ПРОСВЕЩЕНИЕ
А -	а	N -	эн
В -	бэ	О -	о
С -	цэ	Р -	ПЭ
D -	дэ	Q -	ку
Е -	е	R -	эр
F -	эф	S -	эс
G -	гэ	т —	тэ
Н -	аш	и -	У
1 —	и	V -	вэ
J -	йот	W -	дубль-вэ
К -	ка	X -	икс
L -	эль	Y -	игрек
М -	эм	Z -	зет
'моленных анекдотов.
Называл себя срвзадв-
ннном мира (ксюколо-
тгтом). По преланим,
жил в бочке.
ДнОд, даухзлохтрод-
tiutt >лгктрощшуум1пай
(в т.ч. гл;юрвзрядный)
или полупроводнико-
вый прибор С 0Д1ИСТС-
Длод. Вогохо.
пыктнмП
КСШПДОИ.
Дипп. Пплущкиялннюс-акю дноди.
ролпой правили костью. Осн. разновидности ди-
ода: кенотрон, гл острой, полукцкнюдкикипый.
Применяется в электро и радиоаппаратуре гл.
обр, для вы прямлен ил инррмспного 7р>:л. дйгек-
тецювлннк, П1!рекли>че1Н1л электрнчеоннх целей
и г-д.
ДИНЖЛЕТМАН (DioclelinnuB) (243 - между 313 и
31В), рн.чекнй император в 2В4-306. Создатель
дом штата - нсогри низинной монархии. Стабилн-
зироиал положпгше империи. В 303 30'1 пред-
принял гоиоино на христиан. ДтЛропольпоотрёк-
ДИРИЖАБЛЬ 237
ся от власти н поселился в овсом дворца в Салоне
(©оаремеимый Спжлг).
ДИОКСИНЫ, группа высокотокснчлых химиче-
ских coefliijctHsdl. Побочные продукты в цел-
люлозно-бумажной пром-сти. при синтезе не-
которых пестицидов, обрплуютая пум сжига-
нии мусора и др. Способны пскпплнпаться в
организме.
ДИПЛОМАТИЯ,, официальная деятельность глпп
ixjcyaapcTB, правительств и специальных органов
внешних сношений по осущсствлсияю целей и
олдпч внешней политики государств, а также по
защите интересов госудщх.тви it граждан за гра-
ницей, Слово ♦ДКПЛОМИТИЛ» происходи? от треч.
diploma (в Древней Греции - сдвоенные дощеч-
ки о нанесёнными ко них письменами, выдавав-
имеем посланцам в качестве документов, под-
твержлпющнх. их полномочия),
ДИРАК (Dirac) Поль Адриен Морис (1902-34),
английский физик, одни на создателей кванто-
вой мвхаинкн, квантовой аяоктролшстмккн,
кгинтоной статкогнки. Вывел квантовое урав-
нение дпиэкегппс электрона с высокими (реял-
гнинетскимн) скоростями (уравнение Дираки),
из которого следовало существовдино позитро-
на и аннигиляции, Предложил метод мтормч*
кого квантования. Вмсказол идею существо-
A
Латинский алфавит
Фрагмент Большого
энциклопедического словаря
школьника
ЛаноххврМ! I - Сроптомвр Мпптоняф); 2
тпр|знсс«п||; 3 - T|iiiU4|iKrfiiit: 4 -ст<гомпр.
вин ня частицы с одним магнитным полюсом
(магнитный монополи). Нобслсискпя премил
(1033).
ДИРЕКТОРИЯ, 1) иаавпике органе (приюителыггва.
совете, трибунала и др.}, осуществляющего уп-
равление в к.-л. сфере. 2) Иоколнительная ди-
ректория ирашегелылво (из 5 директоров)
Французской респуб-
лики в ноябре 1795 -
ноябре 1799.
ДИРИЖАБЛЬ (от франц,
dirigciiblc - улравлле*
мый), управляемый
иэ]юсгят. Огл ичаетсд
удлинённой обтекае-
мой формой корпуса,
наличием дпиглтелей с
тюпдугиш 1МИ ШШТПМК и
рулей у продления. Пер-
вый дирижабль Л. ЭКмф-
фара (Франция, 1ft 5 2)
имел паровой двига-
тель. Практическое дк-
рнжлблес'грионие - с
начала 20 и. (Ф, Цеп-
пелин и др.}. Испслыю-
пяяись для военных ко-
лей, iiaceux»<|xaicnx не-
pciicooic и г.д- Пшмггмпя
МПСС-Л крупнейших ди-
рнжоблой 214 т, объ-
ём до 200 тыс. х3* дли-
на до 245 м. Илл. см.
mi о. 23В.
ГРАЖДАНИН!!, -а м, мп. грджддне (10)
лоМтцс;; (грджддне мн. jtdXtt;) гражданин,
житель obcan, obyvatel: породьнддго гражда-
нина • кез’ь земьндАго трсуждАнмга жикжштд
Супр 429, 23 24; t грджддне емоу • нендвид’к-
дхж его Л 19, 14 Зогр Мар Де; да не Бждетъ съ
зълинми грдждАнъ! осжждвнъ Супр 319, 19;
скрькь же н печаль. не хщлк нлгЬахж граждане
Супр 191, 20-21.—Супр 13, 27; 319, 20;
362, 22; 542, 30.— Ср. грддьннкъ, жнтелннъ
ГРАЖДвНИге, -ига с (1) о1хо6орт| построй
ка stavenf: на пештерънюк грджденнк прншъдъ
Супр 293, 6.— Ср. зьдднин
грлждъ Супр 213, 1 см. грдждь
ГРАЖДЬ, -ждд м (1) (pctrvT] конюшня staj:
оукорн и БеЗ’ЬНЬСТБОВА 1М (г. е. црькъвь) • ко-
немъ грдждь с’ьтворив'ъ № Супр 215, 1
грлждьвьн.. (?) Супр 552, 20 разура
в рукописи
ГРАНЪ, -д м (1) греч. пет стих vers: и по
сем(ь) рекжт(ъ) грдннъ (!) Евх 65а 3.— Ср.
€ТНХ*Ь
ПРОСЬБА. Вежливая, всепокорней-
шая {устар.}, встречная, выстра-
данная, горячая, деликатная, дело-
вая, дерзкая, дипломатичная, дру-
жеская, душевная, жалкая, заду-
шевная, интимная, искренняя, ко-
ленопреклоненная (устар.}, мел-
кая, милостивая (устар.}, навязчи-
вая (обычно мн.}, наглая, настойчи-
вая (обычно мн.}, настоятельная, не-
большая, невыполнимая, неот-
ступная (обычномн.}, нижайшая (ус-
тар.), ничтожная, покорнейшая
(устар.}, почтительная, робкая,
сердечная, серьезная, слёзная,
смиренная, убедительная, унизи-
тельная, учтивая.
Фрагмент Словаря эпитетов
русского языка К. С. Горбачевича
Фрагмент Старославянского
словаря (по рукописям X - XI веков)
под ред. Р. М. Цетлина
МУЗЫКА
НАРОДНЫЕ МУЗЫКАЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
TRADITIONAL MUSICAL INSTRUMENTS
лира
аккордеон
accordion
флейти Пана
panpipes
цитра
zither
круглый корпус
circular body
треугольный корпус
triangular body
груше шдный корпус
pear-shaped body
мандолина
mandolin
бтсовый регистр
bass register
струны, ведущие мелодию
melody strings
басовая клавиатура
bass keyboard
банджо
banjo
губная гармоника
harmonica
дека
soundboard
дискантовая клавиатура
treble keyboard
6t пр пайка
balalaika
трубка, ее дуй'ан wet одию
chanter
аккомпанирующие струны
open strings
дискантовый регистр
treble register'
мехи
bellows
мех
windbag
волынка
bagpipes
трубка для нагнетания
воздуха
blowpipe; mouthpipe
Фрагмент русско-английского
споваря в картинках
А. Л. Семенов Т. А. Рудченко
информатика
Учебник для 5 класса
общеобразовательных учреждений
Москва «Просвещение»
Институт новых технологий
2006
УДК 373.167.1:004	В подготовке учебного пособия принимали
ББК 32.81я720	участие: Е. С. Архипова, М. А. Ройтберг
СЗО
Семёнов А. Л.
СЗО Информатика : учеб, для 5 кл. общеобразоват. учрежде-
ний / А. Л. Семёнов, Т. А. Рудченко. - М. : Просвещение:
Институт новых технологий, 2006. - 176 с. : ил. -
ISBN 5-09-015257-8.
Учебно-методический комплект для 5 класса состоит из учеб-
ника, тетради проектов и пособия для учителя, которое содержит
сведения о построении всего курса информатики для средней
школы, тематическое планирование, комментарии важных понятий
курса, а также обсуждение и решение задач и др. Электронная
версия книги для учителя размещена на сайтах:
www.int-edu.ru/book/inf 5; www.prosv.ru/inf5.
УДК 373.167.1:004
ББК 32.81я72
Учебное издание
Семёнов Алексей Львович
Рудченко Татьяна Александровна
ИНФОРМАТИКА
Учебник для 5 класса
общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редакторы Т А. Бурмистрова,
А. В. Желонкин
Художественный редактор
О. П. Богомолова
Корректор Н. И. Новикова
Внешнее оформление серии:
Р. Е. Самолюбова
Дизайн книги: О. П. Богомолова
Вёрстка выполнена Институтом
новых технологий
Отпечатано с диапозитивов, предоставленных издательством «Просвещение».
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000.
Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 24.05.06.
Формат 70 х 90 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 8,95+0,48 форз. Тираж 10 000 экз. Заказ № 14631 (п-г3).
Институт новых технологий. 115162, Москва, ул. Мытная, 50.
Тел.; (495) 926-49-65, e-mail: int@mtu-net.ru.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Открытое акционерное общество Смоленский полиграфический комбинат. 214020,
г. Смоленск, ул Смольянинова, 1.
© Издательство «Просвещение», 2006
© Художественное оформление.
Институт новых технологий, 2006
Все права защищены
ISBN 6-09-015257-8
Введение
Дорогой друг!
Ты уже знаком с математикой, знаешь, что она по-
могает людям каждый день в различных подсчётах и
измерениях. Математика помогает людям объяснять явле-
ния природы. С её помощью мы записываем в математи-
ческой форме законы и правила, по которым существует
природа. Математика позволяет рассчитать и смоделиро-
вать как будет работать ещё не построенный автомобиль,
самолёт, холодильник, спроектировать и построить их.
Уже более 100 лет математики пытаются понять и
описать не только явления природы, но и то, как чело-
век думает. Они сумели сформулировать в математичес-
кой форме законы человеческих рассуждений, языка,
правила, по которым существует человеческое общество.
Оказалось, что во всём этом важнейшую роль играет ин-
формация. Именно информация хранится у человека в
голове в форме воспоминаний, правил языка и поведе-
ния. Именно информация передаётся от одного человека
к другому, когда один человек что-то сообщает другому.
Информация нужна людям, чтобы работать вместе, чтобы
управлять машинами и своей собственной деятельностью.
Несколько тысяч лет назад люди научились сохра-
нять информацию, рисуя изображения и записывая
тексты. Около 150 лет назад они научились передавать
информацию с помощью проводов (кабелей), а потом
радиоволн. Около 60 лет назад, когда ваши бабушки и
дедушки были маленькими, учёные и инженеры научи-
лись строить не только машины для обработки дерева,
пластика, металла, не только для поездок и полётов, для
приготовления пищи и выработки электрической энергии,
но и для обработки информации. Вскоре эти машины
назвали компьютерами. Сейчас мы встречаем компьютеры
повсюду, они имеются внутри телефона, телевизора, авто-
мобиля.
Для того чтобы спроектировать и сделать компь-
ютер, людям понадобились полученные математиками и
лингвистами знания о человеческом мышлении и языке.
Сегодня математические знания о процессах обра-
ботки информации человеком и машиной составляют
фундамент Информатики — области человеческого
знания и деятельности, без которой наша жизнь сегодня
была бы совершенно иной.
1*
3
Знание информатики пригодится тебе для того, что-
бы понимать, как строятся математические рассуждения,
что такое логика, как работает компьютер, сотовый те-
лефон и телевизор, как сегодня компьютеры учатся
управлять поездами, играть в шахматы, понимать челове-
ческую речь. Оно необходимо, чтобы научиться грамотно
создавать мультимедийные сочинения и страницы в Ин-
тернете, искать нужную информацию, организовывать
свою собственную информацию, быстро и точно работать
с нею, правильно распределять работу между собой.
Как построен наш учебник? Каждая глава начинает-
ся с объяснительного текста. Рассмотрев и прочитав его,
ты сможешь самостоятельно ознакомиться с новыми
понятиями, которые будешь использовать для решения
задач — самой важной части учебника. Задачи в учебни-
ке встречаются самые разные. Есть задачи простые, а
есть сложные, есть задачи на сообразительность и сме-
калку, задачи математические, лингвистические, биологи-
ческие, географические. Все эти области знания сегодня
обращаются к информатике.
Задачи с красным номером являются необязательны-
ми, но это не значит, что решать их не стоит, ведь
самые интересные и увлекательные задачи находятся
именно среди них.
Кроме учебника, ты получаешь ещё тетрадь проек-
тов. Задания в ней не совсем обычные. Одни ты будешь
решать довольно долго и сам по ходу дела ставить себе
новые задачи, другие — решать вместе с друзьями и
обсуждать с учителем. Третьи — потребуют обращения к
миру за пределами учебника, класса и школы. Всё это
тоже очень интересно.
Желаем успехов!
Обозначения:
Необязательная задача.
Важная информация.
Пояснение для тех, кто занимался информатикой во
2-4 классах по учебникам тех же авторов.
Указание.
Элементы Д 1
Знакомство с информатикой начнём с самых прос-
тых объектов, с которыми мы будем работать, — с
элементов. Нам важно договориться о том, какие имен-
но свойства этих объектов для нас важны и какие эле-
менты мы будем считать одинаковыми. Мы будем в
основном пользоваться такими элементами: бусинами,
буквами, цифрами и фигурками. (Потом нам понадобятся
и другие элементы.)
Бусины
Наши бусины будут трёх форм: квадратные, круг-
лые и треугольные — и шести цветов: белые, чёрные,
жёлтые, красные, зелёные и синие.
Буквы и цифры
Мы будем использовать в основном буквы русского
и латинского алфавитов и арабские цифры:
АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХ
ЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
0123456789
На форзаце в конце учебника написано, как пра-
вильно называть буквы латинского алфавита.
В задачах будут встречаться буквы и других алфави-
тов, например армянского, грузинского, греческого.
Фигурки
Фигурками мы будем называть любые картинки —
изображения животных, фруктов, предметов, а также до-
рожных знаков и др.
Одинаковые элементы
] Имена 
UA___
Прежде, чем решать задачи, нужно договориться, ка-
кие элементы мы будем считать одинаковыми, а какие
разными.
Вот пары одинаковых бусин: Вот пары разных бусин:
ОО ОД
Если форма и цвет двух бусин совпадают, то эти бу-
сины мы считаем одинаковыми.
Вот пары одинаковых букв
и пара одинаковых цифр:
ЮЮ ZZ 22
Вот пары разных букв и
цифр:
АБ	WM	ЕЁ
flR	LT	69
Буквы и цифры нельзя поворачивать и переворачи-
вать — при этом могут получиться совсем другие буквы
и цифры.
6
Вот пары одинаковых
фигурок:
Вот пары разных фигурок:
66
Фигурки нельзя поворачивать и переворачивать —
при этом могут получиться совсем другие фигурки.
Чтобы было удобно указывать, о каком элементе
идёт речь, мы будем давать элементам имена. Именем
может быть любая буква, цифра или несколько букв и
цифр. Имя будем писать рядом с элементом.
Теперь, когда фигурки имеют имена, мы можем
сравнить фигурки и сказать, например, что фигурки
БУБУ и S одинаковые, а фигурки А и 62Щ разные. Это
можно записать так: БУБУ = S, А 62Щ.
Для каждой пары элементов определи, одинаковые они или
разные. Запиши ответ по образцу: «А2 = АЗ» или «А2 АЗ».
3
Найди три одинаковые бусины. Напиши в тетради, какого
цвета и какой формы эти бусины.
Найди две одинаковые буквы. Какие буквы ты нашёл? Напиши
такую же букву в тетради.
A	Q	Й	V	Ъ	К	Г
О	Е	L	Ю	N	F	В
J	U	М	Ё	Ш	Ь	W
Я	Л	Ц	Н	R	И	С
Д	Щ	Б	D	Ж	N	Y
Даны буквы грузинского алфавита. Найди две одинаковые
буквы. Какие буквы ты нашёл? Постарайся написать такую же
букву в тетради.
0)	f?	R?	6	Ь	Л	О	G	R?	’а
й	о	з	v	г>	а	а	з	'в	и
Напиши в тетради:
а) две разные русские буквы;
б) две разные латинские буквы.
6	Найди и напиши в тетради:
а)	две одинаковые русские буквы;
б)	две одинаковые латинские буквы;
в)	две одинаковые цифры.
K)QI16GTBSVW
0Е5Ц8МГЧБС
1иУХЭ4Л1ГН
ЛЖЙРОШДЬ2А
ALULVKRFEMY
Ы7ИЗЪ9ФИ6
7	Вот предупреждающие дорожные знаки. Эти знаки преду-
преждают водителя о различных обстоятельствах, которые
ожидают его дальше на дороге.
Найди два одинаковых знака. Напиши ответ по образцу: «Зна-
ки Ш и Щ одинаковые». Как ты думаешь, что обозначают най-
денные тобой знаки? Напиши.
9
Многоугольники на сетке
Ещё один вид элементов, с
которыми мы будем работать, —
это многоугольники на сетке.
Вот сетка. Точками поме-
чены узлы сетки:
Вот отрезки на сетке —
они соединяют узлы сетки:
А это многоугольники на
сетке. Их стороны — это отрез-
ки на сетке:
Договоримся, что два многоугольника одинаковые,
если их можно совместить, вырезав и наложив друг на
друга. При этом мы не будем обращать внимание на их
цвет. В остальных случаях мы будем считать многоуголь-
ники разными. Вот пары одинаковых многоугольников
на сетке:
10
8	Найди два одинаковых многоугольника на сетке. Напиши от-
вет по образцу: «Ш = Щ». Нарисуй такой же многоугольник по
клеткам в тетради.
9
10
Теперь найди еще одну пару одинаковых многоугольников.
Напиши ответ, используя знак равенства. Нарисуй такой же
многоугольник по клеткам в тетради.
Нарисуй по клеткам в тетради:
а)	два разных треугольника;
б)	два одинаковых квадрата;
в)	два разных квадрата;
г)	два одинаковых прямоугольника;
д)	два разных прямоугольника.
Найди два одинаковых многоугольника. Напиши ответ, исполь-
зуя знак равенства. Нарисуй такой же многоугольник по клет-
кам в тетради.
мммиИЪ
нашёл? Постарайся написать такую же букву в тетради.
1
Ъ 2 Ч & № С $ 2 3 Г t Ч U А
12
Реши задачу.
Чтобы Вася не проспал шко-
лу, мама завела ему сразу
два будильника с одинаковы-
ми звуковыми сигналами.
Оба будильника должны бу-
ду! зазвенеть в 7.00. Затем
каждый из будильников будет
давать повторные звонки до
тех пор, пока его не выклю-
чай первый будильник будет
давать по одному звонку через каждые 3 минуты, а второй —
через каждые 4 минуты. Сколько Вася услышит звонков, если
встанет в 7.17 и одновременно вьнслючит оба будильника?
13 Найди два одинаковых многоу! ольника на сетке. Напиши от-
вет, используя знак равенства. Нарисуй такой же многоуголь-
ник по клеткам в тетради.
Множество а б _ О _	_________________
Когда мы собираемся что-то делать, то выбираем
предметы, с которыми будем работать, выделив их из
всех остальных. Например, если собираемся рисовать, бе-
рём бумагу, краски, карандаши, ластик. Если собираемся
решать задачу о русских буквах, говорим: «Рассмотрим
все буквы русского алфавита...» Такой выделенный набор
объектов называется множеством. Понятие множества ле-
жит в основе современной математики и многих разделов
информатики.
Множество — это любой набор (коллекция, сово-
купность) любых объектов, выбранных по некоторо-
му правилу. Объекты, составляющие множество,
называются элементами множества.
Элементы множества могут быть какими угодно.
Можно говорить, например, о множестве коров в стаде; о
множестве всех натуральных чисел, меньших 100; о мно-
жестве рек, впадающих в Волгу, или о множестве песчи-
нок на берегах Крыма.
В этом учебнике мы будем в основном говорить о
множествах, составленных из бусин, фигурок, букв,
цифр, многоугольников на сетке и других элементов.
Множество Е составлено из бусин.
•□AM
В множестве Ж есть две буквы, одна цифра, две
бусины и две фигурки.
13
Множество W содержит только буквы.
(А Я У ЮО РЭЕ “
!
*
В множестве не может быть двух одинаковых элемен-
тов — каждый элемент множества отличается от
всех остальных элементов этого множества.
Вспомните, что в мешке, в отличие от множества,
может быть сколько угодно одинаковых элементов.
Множество может состоять толь-
ко из одного элемента. Например,
множество В5 состоит из одной фигур-
ки. Множество может быть вообще
пустым.
Множество называется пустым,
если в нём нет ни одного эле-
мента.
Множество Ю — пустое. В мно-
жестве Ю нет ни одного элемента, по-
этому можно сказать:
В множестве Ю нет букв.
В множестве Ю нет фигурок.
Множество Ю — это мМоЪМёствЪ
всех однозначных чисел, больших 10.
14	Ответь на вопросы:
а)	В каком множестве есть цифра 6? Напиши ответ по
образцу: «Цифра 6 есть в множестве...».
б)	Какое множество пусто? Напиши ответ по образцу:
«Множество ... — пустое».
в)	В каком множестве всего 3 элемента? Напиши ответ по
образцу: «В множестве... всего 3 элемента».
15	Построй (нарисуй в тетради):
а)	множество Р, в котором есть две красные бусины и нет
треугольных бусин;
б)	множество Д всех букв русского алфавита;
в)	множество А, в котором есть цифра и которое состоит из
одного элемента;
г)	пустое множество Т.
Не забудь написать рядом с каждым множеством его имя.
16
17
Построй (нарисуй в тетради):
а)	множество А, составленное из двух элементов, в котором
все элементы — квадратные бусины;
б)	множество Б из семи элементов, в котором каждый эле-
мент — латинская буква;
в)	множество В, в котором все
угольные бусины.
Реши задачу.
Каждую минуту Карлсон съеда-
ет половину плюшек, лежащих
на тарелке, а Малыш за то же
время — одну плюшку. Сколько
плюшек испекла фрекен Бок,
если тарелка опустела через
3 минуты после того, как к ней
подсели Малыш и Карлсон?
18 Даны множества А, Б, В, Г и Д. Напиши ответы на вопросы:
а) В каком множестве есть красная треугольная бусина?
б)	В каком множестве нет синих бусин?
в)	В каком множестве нет круглых бусин?
г)	В каком множестве нет круглых жёлтых бусин?
15
Одинаковые (равные) множества ДБ _ АБ>
Подмножество
Множества М и Н одинаковые — они состоят из
• одних и тех же элементов.
Каждый элемент множества М есть в множестве Н,
каждый элемент множества Н есть в множестве М.
Множества П и Т тоже
одинаковые.
Все пустые множества
одинаковые.
Про два одинаковых множества мы будем говорить,
что они равны между собой: множества М и Н равны,
М — Н. Если два множества не равны, будем говорить,
что они разные, и записывать это так: М П.
Возьмём несколько элементов из множества G и
составим из них новое множество F. Множество F — это
подмножество множества G.
(А Б В Г Д E)g (А Б B)f
Множества R, J, К, L и W тоже являются подмножест-
вами множества G.
(Е А Б В Г fl)R (Е Д Г B)J
Жк С CaE)w
16
Будем говорить, что А — подмножество В, если
каждый элемент множества А является элементом
множества В.
Обратите внимание, что множество К равно G. Если
два множества равны, то каждое из них является под-
множеством другого.
Пустое множество считается подмножеством любого
множества.
19
Построй (нарисуй в тетради)
два разных подмножества мно-
жества Щ.
Построй:
а)	множество Г всех гласных букв русского алфавита;
б)	множество Д, все буквы в котором гласные и при этом
Д * Г.
21
Найди два одинаковых множества. Запиши ответ, используя
знак равенства.
17
Построй два разных подмножества множества А, таких, чтобы
они не были равны подмножествам В, С, D, Е, F и G. Дай
имена построенным тобой подмножествам.
23
Реши задачу.
В феврале некоторого года было 5 воскресений. Каким днём
недели было в том же году 23 февраля?
24 Из данного множества многоугольников на сетке выдели под-
множество:
а)	всех треугольников;
б)	всех прямоугольников;
в)	всех квадратов;
г)	всех четырёхугольников.
Запиши эти подмножества в тетрадь: не перерисовывай мно-
гоугольники, а записывай их имена и обводи подмножества
имён опалами. Подпиши каждое подмножество.
Последовательность Ц J_____________________________
Когда мы пересчитываем предметы, то тем самым
выстраиваем эти предметы в цепочку, т. е. в последова-
тельность: первый, второй, третий и т. д. То же самое
делает учитель, когда строит учащихся класса по росту.
Так же действует ребёнок, когда нанизывает бусины на
нитку или кольца на стержень пирамидки. Во всех этих
случаях создаётся порядок следования объектов — какой-
то объект ставится первым, затем выбирается второй объ-
ект, и так объекты выстраиваются в последовательность,
пока они не закончатся. Выстраивать в последователь-
ность можно самые разные объекты — дни недели, уро-
ки, бусины, буквы в слове, числа и т. д.
Последовательность — одно из самых важных по-
нятий математики и информатики. Последовательное
выполнение команд лежит в основе действия компьютера.
Порядок букв в слове, цифр в записи числа, слов в
предложении играет важную роль не только в лингвисти-
ке и математике, но и в информатике. Ведь вся инфор-
мация, с которой работает компьютер и которая хранит-
ся в компьютере (и тексты, и музыка, и изображения, и
фильмы), оцифрована, т. е. превращена в последователь-
ности нулей и единиц!
Объекты, выстроенные в последовательность, назы-
ваются членами этой последовательности.
Мы будем строить последовательности в основном
из бусин, букв, цифр и фигурок. Например, все члены
последовательности Д — бусины:
первый	второй	третий	четвёртый	пятый	шестой
член член член член	член член
предпоследний
член
В последовательности Д шесть членов. Будем гово-
рить, что длина последовательности Д равна 6.
19
Обратите внимание, что в последовательности могут
встречаться одинаковые элементы.
Вот ещё последовательности:
С последовательностями букв и цифр вы встреча-
лись и раньше: почти все слова русского языка — это
последовательности букв (иногда в русских словах встре-
чаются и другие знаки, например дефис). Натуральные
числа — это последовательности цифр.
Мы буделЧ называть словом любую последователь-
ность букв.
Последовательность (слово) П состоит -|
из одной буквы М, длина последователь- И |\/|
ности П равна 1.
Последовательность может быть пус
той. Длина такой последовательности — 0.
Последовательность Ф пустая, в ней нет ф
ни одного члена, поэтому можно сказать;
В слове Ф нет букв.
В последовательности Ф нет бусин.
/tf) Как видите, последовательность и цепочка — это
'Т? одно и то же.
20
L Одинаковые последовательности , ПО ПО___________________'
ТДве последовательности одинаковые, если они со-
ставлены из одних и тех же элементов, идущих в
одном порядке.
Эти две последовательности одинаковые'.
Ц = У
Вот ещё две одинаковые последовательности:
фР-Е-Д-И-С К А - Рс * t* '
L = F
Это ещё одна пара одинаковых последовательностей:
а|---------------Б	А = Б
Все пустые последовательности — одинаковые.
Вот две разные последовательности:
н1~АО>О> <АП®Пк
Н * К
Вот ещё две разные последовательности (два разных слова):
у|_П-О-Ч-Т-Д> N|-n-O Ч К А> V n
21
Все разные
Эти три последовательности разные:
^А^-З	в^4	2
Будем говорить, что все три последовательности
разные, если среди них нет двух одинаковых:
А * В, А С, В * С.
Конечно, так же можно определять понятие все раз-
ные и для любого другого количества элементов, множеств
и последовательностей.
Будем говорить, что все элементы разные, если сре-
ди этих элементов нет двух одинаковых.
Так, в любом множестве все элементы разные.
Точно так же будем говорить, что все множества
разные, если среди данных множеств нет двух одинако-
вых. Например, здесь все четыре множества разные:
gg] gig gjp)
25
□
Построй:
а)	две одинаковые последовательности длины 2, все члены
которых — круглые бусины;
б)	три разных слова длины 1;
в)	две одинаковые последовательности длины 0;
г)	четыре одинаковые последовательности цифр, каждая
длины 2;
д)	две какие хочешь одинаковые последовательности цифр.
Не забудь обозначить начало и конец каждой последователь-
ности.
22
26 Построй четыре разных подмножест-
ва множества В. Дай имена нарисо-
ванным тобой подмножествам.
В
Выпиши в тетрадь какое хочешь слово, напечатанное на этой
странице учебника, длина которого больше 8. Назови это
слово V. Ответь на вопросы:
а) Какой длины слово V?
б)	Сколько всего гласных букв в слове V?
в)	Сколько всего согласных букв в слове V?
г)	Какая буква предпоследняя в слове V?
д)	Есть ли в слове V одинаковые буквы? Если есть, то пере-
числи их.
е)	Сколько раз слово V встречается на этой странице учеб-
ника?
28
Выпиши множество имён всех последовательностей, в ко-
торых:
а)	первый член — синяя квадратная бусина;
б)	последний член — бусина;
в)	первый и предпоследний члены — одинаковые;
г)	второй член является последним;
д)	длина последовательности — 3.
23
29	Построй последовательность длины 7, все члены которой —
квадратные белые (нерасхрашенные) бусины. Назови свою
последовательность W. Теперь раскрась бусины последова-
тельности W по инструкции:
1.	Первый член последовательности W раскрась
красным.
2.	Второй член последовательности W раскрась си-
ним.
3.	Третий член последовательности W раскрась та-
ким же цветом, каким раскрашена первая буси-
на.
4.	Четвертый член последовательности W раскрась
таким же цветом, каким раскрашена вторая буси-
на.
5.	Пятый член последовательности W раскрась та-
ким же цветом, каким раскрашена третья бусина.
6,	Предпоследний член последовательности W рас-
крась синим.
7.	Последний член последовательности W раскрась
красным.
30	Построй:
а)	множество Д из пяти элементов, которое является подмно-
жеством множества Ц и одновременно — подмножеством
множества X;
б)	два разных множества И и Т, каждое из трёх элементов,
таких, что множество И является подмножеством множест-
ва Ц, Т — подмножеством множества X;
в)	множество Е из восьми элементов, для которого множест-
ва Ц и X являются подмножествами.
31	Нарисуй в тетради гю клеткам:
а)	три разных квадрата:
б)	четыре разных треугольника;
в)	четыре разных четырёхугольника.
Подпиши каждый рисунок — напиши, какие именно нарисова-
ны многоугольники на сетке.
24
Реши задачу.
В расписании 5Б на понедельник завучу школы надо размес-
тить 6 уроков: математика, русский язык, информатика, лите-
ратура, труд, физкультура. При этом завуч должен учесть
следующие условия:
•	никакие письменные предметы (русский язык, математика,
информатика) не должны стоять подряд;
•	русский язык и литература должны
стоять подряд;
•	математика должна стоять в распи-
сании раньше физкультуры;
•	труд должен стоять позже инфор-
матики;
•	на втором и третьем уроках нет
свободных кабинетов математики и
информатики;
•	вторым уроком перед информатикой
должен стоять русский язык.
Составь расписание на понедельник.
33	Найди два одинаковых множества. Напиши ответ, используя
знак равенства.
25
34	Найди четыре одинаковые последовательности и напиши от-
вет по образцу: «Последовательности W, X, X Z — одинако-
вые». Найди четыре разные последовательности и напиши
ответ по образцу: «Последовательности W, X, X Z - разные».
На рисунке показаны запрещающие дорожные знаки. Эти
знаки запрещают движение транспорта, который на них
изображён, или запрещают разворот и поворот любого
транспорта в том направлении, куда указывает стрелка.
Найди три одинаковых знака. Напиши в тетради имена най-
денных тобой знаков. Опиши, что изображено на этих
знаках. Как ты думаешь, что обозначают найденные тобой
знаки? Напиши.
ПК I
Утверждения А, В и С — истинные:
Множество П составлено из квадратных бусин.
-» В множестве Ю нет квадратов.
[ Множества Ф и Э — одинаковые.
Утверждения D, Е и F — ложные:
О в множестве Ц есть русские буквы.
В множестве Ю нет треугольников.
-----;------------------—--------Д-------1
Каждое из данных множеств — пустое.
Определить, истинно ли утверждение, удаётся не
всегда. Причины этого могут быть самыми разными: или
недостаточно данных в задаче, или вы этого ещё не изу-
чали в школе, или это неизвестно никому на свете, или
что-нибудь ещё. Вот пример утверждений, для которых
вам, скорее всего, это будет трудно или невозможно
сделать:
• Каждое из данных множеств нарисовано на компьютере.
Площадь красного треугольника в множестве Ю равна 1 ед. кв.
27
Для удобства иногда мы будем помещать утвержде-
ния в таблицу. В крайнем левом столбце — записывать
имена утверждений, а в крайнем правом — писать бук-
вы И, Л, Н, которые будут обозначать: «это утверждение
истинно», «это утверждение ложно», «не знаю, истинно
это утверждение или ложно».
Значения «это утверждение истинно», «это
утверждение ложно», «не знаю, истинно это
утверждение или ложно» мы будем называть
истинностными значениями утверждений.
Имя	УТВЕРЖДЕНИЕ	Значе- ние
J	Все бусины в множестве П — треугольные.	Л
К	В множестве 3 нет фигурок.	И
L	Все буквы множества Ц есть в алфавите шведского языка.	н
36 Какие утверждения в таблице истинны и какие ложны? Выре-
жи заготовку таблицы со вкладыша тетради проектов, наклей
заготовку в тетрадь и заполни крайний правый столбец этой
таблицы.
•д+а+аОА»
Имя	УТВЕРЖДЕНИЕ	Значе- ние
Р	В множестве А есть круглые бусины.	
Q	В множестве А ешь квадратные бусины.	
R	В множестве А всего 9 бусин.	
S	Все бусины в множестве А — треугольные.	
Т	В множестве А нет чёрных бусин.	
28
37 Построй такое непустое подмножество множества Р, для ко-
торого истинно утверждение К. Многоугольники рисуй по
клеткам тетради. Дай имя этому подмножеству.
К
В этом множестве нет треугольников.
Теперь нарисуй в тетради по клеткам такое подмножество
множества Р, для которого утверждение К ложно. Дай имя и
этому подмножеству.
38 Какие из этих утверждений истинны и какие ложны для
слова Y? Ответ запиши по образцу: «Истинные утверждения:
А, Б, В, ... . Ложные утверждения: Г, Д, ...»
К
L
М
N
О
Р
Q
Это последовательность длины 10.
Второй и предпоследний члены этой
последовательности — одинаковые.
В этой последовательности есть три одинаковые буквы.
В этой последовательности есть три одинаковые
согласные буквы.
В этой последовательности нет буквы А.
В этой последовательности нет девятого члена.
Четвёртая и вторая буквы этого слова — одинаковые.
29
39 Какие из этих утверждений истинны и какие ложны? Ответ
запиши по образцу: «Истинные утверждения: А, Б, В, ... .
Ложные утверждения: Г, Д, ...»
Множества А и Б — разные.
V
и
W
X
Множество А — это подмножество множества В.
Множество А — это подмножество множества Б.
Множество А — это подмножество множества Г.
Множество Г — это подмножество множества Б.
Y
Каждый элемент множества Б есть в множестве В.
Z
Каждый элемент множества В есть в множестве Б.
40
Какие из этих утверждений истинны и какие ложны? Ответ
запиши по образцу: «Истинные утверждения: А, Б, В, ... .
Ложные утверждения: Г, Д, ...»
У1
У2
УЗ
У4
У5
Уб
Самое большое однозначное число — 9.
Самое маленькое двузначное число — 11.
Число 91 делится на 4 без остатка.
Самое маленькое трёхзначное число — 101.
В множестве всех двузначных чисел всего 90 элементов.
Самое большое однозначное число — чётное.
30
41
42
43
Построй два разных подмножества А
и В множества Н так, чтобы все сле-
дующие утверждения были истинны:
В множестве А нет круглых бусин.
В множестве В нет красных бусин.
В множестве А всего 1 элемент.
Все бусины в множестве В — треугольные.
Построй последовательность длины 5, все члены которой тре-
угольные бусины, причём все бусины в этой последователь-
ности разные.
Пользуясь картой Европы, определи, какие из этих утвержде-
ний истинны и какие ложны.
А
В
С
D
Е
F
G
Н
Мадрид — столица Испании.
Россия имеет общую границу с Финляндией.
Словения находится в Европе.
Олимпийские игры 2016 года пройдут в Мексике.
Самая большая страна Европы — Австрия.
Великобритания имеет сухопутную границу с Францией.
Голландия и Нидерланды — это два названия одной страны.
Словения и Словакия — это два названия одной страны.
44
Построй множество букв, для которого истинны все следу-
ющие утверждения:
В этом множестве все буквы русские.
В этом множестве нет гласных букв.
В этом множестве нет согласных букв.
31
45 Построй такое множество чисел, чтобы для него все утверж-
дения в таблице имели указанные истинностные значения.
Имя	УТВЕРЖДЕНИЕ	Значе- ние
А	В этом множестве нет чётных чисел.	Л
В	Это множество равно подмножеству множества двузначных чисел.	И
С	Каждое из чисел этого множества делится на 11.	И
D	В этом множестве есть числа, которые делятся на 3.	Л
Е	В этом множестве всего 5 элементов.	и
Найди две одинаковые фигурки.
Фигурки в этой задаче — фрагменты карты Европы. На каж-
дом фрагменте фиолетовым цветом выделена территория
одного европейского государства, красной точкой отмечена
столица этого государства. Для каждой фигурки узнай назва-
ние государства, территория которого выделена фиолетовым.
Можешь воспользоваться атласом.
32
Члены последовательности
Как вы уже знаете, члены последовательности вы-
строены по порядку: первый, второй, ..., последний. Од-
нако их можно отсчитывать не только от начала, но и
от конца последовательности: первый с конца, второй с
конца, третий с конца и т. д. Кроме того, расположение
любого члена последовательности можно определить отно-
сительно другого члена этой последовательности: напри-
мер, пятый после красной бусины.
Кроме того, о двух членах последовательности, не-
обязательно идущих подряд, мы будем говорить, что один
(тот, порядковый номер которого меньше) идёт раньше
другого. И наоборот, один член последовательности (тот,
порядковый номер которого больше) идёт позже другого.
На рисунке ниже указано расположение членов по-
следовательности .
Все эти бусины идут позже
Все эти бусины идут
раньше красной бусины
красной бусины
Все эти бусины идут раньше
Все эти бусины идут
позже жёлтой бусины
жёлтой бусины
2-14631 А. Л. Семенов
33
-ч Когда утверждения не имеют смысла д_|
Иногда случается, что определить истинностное
значение утверждения невозможно, потому что элемента,
о котором идёт речь, в последовательности нет. В таких
случаях будем говорить, что утверждение не имеет
смысла.
Вот, например, утверждения, которые не имеют
смысла:
В последовательности В зелёная треугольная бусина
идёт раньше круглой зелёной.
(Нет зелёной треугольной бусины.)
В последовательности В следующий элемент после
круглой зелёной бусины — треугольная бусина.
(Следующей бусины после круглой зелёной нет.)
Бывает также, что определить истинностное значе-
ние утверждения невозможно, потому что элемент, о ко-
тором идёт речь, в последовательности не один. В таких
случаях мы тоже будем говорить, что утверждение не
имеет смысла.
Вот ещё примеры утверждений, которые не имеют
смысла:
В последовательности В предыдущая бусина
перед треугольной синей — квадратная красная.
(Есть три треугольные синие бусины.)
В последовательности В круглая красная бусина
идёт позже квадратной зелёной.
В последовательности В круглая красная бусина
идёт позже квадратной жёлтой.
(Есть две круглые красные бусины.)
34
47 Среди следующих утверждений найди все те, которые не
имеют смысла для последовательности С. Ответ запиши по
образцу: «Утверждения А, Б, ... не имеют смысла для после-
довательности С». Определи истинностные значения осталь-
ных утверждений для последовательности С.
= ССОСИ ДООШО
П1
П2
ПЗ
П4
П5
П6
П7
Второй и третий с конца члены этой
последовательности — одинаковые.
В этой последовательности треугольная синяя бусина
идёт позже квадратной синей.
В этой последовательности следующая бусина после
треугольной — круглая зелёная.
В этой последовательности четвертая бусина после
квадратной красной — квадратная жёлтая.
В этой последовательности синяя треугольная бусина
идёт позже квадратной жёлтой бусины.
В этой последовательности зашифровано
шпионское сообщение.
Двенадцатая бусина этой последовательности — зелёная.
Напиши в тетради слово, для которого все следующие
утверждения истинны:
Длина этого слова равна 5.
В этом слове вторая и четвертая буквы - одинаковые.
В этом слове вторая буква после Р — буква Ц.
В этом слове третья буква после П — буква Е.
Четвёртая буква этого слова — гласная.
Чтобы не рисовать каждый раз начало и конец последова-
тельности букв, договоримся, что слова будем всегда писать
слева направо. Чёрточки между буквами при этом тоже ста-
вить не будем.
2*
35
Напиши натуральное число, такое, чтобы длина этой последо-
вательности цифр была меньше 10. Среди следующих
утверждений найди все те, которые не имеют смысла для
твоей последовательности. Определи истинность остальных
утверждений для твоей последовательности.
А
В
С
D
Е
F
Десятый член этой последовательности — цифра 9.
В этой последовательности цифра 8 идёт раньше цифры 7.
В этой последовательности вторая цифра после 3 —
цифра 7.
В этой последовательности предыдущая цифра
перед 4 — цифра 8.
В этой последовательности вторая цифра с конца —
цифра 1.
В этой последовательности цифра 5 идёт позже цифры 2.
Теперь построй такую последовательность цифр, для которой
все данные утверждения истинны.
50
Среди этих последовательностей выдели подмножество всех
тех, для которых утверждение Y истинно. Напиши в тетради
имена всех последовательностей этого подмножества.
В этой последовательности синяя квадратная бусина
идёт раньше красной.
36
51
Последовательность можно строить не только из бусин, букв
или фигурок. Членами последовательности могут быть и сами
последовательности, например слова. Чтобы легче было чи-
тать последовательность слов, будем записывать в ней слова
без обозначений начала и конца.
Последовательность слов П — это последовательность рус-
ских назианий месяцев. Среди следующих утверждений най-
ди все те, которые не имеют смысла
для последовательности П. Определи
истинностные значения остальных
утверждений для последовательности П.
Девятый член ~ последовательности
П — слово МАЙ.
В
Слово НОЯБРЬ в последовательнос-
ти П идёт раньше слова ЯНВАРЬ.
В последовательности П есть два
одинаковых слова.
В последовательности П второе сло-
во после слова НОЯБРЬ — слово
ЯНВАРЬ.
Е
В последовательности П третье сло-
во перед словом АВГУСТ — слово
ИЮНЬ.
В последовательности П следующее
слово после слова ФЕВРАЛЬ —
слово МАРТ.
G
В последовательности П четвёртое
с конца слово — слово ОКТЯБРЬ.
В последовательности П третье сло-
во и третье с конца слово — одина-
ковые.
П
СЕНТЯБРЬ
ОКТЯБРЬ
НОЯБРЬ
ДЕКАБРЬ
ЯНВАРЬ
ФЕВРАЛЬ
МАРТ
АПРЕЛЬ
МАЙ
ИЮНЬ
ИЮЛЬ
АВГУСТ
СЕНТЯБРЬ
ОКТЯБРЬ
НОЯБРЬ
ДЕКАБРЬ
ЯНВАРЬ
В последовательности П нет двух
одинаковых слов.
37
52
Последовательности можно строить и из чисел. Последова-
тельность чисел можно записывать сверху вниз (так же, как
записана последовательность слов П в задаче 51) или слева
направо, например так:
w|-2-32-466-292>
Построй последовательность чисел, для которой истинны все
следующие утверждения:
В этой последовательности нет четных чисел.
Длина этой последовательности — 5.
Все числа этой последовательности — разные.
Каждое число этой последовательности меньше 21.
В этой последовательности все числа — двузначные.
Каждое число этой последовательности больше 10.
53
Построй последовательность длины 7 названии дней недели
так, чтобы все следующие утверждения были истинны:
Первое слово этой последовательности — ВОСКРЕСЕНЬЕ.
В этой последовательности слово СУББОТА
идет раньше слова ПЯТНИЦА
Все слова в этой последовательности — разные.
Во втором и пятом словах этой последовательности
последняя буква — согласная.
Третье слово этой последовательности имеет длину 5.
Первое и четвертое слова этой последовательности
одинаковой длины.
В пятом слове этой последовательности есть
две одинаковые гласные буквы.
38
54
Построй:
а)	множество всех однозначных чисел;
б)	множество всех двузначных чисел, которые меньше 17;
в) множество всех двузначных чисел, которые больше 88;
г) множество всех трёхзначных чисел, которые меньше 98
Реши задачу.
В одном доме живут три друга:
Смирнов, Шаров и Николаев.
Один из них — любитель футбо-
ла, другой — любитель биологии,
третий — художник. У футболиста
нет ни братьев, ни сестёр, он
самый младший из друзей. Нико-
лаев старше биолога и учится в
одном классе с сестрой Шарова.
Определи фамилии любителя фут-
бола, любителя биологии и худож-
ника.
56
Найди две одинаковые фигурки. Ответ запиши по образцу:
«Картинка с номером... такая же, как картинка с номером...»
39
1 Утверждения о каждом элементе
Вы знаете значения слов «каждый» и «все» из по-
вседневной жизни: «Каждый будний день я встаю в
6.30», «Каждая девочка нашего класса в прошлой четвер-
ти была хорошисткой», «Все мальчики нашего класса —
отличники». В информатике «каждый» очень важное по-
нятие, так как оно связано с одним из главных инфор-
матических методов работы с объектами — методом
полного перебора. Чтобы определить, истинно ли утверж-
дение со словом «каждый», нужно провести полный пе-
ребор объектов, к которым относится слово «каждый».
Например, чтобы убедиться в истинности утвержде-
ния «Каждая книга Саши — это книга о животных»,
надо перебрать абсолютно все Сашины книги. Если хотя
бы одна из Сашиных книг не о животных, то утвержде-
ние будет ложным.
В обычной речи слова «все» и «каждый» употребля-
ются в случаях, когда элементов, к которым они отно-
сятся, несколько. Мы будем применять это понятие для
любого числа подходящих элементов, в том числе и для
одного. Например, для последовательности G истинно
утверждение: «В последовательности G следующая буси-
на после каждой круглой синей — квадратная»,
несмотря на то что в последовательности G есть только
одна круглая синяя бусина.
G DAOAOAOOOAO
Вот другие примеры утверждений с понятием «каж-
дый», истинных для последовательности G.
В последовательности G предыдущая бусина
перед каждой красной — треугольная синяя.
В последовательности G следующая бусина
после каждой квадратной жёлтой — треугольная.
В последовательности G каждая треугольная бусина — синяя.
40
Эти утверждения ложны:
В последовательности G следующая бусина
после каждой синей — красная.
(Следующая бусина после четвёртой — не красная, следу-
ющая бусина после восьмой — не красная.)
В последовательности G каждая квадратная бусина — жёлтая.
(Седьмая бусина — квадратная, но не жёлтая.)
Эти утверждения не имеют смысла:
В последовательности G третья бусина
после каждой жёлтой — синяя.
(Третьей бусины после девятого члена последовательности
нет.)
В последовательности G предыдущая бусина
перед каждой жёлтой — треугольная.
(Одна из жёлтых бусин — первая.)
57 Среди следующих утверждений найди все те, которые не
имеют смысла для слова W, и выпиши их имена. Определи
истинностные значения остальных утверждений для слова W.
w|-K У-К у Ш К А
41
42
43
44
45
46
47
В слове W предыдущая буква перед каждой буквой У — К.
В слове W предыдущая буква перед каждой буквой А — К.
В слове W следующая буква после каждой буквы А — К.
В слове W вторая буква перед каждой буквой Ш — К.
В слове W вторая буква после каждой буквы К —
согласная.
В слове W каждая гласная буква — У.
В слове W следующая буква после каждой буквы У — К.
41
Построй такую последователь-
ность Р длины 5, чтобы все
следующие утверждения были
для неё истинными:
В этой последовательности
следующая бусина после
каждой круглой — квадрат-
ная.
П2
ПЗ
В этой последовательности предыдущая бусина перед
треугольной — зелёная.
каждая бусина из множества Т встречается в этой
последовательности ровно один раз.
Теперь построй ещё одну последовательность, для которой
утверждения П1, П2 и ПЗ истинны, не равную последователь-
ности R
59 Построй последовательность А чисел, длина которой равна 6,
по инструкции.
1.	Запиши первый член последовательности: какое-
нибудь однозначное число, большее 5.
2.	Каждый следующий член последовательности на-
ходи по правилу:
•	если предыдущий член — нечётное число, то
искомое число равно произведению предыдущего
члена и числа 2;
•	если предыдущий член — чётное число, то ис-
комое число равно сумме предыдущего члена и
числа 9.
Теперь построй по этой же инструкции ещё одну последова-
тельность длины 6 так, чтобы она не была равна последова-
тельности А.
60 Нарисуй такую же фигуру по
клеткам в тетради. Теперь нари-
суй, как разрезать этот прямо-
угольник, чтобы получились два
одинаковых квадрата на сетке.
42
61 Среди следующих утверждений найди все те, которые не
имеют смысла для последовательности чисел М, и выпиши
их имена. Определи истинностные значения остальных
утверждений для последовательности чисел М.
м|—2-22-3-33-4-44-5-55-6-66
Т1
Т2
ТЗ
Т4
В последовательности М следующее число
после каждого однозначного — двузначное.
В последовательности М предыдущее число
перед каждым однозначным — двузначное.
В последовательности М следующее число после
каждого однозначного больше него в 11 раз.
В последовательности М второе число после каждого
непоследнего двузначного больше него на 11.
62 Напиши такое число, чтобы для него все утверждения в таб-
лице имели указанные истинностные значения.
Имя	УТВЕРЖДЕНИЕ	Значе- ние
А	В этом числе следующая цифра после каждой цифры 3 — цифра 2.	И
В	В этом числе предыдущая цифра перед каждой цифрой 3 — цифра 2.	Л
С	Длина этой последовательности больше 7.	Л
D	В этом числе есть три цифры 3.	И
Построй такую последовательность бусин длины 8, для кото-
рой все следующие утверждения истинны:
В этой последовательности следующая бусина после
каждой треугольной красной — треугольная синяя.
В этой последовательности следующая бусина после каждой
непоследней треуольной синей — треугольная красная.
43
Реши задачу.
Клоуны Бам, Бим и Бом вышли
на арену в красной, синей и зе-
лёной рубашках. Их туфли были
тех же трёх цветов. Туфли и ру-
башка Бима были одного цвета.
На Боме не было ничего красно-
го. Туфли Бама были зелёные, а
рубашка нет. Каких цветов были
туфли и рубашка у Бома и Бима?
65
Определи истинностные значения утверждений.
К
L
М
N
О
Р
Следующий день после каждого четверга — пятница
Предыдущий день перед каждым понедельником — суббота.
Третий день после каждого вторника — четверг.
Второй день после каждой субботы — понедельник.
Предыдущий день перед каждым вторником — понедельник.
Четвёртый день после каждой среды — воскресенье.
Следующий день после каждого воскресенья — суббота.
Построй два разных подмножества множества С, такие, чтобы
они не были равны ни одному из множеств Т, У, Ф, X, Ц и Ч.

67
Нарисуй такую же фигуру по клеткам в
тетради. Теперь нарисуй, как разрезать
этот прямоугольник, чтобы получились
два одинаковых треугольника на сетке.
44
68
Среди следующих утверждений найди все те, которые не
имеют смысла для последовательности М. Определи истин-
ностные значения остальных утверждений для последователь-
ности М.
т	В последовательности М сле- дующее слово после каждого слова ЧЕТВЕРГ — слово ПЯТ- НИЦА.
V	В последовательности М пре- дыдущее слово перед каждым словом ПОНЕДЕЛЬНИК — слово СУББОТА.
и	В последовательное! и М третье слово после каждого слова ВТОРНИК - ЧЕТВЕРГ.
W	В последовательности М второе слово после каждого слова СУББОТА - слово ПОНЕ- ДЕЛЬНИК.
Y	В последовательности М пре- дыдущее слое'О перед каждым словом ВТОРНИК — слово ПОНЕДЕЛЬНИК.
	
Z	В последовательности М сле- дующее слово после каждого слова СРЕДА — слово ЧЕТ- ВЕРГ.
Нарисуй такую же фигуру по
клеткам в тетради. Теперь нари-
суй, как разрезать многоугольник
Б, чтобы получились два одинако-
вых многоугольника на сетке.
м У
ВТОРНИК
I
СРЕДА
I
ЧЕТВЕРГ
I
ПЯТНИЦА
I
СУББОТА
I
ВОСКРЕСЕНЬЕ
I
ПОНЕДЕЛЬНИК
I
ВТОРНИК
I
СРЕДА
I
ЧЕТВЕРГ
I
ПЯТНИЦА
I
СУББОТА
I
ВОСКРЕСЕНЬЕ
I
ПОНЕДЕЛЬНИК
I
ВТОРНИК
I
СРЕДА
I
ЧЕТВЕРГ
45
Нарисуй, как разрезать много-
угольник S, чтобы получились
два одинаковых многоугольника
на сетке.
71
Реши задачу.
На каждом из трёх кабинетов
висела табличка с фамилиями
работников, занимающих дан-
ный кабинет.
Первого апреля шутники по-
меняли таблички на кабинетах
так, что ни одна из них не
соответствует действительнос-
ти. Однако можно зайти толь-
ко в один из кабинетов и
спросить фамилию одного из
работников, а затем развесить
все таблички правильно. В ка-
бинет с какой табличкой нуж-
но зайти? Поясни свой ответ.
Найди две одинаковые последовательности.
46
ь, Площадь многоугольника
Вернёмся к многоугольникам на сетке. Мы говори-
ли, что цвет для многоугольников на сетке не важен.
Какие свойства многоугольников на сетке для нас
важны? Важны только форма и величина, которую в ма-
тематике называют площадью. Форма многоугольника за-
висит от того, сколько у него сторон, каковы их длины
и какие у него углы. А площади выражаются числами:
если площадь какой-то фигуры больше площади другой,
это значит, что первая фигура занимает больше места,
чем вторая. Но чтобы можно было измерять площади и
выражать их числами, необходимо выбрать единицу пло-
щади. Мы будем измерять площади многоугольников на
сетке в единичных квадратах.
Единичный квадрат — это
самый маленький квадрат, который
можно нарисовать на сетке.
Чтобы узнать площадь много-
угольника на сетке, нужно сосчи-
тать, сколько в нём единичных
квадратов.
Площадь прямоугольника А
равна двум единичным квадратам,
площадь квадрата В равна 4 ед. кв.
Площади одинаковых много-
• угольников равны.
На рисунке все пять много-
угольников одинаковы, площадь
каждого многоугольника равна
6 ед. кв.
47
73 Найди площади многоугольников. Ответ запиши по образцу:
«Площадь многоугольника Ф равна 5 ед. кв.».
74 Нарисуй в тетради по клеткам:
а)	прямоугольник, площадь которого равна 6 ед. кв.;
б)	квадрат площадью 9 ед. кв.;
в)	квадрат площадью 16 ед. кв.
Подумай, как можно найти площадь
треугольника В. Нарисуй такой же
треугольник по клеткам в тетради и
найди его площадь.
76 Найди площадь многоугольника.
48
Площадь прямоугольного
треугольника на сетке |~
Мы пока умеем находить площади только тех мно-
гоугольников на сетке, которые составлены из целых
единичных квадратов. Теперь научимся вычислять пло-
щадь прямоугольного треугольника на сетке.
Треугольник, в котором есть прямой угол, называ-
ется прямоугольным. Треугольник на сетке, две
стороны которого идут вдоль линий сетки, является
прямоугольным.
На рисунке все треугольники прямоугольные.
Вычислим сначала площадь самого маленького пря-
моугольного треугольника, стороны которого соединяют
соседние узлы сетки (треугольника Т). Для этого возьмём
единичный квадрат. Диагональ де-
лит единичный квадрат на две час-
ти. Разрезав единичный квадрат по
диагонали, получим два треугольни-
ка: А и В.
Треугольники А и В равны,
значит и площади их равны. Вместе
они составляют квадрат, площадь
которого равна 1 ед. кв. Значит,
площадь каждого из треугольников
Л и В (и равного им треугольника
Т) равна половине площади единич-
ного квадрата, т. е. -у ед. кв.
Zu
Вычислим теперь площадь пря-
моугольного треугольника С:
49
Для этого достроим треуголь-
ник С до прямоугольника D. Пря-
моугольник D составлен из двух
одинаковых треугольников, каждый
из которых равен треугольнику С.
Площадь прямоугольника D равна
3 х 5 = 15 ед. кв., значит, площадь
треугольника С равна половине
от 15: 7-J- ед. кв.
Найди площади треугольников.
78	Найди площадь треугольника Ж.
Для этого нарисуй такой же тре-
угольник в тетради по клеткам и
нарисуй, как разрезать его на
два прямоугольных треугольника.
79	Нарисуй в тетради по клеткам:
а)	квадрат, площадь которого равна 25 ед. кв.;
б)	прямоугольник, не являющийся квадратом, площадь кото-
рого равна 9 ед. кв.
8 У Найди площадь четырёхугольника
Ч. Для этого нарисуй такой же
четырёхугольник в тетради по
клеткам и нарисуй, как разрезать
его на прямоугольник и прямо-
угольный треугольник.
50
81 Найди площадь многоугольника К.
Для этого нарисуй такой же мно-
гоугольник в тетради по клеткам и
нарисуй, как разрезать его на
прямоугольник и два прямоуголь-
ных треугольника.
82 Нарисуй в тетради по клеткам:
а) квадрат, площадь которого равна
б) прямоугольник, площадь которого
100 ед. кв.;
равна 120 ед. кв.
83
Построй какое хочешь множество бусин, содержащее больше
10 бусин. Теперь построй такое подмножество своего мно-
жества, для которого все следующие утверждения ложны:
В этом множестве есть треугольные бусины.
В этом множестве есть квадратные бусины.
В этом множестве есть круглые бусины.
На рисунке ниже показаны предписывающие дорожные знаки.
Эти знаки предписывают (приказывают), в каком направлении
и какому виду транспорта разрешено движение. Число на та-
ком знаке указывает максимальную разрешенную скорость
движения.
Найди три одинаковых знака. Опиши, что изображено на най-
денных знаках. Как ты думаешь, что обозначают найденные
тобой знаки?
51
85
Найди три одинаковые фигурки.
52
Пересечение
и объединение множеств
Рассмотрим два множества: А и В. Это разные мно-
жества, но некоторые элементы есть и в том, и в дру-
гом. Пометим такие общие элементы галочками:
Составим множество П из всех элементов, которые
есть и в множестве А, и в множестве В. Множество П —
это пересечение множеств А и В.
Пересечением множеств называется множество,
состоящее из всех их общих элементов.
Составим теперь множество О — множество всех
элементов, которые есть в множестве А или в множестве
В. Множество О — это объединение множеств А и В.

Объединением множеств называется множество всех
элементов, которые есть хотя бы в одном из этих
множеств.
Для мешков вместо объединения обычно использу-
Ч ется сумма мешков — результат ссыпания содер-
жимого мешков в один. Пересечение мешков
определяется так же, как пересечение множеств.
53
Объединение и пересечение множеств А и В можно
наглядно изобразить на такой схеме:
Решим задачу:
В нашем классе 19 учащихся. Все учащиеся посещают занятия хотя
бы в одном кружке: математическом или биологическом. При этом
биологический кружок посещают 12 учащихся класса, а 6 учеников
занимаются сразу в двух кружках. Сколько учеников в математи-
ческом кружке?
Для решения задачи нарисуем схему с множест-
вами. Назовём множество всех учеников, посещающих
математический кружок, МА и множество всех учеников,
посещающих биологический кружок, БИ. Дадим фигуркам
однобуквенные имена.
объединение множеств МА и БИ
Шесть человек посещают оба кружка, поэтому поме-
щаем в пересечении множеств МА и БИ 6 фигурок. Все-
го в множестве БИ должно быть 12 фигурок, поэтому
помещаем в оставшуюся от пересечения часть множества
54
БИ ещё 6 фигурок. В объединении множеств МА и БИ
всего 19 элементов — значит, в оставшуюся от пересече-
ния часть множества МА нужно поместить 19 - 12 = 7
фигурок. Итак, всего в множестве МА оказалось 6 -г 7 =
= 13 фигурок.
Можно строить пересечение и объединение не толь-
ко двух множеств, но и любого количества множеств.
86
Построй:
а)	множество	Т,	равное пересечению множеств	П и	Р;
б)	множество	У,	равное объединению множеств	П и	Р;
в)	множество	Ф,	равное пересечению множеств	С и	П;
г)	множество X, равное пересечению множеств С и Р;
д)	множество Ц, равное объединению множеств П, Р и С.
[•ДаД [а• а» о)
\С
Ад»а»А)
87
Построй:
а)	пересечение множества дву-
значных чётных чисел и мно-
жества Ю;
б)	пересечение множества дву-
значных чисел, меньших 26, и
множества Ю;
в)	пересечение множества Ю и
множества нечётных двузнач-
ных чисел;
г)	пересечение множества Ю и
множества однозначных чисел.
Построй множество, равное пере-
сечению множества всех букв
русского алфавита и множества
всех согласных русских букв.
ЛЮ
25 16 55
23 57 24
12 17 51
64 84 78
56 35 92
77 48 18
91 19
55
89 Реши задачу.
У Саши есть 13 футболок. Каждая
футболка или жёлтая, или с надписью.
Есть и жёлтые футболки с надписью.
Выясни, сколько у Саши всего футболок с
надписью, если известно, что у него
имеется всего 8 жёлтых футболок и 3 из
них с надписью?
Для решения задачи нарисуй схему с
множествами:
1)	перерисуй в тетрадь незаполненую схему, данную ниже (на
схеме множество Ж — это множество жёлтых футболок,
Н — это множество футболок с надписью);
2)	напиши в скобках рядом с именем множества, сколько
элементов в нём содержится (если это известно);
3)	размести футболки в множествах, учитывая количество
элементов в каждом множестве: для каждой футболки
нарисуй кружок с буквой;
4)	теперь сосчитай, сколько элементов в множестве Н, напи-
ши ответ.
пересечение Ж
Ж (?)
объединение Ж и Н (?)
и Н (?)
90 Построй:
а)	пересечение множества всех треугольных бусин и множест-
ва всех красных бусин;
б)	объединение множества всех жёлтых бусин и множества
всех квадратных бусин;
в)	пересечение множества всех круглых бусин и множества
всех треугольных бусин.
91
Построй два таких множества чисел, чтобы их объединение
содержало ровно 8 элементов, а пересечение — ровно 4
элемента.
Проверь своё решение —• построй объединение и пересече-
ние этих множеств.
56
92
Придумай и опиши словами множества (не обязательно
состоящие только из таких бусин, которые здесь нарисованы):
а) пересечение которых равно множеству А;
б) пересечение которых равно множеству Б;
в) объединение которых равно множеству В.
93 Реши задачу.
В Кострому приехала группа иностранных
туристов, каждый из которых говорит на
одном или двух языках: французском и
немецком. Известно, что 12 человек гово-
рят по-немецки, 14 — по-французски, а
4 туриста говорят и по-немецки, и по-
французски. Сколько всего туристов при-
ехало в составе группы?
Для решения задачи нарисуй схему с
множествами.
Построй два разных подмножества А и В множества У так,
чтобы все следующие утверждения были истинны:
В множестве А нет круглых бусин.
В множестве В нет круглых бусин.
В множестве А нет зелёных бусин.
В множестве В нет квадратных бусин.
95 Построй:
а)	множество, равное пересечению множества однозначных
чисел и множества чётных чисел;
б)	множество, равное пересечению множества двузначных чи-
сел и множества чисел, которые делятся на 10;
в)	множество, равное объединению множества однозначных
чисел и множества однозначных чётных чисел.
57
96
Реши задачу.
В классе 20 человек занимаются в спортив-
ных секциях: футбольной и баскетбольной.
Сколько человек занимается сразу в двух
секциях, если известно, что футбольную сек-
цию посещают 12 учеников нашего класса, а
баскетбольную — 16 учеников?
Для решения задачи нарисуй схему с множествами.
Нарисуй, как разрезать много-
угольник Е, чтобы:
а)	получились два разных много-
угольника на сетке одинако-
вой площади;
б)	получились два одинаковых
многоугольника на сетке.
98
Даны множества грузинских букв. Среди данных множеств
найди:
а)	множество, равное объединению множеств R и Q;
б)	множество, равное пересечению множеств R и Q.
Ответ запиши по образцу «Множество Ю равно пересечению
множеств R и О».
о со b
(ояа
ст
ЗЯБ
Б6
6С9В
дбЬ н
0^18
Б J
58
Сортировка:	i 12345
упорядочение и группировка |
В информатике сортировкой называется наведение
порядка в некотором наборе объектов. Представьте, как
долго мы будем искать нужную книгу в библиотеке, если
книги будут там просто свалены в кучу на полу. Поэто-
му в библиотеке книги упорядочены — каждая книга на-
ходится на строго определённом месте. Упорядочены и
расписания движения поездов, самолётов или автобусов.
Задачи составления расписаний и вообще упорядочивания
больших количеств объектов (в инс]юрматике говорят
«больших массивов») решаются сегодня при помощи
компьютера.
Если мы хотим, чтобы в некотором наборе объектов
можно было легко найти нужный объект, то мы должны
разложить их в определённом порядке — рассортиро-
вать. Это можно сделать по-разному.
Один из способов сортировки — расположить все
объекты в последовательность по опредёленному, удобно-
му для нас правилу. Такой процесс сортировки называет-
ся упорядочением.
Например, при составлении словарей обычно слова
располагают в словарном (лексикографическом) порядке.
Общее правило словарного порядка выглядит так:
1.	Сравним первые буквы двух слов:
если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово,
первая буква которого идёт раньше в алфавите.
2.	Если у двух слов первые буквы одинаковые, то сравним
вторые буквы:
если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово,
вторая буква которого идёт раньше в алфавите.
3.	Если и вторые буквы у двух слов одинаковые, то сравним
третьи буквы:
если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово,
третья буква которого идёт раньше в алфавите.
4.	Если и третьи буквы у двух слов одинаковые, будем
сравнивать четвёртые, пятые и т. д., пока не дойдём до
двух разных букв или пока одно из слов не закончится.
В таком случае раньше идёт то слово, которое короче.
59
Есть словари, в которых слова упорядочены по дру-
гим правилам, об этом мы поговорим потом.
Можно сортировать объекты и по-другому — груп-
пировать их по кучкам по определённому правилу.
Например, при сортировке пуговиц у бабушки в комоде,
достаточно разложить их по кучкам, скажем, так, чтобы
в каждой кучке все пуговицы были одинаковыми, или
так, чтобы в каждой кучке все пуговицы были одного
размера, или так, чтобы в каждой кучке все пуговицы
были одного тона.
Такая сортировка называется группировкой. В ре-
зультате группировки получается несколько кучек объек-
тов, а внутри каждой кучки объекты не упорядочены.
Иногда при сортировке бывает удобно использовать
и группировку, и упорядочение: сначала группировать
объекты, а затем внутри каждой группы их упорядочи-
вать. Так, например, часто сортируют книги в библиоте-
ке. Сначала группируют по теме: приключения, фантас-
тика, книги о животных и пр., а внутри каждой темы
располагают по алфавиту.
При решении задач вы встретитесь с разными спо-
собами сортировки.
99 Расположи эти слова в словарном порядке, т. е. построй из
них такую последовательность, чтобы слова в ней стояли в
словарном порядке.
ЗЯБЛИК	КАКАДУ	ГОРЛИЦА	ДЯТЕЛ
ЛАСТОЧКА	СОЛОВЕЙ	КОРШУН	ПЕТУХ
ВОРОБЕЙ ИВОЛГА БУРЕВЕСТНИК ФАЗАН
ТЕТЕРЕВ КИВИ МАЛИНОВКА ОРЁЛ
НЕЯСЫТЬ	УДОД	ЩЕГОЛ	КЛЁСТ
КАЗАРКА	ЖУРАВЛЬ	АИСТ	РЯБЧИК
Обрати внимание, что все слова в этой задаче — это назва-
ния птиц.
60
100 Расположи слова в словарном порядке. Каждое слово пиши
с новой строки и после каждого слова одну строку пропус-
кай. Потом напиши в пустых строках другие русские слова
так, чтобы словарный порядок слов в последовательности
сохранился.
ОЛЕНЬ ОБВАЛ ОКЕАН ОПЕРЕНИЕ
ОНИ ОГАРОК ОВАЛ ОДИН ОМЛЕТ
101 Расположи числа в порядке возрастания — построй из них
такую последовательность, чтобы в ней каждое число (кроме
первого) было больше предыдущего.
12345	1234	98	89	123456
1234567	987	123	9876	12
98765	2345	23	234 987654
102 Сгруппируй одинаковые фигуры — выпиши имена много-
угольников по группам так, чтобы в каждой группе все фи-
гуры были одинаковыми, а две любые фигуры из разных
групп были разными.
61
Слова в последовательности Ф упорядочены по некоторому
правилу. Опиши это правило.
104 Сгруппируй дорожные знаки — вы-
пиши имена знаков по группам так,
чтобы в одной группе были только
предупреждающие знаки, в другой
группе — только запрещающие, в
третьей — только предписывающие,
в четвёртой — все остальные, не
вошедшие ни в какую из первых
трёх групп.
Ф-j—
КЛАССИКИ
УСИКИ
ТРУСИКИ
БОТИКИ
ПЛЕЧИКИ
БУБЕНЧИКИ
БЛИНЧИКИ
ЩИПЧИКИ
ПРЫГАЛКИ
ПОСИДЕЛКИ
ОПИЛКИ
носилки
ЧУЛКИ
догонялки
ПОТЕМКИ
САНКИ
ВАЛЕНКИ
БОТИНКИ
гонки
АВТОГОНКИ
62
105 Напиши список учащихся своего класса:
а)	в словарном порядке фамилий (учащихся с одинаковыми
фамилиями можно располагать в этом списке в любом
порядке);
б)	в словарном порядке полных имён (учащихся с одинако-
выми именами можно располагать в этом списке в любом
порядке);
в)	упорядоченный по возрасту: начиная с самого старшего
учащегося и заканчивая самым младшим (учащихся, ро-
дившихся в один день, можно располагать в этом списке
в любом порядке).
106
107
Нарисуй такую же фигуру по
клеткам в тетради. Теперь нари-
суй, как разрезать прямоугольник
Л, чтобы получились четыре оди-
наковые фигуры, площадь каж-
дой из которых равна 3 ед. кв.
Среди данных множеств найди:
а)	множество, равное объединению двух других данных мно-
жеств;
б)	множество, равное пересечению двух других данных мно-
жеств.
Записывай полные ответы — чтобы было ясно, объединению
(пересечению) каких множеств из данных равно найденное
тобой множество.
М L КТ31
>G4
WX
ED
О N
лез
' \G5
YXW
~\G8
xuv G11
r>G9
AG12
63
108 Расположи слоза по следующему правилу (по этому правилу
упорядочивают слова в так называемых обратных словарях):
1.	Сравним последние буквы двух слов:
если эти буквы разные, то раньше будет идти то сло-
во, последняя буква которого идёт раньше в алфавите.
2.	Если у двух слов последние буквы одинаковые, то
сравним предпоследние буквы:
если эти буквы разные, то раньше будет идти то сло-
во, предпоследняя буква которого идёт раньше в алфа-
вите.
3.	Если и предпоследние буквы у двух слов одинаковые,
то сравним третьи с конца буквы:
если эти буквы разные, то раньше будет идти то сло-
во, третья с конца буква которого идёт раньше в алфа-
вите.
4.	Если и третьи с конца буквы у двух слов одинаковые,
будем сравнивать четвёртые, пятые с конца и т. д.,
пока не дойдём до двух разных букв или пока одно из
слов не закончится. В таком случае раньше идёт то
слово, которое короче.
УДАРЕНИЕ КВАСОК ОБЕЗЬЯНКА
ПЛЕЧО ДУТЫЙ ЧАСОК БАСОК
КУПЛЕТ	ВОЗДУХ
^09
Составь такое слово длины 6, чтобы для него все утвержде-
ния в таблице имели указанные истинностные значения.
Имя	УТВЕРЖДЕНИЕ	Значе- ние
А	В этом слове предыдущая буква перед каждой гласной — согласная.	И
В	В этом слове следующая буква после каждой согласной — согласная.	Л
С	В этом слове четвёртая буква после К — буква Н.	И
D	В этом слове мягкий знак идёт раньше буквы Н.	Л
Е	В этом слове есть две буквы А и одна буква 3.	И
64
110
Расположи эти названия городов Великобритании в
словарном порядке.
В случае затруднений можешь воспользоваться ан-
глийским алфавитом на линейке справа.
MANCHESTER	LONDON
CARDIFF LIVERPOOL EDINBURGH
BIRMINGHAM LEEDS SHEFFIELD
PLYMOUTH BRISTOL GLASGOW
Реши задачу.
Экономный мальчик Петя любит сдавать бутылки,
потому что на деньги, вырученные за три пустые пол-
литровые стеклянные бутылки, он может купить себе
пол-литра лимонада (в такой же стеклянной бутылке).
Дома у Пети нашлось семь таких бутылок. Какое са-
мое большое количество лимонада сможет выпить
Петя, имея только этот капитал?
112
Нарисуй в тетради по клеткам:
а)	прямоугольный треугольник, площадь которого
равна 7~ ед. кв.;
б)	прямоугольный треугольник, площадь которого рав-
на 8 " ед. кв.;
в)	прямоугольный треугольник, площадь которого
равна 8 ед. кв.
К трёхзначному числу слева приписали 3, и оно
увеличилось в 9 раз. Какое это число?
А
В
С
D
Е
F
G
Н
I
К
L
М
N
О
Р
Q
R
S
Т
и
V
W
X
Z
114 Подумай, как можно вычислить
площадь многоугольника Ц, не
разрезая его на прямоугольники
и прямоугольные треугольники.
Нарисуй такой же многоугольник
в тетради по клеткам и найди
его площадь.
3-14631 А. Л. Семенов
65
Словари $А-Я
Словарь — это справочная книга, которая содержит
слова, расположенные в определённом порядке.
Прежде чем говорить о словарях, надо уточнить,
что именно мы имеем в виду, когда говорим «слово сло-
варя». Как вы знаете, в информатике словом называют
любую последовательность букв. По наука о языке (она
называется языковедением, или лингвистикой) рассматри-
вает не любые последовательности букв, а только те
слова, которые есть в языке.
Кроме того, слово в словаре и слово в тексте — не
одно и то же. В тексте следуют друг за другом фермы
слов (или, как говорят, словоформы). Разные формы слов
могут относиться к одному словарному слову (например,
слон, слона, слонов относятся к одному словарному сло-
ву слон) или к разным словам словаря (например, формы
слона, слонёнка, слонихой относятся к разным словар-
ным словам: слон, слонёнок, слониха}.
Словари — не просто
сборники слов, а собрания
каких-то специальных све-
дений о словах. Каждому
слову в словаре отводится
его словарная статья, содер-
жащая сведения об этом
слове, в разных словарях
разные (например, его пере-
вод на другой язык или
толкование, т. е. объяснение
его смысла).
Вы наверняка пользо-
вались двуязычными слова-
рями. В таком словаре
основное содержание сло-
варной статьи — это набор
переводов слова на другой
язык. Словарные статьи в
двуязычном словаре упоря-
дочены в словарном поряд-
ке алфавита первого языка:
в немецко-русском словаре
яоХСтрс, on м.р. 1) гражданин; 2)
горожанин, житель города; со-
отечественник
лоХХак1^ нар. много раз, много-
кратно, часто
itoXkanXatrfova ерр.мн.ч. во мно-
го раз больше
itolvkoyia, ag ж.р. многословие;
длинная молитва
яоХирхрсод нар. многосторонне,
многообразно
тгоХояоиаХод, ov многосторон-
ний, многообразный
коХид, itoXXf), лоХб (род.п.
лвХХсо, ffc, oi>) i.npwi. 1) мно-
гий, много, многочисленный; 2)
большой, значительный; 3) силь-
ный, громкий (о плаче); богатый
(об урожае); поздний (о часе);
долгий, продолжительный (о
Фрагмент древнегреческо-
русского словаря
66
используется словарный порядок не-
мецкого, а в русско-немецком
русского.
С некоторыми одноязычными
словарями, например, толковыми и
орфографическими, вы тоже уже зна-
комы. Бывают и другие одноязыч-
ные словари. Один из самых инте-
ресных одноязычных словарей
Грамматический словарь русского
языка, составленный одним из круп-
нейших современных русских линг-
вистов А. А. Зализняком. В каждой
его словарной статье содержится
информация о грамматическом пове-
дении слова — как оно склоняется,
как спрягается, как у него изменя-
ется при склонении или спряжении
ударение и т. п. Вся эта информа-
ция записана сокращённо с по-
мощью специальных словарных
индексов. Слова в этом словаре сто-
ят в обратном словарном порядке.
пйщенок мо 3*а
воробьёнок мо 3°а
соловьёнок мо 3°а
инок мо За
барвинок м 3*а
подсвинок мо 3*а
поедйнок м 3*а
обжинок м 3*а
ожинок м 3*а
блинбк м 3*Ь
суглинок м 3*а
клннбк м 3*Ь
заклинок м 3*а
подклинок м 3*а
пинбк м 3*Ь
мерннбк мо 3*Ь
ботинок м 3*ai2)
полуботинок м 3*а(2)
починок м 3*а
шинбк м 3*Ь
челнбк м ЗЬ
звонбк м 3*Ь
1-2позвонбк м 3*Ь
поддбнок м 3*а
Фрагмент грамма-
тического словаря
русского языка
А. А. Зализняка
Создаются также многоязычные переводные словари.
Обычно это словари терминов по каким-то отдельным
областям знаний: словарь математических терминов, сло-
варь названий животных и
растений и пр.
Словари-энциклопедии
(и взрослые, и детские)
часто создаются в форме
словаря в картинках.
Такие словари бывают и
одноязычные, и многоязыч-
ные. Словарь в картинках
может помочь, когда нуж-
но найти, например, анг-
лийское название какого-то
предмета или животного,
но вы забыли (а может
быть, и не знали), как это
называется по-русски.
dove
die Taube
la colombe
holubice
bullfinch
der Gimpci
le bouvreuil
h£l
cardinal
der Kardinal
le cardinal
kardin&l
Фрагмент англо-немецко-
французско-чешского детско-
го словаря в картинках
3*
67
Существуют и слова-
ри, в которых собраны
все слова, встречающиеся
в произведениях одного
автора, например Словарь
языка Пушкина.
Есть словари-энцик
лопедии, например Музы-
кальный энциклопедичес-
кий словарь, Мифологи-
ческий словарь, Историчес-
кий словарь.
Почти все словари,
которыми мы сегодня
пользуемся, создавались
вручную. Вручную созда-
вался и Грамматический
словарь русского языка,
насчитывающий более
110 000 словарных статей.
Вот что пишет его автор
в предисловии к послед-
нему изданию: «Начало
работы над ним относится
к 1964 году. Нынешним
ИНФОРМАТИВНЫЙ, -ая, -ое; -иен,
-вна. Насыщенный информацией, хорошо
информирующий. // сущ. ннфор-
матнвность, -и, ж.
ИНФОРМАТИКА, -и, ж. Наука об общих
свойствах и структуре научной информа-
ции, закономерностях ее создания, пре-
образования, накопления, передачи и ис-
пользования.
ИНФОРМАТОР, -а, м. Тот, кто инфор-
мирует. // прил. информ^торский, -ая,
ИНФОРМАЦИЯ, -и, ж. 1. Сведения об
окружающем мире и протекающих в нем
процессах, воспринимаемые человеком
или специальным устройством (спец.). Те-
ория информации (раздел кибернетики,
изучающий способы измерения и переда-
чи информации). 2. Сообщения, осведом-
ляющие о положении дел, о состоянии че-
го-н. Научно-техническая и. Газетная и.
Средства массовой информации (печать,
радио, телевидение, кино). ♦ Генетиче-
ская информация (спец.) — совокуп-
ность наследственных признаков, переда-
ваемых от клетки к клетке, от организма
к организму. // прил. информацнбнный,
-ая, -ос. Информационное бюро. И, бюл-
летень.
Фрагмент толкового словаря
русского языка С. И. Ожегова
молодым читателям уже
трудно представить себе, что эта работа делалась вруч-
ную. «Это же немыслимый абсурд — делать такую рабо-
ту без компьютера», — доводилось мне слышать. В
действительности рабочим инструментом были четыре
хлебных лотка, раздобытых в соседней булочной; в каж-
дый входило по 25 тысяч карточек из тонкой бумаги».
И все эти тысячи карточек сортировались вручную, при
том, что хороший темп опытного сортировщика составлял
тысячу карточек в час. Сегодня такую сортировку, конеч-
но, поручают компьютерной программе.
Умение пользоваться словарём является важной
частью информационной культуры, о которой мы говори-
ли в самом начале этого учебника. Это относится не
только к умению быстро найти нужное слово в словаре,
но и к умению правильно выбрать словарь, а также к
умению правильно истолковать и использовать информа-
цию, взятую из словаря.
68
115 Вот русско-английский словарик названий рыб. Составь
англо-русский словарик этих же названий. Не забудь упоря-
дочить слова в словарном порядке.
Акула - shark
Камбала — plaice
Морской конёк - seahorse
Окунь - bass
Рыба-меч - swordfish
Сёмга - salmon
Сом - sheat
Треска - cod
Тунец - tuna
Угорь - eel
Форель - trout
Щука - pike
116 Когда составляли некоторый толковый словарь русского язы-
ка, завели два набора карточек. На одних карточках писали
глаголы, а на других — их значения. Случилось так, что кар-
точки перепутали. Восстанови соответствие глаголов и их
значений.
ЕХАТЬ
ДОГОНЯТЬ
УДАЛЯТЬСЯ
ИДТИ
ОТСТАВАТЬ
ппИ°г°	&

дп?,СТОя^ПеР^еи^чтся
взетСЯ' бъе1<гому и
уввЛИЧи~
Два объекта перемещаются
в’ одном и том же направ-
лении, расстояние между
ними увеличивается, и ----------
" из них находится по-
зади другого.
и ГПл ’ nePeCTVl]Aa KTa В
““F""
пеоеметаются
п„а объекта пере наПрав-
И тоМ между
в оЛН°м сТояние м ин
лени^’сокращается, и задИ
ГИних находится
другого.
69
117
Расположи слова в порядке обратного словаря (правило
приведено в задаче 108).
ТРЕНЬКАТЬ КРЯКАТЬ УБАЮКАТЬ
БАЮКАТЬ ПОМЕЛЬКАТЬ
БУЛЬКАТЬ
ДЗИНЬКАТЬ ХРЮКАТЬ МЕЛЬКАТЬ
118 Вот латинско-русский словарик названий птиц. Составь
русско-латинский словарик этих названий. Не забудь упоря-
дочить слова в словарном порядке.
Bombycilla garrulus - свиристель
Corvus f rugileus - грач
Emberiza aureola - дубровник
Erithacus rubecula - малиновка
Ficedula hypoleuca ~ мухоловка-пеструшка
Fringilla coelebs - зяблик
Loxia curvirostra - клёст-еловик
Nucifraga caryocatactes — кедровка
Phoenicurus phoenicurus - горихвостка
Phylloscopus inornatus - пеночка-зарничка
Riparia riparia - береговушка
Spinus spinus - чиж
119
120
Найди площадь многоугольника
Э. Для этого нарисуй такой же
многоугольник в тетради по
клеткам и нарисуй, как разре-
зать его на прямоугольник и
прямоугольные треугольники.
Построй такое множество из
восьми бусин, для которого
истинны оба утверждения:
В этом множестве каждая треугольная бусина — красная.
В этом множестве каждая квадратная бусина — синяя.
70
121
Реши задачу.
По соседству стоят два горо-
да: город Рыцарей и город
Лжецов, жители которых ездят
друг к другу в гости. При
этом рыцари всегда говорят
правду, а лжецы всегда лгут.
В одном из этих городов
встретились двое и между ни-
ми состоялся такой разговор:
Первый. Жители этого города — рыцари. А ты — лжец.
Второй. Нет, я рыцарь. Каждый мой сосед скажет, что я
рыцарь.
Кто был Первый и кто Второй?
этот разговор?
В каком городе состоялся
122
□
Выпиши названия всех месяцев года на любых двух ино-
странных языках.
Выписанные переводы и русские названия размести в таб-
лице: в каждом столбце должны быть названия месяцев на
одном языке, а в каждой строке - названия одного месяца
на разных языках. Для работы тебе понадобятся двуязычные
словари.
123 Построй последовательность Ю чисел по инструкции.
1.	Запиши первый член последовательности: одно-
значное число, меньшее 3.
2.	Каждый следующий член находи по правилу:
искомое число равно сумме предыдущего числа
и числа 5.
3.	Строй последовательность до тех пор, пока её
длина не станет равна 15.
Теперь построй по той же инструк-
ции ещё одну последовательность
так, чтобы она не была равна по-
следовательности Ю
124
Подумай, как можно вычислить пло-
щадь многоугольника И, не разре-
зая его на части. Нарисуй такой же
многоугольник в тетради по клеткам
и наиди его площадь.
71
125 Сгруппируй названия государств по их принадлежности к
Европе, Африке или Южной Америке, а затем в каждой
группе расположи слова в словарном порядке.
РОССИЯ
ЧЕХИЯ
ЧИЛИ
ФИНЛЯНДИЯ ВЕНЕСУЭЛА
БОЛИВИЯ КОЛУМБИЯ ЕГИПЕТ
ФРАНЦИЯ
АЛЖИР
БЕЛАРУСЬ „1ЛТ„Я
ЛИТВА
СОМАЛИ
ТАНЗАНИЯ
ПОЛЬША
ПАРАГВАЙ
МОЛДОВА
ГВИНЕЯ
ВАТИКАН эстония
БРАЗИЛИЯ АНГОЛД
ЛАТВИЯ АргЕНТИНА
126
Из множества Щ выдели подмножество всех латинских букв.
Запиши буквы этого подмножества в алфавитном порядке.
И Ж W
1 У г
Ц 7 Ь
Q Я 4
Ю Д 6
R U П
Ш Ы Ё
Y I 5
S Ъ
Л 3
Б F
D И
G Z
J Щ
L Э
2 8
N
127
Построй последовательность бусин длины 6, для которой все
следующие утверждения истинны:
В этой последовательности следую-
щая бусина после каждой квадрат-
ной — треугольная.
В этой последовательности всего
три квадратные бусины.
Каждая бусина этой последовательности содержится
в множестве У.
72
128	В таблице даны русские слова в морфологическом представ-
лении из лингвистического словаря (точки в слове делят
слово на части, знак 0 означает отсутствие той или иной
части слова).
Выпиши из таблицы:
а)	все слова, сгруппировав их по корням;
б)	все слова, сгруппировав их по приставкам;
в)	все слова с корнем раз/рез;
г)	все слова с приставкой раз/рас;
д)	одно слово, которое будет единственным в группе, если
рассортировать все слова таблицы сначала по корням, а
потом по приставкам.
Слово	Приставка	Корень
об.лом.ов.к.а	об	лом/лам
на.рез.к.а	на	раз/рез
раз.рез.к.а	раз/рас	раз/рез
лом.к.а	0	лом/лам
за.кат. к.а	за	кат
об.кат.к.а	об	кат
раз.рез.к.а	раз/рас	раз/рез
об.раз.0	об	раз/рез
об.рез.0	об	раз/рез
об.рез.к.и	об	раз/рез
об.лом.к.и	об	лом/лам
каток	0	кат
об.лом.0	об	лом/лам
раз.лом.0	раз/рас	лом/лам
за. кат. 0	за	кат
на. кат. 0	на	кат
об.лам.ыв.а.т.ь	об	лом/лам
раз.рсз.а.т.ь	раз/рас	раз/рез
рас.кат.а.т.ь	раз/рас	кат
73
129	Реши задачу.
В некоторой семье каждый ребёнок любит хотя бы один из
трёх овощей: капусту, морковь или горох. Сколько детей в
этой семье, если из них капусту любят семеро, морковь —
шестеро, горох — пятеро, капусту и морковь — четверо, ка-
пусту и горох — трое, морковь и горох — двое, и только
один ребёнок любит и капусту, и горох, и морковь?
Для решения задачи нарисуй схему с множествами.
130
Придумай, как можно сгруппировать эти последовательности
по четырём группам. Выпиши имена последовательностей по
этим группам. Для каждой группы опиши признак, по кото-
рому она собрана.
74
131 Построй последовательность чисел по инструкции.
1. Запиши первый член последовательности: однознач-
ное число, большее 1.
2.Запиши второй член последовательности: однознач-
ное число, большее 2, не равное первому члену
последовательности.
3. Каждый следующий член находи по правилу: иско-
мое число равно сумме предыдущего члена и вто-
рого члена перед искомым.
4. Строй последовательность до тех пор, пока длина
последовательности не станет больше 10.
2
Вот таблица с приближённым описанием свойств планет
Солнечной системы. Выпиши планеты:
а) в порядке возрастания диаметра;
б) в порядке убывания расстояния от Солнца;
в) в порядке убывания продолжительности года (периода
обращения планеты вокруг Солнца).
Планета	Диаметр	Среднее рассто- яние от Солнца	Продолжитель- ность года
Меркурий	4800 км	58 млн км	88 суток
Венера	12000 км	108 млн км	225 суток
Земля	12800 км	150 млн км	365 суток
Марс	6700 км	228 млн км	687 суток
Юпитер	140000 км	778 млн км	12 лет
Сатурн	120000 км	1431 млн км	29 лет
Уран	51000 км	3 млрд км	84 года
Нептун	49500 км	4,5 млрд км	165 лет
Плутон	2300 км	6 млрд км	248 лет
133
Нарисуи в тетради по клеткам прямоугольный треугольник,
площадь которого равна 4у ед. кв.
75
Рассмотри эмблемы различных ведомств России. Найди две
одинаковые эмблемы.
76
135
137
Построй все подмножества множест-
ва W.
Определи истинностные значения
утверждений.
А
В
Самое большое двузначное число
делится без остатка на 3.
Самое маленькое трёхзначное
число делится без остатка на 25.
С
В множестве всех двузначных чётных чисел
всего 45 элементов.
D
В множестве всех нечётных однозначных чисел
содержится нечетное число элементов.
Выпиши в порядке убывания последовательность всех дву-
значных чисел, которые делятся на 17.
138 Расположи слова в словарном порядке.
БУДИЛЬНИК БУЖЕНИНА БУБЛИЧЕК
БУБЕНЕЦ	БУГОР	БУДНИ	БУБЕН
БУЗИНА БУЙВОЛ	БУДОЧНИК
БУБЛИК	БУДИТЬ	БУБНИТЬ	БУДТО
БУДОЧКА	БУБЕНЧИК	БУДУЩИЙ
139 Реши задачу.
В нашем классе 30 учеников. В этой четверти 20 человек
из них побывали на экскурсии в краеведческом музее, 17
человек — в художественном музее, при этом 9 учащихся
приняли участие в обеих этих экскурсиях Сколько учеников
нашего класса не были ни в краеведческом, ни в художест-
венном музеях?
Для решения задачи нарисуи схему с множествами.
77
140 Последовательность нераскрашенных белых бусин раскраши-
вали по инструкции. После выполнения перЕ;ого пункта
инструкции получилась последовательность S1, после второ-
го — последовательность S2, после третьего — последова-
тельность S3, после четвертого — последовательность S4.
Напиши агу инструкцию.
141
Вот русско-английский словарик названий фруктов. Составь
англо-русский словарик этих названии. Не забудь упорядо-
чить слова в словарном порядке.
Айва - quince
Ананас - pineapple
Банан - banana
Гранат - pomegranate
Грейпфрут - grape-fruit
Груша — pear
Инжир - fig
Киви - kiwi fruit
Лимон - lemon
Мандарин — mandarin
Хурма - persimmon
Яблоко - apple
142 Даны числа, рассортированные на четыре группы по некото-
рому правилу. Опиши это правило. Запиши ответ по
образцу: «В группе А находятся числа, у которых... В группе
В находятся числа, у которых...»
СЛ 37	19 А
64 уз 82
92
38
74	65
56
78
143 Построй последовательность чисел по инструкции.
1.	Запиши первый член последовательности: одно-
значное число, большее 2.
2.	Запиши второй член последовательности: одно-
значное число, большее 2, не равное первому
члену последовательности.
3.	Каждый следующий член находи по правилу:
•	если предыдущий член — число, которое делит-
ся на 3, то искомое число равно сумме второго
числа перед искомым и 5;
•	если предыдущий член — число, которое не де-
лится на 3, то искомое число равно произведению
предыдущего числа и 6.
4.	Строй последовательность до тех пор, пока длина
последовательности не станет больше 8.
144
145
146
Построй такую последователь-
ность длины 5, чтобы все следу-
ющие утверждения были истин-
ными:
В этой последовательности сле-
дующая бусина после каждой
квадратной — красная.
В этой последовательности следующая бусина после
каждой красной — круглая.
Каждая бусина множества Р встречается в этой
последовательности ровно один раз.
Подумай, как можно вычислить
площадь многоугольника П, не
разрезая его на части Нарисуй
такой же многоугольник в тетра-
ди по клеткам и найди его пло-
щадь.
Нарисуй в тетради по клеткам
четыре разных треугольника на
сетке так, чтобы площадь каждо-
го из них была равна 12 ед. кв.
79
147 Определи истинностные значения утверждении.
"-ОАО ОАО □ АО А
В последовательности R следующая бусина после каждой
круглой — треугольная.
В последовательности R следующая бусина после каждой
круглой красной — треугольная.
С
В последовательности R жёлтая круглая бусина
идёт раньше синей квадратной.
D
В последовательности R предыдущая бусина
перед каждой круглой — треугольная.
Е
F
В последовательности R каждая квадратная бусина —
красная.
В последовательности R вторая бусина после каждой
квадратной — круглая.
В последовательности R десятая с конца бусина — красная.
Н
В последовательности R предыдущая бусина
перед жёлтой треугольной — красная.
148 Сгруппируй слова по частям речи и внутри каждой группы
расположи слова в словарном порядке. Рядом с каждой
группой нацииjh, к какой части речи относятся слова этсй
группы.
ВЫЕЗДНОЙ КВАДРАТНОЙ ОТКАЗАЛИ
ОБЪЕХАТЬ ВИЗГ УКАЗАЛ КРУГ
ЧУДНЫЙ ВЫЕЗЖАТЬ ПРОБЕЖКА
КВАДРАТ ТРЕУГОЛЬНОМУ ОТКАЗ
ПРОБЕЖАЛ ОБЪЕЗД ЧУДНОЙ ВИЗЖИТ
УКАЗКА КРУГЛАЯ ВЫЕЗДКА
Реши задачу.
Винни-Пух и Пятачок начали одно-
временное движение в противопо-
ложных направлениях вокруг
лесного озера. Пятачок бежит со
скоростью, в 3 раза большей, чем
скорость ходьбы Винни-Пуха.
Сколько раз друзья встретятся на
своём пути, пока Винни-Пух обой-
дёт вокруг этого озера ровно
2 раза?
150
151
Найди площадь многоугольника И.
Среди данных множеств найди:
а) множество, равное пересече-
нию множества всех треуголь-
ных бусин и множества всех
красных бусин;
б) множество, равное объединению
множества всех синих
бусин и множества всех круглых бусин;
в) множество, равное пересечению множества всех бусин и
множества всех синих бусин;
г) множество, равное объединению множества всех жёлтых
бусин и пустого множества.

81
152
Построй четыре разные последовательности бусин, для
каждой из которых следующие утверждения истинны:
Длина этой последовательности — 2
Каждая бусина этой последовательности
есть в множестве У.
gg
154
Найди площадь данного много-
угольника Д.
Реши задачу.
Каждый из трёх мальчиков на-
писал 100 слов, после этого
мальчики сравнили свои запи-
си. Если слово встретилось
хотя бы у двоих, то его вычёр-
кивали из всех списков и запи-
сывали в новый список
«Список совпадающих слов». В
результате у первого мальчика
в списке осталось 58 слов, у
второго — 66, у третьего — 62,
В «Списке совпадающих слов»
оказалось 54 слова. Сколько
было слов, которые встретились
сразу в трёх списках?
155

Несколько косточек из одного набора домино уложили так,
как показано на рисунке. Определи, где проходят границы
между косточками. Для этого вырежи такой же рисунок со
вкладыша тетради проектов, наклей его в тетрадь и проведи
на нём эти границы жирными линиями.
Нужно иметь в виду, что в одном наборе домино все кос-
точки разные.
82
Построй последовательность бусин
длины 10, для которой все следу-
ющие утверждения истинны:
В этой последовательности
следующая бусина после каждой
квадратной — красная.
В этой последовательности вторая
бусина перед каждой жёлтой —
квадратная.
В этой последовательности
следующая бусина после каждой
жёлтой — зелёная.
Каждая бусина из множества Р встречается в этой
последовательности только один раз.
157 Найди два таких множества, которые станут одинаковыми,
если правильно раскрасить белые фигурки.
Напиши в тетради имена этих множеств и инструкцию, как
нужно раскрасить белые фигурки в выбранных тобой мно-
жествах, чтобы эти множества стали одинаковыми.
83
На проектных уроках вы занимались сортировкой.
Теперь вы легко можете сгруппировать, скажем,
множество всех бусин сначала по цветам, а затем в каж-
дой полученной группе — по форме. Такой процесс удоб-
но изобразить в виде дерева:
Дерево А — дерево сортировки множества всех бу-
син. Вначале было множество всех бусин, состоящее из
18 элементов. В результате первой группировки получи-
лось 6 множеств, в каждом бусины одного цвета. В ре-
зультате второй группировки получились множества,
состоящие из отдельных бусин. Как видите, дерево А
позволило нам изобразить сразу весь процесс сортировки,
и при этом видны результаты каждого её этапа.
Дерево — ещё одно из важных понятий информати-
ки и математики. Дерево изображает такие процессы, где
на каком-то этапе появляется выбор или объект разделя-
ется на несколько частей. Например, в процессе сорти-
ровки множество всех бусин распадается на множества
бусин одного цвета, в процессе игры участник может
выбрать один из нескольких ходов, а по дороге из шко-
лы вы иногда можете выбрать, куда повернуть — напра-
во или налево.
84
Как и обычное дерево, которое растёт на земле,
математическое дерево имеет корень и листья. Только
математическое дерево всегда «растёт» (т. е. строится)
сверху вниз. Корень дерева мы будем обозначать так же,
как начало последовательности. Элементы в дереве назы-
ваются вершинами.
Как вы знаете, член последовательности может
иметь не больше одного следующего и не больше одного
предыдущего элемента — члены последовательности идут
один за другим. Дерево устроено по-другому. В дереве за
одной вершиной может следовать сразу несколько
вершин. Но каждая вершина дерева имеет не больше
одной предыдущей вершины.
Вершины дерева, у которых нет предыдущих вер-
шин, называются корневыми.
Вершины дерева, после которых нет следующих
э вершин, называются листьями.
Вот дерево слов Д:
корень дерева—
ПЕТЯ
АСЯ
корневые
вершины
МОЛЧИТ КРИЧИТ ИГРАЕТ ПОЁТ
листья
ГРОМКО ТИХО ГРОМКО ТИХО
Следующие утверждения истинны для дерева Д:
В дереве ровно две корневые вершины — слова ПЕТЯ и ВАСЯ.
Следующие слова после слова ПЕТЯ — листья МОЛЧИТ и КРИЧИТ.
Предыдущее слово перед словом ИГРАЕТ — слово ВАСЯ.
85
158 Определи истинностные значения утверждений для дерева У.
Запиши ответ по образцу: «Не имеют смысла утверждения...
Истинные утверждения... Ложные утверждения...»
Следующие вершины после жирафа — лось и курица.
Предыдущая вершина перед волком — лев.
У лошади ровно три следующие вершины.
N в дереве У всего шестнадцать вершин.
О В дереве У всего восемь листьев.
Р Следующие вершины после кошки — заяц и индюк.
Белка — следующая вершина после дельфина.
R Следующая вершина после коровы — индюк.
S Ёж — это лист дерева У.
86
159 Построй какое хочешь дерево бусин. Ответь на вопросы:
а) Сколько корневых вершин в твоем дереве?
б) Сколько листьев в твоём дереве?
в) Сколько всего вершин в твоём дереве?
160
Построй в тетради дерево такой сортировки бусин, при ко-
торой все бусины группируются сначала по форме, а затем
по цвету Ответь на вопросы:
а) Сколько в твоём дереве получилось корневых вершин?
б) Сколько в твоём дереве получилось листьев?
161
162
Найди площадь многоугольника Е.
Реши задачу.
Шестеро рабочих сложат кирпич-
ную стену за 18 дней. За сколько
дней сложат такую же стену 12 ра-
бочих?
163
Определи истинностные значения утверждений для дерева R.
Все корневые вершины —
круглые.
Все листья — красные тре-
угольные бусины.
Все листья — красные бусины.
Все бусины, следующие после
каждой жёлтой круглой, —
треугольные.
Все бусины, следующие после
каждой синей, — квадратные
красные.
Предыдущая бусина перед
каждой квадратной красной —
треугольная.
87
164 Построй такую последовательность чисел, чтобы все следу-
ющие утверждения были истинными:
В этой последовательности каждое число, кроме первого,
больше предыдущего числа на 14
В этой последовательности первое число — 13.
Каждое число этой последовательности — двузначное.
165 Вот дерево Ю сортировки некоторого множества чисел.
Сколько этапов было в этой сортировке? Для каждого этапа
запиши правило, по которому сортировались числа.
Ю
28 34 29S 251	1	12 31 23 17 153 245 121 148 14 36 1	28 11 14 31 25 <5j <34 36 23 12 17J 'jQfii 12V28 23V36 : 1 Л A14 17JI25 у\34 Ф V/7 р / / fri] (l2) f23] О О (34) V V V v v V	) 11 ] 25 248 5 124 251 148 299 248? 153 246 121 124J jlVl53 12? 251 299) J <148 124 1248 246J 124 121 ,246) 251 ] 148? Il53 v248J 299j ww
88
166 Закончи каждый пункт инструкции так, чтобы в результате её
выполнения все бусины последовательности А оказались
раскрашенными.
аЮОЛОПЛО-ОА>
1.	Раскрась следующую бусину после каждой...
2.	Раскрась вторую бусину перед каждой...
3.	Раскрась...
167
Построй такое дерево русских букв, для которого все следу-
ющие утверждения истинны:
В этом дереве всего две корневые вершины — буквы А и Б.
В этом дереве после каждой буквы А, которая
не является листом дерева, следуют ровно две буквы Б.
В этом дереве после каждой буквы Б, которая
не является листом дерева, следуют ровно три буквы А.
В этом дереве всего 12 вершин.
168 Даны три множества греческих букв. Построй:
а) пересечение множеств А и Б;
б)	объединение множеств Б и В;
в)	пересечение множеств Б и В;
г)	пересечение множеств А, Б и В.
89
Даны буквы индийского письма деванагари. Найди две оди-
наковые буквы.
cJsT44”I4VI4^f
7ё ё Т® М F 31 ?
г/о
Реши лингвистическую задачу.
Даны болгарские слова и словосочетания и их переводы на
русский язык в перепутанном порядке:
ЛЕДЕНА ПЛАНИНА
ИГЛОЛИСТНО ДЪРВО
ГОРОК А ЯГОДА
ГОРСКИ ПОЯС
ИГЛОЛИСТНА ГОРА
ГРАДИНА
ПЛАНИНСКА ВЕРИГА
ГРАДИНСКА ЯГОДА
ГОРОЛОМ
САД
ГОРНАЯ ЦЕПЬ
ХВОЙНЫЙ ЛЕС
БУРЕЛОМ
КЛУБНИКА
ЗЕМЛЯНИКА
ЛЕСОПОЛОСА
АЙСБЕРГ
ХВОЙНОЕ ДЕРЕВО
Установи русские переводы всех болгарских слов и словосо-
четаний.
Болгарский и русский языки — родственные, и многие
болгарские слова похожи на русские. Например, болгарское
слово «дърво» похоже на русское слово «дерево» и действи-
тельно переводится как «дерево». Но похожие русские и
болгарские слова не обязательно обозначают одно и то же.
Поэтому для решения задачи нужно провести исследование
всех слов и рассуждение.
SO
Путь дерева
v
МИСТЕР

и
МИССИС
БОКЛИ
ночью
ПРОСНУЛИСЬ
ВДРУГ
ОТКРЫЛИ
СТАРЫЙ
СУНДУК
ДОСТАЛИ
из
СУНДУКА
БОЛЬШИЕ
МОРСКИЕ
БИНОКЛИ
I
И
ОРЕХИ
ЧЕТЫРЕ
МЕШКА
4
Посмотрим, какие последовательности слов можно
выделить в дереве V. Для этого возьмём корневое слово,
затем какое-нибудь одно следующее за ним слово, даль-
ше одно из следующих слов и т. д., пока не дойдём до
листа. Получатся три последовательности слов:
1.	МИСТЕР И МИССИС БОКЛИ НОЧЬЮ ПРОСНУЛИСЬ ВДРУГ
2.	МИСТЕР И МИССИС БОКЛИ ОТКРЫЛИ СТАРЫЙ СУНДУК
3.	МИСТЕР И МИССИС БОКЛИ ДОСТАЛИ ИЗ СУНДУКА
БОЛЬШИЕ МОРСКИЕ БИНОКЛИ И ОРЕХИ ЧЕТЫРЕ МЕШКА
91
Последовательность вершин дерева, следующих друг
за другом, первый член которой — корневая верши-
на, а последний член — лист, мы будем называть
путём дерева.
Каждому листу дерева соответствует один путь —
это последовательность, последний член которой — этот
лист. Поэтому для дерева можно всегда построить столь-
ко путей, сколько в этом дереве листьев. При этом
некоторые пути могут оказаться одинаковыми последова-
тельностями. Таким образом, набор всех путей дерева,
вообще говоря, множеством не является.
В дереве V всего три листа, поэтому для этого дере-
ва можно построить всего три пути — все эти три пути
мы выписали на предыдущей странице (эти три последо-
вательности слов взяты из стихотворения Вадима Левина
«Ночная баллада»).
Родители и дети Гдина1 вас---—
Дерево К — фамиль-
ное дерево семьи Ивано-
вых. В этом дереве каждая
вершина — это член семьи
Ивановых. Самый старший
из представленных в дере-
ве Ивановых — Василий.
У Василия двое детей —
Александр и Анна. У Ан-
ны один ребёнок — дочь
Мария, у Алексадра двое
детей — Иван и Нина.
Итак, в дереве К
каждая некорневая вершина
ВАСИЛИЙ
АННА АЛЕКСАНДР
МАРИЯ ИВАН НИНА
— это ребёнок того, кто
стоит в предыдущей вершине, а каждая вершина, не
К
являющаяся листом, — это родитель тех, кто стоит в
следующих вершинах.
Подобно этому будем называть в любом дереве сле-
дующую вершину ребёнком, а предыдущую — родите-
лем. Конечно, корневые вершины не могут быть детьми,
а листья не могут быть родителями.
92
Уровень вершины
Положение вершины
дерева относительно корня
можно указать, используя
понятие уровня вершины
дерева. Будем говорить,
что корневые вершины де-
рева — это вершины пер-
вого уровня. Дети кор-
невых вершин — это вер-
шины второго уровня,
дети вершин второго уров-
ня — это вершины треть-
его уровня и так далее.
Это же можно описать так:
Для любого натурального числа к дети вершин
уровня к — это вершины уровня к+1.
В дереве S вершины первого уровня — буквы А и
Б, на четвёртом уровне находятся буквы О, Т, О, Б, У, Я,
А, А. Вершина пятого уровня в дереве S только одна —
буква 3.
Итак, в дереве S всего б уровней. Путь, который со-
ответствует единственному листу пятого уровня, — это
слово АРБУЗ. Длина слова АРБУЗ равна 5.
Число уровней дерева мы будем называть высотой
дерева. Высота дерева равна самой большой длине
пути этого дерева.
Высота дерева S равна 5.
171 Построй все пути дерева S, изображённого выше на этой
странице.
Проверь своё решение: сосчитай, сколько листьев в дереве
S и сколько слов у тебя получилось. Должны получиться
одинаковые результаты.
172 Построй какое хочешь дерево бусин высоты 6, в котором
всего 6 путей и все пути имеют разную длину.
93
173
Построй все такие пути дере-
ва Т, длина которых равна 3.
Проверь своё решение: сосчи-
тай листья третьего уровня
дерева Т и свои последова-
тельности. Должны получиться
одинаковые результаты.
Ответь на вопросы:
а)	Сколько всего в дереве Т
путей?
б)	Сколько всего в дереве Т
листьев?
в)	Сколько всего в дереве Т
путей длины 2?
г)	Сколько в дереве Т вершин
второго уровня?
д)	Какой высоты дерево Т?
е)	Сколько детей у красной
квадратной бусины третьего
уровня дерева Т?
174
175
Построй такое дерево бусин высоты 5, в котором все буси-
ны круглые, корневых бусин две — чёрная и белая, и у
каждого родителя ровно два
ребёнка — чёрная и белая
бусины. Сколько в твоем
дереве листьев?
Найди площадь данного мно-
гоугольника А.
176 Построй дерево бусин высоты 3 по инструкции:
1.	Нарисуй корень дерева и одну какую хочешь
корневую бусину.
2.	Нарисуй три разные бусины второго уровня так,
чтобы все они были того же цвета, что и их
родитель.
3.	После каждой бусины второго уровня нарисуй
по две бусины так, чтобы все бусины третьего
уровня были разного цвета и чтобы каждая бу-
сина третьего уровня была той же формы, что
и её родитель.
94
хи Дана таблица с утверждениями. Для каждого данного дере-
ва в таблице есть свой столбец для записи истинностных
значений утверждений для этого дерева. Этот столбец оза-
главлен именем дерева. Вырежи такую же таблицу из вкла-
дыша тетради проектов и наклей в тетрадь. Заполни пустые
столбцы
Д2
НИКОЛАЙ
АНДРЕЙ РОМАН
ГЛЕБ^ КИРА ОЛЕГ АНКА
Имя	УТВЕРЖДЕНИЕ	Д1	Д2	дз	Д4	Д5
У1	Это дерево высоты 4.					
У2	В этом дереве каждый родитель имеет ровно двух детей.					
УЗ	В этом дереве нет листьев второго уровня.					
У4	В этом дереве всего 5 путей.					
У5	В этом дереве всею 3 пути длины 4.					
£5
17
Нарисуй, как разрезать многоуголь-
ник N, чтобы получились два одина-
ковых многоугольника на сетке.
179
Построй какое-нибудь дерево, в ко-
тором всего пять таких путей:
Построй такое дерево чисел, для которого все следующие
утверждения истинны:
В этом дереве всего одна корневая вершина — число 900.
В этом дереве каждый родитель имеет ровно двоих детей.
В этом дереве каждый родитель
равен произведению своих детей.
В этом дереве всего 6 листьев.
В этом дереве нет вершин,
равных единице.
Реши задачу.
В четырёхэтажном доме Ваня
живёт выше Пети, но ниже Се-
ни, а Вася живёт выше Сони.
Кто на каком этаже живет?
96
182
Рассмотри на рисунке гербы губерний Российской империи
(XIX в.). Наиди две одинаковые фигурки.
4 14631 Л. Л. Семенов
9?
183
Прочитай описание герба Казанской губернии Российской
империи (в старой орфографии). Найди этот герб на с. 97.
ГЕРБЪ
Казанской губериш.
Въ серебряномъ щитЪ черный коронованный драконь,
крылья и хвостъ червленые, клювъ и когти золотые;
языкъ червленый. Щитъ увТнчанъ Императорскою
короною и окруженъ золотыми дубовыми листьями,
соединенными Андреевскою лентою.
и?я
Реши лингвистическую задачу.
Даны венгерские существительные и их переводы на рус-
ский язык в перепутанном порядке:
NY1RFA	БЕРЁЗА
KORTE	ГРУША (дерево)
ALMAK	ЯБЛОНЯ
KORTEFA	ЯБЛОКО
NY1RFAK	ГРУША (плод)
ALMA	БЕРЁЗЫ
ALMAFA	ЯБЛОКИ

Установи правильные переводы.
При решении задачи обрати внимание, что О — особый
гласный звук венгерского языка, знак ' над гласной обозна-
чает её долготу.
Слова, данные в русских переводах, по значению можно
разделить на четыре группы: плод (ед. число), плод (мн.
число), дерево (ед. число), дерево (мн. число). Те же груп-
пы можно выделить и в венгерских словах. При этом вен-
герские слова в каждой группе имеют нечто общее, что
отличает их от слов из других групп. Кроме того, в венгер-
ских словах легко выделить группы, соответствующие груп-
пам русских однокоренных слов-переводов.
98
Дерево перебора вариантов _< _______
Дерево перебора подмножеств |
Мы познакомились с деревьями сортировки. Ещё
один вид деревьев, которые часто используются в инфор-
матике — деревья перебора вариантов. Чтобы построить
множество всех возможных вариантов какого-либо про-
цесса, не потеряв ни одного из вариантов и не добавив
лишних, очень полезно построить дерево.
Задача 1. Если сначала подкинуть одну монету, а потом другую —
какими способами они могут упасть на стол?
Монета может упасть на стол двумя способами —
орлом или решкой.
орёл решка
орёл решка
Чтобы выписать все возможные варианты, построим
дерево перебора вариантов А. На первом уровне дерева
поместим все способы падения первой монеты — орёл и
решка. На втором уровне после
каждой корневой вершины помес-
тим все способы падения второй
монеты.
В дереве А всего 4 пути.
Каждый путь дерева А — это по-
следовательность, первый член
которой — одна из сторон первой
монеты, а второй член — одна
из сторон второй монеты.
Множество всех путей дерева А. и есть множество
всех способов, которыми могут упасть на стол две
монеты, — таких способов 4:
4*
99
Задача 2. Найти все трёхзначные числа, в
записи которых участвуют только цифры из	\М
множества М (возможно, с повторениями). 2 g 4
Для решения этой задачи по-
строим дерево Б, множество всех
путей которого будет её решением. Три уровня дерева Б
будут соответствовать трём разрядам наших трёхзначных
чисел. В искомых числах в каждом разряде может сто-
ять любая цифра из множества М. Поэтому на первом
уровне помещаем все цифры из множества М, на втором
и на третьем уровнях помещаем цифры так, чтобы
множество всех детей каждого родителя было равно мно-
жеству М.
Б
/1\ /К А А /К /К А /1\ Л\
246246246246246246246246246

Множество путей дерева Б и является решением задачи.
Построение дерева поможет нам и в построении
всех подмножеств данного множества.
Задача 3. Построить все подмножества множества В.
Для каждого из трёх элементов
множества В все подмножества можно
разделить на две группы: те, которые со-
держат данный элемент, и те, которые
его не содержат. Используя это, будем
строить дерево Д. Сначала выберем ка-
кой-нибудь один элемент множества В,
например синюю треугольную бусину. На
первом уровне дерева Д поместим знаки
«есть синяя треугольная бусина» и «нет
синей треугольной бусины». После каж-
100
дой вершины первого уровня поместим знаки «есть жёл-
тая круглая бусина» и «нет жёлтой круглой бусины».
После каждой вершины второго уровня поместим знаки
«есть зелёная квадратная бусина» и «нет зелёной квад-
ратной бусины». Получим дерево Д.
Каждый путь дерева Д изображает одно из подмно-
жеств множества В.
101
185
Сначала подкинули одну монету, затем вторую, потом третью
(все монеты разные). Сколькими способами могут упасть на
стол эти три монеты? Построй дерево перебора вариантов.
Сколько всего существует вариантов падения трёх разных
монет?
Конечно, рисовать монеты не надо — можно просто рисо-
вать круги с буквой О (для орла) и Р (для решки). Круги для
разных монет рисуй разными цветами.
186
Сколько всего существует чётных двузначных чисел, в записи
которых нет цифр 0, 2 и 3? Построй дерево перебора
вариантов. Пользуясь деревом, выпиши все такие числа.
187
□
Построй все подмножества множе-
ства W.
Для этого сначала построй дерево
перебора подмножеств.
W
183
Для трёх множеств слов построй множество всех последова-
тельностей слов длины 3, таких, что первый член последова-
тельности — слово из множества Р, второй — слово из
множества Q, третий — слово из множества R. Для реше-
ния построй дерево перебора вариантов.
КАТЯ
ДАША
ПЕТЯ
МИША
СЛУШАЕТ
ЧИТАЕТ
СКАЗКУ
РАССКАЗ
СТИХИ
189
Реши задачу, построив дерево перебора вариантов.
У Вовы были в кармане 4 монеты: 1 к., 5 к., 10 к., 50 к Он
достал из кармана сколько-то монет (он мог достать и все
монеты, мог не достать и ни одной). Сколько денег
оказалось в руке у Вовы? Укажи все возможные варианты.
102
190 Сформулируй задачу, для решения которой нужно построить
дерево перебора вариантов К.
191 Сначала подкинули монету, а за-
тем бросили игральную кость.
Сколькими способами могут
упасть монета и игральная кость?
Построй дерево перебора вариан-
тов.
Игральная кость может упасть на
стол шестью способами — кверху
одной из шести своих граней.
Найди площадь треугольника А.
193 Сколько всего существует нечёт-
ных трёхзначных чисел, ббльших,
чем 500, и таких, что сумма их
цифр равна девяти? Построй
дерево перебора вариантов.
Пользуясь деревом, выпиши все
такие числа.
194 Построй множество всех последо-
вательностей из двух разных букв,
в записи которых участвуют толь-
ко буквы из множества М. Снача-
ла построй дерево перебора
вариантов.
103
19
Рассмотри меню, которое предлагается посетителям кафе
«Таверна».
Сколько вариантов завтраков (включающих яичницу или кашу
и один напиток) могут заказать посетители кафе «Таверна»?
Построй дерево перебора вариантов.
Сколько вариантов обедов (включающих один салат, суп,
одно второе блюдо, один десерт и один напиток) могут
заказать посетители кафе «Таверна»? Построй дерево пере-
бора вариантов.
МЕНЮ
Завтрак
Суны
Яичница
Каша овсяная
Салам «Цезарь»
Салам Л1ясной
ВЕ а и и т к и
Молоко
(только по утрам)
Супчик дня
ВВ т о № ы е Й л и» д а
Курица
по-корсикански
Бимочки
Шашлык
Судак
по-польски
SB <Л сЁ т н>ё
Чай
© Кофе
Десерт
Мороженое
104
Поиск кратчайшего пути ,
Рассмотри схему дорог между сёлами М, А, Б, В и
Г. Числа на схеме указывают длину дорог, проложенных
между сёлами, в километрах (дороги далеко не всегда
бывают прямые, поэтому длина дороги между сёлами не
всегда равна самому короткому расстоянию между ними).
Такая схема называется графом.
Вообще графом называется набор точек (вершин
графа), некоторые из которых соединены линиями
(рёбрами графа).
Каждое дерево является графом — ведь в дереве то-
же есть вершины, и они соединены линиями. Эти линии
в дереве тоже называются рёбрами.
На нашей схеме каждые две вершины соединены
между собой ребром, каждое ребро помечено числом —
длиной дороги между сёлами.
105
Теперь решим такую задачу:
В селе М находится почта, и почтальон должен развезти письма в
остальные четыре села (и, конечно, вернуться обратно на почту).
Существует много различных маршрутов такой поездки. Как выбрать
из них самый короткий?
Для решения задачи построим дерево Д перебора
вариантов всех возможных маршрутов. Ясно, что если
почтальон будет возвращаться в село, в котором уже по-
бывал, то такой маршрут не будет самым коротким,
поэтому такие маршруты мы рассматривать не будем.
Каждое ребро дерева Д пометим числом, обознача-
ющим длину дороги между сёлами, и для каждого пути
дерева Д вычислим длину маршрута (т. е. сумму чисел
на его рёбрах).
В
9
4
7 11 5
6 13
6 J3 6 9
13 9
11 5
/ I
11
13
13
10 6 10 4
г-Д
М
5 11 11
^,10
Б
В
11 6 9
713
5 13
13
ЛЗ
10
5 13 9
I X
Б I3
711 7 6 11 6
5 7 7 6 6 11
11 7 7
4 7 10 7 6 10 6 7 10 7
Б В
Б
Б В В
9
В
6
4
7
В
Б
6 6 9
9
5
В
6
4
9
1
5 9
7 5
Б
5
4
МММ ММ МММ ММ МММ MWI МММ ММ МММ м
30 42 44 50 37 37 41 37 36 37 45 50 41 45 28 37 37 42 28 36 41 44 41 30
Получилось всего 24 пути (24 варианта маршрутов).
Наименьшая длина маршрута — 28 км. Этой длине пути
соответствуют два маршрута: М—В—Б—А—Г—М и
М—Г—А—Б—В—М. Впрочем, на самом деле это один и
тот же путь, только пройденный в разных направлениях.
106
Т Графы и деревья, каждому ребру которых присвое-
но число, называют взвешенными. При этом число,
присвоенное ребру, называется весом этого ребра.
Конечно, взвешенные деревья и графы можно ис-
пользовать не только для поиска кратчайшего пути. Это
может быть или самый дешёвый путь (при передвижении
на транспорте), или самый безопасный путь, или путь,
который требует наименьших затрат энергии, или путь,
выбранный как-нибудь иначе. Так можно решать самые
разные задачи на поиск наилучшего способа.
196 Рассмотри граф, представляющий схему дорог от дома, где
живёт Коля, до школы. Нарисуй дерево перебора возможных
маршрутов от дома Коли до школы. В качестве вершин та-
кого дерева используй вершины графа (точки, отмеченные
на схеме буквами). Через каждую точку можно проходить не
больше одного раза, по дорогам со стрелками можно дви-
гаться только в направлении стрелок. Какой путь оказался
самым коротким?
107
197
И
198
Построй все подмножества мно-
жества V.
Для этого сначала построй дерево
перебора подмножеств.
Процесс вычисления значения
арифметического выражения тоже
можно изобразить при помои in дерева. В таком дереве каж-
дый родитель является результатом арифметической опера-
ции, применённой ко всем его детям. При этом родитель
изображается в виде знака этой операции.
Для каждого дерева напиши арифметическое выражение,
которое соответствует этому дереву.
Реши задачу.
Крыса бежит по лабиринту, ко-
торый устроен так, что сначала
она должна выбрать один из
двух проходов, затем один из
трёх проходов, а за каждым из
них её ожидают четыре прохо-
да. Войдя в какой-то проход,
крыса не может вернуться че-
рез него обратно. Сколькими
различными путями крыса мо-
жет пройти лабиринт от начала
до конца?
108
200 Схема линий метро — это тоже граф, вершинами которого
являются станции, а рёбрами — линии между станциями.
Пользуясь этой схемой линий метрополитена Санкт-Петер-
бурга, выпиши названия всех станций, до которых можно до-
ехать от станции «Новочеркасская» не больше, чем за
11 мин, если на переезд между каждыми двумя соседними
станциями уходит 3 мин, а на каждую пересадку — 5 мин.
Для решения построй дерево перебора вариантов, присвоив
каждому ребру свой вес — время в пути.
3
ПРИМОРСКАЯ
ЧКАЛОВСКАЯ
СПОРТИВНАЯ
СТАРАЯ
ДЕРЕВНЯ
КРЕСТОВСКИЙ
ОСТРОВ
ДЕВЯТКИНО ж. д станция-девяткино"
ГРАЖДАНСКИЙ ПР.
АКАДЕМИЧЕСКАЯ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ
ПЛ. МУЖЕСТВА
АВТОБУС № ВО
ЛЕСНАЯ
ВЫБОРГСКАЯ
ПЛ. ЛЕНИНА виняятпсюЛ вокзал
ПР. ПРОСВЕЩЕНИЯ
ОЗЕРКИ
ПИОНЕРСКАЯ
ЧЕРНАЯ РЕЧКА
ПЕТРОГРАДСКАЯ
ГОРЬКОВСКАЯ
УДЕЛЬНАЯ
ж д СТАНЦИЯ "УДЕЛЬНАЯ"
________
I НЕВСКИЙ ПР. |
ДсТИНЫЙ flBOPj
1ИГ0ВСКИЙПР
ПУШКИНСКАЯ
НОВОЧЕРКАССКАЯ
£№Cfc f LC ОДЛ
ЕЛИЗАРОВСКАЯ
ЛАДОЖСКАЯ
ФРУНЗЕНСКАЯ
ЛОМОНОСОВСКАЯ
МОСКОВСКИЕ ВОРОТА
НАРВСКАЯ
ПР. Б0ЛЫ1ЕВ1'Ж0В
ЭЛЕКТРОСИЛА
ПРОЛЕТАРСКАЯ
КИРОВСКИЙ ЗАВОД
УЛ. ДЫБЕНКО
ПАРК ПОБЕДЫ
ОБУХОВ©
Ж Д CTAftftH -0БУХ060-
АВТОВО
МОСКОВСКАЯ
РЫБАЦКОЕ
ЛЕНИНСКИМ ПР.
ЗВЕЗДНАЯ
ПР. ВЕТЕРАНОВ
КУПЧИНО
жд CT'rtpwwmMW
ПЛ. АЛ. НЕВСКОГО-I
ПЛ. АЛ. НЕВСКОГО-||
ВАРШАВСКИЙ ВОКЗАЛ
БАЛТИЙСКИЙ ВОКЗАЛ
БАЛТИЙСКАЯ
И
Ж Д СТАНЦИЯ ТиБМДОЕ’
ВЛАДИМИРСКАЯ
ДОСТОЕВСКАЯ
ВАСИЛЕОСТРОВСКАЯ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ -1
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ - II
линия 1
2 ноям ЛИНИЯ2
ЧЕРНЫШЕВСКАЯ
МАЯКОВСКАЯ
ПЛ. ВОССТАНИЯ жкжовамй вокзал
3 Н0Н1 линия з
4 ®	' ПИНИЯ 4
109
201 Инициалы — это первые буквы имени и отчества. Напри-
мер, инициалы Татьяны Михайловны — Т. М., инициалы Ни-
колая Николаевича — Н. К. Сосчитай, сколько в русском
языке может быть таких двухбуквенных инициалов.
Ясно, что в инициалах не встретятся буквы Ъ, Ь. Имена,
начинающиеся на остальные буквы, даже если их нет в
списке русских имён, могут встретиться в именах у других
народов, например: Йорган, Ёшка, Щедрик. Поэтому осталь-
ные буквы следует учитывать.
Дерево перебора в этой задаче будет большим. Не строя
дерева, опиши его по образцу:
1.	В этом дереве ... уровня.
2.	В этом дереве у каждой корневой вершины ровно ...
детей.
3.	В этом дереве всего ... листьев.
Теперь, пользуясь своим описанием, ответь на вопрос за-
дачи.
202
203
204
205
Построй все такие последовательности бусин, для которых
все следующие утверждения истинны:
Длина этой последовательности меньше 4.
Каждая бусина этой последовательности
содержится в множестве Р.
В этой последовательности есть две
одинаковые бусины.
Нарисуй, как разрезать многоугольник Y
чтобы получились два одинаковых много-
угольника на сетке.
Построй все возможные последовательнос-
ти длины 3, составленные только из нулей
и единиц.
Сколько разных чисел можно получить,
переставляя цифры числа 543? Построй
дерево перебора вариантов.
06
В настоящее время в России принята система автомобиль-
ных номеров, в которых сначала идёт буква русского алфа-
вита, потом три цифры, а затем ещё две буквы. Кроме то-
го, отдельно справа пишется номер региона, к которому
приписан автомобиль. Сосчитай, сколько существует разных
автомобильных номеров в одном регионе (т. е. если не учи-
тывать номер региона).
Следует учесть, что в автомобильных номерах буквы Ё, Й, Ъ,
Ы, Ь не используются.
Дерево перебора в этой задаче будет большим. Не строя
дерева, опиши его по образцу:
1.	В этом дереве
2.	В этом дереве
3.	В этом дереве
детей.
4.	В этом дереве
но ... детей.
всего ... уровней.
всего ... корневых вершин.
у каждой корневой вершины ровно ...
у каждой вершины второго уровня ров-
В этом дереве всего ... листьев.
Теперь, пользуясь своим описанием, ответь на вопрос за-
дачи.
207
208
Реши задачу.
Один биолог открыл удивительную
разновидность амеб. Каждая из них
через одну минуту делится на две.
Биолог кладёт амёбу в пробирку, и
ровно через час пробирка оказывает-
ся заполненной амёбами. Сколько
времени потребуется, чтобы вся про-
бирка заполнилась амёбами, если в
неё положить не одну, а две амёбы?
Даны буквы древнееврейского алфавита. Найди три одинако-
вые буквы.
KJDpD'?DK3^T)11D7TLU
Игры — важная часть жизни детей. Взрослые тоже
чаете играют в игры; кроме тсго, изучению игр посвяще-
ны большие разделы информатики и математики.
Существует много разных видов игр: спортивные,
компьютерные... Игры, которые мы будем изучать, в ма-
тематике называются играми с полной информацией. В
таких играх в любой момент каждому игроку известно
всё, что произошло в игре к этому моменту и какие хо-
ды возможны. Это, например, такие игры, как шахматы,
шашки, «крестики-нслики». Игры, исход которых хотя
бы частично зависит от случая — например, большинство
карточных игр, игральные кости, «морской бой», — не
являются играми с полной информацией.
Обсуждая игры, мы будем использовать следующие
понятия:
Игроки — это участники игры. В наших играх всег-
да будет два игрока, мы будем называть их Первый и
Второй.
Позиция игры — это то, что в какой-то момент
получилось при игре двух игроков. Ход игры изменяет
позицию. Игроки делают ходы поочерёдно. Первый ход
всегда делает Первый.
Начальная позиция — это позиция, которая имеет-
ся перед началом игры.
Заключительная позиция — такая ситуация в игре,
после которой игра продолжаться не может.
Партия игры — это один тур игры двух игроков.
Партию игры можно представить в виде последовательнос-
ти позиций, которая начинается с начальной позиции и
заканчивается одной из заключительных позиций. Кто из
игроков выиграл в этой партии, определяется по тому, ка-
кой именно заключительной позицией закончилась партия.
Правила игры:
—	описывают начальную позицию;
—	определяют, какие ходы возможны в игре;
—	описывают все возможные заключительные позиции и для
каждой заключительной позиции указывают каков исход пар-
тии — выиграл Первый, выиграл Второй или партия закончи-
лась вничью.
112
Мы начнём изучать игры с полной информацией с
игры Камешки,
ПРАВИЛА ИГРЫ КАМЕШКИ
Начальная позиция. Куча камешков (5 штук и больше). Вместо
камешков можно использовать любые мелкие предметы — пуго-
вицы, фасоль, палочки, скрепки.
Возможные ходы. Игрок забирает из кучи разрешённое число
камешков. Это число определяется дополнительными правилами
игры.
Как определить победителя. Заключительная позиция игры —
это пустая куча камешков. При этом игрок, который забрал по-
следний камешек из кучи, считается выигравшим (и, значит, в
этой игре ничьих не бывает).
Как видно из правил, в игре Камешки неважно,
какие именно камешки были в куче до начала игры и
какие именно камешки забирает игрок на своём ходу.
Важно только то, сколько камешков было до начала и
сколько их осталось после каждого хода.
Рассмотрите последовательность W позиций партии
игры Камешки (начальная позиция — 6 камешков,
разрешается брать 1 или 2 камешка за один ход):
w 6-4“3-20>
Позиции, которые получились после ходов Первого,
помечены в последовательности W синим цветом. Пози-
ции, которые получились после ходов Второго, остались
чёрными.
Первый член последовательности W — это началь-
ная позиция, второй член — позиция после первого хода
(напомним, что первый ход всегда делает Первый), ...,
последний член последовательности W — заключительная
позиция.
Заключительная позиция получилась в результате
хода Второго: Второй забрал 2 оставшихся камешка и
выиграл в партии W.
5-14631 А. Л- Семенов
113
Дерево игры
Последовательность позиций изображает только одну
партию. Построим теперь дерево перебора всех возмож-
ных партий игры с данными правилами. Такое дерево
называется деревом игры.
Единственной корневой вершиной дерева игры явля-
ется начальная позиция, вершинами второго уровня —
все позиции, возможные после первого хода, вершинами
третьего уровня — все позиции, возможные после второго
хода, и т. д. Листья дерева игры — это заключительные
позиции.
Позиции нашей игры Камешки после ходов Первого
помечены в дереве А синим, а после ходов Второго —
чёрным. Для удобства можно пометить каждое ребро
дерева числом, которое показывает, сколько камешков
забрал игрок на этом ходу.
’ Каждый путь дерева игры является последователь-
ностью одной из возможных партий игры. Множес-
тво всех путей дерева — это множество всех
возможных в данной игре партий.
114
209 Построй последовательность позиций такой партии игры
Камешки (начальная позиция — 11 камешков, разрешается
брать 1, 2 или 3 камешка за один ход), в которой выиграл
Первый. Позиции изображай числами. Теперь построй после-
довательность позиций другой партии (той же игры), в кото-
рой выиграл Второй.
210
211
Устройте мини-соревнование с сосе-
дом по парте — сыграйте 8 партий в
Камешки (начальная позиция — 7 ка-
мешков, разрешается брать 1 или
2 камешка за один ход).
Начинайте игру по очереди: пусть
один из вас играет Первым в партиях
с чётными номерами, а другой — с
нечётными.
Заполни таблицу мини-соревнования
(образец такой таблицы дан справа,
вырежи такую таблицу из вкладыша
тетради проектов и наклей в тетрадь).
Пусть за каждую победу игрок получа-
ет 1 очко, а за поражение — 0 очков.
Сколько раз в вашем соревновании
выиграл Первый?
Нарисуй дерево Б игры Камешки (на-
чальная позиция — 5 камешков, раз-
решается брать 1 или 2 камешка за
один ход). Запиши позиции, которые
получились в результате хода Первого,
\ Игроки Партии \	Твоё имя	Имя соседа
1-я партия		
2-я партия		
3-я партия		
4-я партия		
5-я партия		
6-я партия		
7-я партия		
8-я партия		
ИТОГО		
синим, а позиции, которые получились в результате хода
Второго, чёрным. Обведи синим листья дерева Б, соответ-
ствующие партиям, в которых выиграл Первый. Обведи
зелёным листья, соответствующие партиям, в которых выиг-
рал Второй.
Реши задачу, построив дерево пере-
бора вариантов
В школьной столовой продают шоко-
ладки по 15 р. и мороженое по 12 р.
за порцию. У Оли есть 102 р. Сколь-
ко Оле нужно купить шоколадок и
сколько порций мороженого, чтобы
истратить все свои деньги? Найди все
возможные варианты такой покупки.
213 Прочитай описание игры Крестики-нолики:
Игра ведётся на поле размером 3x3 клетки. В игре
принимают участие два игрока, которые делают
ходы по очереди. Во время хода игрок рисует свой
значок в свободной клетке поля. Первый игрок
рисует крестики, второй игрок рисует нолики. Если
на поле возник ряд из трёх крестиков (по горизон-
тали, по вертикали или по диагонали), то выиграл
первый игрок; если возник ряд из трёх ноликов,
то выиграл второй игрок. Если все клетки поля
заполнены значками, но ряда из трёх одинаковых
значков не возникло, то игра закончилась вничью.
Сформулируй правила этой игры по образцу:
Начальная позиция.
Возможные ходы.
Как определить победителя. В этой игре заключительные
позиции бывают трёх видов:
1)	... (выиграл Первый);
2)	... (выиграл Второй);
3)	... (партия закончилась вничью).
Нарисуй примеры заключительных позиций каждого из трёх
видов, подпиши свои рисунки — напиши, кто выигрывает
при такой заключительной позиции.
214
Пусть S — множество всех букв, которые встречаются в
слове КАРТОШКА, и R — множество всех букв, которые
встречаются в слове МАКАРОНЫ. Построй пересечение и
объединение множеств S и R.
215 Построй последовательность А позиций такой партии игры
Камешки (начальная позиция — 5 камешков, разрешается
брать 1, 2 или 4 камешка за один ход), в которой на треть-
ем ходу выиграл Первый.
Построй последовательность Б позиций такой партии той же
игры, в которой на четвёртом ходу выиграл Второй.
Теперь построй дерево В этой игры. Найди в дереве В путь,
равный последовательности А, и обведи лист, соответству-
ющий этому пути, красным. Найди в дереве В путь, равный
последовательности Б, и обведи лист, соответствующий это-
му пути, синим.
116
216 Даны правила игры Ползунок.
ПРАВИЛА ИГРЫ ПОЛЗУНОК
Начальная позиция. Игровое поле со-
стоит из нескольких рядов точек, рас-
положенных в прямоугольнике. Пример
такого поля приведён справа.
Возможные ходы. На первом ходу Первый соединяет
горизонтальным или вертикальным отрезком две любые
соседние точки. На каждом из следующих ходов игрок
проводит горизонтальный или вертикальный отрезок,
соединяющий один из концов получившейся до этого
ломаной линии, с какой-нибудь соседней точкой, через
которую линия ещё не прошла. Такие ходы не разрешены:
Как определить победителя. Игра заканчивается, если оче-
редной ход сделать нельзя. Выигрывает игрок, который
сделал последний ход.
Рассмотри последовательность S позиций партии игры
Ползунок на поле 4x3 точки. Ходы Первого помечены синим,
ходы Второго — оранжевым. Ответь на вопросы:
а) Сколько ходов было сделано в этой партии?
б) Сколько ходов сделал Первый и сколько — Второй?
в) Кто выиграл?
217 Построй последовательность К позиций такой партии игры
Ползунок на поле 4x3, в которой выиграл Второй. Заготовки
полей можешь вырезать из вкладыша тетради проектов.
Теперь построй последовательность Р такой партии той же
игры, в которой выиграл Первый.
218
Рассмотри последовательность М позиций партии игры
Крестики-нолики. Ответь на вопросы:
а)	Сколько ходов было сделано в этой партии?
б)	Сколько ходов сделал Первый и сколько — Второй?
в)	Каков исход партии?
219
Построй такую последовательность партии Крестики-нолики,
в которой на седьмом ходу выигрывает Первый.
Заготовки полей можешь вырезать из вкладыша тетради про-
ектов.
220
Определи по графу, сколькими способами можно проехать
из города Л в город М. По дорогам со стрелками можно
двигаться только в направлении стрелок, по каждой дороге
можно проезжать не больше одного раза.
Выигрышная стратегия г
Мы строили различные партии игр, но при этом
совсем не принимали во внимание стремление игроков к
победе. Теперь нас будут интересовать лишь такие пар-
тии, в которых оба игрока стремятся к победе. Будем
называть такие партии разумными. Игроков, которые
стараются победить, а не делают ходы наугад, мы тоже
будем называть разумными.
Итак, играют двое и каждый из них стремится к
победе. Если правила игры не допускают ничьей, то в
каждой партии кто-то из игроков обязательно выигрыва-
ет. Оказывается, что в каждой игре с полной информа-
цией, правила которой не допускают ничьей, существует
выигрышная стратегия для одного из игроков.
Выигрышная стратегия — это правило, следуя ко-
торому, один из игроков может выиграть, как бы
ни играл его противник.
Используя это правило, можно победить не только
разумного, но и очень сообразительного соперника. Ясно,
что для каждой игры с определёнными правилами выиг-
рышную стратегию может иметь только один из игроков.
Мы упоминали о том, что шахматы и шашки тоже
игры с полной информацией. Значит, и в этих играх
есть выигрышная стратегия для одного из игроков. Поче-
му же тогда никто не воспользуется такой стратегией?
Поиск выигрышной стратегии в игре с полной информа-
цией происходит при помощи перебора всех возможных
партий игры. Для этого строится дерево игры и изучают-
ся вершины построенного дерева. Дерево игры в шахма-
ты огромно: на первом уровне такого дерева 20 вершин,
на втором — уже 400 вершин! Построить такое дерево
пока не удалось никому, даже при помощи самого мощ-
ного компьютера, поэтому и выигрышную стратегию
найти тоже пока не удалось. Неизвестно даже, кто из
игроков в тпахматной игре имеет такую стратегию.
В играх, которые допускают ничью, может существо-
вать ничейная стратегия — правило, позволяющее каж-
дому из игроков свести любую партию к ничьей. Ничей-
ная стратегия есть, например, в игре Крестики-нолики.
Выигрышные и проигрышные позиции . (1Мз
Для того чтобы найти выигрышную стратегию, нуж-
но последовательно рассмотреть все возможные позиции
игры. Все позиции игры можно перебрать, построив дере-
во игры. Трудность здесь в том, что для многих игр
такое дерево оказывается слишком большим. Но для не-
которых игр удаётся построить выигрышную стратегию
без перебора всех возможных позиций. Такие игры мы
обсудим позже.
Одна из немногих игр, в которых можно перебрать
все позиции, не строя дерева игры, — это игра Камешки:
ведь все возможные позиции этой игры укладываются в
начало числового ряда от нуля до начальной позиции.
Рассмотрим игру Камешки с начальной позицией 8
камешков, в которой разрешается брать на каждом ходу
1, 3 или 4 камешка. Изучать позиции игры будем с точ-
ки зрения разумного игрока, чья очередь делать ход (кто
именно из игроков — Первый или Второй — неважно).
Разместим все возможные позиции игры на числовой ли-
нейке:
0р|]"2|3~[475Пб'|7[8
Назовём позицию выигрышной, если из неё есть
ход, который оставит противнику проигрышную по-
зицию.
Назовём позицию проигрышной, если любой ход из
неё оставляет противнику выигрышную позицию.
Позиция О проигрышная: партия закончена, игрок,
чья очередь была бы делать ход, уже проиграл.
Позиции 1, 3 и 4 выигрышные: игрок может за-
брать все камешки и тем самым оставить противнику
проигрышную позицию 0.
Позиция 2 проигрышная: из этой позиции можно
сделать только один ход — взять один камешек и тем
самым оставить противнику выигрышную позицию 1.
Пометим на числовой линейке выигрышные пози-
ции красным, а проигрышные — синим.
01 2|3:4|5|6|7j8
120
Позиция 5 выигрышная*, взяв 3 камешка, игрок
оставляет противнику проигрышную позицию 2. Так же
и позиция 6 выигрышная*, взяв 4 камешка, игрок остав-
ляет противнику проигрышную позицию 2.
О 1 2 3 45 6718
Позиция 7 проигрышная: все ходы, которые можно
сделать из этой позиции, оставляют противнику выиг-
рышные позиции 6, 4 или 3.
Начальная позиция 8 выигрышная: взяв один ка-
мешек, игрок оставляет противнику проигрышную пози-
цию 7.
О 1 2 3 4 5 6 7 8
Изучая позиции игры от заключительной к началь-
ной, мы последовательно пометили все возможные пози-
ции игры как выигрышные или проигрышные. При этом
начальная позиция оказалась выигрышной. Это означает,
что в данной игре выигрышную стратегию имеет Первый
(тот, кто должен делать ход в начальной позиции).
Пользуясь раскрашенной числовой линейкой, сфор-
мулируем выигрышную стратегию для Первого:
1.	На первом ходу взять 1 камешек (при этом Второму достаётся
7 камешков).
2.	На третьем ходу взять столько камешков, чтобы оставить на
столе только 2 камешка или 0 камешков (сколько именно ка-
мешков при этом надо взять, зависит от того, сколько камеш-
ков возьмёт Второй на втором ходу).
3.	На пятом ходу (если игра не закончилась раньше) забрать
1 оставшийся камешек и выиграть.
Выигрышная стратегия заключается в том, чтобы
после каждого хода оставлять противнику проиг-
рышную позицию.
Поэтому выигрышную стратегию в игре имеет тот
игрок, который первым сможет занять выигрышную по-
зицию. Поэтому:
Если начальная позиция выигрышная, то выигрыш-
ную стратегию имеет Первый, если проигрышная —
Второй.
121
2:
222
раскрась числовую линейку (можно вырезать заготовку
числовой линейки со вкладыша тетради проектов). Выясни, у
кого из игроков есть выигрышная стратегия. Построй после-
довательность такой партии, в которой этот игрок следует
выигрышной стратегии, а его противник на каждом ходу
берёт 1 камешек.
223 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная
позиция 14, разрешается брать 1, 3 или 4 камешка). Мо-
жешь воспользоваться числовой линейкой, уже раскрашенной
в ходе решения задачи 222. Выясни, у кого из игроков есть
выигрышная стратегия в этой игре, сформулируй выигрыш-
ную стратегию
224
□
225
Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная
позиция 214, разрешается брать 1 или 2 камешка).
Для решения не обязательно раскрашивать числовую линей-
ку от 0 до 214 целиком. Вместо этого можно:
1)	раскрасить позиции от 0 до 15;
2)	найти закономерность расположения проигрышных пози-
ций на числовой прямой;
3)	определить, какой будет начальная позиция, а, значит, вы-
яснить, у кого из игроков
есть выигрышная стратегия;
4)	сформулировать выигрышную
стратегию, не перечисляя
проигрышные позиции, а
описывая их.
Реши задачу.
Пятеро друзей встретились и
обменялись рукопожатиями каж-
дый с каждым. Сколько всего
было рукопожатий?
122
226 Даны правила игры Сотня:
ПРАВИЛА ИГРЫ СОТНЯ
Начальная позиция. Число О.
Возможные ходы. На каждом ходу игрок прибавляет к
имеющемуся числу любое целое число от 1 до 9
включительно.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если по-
зиция оказывается равной 100. При этом выиграл тот, кто
прибавил последнее число.
Устройте мини-соревнование с соседом по парте — сыграй-
те 4 партии в Сотню.
Начинайте игру по очереди; пусть один из вас играет Первым
в партиях с чётными номерами, а другой — с нечётными.
Заполни таблицу мини-соревнования (образец такой таблицы
дан в задаче 210, вырежи такую таблицу из вкладыша
тетради проектов). Пусть за каждую победу игрок получает 1
очко, а за поражение — 0 очков.
Сколько раз в вашем соревновании выиграл Второй?
227 Найди выигрышную стратегию в игре Сотня.
□ Для этого:
1)	начни раскрашивать числовую линейку, начиная с заклю-
чительной позиции — от 100 до 78 (можно вырезать за-
готовку числовой линейки со вкладыша тетради проектов);
2)	найди закономерность расположения проигрышных по-
зиций на числовой прямой;
3)	определи, какой будет начальная позиция — выигрышной
или проигрышной, — а, значит, выясни, у кого из игроков
есть выигрышная стратегия;
4)	сформулируй выигрышную стратегию.
228 Построй последовательность Г бусин длины не меньше пяти,
такую, чтобы все следующие утверждения не имели смысла
для этой последовательности:
В последовательности Г седьмая бусина — красная треугольная.
В последовательности Г следующая бусина после каждой
круглой — квадратная.
В последовательности Г предыдущая бусина перед каждой
квадратной — треугольная.
123
229 Дерево игры Ползунок на поле 5x4 очень большое, оно не
помещается на странице. L — это часть такого дерева игры,
состоящая из некоторой вершины (т. е. позиции) А и всех
вершин, в которые из А идут пути. Таким образом, L есть
дерево перебора всех возможных окончаний игры из пози-
ции А.
Определи, какой игрок — Первый или Второй — должен хо-
дить в позиции А. Затем определи, у кого из игроков есть
выигрышная стратегия. Для этого:
1) перерисуй дерево L в тетрадь, заменив позиции их име-
нами;
2)исследуй все позиции дерева L в учебнике и обведи в
тетради имя каждой выигрышной позиции красным, а
проигрышной — синим;
3) определи, у кого из игроков есть выигрышная стратегия и
запиши эту стратегию в виде последовательности позиций.
124
230 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная
позиция 10, разрешается брать 1, 2 или 3 камешка).
□ Для этого исследуй все позиции игры, раскрась числовую
линейку. Выясни, у кого из игроков есть выигрышная стра-
тегия. Построй последовательность позиций такой партии, в
которой этот игрок следует выигрышной стратегии, а его
противник на каждом ходу берёт 2 камешка.
231 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная
позиция 308, разрешается брать 1, 2 или 3 камешка).
Для решения не обязательно раскрашивать числовую линей-
ку от 0 до 308 целиком, а можно:
1)	раскрасить позиции от 0 до 16;
2)	найти закономерность расположения проигрышных пози-
ций на числовой прямой;
3)	определить, какой будет начальная позиция, а значит, вы-
яснить, кто из игроков обладает выигрышной стратегией;
4)	сформулировать выигрышную стратегию, не перечисляя
проигрышные позиции, а описывая их.
232
Прочитай описание игры Назови 26:
Играют двое. Первый игрок называет любое нату-
ральное число, не превосходящее 4, т. е. одно из
чисел: 1, 2, 3, 4. Второй игрок прибавляет к
названному числу своё число, также не превосходя-
щее 4. К этой сумме первый прибавляет какое-
либо натуральное число, не превосходящее 4, и со-
общает сумму, и т. д. Выигрывает тот, кто первым
достигнет числа 26.
Сформулируй правила этой игры как
игры с полной информацией. Найди
выигрышную стратегию в этой игре.
Сколькими различными путями пешка
может пройти по шахматной доске из
поля с5 на поле а8, если будет дви-
гаться только влево или вверх?
Пешка может за один ход сдвинуться
только на одно поле.
125
Выигрышные стратегии. Продолжение gj
Продолжим изучение различных игр и поиск выиг-
рышных стратегий путём исследования всех позиций
игры. Вы знаете, что у большинства игр деревья игры
слишком велики, чтобы мы могли исследовать все пози-
ции такой игры на дереве. Если каждую позицию мож-
но представить в виде числа (как в играх Камешки и
Сотня), то все позиции такой игры можно разместить на
числовой линейке и исследовать по порядку. Это возмож-
но только тогда, когда разных позиций-чисел не слиш-
ком много.
Рассмотрим другие примеры игр, все
рых мы можем удобно расположить.
Такими играми, например, являются
матной доске, в которых игра ведётся
фигурой. В такой игре каждая позиция
тому полю шахматной доски, на
котором находится фигура {полем в
шахматах называется клетка шахмат-
ной доски). Поэтому, исследовав все
поля шахматной доски, мы исследуем
все возможные позиции игры.
Каждое поле шахматной доски
имеет имя, состоящее из латинской
буквы и цифры. Например, поле с
красной точкой имеет имя d4, а поле
с зелёной точкой — имя g6.
позиции кото-
игры на шах-
только одной
соответствует
ПРАВИЛА
Начальная
ИГРЫ КОРОЛЬ
позиция. Игра ведёт-
ся на шахматной доске, король
стоит на одном из полей (на
каком именно — устанавливает-
ся дополнительными правилами)
Возможные ходы. На каждом ходу игрок
передвигает короля на одно поле влево,
или на одно поле вниз, или на одно поле
влево-вниз по диагонали.
Как определить победителя/ Игра заканчи-
вается, если король оказывается в левом
на поле а1. Выигрывает игрок, который сделал последний ход.
126
Исследуем все позиции игры Король с начальной
позицией d4. Для работы возьмём рисунок шахматной
доски, не раскрашенный в шахматном порядке: ведь
шахматная раскраска в этой игре роли не играет, а нам
при раскрашивании полей она будет мешать. Выигрышные
позиции будем раскрашивать красным цветом, проигрыш-
ные — синим.
Начнём с заключительной пози-
ции — поля al. Эта позиция про-
игрышная. Все позиции, из которых
за один ход можно попасть на поле
al, — поля а2, Ъ2, Ы — выигрыш-
ные позиции. Дальше выбираем для
исследования только те поля, все хо-
ды из которых ведут на уже раскра-
шенные поля.
С поля аЗ можно пойти только
на поле а2 (выигрышное) — значит,
позиция аЗ проигрышная. Аналогично
этому позиция с! проигрышная. Из
позиции ЬЗ можно перейти в проиг-
рышную позицию аЗ — значит, пози-
ция ЬЗ выигрышная. Аналогично
этому выигрышной является позиция
с2. Все ходы из позиции сЗ ведут в
выигрышные позиции, поэтому пози-
ция сЗ проигрышная.
Так мы будем раскрашивать
поля, пока не раскрасим все поля
квадрата 4x4. Остальные поля доски
раскрашивать не надо, потому что
они не являются позициями игры
Король с начальной позицией d4.
Начальная позиция (поле d4)
выигрышная; значит, выигрышная
стратегия есть у Первого, и заключа-
ется она в следующем:
1)	пойти на поле сЗ;
2)	в зависимости от хода Второго
пойти на поле с! либо на поле аЗ;
3)	какой бы ход ни сделал Второй,
пойти на поле al.
127
Есть и другие игры, для которых все позиции мож-
но расположить в таблице, похожей на изображение
шахматной доски. Такова, например, игра Две кучи
камешков:
ПРАВИЛА ИГРЫ
ДВЕ КУЧИ КАМЕШКОВ
Начальная позиция. Две кучи камешков
(сколько камешков в каждой куче, уста-
навливается дополнительными прави-
лами).
Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять либо один
камешек из одной из куч, либо по одному камешку из обеих
куч одновременно.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если все
камешки закончились. Выигрывает тот игрок, который забрал по-
следний камешек.
Каждая позиция этой игры — это две кучи камеш-
ков; её можно представить в виде пары чисел, где первое
число — количество камешков в первой куче, а второе
— во второй. Например, пара (5; 2) — позиция игры,
где в первой куче 5 камешков, а во второй — 2.
Все возможные позиции такой игры можно располо-
жить в таблице, столбцы и строки которой занумерованы
числами 0, 1, 2 и т. д. Каждая клетка таблицы соответ-
ствует некоторой позиции: номер столбца, в котором
находится данная клетка, — это число камешков в пер-
вой куче, а номер строки — число камешков во второй.
На рисунке справа показана таб-
лица для игры Две кучи камешков,
где в начальной позиции в первой ку-
че 6 камешков, а во второй — 7. Зелё-
ной точкой помечена клетка, соответ-
ствующая позиции (5; 2).
При помощи такой таблицы все
позиции данной игры хиожно исследо-
вать так же, как мы исследовали пози-
ции игры Король. Это ты сделаешь,
когда будешь решать задачи.
128
234 Исследуй все позиции игры Король с начальной позицией h8:
1)	раскрась шахматную доску, начиная с заключительной
позиции — с клетки а/;
2)	определи, выигрышной или проигрышной будет начальная
позиция, а значит, выясни, у кого из игроков есть
□ выигрышная стратегия.
Рисунки шахматной доски для работы можно вырезать из
вкладыша тетради проектов.
235 Даны правила игры Ладья:
ПРАВИЛА ИГРЫ ЛАДЬЯ
Начальная позиция. Игра
ведётся на шахматной
доске, ладья стоит на од-
ном из полей (на каком
именно — устанавливается допол-
нительными правилами).
Возможные ходы. На каждом ходу
игрок передвигает ладью на сколь-
ко угодно полей вправо или на
сколько угодно полей вверх.
Как определить победителя. Игра
заканчивается, если ладья оказывается в правом верхнем
углу доски — на поле h8. Выигрывает игрок, который
сделал последний ход.
Сыграй с соседом по парте две партии в Ладью с началь-
ной позицией а1 и две партии с начальной позицией а2.
Нарисуй на шахматной доске путь, который прошла ладья в
течение одной из сыгранных вами партий.
Рисунки шахматной доски для работы можно вырезать из
вкладыша тетради проектов.
236 Определи, при каких начальных позициях в игре Ладья выиг-
рышная стратегия есть у Первого и при каких — у Второго:
1) раскрась шахматную доску, начиная с заключительной
позиции — поля h8\
2)	постарайся коротко описать, при каких начальных
позициях выигрышную стратегию имеет Первый и при
каких — Второй;
3)	сформулируй выигрышную стратегию для Первого в игре
с начальной позицией на поле а2;
4)	сформулируй выигрышную стратегию для Второго в игре
с начальной позицией на поле а1.
129
237 Даны правила игры Ферзь:
ПРАВИЛА ИГРЫ ФЕРЗЬ
Начальная позиция. Игра
ведётся на шахматной
доске, ферзь стоит на
одном из полей (на ка-
ком именно — устанавливается до-
полнительными правилами).
Возможные ходы. На каждом ходу
игрок передвигает ферзя на сколь-
ко угодно полей влево, или на
сколько угодно полей вниз, или на
сколько угодно полей по диагонали
влево-вниз.
Как определить победителя,
ферзь оказывается в левом
поле а1. Выигрывает игрок,
ход.
Игра заканчивается, если
нижнем углу доски — на
который сделал последний
Наиди выигрышную стратегию в игре Ферзь с начальной по-
зицией д8 и в той же игре с начальной позицией h5:
1)	раскрась все поля шахматной доски, начиная с заключи-
тельной позиции — поля а/;
2)	для каждой из двух начальных позиций (д8 и h5)
определи, какой она будет — выигрышной или проигрыш-
ной, а значит, у кого из игроков есть в игре с этой
начальной позицией выигрышная стратегия;
3)	сформулируй выигрышную стратегию для каждой из этих
двух начальных позиций.
Теперь выпиши имена шести полей, с начальными позици-
ями в которых в игре Ферзь выигрышная стратегия есть у
Первого. Выпиши имена ещё шести полей, с начальными
позициями в которых в игре Ферзь выигрышная стратегия
есть у Второго.
238
Построй часть дерева игры Ползунок с дан-
ной позицией в корневой вершине. По
образцу, приведённому на странице 124,
дай всем вершинам полученного дерева
имена и найди выигрышную стратегию
окончания игры из этой позиции.
Для этого проведи исследование, как в
задаче 229.
130
239 Найди выигрышную стратегию в игре Две 0 12 3 4
кучи камешков с начальной позицией (4; 5): q i - 1 ]' ”
раскрась поле, начиная с заключительной -------------—
позиции — клетки (0; 0), и определи, какой
будет начальная позиция — выигрышной * _______	-----
или проигрышной, а значит, у кого из 3
игроков есть выигрышная стратегия. Запи-	4
ши последовательность позиций какой-	5
нибудь партии, в которой один из игроков
использует выигрышную стратегию, а дру-
гой на первом своём ходу берёт по одному камешку из
каждой кучи, а на следующем — берёт один камешек из
одной из куч (позиции обозначай парами чисел).
240 Даны правила игры Две кучи камешков 2:
ПРАВИЛА ИГРЫ ДВЕ КУЧИ КАМЕШКОВ 2
Начальная позиция. Две кучи камешков
(сколько камешков в каждой куче, устанав-
ливается дополнительными правилами).
Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять
либо сколько угодно камешков из одной кучи, либо
поровну камешков из обеих куч одновременно.
Как определить победителя Игра заканчивается, если все
камешки закончились. Выигрывает игрок, который забрал
последний камешек.
Напиши последовательность позиций партии игры Две кучи
камешков 2:
а)	с начальной позицией (9; 6), в которой выиграл Первый;
б)	с начальной позицией (7; 4), в которой выиграл Второй.
Реши задачу, используя поиск
выигрышной стратегии в игре.
Алёша Попович и Добрыня Ни-
китич воюют с девятиглавым
змеем. По очереди Богатыри
ходят к его пещере и отрубают
1, 2 или 3 головы. Как начав-
шему бой Алёше обрести славу
победителя змея (отрубить пос-
леднюю голову)?
131
242 Найди выигрышную стратегию в игре Две кучки камешков 2
с начальной позицией (6; 10) и в той же игре с начальной
позицией (9; 8):
1)	раскрась таблицу 11x11, начиная с заключительной пози-
ции — клетки (0; 0)\
2)	определи, какой будет каждая из данных начальных пози-
ций — выигрышной или проигрышной, — а значит, у кого
из игроков есть в этой позиции выигрышная стратегия;
3)	сформулируй выигрышную стратегию для каждой из
данных начальных позиций.
Теперь для каждой из данных начальных позиций запиши
последовательность позиций какой-нибудь партии, в которой
один из игроков использует выигрышную стратегию, а
другой на каждом ходу берет по одному камешку из каждой
кучки.
Нарисуй, как разрезать многоуголь-
ник G, чтобы получились два одина-
ковых многоугольника на сетке.
244
Даны правила игры Пешка:
ПРАВИЛА ИГРЫ ПЕШКА	®
Начальная позиция. Игра *
ведётся на шахматной '
доске, пешка стоит на
одном из полей (на каком именно
поле — устанавливается дополни-
тельными правилами).
Возможные ходы. На каждом ходу
игрок передвигает пешку на одно
поле влево или на одно поле
вниз.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если
пешка оказывается в левом нижнем углу доски — на поле
а1. Выигрывает тот игрок, который сделал последний ход.
Исследуй игру Пешка. Попытайся объяснить, почему в этой
игре выигрышная стратегия не нужна — победа не зависит
от того, насколько умело играют игроки. При каких началь-
ных позициях в игре Пешка выигрывает Первый и при ка-
ких — Второй?
132
Равновесные	Д,
в ы и гр ышные стратегии |ТЖ,-
До сих пор для того чтобы построить выигрышную
стратегию, мы исследовали все позиции игры и выделя-
ли выигрышные и проигрышные позиции. Но для мно-
гих игр существуют стратегии, построение которых не
требует исследования всех позиций. Таковы, например,
равновесные стратегии, которыми мы сейчас займёмся.
Рассмотрим игру Монеты на весах:
ПРАВИЛА ИГРЫ МОНЕТЫ НА ВЕСАХ
Начальная позиция. На каждой чашке весов лежат
монеты (сколько именно монет лежит на каждой
чашке, устанавливается дополнительными правила-
ми). Все монеты одинаковые.
Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять сколько
угодно монет с одной чашки.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если все моне-
ты закончились. Выигрывает игрок, который забрал последнюю
монету.
Пусть в начальной позиции на каждой чашке
лежит по 20 монет. При такой начальной позиции весы
находятся в равновесии — ведь монет на чашках поров-
ну, и все монеты одинаковые. Первый любым своим хо-
дом это равновесие нарушит — он возьмёт монеты толь-
ко с одной чашки. А Второй может восстановить равно-
весие — взять столько же монет с другой чашки. Пусть
и дальше Второй каждым своим ходом восстанавливает
равновесие. Выигрышна ли такая стратегия для Второго?
Восстанавливая равновесие на каждом ходу, Второй
добивается того, что все равновесные позиции достаются
Первому. Но и заключительная позиция — равновесная
(на обеих чашках ничего нет), так что и эта позиция в
какой-то момент игры достанется Первому. При этом
Первый уже не сможет сделать очередной ход и
проиграет. Таким образом, описанная стратегия является
выигрышной для Второго.
133
Итак, для предложенной равновесной стратегии мы
проверили два условия:
1. Второй всегда сможет сделать свой ход.
2. Заключительная позиция обязательно достанется Пер-
вому (и поэтому он обязательно проиграет).
Оба эти условия выполнены, значит, наша страте-
гия выигрышная.
Страте]'ию, при которой игрок на каждом своём хо-
ду восстанавливает равновесие (т. е. делает позицию
равновесной), мы будем называть равновесной стра-
тегией.
В игре Монеты на весах, где начальная позиция
неравновесная (например, на одной чашке лежит 15 мо-
нет, а на другой — 29), равновесную стратегию имеет
Первый: на первом ходу он должен сделать позицию
равновесной (взять 14 монет из 29), а дальше повторять
ходы Второго, восстанавливая равновесие. Эта стратегия
выигрышна для Первого: он всегда сможет сделать ход, а
заключительная позиция обязательно достанется Второму.
Равновесную стратегию можно строить не только в
играх со взвешиванием, но и во многих других играх.
Обычно это игры, в которых проигравшим считается тот,
кто не может сделать очередной ход. Для построения
равновесной стратегии в такой игре нужно сначала сооб-
разить, какие позиции считать «равновесными». При
этом важно, чтобы и заключительная позиция тоже ока-
залась « равновесной ».
Равновесную стратегию можно построить, например,
для игры Ладья. Действительно, можно считать равновес-
ными такие позиции этой игры, в которых ладья стоит
на чёрной диагонали шахматной
доски. Тогда в игре с начальной по-
зицией al равновесная стратегия Вто-
рого состоит в том, чтобы каждый
раз после хода Первого возвращать
ладью на эту диагональ (и тем самым
делать позицию снова равновесной).
Такая стратегия оказывается выиг-
рышной для Второго. Следуя этой
стратегии, Второй каждый раз пере-
двигает ладью па столько же полей,
134
на сколько её передвинул Первый на предыдущем ходу;
но если Первый сделал ход по вертикали, то Второй хо-
дит по горизонтали, и наоборот. Второй всегда сможет
сделать такой ход, и заключительная позиция непремен-
но достанется его противнику.
На рисунке (с. 134) показан пример партии, в ко-
торой Второй следует этой стратегии (на рисунке схема
пути ладьи в этой партии).
Заметим, что эта равновесная стратегия ничем не
отличается от той стратегии, которую мы построили, изу-
чив все позиции игры: мы просто получили один и тот
же результат разными способами.
Приведём ещё один пример игры, для которой мож-
но построить равновесную стратегию. Это знакомая вам
игра Ползунок на поле 5x4. Какие позиции в этой игре
мы будем считать равновесны-
ми? Начальную позицию этой
игры можно повернуть «вверх
ногами» — от этого рисунок
поля не изменится (см. рисунок
справа). Будем считать равновес-
ными и другие позиции, кото-
рые не изменяются при таком
повороте. Вот примеры таких
позиций:
Пусть теперь Первый следует такой равновесной
стратегии: на первом ходу он проводит вертикальный
отрезок в центре поля (при этом позиция остаётся равно-
весной). А потом после каждого хода Второго Первый
восстанавливает равновесие: если Второй сделал ход на
одном конце ползунка (ломаной), то Первый проводит
отрезок на другом конце и в обратном направлении. Вот
пример начала партии, в которой Первый следует такой
стратегии:
135
I \ри такой стратегии если Второму удалось сделать
ход, то и Первому это удастся — он всегда сможет про-
вести отрезок на другой стороне поля и восстановить рав-
новесие. Если же Второй сделать ход не может, то
Второй уже проиграл. Следовательно, описанная равно-
весная стратегия выигрышна для Первого.
В задачах вы встретитесь со многими другими игра-
ми, в которых можно построить выигрышную равновес-
ную стратегию. Некоторые игры будут похожи на те,
которые мы разобрали, а другие будут непохожи. В каж-
дой такой игре нужно будет выделить равновесные пози-
ции и описать равновесную стратегию для одного из
игроков. После этого останется только убедиться, что
построенная вами равновесная стратегия является выиг-
рышной — как бы ни играл противник, игрок, следу-
ющий этой стратегии, непременно выиграет.
245 Даны правила игры Шары и ящики.
ПРАВИЛА ИГРЫ ШАРЫ И ЯЩИКИ
Начальная позиция. Два открытых ящика, в каждом лежат
шары. Сколько шаров в каждом ящике, определяется до-
полнительными правилами.
Возможные ходы. На каждом ходу игрок забирает из
одного ящика сколько угодно шаров.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если
очередной ход сделать невозможно — шары закончились.
Выигрывает тот, кто сделал последний ход.
136
Исследуй игру Шары и ящики для различных начальных
позиций. Кто из игроков обладает выигрышной стратегией?
Опиши эту стратегию.
Нужно рассмотреть два варианта начальных позиций:
1) если шаров в ящиках поровну;
2) если шаров в ящиках не поровну.
246 Сформулируй равновесную выигрышную стратегию для
Первого в игре Ладья с начальной позицией аЗ. Приведи
пример партии этой игры, в которой Первый следует твоей
стратегии, — нарисуй путь ладьи в такой партии.
247 В игре Ползунок на поле 4x3 существует
равновесная выигрышная стратегия для
Первого, подобная той, которая описана на
странице 135. Построй последовательность
позиций какой-либо партии этой игры, в ко-
торой Первый следует равновесной выиг-
рышной стратегии.
248 В игре Ползунок на поле 4x4 равновесную
выигрышную стратегию для Первого, кото-
рая описана на странице 135, построить не
удастся. Но в этой игре существует другая
равновесная выигрышная стратегия для
Первого. Она получается, если считать рав-
новесными такие позиции, в которых при
перегибании поля по синей линии его пра-
вая и левая части совпадают. Эта стратегия
заключается в зеркальном повторении ходов
Второго (представь себе, что зеркало стоит
на синей прямой).
Построй последовательность позиций какой-
либо партии, в которой Первый следует
такой стратегии и первым ходом соединяет
две средние точки нижнего ряда.
249 Сгруппируй числа множества Р по остаткам
от деления на 4: в одну группу помести
все числа множества Р, которые делятся
на 4 без остатка, в другую — те числа,
при делении которых на 4 получается оста-
ток 1, и т. д.
35 24
71
80
3
10
9
85
144
93
55 46
137
250
Даны правила игры Минусы.
ПРАВИЛА ИГРЫ МИНУСЫ
Начальная позиция. В строке написано несколько мину-
сов. Сколько именно, определяется дополнительными
правилами.
Возможные ходы. На каждом ходу игрок переправляет
один минус на плюс или два соседних минуса на два
плюса.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если
очередной ход сделать невозможно — минусы закончи-
лись. Выигрывает тот, кто сделал последний ход.
Найди выигрышную стратегию в игре Минусы с начальной
позицией 18 минусов и в той же игре с начальной позицией
21 минус. Определи, кто обладает выигрышной стратегией,
и опиши эту стратегию для каждой из данных начальных по-
зиций Теперь попробуй обобщить свои выводы — опиши
выигрышную стратегию для любой игры Минусы.
а)	если начальная позиция — нечётное число минусов;
б)	если начальная позиция — чётное число минусов.
Построй два таких множества бусин
следующие утверждения истинны:
Множество П равно пересече-
нию множеств А и В.
Множество О равно объедине-
нию множеств А и В
В множестве А жёлтых бусин
больше, чем квадратных.
В множестве В треугольных
бусин больше, чем красных.
А и В, для которых все
Пусть Т — множество всех чисел, на которые делится без
остатка число 96, и Н — множество всех чисел, на которые
делится без остатка число 72. Построй множество всех
чисел, на которые делятся без остатка оба числа 96 и 72.
138
253 Исследуй игру Оттесни шашку. У кого из игроков есть рав-
новесная выигрышная стратегия? Сформулируй эту страте-
гию.
ПРАВИЛА ИГРЫ ОТТЕСНИ ШАШКУ
Начальная позиция. Полоска 1x20 клеток. В крайних
клетках полоски стоят белая и чёрная шашки.
Возможные ходы. Каждый игрок на своём ходу передви-
гает свою шашку на одну или две клетки по направле-
нию к середине полосы, если это возможно. Перепрыги-
вать через шашку противника нельзя. Первый двигает
белую шашку, Второй — чёрную.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если
очередной ход сделать невозможно. Выигрывает тот, кто
сделал последний ход.
254 Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры
числа 5434? Построй дерево перебора вариантов.
255 Построй последовательность однозначных чисел длины 5,
для которой все следующие утверждения истинны:
В этой последовательности следующее
число после каждого нечётного — чётное.
4
Первый член этой последовательности
больше третьего на 2.
Каждый член этой последовательности
есть в множестве К.
Реши задачу.
Известно, что К. М. Петров, В. Д. Петров, П. Б. Петров,
Н. В. Петров, М. С. Петров, И. В. Петров, А. К. Петров,
Д. М. Петров, Р. Б. Петров, Г. Д. Петров, Б. К. Петров — пред-
ставители одного рода, причем один из них — основатель
рода, остальные — его сыновья, внуки и правнуки. Других
сыновей, внуков и правнуков у него не было. Построй де-
рево родства Петровых, если известно, что у каждого отца
было по два сына, внуков у основателя рода четыре, а у
его сыновей — по два.
139
Биоинформатика. Белки и ДНК.
| Почему сын похож на отца?
С древних времён люди замечали, что у тигров
рождаются тигрята, у птиц — птенцы, у людей — дети.
Мало того, дети обычно внешне похожи на родителей —
имеют тот же цвет глаз, цвет волос или форму носа. Но-
ворожденный младенец часто не
Почему дети похожи
на родителей?
похож ни на мать, ни на отца,
но со временем он приобретает
черты внешнего сходства с ма-
терью и отцом. Получается, что
любой организм уже при рожде-
нии (а на самом деле ещё до
рождения) «знает», какие у него
во взрослом состоянии будут гла-
за, рост или голос. Значит, вся
эта информация уже заложена с
рождения, она где-то хранится,
а по мере роста организм лишь
считывает эту информацию и
приобретает те черты, которые
ему предписаны наследственной
программой.
Где же и как хранится на-
следственная информация? Как
организм считывает её и понимает? Как он использует
эту информацию по мере развития и роста? Этим вопро-
сам много веков. Но ответы учёные стали находить толь-
ко в последние 50 лет.
Всё в мире состоит из отдельных частей — и пред-
меты, и живые организмы. В свою очередь, эти части
сами состоят из частей, и т. д. Некоторые более крупные
части мы видим, а есть и такие маленькие, которые наш
глаз не способен различить (они в миллионы раз тоньше
человеческого волоса). Мы видим, например, что дом сло-
жен из кирпичей, но мы не можем различить, из каких
частичек состоит вода в стакане. И в воде, и в кирпичах,
из которых построен дом, и в клетках тела человека мож-
но выделить мельчайшие частицы, которые называются мо-
лекулами. Многое вокруг нас — и живое, и неживое — по-
строено из молекул. Молекулы очень малы, их невозможно
140
увидеть без специальных приборов. К счастью, такие
приборы существуют — они помогают изучать молекулы.
Среди молекул любого живого организма на нашей
планете основную часть составляют молекулы осо-
бых веществ - белков.
Различных белков, т. е. различных видов молекул
белков, очень много — несколько миллионов. Например,
только в организме человека встречается около 30 000
различных белков. Но при этом молекулы всех белков
устроены похожим образом.
Молекула любого белка — это цепочка (последова-
тельность), состоящая из сотен, а иногда и тысяч
звеньев. При этом во всех известных молекулах
белков встречается только 20 видов звеньев! (Можно ска-
зать, что книга жизни написана в 20-буквенном алфавите.)
Звенья белковых цепей называют аминокислотными
остатками. Каждый аминокислотный остаток имеет своё
название и обозначение (одной буквой латинского алфа-
вита), поэтому белки часто описывают словами (последо-
вательностями букв) в 20-буквенном алфавите (см.
таблицу на форзаце в конце
Именно набором бел-
ков один организм отли-
чается от другого. Наборы
белков у двух людей (у
двух кошек, двух берёз)
очень похожи, только мел-
кие различия определяют,
например, разный цвет
глаз у разных людей или
разную расцветку шерсти
двух кошек. Наборы бел-
ков у организмов разных
видов разные, но, чем бо-
лее родственны эти виды,
тем более похожи наборы
белков. Например, белки
человека и шимпанзе сов-
падают на 99% (т. е. раз-
личается только одно зве-
но из 100). А у человека
учебника).
Компьютерная модель молеку-
лы белка. Радужная расцветка
позволяет проследить ход
звеньев цепочки. Молекула на
рисунке увеличена примерно в
миллиард раз.
141
и мыши степень сходства — около 80% (отличается 20
звеньев из 100).
Где же хранится наследственная информация?
За хранение и передачу наследственной информации
в живых организмах отвечают специальные молеку-
лы — молекулы ДНК.
ДНК — это сокращение, полное название — дезок-
сирибонуклеиновая кислота, Молекулы ДНК во всех
клетках одного живого организма одинаковы. Но при
этом молекулы ДНК разных органимов разные: у каждого
человека свои молекулы ДНК, у каждой мышки — свои.
Все молекулы ДНК, как и молекулы белков, — это
цепочки, но звенья в молекулах ДНК отличаются от
звеньев белков.
Звенья ДНК называются нуклеотидами. В молеку-
лах ДНК встречается всего 4 вида нуклеотидов.
Молекулы ДНК в клетках живых организмов гораз-
до длиннее молекул белков. Даже самые короткие моле-
кулы ДНК (ДНК вирусов) содержат сотни тысяч звеньев
(нуклеотидов). А ДНК человека содержит около 3 милли-
ардов нуклеотидов. То есть молекула ДНК — это целая
книга, написанная в 4-буквенном алфавите. Нуклеотиды
обозначаются латинскими буквами А, С, G и Т.
Молекулы ДНК каждого живого организма пол-
ностью определяют, какие белки будут в этом орга-
низме.
Но как именно это происходит? Иными словами,
как в ДНК закодированы (т. е. зашифрованы) белки? На
этот вопрос мы ответим позже. А пока займёмся просто
шифрованием.
Шифрование
ССАССТ
С древних времён люди использовали шифрование
для секретной передачи и хранения информации. Шифро
вание выглядит как увлекательная игра, но преследует
серьёзные цели. Шифры используются в военных целях,
для передачи секретных сообщений, для хранения тайного
знания и во многих других случаях.
142
Первые зашифрованные сообщения использовались
ещё в Древнем Египте. Способ шифрования тогда был
очень прост, сейчас он называется «шифрование простой
подстановкой»: каждый иероглиф исходного сообщения за-
менялся в зашифрованном сообщении другим. При этом
одинаковые иероглифы заменялись одинаковыми, а раз-
ные — разными.
Сегодня существует много разных способов шифрова-
ния и шифров. Мы будем пользоваться лишь одним спосо-
бом, который построен по следующим правилам:
1.	Каждая русская буква, а также пробел или знак препинания
заменяется последовательностью латинских букв длины 3.
Такая последовательность называется кодом. При этом ис-
пользуются только четыре латинские буквы — А, С, G, Т.
2.	Каждый код всегда заменяет (кодирует) одну и ту же букву
или знак. При этом одна буква или знак не обязательно
всегда заменяется одним и тем же кодом.
3.	При замене букв и знаков кодами порядок букв и знаков не
меняется.
Замена каждой буквы её кодом называется шифро-
ванием. Обратная замена каждого кода на соответ-
ствующую ему букву называется расшифровкой.
Для удобства шифрования и рас-
шифровки строят шифровальную табли-
цу, в которой указан код (или все ко-
ды, если их несколько) для каждой
буквы, для пробела и знаков препина-
ния. Незаполненная часть такой табли-
цы помещена справа.
Полный шифр — это заполненная
• шифровальная таблица, указыва-
ющая соответствие каждой буквы
или знака и каждого кода.
Вот примеры шифровок:
Код буквы Я — CAT.
Шифровка слова ТЫ — CCCCGG.
Буква/ знак	Код
А	
Б	
В	
Г	
д	
Е	
Ё	
Зашифруем слово ОНИ — получим шифровку ACTAGCTAA.
Закодируем слово КОМПЬЮТЕР — получим шифровку
AGGACTACGATCCTTCGACCCAGAAGT.
143

После раскодирования шифровки GAAAAACTCTAACCGAG-
TACTAAGAAAAGCAGCCGGACC получаем слово ЗАШИФ-
РОВАННЫЙ.
Обратите внимание, что знак переноса нам помогает
удобно расположить на странице слова и их шифровки.
При этом знак переноса при шифровании и расшифровке
не учитывается.
Полный шифр вы построите, решая задачи.
257
□
Вырежи со вкладыша тетради проектов заготовку шифро-
вальной таблицы и вложи в тетрадь (лучше прикрепить её
скрепкой, чтобы потом не выпала). Используя коды из при-
меров на страницах 143 и 144, заполни в своей таблице
все строки, которые сможешь.
Теперь проверь: в таблице должны быть коды для 19 букв.
258 Зашифруй те слова множества F, для шифрования которых
в твоей таблице имеются все необходимые коды. Запиши
шифровки в тетрадь.
ШАР БАНАН ШАРФ КАРТОШКА
ОНА ОН ВЬЮНОК ДЕДУШКА
259
Сколько различных последовательностей
длины 3 можно составить из букв множе-
ства М (конечно, буквы могут повторять-
ся)? Построй дерево перебора вариантов.
Можно ли было использовать для шиф-
рования букв русского алфавита не трой-
ки, а пары, составленные из букв множе-
ства М? Поясни свой ответ.
При расшифровке удобно пользоваться обратной шифро-
вальной таблицей — таблицей расшифровки. В такой табли-
це в левой колонке выписаны все возможные коды (в сло-
варном порядке), а в правой — буквы или знаки, которые
этим кодам соответствуют. Вырежи со вкладыша тетради
проектов заготовку таблицы расшифровки и вложи в тет-
радь. Заполни в этой таблице все строки, которые сможешь.
Для этого воспользуйся своей шифровальной таблицей.
144
260 Раскодируй шифровки: перепиши их в тетрадь и напиши
рядом с каждой зашифрованное в ней слово.
AGGACTGAAAAA
AGGACTGAACGG
ATCAGAAGTAAGAAACAT
AAAAGCCCCAGTAAAAGGCCC
261 Множество В — это множество шифровок всех слов из мно-
жества А. Для каждого слова из множества А найди его
шифровку в множестве В, запиши в тетрадь пары — слово
и его шифровка. Затем, пользуясь словами множества А и
их шифровками, заполни пустые клетки шифровальной таб-
лицы и таблицы расшифровки.
эх
ЧАС УЖ
БАЦ
БАС
ЛУГА
ДУГА
ЛУЖА
ОБЩИХ
ОБЪЁМ
^CAGCCT ААСАААСАС
CCACCT AACAAAATG
ССАСАА CGCAAAATG
ACACCAAATAAA
ATTCCACAAAAA
ATTCCAAATAAA
ACTAACGCCTAACCT
I ACTAACTCCATAACG
Проверь себя — в каждой таблице теперь должны быть
коды для всех русских букв.
262
Нарисуй такой же многоугольник
по клеткам в тетради. Теперь
нарисуй, как разрезать этот че-
тырёхугольник на части, чтобы
из этих частей можно было со-
брать прямоугольник на сетке.
Нарисуй такой прямоугольник и
покажи штриховыми линиями, из
каких частей он составлен.
6-14631 А. Л. Семенов
145
263 Дано зашифрованное предложение. Слова в этой шифровке
разделены тройкой символов, кодирующей пробел. Расшиф-
руй и запиши в тетрадь предложение. Дополни таблицы
шифровки и расшифровки кодом пробела.
ACGAAAACGAAACTAACGCGGATTAAA-
CTAAGTAAAACGCCA
264 При помощи шифровальной таблицы зашифруй слова;
ПАРОМ, ВОЗДУХ. Теперь, не обращаясь к шифровальной
таблице, зашифруй слова: ПАРОВОЗ, ДУХОМ.
265
На квадратном участке рас-
положены три дома, а в
ограде сделаны три калитки.
Проложи дорожку от каждо-
го дома к калитке с тем же
номером так, чтобы дорожки
не пересекались. Нарисуй
схему участка и дорожек в
тетради. Дома перерисовы-
вать не надо — достаточно
поставить номера.
266 При помощи таблицы рас-
шифровки раскодируй следу-
ющие шифровки, запиши в
тетрадь получившиеся слова.
ATCAAAAGTAAAACAACTAGGATG
CCGAGAAAGAGTAAAATTCTT
ACGCCAGAACGGAGGAAA
AGCAGAACTCCCTCCAGAACGATTAG-
AACGCGGACC
267
Пользуясь шифровальной таблицей, зашифруй предложение:
ЛЮБЛЮ ГРОЗУ В НАЧАЛЕ МАЯ.
146
268
Раскодируй зашифрованное предложение.
ATCAGTTAACCTACTACATAACTAATG-
AGAAATACTACAAGCCATCTAAGCAAA-
CTAAGGAAACCCACTAGGCTAAAGCT-
AATGAGAACGCTT
269 Даны правила игры Три кучи камешков:
ПРАВИЛА ИГРЫ ТРИ КУЧИ КАМЕШКОВ
Начальная позиция. Три кучи камешков, во всех кучах
камней поровну (сколько именно, устанавливается допол-
нительными правилами).
Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять
любое число камешков, но только из одной кучи.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если все
камешки закончились. Выигрывает игрок, который забрал
последний камешек.
27
Известно, что в игре Три кучи камешков Первый имеет рав-
новесную выигрышную стратегию. Сформулируй эту стратегию.
Реши задачу.
Жители двух соседних городов — города Рыцарей и города
Лжецов — раз в год приезжают на ярмарку в город Хитре-
цов. Известно, что рыцари всегда говорят правду, лжецы
всегда лгут, а хитрецы говорят правду через раз, т. е. из
двух сказанных ими подряд предложений одно — правда, а
другое — ложь. На ярмарке
встретились трое и затеяли
спор:
Первый. Один из нас рыцарь.
Второй. Да уж ты~то точно
лжец.
Третий. Оба вы лжецы. Хотя я
тоже не рыцарь.
Определи, кто такие Первый,
Второй и Третий, если точно
известно, что все они живут в
разных городах.
6*
147
Н Биоинформатика.
Как кодируются белки
3
Вы уже знаете, что в состав любого живого орга-
низма входят молекулы белков. Именно набор белков
определяет, например, почему у одного человека глаза
карие, а у другого — голубые. Каждая молекула белка —
это цепочка (последовательность). Звенья этой цепочки
называются аминокислотны-
ми остатками или просто
остатками. Все белки каж-
дого живого существа закоди-
рованы в особой молекуле —
молекуле ДНК. Молекула
ДНК — это тоже цепочка,
состоящая из звеньев друго-
го вида — нуклеотидов. Та-
ким образом, в одной после-
довательности (молекуле
ДНК) закодированы другие
последовательности (молеку-
лы белков). А как именно,
каким шифром в ДНК зако-
дированы белки?
Оказывается, это проис-
ходит примерно так же, как
в задачах на шифрование,
которые вы решали.
Аминокислотные остат-
ки (звенья молекул белка)
могут быть только двадцати
видов. Это значит, что моле-
кула белка похожа на длин-
ное слово, написанное в
20-буквенном алфавите. Каж-
дый из двадцати возможных
остатков имеет своё название
и обозначается одной латин-
ской буквой (см. таблицу на
форзаце в конце учебника).
Все молекулы ДНК по-
строены только из четырёх
Раскрашенная модель моле-
кулы ДНК. Молекула ДНК
очень длинная — здесь пред-
ставлена только небольшая
её часть. На модели видно,
что молекула ДНК состоит из
двух цепочек (одна раскра-
шена жёлтым, а другая —
красным). В этих цепочках
нуклеотиды расположены
друг против друга и связаны
особыми химическими связя-
ми (они показаны голубым).
148
видов нуклеотидов. Вот их русские и английские назва-
ния и буквы, которыми они обозначаются:
аденин (Adenine, А),
цитозин (Cytosine, С),
гуанин (Guanine, G),
тимин (Thymine, Т).
Молекулу ДНК можно сравнить с очень длинным словом,
написанным в 4-буквенном алфавите.
Не вся молекула ДНК кодирует белки, а только не-
которые её участки, которые называются генами. Моле-
кула ДНК простейших организмов (вирусов, бактерий)
почти вся состоит из генов, а в молекуле ДНК человека
гены составляют только около 3% всей длины. Зачем
нужны остальные 97% ДНК, человека, науке пока изве-
стно плохо.
В гене (как и в наших шифровках) каждый остаток
белка кодируется тройкой нуклеотидов. Такие тройки би-
ологи называют кодонами, Например, тройка AAG (аде-
нин-аденин-гуанин) кодирует остаток лизин. При этом
один и тот же остаток может кодироваться разными
тройками нуклеотидов. Специальные тройки кодируют
начало и конец гена. В таблице на форзаце в конце
учебника вы найдёте полный список остатков и всех
шифрующих их кодонов. Эта таблица называется
таблицей генетического кода,
О том, что белки могут кодироваться тройками
нуклеотидов, догадался в середине XX века выдающийся
физик и биолог Георгий Гамов. Позже с помощью экспе-
риментов учёные подтвердили эту догадку и определили,
какой остаток кодируется каждым кодоном. Замечатель-
но, что генетический код един для всех известных
живых организмов!
271 В этой шифровке закодировано слово, но по ошибке то ли
одну букву пропустили, то ли вставили лишнюю. Не расшиф-
ровывая слово, определи, какую именно ошибку допустили
при шифровании: пропустили букву или вставили лишнюю.
Объясни свой ответ.
AAAAACACAGTAGAAAGTAAAAACCCCCAAGTAAA
149
272 Одно из слов множества Д зашифровали, но при этом
допустили ошибки — одну букву в шифровке пропустили и
вставили одну лишнюю (не обязательно в то же место).
Определи, какое слово пытались зашифровать, запиши в
тетрадь это слово и его правильную шифровку.
CCAATAAGG
ТОК ТАК ШОК Д
ШИК ТИК
273 Разведчик зашифровал два слова — важный пароль и ответ
на него. В начале и в конце, а также между словами раз-
ведчик вставил лишние тройки латинских букв, которые не
входят в послание, — они служат для того, чтобы замаски-
ровать эти важные слова в тексте (на случай перехвата
послания противником). При этом начало и конец каждой
части послания разведчик закодировал специальными трой-
ками латинских букв, чтобы в штабе послание все же смогли
расшифровать. Этими тройками разведчик всегда кодирует
начало и конец предложения. Расшифруй и запиши в тет-
радь пароль и ответ на него. Дополни таблицы шифровки и
расшифровки тройками, кодирующими начало и конец пред-
ложения.
TTGGCACGTATCAGACCTACTCCCAA-
ACTGTCTGATCGTAAAAAGTAAAAAC-
ACTAACATCTGGTTGGA
274
В таблице размером 7x7 клеток двое игроков по очереди
закрашивают клетки так, чтобы раскрашенные клетки не
имели общих сторон. Проигрывает тот, кто не может сделать
275
ход. У кого из игроков есть
выигрышная стратегия в этой
игре? Опиши эту стратегию.
Найди площадь многоугольни-
ка П. Нарисуй, как можно раз-
резать этот многоугольник,
чтобы получились два много-
угольника на сетке одинаковой
площади.
150
Вот три шифровки одного слова, все эти шифровки с ошиб-
ками. В одной из них пропустили одну букву, в другой —
вставили лишнюю, в третьей — произошло и то, и другое.
Запиши слово и его правильную шифровку.
ACAGTCGCAACA
ATCAGGTCCAACA
ATCAGTCAACA
277 Наиболее важные послания разведчик шифрует более слож-
ным шифром, чем обычно. Он использует те же коды для
тех же букв, что и раньше, но использует также и новые,
дополнительные коды (тоже тройки букв из того же 4-бук-
венного алфавита). Таким образом, одну и ту же русскую
букву он может шифровать разными кодами (при этом один
и тот же код, как обычно, всегда кодирует одну и ту же
букву). Множество W состоит из разных шифровок двух
слов: СМЕШНО и ГЛАДИТ. Выясни, какая шифровка отно-
сится к какому слову, дополни новыми кодами букв свою
шифровальную таблицу и таблицу расшифровки.
GGAGTTGAGGGCGTGTGT
TCTGCAGGTTCAGTATTA
AATATTG ACG G CGTGCCC
TGCTTTGCTTCAAGCTTC
GGAGTTGATGGCTACTGT
□
Проверь себя: теперь в твоей шифровальной таблице долж-
но быть 52 кода для русских букв.
278
279
Молекула ДНК человека состоит из трёх миллиардов нукле-
отидов. При этом гены составляют только 3% всей длины
последовательности. Сколько нуклеотидов содержится во
всех генах человека?
Реши задачу.
Книга стоит 50 р. плюс поповину своей цены. Сколько сто-
ит книга?
151
280 Разведчик зашифровал два предложения. В начале и в
конце, а также между предложениями разведчик вставил
лишние тройки латинских букв, которые не входят в посла-
ние. Расшифруй послание и запиши его в тетрадь.
GCGTCTCGTATGCCCCATAATTAAAAG-
AAAAGCTAAAGACTAAAGACTACCATG-
AGGCTAAGCAAACTAGAAAAAAT-
CAAAACACTAACTAACACGAAAAGCC-
TGTATAGTGGGCGTAACAGAAGTAG-
AAATTAACCCAGACTACGАСАЛAGС-
CGGAGACTAAATAGTAAAAGCTAAC-
ACCGGCTGTTTGTATTCGGT
282 Участок ДНК
ATG CCA GCC АСА GAC АСА AAC AGC АСС
САС ACC ACG CCG ATG САС CCA GAC GCC
САА САС
кодирует такую поспедовательность остатков:
MPATDTNSTHTTPMHPDAQH
Пользуясь таблицами на форзаце в конце учебника, найди
такой остаток, который в этом примере кодируется тремя
разными кодонами. Выпиши его название и его кодоны.
152
283 Дано множество слов R и множество шифровок этих слов Q.
Выясни, какая шифровка относится к какому слову — напи-
ши рядом с каждым словом его шифровку. Дополни новыми
кодами букв шифровальную таблицу и таблицу расшифровки
ПАР
ВОР
ЗРЯ
УХО
РОК
пол
кок
GGGTTATAT
TATACTTGG
GCGTATTCG
TGATTCGTT
TTGGAGTAT
GTCTTATGG
TAGCCTTTC
284
Проверь себя: теперь в твоей шифровальной таблице дол-
жен быть 61 код для русских букв.
Реши задачу.
Каждый из четырёх гномов —
Ваня, Даня, Женя и Саня — ли-
бо всегда говорит правду, либо
всегда врёт. Мы услышали такие
отрывки разговора:
Ваня — Дане: «Ты врун».
Даня — Жене: «Ты врун!»
Женя — Сане: «Оба они вруны».
Потом подумал и добавил: «Да
и ты тоже врун».
Кто из этих четырёх гномов
всегда говорит правду?
286
Реши задачу.
При приготовлении пиццы выпекается большой хлебный корж
и посыпается тёртым сыром. К сыру добавляются разные
продукты, обеспечивающие тот или иной вкус.. В распоряже-
нии Марчелло имеются сладкий перец, репчатый лук, мари-
нованные грибы, свежие помидоры, маринованная морковь и
анчоусы (мелкая рыбка — хамса специального посола). По
мнению Марчелло, имея один или несколько из этих продук-
тов (в любых сочетаниях), а также корж и сыр, можно при-
готовить пиццу. Сколько типов пиццы можно приготовить?
153
Биоинформатика. Как изучают белки
Бы уже знаете, генетическим код в основном устро-
ен так же, как и код в наших задачах: есть текст в
4-буквенном алфавите (А, С, G, Т); тройки букв (тройки
нуклеотидов молекулы ДНК) кодируют остатки — звенья
молекул белков.
Участки ДНК, которые кодируют белки (они назы-
ваются генами), ограничены специальными тройками.
Первая тройка в любом ге-
не — ATG (она называется
старт-ко доном).	Кодон
ATG — это кодон остатка
метионина (этот остаток
обозначается буквой М),
поэтому этот кодон встреча-
ется и внутри генов. По-
следняя тройка в каждом
гене — это ТАА, TAG или
TGA. Эти кодоны называ-
ются стоп-кодонами, они
играют такую же роль, как
точки в предложении.
Стоп-кодоны не кодируют
никакого остатка, внутри
генов они не встречаются.
Бы уже знакомы с
таблицей генетического ко-
да. В ней для каждого
остатка приведены его ко-
доны, при этом один оста-
ток, как правило, может
кодироваться несколькими
разными кодонами. На фор-
заце в конце учебника при-
ведена и обратная таблица:
для каждого кодона указан
соответствующий остаток.
Мы описали основной
способ кодирования белков.
Бывают и более сложные
случаи, например, гены мо-
На этой модели видно, что
аденин (А) всегда связан с
тимином (Т), а цитозин (С) —
с гуанином (G). Две цепочки
молекулы ДНК закручены в
спираль — наподобие винто-
вой лестницы. Эту модель
(она называется «двойная
спираль») придумали в 50-х
годах XX в. Дж. Уотсон и
Ф. Крик
154
гут перекрываться, т. е. получается как бы одна шиф-
ровка, наложенная на другую. Такое явление встречается
в ДНК вирусов. Похожие ситуации вам встретятся в
задачах на шифрование.
Современные технологии позволяют определять
последовательность нуклеотидов в молекулах ДНК. Сегод-
ня уже полностью расшифрованы ДНК человека, шим-
панзе, мыши, крысы, некоторых растений и сотен бакте-
рий. Теперь учёным важно понять, для чего служат раз-
личные фрагменты ДНК, и прежде всего выделить учас-
тки, кодирующие белки.
Иногда учёным приходится иметь дело с данными,
в которых есть ошибки — в ходе эксперимента некото-
рые буквы могут потеряться, а могут и ошибочно
появиться новые буквы. Подобные задачи на шифрование
вам уже встречались. При их решении вы использовали
то, что не все тройки допустимы. В реальном же коди-
ровании белков это не так — каждая тройка имеет
значение. Поэтому, чтобы выделять кодирующие участки,
учёным-биологам приходится использовать более сложные
методы.
286 Иногда в одной шифровке разведчику удаётся передать два
сообщения, наложив «одно поверх другого». Для этого он
так составляет шифровку, чтобы сначала читалось первое
сообщение, а с некоторого места (например, со второй бук-
вы шифровки) читалось второе сообщение. Вот пример та-
кой шифровки, в которой содержатся с перекрытием два
слова из 4 букв. Расшифруй и запиши в тетрадь эти слова,
рядом с каждым словом запиши его шифровку.
CAACGAAGTTAAACAT
287 Пользуясь шифровальной таблицей, напиши 6 разных шиф-
ровок слова МОЩЬ. Сколько всего существует таких шифро-
вок? Объясни свой ответ.
288 Пользуясь своей шифровальной таблицей, определи, сколь-
кими способами можно зашифровать слово ЖАДНЫЙ. Запи-
ши все различные шифровки этого слова.
155
289
На форзаце в конце учебника приведена обратная таблица
генетического кода — для каждого кодона указан соответ-
ствующий остаток. Обрати внимание, что главную роль в
определении остатка, соответствующего кодону, играют две
первые буквы кодона. В одних случаях третья буква может
быть любой (так, например, для пролина годится любой
кодон, первые две буквы которого СС). В других — третьи
буквы А или G соответствуют одному остатку, а С или Т —
другому. Например, ААА и AAG кодируют лизин, а ААС и
ААТ — аспарагин.
Из этих правил есть только два исключения. Найди их в
таблице генетического кода.
290 В одной из шифровок слова РЫСЬ вычеркнули 3 буквы (не
обязательно идущие подряд), и получилась одна из шифро-
вок слова ПЕЛ. Найди и запиши такую шифровку слова
РЫСЬ, подчеркни в ней те буквы, которые вычеркнули,
чтобы получить шифровку слова ПЕЛ.
291
Пользуясь своей шифровальной таблицей, придумай и запи-
ши слово, которое можно зашифровать более чем 10 спосо-
бами. Запиши любые 5 из возможных шифровок этого
слова.
292 Построй множество, состоящее из
четырёх элементов, которое имеет
ровно 4 подмножества, которые
равны каким-то из подмножеств
множества Ц.
293 Запиши предложение, содержащееся в следующей шифровке
(слова, как обычно, разделены тройкой латинских букв, коди-
рующей пробел).
TAGTATACTGTCCTATTTCCAGCGCGG-
AGGTACCTATGAGGTAGTGCTGTAACT-
TGCTAACCCTCTTCGCTAAGCGATCTA-
GAAAAAGGGCCCTATGAC
Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры
числа 9854?
Запиши шифровку, длина которой не больше 18 латинских
букв, такую, чтобы в ней содержались 2 слова — БЕЛЫЙ и
НОГУ. Для того чтобы выполнить задание, тебе понадобится
использовать наложение шифровок, подобное тому, о кото-
ром говорится в задаче 286.
296 Реши задачу.
В нашем классе из 31 учащегося по итогам первой четвер-
ти неуспевающих нет (ни у кого нет ни одной четвертной
двойки). При этом у нас имеется 3 круглых отличника и
3 круглых троечника (тех, у кого тройки в четверти по всем
предметам). Пятеро учеников закончили четверть только на
четвёрки и пятёрки. Известно также, что пятёрки имеют
среди четвертных оценок 18 учеников, и 24 ученика имеют
среди четвертных оценок четвёрки. Сколько учеников нашего
класса имеют в четверти и тройки, и четвёрки, и пятерки?
Сколько учеников нашего класса не получили в четверти ни
одной четвёрки?
Для решения задачи нарисуй схему с множествами, как в
задаче 129.
297 Сколько существует трёхзначных чисел, в запись которых
входит ровно две цифры 5?
298
Двое игроков по очереди перево-
дят часовую стрелку на два или на
три часа вперёд. В начальной по-
зиции часовая стрелка указывает
на 12. Побеждает тот, кто первым
поставит стрелку на 6 (прежде чем
остановиться на цифре 6, стрелка
может сделать несколько оборо-
тов). У кого из игроков есть выиг-
рышная стратегия?
Для решения задачи можешь вос-
пользоваться специальной круглой
числовой линейкой, которую можно
вырезать из вкладыша
тетради проектов. Обрати внимание, что, после того, как ты
обойдёшь круглую линейку один раз, некоторые позиции
останутся незакрашенными. Чтобы раскрасить все позиции,
нужно будет обойти линейку несколько раз.
157
299
Прочитай текст с описанием бабочек некоторых семейств и
рассмотри изображения бабочек (на следующей странице).
Рассортируй бабочек по семействам: напиши, к какому из
описанных семейств относится каждая бабочка.
Древние римляне верили, что бабочки произошли
от цветов, оторвавшихся от растений. Бабочки —
нежные и хрупкие создания, которые, однако, не
всегда приносят только радость, а могут доставить
человеку и массу неприятностей.
Бабочки из семейства парусников — крупные,
красивые, с широкими крыльями. Внутренний край
их задних крыльев вырезан и не прилегает к брюшку.
Концы задних крыльев вытянуты в длинные «хвости-
ки». Во время полёта парусники, несколько раз
взмахнув крыльями, скользят по воздуху, планируя.
Бабочки из семейства павлиноглазок имеют широ-
кие, зачастую пёстро окрашенные крылья, которые
складываются вертикально за спиной. Посередине
каждого крыла обычно расположено большое цветное
пятно, напоминающее птичий глаз. Нижняя сторона
крыльев имеет защитную окраску под цвет тех расте-
ний, на которые садятся бабочки. Гусеницы павли-
ноглазок перед окукливанием плетут коконы. Нити,
из которых плетутся коконы, весьма прочны. Из ни-
тей коконов некоторых видов павлиноглазок в Китае
изготавливают тонкую и прочную ткань — чесучу.
Бражники — крупные или средние бабочки с
длинными и узковатыми передними крыльями и ко-
роткими задними, имеющие толстое и длинное брюш-
ко. Активная жизнь бражников начинается обычно
вечером. Они носятся в воздухе со скоростью около
60 километров в час, и на лету, не садясь на цветы,
поддерживая своё тело быстрым движением крыльев,
погружают длинный хоботок в цветок, чтобы высо-
сать сок. Это лучшие летуны среди бабочек: в мину-
ту они покрывают расстояния, в 25 тысяч раз превы-
шающие размеры собственного тела.
Нимфалиды — крупные, ярко окрашенные бабоч-
ки; рисунок крыльев часто пятнистый: белый, жёл-
тый или красный на чёрном фоне либо чёрный на
жёлтом или красном фоне. Нижняя сторона крыльев
нимфалид нередко напоминает сухой лист.
158
159
. Биоинформатика. Сравнение белков г—|w
родственные связи и происхож-
Индийские слоны ближе к мамон-
там, чем к африканским слонам
У живых организмов различаются наборы белков.
Наборы белков у двух людей (у двух слонов, двух бакте-
рий) очень похожи, только мелкие различия определяют,
например, различную форму уха у разных людей или
разный цвет хвоста у двух кроликов. Наборы белков у
организмов разных видов разные, но чем более родствен-
ны эти виды, тем более похожи наборы белков. Напри-
мер, сходство между белками человека и шимпанзе
достигает 99%.
Верно и обратное: если два вида организмов имеют
похожие наборы белков, то эти виды являются родствен-
ными, т. е. происходят от какого-то одного вида древних
животных. Пользуясь методами сравнения белков, учё-
ным удаётся восстановить
дение различных видов
животного и раститель-
ного мира. Например,
недавно стало известно,
что, судя по некоторым
белкам, индийские сло-
ны более близки к вы-
мершим мамонтам, чем
к современным африка-
нским слонам.
Как учёные прово-
дят сравнение белков?
Как вы теперь знаете,
белки — это последова-
тельности аминокислот-
ных остатков, их мож-
но представить в виде
длинных слов — после-
довательностей букв в
20-буквепном алфавите.
Поэтому задачу можно
сформулировать так:
какие два слова счита-
ются близкими, похо-
жими, а какие — далё-
кими.
160
Щ Превращение слов ,слон сон
Вы наверняка играли в игру, в которой одно слово
надо превратить в другое, заменяя на каждом шагу
только одну букву. Примерно такой игрой мы сейчас
займёмся.
В отличие от тех игр, которыми мы занимались
раньше, в эту игру можно играть одному. Цель игры —
за наименьшее число шагов превратить одно слово в дру-
гое, соблюдая такие правила:
ПРАВИЛА ПРЕВРАЩЕНИЯ СЛОВ
На каждом ходу можно выполнить одно из трёх действий:
-	заменить одну букву на другую,
-	вставить одну букву,
-	удалить одну букву.
Конечно, по этим правилам одно слово можно пре-
вратить в другое разными способами. Например, из слова
СЛОН можно сделать слово СОН за один ход, а можно и
за 7 ходов. Последовательности таких превращений поме-
щены справа. Но цель нашей игры — найти самое ко-
роткое превращение, поэтому мы
выбираем превращение R.
Давайте усложним игру —
присвоим каждому ходу цену.
Ход	Цена
Замена гласной на гласную	
Замена согласной на согласную	2
Замена гласной на согласную или наоборот	3
Замена Ъ или Ь на другую бук- ву или наоборот	4
Вставка или удаление одной буквы	5
R
слон
сон
слон
АЛОН
ААОН
aaa:i
ААА
САД
СОА
СОН
W
161
R
СЛОН
5
СОН
V
для дан-
Вычислим стоимость каждо-
го превращения: стоимость R —
5 баллов, стоимость W — 19
баллов. Чтобы было проще под-
считывать баллы, можно записы-
вать цены ходов прямо на схеме
превращения, как показано спра-
ва (примерно так мы записывали
веса рёбер на деревьях и графах).
Теперь можно сформулиро-
вать новую цель игры: построить
ной пары слов самое дешёвое превращение
одного слова в другое. Стоимость такого
превращения можно назвать расстоянием
между словами.
Учёные сравнивают слова-белки при-
мерно так же: ищут для них «самую дешё-
вую» цепочку преобразований (при подходя-
щих стоимостях замен и удалений). Напри-
мер, замена остатка на остаток с близкими
химическими свойствами стоит дешевле,
чем его замена на непохожий остаток (как
в нашей таблице дешевле заменить гласную
на гласную, чем гласную на согласную).
Удаление и вставка остатков стоят дороже,
чем замены. Конечно, полная таблица «уда-
лённости» разных остатков устроена гораздо
W
СЛОН
3
АЛОН
3
ААОН
1
АААН
5
ААА
3
САА
I
1
СОА
3
сон
сложнее, чем
наша.
Результаты сравнения белков биоинформатики обыч-
но изображают в виде специальной схемы — выравнива-
ния. Вот, например, выравнивание слов ПАПКА и
ПАПАХА и соответствующая цепочка превращения:
ПАП -КА
ПАПАХА
Сейчас учёным известны сотни тысяч
последовательностей белков. Получив новый
белок, учёные прежде всего стараются най-
ти известные белки, похожие на него. Не
стоит забывать, что биоинформатика имеет
дело с очень длинными словами, работать с
ПАПКА
ПАПАКА
ПАПАХА
162
которыми можно только с помощью компьютеров. Для
сравнения белков используются компьютерные програм-
мы, которые для любых двух белков могут определить
их наилучшее (т. е. имеющее наименьшую стоимость)
выравнивание. Такие программы и базы данных, содер-
жащие последовательности известных белков, доступны
всем через Интернет.
Выравнивание позволяет предположить, какая по-
следовательность остатков была у общего предка двух
видов живых существ. Вот, например, выравнивание двух
фрагментов белков: один из них — белок человека, а
другой — белок мартышки:
VLSPADKTNVKAAWGKVGAHAGEYGAEALERMFLSFPTTKTY
VLSPADKSNVKAAWGKVGSHAGDYGAEALERMFLSFPTTKTY
Значит, наш общий предок имел такой набор:
VLSPADK + NVKAAWGKVG + HAG+YGAEALERMFLSFPTTKTY
(плюсами помечены знаки, которые нам неизвестны:
Т или S, А или S, Е или D).
300
301
302
Построй какое-нибудь (необязательно самое дешёвое) пре-
вращение слова ТАНКИСТ в слово ТУРИСТ. Напиши после-
довательность своего превращения и вычисли его стоимость.
Вот последовательности G и
Q превращений слова ОБЪ-
ЕКТ в слово ОБЛИК. Вычис-
ли стоимость каждого пре-
вращения и укажи более
дешёвое.
Построй какое-нибудь превра-
щение (необязательно самое
дешёвое) слова ВРАЗБРОС в
слово ВРАЗРЕЗ. Напиши по-
следовательность этого пре-
вращения и вычисли его сто-
имость.
G
ОБЪЕКТ
ОБЕКТ
ОБЛКТ
ОБЛИТ
ОБЛИК
Q
ОБЪЕКТ
ОБЛЕКТ
ОБЛИКТ
ОБЛИК
163
303
Построй превращение слова КОНТАКТ в слово КОМПЛЕКС,
которое стоит 10 баллов.
Чтобы построить превращение с заданной стоимостью, удоб-
но сначала выровнять заданные слова: расположить одно
слово под другим так, чтобы одинаковые буквы (конечно,
если они есть) стояли друг под другом. При необходимости
можно раздвигать буквы, вставляя чёрточку.
КОН ТА-КТ
КОМПЛЕКТ
304
ЗОН
Как именно нужно расположить остальные (неодинаковые)
пары букв, зависит от того, какова заданная стоимость. На-
пример, указанное выравнивание предполагает замену Н на
М (2 балла), замену Т на П (2 балла), замену А на Л
(3 балла) и вставку Е (5 баллов) — всего 12 баллов. Это не
та стоимость, какая требуется в задаче. Значит, надо попы-
таться поставить черточку в другом месте и снова подсчи-
тать баллы.
Реши задачу.
Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько легче,
чем каждое их двух других {а два других весят одинаково).
Как одним взвешиванием найти более лёгкое кольцо?
Нарисуй, как разрезать много-
угольник У, чтобы получились
два одинаковых многоугольника
на сетке.
За какое наименьшее число во-
просов можно наверняка отга-
дать натуральное число, меньшее
1000, если на вопросы можно
отвечать только «да» и «нета?
307 Построй превращение слова СЪЕДОБНЫЙ в слово
ОГРОМНЫЙ, которое стоит 15 баллов.
308 Реши задачу, используя метод половинного деления.
Из четырёх деталей одна отличается по весу от остальных.
Можно ли выделить её двумя взвешиваниями на чашечных
весах без гирь?
164
309 Нострой превращение слова ПОЛЬСКИЙ в слово КОНСКИИ,
которое стоит меньше 10 баллов.
310 Для каждой пары из данных множеств построй пересечение
и объединение множеств этой пары. Рядом с каждым нари-
сованным множеством напиши, пересечением или объедине-
нием каких множеств оно является.
311 Построй превращение слова ПОДОСИНОВИК в слово ПОД-
БЕРЁЗОВИК, которое стоит 11 баллов.
Подумай, существует ли более дешёвое превращение слова
ПОДОСИНОВИК в слово ПОДБЕРЁЗОВИК. Объясни свой
ответ.
Даны правила игры Ромашка:
ПРАВИЛА ИГРЫ РОМАШКА
Начальная позиция. Ромашка с лепестками (сколько ле-
пестков у ромашки, определяется дополнительными пра-
вилами).
Возможные ходы. На каждом ходу игрок отрывает либо
один лепесток, либо два соседних (растущих рядом).
Как определить победителя. Игра заканчивается, если
очередной ход сделать невозможно — все лепестки отор-
ваны. Выигрывает тот, кто сделал последний ход.
Исследуй игру Ромашка для различных начальных позиций.
У кого из игроков есть равновесная выигрышная стратегия?
□ Сформулируй эту стратегию.
Нужно рассмотреть два случая:
а)	если число лепестков в начальной позиции чётно;
б)	если число лепестков в начальной позиции нечётно.
165
313 Реши задачу, используя метод половинного деления.
Имеется стопка из восьми монет, одна из которых фальши-
вая, (она отличается по весу от всех остальных). Как, имея
четыре нефальшивые монеты и чашечные весы, найти фаль-
шивую монету за три взвешивания?
К полю для игры в Крестики-нолики добав-
лена одна клетка. Правила игры при этом
остались прежними — Первый ставит крес-
тики, Второй — нолики. Выигрывает тот,
кто первым построит ряд из трёх своих
значков по горизонтали, вертикали или ди-
агонали. В отличие от игры на обычном
поле, в игре в Крестики-нолики на таком поле Первый име-
ет выигрышную стратегию. Куда должен поставить крестик
Первый на первом ходу, чтобы наверняка выиграть?
15
Реши задачу.
Почтальон Печкин, выйдя из почтового отделения, разнёс
почту в каждый дом деревни, после чего зашёл с посылкой
к дяде Фёдору (зайдя сначала за ней на почту), а потом
вернулся домой. На рисунке показаны все тропинки, по ко-
торым проходил Печкин, причём, как оказалось, ни по одной
из них он не проходил дважды. Каков мог быть маршрут
почтальона Печкина? В каком доме живёт дядя Фёдор?
166
Повторение
316
317
318
Построй все подмножества мно-
жества Л.
Запиши последовательность чи-
сел длины 5, для которой истин-
ны следующие утверждения:
Первый член последовательности — число 3.
Второй член последовательности — число 7.
Каждый член последовательности, кроме первого и послед-
него, равен среднему арифметическому предыдущего и сле-
дующего членов.
Расположи все чётные двузначные числа, которые делятся
на 7, в порядке убывания
Даны названия месяцев года на разных языках: армянском,
грузинском, современном греческом и еврейском (иврите).
Пользуясь другими задачами в этом учебнике, рассортируй
слова по языкам.
Конечно, сами слова переписывать не надо, достаточно за-
писать номер слова.
1 hjut’jin 2 I.E3TbE^Ppr|g
з *?v	4 ArcpiXqg 5 цЫцпЪгГрЬр
э Мартт|д io тип
)	12
14
8 iflUjJlU
13 ФХерарт]д
167
320
Построй дерево А, все пути которого
выписаны справа, так, чтобы следующие
утверждения были истинны:
В дереве А всего одна корневая вершина
В дереве А всего 23 вершины.
322
Реши задачу, используя метод половинного
деления.
Имеется 68 алмазов, все алмазы разные
по весу. Как за 100 взвешиваний на
чашечных весах наити самый легкий и са-
мый тяжёлый алмаз?
ДЕРЕВО
ДРУГ
ДРОЗД
ДЕРЕВНЯ
ДРОВА
ДЕРЖИ
ДРОВНИ
ДЕРЖАВА
Выдели подмножество множества Д, для
которого все следующие утверждения истинны:
Все элементы этого подмножества - двузначные числа.
Каждое число из этого подмножества больше 62.
В этом подмножестве всего 5 элементов
В этом подмножестве нет чётных чисел.
Каждое число в этом подмножестве делится на 3.
В этом подмножестве нет чисел, в записи которых
есть цифра 5.
168
323
324
Найди площадь многоугольника М.
Построй два разных множества,
для каждого из которых истинны
все следующие утверждения:
Все элементы этого множества —
двузначные нечетные числа.
Сумма цифр каждого числа из этого множества равна 10.
Самое большое число из этого множества на 1 меньше сум-
мы всех остальных чисел из этого множества.
325 Два разведчика шифруют донесения следующим образом.
Они прячут слова донесения в некотором тексте, не связан-
ном по содержанию со смыслом донесения. Порядок слов в
донесении при этом не меняется. У каждого из разведчиков
имеется своё правило расположения слов донесения в текс-
те: слова донесения и маскировочные слова чередуются в
строго определённом порядке.
Прочитай шифровочные тексты двух разведчиков. В каждом
из них зашифровано одно и то же донесение, состоящее из
двух предложений. Запиши текст зашифрованного донесения.
Поставь знаки препинания.
Шифровка первого разведчика
О предстоящем матче сообщили нашей команде
поздно. Но встрече это препятствием не стало. Об
условиях проведения известно очень мало. Ясно
пока лишь то, что не все игроки готовы. Выяс-
нятся составы команд, когда детали матча будут
обсуждены на уровне тренеров. Какая связь между
тем, когда выходить играть, и погодой — не знаю.
Конечно, будем надеяться на лучшее.
Шифровка второго разведчика
Постоянно думаю о предстоящей нашей поездке.
При встрече поговорим. Стало жарко. И неизвест-
но, какие пока покупать вещи. Не сразу выяснят-
ся условия проживания, детали маршрута, на
каких условиях связь будет выходить дешевле.
Пока не звонили, будем ждать.
169
326
Реши задачу.
В очереди за билетами в кино стоят Юра, Миша, Вова, Са-
ша и Олег. Юра стоит раньше Миши, но позже Олега. Вова
и Олег не стоят рядом. Саша не стоит рядом ни с Олегом,
ни с Юрой, ни с Вовой. В каком порядке стоят ребята? (Не
только ответь на вопрос задачи, но и объясни, почему
другие случаи невозможны.)
327
328
Можно ли разбить на «доминош-
ки» (каждая из двух клеток)
шахматную доску без противо-
положных углов — полей а1 и h8?
Выпиши множество А всех чисел,
меньших 30, которые делятся на
2. Выпиши множество В всех чи-
сел, меньших 30, которые делятся
на 3. Найди пересечение и объ-
единение множеств А и В.
329 Построй дерево И, для которого все следующие утвержде-
ния истинны:
Высота дерева И равна четырём.
Все пути дерева И — разные.
На каждом уровне дерева И ровно три листа.
На первом уровне дерева И ровно четыре вершины.
Все вершины дерева И — однозначные числа,
которые делятся на 3.
Реши задачу.
В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, ли-
монад, квас и вода. Известно, что в бутылке не вода и не
молоко, кувшин стоит рядом с лимонадом и далеко от ква-
са, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит рядом с
банкой и далеко от молока. Куда налита каждая жидкость?
Для решения задачи удобно построить схему, выписав в
одном столбце названия всех сосудов, а в другом - назва-
ния всех напитков.
170
331 Построй дерево, для которого все утверждения в таблице
имеют указанные истинностные значения.
Имя	УТВЕРЖДЕНИЕ	Значе- ние
А	Все листья этого дерева — вершины третьего уровня.	И
В	Все бусины в этом дереве только двух цветов — чёрные и белые.	И
С	В этом дереве есть два одинаковых пути.	Л
D	Каждая вершина этого дерева — круглая бусина.	И
Е	В этом дереве меньше восьми путей.	Л
332 Найди выигрышную стратегию для Второго в
игре Ползунок на поле 3x3 при условии, что
Первый на первом ходу соединит централь-
ную точку поля с одной из боковых.
333
Прочитай
Изобрази
листья —
вый торт.
рецепт приготовления торта «Пальчики оближешь»,
процесс приготовления торта в виде дерева, где
необходимые продукты, корневая вершина — гото-
Приготовление коржей. Сначала взбить три яйца с
одним стаканом сахарного песка до получения гус-
той однородной пены. Затем добавить полпачки
маргарина и один стакан муки. Всё хорошо переме-
шать и испечь два коржа.
Приготовление крема. Сварить густую манную кашу
из трёх с половиной ст. ложек манки и двух ста-
канов молока. Затем остудить, добавить одну пачку
сливочного масла и один стакан сахарного песка,
хорошо перемешать.
Приготовление глазури. Растопить одну шоколадку
в небольшом количестве молока.
Приготовление торта. Выложить на один из коржей
весь крем, накрыть другим коржом и полить
сверху глазурью. Поставить на несколько часов в
холодильник — и торт готов.
334
335
Найди площадь данного много-
угольника Ш.
336
Сосчитай, сколькими способами
8 человек могут встать в оче-
редь к театральной кассе.
Коля и Петя написали своему другу Васе записки, в каждой
из которых зашифровано сообщение. Мальчики шифровали
сообщение следующим образом: слова сообщения спрятаны
в тексте, не связанном по содержанию со смыслом сообще-
ния. Слова сообщения в каждом из текстов спрятаны без
определённого правила, но порядок слов сообщения при
этом не изменяется.
Прочитай записки двух мальчиков. В каждой из них зашиф-
ровано одно и то же сообщение, состоящее из двух пред-
ложений. Запиши текст зашифрованного сообщения. По-
ставь знаки препинания.
Записка Коли
Сегодня состоялся сбор представителей классов по
поводу турслета, который будет завтра. В девять
утра началось обсуждение. Оно могло затянуться
до вечера, у меня даже разболелась голова. Вышел
из школы и встретил старого друга, мы оба очень
обрадовались. Он нёс кораблик из дерева. Он ска-
зал: «Возьми на память». Я подарил ему карту
нашего района, есть там и наш дом, а также
подробный план прилегающих дворов.
Записка Пети
На биологии рассказывали про сбор хлопка. На
завтра задали найти ответы в учебнике на девять
вопросов. На перемене обсуждали программу пред-
стоящего вечера. Вообще-то у нас уже был план,
но его переделали так, что не осталось ни одного
старого конкурса. Стенгазету хотели сделать в
виде дерева. Вдруг Колька возьми, да и скажи:
«Давайте сделаем карту школы, пометим всё самое
интересное. Главное — не забыть директора и наш
класс». Все начали спорить, и план вечера так и
остался незаконченным.
172
337
Реши задачу, используя метод
половинного деления.
Из девяти монет одна фальши-
вая — более лёгкая, чем насто-
ящие. Как найти её двумя взве-
шиваниями на чашечных весах
без гирь? А сколько потребуется
взвешиваний для поиска одной
монеты из восьмидесяти?
338
Нарисуй в тетради по клеткам.
а)	прямоугольник, не являющийся квадратом, площадь кото-
рого равна 64 ед. кв.;
б)	прямоугольный треугольник, площадь которого равна
17 ед. кв.;
в)	четырёхугольник, площадь которого равна 13 ед. кв.
Реши задачу.
В классе 35 учеников. Все они занимаются в кружках: в
биологическом — 17 человек, в литературном — 30, в мате-
матическом — 13. Сколько учеников занимается только в
одном кружке, если известно, что во всех трёх кружках за-
нимаются 5 человек?
340
Реши задачу.
Все трое внуков Прохора Кольцова — Иван, Степан и Ники-
та — чем-то на него похожи (цветом глаз, цветом волос или
формой носа), но ничем не похожи друг на друга. Каждые
две дочери каждого из внуков Прохора похожи между собой
именно тем, чем они похожи на огца, а все три его доче-
ри — тем, чем их отец похож на своего деда Прохора. Вот
описание дочерей Ивана, Степана и Никиты. Опиши деда
Прохора и его внуков.
Дочери Ивана
Настя: глаза карие, волосы русые, нос с горбинкой.
Ася: глаза голубые, волосы каштановые, нос с горбинкой.
Даша: глаза карие, волосы каштановые, нос с горбинкой.
Дочери Степана
Галя: глаза зелёные, волосы рыжие, нос вздернутый.
Валя: глаза карие, волосы рыжие, нос с горбинкой.
Люба: глаза зелёные, волосы рыжие, нос вздёрнутый.
Доче^ ж Никиты
Оля: глаза голубые, волосы русые, нос прямой.
Поля- глаза голубые, волосы каштановые, нос прямой.
Лена: глаза голубые, волосы русые, нос вздёрнутый.
173
341 Найди выигрышную стратегию для игры Двадцать пять.
ПРАВИЛА ИГРЫ ДВАДЦАТЬ ПЯТЬ
Начальная позиция. Число О.
Возможные ходы. На каждом ходу игрок прибавляет к
имеющемуся числу 1, 2, 3 или 4.
Как определить победителя. Игра заканчивается, если
позиция оказывается равной 25. Выигрывает тот, кто до-
бавил последнее число.
Реши задачу.
Разложи по семи кошелькам 127 рублёвых монет так, чтобы
любую сумму от 1 до 127 р. можно было выдать, не откры-
вая кошельков {другими словами, отдав содержимое одного
или нескольких кошельков).
343 Выпиши все числа, меньшие 600, большие 400 и такие, что
число десятков в каждом из них меньше числа сотен и в
каждом есть две одинаковые цифры.
344
Найди площадь данного много-
угольника Ф.
Выписаны подряд без пробелов
все натуральные числа от 1 до
50 включительно. Какая цифра
стоит на 79-м месте?
346 Придумай такие слова G и R русского языка, что G * R и
W = S, где W — множество всех букв, встречающихся в сло-
ве G; S — множество всех букв, встречающихся в слове R.
347 На окружности нарисованы 20 точек. Двое игроков по оче-
реди соединяют отрезком любые две из этих точек так, что-
бы никакие два отрезка не пересекались (но два отрезка
могут иметь общий конец). Проигрывает тот, кто не может
сделать следующий ход. У кого из игроков есть выигрышная
стратегия? Опиши эту стратегию.
174
348
Разведчики прячут слова доне-
сения в тексте. Один разведчик
размещает слова в тексте в
том же порядке, как они идут
в донесении, а другой разме-
щает слова не по порядку. В
каждой шифровке содержится
одно и то же донесение.
Запиши текст этого донесения. Поставь знаки препинания.
В текстах-шифровках попадаются случайно совпадающие
(лишние) предлоги. Выбери нужные предлоги, учитывая па-
дежи существительных.
Шифровка первого разведчика
На собрание явка обязательна для всех прожива-
ющих в доме. Будут обсуждаться следующие во-
просы:
1.	У жильцов верхних этажей низкая температура
горячей воды.
2.	Крыша сараев провалилась.
3.	Новое решение домоуправления предписывает
выделить место под детскую площадку.
4.	Квартира под музыкальной школой отапливается
плохо.
5.	Необходимо выделить людей для работы с цве-
точным палисадником, находящимся рядом с
магазином.
Шифровка второго разведчика
Затея с субботником провалилась. Явка оказалась
очень низкой. Ни у кого в доме не нашлось ни
лопаты, ни лейки для воды. Пришлось связывать-
ся с магазином. Выбрали новое место для клумбы,
но, пока ходили за цветочным саженцем, все под
разными предлогами разошлись. Видимо, своя
квартира оказалась милее общего двора.
349
175
Содержание			
Введение	3	Путь дерева	91
Элементы	5	Родители и дети	92
Одинаковые элементы.		Уровень вершины	93
Имена	6	Дерево перебора вариантов.	
Многоугольники на сетке	10	Дерево перебора	
Множество	13	подмножеств	99
Одинаковые (равные)		Поиск кратчайшего пути	105
множества. Подмножество	16	Игры с полной	
Последовательность	19	информацией	112
Одинаковые		Дерево игры	114
последовательности	21	Выигрышная стратегия	119
Все разные	22	Выигрышные	
Истинные и ложные		и проигрышные позиции	120
утверждения	27	Выигрышные стратегии.	
Члены последовательности	33	Продолжение	126
Когда утверждения не имеют смысла	34	Равновесные выигрышные стратегии	133
Утверждения о каждом элементе	40	Биоинформатика. Белки и ДНК. Почему сын похож на отца?	140
Площадь многоугольника	47	Шифрование	142
Площадь прямоугольного треугольника на сетке	49	Биоинформатика. Как кодируются белки	148
Пересечение и объединение множеств	53	Биоинформатика. Как изучают белки	154
Сортировка: упорядочение и группировка	59	Биоинформатика. Сравнение белков	160
Словари	66	Превращение слов	161
Дерево	84	Повторение	167
Ответы к задачам на смекалку: № 12: 9. № 17: 14. № 23: по-
недельник. № 89: 8. № 93: 22. № 96: 8. № 111: 1,5 л. № 113:
375. № 129: 10. № 139: 2. № 149: 6. № 154: 8. № 162: 9.
К» 199: 24. № 207: 59 мин. № 225: 10. № 279: 100. № 296: 9
и 1. № 327: нельзя. № 339: 15. № 345: 4.
176
Таблица генетического кода
Остаток	Буква	Кодоны					
Аланин	А	GCT	GCC	GCA	GCG		
Цистеин	С	TGT	TGC				
Аспартат	D	GAT	GAC				
Глутамат	Е	GAA	GAG				
Фениланин	F	ТП	TTC				
Изолейцин	I	АТА	АТС	ATT			
Лизин	К	ААА	AAG				
Лейцин	L	стг	CTC	СТА	CTG	TTA	TTG
Метионин	М	ATG					
Аспарагин	N	ААТ	AAC				
Пролин	Р	ССТ	ccc	CCA	CCG		
Глутамин	Q	САА	CAG				
Аргинин	R	CGT	CGC	CGA	CGG	AGA	AGG
Серин	S	тст	TCC	TCA	TCG	AGT	AGC
Треонин	Т	ACT	ACC	АСА	ACG		
Валин	V	GTT	GTC	GTA	GTG		
Триптофан	W	TGG					
Тирозин	Y	TAT	TAC				
Стоп-кодон	*	TAA	TAG	TGA		, ,,, ।		...
Слово «белок» происходит от названия белка куриного яйца. В курином
белке есть молекулы разных видов белков Больше всего молекул белка
под названием овальбумин (от латинских слов ovum - яйцо и albus -
белый) Молекула овальбумина состоит примерно из 1500 звеньев. В
живых организмах цепочки многих белков сложены в плотные структуры.
Поверхность
молекулы
овальбумина
Ход цепи
молекулы
овальбумина
Обратная таблица генетического кода
Кодон	Остаток	Буква	Кодон	Остаток	Буква
ААА	Лизин	К	САА	Глутамин	Q
AAG	Лизин	к	CAG	Глутамин	Q
ААС	Аспарагин	N	САС	Гистидин	Н
ДАТ	Аспарагин	N	CAT	Гистидин	Н
AGA	Аргинин	R	CGA	Аргинин	R
AGG	Аргинин	R	CGG	Аргинин	R
AGC	Серин	S	CGC	Аргинин	R
AGT	Серин	S	CGT	Аргинин	R
АСА	Треонин	Т	CCA	Пролин	Р
ACG	Треонин	Т	CCG	Пролин	Р
АСС	Треонин	т	ССС	Пролин	Р
ACT	Треонин	т	ССТ	Пролин	Р
АТА	Изолейцин		СТА	Лейцин	L
ATG	Метионин	м	CTG	Лейцин	L
АТС	Изолейцин		СТС	Лейцин	L
АП	Изолейцин	1	СП	Лейцин	L
GAA	Глутамат	F	ТАА	Стоп-кодон	
GAG	Глуп амат	Е	TAG	Стоп-кодон	*
GAC	Аспартаг	D	ТАС	Тирозин	Y
GAT	Acnapi ат	D	ТАТ	Тирозин	Y
GGA	Глицин	G	TGA	Стоп-кодон	*
GGG	Глицин	G	TGG	Триптофан	W
GGC	Глицин	G	TGC	Цистеин	с
GGT	Глииин	G	TGT	Цистеин	с
GCA	Аланин	А	ТСА	Серин	S
GCG	Аланин	А	TCG	Серин	S
GCC	Аланин	А	ТСС	Серии	S
GCT	Аланин	А	ТСТ	Сериг ।	S
GTA	Валин	V	ПА	Лейцин	L
GTG	Валин	V	TTG	Лейцин	L
GTC	Вагин	V	ПС	Фениланин	F
GH	Валин	V	ПТ	Фенила! (ин	F
Приведено! все G4 кодона в «ДНК-алфавитном» порядке, т. е.
порядок букв в алфавите ДНК такой: A, G, С, Т
В таблице генетического кода, которую вы будете изучать
в старших классах, вмесл о буквы Т стоит U. Это связано с гем, что
создание белков в организме происходит в несколько этапов,
при этом создаётся промежуточное звено - молекула РНК,
в которой тимин (Т) заменяется урацилом (U).