Текст
Алгебра
10. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИНДЮК,
К. С. МУРАВИН
Л Г Е Б Р
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ 6-ГО КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
под редакцией А. И. МАРКУШЕВИЧА
Утверждено Министерством просвещения СССР
ИЗДАНИЕ 4-е
МОСКВА ♦ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1974
Глава I
УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ В АЛГЕБРЕ
g 1. ВЫРАЖЕНИЕ И МНОЖЕСТВО ЕГО ЗНАЧЕНИИ
1. Числовые выражения
С помощью чисел, знаков действий и скобок можно состав-
лять различные числовые выражения. Приведем примеры чис-
ловых выражений:
43:5; — 0,95 + 2,4 • (- — Д; 3-2'*.
84—76 \16 12/
Если, соблюдая принятый порядок, выполнить указанные
действия, то получится число. Это число называют числовым
значением выражения или, короче, значением выражения.
Рассмотрим примеры.
(9 7 \
------1 есть сумма чис-
(9 7 \
16 —12/
Чтобы найти значение этого выражения, надо сначала выпол-
нить действие в скобках (вычитание), затем — умножение и,
наконец, сложение:
П — _ L — 27—28 JL.
16 12 ~~ 48 “ ~48*
2) 2,4 • (— -1'| = _ — . 1 = — 1 = —0,05;
\ 48/ 10 48 20
3) 0,95 4-(—0,05) = 0,9.
(9 7 \
16 —12/
Пример 2. Выражение 3 • 22 3 4 есть произведение числа 3 и
степени 24. Чтобы найти значение этого выражения, нужно
сначала найти значение степени 21, а затем выполнить умно-
жение:
1) 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16;
2) 3 • 16 = 48.
Выражение может состоять и из одного числа. В этом слу-
чае значение выражения есть само число.
з
Выражение ——— не имеет числового значения, так
48 : 6 — 8
как не все указанные действия можно выполнить (деление
на нуль невозможно!). О таких выражениях говорят, что они
не имеют смысла.
Таким образом, числовое выражение может иметь или одно
значение, или не иметь значения.
1. Найдите значение выражения:
\ о 2 г 1 3
а) 2---h 1 — ;
3 4
б)5-з|;
Ч 1 2 5
в) 1-----;
' 3 6
2. Вычислите:
г) 14+ о,1; ж) 4- (-49);
о 7
д) (-1,2) • (- 0,6); 3) 3 4 • 16.
О
е) 0 • 17,3;
а) 4 1 : 2;
б)15:(-|);
в) 6,5 : (— 0,13);
е) —2 • 53;
3. Выполните действия:
а) 481,92 : 12 — (— 20,16);
б) 3 1 • (— Д + 18;
' 7 \ и)
в) 9,72 : 2,4 —1,08 3,5;
ж) 12 • (— Д’
\ 2/
з)42 (-3)’.
г) 3 i • - + 6 - : 2;
6 3 9
д) 2 • 3‘-3 • 24;
е) 1000 — 2 • З1.
4. Составьте числовое выражение, не имеющее смысла.
5. Является ли верным равенство ида неравенство:
ч к 1 1 3 , 1\ .
а) 5-----1 ——1=4;
7 7 \ 4 4/
б) 4 -I- 1248 : (11,8 4- 0,2) = 108;
в) 8 — :4— —50< — 47;
3 3
г) (90,9 : 3,03) • Д — Д > — 1?
\ 3 6/
6. Сравните выражения:
а) — : 3 — и 0,016 : 0,2; г) 23 и З2;
7 2
б) 8 4 : 2 и 21,25 : 5; д) (— З)4 и (— 4)’;
в) — — 1 — и — 1; е) 2 • 53 и 5 • 23.
7 18 12
7. Не выполняя вычислений, поставьте вместо многоточия
знак >, < или — так, чтобы получилось истинное
(верное) высказывание:
а) 1243 • | ... 1243 • 1; в) 12,69: 0,5 ... 12,69 • 0,5;
6) 6,24 • (—1) ... 6,24:(—1); г) (—0,001)2 ... (-1000)8.
8. Подберите какое-нибудь число, которое больше одного
из данных чисел и меньше другого:
а) 5,2 и 5,3; в) —- и —;
7 8 17
б) — 3,18 и — 3,19; г) - и -.
' 9 11
2. Выражения с переменными
Значение выражения а {а 4- 1)» содержащего переменную а,
зависит от значения этой переменной. Например, при а — 2
его значение равно 6, так как 2 • (2 + 1) = 6. При а = 8
значение этого выражения равно 72, при а — — 1 рав-
но нулю, при о = 0 тоже нулю. Каждому значению пере-
менной а соответствует определенное значение выражения
с (с + 1).
Значение выражения х — 2у зависит от значений перемен-
ных х и у. Например, при х ~ 7, у = 1 значение этого выра-
жения равно 5, при х = 1, у = 7 оно равно —13. Вообще,
каждой паре значений переменных х и у соответствует опре-
деленное значение выражения х — 2у,
Выражение • при р = 3 обращается в числовое выра-
Р — 3
жение 2 -3-, которое не имеет числового значения. Говорят,
3 — 3
п 2р
что при р — 3 выражение------- не имеет смысла.
Р — 3
Т-Ч 5
Выражение ------ не имеет смысла при равных значениях
к —у
X и у.
9. Найдите значение выражения:
а) (Р + 0,6) (р — 0,6) при р = 0,2;
2 / 2 \ 1
б) k 4~ — • (k — — 1 при k = — ;
в) 2х 4- Зу — 5 при х = — у, z/ = — у ;
г) 2х2 — Зу- при х — —1, у = 2;
5
д) a — 2b + Зс при а — —10, Ъ — — 5,5, с = — i ;
е) (о 4- Ъ) (Ъ 4- с) (с 4- d) (d 4- е) при a == 0, Ъ — 1,
с = 2, d = 3,
е = 4.
10. Значение переменной х равно —3. Найдпто соответст-
вующее значение выражения:
а) 2х — 5 • (х 4- 5); б) (2х — 5) х 4- 5.
11. Какое значение принимает выражение а2 — 2аЪ'.
а) при а = 5, Ъ = 2; б) при а — 2, b = 5?
12. Найдите множество значений выражения Ь2 — 1089,
если значения переменной Ъ образуют множество
В = { —33; —11; 0; 11; 33}.
13. Переменная х принимает все значения из множества
X == {0,3; 1; 0; —6}. Найдите множество значений вы-
ражения:
а)3-5-х= — 5; б) 5 — Ъ-х-.
3 3
14. Известно, что х £ Z (Z — множество целых чисел).
Найдите множество значений выражения (2х 4" 4,3) • 0.
15. Заполните таблицу:
X 0 1 2 3 4 6 10
X2 — X 6
16. Периметр прямоугольника 48 дм, основание а дм. Со-
ставьте выражение для площади прямоугольника. Вы-
числите значения площади <S прямоугольника (в квад-
ратных дециметрах), соответствующие значениям а, ука-
занным в таблице.
а 7 11 11,5 12 12,5 14 19
S
6
17. Найдите множество значений выражения хг 4- у2, запол-
нив таблицу с двумя входами.
45 / / * О 1 2 3
i 1 о I
1
2
3
18. При каких значениях переменной у не имеет смысла
выражение:
б)
з + »
19. Подберите, если возможно, пару значений переменных
а и Ъ, при которых не имеет смысла выражение:
б)
1376’
17а 4-6
а24- Ь34-5 ’
а -|- b *
20. Составьте выражение для решения задачи:
а) Из села Константиново одновременно в одном на-
правлении отправились велосипедист и пешеход (рис. 1).
Какое расстояние будет между ними через 4 ч, если
скорость велосипедиста и км/ч, а скорость пешехода
и км/ч?
б) Турист шел 5 ч со скоростью а км/ч и 3 ч со скоростью
Ъ км/ч. Какова средняя скорость туриста?
Константиново
Рис. 1
§ 2. ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
ТОЖДЕСТВО
3. Тождественно равные выражения
Сравним значения выражений 2л: 4- Зх2 и 5л:3 при некото-
рых значениях переменной х. При х = 2 значение первого
выражения 16, а второго 40. Числа 16 и 40 — соответствен-
ные значения выражений 2л: 4" Зл:2 и 5л:3. Некоторые пары со-
ответственных значений этих выражений показаны в таблице:
X 2х 4- Зл2 5.г3
-0,4 —0,32 —0,32
-0,1 —0,17 —0,005
0 0 0
0,1 0,23 0,005
1 б 5
2 16 40
3 33 135
Нетрудно заметить, что при одних значениях переменной
выражения 2х 4" Зх2 и 5л:3 имеют одинаковые значения, а при
других — различные.
21. Составьте таблицу соответственных значений выражений
и выясните, равны ли они при данных значениях пере-
менной:
а) х4 и 7х2 — 6х, если х £ { —3; 0; 1; 2};
б) х* и 7х2 — 6х, если х С { —3; 0; 1; 2; —1};
в) а (а — 1) и а 4- 8, если а Е { —2; 4; 5};
г) у2 + у и z/3, если у
g ( — 4; 0; 1; 2|.
V J
22. Какими числами (равными, противоположными, обрат-
ными) являются соответственные значения выражений
при любых значениях х:
а) х и —х; в) х — 1 и 1 — х;
б) х2 и (—х)2; г) (х — I)2 и (1 — х)2?
8
23. Сравните соответственные значения выражений я + 4а
и (х 4- 4)а при а — —3, х = 5.
24. Заполните таблицу и подчеркните те пары значений пе-
ременных хну, при которых соответственные значения
выражений х2 + у2 и 6х + &У равны:
X У х2 4-z/2 6х 4- 8г/
6 0
0 6
—2 4
1 1
3 —1
—3 2
25. Пусть {0; 1; 2} — множество значений переменной х,
а {0; 2} — множество значений переменной у. Составьте
все пары (х; у) и сравните соответственные значения вы-
ражений х + у и ху.
26. Заполните таблицу:
У 5 (у + 3) 5г/ + 15
—5
—2
0
1 4 — 5
48
1200
Из таблицы видно, что при указанных значениях перемен-
ной соответственные значения выражений 5 (у + 3) и 5у + 15
равны. Будут ли они равны при других значениях у? Мы зна-
ем, что для любых чисел выполняется распределительный
9
закон умножения. Поэтому все соответственные значения вы-
ражений 5 (у + 3) и 5у + 15 равны. О таких выражениях
говорят, что они тождественно равны, или тождественны.
Два выражения называются тождественно равными, если все
их соответственные значения равны.
Приведем примеры тождественно равных выражений:
b + 5 и 5 + &; (6а) b и 6 (ад).
Равенства, в которых левая и правая части — тождествен-
но равные выражения, называют тождествами. Очевидно,
что при любых значениях переменных тождество обращается
в верное равенство. Например, равенство 5 (у + 3) = 5у + 15
является тождеством; оно верно при любых значениях у.
Верные числовые равенства также называют тождествами.
Например, равенство 2 + 8== 17 — 7 — тождество.
Выпишем некоторые важнейшие тождества:
а + 0 = а; а • 1 = а\
а + Ъ = Ъ + а; ab = Ьа;
(а + Ь) + с — а + (Ь + с); (аЬ) с = а (Ъс)\
а (д + с) = ab + ас.
Эти тождества выражают свойства арифметических дей-
ствий.
27. Почему можно утверждать, что тождественно равны вы-
ражения:
а) р + 25 и 25 + р; б) а (2 + &) и 2а + аб?
28. Объясните, почему данное равенство является тождест-
вом:
а) Зр + 5тп = 5тп + Зр; в) 2 + (7 — Зх) = 9 — Зх;
б) 2 (а + 8) = 2а + 16; г) а • (2х) = 2ах.
29. Напишите два тождественно равных выражения:
а) не содержащие переменных;
б) содержащие одну переменную;
в) содержащие две переменные.
30. Ученик нашел, что при некотором значении переменной
соответственные значения двух выражений различны.
Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что данные вы-
ражения не являются тождественными?
31. Докажите, что следующие выражения не являются тож-
дественно равными:
а) 2е3 + 5с и 7с‘; б) (а + З)2 и а2 + 9.
10
32. Назовите какое-нибудь значение переменной /г, при ко-
тором становится неверным равенство:
а) 1 — ЗА? = 3 (1 — /г); б) 2k — 5 = 5 — 2k.
33. Докажите, что данное равенство не гуляется тождест-
вом:
а) х + 2 = х2; б) (у — 3) (у + 2) = (у — 3) у + 2.
34. Найдите соответственные значения выражений 5а8 — а
и 4п2 при а = 0; 1;------. Можно ли утверждать, что
5
равенство 5п3 — а = 4п2 — тождество? Докажите, что
оно не является тождеством.
35. Заполните таблицу:
а b а2 — 2аЬ а (а — 2Ь)
1 5
—2 0
10 —0,25
—3 —1
Можно ли на основании таблицы утверждать, что ра-
венство а2 — 2аЪ = а (а — 2Ъ) является тождеством?
Почему все же можно утверждать, что это равенство
является тождеством?
36. Будут ли тождественно равными выражения:
а) п и п • 1; в) х • 0 и х — х;
б) 0 + k и А?; г) р • 0 и р?
37. Какие из выражений являются тождественно равными:
а) а — Ъ и Ъ — а\ б) (р — q)2 и (д — р)2?
38. Какие из равенств являются тождествами:
а) |—У| 6) |а| = | —а|?
39. Какие из ниже следующих высказываний истинны и
какие ложны? Истинное высказывание запишите в виде
тождества:
а) произведение любого числа и нуля равно нулю;
б) сумма любого числа и нуля равна этому числу;
в) разность между нулем и любым числом равна этому
числу;
г) произведение единицы и любого числа равно этому
числу.
40. Назовите хотя бы одно значение переменной, при кото-
ром получится ложное высказывание:
а)|х| = х; б) р2>0; в) (а — I)2 + 5 > 5; г) у2 - у.
11
41. Существуют ли значения переменной у, обращающие в
истинное высказывание предложение с переменной:
а) у2 = 0; б) j/2 + 1 = 0; в) у3 + 1 < 0; г) у2 = у?
42. Существует ли значение переменной х, при котором
получится ложное высказывание:
а) х2 + 1 > 0; в) х 4- 99 = 99 4- х;
б) х • 1 = х; г) I х I > 0?
4. Тождественное преобразование выражений
Чтобы найти значение выражения 26,7х 4~ 26,7г/ при
х =* 8,9 и у — 1,1, его удобно представить в виде 26,7 (х 4- у).
Тогда 26,7х 4- 26,7у = 26,7 (х 4- у} = 26,7 • (8,9 4- 1,1) =
= 26,7 • 10 = 267.
Мы упростили вычисления, заменив выражение 26,7х 4-
4- 26,7г/ выражением 26,7 (х 4~ у), ему тождественно равным.
Замену выражения другим, тождественно равным ему, на-
зывают тождественным преобразованием выражения,
С тождественными преобразованиями мы встречались и
раньше. Например, сумму х 4- х 4~ х 4“ х заменяли произ-
ведением 4х, произведение ууууу — степенью г/5, разность
8а — 8& — произведением 8 (а — Ъ).
Умение выполнять тождественные преобразования выра-
жений позволяет часто более коротким путем производить
вычисления.
Тождественные преобразования выражений широко ис-
пользуются и при решении уравнений, неравенств, а также во
многих других случаях.
43. Каким из выражений 15 (х 4- Ь) или 15х 4- 15& удоб-
нее пользоваться для вычислений, если:
а) х = 1,97, Ь = 0,03; б) х = 1, Ь = 2-| ?
44. Преобразуйте сумму в произведение:
а) Ъс 4- Ъс 4- Ъс 4- Ъс 4- Ъс‘, б) х3 4- х3 4- х3 4- х3.
45. Преобразуйте произведение в сумму:
а) 7с2; б) ЗаЪс.
46. Преобразуйте выражение в тождественно равное, ис-
пользуя распределительный закон умножения:
а) 7 (х — у); в) 23а 4- 23Ь;
б) (а — 4Ь) • 3; г) ab 4- ас.
41. Покажите, что при любом значении а множество значе-
ний выражения состоит из одного числа:
а) 3 • (а 4- 2) — За; б) 5 • (1 — 2а) 4- Юа.
12
48.
Найдите значение выраже-
ния:
49.
а) 37,1х + 37,lz/
при х = 0,98, у — 0,02;
б) 40,5а — 40,55
при а = 3,97, 5 = 0,97.
Докажите, что:
а) разность 47 • 69 — 69- 25
делится на 11;
Рис, 2.
б) сумма 128 • 22 4- 222 делится на 300.
50. Составьте выражения для вычисления площади фигуры,
изображенной на рисунке 2, сначала достраивая фигуру
до прямоугольника, а затем разбивая ее на два прямо-
угольника. Докажите тождественность полученных вы-
ражений.
§ 3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
5. Уравнение с одной переменной
При каких значениях переменной х соответственные зна-
чения выражений Зх и х 4- 8 равны? Чтобы ответить на этот
вопрос, решим уравнение Зх — х + 8:
Зх = х 4* 3;
2х = 8;
х = 4.
Число 4 — корень уравнения. Напомним, что корнем уравне-
ния с одной переменной называется то значение переменной, при
котором уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение — значит найти множество его корней.
Множество корней уравнения может состоять из одного,
двух, трех и т. д. элементов, может быть пустым, бесконечным.
Рассмотрим примеры:
1. Уравнение х 4- 5 — 8 имеет единственный корень 3.
2. Уравнение (х 4- 2) (х — 1) (х — 7) = 0 имеет три кор-
ня: —2; 1; 7, так как каждое из этих чисел обращает урав-
нение в верное равенство, а при всех других значениях х ни
один из множителей не равен нулю, а значит, и их произведе-
ние не равно нулю.
Решим, например, уравнение 3 (х 4- 8) (х — 5) = 0. Произ-
ведение 3 (х 4- 8) (х — 5) равно нулю в том и только в том слу-
чае, когда
х 4 8 = 0 или х — 5 = 0,
13
то есть когда
х = — 8 или х = 5.
Множество корней уравнения: { —8; 5}.
3. Уравнение 2х 4~ 5 = 2 • (х 4- 6) не имеет корней, так
как при любом х значение выражения 2х 4~ 5 меньше соот-
ветственного значения выражения 2 • (х 4~ 6) на 7.
Если мы будем решать это уравнение, то получим:
2х + 5 = 2х 4- 12;
2х - 2х = 12 - 5;
О • х « 7.
Равенство 0 • х — 7 не является верным ни при каком зна-
чении х.
Множество корней уравнения 2х 4- 5 = 2 • (х 4~ 6) пусто.
4. Корнем уравнения 3 • (5х 4- 10) = 30 4“ 15х является
любое значение х, так как выражения 3 • (5х 4“ 10) и 30 4" 15х
тождественно равны.
Если мы будем решать это уравнение, то получим:
15х 4- 30 = 30 4- 15х;
15х — 15х = 30 — 30;
0 • х = 0.
Произведение 0 • х равно нулю при всех значениях х.
Множество корней уравнения 3 • (5х 4~ 10) = 30 + 15х
бесконечно.
Множество корней уравнения х — | х | тоже бесконечно
(всякое положительное число и нуль является его корнем).
Однако в отличие от предыдущего уравнения оно обраща-
ется в верное равенство не при любом значении х.
51. Какие значения переменной х из множества {—2; —1;
0; 2; 3} являются корнями уравнения:
а) х2 = 10 — Зх; б) х3 — 7х = 6?
52. При каких значениях у соответственные значения выра
жений 2у — 3 и у 4- 3 равны?
53. Решите уравнение:
а) 2х 4- 9 == 13 — х;
б) 17 — Зх == 2 4~ 17х;
в) 0,5х 4- 11 == 4 — Зх;
г) 15 — х = —х — 1;
3
д) х = — х;
е) 5х = 6х.
54. Найдите корни уравнения:
а) 5х 4- 3 (х — 1) = 6х 4- 11;
6) Зх — 5 (2 — х) = 54;
в) 8 (х — 7) — 3 (2х + 9) = 15;
г) 0,6 — 0,5 (х — 1) = х 4 0,5.
14
55. а) При каком значении Ъ значение выражения 2Ь — 17
больше соответственного значения выражения 12 — & на
4?
б) При каком значении а значение выражения 2 (3 — 5а)
меньше соответственного значения выражения 4 (1 — а)
на 1?
56. Решите уравнение:
а) (х — 8) (х + 4) = 0; г) х (Зх + 1) = 0;
б) (у—1,5) 1у + А) (у +1) = 0; д) (у - 8) +(21/-4) =0;
в) 7 • (2х — 10) (х + 0,3) =0; е). 5z(2z+3) (z—7)=0.
57. Составьте уравнение с одной переменной, корни кото-
рого образуют множество:
а) {9}; б) {—1; 0; 2}; в) {-3; 5}; г) 0.
58. Найдите множество корней уравнения:
а) х + 5 = х + 1,7; в) 0,2 (х—8) =0,5 (15—я);
б) 5 (2у — 4) =2 (5у — 10); г) 11 — 2 (х —3) =9 — 2х.
59. При каких значениях х данное предложение обращается
в истинное высказывание:
а) | х — 2 | = 6; б) | х + 4 | = 0?
Решите задачи с помощью составления уравнений.
60. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый
изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько дета-
лей изготовил каждый рабочий?
61. Периметр прямоугольника равен 30 см, одна из его сто-
рон на 3 см больше другой. Найдите стороны и площадь
прямоугольника.
62. У Миши в 4 раза больше марок, чем у Андрея. Если Ми-
ша отдаст Андрею 15 марок, то у них станет марок поров-
ну. Сколько марок у каждого мальчика?
63. На одном участке было в пять раз больше кустов, чем
на другом. После того как с первого участка пересади-
ли на второй 22 куста, на обоих участках кустов стало
поровну. Сколько кустов было на каждом участке пер-
воначально?
64. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти,
причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на
свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти
израсходовали на каждое изделие?
65. В трех цехах завода работает 2740 человек. Во втором
цехе работает на 140 человек больше, чем в первом, а в
третьем цехе в 1,2 раза больше, чем во втором. Сколько
человек работает в каждом цехе?
15
66. Можно ли разменять 1 рубль на монеты по 5 коп. и 2 коп.
так, чтобы всех монет было: а) 26; б) 28?
67. На одной полке было в два раза больше книг, чем па
другой. Когда с первой полки сняли 14 книг, а со второй
7 книг, то на первой полке опять оказалось вдвое боль-
ше книг, чем на второй. Сколько книг было на каждой
полке первоначально?
6. Неравенство с одной переменной. Числовые промежутки
При каких значениях переменной х значение выражения
2х — 7 больше соответственного значения выражения х + 1?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно решить неравенство:
2х — 7 > х 4- 1.
Как мы знаем, решением неравенства с одной переменной на-
зывается значение переменной, при котором неравенство верно.
Значение х, равное 10, является решением неравенства
2х — 7 > х 4- 1, так как неравенство 2-10 — 7 > 10 4~ 1
верно. Можно указать еще несколько решений этого неравен-
ства, например: 12,5; 100; 251-i. Число 6 не является реше-
нием неравенства, так как неравенство 2*6 — 7 >64-1
неверно.
Решить неравенство — значит найти множество его реше-
ний.
Рассмотрим множества решений некоторых простейших
неравенств. При этом воспользуемся числовой прямой.
Двойному неравенству 3 < х < 7 удовлетворяют числа 3
и 7, а также координаты точек, лежащих на числовой прямой
между точками с координатами 3 и 7 (рис. 3). Множество ре-
шений неравенства 3 < х < 7 обозначают: [3; 7].
^////////////////^
Рис. 3.
Рис. 4.
Множество решений неравенства 3 < х <7 состоит из тех
же чисел, кроме чисел 3 и 7 (рис. 4). Его обозначают так:
13; 7[, показывая с помощью «вывернутых» квадратных ско-
бок, что числа 3 и 7 не принадлежат этому множеству.
Множества решений двойных неравенств вида 3 < х < 7
и 3 < х < 7 обозначаются аналогично: [ 3; 7 [ (рис. 5) и ] 3; 7 1
(рис. 6).
J 7
J .7
Рис. 5.
Рис. 6.
6
Рис. 7.
Рис. 8.
Каждое из множеств вида [3; 7], ]3; 7 [, [3; 7 [ и ] 3; 7]
называют числовым промежутком (читается: числовой про-
межуток от 3 до 7).
Неравенству х > 6 удовлетворяет число 6, а также коор-
динаты точек, лежащих на числовой прямой правее 6 (рис. 7).
Множество решений неравенства х > 6 обозначают: [6; Ч-оо [
(читается: числовой промежуток от 6 до плюс бесконечности).
Множество решений неравенства х > 6 обозначается 16; 4- оо[
(рис. 8).
ZZZ-ZzZZzzZZzzzzzZf
I 6 6
О Рис. 9. Рис. 10.
Множества решений неравенств х < 6 и х < 6 (рис. 9 и
рис. 10) обозначают соответственно: ]—_ со; 61 и ] — оо; 6[
(читается: числовой промежуток от минус бесконечности до 6).
Неравенству х2 > —5 удовлетворяет любое число. Мно-
/ жество его решений обозначают так: ] — со; 4- оо [.
68. Покажите, что значение переменной у, равное 3, являет-
ся решением неравенства:
а) (у 4- 5)2 >г/2 4- 25; б) у2 - у < у3 - 6.
69. Какие значения переменной х являются решениями
неравенства Зх — 7 < 2 (я 4- 5), если х £ { —1; 0; 1;
2,5; 3; 20}?
70. Назовите какое-нибудь значение р, при котором невер-
но неравенство:
а) р2 > 0; б) р < | р |.
71. Назовите какое-нибудь решение неравенства:
а) а2 < а; б) а2 > а.
72. Назовите и обозначьте числовые множества, выделен-
ные на числовой прямой (рис. 11).
-г ж £
G)
-/ 4
5) г)
Рис. 11.
17
73. Назовите числовые множества и покажите их на число-
вой прямой:
а) ] 3; + со [; в) ) — со; 2 ); д) [0; 5 ];
б) [ —2; 4 ]; г) ] —3; 31; е) ] —4; 0 [.
74. Назовите наибольшее целое число, принадлежащее про-
межутку;
а) I —12; —9 ); в) ] — со; 31 J;
б) [—1; 171; г) ] —со;—8[.
75. Какие из целых чисел принадлежат промежутку:
а) [0; 8 J; в) [ —5; 3 [;
б) ] —3; 3 [; г) [ —1; 8 ]?
76. Покажите на числовой прямой множество решений не-
равенства и запишите его:
а) х > —2; г) х < —5; ж) —5 < х <—3;
б) х > -8; д) х < 8; з) —1 < х < 4;
в) х < 3; е) —2 < х < 1; и) 2 < х < 6.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
К пункту 1
77. Найдите значение выражения:
а) 49,434 : 16,05 + 32 • 0,06;
б) 4,25 • 10,5 + 10,336 : 1,28;
в) 3 - • 3 —— 5,94 : 0,45;
г) 9,18:4,5 — 2 — ; 11;
35 28
д) 1^:3- —1,08:0,81;
' 65 52
е) 2 1.11 — 1,16:0,56.
49 55
78. Составьте выражение, содержащее не менее двух знаков
действий, значение которого равно:
а) 8; б) —14,2; в) 0; г) —10.
79. Выполните указанные действия:
1 +11
49 49
6)1 +2-
’ 8 44
Р-1Д
\35 42/
2 —+ 1,5;
34
в) (1— . i1V?5 + o,2; е) 4,25 + 1 . +
' \ 18 39 в/ 36 ’ 56 \63 45 18,
1В
80. Сравните выражения:
а) ™ и 1,6: (—20);
28 21
б) 1 —- и —0,4.1,1;
' 18 20
\ 1 л л Н 1
в) — 1 — 0,9 и-----1 —
15 18 12
. л с 1 л п 43 29
г) — 0,01 : 0,9 и----.
45 30
81. Не выполняя вычислений, поставьте между выражения-
ми вместо многоточия один из знаков: >; < или = так,
чтобы получилось истинное высказывание:
а) 0,735 • ( —21) . . . 0,735 : ( —21);
б) 319 • ( —1) ... 319 : ( —1);
в) 0,648 ( —0,45) . . . 0,648 : ( —0,45);
г) —2,313 . . . . —2,313 : (— -j;
\ 9} \ 9}
д) —0,1296 • 1 -______0,1296 : 1- .
9 9
82. Укажите порядок действий, а затем найдите значение
выражения:
а) (15,9 + 44,1)2; г) (2 З)8 — 5 • 2';
б) 142 — 52; д) (0,8 • 1,5)г — 0,8 • 1,25е;
в) 50 • (7,2 — 6,8)4 е) 59 — З2 (5 — 4)3.
83. Найдите значение выражения:
а) 5 23 — 3 • 22 — 2 • З2; в) (2,5 — 1.3)2 —0,5 • 1,72-,
б) 43Н - • 102 —7 • 42; г) 0,25 - 0,72 —- (3 —2,4)2.
2 3
84. Найдите значения выражений и выясните, какое из них
больше и на сколько:
а) 2Э или З2;
б) 52 или 2Б;
в) ( —З)8 или ( —4)3;
. / 1\6 / 1\2
г) 1 ИЛИ----------!
\ 2/ \ 4/
д) 2 • 3s или 3 • 23;
. 1 / 1 \2 1
е) — ------! или —
6 \ 3) 3
\ 6/
ж) (11 + 19)2 или II2- 4- 192;
з) (21 — 15)2- или 212 — 154
85. Не выполняя вычислений, определите, значение какого
из выражений больше:
а) 1,43 или 1,4?;
б) 0,75 или 0,72;
в) 0,986 или 1,023;
г) 0,853 или 0,753;
д) ( —15)3 или ( —25)3;
е) ( - 2,8)4 или ( —2,3V;
яс) ( —1,75)5 или ( —0,29)4
з) ( —0,001)г или ( —1000)3.
1»
86. Какое из чисел, написанных с помощью трех дь^ек,
наибольшее:
222; 222; 2“?
87. Какие из следующих высказываний истинны:
а) число 975 кратно 75,
б) сумма чисел 42 514 и 91 934 кратна 3;
в) сумма чисел 1617 и 1078 делится на их разность без
остатка;
г) произведение чисел 19/2 и 1973 делится без остатка
на 12;
д) число 1972 является квадратом натурального числа;
е) дробь — несократима;
ж) значение выражения (752 4- 3192) — простое число;
з) значение Выражения (6913 — 4S2) кратно 10;
и) З3 {- 43 + 53 = 63;
к) (1 + 2 + 3 + 4)2 = р + 23 4 З3 43?
88. Обозначим буквой А множество чисел, кратных 2, бук-
вой В — множество чисел, кратных 5, буквой С — мно-
жество чисел, кратных 10. Какие из высказываний ис-
тинны:
а) А а: С; в) A f| В = С;
б) С а: А; г) A (J В = С?
89. Пусть А — множество делителей 30, В — множество
делителей 60. Истинно ли высказывание:
а) А с В; в) A (J В = В;
б) В с А; г) А П В = А?
90. Из двух городов, расстояние между которыми 448 км,
выезжают одновременно навстречу друг другу два
автомобиля: один — со скоростью 60 км!ч, другой —
со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов они встре-
тятся?
91. Одна бригада рабочих изготовляет в час 35 деталей, а
другая 45 деталей. За сколько часов обе бригады
изготовят 480 деталей, если одновременно приступят к
работе?
92. Из двух пунктов, расстояние между которыми 50 км,
одновременно навстречу друг другу со скоростью
12,4 км^ч и 14,6 км!ч выехали два велосипедиста. Какое
расстояние будет между ними через 1 ч 40 мин?
20
93. Пионерским, отряд соорал 39 кг макулатуры, перевыпол-
нив план на 30'Й . Сколько килограммов макулатуры
был еобр ать отр«А По плану?
94. Сторона кьидр^хи 40 ^.м. На сколько квадратных санти-
метров увеличился его площадь, если длину каждой из
сторон увеличить на 25%?
95. Координаты трех вершин прямоугольника ABCD:
А ( —5; — 3); В ( — 5; 2); С (4; 2) Найдите координаты
четвертой вершины ** ь^тслите площадь прямоуголь-
ника.
96. Координаты двух вершин прямоугольника ABCD
А ( —1; —2); В (5; —2), а длина стороны ВС равна 4
единицам. Найдите координаты остальных вершин пря-
моугольника. Сколько решений имеет задача?
97. Известно, что А (4: —2) — вершина квадрата ABCD,
стороны которою соответственно параллельны осям ко-
ординат. Длина стороны квадрата равнг 3 единицам.
Найдите координаты остальных вершин. Сколько реше
ний имеет задач??
98. Координаты концов отрезка АВ: А (3; —2), В ( —7; 6).
Найдите координаты концов отрезка А Ви симметрич-
ного данному, относительно: а) оси х; б) оси у.
К пункту 2
99. Найдите значение выражения:
а) г2 — 8г 17 при г = 7;
6) и- -г 15н — 14 при и — — 12;
в) т3 — т2 + 5т — 12 при т = —3;
д) 2р2 — 5pq — 3q2 при р = 4, q = —9;
е) *~К* + 2»)
(г — if (х -у 2Ъ)
При X = 5, Ь = — 3.
100. Значения переменной у образуют множество
У == | — 1; 0; 1,5; З1 .
13’ j
Найдите множество значений выражения:
а) (бу — 1)’; н)1-6;3;
б) (1 - бу)2; г) у (1 - бу).
21
501. Значения переменной а образуют множество всех поло-
жительных чисел. Определите число элементов в мно-
жестве значений выражения:
а) 21 (а 4-3) —21а; б) ; в)|а| —а; г) —— .
а |а| + а
102. Заполните таблицу:
а —3 -1,5 0 ы|>- 2
(а-1)2
103. Заполните таблицу:
104. Составьте выражение для решения задачи:
а) Площадь прямоугольника 28 №, а одна из его сторон
равна а м. Чему равен периметр прямоугольника?
б) Периметр прямоугольника 16 см, одна из его сторон
р см. Какова площадь прямоугольника?
в) Из городов А и В, расстояние между которыми 620 км,
одновременно навстречу друг другу выехали два авто-
мобиля: один — со скоростью v км/ч, а другой — со ско-
ростью w км/ч (рис. 12). Через сколько часов они встре-
тятся?
г) Велосипедист проезжает 30 км за а ч, а мотоциклист
за Ь ч. На сколько километров в час скорость мотоцик-
листа больше скорости велосипедиста?
д) Одна машинистка печатает в час а страниц, а другая —
Ь страниц. За какое время, работая совместно, они пе-
репечатают рукопись в 834 страницы?
7*
е) Одна труба может на-
полнить бассейн, объем ко-
' торого 720 м\ за а ч, а дру-
гая за Ь ч. Сколько кубо-
* метров воды вольется в бас-
IVкм/ч сейн за 10 ч, если одновре-
Рис. 12. менно открыть обе трубы?
22
105. Найдите множество значений выражения х"‘ — ув, за-
полнив таблицу с двумя входами:
—1 0 18 4
—1
0
2
3
106. На рисунке 13 показано положение на числовой прямой
точки А (х). Покажите, не прибегая к измерениям, при-
мерное положение на той же прямой точек В (х2), С (х3).
А(*) AM 8(z)
................| . » ... * » —
-I 0 I о
Рис. 13. Рис. 14.
107. На рисунке 14 показано положение на числовой прямой
точек А (х) и В ^—). Покажите примерное положение
точки С ( —1), (1), Е (х2), F (х3).
К пункту 3
108. Какими числами (равными, противоположными, обрат-
ными) являются соответственные значения выражений:
а) у z —, где у чь 0; в) т — п | и — п — т |;
у
б) | у | и I — у I; г) —?— и т — п, где m ч* и?
т — п
109. Из каких чисел состоит множество значений выражения
(четных, нечетных, кратных трем и т. д.):
а) 2р, если р £ Z; в) 5 /г, если k £ Z;
б) 2р — 1, если р £ Z; г) 3fr, если ft ( Z?
110. Докажите, что при х £ { —2; 1; 5} соответственные
значения выражений х3 — 7х и 4х2 — 10 равны.
23
111. Найдите такое значение х, если оно существует, при
котором равны соответственные значения в^режений:
а) х — 2 и 2 — х; в) — х 4-1 и 2х —- ;
з з
б) х 4“ 3 и х — 2; г) 0,15х 4,7 и 2,2х — 19,9.
112. Какие из следующих выражений тождественно равны:
а) р |- 8 и 8 + р; д) 5 (а — 10) и 5а — 10;
б) п — 3 и (п — 2) — 1; е) 7(Ь + 3) и 76 + 21;
в) 19 -f- (х — 3) и х 4- 16; ж) I а‘ 4" 5 | и а2 4" 5;
г) 8 — (т + 8) и 16 - и; з) | и2 — 9 ; и и2 — 9?
113. Какие из равенств являются тождествами:
а) (а 4- 1) 4- (& — 1) = а 4- 5; г) 5 • З2 = 152;
б) (а — Ъ) 4- (5 — с) = а — с; д) — — = — ;
6 н и
в) (х 4- 4) у = х 4- 4у; е) | и —3 |— 13—а | =0?
114. Можно ли утверждать, что:
а) разность двух простых чисел есть число четное;
б) произведение двух четных чисел есть число четное;
в) сумма двух простых чисел, больших 2, есть число
составное;
г) произведение двух чисел увеличится, если один из
множителей увеличить на 1?
115. Найдите все значения переменной k, при которых дан-
ное предложение обращается в истинное высказывание:
а) 0,716 — k = 0,216; д) |fc|_ 1 = £ ;
6)* + l|---1, е) 1*1+1.1-21;
в) 3 — (2 + 7й) = — 1; Ж)|*_2| = Л.,
116. При каких значениях х следующее предложение обра-
щается в истинное высказывание:
а)|х—8| = х—8; в) —^-= 1;
X —• 6
б)|х —4| = 4 —х; Г) |х~91 =-1?
х — э
117. Истинно или ложно высказывание:
а) при любом натуральном п значение выражения 5п 4* 3
не кратно 5;
б) при любом натуральном п значение выражения Зп -f- 5
не кратно 5?
24
118. При каких значениях переменной и (n £ N) обращается
в истинное высказывание предложение:
а) 16 — п — натуральное число, кратное 3;
б) — правильная дробь;
v 7 С
в) неправильная дробь;
1Ъ “j—
г) 5п — простое число?
119. Най^и ±е хотя бы одно натуральное значение переменной
k, при котором предложение обращается в истинное вы-
сказывание (если такого значения k не существует, то
объясните почему):
a) 9k 4- 1 делится на 11;
б) Л (Л 4- 1) 4- 1 — четное число;
в) (А — 1) (fe 4- 5) — простое число;
k
г) неправильная дробь.
К пункту 4
120. Упростите выражение:
а) 5х — 2у 4- Зх — у;
б) ab 4- 5р — О,5аЬ — 2,7р;
в) З.г — (2х 4- 5у);
г) (7 т — Зп) — 2п;
121. Найдите значение выражения
д) а (Ъ 4- 2) — 2а;
е) 2х 4- 2 (Зу — х);
ж) с (а —1) — а (с — 1);
з) 5у (х—2) 4-х (8— 5у).
а) ху 4-5-^ у
б) 39 — а — аЬ
* 6
в) 4 — т 4-4 — п
9 э
г) 7,45р — 7,45g
2
при х = 4 —, у — 8,1;
при а = 0,073, b = 29 ;
при т = 5,63, п — 3,37;
при р — 88,27, д = 48,27.
122. Докажите, что:
а) разность 732 — 73-17 делится на 8;
б) сумма 97-24 , 972 делится на 11;
в) сумма 1012 • 5 4- 65 101 делится на 19;
г) разность 313 299 — 3132 делится на 7.
123. Выполнив тождественные преобразования, докажите, что
при п £ 77:
а) значение выражения 5 (2п — 1) — (п — 14) крат-
но 9;
б) значение выражения 7 (Зп — 1) — (п 4- 3) кратно 10;
25
в) значение выражения 5 (2п — 1) — 2 (4а — 2,5) четно;
1 / 2 4\
г) значение выражения 3 — (За — 1) — 3(2 —п — 1 —) не-
3 \ 3 9 /
четно.
124. Докажите, что значение выражения не зависит от значе-
ния переменной:
а) 6 (7 — 2а) 4- 4 (За — 8); б) 2а 4- 5 (а -7)4-7 (5 —а).
К пункту 5
125. Какие из чисел множества X = { —3; —2; 0; 1} явля-
ются корнями уравнения:
а )хз __ зх2 __ 6х + g = 0; б) х4 — 10х3 4- 25х3 « 36?
126. Объясните, почему уравнение Их5 4- 29х4 4- ЗЗх3 4-
4- 25х2 + 74х + 256 — 0 не может иметь положитель-
ных корней.
127. Может ли уравнение х4 — 25х3 4“ 13х2 — 20х 4" 1 = 0
иметь отрицательные корни?
128. Имеет ли корни уравнение:
а) х = 10х;
б) 3 (х — 7) = Зх — 20;
в) х4 4- 5х2 = — 4;
г) 7х 4- 6 = 7 (х 4- 1)?
129. Не выполняя вычислений, докажите, что равенство
2 • 133 — 23 • 132 4“ 6 • 13 = 27 не является верным
(используйте свойство делимости суммы).
130. Не выполняя вычислений, докажите, что:
а) число 11 не является корнем уравнения
2х4 — Зх3 + 6х2 — 7х = 39;
б) число 9 не является корнем уравнения
хъ _ __ цхз 4- 23х2 — 40х — 47 = 0.
131. Решите уравнение:
а) (х2+3) (х+5) (10—7х) = 0; в) (х2+ 1) + (х2+ 7) = 0;
6) (х2+1) (х2+7) (3,5—х) = 0; г) |х—12| +| 12—6х| = 0.
132.
Составьте уравнение с одной переменной, корни которого
образуют множество: а) { — 8}; б) 0; в)
0;
АI
4 J *
133. Напишите уравнение, которое имеет бесконечно много
корней и обращается в верное равенство:
а) не при любом значении переменной;
б) при любом значении переменной.
26
134. Найдите значение переменной х, при котором:
v х — 1 е
а) значение выражения —-— больше соответственного
значения выражения —— на 1;
б) значение выражения 5 (2х — 7) меньше соответствен-
ного значения выражения 13х + 1 на 14.
135. Найдите два каких-либо значения переменной с, при ко-
торых обращается в истинное высказывание предложе-
ние:
а) с2 = с; в) с3 = с2; д) | с — 2 | = с — 2;
б) с3 = с; г) | с | = —с; е) | 5 + с || = с + 5.
136. Решите уравнение:
а) 7 (Зх — 17) — 5 = 5 (4 + х)\
б)5(»+4)-4/Зу-4) = 3;
в) 11,2 (5х — 1) = 36 — 3 (13,4 — 7х);
г) 40 = 19,4 (2 — 5х) — 5 (9х — 11,6).
137. За 28 м ткани двух сортов уплатили 53 руб. Один
метр ткани первого сорта стоил 2 руб., а второго —
1 руб. 80 коп. Сколько было куплено ткани каждо-
го сорта?
138. Куплено 42 м ткани двух сортов: по 2 руб. 40 коп. и
2 руб. за метр, причем за ткань первого сорта уплатили
на 26 руб. больше, чем за ткань второго сорта. Сколько
было куплено ткани каждого сорта?
139. Как разменять 1 руб. на монеты по 2 коп. и 3 коп., что-
бы всех монет было 44?
140. На ферме находится 1000 кроликов и кур; у них 3150 ног.
Сколько кроликов и сколько кур на ферме?
141. Двое рабочих изготовили за смену 86 деталей, причем
первый изготовил на 15% больше, чем второй. Сколько
деталей изготовил каждый рабочим?
142. Три пионерских звена собрали для школьной библиоте-
ки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше,
чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое
собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг
собрало каждое звено?
143. Три бригады рабочих изготовили за смену 96 деталей.
Первая бригада изготовила на 18 деталей больше, чем
5
вторая, а третья — того количества деталей, которое
изготовили первая и вторая бригады вместе. Сколько
деталей изготовила каждая бригада?
27
141. Три заводские бригады изготовили 366 станков, причем
вторая изготовила станков на 15% меньше, чем первая,
а третья на 20% больше, чем первая. Сколько станков
изготовила каждая бригада?
145. За первый квартал года ателье выполнило 408 заказов.
В январе оно выполнило план, а в феврале и марте пере-
выполнило его: в феврале — на 15 %, а в марте — на
25 %. Сколько заказов в месяц должно выполнять ателье
по плану?
146. Сумма площадей двух земельных участков прямоугольной
формы равна 7,4 га. Длина первого участка 250 л, ши-
рина второго — 150 м. Какова площадь каждого участ-
ка, если ширина первого участка на 40 м больше длины
второго участка?
147. Ширина прямоугольника равна 26 дм. Если его длину
уменьшить на 10 дм, а ширину увеличить в 1,2 раза, то
площадь прямоугольника уменьшится на 130 Эл:2. Ка-
ков периметр прямоугольника?
148. Из деревни в город колхозник шел со скоростью 4 км/ч,
а назад возвращался со скоростью на 25% большей.
Благодаря этому на обратный путь он затратил на
1 ч 9 мин меньше, чем на путь из деревни в город. Ка-
ково расстояние от деревни до города?
149. На путь от пристани А до пристани В теплоход, идя по
течению, затрачивает 7 ч 30 мин, а на обратный путь —
на 3 ч 45 мин больше. Скорость течения реки 4 км/ч.
Какова скорость теплохода в стоячей воде?
150. На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч,
а на обратный путь — 10 ч. Скорость лодки в стоячей
воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?
151. Из городов А и В, расстояние между которыми 230 км, од-
новременно выехали навстречу друг другу два мотоцик-
листа. Через 3 ч после начала движения им осталось до
встречи 20 км. Найдите скорости мотоциклистов, если
известно, что скорость одного из них на 10 км/ч боль-
ше скорости другого.
152. Со станций М и N, расстояние между которыми 385 км,
одновременно навстречу друг другу вышли два поезда.
Скорость поезда, отправившегося со станции N, была
больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч
после отправления расстояние между поездами состав-
ляло 35 км. Найдите скорости поездов.
153. В 12 ч дня из поселка вышел турист и шел со скоростью
4,5 км/ч. Через 2 ч вслед за ним по той же дороге отправил-
ся его товарищ, шедший со скоростью 6 км/ч. В котором
часу он догонит туриста?
28
15-1. С элеватора в город одновременно отправились две гру-
зовые машины: одна — со скоростью 40 км/ч, а другая —
со скоростью 35 км!ч. Первая прибыла в город в
12 ч 15 мин, а другая — в час дня. На каком расстоя-
нии от города находится элеватор?
155. Турист вышел из города и прибыл на турбазу, отстоящую
от города на расстоянии 250 км. Часть пути он шел со
скоростью 5 км!ч, а часть ехал на автомобиле со ско-
ростью 60 км/ч, причем на автомобиле он ехал на 2 ч
дольше, чем шел. Сколько всего часов находился турист
в пути?
156. Сережа направился со скоростью 60 м’мин к школе, от-
стоящей от дома на расстоянии 1,5 км. Одновременно
в том же направлении по той же дороге пошел в школу
Миша со скоростью 80 м!мин. Сережа живет на 300 м
ближе к школе, чем Миша. Через сколько минут Миша
догонит Сережу? Успеет ли Миша догнать Сережу до
прихода в школу?
157. На одном участке на 9 кустов смородины больше, чем на
другом. Если со второго участка пересадить на первый
три куста, то на первом участке кустов смородины ста-
нет в полтора раза больше, чем на втором. Сколько кус-
тов смородины на каждом участке?
158. В одном пакете было 12 кг сахарного песку, а в другом —
9 кг. После того как в первый пакет добавили вдвое мень-
ше песку, чем во второй, в нем стало на 2 кг 403 г больше
песку, чем во втором пакете. Сколько песку добавили
в каждый пакет?
159. На одном складе 440 т угля, а на другом — 408 т. С пер-
вого склада ежедневно вывозили по 60 т, а на второй
ежедневно привозили по 48 т угля. Через сколько дней
на втором складе оказалось в 3 раза больше угля, чем
на первом?
160. В одном баке 470 л воды, а в другом — 240 л. Из первого
выливают в час в 3 раза больше воды, чем из второго.
Через 5 ч в первом баке остается на 20 л меньше воды, чем
во втором. Сколько литров воды выливают в час из каж-
дого бака?
161. Для того чтобы сдать в срок книгу в библиотеку, ученик
должен был прочитывать ежедневно 40 страниц, но он
прочитывал вдвое меньше, и потому ему пришлось от-
срочить сдачу книги еще па 10 дней. Сколько страниц
в книге?
162. Для того чтобы сдать вовремя заказ, артель стеклодувов
должна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако
она изготовляла ежедневно на 20 изделий больше и вы-
полнила заказ на 3 дня раньше срока. Каков был срок
29
выполнения заказа и сколько BveiO изделий изготовила
артель?
163. На одном и том же расстоянии переднее колесо телеги
делает 60 оборотов, а заднее, окружность которого на
0,5 м больше, делает 50 оборотов. Какова длина окруж-
ности каждого из колес?
164. Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали
прийти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили
скорость на 0,5 клг;ч и в результате опоздали на тур-
базу на 30 мин. С какой скоростью шли туристы иерво-
иачальио?
К пункту 6
165. Найдите множество целых решений неравенства:
а) —8 < х < 1; в) — 2 < х < 5;
б) — 3 < х < 3; г) -1 < х < 1.
166. Какие из целых чисел принадлежат промежутку:
а) [-5; 5]; в) [—1; 0 |;
б) ] -4; 1 [; г) (-1; 6 J?
167. При каких натуральных значениях п истинно высказы-
вание:
а) п г 9 < 19; в) 2n + 1 < 11; д) -2- <
«4-1 б
6)17 —п>10; г) 15 — Зп > 4; е) —-<-?
п 8
168. Существует ли такое значение А, при котором верно
неравенство:
а) 0 fe>—2; в) Ла + 1 < 0; д) — 57г > 0;
б) |/г| < — 3; г) —й>Л; е) — 5 — Л2 > 0?
169. Не выполняя вычислений, поставьте знак > или < так,
чтобы получилось верное неравенстьо:
а) 1717 : - ... 1717 • -; в) 1972 • (—2) ... 1972 : (—2);
3 3
б) 658 : у ... 658- *2; г) (—28,11)* ... (—28,И)3.
170. Напишите какое-либо неравенство, имеющее данное мно-
жество решений;
а) ) 10; 4- со [; в) [ — 3; + со [;
б) ]—оо; 4); г) 1 —со; —1 [.
so
171. Найдите пересечение множеств:
a) J - - со; 12 I и 16; 4* со [; в) [—7; —5 1 и I—6; О I;
б) ] — оо; 3 I и ] —3; + оо [; г) J —8; —1 [ и ] 1; Н -оо [.
172. Найдите объединение множеств:
а) ] — со; 4 1 и [ —2; 4-со [; в) ] —1; 5 [ и J 1; 7 !;
б) [2; 4 ) и 13;61; г) 1 —8; 8) и I —6; 6 I.
173. С помощью числовой прямой найдите множество общих
решений неравенств:
а) х > 8 и х < 10; в) х > 6 и х > 12;
б) х > 5 и х < 9; г) х < —3 и х < 5.
174. Истинно или ложно высказывание:
I
а) при любом а верно неравенство а 4- 12 > о 4 3;
1 б) при любом т верно неравенство т — 5 < ЛЦ
i в) при любом х верно неравенство х —х;
t г) при любом Ь верно неравенство 2Ь > Ъ?
175. Покажите на числовой прямой множество решений не-
равенства или уравнения:
а) | х | = 5; в) | х | = 1; д) | х ] = 4;
б) | х | < 5; г) | х | < 1; е) | х | > 4.
176. Существует ли такое значение переменной х, при кото-
ром:
а) значение выражения Зх2 + 1 меньше нуля;
б) значение выражения —— больше 1;
14-х
в) значение выражения х 4- 8 больше соответственного
значения выражения 15 4- х;
г) значение выражения х2 меньше соответственного зна-
чения выражения 2х?
Глава II
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
§ 4. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
7. Отношение чисел и величин
Сравнивая числа, например, 187 и 11, можно узнать, во
сколько раз 187 больше 11 или какую часть 11 составляет от
187. Для этого нужно найти частное:
187 : 11 = 17 или 11 : 187 = 1 .
17
В этом случае говорят, что отношение 187 к 11 равно 17,
отношение 11 к 187 равно i .
17
Отношением числа а к числу b называется частное чисел
а и Ь.
Приведем примеры:
4 4
1) 4 : 7 = Отношение 4 к 7 равно —.
2) 13 : 10 — 1,3. Отношение 13 к 10 равно 1,3.
Под отношением, как и под всяким частным, понимают как
само выражение, например 4 : 7; 13 : 10, так и его значение:
1.3.
7
Числа, из которых составлено отношение, называют чле-
нами отношения. Например, в отношении 4 : 7 числа 4 и 7 —
члены этого отношения. Число 4 называют предыдущим членом
отношения 4 : 7, число 7 — последующим его членом.
Сравним длины отрезков, изображенных на рисунке 15.
Длина отрезка АВ в три раза больше длины отрезка CD. Дли-
на отрезка ЕЕ равна половине длины отрезка CD. Если длину
отрезка CD принять за единицу измерения, то длина АВ бу-
дет равна 3, а длина ЕЕ---i :
| АВ | = 31 CD |; |EF| = i|CD|.
Говорят, что отношение длины отрезка АВ к длине отрезка
CD равно 3; отношение длины отрезка ЕЕ к длине отрезка CD
1
равно — .
А । । I I I I < В СI ID ЕI 1 IF'
Рис. 15.
32
В математике обычно рассматривают отношения однород-
ных величин: длины к длине, площади к площади и т. д.
Отношением величины а к величине Ь (того лее рода) назы-
вается число, которое получится при измерении величины а,
если за единицу измерения принята величина Ь.
Отношение длины отрезка АВ к длине CD (см. рис. 15)
можно найти, измерив обе длины одной и той же единицей и
вычислив отношение полученных чисел. Например, если за
единицу измерения принята длина отрезка ЕЕ, то длина АВ
равна 6, а длина CD равна 2. Отношение длин отрезков АВ и
CD равно отношению чисел 6 и 2:
1, АВ I = 6| EF _ £ _ 3
j СП| “ 2| ЕЕ I “ 2 ~
Отношение однородных величин равно отношению чисел,
получающихся при измерении этих величин одной и той же
единицей; оно не зависит от выбора единицы измерения.
Рассмотрим задачи:
1. Собираясь в поход, ребята разработали два маршрута:
один протяженностью 18 км, другой — 15 км. Во сколько раз
первый маршрут длиннее второго?
2. Площадь поля равна 4U0 га. За неделю вспахали 240 га.
Какую часть поля вспахали за неделю?
3. Масса одного ящика 8 кг, другого — 3 кг 50С г. Во сколь-
ко раз масса первого ящика больше массы второго?
При решении каждой из этих задач приходится находить
отношение двух чисел:
18 : 15 = 1,2; 240 : 400 = 0,6; 8 : 3,5 = 2-| -
Число 1,2 выражает отношение длины первого маршрута
к длине второго; число 0,6 — отношение площади вспаханной
2
части поля к площади всего поля; число 2------отношение
7
массы первого ящика к массе второго.
Иногда говорят об отношении разнородных величин. На-
пример, говорят об отношении пути ко времени, массы к
объему и т. д. Отношение разнородных величин есть величи-
на. Так, отношение пути ко времени есть скорость, отноше-
ние массы к объему — плотность и т. д. Значение отношения
разнородных величин зависит от выбора единиц измерения.
Например, если путь равен 20 м, а время, затраченное на его
прохождение, равно 5 сек, то отношение пути ко времени
равно 4 м/сек. Оно выражает скорость движения в м'сек.
Если тот же путь измерить в километра х, а время — в ча-
сах, то отношение пути ко времени будет равно 14,4 км/ч
(0,02 : = 14,4 j. Оно выражает ту же скорое гь в км/ч'.
4 м/сек = 14,4 км/ч.
2 Заказ 22G
33
в
Рис. 16.
X»... > । । — и Z?
fil----iC
Рис. 17.
Рис. 18.
Рис. 19.
177. Площадь треугольника АВС рав-
на 26 см2, а квадрата DEFK —
13 см2 (рис. 16). Чему равно
отношение площади треугольни-
ка к площади квадрата?
178. Длина отрезка АВ равна 9 см,
а длина отрезка СК — 5 см. Най-
дите отношение длин отрезков:
а) АВ и СК\ б) СК и АВ.
179. Найдите отношение длины отрез-
ка AD к длине отрезка ВС (рис.
17). Чему равна длина отрезка
AD, если длина отрезка ВС при-
нята за единицу измерения?
180. Найдите отношение: а) площади
квадрата ABCD к площади квад-
рата EFKL (рис. 18); б) пло-
щади квадрата EFKL к площа-
ди квадрата ABCD. Чему равна
площадь квадрата ABCD, если
площадь квадрата EFKL приня-
та за единицу измерения? Чему
равна площадь квадрата EFKL,
если площадь квадрата ABCD
принята за единицу измерения?
181. Найдите отношение площади пря-
моугольника ABCD к площади
прямоугольника EFKL (рис. 19).
182. Ребра двух кубов равны 4 см и
6 см. Каково отношение объемов
этих кубов?
183. Муха летит со скоростью 200
мин
а ласточка — со скоростью 60—.
ч
Найдите отношение скоростей по-
лета мухи и ласточки (обратите
внимание на единицы измерения).
184. Объем V параллелепипеда равен
0,62 дм3, а объем Q куба равен
310 см3. Найдите отношение V к Q,
выразив предварительно оба
объема:
а) в кубических дециметрах;
б) в кубических сантиметрах.
Сравните результаты, получен-
ные в случаях а) и б).
84
185. При пяти уроках в день па занятия отводится 3 ч 45 мин,
а на перемены — 50 мин. Во сколько больше времени
отводится на занятия, чем на перемены? Задачу решите
двумя способами, выразив данные:
а) в минутах; б) в часах.
186. На трех опытных участках посадили семена. На первом
участке из 400 семян проросло 380, на втором — из 500
проросло 470, а на третьем — из 600 проросло 560. Най-
дите всхожесть семян на каждом участке и выразите ее в
процентах (всхожестью семян называется отношение
числа проросших семян к числу посеянных семян).
187. Установлено, что для нормального освещения класса
отношение площади окон к площади классного помещения
должно быть не менее 0,2. Будет ли нормальным осве-
щение класса, если это отношение равно:
7
32 ’
а)
б)
87
188. а) Масштаб карты 1 : 20 000 000 выражает отношение
расстояния между точками на карте к расстоянию между
соэтветствукощими точками на местности. На карте рас-
стояние между Москвой и Ленинградом по железной
дороге равно 32,6 мм. Каково расстояние между Моск-
вой и Ленинградом в действительности?
б) Масштаб карты 1 : 50 000. Каким отрезком изобра-
зится расстояние в 800 м?
в) Расстояние х см на карте соответствует у км на мест-
ности. Найдите масштаб карты, если х = 1, у ~ 1;
если х — 12, у ~ 48.
189. а) На карте расстояние 80 км изображается отрезком
длиной 1 см. Каков масштаб карты?
б) Расстояние между двумя городами на карте равно
3,8 см. Каково это расстояние в действительности, если
масштаб карты 1 : 5 000 000?
в) Масштаб плана 1 : 5000. Каким отрезком изобразит-
ся на этом плане расстояние, равное 750 м!
190. Сестре 2 года, а брату 5 лет. Заполните таблицу и про-
следите, как изменяется с годами отношение возраста
брата к возрасту сестры. Будет ли когда-нибудь это от-
ношение равным 1?
Возраст брата (в годах) 5 6 7 8 9 43 58 73
Возраст сестры (в годах) 2 —
Отношение возраста брата к возрасту сестры 2,5
о*
4.1
8. Пропорция
Отношение 36 : 12 равно отношению 42 : 14. Равенство
36 : 12 = 42 : 14 называют пропорцией.
Пропорцией называется равенство вида а:Ь = с: d, где
а, Ь, с и d — числа, причем Ь=£ 0, di= 0.
Пропорцию а : Ь = с : d записывают также и в виде — — — .
Ь d
Как и всякое числовое равенство, пропорция может быть
верной или неверной. Например, равенство 12:36 = 20,1:60,3
является верной пропорцией, так как 12:36=—;
3
20,1 : 60,3 = Равенство 5 : 8 = 4 : 7 не является верной
пропорцией.
Пропорцию 4:2 = 1800 : 900 можно прочитать так: ♦чис-
ло 4 во столько раз больше 2, во сколько число 1800 больше
900», или «отношение 4 к 2 равно отношению 1800 к 900»,
или <4 так относится к 2, как 1800 к 900>.
Числа 4 и 900 называются крайними членами пропорции,
а 2 и 1800 — средними членами.
33 __g
Пропорцию—- - =—— - можно прочитать так: «33 так
относится к —11, как —9 к 3», или «отношение 33 к —11
равно отношению — 9 к 3»*. Числа 33 и 3 — крайние члены
пропорции, числа —11 и —9 — средние члены.
191. Какое из равенств можно назвать пропорцией:
а) 17 : 12 = 7 : 5; в) 2 + 3 = 20 : 4;
б) 5 : 20 = - : -; г) — = — ?
' 58 29 ' 17 20,5
192. Прочитайте пропорцию и назовите ее крайние и средние
члены:
а) 48 : 6 — 240 : 30; в) ЬТ = 51®;
' 5,1 8,4
б) 19 : 57 = 37 : 11; г) — = — .
' ' 6 20
193. Составьте пропорцию, в которой каждое из отношений
равно 0,3.
♦ Выражение «больше (меньше) в несколько раз» употребляют при срав-
еснии положительных чисел. Использовать его при чтении этой пропорции
нельзя.
36
194. В пропорции 19 : 76 = 13 : 52 в каждом отношении
поменяйте местами предыдущий и последующий члены.
Будет ли полученное равенство верным?
195. Верно ли равенство, которое получится из пропорции
2:7 == 10 : 35, если в ней поменять местами числа:
а) 2 и 35; б) 2 и 10; в) 7 и 10; г) 7 и 35?
196. Автомобиль за п ч прошел т км, а мотоцикл за q ч про-
ехал р км. Автомобиль и мотоцикл пмели скорость,
равную 60 км!ч. Является ли верным равенство ~ = — ?
п q
197. Найдите значение переменной х, при котором будет вер-
ным равенство:
а) х : 4 -= 15 : 3; б) 18 : х = 42 : 7.
9. Основное свойство пропорции
Сравним в каждой из верных пропорций
25 : 35 = 10 : 14; — = —
1.2 0,5
произведение крайних членов с произведением средних членов:
25 • 14 - 350 и 35 • 10 = 350;
3,6 • 0,5 = 1,8 и 1,2 • 1,5 = 1,8.
Мы видим, что рассмотренные произведения равны.
Указанное свойство выполняется для любой пропорции*.
Пусть известно, что числа а, Ъ, с и d образуют пропорцию
а с
b = d
Докажем, что произведения ad и Ъс равны.
а с
Обозначим через к число, которому равно каждое из отношений — и —.
о d
а с
Из равенств — — k, — = k получаем, что а — Ък, с = dk.
Ъ d
Тогда
ad = (bk) d= Ъ (kd) = b (dk) = Ъс.
Произведение крайних членов пропорции равно произведе-
нию ее средних членов.
Это свойство называют основным свойством пропор-
ции.
Справедливо и обратное.
* Здесь и в дальнейшем, говоря о пропорции, будем подразумевать верную
пропорцию.
37
Равенство 2 • 28 = 7 • 8 верное. Из чисел 2, 28, 7 и 8
можно составить пропорцию 2:7 = 8 : 28. Аналогично из
чисел 3, 17, 51, 9, входящих в верное равенство 3 • 51 = 17 • 9,
3 9
можно составить пропорцию — = — .
Если числа а, Ь, с и d (b Ф 0, d Ф 0) таковы, что верно
равэнство ad — be, то из них можно составить пропорцию
а ____________________________ с
b d
Докажем это. Разделим каждое из произведений ad и Ьс на одно и то ж о
число bd (не равное нулю):
ad а Ьс с
bd~ b' bd~ d
а с
Так как равенство ad = be верно, то и равенство - = — тоже верно.
b d
Это предложение и основное свойство пропорции позволя-
ют утверждать, что справедлива следующая теорема:
Теорема. Числа а, Ь, с и d, где Ь 0t d 0, составляют
пропорцию — — — тогда и только тогда, когда ad — be.
b d
С помощью этой теоремы можно найти любой член пропор-
ции, зная три других.
Пример. Пусть надо найти такое значение переменной х,
16 40
при котором равенство — = — верно, то есть решить
х 3
уравнение, имеющее вид пропорции. Обычно эту задачу фор-
LT „ „ 16 4 Э
мулируют так: «Наити неизвестный член пропорции — = — о.
х 3
Решение. Найдем, при каком значении х произведения
средних и крайних членов пропорции равны. Для этого ре-
шим уравнение 40л = 16-3. Получим, что х = 1,2.
Неизвестный член пропорции равен 1,2.
ч а 14,1
5,8 “ 29 ’
ч 3,03 5,05
е) — = - .
с 6
198, Найдите неизвестный член пропорции:
а) у : 15 = 8 : 6; в) — = — ;
456 768
б) 777 : 37 = 48 : х; г) 2 - : k = 5 : 18 ;
3
199. При каких значениях а верно равенство:
а) 2а : 3,7 = 8 : 7,4; в) 5а : 3 i = 0,3 : 5;
За 1 ч 0,1а 3,4 о
б)----= — ; г) -J— = — ?
62,5 2,5 б) 7 4 17
38
200. Решите уравнение:
2
— k — 4
3
201.
202.
203.
204.
а) = -
7 3 5
ч с — 16 9 — с
в) ------=--------
5 2
д)^
0,75а -f* 2
3
входящих в равенство
6)5=^ + 2f; = +
' 5 9 7 15
Составьте пропорцию из чисел,
0,05 • 36 = 1,5 • 1,2.
Можно ли составить пропорцию из чисел:
а) 3; 5; 8; 13; б) 10; 8; 1,2; 1,5?
К трем числам 2, 4, 5 подберите четвертое так, чтобы из
полученной четверки чисел можно было составить про-
порцию. Сколько решений имеет задача?
тг т 3,7
Пусть числа т и п таковы, что равенство — = — явля-
1,5 п
6 '
4
6
205.
ется верным.
г? п 3,7О
Будет ли верным равенство — == — I
1,5 т
Докажите, что если числа а, &, си d, ни одно из которых
не равно нулю, составляют пропорцию — = —, то бу-
ft d
равенство:
2) — =—
е d
дет верным
1)4 = -:
b а
Сформулируйте вывод, который можно сделать, сравни-
вая исходную пропорцию с пропорцией 1); 2).
§ 5. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
10. Пропорциональные переменные
Пусть а — длина стороны квадрата (в сантиметрах), р —
его периметр (в сантиметрах), q — площадь (в квадратных
сантиметрах). Составим таблицу:
а 0,5 1 2 3 4 5 6
р 2 4 8 12 16 20 24
Q 0,25 1 4 9 16 23 36
Периметр и площадь квадрата зависят от длины его сторо-
ны. Однако характер этой зависимости не одинаков. Отноше-
ние — постоянно (равно 4) для любой пары соответственных
а
значений переменных р и а (2 : 0,5 =4; 4:1== 4; 8:2=4
и т. д.).
Отношение же — для разных пар соответственных зна-
а
чений переменных qua различно (0,25 : 0,5 = 0,5; 1:1 = 1;
4:2 = 2).
Рассмотрим таблицу:
8 30 50 80 100 120 200 400
V 2,4 4 6,4 8 9,6 16 32
V 8 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08
в которой показана зависимость объема V израсходованного
автомобилем бензина (в литрах) от пройденного им пути s
(в километрах) и для каждой пары значений переменных s и
V V
V вычислено отношение —. Мы видим, что отношение —
s s
(так же как и отношение — в первом примере) остается
а
постоянным. Из любых двух пар соответственных значений
переменных V и s можно составить пропорцию:
2,4 : 30 = 4 : 50; 4 : 50 = 6,4 : 80; 6,4 : 80 = 8 : 100 и т. д.
В таких случаях говорят, что числа 2,4; 4; 6,4 и т. д. про-
порциональны числам 30; 50; 80 и т. д., или что переменная V
пропорциональна переменной s.
Определение. Если для любой пары соответственных зна-
нении переменных х и у отношение — равно одному и то-
X
му же числу, отличному от нуля, то переменная у про-
порциональна переменной х.
Зависимость у от х называется пропорциональностью (или
прямой пропорциональностью).
В рассмотренных примерах мы установили, что перемен-
ная р пропорциональна переменной а, переменная V пропор-
циональна переменной s. Говорят также, что периметр квад-
рата пропорционален длине его стороны, объем израсходован-
ного автомобилем бензина пропорционален пройденному им
40
пути. Площадь квадрата и длина его стороны не являются
пропорциональными величинами, так как переменная q не про-
порциональна переменной а,
В практике часто бывает неизвестно, в какой зависимости
находится одна переменная от другой. Чтобы установить,
является ли эта зависимость прямой пропорциональностью,
достаточно сравнить отношения их соответственных значений.
Рассмотрим пример: Лыжник вышел из села В и через х ч
оказался на расстоянии у км от него. Зависимость у от х по-
казана в таблице:
X 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
У 4,1 8,1 12,0 15,9 20,2 24,2 27,9 32,1
Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
Для каждой пары значений х и у найдем отношение — .
х
X 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
У 4,1 8,1 12,0 15,9 20,2 24,2 27,9 32,1
У X 8,2 8,1 8,0 8,0 8,1 8,1 8,0 8,0
' Можно сделать вывод, что зависимость у от х близка к
прямой пропорциональности. Отношение — характеризует
х
скорость движения лыжника. Практически можно считать,
что лыжник шел с постоянной скоростью.
206. Заполните таблицу, в которой указаны все значения
переменных х и у. Пропорциональна ли переменная у
переменной х?
а) X 1 2 3 4 5 6) X 9 5 2 8 12
У 9 18 27 36 45 У 22,5 12,5 5 20 30
У X У X
41
в) г)
X 2 3 4 5 1 2 £ 7 ЗС |
У 12 6 4 3 2,4 У -3 -6 -18 —21 —9С
У_ X 2 х 1
207.
Переменная а пропорциональна переменной Ъ. Запол-
ните таблицу:
а)
ъ —3 — 1 1 3 5 7
а 6
а Ъ
208. В таблице указаны значения диаметра d круга (в см)
и соответствующие им значения площади кругаS (в см2).
d 10 11 12 13 14 15 16 17
S 78,54 85,03 113,1 132,7 153, е 176,7 201,1 227,0
Пропорциональна ли площадь круга его диаметру?
209. В таблице указаны значения квадрата диаметра круга d2
(в см2) и соответствующие им значения площади круга S
(в еж2).
d» 100 121 144 169 196 225 256 239
S 78,54 85,03 113,1 132,7 153,8 176,7 201,1 227,0
Пропорциональна ли площадь круга квадрату диаметра?
210. Ответьте на вопросы:
а) Пропорционален ли периметр равностороннего тре-
угольника длине его стороны?
42
б) Пропорциональна ли площадь квадрата длине его
стороны?
в) Пропорционален ли периметр прямоугольника его вы-
соте, если основание прямоугольника постоянно?
г) Пропорционален ли объем куба длине его ребра?
д) Пропорционален ли путь, пройденный поездом при
постоянной скорости, времени его движения?
е) Пропорциональна ли стоимость муки данного сорта
ее массе?
ж) Пропорциональна ли масса железнодорожного рель-
са его длине?
211. Какие строки в таблице пропорциональны первой стро-
ке? Какие столбцы в таблице пропорциональны первому
столбцу?
2 3 5 7 11
4 6 10 11 12
6 9 15 21 33
8 12 20 28 30
10 15 25 29 55
12 18 30 42 66
11. Коэффициент пропорциональности
Пусть переменная у пропорциональна переменной х. По
определению отношение — для любой пары соответственных
х
значений равно одному и тому же числу, отличному от ну-
ля. Обозначим это число буквой k:
±= к.
х
Число к называют коэффициентом пропорциональности.
В случае пропорциональности однородных величин отно-
шение их соответственных значений, полученных при измере-
нии этих величин одной и той же единицей, а значит и коэф-
фициент пропорциональности, не зависит от того, каковы еди-
ницы измерения. Если же речь идет о пропорциональности
разнородных величин, то отношение их значеш й, а значит и
коэффициент пропорциональности, зависит от выбора единиц
измерения.
Если переменная у пропорциональна переменной х и к —
коэффициент пропорциональности, тс зависимость у от х
выражается формулой
у = kx, где k =t О
В самом деле, из равенства — = к следует, что у = к,.,
х
43
Наоборот, если зависимость переменной у от переменной х
выражается формулой у = kx, где k — не равное нулю число,
то отношение — (при х 0) постоянно: — = 7?, т. е. перемен-
х X
ная у пропорциональна переменной х.
Если переменная у пропорциональна переменной х и коэф-
фициент пропорциональности равен k, то и переменная х про-
порциональна переменной у, причем коэффициент пропорцио-
нальности равен Действительно, 1 л* если — = k (k ф 0), то X 1 — ~Г 9
X у k
1 или х = — у, k »
Например, если у о х 1 1 — = 3, то — = —, или X = — у.
х у 3 3
212. Переменная у пропорциональна переменной х. Коэф-
фициент пропорциональности равен 3. Заполните таб-
лицу:
X —3 —2 —1 1 2 3 4 5
У 24 30
213. Переменная а пропорциональна переменной Ь. Коэф-
фициент пропорциональности равен —5. Заполните таб-
лицу:
Ь 0,2 0,7 1,8 4 8,9 10 22,5
а 29 45,5 75
214. Переменная т пропорциональна переменной п. Рассмот-
рите таблицу и найдите, чему равен коэффициент про-
порциональности. Заполните таблицу:
п 1 5 6,7 10,2
т 0,2 0,65 0,88 1,02 1,2 10,2
44
215. Длина окружности выражается
формулой С=2лг, где л—чис-
ло, приближенно равное 3,14,
г — радиус окружности и С —
ее длина, измеренные в сан-
тиметрах. Пропорциональна ли
длина окружности ее радиу-
су? Чему равен коэффициент
пропорциональности? Пропор-
циональна ли длина окруж-
ности ее диаметру?
216. Докажите, что периметр фи-
гуры, изображенной на ри-
сунке 20, не зависит от Ъ и пропорционален а (Ъ < а).
217. Основание прямоугольника 6 слт, высота h см. Найдите
его площадь S (в квадратных сантиметрах). Пропорцио-
нальна ли переменная S переменной й? Как изменится
площадь этого прямоугольника, если его высоту увели-
чить в 5 раз; уменьшить в 3 раза?
218. В таблице указаны все пары соответственных значений
переменных а и Ъ.
а 1 2 3 10 14
ь 4 8 12 40 56
Пропорциональна ли переменная Ъ переменной а и чему
равен коэффициент пропорциональности? Пропорцио-
нальна ли переменная а переменной b и каков коэффи-
циент пропорциональности?
219. Переменная Ъ пропорциональна переменной а; коэффи-
циент пропорциональности равен k.
Зная значение одной из переменных, выразите через k
соответствующее значение другой.
а 1 8 6.2 12
ь 36
220. Килограмм слив стоит 0,5 руб. Сколько стоит х кг cjlvlbI
Составьте таблицу для значений х = 0; 0,5; 1; 1,5; 2;
2,5; 3. Обозначьте стоимость слив буквой у. Напишите
формулу зависимости у от х. Пользуясь таблицей, по-
стройте график стоимости слив.
45
221. Скорость автомобил я «Москвич» 0,8 км!мин. Какое расстоя-
ние пройдет автомобиль за х мин? Постройте график
движения автомобиля «Москвич». Используя график,
ответьте на вопросы:
а) Сколько километров прошел автомобиль за 6 мин;
за 10 мин?
б) Сколько времени потребовалось автомобилю, чтобы
пройти 4 км; 12 км; 15 км?
222. На рисунке 21 изображены графики движения пешехо-
да (отрезок ОА) и велосипедиста (отрезок ОВ).
Рассматривая график,
ответьте на вопросы:
а) Какое время был в пу-
ти пешеход?
б) Какое время находился
в пути велосипедист?
в) Какой путь прошел пе-
шеход?
г) Какой путь проехал ве-
лосипедист?
д) С какой скоростью шел
пешеход?
е) С какой скоростью ехал
велосипедист?
ж) Во сколько раз путь, проделанный велосипедистом
за 2 ч, больше пути, пройденного за то же время пеше-
ходом?
12. Свойство пропорциональных переменных
В таблице показана зависимость пути у (в километрах),
пройденного поездом, от времени его движения х (в часах)
при постоянной скорости.
X 1 3 1 1,6 2 1 2— 3 2,5 3
У 30 90 135 180 210 225 270
У X 00 90 90 90 90 90 90
Эта зависимость — прямая пропорциональность.
Нетрудно заметить, что если время движения увеличится
в несколько раз, то и пройденный путь увеличится во столь-
ко же раз. Например, за 1,5 ч поезд проходит 135 км, а за 3 ч
48
270 км, т. е., затратив вдвое больше времени, поезд проходит
в два раза больший путь.
Отношение 3 : 1,5 равно отношению 270 : 135.
Также равны отношения;
2 : - и 180 • 30,
3
2| : -1 и 210 : 30;
2,5 • 1,5 и 225 : 135.
Можно доказать, что вообще, если переменные пропорцио-
нальны, тс отношение дсух значений одной из них разно от-
ношению соответствующих значений другой,
В самом деле, пусть х и х2 — значения переменной х, а уг и уг — со< т.
ветствующие иг значения переменной у. Если переменная у пропорциональна
переменной х, то по определению
Ут =Ь»_
Xj X,
Переставив крайние члены пропорции, получим:
у?
xi У- ’
что и требовалось доказать.
Верно и обратное:
Если отношение двух произвольных значений одной пере-
менной равно отношению соответствующих значений другой,
то переменные пропорциональны.
Это предложение выражает признак пропорциональности
переменных.
Докажем его. Допустим, чт< для любых значений Xj и х перемензой х и со-
ответствующих им значений у1 и у2 переменной у верна пропорция
xi Vi ‘
Переставив крайние члены пропорции, получим, что
ib Уг_
Х1 хг
Так как значения х, и х2 выбрана произвольно то полученное равеистио
, * - У
показывает, что для любой пары значении переменных х к у отношен™ ~ ос-
тается равным одном} и тому же числу, т. е. переменная у пропорциональна
переменной х.
47
В случае, когда речь идет о зависимости между перемен-
ными, значения которых выражаются положительными чис-
лами, признак пропорциональности можно сформулировать
так:
Если с увеличением (уменьшением) значений одной пере-
менной в несколько раз соответствующие значения другой
увеличиваются (уменьшаются) во столько же раз, то пере-
менные пропорциональны.
Рассмотрим решение задачи.
«Из 15 кг сырого кофе получается 12,5 кг жареного. Сколь-
ко- надо взять сырого кофе, чтобы получить 20 кг жареного?»
Решение. Масса жареного кофе пропорциональна мас-
се сырого кофе; если сырого кофе взять больше в несколько
раз, то получится во столько же раз больше жареного. Допу-
, m 15 12,5
стим, что надо взять х кг сырого кофе. Тогда — = .
Найдем неизвестный член пропорции
12,5л: = 15 • 20;
Мы узнали, что надо взять 24 кг сырого кофе.
Примечание. Эту задачу мы можем решить и дру-
гими способами. Найдем, например, сначала, сколько сырого
кофе потребуется для получения 1 кг жареного:
15 : 12,5 = 1,2 (кг).
Затем узнаем, сколько надо взять сырого кофе для получения
20 кг жареного:
1,2 • 20 = 24 (кг).
223. Чтобы получить 600 г чернослива, надо взять 2 кг све-
жих слив. Сколько чернослива получится из 3 кг 200 г
свежих слив?
224. Тонна морской воды содержит 25 кг соли. Сколько соли
содержится в стакане морской воды (масса одного ста-
кана морской воды приближенно равна 250 г)?
225. Известно, что 14 дм3 железа весят 109,2 кг. Сколько
весят 25 дм3 железа? Какой объем занимает кусок же-
леза, весящий 78 кг?
226. С 25 гусей можно получить 800 г пуха. Сколько потре-
буется гусей, чтобы получить 3 кг 500 г пуха?
227. Из 3 кг проволоки изготовили 194 гвоздя. Сколько та-
ких же гвоздей можно изготовить из 7 кг проволоки?
48
228. Количество осадков, выпавших в городе за месяц, со-
ставило 60 мм. Сколько осадков выпадет в этом город©
за три месяца?
229. Скорость катера в стоячей воде 24 км!ч, а скорость те-
чения реки 2 км!ч. Двигаясь по течению реки, катер про-
шел 52 км. Какое расстояние прошел бы он за это же
время, если бы двигался против течения реки?
230. Бассейн, имеющий форму куба, наполняется при помо-
щи насоса за 45 мин. За какое время наполнится тем же
насосом бассейн, имеющий форму куба, ребро которого
вдвое больше?
231. За 8 мин наполнили бензином 0,28 цистерны. Успеют
ли за 3 ч 30 мин наполнить бензином 7 таких же цистерн?
232» Известно, что 17 л керосина весят 13,6 кг. Уместится ли
керосин, весящий 12 кг, в бидон емкостью 16 л?
233. Ширина одной из двух комнат, имеющих одинаковую
длину, 4 м, а другой — 3,2 м. На покраску пола в пер-
вой комнате израсходовали 0,6 кг краски. Хватит ли
0,5 кг краски, чтобы покрасить пол во второй комнате?
§ 6. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
13. Обратно пропорциональные переменные
Рассмотрим движение тела из точки А в точку В, расстоя-
ние между которыми равно 120 м. В зависимости от скорости
движения это расстояние может быть пройдено в различные
промежутки времени. В таблице показана зависимость вре-
мени движения t (в сек) от скорости и (в м!сек).
V 6 8 10 16 30 50 80 90
t 20 15 12 7,5 4 2,4 1.5 1 1 1 — 3
Из таблицы видно, что произведения 20 • 6; 15 • 8; 12 • 10
и т. д. равны. Поэтому равны отношения: 20 : —; 15 : — ;
6 8
12: и т. д. Следовательно, числа 20, 15, 12 и т. д. про-
порциональны числам -i-, -i-, i и т. д., то есть числам, обрат-
ным 6, 8, 10 и т. д.
Говорят, что числа 20, 15, 12 и т. д. обратно пропорциональ-
ны числам 6, 8, 10 и т. д., или что переменная t обратно про-
порциональна переменной V.
49
Определение. Если для любой пары соответственных значе-
ний переменных х и у произведение ху равно одному и тому же
числу, отличному от нуля, то переменная у обратно пропорцио-
нальна переменной х.
Обозначим число, которому равно каждое из произведений
соответственных значений переменных х и у, через k:
ху = k (k — число, k 0).
Отсюда у = — .
х
Число k называют коэффициентом обратной пропорциональ-
ности.
В рассмотренном примере мы выяснили, что переменная t
обратно пропорциональна переменной и, причем коэффициент
обратной пропорциональности равен 120.
Если через t обозначить время движения от А к В в ча-
сах, а через и — скорость движения в км!ч, то для любой
пары соответственных значений v и t произведение vt рав-
но 0,12.
Мы видим, что время, затрачиваемое телом на прохождение
заданного пути, обратно пропорционально скорости движения,
причем значение коэффициента обратной пропорциональности
зависит от того, каковы единицы измерения.
Этот пример показывает, что если речь идет об обратной
пропорциональности величин, то значение коэффициента об-
ратной пропорциональности зависит от выбора единиц изме-
рения.
Если зависимость переменной у от переменной х выражает-
k
ся формулой у = —, где k — не равное нулю число, то
X
произведение ху постоянно: ху = k, т. е. переменная у об-
ратно пропорциональна переменной х.
Очевидно, что если переменная у обратно пропорциональ-
на переменной х и коэффициент обратной пропорциональности
равен k, то и переменная х обратно пропорциональна пере-
менной у, причем коэффициент обратной пропорциональности
также равен k.
k г.
В самом деле, если у = —, где я — не равное нулю чис-
X
1 А
ло, то ху — к, или х — — .
У
234. В таблице указаны все значения переменных х и у. Мож-
но ли считать, что переменная у обратно пропорциональ-
на переменной х:
60
а) б)
X 1 2 3 4 5 X 10 20 30 40 60
У 120 60 40 30 24 У 60 70 40 30 20
в) г)
X 1 3 5 7 9 X —2 —4 —6 —8
У 5 2 1 — 3 1 2 7 <с | СП У 0,5 0,25 1 6 0,125
235. В таблице показана зависимость переменной р от пере-
менной V.
V 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Р 40 20 13,3 10,0 8,0 6,7 5,7
Является ли эта зависимость обратной пропорциональ-
ностью?
236. Переменная р обратно пропорциональна переменной q.
Коэффициент обратной пропорциональности равен 8.
Заполните таблицу:
1 2 5 16 80 —4 —0,25
Р 0,25 —2
237. Переменная b обратно пропорциональна переменной а.
Чему равен коэффициент обратной пропорциональности?
Заполните таблицу:
а —3 —2 —0,1 1 4 100
ь 6 8 10 —0,01
238. Докажите, что:
а) при неизменной площади длина прямоугольника об
ратно пропорциональна его ширине;
51
б) число оборотов, которое
сделает колесо на данном
отрезке пути, обратно про-
порционально длине его
окружности;
в) масса муки определен-
ного сорта, которую мож-
но купить на данную сум-
му денег, обратно пропор-
циональна ее цене;
г) время, которое понадо-
бится на перепечатыва-
ние рукописи, обратно пропорционально числу стра-
ниц, перепечатываемых за один час.
239. На рисунке 22 дан график зависимости скорости равно-
мерного движения между городами А и В от времени
движения. Рассматривая график, ответьте на вопросы:
а) Каково расстояние между городами А и В?
б) С какой скоростью нужно двигаться, чтобы добрать-
ся из города А в город В’. за 1 ч’, за 4 ч; за 8 ч; за 16 ч?
в) Сколько времени потребуется на путь из А в В, если
двигаться со скоростью: 800 км/ч’, 250 км/ч’, 120 км/ч!
14. Свойство обратно пропорциональных переменных
Вернемся к таблице, в которой показана обратно пропор-
циональная зависимость времени движения тела t (в сек) на
данном участке пути от скорости движения v (в м/сек).
V 6 8 10 16 30 50 80 90
1 20 15 12 7,5 4 2,4 1,5 1 1 3
Нетрудно проверить, что отношение 6 : 8 не равно отно-
шению 20 : 15, но равно отношению 15 : 20. Отношение 15 : 20
называют обратным отношению 20 : 15. Если взять любую
другую пару значений переменной v, то их отношение равно
обратному отношению соответствующих значений перемен-
ной I:
8 : 10 = 12 : 15, 16 : 10 = 12 : 7,5 и т. д.
Вообще, если переменные обратно пропорциональны, то от-
ношение двух значений одной из них равно обратному отноше-
нию соответствующих значений другой.
62
Докажем это Пусть их, — значения переменной х, а у, и у, — соот-
ветствующие значения переменной у, ей обратно пропорциональной.
Тогда
*1У1 = *аУа-
Откуда
х,
— =— (*а¥=0, У1 * 0).
ха Vi
Если значения обратно пропорциональных переменных —
положительные числа, то указанное свойство можно сформу-
лировать так: с увеличением (уменьшением) значений одной из
переменных в несколько раз соответствующие значения другой
уменьшаются (увеличиваются) во столько же раз.
Сформулируем теперь признак обратной пропорциональ-
ности переменных: если отношение двух произвольных значе-
ний одной переменной равно обратному отношению соответ-
ствующих значений другой, то переменные обратно пропор-
циональны.
В самом деле, если для любых значений хг и х, переменной х и соответст-
вующих им значений yt и уа переменной у
xi Vi
то
*1Уг = На-
значит, для любой пары значений переменных х и у произведение ху остает-
ся равным одному и тому же числу, отличному от нуля, т. е. переменная у об-
ратно пропорциональна переменной х.
Для переменных, значениями которых служат положитель-
ные числа, признак обратной пропорциональности можне
сформулировать так: если с увеличением (уменьшением) зна-
чений одной переменной в несколько раз соответствующие зна-
чения другой уменьшаются (увеличиваются) во столько же раз,
тс переменные обратно пропорциональны.
240. Определите, имеет ли место прямая или обратная про-
порциональность переменных:
а) скорость движения тела и пройденный им путь за
один и тот же промежуток времени;
б) основание и высота прямоугольника при неизменной
площади;
в) длина ребра и объем куба;
г) число книг и число читателей в библиотеке;
д) время, затрачиваемое рабочим на изготовление дета-
ли, и число деталей, изготовляемых им за смену,
53
е) число прочитанных страниц в книге и число страниц,
которые осталось прочитать.
241. Во сколько раз быстрее пройдет поезд расстояние между
двумя станциями, если его скорость увеличится с
60 км/ч до 80 км/ч?
242. Один кубический сантиметр алюминия весит 2,5 г, же-
леза — 7,8 г. Во сколько раз алюминиевый брусок зани-
мает больший объем, чем железный той же массы?
243. Длину прямоугольного параллелепипеда увеличили в
2 раза, а ширину — в 3 раза. Как надо изменить его
высоту, чтобы объем параллелепипеда остался прежним?
244. На изготовление изделия рабочий стал затрачивать
25 мин вместо 40 мин. На сколько процентов увеличится
число изделий, изготовляемых им за определенный срок?
245. Скорость поезда увеличилась с 80 км/ч до 88 км/ч. На
сколько процентов увеличится путь, проходимый поез-
дом за одно и то же время?
246. Совхозное поле три трактора могут вспахать за 200 ч.
За какое время смогут вспахать это поле 12 таких же
тракторов?
247. Два зубчатых колеса в коробке передач автомашины
соединены одно с другим. Первое имеет 17 зубцов, а
второе — 40. Первое колесо сделало 500 оборотов. Сколь-
ко оборотов сделало второе колесо?
248. Из 12 кг хлопкового семени получили 2,7 кг масла. Сколь-
ко надо взять семени для приготовления 14,4 кг масла?
249. Расстояние, которое пассажирский поезд проходит за
3 ч, товарный может пройти за 5 ч. Поезда отправились
одновременно навстречу друг другу. К моменту встречи
путь, пройденный пассажирским поездом, оказался рав-
ным 180 км. Какой путь прошел товарный поезд? Ка-
ково расстояние между городами?
250. Скорость катера в стоячей воде относится к скорости те-
чения реки, как 25 : 2. По течению реки катер двигался
7 ч 40 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вер-
нуться обратно?
251. После покупки трех альбомов у девочки осталось
2 руб. 10 коп. Сколько денег останется у девочки после
покупки шести альбомов?
252. Миша со стадиона направился к школе. Одновременно
навстречу ему по той же дороге пошел из школы Петя.
Кто из мальчиков будет ближе к школе в момент встречи,
если известно, что Петя шел со скоростью в два раза
большей, чем Миша?
253. Мастер изготавливает деталь за 7 мин, а его ученик за
10 мин. Работая вместе, они изготовили 102 детали.
Сколько деталей изготовил мастер и сколько ученик?
54
15. Деление числа на части, пропорциональные данным числам
Решим задачу:
Найти три слагаемых, составляющих в сумме 924 и про-
порциональных числам 2, 4, 5.
Неизвестные слагаемые обозначим буквами а, Ь и с. По
условию задачи числа а, b и с пропорциональны числам 2, 4,
5, т. е. отношения равны. Обозначим через k коэф-
фициент пропорциональности (число, которому равно каждое
из отношений).
Тогда
» к , с »
— = Я, —= Я, —= /?.
2 4 5
Отсюда
а ~ 2k, b = 47г, с = 5£.
Так как сумма чисел а, Ъ и с равна 924, то можно составить
уравнение
2k -I- 47? -г 57? = 924.
Решив его, найдем, что k = 84. Откуда 2k = 168, 4/? = 336,
bk — 420. Искомые слагаемые: 168, 336, 420.
Рассмотрим решение более сложной задачи:
Одна бригада рабочих выполняет норму за 8 ч, другая — за 6 ч, третья —
за 5 ч. За смену они изготовили 118 одинаковых деталей. Сколько деталей изго-
товила каждая бригада?
Допустим, что первая бригада изготовила за смену а деталей, вторая Ъ
1
деталей, третья с деталей. Первая бригада выполняет за час — нормы, вто-
рая — нормы, третья —нормы. Числа а, Ъ и с пропорциональны числам
6 5
111
—, —, —, так как число деталей, изготовленных за смену, пропорционально
8 6 5
выработке за час.
Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Первая бригада
изготовила — k деталей, вторая — k деталей, а третья — k деталей. Вме-
8 6 5
сте они изготовили 118 деталей.
Имеем:
59
120*
11 1
—k — k 4- — k = 118;
8 6 5
/ 1 1 1\
— 4-— 4-“ = 118;
\ 8 6 5/
к = 118 ;
к = 240;
1 1 1
—Л = 30; —к == 40; —k = 48.
8 6 5
Первая бригада изготовила 30 деталей, вторая — 40, третья — 48.
55
254. Разделите число 468 на части, пропорциональные чис-
лам 3, 4, 6.
255. Найдите углы треугольника, если известно, что они про-
порциональны числам: а) 2, 3, 7; б) 1, 3, 4.
256. Существует ли треугольник, стороны которого пропор-
циональны числам 2, 3, 7?
257. Длины рек Днепра, Дона и Камы (в километрах) пропор-
циональны числам 21, 18, 16. Выразите их через ft, где
k — коэффициент пропорциональности. Найдите дли-
ну каждой реки, если известно, что Кама короче Днепра
на 500 км.
258. За перепечатывание рукописи три- машинистки, работав-
шие одновременно, получили 56 руб. Как должны рас-
пределить они между собой эти деньги, если известно,
что первая перепечатывает в час 8 страниц, вторая — 6,
а третья — 5?
259. При изготовлении варенья из крыжовника на 1 кг ягод
1 к 3
расходуется 1,5 кг сахарного песку и — стакана воды.
4
Хозяйка рассчитывает затратить на варенье 6 кг песку.
Сколько крыжовника и сколько воды должна она взять?
260. Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 5, 6.
Наибольшая из сторон превосходит наименьшую на
64,2 см. Каковы стороны треугольника?
261. Для приготовления фарфора употребляют глину, гипс
и песок, массы которых пропорциональны числам 25, 1,
2. Сколько потребуется глины, гипса и песка, чтобы из-
готовить 350 кг смеси?
262. Сплав состоит из меди, цинка и никеля, массы которых
пропорциональны числам 13, 4, 3. Какова масса спла-
ва, если известно, что в него входит на 2,4 кг больше ме-
ди, чем никеля?
263. Среди 36 учащихся класса нет таких, кто не катался бы
на коньках или на лыжах. Число учащихся, умеющих
кататься на лыжах, относится к числу учащихся, умею-
щих кататься на коньках, как 5 : 4, причем лыжников
на 6 больше, чем конькобежцев. Сколько учащихся
катается и на коньках и на лыжах? Сколько учащихся
катается только на коньках?
264. В группе, состоящей из 25 человек, каждый студент
изучает английский или немецкий язык. Число студен-
тов, изучающих немецкий язык, относится к числу сту-
дентов, изучающих английский язык, как 3:5, причем
немецкий язык изучает на 8 человек меньше, чем англий-
ский. Сколько студентов изучает оба языка? только
немецкий? только английский?
56
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П
К пункту 7
265. Сторона одного квадрата 6 см, а другого — 1,2 дм. Ка-
ково отношение площади первого квадрата к площади
второго?
266. В 200 г воды растворили 15 г сахарного песку, а в 250 г—
20 г песку. Какой из растворов слаще?
267. К 100 г 20-процентного раствора борной кислоты доба-
вили 400 г воды. Определите концентрацию получивше-
гося раствора.
268. Поверхность земного шара составляет 510 000 000 той2.
Поверхность суши — 150 000 000 ог2. Сколько процен-
тов земной поверхности занимает суша? вода?
269. Расстояние, равное 80 м, изображается на плане отрез-
ком 8 см. Найдите масштаб плана.
270. а) Каким отрезком изобразится расстояние 750 км на
карте, масштаб которой 1 : 1 000 000.
б) Расстояние между двумя городами изображается от-
резком 6 см. Каково это расстояние в действительности,
если масштаб карты 1 : 500 000?
271. а) На плане, масштаб которого 1 : 2000, земельный уча-
сток изображен квадратом площадью 16 см2. Какую
площадь занимает этот участок в действительности?
б) Изобразите на плане в масштабе 1 : 100 комнату,
имеющую форму прямоугольника со сторонами 6,7 м
и 4,1 м. Каково отношение площади прямоугольника
на плане к площади комнаты?
272. Объем бруска V (см3), а масса р (г). Найдите отноше-
ние р к V, если:
а) р = 94,5, V = 35; б) р = 468, V = 60.
273. Найдите отношение объемов двух шаров, если объем пер-
вого шара равен 210 см3, а объем второго шара равен 2 дм3.
274. Чтобы наполнить бочку, надо налить в нее 8 больших
ведер или 12 малых. Каково отношение емкости боль-
шого ведра к емкости малого?
275. Вдоль забора можно уложить 12 больших планок или
18 маленьких. Во сколько раз маленькая планка короче
большой?
276. Первый груз вдвое тяжелее второго, а второй в 5 раз
тяжелее третьего. Найдите отношение массы первого
груза к массе третьего.
277. Латунь состоит из меди и цинка. Отношение массы меди
к массе цинка равно 1,5. Найдите отношение: а) массы
цинка к массе меди; б) массы меди к массе сплава.
67
278.
279.
280.
281.
282.
283.
Отношение а к Ь равно 0,3. Найдите отношение:
а) & к а; б) а + b к а; в) а + Ь к Ъ.
Цена на книгу снизилась на 20%. Во сколько раз поде-
шевела книга?
Производительность труда токаря повысилась на 15%.
Во сколько раз больше деталей стал изготавливать он за
смену?
К пункту 8
Верна ли пропорция:
а) 22,5 : 280 = 4- : 53-; б) 200 : 33- = 67,5 : 11,25?
7 3 з
2
Составьте верную пропорцию из чисел: 400; 66—; 135;
з
22,5.
Будет ли верным равенство, если в пропорции
12 : 3 = 72 : 18:
а) каждый член первого отношения уменьшить в 3 раза;
б) каждый член первого отношения увеличить в 5 раз;
в) каждый член второго отношения разделить на 9,
а каждый член первого отношения уменьшить на 4;
г) крайние члены разделить на 6;
д) средние члены увеличить в 3 раза, а крайние члены
уменьшить в 3 раза?
К пункту 9
284.
285.
286.
Найдите неизвестный член
а) 44— : х = 6,03 : 0,09;
б) а : 5,1 = 3,5 : 8,5;
Решите уравнение:
ч 0,3 а
а) “Г
б) °’3<У -3) _ 1&L
' 1
1—
з
1
3—
з
в)
пропорции:
в) 2| : у - 1| : 1,5;
г) 0,087:0,06=5,8 : х.
2,12 4- а 0,14-а
2 — 4
5 — —и2
У(2-у) = С
12 2
Найдите подбором три пары значений переменных а и &,
а ь
при которых верно равенство — =
5
58
287. Найдите подбором три пары значений переменных а и Ь,
1 b
при которых равенство — = — станет верным. Ka-
tz 1
кими являются числа каждой пары?
288. Можно ли утверждать, что равенство а : 16 = 0,25 : Ъ
не является верным, если известно, что произведение
чисел а и b не равно 4?
289. Каково должно быть отношение а к Ь, чтобы равенство
35,7 : а = 0,0017 : b было верным?
290. Равенство 25 • а = 60 • b верно. Найдите отношение
а к Ь.
291. Известно, что 30% одного числа равны 40% другого.
Найдите отношение этих чисел.
292. Основание одного треугольника 9,5 см, а другого—5,7сл<.
Найдите отношение их высот, если известно, что площа-
ди этих треугольников одинаковы.
293. Известно, что числа а, Ь, с и d, ни одно из которых не
fl С yr
равно нулю, составляют верную пропорцию — = —. До-
b d
кажите, что верным является равенство:
ч а + Ь с 4- d ч а 4- Ъ с 4- d
<11 __ — !—• nl —!_ — _•
а — b с—d ч а — с b—d
__ _ __ • Г1 __ _ __
294. Докажите, что если имеется ряд равных отношений, то
сумма всех предыдущих членов так относится к сумме
всех последующих, как один из предыдущих относится
а с е т
к своему последующему, т. е. что если — = — = — =
b d f п
а 4- с 4- е 4- т а
ТО ---!-!---!- = —
b-f-d4-/ + n Ь *
К пункту 10
295. Ответьте на вопросы:
а) Пропорциональна ли масса железного бруска его
объему?
б) Пропорционален ли путь, пройденный поездом за
определенное время, скорости его движения?
в) Пропорционален ли периметр прямоугольника его
основанию, если высота прямоугольника постоянна?
г) Пропорциональна ли площадь прямоугольника его
основанию, если высота прямоугольника постоянна?
К пункту 11
296. Переменная Ъ пропорциональна переменной а, и коэф-
фициент пропорциональности равен 4,5. Заполните таб-
лицу:
Е9
а —9 —5 —1 9 45 450
ь
297. Переменная п пропорциональна переменной тп, коэф-
фициент пропорциональности k = —0,5. Заполните таб-
лицу:
т
п -1,6 2,8 3,2 6,4 -0,2
298. Заполните таблицу, зная, что переменная Ъ пропорцио-
нальна переменной а:
а —3,6 6,4 21
ъ 10,2 0,8 6,4
299. Объем V (в см3) прямоугольного параллелепипеда вы-
числяется по формуле V = Sh, где S — площадь осно-
вания (в см2), h — высота (в см).
а) Площадь основания постоянна. Пропорционален ли
объем параллелепипеда в этом случае его высоте?
Каков коэффициент пропорциональности?
б) Пропорционален ли объем параллелепипеда площа-
ди основания, если высота параллелепипеда постоянна?
Каков коэффициент пропорциональности?
Объем V (в см3) конуса (рис. 23) вычисля-
ется по формуле V — —nr2h, где г—ра-
диус основания (в см), h—высота конуса
(в см), л — число, приближенно равное
3,14.
а) Пропорционален ли объем конуса его
высоте при постоянном радиусе?
б) Пропорционален ли (при постоянной
высоте) объем конуса радиусу его осно-
вания? квадрату радиуса?
60
301. Объем V (в см3) шара вычисляется по формуле V —— лг8,
где г — радиус шара (в слг), л—число, приближенно рав-
ное 3,14. Пропорционален ли объем шара: а) радиусу
шара; б) квадрату радиуса; в) кубу радиуса?
302. Турист шел без остановки из одного пункта в другой со
скоростью 5 км/ч и прибыл к месту назначения через 4 ч.
Заполните таблицу, в которой буквой t обозначено вре-
мя движения туриста (в часах), а буквой s — пройден-
ный им путь (в километрах):
t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
3
Постройте график движения туриста.
303. Килограмм конфет стоит 2 руб. Сколько стоит х кг кон-
фет? Обозначьте стоимость конфет (в рублях) буквой у.
Постройте график стоимости конфет, заполнив предвари-
тельно таблицу:
X 0 0,5 0,8 1 1,2 2 1 8 3,5 5
У
304. Постройте график температуры воздуха на основании
данных, помещенных в следующей таблице:
Время суток в часах 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Температу- ра в °C —6 —5 —3 —2 0 4 8 11 9 3 1 0 2
К пункту 12
305. Площадь, отводимую колхозом под пшеницу, увеличи-
ли с 200 га до 320 га. Как изменился урожай пшеницы,
собранный колхозом, если урожайность с 1 га увеличи-
лась в 1,1 раза?
306. Алюминиевый брусок объемом 35 слг3 весит 94,5 г. Ка-
ков объем алюминиевого бруска, весящего 756 г?
307. Из 3 кг свежих яблок получается 390 г сушеных. Сколь-
ко надо взять свежих яблок, чтобы получить килограмм
сушеных (с точностью до 0,01 кг)?
61
308, Из 1200 т сахарной свеклы получили 180 т сахару.
Сколько надо переработать свеклы, чтобы получить 250 г
сахару? Сколько сахара получится из 150 000 ц сахар-
ной свеклы?
309. Известно, что 4 м3 березовых дров весят 3 г. На отоп-
ление квартиры в год уходит 6 лг8 дров. Сколько поез-
док должна совершить трехтонная машина, чтобы пе-
ревезти к дому, состоящему из 12 таких же квартир,
березовые дрова на год?
310. Машинистка за 12 ч перепечатывает 15% всей рукописи.
После скольких часов работы останутся неперепечатан-
ными 35 % рукописи?
311. Масса древесного угля относится к массе нефти, дающей
такое же количество тепла, как 11 : 7. Сколько надо
взять древесного угля, чтобы заменить 220 кг нефти?
312. На окраску куба израсходовали 1,26 кг краски. Сколько
потребуется краски, чтобы покрасить куб, ребро кото-
рого в три раза меньше?
313. На приготовление тетрадей израсходовали 14,4 кг бума-
ги. Хватит ли 18 кг бумаги, чтобы изготовить в 1,2 раза
больше тетрадей?
314. Для покраски пола в комнате израсходовали 1 кг крас-
ки. Хватит ли 700 г краски, чтобы покрасить пол в ком-
нате, длина которой в полтора раза меньше, а ширина
в 1,2 раза меньше?
315. Каждый из размеров спичечной коробки (длину, ширину,
высоту) увеличили вдвое. Во сколько раз увеличится:
а) число спичек, умещающихся в коробке; б) расход фос-
форной массы (намазки), наносимой на стенки коробки
для зажигания спичек (размеры спичек и толщина слоя
намазки не меняются)?
316. Как изменится объем сарая и площадь каждой из его
стен, если длину сарая увеличить в 2 раза, ширину —
в 1,5 раза, а высоту — в 1,2 раза?
317. Плита размером 60 X 15 X 1 дм весит 2,1 т. Смо-
жет ли машина, на которую нельзя грузить более
5 т, перевезти за две поездки три плиты размером
40 X 20 X 1,5 дм, сделанные из того же мате-
риала?
К пункту 13
318. В таблице показаны все значения переменной х и соответ-
ствующие им значения переменной у. Можно ли считать,
что переменная у обратно пропорциональна переменной
х (при положительном ответе укажите коэффициент об-
ратной пропорциональности):
62
а) б)
X 2 3 5 6 10 X —3 —2 —1 6 10 18
У 15 10 6 5 3 У 6 9 18 —3 -1,8 —1
319. Переменная т обратно пропорциональна переменной л,
коэффициент обратной пропорциональности равен 12.
Заполните таблицу:
п —12 —8 —6 —1 6 10 12
т
320. Переменная у обратно пропорциональна переменной х.
Заполните таблицу:
X —4 —2 1 5 7 8 9 10
У 1
321. а) Площадь треугольника постоянна. Является ли за-
висимость его высоты от основания обратной пропорцио-
нальностью?
б) Объем прямоугольного параллелепипеда постоянен.
Является ли зависимость площади его основания от
высоты обратной пропорциональностью?
К пункту 14
322. Два шкива связаны ременной передачей (рис. 24). Диа-
метр первого 25 слг, а второго — 10 см. Больший шкив
вращается со скоростью 400 оборотов в минуту. Найдите
скорость вращения меньшего шкива.
323. На путь от А до В поезд затрачивал сначала 8 ч, а за-
тем 5 ч. На сколько процентов увеличилась скорость
поезда?
324. В одну бутыль налит керосин, а в другую — деготь.
Масса керосина равна массе дегтя. Какая из жидкостей
занимает больший объем и во сколь-
ко раз, если известно, что один ___________
литр керосина весит 0,8 кг, а литр х .
дегтя — 1,2 кг? I • ) С*)
325. В октябре печь топили один раз в k
три дня, а в ноябре — через день.
Как изменился расход топлива? Рис. 24.
63
326. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
квадрат. Высоту параллелепипеда увеличили в 4 раза.
Как надо изменить сторону квадрата, чтобы объем па-
раллелепипеда остался прежним?
327. Отправляясь в поход по намеченному маршруту, пио-
неры рассчитывали проходить ежедневно по 16 км, но
из-за ненастной погоды проходили в день на 4 км мень-
ше. Во сколько раз увеличилось время, затраченное ими
на весь маршрут?
328. Мастер изготовляет 18 деталей за то же время, за кото-
рое ученик изготовляет 10 деталей. Чтобы выполнить
задание, мастеру потребовалось 32 ч. За какое время
выполнит это же задание ученик?
329. Применив новый вид резца, токарь стал затрачивать на
изготовление детали в 1,2 раза меньше времени и пото-
му изготовил за смену на 16 деталей больше. Сколько
деталей изготовлял он за смену первоначально?
К пункту 15
330. Длина прямоугольника относится к его ширине, как
7 : 2, периметр равен 3,6 дм. На сколько длина прямо-
угольника больше его ширины?
331. На покраску двух фанерных дисков, радиусы которых
относятся, как 2 к 3, израсходовано 260 г краски. Сколь-
ко граммов краски израсходовано на покраску каждого
диска (площадь круга вычисляется по формуле S = яг2,
где г — радиус круга, л » 3,14)?
332. Ребра двух кубов относятся, как 3 к 4. Сумма их объ-
емов равна 75 см3. Каков объем каждого куба?
333. В магазин завезли 750 кг яблок, груш и винограда. Мас-
са яблок составляет 120% массы груш, а масса виногра-
да относится к массе груш, как 3 : 10. Сколько кило-
граммов яблок, груш и винограда в отдельности завезли
в магазин?
334. За три дня лыжник прошел 68 км. Путь, пройденный в
первый день, относится к пути, пройденному во второй
день, как 3 : 2, а путь, пройденный в третий день, со-
ставляет 36% пути, пройденного за первые два дня.Сколь-
ко километров прошел лыжник в каждый из трех дней?
335. Три шестых класса собрали 42 кг металлолома. Масса ло-
ма, собранного VI А, относится к массе лома, собранно-
го VI Б, как 3 : 4, а масса лома, собранного VI В, состав-
ляет 87,5% массы лома, собранного VI Б. Сколько метал-
лолома собрал каждый класс?
336. Бетон состоит из смеси цемента, песка и щебня, объемы
которых пропорциональны числам 1, 2, 4. Сколько це-
64
мента, песка и щебня надо взять для получения 882 м3
бетона, если выход бетона равен 63% общего объема со-
ставляющих веществ?
337. Первое число относится ко второму, как 2 : 3, а второй
к третьему, как 4 : 5. Каково отношение первого числа
к третьему?
338. За три дня художественную выставку посетило 830 че-
ловек. Число посетителей в первый день относится к
числу посетителей во второй день, как 5 : 7, а число
посетителей во второй день относится к числу посетите-
лей в третий день, как 4:5. Сколько человек посетило
выставку в каждый из трех дней?
339. В школе работают гимнастическая, баскетбольная и во-
лейбольная секции. Число гимнастов относится к числу
баскетболистов, как 5 : 3, а число баскетболистов к чис-
лу волейболистов, как 2 : 3. Известно, что гимнастикой
занимается на 5 человек больше, чем волейболом. Сколь-
ко человек в каждой секции?
На физкультурный парад отправились только члены ука-
занных секций. Может ли оказаться, что от школы в пара-
де приняло участие: а) 125 человек; б) 50 человек; в)25
человек, если известно, что пришли все члены секций?
340. Существует ли треугольник, в котором длина одной
стороны относится к длине другой, как 2 : 3, а длина
второй к длине третьей, как 4 : 5?
341. Из двух пунктов, расстояние между которыми 70 км,
выехали одновременно навстречу друг другу мотоцик-
лист и велосипедист. На каком расстоянии от места от-
правления мотоциклиста они встретятся, если известно,
что на путь, проходимый мотоциклистом за 2 часа, вело-
сипедист расходует 5 ч?
342. На работу, которую первая машинистка перепечатывает
за 4 ч, второй требуется 6 ч, а третьей — 4 ч 30 мин.
Как распределить между машинистками рукопись в 460
страниц, чтобы одновременно закончить ее перепечаты-
вание?
343. Купили карандаши и тетради, всего 20 штук. Карандаш
в 1,5 раза дороже тетради. Сколько купили карандашей
и сколько тетрадей, если известно, что за все карандаши
заплатили столько же, сколько заплатили за все тетради?
344. Точка движется по сторонам равностороннего треуголь-
ника АВС, перемещаясь от 4 до В со скоростью 4м/сек,
от В до С со скоростью 3 мсек, от С до А со скоростью
6 м;сек и затрачивая на весь путь 36 сек. Какова длина
стороны треугольника?
345. Мальчик купил 44 марки стоимостью 4 коп., 5 коп. и
10 коп., потратив на марки каждого вида одну и ту же
сумму денег. Сколько марок каждого вида купил мальчик?
3 Заказ 220 65
Глава III
ФУНКЦИЯ
§ 7. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ
16. Соответствие между множествами
На рисунке 25 изображены множества А = {извозчик;
летчик; шофер; космонавт) и В = {легковой автомобиль;
грузовик; самолет; космический корабль; паровоз). Точки
внутри замкнутой линии изображают элементы этих мно-
жеств.
От некоторых элементов множества А проведены стрелки
к элементам множества В. Будем считать, что элементу множе-
ства А соответствует тот элемент множества В, к которому от
него проведена стрелка. Шоферу соответствует легковой авто-
мобиль, ему же соответствует грузовик, летчику соответствует
самолет, космонавту — космический корабль. Для извозчика
в множестве В нет соответствующего элемента, а в множестве
А нет элемента, которому соответствует паровоз. Говорят,
что с помощью стрелок между множеством А и множеством В
установлено соответствие.
[ Извозчик • \ — f -» / Шофер 1—»- / Летчик • 1. w- 1 Космонавт • —J- X w Рис. 25. • Легксвои автомобиль • Грузовик \ • Самолет J • Космический корабль 1 * Паровоз J
66
Рассмотрим другие примеры соответствий между множе-
ствами.
Пример 1. Мальчики Коля, Еаля, Женя и Саша составили
график дежурства на неделю:
Коля Валя Женя | Саша
Пн. •
Вт. •
Ср •
Чт. в
Пт. •
Сб. •
Вс. f
С помощью этого графика мы можем узнать, в какие дни
недели дежурит каждый из мальчиков. Можно сказать, что
график дежурств устанавливает соответствие между множе-
ством {Коля; Валя; Женя; Саша} мальчиков и множеством
{пн.; вт.; ср.; чт.; пт.; сб.; вс.} дней недели. Это соответствие
можно изобразить и с помощью стрелок (рис. 26).
Каждую стрелку можно заменить парой, указав на первом
месте элемент множества М, стоящий в начале стре аки, а на
втором месте — элемент множества К, стоящий в конце стрел-
ки. Сколько стрелок, столько и пар: (Коля; пн.), (Валя; вт.),
(Валя; пт.), (Женя; ср.), (Женя; сб.), (Саша; чт.).
Пример 2. Каждому двузначному числу, принадлежащему мно-
жеству А = {25; 36; 42; 54; 61}, поставим в соответствие
3'
67
Рис. 28.
сумму его цифр: 25 -> 7, 36 -> 9,
42 -> 6, 54 -> 9, 61 -> 7. На рисунке 27
показано соответствие между мно-
жеством А и множеством В, где
В = {7; 9; 6}, заданное с помощью
стрелок.
Между двумя множествами мож-
но устанавливать различные соответ-
ствия. На рисунке 28 показаны соот-
ветствия между множествами
X-{18; 15; 27; 39} и У = {1; 2; 3}.
Чтобы отличать одно соответствие от
другого, их обозначают буквами. На-
пример, первое соответствие обозначено
буквой /, второе — буквой р, третье—
буквой g.
346. Назовите элементы множества X
и элементы множества Y (рис. 29).
Какой элемент соответствует эле-
менту а; элементу &; элемен-
ту с? Сколько элементов соот-
ветствует элементу а; элемен-
ту д; элементу с?
347. Рассмотрите соответствие g меж-
ду множествами А и В (рис.30).
Какое число соответствует 70;
140; 48? Какому числу соответ-
ствует число 35; число 15; чис-
ло 12? Установите между мно-
жеством А и множеством В ка-
кое-нибудь другое соответствие.
348. Даны два множества: А = {—18;
—3; 43; 256} и В={0; 1}. Ус-
тановите какое-нибудь соответ-
ствие: а) между множеством А
и множеством В; б) между мно-
жеством В и множеством А.
349. Расписание уроков в вашем клас-
се устанавливает соответствие
между множеством дней учебной
недели и множеством предметов,
изучаемых в VI классе. Выпи-
шите все пары, в которых:
а) на первом месте стоит вторник;
б) на втором месте стоит алгебра.
350. Каждому двузначному числу,
принадлежащему множеству
68
{23; 41; 52; 73; 92}, поставили в соответствие цифру, на
которую оно оканчивается. Какая цифра соответствует
числу 23; числу 41; числу 52; числу 73; числу 92? Изоб-
разите это соответствие стрелками.
351. Даны два множества: X — {7; 20; 80; 45} и У — {1; 5;
19; 70}. Установите между множеством X и множеством
Y такое соответствие, при котором числу, принадлежа-
щему множеству X, соответствует то число, принадле-
жащее множеству V, которое его больше.
Какое число соответствует числу 20; числу 45? Сколько
чисел соответствует числу 7? Имеется ли в множестве Y
элемент, соответствующий 80? Имеется ли в множестве
X элемент, которому соответствует число 1; число 5?
352. Каждому числу, принадлежащему множеству М = {—3;
—2; —1; 0; 1; 2; 3}, поставили в соответствие его мо-
дуль. Найдите множество К модулей указанных чисел.
Запишите соответствие между множествами М и К с
помощью пар.
353. Каждой точке диаметра АВ окружности (рис. 31) поста-
вили в соответствие те точки окружности, которые лежат
на одном перпендикуляре к диаметру (например, С->К,
С -> L). Какие точки окружности соответствуют точке
Р, точке Е, точке В? Какой точке диаметра АВ соответ-
ствует точка М; точка А; точка N?
17. Что такое функция?
На рисунке 32 показаны соответствия между множеством
А = {1; 2; 3} и множеством В = {15; 20; 25}. В соответствии
g каждому элементу множества А соответствует один и только
один элемент множества В (от каждой точки исходит стрелка,
и притом только одна). Для таких соответствий используется
специальный термин: функция.
Соответствие h не является функцией,
так как для элемента 1 нет соответст-
вующего элемента (от точки 1 не исходит
стрелка). Соответствие р также не явля-
ется функцией, так как элементу 2 со-
ответствует более одного элемента (от
точки 2 исходит две стрелки).
Определение. Соответствие между
множеством X и множеством Y, при ко-
тором каждому элементу множества X со-
стзетствует один и только один элемент
множества Y, называется функцией.
Множество X называется областью
определения функции.
Областью определения функции g (см.
рис. 32) служит множество {1; 2; 3}.
G9
Числа 15, 20 называются значениями
функции g. Множество {15; 20} назы-
вается множеством значений функции g.
Функцию с областью определения
X и множеством значений Y называ-
ют также отображением множества X
на множество Y. Например, функцию
/, заданную стрелками на рисунке 33,
можно назвать отображением множе-
ства А на множество В. Отображение
рис 33 f переводит число —2 в число 4. Это
записывают так: f (—2) = 4 (читает-
ся: «эф от минус двух равно четырем»),
354. Пусть А = {т; п; р; q}, В = {0; 1}. Соответствие между
множествами А и В задано с помощью пар (в паре на
первом месте элемент множества А, на втором — соот-
ветствующий элемент множества В):
а) (тп; 0), (и; 0), (р; 1), (g; 1);
б) (тп; 1), (и; 0), (и; 1), (р; 1), (5; 0).
Изобразите стрелками соответствие в случаях а) и б).
В каком случае соответствие является функцией?
355. Функция р задана с помощью пар (1; 1), f2; —
\ 2
3,5), (-0,01; - 100).
Укажите область определения функции и множество ее
(2 \
— 1, р (—0,01).
35G. Какие из соответствий, показанных на рисунке 34, яв-
ляются функциями?
357. Каждому ученику вашего класса, писавшему последнюю
контрольную работу по математике, соответствует оцен-
ка, которую он за эту работу получил. Является ли
указанное соответствие между множеством учащихся
вашего класса, писавших эту контрольную работу, п
множеством оценок функцией?
358. Каждому натуральному числу от 1 до 9 включительно
поставлено в соответствие число его натуральных дели-
телей (1 -> 1, 2 -> 2, 3 -> 2, 4 -> 3 и т. д.). Обозначим
это соответствие буквой f. Почему соответствие f являет-
ся функцией? Найдите f (1), f (4), f (6), f (9). Какова
область определения и множество значений этой функ-
ции/
70
Рис. 84.
359. Каждому числу, принадлежащему множеству X, поста-
вили в соответствие противоположное число. Множество
чисел, противоположных числам, принадлежащим X,
обозначено буквой Y. Почему соответствие между мно-
жествами X к Y является функцией? Найдите множе-
ство Y значений функции, если:
а) X = {—6; —5; —4; —3; —2}; в) X - [0; 51;
б) X = [—5; —2 ]; г) X = [—6; 6 ].
360. На рисунке 35 показано, как можно установить соот-
ветствие между множеством точек отрезка АВ и множе-
ством точек отрезка CD (А -> С, В -► D, К -> М
и т. д.). Является ли это соответствие отображением мно-
жества точек отрезка АВ на множество точек отрезка
СР?
361. Каждой точке отрезка АВ (рис. 36) поставили в соответ-
ствие точку, симметричную ей относительно оси S. Соот-
Рис. 35. Рис. 36. t'wc. 37.
71
ветствие между множеством точек отрезка АВ и множе-
ством • симметричных им точек обозначено буквой S.
Покажите на плоскости: S (A), S (В). Начертите фигу-
ру, на которую отображается отрезок АВ.
362. На рисунке 37 установлено соответствие f между множе-
ством X точек окружности и множеством У точек отрез-
ка АВ', каждой точке окружности поставлена в соот-
ветствие та точка отрезка АВ, которая лежит с точкой
окружности на одном луче с началом в точке О. Почему
соответствие f является отображением множества X на
множество У? Найдите f (Р), f (Q), f (К).
§ 8. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
18. Табличный способ задания функции
В случае конечных множеств функцию можно задать стрел-
ками или перечислением всех пар соответственных элементов.
Так, например, функция, заданная на рисунке 33 стрелками,
может быть задана также с помощью пар: (—2; 4), (— 1; 1),
(0; 0), (1; 1), (2; 4).
При большом числе элементов множества X, служащего
областью определения функции, пары соответственных значе-
ний удобнее располагать по строкам и столбцам таблицы. При
этом элементы множества X записывают в верхней строке или
в левом столбце, а элементы множества У значений функции —
в нижней строке или правом столбце.
X —2 —1 0 1 2 X У
о 4
У 4 1 0 1 4
—1 1
Такой способ задания функции на- 0 0
зывается табличным. Задание функции с помощью табли- • 1 1
цы широко применяется в практике. Таблицы квадратов, кубов чисел, таб- 2 4
лицы процентов, таблицы перевода од-
них мер в другие — это лишь некоторые примеры такого
способа задания функции.
363. Между множеством натуральных чисел, меньших 21, и
множеством их квадратов установлено соответствие: каж-
дому числу соответствует его квадрат. Задайте это соот-
ветствие таблицей.
72
364. Функция f задана таблицей:
X —7 —5 —3 —1 0 1 3
У —21 —15 —9 —3 0 3 9
Чему равно f (-3), f (0), f (1)?
365. Ниже приведена таблица зависимости атмосферного дав-
ления р от высоты h над уровнем моря:
h (в км) 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20
р (в жлс рт. ст.) 760,0 716,0 674,0 596,1 525,7 462,2 404,8 198,1 40,9
Какое давление на высоте в 1 км; 3 км; 5 км; 10 км? Какой
высоте соответствует давление, равное 760,0 мм рт. ст.;
462,2 мм рт. ст.; 40,9 мм рт. ст.? Является ли
зависимость переменной р от h (соответствие между мно-
жеством значений переменной h и множеством значений
переменной р) функцией?
366. Число q диагоналей многоугольника зависит от числа п
его сторон. Для некоторых значений п эта зависимость
показана в таблице:
п 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Q 0 2 5 9 14 20 27 35 44 54
Сколько диагоналей имеет пятиугольник; восьмиуголь-
ник; одиннадцатиугольник? Сколько в многоугольнике
сторон, если он имеет 14 диагоналей; 54 диагонали? Яв-
ляется ли зависимость переменной q от п функцией?
19. Графический способ задания функции
Пусть функция f задана таблицей:
X —2 —1 0 1 2 3 4
У 2 1 0 —1 0 1 2
73
Выпишем пары соответственных значений переменных
X и у.
(-2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 1), (4; 2).
Начертим оси координат: ось х, обычно называемую осью
абсциссой ось у, называемую осью ординат. Построим на коор-
динатной плоскости (рис. 38) точки, координатами которых
служат выписанные пары чисел (первая координата точки —
абсцисса, вторая координата точки — ордината). Множество
построенных точек называют графиком функции f.
Рассмотрим множество точек, изображенных на рисун-
ке 39. Будем считать, что абсциссе каждой точки соответст-
вует ее ордината:
—5 1; —4 -> 3; — 2 -> 4; 0-^4; 1 -> 1.
Тогда можно сказать, что между множеством X = {—5;
—4; —2; 0; 1} и множеством У == {1; 3; 4} с помощью гра-
фика задано соответствие.
Можно ли по виду графика узнать, является ли заданное
им соответствие функцией?
Если на графике нет точек с одинаковыми абсциссами, т. е.
если каждой абсциссе соответствует единственная ордината,
то соответствие, заданное графиком, является функцией.
Например, соответствие, заданное графиком на рисун-
ке 39, — функция, а соответствие, заданное на рисунке 40,
не является функцией.
На рисунках 41 и 42 приведены другие графики соответст-
вий. Кривая АВ (см. рис. 41) служит графиком соответствия
между множеством X = [1; 51 и множеством У = 11; 3 ].
Это соответствие является функцией. Кривая CD (см. рис. 42)
служит графиком соответствия между множеством X = [2; 6 1
и множеством У = 11; 3,51.
Это соответствие не является функцией.
74
Рис. 41.
Рис. 42.
На практике функцию часто задают с помощью графика.
На рисунке 43 показан график изменения температуры воз-
духа в течение суток, вычерченный самопишущим прибором.
Каждому моменту времени соответствует вполне определен-
ная температура.
367. Функция задана таблицей:
X -3 2 —1 0 1 2 3
v 5 0 —3 —4 —3 0 б
Постройте график этой функции.
368. Постройте график функции /, заданной с помощью стре-
лок на рисунке 33.
76
369. Функция задана графиком (рис. 44). Пользуясь графи-
ком, заполните таблицу:
370. На рисунке 45 дан график некоторой функции. Назови-
те абсциссу и ординату каждой точки графика. Найдите
область определения X и множество Y значений функции.
371. Найдите область определения и множество значений
функции, заданной графиком на рисунке 46.
372. Отрезок АВ (рис. 47) служит графиком некоторой функ-
ции. Какое значение у соответствует х =—2; 0; 2; 4; 6?
Какому значению х соответствует у = 5; 4,5? Найдите
область определения функции и множество ее значений.
373. Функция ё задана графиком (рис. 48) на множестве [—3;3].
Найдите по графику: ё(—3), ё(—2), ё(—1), ё (0),
ё (3). Найдите множество значений функции £. При ка-
Рис. 47.
Рис. 48.
Рис. 49.
76
a) 5)
Рис. 60.
ких значениях х значение функции g равно нулю; боль-
ше нуля; меньше нуля?
374. На рисунке 49 построен график функции /, заданной на
множестве [—4; 7 J. Найдите: f (—4), f (—3), f (0),
f (1), / (2), f (4), f (6), f (7). При каких значениях x:
f (x) = 0; f (x) > 0; f (x) < 0?
375. Каждому числу, принадлежащему промежутку [0; 5 ],
поставили в соответствие равное ему число. Почему это
соответствие является функцией? Найдите множество
значений функции и постройте ее график.
376. а) Какая из полуокружностей, изображенных на рисун-
ке 50, а) и б), может служить графиком функции?
б) Какая из ломаных (рис. 51, а), б), в)) может служить
графиком функции и почему?
377. На рисунке 52 изображен график зависимости высоты
сосны от ее возраста. Найдите, пользуясь графиком:
а) высоту сосны в возрасте 40 лет;
б) высоту сосны в возрасте 90 лет;
в) в каком возрасте сосна достигла высоты 10 м?
378. На рисунке 53 изображен график изменения температу-
ры воздуха в течение суток. Используя график, ответьте
77
Рис. 52.
б) какая самая низкая и самая высокая температура
была зарегистрирована в течение суток;
в) в какие промежутки времени температура воздуха:
1) повышалась; 2) понижалась; 3) была выше 0е; 4) бы-
ла ниже 0°?
379. По озеру плавает яхта. Ее расстояние от базы меняется
с течением времени. Эта зависимость (расстояния у от
78
Рис. 54
времени х) показана на графике (рис. 54). На каком
расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин; через
40 мин, через 1 ч 20 мин; через 2 ч 30 мин после отправ-
ления? Задается ли этим графиком функция и какова
область ее определения?
20. Задание функции формулой
Пусть X = {—2; 1; 2; 4} — множество значений перемен-
ной х. Каждому значению переменной х поставим в соответ-
ствие значение переменной у, вычисленное по формуле у =
- х (х - 2).
Получаем:
—2 -> 8; 1 —1; 2-^0; 4-^8.
Зная множество X значений переменной х, мы нашли мне
жество Y соответствующих значений переменной у:
Y = {8; —1; 0}.
С помощью формулы у — х (х —2) между множествами
X и Y установлено соответствие. Это соответствие является
функцией, так как каждому элементу множества X (значе
нию переменной х) соответствует единственный элемент мно-
жества Y (значение переменной у).
Если рассматриваемую функцию обозначить буквой /, то
можно записать, »’ТО /(—2) =8, /(1)— —1, или вообще
/ (х) - х (х — 2) где х С X.
Если функция, заданная формулой у = f (х,, определена
на множестве тех значений переменной х, при которых выра
жение f (х) имеет смысл, то при задании функции формулой
область ее определения обычно не указывается. Например,
если говорится, что функция задана формулой у = ----— и ПРИ
Л — -в
79
этом ничего не сказано об области ее определения, то пред-
полагается, что область определения функции состоит из всех
чисел, кроме 2.
380.
Функция задана
1 i 1 тт
7 * ’ Ч *
< о о )
формулой у — —, причем х £ ;
х [ 9
каждого значения х найдите соответ-
ствующее значение у.
381. Функция задана формулой у = 1 + Зх2. Область опре-
деления функции X = |— 2; — 1;-------0; i; 1; 2
I 3 3
Найдите множество Y значений функции.
382. Функция / задана формулой у = х3. Найдите / (0), /(0,1),
383. Зная, что
g(10), g($
384. Функция
g (х) — 5х3 — 1,
_1\
з г
задана таблицей:
найдите g (0,2), g (----
\ 5
X —4,5 —2 0 7 8
У —9 —4 0 14 16
б)
X —4 —2 0 7 8
У 16 4 0 49 64
Задайте эту функцию формулой.
385. Пусть X = {—5; —1; 5; 6}, Y = {5; 29; 35}, х 6 X,
У ё Y-
Можно ли функцию с областью определения X и множе-
ством значений Y задать формулой:
а) у = х2 + 4; б)у = 6|х|—1?
80
найдите соответствующее значение у. Постройте график
функции.
387. Функция задана формулой у — 2х + 7. Какое значение у
соответствует х = —200; —5,5; 1000? При каком зна-
чении х соответствующее значение у равно 17;1007;—21?
388. Найдите область определения функции, заданной гра-
фиком, и подберите формулу, с помощью которой можно
задать эту функцию, если известно, что график функции:
а) луч О А (рис. 55); б) луч О В (рис. 56).
§ 8. ГРАФИКИ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
21. График функции у — kx
Пусть функция задана формулой у = 0,5 х, причем мно-
жество значений переменной х — множество всех чисел. Со-
ответствие между множеством значений переменной х и мно-
жеством значений переменной у является прямой пропор-
циональностью с коэффициентом пропорциональности, рав-
ным 0,5.
Построим график рассматриваемой функции. Для этого
составим таблицу:
X 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
У 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25
X —0,5 —1 —1,5 —2 —2,5 —3 —3,5 —4 —4,5
V —0,25 —0,5 —0,75 —1 —1,25 —1,5 —1,75 —2 —2,25
Построим точки, координаты которых помещены в табли-
це (рис. 57). Можно заметить, что точки расположены на пря-
мой, проходящей через начало координат. Проведем эту пря-
81
ции у = 0,5 х*, заданной на множестве всех чисел. Ее назы-
вают также графиком прямой пропорциональности, заданной
формулой у ~ 0,5 х на множестве всех чисел.
Тем же способом построим график функции у = —2х
(рис. 59). Этот график также является прямой линией и про-
ходит через начало координат.
График функции, заданной формулой у = kx (на множе-
стве всех чисел), есть прямая линия, проходящая через начало
координат**. Если область определения функции у = kx со-
стоит не из всех чисел, то ее графиком служит подмножество
точек этой прямой (например, луч, отрезок, отдельные
точки).
389. Постройте график функции, заданной формулой у = Зх.
а) Найдите значение у, соответствующее х = 1; 1,5; 2;
2 ,5; 3. Если значения х образуют промежуток [1; 3 J,
то какое множество образуют соответствующие значе-
ния у?
б ) При каком х значение у равно 3; —3; 0?
в ) При каких значениях х переменная у принимает по-
ложительные значения; отрицательные?
390. Постройте график функции, заданной формулой
у = —0,5 х.
а) Какое значение у соответствует х = —2; 0; 4?
б) Существует ли такое значение х, при котором
у = —150? Вычислите его.
в) Как изменяются значения у с возрастанием х?
391. Постройте график функции f, заданной формулой
У = 2х.
а) Найдите f (2), f (2,5), f (3), f (4).
На какое множество отображается промежуток 12; 4 1?
б) Как изменяются значения у с возрастанием х?
в) Принадлежит ли графику функции f точка А (100;200)?
392. Одна сторона прямоугольника равна 1,5 м, другая —
х лс. Чему равна площадь прямоугольника? Постройте
график зависимости площади у прямоугольника (в лт2)
от длины х его стороны (в м).
393. Одна деталь весит 0,75 кг. Сколько весят х деталей?
Обозначьте через у массу х деталей (в килограммах).
Напишите формулу зависимости у от х и постройте
график.
394. На рисунке 60 изображена прямая — график некоторой
функции. Используя его, заполните таблицу:
♦ В дальнейшем мы часто будем говорить «функция у = f (х)» вместо
«функция, заданная формулой у = f (х)».
♦♦ Это утверждение будет доказано позже.
82
X —3 —2,5 —2 —1,5 —1 —0,5 0,5 1,5 2
У
X
Пропорциональна ли переменная у переменной х?
395. Лыжник вышел из села В и через х ч оказался на рас-
стоянии у км от него. Зависимость у от х показана в таб-
лице:
X 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
У 0 4,2 8,1 12,0 15,9 20,2 24,2 27,9 32,1
396.
397.
В координатной плоскос-
ти отметьте точки, коорди-
наты которых занесены в
таблицу, и покажите, что
они расположены почти на
прямой линии. Составьте
формулу, которая прибли-
женно выражает зависи-
мость у от х.
На рисунке 61 изображен
график зависимости удли-
нения железной проволо-
ки х (в мм} от действия
растягивающего усилия р
(в кг).
Укажите множество зна-
чений переменной р, на ко-
тором удлинение проволо-
ки пропорционально рас-
тягивающему усилию.
Какие из точек Л (6; —2),
В (-2; -10), С (1; 1),
Ч} Е (0:0)1
F (—12; 4) принадлежат
графику функции, задан-
ной формулой:
а) у = — — х; б) у = 5х?
3
83
На рисунке 62 изображе-
ны графики прямой про-
порциональности. Для
каждого графика найди-
те коэффициент пропор-
циональности .
Покажите схематически,
как расположен график
функции:
а) у = 1,7х;
б) у — 342 х;
в) у = —0,025 х;
г) у = 1973х.
400. В каких координатных углах расположен график функ-
ции, заданной формулой у — кх, если:
a) k = 0,0017;
б) k - —85004;
в) к > 0;
г) ft <0?
22. График функции у = —
х
12
Пусть функция задана формулой у = причем мно-
х
жество значений переменной х — множество всех чисел, кро-
ме нуля. Для всех пар соответственных значений переменных
х и у произведение ху равно 12, то есть переменная у обратно
пропорциональна переменной х.
Построим график рассматриваемой функции.
При х = 0 функция у = — не определена (график ее
не проходит через начало координат).
Найдем значения у, соответствующие некоторым поло-
жительным значениям х -и некоторым отрицательным значе-
ниям х:
X 1 1^6 2 3 4 S 6 8 12
У 12 8 6 4 3 2,4 2 1,5 1
X —1 —1,5 —2 —3 —4 —5 —6 —8 —12
У —12 —8 —6 —4 —3 —2,4 —2 —1.5 —1
84
Положительным значениям х соответствуют положите ть-
ные значения у, причем достаточно большим значениям х со-
ответствуют малые значения у. Например, если х = 120, то
у = 0,1; если х - 2400, то у — 0,005. Достаточно малым
значениям х соответствуют большие значения у. Например,
если х = 0,03, то у — 400
Отрицательным значениям х соответствуют отрицательные
значения у. Точки графика с отрицательными координатами
симметричны относительно начала координат точкам графика
с положительными координатами.
В координатной плоскости отметим все точки, координаты
которых помещены в таблице (рис. 63). Они располагаются по
некоторой кривой линии, состоящей из двух ветвей. Проведем
ее (рис. 64).
12
График функции, заданной формулой у = — на множе
х
стве всех чисел, кроме нуля, состоит из двух ветвей, располо-
женных в первом и третьем координатных углах. Его называют
графиком обратной пропорциональности, рассматриваемой на
множестве всех отличных от нуля чисел, с коэффициентом
обратной пропорциональности, равным 12.
На рисунке 65 построен график функции у = —1-. Он
х
представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, рас-
положенных во втором и четвертом координатных углах.
График функции, заданной формулой у = —, где ft =И= 0
х
(на множестве всех чисел, отличных от нуля), есть кривая ли-
ния, состоящая из двух ветвей. Кривую такого вида называют
85
всех отличных от нуля чисел, то ее графиком служит подмно-
жество точек этой гиперболы (одна ее ветвь, отдельные точки
и т. д.).
491. На рисунке 66 изображен график функции у = —
х •
С помощью графика найдите:
а) значение у, соответствующее х — 1,5; 5; —8; —1,2;
б) значение х, которому соответствует у = 6; —1,5;
8; 5.
g
402. Функция задана формулой у = —. Постройте ее гра-
х
фик. Какое множество образуют значения у, если
значения х составляют множество:
403.
404.
405.
а) Ц; 2;] б) [А; 11; В) [-4; -2J; г) [- 8; - 1]?
8
24
Зависимость у от х задана формулой у == —. Покажи-
х
те схематически, как расположен график этой зависимо-
сти. Принадлежит ли графику точка А (2400; 0,01);
В (—12; —2)? На каком расстоянии от оси х находится
точка, абсцисса которой равна 1; 24; 240?
Площадь прямоугольного треугольника равна 7,5 см2.
Один его катет равен х см, а другой у см. Выразите
у через х. Постройте график зависимости у от х.
В х ящиков разложили поровну 60 шаров. В каждом
ящике оказалось у шаров. Выразите у через х. Построй-
те график зависимости у от х (масштаб по оси х: 1 см —
2 ед., по оси у: 1 см — 10 ед.).
86
406. В каких координатных углах расположен график обрат-
ной пропорциональности, заданной формулой:
v 0,25 —49 ч 15 ч 1%
а) у =--; б) у =-; в) у =- г) у =----?
XXX X
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
К пункту 16
407. Даны два множества слов: А = {зеленый; красный} и
В = {лист; свет; флаг; галстук; горошек}. Установите
между множествами А и. В какое-нибудь соответствие.
408. На рисунке 67 установлено соответствие р между мно-
жествами К и М. Установите соответствие q между мно-
жеством М и множеством К, поменяв направление стре-
лок в соответствии р.
409. Даны множества: С — {а; Ь; с} и D = {1; 2; 3}. Уста-
новите какое-нибудь соответствие между множествами:
а) С и D; б) D и С.
410. Объясните смысл соответствия между множествами М и
Р (рис. 68). Найдется ли в множестве Р такой элемент,
который соответствует двум элементам множества ЛГ?
Что будет это означать, если такой элемент найдется?
К пункту 17
411. Некоторое соответствие между множествами А и М со-
держит 150 пар. Можно ли судить о том, является это
соответствие функцией или нет, зная лишь две его пары
(а; 2), (а; 5)?
412. Даны два множества:
Р = {1; 7; 9; 3} и Т = {3; 21; 9; 63}.
Установите между множествами Р и Т три соответ-
ствия, причем так, чтобы два из них были функциями.
/, \ р ( \ f Л / 1 в \ 1 JA.Q Пушкин*^! 1 2 * *1^ 1 1 1 1 j у 1/7.Н7олс/пой *СГ 1 3 * 1 1 1 \ 4 • / у1Ю.Лер^снтоЬ^1 Рис. 67. ч. Р ^Дудровский ** \ „Капитанская дочка** Воина и мир** Герои нашего бремени" Евгений Онегин" j Хаджи Мурат" / Рис. 68.
87
413. Даны два множества
D = {—1; 0; 5; -5}
и В-{0; 1; 25}.Уста-
новите соответствие
между множествами
D и Е и соответствие
между Е и D так, что-
бы одно из них было
функцией.
414. Даны множества:
А = {5; 7),
В = (50; 340; 14}.
Отобразите мно-
жество В на множест-
во А. Сколькими спо-
собами можно множе-
ство В отобразить на
множество А?
415. Даны множества: А — {1; 2; 2,5; 5} и В = {2; 4; 5; 10}.
Пусть а £ А и b £ В. Отобразите множество А на В с
помощью пар вида (а; Ь) так, чтобы в каждой паре:
а) частное от деления числа Ъ на а было бы одно и то же;
б) произведение числа а на b равнялось бы одному и то-
му же числу.
416. Между множеством N натуральных чисел, больших 1,
и множеством К = {0, 1} установили соответствие /: каж-
дому простому числу соответствует 0, каждому состав-
ному числу соответствует 1. Почему соответствие f —
функция? Найдите /(2), /(6), /(43), /(87), /(89).
417. Каждую точку М (а; Ь) координатной плоскости отобра-
зили на точку М (—а; Ь). В какую точку при этом ото-
бражении (рис. 69) перейдет точка А (1; 2); В (—5; 3);
С (0; —7); D (5; 0)? Сделайте чертеж. На какую фигуру
отобразится отрезок EF, треугольник KLS (выполните
построение)? На какую фигуру отобразится левая полу-
плоскость; правая полуплоскость; вся плоскость (ка-
кие точки при этом перейдут сами в себя)?
418. Каждую точку Р (с; d) координатной плоскости ото-
бразили на точку Р' (с; —d). В какую точку при этом
отображении перейдет точка А (2; 5); В (—3; 1);
С (0; —2); D (4; 0)? На какую фигуру отобразится от-
резок АС; четырехугольник ABCD (начертите систему
координат и выполните необходимые построения)? В
какую фигуру перейдет верхняя полуплоскость; вся
плоскость?
419. Каждую точку К (т; п) координатной плоскости, исклю-
чая точки, принадлежащие оси х, отобразили на точку
88
К' Im; —В какую точку при этом'отображении пе-
\ п1
рейдет точка А (1; 1); В (2; 2); С (3; 3); D ; -1\;
\ 2 2 j
Е (—; —)? Выполните построение.
\ 5 5 /
Верно ли, что если точки (например, А, В и Г) принад-
лежат одной прямой, то и соответствующие им точки
(при рассматриваемом отображении) также принадлежат
прямой?
К пункту 18
420. Основание треугольника 8 см. Вычислите значения пло-
щади S (в см2), соответствующие указанным значе-
ниям А (в см):
Л 1,5 2,4 3 12 108
S
421. Один кубический сантиметр ртути весит 13,6 г. Для
значений объема V (в см3), указанных в таблице, вы-
числите соответствующие значения массы т (в г):
V 1 2 5 10 50 100
т
422. Функция задана с помощью пар: (Юпитер; 5,2), (Вене-
ра; 0,723), (Плутон; 39,5), (Уран; 19,2), (Меркурий;
0,387), (Земля; 1,0), (Нептун; 30,0), (Сатурн; 9,5),
(Марс; 1,62). В каждой из пар на первом месте указано
название планеты, а на втором месте — ее среднее рас-
стояние от Солнца (за единицу расстояния принято
среднее расстояние от Земли до Солнца). Задайте эту
функцию таблицей, расположив в ней планеты в поряд-
ке их удаления от Солнца.
423. Каждому числу — элементу множества А = {12; 13; 14;
15; 16; 17; 18; 19; 20} поставили в соответствие остаток,
полученный от деления этого числа на 7. Обозначим ука-
занное соответствие буквой г. Найдите г (12), г (15)»
г (22). Задайте функцию г таблицей.
89
К пункту 19
424. Множество отмеченных точек (рис. 70) — график функ-
ции /. Найдите:
а) область определения X и множество значений У функ-
ции /;
б) множество значений х £ X, при которых /(х)—0;
в) множество значений х £ X, при которых f (х) < 0;
г) множество значений х £ X, при которых f (х) > 0.
425. Функция g задана графиком (рис. 71) на множестве
X — I—5; 5 1. Найдите по графику:
а) множество Y значений функции g-,
б) множество значений х £ X, при которых g (х) = 0;
g (х) >0; g (х) < 0.
426. На рисунках 72—74 изображены графики различных со-
ответствий между множествами X — I—1; 4 ] и У= [—8; 2j.
Какие из этих соответствий функции? Найдите по
каждому графику те значения переменной у, которые
соответствуют значению х ~ —1; 0; 2,4.
427. Используя графики функций, изображенные на рисун-
ках 72 и 74, найдите множество значений х £ X, при
90
428. Измеряя температуру воды в баке через равные проме-
жутки времени, составили таблицу (х в минутах,
у в градусах Цельсия):
X ° 1 2 | 3 | 4 6 6 7 8 i 9 10 1 11
У 114 28 41 j 54 66 76 85 93 98 | 100 100 1 100
Постройте график зависимости у от х (масштаб: единице
на оси х соответствует 1 мин, единице на оси у — 10‘С).
С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Какую температуру имела вода через 4 мин; через
5,5 мин; через 9 мин; через 10,7 мин после начала на-
гревания?
б) Через сколько минут после начала нагревания тем-
пература стала равной 41 С; 60 С; 93°С: 100°С?
429. Определяя зависимость объема V (в л) жидкости в сосуде
(рис. 75) от высоты h (в слг) ее уровня, получили таблицу:
Л 3 6 9 12 15 18 ।
V 1,2 3,1 5,6 9,7 14 7 21,0
Рис. 7&.
Постройте график зависимости V от й.
430. На рисунке 76 изображены графики зависимости высо-
ты уровня жидкости от ее объема для каждого из дзух
Объем жидкости в см3
Рис. 76.
91
сосудов различной формы и одной и той же емкости
300 №. Найдите, используя графики:
а) какое количество жидкости нужно налить в каждый
сосуд, чтобы уровни жидкости в сосудах были одина-
ковы;
б) сколько жидкости нужно налить во второй сосуд,
чтобы получить высоту уровня такую же, как в первом
сосуде, когда в него налито 150 с№ жидкости? Какую
форму, по вашему мнению, имеет первый сосуд?
431. На рисунке 77 изображены графики изменения темпера-
туры воздуха в Москве и Вологде в течение суток 18 ап-
реля.
а) Укажите промежуток времени, в течение которого
температура воздуха повышалась и в Москве, и в Во-
логде.
б) Какая температура была в Москве, когда в Вологде
термометр показывал 0°?
в) Какая температура была в Вологде, когда в Москве
термометр поднялся до наивысшей за данные сутки от-
метки?
г) В котором часу в Вологде была такая же температу-
ра, как в Москве в 10 ч?
92
д) Где был больше суточный ход температуры (разность
между наибольшей и наименьшей температурой): в Мо-
скве или в Вологде?
432. На рисунке 78 изображены графики изменения темпера-
туры воздуха в Архангельске и Ярославле за сутки
28 октября.
а) Укажите промежутки времени, в течение которых:
1) температура воздуха повышалась и в Ярославле, и в
Архангельске; 2) понижалась и в Ярославле, и в Ар-
хангельске; 3) в Ярославле повышалась, а в Архангель-
ске понижалась.
б) Какая температура была в Ярославле в тот момент,
когда в Архангельске был -rl°C?
в) Была ли в какой-нибудь момент времени в обоих
городах одинаковая температура9
г) Был ли такой промежуток времени, когда температу-
ра в обоих городах превышала 0°С?
д) Где был больше суточный ход температуры (см. зада-
чу 431 д)): в Архангельске или Ярославле?
433. На рисунке 79 дан график движения туриста, вышед
шего с турбазы А в направлении железнодорожной стан-
ции В. Определите:
а) какое время затратил турист на путь из А в В,
б) с какой средней скоростью двигался турист;
в) сколько минут он затратил на 1-й привал; на 2-й
привал;
г) сколько километров турист прошел за каждый час
пути;
Рис. 78.
д) какое время было затрачено туристом на первые 8 км’,
на следующие 8 клг;
е) мог ли успеть турист на поезд, отправлявшийся от
станции В в 12 ч 10 мин, если бы он после первого
привала шел без остановки с первоначальной скоро-
стью.
434. На рисунке 80 изображен график движения пешехода и
велосипедиста, отправившихся один за другим из пунк-
та А в пункт В. Определите по графику:
а) скорость пешехода и велосипедиста (для велосипеди-
ста найдите как скорость на пути из А в В, так и на об-
ратном пути);
б) на сколько километров обогнал велосипедист пеше-
хода в момент своего прибытия в В;
в) сколько километров оставалось пешеходу до пункта
В в тот момент, когда велосипедист выехал в обратный
путь;
г) через сколько минут после своего отправления велоси-
педист обогнал пешехода; повстречал его на обратном
пути; сколько километров за это время успел пройти
пешеход;
д) сколько километров прошел пешеход за время дви-
жения велосипедиста: 1) из А в В; 2) из В в А;
е) на сколько меньше времени затратил велосипедист
на весь путь (считая и остановку) по сравнению с пеше-
ходом.
04
К пункту 20
435. Функция задана формулой у = 1 — Зх2 на множестве
X - {—3; —2; —1; 0; 1; 2; 3}. Найдите множество зна-
чений переменной у, соответствующих значениям пе-
ременной х.
436. На множестве
X = { -30; —14; —8,5; —2; —1; 0; 1; 2; 3; 8; 45}
функция задана формулой у = | х | — х. Для каж-
дого значения переменной х найдите соответствующее
значение переменной у.
437. Функция задана формулой у = х2. Существует ли зна-
чение переменной х, для которого соответствующее
значение переменной у отрицательно, равно нулю, по-
ложительно?
438. Значения переменной у, соответствующие значениям пе-
ременной х, находятся из уравнения у = 2х + 1.
Переменная х принимает последовательно значения
1, 2, 3, 11. Найдите последовательность соответствую-
щих значений переменной у.
Бремя в часах
Рис. 80.
96
439. Функция задана таблицей:
h 0,о 1,2 2 3 4 5 4,8 5 7 10 15
S 4,5 3,8 3 2 0,5 0,2 0 —2 —5 —10
Задайте эту функцию формулой.
440. У мальчика было 20 коп. Он купил х карандашей по
3 коп. за штуку. Сколько денег у него осталось?
Обозначьте число копеек, оставшихся у мальчика, бук-
вой у и составьте формулу. Какие значения может при-
нимать переменная х? Какое значение у соответствует
х = 1; 2; 5? Почему зависимость у от х является функ-
цией? Какова область ее задания?
441. В бассейне 20 м3 воды. За каждую минуту из него выте-
кает 3 м3 воды. Сколько кубических метров воды будет
в бассейне через х мин? Обозначьте объем оставшейся
в бассейне воды (в м3) буквой у и составьте формулу.
1 2
Какое значение у соответствует х = 1; 1,5; 2—; 6—?
з з
Каково множество значении переменной х? Почему мож-
но утверждать, что с помощью составленной формулы
задана функция? Чем эта функция отличается от функ-
ции, рассмотренной в задаче № 440?
442. Функции f и ё заданы с помощью стрелок (рис. 81).
Задайте каждую из них формулой.
443. Пусть А = {10; 20; 30; 40; 50; 60},
В = {10; 20; 30; 40; 50; 60}.
Задайте с помощью формул две различные функции с
областью определения А и множеством значений В.
444. На множестве X — {—3; —1; 2; 4} заданы две функции
f и ё спомощьюформул: у =—2хку=2х—2. Постройте
рис. 81.
96
в одной и той же систе-
ме координат их графики.
Найдите множества зна-
чений каждой из функ-
ций и сравните их.
445. С помощью графика (рис.
82) множество Х=[—2; 4]
отображается на мно-
жество Y = I—1; 21.
Постройте другой гра-
фик, с помощью которо-
го множество X отоб-
ражалось бы на множе-
ство Y.
446. Постройте график функции, с помощью которого мно-
жество X отображалось бы на множество У, если:
а) X -= {—4; О; 4}, Y = {—1; 0; 1};
б) X = 10; 51, Y = 1—5; 0].
К пункту 21
447. Постройте графики функций у = 0,2х и у = —Зх. Вы-
ясните для каждого графика, при каких значениях х
переменная у принимает значения:
а) равные 0; б) большие 0; в) меньшие 0.
В каком случае переменная у возрастает; убывает?
448. Постройте в одной и той же системе координат графи-
ки функций: у = 0,25х; у = х; у = Зх. В каких коор-
динатных углах расположены эти графики? Какой из
графиков образует с лучом Ох угол, меньший 45°; рав-
ный 45°; больший 45е?
449. Постройте на одном и том же чертеже графики функций
у — — i; у — —х; у — —2х. В каких координатных
углах расположены графики? Какой из графиков обра-
зует с лучом Ох угол, равный 135°; меньший 135°; боль-
ший 135°?
450. Функция f задана на множестве X — ] — со; 4-со [, при-
чем если х С ] — со; 0 [, то у ——0,5х; если х £ [0; 4- оо [,
то у = 2х. Постройте график функции f. Найдите:
f (—4), f (—2), f(0), f(3), f (2,5).
451. Функция g задана на множестве Х= 1—со; 4-с°1, при-
чем если х £ 1 — со; 01, то у = —х; если х£ |0; +
то у — х. Постройте график функции q. Найдите q{—5),
g(0), ff(4). Как можно задать функцию q одной форму-
лой?
4 ЗакТ1?
К пункту 22
452. Постройте график функции у = — —. Принадлежит
х
ли графику: точка А (—4; 1); В (8; 0,5); С (0; 0);
D (0,01; —400); Е 116; — F (1000; —0,004);
К (—0,004; —1000)?
453. Известно, что точка Р (—9; 18) принадлежит графику
обратной пропорциональности. Найдите коэффициент k
обратной пропорциональности.
454. В одной и той же системе координат постройте графики
функции: у = —; у — — ; у= — • В каких коорди-
XXX
натных углах расположены эти графики? Проведите
биссектрисы I и III координатных углов. Найдите коор-
динаты точек пересечения биссектрис с каждым из
графиков. Какой из графиков ближе расположен к
началу координат?
455.
Построите на одном и том же чертеже графики функции:
14 9
у ---; у =-X У =-• В каких координатных
XXX
углах расположены графики? Проведите прямую у =
= — х. Найдите координаты точек пересечения этой
прямой с каждым графиком. На каждом графике от-
метьте по одной точке. Найдите произведение их коор-
динат и сравните его с коэффициентом обратной пропор-
циональности.
456. Площадь прямоугольника равна 16 см2. Обозначьте
длину и ширину этого прямоугольника через х и у (в см)
и составьте формулу зависимости ширины прямоуголь-
ника от его длины. Постройте график (обратите внима-
ние, что х и у — положительные числа). Найдите по гра-
фику точку, для которой:
а) у = х; б) у = 4х.
457. Функция задана формулой у =-----.
1*1
Заполните таблицу:
X —6 —4 —3 2 —1 1 2 8 4 б
У
Постройте график. Почему точки с противоположными
абсциссами имеют равные ординаты?
Глава IV
ОДНОЧЛЕНЫ
§ 10. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
23. Определение степени
Мы знаем, что а5 есть произведение пяти множителей,
каждый из которых равен а:
а5= ааааа.
Число а — основание степени, число 5 — показатель сте-
пени, выражение а5 — степень. Сформулируем определение
степени с любым основанием и натуральным показателем.
Определение 1. Степенью числа а с показателем п, где
п С N и п Ф 1, называется произведение п множителей, каж-
дый из которых равен а:
ап — аа ... а
п раз
В определении исключается случай для показателя п = 1,
так как не имеет смысла говорить о произведении, состоящем
из одного множителя. Степень с показателем 1 определяется
особо.
Определение 2. Степенью числа а с показателем 1 назы-
вается само число а.
а1 = а.
458. Используя определение степени, объясните смысл
записи:
а) 53; в) (—2)е; д) 29'; ж) (-с)28;
б) 15'»; г) е) (36)"; з) (х + а)'»;
и) 2й, где 1г £ N; к) 3й, где k £ N.
459. Назовите основание и показатель степени:
а) (-5)2ь
б) 491;
в) (2а&)3;
г) (а -Ь Ь)5;
Д) (—6)rt+1, где п {N;
е) (а -Ь 6)й-3, где k £ N и k > 3.
4*
99
460. Представьте в виде произведения степень:
а) 25; в) (2х)4; д) (2а — З)4;
б) св; г) (—З#)3; е) (х 4- у — г}2.
461. Представьте в виде степени произведение:
a) bbbbbb; г) 5с • 5с 5с • 5с • 5с;
б) (—-7р)(—7р)(—7р); д) (-За2) (-За2) (— За2) (- За2);
в) (а-Ь6)(аЧ-Ь)(а-|-&); е) (х2—2x4-7) (х2—2x4-7).
462. Какое из выражений имеет вид степени (назовите осно-
вание и показатель степени):
а) (9с)4; в) 25а2; д) (—х)2; ж) (Ь 4- с)7;
б) (—Зх)в; г) —р2; е) 23\ где k £ N; з) W 4- с7?
463. Представьте произведение, если это возможно, в виде
степени с показателем, отличным от единицы:
а) 2 • (—2) • 2 • (—2); в) 5а • 5а • (—5а); д) 8Ь3;
б) 3 • (—3) -3-3; г) а2а2а2а2а2; е) ЗЬ3.
464. Запишите произведение в виде степени, назовите осно-
вание и показатель степени:
а) х2х3; в) (3а)3(3а)5; д) а2&2;
б) уу5', г) (x4-i/)e • (х 4- у\, е) а3х3.
465. Представьте выражение, если это возможно, в виде
степени с показателем, отличным от единицы:
а) — у3; в) —а6; д) х3у2;
б) —х2; г) х3у3; е) 2Э- 42.
466. Запишите выражение в виде степени с основанием у:
а) р2у5; в) — у2 • (—р)3;
б) уу*у*\ г) — уъ • (—р)3.
467. Найдите значение выражения:
а) (—I)2; в) (—2)3; д) -З2;
б) (—I)3; г) (—З)2; е) -(-5)2.
468. Сравните:
а) 210 и 102; б) З4 и 43.
469. Представьте, если это возможно, выражение в виде
степени с основанием —х:
а) —х5; б) хв; в) х3; г) —х4.
470. Запишите выражение в виде квадрата или куба:
а) х4; б) у*\ в) 8р3; г) 64св.
100
471, Представьте число в виде степени с показателем, от-
личным от единицы:
а) 49; в) д) 5 i;
О1 У
б) —8; г) 0,09; е) —2.
64
472. Сколькими способами можно представить в виде степе-
ни с целым основанием число:
а) 4; б) 27; в) 81; г) —25?
473. Решите неравенство (n £ N):
а) 15 < 2« < 35; б) 25 < Зл < 250.
474. Найдите значение выражения:
а) Зх4 при х = —2; в) ху4 при х ——0,125, у = —2;
б) 8х3 при х=—0,5; г) 16 х4у при х——-i-, у = 15.
475. Сократите дробь:
24. Функция у = ах2 и ее график
Рассмотрим задачу: «Падающий с некоторой высоты камень
достиг земли через t сек? С какой высоты упал камень?»
Расстояние $, которое пролетит камень с начала падения,
зависит от времени его падения. Каждому значению перемен-
ной t (времени полета камня в секундах) соответствует впол-
не определенное значение s (расстояние в метрах, которое про-
летит камень за t сек). Зависимость s от t (для свободного па-
дения тел в пустоте) впервые выразил формулой знаменитый
ученый Галилео Галилей (1564—1642):
S = -1 gt\ (1)
Здесь g — число, полученное опытным путем и прибли-
женно равное 9,8 (в условиях Земли). Подставив в формулу
вместо g число 9,8, получим:
s = 4,9i2.
Формула (1) выражает закон свободного падения тела в
пустоте: путь, пройденный свободно падающим телом, пропор-
ционален квадрату времени его падения.
В природе многие процессы протекают по закону, в кото-
ром одна переменная, например у, пропорциональна квадрату,
кубу или вообще натуральной степени другой переменной,
например х.
101
В этом пункте мы рассмотрим функцию, заданную форму-
лой у = ах2, где а — число, не равное О, х и у — переменные,
и построим ее график.
При а = 1 формула у — ах2 принимает вид у — х2.
Построим график функции у = х2. Для этого составим
таблицу:
X —3 —2,6 —2 —1,5 —1 —0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
У 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
Если х — О, то у = О. Значит, график проходит через на-
чало координат.
Если х Ф 0, то значение выражения х2 положительно.
Поэтому все точки графика функции, кроме точки (0; 0),
расположены выше оси х.
Противоположным значениям х соответствуют равные зна-
чения у. Например, если х — —1,5, то у = 2,25; если
х = 1,5, то у = 2,25. Значит, точки графика расположены сим-
метрично относительно оси у. Точка (0; 0) симметрична
самой себе.
Мы выяснили некоторые особенности графика функции,
заданной формулой у = х2. Они позволяют более экономно
выполнять построение графика (например, необязательно вы-
числять ординаты точек с отрицательными абсциссами).
Построим точки, координаты кото-
рых занесены в таблицу (рис. 83). Не
совсем ясно, как пойдет график вблизи
начала координат. Для этого вычислим
координаты еще нескольких точек с по-
ложительными абсциссами:
X 0,1 0,2 0,3 °’4 1
У 0,01 0,04 0,09 0,16
Из этой таблицы видно, что при до-
статочно малых значениях х значения у
мало отличаются от нуля. Это означа-
ет, что график функции у = х2 вблизи
начала координат почти вплотную под-
ходит к оси х.
Соединим отмеченные точки плавной
линией. Получим график функции у=х2
(рис. 84).
102
Аналогично можно построить график функции у — ах2 для
других значений а.
Например, построим график функции у = — х2 (а = —1).
Сначала составим таблицу. При этом можно воспользоваться
таблицей, составленной для построения графика функции
у = х2, изменив в ней значения у на противоположные (соот-
ветственные значения выражений х2 и—х2 — противоположные
числа):
X —3 —2,5 —2 —1,5 —1 —0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 | 3 j
У —9 —6,25 —4 —2,25 -1 —0,25 0 -0,25 —1 -2,25 -4 —6,25|— 9
Построив точки, координаты которых указаны в таблице,
и соединив их плавной линией, мы получим график функции
у = —х2 (рис. 85).
График функции у — —х2 симметричен графику функции
у — х2 относительно оси х.
I
I Докажем более общее утверждение: график Gs функции у == — / (*) снимет-
I ричен графику Gj функции у = f (х) относительно оси х.
' Чтобы доказать это, нужно доказать, что если каждую точку графика G,
отобразить в симметричную относительно оси х точку, то полученное множество
G точек совпадает с ыножестзом точек Gs. ,
103
Рис. 86.
Пусть точка А (р; q) — любая точка графика Gt. Тогда ее координаты
удовлетворяют уравнению у = f (х), то есть равенство q = / (р) верное. Ото-
бразим точку А (р; q) в симметричную точку относительно оси х; получим
точку А* (р; —q). Ее координаты удовлетворяют уравнению у = — f (х), так как
равенство — q — — / (р) верное. Значит, точка А' (р; —с) принадлежит гра-
фику функции у — — f (х).
Покажем, что график G2 не содержит «лишних» точек, то есть таких, кото-
рые не были бы получены из точек графика Gv отображением относительно оси х.
Допустим, что В (m; л) £ G2 — такая «лишняя» точка. Ее координаты удов-
летворяют уравнению у = — f (х), то есть равенство л — — f (т) верное.
Легко видеть, что точка С (т; —л) £ Gx: — л = f (zn) — верное равенство.
При отображении относительно оси х точка С (zn; —л) перешла в точку
с координатами (zn; —(— л)), то есть в точку В (zn; л). Значит, точка В не
«лишняя». Следовательно, график G2 не содержит «лишних» точек. Полученное
противоречие показывает, что множество G совпадает с множеством G2.
Мы рассмотрели функции у = х2 и у = —х2.
На рисунках 86 и 87 показаны графики функций, заданных
формулой у=ах2 при некоторых значениях а. Кривые такого ви-
да называют параболами. При а >0 парабола расположена в вер-
хней полуплоскости, при а < 0 — в нижней полуплоскости.
Замечание. Мы рассмотрели функции, которые задава-
лись формулой у = ах2. Областью определения каждой из
этих функций служило множество всех чисел, а графиком —
парабола.
Если же область определения функции, заданной форму-
лой у = ах2, состоит не из всех чисел, то ее графиком служит
подмножество точек параболы.
На рисунке 88 изображен график функции у — —0,5х2,
где х С [0; 4-со[, а на рисунке 89 показан график функции
у — 0,25 х2, где х С Z (Z—множество целых чисел).
104
476. Используя график функции у х2 (см. рис. 84), най-
дите:
а) значения у, соответствующие х = 1,2; —2,3; 2,3;
б) значения х, которым соответствует у = 3; 5.
Если точка (а; Ъ) принадлежит графику функции
у — х2; то точка (—а; Ь) также принадлежит этому гра-
фику. Докажите это.
477. В координатной плоскости постройте точки (2; 2), (—4;8).
Постройте симметричные им точки относительно оси у.
Докажите, что каждая из этих точек принадлежит гра-
фику функции у = 0,5х2.
478. Постройте график функции Д заданной формулой
у — 0,5 х2.
1) Найдите по графику, при каких значениях х перемен-
ная у: а) принимает значение, равное 0; 4,5; 6; б) прини-
мает значения, большие нуля; в) возрастает с возраста-
нием х; г) убывает с возрастанием х.
2) Укажите множество значений у, на которое с помощью
соответствия f отображается промежуток: а) [2; 4 ];
б) [—4; —2 ]; в) [—3; 0 [; г) 1—2; 3[.
479. Постройте график функции у = —0,5 х2. Найдите по
графику, при каких значениях х переменная у:
а) принимает значение, равное 0; —2; —5;
б) принимает значения, меньшие нуля;
в) возрастает с возрастанием х;
г) убывает с возрастанием х.
480. Постройте график функции s = 4,9£2, где £ > 0, вы-
ражающей закон свободного падения тела в пустоте
(ось абсцисс — ось t, ось ординат — ось s).
Используя график и формулу, ответьте на вопросы:
105
а) Какой путь пролетит тело за 1 сек; 2 сек; 3 сек; 4 сек;
5 сек?
б) За какое время тело пролетит путь, равный 5 м; 10 м;
20 м?
481. Принадлежит ли графику функции у = —100 к2 точка:
а) К (1,5; —225); в) С (2; 400);
б) £(—3; —900); г) D (—0,1; 1)?.
482. Можно ли найти такое значение а, при котором график
функции у — ах2 проходил бы через точку:
а) Р (200; 1);
б) Q (0,01; -2);
в) А (1; 1);
г) В (-1; -1);
Д) Е (4; 16);
е) D (0; 2)?
483. Функция задана формулой у = 3,796л:2. Не выполняя
построения графика этой функции, ответьте на вопросы:
а) При каких значениях х значение у равно 0?
б) При каких значениях х значение у больше 0?
484. Функция задана формулой у =—0,0285х2. Не выполняя
построения ее графика, ответьте на вопросы:
а) При каких значениях х значение у равно 0?
б) При каких значениях х значение у меньше 0?
485. В одной и той же системе координат постройте графики
функций у — х2 и у — 2х. Пользуясь графиками:
а) сравните соответственные значения выражений х2 и
2х при х = —2; 0; 1; 2; 3.
б) Решите уравнение и неравенства:
х2 = 2х; х2 < 2х; х2 > 2х.
486. С помощью графика решите уравнение или неравенство:
а) 0,25х2 = —х; б) 0,25х2< —х; в) 0,25 х2 > —х.
487. Парабола (рис. 90) — график функции, заданной фор-
мулой у = ах2. Найдите значение коэффициента а.
25. Функция у — ах3 и ее график
Рассмотрим функцию у = ах3, где а — число, не равное 0,
х и у — переменные. При а = 1 формула у = ах3 принимает
вид у = X8.
Составим таблицу:
X —2 -11 2 —1 1 ~ 2 0 to | Н* 1 to | Ь- 2
У —8 3 — 3 — 8 —1 ~ 8 0 2 8 1 1 1 со | оо 00 8
100
Рис. 90. Рис. 91.
График этой функции проходит через начало координат,
так как у = 0 при х = 0.
Положительным значениям х соответствуют положитель-
ные значения у, а отрицательным значениям х — отрицатель-
ные значения у.
Значит, график функции расположен в первой и третьей
четвертях координатной плоскости.
Противоположным значениям х соответствуют противопо-
ложные значения у. Например, если х = 2, то у — 8; если
х = —2, то у = —8. Значит, точки графика располагаются
симметрично относительно начала координат.
В координатной плоскости отметим точки, координаты
которых занесены в таблицу. Построенные точки соединим
плавной линией. Получим график функции у = х3 (рис. 91).
307
Аналогично можно построить график функции у == ах3 при
других значениях а (а ф 0).
На рисунке 92 показан график функции у — —х3. Он сим-
метричен графику функции у = х3 относительно оси х и рас-
положен во втором и четвертом координатных углах.
На рисунках 93 и 94 показаны графики функций, заданных
формулой у — ах’3 при некоторых значениях а*.
488. Используя график функции у = х3 (см. рис. 91), най-
дите:
а) значения у, соответствующие х = 1,4; —1,4; —1,8;
1,8;
б) значения х, которым соответствует у = —5; 5.
489. Постройте график функции у = — х3, заполнив таб-
лицу:
X —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4
У
* График функции у — аз£ (а =/= 0) называют кубической параболой.
Если функция задается формулой у — ах3 не на множестве всех чисел, а на его
подмножестве, то и график функции у = ох3 представляет часть соответствую-
щей кубической параболы.
108
1) Найдите по графику, при каких значениях х перемен-
ная у:
а) принимает значение, равное О; б) принимает положи-
тельные значения; в) принимает отрицательные значе-
ния; г) возрастает (или убывает) с возрастанием х.
2) Укажите множество значений у, на которое отобра-
жается промежуток: а) [2; 4 ]; б) [—4; —2 ]; в) ]0; 3 ];
г) ]—3; 31.
490. Используя график функции у = —2х3 (рис. 95), най-
дите множество значений переменной х, при которых:
а) у = 0; б) у < 0; в) у > 0.
491. Пусть х — ребро куба в сантиметрах, а у—объем это-
го куба в кубических сантиметрах. Какие значения мо-
жет принимать переменная х? С помощью формулы вы-
разите переменную у через переменную х. Постройте
график функции. Найдите по графику:
а) объем куба, если его ребро 0,9 см; 1,3 см; 1,7 см;
б) ребро куба, если его объем 1,8 см3; 3 см3; 5 см3.
492. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой
у = 80 х3, точка:
Л) А (—1; 80); в) С (—3; —2160);
$ В (2; 640); 'г) D (—0,1; —0,08)? ,
493. Найдите значение а, при котором график функции
у — ах3 проходит через точку:
а) К (0,1; 25); б) (10; 0,9).
494. В одной и той же системе координат постройте графики
функций у = 0,5х3 и у=2х. Пользуясь графиками:
а) сравните соответственные значения выражений 0,5х3
и 2х при х = —2,5; —2; —1; 0; 1; 2; 2,5;
б) решите уравнение и неравенства:
0,5х3 = 2х; 0,5х3 < 2х; 0,5х£ > 2х.
§11. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
28. Основное свойство степени
Произведение двух степеней с равными основаниями всегда
можно представить в виде степени с тем же основанием. По
определению степени х8 есть произведение восьми множите-
лей, каждый из которых равен х, а хч — произведение шести
таких же множителей. Выражение х8хв равно произведению
8 4- 6 множителей, каждый из которых равен х:
х8хв = х8+в= х14.
109
Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями
равно степени с тем же основанием и показателем, равным сум-
ме показателей этих степеней.
Это свойство степени можно записать в общем виде:
атап = ат+п,
где тип — любые натуральные числа.
При выполнении тождественных преобразований удобно
пользоваться правилом, выражающим выведенное нами свой-
ство: «При умножении степеней с равными основаниями пока-
затели степеней складываются, а основание остается преж-
ним».
495. Представьте в виде степени произведение:
а) а5а3;
б) х’°х8;
в) 2«- 24;
г) 35 • 3;
д) (2у)3 - (2у)2;
е) (ЮаЬ)2 • (ЮаЬ)4;
ж) х"х2, где п £ N-,
з) 5т- 52, где т £ N.
496. Разложите на два множителя (каким-нибудь одним спо-
собом) выражение:
a) Xs; б) у*-, в) 2ю; г) —с8; д) —З5; е) (—Ь)°.
497. Запишите в виде степени произведение:
а) х2х5х4; в) 102 • 103 • 105;
б) у5у2у; г) 17е • 17» • 17.
498. Представьте в виде степени с основанием с:
а) (с4)3; б) (с2)4.
499. Представьте в виде степени с основанием 2:
a) 2s • 2s; б) 4 • 2s; в) 16 • 32; г) 82 • 43.
500. Замените х степенью так, чтобы получилось тождество:
а) с2х = с5; б) хаъ = а’; в) 2е • х = 2’*; г) З4 • х = З7.
27. Частное степеней с равными основаниями
Можно ли представить частное двух степеней с равными
основаниями в виде степени с тем же основанием? Рассмотрим
частное а12 : а5. Это частное равно а8, так как а2а5 = а18.
Показатель степени, полученной в результате, равен разности
показателей 13 и 5. Частное а13 : а5 удалось представить в
виде степени а8:
а13 : а5 = а13-5 = а8.
ПО
При решении задачи мы использовали основное свойство степени: атап =»
= ат+п. Рассуждать можно было и так. Предположим, что частное а13 : вг в
тите ап (степени с натуральным показателем) существует. Тогда можно соста-
вить уравнение
а13 : а5 = ап.
По определению частного
а"а5 = а13.
По основному свойству степени
ап+5= а13.
Если а^О, а^1иа^ — 1, то уравнению ап+в= а13 удовлетворяют те и
только те значения л, которые являются корнями уравнения
л + б = 13.
Отсюда л = 8.
Частное двух степеней с равными основаниями не всегда
можно представить в виде степени с тем же основанием. На-
пример, выражение а3 : а1 нельзя представить в виде степени
с основанием а, так как нет такой степени с основанием а,
при умножении на которую а1 получилось бы а3. Частное
двух степеней с равными основаниями можно представить в виде
степени с тем же основанием лишь тогда, когда показатель сте-
пени делимого больше показателя степени делителя.
Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно
степени с тем же основанием и показателем, равным разности
показателей делимого и делителя.
Запишем это свойство степени в общем виде:
ат : ап = ат~п,
где т > п.
Удобно пользоваться более коротким правилом: «При делении
степеней с равными основаниями показатели степеней вычи-
таются, а основание остается прежним».
501. Представьте в виде степени частное:
а) хъ : х3; в) (2сг)* : (2а)3;
б) ую : у\ г) (—5Ь)’° : (—55)’°.
502. Найдите значение выражения:
а) 5е : 54; в) (0,5)’° : (0,5)7;
б) 10®: 105; г) f 1 —(1
\ 3 / \ 3 ]
503. Упростите выражение:
. а13
г)------
а’а»
111
504. Найдите значение выражения:
ч 7» • 75 3“ . ч 9«>. 5
а) 714 * $> . з* * В) э* . 9$ »
29. Степень степени
28.53
53.21в*
Можно ли пятую степень выражения ап, где п £ N, пред-
ставить в виде степени с основанием а? Степень (ап)5 есть
произведение пяти множителей, каждый из которых равен ал:
(а”)5 = апапапапап.
Это произведение равно степени с тем же основанием и пока-
зателем, равным сумме показателей п:
апапапапап = an*n+n+n*n — а5п.
При возведении степени в степень показатели степеней пере-
множаются, а основание остается тем же.
Если п £ N и m Q N, то >
(ат)п = атп.
।
505. Представьте выражение в виде степени с основанием х:
а) (х3)2; б) (х4)3; в) (х4)5; г) (х5)4. i
506. Запишите в виде степени с основанием у: 1
а) (У2)6; б) у2у*; в) (у10)3; г) у10у3.
507. Запишите в виде степени с основанием Ь:
а) (Ь*)4, где k£N-,
б) bkb\ где k£N.
508. Представьте 220 в виде степени с основанием:
а) 22; б) 24; в) 25; г) 210.
509. Запишите 26Э в виде степени с основанием:
а) 4; б) 8; в) 16; г) 32.
510. Выражение а12 представьте в виде степени различными
способами.
511. При каком значении х верно равенство:
а) (З5)* =310; б) З5- 3Х=38; в) (5*)4=512; г) 5*-54=512?
512. Найдите пары натуральных значений х и у, чтобы полу-
чилось верное равенство:
а) (2 г)у = 2е; б) 2 х • 2* = 2е.
513. Представьте выражение: I
а) 24 в виде степени с основанием 4;
б) 43 в виде степени с основанием 2;
112
в) 3е в виде степени с основанием 9;
г) 273 в виде степени с основанием 3.
514. Сравните выражения:
а) 94 и 27s; б) 8’ и 4“; в) 255 и 125s; г) f--V и(1?.
\ 4 / \ 8 /
515. Представьте выражение в виде степени с основанием с:
а) сб • (с2)3; б) (с3)4 • с8; в) (с4)2 • (с5)3; г) (с2)3-(с3)5.
516.
Найдите значение выражения:
ч б’ • 252 25.83 . 9* • 7*
а) -----; б) —;—; в) ----;
53 4“ З1 • 73
ч 55 • 83
г) --------.
45- 253
29. Степень произведения
Используя переместительный и сочетательный законы ум-
ножения, выразим степень произведения через степени мно-
жителей:
(а&)5 = (ab) (ab) (ab) (ab) (ab) — (ааааа) (bbbbb) = а5Ь\
Степень произведения равна произведению степеней множи-
телей.
Это свойство остается верным для любого натурального
показателя и любого числа множителей. Запишем его в общем
виде для трех множителей:
(abc)n = аПЬПсп, где n £ N.
517. Представьте степень произведения в виде произведения
степеней множителей:
а) (ах)5; в) (2а&)3; д) (10ху)*>;
б) (by)10; г) (5a2.v)4; е) (3pq)n, где n £ N.
518. Найдите значение выражения:
а) (2 • 10)3; б) (3 • 100)4.
519. Представьте выражение в виде степени произведения:
а) х8у8; б) а7Ь7; в) 21°а10х10; г) 94с8у8.
520. Найдите значение выражения:
а) 24-54; б) 8‘ (0,125)в; в) 5s-6s; г) (-Г • /-V’.
\ 9 / \ 4 /
521. Выделите степень произведения по следующему образцу:
a9b7 = (ab)7a2.
а) х5у4; б) а10Ь7.
522. Вычислите:
а) 254 • 45; б) (0,125)5 • 87.
113
523. Сравните выражения:
а) 510 • б10 и (3 • б)10; в) 840 и 7220;
б) 214 и 283; г) 6380 и 94
§ 12. ОДНОЧЛЕН. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА
39. Понятие одночлена
Рассмотрим выражения:
О
—2, а, -Ь, 5‘. у3, (—х)2,
О
—3 • 8, 2аЬЪЪ, х2у • 7, 8а3д2с, (а2)3.
Среди них содержатся: числа, переменные, выражения,
противоположные переменным, а также степени чисел и пере-
менных и их произведения.
Такие выражения называют одночленами.
Любая сумма, разность, частное не является одночленом.
Например, выражения а2 + 5, х2 — у2, -------не одночле-
с
ны. Не является одночленом и выражение (а + б)3, так как
представляет собой степень суммы, а не степень переменной
или числа. Также не является одночленом выражение 2—,
так как представляет собой частное, но оно в отличие от рас-
смотренных выше может быть представлено в виде произведе-
2 2
ния числа — и переменных р и qt то есть в виде одночлена — pq.
524. Какие из выражений xxxbb, —, — , 7х •(—и), асе-ба,
5 х
8а2Ь — а, у ах2, 2(х + у) являются одночленами?
525. Какие из выражений
За5. 2х + 5, т-п1, —0,42р2, £. — 1,О2х«у. 3j/2,
а3 — 3 не являются одночленами?
526. Преобразуйте в одночлен выражение, если это возможно:
с
20CW
8
9х2 —12
3
д) с2 + с2 4- с2;
е) — брх — 8рх.
527. Найдите значение одночлена:
а) 5х3 при х = 0,5; в) —0,5х6 при х = —2;
б) —Зх4 при х==—2; г) — у® при у = 3.
©
114
31. Стандартный вид одночлена
Одночлен — Заах • бах можно представить в различных
гидах. Например, как — 15 ааахх или — 15а3х2. Одночлен
— 15а3х2 отличается от одночленов — Заах • бах и — 15ааахх
тем, что он имеет один числовой множитель, стоящий на пер-
вом месте, и каждое произведение одинаковых переменных в
нем представлено степенью. Такой вид одночлена называют
стандартным.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандарт-
ном виде, называют коэффициентом одночлена.
Одночлены такие, как abc и —х2, не содержат числовых
множителей. Тем не менее их относят к одночленам, имеющим
стандартный вид. Считают, что коэффициентами этих одночле-
нов служат числа 1 и —1, так как abc = 1 • abc и —х2 ==
= (-1) • х2.
Приведем примеры одночленов, представленных в стандарт-
ном виде:
2аЬ, —у с2, х"-у3, — тп", 2,05р10д.
Приведение одночлена к стандартному виду есть тождест-
венное преобразование, выполняемое на основании определе-
ния степени или свойств степени, переместительного и сочета-
тельного законов умножения.
Пусть поставлена задача привести одночлен ЗаЪг • ба3Ъ к
стандартному виду.
Используя переместительный и сочетательный законы ум-
ножения, выполним преобразование:
ЗаЪ2 • ба3Ъ = (3 • 5) • (аа3) • (&2&).
Применив основное свойство степени, получим:
(3 • 5) • (аа3) • (Ь2Ь) = 15а4Ь3.
Одночлен ЗаЬг • ба3Ь с помощью законов действий и свойств
степени мы привели к стандартному виду 15а4 Ь3.
528. Приведите одночлен к стандартному виду и назовите
коэффициент одночлена:
а) Зх&х;
б) 2аЪс • 5а;
5 7 2 / 3 \
г) 1 — хху • — ххх; ж) 2 — т2п • (---тп ;
' 7 * 12 3 \ 8 /
д) 6с2 • (—Зс); 3) — у с'у3 • 0,7с2х.
в) уу • О,256ду; е) 1,2а2 • (—5а3);
115
529. Приведите к стандартному виду одночлен:
a) 5у*у2уя', г) —а3Ь2 • За2Ь4;
б) — ва-а* • (—г); д) —0,32/п7п4 • ( — 3 - /п3гА
\ 8 j
в) 6х3 • — х5; е) —ЗОх5у • (—0,7ху2).
530. Найдите значение одночлена:
а) —0,125х4у • 80у2, если х = —1, у — 7,5;
б) 4 — а2Ь • 1 — аЪ3, если а = — 6, Ъ — —-•
7 5 3
531. Представьте одночлен в виде произведения двух множи-
телей, один из которых равен 20х4у:
а) 100хвр3; б) -4х7у.
532. Представьте одночлен в виде произведения двух каких-
либо одночленов стандартного вида:
а) —8с2А3; б) 0,25 kpc.
533. Представьте одночлен в виде произведения двух одно-
членов с отрицательными коэффициентами:
a) 6xV; ty±p‘q.
О
534. Приведите выражение к одночлену стандартного вида:
а) (Зту3)3; г) —g- /nen*j2; ж) 4а2Ь5 • (О.баЬ3)3;
б) (5а4Ь)2; д) (-а2Ь)в; з) (2 1 х=У3'Г хву4Г.
в) (—O.lpV)3; е) (—2аЬ2)в;
32. Понятие о степени одночлена
В одночлене 5х2 переменная х во второй степени, а в од-
ночлене 3,7х5 — в пятой степени. Говорят, что одночлен 5х2 —
второй степени, а одночлен 3,7х5 — пятой степени.
Если одночлен содержит несколько переменных, то степень
такого одночлена условились считать равной сумме показате-
лей степеней этих переменных.
Например, одночлен 8х3у2г имеет шестую степень, так
как сумма показателей входящих в него переменных равна
3 + 2 + 1 = 6. Степень одночлена — 0,9аЬ равна двум, од-
3
ночлена — твп3 — девяти.
ив
Всякое число является одночленом. Степень такого одно-
члена договорились считать равной нулю*. По определению
полагают, что
при х =£- 0 хс = 1.
Отсюда следует, что, например, число 5 можно представить
в виде 5х° или в виде 5а°Ьл.
Степень каждого из одночленов 5х°, 5а°Ъ° и, следователь-
но, одночлена 5 равна нулю.
Такое определение степени с показателем, ^а.ным нулю, естественно.
Если мы хотим приписать смысл выражению а”, где 0, и чтобы при этой
сохранилось основное свойство степени атап = am+n, мы должны положить,
что а° = 1. Действительно, потребовав Сихраьения основного свойства степени,
получим для любого п С N и а У- 0:
а,псР = :
Отсюда а° необходимо должно быть равным единице.
Выражению 0° не приписывается никакого смысла.
535. Какова степень одночлена:
а) 15а®; в) 242а2Ь2; д) —ас;
б) — 2,7х; г) 16х3у; е) —2,01?
536. Найдите значение выражения:
а) 3»;
в) 23 • 5°;
г) —2,7 (—10)°;
д) Зх° при х = 26,78;
. з п _ „4
е) — -У° при У = — бу;
ж) 10а2&° при а — —3, Ь = 8;
з) 27а°с3 при а = —, с — —-.
3 3
537. Составьте всевозможные одночлены стандартного вида,
содержащие переменные а и Ь с коэффициентом 3, чтобы
их степень равнялась:
а) двум; б) трем.
538. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида
и найдите его степень:
а) 5а2Ь • (—2а3Ь4); в) (—10pV)3 . 8р«?3;
б) Зх3!/2 • (2х2!/)4; г) (—2a5fr2)3 (—0,5o2b4)2.
• Исключение составляет число нуль. Этому одночлен} не приписывается
никакой степени. Целесообразность такого исключения будет выяснена в даль-
нейшем.
117
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
К пункту 23
539. Представьте число в виде степени с показателем, отлич-
ным от единицы:
а) 121; в) 0,125; д) 625; ж) 0,343;
б) —32; г) 4^; е) —216; з) —0,00243.
540. Представьте число в виде степени с основанием 2 или 3:
а) 64; б) 81; в) 512; г) 1024; д) 729; е) 4096.
541. Найдите значение выражения:
а) 0,001г6 при х = — 2; в) xty при х = 2, у = 5;
б) ЮОООу® при у = —-; г) 0,01хвуе при х= —2, у=—5.
542. Решите неравенство:
а) 52 < 10я < 8041; в) 0,01 < (А)" < 0,1;
б) 333 < 3я < 881; г) 0,01 < (А)" < 0,1.
543. Какие из чисел 2, —2, 3 или —3 являются корнями
уравнения:
а) х4 = 81; в) 0,25»® = 16;
б) х8 = —8; г) х4 = 6хг — х3?
544. Сравните значения выражений хг и х3 при следующих
значениях а) 1; х: г) 10; ж) з’
б) -1; д) —5; з) 2’
в) 0; е) —23,5; и) 7_ 9 ’
545. Докажите, что х кратно у, если:
а) х = 14®, у = 78; в) х = 6® • 188, у = 3,р;
б) х = 1210, у = 22°; г) х = 15те • 751Б, у = 5100.
К пункту 24
546. Постройте график функции у = 0,25х2, где х £ (—4; 5 1.
Найдите по графику множество значений переменной х,
при которых;
а) у = 0; б) у > 0; в) у < 2; г) у > 2.
118
547. Постройте график функции у — —0,25х2, где х £ [—6;2 J.
Найдите по графику множество значений переменной
х, при которых:
а) у = О; б) у < 0; в) у < —2; г) у> —4.
54Э. Функция й задана на множестве X = J—со; 4-со [,
причем, если х £ }—со; 0 J, то у=0,5х2; если х £ ]0;4-оо [,
то у = 1,5х. Постройте график функпии g. Найди-
те: g (—4), g (-2), g (0), g (1), g (2), g (4).
При каких значениях переменной х значение переменной
у равно 2; меньше 2?
549. Докажите, что график функции у = ах2 проходит
через точку (1; а).
550. При каком значении а график функции у = ах2 прохо-
дит через точку: А (1; 2,7), В (1; —3,92), С (1; 890),
D (—1; —3945)?
551. Функция задана формулой у = ах2. Определите знак
коэффициента а, если известно, что множество значений
этой функции есть промежуток:
а) (0; со [; б) 1 —со; 0).
552. Функция f задана формулой у = х2 на некотором про-
межутке X. Найдите множество X, если известно, что
множество значений функции f есть промежуток:
а) [0; 4 1; б) [0; 49
К пункту 25
553. Постройте график функции у = х3, где х g I—3; 6 J.
Найдите по графику множество значений переменной
х, при которых:
а) у = 0;
б) у > 0;
в) у < 0;
г) у = 1;
д) у > 1;
е) у < 1.
554. Докажите, что график функции у = хп, где n£N, про-
ходит через точки (0; 0) и (1; 1).
555. При некотором значении п, гдеи^-ЛГ, график функции
у = хп проходит через точку А (2; 8). Найдите это зна-
чение п. Почему оно единственное?
556. Почему ни при каком натуральном п график функции
у = хп не может проходить через точку:
а) В (2; 5); в) D (—5; 0);
б) С (3; —16); г) Е (0; 9)?
119
557. При каков! значении п график фуккции у — хя прохо-
дит через точку:
а) Р (3; 27); г) Z (3,5; 12,25);
б) Q (2; 1024); д) м(— 1;-------Ц
\ 3 243/
в) К (—5; 625); е) Т (0,1; 0,000001)?
558. С помощью графиков функций у — х, у — х2, у = Xs
решите неравенство:
а) х2 < х; б) х2 > х; в) х3 < х; г) х3 >х.
559. В одной и той же системе координат постройте графики
функций: у = 0,25х2 и у — х.
Пользуясь графиками, решите неравенство или уравнение:
а) 0,25х2 ='- 1,
б) 0,25х2 = —1;
в) 0,25х2> 1;
г) 0,25х2 < 1;
д) 0,25х2 = х;
е) 0,25х2 < х;
ж) 0,25х2 > х;
з) 0,25х2< —1.
560. В одной и той же системе координат постройте графики
функций:
у — 0,5х2 и у — —.
X
При каких значениях х:
а) 0,5х2 = 1; б) 0.5ха < -; в) О,5х2 > -; г) - 1?
X X XX
561. Какие из графиков функций симметричны относительно
оси у или относительно начала координат:
а) у = 2,76х2; в) у — 43х4;
б) у — 2х3; г) у = хь?
562. Постройте график функции:
а) У = | х ]; б) у = | х2 |; в) у = | х3 [.
К пункту 26
563. Упростите выражение:
а) х48х102; д) ава13а18;
б) у*у8, где k£N; е) ЬпЬп~гЬ2, где nl^N и п > 1;
в) (Зс)Ьв • (Зс)11; ж) х2р-1х₽+1, где р £N',
г) (~У°» где п£К‘, з) 2Вя 8, где n £ N.
564. Представьте выражение в виде произведения двух мно-
жителей, один из которых равен 5х3:
а) Юх20; в) хя, где х(N и п 3;
б) 2х4в; г) —7х2я+1, гдех(Кип >2.
565. При каких значениях п имеет смысл выражение:
а) 10я -э • 107-я; в) 234,,~в • 235~я;
6) 3я Б • 3я*2;
566. Решите относительно у уравнение:
а) Ъ*у = &12; в) 32ву = З39;
б) 2с7у — с®; г) у • 5"11 = 52я, где п £N и п>1.
К пункту 27
567. Замените частное степенью:
a) ft15 : Ь1г; в) (2а)300 : (2а)200;
б) 7зв . 71з. г) (_з&)б« : (_ЗЬ)40.
568. Найдите значение выражения:
а) 13,0°: 13»*; б) 2- : 8"; в) г) g-fl.
569. Докажите, что значение выражения не зависит от и
(n£N и п 3):
R7-H . к«+э
а) 10я *»: 10я-1; в) -——— ;
6' А
Л2Л+3 .53Л-1
б) 32я-1: 34я-с; г) .
' ’ ' 55П+2
570. При каких значениях п можно представить выражение
в виде степени с основанием с:
,7 ,И+4 сЛ-1 сп-а
а) б) ~; в) -—; г) —, ?
’ с" ’ с" c”+l
К пункту 28
571. Упростите выражение:
а) (х2)10; г) (xs)2 (—.г3)4;
б) (хя)5, где п g IV; д) (—у3)’ • (—у4)3',
в) (—с*)3, где Л С 2V; е) (—а)2я-(—а2)3, где n£N.
572. Раскройте скобки и упростите:
а) (—2а3с4)3; в) (—2а5&2)3 • (—0,5а2&4)2;
б) (— 10а10&12)2; г) (—11а2&)5 • (0,75а&3)4.
3
573. Замените букву р выражением так, чтобы получилось
тождество:
а) ръ — х20;
б) р7 = — Ьи;
в) р3с® = —с20;
Г) (-у)7 • (-у2)4 = Р6.
121
574. Найдите значение выражения:
, 45 • 4* _ 83 • 16’ 1251а
& 2ai * 41’ ’ В 513 • 25п ’
81й . 34
2710.915
К пункту 29
575. Выделите степень произведения из выражения:
а) а567;
б) 2с10хв;
в) —16z/524;
г) xfty5, где k £ N и k > 5;
д) akba, где k С N и k < 6;
е) pnqn*4, где n£N.
576. Найдите значение
а) 54 • 24;
б) 5е • 27;
в) 4е • (О,25)6;
выражения:
г) (1,2)’ •
д) (0,125)’- 2“;
е) (0,008)’ • 257.
577. Сравните выражения:
а) 353 и 214; б) 185 и 12е; в) 454 и 63; г) 544 и 245.
578
Докажите, что значение
27‘2л+1
а) где n^N’ в;
1вм+«
б) > г де п € М г;
выражения не зависит от п
15»+2
--------, где n£N и n> 1;
3«-i. б”+1
22Я . 72Л+8
--------, где п £ N.
14jn
К пункту 31
579. Приведите к стандартному виду одночлена:
а) 5аЬ • 0,76с • 40ос;
б) —0,456cd • (—l~-ocdj • 9abd\
в) — 2,8ху • 1 i су • (— 2 ex') • (— 1 =• су\
г) — l^a5-ifrc(—16ас)-(—0,5а).
580. Замените одночленом стандартного вида выражение:
a) г) -а362 • За^б4;
б) а* • (—а2) • а4; д) —0,32m7n4 • (—3 i m3ne);
8
в) 6х3 • —х5; е) 7—а13Ълс • 0,7а63с4.
' 12 ' 7
122
581. Представьте одночлен в виде произведения двух множи-
телей, один из которых равен 2Ох4у:
a) 100х5у3; , б) —30х4уБ; в) —4х1ву; г) хг°у2,
582. Представьте одночлен в виде произведения двух или
трех одночленов с отрицательными коэффициентами:
а) 12х5у; б) —8а2с3; в) аБх7; г) —Ь*у9.
583. Представьте выражение, если это возможно, в виде од-
ночлена в четной степени:
а) Ь5сЬсъ; в) 27а265 • За10&3;
б) х4у2ху4; г) —64а8хп • (—0,25о2х9).
584. Представьте выражение, если это возможно, в виде од-
ночлена в нечетной степени:
а) —8х9у15; в) 0,01 to8 • 0,1 Ъ\
б) г) — р*в“ • рV-
585. Замените р и g одночленами так, чтобы получилось тож-
дество:
a) p2q3 = b\ в) р3д2 = —4а9Ь4сп;
б) р V = с18; г) р4д3 => —27х8у9з17.
586. Раскройте скобки:
а) (—ЗаБ6*е”)3, где k£N и
б) (—0,1а2х7)2*, где k 6 АГ.
К пункту 32
587. Найдите степень одночлена:
а) 5х5х10; в) ab9\ д) —8х°у°;
б) — Зу20у°; г) — а?Ъ\ е) 2,4.
588. Составьте всевозможные одночлены стандартного вида
с коэффициентом 5, содержащие переменные х и у, при-
чем так, чтобы степень каждого из них равнялась:
а) 4; б) 5.
Глава V
МНОГОЧЛЕНЫ
§13. МНОГОЧЛЕН. СТАНДАРТНЫЙ ВИД МНОГОЧЛЕНА
33. Понятие многочлена
Из одночленов 2х8, —Зху • 2у, 7х и —Зу можно составить
различные выражения. Вот некоторые из них:
(2х8— бху • 2у) (7х — Зу),
2х3-6^2»~3У 2х’ — бху • 2у + 7х — Sy.
Первое выражение есть произведение, второе — частное,
а третье — сумма. В этой сумме каждое слагаемое — одно-
член.
Сумму одночленов называют многочленом.
Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом
многочлена.
Суммы — + 8а2с — 1, а(Ь ~Ь с) — За2Ь не являются мно-
с
гочленами, так как не каждое слагаемое, входящее в сумму,—
одночлен.
Многочлен 6а2Ь — 2а2Ь5 +а2Ь—2а2Ъь содержит четыре
члена. Первый и третий отличаются друг от друга только
коэффициентами. Эти слагаемые подобны. Второй и четвертый
члены многочлена равны. Это тоже подобные слагаемые.
Подобные слагаемые в многочлене называют подобными
членами. Многочлен, содержащий подобные члены, можно уп-
ростить, выполнив приведение подобных членов (приведение
подобных слагаемых).
Например: 6а2Ь — 2п2&54- а2Ь—2а2Ь5=7а2Ь — 4а2Ь\
589. Назовите каждое слагаемое суммы:
а) 2х2 — Зх — 7; в) 5п2—Ъ(8а—Ь) + а;
б) — 0,25х2—2ху 4- 8z/3; г) (7с—4р2) • 2ср—р(5с-Ьр).
590. Составьте сумму из одночленов:
а) —2а2, |а86, — Sab-, б) 5х8у, 4,7ху2, — 2-х2у2, — Sy*.
9 9
124
591. Какие из выражений многочлены:
а) 2с3 — 8с 4- 11;
б) — -X2 — х;
б
в) у + - +1;
X
г) 4р2 — 2pq — 3<z2;
д) а (а — Ь) + 5&2;
х3 — 2х — 3
х
592. Выполните приведение подобных членов многочлена:
а) Зх4 — 5х + 7х2 — 8х4 4- 5х;
б) 2а3 а2 — 1 — За2 + а3 — а;
в) 12аЬ2 — b3 — Gab2 + За25 — Gab2 + 2&3;
г) 2а2х3 — ах3 — а4 4- Зх4 — а2х2 -г ах3 4- 2а4;
д) 0,4а2у — ay2 — i а2у + 0,3ау*
о 3
е) 163_Ab3 + 016s+Ab2 + 2b2t
7 15 4 8 16
593. Придумайте многочлен, содержащий:
а) переменную х; б) переменные а и Ь.
594. Придумайте пример суммы, не являющейся многочленом.
34. Приведение многочлена к стандартному виду
Многочлен 8х3у2 — 2хух • Зху 4- хуху2—7х2у4-6 состо-
ит из пяти слагаемых. Второй и третий его члены — одночле-
ны нестандартного вида. Их можно упростить; тогда упрос-
тится и многочлен:
8х3у2 — 2хух • Зху + хуху2 — 7х2у 4- 6 =
= 8х3у2 — 6х3у2 4- х2у3 — 7х2у 4- 6.
Все члены многочлена 8х3у2 — 6х3у2 4~ х2у3 — 7х2у 4- 6
имеют стандартный вид. Однако и этот многочлен можно пре-
образовать, привести к более простому виду, если выполнить
приведение подобных членов:
8х3у2 — 6х3у2 4- хгу3 — 7х2у 4- 6 == 2х3у2 4- х2у3 — 7х2у 4- 6.
Полученный многочлен называют многочленом стандарт-
ного вида.
Если все члены многочлена записать в стандартном виде
и выполнить приведение подобных членов, то получится мно-
гочлен стандартного вида.
В зависимости от числа членов многочлены стандартного
вида называют двучленами, трехчленами, четырехчленами и т.д.
Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен
частным случаем многочлена.
Многочлен 8х3 — Зх4 4- х2 — х — 5 имеет стандартный вид.
Он состоит из пяти членов — одночленов третьей, четвертой,
125
второй, первой и нулевой степени. Наибольшую степень имеет
одночлен —Зх4. Этот одночлен называют старшим членом
многочлена 8х3 —Зх4 4-х2 — х — 5.
Степенью мн^гоч^ена стандартного вида с одной перемен-
ной называют степень старшего его члена.
Рассматриваемый многочлен имеет четвертую степень, так
как четвертую степень имеет старший его член.
У многочлена с двумя переменными 1 }-2х4—5х2у3 — Зху
наибольшую степень (пятую) имеет член — 5х2у3. Считают,
что этот многочлен есть многочлен пятой степени.
595. Приведите многочлен к стандартному виду:
а) ххххх — Зхххх + бххх — 12хх — 7х Ц- 5;
б) 2а (—36) — 7а2 • 56 Ч 862;
в) 5хх • (—Зху) + бууху — 1;
г) —0,5а2 • (—2а) 4- 0,2а • (—5а) 4- а.
598. Приведите многочлен к стандартному виду, сделав при-
ведение подобных членов:
а) —5x4/ 4- Зх2у — 6x4/ 4* 4х2р — 7хгу 4- 1;
б) 2,4а5 — 10а26 + 7а26 — 2,4а5 4- За26;
в) —8р2 + 2,2р4 — 4р4 + 8р2 — 2,2р4 4- 3,7р4;
г) —а26 + 9а62 + 5а26 — Заб2 + аб2 — 5,1а26.
597. Найдите значение выражения:
а) —2хуг 4-4x4- Иху2, если х=2—, у=—
4 3
если а=0,2, 6=4;
если а=8, 6=4, с = 1;
если х = 1, у=’3, 2=5.
б) —0,086 4- 73а264-27а26
в) 100а 4-106 4-с,
г) 10 000х4-100р4- г.
598. Запись abc обозначает число, в котором а сотен, 6 де-
сятков и с единиц. Это число можно представить в виде
многочлена: abc = 100а4-Ю6 4- с.
Например, 387 = 100 • 3 4- 10 • 8 4* 7.
Представьте в виде многочлена числа: тп, пт, хуг, abed.
599. Укажите старший член многочлена:
а) —5х 4- 0,001хя 4- 300xe4- 1; в) 3m2—4m—7;
б) 256 4- 48а — 5аэ 4- а4; г) 0,8у2 — у10 4- 1.
600. Найдите члены многочлена, имеющие наибольшую сте-
пень:
а) 2а46 4- а363 — За; г) а2 — аб — 624- а — 6;
б) 7а6с — За2 4* 6с — 2; д) х3 4* Зх2у — х2 — у',
в) x24-J/2— 2х — у 4-5; е) p44-4p3g — pzq2+3pq3—р2.
126
601, Какова степень многочлена:
а) 6х» + 8х3 • - 2х7 — 7; д) 8а2Ь 4- ЗаЬ2 — Ъ*;
б) 2х2 — Зх + 1; е) 0,2ps — psqs + 1;
в) х — 5; ж) х*у2 + у* — 2х« — Зху8;
Г) j/12 _ 1; з) а* — й8?
602. Составьте трехчлен с одной переменной:
а) второй степени; в) пятой степени;
б) третьей степени; г) десятой степени.
603. Составьте многочлен с двумя переменными:
а) третьей степени; в) седьмой степени;
б) четвертой степени; г) первой степени.
604. Приведите многочлен к стандартному виду и определите
его степень:
а) 10х8 — 9,2х8 + х2 — 0,8х8 + 2х — 1;
б) —3,5о5&2 I- 8о2 + 1,8а5Ь2 — 3 4- 1,7ft «а».
§14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНОГО-
ЧЛЕНОВ В МНОГОЧЛЕН СТАНДАРТНОГО ВИДА
35. Раскрытие скобок
Выражения (5а26 — 8а I I 62) + (Зйэ — 4а6),
2р3 — (8р — 3), ху (х— 5у + 3) и (т + п) (т2 — тп j- и2)
представляют собой сумму, разность и произведение многочле-
нов (или одночленов и многочленов). Такие выражения на-
зывают целыми алгебраическими выражениями. Многочлен тоже
целое выражение.
Основная задача тождественных преобразований целых
выражений состоит в приведении целого выражения к мно-
гочлену стандартного вида. Мы увидим в дальнейшем, что та-
кое преобразование всегда выполнимо.
В этом параграфе мы рассмотрим преобразование суммы и
разности многочленов в многочлен стандартного вида.
Пример 1. Пусть дана сумма многочленов:
(5х2 4- 7х — 8) + (х3 — Зх2 — 6х 4- 9).
Если перед скобками стоит знак *плюс*, то скобки можно
опустить, сохранив знак каждого из слагаемых суммы, заклю-
ченной в скобки.
На основании этого правила и правила приведения подоб-
ных членов выполним преобразование:
(5х2 4- 7х — 8) 4- (х3 — Зх2 — 6х 4- 9) =
= 5х2 4- 7х — 8 + х-' — Зх£ — 6х 4- 9 = x3-t-2x2 4- * + *•
127
Пример 2. Преобразуем многочлен в разность:
(10а3& — а2Ъ2 — 64) — (—За3Ь + ab3 — 5&4).
Если перед скобками стоит знак вминус», то скобки можно
опустить, изменив знак каждого из слагаемых суммы, заклю-
ченной в скобки:
(10а3Ь — а2Ь2 — Ь4) — (—3a3b + ab3 — 5Ь4) =
= 10а35 — а2Ь2 — Ь* + За3Ь — аб3 + 5&4 =
= 13а3Ь — a2b2 — ab3 + 4Ь*.
605. Приведите выражение к стандартному виду многочлена:
а) За2 — 5а + (1+5а — 2а2); в) 2,7р5—(4р3—2,3р5 +1);
б) х3 + 2х4+(—х3—2x4-5х); г).8п3—Зп2—(7—8п—2п2).
606. Упростите сумму многочленов:
а) (15а2Ь — 7аЪ2 — 6Ь3) + (2а3 — 12а2Ь + 7аЬ2);
б) (2,3х* + 5,1х2у2—у4) + (у4 — 7,2ху3 — 5,1х2у2 — 3,3х4).
607. Упростите разность многочленов:
а) (1,2х — 3,5у + 2) — (0,2х — 2,5у + 3);
б) (5х2 — 4х + 3) — (Зх2 + х + 2);
в) (7а2 + 9а — 8) — (6а2 + 9а — 7);
Г) (la2 — -ab — -Й — f — —а2 — -ab + -Ъ2\.
\8 9 8 ) \ 8 18 8 /
608. Решите уравнение:
а) (17 — 5х) — (Зх — 11) - 4;
б) 1 — (0,5х — 15,8) = 12,8 — 0,7х;
в) 10—(5х2— 13x4- 8) = (6х2 4- 8х — 1) — (11х24-19х—7);
г) 2у2 - 0,25 - (2у2 + у) — (1 - 60 = 0.
609. Найдите значение выражения:
а) (5,7а25—3,1аЬ + 8Ь3) — (6,9аЬ—2,За2Ь + 8Ь3),
если а = —2, Ъ = 5;
б) 5х2 — (Зху—7х2)4-(5ху — 12х2), если х = —0,25,
У = 0,4.
610. Докажите тождественное равенство выражений:
а) (х—у) 4- (у — 2) 4- (2 — х) и 0;
б) (а2 4- Ъ2 — с2) 4- (Ь2 4- с2 — а2) 4- (с2 4- а2 — Ь2) и
а2 4- Ь2 4- с2.
611. Найдите многочлен, после подстановки которого вместо
М следующее равенство становится тождеством:
а) М + (5х2 — 2ху) = 6х2 + Эху — у2;
б) М — (4аЬ — ЗЬ2) = а2 — 7аЬ + 8Ь2;
в) (25р2у — 13рд2 + р3) — М = 11р2« — 2р3;
г) М + (12с4 — 15с2 + 6) = 0.
128
612. Найдите многочлен стандартного вида, чтобы сумма его
и выражения х2 — 2ху 4- У2 — Sxz + z2 была тождест-
венно равна многочлену, не содержащему переменной х.
Сколько существует таких многочленов?
613. Найдите трехчлен стандартного вида, чтобы сумма его
и многочлена За2 4** Ь2 — 5аЪ 4- ас — с2 была тождест-
венно равна многочлену, не содержащему переменной а.
Почему эта задача имеет единственное решение?
614. Докажите, что значение выражения
( ® - 0,4x1/ - 1.5J/+1) - 1 ху + о.бх2')
не зависит от х.
615. Учащиеся решали задачу: «Найти значение выражения
(7а3 — 6а25 4- 5а&2 — 4&3) 4- (5а3 4- 7а2& 4- За&2 — 963) —
— (10а3 4- а2Ь 4- 8а&2 — 13&3)
при а = —0,25, Ь = —0,347».
Один из учащихся заявил, что в этой задаче есть лишние
данные. Прав ли он?
616. Докажите, что:
а) сумма трех последовательных целых чисел кратна 3;
б) сумма пяти последовательных целых чисел кратна 5;
в) сумма четырех последовательных целых чисел не
делится на 4;
г) сумма трех последовательных целых чисел, кратных 3,
кратна 9.
617. Каждое число вида аЬс представьте в виде многочлена и
упростите получившуюся сумму или разность:
a) abc 4- acb; б) ubc 4~ос; в) mnk — тп\ г) mnk — nkm.
618. Докажите, что:
а) сумма чисел ab и Ьа кратна 11;
б) разность чисел ab и Ьа кратна 9;
в) разность чисел abc и cba кратна 99;
г) сумма чисел abc, bca и cab кратна 37.
35. Расположенные многочлены
Члены многочлена 5а2 4* 9аъ — 7а* — а3 4~ 12 — а можно расположить п
любом порядке. Например, их можно расположить в порядке убывания показа-
телей переменной а:
9а' — 7а1 — а3 4* ба3 — а 4“ 12
или в порядке возрастания показателей переменной а:
12 — а 4- ба2 — а3 — 7а1 4- 9а\
В первом случае говорят, что многочлен расположен по убывающим сте-
пеням переменной а, во втором — что он расположен по возрастающим степе-
ням переменной а.
129
5 Заказ 220
Если многочлен содержит две (или более двух) переменные, то его также
в ряде случаев бывает легко расположить по возрастающим или убывающим
степеням какой-либо одной из переменных.
Например, многочлен 11а2х3 — 8а4х + 9х5 — а5 можно расположить по
убывающим степеням переменной х: 5хъ + По2*3 — 8а4х — а6.
Располагать многочлены по убывающим или возрастающим степеням ка-
кой-либо переменной бывает целесообразно при выполнении тождественных
преобразований целых выражений.
Выполняя преобразование суммы и разности расположенных многочленов
в многочлен, иногда бывает удобно запись вести «столбиком», записывая члены
одного многочлена под подобными им членами другого:
1) (5Ь4 + 7Ь3 — 11b2 — 8Ь 4- 9) + ( —3b4 + 6b3 + 16b2 — 7) +
+ ( —13b3 + b2 + 6b — 1) = 5b1 + 7b3 — 11b2 — 8b + 9 —
— 3b1 + 5b3 + 16b2 — 7 —
— 13b3 + b2 + 6b — 1 =
= 2b* — b3 + 6b2 — 2b + i;
2) (5a2 — lab — 9b2) — (14a2 + 8ab — 13b2) + (9a2 + 25ab — 2b2) =
= 5a2 — lab — 9b2 —
—14a2 — 8ab + 13b2 +
4- 9a2 4- 25ab — 2b2 =
= lOab 4- 2b2.
619. Расположите многочлен по убывающим степеням переменной у.
а) 2//3 4- 5 — 7{/4— у3 4- Зу2 — у5; в) 0,5ay24-aV — а4 4~ / — о? ух
1 2
б) 12у4 4- by7- — 22г/3 4- 10 4- ух Г) — xi/24- — У1 + Х^у3 — Ь5.
О I
620. Расположите многочлен сначала по убывающим степеням переменной х,
а затем по возрастающим степеням переменной у:
а) х3 — 4ху + 7х2у3 — 8х*^ — у® 4“ 3;
б) 1 — lOxi/3 4“ Звх3^1 — 13х2у 4“ бх4 4“ 9у2.
621. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) (7Х4 — вх3 4- 9х2 — 10х 4~ 11) — (бх4 — 2Х3 — 7х2 — Зх — 6) —
— (х4 — 2х2 — 7х 4- 17);
б) (5a3 — 4a2 — 7a + 10) — (За3 4- ба2 — 13а 4- 2) 4'
4- ( _аз 8а2 — 2а — 9) — (а3 — 7а2 + 12а — 1).
37. Заключение в скобки
Иногда бывает полезно часть членов многочлена (или все
его члены) объединить в группы, заключая их в скобки.
Тождества
а 4- (6 — с) = а 4- Ъ — с, а — (6 — с) = а — b 4- с
выражают правила раскрытия скобок, когда перед скобками
стоят знаки «плюс» или «минус». Если поменять местами ле-
вые и правые части этих тождеств, то получим:
а + b — с — а 4- (Ь — с); а — & 4~с = а — (Ь — с).
130
Можно заметить, что знаки членов многочлена, заключаемых
в скобки, не меняются, если перед скобками поставить знак
«плюс*, и меняются на противоположные, если перед скобками
поставить знак «минус*.
622. Представьте многочлен 10х3 — 5х2у + Qxyz 4- у3—10 в
виде суммы двух многочленов так, чтобы один из них
не содержал переменной у.
623. Многочлен 2а4 — За2Ъ — а3 + Ь3 представьте в виде
разности двучленов, в которой уменьшаемое не содер-
жит Ь.
624. Запишите многочлен в виде суммы каких-нибудь двух
многочленов:
а) За3х'— 5а2х2 + 9ах3 — 12х4;
б) 17а4 — 8а3у — 6а2у2 — ау3;
в) б4 — 1,2б3с — 10б2с2 + 7Ьс3 — 8с4;
г) Зу5 + 15y4z — 12y3z2 + 2yz4 — z3.
625. Представьте многочлен в виде разности каких-нибудь
многочленов:
а) 16аб — 12а4 + 13а3 + 8а2 — 9а + 1;
б) 13х® — 6х4 — 5х3 4- 7х2 4- 8х 4- 4.
626. Известно, что х = 5а2 — баб — б3, у = 4а2 4~ 2аб—Зб2
и z = 9а2 4~ 4аб. Подставьте эти многочлены вместо х,
у к г в данное ниже выражение. Упростите полученное
выражение: а) х 4- у 4~ z; б) х — у — г.
627. Представьте"трехчлен в виде суммы двух двучленов:
а) х24-6х4-1‘, б) с24-5с4-6; в) у2—Зу—7; г) р2—р—1.
628. Представьте трехчлен в виде разности двух двучленов:
а) х24-8х4-7; б) у24-у4-1; в) а2—2а4-3; г) б2—6—1.
§15. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА.
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
38. Преобразование произведения одночлена и многочлена
в многочлен стандартного вида
Распределительный закон умножения позволяет произве-
дение одночлена и многочлена представить в виде многочлена.
Например,
9п2р • (7п2 4- р2 — Зрп) =
— 9п2р • 7п2 4- 9п2р • р2 4- 9п2р • (—Зрп) =
= 63 п4р 4- 9п2р3 — 27п’р2.
Произведение одночлена и многочлена равно сумме произве-
дений этого одночлена и каждого члена многочлена.
131
629. Преобразуйте произведение в многочлен:
а) 2х3(х2 4- х — 1);
б) 4д2(563 — 3d2 4- 2);
в) —За41 — а2— 6а—б);
\ з )
Г) (у2-7у+6) . 2,бу;
ч 1 ,/2 о 3 . , 4.Л
д) — аЬ — а2---ад—Ъ2 ;
7 2 \3 4 5 /’
е) (— 2а3Ь3 4- — Ъ2с2 — 7ас •—abc2;
\ 4 ) 7
ж) — (х — 2х2 4- Зх3 — 4х4) • 5х5;
з) (2у3-Зу44-0,6у2—5) (- 1,5у2).
630. Представьте выражение в стандартном виде многочлена:
а) — 5х2(х4 — Зх2 4- 4) • 0,2х3;
б) 1,264с2(5дс — 10д2 4- с3) • (—Юдс2);
в) у3 — ± у (у2 — 5у — 7);
г) 6а1 — За3 (а2 + 2а — 1);
д) 5х (а — Зх 4- 1) — 4х (а — 4х — 3);
е) баб (ад — д2) — 7а2 (а2 — д2) 4- 5д2(а2 — ад).
631. Найдите значение выражения:
а) 5а (а — 4д) — 4д(д — 5а) при а = —0,6, д = —0,75;
б) х(х—у4-1)—у(у4-1—х) при х = —Д У =— i.
8 о
632. Докажите, что выражение:
а) 5 (4х2 — 2х 4- 1) — 2 (10х2 — 5х — 2,5)
тождественно равно 10;
б) —5(12х4у4 — Зх4у — 8) 4- 7,5х4у (8у3 — 2)
тождественно равно 40.
633. Докажите, что значение выражения:
а) а (2а 4- 1) — а2 (а + 2) 4- (о3 - а 4- 3)
не зависит от переменной а;
б) 4(с — 6) — с2(2 + Зс) 4- с (5с —4)4-Зе2 (с —1)
не зависит от переменной с.
634. Решите уравнение:
а) 5х (12х 4- 7) — 4х (15х — 11) = 30 4- 29х;
б) 24х — 6х (13х — 9) = —13 — 13х (6х — 1);
в) |(3x + D-|(z-l) = x-3;
г) 1,1 (15 — х) — 1,7 (9 — х) = х + 6.
Решите задачи (№ 635—644) с помощью уравнений.
635. Турист прошел расстояние АВ, равное 110 км, за 3 дня.
Во второй день пути он прошел на 5 км меньше, чем в
з
первый день, в третий день у расстояния, пройденно-
го за два первых дня. Сколько километров проходил ту-
рист за каждый день пути?
132
63G. Три бригады рабочих изготовили за смену 101 детали.
Первая бригада изготовила на 12 деталей меньше, чем
б
вторая, а третья — того количества деталей, которое
8
изготовили первая и вторая бригады. Сколько деталей
изготовила каждая бригада?
637. Два поля прямоугольной формы имеют площадь 6,8 га.
Длина первого поля 190 ж, длина второго поля 250 ж.
Найти площадь каждого поля, если известно, что шири-
на первого поля на 80 м больше ширины второго.
633. Площадь одного прямоугольника больше площади дру-
гого прямоугольника на 90 м2. Основание первого пря-
моугольника 65 ж, а основание второго 42 м. Найти
площадь каждого прямоугольника, если известно, что
высота первого меньше высоты второго прямоугольника
на 11 ж.
639. Куплено для пионерлагеря 250 кг риса и пшена. За 1 кг
ряса платили 75 коп., а за 1 кг пшена — 30 коп., причем
за весь купленный рис было уплачено на 9 руб. больше,
чем за все пшено. Сколько килограммов риса и сколько
килограммов пшена было куплено для пионерлагеря?
Сколько стоила вся покупка?
640. За 38 ж ткани двух сортов уплатили 104 руб. Сколько
ткани каждого сорта было куплено, если ткань первого
сорта стоила 3 руб. за метр, а ткань второго сорта —
2 руб. 50 коп. за метр?
641. Из М в N вышел пассажирский поезд, проходящий в час
66 км. Через 30 мин навстречу ему из N вышел курьер-
ский поезд», проходящий в час 92 км. Через сколько ча-
сов после выхода из N курьерский поезд встретится с
пассажирским, если расстояние MN равно 507 км?
642. Из А в В* выехал мотоциклист, проезжавший в час
48 км. Через 45 мин из В в А выехал другой мотоциклист,
скорость которого была 50 км!ч. Зная, что расстояние АВ
равно 330 хж, найти, на каком расстоянии от В мотоцик-
листы встретились.
643. Двузначное число оканчивается цифрой 3. Если сумму
его цифр умножить на 4, то получится число, записан-
ное теми же цифрами, что и первоначальное, но в обрат-
ном порядке. Найти двузначное число.
644. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если это чис-
ло умножить на 7 и из полученного произведения вы-
честь двузначное число, написанное теми же цифрами,
что и первоначальное, но в обратном порядке, то полу-
чится 387. Найти двузначное число.
645. Подставьте вместо звездочек такие одночлены, чтобы по-
лучилось тождество:
а) * • (4д2 — 7Ъ 4- 8) = 2863 — 49д2 + 566;
133
б) ♦ • (3f/2 + 8у — 7) = 36т/5 + ♦ —
в) * • (8л:2 — 10л: — *) = 24л:0 — ♦ — 45л:4;
г) 5а253 • (* — 952 + ♦) = 20а557 — ♦ + а*Ь9.
39. Вынесение общего множителя за скобки
В ряде случаев бывает полезно представить многочлен в
виде произведения двух или нескольких множителей.
Например, для нахождения значения многочлена а2 — ЗаЬ
при а — 106,45; b = 2,15 удобно, используя распределитель-
ный закон, записать этот многочлен в виде а(а — 35).
Теперь легко найти значение полученного выражения при
данных значениях переменных а и Ь:
а(а — 35) = 106,45 • (106,45 — 3 • 2,15) =
= 106,45 • (106,45 — 6,45) =- 106,45 • 100 = 10 645.
Представление многочлена в виде произведения двух или
нескольких многочленов (среди которых могут быть и одно-
члены) называется разложением многочлена на множители.
В многочлене 12а2Ь — 9Ь2 члены имеют общий множитель
35. Чтобы разложить этот многочлен на множители, предста-
вим каждый член многочлена в виде произведения двух мно-
жителей, один из которых 35, а затем применим распредели-
тельный закон:
12а25 — 952 = 35 • 4а2 — 35 • 35 = 35 (4а2 — 35).
Примененный нами способ разложения многочлена на
множители называют вынесением общего множителя за скобки.
В рассмотренном примере мы вынесли за скобки 35, но
можно было бы выполнить разложение на множители, вынося
за скобки 5; —5; —35; 65 и т. д. Например, если вынести за
скобки — 65, получим:
12а25 — 952- —65 (—2а2 + 1,55).
Обычно, если все коэффициенты многочлена — целые чис-
ла, то выносят за скобки множитель с коэффициентом, равным
наибольшему общему делителю модулей всех коэффициентов
многочлена (взятым со знаком «плюс» или «минус»). Одина-
ковые переменные, входящие во все члены, выносят с наи-
меньшим показателем, который они имеют в данном много-
члене.
Например, в многочлене 18а453 — 45а253 — 63а5в наи-
больший общий делитель модулей всех коэффициентов равен 9,
а переменные а и 5, входящие во все члены, имеют наименьшие
показатели, соответственно 1 и 3. Этот многочлен можно
представить в виде: 9а53(2а3 — 5а52 — 753) или в виде:
—9а53(—2а3 + 5а52 + 753).
134
646. Представьте каждый член многочлена в виде произведе-
ния, выделив общий для всех членов множитель; выне-
сите за скобки общий множитель и сделайте проверку:
а) 4а — 46; в) 7ах4-7х; д) я3—х2; ж) а2 — 2аЪ\
6)10x4-10; г) 22у—llxy; е)г/44-2г/2; з) 6а2Ь 4- 12а6.
647. Вынесите за скобки общий множитель:
а) 15а—206; д) 18хр—бх3; з) а3 — а2 4- а;
б) Зх Ьбх2; е) 10а—1564~15а6; и) 4х4 4-8х3 — 2х2;
в) 8у3—24г/2; ж) 9ау+6Ьу—Зг/; к) 14а3—21а26—7а6.
г) 35 62 — 4263;
648. Разложите на множители:
а) 6св — 15с3;
б) 12р18— 18у12;
в) 5а10 4~ 10а5;
г) х3у4-хУ;
д) 12а26 — 18а62— ЗОаб3;
е) 20х4 — 25х2у2 — 10х3;
ж) 6у*2—12г/4г24- 18г/323;
з) а2 6с 4~ а62с — а 6с2.
649. Найдите значение выражения:
а) Збх 4~ 35г/
б) 168х — 168г/
в) 3,28х — х2
г) а2у — а3
при х = 13,7,
при х — 2,34,
при х == 2,28;
при а = —3,5,
У = 6,3;
у = 1,84;
У = 6,5.
650. Решите уравнение, разложив на множители левую часть:
а) х2 — 17х = 0; в) 5г/2 4~ 55г/ = 0;
б) х2 4~ 8х = 0; г) 4у — 16г/2 = 0.
651. Докажите, что:
а) 487—48е делится на 47; r) 2574~ 513 делится на 30;
б) 2484~247 делится на 25; д) 55—544~53 делится на 21;
в) 523— 521 делится на 24; е) 764~75—74 делится на 77.
652. Укажите общий множитель для всех слагаемых суммы и
разложите на множители выражение:
а) 5а (х4-с)4-6 (х4-с); д) 12с (с—у) — 6г/ (с—у);
б) х (г/—1)—3 (г/-1); е)-35р(р4-8) — 42 (р 4-8);
в) у (а4-6)—2 (а4-6); ж) 6 (а 4-у)2 — 2а(а 4-£/);
г) (р—5)4-6 (р—с); з) 6х2(х—2)4- 2(х—2)2.
40. Доказательство тождественности выражений
Пусть надо доказать, что выражения
4а (21—76) и —28а (6 — 3)
тождественно равны. Эту задачу иногда формулируют иначе:
♦Доказать тождество 4а (21 — 76) = —28а (6 — 3)».
Задачи такого типа решаются с помощью тождественных
преобразований.
135
Доказать, что равенство 4а (21 — 7Ь) = —28а (Ь — 3) яв-
ляется тождеством, можно различными способами.
1-м способ. Преобразуем левую часть равенства к такому же
виду, какой имеет правая часть. Для этого из многочлена
21 — 7Ь, заключенного в скобки, вынесем за скобки —7:
4а (21 — 7Ь) = 4а • (—7) • (—3 4- Ь) - —28а (Ъ — 3).
Полученное выражение совпадает с правой частью исход-
ного равенства. Тождественность выражений доказана.
2-й способ. Преобразуем правую часть равенства к такому же
виду, какой имеет левая часть. Для этого представим множи-
тель —28а в виде произведения 4а • (—7) и умножим —7
на выражение b — 3, заключенное в скобки:
—28а (Ь — 3) = 4а • (—7) • (& — 3) = 4а • (—76 + 21) = .
== 4а • (21 — 7&).
Тождество доказано.
3-й способ. Заменим левую и правую части равенства тожде-
ственно равными им многочленами:
4а (21 — 7Ь) = 84а — 28аЬ;
—28а (Ь — 3) = —28а& + 84а = 84а — 28а&.
Левая и правая части исходного равенства тождественно
равны одному и тому же многочлену, поэтому они тождествен-
но равны между собой.
В каждом из рассмотренных способов доказательства мы
использовали важное свойство тождественно равных выраже-
ний:
Если два выражения тождественно равны одному и тому же
выражению, то они тождественно равны между собой.
При доказательстве тождества
4а (21 — 7Ъ) = —28а {Ь — 3)
все рассмотренные способы доказательства были одинаково
удобны. Так бывает далеко не всегда. Например, тождество
а (а + с) + с (Ъ — а) = а (а + &) — b (а — с)
не легко доказать преобразованием одной части равенства к
виду, которой имеет другая часть. Здесь удобнее преобразовать
каждую часть равенства в многочлен стандартного вида:
1) а (а + с) + с(Ь — а)=а2 + ас + be — ас = а2 + Ьс;
2) а (а + Ъ) — Ъ (а — с)~а2 -h ab — ab + be = a2 + be.
В результате преобразования каждой части равенства мы
получили один и тот же многочлен а2 -|- Ьс, следовательно,
тождество доказано.
13в
653. Докажите, что данное равенство является тождеством:
a) b — с + b (с — 1) = с (b — 1);
б) 2Ьх — а (х — Ь) = b (а 4- х) — х (а — d);
в) (—5а)3 * (2d)4 = — (10ad)3 • 2Ь;
г) (—0,125х4)4 • (—2х)15=(—2х2)3 • (х5)5;
д) 128 • 912 = 1816;
е) 7520 = 4510 • 530-
654. Докажите тождество
а (Ь — с) — — а (с — d).
655. Используя тождество а (Ь — с) — —а (с — Ь), разло-
жите на множители:
а) а (с — Ь) 4- d (b — с);
б) х (у — 5) — z/(5 — у)\
в) За (2х — 7) + 55 (7 — 2х);
г) Пр (Зр2 - 52) — 2q (р2 - Зр2);
д) 57? (Ь — с) + Зп (с — Ь) — т (Ь — с);
е) (а — 3d) — 2х (36 — а) + 4р (3d — а);
ж) (х — г/)2 — а (у — х);
з) (2а — 3d)2 -г с (3d — 2а).
656. Представьте в виде произведения двух многочленов вы-
ражение:
а) 5х (х — у) 4- (2х 4- у) (х — р);
б) (7а 4- 4d) (а — d) — ба (а — d);
в) lid (2d — Зс) + (10d -г с) (Зс — 2d);
г) (а — 3k) (п 4- 47г) + (3k — п) (2п — 7k).
657. Упростите выражение и найдите его значение:
а) х (d— с) +2 (с — d) при х=2, d = l,007, с=—0,006;
б) 2а (р — п) 4- (и — р) (а 4- d)
при а = 18,3, d — —31,7, р = 24,6, п = 10,6;
в) (х — у) (у 4- с) 4- у (у — х)
при х — 0,86, у = 0,26, с — 1,5.
658. Докажите тождество:
а) (х — 2d) (х2 — 5dx 4- d2) 4- (2d — х) (х2 — 6dx 4- d2) =
б) (а — Зс) (2а2 — 7ас — с2) — (Зс — а) (с2 4- 7ас — а2) =
= а2 (а — Зс).
659. Решите уравнение, разлагая левую часть на множители:
а) х (х—7) +3 (х—7)=0; в) (х+1) (х—2)—5 (х—2)=0;
6) У (у—9)—5 (9—j/)=0; г) 21 (х—6)+(х+5) (6—х)=0.
137
§16. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ
41. Подстановка
Из одного тождества можно получить сколько угодно дру-
гих тождеств, если всюду в тождестве какую-нибудь перемен-
ную заменить одним и тем же выражением.
Пример. В тождестве Зх (х — 5а) = Зх2 —15 ах переменная х
встречается 4 раза. Заменим всюду эту переменную каким-
либо выражением, например —7р:
3 • (—7р) • (—7р — 5а) = 3 (—7р)2 — 15а (—7р). (1)
Полученное равенство тоже является тождеством.
Для доказательства этого преобразуем отдельно его левую
и правую части:
3 (—7р) • (—7р — 5а) == —21р • (—7р—5а) = 147р24-105 ар;
3 (—7р)2 — 15а • (—7р)=3 • 49р2 + 105 ар =147р2 + 105 ар.
Следовательно, равенство (1) — тождество.
Обычно, заменяя какую-либо переменную выражением,
говорят, что выполнена подстановка. В нашем примере вместо
х было подставлено выражение — 7р.
Иногда в тождественных преобразованиях и при решении
уравнений оказывается полезной замена одинаковых выраже-
ний какой-либо переменной.
Пусть, например, нужно доказать тождество:
(а — 2х)2 — (а — 2х) (а — 2х — Ь) = Ъ (а — 2х). (2)
Введем подстановку: а — 2х = р, тогда данное равенство
(2) запишется в виде:
У2 — У {У — Ь) = др. (3)
Преобразуем левую часть равенства:
У2 — У (У — Ь) = У2 — У2 + by = by.
Мы доказали, что равенство (3) — тождество, значит, и
равенство (2) является тождеством.
660. В тождество а (Ь + с) = ab + ас вместо переменной b
подставьте т + п, а вместо переменной с — выражение
т — п. Убедитесь, что полученное равенство — тожде-
ство.
661. Докажите: а (Ъ — с) 4- b (с — а) = с (Ь — а).
138
Подставьте в это тождество вместо переменной Ь выра-
жение у + 1, а вместо с — выражение 2а.
662. Используя подстановку а 4" 2 = х, докажите, что ра-
венство (а+2) (о+2—у) 4* у (а+2-j-i/)=(a-j-2)2-{-y2 есть
тождество.
663. Используя подстановку х — 3 == t, докажите тождест-
I во: (х — 3) (х — 3 + 6) — Ъг = (х—З)2 + Ь (х—3—6).
Г
!
' 42. Преобразование произведения двух многочленов
в многочлен стандартного вида
Пусть дано произведение двух многочленов: (а4-&) (c~W).
Попытаемся представить его как многочлен стандартного
И вида.
Обозначим выражение а 4* b буквой х, тогда выражение
(о + Ь) (с + d) примет вид х (с 4* d).
। Раскрыв скобки, получим тождество:
х (с + d) = хс + xd. (1)
Подстановка в тождество (1) вместо переменной х, выраже-
► кия а 4~ b приводит к новому тождеству:
(а 4- Ъ) (с + d) = (а + д) с + (о + Ь) d. (2)
Раскрывая скобки в правой части равенства, получаем
многочлен, тождественно равный произведению (о + &) (с4- d):
(а 4- Ь) (с 4- <0 = ас 4- Ьс 4- ad 4- bd. (3)
Произведение двух многочленов равно сумме произведений
каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Можно полученный результат сформулировать иначе:
Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каж
дый член одного многочлена умножить на каждый член другого
Мы установили это правило,
рассматривая произведение двух
двучленов. Можно и “казать, что
правило остается в силе для
двух многочленов с любым чис-
лом членов в каждом.
На рисунке 96 дана геометри-
ческая иллюстрация тождества
(о 4- Ъ) (с 4- d) =
= ас 4- Ьс 4- ad 4- bd.
Рис. 96.
Л 30
G64. Подставьте в тождество (а 4~ b) (с + d) = ас 4- Ьс +
+ ad + bd вместо переменных указанные выражения
и полученный в правой части многочлен приведите
к стандартному виду:
а) а — 2х, Ъ = —р, с — 5, d = —3;
б) а = Зг, 6 = —8, с = —г, d = 1.
665. Представьте в виде многочлена:
а) (х 4- 2) (х 4- 3); в) (х — 8) (х — 1);
б) (х -Ь 5) (х + 4); г) (х + 4) (х — 7).
666. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) (5х2 — 4х) (х 4- 1); д) (а2 — 2а + 3) (а — 4);
б) (4а3 — За2) (а — 2); е) (2х2 — Зх — 1) (ох + 2);
в) (7р2—2р) (8р—5); ж) (4п2—6?гр4-9р2) (2а +3р);
г) (Ш4—9J2) (Зг—2); з) (25x24~10xp4~4p2)(5x — 2у).
667. Квадрат выражения представьте в виде произведения,
затем раскройте скобки:
а) (х + р)2; б) (с - р)2; в) (За - 56)2.
668. Упростите выражение:
а) (36—2) (5—26)4~662; в) 563—(а24- 56) (ab—62);
б) (7р—4) (2р4~3)—13р; г) х3-(х2 - Зх) (х + 3);
Д) (а2 - 7) (а + 2) - (2а -1) (а - 14);
е) (2 — 6) (1 + 26) + (1 + 6) (62 — 36).
669. Найдите значение выражения:
а) (а — 26) (2а + 6) — 2а2 при а = 8, 6 = — 12;
б) (р — Зх) (р + 2х) — р (р— х) при р =2,713, х =— i ;
в) (х2 — 6х + 262) (х — 6) — (х2 + 26х—62) (х+26)
- 1 . ..1
при х = —1—, 6 = —1—;
г) (а2 4- 4ах + х2) (а — 2х) — (а + х) (а2 — бах—2х2)
при а — — 1—, х = 0,27.
9
670. Решите уравнение:
а) 6х2 — (2х — 3) (Зх + 2) = 2;
б) (10х 4- 9) х — (5х — 1) (2х 4- 3) = 8;
в) (Зр 4- 1) (8р - 1) - (4р - 1) (6р - 3) = 111;
г) (4х — 7) (Зх — 5) = (12х — 11) (х — 1) — 30.
671. Докажите, что значение выражения:
а) (х — 3) (х 4~ 7) — (х 4- 5) (х — 1) не зависит от пе-
ременной х;
б) k* — (62 — 1) (Л2 4- 1) не зависит от переменной k,
672. Упростите:
а) сумму выражений:
х3 4- 5х2 4- 8 и (х2 — 6х 4- 4) (х — 1);
б) разность выражений:
(а2 4~ 7а — 4) (а — 3) и а8 + 4а2 — 29а 4~ 11.
140
673. Докажите:
а) если а и Ъ — натуральные числа, дающие при деле-
нии на 9 в остатках соответственно 7 и 4, то их произве-
дение при делении на 9 дает в остатке 1;
б) если х и у — натуральные числа, дающие при деле-
нии на 12 в остатках соответственно 4 и 9, то их произ-
ведение делится на 12.
674. Докажите,что значение выражения:
а) п (и + 5) — (п — 3) (п + 2)
при всех целых значениях п делится на 6;
б) (п — 1) (га 4- 1) — (п — 7) (и — 5)
при всех нечетных значениях п делится на 24.
675. Докажите, что значение выражения:
а) (2х — 1) (х2 4-х — 3) при любых х меньше соответ-
ствующего значения выражения (х 4~ 3) (2х2 — 5х 4~ 8);
б) (у2 — 1) (у4 4-у2 4- 1) при любых у больше соответ-
ствующего значения выражения (у3 — 2) (у3 4~ 2).
Решите задачи с помощью уравнений.
676. Найдите четыре последовательных натуральных числа,
если известно, что разность между произведением двух
больших чисел и произведением остальных двух чисел
равна 58.
677. Найдите три последовательных четных числа, если из-
вестно, что разность между произведением двух боль-
ших чисел и квадратом третьего числа равна 188.
678. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину пря-
моугольника увеличить па 10 см, а ширину уменьшить
на 6 см, то площадь прямоугольника уменьшится на
32 см2. Найдите площадь прямоугольника.
679. Два прямоугольника имеют периметры по 122 см. Ос-
нование первого прямоугольника больше основания вто-
рого на 5 см, а площадь второго прямоугольника на
120 см2 больше площади первого. Найдите площадь
каждого прямоугольника.
43. Произведение расположенных многочленов
Преобразуем произведение многочленов бх3 4" 2х — 3 — х2 и 2 + 4х2 — х
в многочлен стандартного вида.
Сумма произведений каждого члена первого многочлена с каждым членом
второго содержит 12 членов, среди которых есть подобные. Расположив каждый
из данных многочленов по убывающим степеням переменной х, выполним преоб-
разование:
(бх3 — х2 -Ь 2х — 3) (4х2 — х 4- 2) =
= 20Х5 — 4х* 4" вх3 — 12х2 —
— бх4 4-х3 — 2х2 4- Зх +
4" Юх3 — 2х3 + 4х — 6 =*
= 20х* — 9х* 4- 19х3 — 16х2 4“ 7х — 6.
141*
680. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:
а) (Зу 2 - бу - 1) (—2у + 5); I в) (0,6/ — 2/ + 6) (Зу + 2);
б) (с6 — 7с6 4- 2с’) (с — 3); \ г) (1,2х1 — бх2 — 5) ( — 5ж2 — 1).
44. Разложение многочлена на множители способом
группировки
Представим произведение (а—2) (6 4-3) в виде многочлена:
(а — 2) (6 + 3) = ab — 26 4- За — 6.
Поменяв местами левую и правую части тождества, полу-
чим:
ab — 2Ъ + За — 6 = (а — 2) (6 4- 3).
Из этого тождества видно, что многочлен ab — 2Ь + За —6
может быть разложен на два множителя.
В этом примере нам заранее были известны оба множителя.
Можно ли указать способ разложения многочлена на множи-
тели, если множители неизвестны?
Пусть дан многочлен ах + 2ау — 5х — 10у. Представим
его в виде суммы двух двучленов:
ах 4- 2ау—5х—10у = (ах — 5х)+(2ау—10у).
Вынося в первом двучлене за скобки х, а во втором 2yt
получим:
(ах — 5х) + (2ау — 10у) = х (а — 5) + 2у (а — 5).
Нам удалось представить многочлен в виде суммы двух
слагаемых, имеющих общий множитель а — 5.
Вынесем за скобки множитель а — 5:
х (а — 5) 4- 2у (а — 5) =- (а — 5) (х + 2у).
Получаем тождество:
ах + 2<п/ — 5х — 10у = (а — 5) (х 4- 2у).
Мы разложили данный многочлен на множители.
Тот же многочлен можно разложить на множители, груп-
пируя его члены иначе:
ах 4- 2аг/ — 5х — 10у = (ах 4- Зау) + ( —5х — 10у) =
— а (х 4- 2у) — 5 (х 4- 2у) = (х 4- 2у) (а — 5).
Рассмотрим еще один пример.
Разложить на множители многочлен
а2 4~ 86 — Зас 4- 2а6 — 12с 4- 4а.
Этот многочлен можно представить в виде суммы двух
трехчленов или в виде суммы трех двучленов, причем члены
можно группировать различными способами.
Представим, например, данный многочлен в виде следую-
щей суммы:
143
a2 4- 85 — 3ac 4- 2ab — 12c + 4a —
= (a2 4- 4a) 4- (2ab + 8b) + (—Zac — 12c).
Вынося за скобки общие для каждой группы множители,
получим:
(а2 + 4а) + (2ab + 8Ь) + (—Зас — 12с) =
- а (а + 4) + 2Ь (а + 4) — Зс (а 4- 4).
Нам удалось представить многочлен в виде суммы трех сла-
гаемых с общим множителем a 4- 4. Вынесем этот множитель
за скобки. Получим произведение двух многочленов:
о (а 4- 4) 4- 2b (а 4- 4) — Зс (о 4- 4) =
= (а 4- 4) (а 4- 2Ь — Зс).
Не всякая группировка членов многочлена может приве-
сти к цели. Например, если в том же многочлене сгруппиро-
вать члены так:
о2 4- 8Ь — Зас -г 2аЬ — 12с 4- 4a = (a2 + 2ab) 4-
4- (8b — 12c) 4- (4a — 3ac) = a (a 4~ 2&) 4~
4- 4 (2b — 3c) 4- a (4 — 3c),
то получатся слагаемые, не содержащие общего множителя,
поэтому такая группировка не приводит к решению задачи.
Существуют многочлены, которые вообще нельзя предста-
вить в виде произведения двух многочленов, степень которых
не меньше 1. Примером такого многочлена является двучлен
х2 4- 1.
681. Разложите на множители выражение:
а) а (Ь 4- с) 4- 3 (Ь 4- с);
б) 5 (х — у) — у (х — у);
в) у (а — с) 4~ 5a — 5с;
г) 2 (с — d) 4г с — d;
\Л) а (Р4-С) — р — q;
е) п (с 4- р)4~с4-р;
ж) kx 4- by — п (х 4-г/);
Vs) t (s—и) — ks 4 ku.
682. Представьте многочлен в виде произведения двучленов:
а) тх 4- ту 4- Юх 4- 10у;
б) 9х 4- 9у 4- ах 4- ау;
в) 7a — 7 b + an — bn;
г) ас 4- be — 2а — 2b;
д) a2 — ab — 8a 4- 8b;
_e) llx4-lli/—x2—xy;
ж) x24~ax—a2y—axy;
з) a2n — anx 4- x2—ax;
ji) 5a8c+10a2—8b c—6a be2;
jc) 8xy8—24y2—7ax{/4*21a.
683. Представьте многочлен в виде произведения двучлена
и трехчлена:
а) ап2 4- сп2 — ар 4- ар2 — ср 4- ср2;
б) ах2 4- ау2 — Ьх2 — by2 4-5 — а;
в) ху2 — by2 — ах 4- ab 4- у2 — а;
г) ас2 — ad — be2 4- cd 4- bd — с3.
684. Найдите значение выражения:
а) 13,5 • 5,8 — 8,3 • 4,2 — 5,8 • 8,3 + 4,2 • 13,5;
б) 31 • 82 + 125 • 48 + 31 • 43 — 125 • 67.
685. Докажите тождество: !
а) 5х3 — 2х2 4~ 5х — 2 = (х2 4- 1) (5х — 2);
Д) (2аЪ — Зс) (Зас — 2b) — Qa2bc — 9ас2 — 4аЬ2 4- 65с;
в) 5 (а 4 Ъ)2 — 4а2 — 4аЬ = (а 4~ Ь) (а 4~ 56);
г) 3 (х — 7)2 4- 8х — 56 = (х — 7) (Зх — 13).
686. Найдите значение выражения, предварительно разложив
его на множители:
а) а2Ь — Ъ 4- ab2 — а при а = — 1—, Ъ — — —;
8 13
б) pV 4- pq — q3 — р3 при р = —1,5, q = — 0,75;
в) 2а 4- ас2 — а2с — 2с при а --с — — &i;
' 21 4
г) Зх3 — 2р3 — 6xV 4- ху при х = у = —0,5.
«5
§17. ТОЖДЕСТВА СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
45. Преобразование выражения вида (а — Ъ)(а-[-Ь)
в многочлен
В этом параграфе мы рассмотрим преобразование в много-
член квадратов и кубов двучленов, а также некоторых других
часто встречающихся выражений. Соответствующие тождества
называют тождествами сокращенного умножения или форму-
лами сокращенного умножения.
Представим в виде многочлена произведение разности
двух переменных и их суммы:
(а — Ъ) (а 4- Ъ) — а2 — ab Ь ab — Ь2 = а2 — Ъ2.
Мы получили тождество
(а - Ь) (а + b) = а2 - b2. (1)
Очевидно, что из тождества (а — Ь) (а 4- Ь) = а2 — Ъ2
можно получить сколько угодно новых тождеств, если под-
ставлять вместо а и & различные выражения.
Пусть, например, а — 5х2р5, а & = 7; подставляя в тож-
дество (1) вместо а и & выражения 5х2у5 и 7, получим:
(5xV—7) (5xV 4- 7) = (5xV)2 — 72 == 25х4/° — 49.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно
разности квадратов этих выражений.
144
687.
Представьте произведение в виде разности квадратов
двух выражений: а) {х — 3) (х + 3); е) [100 — j (10° + J
б) (2а — 5) (2а + 5); ж) (а3- -2) (а3 + 2);
в) (Зр + 7) (Зр - 7); з) (Зад: 2 — с3) (Заб2 + с3);
г) (86 + с) (86 — с); (и) (ау2 + бх2) (бх2—ар2);
д) (0,8х — 1) (0,Зх + 1); к) (8а3 + Зб3) (363—8а3).
Преобразуйте выражение в двучлен:
683.
а) (4 — х) (4 + х);
б) (9 — 2ху) (2ху + 9);
в) (0,7а + Ь) (0,7а — £>);
д) (0,Зху — г) (0,Зху 4- 2);
з) (12&2 — а) (12д2 4- а).
689.
690.
. / , 2 , \ /2 , \
г) а 4— & I — Ь — а ;
\ з / \з /
Приведите выражение к стандартному виду многочлена:
а) (2а2 4- &) (2а2 — &);
б) (10х3 4- 1) (х3 — 10);
в) (0,2ах4 4- 1) (0,2ах4 — 1);
Д) (с10 -3) (с« 4-3);
е) (хв 4- у10) (х6 — у10);
ж) (2у4-а8) (а8 — У2);
Используя тождество (1), выполните устные вычисления
по следующему образцу:
68 • 72 -(70—2) (704-2) =702—22=4900—4=4896.
а) 37 • 43; б) 54 • 46; в) 92 • 88; г) 201 • 199.
691.
692.
Представьте выражение
виде:
а) х (& 4- с) (6 - с);
б) (у — 8) • 2 • (у 4- 8);
Представьте, если воз-
можно, произведение в
виде разности квадра-
тов:
а) а2 (х—у) (х 4- у);
б) 49 (а 4- 1) (1—а);
в) а (6—с) (ад 4- ас);
г) х3 (х—1) (х2 4- х);
д) (p-1)(p + W 4-1);
е)-(у4-3)(у -3)(у2 4- 9);
ж) (а4-&+1) (а 4~ Ь — 1);
з) (х—у 4-2) (х 4-у 4-2);
и) (1+х4-у) (1— х — у}\
к) (а—Ь4-с) (а4-д — с)-
в стандартном для многочлена
в) (Зх 4- 15) (х — 5);
г) (у 4- 4) {у - 4) (у24-16).
Рис. 97.
145
693. Сравните площади квадрата и прямоугольника, если
известно, что основание прямоугольника на 10 см боль-
ше, а его высота на 10 см меньше стороны квадрата.
694. Сравнив площади фигур AKFG и ABLMED (рис. 97),
покажите, что:
(а — Ъ) (а + Ь) = а2 — Ь2.
43. Разложение на множители разности квадратов
двух выражений
Поменяем в тождестве (1) местами правую и левую части:
а2 — Ь2 = (а — 5) (а + Ъ).
В таком виде это тождество удобно применять для разло-
жения на множители разности квадратов двух выражений.
Пример 1. Разложить на множители двучлен 49 х2 — 16/.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов
выражений, а затем применим тождество
О2 _ Ъ2 = (а _ (а £).
49х2 — 16/ = (7х)2 — (4/)2 = (7х — 4i/3) (7х + 4/).
Пример 2. Найти значение выражения 9922— 64.
9922—64= 9922—82 = (992—8) (992+8) = 984 • 1000 = 984 000.
695. Запишите в виде произведения суммы и разности:
а) х2 — у2; д) 100 — а4; з) 0,01а2 — —;
9
б) 4 — р2; е) Slc2d2 — 100а2;
в) а2Ь2 — с2; и) 0,646е— 0,25;
г) 25с2 — 9; ж) 121х4 — 49/; к) 1,44/° — 0,01.
696. Найдите значение выражения:
а) 472 - 372; г) 1262 - 742; ж) /5 _2 \2_ / ш
6) 532 — 632; д) 21,32 — 21,22; ‘ \ 3/’
3) 17 — I _12 -—Г
fc) 872 — 132; е) 50,72 — 50,62; > \ н) f ц/ •
697. Сократите дробь:
53а — 2721
792 — 51а ’
698. Разложите на множители:
а) а100— 4; б) х8е — 9; в) 52я— 49;
1012—312
1392—29а
г) 100с2 — 4я
146
699. Представьте выражение в виде произведения:
а) (х + З)2 — 1; в) 9 — (4а—2)2; д) 81—(5у — 6)2;
б) 64— (Ь + I)3; г) 25 — (а+7)2; е) (х4 — х2)2 — 36.
700. Представьте в виде произведения трех множителей:
а) х3 — х;
б) а2у — у3;
в) а4 — 1;
г) 16 — Ь4;
д) а2 (5 — 1) — b + 1;
се) b (х2 — 4) 4- 4 — х2;
£ж) 9а3 — 9а25 — а + Ь;
£3) у3 — 5у2 — 16у + 80.
701. Приведите уравнение к виду (х + а) (х — а) = 0 и най-
дите его корни:
а) х2 — 1 = 0; б) 9 — х2 = 0.
702. Решите уравнение:
а) 4х2 — 81 = 0; в) 16у3 + 25у == 0;
б) 4х2 -г 81 = 0; г) 16у3 — 25у = 0.
703. Разложите на множители многочлены:
а) х2 — у2 + х — у;
б) х2 — у2 — х — у;
в) 4а2 — 2а + b — Ь2\
г) о2 + о -Ь 26 — 4&2; з)
д) а2Ъ 4- аЪ2 — а — а2*
е) Ъ2с2 — 4Ьс — 205 —25Ь2;
ж) 81х2—9х —10у — 100у2;
16n2 — 20n4-35fe —49Л2.
704. Вычислите наиболее прос-
тым способом:
а) 19,72—8,324-28-8,6;
б) 46,92—23,72—
— 70,6 • 13,2.
705. Докажите, что при любом
целом п значение выраже-
ния:
a) (4n + I)2 — (п + 4)2
делится на 15;
б) (4,5п + 8)2—(2,5п 4- 6)2
делится на 28.
706. На рисунке 98 изображен
график функции
у = — х3 4- — х2 — 4х — 4.
4 4
147
С помощью графика:
а) решите уравнение —х3 + —х2 — 4х — 4 — С;
4 4
б) решите неравенства:
1) -х^ + -хг — 4х — 4 >0; 2) -х3 4-1х2 — 4х — 4 < 0.
4 4 4 4
Разлагая на множители левую часть уравнения
—х3 + —х2 — 4х — 4 =0, найдите его корни. Сов-
4 4
падает ли найденное множество корней с тем, которое
вы получили при рассмотрении графика функции
у = —х3 + —х2 — 4х — 4?
4 4
47. Преобразование квадрата двучлена в многочлен.
Обратное преобразование
Квадрат двучлена а + Ъ можно представить в виде
(а + Ь)2 = (а 4- Ъ) (а + д).
Заменив произведение (а + Ь) (а + Ъ) тождественно рав-
ным ему многочленом, будем иметь.
(а+Ь)2 = (а + Ь) (а + Ь) = a2+ab+ab + b2 = a2+2ab + d2.
Получили тождество
(а 4- 6)2 = а2 4- 2аЬ 4- Ь2. (2)
Квадрат двучлена равен сумме трех выражений: квадрата
первого члена, удвоенного произведения первого члена на второй
и квадрата второго члена.
Тождество (2), называемое обычно формулой квадрата
двучлена, дает возможность представить в виде многочлена
квадрат суммы двух любых целых выражений.
Пример 1. Выражение (8х 4- Зу)2 есть квадрат суммы двух
выражений 8х и Зу. Применив тождество (2), получим:
(8х 4- Зу)2 = (8х)24-2-8х-Зу 4- (Зу)2 = 64х24-48ху + 9у2.
Пример 2. Выражение (10а—7&2)2 есть квадрат суммы выра-
жений 10а и —7&2. По тождеству (2):
(10а—7д2)2 = (10а)24-210а (—7д2) 4- ( —7&2)2 =
= 100а2 — 140ад2 4- 49д4.
Пример 3. Выражение (а 4~ Ь 4* с)2 можно рассматривать как квадрат суммы
выражений а 4° Ь и с:
(fl 4- Ъ -Ь с)3 == ((а 4- Ь) + с)2.
Применяя формулу квадрата двучлена к последнему выражению, получим:
((а + Ь) + с)2 = (а 4- 03 4- 2 (« 4~ Ь) с + с2.
148
Вторично применим формулу квадрата двучлена и раскроем скобки:
(а 4- 6)3 + 2 (а 4- Ь) с 4“ = а3 4~ 2аЬ 4- 63 4* 2ас 4“ 26с 4“ с3.
Мы вывели формулу квадрата трехчлена:
(а 4" Ь 4" с)3 = а3 4“ Ь2 4“ с3 4" 2а6 4“ 2ас 4“ 26с.
Аналогично можно вывести формулу квадрата многочлена с любым чис~
лом членов.
707. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена:
а) (х + Ю)2;
б) (9- 5)2;
в) (2а 4 - с)2;
г) (2с 4- Зр)2
д) (у 2 4 -1)2;
ж) (3 — 5п)2;
з) (а — 0,5а5)2;
и) ( —х2 4- 2ху)2;
ч / 1 к к \2
к) ab — Ьс ;
\ 2 /
Л) (а5 - 52)2;
м) (5у3 + 4х2)2.
Рис. 99.
708. Поясните с помощью рисунка 99 тождество.
(а 4- 5)2 = а2 4- 2а5 4- Ъ\
709. Раскройте скобки:
а) (0,5а — 0,65)2;
б) (12х2 4- 0,4у)2;
в) ( —9а3 — 6а2)2;
г) (— а5------ a53V;
д) (0,1р3 - 10г2)2;
е) (х 4- 5х3)2;
ж) (0.8Y2 — 502;
з) ( —0,75а1 4- 455)2.
710. Представьте выражение в виде многочлена:
а) 4 (5а 4- I)2;
б) -3 (2у - 5)2;
в) (х 4- 2у) (ху 4- 2у2);
г) (2а — 35) (20а — 305);
д) (Зр - 5)2 (Зр + Л)2;
е) (4х — 5)2 (5 4- 4х)2.
711. Представьте в виде многочлена:
а) (Зх 4- 2у)2 4- (Зх - 2у)2;
б) (а 4- 55)2 — (а — 35)2;
в) 2 (4х — 7)2 — (5х—9)2;
г) (8у + 5)2 - 3 (4у - I)2.
712. Представьте, если возможно, в виде квадрата двучлена:
а) х2 4- 2ху 4- у2\
б) с2 — 2cd 4- d2;
в) а2 4- 6а5 4- 952;
г) х2 — Юху + 100у2;
д) 4а2 — 28а5 4- 4952;
е) 2552 4- 205 4- 4;
149
ж) ~с2 — су 4- у2; и) х4 + 18х2у 4- 81у2;
з) 49а2 + 42ad + 36d2; к) а4 — 4а8 + 4а2.
713. Найдите значение выражения:
а) (20 + I)2; д) 1022; и) 192 + 2 • 19 • 21 + 212;
б) (30 — I)2; е) 982;
в) 712; ж) 2012; к) 1072 — 2-107-67 +672.
г) 692; з) 9992;
714. Докажите тождество:
а) (х — у)2 = (у — х)2;
б) ( -р - я)2 = (р + я)2;
в) а2 + Ь2 =.(а + d)2 — 2ad;
г) (а + Ь)2 + (а — d)2 = 2 (а2 + Ь2);
Д) (х + у)2 — (х — у)2 = 4ху;
е) (2тп)2 + (т2 — п2)2 = (тп2 4- п2)2;
ж) (а + Ь)2 — 2 (а + d) (а — Ь) 4- (о — Ь)2 = 4d2;
з) (х — I)2 4- 2 (х 4- 1) (х — 1) 4- (х 4- I)2 = 4х2.
715. Найдите значение выражения:
а) (4г/ 4- За)2—(8г/—а) (2г/—9а) при а=— i, г/=0,54;
б) (Зр-4?)24-(4р4-Зя)2 при р—— 0,12, q = 0,16;
в) (Зх— 2d) (Зх 4- 2d) 4- (х — 3d)2 — (5х — d) (2х—5d)
при х = 0,125, d = —;
г) (5а 4- 6) (6а 4- 4) — (4а4-7)2— (За—5) (За 4- б)
1 3
при а = — 1—
716. Решите уравнение:
а) (6х—1)2—4 (3x4-2) (Зх—2) ——7;
б) (10х — З)2 = 4 (5х — 1) (5х 4- 1) — 7.
71Х. При каком значении т можно представить в виде квад-
рата двучлена выражение:
а) 25х2 4- ЗОх 4- в) 64р2 — mpq 4- 9я2;
б) ту2 — 72г/ 4- 81; г) 100а2 4~ тпаЪ 4~ 49d2?
718. Найдите такие значения т, при которых может быть
представлено в виде квадрата двучлена выражение:
а) (Зх — 5)2 4- (4х 4- 12)2 4- тх;
б) (17х 4- Ю)2 — (15х — 8)2 4- тх.
Решите задачи посредством состав-
ления уравнений.
719. Если сторону квадрата уменьшить
на 4 л, то его площадь уменьшится
на 96 м2. Найти сторону квадрата.
Рис. 100.
720. На двух сторонах прямоугольника
(рис. 100) построены квадраты. Пло-
160
щадь одного квадрата на 95 см2 больше площади дру-
гого квадрата. Найти периметр прямоугольника, если
длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.
721. Сумма двух чисел равна 30, а разность их квадратов
равна 120. Найти оба числа.
722. Разность двух чисел равна 2, а разность их квадратов
равна 100. Найти оба числа.
723. Докажите следующие теоремы:
а) Если натуральное число при делении на 11 дает в ос-
татке 4, то его квадрат при делении на 11 дает в остатке 5.
б) Если натуральное число при делении на 9 дает в ос-
татке 3, то его квадрат кратен 9.
724. Представьте многочлен в виде суммы квадратов двух
выражений:
а) х2+д2+2д+1; в) а2+2а + 1+9;
б) 4z/a—4[/+1+р2; г) Ь2_6& до.
725. Представьте многочлен в виде разности квадратов двух
выражений:
а) у*—2у—z2 + l; г) у*—2у—z2+2zu + l—и2;
б) х2—с2+6с—9; д) а2-гЮа -г 24;
в) а2+2аЪ—с2+12с + Ьа—36; е) 4р2—12р + 5.
726. Разложите на множители выражение:
а) (4+с2)2—16с2; в) 144а2 — (4а2+9)2;
б) (х2+9)2—36х2; г) 400х2 — (25х2+4)2.
727. Представьте многочлен в виде произведения:
а) х2—2ху+у2—25;
б) д2+6д+9—16с2;
в) 4а2—4а+1— х2;
г) у2 — а2—10а — 25;
д) 1 — х2—8ху—16у2;
е) 25—а2—4Ь2 + 4ад.
728. Докажите, что если х + b = 1, то
4д2 — (х2 — Ъ- — I)2 равно нулю.
729. Решите уравнения:
а) (2х — I)2 — 36 = 0; в) х2 + 2х + 1 = 100;
б) (5 — Зх)2 — 81 = 0; г) 4х2 — 12х + 9 = 49.
730. Имеет ли уравнение хотя бы один корень:
а) (х + 7)2-|- (х+ 3)2= 0; б) (х — 2)2+ (2х — 4)2 = 0?
48. Преобразование куба двучлена в многочлен.
Обратное преобразование
Куб двучлена а + b представим в виде многочлена:
(а + д)3 = (а + д) (а + Ь)2 = (а + Ъ) (а2 + 2ад + д2) =.
= а3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + д3 =
= а3 + За2д + Зад2 + д3.
151
Получили тождество
(a4-d)3=a3 4- За2& 4- 3ad2 4- d3. (3)
Куб двучлена равен сумме четырех выражений: куба первого
члена, утроенного произведения квадрата первого члена на вто-
рой, утроенного произведения первого члена на квадрат второго
и куба второго члена.
Тождество (3) будем называть формулой куба двучлена,
С помощью этой формулы можно представить в виде много-
члена куб суммы двух любых целых выражений.
Пример 1. Выражение (х2 + 5)3 есть куб суммы двух выраже-
ний: х2 и 5. По тождеству (3)
(х24~5)3 —(х2)3+3 • (х2)3 • 54-Зх2 • 524~53=-
= Xе + 15х4 + 75х2 + 125.
Пример 2. Выражение (х — 2р4)3 есть куб суммы выражений
х и —2г/4. Используя тождество (3), получим:
(х—2р4)3 = Х34-Зх2 • (—2z/4)+3x • (—2z/4)2+(—2z/4)3 =
— х3 — 6x2i/4 + 12xi/8— 8z/12.
1 V
- а| :
з /
л) (За2
731. Представьте в виде многочлена:
а) (х + р)3; е) (2г - З)3;
б) (р - р)3; ж) (3d — 5)3;
в) (а 4- 10)3; з) (—а2 — 4х)3;
г) (4 - d)3; и) (ба2 4- ad)3; м) / Л3
д) (ab 4~ I)3; к) (Юг/10 — 3z3)3; Ц 3^2/-
732. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) (х+у)3—х (х—у)2; в) (а2 + I)3 + (а2 — I)3;
б) (а—2)3—а (а—З)2; г) (ad 4-с2)3—(de 4-а2)3.
733. Докажите тождество:
а) (—а—d)3 =—(a4~d)3; в) (ах4~ар)3=а3 (х4~р)3;
б) (a— d)3=—(d—а)3; г) х34-у3=(х4-р)3—Зху (х+у).
734. Представьте, если возможно, в виде куба двучлена:
a) m34-n34'3Tn2n -\-3inn2; г) 8а3—12а2у + бар2— у3;
б) х3+ Зх2+ 3x4-1; Д) Ю00 -Ь ЗООа4- 30а24- а3;
в) р3—3р2$4~3р52—я3; е) — d3— 12d2 — 48d — 64.
735. Подставьте вместо звездочек такие одночлены, чтобы
получилось тождество:
a) 64d34-* 4~ * 4~ 125с3 = (* 4- *)3;
б) ЮООх3 —*4-* — ♦=(♦ — 3d)3;
в) 8a3 4- 12a2d 4~ * 4~ ♦ « (♦ + *)э;
г) ♦ _ * 4- 60dp2 — 8р3 = (♦ — *)3.
152
736. Представьте выражение в виде куба двучлена:
а) х6 (а 4- д)3; б) 8с9 (а — Ь)3; 4в) (а 4-х)3 (а —.г)3.
737. Докажите:
a) (m+n)3 = т (т—Зп)24-п (п—Зт)2;
б) (x3+i/3)2-(x24-i/2)3+3xV (х+у)2 = (2xi/)3.
738. Докажите теорему:
а) Если натуральное число при делении на 5 дает в ос-
татке 2, то его куб при делении на 5 дает в остатке 3.
б) Если натуральное число при делении на 4 дает в ос-
татке 3, то сумма его куба и квадрата делится на 4.
49. Разложение на множители суммы и разности кубов двух
выражений. Обратное преобразование
Из тождества (а + ЪУ = а3 + За2Ь 4- За&2 4~ Ь3 выразим
сумму кубов переменных а и Ь:
а3 4- Ь3 = (а 4- Ь)3 — За2Ъ — Зяб2.
Разложим правую часть тождества на множители:
(а 4- Ъ)3 — За2Ъ — ЗаЬ2 = (а 4~ Ь)3 — ЗаЬ (а + Ь) =
= (а 4- Ь) ((а 4- Ъ)2 — ЗаЬ).
Упростим выражение, стоящее в правой части равенства:
(а 4- Ъ) ((а 4- Ъ)2 — ЗаЬ) = (а + Ь) (а2 4- 2аЪ 4~ Ь2 — ЗаЬ) =
~ (а 4- Ь) (а2 — аЪ 4- Ь2).
Получили тождество
а3 4- Ь3 = (а 4- b) (a2 -ab-\- Ь2). (4)
Если в тождестве (4) переменные а и Ь заменить какими-
либо выражениями, то получится новое тождество.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы
этих выражений и трехчлена, состоящего из квадрата первого
выражения, произведения первого и второго выражений, взятого
с противоположным знаком, и квадрата второго выражения.
Замена в тождестве (4) переменной Ъ на —Ь приводит к
тождеству:
а3 4- (-б)3 = (С 4- (-&)) (а2-а (-&) 4- (~Ь)2)»
или окончательно:
а3 — ь3 = (а — Ь)(а2 4- ab 4- Ь2). . (5)
Разность кубов двух выражений равна произведению раз-
ности этих выражений и трехчлена, состоящего из квадрата пер-
вого выражения, произведения первого и второго выражений и
квадрата второго выражения.
163
Приведем пример разложения на множители суммы кубов
двух выражений:
125х® + 8у« = (5х3)3 + (2у2)9 =
= (бх3 + 2у2) ((5х9)2 — 5х3 • 2у2 + (2у2)2) =
- (5х3 + 2у2) (25х® — 10х3у2 + 4у4).
739. Какие из следующих двучленов можно представить в
виде суммы или разности кубов одночленов:
а) X3 + 8; в) 8о3 + 27с18; д) l^a18 + у21; J
б) с® — у3', г) 1000а3 6® — 1; е) 8х9 — 3?
740. Представьте выражение в виде суммы или разности ку-
бов и разложите его на множители:
а) х3 h у3; д) t3 — 1; >
б) 8с3 + р9; е) 27р3 + 1; J
в) 125а9 — Ь3', ж)—а’ — 8;
27
г) п3 — 1000ft3; з) а® + Ъ°.
741. Докажите, что выражение:
а) 3283 + 1723 делится на 500;
б) 7313 — 6113 делится на 120;
в) 3883 + 2123 делится на 600;
г) 47593 — 27863 делится на 1973.
742. Представьте в виде произведения выражение:
а) (а + Ь)3 + с3; в) (х — З)3 + 64; 1
б) (6 — с)9 — а9; г) (а — Ь)3 — (Ь — с)3.
743. Докажите:
а) (х + у) (х2 + у2) — х3 — у3 = ху (х + у);
б) а®— Ь®= (а — Ь) (а + 6) (а2— ab + b2) (а2 + ab + b2).
744. Вычислите наиболее простым способом:
а) У.т”? + 59.41; ,Л’+^ - С7.52.
18 119
745. Используя там, где это возможно, формулы
(а ± 6) (а2 zp ab + Ь2) = а3 ± Ь3,
выполните сокращенное умножение:
а) (р + 5) (р2 — 5р + 25);
б) (25 — 1) (4Ь2 + 2Ь + 1);
в) (За3 — 4) (9а® + 12а3 + 16); ;
г) (10х + Зу) (ЮОх2 + бОху + 9у2);
д) (4а — 56) (16а2 — 20аЬ + 25Ь2);
е) (7х2 + 2) (—49х4 + 14х2 — 4).
154
746. Упростите выражение:
а) (х+у) (х2—ху+у2) + (х—у) (х2+ху+у2)-,
6) (а—1) (а2+а+1) — (а+1) (о2—а + 1); •
в) (у+2) (у2-2у+4) - (у—5) (у2+5у+2Б);
г) (2р—3) (4р2+6р+9) + (р+3) (р2—Зр+9).
747. Впишите вместо звездочек такие одночлены, чтобы полу-
чилось тождество:
а) (5х + 4у) (* — * + ♦) = 12бх3 + 64 г/3;
б) (* — *) (36ft2 + ♦ + 49n2) = 216ft3 — 343п3.
748. Разложите на множители:
а) х3+8у3+хр (х+2у); г) р3—5р2+бр—1;
б) а3—27b9+2ab (а—36); д) а3—а2с+Ь2с+&3;
в) 63+2Ь2+26+1; е) х3+х2г—y2z—у9.
§ 18. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
50. Определение линейной функции
Длина железного стержня изменяется в зависимости от
изменения температуры. Предположим, что при 0°С длина I
стержня была 10 м.
При повышении температуры t на 1°С длина стержня уве-
личивается на 0,12 мм, при понижении на 1°С — уменьшает-
ся на 0,12 мм.
Значение длины I (в метрах) стержня при температуре t
(в градусах Цельсия) можно найти по формуле:
I = 10 + 0,00012t.
Каждому значению t соответствует единственное значение I.
Значит, этой формулой задается функция.
Закон линейного расширения железа, который выражен
приведенной формулой, справедлив лишь для сравнительно
узкого температурного интервала. Так, например, при тем-
пературах порядка — 200°С или 500°С этот закон уже не дей-
ствует.
В жизни часто приходится встречаться с функциями, за-
данными формулой вида у = kx + Ъ, где х и у — переменные,
a ft и Ъ — числа.
Функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b,
где х и у — переменные, ft и Ь — числа, называется линейной.
Частным случаем линейной функции является прямая
пр<2дорциональность. Действительно, при 6 = 0 формула
у = kx + Ь обращается в формулу у = kx.
166
749. Функция задана формулой:
а) У = бх — 3; в) у = 2 — 10х; I д) у — Ох + 8;
б) у = —4х + 7; г) у = 0,8х; [ е) у — 25.
Объясните, почему этой формулой задана линейная
функция.
750. Является ли линейной функция, заданная формулой:
а) у = — х + 2; в) у =
б) у = 2х2 + 3; г) у = 250х?
751. Функция задана формулой у = 2х + 3, где х £ { —5;
—3; —1; 1; 3}. Найдите множество Y значений этой
функции.
752. Функция f задана таблицей:
X 0 1 2 3 4 5
У 2 3 4 5 6 7
Покажите, что функция f линейная, задав ее формулой.
753. На складе было 50 т картофеля. Ежедневно в него по-
ступало 15 т картофеля. Сколько тонн (у) картофеля
стало на складе через х дней?
Выразите у через х. Можно ли сказать, что зависимость у
от х есть линейная функция?
51. График линейной функции
Пусть функция задана формулой у = 0,5х + 2.
Составим таблицу соответственных значений переменных
х и у:
X —6 —5 —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4
У —1 —0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
В координатной плоскости
отметим все точки, координаты
которых занесены в таблицу
(рис. 101). Можно заметить, что
построенные точки принадле-
жат прямой.
Построим в той же системе
координат график прямой про-
порциональности у = 0,5х
(рис. 102). Любое значение вы-
ражения 0,5х + 2 больше соот-
ветствующего значения выраже-
156
ния 0,5х на 2 единицы. Поэтому ордината каждой точки гра-
фика функции у = 0,5х + 2 на 2 больше ординаты соответст-
вующей точки графика прямой пропорциональности у = 0,5х.
График функции у = 0,5х — прямая линия, график функции
у = 0,5х -г 2 тоже прямая. Эта прямая параллельна прямой
АВ vl смещена относительно нее на 2 единицы в направлении
оси у (рис. 103).
График функции, заданной формулой у = kx + b (на
множестве всех чисел), есть прямая линия.
Если область определения линейной функции состоит не
из всех чисел, то ее графиком служит часть прямой линии (на-
пример, луч, отрезок, множество отдельных точек).
754. Постройте график линейной функции:
а) у = 0,5х + 2; в) у — —0,7х + 2;
б) у = —2х + 3; г) у = 0,9х + 1,1.
Ответьте на вопросы: 1) При каких значениях х значение у
равно нулю; больше нуля; меньше нуля? 2) Как изме-
няется переменная у (возрастает или убывает) с возра-
станием х? 3) На какое множество отображается проме-
жуток [ —2; 4 ]?
755. Постройте график зависимости длины I десятиметрового
железного стержня (см. стр. 155) от температуры t
(масштаб по оси Z: 1 см — 10°С, по оси Z: 1 см—1 лг). Най-
дите по графику: а) какую длину имеет стержень при 0°С;
50°С; —20сС; б) на сколько миллиметров удлинится стер-
жень, если его температура возрастет с — 30°С до 70°С.
756. За отправление телеграммы берется плата 10 коп. и еще
по 3 коп. за каждое слово. Сколько стоит отправка те-
леграммы в х слов? Обозначьте стоимость телеграммы (в
копейках) буквой у. Составьте формулу стоимости теле-
граммы и постройте график. Почему зависимость у от
х есть линейная функция? Какова область ее опреде-
ления?
157
757. Постройте график линейной функции у = Зх — 5.
Пользуясь графиком, узнайте, на сколько единиц воз-
растет значение у, если значение х увеличить:
а) от —2 до —1; в) от 3 до 4;
б) от 1 до 2; г) от 5 до 6.
758. Постройте график функции у = Зх и с его помощью по-
кажите, что равным изменениям х соответствуют равные
изменения у.
759. В таблице указано число р деталей, которое изготовил
токарь за 1 ч, за 2 ч и т. д.
t 1 2 3 4 5 6 7 8
р 35 71 108 143 177 213 250 286
Сколько деталей изготовил токарь за первый час, за
второй час, за шестой час? В системе координат (масштаб
по оси t: 1 — 1ч, по оси р: 1 — 50 деталей) отметьте
все точки с координатами, указанными в таблице, и
покажите, что они расположены почти на прямой ли-
нии. Составьте формулу, которая приближенно выра-
жает зависимость р от t.
760. В результате взвешивания получили таблицу зависимо-
сти массы р (в килограммах) бидона с керосином от объе-
ма V (в литрах) керосина:
V 0.5 1.0 1.5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Р 1,12 1,54 1,91 2,33 2,72 3,10 3,53 3,92 4,34 4,71
Покажите с помощью графика (масштаб по оси V:
1 — 1л, по оси р: 1 — 1 хг), что зависимость р от V яв-
ляется линейной функцией. Найдите, сколько весит пус-
той бидон. Сколько весит 1 л керосина?
761. Не выполняя построения графика, выясните, принадле-
жит ли графику функции у = —Зх + 5 точка А, если:
а) А (—15; 49); в) А (1,8; —0,4);
б) А 1; 4}; г) А (-12|;
762. а) Найдите значение kt если известно, что график функ-
ции z/ — /гх + 2 проходит через точку Р (—7; —12).
б) График функции у = —Зх + Ъ проходит через точку
В (-2; 4).
Найдите значение Ь и постройте график функции.
158
52. Угловой коэффициент
От значений k и Ъ зависит
расположение графика функции
у = kx -f- Ь в координатной плос-
кости. Как зависит расположе-
ние графика от 6? Если х = О,
то у = Ь. Точка (0; Ь) принад-
лежит графику линейной функ-
ции, то есть ее график пересе-
кает ось у в точке, ордината
которой равна Ъ (рис. 104).
От коэффициента k зависит
угол, который образует график
линейной функции с направле-
нием оси х, отсчитываемый про-
тив часовой стрелки (рис. 105).
При k > 0 этот угол острый,
при k < 0 — тупой. Коэффици-
ент k называют угловым коэф-
фициентом прямой — графика
функции у = kx + Ъ.
Зная коэффициенты k и Ь,
легко показать примерное рас-
положение графика функции
У = kx — Ъ.
Пусть, например, функция
задана формулой у = 0,5х + 3
(/? = 0,5, Ъ = 3). Так как
Ъ =3, то график проходит че-
рез точку (0; 3). В силу того,
что k > 0, график функции об-
разует острый угол с направ-
лением оси х. На рисунке 106
показаны графики линейных
функций с угловым коэффици-
ентом k — 0,5.
763. В одной и той же системе
координат постройте гра-
фики линейных функций:
а) у = 0,5х — 2;
у = — 0,6х — 2;
У = —Зх — 2:
б) у = 4х 4- 1;
У — —Зх + 1;
у = 0 • х + 1.
Рис. 1С4.
Рис. 106.
159
Назовите угловой коэффициент каждой прямой. Назови-
те координаты точки, через которую проходит каждый
график.
764. В одной и той же системе координат постройте графики
линейных функций:
а) у == х + 2; у = х; у « х — 3;
б) у = —0,5х; у — —0,5х — 2; у — —0,5х + 3.
Назовите угловой коэффициент и значение коэффициента
Ь для каждой прямой. Как расположены графики один
относительно другого?
765. Покажите примерное расположение графика линейной
функции:
а) у 0,1х + 2; д) у = — 10г ~г 1;
б) у — 1,02х 4-1; е) у = —1,2х — 3;
в) у — 7х — 1; ж) у = —0,01х + 4;
г) у = 100х — 2; з) у — Ох — 2.
766. Не выполняя построения, найдите координаты точки пе-
ресечения графика линейной функции с осью у:
а) у = ЮЗх — 2,7; в) у —0,00014х + 123;
б) у ——З^х + Зу‘> г) у = 8,375х.
767. Не выполняя построения, найдите координаты точки
пересечения графика линейной функции с осью х:
а) у — —2х + 6; в) у = —0,01х + 2;
б) у — уХ— 1; г) у = 250х + 91.
7С8. Постройте график функции у = —2х — 4. При каком
значении х значение выражения —2х — 4 равно нулю?
Найдите множество значений х, при которых:
а) —2х — 4 <0; б) —2х — 4 > 0.
769. При каком значении х соответствующее значение выра-
жения 2х — 5 равно 0; больше 0; меньше 0? Задачу ре-
шите графически (обозначьте буквой у выражение
2х — 5 и по графику найдите соответствующие множест-
ва значений переменной х).
770. Решите неравенства:
а) —2х 4" 3 < 0; в) 0,25х 4" 4 < 0;
б) —2х + 3 > 0; г) 0,25х 4- 4 > 0.
160
г
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
К пункту 34
г 771. Приведите многочлен к стандартному виду:
а) 5уу2у — 12уу 4- Зу2у — бу + 1;
б) 1,2х2 • 5х3 — 6—х • I — —х2^ — 9х5 • I — — х3') — 5;
3 \ 38 ) \ 9 )
в) 2а1056 • За25 — 4а55 • (—а7510) — 0,1а353 • (—20а);
г) ^Р‘ — ^р- • (— 4 P2«j — 1.5р’ • 8pj — 2.
б 3 \ 4 /
772. Упростите выражение:
а) хг (2х)5 — Зх5 • (— 4х2)2 + 8х‘ • 6х3 — 2;
6) (2а2)3 • (За)2 — (4а3)2 • (2а)2 — 63а‘ (-a2V + 1.
773. Приведите выражение к стандартному виду многочлена:
а) (2у3 + у2 — бу — 3) — (у — 1 + 8у3 — 4у2) 4-
4- (8у2 4- Зу - 5у3 4- 1);
б) (7а2 — 2аЬ — 452) 4- (За2 — 5&2) — (8а2 — 2аЪ — 552).
К пункту 35
774. Найдите значение выражения:
а) (Зх2 — 5ху 4- 4у2) 4- (2х2 4- ху — у2) — (4х2 —
— 4ху 4- 2у2) при х = —0,6, у = 0,8;
б) (15у2 — ЗЗху 4- 9х2) — (14у2 + 56ху — 35х2) —
— (Их2 — бу2 4" Зху) при х = —0,2, у = 0,8.
775. Какой многочлен в сумме с выражением 5х2 — Зх — 9
тождественно равен:
а) 0; б) 18; в) 2х — 3; г) х2 — 5х 4- 6?
776. Каждое число вида аЪс представьте в виде многочлена и
упростите получившуюся сумму или разность:
a) abc — cba; в) ab 4" 50а; д) бху — ху;
б) хОу 4- уОх; г) аЪ 4- а55; е) ЗаЬ — аЬЗ.
777. Двузначное число оканчивается цифрой 3. Если сложить
это число с числом, записанным теми же цифрами в об-
ратном порядке, то получится 55. Найдите двузначное
число.
778. В двузначном числе единиц в два раза больше, чем де-
сятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится
двузначное число, записанное теми же цифрами в обрат-
ном порядке. Найдите двузначное число.
779. Дано двузначное число, в котором десятков на 2 больше,
чем единиц. Если из данного числа вычесть 18, то полу-
6 Заказ 220
161
чится двузначное число, записанное теми же цифрами в
обратном порядке. Найдите двузначное число.
780. К числу х приписали справа цифру 5. Представьте полу-
чившееся число в виде суммы, если х:
а) двузначное число; в) четырехзначное число;
б) трехзначное число; г) семизначное число.
781. К числу х приписали слева цифру 6. Представьте полу-
чившееся число в виде суммы, если х:
а) двузначное число; в) четырехзначное число;
б) трехзначное число; г) семизначное число.
782. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к
полученному числу прибавить удвоенное данное число,
то сумма будет равна 633. Найдите данное число.
783. Если к трехзначному числу слева приписать цифру 8 и
к полученному четырехзначному числу прибавить 619,
то сумма будет в 40 раз больше трехзначного числа. Най-
дите трехзначное число.
784. Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту
цифру переставить на последнее место, то получится
число, меньшее первоначального на 864. Найдите четы-
рехзначное число.
785. Первая слева цифра шестизначного числа 1. Если эту
цифру переставить на последнее место, то получится
число, большее первоначального в 3 раза. Найдите ше-
стизначное число.
К пункту 38
786. Преобразуйте произведение в многочлен:
a) 3a5fe4(a10 — а*Ь3 + б10);
б) —2х8у5(3х2 — 5ху + у2);
в) (ха + 70x21,2 _ 5„«) . (—0,2XJ/2);
г) lb3 — 1 b5c + - bV — -с5') • (— 30 6с3).
\ 2 3 5 ]
787. Упростите выражение:
a) ab (а + Ь) — a (36 — 2а) — а2 4~ Ъ (За — 26)j;
б) (2 г/ + а) у — 2у2 + а (б (За + 7у) — 4(9у + 4а) j.
788. Найдите значение выражения:
а) 2 а-b3 — ((За3 — 5Ь=) • 2 О26 + 2а263)
3 \ 3 /
при а = —, b = 48;
2
б) 9х3у4 — (13л:3у3— 12xV(0,5x — 0,75y)j
2 с
при х = —, у = —6.
162
789. Решите уравнение:
а) 5 (;/+4)-4(317—1) = 3;
б) 7(2j7-|)-2(3j7-3-l) = 9;
Б) 11,2 (5х — 1) = 36 — 3 (13,4 — 7х);
г) 19,4 (2 — 5х) = 40 4- 5 (9х — 11,6);
.3*4-41 х — 3 9 —2х л
д)~1---------1—ё~=0:
ч 2х — 14 Зх — 1 х — 2 л
е)---------------------- 0.
3 5 2
790. В одном резервуаре 190 гл воды, а в другом — 750 гл.
В первый ежеминутно поступает по 40 гл воды, а из вто-
рого за каждую минуту выкачивают по 30 гл. Через сколь-
ко минут в резервуарах будут равные количества воды?
791. В одной цистерне 32 т бензина, а в другой — 36 т. Из
первой выкачивают в минуту по 0,2 т, а из второй —
0,3 т бензина. Через сколько минут в цистернах оста-
нутся равные количества бензина?
792. В одном сосуде было в 1,5 раза больше жидкости, чем в
другом. Из первого сосуда вытекало за секунду 125 cjh3
жидкости, а из второго — 48 еле3. Найти, сколько жид-
кости было в каждом сосуде, если известно, что через
1 мин 20 сек во втором сосуде осталось на 0,56 л жидко-
сти больше, чем в первом.
793. В одном сосуде было на 9 л меньше жидкости, чем во
втором. В первый сосуд вливалось за секунду 240 см?
жидкости, а во второй — 108 см3. Узнать, сколько жид-
кости было в каждом сосуде, если известно, что через
1 мин 40 сек в первом сосуде стало в 1,2 раза больше
жидкости, чем во втором.
794. Из пункта А в пункт В вышел поезд, проходящий 72 км/ч.
Через 45 мин вышел поезд из В в А со скоростью
75 км/ч. Расстояние между А и В равно 348 клт. На ка-
ком расстоянии от В поезда встретятся?
795. Из пункта М в пункт N вышел пассажирский поезд, про-
ходящий в час 70 км. Через 30 мин навстречу ему из N
вышел курьерский поезд со скоростью 90 км/ч. Расстоя-
ние MN равно 515 км. Через сколько часов после выхо-
да из N курьерский поезд встретится с пассажирским?
796. Из города М в город N, находящийся на расстоянии
64 км от М, одновременно выехали две грузовые автома-
шины со скоростями 56 км/ч и 60 км/ч. Через сколько
часов после отправления вторая машина окажется
вдвое ближе к N, чем первая?
797. Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Если он
будет ехать со скоростью 35 км/ч, то приедет в В па 2 ч
& 1вЗ
позже намеченного срока; если же будет ехать со ско-
ростью 50 км/ч, то приедет в В на 1 ч раньше срока. За
сколько времени наметил мотоциклист проехать расстоя-
ние от А до В?
798. Катер, идя по течению реки 5 ч, проходит столько же
километров, сколько за 6 ч 15 мин он проходит против
течения реки. Найти скорость катера в стоячей воде,
если скорость течения реки равна 2,4 км'ч.
799. Бакенщик, гребя по течению, успевает проплыть за 3 ч
такое же расстояние, какое он может проплыть за
3 ч 40 мин против течения. Найти скорость течения,
если скорость лодки в стоячей воде равна 5 кмгч.
800. Колхоз должен был провести сев за 14 дней. Перевыпол-
няя план, колхозники засевали в день на 30 га больше,
чем предполагалось по плану, и уже за 4 дня до срока им
оставалось засеять только 20 га. Сколько гектаров дол-
жен был засеять колхоз?
801. На строительстве ГЭС укладчики бетона не только вы-
полнили 10-дневное задание, но и, перевыполняя норму
на 450 м3 в день, уже за 1 день до срока уложили па
800 л3 бетона больше, чем предполагалось по плану.
Сколько кубометров бетона уложат строители ГЭС за
10 дней?
802. Чтобы закончить сев в срок, колхоз должен был засе-
вать в день 73 га. Перевыполняя план, колхозники за-
севали в день на 14 га больше, чем предполагалось по
плану, и уже за 2 дня до срока им оставалось засеять
только 6 га. Сколько гектаров должен был засеять кол-
хоз?
803. Чтобы выполнить плановое задание в срок, токарь дол-
жен был изготовлять за рабочий день по 24 детали. Од-
нако, применив новый вид резца, он повысил дневную
производительность на 15 деталей и уже за 6 дней до
срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько дета-
лей изготовил токарь?
804. Если к задуманному двузначному числу приписать сле-
ва цифру 2, то полученное трехзначное число будет в 9 раз
больше первоначального. Какое число задумано?
805. Если к задуманному двузначному числу приписать спра-
ва и слева цифру 4, то полученное четырехзначное чис-
ло будет больше первоначального в 54 раза. Какое
число задумано?
К пункту 39
806. Найдите значение выражения:
а) 5сх + с2 при х = 0,17, с = 11,5;
б) 4а2 — ab при а = 1,47, Ь = 5,78;
164
в) 4х2 4- 12ху при х — 2,65, у = 2,45; г) а2 — ab 4- 2ас при а = 78,2, b = —53,8, с = —32.
807. Вынесите за скобки общий множитель: а) ЗбОху2 — 45ху; г) —125ас3 — 25с* 4- 50ас2; б) 144а362 — 48а26; д) 80а5х8—240а3х5— 20а2х2; в) —200лАг34-Ю0п8—200рп3; е) 306ву7—27065уь— 45Ь*у*.
808. Представьте в виде произведения: а) х" 4- х, где п > 1; б) уп+5 — у6, где и > 1; в) ап~1 4- а15. где 1 < п < 15; г) 620 — б"4-2, где п < 18.
809. Докажите, что а) 710 — 7’ — 78 делится на 41; б) 10“ 4- Ю8 4- 107 делится па 222; в) 257 — 512 делится на 120; г) 817 — 27® — 913 делится на 45; д) 45’5 • 1515 делится на 7530; е) 2454 • 5424 не делится на 72е3.
810. Разложите на множители выражение: а) 5х3 (х 4- 1) — Юх (х 4- 1); б) 18а3 (6 — 2х) 4- 12а4(6 — 2х); в) 24а2у3 (а — Зу) — 13ау* (Зу — а); г) 16с4р (с — 5р) 4- 24ср4 (5р — с); д) (а 4- 6) (с 4- d) 4- с (с 4- d); е) (а — 6) (с 4- у) + с (а — 6); ж) (а — 36) (а 4- 26) 4- За (а 4- 26); з) ху (х — у) — (бх2 — Зху) (х — у).
811. Вместо звездочки впишите пропущенные одночлены, что- бы получилось тождество: а) 54xz/8 4- * = * - Оу2 4- бх2); б) * — 18а466 = * (2 — 362); в) 45с3у8 — * — 75c8z/3 = * • (Зу5 — 4с-уг — *); г) * — 35а7х3 4- 28а4хс = * • (Зх4 — * 4- 4ах3).
812. Решите уравнение разложением на множители левой части: а) х2 4- 20х = 0; в) 7у2—35у=0; д) х34-16х = 0; б) 20х2 4- х = 0; г) 35у2—7j/=0; е) z4 4- z2 = 0.
813. Какие из следующих высказываний истинны: а) разность между любым трехзначным числом и обра- щенным числом (числа а6с и сба — «обращенные») крат- на 99; б) сумма любого трехзначного числа с обращенным числом не кратна 101.
165
К пункту 42
€14. Докажите тождество:
Ь (с + а) + с (а + Ь) — а (Ь 4- с) 2Ьс.
Подставьте в это тождество:
а) 5х вместо а; —Зх вместо Ь; —2х вместо с;
б) Зп—1 вместо а; Зп+1 вместо Ь; 2—Зп вместо с.
815. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного
вида:
а) (Зх — 7) (у + 2); д) (За2 — 2а + 1) (а — 2);
б) (5а + 8) (Ь — 4); е) (5х2 — Зх + 7) (х + 1);
в) (12с2 — 5) (с + 1); ж) 7 -а 4-4 (6а2 — 30а + 5);
\ 3 2 /
г) (р3 + 4р) (р2—3), з) (0,2аЬ2—&2)(5а24-0,25аЬ-!-ЗЬ2).
816. Упростите выражение:
а) (2х + у) (2з + у) 4- (х — у) (у — г);
б) 10 (2а4 — 3&4) — (4а2 — 5&2) (5а2 4- 6Ь2);
в) 1ах 4- — by 1 lop 4- ~ах) — 1ох ——&р) I&P — оахр
. 11 , 1 Л11 . . i ,\ /1 , . 1 Л /1 . 1 ,\
г) l—ab —са] - cd 4—ао — — ab 4— cd — cd------ab]
\з в/\з 6 ) \з в )\з в /•
817. Значения каких из следующих выражений: 1) делятся
на 5 при любых целых значениях тг, 2) делятся на 5 не
при всяких целых п; 3) не делятся на 5 ни при каких це-
лых п:
а) (2п 4- 3) (Зп — 7) — (п 4- 1) (п — 1);
б) (7п 4- 8) (п — 1) 4- (Зп — 2) (п 4- 2);
в) (6п 4- 1) (п 4- 5) — (Зп 4- 5) (2п — 1);
г) па — (2 4- (п2 4- Зп — 1) (п 4- 2))?
818. Какие из следующих выражений не зависят от х:
а) (2х2 — х — 10) (х — 3) — (х2—5x4-4) (2х 4- 3);
б) (х 4- 1) (х2 — х 4- 1) — (х — 1) (х2 4- х — 1);
в) (х 4- 5) (х 4- 4) (х — 2) — (х2 + Их — 9) (х 4- 1)?
819. Справедливо ли неравенство при любых значениях х:
а) х (х2 — х — 1) < (х — 1) х (х 4- 1);
б) (х2 - 9х 4 2) (х + 1) < (х2 4- 4х — 3) (х — 1)?
820. Решите уравнение:
а) (х 4- 2) (х - 5) = (х 4- 1) (х 4- 6);
б) (2у - 7) (6р 4- 5) = (Зр - 4) (4р - 6);
в) (1 — 8х) (7х Ь 9) = (87 — 56х2);
г) (у - 2) (у» 4- 5р - 9) = (р 4- 3) (р2 - 19).
1®в
821. Если ширину прямоугольника увеличить на 2 дм, а дли-
ну уменьшит*, на 5 дм, то получится квадрат, площадь
которого будет меньше площади данного прямоуголь-
ника на 50 блг2. Определить гыищЕдь квадрата.
822. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ши-
рину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь
которого будет больше площади примоугольника на
40 см2. Найти площадь прямоугольника.
823. Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину
увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его
площадь увеличится на 30 №. Определить площадь пер-
воначального прямоугольника.
824. Периметр прямоугольника равен 30 дм. Если длину
прямоугольника уменьшить на 3 дм. а ширину увели-
чить на 5 дм, ти площадь прямоугольника уменьшится
на 8 дм2. Найти площадь первоначального прямоуголь-
ника.
825. Картина прямоугольной формы вставлена в рамку, имею-
щую всюду одинаковую ширину 1 дм и площадь 54 дм2.
Чему равна площадь картины без рамки, если ее длина
на 3 дм больше ее ширины?
826. Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырех последователь-
ных целых чисел больше произведения крайних на 2;
б) произведение двух крайних из четырех последователь-
ных нечетных чисел меньше произведения средних на 8.
827. Выполните умножение:
а) (5р2 - 11у + 8) (2у - 3);
б) (-4р3 + 7р2 + 9р — 12) (р + 5);
в) (Зх2 + 11 — 5х) (8х — 6 4- 2х2);
г) (15а — 2а2 — 9) (—6а + 10 — а2).
828. Упростите выражение и найдите его значение:
а) (х - 5р) (Зх2 + 2ху - 7у2) — (13у (Зу2 - х2) -17хр2)
при х — —3, у = —2;
б) (т2 — 2тп—Зи2) (2т + 5п) — (тп (т—16п) —14и,‘)
при т — —3, п — —-4;
в) (р — 4х) (Зр24-2рх—5х2) — (12рх2—10х(р2—2л 4)
о 3
при р = 2, х ;
г) (-5х2 + 4хр—Зр2) (2л— у) - х (ху-10 (х2 + у2))
1 «»
при х =----, у = 3.
6
К пункту 44
829. Разложите на множители выражения:
а) х2 (2х 4 Зу) 4- 5 (2л + Зу); в) х (а 4-2) -1- а 4- 2;
б) 18 (5а—46)—7а2(5а—46); г) у (х4 8) — х — 8;
167
д) п (п ЬЛ)—5п—5k; и) а3—2а2-\-2а—4;
е) а2—За6 + b (ЗЬ—а); к) 2х3—2х2у +ху2—у3;
ж) х2—5ху—2у (5у—х); л) агЬ34-сг<Р—ab2c~d—a2'>cd2;
з) а2Ъ—Ъ2с-\га2с—Ьс2; м) cda2^cdb2+abc2+abd2.
830. Разложите на множители многочлен:
а) х3—124-бх2—2х; д) с4 — 2с3 — с2 + 2с;
б) 8ср3—5kcp—24p2 + 15fe; е) —р® —р5 4-р4+р3;
в) 16аЬ2—10с3-|-32ас2—5Ь2с; ж) 2р20 —р15—2р10 Fp5;
г) ба3—21a2b-Y2ab2—7Ь3; з) За31 4 а27 — За13—а*.
831. Представьте многочлен в виде произведения двучлена и
трехчлена:
а) та — mb 4- па — nb 4- ра — pb;
б) аЬх — аЬу — асу 4~ асх 4“ Ьсх — Ъсу;
в) а2х — ab 4- а2Ь — ас 4- а2с — ах;
г) За3Ь — 4а3с 4- 5a2bc — 6аЬ2с 4- 8аЪс2 — 1062с2.
832. Докажите тождество:
a) 2x2zt — 15zt — 3xZ2 4- 10xz2 = (2хг—3Z) (xt -J 5z);
6) 30a2b2+5ac3—25bc2—6a3bc = (6a2b—5c2)(5b — ac).
833. Докажите, что значение выражения:
а) Зл+2 — 2н+2 4- 3я — 2п при любом натуральном п
делится на 10;
б) Зя+3 4- 5л+3 4- Зл+1 4“ 5п+2 при любом натуральном п
делится на 60.
834. Докажите:
а) Если переменные п и k принимают значения, дающие
при делении на 11 в остатках соответственно 5 и 6, то
значение их произведения при делении на 11 дает в
остатке 8.
б) Если переменные п и k принимают значения, дающие
при делении на 12 в остатках соответственно 5 и 7, то
значение их произведения при делении на 12 дает в ос-
татке 11.
835. При каком значении а многочлен стандартного вида,
тождественно равный выражению (х34-5х2—8х 4 12)(х—а),
не содержит: 1) х3; 2) х2; 3) х1?
836. При каком значении Ъ многочлен стандартного вида,
тождественно равный выражению
(х 4- Ь) (2х3 — 10х2 4- 7х — 3):
1) не содержит х3; 2) имеет равные коэффициенты при х3
и при х; 3) имеет сумму всех коэффициентов, равную
нулю?
837. Найдите такие значения а и Ь, при которых многочлен
стандартного вида, тождественно равный выражению
(х2 — Зх 4" 5) (х2 4- ах + Ь), не содержит ни х3, ни х1.
168
838. Найдите такие значения р и q, при которых многочлен
стандартного вида, тождественно равный выражению
(х2 4- рх -F 8) (х2 — Зх 4- q),
не содержит ни х3, ни х2.
839. Разложите на множители:
а) а2 4- 5а 4- 4;
б) с2 — 7с 4- 6;
К пункту 45
в) х2 — х — 12;
г) у2 + у - 72.
840. Представьте выражение как многочлен стандартного вида:
а) (2а — 1) (2а 4- 1);
2 . еЛ / 2 К
—х 4-5 —х — 5
з / \з
в) (1 - у4) (1 4- у4);
г) (0,2 4- аЬ2) (0,2 — аЬ2).
841. Можно ли представить выражение в виде разности
квадратов двух выражений:
а) 2 (х — у) (8х 4- 8z/);
б) 4 (За+Зу) (27а—27у);
в) (а5 —а3Ь) (а3 4- аЬ);
г) (х34-2) (х3—2) (х6 4-4)?
К пункту 46
842. Представьте двучлен в виде произведения суммы и раз-
ности двух выражений:
а) х- — 25; г) 1^с2— У4; ж) с2"+2 — 9“8:
б) у2 — 4z2; д) 0,09.?» — 1; з) у«+• — 1,44у’.
в) 16а2 — Ь«; е) а2’ — 0,01;
843. Найдите значение выражения:
. _з г _ (л 1А
а) 5322 — 5312; в) 6,512 — 5,512; Я) i) \ 4Г
б) 7682 — 2322; г) 19,32 — 9,32; , (8 IV_ Л I 2
\ 1/ \ 7)
844. Сократите дроби:
ч 1242 - 144
в) ---------;
2392 — 1
ч 17,б3— 9,53
г) -----------
131.52 —З.б2 ’
множители:-
25'|т1 — 1; в) 9,+1 —24 г) 643—104
множители выражения:
а) (а 4- 5)2 — 1; в) 4 (у — З)2 - 1;
б) (2х — 7)2 — 9; г) 9 (2 4- 2)2 — 25;
а)----------;
3192 — 2092
1С62 —121
О) ---------;
1222 — 64
845. Разложите на
а) 4 ’ — 9; б)
846. Разложите на
169
д) (х + ЗуУ - 4у2;
е) 36р2 — (5р — 3?)-;
ж) 49а2 — (6а + 56)2;
з) (7х—4z)2—(2x4-z)2;
и) (и—2рУ — (За + р)2;
к) 4{а — Ъ)2 — (а — 46)2;
л) 9 (а4'3х)2 — (л — 2а)2;
м) 9 (а 4- 6): — 4 (а — 6р.
847. Представьте в виде произведения трех множителей:
а) 46 — 63;
б) 25с3 — 9с</2;
в) х2 (х+Зу) — х — Зу;
г) Уг (2у—5) — 8у + 20;
д) а3 — 5а2 — 4а 4- 20;
е) х3 — 4х2 — 9х + 36.
848. Решите уравнение:
а) х2 — 400 = 0;
б) х2 = 144;
в) 4х2 — 81 - О;
г) 25х2 = 0,64;
849. Докажите, что:
д) х3 — 9х 0;
е) ЮОу8 — 25у = 0;
ж) 4у3+8у=—9у—18 = 0;
з) 9у3—Збу2—25у-н100 = 0.
а) при любом целом п значение выражения
(Зп 7)2 — (1 — л)2 делится на 48;
б) при любом целом п значение выражения
(In - З)2 — (3 — п)- делится на 96.
850. Разложите на множители:
а) х2 — у2 4- 2х + 2у; г) а2 — 62 -4- (а4-6)2;
б) 62—25с2 — 6 — 5с; д) 5х2 - 5у2—(х—г/)3;
в) 100а2—30а—36—62; е) ах2—ау2—Ъ (х4-у)2.
851. Найдите значение выражения:
а) 2022 — 542 4- 256 • 352:
б) 6212 — 769 • 373 — 1482.
К пункту 47
852. Раскройте скобки:
а) (6 -| 7)-;
б) (х —4)2;
в) (2а р 3)г;
г) (5ху —8)2;
; 1 \2
д) +9|;
е) (0,8а — 5)
'п- '2
3) . J — 10xj2;
и) (0,За6 — 0,562)2;
к) |_1а56-- - б1?
\ 5 4 / ’
853. Представьте, если вовможно, в виде квадрата двучлена:
а) 62 4- 66 h 9;
б) 4с2 4- 12с -+- 9;
в) 4а2—10ау 4- 25у2;
г) 1 6 ’ — 56г | 25?3;
4
д) х* — 12х3 4- Збх2;
е) 100а664—140а363--4962;
ж) р10 — р5 4 0,25;
з) а3 4- — а6 4 1.
4
170
854. Найдите значение выражения:
а) 872 + 2 • 87 • 13 + 133;
б) 7,242 + 2 • 7,24 • 0,76 + 0,764
в) 0,62Р2 4- 2 • 0,629 • 0,271 4 0,2712;
г) 872 — 2 87 • 67 — 672;
д} 15,4‘ — 2 15,4 • 14,8 4- 14,82;
е) 19,92 — 2 19 9 • 20,7 + 20,74
855. Докажите тождество:
a) (kx — kt,)' = k2 (х 4- i')z;
б) (а3 4- b2) (с- + d2) = (ас 4 bd)2 + (ad — be)2;
в) (2а 4- b)2 4- Ъ‘ = 2 (а2 4- (а 4- Ь) );
г)о24-62=2//^-Ь^/^-Т
\’ 2 ) х 2
856. Значения каких из выражений не зависят от х:
а) (х 4- 7)2 4- (5 — х) (х 4- 19);
б) (х — 9)2 — ((5х — 3) (л — 4) — (2х — I)2);
в) (6х — I)2 — ((10х 4- 3) (10х - 3) — (8х 4- I)2);
г) ((х 4- 4)2 — (х 4 З)3)2 — 4 > — 3) (х J- 10)?
857. Найдите значение выражения:
а) 5ах (а 5х) — 9х3 — (4ах2 — (а 4- х) (На — Зх)2)
при а = 0,2-
б) (с — 2п) (4с — Зп)2 -- (57сп2 — 2п (28с2 4- 9п2))
при с = —;
2
в) (За — 2х)2 • (4а х) — а (4 (За — х)2 -- 15ах)
при х = —2;
г) (5а 4- Sb)' (4а — b) — b (96а2 — (38 — а)2)
при а — 0,6.
858. Одно число при делении па 5 дает в остатке 1, а другое—
в остатке 2. Делится ли на 5 сумма квадратов этих
чисел?
859. Одно число при делении на 13 дает в остатке 2, а дру-
гое — в остатке 3. Делится ли на 13 сумма их квадратов?
860. Делится ли на 3 сумма квадратов трех последователь-
ных целых чисе7?
861. К сумме квадратов трех последовательных нечетных чи
сел прибавили 1. Делится ли на 12 полученное число?
862. Впишите вместе звездочек одночлены так, чтобы полу-
чилось тождество:
а) (5x4-*)>=*4 70ху - в) (♦ 4-10а253'2=* 4-60а’8я4-*;
б) (9д — *)2=*_ *4 1008 2; г) (с5 —*)2= ♦—с^3 4’ *.
171
863. Впишите в скобки такие двучлены, чтобы все выраже-
ние не зависело от х:
а) (4х — 7)2 + (Зх 4- 6)2 — (...)2;
б) (17х — 2)2 — (15х — 6)2 —
864. Найдите такие значения z/, при которых может быть
представлено в виде квадрата двучлена выражение:
а) х2 + 24х 4- z/; в) (Зр — 7)2 4- (4р4~9)2 4* р;
б) 4а2 — 12а + у; г) (13а+4)2 — (12а — 4)24-р.
865. Найдите все такие значения р (если они существуют), при
которых может быть представлено в виде квадрата дву-
члена выражение:
а) (Зх 4- 8)2 4- (бх — I)2 4- (2х 4- 4)2 4- рх;
б) (18у - 14)2 4- (6р - 5)2 4- (у 4- 2)2 + ру.
866. Докажите, что значение выражения:
а) (12а 4- 5)2 — 2 (12а 4- 5) (12а — 25) 4- (12а — 25)2
при всех значениях а равно 900;
б) (5х — II)2 4- (5х — 9)2 4- 2 (5х — 11) (9 — 5х) при
всех значениях х равно 4.
867. Докажите, что переменная у пропорциональна квадрату
переменной х:
а) у = (14х — 9)2 4- (8х — 9)2 — 2 (14х — 9)(8х — 9);
б) у = (9х 4- 13)2 4- (9х — 13)2 4- 2 (81х2 — 169).
868. В случае утвердительного ответа на следующие вопро-
сы приведите пример:
а) Может ли разность квадратов двух чисел быть боль-
ше суммы их квадратов?
б) Может ли квадрат разности двух чисел быть больше
разности квадратов тех же чисел?
в) Может ли квадрат суммы двух чисел быть меньше
квадрата разности тех же чисел?
г) Может ли выражение а2 4- ба 4- 9 принимать отри-
цательные значения?
д) Может ли выражение (х 4- 1000)2 — 0,01 принимать
отрицательные значения?
е) Может ли выражение 106 — Ь2 — 25 принимать по-
ложительные значения?
869. Представьте многочлен в виде суммы квадратов двух
выражений:
а) х2 4- у2 4- 2ху 4- 4;
б) а2 — 4а 4- Ь2 4- 4;
г) х2 4- Юх 4- 26;
д) а2 — 16а 4- 73;
в) у2 4- 2у 4- г2 4- 2г 4- 2; е) 2х2 4- 2у2.
870. Представьте многочлен в виде разности квадратов двух
выражений и разложите на множители:
а) 225 — х2 — 2ху — у-\
б) 81а2 4- 66с—962—с2:
172
в) 16а2—х2—100z/24-20xz/; д) а24~2а—х2—2х;
г) a2+b2—c2—d2+2ab-\-2cd, е) a2b2+c2d2—(Те2— b2d2.
871. Разложите на множители выражение:
а) а2 4- 14а -г 49 — Ьг; г) а24-х2—а2х24-4ах — 1;
б) х2 — у2 + 6х 4- 9; д) а2 4- 2аЬ 4- 2& — 1;
в) 25а2 — Ьг — Ьс — —; е) а4 + агЬг + Ъ\
4
872. Решите уравнение:
а) (У + 8)2 ~ 1 = 0; д) у2 - 10у 25 = 4;
б) 4 (г — I)2 — 9 = 0; е) 4х2 —12x4-9 = —100;
в) 25 (х 4- 2)2 = 4; ж) (х — 10)2 = 20х — 200;
г) х2 4- 8х 4- 16 = 25; з) (2х 4- 5)2 = 16х 4- 40.
873. Из А в В со скоростью 66 км/ч отправился товарный
поезд, а спустя 20 мин от станции В в направлении стан-
ции А вышел скорый поезд, проходящий в час 90 км.
На каком расстоянии от А встретились поезда, если
длина перегона АВ равна 256 км?
874. Из М в N со скоростью 60 км/ч отправился пассажир-
ский поезд, а спустя 10 мин вслед за ним из М вышел
электропоезд, проходящий в час 85 км. На каком рас-
стоянии от станции N второй поезд догонит первый, ес-
ли длина перегона MN равна 40 км?
875. Из М в N со скоростью 15 км/ч выехал велосипедист, а
через 16 мин вслед за ним выехал другой велосипедист,
проезжавший в час 18 км. Узнать, чему равно расстоя-
ние MN, если известно, что второй велосипедист при-
был в N одновременно с первым.
876. Из А в В со скоростью 3,6 км/ч вышел пешеход; через
1 ч 15 мин навстречу ему из В выходит другой пешеход,
проходящий в час 4,8 км. Узнать, чему равно расстоя-
ние АВ, если известно, что второй пешеход прибыл в А
одновременно с приходом первого в В.
877. Мотоциклист выехал из М в N со скоростью 48 км/ч.
Через 50 мин после отправления из М вследствие неис-
правности пути он должен был снизить скорость на
8 км/ч и потому прибыл в N на 20 мин позже, чем пред-
полагал. Найти расстояние MN.
878. Турист отправился из пункта А к железнодорожной
станции В. Пройдя 40 мин со скоростью 4,5 км/ч, он
рассчитал, что если будет продолжать идти с той же
скоростью, то опоздает к поезду на 15 мин, поэтому он
увеличивает скорость на 0,5 км/ч и приходит на стан-
цию В за 5 мин до отправления поезда. Сколько кило-
метров между А и В?
879. При постройке гидроэлектростанции бригада экскава-
торщиков должна была по плану ежедневно вынимать
по 860 м3 грунта. Перевыполняя ежедневную норму на
173
20%, бригада закончила работу на 2 дня раньше на-
меченного срока. За сколько дней по плану бригада
должна была закончить выемку грунта?
880. Для выполнения в срок плана бригада рыболовов долж-
на была в среднем ежедневно вылавливать 98 ц рыбы.
Однако из-за штормовой погоды план ежедневного уло-
ва недовыполнялся в среднем на 8 %, и потому бригада
закончила лов на 2 $ля позже намеченного срока. За
сколько дней бригада должна была выполнить план
улова?
881. Сплав меди и цинка содержит 82% меди. После добавле-
ния в сплав 18 кг цинка содержание меди в сплаве пони-
зилось до 70%. Определить, сколько меди и цинка в от-
дельности стало содержаться в сплаве.
882. Сплав олова и меди массой 16 кг содержит 55% олоба.
Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы
получившийся новый сплав имел 60% олова?
883. Из двух соляных растворов, 10-процентного и 15-про-
центного, требуется составить 40 г раствора, крепость
которого была бы равна 12%. Сколько надо взять грам-
мов каждого раствора?
834. Смешана кислота 70-процентной и 48-процентной кон-
центрации и получено 330 г кислоты 60-процентной кон-
центрации. Сколько было взято кислоты 48-процентной
концентрации и сколько 70-процентной?
К пункту 48
885. Преобразуйте в многочлен:
а) (<?4-1)3;
б) (5 Ч- 2)3;
в) (5 —а)3;
г) (х — 4у)3;
д) (0,1а — х)3;
е) (I6+с)3;
ж) (5х- + 2у ‘)3;
з) (3g1-5г’)3;
и) -jab2 —&Y*;
к) (—х3 4-х10)’.
886. Раскройте скобки и упростите:
а) (а — 2&)3 4- 6 (а + 2&)2; б) (2х—бу)3—х (бх—бу)2.
887. Докажите тождество:
а) х (8х 4- I)2 — (8х — I)2=(4л! — 1)’ 4- бх;
б) (а — ЗЬ)3 — (2а — ЗЬ) (ЗаЬ 4- (а — ЗЬ)2) = —а’.
888. Представьте выражение, если возможно, в виде куба
двучлена:
а) х’4-6х24-12х4-1; г) 8р3 + Збр2 4- 54р 4- 27;
б) 8р3—12p2g4-6pg2—1; д) 64а°—48а4Ь4-24а2Ь2—Ь3;
в) 27a3—54</2+36у—8; е) &15 — 510с2 4- -1 dV — -с6.
3 27
174
889. Впишите вместо звездочек пропущенные одночлены так,
чтобы получилось тождество:
а) 64х3 + * + * 4- 27уе = (» + *)’;
б) 125а3 — * + * — 86“ = (* — ♦)3;
в) (10х + *)3 = * + 2100х3г/3 4 » + »;
г) (* — ЗагЬ4)3 = 125х16— * + * — s=;
д) (♦ + 8x3t/2)8 = * + 600jc3j/2 + * + ♦;
е) 216а» — 54Оа4Ь5 -{-*_*=(* — *)«.
890. Представьте выражение в виде куба двучлена:
а) 1000 (а + 5)3; в) —125а3 (а + х)3;
б) (х — у)3; г) (& — I)3 (Ь 4- I)3.
891. Докажите, что np;i всех значениях х выполняется не-
равенство:
а) (х + 5)3 < х (х + 7)2 + (х 4- 13)2;
б) (х — 2)3 < х (х — 5)2 + (х — 2) (4х — 5).
892. Докажите:
а) Если натуральное число при делении на 8 дает в ос-
татке 7, то его куб при делении на 8 также дает в ос-
татке 7.
б) Если натуральное число при делении на 5 дает в ос-
татке 4, то сумма его куба н квадрата делится на 5.
в) Если натуральное число а при делении на 7 дает в ос-
татке 2, а число Ъ — в остатке 3, то сумма их кубов де-
лится на 7.
893. Докажите, что значение выражения не зависит от а:
а) (За + 5)3 — 3 (За + 5)2 (За — 1) +
4- 3 (За + 5) (За — I)2 — (За — I)3;
б) (7 — 2а)3 4- 3 (7 — 2а)2 (2а 4- 3) 4~
4- 3 (7 — 2а) (2а 4- З)2 4- (2а 4- З)3.
894. Найдите такое значение х, при котором может быть
представлено в виде куба двучлена выражение:
а) у (Зу 4- 9)2 4- 27 (у 4- х);
б) 2а (2а — З)2 — (6а — II)2 4- х.
К пункту 49
895. Какие из следующих выражений можно представить в
виде суммы или разности кубов двух выражений:
а) х15 4- 8;
б) + 1;
г) а3д® 4- х3;
г) (о 4- Ь)в 4- сй?
375
896. Представьте выражение в виде суммы или разности
кубов и разложите его на множители:
а) 125 4- с3; г) — 4- Ь3; 125 ж) з) 8я 27я 4- 125; — 8;
б) а3х3 — 1; д) 1000Ь3с* —0,027а8; и) X30 4- 24;
в) 8у3 — 27; е) 0,008х12 4- -; 27 к) 5е — у’л.
897. Докажите, что значение выражения:
a) 41s 4- 19s делится на 60;
б) 793 — 29s делится на 50;
в) 663 4- З43 делится на 400;
г) 543 — 24s делится на 1080.
898. Представьте выражение в виде произведения:
а) (х 4- I)3 4- х3; г) 27а3 — (а — 6)3;
б) (у - 2)3 — 27; д) 1000 + (Ь — 8)3;
в) (а - Ь)3 4- 8Ь3; е) (2у 4- 5)3 4- {у - 2)3.
899. Вычислите наиболее простым способом:
а) — 97 • 83j : (352 — 282);
б) (35,5- — 27,5-) : р73 + 339 _57.33}
' \ 90 /'
900. Преобразуйте в многочлен:
а) (х4-Ю) (х2—10x4-100); г) (2ab—c2)(4a2b24-2abc24-c4);
б) (2а—1) (4а24-2а 4-1); д) (а5—ЗЬ4) (а10 4-За5Ь44-9Ь8);
в) (Ь24-5) (Ь4—5Ь2+25); е) (x44V) (х8—x4p34V)-
901. Впишите вместо звездочек такие одночлены, чтобы полу-
чилось тождество:
а) (Зх 4- 5v) (* — * 4- *) = 27х3 4- 125у3;
б) (10а3Ь 4- *)(* — * 4- *) = * 4- 27b27;
в) (♦ — 7хг/=) (* 4- * 4- *) = 125х15 — *;
г) (4а3Ь2 4- *) (* — 20а4Ь5 4- *) = ♦ 4- *.
902. Упростите выражение:
а) (2х—у) (4хг+2ху 4- у2) — (х+5у) (х2+5ху+25у2);
б) (0,5аЪ 4- с2) (0,25а2Ь2 — 0,5аЬс2 4- с4) —
— [ — аЪ — 2с2^ (— а-Ъ2 4- аЬс2 4- 4с4'i
\2 /\4 /
903. Разложите на множители выражение:
а) х34-у34-2ху (х ‘ (/);
б) х3—у3—5х (х2 А-ху +уг);
в) а3 — Ь34-5а2с—5Ь2с;
г) а3—2а2 4 - 2а — 1;
д) 8Ь3 4- 6Ь2 4- ЗЬ 4- 1;
е) а3 — 4а2 4- 20а — 125.
178
904. Докажите тождество:
а) Эх’-уЧх+уУ— (х34-у3)г=
=(*4-у)4 (4ху—х2—у*)-,
б) (2а3—За2о + ЗаЬ1 —
—2Ь3)2—9а2Ь2(а—Ь)2 =
=4(а— Ь)4(аг4-аЬ4- Ъг).
905. Докажите: Рис- 1°7-
а) Если два натуральных числа при делении на 4 дают
в остатках соответственно 1 и 3, то сумма их кубов де-
лится на 4.
б) Если два натуральных числа при делении на 13 дают
в остатках соответственно 1 и 3, то разность их кубов
делится на 13.
К пункту 50
. 906. Докажите, что соответствие, заданное стрелками на
рисунке 107, есть линейная функция.
907. Функция q задана таблицей:
х | —3 | —2 [ —1 | О | 1 | 2 3 | 4 | 5
~У | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 | -1 -3 | -5 | -7
Покажите, что функция q есть линейная функция, задав
ее формулой.
К пункту 51
908. Скорость v распространения звука в воздухе в зависи-
мости от температуры I может быть найдена прибли-
женно по формуле и = 331 + 0,6/. Постройте график
скорости распространения звука в воздухе. Найдите по
графику, с какой скоростью распространяется звук в
зимний день с температурой — 35 С и в летний день с
температурой 4-30 С.
909. Линейная функция задана формулой на множестве
X — |1; 3]. Найдите множество Y значений переменной
у, если:
а) у = 2х; б) у = 2х — 1; в) у = 0,5х; г) у — 0,5x4-2.
При решении задачи используйте график.
910. Функция f задана на множестве X = 1—»; 4- 00 [,
причем, если х £ ]—со; —2 [, то у = —х — 5;
£если х [ —2; 4-°° [, то у = 0,5х — 2.
177
Постройте график функции f. Найдите множество значе-
ний переменной х, при котором:
a) f (х) =0; б) f (х) <0; в) f (х) > 0.
911. Функция задана формулой у — —х — 1 на множестве
I—5; —1 I J ] 0; 5 1. Постройте график этой функции.
912. Линейная функция задана формулой на множестве X.
Ее значение образуют множество Y. Какой формулой
задана линейная функция, если:
а) X = [2; 51; Y = [—5; —2};
б) X = 1—5; 0]; Y = [0; 5)?
К пункту 52
913. При каких значениях k и b график функции у — kx-\-b:
а) совпадает с графиком функции у = —2х + 3;
б) параллелен графику функции у = —2х + 3, но не
совпадает с ним;
в) пересекает график функции у = —2х + 3?
914. На рисунке 108 построены графики функций, каждая из
которых задана формулой у — kx + b. Определите зна-
ки коэффициентов k и b для каждой прямой.
915. Постройте график функции у — х — 2. Как расположен
этот график относительно графика функции у = х?
Найдите по графику: а) значения х, при которых у=0;
б) множество значений переменной х, при которых у <0;
в) множество значений переменной х, при которых у >0.
916. Постройте график функции у= 3—х. Пользуясь гра-
фиком, решите уравнение или неравенство:
Рис. 108.
а) 3 — х — 0;
б) 3 - х = 1;
в) 3 — х > 0;
г) 3 — х < 0.
917. Постройте график функ-
ции у = х 4 3. Как
расположен этот гра-
фик относительно гра-
фика функции у = х?
Пользуясь графв ком,
ответьте на вопросы,
приведенные в упраж-
нении 915.
Глава VI
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§19- СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
53. Уравнение с двумя переменными
Значение выражения х — у зависит от значений перемен-
ных х и у. При каких значениях х и у оно равно 5, т. е. ка-
кие пары значений этих переменных обращают уравнение
х — у = 5 в верное равенство?
Назовем некоторые из них:
1) х — 9, у = 4; 2) х = 12-1, у — 7—; 3) х — 2, у = — 3,
4) х —17,3, у = — 22.3.
Каждая из пар чисел
(9, 4), /12-1; > (2; —3), (—17,3. — 22,3),
\ 3 3 '
в которой на первом месте стоит значение переменной х, а на
втором — значение у, является решением уравнениях—у =5.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара
значений переменных, обращающая это уравнение в верное ра-
венство.
Имеет ли уравнение г—у=5 еще решения, кроме пере-
численных? Любая пара чисел, в которой значение х на 5
больше значения у, удовлетворяет уравнению, а таких пар
можно составить сколько угодно. Значит, уравнение х—у = 5
имеет бесконечно много решений.
Для отыскания решений уравнения 2хЧЗу — 12 удобно
выразись одну переменную через другую, например у через х.
Для этого перенесем 2х с противоположным знаком в правую
часть уравнения:
Зу - 12 — 2х.
Разделив обе части уравнения на 3, получим:
12- 2х
У=~~з~‘
Выбирая произвольно значение х, вычислим соответствую-
щее значение у. Пусть, например, х = —3, тогда у - 6,
io__________2 f_
так как ------:--— - 6. Аналогично найдем еще несколько
3
пар решений: |10; —2-? (0; 4), (—15; 14). Очевидно, что мно-
жество решений уравнения 2х + Зу = 12 бесконечно.
179
918. Проверьте, является ли пара чисел х — 1у, у = от-
решением уравнения х 4* у = 7. Подберите еще две па-
ры значений переменных, являющихся решением этого
уравнения.
919. Выразите переменную у через х из уравнения:
а) 5х4-Зу=1; б) х—у =7; в) Зу4-*2=5х—1; г) ху = 12.
920. Выразите переменную х через у из уравнения:
а) 12у—х^-7; б) 2х—7у=0,4; в) ху-~8; г) у = 3х.
921. Найдите три каких-нибудь решения уравнения:
а) У=9—2х; б) х4-3у = 12; в) 4х4-3у=5; г) Зх—5у =—1.
922. В таблице дапы пары значений переменных х и у:
X —5 —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 5
У 0 3 4 5 6 —5 —6 —7 4 —3 0
Какие из них служат решениями уравнения:
а) х2 4- у2 = 25; б) х2 — у2 = 7?
923. Составьте уравнение с переменными х и у, которому
удовлетворяет пара чисел:
а) х = 3,5; у = 2; б) х = 1; у = —1.
924. Имеет ли решение уравнение:
а) х2 4- у2 = —4; в) х 4~ 2у = 2у 4~ х 4* 4;
б) х2 + у2 = 100; г) i х | 4- | у | = —5?
925. Сколько решений имеет уравнение:
а) х2 4- у2 = 0; б) (х — I)2 4- (у — 2)2 = 0?
926. Нс идите три решения уравнения:
а) Ох 4- 2у = 6; б) 4х 4~ 0у = —12.
927. Найдите пять решений уравнения (х — 2) • у = 0.
928. Среди решений уравнения х 4" 2у — 18 найдите такую
кару, которая составлена из двух одинаковых чисел.
929. Найдите две пары, которые составлены из одинаковых
чисел и удовлетворяют уравнению (х — 2) (у — 3) =0.
930. Найдите такое значение а, при котором пара (—4; а)
удовлетворяет уравнению:
а) 12х 4~ у — 6=0; в) ху = 8;
б) Зх — 2у = 8; г) х2 — у — 6.
931. Для сельского клуба приобрели р комплектов шашек
по 3 руб. за комплект и q комплектов шахмат по 5 руб.
1£0
за комплект. Вся покупка обошлась в 67 руб. Сколько
комплектов шахмат было куплено? (Найдите все реше-
ния.)
932. Ученик купил п тетрадей по 2 коп. и т карандашей по
3 коп., уплатив за всю покупку 19 коп. Сколько каран-
дашей купил ученик?
54. График уравнения с двумя переменными
Решением уравнения 2у — 5х2 = 0 служит пара чисел.
Каждую пару чисел можно изобразить точкой на коорди-
натной плоскости. Каково множество точек, координаты кото-
рых обращают уравнение 2у—5х2 = 0 в верное равенство? Что-
бы ответить на этот вопрос, выразим у через х: у = 2,5х2. Мы
знаем, что графиком функции, заданной формулой i/ = 2,5x2,
служит парабола. Она изображена на рисунке 109. Координа-
ты любой ее точки обращают в верное равенство уравнение
у = 2,5х2, а значит, и уравнение 2у—5х2==0. Эту параболу
называют графиком уравнения 2у — 5х2 — 0.
График уравнения с двумя переменными есть множество то-
чек, координаты которых служат решениями этого уравнения.
Мы уже знаем, что представляют собой графики некото-
рых уравнений с двумя переменными. График уравнения
у == kx 4- Ъ, где k и Ъ — некоторые числа, есть прямая ли-
ния. Графиком уравнения у — —, где k — не равное нулю
X
число, служит гипербола, а уравнения у = ах2, где а — не
равное нулю число, — парабола.
Графики уравнений с двумя переменными весьма разнооб-
разны. Некоторые из них изображены на
рисунке 110.
Множество пар значений переменных, удовле-
творяющих уравнению с двумя переменными, зада-
ет соответствие между множеством, составленным из
первых элементов, входящих в пары, и множеством,
составленным из вторых элементов. График урав-
нения и является графиком этого соответствия.
Из рисунка 110 видно, что соответствия та-
кого рода, установленные с помощью уравнений
х2 + у2 = 1, (х2 4- у2)2 = 2 (х2 - у2),
х2 + у?’ — Зху — 0, не являются функциями, а соот-
ветствие, установленное с помощью уравнения у =
= х 4- является функцией.
X
181
933. Принадлежит ли точка А (10; — 19) графику уравне-
ния:
а) 2х + у = 1; б) у = — 0,02х3 + 1?
934. Проходит ли график уравнения у = х4—Зх2+х через
начало координат?
935. Докажите, что графику уравнения х3 — у — 0 не при-
надлежит точка:
936. Известно, что графику уравнения Зх—2у=5 принад-
лежит точка А, абсцисса которой равна 0,4. Какова ор-
дината этой точки?
937. По графику уравнения х2+у2 = 16 (рис. 111) найдите
три каких-нибудь решения этого уравнения. Сделайте
проверку. Объясните, почему при проверке равенство
может оказаться приближенным.
938. Постройте график уравнения х = у2, давая у значения
от —4 до 4 так, чтобы каждое следующее было на 0,5
больше предыдущего. Найдите с помощью графика, че-
му равно а, если известно, что точка К (9; а) принадле-
жит графику.
939- Что представляет собой график уравнения:
а) х2 + у2 == 0; б) 2х + у = у + 2х?
182
ВВ. График линейного уравнения
Каждое из уравнений
Зх + 2у = 10, Ох + Зу = 7,5, 2х + Оу = 12
имеет вид:
ах by — с,
где а, b и с — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел
а или Ь не равно нулю. Уравнения такого вида называют ли-
нейными уравнениями с двумя переменными.
Уравнение Ох 4- Оу = 1 не считают линейным, так как
а — 0 и Ь = 0.
Уравнение Зх + 2у = 10 можно привести к виду
у = —1,5х + 5. Уравнение у=— 1,5х+5 имеет то же мно-
жество решений, что и уравнение Зх + 2у = 10. Графиком
уравнения у =» —1,5х + 5, а значит, и уравнения Зх + 2у =
= 10 служит прямая линия (рис. 112).
Вообще уравнение ах т by = с при б =/= 0 можно приве-
a । с
сти к виду у =*---х + —. В самом деле, перенеся ах в пра-
b ь
вую часть уравнения с противоположным знаков, получим:
by = —ах + с.
Разделив обе части уравнения на число Ь, не равное нулю,
найдем, что
График уравнения у = — —х + — есть прямая линия.
ъ ь
Значит, график уравнения ах -- by — с при & =/= 0 есть пря-
мая линия.
Рис. 112-
163
Уравнение 2х + Оу = 12 обращает в верное равенство
любая пара чисел, в которой х равен 6, а у — произвольному
числу, например: (6; 0,01), (6; —18), (6; 1004). График этого
уравнения есть множество точек, у которых абсцисса равна 6,
а ордината — произвольное число. Такие точки образуют пря-
мую, проходящую через точку (6; 0) и параллельную оси у
(рис. 113).
Значит, и при Ь — 0 графиком линейного уравнения
ах + by = с (а =П= 0) также служит прямая линия.
График любого линейного уравнения с двумя переменными
есть прямая линия.
Поэтому график линейного уравнения можно строить по
двум точкам. В качестве таких точек можно, например, взять
точки пересечения графика с осями координат.
Пусть надо построить график уравнения 2х — Зу — 6.
Найдем, что если х = 0, то у = —2; если z/ =0, то х — 3.
Отметим в координатной плоскости точки (0; —2) и (3; 0)
и проведем через них прямую. Эта прямая — график уравне-
ния 2х — Зу — 6 (рис. 114).
940. Постройте график уравнения 4х — у — 2. Найдите по
графику три решения этого уравнения.
941. Постройте график уравнения:
а) х + у — 5; г) Ох + Зу = 12;
б) 2х — у = 6; д) 5х + 0у = 15;
в) х 4- у — 1=0; е) Ох + у = —7.
942. Докажите, что графику уравнения (2х—у) (2х ~т, у) — 0
принадлежат все точки, координаты которых удов-
летворяют уравнению 2х — у = 0, а также все точки,
координаты которых удовлетворяют уравнению 2х-\~у = 0.
Почему никакие другие точки плоскости не принадле-
жат графику уравнения (2х — у) (2х + у) = 0?
184
043. Докажите, что множество решений уравнения
(х — у) (х + у) = 0 есть объединение множества реше-
ний уравнения х—у = 0 и множества решений уравне-
ния х-}-у=- 0.
944. Постройте график уравнения:
а) (Зх — у) (Зх + у) = 0; б) 1Сх2 — у2 = 0.
56. Понятие о системе уравнений с двумя переменными.
Графический способ решения систем
Найдем все пары значений переменных, которые обраща-
ют в верное равенство как уравнение у — х2 = 0, так и урав-
нение у — 2х — 3=0, то есть найдем все общие решения
этих уравнений.
Если ставится задача найти все общие решения двух пли
нескольких уравнений, то говорят, что надо решить систему
уравнений. Принято систему уравнений записывать с помощью
фигурной скобки. Например, рассматриваемую систему урав-
нений можно записать так:
У — х2 = 0,
у — 2х — 3 =0.
Построим в одной системе координат графики уравнений
у—х2 = 0 и у—2х—3=0 (рис. 115). Координаты любой точ-
ки параболы обращают в верное равенство уравнение
у — х2 = 0, а координаты любой точки прямой обращают в
верное равенство уравнение у — 2х — 3 =0. Очевидно, что
координаты каждой из точек пересечения являются общим
решением этих уравнений.
Графики пересекаются в двух точках. Из чертежа находим
две пары значений переменных, являющихся решением как
уравнения у — х2 — 0, так и уравнения у — 2х — 3 = 0:
X = —1, у = 1
и х = 3, у = 9.
Пара значений переменных, об-
ращающая в верное равенство
каждое уравнение с двумя пере-
менными, входящее в систему,
называется решением системы
уравнений.
Мы нашли, что рассмотрен-
ная система уравнений имеет
два решения: (—1; 1) и (3; 9).
Решить систему — значит
найти множество ее решений.
Обозначим множество реше-
ний одного уравнения буквой
А, а другого — буквой В. Мно-
185
жество С решений системы этих уравнений состоит из общих
элементов множеств А и В, то есть является их пересечением:
С = А П В.
Примененный нами способ решения системы уравнений с
двумя переменными называется графическим.
945, Является ли пара значений переменных х=3, у----1
решением системы:
а) / 2х + у — 5,
I х2 + у2 == 10;
б) х 4- 2у = 1,
Зх — у = 10,
х — у = 4?
946.
Есть ли среди пар (3; -ij, (1; 1),
(—0,5; —2), в каждой из которых
писано значение переменной лг, а
переменной у, решения системы:
(-1; —1), (0,5; 2),
на первом месте за-
на втором значение
а) | х + у = —2, б) ( ху = 1,
| Зх — 2у = —1; | 2х — у = 1?
947. Составьте систему уравнений, решением которой служит
пара значений переменных: а) х — 2, у — —5; б) х = 0,
у - 3.
948. Найдите подбором два решения системы уравнений:
а)
U + и = 7,
и v = 12;
б) | и + v = 10,
( и • v = 21.
949. Пользуясь графиком уравнений у = х3 и у = 4х
(рис. 116), решите систему:
I У = *3,
| у = 4х.
Рис. 117.
186
950.
952.
На рисунке 117 построены графики уравнений ху =—6,
х + у — 1» х — у = 7. Пользуясь графиками, решите
систему уравнений
а) (ху — —6, б)
в) [ху ^-—6, г) [ху=-----6,
\х-\-у = 1; \х—у — 7.
951.
Решите графически
а) у = х2,
систему уравнений:
б) [ху =- 6, в) [х—у = О,
IX — у = 1; 1х3 — у = 0.
Решите графически
a) U/ = х, б)
iz/=5 — х\
систему линейных уравнений:
- 6
16г/—5 =8х;
§ 20. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
57. Различные случаи решения системы
двух линейных уравнений с двумя переменными
Графическое решение системы линейных уравнений с дву-
мя переменными сводится к отысканию координат общих то-
чек двух прямых линий.
Как известно, две прямые на плоскости могут быть парал-
лельными или пересекающимися. В случае параллельности
прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
а) Пусть дана система уравнений:
( 5х + у = 11,
j Зх — 2у = 8.
Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:
[ у — —5х + 11,
( у = 1,5х — 4.
Угловые коэффициенты прямых, служащих графиками
уравнений системы, различны. Поэтому прямые пересекаются.
Координаты точки их пересечения являются решением этой
системы, и притом единственным.
б) Пусть нужно решить систему:
| Зх — 2у = 12, (1)
( 6х — 4у = 11.
Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:
J у — 1,5х — 6,
I у = 1,5* — 2,75. (2)
187
Прямые у = 1,5х — 6 и
у — 1,5х—2,75 имеют оди-
наковые угловые коэффициен-
ты; они параллельны прямой
у = 1,5х и пересекают ось у
(рис. 118) в точках (0; —6)
и (0; —2,75). Значит, эти пря-
мые параллельны и не сов-
падают. Поэтому система (1)
не имеет решений.
В том, что система (1) не
имеет решений, можно убе-
диться, рассуждая иначе. Ум-
ножим каждый член первого
уравнения на 2; получим
уравнение бх—4 г/ = 24. Срав-
нивая это уравнение со вто-
рым уравнением системы, замечаем, что левые части уравне-
ний одинаковы, поэтому при одних и тех же значениях х и у
они не могут принимать различных значений 24 и 11. Сле-
довательно, система
f бх — 4у = 24,
I бх — 4у = 11
не имеет решений; значит, не имеет решений и система (1).
в) Рассмотрим систему:
( 5х — 7у = 16,
| 20х — 28у = 64. (3)
Разделив каждый член второго уравнения на 4, получим си-
стему:
( 5х — Чу = 16,
| 5х — Чу — 16.
Она состоит из двух одинаковых уравнений. Поэтому графики
уравнений системы совпадают. Решением системы будут слу-
жить координаты любой точки графика. Значит, система (3)
имеет бесконечно много решений.
Итак, система двух линейных уравнений с двумя переменны-
ми может иметь одно решение; не иметь ни одного решения;
иметь бесконечно много решений.
953. Выразив у через х в каждом из уравнений, определите,
какая из систем не имеет решения; имеет бесконечно
много решений; имеет одно решение:
а) /У — бх = 0,
|4х — у = —2:
б) (5х + = 13,
(7,5х + 12у = 25;
1S3
в) j2x = 11 — Зу, г) [4х — Зу === 7,
\3у = 11 — 2х; |5х Н- 2у = 26.
954. Дачэ уравнение 5х—у = 2. Составьте еще одно урав«
нение, которое вместе с данным образует систему:
а) имеющую одно и только одно решение;
б) не имеющую решений;
в) имеющую бесконечно много решений.
955. Найдите расстояние от точки пересечения прямых
4х + у = 8 и 5х — у = 1:
а) до оси х; б) до оси у.
956. Проходит ли прямая Зх—7у = 1 через точку пересе-
чения прямых:
а) х = —2 и 5х — у = —9;
б) у = 5 и х 4* у = 11?
957. Выясните с помощью графиков, имеет ли решение си-
стема трех уравнений с двумя переменными:
а) (х + у = 2, б) [X — у = 1,
]2х + Зу = 0, ;х + 2у = 13,
1х — у = 10; 12х — у = 3.
58. Простейшие системы лилейных уравнений
До сих пор мы решали системы уравнений с двумя пере-
менными графически. Однако такой способ решения часто ока-
зывается неудобным, например, в том случае, когда точка пере-
сечения графиков уравнений системы значительно удалена от
начала координат. Кроме того, при графическом способе не
может быть обеспечена большая точность значения х и у. По-
этому обычно применяют другие способы решения (о них бу-
дет сказано позднее).
Некоторые системы двух линейных уравнений с двумя пе-
ременными легко решить без построения графиков. Приведем
примеры.
Пример 1. Решим систему:
/Зх — 7у = 2,
(2х + Оу = 20.
Уравнению 2х + Оу = 20 удовлетворяет любая пара вида
(10; Ь), где b — любое число, и только такая пара. Из множе-
ства пар вида (10; Ь) выделим те, которые удовлетворяют пер-
вому уравнению системы. Для этого в уравнение Зх—7у = 2
вместо х подставим 10, получим 3-10 — 7у = 2. Отсюда
у = 4. Следовательно, пара чисел (10; 4) удовлетворяет как
первому, так и второму уравнению системы, то есть является
решением данной системы, и притом единственным.
Решение системы: х = 10, у = 4.
189
Пример 2. Заменим систему:
(Зх =—12,
I х + у — 1.
Первое уравнение содер-
жит только одну переменную
х и обращается в верное ра-
венство при х = —4.
Как известно, решением си-
стемы уравнений с двумя
переменными служит пара
чисел.
Можно ли говорить, что
первому уравнению удовлетво-
ряет пара вида (—4; &), если
в этом уравнении отсутствует
переменная у?
Условимся считать, что уравнение Зх = —12, входящее
в данную систему, есть сокращенная запись уравнения
Зх -Ь Оу = —12 и ему удовлетворяет любая пара вида (—4; д),
где b — какое угодно число.
Подставив значение х = —4 во второе уравнение системы,
найдем значение у.
Решение системы: х = —4, у = 5.
На рисунке 119 дано графическое решение той же системы
уравнений.
958. Решите систему:
а) (Ох — бу = 15,
(2х + Зу — —3,5;
б) (Зх + 4у = 1,
(5х — Оу = 45;
в) (х = —5,
|х + 2у = 1;
г) (2х—Зу ——1,
\2у +9=0; .
д) (Зх = —2,
(9х + у — 2;
е) [ 4х — Зу = 12,
15г/ =4.
59. Способ сложения
Для решения системы уравнений, каждое из которых со-
держит обе переменные с не равными нулю коэффициентами,
ее преобразуют так, чтобы в одном из уравнений коэффициент
при какой-нибудь переменной стал равен нулю.
Мы познакомимся с двумя основными способами решения
систем линейных уравнений: способом сложения и способом
подстановки.
Пусть дана система:
2х + Зу = 7,
х — у 0.
(1)
(2)
190
Рис. 120.
Рис. 121.
Сложив соответственно левые и правые части данных урав-
нений, получим новое уравнение:
Зх 4- 2у = 13. (3)
Построим графики уравнений (1) и (2). Прямые пересеклись
в точке А (5; —1) (рис. 120).
Будет ли прямая (3) проходить через точку А (5; —1)?
При х = 5, у = —1 уравнения (1) и (2) обращаются в вер-
ные равенства. Если их сложить, то тоже получится верное
равенство. Следовательно, пара чисел х — 5, у — —1 удов-
летворяет уравнению (3).
Значит, прямая (3) проходит через точку А пересечения
прямых (1) и (2) (рис. 121).
Так как прямая (3) не совпадает ни с одной из данных
прямых, то система
12х + Зу = 7,
( х — у = 6
и любая из систем
(2х + Зу — 7, или Г Зх + 2у = 13,
1 Зх 4- 2у = 13 1 х — у = 6
имеют одно и то же решение: х = 5, у = —1 (координаты
точки А).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть нужно решить систему: ( 2х 4~ у == 9,
|х —- у = 24.
Заменим одно из уравнений системы новым уравнением,
левая часть которого равна сумме левых частей данных урав-
нений, а правая часть — сумме правых частей:
| Зх = 33,
| х — у — 24.
191
Из первого уравнения полученной системы находим:
х =11. Подставив найденное значение х во второе уравне-
ние, узнаем, что у = —13.
Решение системы: (11; —13).
Пример 2. При решении системы
( 5х + Ну — 8,
110х — 7у = 74
непосредственное сложение не приведет к упрощениям, так
как ни одна из переменных при этом не исключится. Однако
если умножить все члены первого уравнения на —2 (а второе
оставить без изменения), то коэффициенты при х в обоих урав-
нениях будут противоположными числами:
(—10х — 22у = —16,
t 10х — 7у = 74.
Заменим первое уравнение системы уравнением —29у =58,
а второе оставим без изменения. Получим новую систему:
( — 29у = 58,
| 10х — 7у = 74.
Из уравнения — 29у = 58 находим: у = —2. Из второго,
подставив в него у = —2, узнаем х.
Решение системы: х = 6, у — —2.
Пример 3. Чтобы решить систему
|9х + 7у = 7,
12х -Зу = -85,
можно, умножив каждый член первого уравнения на 3, а
второго на 7 и затем сложив соответственно левые и правые
части уравнений, исключить переменную у:
f 27х + 21у = 21. ( х = —14,
114х — 21у = —595; ( 2х — Зу = —85;
(41г = —574, f х = —14,
I 2х — Зу = —85; ( у — 19.
Система решена. Ответ: (—14; 19).
959. Покажите графически, что система уравнений
2х — у = 5,
х 4- у = 16
имеет то же решение, что и любая из систем
I 2х — у = 5, или (Зх = 21,
I Зх = 21 j х + у = 16.
960. Решите систему уравнений:
a) f 2х 4- Ilf/ = 15, б) (4х — 7у = 30,
(10х — Ну = 9; (4х — 5у = 90;
193
в) j 40х 4- Зу — 10,
(20x — 7y — 5;
г) / 5x — 2y = 1,
115x — 3y = —3;
Д) (9x + Sy = —2,
(4x + 5y = —11;
e) (5y — 6x = 0,
\4y + 17x = 109;
ж) J 3y — 7x — 32 — 0,
(2x — 3y — 3 = 0;
з) (0,75x 4* 20y = 95,
[0,32x — 25y = 7;
и) J 5(x4~2y)—3 =x 4- 5,
(4(x—3г/) —50 = —у;
к) (5(x — Sy)—6 = 2x 4- 1,
(3(x + 6y) 4~ 4 =9r/4~19.
061.
Проверьте, является ли
решение системы
а) / 7х — Зу = О,
| 2х — у = —1
решением уравнения Зх 4~ 5у = 44;
б) 14х 4- 5г/ = 18,
( —5х 4- 4у == 80
решением уравнения 7х — 2г/ = —96.
962. Имеет ли решение система:
Зх 4~ зу 34,
4х — 5у = —13,
2х — у = 1;
б) Г 8х — 7г/ = 9,
< 13х 4- Зу = —86,
| Зх + у = —18?
963. Одним из решений уравнения ах — 5у — 2 служит па-
ра (3; 5).
Найдите решение системы: (ах — 5у =2,
\2х — у — 2.
964. Найдите решение системы: ( 8х 4- by = 1,
112х — бу =5,
зная, что пара (11; —29) служит одним из решений
уравнения 8х 4* by = 1.
60. Способ подстановки
Рассмотрим еще один способ решения системы уравнений.
Пусть нужно решить систему: ( 2х 4* у = 1»
(5х 4- 4у — 13.
Выразив из первого уравнения у через х, получим сис-
тему уравнений:
(у = 1 — 2х, (1)
(5х + 4у = 13. (2)
Заменим в уравнении (2) у на 1 — 2х. Получим уравнение
5х 4- 4(1 — 2х) = 13.
(3)
Если при некоторых значениях х и у уравнения (1) и (2)
обращаются в верные равенства, то уравнение (3) так-
7 Заказ 220
193
же обратится в верное равен-
ство.
Геометрически это означа-
ет, что если прямые (1) и (2)
перепекаются, то прямая (3)
проходит через точку их пе-
ресечения (рис. 122).
Прямая (3), параллельная
оси у, не совпадает ни v одной
из данных прямых. Значит, сис-
тема уравнений
(2х + у = 1,
(5х -f- 4у = 13
и любая из систем
а) / 2х + у = 1,
(5х 4- 4 (1 — 2х) = 13
или
б) (5х + 4z/ = 13,
\5х 4(1- 2х) = 13
имеют одно и то же решение.
Из уравнения 5х + 4 (1 — 2х) — 13 находим: х = —3.
Подставив найденное значение х в уравнение у — 1 — 2х,
найдем значение у.
Решение системы: х = —3, у = 7.
965. Покажите графически, что:
а) прямая 2 (1 4- у) + Зу = 17 проходит через точку
пересечения прямых: х = 1 4- у и 2х + Зу = 17;
б) прямая 5х 4- 2 (3,5 — 0,5х) = 3 проходит через точ-
ку пересечения прямых у=3,5—0,5х и 5х4~2у = 3.
966. Решите способом подстановки систему:
a) jy=2x—1, в) j x+j/=12, д) (4х—Зу=7,
(7х=1/4-9; (4х—2у = 15; (5x4-2z/=26;
б) / х 4у+5, г) (8х—у =4, е) (Их—4,5у =1,5,
lx4-8z/ = — 7; (—21x4-2i/=—3; (22х—9у=5.
967. Решите систему:
а) ( 2х 4- 5у == О,
Вх 4- 15у = 7;
б) /7х — 9у = — 1,
(Зх 4- 4у = 31;
г)
~х — 0,2- = 19 — Зу,
у — — = 15 —— 2х.
v 6 3
1
2
194
61. Решение задач составлением системы уравнений
С помощью систем уравнений удобно решать многие задачи.
Рассмотрим примеры.
Задача 1. Для клуба приобрели 10 комплектов шахмат и
16 комплектов ша^ек nd сумму 110 руб. Сколько стоит один
комплект шахмат и один комплект шашек, если известно, что
3 комплекта шахмат стоят на 2 руб. 20 коп. дороже, чем 4 ком-
плекта шашек?
Решение.
Пусть цена комплекта шахмат х руб., а комплекта ша-
шек у руб. Тогда стоимость 10 комплектов шахмат и 16 комп-
лектов шашек (10х 4 16г/) руб
По условию задачи:
10х Ч 16у = 110. (1)
Учитывая, что 3 комплекта шахмат дороже 4 комплектов ша-
шек на 2,2 руб., получим второе уравнение:
Зх — 4г/ = 2,2. (2)
Значения х и у должны удовлетворять как уравнению (1),
так и уравнению (2), поэтому они должны удовлетворять сис-
теме уравнений:
/ 10х + 16у = 110,
(Зх — 4у = 2,2.
Решив эту систему, получим:
х = 5,4; у — 3,5.
По смыслу задачи значения х и у должны быть выражены
положительными числами; это условие выполнено.
Ответ. Цена комплекта шахмат 5 руб. 40 коп., цена
комплекта шашек 3 руб. 50 коп.
Задача 2. На двух полках стоят книги. Если с первой полки
переложить на вторую 8 книг, то на ней окажется в 1,5 раза
меньше книг, чем на второй полке. Если же со второй полки
переложить на первую 2 книги, то на первой полке окажется
в 2 раза больше книг, чем на второй. Сколько книг на каждой
полке?
Решение. Пусть на первой полке х книг, а на вто-
рой — у книг. Если с первой полки переложить на вторую
8 книг, то на первой окажется (х—8) книг, а на второй
(У + 8) книг.
На второй полке окажется в 1,5 раза больше книг, чем на
первой, следовательно:
1,5 (х — 8) = у + 8.
7*
195
Если со второй полки переложить на первую 2 книги, то на
полках окажется: на первой (x-f-2) книги, на второй (у — 2)
книги.
По условию:
х + 2 = 2 (у — 2).
Значения х и у должны удовлетворять системе уравнений: .
/1,5 (х — 8) = у + 8,
(х + 2 = 2 (у — 2).
Приведя каждое уравнение к виду ах + by = с (стандартному
виду линейного уравнения), получим:
1,5х — у = 20,
х — 2у = —6.
Решив систему, найдем: х = 23, у = 14,5.
По смыслу задачи значения х и у должны быть выражены
натуральными числами, поэтому задача не имеет решения.
Решите задачи посредством составления системы уравне-
ний.
968. Сумма двух чисел равна 13, а их разность 2. Найдите
эти числа.
969. Периметр прямоугольника равен 30 Л1, его длина больше
ширины на 1 м. Чему равны стороны и площадь прямо-
угольника?
970. У двух мальчиков 16 орехов. Если один передаст дру-
гому 6 орехов, то у него останется в 3 раза меньше оре-
хов, чем станет у другого. Сколько орехов у каждого?
971. Сестра старше брата на 6 лет, а через год будет старше
его в два раза. Сколько лет каждому?
972. Отец старше дочери на 26 лет, а через 4 года будет стар-
ше ее в 3 раза. Сколько лет отцу и сколько дочери?
973. За 6 м сатина и 5 л: штапеля уплатили 19 руб. Сколько
стоит 1 м каждой ткани, если 4 м сатина стоят столько
же, сколько 3 м штапеля?
974. За 3 пары лыж и 4 пары коньков уплатили 47 руб. Сколь-
ко стоит пара лыж и сколько стоит пара коньков, если
2 пары коньков дороже одной пары лыж на 1 руб.?
975. Бак наполняется водой с помощью двух труб. Если во-
да будет поступать из первой трубы в течение 20 лшн, а
из второй — в течение 10 лгин, то в баке окажется
120 л воды. Если же первая труба будет открыта 15 мин,
а вторая — 7 мин, то в бак нальется 88,5 л воды. Сколь-
ко литров воды в минуту вливается в бак через каждую
трубу?
106
976. Если всех учеников, пришедших на школьную матема-
тическую олимпиаду, посадить в классе по одному за
каждую парту, то не хватит 11 парт, а если их посадить
по двое за парту, то останется еще 5 свободных парт.
Сколько учеников пришло на олимпиаду и сколько’
парт в классе?
977. Турист, рассчитывая за определенное число дней совер-
шить путешествие, взял с собой некоторую сумму денег.
Если он будет расходовать ежедневно по 2 руб., то к
концу путешествия у него останется 6 руб. Если же он
будет расходовать в день по 3 руб., то за 2 дня до срока
израсходует все свои деньги. Сколько денег взял с со-
бой турист и сколько дней должно было продолжаться
путешествие?
978. Две бригады собрали вместе 1787 ц ржи. Первая брига-
да собрала рожь с 46 га, а вторая бригада — с 35 га.
Сколько центнеров собрала в среднем с 1 га каждая
бригада в отдельности, если первая собирала с каждых
8 га на 58 ц ржи больше, чем вторая с 5 га?
979. Два тракториста забороновали вместе 678 га пашни.
Первый тракторист работал 8 дней, а второй — 11 дней.
Сколько гектаров бороновал в среднем за день каждый
тракторист, если первый за каждые 3 дня бороновал на
22 га меньше, чем второй тракторист за 4 дня?
980. Смесь, состоящая из двух веществ, весит 900 г. После
того как из нее выделили — первого вещества и 70%
6
второго, в ней осталось первого вещества на 18 г меньше,
чем второго. Сколько каждого вещества осталось в
смеси?
981. Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем
тт 6
цинка. После того как из сплава выделили у содержа-
щейся в нем меди и 60 % цинка, масса сплава оказалась
равной 200 г. Сколько весил сплав первоначально?
982. Если задуманное двузначное число сложить с суммой
его цифр, то получится 68. Если же из этого двузначного
числа вычесть 45, то получится двузначное число, напи-
санное с помощью тех же цифр, что и первоначальное.
Найдите задуманное двузначное число.
983. Если задуманное двузначное число разделить на сумму
его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если
же из задуманного числа вычесть удвоенную сумму его
цифр, то получится 25. Какое число задумано?
984. На покупку футбольного мяча два товарища истратили
поровну: первый дал -i- своих денег, а второй —- и
еще 1 руб. После покупки у второго осталось на 50 коп.
197
меньше, чем у первого. Сколько было денег у каждого
товарища первоначально и сколько стоит футбольный
мяч?
985. Если из одного бака перелить в другой — имеющейся
4
в нем воды, то во втором баке окажется вдвое больше
воды, чем в первом. А если из второго бака перелить 10%
имеющейся в нем воды в первый бак, то в обоих баках
будет воды поровну. Сколько воды в каждом баке?
(Укажите число решений задачи.)
62. Система линейных уравнений с тремя переменными
Каждое из уравнений 2х 4~ Зу 4~ z = б и х — у - - 2z = 3 имеет бесконеч-
ное множество решений. Существуют ли такие значения х, у и z, которые удов-
летворяют обоим уравнениям? Если существуют, то каковы эти значения и
сколько их?
Ответить на эти вопросы — значит решить систему уравнений:
! 2х 4- Зу -j- z = 6,
I х — у — 2г — 3. (1)
Возьмем какое-либо произвольное значение z, например 2 — 0, и подста-
вим в оба уравнения.
Получим систему двух уравнений с двумя переменными:
J 2х 4“ Зу = 6,
I х — У = 3.
Решив эту систему, получим: ( х = 3,
I У = о.
Значит, система (1) имеет одним из своих решений х = 3, у = 0, z = 0.
Если взять другое значение z, например z — 5, то соответственные значения
двух других переменных будут: х = 8, у = —5.
Очевидно, что каждому произвольно выбранному значению z соответствует
определенная пара значений х и у. Поэтому система (1) имеет бесконечно много
решений.
Система двух уравнений с тремя переменными может вообще не иметь ни
одного решения; например, системе
(х 4- у 4~ z = 10,
1 2х 4- 2у + 2z = 17 (2)
не удовлетворяет никакая тройка значений переменных х, у и z. Действительно,
разделив все члены второго уравнения системы на 2, получим систему, имею-
щую то же решение:
( х 4~ у 4- z — 10,
I х 4" У 4" z = 8,5.
Одни и те же значения слагаемых х, у и z не могут давать сумму, равную двум
различным числам (10 и 8,5). Значит, система (2) не имеет решений.
198
Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя переменными.
Пример 1. Решить систему:
(х + у = 30,
< х — у + г = 10,
(2х — Зу — z —11.
Первое уравнение системы не содержит z. Сложив два других уравнения,
получим новое уравнение, не содержащее z: Зх — 4у = —1.
Возьмем это уравнение вместо последнего уравнения данной системы:
(х + у ~ 30,
I х — у -|- г = 10,
( Зх — 4у = —1.
Решив систему двух уравнений:
J х 4~ У — 30,
| Зх — 4у — —1,
найдем: х = 17, у = 13.
Из уравнения х — у z = 10 теперь можно найти 2:
2 = 10 — 17 + 13 = 6.
Решение системы: х » 17, у — 13, z = 6.
Пример 2. Решите систему:
Зх 4~ у — 2 = 2,
х — 2у + г = 7,
. 5х — у — 4z = —1.
Покажем, как применить для решения способ подстановки. Выразим, на-
пример, из первого уравнения z:
2 = Зх + У — 2.
Подставим выражение Зх + У — 2 вместо z в каждое из остальных уравне-
ний системы:
z = Зх + у — 2,
х — 2у 4- (Зх 4- у — 2) = 7,
, 5х — у — 4 (Зх 4- У — 2) = — 1.
После упрощения система принимает вид:
2 — Зх 4- У — 2,
4х — у = 9,
7х 4~ 5у — 9.
Два последних уравнения системы определяют единственную пару хну:
х — 2, у = —1.
Из первого уравнения найдем z: z = 3.
Решение системы: х — 2, у — — 1, z ~ 3.
9S3. Решите систему:
а) / Зх 4- 2у = 1,
2у 4- z = 7,
( Зу — 2z = 0;
в) 1 2х 4- У — 4z = 7,
{Зх — 2у 4- 2z = 22,
I х — Зу 4* 3z = 12;
2х 4“ Зу — z = 15,
Зх — у — 5;
2х — 4у — z = 9,
Зх 4" У — 2z = 8,
. 4х 4- У 4“ 2 = О.
199
987. Решите задачи:
а) Три села А, В и С расположены таким образом, что путь от А до С
через В равен 12,5 км, от В до А через С — 15,5 км и от С до В через А —
9 км. Найдите расстояния между селами.
б) Периметры трех граней прямиуж ильного параллелепипеда} имеющих
общую вершину, равны соответственно 172 см, 178 см и z02 см. Найдите
объем и площадь поверхности этого параллелепипеда.
988. Найдите стороны треугольника, если периметр треугольника равен
90 см, бблыиоя сторона меньше суммы двух Других сторон на 10 см, а
утроенная меньшая сторона на 2 см больше суммы двух сторон.
989. а) Сумма цифр трехзначного числа равна 21. Если в этом числе переста-
вить цифру сотен с цифрой десятков, то число уменьшится на 180, а если
переставить цифру десятков с цифрой единиц, то число увеличится на 36.
Найдите это трехзначное число.
б) Сумма цифр трехзначного числа равна 16. Если в этом числе переста-
вить цифру сотен и цифру единиц, то число уменьшится на 297, а если
переписать цифру сотен с первого места иа последнее, оставив остальные
цифры на своих местах, то число уменьшится на 477. Найдите это трех-
эначное число.
990. Решите систему трех уравнений с тремя переменными:
+ у - 90,
+ г = 61,
х 69;
б) [ х + у + г = 57,
{ у — г = 2,
I г — х = 2;
в) ( х + 2у И Зг = 123,
{ 2х + Зу + г = 231,
I Зх + у + 2г = 312;
г) [ х + 2у — 3z = 0,
< Зх 4- 4у + 5г = 2,
| 5х + бу + lz = 3;
е)
у
х + — = 100,
2
У + ф = wo.
и
г + — - 100;
4
х — у + г = О,
х 2у Зг
2 3 + 4 = °’
х 2у Зг
991. Найдите два каких-нибудь решения системы двух уравнений с тремя
переменными:
a) t 2х — 13г/ + г = 19, б) I 8х + Зу + 2г = 113,
I Зх + 1у + 2г = 47; | 10х — 5у — Зг = 1.
Решите задачи:
992. Периметр треугольника 16 дм. Большая сторона превышает меньшую
на 25 см, а удвоенная средняя сторона меньше суммы двух других сторон
на 1 см. Найти стороны треугольника.
993. В трех сосудах 54 л воды. Если из первого перелить во второй 4 л, то в
обоих сосудах будет воды поровну, а если нз третьего сосуда перелить во
второй 17 л, то во втором окажется в четыре раза больше воды, чем в
третьем. Сколько воды в каждом сосуде?
994. В трех сосудах 36 л воды. Из первого сосуда переливают половину имею-
щейся в нем воды во второй сосуд, потом треть воды, оказавшейся
200
во втором сосуде, — в третий и, наконец, четверть воды оказавшей-
ся в третьем, переливают в первый. После этого во всех сосудах
оказалось воды поро»пу. в каждом сосуде первона-
ЧолопО?
995. Дорога из Л в В длиной 90 км идет в гору, по ровному месту и под гору.
Велосипедист ехал из Л в В 5— ч, а обратно 6 ч. Скорость велосипедиста
при подъеме в гору была 12 км/ч, по горизонтальному участку пути —
18 км/ч, а под гору — 20 км/ч. Узнать,, на каком протяжении Дирога идет
в гору, пс ровному месту и под юру.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
К пункту 53
996. Составьте уравнение с двумя переменными, решением
которого служит пара чисел:
а) (10; 3); 6) (0, - 7); в) —0,8); г) (—1,4; —3,6).
997. В уравнении ... х 2^ = 8 коэффициент при х оказался
стертым. Найдите его, зная, что пара чисел х = 2,
у = 1 является решением данного уравнения.
998, Известно, что уравнение kx — 2у = 1 при х = 5, у = 7
обращается в верное равенстве. Найдите коэффициент k.
999. Пара чисел (—3; 8) удовлетворяют уравнению 5х4-д^*-Л7.
Найдите коэффициент Ь.
1000. Сколько решений имеет уравнение:
а) ху — 2 = ху, г) (х — 2)s + (у — З)2 = 0;
б) х2 + (У + I)2 = 0; д) |х|4-|у| = х4-у;
в) IX + 51 + I у — 31 = О, е) х (х + у) — у (х — у) =
= х2 + у2 — 1?
1001. Найдите все пары натуральных чисел, которые явля-
ются решениями уравнения:
а) х 4- у = 11; в) 5х у = 37;
б) ху = 18, г) Зх + 2у = 23.
1002. Найдите все пары простых чисел (а; &), которые удов-
летворяют уравнению а + b = 84.
1003. Докажите, что если а и b — целые числа, то пара чисел
(—15; 40) не удовлетворяет уравнению ах + by — 81.
1004. Может ли пара чисел (а; Ь), где а — не целое число,
b — целое число, удовлетворять уравнению:
1) 8х + у = 13; 2) х + 8у = 13?
2С1
1005. а) Может ли пара простых чисел удовлетворять урав-
нению 6х — 5у — 102?
б) Может ли пара чисел, каждое из которых кратно 3,
удовлетворять уравнению 37х + 41у = 107?
1005. Найдите пять решений уравнения:
а) 0 • х + 2у----7;
б) Зх Ь 0 у = —21;
в) X ' (г/ + 5) 0;
г) (х - 3) (у + 4) = 0.
1007. Для школы-интерната приобрели несколько пар конь-
ков по 3 руб. и т пар ли» по 2 руб. 40 коп. Вся покуп-
ка обошлась в 30 руб. Сколько пар коньков было купле-
но? При каких значениях переменной т задача имеет
смысл?
1008. Хозяйка купила а глубоких тарелок и несколько мел-
ких. Глубокая тарелка стоит 80 коп., а мелкая —
60 коп. За всю покупку было уплачено 7 руб. Сколько
мелких тарелок купила хозяйка? Найдите множество
значений переменной а, при которых задача имеет смысл.
1009. Учащиеся одного класса отправились в музей, причем
п учащихся поехало на троллейбусе, а остальные на ав-
тобусе. Проезд на автобусе стоит 5 коп., а на троллей-
бусе 4 коп. За весь проезд заплатили 1 руб. 69 коп. Сколь-
ко учащихся поехало на автобусе и сколько всего уче-
ников в классе? Найдите все решения задачи.
1010. Деля число 37 на q, ученик нашел, что частное равно р.
а остаток 2. Составьте уравнение и найдите все его реше-
ния, соответствующие условию задачи.
1011. Длины сторон (в сантиметрах) равнобедренного тре-
угольника выражаются целыми числами. Его периметр
равен 12 см. Найдите стороны этого треугольника.
1012. Смешали печенье первого сорта стоимостью
1 руб. 80 коп. за килограмм и печенье второго сорта
стоимостью 1 руб. 20 коп. за килограмм. Каково должно
быть отношение веса печенья первого сорта к весу пе-
ченья второго сорта, чтобы один килограмм смеси сто-
ил 1 руб. 40 коп.?
1013. Смешали несколько литров 15-процентного соляного
раствора и несколько литров 10-процентного соляного
раствора и получили 12-процентный соляный раствор.
Каково должно быть отношение объема 15-процентного
раств.ора, взятого для приготовления смеси, к объему
10-процентного раствора?
202
К пункту 54
1014. Принадлежит ли графику уравнения ха — у — 2 = 0
точка К ( 1; -3)?
1015. Укажите гри точки, принадлежащие графику уравне-
пия у‘ — х — 1.
1016. Графику уравнения х — у2 = 16 принадлежит точка с
ординатой —1,3. Найдите абсцессу этой точки.
1017. Напишите три каких-либо уравнения, графики которых
проходят через точку (—2, 4).
1018. Что представляет собой график уравнения:
а) (х — 2)2 + (у — З)2 — 0; 6) х -г у — у х?
1019. В уравнении у = ах2 — 4 подберите коэффициент а
так, чтобы график уравнения проходил через точку
Р (1; —3). В каких точках этот график пересечет ось х;
ось у?
1020. Не выполняя построения, докажите «то графики трех
уравнений ху = 12, 2х -4 у = 10 и 4х2 + у2 — Ь2 про-
ходят как через точку А (3: 4), так и через точку В (2; 6).
К пункту 55
1021. Покажите построением, что графики уравнений
у — —х + 5, 2х — у — 16 и х + 2у—3 = 0 пересекают-
ся в одной точке. Найдите координаты этой точки.
1022. Постройте в одной системе координат графики уравне-
ний: у — 2х — 0кх + у=6- Не вычерчивая графика
уравнения 2х3 — ху = 8, определите, проходит ли он
через точку пересечения двух построенных графиков.
1023. Постройте график уравнения:
а) 2х + 0 • у = 10; б) 0 • х 4 5у = —10.
1024. Постройте график уравнения:
а) (х — 2) (у — 5) = 0; в) х (у — 2) = 0;
б) (х + 3) (у — 1) = 0; г) ху — 0.
1025. Не выполняя построений, найдите координаты точки,
в которой график уравнения (х + 2) (у 4 3) = 0 пере-
секает ось х; ось у.
1026. С помощью графиков найдите точку, координаты кото-
рой удовлетворяю? уравнению ху — 12 и уравнению
х + у = 7.
1027. Объясните, почему ни одна точка с целочисленным!:
координатами не принадлежит графику уравнения
Зх — 9у = 7.
1028. В уравнении ах — у =4 подбери! е коэффициент а
так, чтобы график уравнения прошел через точку А(3;51.
203
1029. При каком значении с график уравнения у = 2,5х + с
проходит через точку К (2; —3)?
1030. В уравнении у — ах + Ь подберите значения а и Ъ так,
чтобы прямая, служащая графиком этого уравнения,
проходила через начало координат и через точку В (1;2).
1031. Что представляет собой график уравнения:
а) х = у; б) х = —у; в) х2 - у2\ г) х2 — —у2?
1032. Постройте график уравнения:
а) У = | х |; в) у = х + I х |;
б) У = — I х |; г) у = х — I х |;
д) у = х • | х |.
1033. Постройте график уравнения:
а) х2у — 6х = 0; б) х3 — ху — 0.
К пункту 56
1034. Покажите графически, что множество решений системы
уравнений
(у — х2;
U = 2х + 3
состоит из двух пар: (3; 9); (—1; 1).
1035. Найдите множество решений системы:
a) ( ху — 12, б) (ху = —8, в) ( у — х2,
U = 8 — х; (х+у 4-2=0; (2у + 5х = 12.
1036, Решите графически систему уравнений:
а) / у = х2, б) | у = х2, в) I у = х2, г) (у = х2,
U=x; =—х; (у = | х |; U = — |х|.
1037. Решите графически систему:
а) (2х — Зу = —1, в)
|х + у = —8;
б)|1х + у = 1,
2 s г) .
Зх + 2у = 10; [ Зх + 4у = —13.
1038. Решите графически систему уравнений:
а) 1У — х2, б) (у == х2,
(х2 — 4i/2 = 0; (х2 — у2 = 0.
1039. Покажите графически, что система уравнений имеет
бесконечно много решений:
а) ( 4х2 — 9i/2 = 0, б) ( х — 0,5у = 0,
|2х Ь Зу = 0; |4х2 — у2 = 0.
- + £ = 0,
2 3
х f у — —3:
204
1040. При каких значениях а прямые 5х — 2у = 3 и х + у =
— а пересекаются в точке, лежащей на оси у? Сделайте
проверку построением графиков уравнений
1041. При каких значениях Ъ прямые bx -L Зу = 10 и х —
— 2у = 4 пересекаются в точке, лежащей на оси х?
Сделайте проверку, построив графики уравнений.
1042. Найдите координаты точки пересечения прямых:
а) 5х — 2у = с и х + ру =2, зная, что первая прямая
проходит через точку А (5; —1), а вторая — через точ-
ку В (—7; 3).
б) 2х + су = 5 и Зх — 2у = k, зная, что первая пря-
мая проходит через точку А (—2; 3), а вторая — через
точку В (3; 4).
1043. Построив графики уравнений, выясните, имеет ли ре-
в) [4х — Зу — 1,
< х + 2у — 25,
(5у — 4х — 16;
г) 2х + Зу =- 15,
—х + Зу = —2,
Зх — Hi/ = 4.
(х — у = 1;
К пункту 57
1044. Прямая у = kx + Ь проходит через точку А (—3; 2) и
параллельна прямой х — 2у =1. Найдите коэффициен-
ты k и Ъ.
1045. Прямые Зх — 5у = 7 и ах + hy = 4 параллельны, при-
чем одна из них проходит через точку А (1; 3). Найдите
а и Ъ.
1046. При каком значении k прямые пересекаются в одной
точке:
шение система
а)
2х — у = 5,
Зх — 2у = 3,
х + у = 16;
1 1 О
— х-------у = 2,
2 3 57
Зх + 2у -= 48
б)
а) у = 2х — б, у = х + 2 и у = kx — 12;
б) у = Зх + 1, у — 2х — 1 и у = х + Лг?
1047.
При каком значении а не имеет решения система:
а) I 2х 4- 5у = 10, б) (ах — Шу — 7,
I бх + ау = 3; 112х — 37 г/ = 1?
1048.
При каком значении
жество решений:
а) Г Зх — У 10,
|9х — Зу = с;
с система имеет бесконечное мно-
б)
5х -1- 2у = 3?
20b
К пункту 58
1049. При каком значении коэффициентов р и q система ли-
нейных уравнений:
а) (0,2х = р,
[х + ру - q
имеет решение х = 30, у = —7;
б) 2
' I - У = 5.
РХ — qy = 1
имеет решение х = 19, у = 14?
К пункту 59
1050. Проверьте с помощью графика: прямая 4х = 16, урав-
нение которой получено почленным сложением уравнений
Зх — 2у = 6 и х + 2у = 10, проходит через точку пе-
ресечения прямых, заданных двумя последними уравне-
ниями.
1051. Покажите с помощью графика, что системы
5х — 4у — 20, 18х — 5у — 18, и (5х — 4у = 20,
Зх — у = —2; | Зх — у = — 2 (8х — 5у — 18
имеют одно и то же решение.
1052. Проходят ли через одну и ту же точку прямые:
а)х+у=8, х — у = 2 и (х Н у) — (х — у) = 8 — 2;
б) 2х — у = 5, х + Зу = 6 и (2х — у) — (х + Зу) = 5 — 6?
1053. Решите систему уравнений:
а) ( б> в) 25х — 18у = 75, 35х — 28у 35; 35х = Зу + 5, 49х = 4у + 9; 2 (2х + у — 1) = 3, 2 (2у — х + 1) = 3; е) ж) , 2г 4-9 х + у 10 2г + 9 х — у — —1 20 -L_i+J = o,l, 2 5 — — ^-^ = 0,1; [5 2 4 ’ 1 . 4 ’
г) 6(х +у) =8 4- (2х [6(х+у) =9(2х — -Зу), Зу); з) (Х _ 1)2_(я-4-2) (у-3)2—(у+2)2 2- 9у, 5х;
д) f X у + 1 — = J 2 3 и) 1 ху + 2у — 4, 2ху — бу “ 3;
-а |<с II 1 * ® + 1 м « • к) 1 ху — Зх = 5, Зху — 7х = 5.
206
1054. При каких значениях а и & прямая у = ах + Ъ прохо-
дит через точки:
а) М(—1;3) и К(1; 1);
б) М (2; 0) и К (0; 1)?
1055. Прямая ах -f- by = 1 проходит через точки К (8; —3)
и М (—12; 5). Найдите коэффициенты а и Ь.
1056. Прямая ах — 8у = с проходит через точки А (1; — 1)
и В (9; —6). Найдите коэффициенты а и с.
1057. При каких значениях а и Ъ парабола у = ах2 + Ь:
а) проходит через точки А (—2; 1) и В (1; 2);
б) пересекает оси координат в точках Л (2; 0) и М (0; 3)?
К пункту 60
1058. Имеет ли решение система:
а)
б)
2х + 5у = —30,
—х + Зу = 4,
Зх — Пу = 8;
2х — Зу = 1,
j х + 2у = 25,
5у — 2х — 16;
J 3 5
I X — у 1,
I Зх — 4у = —2?
1059. При каких значениях р имеет решение система:
а) (5х — ру — 0,
| 2х + у — 15,
(х — 4у = —6;
б)
2х — у = 5,
Зх — 2у — 3,
рх 4- у = 16?
1060. Не выполняя построения графика, определите, суще-
ствует ли на прямой 7х 8у = 135 точка:
а) имеющая абсциссу, равную ординате:
б) абсцисса и ордината которой — противоположные
числа.
1061. Используйте при решении системы разложение много-
членов на множители:
а) | 5ху — 2у = 0, б) ' 2ху — 7х = 0,
[15х + 8у « 30; [Эх — Юу = —17.
1062. Решите систему уравнений, заменяя входящие в каж-
дое уравнение выражения буквами и и и:
Зх -}- 7у
8
а)
4х — 5и
13
= 8,
2(4х —5у) Зу + 7у
13 8
217
б)
В)
19х -j- 5у 4- 7 21г — 10у 4- 2 _
12 7 ~ ’
5 (19х 4- 5у 4- 7) 11 (21г — 10у 4- 2)
12 7
ху 4- 2дс 4- 5 Зху — 8х 4- 1
10 4
ху 4- 2х 4- 5 Зху — 8х 4- 1
К пункту 61
1063. Комплект из 10 конвертов и 8 почтовых открыток стоит
82 коп., а комплект из 3 конвертов и 5 открыток стоит
35 коп. Сколько стоит конверт и сколько стоит почтовая
открытка?
1064. В овощную палатку завезли картофель и капусту. В
„ , 1
первый день продали половину картофеля и — капусты
3
общим весом 15 т. Во второй день продали -i оставше-
2
гося картофеля и -i- оставшейся капусты общим весом
10 т. Сколько картофеля и сколько капусты завезли в
магазин?
1065. Совхоз выделил для отправки в город яблоки и груши.
В первый день отправили ~ всех яблок и -i всех груш
общим весом 2 т. Во второй день отправили — остав-
2
шихся яблок и — оставшихся груш общим весом
4
1 т 250 кг. Сколько яблок и сколько груш выделил совхоз
для отправки в город?
1066. Если Ира даст 40 % имеющихся у нее денег, а Катя —
45%, то общая сумма составит 2 руб. 15 коп. Если же
Ира даст 45% имеющихся денег, а Катя — 40%, то об-
щая сумма составит 2 руб. 10 коп. Сколько денег у Иры
и сколько у Кати в отдельности?
208
1067. Известно, что 30% числа а на 10 больше, чем 20% чис-
ла Ь, а 30% числа Ъ на 35 больше, чем 20% числа а.
Найдите числа а и Ь.
1068. Токарь и его ученик должны были изготовить за смену
65 деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил
план на 10%, а ученик на 20%, они изготовили 74 дета-
ли. Сколько деталей по плану должен был изготовить за
смену токарь и сколько его ученик?
1069. Учебник и задачник вместе стоили 90 коп. После того
как учебник подешевел на 20%, а задачник на 10%, их
общая стоимость составила 76 коп. Сколько стоил учеб-
ник и сколько стоил задачник первоначально?"
1070. За 5 м шерсти и 4 м шелка было уплачено 50 руб. После
снижения цен на шерсть на 25%, а на шелк на 15% за
6 м шерсти и 5 лг шелка уплатили 48 руб. 25 коп. Сколь-
ко стоил метр шерсти и метр шелка до снижения цен?
1071. Два фрезеровщика, из которых один работал 5 дней, а
другой — 8 дней, изготовили 280 деталей. После повыше-
ния производительности труда первым на 62,5%, а вто-
рым на 50% они за 4 дня совместной работы смогли из-
готовить 276 деталей. Сколько деталей стал изготовлять
каждый фрезеровщик за 1 день?
1072. Если основание прямоугольника уменьшить на 6 jh, а
высоту увеличить на 5 лг, то его площадь увеличится на
25 л«2. Если же основание прямоугольника увеличить на
2 м, а высоту уменьшить на 1 лт, то его площадь умень-
шится на 1 Ju2. Найдите площадь прямоугольника.
1073. Два туриста отправились одновременно из пунктов М и
N, расстояние между которыми 33 х./и, навстречу друг
Другу. Через 3 ч 12 мин расстояние между ними сокра-
тилось до 1 км, а еще через 2 ч 18 мин первому остава-
лось пройти до N втрое большее расстояние, чем второму
до М. Найти скорости туристов.
1074. Из А в В вышел пешеход. Спустя 1ч 24 мин в том же
направлении из А выехал велосипедист и через час был
на расстоянии 1 км позади пешехода, а еще через час
велосипедисту оставалось до В вдвое меньшее расстоя-
ние, чем пешеходу. Найти скорости пешехода и велоси-
педиста, если известно, что расстояние АВ равно 27 км.
1075. Турист рассчитывал попасть из А в В за определенное
время, однако он проходил в час на 0,5 км меньше, чем
предполагал, и поэтому прибыл в В с опозданием на
40 мин. Возвращаясь обратно, турист проходил в час на
1,5 км больше, чем на пути из А в В, и затратил на об-
ратный путь на 1 ч 40 мин меньше, чем на путь из А в
В. Сколько километров между А и В?
1076. Пройдя путь АВ, турист рассчитал, что он мог бы прий-
ти в В на 1 ч раньше, если бы проходил в час на 0,8 км
209
больше, и на полтора часа позже, если бы проходил в
час на 0,8 км меньше, чем в действительности. Найдите
расстояние АВ.
1077. Колхозник отправился пешком из села в город. Если бы
он проходил в час одним километром больше, то затра-
б
тил бы — того времени, которое ему необходимо теперь;
6
если бы он проходил в час одним километром меньше,
, л б
то пробыл бы в дороге на — ч дольше, чем теперь,
ь
Найдите расстояние От села до города.
1078. В двух сосудах емкостью 144 л и 10U л содержится не-
которое количество воды. Если больший сосуд долить
доверху водой из меньшего сосуда, то в последнем ос-
танется i первоначального количества воды. Если же
долить меньший сосуд доверху из большего, то в боль-
7
шем останется — первоначального количества воды.
Сколько литров воды содержится в каждом сосуде?
1079. В одном сосуде 49 л воды, а в другом — 56 л. Если до-
лить первый сосуд доверху водой из ьторого сосуда, то
второй сосуд окажется наполненным только наполови-
ну. Если же долить второй сосуд доверху водой из пер-
вого сосуда, то первый окажется наполненным только на
одну треть. Узнать емкость каждого сосуда.
1080. Сумма двух чисел равна 90, а разность их квадратов
360. Найдите эти числа.
1081. Разность двух чисел равна 5, а разность их квадратов
365. Найдите эти числа.
1082. Если между цифрами двузначного числа вписать нуль,
то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше
первоначального. Найдите это число.
1083. Если между цифрами двузначного числа вписать это
двузначное число, то полученное четырехзначное
число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите
это число.
1084. При умножении многочлена 2х3 — 5х2 4- 7х — 8 на
многочлен ах2 + Ьх + 11 в произведении получился
многочлен, не содержащий ни х4, ни х3. Найдите коэф-
фициенты а и Ъ и узнайте, какой многочлен получился
в произведении.
1085. При умножении многочлена 2х8 + ах2 + Ьх + 14 на
многочлен х2 — 5х + 1 в произведении получился мно-
гочлен, не содержащий ни х3, ни х2. Найдите коэффи-
циенты а и Ь и узнайте, какой многочлен получился в
произведении.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА I
1
3. а) 60,32; д) 114. 9. б) ——; г) —10. 53. д) 0; е) 0. 54. а) 7, б) 8; в) 49; г) 0,4.
55. б) 58. а) 0; б) множество всех чисел, г) 0. 59. а) 8 или —1; б) 4.
62. 10 марок; 40 марок. 64. 400 г; 80 г; 76 г. 65. 760 человек; 90и человек;
44 1
1080 человек. 77. а) 5; б) 62,7; в) —0,7; г) —0,36; д) — —; е)-. 79. а) 1;
45 70
б) —; в) 0; г) 0,02; д) 0.125; е) 0,5. 90. 3 ч 12 мин. 91. 6 ч. 92. 5 км.
2
93. 30 кг. 94. На 900 си2. 99. а) 10; б) —50; в) - -63; г) 2,25; д) --31; е) — — .
4
115. д) 1; —1; е) —; — —; ж) 0; —; з) 3; —8. 116. а) х > 8,
14 14 16
в) 6; г) х < 9.121. а) 81; б) 0,73; в) 37; г) 298. 131. 6) 3,5; в) корней нет;
г) корней нет. 134. а) 11; б) —7 — . 136. в) 0,2; г) 0,4. 140.575 кроликоа и
425 кур. 141. 46 деталей, 40 деталей. 142. 20 книг, 30 книг, 15 книг. 143. 42 дета-
ли, 24 детали, 30 деталей. 144. 120 станков, 102 станка, 144 станка.
145. 120 заказов. 146. 5 га; 2,4 га. 147. 122 дм. 148. 23 км. 149. 20 км/ч. 150. 4 км/ч.
151. 30 км/ч; 40 км/ч. 152. 85 км/ч', 90 км/ч. 154. 210 км. 155. 6 ч. 156. 15 мин-, ус-
пеет. 157. 42 куста, 33 куста. 158. 600 г; 1,2 кг. 159. 4 дня. 160. 75 л; 25 л.
161. 400 стр. 162. 9 дней; 360 изделий. 163. 2,5 м; 3 ж. 164, 4,5 км/ч. 171.
а) |6; 12]; б) ] —3; 3[; в) [ —6; —5J; г) 0. 172. а) ] — оо; + оо [;
б) [2; 61; в) ] —1; 7 [; г) [—8; 8J.
ГЛАВА II
186. 95?6; 94%; 93%. 188. а) 652 кж; б) 16 мм; в) 1 ; 100 009; 1 : 400 000.
2
189. а) 1: 8 000 000; б) 190 кж; в) 15 см. 198. а) 20; б) 2-; в) 512; г) 8,4; д) 2,82;
е) 3,6. 199. а) 2; б) 8 у; в) 0,01; г) 8. 200. а) 0,4; б) 15; в) 11; г) 22; д) —4,2;
е) 2,5. 220. у = 0,5х. 221. у = 0,8х. 223. 960 г. 224. 6,25 г. 225. 105 кг; 1U дм*.
226. 110 гусей. 227. 452 гвоздя. 228. Нельзя ответить на вопрос задачи.
229. 44 км. 230. 6 ч. 231. Успеют. 232. Уместится. 233. Хватит. 243. Уменьшить
в 6 раз. 244. На 60%. 245. На 10%. 216. 50 ч. 247. 212,5 оборота. 248. 64 кг.
249. 108 км; 288 км. 250. 9 ч. 251. Нельзя ответить на вопрос задачи. 252. На оди-
наковом расстоянии. 253. 60 деталей: 42 детали. 254. 108; 141; 216. 255. а) 3(Г;
45э; 105'; б) 22,5°; 67,5°; 90°. 257. 2100 км; 1800 км; 1600 км. 253. 23 руб. 58 коп. i
211
17 руб. 68 коп.;^14 руб. 74 коп. 259. 4 кг; 3 стакана воды. 260. 64 2 еле; 107 ем;
128,4 см, 261. 312,5 кг; 12,5 кг; 25 кг. 262. 4,о кг. 263. 18 учащихся; 6 учащихся.
264. 7 студентов; 5 студентов; 13 студентов. 267. 4%. 269. 1 : 1иии. 271. о400 мг.
2 3 11
277. а) —; б) —. 278. а) 3 -; б) 4 —; в) 1,3. 279. В 1,25 раза. 280. В 1,15 рази.
3 5 Зб
2 1
284. а) —; б) 2,1; в) 2 —; г) 4. 285. ь) —0,6; б) —5; в) —4,14; г) 15. 289. 21 000.
3 4
291. 1—. 292. 0,6. 305. Увеличился в 1,76 раза. 306. 280 еле?. 307. 7,69 кг.
308. 1667 т; 2250 т. 309. 18 поездок. 310. 52 ч. 311. Приближение 346 кг.
312. 0,14 кг. 313, Хватит. 314. Хватит. 315. а) 3 8 раз; б) в 4 раза. 316. а) Увели-
чится в 3,6 раза; б) увеличится в 2,4 раза; в) увеличится в 1,8 раза. 317. Нет.
322. 1000 оборотов в .«япу.у. 323. 60 о. 325. Увеличился в 1,5 ра^а. 326. Умень-
шить в 2 раза. 327. В 1— раза. 328. 57 ч 36 мин. 329. 80 деталей. 330. На
331. 80 г; 180 г. 332. 22,3 еле3; 52,7 еле3. 333. 360 кг; 300 кг; 90 кг. 334. 30
20 кле; 18 км. 335. 12 кг; 16 кг; 14 кг. 336. 200 ле3; 400 ле3; 800 ле3. 337.
338. 200 человек; 280 человек; 350 человек. 339. 50 гимнастов; 30 баскетболи-
1 дм,
КМ'.
8
15
стов; 45 волейболистов; а) может; б) может; в) нет. 340. Существует.
342. 180 страниц; 120 страниц; 160 страниц. 343. 12 тетрадей; 8 карандашей.
344. 48 ле. 345. 20 марок; 16 марок; 8 марок.
ГЛАВА III
354. В случае а). 359. б) У = [2; 5] ; в) У = [ —5; О]; г) У = [ —6; 6].
370. X = { —3; — 2; —1; О; 2; 4}; У = [2; —2; 1; —1; 3; О).
381. У = {13; 4; 1у 1). 383. —0,96; —1,04; 4999; 184^. 397. а) А, Е, F;
б) В, Е. 423. 5; 1; 1. 435. У = { —26; —11; —2; 1). 453. —162.
ГЛАВА IV
/7\а / 3\3
469. г) Невозможно. 471. д) I— ; е) I — — | . 473. а) 4; Б; б) 3; 4; 5.
\ 3 / \ 4 /
474. а) 48; б) —1; в) —2; г) 15. 482. а) —; б) —20 000; в) 1; г) —1; д) 1; е) ие су-
40000
10 1
ществует. 502. а) 25; б) 1000; в) 0,125; г) 2—. 504. а) 1; в) 45; г) —. 509. а) 43(|;
1 6
б) 8ап; в) 1618; г) 3212. 511. а) 2; б) 3; в) 3; г) 8. 516. а) у, б) 4; в) 3 —; г) 0,1.
Б20. а) 10 000; б) 1; в) 27 000; г) 1. 522. б) 64. 527. а) 0,625; б) —48;
ь) 16; г) 81. 530. а) —4218,75; б) —16. 541. а) —0,032; в) 10 000. 542. а) {2; 3';
в) {4; 5; 6). 548. g ( —4) =8, g ( —2) = 2, g (О) = О, g (1) = 1,5, g (2) = 3,
g (4) = 6. 555. 3. 557. a) 3; 6) 10; в) 4; г) 2; д) 5; е) 6. 566. в) у = З10;
г) у —5"-1. 568. а) 169; б) 4; в) 36. 574. а) 2; б) 2; в) 5; г) 3. 576. а) 10 000; в) 4;
1) —1,44; д) 2; е) 25.
212
ГЛАВА V
595. в) 15ж-3у + бжу2 - 1; г) а3 - и’ + а. 597. а) 13,75; б) 15,68;
в) 841; г) 10 305. 604. а) ж2 + 2ж — 1; б) 8а2— 3. 607. а) х — у — 1; в) а1 1;
. 1 , 1
г) а* — — ab — Ъ2. 608. а) 3; 6} —20; в) —; г) 0,25. 609. а) 260; и) -o,z.
621. а) ж* — 6ж3 + 18ж2; б) би- — 8а. 626. а) 18а2 4Ь2; 6) - 6а2 - IZao+^b1.
9 1
631. а,- -; 6)0. 634. а) 0,6; б; — —; в) 8; г) —12. 63b. 41 км;
20 5
36 жж; 33 км. 636. 2о дет.; оо дет.; 40 дет. 637. 3 8 га и 3 и. 638. 1560 ж2;
1470 ж2. 639. 80 кг; 170 кг, 111 руб. 640. 18 ж; zu ж. 641. Через 3 ч. 642. 150 км.
643. 63. 644. 69. 649. в) 2,28; г) 122,5. 650. а) 0; 17; б) 0; —8; в) 0; —11; г) 0; — .
4
655. а) (с — Ь) (а — d); ж) (ж — у) (х — у + а). 65S. в) (Ь - с) — Зс);
г) (п — 3ft) (lift — 1.) 657. a) 0; б) 700; „) 0,9. 659. в) 2; 4; г) 6; 16.
670. а) —0,8; б) —1.25; в) 5; г) 3. 672. а) 2т3 — 2ж- + Юж — 4;
б) 4а + I. 676. 13; 14; 15; 16. 677. 30; 32; 34. 678. 221 см2. 679. 720 сж1;
840 сж3. 682. а) (т + 10) (у + ж); б) (9 + а) (ж + у); г) (а + Ь) (е — 2);
д) (а — Ь) (а — 8); е) (ж Ь у) (11 — ж); ж) (а + ж) (ж — ау);
з) (а — ж) (ад — ж). 683. а)
684. а) 52; б) 1500. 686. а) 0;
на 100 сж2. 696. г) 10 400;
(а + с) (п- — р + р-); г) (с2 — d) (а - Ь — с).
5
в) 0; г) —. 693. Площадь прямоугольника меньше
36
1 4 5 1
д) 4,25; ж) 13—. 697. а) —; б) 1; в) —; г) — .
□ 7 о л
702. г)—1,25, 0; 1,25. 704. а) 560 713. з) 998001; к) 1600. 715. в) 1,5; г) 12,8. 716. а) 2;
б) —-. 718. а) т = 64 нли т = — 196; б) т — — 484 нли т = — 676. 720. 38 сж.
3
721. 17 и 13. 722. 26 и 24. 727. б) (Ь+4с 1-3) (Ь—4с+3); г) (у+а-|~5) (у—а—5).
729. а) 3,5; —2,5; в) —11; 9. 730. а) Нет; б) 2. 732. а) 5ж2у + 2жу'2 + у\
б) За — 8; в) 2а’ + 6а2. 744. а) 10 000; б) 225. 748. а) (ж + 2у) (ж2—ху +4у2);
в) (Ь + 1) (Ь3 + Ь + 1). 751. У = {— 7; —3; 1; 5; 9).
762. a) k = 2; б) Ь = — 2. 773. а) —Ну3 + 13у2 — 4у — 1; б) 2а3 — 4Ь2.
774. а) 1; б) 20,52. 775. г) —4х3 — 2ж + 15. 777. 23. 778. 48. 779. Задача
неопределенная: решением может служить любое двузначное число, у которого
десятков на 2 больше, чем единиц, за исключением числа 20. 781. в) 60000 + ж.
782. 52. 783. 221. 784. 7681. 785. 142 857. 787. а) а2; б) —а2. 78з. а) —1,5; б) 576.
5
789. б) —; г) 0,4; е) —8. 790. Через 8 мин. 791. Через 40 мин. 794. 150 км.
6
795. Через Зч. 796. Через 1 ч. 797. 8 ч. 798. 21,6 км/ч. 799. 0,5 км/ч. 800. 1120 га.
801. 37 000 ж*. 802. 876 га. 803. 429 деталей. 804. 25. 805. 91.
816. г) — а2Ь2 — c2d3. 820. а) —1,6; в) —1,2; г) 0. 821. 400 дж2. 822. 360 см*.
823. ,80 ж3. 825. 154 дм*. 828. а) —49; б) 10; в) 6; г) 82. 829. ж) (ж — 5у) (ж + 2у);
з) (а2 — Ьс) (Ь + с); к) (ж — у) (2ж2 + у2); л) (а2Ь — c2d) (аЬ8 — cd1).
830. а) (ж + 6) (ж2 — 2); в) (Ь2+2с2) (16а—5с); ж) р> (р1" — 1) (2pr> —1). 835. 1) 5;
2) —1,6; 3) —1,5. 837. а = 3; Ь = 5. 843. а) 1063; б) 536 000; в) 12,02; г) 286;
2 1341 „ 1 „ 1
е) 74—. 844- а) -; б) -; в) -; г) -. 848. д) -3; 0; 3; е) - -; 0; - ;
7 2 4 1Э oU 2 а
213
ж) — 2; —1,6; 1,5; в) — 1 —; l-^; 4. 851. а) 128 000; 6)76 900. 854. в) 0,81;
3 3
д) 0,36. 857. а) —; б) 2; в) —32. 865. а) 74 или —178; б) —10 или ИЗО.
5
872. а) —9; —7; б) —0,5; 2,5; г) —а; 1; е) корней нет; ж) 10; 30; з) —2,5;
1,5. 873. 121 км. 874. 6 км. 875. 24 кж. 876. 18 км. 877. 120 км. 878. 18 км.
879. 12 дней. 880. За 23 дня. 881. 86,1 кг; 36,9 кг. 882. 2 кг. 883. 24 г; 16 г. 884.150 с\
4
180 г. 894. а) 1; б) —4. 899. а) б) 1. 912. а) у = — х пли у = х—7; б) у — —х
или у = х + 5.
ГЛАВА VI
928. (6; 6). 929. (2; 2), (3; 3). 930. а) 54; б) —10; в) —2; г) 10. 933. а) Да; б) да.
960. а) (2; 1); в) | о); з) (100; 1); и) (7; —2). 961. а) Да; б) нет. 962. а) Имеет;
\ 4 /
/1 1\
б) не имеет. 963. (8; 14). 964. I —; — — . 966. а) (1,6; 2,2); г) ( —1; — 12).
\ 4 3 /
967. а) ( —0,5; 0,2); б) (5; 4); в) (1; —]); г) (7; 5). 968. 7,5; 5,5. 969. 7 ж; 8 ж;
56 ж2. 970. 10 орехов, 6 орехов. 972. 35 лет, 9 лет. 973. 1 руб. 50 коп.; 2 руЧ5.
974. 9 руб.; 5 руб. 975. 4,5 л; 3 л. 977. 12 дней; 30 руб. 978. 21,5 ц и 22,8ц.
980. Осталось 90 г первого вещества; 108 г второго вещества. 981. 1040 г.
982. 61. 984. 10,5 руб.; 10 руб.; 7 руб. 1000. а) Решения нет; б) одно решение:
х = 0, у = — 1; в) одно решение: х = — 5, у = 3; г) одно решение: х= 2,
у = 3; д) бесконечно много решений, любая пара положительных чисел; е) ре-
30 — 2,4m
шенпя нет. 1007. п = ------- прн т = 5, п — 6; при т — 10, п = 2.
70—8а
1008. Ъ - —~— при а = 2, Ь = 9; при а = 5, Ь = 5; при а — 8; Ь = 1.
1010. pg+2=37;р=5, д=7; р—7, g=5;p=l, д=35. 1011. 4 см\ 4см-,4см илч
5 сж; 5 сж; 2 см. 1012. 1: 2. 1013. 2 : 3. 1025. ( —2; 0); (0; —3). 1028. 3.1029. —8.
1030. а = 2, 5 = 0. 1040. —1,5. 1041. 2,5. 1047. а) 15, б) 36. 1048. а) 30,
б) 0,3. 1049. а) р = 6, q = —12, б) р = 3, q = 4. 1053. а) (21; 25); б) (1; 10);
в) (0,9; 0,7); г) (1,1; 0,4); д) (10; 14); е) (0,5; 0,25); ж) (4; 3); з) (—5; 3); и (б;
к) (—5; 2). 1058. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да. 1061. а) (2; 0); (0,4; 3); б) (0; 1,7);
(2; 3,5). 1062. а) (И; 1); б) (2; 3); в) (И; 3); г) ( —6; —4). 1063. 5 коп.; 4 коп.
1064. 20 г и 15 т. Ю65. 3 г; 2 т. 1066. 2 руб.; 3 руб. 1067. а = 200; 5 = 250.
1068. 40 дет.; 25 дет. 1069. 50 коп.; 40 коп. 1070. 6 руб. и 5 руб. 1071. 39 дет.;
30 дет. 1072. 435 м2. 1073. 4,5 км/ч\ 5,5 км/ч. 1074. 5кж/ч; 11 км/ч. 1075. 30 кж;
1076. 24 кж. 1078. 96 л и 60 л. 1079. 63 л и 84 л. 1080. 47; 43. 1082. 45. 1083. 15.
1084. а = 4; 5 = 10. 1085. а = 1; 5 = 3.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦА КУБОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ОТ 1 ДО 10 И СТЕПЕНЕЙ ЧИСЕЛ 2 И 3
п 1 2 • 4 5 6 7 8 9 10
п3 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
2я 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3я 3 9 27 81 243 729 2187 6561 18683 59049
ТАБЛИНА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 99
X. единицы десятки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 '2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ ГРАФИКОМ
ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
у = kx + Ь
218
ГРАФИК ПРЯМОЙ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
ГРАФИК ФУНКЦИИ
у = ах~
ГРАФИК ФУНКЦИИ у = ах3
219
ЧИСЛО РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
Г у = ktX + bt,
t у = ft.x + b2
220
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ В АЛГЕБРЕ.
§ 1. Выражение и множество его значений ..................... 3
1. Числовые выражения ..................................... —
2. Выражения с переменными ................................ 5
§ 2. Тождественно равные выражения. Тождество................ 8
3. Тождественно равные выражения .......................... —
4. Тождественное преобразование выражений................. 12
§ 3. Уравнения и неравенства................................. 13
5. Уравнение с одной переменной .......................... —•
6. Неравенство с одной переменной. Числовые промежутки . 16
Дополнительные упражнения к главе I ........... 18
Глава II. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ.
§ 4. Отношения и пропорции ................................. 32
7. Отношение чисел и величин .............................. —
8. Пропорция ............................................. 36
9. Основное свойство пропорции ........................... 37
§ 5. Прямая пропорциональность ............................. 39
10. Пропорциональные переменные ............................ —
11. Коэффициент пропорциональности ........................ 43
12. Свойство пропорциональных переменных .................. 46
§ 6. Обратная пропорциональность ........................... 49
13. Обратно пропорциональные переменные .................... —
14. Свойство обратно пропорциональных переменных .... 62
15. Деление числа на части, пропорциональные данным числам. 55
Дополнительные упражнения к главе Ц ............. 57
Глава III. ФУНКЦИЯ.
§ 7. Понятие о функции ..................................... 66
16. Соответствие между множествами ........................ —
17. Что такое функция? ................................... 69
§ 8. Способы задания функции ............................... 72
18. Табличный способ задания функции ...................... —
19. Графический способ задания функции ................... 73
20. Задание функции формулой.............................. 79
$ 9. Графики прямой и обратной пропорциональное! и ......... 81
21. График функции у = kx ................................. —
k
22. График функции у = — ............................... 84
х
Дополнительные упражнения к главе щ......................... 87
Глава IV. ОДНОЧЛЕНЫ.
§ 10. Степень с натуральным показателем .................... 99
23. Определение степени .................................... —
24. Функция у — ах2 и ее график .......................... 101
25. Функция у = ах* и ее график .......................... 106
§ 11. Свойства степени с натуральным показателем .......... 109
26. Основное свойство степени .............................. —
27. Частное степеней с равными основаниями ............... 110
28. Степень степени ...................................... 112
29. Степень произведения ................................. 113
§ 12. Одночлен. Стандартный вид одночлена ................. 114
30. Понятие одночлена ...................................... —
31. Стандартный вид одночлена ............................ 115
32. Понятие о степени одночлена .......................... 116
Дополнительные упражнения к главе IV ........... 118
Глава V. МНОГОЧЛЕНЫ.
§ 13. Многочлен. Стандартный вид многочлена .................. 124
33. Понятие многочлена ........................................ —
34. Приведение многочлена к стандартному виду................ 125
§ 14. Преобразование суммы и разности многочленов в многочлен
стандартного вида ............................................ 127
35. Раскрытие скобок .......................................... —
36. Расположенные многочлены ............................ 129
37. Заключение в скобки ..................................... 130
§ 15. Произведение одночлена и многочлена. Вынесение общего мно-
жителя за скобки ............................................. 131
38. Преобразование произведения одночлена и многочлена в мно-
гочлен стандартного вида..................................... —
39. Вынесение общего множителя за скобки ................... 134
40. Доказательство тождественности выражений ................ 135
§ 16. Произведение многочленов. Разложение многочлена на множи-
тели способом группировки ..................... 138
41. Подстановка ............................................... —
42. Преобразование произведения двух многочленов в многочлен
стандартного вида .......................................... 139
43. Произведение расположенных многочленов ............... 141
44. Разложение многочлена на множители способом группировки. 142
§ 17. Тождества сокращенного умножения ................... 144
45. Преобразование выражения вида (а — Ь) (а 4- Ь) в многочлен. —
46. Разложение на множители разности квадратов двух выраже-
нии ..................................................... 146
47. Преобразование квадрата двучлена в многочлен. Обратное
преобразование .......................................... 143
48. Преобразование куба двучлена в многочлен. Обратное преоб-
разование ............................................... 151
49. Разложение на множители суммы и разности кубов двух выра-
жении. Обратное преобразование .......................... 153
§ 18. Линейная функция .................................... 155
50. Определение линейной функции ........................... —
51. График линейной функции .............................. 156
52. Угловой коэффициент .................................. 159
Дополнительные упражнения к главЛ V ....................... 161
лава VI. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.
§ 19. Системы уравнений с двумя переменными ............... 179
53. Уравнение с двумя переменными ......................... —
54. График уравнения с двумя переменными ................ 181
55. График линейного уравнения ........................... 183
56. Понятие о системе уравнений с двумя переменными. Графиче-
ский способ решения систем .............................. 185
§ 20. Системы линейных уравнений .......................... 187
57. Различные случаи решения системы двух линейных уравнений
с двумя переменными ....................................... —
58. Простейшие системы линейных уравнений ............... 189
59. Способ сложения ..................................... 190
60. Способ подстановки ................................... 193
61. Решение задач составлением системы уравнений ......... 195
62. Система линейных уравнений с тремя переменными .... 198
Дополни тельные упражнения к главе VI ........... 201
тв е ты ..................................................... 211
р и л о ж е н и е ........................................... 215
АЛГЕБРА
Учебное пособие для 6 класса
Редактор Н. И. Никитина
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Е. В. Богданова
Корректор Н. И. Новикова
Подписано к печати с матриц 26/IV *1973 г.
60Х90:/|в- Бумага типогр. К» 1. Печ. л. 14.
Уч.-изд. л. 12,9. Тираж 2 700 тыс. (1—
1 000 000) экз.
Издательство «Просвещение» Государственно-
го комитета Совета Министров РСФСР по де-
лам издательств, полиграфии и книжной тор-
говли. Москва. 3-й проезд Марьиной рощи. 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена
Трудового Красного Знамени полиграфкомби-
ната полиграфкомбинатом им. Я. Коласа
Государственного комитета Совета Министров
БССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. Минск, Красная, 23. За-
каз 220.
Цена 24 коп.