Текст
КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО
ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА
Кафедра радиофизики
ИССЛЕДОВАНИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
И ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОНТУРА
Лабораторная работа
для студентов 3 курса
Казань - 1977
Составитель - Г.В.Таюрская
Описание к лабораторной работе "Исследование последователь-
ного и параллельного контура" содержит задание, необходимые тео-
ретические сведения и методические указания для самостоятельного
выполнения работы. В теоретической части описания рассматривают-
ся физические процессы с их математическим описанием, происходя-
щие в последовательном и параллельном контурах. Описана лабора -
торная установка, позволяющая экспериментально ознакомиться с
работой последовательного и параллельного контура. Приведенные в
описании сведения дают возможность студентам выполнять работу
без привлечения дополнительной литературы.
© Офсетная лаборатория Казанского университета, 1977 г.
Важнейшей операцией, выполняемой в радиотехнических уст -
ройствах, в особенности радиоприемных, является фильтрацзя -
разделение полезного и мешакшего сигналов, основанное на разли-
чии их спектров. Эти функции выполняются электрическими коле -
бательными системами. Основным элементом колебательных систем
является колебательный контур - соединение катушки индуктивно-
сти Ij , конденсатора С и резистора Q . В радиотехнике
при изучении свойств колебательного контура главное внимание
обращается на его резонансные свойства, которые и положены в
основу частотной избирательности колебательных систем.
В колебательном контуре возможны свободные колебания,т.е.
колебания, обусловленные изменением начального энергетического
состояния цепи в отстутствие вынужденного воздействия, и вы -
нужденные колебания, возникающие в контуре под действием под -
ключенного к нему источника переменного напряжения или тока.
В данной работе рассматриваются только вынужденные коле -
бания.
Существуют два способа включения элементов L , С , R.
колебательных контуров по отношению к источнику напряжения или
тока: последовательный и параллельный. Поэтому и сами контуры
носят название последовательного и параллельного.Рассмотрим их
основные свойства.
Il ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
I.Основные соотношения
Колебательным контуром последовательного питания, или,со-
кращенно, последовательным колебательным контуром, называется
- 3 -
цепь, составленная из катушки индуктивности, конденсатора и
резистора, соединенных последовательно относительно входных за-
жимов, к которым может быть подключенигенератор или другие
элементы цепи.
Рассмотрим контур, образованный последовательным соедине-
нием индуктивности L , емкости С в резистора Z (рис. I),
находящийся под действием гар -
ионической электродвижущей силы.
e(t)=Esinfut<-OJ,
где Е - амплитуда напряжения,
a)t- текущая фаза,. *•
&о- начальная фаза.
Рис. I
Будем полагать, что амплитуда напряжения на зажимах гене-
ратора остается неизменной, не зависящей от тока, проходящего
в цепи. Это равносильно тому, что внутреннее сопротивление ге-
нератора равно нулю P-i-Q.
Для нахождения тока в цепи составляем уравнение второго
закона Кирхгофа для комплексных амплитуд:
«>
Из (I) следует, что
*7 Е _ Е Е pj(Eo~^) .
где Е ~Е6^ - комплексная амплитуда ЭДС,
= Z +j(aL - ггУ= г V* (3)
- комплексное входное сопротивление последовательного контура,
Ъ - активная составляющая входного сопротивления,
X- реактивная составляющая входного сопротивления.
- 4 -
W.ncfy!!EzB!L'nctf% <4>
- сдвиг фазы тока относительно фазы ЭДС,
Е и *ГаМг*+Х* - модули, соответственно, амплитуды
ЭДС и полного сопротивления контура при частоте
Положительные значения угла / соответствуют отстава -
нию фазы тока, а отрицательные - опережению. Переходя к три -
тонометрической форме записи, находим для мгновенного значё -
ния тока в контуре следующее выражение:
-^(5)
Здесь во - физа внешней ЭДС.
Для комплексных амплитуд напряжений на реактивных элемен-
тах контура - индуктивности L и емкости С - имеем:
# - 1iu)L • А_» F— &
t t=xfa,)e (6)
%‘E /*с[г <<,(<*£# =
~ WC SC(CO) t (7)
так как —J = Q - COS^-J
Мгновенные значения этих напряжений можно записать в
виде:
-?*%) (е)
- 5 -
(9)
Проанализируем формулу (3) для комплексного входного со -
противления.
В зависимости от соотношения величин индукТивногр сопро -
тивления Хл=а^ и емкостного сопротивления Хс “ 2^" могут
иметь место три случая:
t тогда х>/? , т.е. реактивная составляю -
шая входного сопротивления имеет индуктивный характер;
2) реактивная составляющая входного сопротив -
ления Х^» т>8, имеет емкостный характер;
3) Хб=Хс» реактивная составляющая Х=$
Особый интерес представляет последний случай, крг.да
Xl ~Хс.
Режим цепи, при котором реактивная составляющая входного
сопротивления, несмотря на наличие реактивных элементов, равна
нулю, называется резонансом. При резонансе входное сопротивле-
ние цепи активно Сдвиг фаз между напряжением и
током в цепи Y-0 В контуре с заданными параметрами 4 и
С резонанс наступает при определенной частоте , величи-
на которой определяется из равенства
X ~(doL ~ а/оС ~О
(л) о ~
(10)
Частота, при которой реактивная составляющая входного сопро
тивления равна нулю, называется резонансной частотой. При ре -
зонансе ХдвХ^ » T-e- Величина
(II)
называется характеристическим сопротивлением контура. В коле -
- 6 -
бательных контурах, используемых в радиотехнических цепях,
имеет обычно порядок нескольких сот ом (р = 100 ♦ 500 ом).
Амплитуда тока в контуре при резонансе достигает наиболь-
шей возможной (при данной амплитуде ЭДС Е) величины
Л =7 (12)
Амплитуды напряжений на индуктивности L и емкости С при
резонансной частоте <а>-Ш9 достигает величины
=%
Осуществить резонанс в' колебательном контуре можно двумя
основными способами: а) изменяя частоту источника при неизмен-
ных параметрах контура так, чтобы она оказалась равной резо -
нансной частоте контура; б) изменяя при неизменной частоте ис-
точника параметры контура' L и С (или один из них) таким
образом, чтобы его резонансная частота стала равной частоте
воздействующих колебаний.
Для удобства дальнейшего исследования введем новые пара -
метры контура, характеризующие его резонансные свойства.
Добротностью контура называют отношение характеристичес -
кого сопротивления к его активному сопротивлению
(15)
С энергетической точки зрения добротность контура опреде-
ляет отношение запаса электромагнитной энергии контура при ре-
зонансе и энергии, поглощаемой в этом режиме активным сопро -
тивлением контура за один период изменения тока в контуре.
В зависимости от качества деталей контура, степени его
нагруженности полезным сопротивлением, добротность контура из-
меняется в широких пределах. В радиотехнической практике встре-
- 7 -
чаются величины чь примерно от 10 до нескольких сотен и
выше. Чаще всего величина О. лежит в пределах от 50 до 200.
Величина, обратная GL , называется затуханием и обозначается
(к)
2. Частотные характеристики последовательного
колебательного контура
Помимо определения резонансных значений амплитуд тока и
напряжений, большой интерес представляет характер зависимости
этих амплитуд, а такие фаз от частоты внешней ЭДС. Знание
этих зависимостей или частотных характеристик контура необхо-
димо для суждения об избирательности контура, т.е. способно -
сти его к выделению сигналов заданной частоты и ослаблению
сигналов всех других частот, играющей основную роль в боль -
шинстве применений колебательного контура.
Изучение частотных характеристик контура начнем с рас -
смотрения характеристик входного сопротивления ненагруженного
последовательного контура. Будем считать, что амплитуда ЭДС Е
и параметры контура неизменны.
Активную составляющую входного сопротивления мож-
но считать не зависящей от частоты.
Реактивная составляющая входного сопротивления
Xtfx= tuC ” ujotuCC]
На рис. 2 приведен график зависимости ; он по -
лучается в результате сложения ординат кривых « cut, и
-b'-tc
- 8 -
Комплексное входное сопротивление
= сю)
ГЛв <«>
Величину называют обобщенной расстройкой. При расчете ра-
диотехнических контуров интересуются, главным образом, их по -
ведением в области частот, мало отличающихся от резонансной
частоты <^о , когда частота генератора Ci)-u>o+&u), где AU)
абсолютная расстройка - величина весьма малая по сравнению с
Ц>о • Расстройка может быть как положительной ( и) > uso ) t
так и отрицательной ( ихи)о ).
Для частот, близких к резонансной частоте контура, вместо
(I?) получим приближенное выражение:
V ~ л (и>+&о)(Ш-СОа) „пАШ
(20)
4 О'
Здесь - относительная расстройка.
- 9 -
Hft рас. 2 писем итрихожя прямая, постромная по фор -
мум (20). Ках видно, при частотах, примшакщих к и>9 , она
црагапески совпадает с точной кривой. Использовав (20), най -
дам, что для малых расстроек
f-2Q%. <2i)
мшспкснм хходноо сопротивление
/ (22)
Модуль комплексного входного сопротивления
Я6кГш) « г \/<+$г' (23)
и фазовый угол
/= aZCtf f (24)
В обаяет» пмва расстроек ___
Л/, М « Т /(25)
(26)
Полученные форели дают возможность рассчитать и пестро -
ить характеристики, показанные (для некоторого значения доброт-
ности Q ) на рис. 3. Штриховой линией нанесены кривые, пост-
роенные по приближенным формулам (25), (26).
При. резонансе jte* равно активному (небольшому) сопро -
тивлению Ъ (рис. За). При отношении от резонанса в ту и дру-
гую сторону полное входное‘сопротивление возрастает.
Фазочастотная характеристика изображена на рис.36.В области
малых расстроек она близка к прямой линии. Наклон ее определя-
ется величиной добротности контура: чем выше добротность, тем
большую крутизну имеет характеристика. При больших расстройках
фазовый угол стремится или к ~ (если ЛШ>0 ), или к
- 10 -
Рис. 3
"2“ (если ). От частотной характеристики входного со-
противления нетрудно перейти к характеристике тдка в цепи.
Амплитуда тока
7- zF
Zgx/a))
Поделив это выражение на значение тока при резонансе
получим нормированную величину тока
(28)
Это выражение представляет в относительных единицах закон
изменения амплитуды тока в контуре в зависимости от частоты.
Для области малых расстроек
_ / Л О) ) _________/____________
' - <2Э)
Кривые зависимости величины ft от относительной расстройки
для разных значений Q приведены на рис. 4. Кривые пока-
- II -
Рио. 4
вывеют, что о увеличением добротности контуров характеристики
становятся острее. Увеличивается значение тока резонансной ча-
стоты по сравнению со значениями токов при частотах, близких к
резонансной при том ке напряжении на зажимах контура.
Если в качестве независимой переменной при построении час-
тотных характеристик последовательных контуров выбрать обобщен-
ную расстройку £ , то частотные характеристики всех конту -
ров независимо от этих контуров совпадут (рис. 5).
Кривые зависимости П от (или от U) ) при дан -
ном Q контура будут называть предельными резонансными ха -
рактеристиками. Они могли бы быть реализованы только в том слу-
чае, если бы, как это предполагалось, амплитуда напряжения ге-
нератора, питающего последовательный контур, была постоянна,
т.е. если бы внутреннее сопротивление генератора равнялось ну-
лю, чего в действительности быть не может. Поэтому мы и назы -
ваем эти характеристики предельными. По характеру кривых резо-
нанса можно судить, насколько контур избирателен: чем острее
резонансная характеристика, тем избирательнее контур. - Формулы
28 и 29 и рис. 4 показывают, что острота кривой резонанса оп -
ределяется добротностью контура: чем больше Q , тем острее
резонансная характеристика и тем, стало быть, выше избиратель-
ность.
/
3. Полоса пропускания последовательного
контура
Полосой пропускания контура условились называть тот дна -
пазон частот, в пределах которого средняя мощность, поглощав -
мая контуром, не менее половины той средней мощности, которую
контур поглощает при резонансной частоте. '
Следовательно, на границах полосы пропускания контуоа
•/
7о~ &
Приняв в формуле 28 , получим два значения обоб -
щенной расстройки, соответствующих границам полосы пропускания
(рис. 5): £в±/ . Полоса пропускания включает в себя часто-
ты от нижней граничной до верхней граничной .
Для нахождения граничных частот обратимся к формуле (19);
соответствует , а — у= -/ . Подставляя эти
значения в (19), получим:
(_ у
шо и)л~ S~a
а)н _ ц)9 _
OL и>н ~
- 13 -
Отсюда получаем два квадратных уравнения:
-Шс^О
Решения этих уравнений (отрицательные решения отбрасываем как
не имеющие фазического смысла) имеют вид:
fell - d + Jj. 0,1
Отсвда Oii—Шц Л.1О*. , J
“>о ’ ~йТ=*’ а (зо)
где полоса пропускания контура,
- относительная полоса пропускания контура,
«to
Следовательно, относительная полоса пропускания равна затуханию
контура.
Формулу (30) можно записать и так:
- — = // так как СО*23?/ (31)
Q *
Как видно из соотношений (30) и (31), с увеличением затухания
расширяется полоса пропускания контура. Контур из узкополосного
при малом затухании превращается в широкополосный при большом
затухании.
5. Передаточные функции последовательного контура
Два' основных варианта использования последовательного кон-
тура в схеме четырехполюсника представлены на рис. 6.
Рис. 6
- 14 -
Bxojhhm_напряжением в обеих схемах является ЭДС источника
( 24~Е ); выходное напряжение снимается или 6 емкости(рис.
6а), или с индуктивности (рис. 66).
Рассмотрим сначала случай резонанса ( ), когда
напряжения ZIlo и , TJco равны по величине и противоположны по
фазе.
Коэффициент передачи напряжения (передаточная функция
по напряжению) в схеме, изображенной на рис. 6а
Z/ (• Vco '/X _ / Хсо
Так как Хсо=Р
Аналогично для коэффициента передачи при снятии напряжения с.
индуктивности (рис. 66) получим:
<33>
Итак, при резонансе модули коэффициентов передачи в обеих схе-
мах одинаковы:,
Кео (^0) = ^Lq (’^о) ~ Q
Настроенный последовательный’контур обладает свойством усилн -
вать подведенное напряжение, причем коэффициент усиления на -
пряжения равен добротности контура Q . Поэтому резонанс в
последовательном контуре называют резонансом напряжений.
В случае расстроенного контура ( ) для схемы,изо-
браженной на рис. 6а, имеем:
= 7 e'/'f
где - угол сдвига фаз между напряжением и током. Принимая
- 15 -
во внимание, что j?/,4^=7//*/*» а т ,, умножив и
разделив выражение на , получим: J
цу- e'j'&V <34)
Аналогичные расчеты дают для коэффициента передачи схемы,пред-
ставленные на рис. 66.
<35>
Соответственно модули коэффициентов передачи будут:
(36)
KLtu>) = r4u)Q^ (37)
В области малых расстроек, когда —, можно приближенно
считать, что
KL !38)
т.е. частотные характеристики относительных напряжений на ин -
дуктивности и на емкости ^c/yt имеют такой же вид,
как предельная резонансная кривая, отличаясь от нее лишь по -
стоянным множителем Q. •
Из формул (34)и (35) вытекает, что фазовый угол коэффи -
циента Кс
а коэффициента ^4
Отсюда следует, что фазо-частотные характеристики коэф-
фициентов передачи отличаются от характеристики - толь-
ко сдвигом на вверх или вниз.
- 16 -
6. Влияние параметров генератора на избирательные
свойства последовательного контура
Резонансные характеристики тока в контуре и напряжений на
его реактивных элементах получены выше при допущении, что ам -
плитуда напряжения, подведенного к контуру, остается неизмен -
ной; это равносильно питанию цепи идеализированным источником
напряжения. В действительности контур питается некоторым ре -
альным генератором, что может существенно повлиять на полосу
пропускания цепи. Для того, чтобы оценить влияние параметров _
источника на избирательные свойства контура, будем учитывать
внутреннее сопротивление генератора (рис. 7).
Рис. 7
Введем понятие эквивалентной добротности Q& , которая
ется следующим образом:
выража-
Q
(39)
4 r Z
Qa меньше собственной добротности контура Q , т.е.
ная избирательность системы ухудшается: полоса пропускания
учетом внутреннего сопротивления =
пропускания контура
Уравнение резонансной характеристики
учетом внутреннего сопротивления контура
частот-
сОо
превышает полосу
нормироваиного тока с
- 17 -
wo)~ }f7Tjr ~ ' <40)
Только при эта характеристика приближается к предель-
ной резонансной кривой (рис. 8).
Рис. 8
Итак, чем больше внутреннее сопротивление Qi , тем мень-
ше эквивалентная добротность цепи и шире полоса пропускания.
Стало быть, с точки зрения избирательности последовательный ко-
лебательный контур целесообразно применять в том случае, когда
внутреннее сопротивление генератора достаточно мало( «Z. ).
П. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
I. Основные соотношения
Колебательным контуром параллельного питания или, сокра -
ценно, параллельным колебательным контуром называется цепь, со-
ставленная из катушки индуктивности и конденсатора, подключен -
ных параллельно входным зажимом, к которым может быть присоеди-
нен генератор или другие элементы цепи.
Заменяя катушку эквивалентной схемой, составленной из по -
следовательно соединенных элементов L ъ , а конденсатор
- 18 -
последовательно включенными С в 7С , получим схему па -
раллельного колебательного контура, изображенную на рис. 9.
Прежде всего получим вираже -
ние для точной резонансной частоты
параллельного контура.
Как было указано выше, peso -
нансной частотой называют такую
частоту, при которой реактивная
составляющая комплексного сопро -
тивления обращается в нуль.
Для параллельного контура
Bic. 9
/41)
Освобождаясь от мнимости в знаменателе, можно привести формулу
(41) к виду:
Резонансная частота определится из условия равенства нулю мни-
мой части комплексного сопротивления, т.е. В* О • Ввиду гро -
моздаости в элементарности преобразований формулы (41) ограни-
чимся окончательным выражением, связывавшим величину В с па-
раметрами контура. Полагая числитель мнимой части /В) равным
нулю, имеем:
Ъ UJpC
где и)р - точная резонансная частота.
Решая это уравнение в отношении частоты а)р , получаем
- 19 -
r~s--------’ / КС J
J^C- < = (42)
p V 4clL-L‘C /Lc V TiE-j
J C 7 —
Обозначая U>o = , принимая во внимание, что
и умножив для удобства анализа числитель и знаменатель подко -
ренного выражения формулы (42) на минус I, получаем окончатель-
но:
(43)
Отсюда следует» что резонансная частота параллельного контура
зависит не только от величины активного сопротивления, но и от
того, каким образом это активное сопротивление распределено
между ветвями контура.
Поясним сказанное несколькими частными случаями. Положим,
что активное сопротивление контура отстутствует, т.е. ?LsZtTO*
Тогда, как видно из формулы (43), резонансная частота будет
равна:
Таким образом, при отсутствии в контуре активного сопротивле-
ния резонансная частота не зависит от способа включения (по -
следовательно или параллельно) ЭДС; в обоих случаях резонарс -
ная частота совершенно точно определяется формулой =
Если же контур имеет активное сопротивление, сосредоточенное в
индуктивной ветви контура, то Zc-О и резонансная частота вы-
ражается формулой: ________
ч /'ll,
и)р=(л)оу-{~ (44)
Следовательно, между частотами Шр и и>о существует неравен -
ство Ш<Ц)О .
Перейдем теперь к третьему случаю. Положил, что активное
сопротивление сосредоточено в емкостной ветви контура, т.е.
г^-О. Для этого условия формула (43) принимает вид:
- 20 -
(45)
Здесь
~ Наконец, обратился к последнему случаю. Допустим, что в
обеих ветвях контура имеются активные сопротивления, причем
эти сопротивления равны между собой ( It. я ) •
Тогда, как это следует из формулы (43), и>р = а)о*
Итак, если в параллельном контуре либо совершенно отсут-
ствует активное сопротивление, либо это сопротивление имеется,
но равномерно распределено по ветвям контура, резонансные час-
тоты, вычисленные по точной и приближенной формулам, совпадают.
Если же активное сопротивление индуктивной ветви контура преоб-
ладает над сопротивлением в емкостной ветви, то приближенная
формула дает несколько преувеличенный результат. При преобла -
дании активного сопротивления в емкостной ветви приближенная
формула дает преуменьшенную величину.
Написанные соотношения между частотами Wf и Шо легко
пояснить, пользуясь векторной диаграммой. Вычертим диаграмму
для случая, когда активное сопротивление сосредоточено в ин -
дуктивной ветви ( Zt ~О ) и генератор развивает частоту и)о .
Согласно первому закону Кирхгофа, для комплексных амплитуд то-
ков (рис. 9) получим:
3
Здесь _ _
Абсолютное значение тока емкостной ветви определится по форму-
ле:
а фазовый угол
/е = a'tc с
- 21 -
Но так как активное сопротивление ^с=О , то <7е = t/caaC и
= 90°.
Вектор тока в индуктивной ветви имеет абсолютную величи-
ну
г/
й фазовый угол
abL
Поскольку ЪИ) и то, очевидно, что-4^-2с и
. VL< 90°. Взяв за исходный вектор напрякение 2t на заки -
qax колебательного контура (рис. 9), наносим вектор тока в ем-
костной ветви контуре и вектор Ъ. по абсолютному значе-
нию меньшей Ус расположенный под углом, меньшим 90° по от-
ношению к U (рис. 10).
Рис. 10
I
В результате получаем вектор равнодёйствупдего тока ?а , не
совпадающий с V .
' Таким образом, если к параллельному контуру, в котором
имеется активное сопротивление только в ^индуктивной ветви, под-
вести переменный ток с частотой , то контур будет
представлять для генератора комплексную нагрузку. Для того,что-
бы контур являлся только активным сопротивлением, необходимо,
чтобы вектор $9 совпал с вектором К . Так как параметры
- 22 -
контура постоянны, совпадения этих векторов можно добиться
только изменением частоты переменного тока# подводимого к кон-
туру.
В рассматриваемом случае, очевидно, следует несколько
понизить частоту генератора, так как это приведет к увеличе -
нию вектора Э2 и соответственному уменьшению (не
сколько изменится и угол $1 ). В результате вектор J повер-
нется по часовой стрелке и совпадает с вектором W .
Аналогичным путем можно показать, что цри вектор
Jo расположится правее вектора V и для их совпадения ге-
нератор должен развить частоту несколько выше . Наконец,
если , то вектор •% сов падаетс-вектором Ж только
при частоте генератора, равной Uf0 .
Интересно рассмотреть предельный случай идеального конту-
ра (рис. II) свободного от потерь ( =0, ) и
настроенного в резонанс.
В этом случае токи
/ =у -Г
''Lp >Уер-Ук уэ
и противоположны по фазе (рис. II). Поэтому ток неразветвлен-
ной части равен нулю. Контур не по -
требляет тока, т.е. ,и ге - <►
нератор может быть отключен. Тем не
менее, в контуре "вечно" циркулирует
ток с амплитудой Лг . Энергия при
этом не расходуется, а только перио-
дически перераспределяется между *
электрическими и магнитными полями.
Этот запас энергии должен быть сооб-
щен контуру при его первоначальном
подключении к генератору, после чего
генератор оказывается ненужным.
Надо иметь в виду, что в радио-
технических контурах «У7 и /*“
tc <</? • Поэтому даже при не - е
равных и с большой степенью Рис.II
точности можно считать = о)р
- 23 -
В режиме резонанса ^ip^ Зср^
2. Входные частотные характеристики
параллельного колебательного контура
Комплексное входное сопротивление контура, схема которого
приведена на рис. 9
VL->-rc+j(wL -
Полагая, что % « cuL и Zc , получим:
(46)
Здесь Z « . Знаменатель выражения (46) представляет не
что иное, как входное сопротивление последовательного контура,
составленного из тех же деталей, что и параллельный контур,т.е.
~ <ос) =
Имея в виду, что % ~J>2 , получим:
** „ф (47)
ИЛИ %Sx 'Vp ’ nor/!
Из формулы (47) следует, что последовательный и параллель-
ный контуры, составленные из одних и тех же деталей и рассмат-
риваемые со стороны своих входных зажимов, являются обратными.
Подставляя в (47) равенство (16), получим, что входное сопро -
тивление параллельного контура (в дальнейшем индекс "пар" опус-
каем)
- 24 -
гЩ) (48>
При частоте воздействия, совпадающей с частотой <&о , когда
^-0 • входное сопротивление можно считать активным, что
соответствует режиму резонанса
е = D о = -----* (49)
X ot'' •jj ~ а>*с*-ъ
Так как добротность радиотехнических контуров @ = 2004-400,а
характеристическое сопротивление 1004-500 ом, входное ре-
зонансное сопротивление может иметь величину порядка несколь-
ких десятков или сотен тысяч ом (в то время, как последова -
тельный контур на резонансной частоте имеет очень малое со -
противление порядка нескольких ом).
Возвращаясь к выражению (48), представим его в виде:
//*Л = (50)
Контур, таким образом, может быть заменен эквивалентной схе -
мой, состоящей из последовательного соединения активного со -
противления
и реактивного сопротивления
(51)
(52)
Полное входное сопротивление контура
(53)
Нормированное входное сопротивление
- 25 -
(54)
Функции А^ёз есть не что иное>
резонансной кривой.
На рис. 12 показаны частотные
как уравнение предельной
зависимости входного со
противления параллельного контура.
Настроенный контур { и)-0 ) представляет собой чис-
то активное сопротивление, равное ~ . При рас -
стройке контура сопротивление его резко падает по величине и
становится комплексным. Реактивная составлявшая сопротивления
имеет два экстремума, получающихся при расстройках, и макси --
мальная величина реактивного сопротивления равна 1/2 -^/*•7.
Для определения фазового угла входного сопротивления имеем
<56>
т.е,. фазо-частотная характеристика параллельного контура подоб-
на характеристике последовательного контура, только, как и
следовало ожидать, знак угла^ изменился на обратный (рио.13).
- 26 -
АО)
Ь>о
£
2
Рис. 13
От частотной характеристики входного сопротивления перей-
дем к характеристике напряжения на контуре. Будем считать, что
амплитуда тока, питающего контур, не изменена (не зависит от
величины напряжения на его зажимах): const . Это равно -
сильно питанию контура генератором неограниченной мощности с
бесконечно большим внутренним сопротивлением.
Комплексная амплитуда напряжения на контуре
Отношение модуля амплитуды напряжения на расстроенном контуре
к напряжению в случае настройки контура в резо-
нанс будет:
2L = = * =/»/г> (56)
Таким образом, частотная характеристика напряжения и при усло-
вии питания контура неизменным током представляет собой пре -
дельную резонансную характеристику ftff)
- 27 -
3. Передаточные функции параллельного контура
Для тока в индуктивной ветви (когда Zt« u)L ) (рис. 9)
имеем:
27
Так как ток неразветвленной части схемы J—
редаточная функция по току индуктивной ветви
и
то пе'
Модуль этого отношения
Умножив и разделив это выражение на
что
и имея-в виду.
^9 ^/4}
= П и
<4Л ц
£/>еЗ
= flfw)
найдем
(57)
Это соотношение совпадает с выведенной ранее формулой (36)
для отношения z
Iе • < «а
в последовательном контуре.
Аналогично для тока емкостной ветви получим:
и модуль этого отношения
(58)
Это выражение совпадает с формулой (37) для отношения
в последовательном контуре. Из (57) и (58)
- 28 -
t
следует, что в области малых расстроек, когда «у*/ частот-
ные характеристики токов в контуре почти совпадают с предель -
ной резонансной кривой, отличаясь от нее только множителем Q.,
При резонансе () токи
^17 ~ Кер ~
т.е. ток контура превосходит ток в неразветвленной цепи в Q,
раз. Поэтому явление резонанса в параллельном контуре называют
резонансом токов.
4. Влияние внутреннего сопротивления генератора
на избирательные свойства параллельного контура
Частотные характеристики напряжения и токов контура имеют
вид предельной резонансной кривой только в том случае,
если амплитуда тока, питапцего контур, неизменна.
В действительных условиях, когда контур питается реальным
генератором ( Ф со ), ток «7 неизбежно меняется с из-
менением напряжения на контуре (Сопротивления нагрузки) и это
может существенно сказаться на виде частотных характеристик.
Рассмотрим схему, представленную на рис. 14.
Рис. 14
Найдем частотную характеристику напряжения на контуре.
- 29 -
Комплексная амплитуда напряжения на контуре
Следовательно,
Е _ г Ajf F fa
К***##) *i+jfe<+fa
Для удобства дальнейшего анализа введем обозначение
Лх-ф» > <60>
л,
С учетом вышеуказанного обозначения комплексная амплитуда на-
пряжения на контуре будет:
Модуль этого выражения
И= 7""^ (62)
При резонансе напряжение на контуре выразится следующим обра-
зом:
J53) т.к. f.O
Нормированная резонансная кривая *по напряжению с учетом вну -
треннего сопротивления генератора, которую обозначим через /7?
будет:
/7 =
Э~ ‘
Формулу (64) представим в следующем виде:
(64)
S
- 30 -
где (J**и ----- эквивалентная добротность при
>вг
Исследуем формулу (64) и построим соответствующие час -
тотные характеристики:
I) , т.е, в этом случае
п -
'' /т^5 .
Это значит, что при напряжение на контуре от часто-
ты вообще не зависит, оставаясь равным £ .
2) Л«/ • т.е. »£/>*?
п^7т7р
при /?э приближается к предельной резонансной кри-
вой.
Соответствующие частотные характеристики представлены на
рис. 15.
Итак, в отличие от последовательного контура применение
параллельного колебательного контура целесообразно с точки
зрения избирательности только в том случае, когда внутреннее
сопротивление генератора достаточно велико ( Л?/» ^/**3 ).
- 31 -
Для определения полосы пропускания параллельного контура
с учетом внутреннего сопротивления генератора воспользуемся
формулой (65), ПОЛОЖИВ
г г а
г
Где а а)к =-2аш - полоса пропускания, включающая в себя час-
тоты от нижней граничной до верхней граничной <*>в .
Решая это уравнение относительно Л , получаем:
где _ (66)
' s
В заключение рассмотрим частотную характеристику тока «7 не-
разветвленной части схемы (рис. 14).
Используя схему (рис. 14) , получим:
- .
Модуль этого выражения
у.
Ток при резонансной частоте
js)
Нормированная характеристика по току
W>.) f*
Исследуем формулу (67).
I) При , т.е. ^£1
2) При , т.е. при
- 32 -
(67)
, т.е. нормированная резонансная характеристика
вырождается в прямую.
Все вышесказанное можно представить графически следующим
образом:
Из всего сказанного следует, что о настройке параллельно-
го контура в резонанс можно судить либо по максимуму напряже -
ния на контуре (тока контура), либо по минимуму тока в нераз -
ветвленной части цепи.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В работе экспериментально исследуются последовательный и
параллельный колебательные контуры. Принципиальная электричес-
кая схема приведена на рис. Г7.
Установка имеет набор индуктивностей L, ,Lt , перемен-
ную емкость С и резистор R к , который включен всегда последо-
вательно с одной из индуктивностей и имитирует потери в кон -
туре. Этот резистор может быть закорочен тумблером с надписью
" R* П.
- 33 -
Рис. 17
Комбинируя элемента контура с помощью переключателей П1
"Тип контура" и П2 "Диапазоны", можно получить либо последо -
вательный, либо параллельный колебательный контуры.
Переключатель П1 в положении "I" подключает к клеммам
"Вход" последовательны^ колебательный контур, а в положении
"2" через резистор , который служит для получения генег-
ратора тока - параллельный колебательный контур.
Переключатель П2 "Диапазоны" позволяет выбирать нужную
для эксперимента индуктивность.
На переднюю панель установки выведена ручка переменного
конденсатора "С", с помощью которой перестраивается емкость
контура.
Значения емкости на установке проградуированы в деле -
ниях лимба. Величина емкости для различных делений лимба оп -
ределяется по таблице I, приведенной в конце описания.
Высокочастотный сигнал подается с генератора стандартных
сигналов на клеммы "Вход", а с клеммы "Выход" снимается на
милливольтметр или осциллограф.
ЗАДАНИЕ
Целью экспериментальной части работы является исследова-
ние резонансных свойств последовательного и параллельного ко-
- 34 -
лебательного контура, влияние дополнительного сопротивления
Rk на параметры контура, исследование фазовых соотношений
между входим и выходным напряжением на контуре; результаты
эксперимента сравниваются с теоретически рассчитанными знача -
ниями резонансной частоты контура, его добротности.
I. Исследовать последовательный колебательный контур.
I) Вычислить значения резонансных частот контура для 2-х
значений индуктивности и деления лимба емкости, заданных пре -
подавателем. Величина емкости остается неизменной в течение
всего эксперимента. Знание резонансной частоты необходимо для
правильного выбора диапазона частот генератора стандартных сиг-
налов .
2) Снять амплитудно-частотную зависимость напряжения на
контуре, т.е. зависимость выходного напряжения на контуре от
частоты подаваемого напряжения при
а) выключенном дополнительном сопротивлении R* ,
б) включенном дополнительном сопротивлении.контура .
3) По результатам, полученным в п.п. 2а и 26, построить
на общем графике нормированные резонансные кривые.
Примечание . Нормирование производится следую -
шим образом. Все значения выходных напряжений, относящихся к
одной кривой, делятся на значение напряжения при резонансе для
данной кривой и эти относительные величины откладываются по
оси ординат.
4) Повторить п.п. 2а, 26 и 3 для другого значения индук -
тивности.
5) Для каждой резонансной кривой определить
- полосу пропускания,
- добротность.
6) Вычислить теоретические значения добротности контура
по формуле /т-»
Rl +Rr
где RL - сопротивление потерь в катушке индуктивности, рав -
ное 5 ом для Z,z и I ом для Lg ;
Rr - выходное сопротивление генератора стандартных сиг -
налов, с выносным делителем в положении I, равное
34 ом.
- 35 -
7) Качественно исследовать фазовый сдвиг между входным и
выходным напряжением на контуре. Для этого на вертикальный
вход осциллографа подать напряжение с выхода контура, на гори-
зонтальный вход - с выходного гнезда "0,1 - I в" генератора
стандартных сигналов и получить фигуру Лиссаку. Оценить изме -
нение фазового сдвига при изменении частоты генератора. Зари -
совать характерные осциллограммы.
П. Исследовать параллельный колебательный контур
I) Провести эксперимент аналогично пунктам I.I) - 1.5).
2) Вычислить теоретически резонансное сопротивление кон -
тура по формуле
где Kl - вышеуказанное сопротивление потерь в контуре.
3) Вычислить значение добротности контура по формуле:
где $ - собственная добротность контура.
В* г = 8 г + 5*г = 20 ком ( fir - выходное сопротивление гене -
ратора стандартных сигналов, равное 34 ома, которым можно пре-
небречь по сравнению с Н*г = 20 ком).
4) Качественно исследовать фазовый сдвиг межлу входным
и выходным напряжением контура. Эксперимент проводится анало -
гично п.1.7).
Ш. Сравнить теоретические и экспериментальные результаты.
- 36 -
Таблица I
Градуировочная таблица переменных конденсаторов
Деления лимба Величина емкости мкмкф Деления лимба Величина емкости, мкмкф
I П I П
I 293 695 36 327 141
2 328 695 37 313 142
3 360 665 38 299 136
4 390 628 39 . 287 131
5 419 593 40 274 126
6 445 560 41 263 121
7 471 532 42 253 116
& 483 503 43 242 112
9 515 477 44 232 107
10 536 452 45 223 104
II 555 430 46 213 100
12 574 406 47 205 97
13 593 399 48 197 93
14 609 371 49 189 90
15 626 353 50 181 86
16 641 337 51 174 83
17 656 323 52 166 81
18 671 308 53 161 78
19 685 295 54 154 74
20 698 282 55 148 72
21 706 270 56 142 70
22 678 259 57 136 67
23 640 248 58 130 64
24 604 238 59 125 62
25 571 . 228 60 120 59
26 540 217 61 115 57
27 511 210 62 100 55
28 484 202 63 106 52
29 459 184 64 101 50
30 436 185 65 97 49
31 415 179 66 93 47
32 395 172 67 90 45
33 376 165 68 86 44
34 358 159 69 83 42
35 342 152 70 79 41
Примечание. Цифрами I и II обозначены разные
варианты установок.
- 37
Литература
I. Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических це -
пей. "Энергия", 1972.
2. Афанасьев Б.П., Гольдин О.Е., Кляцкин И.Г., Линес Г.Я.
Теория линейных .электрических цепей. "Высшая школа", 1973.
3. Асеев Б.П. Колебательные цепи. 1955.
4. Гоноровский И.С. Основы радиотехники. 1957.
5. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники.Ли-
нейные электрические цепи. 4.1. "Энергия", 1966.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
И ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОНТУРА
Лабораторная работа
ддд студентов 3 курса
Редактор А.А.Макарова Корректор Г.С.Куницына
Сдано в набор I/IX-I977 г. Подписано в печать 3/X-I977 г.
Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л. 2,5. Тираж 350. Заказ 552.
Неоплатно.
Офсетная лаборатория КРУ
Казань, Ленина, 4/Ь