Г. С. ПИСАРЕНКО, Н. С. МОЖАРОВСКИЙ
УРАВНЕНИЯ
И КРАЕВЫЕ
ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1981

УДК 539.374 + 539.376
Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести.
Справочное пособие /Писаренко Г. С., Можаровский Н. С.— Киев:
Наук, думка, 1981.— 496 с.
Обобщены основные законы и уравнения теории пластичности
и ползучести при стационарных и нестационарных режимах нагруже-
ния. Приведены общие методы решения основных типов краевых
задач.
Предназначено для научных работников и инженеров, занимаю-
занимающихся вопросами расчета элементов конструкций в упругопласти-
ческой области с учетом деформаций ползучести, а также для аспи-
аспирантов и студентов вузов машиностроительного профиля.
Ил. 202. Табл. 22. Библиогр.: с. 475—489 B90 назв.)
Ответственный редактор Л. А. Лебедев
Рецензенты /О. Нш Шевченко, Нш Вш Василенко
Редакция справочной литературы
0Q001-226 573в 81# , 703 040 000
11 М221@4)-81
ijg) Издательство «Наукова думка», 1981

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 И
Обозначения основных величин	 13
РАЗДЕЛ I
ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Глава 1
Теории напряженного и деформированного состояний твердого
тела
1.	Теория напряжений		17
Компоненты напряжений		17
Тензор и девиатор напряжений		21
Напряженное состояние в точке тела		23
Главные площадки и главные напряжения. Инварианты тен-
тензора и девиатора напряжений		24
Наибольшие касательные напряжения. Октаэдрические напря-
напряжения	 26
Интенсивность напряжений. Направляющий тензор напря-
напряжений 	 29
Формулы преобразования компонент тензора напряжений
в точке тела при повороте координатных осей	 30
2.	Теория деформаций	 32
Компоненты деформаций	 32
Формулы преобразования компонент тензора деформаций
в точке тела при повороте координатных осей		34
Тензор и девиатор деформаций		35
Главные оси и главные деформации. Инварианты тензора
и девиатора деформаций		36
Объемная деформация. Октаэдрическая деформация ....	37
Интенсивность деформаций. Направляющий тензор деформа-
деформаций		38
3.	Геометрическая интерпретация напряженного и деформирован-
деформированного состояний в точке нагруженного тела		40
4.	Тригонометрическая форма записи главных напряжений и де-
деформаций 		41
5.	Приращение деформаций, Скорости деформаций		46
3

6.	Векторное представление процесса нагружения в точке де*
формируемого тела	,	 51
Вектор напряжений. Векторное представление процесса на-
нагружения в пространстве напряжений .	 51
Траектории нагружения в трехмерном пространстве напряже-
напряжений 	 53
Траектории нагружения в плоскости двумерного вектора на-
напряжений	 54
Вектор деформаций. Векторное представление процесса де-
деформирования	 56
Траектории деформирования в трехмерном пространстве де-
деформаций 	 58
Траектории деформирования в плоскости двумерного вектора
деформаций	 . . 60
7,	Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные усло-
условия на поверхности (статические уравнения)	 61
8.	Дифференциальные зависимости между компонентами тен-
тензора деформаций и компонентами вектора перемещения (гео-
(геометрические уравнения)	 64
9,	Дифференциальные зависимости между компонентами тензора
деформаций (условия неразрывности деформаций)	 67
Гла ва 2
Уравнения связи между напряжениями и деформациями
в точке деформируемого тела. Условия начала пластического
течения материала
1.	Теория связи напряжений и деформаций в точке деформи-
деформируемого тела (физические уравнения)	 68
2.	Основные уравнения линейной теории упругости и методы их
решения ....../ 	 . 73
Постановка задачи теории упругости в перемещениях и при-
приближенный метод ее решения	 74
Постановка задачи теории упругости в напряжениях и при-
приближенный метод ее решения		76
3.	Основные условия начала пластического течения материала	80
Условия начала пластического течения изотропного материала	81
Условия начала пластического течения анизотропного мате-
материала 		85
Глава 3
Основные законы и уравнения, описывающие пластическое
состояние материала
1,	Диаграммы деформирования материала. Методы их построе-
построения и схематизация	 . 87
2,	Основные законы теории пластичности	 94
Об условиях упрочнения. Поверхность пластичности (поверх-
(поверхность нагружения). Нагружение и разгрузка ..... 94
Постулат Дракера. Выпуклость поверхности пластичности
(нагружения)	 .	98
Ассоциированный закон течения		100
3,	Уравнения, описывающие пластическое состояние изотропно-
изотропного материала		103
Теория пластического течения	• • . .	ЮЗ

Теория малых упругопластических деформаций ...... 106
4.	Уравнения, описывающие пластическое состояние изотропно-
изотропного материала с анизотропным упрочнением	108
5,	Уравнения, описывающие пластическое состояние ортотроп-
ного материала с изотропным упрочнением	112
Глава 4
Основные теоремы и принципы механики деформируемых тел
1.	Теорема о простом нагружении	116
2.	Теорема о разгрузке	 119
3.	Теорема Клапейрона	123
4.	Теоремы о минимальных принципах в теории упругопласти-
упругопластических деформаций	124
Принцип минимума полной энергии	124
Принцип возможных изменений напряженного состояния,
Принцип минимума дополнительной работы	125
5.	Разделение деформации на упругую и пластическую, Зави-
Зависимость коэффициента поперечной деформации от величины
пластической деформации .	128
6.	Пластический потенциал и его связь с интенсивностью на-
напряжений . . .•	131
Гла ва 5
Общие методы решения основных уравнений теории пластичности.
Теория предельного состояния
1# Постановка задачи теории пластичности. Основные уравне-
уравнения теории пластичности 		133
2.	Общие методы решения задач теории пластичности . . . . .	136
Метод дополнительных нагрузок . . . . . . . . . . ...	137
Метод дополнительных деформаций		143
Метод переменных параметров упругости		146
Метод «шагов» в теории пластического течения		148
3,	Теория предельного состояния. Основные теоремы предель-
предельного состояния		149
Статический метод определения предельной нагрузки (ста-
(статическая теорема)		150
Кинематический метод определения предельной нагрузки
(кинематическая теорема)	 151
Глава 6
Плоское деформированное состояние
1.	Законы и уравнения теории пластичности .		152
Основные уравнения при плоской деформации		154
Линии скольжения при плоской деформации		155
2.	Линеаризация гиперболической системы дифференциальных
уравнений. Граничные условия		158
3.	Основные свойства линий скольжения, Простые поля напря-
напряжений 		161
4.	Уравнения плоского деформированного состояния, выражен-
выраженные в скоростях перемещений. Поля скоростей перемещения	163
5.	Основные краевые задачи и методы их решения ......	167
Численное решение краевой задачи Римана ..,..,.,,	168
5

Численное решение краевой задачи Коши	168
Численное решение смешанной краевой задачи	169
Глава 7
Плоское напряженное состояние
1.	Соотношения и уравнения теории пластичности		170
Основные соотношения для напряжений и деформаций ...	170
Основные уравнения плоского напряженного состояния ...	173
2.	Уравнения состояния при условии пластичности Мизеса —
Генки		174
3.	Уравнения состояния при условии пластичности Треска —
Сен-Венана		176
Глава 8
Применение методов теории пластичности к решению при-
прикладных задач
1.	Упругопластическое деформирование стержней (балок) ... 180
Стержни и стержневые системы при растяжении (сжатии)
за пределами упругости		180
Упругопластическое кручение стержня		181
Упругопластический изгиб стержня (бруса)		188
2.	Упругопластическое состояние толстостенной сферической обо-
оболочки, нагруженной внутренним давлением		194
3.	Упругопластическое состояние полого толстостенного цилин-
цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления . .	197
4.	Упругопластическое состояние дисков		206
Неподвижный кольцевой диск постоянной толщины, нагру-
нагруженный по внутреннему контуру		206
Равномерно вращающийся диск постоянной толщины .... 209
5.	Задачи предельного состояния круглых и кольцевых пластин
при изгибе		213
Основные уравнения		213
Интегрирование дифференциальных уравнений		216
6.	Упругопластическое состояние пластины с отверстием ....	221
7.	Упругопластическое состояние полосы с вырезами		224
Растяжение полосы, ослабленной вырезами		224
Изгиб полосы, ослабленной вырезами		227
8.	Вдавливание плоского штампа и жесткого клина в пласти-
пластическую среду		228
9.	Сжатие пластического слоя между двумя параллельными ше-
шероховатыми плитами		232
РАЗДЕЛ II
ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ
ЗАДАЧИ ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Глава 9
Основные свойства материалов при циклическом нагруже-
нии в условиях линейного напряженного состояния
1, Упругопластические свойства материалов при многократном
нагружении	235

2.	Уравнения, описывающие упругопластическое состояние уп-
упрочняющегося материала при термоциклическом нагружении 247
3.	Об оценке предельного числа циклов. О критериях разруше-
разрушения материалов при циклическом нагружении	258
Глава 10
Основные гипотезы, теоремы и уравнения циклической плас-
пластичности в условиях сложного напряженного состояния	264
1.	Уравнения, описывающие состояние материала при разгрузке
по теории малых упругопластических деформаций		265
2.	Уравнения, описывающие состояние материала при цикличе-
циклических нагружениях		268
3.	Основные теоремы циклической пластичности		272
Теорема о простом нагружении		272
Теоремы о переменном нагружении		274
Теорема о вторичных пластических деформациях		277
4.	Дифференциальные уравнения равновесия, выраженные в пе-
перемещениях при переменном нагружении. Метод последова-
последовательных приближений		279
5.	Напряжения и деформации при многократном нагружении . .	282
6.	Поведение упргугопластических тел при многократном нагру-
нагружении. Приспособляемость. Теоремы приспособляемости . . .	285
Статическая теорема приспособляемости (теорема Мелана) . .	286
Кинематическая теорема приспособляемости (теорема Кой-
тера)	288
Глава 11
Прикладные задачи теории пластичности при переменных
напряжениях
1.	Упругопластический изгиб прямого бруса под действием
циклически изменяющегося момента	289
2.	Упругопластическое кручение стержня под действием цикли-
циклически изменяющегося крутящего момента	294
3.	Упругопластическое деформирование полого толстостенного
цилиндра при циклическом нагружении внутренним давле-
давлением	297
4.	Упругопластическое деформирование полого шара при цикли-
циклическом изменении внутреннего давления	305
5.	О приспособляемости упругопластических систем в случае
однопараметрических внешних сил	310
РАЗДЕЛ II!
ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Глава 12
Законы и уравнения теории ползучести в условиях линей-
линейного напряженного состояния
I. Ползучесть материалов и релаксация напряжений	318
Кривые ползучести	318
Уравнения, описывающие кривые ползучести	320
7

Зависимость минимальной скорости деформации ползучести
от напряжения	321
Зависимость минимальной скорости деформации ползучести
от температуры	322
Предел ползучести	324
Релаксация напряжений	326
2.	Механические модели деформируемого тела и наследственные
теории ползучести 	 327
3.	Разрушение материала вследствие ползучести. Длительная
прочность	335
4.	Основные уравнения связи между напряжениями, деформа-
деформациями, скоростями деформаций и временем в теории ползу-
ползучести при линейном напряженном состоянии	344
Теория старения	344
Теория течения	347
Теория упрочнения	348
Глава 13
Законы ползучести и закономерности разрушения материа-
материалов при переменных температурах и напряжениях в усло-
условиях линейного напряженного состояния
1.	Гипотезы ползучести и закономерности длительной прочности
материалов при переменных температурах	350
О гипотезах трансформированного времени и температурного
последействия 	 350
Ползучесть и длительная прочность материалов при про-
программном изменении температуры	356
2.	Ползучесть и длительная прочность материалов при перемен-
переменных напряжениях	361
Кинематическое уравнение ползучести. Ползучесть при сту-
ступенчатом изменении напряжений	361
Длительная прочность при ступенчатом изменении напряже-
напряжений. Мера повреждений. Закон суммирования поврежде-
повреждений 	366
Длительная прочность материала при программном изменении
напряжений	368
3.	Длительная прочность материала при независимо изменяю-
изменяющихся во времени температурах и напряжениях	371
4.	Ползучесть и долговечность материалов при пульсирующем
цикле теплового нагружения	375
5.	Влияние ползучести и релаксации напряжений на долговеч-
долговечность материала при термоциклическом нагружении	377
Уравнения, описывающие состояние материала при термоцик-
термоциклическом нагружении с учетом ползучести	377
Долговечность материала при термоциклическом нагружении
с учетом ползучести	380
Глава 14
Основные уравнения теории ползучести в условиях сложного
напряженного состояния
1, Основные предпосылки и законы теории ползучести в усло-
условиях сложного напряженного состояния	384
Теория старения	386
8

Теория течения	, .	387
Теория упрочнения 		388
2, Уравнения, описывающие процессы ползучести материала
с анизотропным упрочнением		388
3t Ползучесть при сложном напряженном состоянии		391
Применение к ползучести теории пластического течения. . .	391
Применение к ползучести деформационной теории пластич-
пластичности 		393
4.	Обобщенные уравнения ползучести		396
5.	Длительная прочность в условиях сложного напряженного
состояния		399
Глава 15
Общие уравнения установившейся ползучести и методы их
решения
1,	Основная система уравнений установившейся ползучести. . .	401
2,	Вариационные принципы в теории установившейся ползучести	404
Рассеяние. Дополнительное рассеяние		404
Принцип минимума полной мощности		406
Принцип минимума дополнительного рассеяния		407
3,	Приближенные решения краевых задач установившейся ползу-
ползучести 		409
4,	Общий метод решения задач установившейся ползучести . .	410
Г л а в а 16
Применение методов теории установившейся ползучести к ре-
решению задач
1, Упругопластическое состояние стержней и стержневых систем
с учетом деформаций ползучести		411
Ползучесть стержней статически определимой системы ...	411
Ползучесть стержней статически неопределимой системы . .	412
Ползучесть стержня при изгибе		413
Ползучесть стержня при кручении		417
2# Упругопластическое состояние цилиндров при установившейся
ползучести		423
Ползучесть тонкостенных труб		423
Ползучесть толстостенных труб		425
3.	Упругопластическое состояние вращающегося диска в усло-
условиях установившейся ползучести		426
4.	Напряженно-деформированное состояние осесимметричных плас-
пластин при изгибе в условиях установившейся ползучести ...	431
5.	Напряженно-деформированное состояние осесимметричных обо-
оболочек при установившейся ползучести		436
Глава 17
Основные уравнения и краевые задачи неустановившейся пол-
ползучести
1.	Общие уравнения неустановившейся ползучести .......	443
2.	Вариационные принципы в теории неустановившейся ползу-
ползучести 		445
Вариационное уравнение неустановившейся ползучести ....	445
Основные краевые задачи неустановившейся ползучести . . .	447
9

Некоторые следствия, вытекающие из вариационного прин-
принципа 		447
Начальное состояние		448
3. Критерии приближения неустановившейся ползучести к состоя-
состоянию установившейся ползучести		449
4« Теорема об упругой энергии при неустановившейся ползучести	450
5.	Приближенные методы решения краевых задач неустановив-
неустановившейся ползучести		451
Общее решение краевой задачи неустановившейся ползучести
при заданных нагрузках		452
Приближенное решение краевой задачи неустановившейся пол-
ползучести по теории старения		455
Приближенное решение задач релаксации		457
6.	Неустановившаяся ползучесть стержней и стержневых систем	458
Неустановившаяся ползучесть стержня при изгибе		458
Неустановившаяся ползучесть при изгибе статически неопре-
неопределимых систем		464
Неустановившаяся ползучесть стержня при кручении....	467
Неустановившаяся ползучесть стержневой системы (решетки)	470
7.	Неустановившаяся ползучесть толстостенного цилиндра . .	471
Список литературы		475
Предметный указатель		490

ПРЕДИСЛОВИЕ
Расчеты на прочность и жесткость элементов конструкций ба-
базируются на законах и уравнениях механики твердого деформи-
деформируемого тела. Твердое тело под действием произвольной системы
объемных и поверхностных сил испытывает упругие и пластические
деформации, которые с течением времени изменяются вследствие
ползучести.	;
Задачи об определении напряженного и деформированного со-
состояний твердого тела в пределах упругости решаются методами
теории упругости, которые изложены в монографиях и учебниках
С. П. Тимошенко, А. М. Каца, Л. С. Лейбензона, С. Г. Лехницкого,
А. Лява, А. И. Лурье, Н. И. Мусхелишвили, В. В. Новожилова,
П. Ф. Папковича, Н. И. Безухова и др. Законы и уравнения теории
упругости широко применяются при проектировании современных
сооружений и приборов, а также при расчете на прочность и жест-
жесткость элементов машин и механизмов, работающих в пределах
упругости.
Однако при проектировании современных машин часто при-
приходится рассматривать деформацию деталей за пределами упруго-
упругости. В этом случае законы и уравнения теории упругости не могут
быть применены, так как принятые ранее допущения об упругости
материала не выполняются. Такие задачи решаются методами тео-
теории пластичности. Решение многих задач методами математической
теории пластичности из-за сложностей чисто математического ха-
характера практически получить невозможно. Поэтому, наряду
с развитием математической теории пластичности, занимающейся
изысканием методов точного решения задач механики твердого
тела, деформируемого за пределами упругости, разрабатываются
упрощенные методы. Такие методы решения задач с помощью вве-
введения дополнительных гипотез и допущений излагаются в приклад-
прикладной теории пластичности. Основные законы и уравнения математи-
математической и прикладной теории пластичности изложены в трудах
Н. И. Безухова, А. А. Ильюшина, С. Г. Михлина, А. Надаи,
Г. А. Смирнова-Аляева, В. В. Соколовского, Р. Хилла, В. Прагера,
Н. Н. Малинина, Д. Д. Ивлева, Л. С. Лейбензона и др.
Для расчета элементов конструкций, работающих в упруго-
пластической области при переменных нагружениях и температуре,
применяются законы и уравнения циклической пластичности,
изложенные в монографиях В. В. Москвитина, Ю. Н,Шевченко,
Г. С. Писаренко, Н. С. Можаровского, Е. А. Антипова, С. В. Се-
ренсена, Р. М. Шнейдеровича, А. П. Гусенкова и др. Уравнения
получены в предположении, что при данных нагрузке и температуре
напряженное и деформированное состояния твердого тела не пре-
претерпевают изменений с течением времени. В действительности на-
напряжения и деформации деформируемого тела при данных нагрузке
и температуре с течением времени изменяются. Задачи с такими ус-
условиями решаются при помощи теории ползучести. Основные за-
законы и уравнения, описывающие явления ползучести материала
твердого деформируемого тела, приведены в монографиях и учеб-
учебниках Ю. Н. Работнова, С. Т. Милейко, Н. X. Арутюняна,
И. И. Гольденблатта, Н. Н, Малинина, И. А. Одинга и др.
11

Таким образом, сведения об основных законах, уравнениях
и краевых задачах теории пластичности и ползучести приведены
во многих монографиях, статьях и других публикациях [4—37,
39—42, 50—290]. Однако разрозненность этих сведений затрудняет
их использование. Настоящее издание является первой попыткой
изложения основных законов и уравнений, а также основных мето-
методов решения краевых задач теории пластичности и ползучести
в одной книге, которую можно было бы использовать как справоч-
справочное пособие.
Пособие состоит из трех разделов, построенных по единой
схеме: основные положения теории, конкретные задачи, методы их
решения.
В первом разделе рассмотрены основные законы и общие уравне-
уравнения механики твердого деформируемого тела, применяемые в тео-
теории пластичности и ползучести. Особое внимание уделено теориям
полей напряжений и деформаций, а также векторному представле-
представлению процесса нагружения в точке упругопластически деформи-
деформируемого тела как в пространстве напряжений, так и в пространстве
деформаций. Приведены основные законы и уравнения теории пла-
пластичности, показано их применение при решении краевых задач.
Обобщены методики приложения теории пластичности к расчету
на прочность стержней и стержневых систем, цилиндров, оболочек
дисков и пластин. Рассмотрено предельное состояние элементов
конструкций.
Второй раздел посвящен основным законам, теоремам и урав-
уравнениям циклической пластичности. Изложены упругопластические
свойства материалов при циклическом нагружении и законы их из-
изменения в процессе одного цикла нагружения йот цикла к циклу.
Обобщены методики приложения законов циклической пластич-
пластичности к расчету стержневых систем, цилиндров, оболочек, дисков
и пластин, подвергаемых циклическим- изменениям нагрузок. Рас-
Рассмотрены предельное состояние при переменных нагружениях и при-
приспособляемость элементов конструкций.
В третьем разделе приведены основные законы и уравнения
теории установившейся и неустановившейся ползучести, методы
их применения при расчете элементов конструкций с учетом дефор-
деформаций ползучести и решения краевых задач, а также методы рас-
расчета на прочность стержней, стержневых систем, цилиндров, пла-
пластин и дисков, работающих в условиях ползучести. Наиболее под-
подробно рассмотрены законы и уравнения теории ползучести, приме-
применяемые при сложном напряженном состоянии твердого деформи-
деформируемого тела,
Материал пособия может служить основой для расчета на
прочность и жесткость элементов конструкций за пределами уп-
упругости при простых или близких к ним нагружениях.
В начале книги приведены обозначения основных величин, ис-
используемых при изложении теоретических положений и решении
краевых задач.
Авторы выражают благодарность ответственному редактору
члену-корреспонденту АН УССР А. А. Лебедеву и рецензентам
докторам технических наук Ю. Н. Шевченко, Н. В. Василенко за
ценные замечания, высказанные при подготовке рукописи к изда-
изданию,
Авторы

ОБОЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН
Время
Главные компоненты девиатора деформаций
Главные компоненты девиатора напряжений
Главные линейные деформации
Главные (максимальные) деформации сдвига
Главные (максимальные) касательные напряже-
напряжения
Главные нормальные напряжения
Девиатор деформаций
Девиатор напряжений
Девиатор приращений деформаций
Инварианты девиатора деформаций
Инварианты девиатора напряжений
Инварианты девиатора приращений деформаций /х (?^?), /21
/3 mdA
Инварианты тензора деформаций	1Х (Ге), 12(ТЛ,
Инварианты тензора приращений деформаций
Инварианты тензора напряжений
t
Si, S2,
Yl2> V2i
4
4
83
3, У
3f
T12» T23» T3l
^1, <*2>
De
Do
Dde
!l(De)
<*3
. h
. h
p.).
Интенсивность активных напряжений	at-
Интенсивность деформаций	8/
Интенсивность деформаций сдвига	Yt'
Интенсивность добавочных напряжений	pt-
Р^нтенсивность касательных напряжений	тг-
Интенсивность нормальных напряжений	ot
Интенсивность пластических деформаций	(ej)
Интенсивность приращений деформаций	(hi
Интенсивность приращений деформаций сдвига	dyi
Интенсивность скорости деформации сдвига	ff
Интенсивность упругой деформации	{&i)e
Интервал изменения напряжений за цикл	&g = amin ^t amax
Компоненты девиатора деформаций в прямо-	Чъ еъь езз» ei2»
угольной системе координат xi (i = l, 2, 3)	^23» ?г\
Компоненты девиатора деформаций в сокращен-	ei\ У* / = *' ^> ^
ной записи
Компоненты девиатора добавочного напряжения	pr (t, / = 1. 2, 3)
в сокращенной записи
Компоненты девиатора напряжений в декарто-	sXysy, sz, sxy% syz, szx
вой системе координат
Компоненты девиатора напряжений в прямо-	эц, s22, s33, s12, s23,
угольной системе координат xi (i = It 2, 3)	s31
13

Компоненты девиатора активных напряжений р^ (/, / = 1, 2, 3)
в сокращенной записи
Компоненты девиатора напряжений в сокращен-	sif (/, / = 1, 2, 3)
ной записи
Компоненты девиатора напряжений в сфериче-	s , sbis ,s QtsB , s
ской системе координат	^р
Компоненты девиатора напряжений в цилинд- srt se, sZf sr0, s0 , sZF
рической системе координат
Компоненты тензора активных напряжений в a.. (it /=1, 2, 3)
сокращенной записи
сокращенной записи
Компоненты тензора деформаций в декартовой	гХу еу, ег;
системе координат	J_ l
2*ху> Y^yz* ~2^zx
Компоненты тензора деформаций в сокращенной	г?. (/, / = 1, 2, 3)
записи
Компоненты тензора деформаций в сферической	ер, ее, е ;
системе координат	I	j	j
~2~Vp0» "Тб<р> "Y<pp
Компоненты тензора деформаций в цилиндриче-	е2, 8б, е2;
ской системе координат	1	i	j
"Yr6» -^Vez' Y^2f
Компоненты тензора добавочного напряжения в	Хц (I, / = 1, 2, 3)
сокращенной записи
Компоненты тензора напряжений в декартовой	oXt oy, oz\%xyytyz,Tzx
системе координат
Компоненты тензора напряжений в прямоуголь-	Оц, оу2* о*33, а12,
ной системе xi (i = 1, 2, 3)	а23, aSi
Компоненты тензора напряжений в сокращен-	о*^- (i, / = 1, 2, 3)
ной записи
Компоненты тензора напряжений в сферической	сгр, а6, оу, т 8, те ,
системе координат	т
<рр
Компоненты тензора напряжений в цилиндриче-	сгг, аб, а2; т20, тб2,
ской системе координат	т
Компоненты тензора приращений деформаций	rfe^, rfe^, cfe2; -<rdy ,
в декартовой системе координат	^ ^
мпоненты тензора приращений де
в декартовой системе координат
Компоненты тензора приращений деформаций	с1гц, ^822, ^&зз> ^8i2»
в прямоугольной системе координат xi (i= I,	flfe23, ^e3f
2, 3)
Компоненты тензора приращений деформаций	йъц (i, / = 1, 2, 3)
в сокращенной записи
Компоненты тензора приращений деформаций	, ни * и
в цилиндрической системе координат	8г * а88» агг\^йУгЬ
~2<1УЪг> Ydy*r
Координаты точки недеформированного тела	х, yt z\ г, -б1, z\ p,
соответственно в декартовой, цилиндриче^	9, ф
ской и сферической системах координат
14

Координаты точки недеформированного тела xi (i = l, 2, 3)
в прямоугольной системе координат
Коэффициенты запаса по времени и напряже- я/, па
ниям
Коэффщиент упрочнения	_ ? —Я
Минимальное и максимальное напряжения amin» amax
Минимальная скорость деформации ползучести Гг . \ или (?mjn)c
Модули упругости материала и модули упроч- ? g
нения
Напряжения разрушающее и истинное	ар, ад
Нормальная и касательная компоненты пол- av, tv
ного напряжения на площадке с нормалью v
Нормальное и касательное напряжения на оокт, токт
октаэдрической площадке
Обобщенные деформации	glt g2, . .. , gn
Обобщенный момент инерции сечения: эквато- Inx, lnp> Ink
риальный, полярный и при кручении стерж-
стержней некруглого сечения
Обобщенный момент сопротивления сечения: Wnx> Wnpi Wnk
экваториальный, полярный и при кручении
стержня некруглого сечения
Обобщенные напряжения	^	Ql9 Q2» • • • t Qn
Обобщенные скорости деформаций	^ ц^ % % ш %'цп
Объемный модуль упругости	^ ___ Е
3A — 2^)
Октаэдрические деформации	еокт, y0Kt
Относительное время пребывания образца при - = ~
максимальном, минимальном напряжениях Ya» Ya» Y°
цикла и циклическом изменении напряжения
Относительное время пребывания образца при - = -
максимальной, минимальной температуре ^т» Тт» Ут
цикла и циклическом изменении темпера-
температуры
Параметр Надаи—Лоде по напряжению и де- %а, Хв
формации
Переменные параметры упругости	Е*% ji*, G
Плотность дополнительного рассеяния	Л
Плотность дополнительного рассеяния всего д = Г
тела	J
(V)
Плотность материала	р
Плотность рассеяния	^
Плотность упругой потенциальной энергии	П
Полное напряжение на площадке с нормалью v	Л»
Постоянная Ламе	\лЕ
Л== A-2ц) (l
Предел длительной прочности	a
Пределы текучести материала в направлениях ахт, оут> a2T
Ху У, Z
Предел текучести материала при растяжении ат
15

Предел текучести материала при сдвиге	тт
Предельная угловая скорость вращения	ю
Проекции вектора деформаций на взаимно ор- Э/г (& = 1, 2,3, 4,5)
тогональные координатные оси Xk в пяти-
пятимерном пространстве
Проекции вектора напряжений на взаимно op- sk {k = 1, 2, 3, 4, 5)
тогональные координатные оси х^ в пяти-
пятимерном пространстве
Проекции вектора перемещения точки на коор- щ (/ = 1, 2, 3, 4, 5)
динатные оси xt
Проекции вектора перемещения точки на коор- и> v, w
динатные оси х, у, г
Проекции вектора скорости перемещения точки vXi Vy, v2
на координатные оси х, у, г
Проекции объемной силы, отнесенной к еди- X, Yt l\ R, в, Z;
нице объема, на координатные оси в де- Pt ©t ф
картовой, цилиндрической и сферической
систэмах координат
Проекции объемной силы, отнесенной к единице Xi (i = 1, 2, 3)
объема, на прямоугольные координатные
оси xt
Проекции поверхностной силы, действующей А%, Kv, 2V
на площадке с нормалью v, на координат-
координатные оси дс, г/, г
Символ Кронекера	^ 	 Г 1 при / = /
°И — | 0 при 1Ф1*
Скорость деформации ползучести	гс или |с
Скорость относительных удлинений	ех, 8», гг или ?^»
Ъ,\г
Среднее нормальное напряжение	°"о
Среднее относительное удлинение	8о
Температура абсолютная и по шкале Цельсия $*> ^
Тензор деформаций	Те
Тензор напряжений и шаровой тензор напря- 71О, ТОп
жений
Тензор приращения деформаций	Т йг
Угловая скорость вращения диска	ф
Угловые скорости деформаций	• • • или
Цху, Пуг> Цгх
Угол вида напряженного и деформированного Wa, ^?в
состояний
Удельный вес	у
Ускорение силы тяжести	g
Упругая потенциальная энергия всего тела д = ^ UdV
g
(V)
(V)
Функция Ильюшийа	to (et*)
Функции ползучести	^@, # @
Энергия активации при ползучести	&НП

РАЗДЕЛ I
ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ
И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
ГЛАВА 1
ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Теория напряжений
Для того чтобы правильно оценить прочность проектируемого
элемента конструкции, необходимо знать все компоненты напря-
напряжений в каждой точке. Напряженное состояние в точке твердого-
деформируемого тела характеризуется девятью компонентами на-
напряжений.
Компоненты напряжений
Полное напряжение на произвольно ориентированной пло-
площадке А/7 с нормалью v (рис. 1) определяется выражением
Pv= lim 45
AF-+0 А/7 *
где AS — вектор внутренней
силы в рассматриваемом сече-
сечении данного тела на элементар-
элементарной площадке AF. Через любую
точку звердого тела можно про-
провести бесчисленное множество
площадок, ориентированных в
пространстве. Полные напря-
напряжения на площадках, ориенти-
ориентированных в разных направле-
направлениях, в данной точке нагру-
нагруженного тела будут различ-
различными.
Полное напряжение, дейст-
действующее в данной точке на пло-
площадке с нормалью v, как правило, не совпадает с нормалью, поэтому
кроме величины напряжения Pv необходимо знать его направление
в пространстве. В связи с этим вместо полного напряжения удоб-
удобнее рассматривать его составляющие по координатным осям X ;
У
Рис. 1
17

Pj
Yv; Zv (см. рис. 1). Полное напря-
напряжение на данной площадке опреде-
определяется так:
У
(I.I)
Рис. 2
где Xv; yv; Zv —проекции полного
напряжения Pv на площадке с внеш-
внешней нормалью v соответственно на ко-
координатные оси #, у, z. В сечениях,
параллельных координатным плоскос-
плоскостям, индекс v можно заменить индек-
индексом координатной оси, нормальной к
сечению. Например, если в сечении, параллельно плоскости yOz
(рис. 2, а), внешняя нормаль площадки dF совпадает по направлению
с координатной осью х, то Хх, YXt Zx — компоненты полного напряже-
напряжения. Компонента Хх, направленная ортогонально к рассматриваемому
сечению, называется нормальным напряжением, а компоненты YXi
ZXt лежащие в плоскости сечения,— касательными напряжениями.
Если внешняя нормаль совпадает с координатной осью у (рис. 2,6),
то Yy, Ху, Zy — компоненты полного напряжения. Если внешняя
нормаль совпадает с координатной осью z (рис. 2, в), то Xz, Yz, Zz —
компоненты полного напряжения.
Таким образом, из девяти компонент напряжений на трех пло-
площадках, проведенных через данную точку параллельно координат-
координатным плоскостям, три компоненты — Хх, Yyi Zz являются нормаль-
нормальными напряжениями, а шесть — Ху, YX1 Zy, Y2, ZXy Xz — касатель-
касательными. Нормальное напряжение считается положительным, если
оно вызывает растяжение, и отрицательным, если вызывает сжатие.
Касательные напряжения положительны, если их направления сов-
совпадают с положительным направлением осей координат, а растяги-
растягивающее нормальное напряжение на этой грани совпадает по направ-
направлению действия с положительным направлением соответствующей
координатной оси. Касательные напряжения также положительны,
если их направления противоположны положительному направле-
направлению соответствующей координатной оси, а растягивающее нормаль-
нормальное напряжение на этой грани противоположно по направлению
действия положительному направлению соответствующей коорди-
координатной оси. Обычно для изображения напряженного состояния
18

Рис. 3
в точке твердого тела в окрестно-
окрестности данной точки плоскостями,
перпендикулярными координатным
осям, выделяют элементарный объ-
объем в виде прямоугольного парал-
параллелепипеда, предполагая, что дли-
длины ребер параллелепипеда стре-
стремятся к нулю. На каждой грана
при этом действуют соответствую-
щие напряжения (на рис. 3 пока-
показаны их компоненты только на
видимых гранях). На практике
применяются различные системы-
обозначений компонент напряже-
напряжений в точке (рис. 3, а—в и табл. I)
[6,13, 88]. В данном пособии ис-
используется система обозначений*
Таблица 1
Вари-
Вариант
обозна-
обозначения
I
II
III
IV
V
Компоненты напряжений
хх
Охх
<*п
4i
^хх
Уу
°УУ
°*22
Т22
%УУ
Zz
Ozz
<*33
*33
*у
тху
<*12
*12
***
Ух
*ух
О1
*21
tyx
h
%zy
0^32
*82
*гу
Х2
4X2
^13
ч*
4Хг
уг
Чуг
0*23
*23
Чуг
zx
T>zx
<?31
^ 81
Ъх
19

компонент напряжений в точке ахх\ оуу\ o2Z; %ху\ xyz\ xxz\ %ух\ xzx\ %zti
(см. табл. 1 —система II). Первый индекс указывает направление
нормали к площадке, а второй — направление, в котором действует
это напряжение; если индексы совпадают, то второй индекс обычно
отбрасывают.
При решении задач теории упругости, пластичности и ползучести
кроме декартовой используются и другие системы координат, в пер-
первую очередь цилиндрическая и сферическая. Элементарные объемы,
20

выделенные из твердого деформируемого тела в различных коорди-
координатных системах, показаны на рис. 4. Все компоненты напряжений
выбраны положительными. Обозначения компонент напряжений
приведены в табл. 2.
Таблица 2
Система
координат
Декартовая
Цилиндричес-
Цилиндрическая
Сферическая
Компоненты напряжений
Ох
О>
°?
°У
°в
О2
Тху
тг8
V
lyz
Чг
Т0ср
тгг.
т«рр
Т'УХ
Чг
\
тг6
Тср6
*хг
Трср
Тензор и девиатор напряжений
Согласно закону парности касательных напряжений на двух
взаимно ортогональных площадках, проходящих через данную точку,
выполняются следующие равенства: в декартовой системе коорди-
координат
— %Zyl Тгх —
в цилиндрической
в сферической
тр9 = Т9
= т(
рср*
Из приведенных равенств вытекает, что независимыми являются
только шесть компонент напряжений, характеризующих напряжен-
напряженное состояние в точке твердого деформируемого тела: в декартовой
системе координат
в цилиндрической
в сферической
a8, or,
8' V
t8jz, xzr\
Компоненты напряжений в точке образуют тензор напряжений:
A.2)
21

/х
Выражения для тензоров напря-
напряжений в цилиндрической и сфери-
сферической системах координат имеют
вид
Т =
. A.3)
Рис. 5
В третьей системе обозначений ком-
компонент напряжений (см. табл. 1) тензор напряжений записывается так:
°*22
а32
A.4)
Общий случай напряженного состояния в точке твердого де-
деформируемого тела (рис. 5, а) может быть представлен в виде сум-
суммы двух напряженных состояний (рис. 5, б, в). Первое состояние
(рис. 5, б) характеризуется шаровым тензором напряжений:
Т —
0
0
0
0
0
0
a0
A.5)
где сг0 — среднее напряжение,
+ О у + Ог
Оа =-
, ИЛИ Go = •
+ 0*22 + ^3
A.6)
22

второе (рис. 5, в) — тензором напряжений сдвига, который назы-
называется девиатором напряжений:
SX
syx
Szx
sxy
sy
szy
SXz
Syz
s2
S21 S22 S23
S3f S32 S33
A.7)
При этом компоненты девиатора напряжений можно выразить через
компоненты тензора напряжений и шарового тензора:
= ох — а0; sxy — ixy\
sy == ау ~~* °о> syz — tyz\
— a0; s2X = tzx;
s2
Компоненты девиатора напряжений stj- можно представить через
компоненты тензора напряжений о{/- в сокращенной записи:
Оу^Вц + б^.	A.9)
Такое представление напряженного состояния равносильно разложе-
разложению тензора напряжений Га на шаровой тензор Та и девиатор Da
напряжения:
A.Ю)
Напряженное состояние в точке тела
Выделим из твердого деформируемого тела элементарный объем
в виде тетраэдра бесконечно малых размеров, для которого три
взаимно ортогональные грани параллельны координатным плоско-
плоскостям, а четвертая — наклонная площадка (рис. 6). Нормаль этой
площадки с координатными осями х, у, г составляет углы, коси-
косинусы которых соответственно обозначим /, т, л;
/^ч	^Ч	*"Ч
/ = cos (rv); m = cos (yv)\ n = cos (zv).
Предположим, что по трем взаимно ортогональным граням тетра-
тетраэдра известны все компоненты тензора напряжений, т. е. задан тен-
тензор напряжений. Из условия равновесия бесконечно малого тетра-
тетраэдра проекции на оси координат х, у, 2 полного напряжения (см.
рис. 6) на произвольно ориентированной площадке определяются
по формулам Коши:
%хут + ххгп\
A.11)
о2п.
Вектор полного напряжения Pv в общем случае не совпадает с на-
направлением нормали площадки (рис. 7). Проектируя Pv на произ-
произвольно ориентированной площадке dF на направление нормали vr
находим нормальное напряжение
av = оу2 + оут*+ агп* + 2хху1т + 2%угтп + 2tzxnlt A.12)
хху1
%уг
23

Касательное напряжение на площадке dF с нормалью v определя-
определяется выражением
Таким образом, если в данной точке твердого деформируемого тела
задан тензор напряжений, то по формулам A.1), A.11) — A.13)
можно определить полные, нормальные и касательные напряжения
на любой наклонной площадке, проходящей через заданную точку
и произвольно ориентированной в пространстве.
Главные площадки и главные напряжения.
Инварианты тензора и девиатора напряжений
В каждой точке твердого деформируемого тела всегда существу-
существуют такие три взаимно ортогональные площадки, на которых каса-
касательные напряжения равны нулю. Они называются главными. На-
Направления нормалей к главным площадкам образуют главные оси
тензора напряжений, не зависящие от исходной системы координат.
Напряжения, действующие на главных площадках, называются
главными. Главные оси нумеруем так, чтобы выполнялись неравенства
а, > о\>> Go.	Л 14)
Главные напряжения являются действительными корнями кубиче-
кубического уравнения [196]:
о у —о
= 0,
Тгх	%zy О г — °"
или в развернутой форме
С - h (Та) о2- /2 (Та) а - /3 (Та) = 0.
24
A,15)

Коэффициенты этого уравнения,
= —°х<Уу — ОуО2 — Огвх
Xyz
(Мб)
— <Jy%Zx —
не зависят от выбора системы координат и называются первым (ли-
(линейным), вторым (квадратичным) и третьим (кубическим) инвари-
инвариантами тензора напряжения. Выражения для инвариантов в глав-
главных напряжениях имеют вид
A.17)
Инварианты тензора напряжений A.16) и A.17) являются основ-
основными характеристиками напряженного состояния в точке твердого
деформируемого тела.
Аналогично записываются выражения для инвариантов шаро-
шарового тензора и девиатора напряжения:
h (Т0о) - 3(т0 = 1± Gа);
= sxsy — sysz — szsx + s2xy
/3 (Do) =
s^ sxy sxz
syx sy syz
szx szy sz
A.18)
A.19)
С учетом зависимостей A.8) выражение A.19) преобразуется к виду
/i (Da) = 0;
U (DQ) = j \{ox - а^J + (оу - аг)г + (аг - о	1
= 27 [2 (О'л: + °"// + О г) — 3 (ОхОу + ОуОг + Ог
\~ OyOz) -\- 12oxoyOz -j- 9g^ i
+ 9a^ (т^ + %lz - 2t2Zx) +
+ 9аг (—2%гхи
+ Ы%ху%уг1гх}.
A.20)
25

Инварианты девиатора напряжения можно выразить через глав-
главные компоненты девиатора напряжений:
h (Da) = si + S2 + % = 0;
= —sis2 — S2h — s3s1 = -g-
si + S3);
0.21)
где Sf—Oi — oy, s2 = g2 — or0; s3 = g3 — o0, В сокращенной тензор-
тензорной записи инварианты тензора и девиатора напряжений записы-
записываются так:
= j otJoJkokl + -g- (аяK — -g-
A.23)
Наибольшие касательные напряжения.
Октаэдрические напряжения
Предположим, что напряженное состояние в заданной точке
характеризуется главными напряжениями, направление которых
совпадает с направлением координатных осей (рис. 8, а). Напря-
Напряжения на наклонной площадке по отношению к главным напряже-
напряжениям определяются согласно формулам A.12) и A.13):
A.24)
of =
a2./!2 -
A.25)
Исключая из уравнения A.24) один из косинусов, например п,
учитывая, что В + т2 + п* = 1, и приравнивая производные по т
и / нулю, получаем систему уравнений для направляющих коси-
косинусов / и т углов, определяющих положение площадок, на которых
значение напряжений т достигает экстремума:
1
/ l(Oi — а3) /2 + (а2 — о3) т2 — -г- (о1 — а3)] = 0;
— о8) /2
- у (^2 - ог8)] = 0.
A.26)
Решения уравнений A.26) приведены в табл. 3 [6]. В первых трех
столбцах указаны главные площадки, совпадающие с плоскостями
26

Рис. 8

Таблица 3
/
т
п
0
0
±1
0
±1
0
±1
0
0
0
0
0
координат. На этих площадках касательные напряжения равны
нулю, т. е. значение т минимальное. В последних столбцах приве-
приведены площадки, проходящие через одну из трех главных осей и де-
делящие угол между двумя другими главными осями пополам (рис,
8, б). Подставляя значения направляющих косинусов углов, опре-
определяющих положение указанных площадок, в формулу A.25), на-
находим значения главных (максимальных) касательных напряже-
напряжений:
•42 е ± 2"@i —
± -? (°2 —
= ± у (а3 —
При
A,27)
A.28)
Площадка, равнонаклонная к главным осям, называется
октаэдрической, а напряжения, действующие на данной пло-
площадке,— октаэдрическими. Для октаэдрической площадки направ-
направляющие косинусы равны между собой:
A,29)
Октаэдрические напряжения на данной площадке согласно форму-
формулам A.24) и A.25) с учетом A.29) определяются так:
— JL
токт "з"
- о2J + (а8 - а.)8 + (о8 - агJ,
A.31)
или
28

С учетом A.27), а также A.6) формулы A.30) и A.31) имеют вид
A.32)
^OKT-lVu + U + Ti.	A.33)
Октаэдрические напряжения одинаковы для всех восьми равнона-
клонных площадок, которые можно провести во всех октантах.
Совокупность таких равнонаклонных площадок образует замкну-
замкнутую восьмигранную фигуру — октаэдр (рис. 8, в).
Интенсивность напряжений.
Направляющий тензор напряжений
Интенсивностью напряжений называют величину, пропорцио-
пропорциональную корню квадратному из второго инварианта девиатора на-
напряжений. Интенсивности нормальных и касательных напряже-
напряжений определяются по формулам
* =/з/7Г(ЗГ);	A,34)
Как видно, они различаются только коэффициентом пропорциональ-
пропорциональности, поэтому
аг = /3т/,	A.36)
С учетом выражения A.20) формулы A.34) и A.35) принимают вид
1 Г	2	2	2
A.37)
1 ЛГ	1	2	2	2—
%1 = —; у (ох — ОуУ -f {оу — агJ + (сг2 — охJ + 6 (тху + %уг -\-т2х)-
У 6
A.38)
В сокращенных обозначениях с учетом формулы A*23)
*tftr	(!*39>
Интенсивность напряжений можно выразить через главные напря-
напряжения
*1 = 77= /(а, - а2J + (о2-о3)* + (а3 - ахJ, A,40)
а также через октаэдрическое касательное напряжение [123]:
°( " /1 Т°кт*
Если каждую из компонент девиатора напряжений A.7) разде»
лить на постоянную для данного девиатора величину Tt-t то полу-
получим направляющий девиатор напряжений [69]:
29

~ А.
syx
sxy
Szy
Syz
, или
«fi
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
A.
f
42)
компоненты которого являются безразмерными величинами:
? = °х — °° . J —I*M . s = %ух
—;
или
;
A,43)
g22 —
__ 023 Г a32
— — ; S32 = 	 •
Tt
1i '
A.44)
Формулы преобразования компонент тензора напряжений
в точке тела при повороте координатных осей
Таблица 4
При решении многих задач, как в пределах, так и за пределами
упругости, очень часто задаются компоненты тензора напряжений,
отнесенные к одной (старой) систе-
системе координат х, у, г, и их необхо-
необходимо определить в другой (новой)
системе координат *', у', г'. Пред-
Предполагается, что обе системы орто-
ортогональны. Косинусы углов между
старой и новой системами коорди-
координат обозначаются согласно табл. 4
[6, 69, 88].
Предположим, что на произ-
произвольной площадке dF с нормалью
х' действуют напряжения, для ко-
которых известны проекции Хх,, Yx,,
Zx, на старые координатные оси.
Тогда, проектируя напряжения Хх,%
Yx,, Zx,na направления осей но-
новой системы координат, находим
>v хуг
x'y'z!\
х'
У'
г1
X
h
h
У
тг
т2
Щ
г
пг
п2
п3
%х,у, = XXJ2
Yx,m2 + Zx,n2\
0.45)
30

Подставляя выражения A.11) и заменяя нормаль v нормалью х\
получаем три компоненты тензора напряжений в виде однородных
квадратичных функций относительно косинусов. Аналогично, рас-
рассматривая последовательно напряжения на площадках с нормалями
у1, г\ находим уравнения для определения компонент тензора
напряжений при повороте координатных осей [6, 35, 77, 88, 89,
91, 102]:
ох, = oVi + аут1 4- oznx
+
<V
oz, = axl\
2тугт1п1 +
2%xyl2m2 + 2%yzm2n2 +
2%xylzm3
+ Aгт2 +
X %Ху
<*xhh
X т^^ + (т2п3
X
n2lx)%zx\
2.h) X
(л2/я
A.46)
J
Формулы обратного перехода от напряжений в координатной си-
системе х\ у'\ г' к напряжениям в системе я, у, г имеют вид
о у =
%ХУ =
%2X =
+ (тгп2+ m2nx) rx,y
A.47)
Если направляющие косинусы между координатными осями*
старой и новой систем обозначить согласно табл. 5 [69], то формулы^
перехода от напряжений в старой системе к напряжениям в новой?
31

Таблица 5
*/ \
ч
х2
Ч
Хх
кг
hi
hi
Хг
Ixl
^22
XS
/l3
/зз
системе в сокращенной тензорной
форме можно представить в виде
з з
Gkl
Gkl
°Ц1Ы11Г
В такой системе обозначений знаки
суммирования обычно отбрасывают:
Здесь k, I — фиксированные ин-
индексы, a i, / — индексы, по кото-
которым производится суммирование
от 1 до 3. Формулы перехода от
о" к а.,, записываются аналогично:
а.,,
°ц =
В этом случае фиксированными являются индексы it /, а суммиро-
суммирование производится по k, L
2. Теория деформаций
Под действием объемных и поверхностных сил твердое тело
деформируется. Для того чтобы оценить жесткость проектируемого
элемента конструкции, необходимо знать все компоненты деформа-
деформаций в каждой его точке.
Компоненты деформаций
Деформируемое состояние нагруженного тела в каждой точке
характеризуется линейными (8^, &у, е2) и угловыми (уХу> у#г> Угх) Де-
формациями. Если нагруженное тело жестко закреплено, то пере-
перемещения отдельных точек являются следствием его деформаций.
Представим тело в виде бесконечно большого числа элементарных
-параллелепипедов с размерами dx, dyy dz (рис. 9, я), на гранях ко-
которых действуют напряжения (см. рис. 4, а). Под действием напря-
напряжений каждый параллелепипед деформируется, т. е. изменяются
длины ребер на величины Adx, kdy, Adz (рис. 9, б) и углы между
гранями (рис. 10). Относительные удлинения (укорочение) ребер
элементарного параллелепипеда, выделенного возле любой точки
гнагруженного тела, определяются по формулам J
_ Д dx	_ Д dy # __ Д dz
х dx * у dy * г dz *
Линейные деформации положительны, если размер ребер увеличи-
увеличивается, и отрицательны — если уменьшается. Угловая деформа-
деформация в данной точке характеризуется уменьшением (положительная)
или увеличением (отрицательная) угла между гранями параллеле-
параллелепипеда (см. рис. 10). Если ребро, первоначально параллельное
оси х, повернулось в направлении к ребру, параллельному оси у,
то происходящее уменьшение угла обозначают Уху (рис. 11, а).
?сли на этот же угол повернулось второе ребро (параллельное
32

Рис, 11
оси у) по направлению к ребру, параллельному оси х, то угол сдвига
обозначают Уух (рис. 11, б). Если на этот же угол повернулось
третье ребро (параллельное оси z), то угол сдвига обозначают уху
(рис. 11, в). Деформации уху, уух и связанные с ними напряжен-
напряженные состояния одинаковы, так как путем жесткого поворота на угол
уху из первого случая можно получить второй. Следовательно,
Уху = Чух', Угх = Ухг\ Ууг — Угу.
Другие системы обозначений компонент деформаций приведены
в табл. 6,
2 1-317
33

Таблица 6
I
II
III
8n
4
Чу
822
8гг
833
I
2Уху
Exy
8i2
1
TV
8 У 2
e23
8z*
e3i
Формулы преобразования компонент тензора деформаций
в точке тела при повороте координатных осей
При решении задач по определению деформированного состоя-
состояния в точке часто задаются компоненты деформаций в данной точке
в старой системе координат, а необходимо определить их в новой
системе. В этом случае так же, как и в § 1, предполагается, что обе
системы координат взаимно ортогональные, а косинусы углов между
старой и новой системами координат обозначаются согласно табл. 4,
Формулы преобразования компонент тензора деформации
в точке тела относительно новых повернутых осей записываются
в виде [6, 13, 16, 88, 134]
V в
ух,у,
Ууг'
1* + V71*
(/ат8 + т213) уху
п2т3) + (/г2/3 + /2/г3) v2Jf;
> 0.48)
+ (mBrii + nBm{) yyz + (/i3/x + iznx) угх.	j
Используя условия ортогональности, из выражений A.48) легко по-
показать, что
х у *	* у
1 , 2 , 2 , 2 ,
С^8е/ + ^г + 8г8х — "J- (Yxp "Г ^i/z -I- Yza:7 =
= е^е^ + гул* + гг,ех, - т (у\,у, + Y^ т т,у/.	>A#49)
1 /	2 _ 3 _ 2
-j {ух>у>Уу>г'Уг'х> ""

Указанные величины являются инвариантными относительно пре-
преобразования прямоугольных координатных осей.
Если выбрать для компонент деформаций III систему обозна-
обозначений (табл. 6), а для косинусов углов между координатными осями
старой xi (i = 1, 2, 3) и новой хч{A = 1, 2, 3) системами — обозна-
обозначения, приведенные в табл. 5, то формулы A.48) в сокращенной
форме записи имеют вид [91]
3 3
4l = 2 2 ei/likhr
i ii
Тензор и девиатор деформаций
Деформированное состояние в точке твердого тела характери-
характеризуется тензором деформации:
1 1
е* -к Уху -к Ух
1
yVz*  Угу
1
A.50)
При тензорном изложении теории деформаций компоненты тензора
деформаций удобно обозначать так:
&ух
, ИЛИ {eif} =5
tii Чъ ei3
821 e22 e23
41 832 4z
, A.51)
где I = ху у, г\ \ = *, у, z, или t = I, 2, 3; / = 1, 2, 3.
Тензор деформаций A.50) можно представить в виде суммы ша-
шарового тензора Т%й и девиатора деформаций Dt:
При этом
где
80 0
0 0
t
ех =
еу =
ег =
0 ||
0 ; D
•o=j(bx
е* —е0;
,+L
.=
)
в ух еу €уг
&2Х ^Zy &z
A.52)
A.53)
+ еу + ег); A.54)
eyz — ~ ; > (i.oo|
егх
о •
35

Девиатор деформаций часто записывают в других обозначениях!
e2i
A.56)
Компоненты девиатора деформаций можно представить в тензорной
записи через компоненты тензора деформаций:
ei; = eif—6ij-E(»	A.57)
Здесь
« __ ?И + 822 + 833	I ~	L Л о
Главные оси и главные деформации.
Инварианты тензора и девиатора деформаций
В каждой точке деформируемого твердого тела всегда есть
три взаимно ортогональные оси, для которых угловые деформации
равны нулю. Такие оси называются главными, а линейные дефор-
деформации в направлении этих осей — главными линейными деформа-
деформациями. Главные линейные деформации определяются из характери-
характеристического кубического уравнения:
- h (Тг) е2 ~ /, (Те) 8 - 7а (Гв) = О,
A.58)
Все три корня кубического уравнения A.58) [196] действительные.
Поскольку главные деформации ех, е2, 83 не зависят от выбора си-
системы координат, коэффициенты кубического уравнения A.58)
также не зависят от выбора системы координат. Они называются
соответственно первым (линейным), вторым (квадратичным) и тре-
третьим (кубическим) инвариантами тензора деформаций:
/i(Ts) =8^ + 8^ + 8,;
^2 G*е) = ¦—гхгу "^ гугг — 1
: + T^ + vJ* + vL);
A.59)
Инварианты тензора деформаций можно представить через главные
деформации:
h (Тш) = 8j + 82 + е3;
= —8i82 ~ 8283 —
A.60)
Первый инвариант девиатора деформаций с учетом формул A.54)
и A.55) равен нулю. Второй и третий инварианты определяются так:
еуг
еху exz
еу eyz
егу ^2
A.61)
36

или, с учетом A.54) и A.55),
h {°s) = J [(&х~~ &уJ +
1 [2 (в" + 4 + 8*) - 3 (8,% + 8*82 + 8*8, +
X (Yiy -
+ j sy
-^ 8^ X
+ Ъг -
27
> A.62)
h (те) = -g-
Пользуясь сокращенными тензорными обозначениями [200, 212],
инварианты тензора и девиатора деформаций записывают в виде
A.63)
A,64)
Как видно из A.63) и A.64), инварианты тензора и девиатора де-
деформаций представляют собой целые рациональные и симметричные
функции соответственно компонент 8^ и вц [212].
Главные деформации сдвига определяются следующими фор-
фор7	7	7
мулами: 712 =
р
е2 — 83; 731 = е3 — е1§
Объемная деформация. Октаэдрическая деформация
Объемная деформация определяется как относительное изме-
изменение объема в окрестности рассматриваемой точки. Предположим,
что первоначальный размер каждой грани параллелепипеда равен
единице (рис. 12). Тогда первоначальный объем такого куба равен
единице. Если одновременно во всех трех направлениях возникают
линейные деформации, то приращение такой деформации определя-
определяется выражением
37

Принимая, что удлинения каждой грани малы по сравнению с еди-
единицей, а также отбрасывая малые второго и третьего порядка,
получаем формулу для определения объемной деформации:
в = ех + еу + е2 = Зе0.	A.65)
Таким образом, относительная объемная деформация в точке
равна сумме относительных удлинений по трем ортогональным на-
направлениям, проведенным через заданную точку. Если известны
главные деформаций в какой-то точке, то удлинение любого отрезка,
проходящего через данную точку и составляющего с главными
осями углы, косинусы которых /, т, п, определяется по формуле
8 = ej/2 + e2m2 + e3n2. A.66)
Удлинение отрезка в направ-
направлении, нормальном к октаэдри-
ческой площадке, для которой
нормаль с главными осями со-
составляет равные углы (/ = т =
= л = —7=» называется окта-
Рис. 12
V
эдрической деформацией. Сог-
Согласно A.66)
= е0.
A.67)
Выражение для деформации сдвига в октаэдрических плоскостях
имеет вид
Уот = Т VD - 82J + (82 - 83J + (83 ~ Ч)\	A.68)
ИЛИ
X
оКТ	о
,- е^J + (еу ~
(82 -
A.68а)
Интенсивность деформаций.
Направляющий тензор деформаций
Величина, пропорциональная октаэдрическому сдвигу, назы-
называется интенсивностью деформаций:
е'~"у!Токт*
A.69)
Учитывая A.68а), выразим интенсивность деформаций через ком-
компоненты тензора деформаций:	__
' + (ег-.
38
. A.70)

С учетом A.62) запишем выражение A.70) в виде
ИЛИ
= V -7refie
cftf
A.71)
A.72)
Таким образом, интенсивность деформаций пропорциональна
квадратному корню из второго инварианта девиатора деформаций*
Интенсивность деформаций сдвига отличается от интенсивно-
интенсивности деформаций только коэффициентом пропорциональности:
A.73)
или с учетом A.62)
X у (е,-
- ег)* + (ег -
Из сопоставления A.74) и A.70) следует, что
+ Угх).
A.74)
A.75)
Если каждую компоненту девиатора деформаций A.56) разде-
разделить на постоянную величину, равную половине интенсивности де-
деформации сдвига — Уи то получим направляющий девиатор дефор-
деформаций [6, 69, 77, 200]:
V/
«за
компоненты которого являются безразмерными величинами:
~ _ ^Уху
11 Y/	Y/
~ = 2б?22 = 2 (822""" 8°^
622 "" Y*	Yi
*** 	 ^33 	 ^ (^33 ^0)
33 ~~ Y^ "" Yi J
7 - 2е™ -
Спп —— —— — -
т.- '
A.76)
39

3. Геометрическая интерпретация
напряженного и деформированного состояний
в точке нагруженного тела
Напряженное состояние в точке твердого тела на площадке
нормалью v определяется вектором полного напряжения
где / = cos (vl); m — cos (v2); n = cos (v3) — косинусы углов меж-
между нормалью v и направлениями главных напряжений. В разных
площадках, проходящих через данную точку, вектор напряжений
Pv различается по величине и
направлению. Геометрическое
место точек концов векторов
полных напряжений в разных
площадках, проходящих через
данную точку, представляет со-
собой эллипсоид [6, 13, 132, 200]
(рис. 13), полуосями которого
являются главные напряжения
°i» °2> °з- Эллипсоид напряже-
напряжений указывает на экстремаль-
экстремальность главных напряжений.
Если нагруженное тело в точке
испытывает равностороннее рас-
растяжение (сжатие), то эллипсоид
Рис. 13	напряжений превращается в
шар. В этом случае напряжен-
напряженное состояние характеризуется шаровым тензором напряжений A.5).
Напряженное состояние в точке на плоскости изображается с помощью
диаграммы Мора (рис. 14). Круговая диаграмма Мора построена на
трех полуокружностях, диаметрами которых являются разности
главных напряжений. Диаграмма напряжений наглядно показы-
показывает изменение нормальных и касательных напряжений в различ-
различных площадках, проходящих через данную точку. Все значения
нормальных c»v и касательных tv напряжений, подсчитанных по
формулам A.12) и A.13), лежат внутри области, ограниченной по*
луокружностями (см. рис. 14). Таким образом, координаты точек,
расположенных в этой области, представляют собою нормальные ov
и касательные tv напряжения в любой произвольно ори ентирован-
ной площадке, проходящей через заданную точку. Из круговой диа-
диаграммы напряжений определяем экстремальные значения касатель-
касательных напряжений т12, т2з, t3i в плоскостях, ориентированных под
углом 45° к главным напряжениям. В случае равноосного растя-
растяжения или сжатия все три полуокружности круговой диаграммы
напряжений стягиваются в одну точку. Следовательно, для такого
напряженного состояния во всех площадках, проходящих через
данную точку, касательные напряжения равны нулю, т. е. все пло-
площадки, проходящие через данную точку, являются главными.
Деформированное состояние в точке характеризуется линей-
линейными и угловыми деформациями. Связь между угловыми и линей-
линейными деформациями иллюстрирует круговая диаграмма деформа-
40

ций (рис. 15). Построение круговой диаграммы деформаций анало-
аналогично построению круговой диаграммы напряжений. По оси абс-
абсцисс откладывают линейные деформации, а по оси ординат — поло-
половины угловых деформаций. Координаты произвольной точки, лежа-
лежащей внутри области, которая ограничена тремя полуокружностями
диаграммы, и определяют линейную и половину угловой деформа-
деформаций в направлениях, не лежащих в главных плоскостях. Согласно
приведенной круговой диаграмме из всех возможных линейных де-
деформаций, возникающих в окрестности данной точки, одна явля-
является наибольшей, а другая — наименьшей. Наибольшие угловые
деформации характерны для направлений, лежащих в главных плос-
плоскостях и составляющих угол 45° с главными осями деформаций. Из
Рис. 14
Рис. 15
круговой диаграммы деформации определяем наибольшие угловые
деформации Vi2> Y23» 7з1-
4. Тригонометрическая форма записи
главных напряжений и деформаций
Напряженное состояние в произвольной точке характеризу-
характеризуется тремя главными напряжениями оъо2,о3, значения которых
определяются как действительные корни кубического уравнения
A.15). Выполняя подстановку
о-. + а, —+ 1/1<Га)	A.78)
и учитывая, что первый инвариант девиатора напряжений равен
нулю, преобразуем A.15) к виду
s3 — /2 (Da) s — /3 (Do) = 0.	A.79)
Решение уравнения A.79) в тригонометрической фэрме [196] имее*
вид
s = —ttz Vl2(D)cos (?а + -^ kn I,	A.80)
]/3	\	о ]
При этом
= 3j/3 /HW	(Ь81)
Полагая в формуле A.80) последовательно k
зависимость A.35) [66, 77, 101, 168], имеем
0; 2; I и используя
41

A.82)
A.83)
Рис. 16
Главные касательные напряжения A.27) с учетом зависимостей A,82)
и A.18) определяются по формулам
1.84)
Зависимости A.82) и A.84) представлены графически с помо-
помощью звезды Пелчинского для напряжений на рис. 16, а [279].
Если углы отсчитывать в направлениях, показанных на рис. 16, б,
то формулы для определения главных напряжений приобретают
вид [168]
A.85)
42

Поскольку sa = at — o*0; s2 = a2 — o~0; s3 = cr3 — o0, после неко-
некоторых преобразований формулы A.84), A.87) с учетом A.36) можно
обобщить:
<*/cos ?а;
<*2 = «То + "з Of (~cos *о + /3 Sin Т„);
а3 = 0О - i- 0/ (cos Yo + 1/3 sin Yj;
A.86)
Tl2 =
A.87)
Таким образом, напряженное состояние в точке деформируемого тела
характеризуется величинами a0, at-, Wa, которые соответственно оп-
определяются формулами A.16), A.40).
Если на девиаторной плоскости (рис.
17) в направлениях осей Г, 2', 3' отложить
главные напряжения оъ а2, а3, то замыка-
замыкающая полученной ломаной линии явля-
является интенсивностью напряжений, а угол
наклона ее к оси Г — углом вида напря-
напряженного состояния. Такое построение
называют диаграммой Марциняка [265]. (
Вид напряженного состояния характери-'
зуется параметром хв, который впервые
установлен в экспериментальной работе
Лоде [93], выполненной под руковод-
руководством Надаи [123]:
Рис. 17
— a3
Используя зависимости A.86), запишем выражение A.6
нометрической форме:
A.88)
в триго-
A.89)
Значения параметра Надаи — Лоде, а также угла вида напряжен-
напряженного состояния Ya для некоторых видов деформаций приведены
в табл. 7.
Выражения A.84) для главных напряжений в тригонометри-
тригонометрической форме при условии, что ог > о> °з> позволяют установить
неравенства [102]
sinYa>0;
sin
+
-| я) > 0, _
43

а следовательно,
a + -i я<2я;	о |
Из приведенных неравенств выводятся пределы изменения угла вида
напряженного состояния:
На основании этого из формул A,84), с учетом выражения A,36),
находим
Таблица7	П/
Вид деформации
Растяжение Z1 ~ ' г»
02 = <Т3==О
Сжатие о~1=°д==0;
Чистый сдвиг Z1 ~~~~n°3'
о2 — и
— 1
1
0
0
я/3
я/6
Среднее значение —1— =
ттах
2 4- l/з
= —2	=1,87 отличается от
крайних значений (]/Зи2) при-
примерно на 7%. Следовательно,
= 0,993(af ft-ors).
Такая приближенная зависимость между интенсивностью напряже-
напряжений и главными напряжениями носит линейный характер.
Главные компоненты девиатора деформаций в тригонометри-
тригонометрической форме можно представить в виде [102]
/	4 \
е2 = е2 *=*- 80 = &/ cos MP	+ -=- п ;
\	6 I
б3 ==: 83 —= 8п = 8/ COS I i	-J—5Г ^ I »
A.90)
или A68, 212]
где
. cos
4
e3 = et. cos \4B — -g-
4/я
A.90a)
0.91)
44

Главные деформации сдвига можно выразить через угол вида де-
деформированного состояния:
sin
1я) = -
sin(ч>е-|я);
Vl2 = /3 S(. sin (v. +1 я) = /3 e, sin (t, —§¦«).
A.92)
Таким образом, деформированное состояние в точке полностью
характеризуется средней деформацией е0, интенсивностью дефор-
Рис. 18
Рис. 19
маций S( и углом вида деформированного состояния 4rs. Формулы
A.90), A.90а), A.92) после'неболыдих тригонометрических преобра-
преобразований можно обобщить [200]:
8i = 8о + et c°s ^6;
е2 = 80 + у &( (Уз sin Те — cos Ye);
е3 = 80 - 1 е, (cos ?е + /З sin Y,);
Т23 = /З 8t. sin ?e;
Y3i = ~y et- [sin Te + УЪ cos ^FJ;
Yii = t5 e, [—sin ?e + /3 cos Tj.
A,93)
A.94)
Геометрическая интерпретация формул A.90) и A.92) с помощью
звезды Пелчинского [279] для деформаций показана на рис. 18.
Диаграмма Марциняка [265] для деформаций (рис. 19) построе-
построена в предположении, что материал несжимаемый (80 =0), С уче*
том этого условия, а также тождеств
45

COS
COS
формулы A.90) преобразуются к виду
Ef = 8t- COS Tg;
Поскольку угол деформированного состояния изменяется в пределах
то
Тогда
• max
1
Уз'
в/=-д- Иг
A.97)
Приближенная линейная зависимость A.97) между интенсивностью
деформаций и главными деформациями может быть использована
при приближенных расчетах элементов конструкций за пределами
упругости.
Вид деформированного состояния характеризуется парамет-
параметром Надаи — Лоде:
или в тригонометрической форме
^+1 я).
A.99)
5. Приращение деформаций. Скорости деформаций
При расчете элементов конструкций за пределами упругости
очень часто пользуются приращениями деформаций и соответствен-
соответственно скоростями деформаций. Тензор бесконечно малых приращений
деформаций имеет вид
d	dV
1
dez
A.100)
46

Таблица 8
I
II
HI
dzx
dzXx
deu
d&y
feyy
d&22
de2
dzzz
de33
-2dyXy
d&xy
d&12
dsyz
de23
jdyzx
dezx
d&31
Используя обозначения компонент тензора приращений деформа-
деформаций, приведенные в табл. 8, запишем:
xx d&xy d&xz\
dsyx deyy deyz\
zx de2y dsl
, или
den de12 dei3
de3i de32 de33
,A.101)
где i=xy y, z; j^=x, y, z, или t = I, 2, 3; / = I, 2, 3. Инвариан-
Инварианты тензора приращений деформаций определяются формулами
/2 (Tds) = —dex dty — dzy dez — dzz dsx
A.102)
) = dex dey dez —j- [dex (dyyZJ + dey (dyxzJ-
+ dez (dyxyJ — dyxy dyyz dyzx].
Тензор приращений деформаций можно представить в виде суммы
шарового тензора приращений и девиатора приращений дефор-
деформаций, т. е. TdB = Td + Dd&, причем
de0 0 0
0 de0 0
0 0 den
dex dexy dexz
deu de
yz
dezx dezy dezz
, A.103)
где dE0 = -5- (dex + dey + dez) — приращение средней деформации,
о
а компоненты девиатора приращений деформаций записываются
в виде
dex = d&x^deQ;
dey — dey — ds0;
dexy = ^ dyxy'>
deyz = -j dyy2\
1 ^
deZx = IT dyzx-
AЛ04)
47

Инварианты девиатора приращений деформаций определяются форму-
формулами
A.105)
i (Dde) = —dex dey - dey dez — dez dex +
+ (dexy)* + (dey2)* + (dezx)*-
, (DdB) = dex dey dez - [dex (deyz)* + dey {dezxy -
+ dez (deyxJ — 2dexy deyz dezx].
Интенсивность приращений деформаций находим с помощью выра-
выражения
ae. =-^- I/ (d&x — dzy)
О '
(dyyzJ
A.106)
Аналогично записывается и выражение для интенсивности прира-
приращения пластических деформаций:
i~-2 у (dExP~ ^e^J + (deyp —
В сокращенной записи зависимости A.106) и A.107) имеют вид
&t= У у
У i
Черточка над интенсивностью приращений деформаций указывает
на то, что интенсивность приращения деформаций не равна прира-
приращению интенсивности деформаций [102].
Для приращения деформаций круговая диаграмма строится
аналогично круговой диаграмме деформаций (см. рис. 15). Пара-
Параметр Надаи — Лоде для приращений деформаций определяется фор-
формулой
d*2—de3
A.109)
где dzi, de2, d&3—компоненты приращения главных деформаций.
В тригонометрической форме
de2 = deQ + ds{cos
dl
48
4«i;
I
!e cos hPde + т я .
1 \	6 1 )
A.1Ю)

Приращения главных угловых деформаций в тригонометрической фор-
форме записываются в виде
(I.Ill)
i-^J; >
J
Таким образом, главные приращения деформаций в точке полно-
полностью характеризуются приращением средней деформации d&Oi ин-
интенсивностью приращений деформаций d&t и углом вида прираще-
приращения деформаций Ч^. Используя зависимости A.110), представим
параметр Надаи — Лоде в тригонометрической форме:
A.112)
Компоненты скорости деформаций в рассматриваемой точке обо-
обозначают %Xt \у, §2, -тгЦху* -q-%2' T^zx- Данные величины обра-
зуют тензор скорости деформаций
Ьу
" Цгх -о" Чгу
A.113
Таблица 9
I
II
III
1х
Ъхх
111
ь
lyy
?22
Ь
\zz
?33
1
-jVxy
iXy
Sim
1
tyz
123
1
-j^zx
Izx
681
Если использовать обозначения компонент тензора скорости дефор-
деформаций, приведенные в табл. 9, то тензор скорости деформаций при-
приобретает вид
\ху \хг	Hi
или
%уу \
уу \уг
\гх
1 §22 §23
1 §32 §33
, A.И4)
49

где i = х, у, е; / = х, у, z, или i — 1, 2, 3; / = 1, 2, Э. Тензор ско-
скорости деформаций можно представить в виде суммы шарового тен-
тензора и девиатора скорости деформаций:
ТЦуг , A.115)
Ео
0
0
0
и
0
0
О
ч
+
1
2 "Пуле
1
1
IT*1**
t t
Si/ bo
1
1
1
T
ь
-go
где |0 = — (|^ + 5г/ + Ьг) — средняя скорость деформаций. Интен-
Интенсивность скорости деформаций определяется формулой
х
у- У2
а интенсивность скорости деформаций сдвига — формулой
A.116)
A.117)
В сокращенной форме выражение для интенсивности скорости де-
деформаций имеет вид [102]
A.118)
При So =0
E^y	A.118a)
Параметр Надаи —Лоде для скорости деформаций вычисляется так:
Главные скорости деформаций
A.120)
Используя зависимость A.120), представим параметр Надаи—Лоде
в тригонометрической форме:
/	л \
A.119а)
50

Главные скорости деформаций сдвига в тригонометрической
форме записываются в виде
A.121)
Таким образом, главные скорости деформаций в точке полностью
определяются средней скоростью деформаций ?0» интенсивностью
|i и углом вида Ч^ скорости деформаций.
6. Векторное представление процесса
нагружения в точке деформируемого тела
Изменение напряженного состояния в точке тела с течением
времени называют процессом нагружения тела в точке [69]. Про-
цесс нагружения в данной точке деформируемого тела характери-
характеризуется шестью компонентами тензора напряжений, заданных в виде
функций времени:
В этом случае процесс нагружения деформируемого тела в точке за-
задан в пространстве напряжений.
Вектор напряжений. Векторное представление процесса
нагружения в пространстве напряжений
Процесс нагружения в точке деформируемого тела можно пред-
представить в пятимерном пространстве траекторией конца вектора на-
напряжений [69]. Действительно, если учесть зависимость A.10)
между компонентами тензора напряжений и компонентами девиа-
тора напряжений, а также, что первый инвариант девиатора напря-
напряжений A.20) равен нулю, то процесс нагружения в точке деформи-
деформируемого тела характеризуется пятью независимыми функциями
времени t компонент девиатора напряжений s.j(t) и функцией вре-
времени oQ(t).
Таким образом, геометрически процесс нагружения в точке
деформируемого тела может быть представлен в виде тензорной кри-
кривой в шестимерном линейном метрическом тензорном пространстве
или в виде девиаторной кривой в пятимерном девиаторном про-
пространстве и функцией o0(t). Такие тензорные кривые и их свойства
рассмотрены в работе [69]. Так как среди шести компонент девиа-
девиатора напряжений s.j только пять независимых, то для векторного
представления девиатора напряжений su- для данного девиатора на-
напряжений выбирают соответствующий вектор напряжений
5
S = ? Sfc.i*.	A,122)
6=1
где Sk — компоненты вектора напряжений.
51

Следовательно, процесс нагружения в точке деформируемого
тела задают функцией о*0 (t) и кривой в пятимерном пространстве
Sk (k = 1,2, 3, 4, 5), которая описывается концом вектора напря-
напряжений A.122). Такая кривая называется траекторией нагружения
в пространстве напряжений [69]. Зависимости между компонентами
вектора напряжений Sk и компонентами девиатора напряжений S.j
выбирают так, чтобы они были взаимно однозначными, линейными
и при этом выполнялось равенство [69]
В этом равенстве
syz
2 \
szx).
A.123)
Условие A. 123) справедливо, если S^ + 5^ = s2x + s| + s^. Данное
тождество при /x (Da) = 0 выполняется тогда, когда зависимости меж-
между компонентами девиатора напряжений su- и компонентами вектора
напряжений Sk имеют вид [69]
= V yEic°
1
з cos (p+т
]
l/ 2
= |/ 3"
cos 
l/" 2 о л
V 3" 4 S°S "
6"'
= У ~S,cos~.
A.124)
Обратные зависимости между компонентами вектора напряжений
Sk и компонентами девиатора напряжений s.j определяются выра-
выражениями
Sx = /2 \sx cos I p + -?J - sy sin p I;
S2= /2 s^sinfp + -^j +s^cosp ;
S3 = 1/2 sxy; S4 = /2 syz; S5 = /2 s2^f
A,125)
где P — произвольное фиксированное число.
Из приведенных зависимостей следует, что с изменением во
времени девиатора напряжений s{j- изменяются компоненты вектора
напряжений Sfe. При этом конец вектора напряжений S, отклады-
откладываемого от начала координат, описывает в пятимерном простран-
пространстве напряжений траекторию нагружения в точке деформируемого
тела. Таким образом, каждому процессу деформирования тела
в пятимерном пространстве S5 соответствует вполне определенная
52

траектория напряжений S *= S(t), а направляющий девиатор напря-
напряжений ~s.j = s.j/S взаимно однозначно определяется единичным
вектором напряжений S° = S(/)/5, где S — модуль вектора на-
напряжений. Нагружение в данной точке деформируемого тела явля-
является простым, если направляющий единичный вектор напряжения
S0 остается постоянным. Это возможно тогда, когда траектория на-
гружения в пространстве напряжений S5 представляет собой прямой
луч, выходящий из начала координат. Такое нагружение иногда
называют пропорциональным. Траектория нагружения в пятимерном
пространстве вектора напряжений S изображает наиболее общий
процесс изменения напряженного состояния в точке тела, когда
все пять компонент вектора напряжений независимо и произвольно
изменяются с течением времени.
Однако существуют задачи механики твердого деформируемого
тела, в которых процессы нагружения в точке тела характеризу-
характеризуются траекторией нагружения в пространстве с размерностью
меньше пяти.
Приведем несколько задач, рассмотренных в работах А, А. Илью-
Ильюшина [69], для плоского напряженного состояния твердого деформи-
деформируемого тела, процесс нагружения которого в точке характеризу-
характеризуется траекторией нагружения в трех-, дву- и одномерном простран-
пространстве,
Траектории нагружения
в трехмерном пространстве напряжений
В случае плоского напряженного состояния (%xz =
«= 0) деформируемого тела, имеющего форму стержня, пластины,
оболочки, процесс нагружения может быть представлен траекто-
траекторией нагружения в трехмерном пространстве напряжений [69].
Траектория нагружения в точке твердого деформируемого тела, на-
находящегося в условиях плоского напряженного состояния в трех-
трехмерном пространстве напряжений, схематически показана на
рис. 20, а кривой О А ВС. Уравнение такой траектории имеет вид
Компоненты вектора напряжений S^ S2, S3 определяются по фор-
формулам A.125), которые для плоского напряженного состояния
с учетом A.8) принимают вид
/2 [(а* - а0) cos (р + j) - (оу - а0) sin pj ;
!/ \	"I
(ох—о,}) sin P + -7- +(o»—a0)cosp ;
\ о /	J
S3= /2t^.
A.126)
Следовательно, нагружение в точке данного деформируемого тела
не всегда является простым, так как траектории нагружения в точке
не всегда представляют собой прямой луч, выходящий из начала
координат,
53

Рис. 20
Траектории нагружения в плоскости
двумерного вектора напряжений
В случае плоского напряженного состояния, когда %ху = %уг =
а 0а главные оси остаются неизменными во времени,
о траектории в плоскости дву-
дву=а,=
= т =а,= 0а главные оси остаются н	р
процесс нагружения происходит по траектории в плоскости дву-
двумерного вектора напряжений S. Уравнение такой траектории сле-
дующее:
S = O
Компоненты вектора напряжений Sx и S2, которые определяются
по формулам A.125) при E = 0 с учетом A.8), ^ринимают вид
Sl=i^L—4=0,; S,-l/"|-ar	A.127)
54

Такое напряженное состояние возникает, например, в тонкостенных
трубах под действием осевой силы N и внутреннего давления р.
При изменении осевой силы N и внутреннего давления р со временем
будет изменяться и напряженное состояние в точке, следовательно,
процесс нагружения будет описываться той или иной траекторией
нагружения. Некоторые из них (/ — прямолинейная, выходящая
из начала координат; // — криволинейная; /// — ломаная) пока-
показаны на рис. 20, б. Если напряжённое состояние в точке тела изме-
изменяется таким образом, что процесс нагружения характеризуется
траекторией /, то процесс нагружения считается простым [69];
если траекториями типа // или ///, то процесс нагружения
считается сложным.
Рассмотрим вариант плоского напряженного состояния, когда
ох =?0; ОуФ 0; а* = 0; %хг = %yz = 0; %ху Ф0; а0 = -j ox.
В этом случае процесс нагружения в точке также происходит по
траекториям в плоскости двумерного вектора напряжений, а ком-
компоненты вектора напряжений S определяются по формулам A.125),
которые g учетом A.8) принимают вид
Si = /2 ov, S3 = /2 тху.	A.128)
Такое напряженное состояние возникает, например, в тонко-
тонкостенной трубе (рис. 20, в), которая закручивается моментом М,
растягивается продольной силой N и сжимается внешним давлением
р при ох = —оу. С изменением во времени М, N, р изменяется
и напряженное состояние о.. (/). Поэтому процесс нагружения
в точке описывается соответствующей траекторией нагружения.
Некоторые возможные траектории нагружения в точке такой тонко-
тонкостенной трубки для данного напряженного состояния показаны на
рис. 20, в (I — прямолинейная; // — криволинейная; /// — ло-
ломаная).
Рассмотрим плоское напряженное состояние, которое харак-
характеризуется следующими компонентами тензора напряжений:
ох ф0; оу = о2 = 0; %ху = хгх = 0; хху Ф 0; а0 = -g- oXt
Процесс нагружения в точке данного деформируемого тела проис-
происходит по траекториям в плоскости двумерного вектора напряжений.
Запишем уравнение такой траектории:
S__ ^ ! I С S 	 С //\
Компоненты вектора напряжений 5Х и S3 определяются по форму-
формулам A.125), которые с учетом A.8) при Р = 0 принимают вид
¦ ох\ S3= /2т*у.	A.129)
Данное напряженное состояние возникает, например, в тонкостен-
тонкостенной трубе, которая подвергается растяжению продольной силой W и
кручению крутящим моментом Mz. Указанные сила и момент могут из-
изменяться с течением времени, поэтому напряженное состояние в точке
будет характеризоваться о j(f). Процесс нагружения в точке такого
55

деформируемого тонкостенного цилиндра описывается траекто-
траекторией нагружения, показанной на рис. 20, г. Приведенные некоторые
возможные траектории (/ — линейная; // — криволинейная; ///—
ломаная) нагружения в точке деформируемого тела и случаи пони-
понижения размерности изображающих пространств связаны со спе-
специальными геометрическими свойствами тел и специальных видов
нагрузок независимо от физических свойств материала рассмат-
рассматриваемых тел и законов изменения нагрузок во времени. Однако,
задавая различные законы изменения нагрузок, получаем различ-
различные траектории нагружения. Все предыдущие рассуждения спра-
справедливы для образца — тела, напряженное состояние которого мо-
может быть произвольно сложным, но однородным, т. е. одинаковым
во всех его малых объемах. Тогда и траектории нагружения в каж-
каждой точке одинаковы. В общем случае твердые тела под воздейст-
воздействием объемных и поверхностных сил находятся в условиях неодно-
неоднородного напряженного состояния. Поэтому для тела в целом полу-
получим пучок траекторий с соответствующими физическими векто-
векторами. Следовательно, вектор напряжений в теле зависит не только
от времени, но и от координат точек тела, т. е.
S = S(/, х, у, z).
Вектор деформаций. Векторное представление
процесса деформирования
Если учесть зависимость A.57) между компонентами тензора
деформаций e.j и компонентами девиатора деформаций e.j, а также,
что первый инвариант девиатора деформаций A.64) равен нулю, то
процесс деформаций в точке деформируемого тела характеризуется
пятью независимыми функциями времени компонент девиатора де-
деформаций e.j (t) и функцией времени 80 (t). Следовательно, геомет-
геометрически процесс деформирования в точке тела может быть пред-
представлен в виде тензорной кривой в шестимерном линейном метри-
метрическом тензорном пространстве или в виде девиаторной кривой
в пятимерном девиаторном пространстве и функцией s0 (/). Так как
среди шести компонент девиатора деформаций e.j только пять неза-
независимых, то данному девиатору деформаций ставят соответствую-
соответствующий вектор деформаций [69]:
5
Э= jj 9k\k.	A.130)
Таким образом, процесс деформаций в точке деформируемого тела
можно задавать функцией времени 80 (t) и кривой в пятимерном
пространстве Эк (k = 1, 2, 3, 4, 5), которая описывается концом
вектора деформации A.130). Такая кривая называется траекторией
деформаций [69]. Компоненты вектора деформаций A.130) выби-
выбирают так, чтобы связь между компонентами девиатора деформаций ец
и компонентами вектора деформаций Эй была взаимно однозначной,
линейной и при этом выполнялось равенство
56

Поскольку
компоненты вектора деформаций Э^ находим через компоненты девиа-
девиатора деформаций из равенства
0/^2 I Л
Э\ + Э\ + Э\ + Э\
еуг
е\. A.131)
Из соотношения A.131) нельзя определить однозначно Эк через е{]-.
Однако с учетом ех-\- еу-\-ег = 0> условие A.131) выполняется, если
зависимости между компонентами девиатора деформаций е{/- и ком-
компонентами вектора деформаций Эк имеют вид [69]
Ъ = /2 [е
ех cos (Р + -j) -
s«n
:/2,
xy\ ЭА=
г; Эь =
A.132)
Обратные зависимости между компонентами девиатора деформаций и
компонентами вектора деформаций принимают вид [69]
ех= j/y
-*'sin
cos (р + т
A.133)
[Из приведенных зависимостей между девиатором деформаций
e.fn вектором деформаций Эк следует [90]: а) операции сложения
двух девиаторов соответствуют сложению двух векторов; б) резуль-
результаты умножения девиатора на некоторое число совпадают с резуль-
результатами умножения вектора на то же самое число; в) совпадают опе-
операции дифференцирования девиатора и соответствующего вектора
и т. д. Поэтому вместо девиаторов и действий над ними можно рас-
рассматривать соответствующие векторы и определенные действия над
ними.
Таким образом, каждому процессу деформирования в точке
в пятимерном пространстве Эъ соответствует вполне определенная
57

траектория деформации Э = Э (t), а направляющий девиатор 7ц *•
= -~ деформаций взаимно однозначно определяется единичным век -
тором деформации:
Нагружение в данной точке М деформируемого тела (образца) будет
простым, если направляющий единичный вектор деформации Э°
остается постоянным. Это возможно, когда траекторией деформации
в пространстве Эь является прямой луч, выходящий из начала коор-
координат. В общем случае нагружения процесс деформаций в точке
тела в пятимерном пространстве деформаций изображается криво-
криволинейной траекторией.
В работе [69] показано, что процесс деформирования в точке
для многих задач механики может быть изображен траекторией
в трех-, дву- и одномерном пространстве.
Траектории деформирования
в трехмерном пространстве деформаций
В случае обобщенно-плоской деформации длинных призматиче-
призматических стержней (рис. 21, а) деформированное состояние в точке опре-
определяется компонентами тензора деформаций:
7*2 = 0; V = °; Уху + °1 *хФ0; еуф0; гг == 0.
Процесс деформирования в точке такого стержня характеризуется
траекторией деформации, которая в трехмерном пространстве де-
фюрмаций описывается вектором деформации:
причем компоненты вектора деформаций Эъ Э2, Э3 определяются
по формулам A.132), которые с учетом A.53) принимают вид
Э1 = /2 1(8^—80) COS (Р + -jrj — (б!,— 80) Sin pi 5
Э2 = /2 [(е, - во) sin (р + -j) + (в, - во) cos P)] ;
_1_
> AЛ34)
Нагружение в точке характеризуется траекторией деформации,
вид которой зависит от закона изменения нагрузки q. Возможные
траектории деформаций в точке при нагружении такого призмати-
призматического стержня в условиях обобщенно-плоской деформации пока-
показаны на рис. 21, а (/ — прямолинейная; // — криволинейная).
Если призматический стержень произвольного сечения подвер-
подвергается растяжению продольной силой N и кручению крутящим
58

*|
моментом Mz (рис. 21, б), которые с течением времени изменяются,
то процесс деформации в точке такого тела характеризуется траек-
траекторией деформации, описываемой концом вектора деформации
в трехмерном пространстве:
Компоненты вектора деформаций Э1$ 34, Эь в этом случае опреде-
определяются из формул A.132) при Р = —g- с учетом ех = е#:
59

Возможные траектории деформаций в точке данного стержня по-
показаны на рис. 21, б (I —возможная прямолинейная траектория;
// — криволинейная).
Траектории деформирования в плоскости
двумерного вектора деформаций
В случае плоской деформации длинного призматического
стержня при условии несжимаемости материала (е0 = 0) деформи-
деформированное состояние характеризуется компонентами тензора дефор-
деформаций
ех = —гу; е2 = 0; ухг = уу2 = 0; уху Ф 0.
При изменении во времени указанных компонент деформаций де-
деформированное состояние в точке такого стержня- изображается
траекторией деформации, описываемой концом вектора деформа-
деформаций:
Э = Эх\г + Э3\3 = Э (/).
Компоненты вектора деформаций Sf и Э3 определяются по формулам
A.132), которые при р = ~ с учетом A.55) принимают вид
ад Э,-
V2
Процесс деформирования в точке данного тела может быть представ-
представлен одной из траекторий деформирования (/, //, 111) в плоскости
Эг и Эь (рис. 21, в).
В случае кручения призматического стержня произвольного
поперечного сечения процесс деформирования (плоская деформация)
характеризуется траекторией деформации в плоскости Э4 и ЭЬ1 ко-
которая описывается концом вектора деформаций:
Э= ,94*4
Компоненты вектора деформаций ЭА и Э$ определяются по фор-
формулам A.132), которые с учетом A.55) при ех = 0; 8^ = 0; е2 = 0;
Уху = °» Ууг * °» Угх ^ ° принимают вид
Процесс деформирования в точке такого стержня в условиях плос-
плоской деформации может быть геометрически представлен одной из
траекторий деформации (/, //) в плоскости Э4 и Эъ (рис. 21, г). При-
Приведенные задачи плоской деформации [69] показывают, что про-
процессы деформирования плоской деформации не всегда являются
простыми.
Рассмотренные зависимости справедливы только для образца —
тела, деформированное состояние которого однородно, т. е. одина-
одинаково во всех его малых объемах. При этом траектория деформаций,
характеризующая процесс изменения деформированного состояния
в точке, будет одинаковой для всех точек образца, В целом тело,
60

находящееся под действием объемных и поверхностных сил, нахо-
находится в условиях неоднородного деформированного состояния. По-
Поэтому вектор деформаций зависит не только от времени, но и от ко-
координат, т. е.
Э = Э(/, х, у, г).
7. Дифференциальные уравнения равновесия.
Граничные условия на поверхности
(статические уравнения)
Напряженное состояние в точке твердого, как упругого, так
и упругопластического, тела характеризуется тензором напряже-
напряжений A.2). В общем случае неоднородного напряженного состояния
тела компоненты тензора напряжений являются функциями коор-
координат:
ох(х> У> г); оу(х, у, г); о2(х, у, г); тху(х, yf z);
*уг(*> У> 2); %zx(x> У> г); Хух(х. у, г); хгУ(х, у, г); ххг (х, у, z)y
которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям рав-
равновесия [6, 77, 91,* 101, 132].
Дифференциальные уравнения равновесия выводятся из рас-
рассмотрения равновесия бесконечно малого параллелепипеда разме-
размерами ах, ay, dz, выделенного из твердого тела, которое находится
в условиях неоднородного напряженного состояния (рис. 22). Про-
Проектируя все силы, действующие по граням параллелепипеда,
на декартовые координатные оси и пренебрегая бесконечно малыми*
величинами высшего порядка, получаем
дох дхху дххг	)
Ох ' ду дг '
где X, У, Z — проекции объемных сил, отнесенных к единице
объема. Уравнения A.135) называют дифференциальными уравне-
уравнениями равновесия. Вычисляя сумму моментов всех сил, действую*
щих на бесконечно малый параллелепипед относительно коорди-
координатных осей х, ytz, и пренебрегая величинами высшего порядка ма-
малости, находим
^Ху 	ХуХ = 0.
Таким образом, для определения поля напряжений твердого,
деформируемого тела необходимо знать шесть функций координат:
ох(х> У> г); оу(х, у, г); ог(х, у, г);
У' г); ту2(х, у, г); хгх (х, у, z).
61

Если к объемным силам X, К, Z добавить инерциальные члены,
равные плотности р материала, умноженной на проекции ускоре-
ускорения с обратным знаком, которые, как правило, выражают через
проекции перемещения (и, v, до), то получим уравнения движения
двх
дх
д%ух , UUy
дхх
l uyjу ш^ v /2
дхгу дог
~~dz дг
_ - - - .
)
A.137)
Рис. 23
При решении многих задач механики твердого деформируемого
тела часто пользуются не декартовой системой координат, а цилинд-
цилиндрической или сферической. Дифференциальные уравнения равно-
равновесия в цилиндрической системе координат л, 6, г выводятся из рас-
рассмотрения равновесия элементарного объема (рис. 23) и имеют сле-
следующий вид:
A.138)
дг
Дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого эле-
элемента (рис. 24) в сферической системе координат р, 6, <р записыва-
записываются таким образом:
62

дае
p sin 9 дф р
> A.139)
Рис. 25
При решении задач теории упругости, пластичности и пол-
ползучести часто объемными силами пренебрегают. Используя
обозначения компонент напряжений, приведенные в табл. 1
(третья строка), преобразуем дифференциальные уравнения равно-
равновесия A.135) к виду
A.140)
УЦЦ | ^^12 j ^U13 	л.
12	3
1х"г +~дх2 +"^з" ==0; >
^sli^sa , ^азз а
или в сокращенной записи
^.^• = 0 (/ = 1.2,3).
(М41)
63

Дифференциальные уравнения равновесия справедливы для любой
точки тела внутри данного тела, а для точек тела на его внешней
границе можно записать соотношения, аналогичные A.11). Эти со-
соотношения указывают на связь между компонентами приложенной
к телу на границе внешней нагрузки и компонентами напряжений
внутри тела возле рассматриваемой точки (рис. 25).
Если принять для компонент тензора напряжений обозначе-
обозначения, приведенные в табл. 1 (третья строка), а для косинусов углов —
обозначения, приведенные в табл. 5, то формулы A.11) могут быть
переписаны в виде
з
	 V rt / // 	 t о Я\	(\ ld.9\
Уравнения A.142) являются статическими граничными условиями.
Если на какой-то части поверхности тела заданы перемещения, то
такие граничные условия называются кинематическими, а если для
граничных точек тела в какой-то момент времени заданы, например,
скорости или ускорения, то граничные условия называются динами-
динамическими.
8. Дифференциальные зависимости
между компонентами тензора деформаций
и компонентами вектора перемещения
(геометрические уравнения)
Компоненты тензора деформаций зависят от закона изменения
•компонент вектора смещения в окрестности рассматриваемой точки.
Предположим, что точка Nt до деформации имеющая координаты
х, у, г, после деформации заняла положение Л^. Полное перемеще-
перемещение точки N характеризуется отрезком полного перемещения
NN1 = б, проекции которого на координатные оси (и, v> w) назы-
называют компонентами вектора перемещения (рис. 26, а). Так как ком-
компоненты вектора перемещения для разных точек различные, то они
являются функциями координат:
и (х, у, z); v (х, у, z)\ w (x, у, z).
Полное перемещение точки N определяется по формуле
NNX = 6 = V + v2 + w2.	A.143)
•Очень часто компоненты вектора перемещения записывают в виде
матрицы-столбца:
и
V
W
или
щ
1
иг
«8
uz
1
«в
ц
Выделим мысленно из твердого тела около заданной точки N бес
«конечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис, 26, б)
64

Рис. 26
агс2 — ас
ас
(¦
При деформации твердого
тела данный параллелепи-
параллелепипед, деформируясь, перемес-
переместится в новое положение.
На рис. 26, в показана одна
из проекций параллелепи-
параллелепипеда до и после деформации.
Относительные удлинения
ребер ас и ab, начальные
длины которых соответствен-
соответственно равны dx и dy, в пренеб-
пренебрежении величинами выс-
высшего порядка малости опре-
определяются таким образом:
т dx -{-dx — и) — dx
dx
ди
dv
у	ab	dy	ду'
Углы поворота ребер ab и ас в плоскости Оху в обозначениях, при-
приведенных на рис. 26, в, вычисляются по формулам
. ди ,	ди
и и	и + н~ dy — и	^-
tg«=Ml	ду	ду_
dy
dv
Тх
+ dy-v
dx — v
1
dv1
~^Ту
ди
Тх
-и И-*!'
1 дх
3 i-317
65

Поскольку т~ < ! и ^- < 1, учитывая, что в силу малости дефор*
мации tg а ^ а; tg 8 ^ |3, относительный сдвиг (уменьшение прямого
угла на угол а + р) записываем в виде
ди , dv
После круговой подстановки получаем дифференциальные зависи-
зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами
вектора перемещений в декартовой системе координат:
ди
dv
dw
du dv
" dy dx
dv , dw
du , dw
1 a?> } 4ZX ~~ dz~^ dx *
A.144)
Данные дифференциальные уравнения называют зависимостями
Коши. Используя обозначения компонент деформаций, приведен-
приведенные в табл. 6 (третья строка), уравнения Коши представим в виде
n (duo , диЛ
33 V^s d*s/ J
В сокращенной форме уравнения A.145) записывают так
A,145)
28;;= =Г7+^
A.146)
где ?= 1, 2, 3; /'= 1, 2, 3. Уравнения Коши в цилиндрических
и сферических координатах соответственно имеют вид
du
82 - d? '
1 ^У
_ dw
t2"dz~;
I dw , dv
^м , dw
r ' ( Yzr dr l dr >
_ d (v\, 1 du
yr*-rd?\T)'tTdQ\
66
AЛ47)

да
р dQ p '
= p-iEea^ + f+ yctg6;
sin (
i д t w \ . i a»
"ae \siHe/+ plie5$ '
• (DO
1
p sin 9 с
д f v
\ ди
A.148)
9. Дифференциальные зависимости
между компонентами тензора деформаций
(условия неразрывности деформаций)
Дифференциальные зависимости A.144) между компонентами
тензора деформаций и компонентами вектора перемещений позво-
позволяют простым дифференцированием по известным перемещениям и9
vt w как некоторых функций координат точек тела определить ком-
компоненты тензора деформаций. Решение обратной задачи — нахож-
нахождение перемещений как функций координат точек тела по извест-
известным компонентам деформаций — сводится к интегрированию систе-
системы дифференциальных уравнений в частных производных A.144).
Для существования решений этой системы необходимо наличие
определенных связей между шестью компонентами деформаций,
т. е. выполнение определенного условия интегрируемости уравне-
уравнений A.144). Это условие называют условием сплошности или совмест-
совместности деформаций Сен-Венана. Условия сплошности деформаций
получаются из уравнений A.144) исключением из них частных про-
производных от соответствующих перемещений по соответствующим
координатам:
dx*
a^2 ал: ду э
дх
" ar/ аг]
" дг дх ;
дг
«
Зуаг'
	, дЧу .
a^/V^ 5у ^ аг / "дхдг'
д 1дУгу дугх &fxy)_9at'-
дг\дх
" дхду
A.149)
67

Выполнение условия Сен-Венана A.149) [191] не только необходимо,
но в случае односвязных областей достаточно для интегрируе-
интегрируемости дифференциальных уравнений Коши A.144).
Приведенные в данной главе статические и геометрические
уравнения применимы для любого тела независимо от его состоя-
состояния, т. е. для любой сплошной среды. Однако при этом необходимо,
чтобы рассматриваемое тело (среда) было сплошным как до де-
деформации, так и после нее. Поскольку указанные уравнения
не отражают физической природы исследуемого тела (упругое или
пластическое и т. д.), для решения задачи о напряженном и дефор-
деформированном состоянии исследуемого тела следует к полученным
статическим и геометрическим уравнениям прибавить еще физиче-
физические уравнения, т. е. уравнения связи между компонентами тен-
тензора напряжений и компонентами тензора деформаций.
ГЛАВ А 2
УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ТОЧКЕ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА. УСЛОВИЯ НАЧАЛА
ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА
1. Теория связи напряжений и деформаций
в точке деформируемого тела
(физические уравнения)
Приведенные в первой главе формулы и уравнения справед-
справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она
упругой, пластической или находится в любом другом физическом
состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды
физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для
которых зависимости между деформациями и напряжениями носят
линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука«
По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на одно-
однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотроп-
анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы,
называются однородными, а тела с различными упругими свойст-
свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность
непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменя-
изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от
точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие
свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную
точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свой-
свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную
точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры
тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно
однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого
тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между
компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке
линейная;
68

+ А12гу -f- А13е2 + Л]4Тг/г + Auyzx + А16уху;
А2Ьу2Х + А26уху;
Предположим, что определитель шестого порядка из коэффициентов Аи
не равен нулю. Следовательно, уравнения B.1) относительно eXt ey,
е2> Уху Ууг> Угх разрешимы:
&х = апох + о12оу 4- alsoz + аиту2 + aibizx
Еу = «21°Л:
Ег = Дз!^ 4-
B.1а)
УХУ =
где a^ A(i — коэффициенты, которые в случае неоднородного тела
являются функциями координат дс, у, г. Обычно их называют упру-
упругими характеристиками.^ Если тело однородное, то a.j, A • не зави-
зависят от координат и называются упругими постоянными. Очень часто
a.j называют коэффициентами деформаций, a A.j — модулями
упругости. Уравнения B.1) и B.1а) показывают, что для каждого
однородного анизотропного тела число упругих постоянных равно
36, Зависимости B.1) и B.1а) называют обобщенным законом Гука.
Из законов термодинамики следует существование положитель-
положительной функции W (еХу еу, E2t Уху, yyzt y2x)t для которой справедливы
соотношения [91]
dW	dW	dW	dW
dW • x	dW	A <2\
oyzx y Л-И-...»	v '
где W — упругий потенциал в рассматриваемой точке. Интегри-
Интегрируя уравнения B.2), получаем выражение для упругого потен-
потенциала в виде однородной квадратичной функции деформаций:
AEl + At?y 4- A1sexe2 4- AuExyyz 4- А1ЪЕхугх +
А2ьЕуУхг +
у	4" А35Е2у2Х 4" A3QE2yxy +
1	2
+ у ^447^2 + ^ьУугУгх + ^46Ууг^ху +
+ у Аььу\х + А5вУ2Хуху + -^ Ал9у1у,	B.3)
69

или с учетом B.1)
(ае + о*^ + <% + tY + хУ + ЪУху). B. За)
Упругий потенциал всего тела W= \ WdV, где К—объем тела;
(V)
dV — элементарный объем.
Если в выражении B.3) для потенциальной энергии перейти к
напряжениям, то имеем
W = у 1	+	+
+ -о" азза? + «34^2^^ + O.Zfpz%zx + Озб^г^л:^ + у
+ а^ХугХух + у 055^ + йъьхгххХу + у «бб^.	B-4)
При этом справедливы формулы Кастильяно:
dW	dW	dW	dW	dW
e; е; b; У
^ = Щ-	B-5)
Дифференцируя составляющие напряжений B.2) по соответствую-
соответствующим деформациям, а составляющие деформаций B.5) — по соответ-
соответствующим напряжениям, получаем
де
х
д&х _дгу дех_ __ духу.	B 7)
доу ~дох ; дтху ~~дох ' * *# *	v # ;
Из равенств B.6) и B.7) с учетом BЛ) и B.1а) следует, что Atj=*
— Ац\ а,ц = пц. Таким образом, для однородного тела в общем слу-
случае анизотропии число упругих постоянных пц, Ац равно 21.
Если в каждой точке тела имеется плоскость упругой симмет-
симметрии такая, что любые два направления, симметричные относительно
этой плоскости, являются эквивалентными в отношении упругих
свойств, то число независимых упругих постоянных сокращается до
13 [91]. Если в каждой точке тела имеются три ортогональные плос-
плоскости упругой симметрии (тело ортотропное), то число неизвестных
упругих постоянных уменьшается до девяти. У трансверсально-
изотропного тела существует плоскость упругой изотропии, так
что все направления, перпендикулярные ей, эквивалентны, значит,
число упругих постоянных равно пяти. Изотропное тело характери-
характеризуется эквивалентностью всех направлений, т. е. любая плоскость
есть плоскость упругой симметрии. В этом случае число неизвестных,
независимых упругих постоянных равно двум, поскольку а.у= a.j,
70

a #ii = fljg = а16 = д2|== «2Б!
== «46== «бв1^^»' «11== «22 =
«2в в «34 '
2_
«ев = —; «12 =
= а13 == <з23 ~ —р • Между упругими постоянными ?, G, ц суще-
существует зависимость G = п —г » Тогда закон Гука B.1а) в декар-
товой системе координат записывается в виде
Вх~~ Е *а*
J_fa _
e2 = ~F [а,—
B.8)
Если принять для компонент деформаций обозначения A.51), а для
компонент напряжений — A.4), то зависимость B.8) можно пред-
представить в сокращенной форме
Решая равенства B.8) относительно напряжений, получаем
ох = %В + 2(/е,; ] ixy = Gyxy; |
\	G
|
= Gyyz;
=Gy2X. J
B.9)
Закон Гука в цилиндрической и сферической системах координат
соответственно имеет вид
B.9a.)
се = %В + 2Gee; i
az = ЯО + 2Ge2; j
:GY<pP>
B.96)
где 6 — объемная деформация. Из уравнений B.9) получаем сле-
следующие зависимости:
—а*
B.10)
Закон Гука B.9) и B.8) можно представить и в иной форме. На»
пример,
08	BП>
7t

Так как Зе0 = в, то
т. е. среднее напряжение в точке упругого тела пропорционально
объемной деформации в этой же точке. Формулы B.11) и B.11а)
выражают закон упругого изменения объема. Объемная деформа-
деформация вычисляется по формуле
еи 300A-2^	B12)
Уравнения B.9) в сокращенной форме имеют вид
°Ц - 6;Л = 2G (8*7 ~ б*78о)'	B-13)
где i= 1, 2, 3; /= 1, 2, 3. Такая запись закона Гука устанавли-
устанавливает зависимость между компонентами девиатора напряжений «S .j
и компонентами девиатора деформаций e.j* В пределах упругости
компоненты девиатора напряжений пропорциональны компонентам
девиатора деформаций, причем коэффициентом пропорционально-
пропорциональности является удвоенная величина модуля сдвига, т. е.
^ = tl = ?* = sli = ЭЖ = SJ* = 2G,	B 14)
ex ey ez exy eyz ezx
или
Формула B.14) выражает закон изменения формы, который часто
формулируют так: компоненты напряжений и деформаций, соот-
соответствующие изменению формы, пропорциональны друг другу. Вы-
Выражения закона Гука через интенсивности напряжений и дефор-
деформации имеют вид
ai = 3Gsi; i.^Gy^	B.15)
Удельная потенциальная энергия в окрестности рассматривае-
рассматриваемой точки в случае изотропного тела записывается через компонен-
компоненты деформаций и напряжений:
»ттг 	 р 2 _! _]_ _1_ * Й2 _J_i2 l_ 2 J_ 2 м • ^9 Ifi^
+ 2 A + A) (%1У + %lz + %\х)].	B.17)
Указанную энергию можно представить в виде суммы энергии, рас-
расходуемой на изменение объема, и энергии, расходуемой на изменение
формы:
Г=П70б+Гф,	B.18)
где
. 3A-2ц) 3 .	3(l+|i) а
^06—2 Е 0}<т' w ф	2Е окт*
72

Согласно B.14) девиатор напряжений прямо пропорционален де-
виатору деформаций:
Da = 2GDe,	B.19)
Зависимость B.19) с учетом B.14) может быть переписана следую-
следующим образом:
Dn 2DP
r-V-	B-20)
Da „
Поскольку —= Da^- направляющий девиатор напряжений (см.
%i
2D?
A.43)), а	= De — направляющий девиатор деформаций (см. A.76)),
то из B.20) находим
Da = De.	B.21)
Следовательно, в каждой точке упругого тела направляющие девиа-
торы напряжений и деформаций совпадают.
2. Основные уравнения линейной теории
упругости и методы их решения
При решении упругопластических задач в качестве нулевого
приближения используется решение задач в упругой области, по-
поэтому в данном параграфе приводятся основные уравнения линей-
линейной теории упругости и методы их решения.
Для решения любой инженерной задачи о прочности, жестко-
жесткости и устойчивости в пределах упругости необходимо знать поле
перемещений, характеризуемое тремя функциями:
и = ср^*, у, г); v = ф2 (х , у, г); w == ф3 (х, г/, г);
поле деформаций, характеризуемое шестью функциями:
?х = Ф4 (х. У> г); гу = ф5 (*, у, z)\ ег = ф6 (х, у, z);
Уху = ф7 (х, У, г); yyz = ф8 (у, у, г); yzx = ф9 (*, г/, г);
поле напряжений, характеризуемое шестью функциями:
ох = Фю (^' У» 2); af/ "= Фп (*• ^» 2)? <** = Ф12 (*. ^/. z);
т*# = Ф1з (*, У> г); хгх = ф14 (*, у, z); тху = ф15 (д:, у, г).
Для нахождения указанных пятнадцати функций в линейной тео-
теории упругости имеется пятнадцать уравнений, которые для удобств^
приводятся в сокращенной записи:
три уравнения статики (динамики)
a + x 0()(/12^ <2-22>
шесть геометрических уравнений (формулы Коши)
f duf
73

шесть физических уравнений (обобщенный закон Гука)
°t/ ~* Sf/ao = 2G (8// ~ 6//8о) {i. i = 1, 2, 3).	B.24)
Найденные пятнадцать функций должны удовлетворять статиче-
статическим или кинематическим граничным условиям и условиям сов-
совместности деформаций, а при решении задач динамики — также
начальным условиям.
Приведенные пятнадцать уравнений линейной теории упруго-
упругости решают разными методами в зависимости от того, какие неиз-
неизвестные функции (перемещения или напряжения) принимают за ос-
основные. Поэтому одну и ту же задачу теории упругости можно ре-
решать или в перемещениях, или в напряжениях, используя соответ-
соответственно определенную систему дифференциальных уравнений.
Постановка задачи теории упругости
в перемещениях и приближенный метод ее решения
Если принять за основные функции неизвестные перемещения,
то решение задачи теории упругости можно свести к интегрирова-
интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях.
Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равно-
равновесия (движения) B.22) компоненты напряжений через компоненты
деформаций согласно обобщенному закону Гука B.24), а затем
с помощью геометрических уравнений Коши B.23) представляя ком-
компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три
дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях:
= и;
~
(X + G)
B.25)
~du.dv.dw *	.	о / ч (
где 6 = -г- + ^- + -	объемная деформация; у ( ) = ¦
, д2 ( ) d2( )
+ а о i—tV ^- оператор
ду2 dz2
Уравнения B.25) — уравнения Ламе — получены как синтез
статического, геометрического и физического решения задачи.
Перемещения и, v, w должны удовлетворять граничным условиям
на поверхности A.14), которые с учетом обобщенного закона Гука
B.8) и условий Коши B.23) принимают вид
)
(ди, , ди . ди \ . . (ди, , dv . dw \
\дх ' ду ' дг ) ' \дх ' дх ' дх /
г,, и. + о (|, +1„ + *;) + о (g, +1» + g
Уравнения B.25) совместно с уравнениями B.26) позволяют решать
задачу теории упругости в перемещениях. При решении многих
74

практических задач в пределах упругости пренебрегают действием
объемных сил. Тогда уравнения Ламе в декартовой системе коор-
координат записываются следующим образом:
~
)
B.27)
Приближенное решение уравнений B.27) для компонент упругого
перемещения имеет вид
у, г),
B.28)
где и0 (*, */, г), v0 (х, у, г), wQ (x, у, г) — функции координат, точно
удовлетворяющие граничным условиям. Данные компоненты со-
составляют как бы основное поле перемещений. Слагаемые, следя-
следящие за этими функциями и находящиеся под знаками сумм, опре-
определяют корректирующие поля перемещений. Функции координат
U (х, У, z), 4>i (х, у, г), я|>/ (х, у, z) необходимо выбирать так, чтобы
они удовлетворяли граничным условиям в перемещениях, ПостЪ-
янные at, bi, ci (i = 1, 2, 3, ..., т) определяются из условий ми-
минимума потенциальной энергии деформаций для действительного
напряженного состояния:
dW
dw
да,-
- аб,— dci
Здесь
W
~ J 1 \d*/ \Er// * \dz J 1 — 2fi \(?д: ^f/
да dv
dv dw
te+
dw du
+
dV-
Такой метод приближенного решения можно считать вариационным
методом Кастильяно. При решении уравнений B.27) пользуются
также методами Папковича — Нейбера [145], Кельвина, Бусине-
ска — Галеркина и др.
Дифференциальные уравнения B.27) в цилиндрической системе
координат имеют вид
75

~
= О,
B.29)
где
I д
I dv . dw
Постановка задачи теории упругости в перемещениях при гра-
граничных условиях состоит в том, чтобы найти три функции переме-
перемещений, которые удовлетворяют внутри области У, занимаемой те-
телом, дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях
B.25), а на границе области — граничным условиям B.26). Дина-
Динамическая задача ставится аналогично, однако перемещения зави-
зависят не только от координат, но и от времени t, т. е. функции должны
удовлетворять дифференциальным уравнениям движения в пере-
перемещениях, граничным и начальным условиям.
Постановка задачи теории упругости
в напряжениях и приближенный метод ее решения
Если за основные неизвестные принять напряжения, то для их
нахождения необходимо получить соответствующие уравнения. Вы-
Выразив компоненты тензора деформаций е^. через компоненты тен-
тензора напряжений о., по закону Гука B.8) и подставив их в уравне-
уравнения сплошности A.149), с учетом B.22) получим дифференциаль-
дифференциальные уравнения совместности деформаций в напряжениях в декар-
декартовой системе координат:
Я(у _}_ d4i (та) = __2дХ	м_ (дХ +дУ_ dZ\
( . дУ , dZ
2
ду I —
dz
iW
г +
дхду
Чг (Та)
1 + fi ду dz
1 З'/i (Г,
1 + \i dydz
'дХ
'дУ
dY
дх
dZ
кдх
'дХ
д?,дЛ
	(dZ дХ\
~ [дХ + 02 Г
> B.30)
Уравнения B.30) называют уравнениями Бельтрами — Митчелла.
Таким образом, для решения задачи теории упругости в напряже-
76

ниях необходимо проинтегрировать уравнения B.22) и B.30)»
а входящие в общие решения этих уравнений произвольные функ-
функции определить из условий на поверхности A.11). При решении
многих практических задач пренебрегают действием объемной силы,
тогда уравнения B.30) записываются так:
)
Приближенное решение системы уравнений B.31) ищем в виде
1=1
m
где с<°\
, azu', TjJjJ, ^«z» x(zuj — функции координат, а ,
извольные постоянные, определяемые из условий т-г- = О
3, ... , т). При этом
= 1| 2,
W
пр \
(V)
77

Такое приближенное решение считается вариационным методом
Кастильяно, базирующимся на вариационном принципе, согласно
которому действительная форма равновесия тела отличается от всех
возможных тем, что для нее полная энергия системы имеет мини-
минимальное значение.
Уравнения Бельтрами — Митчелла (при отсутствии объемных
сил) в цилиндрической системе координат записываются таким об-
образом:
= 0;
B.32)
где
При решении задач теории упругости может возникнуть вопрос
о том, является ли полученное решение единственным (однознач-
(однозначным). Теорема о единственности утверждает, что для тела, находя-
находящегося в естественном состоянии, решение задачи теории упругости
единственно, если справедлив принцип независимости действия
сил. Предположим обратное, что для тела, находящегося под дейст-
действием объемных X, К, Z и поверхностных Xv, Yv, Zv сил, возможны
два решения:
%xyi %yz, %zx, или
%ху,
или
B,33)
B.34)
Оба эти решения должны удовлетворять уравнениям равновесия
= 0 (/ = 1,2,3)
78

и условиям на поверхности
*iv= S V/ (*-1. 2, 3)?
з _
X;v= J V/ a = i, 2, з),
Вычитая почленно соответствующие уравнения, получаем новую си-
систему уравнений равновесия:
и условия на поверхности:
где разности напряжений о^ — o?j- принимаются за новую систему
напряжений. Полученная новая система уравнений справедлива
при отсутствии объемных и поверхностных сил. Поскольку принято,
что тело находится в естественном ростоянии, эти напряжения
должны быть равны нулю:
^7-^7==0' или at7 = at7.
Следовательно, при заданных объемных X, Y, Z и поверхностных
Xv, Yv, Zv силах, если тело находится в естественном состоянии
и выполняется принцип независимости действия сил, решение за-
задачи теории упругости является единственным. Аналогично дока-
доказывается единственность решения задачи теории упругости, когда
на поверхности тела заданы перемещения.
Основными методами решения задачи теории упругости явля-
являются следующие методы.
1.	Прямой метод, заключающийся в непосредственном инте-
интегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными
граничными условиями на поверхности. Приведенные в работах
[6, 65, 145, 153—157] точные решения исходных уравнений линей-
линейной теории упругости из-за больших математических трудностей
получены для ограниченного класса задач. Поэтому при решении
задач теории упругости приходится использовать приближенные
решения.
2.	Обратный метод, заключающийся в том, что сначала задают
напряжения или перемещения как функции координат, которые
удовлетворяют дифференциальным уравнениям, а затем опреде-
определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая
система перемещений или напряжений.
3.	Полуобратный метод Сен-Венана, заключающийся в том, что
при решении задачи теории упругости делают допущения о виде не-
некоторых функций напряжений или перемещений. При этом упро-
79

щаются дифференциальные уравнения; решения их становятся бо-
более простыми и менее трудоемкими. Полуобратный метод является
одним из наиболее эффективных методов решения задач теории
упругости.
Приведенные физические уравнения (обобщенный закон Гу-
ка), выражающие зависимость между напряжениями и деформа-
деформациями, справедливы только в пределах упругости, когда не возни-
возникают пластические деформации.
3. Основные условия начала
пластического течения материала
В предыдущем параграфе приведены основные уравнения,
позволяющие решать задачу об определении напряженного и де-
деформированного состояния однородного изотропного упругого тела
находящегося под воздействием объемных и поверхностных сил*
б
0
/
6
\ в/
р _
/
1
с
т
0
/
А
1
1
1
л .
г
/с
г
Рис. 21
Однако известно, что твердые тела при нагружении можно считать
упругими лишь до определенных пределов, выше которых тела по
своей природе не подчиняются свойствам упругости. В силу появ-
появления пластических деформаций линейные зависимости между на-
напряжениями и деформациями нарушаются. Это наглядно видно
из диаграммы растяжения (рис. 27, а) и диаграммы сдвига (рис.
27, б), где показаны: !) упругий участок ОЛ, на котором зависи-
зависимость между напряжениями и деформациями носит линейный ха-
характер:
а = еЕ (рис. 27, а); т = УО (рис. 27, б);
2) участок текучести А В, на котором напряжения равны пределу
текучести о = ov (рис. 27, а); т = тт (рис. 27, б). При напряже-
ВО

ниях, выше указанных пределов, начинается участок упрочне-
упрочнения ВС, на котором зависимость между напряжениями и деформа-
деформациями носит нелинейный характер:
0 = ф (8) (рис. 27, а); % = <р (у) (рис. 27, б).
Если упругое тело нагрузить за пределами упругости, что соответ-
соответствует, например, на диаграммах растяжения (рис. 27, а) и сдвига
(рис. 27, б) точке М, то элемент подвергается не только упругому,
но и пластическому деформированию. В этом случае общая дефор-
деформация состоит из упругой и пластической (8 = ге + ер; у = уе +
Поэтому при решении задач об определении напряженного
и деформированного состояния однородного изотропного тела, на-
нагруженного за пределами упругости, необходимы уравнения пла-
пластического состояния материала (уравнения связи между напряже-
напряжениями и деформациями или между напряжениями и скоростями
деформаций). Такие уравнения устанавливаются на основании за-
законов теории пластичности. Однако прежде, чем перейти к описа-
описанию этих законов, сформулируем условия начала текучести, представ-
представляющие собой критерии перехода материала в точке тела из упру-
упругого состояния в пластическое, т. е. условия начала возникновений
пластических деформаций.
Условия начала пластического течения
изотропного материала
Критерием перехода материала в рассматриваемой точке на-
напряженного тела из упругого состояния в пластическое является*
начало появления пластических деформаций. Условие начала появ-
появления пластических деформаций называется условием пластично-
пластичности. Для линейного напряженного состояния (при растяжении)
ог = а; а2 = а3 = 0 условие пластичности устанавливается из экс-
эксперимента. Пластические деформации, как видно из рис. 27, а, воз-
возникают тогда, когда напряжения достигают предела текучести*
при растяжении. Поэтому условие начала пластичности при растя-
растяжении имеет вид
а = ат.	B.35)
Условие пластичности при чистом сдвиге, как видно из рис. 27, б,.
можно записать как
т = тт.	B.36>
В случае сложного напряженного состояния условие начала пла-
пластичности (текучести) принимает вид
Оу, Ог, 1xy> tyz, *zx) = #, или Ф (а{/) = /С, B.37)
где К — постоянная материала, связанная с пределом текучести».
Условие начала пластичности часто записывают в более краткой
форме:
Фт(а.у) = 0.	B.38).
Здесь также подразумевается наличие параметра «предела теку-
текучести» /(. Условие B.38) геометрически в шестимерном простран-
81

стве компонент напряжений является уравнением гиперповерхно-
гиперповерхности начала пластичности (рис. 28). Когда точка Л, изображаемая
вектором Оц% составляющие которого равны компонентам тен-
тензора напряжений а^-, лежит внутри этой поверхности, материал
в рассматриваемой точке деформируется упруго; когда она лежит
на поверхности (точка В), начинается процесс пластической де-
деформации.
Для изотропного тела значения функций Ф (Ъц) не изменяются
при повороте координатных осей в силу одинаковых свойств мате»
риала во всех направлениях, поэтому условие начала пластично-
пластичности B.38) может быть записано в виде функций инвариантов тензора
на пряжений:
0.	B.39)
Если учесть, что при равносторонних растяжениях или сжатиях
пластические деформации не возникают, a /f (DJ = 0, то условие
пластичности можно представить
как функцию второго и третьего
инвариантов девиатора напряже-
напряжений:
/3(Da)] =0. B.39а)
'В Уравнение B.39а) в системе коор-
координат 0Ь 02, 03 представляет собой
поверхность пластического тече-
течения, ось которой 0i = 02 — о~3 рав-
,р 28	нонаклонна к координатным осям,
а следовательно, перпендикулярна
девиаторной плоскости. Начальная
поверхность текучести в процессе активной деформации изменяет
свою форму и постепенно расширяется. Расширение поверхности
текучести может быть описано введением функции упрочнения, ко-
которая зависит от многих аргументов, и в первую очередь от интен*
сивности девиатора деформаций. Наиболее распространенными усло-
условиями начала пластичности для однородных и изотропных тел
•являются следующие условия.
1. Условие начала пластичности Треска—Сен-Венана, со-
согласно которому пластические деформации в данной точке тела воз-
возникают тогда, когда максимальные касательные напряжения дости-
достигают определенной величины, равной пределу текучести при чис-
чистом сдвиге:
Для объемного напряженного состояния условие B.40) с учетом
A.27) записывается так:
| ах — а21 = ат; |а2 — 03 | = 0Т; |03 — o"i I = <jt. B.40a)
Уравнения начала пластического течения B.40а]^ удобно предста-
шить в виде
max {| 01— стя(, |г2— 031, |03 — af |} = о^ B.406)
82

Рис. 30
Если принять о1>о2>а3, то условие B.40а) можно объединить
в одно:
<Tl — СГ8 = СТТ.
Приведенное условие пластического течения впервые подтверж-
подтверждено экспериментами французского инженера Треска [286]. Сен-
Венан [191] дал ему условную математическую формулировку для
плоской задачи. Геометрическая интерпретация условия пластиче-
пластического течения Треска — Сен-Венана B.40а) может быть представ-
представлена в виде поверхности текучести (шестигранной призмы), построен-
построенной в системе координат оъ а2, а3, ось которой а1= а2 = а3.
равнонаклонна к координатным осям, а следовательно, перпенди-
перпендикулярна девиаторной плоскости. На рис. 29, а показана часть
этой призмы, так как ее грани продолжаются до бесконечности.
Пересечени ем призмы с девиаторной плоскостью является правиль^
ный шестиугольник (рис. 29, б) со стороной а =
Условие пластического течения B.40а) можно переписать-
в виде
2	2	2
I 01 "— а0 I = "о" <*т> I а2 "~ 0О I — "о~ °т> I °3 — °*0 I = "о* ^т» B«41)-
или
^aol, |<т2—ao
— а0
1-4а.
т'
83

Данное условие начала пластического течения материала в точке
предложено А. Ю. Ишлинским [72], затем Хиллом [224] и несколько
позже Д. Д. Ивлевым [62].
2. Условие начала пластичности Хубера — Мизеса — Генки
[22—25, 270], которое утверждает, что пластические деформации
в точке изотропного тела возникают тогда, когда интенсивность ка-
касательных напряжений достигает некоторой постоянной для дан-
данного материала величины
= С.
B.42)
Причем постоянная величина выбирается так, чтобы в случае про-
простого растяжения (о2 = о3 = 0) B.42) совпадало с условием Oi=G^,
т/2
При этом С = -^- gt. Тогда ус-
условие начапа пластичности B.42)
можно переписать в виде
= К>	B-43)
или, через главные напряжения,
+ (g3 — охJ = 2о^. B.43а)
Условие начала пластичности
B.43а) для рассматриваемой
точки представляет собой по-
поверхность кругового цилиндра,
ось которого равнонаклонна к
координатным осям оа, о2, о3, т. е. перпендикулярна девиаторной
плоскости. На рис. 30, а показана часть этого цилиндра, так как
поверхность продолжается до бесконечности. Пересечением цилиндра
•Рис. 31
с деьиаторной плоскостью является круг радиуса г = I/ -тт <гт
(рис. 30, б).
В случае плоского напряженного состояния (о3 = 0) условие
текучести B.40а) Треска —Сен-Венана [191, 286] имеет вид
при |g2| > | G
ffiGa < 0
I o2 | = gt;
i— ^2! = crT
B.44)
Выражения B.44) в плоскости ах и g2 представляют собой уравне-
уравнения шести прямых (ab, be, cd, de, ef> fa), отсекающих на осях коор-
координат отрезки, равные в масштабе пределу текучести и образующие
правильный шестиугольник abedef (рис. 31).
Условие начала пластичности B.43а) Хубера — Мизеса —
Генки [270] для плоского напряженного состояния (g3 = 0) запи-
записывается в виде
2	, _,2	_2	/о /fC\
84

Уравнение B.45) представляет собой уравнение эллипса, описан-
описанного вокруг шестиугольника abcdef (см. рис. 31). Эксперименталь-
Экспериментальное подтверждение условий пластического течения B.44), B.45)
можно найти в работах [50, 51, 93].
Условие начала пластического течения
анизотропного материала
В результате пластической обработки (ковки, прокатки) поли-
поликристаллические металлы могут стать анизотропными. Такую анизо-
анизотропию называют деформационной. Деформационная анизотропия
возникает вследствие появления текстуры, т. е. системы законо-
закономерно ориентированных кристаллов.
Условие начала пластического течения для анизотропного ма-
материала предложено Мизесом [270] в следующем виде:
2B2233GyGz + 2B3311Gzox
+ 4B2223GyXyz
уу	y	2lzxT'xy = I > B.46)
где Btjkl — постоянные, число которых в B.46) равно 21. Уравнение
B.46) называют квадратичным условием начала пластического те-
течения [102]; в сокращенной форме B.46) имеет вид
Bifla°i/°ki = l-	B-46a>
В случае анизотропного тела, имеющего три взаимно ортогональные
плоскости симметрии (ортотропное тело), в уравнении в силу сим-
симметрии отбрасываются все слагаемые, содержащие касательные на-
напряжения в первой степени и произведения различных касательных
напряжений, так как они изменяют свой знак на обратный при из-
изменении направления. Тогда условие начала пластического течения
B.46) для ортотропного тела примет вид [102]
= 1.	B.47)
Число постоянных материала уменьшилось до девяти. Мизес пред-
предполагал, что при равномерном растяжении или сжатии в анизотроп-
анизотропном материале так же, как и в изотропном, пластические деформации
не возникают. Это позволяет установить дополнительные соотноше-
соотношения между постоянными Bijkl из условия B.47), подставляя в него
вместо компонент тензора напряжений gx, Gy, gz, %Xy, Ъуг, tzx новые
компоненты Gx+p, oy + p, сгг + Р» *ху* ч>уг, %гх и приравнивая
нулю слагаемые при первой и второй степени р:
B 48)
2^2222 + 2В1122 + 2Б2233 =0;
2^зззз + 2В2233 + 2Б331? = 0;
^2222+^3333 + 2Вц22 + 252233 + 2В33Ц= 0. ,
85

Решая первые три уравнения B.48), получаем
^2222 + ^3333
^3333
+ ^2222 — #33 33 =
— Дш! ==—2 #2233 J
'— ^2222 = —2
B.49)
Данные соотношения удовлетворяют четвертому уравнению B.48).
Подставляя соотношения B.49) в B.47), найдем условие начала
пластического течения для ортотропного тела [256]:
Яо (Ох - оуJ + Fo (оу - огJ + Go (°z - <т0J
где
3l3i. J
Wo = 2B1212; L0 = 2B2323; Mo
Параметры анизотропии B.50) определяются так [102]:
B.50)
B.51)
1
О J
С учетом B.51) условие начала пластичности B.50) ортотропного ма-
материала принимает вид
fc) "te+?r?J xy~
"Г
_1
/2Т,
В случае, когда тело нагружено за пределами упругости, приве-
приведенные условия начала пластичности нарушаются и зависимости
между напряжениями и деформациями принимают нелинейный
характер.
86

ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ,
ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ
СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА
Для определения напряженного и деформированного состояния
твердого тела, нагруженного за пределами упругости, необходимы
уравнения пластического состояния, связывающие напряжения
и деформации. Полностью задача о построении таких уравнений
в общем случае не решена из-за сложности процесса пластического
деформирования, хотя предложено много различных теорий
[66—69, 132, 141, 142, 155, 224]. Рассмотрим основные уравнения
пластического состояния, широко применяемые в расчетах эле-
элементов конструкций Q учетом пластических деформаций.
1. Диаграммы деформирования материала.
Методы их построения и схематизация
Для установления связи между напряжениями и деформациями
в условиях линейного напряженного состояния на основании экс-
эксперимента строят диаграмму растяжения в координатах а — г (рис.
32, а). Причем напряжения и деформации определяют как
а-V V	C#1)
При этом не учитывается изменение первоначальной площади по-
поперечного сечения образца Fo и предполагается равномерное дефор-
деформирование образца по его длине /0. График зависимости между на-
напряжением и деформациями, построенный без учета изменения
площади поперечного сечения испытываемого образца, называется
условной диаграммой растяжения (рис. 32, а). Поскольку площадь
поперечного сечения образца е увеличением деформации непрерывно
уменьшается, а равномерность деформирования по длине образца
нарушается, то необходимо строить не условные, а истинные (дей-
(действительные) диаграммы растяжения. Для построения истинной
диаграммы растяжения до образования шейки необходимо растя-
растягивающую силу относить к действительной площади поперечного
сечения образца:
°	<32>
Зависимость F от Fo определяется из условия неизменяемости объема
элемента образца Fodz при его деформации. На основании этого до-
допущения записываем [101]
Fodz=F(l+&)dz, откуда F = T-^-.	C.3)
1 -\- 8
Выражение C.2) с учетом C.3) позволяет определить зависимость
между действительным ад и условным о напряжениями:
ад=(тA+е),	C.4)
87

во
60
40
20
/
/
А
/
О 20 40 60
б
€,%
Рис. 32
Действительная диаграмма растяжения располагается выше услов-
условной и отличается от условной только по оси ординат.
Приращение осевой деформации при растяжении стержня de =
= -у-, где / — текущая длина стержня; dl — бесконечно малое ее
изменение. Суммирование приводит к так называемой логарифми-
логарифмической деформации
C.5)
Здесь /0 — длина стержня до деформации; М — удлинение; 8 —
обычная деформация стержня. Из графика зависимости C.5), по-
показанного на рис. 32, б, следует, что при 8 < 20% различие между
логарифмической и обычной деформациями незначительно. При
88

8 > 20% оно составляет примерно 10%. Поскольку значение обыч-
обычной деформации, при которой образуется шейка, не превышает
10—15%, то до образования шейки логарифмическую деформацию
можно считать равной обычной [99, 102]. Начало образования шейки
соответствует на действительной диаграмме растяжения в коорди-
координатах ~гу ад точке, для которой величина под касательной равна
единице (рис. 32, в). После того как образовалась шейка, напря-
напряженное состояние в образце становится неодноосным и неоднород-
неоднородным. В этом случае нужно строить только действительную диа-
диаграмму деформирования на основе анализа напряженного состоя-
состояния в шейке.
Задача о напряженном состоянии в шейке растянутого образца
из изотропного материала приближенно решена Н. Н. Давиденко-
вым и Н. И. Спиридоновой [40]. При ее решении принимались сле-
следующие допущения: 1) материал несжимаемый (е0 = 0); 2) логариф-
логарифмические деформации (окружная и радиальная) в точках наимень-
наименьшего поперечного сечения шейки равны между собой и постоянны;
3) кривизна траектории одного из главных напряжений в некото-
некоторой точке наименьшего поперечного сечения шейки на расстоянии
г от оси (рис, 32, г) определялась по формуле
где гх — радиус наименьшего поперечного сечения шейки; R — ра-
радиус кривизны контура шейки в точке наименьшего поперечного
сечения. На основании принятых допущений (sz = е0, а следова-
следовательно, о2 = о0) напряженное состояние в шейке растянутого об-
образца, изготовленного из изотропного материала, характеризуется
следующими компонентами напряжений:
C.7)
C-8)
Растягивающая сила определяется из выражения
ozrdr.	C.9)
Интенсивность напряжений в точках наименьшего поперечного се-
сечения шейки вычисляется по формуле
(ЗЛО)
Согласно первым двум допущениям логарифмическая осевая дефор-
деформация в точках наименьшего поперечного сечения шейки равна
89

удвоенной логарифмической радиальной деформации и" постоянна
в данном сечении, т. е. е2= —2е2 = const. Тогда по формуле A.70)
интенсивность логарифмических деформаций в точках наимень-
наименьшего поперечного сечения шейки является та кже постоянной вели-
величиной, т. е.
8^ = е2 = const.	C,11)
С учетом формул C.3) и C,5)
р
в, = 1п-^-.	C.12)
Зависимости (ЗЛО) и C.12) позволяют построить действительную
диаграмму деформирования в координатах интенсивность логариф-
логарифмических деформаций е, — интенсивность напряжений О{.
Решения задачи о напряженном состоянии в точках наимень-
наименьшего поперечного сечения шейки растянутого образца приведены
в работах [52, 101, 102]. Зависимость а/ от е/ может быть определена
по результатам испытания на растяжение, тем более, что проведе-
проведение последних проще, чем испытания при сложном напряженном
состоянии. Выражения для интенсивностей напряжений и дефор-
деформаций при одноосном напряженном состоянии (ог = а; о2 = о3 =0;
—) с учетом формул A.70) и A.37) имеют вид
G; = а; в/=
По формулам C.13) и диаграмме растяжения материала можно под-
подсчитать о*/ и 8/, а также построить соответственно диаграмму дефор-
деформирования. Графоаналитический метод построения диаграммы де-
деформирования по диаграмме растяжения приведен в работе [153].
Если материал несжимаемый (е0 = 0 или [i = 0,5), то из фор-
формул C.13) следует, что диаграмма деформирования материала сов-
совпадает с диаграммой растяжения. Гипотеза о существовании
диаграммы деформирования, не зависящей от вида напряженного
состояния, выдвинута П. Людвиком [95].
Для аналитического описания зависимостей между интенсив-
интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций за пределами
упругости условные и действительные диаграммы деформирования
(так же, как и диаграммы растяжения) схематизируются, т. е. от-
отдельные участки заменяются кривыми или прямыми линиями, имею-
имеющими достаточно простое математическое описание и хорошо совпа-
совпадающими с экспериментально полученными диаграммами. Примеры
аппроксимации некоторых диаграмм деформирования приведены
на рис. 33, а—ж. Схематизированная диаграмма деформирования
с площадкой текучести и линейным упрочнением показана на рис,
33, а. Аналитическая зависимость интенсивности напряжений от
интенсивности деформаций для такой диаграммы имеет вид
на участке О A oi = 3Gsi;	C.14)
на участке АВ Gt = aT;	C.I5)
на участке ВС ot = сгт + Н (е* — е*т),	C.16)
90

>к
Q
I
4 В
Sir
9
с
АВ
U
Sir
Рис. 33

Здесь et.T—интенсивность деформаций, при которой в материале
в данной точке возникают пластические деформации; gfT— интен-
интенсивность деформаций, при которой на диаграмме деформирования
заканчивается площадка текучести и начинается область упрочне-
упрочнения; Н — модуль упрочнения. Используя формулы C.13), находим
зависимости между efTt е^, Н и соответствующими величинами е* t
е , Е при одноосном растяжении [99, 102]:
-In
1 —
C.17)
При е0 = 0 или \i = 0,5 eiT = 8Т; е*т = 8*; Н = ?, т. е# диаграмма
деформирования совпадает с диаграммой растяжения; в этом случае
Схематизированная диаграмма деформирования при отсутст-
отсутствии площадки текучести (8t-T = е?т или 8^ -> е/т) представлена на
рис. 33, б. При этом зависимость интенсивности напряжений от
интенсивности деформаций описывается уравнениями C.14) —
C.16). Схематизированная диаграмма деформирования для иде-
идеально упругопластического тела (? = 0; Р = 0; Н = 0) показана
на рис. 33, в. Если г{ > %tl и деформациями г.7 можно пренебречь
(т. е. принять модуль упругости равным бесконечности), то получим
диаграмму деформирования, приведенную на рис. 33, г. При отсут-
отсутствии упрочнения ее называют диаграммой деформирования для
жестко-пластического тела. Диаграмма деформирования с площад-
площадкой текучести и степенным упрочнением (рис, 33, д) описывается
следующими уравнениями:
на участке О А о^ = 3Gs^;
на участке АВ о? = о_;
Vi\m \ <ЗЛ8)
на участке ВС et = oT -j- U
где m — показатель степени, 0 < m <. 1, Диаграмма деформиро-
деформирования, в которой отсутствует площадка текучести, аппроксимиру-
аппроксимируется степенной функцией не только в области упрочнения, но и во
всем интервале изменения деформаций:
а^/Ц1.	C.19)
Такая схематизация диаграммы деформирования не полностью от«
ражает истинную картину деформирования материала. Некоторые
параметры схематизированных диаграмм растяжения для материа-
материалов с линейным упрочнением приведены в табл. 10 [193], а для ма-
материалов со степенным упрочнением — в табл. 11 [101, 110],
92

Таблица 10
Марка
материала
СТАЛЬ 40Х
40ХНМ
ЗОХГС
18Х2Н4МА
ЭИ659
В95
В95Т
СПЛАВ BTI
Д16
Д16Т
АК4
Термообработка
Отжиг
Закалка, отпуск при
560° С
Закалка, отпуск при
500° С
Закалка при 950° С,
при 850° С, отпуск
при 150°С
Нормализация, отпуск
при 500° С
Закалка+искусствен-
ное старение
Закал ка+искусствен-
ное .старение
Отжиг при 700° С
Закалка + естествен-
естественное старение
Закал ка+искусствен-
ное старение
Закалка+искусствен-
ное старение
МН/м2
700
1100
1200
1320
1300
640
600
600
520
530
380
8
%
25
10
8
10
и
7
6
15
13
8
15
МН/м2
2,05
2,00
2,05
1,92
1,94
0,717
0,7
1,17
0,746
0,72
0,724
ат/апи
1,07
1,055
1,07
1,37
1,385
1,07
1,21
1,3
1,045
1,1
1,14
EJE
0,069
0,0285
0,035
0,311
0,226
0,0285
0 0353
0,079
0,625
0,0445
0,126
Марка
стали
45
40Х
Р9
ХГ
ОХНЗМ
ЭИ756
Термообработка
Закалка на воздухе
при 820° С
Отжиг в течение 0,5 ч
при 880° С
Без термообработки
Без термообработки
Закалка и отпуск
при 550° С
Нормализация при
1070—1050° С, охлаж-
охлаждение на воздухе; .за-
.закалка при 1020—1050° С
в масле; отпуск при
660—680° С в печи
МН/м2
2,00
2,00
2,10
1,99
2,00
2,12
Та б л
ат>
МН/м2
263
400
280
360
840
400
ица п
т
0,204
0,195
0,312
0,190
0,140
0,216
93

Очень часто зависимость интенсивности напряжений от интен*
сивности деформаций записывают, как это видно из рис. 33, ж*
е форме, предложенной А. А. Ильюшиным [69]:
— ©(8,.)],
C.20)
где со (&{) — безразмерная функция интенсивности деформаций,
которую называют функцией Ильюшина; 0 <: ш (г{) < 1. При
напряжениях, меньших предела пропорциональности материала,
<а (&i) = 0, а за пределами упругости © (г{) ф 0, Следовательно,
за пределами упругости зависимость интенсивности напряжений от
интенсивности деформаций носит нелинейный характер. Диаграмму
деформирования можно задавать в виде таблицы.
2. Основные законы теории пластичности
Об условиях упрочнения. Поверхность
пластичности (поверхность нагружения).
Нагружение и разгрузка
Условие начала пластичности при одноосном растяжении
определяется уравнением а = ат. Этому нагружению на диаграмме
Рис. 34
растяжения (рис. 34, а) соответствует точка N. При о < от мате-
материал деформируется упруго, что соответствует на диаграмме рас-
растяжения, например, точке L. Если при нагружении а> ат, то ма-
материал подвергается упругопластической деформации. Пластиче-
Пластическая деформация приводит к упрочнению металла и, следовательно,
к повышению его предела текучести (в направлении деформирова-
деформирования). Так, при нагружении материала за предел текучести (точка М
«а диаграмме растяжения) предел текучести увеличится до ом,
поскольку теперь при повторном его нагружении в пределах от
«уля до стм выполняется закон Гука. При дальнейшем нагружении,
т. е. при дальнейшем увеличении напряжений сг>°*м, деформация
94

материала снова будет упругопластической. Напряжение ам явля-
является текущим пределом текучести, разграничивающим упругую
разгрузку и нагружение, которое сопровождается дальнейшей пла-
пластической деформацией [77, 101].
В случае сложного напряженного состояния для элемента иде-
идеально пластического тела пределы применимости обобщенного за-
закона Гука определяются уравнением Ф (af/) = К = const. Данное
уравнение представляет условие начала пластичности и графиче-
графически в шестимерном пространстве изображает гиперповерхность.
Такая фиксированная гиперповерхность начала пластичности,,
обозначенная 2Т, показана на рис. 34, б. Данная поверхность на-
начала пластичности в пространстве напряжений отделяет область
упругого деформирования от области пластического деформиро-
деформирования. Материал находится в упругом состоянии, если Ф (o-fi < /С.
Для разграничения упругого и пластического деформирования
упрочняющего материала в общем случае напряженного состояния
вводят в шестимернсм пространстве понятие гиперповерхности
пластичности, которая для рассматриваемого состояния элемента
тела разделяет области упругого и пластического деформирования*
Такая гиперповерхность пластичности (гиперповерхность нагру-
жения), обозначенная 2, показана на рис. 34, б. Выберем за на-
начало координат тачку 0, которая соответствует нулевым напряже-
напряжениям. Пусть тело нагружено так, что находится в пластическом
состоянии, характеризуемом в рассматриваемый момент напряже-
напряжением Off, что соответствует точке М на гиперповерхности пластич-
пластичности (см. рис. 34, б). Сообщим напряжению малое приращение
fay (догружение), которое приводит либо к упругой разгрузке,
если вектор daif- направлен внутрь поверхности 2, либо к продол-
продолжающейся пластической деформации, если вект@р da{J- направлен»
наружу гиперповерхности 2, В случае, когда приращение век-
вектора ditj лежит в касательной плоскости к гиперповерхности, на-
нагружение называют нейтральным и материал деформируете»
упруго [102].
При разгрузке деформация элемента тела происходит благо-
благодаря накопленной им упругой потенциальной энергии, величина
которой определяется из эксперимента. Поскольку принимается»
что разгрузка проходит по прямой, параллельной наклону упру-
упругого участка (см. рис. 34, а), компоненты упругой деформации не
зависят от пластического деформирования. Это позволяет считать,
что компоненты полной деформации 8,у. состоят из упругих (&CjH
и пластических (&ц)р частей, т. е.
«*/= («*/)«+ («*/>*-	C-21>
Компоненты упругой деформации связаны с компонентами напря-
напряжения обобщенным законом Гука. При разгрузке приращение
вектора напряжений doif- направлено внутрь гиперповерхности пла-
пластичности 2 (см. рис. 34, б), и при этом происходит лишь изменение
компонент упругой деформации:
<V*-я (°</~-r?jr *•'/)•	C<22)
95

Уравнение гиперповерхности пластичности 2 для упрочняю-
упрочняющего материала записывается в виде [77]
Ф (<>*/) = ^(<7>.	C.23)
где F (q) — возрастающая функция некоторого параметра q, ха-
характеризующего предыдущую пластическую деформацию. Пара-
Параметр q > 0 часто называют мерой упрочнения. Уравнение C.23),
в общем, может содержать не один, а несколько параметров упроч-
упрочнения <7i» #2> <?з> ••• • Поверхность пластичности (нагружения) не
является фиксированной, как в случае идеальной пластичности,
а расширяется и смещается по мере развития упрочнения. Форма
и положение поверхности пластичности 2 (нагружения) зависят
не только от текущего напряженного состояния, но и от всей пред-
предшествующей истории деформирования [77].
Если принять, что на условие изотропного упрочнения влияет
только квадратичный инвариант девиатора напряжений, то условие
C.23) можно записать в форме
C.24)
или с учетом A,39)
|уг7-[^М]2=0.	C.25)
В зависимости от выбора параметра упрочнения q получаем различ-
различные теории упрочнения. Если в качестве параметра упрочнения
принять параметр Одквиста, характеризующий накопленную пла-
пластическую деформацию
Я = &ip	C.26)
то из C.25) с учетом C.24) имеем
C.27)
Выбор условия пластичности с изотропным упрочнением в виде
C.27) равносилен гипотезе о том, что интенсивность напряжений
является функцией параметра Одквиста [138]. Условие C.25) или
C.27) по аналогии с условием начала пластического течения B.43)
называют условием пластичности Хубера — Мизеса. Геометриче-
Геометрическая интерпретация условия пластичности C.25) при наличии
изотропного упрочнения в трехмерном пространстве оъ а2, о3 может
быть представлена в виде поверхности кругового цилиндра (ци-
(цилиндр Хубера — Мизеса), ось которого совпадает с осью ох = о2 =
= а3, перпендикулярной девиаторной плоскости ог -\- о2 -f a3 =
= 0. В процессе нагружения его поверхность все время равномерно
расширяется (увеличивается). Это увеличение зависит от истории
деформирования. Следами Цилиндров на девиаторной плоскости яв-
являются окружности радиусэв 1/ —- ос (см. рис. 35, а). Наименьший
радиус равен I/ ~о~ <*т- Если материал идеально пластический (т. е.
отсутствует упрочнение), то поверхность пластичности (нагруже-
96

ния) совпадает с поверхностью начала пластичности и ее следом
на девиаторной плоскости является окружность радиуса у уОт
(см. рис. 35, б). В этом случае поверхность пластичности в процессе
нагружения расширяется равномерно во все стороны и упрочнение
называют изотропным [17, 102]. Эффект Баушингера не учитывается,
так как при прямом ОАХ и обратном ОА2 нагружении пластические
деформации возникают при напряженных состояниях одной и той
же интенсивности напряжений (рис. 35, в).
\3'
Рис. 35
Очень часто в качестве меры упрочнения q принимают работу
пластической деформации [77, 101]:
C.28)
q = Ар = ? oifd (Bif)p > 0.
Тогда выражение C.25) с учетом C.28) запишется в виде
= 0.	C.29)
Условие пластичности C.29) для упрочняющегося материала с уче»
том A.39) перепишется так:
а/ = F \ С o.jd (et7)J.	C.30)
Следовательно, Ap = O(<Ji). Так как Ар > 0, то для развиваю-
развивающейся пластической деформации работа Ар возрастает, следова-
следовательно, —, 1 > 0. При этом необходимо различать состояния
текучести и упрочнения [77, 101].
4 1-317
97

1.	Состояние текучести возможно, если dO{ > 0. При doi = 0
происходит пластическая деформация. При dO{ < 0 тело выходит
из состояния текучести и разгружается, следуя упругому закону.
2.	Состояние упрочнения возможно, если doi >0. При dot < О
тело разгружается по упругому закону. При doi = 0 работа пласти-
пластической деформации обращается в нуль; такое состояние называют
нейтральным.
Следовательно, основным критерием нагружения, т. е. мерой
появления пластических деформаций, является работа пластиче-
пластической деформации. При нагружении пластические деформации раз-
развиваются и приращение работы пластической деформации должно
быть положительным:
dAp = oijd(EiI)p>0.	C.31)
При разгрузке изменения напряжений и деформаций связаны зако-
законом Гука:
1	)	t	\
dzx = jr [dox — ix{doу + doz)];
= ~р [doy — \х (dox + doz)\)
dez = -l[doz-
doy)\\
1
dyzx = -g- d-Сгх.
C.32)
Полученные выше условия пластичности (нагружения) справед-
справедливы при условии, что материал изотропный и эффект Баушингера
не учитывается.
Постулат Дракера. Выпуклость поверхности
пластичности (нагружения)
Постулат Дракера [45, 46, 253] формулирует условие возникно-
возникновения пластических деформаций: 1) в процессе нагружения доба-
добавочные напряжения производят положительную работу; 2) за весь
цикл дополнительного нагружения и разгрузки при наличии пла-
пластических деформаций добавочные напряжения выполняют поло-
положительную работу [77, 102]. Для упрочняющегося материала ра-
работа равна нулю только при чисто упругих изменениях. Матема-
Математически постулат Дракера выражается неравенством
§ (aif — *?}) dsij > °-	C.33)
Представим, что нагружение происходит по некоторому пути АВ
от точки А до точки By лежащей на поверхности пластичности ]у]
(нагружения) (рис. 36, а). Пусть начальной точке А соответствует
исходное напряженное состояние afj t а точке В, лежащей на по-
поверхности пластичности JJ (нагружения), — напряженное состоя-
состояние о^. В точке В производится бесконечно малое догружение doCji
вызывающе соответствующие упругие d (ъц)е и пластические
98

d {^tj)p деформации. Точка С лежит на новой поверхности пластич-
пластичности Л* (нагружения) (рис. 36, а). Путь нагружения А-+В->С
обозначим /, а вернемся в точку А по другому пути — //
(рис. 36, а). Тогда, согласно постулату Дракера, работа добавоч-
добавочных напряжений за весь цикл нагружения и разгрузки положитель-
положительная, т. е. выполняется условие C.33), Поскольку на замкнутом
пути нагружения / и разгрузки // работа добавочных напряжений
на упругих деформациях d (st-y)<> равна нулю, условие Дракера
C.33) принимает вид
>0.	C,34)
Рис. 36
Так как пластическая деформация происходит только на бесконечно
малом участке B-*Ct неравенство C.34) перепишем следующим
Образом:
(Ot/-<tfi)d8i/p>0.	C.35)
Если за исходное состояние принять не точку Л, а точку В на
поверхности нагружения 2» то» согласно постулату Дракера, для
цикла нагружения В->С выполняется неравенство
datJd*4>Ot	C.36)
а для цикла нагрузки и разгрузки В ->¦ С-> В —неравенство
**ifi (•//)* > °>	C.37)
так как работа на упругих деформациях для замкнутого цикла рав-
равна нулю. В общем случае напряженного состояния C.37) рассмат-
рассматривается как критерий устойчивости деформирования за пределами
упругости.
С учетом постулата Дракера неравенство C.35) показывает,
что скалярное произведение вектора добавочных напряжений
{?ц — ai/) (рис, 36, б) и вектора приращения пластических дефор*
4*
99

маций d (s^) положительно. Следовательно, эти векторы в любом
случае образуют острый угол. Отсюда вытекает выпуклость по-
поверхности нагружения (пластичности). Условие C,35) можно пе-
переписать в виде
ц)р.	<3-35а>
из которого следует, что приращение работы пластической дефор-
деформации o(j d (&{/) имеет максимальное значение для действительного
напряженного состояния по сравнению ео всеми возможными на»
пряженными состояниями, удовлетворяющими условию пластич-
пластичности.
Ассоциированный закон течения
Математически ассоциированный закон течения в сокращенной
форме записывается так:
дФ
d (sif)p = dk g^—	(/. /=1,2, 3).	C,38)
Здесь dX — множитель Лагранжа; Ф (о^) — пластический потен-
потенциал. Зависимости C.38) называют ассоциированным законом пла-
пластического течения, так как последнее связывается (ассоциируется)
с условием текучести. Ассоциированный закон позволяет обобщать
уравнения пластичности путем рассмотрения поверхностей теку-
текучести. Если пластическое течение рассматривается в пространстве
главных напряжений, то соотношения C.38) имеют вид [77]
дФ (о л
= db-g^-4	(j = 1, 2, 3).	C.38a)
Уравнение C.38) получено из условия относительного максимума
функции приращения пластической работы Оуййф, которое запи-
записывается g помощью множителей Лагранжа:
^7 1V Ыр ^ dM f°*/>l = °-	C'39)
Поскольку (а^. *— ofj) d (г^)р^>0, из ассоциированного закона течения
C.38) следует нормальность вектора d(Eij)p к поверхности пластичности
2 (нагружения) (рис. 37, а), так как угол а между векторами
(в//-*-6//) и ^(ъ1/)р острый. Геометрически это можно представить
следующим образом. Пусть поверхность J] выпукла, т. е. лежит
по одну сторону касательной плоскости (рис. 37, а), тогда условие
C.35) выполняется, если вектор ^(е^.)р перпендикулярен поверх-
поверхности пластичности (нагружения). В противном случае всегда най-
найдется вектор {<*ij*—Gf])> составляющий с вектором d(s^)p тупой
угол Р (штриховая линия на рис. 37, а).
100

Если бы поверхность пластичности (нагружения) была невыпук-
невыпуклой, то независимо от направления вектора d(si/)p всегда можно
было бы подобрать точку А так, чтобы векторы (a/Y ~* а°;.) и d (з^)д
составляли тупой угол (рис, 37, б). Следовательно, условие C.35)
выполняется в том случае, когда поверхность пластичности (нагру-
(нагружения) выпуклая, а вектор d (stj)p перпендикулярен данной по-
поверхности. Подставляя C.38) в выражение для интенсивности при*
Рис. 37
ращений пластических деформаций A.107), получаем формулу для
определения параметра Лагранжа [102]:
-VI
deip
дФ #
C.40)
да
l/
Из данного соотношения следует, что dX > 0, Согласно C.37)
и C.38) при нагружении
дФ
— do{f>0; Ф(о{/)=0; dX>0;
при разгрузке
дФ
0;
0.
C.41)
C.42)
101

Переходя из пластического состояния в упругое, вектор d(s(J- про-
проходит через нейтральную плоскость (касательную плоскость к по-
поверхности пластичности); при этом выполняются равенства
i5Lda ., = 0; Ф(о\..) = 0; dX = O.	C.43)
Конец вектора напряжений движется по поверхности пластичности.
Такой процесс нагружения называют нейтральным; в этом случае
законы упругости и пластичности совпадают, что является усло-
условием непрерывности. Для идеально пластического материала по-
поверхность пластичности (нагружения) совпадает с поверхностью
начала пластичности. В этом случае нейтральное нагружение явля-
является основным типом нагружения, которое сопровождается прира-
приращением пластических деформаций. При нагружении
Яф
_rf<j./ = 0; Ф(а,у) = 0; dA, == 0;	C.44)
при разгрузке
2L-dot/<0; Ф(а/;) = 0; Л = 0.	C.45)
Полученные законы справедливы для гладкой (регулярной)
поверхности пластичности, а для сингулярной поверхности пластич-
пластичности, т. е. поверхности, имеющей ребра или вершины (рис.37, в),
данные законы не выполняются. В этом случае соотношение C.38)
необходимо дополнить так, чтобы определить пластическое течение
на стыках [77]. Если ребро образовалось пересечением двух поверх-
поверхностей пластичности (см. рис. 37, в), уравнения которых имеют вид
то для точек ребра условие относительного максимума функции при-
приращения пластической работы с^4(е^)р записывается следующим
образом:
¦ЩТ bit* Ыр ~d%i 1фт (Piph ~ dh [Фт (вц)Ы = 0.
Откуда, следуя Прагеру [157] и Койтеру [81], течение на ребре
является линейной комбинацией течений слева и справа от ребра
(см. рис. 37, в):
д[Ф(а7Щ	д[Ф(ои))г
•	0.46)-
Приращение пластических деформаций развивается по направ-
направлению, лежащему внутри угла, образованного нормалями к двум
смежным граням (см. рис. 37, в). Вопросы, связанные с развитием
таких особенностей на поверхности пластичности (нагружения), из-
изложены в работах [77, 102, 123, 273, 274]. Схему Прагера — Койтера
необходимо рассматривать как удобную идеализированную аппрок-
аппроксимацию.
102

3. Уравнения, описывающие пластическое
состояние изотропного материала
Для расчета элементов конструкций, работающих в условиях
сложного напряженного состояния, необходимы физические урав-
уравнения связи между компонентами напряжений и компонентами де-
деформаций или скоростей деформаций, которые устанавливаются по
соответствующим теориям пластичности. В настоящее время пред-
предложены различные теории пластичности [22, 68, 69, 77, 81, 87, 101,
102, 141, 142, 168, 190, 200, 224, 270]. Здесь приведены лишь ос-
основные теории, широко используемые в инженерных расчетах.
Теория пластического течения
Теория пластического течения устанавливает физические урав-
уравнения связи между компонентами напряжений и компонентами ско-
скоростей пластических деформаций. Физические уравнения по этой
теории для плоской задачи впервые были получены Сен-Венаном
[190], а для пространственной задачи — М. К. Леви [87] и позже
Мизесом [270].
Теория пластического течения основана на следующих допу-
допущениях.
1.	Деформируемое тело является изотропным.
2.	Относительное изменение объема является упругой дефор-
деформацией, пропорциональной среднему напряжению,
6 = ^; dQ=3(deoe + deop) = ^.	C.47)
Коэффициент пропорциональности /('тот же, что и в пределах упру-»
гости:
Из соотношения
заключаем, что
Используя ассоциированный закон течения C.38), представим ком-
компоненты приращения пластической деформации в виде
Умножая обе части равенства C.49) на б^, находим [102]
= 0.	C.50)
103

Таким образом, при пластических деформациях объем не изме-
изменяется. Следовательно, тензор приращения пластических дефор-
деформаций представляет собой девиатор. Тогда
= 0; deoe = -^-
C.51)
3. Предполагается, что для данного материала интенсивность
напряжений является функцией интеграла от интенсивности при-
приращений пластических деформаций:
C.52)
Функция F определяется по диа-
диаграмме растяжения материала. Для
этого необходимо предварительно пре-
преобразовать функцию а = / (е) в функ-
функцию а = /* (&р) (рис. 38). Действи-
Действительно, для одноосного растяжения
имеем
<*х = оу = 0; <*? = <?;
¦1р
Рис. 38
+dsyp + c(s^ = 0; d&Zp = ^s^.
Тогда, с учетом формул A.40) и
A.107), находим [102]
ot = a; d&tp = ^8Р. C.53)
Кривая ^j^CxDx выражает зависимость между интенсивностью
напряжений и параметром Одквиста [138], т. е. о\- = F (q).
Приведенные законы пластического деформирования позволяют
получить уравнения пластического состояния материала.
Используя условие пластичности C.25), а также соотношения
C.40) и A.39), имеем
Тогда, согласно ассоциированному закону C.38), получаем
C.54)
C.55)
Уравнения C.55) показывают, что компоненты приращения пласти-
пластических деформаций пропорциональны компонентам девиатора напря-
напряжений.
Добавляя к компонентам пластических деформаций, определяе-
определяемых C.55), компоненты упругих деформаций, определяемых C.22),
104

находим формулы для определения компонент приращений пол-
полных деформаций:
~ [dax - |i (day + daz)\ + ~ ^ (ax - a0);
T Г
day)] + у ^ (a2 — a0);
^
C.56)
Уравнения C.56) являются основными уравнениями теории пласти-
пластического течения и называются уравнениями Прандтля — Рейсса
[172, 283]. При этом зависимость между интенсивностью напряже-
напряжений и интенсивностью приращения деформаций принимается в виде
C.52). Уравнения C.56) можно представить в сокращенной форме:
В тех случаях, когда приращениями упругих деформаций пренебре-
пренебрегают по сравнению с приращениями пластических деформаций,
имеем
j 3 dzi .
или в сокращенной форме
C.67)
Разделив обе части уравнений C.57) на dt, g учетом
C.57a)
полу-
получим физические уравнения связи между скоростями деформаций
и компонентами девиатора напряжений:
105

или в сокращенной форме
= 3 -a-j
C.58)
C.58а)
где |i — интенсивность скоростей деформаций, определяемая фор-
формулой A.116). Компоненты тензора напряжений можно выразить
через компоненты скоростей деформаций с помощью уравнений
Сен-Венана — Леви — Мизеса:
•—.+4
Т/у? == ;
C.59)
Теория малых упругопластических деформаций
Предложенная Генки теория малых упругопластических дефор-
деформаций использует конечные зависимости между компонентами на-
напряжений и компонентами деформаций. Данная теория базируется
на гипотезе пропорциональности компонент девиатора деформаций
компонентам девиатора напряжений. Вследствие этого уравнения
Генки [22—25] записываются в виде
—«o =
уХу =
yyz =
у2х =
C.60)
где ео = ;~т# Функция W с учетом A.107) и A.37) определяется как
од
? = 1"о7-	C'61>
Тогда уравнения C.60) можно представить в виде [69]
е —е =~-^(а —а)*
Zy~*o=Y%@y~~ao);
. . 3 Bi ,_ _,.
C.62)
106

или в сокращенной форме
3 В?
(ги - Ьф) = у — (о?/ - б ./Сг0).
C.62а)
Обратные зависимости между компонентами девиатора напряжений
и компонентами девиатора деформаций записываются таким об-
образом:
2 oi .	, )
Ох — о0 = -х- — {ех — е0);
о Е{
3 8/
2 oi,
Oz — О*о — -q" — (82 — So/1
или в сокращенной форме
~ 3TtУху;
C.63)
C.63а)
При малых упругопластических деформациях для каждого
материала между интенсивностью напряжений и интенсивностью
деформаций существует определенная функциональная зависи-
зависимость О( = Ф (et-), подобная зависимости между напряжениями
и деформациями при растяжении о = / (е). Зависимость at- = ф (ei)>
характеризующая диаграмму деформирования, может быть построе-
построена по диаграмме растяжения. Для этого необходимо предварительно
заменить а,- на а, а ег- — на 8 — е0 (см. C.13)).
Поскольку в теории малых упругопластических деформаций
принимается допущение о том, что при пластических деформациях
объем не изменяется (в = 0), т. е. материал несжимаемый (е0 = 0),
то в уравнениях C.62) и C.63) необходимо положить е0 = 0. В этом
случае зависимость между интенсивностями напряжений и дефор-
деформаций за пределами упругости, ос = Ф (et-), определяется диаграм-
диаграммой растяжения. Таким образом, принимается гипотеза о существо-
существовании «единой кривой» деформирования для данного материала не-
независимо от вида напряженного состояния. В условиях несжи-
несжимаемости материала К -* °°; [а = 0,5; Е = 3G.
Одна из разновидностей записи деформационной теории пла-
пластичности Генки, характеризующая зависимости между компонен-
компонентами деформаций и напряжений для упругопластических деформа-
деформаций, имеет вид
2G
Ф + -
3jLl
L
1+Ф
Угх —
107

В этих зависимостях величина модуля сдвига как бы уменьшается
на * т. е. материал становится менее жестким. Обратные за-
зависимости между компонентами напряжений и компонентами де-
деформаций записываются следующим образом:
_2G_
1+ф'
Ф +
&х +
1+ф18» +
1 + Ф!
ег +
1+Ф
Уху]
Tuz =
I —
Т^ = прф^-
Если в уравнениях C.64а) деформации выразить по формулам Коши
A.144) через перемещения, а затем данные формулы подставить
в уравнения равновесия A.135), то получим три дифференциальных
уравнения относительно четырех неизвестных (и, v, до, ф) функций
координат. Добавив к данным трем дифференциальным уравнениям
четвертое уравнение, представляющее условие пластичности B.43),
и предварительно выразив напряжения через перемещения и, v, w
и функцию ф, найдем четыре уравнения для нахождения четырех
неизвестных функций координат.
Впервые основные уравнения теории малых упругопластиче-
ских деформаций получены Генки [25], а затем обобщены g указа-
указанием пределов применимости А. А. Ильюшиным [67—69].
Из соотношений C.62) и C.63) следует пропорциональность
компонент девиатора напряжений компонентам девиатора дефор-
деформаций, а также пропорциональность главных угловых деформаций
главным касательные напряжениям, а следовательно, соосность
направляющих девиаторов напряжений и деформаций.
Результаты экспериментальной проверки основных положений
теории малых упругопластических деформаций приведены в рабо-
работах [49, 50—52, 93, 95]. А. А. Ильюшин на основании эксперимен-
экспериментальных данных показал, что уравнения Генки подтверждаются
экспериментально для простых процессов нагружения или процес-
процессов нагружения, близких к простым.
4. Уравнения, описывающие пластическое
состояние изотропного материала
с анизотропным упрочнением
В процессе пластического деформирования изотропного мате-
материала возникает деформационная анизотропия. Простейшим прояв-
проявлением деформационной анизотропии является эффект Баушингера
108

[102]. Предположим, что в процессе нагружения поверхность начала
пластичности испытывает жесткое смещение в направлении деформи-
деформирования (рис. 39, а). Такое упрочнение называют трансляционным.
В этом случае эффект Баушингера проявляется при прямом OMt и
обратном ОМ2 нагружениях за счет смещения поверхности плас-
пластичности. Пластические деформации возникают при напряженных
состояниях различной интенсивности.
Условие пластичности Хубера — Мизеса получаем из уравне-
уравнения C.25), заменив предварительно s^. на s^ — pty. Тогда
у №ц~~ Pt/Kstf — P//)l— a? = °»
C.65)
где р^ — координаты центра поверхности пластичности, изменяю-
изменяющиеся при пластическом деформировании и образующие девиатор.
Этот девиатор иногда называют девиатором добавочного напряже-
напряжения, а девиатор sif-—pif- — девиатором активного напряжения. При-
Применяя ассоциированный закон течения C.38) и используя выраже-
2'
б
Рис. 39
еР
ние C.64), получаем формулу для определения компонент прира-
приращения пластических деформаций:
цр	/ - pti).	C.65a)
Поверхность пластичности C.65) на девиаторной плоскости ос-
ч/Т
тавляет след — окружность радиусом I/ -^ ат, которая смещается
в процессе нагружения (рис. 39, б) [102]. При этом допускается,
что смещается центр поверхности пластичности, а следовательно^
109

изменяется девиатор pty. В работах А, Ю. Ишлинского [71, 73]
предполагалась зависимость
где С — некоторая постоянная материала. Смещение центра поверх-
поверхности пластичности происходит в направлении деформирования*
Тогда условие пластичности Хубера — Мизеса C.64) принимает
вид
J- [sif - С (ги)р] [S{f - С (г{/)р] - а» = 0.	C.66)
Эта теория пластичности развита также в работах В. Прагера
и Ф. Ходжа [155]. Для частного случая растяжения-сжатия с уче-
учетом того, что ох = Gy — %Ху == %уг = %гх = 0; о2 = о; sx = sy =
а 2 е™	8г>
= — "з" 5 s2 =3-0-; гхр = гур =	?-=-,-?.; 8гр = 8р;7^р =
== Т^/г/7 = Угхр = 0, условие пластичности Хубера — Мизеса C.66)
записывается так8
Решая уравнение C,67) относительно ст, находим [102]
а=±ат + -|сер.	C.68)
Знак плюс соответствует растяжению, минус — сжатию. Поскольку
ер = 8 — -рг , уравнение C.68) можно представить в виде о* = от +
+ ?т (е *— 8Т). Полученное уравнение является уравнением диаг-
диаграммы растяжения с линейным упрочнением без площадки текучести
ЗС
(рис. 39, в). Здесь ?т =	-^—» модуль упрочнения, откуда
2+4
С = "Т 1	р • При построении диаграммы растяжения в коор-
о
динатах а — гр модулем упрочнения будет величина ~С (рис. 39,г)
Из
з формулы C.68) следует, что после растяжения образца из
изотропного материала до величины пластической деформации е^
о
предел текучести увеличивается на — Сгр. После его разгрузки
и нагрузки обратным знаком предел текучести уменьшится на -^- Сер.
Таким образом, сумма нового предела текучести при растяжении
и нового предела текучести при сжатии равна удвоенному пределу
текучести недеформированного материала (рис. 39, г). В этом слу-
случае проявление эффекта Баушингера является идеальным,
110

Определим предел текучести образца, растянутого до величины
пластической деформации ер в направлении, перпендикулярном на-
направлению предыдущего растяжения. Поскольку образец растяги-
растягивается в направлении оси х, то в уравнении C.65) необходимо по-
положить ах = #; о*у = 0*2 = 0; %ху = %уг = 1гх = 0. Но предвари-
предварительно он растягивался в направлении оси 2, следовательно, ггр =
= sp; &Хр = ъур = — y ; уХу = уу2 = угх = 0. Поэтому уравнение
C.65) можно представить в виде
Решая уравнение C.69) относительно а, находим
<г = -i [—ЗСер ± |/"l6a2-27(CepJ].	C JO)
Превышение нового предела текучести в направлении растяжения
относительно первоначального ат определяется как
откуда
ЗСрр=2ат(а^1).	C.71)
Тогда C.70) можно записать в следующем виде [102]:
Данная формула позволяет при заданном напряжении, большем
предела текучести в одном направлении, определить предел теку-
текучести как при растяжении, так и при сжатии в направлении, пер-
перпендикулярном первоначальному растяжению.
Экспериментальные работы, выполненные А. М. Жуковым [50],
показывают, что теория пластичности с трансляционным упрочне-
упрочнением только качественно может описать явления деформационной
анизотропии. Это объясняется прежде всего тем, что здесь рассмат-
рассматривается жесткое смещение поверхности пластичности без ее рас-
расширения. В действительности при пластической деформации поверх-
поверхность пластичности расширяется (изотропное упрочнение) и смеща-
смещается (трансляционное упрочнение). Теория пластичности, учитыва-
учитывающая оба указанных упрочнения, рассмотрена Ю. И. Кадашевичем
и В. В. Новожиловым [75]. Они заменили в условии пластичности
C.25) девиатор напряжения s^ на девиатор sif- — pCj- активного
напряжения:
4 <*</ ~ р*/к**/ ^ р*/> -1 f ^1а=°> (з j3>
а зависимость координат центра поверхности пластичности от вели-
величины пластической деформации приняли в виде
111

где р( = у -? PijP{j — интенсивность добавочных напряжений. При
F(q) = oT = const; <7(о-г)=C=const теория пластичности Ю. И. Када-
шевича и В. В. Новожилова [75] совпадает с теорией пластичности
А. Ю. Ишлинского [71] и В. Прагера [154].
Компоненты приращения пластических деформаций определя-
определяются по формуле C.65а). Поверхность пластичности C.73) в трех-
трехмерном пространстве главных напряжений оставляет на девиатор-
ной плоскости след — окружность, которая расширяется и смеща-
смещается в процессе нагружения (рис. 39, д) [102]. Определим предел
текучести по данной теории пластичности в направлении, перпен-
перпендикулярном направлению предварительного растяжения до вели-
величины пластической деформации. Для этого надо в C.70) заменить
от на ф (8р), а С на q (гр), что реально в данном случае, поскольку
F (Фу Я (Pt) являются в конечном счете функциями ер. Тогда
у§[^Ы8р]2.	C.74)
Согласно C.74) для установления предела текучести необходимо
экспериментально определить функции q (гр) и Ф (ер). Это возможно
при испытании материала на растяжение с разгрузкой в различных
точках диаграммы растяжения при напряжениях ор и пластических
деформациях гр, а затем на сжатие до появления пластических де-
деформаций при напряжениях асж (рис. 39, е) [102]. Аналогично фор.
муле C.68) в данном случае получим
3	\	C.75)
-q(ep)ep
Решая уравнения C.75) относительно Ф(8р) и q(sp), имеем
ор — асук	oD -f- осж
ф(вр)= 2 ; яЫ= 2 • C.76)
Приведенная теория пластичности изотропного материала
с анизотропным упрочнением развита в работах [41, 107]. При цик-
циклическом деформировании она неприменима; этот вопрос рассмот-
рассмотрен в работе [2].
5. Уравнения, описывающие пластическое
состояние ортотропного материала
с изотропным упрочнением
Теория пластичности ортотропного материала с изотропным
упрочнением предложена Хиллом [224]. Согласно этой теории, ус-
условие пластичности имеет вид
Н (ох - oyf +F(oy- a2J +G(oz- а*J	y	2
+ 2Мх\х —1=0.	C.77)
112

Здесь Я, F, G, N, L, М — параметры анизотропии. Если условие-
пластичности C.77) последовательно применить для частных слу-
случаев трех одноосных растяжений в направлении х, у, z и трех
сдвигов между этими осями [102], то получим формулы, аналогич-
аналогичные B.51):
и 1 ( 1 . 1 1
i/_L._L__M:
C.78)
м = ¦
Здесь aXi ву> сг2; тху, tyz* x*x — текущие пределы текучести в раз-
различных направлениях. Так как упрочнение принимается изотроп-
изотропным, поверхность пластичности в процессе деформирования расши-
расширяется равномерно. Поэтому текущие пределы текучести по мере
упрочнения растут пропорционально h [102]:
ox = hoXT; <Jy = hoyT; oz = hoZT.
Тогда параметры анизотропии согласно формулам C.78) и B.51)
будут пропорционально уменьшаться:
F = То I G = т? I N —
h2 '	h2 '
C.79>
где Яо, Fo, С?о, Л^о, Lo, Мо — параметры анизотропии. Р. Хилл при-
принял, что h является функцией работы пластической деформации.
В связи с этим данную теорию часто называют теорией энергетиче-
энергетического упрочнения. Кроме того, Р. Хилл [224] ввел понятие эк-
эквивалентного напряжения:
, - ох)* + 2N0%ly + 210*»,
C.80).
113

В случае изотропного материала, для которого #0=F0 = G0:
Т~ 3 ~ 3 *
С учетом C.77) и C.79) преобразуем соотношение C.80)
-h.
C.81)
Следовательно, эквивалентное напряжение является функцией ра-
работы пластической деформации. Используя C.77) и C.79), согласно
ассоциированному закону течения C.38) находим приращения
пластических деформаций:
— <Уу) + во (<Ух —
= р t^o (оу — Oz) + Но (оу — <
Fo (a2- а
= ~ [Go (о2 - ах)
d (Уху)р = -р"
d(yZx)p= -JjT
Уравнения C.82) относительно напряжений имеют вид
ох~оу = ~ H0FQ + GQHQ+F0GQ
„ __ h2 Gpdeyp — Hpdzzp
G0H0+F0G0
h2 d (yxy)p
C,82)
C.83)
Используя зависимости C.83), запишем выражение для определе-
определения эквивалентного напряжения:
3
'dk (H0F0
2(H0+F0 + Go)
114

+ Go (Hud
+—
C.84)
Эквивалентное приращение пластической деформации вычисляется
по формуле
a + Go
Для изотропного материала эквивалентное приращение деформаций
равно интенсивности приращения деформаций [102]. Используя
соотношения C.84), C.85) и C.73), находим
В работе [224] показано, что
d% =
Тогда с учетом C.77) получаем
Поскольку эквивалентное напряжение является функцией работы
пластических деформаций, нетрудно показать, что
График такой функции строят по диаграмме растяжения [101]. Вы-
Выражения C.82) с учетом C.81) преобразуем к виду
ЗЛГ0 d (еЭ]
)
3L0
C.88)
115

В работах [251, 285] принято, что h является функцией пара-
параметра Одквиста. В этом случае теория пластичности для ортотроп-
яого материала с изотропным упрочнением называется теорией
деформационного упрочнения. Диаграмму деформирования строят
по диаграмме растяжения [101, 102]. Используя формулы C.84)
и C.88) для трех случаев одноосного растяжения в направлениях
осей симметрии *, у, г, получаем
1) при растяжении в направлении оси х (ох ф 0; оэкв = аах)
2) при растяжении в направлении оси у
rf(8su«)n= —XT' *
(з.9О)
3) при растяжении в направлении оси г (о2 Ф 0; аэкв = yoz)
V-
*гр .
1 »
V
3 <** + **> .	C.91)
Из C.89), C.90), C.91) находим а? + Р2 + у? = 3. Зависимости
C.89), C.90) и C.91) позволяют по диаграмме растяжения [102]
в направлении одной оси и заданным трем пределам текучести в на-
направлении х, у, г построить диаграммы растяжений в направлении
двух других осей.
ГЛАВА 4
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
И ПРИНЦИПЫ
МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
1. Теорема о простом нагружении
^\ Приведенные законы и теории пластичности в условиях актив-
активной деформации справедливы при простом нагружении тела, т. е.
для случая, когда направляющий тензор напряжений в любой
точке тела остается постоянным (несмотря на то что в разных точ-
точках тела он различный). Возникает вопрос, какими должны быть
внешние нагрузки (объемные X, К, Z и поверхностные Xv, Kv, Zv)
« как они должны увеличиваться, чтобы направляющий тензор на-»

пряжений оставался в данной точке тела постоянным. В случае
однородного напряженного состояния нагружение будет простым,
если внешние нагрузки возрастают е момента их приложения про-
пропорционально одному общему параметру, т. е.
Для неоднородного напряженного состояния тела произвольной
формы А. А. Ильюшиным [69] сформулирована теорема, согласно
которой нагружение тела произвольной формы произвольными
внешними силами, возрастающими пропорционально одному об-
общему параметру D.1), будет простым тогда, когда зависимость
между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций
можно представить в виде степенной функции
о{ = As?,	D.2)
где Л, т — постоянные материала.
Действительно, предположим, что для несжимаемого материала
(е0 = 0) для какого-то определенного значения к* (например, %* = 1)
задача пластичности решена, т. е. найдены все компоненты тензора
напряжений (а*, а*, а*; Jt*^, *x*z, x*^), все компоненты тензора
деформаций (е*, е*, е*; уЦу, у*г> у*^), следовательно, найдены
интенсивность напряжений (а*) и интенсивность деформаций (е*),
а также перемещения (и*, t>*, до*), которые тождественно удовлетво«
ряют следующим условиям:
уравнениям равновесия
д%
дх
дх
ху
дх
*
doZ
К
~~дг
дх
*
	?1 i	у I	у± \ y* — П»
Лу ^	я"	'
дх ~ ду f дг ^
граничным условиям на поверхности
D.3)
:ах1-
ух"
D.4)
условиям Коши
* ди*
е^^дГ
л* ду*
dw*
дг
ди*
ду
ду*
дг
dw*
+
ду* . )
дх *
dw*
ду '
ди*
D.5)
117

физическим
а*
*
ураврениям
г = 2 СТ* с*
2 <*? *
1 °? *
- з * Y'
*
xy1
т* siiLv*
yz з * Y^z
уравнениям совместности деформаций
Ул:^
¦+¦
djcdy ду* "Г ал:2 f
^2V*2 ^2e* Л2-*
a^ ^2 a^/2
¦ + ¦
дг*
дгдх
~dx*~f
ду дг дх
"Г
ду
¦
V**
аз
У
ду*
dz ^л: ^^ \ дх
д гг ,
	 Jh4
д* ду дг \ дх ' а^
условию несжимаемости материала
л а^* а^*
Зб ===	f~ ~~^ ¦
В этом случае
дг }'
ду*у
д
ду*у
дг
}'
D.6)
D.7)
D.8)
D.2а)
Найдем решение той же задачи для произвольного значения Я»,
отличного от единицы в виде
о2 =
D.9)
D.10)
118

где Р* — пока неизвестная функция %*. Согласно уравнениям
Коши с учетом D.10) имеем
Если внешние силы определяются равенствами D.1), то, подстав-
подставляя D.9) в уравнения равновесия D.3) и граничные условия D.4),
после сокращения на 1* получим тождества D.4) и D.3). Анало-
Аналогично, если D.11) и {4.9) соответственно подставить в выражения
для интенсивности деформаций
5
—54-4
и интенсивности напряжений
а* = pL /<«?_ а*>' + (о* - а*)* + (а* - <& + 6
то получим
С учетом зависимостей D.9) и D.12), физические уравнения C.63)
после сокращения на Р* и X* превращаются в тождества D.6), а ус-
условия на поверхности A.14) после сокращения на к* —в тожде-
тождества D.4). Остается уравнение D.2), удовлетворив которому, убе-
убедимся в том, что D.9)— D.11) есть решение той же задачи пластич-
пластичности при произвольных силах D.1), пропорциональных одному
параметру к*. Из D.2) находим
Я*а* = Р*"М8*т.
Это равенство станет тождеством при условии
р*==(Я*)т.	D.13)
Следовательно, компоненты напряжений, перемещений и деформа-
деформаций, определяемые формулами D.9) — D.11), являются решениями
задачи пластичности, при этом нагружение согласно D.9) является
простым.
2. Теорема о разгрузке
Предположим, что в растянутом стержне (рис. 40) возникло на-
напряжение а > <7упр. Пусть данному напряжению соответствует де-
деформация 8. На диаграмме растяжения а — е это состояние изобра-
изображено точкой В. Если частично разгрузить образец на величину
119

напряжений а*, то в стержне останется напряжение а (точка С)% ко-
которое определяется по формуле И 02]
о = а —
Напряжению о соответствует относительное удлинение 8, которое
осталось в образце после частичной разгрузки:
8 = 8 — 8*.
Здесь 8* — уменьшение деформации при разгрузке. Поскольку раз-
разгрузка проходит по упругому закону, то 8*
а*
•=-. Тогда 8=8 —
а*
б\
Рис. 40
— -=- . Таким образом, чтобы вы-
числить оставшуюся деформацию
в стержне после разгрузки, необ-
необходимо из полной деформации-
соответствующей наибольшему на-
напряжению, вычесть упругую де-
деформацию, соответствующую на-
напряжению, на величину которого
уменьшилось наибольшее напря-
напряжение.
Данная закономерность, кото-
которая очевидна при одноосном рас-
растяжении, справедлива и в случае
объемного напряженного состоя-
состояния тела, но при этом должны
выполняться условия, сформулиро-
сформулированные в теореме о разгрузке. Эта теорема, доказанная А. А. Илью-
Ильюшиным [69], утверждает, что перемещения точки (а также деформа-
деформации и напряжения) в некоторый момент разгрузки равны разностям
между их значениями в момент начала разгрузки и упругими пере-
перемещениями (соответственно деформациями и напряжениями), кото-
которые возникли бы в ненагруженном теле под действием внешних сил,
равных разностям нагрузок до и после разгрузки. При этом на-
нагрузка и разгрузка должны быть простыми. Предположим, что для
данного тела, находящегося под действием внешних объемных
]Х> Y, Z) и поверхностных (Xv, Fv, Zv) сил, задача пластичности
решена, т. е. определены напряжения (ох, ау, oZi xxyt %yz, %2X),
деформации (гх, еу, 82, уху, ууг, угх) и перемещения (ы, v, w).
Найденные напряжения, соответствующие началу разгрузки, удов-
удовлетворяют уравнениям равновесия A.135) и граничным условиям
на поверхности A.11). После уменьшения нагрузки на X*, У*, Z*,
с
ZT. на тело действуют внешние силы
Xv — Xу X v;
у — у 	у*.
1 V	V 1 V»
DЛ4)
120

прд влиянием которых в теле возникают напряжения (ох, Ъу, ст2,
ъХу, %г, ъгх), соответствующие моменту конца разгрузки и удов-
удовлетворяющие уравнениям равновесия:
дох
дх
дтху дтХ2
ду дг
дох дтху дтХ2 ~
дх ' ду дг
d%zx d%Zy дЪ2
дх """ ду ~*~ dz
D.15)
а также граничным условиям на поверхности:
Xv
D.16)
После вычитания из уравнений равновесия A.135), соответствующих
моменту начала разгрузки, уравнений равновесия D,15), соответст-
соответствующих моменту конца разгрузки, находим
:(<**—<
д	- , д	~
V 	 Л ,
•4-
.±L(CT2_a2) + Z-Z=O.
D.17)
Аналогично получаем выражения для граничных условий на поверх-
поверхности:
Xv - *v = (ал: -
Zv — Zv = (тгх —
/ + (%zy — %zy) tn + {oz — a2) л.
D.18)
Поскольку разгрузка происходит в упругой области, то спра-
справедливы уравнения Ламе, которые с учетом D.17) имеют вид
Ъг
D.19)
121

Уравнения DЛ9) совместно с граничными условиями D.18) имеют
единственное решение, определяемое методами теории упругости:
для перемещений
и — Z = u*i v — v = v*; w — w = w*;	D,20)
для деформаций
D.21)
гх - вх = 8*; ) Уху - Уху = Y**,;
Tz^ — 72* = '
для напряжеьий
a
Из соотношений D.20)—D.22) следует, что перемещения, деформа-
деформации и напряжения, соответствующие некоторому моменту разгрузки,
определяются как разности их значений в момент начала разгрузки
(и, vt w; 8Х, ву9 гг; уху, уу2, yzx; ox, oy, oz; %xy, ту2, %гх)% под-
подсчитанных по теории пластичности при объемных (Xt F, Z) и по-
поверхностных (Xv, Kv, Zv) силах, и значений (и*, v*, w*t e*, e*
8*> У^у' V*z» V^' °% °% а*' т*^т*2» %tx)* подсчитанных nojeopHH
упругости при объемных (Х^Х = Х*; Y^Y = Y*, Z*^Z = Z*)
и поверхностных (Xv — Xv = X*; Yv — Kv = К*; Zv—ZV = Z*)
силах. В случае полной разгрузки (X = 0; К = 0; Z = 0; Xv = 0;
Kv =0; Zv = 0) в теле остаются перемещения (ut v, ш), деформации
(е^, %yi е2; уху, yyz, yzx) и напряжения {ох, оу1 oz; xxyt %yz, %zx),
определяемые как разность соответственно между перемещениями,
деформациями и напряжениями, найденными по теории пластич-
пластичности для заданных внешних (X, Yt Z, Xv, Kv, Zv) сил, и переме-
перемещениями для этих же сил, вычисленными по теории упругости:
и = и— и*;	v = v^-v*;	w = w-~w*; )
&х=ех-~8х; еу = &у — гу; гг = гг *~ гг;
Уху = Уху — У*ху-> Ууг = Ууг - У*уг> Угх = Угх ^ У*гх\ > D.23)
= ог2 —0*;
= %ху *~ хху> %уг = T|/z
Приведенные зависимости справедливы в предположении, что в про-
процессе разгрузки материал вновь не выходит за пределы упругос-
упругости [69],
122

3. Теорема Клапейрона
Теорема Клапейрона утверждает, что работа внешних сил на
соответствующих им перемещениях равна удвоенной величине по-
потенциальной энергии деформации тела, т. е.
Л = 2 [ W dV.
(V)
Рассмотрим обобщение данной теоремы на случай, когда зависи-
зависимость между напряжениями и деформациями является нелинейной.
Пусть на тело объемом V, ограниченное поверхностью 5, действуют
объемные (X, У, Z) и поверхностные (Xv, Yv, Zv) силы, причем на
одной части тела заданы поверхностные силы, а на другой — пере-
перемещения. Работа внешних сил, приложенных к телу, на соответ-
соответствующих перемещениях определяется по формуле
А= ? (Xu + Yv + Zw)dV+ [ (Xvu + Yvv + Zvw)dS. D.24)
(V)	(S)
Используя формулу Гаусса -*- Остроградского [196], выражение
для интеграла по поверхности преобразуем в интеграл по объему,
который с учетом граничных условий на поверхности A.11) при-
принимает вид
J
E)	(V)
[дхж day ,дТуЛ „ildTzx, д±гУлд-?1
ди . dv , dw . Idv , ди
С учетом этого выражения, а также дифференциальных уравнений
равновесия A.135) и условий Коши A.144) перепишем D.24) сле-
следующим образом:
А = J (ОхЪх + °tfiy + 0% + 1хуУху + ЪугУуг + ЧгхУгх) dV. D.25)
(V)
Воспользовавшись законом теории пластического деформирования
о пропорциональности компонент девиатора деформаций и компо-
компонент девиатора напряжений, устанавливаем, что
+ Оу&у + Ozez + Ххууху + *угУуг + ЧгхУгх = 2 (W * + ?
123

Так как у{ = 24% то ЧЧ, = -^. Тогда
А = 2 f (w*+^)dV%	D.26)
где W* — упругая энергия объемного сжатия; т/ — интенсивность
касательных напряжений; yi — интенсивность деформаций сдвига.
4. Теоремы о минимальных принципах в теории
упругопластических деформаций
Минимальные принципы в теории упругопластических дефор*
маций аналогичны принципу минимума потенциальной энергии
и принципу Кастильяно в теории упругости [6, 69, 77, 101, 132, 200].
Принцип минимума полной энергии
Действительные перемещения, по сравнению о возможными,
сообщают полной энергии тела минимальное значение, т. е.
П (е*, 8^, гг, уХу, ууг1 угх) dV — А = min,	D,27)
(V)
где П (е*, гу, е2, уху, уу2, угх) — потенциал деформаций.
Предположим, что тело находится в равновесии и занимает
объем V, ограниченный поверхностью S. На одн©й чаети поверх-
поверхности заданы поверхностные (Xv> Yyt Zv) силы, а на другой — пере-
перемещения (и, v, до). Если сообщить точкам тела бесконечно малые
перемещения (б«, бу, 6w)t совместимые g краевыми условиями, то
работа внешних сил на возможных перемещениях определяется вы-
выражением
6Л = f (X ба + Y 6и + Z бдо) dV + С (Xv би + Yv Sv + Zv §w) dS.
(V)	(S)
D.28)
Преобразовав по формуле Гаусса — Остроградского интеграл по
поверхности в объемный и использовав условия на поверхности
A.11), дифференциальные уравнения равновесия A.135) и условия
Коши A.144), перепишем D.28) в виде
б Л = \ [ох §&х -f- о у Ьгу + ог бе2 + т-ху &Уху + Ъу2§Ууг + 1гх &Угх) dV,
D.29)
124

С помощью формул
an 1
an
д&у °y*
an
an
tyxy
an
an
dyzx
которые выполняются при условии, что потенциал деформаций имеет
вид
D.30)
преобразуем выражение D.29):
an c , an fi
(V)
J
%"P(?if
или
в[ J EdV-A]=Ot D,31) Рис. 41
Здесь \ UdV — Л=Э — полная энергия системы. Таким образом*
действительная форма равновесия тела отличается от всех возмож-
возможных форм равновесия тела тем, что для нее полная энергия прини»
мает минимальное значение, т. е.
Э= f ILdV — t
(V)
• min.
D.32)
В выражении D.30) первое слагаемое представляет удельную по-
тенциальную энергию изменения объема, а второе — удельную по-
потенциальную энергию изменения формы. На рис. 41 она показан»
в виде вертикально заштрихованной площади, ограниченной диа-
диаграммой деформирования материала.
Принцип возможных изменений напряженного состояния.
Принцип минимума дополнительной работы
Предположим, что тело находится в равновесии и занимает
объем V, ограниченный поверхностью 5, причем на одной части
поверхности заданы поверхностные (Xv, Kv, Zv) силы, а на
125

другой — перемещения (и, vy w). Сопоставим действительное напряжен-
напряженное состояние в различных точках тела, которое характеризуется
напряжениями oXi о у, сг2; хху, %yz, xzx, со всеми остальными, но
близкими напряженными состояниями (статически возможными),
которые характеризуются напряжениями ох + &ох, <fy + бо^, а2 +
+ бсг2; хху-\-Ьхху\ хуг-\-Ьхугу %гх + $xZx. Данные напряжения
удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия:
g? (Хух + Ьхух) +щ(Оу + &Оу) + yz <V + foyz) + У + *Y = 0;
и условиям на поверхности:
xv-
*V
-6ZV
. = (v н
= (tzx -f
f-**„*)'
"r^xy
¦+ St^P
+ 4/)
m -
/72 -|
) m
V^xz
-(%yz
+ (az
+ бт;
+ 6tt
+6a;
в) л-
Поскольку действительные напряжения (oXi oy, a2; xxyt xyZi xzx)
и статически возможные напряжения (ох + бег*, оу + доу) ог + ба2;
^ху + бт*^, XyZ + бт^2, т2д; + бт2*) удовлетворяют дифференциальным
уравнениям равновесия, а также условиям на поверхности, то ва-
вариации напряжений (баХу Ьоу, да2; дхху, bxyZi bxzx) также удов*
летворяют уравнениям равновесия:
~ фах) +1 (8хху) + ~ (бт«) + 6Х = 0;
к{Ьхух)+h(б<1^ + к
А фХгх) + ^ (аТед) +1 (8<тг) + 62 = 0 ,
и условиям на поверхности:
4- SxZym + ба2п = 6ZV.
Работа вариаций внешних сил на возможных перемещениях (при-
(принимая возможные перемещения за действительные и, vt w) опреде-
определяется по формуле
j (ubX + vbY + wbZ)dV+ jj (udXv + vbYv + w6Zv)dS9 D.33)
(V)	(S)
Преобразуя интеграл по поверхности в интеграл по объему с помо-
помощью формулы Гаусса — Остроградского и используя граничные
126

условия на поверхности, условия Коши, а также 'уравнения равно-
равновесия, перепишем D.33) в виде
[ (и 6Х + v 6Y + w bZ) dV + J (и 6XV +v6Yv + w 6ZV) dS =
(V)	(S)
= f (e* 6a* + e^ 60^ + e2 6cr2 + yxy 6тху + yyz bxyz + yzx ^zx) dV*
(V)
D.34)
Если использовать формулы
dR	dR _ OR _ ЭД _	d/? __	dR _
57"ад ao^-^lo?"8^ а^-^; Щ^"Ууж; д^х~Угх*
то выражение D.34) для определения работы вариаций внешних
сил на возможных перемещениях принимает вид
f (и 6Х + v 6Y + w Щ dV + f (и
(V)	(S)
С I dR я , dR я . dR Л , ад с , ^
= \ ^~ S0*v + -г	 ба^ + -r-i- бG2 + tr-1- бТд;^ + Г
J \^	^	^а2 ^д%ху ху^д%уг
+ ^1 Ьхгх\ dV= \ 6RdV = bR,	D.35)
Здесь R = \ i? dV— дополнительная работа для всего тела; R((JX9
<*)
ayj 0z'> т**/> tyz> %zx) — дополнительная работа в бесконечно малом
элементе,
о
Первое слагаемое представляет собой удельную потенциальную
энергию изменения объема, а второе — удельную потенциальную
энергию изменения формы, которая на рис. 41 показана в виде го-
горизонтально заштрихованной площади, ограниченной диаграммой
деформирования материала [102].
Выражение D.35) является математической формулировкой так
называемого принципа возможных изменений напряженного состоя-
состояния тела, согласно которому сумма приращений всех внешних сил
на перемещениях точек приложения этих сил равна приращению до-
дополнительной работы всего тела. Для частного случая, когда объем-
объемные силы равны нулю (Х = 0; 7 = 0; Z = 0), заданные поверх-
поверхностные силы на части поверхности постоянны, и, следователь-
следовательно, их вариации равны нулю FXV = 0; 6FV = 0; $ZV = 0),
а перемещения на другой части равны нулю (и = 0; v == 0; w == 0),
из формулы D.35) следует, что dR = 0. Поскольку вторая вариа-
вариация положительна, то
D.36)
127

Таким образом, действительное напряженное состояние отличается
от всех статически возможных состояний тем, что оно сообщает телу
минимум дополнительной работы, т. е. из всех статически возмож-
возможных напряженных состояний только для истинного напряженного
состояния дополнительная работа для всего тела принимает мини-
минимальное значение.
Для упругой среды R = W и принцип минимума дополнитель-
«ой работы D.36) переходит в принцип Кастильяно. Полученные
вариационные уравнения
С TLdV — Л = min;
(V)
f RdV = min
(V)
используются для приближенного решения задач в упругопласти-
ческой области.
5. Разделение деформации на упругую
и пластическую. Зависимость
коэффициента поперечной деформации
от величины пластической деформации
Согласно закону пластичности, утверждающему пропорцио-
пропорциональность отношения компонент девиатора деформаций и компо-
компонент девиатора напряжений, можно записать уравнения Генки—
На да и:
ууг =
D.37)
В упругой области W = г-^ ; в упругопластической области W •.
1
'2G
«=г^ + ф, С учетом C.47), B,И), а также D.37) выражения для
компонент полной деформации принимают вид
°У — И-
82 = -gr [C?z — \l (Ox
Уху = ~Q txy + 2ф
Ууг = -q Туг
°х)] + Ф К— <7о) = Це
CJt/)] + ф (Ог — O0) = *ze
= (ухь)е + (yxi)p\
= (Ууг)е
= (yzx)t
128
D.38)

Из приведенных зависимостей следует, что полные деформации со-
состоят из упругой и пластической части, т. е. е{/- = (г{-)е + (г^)р.
Упругая составляющая определяется по обобщенному закону Гука;
1 /_ . Six
Поскольку ? = —-
деформации определяется как
пластическая составляющая
8^ = 1-
еур ~~ ' п
?»п = тг
(Уху)р =
Зе,
a,
'--агху;
D.39)
Функция ф записывается таким образом:
3 hP
Ф
D.40)
Тогда компоненты пластических деформаций с использованием
D.38) и D.40) имеют вид
-1
^^2 "^~@2"~ а°);
Зе,
J
D.41)
Из выражений D,38) следует, что
где (х — коэффициент поперечной деформации, который в пределах
упругости является постоянной величиной. Абсолютную величину
отношения поперечной деформации к продольной называют коэффи-
5 1-317	129

циентом Пуассона. За пределами упругости коэффициент попереч-
поперечной деформации |х* зависит от величины пластической деформации,
причем с возрастанием деформации он увеличивается и стремится
к 0,5 [101, 102]. Действительно, при одноосном растяжении (ог =
= оу*= 0; ох= а; %ху = Туг = т2Х= 0; а0 = —J епоп = г2 = еу = ~ —
2а
а 8
== &х = 8
	' Исключив из этих уравнений
— а, получим
откуда находим
ирод
D.42)
Из уравнения D.42) видно, что при увеличении деформации в -* со,
	> 0 и ji* -* 0,5. Зависимость коэффициента поперечной дефор-
мации от степени деформирования можно построить по диаграмме
растяжения [101, 102]. Пусть из-
известна диаграмма растяжения (рис.
42), причем отрезок ОС в масштабе
равен -= или (в другом масштабе)
j	2и
—2р • Проведем из точки С вер-
вертикаль CD до пересечения диаг-
диаграммы растяжения в точке F, а из
точки F — горизонтальную линию
FG до пересечения с осью ординат.
Отрезок OG в масштабе равен
0,5 — [х: его масштаб зависит ©т
масштаба ОС, Отложим теперь
в этом же масштабе по оси орди-
ординат отрезок О А, равный 0,5, и
проведем через точку А горизон-
горизонтальную прямую АВ. Тогда ясно,
что отрезок AG в этом же масшта-
масштабе равен коэффициенту Пуассона
в пределах упругости. Рассмотрим произвольную точку К на диаграм-
диаграмме растяжения и найдем для данной величины деформации значе-
значение коэффициента Пуассона. Для этого через точку К проведем вер-
вертикальную линию. Обозначим точки пересечения данной вертикаль-
вертикальной линии с осью ординат через М, ас прямой А В — через N. Сое-
Соединим точку К с началом координат. Тангенс угла наклона луча
КО равен —. Луч О К пересекает вертикаль CD в точке Н. Из точки
8
Я проводим горизонтальную линию до пересечения с линией MN,
Отрезок СИ в данном масштабе равен - { ¦ —, поэтому отрезок
Рис. 42
130

HD + PN равен коэффициенту поперечной деформации за преде-
пределами упругости |г*. Выполнив аналогичные построения для ряда
точек диаграммы растяжения, получим график GFP зависимости
коэффициента Пуассона от величины деформации.
6. Пластический потенциал и его связь
с интенсивностью напряжений
Согласно ассоциированнохму закону течения приращения пластических
деформаций определяются как
.* дФ
ур	дау '
или в сокращенной форме
дФ
e doTi *
Здесь dX— некоторый множитель;
циал.
D.43)
Л — пластический потен-
Используя выражение Оц — 6f/.a0 = оС/- — Ьц I -т- ^ij^cn
а также учитывая, что
дФ дФ
дФ дФ osc/ дФ	I 1 дФ \
преобразуем зависимости D,43) к виду [102]
D,44)
С помощью условия пластичности Ф (о^у) = -^ si&it — \F (ф]г = 0,
а также с учетом того, что в результате пластических деформаций
дФ	дФ
изменение объема равно нулю, находим -^— = 3s.., 6^. —— =
ds,
0* Тогда
дФ
/з
~2'
sifsij* из Ф°РмУлы A,107) имеем
D.45)
D,46)
5*
131

Тогда формулы для определения приращения пластических дефор-
деформаций запишутся в виде
Если учесть, что
до)
дох
до]
1а^
dof
D.47)
дог
¦3(ох—о0);
—а0);
D.48)
то формулы D.47) можно записать таким образом:
0; да>:
*«р-т-х
.
1 dlip do]
D.49)
Приведенные соотношения позволяют утверждать, что с точностью
до постоянной пластический потенциал равен квадрату интенсивно-
интенсивности напряжений Ф (о^.) = о^. Данную поверхность в системе коор-
координат 0lf c2, 03 назовем поверхностью пластического потенциала.
Она имеет такую же форму, как и поверхность начала пластиче-
пластического течения. Вектор приращения пластических деформаций пер-
перпендикулярен поверхности пластического потенциала. Аналогично
теории пластического течения можно ввести понятие пластического
потенциала и в теорию малых упругопластических деформаций.
Тогда для случая несжимаемого материала имеем
з 2
«!/= ТГ
дох
до)
доу
дог
1
УХУ^Т
D.50)
132

или
1 е, да)
Off 	 п	-л
J Z 01	ОО • •
Вектор деформации в этом случае	перпендикулярен поверхности?
пластического потенциала.
ГЛАВА 5
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ
УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ
1. Постановка задачи теории пластичности.
Основные уравнения теории пластичности
Постановка задачи теории пластичности аналогична постановке
задачи теории упругости, Допустим, что на тело действуют поверх-
поверхностные (Xv, Fv/ Zv) (включая реакции) и объемные (X, У, Z)
силы. Упругопластические свойства материала заданы диаграммой
деформирования о^ — е{.. При этом требуется определить 17 неиз-
неизвестных функций координат х, yt z: шесть компонент тензора напря-
напряжений (aXi Oy$ <*z* %ху* %г> тгдг); шесть компонент тензора дефор*
маций (е^, 8^, е2, уху% yyz, yzx); три составляющие вектора
перемещения (и, v, ш); интенсивность напряжений @^); интенсив»
ность деформаций (et)t Для нахождения указанных функций теория
пластичности располагает следующими уравнениями.
1. Уравнения, вытекающие из рассмотрения статики задачи:
а) дифференциальные уравнения равновесия
дх ду дг	"~ '
дх ду дг
дх ' ду дг
E.1)
б) граничные условия, которые необходимо рассматривать со
вместно с уравнениями равновесия
Xv = 0Х1 + тхут
Zv = i2xl + %гут
E.2)
2# Уравнения, вытекающие из рассмотрения геометрии задачи:
а) зависимости между компонентами тензора деформаций и
компонентами вектора перемещения (уравнения Коши):
133

ди
~~ дх
dv
-ду
dw
т-; >
ди
ду
dw
~w
ди
ду
дх
ду
дг
dw
~~дх~
E.3)
б) и уравнения Сен-Венана (как следствие из уравнений E,3)),
дг\ дх
E.4)
ду\ дх
d2zx_djM\=2-
ду дг ) дхду
Как видно из приведенных уравнений, статические уравнения E.1)
и E.2) и геометрические соотношения E.3) и E.4) в теории пластич-
пластичности имеют тот же вид, что и в теории упругости. Иными будут
только физические уравнения, т. е. уравнения связи между напря-
напряжениями и деформациями. Поэтому при решении упругопластиче-
ских задач необходимо вместо обобщенного закона Гука записать
физические уравнения по одной из теорий пластичности,
3. Уравнения, вытекающие из рассмотрения физики задачи:
физические уравнения по теории малых упругопластических дефор-
деформаций
2а,
ох —- о 0 =
38,
2oi
—е0);
— 80) ;
Зв,
2oi
ог — С70 = —- (е2 — е0);
38,
%ху
~~ 38, VJ
38; гхУ
в/у — 80 =
38 i
\ E.5)
г бо — '
38
E.6)
38,
38
Угх'-
134

При этом
E.7)
где
б, =-
)*+ (ег
| (у
ху
или физические уравнения по теории пластического течения
E.8)
p (dax + do2)] + j-^
a0);
a0);
F.9)
При этом
E.10)
где
)PJ2} •	(Б.И)
Использование физических уравнений по теории пластического те-
течения в форме E.9) при решении конкретных упругопластических
вадач связано s большими математическими трудностями, так как
они нелинейны и имеют довольно еложную структуру. Поэтому
при решении задач, в которых развиваются значительные по сравне-
сравнению о упругими пластические деформации, компонентами упругой
деформации пренебрегают и пользуются уравнениями Сен-Венана—
Мизеса, которые для жест ко-пластического тела имеют вид
35,
="?Г v; EЛ2)
135

В этом случае
где
E.13)
E.И)
При решении упругопластических задач с использованием физиче-
физических уравнений E.12) по теории пластического течения необходимо
уравнения Коши E.3) и, следовательно, уравнения неразрывности
деформаций записать соответственно в виде
ду
dvz
dvx
dz
dz '
E.15)
dxdy
Tfdz*'
dxdz '
dx* +^ dz*
a / d*\yz , дЗгх лд>цху*
dx\ dx "*" dy "i" ^ j
V ал:
?5
ду
дг
- 9
дг дх '
Л^ I Ал, » Л.,	Я^ I
E.16)
dxdy
Таким образом, приведенная система уравнений представляет собой
полную систему уравнений для решения упругопластических задач
при активной деформации и нагружении простом или близком
к простому. Как и в теории упругости, задачи теории пластичности
могут решаться в перемещениях или напряжениях, а также сме-
смешанным способом.
2. Общие методы решения задач
теории пластичности
Для большинства практических задач решения в замкнутом
виде получить трудно, а иногда и просто невозможно из-за нели-
нелинейности приведенных дифференциальных уравнений в частных
производных. Поэтому для решения нелинейных уравнений теории
116

пластичности применяют различные варианты метода последова-
последовательных приближений. Решения задач теории пластичности обычно
сводятся к решению последовательности линейных задач, каждая
из которых может быть интерпретирована как некоторая задача
теории упругости (метод упругих решений). Такая идея впервые
применена А. А. Ильюшиным [67, 69], а затем развита И. А. Бир-
гером [9, 11, 12] и др. Рассмотрим наиболее общие методы решения
задач теории пластичности.
Метод дополнительных нагрузок
Данный метод является одним из методов упругих решений.
Он предложен А. А. Ильюшиным [67], а затем в несколько иной,
модификации рассмотрен И. А. Биргером [9, 11].
Если в уравнениях Генки*-Надаи D.37) положить -—¦ = 2G ~—
8o = -q-; ао==3/С8о; /С =
то уравнения D,37) приво*-
**¦* BG*— —1,
а также учесть, что
3A-2ji)
дятся к виду
ох = 2Gex
- ^2G - y) (e* - е0);
= 2Gey + Кв - BG —1) (*у ~ ео);
о2 =
- B0- -1) (е2 - е0);
хху=0Уху—\°^>
% —Ьу119— О —
EЛ7)
Уравнения E.17) отличаются от обобщенного закона Гука дополни-
дополнительными членами (они подчеркнуты). При Y = ^ эти уравнения
выражают обобщенный закон Гука и определяют напряжения
в упругом теле:
а* = 2Gex + %в;
*ху*
-Су.
E.18)
137

Тогда
Здесь af\ aj,0), 0BО>,
/ *ху *ху>
E.19)
^ дополнительные напряжения;
- ^) (е, - е0); og» = BО -
e^ е„);
= (G -
> E.20)
Между интенсивностями напряжений в упругом теле и дополнитель-
дополнительными напряжениями, как видно из
.	рис. 43, существует зависимость
fl/_V	„	а. в о?_ а@)( E21)
Физический смысл равенства E.21)
ясен из обобщенной диаграммы
(см. рис 43):
Предполагая, что материал упру-
_	гий, с помощью обобщенной диа-
Рис> 43	граммы деформирования при дан-
данной интенсивности деформаций et-
/находим точку В, Поправка а*.0) как бы возвращает расчетную
•точку на кривую деформирования (точка А), Напряжения oXi oyi oZf
хХу, туг, %гх должны удовлетворять уравнениям равновесия E,1),
которые с учетом E.19) принимают вид
dot дт*
дх
ду
да*
дг
дхп? доп д%119
дх х ду х дг
дх
ду
дг
E.23)
где X, У, Z —компоненты объемной силы, а
ненты дополнительной объемной силы:
^, F°f Z°—компо-
Z°—компо138

- " [-ШГ + "а? + -ЗГ) = - {й lBG ~ т)(8^
==~* \^c\\U^owiy
На поверхности тела напряжения должны удовлетворять гра-
граничным условиям E,2), которые с учетом E.19) записываются
в виде
E.26)
>4
где Xv, 7V, Zv — составляющие поверхностной нагрузки, а
У!^0), Z^ — составляющие дополнительной поверхностной нагрузки^
= а@)/ 4- т@)т 4- т@)я -
(
F.26)
— 2?) (Уух1 + Уугп) + [[2G -* Y) ^У* 8o)Jm;
[(
20 - ~) (е* ~
Используя уравнения E.18) и E,19), а также уравнения Коши
E.3), после некоторых преобразований представим дифференциаль-
дифференциальные уравнения равновесия E.23) с учетом E.24) в такой форме:
1 1ди . dv
3 \дх ду
(ди , dv\\ , д Г/Л 1 \ (ди
139

1\\до 4du,dv.dw\~\\d\( l\(dv,dw
E.27)
Система уравнений E.27) является синтезом статического, геомет-
геометрического и физического анализов задачи. Уравнения E.27) отлича-
отличаются от уравнений Ламе в теории упругости наличием дополнитель-
дополнительных членов, расположенных в правой части.
Аналогично можно преобразовать и граничные условия E,25),
которые g учетом E.26) имеют вид
ду дг I \дх дх дх
. дт\Лл(<>г 1
3 \дх + ду + dz
, , dv , dv \ , _ (ди , . dv , dw
1 (ди dv dw
( д® i , dw x dw \ . . [ди , , dv , dw \
\дх l ду	dz I { \dz ' dz l dz J
dw 1 (du.dv dw
E.28)
Уравнения E.27) совместно с уравнениями E.28) позволяют решать
задачу теории пластичности в перемещениях.
Если принять, что слагаемые, возникшие из-за наличия допол-
дополнительных членов, подчеркнутых в E.17) и перенесенных в правую
часть E.27) и E.28), известны, то получим как бы систему урав-
уравнений теории упругости относительно перемещений, но с дополни-
дополнительными объемными (Х@), Г@), Z@)) и поверхностными (Х{®, Y^K
%^) силами, В первом приближении полагаем, что все дополни*
140

тельные объемные и поверхностные нагрузки равны нулю
(т. е. *F-~^J. Тогда приходим к обычной задаче теории упру-
упругости в перемещениях. Уравнения E.27) обращаются в уравнения
Ламе теории упругости, а уравнения E.28)—в граничные условия
теории упругости в перемещениях. Пусть указанная задача теории
упругости для заданных сил X, У, Z, Xv, Fv, Zv решена и найдены
перемещения (щ, vQ, wQ)t а следовательно, деформации (s^o»e^o*
8zo» УхуО* V#zO> Vz*o) и интенсивность деформаций (eiQ). По заданной
диаграмме деформирования (см. рис. 43) с учетом упрочнения опре-
определяем oi0 = Ф (et.o), а затем *Р| = — ' » Зная перемещения
и Wf, по формулам E.24) и E.26) находим дополнительные нагрузки
x@)t у@)^ 2<°), х$\ 7(v0), Z^0), которые уже в данном случае от-
отличны от нуля. Снова решаем задачу теории упругости g дополни-
дополнительными нагрузками и определяем «?, Vf, До?, а следовательно,
8*l> 8(/l' ezl> УХу1> yyzV Угх\ и 8П- По Диаграмме деформирования
при данном значении гп 9 учетом упрочнения находим оа = Ф (&п).
Затем снова определяем ?2 = —
и т. д. Решение необхо-
димо продолжать до тех пор, пока данное приближение будет
отличаться от предыдущего на бесконечно малую, наперед заданную
величину.
Рассмотрим метод упругих решений в несколько иной форме
записи. Если использовать зависимость между интенсивностями
напряжений и деформаций в форме, предложенной А. А. Ильюши-
3 8*
ным, <st ~3Ge{ [I —©f. (е^)], и учесть, что *Р = -^	, то уравне-
уравнения E,17) имеют вид
*	дх
0
dw
E.29)
%uz = о (I —* (
Тогда уравнения равновесия E.1) с учетом E.29) при условии, что
все члены, содержащие функцию со*, перенесены в правую часть,
запишем таким образом:
141

(G + Я) -Ц- + Gs/Ьа + Z = Z<o>.
Здесь
E.30)
4^
3 дх дх
з a*
а*
3 dy V d« d*/ ^ i (92 + dy
дх \'
—
dw
E.31)
К уравнениям E.30) необходимо добавить граничные условия, кото-
которые в данном случае в перемещениях имеют вид
ду
dv
dv , аоу \
дг ^ ду
где
E.32)
(ди , dv\ , I dw . ди
ди
E,33)
Таким образом, если использовать зависимость ос = 3Gst A — со^.),
предложенную А. А. Ильюшиным, то решение задачи теории плас-
пластичности при активной деформации и простом нагружении сводится
к решению уравнений E.30) при граничных условиях E.32). Данный
метод — метод упругих решений А. А. Ильюшина — также основан
142

на приниипе последовательных приближений. В первом приближении
полагают, что со^0 = 0. Тогда согласно E.31) и E.33) все допол-
дополнительные объемные и поверхностные силы равны нулю (Х^0) = Y^ =
= Z(v0) = Xio) = Г@) = Z(o) = 0). Уравнения E.30) обращаются в урав-
уравнения Ламе теории упругости, а уравнения E.32) — в граничные
условия теории упругости. Поэтому решение в первом приближении
сводится к решению задачи теории упругости. Предположим, что
решение данной задачи при заданных внешних силах (X, У, Z,
Xv, Yv, Zv) известно—*и, vt w. С помощью E.29) находим напря-
напряжения как функции координат ох, оу, ог; тху, туг, т2Х, а следова-
следовательно, и интенсивность напряжений о^ По диаграмме деформиро-
деформирования определяем et-, а из аналитической зависимости А. А. Илью-
Ильюшина— a>t как функцию координат. Зная функцию о^ и перемещения,
по формулам E.31) и E.33) находим дополнительные нагрузки
Х{0\ К@), Z@)> X$\ Y$\ Z^0) как функции координат. Далее ре-
решаем задачу теории упругости для объемных (X *— Х@), Y •*¦* К(о),
Z^z<°))kH поверхностных (Xv + X$\ Yv + Y[°\ Zv + Z<?) сил.
Решением задачи теории упругости в этом случае являются пере-
перемещения и2» V2> W2 B0 втором приближении и т. д.
Вычисления можно закончить тогда, когда разница между ре-
результатами двух последовательных приближений будет достаточно
малой, т. е. окажется в пределах необходимо й точности.
Метод дополнительных деформаций
Одним из разновидностей метода упругих решений является
метод дополнительных деформаций. Если вуравнениях Генки—Надаи
D.37) положить ^ = 2п + Ы— g^)» а также учесть, что 80 =
I *¦** 2и
= —g — (вх -f- ay -f- аг), то после небольших преобразований урав-
уравнения D.37) можно записать в виде
г [М + )]
еУ =
— 2g)@ — <t0);
> E.34)
143

Данные уравнения отличаются от обобщенного закона Гука допол-
дополнительными членами (они подчеркнуты). При W = -^ эти уравнения
выражают обобщенный закон Гука и определяют деформации
в упругом теле:
*	1
ъх = -g- [о*~ М- (оу + oz)];
*	1
By = -JT [Оу — IX [Gx + Ста)];
1
7Г
1
E.35)
Тогда
Уху^Уху + УхуП
Здесь
8^
Yg)f
Yg)
в упругопластическом теле:
8@)
к
o@)_Ur_i_ I/a,— ,
Интенсивность деформаций определяется как
E.36)
пластические деформации
E,37)
E.38)
где 8^,8^ — интенсивность упру-
упругих и соответственно пластических
Деформаций. Физический смысл ра-
равенства E.38) ясен из рис. 44, где
-G . E.39)
Решим задачу теории пластич-
пластичности в напряжениях. Дифферен-
Дифференциальные уравнения равновесия
E.1) и граничные условия E.2)
Рис. 44	не изменятся. Уравнения нераз-
неразрывности деформаций E.4) вслед-
вследствие наличия дополнительных (подчеркнутых) членов в уравне-
уравнениях E.34) будут содержать дополнительные слагаемые. Действи-
Действительно, если E,34) подставить в уравнения сплошности E.4) и ис-
144

пользовать уравнения равновесия E.1), тс яосле соответствующих
преобразований получим
>
v °х +1 + (г дх* ~ дх

(г дх* ~ дх l —
*)*¦]+¦&•[(»-
E.40>
145

Данные уравнения аналогичны уравнениям Бельтрами — Мит-
Митчелла, но с дополнительными членами. Уравнения E.40) совместно
с граничными условиями E.2) позволят решать задачу теории пла-
пластичности в напряжениях. Если в E.40) положить W = ^=,, то все
дополнительные члены в правой части обращаются в нуль и полу-
получим обычные уравнения теории уп-
Bj 2	^ ругости B.30). Уравнения E.40)
в замкнутом виде не интегриру-
интегрируются. Для этого применяют раз-
различные приближенные методы ре-
решения.
Различие методов решения за-
задач с дополнительными нагруз-
нагрузками и дополнительными деформа-
деформациями показано на рис. 45 [9, 11].
Получив в результате решения за-
задачи теории упругости точку В%
дальнейшее «движение» по методу
дополнительных нагрузок осу-
осуществляем в направлении /, в то
время как по методу дополнитель-
дополнительных деформаций — в направлении
2. Критерием сходимости указанных методов, безусловно, служит
близость напряжений в предыдущем и последующем приближениях.
Метод переменных параметров упругости
Физические уравнения E.5) и E.6) теории малых упругопла-
стических деформаций после некоторого преобразования могут быть
записаны в форме закона Гука:
1
Рис. 45
1
где
Уху
Ууг
Угх
)
G*
I
~G*
1
~~G*
хху4
хуг\
E.41)
?• = ¦
38,
E.42)
146

Кроме того,
Е*
<5'43>
Зе,
ОС/
Поскольку »2— = ^» формулы E.42) можно переписать в виде
5	. )
/г* __
с - ос
¦(*• =
,+iz^s
E.42а)
Следовательно, если физические уравнения теории малых упру-
гопластических деформаций E.5) и E.6) заменить соответствую-
соответствующими уравнениями E.41) и E.43), то решение задачи теории пла-
пластичности сводится к решению задачи теории упругости с перемен-
переменными параметрами упругости, определяемыми по формулам E.42)
и E.42а). Этот метод впервые предложен И. А. Биргером [9,11},
Согласно E.42) зависимость
между переменными параметра-
ми'упругости имеет тот же вид,
что и для упругих постоян-
постоянных Е, G, ц, а именно G* =
?*
€12
У*
Z)
и
с
-• i

¦• i
*
Рис. 46
(+^)
Задача теории пластичности
по методу переменных парамет-
параметров решается следующим обра-
образом. В первом приближении по-
полагают, что W= -^ у тогда пе-
переменные параметры упругости
равны упругим постоянным: Е*=
= Е; G* = G; \i* = jx. Физиче-
Физические уравнения теории малых
упругопластических деформаций
в этом случае обращаются в
обобщенный закон Гука, и решение задачи сводится к решению
обычной задачи теории упругости, в результате чего определяются
напряжения oxi% cr^, cr2j; %Xyb xyzb %гхл и деформации e*f, e^j, e2j;
yxyV yyzV yzxl в первом приближении. По заданным величинам
в каждой точке тела определяются интенсивности напряжений о~ц
и деформаций е^. На плоскости в координатах о. — е. (рис, 46)
напряженное и деформированное состояния некоторой точки тела
изображаются точкой /, лежащей на луче ОЛ. При этом tga^
= Е = 3G, где а ««тангенс угла наклона ОЛ. Во втором приближен
нии для величины 3G необходимо внести поправку. В этом случав
147

= ЗС^ = —— , где ап —интенсивность напряжений, которая
соответствует интенсивности деформаций еп, взятой из диаграммы
деформирования. По величинам а*р еп находят параметры ?*, ц,*,
</х, которые в разных точках тела различаются. Зная эти параметры,
решают задачу упругости и определяют напряжения оХ2, ву2, ог2;
Ъху* %yz2> xzx2 и деформации гх2, ъу2> ег2; уху2, ууг^ у2x2 во'втором
приближении. По заданным величинам определяют в каждой точке
тела интенсивность напряжений оB и интенсивность деформаций
2,12* На плоскости о. — &t напряженное и деформированное состоя-
состояние изображается точкой 2, лежащей на луче 0? с тангенсом угла
^*
наклона 3G*. В третьем приближении tg а2 = 3Gf = —— , где сг*2 —
ei2
интенсивность напряжений, которая соответствует интенсивности
€f.2, взятой из диаграммы деформирования. По величинам а*2 и et-2
находят параметры ?2, \i2y G2. Затем решается задача теории упру-
упругости с заданными параметрами упругости и определяются напряже-
напряжения и деформации в третьем приближении. По заданным величинам
определяются интенсивности напряжений af-3 и деформаций 8^3. На
плоскости а. •— &. напряженное и деформированное состояния изоб-
изображаются точкой 3, лежащей на луче ОС с тангенсом угла наклона
3G*, и т. д.
Расчеты необходимо продолжать до тех пор, пока полученные
результаты расчетов я-го приближения будут отличаться от резуль-
результатов расчетов (п — 1)-го приближения на заданную величину с тре-
требуемой точностью. Расчеты показывают, что процесс всегда является
сходящимся.
Метод «шагов» в теории пластического течения
Решение задач теории пластичности с помощью теории пласти-
пластического течения представляет значительные трудности, обусловлен-
обусловленные тем, что физические уравнения теории пластического течения
(см. E.9)) содержат не только компоненты напряжения, но и их при-
приращения. Не представляется возможным данные уравнения решить
относительно напряжений; следовательно, нельзя составить си-
систему уравнений в перемещениях. Во многих частных задачах обыч-
обычно применяют численное интегрирование, прослеживая «шаг за
шагом» развитие пластической деформации. На каждом этапе внеш-
внешняя нагрузка получает приращения, по которым затем вычисляют
соответствующие приращения напряжений и деформаций [224].
На каждом этапе, как указано в работах И. А. Биргера [9,11], не-
необходимо решать некоторую задачу для упругого анизотропного
тела с переменными параметрами упругости.
148

Задача интегрирования уравнений теории пластического тече-
течения несколько упрощается, если возможно пренебречь прираще-
приращениями компонентов упругой деформации по сравнению g прираще-
приращениями компонентов пластической деформации.
3. Теория предельного состояния.
Основные теоремы предельного состояния
Предельное состояние конструкции наступает тогда, когда не-
несущая способность конструкции исчерпывается, т. е. конструкция
перестает сопротивляться возрастанию нагрузки. Задача об опреде-
определении нагрузок для стержневых систем (статически определимых),
дисков, цилиндров и даже пластин решается следующим образом
[101, 102]: определяются а) напряженное и деформированное состоя-
состояния в упругой области; б) в упругопластической области; в) нагруз-
нагрузки, при которых материал в данном сечении или элемент кон-
конструкции полностью переходит в пластическое состояние.
Решение таких задач даже в предположении, что материал яв-
является идеально пластическим, довольно громоздкое, особенно для
статически неопределимых систем, оболочек и других элементов
конструкций. Поэтому в подобных конструкциях предполагается
сразу определить предельные нагрузки, при которых элемент кон-
конструкции исчерпывает свою несущую способность. При этом пред-
предполагается, что материал является жестко-пластическим.
Предлагаются теоремы (статическая и кинематическая), которые
позволяют с помощью схемы жестко-пластического тела определять
предельные состояния конструкции более простыми методами.
В этом случае пользуются не напряжениями, деформациями и ско-
скоростями деформаций, а интегральными характеристиками внут-
внутренних усилий, деформаций, скоростей деформаций, которые назо-
назовем обобщенными напряжениями (Qlf Q2» Q3» •••> Qn)> обобщенными
деформациями (qif q2, q3, . .. , Яп) и обобщенными скоростями де-
деформаций (qi, q2f <7з» ••• » <7я)« Условие предельного состояния имеет
вид
0(Qi, Q* Qe. ....Q«)*0.	E.44)
Поверхность Ф = 0 называется предельной поверхностью нагру*
жения. Она так же, как и поверхность пластического потенциала,
выпукла. Обобщенные скорости деформаций, которые перпендику-
перпендикулярны данной поверхности, вычисляются как частные производ-
производные [101]:
дФ •	дФ	•	дФ
qi==l-dQ7' 9* = 1Ж;---;дп==хд07' El45)
Для конструкций, находящихся в предельном состоянии, условие
E.44) выполняется не для всех элементов конструкций (сечений
стержня), так как некоторые из них остаются жесткими. Для таких
элементов конструкций имеем
Ф (Qh Q* Q8. • • • . Qn) < 0.	E,46)
Этому состоянию соответствует точка, лежащая внутри предельной
поверхности. Поскольку принято жестко-пластическое тело, для
которого в предельном состоянии условие
Ф(в* Qi. <?«. ....вл)>0.	E.47)
149

не имеет смысла, допустимыми являются следующие состояния эле*
мента:
Ф (Qi, Q2, Qs,	Qn) < 0.	E.48)
Предположим, что для обобщенных напряжений Ql9 Q2, Q3»«--»
..., Qn элемент конструкций (или сечение стержня) находится в пре-
предельном состоянии, которое изображается точкой М на предельной
поверхности (рис. 47). Вектор этой
точки обозначим Q [101). Обобщенный
вектор скорости деформации q нап-
направим по нормали к данной поверхно-
поверхности в точке М. Наряду с предельным
состоянием существуют статически
возможные или допустимые состоя-
состояния. Пусть Q?, Q* <&..., Q*-
обобщенные напряжения элемента (се-
(сечения), находящегося в статически
возможном или статически допусти-
допустимом состоянии. Данное состояние ха-
характеризуется точкой N, находящейся
р 47	внутри кривой предельного состоя*
ния. Радиус-вектор точки N обозна-
обозначим Q*. Вследствие выпуклости по-
поверхности радиус-вектор Q —Q* составляет острый угол а с векто-
вектором q. Следовательно, скалярное произведение указанных векторов
всегда больше нуля:
(Q — Q*)q>0.	E.49)
Статический метод определения предельной
нагрузки (статическая теорема)
Предположим, что конструкция выполнена из жестко-пласти-
жестко-пластического материала и под действием сил Pt- находится в предельном
состоянии [101]. Тогда обобщенные напряжения только в некоторых
элементах (сечениях) конструкции Qs удовлетворяют условиям
предельного состояния. Обозначим обобщенные скорости деформа-
деформаций через qs, а скорости точки приложения внешних сил — через
V?. В статически возможном состоянии конструкции выполняются
условия равновесия, а также равенство или неравенство E.48).
Пусть Р* — внешние силы в статически возможном состоянии, Q* —
обобщенные напряжения, qs — скорости, для которых выполня-
выполняется условие
Ф (Q?. Qt Qt • • • . Qt) < 0.	E.48а)
Применим принцип возможных перемещений для заданного и ста-
статически возможного состояний, приняв за возможные перемещения,
пропорциональные скоростям v^ и qs. Приравняв работу внешних
и внутренних сил, для заданного состояния получим
2 ptvt = 2 Qs4S-	E-5°)
ISO

Тогда для статически возможных состояний
2 P*v,. = ?<}%.	E.51)
Из равенств E.50) и E,51) следует, что
2рл-2рХ = 2<^-2°%-
С учетом E.49)
2 *п - 2 9>i > °-или 2р^ > 2 p*v <5-52)
В случае одной силы
Р* < Р.	E.53)
Таким образом, нагрузка, соответствующая статически воз-
возможному состоянию, всегда меньше предельной нагрузки. В этом
заключается суть статической теоремы, которая устанавливает
приближение для предельной нагрузки снизу. Исследуя различные
статически возможные состояния, определяем семейство нагрузок.
Все они меньше предельной. Наибольшая нагрузка и будет ближе
всего к предельной. Такой метод определения предельной нагрузки
называется статическим.
Кинематический метод определения предельной
нагрузки (кинематическая теорема)
В статически неопределимых системах существует множество
кинематически возможных схем исчерпания несущей способности.
Обозначим внешние силы, приложенные к конструкции, которая
находится з предельном состоянии, через Pj, а обобщенные напря-
напряжения в ее элементах — через Q*. Выберем кинематически возмож-
возможное состояние конструкции. Пусть Р** — внешние силы, приложен-
приложенные к конструкции в этом состоянии, Q** — обобщенные напряже-
ния, v^ —скорости приложения внешних сил, qs —обобщенные
скорости деформаций [101].
Применим принцип возможных перемещений для заданного и ки-
кинематически возможного состояний, приняв за возможные перемеще-
перемещения, пропорциональные скоростям v** и q**. Приравняв работу
внешних и внутренних сил для заданного состояния, получим
?Ptv**=SQsqs**.	E-54)
Тогда для кинематически возможного состояния
SP**v**=SQ**q**.	E.55)
На основании равенств E.54) и E.55) имеем
2 Р^Г - 2 р,*\** = 2 (% -,оГ> чГ.
151

или с учетом E.55)
Y P v** -
Zj i i
Тогда, используя E.49)
3 случае одной силы
и E.55)
Р**
, устанавливаем, что
:>5]P(.vf,
>р.
E.56)
E.57)
Таким образом, нагрузка, соответствующая кинематически
возможному состоянию, всегда больше предельной нагрузки. В этом
заключается суть кинематической теоремы, которая устанавливает
приближение предельной нагрузки сверху, Исследуя различные
кинематически возможные состояния, определяем семейство нагру-
нагрузок. Наименьшая нагрузка и будет ближе всего к предельной. Та-
Такой метод определения предельной нагрузки называется кинемати-
кинематическим,
ГЛАВА 6
ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЕ
1. Законы и уравнения
теории пластичности
Если напряженное состояние нагруженного тела таково, что
перемещения всех точек тела происходят только в одной плоскости,
то такую деформацию называют плоской [6, 15, 77, 101, 132, 200].
Плоская деформация возникает, например, в теле, помещенном
между двумя жесткими плитами А и В> расстояние между которыми
остается постоянным, и сжимаемом силами, которые параллельны
плоскостям плит (рис. 48, а); при рассмотрении равновесия довольно
длинного цилиндрического (рис. 48, б) или призматического (рис*
48, в) тела иод действием сил, перпендикулярных образующим
и равномерно распределенных в их направлении. Сечения, перпен-
перпендикулярные оси г, могут перемещаться вдоль оси г как жесткие
плоскости. Обычно принимают, что эти перемещения равны нулю.
Тогда перемещения являются функциями координат ху и не зави-
зависят от координаты г:
и = и(хг у); v=v(x, у); ш = 0.
Поскольку сечения, перпендикулярные оси г, не искривляются,
касательные напряжения в этих сечениях равны нулю: xzx — %гу =
= 0. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси z, являются
главными. При плоской деформации компоненты напряжений также
являются функциями координат *, у и не зависят от координаты г:
*ху=**яу{** У)\ <** = <**(*» У)\ Vy^Oyi** У)\ Ог = Ог(х, у).
152

6
Рис. 48
Напряженное состояние при плоской де-
деформации в каждой точке нагруженного
тела характеризуехся следующим тензо-
тензором напряжений:
% *ху О
т с О
0 0а2
7*
1 а
Для плоского деформированного состояния наиболее простым явля-
является решение жестко-пластических задач. Их решение имеет прак-
практическое значение при исследовании таких технологических опера-
операций, как прокатка, волочение, прессование, а также для определе-
определения предельных нагрузок.
При плоской деформации компоненты тензора деформации
1
fyyx гУ U
0	0	0
также являются функциями координат х и у и не зависят от коор-
координаты г:
Gx ~f~ ®Ц
Для несжимаемого материала е0 = 0; ог = ов == —^— •
153

Основные уравнения при плоской деформации
Для плоского деформированного состояния при отсутствии
объемных сил дифференциальные уравнения равновесия и условия
пластичности соответственно записываются в виде
^4^-0; ^ + ^_о,	F.1))
дх ду	дх бу '	у "
(ох-оу)* + 4%1у = 4К*.	F.2)
Здесь К = —jzr- по условию Мизеса и К = —— по условию
Треска—Сен-Венана.
Если на поверхности тела заданы напряжения, то из уравнений
F.1) и F.2) определяют их компоненты. Затем находят деформации
или скорости деформаций. При плоской деформации скорости де-
деформаций выражаются через скорости перемещения?
dvXt	dvy	dvx dvy
Физические уравнения Сен-Венана — Леви — Мизеса для пласти-
пластически плоского деформированного еоетояния имеют вид
F.4)
Используя зависимости F.3), из F.4) находим
dvy dvx
о у — стлг __ ~ду"~ дх
-^7"	*
д^ dvy
ду "*" дх
Присоединяя к уравнению F.5) условие несжимаемости материала
$-*+!-*=о,	F.6)
дх ' ду	v 7
получаем два дифференциальных уравнения F,5) и F.6) относитель*
но vx и Vy* Интегрируя данные уравнения при соответствующих гра«
ничных условиях, определяем скорости перемещений. Если на гра-
границе тела или на его части заданы не напряжения, а скорости пере-
перемещений, то напряжения и скорости перемещений находят путем
совместного решения уравнений F.1), F.2), F,5) и F,6) относи-
относительно неизвестных vXi vy, ox% оу, тхущ
154

Линии скольжения при плоской деформации
Так как одна из главных плоскостей перпендикулярна оси е,
то две другие главные плоскости параллельны оси г. Их положение оп-
определяется углом между нормалью одной из главных площадок и
осью х (рис, 49):
tg2a=
—О у
В этом случае
У\
F.7)
F.8)
выражения для главных напряжений при плоской деформации
имеют вид
F.9)
= о0 — тт
Соотношения F.9) указывают на то, что напряженное состояние
при плоской деформации может рассматриваться как наложение
всестороннего равного растяжения с напряжением о0 на чистый
сдвиг е напряжением ттах (рие. 50). Напряженное состояние данного
элемента в плоскости ху показано на рис. 49. Поскольку макси-
максимальные касательные напряжения действуют в площадках под
углом 45° к главным напряжениям, наклон на площадках действия
155

наибольших касательных напряжений ©пределяется углами а +
+ л/4; а -f Зл/4 (см. рие. 49). Линии, которые касаются всеми
своими точками площадок наибольших касательных напряжений,
называются линиями скольжения. Очевидно, что сущеетвует два ор-
ортогональных семейства линий скольжения (рис. 51, а), которые
определяются следующими диф-
iffg	ференциальными уравнениями:
dy_
dx
= tgq>; S2 = •
— ctgcp,
F.10)
где ф — угол наклона каса-
касательной к линии скольжения
семейвтва аи
т-семей-
т-семейРис. 50
ства Ьщ Напряженное состояние
элемента, выделенного линиями
скольжения при плоской де-
деформации в пл©скоети ху9 по-
казяно на рие. 51, б ?102].
Компоненты напряжений
°у% °U» Gz B некоторой точке в
учетом F.2) вависят от угла
наклона каеательной к линии скольжения, проходящей через эту
точку:
FЛ1)
Рис. 51
156

Соотношения F.11) тождественно удовлетворяют условиям пластич-
пластичности F.2). Используя соотношение F.11), перепишем дифферен-
дифференциальные уравнения равновесия F.1) в виде
FЛ2>
Решение системы F.12) существенно определяется ее видом [9, 19,
69, 89, 101, 102, 123, 155, 200, 206, 211, 212, 224].
Если в плоскости ху выбрать кривую, вдоль которой заданы
функции а0 (х, у) и ф (х, у), то можно составить дополнительные
уравнения:
,	d(jQ j d@Q ,
0 ~~ дх *" ду
dm = -r^ dx + -^ dy,
т дх	ду *
Уравнения F.12) и F.13) вдоль линии L образуют четыре алгебраи-
алгебраических неоднородных уравнения относительно частных производных:
^г2 • -з-2-; "^# 5^- Решение системы уравнений F.12) и F,13)
дх * ду * дх' ду	Jy	\ • / \ г
может быть представлено в форме определителей. Частные произ-
до« да0 дер да	.
водные ¦— ; -т-2 ; —-; ^- вычисляются единственным образом, кроме
случая, когда вдоль линии L определитель рассматриваемой системы
равен нулю. Указанные линии называют характеристиками системы
дифференциальных уравнений F.12) [196]. Уравнения характеристик
получаем из условия [102]
2	2
0 l T7S
dx
0
dy
0
0
dx
0
dy
= 0.
F.U)
Раскрывая данный определитель, находим
(dii\	dv
—— I —|— 2 ct§j 2ш ~j- — I ss= 0#
dxj	dx
Корни характеристического уравнения F.14)
(dy\ ,	(du\ ,	/с lex
-т2 = tg ш, (-^ I = ctg ф#	F.15)
\dxJi bY \dx/2
Поскольку оба корня характеристического уравнения F.14) дей-
действительные и различные, система дифференциальных уравнений*
F.12) является гиперболической. Если оба корня F.14) одинаковы,
157

то система уравнений F.12) является параболической, а если оба
корня комплексные — эллиптической.
Сопоставляя уравнения F.15) и F.10), заключаем, что харак-
характеристики совпадают с линиями скольжения. Если выбрать систему
координат так, что в каждой точке оси координат sa и Sb будут на-
направлены по касательным к линиям скольжения (рис. 52) [102], то,
поскольку х совпадает с sa, уравнения F.12) имеют вид
2(J*
F.16)
Уравнения F,16) представляют собой дифференциальные уравне-
уравнения равновесия элемента, выделенного линиями скольжения. Инте-
Интегрируя F.16), находим
, 	» у о Gq	 		(ft \7\
где ? и X] — величины, постоянные вдоль линий скольжения, но
изменяющиеся при переходе от од-
одной линии скольжения к другой.
1*	о_	Решая систему уравнений F.17)
относительно о0 и ф, получаем
F.18)
Затем с помощью формул F.11)
определяем компоненты напряже-
напряжений oXi Oy, %ху. Следовательно, за-
задача об определении напряжений
при пластическом плоском дефор-
Рис- "	мированном состоянии сводится
к интегрированию системы двух
нелинейных дифференциальных уравнений F.12) в частных произ-
производных при соответствующих граничных условиях.
2. Линеаризация гиперболической системы
дифференциальных уравнений.
Граничные условия
Нелинейная система дифференциальных уравнений F.12) в част-
частных производных гиперболического типа, как отмечалось в рабо-
работах М. Леви [87], может быть линеаризована. Действительно, если
принять за неизвестные функции параметры |, г) и в уравнения
<6.12) подставить значения а0 и ф из F.18), то после небольших
преобразований [102] дифференциальные уравнения гиперболиче-
158

ского типа сводятся к системе однородных квазилинейных диффе-
дифференциальных уравнений
ag	aE дт\	дт\
—— —J- \р ф —— = 0* —• -— ctsf ф —¦ = 0.	F 19V
ОХ	Оу	ОХ	01)
Система F.19) путем обобщения переменных может быть приведена-
к линейной [196]. Если к = к (?, ц)\ у = у (?, т]), то, дифференци-
дифференцируя данные выражения по *, а затем по у, находим
. __ дх ag ,дх ду\
F,20)
дх
ал:
1 ^^^1
ag аг/
at]
Решая систему уравнений F.20) относительно частных производных
а* дх ду ду
ag • аdi * д
получаем
1 а
дх
где
(g, т]) ду * аг]
1 A (g, т]) дх ; ^)
_agar|
"A(g, r])a
1 ag
А (Б.
A (g, t|) =
ал:
F.22)
Определитель системы алгебраических уравнений F.20) называют
якобианом преобразования системы дифференциальных уравнений
F.19).
С помощью выражения F.21) дифференциальные уравнения
F.19) преобразуются в следующую систему:
ду
дх л ду , дх
= 0; Щ-^^
F.23)
Систему F.23) линейных дифференциальных уравнений с перемен-
переменными коэффициентами называют канонической. Она не эквивалент-
эквивалентна системе F.19), так как в процессе преобразования мы сократили
F.19) на якобиан Д(?, т]), тем самым потеряв решения, обращаю-
обращающие якобиан в нуль. Из выражения
sin2q) дуду
F.24)
следует, что якобиан обращается в нуль только в таких случаях;
1I= const; т| = const; 2) | = const; 3) т| = const. В первом слу-
случае поле напряжений является равномерным, а в двух других —
159

простым. Решение системы линейных дифференциальных уравнений
F.23) значительно проще, че,м решение системы дифференциальных
Уравнений F.12). Методы, разработанные для решения системы
F.23), приведены в работах [154—157, 200, 206, 211, 224, 226].
Чтобы решить задачу об определении напряжений при пластиче-
пластической плоской деформации, необходимо к уравнениям F.12) или
F.23) добавить граничные условия для напряжений, т. е. необхо-
Димо^располагать величинами а0 и ср на поверхности тела. Выделим
элемент с нормалью v на поверхности тела (рис. 53, а) [101]. Нор-
Нормаль v с осью х составляет угол "ф. Предполагаем, что нормаль-
нормальные av и касательные %vt напряжения на поверхности заданы, Усло-
У
о	ко	х
а	6
Рис. 53
вия, которым должны удовлетворять на поверхности величины а0
а ф, определяются решением системы уравнений
Уз
F.25)
относительно a0 и ф:
Ф = У ± — arccos —	\~ kn,
F.26)
гдэ k — целое число. Если на поверхности касательные напряжения
отсутствуют, т. е. xvi = 0, условия F.26) имеют вид
Т	Jb	f
а0 = ov ± —m ; ф = ip ± - -)- йл.
160
F.27)

В частном случае, когда поверхность тела является плоскостью
(рис. 53, б) [102],
Ч>=4; Ф=±^ + *л; о, = ±^|.	F.28)
Таким образом, зная величины а0 и ф на поверхности тела, по
формулам F.17) можно найти | и г\, а затем по формулам F.11) опре-
определить напряжения.
Решение краевой задачи плоской деформации иногда удается
построить на свойствах линий скольжения. Действительно, если
известны поле линий скольжения и значения параметров | и Ц на
них, то тогда в каждой точке будут известны о0 и г), а следовательно,
и напряжения oXi oy; тху.
3. Основные свойства линий скольжения.
Простые поля напряжений
К основным свойствам линий скольжения, изученным Генки
[22—25], относятся следующие.
1. Вдоль линии екольжения (семейства линий а или Ь) давле-
давление а0 изменяется пропорционально углу наклона ф линии скольже-
скольжения к оси х. Данное свойство очевидно, так как вдоль линии сколь-
скольжения семейств а и b соответ-
соответственно имеем	\лЬг
F.29)
Тогда вдоль линий скольжения се-
2
мейства а а0 = -^cyp+§, a вдоль
линий скольжения семейства Ь сп =
Рис. 54
2. При переходе от одной линии скольжения к другой (рис. 54)
одного семейства (например, Ь) вдоль линии скольжения другого
семейства (например, а) изменение величин а0 и ф не зависит от того,
по какой линии скольжения совершается переход (теорема Генки).
Действительно, возьмем какие-либо две линии скольжения (аъ а3)
семейства а и какие-либо две линии скольжения семейства Ь (Ьъ Ь2)
с параметрами I и г), т. е. | = Б2; I = ?2; т] = tjx; tj = т]2. Тогда для
6 1-317
161

точек пересечения линий скольжения (Ап% А1й, А21, Л2?) соглас-
согласно формулам F.18) получаем
ФB2) =уA2 —
F.30)
Из данных равенств находим
а0A2) ¦"¦
а0B2)
—а
0B1)»
— ФA2) = ФB1) ~ ФB2)«
Равенетва F.31) являются деказательствами указанного свойства,
которое можно сформулировать еще так: при переходе от линии
скольжения семейства b к линии скольжения семейства а угол ф
и давление о0 изменяются пропорционально.
Рис. 55
Рис. 56
3, Если известно значение Oq в какой-либо точке указанной
сетки линий скольжения, то величину сг0 можно определить всюду
в рассматриваемом поле (рис, 55). Предположим, что в точке А
известны aOi4 и соответственно ф^. Следовательно, можно вычислить
значения параметра ц для линии скольжения Ь% проходящей через
2от оов /3
точку А9 Затем в точке В находим о$в= —т~ Oil — i\B) и gj = —^
2о
— фв, Значение оос вычисляем по формуле оос = -т= (\i + фс) и т. д.
162

а
Рис. 57
4. Прямые отрезки, отсекаемые ли-
линиями скольжения другого семейства,
имеют одинаковую длину (рис. 56). Рас-
Рассмотрим линии скольжения ААХ и ВВг.
Ясно, что эти линии имеют одну и ту же
эволюту, которая является геометриче-
геометрическим местом центров кривизны кривой
и огибающей семейства нормалей к кри-
кривой. Исходную кривую можно построить
путем разматывания нити с эволюты.
Тогда при вычерчивании кривой ВВг
нить будет на отрезок А В короче, чем
при вычерчивании кривой AAV Остано-
Остановимся на полях скольжения, характери-
характеризующих простые напряженные состоя-
состояния. Поле напряжений, в котором одно семейство линий скольжения
(например, а) состоит из прямых линий (рие. 57, а), называют про-
простыми. Вдоль прямой линии скольжения величины о0, ф, а следо-
следовательно, параметры ?, х\ и компоненты напряжений ох, оу; %ху по-
постоянны. Частным случаем простого поля напряжений является
центрированное поле линий скольжения, образованное пучком пря-
МБ1Х и концентрическими окружностями (рис, 57, б) [102].
Нормальные напряжения в радиальных и окружных площад-
площадках равны величине а0, которая пропорциональна углу наклона
прямых. Центр 0 является особой точкой. Если в некоторой области
линии скольжения обоих семейств прямолинейны, то напряже-
напряжения в этой области распределены равномерно (рис. 57, в) [102].
Таков поле напряжений называют равномерным, Для равномер-
равномерного поля параметры I и г\ постоянны (т. е. | = Iq = const; r\ =
= %== const).
4. Уравнения плоского деформированного
состояния, выраженные в скоростях
перемещений. Поля скоростей перемещения
Зная напряжения ох, о„
л	у	лif
интегрируя систему дифференциальных уравнений
6*	163
скорости перемещений найдем,

дУу дох
дУ~~^ _ °y-ax	F 32)
dy dx
dx dy
Система F.32) так же, как и система уравнений F.12), является
гиперболической, а ее характеристики совпадают с линиями сколь-
скольжения. Составим уравнения для скоростей перемещения в направ-
направлении линий скольжения. Для этого обозначим проекции вектора
скорости на направление координатных осей sa и sb через va и vbt
а на направление координатных осей х и у — через vx и Vy. Как
видно из рис. 58 [102],
va = ох cos ф + Vy sin ф; vb = 0ycos ф — vx sin ф.
Дифференцируя данные уравнения соответственно по sa и sb, находим
dva dvx	, ду < dvy > ,	дф
лГ" = Т~ cos Ф-" ^sin ф -*- + -г-2 sin ф + vtJ cos ф ~- •
А« dsa т * dsa dsa Y ' У т ^sfl '
°а
dvb dv
У\
Рис. 58
dvx
Учитывая соотношения
dx	du
т— = cos ф; ~ =
dsa ^' dsa
а также используя второе урав-
уравнение системы F.32), получаем
dva — vbdq> = 0;
dvb + vady = Q. F.33)
Уравнения F.33) называются уравнениями для скоростей переме»
щений вдоль линий скольжения. Первое уравнение справедливо
при перемещении вдоль линии «кольжения а, а второе — вдоль ли-
линии скольжения Ь. Из уравнений F.33) следует, что изменение пол-
полной скорости вдоль линий скольжения равно нулю.
Рассмотрим поля скоростей перемещений, соответствующих
простым полям напряжений. Согласно уравнениям F.33) состав-
составляющие скорости перемещений вдоль каждой из прямых линий по-
постоянны. В случае равномерного поля напряжений (см. рис. 57, в)
скорости перемещений в направлении линий скольжения вдоль
этих линий остаются также постоянными. Часто решение задачи
плоской деформации невозможно построить без разрывов в величи-
164

нах напряжений (скоростей перемещений) или их производных.
Примером разрыва в величине напряжения может служить разрыв
нормального напряжения в предельном состоянии изогнутой балки.
При переходе через нейтральную плоскость напряжение изменяется
скачком от +от до —от. Линию разрыва в напряжениях обозначим
через L- (рис. 59, а) [102]. Нормальные а/ и оу и касательные на-
напряжения тп по обе стороны от линии разрыва напряжений пока-
показаны на рис. 59, а. Исходя из условия равновесия, заключаем, что
разрыв возможен только для напряжений о>. Условие пластичности
справедливо по обе стороны от линии разрыва L- В данном случае
(рис. 59, а) условие пластичности записывается в виде
F.34)
Отсюда
причем ot по обе стороны линии разрыва имеет различные знаки.
О
Рис. 59
а
При этом скачок в величине напряжения определяется выражением
а скачок в величине среднего нормального напряжения —выражением
Касательное напряжение на линии разрыва максимально (x^t =
= ттах=тт), следовательно, линия разрыва в напряжениях не со-
совпадает с линией скольжения или с огибающей линии скольжения.
165

Линию разрыва можно рассматривать как некоторый след бес-
бесконечно тонкого слоя, разделяющего две пластические области. Это
вытекает из того, что нормальные ov и касательные %vt напряжения
в тонком слое в окрестности линии разрыва постоянны, а нормаль-
нормальные напряжения ot по толщине слоя резко изменяются и условие
плаетичноети в данном слое не выполняется. Допустим, что линия
Lv (рис. 59, б) [102] является такой линией разрыва в скоростях
перемещений. Ясно, что разрыв может быть только в составляющей
скорости vti касательной к линии разрыва Lvt ибо разрыв в нор-
нормальной составляющей vv к линии разрыва означал бы появление
трещины в теле. Поэтому линию разрыва в скоростях перемещений
представляют как предельное положение слоя, в котором vt резко
изменяется, a vv остается постоянной. Запишем для этого случая
геометрические уравнения:
t	VJ!я t	VJ .	^4-—а*	F.37)
Соотношения F.37) указывают на то, что при уменьшении толщины
слоя 6 (рис. 59, б) скорость деформации сдвига непрерывно возрас-
возрастает, а остальные компоненты скоростей деформаций почти не изме-
изменяются. Для идеально пластического материала (о, = ат) выраже-
выражения зависимостей скоростей деформаций от напряжений согласно
теории течения имеют вид
3 ^ о —
F.38)
где 1{ — интенсивность скорости деформаций, которая в	случае не
сжимаемого материала и плоской деформации (|2 = 0;	?v = — %t)
определяется как
У Т^.	F.39)
Из формулы F.39) следует, что с уменьшением толщины слоя интен-
интенсивность скоростей деформаций непрерывно возрастает за ечет воз-
возрастания скоростей угловой деформации. Тогда на основании фор-
формул F,38) делаем вывод, что с уменьшением толщины б напряже-
напряжения ov и ot стремятся к о0, а т^ — к тт> что обычно характерно
для площадок, совпадающих е линиями скольжения и перпендику-
перпендикулярных им, Поэтому линия разрыва скоростей перемещений совпа-
совпадает g линией разрыва скоростей скольжения или в огибающей ли-
линии скольжения.
166

5. Основные краевые задачи
и методы их решения
При решении конкретных задач пластического плоского дефор-
деформированного состояния необходимо, чтобы полученные решения ги-
гиперболических уравнений F.12) удовлетворяли граничным усло-
условиям. В связи с этим прихо-
приходится решать ряд краевых за- у
дач или задач, сводящихся к
краевым. Обычно решают такие
краевые задачи: 1) начальную
характеристическую задачу(за-
дача Римана); 2) задачу на-
начальных значений (задача Ко-
ши); 3) смешанную задачу.
1.	Задача Римана. Если на
отрезках линий скольжения О А
и ОБ (рис. 60) [102] заданы
функции а0 (х, у) и ф (х, у), ко-
которые удовлетворяют диффе-
дифференциальным уравнениям рав-
равновесия элемента, а следова-
следовательно, и соответствующим со-
соотношениям F.17), то величины
о0 и ф можно определить в криволинейном четырехугольнике О АС В,
ограниченном четырьмя линиями скольжения.
2.	Задача Коши. Если на какой-то гладкой линии А В (рис.
61) [77, 102], не совпадающей с линией скольжения и пересекаемой
каждой линией скольжения только один раз, заданы непрерывные
О
Рис. 60
о
Рис. 61
функции а0 (а:, у) и ф (х, y)t a также непрерывные их первые и вто-
вторые производные, то эти функции, а следовательно, и напряжения
°х> °у> тху можно определить в криволинейном треугольнике ABC,
сторонами которого являются заданная линия Л В, линия сколь-
скольжения АС семейства а и линия скольжения ВС семейства 6, прохо-
проходящие через точки А а В.
167

- 3. Смешанная задача. Если на отрезке линий скольжения ОА
(рис. 62) [77, 102J заданы функции о0 (х, у) н ф (х, у), которые удов-
удовлетворяют уравнениям равновесия, а на линии ОВ, не совпадающей
о линией скольжения, — угол ср, то величины о0иф можно определить
в криволинейном треугольнике ОАВ, ограниченном линиями
скольжения О А и А В и линией ОВ.
Решение приведенных краевых задач достигается различными
способами. В случае, когда уравнения F.12) линеаризованы, реше-
решения задач Коши и Римана можно представить в замкнутом виде по-
посредством функции Римана [224]. Однако использование указанных
решений связано с большим объемом вычислений. Решение краевых
задач можно представить в аналитической форме с помощью аппа-
аппарата так называемых метацилиндрических функций, рассмотренных
Л. С. Агамирзяном [1]. Однако более простыми методами решения
краевых задач являются приближенные методы построения полей
скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотно-
соотношениям и использовании некоторых свойств линий скольжения
[77, 155, 200, 212, 224]. Рассмотрим некоторые методы численного
решения приведенных основных уравнений.
Численное решение краевой задачи Римана
Разобьем отрезки линий скольжения ОА и ОВ (см. рис. 60) [77,
102] на очень малые части соответственно точками 1,0; 2,0; ...; т, 0;
0,1; 0,2; ...;0, п. Согласно теореме Генки о свойствах линий сколь-
скольжения величины а0 и ф в точке т, n определяются по формулам
а0, т, п = а0, т, 0 + а0, 0, п ~~ а
^л^Фт.-О + Фо.п — Фо.О
0, 0,0» \
g щ
Координаты точки m, п определяются по координатам точек т — 1,
п\ т, п — I и углам ф в данных трех точках. Для этого использу-
используются дифференциальные уравнения скольжения F.10), которые не-
необходимо представить в разностной форме, приняв, что угол 'наклона
хорд, заменяющих малые дуги, равен среднему значению углов
наклона в крайних точках. Тогда получим
Ут,п Упх-Л, п ~ \хт, п хт—1, п) *й "о" (Фт, п Фт—1, л'»
1	\ F.41)
У** г, 	 Угу, г, 1 = 	 (*„, г, 	 X	1	) Ctg Г (ф^		 Ф^ « 1
c'w, ft JШ, а—1	х /71, П	tn-—lt П'	2 "*» ^	*tn,tl—1
Такой метод позволяет последовательно, начиная с точки 1,1, опре-
определять координаты точек и значения в данных точках ст0 и ф, а зна-
значит, найти решение задачи Римана во всей области криволиней-
криволинейного четырехугольника А ОС В.
Численное решение краевой задачи Коши
Разобьем дугу А В (см. рис. 61) [77, 102] на малые части соот-
соответственно точкам 0,0; 1,1; 2,2; ...; т, т; т + 1, т+ 1. Прове-
Проведем через точки т, т и т + 1, т + \ две линии скольжения: одну
168

из семейства а, другую из семейства Ъ> и точку их пересечения обоз»
начим т\ т + 1. Поскольку параметры на линиях скольжения а
и Ь постоянны, согласно формуле F.17) можно записать:
~2	о	^m; т+*	2 о *" ^m*
/3 °~0, m;m+l	_ /З g0, m+1; m+l
F.42)
Данные уравнения позволяют определить величины а 0 т% т^{ и
Фт. m+j. При составлении уравнений F.42) предполагалось/что точки
т/т; т + 1; т +1 и m; m +1 расположены друг от друга на очень
близком расстоянии. Выполнив последовательно аналогичные опера-
операции, найдем значения о0 и ф в точках, которые являются вершинами
криволинейных треугольников, примыкающих к линии АВ. Для
построения решения во всей области криволинейного треугольника
ABC решают начальную характеристическую задачу.
Численное решение смешанной краевой задачи
Предположим, что угол ф в точке О на линии скольжения ОЛ
и линии О В одинаков (см. рис. 62) [77, 102]. Разобьем отрезок ли-
линии скольжения О А на малые части соответственно точкам 1, 0; 2,0;
3,0; ...; т, 0. Затем из точки 1,0 проведем перпендикуляр к линии
скольжения О А до пересечения в точке С с линией ОВ. Определим
значение ф для точки С, зная его на линии ОВ. По значениям ф,
известным в точках 1,0 и С, находим среднее значение ф. Из точки
1,0 проводим прямую, перпендикулярную прямой, которая наклон-
наклонна к оси под углом, равным среднему значению угла ф для точек 1,0
и С. Такое построение позволяет определить точку С". Подобные
повторения необходимо выполнять до тех пор, пока различия между
последовательными положениями точки С не станут малыми: тем
самым определяем точку 1,1. По формуле F.38) находим параметр
х\г для линии скольжения семейства Ь, проходящей через точки 1,0
и 1,1. Затем, используя соотношения F.17), вычисляем значение о0
в точке 1,1 по формуле
а0;1§1=у%°тAК+%1)-	F.43)
Значения а0 и ф в точках 2,1; 3,1 ... вычисляем аналогично, как
в задаче Римана. Нахождение положения точки 2,2 и величины а0
в ней производится аналогичным образом как для точки 1,1. Такой
метод позволяет последовательно, начиная с точки 1,1, определять
эначения о0 и ф, а значит, строить решение во всей области криво-
криволинейного треугольника О А В.
Таким образом, если построена сетка линий скольжения, тс?
в узлах ее известны значения о0 и ф, а следовательно, и напряже-
напряжения ох, оу, \ху для плоского деформированного состояния. Кроме
приближенных численных методов существуют также графические
169

методы решения краевых задач теории пластичности, однако их ис-
использование приводит к значительным погрешностям. Приемы чис-
численных методов для построения поля скоростей деформаций незна-
незначительно отличаются от приемов, применяющихся при построении
поля напряжений.
ГЛАВА 7
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ
СОСТОЯНИЕ
1. Соотношения и уравнения теории пластичности
Рис. 63
серединной плоскости. В этом случае
осредненные по толщине пластины.
Если напряженное состоя-
состояние рассматривать в декартовой
системе координат, то при плос-
плоском напряженном состоянии ком-
компоненты напряжений о~2, %xv %y2
равны нулю, а остальные ком-
компоненты являются функциями
только координат х, у и не за-
зависят от г, т. е. gx = ox (х, у);
Плоское напряженное состояние
приближенно реализуется, на-
например, в тонкой пластине (рис.
63), деформируемой под дейст-
действием сил, приложенных в ее
ох, оу> %ху — напряжения,
Основные соотношения для напряжений
и деформаций
Главные напряжения при плоском напряженном состоянии опреде-
определяются из кубического уравнения A.58), которое в данном случае
принимает вид
а [а2 - (вх — оу) а + (охоу - -ф] = 0.
Решая это уравнение, находим главные напряжения:
а1,2 =
а3 = оу=0.
G.1)
G.2)
170

Если ввести новые инварианты [77, 102, 200];
—2	= Т ° *
G.3)
то компоненты тензора напряжений 0^, о*^; т^ можно представить
в виде
°у — s
max cos 2a»
. sin 2a,
G.4)
где а — угол между направлением главного напряжения и осью х
(рис. 64).
Выражение для интенсивно-
интенсивности касательных напряжений при
плоском напряженном состоянии
можно записать так [200, 205,
210]:
У\
Рис. 65
Если ввести новую неизвестную функцию со (х, г/), характеризую-
характеризующую положение точки на эллипсе (рис. 65) [77], то согласно соотно-
соотношению G.5)
s = |^3 %t cos со; ттах = %t sin со.	G,6)
Тогда
 . 1 .
а2
= 2т. (-—- cos со — ^ sl'n ©I = 2tj cos Iе0 + "g") »
ox = %
°у-
cos со + sin со cos 2a);
cos со — sin со cos 2a);
= T/ sin со sin 2a.
GJ)
G.8)
171

Главные деформации при плоском напряженном состоянии опреде-
определяются из кубического уравнения A.58), которое в данном случае
принимает вид
(е — гг) (е* — (8^ + гу) е + (ъхьу — У%)] = 0f
Решая это уравнение, находим главные деформации:
Если ввести новые инварианты [77, 102, 200]:
. et+e,.. e» + 8g.
е	~	2
G.9)
G.10)
то компоненты деформаций можно представить в виде
Уху
sin
G Л1)
где угол а имеет прежний геометрический смысл.
С учетом обозначений G.10), выражение для интенсивности де-
деформаций сдвига при плоском напряженном состоянии можно за-
записать так:
где е и 7тах — новые инварианты,
1
е = —т= У{ cos ©I Vm«v = V/ sin ©.
1/л 11 7 i max • i
Учитывая G,12), преобразуем выражение G,11) и G.9):
6	= у. [—— cos со + sin со cos 2a] •
* \/3	/'
6y = 7/ (^ cos ^ — s^n ^ cos 2oc | ;
7	= y{sin со sin 2а;
G.12)
G.13)
G.14)
172

Основные уравнения плоского
напряженного состояния
Дифференциальные уравнения равновесия для плоского мшря-
ЖбННОГО СОСТОЯНИЯ ПрИ УСЛОВИИ, ЧТО Ог = Тх2 = %yz =а О, К OTtyTCTBHH
объемных сил имеют вид
Если компонентами упругой деформации пренебречь, то, исходя
из соотношения Сен-Венана для жестко-пластического тела, запи-
запишем соотношения, связывающие компоненты девиатора деформа-
деформаций с компонентами девиатора напряжений:
Учитывая несжимаемость материала (е0 = 0), принимая, что а0 =
°х + °у
= -:1-о—- > а также яспользуя зависимость между деформациями,
о
и перемещениями, преобразуем уравнения G.16) к виду
ди	dv	да dv
дх _ ду _д~у+Гх
*°х — °у Z(Jy °x Ollxy
При решении задачи в скоростях деформаций, а следовательно,
и в скоростях перемещений вместо уравнений G.16), G.17) исполь-
используем соответственно следующие соотношения:
*х "" ьо Ъу ~~ ьб v\Xy .	G,16а)
дх	ду	ду
&V-.
G,17a)
К уравнениям G.15) и G.17) необходимо добавить соответствую-
соответствующее условие пластичности Мизеса — Генки или Треска — Сен-Ве-
Сен-Венана. Условие пластичности Мизеса — Генки для плоского напря*
женного состояния, которое в плоскости ог — о2 изображается эл-
эллипсом (см. рис. 65) [77], имеет вид
или
ff	oJ.	G.18a)
Условие пластичности Треска — Сен-Венана, которое в плоскости
°i — о2 изображается шестиугольником (см. рив. 65) [77, 102, 200]
имеет вид
*тах =  ((Jl"" °2) = 1
173

или
<*i — (Tg = ± ат, если ст2<72 < 0;
0. J	G.19a)
Таким образом, для решения задачи пластического плоского
напряженного состояния и отыскания пяти неизвестных оХ9 ау ,%ху1
ыу v (или vXt vy) есть пять уравнений: два уравнения равновесия
G.15), два уравнения G.17) (или G.17а)) и одн@ условие пластичности
G.18) (или G.19)). Использование услевия плавтичнасти Мизеса —
Генки приводит к уравнениям гиперболическог©, параболического
и эллиптического типа, а условия пластичности Треска — Сен-Ве-
нана — к уравнениям гиперболического типа. Совместное решение
полученной нелинейной системы уравнений представляет большие
трудности. Однако, как и в случае плоской деформации, часто си*
етему можно разбить на две группы уравнений, решаемых п©следо*
вательно: сначала уравнения для напряжений, а затем уравнения
для перемещений (скоростей перемещений). Если напряжения най-
найдены, те уравнения для перемещений и и v (или скоростей переме-
перемещений vXt vy) будут линейными. Уравнения плоского напряженного
состояния исследованы В. В. Соколовским 1205, 210].
2. Уравнения состояния при условии
пластичности Мизеса — Генки
Дифференциальные уравнения равновесия G.15) и условие
пластичности Мизеса — Генки G.18) содержат три компоненты на-
напряжений oXt oy; тхущ Следовательн®, данная система уравнений
пластического равновесия в компонентах напряжения может реша-
решаться независимо от уравнений G.17) или G.17а), содержащих ком-
компоненты перемещения или компоненты скоростей перемещения.
Таким образом, задача о нахождении напряжений в условиях плос-
плоского напряженного еостояния при заданных на поверхности на-
напряжениях является статически определимой.
Условие пластичности Мизеса - Генки в виде G.18а) можно
удовлетворить, еели принять, что главные напряжения определя-
определяются формулами G,7) при %i = тт = —jkz. Дифференциальные урав-
уравнения равновесия G.15) с учетом G,8) при %t == -~г после некоторых
преобразований принимают вид [200]
(V% sin со — cos со cos 2а) ^ — cos со sin 2а -г^ -+
sin со I sin 2а г	cos 2а ^- I = 0:
\	дх	ду]
cos со sin 2аг- — (]/3 sin со -J- cos со cos 2а) г—(-
+ 2 sin со fcos 2а — + sin 2а ~) = 0.
> G.20)
174

Таким образом, напряжение состояние в данном случав вписыва-
вписывается системой двух дифференциальных уравнений относительна
двух неизвестных функций со (*, у) и <х (*, у).
Свойства решений вивтемы (Т.20) и мет©ды их пострвения зави-
зависят от того, к какому типу {гиперболическому, параболическому
или эллиптическому) данная сиетемз принадлежит. Для опреде-
определения типа данной еистемш рассмотрим некоторую линию
Lix(s), у (s)], вдоль которой заданы функции a (s) и со («). Для
интегральной поверхности, проходящей через L, имеем соотноше-
соотношения [77]
да j , да , . дсо дсо ,	„ .
dx + dff da; dx + d9 = dw.	G.21)
Касательная плоскость к интегральной поверхности вдоль L опреде-
да да да да
ляетоя частными производными ^ ; g-; g~ ; j- .
Указанные производные вычисляются из уравнений G.21) и G.20),
так как на поверхности L они являются линейными алгебраиче-
алгебраическими уравнениями. После соответствующего вычисления находим
дифференциальные уравнения характеристических линий [200]:
dy _ УЗ sin 2а ± У?> — ctg2 о)
dx~~	/3 cos 2а-ctg со	G*22)
и соотношения вдоль них между неизвестными функциями со (х, у)
и а (*, у):
da ± -g- /3 - ctg2 о Ad = 0.	G<23)
Таким образом, исследуемая исходная система дифференциальных
уравнений G.20) имеет два различных семейства действительных
(тг	^
это возможно, если -^ < со <тг л
о	6
или 1гЯ<со<-7гя) система дифференциальных уравнений Gt20)
является гиперболической, Точки на эллипсе, соответствующие ги-
гиперболичности системы уравнений G.20), очерчены жирными линиями
(см. рис. 65) [77]. При 3—* ctg2 со = 0 (это возможно, когда со при-
нимает
. и 5 7 II \
одно из значении -g-; -g-я; -g-я; -g- я I система дифференци-
дифференциальных уравнений G.20) имеет одно семейство действительных ха-
характеристик, следовательно, данная система является параболической.
При 3*=* ctg2 со < 0 действительные характеристики не существуют
и система дифференциальных уравнений G.20) является эллиптиче-
эллиптической. Следовательно, при решении дифференциальных уравнений G.20)
могут встретиться различные области (гиперболичности, параболич-
ности, эллиптичности), для которых граница перехода заранее не-
известна, Это затрудняет решение многих задач плоского напряжен-
175

ного состояния по сравнению с решер**ем соответствующих задач
плоской деформации. Если напряжений известны, то система урав-
уравнений G.17а) для скоростей стано5ИТся линейной с переменными
коэффициентами.
В области гиперболичности уравнений для напряжений уравне-
уравнения для скоростей также гиперболические, причем характеристики
обеих систем совпадают. Предположим, что на линии L, которая
не является линией разрыва скорости, задана скорость. Выберем
в произвольной точке М линии L систему координат х, у, причем
ось х направим по касательной к L. Вдоль линии L известны про-
dvx dvu	dvx dvy
изводные -~— ; —^ , & производные ^— ; ^— ограничены и однознач-
однозначно определяются из уравнений G.17а), кроме случая, когда 2о^ —
dvx
— оу = 0 и — = 0. Условие 2ох — оу = 0 выполняется вдоль харак-
характеристики напряженного состояния. Действительно, предположим,
что напряжения ах, о у\ тху непрерывны и известны на линии L, тогда
д д д	д
д% дох до	д%
х
вдоль данной линии производные -?~ , -g— ; -г- известны, а -~^;
дои	_	дох
¦д-z- определим из уравнений равновесия GJ5). Производную ^~
найдем из условия текучести G.18), продифференцировав его предва-
предварительно по у:
до?	dov
Если 2ох — Оу ф 0, то условие -^ == 0 означает, что вдоль харак-
характеристической линии скорость относительного удлинения равна
нулю. Такое же условие выполняется вдоль характеристик второго
семейства. Данные условия могут быть представлены дифферен-
дифференциальными уравнениями, аналогичными уравнениям, которые вы-
выведены Р. Хиллом [224] и позволяют вычислять скорости вдоль
характеристических линий.
3. Уравнения состояния при условии
пластичности Треска — Сен-Венана
Из условия пластичности Треска —Сен-Венана G.19) следует,
что максимальные касательные напряжения развиваются по различ-
различным площадкам в зависимости от знака главных напряжений ог и о2*
Если о1 и о2 имеют разные знаки, то максимальное напряжение воз-
возникает в площадках, как показано на рис. 66, а |77, 200], а если
одинаковые знаки (например, ог > 0, а2 > 0, причем ot >
> о2), то максимальное касательное напряжение развивается в
площадках, параллельных оси а2 (рие. 66, б) [77, 200]. Условие
пластичности Треска — Сен-Венана в этих случаях принимает вид
прм ого2 < 0
О1 — о2 = ±о^	G.24)
176

при сг1а2 > О
± (тт; Of = ± <тт.
G.25)
Данные уравнения на плоскости ог — а2 представляют шестиуголь-
шестиугольник (рис. 67). Таким образом, задача плоского напряженного со-
Рис. 66
стояния при условии пластичности Треска — Сен-Венана упроща-
упрощается по сравнению с задачей пластичности Мизеса — Генки, так
как вместо эллипса рассматри-
рассматривается шестиугольник. Согласно
ассоциированному закону течения
отклонение главных скоростей де-
деформаций &! и |2 равно отноше-
отношению направляющих косинусов
нормали к шестиугольнику в рас-
рассматриваемой точке 169, 77, 89,
102, 157, 200]. Главная скорость
деформации Е3 определяется из
условия несжимаемости: ii + |2 +
+ 1з = 0» Все внутренние точки
отрезков шестиугольника А В, ВС,
CD, DE, EF% FA назовем соот-
соответственно режимами АВ, ВС, CD,
DE, EF, FA, а все точки А, В, С,
D, E, F — вершины шестиуголь- Рис. 67
ника — соответственно режимами
А, В, С, D, E, F.Тогда поле скоростей деформаций определяется
из следующих соотношений [157].
3
F
0
Е
i |
/
/
с
U 6,
В режиме А
АВ
ВС	ot > 0; а2 = ат;
С	o1 = oi = ат; I:
CD	af = (TT; а2>0;
DE	ol—o2 = o; lt:\
'OT', <*2 = 0; It: Ё2 = — l ' Ъ
a2 = — ат; gi: g2 = ~ * : U
g2 = 0 : 1;
= — q: q;
: g2 =- 1 :0;
I : (— 1) н т. д.
Здесь q — произвольное число, 0 <q < 1.
177

Рассмотрим случай, когда оха% < 0, т. е. когда главные напря-
напряжения имеют разные знаки. Данному случаю соответствуют ре-
режимы АВ и DE. Для режима DE аг > 0; а2 < 0; ot — о% ~ ат,
Согласно ассоциированному закону |j = X*;
?i = —?i- Из условия несжимаемоети пелучаем
уравнений для напряжений,
—Я*
т. е.
0, Системы
ду
и для скоростей деформаций,
dvx_foy
дх ду =<
"ду" ~т~~дх
2 -<*
G.26)
у"~°х
2xv1l
G,27)
формально полностью совпадают о еоответствующими системами
для случая плоской деформации. Аналогично выводы делаются
и для режима Л В.
Рассмотрим случай, когда ога2 > 0, т. е. когда главные напря-
напряжения имеют одинаковые знаки. Данному случаю соответствуют ре-
режимы ВС, CD, EF, FA (вертикальные и горизонтальные линии
) Д	CD	0	0
а2 > 0; ог = а
т.
шестиугольника). Для режима CD аг > 0,
Согласно ассоциированному закону \г = %*, |2 == 0. Из условия
несжимаемости получаем |3 = —5i« Для режима ВС ст2 = от; |х = 0;-
|2 = Я*; 1з = ?2- Условие пластичности Треска — Сен-Венана
G.25) для удобства запишем в виде
at — а2 = 2ат — | af + (т21	G.28)
при aj >а2.
Для режима CD Qj == ат» Условие пластичности удовлетворяем сле-
следующей подстановкой:
Oj = <т2 = 2<ттХ, тогда (ог + <т2) = 2от A-Х) р,	G.29)
где X = X (х, у) — неизвестная функция. Компоненты тензора на-
напряжений для плоского напряженного состояния о учетом G.29)
определяются [77, 200] как
ох = а9 [р A — X) + X cos2a];
<9C)^Xcos2a]; ^	G.30)
Здесь а (х, у) — угол между первым главным направлением и осью
х, который необходимо определить; р = sign оъ = sign a2, Диффе«
178

ренциальные уравнения равновесия G.15) с учетом G.30) прини-
принимают вид [77]:
sin2а ~ — (р + cos2а) ~ = 0;
Получили систему двух дифференциальных уравнений относительно
неизвестных функций а (*, у) и X (*, г/). Исследуя данную систему
по общему методу (см. § 2), устанавливаем, что система G.31) имеет
одно семейство действительных характеристик:
dy	(p + cos2a) da
Тх-~ sin 2a • Sc #	G'd2>
Это позволяет утверждать, что данная система является парабо»
лической. Интегрируя уравнения G,32), получаем [77]
a = Cf = const;
[	\	G'33)
Согласно G,33) характеристики — прямые линии, наклонные к оси
х под углом a + (р + 1) у, следовательно, они совпадают с ли*
ниями скольжения, т. е. с прямыми траекториями главных напря-
напряжений.
Общее решение первого уравнения системы G.32) можно запи-
записать в виде [77]
[	j]	G.34)
Функция Ф (а) определяется из граничных условий. С учетом
G.33) из второго уравнения системы G.31) найдем, что вдоль ха-
характеристической линии выполняется условие
Вычислив производные ^- из G,34) и проинтегрировав второе урав-
уравнение системы G.31), получим общее решение:
где W (a) — произвольная функция, которая определяется по за-
заданным граничным условиям. Равномерное распределение напря-
напряжений описывают интегралы a = const; X = const. Произвольные
функции Y (a) определяются из условий, что значения функций
ос (х, у) и X (#, у) заданы вдоль некоторой кривой С на плоскости *, у.
Поскольку кривая С является характеристикой, решение этой задачи
(задачи Коши) будет неопределенным. Для режимов С и F (угло-
(угловые точки — сингулярные режимы) скорости деформаций равны:
179

|t s: я*; g3 =» 3l*; I* = — %* — X*, а условие пластичности имеет вид
Oj = о2 — рот; при этом р = ± 1 для режима С и р = —1 для ре-
режима F. Из-за двух условий текучести на ребре призмы необходимо
ввести дополнительную функцию <*х == о= ет; х == 0. Дифферен-
Дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются. Аналогичное
течение рассматривается в режиме F. Рассматриваемые режимы
удовлетворяют равномерному гидростатическому напряженному со-
состоянию (в плоскости х, у). Рассмотрим режим D, который еоот-
ветствует одноосному растяжению ог ~ ат, о2 = 0. Скорости де-
деформаций будут линейными комбинациями е неотрицательными
коэффициентами k*, k* течения в соседних режимах CD и DE, т. е.
Si ~ ^* + ^*J 5а~ —^*; Is— —^2' Аналогичный вид течения на-
наблюдается и в других одноосных режимах А, В, Е. Разрывы в ре-
решениях задач прн плоском напряженном состоянии рассмотрены
в работах [61, 64, 224].
ГЛАВА 8
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
1. Упругопластическое деформирование
стержней (балок]
Стержни и стержневые системы при растяжении
(сжатии] за пределами упругости
Для стержня постоянного поперечного сечения, растянутого или
сжатого неизменяющимися по длине силами, пластические деформа-
деформации возникают одновременно во всех точках. По диаграмме растя-
растяжения или сжатия материала стержня определяют деформации при
известных напряжениях и наоборот. Для идеальной упругопласти-
ческой системы предельное состояние возникает тогда, когда напря-
напряжения достигают предела текучести по крайней мере в одном из
стержней. Статически неопределимую стержневую систему рассчи-
рассчитывают как упругую [13], используя условия совместности дефор-
деформаций, которые обычно составляют с помощью обобщенной теоремы
Кастильяно:
dR
^- = 0 (/ »-1, 2, 3	я),	(8.1)
где Xj *« лишние неизвестные; R = JJ Rk *- дополнительная работа
_	k
системы, причем Rk = lkFkRk (lk и Fk— длина и площадь сечения
k-ro стержня); Rk = f edo; 8 = ф (а).
180

Упругопластическое кручение стержня
Стержень круглого поперечного сечения диаметром D скручи-
скручивается крутящим моментом М2 (рис. 68, а) [102]. При достижений
некоторого значения крутящего момента в наиболее напряженно^
части поперечного еечения стержня появляются пластические де-
деформации. При решении упругопластической задачи о кручении
стержня круглого поперечного сечения предполагается, что плоские
поперечные сечения остаются плоскими и sa пределами упругости.
Поскольку в этом случае все компоненты тензора напряжений, за
исключением xQz, а также все компоненты тензора деформаций, за
исключением Yj2> равны нулю, то согласно формулам A,37) и A,70)
находим
следовательно, вт = l/З тт; ет = —г= vT-
Ж
t>t
to
Рис. 68
181

Относительный угол сдвига у02 связан с относительным углом
закручивания Ф формулой
Yei-O'.	(8.3)
где т — расстояние от центра до рассматриваемой точки сечения
стержня. Зависимости (8.2) совместно с (8.3) позволяют при извест-
известной диаграмме деформирования материала at- = Ф (et) (рис. 68, б)
по заданной величине Ф определить напряжения тбг. Зависимость
между oi и si часто принимают в виде [69]
a. =3Get. [I— o)(8t.)].	(8.4)
Связь между Ф и Мг устанавливают из равенства
D/2
(dr.	(8,5)
Учитывая, что r = —тг— ; dr =	^—, а также используя зависи»
мость (8.4), из (8.5) находим
со (е.) е* ds{.	(8.6)
Здесь 1р «^полярный момент инерции сечения; ет•-деформация, со-
соответствующая пределу текучести ат (см. рис. 68, б). Для опреде-
определения напряжений и относительного угла закручивания д по задан-
заданному крутящему моменту Мг > Мт (Мт = tT\Fp) необходимо распо-
располагать экспериментальной зависимостью крутящего момента Мг от
относительного угла закручивания О (рис. 68, в). Если после нагру-
жения при Mz > Мт стержень разгружается, то в результате нерав-
неравномерного распределения напряжений по сечению в нем возникают
остаточные напряжения:
где тб2 *- напряжения, возникающие при нагружении (рис. 68, г); тб2—*
напряжения разгрузки, которые, согласно теореме Ильюшина о разгруз-
ке, определяются по формуле t$z= -т— . Эпюра напряжений разгрузки
1р
%\г линейная (рис. 68, г, е). Эпюра остаточных напряжений после
разгрузки нагруженного стержня моментом М2 > Мт показана на
рис. 68, г [102], Следует отметить, что эпюра напряжений tQz в по-
поперечном сечении представляет собой диаграмму сдвига, где по оси
Тб
абсцисс отложено г = -^- . Аналогично можно определить остаточный
относительный угол закручивания: д = Ф — Ф*,где Ф —относитель*
182

ный угол закручивания при нагружении крутящим моментом М2 > Мт;
М2
О*——-	относительный угол закручивания при разгрузке. Если
стержень круглого поперечного сечения, подвергающийся упруго-
иластическому кручению, выполнен из материала с линейным упроч-
упрочнением (рис. 68, д), то функцию Ильюшина можно представить как
Тогда из уравнения (8.6) после соответствующих преобразований
находим зависимость крутящего момента Мг от относительного угла
закручивания Ф при Мг> Мт [102]:
где От = -г—-; ~% = "Г ¦. На рис# 68, е показаны эпюры напряже-
и р	L
ний нагрузки тб2, разгрузки tjz, а также эпюры остаточных напря-
напряжений Jqz при упругопластическом кручении данного стержня. Если
материал не обладает упрочнением (рис. 68, ж), то Е = 0; Я = 1;
© (в.) = 1 — -i , и из (8.9) находим
8*
На рис. 68, з представлены эпюры напряжений т02, возникающих
при нагружении Мг > Мт, при разгрузке Tq2 и эпюра остаточных
напряжений т02 после разгрузки. На рис. 68, г—з показаны упру-
упругие (/) и пластические (//) зоны. Граница раздела упругой и пласти-
пластической зон обозначена /)т. Когда зона / полностью исчезает, мате-
материал в данном сечении переходит в пластическое состояние и в нем
образуется пластический шарнир. Крутящий момент, при котором
образуется пластический шарнир, называется предельным (МпрJ.
В этом случаев > Фт (т. е. $z± <^), следовательно, из соотношения
]Y=7r вытекает, чтоDT<D (т. е. А^О); значит, область упру-
упругой деформации почти полностью исчезает.
Если материал не обладает упрочнением IX = 1; ш,- = 1 — ~ ] t
то с учетом aT = 3GeT из формулы (8.6) при Ф^со находим
(М -J!l5?!! или (М --М
183

На рис. 68, и изображена эпюра напряжений тб2 в предельном со*
стоянии, когда несущая способность стержня полностью исчерпыва-
исчерпывается.
Рассмотрим задачу об упругопластическом кручении призматиче-
призматического стержня произвольного постоянного поперечного сечения (рис.69)
[13, 15, 101, 102]. При увеличении крутящего момента (Mz> MJ
в некоторых частях рассматриваемого сечения появляются пластиче-
пластические зоны. При дальнейшем увеличении крутящего момента упругое
ядро уменьшается. Когда крутящий момент Mz достигает своего
предельного значения (МпрJ> материал в сечении полностью перехо-
переходит в пластическое состояние. В данной задаче все компоненты
напряжений равны нулю, за исключением %xz, ху2, которые не зави-
зависят от координаты г. Через функцию
^\Д- напряжений %хг и %уг выражаются так:
\»	дФ	дф
хг ду у У2	дх *
На контуре сечения Ф (х, у) = const.
Крутящий момент для односвязной
области вычисляется по формуле
М.
= 2 f f Ф (лг, y)dxdy.(8A3)
Функция напряжений определяется
из условий сплошности деформаций
или условий текучести материала и
граничных условий. Поскольку в дан-
данной задаче поперечные сечения испы-
испытывают жесткий поворот в своей плоскости, но искривляются в на-
направлении оси стержня, то
и = —Ъгу\ О = #zx; w = ф (#, х} у).	(8,14)
Условие сплошности в этом случае имеет вид
dyxz dyyz
ди дх
(8.15)
При упругом кручении, используя закон Гука, из равенств (8,12)
и (8.15) получаем
(8.16)
<^Ф дФ
dx? + W=	'
Уравнение (8.16) аналогично уравнению для прогиба мембраны под
действием равномерного давления, которая натянута на данном
контуре (мембранная аналогия Прандтля). При идеально пласти-
пластическом кручении компоненты напряжений должны удовлетворять
условию пластичности:
~2 i „2
/С2
(8.17)
(К = ат/]/3 при условии пластичности Мизеса и K = oJ2 при усло-
184

вии пластичности Треска—Сен-Венана). В этом случае функция на-
напряжений удовлетворяет дифференциальному уравнению
= К\	(8.18)
Таким образом, решение задачи о пластическом кручении призма-
призматического стержня некруглого сечения сводится к нахождению
функции напряжения Ф (х, у), которая должна удовлетворять усло-
условию (8.18). Левая часть этого уравнения представляет квадрат аб-
Рис. 70
солютной величины градиента функции Ф (х, у) (наибольшего
уклона поверхности функции напряжений Ф (#, у)). Следовательно,
во всех точках поперечного сечения, где материал стержня перешел
в пластическое состояние, выполняется условие
grad Ф (х, у) = const.
(8.19)
Поверхность функции напряжений при пластическом кручении
представляет собой поверхность постоянного максимального укло-
уклона, которую можно построить на контуре поперечного сечения. Дан-
Данную поверхность называют поверхностью естественного откоса.
(Аналогия с песчаной насыпью установлена А. Надаи). Естест-
Естественный откос, который образуется в результате песчаной насыпи,
дает нам представление о функции напряжений Ф (х,у). На рис. 70
представлены поверхности напряжений при пластическом кручении
стержня прямоугольной формы с различным отношением сторон,
а также в виде равностороннего треугольника и эллипса. Чисто
пластическое состояние стержня называют предельным, а соответ-
соответствующий этому состоянию крутящий момент — предельным, Пре-
185

Таблица 12
Форма
поперечного
сечения
балки
Предельный крутящий момент
при условии
пластичности Мизеса
при условии
пластичности
Треска — Сен-Венана
а<
2 °т
тжж
, о ^
6/3
^т
12/3
~ а3
24
Овальное сечение а > Zb
2а.
186

Продолжение табл. 12
Форма
поперечного
сечения
балки
Предельный крутящий момент
при условии
пластичности Мизеса
при условии
пластичности
Треска — Сен-Венана
/3
2/3
-^L F2/i + 2аЧ)
дельный крутящий момент вычисляют по формуле (8.13). Его зна-
значения для некоторых сечений приведены в табл. 12 [13].
Если скручиваемый етержень изготовлен из упрочняющегося
материала, то, согласно теории упругопластического деформиро-
деформирования, имеем
= i Ы) ^хг\ Ууг = g
(8.20)
причем
Тогда выражение (8,15) с учетом (8,20) принимает вид
о (дФ? (dOY
где ii=\~\ -[-l_l j на контуре <P(#, ^/) = const. Решить урав-
уравнение (8.21) весьма затруднительно. Некоторые задачи упругопласти-
упругопластического кручения стержней некруглого поперечного сечения решены
В. В. Соколовским и А, А, Галиным [20, 203].
187

Упругоппастический изгиб стержня (бруса)
Рассмотрим цилиндрический или призматический брус, нахо-
находящийся в упругопластическом состоянии, с поперечным сечением,
имеющем две оси симметрии (рис. 71), причем изгибающий момент
лежит в одной из плоскостей симметрии [13, 15, 102]. При этих
условиях гипотеза плоских сечений справедлива и в случае, когда
изгиб происходит за пределами упругости. Следовательно, для де-
деформаций выполняется зависимость
(8.22)
где у — расстояние от рассматриваемой точки до нейтрального
1
Рис. 71
слоя; р —радиус кривизны изогнутой оси бруса. Принимаем, что
коэффициент Пуассона \х = 0,5, тогда
2 '
efl;
(8.23)
Поскольку деформации являются линейными функциями коорди-
координаты у, компоненты тензора деформаций (8.23) удовлетворяют усло-
условиям совместности деформаций, а компоненты тензора напряже-
напряжений — дифференциальным уравнениям равновесия. В каждом сече-
сечении при чистом упругопластическом изгибе выполняются условия
равенства между внешними и внутренними силами:
-\-h	h
J oj> (у) dy*=0; 2 J огЬ (у) ydy = МХ.	(8.25)
Используя зависимость между интенсивностью напряжений и интен-
интенсивностью деформаций, установленную А. А. Ильюшиным, и учиты-
учитывая, что <5t = ог; е? = 82, находим
а2 = ?е2 [ I — со{. (е^],	(8.26)
188

С учетом (8.26) из второго равенства (8.25) получаем
Е1	С
—- — 2Е \ cd (8г) ггЬ (у) ydy = Mx,	(8.27)
о
При упругом деформировании со (е2) = 0. Обозначая границу раз-
раздела ©бластей упругой и пластической деформаций через &т, из
(8.27) находим
В',
• 2? I со (гг) ггЬ (у) dy = Мх*	(8.28)
Таким образом, зная диаграмму растяжения, определяем функцию
со (8^, а из (8.28) устанавливаем зависимость между изгибающим
моментом и кривизной. Пластические деформации в крайних точках
возникают тогда, когда Мх = Мт = orWx. При этом
1 ет Мт
Учитывая, что ет = — , из (8.29) имеем
^.=iL	(8.30)
h pT *
Следовательно, для расчета бруса, работающего в условиях чис-
чистого упругопластическ©го изгиба, необходимо знать вид функций
ю (82) и Ь (у).
Предположим, что материал характеризуется диаграммой растяже-
растяжения с линейным упрочнением без площадки текучести, для которого
ш (ez) = 11	-А,. Поперечное сечение стержня имеет прямоуголь-
прямоугольную форму 6 = const (рис. 72). Подставляя эти значения в (8.28),
с учетом (8.29) и (8.30) находим зависимость между изгибающим
моментом и кривизной [102] при &max>sT*
Для идеально упругопластического материала (Я = 1) при Мх > Мт
(8.32)
Когда материал в сечении полностью перейдет в пластическое со-
состояние, hT = 0 (рт -> оо), наступает предельное состояние. Пре-
Предельный изгибающий м@мент определяется из формулы (8.32):
189

ft
¦ft
Рис. 72
Рис. 73
Эпюра напряжений в поперечном сечении балки, изготовленной из
материала с линейным упрочнением при упругопластическом из-
изгибе моментом Мх> Мт, показана на рис, 72, а. Эпюра напряжений
в данном сечении при полном исчезновении области упругой дефор-
деформации, т. е. при достижении изгибающим моментом Мх предельного
значения, показана на рис. 72, б. Если брус нагрузить изгибающим
моментом Мх (Мх > Мт) (см. рис. 71), вызывающим напряжения,
закон распределения которых показан на рис. 72, а, а затем разгру-
разгрузить, то в брусе возникают остаточные напряжения, которые на ос*
новании теоремы Ильюшина о разгрузке определяются так:
где а* = ~- . Эпюра напряжений разгрузки носит линейный харак-
1X
тер (рис. 72, в). Эпюра остаточных напряжений а2 после разгрузки
показана на рис. 72, г. На рис. 73, а и 73, б показаны эпюры напря-
напряжений в сечении балки, изготовленной из идеально пластического
материала соответственно при упругопластическом изгибе и в предель-
предельном состоянии* Предельный изгибающий момент зависит от формы
сечения балки. В табл. 13 приведены значения предельного изгиба-
190

Таблица 13
Форма
поперечного
сечения
балки
Предельный
изгибающий
момент
Форма
поперечного
сечения
балки
Предельный
изгибающий
момент
2oTbh2
№ У\
и
ющего момента для различных форм сечения бруса при чистом из-
изгибе [13J.
Решение задачи упругопластического поперечного изгиба, при
котором в брусе, помимо нормальных, возникают касательные на-
напряжения, затруднительно. Однако для балок больших пролетов
действием касательных напряжений можно пренебречь. Тогда,
вследствие того, что изгибающий момент вдоль оси балки от сече-
сечения к сечению изменяется, величина hT, определяющая положение
упругих и пластических областей по длине балки, также изменяет-
изменяется, т. е.
Рассмотрим балку на двух опорах прямоугольного попереч-
поперечного сечения (рис. 74), изготовленную из идеально упругопластиче-
191

ского материала [13, 17]. Используя зависимости (8.32), (8.33)
и (8.30), находим
откуда
Подставляя в (8.35) момент как функцию координаты, получаем
формулу для определения высоты области упругой деформации /гт
в различных сечениях балки. Для данной задачи
(8.36)
где / — половина длины балки; г — расстояние от силы Р до рас-
рассматриваемого сечения. Тогда из (8.35) с учетом (8.36) получаем
-¦•	(8.37)
т. е. граница раздела областей упругой и пластической деформа-
деформаций имеет форму параболы (см. рис. 74). Из (8.37) определяем рас-
расстояние, на которое распространяется зона текучести по длине
балки в каждую сторону от точки приложения силы Р;
*=±4.	(8.38)
192

Таблица 14
Схема балки
Предельная
нагрузка
I
I
p
z
JL
наш
t/2
№
7 1-317
Схема
 _JL
J
y>
I
У,
1
f \ \ '
h t
П рол
балки
t t
1/2 m
I
о л ж е н и е табл. 14
Предельная
нагрузка
193

По известному предельному изгибающему моменту находим пре-
предельную нагрузку. Ее значения для некоторых случаев изгиба при-
приведены в табл. 14 [13].
Если стержень не только изгибается, но и растягивается, то
действие осевой силы усложняет расчет на изгиб. Нейтральная плое-
кость, как и при упругом изгибе,
смещается. Для идеально пласти-
пластической балки предельный изгиба-
изгибающий момент и осевая сила свя-
связаны соотношением, которое зави-
зависит от формы поперечного сечения*
Так, например, для прямоуголь-
прямоугольного поперечного сечения
Ofi
\
л
DA
QZ
О 0,2 Ofi Ofi Ofi P/Pnp
Рис. 75
А
(8.39)
где (Мпр)х — предельный изгибаю-
щий момент при отсутствии осе-
осевой силы, а Рпр— предельная
сила при отсутствии изгибающего
момента. Кривые предельного со-
состояния для некоторых профилей бруса показаны на рие. 75 [13],
2. Упругопластичеекое состояние
толстостенной сферической оболочки,
нагруженной внутренним давлением
Рассмотрим толстостенную сферическую оболочку, находящу-
находящуюся в упругоплаетическом равновесии и испытывающую равномерно
распределенное давление [13, 17, 18, 69, 200, 208] (рис. 76). Вслед-
Вследствие симметрии деформации сдвига уР(р, Y<p6> V*8 и касательные на*
пряжения т,9, ^
реннее давление
т,е равны нулю, ае? =
G = i
Если внут»
(8,40)
то оболочка деформируется упруго и напряжения в ней, согласно
методам теории упругости 16J, определяются по формулам
CTq :
(8Л1)
гд е гх и /-2 — соответственно внешний и внутренний радиусы оболочки»
г — текущий радиус сферы» Распределение напряжений в тол-
толстостенной сферической оболочке в области упругой деформации
показано на рис. 76 пунктирными линиями. При р = рт материал
194

сферической оболочки на внутренней поверхности г = гг перехо-
переходит в пластическое состояние. При дальнейшей возрастании давле-
давления (Р > Рт) область пластической деформации расширяется (гх<
<г<гт). Напряжения в этой области удовлетворяют уравнению
равновесия:
~ + 2(Gr7G(p) =0,(8.42)
Используя условие пластично-
пластичности, которое для данной задачи
как по условию Мизеса — Ген-
Генки, так и по условию Треска —
Сен-Венана при идеальной пла-
пластичности имеет вид
(8.43)
преобразуем уравнение (8.42):
do, oT
-г^—2-1 = 0. (8.44)
dr	r	рис. 76
Интегрируя (8.44) при граничных условиях (если г = rv то о2
«= — р, а если г = г2, то а2 == 0), находим
(8.45)
Решение данной задачи об определении напряжений в зоне текуче-
текучести является типичным примером «статически определимой задачи»,
так как для вычисления напряжений достаточно уравнений равно-
равновесия и условия текучести без рассмотрения условий деформаций.
du	и
Компоненты деформаций 8Г = —,8^ = — удовлетворяют условию
г(п — гг
1F
= 0.
(8.46)
С учетом зависимостей Генки (при е0 = 0; к = 0)
а также выражений (8.43) преобразуем (8.46) в следующее диффе-
дифференциальное уравнение:
Решение данного уравнения имеет вид
где С — произвольная постоянная.
7*	195
(8,48)

Для смешанной упругопластической задачи решение в области
упругой деформации (гт кг «< г2) получаем из формул (8.41), за-
заменяя в них р и гх значениями q и гт (д — напряжение ог на границе
раздела областей упругой и пластической деформаций). Неизве-
Неизвестные постоянные rT, q, С определяем из условий непрерывности
напряжений и перемещений при переходе из упругой области
в пластическую, т. е. при г = гт:
=гт_о; а<р
:И|г=гт-О.
откуда находим
i
2G
.;'-«
(8.49)
Распределение напряжений в области пластической деформации
показано рис. 76 сплошными линиями. Если давление р в толсто-
толстостенной сферической упругопластической оболочке уменьшить до
нуля, то в оболочке возникнут остаточные напряжения. Для их
определения необходимо найти разгруз©чные напряжения о*, о* =
= о*ь по формулам (8.41), заменив знак перед р на обратный. Тогда
остаточные напряжения определяются как разности:
или с учетом формул (8.45) и (8.41) в области пластической дефор-
деформации (<< >
(8,50)
ав=а? =2ат Inj^-
в области упругой деформации (гт < г < г^)
_3
(У В = аср = —
(8,51)
Формулы (8.50), (8.51) справедливы, когда интенсивность остаточ*
ных касательных напряжений не превышает предела текучести.
Распределение остаточных напряжений 5<р показано на рис. 76,
196

G увеличением давления область пластической деформации рас«
ширяется до тех пор, пока не достигнет наружной поверхности
шара (/у= /). Давление, при котором упругая область полностью
исчезает и толстостенная сферическая оболочка полностью пере*
ходит в пластическое состояние, называется предельным.
Предельное давление определяется из граничного условия:
О, откуда Рпо = 2(Тф1п-Г"»	(8-52*
кПр — v» ulft)A« РПр
3. Упругопластичеекое состояние полого
толстостенного цилиндра, находящегося
под действием внутреннего давления
Рассмотрим длинный полый толстостенный цилиндр е днищами,
испытывающий действие внутреннего давления (рие, 77, а) [17, 66,
102, 207], Предположим, что материал, из которого изготовлен ци-
цилиндр, является идеально упругопластическим» Пусть коэффи-
коэффициент Пуассона в упругой и пластической областях имеет одина-
одинаков©© значение, равное 0,5. Это допущение равносильно допущению
© несжимаемом материале (е0 = 0) в областях упругой и пласти-
пластической деформаций. Поперечные сечения бесконечно длинного цк-
линдра при деформации согласно условию симметрии остаются пло-
плоскими, следовательно, осевая деформация не изменяется по радиусу
и длине, Tt е. гг — const. Для простоты принимаем, что е2 = 0,
хотя это уеловие справедливо только в отдельных случаях. На есно-
вании принятых допущений и закона Гука г2 = у [о^** \х {ор +ог9)|
устанавливаем, что
Напряжения в области упругой деформации [6] определяются па
формулам
2
Б '	(8.54)
Область пластической деформации впервые появляется на внутрен-
/	2 \
ней поверхности трубы при р = ~т^\ *	2 ) — Ро* С увеличением
давления р> р0 пластическая область расширяется, Напряжения
197

15
0,5
5^1 О
4~0'5
-w
<
>-
—-.

—
J2
to

Ш
m
^*«.—_
II
	,
48
-ifi
-1A
W
12
Рис. 77
14	1fi
5
id щ
в этой области при rt<r<rT удовлетворяют дифференциальным
уравнениям равновесия
dEf OL — Qo
17+—— =0,	(8.55)
а также условию пластичности
(ог «* огеJ + (аб — azJ + (a2 — arJ = 2a^.	(8.56)
Используя физические уравнения по теории малых упругопла-
стических деформаций, которые для нашей задачи принимают вид
198

3 i ,
4 — "J J7 (ae — ао);
3 8/
e(aa)
а также принимая допущение, что е2 = 0, находим
ог = о0= - 2 '.	(8.57)
Уеловие пластичности (8.56) с учетом (8,57) записывается так*
2
(8.58)
Интегрируя уравнение (8,55) и учитывая (8*57) и (8.58), имеем
(8.59)
Постоянные интегрирования Л, В, Сх, а также величина радиуса
раздела областей упругой и пластической деформаций гт определяв
юте я из краевых условий и непрерывности напряжений на границе
раздела:
~р; a U.
т—0>
У
где г == гт'+ 0 ©значает переход из пластической области в упругую,
а /¦ » гт — 0 — из упругой области в пластическую (см, рис. 77, а).
Из данных уел©вий находим
Радиус границы, разделяющей области пластической и упругой де*
формаций, зависит от давления и определяется из уравнения
Уравнение (8.62), решаемое численно или графически, позволяет
Для любог© значения р найти гт . Следовательно, формулы для опре*
199

деления напряжений имеют вид [102]: в области упругой деформа-
деформации (г1 < г < г2)
(8.63)
в области пластической деформации (гг<г< гт)
(8.64)
Материал полого толстостенного цилиндра полностью перейдет
в пластическое еоетояние тогда, когда пластическая область достиг-
достигнет наружной поверхности трубы (гт~ г2). Такое состояние полого
толстостенного цилиндра называют предельным, а давление, при
котором оно возникло,— предельным. Предельное давление опре-
определяется из уравнения (8.62) (при гт = г2):
(8.65)
Предельному состоянию соответствуют следующие напряжения!
аг = —¦?= In — •
г 1/3 '1 '
(8.66)
На рис. 77, б показано распределение напряжений для различных
значений — пластического фронта в полом толстостенном цилиндре
в отношением радиусов — = 2 [102, 207]. Равнодействующая на-
ri
пряжений а2, действующих на поперечное сечение этого цилиндра,
г*
2л \ ozrdrt и является той продольной силой, под действием кото*
200

рой материал цилиндра переходит в плоское деформированное состо-
состояние. Данный интеграл можно записать в виде суммы интегралов
для пластической и упругой областей:
2л ? оу dr = 2я [ ^ а/ dr + J а/ dr J .	(8.67)
Подставляя вместо аг для ^ <: г <: /*т выражение из (8,64), а вместо
а2для гт < г <: г2 — выражение из (8.63), получаем, что для упру-
гопластической трубы интеграл (8.67) равен яр/-2; это тождественна
результатам для несжимаемой упругой трубы. Следовательно,
если допустить несжимаемость материала, то условие плоской де-
деформации в закрытом полом толстостенном цилиндре, находящемся
как в упругопластическом, так и в упругом состоянии, выполня-
выполняется. Поэтому естественно предположить, что принцип Сен-Венана
для упругих тел можно распространить и на случай упругопласти-
ческого состояния тела, и только участки, прилегающие непосред-
непосредственно к закрытым концам, находятся в напряженном состоянии*
которое отличается от рассмотренного.
Из эпюр распределения напряжений в пластическом состоя-
состоянии (см. рис. 77,лб) видно, что наибольшее окружное напряжение
возникает в точках наружной поверхности. Это согласуется с экспе-
экспериментами, поскольку разрушение стальных труб, нагруженных внут-
внутренним давлением, начинается снаружи.
Радиальное перемещение определяется как решение дифферен-
du , и л
циального уравнения -г -\	= 0, которое в областях упругой
и пластической деформаций при условии несжимаемости материала
(go =0; ^ = 0,5) записывается в виде
Если свойства материала, из которого изготовлена толстостенная
цилиндрическая оболочка, характеризуются диаграммой е линей-
линейным упрочнением без площадки текучести, то задача решается ана-
аналогично [17, 102, 207]. В данном случае дифференциальное уравне-
2
ние равновесия с учетом о> — ое =- —. at- принимает вид
do. о °f
причем для ег > е(-т а( = Хат + ?е^. Поскольку и = —- ; 8е = —ег :
С2
201

Тогда дифференциальное уравнение равновесия (8.69) имеет вид
d	2 A . 2 ЪА
Л +
(8J1)
Интегрируя данное уравнение, а также принимая во внимание соот-
соотношения (8,57) и (8.58), устанавливаем, что
4=
/3
(8.72)
Напряжения в области упругой деформации определяются по фор-
формулам (?.54), а произвольные пеетоянные Л, В, Cj, Cs — из крае-
краевых условий (8.60):
2 г !
а 2
(8J3)
Тогда напряжения в полом т©лстостенном цилиндре, изг©товлен-
ном из упрочняющегося материала, в области пластической дефор-
деформации (/*i < г <: гт) записываются в виде
г2 г2
(8.74)
Радиус границы, разделяющей облавти упругой и пластической де-
деформаций, зависит от давления и определяется из уравнения
(8.75)
Данное уравнение, как и в случае идеально упругоплаетического
материала, решается численна или графически,
Если в (8.74) и (8.75) положить Я"= 1, т. е. Е = 0, т© получим
формулы (8.62) и (8.64), Справедливые при отсутствии упрочнения.
Подставляя значения постоянных интегрирования А, В и С% в (8.54)
и (8.70), заключаем, что упрочнение не влияет на закон распреде-
распределения напряжений в упругой области, а также на радиальные пере-
202

мещения как в упругой, так и в пластической области. Нормальная
сила в поперечном сечении полого толстостенного цилиндра опре-
определяется по формуле ?102]
После интегрирования и соответствующих преобразований в уче*
том (8.75) находим N = прг^, т. е. получаем тот же результат, что
и для трубы, материал которой не обладал упрочнением. Следова-
Следовательно, осевая деформация рассматриваемого цилиндра равна
нулю, если торцы цилиндра не могут смещаться в осевом направле-
направлении. Это утверждение выполняется и для цилиндра, у которого
осевая сила возникает только за счет давления на днища.
Решение задачи об упругопластическом состоянии полого тол-
толстостенного цилиндра при больших деформациях приведено в рабо-
работах Надаи [123], В. В. Соколовского [207] и др. А. А. Ильюшиным
[66] в замкнутом виде решена задача об упругопластическом дефор-
деформировании полого толстостенного цилиндра при произвольном
упрочнении. Решение найдено для полого толстостенного цилиндра,
находящегося под действием внутреннего рг и наружного р2 дав*
ления, а также растягивающей силы N и изготовленного из несжи-
несжимаемого материала (е0 = 0, причем гг = const). В этом случае
du	и	, _
справедливы соотношения гр — -г- ; е0 = — ; ег = const» Подставляя
их в условие несжимаемости, находим
Решение данного дифференциального уравнения имеет вид
Деформации, а значит, и интенсивность деформаций определяются
соответственно по формулам
(8,79)
du
и
= —
1
I
_ С #
, С f
r
Зная диаграмму деформирования oi = Ф (е;), по интенсивности
деформаций вычисляем интенсивность напряжений,
203

Для нашей задачи физические уравнения теории малых упру*
топ ласти чес ких деформаций при вв == 0 с учетом (8.79) принимают
вид
2 °i I 3
Условия равновесия записываются таким образом:
°--Z_!l0 = 0;
dr
(8.81)
(8.82)
(8.83)
(8.84)
(8.85)
Физические уравнения (8.81) с учетом (8.85) после соответствующих
преобразований записываем в виде
Из (8.82) находим
2
Л/ = 2я Г a/ dr.
''-J^T^
Решая уравнение (8.80), получаем
Пг~°г^{\к уГе*-г2*sign с+4
(8.86)
Используя краевое условие (при г = rj, ar = —pj) и обозначая ин-
интенсивность деформаций при г = rj через 8^. = ?д, а при г = г2 через
?f = еГ2, из (8.84) с учетом (8.86) имеем
аг = -Р1 + тт=« °1'
г1 -4
sign С.
(8.87)
С помощью краевого условия (при г = г2 ог = «*-р2) из (8,87) уста-
вавливаем зависимость между &п и ег:
Н\
Pi - Pi = у=\ J1*4 2 sign С.	(8.88)
42 *	Z
204

Данная зависимость показывает, что знак постоянной С совпадает
со знаком разности давлений рг — р2. Используя уравнение (8.83),
из формулы (8.85) находим
| С* = г\
- ег2)
- е22)
т\ (г\ -
(8.89)
Следовательно, постоянные С и si2 также выражаются через гп
и е2.
Из зависимости (8.89) получаем
f-8*K
(8.90)
Тогда g учетом (8.87) и (8.90), а также второго уравнения системы
/8.86) уравнение (8.83) записывается в виде
г-2
nri
(8.91)
Таким образом, при известной диаграмме деформирования по фор-
формулам (8.88), (8,89) и (8.91) определяют все постоянные (ег, е^, &i2 и С).
Поэтому напряжения и соответственно перемещения вычисляют по
формулам (8.86), (8.87) [17]. При е2 = 0 труба из несжимаемой?
материала в осевом направлении не деформируется, тогда формулы
(8.86) — (8,88) принимают вид
1 С °i d&i
*-Pi + y= 1 ~^— si
sign
o0 = or + — at sign (pi - p2);
Pi
1 p Gfdst
- P2 = 77| \ —^— si
sign (pi - p2).
(8.92)
Для повышения предельного давления в полой толстостенной обо-
оболочке на практике используется так называемое автоскрепление,
или автофретирование. Автофретирование заключается в том, что
полая толстостенная оболочка нагружается давлением, при котором
возникает область пластической деформации. После снятия на-
нагрузки в оболочке возникает поле остаточных напряжений. Если
оболочку снова нагрузить, то предельное давление, соответствую-
соответствующее появлению пластических деформаций, повысится.
205

4. Упругопластическое состояние дисков
Неподвижный кольцевой диск постоянной толщины,
нагруженный по внутреннему контуру
Рассмотрим кольцевой неподвижный диск, находящийся
в упругопластическом состоянии (рис 78) [102, 204]. Принимаем,
что материал, из которого изготовлен диск, не обладает упрочне-
упрочнением, а также, что напряжения равномерно распределены по нор-
НАШ
Рис. 78
мали к средней плоскости диска, но в плоскостях, параллельных
средней плоскости, напряжения отсутствуют. Приведенные допу-
допущения позволяют заключить, что напряжения, деформации и пере-
перемещения для данной задачи — функции только радиуса, а напря-
напряженное состояние является плоским (ог = 0). Поскольку касатель-
касательные напряжения в радиальном и окружнвм еечениях отсутствуют,
то аг и Gq — главные напряжения. Давление, при котором в диске
на внутреннем контуре появляются пластические деформации,
определяется из условия о( = от:
При р > рт образуется область пластической деформации гг < г ^
<: /*т; остальная часть кольца гт -< г ^ г2 может оставаться упру»
гой.
В области упругой деформации (гт ^ г ^ г2)
2
2
(8.93)
206

в области пластической деформации (г, «/-</¦) [102]
2
°F = Щ СТТ COS ф;
)	(8-94)
где -ф == г|? (г); В = В (лт); Л = Л (rT)t При этом условие пластичности
Хубера — Мизеса
^ 2<ут9=^	(8.95)
удовлетворяется тождеетвенно.
Дифференциальное уравнение равновееия (8,55) G учетом
(8.94) принимает вид [102]
После интегрирования (8.96) получаем
г2 ехр (Ущ sin ( ф — -? ) — G = 0,	(8.97)
где С — постоянная интегрирования.
Постоянные Л, Б, С и ^определяются из следующих краевых
условий!
при г = rj	af = е- р;
г = /-2	ar = 0;	I	(8.98)
г = гт ar 1г+о = ^ 1гт—о» ^е !гт+о = ае !Гт- J
Согласно первому условию
/^^)	(8.99)
где
Постоянная интегрирования С вычисляется из условия (8.97):
(8.Ю0)
Из выражений (8.100) и (8,97) устанавливаем зависимость
r^rt ехрУзМ>1«Ч>)	^
sin(i|)—^
207

Если значение функции тр на границе раздела упругой и пластиче-
пластической областей при г =. гх обозначить через г|зт и использовать осталь-
остальные три краевые условия (8.98), то
(8Л02)
V
У
(8Л03)
Из (8.101) при г = гт находим
Функцию я|?т определяем из следующего трансцендентного уравне-
уравнения [102]:
sin (i|)f — я/6)
cos (\f>T — я/6)
(8.105)
Значение радиуса границы раздела областей упругой и пластиче-
пластической деформаций гт вычисляем по формуле (8.103). При известных
постоянных интегрирования А и В напряжения в области упругой
деформации (гт < г <: г%) записываются в виде
(8.106)
Радиальное перемещение в этой области g учетом (8.106) при допу-
допущении несжимаемости материала (е0 =0; \х = 0,5) определяется
j|). (8.107)
как
Радиальное перемещение в области пластической деформации с уче-
о. + Со
том а =0; а0 = —	 определяется из условия несжимаемости
материала (ео = О). Используя соотношения
2о>
Q — <**),	(8.108)
запишем условие несжимаемости материала о учетом (8.94) в виде
du
а
sm (\b — -«-)
(8 Л 09)
208

Интегрируя данное дифференциальное уравнение	при условии ра-
равенства радиальных перемещений на границе	раздела упругой'
и пластической областей
«L г_^ = а|г=г „,	(8.110)>
находим [102]
sinh|)T--^
(8.Ш)
Давление, при котором весь материал диска переходит в пласти-
пластическое состояние и полностью исчерпывается несущая способность,
называется предельным. В этом случае гт = г2, а из формулы
(8.103) находим if2 — ~. Тогда выражение для определения ^i по
данному отношению -=- записывается в виде
#> <8-и2)
Из формулы (8.99) видно, что давление достигает предельного
значения при грх = я, т. е.
(/?пр)тах=у=огт.	(8.113)
Величине i|>, = п согласно (8.112) соответствует ^ = 2,963. Следо-
Следовательно, если отношение наружного радиуса к внутреннему боль-
больше 2,963, то никакое внутреннее давление не может привести к ис-
исчерпанию несущей способности диска. В данном случае всегда
Равномерно вращающийся диск постоянной толщины
Рассмотрим равномерно вращающийся с угловой скоростью со
диск постоянной толщины с внутренним радиусом гг = 0 и наружным
г% [15, 17, 77, 101, 102, 208]. Предположим, что серединная плоскость
диска есть г = 0. Компоненты напряжений о> и тгг малы по сравне-
сравнению с остальными компонентами, и в решении задачи ими пренебре-
пренебрегают. Поскольку задача симметричная, тот02 = тг9 = 0, а напряже-
напряжения, деформации и перемещения являются функциями только ра-
радиуса г. Величина угловой скорости вращения, при которой в цент-
центре диска возникают пластические деформации, определяется по
формуле [101]
C + fi) '
209
(8.114),

Рис. 79
Напряжения в области упругой деформации (гт < г <: г2) имеют вид
В З + иусо2/-2 ^|
oF=» А***— «*—-	—;
,, В 1+3^уо)У2	(8-115>
СТ0-"Л + 72~ 8 J~* 1
Распределение напряжений показано на рис, 79, а [17]. В пласти-
пластической области диска @ < т <; гт) напряжения о> и аб удовлетво-
удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия:
do. ог^*
JL ю V = О
(8.116)
и условию пластичности Хубера — Мизеса (8.95) или условию
пластичности Треска — Сен-Венана, которое в рассматриваемом
случае при о*0 > аг > ог = 0 имеет соответственно вид
—or
: сгт; а9 =
(8.И7)
Решение уравнения (8.116) совмести® е уравнением (8.95) при на*
личии члена ^-ooV в (8.116) усложняется. В этом случае необхо-
необходимо применять численные методы. Решение данной задачи вначи-
210

тельно упрощается, если использовать условие пластичности Трес-
Треска — Сен-Венана (8.117). Интегрируя уравнение (8,116), получаем
а* = ат~'*-$?-+ Т •	(8.П8)
Произвольные постоянные интегрирования Л, В, С определяются
из краевых условий:
при г = 0 аг = сг0; при г = г2 <зР = 0; при г = гт
12
24
(8.120>
Из второго краевого условия с учетом (8.120) находим значение
угловой скорости вращения, при которой радиус границы, разде-
разделяющей области упругой и пластической деформаций, равен гт:
2
@ = )	j	ga/2 , 9	Г1 , (8.121)
Формулы для определения напряжений следующие [102]: в области
упругой деформации
, 3 + fx
(8,122)
в области пластической деформации
(8.123)
Угловая скорость вращения, при которой диск полностью перехо-
переходит в пластическое состояние и исчерпывается несущая способность
диска, называется предельной (®пр). Полагая в выражении (8Л21)
получаем
'°пр =
(8.124)
В сплошном диске постоянного сечения в предельном состоянии
(ПРИ 0 = @пр)
	2\\ °"9 == °V
(8.125)
211

(О
п
lih
/
'///////////////Л
У//////////////А
Z
'////////////77,
У////7777/7777,
РГ
Рис. 80
На рт« 79, б [17] представлены эпюры напряжений о^, и ое = аф
в сплошном диске постоянного сечения в предельном состоянии.
В том случае, ког&а дчек равной толщины q радиусами/j н г2 равно-
равномерно вращаетая с постоянной угловой скоростью вращения ш
(рис. 80) [102], задача решается аналогично предыдущей. Произ-
Произвольные постоянные А, В, С и гт определяются из краевых условий!
лри г = /-? ог = 0;
(8.126)
После вычисления произвольных постоянных формулы (8.122) при-
принимают следующий вид: в области упругой деформации (гт <¦ г < г2)
(8 Л 27)
212

в области пластической деформации (/•$ < г <: гт)
Г Л ?CD2
(8.128)
Величина угловой скорости вращения, при которой радиус гра-
границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций
кольцевого диска равен /-т, определяется [102] выражением
]
У 3 C + ix) fa- A + 3ji) г\ Bг\ -, г\) - 4г\ (г\ + г*)
(8.129)
Отсюда при гт = г2
— •	(8Л30)
Эпюры распределения напряжений ог и ае в диске с отверстием по-
показаны на рис. 80, а, в предельном состоянии — на рис. 80, б.
Упругопластическое состояние вращающегося диска переменной
толщины при неравномерном нагреве рассмотрено в работах [96,
101, 162]. Расчет вращающегося диска переменкой толщины, нерав-
неравномерно нагретого по радиусу, по полученным экспериментальным
(не схематизированным) диаграммам растяжения материала с по-
помощью приближенного метода переменных параметров упругости
приведен в работах И. А. Биргера [10, 12, 13]. Задача о напряжен-
напряженном состоянии в ступенчатом диске при степенном упрочнении ре-
решена В. В. Соколовским [200, 204, 212].
5. Задачи предельного состояния
круглых и кольцевых пластин при изгибе
Основные уравнения
Решение задачу об упругопластическом состоянии пластин при
изгибе представляет значительные трудности даже в том случае,
когда материал не обладает упрочнением [69, 202, 209]. Исследова-
Исследования упругопластического состояния круглых пластин при изгибе
показали, что в отличие от изгиба балок несущая способность пла-
пластин при изгибе исчерпывается тогда, когда пластина полностью
переходит в пластическое ?остояние.
Рассмотрим некоторые задачи изгиба кольцевых и круглых
пластин в чисто пластическом состоянии и определим предельные
нагрузки, при которых наступает данное состояние [10, 13, 102].
При решении этих задач принимаем, что серединная плоскость
не растягивается, а прямые, перпендикулярные серединн®й плос-
плоскости до деформации, после деформации остаются прямыми и пер-
перпендикулярными, Кроме того, компонентами напряжений ог, ъсг
213

6$
02r2
I;
02r,
02r2
s
A
Рис. 81
по сравнению с компонентами напряжений cj0 и о2 пренебрегаем.
Касательные напряжения хг9 и т92 веледствие симметрии равны
нулю. Таким образом, в пластине реализуется плоское напряженное
состояние (ог — 0). В сечениях г =¦ censt;- G = const соответственно
действуют изгибающие моменты Мг, М$ и срезывающая сила Q
(рие. 81, а), которая связана <з изгибающими моментами дифферен-
дифференциальным уравнением равновесия:
где
dMt
dr
Al,-
(8,131)
214

При этом г — расстояние от некоторой точки пластины д® середин-
серединной плоскости, h — толщина пластины. Касательные напряжения
%гг по кругу r = const уравновешивают внешнюю нагрузку,
\\grdr.
Деформации и скорости деформаций в данном случае определяются
по формулам
fi
где 0 — угол поворота нормали к серединной плоскости пластины.
Из (8,132) вледует, что ~ =* г) постоянно вдоль нормали к плоек©-
сти пластины. Физические уравнения по теории течения для несжи-
маем@го и для жестко-пластического материала принимают вид
(8.133)
* «/ 8
Поскольку материал жестко-пластический,
лГ 2	, 2
Oi = У О\ = G,Ga -f- O*n = О" •	/Я 1 ^4\
Из (8.133) находим
^1Г _2ог^сте
откуда
Так как т) является функцией только радиуса, то напряжения
также являются функцией только радиуса, следовательно, по вы-
высоте пластины они не изменяются. Эпюры напряжений по высоте
пластины в пластическом состоянии показаны на рие. 81, б [102].
С учетом изложенного выше изгибающие моменты вычисляются
так:
Mz = a,~; M0=ae^; MT = aT ~ .	(8,136)
Тогда условие пластичности Хубера^Мизеса имеет вид
М1^МГМЬ + М1 = М2Т.	(8.137)
215

Решая совместно уравнения (8.131) и (8.137), получаем нелиней-
нелинейное дифференциальное уравнение
. Q = 0. (8.138)
При решении такого уравнения принимаются следующие краевые
условия:
а)	для круглой пластины в центральной точке (г — 0) Мг =
б)	для пластины, нагруженной равномерно распределенным мо-
моментом интенсивности т, на контуре при г — r2 Mr= ± т;
в)	для пластины со свободным или опертым контуром (/ = г Л
Мг = 0;
г)	для пластины о заделанным контуром & = 0; -^ = 0; Мр = 2М$
или eF = 20q.
Решая дифференциальное уравнение (8.138), при соответствую-
соответствующих краевых условиях определяем предельную нагрузку. Дефор-
Деформации и скорости деформаций через прогибы с учетом того, что
(8J39)
Используя выражения (8.139), находим дифференциальное урав-
уравнение скорости прогиба пластины:
— —г—, записываются в виде
d2w
г* - ~ ч^ ;
dw ш
gr = -
б« = -
г d
fdw\
\dt у
ldw\
4(f)-°-
(8.140)
При известных изгибающих моментах Мг и Af6, интегрируя урав-
уравнение (8.140), определяем скорости прогиба, а следовательно, и сам
прогиб как функцию радиуса пластины.
Интегрирование дифференциальных уравнений
Выразим изгибающие моменты Мг и Л10 в тригонометрической
форме через функцию г|) [101, 102]:
о	о
-L
(8.141)
Тогда дифференциальное уравнение равновесия (8.131) или (8.138)
принимает вид
dr	sin q d-ф
г
1/3 Qr
2 Мг
(8,142)
216

Уравнение (8.142) легко интегрируется в замкнутом виде при Q=0
(чистый изгиб) или при условии, что Q = —, где а — постоянная.
Данные условия для круглой пластины выполняются тогда, когда
пластина нагружена сосредоточенной силой в центре или равномерно
нагружена по окружности, концентричной контуру. В остальных
случаях Q Ф air и уравнение (8.142) решается численными мето-
методами.
При Q = 0 дифференциальное уравнение (8Л42) преобразу-
преобразуется в уравнение [102]
drsin
' .,„(¦-«)' <8-143>
интеграл которого имеет вид
7Г = ехР
где С —постоянная интегрирования. Для круглой пластины ра-
радиусом rt нагруженной распределенным моментом тпр по наружному
контуру (рис. 81, в) [102], краевые условия имеют вид: при г = 0
Мг= Ме; при г = r2 Mr= mnp. Из первого краевого условия сле-
следует, что С = 0, %= -?-. Поскольку для всех значений /"ф = л/б,
то из второго краевого условия устанавливаем предельное значение
интенсивности распределенного момента по контуру указанной
пластины /ппр = Мг При данном значении момента исчерпывается
несущая способность пластины, т, е. пластина полностью переходит
в пластическое состояние.
Для кольцевой пластины с внутренним радиусом гх и наружным
г2, нагруженной равномерно распределенным моментом (рис.81, г)
[102], краевые условия имеют вид (Q = 0): при г — гг Мг=
= тпр; при г = г2 Мг = 0. Из соотношений (8.141) и (8.144) с уче-
учетом второго краевого условия находим
Ч'г 2 '	2 р\ 2 / 2
Используя краевые условия с учетом (8.141), (8.144) и (8.145),
устанавливаем следующие зависимости:
™nP=>7lMTcos^i,	<8Л47>
где\|?!, \|?2 — значения функции г|> соответственно на внутреннем гх
и наружном г2 контурах пластины. Из (8.145) при заданном отно-
отношении rjrx определяем значение г^, после чего из (8.147) находим
предельную интенсивность момента, при которой пластина полно-
217

стью переходит в пластическое состояние, Из формулы (8.147)
видно, что интенсивность момента достигает предельного значения
при % = 2я;
М	(
Согласно (8Л47) величине ург = 2п соответствует отношение r<Jrx =
= 2,963* Следовательно, если отношение гг\гх больше 2,963, то ни*
какая величина интенсивности равномерно распределенного мо-
момента, приложенного на внутреннем контуре кольцевой пластины,
не может привести пластину полностью в пластическое состояние^
т, е, всегда в пластине остается некоторая часть упругой области.
При Q =— дифференциальное уравнение (8,142) имеет вид [102]
sin i|) dty
dr
Решением (8*149) является выражение
(8.149)
(8.150)
где С — произвольная постоянная интегрирования, В зависимости от
величины ^=='Y"M" интегРал> входящий в (8J50), берется по-
разному. Так, при 6>1
J b — sin (i|>— я/6)
при 6 < 1
•arctg
; (8,151)
-ln-
(8.152)
при b = 1
• — sin hb — -^-
218

Для круглой пластины радиусом г2, опертой по контуру и нагру-
нагруженной сосредоточенной силой Рпр, которая приложена в центре
р
пластины (рис. 81, д) [102], Q = J3JL=-i, а значит,
краевые условия следующие: при г = 0Мг = Ме; пркг = г2 Мг=0.
Из приведенных условий определяем значение функции \р в центре
пластины и на контуре: при г = 0 % = — ; при г = r2 i|?2 — -jr .
Используя данные соотношения и интегрируя дифференциальное урав-
уравнение (8.149), находим
sin \
'	~'	(8.155)
— sin (^ — -j
у
Из краевых условий заключаем, что интеграл \	sin яр дгр
J 6 — sin (ip — я/б)
к/2
расходится. Поскольку пределы интегрирования конечны, подынте-
подынтегральная функция должна обращаться в бесконечность. На основании
(8.149) и краевых условий заключаем, что Ь — sin (i|) — я/6) > 0.
В рассматриваемом интервале изменения ~ <: г[) <—наибольшее
значение
li))^— j равно 1^3/2, следовательно, Ь > 1/3/2.
1/3
Тогда для заданного значения Ь =-?W- интеграл будет расходиться
при 1|) = я;/6. Сопоставляя выражения (8.156) и (8.154), опреде-
определяем величину предельной нагрузки, при которой пластина полностью
переходит в пластическое состояние:
Рпр = 2лМт.	(8.156)
Если вместо условия пластичности Хубера — Мизеса использовать
условие пластичности Треска — Сен-Венана, что равносильно за-
замене эллипса в координатах главных напряжений (или изгибающих
моментов) вписанным в него шестиугольником (рис. 81, е), то реше-
решение задач об определении предельных нагрузок при изгибе круглых
и кольцевых пластин значительно упрощается. Предельные на-
нагрузки для круглых и кольцевых пластин при разных случаях
осесимметричного нагружения приведены в табл. 15 [13],
219

Таблица 15
Схем
з закрепления пластины
L
L
L
1
Г
f ¦
Z
ИГ
i
1
1
02гг _
\
\
\
\
1 02р,
j.HI
¦р
02г2
1
Предельная нагрузка
~пр &
г%
Р т
Рпр=2яМтХ	р^-
220

Продолжение табл. 15
Схема закрепления пластины
Предельная нагрузка
I
1
02П
6. Упругопластическое состояние
пластины с отверстием
Рассмотрим бесконечную пластину с круговым отверстием ра-
радиуса а, которая под действием равномерного давления/?, прило-
приложенного по контуру данного отверстия, находится в упругопласти-
ческом состоянии (рис. 82, а) [13, 17, 77, 102, 200]. Если давление р
таково, что пластина находится в упругом состоянии, то напряже-
напряжения определяются методами теории упругости:
Таким образом, в каждой точке пластины реализуется состояние
чистого сдвига. При р = %i = тт на контуре пластины появляются
пластические деформации. С возрастанием давления пластические
Деформации распространяются и вокруг отверстия радиусом г= гф
221

Рис. 82
образуется область пластической деформации (см. рис. 82, а). На-
Напряжения в области упругой деформации при г > гт определяются
аналогично формулам (8.157):
'— )\	(8.158)
Напряжения в пластической области а< л< гт должны удовлет-
удовлетворять уравнению равновесия (8.55) и условию пластичности (8.95)^.
На границе раздела областей упругой и пластической деформаций
в силу непрерывности напряжений справедливо условие
0-0 = — аг = тт.	(8.159)
Условие пластичности Мизеса (8.95) выполняется тождественно,
если напряжения о> и ое представить в виде
(8.160)
Дифференциальное уравнение равновесия (8.55) с учетом (8.160)
лринимает вид
JL	-by = 0.	(8Л61)
222

Решением уравнения (8.161) при краевом условии т~гт\ <о=-^-
является выражение
i	Г	/^ \1
пш,	(8.162)
Из (8Л6°), полагая г = а, находим значение cofl, соответствующее
данному значению гг Давление, возникшее на крае отверстия и
соответствующее данному состоянию, характеризуется напряжением
(8.163)
Из выражения (8.163) следует, что wa > -^ и растет с увеличением
~ # Давление также увеличивается и достигает своего максималь-
ного предельного значения, когда ша = -^ я» При р = 2тт происходит
неограниченное утолщение пластинки у края отверстия (см# рис, 82, а).
Действительно, согласно G,17 а) имеем
Используя условие несжимаемости материала е, + 86 + ег = 0, на-
находим выражение, позволяющее определить утолщение пластины;
Oy + tfQ
При максимальном давлении р = 2тт согласно (8,160) у края отвер-
отверстия пластины ор =—2тт; аб=^тт. Тогда из (8,165) следует, что
82-> оо, а из (8,162) — что при г = а и © = соа=-^я максималь-
максимальный радиус зоны пластической области гт может достигать (rT)max =
= 1,75а. Используя при решении данной задачи условие текучести
Треска — Сен-Венана аб — а, = <тт = 2тт и интегрируя уравнение
(8,55) при краевом условии (8,159), получаем
^)	(8.166)
При этом максимальный радиус зоны пластической облает»
(гт)гаах ~ 1,65а. Эпюры распределения напряжений в упругой об-
области (пунктирные линии) и в упругопластическом состоянии
(сплошные линии) при ~ = 1,4, а также остаточные напряжения
223

о и ае, возникающие после снятия нагрузки, показаны на
рис. 82, а.
Рассмотрим неограниченную пластину с круговым отверстием,
которая под действием осесимметричной относительно центра от-
отверстия нагрузки, приложенной на контуре, пластина (на беско-
бесконе «ности; край отверстия свободен от нагрузки), находится в упру»
гопластическом состоянии (рис. 82, б) [13, 17, 77, 102, 200].
Напряженное состояние в пластической области такой плас-
пластины при условии пластичности Мизеса — Генки определяется
уравнениями равновесия (8.55' и пластичности (8.95). Краевые
условия для данной задачи следующие: на свободном крае отверс-
отверстия при г = а о, = 0; на бесконечности при г = оо а -> р. Тогда
из уравнений (8.160) следует, что при г = а со = — . С учетом при-
о
•веденных условий решение дифференциального уравнения (8.161)
имеет вид [102]
(J[(f)]	(8.167)
^Приведенное решение указывает, что с увеличением г функция со
убывает и при г s 2,07а со = -^ . На окружности данного радиуса
оба семейства характеристик сливаются в одно (рис. 82, б), аог =
= тт; ае = 2тт. При г-* оо со = 0, a or = а8 = ат, т. е, р = ат.
Распределение напряжений показано на рис. 82,6. Для данной
задачи вследствие того, что ог и ае имеют одинаковый знак, усло-
условие текучести Треска—Сен-Венана записывается в виде ад = ат#
Тогда из дифференциального уравнения равновесия (8.55), с учетом
следующих краевых условий: при г — а ог — 0; при г-+ оо ог-> р,
находим ог = отП — —). Распределение напряжений показано на
рис. 82, в. Семейство характеристик в этом случае представляет
собой пучок прямых, исходящих из центра.
7. Упругопластическое состояние
полосы с вырезами
Растяжение полосы, ослабленной вырезами
В случае растяжения полосы с круговыми вырезами (рис, 83, а)
при условии текучести Мизеса [224] вблизи круговой части кон-
контура возникают осесимметричные поля напряжений. Напряжения
в данных зонах определяются формулами (8.160). При этом рас-
расстояние г от центра 0 и функция со (V) связаны уравнением (8.167),
Ясно, что поля напряжений распространены с обеих сторон не
далее чем на расстояние г = 2,07а [13, 77]. Для этого предельного
случая угол раствора круговой части дуги АВ не должен быть
меньше 38° 56', При h <: 1,07а поля распространяются от каждого вы-
выреза и соединяются в центре С.
224

I t I ¦ М-
Illlll'
II I I I I'
0.8
Ofi
0,2
\
V
\\
4
О 0,1 0,4 0,6 0,8 а/1
д
Рис. 83
1
1 1
I/
A
h
\ \
h
\\ \ \\
б
p
r
I I I I »'
) I ) I
е
1-317

Интегрируя по частям дифференциальное уравнение равнове-
равновесия (8.55), находим предельную нагрузку (на единицу ширины по-
полосы):
% = 2 J ae dr = 2 (а + h) ar |Гвв+Л.	C.168)
Без наличия выреза
Р$ = 2oTh = 2Л /Зтт.	(Л 168а)
Коэффициент усиления отношения гщ- J в данном случае опреде-
определяется по, формуле [224]
^ = 1 + 0,23 j^ @ <: h <s 1,07 а). (8.169)
Если h = 1,07а, то характеристики сливаются в центре и при даль-
дальнейшем увеличении h > 1,07а осесимметричные пластические об-
области не изменяются, соединяясь по оси х шейкой (рис, ,83, б)
В этом случае аг=тт; ае =2тт. Из (8.168) находим
a+h
Тогда
р
—^•^1,15—0,04-т- (Л>Л,07а),	(В 170)
пр
Коэффициент усилия для плоского деформированного состояния
несколько выше, чем для плоского напряженного состояния. [13].
В случае растяжения полосы с острыми вырезами (рис. 83, в) при
70°32/ <: а <: ~ коэффициент усиления [256]„ определяется по фор-
формуле
При а <: 70°32'
^ = '.54.	(8.172,
пр
В,случае -растяжедия квадратной пластины с центральным
круговым отверстием (рис. 83, г) равномерно распределенной силой
р верхняя и нижняя границы предельной нагрузки Рпр/о^ вы-
вычисленные энергетическим методом в зависимости от отношения
sall> графически показаны на рис. 83, д,
226

В случае растяжения бесконечной пластины, ослабленной од-
одним рядом отверстий, силой Р, которая равномерно распределена
и приложена к контуру на бесконечности (рис. 83, е) [13, 77], пре-
предельная нагрузка ограничена следующими неравенствами:
1.1-5.
(8.173)
Изгиб полосы, ослабленной вырезами
В случае чистого изгиба полосы, ослабленной односторонним
глубоким вырезом с круговым основанием (рис. 84, а) [13, 77],
в нижней части (в Ь.АВС) реализуется равномерно распределенное
поле напряжений .(напряжения сжатия 2тт), параллельноеоснованию,
а в верхней части вблизи дуги А'В' —осесимметричное поле сколь-
скольжения. При этом
(8.174).
О QZ. 0,4 W 0,6 h
м,
Рис. 84
8*
227

где т — радиус-вектор, исходящий из центра О. При переходе плас-
пластины в предельное состояние области А'АС и В'ВС соединяются
в точке С. Положение точки С определяется из условия
С obdr = 0.	(8,175)
а
Если под данный интеграл ввести значения
Gq = 2тт A + 1п — 1 при а <: г < а + h;
o"g = — 2тт при a-f~^i^r <i#-{~^>
то получим уравнение
Закон распределения ае в сечении ООг показан на рис. 84, б [77].
Предельный момент Мпр на единицу ширины полосы определяется
из условия равновесия по сечению ООг\
a+h
Мпр = - J V^	(8Л77)
После интегрирования находим [77]:
(?)(г))(.)	(8-178)
Т /l2
где М[^ = -^	. предельный изгибающий момент для гладкой по-
полосы высотой h. Из формулы (8.178) видно, что коэффициент уси-
усиления зависит от ^т;— (а следовательно, и от угла а). Графики
зависимости коэффициента усиления для случая изгиба полосы, ослаб-
ослабленной вырезами разной формы (рис. 84, г) [13], показаны на рис,
84, в A — односторонний надрезе круговым основанием; 2«* двух-
двухсторонний надрез с круговым основанием; 3 —* односторонний угло-
угловой надрез; 4 — двухсторонний угловой надрез) [13, 77].
8. Вдавливание плоского штампа
и жесткого клина в пластическую среду
Большинство задач о вдавливании штампа и клина в пластиче-
пластическую среду имеет замкнутое решение, остальные задачи приводятся
к комбинациям краевых задач для канонических систем уравнений.
Рассмотрим задачу о пластическом течении при вдавливании
228

абсолютно жесткого штампа с плоским основанием в жестко-плас-
жестко-пластическое тело, ограниченное плоскостью (рис. 85) [13, 77, 102].
Допускаем, что трение по поверхности контакта отсутствует. При
вдавливании штампа материал, вдавленный штампом, образует
по сторонам возвышения. В предельном состоянии штамп движется
вниз со скоростью V; при этом предполагается, что под штампом
давление р равномерное. Поле скольжения (рис. 85, а) согласно ре-
решению Прандтля [283] строится следующим образом. Построение
начинается со свободной поверхности слева от штампа. Некоторый
участок AF должен быть пластическим, так как в противном случае
невозможно образовать над поверхностью выступ. Поскольку на сво-
2а
F Г
2а
Рис. 85
бодной поверхности а = 0; ixy = 0, из условия пластичности для
точек этой поверхности получаем
Знак минус взят на основании того, что в направлении AF проис-
происходит сжатие. Так как касательные напряжения на свободной по-
поверхности AF равны нулю, то линии скольжения пересекают ее
под углом 45 и (90 + 45)°. Вдоль линии AF ох, а0, ф постоянны, по-
поэтому согласно формулам F.21) параметры g ит| вдоль этой линии
также не изменяются. Следовательно, под линией AF находится рав-
равномерное поле напряжений (см. рис, 85, а). При этом вдоль линии
скольжения а
6=--2 "~Т'	(8Л80>
Если бы точка F пластического участка свободной поверхности
была известна, то тогда под линией AF было бы определено равно*
мерное поле напряжений, которое характеризовалось бы равно-
равнобедренным прямоугольным треугольником ADF. Поскольку линия
скольжения AD прямая, линии скольжения семейства Ь справа от
AD представляют собой прямые линии. Исходя из симметрии за»
229

дачи утверждаем, что ггод штатом* расположено также рагномер-
«ое поле напряжений ABC, а значит, и давление под штампом рав-
равномерное. Указанные равномерные поля напряжений соединены
между собой центрированным нолем ADC. Следовательно, линия
скольжения в поле AFD является прямой, в поле ADC она пере-
переходит в дугу окружности, а в поле ABC—в прямую. Это ука*
зывает на то, что длина пластического участка свободной поверх-
ности равна ширине штампа, т. е. AF = АВ — 2а. Параметр вдоль
линии скольжения а постоянен, а в области ЛОС линии скольжения
а наклонены под углом ф = -j- к оси х. В связи с этим, исполь-
используя выражение F.18) и (8.180), находим
Согласно (б.И) с учетом того, что Ф=-т- , а о0 определяется по
формуле (8.181), получаем
п	я + 2
=~* Г0*'	(8Л82)
Так как напряжения оу вдоль линии АВ не изменяются, то сила,
вдавливающая штамп,при которой наступает пластическое течение,
определяется так:
2аат(я + 2)
р*= /з '	(8Л83)
Р. Хилл [224] показал, что решение Прандтля не является един*
ственным, и предложил решение, согласно которому поле скольже-
скольжения состоит из?двух равномерных полей напряжения — AGC и AFD,
соединенных центрированным полем ACD (рис. 85, б). Длина пла-
пластического участка свободной поверхности равна половине ширины
штампа. Напряжения в равномерных полях напряжений и в центри-
центрированном поле остаются такими же, как и в решении Прандтля.
Приложенная к штампу сила, при которой наступает пластическое
течение, определяется формулой (8.183).
Прагер предложил построить решение задачи о вдавливании
штампа в виде комбинаций решений Прандтля и Хилла. Однако
это дает право утверждать, что полученные решения могут быть
неоднозначными. Поэтому при построении полей линий скольжения
следует использовать экспериментальные результаты. Задача о вдав-
вдавливании штампа выпуклой формы при наличии трения решена
В. В. Соколовским [201].
Рассмотрим решение задачи о вдавливании (внедрении) симмет*
ричного твердого клина (рис. 86) [13, 771 с углом раствора 27 в жест-
жестко-пластическую среду, ограниченную плоскостью [224]. Трением
по поверхности контакта пренебрегаем. При внедрении клина среда
выдавливается по обе его стороны. Граничная линия АС— I
аппроксимируется прямой. Поле скольжения строится следующим
образом. Принимаем, что вдоль А В контактное давление постоянно.
230

В зонах треугольников ABD и А ЕС жеетко-пластическая среда на-
находится в равномерном напряженном состоянии. Обозначим глубину
внедрения клина через h = OB, длину образующей— через U
При этом давление р и длина образующей i неизвестны. Обе области
равномерного напряженного состояния соединены центрированным
полем ADE е углом раствора а. Линия Л€ образует с горизонталь-
горизонтальной осью угол у *- ос. Тогда из рис. 86 следует равенство
/ cos у — h = I sin (у — а).
Рис, 86
Исходя из несжимаемости материала заключаем, что площади
треугольников-GBG и ACG р,авны. Тогда
№ tg у = (/ cos .у — A) [I cos (у — а) + (/ cos 7 — h )tg 7]- (8.184)
Решая совместно уравнения (8.183) и (8.184) и исключая из них l/h,
находим соотношение
Г /	\Т
(8.185)
.27 = а + arccos tg I	_
из которого определяем а.>-Во всей ©бласти пластической деформа-
деформации параметр! = const, следовательно, ?' = ?", где
Приравнивая. |' ,и. |7-, пол уча ем
а'=—-
(8.186)
231

fjp
где а' — среднее давление. Давление
р определяется по формуле
(8Л87)
а полное усилие на единицу длины кли-
клина — по формуле
о
Рис. 87
JO
60
Из формулы (8.188) следует, что усилие
вдавливания зависит от угла у и глу-
глубины внедрения К График зависимости УЬр/2от от у показан на
рис, 87 [13]. Глубину внедрения h считаем заданной.
9. Сжатие пластического слоя между двумя
параллельными шероховатыми плитами
Задача о сжатии пластического слоя между двумя шерохова-
шероховатыми плитами (рис. 88) решена Прандтлем [283] в предположении,
что на поверхности контакта возникают касательные напряжения,
достигающие предела текучести тт.
Используя дифференциальные уравнения равновесия
до„ дт	 дт„„ до..
дх '" 9у~"" дх г ду
и условие пластичности [283]
ox~oy~±2V%l-xly,
находим дифференциальное уравнение относительно одной неизвест-
неизвестной:
дхду
«•••->
Так как 2/i < 2/, полагаем, что тху является функцией только у.
Тогда из уравнения (8.189) получаем
'ху
ду*
следовательно,
Поскольку С| = 0, %"ху — С2у. Про-
Произвольная постоянная интегрирова-
интегрирования С2 определяется из следую-
следующего краевого условия: при# =
(8,190)
Рис. 88
232

С учетом (8.190) дифференциальные уравнения равновесия прини-
принимают вид
дх ~ h ' ду
Интегрируя уравнения (8.191), находим
(8.191)
(8.192)
где h (У) и /2 (х) — произвольные функции, определяемые из усло-
условия пластичности, которое с учетом (8.192) запишем в виде [17]
- /«<*> = ±2тт У l - (-I)'.
(8.193),
Данное уравнение удовлетворяется при любых значениях х и #?,
поэтому справедливы следующие соотношения:
(8.194)"
M*)=
Здесь G — произвольная постоянная. Тогда выражения для на-
напряжений g учетом (8.194) принимают вид
ох = -г-:
(8.195)
Для определения линий скольжения сравним касательные
напряжения, определяемые формулами (8.195) и F.11). В резуль*
faTe имеем
= —h cos 2ф, откуда
j- =
2h sin 2ф -^ ,
(8.196)
Учитывая, что -/ = tgcp; -^=—ctg9, находим дифференциальные
уравнения линий скольжения:
(8.197Х
2/i sin 2ф ~ = *— ctg фФ
233

Разделяя переменные и интегрируя, получаем параметрические
уравнения двух семейств линий скольжения [17]: первое семейство
х = h Bф + si® 2ф) + С;
у = —Я gos 2ф;:
(8.198)
второе семейство
х = — Я Bф— sin 2ф)-+ С; 1
^ = — К cos 2<p.	i
(8.199)
Рис. 89
1Из уравнений (8.198) и (8.199) видно,, что линиями скольжения яв-
являются два ортогональных семейства циклоид (рис. 89). Граничные
.линии у = ±h служат огибающими циклоид, т. е. линиями раз-
фыва. Постоянную интегрирования С- определяем из следующего
условия: при х = / давление на поверхностном слое равно нулю,
т. е.
гт I	Л'	 Т	П
откуда С = -jp . Следовательно, or* | y=±ft = -^- (х — /).
Таким образом, давление между слоем и плоскостями в направ-
направлении х уменьшается по линейному закону (см. рис. 89) [17]. Од*
нако решение Прандтля не позволяет выполнить граничные условия
в поперечной плоскости х = / и в средней части х = 0.

Раздел I!
ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ
И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Приведенные в гл. 1—8 законы и уравнения пластичности*
справедливы для расчета элементов конструкций, работающих,
в упругопластической области при статическом однократном нагру-
жении. Чаето внешние силы прикладываются к элементам конструк-
конструкций многократно, в том числе с изменением знака. Для расчета на,«
прочность, жесткость и устойчивость таких упругопластических,
систем созданы специфические методы расчета, а следовательно,,
свои законы и уравнения, [2—4, 13, 17, 29, 30, 37—39, 77, 114, 122^
147, 151, 153, 179, .180, .199, 231, 245, 2.46, 262, 267].
ГЛАВА 9
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ Ц УСЛОВИЯХ
ЛИНЕЙНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
1. Упругогтастические свойства материалов
при многократном нагружении
Щричрасчете на прочность элементов конструкций, работающие
в условиях многократного нагружения, необходимо учитывать из-
изменение^ упругопластических свойств материала в зависимости от
цикла нарружения. В качестве примера на рис. 90, а [42} показано
изменен-ие циклического предела пропорциональности оп ц в зави-
зависимости от «иела полуциклов к нагружения (/ — алюминиевый
еплав Д16Т, 2 — низколегированная сталь ЗОХГСА) при цикли-
циклическом изменении напряжений с амплитудой, равной пределу те-
текучести. На рис. 90, б [192] приведена схема изменения разрушаю-
разрушающих ар и истинных ад напряжений в зависимости от числа циклов N
нагружения. Следовательно, для получения специфических методов
расчета элементов конструкций, работающих в условиях много-
многократных нагружении, необходимо знать законы изменения механи-
механических характеристик материала от цикла к циклу нагружения*
Наиболее важными являются характеристики, связанные с измене-
изменением петли гистерезиса. Поэтому для исследования кинетики де-
деформированного и напряженного состояний при многократном*
упругопластическом нагружении должны быть известны диаграммы
Циклического деформирования (петли гистерезиса) на всем процессе
нагружения. Такие диаграммы после нескольких десятков, сотев*
Циклов нагружения при постоянном значении амплитуды напряжений^
(мягкое нагружение) для теплоустойчивой стали показаны на рис..
91, а, а при постоянной амплитуде деформаций (жесткое нагружен
23$

/V
Рис. 91

с
ние) — на рис. 91, б для стали В96 и на рис. 91, в для теплоустой-
теплоустойчивой стали {цифрами обозначены номера циклов) [193].
Диаграммы циклического деформирования при мягком нагру-
жении позволяют получить кинетику деформаций, которая необ-
необходима для определения деформационных свойств материала при
циклическом нагружении, а при «жестком» — кинетику напря-
напряжений при циклическом упругоиластическом деформировании. По
характеру изменения свойств при многократном упругопластиче-
ском нагружении материалы разделяются на три основных типа:
циклически стабильные, циклически упрочняющиеся и цикличе-
циклически разупрочняющиеся. Циклически стабильными называются ма-
материалы, у которых сопротивление
многократному упругопластическому
деформированию не зависит от числа
циклов на гружен и я. Это означает,
что модуль упругости, предел про-
пропорциональности и текучести, секу-
секущий и касательный модули не зави-
зависят от числа циклов нагружения.
У циклически упрочняющихся мате-
материалов сопротивление упругоп ласти-
ческому деформированию возрастает
с ростом числа нагружении, а у цик-
циклически разупрочнякйцихся— уменьша-
уменьшается. Однако циклическая стабильность,
упрочнение или разупрочнение скорее
являются этапами деформирования, а
не характеристиками материала в це-
целом. На характер процесса цикличе
ского деформирования существенное
влияние оказывают состояние матери-
материала, скорость деформирования, темпе-
температура, форма цикла изменения напря-
напряжений и другие факторы. Для установления законов изменения напря-
напряжений и деформаций при циклическом упругопластическом нагружении
необходимо знать зависимость между напряжениями и деформациями
(т. е. уравнения состояния материала после каждого цикла нагруже-
нагружения). Диаграммы циклического деформирования, приведенные в рабо-
работах Мэнсона [262,263] и Орована [278], позволяют определить только
предельные изменения напряженного состояния при циклическом упру-
упругоп лас гическом деформировании. Зависимости между напряжениями
и деформациями, предложенные в работах Г. Мазинга [266], Р. Вулли
[290] и др., пока не могут быть распространены на все материалы
и различные условия нагружения.
Рассмотрим диаграмму деформирования при реверсивном нагру-
нагружении (рис. 92). Диаграмма исходного деформирования ОАС. При
разгрузке после достижения в исходном нагружении деформации еФ)
и последующем реверсивном нагружении диаграмма деформи-
деформирования описывается кривой OCQDL. Разгрузка из какого-либо
состояния приводит к появлению обычно незамкнутой петли гистере-
гистерезиса OACQDLM. Линия разгрузки не всегда имеет вид прямой линии.
Модуль разгрузки как тангенс угла наклона прямой, соединяющей
точки начала и конца разгрузки, уменьшается по сравнению с моду-
модулем упругостп в исходном состоянии. Деформирование после
разгрузки в противоположном направлении, как правило вызы-
Рис. 92
237

вает уменьшение предела пропорциональности, причем, чем больше
первоначальная деформация при нагружении, тем сильнее умень-
уменьшается величина предела пропорциональности. Это явление назы-
называется эффектом. Баушингера.
Предполагалось, что сумма напряжения, при котором начина-
начиналась разгрузка а@), и нового предела пропорциональности о*}* (см,
рис. 92) при реверсивном нагружении — величина постоянная, рав-
равная удвоенному- пределу пропорциональности в исходном нагруже-
нагружении [266]:
o^ + o^=s^=2o^K	(9.1)
Тогда диаграмма деформирования в первом полуцикле (исходное
деформированное состояние прини-
принимаем за нулевой полуцикл) опи-
описывается уравнением
Рис. 93
Рис. 94
Функция / I —Определяется из диаграммы исходного нагружения.
Экспериментальная проверка показала, что гипотеза Мазинга вы-
выполняется не для всех материалов, а диаграммы, построенные по
уравнению (9.2), проходят существенно выше, ниже расчетной
или пересекают ее [192, 193]. В первом реверсивном полуциклв на-
нагружения при симметричном цикле напряжений кривые деформиро-
деформирования описываются зависимостью вида
Функция F
(9.3)
определяется экспериментально. Достаточно хоро-
шее экспериментальное подтверждение формулы (9*3) приведено на
рис. 93.
При многократном нагружении с увеличением числа циклов из-
изменяются форма и размеры петли гистерезиса. Это связано с непо-
непостоянством механических характеристик материалов при много-
238

кратном упругопластическом* деформировании. В процессе цикли-
циклического деформирования материал переходит в упругое состояние
[278]. Сх*ма Орована, согласно которой материал, нагруженный за
пределы пропорциональности, при разгрузке и последующем нагру-
жений обратного знака ведет себя упруго вплоть до напряжения,
соответствующего по абсолютной величине максимальному напря-
напряжению предыдущего нагружения NB, показана на рис. 94. Нагру-
жение за В' происходит по кривой В'С, которая соответствует участ-
участку ВС диаграммы однократного нагружения. Последующая раз-
разгрузка, и соответственно нагружение, протекает по кривой
С LCD', а напряжение пропорциональности равно по абсолютной
величине максимальному напряжению КС, достигнутому в пред-
предшествующем нагружении. Участок CD' соответствует отрезку CD
кривой первоначального деформирования. Многократное повторе-
повторение указанного процесса нагружения приводит к упругому состоя-
состоянию, характеризуемому на диаграмме прямой XX'. Недостатком
гипотезы Орована является то, что она не учитывает эффект
Баушингера и разнообразие свойств материала. Использование этой
гипотезы при решении задач позволяет получить одну из крайних
оценок возможного изменения напряженного состояния при цикли-
циклическом упругопластическом деформировании. Другая крайняя
оценка в предположении пластичности материала предложена Мэн-
соном [262, 263].
Кривые многократного циклического деформирования описы-
описываются также уравнением [122]
5=Ф(ё),	(9.4)
- s<*> - в<*>
где s == -jn ; е = -щ — напряжения и деформации, отнесенные к
sT	eT
напряжениям и деформациям s^ и е^\ которые соответствуют пре-
пределу текучести в том же k-u цикле; функция ф (е) в явном виде
определяется экспериментально. Зависимость (9.4) подтверждается
экспериментально, что позволяет решать задачи о циклическом упру-
упругопластическом деформировании при известном решении задачи для
исходного нагружения. При симметричном цикле напряжений кривые
многократного циклического деформирования описываются зависи-
зависимостью [37, 38]
ft - ф (JL\	(9.5)
где функция Ф (—-qt) определяется экспериментально; 6(^ — оста-
остаточная пластическая деформация в k-м полуцикле нагружения; о®* —-
амплитуда напряжений. Следовательно, при известной форме кривой
деформирования для амплитуды напряжений некоторого полуцикла
можно определить кривую деформирования при известной ампли-
амплитуде а^ и ширине петли 6^ в каком-либо другом полуцикле. Воз-
Возможность разделения эффекта уровня напряжений времени и числа
циклов экспериментально обоснована в работах [37, 38, 192, 193].
239

Уравнение обобщенной диаграммы циклического деформирования,
описывающей особенности деформирования внутри каждого k-ю полу-
полуцикла, имеет вид
s)fB(t).	(9.6)
Здесь 8 и s"—деформации и напряжения, отнесенные к деформациям
и напряжениям ет и sT, которые соответствуют пределам текучести
в этом полуцикле; / — время деформирования; функции ff(k), /3 (/)
находятся экспериментально; функция /2 (s) определяется уравнением
исходной кривой деформирования. Для симметричного цикла нагру-
нагружения в основу существования обобщенной кривой циклического
деформирования положен экспериментально установленный факт
равенства текущей и пластиче-
пластической деформаций для одинако-
одинаковых значений исходных напря-
напряжений [38, 192], Кривая дефор-
деформирования в некотором полу-
полуцикле (рис. 95) для исходного
уровня напряжений о^ строится
в относительных координатах
s— 8. За начало координат в
каждом полуцикле принимается
момент начала разгрузки, На
рис. 95 приняты следующие ко-
коМ N
ординатные оси:
- s
s = —
- 8
8
Рис. 95
е
е — —
где sT, aT, ет, ет — напряжения и деформации, соответствующие
пределу текучести. Обобщенная кривая для симметричного цикла
нагружения представляет собой геометрическое место точек, соответ-
соответствующих концу деформирования при smax = 2а@)# Вследствие ра-
равенства текущей и остаточной деформаций кривые деформирования
для каждого из исходных напряжений совпадают с обобщенной кри-
кривой, если совместить их начальные точки.
Зависимости о (ё) при симметричном цикле нагружения обобщены
на случай асимметричного цикла [192, 193]. Схема кривых цикли-
циклического деформирования при некоторой асимметрии цикла т =
-— < '—l приведена на рис, 96, где s
— t —да
соответственно пределы текучести при заданной асимметрии цикла г
изменения напряжений за 1, 2, 3-й циклы. Разности пластических
деформаций за цикл в четном и нечетном полуциклах при цикличес-
циклическом упругопластическом деформировании могут существенно разли-
различаться, причем величина их зависит от исходной деформации в@)
в нулевом полуцикле (исходного напряжения) и числа полуциклов к.
240

Функция Y \е^] определяется следующим образом:
Для аналитической интерпретации данная зависимость представляется
в виде произведения двух функций:
к).	(9.7)
(9.8}
(9.9)
- нечетные полуциклы,
кроме йервого;
— четные полуциклы.
Деформация 1^ соответствует приведенному напряжению
Здесь р12 = 1 + Х12 A — г) A + г) — коэффициент приведения;
X = 1г — нечетные полуциклы; X = Х2 — четные полуциклы. По-
Рис. 96
стоянные Сг и С2 характеризуют циклическую анизотропию свойств
материала. Для разупрочняющихся материалов
/х (к) = exp [p (k — 1)];	(9.10)
для упрочняющихся материалов
241

Поскольку параметры а и Р и предел текучести sT слабо зависят от
исходной деформации даже для симметричного цикла, выражение
(9.F) для определения &k) является приближенным.
При асимметричном цикле для одинаковых значений приве-
приведенных напряжений наблюдается равенство остаточной деформа-
деформации и текущей пластической деформации, т. е. 5 = ер. Значит, для
какого-то полуцикла участки кривых деформирования в пласти-
пластической области совпадают, если совместить точки, соответствую-
соответствующий пределу текучести (точки Л, В, С на рис. 96, 97). Такое совме-
А/ М t
Рис; 97
щекие (рис, 97) возможно только для приведенных напряжений
emsfx "^ ^®а- Предел текучести для асимметричного цикла зависит от
коэффициента приведения р и величины размаха напряжений ~smax:
sTr = sT—smax(p—1).	(9.12)
Уравнение обобщенной кривой циклического деформирования при
асимметричном цикле получаем из уравнения (9.7) при 6*=^
я Ъ > sT
"тг
(9.13)
'?.*)-?
Здесь /* ^-"тр » р) = ^п*р опРеДеляем по диаграмме исходного дефор-
ми|ювания. Схема построения обобщенных кривых деформирования
показана на рис. 98 [192, 193]. Если совместить^ начальные точки
кривых деформирования (с момента начала нагрузки) при разных р
и ^тах, то кривая на рис. 97 развернется в семейство кривых, раз-
различающихся только упругой частью (см. рис. 98).
По данным кривым для различных уровней размахоз напря-
напряжений smax и одинаковых значений коэффициента р- можно «остро-
242

ить кривую зависимости размахов напряжений от * деформации.
Эта кривая представляет собой геометрическое место точек, соот-
соответствующих концу деформирования при ваданном напряжении
smax, и называется обобщенной кривой циклического деформировав
ни я. При асимметричном цикле она описывается уравнением
Семейство обобщенных кривых при различных степенях асиммет-
асимметрии цикла г (или разных р) Для k-то полуцикла приведено на рис
98.	В отличие от симметричного цикла текущие кривые деформиро-
деформирования не совпадают с обобщен-
обобщенными. При р — О текущие кри-
кривые совпадают с обобщенной:
кривой при симметричном цик-
цикле, что соответствует г= —1,
X = 0 и характерно для упроч-
упрочняющихся материалов. Для за-
заданных напряжений amin, Ътах
в k-ы полуцикле при заданной
асимметрии цикла деформиро-
деформирование протекает по кривой де-
деформирования асимметричного
цикла с размахом s^ax и пре-
пределом текучести sTr. Совокуп-
Совокупность конечных точек таких
кривых для различных smax об-
образует кривую циклического Рис. 98
деформирования с пределом те-
sT
кучести (sTr) = —, которая выражает связь между напряжениями
и деформациями при заданной степени асимметрии. Семейство обоб-
обобщенных кривых деформирования для различной асимметрии и чисел
циклов образует диаграмму циклического деформирования.
Исследования циклического упругопластического деформиро-
деформирования показали, что после определенного числа циклов у цикли-
циклически упрочняющихся материалов (а иногда и у циклически раз»
упрочняющихся) наступает стационарное состояние, при котором
в последующих циклах повторяются соответствующие диаграммы
деформирования. Схемы возможных изменений деформаций в про-
цесее циклического нагружения в зависимости от числа полуцик-
полуциклов показаны на рис. 99 [192, 193]. Схема, приведенная на рис*
99,	а, характерна для циклически упрочняющихся материалов,
когда ширина петли с числом полуциклов уменьшается. Деформа-
Деформация, накопленная в процессе циклического деформирования, стре-
стремится в этом случае к некоторой предельной величине, которая ос«
тается постоянной вплоть до образования трещины, после чего воз-
возможно некоторое увеличение. Схема, приведенная на рис. 99, б,
характерна для циклически стабильных материалов, когда ширина
петли в- каждом полу цикле остается неизменной. Если в четном
243

и нечетном полуциклах ширина петель различается, то наблюдается
непрерывное одностороннее накопление деформаций и интенсив-
интенсивность процесса перед разрушением возрастает. Процесс деформи-
деформирования при этом зависит от степени асимметрии цикла. Схема,
приведенная на рис. 99, в, характерна для циклически разупрочня-
ющихся материалов, когда ширина петли увеличивается и возра-
возрастает полная деформация, причем накопление деформаций может
происходить по обоим направлениям действия нагрузки. Для ха-
характеристики деформационных свойств наиболее удобно использо-
использовать величину остаточной деформации за полуцикл, которая опре-
определяет пластические свойства
внутри каждого цикла, а зна^
кочередующая сумма — пласти-
пластические свойства за соответству-
соответствующее количество циклов. При
исследовании взаимосвязи меж-
между шириной петли гистерезиса
и числом симметричных полу-
полуциклов при заданной амплиту-
амплитуде напряжений была установ-
установлена следующая зависимость
[192, 193]:
(9.15)
Рис. 99
где k — номер полуцикла;
е^)— деформация при первом
нагружении; Л, а — постоян-
постоянные материала. Для цикличе-
циклически упрочняющихся материа-
материалов а> 0; для материалов,
упрочнение которых с ростом числа циклов уменьшается, а < 0.
С повышением температуры сопротивление материалов многократ-
многократному упругопластическому деформированию изменяется [192, 193].
Изменение ширины петли гистерезиса в зависимости от полуциклоз
нагружения при различных температурах показано на рис. 100
(/—20, 2 — 350, 3 — 550, 4 — 20, 5 — 250, ? — 500, 7 — 700° С).
Как видно из рисунка, при этом аустенитная сталь 1Х18Н9Т уп-
упрочняется D —7), а теплоустойчивая сталь разупрочняется (/—3).
? •- Экспериментально установлено, что диаграмма циклического
упругопластического деформирования при повышенных температурах
так же, как и при нормальных температурах, в каждом полу-
полуцикле нагружения в координатах s — е представляет обобщенную
диаграмму деформирования, причем связь между напряжениями
и деформациями в данном полуцикле не зависит от уровня исход-
исходной деформации (напряжения). Обобщенные диаграммы деформи-
деформирования при температуре 700° С в координатах s — е для аустенит-
ной стали 1Х18Н9Т при скорости деформирования 0,18 мин приве-
приведены на рис. 101, а, а при 0,0018 мин—на рис. 101, 61192]. Зави-
Зависимость ширины петли пластического гистерезиса от степени исход-
исходного деформирования в первом полуцикле нагружения (исходное на-
гружение принимается за нулевой цикл) носит линейный характер
244

150 к(Ш-3)
и-/ о -4 *-6
*-2 • -J х-7
ю*
1Ог	/О3 фля4-7)
Рис. 100
4
34
234
/234
123
12
т
Кщя
¦
10
г*
л*
в
It-*
55В»
L—L-
/
Рис. 101
5	9
а
4
34
234
1234
1 23
12
1
1
7
А
У
А
/
/
<*
8
•
•г
5	9
б
для всех температур (рис. 102). Аналитически она описывается
уравнением
Здесь функция/(^yJ в явном виде определяется по кривой исход-
исходного деформирования; s?> — предел пропорциональности в системе
245

А
/
Г
Д
f
координат s — е, который в случае циклического деформирования
с повышением температуры увеличивается; А — параметр обоб-
обобщенной диаграммы циклического деформирования, который с повы-
повышением температуры практически не изменяется.
Интенсивность изменения петли гистерезиса с ростом числа по-
полуциклов нагружения определяется по формуле (9.7) с учетом
(9.10) и (9.11). При любом полуцикле ширина петли гистерезиса'вы-
гистерезиса'вычисляется [192] так: для аустенитной стали 1Х18Н9Т
для теплоустойчивой стали
(9.18)
где к — число полуциклов деформирования; A, S^\ a, P — пара-
параметры обобщенной диаграммы циклического деформирования. При
повышенных температурах (до 400° С) параметры обобщенной ди-
диаграммы циклического деформирования Л, а и р в данных диапазо-
диапазонах температур для исследованных сталей практически не изменя-
изменяются. При дальнейшем увеличении температуры происходит возрас-
возрастание параметров аи р. Эти параметры зависят от степени исходного
деформирования (см. рие. 102) и аналитически записываются в виде
(9.19)
(9.20)
где В, С^ коэффициенты, определяемые экспериментально.
Таким образом, при повышенных температурах обобщенная
диаграмма циклического упругопластического деформирования опи-
описывается зависимостями, аналогичными уравнению обобщенной
а = b l-рг —*
246

диаграммы при нормальных температурах: дли упрочняющейся
стили 1Х18Н9Т
для разупрочняющейся теплоустойчивой стали
Экспериментальные обобщенные диаграммы и диаграммы, рассчита-
ные по формулам (9.21) и (9.22), удовлетворительно согласуются
(см. рис. 101)*
2. Уравнения, описывающие упруготтластическое
состояние упрочняющегося материала
при термоциклическом нагружении
Пусть элемент.(образец) Л (рис. 103, а) подвергается равное
мерному нагреву и охлаждению, причем температура во времени
изменяется по циклическому закону (рис. 103, б, в). Если бы обра-
образец был свободный, т. е. «жесткость» элементов В была бы равна
нулю (с2 = 0), то при циклическом изменении температуры сечения
/—/ и II—II совершали бы перемещение по пульсирующему
циклу. В этом случае напряжения 1-го рода в образце Л отсутст-
отсутствуют. Во всех остальных случаях равномерного циклического на-
нагрева и охлаждения, когда с2 ф 0, в элементе Л возникают термо-
термоциклические напряжения. Величина и форма их цикла зависят от
параметров теплового режима, отношения жесткостей!-М и физи*-
ко-механических характеристик материала. На интервал изменения
упругопластической деформации (Ля) влияют параметры темпера-
температурного режима, физико-механические характеристики материала
и граничные условия закрепления образца. В зависимости от по-
последних возможны следующие случаи нагружения:
а) 0 <: Де <: ет; б) ет <: Де <: 2ет; в) Ае > 2ет, (9.23)
где ет^ величина пластической деформации, соответствующая пре-
пределу текучести. При определенных параметрах температурного ре-
режима и граничных условиях возникают знакопеременные цикличе-
циклические напряжения (рис. 103, б, в), вызывающие знакопеременную
пластичность. Если ~= оо; k= 1 (случай «жесткого» закрепле-
закреплена
ния элемента Л), то при циклическом изменении температуры
•^min ^ ^max ПРИ нагружении как по схеме рис. 103, б, так и по
схеме рис. 103, в выполняются следующие условия:
Д/г + Д/г + Д/р = 0.	(9.24)
247

f-vw- hvww-f
/I
a
Сбободщ
цдлине- .
me об-1 Нуле6дй\ Пербш
разца^ \полуцикл\ __
в
Рис. 103
В этом случае температура и напряжения являются зависимыми
функциями времени:
Г=М0; а =/,(/).	(9.25)
В работах [112, 150,286 — 288] решена задача упругопла-
стического состояния материала с линейным упрочнением в случав
закрепленного стержня, равномерно нагреваемого от Tmih до Гтах
и охлаждаемого от Гтах до Тт1п (случай «жесткого» нагружения).
Если принять, что предел текучести материала (ат) и модуль упру-
248

Рис. 104

гости материала (?)~от цикла к циклу не-изменяются,- а модуль
упрочнения (Е) при сжатии равен модулю упрочнения при растя-
растяжении, то уравнения упругопластического .состояния материала
(рис; 104, о) [288] запишутся в, виде
на участке 1—2	о = Е (€--^.ей);	(9.26)
2-3 * о = (I -А) Б (g— е0) + ат?;	(9.27)
g = В (е.- 8max) + ат.„;	(9.28)
на участке 4—5 а = A--%^) ? (& — 8гаах) + аД + A —
а
ш1п,
(9.29)
Напряжения, возникающие в результате нагрева закрепленного
образца до температуры Т"тах, определяются по формуле
~X*min);V=l = 0 - X) (8шах - ео) + ^Л	(9.30)
При охлаждении- образца до температуры Tmin напряжения, возник-
возникшие в результате пластической деформации при нагреве, определя-
определяются* по, формуле
4%ах)л,=1 О -Л) Е (emin- егаах) +Щ + A -1J ? (етах - а,).
(9.31)
Принимая, что участок разгрузки 5—5' параллелен участку i—2,
находим напряжения на этом участке:
о = Е (• - <>min) + («W) w-i •	(9-32)
Поскольку на диаграмме деформирования при данном цикле точка
5 не совпадает с точкой 1, петля гистерезиса является разомкнутой.
Следовательно, пластическая деформация при сжатии (еJ^^j,. воз-
возникшая в результате нагрева закрепленного образца, отличается от
пластической деформации при растяжении"(ер)^=1, возникшей в,ре-
в,результате охлаждения образца. Сумма пластических деформаций
при сжатии {и растяжении не равна нулю, т. е.
?р)лм "+ Щм = ^=1.	(9.33)
Кроме тюго,
^el = ©i — е0.	(9.34)
-Из (9.32) при о = 0 определяем деформацию
ax-emin)l-^^ + (l— Х)%. (9.35)
Если обозначить
,Л = A-ЯJ; В = ЧA-Я)8тах-8т}п]-?:^> (9.36)
ТО
в1 = Лео-К?.	(9.37)
.250

При повторном нагреве* и охлаждении¦ справедливы аналогичные
зависимости:
(%m)jv2 О) (W)	(9.38)
(<W W= О - *)'В («mm ~ emax) + W,' +
+ A|-Хр?(8^ах-е?);'	(9-39)
e2 = ^rain + A - Щетах -&Ц!+ A - *)*Ч. (9.40)
Qttq ПИТ
ea = Asi + B=A40+A&+B}.>:.	(9.41)
аналогично
		1 (9.42)
eN = А\ + В (AN~l + AN~2 + • - + А + 1). j
Суммарная величина пластической деформации при нагреве и ох-
охлаждении при любом N-м цикле.с учетом (9.42), (9.38) и (9.40)
определяется по формуле
6N. =-гл - едм = [(I - lJ)N-1 б^=1,	(9.43)
где:
вдг*1 = ^„ + (.2 - X) [A - г) егаах + emin] - Х« ^ . (9.44)
С увеличением числа- циклов абсолютная величина разности
пластической деформации при сжатии и пластической деформации
при растяжении уменьшается; при N = N* в пределе она стре-
стремится к нулю и диаграмма деформирования становится замкну-
замкнутей (рис, 104, б). При дальнейшем знакопеременном тепловом
нагружении наступает стационарный процесс деформирования.
В этом случае величины максимальных и минимальных напряже-
напряжений и остаточной деформации определяются по формулам
= J^ E (8max - emin) + ^ V (9.45)
*N>N- = ТК1 - *) 6-x + *»ln].- ir~, f.	(9-47)
а ^интервалы знакопеременной пластической деформации и	знако-
и	знакопеременных напряжений — по формулам
± (Д«о)^да. = г^ Г(8тах - emin) - ^Tl I	0.48)
- 53- [2 A -*) ^ ^^ + 24]-	(9.49)
254

Если температурный режим и граничные условия таковы, что
выполняется условие (9.236), то данному состоянию соответствует
диаграмма деформирования, представленная на рис. 104, в, В этом
случае
на участке/—2 а = Е(г — 80);	(9,50)
2-3 о = A — I) Е (в — е0) + атХ;	(9,51)
3-4 а = Е (8 - 8max) + (amJNmel.	(9.52)
Напряжения при нагреве до температуры Гтая определяются из
(9.51) заменой 8 на 8тах:
(*minXv=l = 0 - ?) Е (^тах - 8о) + Ч,	(9.53)
а напряжения при охлаждении — из выражения (9,52) при 8 = ет{п:
(^тах)лМ = Е (8miD ~ 8тах) + (?min)/V=l •	(9-54)
Принимая а = 0, из выражения (9,52) находим
8i = ^8тах - ^~? + (! - *) «».	(9,55)
Обозначая
получаем
8l = о + Сб0.	(9.57)
При любом #-м цикле
1 CN
^i^	(9.58)
В состоянии приспособляемости, которое наступит после N цик-
циклов (см. рис, 104, в),
т- е- ^min)i7 = (^max)yv лежат в интервале ±ат. Следовательно,
после определенного числа циклов материал приспособился и при
таких термоциклических нагрузках знакопеременные пластические
деформации не возникают*
Диаграммы деформирования для циклически упрочняющихся
материалов с произвольным упрочнением в условиях кратковременной
знакопеременной пластичности для случая «жесткого» закрепления
252

Рис. 105
образца А (см. рис, 103) при постоянной амплитуде упругопласти-
ческой деформации после нескольких полуциклов теплового нагру-
жения показаны на рис. 105, а [150, 286, 287], При нагреве от 7*min
до Гщах образец испытывает сжатие и деформирование протекает по
кривой 0—i (нулевой полуцикл, т. е, исходная кривая деформиро-
деформирования). При охлаждении от Ттах до Tmin происходит полностью раз-
разгрузка, и при дальнейшем охлаждении образец нагружается напря-
напряжениями обратного знака вследствие предшествующей пластической
деформации. Течение материала в обратном направлении протекает
раньше вследствие известного эффекта Баушингера. Таким образом,
при охлаждении от Ттах до Тт[п деформирование происходит по кри-
кривой 1^-2—3 (восходящая ветвь кривой деформирования, первый по-
полуцикл). При нагреве от Tmin до 71тах деформирование происходит
по кривой 3—4—5 (нисходящая ветвь кривой деформирования, вто-
второй полуцикл). Петля гистерезиса A—*2-^3—4—5) для случая цикли-
циклически упрочняющихся материалов является разомкнутой, так как
пластическая деформация по абсолютной величине в четном и нечет-
нечетном полуциклах неодинакова. Если температура изменяется но за-
закону (см. рис. 103, в), то процесс деформирования протекает согласно
диаграмме, приведенной на рис. 105, б. Поскольку образец закреплен
при Гп
то исходной точкой кривой
является точка 1. При охлаждении от Ттах до Tmin
мируется сначала упруго,
напряжение — деформация
элемент дефор-
а затем пластически (нулевой цикл 1—2).
253

Рис. 106
При нагреве образца от 7\^iri до Ттах деформирование протекает по
кривой 2—3—4 (нисходящая ветвь диаграммы). При охлаждении¦ от
Tmix Д° ^min деформирование .протекает по кривой 4-^5-^6 (восхо-
(восходящая ветвь диаграммы).
Задача определения физических зависимостей, описывающих
действительное поведение материала, в процессе знакопеременной
пластичности, которая возникает вследствие термоциклического на-
гружения, является весьма сложной. Это объясняется, с одной сто-
стороны, криволинейным характером зависимости между напряжени-
напряжениями и деформациями, а с другой — большим числом явлений, воз-
возникающих только после того, как данный материал перейдет в пла-
пластическое состояние. Зависимость между деформациями и напряже-
напряжениями при любом цикле теплового нагружения (при отсутствии вре-
временных факторов и в условиях термоустойчивого состояния) носит
параболический характер [150, 286, 287]. Кроме того, диаграммы
деформирования на определенном этапе разомкнуты. При этом ни-
нисходящая и восходящая ветви петли гистерезиса (рис. Л06, а) при
N-u цикле описываются соответственно следующими уравнениями:
Е„ (t-
{[га - (t -ео)
i — г
{[ea+
254

t&e-EN—модуль .упругости при N-u цикле и средней температуре
Тт--=' тш —^^» 8 —.текущая деформация; еа = ~2 — ампли-
амплитуда деформации * которая при данных условиях постоянна, на
всем протяжении испытания данного образца; rN — характеристика
цикла; 6N— остаточная-деформация при N-м цикле; pN, gN—харак-
gN—характеристики пластичности материала, определяемые из эксперимента,
которые от цикла к циклу изменяются и зависят от физико-механи-
физико-механических характеристик материала и параметров теплового режима.
Интервал изменения напряжений в нечетном и четном полу-
полуциклах iV-ro цикла определяется соответственно по формулам
да<?="> = ENte (l -g Де""-1) ;	(9,63)
Следовательно, при любом N-м цикле интервал изменения напряже-
напряжений в четном полуцикле отличается от интервала изменения нап-ря-
жений в нечетном полуцикле, т. е.
Да^=п)^Да^ш),	(9,65)
Значит, вследствие многократного теплового нагружения интервал
изменения напряжений от полуцикла к полуциклу может возрас-
возрастать (циклически упрочняющийся материал), убывать (циклически
разупрочняющийся материал) и оставаться постоянным (цикличе-
(циклически идеальный материал). Абсолютная величина пластической де-
деформации в четном полуцикле JV-ro цикла отличается не толькрЛ.,зна«
ком, но ипо абсолютной величине:
Dк=п))м^Dтт%-	0,66)
Таким образом* амплитуда пластической деформации в условиях
знакопеременной пластичности может уменьшаться, возрастать или
стабилизироваться.-Поэтому во всех* случаях- после соответствую-
соответствующего накопления повреждаемости материал разрушается.
Для,циклически упрочняющихся; материалов [150, 286, 2)87]
(9,67)

Учитывая, что напряжения являются функцией деформации,
выражения (9.67) и (9.68) запишем в виде
Остаточная деформация при (# + 1)-м цикле определяется по фор-
формуле
Учитывая, что (ев)^+1 = (^d)n *" ^» (^)iv > 6Л" а также прини-
принимая, ч то
запишем (9.71) в виде
6N+l= NJK1B)NJ6*N.	(9.73)
ENdeN
Из (9.71) аналогично получаем
eJ/ = —= = N V	(9«74)
ENdeN
Используя зависимость (9.74), имеем [286J
= _ ¦		——~	o»7#	(9,75)
Формула для определения величины остаточной деформации при Af-м
цикле записывается так:
256

d&*
—1^//—1
(9.76)
где bNsssl *— остаточная деформация после первого цикла нагружения
в условиях знакопеременной пластичности. Полагая, что
= Ед, =
(9.77)
LvbdW ^ф (e n)
de
d&
запишем формулу (9.76) в виде [286]
(9.78)
(9.79)
Величина бд; может быть больше нуля, меньше нуля и равна нулю,
в зависимости от того, является ли исследуемый материал при дан-
данных условиях циклически упрочняющимся, разупрочняющимся
или идеальным.
Анализ механики деформирования исследуемых материалов
показал, что после определенного числа циклов (N = N*) бдг* -* 0«
Тогда
14} U4ft UI U <9-80>
Следовательно, интервал изменения напряжений за цикл — вели-
величина постоянная:
(До<* V = ?л/. Де [l - —
7	L Pn*
(9.81)
В этом случае наступает «внешнее» стационарное состояние, т. е.
такое состояние, когда при последующих циклах нагружения ди-
диаграммы деформирования будут повторяться (рис. 106, б). Послед-
Последние представляют замкнутые петли гистерезиса, описываемые урав-
уравнениями
->• Де
8~У
	S \ I 	 I
^ Де
8 "
1 +гД8
q p-i
7
]•
Де
(9.82)
9 " 1-317
257

Число циклов до наступления стабилизированного состояния зави-
зависит от физико-механических характеристик материала, парамет-
параметров температурного режима и граничных условий.
3. Об оценке предельного числа циклов.
О критериях разрушения материалов
при циклическом нагружении
Число циклов нагружения, при котором наступает разрушение
материала, называется предельным. Зависимость между числом
циклов до разрушения и величиной пластической деформации за
цикл имеет вид [262, 263, 245—248]
8р№ = М,	(9.83)
где 8р — пластическая деформация за цикл; N — число циклов до
разрушения; М, а — константы материала. Уравнение (9.83) при-
принимается как основное для определения предельного числа циклов
при циклическом изменении напряжений в условиях линейного на-
напряженного состояния. При этом предполагается, что пластиче-
пластическая деформация не изменяется от цикла к циклу. Однако такое
допущение справедливо только для циклически стабильных мате-
материалов. В общем случае g увеличением числа циклов пластическая
деформация уменьшается или увеличивается» Поэтому часто зави-
зависимость между чиелом циклов до разрушения и полной деформа-
деформацией за цикл используют в виде
в = MN<> + JL N-ч t	(9,84)
где Mt а, В, у-**постоянные материала, которые определяются
экспериментально по двум испытаниям,
— log(Aa2) t
(9.85)
r logA^-log/V,
В = Aai/V!"T, или В =
а = -
ДаЛ t / Да2\
	-Б- — log I ea	p-\
.. [ АаЛ А7а	л, I Аа
м = \8± ~* пг) ^ или м = (82 —t
Здесь Aai,Acr2 — размах напряжений в цикле на участке стабилиза-
стабилизации соответственно при первом и втором испытаниях; Nu N2 —
число циклов до разрушения соответственно при первом и втором
испытаниях; ех, е2 — деформация за цикл в первом и втором испы-
испытаниях в стабилизированном состоянии. При определении постоян-
постоянных используют зависимости, предложенные Мэнсоном [245—248]:
258

М _ 0.827 ,„
а = 0,52 + 0,25 log [in ^L.]- llog[l - 82(j) (^-f""];
= —0,083 — 0,166 (—д]«
]
Здесь ав — временное сопротивление материала; ав> д — временное
действительное сопротивление материала. Зависимость, позволяю-
позволяющая определить предельное число циклов для пластических мате-
материалов [245—248], имеет вид
8 = 0,5 In
+ ^ ,
(9.87)
где\|? — характеристика пластичности материала при разрыве.
В приведенные зависимости необходимо вводить параметры,
учитывающие частоту нагружения и форму цикла нагружения, т. е.
пластичность и разрушение материалов необходимо рассматривать
в температурно-временной зависимости. Число циклов и время до
разрушения в зависимости от частоты нагружения определяются
по формулам [192, 193]
1
(9.88)
где а, М — параметры малоцикловой усталости; k* -* показатель
степени в уравнении типа v*t = Cv (Cv зависит от исходной плас-
пластичности материала и амплитуды пластической деформации). При v =
"Г
пеРи°Д Дикла)
(9,90)
Результаты исследования упрочняющейся стали с «жестким» на-
гружением при различной длительности цикла и температуре
600° С [192, 193] представлены на рис. 107, а в виде семейства кри-
кривых малоцикловой усталости в координатах полная деформация
за цикл — число циклов до разрушения по параметру длительно-
длительности цикла. Здесь 1 — /ц = 0,5 мин; 2 — 4 мин; 3 — 5 мин; 4 •—
кривая, рассчитанная по уравнению Мэнсона [263]:
9*
259

д
6
4
2
s,
ч»
ч^^^ о
-Лч*
•
*ч.
s
¦v
Ю1
1Q2
103
N
Здесь eB — истинное удлинение в шейке разрыва; ов — предел
прочности; a, (J— параметры материала, зависящие от температу-
температуры. Уравнение (9.91) описывает сопротивление материалов разру*
шению при непрерывном циклическом упругопластическом дефор-
деформировании и характеризует при данной температуре в основном
накопление усталостного повреждения при незначительном нало-
наложении длительного статического повреждения. При увеличении
длительности цикла число циклов при данной амплитуде дефор-
деформаций уменьшается за счет замещения усталостного повреждения
длительным статическим и, естественно, кривая малоцикловой уста-
усталости смещается влево (рис. 107, б). В связи с этим представим урав-
уравнение (9.91) в виде [192,193]
где N — число циклов, определяемое из исходной кривой мало-
малоцикловой усталости; D — накопленное длительное статическое по-
повреждение,
D =
(9,93)
260

Здесь tcr — время до разрушения при непрерывном действии напря-
напряжений; (^ст)экв^"вРемя д0 Разрушения, определяемое по средней за
цикл скорости накопления деформаций при релаксации
? в (а) б,
6ср=	Г
ц
(9.94)
По значению 8ср из результатов обычных испытаний на ползучесть
находится соответствующее эквивалентное напряжение (о)экв и по
данным длительных испытаний — (*ст)экв и (*ц)экв,
(а95)
где 8 (а0) — скорость ползучести в начале выдержки; & (а) — ско-
скорость ползучести как функция от напряжений на данной стадии
релаксации при выдержке в условиях нагружения Q заданной де-
деформацией; б/— отрезки времени релаксации, в пределах которых
а принималось постоянным. На рис. 107, б показано, как кривые
малоцикловой усталости стали ЭИ847 при Т = 600° С в зависи-
зависимости от параметра D смещаются влево.
Аналогично построению по параметру статического поврежде-
повреждения строятся кривые длительной прочности по параметру усталост-
усталостного повреждения. Параметры а, М, k* изменяются в широком диа-
диапазоне. Предполагается, что повреждение при малом числе циклов
изменения напряжений зависит только от определенной части энер-
энергии гистерезиса, а именно от энергии, накопленной за счет пласти-
пластического деформирования. При ограниченной долговечности эта
энергия может быть приравнена полной энергии гистерезиса, так
как при очень больших деформациях неупругая составляющая прене-
пренебрежимо мала. Согласно гипотезе Фелтнера и Морроу [271], разру-
разрушение наступает тогда, когда суммарная энергия, рассеиваемая
в единице объема материала вследствие наличия необратимых пла-
пластических деформаций, достигает определенной критической вели-
величины:
2
(9.96)
где iVp — число циклов до разрушения; WN—энергия, рассеивае-
рассеиваемая в единице объема материала при N-u цикле; W' — критиче-
критическая величина энергии, которая равна энергии разрушения при
статическом разрыве. Энергия пластической деформации при сим-
симметричном цикле определяется по формуле (рис. 108)
г = 2 \ a de,	(9.97)
261

Рис. 108
Рис. 109
а суммарная энергия пластического деформирования за N циклов —•
по формуле
N	ер
(9.98)
В работе [271] изменение ширины петли гистерезиса с увеличением
числа циклов не учитывалось. Принимая
т
(9.99)
причем 8р = Аер; а = ас, и интегрируя, а также предполагая, что
суммарная работа пластической деформации достигает критиче-
критического значения, находим зависимость между амплитудой напряже-
напряжений и числом циклов до разрушения:
lgOa =
кр '
2k
т
(9.100)
Уравнение, полученное на основании критерия (9,96), подтверждено
экспериментально [271].
Мартин [267] предложил энергетический критерий разрушения
материалов при ограниченной долговечности. Он предполагал, что
мерой усталостных повреждений является только энергия, связан-
связанная с процессами упрочнения. Работа, обусловленная упрочнением
(при линейном законе упрочнения), графически показана на
262

рис. 109 в виде заштрихованной площади. Работа повреждения за цикл
[2671 определяется по форм уле
W = ?А8*,	(9,101)
где В — тангенс угла наклона линии упрочнения, а работа повреж-
повреждения за N циклов установившегося режима — по формуле
N
(9.102)
Если принять, что разрушение наступит тогда, когда достигается
некоторая критическая величина повреждения, то циклическая
долговечность может быть определена по формуле (9.102):
NpEAB2p = WKp.	(9.103)
Критическая энергия определяется в предположении, что полная
работа повреждения равна работе, затраченной при статическом
растяжении IAf = —; Д8р=8в1, На основании энергетического
критерия разрушения получаем формулу для определения долговеч-
долговечности материала
которая отличается от формулы Мэнсона — Коффина (9.83) только
правой частью на постоянную величину. Таким образом, предло-
предложенный критерий разрушения материала при малом числе циклов
изменения напряжений, использующий в качестве характеристики
повреждаемости материала ту часть энергии необратимого пласти-
пластического деформирования, которая связана с процессами упрочне-
упрочнения, дает теоретическое обоснование уравнения Мэнсона — Коф-
Коффина, полученного ранее экспериментально. При циклическом теп-
тепловом нагружении так же, как и при циклическом механическом на*
гружении, причинами разрушения материала являются знакопе-
знакопеременные пластические деформации. Однако процессы деформи-
деформирования, а следовательно, и процессы разрушения материалов при
термоциклических нагрузках протекают в более сложных условиях,
чем при циклическом механическом нагружении, Это объясняется
тем, что в условиях термоциклического нагружения процесс дефор-
деформирования протекает при изменяющейся температуре, что вызывает
ряд специфических взаимосвязанных и взаимообусловленных явле-
явлений, трудно поддающихся математическому анализу.
Для оценки поведения пластических материалов при термоцик-
термоциклическом нагружении выбирается число циклов до разрушения.
Каждый цикл можно охарактеризовать одной из следующих вели-
величин: упругопластической или пластической деформацией за полу*
Цикл; напряжением; энергией, рассеиваемой за цикл и определяе-
определяемой площадью петли гистерезиса; энергией, связанной е процессами
упрочнения. Экспериментально установленная зависимость между
263

числом термоциклов до разрушения и энергией за цикл, которая
?x
f
1 >
Ю3
К
s
Sy
s
Ц - -
¦¦¦4;
N
10* N
ч
10'
Рис. 110
L1 dOJ. Эта зависимость' описывается
формулой
NpW=:C.	(9,105)
Для данного материала при данных
температурных условиях суммарная
энергия повреждения, рассеиваемая
в единице объема материала до раз-
разрушения, определяется так:
NG	1
' PN* +
X
= const.
(9.106)
Из уравнения (9.106) находим зависимость числа циклов до разру-
разрушения от величины пластической деформации за цикл:
1—т)
Aep ==
1— т
4 max
— j" bp(T)dT, (9.107)
которая подтверждена экспериментально.
ГЛАВА 10
ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ ТЕОРЕМЫ И УРАВНЕНИЯ
ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ В УСЛОВИЯХ
СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Приведенные в гл. 9 основные свойства упругопластического
деформирования материалов при циклическом ыагружении указы-
указывают на большое их разнообразие. Учесть это разнообразие при по-
построении общих уравнений теории пластичности в условиях слож-
сложного напряженного состояния при циклическом упругопластиче-
ском нагружении практически невозможно [122]. В связи с этим
приняты следующие допущения [122]:
1. Если элемент наружен за пределами упругости до точки М
на диаграмме деформирования (рис. 111), то разгрузка MOXN и по-
последующее повторное нагружение до точки М, соответствующей на-
началу разгрузки, происходит по линейному закону, т. е. вдоль пря-
прямой ОхМ. В действительности, и разгрузка, и повторное нагруже-
нагружение отклоняются от линейного закона.
264

Рис. 111
2.	Принятая прямая разгрузка ОгМ параллельна соответству-
соответствующей прямой упругого нагружения ОВ. Это допущение основыва-
основывается на том, что при упругопластическом циклическом деформиро-
деформировании постоянные материала в
его исходном состоянии не изме-
изменяются.
3.	При повторном нагруже-
нагружении за пределами упругости на-
гружение происходит также, как
в отсутствие разгрузки, т. е. по кри-
кривой ММЪ характеризующей уп-
ругопластические свойства мате-
материала в исходном состоянии.
4.	При знакопеременном на-
гружении до появления пластиче-
пластических деформаций обратного знака
нагружение происходит по пря-
прямой 0lN, параллельной прямой
упругого нагружения. Вследствие
эффекта Баушингера при знако-
знакопеременном нагружении предел
текучести материала имеет мень-
меньшее значение по сравнению с пре-
пределом текучести материала в ис-
исходном состоянии. При повторном
нагружении материал упрочняется и предел текучести повышается.
Таким образом, в зависимости от направления нагружения пре-
пределы текучести принимают различные значения, а следовательно,
будут различными соотношения между напряжениями и дефор-
деформациями. Принятые гипотезы сохраняются при любом цикле мно-
многократного нагружения.
1. Уравнения, описывающие состояние
материала при разгрузке по теории
малых упругопластических деформаций
Пусть тело в естественном состоянии нагружается при первом
нагружении объемными (X(I), FA), ZA)) и поверхностными (Х§\ Y^\
Z^!)) силами. Причем силы таковы, что при нагрузке в теле появ-
появляются области пластических деформаций [122]. Обозначим компо-
компоненты тензора напряжений и тензора деформаций, которые возникли
при нагрузке до момента начала разгрузки, соответственно через
of) и е\1). Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами
вектора перемещений уравнениями Коши:
A) ди{1) A) ди{1) dv{X)
гх = дх ' У*У = ду "*~ ~~дх~
dz '
дх
265
dz

Компоненты тензора напряжений о~^ связаны с компонентами
тензора деформаций г^ шестью физическими уравнениями, которые
по теории малых упругопластических деформаций имеют вид
2
,0)
з 8<;>
где
T0) = _^_ <i).
*У зе'1»^*'
Зе<" 2ДГ '
A0.2)
ОУ> = —т^
ху
A0.3)
С
A0.4)
6 -е^Г+е^+е"»,	A0.5)
причем
(Ю.6)
Кроме того, при нагрузке до момента разгрузки компоненты тензора
деформаций удовлетворяют уравнениям совместности деформаций
дхду
дудг ~~
dzdx
dz2 +
дх* '
дх* '
266

ctydz дх
dx
dy Г д*
=]¦*
dxdz ду\ dx
" dxdy dz дх
dy
ду
dz
*ху
dz
(Ю.8)
а компоненты тензора напряжений — уравнениям равновесия
доа)
от
A)
дх ^ ду
dz
(Ю.9)
и граничным условиям
1 УХ • Г/2
v
V
(Ю.Ю)
После полной разгрузки остаточные напряжения и остаточные де-
деформации определяются с помощью теоремы Ильюшина об упругой
разгрузке. Данная теорема выполняется, если при разгрузке не по-
появляются пластические деформации обратного знака, а упругие
постоянные остаются такими же, как и при нагружении до появле-
появления пластической деформации. Остаточные напряжения и деформа-
деформации вычисляются как разности напряжений of, и деформаций е-'у до
момента разгрузки и некоторых фиктивных напряжений и дефор-
деформаций, которые определяются решением задачи о нагружении дан-
данного тела теми же силами, что и перед началом разгрузки, но в пред-
предположении упругости материала в течение всего нагружения. По-
Поскольку при упругой разгрузке направляющие тензоры напряже-
напряжений и деформаций совпадают, справедливы следующие уравнения
[69]:
е		 2 Oi г / \	fi	л	П 0 1 П
где
oi = 3Gete.	A0.12)
При нагрузке компоненты тензора деформаций можно представить
в виде суммы упругих и пластических составляющих,
267

причем {&f/)e связаны с of) обобщенным законом Гука:
При разгрузке соотношение A0.13) также справедливо. Поскольку
при упругой разгрузке пластическая деформация не изменяется,
т* е* (8if)p ~ Ы?)р а пРотекает только упругий процесс, то ком-
компоненты тензора напряжений o(j связаны с компонентами тензора
упругих деформаций (е^)е обобщенным законом Гука A0,11). При
©том а0 = ЗКе0е. Так как (Е(/)е = eif-^ (е$ — (sf))e) ; 8Ор = е$,
то с учетом A0.14) приведенные уравнения преобразуются к виду
1122]
of/ - atf = % F<»> - в) 8lf + 2G (ef/ - ztj) ,	A0.15)
где а{.у, efy -* текущие компоненты тензора напряжений и тензора
деформаций при разгрузке; а[!Д е^ ~ компоненты напряжений и
деформаций, существовавших перед началом разгрузки. В случае,
когда в процессе разгрузки появляются области пластических дефор-
деформаций обратного знака, уравнения A0.15) в этих областях не вы-
выполняются. Поэтому при разгрузке необходимо ввести новые не ли»
нейные уравнения, связывающие компоненты напряжений и деформа-
деформаций [122].
2. Уравнения, описывающие состояние
материала при циклических нагружениях
Предположим, что задача об определении напряжений, дефор-
деформаций и перемещений как в упругой , так и в пластической областях
при первом нагружении тела объемными (X(l), Y^\ ZA)) и поверх-
поверхностными (Х^, Y§\ Z^) силами с помощью теории малых упруго-
пластических деформаций решена. После полной разгрузки в теле
возникают остаточные напряжения и деформации [122].
При повторном нагружении данного тела системой объемных
(Х("К Yn, Zr)) и поверхностных (Х?>, Y^\z^) сил необходимо
различать два случая. 1. Когда повторное нагружение производится
силами обратного знака по сравнению с силами.при первом нагру-
нагружении (переменное нагружение). 2. Когда повторное нагружение
производится силами того jke знака по отношению к силам при пер-
первом нагружении. В обоих случаях рассматриваем только уравнения
состояния материала (т. е. уравнения связи между компонентами
напряжений и компонентами деформаций), так как все остальные
уравнения сохраняют свою форму и при повторных нагружениях
В первом случае при разгрузке после повторного нагружения
при условии, что вторичные пластические деформации не появля-
появляются, справедливы уравнения связи между компонентами напряже-
268

ний и деформаций A0.15), если заменить в них а^ на о^; в на
на ,П
of/ -о д = I (в'1' _ в'')) 6|/ + 20 (eft>- е<7) . (Ю.16)
Вводя обозначения
(Ю.17)
перепишем уравнения A0,16) в виде [122]
а,7 = XS6{/ + 2Gei/t	A0.18)
При этом
а0=3/С80.	A0.19)
С помощью уравнений A0.18) и A0.19) получаем
65	?- btp0).	A0.20)
Из уравнений A0.20) следует, что при упругой разгрузке и пере-
переменном нагружении до появления пластических деформаций девиа-
тор разности напряжений пропорционален девиатору разности де*
формаций. При появлении пластических деформаций предполага-
предполагается, что направляющий тензор разности напряжений 'o(j совпа^
дает с направляющим тензором разностей деформаций $ц, следова*
тельно, согласно теории малых упругопластических деформаций
уравнения A0.20) можно обобщить [122]:
где
1
at = -— V(px — ву)% + Ej/ — агJ + (аг —
(H
(Т0- 	g	 , 80-	з
269

Интенсивность напряжений а* является в этом случае функцией не
только интенсивности деформаций Ъи но и параметра eil.\ т. е. ин-
интенсивности деформаций при первом нагружении:
Oi=O(eiy в\1)) .	A0.22)
Функция Ф не зависит от вида напряженного состояния и опреде-
определяется из эксперимента при линейном напряженном состоянии.
Предположим, что в условиях линейного напряженного состояния
известна диаграмма растяже-
растяжения при нагрузке О А В и раз-
с. y^R	грузке с последующим сжатием
	^—		BCD [122] (рис. 112). Тогда
согласно зависимостям A0.17)
имеем
Значит, функция Ф определя-
определяется уравнением кривой BCD
в координатных осях о^ и ё*
при условии, что за начало ко-
координат выбирается точка В
начала разгрузки o(l), вA), a
направление координатных
осей обратно направлению ко-
координатных осей о и 8 [122].
Если при разгрузке не возник-
возникли вторичные пластические де-
деформации, то согласно рис. 112
справедлива зависимость
ot = 3Ge$, A0.24)
т. е. уравнение A0.24) совпадает с уравнениями упругого нагруже-
ния A0.20). Если при достижении предела текучести а(")= —ар
появились пластические деформации, то
A0.25)
При этом очевидно, что от
GsT, Следовательно, если тело при
знакопеременном нагружении деформируется пластически, то оста-
остаются справедливыми соотношения A0.21) между компонентами девиа-
тора деформаций, в которых oi является суммой двух функций:
о; = Ф<!> (в/A>) + ФA) [Ii - е^ ] ,	A0.26)
т. е. уравнение A0.26) в данном случае заменит уравнение A0.22)»
Функция Ф по аналогии с функцией ФA) при первом нагружении
имеет вид
A0.27)
270

Таким образом, если задача при первом нагружении решена, то
величина деформации в^ известна. Поскольку уравнения, члены
которых отмечены черточкой сверху, совпадают по написанию с со-
соответствующими уравнениями при первом нагружении, задача об
определении компонент напряжений Oii и деформаций ~ъц сводится
к решению задачи о неоднородной пластической среды в исходном
состоянии [122].
Во втором случае после первой разгрузки появляются области
вторичных пластических деформаций. Предположим, что на тело
действуют объемные (X, У, Z) и поверхностные (XV) Vv, Zv) силы,
которые вызывают соответствующие компоненты напряжений Оц
и деформаций е,-;-. Обозначим компоненты напряжений и деформа-
деформаций, сохранившиеся после предшествующей разгрузки (т. е. удале-
удаления сил Х(/), F('\ Z('> и Х§\ Y^\ Z(VI}) или вызванные предшест-
предшествующим знакопеременным нагружением силами Х(">, Y^\ Zn, Х!^
^v}» ^?» чеРез аГ/ и 8f/' a соответствующие разности—через
а0 —* оР = о0; е0 — 4* == е0.
A0.28)
Если при нагружении в теле не возникли пластические деформации,
то справедливы следующие уравнения [122]:
.e^)^/ + 2G(8//^e<7). (Ю.29)
С учетом обозначений A0.28) уравнения A0.29) имеют вид
Ъц = ШЬЦ + 2Ge//f	A0.30)
или
^/^5o==2G(8i7~8o).
При этом
Gi = 3K&i.	A0.31)
Если при нагружении в теле возникли пластические деформации, то
зависимости между компонентами девиатора напряжений и девиатора
деформаций записываются аналогично уравнениям A0.21):
оц •-• о. -о"о = - ^ \Е(/ "~*^t/^o/ i	A0.32)
где
До появления пластических деформаций при любом значении 8^ 5/=
[122], Функция Ф(е*, 8^) определяется из диаграммы
271

линейного напряженного состояния тела при повторных нагружениях.
Предположим, что кривая DEF на рис. 112 (растяжение—сжатие)
характеризует упругопластические свойства материала при рассмат-
рассматриваемом выгружении, В этом случае
at = a—оп; б* = е — вГ).	A0.34)
Кривая DEF в координатных осях а* и е* характеризует аналити-
аналитическое выражение а* = Ф (е^, sP), Если пластические деформации
появляются при достижении предела текучести о = от, то согласно
A0.34)
При этом ет = ^ .
Приведенные уравнения описывают циклические процессы на-
гружения по одним и тем же прямолинейным траекториям в каж-
каждом цикле.
3. Основные теоремы
циклической пластичности
Теорема о простом нагружении
Данная теорема определяет условия, при выполнении которых
обеспечивается простое нагружение при наличии знакопеременных
пластических деформаций [122].
Предположим, что при первом нагружении тела силами, изме-
изменяющимися пропорционально одному общему параметру,
. уш^соу z«> = x*vzl (I0'35)
осуществляется простое нагружение [69], при котором
о^^ОЦ.. 6f.) = fa)s*,	A0.36)
Принимаем, что
<7<1>=Л(8<1>)т; Зе^>=8(.1)+е</1>+8<г1> = 0, A0.37)
Компоненты напряжений а*;. и деформаций 8*у не зависят
от Я**1* и Р*A), которые по теореме Ильюшина [69] связаны соот-
соотношением
Согласно A0.36) и A0.38)
<**=А (&*Г'> К = &*х+е*+8*=°- A0-39)
272

Компоненты напряжений а*у также удовлетворяют уравнениям рав-
равновесия A.135) и условиям на поверхности A.11), а компоненты де-
деформаций е*у — уравнениям совместности деформаций A.149). Кро-
Кроме того, при первом нагружении справедливы уравнения теории ма-
малых упругопластических деформаций, которые с учетом A0.39>
и A0.36) принимают вид [122]
A0-40>
Снимем внешние силы ХС); Уп; 2(/); x!p; Yjp; Z{^ и будеми
производить процесс знакопеременного нагружения, при котором*
внешние силы Х^\ У*'*; Z*'*; Х^; У^; Z*p будут также изме-
изменяться пропорционально одному общему параметру:
Хп = X*nX*i Yn = Я*(">У*; Zn = 3t*<'> Z*; |
При этом в отличие от первого нагружения Х*^ < 0. В данном?
случае простое нагружение осуществляется при условии, что зави-
зависимость между интенсивностями напряжений сг* и деформаций е*„
а также параметром 8^ аппроксимируется функцией
а; = ? A$f (8(t:))m""/?/,	A0.42>
где А^ Pj — константы; т — показатель степени в уравнении A0.37).
Для доказательства данной теоремы достаточно предположить, что»
компоненты напряжений оО и деформаций 8^ изменяются про-
пропорционально параметрам А,*( * и р**"\ т. е.
ар = Г <%',.; е<?=р'%.	(Ю.43>
причем соотношение, связывающее Х*^ и р*("\ необходимо^
определить.
При выполнении условий A0.41) и A0.43) компоненты напря-
напряжений о$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям равно-
равновесия A.135) и граничным условиям на поверхности A.11), а ком-
компоненты деформаций 8^ — условиям совместности деформаций
A.149); при этом справедливо условие несжимаемости материала.
Из соотношений A0.36) и A0.43) следует, что
(Ю.44>
Соотношения A0,44) удовлетворяют уравнениям A0.21),
273

Уравнения A0.42) при выполнении условия A0.39) будут
удовлетворены, если параметры Х*^ и (З*^ связаны соотношением
1122]
A0.45)
Следовательно, если компоненты напряжений а^ и деформаций ер
удовлетворяют условиям A0.43), то все уравнения, характеризую-
характеризующие знакопеременное нагружение, удовлетворяются. Направляю-
Направляющий тензор напряжений,
о	о
не зависит от параметра %*^\ а направляющий тензор деформаций,
не зависит от параметра р*^ и только при р*^ = 0 изменяет знак
на обратный, а это означает, что в рассматриваемом случае осуще-
осуществляется простое нагружение.
Теоремы о переменном нагружении
Теоремы о переменном нагружении позволяют определить ком-
компоненты напряжений и деформаций при переменных нагружениях,
если известно решение соответствующей задачи при первом нагру-
нагружении тела, находящегося в естественном ненапряженном состоя-
состоянии [122].
Первая теорема. Предположим, что при первом нагружении тела
внешними объемными (Х(/); Y('*; Z(/)) и поверхностными (Х?\* К?\# Z^)
силами в нем возникли напряжения <т^ и деформации ер. При этом
компоненты напряжений o^j удовлетворяют уравнениям равновесия
A.135) и граничным условиям A.11), а компоненты деформаций е^ —
условиям совместности деформаций A.149). Компоненты напряжений
и деформаций связаны уравнениями
ф)	(Ю.46)
где а^ = З/Се^, а(Р = Ф()(еР), причем в области упругой дефор-
деформации ар =3GeP» При знакопеременном нагружении объемными
274

z!p)
силами компо-
компо(X(f); K(W); Z^) и поверхностными (^; ; p)
ненты напряжений o^'J также должны удовлетворять уравнениям
равновесия A.135) и граничным условиям A.11). Используя обозна-
обозначения A0.17), преобразуем уравнения A.135) и A.11) к виду
дт,
со и
dz
от,.
дх ду
A0.47)
ЪХ1 + тхут + %xzn =
A0.48)
%2xl + Tzym + агп = (Zg> -
Tzy
В условиях знакопеременного нагружения справедливы физиче-
физические уравнения A.0.19) — A0.22). Компоненты деформаций в^
также удовлетворяют условиям совместности деформаций A.149).
Для построения функции A0.22) воспользуемся принципом Ма-
зинга, согласно которому функция Ф, характеризующая упруго-
пластические свойства материала, при знакопеременном нагруже-
нии совпадает с функцией Ф^\ характеризующей упругопласти-
ческие свойства материала при первом нагружении. Если масштаб
ар и еО увеличить в а2 раз, то
A0.49),
где а2 — постоянная материала, которая определяется эксперимен-
экспериментально. Наступление текучести материала в его исходном состоянии.
а на плоскости с координатами
. — величинами ат и ет, где
A0.50)
Следовательно, о^ и е^- — это напряжения и деформации, возникаю-
возникающие в упругопластическом теле при первом нагружении силами
При этом предел текучести в а2 раз увеличен. Справедлива теорема
[122], утверждающая, что
275

т. е. что напряжения и деформации при знакопеременном нагруже-
*ши равны разностям напряжений oj) и деформаций е№, существо-
существовавших перед началом разгрузки, и некоторых напряжений оС/- и де-
деформаций г(р полученных при решении задачи об упругопластиче-
ском нагружении тела силами, равными разности сил Х('\ К('\ Z('\
Х^\ Y^\ Z%\ которые приложены перед началом разгрузки, и сил
К^\ Y("\ Z*"*, Х^, Y%\ Zip, которые производят знакоперемен-
знакопеременное нагружение. Величины aif и ~ktj определяются напряжениями
<ity и деформациями е^, которые вычисляются путем замены сил
Х<'\ У<'>, Z<'>, 4°. У?, 4° Разностями Х<'> - Х<*>. К('> - Г(">;
Z"-Z^;Xy-Xy;Yy-Yp;Zp-Zp и предела текучести
<ут величиной а2ат.
Следовательно, если задача об упругопластическом деформиро-
деформировании при первом нагружении решена, то решение задачи о повтор-
повторном знакопеременном нагружении сводится к выполнению обычных
вычислений. Первая теорема о переменном нагружении выполня-
выполняется только тогда, когда при первом нагружении материал выходит
за пределы текучести.
Вторая теорема. Данная теорема [122] позволяет определить
компоненты напряжений и деформаций при новом нагружении упру-
гопластического тела после его разгрузки из состояния, в котором
оно находилось под действием объемных (Х("\ Y^"\ Z^) и поверхност-
поверхностных (Х^\ К?\ Z^) сил. При этом считаем, что объемные и поверх-
поверхностные силы, которыми нагружается данное тело, имеют тот же
знак, что и соответствующие силы Х('\ К(/), Z(/), X^\ к?*, Z*Q
при первом нагружении. Сохраняя обозначения A0.28), убеждаемся,
<?то напряжения Ъц удовлетворяют уравнениям равновесия A.135)
и условиям на поверхности A.11) с внешними силами
Y4-Ypi Zw-Z%>,	¦ A0.52)
-а компоненты деформаций е^ — условиям совместности деформа-
деформадий A.149). При этом компоненты напряжений Оц и деформаций ъц
связаны соотношением A0.32), а интенсивности напряжений 5 г и де-
деформаций et- — соотношением A0.33). Для Ъо и 1б0 справедливо
уравнение A0.31).
Применяя обобщенный принцип Мазинга, представим функ-
функцию Ф(/> в следующем виде [122]:
A0.53)
еде а3 — постоянная материала, определяемая экспериментально.
Сопоставляя все уравнения, которым удовлетворяют компоненты
276

напряжений oif- и деформаций ej;-, с уравнениями, которым удовлет-
удовлетворяют компоненты напряжений аО и деформаций еГ., устанавли-
устанавливаем, что а/;. и е/; — это напряжения и деформации, возникающие
в данном упругопластическом теле при нагружении внешними си-
силами A0.52), При этом предел текучести материала увеличен в as
раз. Тогда, используя соотношения A0.28), находим
Поскольку согласно первой теореме о переменном нагружении off
и еП определяются по формулам A0.51), запишем A0.54) в виде [122]
°Ц = Gtj — *t] + *tfi Н/ e 4? — Hi + Hf	^I0*55)
Соотношения A0.55) определяют вторую теорему о переменном на-
нагружении.
Обе теоремы о переменном нагружении сформулированы и до-
доказаны [122] для упругопластического тела, свойства которого
при циклических нагружениях описываются обобщенным прин-
принципом Мазинга. Однако практически они справедливы и при про-
произвольных кривых*циклического деформирования [122].
Теорема о вторичных пластических деформациях
Данная теорема [121, 122] утверждает, что остаточные напряже-
напряжения of] и остаточные деформации е^.\ сохранившиеся в теле после
упругопластического деформирования объемными (Х*'\ Y*'\ Z^) и по-
поверхностными (Х^\ Y^\ Z^) силами, определяются разностями на-
напряжений oj') и деформаций 8^, существовавших в упругопласти-
упругопластическом теле в момент разгрузки, и некоторых фиктивных величин
о$ и е^\ существующих в некотором фиктивном упругопластиче-
упругопластическом теле при его упругопластическом деформировании внешними си-
силами, которые были приложены к данному телу перед началом раз-
разгрузки:
Предел текучести фиктивного тела в два раза больше рассмат-
рассматриваемого. Действительно, компоненты напряжений of) = о\'} —
— ofj и деформаций zfj = e^j — г\°) при разгрузке в области вто-
вторичных пластических деформаций удовлетворяют уравнениям [ 122]
о п@)
=т ш W - **?№• №
где
277

а в области упругих деформаций — уравнениям
^)-6^0>=2О^7)-^0)>-
При этом напряжения of) удовлетворяют уравнениям
A0.58)
+
dz
— U,
?
A0.59)
A0.60)
Компоненты деформаций е$* удовлетворяют уравнениям совмест-
совместности деформаций A.149). Принимая, что при разгрузке в области
вторичных пластических деформаций упруго пластические свой-
свойства тела определяются принципом Мазинга, согласно которому
для всех материалов а2 = 2, имеем
A0.61)
A0.62)
а в области упругой разгрузки
i	i
Следовательно, of) и г$ — это напряжения и деформации, возни-
возникающие в
жении объемными
упругопластическом теле при упругопластическом нагру-
емными (Хп, Y{'\ Zr)) и поверхностными (Х^, Y%\ Z^)
силами при условии, что предел текучести материала увеличен в два
раза. Компоненты напряжений of) и деформаций &f) определяются
компонентами напряжений o[J и деформаций г^ путем замены в вы-
выражениях для них 0Т на 2ат. По известным компонентам напряже-
напряжений О"Р и of) находят of); аналогично по известным компонентам
деформаций г\') n&jf определяют sf) , Если при разгрузке не появля-
появляются вторичные пластические деформации, данная теорема формули-
формулируется как теорема Ильюшина [69] об упругой разгрузке. Условием
появления вторичных пластических деформаций при разгрузке явля-
является выполнение неравенства
A0,63)
где (а|.0))тах—интенсивность напряжений при упругом нагружении.
278

4. Дифференциальные уравнения равновесия,
выраженные в перемещениях
при переменном нагружении.
Метод последовательных приближений
Известно, что принцип Мазинга не всегда выполняется [122],
особенно в тех случаях, когда при предшествующем нагружении
сохраняются области упругих деформаций. Тогда приходится на-
накладывать соответствующие ограничения на максимальные зна-
значения внешних сил. В этих случаях условия теорем о переменном
нагружении также не выполняются. Необходимо построение новых
методов решения. Рассмотрим один из таких методов.
В любом случае переменного нагружения напряжения и де-
деформации будут определены, если найдены соответствующие вели-
величины Oij и ei}\ Для определения данных величин [122] необходимо
решить задачу о нагружении некоторого упруго пластического тела,
материал которого имеет переменный предел текучести (неоднород-
(неоднородная пластичность). При зн а ко перемен ном нагружении компоненты
девиатора напряжений связаны с компонентами девиатора дефор-
деформаций следующими уравнениями [122]:
1 «ч _ 2 °7 -
0 — О« те — ___	/о	Л о \	/1Л С/1\
ij	*/и0— "о" ~=r \bij и?/ь0/*	AU.O4)
Функцию, связывающую интенсивности напряжений <т^ и деформаций
&{, представим в виде
Ъ{ = 3Ge{ [1-Й (е,, ер)],	A0.65)
При отсутствии пластических деформаций Q (et-, ер) = 0, а при нали-
наличии пластических деформаций
3Get-
00.66)
Если при первом нагружении деформации были упругие, а при пе-
переменном нагружении появились пластические деформации, то
Используя зависимость A0.65), преобразуем уравнения A0.64)
к виду
ц + 2G [ 1 — Q (&., е\')] (г{/ — 6{/е0), A0.68)
или
at7 = KWif + 2G&.. — 2GQ (e~t, e(/}) (et7 — 6f780). A0.68a)
279

Деформации е^.-связаны с перемещениями u, tJ, w уравнениями Коши:
A0.69)
ди .
dv ,
dw .
dz i
Уху
' У
Угх
_ди
=§4
dw
~дх '
-f
где
и = w ' — ик '; и = и ; — uv ; ш = w ' — w *
A0.70)
Подставляя компоненты напряжений Оу в уравнение равновесия
A.135) и заменяя компоненты деформаций e{j. по формулам A0.69)
компонентами вектора перемещения, получаем дифференциальные
уравнения в перемещениях (аналогично уравнениям Ламе):
(Л + G) g + G\7hi + (Хп - Хп) = 2GQX;
дх
(Л + G) 0
(А + G) ^
A0.71)
- Z^>) = 2GQ2t
где
ди , dv
Тх
д
ldv_ i§w
\dz dt
д \Idw , dv
A0.72)
Q2 =
\_dz 3 \ax ' ay ' ozj\)	j
В этом случае граничные условия в перемещениях имеют вид
ди Л , „ (ди , , dv
280

dv
dw .
ди . . dv
l +
vy1
> (Ю.73)
где
dw
ди
du , dv
р
dy~~~3\dx
dx
\dy dz
A0.74)
Следовательно, решение задачи повторного знакопеременного на-
гружения сводится к решению системы дифференциальных урав-
уравнений A0.71), выраженных в перемещениях при граничных усло-
условиях A0.73). Решая эту систему уравнений, находим перемещения
и, v , w, а значит, и искомые решения:
иП = иО —
A0.75)
Система дифференциальных уравнений A0.71) в замкнутом
виде не интегрируется, поэтому для ее решения используют метод
последовательных приближений 1122]. В качестве первого прибли-
приближения принимаем решение системы уравнений A0.71) при
Q (&., dp) = 0, т. е. при отсутствии пластических деформаций
в процессе переменного нагружения. В этом случае разгрузка про-
происходит по упругому закону и справедлива теорема Ильюшина
[69] об упругой разгрузке. Перемещения в первом приближении
?^, уA), w^ должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
A0.71), в которых Qx = Qy = Qz = 0, и граничным условиям A0,73),
в которых Qxv = Qyv = Q2V= 0, вследствие того что Q (ei% ер) == 0.
Зная
v^x\ w^
определяем компоненты деформаций е^-, интен-
интенсивность деформаций et-, а по формуле A0.66) — функцию QC) (et-, ер);
281

затем по формулам A0.72) находим функции Q^, Q^\ Q^\ Q^
Для определения перемещений мB), vB\ шB* во втором приб»
лижении решаем систему дифференциальных уравнений в переме-
перемещениях, которая в данном случае имеет вид
(Л + G) ^ + GV2«<2) + (Хп - Х<"'>) = 2GQ'1);
ОХ	х
(А + G) ^ + GV2aB) + (К("> - К''"') =
(Л + G) ^ + GV%B) + (Z("> - Z <"'>) =
при следующих граничных условиях:
+ a (f? / +f
\ дх 1 ду
^ я)
dz ]
дх
дх
A0.73а)
Тогда искомые перемещения во втором приближении определяются
как разности
) = ЦО _ -B). 0ПB) = VO _ -B).
Решения проводят до тех пор, пока решения т- и (т + 1)-го при-
приближения будут различаться между собой на достаточно малую ве-
величину, т. е. на величину, допускаемую точностью решения задачи*
5. Напряжения и деформации
при многократном нагружении
Используя теоремы о переменном нагружении, можно полу-
получить формулы, позволяющие определить напряжения и деформа-
деформации при любом п-и нагружении [121]. Предположим, что при любом
282

/i-м нагружении внешние силы изменяются пропорционально од-
одному параметру *(п)
; Y(n) = Л*(П)К*- Z(n)= A*(Z
|	4rt) = A*{n)zl A0'77)
Тогда уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений of)
и тензора деформаций ef) при любом n-м нагружении, можно со-
составить аналогично уравнениям A0,56) при переменном нагружении.
Действительно, если при (п — 1)-м нагружении силами X^l)\ Y^n^l);
201-D. X(»*i). jrfri—1). z^i) ВОзникли напряжения а\^1) и де-
деформации е^*1*, то при л-м нагружении справедливы уравнения
[122]
2а(га)
37 ^п) ^Г" ~ W^ A0-78)
где
;а<«) = (-,),(а<Г')-а<«));|
Интенсивность напряжений
3}й)	VC™ fJ + ^'г) ^}2 + (^
+ 6 (f™§ + %<yf + т?>2)
является определенной функцией интенсивности деформаций
и зависит от интенсивности деформаций при (п — 1)-м нагружении,
of^^lef, e^J,	A0.80)
Данная функция при я-м нагружении до появления пластических
деформаций записывается в виде
а[Л> = 3G?jn),	A0.81)
В этом сдучае справедливы также следующие соотношения [122]:
of) = Ав(п)б{/ + 2(Щ>.	A0.82)
283

Добавляя к соотношениям A0.78) — A0.82) уравнения равновесия
и граничные условия, которые соответственно имеют вид [122]
A0.83)
A0.84)
а также условия совместности деформаций, получаем замкнутую
систему уравнений для определения компонент тензора напряжений
о\у и тензора деформаций е^\ Компоненты тензора напряжений
of1) и тензора деформаций
как разности [122]:
при п-м нагружении определяются
A0-85)
Следовательно, еели известны предшествующее напряженное и де«
формированное состояния сг^"* и еЙ*^^, а также компоненты напря-
напряжений о^ и деформаций е^, то по формулам A0,85) можно опре-
определить напряжения и деформации при любом п-м нагружении [121,
122].
Упругопластичеекие свойства материала описываются функ-
функцией A0,80), которая согласно принципу Мазинга при п-м нагру-
нагружении имеет вид
A0.86)
п харак-
харакСогласно
Параметр ап зависит от числа нагружении, а функция
теризует свойство материала при первом нагружении
принципу Мазинга A0.86) компоненты тензора напряжений o{ff
и тензора деформаций "stff представляют собой напряжения и дефор*
мации, которые возникают при первом нагружении упругопласти-
ческого тела силами
( °
при условии, что предел текучести материала увеличен в ап раз.
284

Используя соотношения A0.85) и A0.86), получаем формулы,,
определяющие напряжения и деформации при любом п-и нагруже-
нии через соответствующие компоненты напряжений и деформаций
при первом нагружении. Действительно, поскольку формулы A0.85)
справедливы при любом нагружении, составляя последовательна
аналогичные соотношения для компонент напряжений о(Л\ имеем-
[122]
Складывая левые и правые части, находим [122]
Аналогично получаем выражение и для компонент деформаций:
k=2
При этом 'off и е^ определяются соответственно компонентами на-
напряжений о^) и деформаций е^ путем замены в последних предела
текучести сгт на а&ат и сил Х^\ Y%\ Z%\ X^\ Y*'\ Z^ силами»
определяемыми соотношениями A0.87).
Таким образом, если известны компоненты тензора напряжений
о\] и тензора деформаций е^ при первом нагружении, то по фор-
формулам A0.88) и A0.89) можно определить компоненты тензора на-
напряжений of1) и тензора деформаций 8^ при любом n-м нагру-
нагружении.
6. Поведение упругопластических тел
при многократном нагружении. Приспособляемость.
Теоремы приспособляемости
При многократных нагружениях элементов конструкций за
пределами упругости различают три основных вида деформиро-
деформирования [121, 122]:
1)	знакопеременная пластическая деформация;
2)	одностороннее нарастание пластической деформации;
3)	прекращение роста пластических деформаций после первого
или нескольких начальных циклов нагружения.
При знакопеременной пластической деформации (см. гл. 9) раз-
разрушение наступает обычно в результате малоцикловой усталости.
Неограниченное нарастание пластической деформации одного знака,,
как правило, ведет к нарушению условий эксплуатации конструк-
285

ции, а следовательно, к исчерпанию пластических свойств и в ко-
конечном итоге к разрушению. В том случае когда после первого или
нескольких циклов нагружения прекращается рост пластических
деформаций, при дальнейшем многократном нагружении мате-
материал переходит в чисто упругое состояние. Значит, конструкция
приспособилась к повторным нагружениям. Возникает задача об
определении тех максимальных интервалов изменения внешних
нагрузок, при которых возможна приспособляемость конструкции*
Для ее решения необходим анализ упругопластического состояния
рассматриваемого тела. Такой анализ можно осуществить лишь
для простых задач; для более сложных задач он затруднителен.
Теоремы приспособляемости, предложенные Койтером 181] и Ме-
ланом [269], устраняют эту трудность,так как на основании указан-
указанных теорем можно найти нижнюю и верхнюю границы внешних
сил, при которых наступает приспособляемость. При этом необхо-
необходимость анализа упругопластического состояния тела отпадает. Тре-
Требуется только упругое решение данной задачи.
Статическая теорема приспособляемости
(теорема Мелана)
Предположим, что тело, материал которого обладает идеально
упругопластическими свойствами, подвергается воздействию объем-
объемных (ХУ У, Z) и поверхностных (Xv, Yv, Zv) сил, изменяющихся мед-
медленно со временем в любой последовательности в определенных
пределах. Возникшие в рассматриваемом теле напряжения Оц и де-
деформации гц можно определить, если известна история нагруже-
ния. Остаточные напряжения а^ и остаточные деформации е^\ по-
появившиеся в теле после полной разгрузки, при отсутствии пластиче-
пластических вторичных деформаций вычисляются как разности:
где of) и ef)—фиктивные напряжения и деформации, т» е, напря-
напряжения и деформации в идеально упругом теле.
Теорема Мелана утверждает, что в состоянии приспособляемо-
приспособляемости всегда можно найти систему самоуравновешенных напряжений
сijf причем такую, что сумма напряжений
«е зависящих от программы нагружения, вызывает в каждой точке
упругопластического тела только упругое поведение материала
при любых комбинациях нагрузки, изменяемой в определенном ин-
интервале. При данных нагрузках данное упругопластическое тело
приспособляется к некоторому состоянию, в общем случае отлич-
отличному от состояния о,у Тогда при последующих нагрузках пластиче*
ские деформации остаются неизменными,
286

Рассмотрим упругую фиктивную энергию, соответствующую раз-
разности напряжений а\) — а/;.:
(V)
где (&fj)e и (&ij)e — упругие деформации, которые связаны с напряже*
ниями <уУ и otj однородными зависимостями закона Гука. Так как
величины o?j и (г1])е не зависят от времени, то
Ш __
dt ~~
(V) ij
Учитывая, что пластические составляющие (8^)р действительных е^
и остаточных zf) деформаций совпадают, находим &f) = (г$)е +
+ (et/)P> значит,
(в$ь = 4/- - (8^Р=%и - lf} - <8//>р- A0-94>
Используя соотношение A0,94), зависимость A0.93) запишем в виде-
[122]
dT(V) и
Разности напряжений of} — о{/- удовлетворяют уравнениям равно-
равновесия с нулевыми внешними силами, а разности деформаций (г^ —
— 8?.) — условиям неразрывности деформаций. Поэтому
Тогда из A0.95) следует, что
ЯГ
И
Согласно постулату Дракера для идеально упругопластического тела
имеем
Отеюда с учетом A0.90) и A0.91) получаем
#^/>^>°. A0-99>
287

Таким образом, тг <Г 0, т. е. при изменении пластических
/деформаций производная энергия всегда отрицательна, хотя вели-
величина П никогда не бывает отрицательной. Следовательно, в опреде-
определенный момент процесс изменения пластических деформаций дол-
должен прекратиться. В этом случае упругопластическая система при-
приспособится к упругому поведению.
Статическая теорема приспособляемости не дает ответа на воп-
фос, после какого числа циклов наступит приспособляемость и ка-
гкие пластические деформации возникают в опасных точках идеально
упругопластического тела до наступления приспособляемости. Она
•используется лишь для определения нижних границ допустимых
•изменений циклических нагрузок путем выбора самоуравновешен-
шых напряжений at/- [122].
Теорему Мелана иногда называют теоремой Блейха — Мелана.
Кинематическая теорема приспособляемости
(теорема Койтера)
Теорема Койтера утверждает, что приспособляемость упруго-
шластической системы никогда не наступит вплоть до разрушения,
если можно найти допустимый цикл скорости пластических деформа-
d (еФ)
щий (?^)р = — // Р и соответствующую программу изменения
-внешних нагрузок Rt (О, Р{ @ в заданных пределах, для которого
выполняется следующее условие:
i (V)	i (S)	о	Ц (V)
A0.100)
"И обратное утверждение: приспособляемость наступает всегда, если
щри всех допустимых циклах скоростей пластической деформации
—bJ-JL == A^)р и любых внешних нагрузках Rc(t), P{(t), задан-
заданных в определенных пределах, можно найти такое число &< 1, при
гкотором выполняется следующее условие:
Пр SI R<Vi°dv+S1р '°'Нdt < k\dt S1 ач Щ/г2 dv-
0	i (V)	i (S)	0	i (V)
A0.101)
Таким образом, при выполнении условия A0.101) система после
определенного числа циклов всегда приспособится и при дальней-
дальнейших циклах нагружения будет работать как упругая.
Кинематическая теорема приспособляемости используется для
определения верхних границ допустимых изменений циклических
^нагрузок.
288

ГЛАВА 11
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
1. Упругопластический изгиб
прямого бруса под действием
циклически изменяющегося момента
Задача об упругопластическом деформировании бруса прямо-
прямоугольного сечения при циклическом изгибе в одной из плоскостей
симметрии [122] решается при условии справедливости гипотезы
плоских сечений и несжимаемости материала. Предположим, что
при любом п-и нагружении за пределами упругости упругопласти-
ческие свойства материала бруса описываются уравнением [122]
где
A1.1)
t?
Величины J}n\ t%\ tf? являются функциями числа нагружении п и
определяются из эксперимента. Изгибающий момент при любом
П'М нагружении записывается в виде
А/2
вй==^Mе»в5'	(".2)
1
где Ь — ширина сечения; h — высота сечения; —т- — кривизна
изогнутой центральной оси бруса при п-м полуцикле; ут — пара-
параметр, определяющий границу раздела областей упругой и пласти-
пластической деформаций при первом нагружении.
Для первого нагружения уравнение A1.2) с учетом A1.1) при-
принимает вид [122]
EIx	h	)
при ут<^.
Принимая безразмерные величины изгибающего момента и кривизны
алНп) M{n)h 1	h	, Ь№	/м .v
м»ю - -щп • 7^= W<гд *="и1' A1>4)
10 1-317	289

запишем уравнение A1,3) таким образом:
1	...,„ 1
Р	'	(И.5)
•/')	1
где AV —относительный момент; ——	относительная кривиз-
Р i
на. Из приведенных уравнений видно, что появление пластических
деформаций наступит при Л1*(/)= 1; „,, = lt В процессе раз-
Р
грузки находим [122]
р * ' р
—¦п 1
Здесь Мх[ ' и —^тг	относительный момент и относительная
Р ()
кривизна при чисто упругом нагружении, причем М*^ = -^ф ^
Р ( )#
Тогда М*(/) = М*(/) — | , — ^^ |, После полной разгрузки
\Р 1 9 1
имеем М*}'^ — 0. Остаточная относительная кривизна - - опреде-
*	р О
ляется по формуле [122]
или с учетом второго соотношения A1.5)
Вторичные пластические деформации при полной разгрузке М^^ ' = 0
появляются, когда М*х^ > 2 или, с учетом A1.6), когда
Из данного соотношения следует, что при К = 1 (материал не обла-
обладает упрочнением) в брусе не могут возникнуть вторичные пластиче-
пластические деформации. При меньшем значении Я (материал обладает
значительным упрочнением) остаточные напряжения, сохранивши-
сохранившиеся в брусе после упругопластического изгиба, превосходят предел
текучести и возникают вторичные пластические деформации; сле-
следовательно, при повторных нагружениях изгибающим моментом,
изменяющимся по закону пульсирующих циклов, будет происхо-
происходить циклическое изменение пластических деформаций.
290

Уравнения связи между напряжениями и деформациями при
любом нагружении можно представить в виде [122]
(tl)	л-СЯ"*^)	T? /о(Я)	о(^*^1)\	ппп /, ^ *,(^)-
0V ' — 0	== Lj \о -"- Ь	^	При I/ -^ у
(к) (м--1)	/ i\(^"!^i) ^зГ^"~*^)/ г | _
+ 5С(П)/Л) aT + E (A — X(fl)) 8(n) — A —
_^(«—l))8(n—Dj	при^>у'.')> .
где
(П.9)
¦.A1.10)
Здесь а« = _
_
определяет границу раздела областей уп-
упругих и пластических деформаций при п-м нагружении. Относитель-
Относительный изгибающий момент при любом л-м нагружении с учетов A1.2),
A1.9) и (И.4) находим по формулам [122]
7<TnpH7w
где
Рт1; У
A1.11)
A1.12)
Верхний знак в неравенствах принимается при нечетных /г, а ниж-
нижний —при четных п\ величины с нулевым индексом равны нулю. Фор-
Формулы A1.11) выражают зависимость относительного изгибающего
момента М*х{п) от относительной кривизны-— при любом /г-м
10*
291

нагружении. Остаточная относительная кривизна —(лу » сохранив*
шаяся после п-й разгрузки, определяется по формулам [122]
х
Если при я-м цикле нагружения упругопластические свойства
материала подчиняются обобщенному принципу Мазинга, а при пер-
первом нагружении материал обладает линейным упрочнением, то из
выражения A1.11), согласно теореме о повторных нагружениях,
получаем [122]
п >+A A
1 \2
где
Рт	Рт
Зависимости A1.14) определяют величину относительного изгибаю-
изгибающего момента М*(п), при котором для любого /г-го нагружения спра*
ведливо равенство ,tnX = (—l)n~~l ——
—
^j- , Действительно, из A1.14)
находим [122]
-1) 2 -
(-1)" y | (/„_!
о"-14 х
1.15)
292

Данное выражение справедливо при любом я, поэтому, суммируя,
имеем
i=2
(П. 16)
Здесь fj —функция числа нагружений. Для идеального материала
t.==l. Тогда [122]
- г) [1 + {-\f] - А я
A1.17)
Отсюда, с учетом формул A1.5), следует, что при любом п М*(п)==
= (—1)Л-М*(/). Рассмотрим упругопластический изгиб бруса при
многократном знакопеременном нагружений изгибающим моментом
М*х{п) =(-1)я-1Л1*п#
Предположим, что при первом нагружений M*J') в крайних во-
локнах бруса достигаются максимальные напряжения а . Если
данный брус испытывает некоторое число симметричных циклов на-
нагружений изгибающим моментом М^п\ то такое же напряжение
атах достигается при | М*х{п) |< М*хп. Чем больше число иагруже*
ний, тем меньше \М*{п)\. Из формулы A1,1) при нечетных п сле-
следует [122]
Grna^ _ ^(л—1)Лтах) _/! _ Г(Д—1
аТ	Al-1 v
A1.18)
где ^max) = ^° + -—у-1%\ Выразим относительную кривизну
(л— 1)-го полуцикла нагружения ¦ ,(/г_1) через -— из A1.18),
тогда из уравнения A1.11) при Кп ^ Х(/г""!) найдем зависимость из«
гибающего момента от числа нагружений [122];
293

Величины amax и	определяются из A1.18) при п — \:
Р ()
^ = F> + (l-X<'>)-i-	A1.20)
По формуле A1.19) для данного значения отах можно построить
графики изменения относительного изгибающего момента М*^
в зависимости от числа нагружений.
Максимальное напряжение о~тах, возникающее в брусе после
значительного числа симметричных знакопеременных нагружений
Изгибающим моментом М^'\ согласно теореме о предельном состоя-
состоянии [122], определяется так:
Отах = К>ах + A-Р)<)ах-	(И.21)
Поскольку при решении данной задачи
находим [122]
<W = К р + (J ~ Х) -То] + 0 - Р) «'
или
?	г—.	(И.23а)
Здесь
МУ^Ц-Ц-^+^-ЩР?.	A1.24)
При малых значениях р(см. A1.23а)) напряжение атах может пре-
превосходить по величине напряжение о^ах» возникшее при первом на-
нагружений.
2. Упругопластическое кручение стержня
под действием циклически изменяющегося
крутящего момента
Задача об упругопластическом деформировании стержня круг-
круглого поперечного сечения под действием циклически изменяюще-
изменяющегося крутящего момента [122] решается аналогично задаче об упру-
упругопластическом деформировании стержня при циклическом изгибе.
Предположим, что в области пластических деформаций касательные
294

напряжения %(п) и деформации сдвига у(п) связаны соотношением
1122]
т<"> = (— 1)п^<п>тт^ + GA- l{n)) V(n),	A1.25)
ГДе tn = ty ^	tjp, причем № = 1; tip = 0, Введем безразмер-
безразмерные величины крутящего момента и углы закручивания!
где Л^п) и 0(rt)—крутящий момент и угол закручивания при я-м
нагружении; тт, 7Т—величины, характеризующие предел текучести
при чистом сдвиге; R — радиус поперечного сечения. Зависимость
между M*z^ и ф**') при первом нагружении имеет вид
г	L
1
3
при
при
>1.
'27)
Используя соотношения A1.25) и A1,26), из уравнения равновесия
R
= 2я f T("Vd/- находим зависимость между /И*"" и d*(fI) | 122]г
oJ
= уи*<п-1) _ (дЧп-П _ d»(n)) при $*(п) ^ д'(п).
X "^Г
при
A1.28)
где
= а
A1.29)
В формулах A1.28) верхний знак в неравенствах принимается при
нечетных /г, а нижний — при четных п.
Уравнение A1.29) справедливо при следующем условии: при
л-м нагружении радиус окружности г^\ разделяющей области
295

упругих и пластических деформаций, определяется из соотноше-
соотношения [122]
Зависимость относительного крутящего момента M*^nJ от числа по-
полуциклов нагружения п при условии, что в процессе каждого на-
гружения значение максимального касательного напряжения ттах
будет постоянным, имеет вид [122]
М4п) = ^ (fn , fh , ^шах
Параметры t%\ t*p, ^'2-1^—l являются функциями числа полуциклов
нагружений л, а величины tmax и <01*О связаны соотношением
которое получаем из A1.25) при п = 1. Используя формулу A1.31),
можно построить график изменения относительного крутящего мо-
момента от полуцикла к полуциклу при данном значении ттах.
В предельном состоянии, когда после определенного числа цик-
циклических нагружений относительным крутящим моментом M*z на-
пряженное и деформированное состояния после каждого нагруже-
нагружения повторяются, согласно теореме о предельном состоянии [122],
Tmax=PT<;>ax + (l-P)M;V	(П.33)
Поскольку в данном случае
ТО
где
= К 1^П + t1 -
0 - Р)
1.34)
(П-36)
Выражая $*^ через т|^ах по формуле A1.34), из второго уравне-
уравнения A1,27) имеем
1 —
-С)
'max
A1.37)
296

Определяя д*(/) из формулы A1.35) и используя зависимость A1.36) f
находим [122]
Решая уравнения A1.37) и A1.38) при тшах = х^ах, получаем
М* = M*z (M*z^). Данная зависимость связывает относительный кру-
крутящий момент при первом нагружении М*^\ при котором возникает
максимальное касательное напряжение т^ах, и относительный кру-
крутящий момент Л4*, при котором тоже возникает максимальное каса-
касательное напряжение, но после значительного числа циклических
нагружении.
3. Упругопластическое деформирование полого
толстостенного цилиндра при циклическом
нагружении внутренним давлением
Задача об упругопластическом деформировании полого толсто-
толстостенного цилиндра при циклическом нагружении внутренним дав-
давлением решается при условии несжимаемости материала, обладаю-
обладающего линейным упрочнением [122]. Если при полной разгрузке после
первого нагружения давлением р^ в стенках цилиндра появились
вторичные пластические деформации, то при повторном нагруже-
нагружении давлением р^ = р^ напряжения и деформации совпадают
с напряжениями и деформациями, которые возникли при первом
нагружении. В случае повторного нагружения цилиндра при р^ >
> p(f) он будет вести себя так, как если бы не было разгрузки.
Поэтому задача о повторном нагружении решается для случая
наличия перед началом разгрузки вторичных пластических дефор-
деформаций [122]. Прежде всего определим вторичные пластические де-
деформации, возникающие в полом толстостенном цилиндре при раз-
разгрузке после первого нагружения внутренним давлением р^'\ Задача
об "определении вторичных пластических деформаций решается при
условии, что осевая деформация ер = 0, а также при условии, что
8Р +е(8)==0 [ 122]. В этом случае радиальное перемещение при
первом нагружении и^ = — , где Ср — произвольная постоянная.
Используя геометрические уравнения, запишем выражения для
деформаций ъ*р и е^ и интенсивности деформаций г\ * при первом
нагружении:
297

Физические уравнения по теории малых упругопластических де-
деформаций для рассматриваемого случая имеют вид
A1,40)
Для материала, обладающего линейным упрочнением, справедливо
выражение [122]
где
Подставляя выражение A1.41) в условие равновесия и выполняя
интегрирование, находим [122]
а<9'> - с*') = DL Яат + 4G (I -1) ~^'l sign C<'>, A1.41)
A1.42)
Определяя постоянные С^ и Cty из граничных условий на внут-
внутренней и внешней поверхностях цилиндра,
при г = гf 0J.' = — Р \
при г = г2 ар = О,
и предполагая, что область пластической деформации полностью
охватила стенки цилиндра гх = г2, получаем
2%от I	2кот г\ г\
ЧП.43)
В этом случае signC^ = 1;
w>	1
\-%JQ r<->
A1.45)
При выполнении условия A1.45) область пластической деформации
распространяется по всей толщине цилиндра и напряжения вычис-
298

ляются по формулам A1.43). Если в цилиндре под действием давле*
ния pi') сохраняются области упругих деформаций, то в области
пластической деформации (гг <: г < гт) напряжения и деформации,
определяются соответственно по формулам [122]
f (П.46)
где /"т ^ радиус цилиндрической поверхности, разделяющей эти
области, который .определяется из уравнения [122]
°r
/a"
~/3
+
—
r2
r2
2
r2
Г2
*
Напряжения в области упругой деформации (/"т< г <$/-2) определя-
определяются по формулам
A1.49)
Поскольку интенсивность напряжений о{ принимает наибольшее
значение на внутренней поверхности цилиндра, то при разгрузке
на этой поверхности могут возникать вторичные пластические дефор-
деформации. Поэтому при разгрузке, т. е. при уменьшении давления рО
до искомого значения р{'\ происходит упругая разгрузка, а начи«
ная с некоторого значения давления ]?<'> появляется область вто«
ричных^пластических деформаций, которая при изменении давле-
давления от р(/) до нуля распространяется от внутренней поверхности
до некоторой цилиндрической поверхности с радиусом г— г [122]в
Условие появления пластических деформаций на внутренней
поверхности цилиндра при первом нагружении имеет вид
о*, л —/
A1.50)
299

а условие появления пластических деформаций при полной рад*
грузке —вид [122]
A1.51)
Согласно теореме о вторичных пластических деформациях, ос-
остаточные напряжения определяются [122] следующим образом: при
г2 2г2 4ат
г2 __ г2 г2 |/з v	r2
2 1
при л0 < г < г2
г*-г* г2
X
2 Г1
> A1.52)
-? X
2Ха
2 /2
Г . /Г,
г\ г>'
ЧП.53)
где ар и а^ —напряжения, определяемые формулами A1.43) для
случая полной пластичности; а?0) и а^ *- фиктивные напряжения,
которые в нашем случае с учетом формул A1.46) и A1.49) опреде-
определяются таким образом [122]:
при ri <. г <: г0
A1.54)
300

при rQ < г < r$
A1.55)
Радиус г0 границы области вторичных пластических деформа-
деформаций определяется из уравнения A1.48) заменой от на 2от. Зависи-
V
у
/
№•2
Q8 10
12 14 &Bz
Рис. 113
Рис. 114
мость величины зоны вторичных пластических деформаций г^1гг
в толстостенной трубе от величины внутреннего давления —^-—
для различных значений отношения rjrx при к = 0,9 приведена
на рис. 113 [122]. Распределение остаточных напряжений в полом
толстостенном цилиндре при r2lrx = 3,5 показано на рис. 114 (кри-
(кривые 2, 3) [122]. Напряжение о^ (кривая 2) не принимает максималь-
максимальные значения на внутренней поверхности цилиндра, как это следует
из теоремы об упругой разгрузке (кривая /).
При повторном нагружении цилиндра давлением р^ напря-
напряжения, согласно второй теореме о переменном нагружении, запи-
записываются в виде [122]
A1.56)
где о^\ о"д'\ ар — компоненты напряжений, которые вычисляются
по формулам A1.43) и A1,46) при наличии области упругой дефор-
деформации; аг, а6, gz — компоненты напряжений, которые совпадают
в данном случае с напряжениями of\ a(e0), of\ определяемыми по
301

формулам A1.54) и A1.55); о>, а0, Ъг «- компоненты напряжений,
которые определяются по формулам A1.46) и A1.49) при замене
рп на /?(*\ а следовательно, ат на (t2 + t3) ат. Для циклически
упрочняющегося материала t3 > t2. В этом случае при р* * < р*')
(/-р < г0 (гр ^ радиус границы, разделяющей области упругой и
пластической деформаций при повторном нагружении). Тогда при
условии A1.45) по толщине цилиндра необходимо различать три
области, в каждой из которых выражения для напряжений ар, а^,
ар будут различными.
Если давление //"* таково, что rj * > rj, то при г-^^г <: г("*
напряжения аг, аб, а2 определяются формулами A1.54) заменой в
них 2ат на (l + t2)eT, а напряжения Jr, 50, ag -«• формулами A1.46)^
заменой в них р*^ на /7^, ат на (/3 + ^2) °"т и гт на ''Р* После со-
соответствующих преобразований формулы A1*56) имеют вид [122]
X j—± 1$+y^or ——L ^ l(t3 +12) (r<?)*~ A + h) r\].
1	*	A1.57)
Выражения для о(р и op находят таким же образом. При И'* <
</•< г0 напряжения аг, аб, а2 определяются по-прежнему форму-
формулами A1.54) заменой в них 2ат на A +/2)°^ а напряжения аг, а0,
Ъг — формулами A1.49) заменой в них ат на (/3 + ^) ат и Лт на
гр. Тогда после соответствующих преобразований формулы A1.56)
при /"Р </-</•() имеют вид [122]
Аналогично записываются выражения для а^ и о*р. При г0 < /• <2
<г2 напряжения аг, а0, ог определяются формулами A1.55), а
напряжения аг, ае, аг — формулами A1.49) с указанной выше за-
заменой. Тогда после соответствующих преобразований формулы A1,56)
при го</-</*2 имеют вид [122]
302

2 2
, г— 1П T"~ I X
*^*+7?^l(I+^-<''+«4rJ' A1>59)
Выражения для a6' и a** получаются аналогичным путем. Радиус
''находим из уравнения [122]
X
A1.60)
полученного заменой в уравнении A1.48) гт на г%'\ р^ на р^ и ат
на (/3 + t2) aT. В циклически упрочняющемся материале с увели-
увеличением числа нагружений при давлении р(/) область пластических
деформаций уменьшается, т. е. rffl -> гх.
Обозначим число повторных нагружений, при котором r$* = rlt
через Л^. Тогда начиная с Л/-го нагружения в стенках цилиндра
пластические деформации не возникают, а напряженное и деформи-
деформированное состояния при каждом последующем нагружений повто-
повторяются, т. е. наступает предельное состояние. Число нагружений
~N, соответствующее предельному состоянию, при заданных значе-
значениях р*'\ от, rj, o2 определяется из уравнения [122]
2 2
полученного заменой в уравнении A1.60) р(/) на р^'\ t2 на ^v-*2#
г*'* на rlt ^з на *2#—1« ^3 УРавнения (П.61) при заданных значе-
значениях р('\ ат, гь г2 определяем число нагружений N, начиная с ко-
которого в цилиндре наступит предельное состояние. Напряжения в
предельном состоянии при произвольном N > N нагружений запи-
записываются в виде [122]
2N— 1
2W-1
k=2
2N—\
(H.62)
303

Здесь of\ a[k\ oBk) определяются формулами A1.46) и A1.49) за-
заменой в них ат на (tk + tk_x) Gj. Для примера найдем напряжение
ctq^, которое возникло на внутренней поверхности трубы после N
нагружений. Используя первое уравнение A1.62) с учетом A1.46)
и заменяя в последних уравнениях A1.62) ат на (tk-\-tk__l) aT, при
г = гг получаем
A1.63)
где — определяется из уравнения
при
A1.64)
'•(?)¦-[(?)¦-]¦
Поскольку величина г^/гг всегда значительно меньше отношения
r2//"i, вычисляя по методу наименьших квадратов С = 0,755, находим
A1.65)
О-г ] — -Ч —
Учитывая, что
1— i — 0,245Л
2Л/—1
а также, что для больших значений N t2N_2 — ^2W— I» из A1.61)
имеем
D
(и.66)
304

2(J
—=. 2 2 2 — давление, которое необходимо приложить*
чтобы после его удаления на поверхности цилиндра возникли вто-
вторичные пластические деформации. Тогда выражение A1.63) для оп-
определения напряжений а^ на внутренней поверхности цилиндра.
в предельном состоянии запишется в виде [122]
A1.67)
4. Упругопластическое деформирование
полого шара при циклическом изменении
внутреннего давления
Задача об упругопластическом деформировании полого шара
G внутренним гг и наружным г2 радиусами, находящегося под дей-
действием циклически изменяющегося внутреннего давления р, реша-
решается при условии несжимаемости материала, а также при условии*
что материал обладает линейным упрочнением [122]. Сначала опре-
определим параметры напряженного и деформированного состояний
толстостенного шара радиусами гг и г2, находящегося под действием
первоначального нагружения р^'К Обозначим радиальное переме-
перемещение при первом нагружении и^ = ul'\r). Тогда
e(')=^2. 8<'> = —• 8 =8- f =е-
Вследствие несжимаемости материала находим
^Г + ~-=0.	(П.68>
После интегрирования определяем перемещение и^ = —%-, а следск
вательно, и деформации:
вр = _ ?С_ ; гО = ^ ; е}') = ^- .	A1.69)
Интегрируя уравнение равновесия
do 2
dr ~^~ 7" 'ai "" a2 ' ~" '
305

с учетом того, что of — а ^ = Ф('* I —— 1, получаем
of = С + 2 j 1 ФС) ^) dr.	A1.70)
Поскольку при г = гг ар = —* //'*,
имеем
-г—
(И .71)
Постоянная С(* определяется из следующего условия:
при т — г2, о*'* = 0
р 2 J 7'
A1.72)
Напряжения, деформации и перемещения находим по формулам
A1.69)—A1.71).
Остаточные напряжения и деформации, возникающие после сня-
снятия нагрузки рО с учетом вторичных пластических деформаций,
определяем, полагая, что
при гт < /- <: г2
при лх <: г <: гт
A1.73)
С учетом A1.73) при г = г2 из выражения A1.71) находим [122J
в области упругих деформаций (гт < г < г2)
A1.74)
A1.75)
Постоянная С(/) определяется из условия, что при г = гт г^р = ет,
стредельный радиус гт — из условия равенства напряжений при г =
= гт. Тогда при гх < г < гт
-в области пластических деформаций (гг <. г <• /*т)
3
In — + 4GCr)
306

„(') =
~_ рС)
¦ lnf + -?(l-X)v
r3 г* '
/г
8 - 8А
A1,76>
при г <: г < г2
Радиус сферы гт, разделяющей области упругой и пластической де-
деформаций, вычисляем из уравнения [122]
зз	_	з з „ч
Если область пластической деформации распространилась на весь,
шар (гт — г2)у то
з з
in i-
1
г3—г3 &
2 t
e =	L~- (рП ~ 2 4 In TA -Д, f
8 40 A-Я) V	T /-i/r23-/-l3\''
Согласно теореме о повторном пластическом нагружении, выраже-
выражения для остаточных напряжений, а следовательно, и остаточных,
деформаций при условии, что перед началом разгрузки шар нахо--
дился полностью в пластическом состоянии, имеют вид
(П<80)'
Напряжения (И'*, о^ и деформации е^ и е^ определяются по фор-
формулам A1.79), а напряжения о^°\ о^ и деформации е^, е^0) &•
307

области вторичных пластических деформаций {гг </-<г0)—по фор»
мулам [122]
41ат Ю ? + | <1 -
= а^> + 2 Хат + 2A- Л) ат(?»);
8* ' = J
> (Н.81)
которые получаются из формул A1.76) заменой ат на 2 ат, г на
г0. При
A1.82)
Формулы A1.82) получаются из A1.77) заменой ат на 2от, гт на г0#
Радиус г0 определяется из урав-
уравнения [122]
п /
0
-0,8
-16
I
\
/
(
?
t,
X
/
8 2,
0 Ъ
&*
?r/r,
4а.
^ = 0.A1.83)
Принимая г0 = гь находим дав-
давление р(/), при котором появля-
появляются вторичные пластические
деформации [122]:
з	 з
pO>±arS-s^. A1.84)
6
Рис. 115
В качестве примера на рис. 115
[122] приведено распределение
кольцевых остаточных напряжений о^/от в полом толстостенном
шаре в зависимости от г!гх при г2/г^ = 2,5; р^ = 2,227ат; X = 0,95
(/—распределение остаточных напряжений, вычисленных по теореме
об упругой разгрузке; 2 — распределение остаточных напряже-
напряжений при* наличии вторичных пластических деформаций).
Напряжения, возникшие в стенках шара при произвольном п-ы
нагружении внутренним давлением р, которое удовлетворяет усло-
308

вию A1.84), определяются в предположении, что упругопластиче-
ские свойства материала при первом нагружении характеризуются
функцией A1.73), а при последующих нагружениях—соотноше-
нагружениях—соотношениями
При
при
8/ •< 2ет; 1
ц«>ъ )A1-85)
Здесь
A1.86)
Л+2A — Я) (я — \)а
Тогда напряжения при нагружении с номером т определяются так:
2/72—1
2т—1
¦ *" +
5;
ji'
A1.87)
где а
р, о^—
напряжения, которые возникли при первом нагруже-
нагружеменном нагружении, определяются формулами [122]
при гх < г < r{Q]
= -Р
^+^d-^)о
r3_r3
3/r(rt)\3
{n)\z
J
A1.88)
при
<r <r2
A1.89)
полученными из формул A1.76) и A1.77) заменой aT на 2aT, к на
к^ и гт на г^. При этом радиус г*п) шара, разделяющего облас-
области упругих и пластических деформаций при я-м полуцикле, вычис-
вычисляется из уравнения [122]
A1.90)
309

В качестве примера определим напряжение о^1 на внутренней
поверхности шара (г = гг) при m-м нагружении. Согласно формуле
A1.87) с учетом A1.86) и A1.88) находим
2т-1
^ Л + 2 A — Л-) (п — 1)а Л -f 2 A — Я) (п — 1)а V ^i / J	'
где
Если приближенно представить, что In ^—J ^ C[y—J — IJ ,
С —постоянная величина, определяемая по методу наименьших
квадратов, то из A1.90) имеем [122]
If
A1.92)
Тогда
2т—1
[a<"»-a<'>Uri =
(-I)» 7ZZ?	х
	-2 ^ [Л+2A—Я) (п — 1)а] —/
х	(n-lf		A1#93)
Л + 2A— Я) (л — 1)а
Расчеты по формуле A1.93) показывают, что если внутреннее дав-
давление таково, что после первой разгрузки образовались области
вторичных пластических деформаций, то напряжения a^m) на внут-
внутренней поверхности шара для циклически упрочняющегося мате-
материала после большого числа циклов в два и более раз превышают на-
напряжения, возникшие при первом нагружении.
5. О приспособляемости
упругопластических систем в случае
однопараметрических внешних сил
Предположим, что объемные и поверхностные силы, действую-
действующие на систему, изменяются пропорционально одному параметру
X*, т. е.
Y = X*Y*;	Z = X*Z*;
A194)
310

в также, что при первом нагружении возникают пластические дефор-
деформации. Допустим, что внешние нагрузки перед началом разгрузки
равны»
ХП = к*ПХ*; уП = Л*ПК*. Z('> = k*C)Z*;
х<;> = *•<'>*;; к<;> = я*(/v*; z(;> = x*r)z*. A1*95)
где Я, ^ — значение к*, определяющее внешние силы, приложенные
к системе перед началом разгрузки (Х*^>0). Обозначим минималь-
минимальные значения внешних сил при разгрузке и последующее нагруже-
нагружении обратного знака следующим образом:
ХП = кХ; Y = Г>; Z = XZ; 1
)AL96)
хп = ъгпхг yn = Г<Х*; zp = r<W)z
где Я,****—минимальное значение Л*. Тогда на основании первой
теоремы о переменном нагружении компоненты напряжений o*fj и
компоненты деформаций ef?, возникающие при разгрузке и последу-
последующем нагружении обратного знака, определяются формулами [122)
off ^ а<;> - ъ1/; 4/ = 41 - hi> A1 -97>
где oj'J и ejy* — компоненты напряжений и деформаций, соответст-
соответствующие нагрузкам с параметром к*^; ot- и et.;. — компоненты напря-
напряжений и деформаций, определяемые компонентами о\) и еО заме-
заменой в них к*^ на Я*(/) — Л*(") и ат на а2ат. Если удалить внеш-
внешние силы Х<"), Y(W)t Z("\ Xp, KP, Z^ и вновь нагружать систему
силами Х = Л*Х*; К = Х*К*; Z = k*Z*-t X^ = k*Xl; Yv =k*Y*;
Z^=k*Zy, то компоненты напряжений и деформаций, согласно вто-
второй теореме о переменном нагружении, находятся по формулам [122]
где Gtj и 8t.y — компоненты напряжений и деформаций, которые
определяются компонентами o^J и е^ заменой в них А,**'* на
А,*(/) — Я*(//) и от на а3сгт. Коэффициент а3 так же, как и а2, ха-
характеризует упругопластические свойства материала при соответ-
соответствующем нагружении.
При решении задачи о приспособляемости упругопластической
системы принимаем, что коэффициенты а2 = а3 = ...= а; =
= const, т. е. что упругопластические свойства характеризуются
установившейся диаграммой деформирования при нагрузке, раз-
разгрузке и последующем нагружении обратного знака. Для идеаль-
идеальной среды упругопластические свойства описываются теорией Ма-
зинга, согласно которой <х2 = 2. В этом случае компоненты напря-
напряжений Оц и деформаций г.. отличаются от соответствующих компо-
компонент Оц и е^. тем, что первые вызываются внешними силами, опре-
311

деляемыми параметром X* — Х**'\ а вторые — силами, опреде-
определяемыми параметром X ^ — Х*^\ Следовательно, если внешние
силы, которые вновь действуют на систему, совпадают с соответст-
соответствующими силами, которые были приложены перед первой разгруз-
разгрузкой,
Х<'> = X; Yn = Y; Zn = Z; X[f) = Xv;
K<'> =:K,; Z<'> = ZV, т. е. X* = X*n,
то Ъц = 0^; е/у- = 8t-;-. Тогда согласно формулам A1.98) получаем
*// = <# 5 8// = е!?-	(И.99)
Данное условие позволяет сравнительно просто установить значе-
значения приспособляющих нагрузок, т. е. установить эксперимен-
экспериментальные значения внешних сил, приложение любого числа которых
вызывает появление пластических деформаций только при первых
циклах нагружения.
Предположим, что при первом нагружении внешними силами
(Х('\ У*'\ Z*'\ X^\ Y^\ Z^), характеризующимися параметром
Я*(/), образовались области пластических деформаций. После пол-
полной разгрузки вновь нагрузим систему силами обратного знака,
характеризующимися параметром Х*^ < 0. Если при X* = Х*^
возникли пластические деформации, то согласно уравнению A1.90)
последующее нагружение силами, определяемыми параметром Х*^'\
приведет систему в состояние первого нагружения. Следовательно,
при последующих нагружениях силами, характеризующимися экс-
экспериментальными значениями параметра,
Я*П<я* <*:<'>,	A1.100)
появляются пластические деформации. Иными словами, при дан-
данном условии система не приспосабливается. Это значит, что система
приспосабливается в том случае, когда будут отсутствовать пласти-
пластические деформации при полной разгрузке и при последующем на-
нагружении силами обратного знака.
Для установления аналитического выражения условия приспо-
приспособляемости системы рассмотрим напряжения и деформации при
разгрузке и последующем нагружении усилием обратного знака,
определяемые компонентами напряжений а- и деформаций ^..Ука-
^..Указанные компоненты характеризуют напряженное и деформирован-
деформированное состояния в некотором фиктивном теле, которое отличается от
рассматриваемого пределом текучести, большим в а2 раз. Объем-
Объемные и поверхностные нагрузки, деформирующие фиктивное тело,
определяются как разности [122]:
A1.101)
312

Таким образом, условие отсутствия пластических деформаций в си-
системе при разгрузке и последующем нагружении силами обратного
знака совпадает с условием отсутствия пластических деформаций
в указанном фиктивном теле при нагружении его силами, которые
удовлетворяют соотношениям A1.101). Условие отсутствия пласти-
пластических деформаций в рассматриваемой системе при первом нагру-
нагружении записывается в виде
Из A1.102) находим значение параметра К*^'\
Я*п</(ат),	A1.103;
при котором данная система деформируется упруго. Тогда, согласно
теореме о переменном нагружении, пластические деформации в фик-
фиктивном теле отсутствуют, если выполняется условие [122]
т	A1.104)
Для идеальной среды условие A1.104) имеет вид
- (Г('>--Гп) </Bат).	A1.105)
Отсюда
ГП>Я*(') —/Bот).	A1.106)
Следовательно, система приспосабливается, если параметр X*,
характеризующий внешние силы, изменяется в таких пределах
[122]:
^n — f(a2aT)<K*<k*('K	A1.107)
Функция / (а2о~т), определяемая условием A1.102), может быть по-
построена при известном решении задачи в упругой области. Значе-
Значение Я**'* определяется из условий, которые накладывают ограниче-
ограничения на внешние силы при первом нагружении рассматриваемой си-
системы, следовательно, Я*(/) всегда известно. Кроме того, ?v*('> огра-
ограничивается условием прочности системы при первом нагружении.
Таким образом, параметр, характеризующий приспосабливающую
нагрузку, определяется функцией / (а2ат) и значением К*^'\ обус-
обусловленным условиями прочности при первом нагружении. В том
случае, когда по условиям эксплуатации заданы силы (Х^, Y^\
Z* \ X^Jy Y^\ Z^)> характеризующиеся параметром Я,* О, система
приспосабливается, если внешние силы изменяются так, что при
этохМ не появляются пластические деформации в некотором фиктив-
фиктивном теле, напряженное и деформированное состояния которого опре-
определяются компонентами напряжений о^Г. и деформаций g{, [122].
Тогда по аналогии с условием A1.104) имеем
313

Поэтому система при заданном к*AГ) приспосабливается, если
параметр Я* изменяется в таких пределах [122]:
К <: X* ¦< X + / (<Х2ат) •	A1.108)
Рассмотрим некоторые задачи однопараметрических приспосаблива-
приспосабливающих нагрузок.
1. Растяжение-сжатие стержня круглого поперечного сече-
сечения с кольцевой выточкой (рис. 116) [122]. Стержень испытывает
Р
26гГш2
0,3
ОА
02
О 5 Ю 15 20 25 30 35 а
Рис. 116
V
\
1 «1
1	Mr
р/ ¦
=Q3
— т.
"I P
Рис. 117
только упругие деформации при условии, что осевая сила не пре-
превышает следующей величины:
Согласно решению Нейбера
где
A1,109)
Здесь а — радиус круга поперечного сечения наименьшей площади;
fp — радиус кривизны дна выточки. Стержень приспосабливается,
если осевая сила изменяется в следующих пределах [122]:
2а.
A1.1Н)
314

Если сила Р является только растягивающей или только сжимаю-
сжимающей, приспособляемость наступит при условии, когда
' = min
7t(i
отр •
A1.112)
Здесь P0TD — сила, при которой напряжения равны сопротивлению
отр
2ат
отрыву. Поскольку Ротр >
сила определяется по формуле [122]
2ат
, приспосабливающая осевая
A1.113)
Таким образом, приспосабливающая растягивающая сила зависит
от отношения а/р. Графически эта зависимость при \i= 0,3 пока-
показана на рис. 116 [122].
2. Изгиб кривого бруса. Кривой брус прямоугольного попереч-
поперечного сечения, изгибаемый переменным изгибающим моментом (рис. 117),
(
\ 1
г1 >
ч
мг
i
Рис. 118
Рис. 119
v-wh
приспосабливается, если изгибающий момент изменяется в таких пре-
пределах [122]:
<МХ<МР , A1.114)
h — a In —
а
где F —- площадь поперечного сечения; h — высота сечения; а, Ъ —
радиусы кривизны соответственно вогнутой и выпуклой граней бруса.
3. Кручение круглого стержня с круговой выточкой. Круглый
стержень, подвергаемый переменному кручению (рис. 118), приспо-
приспосабливается, если относительный угол закручивания изменяется в сле-
следующих пределах [122]:
315

Пластические деформации появляются при т?,}ах = т? =G$n Bа— Ь)$
где т^х—максимальное касательное напряжение на дне выточки,
а—радиус граничного круга; Ь—радиус выточки.
4. Совместный изгиб бруса с растяжением-сжатием. Брус, под-
подвергаемый совместному переменному действию изгибающего момента
Mx—kP и растягивающей-сжимающей силы (рис. 119), приспосабли-
приспосабливается, если сила изменяется в таких пределах [122]:
2а/
РП,
A1.116)
поперечного
где F — площадь
Pf
(О
ор
Q6
О 5 10 15 20 25 30 35
Рис. 120
\
\
\
сечения бруса; h — высота сечения
Jх — момент инерции поперечного
сечения.
5. Растяжение пластинки с двух-
двухсторонней внешней выточкой. Пла-
Пластинка с двухсторонней внешней
выточкой, подвергаемая переменно-
переменному растяжению силой Р (рис, 120),
приспосабливается, если сила Р
изменяется в следующих пределах
[122]:
рП	°^ <Р<рп^ (Ц.117)
где
Здесь h — толщина пластинки; а — половина ширины пластинки у
дна выточки; р—радиус кривизны у дна выточки. В том случае,
когда сила Р является только растягивающей, приспосабливающее зна-
значение этой силы
Р<
A1.118)
зависит от отношения а/р. Графически эта зависимость показана на
рис. 120 [122].
При решении указанных задач предполагалось, что после каждо-
каждого наибольшего числа циклов изменения пластических деформаций,
которые допускались в системе до того, как она приспособится к
упругому состоянию, не происходит никаких изменений в упруго-
пластических свойствах материала, т. е. предполагалось, что после
любого цикла диаграммы деформирования остаются такими же, как
и при первом цикле нагружения. Это означает, что параметр ап не
316

зависит от числа циклов нагружений. Однако, согласно эксперимен-
экспериментальным данным (см. гл. 9), для большинства материалов ап зависит
от числа циклов нагружений. Поэтому условия, принимаемые за ос-
основу при определении приспосабливающих нагрузок, необходимо соот-
соответствующим образом изменить.
При многократных нагружениях [122]
6=2
»"/=«(/)+ t (-i)<*-»4<f,
где компоненты напряжений j^v' и деформаций "^р определяются-
функциями oQ и ej') заменой сгт на оскот и внешних сил Х('\ К()»
Я'\ Х<'\ YP.ZP силами Х<'>-Х<">. Г<'>-Г<">; Z<'> -Z<">; Х<'>-
Xf>; К^—Кр; Zvr)—Zp. Здесь а* == а* (&) —известная функ-
функция. Обозначим через N число допустимых циклов нагружений
с циклическим изменением пластических деформаций; тогда для на-
напряженного состояния off'* предел текучести после N нагружений
равен а^ <хт. Предполагая, что при первом нагружений X' ' = А,** ' Х*\
уП==1*(')у*. zO^xT) z*. х<;) = Г(/>л;; K<;> = r<'>K*v; Z<'> =
= X*(/)Z*, а пластические деформации отсутствуют, условие A1.103)*
для напряженного состояния aj.. * записывается в виде
A1.119)
Следовательно, упругопластическая система приспосабливается, если
параметр А,*, характеризующий внешние силы, изменяется в таких
пределах [122]:
Г(/) -/ (ад, ат) < Г < Х*('К	A1.120)
Величина Х*^ определяется из условия прочности при однократ-
однократном нагружений. Условие A1.120) дает дополнительный запас проч-
прочности при переменных нагружениях по сравнению с условием
A1.107).
Данная методика определения приспосабливающих нагрузок
применима для циклически упрочняющихся материалов. Для цик-
циклически неупрочняющихся материалов при определении предель-
предельного состояния необходимо использовать не теорию приспосабливаю*
щих нагрузок, а критерии допустимых деформаций или перемеще-
перемещений [122]. В том случае, когда при переменном нагружений с за-
заданной амплитудой напряжений упругопластические свойства
материалов таковы, что с увеличением числа циклов происходит
увеличение пластических деформаций, а при заданной амплитуде
деформаций наблюдается уменьшение соответствующих напряжений,
главным фактором является не циклическое изменение пластиче-
ских деформаций, а их рост от цикла к циклу.

Раздел 111
ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ
И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Законы и уравнения теории пластичности позволяют описывать
напряженное и деформированное состояния тела, нагруженного
за пределами упругости, в предположении, что при заданных темпе-
температуре и нагрузке напряженное и деформированное состояния
с течением времени остаются постоянными. В действительности, на-
напряжения и деформации, возникающие в детали в результате началь-
начального нагружения, с течением времени изменяются.
ГЛАВА 12
ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
В УСЛОВИЯХ ЛИНЕЙНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ
1. Ползучесть материалов
и релаксация напряжений
Под действием постоянных нагрузок, особенно при повышенных
и высоких температурах, материалы с течением времени испыты-
испытывают рост деформаций. Непрерывный рост деформаций с течением
времени при постоянных напряжениях называется ползучестью
материала. Закон изменения деформации с течением времени при
данном напряжении определяется экспериментально.
Кривые ползучести
Кривые ползучести строятся на основании экспериментальных
результатов, полученных при испытании материалов на растяжение
при постоянных температуре (Г = const) и напряжении (а = const).
Общий вид кривой ползучести показан на рис. 121, а. Под дейст-
действием силы Р в стержне длиной /0 и площадью поперечного
сечения Fo возникает мгновенная деформация е0, которая на рис.
121, а изображается в соответствующем масштабе отрезком ОЛ.
Эта деформация в зависимости от величины приложенной силы мо-
может быть упругой или упругопластической. При постоянной на-
нагрузке деформация возрастает. Изменение деформации с течением
времени при постоянных напряжении и температуре изображается
318

/стадия
Ползучесть
//стадия
В <#
со
Шстадш
и
О	100 200 300 t,4
б
кривой ABCD — кривой ползучести (рис. 121, а).Полная дефор-
деформация в каждую единицу времени представляет собой сумму дефор-
деформаций
8 = 8* + 8р + 8г'	A2.1)
где гв — упругая составляющая; ер —-пластическая составляющая,
возникающая при возрастании нагрузки от 0 до Р; гс — деформа-
деформация ползучести (от слова creep), возникающая с течением времени
при а = const. Скорость деформации ползучести определяется
по кривой ползучести:
319

Результаты экспериментов показывают, что процесс ползучести
можно разделить на три стадии (см. рис. 121, а). На первой стадии
-(участок АВ) скорость деформации ползучести постепенно убывает
Aс уменьшается). На второй стадии (участок ВС) деформация пол-
ползучести протекает с постоянной минимальной скоростью ((|с)т{п =
= const). На третьей стадии (участок CD) скорость деформации пол-
ползучести быстро нарастает и процесс заканчивается либо «хрупким»
изломом, либо «вязким» разрушением. На рис. 121, б показаны кри-
кривые ползучести для стали ЭИ756 при температуре 600° С 122]. Кри-
Кривые ползучести для данного материала при данной температуре
(Т = const) зависят от напряжения (рис. 122, о), а при данном на-
напряжении (о= const)—оттемпературы (рис. 122, б). При расче-
расчетах элементов конструкций особый интерес представляют первая
и вторая стадии ползучести, поскольку третья стадия предшествует
разрушению материала. Поэтому необходимо знать зависимости
между напряжением, деформацией, температурой и временем в ос-
основном на первой и второй стадиях ползучести.
Уравнения, описывающие кривые ползучести
Уравнения, описывающие кривые ползучести, обобщены в две
группы. В основу первой группы зависимостей положена гипотеза,
утверждающая, что кривые ползучести в координатах деформа-
деформация — время (ь*с — /) при разных напряжениях и одинаковых тем-
температурах геометрически подобны. Поэтому зависимость между де-
деформацией ползучести, напряжением и временем записывается в
виде произведения двух функций, одна из которых является функ-
функцией напряжений, а другая — функцией времени и температуры:
8С= Q(o)Q(T, t).	A2.3)
За основу второй группы принята более сложная зависимость между
деформацией ползучести, напряжением, температурой и временем:
е,= QAo, T)W (t) + Q2(e, T)U	A2.4)
rAeQx(a, T)\ Q2 (a, T) —функции напряжений и температуры; Y (/)—
монотонно и быстро убывающая функция времени. При малых зна-
значениях времени (первая стадия ползучести) вторым слагаемым
в уравнении A2.4) можно пренебречь, тогда процесс ползучести
описывается первым слагаемым.При больших значениях времени
{вторая стадия ползучести) процесс ползучести описывается вторым
слагаемым в уравнении A2.4). Зависимость A2.4) позволяет точнее,
яем зависимость A2.3), описывать процессы ползучести. Однако по-
последняя является более простой и чаще используется. В этом случае
при Т = const функцию Q (о) принимают степенной. Тогда зависи-
зависимость A2.3) записывается в виде.
Причем при ? = 0 ec = 0;Q@=0. Дифференцируя A2.5), полу-
получаем
A2.6)
320

0
a
О 20 40 60 80 tt
б
7,5
5,0
V
ю3
	-
~-—
——¦
—
20
40 .60
- в
80 t,4
Рис. 123
где
dt
Графики функций Q (t) и В (t) показаны на рис. 123, а.Во второй
стадии скорость ползучести минимальна и постоянна. Поэтому на
второй стадии В (/) = В = const, aQ = а + В/ (см. рис. 123, а).
График функции Q (/) для стали ЭИ69 при Т = 800° С приведен
на рис. 123, б, который построен по кривым ползучести (рис.
123, б) [96]. На основании результатов экспериментов функцию Q
приближенно можно записать в виде произведения двух функций:
Q = Тпъ причем одна из них является функцией только темпе-
температуры, а другая —только времени. В работе [21] функция Q пред-
представлена в виде
A2.7)
где Qx — функция только! времени; Ь\—абсолютная температуря;
R — газовая постоянная; АНп — энергия активации ползучести.
Зависимость минимальной скорости
деформации ползучести от напряжения
При данной температуре минимальная скорость ползучести
изменяется в зависимости от напряжений. По Бейли [238] эта за-
зависимость имеет вид
(Umin = Sa«,	A2.8)
И 1-317
321

или
A2.8а)
где В и п — характеристики материала, зависящие от температуры
испытания. На рис. 124 приведены экспериментально полученные
зависимости минимальной скорости деформации ползучести от на-
напряжения при различных температурах для хромомолибденовой
стали марки_60Х16М2А [184]. В табл. 16 [104] даны значения^ коэф-
коэффициентов В и п для некоторых материалов. Коэффициент В изме-
изменяется с изменением темпера-
температуры [21]:
.^^ОО'С
550^*^
J^^ 575^*
^^бод^>
600
400
300
200
100
75
50
25У*
5-Ю'8 10~7
Рис. 124
A2.9)
Здесь Вг — постоянная мате-
материала. По П. Людвику [95]
зависимость между скоростью
деформации ползучести и на-
напряжением имеет вид
A2.10)
Недостатком зависимости A2.10)
является то, что при о* =
&0 (%c)min ф 0, а это невозмож-
невозможно. По А. Надаи [123]
По С« Р, Содербергу [284] зависимость A2,10) имеет вид
A2,11)
A2.12)
где С, D, А, В, М, N — параметры материала, зависящие от тем-
температуры.
Зависимость минимальной скорости
деформации ползучести от температуры
При данном напряжении минимальная скорость деформации
ползучести с увеличением температуры возрастает по закону
У(о)\
:Г(а)ехр -
A2.13)
где Г (а), у (о) — параметры материала, зависящие от напряжения,
Процессы ползучести для двух металлов, имеющих различную аб-
абсолютную температуру плавления (ФплI и (ФплJ> подобны только
322

Таблица 16
Материал
Углеродис-
Углеродистая сталь
Хромомо-
либденовая
сталь ЗОХМ
Хромом о-
либденовая
сталь
Хромомо-
либденовая
сталь ЭИ10
Хромо-
никелеволь-
фрамовая
сталь
ХНВМ12
Хромо-
никелеволь-
фрамовая
сталь ЭИ69
Медь
Химиче-
Химический
состав,
мае. %
0,15 С
0,5 Мп
0,23 Sn
0,032 S
0,025 Р
—
0,60 С
0,46 Si
0,28 Мп
16,9 Сг
0,22 Ni
2,00 Мо
0,01 S
0,03 Р
0,28 С
0,24 Si
0,58 Мп
1,55 Сг
1,38 Мо
0,16 Vo
0,12 Ni
0,48 С
0,68 Si
0,47 Мп
0,012 Р
2,24 W
13,6 Сг
14,5 Ni
0,54 Мо
0,45 С
0,60 Si
0,76 Мп
13,9 Сг
13,8 Ni
1,75 W
0,40 Мо
0,008 S
0,024 Р
.
Термическая
обработка
Отжиг при 844° С
Отжиг в течение
1 ч при 600° С
Закалка на возду-
воздухе при 1050° С,
отпуск при 800—
820° С
Закалка в масле
при 900° С, отпуск
при 650° С
Закалка при
1100° С, охлаж-
охлаждающая среда —
воздух
Закалка при
1175° С, стабили-
стабилизация при 750° С
в течение 5 ч
^исп»
°С
427
538
593
649
500
500
550
575
600
450
500
550
500
600
700
600
650
750
165
235
п
6,24
3,04
3,18
3,03
5,33
1,82
2,12
2,02
2,59
2,99
1,83
2,06
7,76
10,3
5,21
3,00
2,93
2,90
1,60
2,16
д ( м*\п
*• ImhJ *
хч-1
6,32 . 10-21
1,43 . 10-11
3,10 . 10-1°
9,04 . Ю-9
2,46 . 10-17
8,19 • 10-12
2,31 . 10-и
9,80 • 10-11
3,03 • 10-и
9,63 . 10-15
3,38 . 10-11
9,34 . 10-11
8,57 . Ю-25
3,34 • Ю-28
2,46 • 10-15
2,00 • 10-1°
1,71 • Ю-9
1,24 ¦ Ю-8
3,65 • 10-1°
5,63 • Ю-9
11*
323

при условии, что абсолютные температуры их испытания
удовлетворяют следующему равенству: "
A2.14)
т. е. гомологические температуры металлов равны. В связи с этим
для изучения при повышенных температурах основных зависимос-
зависимостей ползучести металла, имеющего высокую температуру плавле-
плавления, можно проводить эксперименты на ползучесть металла, имею-
имеющего более низкую температуру плавления при менее высокой тем-
&, К
пературе. На рис. 125 показана диаграмма зависимости абсолютной
температуры от гомологической для некоторых материалов [102]
(ось ординат —гомологическая температура в процентах, ось абс-
абсцисс — абсолютная температура).
Предел ползучести
Для сравнения ползучести различных материалов вводится ус-
условная характеристика, называемая пределом ползучести. Предел
ползучести—это напряжение, при котором деформация ползуче-
ползучести за данный промежуток времени достигает наперед заданной ве-
величины (устанавливаемой техническими условиями, исходя из
нормального режима работы конструкции). Указанный промежу-
промежуток времени обычно равен сроку службы рассчитываемой детали.
Для определения предела ползучести по заданной величине дефор-
деформации ползучести ес/за определенный промежуток времени /;- нахо-
находим семейство кривых ползучести при различных значениях напря-
напряжений о^рис. 126, я). Затем проводим вертикаль на расстоянии t-,
равном сроку службы детали, и для tf = const строим зависимости
напряжения от деформации ползучести (рис. 126, б). Имея семей-
324

\
/
//
|?
/
/
+**
У
/
4
/1
у*
п
+**
\
\
у*
%
**
3
t
Тк=const
Рис. 12S
100
60
40
V
V
0%
*"—
550
Рис. 127
600
а
/40
ЮО
60
Т,°С
20
\
ч
\
\
ч
\
^—
450
500
5

ство таких кривых, определяем предел ползучести a (eCJ-t tj). Если
скорость деформации ползучести приближенно принять постоян-
постоянной и равной минимальной величине, то
8с = (УпНп'.	A2.15)
Соотношение A2.15) позволяет по заданной деформации ползуче-
ползучести за указанный промежуток времени определить скорость дефор-
деформации ползучести. Таким образом, предел ползучести — это напря-
напряжение, при котором скорость деформации ползучести достигает на-
наперед заданной величины (устанавливаемой техническими усло-
условиями элемента конструкции). Для определения предела ползуче-
ползучести по заданной величине скорости деформации ползучести строим
семейство кривых ползучести (рис. 126, а) при различных напря-
напряжениях, а затем семейство кривых зависимости напряжения от ми-
минимальной скорости ползучести при данной температуре в логариф-
логарифмических координатах (рис. 126, в). По этим графикам при 7"/ =
= const и данной (Ут^п определяем предел ползучести. На рис.
127, а показаны графики зависимости предела ползучести от тем-
температуры, определенного по величине деформации в течение
100 000 ч, для жаропрочной стали ЭИ123 [194], а на рис. 127, б —гра-
—графики зависимости предела ползучести, определенного по величине
скорости деформации ползучести, для легированной стали
35ХМ [194].
Релаксация напряжений
Релаксация напряжений — это изменение напряжений, возни-
возникающих в результате нагружения детали, с течением времени.
Предположим, что образец нагружен растягивающей силой,
которая вызвала напряжение
?[0)ss?e+6c!=! const^	 меньше предела пропорцио-
кальности материала. При этом
полагаем, что полная дефор-
деформация, состоящая из упругой
деформации и деформации пол-
зучести, остается постоянной,
t П
6(t)
у
т. е. е = ге + гс = const. Па
основании закона Гука имеем
Е '
о,
Рис. 128
При t = 0 Ее = -^
где о @)— напряжение в начальный момент времени. Тогда
о@) _ о(9
= const,
A2.16)
Следовательно, с увеличением деформации за счет ползучести на-
напряжение непрерывно уменьшается* (рис. 128). Так как при 8 =
= const напряжение с течением времени изменяется, часто решают
следующую задачу: за какое время t в стержне, получившем в на-
начальный момент определенную деформацию 8 @), напряжение
326

а @) уменьшится вследствие релаксации до определенной величины
а (/)? Поскольку релаксация напряжений протекает при е @) =
= ее +8<;= const,
dt dt E dt^**"~
откуда
? —_i_^ или dt-^L^
Учитывая, что при lo=Q(a) dt =—-=- ^ , и интегрируя от t = О
до /=7, а следовательно, от а@) до a(t)t получаем
а A) ^
о@)
Принимая Q(a) — A (T) sh Pafc/^4» имеем
?*(i )
A2Л9|
По формуле A2.18) или A2.19) определяем искомое значение 7*
Если в какой-то момент времени пластическая деформация ползу-
ползучести достигла значения деформации в @), возникшей при нагруже-
нии, то напряжение в стержне становится равным нулю, т, е» стер-
стержень полностью разгружается [102, 154, 168].
2. Механические модели деформируемого тела
и наследственные теории ползучести
Для описания процесса ползучести предложены различные
механические модели деформируемого тела [13, 102, 168]. Любая
механическая модель деформируемого тела может быть представ-
представлена как некоторая система, состоящая из упругих и вязких эле-
элементов. Упругий элемент схематически можно изобразить в виде
пружины (рис. 129, а). В этом случае удлинение элемента пропори
ционально приложенной силе Р, т. е,
327

Вязкий элемент схематически можно представить в виде цилиндра»
заполненного жидкостью, внутри которого перемещается поршень
«с
{рис. 129, б). В этом случае скорость перемещения ~ поршня от-
dt
иосительно цилиндра пропорциональна силе Р, т, е.
?5t
dt
k2P,
где kx и k2 — коэффициенты пропорциональности. Пусть упругий
я вязкий элементы соединены последовательно (рис. 129, в). Такая
система элементов принята Максвеллом за модель вязкоупругого
тела. В этом случае изменение расстояния между точками (Л и Б)
приложения силы будет
\Р	равно сумме удлинения пру-
пружины 6у и перемещения пор-
поршня относительно цилиндра
6^, т. е. б = 6У + б^. После
дифференцирования данно-
данного выражения получаем
di=kldt+k*p-
Заменяя перемещения и си*
лы соответственно на дефор-
деформации и напряжения, а ко-
коэффициенты ^и^2 — соот«
ветственно на \1 Е и 1/г],
имеем
где т] — коэффициент вяз-
вязкости. Уравнение A2.20)
устанавливает зависимость
между деформацией,напря-
деформацией,напряжением и временем для вяз-
вязкоупругого тела в модели
Максвелла. Из анализа
уравнения A2.20) следует,
что при о= const деформа-
деформация растет с постоянной
dz	1
скоростью, т. е. jt = о —,
r	dt г)'
причем скорость деформа-
деформации пропорциональна на
Р*с. 129
рр
пряжению. Таким образом, для данной модели деформируемого
тела материал течет подобно вязкой жидкости. Из уравнения
{12,20) при 8 = const получаем
1 do ?.
Ё dt "*" г]
A2.21)
328

Рис. 130
После интегрирования, поскольку при / = 0 а = а @) (начальное
условие), находим
/ * \
A2.22)
Величина 4-= ^называется временем релаксации, т. е. временем,
в течение которого начальное напряжение о0 уменьшится в е раз
(е = 2,718). Для вязкоупругого тела в модели Максвелла напряже-
напряжение при постоянной деформации уменьшается с течением времена
по экспоненциальному закону, стремясь в конечном счете к нулга
(рис. 129, *).
Пусть теперь упругий и вязкий элементы соединены парал-
параллельно (рис. 130, а). Такая система элементов принята Фойхтом вш
модель вязкоупругого тела. В этом случае общая сила Р, дейст-
действующая на систему, равна сумме сил Ру и Рв, действующих соот-
соответственно на упругий и вязкий элементы,
P =
у
или
A2,23|
A2.23а|
Уравнение A2.23а) описывает вязкоупругое тело модели Фойхта*
После интегрирования данного уравнения при о = const, пола-
гая, что в начальный момент деформация равна нулю, находим
Уравнение A2.24) указывает на то, что при а = const деформация
с течением времени растет по экспоненциальному закону, стремясь
в конечном счете к величине -=г (рис. 130, б). Из
A2.23) следует, что при 8
уравнения
const напряжения о течением времена
329

Рис. 131
те изменяются, Значит, данное уравнение не отражает релаксации
напряжений.
Таким образом, предлагаемые Максвеллом и Фойхтом модели
вязкоупругого тела только косвенно отражают стороны сложных
вроцессов деформирования материалов во времени.
Представим два упругих и один вязкий элементы, соединенные
в систему так, как показано на рис. 131, а. Поскольку перемеще-
перемещение поршня относительно цилиндра в вязком элементе 3 — б3
равно удлинению пружины 2 — б2, изменение расстояния между
вдчками приложения силы А и В определяется суммой
Дифференцируя данное выражение, а также учитывая, что
¦^ -ж = ж-
получаем
Отсюда
dP k3(kj + k2)	1 db h
dt ~ kxk2	kidt ^ k±k2
Заменяя перемещения и силы соответственно на деформации и на*
пряжения, а коэффициенты ?j, k2, k3— соответственно на -р- , -р-,
1
?г , находим
do .	„|ui>
A2,25)
а -.
Ц	Y]
330

Уравнение A2.25) устанавливает зависимость между деформацией,
напряжением и временем для вязкоупругого тела в модели Кель-
Кельвина, изображенной на рис. 131, а. В случае мгновенного прило-
приложения нагрузки величинами о и г пренебрегаем вследствие иж
малости относительно -тт и ~ , поэтому уравнение A2.25) преобра-
преобразуется к виду
do __ pd&
dt ~ Tt'
а следовательно, о=Ег. Здесь Е — мгновенный модуль упругости,
_	do ds
В случае медленного приложения нагрузки, когда jt и jt малы,
го	ро
уравнение A2.25) преобразуется к виду о=—е. Здесь ——дли-
ос	ос
О
тельный модуль упругости. Так как — < 1, длительный модуль
ос
упругости меньше мгновенного. Решая уравнение A2.25) относи-
относительно деформации и полагая, что в начальный момент t = О дефор-
деформации являются упругими, а модуль упругости равен мгновенному
модулю, получаем
jg)p[p^g)]^} A2.26»
о
При а = const из A2.26) следует уравнение кривой ползучести:
8 = -f
Согласно этому уравнению при t = 0 8 = тг , а при t = оо дефор-
деформация стремится к асимптоте е = -щ (рис. 131, б). Предположим,
что процесс ползучести при о = const протекает некоторое время 7f
затем напряжение мгновенно уменьшается до нуля, а деформация —*
на величину -^ , и снова протекает процесс обратной ползучести
(или обратное последействие), описываемый формулой, полученной
из уравнения A2.26):
8= —рГ~~р ^е*Р '—Р ^~~ ^^ "^ ех^ ^—^^*	A2.28J
Согласно этому уравнению при /-> со 8-> оо, т. е. вся деформа-
деформация ползучести является обратимой. Поэтохму последействие в вяз-
коупругой модели, предложенной Кельвином, является упругий.
Решая уравнение A2.25) относительно напряжений и предполагая,
что при t = 0 деформация является упругой, а модуль упругости
равен мгновенному модулю, получаем
t
о = Е U — (а ¦-* Р) Г 8 © ехр [*нх (* «- Э 4]}. A2.29}
331

Рис. 132
При 6 = const из A2.29) следует уравнение кривой релаксации:
A2.30)
Таким образом, модель вязкоупругого тела Кельвина в отличие от
ранее принятых моделей отражает обе стороны ползучести — пря-
прямое и обратное последействие и процессы релаксации.
Для правильного описания процессов ползучести строят мо-
модели, состоящие из четырех (рис. 132) и более соединенных упру-
упругих и вязких элементов, т. е. строят многоэлементные модели. Для
этого случая добавляют в правую и левую части уравнения A2.25)
производные более высокого порядка 1102, 168]:
do
d"c
dtn
, dne
Следовательно, использование многоэлементных моделей приводит
к громоздким математическим выражениям.
Процессы ползучести описываются с помощью наследственных
теорий ползучести, которые можно рассматривать как обобщение
механических моделей [78, 102, 1681,
332

Теория, учитывающая историю нагружения, называется на-
наследственной теорией. Наиболее простой из числа наследственных
теорий ползучести является линейная теория наследственности,
предложенная Больцманом. В ее основе лежит принцип суперпо-
суперпозиции (наложения) деформаций.
Предположим, что в течение малого промежутка времени ds
напряжение в растянутом стержне равно о (s). Это напряжение
вызвало деформацию, которая изменяется с течением времени, при-
причем в момент t — s она пропорциональна напряжению a (s), дли-
длительности воздействия ds и некоторой убывающей функции отрезка
времени t — s, обозначаемой k (t — s). Согласно принципу супер-
суперпозиции деформация в момент t определяется по формуле dec =
= К (t — s) a(s) ds, а полная деформация — по формуле
t
8 (t) = 2-й + [K(t—s)o (s) ds.	A2.31)
Таким образом, по заданному изменению напряжений можно уста-
установить закон изменения деформаций. При g (t) = const = а @) из
A2.31) следует уравнение
i
е @ = а @) -L + \ К (t~-s)ds ,	A2.32)
которое описывает кривую ползучести, т. е. определяет закон из-
изменения деформации с течением времени при постоянном напряже-
напряжении. Функция К (t — s) представляет собой ядро интегрального
уравнения A2.31), где s — переменная интегрирования, которая
изменяется от 0 до t. Решая линейное интегральное уравнение
A2.31) относительно а (/), находим уравнение
t
о @ = ?е (/) — f Г (/ — s) e (s) ds,	A2.33)
которое по заданному изменению деформации определяет закон
изменения напряжений. Здесь функция разности двух переменных
Г (t — s) — резольвента интегрального уравнения A2.33). При
е (t) = const = 8 @) из A2.33) следует уравнение
t
а @ = 8 @) [?— \ Т (i - s) ds],	A2.34)
о
которое описывает кривую релаксации, т. е. определяет закон из-
изменения напряжений с течением времени при постоянной деформа-
деформации.
Линейная наследственная теория, предложенная Больцманом,
развита Вольтерром. Им предложены нелинейные интегральные со-
соотношения, обобщающие уравнения Больцмана. Поэтому часто
данная теория называется теорией Больцмана — Вольтерра. Для
333

одномерной задачи зависимость между напряжением и деформацией
принималась Вольтерром в следующем виде:
7TT
i t
A2.35)
Применение данного уравнения к решению каких-либо задач свя-
связано с большими математическими сложностями. Поэтому исполь-
г
щ
	с
^z—¦
	'
^———
5	'
г	с
tft
0,5
О	20
Рис. 133
4-0
80
зуются другие варианты нелинейных интегральных соотношений
теории: теория наследственной пластичности [128], которая анали-
аналитически имеет вид
t
ф[8(/)] = сг@+ f K(t-s)o(s)ds;	A2,36)
о
теория нелинейной наследственности [182, 183], которая аналити-
аналитически имеет вид
t
ds.
A2.37)
В работе В. С. Наместникова, Ю. Н. Работнова [128] приве-
приведены результаты исследования на ползучесть сплава Д16Т при тем-
температуре 200° С и постоянных напряжениях, которые сравнивались
с кривыми ползучести, получающимися из уравнений A2.36) и A2.37).
На рис. 133 приведены расчетные кривые, построенные по уравне-
уравнениям A2.36) (сплошные линии) и A2.37) (штриховые линии), а также
экспериментальные данные (кружочки) [128].
Использование наследственных теорий в расчетах элементов
конструкций на ползучесть связано с большими математическими
трудностями.
334

3. Разрушение материала
вследствие ползучести.
Длительная прочность
Повреждение материала, развивающееся в процессе ползуче-
ползучести, приводит к его разрушению. Сопротивление материала такому
разрушению называют длительной прочностью. Разрушение мате-
материала образца, находящегося в условиях ползучести, разделяется
на три типа: с образованием шейки — вязкое разрушение; без
образования шейки —хрупкое разрушение; смешанное разруше-
разрушение. Прочность материала, находящегося длительное время под на-
tgt
а
335

Материал
Алюминие-
Алюминиевые
сплавы
Титановые
сплавы
Конструк-
Конструкционные
стали
Коррозион-
Коррозионно-стойкие
(нержаве-
(нержавеющие)
стали
Жаропроч-
Жаропрочные
стали
Марка
АК4-1
ВД-17
ВТ-9
ВТЗ-1
ЭИ415
12Х18Н9Т
ХН35ВТ
Основной
химический
состав»
мае. %
1,9—2,5 Си
1,4—1,8 Mg
1,0—1,5 Ni
0,015 Ti
1,0—1,5 Fe
Основа Al
2,6—3,2 Си
2,0—2,4 Mg
0,4—0,7 Mn
0,3 Fe
Основа Al
16,5 Al
3,5 Mo
0,25 Si
2,0 Cr
Основа Ti
5,5 Al
2,0 Mo
2,0 Cr
1,0 Fe
Основа Ti
0,2 С
0,4 Mn
2,8 Cr
0,45 Ni
0,4 Mo
Основа Fe
0,12 >C
1—2 Mn
18 Cr
10 Ni
0,8 Ti
Основа Fe
0,1 >C
1,5 Mn
15 Cr
35 Ni
Основа Fe
Термическая обработка
Закалка при 515° С в во-
воде. Старение при 185° С
в течение 8—12 ч
Закалка при 515° С в во-
воде. Старение при 170° С
в течение 16 ч
,3акалка при 900° С в во-
воде. Старение при 500—
600° С в течение 1—6 ч
Закалка при 880° С в во-
воде. Старение при 550° С
в течение 3—10 ч
Нормализация при 1150° С.
Закалка в масле при
1050° С
Закалка в воде при 1050° С
Закалка в воде при
1180° С. Старение при
780° С в течение 8—10 ч
и при 730° С в течение
25 ч, охлаждающая сре-
среда — воздух
336

Таблица 17
Т§ °С
в, МН/м*
МН/м
К %
20
150
200
250
300
20
200
230
250
300
20
400
450
500
550
600
20
400
450
500
600
20
450
500
550
600
20
600
700
800
20
600
650
700
450
400
340
240
170
500
380
240
180
1150
850
800
780
720
1000
760
700
530
850
650
640
570
440
620
400
280
180
830
670
570
480
380
360
300
190
140
330
1030
720
660
620
550
950
630
560
250
740
600
590
544
423
280
180
160
100
500
440
420
410
18
12,5
11
6
8
13
16
__
16
21
6
7
7
8
9
12
8
—
10
18
13,4
13,1
15
15,5
10,5
41
25
26
35
24
21
15
10
26
26,5
23
30
34,5
21
33

66
75
—
____
—
25
—,

—
58,5
60
59
65
49
63
61
59
69
40
27
24
15
-
290
170
100
40
_
190
130
100
55
—
650
450
230
650
550
360
—
520
490
350
250

—
300
300
550
500
270
500
420
320
170
250
130
50
230
337

Материал
Жаропроч-
Жаропрочные
стали
Никелевые
сплавы
Марка
ЭИ257
(с титаном)
ХН77ТЮР
(ЭИ437Б)
ХН80ТБЮ
(ЭИ607)
ЖС6КП
УДИМЕТ
. 700
УАСПАЛОЙ
Основной
химический
состав,
мае. %
0,1 С
0,8 Si
0,7 Мп
14 Сг
14 Ni
2,3 W
0,5 Mo
0,5 Ti
Основа Fe
0,07 > С
20,0 Cr
2,7 Ti
0,6—1 Al
1,0 Fe
Основа Ni
0,08 > С
15—17 Cr
1,0—1,5 Nb
1,8—2,3 Ti
0,15 Al
3,0 Fe
Основа Ni
0,15 С
15 Cr
18 Co
3,5 Ti
4,0 Al
5,0 Mo
1,0 >Fe
Основа Ni
0,07 С
19 Cr
14 Co
3,0 Ti
1,3 Al
4,3 Mo
1,0 Fe
Основа Ni
Термическая обработка
Нормализация при 1100° С
в течение 2 ч
Закалка при 1180° С в те-
течение 8 ч на воздухе.
Старение при 750°С в те-
течение 16 ч. Охлаждающая
среда — воздух
Закалка при 1100° С в те-
течение 5 ч в воде. Трой-
Тройное ступенчатое старение
Закалка при 1220° С в те-
течение 4 ч на воздухе
Закалка при 1180° С в те-
течение 2 ч на воздухе.
Закалка при 1180° С в те-
течение 4 ч на воздухе.
Старение при 840° С в те-
течение 24 ч. Охлаждаю-
Охлаждающая среда — воздух. Ста-
Старение при 760° С в тече-
течение 16 ч, охлаждающая
среда — воздух
Закалка при 1080° С в те-
течение 4 ч на воздухе.
Старение при 840° С в те-
течение 24 ч, охлаждающая
среда —* воздух.
Старение при 760° С в те-
течение 16 ч, охлаждающая
среда — воздух
338

г, °с
20
600
625
650
20
550
600
700
750
800
20
650
700
20
800
900
950
1000
1050
20
800
870
980
20
650
730
815
870
590
380
380
330
1120
905
875
830
670
550
1050
725
680
1320
1025
775
550—700
470—500
330—400
1410
940
700
350
1320
1200
900
700
550
<хт, МН/м?
280
183
183
178
700
600
570
560
—
440
650
550
500
800—850
750—800
450—500
330—400
250—300
—
990
800
640
300
800
720
700
600
540
51
29
29
41
17
22
22
16
14
16
30
10
7
15
11
11
7
10
18
33
33
28
30
33
30
32
34
Продолжение
Ф. %
74
62
62
66
18
26
23
21
29
36
35
12
6
20
17
17
12
17
16
20
42
45
28
28
33
38
45
54
аюо»
МН/м2
310
290
290
800
700
440
320
220

,
430
470
280
190
105
—
-—
410
290
280
770
500
280
160
табл. 17
а100 000*
МН/м2
250
200
200
710
565
310
__
ПО
400
300
350
140
90

—
.
300
196
112
600
370
170
120
339

Материал
Марка
Основной
химический
состав,
мае. %
Термическая обработка
Никелевые
сплавы
Сплавы
тугоплав-
тугоплавких
металлов
ЖС6К
Сплав
на основе
молибдена
ВМ-2
Сплав
на основе
ниобия ВН-4
0,16 С
9.5	Сг
2.6	Ti
5,0 Al, W
4,0 Mo
Основа Ni
4,5 Со
0,8—1 Ti
0,36 Zr
0,25—0,5 Nb
1,0—1,8 С
Основа Мо
8,5—10,5 Mo
1,0—2,0 Zr
0,25—0,4 С
Основа Nb
Закалка при 1220° С в те-
течение 4 ч на воздухе
Отжиг для снятия напря-
напряжения при 900—950° С,
рекрис та л л изационный
отжиг при 1200—2000° С
пряжением при данной температуре, характеризуется пределом
длительной прочности. Предел длительной прочности ад п — зто
отношение нагрузки, при которой происходит разрушение растя-
растянутого образца через определенный промежуток времени, к перво-
первоначальной площади его поперечного сечения, или— это напряже-
напряжение, вызывающее разрушение материала при постоянной темпера-
температуре через определенное время. В зависимости от условий эксплуа-
эксплуатации деталей представляют интерес пределы длительной прочно-
прочности, определенные на базе от 100 до 100 000 ч (табл. 17) B20, 225].
Зависимость предела длительной прочности от времени назы-
называется кривой длительной прочности, которая в логарифмических
координатах имеет вид ломаной линии, состоящей из двух прямых
(рис. 134, а). Точка перелома соответствует переходу от транскри-
транскристаллического (внутризеренного) разрушения (кривая /) к интер-
интеркристаллическому (межзеренному) разрушению (кривая 2). Кри-
Кривую длительной прочности аппроксимируют следующими функ-
функциями:
1)	экспоненциальной /= К ехр (—ao)i
2)	степенной	t— Ao~m,
A2.38)
A2.39)
Экспериментальные кривые длительной прочности сплава
ХН70ВМТ10 при различных температурах показаны на рис. 134,6*
Каждый участок кривой длительной прочности при наличии пере-
переломов аппроксимируется степенным уравнением со своим показа-
340

7\ °С
20
800
900
1000
1030
20
800
1000
1100
1200
1300
1400
20
1050
1100
1150
1200
oBi МН/м2
950
900—940
750—800
500—570
400—470
750
570
520
!
450
,—
810
—
—
.—
540
ат, МН,м2
850
850
520
320
260
680
—


730

.
450—500
«. %
3,0
2,5
1,0
3,0
3,0
10
13
10
г—в
13
—-
—
16
—
—
¦
15
Продолжение i
Ф, %
11
10
6
7
7
30
60
60
$~-
70
—
33
—

47
МН/м2
510—530
320
150—160
120
*_*
___
260
175
75
50
_
—«
280
220
—
габл. 17
а10 0 000»
МН/м2
_
380
160
65
—.
	,
210
90—100
45
—

230
—
—
телем степени т. Значения показателей степени в уравнениях, опи-
описывающих первый и второй участки кривых длительной прочности
для некоторых материалов, приведены в табл. 18.
Формулы A2.38) и A2.39) устанавливают зависимость предела
длительной прочности от времени разрушения для данного мате-
материала при определенной температуре. Влияние температуры на
длительную прочность оценивается температурно-временными па-
параметрами П, являющимися функциями предела длительной проч-
прочности. Мэнсон [262], анализируя экспериментальные данные по
пределам длительной прочности в зависимости от температуры,
пришел к выводу, что отношение
Г-7\,
A2.40)
(Т — температура испытания, °С; /р — время до разрушения; Та
и lg ta — постоянные) представляет собой некоторый параметр,
зависящий только от напряжения. Используя данный параметр для
каждого материала, можно построить обобщенную кривую длитель-
длительной прочности. На рис. 135, а приведена кривая длительной проч-
прочности, построенная по результатам испытания сплава ХН70ВМТЮ
при различных температурах с постоянными материала Та — 1040;
\gta — 2,5. Точки, соответствующие большим значениям напряже-
напряжений, не лежат на общей кривой длительной прочности. На рис.
341

Таблица 18
Марка сплава
ХН77ТЮР
(ЭИ437)
ХН55ВМТФКЮ
(ЭИ929)
ЖС6К
ХН70ВМТЮ
(ЭИ617)
т°. с
600
700
800
900
700
850
900
950
700
800
900
1000
1050
600
700
800
900
тх
21,0
15,8
12,8
10,0

14,0
—
10,8
21,3
10,9
10,3
—
20,0
17,0
12,5
9,2
7,2
5,7
4,5
14,7
6,9
6,2
5,4
—
—
5,9
5,0
4,1

8,5
6,0
4,8
200
100
180 -
75 /7/
Рис. 135
135, б'показана обобщенная кривая длительной прочности в зави-
зависимости от параметра Иг для нимоника 80А (/) и нимоника 90
B) [241].
Ларсон — Миллер предложили другой температурно-времен-
ной параметр [2601: ^ W+C)f	(I2,4l)
342

4000
2000
1000
600
400
200
юп
"**—t
4
ПС
rw •
\
20 25 30 35 40 45 Пг
Рис. 136
где Ь — абсолютная температура испытаний; tp — время до разруше-
разрушения, ч; С зависит от температуры, интервал ее изменения 15—30,
однако приближенно принимается постоянной. На рис. 136 [261]
приведена зависимость предела прочности от параметра П2 для
нержавеющей стали; на рис.
137	[80] — зависимости преде-
предела длительной прочности от
температуры при разном1 вре-
времени испытания до разруше-
разрушения для хромоникелевой стали
A—разрушение через 1 ч,2 —
через 10 ч, 5—-через 100 ч,
4— через 1000 ч, 5 — через
10000 ч, 6 — через 100 000 ч).
С увеличением длительности
пребывания металла под напря-
напряжением при высокой темпера-
температуре пластические свойства ме-
металла уменьшаются, так как
металл охрупчивается. На рис.
138	[16] показано изменение
пластической деформации при
разрыве от времени испытания
до разрушения для малоугле-
малоуглеродистой стали. Пластическая
деформация при разрыве опре-
определяется как отношение оста-
остаточного удлинения при раз-
разрыве вследствие длительного
разрушения к первоначальной
длине образца.
Коэффициент запаса прочности при длительном нагружении
в случае линейного напряженного состояния определяется по кривой
О ., -
\
540
Рис. 137
550
560
ГС
343

/о
\

——^
1	.
J40°C
100
О 200
Рис. 138
400
600' 800
tt4
длительной прочности. Предположим, что для данного материала
при данной температуре известна кривая длительной прочности
(рис. 139). Пусть в образце с
течением времени t напряже-
напряжение а = const, тогда коэффици-
коэффициент запаса прочности по вре-
.^ мени определяется как отноше-
отношение времени до разрушения при
данном напряжении ко време-
времени / (см. рис. 139);
Jgt ^
tgtP
A2.42)
igt
Рис. 139
Поскольку t
¦Ао-; t^Ao-,
а коэффициент запаса прочности
по напряжениям — как отноше-
отношение напряжений:
п =^Н A2.42а)
а G *
A2.43)
4. Основные уравнения связи
между напряжениями, деформациями,
скоростями деформаций и временем
в теории ползучести при линейном
напряженном состоянии
В настоящее время существуют три технические теории ползу*
чести: старения, течения, упрочнения.
Теория старения
За основные переменные в теории старения принимаются напря-
напряжения, деформация и время. Предполагается, что при заданной
344

|
6i
T-const
t=o
t2 t3 t о	t
а	б
температуре между указанны-
указанными величинами существует оп-
определенная зависимость:
<Di(ec, о, /)= 0. A2.44)
Значит, для каждого матери-
материала при данной температуре
в координатах а — &с— ^можно
построить некоторую поверх-
поверхность [102]. Рассекая эту по-
поверхность плоскостями, пер-
перпендикулярными координат-
координатным осям а, 8с, t> получаем со-
соответственно кривые ползуче-
ползучести при постоянных напряже-
напряжениях (рис. 140, а), кривые ре-
релаксации при постоянных де-
деформациях (рис. 140, б) и изо-
изохронные кривые ползучести — кривые зависимости между напря-
напряжением и деформациями для заданных значений времени (рис.
140, в). В теории старения принимается следующее уравнение связи
между напряжением, деформацией и временем [284]:
tf<t2<tj
Рис. 140
а, t).
A2.45)
В случае степенной зависимости при условии подобия кривых
ползучести уравнение A2.45) преобразуется к виду
о
E
A2.46)
Учитывая, что В (t) = . , следовательно, Q (t) — \ В (t) ^^урав-
^^уравнение A2,46) запишем таким образом [102]:
345

t
8 = JL + on Г B{t) dtt
to
ИЛИ
t
При 8 = const = —^ из уравнения ползучести по теории старения
получаем уравнение семейства кривых релаксации:
а @) =в а + Q (t) Eoni	A2.47)
чли
t
а@) = а \\ + Е \ опЫ В (t) di\.	A2.47a)
В безразмерных величинах уравнение A2»47) имеет вид
A2.48)
где
Из уравнения A2.48) следует, что с увеличением времени о*-> О,
Несколько иная формулировка теории старения, удобная для
расчетов, предложена Ю. Н. Работновым [168]. В этом случае по
кривым ползучести при постоянных напряжениях (см. рис. 140, а)
строят изохронные кривые ползучести для различных моментов
времени (см. 140, в), что позволяет непосредственно применять
к решению задач теории ползучести решения задач теории пластич-
пластичности при данной зависимости a = / (е). При этом необходимо для
определенного момента времени из семейства изохронных кривых
выбрать соответствующую кривую a = / (е) (см. рис. 140, в). Рас-
Расчеты значительно упрощаются, если изохронные кривые ползуче-
ползучести подобны, Тогда изохронные кривые представляются как
о = Ф (е) г|> (/).	A2,49)
Если принять, что в начальный момент t= 0 ty @) = 1, тофунк-
ция ф (г) описывает диаграмму растяжения материала. Экспери-
Экспериментально (на примере хромистой стали (рие, 141)) установлено
[158] , что функция г[) (/) имеет вид
где а и Ь — константы материала, зависящие от температуры. При
е = const уравнение A2.49) описывает релаксацию напряжений.
Кривые релаксации при постоянной деформации (см. рис. 140, б)
346

согласно данной теории ползучести строятся по кривым ползучести
(гм. рис. 140, а). Для этого необходимо провести горизонтальную
прямую на расстоянии ?2, е2, е3, ..., вп и найти точки пересечения
с кривыми ползучести, по которым вычисляются напряжения для
определенных значений времени при данной деформации. На осно-
основании полученных результатов в координатах а — встроят кривые
релаксации (см. рис. 140, б).
200
100
A
/
9@
BBS
/Ш7;
О
Рис. 141
Теория течения
За основные переменные в теории течения принимаются напря-
напряжение, скорость деформации ползучести и время. Предполагается,
что при заданной температуре между указанными величинами су-
существует определенная зависимость [250]:
Ф2(|с, а, 0=0.	A2.51)
Поскольку 8 = г$ + ес> а гс = Q (t) on, то ?с = В (t) on. Тогда урав-
уравнение теории течения имеет вид
1 do
l = jj-t-\-B{t)on.	A2.52)
При В (t) = const и/i = 1 получаем уравнение Максвелла.
Уравнение, описывающее релаксацию напряжений по теории
течения, находим из уравнения A2.52), полагая, что при t = 0
8 @) = а @I Е (8 @) — удлинение, которое с течением времени
должно оставаться постоянным); следовательно, ?с = 0f После ин-
интегрирования при / = 0, Q @) = 0 имеем
1
о= о@) {1 +(л— 1) f[a@)]""Q@}n+l •	A2.53)
347

60
40
20
V
S!
Медь
б[0)Щ9
не
МИ
7?
Полученное уравнение описывает семей-
семейство кривых релаксации по теории тече-
течения. В безразмерных величинах A2,53)
записывается в виде
Щ' A2.54)
l
ZOO 400 600 8001,4
6
где
@)]
/г—1
Рис. 142
Из приведенных формул следует, что
с течением времени напряжение умень-
уменьшается, стремясь к нулю. Кривые релаксации для некоторых
значений п показаны на рис. 142, а. Определение t* при дроб-
дробном п осуществляется g помощью интерполяции или вспомога-
вспомогательного графика, приведенного на рис. 142, б. Кривая релакса^
ции (сплошная линия) для меди (Е = 0,99 • 105МН/м2 при началь-
начальном напряжении а = 94,9 МН/м2) и теоретическая кривая релак-
релаксации напряжений, рассчитанная по формуле A2.54) при п = 1,6
(штриховая линия), показаны на рис. 142, в [281].
Теория упрочнения
За основные переменные в теории упрочнения принимаются
напряжение, деформация ползучести и скорость деформации пол-
ползучести. Предполагается, что при заданной температуре сущест-
существует определенная зависимость между указанными величинами
[102, 168, 250, 261, 272-274]:
Ф3(гс> а, у =0,
Обычно эта зависимость принимается в виде
Поскольку
/(a)=aav,
348
A2.55)
A2.56)
A2,57)

уравнение A2.56) запишется таким образом:
lcEc=a(jV'	(I2.58)
Здесь а, р, v — постоянные материала, зависящие от температуры.
После интегрирования уравнения A2.58) при ? = 0, |с = 0 находим
mv/i"p=M	A2.59)
250
200
150
100
141
259 "
¦ «¦
¦————
-—	—
————-
-—— —-
10
40 t,4
Рис. 143
Тогда уравнение, описывающее кривые ползучести по теории упроч-
упрочнения, имеет вид
1
?	A2.60)
Данное уравнение показывает, что кривые ползучести в этом слу-
случае геометрически подобны. Из уравнения A2.60) интегрированием
при t = 0, a = a @) получаем
о@)
Уравнение A2.61) описывает семейство кривых релаксации
в неявном виде. Для произвольных величин v и Р интеграл A2.61)
определяется численно. На рис. 143 показаны результаты сопостав-
сопоставления экспериментальных данных по исследованию кривых релак-
релаксации напряжений для хромомолибденовой стали ЗОХМпри 500° С
и различных начальных напряжениях (сплошная линия) с теорети-
теоретическими (штриховая линия), построенными по теории упрочнения
[43]. Теория упрочнения довольно хорошо подтверждается экспе»
риментально.
349

ГЛАВА 13
ЗАКОНЫ ПОЛЗУЧЕСТИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ
РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ
ТЕМПЕРАТУРАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ В УСЛОВИЯХ
ЛИНЕЙНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
1. Гипотезы ползучести и закономерности
длительной прочности материалов
при переменных температурах
Циклически изменяющиеся температуры существенно влияют
на процессы ползучести, а следовательно, и на процессы разруше-
разрушения материалов [13, 14,37, 38, 76, 83, 109, 112—119, 122, 126, 147—
151, 198, 199, 245—248, 255, 262—265, 275]. Причинами такого
влияния являются температурные напряжения, которые могут воз-
возникать за счет неравномерного нагрева; изменение механических
характеристик материала в зависимости от изменения температуры
и другие факторы- Рассмотрим основные законы ползучести и дли-
длительной прочности материалов при переменных температурах и на-
напряжениях.
О гипотезах трансформированного времени
и температурного последействия
При исследовании ползучести в условиях переменных темпе-
температур необходимо решать задачу так, чтобы ее решение позволяло
с помощью кризых ползучести, снятых при постоянной темпера-
температуре, строить кривые ползучести для температуры, изменяющейся
по любому, наперед заданному закону [92J. Математически данная
задача сводится к нахождению аналитической зависимости между
уравнением, описывающим обычную изотермическую ползучесть;
8=ф(ГЛ),	A3.1)
м уравнением ползучести для случая, когда температура является
заданной функцией времени:
8 = Ф[Т (/), /],	A3.2)
где t — время; Т — температура, имеющая смысл некоторого по-
постоянного параметра; ф — функция, определяемая по данным экс-
эксперимента. Если бы нам удалось вместо уравнения A3.1) найти
уравнение типа кинетического уравнения процесса, то данная за-
задача, по-видимому, была бы решена, так как любой конкретный про-
процесс можно было бы рассчитывать тривиально. Но уравнение A3.1)
не имеет смысла уравнения кинетического процесса, а поэтому вза-
взаимосвязь между уравнениями A3.1) и A3.2) не всегда очевидна [92].
В настоящее время определены две основные концепции, которыми
пользуются при описании уравнения A3.2) с помощью уравнения
A3.1): гипотеза трансформированного времени и гипотеза темпера-
температурного последействия.
350

о v t ti t, t о
t; t, t о г t г ~t
Рис. 144
Гипотеза трансформированного времени утверждает, что ско-
скорость ползучести при непрерывно изменяющейся температуре в лю-
любой момент времени и для каждой температуры Т «овпадает ео>
скоростью ползучести при испытании в условиях постоянной темпе-
температуры Т в момент времени /'(/' —преобразованное трансформиро-
трансформированное время, зависящее от всей температурной и временной преды-
предыстории) . При этом предполагается, что с момента времени /темпе-
/температура поддерживается на уровне Т и процесс ползучести в точности
соответствует уравнению A3.1), начиная от точки М. На рис 144, а
[92] данная гипотеза представлена графически. Если к моменту вре-
времени /деформация составила е (точка М), а температура приняла
значение Т в течение времени А/ = t± — /, то за указанное время
деформация нарастает от 8 до гх по кривой Mg, построенной парал-
параллельным переносом (вдоль линии MN) отрезка кривойЛ/Р, которая
соответствует ползучести при Т = const» Скорость ползучести из-
изменяется по кривой N1 Р'. Искомая точка N, соответствующая мо-
моменту времени /', и точка Р, взятая в момент /'.,= /'+ А/, нахо-
351

датся с учетом всей предыстории. Гипотеза трансформированного
времени в аналитической форме сводится к предположению, что
- 0Ф__ ftp [T(Qt У (8, 7, Q]
8 -а?"" 5/	•	(ШЗ)
и, следовательно,
е = Ф (о = f дф[П0. <'(е,г, 01 Л. A3.4)
о
Один из методов преобразования времени заключается в посту-
постулировании равенства времени tl = t (метод равных времен, теория
старения). Искомая точка N на кривой г = ф G, /) находится
переносом точки М параллельно оси деформации (рис. 144, б). Дан-
Данная гипотеза основана на предположении, что единственным неза-
независимым физическим параметром, влияющим на конечную структуру
материала, является время, прошедшее с начала испытания. Это
предположение в случае, когдя семейство кривых ползучести пере-
перестраивается в одну кривую, причем по вертикали откладывается
специально подобранный параметр б G, е), зависящий от темпера-
температуры и деформации, является достоверным. В работе [921 при-
приводится пример использования данной гипотезы при расчете дефор-
деформации ползучести за /V температурных циклов, когда параметри-
параметрическое семейство кривых описывается формулой
f
L
A3.5)
Дифференцируя выражение A3.5) по времени t и принимая 7 (/),
из формулы A3.4) находим
8 = аЛ (a) J ta~l exp [~-щ|]^,	A3.6)
где т — период цикла. Учитывая, что при периодическом тепловом
воздействии 7 (t) = 7 (t + ят) (^ — любое целое число) и заменяя
t' = t — (п— 1) т (опустив индекс), преобразовываем A3.6) к виду
[92]
No х
е= аЛ (а) У] J [t+ (я- 1) т]^1 exp[~^.J^. (Г3.7)
В формуле^ A3.7) каждый член суммы дает деформацию за один
цикл, а окончательный результат зависит от формы температурного
цикла. Второе предположение гипотезы трансформированного вре-
времени заключается в том, что структура материала зависит только от
величины накопленной деформации и не зависит от способа ее полу-
получения. Этот метод носит название метода равных деформаций (тео*
рия пластического течения, теория упрочнения). В этом случае гра-
графическое нахождение /' сводится к переносу точки М в точку W на
352

кривой е = ф (Г, t) параллельным перемещением оси времени (оис.
144, в). На основании данного предположения семейство кривых
ползучести можно перестроить в одну кривую
8 = Q @),	A3.8)
заменив время некоторым подобранным параметром в (Т, t), зави-
зависящим от температуры и времени [252]. Определяя параметр
для переменного температурного режима в G\ t) из эксперимента
G G\ t) = g G\ t), где Т имеет смысл параметра, а также прира-
приращение dQ =—~—-dt и принимая, что температура — функция
времени, получаем [92]:
О [Г @, t]
.Г dg[T(f),t]
J	dt
dt.
A3.9)
Деформацию находим из уравнения A3.8) с учетом A3.9).
Деформация ползучести при циклическом тепловом воздей-
воздействии, когда исходное параметрическое уравнение задано формулой
A3.5) (при Т = Т (/)), определяется дифференциальным уравнением
A3.10)
Рис. 145
50 100 150 ZOO t,4
5
Интегрируя уравнение A3.10), получаем
A3.11)
Таким образом, решение уравнения A3.10) не совпадает с решением
уравнений A3.6), A3.7). Однако экспериментальные результаты на
ползучесть при синусоидальном изменении температуры для хро-
моникелевого сплава ЭИ437Б [59] достаточно хорошо описываются
с помощью дифференциального уравнения A3.10). Это видно из
рис. 145, а, где приведены кривые ползучести при максимальной
температуре никла 700° С (/), минимальной температуре цикла
650° С B), изменяющейся температуре 650 :? 700° С с периодом 1 ч
12
353

D), 2 ч (Я), а также расчетная кривая E) при переменной^темпера-
переменной^температуре. На рис. 145, б приведены данные по исследованию нержавею-
нержавеющей стали при переменных температурах с различной длительно-
длительностью цикла A5, 60, 120 с) при а = 80 МН/м2 [287, 288]. Экспери-
Экспериментальные (сплошная линия) и расчетные (штриховая линия) кри-
кривые ползучести сравнительно хорошо совпадают.
Используя параметр для переменного температурного режима 0,
формулу A3.5) запишем в виде
г = А(о)всс(Т1 t),	A3,12)
где
Если выражение A3.13) продифференцировать по времени, а затем
принять, что Г = Г(/), то после интегрирования имеем [92]
A3.14)
Подставляя A3.14) в выражение A3.12), получаем формулу A3.11).
Однако ошибочно полагать, что с введением параметров 0, 6 уда»
ется свести к одной кривой все семейство кривых ползучести. Ре-
Результаты расчетов, выполненных с использованием этих парамет-
параметров, не всегда согласуются. Гипотеза трансформированного вре-
времени для расчета ползучести на второй стадии при циклическом
изменении те*мпературы впервые применена при постоянной скорос-
скорости ползучести. В этом случае выражение A3.1) принимает вид
8=фG\ Q = eepGV.
Гипотеза трансформированного времени в этом случае имеет един-
единственное математическое и физическое истолкование. Так как t' не
входит в выражение A3.13), то при любом способе преобразования
t в t' из уравнения A3.4) находим
е = Г «wo, n dtmBh [T m dt = T1Ш от. A3.15)
J ot	J	J ат
0	°	° df
Ползучесть при переменном температурном режиме зависит от ско-
скорости установившейся ползучести 8 (/) и характера температуры
Т = Т (t). Это наглядно иллюстрирует рис. 144, 2. Отрезок прямой
Mg имеет единственное начертание" независимо от расположения
точки Т на прямой, соответствующей ползучести при выбранной тем-
температуре Т. Сопоставление теории и эксперимента непосредственно
по формуле A3.15) не всегда удобно, поэтому сравнивают экспери-
354

ментально наблюдаемую скорость ползучести за цикл 7^сп) и рас-
расчетную 1(р<?рЧ)» определяемую по формуле
х
= 1 Геср
о
еср [Т (*)] dt = Т(тIТ f Z&p- dT, A3.16)
или эффективную Тэ^ и эквивалентную Гэкв температуры. Если
^(расч) ^g(9Kcn) или Тэкв& ТЭф, то наблюдается ускорение или за-
замедление ползучести при циклическом изменении температуры.
Совпадение этих критериев свидетельствует о справедливости гипо-
гипотезы трансформированного времени. Удовлетворительное соответст-
соответствие расчетных и экспериментальных данных отмечалось японскими
исследователями [287, 288].
В ограниченной области изменения температур и напряжений
некоторые аустенитные сложнолегированные сплавы почти нечув-
нечувствительны к колебаниям температуры [58, 59]. Тем не менее ползу-
ползучесть металлов и сплавов при циклическом изменении температуры
нельзя предсказать тривиальным усреднением по форме цикла B51—
254, 275, 287, 288]. Поведение материалов настолько отличается от
ожидаемого, что гипотеза трансформированного времени не всегда
в состоянии объяснить наблюдаемые эффекты. Дальнейшим шагом
для понимания проблемы ползучести при переменной температуре
явилась гипотеза температурного последействия. Данная гипотеза
сводится к предположению о том, что всякое реальное твердое тело
наследственно по температуре, т. е. обладает своеобразной «па-
«памятью» в отношении температурной предыстории. Это означает, что
при любом изменении температуры скорость ползучести, соответ-
соответствующая новой температуре, устанавливается не сразу, а в тече-
течение некоторого промежутка времени, необходимого для того, чтобы
«память» о прежней температуре была полностью снята 192].
Если добавочная скорость деформации, обусловленная темпе-
температурным последействием, характеризуется величиной гс, то за
время % образец получит дополнительную деформацию последей-
последействия,
т
~ie[T(t), t]dt,	A3.17)
которой объясняется как ускорение ползучести (гс > 0), так и ее
замедление (ес <0). Гипотеза температурного последействия гра-
графически представлена на рис. 144, д. Начиная от точки М, мате-
материал деформируется в соответствии с одной из кривых NL, NK
и т. д., т. е. по кривым Мп, Mm и т. д., полученным параллельным
переносом отрезков NL = NK и т. д. вдоль отрезка NМ. При этом
предполагается, что по истечении достаточного времени кривые
NL, NK и т. д. становятся параллельными основной кривой NP.
Появление добавочной деформации ng < 0 (или mg > 0) обуслов-
обусловлено расхождением расчетной fg и экспериментально наблюдаемой
fm деформациями ползучести. Гипотеза температурного последей-
последействия основана на теоретических и экспериментальных предпосыл*
12*	355

ках. Поскольку скорость ползучести вависит от структурного го-
стояния материала, а также температуры при прочих равных усло-
условиях, то с изменением температуры новое состояние устанавлива-
устанавливается постепенно во времени, а следовательно, и скорость ползуче-
ползучести, характерная для новой температуры, достигается не сразу, что
означает последействие. Природа температурного последействия
может быть разнообразной [39, 92].
Решение задачи деформационного поведения материалов при
переменных температурах связано со значительными трудностями,
обусловленными тем, что изотермические кривые ползучести, даю-
дающие параметрическую зависимость от температуры, не позволяют
просто еформулировать кинематическое уравнение процесса. Таким
образом, данная проблема требует серьезных дополнительных
исследований.
Ползучесть и длительная прочность материалов
при программном изменении температуры
Предел длительной прочности, а также характеристики ползу-
ползучести зависят от программы изменения "во времени температуры
(рис. 146, а). Все программы изменения температуры при постоян.
ном интервале ее изменения (AT = Tma%z?L Tmix== const) (рис. 146, б)
описываются уравнением
Yt + Vt + Yt = U	A3-]8)
т. ~ т . т
где 7Т= г- '» Тт^ Т » Тт^ 7" *^ относительное время пребывания
Ц	Ц	Ц
образца за цикл соответственно при максимальной, минимальной
температурах цикла, а также время, в течение которого происходит
изменение температуры от fmit] до Гтах и обратно; ^ц —время дли-
длительности цикла.
При реализации всей программы исследования [150] оставались
постоянными скорость нагрева и охлаждения образца, интервал из-
изменения температуры (AT = const), максимальная (минимальная)
ГЦ
Рис. 146

температура цикла, напряжения. Кривые ползучести для стали
1Х18Н9Т при напряжении а = 224 МН/м* и циклическом изменении
температуры F70 *=* 720° С) по программам (/ — ут = I; 2 — <?= 0,375,
^т= 0,625; <? — ^т^0»480' ?т = 0,520; 4 — ут = 0,700, ут = 0,300;
5 — 7Т = 1. 7Т = °; б — 7т = °>700» VT = °'300*> 7 — V= °'480' 7т =
== 0,520; 8 — vT = 0,375, ^т = 0,625; Р — у7 = 0,144, ут = 0,856; 10—
ут= 1) приведены на рис. 147. Скорость установившейся ползучести
с, мм/мм
материала, как это видно из рисунка, зависит от формы темпера-
температурного цикла. График этой зависимости для стали 1Х18Н9Т при
о = 22,4МН/м2 и данном интервале изменения температуры F70 i=t
5=2 720° С) показан на рис. 148. Минимальная скорость ползучести
при любой программе изменения температуры для данного напряже-
напряжения определяется по формуле
(Уп
Ш ехР
ln -=
A3,19)
гДе (lc)min> (Umin» (Umin "• скорости установившейся ползучести,
полученные из кривых ползучести (рис, 147) при данном напряже-
напряжении и максимальной температуре (/), минимальной температуре
цикла A0) и циклической ползучести E) при том же напряжении.
График зависимости между временем до разрушения и парамет-
параметрами yt, 7т> характеризующими форму температурного цикла при
357

Рис. 148
Гис, 149

данном интервале изменения температуры F70 :? 720° С) для различ-
различных значений напряжений G — 184; 77—200; 777 — 210; IV —
224 МН/м2) для стали 1Х18Н9Т [150] приведен на рис, 149,# Время
до разрушения материала при любой форме цикла изменения темпе-
температуры A3.18) определяется по формуле
/ ~ - \ 1—1
A3.20)
где__ а — напряжение, при котором производились испытания;
т, т, т, Л, А, А— постоянные материала, которые находятся из
кривых длительной прочности, построенных соответственно при тем-
температуре, равной максимальной (Гтах = const), минимальной (Тт1п =
= const) температуре цикла и циклическом изменении температуры
(Гт1п:?Гтах = AT1 = const). Кривые длительной прочности для ста-
сталей 1Х18Н9Т (штриховая линия) и ЭИ435 (сплошная линия) при
Tmin = 670° С, Гтах = 720° С и циклическом изменении температуры
67051720° С показаны на рис. 150 [150]. Обобщенная диаграмма
разрушения материала для стали 1Х18Н9Т в рассматриваемом диапа-
диапазоне напряжений при температурах 670 :? 720° С по программе yt +
+ YT = 1 приведена на рис. 151 (Л, А, ф, ® — эксперимент; , —
теория). На основе принципа линейного закона суммирования повре-
повреждаемости получен ряд расчетных формул; например, формулы для
вычисления времени до разрушения металлов при циклически изме-
изменяющейся температуре [269] для двух видов циклов:
прямоугольный цикл GТ+ 7Т = 1)
треугольный пилообразный цикл (уТ == 1)
A3.21а)
sh
(wn.fr) '
где ?p — время до разрушения материала; Fp, Fp, 7p —время до раз-
разрушения материала при постоянной максимальной, минимальной
и средней температурах цикла; П2—параметр Ларсона—Миллера;
R =-?- — отношение времени пребывания образца при Tmax ко вре-
т
мени пребывания образца при Tmin#
Расчетные кривые, полученные по формулам A3.21) для спла-
сплавов S-816 (/) и М-252 B), применительно к испытаниям в условиях
прямоугольного температурного цикла АГ = 815 ^1 900° С при
359

6-Ю
Рис 150
10° 2;Ю° НО0 7-109 Ю1 2-Ю1 t,4
Рис. 151

о =140 МН/м2 приведены на рис. 152, а; для температурного
цикла 815 :? 980° С при о= 105 МН/м2 — на рис. 152, б. Экспери-
Экспериментальные точки с достаточной степенью точности ложатся на рас-
расчетные кривые. Расчетная кривая длительной прочности, подсчи-
подсчитанная по формуле A3.21а), для сплавов S-816 (/) и М-252 B) при
изменении температуры по пилообразному циклу, имеющему сред-
среднюю температуру 810° С, в зависимости от амплитуды изменения
температуры при о= 142 МН/м2, приведена на рис. 152, б. Экспе-
Экспериментальные точки, представляющие действительные долговечно-
долговечности для сплава М-252 при небольших А7\ ложатся на расчетную
кривую, а при значительных изменениях температуры расиолага-
200
100
60
30
10
4
О 25 50 70 100 125АТУ
S
r4
100
10
100
10
1
-о—-
Г 900°
^—
Т 960°
-^3/5°
о
	U
с
о
[
\
к
W
н
\
\
, Y
AT
AT
Ю'4
Рис. 152
ются ниже ее. Полученные закономерности, по-видимому, справед-
справедливы не для всех материалов и не для всех температурных режимов,
так как длительная прочность при переменных режимах не имеет
простой корреляции с деформацией.
2. Ползучесть и длительная прочность
материалов при переменных напряжениях
Кинематическое уравнение ползучести.
Ползучесть при ступенчатом изменении напряжений
Нестационарность нагружения влияет на характеристики пол-
ползучести и длительной прочности. Экспериментально обнаружено,
что при увеличении напряжения от а01 до о0г (рис. 153, а) [102]
(о02 > сг01) скорость ползучести в первый момент достигает значи-
значительно большей величины, чем при постоянных значениях напряже-
напряжений оо2 (сплошная линия) и предсказанной теорией упрочнения
(штриховая линия). При резком уменьшении напряжения от о01
до о02 (о01 > о0г) (рис. 153, б) скорость ползучести в первый момент
361

Рис. 153
становится равной или меньшей скорости при постоянных напряже-
напряжениях о02 (сплошная линия) и скорости, предсказанной теорией
упрочнения (штриховая линия).
Согласно кинематическому уравнению ползучести 1103], ско-
скорость ползучести определяется напряжением, температурой, а так-
также некоторым числом структурных параметров gt. Тогда общее
уравнение ползучести имеет вид
Ь-/(о, T,gug29 ...,ga).	A3.22)
При ползучести должно происходить изменение структуры, обу-
обусловленное изменением параметров g(. Предполагается, что измене-
изменение структуры аналитически описывается следующим кинемати-
кинематическим уравнением 1168]:
dgt = atdp + bt do + ctdt+ ft dT,	A3.23)
где at> bi% ci% ft — некоторые функции от ec, а, Г, tt а также па-
параметров gt, g2, ... , gn. Уравнения A3.23) не интегрируются. Тем
не менее, используя это уравнение, можно построить хотя и слож-
сложные, но сколь угодно точные теории ползучести. При п = 1, полагая
dg = d&c, а, следовательно, ес = gt получаем обычную теорию упроч-
упрочнения. За меру упрочнения можно принять не величину деформации
ползучести, а, например, работу напряжений на деформациях пол-
ползучести. Ограничиваясь одним параметром упрочнения и принимая
dg — o dec, находим
\dsc.	A3.24)
362

'Q2
Предположим, что ползучесть протекает при постоянном напряже-
напряжении аО1 и к моменту времени tx накопилась деформация ползучести
еп» а 8 == 8ci°oi (рис. 154). Если изменить напряжение до величины1
о02, то ползучесть будет описываться уравнением A3.22), причем
в первый момент /х можно указать точку А с ординатой гсъ для кото*
рой g = Ooieci. На кривой ползучести, соответствующей постоян-
постоянному напряжению о02, можно указать точку В с ординатой ес2,
такой, что с02ес2 = eaooi. После изменения напряжений скорость
ползучести будет той же, что на кривой ползучести при о02
в точке В, и таким же будет дальнейший ход кривой. Следовательно,
чтобы предсказать ползучесть при ступенчатом изменении напря-
напряжений от ooi до Оо2 в момент, когда ьс = рс1, на кривой ползучести
при напряжении ао§ необходимо найти точку, для которой гс =
= гС2 = 8ci —— , и перенести правую часть кривой (по отношению
к этой точке) параллельно самой
себе (см. рис. 154).
Пусть серия кривых ползуче-
ползучести достаточно хорошо описыва-
описывается уравнением состояния вида
?с8?==а'1-	A3.25)
Выберем такой вид уравнения
A3.22) при g= \ od&, чтобы для
постоянных напряжений оно совпа-
совпадало с A3.25). Если о = const, то с°,
g = <jec. Исключая из A3,25) &Су
получаем
?с = ?ао^а. Aз.26)
Теория упрочнения, в которой за меру упрочнения принимается g
A3.24), проверялась экспериментально. На рис. 155, а показаны
кривые ползучести для сплава Д16АТ при Т = 150° С и ступенча-
ступенчатом изменении напряжений (/—от 150 до 250 МН/м2; 2—100,
150, 200 МН/м2), рассчитанные по уравнению A3. 25), т. е. по обыч-
обычной теории упрочнения (штриховая линия) и по уравнению A3.26)
(сплошная линия) |126]. Теоретические и экспериментальные дан-
данные достаточно хорошо совпадают. Более точное совпадение дости-
достигается, если за меру упрочнения принимается величина
а (о) de .
A3.27)
Функцию а (а) можно подобрать так, чтобы наилучшим образом
описать ход данного эксперимента.
Процесс ползучести при ступенчатом изменении напряжений
можно описывать с помощью двух параметров состояния [168]:
п\ = ес« #2 = Мо.	A3.28)
При действии постоянного напряжения о10 g2— 0. При ступенча-
ступенчатом изменении напряжения от o0i до оо2 в момент, когда гс = гс1,
параметр g2 получает мгновенное приращение Ag2 =(о02 — o0i) &л.
363

09
№
О
0
pi °3^
20
Поэтому для описания кри-
кривых ползучести при ступен-
ступенчатом изменении напряже-
напряжений принимается следую-
следующий закон ползучести|168]:
A3.29)
На рис. 155, б приведены
кривые ползучести для
сплава Д16Т при Т = 200° С
и нагружении напряжением
Рис. 155	до1 = 80 МН/мЗ в течение
первых 24 ч, а затем мгно-
мгновенном изменении его до 160 МН/м2 (см. рис. 153, а), рассчитанные
по уравнению теории упрочнения (штриховая линия)
е^ = /Сехр —	A3.30)
и по уравнению A3.29) (сплошная линия), а также полученные
экспериментально (кружочек). На рис. 155, в показаны кривые пол-
ползучести при ступенчатом изменении напряжений (o0i= 120 МН/м2;
о02 = 160 МН/м2), которые прикладывались в размерной последо-
последовательности сначала по программе рис. 153, а, а затем по про-
программе 153 б, рассчитанные по уравнениям A3.29) (сплошная
линия) и A3.30) (штриховая линия). Из рис. 155, б, в видно, что
при ступенчатом изменении напряжений учет параметра g2 не всегда
уточняет правильность расчета кривой ползучести, однако позво-
позволяет, по крайней мере, качественно объяснить многие из наблюдае-
наблюдаемых фактов и открывает возможность для количественного опи-
описания.
При изменении знака напряжения в первый момент резко уве-
увеличивается скорость ползучести в новом направлении, причем она
может превзойти скорость ползучести в начальный момент нагруже-
ния при том же напряжении (рис. 156, а). Часто условия работы эле-
элементов конструкций таковы, что закон изменения напряжения мож-
можно представить в виде нескольких последовательных длительных
режимов нагружения (рис.156, б). Для простоты выберем два уровня
364

напряжений ао1 и а02 и режим а03 = —<у01. Ползучесть, устано
вившаяся при таком режиме нагружения, называется многорежим-
многорежимной (см. рис. 156,6). Если продлить прямолинейные участки кривых
ползучести при o0i == const, a02 = const до пересечения с осью ор-
ординат, то находим 8^@) = q> [ о@), Т]. Тогда
8,@ =8,a@)+(8^rain^	A3.31)
где &са @) — деформация ползучести, достигнутая в конечный мо-
момент нестационарной ползучести, которая появляется при взаимном
ч
а
t
t
ч
Рис. 156
увеличении напряжения от 0 до а0. При увеличении напряжения от
tfoi до од2 деформация 8^@) изменяется:
Дега @) = *ca («W —
A3.32)
Поэтому при переходе от режима o0i = const к режиму а02 =
= const деформация нестационарной ползучести через некоторое
время должна измениться (в данном случае увеличиться) на вели-
величину Дв2*3 @) (см. рис. 156, б). После выхода на установившуюся
ползучесть определяем деформацию ползучести на я-м режиме:
е, (t) = гс (tn_x) + Ае^> п) + sign aol F<я>)ш|п (t - t^J, A3.33)
где ес (tn-1) — деформация ползучести, достигнутая к концу
(п—1)-го режима;
д8(л-Ь п) _ sign ог0пДЕ<^—!« п\	A3.34)
При этом
"еяс1 a0n^ll» Г	]• Aс>'^
365

Момент изменения напряжения от одного знака к другому (точка 7
на рис. 156, б) .соответствует переходу к новому режиму. Кривая
многорежимной ползучести (сплошная ломаная линия 0 *~ И),
рассчитанная по формулам A3.33) — A3.35), показана на рис.
156, б.
Согласно формуле A3.34) предполагается полный возврат не-
нестационарной части ползучести при разгрузке, что справедливо
не для всех материалов [168]. Поэтому при неполном возврате де-
деформация ползучести при я-м режиме рассчитывается по формуле
A3.34), которая принимает вид
где кс = / [|о0|, Т] ; Хс = 1 соответствует полному возврату де-
деформации ползучести при разгрузке; Хс = О соответствует случаю,
когда при разгрузке нет возврата. Функция Ке определяется из
эксперимента на ползучесть с разгрузками. В определенном диа-
диапазоне напряжений и температур %с = const. При сохранении
знака напряжений
1 при Де^р1'">>();
при Aegp1'»><<>.
После изменения знака напряжений от (л — 1)-го к n-му режиму
А,с=8 1. Изменение деформаций ползучести при кс = 0,5 показано
на рис. 156, б штрихпунктирной линией. Расчеты по многорежим-
многорежимной установившейся ползучести при одноосном напряженном со-
состоянии удобно вести графически (см. рис. 156, б).
Длительная прочность при ступенчатом
изменении напряжений. Мера повреждений.
Закон суммирования повреждений
Предположим, что образец в условиях одноосного напряжен-
напряженного состояния подвергается нестационарной напряженности и не-
нестационарному нагреву (рис. 157, а) [102). Растянутый образец на-
находится под напряжением Oi при температуре 7\ в течение времени
t* и т. д., причем процесс заканчивается разрушением при напря-
напряжении Ok и температуре 7V Время до разрушения определяется по
формуле
/1
'*	A3.37)
Если обозначить через/lp, t2p	^р, . *. , tkp значения времени,
необходимые для разрушения при напряжениях соответственно оъ
о*2, . .. , ст.-, .. . , Ofr которые определяются по кривым длитель-
длительной прочности (рис. 157, б) при температурах 7\, Г2, « .« , Т/Ч . ..
... , Тк, то отношения
A A ii '/ А
366

Рис. 157
характеризуют меру повреждения образца соответственно на
первом, втором и т. д. режимах. На основании экспериментальных
данных по исследованию длительной прочности при нестационар-
нестационарном нагреве и нестационарном нагружении установлено, что сумма
повреждений для данного материала равна единице, т. е»
A3.39)
Условие A3.39) называют линейным законом суммирования по-
повреждений. В случае непрерывного изменения напряжений и тем-
температуры (рис. 157, в) это условие принимает вид
dt
p
¦ 1,
A3.40)
где /р — время до разрушения; /? — время, необходимое для раз-
разрушения при напряжении, равном о. Величина с/ является функ-
функцией времени и определяется по графику (рис. 157, е) и кривым
длительной прочности материала (рис. 157, б).
Предположим, что образец находится в условиях нестационар-
нестационарного нагружения и нагрева (см. рис. 157, а), причем на k-u режиме
разрушения не происходит. Определим для этого режима коэффи-
коэффициенты запаса по времени ntn напряжению^. Увеличим отрезки
367

времени /t, tQ, /8,..., tf, ..., tk в /г^ раз так, чтобы в конце k-ro ре-
режима произошло разрушение. Число nt для данного режима назы-
называется коэффициентом запаса по времени. Тогда
Используя условие A3.39), с учетом A3.41) находим [102]
п, = —р-!		A3.42)
Увеличим напряжения аь а2, . .. , а;-, . . . , ok в ло раз: пао1,
пао2, .. . , лоаг, . .. , naok, причем так, чтобы в конце нового ре-
режима произошло разрушение. Число па для данного режима назы-
называется коэффициентом запаса по напряжениям. Используя линейный
закон суммирования повреждаемости A3.39), а также зависимости
—т.	—m.
(см. рис. 157,6) tp = Aj(nQaf) '; t/ = AJoip ', получаем урав-
уравнение для определения коэффициента запаса по напряжению [102]:
где аур—напряжение, при котором происходит разрушение
через время tj. Уравнение A3.43) решается численно. Следова-
Следовательно, линейный закон суммирования повреждений можно поло-
положить в основу оценки запасов прочности конструкций, работающих
в условиях нестационарного нагружения, и разработки программ
ускоренных испытаний. Однако этот закон подтверждается не для
всех материалов, не для всех температур испытаний и не для всех
режимов нагружения.
Длительная прочность материала
при программном изменении напряжений
Характеристики ползучести и длительной прочности при дан-
данной температуре для данного материала зависят от программы из-
изменения напряжений (рис. 158, а) [13, 14, 38, 78, 105, 109, 119,
120, 175, 179, 192, 193, 198, 231, 245]. Все программы изменения
напряжений при Ас = aminz? amax = const описываются уравнением
(рис. 158, б)
8!.	О3'44)
где уа = -т^- ; 7о = ~"""" относительное время пребывания образца
*ц	ц
sa цикл соответственно при максимальном, минимальном напряже-
368

Рис. 158
ниях цикла; y0 = —	относительное время пребывания образца
ц
за цикл, в течение которого напряжение изменяется от amin до о~тах
и обратно; /ц—время длительности цикла.
Результаты исследования ползучести и длительной прочности
при повышенных температурах и программном изменении напряжений
приведены в работах [121, 150, 168, 192]. На рис. 159 [150] пока-
показаны кривые ползучести для стали 1Х18Н9Т при Т = 670° С,
Ао — 18,4^:22,4 МН/м2 и некоторых программах нагружения (/ —
-Yo = l. Vff=0;2^Yo = 0,25, ya = 0,75; 3^ yQ = 0,75, уа = 0,25;.
369

Рис. 160
4-Ya = l; 5-ya = 0Jb, Ya = 0,25; 6-уо = 0,Б, у, = 0,5; 7-
Ta = 0>25. Ъ = 0,75; 5-va = 0,144, Ya = °»856; 9-?. = 1)- пРи
постоянной скорости нагрузки и разгрузки при данном Да = const
форма цикла изменения напряжений влияет на скорость ползучести,
величину накопленной пластической деформации до разрушения ма-
материала, а также на время до разрушения. Влияние формы цикла
изменения напряжений на время до разрушения стали 1Х18Н9Т при
Т = 670° С в относительных координатах показано на рис. 160. При
данной температуре и данном интервале изменения напряжений время
до разрушения при любой программе нестационарного нагружения
с учетом A3.39) определяется по формуле
t
A3.45)
где
A3.46)
370

a i|>0—функция, учитывающая влияние цикла нестационарного на-
гружения на величину времени до разрушения по сравнению с ве-
величиной времени до разрушения при малоцикловой усталости
(уа = 1); ?р, }р — время до разрушения в условиях изотермической
ползучести соответственно при максимальном, минимальном напря-
напряжениях цикла и данной температуре; 7р — время до разрушения при-
циклическом изменении напряжений (уа = 1).
Таким образом, зная время до разрушения материала в усло-
условиях изотермической ползучести при минимальном напряжений
цикла, при максимальном напряжении цикла, а также время до
разрушения в условиях циклового изменения напряжений, можно
приближенно определить время до разрушения при любой форме
цикла изменения напряжений и постоянной температуре. Зависи-
Зависимости, полученные на основании линейного закона суммирования
повреждаемости, позволяют с определенной точностью количест-
количественно оценить влияние формы цикла программного нагружения»
при данном интервале изменения напряжений и заданной темпе»
ратуре на долговечность материала.
3. Длительная прочность материала
при независимо изменяющихся во времени
температурах и напряжениях
Исследования [150] материалов на длительную прочность пр»
программном независимом изменении во времени температуры (AT =
= ^"min^^max = const) и изменении напряжений (Да = ат\п<^
5:amax = const) по различным программам (см. рис. 146, аи 158, а)у
которые описываются уравнениями A3.18) и A3.44), позволили
построить для каждого материала обобщенную диаграмму разруше-
разрушения материалов. На рис. 161 показана такая диаграмма для стал»
1Х18Н9Т при Да =184^:224 МН/м2 = const и Дг = 670 :? 720° С =¦
= const. Из приведенной обобщенной диаграммы видно, что форма»
цикла одновременного изменения во времени температуры и напря-
напряжений, находящихся как в фазах, так и в противофазах с одина-
одинаковыми и разными частотами, влияет на долговечность материала.
Время до разрушения материала при программном независимом
изменении во времени температуры (ДГ = Tmin ;? Гтах = const)
и изменении напряжений (Да= amin^:amax == const) определяется-
по следующим формулам.
1. При совпадении изменения напряжений и температуры по
фазам
/р = *33Чуг,	A3.46)
где *3 з — время до разрушения материала в условиях циклического-
изменения температуры (уТ = 1) и напряжений (yo = 1), совпадаю-
совпадающих по фазам; Ч^-^ — функция, учитывающая влияние формы-
цикла одновременного изменения температуры и напряжений, сов-
371

6\
Рис. 161
падающих по фазам на величину времени до разрушения материала;
в явном виде
A3.47)
где ^ а, г|)^ а —« коэффициенты, зависящие от уоУ которые опреде-
определяются таким образом: а) в случае одновременного изменения темпе-
температуры и напряжений g выдержками при максимальном напряжении
372

и максимальной температуре цикла (рис. 162, а, поверхность /)
_J	Ф31 "til у
%1 %1*1I a
A3.48)
¦г..-
б) в случае одновременного изменения температуры и напряжений
с выдержками при минимальном напряжении и минимальной тем-
температуре цикла (рис. 162, а, поверхность //)
.т	1	)
1т.. ="
Здесь
1м
A3.49)
_ 'л
ih	31
YS1 = Г" »
*33
_31 .
33
N 22 — Г~ »
f33
Y32 — 7~
?33
A3.50)
где /п—время до разрушения материала в условиях изотермиче-
изотермической ползучести при максимальном напряжении и максимальной
373

температуре цикла; ?13 — время до разрушения материала при цик-
циклическом изменении температуры и максимальном напряжении
цикла; /33 — время до разрушения материала в условиях цикли-
циклического изменения температуры и напряжений приданных Дай ДГ;
*3i — время до разрушения материала при циклическом измене-
изменении напряжений и максимальной температуре цикла; /22 — время
до разрушения материала в условиях изотермической ползучесги
при минимальном напряжении и минимальной температуре цикла;
*2з — время до разрушения материала при циклическом изменении
температуры и минимальном напряжении цикла; /32—время до
разрушения материала при циклическом изменении напряжений
и минимальной температуре цикла.
Результаты исследований материалов при одновременном изме-
изменении температуры и напряжений, совпадающих по фазам, позво-
позволили дать приближенную количественную оценку влияния формы
цикла одновременного изменения температуры и напряжений на
величину времени до разрушения материала.
2. В случае одновременного изменения температуры и напря-
напряжений, находящихся в противофазах при данном ДГ и Да,
<p=&4Ur	A3.51)
где /з*3 — время до разрушения материала при циклическом изме-
нении температуры и напряжений, находящихся в противофазах;
Ч^^ — функция, учитывающая влияние формы цикла одновремен-
Т, а
ного изменения температуры и напряжении, находящихся в проти-
противофазах, на время до разрушения; в явном виде она записывается
таким образом: а) в случае одновременного изменения температуры
и напряжений, находящихся в противофазах, с выдержками при
максимальном напряжении и минимальной температуре цикла
(рис. 162, б, поверхность /)
7\ а
1	Ф32 — 'Ф12
— 1
A3.52)
б) в случае циклического изменения температуры и напряжений,
находящихся в противофазах, с выдержками при минимальном на-
напряжении и максимальной температуре цикла (рис. 162, б, поверх*
ность //)
Т* о
1 1-%з ~
1 +
A3.53)
374

где
7т'
A3.54)
Здесь ^зз —время до разрушения материала в условиях цикличе-
циклического изменения температуры и напряжений, находящихся в про-
тивофазах. Исследования материалов при одновременном измене-
изменении температуры и напряжений отличаются от исследований мате-
материалов при теплосменах тем, что в последнем случае напряжения
и температура являются зависимыми функциями.
4. Ползучесть и долговечность материалов
при пульсирующем цикле теплового нагружения
При циклическом изменении температуры в равномерно нагре-
нагретом, защемленном по концам стержне возникают переменные на-
напряжения. Переменная температура Т (t) и переменные напряже-
напряжения о\Т (t)] являются зависимыми функциями. Время до разру-
разрушения при переменной температуре и переменных напряжениях
определяется по формуле [287]
A3.55)
J
0я (t) exp
где t4 — время температурного цикла; с, я, Q — постоянные мате-
материала, которые вычисляются из уравнения ползучести при а =
const, T = const;
[^]	A3.56)
Предполагается, что напряжения изменяются с течением времени,
но интервал их изменения остается постоянной величиной. При тер-
термоциклическом нагружении интервал изменения тепловых пуль-
пульсирующих напряжений от цикла к циклу изменяется. В этом слу-
случае время до разрушения материала определяется по формуле
Q
A3.57)
375

800
600
400
300
ZOO
WO
<¦«¦
_*?L
• -0,72
10°
101
Рис. 163
Эквивалентную температуру усреднения по длине стержня и ин-
интервал эквивалентных напряжений находим таким образом [287]:
	и Q @)	'	СЗ-58)
* экв = '
dt
(nm+l)" /™
mn-f-1
A3.59)
Используя A3.58), A3.59) и принимая, что / - Л^ /ц, получаем
[287]
(тп + \)
(Г 1 С
a In -т- I
L ?ц J
о
wi+i
A3.60)
где Л^р — число теплосмен до разрушения при пульсирующем теп-
тепловом нагружении; т — коэффициент деформационного, упрочне-
упрочнения, определяемый из диаграммы циклического деформирования.
На рис. 163 приведена диаграмма циклического деформирования
для стали 1Х18Н9Т, описываемая уравнением
Л^=1
376

600
:400
JOO
200
too.
/2-/0J
Рис. 164
a"*
— —
L
«Ma
Л
¦9
— —.
e-to4
Расчеты, проведенные по формуле A3.60) при п = 9,8; т = 0,35;
Q = 2,45 • 10 К; С = 1,06 ¦ 10? МН/м2; Т = 400° С для стали
1Х18Н9Т (штриховая линия), удовлетворительно совпадают в не-
некотором интервале изменения температуры с экспериментальными
данными (сплошная линия) (рис. 164) [287, 288]; при больших ин-
интервалах растягивающих пульсирующих напряжений результаты,
полученные на основании указанного критерия, не совсем согла-
согласуются, поскольку при значительных интервалах изменения тем-
температуры могут происходить микроструктурные изменения.
5. Влияние ползучести и релаксации
напряжений на долговечность материала
при термоциклическом нагружении
Уравнения, описывающие состояние материала
при термоциклическом нагружении с учетом ползучести
При многократных тепловых нагружениях материала процессы
ползучести и релаксации оказывают влияние на перераспределение
напряжений и деформаций от цикла к циклу, на характер накопле-
накопления повреждаемости в материале, а следовательно, на его долго-
долговечность. Для простоты рассмотрим жестко закрепленный (~ = <*>)
элемент А (см. рис. 103, а), который подвергается циклическому
равномерному нагреву и охлаждению с определенной выдержкой
при максимальной температуре цикла. В этом случае суммарная
пластическая деформация с учетом знака при N-м цикле теплового
нагружения (рис. 165, а) определяется по формуле
причем
A3.61)
A3.62)
377

Рис. 165
где (s^)n ™ пластическая деформация сжатия, возникшая за счет
релаксации напряжения при максимальной температуре Л^-го цикла,
A3.63)
Здесь *в —вр«шя выдержки образца при максимальной температуре
цикла; К = -Тр	величина, обратная времени релаксации;
х)э /в]—функция, определяемая экспериментально и из»
меняющаяся з следующих пределах:
0< ?#[/( (^гаах)' ^в!^1»	A3.64)
Зависимость между напряжениями и деформациями при произвола
ном N-м цикле с учетом релаксации напряжений описывается урав-
уравнениями [150]
A3.65)
378

PN
Изменение суммарной пластической деформации (с учетом знака)
в данном случае зависит не только от числа циклов и способности
материала к упрочнению, но и от релаксационной способности
[150, 287, 288]. Зависимость между б^+1 и dN записывается анало-
аналогично формуле (9,75):
*	<®n[(ed)n] dS>N[(sB)N] z
6iV-f-l = 	=Г~г	= -=	 WlK(Tmax)> 'в! $N-	О3'67)
ENd*N	ENdBN
Применяя метод математической индукции, получаем формулу
для определения остаточной деформации при N-u цикле теплового
нагружения [288]: *
j dON=! [(вр)^]	dON^[(eD)N_{]
	• • • • —=	=	X
oN =	=
X	=
X ^=1 IKCTrnJ, У • • • ^N-i \K (W. <.l Siv-i- A3-68)
Интервал изменения напряжений за полуцикл изменяется от полу-
полуцикла к полуциклу, причем интенсивность изменения этого интер-
интервала зависит в значительной степени от продолжительности вы-
выдержки элемента при максимальной температуре. Из формулы
A3.68) видно, что 6^ быстро убывает и при каком-то N = N* на-
наступает стационарное состояние. При SN* = 0 диаграмма деформи-
деформирования замкнутая (рис. 165, б). Восходящая и нисходящая ветви
петли гистерезиса описываются уравнениями [150]
В этом случае пластическая деформация, состоящая из кратковре-
кратковременной пластической деформации и пластической деформации, воз-
возникшей за счет релаксации напряжения в одном полуцикле, равна
379

по величине и противоположна по знаку кратковременной пласти»
ческой деформации во втором полуцикле, т. е.
Ф (е
A3.70)
Кроме того, интервал изменения пластической деформации за цикл
после наступления «внешнего» стационарного состояния опреде-
определяется так:
A3.71)
Таким образом, процессы ползучести и релаксации напряжений
при термоциклических нагружениях оказывают существенное
влияние на процессы деформирования материала, а следовательно,
и на процессы их разрушения. Поэтому при многократных тепло-
тепловых нагружениях, вызывающих знакопеременную пластичность
и ползучесть, должны использоваться специфические методы рас-
расчета, учитывающие повторяемость теплового нагружения 1150,
287, 288].
Долговечность материала при термоциклическом
нагружении с учетом ползучести
Долговечность материала при термоциклическом нагружении
зависит от величины знакопеременных пластических деформаций,
вызванных знакопеременными тепловыми напряжениями. Однако
при достаточно высокой температуре и особенно при наличии до-
дополнительных механических нагрузок наблюдается ползучесть ма-
материала, а при достаточно больших выдержках в области макси-
максимальных температур — релаксация напряжений. Исследования
[37, 78, 109, 115—118, 150, 192, 193, 198] показывают, Ч1 о необ-
необходимо учитывать влияние временных факторов при оценке долго-
долговечности материалов. Часто долговечность материала при термоцик-
термоциклическом нагружении и наличии ползучести определяют по фор-
формуле Коффина —Мэнсона [249, 263) /V?Aep = М заменой в ней Дер
на Дер [82, 248], где Aep = A8p-f-A8ff« Рио* 166, а графически ил-
иллюстрирует влияние выдержки при максимальной температуре цикла
(а следовательно, влияние ползучести) на долговечность нержавею-
нержавеющей стали 1Х18Н9Т [150] при различных значениях времени вы-
выдержки (/ — 0; // — 120; III—240 с) и различных интервалах
температурных колебаний ДГ (/—600; 2 — 500; 5 — 400; 4 — 300;
5 — 200°С). Такое различие объясняется тем, что процессы накоп-
накопления пластических деформаций, а значит, и процесоы циклического
деформационного упрочнения при одной и той же величине упруго-
пластической деформации для различных значений tB протекают
380

по-разному (рис. 166,6, сталь 1Х18Н9Т, 1 — tB = 0;2 — 120;3 — 240с).
На основании указанных результатов в работе [150] формула
Коффина — Мэнсона уточнена и записана в виде
а \ 1 —
Р
= А/ехр(—MtB).
П3.72)
АЕР, мм/мм
АСр ММ/ММ
пппя
ПППА
nnn? Jg^
/ч
к
%
0,002
Q006 Q0/0 А?,ММ/ММ
Рис. 166
При tB = 0, Аер = Аер, . &&с = 0
с формулой Коффина—Мэнсона.
вать долговечность материала в
рушения по формуле
данная зависимость совпадает
Поэтому более правильно оцени-
условиях термоциклического раз-
Я„
Ф
Д7\ Тп
у,
A3.73)
4'
4
г
//
у
где /Vp — среднее число теп-
лосмен до разрушения при
том же температурном режи-
режиме и тех же граничных ус-
условиях с выдержками при
максимальной температуре
цикла (ут +7г == 0» ^р —
среднее число теплосмен до
разрушения при данных гра-
граничных условиях и данном
температурном режиме без
выдержки при максимальной
температуре цикла (ут=\;
ут — 0); Ф(ут, А7\ Тт, /ц)—функция, учитывающая влияние пол-
ползучести на термоциклическое разрушение и определяемая экспери-
экспериментально. График этой функции для стали 1Х18Н9Т при Тт = 400° С
и различных значениях АГ A ¦— 600; 2 — 500; 3 — 400; 4 —¦ 300° С) при-
приведен на рис. 167 [150]. Если долговечность определяется не числом
циклов, а временем до разрушения, то необходимо строить диаг-
диаграммы, характеризующие зависимость суммарного времени до разру-
О
Рис. 167
0,2 0Л 0,6 Q6 fT
381

«шения от числа циклов. Такая диаграмма для стали 1Х18Н9Т для
различных значений tb A — 0;2 — 120; 5 —240 с) показана на рис. 168.
На основании экспериментальных данных исследования со-
сопротивления материалов термоциклическому разрушению при раз-
различной длительности цикла предложен способ оценки сопротивле-
сопротивления разрушения с использованием характеристик длительной проч-
прочности [192, 193]. Вводя в формулу Коффина — Мэнсона параметры
длительности температурного цикла, запишем ее в виде [5]
(.3.74)
Уравнение A3.74) перепишем следующим образом:
М
Л/яд8 = bQ = Л,	A3.74а)
ИЛИ
где М и а — постоянные, зависящие лишь от материала и интер-
интервала температурного цикла; b — величина, не зависящая от зна-
значений Ан. На рис. 169 даны кривые термической усталости Бри
Ттах= 700° С и различных значениях продолжительности цикла
A _ 1,3; 2 — 2,8; 3 — 12; 4 — 120 мин) для сталей 1Х18Н9Т (а)
и ЭИ481 (б) 1192, 193]. Из анализа результатов, приведенных на
рис. 170 для сталей 1Х18Н9Т (а) и ЭИ481 (б) [193], следует, что
кривые ^ц— N в логарифмической системе координат не всегда
можно представить в виде прямых. Поэтому зависимость A3.746)
в определенном диапазоне длительности цикла используется как
приближенная.
Зависимость между энергией, рассеиваемой в единице объема
-материала вследствие необратимых пластических деформаций тече-
течения и ползучести, и долговечностью материала для стали 1Х18Н9Т
при различных знамениях выдержки при максимальной темпера-
температуре цикла (/ — 0; 2 — 2; 3 — 4 мин) показана на рис. 171 [150].
Данная зависимость описывается уравнением
1—т
N)+™W* = я* ехр (—ф/в).	A3,75)
Установившееся значение энергии, рассеиваемой за цикл, когда
одновременно протекают процессы пластического течения и ползу-
ползучести, определяется графически или аналитически по формулам
{76]
1	it! Aq, ,
Рт+ \g °k> A3-76>
382

к,
, г
[•/О4
6-103
1
5i
6OQAJO)
WfyZ
<
ни
А)
-I
0@,
у
Г*
н
&
<
у
д
V
\
i
/•
1
00
/
ч
/
/
^ /
А
/ \
\
<
V
г
\
\
\
У
4-Юг
4-Ю3 N
2ft
Ifl
0,7
0?
\
_ j
\
s
1
К
4
я
s
s
fYY
32
V
/О2	10*	/04
5
Юг ^-1Ог Ю3	4-Ю3 N
Рис. 169	Q
6-Ю2
6-Ю1
3
Ll
4 Ю2 4
Рис. 170
4 N

или
и?* = ^—\±
p+l
A3.77)
где Астн — интервал напряжений за полуцикл в момент начала вы-
выдержки образца при максимальной температуре цикла; (Ae?)tf —
50
2fl
1,0
0,6
ч
500
Ю2
Рис. 171
S,
ч
s
ч*'
WO A
;V4—-
::iS
Т/7/7
ю3
4s
чч
ч
ч
ю4
ч
N
пластическая деформация ползучести; р, g — параметры пластич-
ности, определяемые из диаграммы циклического деформирования
при наличии течения и ползучести (см, рис. 165).
ГЛАВА 14
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
В УСЛОВИЯХ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ
1. Основные предпосылки и законы
теории ползучести в условиях
сложного напряженного состояния
В условиях одноосного напряженного состояния рассматрива-
рассматривались процессы изменения деформаций с течением времени при по-
постоянных напряжениях (ползучесть) и изменения напряжений с те-
течением времени при постоянных деформациях (релаксация). В слу-
случае ползучести при сложном напряженном состоянии изменение
деформаций приводит к изменению напряжений. Для расчетов на
334

ползучесть при сложном напряженном состоянии необходимо стро-
строить теорию, которая позволила бы по результатам эксперименталь-
экспериментального изучения ползучести при одноосном растяжении судить о де-
деформациях или скоростях деформаций при ползучести в случае
неодноосного напряженного состояния. Экспериментальные иссле-
исследования ползучести при сложном напряженном состоянии очень
сложны и не всегда выполнимы. В связи с этим имеющийся экспе-
экспериментальный материал невелик и не дает надежного обоснования
той или иной теории ползучести, описывающей поведение материала
в условиях сложного напряженного состояния. Поэтому подобно
теории пластичности теория ползучести при сложном напряженном
состоянии строится на основании определенных гипотез |б, 15, 22,
64, 69, 78, 102, 132, 168].
Используем для неодноосного напряженного состояния техни-
технические теории ползучести (старения, течения и упрочнения), сфор-
сформулированные в гл. 12 для одноосного напряженного состояния.
Поскольку деформация ползучести, как правило, необратима, то
все гипотезы теории пластичности могут быть применимы для опи-
описания ползучести в условиях сложного напряженного состояния.
При этом принимается гипотеза о существовании потенциала ско-
скоростей деформаций ползучести /, причем компоненты скоростей
деформаций ползучести определяются по формуле 1102]
««>.=*-4-•	<14Л)
Используя выражение для интенсивности скоростей деформаций
ползучести, которое в сокращенной форме имеет вид
а также условие несжимаемости материала (еос = 0; ?0? = 0)> полу-
получаем
1 =	г lic	A4.3)
T/^lJL df
до{/-
Уравнение /= 0 представляет собой гиперповерхность ползучести.
Предполагаем, что материал изотропный и в процессе ползучести
изменение объема не происходит. Тогда для изотропного несжимае-
несжимаемого материала функция / зависит как от второго, так и от третьего
инвариантов девиатора напряжений. Если аналогично теории плас-
пластичности включить в функцию / только второй инвариант девиа-
девиатора напряжений, то [102]
VV=3	A4.4)
да tl dslf
и, следовательно, согласно A4.3) с учетом A.40)
13 1-317	385

Зависимости компонент скоростей деформаций ползучести от компо-
компонент девиатора напряжений в сокращенной форме имеют вид
Таким образом, полные составляющие компонент скоростей дефор-
деформаций 1ц' = Aц)е + (%ц)с с учетом [г = 0,5 определяются по фор-
формуле [102]
Принимая, что
где /j — потенциал деформаций ползучести, находим
(a " 6^/Qo) +  "of" (€Т'7 ~
A4.9)
Здесь sfy == (Е^)е + (e{j)u — полные составляющие деформаций пол-
ползучести. Потенциал ползучести f может зависеть не только от
интенсивности скоростей деформаций, но и от ряда параметров (па-
(параметра Одквиста, времени и др.). В потенциал ползучести можно
включить несколько переменных — структурных параметров [168].
Изменение любого &-го структурного параметра описывается кине-
кинетическим уравнением [168]:
dgk = akdeic + bk do{ + ckdf + fk dT,	A4.10)
где ak, bk, ck, /^ — некоторые функции \ deic, o{t /, 7\ а также
^i» ^2> • * • » gk> • • • > gn ПРИ Условии, что число структурных пара-
параметров равно л. Поэтому в зависимости от параметров, включенных
в потенциал ползучести, получаем ту или иную теорию ползучести.
Теория старения
Предположим, что потенциал ползучести / зависит от второго
инварианта девиатора напряжений, интенсивности деформаций
и времени. Тогда уравнение поверхности потедциала ползучести
имеет вид [102]
/ = 1 sifsif - [Фг (e,f 0J2 = 0,	A4,11)
Из данного уравнения при условии, что ot = I/ у si/si/ • находим
Gi = O1(si, 0.	A4.12)
386

Согласно выражению A4.12) в условиях сложного напряжен-
напряженного состояния при заданной температуре между интенсивностью
деформаций, интенсивностью напряжений и временем всегда су-
существует определенная зависимость. Поскольку при линейном
напряженном состоянии подобная зависимость выражается степен-
степенной функцией гс = onQt с учетом условия несжимаемости материала
о. = а; е^ = 8 запишем функциональную зависимость A4.12) в явном
виде:
1
, или e,c = Q@aJ.	A4.13)
Предположим, что в момент нагружения мгновенная пластическая
деформация не возникла. Тогда зависимость A4.12), согласно тео«
рии старения, имеет вид
Of
e, = -gr-+o7Q@,	A4.14)
или
t
* = -5r+fa,B@?tt.	A4.14а)
Здесь Q (t) — функция времени, которая определяется из экспери-
эксперимента на ползучесть при одноосном растяжении. Данная теория
предложена С. Р. Содербергом[284] и обобщена Ю. Н. Работновым
[168].
Теория течения
Предположим, что потенциал ползучести зависит от второго
инварианта девиатора напряжений, интенсивности скоростей де-
деформаций ползучести и времени. Тогда уравнение поверхности по-
потенциала ползучести имеет вид [102]
^Ф2(8^ *)]}а = 0.	A4.15)
Из данного уравнения с учетом выражения A.52) находим
^ = Ф2A^, 0.	A4.16)
Согласно выражению A4,16) между интенсивностью напряжения,
интенсивностью скоростей деформаций ползучести и временем при
данной температуре всегда существует определенная зависимость.
Поскольку при одноосном напряженном состоянии подобная зави-
зависимость имеет вид %с = В (t) on, с учетом условия несжимаемости
материала \ic = %с> °{=°~ запишем функциональную зависимость
A4.16) в явном виде:
, или Ьс = Вфо1.	A4.17)
13*	387

С учетом скорости упругой деформации зависимость между интсн»
сивностыо напряжений, интенсивностью скорости деформации
и временем, согласно теории течения, записывается таким образом:
Ь = ~ W+B(t)^	A4Л8)
Здесь ti~%ie + %lc — интенсивность скорости деформаций. Уравне-
Уравнение A4.18) необходимо добавить к уравнениям A4.7).
Теория упрочнения
Предположим, что потенциал скоростей деформаций ползуче-
ползучести зависит от второго инварианта девиатора напряжений, интен-
интенсивности скоростей деформации ползучести и параметра Одквис-
та. Тогда уравнение поверхности потенциала имеет вид [102]
A4.19)
Из данного уравнения g учетом выражения AЛ0) находим
A4.20)
Поскольку при одноосном напряженном состоянии 1С&% == aov,
с учетом условия несжимаемости материала о^ = a, 8t- = 8 запишем
функциональную зависимость A4.20) в явном виде:
A4.21)
Уравнение A4.21) необходимо рассматривать совместно с уравне-
ниями A4.7) и A4.9). Данная теория предложена П. Людвиком
J95], А. Надаи [123] и развита Ю. Н. Работновым [168].
2. Уравнения, описывающие процессы
ползучести материала
с анизотропным упрочнением
В условиях ползучести, особенно при сложном нагружении,
существенно проявляется анизотропный характер упрочнения.
Согласно теории ползучести материала о анизотропным упрочне-
упрочнением [100—102], тензор напряжений о\;- и девиатор напряжений
st.y представляются в виде суммы двух тензоров (активного а^ и доба-
добавочного Xtj) напряжений и двух девиаторов (активного C^. и доба-
добавочного p{j) напряжений, т. е.
388

Предположим, что потенциал скоростей деформаций ползучести
в процессе нагружения испытывает только «жесткое» смещение
(трансляционное упрочнение). Тогда
3
/ = -j Pt.ypf/ — [Ф (lie)]2 = 0.	A4.23)
Используя потенциал скоростей деформаций ползучести и учиты-
учитывая, что поверхность потенциала при «жестком» смещении не изме-
изменяется, определяем компоненты скоростей деформаций ползучести:
С учетом условия несжимаемости материала аналогично A4.5) на»
ходим
*-?!?•	<I4-25>
Отсюда
'!!?&/•	A4-26)
/3
Из зависимости (г4.23) с учетом а{ = I/ -=- $фц Устанавливаем,
что а;=Ф(^с), т. еФ при данной температуре между интенсивно-
етью скоростей деформаций ползучести и интенсивностью активных
напряжений всегда существует определенная зависимость. Интен-
Интенсивность скоростей деформаций ползучести часто предвтавляют
в виде
lie = Q (at) Gf exp (- Ms) = Q (at) G,	A4.27)
где Q (a.{) — функция интенсивности активного напряжения; G* —
постоянная материала; Д#„ —энергия активации при ползучести;
R — универсальная газовая постоянная. Функцию Q (а^) обычно
принимают следующей:
a) Q (at) = а"; б) Q (at) = sh ^ ; в) Q (щ) = exp ^, A4,28)
Наиболее простыми являются расчеты на ползучесть при исполь-
использовании зависимости A4.28в), хотя она не выполняется при малых
величинах активного напряжения. Приращение компонент девиа-
тора добавочного напряжения зависит от компонент приращения
времени и представляется формулой Г1021
A4,29)
где Q (Xi)—функция интенсивности добаввчных напряжений; Af
О — функции температуры:
(-^). A4.30>
Здесь АНГ — энергия активации разупрочнения.
389

В случае одноосного напряженного состояния, при котором
Ьс = 1Ы; ^=|о|=|а + Х|; а* = |а|; Х*=|Х|; Р = |С, с уче-
учетом зависимости A4.28) из уравнений A4.26) — A4,29) находим
1100, 102]
Ъс = О sign (а -X) exp Li2-_?J.	A4.31>
rfX = Adzc — D sign X exp !~i dt,	A4.32)
где G = G F) —функция температуры; символами sign (a — x)»
sign x обозначены знаки величин о—* X» Х- Уравнения кривых
ползучести при неизменяющихся во времени напряжениях полу-
получаем из уравнений A4.31) и A4.32), полагая sign (о— X)— + 1;
sign х = + 1. Учитывая, что a = const, после дифференцирования
A4,31) с учетом A4.32) получаем
зК*Й-* = °р	<14-33)
где
а2 = -т-; d2=-^exp~,	A4,34)
О	0	0	'
После интегрирования уравнения A4.33) имеем [102]
dll+pexp(-2dat))
= all	в ехв (	2dat)\ *	A4,35)
При этом
; 1.@) - О ехр ?.	A4.36)
Здесь |г @) — скорость деформации ползучести в начальный мо-
момент (х = 0). Из зависимости A4.35) видно, что при / -*¦ оо мини*
сальная скорость деформации ползучести (?minH =—•
Уравнение кривой ползучести находим интегрированием урав-
уравнения A4.35) при условии, что гс = 0 при / = 0:
Уравнение кривой релаксации напряжений получаем интегриро-
интегрированием при соответствующих начальных условиях дифференциаль-
дифференциального уравнения для напряжений [100, 102]:
390

где
„ 1 Л . А \ . DEG
Поскольку I 7т I = а*, используя начальные условия (при 1 = 0 на-
напряжение равно о @), еледовательно, ~ = — G? exp 2J
еле интегрирования уравнения A4.38) имеем [100]
do, A4,39)
где
^ еХр[Ц1*а@)]. A4.40)
Данное уравнение достаточно хорошо описывает кривую релакса-
релаксации при напряжениях, не близких к нулю.
Приведенные зависимости могут быть использованы и при опи»
сании ползучести при ступенчатом нагружении [102]. Теории ползу-
ползучести, учитывающие эффект анизотропного упрочнения материала
при циклическом нагружении, рассмотрены в работах Г, Генки [22],
Д. Д. Ивлева [60, 63]*
3. Ползучесть при сложном
напряженном состоянии
При расчете элементов конструкций на ползучесть в условиях
сложного напряженного состояния широко используются теории
пластичности [13, 17].
Применение к ползучести теории
пластического течения
При использовании теории пластического течения в расчетах
на ползучесть [17] предполагают, что направления главных нор-
нормальных напряжений совпадают с направлениями главных ско-
скоростей линейных деформаций ползучести; материал несжимаемый'
между интенсивностью касательных напряжений %i и интенсивно»
етью скоростей деформаций ползучести сдвига yic существует зави-
зависимость т* = Ф(У1с)\ главные касательные напряжения пропорцио-
пропорциональны главным скоростям деформаций ползучести сдвига:
где Л* — некоторая функция напряжений и скоростей деформаций
391

ползучести. Тогда с учетом несжимаемости материала записываем
уравнения
A4.41)
Используя выражение для интенсивности касательных напряжений
и интенсивности скоростей деформаций ползучести сдвига
3	е	с
с учетом выражений A4.41) находим
Л*= Д.	A4.42)
Принимая зависимость между интенсивностью скоростей деформаций
ползучести при сдвиге у и и интенсивностью касательных напряже-
напряжений %i аналогично случаю при растяжении гс = Воп в виде степен-
степенной функции yic~ ?хТ/, а также учитывая зависимости o=Vs%i>
yic = к 3 Е{с, имеем
1 о 2 Л_я-1
A4.43)
Уравнения A4.41) с учетом A4.43) принимают вид [15]
^	аJ] 2
X
X
—а2)—(а3—Gi)];
(а8 ~
Х[(а2 —а3)— (ori —а2)];
ЛТ—1
ч 2
п-1
!1 2
X
X
A4.44)
Х[(а8—а!) —(ая —азI,	J
1де Б, л — константы материала, определяемые из кривых ползу-
ползучести при одноосном растяжении. Следовательно, в условиях не-
392

установившейся ползучести главные скорости относительных ли-
линейных деформаций ползучести определяются из уравнений A4.44),
полученных по теории пластического течения. Данные уравнения
аналогичны зависимостям, установленным Р. Бейли 1237] на осно-
основании экспериментальных исследований;
D
ё1Г = -= [(о2 - а2J + (а2 — о3J + (о8 - огПт х
X [(а1-а2)'1-'" - (а, -ох;"-*1!;
п
Чс = — [(oj — а2J + (а2 — а3J + (а8 - а^I" X
2ОТ
X [(о, - аз)"
= -= [(ах — а2J
(а2 — а3J + (а3 — ст1J]"'х
A4.45)
где В — постоянная, зависящая от температуры; т= ^il — кон-
константа материала. Таким образом, решение задачи установившейся
ползучести (напряжения постоянны) соответствует решению ана-
аналогичной задачи теории пластичности при произвольном упрочне-
упрочнении |17].
Применение и ползучести
деформационной теории пластичности
Деформационная теория пластичности C.70) к расчету эле-
элементов конструкций, работающих на ползучесть, впервые приме-
применена Н. М. Беляевым [7]. При этом предполагали, что направления
главных напряжений и главных линейных деформаций ползучести
совпадают; материал несжимаемый (еог = О); между интенсивно-
интенсивностью касательных напряжений и интенсивностью деформаций пол-
ползучести сдвига при данной температуре существует определенная
функциональная зависимость %i = Ф (У(с)\ главные касательные
напряжения пропорциональны главным деформациям ползучести
сдвига:
(Yiik (Y23)r {Ъг)с 1+Ф"	( ;
Тогда с учетом несжимаемости материала записываем следующие
уравнения [22—25]:
1 +Ф
7Г
A4.47)
393

где qp — некоторая функция ползучести, определяемая из формулы
A4.48)
Учитывая, что для случая одноосного напряженного состояния
справедливы зависимости а/ = УЪ %i\ zic = ^jL , а также принимая
Воп{, находим
п+1
о 2
ж
A4.49)
Интегрируя уравнение A4,49) при начальном увловии (t = 0, ф = 0),
получаем
2 BGrf'4.	A4.50)
В этом случае уравнения A4,47) принимают вид
1 (
•и = «ИI +3 /21-" tBG |(о, - а2J + (о, -а8J +
23
=5 tBG [(ai""
~ °зJ
(<J2-ffs)8 +
A4,51)
Уравнения A4.51) представляют собой уравнения связи между
главными линейными деформациями ползучести и главными напря-
напряжениями в условиях установившейся ползучести по теории пластич-
пластичности Генки, Дифференцируя по времени уравнения A4.51) и при*
нимая,что напряжения постоянны, находим уравнения связи между
главными скоростями деформаций ползучести и главными напря-
напряжениями, которые полностью совпадают с уравнениями A4.44)#
Следовательно, в условиях установившейся ползучести при постоян-
постоянных напряжениях применение к ползучести теории течения или тео*
рии пластичности Генки дает одинаковые результаты 1171. Исполь*
394

вуя физические уравнения C.68), которые при условии несжимае-
несжимаемости (ео = 0) записываются в виде
2^ №у — <*г) — ((Ух -<Уу)Ь
^[(°r2 — Ох) — (Оу— Ог)];
=^Туг;> (Н.52)
а также теорию старения, согласно которой интенсивность полной
деформации при (е/)р = 0 определяется по формуле
t
— + J в
о
A4.53)
и принимая, что напряжения постоянны, с учетом A.38) получаем
t
\~ \
В (О Л/ X
X [(а^ — Оу)— (а2 —
X
X [(ву — Ог) — (ох — оу)];
=3
X
t
• 6 (т^ + 1уг + i\x) у J 5 (О Л/ tw;
О
395
A4.54)

.[(ax — <
u — cr2J
+ ——.
-а*J + 6 D + <2 + t|j] " J 5 (О Л/ x^;
о
—
] 2
B(t)—функция ползучести материала. Уравнения A4.44), A4.51)
и A4.54) вмеете со статическими и геометрическими уравнениями,
а также граничными и начальными условиями позволяют решать
задачу об определении напряжений и деформаций с учетом пол-
ползучести при сложном напряженном состоянии [17]t
4. Обобщенные уравнения ползучести
Процесс ползучести не зависит от гидростатического давления;
интенсивность скоростей деформаций сдвига ползучести Усс явля-
является функцией интенсивности касательных напряжений т*. При
данной температуре'для данного материала эта зависимость прини»
мается в виде [78] У(с = f(%i) Т(. Тогда зависимость между компо-
компонентами скоростей деформаций ползучести и компонентами девиа»
тора напряжений A4,41) имеет вид [78]
с0);
Ухус—
Уугс = f (
Угхс = /
A4.55)
Предположим, что между (у{)с и т* существует степенная зависи-
зависимость (yi)c = Bit/, т. е. / (%i) = В^/". Тогда с учетом уравнения
A.38) запишем уравнения A4.55) следующим образом:
3 2 2 2
п—1
—а,)-(аа-а,)];
396

г/-hi n-H
3 2 2 2
(o2 - a*J
n—1
i 2
Я—1
2
, - c2J + (a, - cxf +
аг —o^) —(av —a2)];
(a2 - aj» +
Та
l/Zt
22 3 2
та—1
> A4.56)
Данные уравнения аналогичны уравнениям Р. Бейли [237].
Учитывая первую стадию ползучести и принимая, что мгновенные
пластические деформации отсутствуют, а также заменяя функцию
/ (ii) функцией / (т^, 0. уравнения A4.55) приводим к виду [78]
±
Ууг =
, 0 (ci2 — a0) + ^g
. i s
^-(аг - jiL- a0) ;
A4.57)
397

Если кривые ползучести подобны, то функция / (т*, /) =
«= Вх (/) fx (hi) представляется в виде произведения двух функций,
где первая функция fx (ii) зависит только от интенсивности каса-
касательных напряжений, а вторая Вг (/) — только от времени. Часто
функцию / (т/, /) представляют в виде
f (li, t) = B1(t)i?-*K
На процесс ползучести в значительной степени влияет темпе-
температура. Вследствие этого в неравномерно нагретом теле процесс
ползучести усложняется, так как составляющие деформации необ-
необходимо дополнить температурными расширениями аТ (Т — тем-
температура; a -J коэффициент температурного расширения). В слу-
случае стационарного температурного поля при переходе к скоростям
слагаемые за счет температурной деформации равны нулю. Тогда
уравнения ползучести принимают вид A4.57), в той разницей, что
модуль упругости G (Т) и функция / зависят от температуры. Сле-
Следовательно, уравнения ползучести неравномерно нагретого тела
можно записать так [78]:
ТГ/(*Ь *> Т)Хгх+77^Чп*.
G(T) dt
Решение уравнений A4.58) упрощается, если принять
f(xU г,
A4.58)
A4.59)
Даже при нормальной температуре, но при больших напряжениях
в начальный момент времени возникают не только упругие, но
и пластические деформации. В процессе ползучести происходит
перераспределение напряжений, вследствие чего в отдельных точ-
точках тела и его объемах могут развиваться пластические деформа*
ции, которые также необходимо учитывать* Уравнения ползучести
A4.57) с учетом пластических деформаций имеют вид [78]
398

T
6
—ae)l;
+ y f (т*,
— a0)
1 д г
(Уху
(Ууг)е + (Ууг)е +
-щ-
Угх = (Чгх)е + (Угх)с + (Угх)р = ~q -Qf
fr () ]
(аг - ст0)];
X
, t) X
1> 0 X
A4.60)
)
Здесь qt (xt) y
Приведенные уравнения ползучести являются нелинейными;
их решение связано с большими математическими трудностями,
поэтому часто приходится эти уравнения упрощать»
5. Длительная прочность в условиях
сложного напряженного состояния
При расчете на прочность элементов конструкций, работаю-
работающих в условиях сложного напряженного состояния при длительном
нагружении, необходимо располагать соответствующей теорией
(критерием) прочности, позволяющей определять эквивалентное
напряжение. Коэффициент запаса прочности для определенного ин-
интервала времени вычисляется как отношение предела длительной
прочности для этого значения времени к соответствующему экви-
эквивалентному напряжению.
Изучением длительной прочности материалов и конструкцион-
конструкционных элементов, работающих в условиях сложного напряженного
состояния, занимались И. А. Одинг [138], В, С* Наместников
124—129], Ю. Ф. Баландин [5], В. П. Сдобырев [188], В. Джонсон
44, 257, 258], И. И. Трунин [219], Г. С. Писаренко, А. А. Лебедев
151] и др.
На основании проведенных исследований для оценки сопротив-
сопротивления материалов длительному разгружению предложены различ-
различные критерии. В. Джонсоном за критерий длительной прочности
399

принято эквивалентное напряжение, равное максимальному
(oi > о~2> о3) нормальному напряжению:
от = ох.	A4.61)
Другими исследователями за критерий длительной прочности при-
принималась величина интенсивности нормальных напряжений
или полусуммы интенсивности нормальных напряжений и макси-
максимального нормального напряжения
И. И. Труниным показано, что критерий A4.63) лучше согласуется
с экспериментами, если его умножить на некоторую эмпириче-
эмпирическую функцию
I — ¦
Ф(а0, а/, ог) = а 1Т ',	A4.64)
где а — постоянная материала.
Г. С. Писаренко, А. А. Лебедевым [151! предложен обобщен-
обобщенный критерий длительной прочности, согласно которому
аэкв = ХдсТ;+A — хд)ст1=т]1:.	A4.65)
Коэффициент Хд определяется по результатам двух серий испыта-
испытаний, проведенных при разных напряженных состояниях:
1	A4.66)
Предположим, что первая серия испытаний проводится, например,
при одноосном растяжении, тогда выражение A4.66) принимает
вид
Здесь aj и a/ — максимальное (с учетом знака) нормальное напря-
напряжение и интенсивность нормальных напряжений, при которых ма-
материал в случае сложного напряженного состояния разрушается
за то же время, что и при напряжении в опытах при простом растя-
растяжении. Если вторая серия экспериментов проводится при сжатии,
то в этом случае выражение A4.66) записывается в виде
ХД = ^Р-	A4.666)
Следовательно, коэффициент хд равен отношению предела длитель-
длительной прочности при растяжении к пределу длительной прочности
при сжатии.
При хд = 0 выражение A4.65) преобразуется в критерий
A4.61), при хд = 1 — в критерий A4.62), а при Хд = 0,5— в кри-
критерий A4.63). Обработка экспериментальных результатов на дли-
400

тельную прочность по различным критериям для хромоникелевой
стали Х18Н9Т в условиях двухосного растяжения при температуре
520° С, приведенных в работе [151] при различных значениях
?=?2 (i^kzssoo; 2 — 3,33; 3 — 2; 4—1; 5 — 0,5) показана
0*1
на рис. 172 (а — по критерию В. Джонсона; б— по интенсив-
интенсивности напряжений; в — по критерию В. П. Сдобырева т|; г — по-
обобщенному критерию Г. С. Писаренко, А. А. Лебедева),
бьмн/мг
350
300
250
*-/ ^
—г о-4-
биМН/M2
350
300
250
350
300
Щ
•
fM2
350
300
750
•
igt
tgt
Рис. 172
Из приведенных результатов следует, что значение длительной
прочности по критерию В. Джонсона занижено, а по критерию-
интенсивности нормальных напряжений завышено. Значительно-
лучшее совпадение с результатами эксперимента дает эмпири-
эмпирический критерий В. П. Сдобырева и особенно обобщенный кри-
критерий Г. С. Писаренко, А. А. Лебедева.
ГЛАВА 15
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕЙСЯ
ПОЛЗУЧЕСТИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
1. Основная система уравнений
установившейся ползучести
Рассмотрим случай, когда установившаяся ползучесть насту-
наступает при деформациях ползучести, заметно преобладающих над,
упругими {Яц)г и мгновенными (р^р пластическими деформациями
[78]. В этом случае решение задачи сводится к интегрированию трех»
уравнений равновесия
дх '
дтпХ
дт
ху
дтх
до;
&*гх , дтгу дог , у
"Г	J	г—- -f	г— -4- Z :
дх ди дг '
401

шести физических уравнений, которые для установившейся ползу»
чести имеют вид
1
к — сто);
у— <*о);
?— cf0);
— <*о = Ч
шесги геометрических уравнений
dvx
:"а^
8*
или oz — o0
*ху = S
dvy . dvx
dvz , dtfy
ду дг *
dvx dvz
:~dz"*~dx~' • j
ху,
A5,2)
A5.3)
Здесь w=/(Tf)Tr, T^ = ^(vPYb а их произведение f (%i)g (yt) = I.
Функции /(Tt) и g(yt) определяются из эксперимента при растяже*
нии. Вводя в дифференциальные уравнения равновесия компоненты
напряжения A5.2) и исключая с помощью уравнений A5.3) скорости
деформаций, получаем систему трех дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка для определения четырех
неизвестных функций vx, vy, v2 и a0 [78]:
dv2 , дох\] ,д\ .. (dvy . dvz\] . д
A5.4)
Четвертым уравнением является условие несжимаемости материала:
402

Если на части поверхности тела SF (рис. 173) заданы постоян-
постоянные во времени поверхностные силы Xv, Kv, Zv, то на указанной
части поверхности выполняются условия
ох cos (xv) + хху cos (yv) + %хг cos (zv) =.
%yx cos (*v) + Gy cos (yv) + Tyz cos (zv) = Kv; \	A5.6)
t2jc cos (xv) + т21/ cos (yv) + огг cos (zv) = 2V.
На остальной поверхности тела Sy задана постоянная во времени
скорость с». Полагаем, что объемные силы постоянные. В этом слу-
случае ни время, ни дифференцирование по времени не входят в диффе-
дифференциальные уравнения рав-
равновесия и граничные условия.
Поэтому решение задачи об
определении неизменных во
времени напряжений, скоро-
скоростей деформаций и самих ско-
скоростей представляет собой ус-
установившееся течение [78].
Следовательно, решение зада-
задачи установившейся ползучести
ничем не отличается от реше-
решения соответствующих задач те-
теории упругопластических де-
деформаций для состояния уп- рис ^73
рочнения.
Данную задачу иногда удобно решать, принимая за неизвест-
неизвестные компоненты напряжений. Для этого уравнения сплошности,
записанные для компонент скорости деформаций,
дх*
д2ег _ д2Ууг. > х. I иуУг
ду2 дудг'\ ду[ дх
дх2 + дг2 ~~ дг дх ;
д_
дг^дх
~Ш;~Г~дГ]~"'дудг'
ду "*" ~дг~\ = дхдг *
= 2-
^
дхду'
A5.7)
с помощью закона ползучести A5.2) преобразовывают к виду [78]
к
к
-1 [/ (х,) т«] +1
хху])
403

l Wx
T (
S
1у — °о)]
г — сг0)]
д2 г
- ae)]} :
^[/ (T'} (Ог - aoI}
> A5.8)
В этом случае решаются следующие краевые задачи.
1.	Основная задача — на поверхности тела S заданы напряже-
напряжения, постоянные во времени.
2.	Релаксационная задача — часть поверхности тела SF сво-
свободна от напряжений, на другой части Sv заданы постоянные по
времени смещения (тогда на Sv скорости vx = vy= vz= 0); объем-
яые силы отсутствуют.
3.	Смешанная задача —на части поверхности SF заданы посто-
постоянные во времени напряжения, на части Sy— перемещения.
В начальный момент времени t = 0 распределение напряже-
напряжений и смещений упругое (при больших нагрузках — упругопласти-
ческое).
2. Вариационные принципы в теории
установившейся ползучести
Рассеяние. Дополнительное рассеяние
Введем функцию рассеяния
У1 dyi.
Г xidyi = Г g (yt) yi dy
о	б
A5.9)
Функция L представляет собой удельную мощность деформации,
рассеиваемой при ползучести 178]. Геометрически функция L изоб-
изображается в виде поверхности, заштрихованной на рис. 174 верти-
404

кальньтми линиями. С учетом A5.9) уравнения установившейся пол»
зучеети A5.2) принимают вид [78]
dl
°у — <*о*=тг- ;
Введем функцию напряжений
Л = \ Yt d%i = \ / (%i) %i d%i. C15.11)
дУуг *
dl
дугх '
A5.10)
С	С
О	О
Геометрически функция Л изобра-
изображается в [виде поверхности, заштри-
заштрихованной на рис. 174 горизонталь-
горизонтальными линиями, и является дополни-
дополнительной площадью к прямоугольнику
yi. При этом
и
iiyi —\Ъ dyi = xiyt — L
0	ft
Рис. 174
"	A5.12)
Функцию Л называют дополнительным рассеянием. С учетом функ-
функции Л уравнения ползучести A5.2) записываются таким образом [78]:
A5,13)
Ей.
дох '
дои '
ал
до2; j
Уху
> Ууг
Угх
_ ал
_ ал
ал
В случае степенной зависимости между %{ и
или
имеем
Согласно полученным зависимостям
A5.14)
A5.15)
A5.16)
A5.17)
405

Тогда из уравнения A5.16)
между функциями L и Л:
с учетом A5.14) находим зависимость
L = nA.	A5.18)
Принцип минимума полной мощности
Предположим, что тело под действием объемных (X, Y, Z) и
поверхностных (Xv, Fv, Zv) сил на поверхности SF (см. рис. 173)
и скоростей vXt vyt vZt заданных на поверхности Sv, находится
в условиях установившейся ползучести. Сообщим точкам тела бес-
бесконечно малые приращения скоростей 8vx; bvy; $vz, удовлетворяю-
удовлетворяющие заданным условиям для скоростей на поверхности Sv (bvx =
= dvy = 6vz = 0) и уравнению несжимаемости:
Определим
формаций:
С [
V)
A5.19)
мощность внутренних сил на вариациях скоростей де-
деA5.20)
(
Заменяя компоненты скорости деформации гх; гу; ъг\ уху\ ууг; угх
на проекции скорости перемещения vXi vyi vz по формулам A5.3)
и интегрируя по частям, а также используя формулу Гаусса—Ос-
Гаусса—Остроградского, находим
+ txz cos Bv)] §vx + [xyx cos (>rv) + Qy cos (v^) + т^2 cos (zv)] 6t^^ +
+ [tzx cos (a:v) + x2j/ cos (yv) + a2 cos (zv)] 6vz} dS. A5.21)
Вследствие того что внутри тела объемом V напряжения удовлет-
удовлетворяют дифференциальным уравнениям A5.1), на части поверх-
поверхности SF— условиям на поверхности A5.6), а на части поверхности
Sp вариации скорости обращаются в нуль, выражение A5.21) за-
записывается в виде [78]
(V)
где
J
(V)
(Xvx + Yvy + Zvz) dV +
A5.22)
^2) dS. A5.23)
406

Уравнение A5.22) представляет собой принцип возможных пере*
мешен ий (скорости перемещений). Мощность внутренних сил на воз-
возможных скоростях равна мощности внешних сил на тех же скоро-
скоростях. Учитывая, что скорости деформаций и напряжения связаны
уравнением ползучести A5.10), получаем
--6L. A5.24)
Тогда уравнение A5.22) в учетом A5.24) записывается таким об-
образом:
:0,	A5.25)
¦Ц,""-1
Выражение, стоящее в квадратной скобке, называют полной мощ-
мощностью. Следовательно, для истинных скоростей vXt vy, vz перемеще-
перемещений полная мощность достигает минимума [13, 781:
— ^ = min.	A5.26)
(V)
Данный принцип устанавливает минимальные свойства истинного
поля скоростей перемещений по сравнению со всеми кинемати-
кинематически возможными полями. Принцип минимума полной мощности
в теории ползучести аналогичен принципу минимума полной энер-
энергии в теории упругопластических деформаций.
Принцип минимума дополнительного рассеяния
Предположим, что тело под действием постоянных во времени
объемных (X, iK, Z) и поверхностных (Xv, Kv, Zv) сил на поверх-
поверхности SF и скоростей vx, vy, vz, заданных на поверхности Sv, на-
находится в условии установившейся ползучести, При этом истинные
напряжения
Ох, о у, ог, *ху> *уг-> tzx	A5.27)
удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия A5.1),
а также трем условиям на поверхности SF A5.6); скорости точек на
поверхности Sy имеют заданные определяемые величины. Сопоста-
Сопоставим истинные напряжения с бесконечно близкими, статически воз-
возможными распределениями напряжений [78]:
%ху + Ь%ху; Туг + ОХуг; %гх + й%гх<
Поскольку истинные напряжения A5.27) и статически возможные
напряжения A5.28) удовлетворяют уравнениям равновесия A5.1)
и условиям на поверхности A5.6), то вариации напряжений и
407

вариации поверхностных нагрузок FXV, 67V, 6ZV) удовлетворяют сле-
следующим уравнениям:
i (бт*г) =0;
)
6axcos {xv) + 6%xy cos (yv) + 6ixz cos (zv) = 6XV;
6x^ cos (xv) + 6<jj, cos (yv) +6т^2 cos (zv) = 6KV; I A5.30)
bxzx cos (xv) + b%zy cos (yv) + 6a2 cos (zv) = 6Zv.
Так как на вариации напряжений не накладывается больше ни-
никаких условий, новое статически возможное напряженное состоя-
состояние не может соответствовать какой-либо сплошности деформаций.
Поэтому именно сплошность деформаций отличает истинное напря-
напряженное состояние от мысленных равновесных состояний [78]. Мощ-
Мощность вариации напряжений на истинных скоростях деформаций
записывается в виде интеграла
] (?XSOx + SySOy + ?гЬ<Уг + Уху foxy + Ууг^уг + Угх^гх) dV. A5.31)
IV)
Заменяя компоненты скорости деформаций в уравнении A5.31) на
проекции скорости vXi vy, vz перемещений по формулам A5.3) и
интегрируя по частям, а также используя формулу Гаусса—Остро-
Гаусса—Остроградского, с учетом уравнений равновесия A5.29) и условий на
поверхности A5.30) находим [78]
(V)
J (*Х6Х, + VyW. + o/Zv) dS.	A5.32)
(S)
= J
(S)
Из данного уравнения вытекают условия неразрывности скоростей
деформаций A5.7). Учитывая, что компоненты скоростей деформаций
связаны с напряжениями зависимостями A5.13), получаем
дА fi .дЛ_я 4- —6 -4- — б -4-— б -4-
^С^	^^	и®г	u^xy	uT'yz
_(_^.бт^ = бЛ.	A5.33)
Уравнение A5.31) с учетом A5.33) принимает вид [78]
6 J Л<*У= J (^6Xv+^6rv+t>26Zv)rfS.	A5.34)
(V)
408

Если мощность вариаций внешних сил Xv, Kv, Zv на истинных ско-
скоростях перемещений равна нулю, т. е.
J
(S)
что возможно в случае, когда на SF заданы напряжения (SXV =
= 6FV = 6Zv = 0), а на 5V равны нулю скорости перемещений (vx—
= Vy = vz = 0), то
б С AdV = 0.	A5.35)
(Л
Согласно уравнению A5.35) из всех статически возможных на-
напряженных состояний только истинное напряженное состояние сооб-
сообщает минимум дополнительному рассеянию тела [13.78]:
min.	A5.36)
(V)
Дополнительное рассеяние и рассеяние определяются соответственно
по формулам A5.11) и A5.9), а в случае степенной зависимости
между интенсивностью скорости деформаций сдвига и интенсивностью
касательных напряжений — по формулам A5.16) и A5.17).
Уравнения A5.36) и A5.26) называются вариационными [ 13.78].
Вариационный принцип минимума дополнительного рассеяния пред-
представляет собой обобщенный принцип Кастильяно.
3. Приближенные решения краевых задач
установившейся ползучести
Рассмотрим метод приближенных решений краевых задач уста-
установившейся ползучести (основная и смешанная задачи) [13, 78].
В основной задаче на поверхности заданы постоянные нагрузки
Xv, Kv, Zv, а в смешанной задаче на части поверхности SF— посто-
постоянные нагрузки, а на части поверхности Sv (см. рис. 173) скорости
перемещений vx, vyj v2 равны нулю. Для данных краевых задач
мощность вариаций внешних сил на истинных скоростях равна ну-
нулю, т. е. справедливо уравнение A5.36). Решение такого вариацион-
вариационного уравнения ищем среди всевозможных напряженных состоя-
состояний, удовлетворяющих уравнениям статики. Для удобства пред-
представим уравнение A5.36) в виде [78]
(V)
dV=min,	A5.37)
где if— некоторое значение интенсивности напряжений. Решение
вариационного уравнения A5.36) ищем в такой форме:
409

of
-<tf >)¦
где а?Г), а^, а11},
жений (и«1): о
<0),
of\
of\
A5.38)
гх'—упругое распределение напря-
zxy\ V» хгх —распределение на-
напряжений, удовлетворяющее
идеально ползучему телу (п->
-> оо), при этом предполагается,
что указанные решения известны
и различны: К — некоторая
функция я, определяемая из ус-
условия минимума дополнитель-
ного рассеяния х^ \ Л dV = 0.
(V)
175
р 175
		()
п Как видно из рис. 175, К (п) —
убывающая функция, втремя-
щаяся к нулю при п -> оо; /(= I
соответствует упругому распре-
распределению напряжений, а /С=0 — распределению, удовлетворяющему
идеально ползучему телу [78].
4. Общий метод решения задач
установившейся ползучести
Вариационный принцип, который широко используется при
решении задач теории упругости, можно распространить и на ре-
решение соответствующих задач теории ползучести [13, 78]. Применим
данный метод к определению минимума дополнительного рассеяния
A5.39)
Решение уравнения A5.39) ищем в виде последовательных прибли-
приближений
SCfato^,,	A5.40)
S=I
где [crfy|0 — частные решения уравнений равновесия, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям, заданным на поверхности 5^; [о^]8—частные реше-
решения уравнений равновесия, удовлетворяющие нулевым граничным
условия* на поверхности SF; Cks — произвольные постоянные [78]#
410

Принимая, что / (т^) = рт-= const (Go — тангенс угла наклона каса-
тельной на начальном участке кривой т* = gOyf)Yf)> из уравнения
A5.39) получаем
(V)
Затем находим нулевое приближенное решение (/( = 0) off, соответ-
соответствующее линейно-вязкой задаче. Коэффициенты Cks определяем из
системы линейных неоднородных алгебраических уравнений [78].
Зная напряжения в нулевом приближении а[?\ вычисляем интенсив-
ность касательных напряжений ту'. Полагая Gjrsgl-pr-j, опреде-
определяем первое приближение aJJ* из условия минимального значения
квадратичного функционала
6 I (Г "Ydv=s0*	<15-42)
Для ?-го приближения получаем [78]
1йГ
(V)
Наличие переменного модуля Gk в ^-м приближении усложняет вы-
вычисление квадратур, однако k-e приближение имеет такой же
вид, как и для упругого тела. «Секущий модуль» Gk можно опреде-
определить непосредственно из экспериментальной кривой %i (Yj). Ука-
Указанный метод решения задач установившейся ползучести представ-
представляет собой модифицированный метод Ритца. Аналогичный метод
можно применить при нахождении минимума полной мощности [78].
ГЛАВА 16
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ
УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1. Упругопластическое состояние
стержней и стержневых систем
с учетом деформаций ползучести
' Ползучесть стержней статически определимой системы
Решим задачу о ползучести статически определимой системы
стержней, соединенных между собой идеальными шарнирами [13].
Предположим, что механические характеристики ползучести при
растяжении и сжатии одинаковы. При этом все стержни системы
411

изготовлены из одного материала и работают при одинаковой тем-
температуре. Обозначим в k-ьл стержне напряжение, длину и площадь
сечения соответственно через о>, Ik и Fk. Напряжения в етатически
определимых системах находим из уравнений статики. Скорость
деформации в k-ы стержне определяем из закона ползучести:
ем = В @ | ok ln~x Ok.	A6.1)
Деформация ползучести
A6.2)
В случае постоянной нагрузки
= Q (t) \ ok Iя-» ok\ Q(t)=[B @ dt.	A6.3)
При больших деформациях
где Ik — длина стержня в момент /. Интегрируя уравнение A6.1),
находим длину Ik как функцию времени. Используя теорему Кас-
тильяно, определяем скорость перемещения некоторого узла в на-
направлении действия нагрузки [13J:
=|?-, где Л = В (О
Ползучесть стержней статически неопределимой системы
Напряжения в лишних S стержнях обозначим через Xl9 X2, . . .,
Xs; напряжения в начальном упругом состоянии — через о^\ Х^\ а
в установившемся состоянии — через op, XJT*, Используя уравнения
статики, имеем [13]
<**=««+? Р/ЛХI} (* = 1, 2, . Л , m - s). A6.6)
/=i
Здесь коэффициенты а^, P/Vfe зависят от типа решетки и внешних сил,
а напряжения Х(р определяются методами сопротивления материалов.
Значения Х^ находим из системы уравнений
S Ык \ оР \п^1 oPVkt =0 (/— 1, 2	s). A6.7)
Система A6.7) является нелинейной и представляет определенные
трудности в ее решении. В случае постоянных нагрузок данная
412

система решается приближенно. Решение ищут в следующей форме
(записывая вместо о^ о*):
ok = of > + К (л) (o{kl) — 40)),	A6.8)
где ojj,0) — напряжения в решетке в предположении, что она явля-
является жестко-пластической; множитель К (п) определяется из усло-
условия минимума дополнительного рассеяния мощности [13, 78]:
Fklkl Ok\n~l <Jk(o{kl) - of») = 0.
A6,9)
/С (п) является монотонно убывающей функцией п, причем
*(*) < 1.
Ползучесть стержня при изгибе
Предположим, что брус имеет две оси симметрии, причем одна
из них лежит в плоскости изгиба (рис. 176) 113, 29, 78, 102, 168],
а также, что механические характеристики материала в условиях
ползучести одинаковы как при растяжении, так и при сжатии. Пусть
выполняется гипотеза плоских сечений. Тогда
&с = -~,	A6.10)
где г0 — деформация, возникшая в результате ползучести матери-
материала; у — расстояние от рассматриваемой точки сечения до ней-
нейтрального слоя;	кривизна оси бруса, образовавшаяся зэ
счет ползучести, Используя степенной закон ползучести &с = Qotl>
находим
Изгибающий момент в этом случае определяется по формуле
413

Интеграл в выражении A6.12) называют обобщенным моментом
инерции поперечного сечения относительно оси х:
Jnx
Г 2±!
= 3ы" dP.
A6.13)
Кривизна для изогнутой оси балки, возникшая в результате ползу-
ползучести материала, определяется по формуле
4—(гТ°-	<16Л4)
9с \JnxI
а напряжения в поперечном сечении при изгибе стержня — по фор-
формуле
1
A6Л5)
Обобщенный момент инерции для бруса прямоугольной формы раз-
размерами Ь X ft [102]
n где "^
где "х^-тщ —	;	A6.16)
для стержня круглого поперечного сечения с наружным диаметром
D и внутренним диаметром d
Г	Зл+11
25±! и\п\
= a2D - [l-(i-) J.
A6.17)
L	\ ** I	Л
еде
для сплошного круглого стержня диаметром D
i	A6.18)
для стержня с поперечным сечением, представляющим собой тонко-
тонкостенное кольцо со средним диаметром D и толщиной стенки б,
2п-Н
Jnx = OL3D n 6,	A6.19)
еде
Г(—-]-гамма-функция.
2я+
414

Зависимость коэффициентов alf a^, a3 от показателя степени п
показана на рис, 177 [102]. Максимальные нормальные напряжения
при изгибе вычисляются по формуле A6,15) при у «уЗ
Мх
max
A6.20)
где Wnx— обобщенный момент сопротивления изгибу поперечного се*
чения: для прямоугольного поперечного сечения
Н7	2	bh?-	A6.21)
11 П
Рис. 177
для круглого полого сечения
W
пх
Зд+Г
2
для круглого сплошного поперечного сечения
для тонкостенного кольца
A6.22)
A6.23)
A6.24)
В качестве примера на рис. 178 [102] приведены зависимости
—2— от -^г , построенные по формулам A6.15) и A6.16). Данные
графики характеризуют закон распределения нормальных напряже-
напряжений при изгибе стержня прямоугольного поперечного сечения в зави-
зависимости от показателя степени п при установившейся ползучести,
415

В случае поперечного изгиба стержня в поперечном сечении
в отличие от чистого изгиба кроме нормальных напряжений возни-
возникают еще и касательные напряжения, которые в условиях устано-
установившейся ползучести определяются формулой
n+1 Г	n+\l
	:— J пх
A6.25)
где Q — поперечная сила в сечении. При деформации стержня сече-
сечения не остаются плоскими. Однако если полагать, что сечения
остаются плоскими, то в слу-
случае поперечного изгиба при-
приближенно выполняются форму-
формулы для определения нормаль-
нормальных напряжений и кривизны,
полученные при чистом изгибе.
Прогиб, возникающий за счет
ползучести материала при по-
поперечном изгибе, определяется
из уравнения
Jnx!	D
A6.26)
где D — J^jPT1 — обобщен-
обобщенная жесткость стержня. При
решении данной задачи для
определения прогибов, возник-
возникших за счет ползучести, вос-
воспользуемся интегралом Мора
для определения перемещений стержней, изготовленных из мате-
материалов, свойства которых не подчиняются закону Гука [13, 78,
Г* АЛ
A6.27)
9с
Рис. 178
(О
Здесь Mi — изгибающий момент от единичной нагрузки, приложен-
приложенной в направлении искомого перемещения в той точке, перемещение
которой определяется. Тогда с учетом A6.26) выражение A6.27)
принимает вид
J
(b)
D
•dz.
A6.28)
Линейные и угловые перемещения для некоторых стержней при
изгибе в условиях установившейся ползучести приведены в
табл. 19 [13].
416

Таблица 19
Схема балки
Линейное переме-
перемещение и точке А
Угловое
перемещение
г
W*yZ
WsW,
t/2
t/2
Я
У
г/г
t/2
рп[п+г
(n+2)D
"W
(п + 2) 4п+2 D
[П + 2
2(п+1)?>\2
п\2"
.4т
"
/г — целое число
На конце балки
in +l)D
На опоре
ID
На опоре
(п + 2) 4"+i D
На конце балки
("У
На опоре
1 .3... Bл+ 1)
X
X2D\8
п— целое число
Ползучесть стержня при кручении
Задача о ползучести стержня, поперечное сечение которого
представляет собой круговое кольцо с наружным D и внутренним d
диаметрами, в условиях кручения [13, 17, 78, 102, 123] решается
в предположении, что при деформации поперечные сечения оста-
остаются плоскими, а радиусы — прямолинейными. Поэтому в устано-
установившейся ползучести справедлива зависимость
УсгЬс	A6.29)
14 1-317
417

где Ус — угловая деформация, возникшая в результате ползучести
материала в точке поперечного сечения на расстоянии г от центра;
Ог — относительный угол закручивания, образовавшийся за
счет ползучести материала стержня.
Используя выражение для интенсивности напряжений и дефор-
деформаций ползучести для чистого сдвига O?=V3%; Нс = —т=~ Ус>
V 3
а также степенной закон ползучести (е$с = a^Q, получаем
A6.30)
Касательные напряжения в поперечном сечении стержня при круче-
кручении в условиях установившейся ползучести определяются по фор-
формуле
Т = "^\"ТП Г"*	A6'31)
Зп"
Выражение для крутящего момента с учетом A6.31) записывается
в виде
D/2	J_ D(? 2я+1
М2 = 2я \ тга dr = ( ®с \ п2п \ г п dr> A6.32)
d/2	^ з 2 Q)	d/2
где
D/2
J
J
d/2
Здесь /пр — обобщенный полярный момент инерции сечения. Для
кольцевого сечения
1	я	п п—"
2"лГ
для круглого поперечного сечения
Относительный угол закручивания, возникший в результате ползу-
ползучести материала при кручении стержня, определяется по формуле
Я+1
пр
418

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня при кру-
кручении вычисляются по формуле
пр
При г = —
мг
wnp
A6.36)
A6.37)
Здесь Wnp — обобщенный полярный момент сопротивления кручению.
Для кольцевого сечения
пр-
для круглого сечения
те. 	Я п
ПР~~ 4 Cfl+l)J
<16-38>
A6.39)
Q2 ОА Q6 0,6 J
D/
Эпюры распределения напряже-
т	г
нии .да,— от jjjt в зависи-
зависимости от показателя степени
ползучести п для стержня круг-
круглого поперечного сечения, по-
построенные по формулам A6.36)
Рис. 179
Рис. 180
и A6.37), показаны на рис. 179 [102]. С увеличением показателя сте-
степени п наибольшие касательные напряжения уменьшаются и распре-
распределение касательных напряжений по сечению становится более рав-
равномерным.
Задача о ползучести стержня некруглого поперечного сечения
при кручении (рис. 18Q) [13, 17, 78, 102, 168] решается аналогично
задаче «обычного» пластического кручения при произвольной за-
зависимости между напряжениями и деформациями, если компоненты
скорости заменить компонентами смещения. Компоненты переме-
14*
419

щения uCt vc, возникшие в результате ползучести материала, опре-
определяются так же, как и в пределах упругости [223J:
ис = —Ъсуг\ vc = §схг.	A6.40^
Перемещение, характеризующее искажение плоскости поперечного
сечения при кручении стержня некруглого сечения, отлично от
нуля (wc Ф 0). В этом случае геометрические уравнения с учетом
A6.40) имеют вид
A6.41)
Если учесть, что
то из уравнений A6.41) находим
| ЮГ\Л -? [оГЧ,, +|-? =0,	A6.42,
где
Введя функцию напряжений
x2^ = -25L- т =— -^L,	A6,43)
преобразуем уравнение A6.42) к виду [17, 102]
д (Г/ дФ\2 (дФ\2] 2 дФ\
КЦЫ+WJ а.)+	AМ4)
3 2 Q
Для односвязного контура Фконтур = 0, Решая уравнение A6.44)
относительно Ф* по формулам A6.43) определяем напряжения. Однако
решение уравнения A6.44) связано с определенными трудностями.
Легко оно решается лишь для тонкой полосы (рис. 181, а),
420

i
т и г
¦
«
1
г
в которой h > /?. Приближенно принимая, что тг<5 = 0t а еледова-
тельно, -J— = 0, преобразуем A6.44) к виду
(i?
дх [ \ ох
дх
A6.45)
3 г Q
Интегрируя дважды данное уравнение при условии, что при * = (
хху = 0; -^-— = 0, получаем
дх
A6.46)
Q
где С — произвольная постоянная, которая определяется из сле-
следующего условия: при х =* Ь; Ф = 0
1
Тогда
п+1
п I 20, \\—
+ 1 2+1
V 3 3 ¦ Q /
п+1	п+1
--
Ф =
V 3 2 Q
Крутящий момент определяем по формуле
A6,47)
A6.48)
A6.49)
421

а относительный угол закручивания, возникший за счет ползучести
при кручении стержня произвольного сечения,— по формуле
V^Q.	A6.50)
2/г+1
\Jnk
где
Касательное напряжение вычисляем так:
-i
*.	A6.52)
-L-i
Максимальное значение касательного напряжения достигается при
х = Ь:
(т- ) =-^?-f	A6.53)
где
Wnk = , П, . 2Л B6J.	A6.54)
2/2 + 1
Приведенные формулы можно использовать и при расчете стержня,
поперечное сечение которого состоит из отдельных тонких полос
(рис. 181, б, в). Предположим, что при кручении стержня такого
сложного профиля каждая отдельная полоса, составляющая про-
профиль, поворачивается на такой же угол, что и сам профиль. Тогда
справедливо равенство
/г+1	/г+1
откуда
(Mz)i = Mz —z— ,	A6.55)
где (Mz)t — крутящий момент, воспринимаемый 1-й полосой;
обобщенный момент инерции при кручении f-й полосы,
2/1+1
**	п
Здесь 1{ и §i — соответственно длина и ширина i-й полосы. Сумми-
Суммируя крутящий момент A6.55) на всех m полосах, получаем
^(nk),,	A6.57)
422

где
'2/1+1
A6.58)
В данном случае при кручении стержня сложного профиля, состоя-
состоящего из отдельных полос, относительный угол закручивания опре-
определяется формулой A6.50), а обоб-
обобщенный момент инерции при кру-
кручении — формулой A6.56). Каса-
Касательные напряжения при круче-
кручении стержня, поперечное сечение
которого представляет собой тон-
тонкостенный замкнутый профиль
(рис. 182), определяются так:
х =
26F
A6.59)
где б—толщина стен о; F —
площадь, ограниченная средней Рис« «82
линией тонкостенного сечения.
Относительный усол закручивания в этом случае вычисляется по
формуле A6.50), где
г . 	о п г
I
A6.60)
При решении задач о кручении некруглых стержней могут быть
использованы вариационные принципы.
2. Упругопластическое состояние цилиндров
при установившейся ползучести
Ползучесть тонкостенных труб
Рассмотрим тонкостенный цилиндр (рис. 183), находящийся
под действием постоянного внутреннего давления /\ осевой силы #
423

и крутящего момента М2 [17, 78, 102, 153] в состоянии установив-
установившейся ползучести. В этом случае
N
26
**Й =
2М2
A6.61)
где D — средний диаметр; б—толщина стенки цилиндра. С учетом
условия несжимаемости материала (еос = 0, о0 = — (ог + о^)), при-
применяя теорию малых упругопластических деформаций, записываем
A6.62)
'Используя зависимость между интенсивностью деформаций
ползучести, интенсивностью напряжений и временем в виде
а также учитывая, что в данном случае
= Kag — a8a2
находим выражения для определения деформаций ползучести
[11, 102]:
п—\
рЛ / 2	I 2 , Q 2 rj
fc8c=(ae—аеаг -f* ог ¦+- отб2;
5,63)
at + Зт02/2' (а2 - ^) Й «5 >
= 3 (eg — аеаг
Если цилиндр находится под действием только внутреннего давления
pD	ae
и крутящего момента, то ог = -^- , а следовательно, о> = -д— ;
тогда из второй формулы A6,63) следует, что е2с = 0. Решение
задачи об установившейся ползучести тонкостенной трубы, нагружен-
нагруженной внутренним давлением, изгибающим и крутящим моментами
и осевой силой, приведено в работе [215],
424

Ползучесть толстостенных труб
При решении задачи об установившейся ползучести толстостен-
толстостенного цилиндра с днищем, находящегося под действием внутреннего
давления (рис. 184) [13, 17, 77, 102, 153], воспользуемся теорией
малых упругопластических деформаций. Учитывая условие несжи-
несжимаемости материала (8Ос = 0), а также то, что осевая деформация
такого цилиндра е^ = 0, имеем
_	uc	duc
Поскольку 89C = -f- ; erc = -?
ИЗ
Р> Р> Р
условия несжимаемости материала нахо- 2fl
ДИМ
duc , Uo __o
A6.65)
Интегрируя данное уравнение, получаем
с
ис = —, а следовательно,
. A6.64)
\
/
/
У
j>e
6z
i
— —¦
>

Рис. 184
Q5
0,5 О/ ОЯ
Рис. 185
С
72"
A6.66)
Принимая степенной закон ползучести e^ = a?Q, а также учитывая,
2 с
что 8fc = -р -g- , из A6.64) устанавливаем, что
п ( с \п
1/2
О, — Or = -=-
с \ п
A6.67)
425

Интегрируя дифференциальное уравнение равновесия ??г _l —	-
dr ^ r
= 0, с учетом первого уравнения A6.67) находим
n+l
а, = —
2 \ Q г2/п
A6,68)
а следовательно, из уравнений A6,67) — oe и аг. Используя крае-
краевые условия (при г = rj о> = —р, при л = а2 аг = 0), имеем
A6.69)
¦г?»)
Тогда радиальное перемещение, возникшее за счет ползучести ма-
материала цилиндра, определяется как
Q
A6.70)
Формулы для определения напряжений принимают вид
о> =
rj*	г п-1(Гъ
A6.71)
На рис. 185 [17, 77, 102] приведены эпюры напряжений в трубе;
подвергаемой внутреннему давлению р. При этом гг/г2 = 0,5, а по-
показатель степени ползучести материала п = 3, Эпюры распреде-
распределения напряжений в толстостенной трубе при установившейся пол-
ползучести (сплошная линия) отличаются от эпюр распределения на-
напряжений в трубе при упругом решении (штриховая линия).
3. Упругопластическое состояние
вращающегося диска в условиях
установившейся ползучести
Решим задачу об установившейся ползучести вращающегося
равномерно нагретого диска переменной толщины (рис, 186) по ме-
методу, предложенному Н, Н. Малининым [102J.
426

Исходя из статических условий задачи, получаем следующее
дифференциальное уравнение движения элемента диска переменной
толщины [96, 97, 105]:
-iL (Orhr) —
0
A6.72)
Интегрируя уравнение A6.72) от гх до г2 при краевом условии (при
г = гх о> == —pi), находим
— \
где
* = 0.
A6.73)
A6.74)
При r=ri Ф*= 0. Полагая в урав-
уравнении A6.73) г = г2 и используя
краевое условие* (для г = г2 о> =
=/?2), получаем
г8
+ Ф* = 0,
A6.75)
Рис. 186
где ф* — значение функции Ф* на
внешнем контуре. Решая уравнение A6.73) относительно о>, нахо-
находим [102]
J obhdr — Ф*|.	A6.76)
Из геометрических условий задачи имеем
d4c , Чс — *гс
A6.77)
В качестве физических уравнений используются уравнения тео-
рии малых упругопластических деформаций, которые для нашего
случая (а2 == 0) записываются в виде
A6.78)
427

Зависимость между интенсивностью деформаций ползучести
и интенсивностью напряжений о* принимается степенной:
Чс = <^
где
A6.79)
A6.80)
Тогда условие совместности деформаций A6.77) с учетом A6.78),
A6.80) и A6.79) приводится к виду
2
Bo0-cr)Q] +
(ae — o>)Q=0.
A6.81)
Деля каждый член этого уравнения на —^- Bаб — аг) и обозначая
-^-=р, получаем [102]
а
) 2
Ba6-o»Q]
-л
> Bore-or)Q
После интегрирования по радиусу находим
3 A-
г B-
. A6.82)
-d.)г=вт • A6-83>
Из данного уравнения g учетом того, что —г— =р, следует
«•=D)
ехр —
п—1
B—P)J
где С — некоторая функция времени [102],
С--
С h(p*dr
A6.84)
A6.85)
428

Здесь
q—1
2
A6.86>
Тогда
a' = 7h
+ Ptrthi + Ф*
— Ф*
^2
С Лф*?*Г
0*8='
+
j*,,.
ф*.
A6.87)
A6.88)
dr
В случае диска без центрального отверстия (гг = 0) для централь-
центральной точки согласно выражению A6.86) имеет место неопределен-
неопределенность. Раскрывая ее, находим, что при г = 0 oF = о$. Формулы
A6.87) и A6.88) являются основными для определения напряжений
вращающегося диска при установившейся ползучести.
Вычисления напряжений по формулам A6.87) и A6.88) произ-
производятся методом последовательных приближений. В начальном ну-
нулевом приближении принимают, что напряжения распределяются
так же, как и в пределах упругости. Получив упругое решение, из
аг
соотношения J" = Р определяем значение р. Затем по формуле
A6.Я6) вычисляем функцию ф*, а по формулам A6.87) и A6.88) —
окружные и радиальные напряжения в нервом приближении. На-
Напряжения во втором и последующих приближениях определяют
так же, как и в первом приближении; при этом за исходные напря-
напряжения принимают напряжения предыдущего приближения. Зная
напряжения, находим радиальное перемещение ползучести:
ис
12
цсг = — [0? —
Bае
A6.89)
Метод решения, предложенный А. П. Филипповым [222], заклю-
заключается в том, что при решении задачи о ползучести вращающегося
диска используются зависимости Генки между компонентами на-
напряжений и деформаций:
Чс = ео +
2G '
A6.90)
429

где
о0=-^(ог + вв)\ е0 = 2Q G_
а — коэффициент линейного температурного расширения; Т — темпе*
ратура как функция радиуса. Связь между интенсивностью на-
напряжений а/, интенсивностью деформаций ползучести 8{0 и вре-
временем принимается в виде
е/с = ^- + Befit.	A6.92)
Функция ползучести определяется по формуле [17]
п-л
Ф = 3BG (о> — ara8 + G9) 2 t.	A6.93)
Условие совместности деформаций A6.77) с учетом A6.90) и A6.91)
записывается в виде
r6 dor
X ± [Ф Bа9 - а»] + i+i? Bа9 - ог)d-^ Ф. A6.94)
Добавляя к этому уравнению уравнение равновесия A6.72), а также
уравнение A6.93), получаем необходимую систему для определе-
определения напряжений о>и о9. Исключая из уравнения A6.94) об, с помо-
помощью A6.72) находим дифференциальное уравнение для радиаль-
радиального напряжения, которое затем приводится к интегродифференци-
альному уравнению, имеющему при постоянном модуле упругости
следующий вид [17, 222]:
г
"ГИ1
Тангенциальное напряжение определяется по формуле
о __У0Jг2 1 r^°r t (rd(lnh) Л	fl6 96)
430

Постоянные .4 и В находим из краевых условий. При этом напря-
напряжения для заданного времени t вычисляем методом последователь-
последовательных приближений, принимая за исходное нулевое состояние упру-
упругое распределение напряжений.
4. Напряженно-деформированное состояние
осесимметричных пластин при изгибе
в условиях установившейся ползучести
Задача об установившейся ползучести круглой пластины
(рис. 187), изгибаемой осесимметричной нагрузкой, решается при
следующих допущениях: прогибы малы по сравнению g толщиной
пластины 2h\ средняя плоскость пластины не удлиняется, ее точки
получают только вертикаль-
вертикальные смещения; линейные
элементы, перпендикуляр-
перпендикулярные серединной плоскости
до деформации, остаются
линейными и перпендику-
перпендикулярными серединной по-
поверхности после деформа-
деформации [13, 17, 78Г 97, 168].
Принимаемые допущения
носят геометрический ха-
характер и не связаны со свой-
свойствами материала. Согласно
этим допущениям,
A6.97)
Рис. 187
где бВс, егс—компоненты деформаций ползучести: ггс> е0с^ скорос-
скорости деформаций ползучести; Ф^. — угол поворота сечения за счет пол-
dWr
зучести. Учитывая, что ¦61С==~— , где wc — прогиб серединной
плоскости пластины, запишем A6.97) в виде
d2wc ) .	d2wc.
e = — —d— • ' ' — z dwc
A6.98)
где wc — скорость прогиба. Поскольку материал несжимаемый,
интенсивности деформаций и скорости деформаций ползучести
определяются формулами
431

УЗ У r*\dr I r r dr dr* ^\dr*
/3
r*\dr I r r dr dr*
l! 1A№Y +1 *5f?b + feJ. A6.
3 [/ г*\йг ) ^ r dr dr* ^\dr*j
99)
Ю0)
При решении данной задачи Зад = о, + а^ + аг «* а, + ов, поэтому
A6.101)
Решая A6.101) относительно напряжений, находим
A6.102)
С учетом 8fr = Qaf и A6.97) имеем
A6.103)
Обозначая 1 / (-V + 7^+ (^тГ = 7 И Учитывая A6-")>
за-
пишем A6.103) в виде [78]
о> =
у$ш Qm [
2/72+1
!	Га	] .а 1
A6.104)
В сечениях /•= const; 0 = const на единицу длины серединной ли-
линии действуют изгибающие моменты Мг, Ме и поперечное усилие
<?гГсм. рис. 187):
м,>
A6.105)
432

Используя зависимости A6.104) и интегрируя по толщине пластины
(от — Л до -\-h)t находим
С _i	С
!Г+ТТ
7"+ 2 dr
A6.106)
где Dc =
Bh)m+2
_ — жесткость пластины. Изгибающие мо-
(m+2) 1/3w+aQ"»
менты Мг и УИ&, а также перерезывающее усилие Qr удовлетворяют
уравнениям равновесия:
d (Qrr)
dr
jr\TAMrr)-Mb\+rq = 0.
A6.107)
A6.108)
Исключая Qr из A6.107), с учетом A6.106) получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение третьего порядка относительно угла поворота сече-
сечения пластины за счет ползучести:
A6.109)
где ? —давление, распределенное по поверхности пластины. По-
а	dwc	л
скольку #<, = *- —с , выражения для определения изгибающих мо-
моментов A6,106) записывают таким образом:
A6.110)
где wc определяется из дифференциального уравнения четвертого
порядка [78]:
2л dr
dr \dr
Нелинейное дифференциальное уравнение A6.109) (или A6.111))
при соответствующих граничных условиях решается различными
численными методами. Согласно методу Галеркина — Бубнова,
433

зная прогиб wc (г), по формулам A6.97) находим деформации гг0
и 6qc, а следовательно, и интенсивность деформаций ползучести р,{с,
Из диаграммы деформирования по известной величине е^с опре-
определяем интенсивность напряжений о^, а по формулам A6.102) —
напряжения ог и a t
Применим в задаче об установившейся ползучести изгибаемой
пластины с равномерно распределенной нагрузкой принцип мини-
минимума полной мощности б v LdV — SB = 0. Вводя в L интенсив-
ность скоростей деформаций сдвига yic — У 3et-r, которая с учетом
A6.100) определяется формулой
A6.112)
я выполняя интегрирование по 2, находим [78]
Ь
б[\ i52L^n+irdr—#| = о.	A6.113)
а
Выражение для вариации мощности заданных внешних сил имеет
вид [78]
ь	ь	ь
ЬХ = 2я \д (г) bwcrdr + 2я \rQrbwc] —2я rMr6 ^-c J .
а	а	а
A6.114)
Здесь знак | показывает, что из значения члена, стоящего в квад-
а
ратных скобках, при г = Ь необходимо вычесть его значение при
г = а; Мг и Qr ^ изгибающий момент и поперечная сила на краях
пластины. Если пластина изгибается под действием сосредоточенной
силы Р, приложенной в центре пластины, то
6^ = Рб (ю,)Гв0,	A6.115)
где б (wc)rgssQ — вариация скорости прогиба в центре пластины. Ва-
Вариационное уравнение A6.113) можно решить с помощью метода
Ритца, полагая
Wc = CiW} + C2W2 + C3WC + . • • »	A6.116)
гце wlt w2jtft — функции, удовлетворяющие однородным геометри-
геометрическим условиям задачи; Си С2, ... — произвольные постоянные,
которые определяются из условия минимума полной мощности. Так
как функционал не квадратичный, то прямое использование метода
Ритца связано с вычислительными трудностями, поэтому в данном
434

Таблица 20
Схема закрепления пластины
Скорость прогиба в ючке пластины
А.
пит
02Ь
02Ь
ШЛБ
02Ь
02Ь
б2 / qb2
Р — полное усилие,
а , 36а2 t 2
+ 7A -а2)
435

случае более удобным является модифицированный метод Ритца.
Если ограничиться приближением, содержащим лишь один пара-
параметр Сь то решение задачи значительно упрощается.
В качестве примера в табл. 20 |13] приведены значения скоро-
скорости прогиба круглых и кольцевых пластин лля различных случаев
31М2Л4)
1,В\
12
 Q2 0,4 Q6 Q8 т=1/п
Рис. 189
О 0,2 0,4 0,6 0,8 itt'1/n
Рис. 188
нагружения и закрепления. Зависимости функций 5Ь 52, 53, S^ от
т = — графически показаны на рис. 188, а для 5б — на рис. 189.
п
5. Напряженно-деформированное состояние
осесимметричных оболочек
при установившейся ползучести
Общие уравнения оболочек при установившейся ползучести
по структуре аналогичны уравнениям деформационной теории пла-
пластичности с упрочнением. Кроме того, поскольку кинематические
уравнения, лежащие в основе теории как упругих, так и упруго-
пластических оболочек, не связаны со свойствами материала, они
полностью применимы для описания состояния установившейся
и неустановившейся ползучести оболочек [13].
Зависимости между усилиями Na, No, Т, моментами Ма, М»,
Н (рис. 190, а) и скоростями деформаций серединной поверхности
6а» 8
э» V>
р, т для оболочки в условиях установившейся пол-
полэ	р
зучести записываются в виде [13]
A6.117)
436

A6.118)
J
-A/2
Причем
> A6.120)
' -g х 4-е ±l8v 1 * 1 '
Зависимость между интенсивностью касательных напряжений и ин-
интенсивностью скоростей деформаций сдвига при установившейся
ползучести принимается следующей:
где у{ =
'¦=щ°<- <Ш21)
Зависимости между скоростями обобщенных деформаций середин-
серединной поверхности и компонентами вектора скорости перемещения
серединной поверхности оболочки находим дифференцированием
437

по времени соответствующих зависимостей для упругой оболочки
[13J:
_ 1 dv I дВ • w
~~ Д~ ^R •" Уй Art U • F" »
%з
(О о
а
> A6.122)
где
"а '
т~ = Та^""лвар *«•
j_^a_ 1 ал- t
в" ар лваа з;
а^ w и
ар
°а"~ л" aS as ар"
ар
1 /ав • ал Л «^
« ~ 2ЛВ \^а ^Р / ~
A6.123)
Здесь 8а, 8о, 7 — компоненты скорости тангенциальной деформации}
Ха, Хо — компоненты скорости изгибающей деформации; т — скорость
скручивания в процессе деформации; Ra, R^, Ra^—радиусы нор-
нормальной кривизны, характеризующие искривленность серединной
поверхности; Л = \-~- ; В = ~ — параметры Ламе (рис, 190,6);
Qn — средний поворот окрестности рассматриваемой точки середин-
серединной поверхности вокруг нормали к серединной поверхности (рис. КО,*);
438

Фа> до— величины, характеризующие скорости поворота касатель-
касательных к координатным линиям (рис. 190, в); еа, е^, п — орты.
Компоненты тензора скорости деформаций должны удовлетво-
удовлетворять условиям неразрывности скоростей серединной поверхности,
при этом краевые условия необходимо выразить через соответствую-
соответствующие линейные и угловые скорости. К данным уравнениям необхо-
необходимо присоединить уравнения равновесия, которые, согласно рис»
191, приравнивая главный вектор и главный момент нулю, получаем
в виде двух векторных уравнений,
- V) п] АВ = 0,
равносильных шести скалярным. Используя введенные В. В. Ново-
Новожиловым симметричные величины и исключая из уравнений уси-
усилия Qa и Qg, получаем три дифференциальных уравнения равнове-
равновесия [13]:
d(BNa) , i д{А*т) дВ„ , 1 \д(ВМа)
да
¦ + 7Г-
ар
1 а (АгН) дВ
дВм . ] \6
да
+
1 а (в2н)
В да
^ (AN$ r 1 д (В2Г) __ дА
1 \HBMa)
439

1 д(АЩ
д ( В
В
> A6.124)
АВ\даА
да
• +
1 д(Л2Н)
Рис. 192
На граничном контуре должны быть
заданы пять статических величин:
t> T
vh>
v» M
vf
этом
v = Mvvt — Mvtv.
Заменяя систему усилий и моментов
статически эквивалентной системой
четырех приведенных величин (рис.
192), находим [13]
AL
О =Т — -
VV	VV
^ . а
м.
vt
где
qvv = Ma cos2 @+27 sin со cos со + N^ sin2 со +
+ sin со cos со I ^г + р-)Н	б	 — p~»
Qv/ = (A^3 — A^a) sin a cos a + Г (cos2 со ~
J- (Mpsin^-Alacos'co) +^;
coscof^Wa) , 1 djAW) dB
Г~ +а ар aa
440

sin©
АВ
В да
dp ^ J
dst
Mvv = cos2 (oMa + 2 sin © cos © • Н -f sin2 © • Л^;
М^ = (cos2 © — sin2 ©) Н -f- sin © cos © (Mo — Ma).
Таким образом, получена система определяющих уравнений,
позволяющих решать задачу о напряженно-деформированном состо-
состоянии оболочки в условиях установившейся ползучести. Для расчета
напряженно-деформированного состояния оболочки при установив-
установившейся ползучести применимы различные численные методы: 1) ме-
метод переменных параметров упругости [9—13]; 2) метод упругих
решений [9—13, 69]; 3) вариационный метод [13, 224].
Часто используются методы, которые базируются на введении
эквивалентных двухслойных моделей [166, 168] или аппроксими-
аппроксимирующих поверхностей нагружения. Согласно методу, базирующе-
базирующемуся на введении аппроксимирующих поверхностей нагружения,
с учетом того фактора, что при установившейся ползучести упругие
составляющие скоростей деформаций (еа)е, (е^, уе, (Ха)е, (ЗСр)е. Ъ
отсутствуют, определяющие уравнения ползучести имеют вид [13]
дФ
дФ
¦ш-; > A6.126)
2г-О(Ф>§?. I
Множитель G (Ф) выбирают путем сравнения с простейшим решением.
Функцию Ф принимают в виде квадратичной [175—177]:
+ ЗЯ*) .
A6.127)
где
Из зависимостей A6.126) и A6.127) находим
1
a — 2
1_
п
441

3 /С
^ 3 /С
2/2
Ф
A6.128)
где
G (Ф) =
A6 Л 29)
Если Ф=— однородная функция первой степени, то уравнения A6.126)
можно разрешить относительно Nat Nnt 7\ Ма9 М^, Я. Для этого
необходимо построить однородную первой степени функцию относи-
относий фй V
ас,
ус, Х
ас,
тельно скоростей деформаций V (&
такую, чтобы при подстановке вместо гас, Lc, yc, Хас, Ц
дФ дФ дФ дФ дФ
с, тс), причем
ВеТСТВуЮЩИХ ПРОИЗВОДНЫХ ^j-j- , ^тт- ,
дТ> дМг
дФ
дН
она
обращалась в единицу. Тогда обратные зависимости записываются
в виде [13]
)^L;	2// = Q(Y)^-
A6.130)
Функция Q(W) определяется из уравнения
* ~ 731/ [
8В'+ Т
A6.131)
A6.132)
Для построения решения задачи об установившейся ползучести
оболочки на базе уравнений A6.130) с учетом A6.131) и A6.132)
можно использовать вариационные принципы
-. 0;	A6.133)
:0,	A6Л34)
6 [И L*
в Г С С A*ABdad$—
442

где L * = \Q OF) (P?; Ac — мощность поверхностных и краевых
внешних нагрузок; Л* = I G (Ф) йФ. Интегрирование ведется по
всей серединной поверхности оболочки. В функционале A6.133)
варьируются поля скоростей, которые должны удовлетворять
кинематическим краевым условиям, а в функционале A6.134) —
поля усилий и моментов, которые должны удовлетворять статиче-
статическим краевым условиями уравнениям равновесия. Обычно при по-
построении приближенного решения с помощью вариационных прин-
принципов A6.133) и A6.134) используют метод Ритца. Некоторые чис-
численные результаты решения задачи об установившейся ползучести
приведены в работах [168, 242].
ГЛАВА 17
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
1. Общие уравнения
неустановившейся ползучести
Для решения задач неустановившейся ползучести необходимо
располагать определенной системой уравнений. Полная система
уравнений неустановившейся ползучести состоит из дифференци-
дифференциальных уравнений равновесия A.135) (уравнений статики), физи-
физических уравнений A4.57) (закона неустановившейся ползучести),
а также геометрических уравнений A5.7) (уравнений совместности
скоростей деформаций), к которым необходимо добавить гранич-
граничные и начальные условия. В условиях неустановившейся ползуче-
ползучести заданы поверхностные силы Xv, Fv, Zv на части поверхности
тела SF и скорости перемещения vx, vy> v2 — на части Sv, причем
в отличие от установившейся ползучести указанные величины за-
заданы функциями времени. На части поверхности SF должны выпол-
выполняться граничные условия A5.6), а на Sv скорости должны иметь
определенное значение. В связи с тем что уравнения неустановив-
неустановившейся ползучести A4.57) содержат производные от напряжений по
времени, система дифференциальных уравнений ползучести также
будет содержать частные производные по времени от напряжений
как функции времени. Поэтому при решении задач неустановив-
неустановившейся ползучести необходимо знать искомые функции в начальный
момент времени. Поскольку решение системы уравнений неустано-
неустановившейся ползучести даже для простых частных задач представляет
определенные трудности, используют различного рода приближен-
приближенные методы [78]. Для того чтобы указать эффективный приближен-
приближенный метод решения задач неустановившейся ползучести, рассмот-
рассмотрим некоторые энергетические теоремы, позволяющие уравнения
неустановившейся ползучести A4.57) переписать в следующем
виде [78]:
443

е„ =
A7.1)
где Л
/ (Тр
; — функция напряжений и времени, которую
3	^
называют дополнительным рассеянием, а П =-г-/Сао + „тг — функ-
коэффициент
^т , входя-
входя2и
ция упругого потенциала; при этом л =
объемного сжатия. Функцию напряжений и времени	^
щую в уравнения неустановившейся ползучести, называют дополни-
дополнительной мощностью деформации* Если ввести понятие дополнитель*
ной работы
= I Si
A7.2)
то уравнения неустановившейся ползучести A7.1), учитывающие
составляющие пластической деформации, примут вид G8|
8* =
A7.3)
При разгрузке dxt < 0; Rt = 0,
Пренебрегая пластической еоетавляющей, запишем компоненты
полной деформации в следующем виде [13, 78]:
е* = (е*)е + (
. I
444

+ -^/*(V t)(oz-oQ);
Уху = (Уху)е + (Уху) с = g" ^ + /*
g"
При степенной зависимости имеем
/• (т,, /) = Q @ т^1, где Q (/)
Если ввести функцию напряжений и времени
Н
/. 0
A7.5)
которую называют дополнительной работой, то уравнения неустано-
неустановившейся ползучести по теории старения A7.4) примут вид [78]
ху
rvl/2
д
A7.7)
2. Вариационные принципы
в теории неустановившейся ползучести
Вариационное уравнение
неустановившейся ползучести
Предположим, что тело объемом V', ограниченное поверхностью
S (см. рис. 173), под действием объемных сил X, К, Z (на части
поверхности SF заданы поверхностные силы Xv, Kv, Zv, а на части
«Sy^скорости vx, vy, vz) находится в состоянии неустановившейся
ползучести A3, 78]. В некоторый момент t в данном теле возникает
система напряжений ох, оу1 az; ixy, tyz, т2ДГ, удовлетворяющая урав-
уравнениям равновесия A5.1), а на части поверхности SF — граничным
условиям A5.6); на другой части поверхности Sv скорости точек
имеют заданную величину.
445

Напряжения, соответствующие реальному состоянию ползучести
в момент /, называют истинными. Рассмотрим в тот же момент t
бесконечно близкое к истинному напряженному состоянию некото-
некоторое статически возможное напряженное состояние ох + 6ох\ оу +
+ ^°у> °г + 6(Tz» тху + ^хху> %уг + §T#z; ^гх + 6т2Д:, которое также
удовлетворяет уравнениям равновесия A5.1) и граничным условиям
A5.6) на поверхности SF. Поверхностным нагрузкам сообщаем тоже
бесконечно малые вариации XV + 6XV; KV + 6FV; ZV + 6ZV. По-
Поскольку истинные и статически возможные напряжения удовлетво-
удовлетворяют уравнениям равновесия и граничным условиям на соответству-
соответствующей части поверхности, вариации напряжений и поверхностных
сил также удовлетворяют соответствующим уравнениям A5.27) и
A5.28). Составляя выражение для определения вариаций напряже-
напряжений на истинных скоростях деформаций, после соответствующих
преобразований получаем следующее вариационное уравнение:
J
(V)
+ Ууг^уг + Т«^«1 dV =
vzbZv)dS.	A7.8)
J
(S)
Заменяя в уравнении A7.8) компоненты скоростей деформаций на
напряжения по формулам A7.1) и накладывая при этом ограничения
на характер изменения вариаций напряжений во времени (они не
должны изменяться), что позволяет менять местами дифференци-
дифференцирование и варьирование
преобразуем вариационное уравнение A7.8) к виду [78]
f (vxbXv + vy6Yv + vjbZJ dS-6 f [?? + Л]dV = 0. A7,9)
(S)	(V)
Уравнение A7.9) есть вариационное уравнение неустановившейся
ползучести. Отметим, что варьируются только напряжения, но не
скорости их изменения. Параметры, входящие в выражение для Л,
не варьируются. Поэтому вариационное уравнение A7.9) справед-
справедливо для любой теории ползучести. Для теории упрочнения это ва-
вариационное уравнение получено С. А. Шестериковым [228, 229].
Однако введение параметров упрочнения с помощью вариационного
уравнения A7.9) связано с серьезными затруднениями. Предполо-
Предположим, что мощность вариаций внешних сил на истинных скоростях
равна нулю:
J (vx6Xv + vySYv + vzbZJ dS = 0.	A7.10)
(S)
446

Тогда уравнение A7.9) имеет вид [78]
б Г U+d^\dV=0, или Г (л + д?\ dV = min; A7.11)
Г U+d^\dV=0, или Г
(V)	(V)
б (л + f) = 0, или (л+ §) = min.	A7.12)
Согласно уравнению A7.11) истинное распределение напряжений
характеризуется минимумом дополнительной мощности деформа-
деформаций всего тела [781.
Основные краевые задачи
неустановившейся ползучести
Условие A7.10) выполняется в следующих случаях.
1.	На поверхности тела S заданы напряжения. Тогда на этой
поверхности вариации поверхностных сил равны нулю, т. е. 6XV =
= 6KV= 6ZV= 0. Задачу такого типа называют основной краевой
задачей неустановившейся ползучести*
2.	На части поверхности тела SF напряжения отсутствуют,
а на части Sv заданы постоянные смещения. Тогда на части поверх-
поверхности Sv скорости равны нулю (vx = vy~v2= 0). Если принять
также, что объемные силы равны нулю (X = Y = Z = 0), то крае-
краевые задачи такого типа называют релаксационными задачами,
3.	На части поверхности тела Sp заданы напряжения, а на
части Sy — постоянные перемещения. Краевые задачи такого типа
называют смешанными задачами.
Естественно, что всевозможные задачи неустановившейся пол-
ползучести не исчерпываются приведенными случаями.
Некоторые следствия,
: вытекающие из вариационного принципа
Предположим, что к телу приложены сосредоточенные силы
P{(i= 1, 2, 3, . ,. , n)f Обозначим через l?, mit nt соответствующие
направляющие косинусы указанных сил; через vx{, vyi^ vzi — проек-
проекции скорости точки приложения силы Р.. Тогда из вариационного
уравнения A7.9), рассматривая случай подобия кривых ползучести
и степенной зависимости Л = \ 	--р dV и принимая, что только»
(V) n + l
одна сила Р. получает бесконечно малое приращение 6Я{., а опоры
неподвижные, находим [78]
+т)" ^+
447

Поскольку в данном уравнении в правой части в скобках есть проек-
проекция vi скорости точки приложения силы Pi на линии действия силы,
можем записать, что
[А+)	A7Л
Таким образом, из принципа минимума дополнительной мощности
устанавливаем, что частная производная дополнительной мощности
деформации тела по величине любой из приложенных к телу внеш-
внешних сил равна скорости точки приложения этой силы по направле-
направлению действия данной силы [781. Данное утверждение справедливо
« в случае обобщения сил и скоростей.
1. Рассмотрим напряженное состояние тела, определяемое
«еизвестными силами (лишними неизвестными) Хь Х2, ..., Xk.
Лишние неизвестные можно найти из системы уравнений, получае-
получаемых из условия минимума дополнительной мощности:
Система A7.15) является системой дифференциальных уравнений
dXt
первого порядка относительно производных —-тт- . К данной системе
уравнений необходимо добавить начальные условия Х{ \t==z0 = Xi0.
Значения XiQ определяются из решения соответствующей упругой
задачи.
2. Что касается вариационного принципа в теории старения
в задачах неустановившейся ползучести, то в силу того что уравне-
уравнения теории старения, содержащие время t в качестве параметра,
совпадают по существу с уравнениями теории упругопластических
деформаций, вариационные принципы минимума полной энергии
и принципы минимума дополнительной работы полностью спра-
справедливы. Принцип минимума дополнительной работы для решения
рассматриваемых задач с учетом уравнений A7.7), а также того фак-
факта, что для подобных кривых ползучести справедливо равенство
R* = Q (t) R\ (R\ от времени не зависит, R[ = Л^, записыва-
записывается в виде [78]
^ [П + Q (t) АЛ dV = 0.	A7.16)
(V)
Этот принцип характеризует экстремальные свойства истинных на-
напряжений.
Начальное состояние
При нагружении тела в начальный момент времени деформации
ползучести равны нулю, так как в начальный момент в теле возни-
возникают только мгновенные деформации, которые могут быть либо
упругими, либо унругопластическими. Для упругого начального
состояния тела выполняется принцип минимума полной энергии,
448

согласно которому форма, принимаемая упругим телом под дейст-
действием заданных сил и перемещений, отличается от всех возможных
форм тем, что только истинная форма равновесия тела сообщает
минимум полной энергии системы [78]:
= 0, или \TldV<-- i4 = min. A7.17)
(V)
g2 Q
Здесь П = prr? + Y V? ~~ плотность упругой потенциальной энер-
энергии тела, а Л = J (Х^ + К^ + Zv2) dV + j (Xv^ + Kv^ +
(Ю	E)
+ Zvvz) dS — работа внешних сил.
В упругом начальном состоянии тела выполняется также
и принцип Кастильяно, согласно которому истинное напряженное
состояние тела в отличие от множества напряженных состояний,
соответствующих тем же приложенным силам, сообщает упругой
потенциальной энергии тела минимальное значение [78]:
: 0, или \ П dV = min.	A7.18)
(V)	(V)
Здесь
Когда в начальный момент времени в теле возникают кроме облас-
областей упругих деформаций области пластических деформаций (пред-
(предположим, области Vi и Vo» которые разделены некоторой поверхно-
поверхностью 5'), поле напряжений и расположение поверхности 5 опреде-
определяется минимумом дополнительной работы всего тела [78|:
б[ [ IidV+ f (П + ЯхМИ =0, или
(V2)
HdV+ ? (П + Rj) dV = min.	A7,19)
(Vt)
3. Критерии приближения
неустановившейся ползучести к состоянию
установившейся ползучести
При неустановившейся ползучести напряженное состояние тела
изменяется от начального упругого к состоянию установившейся
ползучести. Причем, если промежуток времени перехода от упру-
упругого состояния к состоянию установившейся ползучести мал по
сравнению с длительностью работы рассматриваемого тела, то изу-
изучение ползучести тела можно проводить, основываясь на уравне-
уравнениях установившейся ползучести.
В случае основной задачи, когда заданы постоянные внешние
нагрузки, напряженное состояние тела определяется вариационным
15 1-317	449

уравнением A7.12). Интегрируя данное уравнение от 0 до /, нахо-
находим 178]
i
6 Г С Л dt + П (/)] — 6П @) = 0,	A7.20)
где II (t) — упругая потенциальная энергия тела в момент t\ П @) —
упругая потенциальная энергия в начальный момент времени /= 0.
Поскольку в начальный момент времени имеем упругое распре-
распределение напряжений, которое в случае заданных внешних сил удов-
удовлетворяет уравнению Кастильяно 6П= 0, уравнение A7.20) при-
принимает вид [78]
t
6 [С Л^ + П@] =0.	A7.21)
Данное уравнение позволяет указать критерии приближения не-
неустановившейся ползучести к состоянию установившейся ползу-
ползучести. В уравнении A7.21) отношение между положительными ве-
величинами П (t) и \ Л (t) dt изменяется, В начале процесса ползу-
о
чести (при малых /) превалирует П (t) и напряженное состояние
характеризуется уравнениями теории упругости; с увеличением вре-
времени t величина \ Л (t) dt возрастает и становится более значитель-
о
ной по сравнению с П@; напряженное состояние приближается
к состоянию установившейся ползучести [78].
Следовательно, установившееся состояние наступает тогда,
когда деформации ползучести достаточно превышают упругие де-
деформации, соответствующие напряженному состоянию при боль-
больших /.
4. Теорема об упругой энергии
при неустановившейся ползучести
Пусть тело, занимающее объем V, ограничено поверхностью 5,
нагружено на части поверхности SF поверхностными силами Xv, Fv, Zv,
а на части Sv заданы скорости vx, vyi vr Тогда мощность внешних
сил ^определяется из уравнения A5.23). Исключая поверхностные
силы Xv, Kv, Zv из этого уравнения и преобразовывая с помощью
формулы Гаусса—Остроградского поверхностный интеграл в объем-
объемный с учетом дифференциальных уравнений равновесия A5.1), на-
находим
J
В случае неустановившейся ползучести компоненты скорости де-
деформаций и напряжения связаны между собой формулами A7.1).
4S0

Используя эти формулы, запишем уравнение A7.22) в виде [78]
ал , ал , ал , ал . ал , ал
an t an , an , an . an , an
дП д°х дП да у дП д° г dR дтху
дах dt ~*~дОу dt + даг dt +дхху dt
Учитывая, что
дхуг dt +дхгх dlJ\dV-
аа^ a^ ^aa^ dt ^ doz dt^ дтху dt	дту2 dt	+dxzx	dt ~~ dt
an , an , an , an ,	an , an	OTT
aa^ у9ау ' 2doz ' ^ ax^	^zdxy2	zx d%zx
ал , ал , ал , ал ,	ал , ал	t , t4
(в случае степенного закона ползучести), преобразуем A7.23) сле-
следующим образом [78]:
(V)
В этом уравнении в правой части первое слагаемое — мощность
деформации ползучести, а второе — скорость приращения потен-
потенциальной энергии тела.
В случае релаксационной задачи, когда напряжения на части
поверхности SF равны нулю, а на части Sj/заданы постоянные пере-
перемещения, следовательно, на Sv скорости ,щх = vy = vz = О, мощность
внешних сил i2f = 0. Тогда уравнение A7.24) принимает вид [78]
(п + 1) Л + ^ Ш = 0.	A7.25)
Согласно уравнению A7.25), поскольку Л положительно, упругая
потенциальная энергия тела при неустановившейся ползучести все
время убывает.
5. Приближенные методы решения краевых
задач неустановившейся ползучести
Точное решение краевых задач неустановившейся ползучести
представляет значительные математические трудности. Рассмотрим
приближенные методы решения краевых задач неустановившейся
ползучести (основной, релаксационной и смешанной), основанные
на принципе минимума дополнительной мощности [13, 781.
15*	451

Общее решение краевой задачи неустановившейся
ползучести при заданных нагрузках
Предположим, что на тело, ограниченное поверхностью S,
объемом V, действуют постоянные объемные (X, Y, Z) и поверхно-
поверхностные (Xv, yv, Zy) силы. Пусть в начальный момент ?=0 пласти-
пластические деформации отсутствуют; тогда распределение напряжений
и деформаций описывается уравнениями теории упругости. Счи-
Считаем, что упругое решение известно. Напряжения упругого ре-
решения обозначим одним штрихом (о'х, а'уу o'z; тху, ту2, %zx), а
напряжения, соответствующие ^состоянию неустановившейся пол-
ползучести,—двумя штрихами (g'x, a'y, gz; %ху, xyZi %'z'x). При этом
полагаем, что решение задачи установившейся ползучести также
известно.
При постоянных заданных нагрузках процесс протекания не-
неустановившейся ползучести сводится к медленному изменению на-
напряженного состояния от упругого (/ = 0) к установившемуся со-
состоянию (/-»-оо). Поэтому приближенное решение вариационного
уравнения A7.11), описывающего процесс неустановившейся пол-
ползучести, ищем в следующем виде [13, 781:
A7.26)
<x + Ц (t) (I'z'x — Т2Д), j
где т] (t) — функция времени. Иногда данную функцию называют
просто множителем т] (/). Подставим A7.26) в выражения для упру-
упругой энергии П и дополнительного рассеяния Л, причем для простоты
принимаем, что кривые ползучести подобны (при этом Л = Вг (t) Ax),
и учитываем, что напряжения gx, oy, gz; xxy> %yz> tzx; gx, Gy, g"z\
т'ху, %yz, izx известны (значит, П и Л—функции только множите-
множителя т)(/)). Тогда условие минимума дополнительной мощности тела
записывается таким образом [78]:
|j { Bt (t) Л, [г, (*)] +^Й (т) (<)]} = 0.	A7.27)
Дифференциальное уравнение для множителя ц (t) имеет вид
Sl {t) «кШ1+чяштщ=0. A7.28)
ац	аг\2	at
Для удобства обозначим a* = gx — о'х; а* = ff^ — Gy\ a* = g\ — g'z;
xly = т"ху ~ %'xi **yz = Ъг - Ti/Z; Чх = TL - %'zx> соответственно бу-
обозначать все величины, связанные с разностями напряжений
452

(т*, И* и т. д.). Используя формулы A7.26), преобразуем выражение
для интенсивности касательных напряжений:
А = Оф2 + Л (О N + г}2 @ (т*J,	A7.29)
где
1 ' / • * .	• •
+ (°'z ~- °'х) (°1 ~ °*х) + 6 (т'хут*ху + VT^2 + тгЛ*) 1 • A7«30)
Так как П [ц (t)] — квадратичная положительная функция ц (t)t то
	 з =2 \ П* dV = 2П* > 0 и не зависит от г) (/). Из уравне-
ния A7.28) с разделяющимися переменными после интегрирования
при условии / = 0, т] = 0 находим уравнение для определения мно-
множителя x\(t) [78]:
где Q (t) определяется из кривой ползучести, а
^dr.	«7.32,
Напряжения ох, о*^, oz; iXyt %yZi xzx определяются решением вариа-
вариационного уравнения 6ЛХ = 0. Если искать решения данного уравне-
уравнения в виде A7.26), то для определения множителя ц (/) получим
следующее уравнение [78]:
(VJ
Это справедливо при г) (t) = 1. Следовательно, Q (r\) \ri===l = 0. После
дифференцирования выражения A7.31) находим [78]
dQ [т] (t)]	1_ ГJ
' (V)
Поскольку -т-у = 2 (т*J > 0; д% > 0, выражение, стоящее в
квадратной скобке, положительно. Значит, —^	^<0. Поэтому
функция Q [т] (t)] монотонно убывает и в интервале 0 <: r\ (t) < 1 поло-
453

жительна. График функции Q [r\ (t)\ показан на рис. 193 сплошной
линией, которая на оси ординат отсекает отрезок
Q@).
-И
(V)
fi(xi)NdV>0,
где
-^
a N определяется по формуле A7.30).
0Ш]
Рис. 194
В случае степенной зависимости имеем
= t
л—1
тогда
Q h (<)] = -
1
n+\
(V)
При нечетном п Q [x\ (t)] — полином степени п:
Q1Ц 01 = Q @) [A - л (/)] Q
где Q/i-i (Л (/)] — полином (л— 1)-й степени, т. е.
Qn-i h @1 -l+axTi @ + a2r]2 (t) + а3тK № + •••+ ^n-i
A7.34)
A7.35)
"-1 (t) > 0;
в интервале 0 <: т) (/) < 1 этот полином положителен 178].
Так как функция Q [ц (/)|, стоящая под знаком интеграла в вы-
выражении A7.31), при т) (/) = 1 равна нулю, то интеграл расходится.
Поскольку функция Q(t) монотонно возрастает с течением времени,
стремясь к бесконечности при t -*• оо, то из уравнения A7.31), ко-
которое определяет r\ (t), следует, что т] (t) представляет собой моно-
монотонно возрастающую функцию времени, которая асимптотически
приближается к значению т) (t) = 1 при t -+ оо (рис. 194).
Таким образом, данное решение указывает на то, что состояние
неустановившейся ползучести с течением времени монотонно изме-
изменяется от начального упругого состояния к состоянию установив-
установившейся ползучести. Нахождение функции ц (t) значительно упро-
454

(цается, если принять линейную аппроксимацию функции [Q [ц @1
(см. рис. 193, пунктирная кривая),
Qfo(O]=Q(O)[l-T| (Щ.
A7.36)
Тогда уравнение A7.31), из которого определяется r\(t), принимает
вид [78]
2П* 'Г dr\(t)
A7.37)
Решая уравнение A7.37), находим
X Q (/)
1
где <Ш Q
2П«
мернсе время. График дан-
данной зависимости псказан на
рис. 195. При этом необхо-
необходимо только вычислить энер-
энергию тела П* для разностей
напряжений (о%— а^; Оу —
У	'
-. безраз-
О
Рис. 195
уг\ Чх
Чх —
и зна-
знауг уг\ Чх zx)
чение функции Q@), которая при степенной зависимости имеет вид
@) = ~^
A7.39)
(V)
Проведенные расчеты показывают, что лучшие результаты полу-
получаются, если функцию Q [г\ (/)] аппроксимировать параболической
зависимостью, т. е.
Q [tj (/)] = Q @) [I — т] @] [1 + gn (t)],	A7.40)
где
g~~l+Q@) dr\
Это решение получено для подобных кривых ползучести, однако
оно может быть использовано и в случае отсутствия подобия кривых
ползучести, а также в смешанных задачах.
Приближенное решение краевой задачи
неустановившейся ползучести по теории старения
Если при решении краевой задачи неустановившейся ползучести
использовать теорию старения, то вместо вариационного урав-
уравнения A7.11) необходимо применить вариационный принцип
455

A7.16) [13, 78]. Будем искать решение уравнения A7.16) в виде
A7.26). Тогда уравнение A7.16) принимает вид
В начальный момент напряженное состояние ох, Оу, о% ; txy* tyz>
tzx удовлетворяет уравнению Кастильяно 6Д = О. В этом случае
уравнение для определения множителя у\ (/) записывается следую-
следующим образом [78]:
П* + f (зКа0а0* + ± n) dV = 0,	A7.42)
V
где	о0 —
(V)
°х + Gy
-
ао=	3
Решением уравнения A7.42) является т)@=0, тогда
(V)
Поэтому
A7-43)
В связи с этим уравнение A7.41) с учетом A7.31) преобразуется
к виду [78]
Данное решение указывает на то, что множитель т) (t) монотонно
возрастает от начального момента т) (/) = 0 до значения т] (t) == 1
при /-> оо. Следовательно, при приближенном решении краевой
задачи неустановившейся ползучести по теории старения качествен-
качественная картина не изменяется. Однако множитель г) (/) согласно реше-
решению A7.44) уравнения A7.41) стремится к предельному состоянию
более медленно, чем согласно решению A7.31) уравнения A7.28).
Соответствующее решение показано на рис. 195 пунктирной кривой.
Решение задачи в этом случае упрощается, если принять линейную
t*
аппроксимацию функции Q (ц) (см. рис. 193). Тогда т] = ^ , где
^Q@.	A7.45)
456

Приближенное решение задач релаксации
Решение вариационного уравнения A7.11) ищем в виде [13,78)
(Ух = Р @ Ох) | 1Ху = Р (*) *V. |
^ = Р @ ^; ту2 = р (t) Туг;	A7.46)
г'; J %2Х = р @ т^дг, J
где р (/) — некоторая произвольная функция времени (множитель
релаксации); ст*, Оу, а2', тху, TyZ, %lzx — напряжения в_начальный
момент, которые считаем известными. С учетом A7.46) П и Л явля-
являются функциями только множителя релаксации. Тогда вариационное
уравнение A7.11) принимает вид [78]
>] 0.	A7.47)
Из уравнения A7.47) следует дифференциальное уравнение для мно-
множителя релаксации р (t):
. dAi d2Jl dp	/17 лп\
tji it) 	 -4—	— = Qt	A / »^O/
При t = 0, p = 1 имеем упругое решение. Поскольку xt = р (t) %- f
а —^ = 21Г > 0 и от множителя р не зависит, интегрируя уравне-
уравнение A7,48), находим [78]
Р
-""¦¦ П dn	A7.49)
Если р > 0, то
(V)
где х- { —интенсивность касательных напряжений для начального
упругого состояния; П' — потенциальная энергия тела в начальный
момент / = 0. Принимая степенную зависимость /х (xt) = т", а еле*
НА	С
довательно, -~ = рп \ (т,')л+1^У, после интегрирования A7.49)
а9 J
(V)
получаем [78]
1-я
где t* = xQ (^) — безразмерное время, причем
1
(V)
457

•Поскольку t* — монотонно возрастающая функция /, то с течением
шремени множитель релаксации р (t) уменьшается, стремясь к нулю
при / -> оо. Кривые релаксации при фиксированном значении п вы-
вычисляют один раз навсегда для тела любой формы. Для каждой
конкретной задачи изменяется лишь отсчет по оси времени. Коэффи-
Коэффициент х определяют численным интегрированием уравнения A7.51).
Для простейших задач решение A7.50) является точным, а для
более сложных задач его необходимо рассматривать как первое
приближение. Дальнейшее уточнение решения базируется на дан-
данном первом приближении.
6. Неустановившаяся ползучесть
стержней и стержневых систем
Неустановившаяся ползучесть стержня при изгибе
Решение задачи неустановившейся ползучести стержня прямо-
прямоугольного сечения при чистом изгибе [13, 78, 102] при условии
постоянства изгибающего момента Мх = \ oydF определяется ми-
(F)
«шмумом дополнительной мощности A7.11):
п=й: Л=^н<т"+1-	<17-52>
Поскольку вариационное уравнение A7.11) в силу условия A7.52)
выражает гипотезу плоских сечений, при которой справедлива за-
зависимость е -= -г- у, получаем следующее уравнение ползучести:
Р
Данное уравнение решается путем сложных вычислений. Поэтому
целесообразно искать приближенное решение в виде
<т-а' = т|(/)(а"-а').
Здесь х\ (t)—функция времени, определяемая из дифференциального
уравнения [78]
еде
A7.55)
458

Введем безразмерные величины
При этом безразмерный коэффициент Xi зависит лишь от формы се-
сечения и показателя ползучести п и всегда меньше единицы:
НУ*) (y*Jdy*
так как 0<^*<1, л> 1, то 1г = 1 только при п=Ь Безразмер-
Безразмерное напряжение вычисляется по формуле
o*=f+r\(t)Y,	A7.57)
где K = X1(r/*)m — у*.
После интегрирования уравнения A7.54) при * = 0, rj @) == О
получаем
^wy	<17-58)
где t\ — безразмерное время [78]:
,. Ей @ (Mxh
^ = -T-[-J7
л-1
причем
М
Кривая г\ = ц (t\) строится численным интегрированием. Очень часто
принимают, что функция Qx (r\) линейная:
Q1(r\) = Q1@)(l—r\)t	A7.59)
где
Qi@) = -
Тогда
tj (ф = 1 -exp [-Qj @) t]].	A7.60)
На рис. 196 показаны кривые, рассчитанные по уравнениям A7.55)
(сплошная линия) и A7.59) (штриховая линия) для изгибаемого
стержня прямоугольного сечения при п = 3. Значения коэффициен-
коэффициентов Xi и 2 для некоторых сечений приведены в табл. 21 [13], а зави-
459

симость q{tri) — на рис. 197. Таким образом, зная коэффициенты
Xi и 2, находим Qx(O) и /J, а следовательно, и функцию ф). Затем
определяем напряжения при чистом изгибе стержня в условиях
неустановившейся ползучести. Поскольку при t* = О т)(**) = О,
а, следовательно, при /* -> оо т](/*) = 1, напряжения при неуста-
«U	^	= Ф
/00
Рис. 196
Q7
0 02 OA 0,6 Qfi m
Рис. 197
новившейся ползучести монотонно убывают от начального упру-
упругого состояния, характеризующегося напряжением а', к состоянию
установившейся ползучести, характеризующейся напряжением
о". Эпюры распределения безразмерных напряжений при чистом
изгибе стержня прямоугольного поперечного сечения для различ-
различных значений безразмерного времени показаны на рис. 198 [78].
При этом
nt*"O
amax W ~ 2JX '
2(^-1 =
Если стержень подвер-
подвергается изгибу моментом, мо-
монотонно изменяющимся во
времени, Мх = Mx(t), то
принцип минимума допол-
дополнительной мощности A7.11)
остается без изменения.
Приближенное решение на-
напряжений при неустановив-
неустановившейся ползучести в этом
случае ищем также в виде
A7.26), только о' и а" яв-
Рис 198	ляются напряжениями для
текущего момента. Тогда
дифференциальное уравнение для определения функции x\(t) в от-
отличие от дифференциального уравнения A7.54) имеет вид [78]
460

Таблица 21
Схема сечения стержня
1 +2/1
1 (п — \fb
9 n(n + 2)h
1—а4
1 —<
4
— 1)—
4?(т) 1—
4</ (т)
При этом использовано соотношение \ Yy*fi (у*) dy* = 0. Дифферен-
о
циальное уравнение A7.61) при известной зависимости Мх = Мх (t)
может быть проинтегрировано по методу Эйлера. После нахождения
функции т] (/) напряжения определяются по формуле вида A7.26).
В случае поперечного изгиба для статически определимых за-
задач все реакции находятся из уравнений статики. Поскольку все силы,
в том числе и реакции опор, известны, решение задачи неуста-
неустановившейся ползучести при изгибе при заданных постоянных на-
нагрузках ищем также в виде A7.26). В этом случае приходим к преж-
прежнему выводу [78]:
-m*lm-
A7.62)
461

Необходимо только установить вид функций II* и Q (г\). Исполь-
Используя общую формулу A7.34) для изгиба, находим [78]
1 h
Q (Л) = - -^1 Г dz Г an (о" - а') Ь (у) dy. A7.63)
3~J J
о о
Вводя безразмерные зеличины A7.56) и принимая, что изгибаемый
стержень имеет постоянное поперечное сечение, из формулы A7.63)
получаем [78]
Здесь величины 2 и Qi(v\) определяются формулами A7.55); П'=
Г Mldz
~ \ "о7?1	упругая потенциальная энергия стержня в начальном
- Г м"+1
состоянии; Л'- = \ ;—, |Ч „ dz — дополнительное рассеяние мощности
J {п + 1) и
о
для установившегося состояния. Тогда решение имеет вид [78]
где
Принимая линейную аппроксимацию, получаем выражение
Л ОГ) = 1 — ехр [—Qx @) /*J,	A7.67)
аналогичное выражению A7.60), полученному при решении задачи
неустановившейся ползучести при чистом изгибе [78]. Поэтому
кривая т] (ф для данного поперечного сечения и при данном значе-
значении показателя степени ползучести п строится независимо от эпюры
изгибающего момента. Только для каждого конкретного случая
производятся отсчеты по оси времени, которые определяются по
формуле A7.66) и, конечно, зависят от эпюры изгибающего момента.
Такое влияние эпюры изгибающего .момента характеризуется отно-
отношением дополнительного рассеяния Л" к начальной упругой энергии
П\ Таким образом, решение основной краевой задачи неустановив-
неустановившейся ползучести показывает, что с течением времени напряженное
состояние изменяется, стремясь к некоторому установившемуся со-
состоянию.
462

Рассмотрим релаксационную задачу неустановившейся пол-
ползучести. При решении данной задачи необходимо учитывать, что
напряжения со временем релаксируют (уменьшаются), стремясь,
к нулю. Релаксационная задача неустановившейся ползучести
при чистом изгибе стержня, вначале изогнутого моментом Мх @)^.
а затем жестко закрепленного на концах, приводится к интегриро-
интегрированию уравнения [781
1 do
-g-— + B{f)on =0,	A7.68>
полученного из уравнения A7.53) вследствие того, что (-т~1 =0^
Решение уравнения A7.68) имеет вид [78]
а @) = а [1 + (я — 1) EQ (t) а*-1 (О)]11,	A7.69>
где о @) — начальное напряжение в том же волокне стержня,
i(\\ мхФ\У _Мх@) у _-,
a(U)" Jx ~~~?Г h ~
Вычисляя изгибающий момент, находим
Мх
Мх@)
= 3
A7.70>
где
A7.71)
Например, для материала при
показателе ползучести п = 4 из
формулы A7.70) получаем |7#[
Мх 3 г3.
A7.72)
Кривая релаксации изгибаю-
изгибающего момента, построенного по
формулам A7.72), показана на
рис. 199 (сплошная линия).
О
Рис.
20 40 60
100
t*
р	(	)
Приближенное решение релак-
релаксационной задачи при неустановившейся ползучести в условиях
чистого изгиба стержня прямоугольного сечения ищем в виде
о(/) = р@ о'.	A7.73>
Множитель релаксации р (/) в случае степенной зависимости опре-
определяют из формулы A7.50), где
2П*
A7.74>
463

- Гл?(О)
Здесь П* = \ 7r=j—dx—упругая энергия стержня в начальный
J ZC.J их
о
h
л
момент; Jnx = 4 \ b (у) уг+п dy — обобщенный момент инерции сече-
ния стержня. После вычисления t* находят р(/). Затем по формуле
A7.73) устанавливают закон изменения нормальных напряжений
в данной точке с течением времени при заданном значении п.
Релаксация изгибающего момента, равного Мх @) в начальный
момент времени (t — 0), при /2 = 4 согласно приближенному реше-
решению задачи A7.50) происходит по закону
Кривая релаксации изгибающего момента, построенная по фор-
формуле A7.75) приближенного решения, приведена на рис. 199 (штри-
(штриховая линия).
Неустановившаяся ползучесть при изгибе
статически неопределимых систем
Задача неустановившейся ползучести статически неопредели-
неопределимой системы, испытывающей изгиб под действием заданных посто-
постоянных нагрузок, относится к типу смешанной краевой задачи не-
неустановившейся ползучести. Поскольку при решении последней
заданы постоянные нагрузки (Р/ — распределенная нагрузка на
<-м элементе, Р(г — сосредоточенная обобщенная нагрузка на *'-м
элементе), то их вариации Ьр(г равны нулю и, следовательно, мощ-
мощность вариаций внешних сил с учетом того, что опоры неподвижны,
равна нулю [78]:
п h
= 2 [ $
Так как приращение дополнительной мощности bW равно мощно-
мощности вариаций внешних сил 6j?, значит, действительное напряжен-
напряженное состояние статически неопределимой задачи неустановившейся
ползучести соответствует минимуму дополнительной мощности:
/ h
= Ш = 46 J dz f b (у) (h + |5) dy = 0,	A7.76)
о о
«где
464

Приближенное решение данной задачи ищем в виде A7.26). По-
Поскольку уравнение A7.76) содержит напряжение, а не изгибающий
момент, то для наглядности решения необходимо ввести соотно-
соотношение между изгибающим моментом и скоростью изменения кри-
кривизны, например, в виде приближенной зависимости [78]
±~ЕГХЧГ+ »№"»***"»	<17-77>
где В0 (t) = —— . Тогда приращение дополнительной мощности для
Jnx
f-й балки длиной Ц определяется по формуле [78]
h	H
ЬЩ = Г 1 ЫЛи dz = f \щх Щ& + В? (t) | Mix Г1 М1х1 Ши dz.
о	о
Принимая, что вариации ЬМск не зависят от времени, получаем
= б J [^ | Ми \п+1 + ЗГJ Л,
A7.78)
*4
ГДеЩ = —~	упругая энергия единицы длины (-го стержня.
2EJix
Для всей системы [78]
№ = 2 б^.	A7.79)
Обозначая
^1	О
с учетом A7.78) запишем выражение A7.79) таким образом;
0.	A7.80)
Для статически неопределимой системы
При этом аг^, Вц — известные функции z, а Ху(/~1, 2, ... , s) —
лишние неизвестные. Для определения лишних неизвестных нахо»
16 1*17	465

дим систему s обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка относительно Х;- [78]:
•-*-(л + ^) = 0 (/ = 1, 2, .... s).	A7.82)
Система уравнений A7.82) относительно функций Xj является не-
нелинейной. Интегрирование такой системы в общем случае затруд-
затруднительно. Поэтому решаем ее приближенно, при этом решение
ищем в виде
iX'J-X)).	A7.83)
Выражение для множителя т) (t) в предположении, что приближенно
В* (t) = СtB° (t) (Cj>0), определяем из дифференциального уравне-
уравнения
2ff*j!-Q(T])S°@=0.	A7.84)
полученяого из вариационного уравнения A7.80). Здесь
п Н	s
/=1 о	/=1
A7.86)
При установившейся ползучести Qt A) =0,
h
J I Mi Г~г (М^ - М'J dz < 0.
/=i о
Ограничиваясь линейной аппроксимацией функции Q (т|),
Q ft)?=Q @I1'-т| (*)],•	A7.87)
где
Q @) = - J]'Ci Jj (Xj - Xj) J I ^ \п~1МхВи dz,
*=i /=i	о
находим решение уравнения A7.84):
т] = 1-ехрН*),	A7.83)
Здесь /* = -Ч=~ Q° (t) — безразмерное время.	A7.89)
При этом
t
)== P B*(t)dt.	A7.90)

Неустановившаяся ползучесть стержня при кручении
Решение задачи неустановившейся ползучести при кручении
стержня постоянным крутящим моментом приводится к решению
вариационного уравнения, характеризующего минимум дополни-
дополнительной мощности
(V)
Ищем решение данного уравнения в виде [78J
ф = ф' + т) (f) (Ф* — Ф').	A7.92)
Зная функцию напряжения Ф, по формулам A6.43) определяем на-
напряжения. При решении задачи в форме A7.92) слагаемое 2озФ вы-
выпадает и результаты по определению функции tj (t), ранее приведен-
приведенные, остаются справедливыми. Однако нахождение функции r\(t)
значительно упрощается, если принять линейную аппроксимацию
функции Q (ц) A7.36). Тогда
г, (/) = 1 _ ехр (-/*),	A7.93)
где t* — безразмерное время,
t*=WQ(f).	A7.94)
Для данной задачи при степенном законе ползучести имеем [78]
2 п*e i И[ {%°* - т**J + (%у*" х»л dx dm (I7#95)
— %xz) + 2%yz (%yz — %yz) 1 dx dy-	A7.96)
Следовательно, решение вадачи неустановившейся ползучести при
кручении стержня сводится к вычислению интегралов A7.95)
и A7.96). В качестве примера рассмотрим неустановившуюся пол-
ползучесть стержня круглого поперечного сечения радиусом а, скру-
скручиваемого постоянным моментом Mz. В этом случае все компоненты
тензора напряжений равны нулю, за исключением т^ ф 0. Тогда
интенсивность касательных напряжений согласно A7.26) записы-
записывается в виде [781
L) $ _ Л);
U/	all
+ m [ ()	) A7.97)
\)пу
A7.98)
16*	467

где
QiOi) = U^r + r, (О I ^пгЧ^гГ' —И х
± 1
т \ п т \ т j
—	-к dr.
а)	ала*
Множитель rj (t) определяется из уравнения
t* = | dT| .	A7.101)
о
причем
/• =-	 ', 7" ^ О @.	A7Л02)
(яа3)Л" (^—1)
При целом п Qi(r\) — полином степени л. Так, при п==3 [78]
Q1(T1)==^(l_T1)/l + JLT) + -утА	A7.103)
при п = 5
Qi (Ч) = Jj О -г)) (i + |.Ча + ir т,8 +JL ПЛ A7.104)
/z	\ оо	I/O	4olO /
На рис. 200 показаны зависимости т) (t*)t вычисленные по уравне-
уравнению A7.101) для п=3;5 (сплошная линия) с учетом A7.103)
и A7.104), а также зависимости т) (/*), вычисленные при линейной
аппроксимации функции Q1 (т)) (штриховая линия), которая для п = 3;
5 соответственно равна ^ A—т|); =^A—т]). Как видно из рисун-
Уо	/ 2
ка, линейная аппроксимация функции Q (т]) приводит к достаточно
хорошим результатам [13, 78].
Рассмотрим задачу неустановившейся ползучести стержня, за-
закрученного при / = 0 моментом Мг @), а затем жестко фиксируе-
фиксируемого на концах. В этом случае с течением времени происходит
релаксация крутящего момента, а следовательно, и касательных
напряжений. Так как при /> 0 угол закручивания постоянен, то
решение релаксационной задачи неустановившееся ползучести
при кручении сводится к интегрированию уравнения [78]
~-	Lz -(_ в (/) %пг = 0,	A7.105)
решение которого имеет вид [78]
V = Tf2 [1 + (л — 1) GQ @ (т;2)п
468
I
_! р^Т A7.106)

Qfi
Q2
0
Рис.
¦50 /00
200
Л I
МгЩ
ю\
Q6
ОА
02
-
i i i
о го 40 60
Рис.
201
150 ZOO t*
1 1 -
100 150 t*
Здесь т^ — начальное напряжение, вычисленное в той же точке по
закону Гука,
, 2Mz@) r
х?г = ~Г'-~>	A7.107)
Крутящий момент М2 определяется по формуле [13, 78J
1
Мг = АМг @)
г •
где
/* = (П — 1) GQ (t)
A7.108)
A7.109)
закон
Например, при п = 5 интеграл A7.108) легко вычисляется и
изменения относительного момента -Jk- записывается в виде
113,78]
лмо)
Мг(
A7.110)
469

Кривые релаксации безразмерного крутящего момента ,. .„-, по-
построенные по уравнению A7.110) для п = 5 (сплошная ^линия)
и по приближенному решению (штриховая линия)
1
**	A7.Ш)
приведены на рис, 201, Как видно из рисунка, обе кривые близко
расположены.
Неустановившаяся ползучесть
стержневой системы (решетки]
Дополнительная мощность решетки определяется по формуле
^ = В@Л1+^,	A7.112)
При этом
Напряжения в любом i-м стержне Si выражаются через лишние
неизвестные Х^ по формуле [13, 78]
? М/>	<17Л13)
/==1
где ol и Р^- — коэффициенты, зависящие от конфигурации стерж-
стержневой системы и внешних сил. Лишние неизвестные Ху вычисля-
вычисляются из системы дифференциальных уравнений, которые состав-
составляют из условий минимума дополнительной мощности:
°- в®+1М0 A7Л14)
Поскольку П — квадратичная функция напряжений, и следовательно,
квадратичная функция А,, производные _ постоянны. Решая
dXf
систему уравнений A7.114) относительно производных •—-, нахо-
ot
дим 178]
470

*§t-'-2	«• (I7J15)
Здесь kjk — алгебраическое дополнение элемента ^ ^ ; определи-
тель Д > 0, поскольку П>0. Система нелинейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений A7.115) в замкнутом виде не имеет решения, за
исключением случая «S = l# ,Поэтому используют приближенные
решения. При действии постоянных нагрузок на стержневую систему
приближенное решение уравнений A7.115) ищут в виде [78]
;-х;) (/=1, 2.'..,, s). A
Условие минимума для дополнительной мощности W приводит
к уравнению для определения множителя х\ (t):
Mmr	°7Л17)
о
где
Q w
Данное решение при S = 1 является точным. В случае линейной
аппроксимации имеем [78]
Ч-— 1 — ехр [—--^
При этом
Q@) ?ftmr%iPtl<vx?
~~	• A7Л20)
7. Неустановившаяся ползучесть
толстостенного цилиндра
. Решение задачи толстостенного цилиндра под действием внут-
внутреннего давления р в условиях неустановившейся ползучести ищем
в виде [13,78]
i	С г ' I
<*&=? о'е + Ч @ (о'е —ае'); 1	A7.121)
471

где аг, ад, <г2\ характеризуют напряженное состояние в начальном
состоянии, а а*, а9", а"г — напряженное состояние установившейся
ползучести. В случае упругого состояния, когда в трубе при на*
гружении возникают лишь упругие деформации, напряженное состо-
состояние аг', ае', о*г определяется по формулам теории упругости. Со-
Согласно общему решению r\ (t) определяется следующим образом [78]:
Г Q @) 1
г) @ = I — ехР[—"igF Q(f>J '	A7.122)
при этом Q @) и 2П* для толстостенного цилиндра определяются
по формулам [78]
Ь	\
а
b
A7.123)
2П* = 2jt
Принимая [а = -5- и делая преобразования, находим [78]
о
¦¦ ~^*(Р, n),	A7.124)
возникла
гдеес=(--?—1 Q (t)—деформация ползучести, которая
к моменту t при напряжении, равном среднему тангенциальному
напряжению; ее = ft -= — упругая деформация;
я<"-а(пп-) т=т
X	;	т—r-l	r-o	г,	A7.125)
Значения функции г))* (р, л) для некоторых величин Рил приве-
приведены в табл. 22. На рис. 202 показано распределение относитель-
относительных напряжений — для п = б, Р = 2, подсчитанное для различных
значений х\ [78]. Как видно из рисунка, максимум -I с течением
Р
времени перемещается из внутренней стенки цилиндра на внешнюю.
В том случае, когда при нарружении появляются пластические
деформации (упругопластическое состояние), о'п а^ и о'г опреде-
472

Таблица 22
3
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
W (л, Э) при «
3
0,84
1,07
1,51
1,99
2,52
5
1,31
2,36
5,77
12,20
23,00
7
1,71
4,86
23,10
84,40
241,00
9
2,23
9,98
97,40
617,00
2800,00
tff
12
О/
12
14 w Id zp r/a
Рис. 202
ляются по формулам теории пластичности. В кольцевой области
цилиндра, где т" — т/> 0, все время происходит нагружение, а в
области, где %" — tt.'<0,—разгружение. Уравнение т^' —%\ = 0 опре-
определяет фиксированную окружность, разделяющую область нагруже-
ния, в которой продолжают возникать пластические деформации,
и область разгрузки, в которой возникают только упругие дефор-
деформации и деформации ползучести. При наличии пластических дефор-
деформаций, ограничиваясь наличием двух областей (Уг и V2) раздела,
процесс неустановившейся ползучести при заданных нагрузках опи-
описываем вариационным уравнением [78]:
A7I26)
Ограничиваясь линейным случаем, когда интенсивность касательных
напряжений имеет вид
Ь = т/ + П @ (V - V)»	A7,127)
473

где r\(t) определяется из уравнения
^' = 0, A7 Л 28)
и полагая в этом уравнении
2П*+] -^гК'-'г/)^ = ^(Л)>0, A7.129)
находим
Q (t) = I R№ dr\t	A7.130)
J Q(n)
о
Таким образом, из A7.130) определяем множитель r\(t). Для этого
необходимо вычислить функции R(n) и Q(r\). Уравнение т/' — %[ = 0,
представляющее собой уравнение неподвижной окружности раздела
областей упругой и пластической деформаций, записываем сле-
следующим образом [78]:
&г
A7.131)
Функция R (т|) имеет вид
Гх	Ь
R (т|) =4я С IlVrfr + 2nB0n0 f т?0"8*1 (т/' — т/)/• dr, A7.132)
где П* — плотность упругой энергии, относящейся к разностям на-
напряжений (о^' — о>); (о'у — о'9); (а^ — а2'); гх — радиус окружности
раздела. Функцию Q (т|) принимаем в линейном виде:
где Q @) определяется по формуле A7,125).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I.	Агамирзян Л, С. Решение задач статики и пластических сред при
помощи рядов метацилиндрических функций.— Инж. журн.,
1961, 1, вып. 4, с. 245—251,
2» Арутюнян Р. А. О циклическом нагружении упругопластиче-
ской среды.— Изв. АН СССР, Отд. техн. наук. Механика, 1964,
№ 4, с4 89—91.
3.	Арутюнян Р. А., Вакуленко Л. Л. О многократном нагружении
упругопластической среды.— Изе, АН СССР. Отд. техн, наук.
Механика, 1965, К* 4, с. 53—61.
4.	Афанасьев Я, Я. Статистическая теория усталостной прочности
металлов.— М,: Изд-во АН СССР, 1953.— 128 с.
5.	Баландин Ю. Ф. Термическая теория усталости металлов.—
Л.: Судостроение, 1967.— 251 с.
6.	Безухое Я. И. Основы теории упругости, прочности и ползу-
ползучести.— М.: Высш. школа, 1968.— 512 с.
7.	Беляев Я. М. Применение теории пластических деформаций
к расчетам на ползучесть деталей при высоких температурах.—
Изв. АН СССР. Отд, техн. наук. Механика, 1943, № 7, с. 22—23,
8.	Беляев Я. М., Синицкий Л. /(. Напряжения и деформации в тол*
стостенных цилиндрах при упругопластическом состоянии мате-
материала с учетом упрочнения.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук.
Механика, 1938, № 4, с. 3—54, с. 21—49.
9.	Биргер И. Л. Некоторые общие методы решения задач теории
пластичности.— Прикл. математика и механика, 1951, 15,
вып. 6, с. 765—770.
10.	Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения.— М.:
Оборонгиз, 1961.—368 с.
II.	Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инже-
инженерных задач.— М.: Оборонгиз, 1956.— 151 с.
12.	Биргер И. Л. Расчет конструкций с учетом пластичности и пол-
зучести.»—Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика, 1965,
№ 2, с. 113—119.
13.	Биргер И. А., Пановко #. Л, Болотин В. В. и др. Прочность»
Устойчивость. Колебания.— М.: Машиностроение, 1968*— Т.
1-3.
14.	Биргер И. Л., Шорр Б. Ф., Болотин В. В. и др. Термопроч-
Термопрочность деталей машин.— М.: Машиностроение, 1975.— 455 с.
15.	Бобырь Я. Я., Можаровский Я. С, Антипов Е. Л. Установка
на ползучесть и малоцикловую усталость при сложном напря-
напряженном состоянии.— Вестн. Киев, политехи» ин-та, Сер, маши-
машиностроение, 1977, вып. 14, с. 12—15,
475

16.	Борздыка Л. М. Методы горячих механических испытаний ме-
металлов.— М.: Металлургиздат, 1955.— 352 с.
17.	Бурлаков Л. В. Основы теория пластичности и ползучести,—
Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1968.— 156 с.
18.	Ван-Цзы-Де. Прикладная теория упругости.—М.: Физматгиз,
1959.— 400 с.
19.	Варвак Я. М., Варвак Л. Я. Метод сеток в задачах расчета
строительных конструкций.— М.: Стройиздат, 1977.— 160 с.
20.	Галин Л, Л. Упругопластическое кручение призматических
стержней-— Прикл. математика и механика, 1949, 1*3. вып. 3,
а. 285—296.
21.	Гарофало Ф. Законы ползучести и длительной прочности метал*
лов.— М« : Металлургия, 1968.— 304 с.
22.	Генки Г. Новая теория пластичности, упрочнения, ползучести
и опыты над неупругими материалами.— В кн. : Теория
пластичности. М.: Изд-во иностр. лит., 1948, с. 427—446.
23.	Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых
ими в материале остаточных напряжений.— В кн. : Теория
пластичности. М.: Изд.-во иностр. лит., 1948, с. 114—135.
24.	Генки Г. О медленных стационарных течениях в пластических
телах с приложением к прокатке, штамповке и волочению.—
В кн.: Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит., 1948,
с. 136—156.
25.	Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического
равновесия.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика,
1937, № 2, с. 187—196.
26.	Гольденблат И. Я., Николаенко Я. Л. Теория ползучести строи-
строительных материалов.— М.: Госстройиздат, 1960.— 256 с.
27.	Гольденблат И. Я. Некоторые вопросы механики деформируе-
деформируемых сред.г— М.: Гостехиздат, 1955.— 272 с.
28.	Гопкинс Г„Прагер В. Несущая способность круглых пластин.—
Механика: Период, сб. пер. ин. статей, 1955, № 3, с. 100—111.
29.	Гоффман 0., Закс Г. Введение в теорию пластичности для ин-
инженеров.— М.: Машгиз, 1957.— 279 с.
30.	Гохфельд Д. Л. Несущая способность конструкций в условиях
теплосмен.^- М.: Машиностроение, 1970.— 259 с.
31.	Григорьев А. С. Об изгибе круглой плиты за пределом упруго-
упругости.— Прикл. математика и механика, 1952, 16, вып. 1, с. 31 —
46*
32.	Григорьев Л. С. Изгиб круглой защемленной пластинки за
пределом упругости.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Ме-
Механика, 1962, № 6, с. 83—87.
33.	Грин Л. Теория пластического течения изгибаемых консолей
и балок.— Механика: Период, сб. пер. ин. статей, 1955, № 6,
с. 65—78.
34.	Грин Л, Пластическое течение полос и балок при изгибе.—
Механика: Период, сб. пер. ин* статей, 1965, № 16, с. 79—92.
35.	Гудьер /(., Ходж Ф. Упругость и пластичность.— М.: Изд-во
иностр. лит., I960.— 190 с.
36.	Губкин С, Я. Пластическая деформация металлов.— М.: Метал-
Металлургиздат, I960.— Т. 1—3.
37.	Г'усенко$ A. IJ. Свойства диаграмм циклического деформиро-
деформирования при нормальных температурах.— В кн.: Сопротивление
деформированию и разрушению при малом числе циклов на-
гружения. М.: Наука, 1967, с. 34—63,
476

38.	Гусенков А.П., Ларионов В. В. Об условиях усталостного и ква*
зистатического разрушения при малом числе циклов нагруже-
ния.— В кн.: Сопротивление деформированию и разрушению при
малом числе циклов нагружения. М.: Наука, 1967, с. 83—92.
39.	Давиденков Я. Я., Лихачев В. А. Необратимое формоизменение
металлов при циклическом тепловом воздействии.— М.: Маш-
гиз, 1962.— 223 с.
40.	Давиденков Я. Я., Спиридонова Я. И. Анализ напряженного
состояния в растянутой шейке растянутого образца.— Завод,
лаб., 1945, № 6, с. 583—593.
41.	Данилов В. Л. К формулировке закона деформированного
упрочнения.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика твер-
твердого тела, 1971, № 6, с. 146—150.
42.	Даниловская В. Я., Работное Ю. Я., Иванова Г. М. Ползучесть
и релаксация хромомолибденовой стали. — Изв. АН СССР.
Отд. техн. наук., 1955, № 5, с. 102—109.
43.	Данюшевский А. Э. Ползучесть труб.— Сов. котлотурбострое-
ние, 1940, № 10, с. 37—40.
44.	Джонсон В., Кудо X. Механика процесса вдавливания метал-
металла.— М.: Металлургия, 1965.— 174 с.
45.	Дракер Д., Прагер В., Гринберг К. Расширение теоремы о пре-
предельном состоянии для непрерывной среды.— Механика: Пе-
Период, сб. пер. ин. статей, 1953, № 1, с. 98—106.
46.	Дракер Д. Пластические методы расчета. Преимущества и огра-
ограничения.— Механика: Период, сб. пер. ин. статей, 1960, № 1,
с. 97—130.
47.	Друянов В. А. Численное решение о вдавливании гладкого
штампа в пластически неоднородную полуплоскость.— Изв.
АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение, 1961,
№ 3, с. 163—166.
48* Дуйденко В. Я. Расчет круглых пластин за пределами упруго-
упругости.— Изв. вузов. Машиностроение, 1964, № 2, с. 36—45;
№ 9, с. 45—56; № 10, с. 68—77.
49» Жуков A.M., Работное Ю. Я., Чуриков Ф. С. Эксперименталь-
Экспериментальная проверка некоторых теорий ползучести.— Инж. сб., 1953,
17,	с. 163—170.
50.	Жуков А. М. О пластических деформациях изотропного мате-
материала при сложном нагружении — Изв. АН СССР. Отд. техн.
наук, 1956, № 12, с. 73—87.
51.	Жуков А, М. Сложное напряжение и теория пластичности ани-
анизотропных металлов.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1955,
№ 8, с. 81—92.
52.	Жуков A.M., Работное Ю. Я. Исследование пластических де-
деформаций стали при сложном нагружении.— Инж. сб., 1954,
18,	с. 105—112.
53.	Журков С. Я., Санфирова Т. П. Температурно-временная зави-
зависимость прочности чистых металлов.— Докл. АН СССР, 1955,
101, № 2, с. 237—240.
54.	Журков С. Я. Проблема прочности твердых тел.— Вестн. АН
СССР, 1957, № 11, с. 78—82.
55.	Зверьков В. В. Ползучесть труб, нагруженных внутренним дав-
давлением и крутящим моментом.— Теплоэнергетика, 1959, № 8,
с. 53—57.
56.	Зверьков Б. В. Ползучесть труб при сложных нагрузках,—
Энергомашиностроение, 1960, № 1, с. 33—35,
477

57.	Иванов В, С* О природе деформации на площадке текучести ме-
металлов.— Докл. АН СССР, 1954, 94, № 2, с. 217—220.
58.	Иванова Г. М. О соотношениях между скоростями деформаций,
усилиями и моментами при установившейся ползучести пла-
пластин и оболочек.— Механика твердого тела, 1968, № 1, с. 50—51.
59.	Иванова Г. М. Ползучесть сплава ЭИ-437Б при переменных
температурах.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1958, № 4,
с. 98-99.
60.	Ивлев Д. Д* О свойствах соотношения закона анизотропного
упрочнения пластического материала.— Прикл. математика
и механика, 1960, 24, вып. 1, с. 144—146.
61.	Ивлев Д. Д. К построению теории идеальной пластичности.—
Прикл. математика и механика, 1958, 22, вып. 6, с. 850—855,
62.	Ивлев Д. Д. К теории простого деформирования пластических
тел.— Прикл. математика и механика, 1955, 19, вып. 6, с, 734—
735.
63.	Ивлев Д. Д. К теории неустановившейся ползучести.— В кн.:
Проблемы механики сплошной среды : Сб. статей. М.: Изд.-во
АН СССР, 1961, с. 157—160.
64.	Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности.— М.: Наука,
1966.— 231 с.
65.	Ильюшин А* А.у Ленский В. С. Сопротивление материалов.—
М.: Физматгиз, 1959.— 371 с.
66.	Ильюшин Л. Л., Огибалов П. М. Упруго пластические деформа-
деформации полых цилиндров.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1960.—277 с,
67.	Ильюшин А. А. Связь с теорией Сен-Венана, Леви, Мизеса
и с теорией малых упругопластических деформаций.— Прикл*
математика и механика, 1945, 9, вып. 3, с. 207—218*
68* Ильюшин Л. Л. К теории малых упругопласти^еских деформа-
деформаций.— Прикл. математика и механика, 1946, 10, вып, 3,с. 347—
356.
69.	Ильюшин А. А. Пластичность.— М.: Изд-во АН СССР, 1963.—
272 с.
70.	Ишлинский Л* Ю. Об уравнениях пространственного дефор-
деформирования вполне упругих и вязкопластических тел*— Изв.
АН СССР. Отд. техн. наук, 1945, № 3, с. 250—260.
71.	Ишлинский Л. Ю. Общая теория пластичности с линейным
упрочнением.— Укр. мат. журн., 1954, 6, № 3, с. 314—324.
72.	Ишлинский At Ю. Гипотеза прочности формоизменения.—
Учен. зап. Моск. ун-та. Механика, 1940, 16, с. 111—124.
73.	Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным
упрочнением.— Укр. мат. журн., 1954, 6, № 3, с. 314—324.
74.	Ишлинский А. Ю. Уравнения деформирования не вполне упру-
упругих и вязкопластических тел.— Изв. АН СССР. Отд. техн.
наук, 1945, № 12, е. 34—45.
75.	Кадашевич Ю. Я., Новожилов В. В. Теория пластичности, учи-
учитывающая остаточные микронапряжения.— Прикл. матема-
математика и механика, 1958, 22, вып. 1, с. 78—89.
76# Карден Л. Е. Термическая усталость никелевого сплава.—
Тр. Амер. о-ва инженеров. Сер. Д, 1965, 1, с. 286—295.
77, Кац Ш. Я. О пластической деформации при сложном напряжен-
напряженном состоянии.— В кн.: Теория пластичности.— М.: Наука,
1969.— 400 с.
78* Кац Ш. Я. О теориях ползучести.— В кн4* Основы теории пол*
зучести,— М.: Физматгиз, I960.— 430 с.
478

79.	Клюшников В, Д. О законах ползучести для материалов с'упроч-
нением.— Прикл. математика и механика, 1959, 23, вып. 2,
с. 91 — 118.
80.	Кларк К. Жаропрочные сплавы.— М.: Металлургиздат, 1957,-—
250 с.	.. .
81.	Койтер В. Т. Общие теоремы упругопластических сред.—
В кн.: Успехи механики твердого тела. М.: Изд-во иностр. лит.,
; 1961, с. 79— 85.
82.	Костюк А. Г, Напряжения во вращающемся диске при ползу-
ползучести.— Инж. сб., 1953, 15, с. 15—20.
83.	Кузнецов В. Н. О термической усталости металлов.— Тепло-
Теплоэнергетика, № 12, с. 32—35.
84.	Кулешова 3. Г. Проверка гипотезы упрочнения путем анализа
экспериментальных исследований ползучести.— Изв. вузов.
Машиностроение, 1959, № 12, с. 69—76.
85.	Куратов П. С, Розенблюм В. И. Об интегрировании уравнений
; неустановившейся ползучести твердых тел.— Прикл. матема-
математика и механика, 1960, 24, вып. 1, с. 146^148.
86.	Куратов П. С, Левченко А. И. Неустановившаяся ползучесть
тонкостенных оболочек.— Тепловые напряжения в элементах
конструкций, 1964, вып. 4, с. 241—249.
87.	Леей М. К- К вопросу об общих уравнениях теории внутренних
движений, возникающих за пределами упругости.— В кн.: Тео-
Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит. 1948, с. 20—23.
88.	Лейбензон Л. С, Курс теории упругости.— М.: Гостехиздат:
1947.—464 с.
89.	Лейбензон Л, С. Элементы математической теории пластич-
пластичности.— М.; Л. : Гостехиздат, 1943.— 112 с.
90.	Ленский В, С, Экспериментальная проверка основных посту-
постулатов в теории упругопластических деформаций.— В кн.:
Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961,
с.58—82.
91.	Лехницкий С, Г. Теория упругости анизотропного тела.— М.:
Наука, 1977.— 416 с.
92.	Лихачев В. Л., Малыгин Г, А. Исследование ползучести при
переменных температурах (обзор).— Завод, лаб., 1966, № 1,
с. 70—85.
93.	Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть
металлов.— В кн.: Теория пластичности. М.: Изд.-во иностр.
лит., 1948, с. 168—205.
94.	Лурье А, И. Теория упругости.—М.: Наука, 1970.—939 с.
95.	Людвик П. Основы технологической механики.— Расчеты на
прочность, 1971, вып. 15, с. 132—166.
96.	Малинин Н. Н, Прочность турбомашин.— М.: Машгиз, 1962.—
291 с.
97.	Малинин Н, Н. Расчеты на ползучесть.— В кн.: Понома-
Пономарев С. Д., Феодосьев В. И., Малинин Н. Н. и др. Расчеты на
прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1958, т. 2, с. 813—
98.	Малинин Н. Н., Ширшов Л. Л. Исследование больших дефор-
деформаций при пластическом изгибе полосы с учетом упрочнения.—
Изв. вузов. Машиностроение, 1965, № 2, с. 165—172.
99.	Малинин Н. И. Действительные диаграммы растяжения при
высоких температурах.— Изв. вузов. Машиностроение, 1968,
№ 1,с. 41—46.	¦ .
479

100.	Малинин Н. Я., Хажинский Г. М. К построению теории пол*
зучести с анизотропным упрочнением.— Изв. АН СССР. Меха-
Механика твердого тела, 1969, № 3, с. 148—150.
101.	Малинин Я. Я. Прикладная теория пластичности и ползуче-
ползучести.— М.: Машиностроение, 1968.— 400 с.
102.	Малинин Я. Я. Прикладная теория пластичности и ползуче-
ползучести.— М.: Машиностроение, 1975.— 398 с.
103.	Малинин Я. Я. Обзор отечественных работ по расчетам дета-
деталей машин на ползучесть.— Расчеты на прочность, 1965,
вып. 11, с. 229—278.
104.	Малинин Я. Я. Закономерности ползучести металлов, рас-
расчеты на ползучесть деталей машин.— Вестн. машиностроения,
1959, № 1, с. 6—14.
105.	Малинин Я. Я. Расчеты на ползучесть вращающихся нерав-
неравномерно нагретых дисков переменной толщины.— В кн.: Воп-
Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во
АН СССР, 1950, с. 268—286.
106.	Малинин Я. Я., Ширшов А. А. Пластический изгиб листа при
больших деформациях.— Изв. вузов. Машиностроение, 1965,
№ 8, с. 187—192.
107.	Мансуров Р. М. О пластическом нагружении первоначально
изотропных сред с деформационной анизотропией.— В кн.:
Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971,
с. 137—145.
108.	Марков Л. Л. О вариационных принципах в теории пластич-
пластичности.— Прикл. метаматика и механика, 1947, 11, вып. 3,
с. 339—350.
109.	Мартин /С. Энергетический критерий разрушения.— Техн.
механика. Сер. Д, 1961, № 4, с. 105—113.
110.	Махонина Т. М. Экспериментальное исследование прессовых
посадок.— Расчеты на прочность, 1965, вып. 11, с. 385—395.
111.	Миш Р. Механика твердых тел в пластическом деформиро-
деформированном состоянии.— В кн.: Теория пластичности. М. : Изд-во
иностр. лит., 1948, с. 57—69.
112.	Можаровский Я. С, Писаренко Г. С. О знакопеременных плас-
пластических деформациях и об их влиянии на разрушение метал-
металлов при циклическом тепловом нагружении.— Докл. АН УССР,
1962, № 10, с. 1322—1325.
113.	Можаровский Я. С Долговечность и ползучесть металла при
пульсирующих тепловых нагружениях.— Докл. АН УССР,
Сер. А, 1967, № 9, с. 835—839.
114.	Можаровский Я. С., Василенко Я. В. Необратимое поглоще-
поглощение энергии при резких теплосменах.— В кн.: Тепловые на-
напряжения в элементах конструкций. Киев.: Наук, думка, 1964,
с. 302—306.
115.	Можаровский Я. С. Об удельной необратимой поглощаемой
энергии при повторных тепловых нагружениях.— Изв. вузов*
Машиностроение, 1966, № 9, с. 54—58.
116.	Можаровский Я. С. Некоторые вопросы теории пластического
деформирования металла при циклическом тепловом нагруже-
нагружении. — Докл. АН УССР, Сер. А, 1966, № 8, с. 1011 — 1014.
117.	Можаровский Я. С. Теоретическое исследование процесса де-
деформирования упрочняющихся металлов при циклическом теп-
тепловом нагружении.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1967, № 8,
с. 735—779.
480

118.	Можароеский Н. С, Антипов Е. Л. Пластичность и разру-
разрушение жаропрочных материалов при повышенных температу-
температурах и нестационарном нагружении.— Пробл. прочности, 1971,
№ 12, с. 3—9.
119.	Можароеский Н. С, О накоплении пластических деформаций
при многократных тепловых нагружениях, вызывающих зна-
знакопеременную текучесть.— Пробл. прочности, 1970, № 2,
с. 32—34.
120.	Москвитин В. В. О вторичных пластических деформациях.—
Прикл. математика и механика, 1952, 14, вып. 3, с. 31—35.
121.	Москвитин В. В. Статические упругопластические деформа-
деформации при многократных циклических нагружениях — Изв.
АН СССР. Отд. техн. наук, 1958, № 7, с. 17—21.
122.	Москвитин В. В. Пластичность при переменных нагруже*
ниях.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1965.— 263 с.
123.	Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел.— М.:
Изд-во иностр. лит., 1954.—Т.1. 647 с; М.: Мир, 1969.—Т. 2.
8G3 с.
124.	Наместников В. С. О ползучести при постоянных нагрузках
в условиях сложного напряженного состояния.— Изв. АН
СССР. Отд. техн. наук, 1957, № 4, с. 141 — 146. -
125.	Наместников В. С. Прямое и обратное кручение в условиях
ползучести.— Прикл. математика и техн. физика, 1960, № 3,
с. 121—122.
126.	Наместников В. С. О ползучести алюминиевого сплава при
переменных нагрузках.— Прикл. математика и техн. физика,
1964, № 2, с. 99—105.
127.	Наместников В. С. Ползучесть дюралюмина в условиях слож-
сложного напряженного состояния.— Прикл. математика и техн.
физика, 1968, № 2, с. 157—161.
128.	Наместников В. С, Работное Ю. Н. О гипотезе уравнения
состояния при ползучести.— Прикл. математика и техн. фи-
физика, 1961, № 3, с. 101 — 102.
129.	Наместников В. С. О времени разрушения при ползучести.—
Прикл. математика и техн. физика, 1961, № It с. 137—
139.
130.	НемировскийЮ. В., Работное Ю. Н. Предельное равновесие
цилиндрических оболочек.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук,
1963, № 3, с. 83—95.
131.	Немировский Ю. В. О времени эксплуатации и разрушения
конструкций в условиях ползучести.— Прикл. механика,
1970, 4, вып. 3, с. 47—54.
132.	Никифоров С. Н. Теория упругости и пластичности.— М.:
Госстройиздат, 1955.—284 с.
133.	Новожилов В. В. О физическом смысле инвариантов напряже-
напряжения	Прикл. математика и механика, 1951, 15, вып. 2Г
с. 617—619.
134.	Новожилов В. В. Теория упругости.— М.: Судпромгиз, 1958.—
370 с.
135.	Новожилов В. В. О физическом смысле инвариантов напряже-
напряжения, используемых в теории пластичности.— Прикл. матема-
математика и механика, 1952, 16, вып. 5, с. 617—619.
136.	Огибалов И. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок,—
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1958.— 389 с,
481

137.	Одинг Я. Л., Иванова В. С, Бурдукский В. В. и др. Теория
ползучести при длительной прочности металлов.— М.: Метал-
лургиздат, 1959.—-488 с.
138.	Одинг Я. Л., Туляков Г. Л. Ползучесть аустенитной стали
при сложном напряженном состоянии,— Изв. АН СССР. Отд.
техн. наук, 1958, № 1, с. 3—10.
139.	Одквист Ф. Технические теории ползучести	Механика:
Период, сб. пер. ин. статей. 1959, № 2, с. 101—111.
140.	Одквист Ф. Упрочнение стали и подобных ей материалов.—
В кн.: Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит., 1948,
с. 283—290.
¦141. Ольшак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние тео-
теории пластичности.— М.: Мир, 1964.— 243 с.
142.	Ольшак В., Выхлевский #., Урбановский В. Теория пластич-
пластичности неоднородных тел.— М.: Мир, 1964.— 156 с.
143.	Охаси Я., Мараками С. Большие упругопластические проги-
прогибы круговой пластинки.— Механика твердого тела, 1966, 1,
вып. 4, с. 70—80.
144.	Панов Д. Ю. Численное решение квазилинейных гиперболи-
гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных про-
производных.— М.: Гостехиздат, 1957.— 216 с.
145.	Папкович П. Ф. Теория упругости.— М.: Оборонгиз, 1939.—
640 с.
146.	Перлин П. И. Об уравнениях пластичности при некотором
предельном условии.— Прикл. математика и механика, 1962,
26, вып. 3, с. 580—582.
147.	Писаренко Г. С, Антипов Е. Л., Можаровский Н. С. Дефор-
Деформирование и разрушение материалов при переменных темпе-
температурах и напряжениях.— Пробл. прочности, 1971, № 1»
с 3—12.
148.	Писаренко Г. С, Агарёв В. Л., Квитка Л. Л. и др. Сопротив-
Сопротивление материалов. — Киев: Вища школа, 1973.— 670 с.
149.	Писаренко Г. С, Можаровский И. С. О разрушении материа-
материалов при теплосменах. — Пробл. прочности, 1971, № 2, с*
3—13.
150.	Писаренко Г. С, Можаровский И. С, Антипов Е. А. Сопро-
Сопротивление жаропрочных материалов нестационарным силовым
и температурным воздействиям.— Киев: Наук, думка, 1974.—
198 с.
151.	Писаренко Г. С, Лебедев А. А. Деформирование и прочность
материалов при сложном напряженном состоянии.— Киев:
Наук, думка, 1976.—415 с.
152.	Подгорный А. Н. Толстостенный цилиндр конечной длины
в условиях ползучести.— Тепловые напряжения в элементах
конструкций, 1971, вып. И, с. 155—163.
153.	Пономарев С. Д., Феодосьев В. Я., Малинин И. И. Расчеты на
прочность в машиностроении.— М.: Машгиз, 1968.— ТЛ—3*
154.	Прагер В. Упрочнение материала при сложном напряженном
состоянии.— В кн.: Теория пластичности. М.: Изд-во иностр.
лит., 1948, с. 325—335.
155.	Прагер В., Ходою Ф. Теория идеально пластических тел.— М.:
Изд-во иностр. лит., 1956.— 398 с.
156.	Прагер В. Расчет конструкций за пределом упругости при
циклических температурных воздействиях.— Механика: Пе-
Период, сб. пер. иностр. статей. 1958, № 5, с. 121—125.
482

157.	Прагер В. Проблемы теории пластичности.— М.: Физматгиз»
1958,— 136 с,
158.	Работное /О. Я. Расчет деталей машин на ползучесть,— Изв.
АН СССР. Отд. техн. наук, 1948, № б, с. 789—800.
159.	Работное Ю. Я. О некоторых возможностях описания неуста-
неустановившейся ползучести с приложением к исследованию пол-
ползучести роторов.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1957,№ 2»
с. 30—41.	~_
160.	Работное Ю. Я., Шестериков С. Л. Устойчивость стержней
и пластинок в условиях ползучести.— Прикл. математика
и механика, 1957, 21, вып. 3, с. 106—412.
161.	Работное Ю* Я., Рабинович В, Я. О прочности дисков в ус-
условиях ползучести.— Изв. АН СССР. Отд, техн. наук, 1959,.
№ 4, с. 93—100.
162.	Работное Ю. Я. Расчет деталей машин на ползучесть.— Изв.
АН СССР. Отд. техн. наук, 1948, № 6.
163.	Работное Ю. Я. Равновесие упругой среды с последействием.—
Прикл. математика и механика, 1948, 12, вып. 1, с. 53—62.
164.	Работное Ю. Я. Приближенная техническая теория упруго-
пластических оболочек.— Прикл. математика и механика,
1951, 15, вып. 2V с. 167—174.
165.	Работное Ю. Я. О разрушении вследствие ползучести.—
Прикл. математика и механика, 1964, Кя 6, с. 1040—1047.
165. Работное Ю. Я. Осесимметричные задачи ползучести круго-
круговых цилиндрических оболочек.— Прикл. математика и меха-
механика, 1965, № 6, с. 1035—1046.
167.	Работное /О. Я. Сопротивление материалов.— М,: Физматгиз*
1962.— 455 с.
168.	Работное Ю. Я. Ползучесть элементов конструкций,— М.:
Наука, 1966.— 752 с.
169» Работное Ю. Я., Милейко С. Г. Кратковременная ползу-
ползучесть.— М.: Наука, 1970.— 222 с.
170.	Рабинович В. Я. Прочность турбинных дисков.— М.: Машино-
Машиностроение, 1966.— 144 с.
171.	Рахматулин X. Л., Шапиро Г. С. Распространение возмуще-
возмущений в нелинейно-упругой среде.—Изв. АН СССР. Отд. техн.
наук, 1955, № 2, с. 68—89.
172.	Рейсе Э. Учет упругой деформации в теории пластичности.—
В кн.: Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. литм 1948Г
с. 206—222.
173.	Ржаницын Р. Л. Теория ползучести.— М.: Госстройиздат,
1968.—416 с.
174.	Ржаницын Р. А. Расчет сооружений с учетом пластических,
свойств материалов.— М.: Госстройиздат, 1954.— 287 с.
175.	Розенблюм В. И. О приближенных уравнениях ползучести.—
Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1959, № 5, с. 157—160.
176.	Розенблюм В. И. О полной системе уравнений пластического
равновесия тонкостенных оболочек.— Механика твердого тела,
1966, № 3, с. 127—132.
177.	Розенблюм В. И. Приближенные уравнения ползучести тонко-
тонкостенных оболочек.— Прикл. математика и механика, 1963,
№ 1,с. 154—159.
178.	Розенблюм В. И. Об условии пластичности для тонкостенных
оболочек.— Прикл. математика и механика, 1960, № 2,.
с. 364—366.
483

179. Розенблюм В. И. О приспособляемости неравномерно нагре-
нагретых упругопластических тел.— Изв. АН СССР. Ътд. техн.
наук, 1957, № 7, с. 136—138.
(80. Розенбл&м В. И. К теории приспособляемости упругопласти-
упругопластических тел,— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1958, № 6,
с. 47—53. л
181.	Розенберг В. И. Ползучесть металлов.— М.: Металлургия,
1967.— 265 с.
182.	Розовский М- Я. Ползучесть и длительное разрушение мате-
материалов.— Техн. физика, 1951, 21, № 11, с. 1311—1318.-
183.	Розовский М. И. О некоторых особенностях упруго-наслед-
упруго-наследственных сред.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1961, № 2,
с. 30—36.
184.	Сазонова Н. Д. Испытание жаропрочных материалов на ползу-
ползучесть и длительную прочность.— М.: Машиностроение, 1965.—
265 с.
185.	Салли А. Ползучесть металлов и жаропрочных сплавов.— М.:
Оборонгиз, 1953:— 291 с.
186.	Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности.— М.:
Высш. школа, 1970.— 283 с.
187.	Свешникова В. А. О пластическом деформировании упрочняю-
упрочняющихся металлов.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1956, № 1,
с. 155—161.
188.	Сдобырев В. П. Критерий длительной прочности для некото*
рых жаропрочных сплавов при сложном напряженном состоя-
состоянии. — Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, № 6, с. 93—99.
389. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды.— М.: Физ-
матгиз, 1962.— 284 с.
190.	Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движе-
движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами
упругости.— В кн.: Теория пластичности. М.: Изд-во иностр.
лит., 1948, с. 11—19.
191.	Сен-Венан Б . Дифференциальное уравнение внутренних дви-
движений, возникающих в пластических телах, и граничные усло-
условия этих тел.— В кн.: Теория пластичности. М.: Изд-во
иностр. лит., 1948, с. 24—33.
192.	Серенсен С. В., Шнейдерович Р. М- Критерии разрушения при
циклическом нагружении в упругопластической области.—
М.: Машиностроение, 1966.— 20 с.
193.	Серенсен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая спо-
способность и расчеты деталей машин на прочность.— М.: Маш*
гиз, 1963.—451 с.
194.	Сичиков М. Ф. Металлы в турбостроении.— М.: Машинострое-
Машиностроение, 1974.— 286 с.
195.	Скляров Н. М. Высокотемпературная прочность металлов
в машиностроении.— М.: Машгиз, 1961.— 120 с.
196.	Смирнов В. И. Курс высшей математики.— М.: Наука, 1974.—
Т. 11.655 с.
197.	Смирнов-Алкее Г. Л. Механические основы пластической обра-
обработки металлов.— М.: Машиностроение, 1968.— 271 с.
198.	Соболев Н. Д., Егоров В. И. О критерии прочности при тер-
термической усталости.— Докл. АН СССР, 1962, № 2, с. 350—
352.
199.	Соболев Н. Д., Пирогов Е. Н. К методике изучения повреждае*
484

мости при термической усталости.—- Завод, лаб., 1966, № 8»
с. 984—987.
200.	Соколовский В. В. Теория пластичности.— М.: Высш. школа,
1969.— 608 с.
201.	Соколовский В. В. Поля напряжений и скоростей при внедре-
внедрении штампа в пластическую массу.— Инж. журн., 1963, 3*
вып. 1, с. 160—164.
202.	Соколовский В. В. Пластический изгиб круговой пластинки.—
Инж. журн., 1963, 3, вып. 3, с. 563—567.
203.	Соколовский В. В. Пластическое кручение круглых стержней
переменного диаметра.— Прикл. математика и механика, 1945,
9, вып. 4, с. 375—383.
204.	Соколовский В. В. Пластическое напряженное состояние вра-
вращающихся дисков.— Прикл. математика и механика, 1948»
12, вып. 1, с. 81—84.
205.	Соколовский В. В. Уравнения пластического равновесия при
плоском напряженном состоянии.— Прикл. математика и ме-
механика, 1949, 13, вып. 2, с. 210—221.
206.	Соколовский В. В. Приближенное интегрирование уравнений
плоской задачи теории пластичности.— Прикл. математика
и механика, 1949, 13, вып. 3, с. 253—256.
207.	Соколовский В. В. Упругопластическое равновесие цилиндри-
цилиндрической трубы при наличии упрочнения материала.— Прикл.
математика и механика, 1943, 7, вып. 4, с. 381—389.
208.	Соколовский В. В. Упругопластичеекое равновесие полого
шара при наличии упрочнения материала.— Прикл. матема-
математика и механика, 1944, 8, вып. 1, с. 70—78.
209.	Соколовский В. В. Упругопластический изгиб круговой и
кольцевой пластинок.— Прикл. математика и механика,
1944, 8, вып. 2, с. 141—166.
210.	Соколовский В. В. Уравнение пластического равновесия при
плоском напряженном состоянии.— Прикл. математика и ме-
механика, 1945, 9, вып. 2, с. 111 — 128.
211.	Соколовский В. В. О плоской задаче теории пластичности.—
Прикл. математика и механика, 1959, 13, вып. 4, с. 391 —
400.
212.	Соколовский В. В. Теория пластичности.— М.: Гостехиздат,
1950.— 608 с.
213.	Соколовский В. В. Плоское осесимметричное равновесие пласти-
пластической массы между жесткими стенками.— Прикл. математика
и механика, 1950, 14, вып. 1, с. 75—92.
214.	Соколовский В. В. Плоское равновесие пластического клина.—
Прикл. математика и механика, 1950, 14, вып. 3, с. 216—
227.
215.	Стасенко И. В. Установившаяся ползучесть тонкостенной
трубы.— Изв. вузов. Машиностроение, 1974, № 2, с. 14—
17.
216.	Терегулов И. Г. Неустановившаяся ползучесть тонких пластин
и оболочек при малых перемещениях.— Прикл. математика
и механика, 1962, № 4, с. 730—734.
217.	Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых те-
телах.—М.: Мир, 1964,—308 с.
218.	Торшенов Н. Г. Ползучесть алюминиевого сплава Д16Т при
сжатии.— Прикл. математика и техн. физика, 1961, № 6,
с, 158—160.
485

219.	Трунин И. И* Критерии прочности в условияхползучести при
сложном напряженном состоянии.— Прикл, механика, 1965,
1, вып. 7, с, 77—83.
220.	Туманов Л. Г. Конструкционные материалы: В 2-х т.— М.:
Сов. энциклопедия, 1963.— Т. 1. 416 с.
221.	У иксов Е. Я. Инженерная теория пластичности.— Мл Маш-
гиз, 1959.— 328 с.	'"
222* Филлипое Л. П. Напряжения во вращающихся диеках турбин
с учетом ползучести.— Сб. тр. АН УССР. Лаб» быстроход. ма-
машин и механизмов, 1949, вып. 1, с. 12—18.
223.	Филоненко-Бородин М. М. Теория упругости.— М.: Физмат-
гиз, 1959.—364 с.
224.	Хилл Р. Математическая теория пластичности.— М.: Гостех^
издат, 1956.— 407 с.
225.	Химушин Ф. Ф. Жаропрочные стали и сплавы.— М.: Метал-
Металлургия, 1969.— 654 с.
226.	Ходж Ф. Расчет конструкций с учетом пластических деформа-
деформаций.— М.: Машгиз, 1963.— 308 с.
227.	Шапиро Г. С. Об интегрировании в квадратурах уравнений
плоской одномерной задачи теории пластичности с учетом
упрочнения материала.— Прикл. математика и механика, 1949, 23,
вып. 6, с. 659—662.
228.	Шестериков С. Л. Об одном вариационном принципе в теории
ползучести.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1957, № 2,
с. 122—123.
229.	Шестериков С. Л. Об одном условии для законов ползуче-
ползучести.— Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1959,
№ 1,с. 131—132.
230.	Шестериков С. Л. Расчет дисков на релаксацию.—Прикл.
математика и техн. физика, 1960, № 1, с. 117—120.
231.	Шевченко Ю. Н. Термопластичность при переменных нагру-
жениях.— Киев : Наук, думка, 1970.— 281 с.
232.	Ширшов А, А. Исследование пластического изгиба листа с уче-
учетом упрочнения.— Изв. вузов. Машиностроение, 1965, № 7,
с. 168—174.
233.	Шмидт Р. 0. О зависимости между напряжениями и деформа-
деформациями в области упрочнения.— В кн. : Теория пластичности*
М.: Изд-во иностр. лит., 1948, с. 231—256.
234.	Шорр Б. Ф. Влияние неравномерного нагрева в условиях пол-
ползучести на изменение напряженного состояния.— Докл«
АН СССР, 1958, 23, № 5, с. 803—805.
235.	Щетинин Н, Я. Чистый изгиб стержней в условиях ползуче-
ползучести материала.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1956, № 8,
с. 37—41.
236.	Ямамото И. Вариационные принципы равновесия упруго-
пластического тела.— Механика : Период, сб. пер. ин. статей,
1953, № 3, с. 104—113.
237.	Bally R. W. The utilization of creep test data in engineering
design.— Inst. Mech. Eng. Proc*, 1936, 131, N 3, p. 131 —
269.
238.	Baity R. W. Creep relationships and their application to papes,
tubes, and cylindrical parts under internal pressure.— Inst. Mech.
Eng. S. Proc, 1951, 164, N 6, p. 152—163.
239.	Boyle /., Spence I. On the exact analysis of the steady creep
loading,— Rozp, inz., 1974, 22, N 3, p. 411—420,
486

240.	Besseling J. E. A theory of^elastic, plastic and creep deforma-
deformations of an initially isotropic material showing anisotropic
strain hardening creep recoviry and secondary creep. —
J, Appl. Mech., 1958, 25, N 4, p. 529—636.
241.	Betteride W. The extrapolation of the stresspurture properties
of the nimonic alloys.— J. Inst. Met., 1968, 86, N 5, p. 232—
257.
242.	Bienek M. P., Freudenthal Л. М. Creep deformation and stresses
in pressurized loud cylindrical shell.— JAS, 1960, 27, N 10,
p. 215—219.
243.	Calladine G., Drucher D. Nesting surfaces of constant rate rof
energy dissipation in creep.— Quart. Appl. Math., 1962, 20,
N 1, p. 7—18.
244.	Chakvalarty I. Л. hypothesis of strainhardening in anisotropic
plasticity.— Int. J. Mech. Sci., 1970, 12, N 2, p. 160—176.
245.	Coffin L. F., Tevernelli J. F. Cyclic straining and Fatigue of
Metals.— Trans. Met. Soe. АШЕ, 1959, 215, N 6, Okt.,
p. 794—807.
246.	Coffin L. F.t Jr. An investigation of thermal stress fatigue
as related to high temperature piping, elexibility.— Trans.
ASME, 1957, 19, N 7, p. 1637—1649.
247.	Coffin L. F. The problem of thermal stress fatigue in austenl-
tic steels of elerated temperatures.— ASTM. Spec. Tech. Publ.,
1954, 165, June, p. 31—49.
248.	Coffin L. F., Jr. The effect of frequency on the cyclic strain and
fatigue behavior of cast Rene at 1600° F.—Met. Trans.,
1974, 5, N 6, p. 1053—1060.
249.	Davis E. Д. Creep and relaxation of oxygen-free copper,—
J. Appl. Mech., 1943, 10, N 2, p. 17—29.
250.	Davenport С. С Correlation of creep ctal relaxation properties
of copper.— J. Appl. Mech., 1938, 5, N 2, p. A-55—A-60.
251.	Diacanita U. Sur la theorie de la plasticite des corps orthothro-
pes con solidables.— С. г. Acad. Sci. Ser. A., 1969, 269, N 8,
p. 802—804.
252.	Dorn J. E., Tietz Т. Е. Creep and stress-rupture investigations
on some aluminium alloy sheet metals.— Proc. ASTM, 1949, 49,
N3, p. 107—112.
253.	Drucken D. C. Plasticity theory, strength-differential (CD) phe-
phenomenon and volume expansion in metals and plastics.— Met.
Trans., 1973, 4, N 3, p. 667—673.
254.	Hill R. On the state of stress in a plastic-rigid body at the jeld
point.— Philos. Mag. Seventh ser., 1951, 42, N 3, p. 686—692.
255.	Hill R., Lee E. #., Tupper S. J. The theory of combined plas-
plastic and elastic deformation vith particular reference to a thick
tube under internal pressure.— Proc. Roy. Soc, London*
Ser. A, 1947, 191, N 4, p. 278.
256.	Hill R. On inigueness and stability in the theory of finite elas-
elastic strain.— J. Mech. Phys. Solids, 1957,5, N 4, p. 365—387.
257.	Jonson W., Mellor P. B. Plasticity for mechanical engineers.—
London : Nostrand со LTD, 1968.— 412 p.
258.	Jonson W., Sowerby R., Haddow J. B. Plane-strain slip-line
fields : Theory and bibliogr.— London : Arhold, 1970.— 176 p»
259.	Kennedy C. /?., Harms W. O., Douglas D. Л. Multiapial creep
studies on inconel at 1500° F.— ASME Pap., 1958, N 58-A,
p. 231-239.
487

260.	Larson F. R.t Miller J. A. time-temperature relationship for
ripture and creep stresses.— Trans. ASME, 1952, 74, N 5,
p. 765—775.
261.	Ludwik P., Schen R. Vergleichende Zug-, Druck-, Dreh- und
Welzversuche.— Stahl und Eisen, 1925, 45, S. 373—385.
262.	Manson S. S., Smith R. W. Theory of thermal shock resistance
of brittle laterials based on weibulls statistical theory of
strength.—J. Amer. Ceram. Soc, 1955, Jan., p. 15—27.
263.	Manson S. S.y Smith R. W. Quantitative avalution of thermal
shock resistance.— Trans. ASME, 1956, 78, N 3, p. 533—544*
264.	Marin /., Paojon-Man. An analytical theory of the creep defor*
mation of materials.— J. Appl. Mech., 1953, 20, N 2, p.
245—252.
265.	Marciniak Z. Mechanika procesow tloczenia blach.— Warszawa:
Panstw. wyd-wo nauk.-techn., 1961.—271 s.
266.	Masing G. Zur Heyn'schen Theorie der Verfestugung der Metalle
durch Verlogen elastisch Spannungen.— Wiss. Veroff. Siemrus-Kon-
zern, 1923, 3, H. 1, S.201—209.
267.	Martin D. E. An energy criterion for low-?ycle fatigue.—
J. Basis Eng., 1961, 83, N 4, p. 565—571.
268.	Melan E. Zur. Plastizitat derraumlichen Kontinumus.—Ingenier-
archiv, 1938, 9, S. 116—126.
269.	Miles M. On the structural fatigue under random loading.—
J. Aeronaut. Sci., 1954, 21, N 11, p. 54—62.
270.	Mises R. Mechanik der plastischen Formanderung von Krista-
len.— Z. angew. Mat. und Mech., 1928, 8, H. 3, S. 161—185.
271.	Morrow /., 'Fuller F. Flow cycle fatigue evaliation of inconel
713C and waspaloy.— Trans. ASME, Ser. D, 1965, 87, N 2,
p. 8—25.
272.	Nadaj A. Plastic bahuvior of metals in the strain-hardening
range. Pt 1.— I. Appl. Phys., 1937, 8, N 6, p. 205—208.
273.	Nadaj Л. The creep of metals under various stress conditions.—
Th. v. Karman Anniversary Vol., 1941, 84, N 3, p. 121 —
127.
274.	Nadaj Л. Theory of flow and fracture of solids. — New York :
McGraw — Hill book со., Inc., 1950.— vol. 1, p. 347—370.
275.	Noritada Katon. The creep of metals under various stress condi-
conditions.— Trans. Jap. Soc. Mech. Eng., 1964, 30, N 3, p* 209—
212.
276.	Odgvist F. K* 0. Mathematical theory of creep and creep rup-
rupture.— Stockholm : Darendon press, 1966.— 170 p.
277.	Olszak W., Perzyna P., Sanazuk A. Teoria pbasticitatii.—
In: Trad, din limba polona, Bucuresti, 1970, p. 612.
278.	Orowan E. The calculation of roll pressure in hot and cold flat
rolling.— Natur. Hist., 1942, 150, N 3, p. 140—167.
279.	Pelczynski 7\ Wplyw stanu napiecia na przeijs'cie materialu
w stan plastyczny.— Prz. mech., 1951, z. 6, s. 175—179.
280.	Penny R. K* The usefulness of engineering damage parameters
during creep.—Met. and Mater., 1974, 8, N 5, p. 278—287.
281.	Popov E. Correlation of tension with relaxation tests.— J. Appl.
Mech. A, 1947, 14, N 2, p. 136—142.
282.	Prager W- On the use of singular field conditions and associated
flow rules.— J. Appl. Mech., 1953, 20, N 3, p. 317—326.
283.	Prandtl L. Spannungsverteilung in plastischen Korfern,— In:
Proc, 1st. Intern, congr. appl. mech. Delft, 1924, S. 43—64*
488

284.	Soderberg С. R. The interpretation of creep tests for machine
desing,— Trans. ASME, 1936, 58, N 8, p. 733—743.
285.	Shield R. T. On the optimum design of shells.— J. Appi., 1960,
N 2, p. 316-322.
236. Treska H. Memoire sur recoupment des crops solids sourms
a des forter pressions.— С. г. Acad. Sci., Paris, 1864, 59,
N 4, p. 41—52.
287.	Taira S., Ohnami M., Sakato M. Influence of temperature
history on creep.— Bull. ISME, 1962, N 17, p. 218—219.
288.	Taira S1., Ohnami M. Greep under rapid cycling temperatu-
temperatures.— J. Jap. Soc. Test. Mater., 1959, 8, N 74, p. 850—856.
289.	Zur Vaclav Vokoum. Lprovodaj.— UZIN, 1965, N 4, p. 213—
247.
290.	WooUeti R. L. The Baushinger effect in some face-centered and
body-centered cubic metals.— Philos. Mag., 1953, 44, N 353,
p. 597-648.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автофретирование 205
Аналогия Надаи 185
—	Прандтля 184
Анизотропный материал 80
Ассоциированный закон тече-
течения 100
Балка 180
Брус 188
Вариационные принципы 404,
405
Вдавливание плоского штампа
228
Вектор деформаций 56
—	напряжений 51
—	перемещений 64
Внедрение клина 229
Гипотеза Людвига 90
—	ползучести 350
Главные деформации 158
—	напряжения 24
—	оси 36
—	площадки 23
Граничные условия 158
Давление штампа на пластиче-
пластическую среду 228
Девиатор деформаций 35
—	напряжений 21
«— скорости деформаций 50
Деформация объемная 37, 72
—	октаэдрическая 37
—пластическая 128
—	ползучести 322
—	полная 128
—упругая 128
—	упругопластическая 127
Диаграмма деформирования 87
—	Марциняка 43, 48
—	Мора 41
—	Пельчинского 42, 45
-т-растяжения 8
—сдвига 80
Длительная прочность 368, 399
Долговечность материала 380
Дополнительное рассеяние 407
Зависимость ползучести от тем-
температуры 321
Задачи Коши^ 168
—	неустановившейся ползуче-
ползучести 451
—	предельного состояния пла-
пластин 213
—	релаксации 457
—	Римана 168
—	теории упругости в напряже-
напряжениях 76
Задача теории упругости в пе-
перемещениях 74
Задачи теории пластичности
133
Закон Гука 70, 71
—	суммирования повреждений
366
Законы теории пластичности
94, 152
Изгиб балки 188
	упругопластический 289
—	пластины 213
—	полосы, ослабленной выреза-
вырезами 227
	с односторонним вырезом
226
Инварианты девиатора дефор-
деформации 36
	напряжения 24
—	тензора деформации 36
—	— напряжения 24
	скорости деформации 49
490

Интенсивность деформации
сдвига 39
—	касательных напряжений 29
—	напряжения 29
—	скорости деформации 50
	сдвига 50
Компоненты деформаций 32
—	напряжений 17
Коэфициент Лоде-Надаи 29,
38
—	объемного сжатия 37
Кривая ползучести 320
—	релаксации напряжений 326
Критерии длительной прочно-
прочности 258, 335
Кручение круглого стержня пе-
переменного диаметра 183
—-стержня 181
Линеаризация гиперболической
системы 157
—	дифференциальных уравне-
уравнений 158
Линии скольжения при плоской
деформации 155
Материал анизотропный 85
—	изотропный 81
—	ортотропный 112
Мера повреждений 366
Метод вариационный 124
—	дополнительных деформаций
143
*—Коши 168
—	нагрузок 137
—- переменных параметров
, упругости 146
—	последовательных приближе-
приближений 279
—	Римана 167
Методы решения краевых за-
задач 451
—	— численные 148
Минимум дополнительной рабо-
работы 125
—	полной энергии 124
Модели механические 327
—	многоэлементные 330, 332
Модуль пластичности 106
—	секущий 137, 138, 143
—	упрочнения 92
—	упругости 92
—	Юнга 92
Нагружение повторное 94, 235
—	простое 51, 56, 116
—	сложное 52, 57
Направляющий тензор 29, 38
Напряжение главное касатель-
касательное 28
	нормальное 26
—	касательное максимальное
26
—	октаэдрическое 26, 28
*— остаточное 119
—	среднее нормальное'22
Начальное состояние 448
Неустановившаяся ползучесть
443
	стержней 458
	стержня при изгибе 459
	цилиндра 471
Обобщенные уравнения ползу-
ползучести 396
Объемная деформация 37
Октаэдрические деформации 37
—	напряжения 26
Основные законы теории пла-
пластичности 94
—	краевые задачи 167, 447
—	уравнения теории упругости
73
^-условия начала пластическо-
пластического течения 80
Относительный угол кручения
181
Параметр Лагранжа 101
—	Надаи-Лоде 29, 46
—	Одквиста 96
Пластина кольцевая 214
—	круглая 213
Пластический потенциал 131
Пластичность идеальная 87
Плоскость главная 26, 36
—	девиаторная 80
—октаэдрическая 26
Площадка октаэдрическая 26,
37
—	скольжения 26
Поверхность нагружения 98
Поле деформаций 62
—	напряжений 61
—	перемещений 61
—	скоростей перемещений 163
Ползучесть 318
—	металлов 318, 344
491

—	неустановившаяся 443
—	обратная 318
—	при кручении 417
—	при п.ременном напряжении
361
—	установившаяся 411
Последействие 318
Постулат Дракера 98
Предел длительной прочности
335
—	ползучести 324
Предельная нагрузка на балку
180
	пластинку 213
Предельное состояние 142
Принцип минимума дополни-
дополнительной работы 125
	полной энергии 124
Приращение деформаций 46
Приспособляемость 285
Работа деформации 123
—	дополнительная 125
Разгрузка 119
Разрушение вязкое 334
—	внутрикристаллическое 335
—	межкристаллическое 336
—	хрупкое 335
Растяжение плоского образца
225
—	полосы с круговым вырезом
224
	, ослабленной вырезами
223
	с круговыми вырезами
225
	с отверстием 226
	с угловыми вырезами 224
Разрушение материала при пол-
ползучести 327
	при циклическом нагруже-
нии 258
Релаксация 326
Решение Галина 228
—	Прандтля 227
—	Хилла 228
Сетка линии скольжения 155
—	характеристик 161
Сжатие полосы между плитами
232
Сжатие слоя между жесткими
плитами 233
Система уравнений канониче-
каноническая 155
	гиперболического типа
154
	эллиптического типа 156
Скорости едвигов главные 46
	 максимальные 36
Скорость деформации 46
	ползучести 321
Состояние напряженное пло-
плоское 170
	простое 161
—	плоское деформированное 152
Сосуд сферический 194
—	цилиндрический 197
Сплошность 67
Способность пластины несущая
213
Статический метод опреде-
определения предельной нагрузки
150
Тензор деформации 35
—	напряжения 21
—	скоростей деформации 46
—	направляющий 38
Теорема Ка стиль я но
—	Клайперона обобщенная 123
—	Койтера 288
—	Мелана 286
—	о вторичных пластических де-
деформациях 277
—	приспособляемости кинемати-
кинематическая 288
	статическая 286
Теоремы о минимальных прин-
принципах 124
—	о переменном нагружении
274
—	приспособляемости 285
—	о простом нагружении 272
—	об упругой энергии 124
Теория малых упругопластиче-
ских деформаций 106
—	наследственности 327
—	пластического течения 103
—	Сен-Венана — Мизеса 104
—	старения 344, 386
—	течения 347, 387
—	упрочнения 348, 388
Траектория деформирования
58, 60
—	нагружения 51, 54
Труба толстостенная 197
Удлинение абсолютное 32
—	главное 36
ДО

—	относительное 33
Уравнение Болышана—Воль-
терра 327
—	Максвелла 326
—	ползучести 320
—	Сен-Венана — Мизеса 173,
176
—	теории старения 386
—	установившейся ползучести
401
—	упрочнения 388
Уравнения Бельтрами — Мит-
Митчелла 76, 78
—	Генки 108
—	Коши 66, 133
—	Ламе 74
—	Прандтля — Рейса 105
—	равновесия в перемещениях
74
	сплошной среды 61
—	Сен-Венана 67
—	Сен-Венана — Леви — Миз-е-
са 106, 134, 135
Условие несжимаемости мате-
материала 103,406
—	текучести материала 80
Условия постоянства интенсив*
ности напряжения 82
—	совместности Сен-Венана 67
—	текучести Треска — Сен-Ве-
нана 83
—	текучести Хубера — Мизе-
Мизеса — Генки 84
Формула Гаусса — Остроград-
Остроградского 124
—Клапейрона 123
—	Койтера 286
—	Мелана 286
Число Пуассона 87
Шар полый под давлением
194
Шейка образца 87
Штамп выпуклый
—	клинообразный 230
—	круговой 229
—	плоский 228
Элемент вязкий 228
—	упругий 227
Эффект Баушингера 247

ГЕОРГИЙ СТЕПАНОВИЧ ПИСАРЕНКО
НИКОЛАЙ СТАНИСЛАВОВИЧ МОЖАРОВСКИЙ
УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ
Справочное пособие
Печатается по решению редакционной коллегии
справочной литературы АН УССР
Редактор А. Я. БЕЛЬДИЙ
Редактор-библиограф Л. П. ШЕВЧЕНКО
Художественный редактор А. В. КОСЯК
Технический редактор И. А. РАТНЕР
Корректоры П,А._ РОСИЧ, РА С, КОГАН
Информ. бланк № 3129.
Сдано в набор 22.07.80. Подп. в печ. 19.06.81. БФ 02378.
Формат 84ХШ87з2. Бумага типогр. № 1
Лит. гарн. Вые. печ. Усл.-печ. л, 25,83. Уч.-изд. л. 30,0.
Усл. кр.-отт. 25,83.
Тираж 4500 экз. Заказ 1-317. Цена 1 руб. 90 Kori J
Издательство «Наукова думка».
252601 Киев ГСП. Репина. 3
Отпечатано с матриц книжной фабрики имени
М. В. Фрунзе на книжной фабрике «Коммунист»,
310012, Харьков-12, Энгельса, 11.

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКОВА ДУМКА»
В 1981 ГОДУ ВЫЙДУТ В СВЕТ КНИГИ:
Давиденков Н.И. Избранные труды: В 2-х т. Т. U
Динамическая прочность и хрупкость металлов. 65 л,
7	р. 10 к,
8	книге содержатся наиболее оригинальные и значительные труды
академика АН УССР Н. Н. Давиденкова — выдающегося советска-
То ученого в области механики деформируемого твердого тела —
по хрупкому разрушению, свойствам материалов при динамическом
нагружении, хладноломкости металлов, механике материалов. Из-
Изложены взгляды ученого на физическую природу хрупкости, пре-
предела текучести, упругого последействия ударной усталости метал-
металлов. Освещены методические особенности испытаний материалов
при динамическом нагружении, вопросы измерения твердости, изно-
износа материалов, влияния вида напряженного состояния на прочность
металла и др.
Для научных и инженерно-технических работников, занимающихся
проблемами прочности и разрушения материалов, а также для спе-
специалистов в области истории науки и техники.
Давиденков Н. Н. Избранные труды: В 2-х т. Т. 2.
Механические свойства материалов и методы измерения
деформаций. 55 л. 6 р. 10 к.
В книгу включены работы, посвященные изучению механических
свойств материалов, методов испытаний материалов и измерения
напряжений, а также усталости металлов и рассеянию энергии в
циклическом деформируемом материале. Приведены результаты из-
измерения остаточных напряжений в элементах конструкций, необра-
необратимого формоизменения металлов. Рассмотрены некоторые задачи
теории упругости.
Для научных и инженерно-технических работников, занимающихся
проблемами прочности и разрушения материалов, а также для спе-
специалистов в области истории науки и техники.

Ковпак В. И. Прогнозирование жаропрочности ме-
металлических материалов. 18 л. 3 р. 35 к.
В монографии дан анализ существующих методов экстраполяции
длительной прочности и ползучести. Показаны физические особен-
особенности сопротивления металлических материалов длительному раз-
разрушению и ползучести. Описаны принципы построения уравнений
состояния ползучести и длительной прочности, а также математиче-
математической реализации уравнений состояния. Разработаны методы инже-
инженерных решений уравнений состояния с использованием ЭЦВМ.
Предложены методы статистической оценки характеристики жаро-
жаропрочности в экспериментальной и прогнозируемой областях.
Для научных и инженерно-технических работников.
Предварительные заказы на эти книги принимают все
магазины книготоргов, магазины «Книга-почтой» и
«Академкнига». Просим пользоваться услугами магази-
магазинов— опорных пунктов издательства: Дома книги —
магазина № 200 C40048, Донецк-48, ул. Артема, 147а),
магазина «Книжный мир» C10003, Харьков-3, пл. Со-
Советской Украины, 2/2), магазина научно-технической кни-
книги № 19 B90006, Львов-6, пл. Рынок, 10), магазина
«Техническая книга» B70001, Одесса-1, ул. Ленина, 17)
и магазина издательства «Наукова думка» B52001,
Киев-1, ул. Кирова, 4).
Магазины во Львове, Одессе и Киеве высылают книги
иногородним заказчикам наложенным платежом.