начало доказательства теоремы 4.2. Этим завершается доказательство
теоремы 6.2.
В следующей теореме содержится основной результат о полных
дихотомиях для решений системы @.2) и о допустимости для систе-
системы @.1). Для краткости через Yv и Уооо обозначим подпространство
YD в У\ когда D = Lv и D = L™ соответственно, т. е. Yp и Y^q —
это множества начальных значений у @) 6 Y для решений у (t)
системы @.2) из классов LP, 1 <С/? <С °°> или L™ соответственно.
Теорема 6.3. Пусть A (t) — матрица, элементами которой
являются локально интегрируемые (вещественные или комплексные)
функции при t >- 0, и JP — множество решений системы @.2).
Подпространство Wo пространства Y = W, индуцирующее полную
дихотомию для (jf\ \\ у (t) ||, у @)), существует в том и только
в том случае, когда пара (L1, L°°), или, что эквивалентно, пара
(L1, L^°), является допустимой для системы @.1). В этом случае
Уооо с Wo и как Yec, так и Y^ индуцируют полные дихотомии
для U\ || у @ 11, уф)).
Упражнение 6.2. Доказательство теоремы 6.3 будет опираться
на лемму 2.3. Докажите утверждения теоремы 6.3, не относящиеся
к пространству L^°, не используя эту лемму (аналогичный резуль-
результат справедлив даже тогда, когда пространство Y= W бесконеч-
бесконечномерно, а лемма 2.3 не имеет места).
Доказательство. Если пара (L1, Z^°), а следовательно и (L1, L°°),
допустима для системы @.1), то Уоо и 7оо0 индуцируют полные
дихотомии для Jf* в силу утверждения (iv) теоремы 6.1.
Обратно, если существует подпространство W§ с: Y, индуци-
индуцирующее полную дихотомию для Jf\ то Уооо с: Wo и ^ооо индуцирует
полную дихотомию для jT, в силу следствия 2.2. Поэтому для
завершения доказательства достаточно показать, что если Y оо0
индуцирует полную дихотомию для JP1 то пара (L1, L°°) или пара
(L1, L^°) допустима для системы @.1). Поэтому доказательство этого
утверждения опирается на более легкую часть (необходимость)
теоремы 2.1. Пусть Z — подпространство в Y, дополнительное
к Уос0, так что Y есть прямая сумма Yoo0 @ Z (например, если Y —
евклидово пространство, то Z — ортогональное дополнение к Y оо0
в Y). Пусть Ро — проекция пространства Y на Гоо0, при которой Z

558 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
переходит в нуль, и Pi = 1 — Ро есть проекция Y на Z, обращаю-
обращающая в нуль подпространство Y оо0. Обозначим через U(t) фундамен-
фундаментальную матрицу системы @.2), причем U@) = /, и через G(t, s) —
матричную функцию
U(t)P0U-4s) при 0<s</,
-U{t)P^{S) при 0<;<s. F'4)
Тогда по теореме 2.1 найдется постоянная /С, такая, что
|| G(t, s)||</( при s, ^>0. F.5)
Пусть g @ — произвольный элемент из L1^). Для того чтобы
доказать существование у системы @.1) решения из L^°, положим
оо
y(t)=^G(t,s)g(s)ds. F.6)
о
Этот интеграл абсолютно сходится в силу F.5 и того факта,
что g(t)^L1(Y)) и определяет решение системы @.1). При этом
\\y(t)\\<K\g\i', в частности, y(t)£L°°(Y).
Покажем, что y(t)£L™(Y). В силу F.4) и F.5)
оо оо
IIУ @ IK j II hot (s) U (t) P0U~l (s) g (s) || ds + К J || g (s) || rfs.
0 i
Последний интеграл стремится к 0 при / —> оо. При фиксированном s
решение U (t) PqU'1 (s) g (s) системы @.2) стремится к нулю при
t—>оо, поскольку его начальное значение PqU'1 (s) g(s) g Fooo-
Кроме того,
\\hot(s)U(t)PoU-1(s)g(s)\\<.K\\g(s)\\ при s>0 и t>0.
Поэтому теорема Лебега о возможности почленного интегрирования
(при наличии интегрируемой мажоранты) показывает, что первый
интеграл также стремится к нулю при t-*~oo. Следовательно,
у (t) 6 L™(Y). Теорема доказана.
Основным результатом относительно полной экспоненциальной
дихотомии является следующее утверждение, аналогичное тео-
теореме 6.3.
Теорема 6.4. Пусть A (t) — матраца, элементами которой слу-
служат локально интегрируемые (вещественные или комплексные) функ-
функции при t ^> 0, и Ж — множество решений системы @.2). Подпро-
Подпространство Wq пространства Y, индуцирующее полную экспонен-
экспоненциальную дихотомию для (JT, \\ У (t) II, У @)), существует в том
и только в том случае, когда пары (Z/, Lq) при (р9 q) = A, оо)
и при некоторых (р, q) Ф A, оо), 1 ^ р ^ q ^ оо, допустимы для

§ 6. Приложения к системам первого порядка 559
системы @.1). В этом случае Wo = Yv = Ym0 и пары (L1, Lj°)
и (Lp, Lq) при любых (р, q), I ^ p ^ q <C °°> являются допусти-
допустимыми.
Доказательство. Если пары (L1, L°°) и (Lp, L9) при некоторых
(/?> Я) Ф 0» °°)> 1 ^ Р ^ 9 ^ °°» допустимы для системы @.1),
то Y оо = Yq = Y ooq индуцирует полную экспоненциальную дихо-
дихотомию для JP в силу предложения (iv) теоремы 6.1 и теоре-
теоремы 4.4.
Обратно, пусть подпространство Wo a Y индуцирует полную
экспоненциальную дихотомию для JT. Пусть Wi — подпростран-
подпространство в Y, дополнительное к Wo, и G (/, s) — матрица Грина F.4),
определенная в терминах проекций РОу Pi подпространства Y
на №0> Wu переводящих в нуль соответственно Wi и Wo. Тогда в си-
силу теоремы 2.1
\\G(t, s)||<Ke-v^-s! при s, t>0 F.7)
с некоторыми постоянными К, v > 0. Пусть g (t) 6 Ll* (Y), где
1 ^ P ^ °°- Тогда интеграл в F.6) абсолютно сходится и опреде-
определяет решение системы @.1). Поэтому остается только доказать, что
y(t) tLq(Y) при р<</<оо.
Рассмотрим вначале случай р = 1. Как и при доказательстве
предыдущей теоремы, легко видеть, что у (t) 6 L™(Y). Далее,
у (t) 6 L1 (Y), поскольку
\ dt Je-Vi'-Sl||g(s)||ds<: j \\g(s)\\ds j e-vm^<oo. F.8)
U 0 0 —oo
Поэтому y(t)£Lq(Y) при 1<9-<сх». Следовательно, если р=оо,
то y(t)£L°°(Y), так как
Рассмотрим теперь случай 1 < р < q < оо. Пусть а, р > 0,
a-f-p=l и ф (t) = \\g(t) ||. Применяя несколько раз неравенство
Гёльдера, получаем, что ||^/@l|q не превосходит
оо
Kq\ \ (e-v
о
оо
1 I Г
0

560 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Поэтому величина ( \ \\y(t) \\q dtj q конечна и не превосходит
см. F.8). Следовательно, у (t) 6 Lq(Y) при р < q < оо. Поскольку
мажоранта остается конечной как при q-^p, так и при q->oo,
отсюда вытекает, что у (t) 6 Lq(Y) при р <^ q ^ оо. Теорема
доказана.
Так как условие F.7) необходимо для того, чтобы Wo индуци-
индуцировало полную экспоненциальную дихотомию, отсюда можно заклю-
заключить, что в этом случае допустимы многие другие пары (В, D).
Пример утверждения такого рода дает следующее
Упражнение 6.3. Пусть A (t) — матрица, элементами которой
являются локально интегрируемые при / ^> 0 функции, и jV —
множество решений системы @.2). Пусть В, D — такие банаховы
пространства из «У, что
(t) gD^ij; (t-\-s) £D для каждого фиксированного s>0,
F.9)
«4-1
Пусть в Y существует подпространство Wo, индуцирующее полную
экспоненциальную дихотомию для JT. Тогда пара (В, D) допу-
допустима для системы @.1).
§ 7. Приложения к системам высшего порядка
Изучая решения системы @.3), мы будем предполагать, что U —
конечномерное векторное пространство с элементами и и нормой
\\u\\. Обозначим через U соответствующее банахово пространство
линейных операторов Ро, переводящих U в себя, с нормой || Ро \\ =
= sup || Рои || для || и || = 1. Конечно, можно отождествить Ро
с матрицей, если фиксировать систему координат в U.
Функция и (/) из /-интервала со значениями в U будет называться
(т + 1)-м интегралом при /п>1, если u(t) имеет непрерывные
производные и = и<°\ u(t), ..., u(m)(t), такие, что производная
и(т) (t) абсолютно непрерывна (так что производная и^т+^ (t) суще-
существует почти всюду).
Пусть в этом параграфе Y = /7(m+1) = U х ... X U, и если у =
(° (O, то положим
у || = max (||и<°> ||, ...,||^)||). G.1)

§ 7. Приложения к системам высшего порядка 561
Если f(t)£L (U) и Ph (t) 6 L @) для k = 0, ..., /я, то> (/) является
решением системы @.3), если это (/тг + 1)-й интеграл и [вектор
у (t) = (и<°> (/), ..., и(т) (/)) удовлетворяет системе @.1) первого
порядка, соответствующей вектору g (t) = @, ..., 0, f (t)), *Jm
уравнениям uW = u('+i) при / = 0, ..., т—1 и системе @.3).
Ясно, что при таком отождествлении системы @.3) с @.1) опре-
определение G.1) индуцирует такое определение нормы A(t)^Y, при
котором
то
||Л@||<тахA, 2 II ^*@ И)- G-2)
В соответствии с этим справедливо неравенство @.5).
Оператор 7\ определенный для системы @.3), действует'из L(Y)
в L(U). Область определения £Ё (Т) этого оператора — это множе-
множество векторов у = (и (t), и' (t), ..., u(m>> (tf)), где функция и (t) является
(/п+1)-м интегралом при ^>0, а и', ..., u<m) — ее производные.
Далее, вектор f = Ty определяется из @.3), Py(t) = u(t) и у[0] =
= #@); следовательно, Y = W, F = U; см. § 3. Наконец, JP =
= JT{T) — это множество таких y(t), для которых функция
u(t) = Py(t) является решением однородного уравнения @.4); т. е.
Ж — это множество решений у (t) системы @.2).
Следующая лемма не имеет никакого отношения к дифферен-
дифференциальным уравнениям.
Лемма 7.1. Пусть т —положительное целое число. Тогда
существует постоянная ст>0, такая, что если u(t)£U является
{т-\-\)-м интегралом на отрезке t<^<!t + A, A>0, то для его
производных выполняется оценка
Т+А
j ) \\ dr G.3)
при £ = 0, 1, ..., т.
Доказательство. Достаточно проверить соответствующее нера-
неравенство
т Т+А
\<f>(kHt)\<cmA-h21\y(r + jA/m)\+Am-k \ \<pl«+V(r)\dr G.4)
в случае, когда ф (t) — вещественная функция на отрезке [т, т + А],
которая является \m-\~ 1)-м интегралом. Если т<;^<;т +А, то можно
выбрать и* б /7* так, чтобы || ы* || = 1 и «скалярное» произведение
<a<*>(*i), и*) = ||"(Л)(<1)||-Если 9@ = Re(a@,M*>, то из G.4) при
£ = /i вытекает G.3) при t = ti.
Чтобы доказать G.4), положим cp(t) = p (/) + я|? (/), где /7 (/) —
полином степени т, удовлетворяющий условию р (t) = ф (^) при
36-241

562Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
1 j = 0, ..., т, т. е.
3=0 кфэ
Очевидно, существует постоянная ст>0, такая, что
^\^{ j)\ G.5)
i=o
при т</<т + А и k = 0, . .., т. Так как функция г|э(/) = ф(t) — p(t)
обращается в нуль в/n+l точках t--=%-{- jhlm, j = О, ..., m, отсюда
вытекает, что существует такое значение /' = t'k, при котором
(Л)//) = О. Поэтому при т</<т + Д
С я1э<Л+1> (r) dr <: [ |я|)(Л+1)| dr. G.6)
t' т
Интегрируя по отрезку [т, т + А], получаем неравенство
Т+Л Т+Л
\ j
X X
а" теперь с помощью индукции легко показать, что из G.6) следует
неравенство
Т+А
<Am k f \^т+!)\с1г. G.7)
Поскольку p(t) — многочлен степени /тг, г^771^1) (t) = фGП+1) (^). По-
Поэтому из G.5), G.7) и равенства ф = /7-j-*ф вытекает G.4).
Лемма 7.2. Пусть Pk(t)£L(U), k = 0, ..., m, w пусть а~
— a (t0) — положительное целое число, такое, что
т s-fl
[ лра 0<s</0. G.8)
Пусть f(t)£L(U) и и = и (t) — решение системы @.3). Тогда при
i=o
= 2е"стат и С2 = 3
s+1
» J \\f(r)\\dr, G.9)
Замечание. Заметим, что tQ>0 можно выбрать произвольным
образом, а а (и потому С1, С2) не зависит от t0, если Pk(t)£M(U)r

§ 7. Приложения к системам высшего порядка 563
= 0, . . ., т, И
2|| G.10)
см. A.6) и G.8).
Доказательство. Пусть s>0. Тогда из G.8) вытекает существо-
существование такого целого числа i = i(s), 0<л<а, что
т т+Л
2 ] \\Pk{r)\\dr*£± при x = s + /o, Д = 1/сс. G.11)
ft=0 т
В силу @.3), Htt^^WIKSPnOII-II^WII + ll/WII. Если
подставить в это неравенство соотношение G.3) и проинтегрировать
полученное выражение по [т, т + А], то мы получим в силу G.11), что
T-f Д т Т+Л
j || «(«+« || dt< стат ^ II и (г + j/ma) || + 2 j |[/||Л. G.12)
т j=0 т
Поэтому, если у = (и,и^\ ...,^(т>), то из G.3) вытекает оценка
та s+1
j
3=0
Таким образом, неравенство G.9) следует из G.2), G.8) и соответ-
соответствующего неравенства @.5), где s заменено на т.
Следствие 7.1. Если выполнены условия леммы 7.2, то
Н-1 «4-1
j \u(s)\\ds + C* f ||/(s)||ds G.13)
Это неравенство вытекает из G.9) после интегрирования
по отрезку t—l^s<!/.
Следствие 7.2. Предположим, что выполнены условия леммы 7.2,
функции fi(t), /г@» ••• принадлежат L (U) и u = un(t) —решение
системы @.3) при f = fn- Предположим, что существуют пре-
пределы f=\'\mfm и — \\тип, принадлежащие L(U). Тогда функция
u = u(t) (возможно, исправленная на множестве нулевой меры)
является решением системы @.3) и и^ (t) —>u^(t) при n—>oo
равномерно на ограниченных подмножествах из J при k=0, ..., т.
Это утверждение вытекает из G.13) после подстановки
u = up — uq, f = fp — fq при р, q= 1, 2,
36*

564 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Теорема 7.1. Пусть Pk (t) 6 М (U) при k = 0, •.., т и выполнены
соотношения
sup\h8lPk\B<oo при k=\, ...,m. G.14)
Предположим, что пара (В, D) допустима для системы @.3), т. е.
для каждой функции f(f) 6 B(U) система @.3) имеет решение
u(t) £D (U). Обозначим через YD множество начальных значений
у@) = (пЩ, и'{0), . . ., и(т)@)) решений u(f) £D {U) системы
@.4). Тогда YD индуцирует полную дихотомию для JT (с 0° = 0).
Если, кроме того, пространство D квазиполно и и (t) §D (U) есть
решение системы @.4), то \\ у (t) || -> сх> при /-> сх>.
Условия G.14) на Ри @ выполняются, если, например, Pk{f) 6
6 L°°(U). Заметим, что в G.14) не участвует значение k = 0. Усло-
Условие допустимости пары (В, D) для системы @.3) означает, что пара
(В, D) является Р-допустимой для оператора Т, определенного
в начале этого параграфа. Это условие не эквивалентно условию
допустимости пары (В, D) для соответствующей линейной системы
@.1), поскольку мы рассматриваем не произвольные векторы g
из B(Y), а только те векторы g, которые имеют вид g = @, . . ., 0, /),
/ 6 B(U).
Доказательство. Теорема будет доказана, если мы установим,
что выполнены все условия теоремы E.1). Условие (Ai) вытекает
из @.5) ввиду отождествления @.1) с @.3); (А2) вытекает из след-
следствия 7.2; условие (А3) входит в число предположений этой теоре-
теоремы; условие (А4) тривиально, поскольку пространство W = Y
конечномерно.
Для того чтобы проверить (В2е), выберем 8^1 и некоторые
решения и (t), v (t) системы @.4). Пусть г|) (/) — неотрицательная
функция на — оо <; / < оо класса Ст, которая равна нулю вне
отрезка [0, 1], причем
1
[ t|>7#=l. G.15)
о
Пусть фве @ = г^ур (е (/ - s)) и
t оо
и, (t) = и @ j фве (г) dr + v (t) j фве (г) dr. G.16)
о t
Тогда при k = 1, ..., т + 1
t оо fc-1
2 Cw(tt-o)^*-'-^ @,
3=0
G.17)

§ 7. Приложения к системам высшего порядка 565
где Ckj — биномиальный коэффициент k\/j\(k — j)\. Отсюда следует,
что 11 = 11! — решение системы @.3), правая часть которой равна
ТП+l fc-1
/i @=2 2 CkJPh (t) (u-v)D*-j-l) (Q G.18)
ftl 0
и Pm+i(t) = I — тождественный оператор.
ПОСКОЛЬКУ tyse(t) = O При ^<S И t>S + E, ЯСНО, ЧТО yi(t) = z(t)
при 0</<s и yi(t) = y(t) при t>s + e, если у = (и, ...,1/<ш)),
z = (v, ..., iKw>), уi = (иi, ..., u[m)). Поэтому, если s > 0, то yt @) =
= 2 @) и P#i = Ui£D(U). Существует такая постоянная с>0,
что | яр W (/)|<48(/)/8 при й = 0, ...,/п, когда s, ^>0 и е>1.
Следовательно, если Tyi = fu то
7П+1
II гУ1 к2**^-^@ s ii
fti
i
Таким образом, для произвольных 0О > 0 и /B=1 выполнено
условие (В2е) с 8 > 1, если
m
ф8е @ = Т*ЧгЧ1ю (t) A + 2 II ^ @ II )• • G-20)
В силу G.14) функция <рв8@ принадлежит В и
II Ф.е ||B<2m«C8-i (| Лое!!в+ 2 | ftSEP, |в) . G.21)
/1=1
Из леммы 7.2 с f — 0 и сопровождающего ее замечания выте-
вытекает, что условие (В3б) выполняется при б > 1, если /С3 (б) =
= С1A+та). Наконец, условие (В 4А) следует из @.5) и G.2),
поскольку Ро (/), .,., Рт (/) £М (U). Итак, теорема 7.1 вытекает
из теоремы 5.1.
Теоремы 6.3 и 7.1 имеют интереснее следствие. Предположим9
что система первого порядка @.2) получена стандартным путем
[как описано выше, перед формулой G.2)] из @.4). Тогда можно рас-
рассматривать систему @.1), не предполагая, что g = @, . . ., 0, /),
и мы получим из теоремы 6.3 такой результат:
Следствие [7.3. Пусть выполнены условия теоремы 7.1. Пара
(L1, L°°), а следовательно, и пара (L1, L^°) допустимы для системы
@.3) тогда и только тогда, когда они допустимы для системы @.1).
Например, если Pk{t) ^L°°(U), k = 0, 1, ..., т, и если неко-
некоторая пара (В, D) допустима для системы @.3), то пара (L1, L^°)
допустима для системы @.1) [и для @.3)].
Теорема 7.2. Пусть выполнены условия теоремы 7.1. Пред-
Предположим, кроме того, что
|/*oa|d-*oo при Д—>оо G.22)

566 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
или что
А-1 (| Лод |в + Д I h*Ph \в) -> 0 G.23)
равномерно для больших s при А —>оо. Тогда YD индуцирует
полную экспоненциальную дихотомию для JT (с 9° = О).
Если | йод |в/А —» О при Д —> оо и Pk (t) £ L°° (U) для k = 1, ..., m,
то условие G.23) выполняется, поскольку | /гОд |в<A + А) | hOi |B.
Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 5.2.
Достаточно проверить аналог условия E.6). В силу G.21), усло-
условие E.6) вытекает из G.14), G.22) или из G.23).
Упражнение 7.1. Рассмотрим вещественные уравнения второго
порядка
' (t)' (t) f(t) G.24)
G.25)
при />0. Пусть U — (банахово) пространство вещественных чисел;
W — произведение пространств £/B) = U x U с нормой || w \\ =
= тах(|до1|, |^2|), если w = (w1, w2), a Y — произведение про-
пространств £/D) с нормой || у \\ = max (| уг\, \у2\, \у3\, |^4|), если
г/ = (г/1, у1, у3, у*). При 6>0 обозначим через JT& линейное много-
многообразие вектор-функций у6 (t) = (u(t), ur (t), u(t + 6), £/'(^ + 6))£F
при />0, где и (/) — решение уравнения G.25). Пусть «началь-
«начальным значением» вектор-функции у6 (/) служит вектор у6 [0] =
= (м@), ^'@))£И?. Предположим, что р(/) — вещественная функ-
функция в J: />0, такая, что
Aei @ Р @ 6 S, sup | Ав1 (/) р @ |в < оо. G.26)
Пусть q(t) — вещественная функция из L и существует постоян-
постоянная С, такая, что
при 0<s</<s+l. G.27)
Наконец, предположим, что пара (В, D) допустима для уравнения
G.24), т. е. если / (t) 6 В, то уравнение G.24) имеет решение и (/) 6
6D. Обозначим через WD многообразие начальных условий
{и @), и'@)) для D-решений уравнения G.25). Размерность этого
многообразия может быть равна 0, 1 или 2. (а) Тогда при достаточно
малых б > 0 пространство^ WD индуцирует полную дихотомию для
JfTb. (b) Если, кроме того, пространство D квазиполно и'ли (f) ^D —
решение уравнения G.25), то \\ у6 (t) ||->oo при t-+oo. (с) Если
в дополнение к предположениям части (а) либо выполнены условия

§ 8. Р (В,D)-многообразия 567
<7.22), либо
A (I Аод In +1 hsA (t) p (t) \B) -> 0 G.28)
равномерно для больших s при А ->■ oo, то WD индуцирует полную
экспоненциальную дихотомию для Жь, если б>0 достаточно мало.
§ 8. Р(В, £>)-многообразия
Условия (А3), (А4) были нужны главным образом для доказа-
доказательства леммы 3.2. Аналогичная лемма следует из подобной пары
предположений (А5), (А7). В этом параграфе мы придерживаемся
тех же обозначений, что и в §§ 3, 4.
(А5) Если Ty(f) = /(/) и /(/) = 0 при больших t, то существует
единственное решение t/oo(t) уравнения Ту = 0, такое, что Усо(£) =
= у (t) при больших /.
Определение. Р(В, D)-многообразие. Пусть выполнено условие
(А5). Пусть В и D — банаховы пространства из 2/ и Boo — простран-
пространство, определенное в п. (vi) из § 1. Подмногообразие X из WD
называется Р (В, О)~многообразием, если существует такая посто-
постоянная С3, что для / @ 6 Boo(F) существует PD-решение у (t) урав-
уравнения Ту = /, такое, что | Ру \D < С3 \ f \B и функция ym(t)
[определенная в соответствии с условием (А5I удовлетворяет соот-
соотношению УэоЮ] 6 X. [Если выполнено условие (Ао), то даже без
предположения г/оЛО] 6 X можно показать, что у^ [0] 6 WDA
Упражнение 8.1. Пусть выполнено условие (А5). Покажите, что
Р(В, Ь)-многообразие существует тогда и только тогда, когда
пара (Boo, D) является Р-допустимой.
(А6) X является Р(В, 0)-многообразием.
Лемма 8.1. Пусть выполнены условия (Ai) [или (А[)], (А2), (А5)
а (А6). Пусть функции /, у, у^ обладают такими же свойствами,
как в определении Р (В, D)-многообразия. Тогда существует постоян-
постоянная С30, такая, что \\ у [0] ||< С30 I / \в-
Это утверждение вытекает из C.3) и C.4) [или C.3')], а также
из C.50 и A.5).
(А7) X является Р(В, Л)-подпространством, т. е. замкнутым
Р(В, 0)-многообразием.
Лемма 8.2. Пусть выполнены условия (А{) [или (А[)], (А2), (А5)
и (А7). Пусть X > 1, f 6 Boo (F), у (t) есть любое PD-решение урав-
уравнения Ту = /, для которого у^ [0] 6 X, \\ у [0] ||< Ы (X, у [0]).
Тогда существуют такие постоянные С5, С30, что выполнено усло-
условие C.7) (если у [0] = 0, допускается значение X = 1).
> Доказательство совпадает с доказательством леммы C.4). Если
предположить дополнительно, что кроме условия (Ai) [или А]

568 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
выполнены условия (А2), (А3), (А4), (Ао) и (А5), то лемма 3.4
содержится в лемме 8.2, поскольку в этом случае пространство
X = WD является Р (В, 0)-подпространством.
Замечание. В силу лемм 3.3 и 3.4, в теоремах §§ 4—5 (и их при-
применениях в §§ 6—7) можно заменить условия (А3), (А4) условиями
(А5), (А6), (А7), если утверждение типа «WD индуцирует... дихото-
дихотомию» заменить утверждениями типа «X индуцирует... дихотомию».
Если выполнено условие (А4) (например, в случае конечномер-
конечномерного пространства W), то в силу результата упр. 8.1 из условий
(А5), (А6) следует, что (А4) справедливо и после замены В на Д».
Однако значение сделанного выше замечания состоит в том, что
подпространство X (которое, возможно, меньше, чем WD) может быть
заменено на WD в утверждениях теорем из §§ 4—5.
ЧАСТЬ П. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 9. Ассоциированные пространства
В этой части главы нам понадобится понятие ассоциированного
пространства. Обозначим через ^Г# множество нормированных
пространств Ф 6У, удовлетворяющих дополнительному условию
(d#): если q>(t) 6 Ф, s > 0 и -ф@ = <р (/ + s) при / > 0, то ^(t) £Ф.
Всюду до конца этой главы мы предполагаем, что В и D — бана-
банаховы пространства из ,5Г#.
Пусть Ф — банахово пространство из jT#. Пусть Ф' —множе-
—множество вещественных функций гр (/) при t ^ 0 (точнее, классов экви-
эквивалентных функций, различающихся на множествах нулевой меры),
таких, что для всех ср (t) 6 Ф функция ф(^) ty(f) принадлежит про-
пространству ZA Легко видеть, что существует такая постоянная а —
= а (г|)), что
оо
К <сс|ф|ф для всех ф^Ф. (9.0)
В противном случае нашлась бы такая последовательность фд£Ф,
оо
что |ф„|Ф<2Л <рл@Ч>@>0 и |ф7»(/)ф@Л>1. Тогда Ф @ =
о
= 2 Ч*п О £ Ф- Но в силу теоремы Лебега об интегрировании
монотонной последовательности

§ 9. Ассоциированные пространства 569*
Обозначим наименьшую постоянную а, удовлетворяющую нера-
неравенству (9.0), через |г|)|Ф', так что
оо
I \ Ф @ 'Ф @ dt < | ф |ф | г|) |ф' для всех ф £ Ф.
1 о
Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству
для всех Ф6Ф. (9.1)
Лемма 9.1. Пусть Ф £ £Г#— банахово пространство. Тогда
пространство Ф' с нормой | г|) |ф> является банаховым пространст-
пространством из £Г (в действительности из ЗГ^) и притом квазиполным.
Упражнение 9.1. Докажите эту лемму. Для того чтобьгФ' 6 ^,
важно, чтобы Ф 6 S^-', включения Ф 6 £Г Для этого недостаточно»
Ясно, что пространство Ф' изоморфно и изометрично подпро-
подпространству двойственного к Ф пространства Ф*.
Упражнение 9.2. Пусть 1 <; р <; оо, l/p + \lq — 1. Покажите,
что ассоциированным с Lv пространством является Lq.
Лемма 9.2. Пусть Ф 6 ^# — банахово пространство и Y —
(конечномерное) банахово пространство, двойственным к которому
является пространство У"*. Пусть y*(t) 6 L (У*). В этом случае
y*(t) 6Ф'(У*) тогда и только тогда, когда существует постоянная
а —'а (у*), такая, что для каждой функции y(t) 6 Фоо (Y) функция
(У @> У*@) принадлежит L1 и
<а\у\ф. (9.2)
Тогда наименьшая постоянная а, удовлетворяющая (9.2),
равна |#*|ф'<у*) = |#*|ф'.
Напомним, что через (у, у*) обозначается отношение двойствен-
двойственности («скалярное произведение») элементов у 6 Y, у* 6 У*. В рас-
рассматриваемом случае (Y конечномерно) нетривиальная часть леммы
может быть сведена к одномерному случаю с помощью выбора соот-
соответствующих базисов в F, У* и оценки компонент вектора y*(t)^
Упражнение 9.3. Докажите лемму 9.2.

-570 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
§ 10. Оператор Т'
В этом и следующих параграфах изучается оператор 7", ассо-
ассоциированный с определенным в § 3 оператором Т:
T'y*{t) = /*(/), (ЮЛ)
и соответствующее пространство JlT(T') — ядро этого оператора;
на этом пространстве
T'y*(f) = 0. A0.2)
При этом предполагается, что выполнены следующие условия:
(Со) Т — линейный оператор из L(Y) в L(U), т. е. F = U;
у (t) £ ЗЬ (Г) суть непрерывные функции (это позволяет избежать
неопределенности на множествах нулевой меры); у[0] = у@), так
что W = Y. Соответственно Т' — линейный оператор из L(Y*)
в L (£/*); элементы у* (t) £ S G") суть непрерывные функции,
причем #* [0] =#*@); и* (t) = P'y* (г)-лшешыи оператор из L(Y*)
в L(U*) с 35(Р') = 3(Т').
(Ci) При каждом />0 существует ограниченная билинейная
форма vt {У, У*) на Г х Г*, такая, что для y(t)£@ G1), у* @ £S G"),
u(t) = Py(t), и* (t) = Р'у* (t) и для 0<а<т<оо справедлива
«формула Грина»:
X X
j (Ту, u*)dt-j(u, T'y*)dt = lVt(y(t), у*(t))]xa. (Ю-3)
а о
При />0 обозначим через |3 (/) число, удовлетворяющее неравенству
\Vt(y,y*)\<$(t)\\y\\'\\y*\\ для всех y£Y, y*£Y*. A0.4)
Из A0.3) вытекает, что функция Vt{y(t), у* (/)) постоянна
на всяком интервале, где Ту = 0, Т'у* = 0. В частности, эта функ-
функция постоянна на J, если y(t)£jT(T), у* (t)£jT (Г).
Определение. Пусть X — многообразие в Y, a Xv — подпро-
подпространство пространства Y*, такое, что
Xv = {y*: V0(y,y*) = 0 для всех у£Х).
Соответственно, если X* — многообразие из У*, то через X'
мы обозначаем подпространство в К, определенное следующим
образом:
X*v = {y: V0(y, y*) = 0 для всех у*£Х*}.
Через (Ап)* или (ВД8)* будут обозначаться условия, аналогич-
аналогичные (Ад) или (В„е), но с заменой 7, Y, F = U, Р, В, D, WD = YD
и постоянных Су-, ... на Т\ Г*, £/*, Р% D', В', Y%> и постоян-
постоянные С*, ... соответственно, где В', Dr — пространства, ассоцииро-
ассоциированные с В, D. Отметим, что пара (В, D) переходит в пару (£>', В').

§ 11. Индивидуальные дихотомии
§11. Индивидуальные дихотомии
Докажем одну теорему, связанную со следующим понятием:
множество 2 вещественных функций ф (t) £ L называется малым
на оо, если каждая функция ф(/)£Е мала на оо, в том смысле, что
lim f | ф (гI dr = 0.
Теорема 11.1. Пусть выполнены условия (AJ [или (AJ)], (А2),
(А3), (А4) (В30б), (В36)*, (В4Д)*, (Со), (СО, и пусть ^(t)-функ-
^(t)-функция из М, определенная в A0.4). Предположим также, что C (t)
или В', или D малы на оо. Тогда Y%' индуцирует индивидуаль-
индивидуальную частичную дихотомию для {JT (Tr), \\y*(f)\\).
Из доказательства будет видно, что постоянные Эо, Мо в форму-
формуле A.7) из условия (а) индивидуальной частичной дихотомии могут
быть выбраны независимо от y*(t).
Предположение о «малости на оо», сделанное в теореме, будет
использоваться только при выводе условия (а) индивидуальной
частичной дихотомии, относящегося к функциям y*(t) 6 JT(T')t
для которых Р'у* 6 5'. Это предположение в теореме 11.3 будет
отброшено, но при этом постоянная Мо в условии (а) уже будет зави-
зависеть от у*, а кроме того, придется наложить дополнительное усло-
условие (А5) из § 8.
Если принять во внимание теорему 12.3, то можно утверждать,
что главная ценность теорем этого параграфа состоит в том, что
в них не делается предположений типа (B2s)*. Насколько это важно,
видно из того, что условие G.14) в теореме 7.1 введено только для
того, чтобы оператор Т удовлетворял условию (В2е).
Доказательство теоремы 11.1.
Условие (а). Из условия |3(/)£М вытекает, что при б>0
t-rv
|30(S) = sup f |3(r) dr < оо при />0. A1.1)
Условие малости C(/) или В', или D на оо будет использоваться
следующим образом: если три функции |3(/), ||г/@|]> II У* @11 ПРИ~
надлежат М [например, $(t)£M, y(t)£D(Y), У* (t) € В'(Y*);
см. (9.1)] и хотя бы одна из них мала на оо, то
х) || г/ (х) ||• [[ £/* (х) || = 0. A1.2)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если ф (t) > 0 — интегрируемая
на отрезке [t, t+l] функция, то мера множества s-значений, для

572Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
которых (p(s)>3 I cp(r)dr, меньше чем 1/3. Если это замечание
применить к ф = р, || #||, || У* ||» то мы получим, что для всякого
t> 0 существует общее /-значение т£[/, ^+1], для которого
Ф(т)<3 j Ф(/■)>, где ф = р, ||#||, \\у*\\. A1.3)
Поскольку ф £ 7W, интеграл справа ограничен при / > 0 и по
крайней мере одна из этих функций ф(/) стремится к нулю пой не-
некоторой последовательности t = tn —> °о при п—>оо. Поэтому спра-
справедливо равенство A1.2).
Пусть y*(t)£JT(T) и P'y*£B'(U*). Пусть s>0 и /(/) —
произвольный элемент из В (U) с компактным носителем на t > s + 36.
По лемме 3.2 уравнение Ty = f имеет PD-решение #(/), удовле-
удовлетворяющее C.5), так что \Py\D<C3\f \в- Из условий (В30б) и F326)^
видно, что у (t)£D(Y), у* (t)£Dr (У*). Поскольку Т'у* = 0 и Г# = /
из формулы Грина следует, что
где и* (t) = P'y* (t). Интеграл в левой части не зависит от a<s-f36
и больших т [поскольку f(t) = O при /<s-h36, / большое]. Поэтому
из A0.4) и A1.2) имеем при 0<a<s-f-3S
||.!|r/*@)||. A1.4)
Из доказательства равенства A1.2) видно, что при подходящем
выборе a, s<a<s+ 36,
s+36 s+36
S S
Первый множитель справа не превосходит (Зб) р0 C6) в силу A1.1),
второй не превышает C6)1 /zo>36 \d> \ hS}^y \D в силу A.5) и потому
не превышает
C6)-1|йоб|1)^зо(б)|РуЬ
в силу (В306). Так как | Ру \D < С31 / |Б, правую часть в A1.4)
можно заменить на К' | / \в II У* (о) ||» ГД^ К' = А7 F) — постоянная
и а —некоторая точка из отрезка s<a<s +36.
Поскольку /(^ — произвольный элемент из B(U) с компактным
носителем на />s + 36, из леммы 9.2 следует, что
I hs+36U* \в*<К' sup ||у* (а) || при s<a<s + 38, A1.5)

§11. Индивидуальные дихотомии 573
а в силу (В3б)*
|hs+ьбУ* \в'-СK'Kt (б) sup|| у*(а) || при s<a<s + 36. A1.6)
Условие (а) частичной дихотомии для (JT G"), ||#*@Н) может
быть теперь получено с помощью рассуждения, основанного
на условии (В4Д)* и аналогичного тому, которое было использовано
ори доказательстве теоремы 5.1.
Условие] (Ь). Пусть z*{t)£JT(Г), P'z* = v* и v*$B'(Y*).
Пусть /@ — произвольный элемент из B(U) с носителем на [0, s]
и y(t)— решение уравнения Ty = f; оно существует в силу леммы
3.2. Тогда из неравенства t>s, формулы Грина и A0.4) имеем
S
|J</,o*>dr|<P@)||y@)||.||z*@)|| + P(x)||jr(T)||.||z'(t)||.
0
Используя C.5) и рассуждая так же, как при доказательстве
неравенства A1.5), получаем, что
I hosv* |Б- < Сзо|3 @) || z* @) || + К' sup || z* (т) ||
при s + 6<t<s + 36, (H.7)
где К' — К' (б) — та же постоянная, что и в A1.5).
Поскольку v*QB' G*), из квазиполноты пространства В' (лем-
(лемма 9.1) вытекает, что | hosv* \Bf —> оо при s-^oo. Поэтому сущест-
существует такое число s0, зависящее от решения z* (t), что |/го.^*|в/>
>2Сзор(О)||2*(О)|| при s>s0. В силу A1.7)
I hosv* |в'^С 2/С' sup || <г* (т) || при s-f-6 <t<!s + 36, s^sQ.
Используя (В36)*, получим, что
при s + 26<t<s + 56, s>so + 6. A1.8)
Доказательство завершается так же, как и доказательство тео-
теоремы 5.1.
Теорема 11.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Пред-
Предположим дополнительно, что
либо А1 /год Ь' —>0, лггбо |Лод|в—>°° ^р^ А-^оо. A1.9)
Тогда Y%' индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихо-
дихотомию для (JT (Тг), || у* @11)» г^е постоянные 0°, Ми v не зави-
зависят от y*(t) в условии (а).
Упражнение 11.1. Докажите эту теорему.
Используя следующую лемму, можно избавиться от условия
«малости на оо», если предположить, что выполнено условие (А5)
из § 8. В этой лемме применяются те же обозначения, что и в уело-

574 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
вии (А5), т. е. если Ту = / и Tyt = fu где /, f± обращаются в нуль
при больших t, то Уоо, у & — соответствующие решения, существо-
вание которых гарантируется условием (А5).
Лемма 11.1. Пусть выполнены условия (А±) — (А5) и (Со) — (i)
Пусть у* (t) — некоторое Р'В'-решение уравнения Ту* = 0. Тогда
существуют постоянные С3 и С30, зависящие от £/*@), такие, что
для всякой функции /(/)£ Д»(£/) уравнение Ту = / имеет PD-peuie-
ние у (/), удовлетворяющее C.5), и Vo QMO), у*@)) = 0, т. е.
если {у {0)} — одномерное многообразие в У*, натянутое на вектор
у*@), то YD П {^*@)}у есть PD-многообразие для уравнения C.1).
Доказательство. Можно предположить, что существует PD-peuie-
ние yo(t) уравнения Ту==-0, для которого a = Fo(^o(O), У*@))¥=
фО. В противном случае лемма 11.1 следует из леммы 3.2.
Пусть y{t) — решение уравнения Ty = f, существующее по лем-
лемме 3.2, и пусть
A1.10)
Тогда yt (t) является PD-решением уравнения Tyi = /, удовлетво-
удовлетворяющим условию F0(//lco@), ^*@)) = 0.
По формуле Грина
т
j </, u*)dt = [Vt(yl(t), y'Wlo, (И.11>
0
если Т'у* = 0 и и* = Р'у*. Поскольку / = 0 при больших т, из
условия (А5) следует, что У\{г) = У\оо(() при больших t, так чтс
Vt(yioo(t), y*(t)) = Vt(yi(t), у* \t)) при больших t. Но последнее
выражение не зависит от / (так как Ту1оо = 0, Т'у* = О) и, сле-
следовательно, F0(#i«>@), У*@)) = 0. Поэтому из A1.11) видно, что
со
](f,u*)dt=-Vo(yi(O), y*@)). A1.12)
о
Следовательно, в силу A1.10)
со
I Vo (ym @), у* @)) | < | J (/, и*) dt | -f | Vo (у @), у* @)) |.
о
Выражение в правой части не превосходит | / |в (| Р'у* \в> +
+ Р@)С30||у*@)[|) в силу A0.4) и леммы 3.2. Поэтому из A1.10)
получаем, что
Из условия C.5Х) в лемме 3.2 следует, что \Ру\и<С3\ f \B. Поэ-
Поэтому справедливо неравенство, аналогичное C.5t), но с заменой у

§ 12. Р'-допустимые пространства для Т' 575
на уи а С3 на С3 + (\Р'у* к + Р @)С30|| */*@) ||) a^\Py,\D. Нера-
Неравенство, аналогичное C.52), может быть получено из леммы 8.1.
Теорема 11.3. Заключения теорем 11.1 и 11.2 остаются справед-
справедливыми, если заменить условие «малости р (/) или В\ или D на оо»
условием (А5).
Упражнение 11.2. Докажите эту теорему. В силу замечания, сде-
сделанного после теоремы 11.1, достаточно рассмотреть только усло-
условие (а). Доказательство условия (а) в этом случае аналогично
(но несколько проще) доказательству соответствующего условия
в теоремах 11.1 и 11.2. Вместо решения уравнения Ту = /, существо-
существование которого утверждается в лемме 3.2, используется решение,,
существующее в силу леммы 11.1
§ 12. Я'-допустимые пространства для Тг
В этом параграфе будет доказано, что при соответствующих
условиях из Р-допустимости пары (В, D) для оператора Т вытекает
Р'-допустимость пар (D^, В') или (D\ В') для оператора 7".
Лемма 12.1. Пусть выполнены условия (А4), (А2), (А5), .(Ав),
(А5)* и (Со), (Q). [В частности, X является Р (В, Ь)-многообра-
зием в силу условия (AQ).] Если /*(/)£ DTO (£/*) и у* (t) — решение
уравнения Т'у* — /*, для которого у^ @) £ Ху, то у* (t) является
РгВ'-решением и
|^*|б'<С8|/*|^ + Р@)Сз0||^@)||, A2.1)
где С3, Съ§ —постоянные из определения Р (В, Иумногообразия
X и леммы 8.1. В частности, X1 cz Y%>.
Доказательство. Пусть 1^3^@) и y(t) — решение уравнения
Ty = f, существующее в силу (А6), так что уоо@)^Х и выполнены
условия C.5). Для больших t Vt{y(t), y*(t)) = Vt(yoo(t)i yl(t)) =
= V0(yco@I у^{0)) = 0. Поэтому из формулы Грина вытекает, что
оо
{f,P'y*)dr <| \ (Py,f*)dr
\V0(y@),
где правая часть не превышает \Py\D\ f*\d> + Р@) ||У @) [|• ||у*@) |]<
< I / \в (С81 Г W + P @) С301| у* @) ||) в силу C.5). Утверждение этой
леммы следует теперь из леммы 9.2.
Пусть у* £ Y*. Тогда по условию (Q) существует единственный
элемент х*£7*, такой, что линейный функционал VQ(y, у*) от у
представляется в виде скалярного произведения Vo (у, //*) = (у, х*)
для всех у 6 Y и || х* \\ < р @) || у* |[, т. е. определен линейный one-

576 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
ратор х* = Sy*> отображающий пространство]!7* в себя и такой, что
Vo(у, У*) = (У, Sy*) для yeY, y\eY*. A2.2)
В этом параграфе предполагается, что выполнено следующее
условие:
(С2) (Единственное) ограниченное линейное отображение
S: Y*—>Y*, определенное в соответствии с A2.2), является отобра-
отображением на (и потому имеет единственное обратное отображение 5,
определенное на всем пространстве У*).
Очевидно, что для многообразия X cz Y пр странство X = S^X0,
где Х° —обычный аннулятор пространства X, т. е.
X° = {y*eY*: (у, у*) = 0 для всех у£Х).
Лемма 12.2. Пусть выполнены условия (А^ — (А5), (А5)*
а (Со) — (С2). Пусть f*(t)€D'oo(U*) и у* (/) — решение уравнения
Ту* = /*, для которого у^ @) 6 У%. Тогда
где С4 — постоянная из условия C.6) леммы 3.3, а Ц5!! — норма
оператора S'1: Y* —>Y*.
Доказательство. Пусть у (/) — некоторое PD-решение уравне-
уравнения Ту = 0. Тогда Ух(у(т), у* (т)) = Vx (у (т), у^(т)) при больших т.
В силу формулы Грина последнее выражение равно постоянной
V0(y@)9 У%@)) и
оо
Wo (У @). У*~ @)) | = | { (Ру, П dt\<\Py\D\r \d'.
о
Из неравенства |Py[D<C4|| y@) \\ в лемме 3.3 и из A2.2) выте-
вытекает, что |<г/@), %*@))|<С4||г/@)||.||П|^ для всех //(О)еУл.
Поэтому норма вектора Sy*@), рассматриваемого как линейный
функционал на YD (т. е. как элемент сопряженного пространства Yd),
не превышает C4|f*|i>'. Поскольку Yd — это факторпространство
Y*IY°d, норма «элемента» у* в котором равна d(Y°D, У*), мы видим, что
d(Y°D, S^*@))<C4|/•[©'. Поэтому из равенства K^S^Kd выте-
вытекает, что d(yj, y*@))<||S-1||d(Fz,, Sy*@)). Лемма 12.2 дока-
доказана.
Теорема 12.1. Пусть выполнены условия (Ах) — (А5), (Со), (С2)
и (А5)*, и пусть уравнение T'y = f* имеет решение y*(t) для
каждой функции f*(t)£D'oo(U*). Тогда пара (D'^, В') является
Р-допустимой для оператора Tf; в действительности, 7д является
P'(D', Вг)-подпространством для Тг {причем роль постоян-
постоянных С3 и С30 в условиях допустимости играют постоянные
С* = С3 + ЯС4С30 !| S-11| и CJ^XCJS-11| для всякого фиксирован-
фиксированного Х> 1).

§ 12, Р' -допустимые пространства для Т' Ы1
Доказательство. Пусть /* (t) £ D'co (У*). Тогда уравнение T'z* = f*
имеет решение z*(t), равное нулю при больших t. [Если z*(t) —
произвольное решение уравнения T'z* = f*, то искомым является
решение z*(t) — z*o(t), поскольку z%>(t) существует в силу условия
(А5)*.] Поэтому zZo(t)z=0. В частности, 0 = г£,@)£Уя, так что,
по лемме 12.2, d(YvD, z*@))<C4||S-1|H/*[^.
Пусть К > 1 — фиксированное число. Представим элемент
z* @) £ У* в виде г* @) = х* + у*0, где х{ £ YVD и || у* || < Ы (У^, г* @)).
Тогда
Ы\\С%\Г\в> где C*=XC4||S-i||.
Поскольку х* g У^ с: У^ в силу леммы 12.1, уравнение Тх\ (t) = 0
имеет решение, равное х* при t = 0. Пусть у* (t) = г* (/) — х* (/),
так что Ту* = f*vLy*o (t) - -х* (*). Тогда у^ @) = -х* 6 У^. Кроме
того, у*@) = г*@) — х? = у%. По лемме 12.1
Следовательно, |PV|b'<CJ|/*|d', где С* —указанная постоянная.
Теорема доказана.
Теорема 12.2. Пусть выполнены условия (At) —(А5) w (Со), (С2),
и пусть для любых у* £ У* м /* £ D7 ([/*) уравнение Т'у* = f*
имеет решение y*(t), удовлетворяющее условию у* @) = у*. Тогда
пара (£>', Вг) является Р'-допустимой для Т''. {Кроме того, роль
постоянных С3 и С30 в условиях допустимости играют постоян-
постоянные С* = С3 + р @) СтС, || S-11| и C^CWS^l)
Доказательство. Пусть f*£D'(U*). Мы должны показать, что
уравнение 7^/* = /* имеет Р'В'-решение y*(t). Пусть y(t)£JT{T)
и у @) £ Yd- Положим
ПЛ. A2.3)
о
Тогда | Ф (у @)) | < | Ру \D | /• |zy < С41| у @) ||. | /• |^ в силу леммы 3.3.
Другими словами, у (у) — это ограниченный линейный функционал
на YD, норма которого не превосходит C4|/*|d', и потому сущест-
существует продолжение этого функционала на У с той же нормой. Сле-
Следовательно, найдется элемент x*£Y*, такой, что ||*?||<C4|/*|d'
и ф (у) ~(у, х*) для всех у £ У. В силу (С2) существует элемент
yt = S~xxl, так что
4(y) = Vo(y,!fi) A2.4)
для всех у £ У и
M<C4||S-i||-|Hi>'. A2.5)
По предположению уравнение Ty*—f* имеет решение y*(t), для
которого у* @) =#*•
37-241

578 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Пусть / £ Boo (£/), у (t) — некоторое PD-решение уравнения Ту = ft
существующее в силу леммы 3.2. По формуле Грина, применен-
примененной к yoo(t) и у* (t),
Vt (yjt), у* @) = Vo (у J0)f у" @)) - j (Ру„, /*> dr
о
для больших /. Поскольку y(t) = yoo(t) для больших t, из A2.3)?
A2.4) следует, что (также при больших t)
оо
Vt (У (/), У* @) = j (РУ°°> /*> dr->0 при t -> оо.
Поэтому, применяя формулу Грина к y(t) и г/*@» получаем
оо оо
j (f, Py>dr = f (РУ% /•> dr-V0.(^ @), #* @)).
о о
Из C.5) и A2.5) вытекает теперь, что
оо
j </, Р V> ^ | < I f \в (С8 + Р @) С30С41| S-11|)|/* Id,.
о
По лемме 9.2 Р'у*£В' и |Р^* [я'<(С3 + |3 @) С30С41| S1|) | /* |^.
В силу неравенства A2.5) теорема доказана.
Важность теорем, подобных теоремам 12.1, 12.2, будет проил-
проиллюстрирована следующим образом: мы применим теоремы 12.1
и 11.3 при условии, что операторы Т и Т' переставлены. Заме-
Заметим, что 0' = (ОооУ, так что второе ассоциированное простран-
пространство D"^-(D')f к D совпадает с (А^)'.
Теорема 12.3. Пусть выполнены предположения теоремы 12.1,
условия (BsoSi)*, (В3б) для фиксированного 5>0 с D, замененным
на D", и (В4Д); пусть функция (З(^) из неравенства A0.4) при-
принадлежит М. Тогда YD» индуцирует индивидуальную частич-
частичную дихотомию для Ж (J) и |f f/ (^) || —^ оо при t—>oo, если y(t)
является решением уравнения Ту = 0, но не является PD"-реше-
PD"-решением этого уравнения. Если, кроме того,
А1 /год |в —> 0 или |Лод|б'—>оо при А—>оо, A2.6)
то Ув" индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихото-
дихотомию для JT (Т).
Если предположить, что <ф(/) или В", или D' малы на оо»г
то постоянные в условии (а) из определения дихотомий не зависят
от решения y(t).
Упражнение 12.1. Докажите теорему 12.3.

§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям 579
§13. Приложения к дифференциальным уравнениям
Формально сопряженными к @.1), @.2) являются системы
-£*(О, A3.1)
O, A3.2)
где Л* (t) — комплексно сопряженная и транспонированная к A (t)
матрица; см. § IV.7. Пусть Т — оператор, порожденный систе-
системой @.1), Py(t) = y(t), у[О] = у(О), а Г' —взятый со знаком минус
оператор, порожденный системой A3.1) [т. е. Т'у* = — {у*' +
+ Л* (t) y*) = g*]. Тогда Т и Г'- ассоциированные операторы
в смысле § 10. Соответствующая формула Грина имеет вид
X X
j (Ту, у*) dr- j (у, T'y*)dr=[(y(t), у* {t))\l. A3.3)
а а
Ее легко проверить дифференцированием по т. При этом Vt (у, #*) =
= <#» #*>• Ясно, что условия (Со) — (С2) [с р (t) == 1 и Sy* = у*\
выполнены, а из теоремы 12.2 вытекает
Теорема 13.1. Пусть A (t) — матрица, элементами которой
являются локально интегрируемые при t !> 0 функции. Предполо-
Предположим, что пара (В, D) является допустимой для системы @.1). Тогда
пара (D\ В') допустима для системы A3.1).
Этот факт позволяет применять к системе A3.1) теоремы из §6.
Чтобы рассмотреть системы, сопряженные к @.3) и @.4), пред-
предположим, что Pk(t) — это k-й интеграл (т. е. функция, имеющая
абсолютно непрерывные производные до (k — 1)-го порядка). Фор-
Формально сопряженными к @.3), @.4) являются системы
2 Q*() H0. ()
т
2 Ql(t)u*M = 0, A3.5)
где
m
Qk (t) = .2 (- iycjkp^-h) (ty, A3.6)
звездочка означает переход к комплексно сопряженной и транспо-
транспонированной матрице, а индексы в скобках означают дифференци-
дифференцирование; см. § IV.8 (viii). Для # = (и<0 {+n
и 0* = (и*<0), ..., U*W) £У* положим
т т
(у, */*)= 2 .2 (-о*с,.м</>#!(*)«<*>, «•«-*-*>>, A3.7)
h=Q j—k
37*

580 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
где Pm+i(t) = / — единичный оператор. Это билинейная форма
от у, у*. Легко проверить следующую формулу Грина:
X X
/, u*)dr- J<a, f*)dr = lVt(y(t), y*(t))]l, A3.8)
если u(t), u* (/) — решения систем @.3), A3.4) соответственно.
Меняя в A3.7) порядок суммирования, получаем
т m—k m—k
vt (у, у*) = 2 <«(ft). 2 S (- i)ft+i c,-, ,-_4/>?M«*(i)>. A3.9)
fe0 i0 ji
Поэтому, если ^* = (и*<°), ..., v*W) £Y* — произвольный вектор,
система из т + 1 уравнений
m—ft m—fe
может быть решена последовательно для k = т, т — 1, . . ., 0,
поскольку Ят+1 = /. При t = 0 отсюда можно получить аналог
условия (С2) из § 12.
Пусть Т", Р' — операторы, которые сопоставляются системе
A3.4) точно так же, как операторы 71, Р сопоставлялись систе-
системе @.3) в § 7. Аналог неравенства @.5) показывает, что для 7^ выпол-
выполняется условие (В4Д)*, если Q%£M(U*) [т. е. Qk 6 M(U)\\ aua-
логично из леммы 7.2 следует, что при том же условии на Qk спра-
справедливо (В3б)*. Из теоремы 11.3 вытекает
Теорема 13.2. Пусть Pk(t) 6 L(U), k = 0, . . ., /n,— некото-
некоторый k-й интеграл, Qk(f) € М @) при k — 0, . . ., т и существует
такая функция р (/) 6 Л4, ^^о <?^-^ функции A3.7) выполнено нера-
неравенство A0.4). Предположим, что пара (В, D) допустима для систе-
системы @.3). Тогда Y%r индуцирует индивидуальную частичную дихо-
дихотомию для JP(T'), и если решение u*(f) системы A3.5) не является
В'-решением этой системы, то \\ y*(t) \\ ->- оо при /->-оо. Если,
кроме того, выполнено условие A1.9), то Y%> индуцирует индиви-
индивидуальную частичную дихотомию для Jf'(T').
Из теоремы 12.2 сразу же вытекает
Теорема 13.3. Пусть Pk{t) 6 ЦО), k = 0, . . ., т,— некото-
некоторый k-й интеграл и пара (В, D) допустима для системы @.3).
Тогда пара (D', В') допустима для системы A3.4).
Таким образом, при некоторых условиях на коэффициенты Ql (f)
системы A3.4) применимы теоремы из § 7. Применяя теорему 12.3,
можно получить индивидуальную дихотомию для щЖ*(Т) без условий
типа G.14), но с условием на Q£@-

§ 13, Приложения к дифференциальным уравнениям 581
Теорема 13.4. Пусть выполнены предположения теоремы 13.3,
Pk(t)£M(D)> Qk£M(D) при k = 0, I, ..., т и существует такая
функция р(/)£М, что для функции A3.7) выполнено условие
A0.4). Тогда Yd" индуцирует индивидуальную частичную дихо-
дихотомию для JiT(T), и если решение u(t) системы @.4) не является
D"-решением этой системы, то \\ у (/) || —> ос при t—>oo. Если,
кроме того, выполнено условие A2.6), то Ув» индуцирует инди-
индивидуальную экспоненциальную дихотомию для jfT (T).
Из A3.7) видно, что функцией, удовлетворяющей A0.4), является
m k-l
d + 2 2 11@11)
k=i j=0
с некоторой постоянной cm, зависящей только от /п. Таким обра-
образом, если
lP при 0</<&-1, 1<&<т, A3.10)
то р (/) £М и Qh£M(U) при k= 1, ..., m. Следовательно, из A3.10)
и из условия Ро, Q0£M (D) вытекает, чтои выполняются условия
второго утверждения теоремы 13.4.
Заметим, что если P0£M(U) и A3.10) справедливо с j = k,
то Q0£M(U). Но в этом случае Pk, Qk£L°°(U) при k=l, ..., m
и теорема 13.4 следует из теорем, доказанных в § 7. (Это утвер-
утверждение относительно L°° вытекает из того факта, что если ф (t)
абсолютно непрерывна при />0 и ф, фЛ£М, то фgL00.)
Упражнение 13.1. Если функция р (/) абсолютно непрерывна,
то формально сопряженными к вещественным уравнениям G.24),
G.25) являются уравнения
* = f*(t), A3.11)
* = O. A3.12)
Соответствующая формула Грина имеет вид
), w*(t))\l, A3.13)
G
где w(t) = (u9u')9 w*(t) = (u*9 и*') и
Vt(w, w*) = [p(t)u*-u*']u + u*u'. A3.14)
В обозначениях упр. 7.1 пусть Jf'% — это линейное множестьо
функций
y*6(t) = (u*(t), u*'(t), u*

582 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
где и* (t) — решение уравнения A3.12). Пусть «начальным значением»
для y*6(t) служит вектор */*6@)=ф*@), u*'@))£W*. Пусть
р (t) — вещественная абсолютно непрерывная функция и q (t) £ L,
так что
и sup\hei(t)p(t)\D-<°o, A3л5)
^0
а для некоторой постоянной С
t
p(t)-p(s)+^q(r)dr^C при 0<s<*<s+l. A3.16)
s
Предположим, наконец, что пара (В, D) допустима для G.24).
(а) Тогда при достаточно малых б > 0 пространство W%' индуцирует
полную дихотомию для JT% с 9° = 0. (Ь) Если, кроме того, или
I ^од \в* —> 0, или А (| h од |гг +1 h^p \D>) —> 0 при А —> оо равно-
равномерно для больших s, то W%> индуцирует экспоненциальную дихо-
дихотомию Для JT% для достаточно малых б>0.
Упражнение 13.2. Пусть p(t)£M — вещественная абсолютно
непрерывная функция на У, а функция q(t)£L такова, что суще-
существуют постоянные С, С, удовлетворяющие G.27) и A3.16). Пред-
Предположим, что пара (В, D) допустима для G.24). (а*) Тогда при
малых 6>0 пространств W%* индуцирует индивидуальную частич
ную дихотомию для JP\, и если и* (t) (J В' — решение системы A3.12),
то || i/*6(t) || —> оо при £—->оо; (a) Wo* иАчдуцирует индивидуальную
частичную дихотомию для JT^ и если и @$ D" — решение системы
G.25), то \\yb(t)\\-^>oo при t—>oo; (Ь*) если выполняется условие
A1.9), то W%> индуцирует индивидуальную экспоненциальную
дихотомию уш ЛГ%\ (Ь) если выполнено условие F.3), то WD»
индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихотомию для jr§.
§ 14. Существование PD решений
Лемма 12.1 имеет следующее следствие.
Теорема 14.1. Пусть A(t)£L (U) и пара (В, D) допустима для
системы @.1). Если система @.2) не имеет решения уA)ф0
в D(Y), то каждое решение y*(t) системы A3.2) принадлежит
B'(Y*).
В случае X = YD = {0} имеем Yl = Y*c=:Y%>f т.е. У* = У5'.
В некоторых ситуациях легко доказать, что система @.2) имеет
решения y(t), не лежащие в D(Y). Предположим, что для решений
имеет место дихотомия (или экспоненциальная дихотомия), т. е.
применимы теоремы из § 6. Если все решения y(t) системы @.2)
принадлежат D (У), то они ограничены (или экспоненциально малы)
при t—>oo. То же верно и в отношении определителя det £/(*),
где U (/) — фундаментальная матрица системы @.2). Поскольку

§ 14. Существование РР-решений 583
t
det U(t) = [det U@)] exp 1 tr A (s) ds, этот интеграл должен оцени-
о
ваться сверху постоянной (или произведением отрицательной
постоянной на f). Поэтому, если \ tr A (s)ds не удовлетворяет
этому условию, не все решения у (/) системы @.2) лежат в D(Y).
Теорема, аналогичная теореме A4.1), и относящиеся к ней заме-
замечания справедливы и в случае, когда система @.1) заменена систе-
системой @.3). Проиллюстрируем это на примере скалярных уравнений
второго порядка. Рассмотрим вначале уравнения, имеющие само-
самосопряженную форму:
[№и'У + q(f)u = f (t), A4.1)
(p(t)u')' + q{f)u = 0. A4.2)
Обозначим через *ё банахово пространство комплексных чисел.
Теорема 14.2. Пусть комплексные функции p(t)> !//?(/), q (t)
локально интегрируемы при t ^> 0. Предположим, что пара (В, D)
допустима для уравнения A4.1). Тогда либо уравнение A4.2) имеет
решение u(f) ф. 0 в D(^), либо каждое решение этого уравнения
принадлежит В'(Щ.
Эта теорема вытекает из леммы 12.1, поскольку если и (/) —
решение уравнения A4.1), a v (/) — решение уравнения A4.-1) при
замене / (t) на g (/), то соответствующая формула Грина имеет вид
т
J (fv - gu) dt - [р (t) (и' (t) v(t)-u @ v' (t))\l;
0
см. доказательство теоремы 14.3.
Соответствующий результат для несамосопряженных уравнений
, A4.3)
A4.4)
может быть получен с помощью леммы 12.1.
Теорема 14.3. Пусть комплексные функции /?(/), q(t) локально
интегрируемы при />0. Предположим, что пара (В, D) допу-
допустима для уравнения A4.3). Тогда либо однородное уравнение
A4.4) имеет решение 0=^u(t)£D (%), либо каждое решение u(t)
этого уравнения таково, что u(t)exp \ p (r)dr£Bf ((&).
Доказательство. Предположим, что уравнение A4.4) не имеет
решения и^)ф0 Риз D(^). Пусть /(ОеДж,^). Тогда по пред-
предположению уравнение A4.3) обладает единственным решением

584 Гл. XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
u = v(t)£D((e), обращающимся в нуль при больших/. Запишем
A4.3) для u = v в виде (E(t)v')'+ E(t)q(t)v = E(t)f(t), где
£(/) = ехр I p(r)dr. Если u(t) — любое решение уравнения A4.4),
то для него справедливо аналогичное соотношение с Е (t) f (t) = 0.
Поэтому в силу формулы Грина
оо
( Е (г) f (г) и (г) dr = E @) («'@) v @) - и @) р'@)).
о
Аналог неравенств C.52) для вектора y(t) = (v(t), v'(t)) дает оценку
о
где постоянная С зависит только от С30, Е @), (и @), и'ф)) и выбора
нормы в % х ??. Из леммы 9.2 теперь вытекает наше утверждение.
ПРИМЕЧАНИЯ
Часть I. Идея, состоящая в том, что «допустимость» некоторой пары (В, D)
приводит к соответствующему виду дихотомии для решений однородного
уравнения, впервые появилась в работе Уинтнера [18], где изучалось само-
самосопряженное уравнение второго порядка в случае В = D = L2 (см. также
работы Путнема [1] и Хартмана [8]), и в работе Майзеля[1] для случая систе-
системы уравнений первого порядка и В = D = L°°. Основные результаты (§ 6),
касающиеся системы @.2), принадлежат Массере и Шефферу [1, в частно-
частности IV] и Шефферу [2, VI]. О дифференциальном операторе первого
порядка Ту = у' — A(t)y эти авторы написали серию работ, в которых
систематически изложили большую часть приведенного в этой главе мате-
материала. Попытка разработать единый подход к системам @.1), @.3) и другим
задачам (связанным, например, с дифференциально-разностными уравне-
уравнениями) привела к введению более общих операторов Т, рассмотренных
в § 3; см. работу Хартмана [25]. Результаты § 7, касающиеся решений систе-
системы @.3) высшего порядка, принадлежат Хартману [25]. Построения и дока-
доказательства части I основываются на работах Массеры и Шеффера. (В уже упо-
упомянутых работах Массеры, Шеффера и Хартмана рассматривался случай,
когда dim Y <; оо.) Классы JT, ^"# линейных пространств из §§ 1,9 иссле-
исследовались Шеффером[ 1]. Определения дихотомий в § 1 несколько отличаются
от определений Массеры и Шеффера. Результаты § 2 являются модификацией
результатов, изложенных в работах Массеры и Шеффера [1, IV] и Шеффе-
Шеффера [2, VI]. Понятие (В, D)-мнoгooбpaзия в связи с линейными системами @.1)
(при Р = /) использовалось в работе Шеффера [2, VI].
Часть II. Материалы этой части в основном представляют собой моди-
модификацию результатов и методов работы Шеффера [2, VI] для случая систем
первого порядка (и произвольных пар банаховых пространств У, У).
Изложение следует работе Хартмана [25]. Идея получения индивидуальной
дихотомии для «сопряженного» уравнения, при котором не используются
«пробные» функции (и, например, вводятся предположения (В^г)* или
(£2е)*), как это сделано в теореме 11.1, принадлежит Хартману. (Следует
отметить, что «ассоциированные пространства» рассматривались Люксем-
Люксембургом и Зааненом; см. ссылки и близкие результаты в работе Шеффера [1].)

Глава XIV
Монотонность
В этой главе излагаются различные результаты, связанные
только тем обстоятельством, что либо в предположениях, либо
в утверждениях, либо при их доказательстве существенно исполь-
используется понятие монотонности.
В части I рассматриваются преимущественно линейные системы
дифференциальных уравнений. Большинство теорем этой части
существенно зависит от того, что некоторые функции от частных
решений являются монотонными. Часть результатов в сочетании
с теоремой Хаусдорфа — Бернштейна позволяет утверждать, что
некоторые решения могут быть представлены в виде преобразова-
преобразования Лапласа — Стилътьеса от монотонных функций.
В части II рассматривается одна специальная задача. Она свя-
связана с некоторой сингулярной краевой задачей для нелинейного
дифференциального уравнения третьего порядка, возникшей в гид-
гидромеханике (теория пограничного слоя).
В части III изучается устойчивость в целом тривиального или
периодического решения нелинейной автономной системы. Интерес-
Интересной особенностью доказательства теоремы 14.2 является следую-
следующее: некоторая d-мерная задача сводится в ней по существу к дву-
двумерной благодаря тому, что при каждом значении времени рас-
рассматривается только однопараметрическое семейство решений.
ЧАСТЬ I. МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 1. Большие и малые решения
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
у' = A{t)y A.1)
для вектора у = (г/1, . . ., yd) с вещественными или комплексными
компонентами при 0 ^ t < со (<^<х>). Обозначим через || у || евкли-
евклидову норму
1Ы1 = (!у112+••• + !/12I/2 (>0). A.2).

586 Гл. XIV. Монотонность
В этом параграфе будут изучаться такие системы A.1), у которых
для каждого решения y(t) или существует конечный предел
или существует
(Например, для выполнения условий A.30) или A.3со) достаточно,
чтобы эрмитова часть AH(f) = [A(f) + A*(f)]/2 матрицы A (t)
была соответственно неположительно или неотрицательно опреде-
определенной при 0 <1 / < о; при этом || у (f) || является невозрастающей
или неубывающей функцией от / соответственно.)
Если для всех решений справедливо A.30) [или A.3»)], то естест-
естественно поставить вопрос о существовании решения уq (f), удовлетво-
удовлетворяющего условию
lim||0o(OII = O [или lim ||уо (О |1 = «>Ь A-4ом)
Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.
Теорема 1.1 о[«>]« Пусть A (t) есть (d X dj-матрица, элементами
которой являются (комплексные) непрерывные функции при 0 <^
<С / < о (<^оо), такая, что для каждого решения системы A.1)
выполняется A.30) [или A.3«>)]. Необходимое и достаточное [или
достаточное] условие для того, чтобы система A.1) имела решение
yo(f)==Oy удовлетворяющее A.40) [или A.4«>)], состоит в сле-
следующем:
t
I Re tr A (s)ds—>—оо [или оо] при t—хд. A-5о[оо])
j
Хотя условие A.50) необходимо и достаточно для существова-
существования решения yo(t)> удовлетворяющего A.40), условие A.5оо) не
является необходимым для существования решения, удовлетворяю-
удовлетворяющего A.4оо). Уравнение второго порядка и" + За/16/2 = 0 при
/>0 имеет линейно независимые решения u — t3/4: и и = /1/4;
см. упр. XI.1.1 (с). Таким образом, если это уравнение записать
в виде системы A.1) для двумерного вектора у = (и, и'), то каждое
решение будет таким, что || у (f) ||-> оо при /-> оо. Но для этой
системы tr A (f) = 0, так что условие A.5оо) не выполняется.
Доказательство теоремы 1.1 о- В этом доказательстве полсловом
«предел» подразумевается «конечный предел». Поскольку мы пред-
предположили, что A.30) выполняется для каждого решения, для любой
пары решений yi (/), у2 (t) системы A.1) должен существовать
^предел скалярного произведения #i (t)-y2 (f) при /-> оз. Это выте-

§ 1. Большие и малые решения 587
кает из соотношений
где i2 = — 1.
Пусть Y (t) — фундаментальная матрица системы A.1). Посколь-
Поскольку элементы матрицы Y*(f)Y(t) являются функциями, комплексно
сопряженными к скалярным произведениям некоторых пар
решений системы A.1), отсюда следует, что существует С =
- lim У*@ Y(t) при /-> со. В частности, det | Г* Г | = | det Y |2
имеет предел при t-^oo.
Если с — произвольный постоянный вектор, то общее решение
системы A.1) имеет вид у = Y(t)c и
Поэтому
Так как матрица С эрмитова и неотрицательна, равенство
Ссо -Со = 0 может выполняться для Сот^Ов том и только том слу-
случае, когда Ссо = 0. (Заметим, что для эрмитовой матрицы С мини-
минимум Сс-с при || с || = 1 совпадает с ее наименьшим собственным
значением.) Уравнение Сс0 = 0 имеет решение с0 Ф 0 тогда
и только тогда, когда det С = 0. Поэтому система A.1) имеет реше-
решение yo(t) Ф 0, удовлетворяющее A.40), в том и только том случае,
когда
detC= lim|det Г @ |2 = 0.
/-►со
В силу теоремы IV. 1.2
t
det Y (t) = [det Y @)] exp J tr A (s) ds. A.6)
о
Отсюда вытекает утверждение теоремы 1.10.
Упражнение 1.1. Докажите теорему Ыоо.
Следующая Teopervia касается линейных систем уравнений вто-
второго порядка
" A{) O A.7)
для вектора у = (уг, ..., yd),
Теорема 1.2о[«>]. Пусть элементами квадратной матрицы A (f)
порядка d являются непрерывные при 0 <; / < со (-<оо) комплексные
функции, причем A (f) — эрмитова положительно определенная
матрица, монотонно зависящая от t (т. е.
A(t)<A{s) [или A(t)>A(s)] при t>s (

588 Гл. XIV. Монотонность
в том смысле, что матрица A(t) — A(s) является неположи-
неположительно [или неотрицательно] определенной). Тогда, если y(t) —
решение системы A.7),
[или <0] A.90[оо]>
[или >0]. A.100[оо]>
Если, кроме того,
det Л (^) —>0 [или оо] при t—xo, A.110[оо])
то система A.7) обладает парой (^0) решений yo(t), yi(t)r
таких, что
Уо-Уо + А^Уо-Уо—*00 \ит 0]» A.120[оо])
[или оо]. A.130[ос])
В случае, когда уравнения A.7) представляют собой уравнения-
Эйлера — Лагранжа, описывающие движение механической систе-
системы, выражение {. . .} в A.10) по существу является «энергией».
Первая часть теоремы означает, что если A (f) положительно опре-
определена и монотонна, то «энергия» монотонна вдоль каждого решения.
Однако не удается выяснить, будут ли решения #о(О> */i@ линейно
независимыми. Для одномерного случая эти теоремы приведены
в § 3. При их доказательстве используются некоторые результаты,
касающиеся эрмитовых положительно определенных матриц, кото-
которые содержатся в следующем упражнении.
Упражнение 1.2. Пусть А — эрмитова положительно определен-
определенная матрица, (а) Докажите, что существует эрмитова положительно'
определенная матрица Л1/2, которая является квадратным корнем
из Л, т. е. (Л1/2J = Л. (Ь) Докажите, что матрица Л1/2 единственна,
(с) Докажите, что если А = A (t) — непрерывно дифференцируемая
функция от /, то Л1/2 (/) непрерывно дифференцируема.
Доказательство теоремы 1.20[оо]. Предположим вначале, что
функция Л (/) непрерывно дифференцируема.
Запишем A.7) в виде системы дифференциальных уравнений
первого порядка для 2^-мерного вектора (у, г), где
z = A~i/2yf A.14)
и Л~1/2 = (А1/2)~~1 = (ЛI72- Мы получим систему вида
/ = Л1/2г, z'=-Ai/2y-A-i/2(AV2)'z. A.15)
Ввиду A.14) ясно, что системы A.7) и A.15) эквивалентны.
Квадрат евклидовой длины 2й-мерного вектора решения (y(t), z(t))
системы A.15) равен
-z = y-y+A-1y'.y'. A.16)

§ 1. Большие и малые решения 589
Дифференцируя F по /, получаем F' = у'-у + у-у' + z'-z + z-z' или
в силу A.15)
поскольку матрица Л1/2 и ее производная эрмитовы. Дифферен-
Дифференцируя тождество (Л1/2J — Л, приходим к соотношению Л1/2 (Л1/2)' +
+ (Ai/2)'(Ai/2) = A' или
(Л-1/2)(Л1/2)' + (А1/2У (A-l/2) = A-i/2A'A~i/2. A.17)
Отсюда
Поскольку Л'<0 или Л'>0, когда соответственно А не возра-
возрастает или не убывает, неравенство A.9о[оо]) вытекает из A.16)
и A.80[оо]).
Чтобы проверить A.100[оо]), запишем A.7) в виде системы
первого порядка для вектора (х, у'), где
. A.18)
Эта система имеет вид
x' = (Ai/2yA~i/2x + Ai/2y', y*= -Л1/2х. A.19)
Квадрат (евклидовой) длины вектора (я, у') равен
Е^х.х + у'-у' = Ау.у + у'-у'. A.20)
Производная функции Е вдоль решения (x(t), yr @) системы A.19)
равна
Е' = [(А1/2У А~т + (Л/2) (Л1/2)'] х-х,
так что в силу A.17)
Поэтому A.10о[оо]) следует из A.20) и A.80[оо]). Этим доказана
первая часть теоремы.
Отсюда следует, что квадраты евклидовых длин || (#, z)||,
11(^,^I1 решений систем A.15) и A.19) имеют пределы (<оо)
при t—>оо. Существование решений #0@» i/i@ системы A.7),
обладающих указанными свойствами, мы докажем, применяя тео-
теорему 1.1о[оо] к системам A.15), A.19).
Пусть Т (t) — след матрицы коэффициентов системы A.15).
Тогда T(t) равно следу матрицы — Л~1/2 (Л1/2)'. Поэтому
2 Re Т @ = - tr [Л/2 (Л1/2)' + (Л1/2)' Л/2] = - tr (Л/2Л'Л-1/2).
A.21)

590 Гл. XIV. Монотонность
Покажем, что
[In det Л (<)]'= -2 Re T (t) A.22)
при 0 <; t < со. Для этого достаточно рассмотреть значения tr
близкие к / = А)- Если умножить A (t) на положительную постоян-
постоянную, обе части равенства A.22) не изменятся. Поэтому можно пред-
предположить, что существуют такие постоянные е, 0, что 0 < е < 0 <С
< 1 и е || у ||2 <; A (t) у -у <; 6 || у ||2 для всех векторов у и /, близ-
близких к t0. В частности, || / — A (t) ||<; 1 — г < 1. Определим матри-
матрицу In A (f) с помощью сходящегося ряда
[по аналогии с 1п A—г)= —2г?г/п]? см» § IV.6. Эти ряды можно»
дифференцировать почленно. Так как
и trCD = trDC для всякой пары матриц, мы имеем
[@r [fl [()]]
n=Q
Это равенство можно записать в виде
[tr in A (t)]' - tr A'1 A' = tr (Л/2Л'Л~1/2),
поскольку
Л- § (/-Л)п.
Поэтому в силу A.21)
[tr In Л (/)]'= — 2Rer@. A.24)
Легко проверить с помощью A.23), что если X = K(t) при фикси-
фиксированном / является собственным значением матрицы Л (t)
и у — соответствующий собственный вектор, то
71=1
Поэтому In к является собственным значением матрицы In Л,
а у — соответствующий собственный вектор. Следовательно, если,
А,!, ..., Xd — собственные значения (эрмитовой) матрицы A(t)>
то 1п?ц, ..., \r\Xd — собственные значения (эрмитовой) матрицы,
1пЛ(/). Таким образом,
trlrii4@ = lnui+ ..• +ln^d = ln(^ •.. Xd) = lndetA{t)
и A.22) следует из A.24).

§ 2. Монотонные решения 591
Итак,
t
Js= — Indeti4(*) + const. A.25)
Таким образом, существование решения у0 (О В теореме 1.20[(х>]
вытекает из теоремы 1Лоо[о]-
Если S @ — след матрицы коэффициентов в системе A.19), то
5 (t) = tr (Л1'2)' (Л~1/2). Поэтому Re 5 (/) = — Re T (f) и сущест-
существование решения yi(f) в теореме 1.20[оо] вытекает из теоремы 1 Л0[оо].
Теорема 1.20[оо] доказана нами при дополнительном предполо-
предположении о том, что Л (t) имеет непрерывную производную. Если это
условие не выполнено, матрицу A (f) хможно аппроксимировать
последовательностью гладких матричных функций Л1 (^), Л 2 (/), . . .,
каждая из которых удовлетворяет предположениям теоремы 1.20[оо].
Аппроксимации можно выбрать так, чтобы матрицы A(t) — An(f)
были «малы», а решения систем х" + Апх = 0 «близки» к решениям
системы A.7); см. § Х.1. Теорема 1.20[оо] доказывается теперь
с помощью перехода к пределу.
Упражнение 1.3. Пусть матрица Л (f) удовлетворяет условиям
теоремы 1.20[оо], а матрица В (/) непрерывна при 0 ^ t <С оз (<^°°)*
Рассмотрим систему
у" + B(f)y' + A(t)y = O.
(a) Утверждение A.90[оо]) остается справедливым, если дополни-
дополнительно к A.80[со]) предположить, что В (t) A (t) + А (/) £* (/) < О
[или ;>0]. (Если Л (/) непрерывно дифференцируема, то A.80[оо])
и это условие на матрицу В А + Л В* можно заменить одним усло-
условием: А' + В А + Л В* -< 0 [или ;> О].) Аналогично, утверждение
о существовании решения у0 @ остается справедливым, если
AЛ10[оо]) заменить условием
t
[det Л (/)] ехр [2 f Re tr В (s) dsJ -> 0 [или оо] при t-> со.
(b) Утверждение AЛОо[оо]) будет справедливым, если дополнительно
к A.8о[оо]) предположить, что B + S*<0 [или >0]. Утверждение
о существовании yt(t) также остается справедливым, если AЛ1о[«>])
заменить условием
t
[det Л (t)] ехр [ — 2 [ Retr B(s) ds] —>0 [или оо] при ^—>со.
§ 2. Монотонные решения
В отличие от предыдущего параграфа мы используем обозначе-
обозначение Л > 0 или Л > 0 для произвольной (не обязательно эрмитовой)
матрицы Л = (ajk), если ajk > 0 или ajk > 0 для /, k = 1, . . ., d.

'592 Гл. XIV. Монотонность
Аналогично, запись у ;> 0 или у > 0 для вектора у = (у1, . . ., yd)
означает, что yj >- 0 или yj > 0 для / = 1, . . ., d.
Теорема 2.1. Пусть A (t) — непрерывная при 0 <[ / < со «[ оо)
матрица a A(t)^-O. Тогда система
у' = -A(t)y B.1)
имеет по крайней мере одно решение у (/) ф 0, для которого
y(f) > 0, #'(/) < 0 л/ш 0 < f < со. B.2)
Замечание. Если заменить полуинтервал 0^ ^ < со (^ оо) интер-
интервалом 0< /<со (^оо) в условиях и в утверждении теоремы, то
теорема и следствия из нее остаются справедливыми. В самом деле,
если 0 < а < со, то из теоремы 2.1 вытекает существование такого
решения у (t), что 0 щк у (t) >- 0, y'(t) <[ 0 при #<^<со. Но
тогда, как видно из доказательства, эти неравенства справедливы
и при 0 < / < а.
Доказательство. Поскольку A (t) ^ 0, то в силу B.1) для вся-
всякого решения у (t) из неравенства у (t) >- 0 на любом интервале
следует неравенство y'(t) ^0. В частности, если 0 < а < со
и у (а) > 0, то у @ > у (а) > 0 при 0 < t < a.
Пусть #о > 0 фиксировано, например у0 = A, . . ., 1). Пусть
Уао @ — решение системы B.1), удовлетворяющее начальному
условию уао (я) = Уо, где 0 < а < со. Тогда уа0 (t) >- у0 > 0 при
0 <; / <; а. Положим с (а) = \\ уао @) ||, так что с (а) >- || у0 \\ > 0.
Пусть ya(t) = yab{t)lc(d). Вектор уа (t) удовлетворяет системе
B.1), ya(t)>y0/c(a)>0 при 0<*<а и || уа @) ||= 1. Пусть
0 < ai < а2 << . . . и ап ->■ со при /г ->- оо, причем существует
предел
° lia@), где а = ап.
Тогда || у01| = 1. Кроме того, предел
у0 (t) - lim ya @, где a = ад, B.3)
П->оо
существует равномерно на замкнутых интервалах из [0, со) и являет-
является решением системы B.1), удовлетворяющим условию у0 @) = у0;
см. следствие IV.4.1. В силу неравенства уа (t) >- 0 при 0 <; t <! a
из B.3) вытекает, что у0 (t) ;> 0 при 0 «< / < со. Кроме того, у0 @) =
= У0 Ф 0. Тем самым теорема полностью доказана.
Упражнение 2,1. (а) Пусть у (t) — решение, о котором гово-
говорится в теореме 2.1. Тогда существует у (со) = limy (t) при t—»co
(О
и J
(Ь) Если f/m(co)>0 при некотором /л,

§ 2. Монотонные решения 593
(ajk @)» гДе /» k=l9 ..., d, ТО
со
J ajm{t)dt <oo при /=1, ..., d. B.4)
(с) Покажите, что если при некотором фиксированном т выполнено
условие B.4), то из него не следует, что ут (со) > 0. (d) Условие
B.4) при т = 1, . . ., d необходимо и достаточно для того, чтобы
существовало решение, удовлетворяющее условиям теоремы 2.1
и такое, что у (со) > 0 (т. е. ут (со) > 0 при т = 1, . . ., d).
Упражнение 2.2. Следующее утверждение называется теоремой
Перрона — Фробениуса. Пусть R — постоянная (d x й)-матрица,
такая, что R % 0. Тогда R имеет хотя бы одно вещественное неотри-
неотрицательное собственное значение X ^> 0, для которого соответствую-
соответствующий собственный вектор у ^> 0 и у Ф 0. Более того, если R > 0,
то Я > 0 и у>0. Выведите эту теорему из теоремы 2.1.
Следствие 2.1. Пусть матрица A (t) абсолютно монотонна при
0 < t < оо [т. е. A (t) еС°° при / > 0 w (—l)n A(n)(t) > 0 5ля
п = 0, 1, . . .; другими словами, A (t) > 0, Л' (/) < 0, Ar> (t) >
^ 0, . . .]. Тогда система B.1) имеет абсолютно монотонное решение
у (/) # 0 [т. в. (—1)п #(Г°@ > 0 для п = 0, 1, . . .] rcpw 0 < t <
< оо.
Таким образом, из теоремы Хаусдорфа — Бернштейна следует,
что существуют монотонные неубывающие функции o](t) при t ^ 0
для / =■= 1, . . ., d, такие, что компоненты yJ(/) вектора у (/) допу-
допускают представление вида
оо
J-t 3/
е do (s) при /^>0,
и
где doJ > 0. (Относительно теоремы Хаусдорфа — Бернштейна
см., например, книгу Уиддера [1].)
Упражнение 2.3. (а) Докажите следствие 2.1. (Ь) Если
р = (р1, ..., pd)~вектор, то через ру мы будем обозначать вектор
(р1у1, ..., pdyd)- Покажите, что заключение следствия 2.1 справед-
справедливо, если заменить B.1) системой
P(t)y'(t)=-A(t)y, B.5)
где матрица A (t) удовлетворяет предположениям следствия 2.1,
p(t)eC°° при 0<*<oo и
для я = 0, 1,... B.6)
(т. е. p(t)>0 и р (^) обладает абсолютно монотонной производной
р'(/) при *>0).
38—241

594 Гл. XIV. Монотонность
Следствие 2.2. Пусть коэффициенты po(t), ..., pd(t) линей-
линейного дифференциального уравнения
Po(t)uW+ 2 (-I^paW^-^O B.7)
являются непрерывными (вещественными) функциями при
О. Ph(t)>0 при Л = 2, .... df 0</<со B.8)
(б то врелш /са/с pi(f) произвольна). Тогда уравнение B.7) имеет
по крайней мере одно решение и (t), для которого
u(t)>0 и ( —1)яи<я>(/)>0 B.9)
при /1 = 0, ..., d—1. £с/ш, /срожг того Pi@>0, mo B.9)
выполняется и при n = d.
Упражнение 2.4. Выведите следствие 2.2 из теоремы 2.1.
Другое доказательство для случая d = 2 см в следствии XI.6.4.
Следствие 2.3. Пусть d>2, коэффициенты уравнения B.7)
принадлежат классу С°° при t>0, po(t)>O и —p(t), — p[{t)r
Рг(О» •••» Pd(t) абсолютно монотонны при />0 [тая
ро>О, (-1)я+1р||Я+2)>0> (-l)TI+1pin+1)>0 и (-1)>^>0
B.10)
/г = 2, ..., d, /г = 0, 1, ..., 0<^<оо]. Тогда уравнение B.7)
имеет решение u(t), удовлетворяющее B.9) /грм /z=l, 2. ...
и 0<^<оо.
Здесь не налагаются условия на р'о и pt. В силу 'теоремы
Хаусдорфа — Бернштейна из следствия 2.3 вытекает, что если
ро>О и — Ро, — р^ р2, ..., Pd представляется в виде
) при 0<^<оо,
о
где о (s) не убывает при s>0, то уравнение B.7) имеет решение
и (t) > 0, представимое в таком виде.
Упражнение 2.5. Докажите следствие 2.3.
Упражнение 2.6. (а) Дифференциальное уравнение для при-
присоединенных функций Лежандра
, „ * х d^u . n du

§ 2. Монотонные решения 595
преобразуется в дифференциальные уравнения для тороидальных
функций
„ , / ch f \ , Го 1
с помощью подстановки \ = п— 1/2, |х = т, л: = сЬЛ Если д2>1/4,
покажите, что это последнее уравнение имеет решение и(/)>0,
абсолютно монотонное при />0 (и что это решение единственно
с точностью до постоянного множителя тогда и только тогда, когда
). (Ь) В гипергеометрическом уравнении
сделайте замену независимой переменной 2х — 1 = ch t9 где 1 <
< х < оо, или 2х — 1 = — ch t при — оо < х < 0, так что
0</<оо. В результате получится уравнение вида
и" + pi @ и' — ра @ и = 0.
Покажите, что если аЬ<СОиа + Ь^> max Bс — 1, 0), то сущест-
существует абсолютно монотонное решение и >> 0 при t > 0 (и что это
решение единственно с точностью до постоянного множителя тогда
и только тогда, когда либо аЪ < 0, либо а = ft = 0). (с) Вырож-
Вырожденное гипергеометрическое уравнение в форме Куммера
Ы' + (c — t) uf —аи = 0
имеет абсолютно монотонное решение u(t)>0 при tf>0, если
а ;> 0, а с произвольно; это решение единственно с точностью
до постоянного множителя. К тому же если заменить t на —/, то
новое уравнение имеет абсолютно монотонное решение при t > 0,
когда а < 0 и с ;> 0 (и это решение единственно с точностью до по-
постоянного множителя тогда и только тогда, когда а < 0). (d) Вырож-
Вырожденное гипергеометрическое уравнение Уиттекера в нормальной
форме
4/2
имеет абсолютно монотонное решение u = Wkm(t)>0 при />0,
если &<0 и ш>1/2. Это решение единственно с точностью
до постоянного множителя.
Следствие 2.2 допускает таксе обобщение. Обозначим через
где i j = 1, ..., k, определитель Вронского для функций ии ..., uk.
Следствие 2.4. Пусть т фиксировано, 0<im*Cd. Пусть коэф-
коэффициенты уравнения B.7) непрерывны при 0</<(о(<оо) и
Ph(t)>0 при fe = m+l, ..., d. B.11)
38*

596 Гл. XIV. Монотонность
Предположим, что дифференциальное уравнение порядка т
Ро @ и(т + S (- 1 )мРл (О ^(m~ft) = 0 B 12)
имеет такие решения ut(t), ..., Mm@»
№А(*; и1э ..., uk)>0 при k=l, .. ., т, 0</<со. B.13)
Тогда уравнение B.7) имеет решение, удовлетворяющее B.9)
0 I d 0£
Упражнение 2.7. Докажите следствие 2.4.
Упражнение 2.8. Пусть / = (/\ . . ., f) и у = (у1, . . ., yd).
Предположим, что вектор-функция f (t, у) непрерывна при /;>0,
у >- 0 и / (<, 0) = 0, / (tf, у) ;> 0. Пусть с — неотрицательное число.
Покажите, что система у' = —f (f, у) имеет по крайней мере одно
решение у (t) при t > 0, для которого |[ у @) || = с, у (t) >0,
г/'@<0 при ^>0.
Упражнение 2.9. Пусть f/ и / вещественны, (а) Предположим,
что функция f (t, у, у') непрерывна при t > 0, у > 0, у' < 0.
Пусть/ (/, 0, 0) == 0 и / (t9 у, у') > 0. Кроме того, предположим, что
решения уравнения у" = f (t, у, у') однозначно определяются началь-
начальными условиями. Покажите, что существует число с0, 0 < £0-< °°,
такое, что если 0 < с < cOi то уравнение у" = f (t, yy у') имеет
по крайней мере одно решение у (t) при t > 0, для которого у @) =
= с, у (/) >> 0 и у (t) -< 0 при / >- 0. Этот результат не содержится
в упр. 2.8, в котором соответствующее начальное условие имеет вид
A0@) 12+ 1У'(О) \2I/2 = с
(b) Покажите, что не всегда можно брать с0 = оо в части (а).
(c) Пусть функция / (/, у, у') непрерывна при t > 0, у > 0, у' < 0;
/ (/, 0, 0) = 0; / (U У, 0) > 0 при < > 0, у > 0. Предположим, что
при каждом R > 0 определена непрерывная положительная функ-
сю
ция ф (г) = фд (г) для z < 0, такая, что \ и du/y (—и) = оо
и | / (U у, г) |< ф (г) для 0 < t < Д, 0 < у < Д, z < 0. Пусть
с > 0. Покажите, что уравнение у" = / (/, у, у') имеет решение,
определенное при t > 0, для которого у @) = с и у (/) > 0,
у'(^) ^ 0. (Это частный случай теоремы XII.5.2 и упр. XII.5.3.)
§ 3. Линейные уравнения второго порядка
В большей части этого и следующего параграфов изучаются
решения осциллирующих уравнений (см. § XI.6) вида
ur + q(f)u = O, C.1)
где q (t) — монотонная функция от t.

§ 3. Линейные уравнения второго порядка
597
Теорема 3.1о[«>]. Пусть функция q(t)>0 непрерывна при
0<^<со(<оо) и монотонна, т. е.
dq<0 (или >0). (З.20[оо])
Тогда для всякого решения u(t) уравнения C.1) функции u2 + ur2lq
2 '2 монотонны, так что
(или
(или
C.30[oo])
C.40[co])
Если решение и(г)фО имеет конечное или бесконечное множе-
множество нулей (Q^)to<Zti<• • • , то последовательность
tn — tn-i не убывает (или не возрастает) с ростом п. C.5о[«>])
Более того, если
q(t)->0 (или q(t)->оо) (З.60[оо])
при ^—>со, то уравнение C.1) имеет такие линейно независимые
решения uo(t), Ui(t), что при t—>co
^ + 4-"о2->°° (или 0), C.70[оо])
0 (или оо).
C.80[оо])
Если уравнение C.1) является осциллирующим при t = со,
то из неравенства q > 0 вытекает, что график функции и = \ и (t) \
dq<0
dq>0
Рис. 1.
на (ty г/)-плоскости состоит из последовательности выпуклых дуг.
Из утверждения C.3) следует, что последовательные «амплитуды»
(т. е. максимумы функций | и \ ), соответствующие точкам, в кото-
которых и' = 0, изменяются монотонно. Соответственно, последова-

598 Гл. XIV. Монотонность
тельные максимумы функции | и' |, соответствующие точкам, в кото-
которых и!' = 0, или, что эквивалентно, и = 0, изменяются монотонно
в силу C.4). См. рис. 1. Из теоремы сравнения Штурма вытекает C.5)
и следующее утверждение:
Упражнение 3.1. Пусть функция q (f) ^ 0 непрерывна и не воз-
возрастает при Ti <; ^<; т5, а уравнение C.1) имеет решение, которое
трижды обращается в нуль при / = ть т3, т5, где т4 < т3 < т5.
(а) Докажите, что */(/) имеет в точности два нуля t = т2, т4
и Ti < т2 < т3 < т4 < т5, а Т/+1 — т/ < т/+а — rj+i при / =
= 1, 2, 3. (Ь) Кривая, симметричная графику функции и = | w (О I
для четверти волны т/+1 <; t <; tj+2 относительно вертикальной
прямой t — т7-+1 при /=1,2 или 3, лежит над графиком функции
и = I ы (О I для предыдущей четверти волны т7 <; ^<; т/+1,
т.е. | и (ту+i — О К | w(^+i + 01 при 0 < t < Tj+1 — т7-.
Утверждения C»3), C.4), C.7) и C.8) вытекают из теоремы 1.2,
но мы наметим их доказательства исходя из других соображений.
За исключением утверждения C.5), каждый из двух вариантов
теоремы, соответствующих C.20) или C.2оо), является следствием
другого. Это видно из следующей леммы, которую можно интер-
интерпретировать как «принцип двойственности» для уравнений C.1)
и C.11), причем в последнем уравнении и, и\ q, dt заменяются
соответственно на и\ — (sgn q) и, 1/q, \ q (t) \ dt.
Лемма 3.1. Пусть q (t) ф 0 — непрерывная при 0 -< t < со
функция. Введем новую зависимую переменную v и независимую
переменную s, полагая
v = и', ds= \q (t) \dt u s @) - 0. C.9)
Тогда
■§ = 77r=-(sgn9)"; (зло)
уравнение C.1) эквивалентно уравнению
g 0 = 0, где B(*) = щ C.11)
СО
и 0<s< f dt/\q(t)\*Coo в силу C.9); наконец,
о
±(^y. C.12)
Доказательство. Эта лемма тривиальна, поскольку, в силу (ЗЛО),
dv/ds + (sgn q) и = 0. Продифференцировав это соотношение по t
и разделив на \q(f) |, получим C.11). Равенства C.12) вытекают
из C.9) и (ЗЛО).

§ 3. Линейные уравнения второго порядка 599
Упражнение 3.2. Найдите аналог леммы 3.1, если уравнение C.1)
заменено уравнением (p(f)u')' + q(t)u = 0, где p(t) > 0, q(t) ф 0.
Доказательство теоремы 3.1. Заметим, что если q монотонна,
то функции и2 + u'Vq, qu2 + и'2, очевидно, имеют ограниченную
вариацию на всяком отрезке [0, а] с: [0, со). Соотношения C.3),
C.4) следуют из C.1).
В случае C.20[оо]) из существования решения щ (или и0), удовле-
удовлетворяющего C.80) (или C.7оо)), вытекает существование реше-
решения uQ (или «i), удовлетворяющего C.70) (или C.8оо)). В этом можно
убедиться, привлекая такие соображения. Пусть и0, щ — линейно
независимые решения уравнения C.1). Тогда их определитель
Вронского равен постоянной, отличной от нуля:
0.
Поскольку этот определитель равен
("Т/2"о) (<71/2"i)
из неравенства Шварца следует, что
яи1 + и*). C.13)
Поэтому из C.7оо) вытекает C.8оо) [а после перестановки и0 и и^
из C.80) вытекает C.70)].
Таким образом, в силу леммы 3.1, остается проверить только
C.50[со]) и существование решения ио> удовлетворяющего C.7сс)
в случае C.2оо).
Упражнение 3.3. Предполагая справедливым C.2оо), докажите
существование решения ио^О, удовлетворяющего C.7оо). Для
этого используйте теорему 1.2оо или примените рассуждения, ана-
аналогичные тем, с помощью которых доказывалась теорема 1.1, непо-
непосредственно к функции и2 + uf2/q (вместо || у ||2).
Упражнение ЗА. Сформулируйте и докажите аналог теоре-
теоремы 3.10[оо] в случае, когда уравнение C.1) заменено уравнени-
уравнением (р (t) и')' + q(f)u = O.
Следствие 3.1. Пусть q (t) > 0 — непрерывная и неубывающая
при 0 <; t < со «оо) функция, а уравнение C.1) является осцилли-
осциллирующим при t = со. Пусть и0 (t) — решение уравнения C.1)
и uo(t)-+O при /->-со. Тогда интеграл
(О t
\ и0 (s) ds = lim \ uQ (s) ds сходится C.14)
0 0
(возможно, условно).

600 Гл. XIV. Монотонность
Упражнение 3.5. Докажите следствие 3.1.
Упражнение 3.6. Пусть J^ (t) — бесселева функция порядка (х.
Существует такая постоянная с, что
t
0 < \ Jn(s)ds^c для всех t > 0 и [х > -^ .
о
См. Хартман и Уилкокс [1, стр. 239].
Заметим, что если условия C.2о[оо]) теоремы 3.1 выполнены
для непрерывной функции q(t)>0, а (З.60[оо]) не выполняется,
то ^ (со) = Пт ^ (/) при t —> оо удовлетворяет неравенствам 0 <
<<7@))<о°- Если со = оо и 0 <Cq (оо) <оо, то уравнение C.1)
имеет пару решений и0, ui9 для которых
t t
u0 = cos \ q^2(s)ds + o(l), u'0= -q^(oo)sm \ q^2 (s)ds + o A),
о о
C.15)
t t
= sin f qV2(s)ds + o(l), u[ = q^2 (oo) cos ( ^
в о
при /—>oo; ср. с упр. Х.17.4(а) или XI.8.4(b). В частности,
ul + u\->\ при t-*oo. C.16)
Этот результат используется в следующем параграфе.
Если функция q (t) монотонно стремится к оо (или к 0), то суще-
существует по крайней мере одно решение и0 (/) щЬ 0, которое монотонно
стремится к 0 (или)не ограничено). Если со = оо и функция q (t)
растет достаточно быстро, то все решения стремятся к 0 (или не огра-
ограничены), что можно видеть из асимптотической формулы, приве-
приведенной, например, в упр. XI.8.3 или XI.8.5.
Аналогичное утверждение, не связанное с асимптотическим
интегрированием, сформулировано в следующем упражнении.
Упражнение 3.7. Будем говорить, что монотонная при а <С / <
< оо функция Я (/), стремящаяся к оо при /->оо, имеет «нере-
«нерегулярный рост», если для каждого е > 0 существует неограничен-
неограниченная последовательность /-значений а = t0 <C ti < . . ., такая, что
\ dH(t)<
J
-i- [ dH(t)<e,
ha J
где В = (/о, ti) U (*а, h) U ... и С (п) - (/ь /2) (J (^з, 4) U
. • . U (^2n-i, t2n) суть открытые множества. Если функция Я (/)
не имеет «нерегулярного роста», то мы будем говорить, что она
имеет «регулярный рост». Докажите, что если q (t) — непрерывная

§ 3. Линейные уравнения второго порядка 601
функция, удовлетворяющая C.20[оо]) и C.60[оо]), и если | In q (t) \
имеет «регулярный рост» при а <! / < оо для большого а, то все
нетривиальные решения уравнения C.1) удовлетворяют C.70[со])
или C.80[оо]). См. Хартман [23].
Упражнение 3.8. Пусть п ^> 0, функция q (t) имеет п + 1 непре-
непрерывных производных при t ^> 0, причем (—l)J qa+v (t) ^> 0 для
/ = 0, . . ., п и 0 < q (оо) <; оо. Предположим, что функция f (t)
имеет п + 1 непрерывных производных при t >- 0, (—l)j fO)(f) >-
>■ 0 для / = 0, . . ., п + 1 и / (оо) = 0. Тогда уравнение v" +
+ q (t) v = / (/) имеет единственное решение у (£), такое, что
(— l)j v(h(t) > 0 для / = 0, . . ., п и v(h(t) -> 0 при *-> оо для
/ = 0, . . ., /г + 2. Докажите это утверждение при п = 0, 1, 2.
(Случаи /г ^> 2 более сложны; см. Хартман [22].)
Упражнение 3.9. Пусть 0 ^ t < оо и уравнение C.1) является
неосциллирующим при t = оо. Для решения w^ 0 положим г =
= u'lu и £ = qu2 + г/2. Обозначим через и0 главное решение
(теорема XI.6.4), г0 = ио/ио и Ео = qu\ + и'о2. (а) Пусть q (t) > 0.
сю
Докажите, что г'<0 и \ q (s) ds <; /*(/)<; 1/(/ — ^0) при боль-
t
ших /. (Ь) Если, кроме того, выполнены условия теоремы 3.10
со) = оо,то£->0 при / ->■ оо для каждого решения и (/) уравне-
оо
ния C.1) тогда и только тогда, когда I tq (t) = оо. (с) Пусть
<7(/)<0, dq^>0 [или dq < 0] и (/(оо) = 0 [или q (оо) = — оо].
Тогда для главного решения г0 < 0, г'0> 0, £0 < 0, ^£0 ^- 0
[или Го < 0, г0 < 0, £0 > 0, dE0 < 0] при 0 < / < оо и г0 (оо) = 0,
Ео (оо) = 0 [или /*о (°°) = —°°» ^о (°°) == 01; для неглавного
решения г > 0, г' < 0, £ > 0, dE > 0 [или г > 0, г' > 0, Е < 0,
d£ <; 0] при больших t, а г (оо) = 0 [или г (оо) = оо, Е (оо) =
= —оо]. В этом случае q (оо) = 0, Е (оо) = оо для всех решений
оо
тогда и только тогда, когда — \ tq (t) dt = оо. (d) Пусть q (t) < 0,
dq ^> 0 [или dq ^ 0] и q (oo) = —Я2, где Я > 0. Тогда для главных
решений г0 < —Я, /-; > 0, Ео < 0, ^£0 > 0 [или г0 > —А,, г0 < 0,
£0 > 0, dE0 < 0] при 0 < * < оо и г0 (оо) = —Я, Ео (оо) = 0
ОС t
в обоих случаях. Условие ± \ {ехр 2 \ [— q (s)W2ds}dq(t) =^ оо,
с другой стороны, необходимо и достаточно для того, чтобы для
неглавных решений Е (оо) = оо [или Е (оо) = —оо]; в этом
случае г > Я, г' < 0, Е > 0, d£ > 0 [или г < Я, г' > 0,
£ < 0, d£ <; 0] при больших ^.

602 Гл. XIV. Монотонность
§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение)
В этом параграфе изучается поведение функции г = [u2Q (t) +
+ и\ (f)]1/2 >- 0, где и0 (t) и щ @ — некоторые решения уравнений
u" + q(t)u = 0, D.1)
a q (t) — монотонная функция. Доказательство основной теоремы
этого параграфа основано на результатах, аналогичных тем, которые
были получены в связи с C.15), C.16), и на следующей простой
лемме.
Лемма 4.1. Предположим, что q (t) > 0 — непрерывная при
О < t < со «; оо) функция и
q(t)->l при *->ю, D.2)
причем эта функция монотонна, так что
dq<C0 D.3.)
или
dq > 0. D.3+)
Тогда существуют вещественные решения uo(t),Ui(t) уравнения D.1),
такие, что комплексное решение z (t) = и0 (t) + ш4 (t) удовлетво-
удовлетворяет соотношению
t
z - exp i j 91/2 @ dt, z' ~ iz D.4)
при t—>co; в 5/лож случае
| z |2 ?< 1 <| z |2 а | г' |2< 1 <-^ | г' J2. D.5+)
Замечание 1. Полезно отметить, что в D.54) неравенство
| z |2 >- 1 выполняется при 0 < / < со, если заменить условия
q > 0, d<7 >- 0 условиями ^ <; 0 при 0<^<;/0 и ^ > 0, dq ^ 0
при /о < / < (о для некоторого фиксированного /0. 0 < t0 <. о*',
см. конец доказательства этой леммы.
Доказательство. Если со = оо, то существование решений и0, uif
удовлетворяющих D.4), вытекает из результата упр. Х.17.4 (а)
или XI.8.4 (Ь); см. C.15) и C.16). Если со < оо, то функцию q (t)
можно доопределить до непрерывной функции в точке t=(o, так
что доказательство существования решений щ и щ тогда стано-
становится тривиальным.
Из леммы 3.1 видно, что для доказательства утверждений D.5±)
достаточно доказать D.5+) при условии D.3+). Рассмотрим при

§ 4. Линейные уравнения второго порядка 603
фиксированном ф решение уравнения D.1), равное
и = и0 (t) cos ф + ^i (t) sin ф = Re {e~^z (t)}. D.6)
Заметим, что в силу D.4), и' = Re{e~i(Pz'(t)} = — lm{e-i(Pz(t)} + o(l)
при t—xo. Поэтому
a2 + w'2 = |г |2 + оA) = 1 +o A) при t—>«).
По теореме 3.1оо, из условия D.3+) вытекает справедливость
соотношений (З.Зоо) и C.4оо). Поскольку в силу D.2) qu2 + u'2->l
и и2-\- u'2/q—^>l при /—>со, мы имеем
— и'2 при 0</<ю. D.7)
В частности, qu2 < 1. При фиксированном £ выберем ср так,
чтобы и (f) = \ z (t) \. Это дает первое из четырех неравенств
в D.5+). Аналогично, из D.7) следует, что и2 (t) >- 1, если u'(t) = 0.
При фиксированном t выберем ф так, чтобы u'(t) = 0. По неравен-
неравенству Шварца, | и (t) | < | г (t) |, так что | г (t) \ > 1. Отсюда
мы получаем второе из неравенств D.5+). Два оставшихся нера-
неравенства доказываются аналогично. Этим завершается доказатель-
доказательство леммы 4.1.
Как и в замечании 1, сопровождающем лемму 4.1, заметим, что
определитель Вронского для и0, щ равен 1:
l D.8)
в силу D.4). По лемме 4.1, неравенства D.5+) справедливы при t>t0,
так что \z(t0)
^(Vl'
> 1, | z'(t0) К1. Выберем ф так, чтобы • cos ф =
')\ \
и sinq>= —u'o(to)l\z'(to)\. Тогда решение и удовле-
удовлетворяет начальным условиям
u'(to) =
Если q^O при 0<Ct*Ct0, то, используя выпуклость, можно пока-
показать, что u(t)>0 и u"(t)>0 при 0<^</0. Отсюда u'{t)<
<^/(/0) = 0 и потому u(t)>u(to)>l при0<^</0- Как и выше,
j z (/) | > и (t) > 1. Этим доказано замечание 1.
Упражнение 4.1. Докажите, что если выполнены условия
леммы 4.1, то |2|2g+|z' |2<1 +q в обоих случаях D.3±).
Лемма 4.2. Пусть функция q(t)>0 принадлежит классу С2
при t>t°, а функция
удовлетворяет условию
Q(O->1 при t->oo, D.10)

604 Гл. XIV. Монотонность
причем либо
dQ<0 при t>t°, D.11.)
либо при некотором to>t°
Q<0 при t°<t<t0 и Q>0, dQ>0 при t>to. D.11+)
Тогда уравнение D.1) имеет такую пару вещественных решений
uo(t), Ui(t), что для решения z(t)--uo(t) + iui(t) при t—>o&
выполнено соотношение
t
qWz ~ exp i [ Qm (s) q^ (s) ds, (qWz)' - iq1/2 (qV*z) D.12)
и при t>t° либо
<7|z|4<l, D.13_>
либо
?|^|4>1 D.13+)
в соответствии с тем, какое из условий D.11_) или D.11+)
имеет место.
Замечание 2. Заметим, что если функция q принадлежит
классу С3, то Q имеет непрерывную производную
Поэтому dQ<0, если
<7>0, q'>0, 9"<0, qm>0. D.14)
Замечание 3. Если функция q(t) удовлетворяет условиям
леммы 4.2 и монотонна при больших t, причем 0 <g(oo)<;oot
то условие D.10) излишне. В самом деле, из монотонности Q
следует, что функция \ —Q(t) не меняет знака для больших t,
так что в силу D.9) функция q''lqb/k монотонна. Поэтому интеграл
имеет предел при /—->оо. Поскольку 0<^(оо)<оо и Q моно-
монотонна при больших /, отсюда вытекает D.10).
Доказательство. После преобразования Лиувилля
уравнение D.1) переходит в уравнение
d*U , „/JW, = ()^ где t=zi^ DЛ6)

§ 4. Линейные уравнения второго порядка 605
и Q определяется из D.9); см. § XI.2(xiii). Интервал t° <.t < оо
переходит при этом в некоторый s-интервал: ( —oo<)a<s<
В силу леммы 4.1 и последующего замечания дифференциальное
уравнение D.16) обладает парой вещественных решений Uo (s), Ui (s),
таких, что функция Z (s) = Uo (s) + iUi (s) при s —>co удовлетворяет
соотношениям
Z /^ exp /
и соотношениям, аналогичным D.5±), если заменить z, z', g на Z,
dZ/ds, Q. В частности, |Z|2<1 или |Z|2>1 в соответствии с тем,
какое из соотношений D.11—) или D.11+) выполняется. В силу D.15)
уравнение D.1) имеет решения uo = Uo/q1^, ul = Ui/q1^ и z=uo-\-iuu
так что qi^z = Z в точке t = t(s). Тем самым лемма 4.2 доказана.
Теорема 4.1. Пусть функции q{t), u0, их удовлетворяют усло-
условиям леммы 4.1 с со = оо.
(i) Если выполнено условие D.11_), то
|2|>0f |z|">0 я/7а />/°. D.17)
Если, кроме того, функция q(t) непрерывна при />0,
при O^Ct<Ct° и ^ (/) ^ const > 0 при больших U то
|z|>0, |z|'<0, \z\">0 при 0</<оо. D.18)
(ii) Если выполнено условие D.11+), то
|z|>0, |2|'>0, |z|v<0 при t>t°. ' D.19)
Доказательство. Пусть r = \z\ = (u20 + u\)i/2>0. Продифферен-
Продифференцировав функцию г дважды, мы получаем в силу D.1), что
r"= —qr + r3=r3(l—qr*). D.20)
Так как условия D.13±) означают, что 1 — qr^^>\ или ^1, отсюда
вытекают первое и последнее из неравенств D.17), D.19). Анало-
Аналогично, если q ^ 0, то г" ^> 0, так что выполнено третье из нера-
неравенств D.18).
Как видно из D.13_), функция г (t) ограничена при t-+-oo,
если q (t) >■ const > 0 для больших /. Поэтому неравенство г' ^ 0
следует из неравенств г > 0, г" < 0 в D.18). Аналогично, нера-
неравенство г' ^> 0 вытекает из неравенств г > 0, г" <С 0 в D.19). Тео-
Теорема доказана.
Следствие 4.1. Пусть функция q(t) непрерывна при t > 0 и при-
принадлежит классу С3 при t > t° >- 0. Пусть q <; 0 при 0 <. t <C t°,
а при t > t° выполнены неравенства D.14). Тогда справедливы соот-
соотношения D.18).

606 Гл. XIV. Монотонность
Упражнение 4.2. Рассмотрите уравнение Бесселя
= O. D.21)
Вариацией постоянных u = ti/2v это уравнение можно преобразо-
преобразовать в уравнение
""+(l—*г)и = 0, где а = ^-±, D.22)
так что а = 0, если (O-Ofx^-^- соответственно. Вещественные
решения у = /м,(/), Уц@ уравнения D.21) таковы, что при неко-
некотором вещественном значении 0 функция
D.23)
ур z' — ielt при t
(а) Используя эти факты, докажите, что
удовлетворяет соотношениям z — elt, z' — ielt при t—>oo.
() И ф
если|х>-1, D.24)
±, если ^>(^-i-)/ и
$ [l —%-)>±>t(Jl + Yl), если 0<lx<4-. D.25)
b) Кроме того,
D.26)
2(^+уЬ)>4' если *>0 и 'и<т- D-27>
(с) Функция r = ti/2(Jl + Yt)i/2->0 удовлетворяет D.18) или D.19)
при /° = 0, если соответственно fi>l/2 или 0<fi<l/2. (d) Дока-
Докажите, что
(/2-^I/2(^ч-У^)<|-, если />(а>0. D.28)
Упражнение 4.3. Пусть гг>0. Предположим, что функция q (t)
непрерывна при ,t>0 и имеет п + 2 непрерывных производных,
таких, что (—1K<7°'+1)>О при / = 0, ..., п-\-1 и0<9@0)<00-
(а) Докажите, что уравнение D.1) имеет такую пару решений
uo(t), Ui(t), что uQui — uou[= 1, и если o; = aj + ttj, то (— 1)^ ^t(i)>0
при j = 0, ..., /г + 1 и ш^') —> 0 при t —> оо для / = 1, ..., п + 3.
В то же время w—>l или w—>0 при /—>оо, если ^(оо)<оо
или 9@0)с:::=00 соответственно; см. Хартман [22]. (Ь) Пусть
и^)фО — вещественное решение уравнения D.1), равное нулю
в точках @<)/0<^1< • • • • Пусть &+itk = A(AJ60> так чт0
А1^ = Ын = tk+i — th, Шк = tk+2 — 2**+i + /д, ... . Докажите, что
(-l)i+lAjtk>0 при /=lt ..., /г+1.

§ 6. Случай X > О 607
ЧАСТЬ II. ОДНА ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
§ 5. Постановка задачи
В этой части изучается обобщение одной задачи теории погра-
пограничного слоя. Эта задача касается вопросов существования и един-
единственности решений одной сингулярной краевой задачи для авто-
автономного нелинейного дифференциального уравнения третьего
порядка на полупрямой 0 < t < оо
и"' + ии" + ХA-и'2) = 0 E.1)
с краевыми условиями
и@) = а, и'@) = р и а'(оо) = 1, E.2)
где Я, а, р — постоянные. Кроме того, на решение задачи E.1),
E.2) налагается дополнительное условие
0<и'(/)<1 при 0<*<oo; E.3)
в частности, предполагается, что 0 <С Р< 1. (Без этого ограниче-
ограничения вопросы существования и единственности решения изучены
еще не полностью.)
Уравнение E.1), соответствующее значениям А, = 0 и А, = 1/2,
часто называют дифференциальным уравнением Блазиуса и Хоманна
соответственно. Что касается вопросов единственности, то случаи
А = 0, А > 0, А < 0 резко отличаются один от другого. Хотя
все случаи можно изучить единым способом, для Я > 0 будет при-
приведено отдельно простое доказательство существования. Существо-
Существование и единственность решения в случае К > 0 будут доказаны
в § 6, в случае 1<0 в § 7 и для Я = 0 в §8. В §9 изучаются
асимптотические свойства решений во всех случаях.
§ 6. Случай X > 0
Теорема о существовании решения в случае, когда К > 0, осно-
основывается на следующих простых топологических фактах.
Лемма 6.1. Пусть у, f суть d-мерные векторы, а функция
f (tt у) непрерывна на открытом множестве Q пространства пере-
переменных (t, у) и такова, что задача Коши для системы уравнений
У' =/(*, У) F.1)
имеет единственное решение. Пусть Q0 — открытое подмножество
в Q, причем все точки выхода из Q0 являются точками строгого
выхода и множество Qe точек выхода несвязно. Обозначим через Q*
множество точек входа для Q0, через S — такое связное подмноже-
подмножество в Q°[}Qe[jQi, что S f| (Q° у Qt) содержит две точки

608 Гл. XIV. Монотонность
(tu yi)> (^2> У2)у для которых решения t/j(t) системы F.1), прохо-
проходящие через (tj, yj) при j = 1, 2, покидают Qo с ростом t в точках,
принадлежащих различным связным компонентам множества Qe.
Тогда найдется по крайней мере одна точка (to, у о) 6 S П
n(&°U^i)» такая, что решение у0 (f) системы F.1), определяемое
условием УоУо) = Уоу остается в Q0 на своем правом максимальном
(открытом) интервале существования.
Определения точек входа, выхода и строгого выхода см. в §111.8.
Доказательство. Если лемма неверна, то существует непрерыв-
непрерывное отображение л: S -> Qe, где при (/<>, Уо) 6 5 точка я (/0, у0)
является первой точкой (t, у), t^U, в которой решение, прохо-
проходящее через (to, у о), встречается с Qe. Отображение я непрерывно,
поскольку каждая точка выхода из Q0 является точкой строгого
выхода, а решение системы F.1) непрерывно зависит от начальных
условий (теорема V.2.1). Поэтому из связности множества 5 выте-
вытекает, что образ п (S) a Qe является связным множеством, но это
противоречит нашему предположению о существовании точек
(tu yi) и {t2, y2).
Теорема 6.1. Пусть Я>0, — оо < а < оо, 0 < р < 1. Тогда
существует одно и только одно решение u(t) задачи E.1), E.2),
E.3). Это решение таково, что
и" @ > 0 для 0 < t < оо. F.2)
Применяя лемму 6.1, мы используем следующий факт: в случае
Р -- 1 задача E.1), E.2) имеет тривиальное решение
и = а + U и' = 1, и" = 0. F.3)
Поэтому определяемое ниже множество Qe будет несвязным.
Доказательство теоремы единственности проводится в этом
параграфе как для Я > 0, так и для X = 0. Она будет выведена
из упр. III.4.1 и использует неравенство F.2); ср. с (8.4).
Доказательство. Существование решения при Я>0. Перепишем
дифференциальное уравнение E.1) в виде системы первого порядка
для трехмерного вектора у=(у19 у2, у3), где уг = и, у2 = и', у* = и":
yi' = y29 y*' = y*f ^'=-#У-Ч1--@2J]. F.4)
Рассмотрим это уравнение во всем пространстве Q переменных
(t, у). Пусть множество
Q°={(*. У): U У1 произвольны, 0<г/2<1, */3>0}

§ 6. Случай X > О 609
открыто, а его граница состоит из множеств
Q1 =={(/, у): t, у1 произвольны, 0<*/2<1, у3 = 0},
^2 = {(^ У): U У1 произвольны, у2=\у У3>О},
Q3={(t, у): t, у1 произвольны, #2=1, #3 = 0},
Qi = {(t, у): t, у1 произвольны, у2 = 0, */3>0};
см. рис. 2. Легко проверить, что множество точек выхода из Q0
совпадает с Q1 (] й2 и все точки выхода являются точками строгого
О ^1 1
Р и с. 2. Проектирование Qi, Pj на (г/2, г/3)-плоскость.
выхода. Точки входа образуют множество Qt. Решение y(t), про-
проходящее через точку (t0, у0), где yl = yl = 0, не лежит в Q0 рри
малых |/ — /0|, поскольку у2' =-у3 = 0, а из того, что у2" = у3'=
= — Я < 0 при / = 0, вытекает неравенство #2 (/) < 0 при малых
|/ —^о 1=7^0• Заметим, что точки из Q3 не являются ни точками
входа, ни точками выхода, поскольку им соответствуют тривиаль-
тривиальные решения F.3).
Мы видим, что множество Qe = Q1 (J Q2 несвязно. Пусть
S = {(/, У): t=-0, y = (a, р, у) и у произвольно}, где а, р фикси-
фиксированы, 0 < р <; 1. Множество S d £2° [} Qt является связным.
Обозначим через уу (t) решение системы F.4), проходящее через
точку (t, y) = @, а, р, у).
Если 0<р<1, то точка (/, у) = @, а, р, 0) ^Q1 является
точкой строгого выхода из Q0. Поэтому ясно, что если у>0
мало, то кривая (/, yy(t)) выходит из Q0 при некотором t>0
в точке, принадлежащей Q1. То же верно и для р = 0 при малых
Покажем, что если у>0 велико, то дуга решения (/, yy(t))
покидает й°, проходя через точку из Q2, где у2=1. Запишем
третье уравнение системы F.4) в виде
У3' = - (JW + (У2J - Я [1 - (у*)*]. F.5)
39—241

610 Гл. XIV. Монотонность
Вдоль кривой у = уу (t) при (t, yy (/)) £ Q° компонента у2 не убывает
(поскольку у2' = у3>0). Следовательно,
p2). F.6)
Интегрируя, получаем, что при t>0
Поскольку 0^Cy2(t)^Cl, так что a^.y1(t)^.aJrt, имеем
Следовательно, если у достаточно велико, значение у3 (t) становится
больше данной положительной постоянной на большом /-интервале
[0, /], если точка (/, yy(t))£Q°. Поскольку у2' = у3, кривая (/, уу(ф
выходит из й° в точке, где у2 = 1.
По лемме 6.1 найдется такое значение 7:=Vo>O, что
(U #v@K^°U^z на своем правом максимальном интервале суще-
существования, который обязательно совпадает с полупрямой 0<Ct<ioo.
Для этого решения у1' = #3>0 при />0, так что у2>0 при
больших t. Поскольку г/3/< — Я [1 — (у2J] <0 при больших /, то
существует Wmy3(t) при t—>oo. Этот предел равен 0, поскольку
у2 (t) < 1 при всех />0. Следовательно, у2-^>\ при /—>сх>
(в противном случае у3' < — const < 0). Этим завершается доказа-
доказательство существования.
Единственность при А,> 0. Доказательство основывается на вве-
введении новых переменных вдоль решения u = u(t) уравнения E.1),
для которого u'(t)>0- Пусть и — новая независимая переменная
и г = а'2 > 0 — новая зависимая переменная, так что dldt = и' d/du =
= zi/2d/du или d/du = z-V2d/dt. Поэтому, если обозначать точкой
дифференцирование по и, то
и' = 21/2>0, W = -yz, и'г' = -^г^г. F.7)
Уравнение E.1) переходит в уравнение
zi/2z + uz4-2X(l—z) = 0, где z = dz/du, F.8)
краевые условия E.2) —в условия
г(а) = $2, F.9)
z(oo) = l, F.10)
а условие E.3) —в условие
0<z<l при а<и<:оо. F.11)
Пусть г (а) —решение задачи F.8), F.9), причем 0<г(^)<1
и z{u)>0 на некотором полуинтервале (а, ио]. Пусть u = U{z) —

§ 6. Случай Я > о 611
функция, обратная к z = z(u). Положим
V(z) = z(U(z)). F.12)
Тогда
поскольку dV/dz = zd(J/dz = z/V, так что в силу F.8)
dV _ U 2X(l-z)_ /й1..
Тогда F.13), F.14) составляют систему дифференциальных
уравнений для вектора (—U, V), причем функция в правой части
F.13) возрастает при возрастании V (>0), а функция в правой
части F.14) возрастает с ростом —U и не убывает с ростом V при
V > 0 и X >- 0. Следовательно, если (Ui (г), 74 (г)) и (£/2 (z), V2 (z)) —
два произвольных решения системы F.13), F.14), такие, что
Ui (Р2) = U2 (Р2) = a, Vi (Р2) > V2 (Р2) > 0, то U2 (г) > £Д (г),
V± (г) > У2 (z) и функции U2 (г) — Ui (z), Fi (г) — V2 (г) возрас-
возрастают с ростом z на всяком интервале Р2 < г <d z0 (^1), на котором
решение определено; см. упр. Ш.4.1(а) и (Ь).
Предположим теперь, что задача E.1)—E.3) имеет два различ-
различных решения и± (/), и2 (/) при />0 и и[@) > и@). В силу F.2)
или (8.4) щ > 0 при 0^/<оои^]->0 при t —>■ оо. Пусть z4 (w),
z2 (w) — соответствующие решения уравнения F.8), определенные
по F.7); Ui (г), U2 (z) — функции, обратные к z4 (и), z2 (и), и ^ (г),
]/2 (г) определены по F.12). Тогда функции Uj (z), I// (z) > 0 опре-
определены при Р2 < г < 1. При этом Ui (Р2) = U2 (Р2) = а и Vi (P2) >
> V2 (Р2). Так как и] ->- 0 при ^->- оо, то 1Л — У2 ->■ 0 при z->- 1,
но функция Fi — 1/2 > 0 возрастает вместе с z. Мы приходим к про-
противоречию, что доказывает единственность.
Упражнение 6.1. Пусть и (t, Я) — решение, существующее в силу
теоремы 6.1. Изменив доказательство единственности, покажите,
что если 0 < Я < [л, то и" @, Я) < а" @, \i) и и (t, К) < и (/, 4и),
аг (/, X) < и' (/, (л) при 0 < ^ < оо.
Упражнение 6.2. Если а ^ 0, то утверждение о единственности
в теореме 6.1 можно доказать, применив один вариант упр. XI 1.4.6 (а)
к F.8), где и > а >- 0 при t > 0 (и заменив отрезок 0 <; t <; р,
фигурирующий в упр. XII.4.6 (а), полупрямой 0 ^ /< оо).
Упражнение 6.3. Пусть X > 0. Покажите: что если< оо < а <
< оо и р > 1, то задача E.1), E.2) имеет одно и только одно реше-
решение и t), для которого ur (t) > 1 при 0 < /< со. Это решение
таково, что и" < 0 при 0<^/<со и и' -> 0 при / ->• со.
39*

6J2 Гл. XIV. Монотонность
Упражнение 6.4. Приведите другое доказательство существова-
существования в теореме 6.1, основанное на следующих соображениях. Пусть
г = 1 — и. Тогда уравнение E.1) можно записать в виде
z"A-uz' — %(l+u')z = 0, u = a4-t— f z(s)ds. F.15)
о
Определим последовательные приближения, полагая z° (t) = U
и0 (t) == 0, и после того как определены 2°, . . ., zn~\ и0, ..., ип~г,
примем в качестве zn (t) решение уравнения
z" + un-1(t)z' — h[l+un-1'(t)]z = O, F.16)
удовлетворяющее условиям z @) = 1 — р, z>0, z'<0 при t>0;
см. следствие XI.6.4. Функция zn (t) единственна и zn(t)—>0 при
/—»оо; см. упр. XI.6.7. Положим
t
Покажите, что l=zo>z1>... при t>0 и zv>z2'>... при
t = 0; см. следствие XI.6.5. Аналогично, определим последователь-
последовательные приближения z0, z1? . . ., так что
t
п ^
о
a zo(/)==O. Покажите, что О^-го<г1<;г2<;. . . при />0
и zi@)<22@)< . . . . При этом 2^(/)<г^(/) для />0и ]\ k =
= 0,1, . . ., a z;-@)<£fe/ @) для /,£=1,2,... . Покажите, что
lim гд (/) = г (/), limzn(/) = z(^) и что последнее равенство в F.15)
определяет решения задачи E.1) —E.3). (Эти решения совпадают
в силу теоремы единственности 6.1.)
§ 7. Случай I < 0
В случае Я<0 аналогом теоремы 6.1 является следующая
Теорема 7.1. Пусть Я, E фиксированы, Я<0 и 0<р<1.
Тогда существуют число А = Л (Я, E) г/ непрерывная возрастаю-
возрастающая функция у (а), определенная при а>Л а такая, что
Л) = 0, а <?с./ш и (t) — решение задачи
+ 1A-и'2) = 0, G.1)
, м'(О) = Р, G.2)

§ 7. Случай I < О 6J3
то условия и'(оо)=1 и E.3) имеют место в том и только
в том случае, когда а>Л и 0<1^"@)<[у(а), причем
и" (t) > 0 при О < / < оо. G.3)
Таким образом, при фиксированных К < 0 и Р из полуинтервала
О <; р < 1 задача E.1) — E.3) имеет одно и только одно решение,
если а = А. Когда а < Л, решение не существует, а когда а > Л,
существует семейство решений. При К < О доказательство един-
единственности, приведенное в предыдущем параграфе, не проходит,
поскольку функция, стоящая в правой части равенства F.14),
не убывает с ростом V.
В одном месте доказательства мы используем простые оценки
из упр. XI.9.7 для решений уравнения Вебера, существование
которых следует из упр. Х.17.6. Рассмотрим сингулярную крае-
краевую задачу F.8) — F.11). Если г = г (и) — решение этой задачи,
то решение задачи E.1) —E.3) получается с помощью квадратуры
t=
Заметим, что обычные теоремы существования применимы к диф-
дифференциальному уравнению F.8), если только г>0. Тем не менее,
решения уравнения
—z) = 0, где z = dz/du, G.4)
«определяемые» начальными условиями
z(a)=-pa, z"(a) = V, G.5)
О <С Р< 1, 7^-0, будут рассматриваться (по крайней мере, для
малых и — а >* 0) даже при р = 0. Понимать это следует в том
смысле, что и = и (t) есть решение уравнения E.1), удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям и @) = а, и@) = Р ^> 0, и" @) = у/2 ;> 0, а г =
= г (и) определяется из F.7). В критическом случае г (а) = 0,
г (а) = 0 (т. е. Р = у = 0) из E.1) вытекает, что и'" = — К > 0,
откуда и" > 0 при малых t > 0, так что и' > 0 при малых t > 0
и 2>0 при малых и — а > 0.
Доказательство теоремы G.1) будет разбито на несколько
этапов.
Доказательство, (а) Решение z(и) задачи G.4), G.5) при
0 < Р2 < 1, у > 0 удовлетЕоряет условию г (и) > 0 при и > а до тех
пор, пока 0<z(h) < 1.

614 Гл. XIV. Монотонность
В самом деле, если найдется точка и4>а, где
z(u)>0 при a<iu<iui и 0<z(wi)<l, то z(Ui)^.O. Но это
невозможно, поскольку, в силу G.4), z(ui)>0.
(b) Пусть р2>0 и 7>0- Тогда найдется такая постоянная
а° = а°(Я, р, у), что если а>а°, то решение задачи G.4), G.5)
существует на ^-интервале [а*, а], z(w)>0 на [а*, а] и z(w) = O,
если и = а*.
Выберем а0 настолько большим, что при а>а° число
г(а)= — р"х[ау + 2А,A — р2)] отрицательно.
Тогда из соображений выпуклости утверждение относительно г (и)
справедливо, если только при убывании и от а мы не встретим
первую точку иь в которой z(ui) = 0 раньше, чем z(u) обратится
в нуль. Покажем, что такая точка ut не может существовать,
если а0, а значит, и а достаточно велики. Если и{ существует,
то z(ui)>z(u)>z(a) = y при uY<u<ia. Поэтому
так что
Из G.4) и того, что z(ui) = 01 вытекает соотношение
— 2А, [1 — z (f/i)] = 0, так что «|>0и
Из двух последних формул (*) и (**) следует, что
Число в правой части отрицательно, если а0 (а потому и а >- а0)
достаточно велико. Это противоречие доказывает утверждение (Ь).
(с)„ Пусть z (и) — решение уравнения G.4), такое, что при боль-
больших и выполнены неравенства г (и) > 0 и 0<г(ы)< 1. Тогда
z (и) -> 1 при и ->■ оо.
Для доказательства этого утверждения предпочтительнее исполь-
использовать вместо G.4) уравнение E.1). Дифференцируя это уравне-
уравнение, получим
а<4) + иит + A — 2К) и'и" = 0.
По предположению, 0 < и' < 1 и и!' > 0 при больших t. В тех
точках, где и'" = 0, мы имеем и^ < 0. Поэтому u'"(t) имеет
не более одного нуля, так что и!" < 0 при больших / (поскольку,
если и!" > 0, то и" > 0 и производная и1 не ограничена).

§ 7. Случай X < О
6J5
Предположим, если это возможно, что lim u!(f) < 1. Тогда,
в силу E.1), ии" >- с> О при больших t с некоторой постоянной с.
Zl(u)
.zz(u)
ос XJY(z) Uz(z) и
Рис. 3.
Отсюда и'и">си'1и и потому и'2/2> с In a + const —> оо при
/„^оо. Это противоречие доказывает (с).
(d) Пусть zx(u), гг{и) — два решения уравнения G.4), такие,
что либо
z2(a) = zl(a) = fi2, 0<р<1,и 0<z2(a)<Zi(a) G.6)
с а = ol{ = a2j либо
G.7)
G.8)
см. рис. 3 и 4. Пусть и = Uj(z) — функция, обратная к z = Zj(u)
о Vj = Zj(Uj(z)) при / = 1, 2. Тогда, до тех пор пока решения
oq Ui(z) a2 С/2Г2; и
Рис. 4.
^ = Zj (и) таковы, что Р2 < z < 1,
Vl(z)-V2(z)>0, G.9)
^2 B) — Ut (z) > 0 возрастает с ростом г. G.10)
В частности, кривые z = Zi(u) и 2 = z2(m) на (и, г)-плоскости
не пересекаются при ^>а2 до тех пор, пока P2<Zj<cl.

616 Гл. XIV. Монотонность
Для каждого / вектор (Uj, Vj) является решением системы
F.13), F.14). Поскольку правая часть этих уравнений возрастает
с ростом V, —U соответственно, утверждения G.9), G.10) вытекают
из предложения (а) и из результатов упр. Ш.4.1(а) — (с), если
V\ (ai) > 0, т. е. zi (а4) > 0 в G.8). В случае гх (а4) = z2 (а2) = 0
доказательство получается из соображений непрерывности (причем
сначала мы показываем, что вместо G.10) справедливо утверждение
о том, что функция U2 — U\ > 0 не убывает).
(e) Пусть Zi (и), г2 (и) — решения уравнения G.4), удовлетво-
удовлетворяющие G.7) и условию Zi (oci) ^ 0. Тогда существует такое поло-
положительное 8 = 8 (аь а2, Р), что если
0<г2(а2)<г1(а1) + в, G.11)
то кривые z = Zi (и), г = г2 (и) не могут пересечься при и > а2
до тех пор, пока Р2 ^ zu z2 < 1; см. рис. 4.
Пусть z3 (и) — решение уравнения G.4), для которого z3 (a2) =
= Р2, z3 (а2) = Zi (а4). Пусть функция и = U3 (z) является обрат-
обратной к z = z3 (и) и V3 = z3 (U3 (г)). Тогда U± < a2 < f/3, 0 < V3 <
< 1Л на некотором z-отрезке р2 <С z ^ Р2 + б, в частности, при
z = Р2 + б. Из соображений непрерывности, если е > 0 достаточно
мало в G.11), Ui<a2<U2 и 0 < V2 < 1Л при z - Р2 + б.
Утверждение (е) вытекает из (d), если заменить аи а2 на £Д (Р2 + б),
^2 (P2 + ^) соответственно.
(f) Предположим, что уравнение G.4) имеет решение, удовлетво-
удовлетворяющее F.9) — F.11). Тогда существует такое число у* = 7*(°0»
что решение уравнения G.4), определяемое условиями G.5), удо-
удовлетворяет F.9) — F.11) тогда и только тогда, когда 0 ^ у <; у*.
Покажем вначале, что если у > 0 достаточно велико, то решение
задачи G.4), G.5) не удовлетворяет условиям F.9) — F.11). Рас-
Рассмотрим полуинтервал а < и ^ а + 1 и предположим, что на нем
0 < z < 1. Тогда из G.4) видно, что z1/2z > — uz >- — (а + 1) 2-
Разделив на z1/2 и проинтегрировав по [а, и], получим, что 2 ^> у —
— 2 (а + 1) г1/2 ;> у — 2 A + | а |). Интегрируя последнее нера-
неравенство по отрезку [а, а + 1], мы приходим к противоречию,
поскольку z > 1 при ^ = а + 1, если у > 2 A + | а |) + 1.
По предположению, существует такое у ;> 0, что решение задачи
G.4), G.5) удовлетворяет F.11). Пусть у* = sup у, где верхняя
грань берется по всем таким у. Из (d) следует, что решения задачи
G.4), G.5) при 0 <; у < у* удовлетворяют F.11), а при у > у*
не удовлетворяют F.11). В случае когда у = у*, доказательство
вытекает при у* = 0 из сделанных нами предположений, а при
у* > 0 — из соображений непрерывности.
*

§ 7. Случай I < 0 617
(g) Существуют a0, Ро (где 0 < р0 < 1) и 7о > 0, такие, что-
решение уравнения G.4), определяемое условиями
существует при и > а0 и
0<^<оо. G.13)
Рассмотрим уравнение Риккати, в которое переходит уравне-
уравнение G.4) после подстановки
w=l—z, r = w/w. G.14)
Это уравнение имеет вид
/•=->-S-~^o. GЛ5)
Рассмотрим дифференциальное уравнение Вебера
v~\-uv — 2'kv = 0, где v = dv/du. G.16)
Если обозначить через s логарифмическую производную от нетри-
нетривиального решения
s = v/v, G.17)
то уравнению G.16) соответствует уравнение Риккати вида
s= -s*-Bk — us). G.18)
В силу результата упр. X. 17.6 (а), уравнение G.16) имеет решение
v=^-v(u), такое, что s = v/v ~ — и при и —> оо. Пусть v(u) > 0 при
больших и и а0 настолько велико, что
О <iv(u) <1 и 2Х — us>0 при и>ао>О. G.19)
Определим числа Р0>0, Yo>O так, чтобы
PJ-l-yfoo), То<-у(оо), G.20)
и пусть z (и) — решение задачи G.4) и G.12). Тогда
w (о<>) = 1 — г (а0) -~ v (а0) > 0, 0 > w (а0) = — г (а0) > у (а„); G.21)
в частности, г (а0) > s(a0). Покажем, что
) G.22):
для всех таких а>а0, для которых r(w) существует. На всяком
отрезке ао<^<ссь где r(u)>s(u), мы получаем после интегри-
интегрирования, что w (w)> у (м) >0, поскольку r = w/w, s = v/v и выпол-

618 Гл. XIV. Монотонность
нено G.21). В этом случае 0<z(a)<l при ao^u^ai, так как
z(u) = l—w(u)<:l.
В силу G.21) неравенство r>s справедливо и при и = а0.
Предположим, что существует первое значение u = ai> cc0, где
нарушается неравенство G.22); тогда s(ai)>r(ai). Но в силу
G.18) и последнего неравенства в G.19)
Это противоречие показывает, что при и ^> а0 справедливы нера-
неравенства G.22) и 0 < z (и) < 1.
(h) Существует такое число Ло = Ло (К, Р), что если а >• Ло,
то уравнение G.4) имеет решение, удовлетворяющее условиям
<6.9) — F.11).
Пусть 0 < у < Yo и at > max (а0, а0), где числа (а0, Ро, То)
определены в п. (g), а число а0 = а0 (А,, р0, 7) введено в п. (Ь).
Рассмотрим решение z± (и) уравнения G.4), определяемое усло-
условиями
гЫ-Ро2, z(ai) = y. G.23)
Тогда в силу п. (d) решение zi(w)He может пересекаться с решением
г0 (и), определяемым условиями G.12). Поскольку г^ (и) возрастает
в тех точках, где 0 < zy (и) < 1, в силу утверждения (а), отсюда
следует, что решение г4 (и) существует при и ^ а{ и р^ < zt (и) <
< z0 (и) < 1 при и > cq.
Используя п. (Ь), можно определить решение Z\ (и) на отрезке
[ос*, aj так, чтобы z^ (и) -> 0 при и -> а*. При заданном Р, 0 ^ р <
< 1, существует единственное а-значение Ао = А0(Х, Р), а*<;
<; Л о < оо, такое, что zt (Ло) = Р2. Положим 7i = z4 (Ло), так что
7i > 0 в силу (а) или (Ь) в зависимости от того, будет ли Р > О
или Р = 0.
Как и выше, из (d) получаем, что существует решение г (и)
уравнения G.4), удовлетворяющее условиям z (а) = Р2 и z (а) = у,
где а;>Л0 и 0 <; 7 <^ Ть причем 0 < г (и) < z4 {и) < 1 при
и > а. В силу (с) утверждение (h) доказано.
(i) Существует такое число Л (А,, Р), что решения уравнения G.4),
определяемое условиями z (a) = p2, z (а) = 0, удовлетворяют усло-
условиям F.9) — F.11), если а>-Л; но если а< Л, уравнение G.4)
не имеет решения, удовлетворяющего условиям F.9) — F.11)*
Пусть а^ = — | 23А, |~1/2я. Покажем вначале, что если г (и) —
решение задачи G.4) и G.5), где а < о^, то z (а) принимает значе-
значение 1 в некоторой точке полуинтервала и <; а — а* < 0. В силу ре-
результата, полученного в п. (d), достаточно рассмотреть случай
7 = 0.

§ 7. Случай I < О 6J9
Предположим, если это возможно, что 0 < г (и) < 1 при а <
< и <; а — о^. Тогда функция w = 1 — z такова, что О < w < 1.
Пусть г = о>/о>, как и в G.14), так что выполнено уравнение G.15).
Заметим, что w = 1 — Р2 и w = — 7 = 0 при и = а, так что
/* =0 и, в силу G.15), г = 2Я/р < 0. В тех точках, где а <; и <; 0,
г<0и0<и1<1, имеем г <; — г2 + 2Х. При этом г (и) ^ R (и),
где # (и) = — | 2А, I1/2 tg | 2А, I1/2 (а — а) — решение уравнения
R = — R2 + 2А,, /? (а) = 0 [поскольку уравнение Риккати
R = — R2 + 2А, соответствует уравнению у — 2А# = 0; см.
§ XI.2(xiv)]. Поэтому
w/w<C -1 2А, |1/2 tg | 2Я [1/2 (м - а),
если а<а^а — ai!!<0 и г = w/w ^ 0. Ясно, что предположе-
предположение г <; 0 является излишним, так как 0 < | 2К |1/2 (и — а) <
< л/2 на этом множестве ^-значений. Поскольку функция tg t
не интегрируема на полуинтервале 0 ^ t < я/2, отсюда следует, что
w -> 0 при и-> Uq для некоторого и0 ^ а — о^. Это противоречие
доказывает справедливость нашего утверждения.
Если число а = ах обладает тем свойством, что решение z (и)
уравнения G.4), удовлетворяющее условиям z (а) = р2, z (а) = 0,
принимает значение 1 для некоторого и > аь то в силу (d) то же
верно и для всех а < а4. Пусть Л = sup а4. Тогда Л < с», так как
о^ < А <; Л о, где Л о определено в (h).
Если а > Л, то решения уравнения G.4), для которых z (a) =
= Р2, z (а) = 0, удовлетворяют условиям F.9) — F.11). По непре-
непрерывности, то же верно и при а = Л. Как видно из п. (d), если а <
<Л, то задача G.4), G.5) не имеет решения, удовлетворяющего ус-
условиям F.9) — F.11).
(О Число Л (А,, Р), определенное в п. (i), равно Л = inf Ло (К Р),
где нижняя грань берется по всем числам Ло (^, Р), удовлетворяю-
удовлетворяющим условию из п. (h).
В самом деле, неравенство Л ^ inf Ло (^, Р) очевидно, посколь-
поскольку Л <; Л о (Я,, Р), как показано при доказательстве утверждения (i).
Но если а4 < inf Ло (Я, Р), то а4 удовлетворяет условиям п. (i),
так что из неравенства а4 < inf Ло (Я, Р) следует, что а{ < Л;
поэтому Л >• inf Л о (Я, Р).
(к) Доказательство теоремы 7.1. Из определения постоянной
Л (Я, р) в п. (i) и (j) ясно, что уравнение G.4) имеет решение, удо-
удовлетворяющее условиям F.9) — F.11) тогда и только тогда, когда
а > Л (А,, р). В силу утверждения (f), для а > Л (А,, р) можно
указать такое число 7* = 7* (°0» что р^ш^ния задачи G.4), G.5)

620 Гл. XIV. Монотонность
удовлетворяют условиям F.9) — F.11) тогда и только тогда, когда
0<7<7*-
Очевидно, что в силу п. (е) функция7*(а) является возрастающей.
В частности, 7*(а) > 0 ПРИ а > Л [поскольку у* (А) ^> 0].
Покажем теперь, что 7* (A) = 0- Для этого предположим про-
противное, т. е. что 7* (А) > 0- Рассмотрим решения z4 (и) и z2 (a)
уравнения G.4), определяемые условиями z4 (Л) = р2, z4 (Л) =
= 7*(^) и 22(Л) = Р2, z2 (Л) = у*(А)/2 соответственно. Пусть
функции и = Uj (z) являются обратными к z = Zj (и) и Vj (z) —
= г ([/, (г)). Тогда U2 (z) > t/i(z) и V,(z) > 1/2 (г) при р2 < z < I.
Пусть а<Л, г (а) — решение уравнения G.4), для которого
z (а) = Р2, z (а) = у*(А)/2, функция U (z) является обратной
к z (и) и V (z) = z ((/ (г)). Фиксируем б > 0. Тогда, по непрерыв-
непрерывности, U (Р2 + б) > U, (Р2 + б), Vi (Р2 + б) > V (Р2 + б) при
малых Л — а > 0. В силу (е), функция z (и) определена при боль-
больших « и z(«)<Zi(w)< 1. Следовательно, эта функция удовлетво-
удовлетворяет условиям F.9) — F.11). Так как а < Л, мы приходим к про-
противоречию. Этим доказано, что у*(А) = 0.
Это рассуждение позволяет теперь доказать, что 7*(а — 0) =
= 7* (°0 при а>Л. Рассматривая решения уравнения G.4),
удовлетворяющие G.5) и условиям z (a) = p2, z (а) = 7*(°0> а так-
также используя непрерывность, можно показать, что решение урав-
уравнения G.4), определенное условиями z (a) = P2, z (а) = у*(а + 0),
удовлетворяет условиям F.9) — F.11). Поэтому 7*(а + 0) <
<; 7* (а)- Этим доказана непрерывность функции 7*(а) ПРИ а <> А.
Если положить 7 (а) == 27*(а), то теорема 7.1 будет доказана,
поскольку ti' = г/2.
§ 8. Случай i, = 0
Если X = 0, то дифференциальное уравнение E.1) принимает вид
и'" + ии" = 0, (8.1)
а краевые условия остаются теми же:
и@) - а, и'@) - Р, м'(оо) - 1, (8.2)
0 < м'@ < 1 при 0 < t < оо. (8.3)
Теорема 8.1. Если 0<р<1, то задача (8.1) — (8.3) имеет
одно и только одно решение при каждом а, — оо < а < оо. Если
Р = 0, то существует такое число А <; 0, что задача (8.1) — (8.3)
имеет решение в том и только в том случае, когда а ^> А, /г/?а этом
оно единственно. Как при 0 < Р < 1, так и при Р = 0 указанное

§ 8. Случай X = О 621
решение удовлетворяет неравенству
и" (/) > О при О < t < оо. (8.4)
Заметим, что единственность была доказана в § 6 в ходе доказа-
доказательства теоремы 6.1.
Доказательство. Доказательство будет разбито на этапы (а)— (i),
но иногда оно будет лишь намечено ввиду полной аналогии
с рассуждениями, использованными при доказательстве теорем 6.1
и 7.1.
(a) Если и (t) — решение уравнения (8.1), то либо u"(f) ~ О,
либо u"(t) > 0, либо u"(t) < 0 при всех /, для которых определена
функция и (f). В самом деле, (8.1) можно рассматривать как линей-
линейное уравнение первого порядка относительно и"\ поэтому либо
и" = 0, либо и!' Ф 0.
(b) Обозначим через uv (t) решение уравнения (8.1), удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям
и @) - а, и'@) = р > 0 и и"@) - 7 > 0. (8.5)
Тогда существует uy(t) при /^-Ои существует предел
, Ц,(оо)>0. (8.6)
t—VOO
Так как и"у > 0 для всех t, для которых щ (t) существует,
и а^@)>0, то ясно, что найдется такое t0, что uy(t) определено
при 0-</</0 и uy(t0) = l. Кроме того, uv(t)>l при всех />/0,
для которых решение щ (t) существует. Следовательно, при
'у (t) < uHy (to) exp (to-t), (8.7)
0 < uy (t)-u'y (tiXuy (t0) [exp (/o-^j—exp (to-t)\, (8.8)
откуда вытекает утверждение (b).
(c) Предел и'у(со) непрерывно зависит от у;>0. Ясно, что
to = to(y), Uy(t0) непрерывно зависят от у. Следовательно, в силу
(8.8) и'у (t)—>и'у (оо) равномерно при /—>оо на замкнутых огра-
ограниченных отрезках, принадлежащих полупрямой 0 < у << оо. Поэтому
и'у(оо) является непрерывной функцией от у.
(d) Предел и'у(оо) является возрастающей функцией от у>0.
Это вытекает из рассуждения, с помощью которого доказывалась
единственность в теореме 6.1.
(e) Задача (8.1) —(8.3) имеет (единственное) решение при а = 0,
C = 0. В самом деле, если и (/) — решение уравнения (8.1) и с>0,
то функция cu(ct) тоже является решением уравнения (8.1) (это
легко проверить непосредственно). При а = C = 0, следовательно,
cUi (ct) = uy (t) при 7 = с3, так что и'у (оо) = у2/3и[ (оо). Поскольку
м[(оо)ф0, существует единственное значение 7>0* ПРИ котором

622 Гл. XIV. Монотонность
u'y(oo)=l, и функция uy(t) будет искомым решением задачи
(8.1) — (8.3), соответствующим а = |3 = 0.
(f) Предельное значение и'у(оо) стремится к оо при у—>оо.
В самом деле, обозначим на время иу (t) через мар7 (/), чтобы под-
подчеркнуть зависимость от а и р. Как это видно из рассуждения, про-
проведенного при доказательстве п. (d) в теореме 7.1, иа$у(оо)
не возрастает с ростом а и не убывает с ростом |3 и у. Как
и в доказательстве утверждения (е), имеем иаоаз (t) = atim (at)
при а>0. Поэтому ufaoa^(°°) = a2u'ioi (оо)—> оо при а—>оо. Этим
доказано утверждение (f).
(g) Если при фиксированном |3, 0<р<1, задача (8.1)—(8.3)
имеет решение и0 (t)> когда а = а0, то она имеет решение и при
а>а0.
Рассуждения, использованные при доказательстве утверждения (d)
в теореме 7.1, показывают, что из существования решения при
а = а0 вытекает существование решения uy(t) уравнения (8.1)
с и'у(оо)<1, где у = и°"@). Поэтому из утверждений (с), (d)r
и (f) вытекает утверждение (g).
(h) Если |3 = 0 и а<—2, то задача (8.1) —(8.3) не имеет
решения. Посмотрим, как задача (8.1) — (8.3) сводится к задаче
F.8) — F.11) при Х = 0. Дифференциальное уравнение F.8) при
Х = 0 имеет вид
= 0, где z = dz/du, (8.9)
причем a<i/<oo. Пусть а< — 2 и а<а< — 1, так что
z=—uz/zV2>z/zV2. Тогда z>y + 2zV2, так как C = 0. В част-
частности, z>2z1/2 и потому z1/2>a — a>w + 2. Следовательно, функ-
функ1
у у
ция z принимает значение 1 на полуинтервале a<w<[ —1, ка-
каково бы ни было у>§.
(i) Если 0<|3<1, то задача (8.1) —(8.3) имеет решение.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (8.9). Пусть zy(t) —
решение этого уравнения, соответствующее решению иу (t) урав-
уравнения (8.1). Через z° (t) обозначим решение уравнения (8.9), соот-
соответствующее решению и0 (t) задачи (8.1) —(8.3) при a =-C = 0;
см. п. (е).
Пусть / = /(з — то единственное значение /, при котором и0' (t) = |3Г
причем 0<Р<1. Положим ao = u°(tfi). Пусть а<0, и^>ао\
см. рис. 5. Заметим, что если 7 = 0, то щ (t) = 0, ^^(/)^C>0
и потому zy (и) = (З2, Zy (и) ^ 0. В частности, при малых у > 0
мы имеем zy (щ) <z° (ui) и zy(u)<:z0 (и) для ao<a<a1. Для
этих малых 7>0 найдется такое и0, что ao<^o<^i» ГДО ^v(^o) =
= z°(u0), Zy(uo)<izo(uo). Следовательно, как видно из рассужде-
рассуждений, использованных при доказательстве утверждения (d) теоремы
7.1, zy(u)<iz0(u) при и>и0. Поэтому г7(оо)<1.

§ 9. Асимптотическое поведение
623
Утверждение (i) о существовании решения при фиксированном
a < 0 вытекает из (с), (d) и (f). При любых а (и при фиксированном
i
1
z
—— zyfu)
ос 0 ос0 и0 ut и
Рис. 5.
Р, 0 < р < 1) оно является следствием утверждения (g). Тем
самым доказано утверждение (i) и завершено доказательство тео-
теоремы 8.1.
§ 9. Асимптотическое поведение
В этом параграфе рассматривается асимптотическое поведение
решений задачи E.1) — E.3) при *-»- оо. Для этого используется
асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка.
Если и @ — решение уравнения E.1), положим
A(O = l-w'(f). (9.1)
Функция h(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
h" (t) + u(t)h'-l [ 1 + u'(t)] h = 0. (9.2)
Дифференцируя (9.2), получаем
h'" + и (t) h" + A - 2X) u'(t) h' = 0, (9.3)
поскольку hf = — u".
Чтобы избавиться от среднего члена в левой части (9.2), положим
t
u^ds, (9.4)
(9.5)
i (9.б)
так что х есть решение уравнения
x"-q(t)x-^0,
где

624 Гл. XIV. Монотонность
см. (XI.1.9), (XI.1.10). Таким образом,
и, в силу E.1),
1
Поскольку 0<Ж<1, м">0 и «'^1, ^^/ при /—>оо, суще-
существует такая постоянная С, что при больших /
,5/2
W2 ^ /3 / #
Кроме того, интеграл \ и" dt (абсолютно) сходится (поскольку
//(/)—>1 при /—>с»), так что
если предположить, что
(9.8)
Легко проверить, что (9.8) действительно имеет место, так как
после интегрирования по частям (интегрируя и" и дифференцируя
и"Иъ) мы имеем
5//""
в силу E.1). Последний интеграл абсолютно сходится и lim и' (t) =^ 0
при t—>oo. Поэтому (9.8) справедливо.
Следовательно, выполнены соотношения (9.7), и потому урав-
уравнение (9.5) имеет главное решение x(t), такое, что при £—>оо
(9.9)
где с =7^= 0 — постоянная, в то время как для линейно независимых
решений имеет место асимптотическое равенство
t
f (9.10)
см. упр.XI.9.6.
Из второго равенства в (9.6) и условия u~t следует, что

§ 9. Асимптотическое поведение 625
так что
t t
/(s)ds = -i
где с0 — постоянная. Поэтому соотношения (9.9), (9.10) озна-
означают, что
В силу (9.4) уравнение (9.2) имеет такое главное решение, что
t
h~ ct-i-^exp (- J (u + \) ds) , сфО, (9.11)
в то время как линейно независимые решения удовлетворяют
соотношениям
^, сфО. (9.12)
Рассматривая (9.3) как уравнение второго порядка относительно
А' так же, как мы это сделали для (9.2), мы видим, что уравне-
уравнение (9.3) имеет такие главные решения, что
t
W - crt~2X exp ( - j и ds), с' Ф 0, (9.11')
а для линейно независимых решений выполнено соотношение
А' = с7-1+2\ с'фО при /->оо. (9.12')
Если для функции (9.1) выполнено соотношение (9.11), то, по-
оэ
скольку и ~ t,отсюда следует, что \ thdt<ioQ, и потому
при t—>oo. Подставляя эти равенства в (9.11), (9.1 Г), получаем
uT~t(\—u') (9.13)
при /—>оо, где со>О, Ci — постоянные.
Если функция (9.1) удовлетворяет (9.12), то, поскольку и~/,
справедливо соотношение h==l—и' /^с/2Я(+0A) при /—>оо. Поэтому
u(t)-=t+ 0(t2X+1+e) при t—>oo для всех е>0. Если подставить это
40-241

626 Гл. XIV. Монотонность
равенство в (9.12), (9.12') и предположить, что Я<0 (и
то при / —> оо
1 - и' ~ cJ2\ и" 2Хс0Г 1+2\ (9.14)
где с0 > 0 — постоянная.
Теорема 9.1. Пусть )i>0 w u(t) — решение задачи E.1) — E.3).
Тогда существуют такие постоянные с0 > 0, сь wno при t -> оо
выполнены соотношения (9.13).
Доказательство. Если решение u(t) задано, то функция h =
= 1 — м' удовлетворяет либо (9.11), (9.1 Г), либо (9.12), (9.12').
Если X ;> 0, то (9.12) не может иметь места, так как в противном
случае h = 1 — и' -> 0 при /-> оо, а это невозможно. Поэтому
справедливы равенства (9.11), (9.1 Г), а, как мы уже видели, этого
достаточно для выполнения соотношений (9.13).
Теорема 9.2. Пусть X < 0, 0 < р < 1, а > А (А,, Р), где А (л, р)
а 7(а) — функции, определенные в теореме 7.1. Пусть u(t) — ре-
решение задачи E.1) — E.3). Существуют такие постоянные
с0 > 0, Ci, что соотношения (9.13) справедливы тогда и только
тогда, когда и"@) = у (а); для других решений и (/) задачи E.1) —
E.3) /2/?а а > Л (Л, Р) м 0-^ а"@) < у (а) справедливы асимпто-
асимптотические соотношения (9.14) (с некоторой постоянной с0 > 0).
Доказательство, (а) Если и*(/) — решение задачи G.1), G.2)
и гг*"(О) = 7 (°0> то справедливы соотношения (9.13).
Используя обозначения из доказательства утверждения (g)
в § 7, сопоставим решению u*(t) функцию г*(и) по правилу F.7).
Пусть v (и) — решение уравнения Вебера G.16), для которого
v/v ~ — и при и ->оо и v (и)>0 при больших и. Пусть г* (и) =
= _ z*/(i _ г*) и s (a) = v/v\ см. G.14), G.17).
Тогда при больших и имеем /**(а) <; s (и). В самом деле, пусть
г* (и) > s (и) при некотором большом а = и0. Тогда г (и) > s (и)
при а = Ио> если функция г (и) = — z/(l — г) соответствует реше-
решению задачи G.1), G.2) и и"@) = у (а) + г с малым |е|. Но тогда,
как и при доказательстве п. (g) в § 7, отсюда следует, что г (и) >
> s (и) для всех и >- и0 и что функция и (/) является решением
задачи E.1) — E.3). Но это противоречит основному свойству
постоянной у (а).
Таким образом, г* (u)^s (и) при больших а и, следовательно,
1— z*(u)^. c*v (и) при больших и с некоторой постоянной с* > 0.
Поскольку In v (и) ~ — иУ2 при и -> оо, отсюда получаем, что
функция А = 1 —и*' не может удовлетворять (9.14) и, значит,
удовлетворяет (9.11). Отсюда следует (9.13).

§ 10. Асимптотическая устойчивость в целом 627
(Ь) Задача E.1) — E.3) не может иметь двух различных решений,
удовлетворяющих (9.13).
Допустим, что существуют два решения щ (/), и2 (/) задачи
E.1) — E.3), удовлетворяющие (9.13) и, например, и[ @) > и'2@).
Пусть Zj (и) — решение уравнения G.4), соответствующее Uj (/)
по правилу F.7) при j = 1, 2. Пусть Uj(z) — функция, обратная
К 2 = Zj(u), И Vj(z) = Zj (Uj(Z)).
Тогда функции zi(u), z2(u) удовлетворяют G.6), и в силу пред-
предложения (d) из § 7 справедливы утверждения G.9), G.10). В силу
(9.13) u'j (t)—>0 и ufj(t) ~ t (I ■— и)) при t—» оо. Ввиду F.7) и асим-
асимптотического равенства tij(t)~t при t—>оо, из последнего соот-
соотношения вытекает, что Zj ~ 2и A — z]/2) при и—>оо. Иначе говоря,
поскольку 1 — Zj/2 = A — Zj)l{\ +Zji/2) ~ y(l — Zj) при и—>оо, мы
имеем Zj ^ u(l—Zj) при и—>оо. Поэтому Vj ~ Uj(\ — г), так что
]/;-^0, когда ,г—>1 [так как u](f)—>0 при /—>оо].
Функции б7 = ^/7-, У = Vj удовлетворяют дифференциальному
уравнению F.14). Поэтому
Следовательно, при г —» 1
rf(Vi-v»)_(g/2-g/i) I of Ч I of M
dz "" zi/2 + U I ^ j ^ U U2 J •
В силу G.10) функция U2 (z) — U\ (z)> 0 является возрастающей,
и потому существует такая постоянная с > 0, что £/2 (г) — (Д (г) >>
>-О 0 при г, близких к 1. При этом Uj (z) -> оо, когда z-> 1.
Следовательно, d (Vi — V2)/dz ^> с/2 > 0 для г, близких к 1, так
что функция l/i (г) — У2 B) возрастает, когда z близко к 1. Посколь-
Поскольку Vi (г) — V2 (z) > 0 в силу G.10), мы получаем противоречие
с тем фактом, что Vj (z) -> 0, когда z-> 1. Этим доказаны утвер-
утверждение (Ь) и теорема 9.2.
ЧАСТЬ III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛО/И
§ 10. Асимптотическая устойчивость в целом
Рассмотрим автономную вещественную систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений
у' = Пу), (юл)
решения которой однозначно определяются начальными условиями.
Пусть у0 (t) является решением при / ^ 0. Это решение называется
40*

628 Гл. XIV. Монотонность
асимптотически устойчивым в целом, если всякое решение у (/)
системы A0.1), определенное при малых t ^ 0, может быть продол-
продолжено на полупрямую t^O и у (t) — у0 (f) -»• 0 при /-> оо.
В отличие от понятия асимптотической устойчивости, введенного
в § II 1.8, здесь не предполагается, что начальное значение у @)
близко к значению уо(О) решения yo(t). Обычно будет предпола-
предполагаться, что
/@) = 0 A0.2)
и что Уо (/) е= 0, как и в § III.8.
Пусть функция f (у) имеет непрерывные частные производные
первого порядка. Обозначим через J(y) матрицу Якоби (df/dy) =
= (df/dy4), где /, k = 1, . . ., d. Критерий асимптотической устой-
устойчивости в целом, который мы получим ниже, в простых случаях
сводится к условиям, содержащим одно из двух неравенств:
J(y)f(y)'f(y)<0 A0.3)
или
J(y) х-х < 0, если x-f(y) = 0, A0.4)
где точка означает скалярное произведение. Интересно отметить,
что условия A0.3) и A0.4), приводящие к устойчивости, являются
в некотором смысле дополнительными.
Условие A0.3), утверждающее, что J(y) х-х <; 0, как только
вектор х имеет направление ±/(*/), можно заменить условием
J(y) f(y)-x ^ 0 для х = Gf(y), если G — положительно опреде-
определенная постоянная эрмитова матрица порядка d, так что
" GJ(y)f(y)-f(y)<0. A0.5)
Соответственно, условие A0.4) можно заменить условием
GJ(y) х-х < 0, если Gx-f (у) = 0, A0.6)
где G — такая же матрица, как и в A0.5). В действительности
условия A0.5), A0.6) не являются более общими, чем A0.3), A0.4),
как это видно из следующего упражнения.
Упражнение 10.1. Пусть функция f (у) в A0.1) принадлежит
классу С1 и удовлетворяет A0.5) [или A0.6)], где G = G* — поло-
положительно определенная матрица. Обозначим через G1/2 самосопря-
самосопряженную матрицу, квадратный корень из G; см. упр. 1.2. Введите
в A0.1) новую зависимую переменную z = G1/2y и покажите, что
новая система для г удовлетворяет условию, аналогичному A0.3)
[или A0.4)].
Общий критерий, который будет получен, по существу является
обобщением условий A0.3) или A0.4) и содержит непостоянные
положительно определенные эрмитовы матрицы G (у).

§ П. Функции Ляпунова 629
§ 11. Функции Ляпунова
Напомним, что если V(y) — вещественная функция с непрерыв*
ными частными производными, то ее производная V(y) вдоль траек-
траекторий системы
y' = f(y) (ил)
задается скалярным произведением
V(y)=fiy)-gradV(y). A1.2)
Лемма 11.1. Пусть функция} (у) непрерывна на открытом мно*
жестве Е и такова, что решения системы A1.1) однозначно опреде*
ляются своими начальными условиями. Пусть V (у) — вещественная
функция на Е, такая, что (i) V(y) 6 С1 на Е\ (и) V (у) и ее произ-
производная V(y) удовлетворяют условиям
V{y)>0, F(y)<0 A1.3)
на Е. Пусть у (f)—решение системы A1.1) при t^>0. Тогда
(о-предельные точки решения y(t) при t >- 0, принадлежащие Е>
содержатся в множестве Ео = {у: V(y) = 0}.
Доказательство. Пусть tn < tn+i -> оо, • y(tn) -»• у0 при п -> оо
и у о е Е. Тогда V (у (tn)) -* V (у0) при п -+ оо и V (у (t)) > V (у0)
при / >- 0. Допустим, что уо (£ ЕОу так что V {уо) < 0. Пусть
Уо @ — решение системы A1.1), удовлетворяющее условию у0 @) =
= уо- Рассмотрим у0 @ при 0 -< / <; е, где е > 0 — достаточно
малое число. Тогда V" (у0 (t)) < V (у0) при 0 < t <; 8.
В силу теоремы V.2.1 о непрерывной зависимости решений
от начальных условий величина || у (t + 4) — У о (t) II мала при
0<;/<; е и больших /г. Значит, \V(y(t+tn)) — V(y0{t))\ мала при
0^/<е и больших п. В частности, V (у (tn + е)) < 1/ (#0) при
больших я. Но это противоречит условию V (у (t)) >- К 0/о) при
/>0и показывает, что f/0 6 £"о-
Следствие 11.1. Пусть f, V удовлетворяют предположениям лем-
леммы НА, где Е есть у-пространство, и пусть V(y) -> оо яра || у \\ ~>
-> оо. Тогда все решения у = у (t) системы A1.1) с начальными зна-
значениями, заданными при t = 0, существуют при t ^-0 и ограни-
ограничены [в действительности, кривая у = у (t) принадлежит множест-
множеству {У- V (у) -< V (у @))} при t ;> О]. Если, кроме того, существует
единственная точка у0, где V(y0) = 0 (т. е. если Ео состоит из одной
точки уо), то \\ f (у) || > 0 при \\у — уо\\> 0, f(yo)=O и решение
у0 (/) ^ у0 системы A1.1) асимптотически устойчиво в целом.
Упражнение 11.1. Докажите следствие 11.1.

630 Гл. XIV. Монотонность
Следствие 11.2. Пусть f (у) £ С1 при всех у и f (у0) = 0. Пусть
G = G* — вещественная постоянная положительно определенная
эрмитова матрица, а матрица Якоби J (у) = (df/dy) такова, что
GJ (у) х-х < 0 для всех у Ф у0 и всех векторов х Ф 0. Тогда решение
yQ (f) = у0 системы A1.1) асимптотически устойчиво в целом
[и, в частности, f (у) ф О при у ф у0].
Доказательство. Пусть V (y) = G (у — у0) • (у — у0), так что
V(y)>0 при \\у — уо\\>О, V(yo) = O и V(y)->oo при ||у||—>оо.
При этом V (у) = 2G (у — у0) -f (у). Покажем, что V (у) < 0 при
\\у—Уо II >0 и ^ (Уо) = 0- Для этого заметим, что
о
поскольку f(yo) = O и производная функция
f(yo + s(y — у0))
no^s равна J (yo + s(y — у0)) (у — */0) • Следовательно,
1
о
где аргумент у J тот же, что и выше. Это показывает, что
V(y) = 2G(y-y0).f(y)<0 при || 0-0о II > 0 и V(y0) -0. Следствие
доказано.
Упражнение 11.2. Пусть / (у) £ С1 для всех 0, и пусть GJ (у) х •*<
< 0 для всех у и всех векторов х Ф 0, где G = G* — вещественная
положительно определенная матрица. Пусть 04 (/), #2 @ — Два Раз"
личных решения системы A1.1), проходящих через точки @, 04 @))
и @, у 2 @)). Тогда 04 (£) и #2 @ существуют при />0и функция
G@aW—01 @)-@2 0—01 @) убывает при / > 0.
Следствие 11.3. Пусть f (у) 6 С1 5ля всех у t/ || f (у) \\ ->■ оо npt/
II У II -*■ °°« Пусть G = G* — вещественная положительно опреде-
определенная матрица, а матрица Якоби J (у) = (df/dy) такова, что
GJ (У) f(y)-f (у) < 0 при || у - у0 || > 0, GJ @О) / @О) -f @o) - 0.
Тогда f (у0) = 0 и решение у0 (t) ^ у о системы A1.1) асимпто-
асимптотически устойчиво в целом.
Упражнение 11.3. Докажите следствие 11.3, полагая V (у) =
= 0/@O@)-
Условие || / (у) || -> оо при ||0||-»-оо в следствии 11.3 может
быть существенно ослаблено. Постоянная матрица G может быть
заменена в следствиях 11.2 и 11.3 некоторой матрицей G (у). Такие
результаты будут рассматриваться в §§ 12, 13; см. следствие 12.1
и теорему 13.1.

§ 12. Переменная матрица G 631
§ 12. Переменная матрица G
Рассмотрим связное открытое множество Е в пространстве пере-
переменных у. Предположим, что G(y) = G*(y) есть (вещественная) поло-
положительно определенная матрица, непрерывная на Е. Матрице
<3 (у) можно сопоставить элемент длины дуги в римановой метрике
y= 2 2 gjk(y)dyjdy\ A2.1)
где G = (gjk(y))' Это означает, что если С: y = y(t), a^C
кривая класса С1 в Е, то ее риманова длина Ь(С) относительно
A2.1) определяется интегралом
ъ
L(C)=\[G(y(t))y'(t)-y'(t)]i/2dt. A2.2)
а
Легко видеть, что эта величина не зависит от выбора параметра
класса С1 вдоль С.
Можно также ввести на Е новую метрику r(yi,y2), положив
r(yi,y2) = infL(C), A2.3)
где нижняя грань берется по всем кривым С: y = y(t), a^
в Е из класса С1, соединяющим точки У\ = у{а) и У2 = У{Ь). Функция
г(Уи у2) удовлетворяет обычным условиям, налагаемым на метрику:
ЛУи У2) = г(у2, #i); r(yu у2)>0, если \\у1 — #2||>0, и г(уи у2) = 0,
•если || у± — y2\\ = 0, и неравенству треугольника:
г{Уи У2)<г(Уи У°) + г(у°, у2). A2.4)
Замечание. Поскольку матрица G (у) непрерывна и положи-
положительно определена, то для всякого компактного подмножества Et
множества Е найдутся такие положительные постоянные ci9 c2,
что Cidy -dy <; ds2 <; c2dy -dy. В самом деле, если С — кривая класса
С1 в Ei, то CiLe (С) <; L (С) <; с2Ье(С), где L (С) — риманова
длина, a Le(C) — евклидова длина отрезка кривой С. В частности,
если у0 — произвольная точка из Е и е > 0, то существует такое
б = б (у0, е) >0, что если || ух — у0 ||< б, \\у2 — Уо IK S, то
при определении г (yif y2) в A2.3) достаточно рассматривать кривые
С, лежащие в шаре \\ у0 — у |К е. Поэтому, если у0 — произволь-
произвольная точка в £, то найдется такое малое число б = б (у0) > 0 и такая
пара положительных постоянных ci0 и с2сь зависящих от у0, что
Ао II У\ — Уг Н< г (уи у2) < с20 \\ у4 — у2 ||, если || у3 — у0 ||< б
(или если г (yj9 у о) < б) при / = 1, 2.
Элемент длины дуги ds в римановой метрике называется полным
на множестве Е точек у, если из сходимости интеграла A2.2) на полу-
полуоткрытом отрезке кривой С: у = у (/) класса С1 в Е, определенной

632 Гл. XIV. Монотонность
в полуоткрытом интервале я <J t<Lb (<Joo), вытекает, что сущест-
существует у (b) = lim у (t) при t ->■ b и #(&) 6 £> т. е. элемент ds полный,
если полуоткрытые отрезки кривых С конечной длины A2.2) имеют
концевую точку в Е.
Это понятие полноты эквивалентно обычному понятию пол-
полноты метрического пространства Е с метрикой A2.3). Но этот
факт используется только в § 13. В дальнейшем нам понадобится
следующая лемма.
Лемма 12.1. Пусть Е совпадает со всем у-пространством или
с его частью ||#||^-а>0, лежащей вне шара. Пусть G (у) =
= G*(y) есть положительно определенная матрица, принадлежащая
классу С1 на Е. Элемент ds в A2.1) является полным на Е тогда
и только тогда, когда каждый неограниченный отрезок кривой
С: у (/), а^КЬ (<^оо), из класса С1 в Е имеет бесконечную
риманову длину L (С).
Упражнение 12.1. (а) Докажите лемму 12.1. (Ь) Если в условиях
леммы 12.1 положить G (у) = р2 (у) /, где р (у) > 0 — функция
класса С1, то для полноты элемента ds на Е достаточно, чтобы
Р (У) ^ с > О или чтобы || у || р (у) ^> с > 0, или, более общо,
чтобы
ОС
\
min p{y)]du^oo. A2.5)
\\y\\=u
Пусть / (у) £ С1 (Е) и y{t) — решение системы уравнений
y' = f(y) A2.6)
на некотором /-интервале. Пусть x(t) — решение уравнений в вариа-
вариациях для A2.7) вдоль A2.3), т. е. решение линейной системы
x' = J(y(t))x9 A2.7)
где J (у) — матрица Якоби «/ (у) = (dfldy). Пусть G (у) £ С1 (Е) и
v(t) = G(y(t))x(t).x(t). A2.8)
Как легко видеть, производная этой функции по / равна
v'(t) = 2B(y(t))x(t)-x(t), A2.9)
где B(y) = (bjk (у)) — матрица порядка d с элементами
АЛ &Jm дуЛ ' 2 ^J j
A2.10)
В частности, если
V(y) = G(y)f(y)-f(y), то V(y) = 2B(y)f(y)-f(y), A2.11)
поскольку вектор у'(t) = f (у (t)) является решением системы A2.7).

§ 12. Переменная матрица G 63$
Матрица В рассматривалась ранее в (V.7.11) и в лемме V.9.1
в аналогичной ситуации, когда G = A*A. (Для читателей, знакомых:
с римановой геометрией, отметим, что если рассматривать f(y) как.
контравариантное векторное поле, /^ как компоненты его ковариант-
ной производной и В°(у) = (Ь%(у)) определить как b% = ^jgjmfmh,
то матрица В —В0 будет кососимметрической. Поэтому равенство^
A2.9) сохраняется и после замены В на В0.)
Заметим, что если G (у) = G — постоянная матрица, то В(у) =
= GJ(y).
Теорема 12.1. Пусть /(f/jGC1 на открытом связном множе-
множестве Е, содержащем точку у = 0. Пусть матрица G(y) =
= G*(y)£C1(E) положительно определена при каждом у и таковаг
что элемент ds в A2.1) является полным на Е. Пусть функция
Ф (г) > 0 является невозрастающей при г > 0 и
оо
\ y(r)dr=oo. A2.12)
Наконец, пусть г(у) = г(у,0) [см. A2.3)] и
B(y)f(y)'f(y)<-y(r(y))G(y)f(y).f(y). A2.13)
Тогда (i) каждое решение у (t) системы у' = f(y), начинающееся
при t — О, существует при />0; (ii) существует предел у(оо) =
= \\my(t) при t—>oo, который является стационарной точкой,
f(t/) = Q nPu У — У{°°)', (iii) если y(t)==£y(oo), то функция
v(t) = G(y(t))f(y(t))-f(y(t)) A2.14)
убывает при />0 и стремится к 0 при t—>oo; (iv) множества
стационарных точек [т. е. нулей f (у)] связно; поэтому (v) если
стационарные точки функции f(y) изолированы (например, если
detB(y)=^=O при f(y)=£O), то f (у) имеет единственную стаци-
стационарную точку у0 и решение у0 (t) == у0 асимптотически устой-
устойчиво в целом.
При доказательстве будут получены априорные оценки реше-
решения y(t). Если
г
Ф(г)= |ф(а)Жт A2.15)
о
и W (г) — функция, обратная к Ф(г), то, как легко видеть,
r(y(t))<c, где c = W(O[r(y@))] + v^@)). A2.16)
Отсюда следует, что
)e-2<P<c>* при />0, A2.17)

«634 Гл. XIV. Монотонность
з. поскольку
то
{) при />0. A2.18)
yl/2
Если равенство A2.12) не имеет места, но начальное значение
у @) некоторого решения у (t) таково, что имеет смысл определение
постоянной с в A2.16), то для этого решения у (t) утверждения
<i) — (Hi) остаются в силе.
Упражнение 12.2. Используя пример системы из двух уравне-
уравнений, где / (у) = (—у1, 0), G = I и Е совпадает со всем простран-
пространством переменных у, докажите, что в п. (v) нельзя отбросить до-
дополнительное предположение, касающееся изолированных точек.
Доказательство, (i) — (in). Пусть у (t) — решение уравнения
у' = /, начинающееся при t = 0. Тогда риманова длина дуги кри-
кривой у = у (t) на отрезке [0, t\ равна интегралу от v1/2 (/), где функ-
функция v (f) определена в A2.14). Положим r(t) = r(y(t)) — r(y(t), 0) и
t
u(t) = r@)+ j v^2 (g) do. A2.19)
о
В силу неравенства треугольника A2.4) и определения A2.3) оче-
очевидно, что г (/) <; и (t).
Поскольку у (t) — решение системы у' — /, его производная
х — y'(j) ~ f (У (f)) удовлетворяет системе уравнений в вариациях
A2.7). Поэтому справедливы соотношения A2.8), A2.9) и в силу
A2.13) v\t) < — 2ф (г (t)) v (/). Следовательно,
A2.20)
Из A2.19) следует, что и' = vi^2 и и"= [i>1/2]'< — ф(г@) и'•
Поскольку функция ф(г) не возрастает, из неравенства r(t)^Lu(t)
следует, что
Интегрируя по отрезку [0, /], получаем следующее соотношение:
"(О
и' (t)^Cu' @) — \ <p(w)dw.
u@)
Так как w@)=r@) и и' = ь^12, это неравенство можно переписать,
согласно A2.5), в виде и1/2 (/Хи1/2 @) + Ф (/-@))—Ф(и (t)). Hepa-

§ 12. Переменная матрица G 635
венства У1/2>0 и] r(t)*Cu(t) означают, что Ф (/-(/))<Ф(и (ОХ
<1>1/2@) + Ф(г@)). Следовательно, условие A2.16) выполняется
на любом отрезке [0, t], на котором определено решение y(t).
Из монотонности функции ф и неравенства A2.20) вытекает, что
[у1/2 (/)]'<—ф(^) [у1/2 (/)], так что неравенства A2.17) выполнены
на всяком отрезке [0,/], на котором существует решение y(t).
Следовательно.
и если 0 <; t < со (<[оо) — правый максимальный интервал сущест-
существования у (t), то последний интеграл сходится при /->■ со. Но этот
интеграл равен римановой длине дуги у = у (t), 0 <; t <. со, так
что из полноты ds вытекает, что существует у (со) = lim у (/) при
t—> со, причем предел принадлежит Е. Но тогда со = оо по лем-
лемме П.3.1. Этим доказано утверждение (i) и существование у(оо)
з (ii) и (iii). Тот факт, что / (у) = 0 при у = у (оо), вытекает из (iii),
поскольку интеграл в A2.21) сходится при t-^-oo.
(iv) — (v). Пусть Ео — множество нулей функции / (у). Чтобы
доказать связность множества £0, определим отображение Р: Е -*-
—>■ Ео множества Е на Ео следующим образом: если у (t) — произ-
произвольное решение системы yf = f при / > 0, положим Ру @) =
= у (оо). Ясно, что множество значений оператора Р совпадает
с Ео. Поскольку непрерывные отображения переводят связные
множества в связные, то отсюда следует, что Ео — связное мно-
множество, если Р — непрерывное отображение.
Пусть у0—произвольная точка. Нужно показать, что Р непре-
непрерывно в точке у = у°. Если ||z/ = z/°|| мала, то существуют посто-
постоянные с10, с20, такие, что с101|у — у0 \\^г(у9у°)^с20\\ у — у°\\; см.
замечание, следующее за A2.4). Таким образом, для непрерыв-
непрерывности Р: Е—>Е0 в точке у —у0 можно предполагать, что Е пе-
переводит метрику, определяемую с помощью r(yi y2), в A2.3).
Пусть у0 (/) — решение, удовлетворяющее условию у0 @) = у0,
и Mq — риманов шар г (у0, у) ^ б. Так как постоянная с в A2.16)
зависит только от начальной точки у @) решения у (t), отсюда
следует, что неравенства A2.17) — A2.18) имеют место с постоянной
с > 0, которую можно выбрать независимо от у @) 6 М6. Поэтому,
■если е > 0 фиксировано, то существует число tz, не зависящее от
у @) £ М6, такое, что г (у (/), у (оо)) < г при / ;> te. Пусть б =
= б (е) > 0 настолько мало, что г (у (/), у0 (t)) < 8 при 0 <; t <; t&9
если г (у°у у @)) < б (е). Тогда г (у0 (оо), у (оо)) < 3s, если*
г (у0, у @)) < б (г). Этим доказана непрерывность отображения Р
при у = у0 и завершено доказательство утверждения (iv).

636 Гл. XIV. Монотонность
Основная часть утверждения (v) вытекает из (iv). Что касается
утверждения в скобках в п. (v), заметим, что если / (у0) = 0, то
В (у0) = G (yo)J(yo) в силу A2.10), где J(y) = (df/dy). Этим завер-
завершается доказательство теоремы 12.1.
Следствие 12.1. Рассмотрим отображение Т пространства пере-
переменных у в себя, имеющее вид Т: у± = f (у), где f (у) £ С1 для всех у.
Пусть матрица Якоби J (у) = (df/dy) такова, что det J(y) Ф О
и J(y) х-х <; — ф (|| у ||) || х ||2 для всех х и у, где ср(г) > 0 —
невозрастающая при г >- 0 функция, удовлетворяющая A2.12).
Тогда отображение Т взаимно однозначно и является отображением
на [т. е. существует единственное обратное отображение Т'1: у =
— /i (#i), определенное для всех у\\. В частности, найдется един-
единственная точка у0, где f (у) = 0; кроме того, решение у0 (f) = у<у
системы у' = f (у) асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство. Применим теорему 12.1 в случае, когда Е
совпадает со всем ^-пространством и G=I. Заменим функцию f(y) на
/ (у) — У0 ПРИ фиксированном у0.
Если х0 фиксировано и условие на J (у) ослаблено до условия
J (У) (f (У) - *0) V (У) - хо) < - Ф (И У И) II f (У) - *о Н2^ то из тео-
теоремы A2.1) вытекает, что уравнение / (у) = х0 имеет хотя бы одно
решение у.
Упражнение 12.3. Покажите, что в предположениях следствия
12.1 отображение Т взаимно однозначно и является отображением
на, если предположение о принадлежности f (у) классу С1 и условие
на J (у) заменены таким более слабым условием: «вектор-функция
f (у) непрерывна и удовлетворяет неравенству
I/ Ы - f @2)] -0/1 - У*) < - №) II Ух - У* II2
для всех уи #2 из шара ||у||^/'». (Это обобщает первую часть
следствия 12.1; см. доказательство следствия 11.2.)
Упражнение 12.4. (а) Пусть f (у) 6 С1 для всех у, функция ср (г)
удовлетворяет условиям теоремы 12.1, р (у) > 0 принадлежит
классу С1 и удовлетворяет A2.5). Если р (у) = f(y) -grad p(y)
и J (у) = (df/dy), предположим, что
112/11
<-<p( \ [min/>(*)]A*b||f||2. A2.22)
V J \\х\\=и I
Покажите, что утверждения (i) — (v) теоремы 12.1 остаются спра-
справедливыми при G (у) = р2 (у) I. (Ъ) Проверьте, что если \\f (у) || !> 0
при || у || > 0 и / @) = 0, а р (у) удовлетворяет всем условиям
из п. (а), но только р @) = 0, функция р (у) просто непрерывна
при у = 0 и неравенство A2.22) справедливо только при у Ф 0,

§ 13. О следствии 11.2 637
то заключения п. (а) остаются в силе, (с) Какие условия следует нало-
наложить на / (у) для того, чтобы утверждение (Ь) осталось справедли-
справедливым при р (у) = || f (у) || ?
§ 13. О следствии 11.2
Для того чтобы доказать утверждение, аналогичное след-
следствию 11.2, но с заменой G матрицей G (у), зависящей от у, нам
понадобится некоторое свойство полных элементов длины дуги
■в римановой метрике.
Множество точек у на Е называется ограниченным относительно
метрики г (z/i, у2), если для некоторой (а следовательно, и для каж-
каждой) фиксированной точки у0 6 Е существует такая постоянная с,
что г (у, у0) ^ с для всех точек у из этого множества.
Лемма 13.1. Пусть матрица G (у) = G*(y) непрерывна на связ-
связном открытом у-множестве Е и положительно определена при
каждом у 6 Е. Если элемент ds в A2.1) является полным на Е, то
каждое подмножество из Е, ограниченное относительно метрики
г (Уи У2)> имеет по крайней мере одну предельную точку в Е, а сле-
следовательно, и компактное замыкание в Е. В частности, каждое
такое подмножество в Е ограничено (относительно евклидовой мет-
метрики в Е).
Обратное утверждение очевидно. Лемма 13.1 нам понадобится
только при доказательстве теоремы 13.1. Можно, конечно, обойтись
и без нее, если в теореме 13.1 сделать дополнительное предположе-
предположение о том, что для ds выполнено свойство, которое по лемме 13.1
вытекает из полноты. Доказательство леммы 13.1 имеется в книге
Хопфа и Ринова [1]; см.также Милнор[1]*.
Теорема 13.1. Пусть f (у) 6 С1 на некотором открытом связном
у-множестве Е. Пусть матрица G (у) = G*(y) принадлежит классу
С1 на Е, положительно определена при фиксированном у и такова,
что элемент ds в A2.1) является полным на Е. Пусть матрица
В (у), определенная формулой A2.10), такова, что
В (у) х-х < 0 для всех векторов хФ 0. A3.1)
Тогда каждое решение у (t) системы у' = / (у), начинающееся при
t = 0, существует при всех t ;> 0; кроме того, если у± (t), y2 (t) —
два различных решения при t ;> 0, то функция
г 0/1 (/), Уг @) убывает, A3.2)
В частности, если существует стационарная точка у0, так что
/ (Уо) = 0> то для каждого решения у (/) ф у0 функция
г (У (t), у о) убывает и г (у (/), у0) ->■ 0 при t ->■ оо A3.3)
(и f (у) ф 0 при уф уо).

638 Гл. XIV. Монотонность
Следующее доказательство можно упростить, используя тог
известный факт, что если уи у2 — две точки в Е, то существует
отрезок геодезической кривой С из класса С2, соединяющий их.
и такой, что величина г (уи у2) равна римановой длине L(C) дуги С.
Доказательство. Пусть z/i (/) — решение системы у' = f при
О < / < Т. Пусть у± = ух @), у2 Ф z/i и ro = r {уи у2). Множе-
Множество точек
Е1'={y:r(y, #i(/))</o+l ПРИ некотором Л 0<
имеет компактное замыкание в Е в силу леммы 13.1. Поэтому*
в силу замечания, сделанного после формулы A2.4), и аналогич-
аналогичного замечания для формы В(у)х-х в A3.1) отсюда следует, что*
найдется такая постоянная с > 0, что
B(y)x-x^—cG(y)x-x для у£ЕТ и всех х. A3.4)
Пусть Со: у = z (и), 0 <^ и <^ 1,— кривая класса С1, удовле-
удовлетворяющая условиям г @) = уи z A) = z/2, и величина L (Со>
настолько близка к г0 = г {уи Уъ), что
L(Co)</o+l и e-cTL(C0)<r0. A3.5)
Отсюда следует, что Со cz £"г.
Пусть у (t, и) — решение системы у' = /, удовлетворяющее
условию у@, и) = г (и), так что y(t, 0) = y^t) и y2(t) = у (/, 1) —
решение, начинающееся в точке у2 при t = 0. Тогда у (t, и) £ C1j
на ее области определения; см. теорему V.3.I.
По теореме существования Пеано найдется такое 5 > 0, не зави-
зависящее от и, что решение у = у (/, а) существует при 0 <; t <; S
для каждого фиксированного и, 0 <^ и^. I. Покажем, что у (/, и}
существует при 0 -^ t ^ Т. Это очевидно для малых и^>0в силу
теоремы V.2.I. Предположим, что найдется наименьшее значение-
и = е, 0 < е <; 1, такое, что если правый максимальный интервал
для у (/, г) равен 0 <^ t < со, то со ^ Т.
При фиксированном /, 0 <; t < со, обозначим через L (/) длину
L (С @) дуги С (/): у = f/ (/, а), 0 < и < 8, т. е.
8
£(*)= j [G(y(t, u))ya(t, u)-yu(t, u)]1/2du, A3.6).
где уа = ду/ди. Заметим, что х = уи (t, и) — решение системы урав-
уравнений в вариациях A2.7) с y(t) = y(t, и). Поэтому подинтеграль-
ное выражение в A3.6) равно и1/2 (/, и), где v(t, и) — функция,
определенная в A2.8) при фиксированном и с y(t) = y(t, и)г

§ 13. О следствии 11.2 639
x(t) = yu{t,u). В силу A2.9)
Для малого фиксированного />0 дуга y(t, и) лежит в Ет, по-
поскольку у @, u) = z(u). В этом случае из A3.4) вытекает неравенство
t, u)du= —cL(t).
j
о
Следовательно, в силу A3.5)
L (t) < e~ciL @) < e~ct (r0 + 1 )< r0 + 1 A3.7)
до тех пор, пока у (t, и) 6 ЕТ. Неравенство A3.7) показывает,
что при возрастании t от 0 до со (<1Т) точка у (/, и) не может выйти
из Ет. Следовательно, это неравенство выполнено при 0 <; /< со.
Отсюда вытекает, что интеграл A3.6) с / = со сходится. Поэтому
из полноты ds в A2.1) следует существование предела lim у (t, и)
при и ->- е, который принадлежит Е при t = со (так же, как и при
0 <^ t < со). Этот предел равен у (/, е), так что решение определено
при 0 ^ /^ со. Это противоречит тому факту, что 0 -^ t < со —
правый максимальный интервал существования решения у (t, г).
Следовательно, решение у (t, и) существует при 0^/^Т для
каждого и, 0 ^ и ^ 1.
В частности, решение у2 (t) = у (/, 1) существует при 0 ^ /<^
< Т. Следовательно, если г — 1 и t = Т в A3.6) и A3.7), то, в силу
A2.3), г {у, (Г), у2 (Г)) < е-^Ь (Со). Поэтому г (у, (Г), г/2 (Г)) <
<. Го = г (#1 @), #2 @)) в силу A3.5). Так как Т можно заменить
в этом рассуждении любым значением t из полуинтервала 0 < /<
^ Т отсюда вытекает, что A3.2) выполняется на каждом интер-
интервале, на котором существует у^ (t).
Покажем теперь, что ух (t) существует при t >- 0. Если ух (Т) =
— i/i @)» то решение ух (t) является периодическим и существует
при всех t. Если у^ (Т) Ф у^ @), то мы можем использовать то же
рассуждение с у2 = у^ (Т). Тогда решение у2 (t) = yi (t + Т) суще-
существует при 0 <; t <; Г, т.е. у{ (t) существует при 0 <] t < 2Г.
Повторяя это рассуждение, можно доказать, что у<± (t) существует
при / ^ 0.
Если у0 — стационарная точка и у (/) щк у0 — решение системы
у' = /, то функция г (у (/), у о) убывает. В частности, / (у) Ф 0
при у ф у о и функция г (г/ (/), f/o) ограничена при t ^> 0. Поэтому
кривая С+: у = у (f), t^>0, имеет компактное замыкание в £
в силу леммы 13.1.
Заметим, что функция V (у) = G (у) f (у) -f (у) ^> 0 удовлетворя-
удовлетворяет, в силу A2.11) и A3.1), соотношению V (у) = 2В (у) f (у) •/ (у) <

'640 Гл. XIV. Монотонность
^ 0. Следовательно, по лемме 11.1, со-предельные точки кривой С +
-являются нулями функции V (у). Но из A3.1) видно, что V (у) = 0
тогда и только тогда, когда / (у) = 0. Поэтому у (t) —>■ у0 при t —>■ оо.
Тем самым теорема 13.1 доказана.
Упражнение 13.1. Замените в теореме 13.1 условие A3.1) более
•слабым: В(у) х -х ^ 0 для у 6 Е и всех х. Покажите, что справедли-
справедливо следующее утверждение, аналогичное первой части теоремы 13.1:
(а) функция r(yi(t)y y2 (t)) не возрастает и (Ь) если у (t) — решение
системы у' = f (у)t начинающееся при t = 0, то у (t) существует
при ^>0.
§ 14. «J (у) л:-л:<0, если х
В трех последних параграфах этой главы рассматривается
условие «J (у) f (у) •/ (у) ^ 0» и его обобщения. В этом параграфе
обсуждаются условие «J (у) хх^ 0, если x-f (у) = 0», а также
некоторые более общие условия. Если система
y' = f(y) A4.1)
такова, что f(y) 6 С1 на множестве Е, a ds2 = G (у) dy-dy — поло-
положительно определенный элемент римановой длины дуги, так что
G (у) = G*(y) 6 С1, то более общее условие имеет вид
В (у) х-х^О, если G (у) f (у) -х = 0, A4.2)
где В (у) — матрица, определенная в A2.10).
В первой теореме мы предполагаем, что
f @) = 0 и f(y)¥=O при у Ф 0 A4.3)
и что
У^0 A4.4)
есть локально асимптотически устойчивое решение системы A4.1);
см. § II 1.8. Областью притяжения точки у = 0 называется множе-
множество точек у0 6 Еу таких, что решения у (t) системы A4.1), выходя-
выходящие из у0 при t = 0, существуют при всех t ;> 0 и у (t) ->- 0 при
/-> оо. Если множество Е открыто, то область притяжения также
открыта.
Теорема 14.1. (i) Пусть вектор-функция f (у) £ С1 на связном
открытом у-множестве Е, содержащем точку у = 0, такова, что
справедливы условия A4.3) и A4.4). (ii) Пусть & > 0 — настолько
малое число, что шар \\у\\^.г лежит в области притяжения
точки у = 0, а Ег —множество точек у 6 Е, таких, что \\ у || ^> 8.
(Hi) Пусть G (у) = G^(y)^C1 на Ее, причем матрица G (у)
положительно определена при каждом у и такова, что элемент
ds2 = G (у) dy -dy является полным на Ег. (iv) Пусть, наконец,

§ 14. «/(#)*-*< 0, если x-f(y) = 0» 641
условие A4.2) выполнено для у Z Ег и всех х. Тогда решение у = О
является асимптотически устойчивым в целом.
Прежде чем перейти к доказательству, интересно сформулиро-
сформулировать некоторые следствия из этой теоремы.
Следствие 14.1. Пусть выполнены условия (i), (ii) теоремы A4.1)
в случае, когда множество Е совпадает со всем у-пространством.
Предположим, что существует функция р (у) > 0 из класса С1
на Ег: \\у\\^> е, такая, что
оо
( [lim p(y)]du=oo, A4.5)
и если p(y) = f(y)-gradp(y) и J(y) = (df/dy), то
P(y)\\x\\2 + p(y)J(y)x-x<0, когда x-f(y) = 0. A4.6)
Тогда решение у = 0 является асимптотически устойчивым
в целом.
Заметим, что если /? = 1, то условие A4.6) сводится к такому
условию: J (у)х-х*С0 при x-f(y) = O.
Упражнение 14.1. Докажите следствие 14.1, полагая G(y) =
= р*(уI; см. упр. 12.4.
Упражнение 14.2. Докажите, что следствие 14.1 справедливо,
если р (у) = || / (у) || и
оо
([min \\f(y)\\]du = со, A4.7)
J \\y\\=u
[J(y)f(y)-f(y)]\\x\\2 + \\f\\2J(y)x-x<0, когда x-f(у) = 0. A4.8)
Следствие 14.2. Пусть выполнено условие (i) теоремы 14.1
в случае, когда Е совпадает со всем у-пространством, а также
условие A4.7). Пусть собственные значения эрмитовой части
JH(y) = (J + /*)/2 матрицы J (у) равны ЯА (у) > ... > Xd (у) и
К(У) + Ъ(У)<О. A4.9)
Тогда решение у = 0 является асимптотически устойчивым
в целом. Если d = 2, то условие A4.9) эквивалентно условию
W(r/)<0. A4.10)
Упражнение 14.3. Докажите это следствие, проверив, что из
A4.9) вытекает A4.8).
Теорема 14.1 будет выведена из следующего результата, в фор-
формулировке которого решение у0 (t) не обязательно тождественно
равно нулю.
41-241

642 Гл. XIV. Монотонность _
Теорема 14.2. Пусть f (у) ф О является вектор-функцией класса
С1 на открытом у-множестве Е. Пусть G (у) = G*(y) — матрич-
матричная функция класса С1 на Е, положительно определенная при у £ Е,
и пусть выполнено условие A4.2). Предположим, что у0 (t) — реше-
решение системы A4.1), определенное на правом максимальном интервале
О <; t < со (<оо) и обладающее следующим свойством: существует
число а, такое, что г (у0 (t), дЕ) > а > 0. Тогда существуют такие
положительные постоянные б, К, что для всякого решения у (/)
системы A4.1), для которого г(уо{О), у @)) < б, найдется воз-
возрастающая функция s = s (t), 0 <; / < со, такая, что s @) = О,
О <; / < s (со) («<оо) — правый максимальный интервал существо-
существования решения у (t) и г (у (s (/)), у о (/)) < Кг (у @), у0 @)) при
0<*<(d,
В этой теореме г (уи у2) — это метрика, определяемая формой
ds2 = G (у) dy -dy. Мы не предполагаем, что элемент ds является
полным на Е, а условие г (у0 (t), дЕ) > а означает, что если
С: у = х (и), 0 <; и < 1,— полуоткрытая дуга класса С1, начи-
начинающаяся в точке у0 (f), т. е. х @) = у0 (t), риманова длина которой
L (С) конечна и L (С) < а, то существует предел х A) = lim x (и)
при и -»- 1 и х (и) 6 Е. Грубо говоря, условие г (у0 (t), дЕ) > а
означает, что у0 @ не подходит к границе дЕ множества Е ближе,
чем на расстояние а (в г-метрике), т. е. оно означает, что множе-
множество {у: г (у, у (fj) <; а для некоторого /, 0<: / < со} лежит в Е.
Теорема 14.2 будет доказана в следующем параграфе, а теорема
14.1— в § 16.
Упражнение 14.4. Пусть вектор-функция f(y) ф 0 принадлежит
классу С1 на ограниченном связном открытом множестве Е. Пусть
y(t) при £>0 является решением системы A4.1), таким, что
dist (у@» дЕ)> а > 0, где символом dist обозначено расстояние
в евклидовой метрике, (а) Пусть функция
у (у) = max J (у) х -х при || х \\ = 1, x-f(y) = O
такова, что у (у) ^ — с < 0 при некоторой постоянной с > 0.
Тогда множество со-предельных точек кривой у (f), t ^ 0, образует
периодическое решение у0 (t) системы A4.1), которое имеет d — 1
характеристических показателей с отрицательными вещественными
частями (а потому асимптотически устойчиво в силу теоремы
IX.11.1); см. Борг [3]. (Ь) Докажите, что условие у (у) <! — c<L 0
для у 6 Е можно заменить более слабым условием: Г (/) — Г (s) «^
<; С — с (t — s) при 0 <; s < t<C оо с некоторыми постоянными
t
С, с> 0, где Г (/) = \ у (у (u))du; см. Хартман и Олех [11.
l

§ 15. Доказательство теоремы 14.2 643
§ 15. Доказательство теоремы 14.2
Понятия длины вектора х в точке у и ортогональности векторов
Хи *2 в точке у, используемые в этом параграфе, заимствованы
из римановой геометрии, т. е. (G(y) х-хI'2 и G (у) х^-х2 = 0. Ана-
Аналогично, длиной дуги кривой С называется длина дуги L (С) в рима-
римановой метрике; см. A2.2).
Пусть у0 = у0 @) и
я: G(yo)f(yo)-(y-yo) = 0
— часть гиперплоскости, проходящей через точку уо> ортогонально
к f(yo), так что п: у = z (р, и) при 0 <; р<; рь где и — произволь-
произвольный единичный вектор, ортогональный к / (yQ) в точке уОу z (/?, и) =
— Уо + ри. Ясно, что все решения системы A4.1), начальные точки
которых близки к уо, пересекают я.
При фиксированном и обозначим через у = у {t, p) решение
системы A4.1), определенное начальным условием у @, р) = z (/?, и).
Пусть 0^/<о)(р)^оо — правый максимальный интервал суще-
существования решения у (/, р). Тогда у (/, 0) = у0 (t) и со @) = со.
Рассмотрим при фиксированном и двумерную поверхность
S- У = У (t, p), определенную на (/, р)-множестве, содержащем
множество 0 <; / < со (р), 0 -< р <; р^ Рассмотрим на 5 диффе-
дифференциальное уравнение для траекторий, ортогональных к пара-
параметрическим кривым р = const (т. е. к интегральным кривым
системы A4.1) на S) и определяемых следующим соотношением:
G(y)f(y)-dy/dp = O, где y = y(t,p) и t=t(p). Пусть t = T(p9q) —
решение дифференциального уравнения
dt G(y)f(y)-yP ,. ч /ir ^ч
■3p = -Gtofwb)' где y=y(t>p)> A5Л>
с начальным условием
Т @, q) = q A5.2)
(так что соответствующая ортогональная траектория начинается
в точке у = уо (?)); см. рис. 6. Начиная с формулы A5.1) нижние
индексы р, q обозначают частные производные по соответствующим
переменным.
Поскольку правая часть уравнения A5.1) имеет непрерывную
частную производную по зависимой переменной t, решение t =
= Т (р, q) задачи A5.1), A5.2) принадлежит классу С1 и имеет
непрерывную смешанную производную второго порядка Tvq =
= Tqp\ см. следствие V.3.I. Кроме того, Tq (p, q) как функция
переменной р удовлетворяет однородному линейному дифферен-
дифференциальному уравнению в силу теоремы V.3.1, так что
Tq (p, q) > 0, A5.3)

644
Гл. XIV. Монотонность
поскольку A5.2) влечет за собой соотношение Tq (О, q) = 1 > 0.
Мы будем использовать другую параметризацию поверхности S,
определяемую следующим образом:
S: y = x(q, p)^y (T (р% </), р). A5.4)
Пусть D — открытое подмножество в Е, являющееся объеди-
объединением «шаров» г (у, у о (/)) < ос/2 при 0 < t< со. Тогда г (у, д£)>
Рис. 6.
;> а/2, если y(:D. Существует такая постоянная Р
сящая от и, что функция Т (/?, 0) определена при 0 ^
бом и, причем
Э
0, не зави-
завир <; р и лю-
люA5.5)
Таким образом, ортогональная траектория, выходящая из у0,
пересекает при каждом фиксированном и график решения системы
A4.1) в точке х @, Р), а длина ее отрезка до точки пересечения
удовлетворяет условию A5.5). Так как г (у0, х @, р)) не превос-
превосходит интеграла A5.5) при 0 -< р <1 Р, мы видим, что х @, р) (: D
при о <; р <; р.
Множество значений q, для которых существует решение t =
= Т (р, q) при 0 <; р <; Р, открыто в силу теоремы V.2.I. Пусть
9о, 0 < ^о ^ °)» является точной верхней гранью для этого мно-
множества. Положим
Цд, о, т)=
A5.6)

§ 15. Доказательство теоремы 14.2 645
при О<;а<;т<;риО<;<7<</о. Покажем, что функция L (q, а, т)
не возрастает с ростом q при фиксированных а, т. Обозначим через
v (q, р) квадрат подинтегрального выражения. Достаточно пока-
показать, что dv/dq <; 0. Для этого заметим, что A5.4) влечет за собой
xq = Tqf (х) и потому xqp = TqJ (x) Xp + Tqpf (x). Кроме того,
G (x) f (х) -хр = 0 по определению Т (/?, q). Используя эти факты,
равенства A2.10) и
d
dv \i h ( dG \ . 9/о / ч
"Щ~ — 2а xv ["Zjk') _ xp'xp\^u\х)хря'xv>
п>==1
мы получаем, что dv/dq = 2TqB (х) хр -хр. Следовательно, dv/dq <I 0
в силу A4.2) и A5.3).
Таким образом, L (q, 0, Р) ■< L @, 0, Р), если 0 -< q < q0. Так
как интеграл в A5.5) равен L @, 0, Р), отсюда следует, что
L (q, 0, Р) < а/2 и потому х (q, р) 6 D при 0 < q < q0, 0 < р < р.
Покажем теперь, что
Т (q, p)-+(o (р) при q-+q0 A5.7)
для 0 <; р <: р, где 0 <; / < со (р) — правый максимальный интер-
интервал существования решения у (/, р). Предположим, что A5.7)
не выполнено для какого-либо р = р°, 0 ^ р° ^ р. Так как после-
последующие рассуждения не зависят от положения точки р° на отрезке
[0, р], предположим, что р° = р. Тогда A5.7) не выполнено при
р = р. В частности, существует предел у0 = lim у (q, p) при q -> qQ
и у0 лежит в замыкании D области D. Но тогда существует ортого-
ортогональная траектория у = х (р) на S, такая, что х (Р) = у0 и функ-
функция х(/?) определена на некотором полуинтервале @<;) а</?<;р.
8 частности, решение у — у (t, р) системы A4.1) при а < /7 ^ Р
пересекает кривую у = х (р) при возрастании ^ вблизи точки
Г (q0, P).
Поскольку решения непрерывно зависят от начальных условий,
отсюда следует, что х (р) [а потому и jcp (p)] является пределом
равномерно сходящейся последовательности функций х (q, p) [соот-
[соответственно xp(q, p)\ при q-*q0 на каждом замкнутом отрезке
(а <С) т ^ р ^ р. Поэтому функция L (^, т, Р) непрерывна при
9 = <7о> если L (^о, т, Р) определить следующим образом:
L(q0, х, Р)= j
при а < т <С р. В силу монотонности L имеем L (q0, т, Р) <^
< L @, 0, Р) < а/2. Поэтому дуга у = х (/?), а < р < р, имеет
конечную длину <а/2 и х (р) £D, так что r{x{p), dE) > а/2.
Следовательно, существует д: (а) = lim х (р) при /7 ->■ а + 0 и

646 Гл. XIV. Монотонность
Предельное соотношение х (q, р) ->• х (р) при q-*- q0 выполняется
равномерно на каждом замкнутом отрезке а <; р ^ р, если функ-
функция х (q, р) равномерно непрерывна относительно р, а <^ р ^ E,
для 0-< q **C qo\ см. теорему 1.2.2. Чтобы проверить равномерную
непрерывность, заметим, что
г (х far, Pi), x(q, p2)) < L (q, pif p2) < L @, plf p2) A5.8)
и L @, plf p2) -»- 0 при p2 — Pi~+ 0.
Легко видеть, что функция х = х (р) может быть продолжена
на отрезок 0 <; р >< р. В самом деле, если а > 0, то приведенное
выше рассуждение применимо в случае р = а, и мы можем полу-
получить продолжение функции х — х (р) на отрезок а4 <; р <; р,
где 0 ^ а* <C а. Кроме того, можно показать, что множество точек
р = ои которые мы можем достичь таким образом, является одно-
одновременно открытым и замкнутым относительно полуинтервала
0 ^ р < Р, так что точка р = 0 достижима.
Это означает, что функцию у = х (q, p) можно определить
для 0 < q < qOi 0 < р < р, а потому и для 0 < q < q0 + e,
0 ^ Р ^ Р ПРИ некотором е > 0. Но это противоречит определению
числа ^о- Поэтому предположение о том, что A5.7) не выполнено
при некотором р = р°, неправомерно. В частности, q0 = со.
Из A5.8) при Pi = 0, р2 = р и определения jc (^, р) в A5.4)
следует, что
г (у (Т (р, ?), р), 0о (?)) < ^ @, 0, р) при 0 < q < со. A5.9)
В силу непрерывности функции G (у) при у — Уо существуют такие
постоянные Р > 0, Ci > 0, с2, что L @, 0, р) ^ с2Р ПРИ 0 ^ Р ^ Р
и г (г (р, и), уо) ^ йр; см. замечание после формулы A2.4). Более
того, постоянные Р, ci9 c2 можно выбрать независимо от и.
Таким образом, если К = c2lcu то
г {у (Т (р, /), р), у0 @) < Кг (у @, р), у0) A5.10)
при 0</<(оиО<р<р. Следовательно, если у (t) — решение
системы A4.1) с начальным значением у @) = у @, р) при некото-
некотором р (и и), 0 ^ р ^ Р, то утверждения теоремы 14.2, за исключе-
исключением утверждения о том, что s @) = 0, выполнены с s (f) = Т (р, t).
С другой стороны, если точка у @) близка к у0, то существует
такое малое | /i |, что у (f) пересекает я при t = t\ вблизи точки г/0,
т. е. у (ti) = у @, р) при некотором малом р>0 и некотором и.
К тому же ясно, что г (у @, р), у0) мажорируется функцией
г (У @)» У о) с некоторым постоянным множителем. Таким образом,
если выбрать К подходящим образом, то
г {у (U + Т (р, /)), Уо @) < /Сг (у @), уо)
при 0 <; /< со. Итак, все утверждения, за исключением утвержде-
утверждения о том, что s @) = 0, выполняются при s (/) = tt + Г (р, /).

Примечания 647
В каждом из рассмотренных двух случаев не составляет труда изме-
изменить s (f) так, чтобы s @) = 0. Этим завершается доказательство
теоремы 14.2.
§ 16. Доказательство теоремы 14.1
Так как область притяжения точки у = 0 является открытым
множеством и содержит шар 2 (г): || у ||<; е, то существует такое
а > 0, что шар 2(е + а): \\ у ||<; е + а также лежит в области
притяжения. Обозначим через Е* открытое множество £\ 2 (е),
которое получается из Е после удаления шара 2(е). Тогда / (у) ф 0
на £*, а метрика ds2 = G (у) dy-dy удовлетворяет на Е* условию
A4.2).
Предположим, что теорема 14.1 не справедлива. Тогда сущест-
существует точка уо(:Е*, принадлежащая границе области притяжения
точки у = 0. Пусть у = у0 (f) — решение системы A4.1), удовле-
удовлетворяющее условию у0 @) = уо. Тогда
г (г/о @, дЕ*) > а
на правом максимальном интервале 0 <; / < со.
Итак, можно применить теорему 14.2 после замены Е на Е*.
При этом все решения у (f), начинающиеся в точках у @), близких
к уОу остаются близкими к у = у0 (t) в смысле теоремы 14.2. В част-
частности, у (t) 6 Е* на его правом максимальном интервале существо-
существования. Но это противоречит тому факту, что точка у0 лежит на гра-
границе области притяжения точки у — 0. Теорема доказана.
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1. Теорема 1.1 принадлежит Хартману [2], [23] и обобщает результат
Милу [1], полученный им для уравнения второго порядка; см. последнюю
часть теоремы 3.1. Результаты типа A.9), A.10) в первой части теоремы 1.2
для уравнения Бесселя были получены Ватсоном [1] (см. [3, стр. 488—489])
и для общих уравнений второго порядка Милном [1], но, как видно из дока-
доказательства, являются следствием более ранних теорем для систем первого
порядка. (Сегё [1] приписывает этот результат Сонину.) Последняя часть
теоремы 1.2, касающаяся A.11) — A.13), и результат упр. 1.3 получены
Хартманом [23].
§ 2. Большая часть результатов этого параграфа принадлежит Хартма-
Хартману и Уинтнеру. О теореме 2.1, следствиях 2.1 и 2.2 см. [13]; о следствиях 2.3
и 2.4 см. [14]; об упр. 2.6 [за исключением утверждения (d)] см. [14], [7];
об упр. 2.7 см. [8]. Результат упр. 2.6(d) получен Уинтнером [19]. Обобщения
теоремы 2.1 на банаховы пространства имеются в работе Коффмана [1]. Упраж-
Упражнение 2.8 является модификацией результата Хартмана и Уинтнера [16]
и доказано Коффманом [3]. Близкие результаты для линейных уравнений
третьего порядка получены Грегушем [1].
§ 3. Часть теоремы 3.1, касающаяся существования [см. C.7<х>)], принад-
принадлежит Милу [1]. Доказательство этой теоремы с помощью леммы 3.1 полу-
получено Хартманом [23]; ср. Уинтнер [23]. О следствии 3.1 и упр. 3.5 см. Хартман

648 Гл. XIV- Монотонность
и Уинтнер [4]. Результат упр. 3.7 сформулирован Армеллини; он был дока-
доказан независимо Сансоне и Тонелли; см. Сансоне [1, стр. 61—67]; простое
доказательство дано Хартманом [23]. Об упр. 3.8 см. Хартман [22]. Об упр.
3.9 см. Хартман и Уинтнер [15].
§ 4. Основные результаты этого параграфа содержатся в работе Харт-
мана [22]. Частично упр. 4.2 доказано Шафхайтлиным [1]. Упражнение 4.3(а)
является частным случаем одного результата, справедливого для нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка; см. Хартман [22].
Об упр. 4.3(Ь) см. Лорх и Сеге [1].
§ 5. См. работу Вейля [3], который доказал теорему существования для
задачи E.1) — E.3) при 1 > 0 и а = р = 0.
§ 6. Теорема 6.1 принадлежит Иглишу [1], [2]. Приведенное доказа-
доказательство существования и упр. 6.1—6.3 даны Коппелем [1]; доказательство
единственности принадлежит Иглишу [2].
§ 7. Теорема 7.1 является результатом Иглиша и Кемница [1].
§ 8. Ср. Грон и Иглиш [1]. Приведенные доказательства заимствованы
из работы Иглиша и Кемница [1].
§ 9. О теореме 9.1 см. Коппел [1]; о теореме 9.2 см. Хартман [29].
§ 11. О лемме 11.1 см. Ла-Салль [3]. Следствие 11.2 получено Харт-
Хартманом [24] и обобщает результат Красовского [1], [2], [3] (ср. [4] и Хан [1,
стр. 31—32]). О близких результатах для неавтономных систем см. Уинтнер
[8, стр. 557—559], Зубов [1] и Хартман [24, стр. 486—492].
§ 12—13. О понятии полноты ds см. Хопф и Ринов [1]. Теоремы 12.1
и 13.1 принадлежат Хартману [24]; см. Маркус и Ямабе [1], где получены
более слабые результаты. Следствие 12.1 содержится в работе Адамара [4]
(доказательство в тексте принадлежит Хартману [24]); обобщение, приве-
приведенное в упр. 12.3, принадлежит Ф. Браудеру [1], причем его доказательство
справедливо для гильбертовых пространств. Теорема 13.1 связана с нера-
неравенствами Льюиса [2], [3]; см. Опяль [8].
§ 14. Условие типа «/ (у) х-х < 0, если x-f (у) = 0» введено Бор-
Боргом [3]; см. упр. 14.4(а). Основные результаты этого параграфа получены
Хартманом и Олехом [1]. Двумерный случай следствия 14.2 см. в работе
Олеха [3].

УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава II
2.3. Рассмотрим следующую задачу Коши у' = fy1 (у) £, У @) —
= 0. Поскольку | fy1 (у) £ | <; М | I |, то из теоремы 2.1 следует,,
что эта задача имеет решение у = Y (t, I) при \ t | -< ЫМ \ \ |.
По теореме о неявной функции, это решение единственно и
f (Y (t, I)) = tl. (Почему?) В частности, если | I \ = 1, то функ-
функция у = Y (t, £) определена при | / | ^ ЫМ. Заменим | на cl>,
где с > 0. Функция у = Y (/, cQ является решением задачи Коши
У' ~ fy1 (У) с%> «/ @) = 0 при | / | ^ ЫМс | I |. В силу единствен-
единственности Y(t, cQ - Y (ct, I) при \t | < ЫМС | I |. Полагая | 1\ = 1
и /=1 и заменяя с на /, получаем, что F A, /|) = Y (/, g) при
|£|=1, 1П< &Ш. Пусть г/ = g (х), где g (х) = у A, *) При
| х | <; ЬШ. Тогда / (g (x)) =х и, по теореме о неявной функции,
g (х) 6 С1 при \х |<;6Ш. Матрица Якоби (dg/dx) равна fy1 (у)
при у — g (х) и, следовательно, невырожденна. Обозначим через
Do открытое множество точек у, лежащих в образе множества
| х | < ЫМ при отображении у = g (x), так что g (f (у)) = у,
когда у принадлежит замыканию Do множества Do. Тогда отобра-
отображение х = f (у) является взаимно однозначным отображением
множества Do на | х | <! ЫМ (поскольку если для некоторой точки
^о, I Хо I -^ ЫМ, уравнение / (у) = х0 имеет два решения у = у и
у2 6 Do, то функция g (х) не однозначна, т. е. g (х0) = уги g (x0) =
= у2). Для того чтобы показать, что область Do содержит множество
D\'. | у | <С bIMMu применим результат, только что доказанный
для функции х = f (у) на множестве D: | у \ -< Ь, к отображению
у = g (х) на множестве | х \ ^ ЫМ. Мы получим, что существует
область Би лежащая в области | х \ < ЫМ и такая, что отображе-
отображение у = g (x) является взаимно однозначным непрерывным ото-
отображением замыкания области Di на множество | у \ <; ЫММи
4.1. Рассмотрите продолжение влево решения задачи у' =
= f(U У), У {о) = У0', см. рис. 1.
4.2. Пусть непрерывная функция
{0, если 0<г<1/4,
1, если 3/4 < г < 5/4,
0, если 3/2 < г,

650
Указания к упражнениям
так что, в частности, ф A) = 1 и ф(г) ограничена. Пусть функция
V F) периодическая с периодом 2я, нечетная и £/@) = 201/2х
Х(я —0)*/2>О, О<0<я. Рассмотрите дифференциальное уравнение
для вектора у = {уг, у2), имеющее вид y'^fiy1, у2), где / =
= ( — y2q>(r)U (Q), (/^(^(/(в)), г/1 = г cos в, у2 = г sin в с начальным
условием (у1, #2) = A, 0). Найдите дифференциальное уравнение
Рис. 1.
для г, 0. Заметим, что задача 6'= (/(8), 9 @) = 0 имеет макси-
максимальное решение fy @ = я sin2 tf при 0<^<я/2, Qi(t) = n при
/>дт/2 и минимальное решение 6=—84@. Тогда Sc при с>я/2
является окружностью (у1J + (у2J = 1 •
4.3(а). Покажите, что множество решений y(t) уравнения D.1)
равномерно ограничено при to^Ct^c. Это позволит применить
доказательство теоремы 4.1.
Глава III
4.1(а). Пусть zk(a)^yk0 и DRzk(t)<fk(t, 2@), *=l,...,d.
Пусть уе@ является решением системы yk' = f (t, у) + ъ, у(а) = Уо
при малом е>0. Пусть с таково, что а<с<& и решение ye(t)
существует при а-<Л<с для всех малых е. Допустим, что нера-
неравенство zh (t)^СУ& @ не выполнено при а ^С t^.c, k — l,...,d.
Тогда существует наибольшее tOi a<.to<Cc, для которого zk(t)*C
<^е@ при а<^</0» fe=l, ...,d, но, при некотором /, 23"@>
> г/е @ Для каких-то значений t, t > ^0, сколь угодно близких к t0.
В частности, zj (t0) - у{ (/). Но тогда Dfizj (/0) < f (to, г (tQ)) <

Указания к упражнениям 651
< F (А>, Уе (to)) < У г (to), так что z3 (t) < у{ (t) для малых / —10 > 0.
Получаем противоречие. Следовательно, zj (t)^yl(t) при а</<с.
Затем устремляем е к нулю.
4.1(Ь). Пусть yi(t) является решением задачи y' = f(t, у),
у{ (а) = z (а). Достаточно показать, что у\ (t) <y\ (t) при 0 < t<6,
ife=l, ...,d, поскольку 2ft<^<r/J. Ясно, что у\<у* или что
(Уо""У?)'>О при / = я для любого А =7^=/. Следовательно, y\<Ly\
при малых /—-а>0 для ^^/ и для £ = /. Если существует
первое значение t = to>a, для которого у\(U) = у*(tQ) при неко-
ром А, то (^ — ^)'<0 при / = /0, но yi(to)¥=yo(tQ) в силу един-
единственности, а из монотонности fk вытекает, что (Уо—УхУ>О при
6.1. Пусть функция ф(^) определена при 0<Ct*Cl и такова,
что t2 <Сф@ <4^2/3, q> (t) непрерывна, ф'(^)>2^, но не сущест-
существует Нтф'(/) при t —> 0. Положим со(^, м) = фЛ (t)uly(t), так что
<я(/, u)>3u/2t. Пусть #, /—-скалярные функции и
{0, если г/<0,
4г//3/, если (
4/1/3/3, если i
где t>0.
6.2. Пусть
{0, если
(l+e)y/t9 если
A+е)^е, если
6.5. Пусть соо(/, w) = sup|/(/, yi) — f(t, y2)\ при 1^ — у2\<и.
Тогда функция соо(Л t/) непрерывна, если /0</</0 + я и 0<^<26
(почему?); не возрастает по и (при фиксированном/); со0(^, 0)s==0;
\f(t, yi)~f(t, й)|<юо(* 1 й|) ( )(/ ) ^
<^<^о + ^ и 0<^<2&. Предположим, что задача ^' =
^(^о) = О имеет решение и°(^)^0 на некотором отрезке [/Oi
Тогда ^°л = со0(/, гг0)<со(/, t/0). Но из доказательства теоремы 6.1
видно, что это невозможно.
6.6(а). Предположим, что существуют два решения на отрезке
0</<8. Обозначим их разность через u(t). Тогда и = и'=...
...=и(<*) = 0 при * = 0 и |<d>(/)|^@
d-l
k=0

652 Указания к упражнениям
Последовательным интегрированием функций a(d> (/) получаем, чтс
t
(d —Aj—1)!и<*>(/) = ^(t-s)d-k-1u(d)(s)ds при A = 0f ...,d
откуда
(d-k)\ rd+k [uW (t) \<(d-k) Г1 j A -sltf'^X(s)ds.
о
Умножая эти неравенства на е& и складывая их, получаем
ft=0 О
Заметим, что функция X (t) > 0 непрерывна при 0<^<еиА,@) = (К
Предположим, что &(/)=£ О, так что Х(^) =^0. Выберем значение t
в последнем неравенстве так, чтобы X(t)>0 было максимальным
значением функции X(t) на отрезке [0, е]. Заменяя затем X(s) на
^(t) в правой части неравенства, получим, что
t
Я @ < X (t) ^ £а (d- ^) Г1 j A - sltf-^ds.
о
В правой части неравенства имеем произведение Я (t) на 2 8&= *-
Следовательно, такое неравенство не может иметь места.
6.7(а). Предположим, что существуют два решения у = У\ (t),
у2 (t) при 0 <; t <; е. Положим т (t) = | г/4 (/) — у2 @ !• Тогда
I DLm @ | <; o)j (f, m (f)). Предположим, что существует такое
значение t = s, что 0 <; s<; 8 и m (s) > a (s). Тогда минимальное
(единственное, в силу следствия 6.3) решение задачи и' = со± (t, и),
и (s) = т (s) удовлетворяет неравенству и (t) ^ т (/) на своем
левом максимальном интервале; и (t) можно продолжить на полу-
полуинтервал @, s], так что и @+) = 0. Это противоречит неравенству
и (s) = т (s) > a (s). Следовательно, т (t) <; a (t) при 0 <; t •< 8.
Аналогично, если т (г) > 0, то минимальное (оно же единственное)
решение задачи v' = со2 (/, v), v (г) = т (е) существует при 0 <С
< /<; 8 и удовлетворяет неравенствам 0 <; v (t) <; т (f). Отсюда
следует, что 0 < lim v (t)/$ (t) < lim m {f)l$ (t) < lim a (*)/P (/) npP
t -> 0. Таким образом, v (f) = 0, но v (г) = т (г).
6.8. Положите б (f) = || #2 (/) — i/i @ || и повторите доказа-
доказательство теоремы 6.2.
7.1. Рассмотрите задачу Коши и' = За2/3, w (/А) = wA в случае
скалярной функции и.

Указания к упражнениям 653
7.2. Рассмотрите дифференциальное уравнение и' = g (u)9 где
функция g (и) > 0 непрерывна при всех и. Интегральные кривые
и
суть линии уровня U (t, и) = const, где U (t, и) = t— I ds/g (s).
о
8.1. Можно предположить, что V @) = 0 и что V имеет строгий
минимум при у = 0, поскольку в противном случае функцию V (у)
можно было бы заменить на ±[V (у) — V @)]. Хотя мы и не пред-
предполагаем, что функция V принадлежит классу С1, существует
производная этой функции вдоль траекторий V = 0. Поэтому
можно воспользоваться доказательством теоремы 8.1.
Глава IV
2.2(а). С помощью стандартного процесса ортогонализации
можно показать, что существует такая невырожденная треугольная
матрица Q (/), что матрица Z (/) = Y (t) Q (t) унитарна. Это можно
проверить, показав вначале, что если (евклидовы) векторы Yi> • • •
. . ., yd линейно независимы, то существует невырожденная тре-
треугольная (d X й)-матрица R = (г/&) с Г/7- ф 0, Г/& = 0 при k > /,
такая, что векторы бь . . ., 8d — столбцы этой матрицы — обра-
образуют ортонормальную систему и б;- = гнух + . . . + rjffj. В самом
деле, пусть 6* = Yi/|lYi II» так что гп = V\\ 7i II- Для того чтобы
получить б2, вычтем из Y2 проекцию Y2 на $i и нормируем резуль-
результат так, чтобы получить вектор единичной длины, т. е. б2 =
= t?2 — (Y2#6i) SJ/Ц Y2 — G2 -Si) 6i ||, где точка обозначает скаляр-
скалярное умножение. Тогда б2 является линейной комбинацией r2iYi +
~Ь ^227г векторов Yi» Y2» гДе ^2 Ф 0- Этот процесс можно продол-
продолжить. Если Г — матрица со столбцами Yi» • • •, У а и А — матрица
со столбцами бь . . ., 8d, то матрица А = RT является унитарной.
Следовательно, матрица А* = Г*/?* унитарна. Применяя этот
результат к Г = У*(/), получаем, что Q (t) = R* и Z (/) = А*.
Из построения видно, что матрица Q (t) является непрерывно диффе-
дифференцируемой. Желаемый результат следует теперь из упр. 2.1,
так как если С (t) = (Cjk) и столбцами матрицы Z (t) являются
векторы Zt (/),..., zd (t), то в силу соотношений Сн = Z*AHZ
и Cjk = 0 при / > k отсюда вытекает, что Cjj = -j Zj -AHZj и zjk =
= Zj -AHzk при / < k. [Между прочим, из построения Q @ видно,
что диагональные элементы матрицы Q (/) вещественны; к тому же
если матрица Q (t) состоит из вещественных элементов, то и Y (t)
будет вещественной.]
2.2(Ь). Пусть #4 (/), . . ., yd (/) — столбцы матрицы Y (t);
положим Q@ = diag[l/||y1(/)||, ..., l/||^d@||] и применим резуль-
результат упр. 2.1.

654 Указания к упражнениям
8.2(с). Индукция по d — g. Если d — g = 0, тоЛ(/) = 1, корни
A) ... Д (d) различны и 7@) является матрицей Вандермонда
(К (У)*-*-1), У, А = 1, ..., d, так что det У @) = Ц ft @ - Ь (/)] и вы-
полнено (8.11). Предположим, что (8.11) выполнено, если d — g
меньше, чем заданное значение d — g">l, и пусть АA)>1,
а ХфХA), . ..Д(£). Заменим первый столбец матрицы У@) век-
вектором (hd~\ A,d~2, ..., 1). Обозначим так полученную матрицу через
/С(Х). Эта матрица соответствует тому случаю, когда различные
корни уравнения (8.9) равны А,, А,A), ... Д (g) и кратности их
соответственно равны 1, АA) —1, АB), . ..,A(g). В силу предпо-
предположения индукции det/С (Я) может быть получен из выражения
в правой части формулы (8.11) после замены АA) на /гA) — 1
и умножения на [к — ХA)]ЛA) Ц [X — Л(у)]Л<Л. Если первый
ii
столбец матрицы /((А,) продифференцировать АA) —1 раз по Я
при А, = А,A), то получится матрица, равная [/г A) —1]! У @). Сле-
Следовательно, [АA) - l]!dety @) = ^(D-idet^^/aXMD-i При
Л ЛA)
8.3(а). Определим uj(t) как решение уравнения (8.1), для
которого Uj=u'j= ... = и^"^ — 0, uf) = 1 при t = а. Тогда
l^i(t; ui) = ui(t)=^=0 на [а, 6). Предположим, что l<&<d и что
Wj (t) = Wj (t; «!,..., и,-) =^ 0 на [а, 6) при у = 1, . .., А. Рассмот-
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение ^-го порядка
W(t; и, uif...9uk)/Wh(t) = 09 (•)
решениями которого являются и = ии ...,Uk- Это уравнение имеет
вид и^ + ... = 0. Пусть a<.to<b; покажем, что Wk+i (t0) Ф 0.
Поскольку Wk (to) Ф 0, можно найти такие постоянные си . . ., с&,
что функция и0 = ciui (t) + ... + CkUk (t) + uk+i (t) будет иметь нуль
при t = tQ кратности не выше k и, конечно, нуль кратности
d — k—1 при t~a. Отсюда, по предположению, и^ (tQ) Ф0. Ясно,
что W(t; uk+l, ul1...,uk)IWk(t) = W(t; u0, uif ..., uk)/Wh(t) -
^k) Ф 0 при t = t0. Следовательно, Wk+i (to) Ф 0 ПРИ a<tQ<b
8.3(b). Определим h(t), положив h(t) = L[v]. Тогда (8.19)
выполняется после замены и на v. Поскольку функция aov имеет
d+1 нулей на (а, Ь), ее производная (aQv)\ а следовательно
и ai(aovy, имеет d нулей на (а, Ь). Поэтому функция [al(aovYY,
а следовательно и а2[а1(а0и)гу, имеет d— 1 нулей на (а, &). Про-
Продолжая это рассуждение, получим, что А имеет нуль в точке / = Э.
8.3(с). Пусть и (t) ф 0 — решение уравнения (8.1), имеющее d
нулей на (а, Ь). Тогда u(t) = ciui(t)-{-... +cdud(t) с некоторыми
постоянными сь ..., Cd. Предположим, что си+\Ф0, но ^+2= • • •
...=Cd = 0 при некотором &, 0<&<d— 1. Обозначим через Lft[w)

Указания к упражнениям 655
функцию, стоящую в левой части формулы (*) в указании к упр. (а).
Тогда, в силу результата упр. 8.3 (b), Lk[u] = 0 в некоторой
точке / = 0, а<0<&. Это противоречит условию Wk+i@)^=0.
8.3(d). Постоянные сА, ...,£<*, такие, что функция и =
= ^щ (t) + ... + CdUd (t) обладает требуемым свойством, удовлет-
удовлетворяют системе d линейных неоднородных уравнений. Эти уравне-
уравнения имеют единственное решение, поскольку соответствующая
однородная система в силу результата упр. (с) имеет единствен-
единственное решение ct = ... = са = 0.
8.3(е). Пусть щ (t) — произвольное решение уравнения L [и] s 1.
В силу упр. (d), уравнение (8.1) имеет такое решение u°(t), что
функция u(t) = uo(t) + u°(t) обладает требуемыми свойствами.
8.3(f). Пусть a<to<b, причем t0Ф tit ..., th. Тогда и0(t0) ф 0
в силу (Ь), так как L[u0] = 1 ф 0. Пусть число а таково, что
v (t0) = и (t0) + аи0 (t0). Тогда функция w(t) = v (t) — u(t) — сш0 (t)
имеет не менее d+l нулей на [у, б], если отрезок [у, S] содер-
содержит точки t0, tu ...,^. Следовательно, L [w] @) = 0 для некоторого
0 из (у, 6) в силу упр. (Ь). Но L[w](Q) = L[v](Q) — a.
9.1(а). Пусть F(K, t) = det [%I-R-G(t)], /?(X) = det(Л,/ — /?) —
характеристические полиномы матриц R + G(t) и R соответственно,
так что F (X, t) —> F (X) при t -> оо равномерно на каждом огра-
ограниченном множестве точек Я. В комплексной Х-плоскости рассмот-
рассмотрим круг | % — hj | < е, содержащий только один нуль X = ij функ-
функции FCk). Отсюда по теореме Руше (из теории функций
комплексного переменного) следует, что [при больших t функция
F (К, t) имеет в точности один нуль Xj(t) в круге | А, — А,7-1 <: в
и ^@ —> kj при / —■» сх>. По теореме о вычетах,
%j(t) = Bт)-1 § XFk (К t) dXIF (К t),
где Fb = dF/d'k, а интеграл берется по окружности \к — Я7-| = е.
9.1(Ь). Пусть R0 = Qo1RQQi Go(t) = Q?G(t)Qo. Рассмотрим урав-
уравнение для собственного вектора матрицы Ro-\-Go(t), соответст-
соответствующего значению Xt (t) и имеющего первую координату z1 (t)=l.
Пусть /?! — диагональная матрица diag [Х2, ..., A,d] порядка^!—1,
a GA (t) — матрица, которая получается из G0(t) после вычеркивания
первой строки и первого столбца. Тогда det [Ro + Go (t) — 2ц (t) I] = 0,
но det [R + G4 (/) — ^ (t) Id-i] Ф 0 при больших t. Поэтому, если
zA — некоторый (d— 1)-мерный вектор, то г = A, г4) удовлетворяет
уравнению [/?0 + G0(/) — Xi(t)]z = O тогда и только тогда, когда
IRi + GiW-btWId-dZi^-giit), где gi(O=(ftio(O. ••.^dio(O) и
(ёш, gio, ...,g"dio) —первый столбец матрицы G0(t). Тогда

-656
Указания к упражнениям
9.1 (с). Пусть
ydt), ...,*/* @> Q
имеет такой вид:
(t) — невырожденная матрица со столбцами
Q так что матрица Q? [R + G(t)] Qi
/МО
о
о
о ... о
мо... °
о ...МО
о
а (О
#22 @ >
где #22 (О— матрица порядка d — k. Пусть A (t) = Qi
— Kit)! и Vj = A(t)e3. Тогда ^ = 0, ife=[M0 —M01*2, • - •
... , Vk = [Xk @ — ЯА (О] в*. Заметим, что A2 (t)y = O влечет за собой
A(t)y = O и потому у = (const) eu так как 1 = 0 является простым
собственным значением матрицы A{t). Отсюда следует, что векторы
еи ..., е&, Vk+i, ..., Vd линейно независимы, так как линейная
комбинация этих векторов имеет вид с^ + А (с2е2+ ... +cded).
Пусть wr = А @ vr @ при г = 2, ..., d. Представим wr (t) в виде
линейной комбинации wr (t) = A^! + ... + hrkek + hrk+iVk+i + - • •
... + Ard^. Тогда hTi = 0 (в противном случае найдется вектор у,
такой, что Ау = е±). Поэтому линейному преобразованию A (t) отно-
относительно базиса еь е2, ..., ek, Vh+u - • •, Vd соответствует матрица
/0 0 0 ... 0 0 ... 0v
B(t) =
о
о
о
#12@
о о о ... мо —МО
О #22@/
где #22 @ — матрица порядка d — k. Это означает, что если Q2 (/) —
матрица со столбцами (е{, е2ч . . ., ед, ^+4@» • • •> vd(t)), то
<£М (О Q2 - 5 @, т. е. Ш2)~г [R + G @] (QiQ2) - В @ + ?Ч @ '•
Наше утверждение вытекает отсюда, если k=l. Если Л> 1, то
надо повторить эти операции для матрицы порядка d—1, стоящей
в нижнем правом углу матрицы B(t)-\~Xi(t) I.
11.1. Какова связь между Q(t) и Q0(t) в доказательстве
теоремы 11.2?
11.3. Уравнение t2u" + C/ —-1) иг + и = 0 имеет формальное
решение и=1 + 1! t + 2\ /2+ ... +k\ tk+
12.3(а). Если число [д, не целое, то найдутся два решения
оо
J±il(t) вида A2.12) с /ц=2 (— 1)к(т'
h=0

Указания к упражнениям 657
Если |ы>0 целое, то существует решение J\i(t) и линейно незави-
независимое решение, имеющее вид u = JVL (t) \ s/^2 (s) ds, которое может
быть представлено в форме
оо
О
где коэффициенты последнего степенного ряда можно определить
после подстановки в уравнение Бесселя.
13.2(а). Примените лемму 11.2 к X(t). Используя метод
вариации постоянных т] = Z (t) у и умножая получающуюся систему
на Р'1^), приходим к системе вида /"°г)'=..., к которой приме-
применима теорема 13.1.
Глава V
5.1. Используйте лемму 5.1 и ее доказательство.
5.2. Следует воспользоваться формулой Стокса E.3) для слу-
случая, когда S — прямоугольник ai*Cy1-*Cbi, ctj^Lyi<&7- и yl = const
при 1ф\, /. Результат продифференцируйте по &;, а затем по &4.
6.1. Занумеруем компоненты вектора у так, чтобы (iu .. ., id) -
-=@. . .., 0, iJ+u ..., id), где 0-</<<i и iJ+u . .., id — различные
целые числа из отрезка l^Cik^Cd. Запишем систему #" = / в виде
системы уравнений первого порядка, положив у' — z, z' --f(t, у, z)
или dy — zdt -= 0, dz — fdt^O. Выберем Bd х 2с()-матрицу А =
--A (t, у, z) так, чтобы
где Icuj— единичная [(d-rj) x (d-f-/)]-матрица, P-^diag[^ jr\ ...,z a\,
а последние d — j компонент вектора A{dy — z dt, dz — f dt) равны
zh dzk — fkdy%h при k = j-{-lf ..., d.
6.2(a). Запишем дифференциальные уравнения F.11) в виде
системы уравнений первого порядка для 2й-мерного вектора (х, у) =
= (х1, ..., xd, у1, . .., yd), имеющей вид dxl — yldt^= 0, dyl -f
+ SS Т}ку1ук dt = 0, где i = 1, ... f d. Выберем матрицу Л =■- A (x, у)
порядка 2d так, чтобы
А
42—241
-I1 °)
~\в /Г

658 Указания к упражнениям
где / — единичная матрица порядка d, а В = (&#) — матрица
порядка d с элементами Ь^ = 2 ^ЬтУт- Остается применить тео-
теорему 6.1.
6.2(с). Положим уг = х, У2 = у и ds2 = h(y)(dx2 + dy2), где
h= I -j-9#4/3. Если принять * за независимую переменную, диф-
дифференциальные уравнения для геодезической будут иметь вид
d2y/dx2 = ~ [1 + (dy/dxJ] Н (у), где Н(у) = д In й/dy. Задача Коши
при г/@) = 0, dy@)/dx = 0 имеет два решения у = 0 и // = £
6.3(а). Пусть Mj = pjidy1 + pj2dy2 и d(oJ = qjdy1 f\dy2. Форму
=z Pi dyljr p2dy2 можно определить из уравнений рф22 —
6.3(b). Можно предполагать, что РиРчгФ^ при у =- О,
поскольку в противном случае можно поменять ролями со4 и со2.
Пусть г/1 = г]1 (у2, и1) является решением задачи Коши dy1/dy2=--
= —pi2/pu и у1 = и1 при у2 = 0. Тогда функция z/1 = /n1(r/2, i/1)
принадлежит классу С1 и drj1 @, OJ/du1^ 0. Следовательно, урав-
уравнение у1 = г\1 (у2, и1) может быть решено относительно и1 = U1 (у1, у2)
при малых \\y\\. В системе координат (у2, и1) форма щ имеет вид
co1=T'1dw1, где 7j Ф 0 — непрерывная функция от (у2, и1) и, сле-
следовательно, от (у1, у2)- Аналогично, пусть у'2 = г\2 (у1, и2) является
решением уравнения dy2/dy1 — — P2JP22 и у2 = и2 при у1 = 0,
и пусть и2 = и2(уг, у2) — обратная функция. В системе координат
(у1, и2), форма со2 имеет вид od2 = T2du2 и Т2Ф0. Преобразование
и) = V2 (у1, у'2) принадлежит классу С1 с неравным нулю якобианом
при у = 0 и имеет обрадное yJ = YJ (и1, а2). В системе координат
(а1, и2) имеем (uj = TjduJ, где Tj — непрерывная функция от (и1, и2).
Поэтому a = 2Tdu1du2 и T = TiT2¥=0- Теперь можно пред-
предположить, что Т (и1, 0) = Т @, и2) = 1, поскольку в противном
случае вектор (и1, и2) можно заменить вектором
V1=±
и и
7@, 0)Г1/2 jT(s, O)ds, У2 = |Г@, 0)Г1/3 JT(O, s)
ds,
где ±Т@, 0)>0. При преобразовании у—>и класса С1 сохра-
сохраняется свойство иметь непрерывную внешнюю производную.
Поэтому производные dTJdu2, dT-Jdu1 существуют и непрерывны
в силу результата упр. 5.2. Пусть h(u\ u2) = (Ti/T2)i/2>0. Тогда
oo1 = A71l/2dM1, w2 = (Ti/2/h)du2 и потому
«12 = - [In (Г1/2/Л)]и1 du1 + [In {Tmlh)U du*.

Указания к упражнениям 659
Так как dco12 = /Ccoi Д со2, формула Стокса принимает вид фсо12 =
= I \ КТ du}du2. Применяя эту формулу к прямоугольнику с вер-
вершинами @, 0), (и1, 0),(^\ и2), @, и2), мы получим, что
— In Г (и1, и2)= j j KTduldu2.
о о
8.1. См. доказательство теоремы 8.1 и упр. III.7.3.
Глава VI
1.2. Пусть х0 £ £. Перенумеруем компоненты векторов я и У1? . ..
..., Уе так, чтобы матрица Вп = (Ьи(х0)), где i, /=1, ..., е,
была невырожденной, и пусть В21 = (&^-(х)), где i = e-\-l, .. ., е + d,
/ = 1, . . ., d. Пусть х == (г1, ..., ге, г/1, ...,/) и Я (у, г) =
= B2i (x) B~i (х). Тогда систему (*) можно записать в виде
(ди/dz) Вп + (ди/ду) В21 = 0 или, что эквивалентно, в виде A.12).
Поэтому система (*) является полной в окрестности точки хо =
=^(?01 Уо) в тол! и только в том случае, когда форма со = dy —
— H(y,z)dz вполне интегрируема в точке (yQ, z0). Определим
[(d + e) X (й + е)]-матрицу Во, положив
Пусть B0=($Jk(x)) и fi = (8;ft(^)), где /, k=l, ..., d + ^- Тогда
Уи [и] = 2 Рд (х) ди/дх] при /г = 1, . . ., d -\- е. Положим ау- =
i
— 2 ^д (^') ^ при / =-- 1, . . ., dA-e. Система Yt ^ . . . = Уе = О
k
полна в точке х0 тогда и только тогда, когда формы ае+1, . . ., <Xd+e
вполне интегрируемы в точке х0. Для всякой функции и (х)
из класса С1 полный дифференциал du^^ (ди/дх1)dxl люжно
записать в виде
du=^Yi[u]ai для и£С\ A)
поскольку (8jk) = ((Зд). Если t/(x) принадлежит классу С2, то про-
простое вычисление внешней производной от формы du дает
r/+p d+e d+e
Yft [a] da* + S 2 Y* [К, (")] ее, Д «; = 0. B)
il jl
2
Существуют (и единственны) непрерывные функции
= —ejih(x), такие, что
d+e d+e
2 S
(x) at Л «;» C)
42*

660 Указания к упражнениям
т. е. мы получаем выражение для dak в базисе а4, ...,
Следовательно, из A) и B) вытекает, что
Yt [Yj (a)] - Yj [Yt (a)] + 2 eijkYk [a] = 0 D)
для всякой функции и из класса С2. По теоремам 3.1 и 3.2
система ae+i, ..., ае+а вполне интегрируема тогда и только тогда,
когда [из системы равенств ae+i = ... = ae+d = 0 вытекает, что
dae+i = ... = dae+d = 0, т. е. тогда и только тогда, когда etjk =■ 0
при i, / = 11 • • -1 б и k = e+l, ..., ^ + d. В силу D) мы получаем
отсюда искомый результат, если положить с-ъ^= —е^и при
h h k = U .-•» d.
3.2. Используйте лемму V.5.1.
3.4. См. доказательство леммы 3.1.
3.5. Если dco существует и © = (©!, . .., щ), то дифферен-
дифференциал dcok имеет вид dak = — 22 (dhkj/dyl) dyl /\ dzj + 22 Pkijdz1 [\
/\dz\ где pkij= —pkji- Какие условия следует наложить на р^у,
чтобы выполнялось C.1)? Используйте упр. V.5.I.
6.1(Ь). См. упр. 3.5.
6.2. Покажите, что если такая матрица А существует, то реше-
решение системы F.2) при фиксированном z0 и ч] — Уо имеет вид
y = Y (z)i) + yi (z), где У (z) — невырожденная матрица класса С1,
а у{ (г) — вектор класса С1 для г, близких к г0. Следовательно,
при отображении (г, т])—»(z, у) имеем dy — Н dz = Y (z)dr\.
Поскольку форма Y(z)dr) относительно dr\, dz имеет непрерывную
внешнюю производную, то же верно и для формы dy — Hdz отно-
относительно dy, dz. Примените теперь лемму 3.1.
8.1(а). Пусть ио = и(уо), ро = иу(Уо)' По лемме V.3.1, найдутся
функции а, &\ с\ непрерывные относительно (м4, уи ри и2, y2i Pz)
при малых \щ — щ\, \yt — #о|» 1^ — y^ol» i = l, 2, такие, что
F'(и2, Уг, Ръ) — р(иь Уи Pi) =
= (и2-и{)а+ 2 (УЬ-УЧ)Р+ 2 {P\-Pkjck A)
и a = Fu, bh = dF/dyk, ck = dF/dph, если (ui9 yt, pi) = (u2, y2, p2).
Пусть /г>0 мало. Применим A) к (uv yu pi) = (u(y), у, иу(и))
и («г» f/2, />2) = (и(# + Д#), 0 + Д», иу(у + Ау))у где Д^/ — вектор,
у которого /-я координата равна 0 или /г в зависимости от того,
будет ли ]фт или j = m. Из G.1) следует, что
d
aAu/h + bm + 2 (Д^/Я) cfe - 0. B)

Указания к упражнениям 661
Пусть yh (t) — решение задачи у' = с, у @) = у01 где с = (с1, ..., cd),
а аргументом с служит вектор (и (у), у, иу(и), и(у + Ау), у + Ауг
иу(у-\-Ау)) при фиксированном Ау. Ясно, что если число е>0
мало и фиксировано, a h{ > h2 > ... — некоторая подходящим
образом выбранная последовательность, то предел y(t) = \\myh(t)
при h = hn—>0 существует равномерно при | /1<;е и является
решением задачи у' = Fp(u(y), у, иу{у)), у@) = у0. Заметим, что
если p%(t) = [u(yh(t) + Ay) — u(yh(t))]/h1 а у заменено в B)
на yh (t), то равенство B) можно записать в виде р™' (t) =
= —aAu/h — bm, так как {yh(t)-{-Ay)'= y'h(t) = c. Поэтому при
h=hn->0 имеем p™(t)->du (у (t))/dym и pf (/)->-Fudu/dym-
— dF/dym равномерно при |/|-<е.
8.1 (с). Из условия Fp (u0, у0, р0) Ф 0 вытекает, что система G.1)
может быть записана в виде G.17), где у — вещественная перемен-
переменная, если d = 2. Применяя часть (а), получим нужный результат;
см. упр. 7.2(а) для соответствующих уравнений характеристи-
характеристических полос.
8.2(Ь). Пусть и @, У (t), р @ — характеристическая полоса
уравнения F = 0, т. е. решение системы G.9). Тогда равенство
G (a (t), у (/), р (t)) = 0, продифференцированное по /, дает равен-
равенство Guuf + Gvy' + Gvp' = 0. Поэтому из G.9) вытекает равен-
равенство H(u(t), y(t), p(t)) -0.
9.1. Следует ввести новые переменные (х, х + у) вместо (*, у).
Глава VII
3.1. Используйте C.1) и окружность J.
3.2. Рассмотрите деформацию A — s) f0 (у) + sf (у) = f0 (у) -}-
+ sfi (у) при 0 <I s ^ 1 и малых || у ||.
7.2. С помощью вещественной линейной замены переменных
приведите А к нормальному виду.
10.2. Кривая С строится следующим образом. Пусть а > 0 —
большое число; С состоит из дуги Са: v2/2 + G (а) = а при и ^> а,
отрезков прямых v = :Ь 7 ПРИ I и I ^ &* гДе 7 > 0, и 72/2 + G (а) =
= а и дуги С$\ v2/2 -{- G (и) = $ при и <; — а, где Р = 72/2 +
+ G (-а).
11.1. Положим z(U y) = ga(V>(t, ga1^))), где у=(у\у2) и г =
= (z\ г2). Тогда г G, у)^Сх, и при малых |/| и \h\ имеет место
соотношение z(t + h,y) = z(t,z(h, у)). Следовательно, dz (t, y)ldt =
- [dz (t + ft, 0)/dfcfo=o = S (9г {U y)/dyj) [dzj (h, y)ldh]h==o.

662 Указания к упражнениям
11.2(с). В силу (Ь) множество dN либо пусто, либо dN = N.
Соответственно, либо N° = N, либо № пусто. В первом случае N
открыто и замкнуто, так что N = М, поскольку М связно.
Во втором случае из того, что № пусто, вытекает, что N нигде
не плотно, так как N замкнуто.
13.1. Пусть е > 0 — произвольное фиксированное число. Пусть
i, j таковы, что 0 < 77- — yt < е. Тогда сдвиги полуинтервала
Тг ^ У < У] на т (/ — i) a + h при h, m = 0, ±1, . • • имеют
концы в точках вида па + k и покрывают прямую — оо < у < оо.
14.1. Если рассечь тор по окружности Г, он превращается
в часть цилиндрической поверхности. Если полуорбита остается
в этой части цилиндрической поверхности при t ^> 0, то множество
ее со-предельных точек образует замкнутую орбиту; см. доказа-
доказательство теоремы 4.1.
14.2. Существует такое т0, что Го = С+ (т0) — жорданова кри-
кривая (в силу теоремы 14.1). Кривая Го не может выродиться в точку;
см. доказательство леммы 14.1. Если рассечь тор вдоль Го, он станет
частью цилиндрической поверхности, к которой применимы рас-
рассуждения из доказательства теоремы 4.1.
Глава VIII
2.2. Замените B.1) уравнением dy/dx = Y/X; см. доказательство
теоремы Ш.6.1.
3.1. Введите полярные координаты; см. C.14), где а = О,
F1-^xh{r), F2 = yh(r).
3.2. Пусть F(z)--( — yh(r), xh(r)), г = (х2-Гу2I/2>0 и А(г) —
некоторая непрерывная функция при 0<г<;1, причем Л@) = 0.
3.3. Пусть F(z)=.--( — h(r)k(Q)y, h(r)k(Q)x), где г =
-~-(х2-г У2I/2>0, Л: (г) = | In r j-1 при 0<г<1/2, /г @) = 0; в слу-
случаях (а), (Ь) или (с) полагаем соответственно &@)=1, | cos 9 [1/2
или 0,
3.4. Все характеристические значения по mod 2я равны 0 или п.
Можно применить теорему 2.1.
3.6. См. упр. 2.2.
4.2. Рассмотрите систему х' = — ух* — уь — ср (х, у) у, у' = ху* —
-х3у2 + у(х, у)х, где у(х, у)>0 при х2+у*>0, Ф @, 0) = 0.
4.3(Ь). Заметим, что если я|)(г) = аAп l/r)~fe/(ft"), то неравен-
неравенство D.36) имеет положительное решение 8 = еAп l/r)~1/(fe~1)

Указания к упражнениям 663
при условии, что существует е>0, такое, что г/(к — l)~cefe>a.
Это условие выполнено, если а>0 не превышает максимума
функции e/(k— l) — сгк.
4.4(Ь). Пусть я|) (г) = a (In 1/г)~к/(к\ и пусть 9 = и (In 1/г)~~тк~{)
в D.38). Тогда г (In l/r) du/dr = a — [u/(k— l) — cuh]> const > 0,
если а больше максимума функции и/(к—1) — сик.
оо
4.6(d). Положите 90 = \ ф (s) ds + ylt^ при некотором у.
оо
4.6(е). Положите Q0 = t~~i/<'X~1) \ si^l~~i^(s)ds.
Глава IX
5.3(Ь). Предположим, что уравнение ц = Е1-\- F (I) относи-
относительно £ не имеет решения. Пусть 0<Zri<cr2 таковы, что F(£) = 0,
если \\l\\>ru \\i + E-iF(t)\\<:r2, если Ц^К^ и ||£-Ч]||<г2.
Тогда при отображении g —> f (£^ + F (g)) = g 4- Zr1/7 (i) шар
||Н||<г2 переходит в себя, причем на его границе это отображение
равно единичному, а точка Е^ц не попадает в образ шара. Но это
невозможно (Брауэр).
5.4(d). Если утверждение неверно, то || z%. — zn || > const (с —26)"
при больших п [в силу части (с), примененной к 5* вместо Sn].
5.4(е). Пусть (уп, zn) = Tn(y0, г0), где z = g(y0), так что
Уп (Уо), zn (уо) — функции от у0. Пусть yhn = [уп (уо + he/} — yn (Уо)]Иг,
Zn=[Zn(yo-rhej)—zn(yQ)]/li. Тогда (у*9 ^-(Л^^+ВД^+У^^,
Cz^l__i-\- Zfinyn-.i + Z2nzn-i)> где матрицы Y\n, Y£n, Z\n, Ъ\п при
А —> 0 сходятся к матрицам Якоби <ЭУ, zy^, 2Д, вычисленным
в точке (#л_1, 2Л_!). В силу (d) функции у^ z£ от ^0 равномерно
ограничены и равностепенно непрерывны (при фиксированном п),
причем li^ll^ll^H при п = 0, 1, ... . Следовательно, они имеют
пределы (ип, vn), когда /z—>0 по некоторой подпоследователь-
подпоследовательности; (ип, vn) = T%*(u0, v0), uo = ej, \\vn\\<C\\un\\. В силу един-
единственности выбор подпоследовательности необязателен.
11.2. Если утверждение неверно, применим формулу Стокса
Глава X
1.4(d). Для доказательства достаточности первого критерия
сделайте замену переменных £ = [/ — Go (/)] ц при больших t и при-
примените утверждение п. (с). Достаточность второго критерия следует

664 Указания к упражнениям
из первой части и части (Ь) или может быть получена из (с)
с помощью замены переменных I = [I + Go (t)]'1 г\.
4.1(а). Чтобы оценить а(/), запишите интеграл в D.18) в виде
/ т t
примените интегрирование по частям ко второму
о о г
интегралу.
4.1(Ь). Заметим, что функция a(t) является решением диффе-
дифференциального уравнения о' + (с — 8)а = я|). Достаточно проинтегри-
проинтегрировать это уравнение по отрезку [5, t].
4.2(а). Умножив дифференциальное уравнение а' + (с — £) а = *Ф
относительно функции а на а9 и проинтегрировав результат
по отрезку [0, t], примените неравенство Гёльдера к интегралу
в правой части.
4.6(Ь). Не теряя общности, можно предположить, что матрица
G(t) непрерывно дифференцируема, так как в противном случае
ее можно аппроксимировать с произвольной точностью такими
матрицами. В силу результата упр. IV.9.1, при больших t суще-
существует непрерывно дифференцируемая невырожденная матрица Q (/),
оо
такая, что I || Q' (t) || dt < оо и limQ(t) при t—>oo является
невырожденной матрицей, причем Q [E-\-G (t)] Q = diag [^ (t), ...
..., Xk (/), Е22 (t)], где матрица Е22 (t) есть [(d — k) X (d — й)]-матрица,
а матрица Ео = \imE22(t) при t—>oo имеет вид £0 = diag(£'1. E2).
Здесь Ei — квадратная матрица порядка т, собственные значения
которой имеют положительные вещественные части, а Е2 — матрица
порядка п, у которой вещественные части собственных значений
отрицательны. Замена переменных !• = Q (f) т] приводит к системе
Если положить rj = (г/, х, г), где у есть ^-мерный, х есть ш-мер-
ный, а г есть /г-мерный векторы, то система относительно т] при-
принимает следующий вид:
х' = Е,х + GH (t) x + Gi2 (t) у + Gi3 (t) г,
(t) г,
где Gjk — некоторая прямоугольная матрица. Существуют такие
непрерывные функции ty(t), tyo(t), что ip(/)—>0 при t—>oo,
j 1>ь(/)Я<оо и ||G^(OIK*W + *o(O при I, / = 1,2, Зи, кроме
того, ЦбгЛО Ц-^'ФоСО ПРИ / = 1» 2, 3. Отсюда следует, что реше-

Указания к упражнениям 665
ния т) (/) = (#(/), л;@, г(О), Для которых л:@, 2@ =
при t—>oo, ограничены.
4.6(с). Если г] @ =7^= 0 — решение системы части (Ь), такое, что
л: @, 2@ = о(||^@||)» то \ = Q @ т] @ — искомое решение.
4.6(d). Если в п. (Ь) у —{у1, •••»*/*), введем новые перемен-
переменные u = (u1J ...,uh) вместо у, положив yj = ujexp \Xj(s)ds при
/=1, ...,&. После этого применим лемму 4.3.
4.7. Используйте упр. 1Х.5.3(а).
4.8(а). Пусть Кп={(х,у,г): \\г \\*£±-Q (||*|| + |M!)} >
^до = {(*, У, г): ||*||О||#||} и S= {(*, i/, z): х = х0, у = у^
||г|К-2-0(||д;о|| + || г/0|| )| . Примените результат упр. 4.7. Чтобы
проверить, что множество Кп П Тп (S) непусто, используйте
упр. 1Х.5.3(Ь) и покажите, что существует такая последователь-
последовательность г^п), что г-координата вектора Тп(х0, у0, г^п)) равна 0.
4.9(а). Заметим, что \\Уп^ — Уп\\<^{п){\+2^)\\уп\\, так что
II01И-1IKII Уп || [1 + to (n) A +29)]. Поэтому ||уп ||<с01| у, ||, где
со = П [1 + to (я) A + 20)] — сходящееся (бесконечное) произведение.
Следовательно, ряд 2ll^+i"^|| мажорируется рядом
с01| 0о || A+29J*0 (л).
4.9(Ь). Заметим, что из доказательства утверждения (а) и нера-
неравенства 1 — г|>0 (п) A + 29) > 1 — 3-фо (п) > 0 следует существование
такой постоянной с1? что если неравенство D.44) выполнено при
л = 0, 1, ...,/, то ||№||<q||f/y|| и ||^+i — f/j||<q|lf/j|!sA при
А; = 0, 1 /-1, где sA = ^o(*) + iM*+l) + 1?o(* + 2)+... •
Докажите^существование такой последовательности (t/(j), 2(;>), что
если Гд^о, ^(;), 2(;))-(л:п, i/n, гп), то уд = уос и г; = 0. Как
и в упр. 4.8, ||гп||<4-е(||*п|| + ||Л|) при /2 = 0, 1, ...,/. Для
больших / имеем \\xj ||<9 \\t/ || -9 Ц^Ц, откуда || ^ ||<9 || уп |]
при гг = 0, 1, ...,/. [В самом деле, предположим, что ||#7'||>
> 9 |[ f/j ||. Тогда из неравенства б < A — а) 9/3 следует, что || xk \\ >
^911/Ц при k = 0, 1, ...,/. В этом случае ]| xh+11|<901| xh ||, где
90 = а+бB + 9)A+9)/2< 1 и потому || xj ||<9^ ||x01|. При боль-
больших / это противоречит неравенствам || хд || > 9 || г/оо || и ||лсо|| =
= II *° fl<e IIУ» ||.] Следовательно, || xk ||<91| /1|, || zk ||<9|| /1|
при k = 0, ..., /. Отсюда следует, что \\t/l — yoo\\<.Ci\\yoo\\Sk^i при

666 Указания к упражнениям
k=\, ...,/. Точка (уо, г0) является предельной для последова-
последовательности ) )
11.2. Используйте результат упр. 4.2.
17.1. Поскольку матрица R при h<Cd не имеет нормальную
жорданову форму, обозначим через Y такую постоянную
матрицу, что Y~XRY = £ = diag[</ A), ...,</ (g)] — матрица в нор-
нормальной жордановои форме. Можно предполагать, что диагональ-
диагональные элементы матрицы / A) равны к A) = 0, так что h(l) = h.
Поскольку ctd-h+i= ••• = аа~0, матрицу Y можно взять в виде
/0 ..Л
H..J-
где 1\ — единичная матрица порядка Л, а 0 — прямоугольная
матрица, имеющая d — h строк и h столбцов, с нулевыми элемен-
элементами; см. упр. IV.8.2, где Y — Y @). После замены переменных
\ = Yr\ система A7.4) переходит в систему
V = Ег) + Y-W (/) Гт|.
Заметим, что матрица G (/) У может иметь элементы, отличные от
нуля, только в первой строке. Первые h элементов этой строки
равны —pd-h+u • • •» —Pd> a остальные являются линейными
комбинациями функций ри . . ., pd с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Поэтому необходимо рассмотреть множитель G (t) YQ (/)
в произведении Q'1 (t) Y^G (t) YQ (f), где Q (t) — матрица, опре-
определенная в A4.1) — A4.2). Эта матрица имеет вид
Oi Q2(t)
где Qi (/) есть (A X А)-матрица, соответствующая матрице Q (t)
в A4.1), но с заменой d на A; Q2 (t) = Р~Ю2, где р = А — / + а,
и D2 — постоянная диагональная матрица; 0ь 02 — прямоуголь-
прямоугольные нулевые матрицы.
17.3(а). Рассмотрите дифференциальное уравнение для функ-
функции и'/и и проинтегрируйте это уравнение по отрезку U, s].
17.4(а), (Ь). Это утверждение может быть получено из резуль-
результата упр. 4.6. Еще проще получить его, если предположить,
что функция q (t) имеет непрерывную производную, и заменить
уравнение второго порядка системой уравнений первого порядка
для вектора у = (у1, у2), где у1 = и' + \х12и, у2 = и — \х1ги и
f (t) = 1 + q (t) в случае (а) и / (t) = 1 — q (t) в случае (b). За новую
независимую переменную следует принять s, где ds =

Указания к упражнениям 667
17.5. Запишем уравнение A7.23) в виде линейной системы
у' = H{t)y для двумерного вектора у = {и' + f1/2iu, u' — fi/2u). Для
доказательства частей (а) и (Ь) введем новую независимую перемен-
t
ную s= \ |Re/1/2(r) \dr. Существуют решения у1 и у2, такие, что
у^ = о(\у1\) и у1 = о (|у21) при t —> оо. Для доказательства утвер-
утверждения (с) предположим, что функция / имеет непрерывную вторую
производную, и введем новую зависимую переменную z=(zL,z2)9
где y = Q(t)z и Q^HiQ) — диагональная матрица, так что
/ 1 -Ь/(а + с)\
\-Ы{а + с) 1 )'
где a = fi/2, ft = /74/, с= (а2 + ^2I/2- Введем новую независимую
t
переменную s= \ | Re /1/2 (r) |dr. Заметим, что в силу наших пред-
оо
положений Ы{а + с) —>0 при /—> оо и I | [b/(a-\-c)]f \ dt < оо.
17.6. Введите новую функцию г, положив u=ze~t2/A; см. (XI.1.9).
Примените результат упр. 17.5 (Ь) к уравнению, которому удовле-
удовлетворяет функция г.
Глава XI
4.1. Если u(t)~ решение задачи D.1 я), D.2), то u(t)~ решение
задачи_D.Ц), D.2). Примените формулу Грина B.10) к/= —hi{t),
4.3(а). Обозначим через D.19^) уравнение, которое получится,
если в D.19) и заменить на ип. Умножим D.19д+1) на и0, D.190) —
на un+i и после вычитания получим, что v'n=—(ln+l — l0) rGun+iu0.
Разделив это равенство на г0и20 и продифференцировав результат,
получим D.20) с v = vn = г0и2п (un+i/u0)'. Последняя часть вытекает из
равенства v'n/v'0 = (kn+l — K)(^i — ^о) (Un+i/щ) и правила Лопиталя.
4.3(Ь). Заметим, что vn = p^u20 (un+i/u0)r. Пусть uQi---ut(t) при
i = 0, ..., k—\ и un = Vi(t) при ^'=-=1, ..., k — 2. Если функции
Uji(t) при i = 0, ..., k — j—l и pj>0, о>0 уже определены,
мы полагаем pj+i=l/rjU2jQ. Рассмотрим функцию н==
... -\-Ck-tUk-i или даже и-= cQuQ0+ . .. +Q-i^o,a-i- Тогда
p0tl2Q (u/UqqY = С^о + . . . + Ck-iUXi k-2-
Отсюда ptulQ [p0u2Q0 (u/uQOy/ulQY = ^2^20 -f • • • + £a-i«2, а-з- Продолжая
эту процедуру, получаем искомый результат с а0=1/и0О, а4 =

668 Указания к упражнениям
4.4(с). Существует такая постоянная с, что Unit) —
= cD(t, tOi ..., tn-t), а функция D(t, t0, ...,^_4) положительна
или отрицательна в зависимости от того, четно или нечетно число
инверсий множества t, tOi ..., tn-i-
5.1. Пусть а = 0, 6=1, 0<s<l. Достаточно построить
неотрицательную непрерывную функцию q(t) = q(t; m, s), такую,
что уравнение E.1) имеет решение и^)фО, удовлетворяющее
1
условиям: а@) = аA) = 0 и [ m{t)q{t)dt> [m(s) + s]/s(l — s). Для
■оя1
этого пусть 0<6<minE, 1—s), a u(t) — функция, имеющая
непрерывную неположительную вторую производную при 0</<1,
такая, что u(t) = t при 0</<s — б и u(t) = A — t) (s — б)/A — s — б)
при s + 6<f<l. Пусть q(t) = O при 0</<s —б, q(t)= —u"/u
при s — б < ^ < s + б и q(t) = O при s + б</< 1. Тогда
1 8+6
[т(/)?(/)Л=- ( m{t)uff{t)dtlu{t).
О s-6
Так как m (/)<т (s) + е, если | / — s| <б и б > О мало, то и (/)>
>s — б при \t — s|<6 и —£/"(/) >0.
5.3(а). Можно предполагать, что /=г/+>0. (Почему?) Под-
Подставим в B.18) w = u(t), h=—gu' — fu, a = 0. Дифференцируя
B.18), получим формулу для и'(t). Пусть a = maxl u'(t) |. Заметим,
t ь
что | и (t) |<amin(/, b — t). Функция G(t)= \s\g\ds+ \ F—s) \g\ds
о t
не возрастает при O^Ct^Cb/2 и не убывает при 6/2<!/<!б.
5.3(Ь). Умножьте дифференциальное уравнение на и и проин-
проинтегрируйте его, используя равенство ии"=(ии')' — и'2.
5.3(d). Можно считать, что ^ = 0 при t = 0, 6. Пусть
0 = #!-< .. . <^сг = 6 есть множество нулей функции и. Если
a = max|u<d>(/)|, то | w(/) |<[a[]|f—-a*|/d!. [Это неравенство сле-
следует из интерполяционной формулы Ньютона, но может быть
доказано и непосредственно: существует такое 0 = 0 (/0), что
и (t0) = и^ F) [] (to — ak)/d\. Последнее равенство нетрудно доказать,
если рассмотреть функцию v(t) = u(t) — C\\(t — ak)ld\, где С ==
= d\u(to)/\\(to — ak), равную нулю при t = t0, au ..., #<j, так что
ее производная порядка d равна нулю в некоторой точке / = 0.]
Поскольку а± = 0, ad = b и 0 <!/ <; 6, отсюда следует, что Ц11 — cij \ <1
<Cth(b — /) ~ , если uk^t^dk+i. При 0<^/<[6 и k=l, ..., d—1
выполняются неравенства Л F—/)d~ft<max [/ F—/)d~\ /d-1 F—f)] <

Указания к упражнениям 669
[d—\)d~~ildd, что легко проверить элементарными методами.
Поэтому \u(t)\<a(bd/d\)[(d— l)d"Vdd]. Кроме того, функциям'
имеет по крайней мере d— 1 нулей, например в точках а[, ..., а'а-и
Следовательно, \u'\*Ca\l\t---a'j\/(d--l)\<.a,bd-i/(d--l)l. Анало-
Аналогично, | u"\^Cabd~~2/(d — 2)!, ..., | u^d~^ |<!а6/1!. Остается рассмо-
рассмотреть данное дифференциальное уравнение в точке /*, где
5.5(а). Используйте B.43), положив p(t) = l.
5.5(b). Используйте § 2(xiii) и часть (а).
5.8. Рассмотрите функцию if> (t) = arctg u'lv' = arc tg pu'/pv'
и заметьте, что при q >- 0 нули функций и и и' чередуются, посколь-
поскольку if <;о при ^>0и ип;>о при а<;о.
6.1. Рассмотрите вначале тот случай, когда J: /i<^/<^/2,
функции щ и и2> 0 в F.2). Если J не является ограниченным
замкнутым отрезком, а и,\ (/), и2 @ — линейно независимые реше-
решения FЛ), то в силу первого шага для любого отрезка [tu t2] 6 J
найдутся такие постоянные Ci и с2, что с\ + с\ ~ 1 и решение
а = ci^i @ + с2и2 (t) > 0 на [tи t2]. Используя предельный про-
процесс, можно затем перейти от [tu t2] к J.
6.2. Используя замену независимой переменной вида A.7),
сведите уравнение F.1) к уравнению вида d2u/ds2 -\- q0 (s) и = О
на полуинтервале 0-<s<oo. Поскольку q0 (s) >- 0, отсюда сле-
следует, что d2u/ds2 <; 0 при и >- 0.
6.3. Допустим, что утверждение неверно. Тогда уравнение F.1)
имеет решение и (t) щЬ 0 с двумя нулями а, Ъ в J. Предположим,
что b не является концом отрезка /. Тогда и (t) меняет знак при
t ~ b. Пусть FЛ е) — это дифференциальное уравнение, возникаю-
возникающее после замены q (t) на q (t) — е при е > 0, и /е (т], а, Р) —
соответствующий функционал. Тогда /е (п, а, Р) положительно
определен при г > 0 на Л2 (а, Р) для каждого отрезка [а, р] из /.
Пусть иг (t) — решение уравнения F.1 е), для которого ие (а) = 0,
иг (а) = и'(а). Тогда we (f) Ф 0 при Ьф а. Но ^е @ -> w @ при
е—^0 равномерно на компактных отрезках из /, и потому при
малых е решение ие (t) = 0, если t достаточно близко к Ь.
6.4. Докажите, что если и2 (t) ф 0 при ^ -< t <; t2 (т. е. если
уравнение C.12) не имеет сопряженных точек на отрезке /i ^ / <; t2),
то уравнение C.11) также не имеет сопряженных точек на отрезке
h <^ t ^ h- Сравните функционалы, соответствующие C.11) к C.12).
6.5(а). Пусть и (t) Ф 0 при Г < К со. Можно предположить,
что и (t) не является главным решением; см. первую часть след-

670 Указания к упражнениям
ствия 6.3. Тогда
г г
«ог @ - [и @ f &/р (s) a2 (s)]/[u (Г) j ds/p (s) a2 (s)] ;
* г
см. F.14).
6.5(b). Рассмотрим дифференциальное уравнение и" + и = 0
на полуинтервале J: 0^/<л. Главным решением является
функция и = sin /. He существует главного решения, для кото-
которого и @) = 1.
6.8. Это утверждение вытекает из результата, сформулирован-
сформулированного в упр. 6.5(а), но может быть получено и непосредственно'
следующим образом: заметим, что ит (t)> 0, и'т(()^0 при а*СКТ.
(Почему?) Следовательно, если а<5<Г<со, то us(t)^uT(t) при
а</<5, так как us(t)=£uT(t) при t>a и ит \г)Ф 0 при а</<Г.
Поэтому и'т @Х0 — неубывающая функция от 71, так что суще-
существует Нтмг(О) при Г—>(о. Отсюда вытекает существование
функции uo(t), удовлетворяющей F.19). В силу предположения
(iii) теоремы 6.4 эта функция является главным решением.
6.10. Сделайте замену переменных u = vui(t) в F.302) и при-
примените следствие 6.4.
6.11. При 0-</-</я/2 положим Ujo= 1 -1-/2 smt/j; pj=l и qj =
=—u"j0/UjQ = (sin t/j)(l+j2 smt/j). При /я/2<*<оо продолжим
функции qj, Ujq так, чтобы функция Uj0 стала главным решением
уравнения F.33^) с pj^l. Тогда qj(t)—>0 при /—>оо равномерно
на ограниченных интервалах, лежащих на полупрямой 0<^<оо,
но Uj0(t)—>oo при /—>оо для каждого t>0.
t
7.2(b). Сделайте замену v = uexp( — с \ g(s)ds) и заметьте, что
в соответствующем дифференциальном уравнении v"'-\-G(t)v' +
+ F(t)v = O мы имеем /7@<0.
7.3. Положите q(t) = \x/t2 и Q(O = |a/*.
7.4. Пусть u(t) — решение уравнения G.1), для которого
и@)=1, ^г@) = 0. Тогда функция г = и'/и удовлетворяет уравне-
уравнению Риккати G.4) и г@) = 0. Предположим, что и (/) > 0 при
0<^<6. Интегрируя G.4), получим r = R — Q, где /?(/) =
= — f r2 (s) ds и R'=—r2. Так как Q>0 при a<
= — г2 = — (i? — QJ< — G?2 + Q2) и /?<0 при a^t<b. Если
функция г =й 0, то ее логарифмическая производная г4 = z'/г УДО"
влетворяет уравнению г^=—(Vj + Q2) и г4(а) = 0. Следовательно,
г4 (/) —> — оо при t—>t0, если ^ —10 — это первый нуль функции гу
больший, чем а. По теореме III.4.1, R<.r{ на полуинтервале [a, t0)-

Указания к упражнениям 671
7.9. Сделайте замену переменных u = Wj(t)z в G.35;), где
t
Wj(t) = exp I Qj(s)ds, затем воспользуйтесь теоремой 7.4 с у = 2
а
и результатом упр. 7.2(а).
8.1. Введите в уравнение Бесселя новую зависимую переменную
1/2
8.2. Используйте B.22), B.28) и результат упр. X.1.4(d).
8.3(а). Используйте § 2(xiii).
8.4(а). Запишем (8.87) как систему первого порядка для вектора
(и, pjii') и применим линейную замену переменных. Можно пред-
предполагать, что /?0(ВД) — ад) ехР J (ro/po)ds=l, так что 2\p0u0v0
и 2\pouov'o\ не превосходят величины -g-|Ро(Ио + уо)("о + Ц>)'| +
t
+ у | Ро ("о — vo) К — Щ)' | + ехр — j (го/ро) ds
8.4(b). Предположим, что функция q{t) имеет непрерывную
производную. При каждом выборе знака ± заметим, что функция
v=ехр | ± i \ qi/2(s)ds\ удовлетворяет дифференциальному уравнению
о
и" + I Я HF ~^4~1/2Qf w = 0. Применим (а), отождествляя это урав-
уравнение с (8.8^ и (8.1) с (8.80). [Для того чтобы показать, что
из условий на q, в том числе и из условий в скобках, вытекает
ограниченность решения и уравнения (8.1) и его производной и\
положим q = g + ih, где g(t), h (t) — вещественные функции. Если
E = g\u\2 + \uf\2, то Er =g'\u\l + ih(uu'— п'и) и потому |£'|<
<const(|g"'| + |ft|)£: при больших t. Отсюда видно, что функ-
функция Е, а следовательно, и к и' ограничены.] Другое доказа-
доказательство в случае, когда ^ — вещественная функция, дано в упр.
Х.17.4(а).
8.5. Пусть z = ufi/^1 так что (8.12) переходит в соотношение
(ri/2z'Y + (fi/2(t)g(t))z = 09 где я @ = 1 +/74/3/2 —5Г2/16/5 2;
см. B.34), B.35). Если обозначить через w какую-нибудь из функ-
функций (8.11), то w' = ±ifi/2h1/2w, где h (t)= I +f'*/16f3. Поэтому
(f~1/2w'Y = —f1/2hw ± i (hi/2)r w. Используя равенство ± iw =
= w'/f1/2h1/2, получаем, что w удовлетворяет уравнению (f~~1/2w')f —
— (h1/2y f~1/2h~1/2w' + f1/2hw=^0. Отождествим теперь уравнения

672 Указания к упражнениям
для w и z с уравнениями (8.80) и (8.8i) и применим результат
упр. 8.4 (а).
8.6(а) и (Ь). Рассмотрим случай и (Г) и! (Т) > 0, например когда
и'(Т)>0, и(Т)>0. Интегрируя (8.13) по [Г, t], получим
t t
u'{t)>uf{T)-^\f\d%-^q (т) и (т) dr.
Г 7
Заметим, что
t t t t
J q (т) ц (т) dt = и (T) j <7 (r) dr + J [ J ? (s) ds] d« (r).
Г Г Г Г
Поэтому, если Г<^<^/<Г + Э/С и ^'>0 на [Г, *], ^<5, то
Предположим, что найдется (первое) значение t = Г*,
где и' = 0, так что
с;
(r*) (**)
при t = T. Это неравенство выполнено при 7</<Г*. Интегри-
Интегрируя по отрезку [7, 7*], мы получим оценку для и(Т*) и, в силу
(#*) с t = T, и для и'(Т)>0. Если такого 7л* не существует, то
неравенство (*) выполнено при 7<Г<6Г, и, интегрируя его
по отрезку [7, £/], мы получим требуемый результат.
8.6(d). Доказательство утверждения (а) показывает, что если
Ь — а = А << Q/c и а < / < Ь, то | wA (/) | мажорируется либо интегралом
а
либо одним из двух чисел
ъ
Таким образом, в любом случае
ь

Указания к упражнениям 673
где | и (Г*) | = max | и (т) | при а < т < Ь. Интегрируя это неравенство
по отрезку [а, Г*], получим оценку для \и(Т*)\, которая вместе
с последним неравенством приводит к требуемому результату.
8.7. Случай 1: g(b) — g(a)>0. Пусть а<с<6. Положим
h(t) = P(t)-N(t) + h(c), где P(c) = N(c) = 0 и Р(*), #(*) суть
соответственно положительная и отрицательная вариации функции h
[так что Р@, Л/@ не убывают и var h=P (b)+N (b)—P (a)—N (а)].
Имеем
Интегрируя по частям и используя неравенства Р (a)<0< AA (fr),
получим неравенство (8.21), в котором inf/z заменено на /г (с).
Случай 2: g(b) — g(a) = 0. Те же рассуждения, что и выше,
показывают, что в этом случае неравенство (8.21) может быть
заменено более сильным неравенством
ъ р
\ h (t) dg (t) < (var h) sup J dg (t) при a < a < p < &.
a a
Случай 3: g{b) — g(a) <0. Достаточно рассмотреть тот слу-
случай, когда g1 (/) — полином, поскольку в противном случае g можно
аппроксимировать полиномами и перейти к пределу в неравен-
неравенстве (8.21). Если g(t) — такой полином, что g{a)>g{b), то отре-
отрезок [a, b] можно разбить на конечное число интервалов, a = to<c
</i< ... <tn = b7 так, чтобы при всех / либо функция g(t)
убывала на [tj, tj+l], либо g(tj+i) = g(tj). Если [у, 8] = [tj, tj+i],
то в силу рассмотренного выше случая 2 имеем
6 6 р
\ hdg<0 или \ /zdg-<(var/z)sup \ dg при
8.8. Приведите уравнение (8.20) к виду (8.13), вводя новую
t г
независимую переменную s = s(t)= j exp (— \ p(t)drj dr.
т т
9.6. Используйте результат из § 2 (xiii) и следствие 9.2 с Я = 1.
9.9(а). Используйте лемму 9.5 и следствие 9.3.
9.9(Ь). Используйте лемму 9.5 и теорему Х.17.5 [см. (X. 17.22)].
10.1. Предположим, что /(т); а, Ь) 1> 0 при всех [а, b] cz J
и л 6 ^4з/2 (я> 6), но система A0.2) имеет сопряженные точки на /.
43—241

674 Указания к упражнениям
Пусть (х (/), у (t)) ф 0 — решение системы A0.2) и х (t) = 0 в точ-
точках t = a, b из J. Предположим, что & не является концом отрезка
У, например t = $ (i J и $> Ь. Пусть тH (/) = х (t) при а^С t -^i bf
Л о @ = 0 ПРИ 6 -< / -< Р; тогда т] о 6 А3/2 (а, Р). Для произвольной
функции г) £ А2 (а, Ь) положим т\е (f) = r\0 (t) + ет] (/) и / (е) =
= / (т|е; а, Р). Тогда / (е) > 0, / @) = / (т|0; а, Ь) = 0. Следо-
Следовательно, dj (e)/de = 0 при 8 = 0. Используя A0.22) и интегрируя
по частям, легко доказать, что (dj/de)e=:0 = 2P(b)x'(b) -т)(&). Если
у](&) = а:'(&), то х'F) = 0, так что х (t) ^ 0. Таким образом,
мы получаем противоречие.
10.2. Если уравнение (/*!#')'+ Q1# = 0 имеет решение хA)ф09
обращающееся в нуль в двух точках t = a, р, где а<а<C <Ь,
то функционал /(т), а, Р) = \ (ЯгЛ'**]' —Фг'П-'П)^ не будет поло-
а
жительно определенным на Л2[ос, р]. Для доказательства доста-
достаточно положить i\(t) = x (t).
10.4. Заметим, что В = Я. Пусть В1/2 —положительно опре-
определенный квадратный корень из В; см. упр. XIV. 1.2. Поскольку
со
матрица М невырожденна и М~г= \ U^BU^dt, то, как легко
видеть,
со
" (U~1BU*-1c-c)dt =
Из соотношения |М|2 - {U^B'112) B~1/2Uc-c = B-il2Uc^Bll2U^c
и неравенства Шварца || с||2<||£~1/2(У<:||-|| Bi/2U*~1c || следует, что
|| B~1/2Uc ||~2 < || B1/2(/*-V || VII £ II4-
Наконеи, || В/2№||2- Br4Jc-Uc = Рх-х.
10.5. См. доказательство теоремы 10.4.
10.7. Не теряя общности, можно предполагать, что Uo (a) =
- U(а) - /. Поскольку V(a) U-\a) - U*-\a) У*(а), отсюда
следует, что А = Ко в A0.12). Поэтому неравенство A0.21) спра-
справедливо при s = а и /Ci = /• Если /Со = А <С 0, то выражение,
заключенное в фигурные скобки, в формуле A0.21) является поло-
положительно определенной и, следовательно, невырожденной матри-
матрицей, так что det U (t) ф 0 при t^> а. Обратно, предположим, что
Кф -с > 0 для некоторого вектора с Ф 0 и det U (t) ф 0 при t >- а.
Тогда функция 5а (/), определенная формулой A0.33) с s = a
и Т (г) = /, удовлетворяет A0.48) с s = а. Но М = — Ко > 0,
и мы приходим к противоречию.

Указания к упражнениям 675
Глава XII
3.2. Запишите C.12) в виде системы первого порядка для 2d-Mep-
ного вектора (—г1 — F*z, z).
З.З(а). Воспользуйтесь теоремами сравнения Штурма, напри-
например следствием X 1.3.1.
З.З(Ь). Повторите доказательство теоремы 3.3 при r(t)~
4.1(b). Введите в качестве новой неизвестной функции x — txo/p;
см. затем теорему 4.1 и замечание 1, следующее за ней.
4.2. Введите в D.1) в качестве новой неизвестной функции
X — tXo/p.
4.3. Пусть Ri > О произвольно. Тогда || f || < Af, где М = aR\ + Ъ,
если ||л:'|К/?1. Покажите, что если R^r*, то справедливы оба
неравенства в D.20).
4.4. Если существуют два решения, то обозначим через x(t)
их разность и положим /"@ — Их@ II2- Докажите неравенство
/'"(/)> — B90 + -9-9i) r(t); см. доказательство теоремы 3.3.
4.6(а). Если Xi(t), Xz(t) — два решения, то их разность не может
иметь положительный максимум в точке t0, 0</0<P- С другой
стороны, х[ = х'2, (х1 — х2У>0 при t = t0.
4.6(b). Граничная задача х"'= —3(х'J/3, д:@) = ^B) = 0 имеет
решения х = 0 и х = [1 — A—/L]/4.
4.6(с). Пусть имеются два решения Xi(t), x2(t), а функция
х (t) = Xi (t) — х2 (t) имеет положительный максимум в точке tOj 0 <
<to<Cp. Можно предполагать, что x(t)>0 при 0<Ц<Ср,
поскольку в противном случае интервал @, р) можно заменить
наибольшим интервалом, содержащим точку t = to, на котором
x(t)>0. Положим
или a(t) = 0 в зависимости от того, будет ли x[(t) — xf2(t) Ф 0 или
*;(*)=*;(о=о, ир(о=/(/,^(/м;(о)-/(/^2(о^;(/)). тогда
функция x(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
х" = a (t) xr + Р @, где а (/) — ограниченная измеримая функция
и P(f)>0. Следовательно, если 7@=exP~~| a (s)ds, то (у (t)x'y =
о
43*

676 Указания к упражнениям
= y(t)fi(t)>0. Введем новую независимую переменную s, где
d ()dt, так что dx/ds = yx' и d2x/ds2>0.
4.7(а). Если существуют два решения, например xx(t) и x2(t)>
положим x = Xi — л:2. Тогда x"(t)>0 (<0) в каждой точке t,
где х имеет положительный максимум (отрицательный минимум).
4.7(Ь). В точке, где x(t) принимает максимальное значение,
хг @ = 0 и л;"@<0. В точке максимума функции х' (t) имеем
х*@ = 0.
4.7(с). Если Я = 0, то существует решение x(t) = O. Исполь-
Используя теорему 2.3, докажите, что множество значений % открыто на
отрезке 0-<Я-<1, и, используя часть (Ь), докажите, что это мно-
множество значений Я замкнуто.
4.8. Пусть h (t) — периодическая функция периода р из класса Сг.
Тогда в силу результата упр. 4.7 уравнение
x" = xa(t, h(t), x') + $(t, h{t), x')
имеет единственное решение х (t) = То [h] с периодом р. Докажите,
что в этом случае применима теорема Шаудера о неподвижной
точке.
5.2. На отрезке 0 -^ t ^ 1 рассмотрим семейство вещественных
функций, таких, что х = 1 + ед4 (t — 1/яL при 0 ^ t <C \1п и
х = 1 при 1М< *< 1.
5.3. Если предположить, что вместо условия E.29) справедливо
E.21), то функция г (t) не имеет максимума при 0 < t <C р. Поэто-
Поэтому, если 0 < t0 < t < р, то г @ < max (г (*0), г (р)) = г (t0), т. е.
функция г (t) не возрастает, так что справедливо E.30). Если выпол-
выполнено условие E.29), то из доказательства теоремы 5.1 видно, что
функция г = || хг (t) ||2 удовлетворяет E.30). Но неравенства E.30)
сохраняются при переходе к пределу, если е = 8 (п) -> 0.
5.4. Введем новую функцию х = и — и0 {(). Тогда граничная
задача будет иметь вид: х" = f (t9 х, х') и х @) = и0 — и0 @),
х (р) = ир — и0 (/?), где / (/, х, х') = h(tf х + щ (t), x' + и! (*))—
— h (U "о (t), u0 @). Заметим, что ±f (t, ±R, 0) > 0 при R > 0,
поскольку h не убывает с ростом и. Таким образом, | f \ ^
<^ ф (I х' \ + с), если постоянная с такова, что с >■ | и'о (t) |.
Остается применить следствие 5.2.
5.5(а). Пусть m = 1, 2, .... По теореме 5.1 уравнение E.26)
имеет решение при 0 <; t <; m, для которого х @) = х0, х (т) = 0.
Для всякого р>0 последовательности функций xm@» -^т@
при т^> р равномерно ограничены и равностепенно непрерывны
на отрезке 0 <С t <; р.

Указания к упражнениям 677
5.6. Заметим, что функция г = \\ х (f) ||2 удовлетворяет условию
г" > 0 при больших t. Поэтому, если утверждение не выполнено,
то найдется такое т > О, что 0 < га2 <; г (t) <; R2 при больших t.
Пусть q (t) = 2 [*•/ (/, ху х') + \\ х' ||2]/|| х ||2, где jc = x (f). Тогда
г" — q (t) r = 0 и ^ (^) >- 2/г (О/т2. Применяя теперь последнюю
часть следствия X 1.9.1, получим наше утверждение.
5.9(Ь). Определим функцию Xi (х0) точки х0 при H^oll-^i?
следующим образом: Xi = х (р, а:0). Получим отображение шара
|| х0 ||<! ^ в себя. Применим теперь теорему Брауэра о неподвиж-
неподвижной точке.
8.2. Пусть g (t) — измеримая ограниченная функция при t ^ 0.
Тогда
— ограниченное решение уравнения F.1), для которого РоУ(О) = Уо'
Поскольку х(t) — измеримая функция при t>0, удовлетворяющая
условию ||л;(/)|Кр, положим g(t) = f(t,x(t)) и определим функ-
функцию у (t) = То [х (t)] формулой, выделенной выше в отдельную
строку. Полагая Я5 = ^) = L°° (Y), рассмотрим То как отображе-
отображение 2Р в ®.
9.1. Можно предполагать, что y(t) = O, поскольку в против-
противном случае можно принять за новую зависимую переменную
в (9.5) разность y — yt{t). После этого задача сводится к доказа-
доказательству существования при больших t решения (для преобразо-
преобразованного уравнения (9.5)); это решение существует при больших t
и стремится к нулю при t —> оо.
Глава XIII
2.1. Предположим вначале, что справедливо неравенство B.26),
а следовательно, и B.28). Это эквивалентно условию
max(||z(/-)||, \\y(t)\\)<K\\z(s)-y(s)\\ при 0</-<s<^
если y@)£W0, z@)£WV Если z@)$W0, положим г@) = г°@) +
-гУ(О), где у(О)еИ?о, z°@)^Wi. Повторяя доказательство лем-
леммы 2.2, мы получим аналог леммы 2.7. Этим доказано утвержде-
утверждение «достаточно» при условии, что выполнено B.26). В случае,
когда выполнено B.27), доказательство аналогично доказательству
леммы 2.5.

678 Указания к упражнениям
6.3. Пусть 0<ф@£5 и
tfl t
j гр! (/) = J e~v «-»> Ф (s) ds, г|* (f) = j ev <*-•> ф (s) ds.
о
Достаточно доказать, что я^, ife^O; см. доказательство теоре-
теоремы 6.4. Пусть целое число я>0 таково, что и<7<я+1. Тогда
n t-j+1 t-n
У\ \ e-*<*-«> (p(s)dsJr \ e~K V~s) ф (s) ds <
1=1 t-3 0
П t — j-\-l t — П ex»
i=i t-j о i=i
где \fJ' (t) = 0 при t<.j n ^ (t) = ty(t — j) при tf > /. Следовательно,
1|L б D. По условию (d) для D £ У имеем | % Jd < 2 е"Д I ^ fD* Ана"
логично, используя первую часть из F.9) мы получим, что D
7.1. Воспользуйтесь упр. XI.8.8 и теоремами 5.3, 5.4.
13.1. Воспользуйтесь теоремой 12.1 и результатом упр. 7.1.
13.2. Используйте теорему 12.3.
Глава XIV
1.1. Если это утверждение неверно, то A.30) выполнено для
всех решений. Поэтому [ det Y (t) |2 имеет конечный предел при t —> со.
Это противоречит условиям A.5«>) и A.6).
1.2(а). Пусть U — такая унитарная матрица, что матрица
U*AU = D диагональная; например, пусть D = diag [XI, ..., XI],
где ^7->0 при / = 1, ...,d. Положим D1/2 = diag(?w1, ..., Xd).
Тогда D = D1/2Di/2 и A^UDU* = (UDi/2U*){UDi/2U*). Положим
теперь Aif2 = UDit2U*.
1.2(b). Достаточно предположить, что A = D — диагональная
матрица, например D = diag[^, ...,X2d]. (Почему?) Пусть D1/2—
какая-нибудь эрмитова положительно определенная матрица, являю-
являющаяся квадратным корнем из D. Пусть вектор у и собственное
значение X матрицы D1/2 таковы, что D1/2y = Xy. Тогда Dy = X2y,
так что у — собственный вектор матрицы D, соответствующий соб-
собственному значению Я2. Отсюда следует, что Di/2 = diag[A,1? ... ,Xd].
(Почему?)

Указания к упражнениям 679
1.2(с). Рассмотрим значения t, близкие к фиксированному
значению t0. Тогда существует такое е>0, что A(t)y-y>&\\y||2
для всех векторов у. Если умножить A (t) на положительную
постоянную с > О, то квадратный корень из A (t) умножится на с1/2.
Поэтому можно предполагать, что е \\у ||2<Л (t)y-y^Q\\y |[2, где
0<е<6<1. Тогда
(l-e)\\y\\*>[I-A(t)]y.y>(l-Q)\\y\\*H\\I-A(t)\\<l-e<l.
Докажем, что Ai/2(t) = B (t), где
В(*) = /-§М/-Л(О)Я. если (l-rI/2=l-|l а„гп.
71= 1 П= 1
Заметим, что равенство (B(t)J = A(t) вытекает из равенства
[A — гI/2]2 = 1—г, поскольку степени матрицы / — A(t) коммути-
коммутируют. При этом матрица B(t) эрмитова и положительно опреде-
определенна, так как ап>0, ai\-a2+ ... = 1. (Мы получили другое
доказательство существования матрицы Л1/2.) Наконец, ряды для
B(t) = Ai/2 (t) можно дифференцировать почленно.
2.1 (с). Рассмотрим систему второго порядка ylf=—y2,
у1'= —yjt2 при /> 1 и воспользуемся результатом упр. XI.l.l(c).
2.1(d). О необходимости см. (Ь); о достаточности см. доказа-
доказательство теоремы X. 1.1.
2.2. См. § IV.5.
2.3(а). Пусть у (t) — решение, полученное в теореме 2.1. Дока-
Докажите индукцией по и, что (— l)nr/<n> G)>0.
2.4. Запишем сумму двух первых слагаемых /
@(d1) в B.7) в виде р0(t)аг1®^® и^-^)', где а(/) =
+ ^@ () р0()®^® ), ()
^exp \ pi(s)ds/po(s)>O. Разделим полученное уравнение на
о
Po(t)/a(t) и запишем результат в виде системы первого порядка
для у = (и, -и', и", ...,(-l)d-2i/(d-2), (-l)^1»^)^-1)),
т. е. для вектора y^iy1, . •., yd), где yJ = (— l)^ и^~^ при
У=1, ...,d—1 и ^ = (—lL'»^)^-1). Из теоремы 2.1
вытекает существование решения, удовлетворяющего B.9) при
л = 0, l,...,d—1. (Почему w>0?) Из B.7) следует, что
(l)d((d) (d1)H
2.5. Докажем B.9) индукцией по п. Для этого заметим вна-
вначале, что если d>2 и неравенство B.9) имеет место для
л = 1, ...,d — 2, то оно верно и при n = d— 1. Заметим, что

680 Указания к упражнениям
{ — l)d[p0uWJrpiu(d-V]>0, так что
t
Г(_1)*-у*-1>ехр \(Pi/p0)ds]'
о J
Покажите, что если (—l)d~ Vd~~1} (а) <0 при некотором а,
где 0<!а< оо, то
и функция (—l)d~Vd~2) (t) возрастает при t >- а. Если d >- 3, то
это несовместимо с неравенством (—I)d~2uid~2) ^-0 и тем фактом,
что существует lim u{d~Z)(t) при /->оо.
2.6(а). Используйте аналог следствия 2.3 при 0 < t < оо
и замечание, сделанное после теоремы 2.1; для доказательства
единственности воспользуйтесь результатом упр. X 1.6.7.
2.7. Существуют положительные непрерывные функции
а0 (/), . . ., ат (/), такие, что выражение в левой части равенства
B.12) можно записать в виде
см. § IV.8(ix). Тогда уравнение B.7) будет иметь вид
Запишем его в виде системы первого порядка относительно век-
вектора у = (уг, . .., yd), где
г/ь = (—l)*-1^*"^ при А=-1, ..., d-m,
Применим теперь теорему 2.1.
2.8. Предположим, что выполнено следующее предложение (*):
если Т > 0, то найдется решение ут (f) уравнения у' = — / при
0 < / < Г, для которого || #г @) || = с и #т (t) > 0, г/г @ < 0
при 0 ^ t ^ Т. Выберем последовательность значений Т: Т± <
< Т2 < . . ., стремящуюся к оо, такую, что существует г/ @) =
= lim ут @) при п -> оо, где Т = Т (п). Тогда у (/) = lim yT(/),
где Т = Г (я) и п-> оо, существует равномерно на ограниченных
/-интервалах (почему?) и является решением, обладающим требуе-
требуемыми свойствами. Поэтому остается только доказать (*) для каж-
каждого фиксированного Т. С этой целью предположим вначале, что
решения уравнения у' = — f однозначно определяются начальными

Указания к упражнениям 681"
условиями. Через у (t, у о) обозначим решение этого уравнения >
удовлетворяющее условию у = у0 при t = Т. Поскольку функция
у = О является решением, отсюда следует, что у (t, y0) существует
при 0 <; /< Т, если величина \\ у0 || достаточно мала; см. теоре-
теорему V.2.I. Так как f >- 0 и у0 !> 0, при 0 <; / <; Т выполнено нера-
неравенство у (U У о) > У о и потому || у @, у0) || > || у0 ||. Следователь-
Следовательно, если с > 0 — достаточно малое число, то при некотором малом
|| у о || выполнено равенство || у @, у0) \\ = с. Пусть S — множества
таких чисел с0, что для каждого с из интервала 0 < с < с0 найдет-
найдется у о, для которого || у @, у о) || = с. Ясно, что S замкнуто относи-
относительно полупрямой 0 < с0 < со (почему?) и в то же время открыто
относительно той же полупрямой (почему?). Следовательно, S
содержит все числа 0< с0 < °°- Этим доказано предложение (*)
в случае, когда решения уравнения у' = — / однозначно опреде-
определяются своими начальными условиями. Если это последнее условие
не выполнено, мы можем аппроксимировать / гладкими функциями
и затем перейти к пределу.
2.9(а). Пусть у0 (t, а) — решение уравнения у" = f, для кото-
которого у о = 0 и у'о = а <; 0 при t = 1. Это решение существует при
О ^ t ^ 1» если — а ^> 0 достаточно мало. Заметим, что у о > 0>
У о ^С 0» У'о ^> О ПРИ 0 <; / <; 1, поскольку у" = / ;> О. Пусть с =
= Уо @, а) > 0 при некотором малом — а > 0 и у (/, р) — реше-
решение уравнения у" = /, удовлетворяющее условиям у @) = с,
у'@) = р -^ 0. При фиксированном с обозначим через S множество
значений р < 0, для которых существует /0 = tQ (р) > 0, такое^
что решение у (/, Р) существует при 0 ■< / <; t0, у (t, р) > 0 при
0 < р < /о, У (to, P) = 0. Тогда y'(t, p) < 0, y"{U P) > 0 при
0 <^ t ^ to- Докажите, что S не пусто и открыто. Пусть р0 = sup p
для р 6 S. Докажите, что у (/, р0) — искомое решение.
2.9(Ь). Рассмотрим уравнение у" = 3 A + у'2I+к у2/2К, где
0 < А, < 1. Оно не имеет решения, такого, что у @) > 1 и у (/) ^- 0,
y'{f) ^ 0 при всех / ^- 0; см. Хартман и Уинтнер [8, стр. 396—397].
3.1. Воспользуйтесь теоремой] X 1.3.2. См. рис. 2 к упр. 3.5.
3.2. Введите новую независимую переменную s, так что ds =
= dt/p(t) и s @) = 0.
3.5. Примените вторую теорему сравнения Штурма, теорему
XI.3.2, и докажите, что если график функции и = | и0 (t) \ при
tn^t^tn+i отразить симметрично относительно прямой t =
= tn+u то он будет лежать выше графика функции и = | и0 (t) |
при ii+i^/^W» см- Рис- 2. Для доказательства C.14) вос-
воспользуйтесь знакопеременными рядами.

682 Указания к упражнениям
3.8. Пусть 0 <; s < оо и G (s, f) — решение уравнения и" +
+ q (t) и = 0, удовлетворяющее начальным условиям и = О, и! = 1
ори t = s (например, если q (f) = I, то G (s, ^) = sin (t — s)).
оо
Докажите, что интеграл и (s) = \ G (s, /) / (t) dt сходится равно-
s
мерно на ограниченных s-интервалах и удовлетворяет уравнению
v" _f- qv = f. Заметим, что если q (t) > 0, то \ G (s, t) |2 <
< I Gt (s, s) \Vq (t) < l/(/ @ и | Gs (s, /) I2 < I G8 (s, s) |2 = 1 при
\
*» *7Z+1 tn+2 t
Рис. 2.
/^>s в силу теоремы ЗЛоо. Доказательство неравенства v^O
в случае п = 0 основано на тех же соображениях, что и доказа-
оо
тельство следствия 3.1. Если п = 1, имеем dv/ds = \ Gs (s, f) / (/) d/,
и, представив Gs (s, /)/(/) в виде g @ G« (s» 0 t/ (O/^ @1 =
= — Ge« (s, /) [/ (f)lq (/)], дважды проинтегрируем это соотноше-
соотношение по частям. При п = 2 используем тот факт, что оу = и"/<7 —
решение уравнения аГ + qw = (f/q)\ поскольку w + v = f/q.
3.9(a). См. упр. XI.7.5 и XI.7.6. Из уравнения г' + г2 + q = О
видно, что г' + q <; 0, г' + г2 -< 0.
3.9(Ь). См. следствие XI.9.1 для доказательства необходимости.
Для доказательства достаточности заметим, что dE = u2dq <; 0
оо
и что условие \ tq (t) dt = оо влечет за собой м'(оо) = 0 для
всех решений. Предположим, что Е (оо) > 0 для некоторого неглав-
неглавного решения w, так что равенство г' + £Угг2 — 0 влечет за собой
—г' ^ с/и2, с > 0. Проинтегрируем это неравенство по полуинтер-
полуинтервалу [/, оо), умножим на и и получим, что u'(t) ^ cu0 (t) ^>
> const > 0.
3.9(с). Докажите вначале утверждение, касающееся г0 (оо),
г (оо), используя следствия XI.6.4 и XI.6.5.
3.9(d). Для доказательства первой части см. указание к упр.
3.9 (с). Для доказательства второй части воспользуйтесь
упр. Х.17.4 (Ь) и равенством dE = u2dq.

Указания к упражнениям 683
4.1. Пусть и — функция, определенная формулой D.6). Тогда
выражение u2q + и'2 при фиксированном t является квадратичной
формой от (cos ф, sin ф). В случае D.3+) справедливо неравенство
D.7), откуда видно, что собственные значения X этой формы таковы,
что Я<^ 1. Используя D.8), можно показать, что эти собственные
значения удовлетворяют уравнению Я2 — X (| z |2 q + \zr |2) + q =
= 0. Доказываемое неравенство выражает в точности тот факт, что
наибольший корень этого уравнения не превышает 1. Случай D.3_)
вытекает из D.3+); см. лемму 3.1.
4.2(d). Сделаем замену независимой переменной t = es в урав-
уравнении Бесселя D.21); затем при t*>\i введем в качестве новой
зависимой и новой независимой переменных такие V и а, что
V = (t* — \i2)i/2v, do=(t2-\i2)i/2ds.
4.3(b). Пусть а — такое число, что с точностью до постоян-
постоянного множителя и = щ (t) cos a + и± (t) sin а. Можно предполагать,
что и = и0, поскольку в противном случае мы можем заменить щ
и ut на и0 cos a-\-ut since и —и0 sin a + ut cos а соответственно.
Определим непрерывную функцию 6@» положив 6 (t) =
= Arc tg^0 (t)/Ui(t) и 8 (/<>) = 0, так что Q(tn) = rm. Тогда 8'(/) =
= 1/(wJ + wJ)>0. Пусть t = t(Q) — функция, обратная к функции
в = 8(/). Тогда (-1У+1 djt (Q)/dQj>0йпщ j=l, ..., п + 2 ntn=t(rm),
если n = 0, 1, ... . Заметим, что по теореме Гёльдера о среднем
значении если функция / F) имеет / > 1 непрерывных производных,
то Ajt (пп) = лд (dj//d6j)e=v, где 0 = у — некоторое число, такое,
что яя<у<(д4-/)я. Этот факт легко выводится из равенства
л
Ajt (пп) = j [A^1 dt @ + nn)/dQ] dQ =
о
= J " • J [dJ* (га + ei
о о
о о
6.3. Доказательство существования аналогично доказательству
теоремы 6.1, где Q° = {(t, у): t, у1 произвольны, #2>1, у3<0}.
Для доказательства единственности примените результат упр.
III. 4.1 (d).
12.1 (а). См. замечание после формулы A2.4).
12.1 (Ь). Введя полярные координаты с г = ||#||, можно пока-
показать, что ds>р (у) dr>po(r) dr, если р0(г) = minp (у) при ||#|| = г.
Примените лемму 1.4.1.
12.4(а). Элемент ds является полным в силу результата
упр. 12.1 (Ь). Если y(t) при 0</<1 есть произвольная дуга

684 Указания к упражнениям
класса С1, соединяющая точки у = 0 и j/, то ее риманова длина
llvll
не превышает \ р0 (и) du, где р0 (и) = min р (у) при || у || = и;
см. доказательство упр. 12.1 (Ь). Поэтому г @, у) не превышает
значения этого интеграла.
14.3. Если а (у) = ^1 + Я2, то для произвольных векторов х, z
при фиксированном у имеет место неравенство
Для доказательства заметим, что это неравенство не меняется
после замены J на JH и применения ортогонального преобразо-
преобразования к векторам х, z; поэтому можно предполагать, что JH =
= diag [^i, K2, . ..,A,d]. Левая часть доказываемого неравенства
равна
d d d d
или, что эквивалентно,
Отсюда вытекает справедливость приведенного выше неравенства.
Теперь остается только положить z = f(y) и x-f(y) = O.

ЛИТЕРАТУРА
Абель (Abel N. Н.)
[1] Oeuvres completes, I et II, Oslo, 1881 [IV. 1; IX. 8] *).
Адамар (Hadamard J.)
[1] Sur les integrates d'un system d'equations differentielles ordinaires,
considerees comme fonctions des donnees initiales, Bull. Soc. Math.
France, 28 A900), 64—66 [V. 3].
[2] Sur l'iteration et les solutions asymptotiques des equations differen-
differentielles, ibid., 29 A901), 224—228 [IX.5].
[3] Legons sur la propagation des ondes, Hermann, Paris, 1903 [V.3].
[4] Sur les transformations ponctuelles, Bull. Soc. Math. France, 34 A900),
71—84 [XIV.12].
Америо (Amerio L.)
[1] Soluzioni quasi-periodiche, о limitate, di sistemi differenziale non-
lineari quasi-periodici, о limitati, Ann. Mat. Рига AppL, 39 D) A955),
97—119 [XII.5].
Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э.
[1] Теория колебаний, Физматгиз, М., 1959 [VII. 10].
Антосевич (Antosiewicz H. А.)
[1] A survey of Lyapunov's second method. Contributions to the theory
of nonlinear oscillations, Ann. Math. Studies, 4 A958), 141 — 166
[III.8].
A p ц е л a (A r z e 1 a C.)
[1] Funzioni di linee, Atti R. Accad. Lincei Rend., 5 D) A889), 342—348
[1.2].
[2] Sulle funzioni di linee, Mem. R. Accad. Bologna, 5 E) A895), 225—
244 [1.2].
А с к о л и (A s с о 1 i G.)
[1] Le curve limiti di una varieta data di curve, Mem. R. Accad. Lincei,
18 C) A883/4), 521—586 [1.2].
А т к и н с о н (Atkinson F. V.)
[1] Asymptotic formulae for linear oscillations, Proc. Glasgow Math.
Assoc, 3 A957), 105—111 [XI.8].
[2] On stability and asymptotic equilibrium, Ann. Math., 68 A958),
690—708 [X.2].
Банах (Banach S.)
[1] Theorie des operations lineaires, WarsawA932). (На украинском языке:
Банах С, Курс функционального анал!зу, Кшв, 1948.) [XII.0].
х) Цифры, заключенные в квадратные скобки, например [IV. 1], ука-
указывают, что ссылка на цитируемую работу имеется в § IV. 1 или в примеча-
примечаниях к этому параграфу. Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.

686 Литература
Б а р р ет (Barrett J. Н.)
[1] A Prtifer transformation for matrix differential equations, Proc Amer,
Math. Soc, 8 A957), 510—518 [XI.10].
Б а р т л (В a r t 1 e R. G.)
[1] On the openness and inversion of differentiable mappings, Ann. Acad,
Sci. Fenn., Ser. A, 257 A958) [II.2].
Басе (Bass R. W.)
[1] On the regular solutions at a point of singularity of a system of nonli-
nonlinear differential equations, Amer. J. Math., 77 A955), 734—742
[Ex. IV.3.3].
Беллман (Bellman R.)
[1] On the boundedness of solutions of nonlinear differential and diffe-
difference equations, Trans. Amer. Math. Soc, 62 A947), 357—386 [X.8].
[2] On an application of a Banach-Steinhaus theorem to the study of the
boundedness of solutions of nonlinear differential and difference equa-
equations, Ann. Math., 49 A948), 515—522 [XII.6].
[3] On the asymptotic behavior of solutions of u" — A + / @) u = 0,
Ann. Math. Рига Appl., 31 D) A950), 83—91 [X.17].
[4] Stability theory of differential equations, McGraw-Hill, New York,
1953. (Перевод: Беллман Р., Теория устойчивости решений диф-
дифференциальных уравнений ИЛ, М., 1954.) [X].
Бендиксон (В е n d i x s о n I.)
[1] Demostration de l'existence de l'integrale d'une equation aux derivees
partielles lineaire, Bull. Soc. Math. France, 24 A896), 220—225 [V.3].
[2] Sur les courbes definies par des equations differentielles, Ada Math.y
24 A901), 1—88. (Имеется русский перевод первой главы: О кривых
определяемых дифференциальными уравнениями, УМН, 9 A941)^
191—211.) [VII. 0, 4, 6—7, 8—9; VIII.2].
к г о ф (Birkhoff G. D.)
] A simplified treatment of the regular singular point, Trans. Amer.
Math. Soc, 11 A910), 199—202 [IV. 11].
[2] On a simple type of irregular singular points, ibid,. 14 A913), 462—
476 [IV. 11].
[3] Dynamical systems, Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, New
York, 1927. (Перевод: Биркгоф Дж. Д., Динамические системы.
ГОНТИ, М., 1941.) [IV.9; VII.1].
Биркгоф, К е л л о г (Birkhoff G. D., Kellogg О. D.)
[1] Invariant points in function space, Trans. Amer Math. Soc, 23 A922)y
96—115 [X.ll].
Б и x a p и (В i h a r i I.)
[1] A generalization of a lemma of Bellman and its applications to uni-
uniqueness problems of differential equations, Ada Math. Sci. Hungar.,
7 A956), 71—94 [III.4].
Б л и с с (Bliss G. A.)
[1] A boundary value problem for a system of ordinary linear differential
equations of first order, Trans. Amer. Math. Soc, 28 A926), 561 —
584 [XII.1].
Боголюбов H. H., Крылов Н. М.
[1] Введение в нелинейную механику, Киев, 1937 [VII. 10].
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.
[1] Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Гостех-
издат, М., 1955 [VII.10].
и р
[1]

Литература 687
Боль (В о h I P.)
[1] Ueber die hinsichtlich der unabhangigen und abhangigen Variable!*
periodische Differentialgleichung erster Ordnung, Ada Math., 40
A916), 321—336 [VII.14].
Больца (Bolza O.)
[1] Vorlesungen uber Variationsrechnung, B. G. Teubner, Leipzig und
Berlin, 1909 [XI.6].
Бомпиани (Bompiani E.)
[1] Un teorema di confronto ed un teorema di unicita per l'equazione
differenziale y' = f (x, y), Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci.
Fis. Mat. Nat., 1 F) A925), 298—302 [III.6].
Борг (Borg G.)
[1] Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe, Ada
Math., 78 A946), 1—96 [XI.4].
[2] On a Liapounoff criterion of stability, Amer. J. Math., 71 A949),
67-70 [XI.5].
[3] A condition for the existence of orbitally stable solutions of dynamical
systems, Kungl. Tekn. Hogsk. Handl. Stockholm, 153 A960) [XIV. 14].
Бохер (Bocher M.)
[1] The theorems of oscillation of Sturm and Klein, I and II, Bull. Amer.
Math. Soc, 4 A897/8), 295—313 and 365—376 [XI.3].
[2] On regular singular points of linear differential equations of the second
order whose coefficients are not necessarily analytic, Trans. Amer.
Math. Soc, 1 A900), 40—53 [X.ll, 13, 17; XI.8, 9].
[3] Lecons sur les methodes de Sturm, Gauthier-Villars, Paris, 1917 [XI.3].
Браудер (Browder F. E.)
[1] The solvability of nonlinear functional equations, Duke Math. J.t
30 A963), 557—566 [XIV. 12].
Б р а у э р Л. (В г о u w e r L. E. J.)
[1] On continuous vector distributions, I, II and III, Verh. Nederl. Akad.
Wetersch. Afd. Natuurk., Sec. I., 11 A909), 850—858; 12 A910), 716—
734, and 131 A910), 171 — 186 [VII.0, 8—9].
Б р а у э р Ф. (B r a u e r F.)
[1] Some results on uniqueness and successive approximations, Canad.
J. Math., 11 A959), 527—533 [III.6, 9].
[2] Spectral theory for linear systems of differential equations, Pacific
J. Math., 10 A960), 17—34 [XII.1].
Б р а у э р Ф., Стернберг Ш. (Brauer F.,Sternberg S.)
[1] Local uniqueness, existence in the large, and the convergence of suc-
successive approximations, Amer. J. Math., 80 A958), 421—430; 81
A959), 797 [III.6, 9].
Б р и н к (В r i n с k I.)
[1] Self-adjointness and spectra of Sturm-Liouville operators, Math.
Scand., 1 A929), 219—239 [XI.8, 11].
Б у к е, Б р и о (Bouquet J. С, Briot С. А. А.)
[1] Recherches sur les fonctions definies par les equations differentielles,
/. Ecole Polytech. (Paris), 21 cah. 36 A856), 133—198 [VIII.3].
Буницкий (Bounitzky M. E.)
[1] Sur la fonction de Green des equations differentielles lineaires ordi-
naires, /. Math. Pures Appl., 5 F) A909), 65—125 [XII. 1].

•688 Литература
Важевский (W а 2 е w s k i T.)
[1] Sur l'unicite et la limitation des integrates des equations aux derivees
partielles du premier ordre, Atti R. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci.
Fis. Mat. Nat., 18 F) A933), 372—376 [VI. 10].
[2] Sur Tappreciation du domain d'existence des integrates de l'equation
aux derivees partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math.,
14 A935), 149—177 [VI.9].
[3] Ueber die Bedingungen der Existenz der Integrate partieller Diffe-
rentialgleichungen erster Ordnung, Math. Zeit., 43 A938), 522—532
[VI.7—9].
[4] Sur devaluation du domaine d'existence des fonctions implicates reelles
ou complexes, Ann, Soc. Polon. Math., 20 A947), 81—125 [II.2].
[5] Sur un principe topologique de l'examen de Failure asymptotique des
integrates des equations differentielles ordinaires, ibid., 20 A947),
279—313 [III.8; X.2, 3].
[6] Sur les integrates d'un systeme d'equations differentielles ordinaires,
ibid., 21 A948), 277—297 [XI.4—7].
[7] Systemes des equations et des inequalites differentielles ordinaires
aux deuxiemes membres monotones et leurs applications, ibid, 23
A950), 112—166 [III.4].
(8] Sur une extension du procede de I. Jungermann pour etablir la conver-
convergence des approximations successive au cas des equations differentielle
ordinaires, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astr. Phys., 8 A960),
213—216 [III.9].
Балле Пуссен (de la Vallee Poussin C.)
[1] Sur l'equation differentielle lineaire du second ordre, /. Math. Pures
AppL, 8 (9) A929), 125—144 [XI.5].
Ван дер Поль (van der Pol B.)
[1] On oscillation hysteresis in a triode generator with two degrees of free-
freedom, Philos. Mag., 43 F) A922), 700—719 [VII. 10].
В а т с о н (Watson G. N.)
[1] A problem of analysis situs, Proc. London Math. Soc, 15 B) A916),
227—242 [VII.2].
[2] Bessel functions and Kapteyn series, ibid, 16 B) A917), 150—174
[XIV.l].
[3] A treatise on the theory of Bessel functions Bnd ed.), Cambridge Uni-
University Press, Cambridge, 1958 [XIV.l].
Вебер (Weber E. A.)
[1] Partielle Differentialgleichungen, Encyklopadie der mathematische
Wissenschaften, v. HA5 [VI. 1].
Вейль (W e у 1 H.)
[1] Ueber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singularen
Stellen und ihre Eigenfunktionen, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen,
Math.-Phys. Kl. Ha, A909), 37—63 [XI.9].
[2] Mathematische Analyse des Raumsproblems, Springer, Berlin, 1923
[VI.6].
[3] On the differential equations of the simplest boundary-layer problems,
Ann. Math., 43 A942), 381—407 [XIV.5].
[4] Concerning a classical problem in the theory of singular points of ordi-
ordinary differential equations, Revista de Ciencias (Lima), 46 A944),
73-112 [VIII.3].
Вессио (Vessiot E.)
[1] Gewohnliche Differentialgleichungen; elementare Integrationsmethoden,
Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, v. HA4b [II.0].

Литература 689
Виман (Wiman A.)
[1] Ueber die reellen Losungen der linearen Differentialgleichungen zweiter
Ordnung, Ark. Mat. Astr. Fys., 12, № 14 A917) [X.17; XI.5].
[2] Ueber eine Stabilitatsfrage in der Theorie der linearen Differential-
Differentialgleichungen, Ada Math., 66 A936), 121 — 145 [X.17].
Висванатам (Viswanatham B.)
[1] The general uniqueness theorem and successive approximations, /.
Indian Math. Soc, 16 A952), 69—74 [III.9].
Вольперт А. И.
[]]* Элементарное доказательство теоремы Жордана, УМН, 5, вып. 5 C9)
A950), 168-172.
Вольфсон (Wolfson К. G.)
[1] On the spectrum of a boundary value problem with two singular end-
points, Amer. J. Math., 72 A950), 713—719 [XI.4].
Гамбургер (Hamburger M.)
[1] Bemerkungen uber die Form der Integrate der linearen Differential-
Differentialgleichungen mit veranderlichen Koeffizienten, /. Reine Angew. Math.,
76 A873), 113—120 [IV.10].
Ганелиус (Ganelius T.)
[1] Un theoreme Tauberien pour la transformation de Laplace, C. R. Acad.
Sci. (Paris), 242 A956), 719—721 [XI.8].
Гёльдер (Holder E.)
[1] Mathematische Untersuchungen zur Himmelsmechanik, Math. Zeit.f
31 A930), 197—257 [XII.2].
Гизетти (Ghizzetti A.)
[1] Sul comportamento asintotico degli integrali delle equazioni differen-
ziali ordinarie, lineari ed omogenee, Giorn. Mat. Battaalini, 1 D) G7)
A947), 5-27 [X.17].
[2] Un theorema sul comportamento asintotico degli integrali delle equa-
equazioni differenziali lineari omogenee, Rend. Mat. Univ. Roma, 8 E)
A949), 28—42 [X.17].
Грегуш (Gregus M.)
[1] Ueber die asymptotischen Eigenschaften der Losungen der linearen
Differentialgleichung dritter Ordnung, Ann. Mat. Рига Appl., 63,
14 A963), 1 — 10 [XIV.2].
Г р е й в с (Graves L. M.)
[1] Some mapping theorems, Duke Math J., 17 A950), 111—114 [XII.0].
Гробман Д. М.
[1] О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений, ДАН СССР,
128, № 5 A959), 880—881 [XI.7].
[2] Топологическая классификация окрестностей особой точки в я-мер-
ном пространстве, Матем. сб., 56 (98), № 1 A962), 77—94
[IX.7].
Гробман Д. М., Виноград Р. Э.
[1] К проблемам различения Фроммера, УМН 12, № 5 A957), 191 —•
195 [VIII.4].
Грон, Иглиш (Grohne D., Iglisch R.).
[1] Die laminare Grenzschicht an der langs angestromten ebenen Platte
mit schragen Absaugen und Ausblasen, Veroffentlichung Math. Inst.
Tech. Hochschule, Braunschweig, A954) [XIV.8].
44—241

690 Литерату р а
Гронуолл (Gronwall Т. Н.)
[1] Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions
of a system of differential equations, Ann. Math., 20 B) A919), 292—
296 [III.l].
Гросс (Gross W.)
[1] Bemerkung zum Existenzbeweise bei den partiellen Differentialglei-
chungen erster Ordnung, S.-B.K- Akad. Wiss. Wien, KL Math. Nat.,,
123 (Abt. Ha), 2233—2251 [VI.7—9].
Гуревич, В о л м э н _ (H u r e w i с z W., Wallman H.)
nceton University Press, 1941. (Перевод: 1 , r _
Г., Теория размерности, ИЛ, М., 1948.) [IX.8;
ревич, Волмэн (Hurewicz W., Wallman H.)
[1] Dimension theory, Princeton University Press, 1941. (Перевод: Гуре-
Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, ИЛ, М., 1948.) [Г"
Х.2].
Д а н ж у a (D e n j о у А.)
[1] Sur le courbes definies par les equations differentielles a la surface du>
tore, /. Math. Pures AppL, 11 (9) A932), 333—375 [VII. 12, 13—14].
Данкел (Dunkel O.)
[1] Regular singular points of a system of homogeneous linear differential
equations of the first order, Proc. Amer. Acad. Arts Sci., 38 A902/3),
341—370 [X.I, 11, 13, 17].
Дарбу (Darboux G.)
[1] Legons sur la theorie generale des surfaces, IV, Gauthier-Villars,
Paris, 1896 [V.3].
Дигель (D i g e 1 E.)
[1] Zu einem Beispiel von Nagumo und Fukuhara, Math. Zeit., 39 A935),.
157—160 [II.4].
[2] Ueber die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differen-
tialgleichungen erster Ordnung, ibid., 44 A938), 445—451 [VI.7—9].
Д и л и б е р т о (D i I i b e r t о S. Р.)
[1] On systems of ordinary differential equations, Contributions to the
theory of nonlinear oscillations, Ann. Math. Studies, 1 A950), 1—48
[IV.2].
[2] A note on linear ordinary differential equations, Proc. Amer. Math.
Soc, 8 A957), 462—464 [IV.2].
(D i r i с h 1 e t G. L.)
Ueber die Stabilitat des Gleichgewichts, J. Reine Angew. Math.r
32 A846), 85—88 [III.8].
Дьедонне (Dieudonne J.)
[1] Sur la convergence des approximations successives, Bull. Sci. Math.,
69 B) A945), 62—72 [III.9].
Дюлак (Dulac H.)
[1] Curves definidas por una ecuacion diferencial de primer orden у de
primer grade, Madrid, 1933 [VIII.3].
[2] Points singuliers des equations differentielles, Memor. Sci. Math.,
fasc. 61, Gauthier-Villars, Paris, 1934 [VIII.3].
Ж и л л и с (G i I I i s P.)
[1] Sur les equations lineaires aux differentielle totales, Bull. Soc. Roy.
Sci. Liege, 9 A940), 197—212 [VI.3, 6].
[2] Sur les formes differentielles et la formula de Stokes, Acad. Roy. Belg.f
Cl. Sci. Mem., 20 A943) [V.5].
ри
[1]

Литература 691
3 и г е л ь (S i e g e 1 С. L.)
[1] Note on differential equations on the torus, Ann. Math., 46 B) A945),
423—428 [VII. 13—14].
[2] Ueber die Normalform analytischer Differentialgleichungen in der
Nahe einer Gleichgewichstlosung, Nachr. Akad. Wiss. Gdttingen.y
Math.-Phys. Kl. Ha, A952), 21—30 [IX.7].
[3] Vereinfachter Beweis eines Satzes von J. Moser, Comm. Pare Appl.
Math., 10 A957), 305—309 [IX.8—9].
Зламал (Z 1, a m a 1 M.)
[1] Oscillation criteria, Casopis Pest. Mat. a Fis., 75 A950), 213—217
[XI.7].
[2] Ueber asymptotische Eigenschaften der Losungen der linearen Diffe-
Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Czech. Math. J., 81 F) A956),
75_91 [XI.9].
Зубов В. И.
[1] Некоторые достаточные признаки устойчивости нелинейных диф-
дифференциальных уравнений, Прикл. матем. мех., 17 A953), 506—508
[XIV.11].
И г л и ш (I g I i s с h R.)
[1] Elementarer Existenzbeweis fur die Stromung in der laminaren Grenz-
schicht zur Potentialstromung U = UiXm mit m ^> 0 bei Absaugen
und Ausblasen, Z. Angeiv. Math. Mech., 33 A953), 143—147 [XIV.6].
[2] Elementarer Beweis fur die Eindeutigkeit der Stromung in der lami-
laminaren Grenzschicht zur Potentialstromung U = a^xm mit m > 0 bei
Absaugen und Ausblasen, ibid., 34 A954), 441—443 [XIV.6].
Иглиш, Кемниц (Iglisch R., Kemnitz F.)
[1] Ueber die in der Grenzschichtheorie auftretende Differentialgleichung
/"' + ff" + P A — f'2) =0 fur p < 0 bei gewissen Absauge- und
Ausblasegezetzen, 50 Jahre Grenzschichtforschung, Braunschweig,
1955 [XIV.7, 8].
Исе, Наг у mo (I se K-, N a g u m о M.)
[1] On the normal forms of differential equations in the neighborhood
of an equilibrium point, Osaka Math. J., 9 A957), 221—234 [IX.7, 12].
Камке (К a m k e E.)
[1] Differentialgleichungen reeller Funktionen, Akademische Verlagsge-
sesellschaft, Leipzig, 1930; Chelsea, New York, 1947 [III.4, 6].
[2] Zur Theorie der Systeme gewohnlicher Differentialgleichungen, II,
Ada Math., 58 A932), 57—85 [II.4; III.4].
[3] A new proof of Sturm's comparison theorems, Amer. Math. Monthly,
46 A939), 417—421 [XI.3].
[4] Differentialgleichungen. Losungsmethoden und Losungen, I. (Gewohn-
liche Differentialgleichungen) G.Aufl.), Akademische Verlagsgesell-
schaft, Leipzig, 1961. (Перевод: Камке Э., Справочник по обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнениям, изд-во «Наука», М., 1966.)
[5] Differentialgleichungen. Losungsmethoden und Losungen, II. (Par-
tielle Differentialgleichungen erster Ordnung fur eine gesuchte Funk-
tion) D.Aufl.), Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959. (Пере-
(Перевод: Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям
в частных производных первого порядка, изд-во «Наука», М., 1966).
[VI.7-9].
ван Кампен (van Ка треп Е. R.)
[1] The topological transformations of a simple closed curve into itself,
Amer. J. Math., 57 A935), 142—152 [VII.13—14].
44*

692 Литература
[2] Remarks on systems of ordinary differential equations, ibid., 59 A937),
144—152 [III.7].
[3] Notes on systems of ordinary differential equations, ibid., 63 A941),
371—376 [Ш.9].
[4] On the argument functions of simple closed curves and simple arcs,
Compositio Math., 4 A937), 271—275 [VII.2]
ван Кампен, Уинтнер (van Kampen E. R., Wintner A.)
[1] On an absolute constant in the theory of variational stability, Amer.
J. Math., 59 A937), 270—274 [XI.5].
Каратеодори (Caratheodory C.)
[1] Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ord-
nung, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1935 [VI.6, 7—9].
КартанА. (Cartan H.)
[1] Algebraic topology, mimeographed notes, Harvard, 1949 [V.5].
К а р т а н Э. (С а г t a n E.)
[1] Lecons sur les invariants integraux, Hermann, Paris, 1922. (Перевод:
Картан Э., Интегральные инварианты, ГИТТЛ, М., 1940.)
[V.5; VI.2, 3].
Кауфман, Стернберг P. (Kaufman H., S t e r n b e r g R. L.)
[1] Applications of the theory of sistems of differential equations to multi-
multiple nonuniform transmission lines J. Math. Phys., 31 A952/3), 244—
252 [XI.10].
Ke й л (К e i 1 K- A.)
[1] Das qualitative Verhalten der Integralkurven einer gewohnlichen
Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singu-
larenPunktes, Jber. Deutsch. Math. Verein., 57 A955), 111 —132 [VIII.2].
К ел л и (К е 1 1 е у J. L.)
[1] General topology, Van Nostrand, New York, 1955. (Перевод: Кел -
л и Дж. Л., Общая топология, изд-во «Наука», М., 1968.) [VII. 12].
Кёнигс (Koenigs G.)
[1] Recherches sur les integrates de certaines equations fonctionelles,
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1 C) A884), Suppl. 3—41 [IX.8].
[2] Nouvelles recherches sur les equations fonctionelles, ibid., 2 C) A885),
385—404 [IX.8].
Клебш (Clebsch A.)
[1] Ueber die Reduktion der zweiten Variation auf ihre einfachste Form,
J. Reine Angew. Math., 55 A858), 254—270 [XI.6, 10].
[2] Ueber die simultane Integration linearer partielle Differentialgleichun-
Differentialgleichungen, ibid., 65 A866), 257—268 [VI. 1].
К н е з e p A. (K n e s e r A.)
[1] Untersuchung uber die reellen Nullstellen der Integrale linearer Dif-
Differentialgleichungen, Math. Ann., 42 A893), 409—435 [XI.7].
[2] Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser
Differentialgleichungen bei grossen reellen Werthen des Arguments,
J. Reine Angew. Math., 116 A896), 178—212 [XI.6, XII.5].
К н е з е р Г. (Kneser H.)
[1] Ueber die Losungen eines Systems gewohnlicher Differentialgleichun-
Differentialgleichungen das der Lipschitzschen Bedingung nicht genugt, S.-B. Preuss.
Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl., A923), 171 — 174 [II.4].
[2] Regulare Kurvenscharen auf den Ringflachen, Math. Ann., 91 A924),
135—154 [VII.12].

Литерату pa 693
Корд
[1]
Кноблох (Knobloch H. W.)
[1] An existence theorem for periodic solutions of nonlinear ordinary
differential equations, Michigan Math. /., 9 A962), 303—309 [XII.2].
Ковальский (Kowalski Z.)
[1] Generalized characteristic directions for a system of differential
equations, Ann. Polon. Math., 6 A959), 269—280 [VIII.2].
Коддингтон»Левинсон (Coddington E. A.,LevinsonN.)
[1] Uniqueness and convergence of successive approximations, J. Indian
Math. Soc, 16 A952), 75—81 [III.9].
[2] Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill, New York,
1955. (Перевод: Коддингтон Э., Левинсон Н., Теория
обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.) [VI. 10;
IX.6].
Конти и Сансоне (Conti R., Sansone G.)
[1] Equazioni differenziali non lineari, Cremonese, Rome, 1956 [VII. 10;
XII.2].
К о п п е л (С о р р е 1 W. А.)
[1] On a differential equations of boundary layer theory, Proc. Cambridge
Phil. Soc, Ser. A, 253 A960), 101 — 136 [XIV.6, 9].
;унеану (Corduneanu C.)
Sur certains systemes differentielles non-lineaires, An. $ti. Univ.
«Al. I. Cuza» Ia$i, Sec. I, 6 A960), 257—260 [XII.8].
К о т т о н (С о t t on E.)
[1] Sur les solutions asymptotiques des equation differentielles, Ann.
Sci. Ecole Norm. Sup., 28 C) A911), 473—521 [X.8].
К о ф ф м а н (С о f f m a n С V.)
[1] Linear differential equations on cones in Banach spaces, Pacific J.
Math., 12 A962), 69—75 [XIV.2].
[2] Asymptotic behavior of solutions of ordinary difference equations,
Trans. Amer. Math. Soc, 110 A964), 22—51 [IX.5; X.13].
[3] Nonlinear differential equations on cones in Banach spaces, Pacific J.
Math., 14 A964), 9—16 [XIV.2].
К о ш и (С а и с h у A. L.)
[1] Oeuvres completes A) 6, Gauthier-Villars, Paris, 1888 [VI.7—9].
Красносельский М. А., Крейн С. Г.
[1] Об одном классе теорем единственности для уравнения у' = f (*, У)>
УМН, 11, вып. 1 A956), 209—213 [III.6].
Красовский Н. Н.
[1] О поведении в целом интегральных кривых системы двух дифферен-
дифференциальных уравнений, Прикл. матем. мех., 18 A954), 735—737
[XIV.11].
[2] О достаточных условиях устойчивости решений системы нелинейных
дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 98 A954), 901—904
[XIV.11].
[3] Об устойчивости при больших начальных возмущениях, Прикл.
матем. мех., 21 A957), 309—319 [XIV. 11].
[4] Некоторые задачи устойчивости движения, изд-во «Наука», М.,
1959 [III.8; XIV.11].
Крейн М. Г.
[1] О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории
устойчивости, УМН, 3, № 3 A948), 166—169 [XII.6].

694 Литература
Кучер Д. Л.
[1] О некоторых критериях ограниченности решений системы дифферен-
дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 69 A949), 603—606.
Лаврентьев М. А.
[1] Sur une equation differentielle du premier ordre, Math. Zeit., 23 A925),
197—209 [II.5].
Лагранж (Lagrange J. L.)
[1] Mecanique analytique, Desaint, Paris, 1788. (Перевод: Лаг-
Лагранж Ж- Л., Аналитическая механика, ГНТИ, М., 1938.) [III.8].
[2] Oeuvres, I A867) et IV A869), Gauthier-Villars, Paris [IV. 1, 2, 7;
V.12].
Лангенхоп (Langenhop СЕ.)
[1] Note on Levinson's existence theorem for forced periodic solutions
of a second order differential equations, J. Math. Phys., 30 A951),
36—39 [VII.10].
Ла-Салль (LaSalle J.)
[1] Uniqueness theorems and successive approximations, Ann. Math.,
50 A949), 722—730 [III.9].
[2] Relaxation oscillations, Quart. Appl. Math., 7 A949), 1 — 19 [VIII.10].
[3] Some extensions of Lyapunov's second method, IRE Trans. Circuit
Theory, CT-7 A960), 520—527 [XIV. 11].
Ла-Салль, Лефшец (LaSalle J., Lefschetz S.)
[1] Stability by Lyapunov's direct method with applications, Academic
Press, New York, 1961. (Перевод: Ла-Салль Ж-, Лефшец С,
Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, изд-во «Мир»,
М., 1964.) [III.8].
Латтес (Lattes S.)
[1] Sur les formes reduites des transformations ponctuelles a deux variab-
variables, С R. Acad. Sci. Paris, 152 A911), 1566—1569 [IX.8—9].
[2] Sur les formes reduites des transformations ponctuelles dans le domaine
d'un point double, Bull. Soc. Math. France, 39 (8) A911), 309—345
[IX.8—9].
Леви (Levy P.)
[1] Processus stochastiques et mouvement Brownien, Gauthier-Villars,
Paris, 1948 [III.6].
Левинсон (Levinson N.)
[1] On the existence of periodic solutions for second order differential
equations with a forcing term, J. Math. Phys., 22 A943), 41—48 [VII. 10].
[2] Transformation theory of nonlinear differential equations of the second
order, Ann. Math., 45 A944), 723—737 [XII.2].
[3] The asymptotic nature of the solutions of linear systems of differential
equations, Duke Math. J., 15 A948), 111 — 126 [IV.9; X.4].
Левинсон, Смит (Levinson N., Smith О. К-)
[1] A general equation for relaxation oscillations, Duke Math. J., 9 A942),
382—403 [VII. 10].
Лейтон (Leighton W.)
[1] Principal quadratic functionals, Trans. Amer. Math. Soc, 67 A949),
253—274 [XI.6].
[2] The detection of the oscillation of solutions of a second order linear
differential equation, Duke Math. J., 17 A950), 57—62 [XI.7].

Литература 695
Лейтон, Морс (Leighton W., Morse M.)
[1] Singular quadratic functional, Trans. Amer. Math. Soc, 40 A936),
252—286 [XI.6].
Лейтон, Нехари (Leighton W., Nehar i Z.)
[1] On the oscillation of solutions of self-adjoint linear differential equa-
equations of fourth order, Trans. Amer. Math. Soc., 89 A958), 325—377
[XI.7]. .
Леттенмейер (Lettenmeyer F.)
[1] Ueber die an einer Unbestimmtheitsstelle regularen Losungen eines
Systemes homogener linearen Differentialgleichungen, S.-B. Bayer.
Akad. Wiss. Munchen Math.-nat. Abt., A926), 287—307 [IV.ll, 13].
[2] Ueber das asymptotische Verhalten der Losungen von Differential-
Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen, ibid. A929), 201 —
252 (X.ll).
Лефшец (Lefschetz S.)
[1] Differential equations; geometric theory Bnd ed.), Interscience, New
York, 1963. (Перевод: Лефшец С, Геометрическая теория диф-
дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1961.) [VII.10].
Либманн (Liebmann H.)
[1] Geometrische Theorie die Differentialgleichungen, Encyklopadie der
mathematischen Wissenschaften, HI D8, 1914 [VII.6; VIII.8].
Л и б р и (L i b r i A.)
[1] Memoire sur la resolution des equations algebriques dont les racines
ont entre elles un rapport donne, et sur l'integration des equations
differentielles lineaires dont les integrales particulieres peuvent s'ex-
primer les unes par les autres, /. Reine Angew. Math., 10 A833), 167—
194 [VI.3].
Л и л л о (L i 1 1 о J. С.)
[1] Linear differential equations with almost periodic coefficients, Amer.
J. Math., 81 A959), 37—45 [X.8].
Линделёф (Lindelof E.)
[1] Sur l'application des methodes d'approximations successives a l'etude
des integrales reeles des equations differentielles ordinaire, J. Math.
Pures AppL, 10 D) A894), 117—128 [II. 1].
[2] Demonstration de quelques theoremes sur les equations differentielles,
ibid., 6 E) A900), 423—441 [V.3].
Липшиц (Lipschitz R.)
[1] Sur la possibilite d'integrer completement un systeme donne d'equations
differentielles, Bull. Sci. Math. Astr., 10 A876), 149—159 [II.1].
Лис (Lees M.)
[1] A boundary value problem for nonlinear ordinary equations, /. Math.
Mech., 10 A961), 423—430 [XII.4, 5].
Лиувилль (Liouville J.)
[1] Sur le developpement des fonctions ou parties de fonctions en series
dont les divers termes sont assujettis a satisfaire a une meme equation
differentielles du second ordre contenant un parametre variable, I et
II, J. Math. Pures AppL, 1 A) A836), 253—265; 2 A) A837), 16—35
[XI. 1,4].
[2] Sur la theorie de la variations des constants arbitraires, ibid., 3 A)
A838), 342—349 [IV.l].

696 Л и тер а т у р а
Л о (L e a u L.)
[1] Etude sur les equations fonctionelles a une ou a plusieurs variables,
Ann. Fac. Sci. Toulouse, HE A897), 1 — 110 [IX.8].
Л о н н (Lonn E. R.)
[1] Knoteninvarianz bei Differentialgleichungen, Jber, Deutsch. Math.
Verein., 43 A934), 232—237 [VIII.4].
[2] Ueber singulare Punkte gewohnlicher Differentialgleichungen, Math.
Zeit., 44 A939), 507—530 [VIII.4].
Jlopx, Cere (L о г с h Z., Szego P.)
[ 1] Higher monotonicity properties of certain Sturm-Liouville functions,
Ada Math., 109 A963), 55—73 [XIV.14].
Лоясевич (Lojasiewicz S.)
[1] Sur l'allure asymptotique des integrales du systeme d'equations dif-
ferentielles au voisinage de point sungulier, Ann. Polon. Math., 1
A954), 34—72 [X.4—7].
Льенар (Lienard A.)
[1] Etude des oscillations entretenues, Revue Generate de VElectricitet
23 A928), 901—912, 946—954 [VII.10].
Льюис (Lewis D. C.)
[1] Invariant manifolds near an invariant point of unstable type, Amer%
J. Math., 60 A938), 577—587 [IX.5].
[2] Metric properties of differential equations, ibid., 71 A949), 249—312
[V.9; XIV.13].
[3] Differential equations refferred to a variable metric, ibid., 73 A951),
48—58 [V.9; XIV.13].
[4] Autosynartetic solutions of differential equations, ibid., 83 A961),
1-32 [XII.2].
Люксембург (Luxemburg W. J. A.)
[1] On the convergence of successive approximations in the theory of
ordinary differential equations, Canad. Math. Bull., 1 A958), 9—20
[III.8].
Ляпунов А. М.
[1] Sur une serie relative a la theorie des equations differentielles lineaires
a coefficient periodiques, C.R. Acad. Sci. Paris, 123 A896), 1248—
1252 [XI.5].
[2] Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, М., 1935 [III.8;
IX.6; Х.8].
Мазон (Mason M.)
[1] Zur Theorie der Randwertaufgaben, Math. Ann., 58 A904), 528—544
[XII.l].
M а й е р (Mayer A.)
[1] Ueber unbeschrankt integrable Systeme von linearen totalen Differen-
Differentialgleichungen, Math. Ann., 5 A872), 448—470 [VI. 1,6].
Майзель А. Д.
[Ц Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений,
Труды Уральского Политехнического института, т. 3, 1935, стр. 7—
17[ХН.6].
М а л к и н И. Г.
[1] Об устойчивости в первом приближении, Сб. трудов Казанского
авиационного института, т. 3, 1935, стр. 7—17 [XII.6].

Литература 697
Мамбриани (Mambriani А.)_
[1] Su un teorema relativo alle equazioni differenziali ordinarie del 2a
ordine, Atti R. Accad. Naz. Lincei Rend. CL Sci. Fis. Mat. Nat.,.
9 F) A929), 620—622 [XII.5].
Маркус, Ямабе (Markus L.,Jamabe H.)
[1] Global stability criteria for differential systems, Osaka Math. J.
12 A960),'305—317 [XIV.12,13].
Maccepa (Massera J. L.)
[1] The existence of periodic solutions of systems of differential equations,.
Duke Math. /., 17 A950), 457—475 [XII.1, 2].
[2] Converse theorems of Lyapunov's second method, Bol. Soc. Mat.
Mexicana, 5 B) A960), 158—163 [III.8].
[3] Sur l'existence de solutions bornees et periodiques des systemes quasi-
lineaires d'equations differentielles, Ann. Mat. Рига Appl., 51 D)
A960), 95—106 [XII.8].
Maccepa, Шеффер (Massera J. L., Schaffer J. J.)
[1] Linear differential equations and functional analysis, I, II, III and IV,.
Ann. Math., 67 A958), 517—573; 69 A959), 88—104; 69 A959), 535—
574; and Math. Ann., 139 A960), 287—342 [XII.6,7,8; XIII, Parts I,
II]. (См. также Maccepa X., Шеффер Х., Линейные дифферен-
дифференциальные уравнения и функциональные пространства, изд-во «Мир»,
М., 1970.)
Милн (Milne W. Е.)
[1] On the degree of convergence of expansions in an infinite interval,.
Trans. Amer. Math. Soc, 31 A929), 907—918 [XI.5].
M и л но p (Milnor J.)
[1]* Morse theory, Princeton University Press, 1963. (Перевод: Милнор
Дж., Теория Морса, изд-во «Мир», М., 1965.)
М и л у (М i 1 1 о и х Н.)
[1] Sur l'equation differentialle x* + A (t) * = 0, Prace Mat., 41 A934),
39-53 [XIV.1, 3].
Минорский (Minorsky N.)
[1] Introduction to nonlinear mechanics, Edwards Bros., Ann. Arbor
(Mich.), 1947 [VII.10].
Миранда (Miranda C.)
[1] Un osservazione su un teoria de Brouwer, Boll. Un. Mat. Ital., 3 B)
A940), 5—7 [XII.2].
M о з е р (М о s e r J.)
[1] The analytic invariants of an area preserving mapping near a hyper-
hyperbolic point, Comm. Pure Appl. Math., 19 A956), 673—692 [IX.8, 9].
[2] The order of a singularity in Fuchs' theory, Math. Zeit., 72 A959/60)„
379—398 [IV. 11].
[3] On invariant curves of area preserving mappings of an annulus, Nachr.
Akad. Wiss. Gottingen Math. Phys. KL Ha, 1 A962) [IX.8, 9].
Mope (Morse M.)
[1] A generalization of the Sturm separation and comparison theorems-
in n-space, Math. Ann., 103 A930), 52—59 [XI.10; XII.3].
[2] The calculus of variations in the large, Amer. Math. Soc. Colloquium
Publications, New York, 1934 [XI.6.].

•698 Литература
Муаньо (Moigno F.)
[1] Lemons sur le calcul differential et integral (d'apres Cauchy), Bachelier,
Paris, 1840 [II.1].
Мюллер (М tiller M.)
[ 1] Ueber das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewohnlichen Dif-
ferentialgleichungen, Math. Zeit., 26 A927), 619—645 [III.9].
[2] Beweis eines Satzes des Herrn H. Kneser tiber die Gesamtheit der
Losungen, die ein System gewohnlicher Differentialgleichungen durch
einen Punkt schickt, ibid., 28 A928), 349—355 [II.4].
[3] Neuere Untersuchung tiber den Fundamentalsatz in der Theorie der
gewohnlichen Differentialgleichungen, Jber. Deutsch. Math, Verein.,
37 A928), 33—48 [II.0; III.6].
Магумо (Nagumo M.)
[1] Eine hinreichende Bedingung fur die Unitat der Losung von Differen-
Differentialgleichungen erster Ordnung, Jap. J. Math., 3 A926) [III.6].
[2] Ueber die Differentialgleichung y" — f (x, у, у'), Proc. Phys.-Math.
Soc. Japan, 19 C) A937), 861—866 [XII.4,5].
[3] Ueber die Ungleichung duldy > / (x, у, u, duldx), Japan J. Math.,
15 A939), 51—56 [VI.10].
[4] Ueber das Randwertproblem der nicht linearen gewohnlichen Diffe-
Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan,
24 A942), 845—851 [XII.4].
Неванлинна (Nevanlinna R.)
[1] Ueber die Methode der sukzessiven Approximationen, Ann. Acad.
Sci. Fennicae, Ser. A, 291 A960) [II.2].
Немыцкий В. В., Степанов В. В.
[1] Качественная теория дифференциальных уравнений, изд. 2, ГИТТЛ,
М.— Л., 1949 [VIII.2; Х.2].
Нехари (Nehari Z.)
[1] On the zeros of solutions of second order linear differential equations,
Amer. J. Math., 76 A954), 689—697 [XI.5].
[2] On an inequality of Lyapunov, Studies in Mathematical Analysis
and Related Topics, Stanford University Press, Stanford, 1962, p. 256—
261 [XI.5].
Николетти (Niccoletti O.)
[1] Sugli integrali delle equazioni differenziali considerati come funzioni
dei loro valori iniziali, Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat,
Nat., 4 E) A895), 316—324 [V.3].
Никлиборк (Nikliborc W.)
[1] Sur les equations lineaires aux differentielles totales, Stadia Math.,
1 A929), 41—49 [VI.6].
Ниренберг (Nirenberg L.)
[1] Functional analysis, mimeographed notes, New York University,
1960/61 [XII.4].
Ньюмен (Newman M. H. A.)
[1] Elements of the topology of plane sets of points, Cambridge University
Press, Cambridge, 1954 [VII.4].
О л e x (О 1 ее h С.)
[1] On the asymptotic behavior of the solutions of a system of ordinary
nonlinear differential equations, Bull. Acad. Polon. Sci., CL III,
4 A956), 555—561 [X.13].
[2] Remarks concerning criteria for uniqueness of solutions of ordinary
differential equations, ibid., 8 A960), 661—666 [III.6, 9].

Литература 699
[3] On the global stability of autonomous systems in the plane. Contri-
Contributions to differential equations, 1, 1963, 389—400 [XIV.14].
Олех, Опяль, Важевский (О lech С, Opial Z,, Waiew-
ski T.)
[1] Sur le probleme d'oscillation des integrales de l'equation y" + g (t) у =
= 0, Bull. Acad. Polon. Sci., Cl. Ill, 5 A957), 621—626 [XI.7].
Опяль (Opial Z.)
[1] Sur un systeme d'inegalites integrales, Ann. Polon. Math., 3 A957),
200—209 [III.4].
[2] Sur l'allure asymptotique des integrales de l'equation differentielle
u" + a{t) u' + b (t) и = 0, Bull. Acad. Polon. Sci., Cl. Ill, 5 A957),
847—853 [XI.9].
[3] Sur une inegalite de C. de la Vallee Poussin dans le theory de l'equation
differentielle lineaire du second ordre, Ann. Polon. Math., 6 A959),
87—91 [XI.5].
[4] Sur un critere d'oscillation des integrales de l'equation differentielles
(Q (t) x'Y + / @ x = 0, ibid., 6 A959), 99—104 [XI.7].
[5] Sur Failure asymptotique des solutions de l'equation differentielle u" +
+ a (t) u' + b (t) и = 0, ibid., 6 A959), 181—200 [XI.9].
[6] Sur les valeurs asymptotiques des integrales des equations differen-
differentielles lineaires du second ordre, ibid., 6 A959), 201—210 [XI.9].
[7] Demonstration d'un theoreme de N. Levinson et C. Langenhop, ibid.,
7 A960), 241—246 [VII.10].
[8] Sur la stabilite asymptotique des solutions d'une systeme d'equations
differentielles, ibid., 7 A960), 259—267 [V.9; XIV. 13].
Осгуд (Osgood W.)
[1] Beweis der Existenz einer Losung der Differentialgleichung dy/dx =
= f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzschen Bedingung,
Monatsh. Math. Phys., 9 A898), 331—345 [III.6].
Островский (Ostrowski A.)
[ 1] Sur les conditions de validite d'une classe de relations entre les expres-
expressions differentielles lineaires, Comment. Math. Helv., 15 A942/3),
265—286 [VI.1].
Пеано (Peano G.)
[1] Sull' integrabilita delle equazione differenziali di primo ordine, Atti.
R. Accad. Torino, 21 A885/1886), 667—685 [III.2, 4].
[2] Demonstration de rintegrabilite des equations differentielles ordi-
naires, Math. Ann., 37 A890), 182—228 [II.2].
[3] Generality sulle equazioni differenziali ordinarie, Atti R. Accad.
Sci. Torino, 33 A897), 9—18 [V.3].
Пенлеве (Painleve P.)
[1] Gewohnliche Differentialgleichungen: Existenz der Losungen, Encyk-
lopadie der mathematischen Wissenschaften, v. IIA4a [II.0; VIII.3].
Перрон (Perron O.)
[1] Ueber diejenigen Integrale linearer Differentialgleichungen, welche
sich an einer Unbestimmtheitsstelle bestimmt verhalten, Math. Ann.,
70 A911), 1—32 [IV.13].
[2] Ueber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhangig
Variable reell ist, I und II, /. Reine Angew. Math., 142 A913), 254—
270 und 143 A913), 25—50 [X.8, 17].
[3] Beweis fur die Existenz von Integralen einer gewohnlichen Differen-
Differentialgleichung in der Umgebung einer Unstetigkeitsstelle, Math. Ann.,
75 A914), 256—273 [VIII.1,3].

700 Лит е р а т у р а
[4] Ein neuer Existenzbeweis fur die Integrale der Differentialgleichung
y' = f(x, y), ibid., 76 A915), 471—484 [III.2,4].
[5] Ueber die Gestalt der Integralkurven einer Differentialgleichung
erster Ordnung in der Umgebtmg eines singularen Punkten, I und II,
Math. Zeit., 15 A922), 121 — 146; 16 A923), 273—295 [VII.6;
VIII.3].
[6] Ueber Ein- und Mehrdeutigkeit des Integrales eines Systems von Dif-
ferentialgleichungen, Math. Ann., 95 A926), 98—101 [III.6].
[7] Ueber Existenz und Nichtexistenz von Integralen partiellen Differen-
tialgleichungssysteme im reelen Gebiet, Math. Zeit., 27 A928), 549—
564 [VI.9].
[8] Eine hinreichende Bedingung fur die Unitat der Losung von Differen-
Differentialgleichungen erster Ordnung, ibid., 28 A928), 216—219 [III.6].
[9] Ueber Stabilitat und asymptotisches Verhalten der Integrale von
Differentialgleichungssystemen, ibid., 29 A929), 129—160 [X.8].
[10] Die Ordnungzahlen linearen Differentialgleichungssysteme, ibid., 31
A929), 748—766 [X.8].
[11] Ueber eine Matrixtransformation, ibid., 32 A930), 465—473 [IV.2].
[12] Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen, ibid., 32 A930),
703—728 [X.8; XII.6].
[13] Ueber Stabilitat und asymptotisches Verhalten der Losungen eines
Systemes endlicher Differenzengleichungen, J. Reine Angew. Math.T
161 A929), 41—64 [IX.5].
д с к и й К. П.
1] Об устойчивости движения по первому приближению, Машем, сб.,
40 A933), 284—293 [XII.6].
F
Петровский И. Г.
[1] Ueber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewohnlicher
Differentialgleichungen in der Nahe eines singularen Punktes, Машем,
сб., 41 A934), 107—155 [IX.6; X.8].
П е т т и (Petty CM.)
[1] Undirectional boundedness for two dimensional linear systems, Lock-
Lockheed Missiles and Space Co. Report, 1963 [XI.5].
П и к а р (Р i с а г d Ё.)
[1] Memoire sur la theorie des equations aux derivees partielles et la metho-
de des approximations successives, J. Math. Pures. AppL, 6 E) A890k
423—441 [II.1].
[2] Traite d'analyse, III, Gauthier-Villars, Paris, 1896 [XII.2].
[3] Lecons sur quelques equations fonctionelles, Gauthier-Villars, Paris,
1928 [IX.8].
[4] Lemons sur quelques problemes aux limites de la theorie des equations
differentielles, Gauthier-Villars, Paris, 1930 [XI.7; XII.3,4].
Пиконе (Picone M.)
[1] Su un problema al contorno nelle equazioni differenziali lineari ordi-
narie del secondo ordine, Ann. R. Scuola Norm. Sup. Pisa, 10 D) A908)
[XI.3].
П л и с ь (Р 1 i s A.)
[1] On a topological method for studying the behavior of the integrals
of ordinary differential equations, Bull. Acad. Polon. Sci.y Cl. Ill,
2 A954), 415—418 [X.2].
[2] Characteristics of nonlinear partial differential equations, ibid., 2.
A954), 419—422 [VI.1, 8].

Литер а т у р а 701
П о й а (Р 6 1 у a G.)
[1] On the mean value theorem corresponding to a given linear homogeneous
differential equation, Trans. Amer. Math. Soc, 24 A922), 312—324
[IV.8].
Проди (Prodi G.)
[1] Nuovi criteri di stabilita per Tequazione у" + А (х) у = 0, Atti
Accad. Naz. Lincei Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 10 A951), 447—
451 [XI.8].
Прюфер (Prufer H.)
[1] Neue Herleitung der Sturm-Liouvilleschen Reihenentwicklung steti-
ger Funktionen, Math. Ann., 95 A926), 499—518 [XI.2, 4].
Пуанкаре (Poincare H.)
[1] Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux diffe-
differences partielles, Oeuvres, 1, Gauthier-Villars, Paris, 1929 [IX.7].
[2] Sur les courbes definie par les equations differentielles, C.R. Acad.
Sci. Paris, 90 A880), 673—675 [VII, Приложение].
[3] Memoire sur les courbes definie par une equation differentielle, I, II,
III et IV, J. Math. Pares Appl., 7 C) A881), 375—422; 8 C) A882),
251—286; 1 D) A885), 167—244; 2 D) A886), 151—217. (Перевод:
Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями, ГИТТЛ, М.—Л., 1947.) [VII.0, 1, 3,4,5,6, 7,
13, 14; VIII.3; IX.0].
[4] Sur les equations lineaires aux differentielles ordinaires et aux diffe-
differences finies, Amer. J. Math., 7 A885), 203—258 [X.8, 17].
[5] Les methodes nouvelles de la mecaniques celeste, I A892) et III
A899), Gauthier-Villars, Paris [IX.0, 5; XII.2].
Путнем (Putnam R. C.)
[1] On isolated eigenfunctions associated with bounded potentials, Amer.
J. Math., 72 A950), 135—147 [XIII, часть 1].
Пфафф (Р f a f f J. F.)
[1] Methodus generalis, aequationes differentiarum partialum, nee non
aequationes differentiates vulgares, utrasque primi ordinis inter quotcun-
que variabiles, complete integrandi, Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin,
A814/1815), 76—136 [VI.7—9].
Пью (P u g h C.)
[1] Cross-sections of solution funnels, Bull. Amer. Math. Soc, 70 A964)
[П.4].
Раб (R a b M.)
[1] Asymptotische Formeln fur die Losungen der Differentialgleichung
У'+Я{х)У=0> Czech. Math. J., 89 A4) A964), 203—221 [XI.9].
P а ш (R a s с h G.)
[1] Zur Theorie und Anwendung des Produktintegrales, /. Reine Angew.
Math., 171 A934), 65—119 [IV.ll].
Рейд (Reid W. T.)
[1] Properties of solutions of an infinite system of ordinary linear diffe-
differential equations of the first order with auxiliary boundary conditions,
Trans. Amer. Math. Soc, 32 A930), 284—318 [III.l].
[2] Oscillation criteria for linear differential systems with complex coeffi-
coefficients, Pacific J. Math., 6 A956), 733—751 [XL 10].
[3] Principal solutions of nonoscillatory self-adjoint linear differential
systems, ibid., 8 A958), 147—169 [XI.10, 11].
[4] Remarks on a matrix transformation for linear differential equations,
Proc. Amer. Math. Soc, 8 A959), 708—712 [IV.2].

702 Литература
[5] Oscillation criteria for self-adjoint differential systems, Trans. Amer.
Math. Soc., 101 A961), 91 — 106 [XI.10].
[6] Riccati matrix differential equations and nonoscillation criteria for
associated linear differential systems, Pacific J. Math., 13 A963)r
655—686 [XI.10, 11].
Риман (Riemann B.)
[1] Collected works B. Aufl.), Teubner, Leipzig, 1892; Dover, New York,
1953 [IV.10, 12; VII.2].
Рисе, Секефальви-Надь (Riesz F., Sz.-Nagy B.)
[1] Lemons d'analyse fonctionelle, Akademei Kiado, Budapest, 1952.
(Перевод: Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции
по функциональному анализу, ИЛ, М., 1954.) [XI.4, 10].
Розенблатт (Rosenblatt A.)
[1] Ueber die Existenz von Integralen gewohnlicher Differentialgleichun-
gen, Ark. Mat. Astr. Fys., 5, 2 A909) [III.6, 9].
[2] Sur les theorems de M. Picard dans la theorie des problemes aux limites
des equations differentielles ordinaires non-lineaires, Bull. Sci. Math.r
57 A933), 100—106 [XII.3, 4].
Сакстедер (Sacksteder R.)
[1] Foliations and pseudogroups, Amer. J. Math., 86 A964) [VII. 12].
Сандор (Sandor S.)
[1] Sur l'equation differentielle matricielle de type Riccati, Bull. Math,
Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumaine (N.S), 3 E1), A959), 229—
249 [XI.11].
Сансоне (Sansone G.)
[1] Equazioni differenziali nel campo reale, Zanichelli, Bologna, 1948.
(Перевод: Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения, т. 1 и 2, ИЛ, М., 1953—54.) [XI.5; XIV.3].
С е г ё (S z e g 6 G.)
[1] Orthogonal polynomials, Amer. Math. Soc. Colloquium Publication.
New York, 1950 [XIV.l].
Скорца-Драгони (Scorza-Dragoni G.)
[1] Sul problema dei valori ai limiti per i systemi di equazioni differen-
differenziali del secondo ordine, Boll. Un. Mat. Hal., 14 A935), 225—230
[XII.4].
Соваж (Sauvage L.)
[1] Sur les solutions regulieres d'un system, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.,
3 C) A886), 391—404 [IV.ll].
Стернберг (Sternberg S.)
[1] On the behavior of invariant curves near a hyperbolic point of a surface
transformation, Amer. J. Math., 77 A955), 526—534 [IX. 5].
[2] On local Cn contractions of the real line, Duke Math. J., 24 A957),
97—102 [IX.8].
[3] Local contractions and a theorem of Poincare, Amer. J. Math., 79
A957), 809—824 [IX.5, 6, 7, 8, 9, 12—14].
[4] On the structure of local homeomorphisms of Euclidean л-space, II,.
ibid., 80 A958), 623—631 [XI.7, 8, 9, 12—14].
[5] The structure of local homeomorphisms, III, ibid., 81 A959), 578—
604 [IX.8, 9].
Стернберг, Уинтнер (Sternberg S., Wintner A.)
[1] On a class of analogies between differential equations and implicit
equations, /. Analyse Math., 5 A956/7), 34—46 [II.2].

Литература 70$
Стокер (Stoker J. J.)
[1] Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems, Interscience^
New York, 1950. (Перевод: Стокер Дж., Нелинейные колебания
в механических и электрических системах, ИЛ, М., 1952.) [VII. 10].
Титчмарш (Titchmarsh E. С.)
[1] Eigenfunction expansions, Clarendon Press, Oxford, 1946. (Перевод:
Титчмарш E., Разложения по собственным функциям, связан-
связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, ч. I,.
ИЛ, М., 1960; ч. II, ИЛ, М., 1961.) [III.1].
Тихонов А. Н.
[1] Ein Fixptmktsatz, Math. Ann., Ill A935), 767—776 [XII.0].
Томе (Thome L. W.)
[1] Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen, J. Reine Angew.
Math., 74 A872), 193—217 [IV.12].
Тонелли (Tonelli L.)
[1] Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra, Bull. Calcutta Math.
Soc, 20 A928), 31—48 [II.2].
Турский (Turski S.)
[1] Sur l'unicite et la limitation des integrates des equations aux derivees
partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math., 120 A933), 81 —
86 [VI.10].
У и дд e p (W i d d er D. V.)
[1] The Laplace transform, Princeton University Press, Princeton, 1941
[XIV.2].
Уинтнер (W i n t n e r A.)
[1] The nonlocal existence problem of ordinary differential equations,
Amer. J. Math., 67 A945), 277—284 [III.5].
[2] On the convergence of successive approximations, ibid., 68 A946),
13—19 [III.9].
[3] Asymptotic equilibria, ibid., 68 A946), 125—132 [VIII.3; X.I].
[4] The infinities in the nonlocal existence problem of ordinary differential
equations, ibid., 68 A946), 173—178 [III.5].
[5] Linear variation of constants, ibid., 68 A946), 185—213 [IV.10].
[6] Asymptotic integration constants in the singularity of Briot-Bouquet,
ibid., 68 A946), 293—300 [VIII.3].
[7] An Abelian lemma concerning asymptotic equilibria, ibid., 68 A946),
451—454 [X.I].
[8] Asymptotic integration constants, ibid., 68 A946), 553—559 [VIII.3;
X.I].
[9] On the Laplace-Fourier transcendents occurring in mathematical
physics, ibid., 69 A947), 87—97 [XI.7].
[10] Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator, ibid., 69 A947),
251—272 [X.4; XI.8].
[11] Vortices and nodes, ibid., 69 A947), 815—824 [VIII.3].
[12] On the normalization of characteristic differentials in continuous
spectra, Phys. Rev., 72 A947), 516—517 [XI.8, 9].
[13] Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator in its hyperbolic
range, Duke Math. J., 15 A948), 55—67 [X.17; XI.9].
[14] A norm criterion for nonoscillatory differential equations, Quart.
Appl. Math., 6 A948), 183—185 [XI.7].
[15] A criterion of oscillatory stability, ibid., 7 A949), 115—117 [XI.7]
[16] Linear differential equations and the oscillatory property of Maclau-
rin's cosine series, Math. Gaz., 33 A949), 26—28 [III.9].

704 Литература
[17] On almost free linear motions, Amer. J. Math., 7 A949), 595—602
fXI.9].
[18] On the smallness of isolated eigenfunctions, ibid., 71 A949), 603—611
[XIII, часть I].
[19] On the Whittaker functions WktTn(x)9 J. London Math. Soc, 25 A950),
351-353 [XIV.2].
[20] On the nonexistence of conjugate points, Amer. J. Math., 73 A951),
368—380 [XI.6, 7].
[21] On a theorem of Bocher in the theory of ordinary linear differential
equations, ibid., 76 A954), 183—190 [X.I].
[22] On the local uniqueness of the initial value problem of the differential
equations dnx/dtn = / (t, x)t Boll. Un. Mat. ItaL, 11 C) A956), 496—
498 [III.6].
[23] On a principle of reciprocity between high- and low-frequency problems
concerning linear differential equations of second order, Quart. AppL
Math., 15 A957), 314—317 [XIV.3].
[24] On the comparison theorem of Kneser-Hille, Math. Scand., 5 A957),
225—260 [XI.7].
Уоллах (Wallach S.)
[1] The differential equation y' = f (y), Amer. J. Math., 70 A940), 345—
350 [III.6].
Фаедо (F a e d о S.)
[1] II teorema di Fuchs per le equazione differenziale lineari a coefficien-
ti поп analitici e proprieta asintotiche delle soluzioni, Ann. Mat. Рига
Appl.t 25 D) A946), 111 — 133 [X.17].
[2] Sulle stability delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari,
I, II and III, Atti Accad. Naz. Lincei Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.,
2 (8) A947), 564—570, 757—764; 3 (8) A947), 37—43 [X.17].
Филиппов А. Ф.
[I]* Элементарное доказательство теоремы Жордана, УМН, 5, вып. 5 C9;,
A950), 173—176.
Фландерс, Стокер (Flanders D., Stoker J. J.)
[1] The limit case of relaxation oscillations, Studies in nonlinear vibration
theory, New York University, 1946 [VII.10].
Ф л о к e (F 1 о q u e t G.)
fl] Sur les equations differentielles lineaires a coefficients periodiques,
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 12 A883), 47—82 [IV.6].
а й т (F о г s у t h A. R.)
Theory of differential equations, IV, Cambridge University Press,
1902 [IV, Приложение].
Форстер (Forster H.)
[1] Ueber das Verhalten der Integralkurven einer gewohnlichen Differen-
tialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singularen Punk-
tes, Math. Zeit., 13 A938), 271—320 [VIII.4].
Фридрихе (Friedrichs K. O.)
[1] Fundamentals of Poincare's theory, Proceedings of the Symposium
on nonlinear circuit analysis, Polytechnic Institute of Brooklyn,
2 A953), 56—67 [XII.2].
Фробениус (Frobenius G.)
[1] Ueber die Determinate mehrerer Functionen einer Variablen, J. Reine
Angew. Math., 7 A874), 245—257 [IV.3].
[2] Ueber das Pfaffsche Problem, ibid., 82 A877), 230—315 [VI.3].
Форс
in

Литература 705
Фроммер (Frommer M.)
[1] Die Integralkurven einer gewohnlichen Differentialgleichung ertster
Ordnung in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen, Math.
Ann., 99 A928), 222—272 [VIII.4].
Фукс (F u с h s L.)
[1] Gesammelte mathematische Werke, 1, Berlin, 1904 [IV.l, 7, 10, 12].
фукухара (Fukuhara M.)
[1] Sur les systemes des equations differentielles ordinaires, Proc. Impe-
Imperial Acad. Japan, 4 A928), 448—449 [II.4].
[2] Sur 1 ensemble des courbes integrates d'un systeme q'equations diffe-
differentielles ordinaires, ibid., 6 A930), 360—362 [II.4].
Фукухара, Нагумо (Fukuhara M., Nagumo M.)
[1] Un theoreme relatif a l'ensemble des courbes integrales d'un systeme
d'equations differentielles ordinaires, Proc. Phys.-Math. Soc Japan,
12 C) A930), 233—239 [II.4].
X a a p (H a a r A.)
[1] Zur Characteristikentheorie, Ada Sci. Math. Szeged, 4 A928), 103—
114 [VI.10].
X а й н ц (Heinz E.)
[I] On certain nonlinear elliptic differential equations and univalent
mappings, J. Analyse Math., 5 A956/57), 197—272 [XII.5].
[2] Halbbeschranktheit gewohnlicher Differentialoperatoren hoherer Ord-
Ordnung, Math. Ann., 135 A958), 1—49 [XI.6, 10, 11].
[3] On Weyl's embedding problem, J. Math. Mech., 11 A962), 421—454
[II.2].
Хан (H a h n W.)
[1] Theorie und Anwendung der direkten Methoden von Lyapunov, Sprin-
Springer, Berlin, 1959 [III.8; XIV.ll].
Хартман (Hartman P.)
[1] On the solutions of an ordinary differential equations near a singular
point, Amer. J. Math., 68 A946), 495—504 [VIII.2].
[2] On a theorem of Milloux, ibid., 70 A948), 395—399 [XIV.l].
[3] Differential equations with nonoscillatory eigenfunctions, Duke Math.
J., 15 A948), 697—709 [XI.6].
[4] On the linear logarithmico-exponential differential equations of the
second order, Amer. J. Math., 70 A948), 764—779 [XI.7].
[5] Unrestricted solution fields of almost separable differential equations,
Trans. Amer. Math. Soc, 63 A948), 560—580 [X.4, 8, 11, 17].
[6] A characterization of the spectra of one-dimensional wave equations,
Amer. J. Math., 71 A949), 915—920 [XI.4].
[7] The number of L2-solutions of x" + q If) x = 0, ibid., 73 A951), 635—
645 [XI.5].
[8] On bounded Green's kernels for second order linear ordinary differen-
differential equations, ibid., 73 A951), 646—656 [XIII. Часть I).
[9] On linear second order differential equations with small coefficients,
ibid., 73 A951), 955—962 [XI.7].
[10] On nonoscillatory linear differential equations of second order, ibid.,
74 A952), 398—400 [XI.7].
[II] On the zeros of solutions of second order linear differential equations,
/. London Math. Soc, 27 A952), 492—496 [XI.5].
[12] Self-adjoint, nonoscillatory systems of ordinary, second order, linear
differential equations, Duke Math. J., 24 A957), 25—36 [XL 10].
[13] On Jacobi brackets, Amer. J. Math., 79 A957), 187—189 [VI.1].
45—241

706 Литература
[14] On integrating factors and on conformal mappings, Trans. Amer
Math. Soc, 87 A958), 387—406 [V.6].
[15] Unrestricted rc-parameter families, Rend. Circ. Mat. Palermo, 7 B)
A958), 123—142 [Упр. IV.8.4].
[16] On isometries and on a theorem of Liouville, Math. Zeit., 69 A958)
202—210 [Упр. V.6. 3].
[17] On exterior derivatives and solutions of ordinary differential equations,
Trans. Amer. Math. Soc.y 91 A959), 277—292 [V.6; VI.3].
[18] On the ratio / (t + cf~a (t))/f @. BolL Un- Mat. Hal., 14 A959), 59—
61 [XI.5].
[19] On boundary value problems for systems of ordinary nonlinear, second
order differential equations, Trans. Amer. Math. Soc, 96 A960),
493—509 [XII.4, 5].
[20] On local homeomorphisms of Euclidean spaces, Bol. Soc. Mat. Mexi-
cana, 5 A960), 220—241 [IX.5, 7, 8,9].
[21] A lemma in the theory of structural stability of differential equations,
Proc. Amer. Math. Soc, 11 A960), 610—620 [Упр. IX.7.1, 8. 3].
[22] On differential equations and the function J% + Y%., Amer. J. Math.,
83 A961), 154—188 [XIV.3, 4].
[23] The existence of large or small solutions of linear differential equations,
Duke Math. J., 28 A961), 421—430 [XIV.l, 3].
[24] On stability in the large for systems of ordinary differential equations,
Canad. J. Math., 13 A961), 480—492 [XIV.l 1, 12, 13].
[25] On dichotomies for solutions of high order linear differential equations,
Math. Ann., 147 A962), 378—421 [XI.7, 8; XIII, части I, II].
[26] On uniqueness and differentiability of solutions of ordinary differen-
differential equations, Proceedings of a Symposium on Nonlinear Problems,
Madison (Wis.), 1963, p. 219—232 [V.6, 7, 8, 9].
[27] A differential equation with nonunique solutions, Amer. Math. Month-
Monthly, 70 A963), 255—259 [II.5].
[28] On the local linearization of differential equations, Proc. Amer. Math.
Soc, 14 A963), 568—573 [IX.5, 7, 8, 9].
[29] On the asymptotic behavior of solutions of a differential equation
in boundary layer theory, Z. Angew. Math. Mech., 44 A964), 123—
128 [XIV.9].
Хартман, Олех (H a r t m a n P., О 1 e с h C.)
[1] On global asymptotic stability of solutions of ordinary differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc, 104 A962), 154—178 [XIV.14].
Хартман, Онушич (Hartman P., Onuchic N.)
[1] On the asymptotic integration of ordinary differential equations,
Pacific J. "Math., 13 A963), 1193—1207 [XII.8, 9].
Хартман, Уи л кокс (Hartman P., Wilcox C. R.)
[1] On solutions of the Helmholtz equation in exterior domains, Math.
Zeit., 75 A961), 228—255 [Упр. XIV.3.6].
Хартман, Уинтнер (Hartman P., Wintner A.)
[1] On the asymptotic behavior of the solutions of a nonlinear differential
equations, Amer. J. Math., 68 A946), 301—308 [VIII.1,2; X.2].
[2] The asymptotic arcus variation of solutions of real linear differential
equations of second order, ibid., 70 A948), 1 — 10 [XI.5].
[3] On the asymptotic problems of the zeros in wave mechanics, ibid.,
70 A948), 461—480 [XI.6].
[4] On nonconservative linear oscillators of low frequency, ibid., 70 A948),
529—539 [XIV.3].
[5] A criterion for the nondegeneracy of the wave equation, ibid., 71 A949),
206—213 [XI.5].

Литература 707
[6] Oscillatory and nonoscillatory linear differential equations, ibid.,
71 A949), 627—649 [XI.6].
[7] On the classical transcendents of mathematical physics, ibid., 73 A951),
381—389 [XIV.2].
[8] On the nonincreasing solutions of y" = f (x, y, y')y ibid., 73 A951),
390—404 [XII.4, 5; XIV.2].
[9] On an oscillation criterion of Liapounoff, ibid., 73 A951), 885—890
[XI.5].
[10] An inequality for the amplitudes and areas in vibration diagrams of
time dependent frequency, Quart. Appl. Math., 10 A952), 175—176
[XI.5].
[11] On the behavior of the solutions real binary differential systems at
singular points, Amer. J. Math., 75 A953), 117—126 [VIII.2, 3].
[12] On nonoscillatory linear differential equations, ibid., 75 A953), 717—
730 [XI.9].
[13] Linear differential and difference equations with monotone solutions,
ibid., 75 A953), 731—743 [XIV.3].
[14] Linear differential equations with completely monotone solutions,
ibid., 76 A954), 199—206 [XIV.2].
[15] On nonoscillatory linear differential equations with monotone coef-
coefficients, ibid., 76 A954), 207—219 [Xiy.3].
[16] On monotone solutions of nonlinear differential equations, ibid., 76,
A954), 860—866 [III.9; XIV.2].
[17] Asymptotic integrations of linear differential equations, ibid., 77
A955), 45—87 [X.4, 11, 14, 16, 17; XI.8].
[18] On the assignment of asymptotic values for the solutions of linear
differential equations of second order, ibid., 77 A955), 475—483 [XI.6].
[19] Asymptotic integrations of ordinary nonlinear differential equations,
ibid., 77 A955), 692—724 [VIII.3; X.4, 8, 11, 13].
[20] An inequality for the eigenvalue of an ordinary boundary value prob-
problem, Quart. Appl. Math., 13 A955), 324—326 [XI.7].
[21] On an oscillation criterion of de la Vallee Poussin, ibid., 13 A955),
330—332 [XI.5].
[22] On disconjugate differential systems, Canad. /. Math., 8 A956), 72—81
[XI.10; XII.3].
X e в и л е н д (Н a v i 1 a n d E. К-)
[1] A note on the convergence of the successive appoximations to the solu-
solution of an ordinary differential equation, Amer. J. Math., 54 A932),
632—634 [III.9].
Хейл (Hale J.)
[1] Oscillations in nonlinear systems, McGraw-Hill, New York, 1963.
(Перевод: Хейл Дж., Колебания в нелинейных системах, ИЛ,
М., 1966.) [XII.2].
Хейл, Онушич (Hale J., Onuchic N.)
[1] On the asymptotic behavior of solutions of a class of differential equa-
equations, Contributions to Differential Equations, 1 A963), 61—75
[X.I; XII.9].
X и л л e (H i 1 1 e E.)
[1] Nonoscillation theorems, Trans. Amer. Math. Soc, 64 A948), 234—
252 [XI.7].
Хильб (H i 1 b E.)
[1] Lineare Differentialgleichungen in komplexen Gebiet, Encyklopadie
der mathematischen Wissenschaften, II B5 A913) [IV. Приложение,
11, 12].
45*

708 Литература
[2] Ueber diejenigen Integrate linearer Differentialgleichungen, welche
sich an einer Unbestimmtheitsstelle bestimmt verhalten, Math. Ann.,
82 A921), 40—41 [IV.13].
Хоайзель (Hoheisel G.)
[1] Eindeutigkeitskriterien und Knoteninvarianz bei Differentialgleichun-
Differentialgleichungen, Jber. Deutsch. Math. Verein., 42 A933), 33—42 [VIII.2, 3].
X о п ф Е. (Н о p f E.)
[1] Closed surfaces without conjugate points, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
34 A948), 47—51 [XI.6].
X о п ф X. (H о р f H.)
[1] Ueber die Drehung der Tangenten und Sehen ebener Kurven, Compo-
sitio Math., 2 A935), 50—62 [VII.2].
Хопф X., Ринов (Н о p f H., Rinow W.)
[1] Ueber der Begriff der vollstandigen differentialgeometrischen Flache,
Comment. Math. Helvetia, 3 A931), 209—225 [XIV. 12].
X о р н (Horn J.)
[1] Zur Theorie der Systeme linearer Differentialgleichungen mit einer
unabhangigen Veranderlichen, II, Math. Ann., 40 A892), 527—550
[IV.ll].
Ч е з а р и (С e s а г i L.)
[1] Un nouvo criterio di stabilita per le soluzioni delle equazioni diffe-
renziali lineari, Ann. Scuola Norm. Sap. Pusa, 9 B) A940), 163—186
[IV.9; X.4; XI.8].
[2] Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential
equations, Springer, Berlin, 1959. (Перевод: Чезари Л., Асимп-
Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1964.) [X].
Ч е н ь (Chen К. Т.)
[1] Equivalence and decomposition of vector fields about an elementary
critical point, Amer. J. Math., 85 A963), 693—722 [IX.7, 8, 9, 12—14].
Шарский (Szarski J.)
[1] Remarque sur un critere d'unicite des integrates d'une equation diffe-
rentielles ordinaire, Ann. Polon. Math., 12 A962), 203—205 [III.6].
Щаудер (Schauder J.)
[1] Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen, Studia Math., 2 A930),
171 — 180 [XII.10].
Щафхайтлин (Schafheitlin P.)
[1] Die Lage der Nullstellen der Besselschen Funktionen zweiter Art,
S.-B. Berlin Math. Ges., 5 A906), 82—93 [XIV.4].
Шварц (Schwartz A. J.).
/1] A generalization of a Poincare-Bendixon theorem to closed two-dimen-
two-dimensional manifolds, Amer. J. Math., 85 A963), 453—458 [VII. 12].
Ш е фф e p (S с h a f f e г J. J.)
[1] Functions spaces with translations, Addendum, Math. Ann., 137
A959), 209—262; 138 A959), 141 — 144 [XIII. Части I и II].
[2] Linear differential equations and funtional analysis, V and VI, Math.
Ann., 140 A960), 308—321; 145 A962), 354—400 [XII.7; XIII. Части
I, II]. См. также Массера и Шеффер.

Литератпу р а 709
Ш и л ь т (S с h i I t H.)
[1] Ueber die isolierten Nullstellen der Flachenkrummung und einige
Verbiegbarkeitssatze, Compositio Math., 5 A938), 239—283 [VII.91.
Шлезингер (Schlesinger L.)
[1] Vorlesungen tiber lineare Differentialgleichungen, Teubner, Leipzig
und Berlin, 1908 [IV.ll].
[2] Bericht uber die Entwicklung der Theorie der linearen Differential-
Differentialgleichungen seit 1865, Jber. Deutsch. Math. Verein, 18 A909), 133—
266 [IV. Приложение].
Шмидт (Schmidt A.)
[1] Neuer Beweis eines Hauptsatzes uber Bestimmtheitsstellen linearer
Differentialgleichungssysteme, J. Reine Angew. Math., 179 A938),
1—4 [IV. Приложение].
Шмидтувна (Szmydtowna Z.)
[1] Sur Failure asymptotique des integrates des equations differentielles
ordinaires, Ann. Soc. Polon. Math., 24 A951), 17—34 [X.4—7].
Шредер (Schroder E.)
[1] Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflosung der Gleichungen,
Math. Ann., 2 A870), 317—385 [IX.8].
[2] Ueber iterirte Funktionen, ibid., 3 A871), 296—322 [IX.8].
Штурм (Sturm C.)
[1] Sur les equations differentielles lineaires du second ordre, J. Math.
Pures AppL, 1 A) A836), 106—186 [XI.2, 3, 4].
фон Эшерих (von Escherich G.)
[1] Die zweite Variation der einfachen Integrale, S.-B. K- Akad. Wiss.
Wien, KL Math. Natur., 107 (8) A898), 1191 — 1250 [XI.10].
[2] Ueber Systeme von Differentialgleichungen der I. Ordnung, Abh.
Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, KL Math. Phys. Tech., 108 (Abt. I la)
A899), 612—676 [II.1, V.3].
Якоби (Jacobi C. G. J.)
[1] Gesammelte Werke, IV A886) und V A890), Berlin [IV.l, 7; VI.1].
Янага (Iyanaga S.)
[1] Ueber die Unitatsbedingungen der Losungen der Differentialgleichung
dy/dx=f{x, y), Jap. J. Math., 5 A928), 253—257 [III. 6]

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно монотонное решение 593
Автономная система 178
Алгебра внешних форм 149
Аналог теоремы Пуанкаре — Бен-
диксона 226
Априорная оценка 502
Асимптотическая устойчивость в це-
целом 627
— — по Ляпунову 54, 56
Асимптотически орбитально устой-
устойчивое извне решение 194
Асимптотическое интегрирование
350, 361, 523
— — (неэллиптический случай) 442
— — (эллиптический случай) 436
— поведение решения 623
Ассоциированное пространство 568
Базисное решение 200
Банахово пространство тощее в точ-
точке 516
Более сильное банахово простран-
пространство 513
Большое решение 585
Вариация постоянных 65, 66, 389,
390
Верхняя правая производная 40
Внешняя производная 326
Возмущенная линейная система 326
Вполне непрерывный линейный опе-
оператор 403
Вронскиан 82
Вторая теорема сравнения Штурма
397
Главное решение 419, 420"*
Гладкая аппроксимация 16
— линеаризация 307
Гиперболическая часть сектора 202
Гиперболический сектор 201, 206
Граничная задача для уравнения вто-
второго порядка 491
Двумерная поверхность 126
класса Ст 126
Двумерное многообразие класса Ch
223
Дикритический узел 198
Дифференциальная /"-форма 127
— — непрерывная 127
Дифференциальное неравенство 37,
40
Дифференцируемость общего реше-
решения 119
Дихотомия 528» 532
— индивидуальная 571
— — частичная 533
— — экспоненциальная 533
— полная 532
— — экспоненциальная 533
— частичная 532
— экспоненциальная 532
Допустимая координатная окре-
окрестность 223
— пара банаховых пространств 515
— параметризация 126
— функция 415
Допустимые локальные координа-
координаты 223
Замена переменных 88
Замкнутое линейное многообразие
402
Инвариантное многообразие 282
— множество 224
Индекс изолированной стационар-
стационарной точки 185
— поля по отношению к жордановой
кривой 184
— стационарной точки 185
Индивидуальная дихотомия 571
— частичная дихотомия 533
— экспоненциальная дихотомия 533
Интерполяция 87

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
711
Каскад 232
Квазиизотопический деформацион-
деформационный ретракт 334
Квазилинейное уравнение 164
Квазиполное пространство 532
Кольцо 91
Коммутатор 93
Краевая задача Штурма — Лиувил-
ля 397
Кратная особенность 110
Критерий Нагумо 47
— Осгуда 47
Кусок ^-поверхности, ограниченный
кусочно Сх-гладкой жордановой
кривой 126
Левый максимальный интервал су-
существования 24
Лемма Адамара 122
— Кронекера 237
— Рисса 456
— Хаара 173
Линеаризация 293, 294
— гладкая 307
Линейная система 62, 528
Линейное многообразие 402
Линейное однородное уравнение 82
— уравнение 62
— — второго порядка 596, 602
Линейно зависимая совокупность
функций 83
— независимая совокупность функ-
функций 83
Линейный оператор 403
— — вполне непрерывный 403
Логарифмическая шкала 350, 357
Локальное решение 159
Локально инвариантное множество
275
Локальные координаты 223
Мажоранта Штурма 394
Максимальное решение 38
Максимальный интервал существо-
существования 24
Малое решение 585
Матрица Грина 540
— фундаментальная 90
Метод Коши 164
— ломаных Эйлера 36
— последовательных приближений
19, 57
— продолжения 501
— характеристик 164
Минимальное множество 225
— решение 38
Миноранта Штурма 394
Многообразие инвариантное 282
— линейное замкнутое 402
— — слабо замкнутое 402
— неустойчивое 286, 293, 306
— устойчивое 286, 293, 306
Множество, инвариантное относи-
относительно семейства отображений 275
— локально инвариантное относи-
относительно семейства отображений 275
— минимальное 225
— ограниченное 637
— а-предельных точек 179
— о)-предельных точек 179
— функций малое на оо 571
Монотонное решение 585, 591
Монотонность 585
Мультипликатор 79, 303
Начальное значение функции 532,
541
Неглавное решение 420
Нелинейное уравнение в частных
производных 163
Неоднородное уравнение 82
Неосциллирующее линейное уравне-
уравнение 414
Непрерывная внешняя производная
127
— дифференциальная /"-форма 127
Непрерывность общего решения 118
Неравенство Виртингера 409
— Гронуолла 37
Несобственный узел 198
Неустойчивое многообразие 286, 293,
306
Нехарактеристическая поверхность
164
Нехарактеристические начальные
данные 167
Норма матрицы 72
Нуль-решение 199
— отрицательное 199
— положительное 199
Область притяжения 640
Обобщение критерия Нагумо 50
— теоремы Ролля 87
Обобщенное неравенство Шварца 456
Ограниченное множество 637
«Одностороннее» неравенство 49
«Односторонняя» единственность 49
Оператор Т 541
— Т 570
Определитель Вронского 82

712
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Орбита 178
Орбитально устойчивое извне реше-
решение 194
Основные неравенства 72
Особая точка 178
— — простая 94
регулярная 94
Особенность кратная 110
— простая 94
Осциллирующее (линейное) уравне-
уравнение 414
Отношение двойственности 569
Отрицательное нуль-решение 199
Параболический сектор 201, 207
Параметризация допустимая 126
Первая теорема сравнения Штурма
394
Первый интеграл 142
Периодическое решение 186, 301,
478
Поверхность нехарактеристическая
164
Подстановка Лиувилля 390, 391
Показатель (Ляпунова) функции 75
Полигональная аппроксимация 23
Полная дихотомия 532
— система 148
— экспоненциальная дихотомия 533
Положительное нуль-решение 199
Полутраектория 246
— типа С+ 246
С" 246
Постоянная Липшица 13
Поток 223
— на торе 238
Правая производная 39
Правый максимальный интервал су-
существования 24
Предельный цикл 304
Преобразование Прюфера 392
Приведение системы к нормальному
виду 281
Принцип выбора Кантора 14
— двойственности 598
— суперпозиции 63, 82, 385
Присоединенное уравнение Лежанд-
ра ПО
Производная вдоль траектории 53
Простая особая точка 94
— особенность 94
Прямой метод Ляпунова 61
Равномерная устойчивость 56
Равностепенно непрерывное семей-
семейство функций 13
Расстояние 13
Регулярная особая точка 94
— точка 178
Редукция к системам меньшего по-
порядка 67
Ретракт 332
Ретракция 332
Решение абсолютно монотонное 593
— асимптотически устойчивое в це-
целом 628
— — — по Ляпунову 54, 56
— базисное 200
— главное 419, 420, 462
— локальное 159
— максимальное 38
— минимальное 38
— монотонное 585, 591
— неглавное 420
— орбитально устойчивое извне 194
— периодическое 186, 301, 478
— самосопряженное 455, 470
— сопряженное 454, 455, 470
— устойчивое по Ляпунову 54, 56
Самосопряженное решение 455, 470
Седло 198
Седловая точка 198
Сектор 200
— гиперболический 201, 206
— параболический 201, 207
— эллиптический 200, 210
Сжатие 295
Символ Кристоффеля 132
Система без сопряженных точек 454
— близкая к линейной 257
— с постоянными коэффициентами
75
— типа Z 443
— Якоби 148
Слабо замкнутое линейное много-
многообразие 402
Собственный узел 198
Сопряженная задача 482
— система 81, 147
Сопряженное решение 454, 455, 470
— уравнение 86, 568
Сопряженные граничные условия 482
Спираль 195
Стандартный диагональный процесс
14
Стационарная точка 178, 224, 266
— — общего вида 204
Строгая мажоранта Штурма 394
Существование инвариантного мно-
многообразия 291
— непрерывной внешней производ-
производной 128

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
713
— периодического решения 485
— производных высшего порядка
общего решения 125
— PD-решений 582
Теорема Арцела 14
— Важевского 335, 336
— единственности 45, 136, 173
— — ван Кампена 50
— — Камке 45
— Жордана 178, 181
— Кнезера 28
— Леттенмейера ПО
— Лиувилля 64
— об индексе 180, 182
— — открытом отображении 476,
477
— о «выборе» 425
— — дифференцируемости общего
решения 130
— — неподвижной точке 475
— — «непрерывности» главного ре-
решения 425
— — неявной функции 16, 475
— — продолжении решения 24
— — — сходимости 14
— — среднем значении 87
— Пеано 21, 23, 119
— Перрона — Фробениуса 593
— Пикара — Линделёфа 19
— Пуанкаре — Бендиксона 186
— Соважа 94
— существования для автономных
систем 246
— — и единственности 170
— Тихонова о неподвижной точке
476
— Уинтнера 43
— Фробениуса 145, 152
— Фукса 108
— Шаудера о неподвижной точке
476
— Штурма о разделении нулей 396
Теоремы о неосциллирующих урав-
уравнениях 427
Теория Пуанкаре — Бендиксона 178
— Флоке 78
Тождество Лагранжа 86, 386
Топологический принцип 332
Точка вращения 195
— входа 52, 61
— выхода 52, 53, 61
— невыхода 53
— притяжения 196
— строгого входа 52
— — выхода 52, 53
Трансверсаль 187, 225
Узел 198
— дикритический 198
— несобственный 198
— собственный 198
Уравнение Бесселя ПО
— без сопряженных точек 414
— в вариациях 120
— Вебера 451
— в полных дифференциалах 145
— Лежандра ПО
— Риккати 392
— с постоянными коэффициентами
84
— типа Фукса 109
— Эйлера 107
Устойчивое многообразие 286, 293,
306
Устойчивость периодического реше-
решения 192
— по Ляпунову 54, 56
— равномерная 56
Факторизация по Фробениусу 87
Фокус 198
Форма вполне интегрируемая 146
Формула Грина 81, 86, 386, 454
— Стокса 127
— Якоби 115
Фундаментальная матрица 64, 90
— система решений 115
Функция 13
— Грина 516
— Ляпунова 52, 54, 56, 629
— нерегулярного роста 600
— регулярного роста 600
— удовлетворяющая условию Лип-
Липшица 13
Характеристика 164, 166, 168
Характеристическая полоса 166, 168
— функция 516
Характеристический множитель 79
— показатель 79, 303
Характеристическое направление 254
— уравнение 84, 107
Цикл предельный 304
Частичная дихотомия 532
Число вращения 233
потока 241
— нулей решения 407

714 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Экспоненциальная дихотомия 532 Р-допустимая пара банаховых про-
Эллиптическая часть сектора 202 странств 542
Эллиптический сектор 200, 210 Р'-допустимое пространство для Т'
Эргодический каскад 237 575
— поток 236 Р-допустимость 542
Р (В, £>)-многообразие 567
PD-решение 542
1-форма Пфаффа 127 5-липшицева форма 134
L-липшицева сверху форма 135 а-предельная точка 179, 225
— форма 135 со-предельная орбита 179
(m -j- 1)-интеграл 560 со-предельный цикл 180

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Из предисловия автора 9
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 11
§ 1. Вводные замечания 11
§ 2. Основные теоремы 13
§ 3. Гладкие аппроксимации 16
§ 4. Замена переменных в интегралах 18
Примечания 18
ГЛАВА II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 19
§ 1. Теорема Пикара — Линделёфа 19
§ 2. Теорема Пеаыо 21
§ 3. Теорема о продолжении решения 24
§ 4. Теорема Кнезера 28
§ 5. Пример неединственности 31
Примечания 35
ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ЕДИНСТВЕН-
ЕДИНСТВЕННОСТЬ 37
§ 1. Неравенство Гронуолла 37
§ 2. Максимальные и минимальные решения 38
§ 3. Правые производные 39
*§ 4. Дифференциальные неравенства 40
§ 5. Теорема Уинтнера 43
§ 6. Теоремы единственности 45
§ 7. Теорема единственности ван Кампена 50
§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова 52
§ 9. Последовательные приближения 57
Примечания 60
ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .... 62
§ 1. Линейные системы 62
§ 2. Вариация постоянных 65

716 Оглавление
§ 3. Редукция к системам меньшего порядка 67
§ 4. Основные неравенства 72
§ 5. Системы с постоянными коэффициентами 75
§ 6. Теория Флоке 78
§ 7. Сопряженные системы 81
§ 8. Линейные уравнения высших порядков 82
§ 9. Замечания о замене переменных 88
ДОБАВЛЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 90
§ 10. Фундаментальные матрицы 90
§ 11. Простые особенности 94
§ 12. Уравнения высших порядков 106
§ 13. Кратные особенности 110
Примечания 115
ГЛАВА V. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРА-
ПАРАМЕТРОВ 117
§ 1. Предварительные замечания 117
§ 2. Непрерывность 118
§ 3. Дифференцируемость 119
§ 4. Существование производных высших порядков .... 125
§ 5. Внешние производные 126
§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости 130
§ 7. «S- и L-липшицевы формы 134
§ 8. Теорема единственности 136
§ 9. Лемма 137
§ 10. Доказательство теоремы 8.1 138
§ 11. Доказательство теоремы 6.1 140
§ 12. Первые интегралы 142
Примечания 144
ГЛАВА VI. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 145
ЧАСТЬ I. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 145
§ 1. Уравнения в полных дифференциалах 145
§ 2. Алгебра внешних форм 149
§ 3. Теорема Фробениуса 152
§ 4. Доказательство теоремы 3.1 155
§ 5. Доказательство леммы 3.1 158
§ 6. Система A.1) 159
ЧАСТЬ II. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОД КОШИ) 163
§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных . . . 163
§ 8. Характеристики 168

Оглавление 717
§ 9. Теорема существования и единственности 170
§ 10. Лемма Хаара и единственность 173
Примечания 176
ГЛАВА VII. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ-БЕНДИКСОНА 178
§ 1. Автономные системы 178
§ 2. Теорема об индексе 180
§ 3. Индекс стационарной точки 184
§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона 186
§ 5. Устойчивость периодических решений 192
§ 6. Точки вращения 195
§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки 196
§ 8. Секторы 199
§ 9. Стационарная точка общего вида 204
§ 10. Уравнения второго порядка 214
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА НА ДВУМЕРНЫХ
МНОГООБРАЗИЯХ 222
§ 11. Предварительные сведения 223
§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона 226
§ 13. Каскады на замкнутой кривой 232
§ 14. Потоки на торе 238
Примечания 244
ГЛАВА VIII. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ 246
§ 1. Теорема существования 246
§ 2. Характеристические направления 254
§ 3. Системы, близкие к линейным 257
§ 4. Более общие стационарные точки 266
Примечания 273
ГЛАВА IX. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 275
§ 1. Инвариантные многообразия 275
§ 2. Отображения Тг 278
§ 3. Модификация функции F (I) 279
§ 4. Приведение системы к нормальному виду 281
§ 5. Инвариантные многообразия отображения 282
§ 6. Существование инвариантных многообразий 291
§ 7. Линеаризации 293
§ 8. Линеаризация отображения 294
§ 9. Доказательство теоремы 7.1 300
§ 10. Периодические решения 301
§ 11. Предельные циклы . 304

718 Оглавление
ПРИЛОЖЕНИЕ. ГЛАДКО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 307
§ 12. Гладкие линеаризации 307
§ 13. Доказательство леммы 12.1 311
§ 14. Доказательство теоремы 12.2 313
Примечания 324
ГЛАВА X. ВОЗМУЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 326
§ 1. Случай Е = 0 326
§ 2. Топологический принцип 332
§ 3. Теорема Важевского 335
§ 4. Подготовительные леммы 338
§ 5. Доказательство леммы 4.1 346
§ 6. Доказательство леммы 4.2 347
§ 7. Доказательство леммы 4.3 347
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала 350
§ 9. Доказательство теоремы 8.2 354
§ 10. Доказательство теоремы 8.3 355
§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение) 357
§ 12. Доказательство теоремы 11.2 360
§ 13. Асимптотическое интегрирование 361
§ 14. Доказательство теоремы 13.1 364
§ 15. Доказательство теоремы 13.2 368
§ 16. Следствия и уточнения 369
§ 17. Линейные уравнения высших порядков 372
Примечания 379
ГЛАВА XI. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 381
§ 1. Предварительные сведения 381
§ 2. Основные факты 385
§ 3. Теоремы Штурма 393
§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля 397
§ 5. Число нулей 407
§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения . . . 414
§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях 427
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические слу-
случаи 436
§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические слу-
случаи 442
ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК 453
§ 10. Системы без сопряженных точек 453
§ 11. Обобщения 467
Примечания 472

Оглавление 119
ГЛАВА XII. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ ОШЕЯВНЫХ ФУНК-
ФУНКЦИЯХ И НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ 475
ЧАСТЬ I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 478
§ 1. Линейные уравнения 478
§ 2. Нелинейные задачи 485
ЧАСТЬ II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 491
§ 3. Линейные задачи 491
§ 4. Нелинейные задачи 496
§ 5. Априорные оценки 502
ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 511
§ 6. Основные факты 511
§ 7. Функции Грина 516
§ 8. Нелинейные уравнения 519
§ 9. Асимптотическое интегрирование 523
Примечания 526
ГЛАВА XIII. ДИХОТОМИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 528
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 529
§ 1. Обозначения и определения 529
§ 2. Предварительные леммы 533
§ 3. Оператор Т 541
§ 4. Оценки для || Py(t) || 545
§ 5. Оценки для || у (t) || 551
§ 6. Приложения к системам первого порядка 555
§ 7. Приложения к системам высшего порядка 560
§ 8. Р (В, D)-мнoгooбpaзия 567
ЧАСТЬ II. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 568
§ 9. Ассоциированные пространства 568
§ 10. Оператор Т' 570
§11. Индивидуальные дихотомии 571
§ 12. Р'-допустимые пространства для 7" 575
§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям .... 579
§ 14. Существование PD-решений 582
Примечания 584
ГЛАВА XIV. МОНОТОННОСТЬ 585
ЧАСТЬ I. МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 585
§ 1. Большие и малые решения 585
§ 2. Монотонные решения 591
§ 3. Линейные уравнения второго порядка 596
§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение) 602

720 Оглавление
ЧАСТЬ II. ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ .... 607
§ 5. Постановка задачи 607
§ 6. Случай К > 0 607
§ 7. Случай X < 0 612
§ 8. Случай Я, = 0 620
§ 9. Асимптотическое поведение 623
ЧАСТЬ III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ 627
§ 10. Асимптотическая устойчивость в целом 627
§ 11. Функции Ляпунова 629
§ 12. Переменная матрица G 631
§ 13. О следствии 11.2 637
§ 14. «/(г/) *•* < 0, если x-f (у) = 0» 640
§ 15. Доказательство теоремы 14.2 643
§ 16. Доказательство теоремы 14.1 647
Примечания 647
УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 649
ЛИТЕРАТУРА 685
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 710
Ф. Хартман
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Редактор Д. Ф. Борисова
Художник А. В. Шипов. Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова. Корректор А. Ф. Рыбалъченко
(дано в производство 4/III 1970 г. Подписано к печати 5/Х 1970 г. Бумага № 1
60 X 90i/i6=22,50 бум. л. 45 печ. л. Уч.-изд. л. 41,74. Изд. № 1/4860. Цена 3 р. 21 к.
Зак. 241
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9