Автор: Дюво Г. Лионс Ж.-Л.
Теги: вычислительная математика численный анализ физика механика
Год: 1980
Текст
Г.ДЮВО, ж,-л. лионс
НЕРАВЕНСТВА
В МЕХАНИКЕ
ИФИЗИКЕ
Перевод с французского
С. Ю. ПРИЩЕПИОНКА, Т. Н. РОЖКОВСКОЙ
Под редакцией С. К. ГОДУНОВА
Москва «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
1980
22.19
Д95
УДК 519.6
TRAVAUX ЕТ RECHERCHES MATHEMATIQUES
G. DUVAUT J.-L. LIONS
LES INEQUATIONS
EN MECANIQUE
ET
EN PHYSIQUE
DUNOD
PARIS
1972
n 20204—091
;'Ъ^о^ом-ЕО 17“7Ю0|>
© Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы. 1980
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .................................. 8
Введение......................................................... 9
Глава I. ЗАДАЧИ О ПОЛУПРОНИЦАЕМЫХ СРЕДАХ И ОБ УПРАВ-
ЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРОЙ................................... 13
§ 1. Элементы механики сплошных сред......................... 13
1.1. Тензор напряжений (13). 1.2. Законы сохране-
ния (14). 1.3. Тензор деформаций (18). 1.4. Уравнении
состояния (21).
§ 2. Задачи о. полупроницаемых преградах (тепловых, в механике
жидкости в пористых средах) и о полупроводниках в электри-
честве .................................................... 21
2.1. Основные уравнения (21). 2.2. Полупроницаемые
сменки (24). 2.3. Управление температурой (28).
§ 3. Вариационные постановки задач об управлении температурой
и о полупроницаемых стенках............................ 32
3.1. Обозначения (32). 3.2. Вариационные неравен-
ства (34). 3.3. Примеры. Эквивалентность вариацион-
ных неравенств и задач из § 2 (34). 3.4. Некоторые
обобщения (40). 3.5. Стационарные задачи (41).
§ 4. Некоторые сведения из функционального анализа......... 43
4.1. Пространства Соболева (43). 4.2. Приложения:
выпуклые множества (48). 4.3. Пространства векторно-
значных функций (50).
§ 5. Решение эволюционных вариационных неравенств из § 3 . . . 51
5.1. Постановка задач (51). 5.2. Формулировка основ-
ных результатов (52). 5.3. Выполнение условий
(5.3) — (5.5) (53). 5.4. Другие меюды аппроксима-
ции (55). 5.5. Доказательство единственности в тео-
реме 5.1 (5.2) (56). 5.6. Доказательство теорем 5.1 и
5.2 (56).
§ 6. Положительность и сравнение решений................... 63
6.1. Положительность решений (63). 6.2. Сравнение ре-
шений (I) (64). 6.3. Сравнение решений (II) (66).
§ 7. Стационарные задачи................................... 67
7.1. Строго коэрцитивный случай (67). 7.2. Аппрокси-
мация стационарных решений решениями эволюционных
задач при /->+°о (70). 7.3. Случай нестрогой коэрци-
тивности (71).
§ 8. Комментарии . ................................., . . . 78
1* 3
Глава И. ЗАДАЧИ ОБ УПРАВЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРОЙ........................ 79
§ 1. Управление температурой ............................... 79
1.1. Мгновенное управление (79). 1.2. Управление
с запаздыванием (81).
§ 2. Вариационная формулировка задач об управлении температурой 82
2.1. Обозначения (82). 2.2. Вариационные неравен-
ства (82). 2.3. Примеры (83).
§ 3. Решение задач о мгновенном управлении температурой .... 86
3.1. Результаты (86). 3.2. Доказательство единствен-
ности решения в теоремах 3.1 (и 3.2) (88). 3.3. Дока-
зательство теорем 3.1 (и 3.2) (88).
§ 4. Свойство решения задачи о мгновенном управлении в случае
тонких стенок............................................... 95
§ 5. Некоторые результаты для задач об управлении с запаздыва-
нием ..................................................... 97
.5.1. Формулировка теоремы (97). 5.2. Доказательство
существования решения в теореме 5.1 (98). 5.3. Дока-
зательство единственности решения в теореме 5.1 (102).
§ 6. Комментарии .......................................... 102
Глава III. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ С ТРЕНИЕМ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ВЯЗКО-УПРУГОСТИ.............. 103
§ 1. Введение.............................................. 103
§ 2. Классическая линейная упругость ...................... 103
2.1. Уравнение состояния (103). 2.2. Классические за-
дачи теории линейной упругости (105). 2.3. Вариацион-
ная постановка эволюционной задачи (107).
§ 3. Статические задачи.................................... 109
3.1. Классическая постановка (109). 3.2. Вариационная
постановка (109). 3.3. Неравенство Корна и его след-
ствия (ПО). 3.4. Результаты (117). 3.5. Двойственные
постановки (118).
§ 4. Динамические задачи................................... 122
4.1. Основные результаты (122). 4.2. Доказательство
теоремы 4.1 (125). 4.3. Другие граничные условия (128).
§ 5. Линейная упругость с трением или одностороннее сжатие . . 131
5.1. Первый закон трения. Динамический случай (131).
5.2. Закон Кулона. Статический случай (134). 5.3. Двой-
ственная вариационная постановка (140). 5.4. Другие
граничные условия и открытые вопросы (143). 5.5. Ди-
намический случай (149).
§ 6. Линейная вязко-упругость. Материалы с кратковременной
памятью........................................................ 157
6.1. Уравнение состояния и общие замечания (157).
6.2. Динамический случай. Постановка задачи (158).
6.3. Теорема существования и единственности в динами-
ческом случае (159). 6.4. Квазистатические задачи.
Вариационная постановка (162). 6.5. Теорема существо-
вания и единственности в случае mesr^>0 (163).
6.6. Случай Г^ = 0 (166). 6.7. Обоснование квазиста-
тического случая в задачах без трения (170). 6.8. Слу-
чай без вязкости как предельный случай задач с вяз-
4
костью (174). 6.9. Интерпретация вязких задач как
параболических систем (176).
§ 7. Линейная вязкоупругость. Материалы с долговременной па-
мятью ....................................................... 177
7.1. Уравнение состояния и общие замечания (177).
7.2. Динамические задачи с трением (178). 7.3. Теорема
существования и единственности в динамическом слу-
чае (179). 7.4. Квазистатический случай (183). 7.5.
Использование преобразования Лапласа в случае без
трения (187). 7.6. Упругий случай как предельный слу-
чай поведения среды с памятью (189).
§ 8. Комментарии ......................................... 190
Глава IV. ЯВЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ОДНОСТОРОННИМИ ОГРА-
НИЧЕНИЯМИ В ТЕОРИИ ПЛАСТИН ...................... 191
§ 1. Введение................................................. 191
§ 2. Общая теория пластин..................................... 191
2.1. Определения и обозначения (191). 2.2. Анализ дей-
ствующих сил (192). 2.3. Линеаризованная теория (194).
§ 3. Задачи................................................... 200
3.1. Классические задачи (200). 3.2. Задачи с односто-
ронними связями (201).
§ 4. Стационарные задачи с односторонними ограничениями .... 202
4.1. Обозначения (202). 4.2. Задачи (стационарные) (202).
4.3. Решение задачи 4.1. Необходимые условия сущест-
вования решения (205). 4.4. Решение задачи 4.1. Доста-
точные условия (207). 4.5. Проблема единственности
в задачах 4.1 и 4.3 (208). 4.6. Решение задачи 4.1а (209).
4.7. Решение задачи 4.2 (209).
§ 5. Эволюционные задачи с односторонними ограничениями . . . 212
5.1. Постановка задач (212). 5.2. Решение эволюцион-
ных задач с односторонними ограничениями (214).
§ 6. Комментарии .................................... . . , , 216
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПЛАСТИЧНОСТИ ........................... 217
§ 1. Введение................................................ 217
§ 2. Идеально-упруго-пластическое (Прандтля — Рейсса) и вязко-
упруго-пластическое уравнения состояния...................... 217
2.1. Идеально-упруго-пластическое уравнение состояния
(Прандтля — Рейсса) (217). 2.2. Вязко-упруго-пластиче-
ское уравнение состояния (221). 2.3. Задачи (224).
§ 3. Вязко-упруго-пластические, динамические и квазистатические
задачи....................................................... 225
3.1. Вариационная постановка задач (225). 3.2. Резуль-
таты (227). 3.3. Доказательство единственности (228).
3.4. Доказательство существования решения динамиче-
ской задачи (229). 3.5. Доказательство существования
решения квазистатической задачи (232).
§ 4. Идеально-упруго-пластические задачи...................... 233
4.1. Постановка задач (233). 4.2. Результаты (235).
4.3. Доказательство единственности решения (236). 4.4.
Доказательство теорем 4.1 и 4.2 (236). 4.5. Доказатель-
ство теорем 4.3 и 4.4 (238).
5
§ 5. Жестко-вязко-пластические и идеально-жестко-пластические
задачи ...................................................... 240
5.1. Жестко-вязко-пластические задачи (240). 5.2. Иде-
ально-жестко-пластические задачи (242).
§ 6. Закон пластичности Хенки .............................. 244
6.1. Уравнение состояния (244). 6»2. Задачи (244).
6.3. Вариационная постановка задачи для напряже-
ний (245). 6.4. Определение поля перемещений (246).
6.5. Изотропный материал с условием пластичности
Мизеса (249). 6.6. Кручение цилиндрического
стержня (250).
§ 7. Упрочняющиеся материалы................................. 254
7.1.» Уравнение состояния (254). . 7.2. Задача (256).
7.3. Двойная вариационная постановка задачи (256).
7.4. Существование и единственность решения (поля пе-
ремещений) (258). 7.5. Ассоциированное поле напряже-
ний (259).
§ 8. Комментарии ........................................... 259
Г л а в а VI. ЖЕСТКО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ЖИДКОСТИ БИНГАМА 260
§ 1. Введение и рассматриваемые задачи ..................... 260
1.1. Уравнение состояния несжимаемой жестко-вязко-
пластической жидкости (260). 1.2. Функция диссипа-
ции (260). 1.3. Изучаемые задачи и формулировка урав-
нений (263).
§ 2. Течение в резервуаре. Формулировка в виде вариационного
неравенства................................................. 266
2.1. Обозначения (266). 2.2. Вариационное неравен-
ство (266).
§ 3. Исследование вариационного неравенства, характеризующего
течение жидкости Бингама внутри резервуара.................. 269
3.1. Необходимые сведения из функционального ана-
лиза (269). 3.2. Функциональная формулировка вариа-
ционных неравенств (271). 3.3. Доказательство тео-
ремы 3.2 (273). 3.4. Доказательство теоремы 3.1 (279).
§ 4. Теорема регулярности и двумерные задачи................. 283
§ 5. Ньютоновы жидкости как предельный случай жидкостей Бин-
гама ....................................................... 285
5.1. Результаты (285). 5.2. Доказательство тео-
ремы 5.1 (285).
§ 6. Стационарные задачи.................................... 289
6.1. Результаты (289). 6.2. Доказательство (290).
§ 7. Внешние задачи......................................... 292
7.1. Формулировка в виде вариационного неравен-
ства (292). 7.2. Результаты (293).
§ 8. Ламинарное течение в цилиндрической трубе............... 295
8.1. Рассматриваемые уравнения (295). 8.2. Вариацион-
ная постановка (295). 8.3. Свойства решения (297).
§ 9. Интерпретация неравенств с множителями................. 299
§ 10. Комментарии........................................... 303
6
Глава VII. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА .................................. 304
§ 1. Введение ............................................. 304
§ 2. Уравнения электромагнетизма........................... 304
2.1. Физические величины (305). 2.2. Закон сохранения
электрического заряда (305). 2.3. Закон Фарадея (307).
2.4. Уравнения Максвелла (307). 2.5. Уравнения состоя-
ния (308).
§ 3. Физические задачи..................................... 309
3.1. Устойчивая среда с идеально проводящей грани-
цей (309). 3.2. Поляризуемая среда с идеально прово- _
дящей границей (310). 3.3. Биполярная антенна (311).
3.4. Щелевая антенна. Дифракция электромагнитной
волны на идеальном проводнике (312). 3.5. Общая по-
становка задач (312).
§ 4. Устойчивая среда. Первая теорема существования и един-
ственности ................................................ 314
4.1. Сведения из функционального анализа, необходимые
для «слабой» постановки задачи (314). 4.2. Оператор .
«Слабая» постановка задачи (317). 4.3. Существование и
единственность слабого решения (320). 4.4. Непрерыв-
ная зависимость решений от диэлектрических констант и
от магнитной проницаемости (323).
§ 5. Устойчивая среда. Существование «сильных» решений .... 327
5.1. Сильное решение в П(©^) (327). 5.2. Решение фи-
зических задач (328).
§ 6. Устойчивая среда. Сильные решения в пространствах Соболева 331
6.1. Теоремы вложения (331). 6.2. Регулярность реше-
ния (335). 6.3. Регулярность решения (D) (336).
§ 7. Щелевые антенны. Неоднородные задачи.................. 336
7.1. Постановка задачи (336). 7.2. Результаты (337).
7.3. Доказательство теоремы 7.1 (338).
§ 8. Поляризуемая среда ................................... 339
8.1. Существование и единственность решения вариацион-
ного неравенства, связанного с уравнением Макс-
велла (339). 8.2. Интерпретация вариационного неравен-
ства. Решение задачи для поляризуемой среды (341).
8.3. Доказательство теоремы 8.1 (341).
§ 9. Устойчивая среда как предельный случай поляризуемой среды 346
9.1. Результаты (346). 9.2. Доказательство теоремы
9.1 (347).
§ 10. Дополнение........................................... 349
§ 11. Комментарии...................................... 349
Приложение. ВРЕМЯ ОСТАНОВКИ, ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
И НЕРАВЕНСТВА.................................................... 351
Библиография..................................................... 355
Добавление. ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ.................. 365
§ 1. Введение ........................................... 365
§ 2. Задача о пористой преграде............................ 366
§ 3. Задача Стефана ..............................*........ 372
Библиография . . , , ........., . , ...................... 383
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга, предлагаемая вниманию русских читателей, написана
лет восемь тому назад французскими математиками, один из кото-
рых в большой степени определяет направление развития при-
кладных исследований во Франции, являясь в то же время круп-
нейшим специалистом в теории дифференциальных уравнений
с частными производными и в теории оптимального управления.
Несмотря на время, прошедшее с момента выхода в свет ориги-
нала, она, как нам кажется, не утратила своего значения, явля-
ясь развернутым введением в круг вопросов, первоначально под-
нятых в школе Лионса, а в настоящее время широко и активно
разрабатываемых во всем мире. Она, по-видимому, должна вызвать
активный интерес у специалистов как по дифференциальным урав-
нениям, так и у механиков, занимающихся проблемами теории
пластичности, фильтрации, физиков, исследователей в области
оптимального управления.
Несмотря на кажущуюся легкость и прозрачность изложения,
книгу читать совсем не легко. Подробные обоснования одних
предложений в ней перемежаются с краткими набросками дока-
зательств других, некоторые утверждения обоснованы ссылками
на журнальные работы. В ряде случаев приводятся правдоподоб-
ные гипотезы, которые еще ждут своего обоснования, указы-
ваются открытые проблемы. От читателя требуется владение теми
методами функционального анализа, которые широко исполь-
зуются в современной теории дифференциальных уравнений, в част-
ности, владение теоремами вложения С. Л. Соболева.
Думается, что серьёзный читатель получит от знакомства с этой
книгой большое удовольствие и большую пользу. Она намечает
весьма перспективный путь исследований важных вопросов, воз-
никающих при постановке математических задач, связанных
с актуальными областями современной механики и физики.
Авторы специально для русского издания написали прило-
жение и прислали дополнительную библиографию *). Мы им глу-
боко благодарны за проявленное внимание к русскому изданию.
С. К. Годунов
*) Часть приложения, полученная от авторов после подписания рукописи
в набор, включена при корректуре в виде Добавления. (Прим, редакции.)
8
ВВЕДЕНИЕ
1. Мы начнем с примера неравенства в частных производных,
возникающего в простой физической задаче. Рассмотрим жидкость,
давление которой в точке х в момент времени t обозначим через
и (х, t). Жидкость занимает область й с R3, ограниченную тон-
кой, но полупроницаемой мембраной Г, т. е. мембрана позволяет
жидкости свободно втекать в область й, но препятствует всякому
истечению жидкости из й. Тогда можно проверить (см. в п. 2.2.1
гл. I), что и(х, t) удовлетворяет в й уравнению '
граничным условиям в виде неравенств1)
и (х, t) > 0 => ди (х, t)/dn = 0, х G Г, ._
и(х, t) = 0=$du(x, t)/dn^O, хеГ,
и начальному условию
и (х, 0) = и0 (х). (3)
Здесь функции g(x, t) и и0(х) заданы.
Заметим, что условия 2) нелинейны; они означают, что
в каждый фиксированный момент времени t на Г имеются две
части Го и Гь где м(х, /) = 0 и ди(х, t)/dn = O соответственно.
Эти части не заданы. Таким образом, мы имеем дело с задачей
со «свободной границей».
Задачу (1), (2) можно переформулировать в виде неравенств.
Для этого введем множество v «пробных функций»:
К = {vIV — функции, определенные в й2), v^O на Г}. (4)
Тогда задача (1), (2) эквивалентна следующей:
(5)
j [ff (у-«) +gradx«-gradx (и-tz)-g (и-и)^х2&0 Vv<=K.
Задача о нахождении решения и неравенства (5) с начальным
условием (3) и есть та задача, которую мы называем эволюцион-
ным вариационным неравенством (параболического типа).
Ч Через д/дп обозначена производная по направлению внешней нормали к Г.
2) Например, (См. гд. I.)
9
2. Приведенный пример имеет общий характер: мы встре-
чаемся с задачами, которые можно сформулировать с помощью
неравенств, при рассмотрении явлений, для которых связи, урав-
нения состояния, формулировки физических законов меняются
при достижении определенными величинами некоторого порога.
Цель настоящей работы заключается в обсуждении таких
задач, возникающих в механике и физике.
3. Указанная в предыдущем пункте «программа» необъятна,
и мы не пытались исчерпать ее, ограничившись в этой работе
наиболее простыми классическими законами. Мы коснулись сле-
дующих тем:
1) задачи о, полупроницаемых стенках, о диффузии; приложе-
ния к вопросам теплопроводности и гидродинамики;
2) задачи об управлении (в частности, температурой);
3) задачи . (линеаризованной) теории упругости, включающие
трение и односторонние условия;
4) задачи об изгибе плоских пластин;
5) явления вязко-упруго-пластичности, идеально-упруго-пла-
стичности, жестко-вязко-пластичности, идеально-жестко-пластич-
ности и явления в упрочняющихся материалах;
6) течения жидкостей Бингама;
7) неравенств, связанных с системой уравнений Максвелла.
4. Для облегчения чтения книги в начале каждой из глав
приведены обзоры соответствующих физических теорий.
Теперь опишем кратко содержание глав.
5. В п. 1, выше, мы привели пример одной из задач, кото-
рые рассматриваются в гл. I; другие задачи этой главы связаны
с управлением температурой.
В гл. II обсуждаются задачи об управлении, которые приво-
дят к неравенствам вида (ср. с (5))
6tt ( • , t) д.
dt ел’
$ [й (u_'S) + gradxU‘grad*(t,_S)~^(u_|?)]ctJC^:0
Й (6)
с начальным условием (3).
В гл. III довольно полно представлена классическая линей-
ная теория упругости (в частности, мы даем доказательство
неравенства Корна) и необходимый для этой теории математический
аппарат, затем рассматриваются задачи с трением, которые при-
водят к неравенствам. Используется закон трения Кулона и отме-
чаются некоторые варианты связанных с ним задач.
В гл. IV рассматриваются задачи с трением, связанные с
механикой тонких пластин.
Гл. V посвящена вязко-упруго-пластическим задачам, из кото-
рых (различными переходами к пределу) мы выводим задачи
идеально-упруго-пластические, жестко-вязко-пластические и иде-
ально-жестко-пластические. Все эти задачи сформулированы в виде
Ю
неравенств. В этой главе мы изучаем также уравнение Хенки и
упрочняющиеся материалы.
В гл. VI рассматриваются задачи о течении неньютоновых
жидкостей, а именно жидкостей Бингама. Здесь мы приходим
к эволюционным неравенствам, содержащим, как частный случай,
классическую систему уравнений Навье —Стокса.
Гл. VII связана с неравенствами для системы уравнений
Максвелла. Мы рассмотрим сначала проводящие среды, в кото-
рых связь между электрическим полем и плотностью тока выра-
жается классическим законом Ома, т. е. среды с постоянным
сопротивлением (мы называем такие среды «устойчивыми»). Затем
перейдем к средам, которые подвержены ионизации под влиянием
электрического поля. Проводимость в таких средах резко прини-
мает значение + со; такие явления имеют место при пробое кон-
денсаторов или антенн.
«Гибридные» задачи, включающие одновременно две из опи-
санных выше ситуаций, рассматриваются в отдельных работах'
авторов (см. Дюво, Лионе [7, 8]).
6. На протяжении всей книги мы использовали возможно
более прямые методы, приводящие к неравенствам (абсолютно
необходимым, в частности, в эволюционных задачах), являющихся
предельным случаем нелинейных уравнений (имеющих естествен-
ную механическую или физическую интерпретацию).
Для того, чтобы облегчить чтение книги, мы старались,
насколько это возможно, сделать отдельные главы книги незави-
симыми друг от друга.
7. Имеется много работ по стационарным неравенствам в меха-
нике. Классический подход (см. Жермен [1], Мандель [1], Тонти [1]
и библиографии в этих работах) состоит в изучении стационарной
упругости в связи с минимизацией квадратичных функционалов
на векторных пространствах. Минимизация аналогичных функ-
ционалов на выпуклых множествах, не являющихся векторными
пространствами, привела к возникновению неравенств в теории
идеальной пластичности (где тензор напряжений остается в замк-
нутом ограниченном выпуклом множестве) (см. Койтер [1], Ман-
дель [2], Прагер [1] и библиографию в этих работах), а впослед-
ствии — в односторонней упругости в задаче Синьорини. Последняя
исследовалась Фикерой [1], затем Лионсом и Стампаккья [1].
Аналогичным образом явления кавитации, исследовавшиеся
Моро [3], и изучение минимальных поверхностей со связями
также приводят к задачам в виде вариационных неравенств.
Эволюционные неравенства были введены в параболическом
случае Лионсом и Стампаккья [1], в гиперболическом случае —
Лионсом [4] и изучались, в частности, Брезисом [2]1) (см. также
книгу Лионса [1] и библиографию там).
*) Где применяется, в частности, теория нелинейных полугрупп. Эта тео-
рия не используется в настоящей книге.
11
Эволюционные неравенства в механике и физике рассматри-
ваются, по-видимому, впервые. Как и следовало ожидать, возни-
кает много новых задач, некоторые из которых до сих пор
не решены. Отметим, в частности, проблему регулярности реше-
ний (методы Брезиса и Стампаккьи [1], Брезиса [2] для многих
задач, рассмотренных в этой книге, не применимы) и проблему
эволюционных неравенств, связанных с выпуклыми множествами
или функциями, зависящими от t (такие задачи имеют место,
в частности, в теории динамической вязко-упруго-пластичности).
8. Имеются и другие явления в физике, описываемые нера-
венствами (стационарными или эволюционными). Мы вернемся
к этому вопросу при обсуждении термо-вязко-упруго-пластичности
и оптимального управления систем, управляемых неравенствами.
Нам хотелось бы также отметить, что задача со свободной гра-
ницей, встречающаяся в гидродинамике, была решена Байокки [1]
методами неравенств.
В этой книге мы не касались следующих проблем:
1) сингулярных возмущений, связанных с неравенствами (тео-
рия сингулярных слоев); относительно этого см. Лионе [5, 6];
2) методов численной аппроксимации решений эволюцион-
ных неравенств; эти методы обсуждаются в книге Гловински,
Лионе, Тремольер [1]. Мы ссылаемся также на относящиеся
к этой теме работы Беджи [1], Бурга [1], Брезиса и Сибони [1],
Сеа и Гловински [1], Сеа, Гловински и Неделека [1], Комин-
чиоли [I, 2, 3], Куржаре [1], Фремона [1], Фусчиарди, Моско,
Скарпини и Скиаффино [1], Гурса [1], Огазо [1], Ходжа [1],
Марокко [1], Сибони [1], Вио [1].
9. Авторы выражают глубокую благодарность М. Але, с кото-
рым вели плодотворные обсуждения и М. А Лихнеровичу, кото-
рый любезно согласился включить эту монографию в издаваемую
им серию. Равным образом авторы благодарят издательство Дюно
за отличное качество издания.
Март, 1971 г. Г. Дюво, Ж--Л. Лионе
ГЛАВА!
ЗАДАЧИ О ПОЛУПРОНИЦАЕМЫХ СРЕДАХ
И ОБ УПРАВЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРОЙ
§ 1. Элементы механики сплошных сред
Подробное изложение теории механики сплошных сред можно
найти в работах Жермена [1, 2], Манделя [1], Нолла, Трусделла [1],
Л. И. Седова [1]*). Здесь мы приведем лишь основные понятия
и результаты этой теории, а также введем обозначения, которые
будут использоваться на протяжении всей книги.
В этом параграфе рассматриваются законы сохранения, тензор
напряжений, тензор деформаций, а также связывающие их уравне-
ния состояния.
1.1. Тензор напряжений.
Пусть Q —область в пространстве R3, заполненная сплошной
средой. Внешние воздействия на Q характеризуются объемным
распределением сил в Q и поверхностным распределением сил
на границе области Q. Предположим, что среда находится в состоя-
нии равновесия.
Пусть М — точка в Q и V' — двумерное непрерывно дифферен-
цируемое многообразие, проходящее через М и разделяющее
область Q (по крайней мере в окрестности точки М) на две
части Qj и й2. Обозначим через п единичный вектор нормали
к V' в точке М, направленный в сторону й2. Можно показать,
что при некоторых предположениях* 1), обычно выполняемых на
практике, действие Q2 на характеризуется плотностью сил F
на V, причем вектор F зависит от точки М и вектора нормали
п по формуле
Fi^Gijtij, i, / = 1, 2, 3, (1.1)
где Ft — i-ая компонента вектора F, tij — /-я компонента вектора
п, а величины оу зависят, вообще говоря, от точки М.
*) См. также С. К- Годунов [1]. (Прим, ред.)
1) Эти предположения сводятся к тому, что мы пренебрегаем возможно
существующим на многообразии УУ распределением пар. Отказ от этих упро-
щающих предположений приводит к так называемой теории ориентированных
сред (в которой тензор напряжений уже не симметричен. По этому поводу
см. Казал [1], Дюво [1, 2], Грин и Ривлин [1], Хайярт [1], Миндлин и Тир-
штен |1], Эринген и Сухуби [1], Тупин [1, 2],
13
На протяжении всей книги используется правило суммирова-
ния по повторяющимся индексам. Так, например, «расшифруем»
равенство (1.1):
з
Fi = У, ацП].
/=1
Компоненты вектора F представляются в виде линейных форм
от компонент вектора п, следовательно, величины оу являются
компонентами тензора второго ранга, который называется тензо-
ром напряжений.
Понятие тензора напряжений можно использовать при поста-
новке граничных условий. Действительно, пусть Г —граница
(достаточно гладкая) области Q и n — единичный вектор внеш-
ней нормали-к Г. В качестве многообразия V возьмем границу Г.
Тогда Fi — Gtjnj на Г, где в данном случае вектор F — поверхно-
стная плотность внешних сил, действующих на область Q.
1.2. Законы сохранения.
Основными законами механики сплошных сред являются
законы сохранения массы, импульса, энергии.
1) Сохранение массы. Пусть сплошная среда движется
относительно системы координат ОХ]Х2ха со скоростью v(M, t).
Масса вещества, содержащегося в произвольной области
X с: R8, рассматриваемой в ее движении, не зависит от вре-
мени, т. е.
VJS, (1.2)
где р = р(Л4, t) — плотность в точке М в момент времени t.
Если поле скоростей v(M, t) непрерывно в области X, то
равенство (1.2) можно переписать в эквивалентной форме:
dp/dl-f-div(pv) = O. (1.3)
2) Сохранение количества движения. Существуют
система отсчета Охгхгха и шкала времени t такие, что произ-
водная по времени от торсора количества движения материаль-
ной системы X, рассматриваемой в ее движении, равна торсору
внешних сил. (Определение торсора см. в конце этого пункта.)
Этот закон сохранения называется также основным законом дина-
мики.
Запишем сформулированный закон в терминах элементов при-
ведения в точке О (см. замечание 1.1 ниже):
[fidx+ С CijtydS^ £ Срс^х, 1 = 1,2, 3, УХ, (1.4)
& д£ &
f ^ijkXjfkdx+ ( fybXjQkitiidS = ~ f tijkXjpVhdx,
Я dg & •
i = 1, 2, 3, (1.5)
14
где fi — координаты вектора f объемной плотности* внешних сил
(например, сил тяготения);
+1, если (i, /, k) — четная перестановка индексов 1,2,3;
— 1, если (i, /, k) — нечетная перестановка индексов 1, 2, 3;
О, если среди индексов i, /, k имеются одинаковые.
Отметим, что константы eyfc(t, /, k=l, 2, 3) образуют абсо-
лютно антисимметричный тензор третьего ранга (см. замеча-
ние 1.2).
Равенство (1.4) выражает сохранение количества движения
материальной системы jf, а равенство (1.5) —сохранение момента
количества движения этой же системы.
Если подынтегральные функции в (1.4) достаточно гладкие,
то преобразуя поверхностный интеграл в объемный и используя
(1.3), можно свести (1.4) к (эквивалентному) равенству
<Jij,j + fi = P"tb i = l, 2,3, (1.6)
где
,, dvi &°1 । dvt ,, i 19 4 /1 7\
т. е. yi-i-я координата вектора у ускорения материальной ча-
стицы, находящейся в момент времени t в точке х = (хг, х2, х8).
Здесь введено обозначение
Такое обозначение производных по пространственным переменным
будет применяться во всей книге. Отметим, что у{, а, следова-
тельно, и каждое уравнение в (1.6) содержат члены, нелинейные
относительно компонент скорости о.
Уравнения (1.6) называются уравнениями движения. В стати-
ческом случае (о = 0) правые части в уравнениях (1.6) тождест-
венно равны нулю. Тогда уравнения (1.6) называются уравнениями
равновесия.
Покажем, что тензор напряжений симметричен. Преобразуя
поверхностный интеграл в объемный и используя сформулирован-
ные законы сохранения, перепишем уравнения (1.5) в виде
\fyk<Jkjdx = O УХ, (1.9)
je
что эквивалентно утверждению еуло*/ = 0, i, / = 1, 2, 3, т. е.
<т*/ = П/л, k, / = 1, 2, 3. (1.10)
В следующих замечаниях мы напомним определение торсора
и свойства тензора с компонентами eiJk.
Замечание 1.1. Торсором называется пара {R, М}, где Я —
свободный вектор, At —векторное поле, удовлетворяющее условию
A4(Q) = Af(P) + QPAt? VQ, PeR3. (1.11)
Здесь М (Р) — вектор поля At с началом в Ре R3.
15
Вектор /? называется также главным вектором торсора {/?, М},
а вектор М (Р) — главным моментом торсора {У?, М} относительно
точки Р. Пара {/?, М (Р)} называется элементами приведения тор-
сора {R, М} в точке Р. Очевидно, что торсор полностью опреде-
лен своими элементами приведения в какой-либо одной точке.
Замечание 1.2. Компоненты определенного выше тензора
{sijk\ удовлетворяют следующим равенствам:
btp &iq &ir
^ijk^pqr — bjp 8jq 6jr t
§kp ^kq ^kr
fyjtfipqk ~ dipbjq dfqdjpt
^Ijlfipjk = 26/p,
~ 6»
(1-12)
(1-13)
(1-14)
(1-15)
( 0.
где 6гр —символы Кронекера, т. е. 6ip = <
Действительно, ввиду антисимметричности
выводе формулы (1.12) достаточно ограничиться случаем (i//, k) =
= (1,2, 3)и(р, q, r) = (l,2, 3). Остальные равенства (1.13) — (1.15)
следуют из (1.12).
Тензор {еул} используется при записи векторного произведе-
ния, ротора, а также в разложении определителя матрицы раз-
мера 3x3. Действительно, нетрудно проверить, что
(аА&)/ = е^А> (116)
а и Ь — векторы с компонентами at и bt соответственно, и что
(roto)z = ezyftt>M, (1.17)
о —векторное поле с компонентами vk. Кроме того,
det Л4 = (1*13)
det Л1 = g ^'Ijk&pqrM-ipM-jq^^kry (1.19)
если i р,
если i = р.
тензора {еу*} при
где
где
где M — матрица размера 3x3 с элементами (Мц).
Соотношение (1.18) показывает, что если М — матрица собст-
венного (det М = 4-1) ортогонального преобразования координат,
то eyfe — компоненты тензора третьего ранга относительно такого
преобразования.
Наконец, если det М =/= 0, то элементы матрицы М~1, обратной
к М, имеют вид
(Л!-1)// = (2 det М)-1 eiPqeirsMprMgs. (1.20)
Из полученных соотношений легко установить следующие
классические формулы:
det (А • В) = (det А) • (det В),
а/\(Ь/\с) — (а с) b — (а Ь)с,
rot rot v — grad div v — До.
15
3) Сохранение энергии. Производная по времени полной
энергии системы равна сумме мощности внешних сил, приложен-
ных к системе, и притока энергии за единицу времени. Полной
энергией называется сумма величин внутренней и кинетической
энергий. Этот закон называется также первым началом термо-
динамики. Запишем его аналитически:
р v24-е^ dx = J ftVi dx 4- GijnjVi dS 4~
+ \pwdx — J q^dS. (1.21)
«8? dje
Здесь e — скаляр, характеризующий внутреннюю энергию среды,
a w — приток энергии. Через qt обозначена t-я координата век-
тора q переноса энергии.
Преобразуя поверхностные интегралы в объемные и исполь-
зуя (1 3), (1.6), (1.10), можно переписать закон сохранения энер-
гии (1.21) в виде
§ р (de/dt) dx= OyVij dx-\- $ (pw — qit i) dx. (1.22)
Определим тензор D скоростей деформации с компонентами
Dv = |(oM + vy,z). (1.23)
Так как область <5? произвольна, то уравнение (1.22) эквивалентно
дифференциальному уравнению
pde/dt = olJDl/ + pw — qu. (1.24)
Таким образом, законы сохранения дают нам три уравнения
или три группы уравнений:
1) уравнение неразрывности
dp/dt + div (pv) = 0, (1.25)
2) уравнения движения
PVi = °ijj+fh (1-26)
3) уравнения энергии
р de/dt = OijDij 4- pw — qif t. (1-27)
Здесь тензор напряжений {оу} симметричен.
Замечание 1.3. Мы вывели уравнения (1.25) —(1.27) исходя
из законов сохранения при условии непрерывности скоростей и
тензора напряжений. Если, напротив, внутри среды имеется
поверхность разрыва скоростей или компонент тензора напряже-
ний, то можно показать (Жермен [2]), что вдоль этой поверхности
уравнения в частных производных (1.25) —(1.27) должны заменять-
ся соотношениями на разрыве. Эти соотношения на разрыве,
17
впрочем, можно вывести из уравнений (1.25) —(1.27), если произ-
водные, входяшие в уравнения, понимать в смысле распределе-
ний*).
Замечание 1.4. Уравнения (1.25) —(1.27) дают пять ска-
лярных соотношений для четырнадцати неизвестных функций:
1) шесть компонент cfy (симметричного) тензора напряжений,
2) три компоненты vt скорости,
3) плотность р, внутренняя энергия е, компоненты qi вектора
переноса энергии.
Очевидно, что определить четырнадцать неизвестных величин,
располагая только пятью уравнениями, невозможно. Кроме того,
следует отметить, что с физической точки зрения сформулирован-
ные законы сохранения являются универсальными, справедливыми
для всех сплошных сред, твердых, жидких или газообразных.
Следовательно, если бы уравнений (1.25) —(1.27), полученных
из этих законов, было бы достаточно для определения всех пара-
метров, то это означало бы, что при одинаковых условиях раз-
личные сплошные среды ведут себя одинаково, что, очевидно,
абсурдно. Следовательно, для описания движения сплошной среды
сформулированных законов сохранения недостаточно; они должны
быть дополнены некоторыми соотношениями, которые устанавли-
ваются из разнообразных физических допущений. Прежде чем
вводить такие соотношения, мы должны определить тензор дефор-
маций.
1.3. Тензор деформаций.
1) Кинематическое описание. Рассмотрим движущую-
ся сплошную среду, которая в момент времени t занимает область Q.
Пусть аа (а=1, 2, 3) — координаты в момент времени t — О мате-
риальной частицы, находящейся в момент времени t в точке
с координатами xt (1=1, 2, 3). Предположим (что физически
оправдано), что существует взаимно однозначное соответствие
между (йа) и (xi) для одной и той же материальной частицы:
aa = ga(x, t), а=1, 2, 3, % = (%!, х2, х8),
Xi = fi(a, t), i=l, 2, 3, a = (at, a^, a3). '
*) Следует сделать некоторое уточнение. Соотношения на разрыве обычно
выводятся из законов сохранения в интегральной форме, которая однозначно
соответствует дивергентной записи уравнений, например, такой, как в (1.25).
Законы же сохранения количества движения и энергии приведены автором
в недивергентной форме (1.26), (1.27). Поэтому для вывода соотношений на раз-
рывах с помощью техники теории распределений (обобщенных функций) их
запись следовало бы заменить на дивергентную. Вообще говоря, одним и тем
же дифференциальным уравнениям могут соответствовать различные дивергент-
ные формы (следовательно, неэквивалентные интегральные законы сохранения),
приводящие к неэквивалентным условиям на разрывах. См., например, § 21
книги С. К. Годунова [1], где разобрано это обстоятельство на примере ошибки
Фимана, впервые рассмотревшего разрывные решения уравнений газовой дина-
мики, но использовавшего при этом неправильные соотношения на разрыве.
(Прим, ред.)
18
Соотношения (1,28), предполагаемые непрерывными, устанав-
ливают также соответствие между областями Q и Qo. Последняя
состоит из множества точек, в которых в момент времени / = 0
находились частицы, содержащиеся в момент времени t в Q.
Переменные аа (а = 1, 2, 3) носят название переменных Лагран-
жа, а х{ (i = l, 2, 3) — переменных Эйлера, отвечающих моменту
времени t.
2) Градиент деформаций. При преобразовании (1.28)
бесконечно малый вектор сШ0 с координатами daa по прошествии
времени t перейдет в бесконечно малый вектор dM с координа-
тами dxt вида
dXi^Xi^dcia, (1.29)
или, в векторной записи,
<W = F<W0, (1.30)
где через F обозначен тензор с компонентами
Fla ~ ft, а = х1, а- (1’31)
Тензор F называется тензором градиента деформаций*).
3) Тензор расширений. Пусть dM0 и 6М0 — бесконечно
малые векторы с начальной точкой Мо е Qo> через время t они
переходят в бесконечно малые векторы dM и 8М с начальной
точкой М, причем
tW = F<W0, 6Af = F6Af0.
Если в какой-либо момент времени t известны скалярные про-
изведения dM2, dM 8М, 6М2, то известны также длины беско-
нечно малых векторов dM, 8М и углы между ними. Так как
dM • 8М = х(, лХц р daa da^, (1.32)
то эти длины и углы можно определить из величин
Сар = xlt аХ{' р. (1.33)
Величины Сар образуют тензор второго ранга, который назы-
вается тензором расширений и обозначается через С.
Справедливо равенство
C = F7F, (1.34)
*) Название «градиент деформаций» для F представляется неудачным, так
как под словом деформация подразумевается изменение формы элементарных'
объемов. Матрица, состоящая из элементов тензора F, описывает ^линейное
преобразование бесконечно малых объемов, изменение их формы и располо-
жения. Деформация характеризуется отличием F от ортогонального преобра-
зования. Таким образом, F связано с самой деформацией, а не с ее градиен-
том. В настоящее время в механике сплошной среды широко используется
тензор дисторсии, описываемый матрицей, транспонированной к обратной F,
т. е. матрицей (F*)-1. См. по этому поводу в книге С. К. Годунова [1] § 1 и
§ 6. (Прим, ред.)
19
где Fr—тензор, полученный транспозицией из тензора F, про-
изведение FrF понимается как произведение матриц.
Если сплошная среда движется как твердое тело, т. е. без
деформаций, то
dM 8М = dM0 8М0, VdM0, V6M0, (1.35)
поэтому
C = l, (1.36)
где через 1 обозначен единичный тензор, т. е. тензор с компо-
нентами 6а₽. Обратно, (1.36) влечет (1.35) и, следовательно,
необходимым ,и достаточным условием того, чтобы сплошная среда
двигалась без’ деформаций, является равенство (1.36).
4) Тензор деформаций определяется формулой
Х=|(С-1), (1.37)
или, покомпонентно,
Хар = 2 (CxP — ^ар)- (1 -38)
Таким образом, среда движется без деформаций тогда и только
тогда, когда тензор деформаций равен нулю *).
Введем вектор перемещения и с координатами
Щ — Xt — ai, t = l, 2, 3. (1.39)
Тогда Fta = «/,a+6ta, откуда
-^ар = -2 (иа, р + «р, а+ и1, аи1, р)- (1-40)
Таким образом, тензор деформаций нелинейно зависит от коор-
динат вектора перемещения и.
5) Линеаризованный тензор деформаций. Если
вектор перемещения и = и{а, t) мало изменяется при изменении
а, то частные производные ы/>а малы и сам тензор деформаций
мал. Тогда говорят, что имеют место малые деформации. Если
предположить, что величины ult а порядка е (е —параметр, стре-
мящийся к нулю), то uit auit р — величины порядка е2, и поэтому
хар = у («а, р +Ир, а) + члены ПОрЯДКЭ 82. (1.41)
Тензор с компонентами
8ар<Ы) = 4 («a,p+Hp, а) (1-42)
называется линеаризованным тензором деформаций.
*) Тензор деформаций, введенный здесь авторами, представляет одну из
ряда возможных характеристик деформации и обычно носит название тензора
деформации Грина в лагранжевом представлении. См. обзор различных опре-
делений в книге С. К. Годунова [1], § 6 и особенно стр. 96. (Прим, ред.)
20
Замечание 1.6. В (1.23) мы ввели тензор D скоростей '
деформаций. Теперь мы можем пояснить этот термин. Возьмем
производную по времени от скалярного произведения dM • 8М,
считая точку Мо и векторы dM0, 8М0 фиксированными. Получим
(dM = ~ (dM) -ЬМ + dM — (6М). (1.43)
Но
(4 dM\=4 (ё d4=ёё =йЛа*
\ dt // dt \cjciQ' j atuciq (jcIqUv
и, так как dxt a, t)/dt = vi, to
•4- dM = Vi,a daa — VijXj, a daa = vt,jdxj. (1.44)
Повторим эти выкладки для 8М^ и, подставив полученные
выражения в (1.43), придем к уравнению
~ (dM • 8М) = 2D у dxthxj,
(1-45)
из которого становится ясно, почему тензор с компонентами Dy
называется тензором скоростей деформаций.
1.4. Уравнения состояния.
Уравнения состояния не носят такого общего характера, как
законы сохранения, рассмотренные в п. 1.2. Они скорее характе-
ризуют поведение конкретного вида сплошной среды. Уравнения
состояния чаще всего основаны на эксперименте, хотя они
должны подчиняться некоторым правилам инвариантности (Нолл
и Трусделл [1], Трусделл и Тупин [1]). Вообще говоря, эти урав-
нения дают соотношения между тензором напряжений, тензором
деформаций, тензором скоростей деформаций, температурой и пото-
ком теплового вектора.
Мы не будем перечислять здесь «все» типы сплошных сред
и соответствующие им уравнения состояния. В каждой главе мы
будем вводить уравнения состояния для тех случаев, которые рас-
сматриваются, и будем записывать систему уравнений и неравенств,
описывающих данное физическое явление на основе общих зако-
нов, сформулированных выше. Перейдем к явлениям, составляю-
щим предмет первой главы.
§ 2. Задачи о полупроницаемых преградах
(тепловых, в механике жидкости в пористых средах)
и о полупроводниках в электричестве
2.1. Основные уравнения.
2.1.1. Уравнения теплообмена. Теория теплообмена изучает
поле температур в сплошной среде при предположении, что явле-
ния деформации не вызывают существенных тепловых эффектов,
21
а скорости пренебрежимо малы. Такие предположения приводят
к линеаризованным уравнениям (1.25)—(1.27), которые принимают
тогда вид
dp/dt = O, (2.1)
— (2-2)
pde/dt = pw — qt> t. (2.3)
Уравнения состояния в этом случае таковы:
<5ц не зависят от температуры 6, (2.4)
е = С9, (2.5)
<7 = —К grad 6, (2.6)
где коэффициент С — удельная теплоемкость, строго положитель-
ный скаляр. В действительности С более или менее зависит от
температуры, однако здесь мы предполагаем, что С может зависеть
только от х.
Уравнение (2.6) известно как закон Фурье. Оно линейно, если
тензор второго ранга К не зависит от 9. Однако такое ограниче-
ние не совсем соответствует действительности: в некоторых веще-
ствах наблюдается значительное изменение К при изменении тем-
пературы. Здесь мы рассматриваем только линейный закон, так
как либо он справедлив для рассматриваемых веществ, либо
изменения температуры достаточно малы для обоснования линеа-
ризации в окрестности средней температуры. Предположим, кроме
того, что
R.ijXiX^k^XiXt, k0 — const >0. (2.7)
Последнее неравенство физически обосновано. Если вещество изо-
тропно, тензор К — сферический, т. е. где k —коэффи-
циент удельной теплопроводности.
Уравнение (2.1) показывает, что плотность р не зависит от
времени; она может зависеть от х, но тогда в задачах теплооб-
мена считается заданной величиной.
В силу (2.4) уравнения (2.2) и (2.3) независимы и, следова-
тельно, температура должна удовлетворять единственному урав-
нению
pCdQ/dt - Д i = pw. (2.8)
Если предположить, что среда однородна и изотропна (это
предположение несущественно; мы вводим его для упрощения
доказательств), то уравнение (2.8; можно разделить на константу
рС. Тогда
<59/^-М6=£, (2.9)
где k = kjpC, g — w[C. Здесь k — положительная константа
и А = д2/дх/дхг.
22'
2.1.2. Уравнения механики жидкости в пористых средах.
Уравнение (2.9) описывает также течение вязких жидкостей
в пористых средах (Упёр [1], Мускат [1, 2]). Оно называется по
этой причине уравнением диффузии и получается из закона сохра-
нения массы, который для пористых сред принимает вид
Ф др/dt + div (ро) = g,
где <р —пористость среды. В пористых средах поле скоростей v
связано с полем давлений и(х, t) соотношением, известным как
закон Дарси:
V — — К grad и,
где К — проницаемость среды. Здесь можно рассмотреть два слу-
чая:
1) Текущая жидкость только слабо сжимаема
(собственно). Соотношение между плотностью и давлением
дается формулой
P = Po[H-c(w-«o)],
где с — коэффициент сжимаемости, значение которого мало по
сравнению с единицей. Тогда ро мало отличается от роу, и из
закона сохранения массы получаем, что давление и удовлетворяет
уравнению
сф du/dt — div {К grad «) =g,
которое идентично уравнению (2.9) в случае однородной изотроп-
ной среды.
2) Изотермическое течение идеального газа.
Соотношение между давлением и плотностью в этом случае имеет
вид (закон Мариотта)
и — Ср,
где С —константа. Закон сохранения массы дает
Ф dp/dt — div {СрК grad р) = g
или, в терминах давления и,
Ф du/dt — div {Ku grad н) = Cg.
Заметим, что это уравнение нелинейно.
2.1.3. Уравнения электропроводности. Общие уравнения элек-
тромагнетизма будут рассмотрены в главе VII. Здесь мы только
отметим, что при отсутствии свободных зарядов в среде, прово-
дящей электричество, уравнение сохранения заряда можно запи-
сать в виде
div J — g,
где J — вектор электрического тока. Более того,
J = aE,
Ю
где Е — вектор напряженности электрического поля и о —прово-
димость среды. В стационарном случае электрическое поле опре-
деляется потенциалом и, т. е.
Е = — grad и,
так что закон сохранения заряда можно записать как уравнение
— div (о grad w)=g,
которое является стационарным вариантом уравнения (2.9).
2.2. Полупроницаемые стенки.
Замечание 2.1. В дальнейшем уравнение (2.9) будет запи-
сываться c,;fc = l. Это не ограничивает общности, так как урав-
нение можно пронормировать, изменив масштаб времени. Через
и будем всегда обозначать неизвестную функцию, которая в зави-
симости от обстоятельств представляет собой температуру, дав-
ление или электрический потенциал и, следовательно, удовлет-
воряет уравнению
du/dt — Au=g. (2.10)
В классических задачах для уравнения (2.10) на границе
задается либо и, либо ди/дп (нормальная производная от и на
границе, характеризующая поток тепла, вещества или электри-
чества).
Мы введем новые типы задач, столь же естественные, как
и классические, с тем лишь отличием, что некоторые из участ-
вующих в формулировке равенств, действующих в рассматрива-
емой области * или на ее границе, заменены на неравенства.
Это приведет нас к так называемым «вариационным неравенствам».
Язык, применяемый для пояснений физического характера,
заимствован из механики течений в пористых средах, так как
такой язык представляется нам наиболее близким интуитивному
пониманию. Конечно, можно перейти от одной терминологии к
другой при помощи таблицы соответствий, приведенной ниже.
Теория теплообмена Механика жидкостей Электричество
Температура Тепло Поток тепла Теплопроводящая сре- Давление Жидкость Поток жидкости Пористая среда Потенциал Электричество Поток электричества Электропроводящая среда
да Среда, полупроводя- щая тепло Полупроницаемая сре- да Полу проводящая среда
Заметим, что соответствие с теорией электричества имеется
только для стационарных решений или явлений.
Через Й будем всегда обозначать рассматриваемое открытое
множество в R" (и^З); граница дЙ = Г предполагается регу-
84
лярной; « — единичный вектор внешней нормали к Г. Область £2
занята пористой средой. В й задано поле давлений вязкой слабо
сжимаемой среды (см. 2.1.2, 1)).
2.2.1. Стенка бесконечно малой толщины («тонкая» стенка).
Предположим, что граница Г состоит из полупроницаемой мемб-
раны бесконечно малой толщины, позволяющей жидкости, посту-
пающей в й, проходить свободно, но, с другой стороны,
препятствующей любому ее вытеканию. Приложим теперь к гра-
нице Г давление h (х) (х е Г) жидкости, находящейся вне й. Тогда
для точек х границы возможны два случая:
1) h(x)<Zu(x, t). В одной и той же точке х границы внешнее
давление Л(х) меньше, чем внутреннее давление и(х, t). Тогда
жидкость стремится покинуть й, но полупроницаемая стенка
препятствует этому и, следовательно, поток жидкости через стенку
равен нулю в этой точке, т. е. q-n—О, откуда (так как q =
— -k- grad и) выводим ди/дп = 0.
2) h (х) 5s и (х, t). В одной и той же точке х границы внешнее
давление h (х) больше или равно давлению и (х, t). Тогда жидкость
стремится проникнуть в й, чему стенка не мешает, так что
qn^O. Но величина qn =— kdu/dn должна быть конечной;
это означает, что в окрестности точки х м(х, I) непрерывна по
нормали п и, так как стенка имеет бесконечно малую толщину,
h(x) — u(x, t). Таким образом, ввиду свойств стенки невозможно,
чтобы давление и(х, t) в точке границы было строго меньше
внешнего давления й(х).
Суммируя сказанное, получаем задачу о «полупроницаемой
стенке», заключающуюся в следующем:
Найти и (х, t), удовлетворяющую (2.10) в й х ]0,Т[. условиям на Г:
h (х) < и (х, I) =$ ди/дп = 0, И
h(x) = u(x, t)=}du/dn^z0,
и начальному условию
и (х, 0) = «0 (х).
Замечание 2.2. Естественно задаться вопросом, существуют
ли такие стенки в действительности.
1) Нам кажется, что в некотором приближении клапан дает
локальную реализацию такой ситуации (см. вариант 1, ниже).
2) Можно представить физические устройства, которые спо-
собны примерно реализовать явление, описанное выше. Это при-
водит нас к вариантам предыдущей задачи.
2.2.2. Полупроницаемая стенка конечной толщины («толстая»
стенка). Как и ранее, стенка, допускающая только втекание жид-
кости, подвержена внешнему давлению Л (х). Возможны два случая:
1) Л(х)<м(х, t). Жидкость стремится покинуть й, но полу-
проницаемая стенка препятствует этому, так что в такой точке
х е Г поток равен нулю, т. е. ди/дп = 0.
2) Л(х)^«(х, /). Жидкость стремится проникнуть в й через
стенку конечной толщины. Целесообразно предположить, что
25
поток через эту стенку пропорционален разности давлений, т. е.
— ди/дп —k (и —h), где k (положительный скаляр) —мера прово-
димости стенки.
Таким образом, давление и в таком резервуаре удовлетворя-
ет (2.10), начальному условию и следующим условиям на границе:
и >• h =5> ди/дп = 0,
и h ди/дп =— k(u — h). (2.12)
Замечание 2.3. Если k (проводимость стенки) равна нулю,
то жидкость не может ни втекать, ни вытекать, и и есть решение
классической задачи Неймана, стационарной для эллиптического
уравнения или нестационарной для параболического.
Замечание 2.4. Если проводимость k стремится к 4-оо,
то условия (2.12) в пределе переходят в условия (2.11). Дейст-
вительно, мы покажем1) что если и* —решение, соответствующее
проводимости k, то ик стремится в некотором смысле к и при
£->-4-оо;. здесь через и обозначено решение задачи о «тонкой
полупроницаемой стенке».
Отметим два других естественных варианта рассмотренных задач.
Вариант 1. Полупроницаема лишь часть Г2 (непустая) гра-
ницы Г. На Г\Г2 задаются классические условия: либо давле-
ние, либо поток.
Вариант 2. Полупроницаемая стенка — «обратная», т. е. она
позволяет среде только вытекать. Условия для такой стенки при-
нимают вид:
1) для тонкой стенки
u<Zh=$du/dn==0,
u — h=$du/dn=^0; (2.11а)
2) для стенки конечной толщины
и < h =$> ди/дп = 0,
/л а/ 1л м (2.12а)
u^h-=$ ди/дп —k(u — h). ’
2.2.3. Полупроницаемая перегородка в области Я. На границе
резервуара Q задано давление h (классическое условие). Кроме
того, в области Я имеется полупроница-
емая перегородка (двумерное многообра-
зие £), разделяющая Q, по крайней
мере в окрестности 2, на две части,
которые мы будем обозначать через 1 и
2 (рис. 1). Вектор нормали, направленной
в сторону части 2, обозначается через
п. Если обозначить через Ui и и2 давле-
ния на S с° стороны 1 и 2 соответствен-
но, и если предположить, что жидкость
может проходить через перегородку толь-
ко лишь в направлении из 1 в 2, то получим такие условия на
!) См. п. 5,2,
26
1) для тонкой перегородки
иг с ы3 =$ ди/дп = О,
иг = па => ди/дп 0;
2) для толстой перегородки
«1 < «2 =^> ди/дп = 0,
и1Эг«2=^ — ди/дп = k(u1 — ы2)-
(2.116)
(2.126)
2.2.4. Введение потока жидкости через полупроницаемую пере-
городку в области. На границе резервуара задаются классические
условия, например, давление. Более того, давление усиливается
за счет заданного объемного потока среды g (х, i) и за счет объем-
ного дополнительного потока среды g (х, t), который регулируется
(посредством полупроницаемой перегородки или некоторым серво-
механизмом) согласно правилу (Л —поле заданных давлений):
и > h => § = 0,
u = h=$g^z0
(2.13)
или
u>h^g =0,
и h => g = k (h — и).
(2-14)
Давление и удовлетворяет в йх]0, Т[ уравнению
du/dt — &u — g+g. (2.15)
Замечание 2.5. Задачи, рассмотренные в п. 2.2, в основном
нестационарные. Тем не менее, если начальное условие опущено,
то речь, как правило, идет об их стационарных решениях. Изуче-
ние последних интересно с физической точки зрения, так как
они соответствуют глобальным тепловым состояниям равновесия.
Исходя из физических соображений, заметим, что такие ста-
ционарные решения не всегда существуют и, если существуют, то
не обязательно единственны. Действительно, рассмотрим стацио-
нарную задачу:
Найти и(х) такую, что
— \u = g в Й,
и > h => ди/дп = 0, „
, - л на Г.
u — h=i> ди дп О
Здесь полупроницаемая перегородка допускает только приток
тепла; следовательно:
1) Если$ gdx>Q, т. е. если имеется объемное приращение
а
тепла, то в некоторых точках температура должна строго возрас-
тать, поэтому решение не существует.
2) Если $ gdx = 0, то решение, возможно, существует; это
а
решение должно также удовлетворять ди/дп = 0 почти всюду на Г,
поэтому u-J-C также будет решением VC>0.
87
3) Если^йх<0, то решение и может существовать. Оно
должно соответствовать тепловому балансу, т. е.
а г
2.3. Управление температурой.
Терминология, используемая здесь, заимствована из тепло-
физики. Рассматриваемая сплошная среда занимает область
Q с R" (п 3) с границей Г.
Мы различаем два случая управления температурой:
— упрайление температурой на границе, регулируемое темпе-
ратурой на границе (2.3.1);
— управление температурой в области, регулируемое темпе-
ратурой в области (2.3.2).
2 .3.1. Управление температурой на границе, регулируемое тем-
пературой на границе. Зададим две исходных температуры (х)
и h2(x) с хе Г, Й1 (x)^/i2 (х), и потребуем, чтобы температура
ы(х, t) на границе как можно более точно принимала значения
из интервала (hi (х), h2(x)). Для этого установим «термостатические
регуляторы», т. е. устройства, способные подавать соответствую-
щий тепловой поток (в алгебраическом смысле) через границу.
Так как эффективность таких устройств ограничена, то поток
вводимого тепла, который измеряется величиной — ди/дп, заклю-
чен в замкнутом интервале [gb g2], содержащем 0. Мы управляем
этими регуляторами таким образом, что:
1) Если и(х, Z)e[/i!(x), h2(x)], т. е. если температура нахо-
дится в заданном интервале, то нет необходимости в каких-либо
поправках; мы постулируем:
ди/дп = 0. (2.16)
2) Если и (х, t) [/ii (х), й2 (х)], то мы вводим, если это воз-
можно, количество тепла, пропорциональное расстоянию от и (х, t)
до интервала (йь й2), следующим образом:
и (х, 0 > ft2 (х) =>
и (х, /) < hi (х) =>
— ди/дп = к2(и — /г^,
если + &2 (и — /i2) g2;
— ди/дп =g2,
если + k2 (и — h2) > g2,
— ди/дп = + kx {и — hi),
если +ki(u — hi)^gi,
— ди/дп —gi,
если + ki (и — hi) < gi,
(2.17)
(ki и ^ — положительные константы).
28
Условия (2.16), (2.17) можно выразить в более просто й форме,
если ввести функцию Ф:
Ф(Х) =
>1. если х^ = ^1 +
если hi + gi/^i % hi\
о, если hr-.
(X — h%), если h%; C X <^/l2 “Ь
если xs §2^2'
(2.18)
функция Ф представлена графически на рис. 2.
Условия (2.16), (2.17) эквивалентны равенству
— ди/дп = Ф (и).
Итак: решение и задачи управления температурой
(2.19)
типа 1
должно удовлетворять (2.10) в Qx]O, Т[, (2.19)" на Гх]О, Т[ и
начальному условию
и(х, 0) = ыо(х). (2.20)
Эта задача имеет несколько интересных частных и предельных
случаев.
a) hi — h^. Управление температурой
ственной исходной температурой.
осуществляется с един-
О Ъ А
Рис. 4.
0А
Р) h^ — h^, k^kz, g2 — 4-оо, £х = 0. Мы вернулись к условиям
задачи о полупроницаемой стенке конечной толщины. График
соответствующей функции Ф приведен на рис. 3.
29
у)/ix = /t2, fej =#2 = + oo, gi — O, g2 = +oo. Это возвращает
нас к условиям задачи о полупроницаемой тонкой стенке. График
соответствующей функции Ф приведен на рис. 4. Заметим, что
в этом случае Ф (ы) — многозначная функция.
6) hi < /i2, fej = k2 = 4- oo, g2 = — gi = + co. Тепловой контроль
реализуется полностью, так как в этом случае и остается
в интервале [Лх, Л2]. График функции Ф приведен на рис. 5.
Здесь функция Ф также многозначна.
е) /ix = /i2, ki = k2 = 4- oo, g2 = — gx = 4- оо. На границе задана
температура и. Это задача Дирихле.
Замечание 2.6. Предыдущая задача может быть обобщена
заменой '2.18) на
— ди/дп = Ф (и), (2.18а)
где Ф —непрерывная неубывающая функция от и или, в общем
случае, Ф — многозначная неубывающая функция с максимальным
графиком (т. е. график —непрерывная кривая в R2). |
2.3.2. Управление температурой в области, регулируемое тем-
пературой в области. Зададим две температуры Ях(х) и h2(x)
(хей, /ix (х) «С/г2 (х)) и потребуем, чтобы температура ы(х, t)
(х е й) как можно более точно принимала значения из интервала
(Ях, й2). Для этого установим объемные источники тепла (в алгеб-
раическом смысле). Эти устройства имеют ограниченную мощность,
следовательно, ограничен тепловой поток g; предположим поэтому,
что последний остается в замкнутом интервале [gx, g2], содержа-
щем 0. Ввод тепла управляется следующим образом:
1) Если в момент времени t ы(х, /^(х)], т. е. тем-
пература содержится в выбранном интервале, то нет необходимо-
сти в каких-либо поправках, так что
£=0; (2.21)
2) Если и (х, f) ф [Лх (х), /г2 (х)], мы вводим, если это возможно,
количество тепла, пропорциональное расстоянию между и и интер-
валом [/ix(x), h2 (х)]. Следовательно,
— g = k2 (и — h2), если k2 (и — h2) < g2;
— g=gz, если k2 (и -h2) >g2;
— g ^ki/u—hx), если — f
—g=gi, если ^x(u-/ix)<g-x.
Можно объединить (2.21) и (2.22) в одно уравнение
-§=Ф(и), (2.23)
где функция Ф(и) определена ранее в (2.18).
Таким образом, функция и (температура) удовлетворяет урав-
нению
du/dt — Ди = g — Ф (и) в Йх]О, Т[, (2,24)
и (х, t) > h2 (х) =2>
и (х, I) < /ij (х) =>
30
начальному условию
и(х, 0) = ий(х) в й (2.25)
и классическому граничному условию такому, как, например,
и(х, /) = 6(х, /), хеГх]0, Т[, (2.26)
где 9 —заданная на Гх]0, Т[ температура.
Замечание 2.7. Как и в предыдущем параграфе, можно
рассмотреть частные и предельные случаи, где Ф (ы) — многознач-
ная функция с невозрастающим и максимальным графиком.
Замечание 2.8. Можно рассмотреть другие виды управле-
ния температурой, включающие средние температуры и функцию
стоимости. Они приводят к задачам оптимального управления.
Пример. Пусть задан температурный интервал [9Х((), 92(/)],
причем V/ 91 (0 < 92 (/); мы хотим, чтобы в открытой области й
в каждый момент времени t средняя температура и (/) находилась
в интервале [9ц 92]. Для этого мы устанавливаем регулирующие
тепловые потоки через границу дЙ = Г.
Мы исследуем, каким образом следует вводить эти, (алгебраиче-
ские) потоки, для того, чтобы получить желаемый результат
с наименьшими затратами. Можно предположить, что функция
стоимости пропорциональна интегралу от неубывающей функции
задаваемого потока.
Запишем уравнения и условия:
du/dt — &u=g (2.27)
(g— заданная функция от х и /). Положим
й (Z)=(mes й)-1 5«(х, t)dx (2.28)
Q
и потребуем, чтобы
Я (0 е [МО. МО]- (2.29)
Требуется найти функцию <р(х, t) на Г такую, что выполняется
(2.29), если известно, что
— du/dn = q почти всюду на Г V/, (2.30)
и такую, что в каждый момент времени <р минимизирует данный
функционал I (t, <р (<)) вида
I(t, <р(/))= \F(t, <р(х, t))dV, (2.31)
г
где Л.) (% е R) — заданная функция. Функцию F можн<
выбрать, например, следующим образом:
1) F(t, Л) = |Л|, 3) F(t, Л) = Х+,
2) F((, Л) = Л1 2, 4) F (t, X) = V.
31
§ 3. Вариационные постановки задач
об управлении температурой и о полупроницаемых стенках
Сейчас мы переформулируем задачи из § 2 в форме вариацион-
ных неравенств. Сведения из функционального анализа, которые
понадобятся нам для того, чтобы точно поставить рассматривае-
мые задачи, будут приведены ниже, в § 4, тогда как в § 5 и по-
следующих параграфах будут найдены решения задач.
3.1. Обозначения.
Пусть и(х, t) и v(x, Z) — вещественнозначные функции, опре-
деленные в Qx]0, Т[. Полагаем всякий раз, когда это имеет
смысл1),
а(и, v)(t)= ^uti(x, t)V'{(x, t)dx, (3.1)
' ci
(и, \и(х, t)v(x, t)dx. (3.2)
a
Для функций <p, ф, определенных на Гх]0, Т[, полагаем
(<Р, ф) (0= 5 Ф (х, 0 ф (х, 0 dr. (3.3)
г
Пусть
Q=Qx]0, Т[, 2 = Гх]0, Т[ (3.4)
и пусть и(х, t) — (вещественнозначная) функция, определенная
в Q. Введем обозначение
ц(0 = ы(х, 0 —функция х—*-и(х, 0,
и' (t) = ди (t)/dt — функция х-><Эи(х, t)/dt.
Функции ф. Рассмотрим функции Х->ф(Х), /.eR, со сле-
дующими свойствами:
функция Л.->ф(Л.) выпукла, полунепре-
рывна снизу, со значениями в ]—оо,
+ оо],2) ф^-|-оо. (3.6)
Будем различать три типа функций со
свойствами (3.6):
Функции ф типа 1:
Х->ф(Х) непрерывно дифференциру-
ема. (3.7)
Пример 3.1 (см. рис. 6).
ф(Х)=
0,
а2 (X — й2)2,
Л- : /l2,
Л>й2,
0<«1<й2.
1) Соответствующие условия будут точно сформулированы в § 4,
2) Следовательно, ф может принимать значение ф-оо.
32
функции ф типа 2:
%_>ф(1) не является непрерывно дифференцируемой,
но принимает только конечные значения. (3.8)
Пример 3.2 (рис. 7). £1(А-Л1), ф(%)= 0, g2^~h2), X X й2,
Функции ф типа 3:
Х->-ф(Л) принимает значение «+со». (3.9)
Пример 3.3 (рис. 8).
gi(X-/ii),
ф(Х)= О,
gi<o<g2.
X hfy
Функции ф сопоставим функционал ¥ по формуле
¥(р)= $ф(о(х))4/Г (3.10)
г
или
¥(у)= \ty(u(x),dx (3.11)
Q
всякий раз, когда это имеет смысл1).
Замечание 3.1. Отметим сразу, что в случае, когда ф —
функция типа 3, функционал ¥ определен не «всюду»: например,
в примере 3.3 функционал вида (3.10) определен только при
выполнении почти всюду неравенства о(х)=Сй2.
Замечание 3.2. Можно также рассмотреть семейство %->
-»-ф(х, X) функций ¥, зависящих от хе Г или от хей; тогда
вводят функционал
¥(ц)=$ф(х; о(х))4Г (3.12)
, г
х) Мы уточним это утверждение в п. 4.5,
9. Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе 33
или
4,(10= $Ф(х; v(x))dV. (3.13)
я
3.2. Вариационные неравенства.
Независимо рассмотрим вариационные неравенства, как эволю-
ционные, так и стационарные. Впоследствии мы покажем, каким
образом эти неравенства «эквивалентны» задачам из § 2.
Эволюционные вариационные не р а вен ства 1). Тре-
буется найти функцию t -+u(t) = u(-, t), удовлетворяющую вариа-
ционному неравенству
(и'(i), v — u(t)) + a(u(t), v — и (t)) + Т i>) — T (и (/))
^(/(0, v-u(t)) Vv, (3.14)
где функционал Т имеет вид (3.10), и начальному условию
и 0) = мо (3.15)
(т. е. и(х, О,—ио(х), хе Q). Функция /->/(/)=/(.,/) задана.
Замечание 3.3. Если Т имеет вид (3.11), то мы добавляем
граничное условие на и (t) и v, как, например,
и(1) = 0 на Г, о = 0 на Г. (3.16)
Стационарные вариационные неравенства («эллип-
тической» природы). Достаточно рассмотреть (3.14) с функциями,
зависящими только от х, и искать функцию и, определенную
в Q и такую, что
а{и, V — £4) + ^(v) — Чv — u) Vv. (3.17)
Функционал V имеет вид (3.10).
Если функционал ¥ имеет вид (3.11), то добавляются гранич-
ные условия для и и v (как в замечании 3.3). ц
3.3. Примеры. Эквивалентность вариационных неравенств
и задач из § 2.
3.3.1. Функции ф типа 1 (функционал ЧГ имеет вид (3.10)).
Введем производную
Ф(Х)=4/ф(Х)Ж. (3.18)
В силу выпуклости ф
ф(р)-ф(Л)-Ф(Х)(|х-Х)>0 Vp. (3.19)
Ниже показывается, что при таких условиях (3.14) эквивалентно
(вариационному) уравнению
(«'(/), v) + a(u(t), v) + J Ф (и (t))v dr = v)yv. (3.20)
Г
Действительно, если в (3.14) положить v = u(t) + %w, где w—
«произвольная» функция, Л>0, то после деления на X получим
(ц'(0, ц>)+а(ц(0, w) 4- Л-1 [Т (м(0 + Хйу)-Т («(/))] w);
1) Здесь мы имеем дело с «параболическими» неравенствами; в следующих
главах мы встретимся с аналогичными задачами «гиперболической» природы.
34
при Л-*-0 придем к неравенству
(и' (О, ш) +а («(/), &у) + $Ф (и (t))w dP Ss (f (t), w).
г
Заменяя ay на —w, получаем равенство, т. е. (3.20).
Обратно, если выполняется (3.20), то
(«'(/). У-н(0) + а(«(0. v-«(/)) + 4f(v)-,F(«(/)) =
= (/(/), v-u(0) + T(v)-T(/(0)-$O(«(0)(v-«(0)dr. (3.21)
г
Но, согласно (3.19), имеем
Y (v) - Т (и (/)) - $ Ф (и (0) (v-u (/)) dF Sa 0, (3.22)
г
так что из (3.21) следует (3.14). и
Замечание 3.4. Если функционал Т имеет вид (3.11), то
(3.14) эквивалентно равенству
(«'(0. v) + a(u(t), u) + $ Q>(u(t))vdx = v) (3.23)
с дополнительным граничным условием, как, например, (3,16). g
Осталось дать интерпретацию (3.20), что мы сделаем при
помощи интегрирования по частям. В (3^20) примем
= Ф— гладкая функция с компактным носителем в Q. (3.24)
Тогда (3.20) сводится к равенству
(«'(/), <р)+а(и(0, <р) = (/(0. Ф))
или
J (du/dt — &и)<pdx = f(x, t)(p(х)dx
о я
и, следовательно, («в смысле распределений на й»1))
du/dt — \u = f в Q=fix]0, Т[. (3.25)
Пусть теперь « — «произвольная» функция; умножим обе части
(3.25) на v = v(x) и проинтегрируем по частям по й; тогда
(«' (0. v) - J v dr + а (и (t), v) = (f (0, v), (3.26)
г
откуда, сравнивая с (3.20), заключаем, что
$ (du (t)/dn 4- Ф (и (0)) v dr = 0 yv, (3.27)
г
т. е.
du(t)/dn + 4>(u(t))=Q на Г. (3.28)
Итак: если ф —функция типа 1 и функционал У имеет вид
(3.10), то вариационное неравенство (3.14) с начальным усло-
вием (3.15) эквивалентно2) следующей задаче:
х) См. Шварц [1, 2J.
2) Очевидно, что из (3.28), (3.29) следуют (3.14), (3.15),
2* 35
Найти функцию и —и (х, I), удовлетворяющую уравнению (3.25),
граничному условию (3.28) и начальному условию (3.15). | (3.29)
Замечание 3.5. Для функционала Т вида (3.11) при усло-
виях (3.16) вариационное неравенство (3.14) с начальным усло-
вием (3.15) эквивалентно следующей задаче:
Найти функцию и, удовлетворяющую уравнению
du/dt — Аи + Ф (и) = f в Q, (3.30)
граничному условию
и = 0 на У
(3.31)
и начальному условию (3.15). g
Замечание 3.6. За исключением случая Ф(1) = kK (k>0)
задача нелинейна.
Пример 3.4. Пусть Ф имеет вид (2.18); определим ф сле-
дующим образом (рис. 9):
ф(Х) = $Ф(|х)ф,
о
(3.32)
т. е.
ф(1) =
gl/2klt ^^hl + g1/kx,
(^ — hi+gi/ki
0, hi /^2,
^2 — h%)2/29 h2 h% 4" gfa/k>2>
gi (* — h2) - gl/2k2, Л2+g^ < A.
(3.33)
Функция ф, определенная таким образом, является функцией
типа 1 и удовлетворяет условиям (3.6). Следовательно, в силу
утверждения (3.29), вариационное неравенство (3.14) с начальным
Рио. 10.
условием (3.15) эквивалентно задаче об управлении температурой
на границе, см. п. 2.3.1.
Замечание 3.7. Для функционала Т вида (3.11) при гра-
ничных условиях (3.16) вариационное неравенство (3.14) с на-
36
чальным условием (3.15) эквивалентно задаче об управлении
температурой в области, см. п. 2.3.2.
Пример 3.5. Пусть (рис. 10)
4-^(%-/i)a, Uft;
2 (3.34)
0,
Функция ф удовлетворяет условиям (3.6) и является функ-
цией типа 1. Очевидно, что
Р(Л-й),
ФН 0, ^h.
(3.35)
При выборе функционала Ф вида
вия (3.28), т. е.
ди (1)/дп = 0,
ди (1)/дп 4- k (и (t) — h) = Q,
(3.10) имеем граничные усло-
если
если
и (0 > h,
u^h на^ <3'36)
В этом примере вариационное неравенство интерпретируется
как задача о полупроницаемой «толстой» стенке (см. п. 2.2.2). и
3.3.2. Функции ф типа 2. В данном случае производная Ф (А)
функции ф(Х) может быть многозначной. Мы называем эту произ-
водную субдифференциалом или контингенцией функции ф (X)
в точке А, т. е.
Ф (А) — множество lim (3.37)
и—к Iх А
Справедлив аналог неравенства (3.19):
хеФ(Х)оф(р,)-ф(Х)-х((1-Х)^0 уц. (3.38)
Рассуждения, проведенные при выводе (3.28), останутся
справедливыми, если только заменить число Ф(и(х, /)) на
множество Ф(м(х, /)) (и (х, t) = a — точка, в которой ф недиф-
ференцируема). Переформулируем условие (3.28) в виде
-ди(0/д/ге=Ф(«(0) на £ (3.39)
((3.39) эквивалентно (3.28) в точках, где функция ф дифферен-
цируема).
Итак, если ф —функция типа 2 и функционал Ф имеет вид
(3.10), то вариационное неравенство (3.14) с начальным условием
(3.15) эквивалентно следующей задаче: найти функцию и = и(х, t),
удовлетворяющую уравнению (3.25), «граничному условию» (3.39)
и начальному условию (3.15). g (3.40)
Замечание 3.8. Для функционала Ф вида (3.11) при усло-
виях (3.16) вариационное неравенство (3.14) с начальным усло-
вием (3.15) эквивалентно следующей задаче;
37
Найти функцию и, удовлетворяющую уравнению
— {ди(х, t)/dt — Ди(х, — /))еФ(и(х, /)) в Q, (3.41)
граничному условию (3.31) и начальному условию (3.15).
Пример 3.6. Пусть функция ф —такая же, как в при-
мере 3.2 (см. рис. 7). Тогда
г ft- если l<hx\
[ft. 0], если
Ф(Л) = - 0, если (3-42)
[0, ft], если ^ = h2;
ft, если ^2*
Граничное условие (3.39) можно на У] переписать в виде
— ди (0/5n = ft, если
gi^ — du(t) /дп 0, если и = Н1,
ди (1)/дп = 0, если < w < h2; (3.43)
Qs^ — ди (t)!dn g2< ( если u = h2,
— ди (tj/dn^gi, если u>h2. в
3.3.3. Функции ф типа 3. Как уже отмечалось (замечание 3.1),
если ф —функция типа 3, то функционал У не всюду определен
или, точнее, может принимать значение +сю. Поэтому введем
множествох)
К = {о | Ч*1 (у) =^=оо}. (3.44)
Впоследствии мы увидим, что К является выпуклым замкнутым
множеством в соответствующем функциональном пространстве.
Тогда вариационное неравенство
(и'(0. v — ы (/))+ а(ы (/), t> — M(f)) + ,F(o) —
-¥(«(0)^(/(0, Vv<=K, (3.45)
u(f)^K z3.46)
эквивалентно (3.14).
Пусть w — произвольная функция из Л"; в неравенстве (3.45)
положим
v = и (0 4- 6 (w — и (/)), 0 < 8 < 1;
тогда
(и- (t), w — u (0) + а (и (/), w — и (t)) +
+ 8"1 (Т (и (/) + 8 (w - и (/))) - Т (и (/))) (/ (0, w - и (/)),
откуда, при 8-9-0, заменяя w на v, получим
(w'(0> v-u(t)) + a(u(t), v -«(/)) + (%, v-m(0)^
v — u(t)) Vve=K, (3.47)
x) Данное определение множества К пока формально. Мы уючним его
после того^ как выберем классы функционалов Т,
38
1 е Ф (и (/)), (3.48)
т. е. х = Ф(ы(О), если ф дифференцируема в «точке» и (/), или
контингенции ф в точке u(t), если ф недифференцируема,
или 'что эквивалентно) х удовлетворяет неравенству
Y(v)_T(w(0)-(x> v-u(t))^0 Vvt=K. (3.49)
Обратно, если функция и удовлетворяет задаче (3.46) —(3.48),
то она удовлетворяет также (3.45) (непосредственное следствие (3.49)).
Следовательно, если ф —функция типа 3, то вариационное нера-
венство (3.14) с начальным условием (3.15) эквивалентно следую-
щей задаче:
Найти функцию и (t) е К, удовлетворяющую неравенству (3.47)
при условии (3.48) и начальному условию (3.15). (3.50)
Для функционала Т вида (3.10) можно уточнить полученный
результат. Заметим прежде всего, что если функция ф опреде-
лена как в (3.24), то
ц = и(/)±фе7<, (3.51)
так что выбор функции v вида (3.51) допустим в (3.45) и при-
водит к равенству
(u'(t), <f>)+a(u(t), = ф),
что, в свою очередь, приводит к уравнению (3.25).
Сравнивая теперь (3.26) (с v — и (t) вместо v)
с (3.47), заключаем, что
$(d«/dn-f-x)(y —ы(0)йГ^:0 Vye/C,
г (3.52) о h^ji
хеФ(и(/)). рис. и.
Таким образом, если ф —функция типа 3 и функционал Чг
имеет вид (3.10), то вариационное неравенство (3.14) с началь-
ным условием (3.15) эквивалентно следующей задаче.
Найти функцию u: u(/)eKVZ, удовлетворяющую уравнению
(3.25), условиям (3.52) и начальному условию (3.15). (3.53)
Пример 3.7. Пусть (рис. 11)
ф(Ц_( °- (354
1+00, если й,]. ' '
Тогда
K = Л2 на Г} (3.55)
и, следовательно, граничные условия на S имеют вид
lh <«(%,/)< h2, (^(v-u(O)dr^O Vv^K. (3.56)
г
39
Так как Ф («(/)) = О (или {0}), условия (3.56) можно переписать
следующим образом1 2)!
и — ht => ди (t)/dn О,
hi < и < => ди (t)/dn = 0, (3.57)
и = h2 => ди (t)/dn 0.
Частный случай. Пусть8)
hi = h, /i2 = -f-oo (что допустимо). (3.58)
В этом случае получаем задачу о полупроницаемой «тонкой»
стенке (см. п. 2.2.1).
Пример 3.8. Возьмем функцию ф как в примере 3.3.
Тогда
/С = {о | о й2 на Г} (3.59)
и
(дм(0/5пЧ-х)(о-и(/))^0 Vt/e/f,
хеФСИ, <3-60)
откуда
и (t)=h2=$ ди (t)/dn 0,
Л1<ы(0<Лг=^>5ы(0/ап = 0,
M(/)=/2i=>du(O/<3n + x = O, x<=[£i, 0], '
и (t) <zhi=^du (t)/dn + gi — 0.
3.4. Некоторые обобщения.
Если вместо (3.1) взять форму
а (и, v) = J ayUj (х) vti (х) dx, (3.62)
а
где
atj е L°° (Q) — измеримые ограниченные функции в Q,
atJ (х) l&j а > 0, х е й V| <= R",
то также можно рассмотреть (и решить методами, описанными
ниже) вариационные неравенства. Интерпретация этих неравенств
аналогична, но со следующей модификацией: оператор Д заме-
няется на оператор А вида
Av = — (at/(x) vjYt, (3.64)
а производная по внешней нормали д/дп заменяется на произ-
водную
57- = “и (х) cos (п, х{), (3.65)
где cos(n, Xt) — /-направляющий косинус внешней к Г нор-
мали п.
г) Заметим, что неравенство в (3.56) эквивалентно поточечному неравен-
ству (ди (t)/dn) (v — u (t)) 0 на Г.
2) Фактически, /1х=Л(х), см. замечание 3.2.
40
Замечание 3.9. Можно (но мы не будем здесь этого делать)
обобщить задачу путем выбора
1) форм a(t; и, и), зависящих от времени (т. е. функ-
ции atj в (3.62) зависят от х и от /);
2) форм, нелинейных по и.
3.5. Стационарные задачи.
Используя обозначения из п. 3.3, рассмотрим стационарное
вариационное неравенство (3.17).
3.5.1. Функции ф типа 1. Если функционал ¥ имеет вид
(3.10), то вариационное неравенство (3.17) эквивалентно следую-
щей задаче. Найти решение и уравнения
— \u~f в й, (3.66)
удовлетворяющее граничному условию
ди/дп-}-Ф(и) = 0 на Г. (3.67)
Если функционал ¥ имеет вид (3.11), то при условиях (3.16)
вариационное неравенство (3.17) эквивалентно задаче
— Дм + Ф(м) = / в й,
и = 0 на Г.
(3.68)
3.5.2. Функции ф типа 2. Если функционал ¥ имеет вид
(3.10), то вариационное неравенство (3.17) эквивалентно нахожде-
нию решения уравнения (3.66), удовлетворяющего граничному
условию
— ди/дп е Ф (и). (3.69)
Для функционала ¥ вида (3.11) при условиях (3.16), (3.17)
эквивалентно следующей задаче:
— (— Дм — /) е Ф(м),
м = 0 на Г.
(3.70)
3.5.3. Функции ф типа 3. Рассмотрим множество К, опреде-
ленное в (3.44). Если функционал ¥ имеет вид (3.10), то вариа-
ционное неравенство (3.17) эквивалентно задаче
и е К,
-Au=f в Й, (3.71)
$ {ди/дп + х) (и — и) йГ 5s 0 VveK, где %^Ф(и).
г
Для функционала ¥ вида (3.11) вариационное неравенство
(3.17) эквивалентно задаче
U^K' (3.72)
а(м, у — м) + (х, V — V — и) Vv<=K, Хе®(4
41
3.5.4. Стационарные вариационные неравенства и задачи
вариационного исчисления. Справедлива следующая
Теорема. Предположим, что а (и, v) — a(v, и) \fu, v1).
Вариационное неравенство (3.17) эквивалентно задаче нахождения
функции и, доставляющей минимум (если он существует) функ-
ционалу
J(»)=ya(», u) + Y(v)-(f, v), (3.73)
где inf берется по «всем функциям» v таким, что
(0 < 4~ ОО.
Если функционал У имеет вид (3.11), то добавляются условия,
например, такие: v = 0 на Г.
Справедливость этого утверждения вытекает из следующего
общего утверждения (Лионе [2], гл. 1):
Пусть К — выпуклое замкнутое множество в гильбертовом
пространстве <3? и пусть и Л — два непрерывных выпуклых
функционала из К в R, причем функционал А дифференцируе-
мый, a J2 — не обязательно дифференцируемый. Тогда следующие
два утверждения эквивалентны:
и&К, Ji(u) + Ji(u)= inf [A (v)4- J2 (v)], (3.74)
v<=K
u<=K, v-u) + J2(v)-J2(u)^Q Xfv^K. (3.75)
Прежде чем доказывать эту эквивалентность, заметим, что
мы получим нашу теорему, если возьмем
J1(V)= ^a(v, — v), J.2 (v) = Y (v),
2 (3.76)
K = {v|T(v)<oo)a).
Доказательство эквивалентности (3.74) и (3.75).
Пусть и удовлетворяет (3.74). тогда для любых иеК и fie
е ]0, 1 [ имеем:
Ji + Л («) «С Л (и 4- 8 (v — и)) 4- Ji {и 4- 6 {у — w)) sg
< Л («4- 6 (v- «)) 4- (1 - 0) Л (») 4- ©Л (V),
откуда получаем неравенство
е-ц/^м-ье^ —«))— Л(«)]4- ЛИ — J2(«)^o,
которое приводит к (3.75), если 6->-0.
4 Если а (и, и) определена формулой (3.1) или (3.62), то такое равенство
возможно тогда и только тогда, когда ац—ац Vi, j. Заметим, что утвержде-
ние ошибочно, если равенство а (и, v) = a(v, и) Yu, v не выполняется.
2) Ниже мы точно определим класс, которому принадлежит функционал 'F.
42
Обратно, если и удовлетворяет (3.75), то
Л (V) + Ji (у) - J1 («) - А («) = [(Л («). u-u) + J2(v)-J2 («)] 4-
+ [J1(v)-Jl(u)-(J't(u), v -и)]. (3.77)
Первое слагаемое в правой части (3.77) 3=0 согласно (3.75),
а второе SsO в силу выпуклости Jx. Следовательно, получаем
(3.74).
§ 4. Некоторые сведения из функционального анализа
В § 1 мы привели лишь основные положения теории сплош-
ных сред. Так и здесь в наши цели не входит изложение теории
пространств Соболева во всей ее общности. Мы просто введем
основные понятия, которых будет достаточно для понимания реше-
ния задач, поставленных в § 3 (и решаемых в следующих параг-
рафах), тогда как за доказательствами основных положений этой
теории отсылаем к библиографии (например, относительно теорем
о следах см. ниже).
Понятия, которые мы здесь вводим, будут использоваться на
протяжении всех последующих глав; по мере необходимости мы
будем напоминать более подробно результаты из теории Соболев-
ских пространств.
4.1. Пространства Соболева.
Пусть Й — открытое множество в R". Введем следующие про-
странства: !)
1) 7/(Q) — пространство (классов) измеримых функций f таких,
что (р задано; l«g/?=Coo)
Hi!z.P(Q) = n^WIPdxY/P<°0 (Р^оо), (4.1)
\й /
llfkoo(Q) = supessi/(x)!<oo. (4.2)
Относительно нормы (4.1) или (4.2) пространство Lp(Q) банахово.
При р = 2 L* 2 (Q) — гильбертово со скалярным произведением
(A g) = \f(x)g(x)dx, (4.3)
О
порождающим норму (4.1) (при р = 2).
2) ^(Q) — пространство функций из С°° с компактным носи-
телем в Q. Пусть задана последовательность2) (pye^(Q); будем
говорить, что <Р;->0 в & (Q), если
1) носители функций ф; содержатся в некотором компактном
подмножестве Е множества Q,
х) Все функции, рассматриваемые здесь, вещественнозначные.
2) Относительно топологии в (Q), определяемой фундаментальной систе-
мой окрестностей нуля, см. Шварц [1].
43
2) Va Da<p/-->0 равномерно в й, где
Л+•••+«„
ОаФ = — -----— ф, a = {aH .... an}, (4.4)
дх^...дхпп
3) SP (Й) — пространство функций из С00 в й, снабженное
семейством полунорм
sup |£>“ф (х) |,
гея
является пространством Фреше.
4) (й) (пространство распределений на й) — пространство
линейных непрерывных на & (Q) форм ф->(/, ф) (т. е. (f, фа)->0,
когда Фа—* 0 в (й)). Будем говорить, что /)->/ в (й), если
(?/, <Р)“Ч/. <Р) V<pe^(Q).
Примеры распределений
1) Если Q, то отображение <p-xp(a) непрерывно на & (Q).
Как легко заметить, это масса Дирака, сконцентрированная
в точке а\
Ф (а) == (6(а), ф) = $ 6 (х — а) ф (х) dx.
Q
Здесь и далее мы записываем распределения как обычные
функции.
2) Если f(=LpzQ), то отображение ф-> J f(x)y(x)dx непре-
Q
рывно в <% (Q) и, следовательно, определяет распределение ] по
формуле
(/. Ф)= р(х)ф(х)б/х.
Отождествим f с f (ввиду инъективности отображения
Следовательно, имеем
U> (Й) с (Й), (4.5)
где вложение непрерывно1)-, действительно, если в £₽(Й),
то в (й).
Подпространства £р(й) пространства (й) можно охаракте-
ризовать при 1<р«Соо следующим образом:
t ^Lp (й) <х> f е (й), и существует константа с такая, что
\(f, Ф)^с|!ф|Ц>'(£г) Vtpe^lfl), (4.6,
где р' — число, сопряженное к р, т. е.
; + у-1- (4-7)
х) В дальнейшем, если X и Y — два топологических векторных пространства,
то X с: Y означает алгебраическое непрерывное вложение.
44
Импликация => следует из неравенства
|(/. <Р): <11/ L₽(Q)li<PiV'(0)
и справедлива для 1 р «С со.
Для доказательства импликации <= заметим, что если р =£= 1,
то р' =#°° и & (й) плотно в LP(Q), так что существует един-
ственная функция /* в Lp' (й) (последнее можно отождествить
с пространством, двойственным к Lp(£l)) такая, что (/, <р) =
= (/*, Ч>) V<p е & (й). Отождествляя /* с /, получаем желаемый
результат.
3) Для /е^'(й) определим Daf е & (Й) Va по формуле
Ра/. ф) = (-1)'а'(/, О«ф), |a|=ai4-...4-a„. (4.8)
Линейное отображение /-*Da/ из &>' (й> в 2$’ (й) непрерывно.
Пространством Соболева Wm-р (й) называется пространство,
определенное следующим образом:
Wm-р(Й) = {и | v <= Lp (Й), Р“ое1Р(Й), |a|<m}. (4.9)
Относительно нормы
«‘’U.p.aH s (4.10)
\|а'< т /
соболевское пространство ^"’'’(Й) является банаховым.
Особенно важен случай р = 2. Пространство Wm'* 2(Q), которое
для упрощения записи мы обозначим следующим образом:
1Гт>2(Й) = Яя’(Й), (4.11)
является гильбертовым пространством со скалярным произведе-
нием
(и, и) = J] (Dau, Dav). (4.12)
la I ^.т
Первая теорема о следах. Следует отметить, что за
исключением одномерного случая функция v из Н1 (Q) не обяза-
тельно непрерывна в Q и тем более в Q. Можно однако (и это
чрезвычайно важно для приложений) определить значения v на
границе Г области Qг).
Будем предполагать, что
Й — открытое ограниченное множество2) с границей Г,
которая является непрерывно дифференцируемым многообразием
размерности (п— 1); й расположена локально по одну сто-
рону от Г. (4.13)
J) Или, в общем случае на гладком многообразии размерности (n— 1), со-
держащемся в Q.
2) Теорема 4.1, сформулированная ниже, справедлива также и для неогра-
ниченных областей Q с ограниченной границей Г. Если же Г неограничена,
то следы y°v определяются так же, как в теореме 4.1, но будут локально квад-
ратично интегрируемы на Г.
45
Тогда можно доказать (см., например, Лионе, Мадженес [1],
гл. 1), что если S1 (й) — пространство непрерывно дифференци-
руемых в й функций, то
S1 (й) плотно в Н1^). (4.14)
Для v е S1 (й положим
То1’ = уи = «след v на Г» = значение v на Г. (4.15)
Определим пространство
L2 (Г) — (f, f — измеримая функция, квадратично
интегрируемая на Г относительно меры с!Г} (4.16)
со скалярным произведением
(f, g)r = $fgdT. (4.17)
г
Тогда справедлива (см., например, Лионе, Мадженес [1])
Теорема 4.1. При предположении (4.13) можно определить
(причем единственным образом) след yQv — yv функции v е № (Й)
на Г так, что yv совпадает с обычным определением следа (4.15),
когда v е S1 (Й); при этом yov е £г (Г) и отображение v -> уос>
является линейным непрерывным отображением Я1 (й)->£г(Г). Я
Замечание 4.1. Отображение u->D“u является линейным
непрерывным отображением Яа|+! (й)-> Н1 (й), поэтому можно
определить следы
{у0(Dav) 1}, (4.18)
если v <= Нт (Й). Действительно, зная v на Г, мы знаем также
ее тангенциальные производные на Г, поэтому производные, ко-
торые фигурируют в (4.18), предпочтительно заменить на нор-
мальные производные порядка
yv = {v, до/дп, dm~iv/dnm~1} <= L2(Г),
если ОЕ//т(Й). Я (4.19)
Замечание 4.2. Ядро у0 (следа) играет в дальнейшем су-
щественную роль. Положим
Щ (й) = ядро уо = {и | v е Н1 (й), Тоу = 0}, (4.20)
или, в более общем виде,
Я^(й) = ядро у (у определено формулой (4.19)) =
= \v | v е Нт (Й), уц = 0}. (4.21)
Тогда имеем:
Н™ (й) — замкнутое подпространство в Ят(й). (4.22)
Следовательно, Я(?(Й) является гильбертовым пространством
с индуцированной из Ят(й) структурой. Я
46
Замечание 4.3. Справедливо утверждение (Лионе, Мадже-
нес [1]):
& (й) плотно в (4.23)
Поэтому каждую линейную непрерывную форму на Н™ (й) можно
отождествить с распределением на й. Через Л“т(Й) обозначим
пространство, двойственное к Н™ (й);
Яот(й)сР(Й)(= Я0 (Й)) с Я"” (Й). (4.24)
Замечание 4.4. Теорема 4.1 дает не наилучший возможный
результат в том смысле, что отображение v —yov не сюръективно
из Н1 (Й) в L2 (Г). Для того, чтобы охарактеризовать образ Я1 (й)
при отображении у0, мы должны ввести некоторые дополнитель-
ные понятия.
Пространства Hs (R"), s не обязательно целое.
В частном случае, когда Й = И", пространство //'"(R") можно
определить с помощью преобразования Фурье. Если v — непрерывная
функция с компактным носителем, то ее преобразование Фурье v
определяется следующим образом:
а(В) = $ ехр (—2шх • |) v (х) dx, (4.25)
Rn
где
£ = {?i. .... м. *-1=х&.
Можно доказать (теорема Планшереля), что и е Р (R£) и
L»(r^) = ।v (r")' (4.26)
С помощью непрерывного продолжения можно определить v для
всех o<=L2(R"). Отображение v-^-v обратимо-, если v — w, то
v — lim в L2(R"), где
/-со
Vj (х) = $ ехр (2шх • В) v (В) dB-
!б’</
Будем писать символически
V (х) = 5 ехР (2шх • ?)» (?) dl-
Это равенство имеет смысл, так как
v е= Нт (R”) о (1 +1В |2)s/2 v е L2 (R£). (4.27)
Но тогда естественно дать следующее определение-.
Н° (Rn) = [v | (1 +1В |2)s/2 v е L2 (Re)}- (4.28)
Это пространство является гильбертовым с нормой
!h4r«)= «О +I?I2)S/2^(R«). (4-29)
47
эквивалентной норме, порожденной скалярным произведением
(4.12) при s = т.
Замечание 4.5. Определение (4.28) имеет смысл при s<0.
Если пространство //°(R") отождествить с его двойственным, то1)
Hs(Rlt)' = H-s(Rn) (4.30)
При s= — т и й —Rn мы возвращаемся к пространству, опре-
деленному в замечании 4.3. |
Замечание 4.6. Пространства Hs(Rn) обладают следующим
свойством локальности:
Vcp е & (R"), сро <= Hs (R") Vo е Я* (R"), и отображение о->-фц
является линейным непрерывным отображением Я*^”)-*
->Я*(РЛ). (4.31)
Свойства (4.31) дают возможность определить пространства
Hs (Г) Vs. Определим Ях(Г) для s^O и затем положим
Я°(Г) = (Я-°(Г))' при ст<0. (4.32)
Используя семейство локальных карт и разбиение единицы,
запишем функцию v s L2 (Г) в виде
v = ^6tv (конечная сумма).
Следовательно, образ функции v при отображении 9, определен
в Rn-1Vi; будем говорить, что »еЯ5(Г), если образ v при
отображении QtVi содержится в Я*^л-1); если wt — образ v при
отображении то в качестве (гильбертовой) нормы на Я^(Г)
возьмем
I V (Г) = r»4R»-1))V’- (4-33)
\ i /
В силу (4.31) пространство Я* (Г), определенное таким образом,
не зависит ни от выбора семейства локальных карт, ни от раз-
биения единицы; для нормы (4.33) такая зависимость имеет
место, но только в пределах эквивалентности норм.
Пространство Я^(Г) определяется внутренне своей топологией,
но не нормой.
Вторая теорема о следах. Теперь мы можем дополнить
теорему 4.1. следующей:
Теорема 4.2. В предположениях теоремы 4.1 отображение
является линейным непрерывным и сюрьективным отобра-
жением Ях(й)->-Я1/9(Г).
Доказательство см., например, в книге Лионса, Мадженеса
[1]-
4.2. Приложения: выпуклые множества.
Вернемся к понятиям параграфа 3.
Заметим сначала (теперь мы уже знаем все, что нужно для
обоснования), что билинейные формы а (и, v), определенные
1) Через X* мы обозначаем пространство, двойственное к Л»
48
посредством (3.1), или (3.62), непрерывны на 7Р(П). Более того,
условие (3.16) можно записать в виде
Для точного обоснования стационарных неравенств (п. 3.5)
остается лишь определить ¥(ц) для os//1 (Q).
Рассмотрим сначала случай, когда функционал ¥ определен
(формально) формулой (3.10). Заметим, что согласно теореме 4.1
функция v(x) определена почти всюду на Г и, следовательно,
определена функция ф(п(х)). Пусть
£ = {Х|ф(Х) принимает конечные значения}. (4.34)
Множество Е замкнутое и выпуклое (не обязательно ограничен-
ное).
Теперь положим
К. = {v | v <= Н1 (Q), v(x)<=E п. в. для хеГ}. (4.35)
В силу теоремы 4.1
К — выпуклое замкнутое множество в НЦО). (4.36)
Предположим (это предположение не существенно, см. замеча-
ние 4.7, ниже), что
функция ф растет на оо не быстрее квадратичной функции
(в случае ограниченного множества Е это условие очевидно),
т. е. ф(Х) ^сД2-|-с2» где ^ — соответствующие константы, ?.
(4.37)
Тогда для vфункция ф(t>(х)) еL1 (Г) и можно положить
¥(ц) = $ф(ц(х))<Я\ (4.38)
Г
Замечание 4.7. Если условие (4.37) не выполняется, то
множество К достаточно взять как в (4.35) и добавить условие:
Мы ограничимся ситуацией (4.37), так как это
упрощает до некоторой степени изложение и вполне достаточно
для приложений.
Функция v -> Y (v) является непрерывным отображением К R;
действительно, согласно Красносельскому ([1], теорема 2.1, стр. 22)
v ip (v) — непрерывное отображение L2 (Г)->Р(Г).
Более того, в силу выпуклости ф функция v Т (и) выпукла.
В случае, когда функционал 4е определен (формально) форму-
лой (3.11), введем множество
К = {и | v е Hq (Q), v(x)^E п. в. в Q}.
При предположении (4.37) мы получим те же свойства, что
и выше. Ц
49
4.3. Пространства векторнозначных функций.
Для точных постановок эволюционных задач, сформулирован-
ных в § 3, нам необходимы некоторые понятия, которые мы
сейчас приведем.
Пусть X — банахово пространство с нормой, обозначаемой
через |-||х; через Lp(0, Т; X) будем обозначать пространство
(классов) функций (измеримых относительно меры dt) из
[О, У] в X и таких, что
/г \1/р
( J I/(0 llX dt) ~ !l f ^Lp (О, Т; X) 00 (р °°)» (4.39)
'о /
И Ь» (О, Т-. X) = vrai max ||/ (О ||х. (4.40)
1 = (0, Т)
Это пространство Банаха.
Обозначим через S&' (]0, У[; X) пространство распределений
на ]0, У[ со значениями в X:
^'(]0, У[; Х) = #(>(]0, У[); X), (4.41)
где, как и в общем случае, через X (Y, X) обозначено простран-
ство линейных непрерывных отображений У->Х.
Функции feLp(0, У; X) ставится в соответствие распределе-
ние f на ]0, У[ со значениями в X по формуле
т
?(ф) = $ <р<=^(]0, У[); (4.42)
о
хорошо определенное отображение <p-*f(<p) из (]0, У[) в X
линейно и непрерывно. Отображение инъективно. Будем
отождествлять f и f. Более того, если /->0 в Lp(0, У; X), то
f->0 в <^'(]0, У[; X), т. е. f (ф)-^0 V<p е & (]0, У[). Тогда
Lp(0, У; Х)с^'(]0, У[; X). (4.43)
Для / е (]0, У[; X) определим dkf/dtk по формуле
Р>(Ф) = (—1)*/(<PW) V<pe^(]0, У[), (4.44)
которая определяет f(k} е (]0, У[; X). Кроме того, отображе-
ние из (]0, У[; X) в себя линейно и непрерывно.
В дальнейшем мы будем постоянно сталкиваться с ситуациями
следующего типа: пусть X и Y — два банаховых пространства и
X с Y. (4.45)
Пусть задана функция v такая, что
уеД(0, У; X); (4.46)
тогда ее производная dv/dt определяется как элемент из
^'(]0, У[; X), поэтому (так как (]0, У[; Х)с<^'(]0, У[; У))
dv/dt <=^'(]0, У[; Y). (4.47)
50
Предположим теперь, что
dv/dt (0, Г; V) (1<д«Соо). (4.48)
Тогда функция v: [О, T]->F непрерывна после быть может
изменения её на множестве меры нуль.
Это не наилучший возможный результат1). В частности, более
сильный результат справедлив для пары пространств X, Y
с указанными ниже свойствами (такая пара пространств будет
часто встречаться и далее).
Пусть V и Н — гильбертовы пространства на R с нормами
|| || и | | соответственно; скалярное произведение в Н обозначается
через ( , ). Предположим, что
Vcz//2), V плотно в Н. (4.49)
Отождествляя Н с его сопряженным и обозначая через V' сопря-
женное к V, мы можем отождествить Н с подпространством в V':
V'. (4.50)
Пример 4.1. V==/7^(Q), H = L2(£i), V'= tf-"1 (Q).
Пример 4.2. V = //^(Q), H = L2(Q).
В этом случае V' не является пространством распределений
на Q (так как £2 (Q) не плотно в HW(Q)).
Пусть v задана следующим образом:
veL2(0, Т\ I/), dv/dt t=L2(fd, Т\ V'). (4.51)
Тогда (см. Лионе и Мадженес [1], гл. 1) можно показать, что
после, быть может, изменения её на множестве меры нуль,
функция / v (/) становится непрерывным отображением
[0, ?]->#• (4.52)
§ 5. Решение эволюционных вариационных неравенств из § 3
5.1. Постановка задач.
Для аккуратного изложения теории мы несколько обобщим
постановки задач из § 3.
5.1.1. Пространства V, Н, V' и форма а (и, ф). Пусть гиль-
бертовы пространства V, Н, V' имеют свойства (4.49), (4.50), и
пусть билинейная форма и, v-+a(u, v) непрерывна на У и коэрци-
тивна в следующем смысле:
существуют константы с и а>0 такие, что3)
a(v, у)-|-с|у|2^a||u|i2 VueV. (5.1)
1) См. Лионе и Петре [1].
2) Следовательно, существует константа с такая, что
I | С ; U || Vt'G V.
3) Напомним, что через | v | (соотв. через || v,;) обозначена норма v в Н
(соотв. в V).
51
Пр и мер 5.1. V = Н1 (й), и а(и, v) имеет вид (3.1). Тогда (5.1)
выполняется, если, например, с—1, а=1.
Пример 5.2. У = Яо(й), и а(и, v) имеет вид (3.1). Тогда
(5.1) выполняется, если с = 0.
5.1.2. Функционал Будем считать, что функция v->4f(y)
является отображением V->-R со следующими свойствами:
функция o->'F(t>) выпуклая, полунепрерывная снизу
относительно слабой топологии в V и со значениями в ] —оо,
+ оо[. (5.2)
Существует семейство функций Чг/, дифференцируемых на V,
таких, что
т т
Vvf=L2(0, Т; И имеем: $ (у(/))dt$ 4(v(t))dt
О о
(5.3)
существует последовательность ф/, ограниченная в V,
такая, что Чг/(ф/) = 0 V/; (5.4)
если слабо в L2 (О, Г; V) и
т т т
$ Wj(Vj)dt^ const, тогда lim inf $ W(v)dt. (5.5)
0 0 0
Замечание 5.1. Последние условия не независимы (см. Брезис
[1, 2]), но их достаточно для наших целей (см. ниже, п. 5.3).
5.1.3. Постановка задачи. Мы видим, что все эволюционные
задачи, которые мы рассматривали до сих пор 1) можно, исполь-
зуя обозначения, введенные выше, поставить в виде следующей
задачи: требуется найти функцию и такую, что
Т\ V), u'eL2(0, Т\ V') (5.6)
и что для почти всех t выполняется неравенство
(«'(/)• P-w(0)4-o(«(0, V - и (0) + ¥ (и) - Т («(0)
^ (/(/), v — u(t)) VveV, (5.7)
ы(О) = мо, (5.8)
где функция и9 задана в V (с условием Т (м0) < оо), и f задана
в L2(0, Г; V')-
5.2. Формулировка основных результатов.
Ниже мы получим «сильные» решения (значительно усилив
(5.6)). (Здесь мы не касаемся теории «слабых» решений, относи-
тельно которой см. Брезис [1,2] и Лионе [1].) Это объясняет
довольно сильные ограничения на данные f и и0:
f, f <=L2(0, Т; Г); (5.9)
1) При условии, что выполняются предположения (5.2)—(5.5). Это будет
проверено в п. 5.3.
52
существует последовательность uol е V такая,
что Uoj-^-Uo в V, и для каждой функции u0J существует kj е Н,
так что а («о/, у) + (Ф; (%), v) = (kf, v) VyeV (5.10)
и
| kf I =g const при / -> oo.
Теорема 5.1. Пусть выполняются (5.Г), (5.5) и (5.9), (5.10).
Тогда существует одна и только одна функция и, удовлетво-
ряющая
u^L2(Q, Т-, V), u'eLa(0, Т; V)(U°°(0, Т\ Я)1 2) (5.11)
и (5.7), (5.8).
Теорема 5.2. (Теорема об аппроксимации). Пусть выполнены
предположения теоремы 5.1 и пусть щ — решение задачи
И/б£2(0, Т-, 7), и/еР(0, Г; ППЯЛ(0, Г; Я), (5.11)7
(«•(О, у-И/(0)+а(«/(0. v-u/(0) + ’F/(y)-'F/(«/(0)^
2s (/(/), о-«,(/)) VueV, (5.7);
И/ (0) = «о/- (5.8);
Тогда, обозначая через и решение, полученное в теореме 5.1, имеем
при j -•> + оо
слабо в Р(0, Г; V), (5.12)
u'j-^-u' слабо в L2(0, Т; V),
а также *-слабо в [^(О, Т; Я)2). (5.13)
Замечание 5.2. Так как функция Ф} дифференцируема, то
неравенство (5.7) эквивалентно (см. п. 3.3.1) уравнению
(u'j(t), y) + a(uz 0. 0 + (Ф/(«/(О)> у) = (/(0. v) Vy<=V, (5.14)
где полагаем
Ф/ = Т/. (5.15)
Замечание 5.3. Теорема 5.2 дает обоснование предельному
переходу, проведенному формально в § 2.
Прежде чем доказывать теоремы 5.1 и 5.2 (см. п. 5.5 и п. 5.6),
проверим, что условия (5.3), (5.4) и (5.5) выполняются для при-
меров из § 3.
5.3. Выполнение условий (5.3) — (5.5).
Мы проверяем выполнение (5.3) —(5.5) для конкретного при-
мера, однако метод, используемый нами, общий.
Пусть ф задана как в примере 3.3 (рис. 8), и
Ф(у) = $ф(у)сТ. (5.16)
г
1) Следовательно, и — непрерывное отображение [0, Т] -> V
2) Мы говорим, что [ *-слабо в (0, Г; Н), если
Т т
j 0/(0> ф(/))Л-*5 (Д0> <Р(0)Л Vq>eL’(0, Т; Н).
о о
63
Введем функции ф, следующим образом (рис. 12):
ф, (X) =
(K-hJ-gl/Zj,
О,
|/(*-V.
/ (X — Л2) — //2,
Х^Лх + ^/у,
hi + gi/j X hx,
hi X Л2,
/i2 *4~ 1 X.
(5.17)
Определим функционалы
Чг/(0 = ^Ф/(у)^Г,
Г
v s= Н1 (Q).
(5.18)
Теперь (5.3) следует непосредственно, а (5.4) выполняется,
когда, например, <Р/ = О V/. Остается проверить (5.5).
Из теорем о компактности (см., например, Лионе —Мадже-
нес [1], гл. 1) вытекает, что если dvj/dt ~>dv/dt
в L2 (О, Т; Н1 (£2)) слабо, то
vf-+v в L2(S) сильно. (5.19)
Кроме того, если введем М так, что
0, если X /i2,
(И (%) =• |(b-V. если /i2 X /?2 “F 1, (5.20)
Х-Й2-4-, если ^2 ”Ь 1 X,
т
J % (о,) dt = $ ф, (су) dS S&/ $ М {о,) d%. (5.21)
0 2 2
54
Поэтому, так как
т
$ ¥y(oy)d/<c,
о
имеем
$M(i0dS->O
s
и из (5.19)
$M(o/)dS-> \M(v)dS,
s s
откуда
$M(o)dS=0, (5.22)
и, следовательно,
о«£й2 почти всюду на S. (5.23)
Если теперь положим
8W(0, если k^hlt
gi(A.-fti)-gi/2/,’ если
6у(1) = 1/(А,-й1)а, если hi+gi/i^K^hlt
ТО 0, если hi %,
$ фу (Оу) dS 2? S J б, (о,) dS = $ 8 (t>y) dS + $ (в, (v,) - 8 (v,)) dS, (5.24) s s s
но и 1 J (0y (»,) — 0 (Vy)) dS 1 X $8(oy)dS-> ^8(o)dS = s s ^c/j T \4(v)dt. 0
Следовательно, (5.24) дает
т
lim inf J % (v/) d£ 2== J ¥ (o) dt.
2 0
5.4. Другие методы аппроксимации.
В приложениях теорема 5.2 приводит к аппроксимации (в со-
ответствующем смысле) функций ф типа 3 функциями фу типа 1.
Аппроксимация осуществляется методом регуляризации
(в окрестности точек, в которых ф не дифференцируема) и мето-
дом штрафа (если ф = + оо).
55
В условиях теоремы 5.2 не обязательно требовать дифферен-
цируемость функционалов Ту. Тогда аппроксимация функции ф
проводится только лишь методом штрафа.
Если опять
вали выше, в
п. 5.3, то
два неравенства, то,
взять пример 3.3, который мы уже рассматри-
~ ~. ) теперь мы аппроксимируем ф функ-
циями фу (см. рис. 13) вида
Ф/ (%) =
(5-25)
5.5. Доказательство единствен-
ности в теореме 5.1 (5.2).
Пусть и и м* — два решения.
Если положим v = и* (t) (соотв.
v — u(t)), что допустимо в неравен-
стве (5.7) (соотв. в аналогичном не-
равенстве для и*), и
обозначая через да = « — «*,
сложим
получим
— (да' (/), да (/)) — а (да (t), да (/)) О
или (из (5.1))
4^! да(0РЧа||оЧ0Г=^М01а.
следовательно, в частности,
^|да(012^2С|да(/)|2,
что, ввиду условия да(0) = 0 дает да (0 = 0.
5.6. Доказательство теорем 5.1 и 5.2.
План доказательства следующий:
1) Решение (5.14) при условии «у(О) = ыоу.
2) Априорные оценки для «у, вывод (5.12) и (5.13).
3) Доказательство того, что и, полученное таким образом,
является решением (5.7).
5.6.1. Решение (5.14). Пусть даь ..., дат, ... — «базис» в V
в следующем смысле: иц, ..., дат линейно независимы Vm, и
конечные комбинации 2 плотны в V. Такой «базис» всегда
/
существует, если V сепарабельно (в действительности, предполо-
жение о сепарабельности не существенно). Выберем дах, да2 таким
образом, что
ыоу и ф/ принадлежат пространству [да^ да2],
порожденному дах и да2. (5.26)
56
Пусть Ujm (i) — решение следующей системы нелинейных (обык-
новенных) дифференциальных уравнений:
.... aymj, где Oi, ...» шт] — пространство,
порожденное wu .... wm, (5.27)
wk) + a(u/m(t), + wk) =
= (/(/), wk), (5.28)
Нуго(О) = мо/ (что допустимо в силу (5.26) при /п^2). (5.29)
Если
М/т(0 = У, gjk (t) Wk,
*=i
то получаем дифференциальную систему для g)k, которая опреде-
ляет Ujm на интервале [0, tm\, tm>Q.
Априорная оценка, следующая ниже, показывает, что
tm = T. В
Априорная оценка (I). Согласно (5.26) имеем
(и'/т(0» Ф/)4-а(«/т(0. Ф/) + (Ф/(«/т(0» Ф/) = (/(0» Ф/)- (5.30)
Кроме того, если мы умножим (5.28) на gjk{t) и просумми-
руем по k, а затем вычтем (5.30), то получим (замечая, что
Фу(фу) = 0)
(М/т(0> И/т(0-ф/) + а(«/т(0» «/т(0~ф/) +
+ (Ф/(«/я,(0)-Ф/(фД Мут(/)-фу) =(/(/), «/т(0-ф/)- (5.31)
Но Фу монотонна, т. е.
(Фу («) — Фу (v), zz-^SsO1). (5.32)
Поэтому из (5.31) следует, что
(«/т(0. «/да(0-Ф/)+а(«/т(0» «м(0-ф/Х
<(/(0. и^(0-фД (5.33)
откуда
~2 di । Ufm (^ Ф/ |2 Н" а (ujm (0» tym (0)
Следовательно (через с обозначены различные константы),
4||и/т(0-Ф/12+а|1«/т(0Г^
с I м/m (0 |2 + С I1 и/т (0 IIII фу | + С U (0 U | и,т (0 - фу а
(где U -норма в V).
х) Производная выпуклой функции Ту монотонна; действительно, Т/(ц) —
—- (и) — ('Р' (и), v — Меняем и и и местами и складываем.
57
Так как согласно (5.4), Цф/Ц^с, имеем
I и/т (0 - <р/12 + 2а j ujm (t) |i2 <
< с I uim (t) - ф,-12+а || и/т (t) |2+с (1 + jl f (/)1|2),
откуда
I Ujm (0 - ф/12 + a JI ujm (a) ||2 do <
0
r 1 \
< c $ I Ujm (0) - ф/12 do + c(t + JII / (a) |!« do M-1 uoj - фу |2. (5.34)
o \ о /
Поэтому, в частности, если положим \Ujm(t) — <р7 |2 = т](0> то
Т)(t)^c\i\(o)do+d, d^c T + S ||/(a)||2 da) + |u0/ —ф/12- (5.35)
0 \ 0 /
Но в силу неравенства Гронуолла из (5.35) получаем
4\(f)^denp(ct), (5.36)
откуда заключаем, что
и/т е ограниченному множеству в Л°° (0, Т; Н)
(ограниченному независимо от j и т). (5.37)
Но, полагая в (5.34) t = T, мы видим, что
ujm е ограниченному множеству в L2(0, Т; V)
(ограниченному независимо от j и т). (5.38)
Априорная оценка (II). Теперь мы выведем оценки
для и')т, аналогичные оценкам (5.37) и (5.38). Сначала заметим,
что из (5.28), (5.29) вытекает
(«)т(0), шА) = (/(0), te>*)-[a(M07, wk) + (Фх (w0/), ^s)]^=
= (/(0)-Л7,^),
откуда
l«/m(0),2 = (f(0)-^, «/„,(0)),
и, следовательно,
l«/m(0)i^i/(0)-^|. (5.39)
Продифференцируем (5.28) по Z1); тогда
(u’im (/), wk)+a (ujm (t), wk) + ((Фу (uJm (t)))', wk) = (/' (/), wk). (5.40)
Заметим, что
(ф/(«/„.(())', «/m(0)>0. (5.41)
J) Дальнейшее корректно, если Ф/ непрерывна по Липшицу. Иначе вместо
производной следует орать разностное отношение.
58
В силу монотонности Фу
(ф/ (и/т (/+/l)) - Ф/ (и/т (0), Ujm (t+h)- ujm (0) S' 0.
Следовательно, используя (5.41), получаем из (5.40)
(«МО. u'lm(t)) + a(u'im(t), u'im(t))^(f'(t), u'iM, (5.42)
откуда
4 41 и>т ® >2 + 05 f u'im (0II2 < *' «/m (012 +11 г (0 ?*8 u'lm (0 II- (5.43)
Но из (5.39), (5.43), как раньше для uym, заключаем, что
u'jm остается в ограниченном множестве
в L2(0, Г; VjnL°°(O, Т; Н), независимом от / и т. (5.44)
Переход к пределу по т. Согласно (5.44) и так как
«/CT(0) = Wo/, {«o/IKc. имеем
Ujm е ограниченному множеству в L00 (0, Т\ V) (5.45)
и, следовательно,
Ф/ (Ujm) е ограниченному множеству в L°°(0, Т; V). (5.46)
Тогда можно выделить подпоследовательность u/u такую, что
Муц—>-Uy *-слабо в L°°(0, Т; V),
u'j^-^u'j слабо в Z?(0, Т; V) и «-слабо в L°°(0, Т; V), (5.47)
Фу («/Д-> X/ *-слабо в £°° (0, Г; V')>
и
IIи/ lit» (Q, у. у* "Ь | Uj [|у_± у. у, 1| Uj Цдоо (01 у. цу С. (5.48)
Согласно (5.47) ujv. (0) -> щ (0) слабо в V, поэтому
«у(0) = иоу.
Возьмем (5.28) при т — ц; тогда, переходя в (5.28) к пределу
при фиксированном k (<р), получим
(uj, wk) + a(Uj, wk) + (xf, wk) = (f, wk) VA,
откуда, так как конечные комбинации У, ^,kwk плотны в V, заклю-
k
чаем, что
(и), v) + a(ut, ц) + (Х/. «) = (Л о) Vy<=V. (5.49)
Мы решим (5.14), если покажем, что
Х/ = ФД«А (5.50)
Для этой цели используем «аргумент монотонности». В силу мо-
нотонности Фу имеем V<p е L (0, Т; V)
т
Xjm = $ (Ф/ (И/m) - Ф/ (ф). Ujm 0. (5.51)
о
59
Но согласно (5.28)
7'
J Uj/n) 4~CL (Ujmi W/m) (f > Ujm)]dt
0
- 5 (Ф/ (M/m), ф) di - j (Ф, (<p), ujm -q)dt =
0 0
T
= — у ! >2 + 4 ' )2 ~~ u/m)dt +
T T T
+ $ (/> Ujm) dt - $ (Ф/ (U/m), ф) di - J (Фу (Ф), ujm - ф) dt.
0 0 0
Так как tijm (T) -> и,- (T) в V слабо, то
limsup (- |u7m(T)l2) \uj (T) I*,
поэтому
T
0<limsupXm< — 4l«/(7,)i2 + 4'wo/2- I a(uh uf)dt+
+ (/, Uf) dt - $ (X/, Ф) dt - J (Ф/ (ф), и/ - ф) dt. (5.52)
0 0 0
Но из (5.49) следует, что
т т т
-у|и/(7,)|2+у|«0/12-Уа(ы/, «7)Л+р/, U))dt= f (хУ, ut)dt,
о о о
в силу чего (5.52) означает, что
г
$ (X/ — ф/ (ф)» «/ - ф) dt 0. (5.53)
о
Возьмем ф = uj — Л9, X > 0, 8 е L? (0, Т\ V); тогда после деле-
ния на Л неравенства (5.53) получим
т
$ (X/ — Ф/ (ы/ — М)» е) dt 0,
о
откуда при Х->0
т
6)di^0 V8€=L2(0, 7; V).
о
Таким образом, (5.50) доказано.
5.6.2. Оценки для uj и n'j. Мы уже получили (5.48). Более
того, из (5.14) следует (5.7)у. Пусть функция
»ое£2(0, Т\ V)
60
такая, что
т
$ T(u0)d/<oo.
о
Полагая и = v (/) = v0 (t) в (5.7)у, мы видим, что
о
т
<${(«/, »о —«/)+«(«/. v0-Uj) + W/(v0)-(f, vQ — Uj)]dt. (5.54)
6
В силу (5.48) и (5.3) из (5.54 получаем, что
т
^(Ujttyjdt^C. (5.55)
о
Поэтому можно выбрать подпоследовательность (обозначим
ее также через ut) такую, что
ut-+u слабо в L2(0, Т\ V),
Uj-^u' слабое ЩО, Т- У) и «-слабо в £°°(0, Т; Н), ’
и согласно (5.5),
т т
lim inf $¥, («/)<#>$ V(u)dt. (5.57)
о о
Так как н0/-*ы в V, «/(0)->«(0) слабо в V, и «y(O) = tzv,
то получаем (5.8).
5.6.3. Доказательство (5.7). Положим в (5.7) v = v(i), где
отображение /-> v (t) — произвольное в L2(0, Т; V). Тогда
т
v)+a(Uf, o) + 4f/(v)-(/=, v — u/)]dt^z
О
т
[(«/, «/) + «(«/, u^ + Wjiu^dt. (5.58)
О
Правая часть (5.58) равна
т т
Y>=41и/ со I2 - 41 м<>/12+jа (и/> “>) dt+dit
используя, в частности, (5.57), имеем
т
lim inf Yj ~ | и (Т) |2 — 1 «0 -2+ и) dt +
т т
+ 5^ (u> dt ==$[(«', и) + а(и9 u) + W (u)]dt.
о о
61
Поэтому из (5.58) мы получаем, что
т
$ [(w', и — u) + a(u, v — и) + УР(и) — Т(u) — (f9 v — u)]dt^O
о
Vi>€=L2(0, Т; У). (5.59)
Пусть s е ]0, Т[ — фиксированное число, пока произвольное, и
пусть функция w е V — произвольна. Возьмем семейство &k
окрестностей точки $:
= ]s — 1 /£, s + 1 /&[,
и определим v следующим образом:
( и (/), если t ф 0k9
v (t) = <
( w, если t e 0к.
Тогда (5.59) дает
$[(«', да)4-«(«, да) + T (ay) — (/, w)]dt —
— $ [(«', u) + a(u, u)4-T(и)—/(«)]<//5s0, (5.60)
&k
откуда следует (мера обозначена через | <0к I):
§ u'(t)dt, да\ 4- а /| 0к |-1 $ u(t)dt, да^4-
\ ®ь / \ &к /
4-Т(да)-/|^|-1 $ f(t)dt, да\ —
V /
J [(«', и) + а(и, «)4-Т(и)_ (f, u)]dt^O. (5.61)
&k
Но в общем случае для скалярных или векторнозначных функ-
ций имеет место утверждение (теорема Лебега):
l^r1 $ g(t)di-^g(s)
для почти всех s.
Таким образом, из (5.61) получаем, что для всех $, за исклю-
чением, быть может, множества меры нуль, выполняется нера-
венство
(и' (s), w — и ($)) + а (и (s), w — и (s)) + Т (ш) — У (и (s))
^(/(s), да — u(s)),
откуда следует (5.7). В силу единственности предела и резуль-
тат не зависит от выбора последовательности Следовательно,
теоремы 5.1 и 5.2 доказаны.
62
§ 6. Положительность и сравнение решений
6.1. Положительность решений.
Для произвольной вещественнозначной функции v определим
v+ = sup(u, 0), ir = sup(—v, 0). (6.1)
Пусть
У = Я1(^)1) (6.2)
и а (и, V) имеет вид (3.62), т. е.
а (и, v) = § ац (х) ujV'i dx, (6.3)
Q
где коэффициенты ац (х) удовлетворяют условиям (3.63). Заметим,
что о->ц+ и v -> v~ — непрерывные отображения (срезки) из /й(й)
в себя.
Теорема 6.1. Пусть выполнены предположения теоремы 5.1
с (6.2) и (6.3) и пусть функционал Т удовлетворяет условию
Y (v) 5в Т (о+) Vo g= V. (6.4)
Предположим, кроме того, что
/SsO, zz02sO (6.5)
п. в. соответственно в Q и Q. Тогда и из теоремы 5.1 удовлет-
воряет неравенству
и^О почти всюду в Q. (6.6)
Доказательство. В неравенстве
(и' (0, v-u (0) + a(u(t), v-u (0) 4-
4-Y(p)_Y(M(0)^(f(0, о-м(0) (6.7)
возьмем и = ц+(0. Тогда, так как ы+(0 — «(0 = ц-(0, имеем
(«'(0. ы-(0)+а(«(0» ц-(0) + Т(М+(0)-У(Ы(0)^
>(/(0, м-(0). (6.8)
Но поскольку а(<р+, <р_) = 0, то
а(ф, <р-) = — а(ф~, ф~),
(ы'(0, ы-(0) = -((Н-/0)', н-(0), (6.9)
так что неравенство (6.8) эквивалентно неравенству
((«-(0)', u-(0) + a(u-(0, «-(0) + ¥(«(0)-Т(Ы+(0) +
+ (/(0, и-(0)<О. (6.10)
Согласно (6.4) Т (и (0) — Ч7, (м+(0) 5= 0; так как /(05=0 ввиду
(6.5) и и~ (0 5= 0 по определению, то
(Г (0. «- (0) 0>
0 Возможны легкие видоизменения, когда Г=Я,‘(Й) или, например,
когда И —пространство функций из ЯЦО), обращающихся в нуль на части
Го границы Г.
63
так что (6.10) означает, что
((«-(0)', и-(0)+ «(«-(0. «-(0)^0. (6.11)
Из (6.11) получаем
| | и~ (П |«+а || и- (0 |,* < с | и~ (t) |«. (6.12)
Следовательно, в частности, выполняется неравенство
(6.13)
Но ввиду (6.5) wo^0, поэтому и-(0) = 0, что вместе с (6.13) до-
казывает и~(1) = 0; следовательно, имеет место (6.6).
Пример 6.1. Предположим (см. §3), что
'F(0) = ^(v)dT, (6.14)
г
где
ф(%)2sф (0), если Х^О. (6.15)
Тогда.ф (X) ф (Х+) VXeR и, следовательно, (6.4) выполняется.
Свойство (6.15) выполняется для всех примеров из § 3.
Пример 6.11. Пусть ф задана как в (3.33) (рис. 9). Мы
видим, что решение и не зависит от значений ф при Х^О; дру-
гими словами, если и ио^О, то температура остается 2=0
(и механизм, управляющий температурой, при температурах <0,
никогда не должен вступать в действие; в этом случае управле-
ние температурой заключается только лишь в охлаждении и ни-
когда—в нагревании).
Пример 6.1.2. Предположим, что ф(Х) = О, если Х2=0, и
ф(Х)2=0, если XsgO1); так как «2=0, то Т(ы) = 0, У^)2э0, и
решение и совпадает с решением задачи при Т = 0, т. е.
(и', и)4-а(м, о) = (/, о) Vos//1 й), 1
U(0)-«.. J (6Л6)
Следовательно,
du/dt —(fltj, ut))i = f,
du/dvA—0 на S,
u(x, 0) = wo(x) в Й.
6.2. Сравнение решений (I).
Мы сравним решения и и й, соответствующие двум различ-
ным функционалам Y и Y.
*) Это соответствует полупроницаемой перегородке, которая допускает
только приток тепла и' находится в контакте с внешней средой при нулевой
температуре.
64
Теорема 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.1 с (6.2)
и (6.3). Пусть Т и W — два функционала (имеющие такие же
свойства, как функционал Y в теореме 5.1) такие, что Vu и
v^H1 (Й)
T(sup(v, и)) + Ф(inf(v, v))^W(v) + ^(v). (6.17)
Пусть и (соотв. и) —решение из теоремы 5.1, соответствую-
щее Т (соотв. 49; все другие данные задачи одинаковы. Тогда
и^и почти всюду ей. (6.18)
Доказательство. Введем
a> = sup(M, и) = « + («—u)+,
u» = inf(«, ы) = и —(« —и)+.
Заметим, что w-^-w^u + u.
Возьмем v = w в (6.7) и v = w в аналогичном неравенстве
для и. Полагая
0 = и — и, (6.20)
получим
-(0', О+)-а(0, 0+)Ч-(ш)Ч-Ф(uj) — Ч*'(а) — Ф(и)0,
откуда, принимая во внимание (6.17), имеем
(О', 0+) + а(0, 0+)<О. (6.21)
Следовательно,
4^|6+(О12 + а(0+, 0+)<О,
откуда
4^|0+(О l2+a|.0+(O|i2<de+(O I2-
Так как м(0) = ы(0) = 0, то 0+(О) = О, поэтому 0+ = 0, откуда сле-
дует (6.18).
Пример 6.2. Предположим, что функционал Т определен
формулой (6.14), а Ф — формулой
t(o) = Jip(v)dr. (6.22)
г
Без труда проверяется, что (6.17) выполняется, если
ф (р) — ф (X) ф (р) — ф (X) Vp, %, р^гХ. (6.23)
Пример 6.2.1. Свойство (6.17) имеет место, если, например,
ф(Х) = ф(Х-Х0), Х0>0, (6.24)
где производная функции ф возрастает.
3 Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе 65
Это замечание, в применении к задаче управления темпера-
турой, дает следующий (очевидный физически) результат: если
для одной и той же правой части и одних и тех же начальных
температур мы управляем температурой одинаковым образом,
но при различных заданных «вилках» (hlt й2) и (ЛхЧ-Ао, /г24-Х0),
где Ао > 0, то температура, соответствующая (/ij-j-Xo, Л2 + ^о)<
выше, чем температура, соответствующая (hlt /г2). И
6.3. Сравнение решений (II).
Теперь мы сравним решения, соответствующие одному и тому
же функционалу ¥, но при различных данных {/, и0). Спра-
ведлива
Теорема 6.3. Пусть выполнены условия теоремы 5.1 с (6.2)
и (6.3). Пусть и (соотв. и) —решение из теоремы 5.1, соответ-
ствующее {f, м0} (соотв. {f, w0})- Предположим, что
почти всюду в Q, ип^ип почти всюду в Q (6.25)
и что функционал ¥ удовлетворяет Vy, v е И1 (Q), условию
¥ (у) + ¥ (у) — ¥ (sup (v, и)) —¥ (inf (у, у))^0. (6.26)
Тогда
и^й почти всюду в Q. (6.27)
Доказательство. Идея доказательства та же, что в дока-
зательстве теоремы 6.2. Используя те же обозначения, имеем
— (6', 0+) —а(0, 0+)4-¥(ш)+¥(а»)-¥(u) -W(u)^(f-f, 6+),
откуда, учитывая (6.26), получаем
(0', 0+)Н-а(0, 0+) + (/-А 0+)^О. (6.28)
Согласно (6.25), (f — f, 0+)SsO, поэтому (6.28) приводит к нера-
венству
(О', 0+)4-а(0, 0+)<О. (6.29)
Но 0+ (0) = (м0 — и0)+ = 0 (в силу (6.25)), поэтому 0+(/) = О, откуда
следует (6.27).
Пример 6.3. Если предположить, что функционал ¥ опре-
делен формулой (6.14), то (6.26) выполняется и, более точно,
¥ (у) + ¥ (у) — ¥ (sup (у, у)) — ¥ (inf (у, у)) = 0. (6.30)
Пример 6.3.1. В применении к задаче об управлении тем-
пературой эта теорема показывает (что физически, опять же,
очевидно), что если управление осуществляется одинаковым обра-
зом и если и (соответственно и) — температуры, соответствующие
правой части f (соотв. /) и начальной температуре и0 (соотв. у0),
то при и имеем и^и почти всюду. В частности,
если ф задана как на рис. 9 и если и0 (х)^щ(х), где Osgw^x)^
^/г2(х), то и(х, t)^ul(x).
66
§ 7. Стационарные задачи
Теперь вернемся к ситуации п. 3.5 с формой вида
а (и, v) — \ati(x)ujv,idx, (7.1)
о
где коэффициенты ац <= (Q) удовлетворяют (3.63). Сначала
рассмотрим случай, когда форма а (и, v) заменена на а (и, v) +
+ с(ы, v), с>0.
7.1. Строго коэрцитивный случай.
На протяжении всего этого пункта полагаем
V = Н1 (Q), Q — открытое ограниченное множество в R". (7.2)
В силу (3.63) имеем
а(ц, a j V'iVj dx, (7.3)
о
однако неравенство a(v, v) | v |д« <й> не выполняется-, более
того, а(1, 1) = 0. Напротив, очевидно, что
а (и, и)+с| и |2 3s min (а, с)||с»||нчй) =min(a, с) | v |2, (7.4)
где | v |2 = у2 dx, I v || = || v ||Я1 (0).
я
В Этом пункте мы определим Y как в (3.10)х):
T(y)=Ji|>(v(x))dr (7.5)
г
или, в более общем виде (см. замечание 3.2),
Ф(ц)=5ф(х; o(x))dT. (7.6)
г
Мы сделаем предположения, аналогичные (5.3) —(5.5): допустим,
что существует семейство функций Фу, дифференцируемых на V
и таких, что
VveV Фу(о)^Ф(о), (7.7)
существует последовательность <ру, ограниченная в V
и такая, что Ф/(фу) = 0 V/ (7.8)
(это условие тождественно (5.4));
если о, -> v в V слабо и Ф/ (vy) const, то
litn inf Фу (vj) 2= Фу (и). (7.9)
Теорема 7.1. Допустим, что выполняются условия (3.63),
(7.7), (7.8), (7.9). Пусть с>0 и пусть v^-(f, о) — линейная
1) Это не ограничивает общности. Если Ч' имеет вид (3.11), то имеют
место результаты, аналогичные нижеследующим,
3* 67
форма, непрерывная на V. Тогда существует единственная функ-
ция u^V такая, что
а (и, о — u)-f-c(u, v — и) -f-Т (и) — Т (и) (f, v — u). (7.10)
Замечание 7.1. Если а (и, v) = a(v, и) Vu, v, то задача
(7.10) эквивалентна (см. (3.73)) задаче минимизации функционала
J = ^[a(v, ц)+с|0|2] + Т(ц)-(/, v). (7.11)
В этом случае доказательство существования решения следует
непосредственно (без введения Ту). Действительно, задача экви-
валентна минимизации функционала J на замкнутом выпуклом
множестве (возможно, совпадающем с V) функций v, для кото-
рых Т(ц)<оо. Функция J (р) выпукла, полунепрерывна снизу
относительно слабой топологии в V и, наконец (благодаря вве-
дению члена с | v |2), J (и) -> + оо при |о|-»-оо. Из этого следует
существование решения. Кроме того, так как функция J (v)
строго выпукла, то мы имеем также и единственность решения,
так что для симметрических форм теорема доказана.
Доказательство единственности в основном анало-
гично доказательству единственности решения, проведенному
в п. 5.5. Пусть и и и* * — два решения; если положим и = и*
(соотв. v = u) в (7.10) (соотв. в аналогичном неравенстве для и*)
и сложим (обозначая w = u — u^, то получим
— a (w, w) — с | w |г 0,
откуда в силу (7.4) имеем да = 0.
Схема доказательства существования1). Прежде
всего заменим в (7.10) функцию Т на Ту; требуется найти функ-
цию удовлетворяющую неравенству
а («у, v-uy)4-c(uy, у-Uy) J-Ту (v)-Ty(uy)Ss(/, v-иД
VogeK. (7.12)
Так как функционал Ту дифференцируем, то неравенство
(7.12) эквивалентно уравнению
а(щ, v) + c(uj, о) + (Фу(иу), — v) Vv^V, (7.13)
где
Фу = Т). (7.14)
Для решения (7.13) используем метод Галёркина. Как в п. 5.6.1
возьмем базис wlt ..., wm, ... в V (<pj принадлежит простран-
ству, порожденному элементом Шх), будем искать функцию ujm
такую, что
и/т^[шг, ..., wm], (7.15)
a(ujm, wk)+c(ulm, ау*)-|-(Ф/(и/т), wk)=(f, wk),
l^k^m. (7.16)
*) Это доказательство несущественно для понимания дальнейшего. По этой
причине мы даем только основные моменты доказательства.
68
Существование решения и/т задачи (7.15), (7.16) следует
из теоремы Брауэра о неподвижной точке (см., например, Лионе
[1], лемма 4.3, стр. 66).
Априорные оценки для и/т. Учитывая тот факт, что
Фу = ^0’1 при некотором действительном из (7.16) заключаем,
что
fl (Wym, Ujm фу) Н- С (U/m, Ujm фу) И- (Фу (Мут) ~~
~ Ф/ (фД И/m - фу) = (/. Ujm ~ ф/) (7.17)
(так как Фу(фу) = 0).
Поскольку Фу монотонна, то из (7.17) следует неравенство
и(«/т. Н/т-ф/)+с(«/от, И/т - фу) ==^ (/, Иуот - фу), (7.18)
из которого получаем
«11! Ujm||2<С1 II и/тЩ-с2, ai = min(a, с).
Поэтому
||H/mil^c3 = const, не зависящей от j и т. (7.19)
Ввиду (7.19) можно выбрать из последовательности uJm под-
последовательность M/ц такую, что
И/ц->Иу в V слабо. (7.20)
Используя монотонность Фу, можно показать, что (см. Минти
[1], Браудер [1], Лионе [1])
Ф/(н/ц)Ф/(иу) в V слабо (7.21)
и «у удовлетворяет (7.13). Кроме того, из (7.19) заключаем, что
ку||<с8. (7.22)
Согласно (7.22) из последовательности му можно выбрать
подпоследовательность (которую обозначим также через му) такую,
что
Uj^-u в V слабо. (7.23)
Ввиду (7.12), где мы фиксируем v — v0 так, чтобы Т(у0)<оо
(и, следовательно, ввиду (7.7), Ту (v0)sg const), имеем
Ту (му) «S const. (7.24)
Поэтому в силу (7.9)
lim inf Ту (му) Т (и). (7.25)
Запишем (7.12) в виде
a(My, v)+c(Uj, v) + Ту (о) — (/, и — и)^
^a(uf, ay)+c|u,|8-|-Ty(Uy); (7.26)
но liminf[a(Hy, My)-f-c|My |2]^a(u, м)-|-с|м|2.
69
Таким образом, из (7.26) получаем
а(и, v) + c(u, v) + W (v) — (f, v — u)^a(u, и)4-с[ и j2-{-'F (и),
откуда следует (7.10).
Замечание 7.2. Предыдущее доказательство дает также
результат об аппроксимации. Согласно (7.23) мы аппроксимируем и
решениями щ уравнений (регуляризованных или со штрафом)
(7.13). Заметим также, что замечания, аналогичные замечаниям
п. 5.4, справедливы и здесь.
7.2. Аппроксимация стационарных решений решениями эволю-
ционных задач при
Заметим, что из предположений (5.3), (5.5) следуют (7.7),
(7.9) ((5.4) и (7.8) идентичны); действительно, достаточно в (5.3),
(5.5) взять функции, не зависящие от t.
Теорема 7.2. Пусть выполняются условия теоремы 5.1 и
функция не зависит от t. (7-2Т)
Пусть и (t) = и — решение задачи
(и'(t), v-u(t))-{-a(u(t), v — u(t)) + c(u(t), v — u(t)) +
+’F(p)-T(«(O)>(f, v-u(t)) VoeH, (7.28)
m(O) = mo (7.29)
и пусть w —решение из теоремы 7.1, т. е.
a(w, v — w) + c(w, v — w) + (v) — Ч2 (w) Ss (/, v — w)
Vo €= V. (7.30)
Тогда
u(t)-*-w в H = L2(Q) при Z->-|-oo, (7.31)
или, более точно,
|«(0 — ^|^с1ехр(— с J), с{>0. (7.32)
Доказательство. Выбирая o = te> (соотв. «(/)) в (7.28)
(соотв. в (7.30)) и полагая т (/) = и (t) — w, находим
— (m'(/), m(t)) — [a(m(t), т (t)) + c \т (t) |2]5s0,
откуда
(7.33)
Но следовательно, из (7.33) заключаем, что
£(exp(2aid/)|m(0|2)<0,
откуда
| /п (012 | «о — |а ехр (— 2ах dt), (7.34)
что доказывает (7.32) (при выборе соответствующих констант).
Следствие 7.1. Для стационарных задач имеют место
аналоги теорем 6.1, 6.2, 6.3 о положительности и сравнении
решений,
7Q
Доказательство. Переходим к пределу по t в соответ-
ствующих выражениях из теорем 6.1, 6.2, 6.3.
Замечание 7.3. Естественно, следствие 7.1 можно дока-
зать непосредственно методами доказательств теорем 6.1, 6.2,
6.3.
7.3. Случай нестрогой коэрцитивности.
Теперь мы собираемся исследовать случай с = 0. Ограничимся
только симметрической формой:
а (и, v) — a(v, и) Vu, «eV, (7.35)
так что мы находимся в ситуации замечания 7.1 сс=1. Мы
утверждаем, что две следующие задачи эквивалентны:
Найти и е V такую, что
а(м, о —u)4-4f (о) — V (ы)^(Д v — u): (7.36)
Найти и е V, доставляющую минимум функционалу
J(v) =^a(v, v) + W(v) — (f, v). (7.37)
Так как а(1, 1) = 0, то не обязательно J(y)-> + oo при
[ц||->-оо; следовательно, вообще говоря, решение не существует
(более того, см. выше замечание 2.5).
Приведем сначала лемму, которая будет играть существенную
роль в последующем.
Лемма 7.1. Существуют константы Р<>0 такие, что
Vo е Н1 (£2)
«(о, о) + $IоI2t/Гр!IIоI2, М = №*(0>» (7.38)
Г
а (о, о) + о drj2 р21| о ||2. (7.39)
Доказательство. Докажем, например, (7.39); доказатель-
ство (7.38) совершенно аналогично. Величина
III о ||| =/а (о, o) + Aodr\8\1/’
\ \г / /
является нормой на V; действительно, это, очевидно, полунорма
и если III о ||| = 0, то а (о, о) = 0, поэтому, согласно (7.3), о =
= const и JodT = 0; следовательно, о = 0.
г
Пространство Н1 (£2) = V полное относительно нормы ||| |||.
Действительно, пусть vm — последовательность Коши в смысле
этой нормы. Тогда Vi vm i является последовательностью Коши
в £2(£2) и
(7.40)
71
Так как vm_i сходится в L2 (Q), то из работы Дени и Лионса
[1] следует, что можно найти константы km такие, что
vm + km-*-v, в L2(Q). (7.41)
Из (7.41) следует, что
\(vm + km)dT-^\vdr,
г г
а это вместе с (7.40) доказывает, что km-+k и, следовательно,
vm->u в Н1 (Й).
Рассмотрим теперь отображение / ( = тождественному) простран-
ства V с нормой ||| HI в пространство V с нормой j |1. Это линей-
ное отображение имеет замкнутый график, так как топология,
определяемая |i f; слабее топологии, определяемой ||| |||. Так как
V — банахово пространство (фактически, гильбертово) относительно
каждой из этих норм, то из теоремы о замкнутом графике
(см., например, Бурбаки [1]) вытекает непрерывность отображе-
ния; следовательно, существует константа с такая, что
М« Ilk III,
откуда следует (7.39). g
Из (7.39) заключаем, что если ф(А) растет быстрее линейной
функции при А->±оо (т. е. ф(А)/А->±оо при А->±оо), то
J (t>)->4-оо при |о|—>оо, и тем более, если ф(А; = 4-оо при
достаточно больших |А|. Таким образом, получаем существование
решения.
Представляет интерес (и более того, полезен в приложениях)
случай, когда ф(А) имеет линейный рост при A->-j-oo или (и)
при А-> —оо. Введем
ф± = lim ф(А)/А, (7.42)
предполагая, что по крайней мере одно из чисел ф+ или ко-
нечно1); во всех случаях
ф_<О<ф+. (7.43)
Замечание 7.4. Аналогично, если ф(А) = ф(х; А), то
ф±(х = lim ф(х; А)/А (7.44)
Х->±;оо
в предположении, что пределы равномерны по хе Г. g
7.3.1. Необходимые условия существования решений. Мы до-
кажем следующий результат.
Теорема 7.3. Предположим, что выполняются (7.35), (7.42).
Для того чтобы решение задачи (7.36) или (7.37) существовало,
необходимо, чтобы
J dT < (А 1)< $ ф+ ^Г. (7.45)
Г г
1) Условие на (соотв, на %) становится ненужны^ когда ^ = 4-00
(соотв. когда — со),
72
Замечание 7.5. Естественно, (7.45) эквивалентно условию
:Г|1|>_е(А 1)е|Г|1|э+, 1Г| —мера Г.
Условие (7.45) можно распространить на случай (7.44) в виде
Jt|>_(x)dr<(f, l)^^+(x)dr. (7.45')
Г г
Замечание 7.6. Можно взять f^W вида
(А v) = y.vdx + ^vdr, (7.46)
а г
где А е L2 (й), Л <= L2 (Г) (и даже А е Н~112 (Г)). Тогда
(A i)= y.dx+y.dr. В
я г
Замечание 7.7. В ситуации замечания 2.5 имеем
( 4-со, если Хей;
| 0, если Х^й;
следовательно, ф+ = О, 'Ф- = — °°> и (7.45) сводится к
(А 1)<0. (7.47‘)
Если возьмем (7.46) с А = 0> то получим
$ fo dx 0. в
Й
Доказательство теоремы 7.3. Пусть v — X е R; тогда
j(X)='F(X)-X(A 1)=хГх-х^(Х)аг-(А 1)1
L г J
и J (X) ограничен снизу при Х->±оо, если только выполняется
(7.45). Н
7.3.2. Достаточные условия существования решения. Тео-
рема 7.4. Предположим, что выполняются (7.35), (7.42), а также
условие (строгие неравенства, соответствующие (7.45))
$г|)_сТ<(А 1)<$1МГ, (7-48)
Г г
и что
непрерывна по Липшицу на множестве, где тр (X) =# оо. Тогда
существует решение и задачи (7.36) или (7.37). (7.49)
Доказательство. Для уеНЦЙ) положим
0=| Г Г1 (7.50)
г
g==v — v. (7.51)
Тогда $Sdr = O; применяя (7.39) к и, приходим к неравенству
а (и, б)^₽2йб||2. (7.52)
73
Используя (7.51), получаем
J(v)=±o(v, v) + ^(v + v)-v(f, 1). (7.53)
Мы покажем (этого достаточно для доказательства теоремы)
что
J (и) ->4-сю при || v || -> оо. (7.54)
Проведем доказательство для случая
ф(%) = оо при %<Zh, ф+ >0 конечно; (7.55)
если ф_ и ф+ конечны, доказательство аналогично.
В соответствии с (7.55) ограничимся функциями пеК, где
К определено следующим образом:
/С = {о | v(x)^h почти всюду на Г}. (7.56)
Заметим, что тогда
5^/г. (7.57)
Так как ф непрерывна по Липшицу, то существует константа с
такая, что
ф (5 + v (х)) — ф (у) — с | v (х)|;
следовательно, обозначая через с различные константы, получаем
Чг(у + у)-'Р(э)^-с85||. (7.58)
Из (7.52) и (7.58) заключаем, что
Но, в силу (7.48) име ем
$(ф(у)0)<*Г-(А 1)>0
Г
для достаточно больших иу откуда следует (7.54). Ц
7.3.3. Проблема единственности решения при предположе-
нии (7.48). Мы начнем с того, что приведем контрпример, пока-
зывающий, что решение не обязательно единственно. Действи-
тельно, возьмем гр как в примере 3.2 (рис. 7). Тогда
(ф(у)/й)ЙГ-(А 1) . (7.59)
= ^- = gi- (7.60)
Пусть f задана и
(А 1) = 0; (7.61)
тогда выполняется (7.48). В этом случае существует решение и
задачи Неймана
а(и, — v) VvGEtfJQ), (7.G2)
и все решения задачи (7.62) имеют вид и + с. Поэтому
Au=f, ди/дул = 0 на Г.
74
Предположим, что и ограничена на Г и константы hlt ft2,
участвующие в определении -ф, удовлетворяют неравенству
h1^u(x')^h2, хеГ. (7.63)
Тогда для любой константы с такой, что функция w = u
удовлетворяет неравенству
Лл w (х) =С й2, х е Г,
имеем
a(w, v — w) + Т ;и) — Т (да) За (/, V — да).
Следовательно, задача (7.36) может иметь бесконечное множество
решений, и
Таким образом, единственность решения следует исследовать
в каждом конкретном случае. Дадим
пример единственности. Ф®*'
Предположим, что ф имеет вид /
(рис. 14) /
. (Si^> если ЛоО; /
фХ^*1 2’ ’ 7.64 /
В этом случае (7.60) также выполняется. О Л
Докажем теорему: рис 14
Теорема 7.5. Предположим, что выпол-
няется (7.35) и ф имеет вид (7.64). Предположим также, что
выполняется (7.48)т) и
If, v)=\fovdx, f0<=L*(Q)*).
о
Тогда имеет место единственность решения.
Доказательство3 4). Если и и и* — два возможных реше-
ния (7.36), то, полагая t» = «* (соотв. v = u) в (7.36) (соотв.
в аналогичном неравенстве для «*) и складывая соответствующие
неравенства, получим а (и —и», и — m*)^0; следовательно,
и-и*=с*).
Пусть и и и4-с — два возможных решения. Мы должны пока-
зать, что с = 0. Граничные условия (см. (3.69)) имеют вид
и > 0 => du/dvA+g-2 = 0,
и = 0=э — g2<.du/dvA<z — gi, (7.65)
и < 0 => duldvA -f- gx = 0,
«4-с > 0 => du/dvA+g2 — 0,
«4-с= 0=> — g2<duldvA< — glt (7.66)
и 4- с < 0 => du/dvA 4-g-j = 0.
*) Т. е. | Г | <(/, 1)<&|Г|.
2) Чтобы упростить предположения.
8) Это доказательство можно пропустить.
4) Это верно и в общем случае, т. е. не зависит от вида функции ф,
заданной формулой (7.64),
75
Проверим прежде всего, что следующая альтернатива либо
невозможна, либо приводит к с = 0:
du/dvA + g1 = 0 почти всюду на Г
(или du/dvA-]- g,, = () почти всюду на Г), (7.67)
— ёг < ди/дуА <z — gi на Е cz Г, mes£>>0. (7.68)
Действительно, из Au=f0 и (7.67) при помощи формулы Гри-
на получаем (Д, 1) =$ что невозможно, согласно (7.48);
г
если имеет место (7.68), то в силу (7.65), (7.66) имеем и = и-^с = 0
на Е\ следовательно, с = 0.
Осталось исследовать один из следующих случаев2):
du/dvA — — g1 на Гц те$Г1>0,
du/dvA ——g2 на Г2, тезГ2>»0, (7.69)
Г = Г2 J Г2 (исключая множество меры нуль).
Мы должны показать, что из (7.69) следует с = 0. Согласно
(7.65), (7.66) имеем
«<0, м4-с<0 на Гь и>0, «Н-с>0 на Г2.
Пусть с>0 (для с<0 аналогично); тогда
а<-с на Гц и>0 на Г2. (7.70)
Но в силу (7.69) du/dvA^L2(V), что согласно теории неоднород-
ных граничных задач (см. Лионе, Мадженес [I])2) означает
иеЯЧГ). (7.71)
Теперь мы покажем* * 8), что (7.70), (7.71) влечет с = 0. Пусть
Р — проектор R -> [— с, 0]; если ср е Р (Г), то обозначим через Рф
функцию х-> Р (ф (х)). Отображение Р переводит Нг(Г) в себя
(и является сжимающим). В силу (7.70) имеем
Ри — {—с на Гь 0 на Г2}. (7.72)
Но (7.62) означает, что с = 0, так как Г^Г^Г (исключая
множество меры нуль); действительно, обычные производные пер-
вого порядка от Ри совпадают с производными в смысле распре-
делений на Г (см., например, Дени и Лионе [1]); в силу (7.72)
обычные производные Ри почти всюду равны нулю; следовательно,
Рн = const на Г, и с = 0.
1) Они аналогичны ограничениям области управляющих параметров в тео-
рии оптимального управления (так называемому принципу «бэнг-бэнг»).
8) Мы предполагаем, что Г и коэффициенты ац достаточно гладкие.
з) Это доказательство указано Дени и взято из теории пространств
Дирихле, см, Бёрлинг, Дени [1].
76
7.3.4. Предельные случаи в (7.48) *). В формулировке теоре-
мы 7.5 исследуем теперь случай равенства в (7.48).
Теорема 7.6. Предположим, что выполняется (7.35), ф имеет
вид (7.64) и
(f, 0 = № dx, f0 e L* 2 (Q).
Q
Предположим также, что
(f, 1) = $1МГ
г
(соотв.
(f, 1)=^+</Г
Г
Г I)
(=&|Г|)).
(7.73)
(7-74)
Пусть Wi (соотв. w2) — решение2) задачи
AWi—fo, dwi/dvA + g1 = 0, ^te>1dr = 03) (7.75)
г
(соотв.
Aw2 = f0, dw2/dvA-)-g2 = 0, \w2dr = 0) (7.76)
г
Задача (7.36) (или (7.37)) имеет решение если и только если
Wi (соотв. w2) ограничена сверху (соотв. снизу) на Г. (7.77)
Если (7.77) имеет место, то все решения даются формулой
u — Wi-\-c, (7.78)
где с — произвольная константа такая, что
U)i4-c=c0 (ге»2-(-с^0) на Г. (7.79)
Замечание 7.8. Так как /оеР(Г), и имеем:
Wi^H2(Q,)', следовательно, wt |г е Н3/2 (Г), и можно доказать
(см. Петре [1]), что
®(eL’x(r) (и даже wt^S°(r)), (7.80)
1 3
еСЛИ 2~ 2(^Лу<0’ Т- е‘ П<4'
Следовательно, предположение (7.77) всегда выполнено при
п^СЗ —т. е. во всех случаях, встречающихся в практике.
Доказательство теоремы 7.6. Докажем теорему для
случая (7.73). Если « — решение, то имеем
Д«=/о (7.81)
J) Этот пункт можно пропустить.
2) Wi (соотв. ау2) существует в силу (7.73) (соотв. (7.74)).
3) Это условие определяет однозначно; его можно заменить на любое
другое линейное условие, однозначно определяющее
77
и (см. (7.65)) — g-2^du/dvAs^ — gv Но (7.81) и формула Грина дают
(A l)+J(d«/dv4)dr=O,
г
что вместе с (7.73) приводит к равенству
du/dvA-}-gl = Q почти всюду на Г.
Сравнивая с (7.75), получаем, что необходимо u = u>t + c.
Функция и, в действительности, является решением, если только
(см. (7.65)) wsg;0 на Г, т. е. где с —соответствующая
константа. Отсюда следует результат.
§ 8. Комментарии
Библиография по механике, основы которой мы напомнили
в § 1, дана в тексте.
Задачи об управлении температурой и о полупроницаемых
стенках, сформулированные в § 2, были введены авторами: Дюво
и Лионе [1, 2].
Эволюционные вариационные, неравенства в параболическом
случае были введены в работе Лионса и Стампаккьи [1] в менее
общей форме, чем в § 3 (что необходимо для решения задач,
поставленных в § 2). Мы пытались сделать изложение элементар-
ным, насколько это возможно, как теории, так и (в §5) решения
задач. Относительно других аспектов теории см. Брезис [1, 2]
и Лионе [1].
Содержание § 4 обеспечивает необходимый минимум для пони-
мания этой книги. Мы можем добавить к библиографии, указанной
в тексте, книгу С. Л. Соболева [1] и работу Нечаса [1].
Методы, изложенные в § 6, являются модификацией методов
Огазо [1]. Другие результаты можно найти в работе Шатцмана [1].
Результаты пп. 7.2 и 7.3 подробно приводятся здесь впервые.
По поводу других свойств, связанных с регулярностью реше-
ний, см. Брезис [2\
ГЛАВА II
ЗАДАЧИ ОБ УПРАВЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРОЙ
Для чтения этой главы необходимо предварительно ознако-
миться с §§ 1,5 гл. I.
§ 1. Управление температурой
Мы изучаем температуру сплошной среды, которая занимает
область й. Во всех задачах, рассматриваемых в этом параграфе,
предполагается, что можно управлять температурой, изменяя ее
определенным образом с течением времени.
Будем различать два типа управления, в зависимости от того,
осуществляется ли это управление мгновенно по получении инфор-
мации или с запаздыванием.
1.1. Мгновенное управление.
1.1.1. Управление температурой на границе. Управление осу-
ществляется так, чтобы температура и(х, t) на границе Г обла-
сти Й не понижалась с течением времени (.например, подачей
тепла через стенку). Функция и (х, t) (температура) удовлетворяет
внутри области ЙХ]0, Т[ уравнению теплопроводности
du/dt — &u = f, хеЙ, /е=]0, Т[ (1.1)
или, в общем случае, уравнению
du/dt + Au=f, (1.2)
где
Аф = —(ду(х)ф.Дг, (1.3)
а функции atj удовлетворяют условиям
а(/е£”(Й), а1}=ал Vi, };
Vb eR. ( }
Пусть, кроме того, задана начальная температура
и(х, О) = ыо(х). (1.5)
Наличие и тип управления сказываются на форме граничных
условий.
Приведем два примера.
Пример 1.1 (тонкие стенки). Предположим, что стенка,
ограничивающая область й, имеет бесконечно малую толщину.
7?
Тогда граничные условия выглядят следующим образом:
ди (х, Г) g du(x, t) _ g п
dt dvA ”
хе Г, /saO. (1.6)
ди(х, t)_n du(x, i) _
dt ~ dvA
Пример 1.2 (толстые стенки). В случае стенки конечной
толщины граничные условия имеют вид
ди (х, 0 п ди (*• О _ о
dt ->"=> dvA -и-
хеГ, t^O, (1.7)
ди(х, t) n du(x, t) ,ди(х, t)
dt —-----------dt '
где положительный скаляр k зависит от типа стенки и системы
управления.
Замечание 1.1. В одном из примеров гл. I, п. 2.3, в задаче
об управлении температурой граничные условия были такими:
и > 0 => du/dvA = О,
« = 0=>d«/dvA^0. (1'8)
Отметим, что условия (1.6) и (1.8) не эквивалентны.
Замечание 1.2. Пусть в примере 1.2 &->оо. В § 3 дока-
зывается (см. теорему 3.2), что тогда граничные условия (1.7)
переходят в условия (1.6), а решения uk задач (1.1), (1.5), (1.7)
сходятся (в подходящей топологии) к решению задачи (1.1),
(1.5), (1.6).
Замечание 1.3. Очевидно, как следует ставить граничные
условия, если управление осуществляется так, чтобы температура
на границе не повышалась с течением времени.
Замечание 1.4. Если управление осуществляется лишь на
части Г1 границы Г и Г==Г10Г2, то на Г2 ставится, например,
следующее (классическое) условие:
и(х, t) = 0, хеГ2, (1.9)
а на Г1! —условия (1.6) или (1.7) в зависимости от вида ограни-
чивающей стенки.
1.1.2. Управление температурой внутри области. Управление
осуществляется так, чтобы температура ц(х, t) в области Q не
*) 5cp/3vА (x) cos (п, х(), где п — единичный вектор внешней нормали
к границе Г.
80
понижалась с течением времени (например, введением в Q потока
тепла g). Тогда температура и (х, t) должна подчиняться условиям
^р->0=>£(х, 0=0,
xeQ, /SsO, (1.10)
^A^0=>g(x, 0 = -^^^,
где k>0.
Функция и (х, t) удовлетворяет в этом случае уравнению
du/dt + Au=f+g, (х, 0^Q = Qx]0, Т[, (1.11)
начальному условию (1.5) и, например, такому (классическому)
граничному условию:
и(х, 0 = 9(х, 0. (х, 0е2 = Гх]0, Л, (1.12)
где 9— температура, заданная на £.
1.1.3. Свойства решений. С физической точки зрения очевидно,
что при граничных условиях (1.6) температура и положительна
в Q, если только /5=0 и n03s0. Этот факт (и другие свойства
такого же типа) будет строго доказан в § 4.
1.1.4. Другие типы управления. Существует много других
типов управления. Например, можно следить за тем, чтобы тем-
пература на границе повышалась, но «не очень быстро». Тогда
граничные условия имеют вид
0 < ди (х, f)/dt < 1 => ди (х, f)/dvA — 0,
ди\х, t)/di = 0=5 ди (х, t)/dvA^O, хеГ, /5=0, (1.13)
ди (х, l)/dt = 1 => ди (х, t)/dvА 0.
В § 2 будет приведен общий вид граничных условий, вклю-
чающий все рассмотренные (и другие) случаи.
1.2. Управление с запаздыванием.
Предположим теперь, что механизм управления регулирует
температуру на границе дискретным образом, т. е. в моменты
времени пт, где п — целое число, т — конечный интервал времени.
Если он обеспечивает повышение температуры, то мы приходим
к следующим граничным условиям:
u(x, t) — u(x, t — r)/>0=5-^-(x, 0 = 0, хе Г,
(1Л4)
«(х, t) — u(x, t — х) s^0=i> и^’ = — k[u(x, f) — u(x, t — т)].
Замечание 1.5. В этом случае начальное условие необхо-
димо заменить на обобщенное начальное условие, например,
а(х, t) = u0{x), — т=С/=с0 (или = м0(х, 0)- И (1.15)
Замечание 1.6. Аналогичные условия можно задавать
внутои области Й.
81
§ 2. Вариационная постановка задач об управлении температурой
2.1. Обозначения.
Как и в гл. I, положим
а (и, о) = ау (*)dx. (2.1)
о
Отметим, что
а (и, v) = a(v, и}. (2.2)
Введем, как и в п. 3.1 гл I, функции ф==ф(Х) и функционалы
¥(у) = $ф(уМГ, (2.3)
Г
¥ (у) = J ф (у) dx. (2.4)
Q
2.2. Вариационные неравенства.
2.2.1. Мгновенное управление. Требуется найти функцию
и = и(х, t) (такую, что и' (0 е Я1 (Q))1), удовлетворяющую вариа-
ционному неравенству
(u'(t), v-~u' (t)) + a(u(t), v — u,(t)) + 'V(v) — 'l¥(u'(t))^:
^(f(t), v-u'(t)) Voetfl(Q) (2.5)
и начальному условию
и (0) = u0. (2.6)
Замечание 2.1. В § 3 мы уточним условия, налагаемые на
функцию t-+u(t).
Замечание 2.2. Если функционал ¥ имеет вид (2.4), то
пространство /Р(й) можно заменить на Щ(£1) (см. гл I). Можно
также (например, в задаче из замечания 1.4) заменить Ях(й)
на пространство
V = {v\vt= ЯЧЙ). у(х) = 0 на Гг}. (2.7)
Замечание 2.3. При сравнении вариационных неравенств (2.5)
и (3.14) гл. I видно, что разность v — u(t), входящая в формулу
(3.14), заменена здесь на v — u'(t), а выражение ¥ (у) — ¥ (и (/))
заменено на ¥ (у/— ¥ («' (/)). Ниже, в п. 2.3, приведены примеры.
2.2.2. Управление с запаздыванием. Полагаем
Л1и(0 = [ы(0-«(<-т)]/т. (2.8)
Требуется найти функцию и (такую, что u'(t)^. И1 (£2)), удовлет-
воряющую вариационному неравенству
(«'(/), у — Mu(t)) + a(u(t), у — Л1ы (/)) + ¥ (у) —¥ (Mu(t))^
^(f(t), v~Mu(t)) (2.9)
*) и (0=и (-, 0. «' (0=ди
92
и начальному условию
u(t) = u0(t), (2.10
Для этой задачи возможны модификации, аналогичные указанным
в замечании 2.2.
2.3. Примеры.
2.3.1. Функции ф типа I1). Введем производную Ф(Х) функ-
ции ф(0:
Ф(1) = б(ф(Х)/4Л. (2.11)
Мгновенное управление. Так же, как в п. 3.3.1 гл. I,
можно показать, что вариационное неравенство (2.5) эквивалентно
равенству
(u'(t., v) + a{u{t), 0 + $Ф(Н'(/))у4Г = (/(/). v) Vy<=tfi(Q),
(2.12)
если функционал Т определен формулой (2.3), и равенству
(и' (/), 0+о(и(О, 0 + $Ф(ы' (t))vdx = (f(t), 0 Voe#J(Q),
(2.13)
если функционал Ф определен формулой (2.4). .
Интерпретация (2.12). Действуя в точности так же, как
в п. 3.3.1 гл. I, можно показать, что равенство (2.5) с начальным
условием (2.6) эквивалентно (формально) следующей задаче:
du/dt-\-Au = f в Q = Qx]0, Т[,
ды/^д + Ф(м') = 0 на £ = Гх]0, Т[, (2.14)
и (х, 0) = и0 (х), ХЕЙ.
Интерпретация (2.13). Аналогично, равенство (2.13) экви-
валентно задаче
du/dt + Au+®(du/dt) =f в Q,
и = 0 на S,
и (х, 0) = и0 (х), хе й.
Пример 2.1. Пусть
, m если %<;0,
0М 2
. 0, если Z,^=0.
Тогда граничные условия в задаче (2.14) эквивалентны следующим:
ди/dt Ss 0 ди/дуд = 0,
du/dt 0 => ди/дуд + k ди/dt = 0,
т. е. условиям (1.7).
х) См. определения в § 3 гл. 1,
83
(2.15)
(2.16)
Управление с запаздыванием. Используя метод из
§ 3 гл. I, можно проверить, что вариационное неравенство (2.9)
эквивалентно равенству
(и'(0> v) + a(u(t), v) + ^(Mu(t))vdr =
г
= (/(0, v) (2.17)
если функционал Т определен формулой (2.3)) или равенству
(«'(/), v) + a(u(t), v)+^(Mu(t))vdx —
а
= (f(0, V) УоеЯЦй) (2.18)
(если функционал Т определен формулой (2.4)).
Как и в случае мгновенного управления, полученные равен-
ства можно записать в виде краевых задач. Например, равен-
ство (2.17) эквивалентно следующей задаче:
du_ + Au = f,
di
^-(О+ф(“(<)~“(<~т))=о. (х,
\ T /
U(X, t) — uo(x, t), — Tsg/sgO.
(2.19)
Интерпретация (2.18) аналогична.
2.3.2. Функции ф типа 2. Введем (см. формулу (3.44) гл. I)
производную Ф(Х) функции ф(Х), которая в данном случае может
быть многозначной.
Мгновенное управление. Аналогично п. 2.3.1, можно
показать, что вариационное неравенство (2.5) эквивалентно задаче
^ + Au = f, (х, t)<=Q,
(2.20)
и (х, 0) = «о (х), х Е Q
(если функционал Т определен формулой (2.3)) или
_^>_Лц(/)+/(0еФ х, t)(=Q,
и = 0, (х, /)е2, (2.21)
и (х, 0) = «о (х), х s Q
(если функционал Т определен формулой (2.4)).
84
Пример 2.2. Возьмем ф(Х) как в примере 3.2 гл. I. Тогда
ф(Х) определяется по формуле (3.42) гл. I и граничные условия
имеют вид
— du{t)/dvA = gy, если du(t)/dt
g1^ — du (t)/dvA 0, если ди (t)/dt = hlt
ди (t)/dvA = 0, если < ди (t)/dt < h2, (2.22)
О — ди (t)/dvA g2, если ди (t)/dt = Л2,
— ди (f)/dvA = g2, если
du(t)/dt >h2.
Нетрудно интерпретировать вариационное неравенство (2.5)
в случае у п р а в лен и я с запаздыванием.
2.3.3. Функции ф типа 3. В этом случае введем (как в фор-
муле (3.44) гл. I) множество
К. = {о: v е Н1 (Q), Т (и) < со}.
(2.23)
Тогда вариационное неравенство (2.5) эквивалентно неравенству
и' (0 е К,
(uf(t), v-u' (t))+a(u(t), v-u'(t)) + W(v)-W(u'(t)^
^(f(t), v-u'(t)) Vve=K (2.24)
или (см. п. 3.3.3 гл. I) неравенству
и' (0 «= К,
w'(0> v — u'(t)) + a(u(t), v — и'(Ф + (Х» v — u'(t))^
^(f(t), v-u'(t)) Vv<=K, (2.25)
где x —множество таких элементов, что У (о) — Y (и' (0) — (х, и—
и'(0)5=0 Vo е К и где функционал Т определен, допустим,
формулой (2.3).
Мгновенное управление. Неравенство (2.25) эквива-
лентно следующей задаче:
du/dt + Au = f в Q,
ди (t)/dt е К,
J (ди (t)/dt + х) (v — ди (t)/dt) dT 0 Vo е К,
(2.26)
и (0) = и0.
Пример 2.3. Пусть
Xef/ij, /t2],
/га].
(2.27)
85
Тогда К = {и:/iiна Г} и можно уточнить постановку
задачи (2.26) (см. формулу (3.57) гл. I), а именно:
ди/dt + Au = f в Q,
hx ди (t)/dt /i2,
ди (t)/dt = hx=^du (t)/dvA Sa 0, _
hL<.du(t)/dt <.h2=>du(t)/dvA=0 на S, ' ' ’
du (t)/dt = h2=i> du (t)/dvA 0,
u(x, O) = uo(x), x e Q.
Частный случай 1. При hx—O, И.2 — А~ск> из (2.28)
получаем условия (1.6).
Частный случай 2. При /ix = 0, йа = 1 из (2.28) получаем
условия (1.13).
Управление с запаздыванием. Неравенство (2.25)
эквивалентно следующей задаче:
^- + Au=f, (х,
е (2.29)
j ( и(t)-u (t-ъ + «(t)-u(<-t) jdrQ v»e=/(,
Г
где x удовлетворяет условию
ip (у) _ qr v _ «(()-«(<-T)j 0,
u(t) — u0(t), — x^t^O.
В § 3 мы решим задачу о мгновенном управлении температу-
рой, а в § 4 рассмотрим некоторые свойства решений этой задачи.
Задача об управлении с запаздыванием обсуждается в § 5.
§ 3. Решение задач о мгновенном управлении температурой
3.1. Результаты.
Пусть
У = ЯЧЙ). (3.1)
и форма а (и, v) определена формулой (2.1). Тогда
а (и, v)=a(v, и) V и, v^V, (3.2)
a(v, о)-(-с | о |2а|| и i|2, а>0, c>0J). (3.3)
Пусть функционал Т (о) = $ ф (t>) dV удовлетворяет следующим
г
условиям2):
1) Через | v | обозначена норма функции о в L2(Q), а через || о [—норма
в Я» (Q).
2) Условия (3.4)—(3.6) совпадают с условиями (5.2)—(5.4) гл. I. Условия
(3.7) и (5.5) гл. I несколько отличаются, но это не существенно для прило-
жений.
86
ip (и) — выпуклый функционал из V в R, полунепрерывный
снизу в слабой топологии пространства V. (3.4)
Существует семейство Y/ дифференцируемых функционалов
из V в R таких, что
т т
Vv6=L2(0, Т\ V) (v)dt-+(v)dt, j-+oo-, (3.5)
о о
существует последовательность
ограниченная в V и такая, что Т/(ф;) =0 V/ (или Ф/(<р/) = 0,
если Ф/ = Т/); (3.6)
если vj->v *-слабо в L°°(0, Т; V),
v'i-^v' слабо в L2(0, Т; Н) (H = L2(Q))
т т т
и $ ’F/ (Vj) dt «4 const, то lim inf $ Т/(vJd/Ss jT(t»)d/. (7.3)
о oo
Замечание 3.1. В п. 5.3 гл. I мы показали, что во всех
рассматриваемых примерах перечисленные условия на Т выпол-
няются.
Мы докажем теоремы существования «сильных» решений при
довольно ограничительных условиях на данные / и и0.
Предположим, что
f, f €= L2 (О, Т; Н); (3.8)
и9 задана в V, и Аи0 е L* (й);
можно найти последовательность uoj s V такую, что AuOj <= L2 (й)
и м0у->и0 в V, Auoj-^Auo в Ь2(й), кроме того, Vu0, /(0) 4-
+ Au0J е Н1 (й), дМоу/дУд + Ф/ОЧО) —Лыо/)==0 на Г, и f(0) +
+ Лм0/ ->/ (0) + Аи0 в Н1 (Й). (3.9)
Сформулируем основные результаты.
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (3.1)—(3.9). Тогда
существует, причем единственная, функция и такая, что
u^Lm(0, Т; V), u’<=Lm(0, Т; V), u"t=L2(0, Т; Н), (3.10)
(и' (t), v — и' (t)) + а (и (t), v — u'(/)) + 'If(v) —
— T(«'(/))3s(/(/), о —и'(/)) (для почти всех/) VoeV, (3.11)
ы(0) = «о- (3.12)
Теорема 3.2 (теорема об апроксимации). В условиях теоремы
3.1 пусть Uj —решение задачи
«7е£“(0, T;V), u;eL°°(0, Т; V), и-е L2 (0, Т; Я), (3.10),
(«/(/), V — и] (t)) + a(Uj (t), v — u'/^y + ^jiv) —
v-u'i(t)) VveV, (3.11);
W/(Q) = M/0. (3.12),
87
Тогда для решения и, полученного в теореме 3.1, при j -* со имеем:
Uj-ъ-и, и'/—* и' *-слабо в L°° (О, Т; V), (3.13)
«/->«" слабо в L2(0, Г; V). (3.14)
Замечание 3.2. Так как функционалы Ту дифференцируемы,
то вариационное неравенство (3.11) эквивалентно уравнению
(u'i(t), v) + a(uj(t), ц) + (Ф,(«-(0), u) = (f(/), v) VveV. (3.15)
Замечание 3.3. Теорема 3.2 поясняет и уточняет замеча*
ние 1.2.
Замечание 3.4. Замечания, сделанные в п. 5.4 гл. I, здесь
также справедливы.
3.2. Доказательство единственности решения в теоремах 3.1
(и 3.2).
Мы повторяем с небольшими модификациями доказательство
единственности из п. 5.5 гл. I. Пусть и и м* — два решения
вариационного неравенства (3.11): положим v = «*(7) в (3.11) и
v = u'(t) в аналогичном неравенстве для и*. Складывая получен-
ные неравенства и обозначая w — и —и*, приходим к неравенству
— | w' (t) |2 — a (w (t), w' (/)) 3= 0
или (так как a(u, v) — a(v, и) У и, osV)
\w'(t)\* + ^a(w(t), (3.16)
Примем обозначение
а(ф, <р)=а(<р).
Так как а»(0)=0, то из (3.16) следует
i
a(w (Z))-|-2 J | w' (a) |2 da^O,
о
(8-17)
(3.18)
откуда, в силу условия (3.3) *)
а | (/) ||2 + 2 $ | w' (o) |2dosCc | &y(/)i2 =
о
2 t
= c sg ct^ | w' (a) |2 do. (3.19)
о
о
Следовательно, w(t) — 0 на интервале [О, /0], где /0=2/с.
Интегрируя (3.16) от /0 до /, получаем равенство w(t) — 0 на
интервале [/0. 2/0] и т. д.
3.3. Доказательство теорем 3.1 (и 3.2).
Схема доказательства. 1) Нахождение приближе-
ний Галёркина для уравнения (3.15). 2) Решение уравнения
х) В тех примерах, которые мы приводили, выполняется более сильное,
чем (3.3), условие а (у, у) 0, а тогда доказательство очевидно.
88
(3.15) с начальным условием «/(0)=^ и априорные оценки для
Uj. 3) Доказательство утверждений теорем.
3.3.1. Нахождение приближений Галёркина для уравнения
(3.15). В пространстве V введем базис ..., wm, ...такой, что
Wo/, f(0) — АЩь Ф/ принадлежат пространству,
порожденному элементами wlt w2, ws. (3.20)
Приближения Галёркина um(t) для уравнения (3.15) опреде-
ляются тогда как решения задач
(Um(t), Wk) + a(um(t), wk) + <bt(u'm(t)), wk) =
= (f(t), wk), k=\......m, (3.21)
um (0 (= [te>x, ..., wm] (3.22)
(где [аУ1, .... wm] — пространство, порожденное wt, ..., wm),
um(O)^uo/ (3.23)
(в силу (3.20) такое начальное условие имеет смысл при mSs3).
Априори нелинейная система дифференциальных уравнений
(3.21) может вырождаться, поэтому прежде всего мы должны
определить, что в нашем случае вырождения нет и что задача
(3.21)—(3.23) однозначно определяет ит на интервале [0, tm] (на
самом деле в силу априорных оценок tm = T).
Имеется несколько методов доказательства, один из которых
состоит в аппроксимации (3.21) системой уравнений второго
порядка по t: при в>0 ищется решение ф8я1 (0 = Фе (0 задачи
ф8(0 <=!>!, .... wm], (3.24)
е (фв" (0, wk) 4-(Фе (0» wk) + (Ф/ (Фе (0). Wk) =
= (f(t), wk), А = 1....т, (3.25)
ф8(О) = ыо/, фе(0) = ы1/=/(0)-Ам0/ (3.26)
(в силу (3.20) начальные условия (3.26) имеют смысл при т^З).
Заметим, что (3.21) при / = 0 дает
(Ит(0), ау*)4-(Ф/(Ит(0)), wk) = (/(0), wk) — а (и0/, wk) =
= (/ (0) — Лыо/» wk) — J wk dT
= (f (0) - Au0), wk) + J Ф/ (f (0) - Au0J) wk dr, (3.27)
г
функция «m(0)=f (0) —Аи0/ является решением (3.27) (как урав-
нения относительно и'т(0)).
Докажем единственность. Действительно, пусть <р и ф —два
решения. Вычитая соответствующие уравнения, получим
(Ф —ф, кул)4-(Ф/(ф) — Ф/(ф), wk) = Q,
откуда (так как ф, фе^, ...» о>т])
1Ф-Ф|2 + (Ф/(Ф)-Ф/(Ф). Ф-Ф) = О- (3.28)
89
Функция Фу монотонна, поэтому из (3.28) следует, что ф=ф.
Следовательно,
«т(0) = /(0)-Аыоу, (3.29)
т. е. выполняется второе условие (3.26).
Система дифференциальных уравнений (3.25) невырождена и,
следовательно, задача (3.24)—(3.26) однозначно определяет ф8 на
интервале [0, tm].
Априорная оценка для -фе(1). В силу (3.20) и равен-
ства Фу (фу) = 0 из системы (3.25) выводим
8(Фе(О> Фе(0-ф/) + (Фб(0> ФИО-<₽/)+« (Фе (0. Фе(0“Ф/) +
+ (Ф/ (Фе (0) - Ф/ (ф/)» Фе (0 - фу) = (/(0. Фе (0 ~ Ф/), (3.30)
откуда ввиду МОНОТОННОСТИ Фу
I84 iФе(0 I2 + I Фе(0 I2 + 44 « (Фе(0)<
<8(ФИ0, фу) + (Фе(0. Ф/) + а(Фе(0, Ф/) + (Н0. Фе(О-фу).
Интегрируя по t, получим
4е|фИ()|2-ь1а(ф8(0)+ J | Фе (a) I2
t i
<е(ф;(0, фуЭ-еО/ху, Фу) + $(фе(<0. Ф/)Ф*+$а(ф8(о), ф/И<Н-
о о
+ J (f(<0> Фе(ст)-ф/)^<т + 481«1/12 + 4’а^°^йСТе'11’И0|2 +
о
/ t / / \
+ 4 J |Фе(ст)|2^а+ р(Фе(<0. фуМ<Т-Н1 1 + J |/(о)|Маj1)»
и о \ о /
следовательно,
481Фе(0|2 + а(Фе(0)+ j |ФИ<0|2^<
и
/ t \ t
<c(l-f-J|f(o)|«da +$а(ф8(<0, фу)do. (3.31)
\ О /о
Для упрощения доказательства предположим, что (это огра-
ничение не существенно)
а (о, и) = а (ц) 0. (3.32)
Тогда
а (Фе (с), Фу) у а +У °
*) Через с обозначены различные константы.
90
и ввиду (3.31)
I
~ г | фё (О I2+a (ф8 (0) + j I Фё (<т) I2 do <
с + j I f (о) I2 daj + ~ j а (4>с (о)) d<j. (3.33)
В частности, из (3.33) следует, что
a (M’s (0) < с 4- у j а (ф8 (a)) do,
о
откуда, в силу неравенства Гронуолла,
а (Фе (ОХ с- (3.34)
Тогда из (3.33) получаем оценки
81 'Фе (012 с, (3.35)
т
J I Фе (о) I2do С. (3.36)
о
t
Поэтому решение ф8 (f) = uQf 4- J ф8 (о) do удовлетворяет неравен-
о
ству | ф8 (01 =С с, которое вместе с (3.34) приводит к оценке
№(01<с. (3.37)
Замечание 3.5. Константы с не зависят от г, т и j.
Априорная оценка для ф8 (II). Напомним, что функ-
ция uv выбиралась таким образом, чтобы (3.25) приводило
к равенству
ф8(0) = 0. (3.38)
Для вывода оценок мы дифференцируем по t систему урав-
нений (3.25). (Предполагается, что функция Фу непрерывна по
Липшицу. Однако и в противном случае все рассуждения остаются
справедливыми, но вместо производных следует брать разностные
отношения.) Получим
8(фё , и»л)4-(фв» 0У*)4-а(фё. Wk) 4- ((Фу (ФО)'» “’*) = (/'» wk),
k = l,...,m, (3.39)
откуда
8(фё"» Фё)4"|Фё |24-«(Фё, Фе’) + ((Ф/(Ф0Г» Фв) = (Г» Wk),
k=l,...,m. (3.40)
Но так как Фу монотонна (см. формулу (5.41) гл. 1), то
(ФДфЦОУ, фИ0)^0,
91
и поэтому (3.40) приводит к неравенству
+ + фе’(/)), (3.41)
из которого, принимая во внимание (3.38), получаем
у 4>е (0 I2 + § ! Фе’ (Of) I2 do 4- у а (фе (0) <
о
< 4 fl («v) + J I Г И11 Фе’ (<*) I do. (3.42)
о
В соответствии с (3.9) имеем а(ыу)^с; следовательно, (3.42)
приводит к неравенству
е i ф2 (/) 12 + $ | фе’ (а) 2 do + а (^ (()) < с + \ | f (о) j2 do. (3.43)
о о
Поэтому (здесь константа с также не зависит от е, tn, j)
е|фе(012^с, (3.44)
§ I Фе (о) \2do^c, (3.45)
II Фе (OIKС. (3.46)
Переход к пределу по е. Из полученных априорных
нок и того факта, что из (3.46) следует неравенство
IIФ/ (Фе (0) о, (3.47)
вытекает возможность выбора последовательности (обозначим ее
также через фЕ) такой, что при е->0
Фе-*«т> Фе-*«т *-СЛабо В Л°° (0, Т, V), .
феслабо в Р(0, Т; V); ( '
Ф/(Фе)->% *-слабо в LTO(0, Т; V). (3.49)
В силу (3.44) в (3.25) можно перейти к пределу по е, при
фиксированном k: 8(фе, &>&)-> 0 в L°°(0, Т).
Таким образом, получаем
(Um, Wk) + a(um, &*) + (%, Wk) = {f, Wk), l^k^tn. (3.50)
Так как фе (0) = uoj -> um (0) слабо в V, то um(Q) — uoj.
Таким образом, мы решим задачу (3.21) — (3.23), если пока-
жем, что
Х = ФД«т). (3.51)
92
Для доказательства (3.51) используем монотонность Фу. Пусть
функция <р eL2(0, Т; V) имеет значения в пространстве а>т].
Положим
т
Хе = 5 (Ф/(Фе)-Ф/(ф)> Фе — q)dt. (3.52)
о
Из монотонности Ф/ следует, что X83s0. В силу (3.25) имеем
г т т
Хе = — е$ «, фе)Л- 5 i Фе I2 dt— J а(фе, фе) dt +
о оо
т т т
+ 5 (А Фе)^- 5 (Ф/ (Фе). <P)dt- $ (Ф/(ф), ф;-ф)(/Л (3.53)
оо о
т
Но е$ Сфе,
о
/ т \ т г т
lim sup i Фе (0 ?dt]^ — \ \u'm\2dt, limsup — j a(tf>e, ^)dt =
\ о / о 0
= lim sup [- ~ a (ipe (T)) + у a (uoy)j < - у a (um (T)) + у a (uQJ) =
т
= dt (um, um) dt,
о
откуда
т
0< limsup X8^ —$ [| (0 l2 + a(uw, ^4) —
0
T T
-(Л u'm)]dt- 5 (X’ <p)dt- 5 (ф/(ф), u'rn-^dt. (3.54)
о 0
Но ввиду (3.50)
т т
— j [I u'm (i) I2 + a (um, u'm) - (f, u'm)] dt = $ (%, u'm) dt.
о о
Следовательно, (3.54) дает
т
J (x — Ф/(ф). u'm — <p)dt^o. (3.55)
о
Пусть функция ф е L2 (О, Т; V) имеет значения в простран-
стве [wlt ..., wm]. В неравенстве (3.55) возьмем ф = «т —^ф,
где Х>0, и разделим на X. Тогда
т
о
93
При Х->0 получим
т
5 (х-ф/(м«).
о
и, следовательно, равенство (3.51) доказано.
Заметим, что из оценок (3.37), (3.45), (3.46) следует
т
ll»m(0HII«m(0ll^C, \\Wm(t)?di^C, (3.56)
О
где через с обозначены константы, не зависящие от m и j,
3.3.2. Решение (3.15) и априорные оценки для Uj. В силу
оценок (3.56) из последовательности um = Ujm можно выделить
подпоследовательность и^ такую, что
U"-+uh и'ц-^u'j * — слабо в L°°(0, Т; V),
и^и-, слабо в L2 (0, 7; V); <3'57»
Ф/(«ц)-»-Х/ «-слабо в L°°(0, Т; V). (3.58)
Более того, из оценок (3.56) получаем
8«/(0l+II«/(О К с,
т
5 |м-(012Л^с.
о
(3.59)
Перейдя в (3.21) к пределу с т = р (при фиксированном k),
находим («/, wk) + a(uf, и>к) + (%/, wk) = (f, wk). Это равенство
выполняется для любого k, следовательно,
(и), v) + a(u/t ц) + (х/, v) = (f, v) (3.60)
Но можно доказать (так же, как (3.51)), что
Х/ = Ф/(«/) (3.61)
(введением
т
Кц = $ (Ф/ (и'ц) — Ф/ (<р), Иц —ф)Л^0, где <реР(0, Т; V)).
о
Таким образом, мы построили решение Uj уравнения (3.15)
с начальным условием (3.12); и вывели оценки (3.59). Кроме того
(как следствие второго условия (3.26))
«/(О) = /(О)-ЛМо/. (3.62)
3.3.3. Доказательство утверждений теорем. В силу оценок
(3.59) можно выбрать подпоследовательность (которую мы также
будем обозначать через uj) такую, что будут выполняться утверж-
дения (3.13), (3.14). Так как (3.15) эквивалентно вариационному
неравенству (3.11);, то осталось показать, что и является реше-
нием вариационного неравенства (3.11) (ввиду единственности
решения не обязательно выделять подпоследовательность).
94
Возьмем функцию о = о0 такую, что Y (ц0)<оо. Тогда Ф7(1>0Хс
(так как Т’,-(o0)->'F(v0)), и из (3.11), следует
7
J V, dim С. (3.63)
о
Из условия (3.7) С Vj — u'j, v = u' получим
т т
lim inf Ч*/ (tty(и')dt. (3.64)
о о
Положим в (3.11)/ V — V (/), где чеР(0, Т; V). Тогда
$,(«/, о)+ «(«/, v) + y¥i(v)-(f, v-ity]dt^
о *
т
[|«/|г + а(М/, tty + Wf(ity]dt =
О
т т
= J ||2 Л + ^a(Uj (Т)) - 4 а (uty + J ¥/ («)) dt,
о о
откуда (в силу (3.63))
т
Jj [(u', v)+a(u, и) + (у) — (A v — u')]dt^
о
т т
> | |u'|2d/ + la(M(T))_ 1а(и0)+ j Т(Ы')Л;
следовательно,
т
[(«', V — и) + а(и, ц — w') +'F(о) — Т(и') — (/, v — u')]dt^O
о
yos=L2(0, Т; V). (3.65)
Рассуждая аналогично тому, как в гл. I при выводе вариа-
ционного неравенства (5.7) из (5.59), заключаем, что и является
решением (3.11).
Замечание 3.6. Из (3.62) следует, что решение и из тео-
ремы 3.1 удовлетворяет равенству
и'(0) = f (0) — Лы0> (3.66)
§ 4. Свойство решения задачи о мгновенном управлении
в случае тонких стенок
Рассмотрим задачу (1.1), (1.5), (1.6) из примера 1.1 с функцией
+°°’ если х<0. f4n
0, если (4,1)
95
и функционалом
Т(у)= $ф(ц)с!Г. (4.2)
В силу теоремы 3.1 решение этой задачи существует и един-
ственно (см. пример 2.3, частный случай 1).
Теорема 4.1. Пусть выполнены предположения теоремы 3.1
с (4.1), (4.2) и пусть данные f и и0 удовлетворяют условиям
df/dt^Q почти всюду в Q, (4.3)
/(0) — Лыо^О почти всюду в Q, (4.4)
d«o/dvj = O, х е Q. (4.5)
Тогда решение и задачи (1.1), (1.5), (1.6) удовлетворяет нера-
венству
du/dt 5э0 почти всюду в Q. (4.6)
Доказательство. 1) Положим
ТД%) = | еСЛИ (4.7)
м 0, если Х^О,
Т/(ц)= ^(оМГ, (4.8)
Г
(Ф/ («), V) = $ ф/ («(X)) v (х) dr, (4.9)
Г
где
ф(Х)=р*’ ес™ (4.Ю)
’ ( 0, если XssO. '
Положим в (3.9)
м0/ = «о- (4. П)
Условия теоремы 3.2 удовлетворяются, так как, в частности,
du0/dvA -|- Фу (/ (0) — Аи0) = du0/dvA 0 (так как f (0) — Аий 0).
В силу теоремы 3.2 неравенство (4.6) будет доказано, если
мы покажем, что
dUf/dt^Q почти всюду в Q (4.12)
(этот факт представляет и самостоятельный интерес).
2) Функция Фу непрерывна по Липшицу и поэтому уравне-
ние (3.15) можно дифференцировать по t. Получим
(«/, v)4-a(«;, о)4-((Ф/(«/))', v)=(/', v). (4.13)
Положим в (4.13) о = («/)-; замечая, что («у, («/)")= —
о
•x.(u'j)~dx = — у | и'г (/) |2, а (и'/, и'/-)= —а(и'/~, u'j-), из (4.13)
получим
44у1«;-(012+«(«;-)-((фл«/))'. «;-)+(/'. w=o. <4.i4>
96
Но ввиду (4.9), (4.10) и так как мы интегрируем только лишь
по области, где «/^0, получим
— ((Ф/(«/))'» «/")=
= - $ i («/) dr = / J («/)-) («;)- dr=4 4Д ((«/П* 2 dr,
г г х г
и, следовательно, (4.14) переписывается в виде
| it I и'г (0 12 + «(«/- (0)+ 44Д («/-)2 drW (0, М/Ш=О. (4.15)
\г /
Согласно (4.3) (/'(/), поэтому (так как ы)(0)- = 0
и и', (0) =2^’ f (0) — Аи0/ f (0) — Aiio 5$ 0) равенство (4.15) при-
водит к неравенству
41«/ (О' 12+ ( а (и'г (a)) do + 4 / J и'Г (О2 dr 0, (4.16)
о г
из которого получаем, что м/- = 0. Следовательно, утверждение
(4.12) доказано, и
§ 5. Некоторые результаты для задач об управлении
с запаздыванием1)
5.1. Формулировка теоремы.
Общая задача об управлении с запаздыванием полностью не
решена. Здесь мы приведем лишь частный результат, установлен-
ный при весьма сильных ограничениях на функционал
¥(»)=$ ф (о (х)) dE (5.1)
Г
Предположим, что
функция ф дифференцируема2), и ее производная
ф = б!ф/с!Х непрерывна по Липшицу. (5.2)
Тогда вариационное неравенство (2.9) эквивалентно уравнению
(u\ v) + a(u, г>)+(Ф(Л4м), v)=(f, и) VusV — Z/^Q), (5.3)
где
(Ф(ш), v)— ^<&(w(x))v(x)dr. (5.4)
г
Таким образом, рассматривается задача для нелинейного парабо-
лического уравнения в частных производных с запаздыванием3 4).
Мы докажем следующую теорему:
*) Этот параграф можно пропустить.
2) Следовательно, типа 1 по терминологии п, 3.3 гл. I,
3) См. Артола [1].
4 г. Дюво, ж.-л. Лионе 97
Теорема 5.1. Предположим, что форма а(и, v) (не обяза-
тельно симметричная1)) коэрцитивна в следующем смысле:
а (и, v) + c31 v |2^а| v|j2, а>0. (5.5)
Пусть выполнены условия (5.2). При заданных f и и0 таких, что
f^L^O, Т-, V), (5.6)
«о <= Н1 (Й), (5.7)
существует единственная функция и — решение вариационного нера-
венства (5.3), удовлетворяющая условиям
ue=L*(Q, Т; V), -J-eL2(0, Т\ V), (5.8)
u(/) = u0 при — (5.9)
5.2. Доказательство существования решения в теореме 5.1.
В пространстве V выберем базис wx, wm такой, что при
Ug О
= ы0- (5.10)
Определим um(t) как решение задачи
ит (I) е |>, ..., wm], (5.11)
где [и»х, ..., wm] — пространство, порожденное wlt ..., wm,
(u'm(t), wk) + a(um(t), йу*)+
+(<D(Mum(t)), wk)=(f(t), wk), l^k^m, (5.12)
«т(/)=ио> — (5.13)
Здесь мы имеем дело с системой дифференциальных уравнений
с запаздыванием (см. Веллман и Кук [1], Халанай [1]).
Решение ит задачи (5.11)—(5.13) определяется на интервале
[0, tm}, однако в силу априорных оценок можно положить
tm = T.
Априорные оценки (I). Из (5.12) следует, что
(Um (t), um (t))-^-a (um (t), um (t)) +
+(Ф(М«т(0), um(t))=(f(t), um(t)), (5.14)
откуда
у-J I um (t) |2 + a |«w (t) P - c31 um (t) |2 sS
< II f (0 II* II «rn (0II +1 (Ф (Mum (0), um (t)) |. (5.15)
i) Здесь имеется существенное отличие от результатов из § 3. Вероятно
(но это не доказано), задачи из § 3, вообще говоря, плохо поставлены, если
форма a (w, и) (или по крайней мере ее «главная часть») не симметрична.
По-видимому, невозможно вывести результаты § 3 из теоремы 5.1 предельным
переходом при т -> 0. Более того, нам не удалось осуществить этот предельный
переход по т даже в случае симметричной формы a (ut у).
98
Но согласно условию (5.2) выполняется оценка | Ф (А) | ^Ci | Л| + <?2,
поэтому
|(Ф(Мыт(0),
=sST-1$(Ci|um (t) I4-C1I ит (/-T)|+c2)|wm(0|dr<
Г
Cl (Т) 51 ит (0 I2 dr + сь (х) $I ит (t - х) ,2 dr, (5.16)
г г
где константы с4(т), с5(х) зависят от х.
Справедливо следующее утверждение (см., например, Дени
и Лионе [1]): для любого 8>0 найдется се такое, что
| v |2 dr <е j v J2+се | v |» Voetf^Q). (5.17)
г
Применяя это неравенство к (5.16), получим
| (Ф (Мит (t)), ит (0) I (I«и(ОII2 +
+1 ит (t - х) I2) + сй (х) (| ит (t) |2 +1 ит (i - т) |2). (5.18)
Если в правой части (5.15) воспользоваться неравенством
1/(0 l« II ит (01 4 а 1 ит (01,2 + 4а.-1 |/(0 Ц,
ТО
4^|«от(0|2 + уВЫт(082-Сз|«т(0|2<
4|/(ФС+7М- 1ОВ2+МП(1М0124-|«т(*-Т)|2). (5.19)
Интегрируя (5.19) от 0 до 0 получим
у I ит (0 I2 + у J II «т (°) й2
о
t t
(т) $ | Um (a) I2 da+ce (т) $ | ит (t -т) |2 dr-f-
о о
t t
+ т h«m(G + r)B2do+4 ( И (а) е do + у II «т (OH2. (5.20)
/t Л V &
Кроме того,
i т t
-x)B2do = T|«o||+ J J un (ст) I2 da < г II u0 J2 + JII um (ст) Ij2 do.
0 0 0
4*
99
(Аналогичное неравенство имеется и для нормы в Н.) В резуль-
тате (5.20) дает
4|«т(012 + т
о
t I
+ i S ll/W^+M*) J Ium(<j)I2do. (5.21)
0 0
В частности,
i t
+ J lf(<r)|.ad<j+ce(T) J Iит(о)I2do,
о 0
откуда, используя неравенство Гронуолла, заключаем, что
l»m(OI<C(T), (5.22)
где константа с зависит от т, но не зависит от т. Последнее
неравенство вместе с (5.21) приводит к оценке
г
$|«да(0РЛ<с(т). (5.23)
о
Априорные оценки (II). Используя преобразование Фурье
(см. Лионе [1], п. 1.6.5), мы получим оценки для дробных про-
изводных по t решений ит. Из (5.12) следует, что
(limit), wk)=(lm(t), wk). (5.24)
Согласно оценке (5.23)
т
$ Um(0li:^<c(T). (5.25)
о
Продолжим функции ит, вне ]0, Л нулем и полученное про-
должение обозначим через йт, Тогда
(йт (t), wk)=(lm (t), Wk)+(UQ, wk) 6 (f)—(um (T), wk) 6 (t - T). (5.26)
Применим к этому равенству преобразование Фурье. Получим
2nis(um(s), wk) = (im(s), wk)+(u0, wk)—(um(T), wk)exp (— 2nisT),
(5.27)
где
л + ®°
<p (s) = J exp (— 2nits) ф (/) dt.
— 00
Тогда
2nis | йт (s) i2 = (|m (s), йт (s)) +
($)) (Um (y)> ^m(s))e~2nisT, (5.28)
100
откуда формально получаем (₽ > 0 пока произвольное)
J Гн7]₽|йт(5)|2сйаС
— 00
4-00 4-00
7—r^ll^(s)IUII^ffl(s)Ms + c f —l_[4m(s)|ds (5.29)
(здесь константы с зависят от т). Однако (5.23) и (5.24) дают
неравенство
+°° Л
J В Вт ($) II* II &т (з) | ds С,
— 00
в силу которого (5.29) приводит к
4-оо /+°° \ 1/2 /4-оо \ 1/2
( —L^L|fim(s)i®rfs<c4-<; { --------^-т-1 ( |/2m(s)|Ms I ^с
J 1 + lslP1 v 1 ~ \J (i + |sl₽)2/ \J 1 v' /
— OO 1 1 '—oo 11 1 / '—00 *
(если p> 1/2). Следовательно,
4-00
J |s|',|Mm(s) \2ds^c при 0<у<1/2. (5.30)
— 00
Переход к пределу. В силу оценок (5.23), (5.30) и тео-
ремы 5.2 из монографии Лионса [1] (гл. I) можно выбрать после-
довательность такую, что при р->0
*-слабо в L°°(0, Т; L2(Q)),
ии->м слабо в L2(0, Г; НЦСЗ)), (&,д1)
иц-*-и сильно в L2(0, Т; НР(Й)), (5.32)
где р — фиксированное, 1/2<р<1.
Таким образом, так как отображение след №(&)-> А2 (Г)
линейно и непрерывно (см. Лионе и Мадженес [1], гл. I), то
нм->« сильно в L2(2), (5.33)
откуда
Ф (Ммц) -> Ф (Ми) сильно в L2 (S). (5.34)
Теперь, полагая m = ii и фиксируя k (^ц), можно перейти
к пределу в (5.12). Тогда
^(«(0. Wk) + a(u(f), wk) + (<I)(Mu(t)), wk) = (f(t), wk),
и, так как это равенство выполняется для всех k, то и удовлет-
воряет равенству (5.3). Так как условия (5.8), (5.9), очевидно,
выполняются, то существование решения доказано.
101
5.3. Доказательство единственности решения в теореме 5.1.
Пусть и и и*-два решения. Полагая ы = и — имеем
(w', v) + a(a>, и) + (Ф(Ми)-Ф(Ми*), v) = 0 Vv,
откуда
^^\w(t)\1 2+a(w(t), &(1))-Ь-(Ф(Ми) — Ф(Ми*), w(t)) = 0. (5.35)
Так как функция Ф непрерывна по Липшицу, то
| (Ф (Ми) — Ф (Ми*), w (I)) | J | w (t) — rn (t — т) || w (t) | dT
г
^4ав£г'(/)ва + таВ“’(<-Т)В2 + с|®(0|!! + с!да(/-т)|2.
Поэтому из (5.36) следует:
с | w (I) |2 -f- а || и> (t — т) [2 4- с | w (t — т) |2. (5.36)
Интегрируем (5.36) по t от 0 до t. Тогда
t t
J|№(a-T)|2d<T<J|tt,(o)i2dor
о о
(аналогичное неравенство выполняется и для нормы | (). Отсюда
выводится неравенство
1 if /
У |^(0 Р +у a J |о» (<J)^da^c I \w(<j)pd<j,
О о
из которого следует, что и> = 0.
§ 6. Комментарии
Задачи, рассмотренные в этой главе, были введены авторами
в работе Дюво и Лионе [2]. Детали доказательств приведены
впервые. Другими методами такие задачи изучал Брезис [2].
Как отмечалось в тексте, результаты § 5 весьма неполны.
Относительно других результатов и соответствующих моделей
см. Вио [1].
ГЛАВА III
КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ С ТРЕНИЕМ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ВЯЗКО-УПРУГОСТИ
Читателю этой главы мы рекомендуем ознакомиться сначала
с § 1 и § 4 гл. I.
§ 1. Введение
В этой главе мы рассматриваем некоторые задачи, возникаю*
щие в теории упругости и вязко-упругости. Напомним, что
в вязко-упругом случае (в отличие от упругого) напряженное
состояние зависит от деформаций, имевших место в прошлом.
Первые параграфы (§§ 2 — 4) этой главы посвящены довольно
подробному изучению классических задач (включая доказательство
неравенства Корна, которое будет нашим основным инструмен-
том); однако основная наша цель — исследование задач нового
типа, включающих неравенства, а именно, задач с условиями
трения на границе. Это составляет содержание пятого и после-
дующих параграфов.
§ 2. Классическая линейная упругость
2.1. Уравнение состояния.
В линейной теории, с которой мы начнем, уравнение
состояния — линейное соотношение между тензором напряжений
оу и линеаризованным тензором деформаций 8у(м):
Оу = aijvfikh. (и), (2.1)
где aijkh —коэффициенты упругости. Коэффициенты упругости
обладают свойствами симметрии:
aijkh = tylkh = akhl] (2-2)
и эллиптичности:
aykh^kh^^ifiib ai>0» Vey. (2.3)
Уравнение (2.1) соответствует анизотропному случаю.
Для неоднородной среды коэффициенты упругости — функции
от х, однако и тогда приведенные ниже рассуждения остаются
справедливыми, если только ацьь измеримы и ограничены по х
(для регулярности решений необходимо требовать дифференци-
руемости по х).
юз
При указанных выше предположениях относительно ауАА
можно «обратить» (2.1):
eZ/ (u) == ^ijkh^khi (2-4)
где Aijkh = &khij = Ajikh^ (2.5)
Aijkhaijakh^^2aiJaiji VO/;. (2-6)
Полагая a = min (ai,a2)> (2.7)
заменим соотношения (2.3), (2.6) следующими:
dijkh^ij^kh a >> 0, (2.8)
Aykh^ij^kh^^ij^lj* И
Изотропный случай (см. Жермен [1], Прагер [1]).
В этом случае коэффициенты ауАА имеют вид
йуАА = ^6убАА 4- р (б;АбуА+6iA6yA), (2.9)
где скаляры Л и р —коэффициенты Ламэ. Тогда (2.1) переходит
в уравнение
Оу = ХеААбу Ц- 2реу, (2.Ю)
откуда
оАА = (3%+2р)ем, (2.Ц)
так что соотношения, обратные к (2.10), принимают вид
1 1
= ЩГ ~ ЗХ+2р • <2-12)
Выразим коэффициенты в (2.12) через известные физические пара-
метры. Имеем:
3/С = ЗХ-}-2ц, £- = |1(зх44-12р)’ V=°2(X + р)’ <2,13)
где К — модуль всестороннего сжатия, Е — модуль Юнга, v — коэф-
фициент Пуассона.
Соотношения (2.12), выраженные через v и Е, имеют вид
8у = - Оу — о,АА6у. (2.14)
Замечание 2.1. По своему физическому смыслу и Д’, и р
(модуль сдвига; неотрицательны: К. 0, р 0, поэтому оуву 2s 0,
так как ©у и еу связаны уравнением состояния.
В анизотропном случае это означает, что
а</8«/ = ЛуААОуОАА — aijkifiifikh 5s 0.
На практике обычно выполняются более сильные неравенства (2.8),
но они не допускают столь ясной физической интерпретации.
104
Замечание 2.2. Нелинейная упругость. Нелиней-
ную1) теорию упругости можно развивать по двум следующим на-
правлениям:
1) Уравнение состояния —линейное соотношение между тензо-
ром напряжений и нелинейным тензором деформаций (см. п. 1.3
гл. I). Тогда при некоторых предположениях получаются среды
гармонического типа (см. Джон [1,2]) или среды Муни [1].
2) Уравнение состояния задает нелинейное соотношение между
тензором напряжений и линеаризованным тензором деформаций
(см. Динка [1]).
Нет сомнения в том, что методы решения некоторых задач
из пятого и последующих параграфов можно применять и в этих
случаях, но это утверждение требует дальнейшего уточнения.
2.2. Классические задачи теории линейной упругости.
2.2.1. Линеаризация уравнения сохранения массы и уравнения
движения. Пусть Q — открытое множество в R3, занятое упругим
телом в недеформированном состоянии. Предположим, что гра-
ница Г области Q регулярна. Обозначим через {xt} координаты
материальной частицы, находящейся в области Q в недеформи-
рованном состоянии (при t = 0) и пусть Xt — координаты той же
частицы в момент времени t. Имеем
Xi = xi-3rUi(x, t),
(2.15)
где {и(} —вектор перемещения частицы х = {хД. Предполагая, что
перемещения малы, проведем линеаризацию относительно иь Тогда
для каждой функции (£, /)->-/(£, 0, регулярной при и
| е R8, имеем
f(Xb t)=f(xt, 0+Д(Х<, п|х_, X «,+ ..., (2.16)
df(Xb t)_df\xb t) 2 17
dXi ~ dxt +•••» И-17)
где многоточие заменяет члены, имеющие по ut порядок, более
высокий, чем порядок первого члена.
Мы запишем уравнение сохранения массы (п. 1.2 гл. I) в виде
dp/dt+pdvt(X, t)/dXi = O. (2.18)
После линеаризации (по мг) получим
dp(x, t)/dt-{-p(x, t)dVi(x, t)/dxi — Q. (2.19)
При фиксированном х имеем
dp/p + Vi, idt = O
J) Следует особо отметить, что задачи, изучаемые в начале § 5, нелинейны,
хотя ставятся для сред с линейным уравнением состояния,
105
или, после интегрирования по [0, /],
t
In (р (х, 0/Р (х, 0)) + Vi, ((х, т) dx = 0.
о
Так как щ (х, I) малы, то естественно предположить, что вели-
чины vit t—d^Uifdxidt также малы, и, следовательно, предыдущее
соотношение означает, что с точностью до членов первого порядка
i
р (х, о = р0 (х) [ 1 — § vt> i (х, T)dT], (2.20)
о
где р0(х) = р(х, 0).
Член руг в уравнениях движения после линеаризации примет
вид pod* 2utldt2, и уравнения движения примут вид:
Po(*)(Sr) = <ty./+fi- (2.21)
В дальнейшем мы сделаем предположение р0 = 1, считая,
таким образом, что в недеформированном состоянии материал
имеет постоянную плотность. Все дальнейшее может быть пере-
несено без особых затруднений на случай, когда р0 (х) — измеримая
ограниченная функция такова, что ро(х)^ро>О (с заменой ска-
лярного произведения \fgdx на эквивалентное ему скалярное
о
произведение J P0(x)fgdx).
о
Итак, уравнения линейной упругости имеют вид
d^Uildfi^Oi/j+fi в Йх]0, Т[, (2.22)
аЧ — O-ijkifikh (и), (2.23)
где плотность после деформации . задается формулой (2.20)
(с p0(x)=sl), а вектор/ = {/7} представляет собой объемную
плотность заданных сил.
2 2.2. Граничные условия1). Предположим, что на части Гу
границы Г заданы перемещения, а на оставшейся части Гр гра-
ницы заданы поверхностные силы. Предположим, что Гу и Гр
не зависят от времени2). Тогда
Г = ГуиГЛ ГуП1>=0, (2.24)
Ui^Ui на Гу, где {(/Д— векторное поле, заданное на Гу и,
возможно, зависящее от времени. (2.25)
o^rij^Fi на Гр,
{FJ — поверхностная плотность сил, заданная на Гр и, возможно,
зависящая от времени. (2.26)
*) Мы видоизменим эти граничные условия, когда введем трение.
2) Отказавшись от этих предположений, приходим к очень интересным, но
открытым вопросам,
106
Замечание 2.3. Одно из множеств Гу или Г/? может быть
пустым.
Замечание 2.4. Граничные условия (2.25) и (2.26) можно
обобщить так, что при этом не возникнет новых принципиальных
трудностей: можно предположить, что в каждой точке Г задана
компонента перемещения (соотв. плотности приложенной силы)
в одном направлении и компоненты плотности приложенной силы
(соотв. перемещения) в плоскости, перпендикулярной этому нап-
равлению.
2.2.3. Выводы. Подводя итог сказанному выше, сформулируем
задачу: требуется найти функции и и Оу, удовлетворяющие урав-
нениям (2.22), (2.23) с граничными условиями (2.25), (2.26), к кото-
рым естественно добавить начальные условия
ut{x, O) = uoi(x), dut(x, O)/dt = ии(х). (2.27)
В стационарном случае (он обсуждается в § 3) мы полагаем
в (2.22) д2цг/д/2 = 0, и тогда условия (2.27), очевидно, теряют
смысл.
Приведем теперь вариационную постановку эволюционной
задачи
2.3. Вариационная постановка эволюционной задачи.
2.3.1. Формула Грина. В качестве дифференциальной системы А
возьмем систему упругости
(Au)t =* — ^f 'allk}fikh (и)). (2.28)
Введем скалярное произведение вектор-функций
(A g) = $ figid* Для A g е (Ь2 (Й))3>
а
а для векторов и и v положим
а (и, v) = \ai/kkeM(u)e.if(v)dx. (2.29)
Q
Тогда для оу и и, связанных соотношением (2.1), имеем
(Лы)г = — av,f,
а (и, v) = $ Суву (о) dx = J Оу (dvildxj) dx = — \ <jth jVtdxA-
fl Q Л
+ $(Оу/17) МГ.
г
Отсюда получаем формулу Грина:
(Au, v)—a(u, о) — (оуПу)V/dr.
г
(оу и и связаны соотношением (2.1)). (2.30)
107
Замечание 2.5. В дальнейшем мы будем пользоваться сле-
дующими (классическими) обозначениями:
аЛг = оуп/п/, ат-=={ст/г}, о{Т = Oynj - aNnt, (2.31)
vN = vtnt, vr = v — nvN, n = {«/}. (2.32)
Тогда (oljn/)vt = 0TV+a^vN = CrVr + oNVN, откуда, подставляя
в (2.30), получим
(Au, v) = a(u, и) — (огог+о№лт) ^Г. (2.33)
г
Замечание 2.6. Из (2.2), (2.8) следует, что
а (и, v) = a(v, и) Vu, v, (2.34)
a(v, v)^a\&y(v)e.tf(v)dx. (2.35)
г
2.3.2. Вариационная постановка. В обозначениях предыдущего
пункта (2.22) принимает вид
d^u/dt^A-Au — f в Q = Qx]0, И1), (2.36)
с граничными условиями (2.25), (2.26) и начальными условиями,
которые в обозначениях, использовавшихся в предыдущих гла-
вах, записываются в виде (и (t) — функция х-*-и(х, t), и'(t) =
= du(t)ldt)
и(О) = ио, (2.37)
и'(0) = «1- (2.38)
Умножая скалярно (2.36) на v — u(t), где V —пробная функ-
ция, такая, что
Vi = Ui на Гу2), (2.39)
получим (равенство, эквивалентное (2.36))
(u"(t), v-u(t)) + (Au(t), v-u(t)) = (f(t), v-u(t)). (2.40)
Конечно, как всегда, на первом этапе перехода к слабой поста-
новке предполагается, что все функции регулярны, так что
интегрирование по частям допустимо.
Используя (2.30), получим (так как и = и на Гу):
(Au(t), v — u(t)) = a(u(t), v — u(t)) — J (ауП/) (v{ — ut (t))dT,
rP
откуда, если принять во внимание (2.36), следует, что
(Аи (0, v - и (t)) = a(u (t), v — u (0) - J F (0 (v - и (t)) dr. (2.41)
rF
1) T произвольно, но фиксированно. Можно устремить Т к +оо.
2) Впоследствии станет ясно, почему берется скалярное произведение
CD-и, Заметим, что и принадлежит аффинному пространству.
108
Поэтому (2.40) приводит к равенству
(«"(/)> v-u(t))+a(u(t), v — u(t)) —
v-u(t))+\F(t)(v-u(f))dT yv (2.42)
rF
с условием (2.39).
Обратно, если и — u(t) — (регулярная) функция, удовлетворя-
ющая (2.25), (2.37), (2.38), (2.42), то и является решением иссле-
дуемой задачи (достаточно «обратить» рассуждения).
План дальнейшего изложения. Ниже (в § 4) мы
решим эту задачу в соответствующем смысле. Перед этим, в § 3,
исследуем стационарный случай, который важен сам по себе и,
кроме того, обусловливает введение основных методов решения
эволюционных задач.
§ 3. Статические задачи
3.1. Классическая постановка.
Используя обозначения § 2, сформулируем задачу в статичес-
ком случае:
Au = f в Q, (3.1)
Ui — Ut на Гу, (3.2)
OtjUj—Fi на Г/?. (3.3)
3.2. Вариационная постановка.
Формально (см. п. 2.3.2) задача (3.1) —(3.3) эквивалентна
следующей:
Найти и, удовлетворяющую условию (3.2) и равенству
а (и, v — u) = (f, v — u)+\F(v — u)dT (3.4)
rF
для каждой функции v такой, что
Vi — Ui на Гу. (3.5)
Интерпретация. Вектор-функцию о = {г>/}, удовлетворя-
ющую (3.5), называют кинематически допустимой (сокращенно
к. м. д.). Тогда и является к. м. д. вектор-функцией, удовлетво-
ряющей (3.4) для всех к. м. д. вектор-функций v.
Иначе: и — к. м. д. вектор-функция, которая минимизирует
на множестве всех к. м. д. вектор-функций потенциальную энергию,
задаваемую формулой
I(v) — ^a(v, v) — (f, v)— \Fvd£. (3.6)
rF
Это, естественно, требует уточнения. Положим ’)
V = {y|v = {V/}, у, е Я1 (Q)} == (Я1 (Q))3. (3.7)
1) Здесь мы используем результаты § 4 гл, I,
109
Относительно скалярного произведения
(и, v) == (щ, vz)h.(Q) = $ (UiVi + UijVi^dx (3.8)
о
пространство V является гильбертовым. Для вектор-функции
у е V можно определить след функций vt на границе Г; при
этом v{ е Я1/2(Г). Введем множество
#доп = {у|у<= V, vt = Ui на Гц}, (3.9)
что имеет смысл (т. е. множество й<доп непусто) при
1/(еЯ^(Г) V/. (3.10)
Тогда #доп будет замкнутым линейным аффинным подмногообра-
зием пространства V. Более того, для v е #доп можно опреде-
лить след Vi на Г/?. Тогда vt принадлежат, в частности, Н1/2(Гр),
но заполняют не все Я1/2(Гр); vt должны удовлетворять усло-
виям согласования на поверхности, отделяющей Г> от Гц.
Эти условия согласования технически сложны (см., например,
Лионе и Мадженес [1], т. I, гл. 1, 2); чтобы избежать этих
трудностей (технического порядка), предположим, что
Fe=(L*(I»)3; (3.11)
тогда функционал непрерывен на V, и статическую
гл
задачу можно сформулировать следующим образом.
Задача 3.1. Минимизировать на множестве 21ЛОП функционал
потенциальной энергии, или, что то же самое, найти и ® #доп
такую, что выполняется (3.4) Vo е #доп.
Основная проблема теперь —это коэрцитивность a(v, v). Мы
разрешим ее, основываясь на неравенстве Корна, которое будет
рассмотрено в следующем пункте.
3.3. Неравенство Корна и его следствия.
Теорема 3.1. Пусть Q — открытое ограниченное множество
с регулярной границей Ч. Существует константа с > 0 (зависящая
от Q) такая, что
\el,(v)slj(v)dx+\vivtdx^c’livliv Vv<=V. (3.12)
е о
Этот результат не тривиален: действительно, левая часть (3.12)
содержит лишь некоторые комбинации первых производных,
а именно vit / + ty, /, в то время как правая часть (3.12) содержит
все первые производные. Очевидно, что выполняется обращение
1) Вообще говоря, результат верен, когда й — открытое множество, не обяза-
тельно ограниченное, но с границей, которую можно покрыть конечным, числом
карт так, чтобы функции, задающие эти карты, были непрерывно дифферен-
цируемы и ограничены по обоим направлениям. Этот случай открытого множе-
ства с регулярной границей, которая либо ограничена, либо «регулярно выхо-
дит на бесконечность».
НО
этого неравенства, так что (3.12) эквивалентно утверждению:
/ еу (у) е;у (у) dx + § vtvt dx\l/2 — норма, эквивалентная || v ||v. (3.13)
\ о а /
Теорема 3.1 есть (как мы увидим) простое следствие следую-
щей теоремы:
Теорема 3.2. Пусть Й — открытое ограниченное множество
с регулярной границейх). Пусть v — распределение на й такое, что
идЕН-ЧЙ) Vi. (3.14)
Тогда
иеР(Й). (3.15)
Доказательство того, что из теоремы 3.2 следует теорема
3.1. Пусть Е — пространство вектор-функций v s (L2 (Й))3 таких,
что еу (u) е L2 (й) Vi,/. Е является гильбертовым пространст-
вом относительно нормы
/ $ е,7 (у) (у) dx + J У/У/ dx\1/2.
\а а /
Имеем
eik (у) + (у) - 8М (у). (3.16)
Если у е Е, то (у) s L2 (й) и д&у (v)/dxk <= Я-1 (й), следова-
тельно, (3.16) дает
d2vt/dxj дхк е Н'1 (Й) Vi, /, k. (3.17)
Применяя теорему 3.2 к yZift, из (3.17) получаем 1’(деР(й)
Vi, k, откуда у е (Н1 (й))3. Итак, имеем алгебраическое равенство
£' = (ЯХ(Й))3. Так как вложение (Hl(Q))3-+E непрерывно и, как
мы видели, сюръективно, то (по теореме о замкнутом графике)
оно является изоморфизмом, отсюда следует (3.12).
Замечание 3.1. Рассуждение, аналогичное приведенному
доказательству, показывает, что из теоремы 3.2 следует сущест-
вование константы Ci такой, что
Ркча) У! (3.18)
\ / = 1 /
откуда снова можно вывести (3.12).
Доказательство теоремы 3.2. Для доказательства вве-
дем пространство
Х(Й) = {у|у е=Я-х(Й), VjsH-'fQ) V/}. (3.19)
которое является гильбертовым относительно нормы
/ п \1/2\
|М!я-*(О)+ 2 ® и-И1я-‘(Й)1 )•
\ х-1 / /
1) См, сноску к теореме 3.1,
Ш
Нужно показать, что
Х(Й) = £2 * *(Й). (3.20)
Доказательство проводится в несколько этапов.
1) Соотношение (3.20) верно для Q = R31). Действительно,
используя преобразование Фурье (см. § 4, гл. I), получим, что
предположение (3.14) эквивалентно следующему:
(1 +1 е |2)|/2 и е= L2 (R8), (l+|g l2),/2 I/O е L2 (R8).
Следовательно,
(п \
1 +
<=1 /
2) Достаточно доказать (3.20) для полупространства
й = {х|х3>0}. (3.21)
Действительно, пусть функции осо» • • •» aN таковы, что
_ N
аое^(Й), а,е=<^(Й), t = l, ...» AT; 2а«=1>
г=о
носитель а/ лежит в области определения локальной карты,
определяющей Г2). (3.22)
В общем случае, если q>e^(Q), то отображает X (й)
в X (Й). Имеем
N
v — У, atv Vv<=X (й), (3.23)
1 = 0
но аоп можно считать элементом X (R8) (продолжая нулем вне й),
поэтому а0уеЛ2(Й) согласно 1). Ввиду (3.23) достаточно дока-
зать, что atv <= L2 (й). Но носитель atv лежит в образе локаль-
ной карты; следовательно, можно рассмотреть образ ар в полу-
пространстве (3.21), если предположить, что Г — дифференцируе-
мое многообразие размерности п — 1. Образ afo принадлежит
пространству X (Й), где й определено в (3.21). Отсюда следует 2).
Таким образом, можно предположить, что й имеет вид (3.21).
3) Введем пространство Ш(0, оо; L2(R2)) = {<p|<p, dtp/dx3e
gL2(0, оо; L2(R2)), <p(xz, 0) = 0}, где х' = {хъ х2}, пространство
AZ-1 (0, оо; £2(R2)) —двойственное к Д6(0, оо; L2(R2)) (если
L2(R2) отождествить с двойственным), и
У(Й) = {1ф, dv/dx^H-1^, оо; L2(R2))}. (3.24)
Имеем У (Й) cz X (Й), или, более точно,
У (й) плотно в X (й). (3.25)
Действительно, пусть рт —регуляризирующая последовательность
х) Естественно, тот факт, что размерность равна 3, здесь несуществен.
2) Если Г не ограничено, то носители некоторых az- не компактны, однако
эти носители лежат в области определения карт таких, что при отображении
образ носителя лежит в полупространстве (3,21).
112
для ^r(R|-)1): для vsX(Q) определим распределение
Vm~V(X')*pm (3.26)
(для распределения f на (0, оо) со значениями в L2 (RI-) и линей-
ного непрерывного оператора п из L2(R|<) в себя определим nf
как распределение на (0, оо) со значениями в L2 (R*-)); формально
Vm (X) = V (Х' ~ У'’ Хз) Pm (/) dy', у' = {t/x, Z/2}.
R®
Тогда при m->oo имеем vm^-v в X (й). В частности, vm при-
надлежат Y (й) (действительно, vm и dvm!dx3 содержатся в Я-1 (О,
оо; Я*(К2))_ V*).
4) &(Q) плотно в X (й). Ввиду (3.25) достаточно доказать, что
& (Q) плотно в Y (Й). (3.27)
Для этого используем теорему Хана —Банаха. Пусть v-^Mv —
линейная форма, непрерывная на Y (й) и имеющая вид
М(v) = J [(f,o) + (g, dv/dx3)~dx3, f, g(=Hl>(0, oo; L2 (RiO). (3.28)
4
Предположим, что Л4(и) = 0 Уое^(О). Нужно доказать, что
Л4=0. Но если ^(^ — продолжения fug (нулем) в полупло-
скость х3<0, то условие
Л4(п) = 0 У»е>(Й)
эквивалентно условию
f-d»/dx3 = O, (3.29)
и, следовательно,
dg/dx3 е Я1 (—оо, 4-оо; L2 (R1-)),
откуда
£<=Я8(0, оо; L2(R10). (3.30)
Но тогда
00 оо
$ (Я» dv/dx3)dx3 ——J (dg/dx3, v)dx3 УпеУ(й)
о о
и, следовательно, 44(v) = 0 Vu е Y (Й).
5) Для » е (й) положим теперь
где
Pv (х) =
v (х), если х8 > 0;
oxv(x', — x3)4-a2v(x', — 2х3),
если х3^0,
01 + 02= 1,
О!-|-о2/2 = —1 =>ох = — 3, а2 = 4.
(3.31)
(3.32)
*) Рт — последовательность функций ^0 из ^"(R2), jpm (*') dx1— 1,
носитель содержится в шаре с центром в начале координат, радиуса ет,
еот->0 при т->оо,
ИЗ
Ниже мы покажем, что
v-*-Pv непрерывно на в топологии,
индуцированной X (Q)->-X (R3). (3.33)
Считая это доказанным, видим, что (согласно 4)) можно про-
должить отображение v->Pv до линейного отображения X(Q)->
->X(R3) такого, что
Pv в сужении на Q совпадает с v. (3.34)
Тогда для aeX(Q), PoeX(R3), из 1) следует, что Рое
s£2(R3), поэтому, согласно (3.34),
аеР (Q).
Осталось доказать (3.33). Так как а1+аа=1, то
K.Pv-
' до/дх3, х3 > О»
~Л'з)-2й2^« -2х3), х3<0.
Полагая dv/dx3 = w, введем
( w, х3>0,
(—^(х', — х3)~ 2a2w(x', — 2х3),
х3<0.
(3.35)
Итак, требуется доказать, что Р (соотв. Q) непрерывно на
&(Q) в топологии, индуцированной отображением Я_1(Й)->
—<-#_1(R3) или, переходя к транспонированным операторам, что
Ф (соотв. ZQ) непрерывно как отображение /^(R8)-»-#^).
Для q> е Н1 (R3) имеем
/Рф(х) = ф(х)4-а1ф(х', — х3) + (1/2)а2ф(х', — х3/2),
*фф (х) = ф (х) — ахф (х', — х3) — а2ф (х', — х3/2).
Следовательно, <Рф(х', 0) = *<2ф(х', 0) = 0 (см. (3.32)), откуда
следует результат.
Замечание 3.2. В работе Гоберта [I] можно найти другое
доказательство, пригодное при более слабых ограничениях на Q
(достаточно, чтобы область Q удовлетворяла условию конуса),
но там используется теория сингулярных интегралов.
Из полученных результатов сейчас будут выведены некоторые
следствия, имеющие фундаментальное значение для дальнейшего
материала книги.
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Пред-
положим, что Гу с Г и что Гу имеет положительную меру. Пусть
У0 = {У|г’е(Я1(П))3, о = 0 на Гу}. (3.36)
Тогда существует а0>0 такое, что
a(v, о) а0 5 v Vo е Vo. (3.37)
114
Доказательство. 1) В общем случае
a(v, v) = 0 <=> v е v е V, (3.38)
где
е^ = {о| v(x) — a + b/\x, a, fesR3}1). (3.39)
Так как Гу имеет положительную меру, то
V» =>v = О
и, следовательно,
a(v, о) = 0, veVov==0. (3.40)
2) Мы видели, что a(v, u)1/s является нормой на Vo, и теперь
надо показать, что эта норма эквивалентна Упрощая обо-
значения, положим
e(y) = $8/y(v)ev(v)dx. (3.41)
о
Согласно (2.35) и теореме 3.1 нам достаточно доказать, что
существует со>0 такое, что
e(t»)3sc0| v|2, | v |2»J ViVidx, VoeV0- (3.42)
о
Заменяя v на v | v |-1, можно считать, что | v | = 1. Осталось дока-
зать существование с0>0 такого, что 8(и)^с0. Будем доказывать
от противного. Если утверждение ложно, то существует последо-
вательность vn е Vo такая, что
Ы = Ь 8(ол)->0. (3.43)
Согласно теореме 8.1 jujjysgconst, поэтому можно выбрать
подпоследовательность (которую мы также обозначим через ил)
такую, что
vn-*-v слабо в V. (3.44)
Тогда lim inf 8 (о„) 8 (о); следовательно, 8 (о) = 0, поэтому, сог-
ласно 1), о = 0.
Более того, так как граница области Q регулярна, то вло-
жение V-> (L2 (Q))3 компактно и, следовательно, ол->0 сильно
в (L2(Q))3, что противоречит предположению |ол| = 1. Теорема
доказана.
Следствие 3.1. Предположим, что граница области Q регу-
лярна и что Гу имеет положительную меру. Тогда для I (о) вида
(3.6) имеем
/(и)->-+оо при JvSv-> + oo, ое#доп. (3.45)
!) —множество жестких перемещений.
115
Доказательство. Пусть ФеУ и Ф — U на Гу. Тогда
если v е #доп, то у —ФеУ»- Положим v — Ф = у0. Тогда
Z(t») = 4a(v<» ^о) + а(»о. Ф)+4-«(Ф. ф) =
= (Л ф+vo) — J р (и0+Ф) dr
и вследствие теоремы 3.3 /(0^уао|| у01|и — —с2> откуда
/(v)^ail|v||V-c3||u||v-C4 Vue=2ZJon. (3.46)
Отсюда следует, в частности, (3.45).
Исследуем теперь случай, когда Гр=ф. Теперь а (у, и)1/2
будет лишь полунормой на V0 = V. В соответствии с (3.38) перей-
дем к факторпространству по ей’; введем
у = У/&. (3.47)
Для и', V’ eV' определим
а (и', v') = a(u, v), и<=и', v<=v‘. (3.48)
Теорема 3.4. В предположениях теоремы 3.1 имеем-.
а (у', v‘) || V’ ||у., а>0 Vo'StV'. (3.49)
Доказательство. Согласно теореме 3.1 в качестве нормы
на V можно взять (е(п)-|-|о|2)1/2. Тогда (3.49) эквивалентно
неравенству
8(с)^а^ inf^|v + р|2 + е(v)j. (3.50)
Введем
Р — оператор ортогонального проектирования в (L2(Q))8
(относительно скалярного произведения, соответствующего |t»|):
(L2 (Q))3—►ей1. (3.51)
Тогда inf I v + p |2 = | v — Pv |2, и доказательство (3.50) сводится
рбе^
к доказательству того, что (ср. с (3.42))
е(о)^с1|о —Ро|2 Vv&V. (3.52)
Мы действуем, как в случае (3.42). Заменяя v на v|v — Pvp1,
сводим дело к случаю
| V- Pv 1 = 1. (3.53)
Осталось найти такое сх>>0, что
е(у)^сх. (3.54)
Будем доказывать от противного. Если (3.54) не выполняется, то
найдется последовательность vn е У такая, что
\vn — Ро„'| = 1, е(и„)-^-0. (3.55)
116
Но если положим
Wn = v„ — Pvn,
(3.56)
то |а»Л; = 1. е(иу„)->-0, откуда следует (как и для (3.43)), что
можно выбрать подпоследовательность (обозначим ее также через wn)
такую, что Wn-^w слабо в V, е(ау) = О. Поэтому
С другой стороны, wn е *); следовательно, w е s^x, откуда
щ!==0. Но тогда лу„->0 сильно в (L* 2 (Q))3. Это противоречит тому,
что I wn | = 1.
3.4. Результаты.
3.4.1. Случай mesTy>0. Из следствия 3.1 и строгой выпук-
лости (непрерывного) функционала u->/(t>) на 2/доп сразу же
получаем следующую теорему.
Теорема 3.5. В условиях теоремы 3.1 задача 3.1 имеет
единственное решение.
Замечание 3.3. Вернемся к формулировке задачи (3.4),
(3.5). Мы можем переписать ее в терминах векторных пространств,
вводя Ф е У с условием Ф = U на Гу; положим
и — ф = и0, V — Ф = и0, «о» v0^V0‘, Vo определено в (3.36). (3.57)
Тогда задача (3.4), (3.5) эквивалентна следующей: найти функ-
цию и0 е V» такую, что
а(и0, i»o)=(A Ро) + $ FvodV-a(Q>, v0) Vv0<=V6. (3.58)
3.4.2. Случай. Гугяф2). Мы видели, что когда Гу пусто,
необходимо перейти к факторпространству по е^. В этом случае
2Zдоп = V — векторное пространство, так что задача (3.4), (3.5)
эквивалентна (см. преобразование (3.57)) следующей:
Найти u^V такую, что
а(и, v) = (f, v) + ^Fvdr Vu е V (1>=Г). (3.59)
г
Задача корректна, только если линейный функционал, стоящий
в правой части (3.59), тождественно равен нулю на е^, т. е. если
J fiPt dx 4- J Ftpt dT = 0 Vpea®. (3.60)
я г
С точки зрения механики уравнение (3.60) выражает тот факт,
что система сил {/)} и {FJ (единственно заданные величины)
статически эквивалентна нулю.
Если положить
L(v) = (f, y) + $Fudr, (3.61)
Г
1) е^51—подпространство в V, ортогональное в гильбертовой струк-
туре, индуцированной из (L2(Q))3.
2) Очевидно, имеются случаи, промежуточные для условий 3.4.1 и 3.4.2.
См, замечание 3,5,
117
то можно перейти к факторпространству по аЗ?: определить линей-
ный непрерывный функционал на У‘ = У/е^ равенством
L' (v') = L (v), v е v\ (3.62)
Тогда (3.59) эквивалентно условию
а (и', v') = L'(v') Vtf е V’. (3.63)
Согласно теореме 3.4 эта задача имеет единственное решение и;
следовательно, справедлива
Теорема 3.6. Предположим, что Гу = ф. Пусть силы ft и
Fi удовлетворяют (3.60). Тогда задача 3.1 имеет решение и, опре-
деленное с точностью до произвольного жесткого перемещения.
Замечание 3.4. В теореме 3.6 имеет место единственность
полей деформаций и напряжений.
Замечание 3.5. Как было уже отмечено, возможны слу-
чаи, промежуточные между условиями: Гу имеет положительную
меру и Гу = ф.
Например, если вместо плотности сил мы рассмотрим точечные
силы, то Г> сводится к конечному набору точек.
Замечание 3.6. Мы рассмотрели лишь слабые решения.
Относительно регулярности решений мы отсылаем читателя к рабо-
там по эллиптическим уравнениям: Лионе и Мадженес [1], Нечас [1].
3.5. Двойственные постановки.
Мы исследуем двойственные постановки задач с двух, несколько
отличающихся точек зрения.
3.5.1. Статически допустимые поля и потенциальная энергия.
Вернемся к задаче (3.1), (3.2), (3.3), которую запишем в виде
(Ту =йу*ле*л(«)»
ау,/+А = О в
Оу»/ = Ft на Г/г,
Ui — Ui на Гу.
(3.64)
Введем множество К статически допустимых полей (с. д. п.):
/С = (т | ту е L2 (й), VI, / ту = хц,
ti],j+fi — Q в й, тijtbj — Fi на Tf}. (3.65)
Замечание 3.7. Введем пространство
Я = {т | Ту е L2 (й) Vu}, (3.66)
снабженное гильбертовой структурой
(а, т) = J ауТу dx.
а
Проверим, что если те Я удовлетворяет равенству Ту,/ +
+ А = 0, т. е. если Ту./е£2(й), то можно определить, и притом
единственным образом,
(3.67)
Туп7 е Я*1/2 (Г),
118
так что (3.65) имеет смысл. Множество К является замкнутым
аффинным подмногообразием И.
Для т е К определим потенциальную энергию формулой
J (т) — (т, т) — J Ti/rt/fA (/Г, (3.68)
Гу
где
(ст, т) = $ dx. (3.69)
о
Двойственной к исходной является
Задача 3.2. Требуется минимизировать J (т) на К.
Замечание 3.8. В задаче 3.2 предполагается, что К непусто.
Если Гу имеет положительную меру, то К непусто, так как
Ut е Н1/2 (Гу) (более точно: Ut — сужение на Гу элемента из
Я1/2(Г)). Если Гу = 0, то К непусто тогда и только тогда, когда
система сил и статически эквивалентна нулю.
В соответствии с (2.8) имеем
(т, T)Ssa x4xijdx“«КВ».
Q
откуда сразу же получаем следующую теорему:
Теорема 3.7. Если К непусто (см. замечание 3.8), то задача 3.2
имеет решение, и притом единственное.
Осталось выяснить связь между исходной задачей и двой-
ственной (для которой пока имеется только определение)', это
составляет содержание следующей теоремы:
Теорема 3.8. Предположим, что К непусто. Пусть ст —
решение задачи 3.2. Тогда уравнения
&У («) = Ai/khPkh
с граничными условиями
и —U на Гу
(3.70)
(3.71)
(соотв. без граничных условий, если Гу = 0) однозначно определяют и
(соотв. с точностью до жестких перемещений), где и —решение
(соотв. и —одно из решений) задачи 3.1.
Доказательство. Нам нужно доказать только, что если
« — решение (или одно из решений) задачи 3.1, то ст, определен-
ное равенством сту = ai]kffikh (и), минимизирует J на К, т. е.
удовлетворяет равенству
(о, т — ст) — § Ui (xijnj — GijUj) dr = 0
Гу
Vt &К.
119
Применяя теперь (3.70) к (3.69), получим
(о, т — о) = § еу (и) (tv — oz/) dx = $ u{lj (xi} — <jy) dx =
Й Q
= J Ut (Xifttj — (Jijnj) dr - J ut (Ту, J — <jl/t j)dx=t Ui (Xyttj - вуПу) dr,
г Я гу
если a, x&K, откуда следует результат ,так как щ = Ut на Гу.
3.5.2. Двойственность и множители Лагранжа. Здесь мы полу-
чим предыдущие результаты иными средствами, используя мно-
жители Лагранжа, которые будут обозначаться через qy1).
Начнем с функционала I (о) и рассмотрим уравнения
Qijkifikh(v) — Xif (3.72)
как связи, которым мы сопоставим множители qlf. Заметим, что
в соответствии, с (3.72) a (v, v) = arf (т, т).
Введем теперь функционал
/(т, v, q) — ~e^(x, x) — (f, v)-
- J Fv dr - qy (xy - aykhbkh («)) dx, (3.73)
r> я
где x, v, q — независимые переменные x, q&H, ve V, с условием
Vi = Ui на Гу, т. e. ое27доп2).
Заметим, что
inf / (т, v, q) = I (q) inf I (x, v, q)~ inf 1 (v) = I (u)
т, VEH
(x, v удовлетворяют (3.72)) (3.74)
и, следовательно,
sup I(q)^I (и). (3.75)
Вычислим I (q) в явном виде. Имеем / (х, v, q) = (т, v, q) +
+ /, (т, о, Я),, где
Л (т, v, q) = Ц(х, q) = ±-<2#(x, х) — qvXy dx,
12(х, v, q) = I2(v, q) = — (f, v)- $ Fvdr +
rF
+ 5 ЯцаушАкн (о) dx.
Я
r) Мы даем прямой вывод, не использующий общих теорем двойственности,
относительно которых ссылаемся на Рокафеллара [1] и Темама [1].
2) В качестве исходных соотношений для метода Лагранжа можно взять
V} |г=£7/ с соответствующими множителями; имеется несколько двойственных
формулировок»
120
Легко проверить, что
inf/x(T, ?)=-ja/(T, т), AiJkhxkh = qtJ.
(3.76)
Тогда
и мы
когда
Но
Ia(v, = — v) - J Fv dr + J тААуА, A dx,
Г/? £2
видим, что inf I2(y, q) =— oo, кроме случая
се^доп
inf /2 (у, q) = § тААпА[/А dr. Следовательно,
Гу
- |е/(т, т) + ( тААпА(/А dr, если т е К,
Ги
где qij = ЛуААтАА;
—оо в других случаях.
/(<?) =
(3.77)
(3.78)
/(и) = —^-а(и, и)+ J GijtijUidr,
Гу
так что /(«) =—уа^(о, °)+ а^и^Г и, следовательно,
Гу
sup I (q) = sup {- 4 (т, т) + С TAAnAi/A dlA Sa
’ хен\ гу /
— o)+J oAAnAC/Adr = /(w),
Гу
что в сопоставлении с (3.75) приводит к соотношению
sup I(q) = I (и).
Заменяя I (q) его значением (3.77), получаем
inf
тек
или
inf
тек
4 (т, т) - J xkhnhUk dr +1 (и) = О,
4 (т, т) - С xAAnAt/A dr + inf I (v) = 0.
Гу ое^доп
(3.79)
(3.80)
(3.81)
Более того, если первый inf (соотв. второй) достигается в о
(соотв. в и), то а и и связаны соотношением
° У ^^jkh^kh*
Замечание 3.9. Исчерпывающую информацию о вариацион-
ных постановках задач в теории упругости можно найти у Тонти [1].
121
§ 4. Динамические задачи
4.1. Основные результаты.
Применяя технику из § 3, мы сможем теперь продвинуться
в исследовании динамических задач, сформулированных в § 2.
Введем функцию Ф(0 следующим образом1):
Ф(Пе(Ях(Й))8, Фх(0 = У/(П на Гу. (4.1)
Тогда, заменяя u(t) на u(t) — Ф(/) и сохраняя за этим выра-
жением обозначение и (/), получим, что задача (2.42) эквивалентна
следующей: определим сначала
У0 = {ц|ие(Я1(й))3, v{ = 0 на Гу} (4.2)
(при этом Vo= V = (Н1(Й))3, если Гу=0); ищется функция
[О, Т] -> Vo такая, что
{и" it), v)+a(u(t), у) = (Т(0, у) Voe=V0, (4.3)
где
(У(0, у) = (/(0. 0+$Г(Оо4Г + (Ф'(О, о)+а(Ф(0. v), (4.4)
м(О) = «о, и’ (0) = «!. (4.5)
Введем пространство
Я = (£а(Й))3 (4.6)
и заметим, что
Vo с Н, Vo плотно в Н. (4.7)
Обозначим через || J (соотв. через | |) норму в Vo (соотв.
в Н), а скалярное произведение в Н — через ( , ). Отождествим
пространство Н с его двойственным; тогда
Н с Vq, Vo — пространство, двойственное к Vo. (4.8)
Через ( , ) обозначим спаривание между Vo и VJ, согласован-
ное со скалярным произведением в Н. Через | Ц* обозначим
норму в Vо, двойственную к норме || тогда
|| f U = sup I (f, o)|, ueVo, ||У1<1.
Теорема 4.1. Если предположить, что
Т, Y'eL2(0, Т; VJ)2), (4.9)
u0^V0, их<=Н, (4.10)
то существует одна и только одна функция и такая, что
u^L^fQ, Т; Vo), (4.11)
й'е£®(0, Т-, Н), (4.12)
u"eL”(0, Т; VJ) (4.13)
и выполняются (4.3), (4.5).
х) Точный вид зависимости от t будет установлен ниже.
2) В замечании 4,1 указаны условия, достаточные для выполнения этого
предположения,
122
Замечание 4.1. Предположим, что
f{, dfi/dt <= L2 (Q), Q=Qx]0, Т[, (4.14)
Fh dFi/dt<=L2(2), 2 = Гх]0, T[, (4.15)
t/z —сужение на Гух]0, Т[ функции Ut такой,
что Ub dUf/dt, .... d3Ui/dt3t=L2(0, Т; Я*/2(Г)). (4.16)
Тогда можно выбрать вектор-функцию Ф так, чтобы функ-
ционал Т, определенный в (4.4), удовлетворял условию (4.9).
Действительно, можно выбрать Ф так, что
Ф, ..., Ф'" (= L2 (О, Т-, (Н1 (Q))3)0. (4.17)
Проверим, что в этом случае T'sL2(0, Т-, VJ). Имеем
(Т'(0. f) = (/'(0. v)+$F(0vdT+(®“'(0, о)+а(Ф'(0. »),
rF
откуда следует
| СР' (О, V) I < С1 {| Г (011V14- s F' (0 |(L, (Г)), М +
+ |Ф"'(01М+1Ф'(01М}-
Отсюда непосредственно следует неравенство
IY' (0 к - с2 {| f (01 +1| F' (01(£. (Г», + J Ф' (0 НIФ'" (01}.
откуда следует утверждение.
Замечание 4.2. Как было показано в § 3, форма а (и, о)
обладает следующими свойствами:
а(и, v) = a(v, и) Vu, veV0, (4.18)
a(v, <?)^а||и||2 VweV, a>0, если Гу=#0, (4.19)
V%>0 существует a>0 такое, что a(v, v)4-X| v |2^а| v||2
VweV, если Гц—ф (V0 = V). (4.20)
Впоследствии теорема 4.1 будет доказана в абстрактной
форме, где будут введены Vo, Я, Va, а (и, v), удовлетворяющие
условиям (4.20).
Замечание 4.3. Иногда (например, в линеаризованной
термоупругости) величины ay*ft зависят от х и t:
^ijkh ~ Щ}ЬК (^> 0'
В этом случае мы должны рассматривать билинейную форму
a(tf; и, о), непрерывную на Уо и зависящую от t; тогда теорема
I) Можно было бы ослабить предположения на Ф: те условия на Ф, кото-
рые нам потребуются, такие: Ф, Ф' eL2(0, Т; (ЯЦй))3); Ф", Ф'" г L2(0, Т; Н).
123
4.1 остается верной (доказательство аналогично), если выполняются
условия:
a(t\ и, v) = a(t; v, и) Vи, oeV0; (4.21)
существует Х>0 такое, что a(t-, v, v) + Л, I v I® 5s a II v |j2,
a>0, VueV0, V/e[0, T], (4.22)
V«, v e Vo функция t->a(t\ u, v) непрерывно
дифференцируема на [О, Г]. (4.23)
Замечание 4.4. Если Гу=0, в формулировке теоремы 4.1
не делается различия между случаем, когда V/ силы f{(t) и
Г/(0 образуют торсор, эквивалентный нулю, т. е. когда
(f (0. Р) + $ Ft (0 Pt dr = 0 Vp е (4.24)
rF
и случаем, когда это не выполняется.
Исследуем эти два случая более подробно.
1) (4.24) выполняется. Структуру решения и можно описать
тогда следующим образом1):
и (0 = u0 + tui + w(t), (4.25)
где w удовлетворяет условию
(w(t), р) = 0 Vpee^. (4.26)
Действительно, если определить w(t) формулой (4.25) и под-
ставить ее в (4.3), то
(a>"(0, u)4-o(«o + ^«i + ffi’(0, v) — (f(t), v)+^F(f)vdT (4.27)
Гр
(так как Гу=0 и, следовательно, Ф(0 = О). Полагая в (4.27)
о=рее^ и используя (4.24) и равенство a («(/), р) = 0, полу-
чим (w" (0, р) = 0, что вместе с условиями te>(0) = 0, а>'(0) = 0
доказывает (4.26).
2) (4.24) не выполняется. В этом случае силы, приложенные
к упругому телу, приводят его в движение как жесткое целое
с наложенными упругими деформациями.
Так как это движение содержит большие амплитуды, то
линеаризация не законна. Следовательно, хотя теорема 4.1
остается верной, модель более не будет адекватной. Поэтому мы
должны начать с определения движения тела как жесткого целого.
Затем в относительной системе, связанной с этим движением,
мы исследуем задачу упругих деформаций с линеаризацией (кото-
рая на этот раз уже допустима), но добавляем к силам ft и Ft
силы инерции перемещения и дополнительные силы, скажем, «Г,
*) Мы предполагаем, что их <= V (= Vo). В противном случае приходится
использовать в (4.25) начальную точку более сложного вида, чем «о4-/^.
124
Тогда силы f(t), F (f) и oF образуют в совокупности торсор,
эквивалентный нулю в каждый момент времени, и мы возвра-
щаемся к случаю 1).
4.2. Доказательство теоремы 4.1.
Для того чтобы доказать существование решения в теореме 4.1,
используем метод аппроксимации, аналогичный тому, который
использовался в п. 5.6.1 гл. I.
Пространство Vo сепарабельно1), поэтому можно выбрать
последовательность и»!, ..., wm,... такую, что Vm wlt , wm
линейно независимы и конечные линейные комбинации Wj плотны
в Vo. Предположим, что Wi = u0 (если ыо#=0). Определим при-
ближенное решение порядка т:
ит (0 е Oi, • • •, wm], где [ayx, .... wm] - пространство,
порожденное wlt ..., шт,
{u"m(t), v)+a(um(f), v) = QP(t), v) VueOi, ..., wm],
um (0) = u0, u'm (0) = ulm, ulm e= Oj, .... wm],
в H при m->oo. (4.28)
Так как ..., wm линейно независимы, то система (4.28)
является невырожденной системой линейных дифференциальных
уравнений второго порядка; следовательно, (4.28) однозначно
определяет ит.
Априорные оценки для ит. Полагая в (4.28) v = u'm(t)
(что допустимо), получим
+ «т(/)) + (Т(t),
откуда следует
|«m(0|2 + a(«m(0, Mm(0) =
t
= I Ulm I2 + a («0, «о) = 2 $ fF (°), Mm(a))d<T=
0
= |«iml2+a(«o. Wo)+2(T(O, «m(0)-2('F(0), u0)~
-2j(¥'(a), um(a))du. (4.29)
о
Но, обозначая через с различные положительные константы,
имеем а(у, v)^a||u||2 —с|и|2, !«im|^c|Ui|, 21(Т(t), ит(/))|
+ ¥(0й, так что (4.29) дает
|«;(0|2+4aJ«m(0ll2^
^с(| Mii24-l«oJ2+t'F(O)B)4-c|l1F(Olll+c|«m(0l2+
+ ^JT'(a)U||Mm(a)||da. (4.30)
______________ f)
!) В «абстрактном» случае сепарабельность предполагается (что, впрочем,
несущественно),
125
t I
Ho (0 = «о + J “m (CT) da => | (О I2 21 ы012 + И |«m (a) | da, так
о 0
что (4.30) приводит к
I «т (t) |2 +1 Um (0 ||2 < C (| UX |2 +1| Uo ||2 +1| V (0) ||2 + II Т (П |j2 +
t t
+ $ 14" (a) ||2 da)+4 (| u’m (a) |2 +1| um (a) h2) da. (4.31)
о о
Положим
III T III2 = $ (I <F (012 +1 ¥' (/) It2) dt, (4.32)
0
<Pm(0 = |«m(0|2 + ll«m(0J2. (4.33)
Тогда (4.31) дает
Ф« (0 < С (1«! I2 + 1 «012 + III T III2) +4 Фт (О) da, (4.34)
о
откуда, используя неравенство Гронуолла, получим
фт (0 с (| «х |2 + ho I2 + III Y III2) exp (ct). (4.35)
Итак, um (соотв. u'm) остаются в ограниченном подмножестве
пространства £°°(0, Т; Vo) (соотв. £“(0, Т; Н))
при т—>оо. (4.36)
Поэтому из (4.36) заключаем, что из последовательности йт
можно выбрать последовательность такую, что
«и (соотв. «ц)->« (соотв.->«') в £“(0, Т\ Vo)
(соотв. £°°(0, Г; Я)) «-слабо* 1). (4.37)
Проверим теперь, что и —решение задачи. Введем простран-
ство Е функций <р вида
ф(0= £ф/(0^. Ф/еСЧР, Л), Ф/(П=0, (4.38)
/=1
где Ро — произвольное натуральное. Из (4.28) при т = у.^у0
выводим, что («ц, ф)4-а(ы(1, ф) — (Т, ф) = 0 Уф вида (4.38), откуда
т
5 [— («g. ф')+л(«ц, ф)-(^. ф)]^ = («щ. ф(0)). (4.39)
о
т т
I) Т» еч например, ф)) dt Г; Vo),
126
В (4.39) можно перейти к пределу по ц; тогда получим
г
J [—(и', ф')4-а(«, ф)-(Т, ф)]= (ulf ф(0)). (4.40)
о
Так как конечные линейные комбинации Wj плотны в Vo, то
(4.40) выполняется V<peC1([0, Т], V), <р(Т) — О. Отсюда мы
заключаем, что в смысле распределений на (0, Т) со значениями
в выполняется уравнение
м" + Аы = ф, (4.41)
где оператор Ae«Sf(V0; Vo) определен равенством
а (и, v) = (Au, v) Vu, v^V0. (4.42)
Следовательно, и" = T — Au e Lm (0, T; VJ)x).
Скалярно умножая обе части (4.41) на фе£ и сравнивая
с (4.40), заключаем, что (иъ ф (0)) = («'(0), ф(0)) Уфе£,
откуда u'(0) = «!. Так как (4.37) влечет Цц(0) = «о->ы(0), то
м(0) = ыо и и удовлетворяет условиям теоремы 4.1. В
Докажем теперь единственность решения2 *). Пусть и удовлет-
воряет (4.11), (4.12), (4.13) и
ы" + Аы = 0, и(0) = 0, и'(0)=0. (4.43)
Для феС'^О, Т], VJ) (например, согласно первой части
доказательства 8)) существует функция w такая, что
ше=Г°(0, Т; Vo), ®'eL°°(0, Т; Я), w" е L°> (0, 7; VJ).
(4.44)
w" + Aw = tp, (4.45)
ш(Т) = 0, да'(Т) = 0. (4.46)
Верна формула интегрирования по частям:
т т
J (и", w)dt = J (u, w”) dt, (4.47)
о о
поэтому, скалярно умножая обе части (4.43) на w и используя
(4.47), получим (так как а (и, v) = a(v, и) Vu, и): $ (и, w"+Aw)dt =
о
т
— 0, т. е. \(и, (p)dt = O XApeC^CO, Г]; VJ), откуда и = 0. В
о
х) Так как предположения (4.9) означают, что ТеС°(Г0, TJ; И) с:
czL^O, Т; Vo').
2) Это доказательство принадлежит Тартару,
3) После замены t на Г—/,
127
4.3. Другие граничные условия.
Здесь мы рассмотрим некоторые варианты граничных задач,
изученных ранее.
4.3.1. Вариант I (например, тело на жесткой опоре). Ищется
решение и уравнения
д^и/д^ + Аи = 1 в Q, (4.48)
удовлетворяющее граничным условиям
Otjitj — Ft для 1 = 1, 2 на 2=Гх]0, Т[, (4.49)
м3 = 0 на 2 (4.50)
и, разумеется, начальным условиям (4.5).
Механическая интерпретация проблемы такова: на
границе Г заданы две первые компоненты Fx и F2 поверхностной
плотности сил и третья компонента «3 перемещения. Такой тип
граничных условий имеет место в следующей задаче: упругое
тело, имеющее частью своей поверхности плоскость (например,
полусфера, ограниченная экваториальной плоскостью), лежит без
трения на фиксированной горизонтальной плоскости. Если
предположить, что во время деформации нет отрыва от плоскос-
ти, то граничные условия на плоской части границы выглядят,
как в (4.49), (4.50). На оставшейся части границы заданы, напри-
мер, Л = 0 (i= 1, 2, 3).
Соответствующая статическая задача имеет вид
Д« = / (4.51)
с (4.49), (4.50). Для вариационной формулировки введем про-
странство
= V = (H1(Q))\ у3 = 0 на Г}. (4.52)
Легко проверить, что динамическая задача (соотв. статичес-
кая) эквивалентна следующей:
Найти решение u — u't) уравнения
(и" (0, о) + а («(/). v)~
= (/ (0, v) 4- J [Л (0 vt + F2 (/) v2] Vv e= Vv (4.53)
Г
удовлетворяющее условиям
и е L°° (0, Т; Vx), и' е L00 (0, Г; Я), и" е (0, Т, VJ) (4.54)
и условию (4.5) (соотв. определению решения и е Vx равенства
а (и, v) + ^[F1u1 + F2y2]dr VugVi). (4.55)
г
128
Относительно разрешимости этих задач заметим, что форма
а (и, v) не коэрцитивна на 7Х, так как
а (о, о) = 0, не (4.56)
где
e^x = {p|peR, ps = 0 на Г}. (4.57)
Введем теперь для статической задачи Vi — Vi/e^x; а(и‘, и') —
— а(и, v), usu', vecf; и', v‘ <= Vi; задача (4.55) возможна,
если только
(А Р) + $ [ЛР1 + ЛвРг] d? = 0 Vp Q е^х. (4.58)
г
Механическая интерпретация (4.58) следующая: торсор объ-
емных сил (fi, /2, 0) и поверхностных сил (F1( F2, 0) эквивален-
тен нулю. Тогда можно доказать (как в п. 3.4.2), что если (4.58)
выполняется, то статическая задача (4.55) имеет решение, опре-
деленное с точностью до слагаемого из <й\.
В случае динамической задачи, поскольку VX>0 существует
а>0 такое, что a(v, v) +%| v |22sa j t>||2 Vt>eVx, мы можем
применить теорему 4.1, которая доказывает существование и
единственность решения задачи (4.53)—(4.55).
Если V/e=[0, Т]
(f (0, р) + J [Л (0 pi + Г2 (0 р2] dT = 0 Vp @ (4.59)
г
то, предполагая, что ux е Vu получаем
и (0 — и0 -|- tux + w (0, (4.60)
где
р) = 0 Vpe< (4.61)
Доказательство такое же, как в замечании 4.4.
Если (4.59) не выполняется, то, как и в замечании 4.4,
модель уже не будет больше адекватной, и тогда мы должны
внести изменения, аналогичные указанным в п. 2) замечания
4.4.
4.3.2. Вариант II (тело, помещенное в упругую оболочку).
Мы ищем решение (4.48), удовлетворяющее граничным условиям
ог=0 на 2 *), (4.62)
<jN + kuN = 0 (&>0) на 2 (4.63)
и начальным условиям (4.5); статический случай соответствует
(4.51), (4.62), (4.63).
Механическая интерпретация граничных условий (4.62), (4.63)
следующая: тангенциальные перемещения точек границы Г сво-
бодны, тогда как нормальные силы являются силами упругой
инерции, и пропорциональны абсолютной величине нормального
М Обозначения такие же, как в замечании 2.5.
5 Г. Дюво, Ж.-Л, Лионе
129
перемещения. Граничные условия такого типа встречаются в слу-
чае тела, ограниченного упругими связями, или в случае тела,
помещенного в упругую оболочку.
Вариационная постановка. Нетрудно показать, что статическая
задача эквивалентна следующей:
Найти функцию и е V = (Я1 (Q))3, удовлетворяющую равенству
at (и, v) = (f, v) Vt№ Vlt (4.64)
где
Oi(m, v) — a(u, v) + k^uNvNdT. (4.65)
г
Динамическая задача эквивалентна следующей:
Найти функцию и — и (Г) такую, что
(и"(0, v)+ax(u(t), = v) УоеУь (4.66)
ие£°°(О, Т; V), и' е L00 (О, Т-, Н), и" e=Lx (О, Г; V'), (4.67)
и удовлетворяющую начальным условиям (4.5).
Для того, чтобы решить эти задачи, докажем предварительно
следующую теорему.
Теорема 4.2. Пусть £2 — открытое ограниченное множество
в R8. Тогда для формы а1(и, v), определенной в (4.65), справед-
ливо неравенство
01 (о, о)2=j|v|а VoeV. (4.68)
Доказательство сводится к тому, чтобы показать спра-
ведливость неравенства
8(y)4-$fwdr>c|u|2 (4.69)
Г
(здесь мы используем обозначение, уже применявшееся ранее:
8 (v) = в;; (v) (v) dx). Заменой v на v | v I-4 доказательство не-
равенства (4.69) сводится к доказательству неравенства
e(v) + J^dr^c>0, |и| = 1, v (4.70)
г
Предположим, что (4.70) не выполняется; тогда можно найти
последовательность va такую, что
va<=V, |Цх1 = 1» e(4«) + joWT-»-0. (4.71)
г
Поскольку j va || sg const, то можно выбрать подпоследовательность
(также обозначаемую через иа) такую, что
va-»-v слабо в V, (4.72)
и так как инъективное отображение V -> (L2 (Q))3 компактно, то
va-*-v сильно в (L2(Q))3. (4.73)
Но lim inf (в (уа) + $ vIn = 0э= е (и) + § vn dT, поэтому е(ц) = 0
\ г / г
и vjy = Q на Г. Тогда css? (пусть и = а-}-Ь /\ х) и равенство
130
v/f = O эквивалентно равенству ап + (& Д х)п = 0 на Г, что невоз-
можно (так как Г не может быть плоскостью). Следовательно,
о = 0, и поэтому (4.3) эквивалентно тому, что |оа|~*0, а это
невозможно, так как | va | = 1 Va.
Из теоремы 4.2 и предыдущих результатов сразу же получаем
Следствие 4.1. Динамическая задача (4.66), (4.67), (4.5)
(соотв. статическая задача (4.64)) имеет единственное решение.
§ 5. Линейная упругость с трением или одностороннее сжатие
5.1. Первый закон трения. Динамический случай.
В этом пункте мы рассмотрим деформации линейно упругого
тела, на границе которого в зависимости от ситуации могут быть
заданы те или иные классические граничные условия такого же
типа, что были рассмотрены ранее, но при этом хотя бы на одной
части границы наложены условия трения. Мы начнем с рассмот-
рения закона Кулона (см. п. 5.1.1); другие законы будут изучены
в п. 5.4.
5.1.1. Закон Кулона. Рассмотрим два твердых упругих тела Si
и <$2, соприкасающихся (рис. 15) в точке С; единичный вектор
внешней нормали к в точке С обозначен через п. Пусть F —
сила, с которой S2 действует на Si в точке С (или плотность сил,
если тела соприкасаются по поверхности, содержащей точку С).
Разложим F на составляющие
F = FNn + FT, FN — F-n.
(5.1)
Пусть «F = вГ (С) — положительный скаляр, называемый коэф-
фициентом трения в точке С (зависящий, разу- .
меется, от природы границ Sj и S2 в точке С). \ S
Необходимо различать два типа соприкосно-
вения в С:
1) двусторонний контакт, когда соприкос- jjn?
новение сохраняется независимо от направления
сил; I
2) односторонний контакт, когда соприкос- <?2 I
новение имеет место, если только силы прижи-
мают тела друг к другу.
Сформулируем теперь закон Кулона в каж- Рис 15>
дом из этих случаев.
Закон Кулона при двустороннем контакте. В момент времени t
\FT(C)\<eF (С) | Fn (С) | => диТ (C)/dt = 0 *),
I Ft (С) | = & (С) | Fn (С) | => существует к > 0 такое, (5.2)
что duTldt — — lkFT.
1) Разложим и (С) подобно тому, как мы разложили F,
и (С) = uN (С) n-j-Uj. (С).
131
б«
Закон Кулона при одностороннем контакте. Необходимо, чтобы
FN (Q 0 и
IFT (С) | < - «Г (С) Fn (С) => диТ (C)/di = О,
I Ft (О | = — (С) Fn (С) => существует X Зз О (5.3)
такое, что дит/dt —— KFT.
Замечание 5.1. В случае двустороннего контакта можно
рассмотреть ситуацию, когда коэффициенты трения «F (С) раз-
личны (скажем, гГДС), <Л2 (С) — разные) в зависимости от того,
FN(C)<.0 или Гдг(С)>0, что приводит к условию1)
|Fr(C)|<aT1(C)FAr(C)-
1^(С)|>^2(С)^(С)+
=> ди т (C)/dt = 0;
| FT (С) | = ®^i (С) Fn (С)- => существует такое, (5.4)
что дит (C)/dt = — K^Ft (С);
| FT (С) | = еГ2 (С) Fn (С)+ =5 существует Х2 Ss 0 такое,
что дит (C)/dt = — K^Ft (С).
Этот вариант требует лишь незначительных модификаций в по-
следующих рассмотрениях (см. замечание 5.2).
5.1.2. Задачи. На части Гу границы Г области Q (рассматри-
ваемого упругого тела) накладываются условия трения. На допол-
нительной части Г\Гу накладываются условия классического
типа: например, силы или перемещения. Для того чтобы несколько
упростить изложение, будем предполагать, что на Г \Гу заданы
перемещения (случай, когда на Гхс: Г\Гу заданы перемеще-
ния, а на оставшейся части Г\Гу —силы, не приводит к новым
трудностям, кроме как к усложнению записи). Полагаем
Г\Гу = Ги. (5.5)
Тогда, если и — поле перемещений (которое мы ищем), то гранич-
ные условия на Гу таковы:
щ—Ui на 2у = ГуХ]0, Т[. (5.6)
На Бу = Гух]0, Т[ задано нормальное напряжение вы такое,
что
^H = Fff на S№), (5.7)
х) x+=sup(x, 0), x_ = sup(A:> 0).
2) Предполагаем, что FN измерима и ограничена на Гу. Для того чтобы
немного упростить изложение, мы предполагаем, что FN не зависит от t
(также можно было бы рассмотреть случай, когда F# зависит от I).
132
тогда в двустороннем случае (см. (5.2)) имеем
i Or I < (х) | Ftf | => дит/dt = 0;
I Or | = (x) | FN I => существует %0 такое, (5.8)
что дит/dt — — XoT,
где хеГу, «F (x) — коэффициент трения в точке х; мы предпо-
лагаем, что функция х->вГ(х) измерима и ограничена на Гу и
(х) 2sаГо>0, хе Гу. (5.9)
Полагая
<F\FN\ = g, £е£°°(Гу), (5.10)
мы приходим к следующей задаче:
Задача 5.1 (динамическая задача с трением). Поле переме-
щений и = и(х, t) удовлетворяет уравнениям
d^i/dfl^oijj + fi в Q, oif = a{/lthzkk(u), (5.11)
граничным условиям
ut = Ui на Гух]0, Т[ = БС, (5.12)
on = Fn на Бу=ГуХ]0, Т[;
|<гг| <zg=$duT/dt = ()-, (5.13)
| | = g => существует Л 2=0 такое, что дит!д1 = — hoT
и начальным условиям
и(х, 0) = ыо(х), ди(х, 0)/dt = u1(x), xeQ. (5.14)
Замечание 5.2. В двустороннем случае с различными, в за-
висимости от направления FN, коэффициентами (см. замечание
5.1) мы приходим к задаче:
Найти и (и о), удовлетворяющие (5.11), (5.12) (начальные
условия (5.14) не изменяются) и условию (вместо (5.13))
On — Fn на Бу, (5.15)
|<тг I <<^iFn
или
I I <
=> daTldt = 0;
вт = aFiFjv => существует ^^=0 такое, что durldt — — hjOj--,
ог = qF2F% =i> существует ^2=0 такое,
что dur/dt — — Ь^От. (5.16)
Замечание 5.3. В одностороннем случае, еслиFn<0 в каж-
дой точке хе Г, то (5.13) сохраняется. Если, напротив, Fn^O
в некоторых точках, тогда касание, которое приводит к трению,
может прерваться, и мы получим задачу «типа Синьорини с тре-
нием» (см. п. 5.4.5).
133
Мы рассмотрим теперь статические задачи, связанные с зако-
нами трения, аналогичными предыдущим, и затем изложим тех-
нику, необходимую для исследования статического случая. Далее
мы изучим другие законы трения и затем вернемся к динами-
ческому случаю.
5.2. Закон Кулона. Статический случай.
5.2.1. Задачи. Статическая задача, соответствующая задаче
5.1, следующая:
Задача 5.2. Найти поле перемещений и = и(х) такое, что
— и (м) в й; (5.17)
ui = Ut на Гу; (5.18)
<Jn = Fn на Гр;
\<fr\<g=>lir = 0; (5.19)
|<rr| =g=S>существует 1^=0 такое, что иг =— Хог.
Замечание 5.4. Статическим аналогом ситуации замеча-
ния 5.2 является следующая задача:
Найти вектор-функцию и, удовлетворяющую (5.17), (5.18) и
условию (вместо (5.19))
<Jn = Fn на Гр; (5.20)
IffrlCaF iFfi
или =^> иТ = 0;
|<Гг|<оГ2/^) (5.21)
|<тг| = => ЗХх >0: Иг = — А,х<гг;
| Оу | = > 0: Ит = — И
Замечание 5.5. Статический аналог ситуации замечания 5.3
идентичен (5.19), так как /^<0 во всех точках Г.
5.2.2. Вариационная постановка. Мы используем обозначения
п. 2.3. Введем функционал
/(v) = J g(x)\vr(x)\dr, (5.22)
который представляет собой непрерывный выпуклый недифферен-
цируемый функционал на пространстве V — (Н1 (Q))3. Мы пока-
жем, что задача 5.2 «эквивалентна»1) следующей задаче:
Задача 5.3. Найти «eV такую, что
u = U на Гу, (5.23)
а(и, v — u) + j(v)-i(u)2*(f, и — и)+ $ FN(vN-uN)dT
rjr
Vo eV, v = U на Гу. (5.24)
x) Эта эквивалентность форма льна1 так как в задаче 5,2 не уточняется^
в каком классе мы ищем решение и»
134
Действительно, если выполняется (5.19), от
— ит)4-£(|1»т| — |«т |)^=0 на Г>. (5.25)
Скалярно умножая (5.17) на v — u и используя формулу Грина
в виде (2.33), получим
а{и, V — и)+ J [ог(от-ат) + <М°лг —«лг)]^Г —
ГУ
- $ о (v - и) dr = (f, v - и). (5.26)
Гу
Но Qm=Fn на Г^г и v = u = U на Гу, поэтому
a(u, v — u) — (f, v — u)—\ FN{yN — uN)dV=^(jT(vT — uT)dV,
ГУ I>
откуда
a (u, v — u) + j(v) — j(u) — (f, v — u)— J Fn(vn — uN)dV =
= J [ог7-(^7'-«г)+^|У7-|-^|иг|]с1Г^:0
Г —
в силу (5.25), откуда следует (5.24).
Обратно, если и удовлетворяет (5.23), (5.24), то полагая
сначала v = и ± <p, <рЕ (^ (Q))s находим: Au=f, откуда получаем
(5.17), а затем (5.26) (мы формально используем формулу Гри-
на, законность ее применения можно обосновать так же, как
в книге Лионса и Мадженеса [1], т. I гл. 2; к тому же чисто
формальное проведение этого вычисления не приводит к логи-
ческому затруднению, так как в дальнейшем мы примем форму-
лировку задачи 5.3 в качестве определения).
Но вместе с (5.26) (так как v — u = U на Гу) (5.24) приводит
к неравенству
J [cttG’t- «r)+g(l Vr I — | «г I )]^Г + J (Gh — Fn) (v/f — u^dV^Q
rjr
(5.27)
V функции такой, что v = U на Г^г.
Заметим, что когда v пробегает (/^(Q))3, vN пробегает Н1/2 (Г)
и vT пробегает подпространство (Я1/2(Г))3 функций, удовлетворя-
ющих условию /wr==0.
Таким образом, в (5.27) можно положить ът~ит и vn — про-
извольная функция из Н1/2 (Г) с носителем в Гу1), так что
= Pn*
х) Мы предполагаем, что граница Гу в Г регулярна.
135
Тогда (5.27) сводится к неравенству
$ [ог (ут - ит)+g (j vT | -1 uT I)] dT 0. (5.28)
Пусть
¥ — пространство функций ф е (Я1/2 (Г))3
с носителями из Гу. (5.29)
Если ф е Т, то разложим ф следующим образом:
ф = флгл + фг, ф№=пф
и положим в (5.28) ог = фт-. Но так как От-п=0, то имеем
Оуфу = Отф; следовательно, (5.28) дает
$[огф+£|фт1^Г- J[0TuT+g|ит|]dT2s0. (5.30)
Так как |фт|«^|ф|, то из (5.30) заключаем, что
J [<Ъф4-£|ф|]^Г_ j [orWr+gi«г!]^Г^=0 УфеТ. (5.31)
ГУ ГУ
Заменяя ф в (5.31) на ±%ф (%2s0), находим, что
X $ [±агф4-£-|ф|]4Г— J [стг«г4-§| ит-IJdr^O УХ 2^0,
ГУ
откуда J [:±<77ф-|-£|ф|]4Г^0, т. е.
*>
J о?ф <1Г $ g | ф! dT, Уф s Т (5.32)
ГУ
и
J [oyUy-f-g | Ut I] dr 0. (5.33)
P.F
Ho (5.32) означает, что форма ф-> § <Ттф^Г= J (gr1<Jr) £ф dT
гу гу
непрерывна на пространстве ф, снабженном топологией, инду-
цированной из (^(Г^г))3, и имеет норму 1; норма имеет вид
ф $ g | ф | dr на (L1 (Г>))з.
ГУ
Так как ф плотно в (Z.1 (Г^г))3, имеем g-^j е (L00 (Гу))3 с нор-
мой 1, т. е.
lor^g п. в. на Гу. (5.34)
136
Но тогда (TpUr+g | «г |^0, что, вместе с (5.33), показывает, что
Or«r+g|«r| = 0 п. в. на Г^г. (5.35)
Но (5.34) и (5.35) вместе эквивалентны последним условиям (5.19),
откуда следует требуемая эквивалентность.
В дальнейшем мы примем постановку задачи 5.3 в качестве
определения исследуемой задачи: от статической задачи с трением,
с законом Кулона и двухсторонним контактом мы перешли к ва-
риационному неравенству.
Замечание 5.6. Конечно, все, что было только что ска-
зано, применимо к случаю, когда Гу=ф.
Замечание 5.7. Если g = 0 на Ijr, то (5.24) сводится
к равенству
а (и, v — u) = (f, v — и) 4- $ Fn (vn — uN) dT. (5.36)
Соответствующая задача относится к типу задач, рассмотренных
в §3:
Au = f, (5.37)
u — V на Гу, (5.38)
tjN = FN, ог = 0 на Гу = Г —Гу. И (5.39)
Замечание 5.8. Вариационная постановка задачи из заме-
чания 5.4 получается разложением Г^г на Г&+, где 7^3=0, и
1>-, где Fn<0.
5.2.3. Результаты. Случай tries Гу>0. Заметим, что так как
форма а (и, о) симметрична, то задача 5.3 эквивалентна мини-
мизации на множестве
^доп = {о|иеГ = (Я1(^))3. о = 7/ на Гу} (5.40)
функционала
I(v) = ~a(v, + v) - ^FNvNdV. (5.41)
Выражение I (v) представляет потенциальную энергию кинемати-
чески допустимого поля V.
Предположим, что
(5.42)
feL2(Q). (5.43)
Тогда, так как /(o)2s0, следствие 3.1 доказывает следующую
теорему.
1) Что можно предположить без особых ограничений.
137
Теорема 5.1. Задача 5.3 имеет единственное решение. |
Замечание 5.9 (о зависимости от g). Для того чтобы ука-
зать на зависимость от g, будем писать jg(v) вместо j(v). Пусть
ug — соответствующее решение (5.23), (5.24). Тогда имеем
f «в, - иЁ, || «S с || gi - g2 Ь (iyy (5.44)
Действительно, полагая v = ug, (соотв. v = ugl) в неравенстве (5.24)
с и = Ug, (соотв. и = Mg,) и складывая, имеем (обозначая w = ug, — ug,)
-a(w, w) — \(gi-g2)(.\ug,\-\ug,\)dr^0, (5.45)
откуда, так как Vo (в обозначениях (3.36)), используя (3.37),
получаем
«о i <1 ft - ft Il ug, - ug, b (iyy
Так как |' <p k’^iy) < c II Ф II, получаем (5.44). Функция g-*ug, та-
ким образом, непрерывна по Липшицу в некотором специальном
смысле, указанном точно в (5.44).
Мы докажем, что когда §-*0в Л2(Гу), то ug~>u в (Я1^))8,
где « — решение задачи, сформулированной в замечании 5.7.
5.2.4. Результаты. Случай Г6=0. Если Гу=0, то задача
формулируется так: найти и G V — (Я1 (й))3 такую, что
а (и, v — и)+/ (о) — / («) 2а
Ss (Л v — и) 4- Fn (vN — uN) dT Vo g V. (5.46)
г
Полагая o = 0 и затем v — 2u в (5.46), видим, что
а (и, u)+j (и) = (f, и) 4- Fnun ОТ, (5.47)
г
так что (5.46) эквивалентно (5.47), и
«(«, o)4-/(o)3=(f, о)4-jFjvOjvdT VogV. (5.48)
г
Заменяя о на —о, получим окончательно, что условие (5.46)
эквивалентно условию
а (и, — v) — ^FNvxdT
г
Vo G V,
(5.49)
</(0
переходящему в равенство, если о = «.
Полагая теперь o = pesf в (5.49), обнаруживаем, что задача
может иметь решение только при условии
|(А Р) + 5 fnPn | «5 / (p) = $ g | рт 10Г VpGe^. (5.50)
г г
138
Ниже мы решим задачу при более сильном предположении,
что неравенство в (5.50) — строгое, т. е.
$g|pr|dr- (/, р) + FNpN dr I > 0 Vpe.^, р=^0. (5.51)
Г Г I
Это эквивалентно (так как пространство конечномерно) су-
ществованию числа с>0 такого, что
$g-|pr|dr- (f, p) + \FNpNdY Ssclpl1).
г
(5.52)
г
Таким образом, имеет место
Теорема 5.2. Предположим, что Ги=ф и что выполняется
(5.52). Тогда существует к е V — решение (5.46), или (что то же
самое) функция, доставляющая на V минимум функционалу 1 (о)
вида (5.41) (с Г5г = Г).
Доказательство. Функция v-*-l(v) непрерывна и вы-
пукла на V; следовательно, достаточно показать, что
7 (и)->4-со, если ||ц|1->оо. (5.53)
Полагаем
w — v — Pv, Р — ортогональный в (L2(Q))3
проектор V->е^, (5.54)
у = и»4-р, реэ?. (5.55)
В силу (3.52) e(w)^C! | о>|2, так что
a(w, w) 5^а || w у, а>0, (5.56)
и, кроме того,
||v||2 = 8(v) + |u|2 = e(u9 + |ay|2 + |p|2,
так что
5vj —норма, эквивалентная |ш|4-|р|. (5.57)
Имеем
/ (и) = / (о»+р) =
= ^a(w, да)4-/(аУ + р)-(/. w) - j FNwN d? -
(5.52)
^^a(w, ay) + / (ку + р)-j (p) + c|p|-
— (A ^)-^№)w^rssc(H|i2 + |p|) —C||O)||,
г
откуда в соответствии с (5.57) следует утверждение.
dx\W
— (Л р) + J dV
г
X) Где, как и в предыдущих пунктах, | f |=||/I(P(Q))« = H hfi
139
Проблема единственности решения задачи (5.46) открыта. Мы
столкнулись с аналогичной ситуацией в § 7 гл. 1 (теорема 7.5),
где нам все же удалось доказать единственность. К сожалению,
нам не удалось распространить рассуждения § 7 гл. 1 на настоя-
щий случай. Приведем одно очевидное наблюдение.
Если и и2 — два решения (5.46), то, полагая и — и2 (соотв.
v — Uj) в неравенстве относительно ut (соотв. ы2) и складывая,
заключаем, что a(Ui — иг, и1 — и2) = 0, поэтому иг — и2^е%, сле-
довательно,
в условиях теоремы 5.2 поля напряжений и деформаций
единственны. (5.58)
5.3. Двойственная вариационная постановка.
Как и в пункте 3.5 мы исследуем двойственность с двух,
несколько различающихся точек зрения.
5.3.1. Статически допустимые поля и потенциальная энергия.
Через К обозначим множество статически допустимых полей
(напряжений) (с. д. п.), определяемое следующим образом:
К={т|Ту=Т;ге£2(й), Xyj+fi — О в Q,
xn = Fn на Г>, |Tr|=sSg на 1» !). (5.59)
Замечание 5.10. Для т такого, что xyj+fi = 0, можно
определить (см. замечание 3.8)
хуп} (= Н-w (Г) Vi.
Тогда
Т№ТУп/п/ определено в H~il2(T), (5.60)
т/г = ТуП/-тЛгп/еЯ-1/2(Г), (5.61)
так что
тг = {т/г} е (Я-'/2 (Г))3. (5.62)
Условие |тт|=^£ на Гу означает: сужение хТ на Гу принад-
лежит (£°°(Гу))3 и |тг(х)|=С£(х) п. в. на Гу. Множество К,
определенное в (5.59), является тогда выпуклым замкнутым под-
множеством пространства
Я = {т|т;/ = т//е£2(й)} (5.63)
(со скалярным произведением J ПуХу dx).
Q
Для функции те К определим потенциальную энергию J (т)
следующим образом:
J (т) = erf (т, т) — XynjUf dr (5.64)
Гу
О См. замечание 5.12,
140
1
(как в (3.68) с обозначением (3.69)). Тогда задача, двойственная
к исходной, ставится так:
Задача 5.4. Минимизировать I (т) на К.
Замечание 5.11. Сравнивая с задачей 3.2, видим, что при-
сутствие трения изменяет лишь выпуклое множество (на самом
деле значительно, так как мы переходим от выпуклого линейного
аффинного многообразия к «нелинейному» выпуклому множе-
ству).
Замечание 5.12. Конечно, в задаче 5.4 предполагается,
что К непусто. Заметим, что если « — решение (5.23), (5.24), если
мера Г>0 (соотв. решение (5.46), если Г17 = 0), то оу =
== aykh^kh («) s К. так что, согласно результатам предыдущих
пунктов, имеем
если тезГи>0 (соотв., если Гу = 0 и выполняется
(5.52)), то К^ф. (5.65)
Отсюда немедленно заключаем:
Теорема 5.3. Если мера Гу>0 (соотв., если Гу—фи
выполняется (5.52)), то существует единственное поле та-
кое, что
(5.66)
или
А (о, т — ст) $ U, (гуП] — ОуП,) dr Vt s К, (5.67)
Остается выяснить соотношение между исходной (или «перво-
начальной») и двойственной задачами. Мы покажем, что исходная
и двойственная задачи связаны соотношением, аналогичным (3.81)
(см. ниже формулу (5.76)), и что решения и и ст этих задач свя-
заны равенствами
Oy = aykhekh(u) в й, (5.68)
CTrMr + g| Ut\ =0 на Гу. (5.69)
5.3.2. Двойственность и множители Лагранжа. Распространим
рассуждения пункта 3.5.2 на ситуацию с трением. В обозна-
чениях п. 3.5.2 *) введем (используя (3.73))
/*(*» 9) = /(т, V, яУ + Цо)* 1), (5.70)
/*(</)= sup /*(т, v, q), v — U на Гу. (5.71)
Как и в (3.75),
sup /* (?) < I (и). (5.72)
Q
*) И п. 5.2.2 (формула (5.22)). (Прим, ред.)
1) Где интеграл ^FvdF в (3,73) мы заменили на $FNvNdV9
141
В обозначениях п. 3.5.2 имеем
/*(т, v, q) = I1('t, q) + I3(v, q),
1з(и> q) = j (»)-(/. v)- J FNvNdT+ ^qijaiJlthekh(v)dx.
Гда. 0
Таким образом, получаем (см. (3.76))
inf 11 (r, q) = — ~ e^ (T, т), где ЛуААтАА = q^,
тогда
h (P, q) = / (v) - (A v) - J Fnvn dr + J quetch (dvk/dxh) dx,
a
(5.73)
откуда следует, .что
inf I3 (v, q) =
V
' — оо, если т € К, v = U на Гу,
J гААпА£4 dV, если т е /(.
. Гу
Следовательно,
Но
/(<?) =
- |е/(т, т) + J TAAnAt/A dr, если
Гу
где qy = ЛуААтАА;
—оо в других случаях.
(5-74)
/(«)=—^а(и, M)+J otfnfUtdr.
Гу
Действительно, из Au=f, u = U на Гу, <jn = Fn
|ar!^gr, oTUT + g\uT\=0 на Гу следует, что
а (и, м)= $ Giftt/Uidr— FNuNdr— J <jtut dr = (/, и),
Гу
(5.75)
на Г
Vu
и поэтому, ввиду
— J атит dr — j {и),
получаем (5.75). Но
тогда
sup t (q) > — (<j, a) 4- J GkhtihUk dr = I (u),
ry
откуда вытекает утверждение, аналогичное (3.81):
142
Теорема 5.4.
Г1 (*
inf -п-А (т, т) — \
А
tkhtihUkdr + inf /(t») = 0 на Гу.
v = U
(5.76)
Кроме того, решения о и и связаны соотношениями (5.68),
(5.69).
5.4. Другие граничные условия и открытые вопросы.
В этом пункте мы укажем другие граничные условия, кото-
рые могут встретиться, если трение описывается законом Кулона
или каким-либо другим законом. Мы придем к задачам, некоторые
из которых являются простыми вариантами задач, рассмотренных
ранее, тогда как другие, по-видимому, не решены.
5.4.1. Нормальное перемещение с трением. В задачах, рас-
смотренных в п. 5.1.2, силы трения возникают при тангенциаль-
ном перемещении. Теперь мы рассмотрим случай, когда трение
соответствует нормальному перемещению1). Тогда условия задачи
в предыдущих обозначениях и предположениях таковы:
Найти решение и (5.17), удовлетворяющее (5.18) и следую-
щему условию на Гу: пусть gt и g2 принадлежат А” (Гу) (в общем
случае они принадлежат Я-1/2 (Г) и мы рассматриваем их суже-
ния на Гу). Предположим, что
gi^O^gz- (5.77)
Тогда для х е Гу имеем условия
gi < ajv (х) <g2=>uN (х) = О,
oN (х) =gt=^uN (х) О,
on (х) = & =£ иN (х) sg О,
(5.78)
которые мы дополняем, например, классическим условием
аг = 0 на Гу. (5.79)
Тогда можно легко доказать, что предыдущая задача «эквива-
лентна»2) задаче минимизации функционала
Ii(v)=-%a(v, у)+/1(у)-(А v), (5.80)
где
/i(t») = J (— givh+gtVN)dT, (5.81)
Гу
i) Такая ситуация может возникнуть в некоторых механических системах.
2) Это формальная эквивалентность, как мы уже указывали в некоторых
случаях, так как в задачах (5.17), (5.18), (5.78), (5.79) мы не делали точных
предположений относительно дифференцируемости и.
143
а минимум ищется на множестве #доп функций v е (Н1 (Q))8 таких,
что
v = U на Гу.
Действительно, если « — решение в #доп, минимизирующее
Jj (и), то имеем
а (и, v — + — v — u)^0 Уие=Ядоп. (5.82)
Отсюда выводится (при v = u±<p, <р е (^ (й))8), что
Au —f,
откуда согласно формуле Грина (2.33) (так как v — u = U на Гу)
следует
а(и, и —«)+ J [<М^г-«т) + <Милг-«лОИГ =
iy
= (Л v-u)^a(u, v-«) + /i(v)-/i(u)
и поэтому
/1 (0 ~/1 (w) + 5 uar (vr — «г) + <ty (Vn — «jv)]dr 3s 0. (5.83)
ГУ
Полагая vT — uT = ty, ф e (Я1/2 (Г))8, пф = 0 на Г и vN —
— uN = 0 (что допустимо), из (5.83) заключаем, что выполняется
(5.79) и поэтому (5.83) сводится к
/1(у)-/1(«)+ J Олфд- —«дО^ГзэО, (5.84)
Гу
т. е. к
rF
— [(ал—(5.85)
Полагая цу = ± tap, <р®Я1/2(Г), <р^0 при Л->-}-оо, находим,
что
o'x-gi^O, g2 — erv3=0, (5.86)
и
5 [(<^-gi)wwH4g2-<^)«w]<*rs==0,
ry
что, вместе с (5.86), эквивалентно равенству
(<T№gi)wtr + (g2-M«iv=0. (5.87)
Но (5.86), (5.87) эквивалентны (5.78), откуда вытекает требуемый
результат.
Следствия. Используя предыдущие методы, можно пока-
зать, что если мера Гу > 0, то задача имеет единственное решение.
144
В случае Гу = ф для того, чтобы задача имела решение,
необходимо, чтобы выполнялось условие
/1(Р)-(Л Р)^О Vpee^. (5.88)
Из этого неравенства выводится (заменой р на — р), что
- 5 (~ £iP" + dr (/, р) <
Г
< $ (— giPN+&Рлг) dr Vp <= S#. (5.89)
г
Далее мы доказываем, используя те же методы, что при дока-
зательстве теоремы 5.2, что если выполнено усиленное условие
(5.88), т. е. если
/1(Р)-(АР)>О Vpe^, р^О1), (5.90)
то задача имеет по крайней мере одно решение. Поля деформаций
и напряжений единственны.
5.4.2. Задача Синьорини как предельный случай задач с тре-
нием. Рассмотрим прежде всего частный случай п. 5.4.3, когда
g1=‘Q и gi = g>0. Введем
Л(»)=^лг</Г. (5.91)
Г
Тогда задача соответствует минимизации (на пространстве функ-
ций v таких, что у = (7 на Г^) функционала
±a(v, v)+g/(o)~ (A v). (5.92)
Рассмотрим случай (наиболее тонкий), когда
Ги=ф. (5.93)
Тогда, если предположить, что выполняется (5.90), т. е.
-(A P) + g/(p)>0 Vp<=^, р#=0, (5.94)
то существует ug, минимизирующая (5.92) на V = (Я1 (Й))3. ug
характеризуется неравенством
a(ug, v-ug)+g^(v)-g^(ue)-(f, v-ug)^0 Vt><=V, (5.95)
которое обеспечивает единственность поля деформаций и напря-
жений.
Пусть теперь + Введем множество
K = {v\v<=V, на Г}, (5.96)
которое будет замкнутым и выпуклым в V. Предположим, что
-(A p)+go/(p)>o, Vpes^, р=#о,
g0 > 0 фиксировано. (5.97)
&) Или если конечномерно и /х(р)—(/» P)^₽|Pl» Р>0, Р е <&*
145
Заметим, что тогда (5.94) выполняется поэтому ug
существует при Мы покажем, что
можно найти последовательность g-*-<x> такую, что ug слабо схо-
дится в V к решению и<=К неравенства
а (и, v — u)^(f, у —и) Vv е/(. (5.98)
Раскроем неравенство (5.98); находим
Au = f, аТ = 0 на Г, (5.99)
Илг^О, cN^0, 𹫠= 0 на Г.
Это задача Синьорина (см. Фикера [1]).
Заметим, что из доказательства (5.98) будет видно, что реше-
ние задачи Синьорини существует при условии (5.97), которое
обеспечивает выполнение неравенства
— (А р)>0 Р#=0. (5.100)
В работе Фикеры [1] (см. также Лионе, Стампаккья [1]) суще-
ствование решения задачи Синьорини было доказано при един-
ственном предположении (5.100)1 * *). Здесь мы получим, что при
(более сильном) предположении (5.97) задача Синьорини является
предельным случаем задач с трением.
Доказательство (5.98). Из (5.97) следует, что
-(А р) + gj(р)со1рj,
где через | | обозначена норма в V. Следовательно, если мы
разложим у = и» + р (как в теореме 5.2), то получим
у а (о, v)+g?(v)-(f, v) =
= ^-a(w, w)+g^(w + p)-(f, p)«
= p)+go/(p) + (i-g,o)^(o’ + p) +
+£о(Л (» + p)-7 (p))Ss
Ssy а || ay |P-Ci ||ay ||+c0 |p|+go (Л (® + p) -/ (p))-
Здесь мы использовали (5.56) и предположили, что g~3zg0. Но
^(ау + р)-/(р)^-Л(ау)^-с2|ау||, откуда ^a(v, о)+^/(о) —
— (/, у)5=с8(!|ш||84-||р||) — с4||ау|, где с3 и с4 — константы, не зави-
сящие от g. Таким образом, вектор-функция ug (которая является
одним из элементов, минимизирующих у а (о, 0+£/(«) — (А »)).
остается в ограниченном множестве пространства V. Но тогда
1) В указанной работе Фикеры доказывается, что условие (5.100) является
необходимым. Многочисленные обобщения всех этих вопросов содержатся в
работе Шатцмана [1].
146
из (5.95) получаем (например, полагая и = 0) g/(ug)^sci, поэтому
/(ы?)-»-0 при g-> + oo, (5.101)
так что можно выбрать последовательность (также обозначаемую
через ug) такую, что ug-+-u слабо в V и, в силу (5.101),/(м) = 0;
следовательно, и е К.
Если в (5.95) возьмем пеК, то (так как тогда /(у) = 0)
a(ug, v) — (f, v — ug)^a(Ug, ug). (5.102)
Переходя к пределу в (5.102), получаем
а (и, v) — (f, v — u)^a(u, и)
откуда следует результат.
5.4.3. Другие условия трения с заданным нормальным переме-
щением. При некоторых граничных условиях с трением может
оказаться так, что задано нормальное перемещение и одновременно
известно, по крайней мере, приблизительно, нормальное напря-
жение. Это приводит к следующим условиям на Гух):
«« = 0 на Гу, (5.103)
Ы<£=>«Г = О,
|<тг|=£=>ЭЛ>0: Мг=-Лог.
Условие (5.104) есть закон трения, отличный от закона Ку-
лона. Соответствующая вариационная формулировка имеет вид
а(и, о — «)+ Jg(|i»r| — \ur\)dr^(f, о —и) (5.105)
Гу
V вектор-функции ие2/доп, удовлетворяющей (5.103). Решается
эта задача так же, как в п. 5.2.
5.4.4. Трение Кулона с заданным нормальным перемещением.
Вернемся к закону Кулона, который рассматривался в п. 5.1.2,
но теперь мы предполагаем, что вместо нормального напряжения
на Гу = Г — Гу задано нормальное перемещение. Таким образом,
приходим к следующей задаче (см. (5.7), (5.8)):
Найти решение и задачи (5.17), (5.18) с
«№=0 на Гу (5.106)
и со следующими условиями на Гу:
|<тт |;
|<Ут | <Z&|On I ит = 0; (5.107)
| oT i = & | on I => 3^ Ss 0: ur = — tor-
Эта задача, по-видимому, не решена. Мы ограничимся следующим
замечанием: если ввести
#доп = {и | у <= (Я1 (Q))8, v = U на Гу, vN = 0 на Гу}, (5.108)
1) Граничные условия на Гу остаются неизменными.
147
то « — решение (5.17), (5.18), (5.106), (5.107), если и только если
и —решение в #д01, следующего неравенства:
а (и, v — и) + $ I ах («) i (| vT | — | uT I) dr s? (f v — u) Vv<= #доп.
(5.109)
Формальную эквивалентность доказать легко. Но рассматривая
задачу (5.109), мы сталкиваемся с некоторыми трудностями:
1) Мы должны придать смысл (5.109); для ы <= #доп функция
Qn (и) не определена на Гу; однако, если « — «решение» (5.109),
то Au—f; возможно (но это не доказано), что если Me(№(Q))3
и Au е (L2 (й))3, то мы можем определить | (и) | в Н~Х12 (Г).
2) Даже если преодолена трудность, указанная в п. 1), то
неравенство (5.109) (которое является «неравенством необычного
типа») полностью не решено.
Мы можем доказать существование решения регуляризованного
неравенства
е(Аы, А (о — «)) + «(«, V — ы)-|- а?" | tyv («) | (I Vr | — | «т |) 3s
ГУ
Ss(f, v — u)', и, и е (№ (й))3, (5.110)
u = v = U на Гу,
un = vm — 0 на Гу.
5.4.5. Задача Синьорини с трением (Дюво [5]). Здесь мы имеем
дело' с изучением деформации упругого тела, находящегося на
жесткой опоре. В начальной стадии без напряжения тело зани-
мает область й пространства R3 с границей Г, часть которой,
Гъ соприкасается с жесткой опорой S. Тело й подвержено
действию объемных сил {/,-} и поверхностных сил {F/} на
Г\ГХ(=Г2). Эти силы вызывают деформацию упругого тела,
а соответствующие перемещения на Г таковы, что нормальная
компонента перемещения отрицательна или равна нулю (как
в классической задаче Синьорини), тогда как тангенциальная
компонента перемещения вызывает силу трения, нормальная ком-
понента которой равна нулю.
Поля перемещений {«Д и напряжений {оу} удовлетворяют
следующим уравнениям и условиям
<т«,/+Л = О в Й, (5.111)
а//=ау*Ае»л(«) в й, (5.112)
Щ]П)=р1 на Г2, «дг^сО на Гх, (5.113)
Up/ С 0 OtyZly = 0, «лг = 0^>ОлГ^0,
I Of I < I Ojv I «г = 0,
| = е7' | Одг | =5> 3X3^0, Ur — — fa?T’
Если положить
^доп = {^1У = {Уг}. fied’(Q), ^«/ = ^<0 на Г^,
148
то можно показать, что решение и задачи (5.111) — (5.113) удов-
летворяет условиям
Il S ^доп»
а (и, v - и) + I адг (и) | (|рг I -1 ит |) dr
г,
v-u) + (F, v-u)r, Уоб=#доп. (5.114)
Задача отыскания вектор-функции и, удовлетворяющей (5.114), не
решена.
5.5. Динамический случай.
Вернемся к задаче 5.1, п. 5.1.2. Сначала дадим вариационную
формулировку «динамического аналога» задачи 5.3, а затем решим
задачу в такой постановке. Здесь мы не будем касаться «динами-
ческих аналогов» других задач, рассмотренных в предыдущих
пунктах. Для них справедливы аналогичные результаты, а задачи,
не решенные в стационарном случае, приводят к нерешенным
задачам в динамическом случае.
5.5.1. Вариационная постановка. Определим
Ядоп (0 = {»|» е(№ (Й))8. v = U' (0 на Гу}. (5.115)
Тогда в обозначениях п. 5.1.2 приходим к следующей задаче.
Задача 5.5. Найти вектор-функцию и такую, что
«'(0е»доп(0 V0 (5.116)
(ы"(0, о —и'(0)4-а(ы (0, v-u' + (0)s==
^(/(0, р-u'(0)+ J FN(t)(vN-u'N{t))dT Vo s #доп(0, (5.117)
rjr
и удовлетворяющую начальным условиям
ы(О) = ио, и' (0) = ых. (5.118)
Замечание 5.14. Из (5.116), (5.118) следует, что ы(0 =
= U (0 + (а0 — U (0)) на Гу, откуда следует (5.6), если
ыо = (/(О) на Гу. (5.119)
Замечание 5.15. Поставленная задача относится к эволю-
ционным неравенствам второго порядка по t (эволюционные нера-
венства, рассмотренные в гл. I, II, были первого порядка по t).
Замечание 5.16. Если = 0 (случай без трения) и если
Г,г = Г — Гу = Г^г, то неравенство (5.117) превращается в равен-
ство, и мы возвращаемся к (2.42). Таким образом, решение
задачи 5.5 воспроизводит результаты § 4 как частный случай.
Мы разделили эти результаты для ясности изложения.
Замечание 5.17. В предыдущих пунктах мы видели (ста-
тический случай), что ситуации
mes Гу > 0 и Гу = ф
149
довольно сильно отличаются друг от друга; в последней сил тре-
ния достаточно для уравновешивания внешних сил, действующих
на систему, и для обеспечения статического равновесия тела.
Мы увидим, что в динамическом случае результаты получаются
одинаковым образом в обеих названных ситуациях. Тем не менее,
как уже отмечалось, в случае «без трения» (см. замечание 4.4)
при «Гу = ф» может иметь место глобальное движение упругого
тела, которое можно разложить на жесткое движение без дефор-
мации и деформацию.
Такое жесткое перемещение без деформации будет, вообще
говоря, нарушать данные граничные условия и, следовательно,
мы можем считать соответствующее решение истинным, только
если мера Гу > О или Гу = ф и для всех t > О
$g(0lpr|dT- (НО. р) + ^лг(0Рл^Г S==0
г . г (5.120)
Vpee^, р=#0.
5.5.2. Результаты. Как в п. 4.1, введем вектор-функцию Ф(0,
удовлетворяющую условиям
Ф(0е(Ях(Й))3. Ф^) = и(() на Гу. (5.121)
Введем Vo как в 4.2:
Уо = {о | v е (Я1 (Й))8, о = 0 на Гу}.1) (5.122)
Заменяя u(t) на u(t) — Ф(0 и сохраняя обозначение и (0, приве-
дем задачу 5.5 к следующей:
Найти функцию t-+u(t), [О, Т]->У0, удовлетворяющую
(u"(t), v-u' (t)) + a(u(t), и-и'(Г))+Цо + Ф'(1))-
-/(«'(О + ФПО^С^О. о-«'(0) Vo<=l/0, (5.123)
где
С? (О, о) = (Н0. v) + $ FN(t)vNdT-
-(Ф“(0. о)-а(Ф(0. V). (5.124)
и начальным условиям
ы(О) = ио, ы'(0) = ы1* (5.125)
Эти условия аналогичны (5.118), при этом «0 здесь соответ-
ствует и0 — Ф(0), а щ соответствует щ — Ф'(0).
Введем Я = (Ь2(Й))8 и пространство У9, двойственное к Уо,
так, чтобы Го с Н cz У. Докажем следующую теорему.
l) V •= Ув, если Гу = 0.
160
Теорема 5.7. Сделаем следующие предположения:
f, f, Г(=ЬЦ0, Т: Н); FN, F'n, FfceL8(0, Т, L2 (!>)); (5.126)
Ф, Ф', Ф" е L2 (О, Т; V), V = (Н1 (Q))»;
ф(з), ф«)еР(0, Т; Н), Ф(0)е=(Я2(Й))8; ( ’ }
g не зависит от t; (5.128)
м0е(№(Й))3; (5.129)
«^(/^(Й))8, н1Г + Ф;(0 = 0 на 1>; (5.130)
а(Ф(0), о) = (ЛФ(0), у)- $ aoTvTdr Vy е Vo. (5.131)
г^
Тогда существует одна и только одна функция и, являющаяся
решением (5.123), (5.125) и такая, что
и, u'e=Lm(0, Т: Го), (5.132)
и"<=1^(0, Т-, Н). (5.133)
5.5.3. Доказательство единственности. Пусть и и щ — два
решения. Полагая в (5.123) v = u{(t) (соотв. v = u'(t) в неравен-
стве относительно щ) и складывая, получим (w^u — щ)
— (w*, w') — a (w, w') 0,
т. е.
А[| w' (0 |2 + а(№(0, №(0)]<0.
Так как ш(0)=0, а»'(0) = 0 и a(v, у) 5=0, то а/(0 = 0,
откуда w (0 = 0.
5.5.4. Доказательство существования. Будем считать, что g
может зависеть от t, так что g, dg/dt, d2g/dt2 <= L°° (Г^г x ]0, T[). Регу-
ляризируем функционал /. Определим
Ш = 0 Фе (МИГ, (5.134)
г
где, например,
Фе (Ь)=IЬ |(1+8>, 8>0;
/е —выпуклая регуляризация /.
Рассмотрим регуляризованное уравнение
(«е. у)4-а(це» 0 + (/е(«е + Ф')> v) = (Т, v) Vv s 70 (5.135)
с начальными условиями
Us(O) = Uo, «е(0) = «1. (5.136)
Сначала докажем существование решения ие задачи (5.135),
(5.136), потом установим априорные оценки, не зависящие от в,
а затем перейдем к пределу по 8,
161
Как всегда, наиболее существенный момент —это априорные
оценки. Существование ие можно доказать, например, переходом
к пределу по размерности в приближении Галёркина, как
в § 4. Установим априорную оценку.
Априорная оценка (I). Положим ю = и'е-^-Ф' в (5.135).
Замечая, что w)^Q Vtw е Уо> получим
(«;(0. «е(0) + Ф'(04-а (МО, М0+Ф'(О)<
^(Т(0, «ИО + Ф'Ю).
откуда
4 4 (I «е (О I2 + а (и, (0, ие (/))) < (Т (0, и'е (0 + Ф' (0) +
+ («; (0, ф' (0) - а (ие (0, Ф' (0). (5.137)
Так как для Х>0 существует а>0 такое, что a(v, 0)4-
4-Х| о|2^а||ц||2, то из (5.137) (после интегрирования по 0
следует неравенство
|М0124-а|1МО112-^1МО12^
< I М2 4-С||«о112 + 2 5 (V (о), и' (о) + Ф' (о)) do -
О
t t
— 25 (Ue (о), Ф' (о)) do — 5 a (uR (о), Ф' (о)) do =
О о
t
= I Их I2+с||«о112 + 2 $ (Т (о), и’е (а) 4-Ф' (о)) do - 2 (и'е (0, Ф' (0) 4-
О
t t
+ 2(ulf Ф'(0))4-2$(М<0, Ф" (o))do —Ja(uB(o), ®'(o))do.
о о
(5.138)
Используя
t
I «8 (О I® J I «е (<0 I2 dcr+ I Uo I2
о
и замечая, что предположения, сделанные для Ф, f, FN, озна-
чают, что
Т, TeL2(0, Т; VJ), (5.139)
выводим из (5.138), что
ш*) |2 + 1Ы0Н2<
t i t
< с + с JI «е (о) I2 da + с $||«е (о)||2 do + 2 J (Т (о), и'е (a)) do =
ООО
= С [ 1 4- J (| и'е (а)I2 + ||«е (О)|12) do) + 2 (Т (0, и’ (0) -
\ 6 '
-2 (W (0), И1) - 2 (<т)||*||ые (a)||do,
о
152
откуда, окончательно, получаем
I «в (О I2 + Н«е (ОН2 С I 1 + J (| и'(с) I2 + ||Mjs (ст)||2) da\ (5.140)
\ о /
Следовательно, согласно лемме Гронуолла,
|«в(0| + 1|Ие(0П (5.141)
Априорные оценки (II). Дифференцируем (5.135) по/
и подставим в результат v = if (t)-|-Ф"(/). Полагая
х (о=(4 л («в (о+ф' (0).(о+ф" (о),
получаем
(«ё (0, «в (0 + Ф" (0)+а (и'е (0, (0 + Ф" (0) + X (0 =
= (Ч"(0, Ме’(0 + Фя(0)- (5-142)
Но
(/в(W), »)= 5 g(x> t)<p'eQwr\2)wrvrdr = 5 g(x>()^(wT)vTdr,
следовательно,
Л (w (0). t>) = J Фе (wT (0) vT d? +
r^-
h
+ f s{x, ()llro „r<ir.
J Л~*0
ry
Таким образом,
(-^r /8 (W (0)> (o) = J If Фе (и»г) w’t dr+
Гу
Ф8(а,т(/+А>)—ФеСМ*)) “’Г(<+Л) —®г(0
ai.
В силу монотонности оператора последний интеграл ^0
и поэтому
(^-/«(«’(0)» №'(0)^ J Фе (Wт) WT dr = J ~ Фе (wT) dr.
г&-
(5.143)
Вместе с этим неравенством (5.142) дает:
у [I «в (/) I2 + а (и'е (/), и'е (/))] + J # • Фе (Ме’г + Ф') dT <
ГУ
<(Т'(0. «И04-Ф"(0)-(«е"(0, Ф'(0)-^(«е(0. Ф"(0), (5.144)
где мы заменили w на Ие4-Ф".
153
Интегрируя от 0 до t, получаем
I «е’ (0 |2 + \\и'г (ОН8 <
< С (||Ы1||2 +1(0) 10+с JI(о) da + 2 J (¥' (а), ие' (ст)) da -
о о
t t
-2 ( («Г(а), Ф"(ст))йст-2 Н ^(«ет + ФВ^ГЙст. (5.145)
О О Гр
Так как
$(¥'(ст), ue’(o))do = (¥'(0. «в(0)-(¥'(0), «i)-$(¥’, u'e)da,
О о
то предположения для /, FN, Ф означают, что
T'sL2(0, Т; VJ), (5.146)
следовательно,
t
$(¥'(о), wI(CT))do<
о
<с||¥' (ОН • ||«; (Oll+c+Jirr (a)||$||«e (CT)lldCT. (5.147)
о
Далее,
$ («Г (ст), Ф" (ст)) da =
О
= («е'(0» Ф"(0)-(«е’(0), Ф*(0))-$(«;, ®"')da,
о
откуда, исходя из (5.144), получаем
I«; (о I2+н«; сон2 <
^(1|И1Н2 +1«: (0) ,2) + с$ (||«^ (<г)||2 +1 и’е (ст) О da +
о
Ф*’) dr do
(5.148)
Теперь мы должны оценить t/g (0). Из (5.135) следует, что
(«В (0), и) = СР(О), v) -a(uQi у)-(/'(«1 + Ф'(0))>
154
Так как в силу (5.130) Иц-Ч-Фт (0) = 0, то
(ме’(0). f) = (^(0)> v)-a(u0, 0 =
= (/(0). »)+ J FAr(0)wjyrfr-(O'(0), и) — а(Ф0, v)-a(u0, 0.
Но
а(и0, v) = (Au0, 04- J <т0лгОл*/Г+ J <тоГиг(/Г.
iy гу
Теперь <jon=Fn (0) и, следовательно, используя (5.131) получаем
(«е(0), 0 = (/(О)-Ф"(О)-Лио-ЛФ(О), 04-
4* J O07-Vydr— J O07-l>rdr,
rj- Гу
откуда
и'е (0) = f (0) - Ф' (0) - Л («0 4- Ф (0)). (5.149)
Поэтому, в частности, ввиду сделанных предположений,
|«е'(0)Кс. (5.150)
Рассмотрим теперь последний член в (5.148), который экви-
валентен выражению
J 0 Фе («ет (0 4-Фт (0) dF—
Гу
- J -g- (X, 0) («е’г (0) 4-Фг (0)) dr -
Гу
-J 5-^^(«е'тЧ-Фг)^Гаа. (*)
0 гу
Для того, чтобы использовать эти оценки в (5.148), мы должны
оценить (*) сверху величиной ] (01> но тогда появится член
Н«е (011 и вывести результат невозможно, если только не предпо-
лагать, что dg/dt = 0, т. е. (5.128).
Соотношения (5.148) и (5.150) дают
\\и'е(ОН24-1 «е (012<с(14- J (I «в (Ф |24- Ш(<0ll2) dA (5.151)
откуда, используя лемму Гронуолла, получаем
|«в(О14-0«;(ОН<с. (5.152)
155
Переход к пределу по е. В силу (5.141) и (5.152) из «8
можно выбрать подпоследовательность (обозначаемую также через
ы8) такую, что
ие-+и, и'е-^и' (соотв. «£->«") «-слабо в L°°(0, Т\ Vo)
(соотв. в L°°(0, Т; Н)). (5.153)
Из (5.135) следует, что
(«;, V — и'е) + а(ие, V — и£ + }е(и + Ф')— /8 («е + Ф') - pF, v — u'e)=
=/е(« + Ф')-/8(Ие + Ф')-(/е(ые4-ф'). V - М8) 5* 0. (5.154)
Полагая в (5.154) v = v(t), veL1 2(0, Т\ Уо), получаем
т
$ [(«;, v) + «(«s. + v-u'e)\dt^
о
т
$ [(«I, Ue) + a (ие, и’е) + /8 (и8 + Ф')^ dt =
= |[|«е(Л1а + а(«8(П. МЛ)]~
~4[|Ы11г + а(м0’ «о)]+|/е(и^ + Ф')Л- (5.155)
Кроме того,
т
liminf [у[|а8(Л 1г + «(«е(Л> «8 (Л)] + (/»(|4+Ф')Л]>
8-.0 L2 J
т
^±[\и'(Т)\* + а(и(Т), «(Г))] +р-(«' + Ф')^ =
= $[(«", и')+а(и, а')+/(и' + Ф')]Л.
о
Следовательно, (5.155) дает
т
$ [(«". о-«') + а(и. о-ы')4-/(«+Ф') — /(«'+Ф') —
о
~(Т, v-u')]dt^O VveL2(0; Т; Vo)- (5.156)
От (5.156) переходим к поточечному неравенству (5.123) *)
таким же образом, как в п. 5.6.3 гл. I.
1) Условия (5.123) выполняются для всех fe Уо исключая, быть может,
множество меры нуль в [0, T]t
156
§ 6. Линейная вязко-упругость.
Материалы с кратковременной памятью
6.1. Уравнение состояния и общие замечания.
Вязко-упругие материалы — это материалы, снабженные «па-
мятью» в том смысле, что состояние напряжения в момент вре-
мени t зависит от всех деформаций, которым подвергался
материал в прошлом.
Материалы называются линейными, если, кроме того, уравнения
состояния устанавливают линейное соотношение между тензором
напряжений и тензором деформаций.
В § 6 и § 7 мы будем рассматривать материалы именно такого
типа с учетом или без учета трения.
Особо важный класс «вязко-упругих уравнений состояния»
связан с материалами, для которых имеется линейное соотноше-
ние между производными по t (т. е. между законами изменения
с течением t) тензора напряжений и тензора деформаций. Это
материалы «степенного типа» (см. Фрейденталь и Гейрингер [1]),
для которых
(0 + д-^Р~+• • • + А=
= + °- (6.1)
Производные по t в (6.1) следует понимать в смысле распре-
делений на Rt, тензоры о и е равны нулю при /<0. (Для
согласования с обозначениями предыдущих пунктов, будем пи-
сать еЙЛ вместо е*л(ы).) В нульмерном случае вычисление легко
провести в явном виде (например, используя преобразование
Лапласа).
В случае п2>п1 находим
aW л.. С
а(О = а«»е(0+^ + а-^е(О + J b (t - s) г (s) ds, (6.2)
О
где N = n^ — tii; а(0), ..., a(W) — константы, b — функция, регуляр-
ная при />0 и непрерывная при
В случае п2<Пх получаем
t
c(t) = \b(t-s)e,(s)ds, (6.3)
О
где b имеет те же самые свойства, что и выше.
Уравнение (6.3) в общем виде не используется, потому что
оно недостаточно хорошо согласуется с экспериментом. В § 6 мы
исследуем случай пх = 0, n2 = 1, а в § 7 — случай nt = п2 == 1.
х) См. также Дэй [1J,
157
При Пх = 0, n2 = 1 уравнение состояния имеет вид
(6.4)
В этом случае говорят, что рассматриваемый материал обладает
кратковременной памятью, так как состояние напряжения в мо-
мент времени t зависит только от деформаций в момент времени t
и ближайшие предыдущие моменты времени. Коэффициенты
(соотв. a'ii'kh) играют роль коэффициентов упругости (соотв. вязко-
сти *)) и поэтому естественно, в соответствии с экспериментом,
предположить, что
a'likh^kh aWii, di'ikhtifikk Sa aez/8z/. (6.5)
(Коэффициенты aijkh суть коэффициенты ву, построенные для поля
скоростей, и, следовательно, коэффициенты вязкости. Скаляр
ai/Wy («') е*л («') представляет тогда диссипацию энергии, он необ-
ходимо положительный, что объясняет второе условие (6.5)).
При П1 = п2 = 1 уравнение состояния принимает вид
°у (0 ~ aifkh^kh (0 + J bjfk/i (t — s) еАЛ (s) ds. (6.6)
о
Говорят, что материал с уравнением состояния (6.6) (в § 7 мы
укажем условия на функции f-*6y**(0) обладает долговременной
памятью, так как состояние напряжений в момент времени t
зависит от значений тензора деформаций
e*ft(s) для всех
6.2. Динамический случай. Постановка задачи.
Уравнения имеют вид * 2)
- Д dtjufikh (и) a^khekh (u)=fh х е Q, t <= ]0, Т[. (6.7)
Рассмотрим случай с трением (с постоянным коэффициентом
eF) на части Гу границы Г = дй и с заданным на Гу = Г\Гу
перемещением.
Тогда граничные условия аналогичны условиям, введенным
в п. 5.1.2:
щ — Ui на Гух]0, Т[, (6.8)
on = Fn на Гух]0, Т[, (6.9)
IоТ I <.g = I I durldt = О,
|crr|=g=>{BX>0: dur/dt — — Лот}. (6.10)
!) Так как они включают тензор скоростей деформаций.
2) Так как в уравнении состояния участвует линеаризованный тензор на-
пряжений, то мы используем линеаризованное ускорение,
158
Начальные условия, естественно, имеют вид
и (х, 0) = и0 (х), ди0 (х, O)/dt = Ui (х), х s Q. (6.11)
Для вариационной постановки введем следующие обозначения:
а(0) (и, о)= J (и) г(/ (v) dx,
° (6.12)
а(1) (и, v) = ) {и) ву (о) dx,
Q
i(v)=‘\g\vr\dl' (6.13)
г
и (как в п. 6.5.1)
ЯЖоп (0 = {»I v е (ff1 (Q))3, v<=U' (0 на Гу}. (6.14)
Тогда предыдущую задачу можно сформулировать как в п. 5.5.1,
заменяя а на сумму а*0) и дополнительного члена а(1) (соответ-
ствующего вязкости):
(Ы"(0, и-«'(0)+а(1)(«'(0. а-«'(0) +
+ а<°> (и (0, v - и' (0)+j (о) - j («' (/)) 2s
>(/(0, »-«'(0)+ 5 FN[t)(vN—uN' (0)4Г Уж=#доп(0 (6.15)
Гу
с граничными условиями (6.11).
Замечание 6.1. Если ®Г = 0 (случай без трения), то (6.15)
при £/ = 0 сводится к линейному уравнению (Гу = Г\Гу)
(ы"(0, ц)4-а<х) («'(0, о)-|-а(0) (м(0, о) =
= (f(0, 04- 5 FNVNdV, о = 0 на Гу (6.16)
ГУ
(к такому же уравнению, в котором v заменено на u — v).
Замечание 6.2 (аналог замечаний 4.4 и 5.17). Мы будем
трактовать задачу (6.15) одинаковым образом, независимо от того,
пусто ли множество Гу или имеет положительную меру. Однако,
если Гу = 0, то может иметь место глобальное движение вязко-
упругого тела, которое можно разложить на движение жесткого
тела и на деформацию. Тогда мы (см. замечание 4.4) возвраща-
емся к случаю, когда
(/(0. p) + \FN(t)pNdV ^g\pT\dr Vp<=^. (6.17)
Г г
6.3. Теорема существования и единственности в динамическом
случае.
Как в п. 4.1, введем Ф(/)х), удовлетворяющую условиям
Ф (/) €= (Н1 (Й))3, Ф (/) = U (0 на Г^. (6.18)
х) В дальнейшем заменяем Ф на 0, если =
159
Введем пространства
У = (Я1(^))8> (6-19)
V0 = {v\v(=V, о = 0 на Гц}1). (6.20)
Заменой и на и — Ф (сохраняя обозначение ы) задачу сводим
к следующей:
Найти и такую, что
u(f)e=V0, (6.21)
(«"(/), о — и' (Z))-f-a'1) (и' (t), v — u'(t)) + am(u(t), о —«'(/))+
+/ (о + Ф' (0)-/ («' (0+ Ф' (0) L (0, о - и' (0) Vo е Vo, (6.22)
где
o)=(f(0, о)+ J ^(^^-(Ф'ЧО, о)-
ГУ
а™(Ф'(1), о)-а<°)(Ф(0, о), (6.23)
с начальными данными
и (0) = ы0 (фактически ы (0) = w0 — Ф (0)),
и’ (0) =(фактически и' (0) = wx — Ф (0)). (6-24)
Мы полагаем Н = (L? (Q))3 и Vo cz Н cz V#; тогда имеет место
Теорема 6.1. Предположим:
f, f, Г <=12(0, Т-, Н): Fn, F'n, ^еР(Гух]0, Т[); (6.25)
Ф, Ф', <VeP(0, Т; V); Ф<3>, Ф‘4>е=£2(0, Т; Н):
Ф (0) е (Н2 (Q))8; (6.26)
g не зависит от t2): (6.27)
M0e(№(^))3; (6.28)
«x^Vo, Ы1г4-Фт(0) = 0 на Гу; (6.29)
(£(0), о) —а(0)(ы0> о) — aw (щ, v)=(u2, о), и2<=Н. (6.30)
Тогда существует одна и только одна функция и, удовлетво-
ряющая условиям
и, и'f=L™(0, Т\ Уйу, (6.31)
u’eP(0, Т: Уо)П£ет(0, Т-, Н) (6.32)
и (6.22), (6.24).
Замечание 6.3. Свойство (6.32) сильнее свойства (5.133),
что обусловлено введением вязкости аи) (и', о — и'), и
Доказательство. Единственность доказывается так же,
как в п. 5.5.3.
1) V0=V, если Гц = ф.
2) Если У не зависит от t, то это условие сводится к тому, что FN не
зависит от t, и тогда вторая часть предположения (6.25) становится излишней.
160
При доказательстве существования мы следуем методу п. 5.5.4.
Дадим только набросок доказательства. Введем /8 как в (5.134).
Аппроксимирующее регуляризованное уравнение тогда имеет вид
v) + a^(u'&, v) + a^(ue, v)+(j'e (иё + Ф’), v)=(L(t), v)
Vv<=V0, ue(O) = uo, u'R(0) — uv (6.33)
Затем, полагая у = иё + Ф', получаем первые априорные оценки.
Заметим, что для всякого %>0 существуют а0, ах>0 такие,
что
а(°)(у, р)-|-%| v|2^a0||w||2, а0>0 Vv е Vo;
aa)(v, v) + X | у |2 5s «11| v ||2, «!>() (6.34)
и
если Гу имеет положительную меру,
то в (6.34) можно положить Х = 0. (6.35)
Таким образом, мы получим оценку, аналогичную (5.138), где
левая часть будет иметь вид
' | «8 (О |а 4- СС1 $ || «е (О li2 ds + a0 II ие (0 ii2 - XI ие (012 + J | Ие (a) |2 do.
о 0
Отсюда следует (ср. с (5.141)), что
К (01+11 «8 (OIK С, (6.36)
т
$К(0Р<*Кс. (6.37)
о
При получении вторых априорных оценок мы действуем так
же, как в п. 5.5.4.
Нам надо установить оценку для Ие(0); полагая в (6.33) t — 0
и используя (6.29), получаем
(Ив (0), v) = (L(0), и) —а(0)(и0, o)-aW(U1, и)^(и2, и),
следовательно,
Н8(°) = «2- (6.38)
Продифференцируем (6.33) по t и положим и = Ив (0 + Ф"(0-
Таким образом получим (ср. с (5.152))
к (01 + |ие(01Кс; (6.39)
т
$ IIиё (Oil2dt^с. (6.40)
о
Затем переходим к пределу по е так же, как в п. 5.5.4.
Замечание 6.4. Можно ввести другие граничные условия,
как, например, в п. 5.4.1.
Замечание 6.5. Можно значительно ослабить предположе-
ния в теореме 6.1 и тогда получить «слабые» решения. Более
точно, имеем следующую теорему.
6 Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе
161
Теорема 6.1а. Предположим'.
f^L*(O, Т; Н), FN^L2(T?x(0, Т)); (6.25а)
Ф, Ф'еР(0, Т\ V), Ф"е=Р(0, Т; Н)\ (6.26а)
Щ <= Vo; (6.28а)
ых s Н. (6.29а)
Тогда существует одна и только одна функция и, удовлетво-
ряющая условиям
Т-, Vo). «'eL2(0, Т; Vo) А (О, 7; Я); (6.31а)
u*eL8(0, Т\ VJ) (6.32а)
и (6.22), (6.24).
Действительно, мы опять исходим из решения и8 уравнения
(6.33). С учетом оценок (6.36), (6.37) из (6.33) следует, что
(«8, o)=(L(0, о) — aw(u'e, v) — aw(ue, v)—(/е(ме + Ф')> у).
следовательно, в частности,
«в остается в ограниченном множестве из La(0, Т; VJ).
Применяя технику того же типа, что и раньше, получаем
утверждение теоремы, в
6.4. Квазистатические задачи. Вариационная постановка.
Так как уравнение состояния (6.4) включает зависимость от
времени через вязкие члены, то мы не можем рассматривать ста-
тические задачи подобно тому, как это делалось в случае упру-
гости (без вязкости).
Однако, если заданные силы или перемещения мало изме-
няются при и представляет интерес решение при t^t0,
то обычно1) пренебрегают линеаризованным ускорением d2u/dt2
в уравнении движения; это квазистатический случай.
Тогда можно записать уравнения равновесия в каждый момент
времени, принимая во внимание уравнение состояния (6.4) в виде
в ^ХЮ, Т[- (6.41)
Граничные условия (6.8), (6.9) остаются такими же, а началь-
ное условие принимает вид
u(0) = uo. (6.42)
Мы приходим к задаче:
1) Ниже, в п. 6.7, мы увидим, что такое ограничение оправдано, по край-
ней мере, для случая без трения.
162
Найти u(t), удовлетворяющую условиям
и (0 s Ид0П,
а‘1)(«'(0> v-u' (0)4-а’0’ (и(0, v-u' (0)4-/(f)- j(u' (0)>
(f (0, v - и' (0)4- $ Fn (t) (v - и' (0) t/Г Vv е= Ядоп (6.43)
г^-
и начальному условию (6.42).
Здесь мы должны тщательно различать случаи: мера Гу поло-
жительна (mes Гу) и Гу=0.
Мы начнем с первого случая.
6.5. Теорема существования и единственности в случае
mes Гу >0.
Мы опять вводим Ф(0, удовлетворяющую (6.18), и заменяем и
на и — Ф. Задача принимает вид:
Найти функцию и такую, что
u(t)<=V,>, (6.44)
a^(u'(t), о —ы'(0)4-а(О)(ы(0, v - и’ (0) + / (о + Ф' (0)-
- / («' (0 + Ф' (0) S== (М (0, v - и' (0) Vv е= Vo, (6.45)
где
(Li(0. v)=(f(t), »)+ J FjV(0vJvdr-aW(®'(0, v)-a<°>W, v),
rjr
(6.46)
и выполняется начальное условие
и(О) = «о(=«о-Ф(О))- (6.47)
Будет доказана
Теорема 6.2. Предположим, что
fG=L*(O, Т-, Н), Fwe£2(Fjrx]0, Т[); (6.48)
Ф, Ф'еР(0, Т; V); (6.49)
«о е Vo. (6.50)
При этих условиях существует одна и только одна функция и
такая, что
u^Lm(Q, Т; Vo), (6.51)
w'eL2(0, Т-, Vo), (6.52)
и выполняются условия (6.45), *) (6.47).
Замечание 6.6. Предположения теоремы 6.2 аналогичны
предположениям теоремы 6.1а.
х) Более точно: (6.45) выполняется для всех за исключением, быть может,
множества меры нуль, и для всех о е Vo,
6«
163
Доказательство единственности. Пусть и и и» - два
решения. Полагая в (6.45) v — (соотв. v = u'(i) в неравен-
стве для «„) и складывая, получаем (с обозначением w = u — u')
— а(1) (w' (0, ау'(0) —а'о)(ш(0,
или, что то же самое1),
(№(0)+au)(^(0)<0,
следовательно,
aw (w(t)) — Q, поэтому w(0 = O, так как а(0) и а(1) удовлетворяют
а(,) (v) 5s az || v j2, аг>0, VveV02)- (6.53)
Доказательство существования. Мы опять исходим
из регуляризованного уравнения. Прежде всего, определив /8,
как в (5.134), мы ищем функцию ие — решение задачи
a(1)(«e(0. v) + o°(«s(0. 0+(Л(“е(О + Ф' (0). v) =
=(Lx(t), v) VveV0, ые(О) = мо. (6.54)
Мы решаем эту задачу при помощи новой аппроксимации,
вводя, например, т]>0 и решение задачи
И (Uen (0. о) + а'1* («ец (0. ») + («ег) (О, »)+(/е («4 (0 + Ф' (0), v) =
(0, у) Vy е= Vo, (6.55)
«ei](6)=Uo> ^ет] (6) — 0.
Устремляя г, к 0, получаем решение ие задачи (6.54). Положим
в (6.54) о = «И0 + Ф'(0; тогда, так как (/е(ф), <р)>0, то
a(1)(«e(0) + a10)(«e(0. «в(0)=
- - W (и* (0, ф' (0) -а(0) («8 (0. Ф' (0Ж4 (0. «8 (О + ф' (0),
откуда
j а'1» («е (s)) ds + j (ие (0) <
t t I
sg у а(0) (и0)— а(1) («е, Ф') ds — J а(0) (ие, Ф') ds + (Lj, «е+Ф')<&»
о о о
Отсюда следует, что
t t
J|«a0li2ds + ll«8(0P^c5(!«8l + S«8l)Af(s)ds, MeL2(0, 7),
и о
!) Полагаем a(l) (v, —
2) Так как mesrr7>0.
164
поэтому
t t
( |«e(s)j2ds + |iUe(/)ja^ j j ||We(s)|Ms +
0 0
+ 4 § H“e(s)iNs+c j Af(s)2ds,
о 0
и, следовательно,
t t
J || Ue (s) |j2 ds +1| Ue (t) Ц2 < J й«е (s) li2 ds + C.
0 0
Таким образом,
т
II «е (О I с, $ | и’& (/)1|2 dt < с. (6.56)
о
Следовательно, можно выбрать из последовательности ие под-
последовательность (обозначаемую также через ие) такую, что
ие~^и «-слабо в L°°(0, Т; Vo),
и^и’ слабо в L2(0, Г; Vo). (6,57)
Но в силу неравенства (функция t»-»-/e(v) выпукла)
/в (V+Ф' (0)-/е («в (0+Ф' (0)-(/е («8 (0+Ф' (0). v-«8 (0) 2* о (6.58)
из (6.54) следует, что
aw(u'e(t), и —«e(0) + atO)(«8(0, » — «е(0)+
+ /8 (V + Ф' (0) - /е (и'е (П + Ф' (0) (Li (0, V - Ui (0). (6.59)
Пусть 'je£!(0, Т\ Vo). Полагая в (6.59) v = v(t) и интег-
рируя, получаем
т
$[а(1>(»8, V — Ые)4-а(0)(Ые, V —«е)+
0
+ /8 {V+Ф') — /в («8+ф')—(М, V — «в)] dt > О, (6.60)
т. е.
т
Ца^Ьв. v) + a<0)(Ms. »)+/в(»+Ф*)--(М, v—i4)]dt^s
О
т т
( а<»(и;)Л + 4а10,(«е(П)+5/8(“е + ФЛ)Л-4а<0)(“о)- (6-61)
165
Так как
lim inf
е->0
7 Т
J а(Х) («0 dt + «,0) («в (П)+ $ Л («в + Ф') dt >
-О о
1 т
J а»1’ (и')Л + |а(0> (ы(Т))+ ( j(u' + Q)')dt,
и о
ТО
т
$ |а(1) (и', v — u') + aw(u, v — j (v + Ф')—
о
_/(ы' + Ф')_(£ь v — u')]dt Voe=L2(0, Т; Vo). (6.62)
Таким же образом, как и в и. 5.6.3 гл. I, мы переходим
к поточечному неравенству (6.45).
6.6. Случай Г^=ф.
Если Г£/=ф, то в предыдущих выкладках полагаем Ф(/)=0.
Тогда задача заключается в следующем:
Найти вектор-функцию и такую, что
a(0eV(=(fl1(fi))’), (6.63)
aw (и’(t), о-ы'(0)+«(0)(«(0. V —«'(0)+/(f)-/(«'(0)^
(Л2 (0, V - и' (0) Vo е= V, (6.64)
где
(L2 (0, о)=(/(0. «)+ Р» (0 vN ^Г, (6.65)
г
и выполняется начальное условие (6.47).
Если в (6.64) возьмем о+ «'(/) 4-р, ps^1, и заметим, что
а(0) (<р, р) = 0, а(1)(ф, р) = 0 Уф eV,
то имеем j (и' (t) + р) — j (и' (/))$s(Z,2(/), р), и, так как j(u' (0+р)—
— / (и' (0) =< / (Р)> то (Ь2 (0, р) < / (р), или (поскольку / (р)= j (—р))
1(Ьа(0, Р)К/(Р) Vpe^, V/e=[0, Т]. (6.66)
Далее мы увидим, что необходимое условие (6.66) оказывается
и достаточным для разрешимости задачи в некотором определен-
ном смысле.
В (3.47), (3.48) перейдем к факторпространству по <&. Введем
V = V/s^, = (6.67)
а<0(«‘, и‘) = аФ(и, v), и^и', ueo’, i = 0, 1. (6.68)
В силу теоремы 3.4 имеем
а(/) (o‘) = a(Z> (o', o') || о’ ||у., а>0, i — 0, 1. (6.69)
Кроме того, определим
о')= inf [/(o + p)-(L2(0, o-f-p)]. (6.70)
166
Заметим, что если выполняется (6.66), то
£f(t\ tf)>-oo. (6.71)
Действительно, выбрав произвольную функцию v из V', имеем
<6.66)
/(»+р)>=/(р) —/(о), следовательно, /(t> + p) — (L2(t), o-|-p)Ss
> j (P) — (L2 (0, p) + j (v) — (L2 (t), v) 5= / (v) — (L2 (t), v), откуда
вытекает (6.71). Используя это, докажем следующую теорему.
Теорема 6.3. Предположим, что
ffSL'tO, Т-, Н), ^е:г(Гх]0, Т[); (6.72)
«oeV, (6.73)
и выполняется (6.66) для почти всех t (функционал Ь2 определен
формулой (6.65)). Тогда существует одна и только одна функ-
ция и’ такая, что
и’<=1^(0, Т; У), (6.74)
B-'eL‘(0. Т-, V), (6.75)
W(0) = «;, (6.76)
aw(u'’(t), v' — W' (/)) + a* (0) (u‘ (f), v —«'(<)) +
+<ЙГ(/; tf)-^T(/; «•'(0)^=0 VtreV. (6.77)
Замечание 6.7. В случае без трения / = 0. При этом мы
должны предположить, что
(L2(/), р) = 0 Vpse^. (6.78)
Тогда
<Sf(t\ if) =-(L2(0, tf) (6.79)
и неравенство (6.77) сводится к уравнению
a<i> («" (0, о)+а<°> («• (/), о) = (L2 (0, o') Vo- <= V". (6.80)
Доказательство теоремы 6.3. Единственность доказы-
вается в точности так же, как в теореме 6.2, так как ввиду
перехода к факторпространствам по (и неравенства Корна)
выполняется (6.69).
Доказательство существования мы начнем с того,
что применим теорему 6.2, заменяя а(1> (ы> у) на a(V>(u, v) +
4- 8 (ы, о), е > 0 и оставляя а<0) (u, v) без изменений1). Тогда
существует (единственная) функция м8 такая, что ueeL°°(0, Т; V),
«ее£2(0, Т; V),
а(1)(«е, V —и'е) + & (и'е, V — и'е) +а(0* («в, V — u'e) +
+ j(v) — Hu'e)^(L2,V — u'e) Vv^V, (6.81)
И Ue(O) = Uo.
г) Теорема 6.2 справедлива, если а'1’ (и) а [ v ||, a>0t и если а(0) (и)^
0, а(0) (v)4-% | v |2 а |] v |]2 при X > 0.
167
Полагая в (6.81) о = 0, получаем
а(1’(«е(0) + е l«aOi2 + 4ya(0)(uHZ))^
^(L2(l), Ug (/)) /(Мв(0) = (6.66)
-(МО, «е (0 + P)- (L2(t),
Me(0 + p)+/(p)-/(«e(0X
^(^i(0, Me(0 + P) + /(Me(0+p) =C
< c (i+1 l2 (о и I «ап+p к c (i+к l2 (o uj inf к (о + ii=
= с(1+1М01*Ж'(01и-
Следовательно, в силу (6.69),
apui'(s)lbds+ya|We(OIV-^
t t
<|a(’)(w0)+c f (1 ~Hь2(s)I*)II«e (s)k ds<y f IIMe'(s)|Hs+c
и поэтому
t
II Me (0 ||V- + $ II Нё' (S) |V« ds =C 0.
0
(6.82)
Теперь мы можем выбрать из и‘е подпоследовательность (обо-
значаемую также через и'е) такую, что
Ug->M' «-слабо в L°°(0, Т; У), (6 831
«ё'-*м" слабо в L*(0, 7; Г). ( ‘ J
Кроме того, имеем
т
8$|«аом<с. (6.84)
о
Запишем (6.81) в виде
е(Ие, V — Не) + о(Х)(Ме, I»’ — Ug ) + a(0) (и'е, V’ — Ug) +
-нсо-(мо. п)>[/(«ао)-(^(о. мао)]>
^inf[/(«'(O+p)-(^(O. мИ04-р)]=^Г(0 мГ(0).
откуда при v&L*(0, Т-, V) следует, что
т т
е (и’е, V — и'е) dt $ [a(1> (и'г , V — Ug) +
о о
т
+ а<°> (Нё, V - и'е')+/ (о) - (L2, v)] dt (t- Ug) dt. (6.85)
о
168
т
Но отображение о‘ -» J еЯГ (/; о*) dt полунепрерывно снизу
6
в L2(0, Т; V) относительно слабой топологии, поэтому
т т
lim inf J Ж (t-, ui') dt^\W и") dt. (6.86)
e->0 о 0
Запишем (6.85) в виде
J[e(t4 u)4-a(1)(Us, tf)4-a(0>(uj, V) + /(»)-(L2, v)]dt^&
о
Ss ( «%" (t; «e) dt + f a*1’ («,') dt +1 aw (u‘e (T)) -
J J Z
T
— a<°> (u0) + 8 j | «в |2 dt,
откуда
T
v') + j(v)-(L2i v)}dt^
о
T 7
> ( (f; «•') dt + ( fli« («•') dt+4- a<” («' (T)) - 4 «(0) («о)
J V “
о 0
и, следовательно,
[[/(v)-(L2, v)]dt^
0
T
< J [— a™ (W, V - u") - a<°> («•, V - u.-} 4- (/; if')] dt. (6.87)
о
Таким же образом, как в п. 5.6.3 гл. I, получаем, что для
всех t, исключая, быть может, /е£, где Е — множество меры
нуль на [О, Г], выполняется неравенство
/(t»)-(L2, о)>—^«(« '(О, V-«•'(/))— а<9>(и'(Г), »• — «•'(/)) 4-
+<&T(t-, u-'(t)) VveV. (6.88)
При подстановке с»4-р вместо v правая часть не изменяется,
поэтому (6.88) эквивалентно неравенству
inf[/(u4-p)-(L2, о+р)]2*-а’1’(«"(0» о'-ы’ЧО)-
р
- а(0) (и’ (t), V - и-' (/)) 4- и" (0)- (6.89)
Левая часть (6.89) совпадает с е%"’ (/; v‘), откуда следует
(6.77). В
)69
6.7. Обоснование квазистатического случая в задачах без
трения.
6.7.1. Постановка задачи. Рассмотрим динамический случай
(который обсуждался в пп. 6.2, 6.3) при следующих предполо-
жениях:
Ut, fi, Fn не зависят от Z^O1). (6.90)
Предположим, что начальные данные равны нулю:
ио = 0, (6.91)
тогда при /<0 материал находится в недеформируемом состоянии.
В обычных случаях2) «квазистатические гипотезы» заключаются
в том, что при условии (6.90), (6.91) решения динамической
задачи и кваэкстатической задачи «близки».
Мы собираемся доказать, что в действительности это соответ-
ствует случаю’без трения.
Соответствующая задача для случая с трением является откры-
той и по нашему мнению представляет интерес.
Поскольку трение отсутствует, решение и в динамическом
случае удовлетворяет соотношению
(и" (0, о) + а1 («'(/), v) + a°(u(i), v)~
= {L, v) Vog=V0, «(0eVo, (6.92)
где
(L, u) = (f, о)-а°(Ф, v). (6.93)
Рассмотрим это несколько подробнее. Напомним (ср. п. 5.1.2),
что для того чтобы упростить изложение, мы брали Гу = На самом деле (в обозначениях § 2) Г\Гу = Гу (J Гр, в силу того, что Гр=ф, мы возвращаемся к Г = Гу J Гр. Тогда мы задаем Ui^=Ui на Гу, Ut не зависит от t; ОцЩ = Fi на Гр, Ft не зависит от t, откуда окончательно получаем («"(/), сО+аЦи' (/), v) + а° (u(t), о) = = (£, о), v<=V0, «(/)eV0> и(0) = 0, ы'(0) = 0, где (L, v) — (f, о)4- $ FtvidV — а°(Ф, о). Гр •Г\1У’ и здесь, (6.94) (6.95) (6.96) (6.97) (6.98)
*) Это предположение можно ослабить, См. замечание 6.8.
2) Т. е. без трения.
170
Обозначим через й(0 решение ассоциированной квазистатиче-
ской задачи, а именно,
а1 (Я'(Л. v) + a°(a(t), v) = (L, v), vg=V0, й(0еГо, (6.99)
й(0) = 0.
Теперь наша цель — показать, что и и й «близки» в некотором
смысле. Мы будем различать два случая —когда mes Гу > О или
ГУ = 0.
6.7.2. Случай mes Гу >0. Сравним « и й с решением й сле-
дующей стационарной задачи:
а°(й, u) = (L, v) VveV0, SeV0, (6.100)
т. e. задачи, которая наверняка имеет единственное решение
в случае mes Гу > 0. Докажем следующие результаты.
Теорема 6.4. Пусть mes Гу > 0. При предположениях (6.95),
(6.96) существуют ?>0 и константа с такие, что
(6.101)
|и'(01^се-Ч Л'еР(0, оо; V). (6.102)
Теорема 6.5. В предположениях теоремы 6.4 существуют
у>0 и константа с такие, что
\a(t)-a\\^ce-^, (6.103)
е*й' е=Р(0, оо; V). (6.104)
Следствие 6.1. (Обоснование квазистатического случая). В ус-
ловиях теоремы 6.4 существуют у>0 и с такие, что
f и (/) — й (01 sg сег*, еу‘ (и' — й') е L2 (0, оо; V). (6.105)
Доказательство теоремы 6.4. Функция w(t) = u(t) — а
удовлетворяет условиям
(w"(t), v) + a^(w'(t), v) + a^(w(t), и) = 0; (6.106)
w (0) = — a, w' (0) = 0. (6.107)
Положим
w (t) = e~uz (t) при некотором X>0. (6.108)
Тогда (6.106) дает
(z"(t), v) + aW(z'(t), v)-2k(z’ (tt, t») +
+a^(z(t), u) + l2(z(0, v)-Xa^(z(t), o) = 0. (6.109)
Выберем % достаточно малым, так, чтобы выполнялись нера-
венства
р>0 Xfv е= Го; (6.110)
a‘1’(o)-2X|v|2>0 Vue=V0. (6.111)
171
Если в (6.109) положить v = z' (t), то
4 4- &|2+1 -Ь ta(0) (г w+-
- М» (г (/))] + а<« (г' (0) - 2Л | г' (0 |2 = 0
и, следовательно,
1 г< (012 + a(0) (z (0) + К21 г (0 i2 - W1’ (г (0) +
t
4- 2 J (a<i> (г') - 2% | z! (0| 2)ds=
о
« | г' (0) |2 4-а<°> (г (0)) + Л21 г (0) j2 - М» (г '0)).
Отсюда, в силу (6.110) и (6.111),
| г' (0|2 + р || г (0 Ц2 < const. (6.112)
Из этого следует (6.101) и первое неравенство (6.102). Но
можно выбрать Л таким образом, что вместо (6.111) будет
aO)(v)-2X|v|2^p|lo|i2 (6.113)
(Р>0; «наилучшее» Р не обязательно то же самое, как в (6.110)).
Тогда получаем
|г'(01а+^(01а+Ьг'(8)|№<с,
о
откуда
fllz' (s) |2ds<c. (6.114)
о
Но тогда равенство exp (%0w' = z' — Zz при X < 1 дает
e^w' =е^~к^г’ — е Lm (0, со; V),
откуда вытекает вторая часть (6.102).
Доказательство тео ремы 6.5. Функция w — — a
удовлетворяет уравнению
aU)(a/(0, u)4*a(0) (w (0, v)=0. (6.115)
Подстановка (6.108) приводит к равенству
aW(z'(t), v) + a^(z(i), v)-kaW(z(t), и)=0. (6.116)
Выберем X таким образом, чтобы1)
(6.117)
Тогда, если в (6.114) положить v — z'(t), получим
IIг(0 la + $h'(s)||2ds<c,
о
откуда, как и раньше, следует нужный нам результат.
х) Оптимальный выбор Л (и, следовательно, у) не обязательно одинаков
в этих двух теоремах,
172
Замечание 6.8. АналЬгичные результаты можно получить
в случае, когда FN, Ut и fi зависят от t; Ф(0 можно выбрать
таким образом, чтобы при достаточно малых 1>0 выполнялись
неравенства
j |~ (e^L(t))|*dt<оо. (6.118)
6.7.3. Случай Г</х=0. В этом случае квазистатическая задача
(6.99) имеет решение только тогда, когда
(L, р) = 0 уреа^. (6.119)
При этих условиях в (6.99) можно «перейти к факторпространст-
ву по тогда квазистатическая задача имеет единственное
решение й' такое, что
й- <=1^(0, Т- V-), й-(=12(0, Т\ V-), (6.120)
а(1)(й-'(0, о‘) + а<0) («‘ (0> v‘) — (L,v) ytr <= У-. (6.121)
Кроме того, если в (6.97) положить о = р, то (ы"(0, р) = 0;
в силу равенств ы(0) = ы'(0) = 0
(ы(0, р) = 0 Vpe=e^. (6.122)
Теперь отождествим и с w — решением уравнения
(й*(0, v)+aw(u"' (0, о‘)4-а10) («• (0, tr) = (L, v) yveV\
(6.123)
После перехода к факторпространству условие (6.69) выпол-
няется, и, следовательно, мы находимся в ситуации, аналогичной
ситуации п. 6.7.2, но в факторпространстве У’. Введем Д’ —ре-
шение вУф уравнения
a(0)(w, v) = (L, v) ytr е У’. (6.124)
Переписывая теоремы 6.4 и 6.5, получаем следующие теоремы
(/)• = ///<
Теорема 6.6. Пусть Гу = ф. Предположим, что выполня-
ются условия (6.96) (с Гр=Г) и (6.119). Тогда существуют у>0
и с такие, что
|1ы-(0-д-||у.<се-^,
|(01eVeL’P, оо; У‘)-
(6.125)
(6.126)
Теорема 6.7. Пусть выполнены условия теоремы 6.6. Тогда
существуют у>0 и с такие, что
\u-(t)-a-\v.^ce-'it, (6.127)
е^й-' е L2 (0, оо; У0.
(6.128)
173
Справедливо также следствие, аналогичное следствию 6.1. g
6.8. Случай без вязкости как предельный случай задач с
вязкостью.
Рассмотрим среду, для которой уравнение состояния имеет
вид (ср. с (6.5))
Од = 4- d&khldt, (6.129)
где %>0, и потребуем, чтобы А,->0; иначе говоря, «устремим
вязкость к нулю», в
Наша цель заключается в том, чтобы доказать, что упругий
случай, рассмотренный в § 5, получается как предел вязкого
случая при Л->0.
Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Обозначим через их
решение задачи:
«х(0еИо, (6.130)
(4'(0. о —4(0)4-(4(0. v -4(0)4-
4- 4°> (4 (0, v - и'х (0) 4- / (v 4- О' (0) - / (4 (0 4- Ф' (0) 2*
>(L(0, о-4(0) yv<=V0 (6.131)
с начальными данными
«л(О) = «о> 4(0) = «i« (6.132)
Будет доказана
Теорема 6.8. Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Пред-
положим, что существуют функции й2, и3 е Н такие, что
(L (0), о) — а0 (и0, о) = (й2, о), (6.133)
а(1) («v о) == («з, v) yueVi 0.
Тогда при %->0 имеем:
их-^и, их-* и’ «-слабо в Lx (О, Т; Уо),
4 -> 4 слабо в Ц” (О, Т; Н), ( ’
где и —решение упругого случая, данное в теореме 5.7. Более
того,
11/24 остается в ограниченном множестве из L2(0, 71; Vo). (6.135)
Доказательство. Как в случае (6.33), рассмотрим аппрок-
симирующее регуляризованное уравнение
(«а. v)-t-fa№ (иа, сО4-а‘°> (иех, о)4-(/а.(4х4-Ф0, v)—(L, v),
Ugx (0) = «о» MeX (0) = Mv (6.136)
1) Это предположение обеспечивает выполнение (6.30),
174
Если в (6.136) подставить о = м^+Ф', то можно вывести
оценки, аналогичные (6.36), (6.37). Ввиду наличия множителя X,
из них следует, что
I «ех(0 l + ll«eX (0||=СС>
т
Х$||
О
(6.137)
(6.138)
Для получения вторых априорных оценок мы действуем так
же, как при доказательстве теоремы 6.1. Прежде всего, полагая
в (6.136) t = 0 и считая выполненными предположения теоремы 6.1
и условие (6.133), получаем, что
WeX (0) — ^2 — XtZg.
(6.139)
поэтому «ех(0) ограничена в Н.
Затем дифференцируем (6.136) по t и в полученном уравнении
заменяем v на тогда (ср. с (6.39), (6.40))
|«е{ (0 1 + 11 «вх(0 И=СС.
т
М 11*4 (0 w2dt^c.
о
(6.140)
(6.141)
Переходя к пределу по 8, мы видим, что ик — (единственное)
решение (6.130), (6.131), (6.132) — удовлетворяет условиям
4 е ограниченному множеству в L°° (0, Т; Vo),
«к е ограниченному множеству в L°°(0, Т; Н)
при Х->0,
(6.142)
а также условию (6.135).
Затем выберем подпоследовательность % (также обозначенную
через X —> 0) такую, что выполняется (6.134). Теорема будет до-
казана, если мы покажем, что полученное таким образом реше-
ние и является «упругим».
Если в (6.131) положить v — где о( •) е L? (0, Т; Уо), то
т
§[(«£> v) + a^(uK, ц) + /(1» + Ф')-(Ь, v — u^'dt^
о
т
>$[(«£, «x) + XaW(u{, м£)+а(0)(«ъ «О+ /(«£ +Ф')И/Ss
о
т
11 uUT) i2 + 4 °(0> («% (П, UK (Т)) + С / (и'к + Ф') dt -
о
- —уа(о)(«о. «о).
175
откуда
т
$[(«", v)4-a(0)(«z, «) + /(« 4-Ф') — (L, v — u')]dt^s
о
lim inf I «л (D |2 + 4 aW (“ь (Л> ик (Т)) +
т
+ ^ш+ф')^ -
о
4 l«iia-yfl(O)(Mo> «о)>
т
> 41 и' (Т) I2 4-~ а<°> (и (Т), и (Г)) + J / («' + Ф') dt -
О
т
- 41 «I I2 - 4а<0) ^ы°’ =J«“"> +а(о) (“> м'>+/ +ф,)1dt-
Следовательно,
т
$[(«", V — и') + а(0) (и, V — м') + /(о + Ф') —
о
-/(«'4-O')-(L, v-u')]d/=aO. (6.143)
Последнее неравенство соответствует интегральной форме не-
равенства (5.123) (что эквивалентно поточечному неравенству).
6.9. Интерпретация вязких задач как параболических систем г).
Рассмотрим ситуацию п. 6.3, считая для простоты, что Гу = ф.
Заменим (6.22) на параболическую систему неравенств. Введем
^ = УохУос:^Г=УохЯ. (6.144)
Если « = {«!, ы2}, = у2}~Два элемента из V или s5T,
то положим
[и, о] = а<°>(М1, 1»1) + («2, и2), (6.145)
л(ы, о) = — а(0) (ы2, 01) + а(1)(ы2> v2) + aw (ии v2). (6.146)
s%^' — гильбертово пространство относительно скалярного произ-
ведения (6.145); форма п(и, v) непрерывна на V'xV и, так как
форма а0 симметрична,
л (и, и) = а(1)(и2, v2) II ^212- (6.147)
Ползгэя
«(О = {«1(0. «2(0}. (6.148)
рассмотрим «параболическое неравенство»
[w'(0, v-w'(0] + n(u(0, «-ы'(0)4-/(«2 + Ф'(0)-
-/(М2(0 + Ф'(0)^(Ь(0. «2 ~«2(0) (6.149)
х) Этот пункт можно пропустить.
176
которое эквивалентно (6.22) (с u(t) = u1(t))-, доказательство экви-
валентности следует непосредственно: достаточно расшифровать
(6.149), используя обозначения (6.145), (6.146); тогда мы получим
два неравенства, первое из которых:
a(0)(«i'(0> Vi —«1(0) —й(0> («г(0> Ох —(0)^0 Voi е Уо,
эквивалентно равенству u't (t) — и2 (/) = 0, откуда следует резуль-
тат.
Замечание 6.9. Таким образом, мы видим, что в форме
параболических неравенств (6.149) рассматриваемая задача
является задачей типа неравенств из гл. II.
Замечание 6.10. Исходя из (6.149) (добавляя, естественно,
начальное условие м(О) = {ыо, и^) можно также доказать тео-
рему 6.1.
§ 7. Линейная вязко-упругость.
Материалы с долговременной памятью
7.1. Уравнение состояния и общие замечания.
Рассматриваемое здесь уравнение состояния имеет вид (6.6),
который мы приведем еще раз:
i
<3ц (0 = aiJMpkh (и (/)) -I- bykh (i - s) eftA (и (s)) ds. (7.1)
о
Первый член в (7.1) описывает мгновенную упругую реакцию;
коэффициенты ai7*A (называемые коэффициентами мгновенной упру-
гости), возможно, зависят от х1), но ограничены по х и удов-
летворяют требованиям
aijkh = ctjikh=akMh <х>0. (7.2)
Коэффициенты bijkh (/) описывают эффекты памяти материала.
В обычных практических примерах это линейные комбинации
экспонент с отрицательными коэффициентами; память экспонен-
циально убывает со временем. См. примеры в работах Жер-
мена [2], Прагера [1] и Лина [1].
Коэффициенты Ьук11(х, t), которые зависят от t и, возможно,
от х, ограничены по х, t и удовлетворяют равенству
bijkh = bjikh (7.3)
и условиям регулярности
bykh, dbijkh/dt, d^jkh/dt^L^tQ), Q = Qx]0, T[. (7.4)
г) Теми же методами, что используются здесь (исключая п. 7.5), можно
исследовать случай, когда коэффициенты а/дл зависят от t достаточно регуляр-
ным образом.
177
Вязко-упругий материал «твердого типа». Гово-
рят, что вязко-упругий материал с долговременной памятью
вида 7.1— твердого типа, если интеграл
\bi)kh(f)dt^bqkh конечен, и (7.5)
о
коэффициенты afjkh = aykh + b^kh удовлетворяют
предположениям, аналогичным предположениям (7.2). (7.6)
В этом случае коэффициенты называются коэффициен-
тами запаздывающей упругости.
Мы можем доказать, что при некоторых условиях решение u(t)
рассмотренных далее задач сходится при f-> + oo к решению
задачи упругости, соответствующей коэффициентам
7.2. Динамические задачи с трением.
Уравнения имеют вид
t
^ijkh^kh (w) bjjkh if &) 8k/i (Ц ($)) ds — f. (7.7)
Граничные и начальные условия такие же, как в (6.8), (6.11).
Замечание 7.1. Можно ввести другие граничные условия,
как, например, в п. 5.4.1.
Для вариационной постановки задачи определим
а (и, v) = $ alikhekh (и) ev (v) dx, (7.8)
b (t; u, bljMl (/) eftft (u) eif (v) dx, (7.9)
V = (tfi(Q))3. Я = (Р(Й))3,
V0 = {t>|oe V, u = 0 на Гу}. 1 '
Форма v-+b(t- и, v) непрерывна на Vo, поэтому
Ь(ф, и, v) = (B(f)u, v), B(f)u^V'9, B(f)e=X(yo-, V'). (7.11)
Введем j(v) и 2/доп так же, как в (6.13), (6.14). Теперь задачу
можно сформулировать следующим образом (ср. с п.п. 5.5.1 и
6.2):
Найти функцию u(t) такую, что
(и" if), v — u'(t)) + a(u(t), v —«'(/))+
t
+ \b (t — s; и (s), v — u' (0) ds + / (v) — / («' (/)) Ss
о
>(f(0, v-U'(t))+ 5 FN(vN-u'N(t))dr ^v^Uaoa(t), (7.12)
Гу
178
и удовлетворяющую условиям
«'(Ое^допЮ. (7.13)
ы(О) = мо, и'(0) = Ы1. (7.14)
Замечание 7.2. Если <Л = 0 (случай без трения), то (7.12)
.водится к линейному уравнению (если £7 = 0, Г> = Г — Гу)
(и" (0, v)+a(«(0> v)+jb(t —s; u(s), v)ds —
= (f(t), v)+ \ FNvdV VoeV0. (7.15)
Если £/=#0, то в (7.15) v заменяется на v — и.
Замечание 7.3. В зависимости от того, пусто Гу или
mes Гу>0, имеются специфические особенности, аналогичные ука-
занным в замечаниях 4.4, 5.17 и 6.2.
7.3. Теорема существования и единственности в динамическом
случае.
Введем Ф(7) как в (6.18) (если Гу = 0, то Ф = 0). При под-
становке и — Ф вместо и (сохраним обозначение и) задача сво-
дится к следующей:
Найти вектор-функцию и такую, что
u(t)<=V0, (7.16)
(ы"(0, о — и' (/)) + а(м (7), о — и'(/)) +
+ J(b(/-s; и(з), о-«,(0)<& + /(1>4-Ф/(/))-/(«'(0 + ф'(0)>
о
(£.(/), у-м'(О) Vos Го. (7.17)
где
(L(t), v) =
= (f(0. «)+ J FN(t)vNdr-^"(t), о)-а(Ф(0, v)~
-\b(t-s- Ф (s), v)ds, (7.18)
о
и удовлетворяющую граничным условиям
ы(О) = ыо (фактически, и (0) = и0 — Ф (0)),
и' (0) = щ (фактически, и' (0) = щ — Ф' (0)). '
Тогда справедлива
179
Теорема 7.1. Предположим, что
f, f, f'f=L*(O, Т; Н), FN, F'n, П Л2 (Гу х] О, Т[); (7.20)
Ф, Ф', Ф"е£2(0, Г; V), Ф'", Ф>‘»еР(0, Т; Н),
Ф(0)<=(Я2(Й))3; (7.21)
g не зависит от F, (7.22)
«о е Vo, (L(0), v)—a(u0, v) = (u2, и), и.г^Н; (7.23)
MjeVo. И1т + Ф'т(0) = 0 на Гу. (7.24)
При этих условиях существует одна и только одна функция и
такая, что
и, u'<=Lm(0, Т-, Vo), (7.25)
«"s=L°°(O, Т-, Н), (7.26)
и выполняются (7ЛТ), (7.19).
Доказательство единственности. Используя обо-
значение (7.11), будем писать
/« \ i
К В (t — s) и (s) ds, v — м'(0) вместо ^b(t — s, u(s), v — u'{t))ds.
X) /о
Пусть и и и*—два решения. Если положить о = u'(t) (соотв.
о = «'(/)) в неравенстве (7.17) (соотв. в неравенстве для и*) и
сложить эти неравенства, то (обозначив w = u — н*) получим
// \
— («?"(/), w' (0) — a (w (0, w' (/)) — IJ В (t — s) w (s) ds, w’ (Oj^O,
\o /
откуда *)
(t \
^B(t-s)w(s)ds, tt>'(0]
0 /
и поэтому
t /3 \
l“,/(0l2+«(“'(0)^ —2jds(jB(s —s1)u>(si)ds1, w’ (s)). (7.27)
0 >0
Но в общем случае (для Z^T^oo)
t I s
J ds (J В (s — sj <p (sx) dsj)
0 \o
J J p (s) ||2 ds 4- ] ф (0IIJ !| <p (s) II ds .
Lo 0
(7.28)
i) Напомним, что |/|==(Л f)l/2 ,a(y) = a(y, у).
180
Действительно,
t ft \ I t
5 ds l $ В (s - s'i) <p (Sj) dsu q>' (s)) = J dsi J (B (s - Sj) <p (sx),
0 \o ' 0 <
t
ф* (s)) ds = J dst [(B (t - Sj) <p (Sj), <p (0) - (В (0) Ф (Si), ф ($г))] -
0
t t
— J dsj J (B' (s - 5г) ф (si), ф (s)) ds,
0 s
откуда следует (7.28).
Неравенство (7.27) и равенство (7.28) приводят к неравенству
I &>' (О |* 2 + «(® (0) с JI w (s) ||2 ds + с || w (i) || j i| w (s) || ds. (7.29)
о о
Но для X>0 существует a>0 такое, что
a(o) + X|o!2^a|| и |2 (7.30)
(если Гц имеет меру >0, то можно взять Х = 0), поэтому (7.29)
дает1) неравенство
I(О I2 + И (О II2 < 4 (I w' (s) I2 + II w (s) I,2) ds. (7.31)
о
Но
t
w(t) = J w' (s) ds,
о
поэтому из (7.31) следует, что
IW (012 +1 w (t) II2 4 (I wf (s) I2+1W (s) b2) ds, (7.32)
0
откуда получаем &у = 02).
Доказательство существования. Как и при дока-
зательстве теоремы 6.1, мы следуем методу п. 5.5.4. Аппроксими-
рующее регуляризованное уравнение имеет вид
(uj, v)H-a(ue, v)+ $B(Z —s)u8(s)ds, v) +
\o f
+ (Л (^e + Ф')> v) = (L (0, V) Vv GE Vo, (7.33)
X) Через с обозначены различные константы.
2) Здесь мы использовали не все предположения (7.4), а только тот факт,
что
^bl/kh(X, 0eL°°(QX[0, Tj).
181
а начальные условия таковы:
r/8(O) = wo, ие(0) = «!.
Первые оценки мы получаем подстановкой в (7.33) v =
Единственный новый момент доказательства состоит в том, чтобы
оценить подходящим образом выражение
х = (j В (t - s) и8 (s) ds, ui (0 + Ф' (0 j.
\о /
Оценка очевидна для
// \
Н В (t — s) (s) ds, Ф' (0 L
\o '
Остается оценить
и \
Xi=\\B(t — s)u,z(s)ds,
\o I
Ввиду (7.28),
t (t i \
$Xi(s)ds < c j | uz(s) ||2 ds 4- |i ue (Z)J J |l uz (s)' ds I (7.34)
0 \o o'
и, следовательно, имеем (как в п. 5.5.4)
8«в(ОН (7.35)
Если в (7.33) подставить t =0, то в силу (7.24) (w8 (0), v) +
+ а(м0, v) = (L(0), v), откуда, согласно (7.23),
u8’ (0) = «2. (7.36)
Дифференцируя (7.33) по t, получим
(«Г, v) + a(u’z, v) + (В (0) u8 (0, v) +
+ \\Bf(t-s)uz(s)ds, v\ + ((j'e(u'e+<&'))', — v), (7.37)
\о !
и можно получить такие же оценки, как в предыдущих ситуа-
циях при условии, что мы сможем оценить сверху подходящим
образом выражения:
a) (B(0)u8(/), Ug (/) +Ф" (/)) —такая возможность очевидна.
б) Y = К В' (t — s) uG (s) ds, u'g (t) 4- Ф" (t) j. Возможность оценки
\o /
очевидна для
HB,(/-s)«e(s)ds, Ф"(0);
'о
182
остается только оценить
«еЧО .
'о /
Но
t t /s \
( Yx (s) ds = $ dsl ^B' (s — sj ue (sx) ds±, u& (s) j =
о о \o /
I t
= 5 dst (B' (s — sx) ue (sx), u’e ($)) ds =
o
= $[(£'(/ —sx)u8(si), u’e(t))-(B' (0)u8(sx), «;(sx))]dsx-
0
l i
— \ds1\(B''(s — s1)ue(s1), u'e(s))ds,
0 Si
откуда в силу (7.4) следует, что
i /
$ Yl(s)ds < С!| и'е (/) i! + С + с $ || и'е (s) j ds.
о о
Оценка последнего выражения уже не вызывает затруднений.
Таким образом, имеем
+ (7.38)
Завершаем доказательство подобно тому, как это делали при
доказательстве теоремы 6.1.
7.4. Квазистатический случай.
Рассуждая так же, как в § 6, мы видим, что квазистатиче-
ская задача, «соответствующая» задаче (7.17), (7.19), заклю-
чается в следующем (мы предположили, что U не зависит от t,
так что можно считать, что Ф не зависит от f):
Найти функцию u(t) такую, что
u(f)<=V0, (7.16)
I' \
а (и (0, и — и' (0) + \\ В (t — s) и (s) ds, v — и' (t)) + j (о) — j («')
(7-39)
«(0) = «o. (7.40)
7.4.1. Необходимые условия на начальные данные. Допустим,
что задача (7.39), (7.40) имеет регулярное по t решение; поло-
жим и'(0) = ых (их не задана). Подставляя в (7.39) / = 0, нахо-
дим, что а (и0, v — ых) + j (о) — j (ых) 5s (L (0), v — ux), т. е.
inf [а («о, v)~ (L(0), ц) + /(ц)] =
VS Vo
= а(и0, ux)-(L(0), пх)-|-/(мх)> —oo. (7.41)
183
Можно сформулировать (7.41) более точно, предполагая, для
упрощения, что
U = 0. (7.42)
Тогда с помощью формулы Грина имеем
а(и0, v)-(L(0), и)+ /(») =
= (Auo — f(O), v)+ J (c%vN + FN(Q)vN)dV + $ (aWr+gSvrDdr
rjr Гу
и, таким образом, inf[a(«0, и) —(L(0), о) + /(и)] = — оо, если
только нарушается хотя бы одно из следующих условий:
Лио=/(0),
On = Fn(0) на Гу, (7.43)
|cfy|=ssg на Гу (ио = 0 на Гу).
Возвращаясь к (7.43), имеем
inf [а(ы0, o)-(L(0), v) + /(t>)] = 0. (7.44)
Об Vo
Необходимые условия (7.43) оказываются достаточными для
существования сильного решения задачи (7.39), (7.40) (см. Брет
зис [2], гл. 2, где используются методы теории нелинейных полу-
групп). С точки зрения механики естественное начальное условие,
по-видимому, таково: и0==и§, где «о—решение задачи
Л«о=/(О) в Й;
Одг («о) = (0) на Гу (и «о=О на Гу);
|<М«&)1<£=>«от = О;
|<Ммо)1 =g=>3%Ss0: и§т = — кст(и$).
Иначе говоря, uq—решение задачи статической упругости,
соответствующей силам f (0), FN (0) и условию трения на Гу.
Однако с целью упрощения выкладок мы будем доказывать
существование при более сильных ограничениях:
A«o = f(O) в й;
0az=Fjv(O) на Гу; (7.45)
д°т = 0 на Гу (и0 = 0 на Гу).
7.4.2. Случай тезГи>-0.
Теорема 7.2. Пусть mes Гу>0, «0 задана в (Я*(й))8 и
удовлетворяет (7.45). Предположим, что U — 0 (и, следовательно,
Ф = 0) и выполняются (7.20), (7.22). Тогда существует одна и
только одна функция и такая, что
и, и' еЦО, Т\ Vo) (7.46)
и имеют место (7.39), (7.40).
184
Доказательство единственности. Пусть и и ы*—два
решения, w = u — и*. Полагая у = «*(/) в (7.39) (соотв. v = u'(t)
в аналогичном неравенстве для и) и складывая, после интегри-
рования (ср. с (7.29)), получаем
а(ау | иу (s)||a «у (ОI $ Iпу (s)
О о
(7.47)
Но так как Гу имеет положительную меру, то справедливо нера-
венство (7.30) с Х = 0, поэтому из (7.47) получаем неравенство
t
II w (t) | J || w (s) J2 ds.
о
Следовательно, w = 0.
Доказательство существования. Проведем двойную
регуляризацию. Регуляризуем /, превратив его в /Е, и добавим
член т](и", у), Затем «аппроксимируем» (7.39) бирегуля-
ризованным уравнением
!t \ '
П(“еп. У) + а(«вп» y) + (jB(^-s)uen(s)ds, о) + /£(«вп(0. у) =
'.о /
= (£(/), у) (7.48)
с начальными условиями
(0) — Wq, (7.49)
M;4(O)=oi).
Далее мы получаем первые априорные оценки,
у = Меп(0> что приводит к оценкам
(7.50)
полагая
II Wgt] || С,
(7.51)
КП |«еп1=^С.
(7-52)
Чтобы двигаться дальше, продифференцируем (7.48) по t, заме-
нив затем у на u^(t). При этом получатся оценки для «е%(0),
не зависящие от е и от т]. Полагая / = 0 в (7.48), находим, что
П(Меч(0)» v) + a(u0, у) + (/е(0), у) =
= (L(0), у) = (/(0), у)+ $ FN(0)vNdr. (7.53)
Но в силу (7.45)
«(«о» v) = (f(O), у)+ Fjv(Q)vNdr,
ГУ
I) Это соответствует (744) и (741), так как «х — 0 доставляет минимум.
185
поэтому (7.53) дает равенство г] (и£л (0), v) = 0, откудах)
Иеп(0)=0. (7.54)
Тогда
_ II и'^ (0J< С, (7.55)
(Л] I «еп (0 I С (7.56)
и можно перейти к пределу по 8 и по ц как обычно.
Замечание 7.4. В случае без трения мы заменяем Г^г на
Г/? (см. п. 6.7). Задача заключается в том, чтобы найти функцию н,
удовлетворяющую (7.16) и равенству
а (и (0, v) + ($ В (t - s) и (s) ds, v] = (/ (/), и) + J Ft (t) Vidr. (7.57)
'о / Гр
Функция u0 .задана. Положив в (7.57) / = 0, находим
а («о. 0 = (/ (0). v) + \Ft (0) v{dr. (7.58)
Последнее равенство аналогично (7.45).
7.4.3. Случай Гу = ф. Если Гу = 0, то задача заключается
в том, чтобы найти функцию и, удовлетворяющую соотношениям
u(t) е V,
,t
a(u(t), v — u'(t)) + KB(t — s)u(s)ds, (7.59)
\ \о
v - и' (0 4- / (») - / (и (0) Ss (L (i), v - и' (/))
' Vo eV, ы(0) = и0.
В точности так же, как и в п. 6.6, мы получаем необходи-
мые условия существования такой функции. Положим в (7.59)
о = «'(/) 4-р, ре<$. Так как
\\B(t — s)u(s)ds, p\ = ^b(t — s-, u(s), p)ds=O,
\0 / 0
TO j(u’ (04-p)-/(«' P)> откуда /(p)Ss(L(O, p), t. e.
\(L(t), p)|^/(p) Vpe^. (7.60)
Необходимое условие (7.60) является достаточным для того,
чтобы имелось решение в подходящем смысле. Перейдем к фак-
торпространству по <г% (см (6.67)). Положим
а(и‘, v') — a(u, v), (7.61)
b (f, и’, v') — b (/; и, v), u^u', v e v‘,
г) Именно для того, чтобы получить эту не зависящую от т) оценку, было
сделано предположение (7.45).
186
и определим (ср. с (6.70))
u-) = inf[/(v+p) -v+p)]. (7.62)
Ввиду (7.60) имеем (ср. с (6.71)) (/; о‘)> —оо, т. е. исход-
ная задача сводится к такой:
Найти функцию u'(t), для которой
u’(t)<=V\ (7.63)
t
а(и'(t), v' — и'' (/)) + J b (t — s; u‘(s), v'— u'r (t)) ds +
о
+ (i; V) - (/; u" (/)) =& 0 Vv s V, (7.64)
tT(O) = «i- (7.65)
Теорема 7.3. Предположим, что выполняются (7.60), (7.20),
(7.22) и, кроме того,
а(Щ, if) + ^T(0; tf) = O. (7.66)
Тогда существует одна и только одна функция и’ такая, что
и‘, и"(=Ью(р, Т; V) (7.67)
и выполняются (7.63), (7.64), (7.65).
При доказательстве используются те же методы, что в тео-
реме 7.2 и теореме 6.3.
Замечание 7.5. В случае без трения (7.60) дает
(L(0, р)=0, Vpe^' (7.68)
и, следовательно, «%"(/; = и"), так что условие (7.64)
сводится к
t
a(u'(i), v‘) + \b(t-s, и’ (s), v‘)ds = (L(t), V) Vtf g= V. (7.69)
о
7.5. Использование преобразования Лапласа в случаях без
трения.
Введем оператор Л(=<5?(У0; V'o):
а (и, v) = (Au, v), и, oeV0- (7.70)
Тогда динамическую задачу можно сформулировать следующим
образом (см. замечание 7.2):
и" + Au-\-B*u = L, (7.71)
гдег)
t
B*u = \B(t-s)u(s)ds. (7.72)
()
1) В ♦ и — векторнозначная свертка по t9
187
В (7.71) мы дифференцируем по t при /е(0, оо). Для даль-
нейшего удобно продолжить и нулем при t < 0 (сохраняя за про-
должением обозначение и). Тогда, дифференцируя на интервале
(—оо, +оо), имеем
и" + Аи + В * и = L +uot>' + — это уравнение
в (Vo), м = 0 при /<0. (7.73)
Квазистатическую задачу можно представить в виде
Au-\-B*u = L. (7.74)
Предположим (для простоты), что L не зависит от t. Решение
и задачи (7.73) (соотв. (7.74)) можно получить преобразованием
Лапласа по i (это частный случай ситуации, указанной в работе
Лионса [3]).
Введем
d(p)=fe-Pz«(/)dZ, р = £ + й). £>0 (7.75)
о
(преобразование Лапласа от и по t).
Предположим, кроме того, что
оо; £°°(Й)), (7.76)
т. е.
ВеР(0, оо; #(V0; VJ)), (7.77)
и введем1)
B(p) = \e-P‘B{t)dt (6=#(V0, Vi)), (7.78)
О
Преобразование Лапласа в применении к (7.73) (соотв. (7.74))
дает
(р24~Л +В(р))й(р) =~L + p«o + «i (7.79)
(соотв.
(Л+В(р))й(р) = |ь). (7.80)
Можно доказать (см. Лионе [3]), что задача (7.79) имеет един-
ственное решение при достаточно больших скажем
поэтому
й(р) = (р24-Л + В(р))-1 (-J-L + pMo + Hi) (7.81)
и функция р->-(р24-Л-|-$(р))_1^у£4-рио + и1) имеет обратное
преобразование Лапласа, которое дает решение задачи.
*) Мы предполагаем, что оо; X (Vo; VJ)) при
В рассматриваемом случае это предположение можно опустить (см. Лионе [3]).
188
Для квазистатического случая мы доказываем аналогичный
результат; для £ 2== £х можно обратить А + В (р) и
й(р)^(,А + В(р)Г1^Ь-, (7.82)
функция р—>(Л 4-В (р))-1 L имеет обратное преобразование Лап-
ласа, которое дает решение задачи.
Замечание 7.6. Метод преобразования Лапласа, который
мы здесь наметили, применим также в ситуации § 6 (кратковре-
менная память в случае без трения).
7.6. Упругий случай как предельный случай поведения среды
с памятью.
Рассмотрим (ср. с п. 6.8) уравнение
= — s)e.kfl(u(s))ds, Х>0. (7.83)
о
Обозначим через и^ решение задачи, найденное в теореме 7.1,
именно:
*M0e=Vo, (7.84)
(w£(0» v~UK(t)) + a(uK(t), u-u'}.(t)) +
t
(t — s; «x(s), v — + + —
о
- / («1 (0 + Ф' (0) =* (L (0, V - u'K (0) Xfv e Vo, (7.85)
Щ. (0) = u0, u'K (0) = uv. (7.86)
Теорема 7.4. В условиях теоремы 7.1 при А,->0 имеем:
*-слабо в Lm(Q, Т; Vo), (7.87)
u£->u" *-слабо в L“(0, Т; Н), (7.88)
где и —решение из теоремы 5.7 в упругом случае.
Для доказательства рассмотрим решение иех (ср. с (7.33))
регуляризованной задачи
/z \
(«ех, м) + а(«вх. у) + ХНВ (t-s)ueK(s)ds, о)+
\о /
+ (/8 («81 + ф'). V) = (L (0, v) Vv <= Vo, (7.89)
с начальными условиями «Ех(О) = «о> «ех(0) —
Как при доказательстве теоремы 7.1, мы получим оценки, не
зависящие от е и X: || «в! (0II + II «ех (0II +1 «ел (01 с. откуда и сле-
дует утверждение теоремы.
Замечание 7.7. Решение u = U(b), полученное в теореме
7.1, непрерывно зависит от Ь.
189
§ 8. Комментарии
В §§ 2 — 4 мы привели основные положения классической
теории линейной упругости. Этот краткий обзор совершенно
необходим для наших основных рассмотрений, составляющих
содержание §§ 5 — 7. В частности, в§ 3 доказывается неравенство
Корна, играющее фундаментальную роль в классической теории
как в случае «с трением», так и для «односторонних» ограниче-
ний. Доказательство этого неравенства при довольно слабых
условиях на границу области й принадлежит Гоберту [1]. Наше
доказательство основано на простой теореме (теорема 3.2), кото-
рую, однако, можно обобщить: если Ме//*”(Й)
V | р | = k, то и е н-m+k (Q) Задачи упругости с условиями тре-
ния на границе были введены авторами (см. Дюво, Лионе [6]).
Первой односторонней задачей в теории упругости является задача
Синьорини, которая изучалась Фикерой [1] и впоследствии Лион-
сом и Стампаккья [I].
Аналог задачи Синьорини в случае линейной вязко-упругости
с долговременной памятью исследовался Дюво [4]. Относительно
результатов по классическим задачам теории линейной вязко-
упругости мы ссылаемся на Брюна [1], Дафермоса [1], Дисте-
фано [1], Дюво [3]. (См. также библиографию в указанных работах.)
В п. 3.5 приведены лишь вводные понятия теории двойствен-
ности. За изложением общей теории можно обратиться к работам
Моро [1], Рокафеллара [1], Темама [2]. Примеры двойственных
задач обсуждаются в работах Сьюэлла [1] и Вашицу [1].
ГЛАВА IV
ЯВЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ОДНОСТОРОННИМИ
ОГРАНИЧЕНИЯМИ В ТЕОРИИ ПЛАСТИН
§ 1. Введение
В этой главе изучаются явления, связанные с односторонними
ограничениями и трением в теории плоских упругих пластин.
Теория пластин двумерна-, следовательно, это приближенная
теория, так как пластина является трехмерным телом, у которого
один из размеров (толщина) мал по сравнению с двумя другими.
Мы начнем с краткого изложения теории пластин (не претен-
дуя, разумеется, на полноту изложения) с тем, чтобы избежать
двусмысленностей при описании постановок односторонних задач.
В приближениях мы ограничимся членами первого порядка
и, следовательно, линейной теорией (при этом, как уже неодно-
кратно отмечалось, односторонние задачи нелинейны, хотя рас-
сматриваемые дифференциальные операторы линейны). Нелиней-
ная теория (или, вернее, нелинейные теории, так как в литера-
туре имеется несколько типов нелинейных схем) приводит (напри-
мер, для уравнений Кармана) к односторонним условиям того
же типа, что и линейная. Не желая вносить диспропорцию
в изложение, мы не включили в эту книгу нелинейную теорию,
отсылая читателя, интересующегося ею, к соответствующей отдель-
ной статье авторов.
§ 2. Общая теория пластин
2.1. Определения и обозначения.
В недеформировэнном состоянии плоская пластина рассматри-
вается как двумерная среда, заполняющая область й a R2 — от-
крытое ограниченное множество с регулярной границей Г.
Пусть п (соотв. т) —единичный вектор внешней нормали к Г
(соотв. единичный вектор касательной к Г, полученный из п
поворотом на -|-л/2).
В плоскости R2 выбраны оси 0хг, Ох2 ортогональной декар-
товой системы координат. Вместе с осью Ох3 они образуют орто-
гональную систему координат в R3.
В действительности, пластина — трехмерное тело, занимающее
такую область V пространства R3, что
V = {х | х = (х1( х2, x3)eR3, (хХ) х2)ей,
2" Л (Хх, Х2) <Х3 С^1> -^2)|» (2.1)
191
где функция {хг, xt}-^h(xx, х2), задающая толщину пластины,
«мала».
Пусть
и(Хц х2, х3, 0 = {У/(^1- -Ч- х3, = 2, 3}
— вектор перемещения пластины в момент времени /. В дальней-
шем мы выведем уравнения (и неравенства), определяющие пере-
мещение точек области £2, т. е. определяющие функции и (хх, х2,
О, 0-
Условимся считать, что латинские индексы i, j, ... пробегают
значения от 1 до 3, греческие индексы а, 0, ... пробегают зна-
чения от 1 до 2.
Таким образом, вектор перемещения имеет компоненты щ,
а точка области £2 имеет координаты ха.
2.2. Анализ действующих сил.
В области действует объемная плотность сил f = {/ж, f2, f3},
но мы будем иметь дело не с точным распределением, а только
с результирующими элементами приведения этого распределения
на поверхности £2:
+Л/2
fJXi, х2) = $ ft(Xi, х2, x3)dx3,
—ft/2
+ h/2
tniiXi, X2) = J 8/3*X3/*(Xi, x2, x3)dx3.
-Л/2
Таким образом, на элемент dxxdx3 поверхности £2 действуют
элементарная сила и элементарный момент, определяемые фор-
мулами
fi (х1( x2)dxxdx2, ffiz(xx, x2)dxidx2. (2.2)
Отметим, что /и3 = 0.
Пусть теперь £2Х —часть £2, ограниченная контуром Гх, и —
объем, соответствующий £21( т. е.
^1 = {х|х = {Х1, х2, х3} (= R3, {хь х2}е£2ь — h/2<x3<h/2}.
(2.3)
Действие части объема — на характеризуется систе-
y.Sf мой сил, которая в состоянии равнове-
/\ сия вместе с плотностью f сил, действую-
/ $ щих на V\, образует торсор, эквива-
/ у/Л лентный нулю. Изучим силы, действую-
jS / щие на со стороны V1 — Действие
s' / этих сил осуществляется через поверх-
( .z*\yZ ность S1 = r1x] — h/2, 4-/i/2[.
(/С Пусть ст» —тензор напряжений в
п V. Тогда часть V1 — действует на
ПОСреДСТВОМ ПЛОТНОСТИ СИЛ (СТуПу),
Рис. 16. приложенных к Sv На единицу дли-
ны Гх элементы приведения этих сил задаются выра-
192
жениями
+ Л/2
R{ = J сцП) dx3,
— h/2
(Rt) — результирующая (на единицу длины),
+Л/2 (2>4)
Mi = J el3kx3okinidx8,
-h/2
(M/) —момент результирующей.
Это позволяет ввести во всех точках Г] и, следовательно*),
во всех точках Q тензор напряжений и тензор моментов
напряжений Му, определяемые усреднениями
+ Л/2
Sy(*i, х2)~ $ Oy(xlt х2, x3)dx3, h.^h(xl, х2),
;Лм (2.5)
Му (х,, Хз)= J ^i3kx3GkJ dx3.
— ft/2
Теперь действие V' — V\ на V\ можно описать плотностью сил
(Ri) и моментов (МО на Гх:
Ri = = £ian« (так как п3 = 0),
Mi = Mynj = Miana. ( 1 '
Компоненты тензора напряжений и тензора моментов напря-
жений, участвующих в наших рассмотрениях, суть £<а и Mia.
Можно проверить, что
Sap = Spa, Л13а = 0, Мр₽ = 0. (2.7)
Выпишем условие того, что часть й, пластины Q находится
в равновесии под действием сил f (на Q,) и сил, действующих
со стороны V' — P'i (т. е. условия: результирующая и момент ре-
зультирующей равны нулю):
J fidxidx2-^- § Siawa^fi =0, (2.8)
я, г,
$ «ykXffkdxldx2 + 5 Ъукх/£кап0МГ1 +
Й1 Г1
4- j т{ dXi dx2 -|- jj Mianadr = 0. (2.9)
я, г,
*) Подразумевается, что контур Гх может быть выбран проходящим через
любую точку из Q в любом возможном направлении, (Прим ред,)
7 Г. Дюво, ж,-л. Лионе 193
Если 1\ регулярна, то (2.8), (2.9) эквивалентны соответственно
уравнениям
HA + Sta.a)^1^2 = 0, (2.10)
й,
$ [^UkXjfk + (ez/ft^/Sfta). a] dxv dx2 + $ (m, + M/а> а) dx^. dx2 = 0. (2.11)
Qi й,
Так как область произвольна, то (2.10) эквивалентно равенству
А + 2/а,а = 0. (2.12)
Используя (2.12), можно (2.11) привести к виду
$ (8fatS*« + М/а, а + «/) dxt = 0,
Qi
откуда
‘ + Л4г’а> a-j-/И/= 0. (2.13)
При f = 3 два последних члена в (2.13) равны нулю, а при Z==l,2
получим
2з2 + Alia, a+rth = 0, £31 - M2a, а - т2 = 0. (2.14)
Подставим 2зх и S32 из (2.14) в (2.12):
2ар,р + /а = 0, (2.15)
Alga, al Alia, а2 ^1,2 ^2,1 “Ь/з 0* (2.16)
В этих выражениях присутствуют лишь и Л4ар. Это и есть та
группа уравнений, которую мы будем изучать.
Замечание 2.1. До сих пор мы не пользовались условием
«малости» толщины пластины.
2.3. Линеаризованная теория.
2.3.1. Предположения. Примем следующие предположения.
1) Трехмерный материал, из которого состоит пластина, изо-
тропен и удовлетворяет закону Гука, т. е. (см. п. 2.1 гл. III)
Ч = -if? [ч + T^Tv е**Ч (2.17)
или, что эквивалентно,
8v=4’^1+^0zy_va*ft^’ <218)
где v — коэффициент Пуассона (0 < v < 1 /2), а Е — модуль Юнга
(£>0).
2) Силы ft, приложенные к пластине, нормальны, т. е.х)
Л = /г = О, mi = m2 = 0. (2.19)
!) По крайней мере при h — const. В любом случае мы предполагаем, что
имеют место условия (2.19),
194
3) Толщина h пластины «мала».
4) Приложенные силы {0, 0, f3} достаточно малы, так что
соответствующие перемещения удовлетворяют условиям
Ui(xlt х2, 0) = «2(хъ х2, 0) = 0, (2.20)
Mi(xb х2, х8) = х8-^-(х1, х2, 0) + 0(h2),
д* (2-21)
u2(xlt х2, Х3) = Х3-^(Х1, х2, 0)4-О (Я2),
где О (/г2) означает, что | О (/г2) | Mh?, h-*-0.
5) Нормальное перемещение допускает разложение вида
м3(Х1, х2, х3) = ы3(х1( х2, 0)4-
4-x3-g-(xx, хг, 0)4-4-§-(*i> *2. 0)4-О (Л8). (2.22)
Используя эти предположения, определим вид тензора напря-
жений и тензора деформаций в V". В точках верхнего и нижнего
оснований V (x3 — ±h/2) никакие внешние силы не действуют,
поэтому
013 (xi> ^2’ — ^/2) = а2з (*i> *г> ± h/2) = о33 (хх, х2, ± h/2) = 0. (2.23)
Применяя закон Гука (2.17), при x — ±h/2 получим
^4-^ = 0, -^4-^ = 0, + = (2.24)
дх3 * 1 dxi дхз 1 дх2 дх3 1 1—2v аа ' ’
Используя эти равенства и (2.21), (2.22), получим
44 (Хь х2, 0)4-^-(х1, х2, 0) = О(Л),
я3 4 (2.25)
-g-(xi, х2, 0)4-g-(x1, х8, 0) = 0(h).
Положим
«з(Х1, Х2, 0) = £(Х1, Х2)х); (2.26)
тогда в силу (2.21)
ы1(х1, х2, х3) = —x^/dXj-f-O^2),
и2(хъ х2, xs) = — x3d^/dx2 + O(h2). ' ’ '
С другой стороны, (2.24) дает
(хи х2, ± h/2) = - Ц4 (хх, х2, ± h/2) 4-(Xi, х2, ±й/2)]
и, так как ввиду (2.27) первый член имеет порядок h, то
^-(xlt х2, 0) = 0. (2.28)
х) Через £ обозначено вертикальное отклонение срединной поверхности
пластины от горизонтальной плоскости,
1 - 195
Дифференцируя (2.22) по х3, придем к равенству
>(«,. *,) - + §] + О (Л>), (2.29)
из которого заключаем, что
е** (х1, х2, х3) = — х3 [-g- + + О №. (2.30)
Используя эти соотношения, можно вычислить тензор дефор-
маций в точке х = (хь х2, х3):
8n = -x3Wx?-|-0(^),
в22 = — х3д2С/дх| + О №»
®зз = 7=^+0 (Л2), 823 = O(ft2), (2-31)
812 = — х^/дх^Хъ + О №> ег 3 = О №,
и тензор напряжений:
<’» — + + (2.32)
о13=о №> о23=о №> о33=о №
Рассмотрим два метода дальнейшего вывода нужных нам урав-
нений.
2.3.2. Вывод уравнений. Первый метод. Используя соотноше-
ния (2.32), вычислим величины £ia и Ма$, введенные в п. 2.2.
Получим
Zia = 0№, i= 1,2,3; а = 1,2, (2.33)
«.. = «(^ + 5) + 0<А*>. (2.34)
Отсюда видно, что в уравнениях (2.14) нельзя пренебречь
членами £13 и £23, так как они имеют тот же порядок малости Л3,
что и моменты Л4ар. Поэтому исключаем £13 и £23 и с помощью
(2.15) опять приходим к уравнению (2.16), которое здесь выгля-
дит так:
= (л=^+^)- (2.35)
Часто полагают
D = Eh3/12(1 -v2). (2.36)
Коэффициент D называют модулем жесткости на изгиб.
196
Формула Грина (или принцип виртуальной
работы). Вертикальное отклонение £(xlt х2), которое является
неизвестным в этой задаче, удовлетворяет в й бигармоническому
уравнению (2.35). Для решения задачи необходимо, очевидно,
добавить условия на границе Г. Эти условия будут включать
либо само отклонение £, либо заданные силы. В плоскости Охгх2
мы имеем две компоненты линейной плотности моментов, дей-
ствующих на Г (компонента этой плотности моментов в направ-
лении Ох3 тождественно равна нулю). В обозначениях, введенных
в (2.6), имеем
М. = М1апа = D {(1 - v) П1 + v) п2],
M2 = M2ana = D{-(|| + v-§)n1-(l-v)5^-n2}.
Можно определить нормальную и тангенциальную компоненты
моментов, именно:
Мп = Mini + Af2n2, Мт = —Л41п2 + Л12п1. (2.38)
Используя введенные обозначения, выпишем формулу Грина.
Пусть функция v (хх, х2) определена в й и достаточно регулярна.
Умножим (2.16) на v и проинтегрируем по й; тогда
$ £-зубМуа, O&V dx! dx2 = J f3v dxr dx2,
Q Q
интегрируя два раза по частям и полагая dx = dx1dx2, получим
®3Y^^^Ya^» 5 ®8Y^^Ya> dJ? =
Q Г Г
= \f3vdx. (2.39)
Q
Преобразуем интегралы по Г. Используя (2.13) и (2.6), имеем
J ^3Yfi^Ya» J ^SY^Y^sSsa^e dT* = dT\
Г Г Г
J ve3Y6MYa, an6 dr = — J vR3 dr. (2.40)
г г
Разложив вектор {AfYana} на нормальную и тангенциальную
компоненты, видим, что
^SYfi^Ya^a^. 6 ~ J ^3Y^ 0^»^Y ”Ь MjTY) V, § d£• (2.41)
Г Г
Ввиду равенств
== s§3y/i.y, •— s^gYTY, (2.42)
197
имеем
J езу6Л1гап¥и,6 dT = $ М„v.Ta dF = — J v (dMn/dx) dr, (2.43)
г г г
так как Г —замкнутый контур. Второй член преобразуется так:
$ e3v6A4tTvu, б dr = — $ Mxv,&n6 dF = — J Mt (dv/дп) dr. (2.44)
г г г
Перегруппировывая различные члены, получаем
езу6Л4уао,ав dx = f3v dx — $ Мх (ди/дп) dF + J (R3 — дМп/дх) vdF.
Й Q Г Г
(2.45)
Запишем билинейную форму в левой части более подробно:
й(£. = 5 ^зуб^уаР.аб &Х ~ (М1а0,<х2 MjaO.aiJdx. (2.46)
О Q
Используя для Л4уа выражение вида (2.34), имеем
.. ч гч С Г 34 &v . ,
а (£> f) — D L зХ2 ‘ dxj + dxl ‘ дх% +
+ v(-B-S+5-S) + 2<1_v)CTr-a7t-ldx- <2-47)
Отсюда видно, что билинейная форма а(£, о) симметрична.
Положим, далее,
(ср, ф) = фф dx, (ф, ф)г = $ фф dr. (2.48)
й г
Тогда формула Грина переписывается в виде
а(£> у) = (/з> 0 + (#з- дМп/дх, о)г —(Мт, dv/dn)r, (2.49)
где Мп, Мх выражаются через С согласно (2.37), (2.38), (2.34).
Эта формула позволяет предвидеть, что некоторые «хорошо
поставленные» задачи (не обязательно односторонние) формули-
руются с использованием соотношений на Г между Мх, R3 — dM/dx,
т, £ и д^/дп.
Введем, для использования в дальнейшем, обозначение F3 =
= R3 — дМп1дх.
2.3.3. Вывод уравнений. Второй метод (Ландау, Лифшиц [1]).
Используя выражения (2.31) и (2.32) для тензоров деформаций
и напряжений, можно вычислить в некотором приближении энер-
гию деформации трехмерного тела V.
Мы видели (см. п. 3.2 гл. III), что решение задачи линейной
упругости дает минимум потенциальной энергии кинематически
допустимых полей перемещений. Так как эта потенциальная энер-
гия представляет собой выпуклый функционал, то достаточно най-
198
ти ее стационарные точки. Выразим через функцию £ (хп х2) потен-
циальную энергию деформации тела v, т. е.
+ Л/2
Е (?) = у ( dXi dx3. (2.50)
—й/2 О
Это дает (если выполнить соответствующие выкладки)
$ Н+20
(2-51)
Заметим, что Е (£) — единственный нелинейный член в выра-
жении для потенциальной энергии кинематически допустимых
полей; вычислим его производную по направлению и:
(£'(£), v) = lim v = v(x1, х2). (2.52)
Л-.0 Л
Легко получается, что
(£'(?). v)=a(?, о), (2.53)
где форма а(£, о) определена в (2.47). Видим, что Е (Q = у а (£, Q.
Интегрируя по частям в а(£, v), получим
а(£, v) = D J №&dx —
Q
- D S +(1 -v) WS- - &)+(n? - v dr+
г
+ D J + (1 (2.54)
Г
Для того чтобы потенциальная энергия принимала минималь-
ное значение, необходимо и достаточно, чтобы работа внешних
сил на перемещении v была равна а(£, v). Иными словами, эта
работа имеет вид
j f8v dx+\F3vdV-\M (dv/dri) dr (2.55)
а г г
с соотношениями
DAa? = fs. (2.56)
-D{^-+(1 g) + (ni-ni)^]}=f8, (2.57)
D{it + (1 - v) (2ПЛ jgj - ni § - Ш §)} --M. (2.58)
Это дает нам соотношения, полученные первым методом, если
доказать, что
Р3 = F3 (= /?8 - = Mt- (2.59)
Это легко проверяется с использованием (2.14), (2.34).
199
2.3.4. Выводы. В изложенной выше линеаризованной теории,
применимой при малых перемещениях точек пластин, деформации
описываются уравнением (2.56), к которому присоединены усло-
вия на границе. Эти условия включают либо перемещения и при
этом непосредственно определяют функцию £, либо силы и задают
(2.57), если речь идет о силе, и (2.58), если речь идет о моменте
относительно оси, касательной к Г.
Энергия деформации задается квадратичной формой уа(£, £),
которая определяется по билинейной форме а(£, о), см.
(2.46) или (более подробно) (2.47). Кроме этого, мы распо-
лагаем формулой Грина или принципом виртуальной работы
(2.49).
Динамический случай. Перемещение £(х, t) теперь
является функцией х и t. В (2.56) нужно добавить к /3 силу
инерции —ph&Qdt*. Тогда получим
ph d^/dt2 4-D АЧ=(2.60)
(р — поверхностная плотность в недеформированном состоянии).
Очевидно, мы должны задать начальные условия
I (х, 0) = (х). д£ (х, Q)/dt = & (х), (2.61)
к которым добавляются условия на границе (в виде уравнений
или неравенств), аналогичные тем, которые задаются в стацио-
нарном случае.
§ 3. Задачи
Задачи, которые мы сейчас будем рассматривать, могут быть
или статическими, или динамическими. Каждой статической задаче
можно сопоставить соответствующую динамическую задачу, добав-
ляя к приложенным поверхностным силам силы инерции и вводя
начальные условия. Здесь, однако, мы формулируем подробно
только апатические задачи, которые можно разделить на группы:
классические задачи, вариационная формулировка которых при-
водит к уравнениям, и «односторонние» задачи, которые в вариа-
ционной постановке приводят к неравенствам.
3.1. Классические задачи.
В каждой точке границы Г заданы Г8 или £ и Мх или д^/дп,
что физически соответствует
1) плотности сил Fa на Г или перемещению £ точек границы Г;
2) моменту Мх относительно касательной т к Г или д^/дп —
наклону пластины, вычисленному вдоль направления нормали
в точках Г.
Примеры.
1) Зажатая пластина. Полагаем
с=ас/ал=о на г. (3.1)
200
2) Пластина, часть 1\ границы которой свободна, а остав-
шаяся часть Га закреплена, но может свободно вращаться вокруг
касательной к Г2. Имеем тогда
Fs = Mt = 0 С=мт=о на на 1\, г,. (3-2) (3.3)
3.2. Задачи с односторонними связями. точек Q,
1) Односторонние связи на перемещения
например: ?(х)=г0 £ (х) >• 0 =>/3 = = 0 1 в Q, в Q, (3.4)
C(x) = O=>f3S sO J
тогда как на границе ставятся условия классического типа.
2) Односторонние связи на перемещения точек Г:
g (х) 5s О на Г,
£(x)>0=>F3 = 0 ) (3.5)
> nd 1 •
g(x) = 0=>F3s&0 j
На Г задаются условия классического типа для Mt или д^/дп., и
задается f3.
3) Одностороннее ограничение вращения точек Г:
dtydn О на Г,
<Шг>0=>Мт = 0 ) на г (3.6)
dtjdn — 0 => М< О J
На Г ставятся условия классического типа для F3 или £, и задается f3.
4) Перемещение точек из £2 с трением:
|f3|<eF (константа или положительная функция) = О,
|/31 = eF => существует Х.^0 такое, что £ = — А/3,
тогда как на Г задаются условия классического типа.
5) Перемещение с трением точек границы Г:
|^|</=>Са0 на Г,
| /?31 = аГ => существует X Эг О такое, что £ — — KF,
тогда как на Г задаются условия классического типа.
6) Вращение с трением точек границы Г:
I | < (заданная положительная константа) =>
=>d£/dn = 0 на Г, (3.9)
I Мт | = => существует такое, что дС/дп = 1Мт на Г,
тогда как условия на F3 и £ вдоль Г — классического типа.
201
7) Можно также ставить условия одного из рассмотренных
типов на одной части границы Г/ и другого типа —на другой
части, причем = Г.
Замечание 3.1. Задачи 1) и 4) в дальнейшем подробно рас-
сматриваться не будут, они исследуются одинаковыми методами
и не вызывают каких-либо особых трудностей. Мы предпочли
рассмотреть те задачи, в которых возникают специфические труд-
ности.
§ 4. Стационарные задачи
с односторонними ограничениями
4.1. Обозначения.
Рассматривая задачу в безразмерной форме, мы можем изме-
нить масштаб по X/ и свести задачу к случаю D = l.
Для и, ое № (Q) положим
\ С д2и д2и , . f /д*и д^и . Фи d2t>\ , .
й W’ ~а ' дх2)^^
+2 (1 — v) С д dx. (4.1)
' ' J fat дх3 dxi дх2 ' ’
о
Запишем формулу Грина
а (и, v) = (Дам, v) 4- (F3, и)г — (Мх, dv/dn)F. (4.2)
Положим
/о (0 = J (й«+ - giH ^Г, gi < 0 < g2 0» (4.3)
Г
/i(0 = $[6s(dv/dn)+ —&i(du/dn)-]dr, ^1<0<й21)- (4.4)
4.2. Задачи (стационарные).
Задача 4.1. Найти функцию « Е №(Q), удовлетворяющую
неравенству
а(«, V — «) + /о(0 — /о(«)^(А v — u) Voe№(Q) (4.5)
(мы полагаем /8 = /).
Задача 4.1а. Найти функцию ие№(й), удовлетворяющую
условию ди/дп = 0 на Г и неравенству
а (и, V — «) + /о(0 — /о(«)>(А v — u) Vv(=№(Q):
dv/дп = 0 на Г. (4.5а)
1) В качестве gi мы берем константы. Можно было бы брать измеримые и
ограниченные на Г функции.
202
Задача 4.2. Найти функцию ы е № (Q), удовлетворяющую
неравенству
а (и, v — + — v — u), Vo<=№(Q). (4.6)
Задача 4.2а. Найти функцию и еН2(Q)0HI(й), удовлетво-
ряющую соотношению
а(и, o-u) + /1(o)-/1(u)2s(f, v-u) Vve/72(Q)f]//J(S2). (4.6а)
Мы дадим интерпретацию этих задач и проверим, что они
включают в себя (возможно после перехода к пределу)
задачи § З1).
Полагая ' во всех приведенных выше неравенствах v = и ± <р,
ips^(Q), мы можем заключить, что во всех случаях
Д2«=/. (4.7)
Поэтому с помощью формулы Грина (4.2) мы получаем
а (и, v — u) — (F3, V — н)г + (Л1т, d(v — u)/dn)r — (f, v — u), (4.8)
следовательно, для задач 4.1 и 4.1а
(F3, V — u)r + j0(v)-j0(u) — (Aft, d(v — u)/dn)r^0 Voe№(Q)
(соотв. Vo с условием dv/dn — 0 на Г в задаче 4.1а); (4.9)
и для задач 4.2 и 4.2а
— (Alt, d(v — u)/dn)r+ji(v) — h(u) + (F3, о —и)г2г0 Voe№(Q)
(соотв. Vo с о = 0 на Г в задаче 4.2а). (4.10)
Граничные условия в задаче 4.1. Неравенство (4.9)
означает, что
Aft = O,
$ И, (о+ - о-)+g2o+ - gxo-] dr - (F3, и)г - j0 (и) 2s 0. (4.11)
г
Полагая <р2&0 на Г и о = ±Лхр, Х>0, получаем
Гд + ^гСО, (F3, «)г + /0(«) =0>
следовательно,
F3u + g2u+ - gxu- = 0, (4.12)
т. e. (F84-h2)m+ + (— F3-g1)u~ = 0
или
— gz <FS <-gi => и =0,
Fs----^=>h^0, (4.13)
/73 = —g2=>«SsO.
x) Аналогичным образом мы трактуем задачи с односторонним перемещен
нием или с перемещением и трением в точках области Q.
203
Частный случай: у =—gx=<^- (Это задача 5 из § 3.) И
Предельный случай. Возьмем g2 = 0 и пусть устре-
мится к — оо. В пределе (который существует) и удовлетворяет
условиям
0<Г3=^м = 0, F3 = 0=> u^O. (4.14)
Это задача 2 из п. 3.2. Прямая вариационная постановка
этой задачи следующая:
Задача 4.3. Введем множество
К1 = {о|ое/72(П), о^ОнаГ}, (4.15)
которое является замкнутым выпуклым множеством в №(Q). Мы
ищем функцию и, являющуюся решением задачи
а(и, v — u)^(f, v — u) (4.16)
Граничные условия в задаче 4.1а. Односторонние
граничные условия (4.12) (или (4.13)) не изменяются, а вместо
условия (4.11) налагается следующее:
ди/дп = Q на Г. (4.17)
Граничные условия в задаче 4.2. Условие (4.10)
означает, что
F3 = 0, (4.18)
[— Aft ((du/dn)+ — (dv/dn)~) 4- k2 (dv/dn)+ — (dv/dn)-] dr +
г
+ (Aft, ди/дп)? — ji (u) 5s 0,
следовательно,
— — Mx + kx^Q, (Mx, ди/дп)— jx(u) = O.
Таким образом,
(4.19)
(k2 — Мх) (ди/дп)+ + (Мх — kx) (ди/дп)- = 0,
T. е.
kx <. Мх < k2 => ди/дп = 0,
Мх = k2 => ди/дп 5= 0, (4.20)
Мх — kx=^ ди/дп -С 0.
Частный случай. k2 = — kx — <^. Это задача 6 из п. 3.2.
Предельный случай. Положим #2 = 0, и пусть ^х->-— оо.
Находим
Мх > 0 => ди/дп = 0, Мх = 0 => ди/дп 0.
Это задача 3 из п. 3.2.
Прямая вариационная формулировка этой задачи следующая:
Задача 4.4. Введем множество
/(а = {фЕ№(Й), dv/dn^Q на Г}, (4.21)
204
которое является выпуклым замкнутым множеством в №(Й). Мы
ищем решение и задачи
иеКг, а (и, v — v — u) (4.22)
Граничные условия в задаче 4.2а. Односторонние
граничные условия (4.19) не изменяются, а вместо условия (4.18)
налагается следующее:
м = 0 на Г. (4.23)
Замечание 4.1. Если /о(и) = О, gi=g2 = 0, то задача 4.1
эквивалентна равенству
а (и, v) = (/, v) Vu е № (й),
т. е. уравнению (4.7) с классическими граничными условиями
ди/дп —О, F3 = 0 на Г. (4.24)
Задача 4.1а эквивалентна задаче с граничными условиями
ди /дп == О, F3 = 0. (4.25)
Если ji(v) = O, т. е. ^=^2 = 0, то задача 4.2 эквивалентна
(4.7) с граничными условиями (4.24), а задача 4.2а эквивалентна
(4.7) с условиями вида
м = 0, Мт = 0. И (4.26)
Задача с условиями (закрепленная пластина) вида
м = 0, ди/дп — 0 на Г, (4.27)
эквивалентна, очевидно, задаче минимизации на Но(^) функцио-
нала у а (у, v) — (J, v). Эта задача имеет единственное решение,
так как
a(v, tOSsa|u||H2(Q), a>0, Vu e Я#(й).
4.3. Решение задачи 4.1. Необходимые условия существова-
ния решения.
Для упрощения записи положим
Ф РО = g№ - gi^', (4.28)
так что
io(v) = ^(v) dr.
г
Задача эквивалентна минимизации на №(й) функционала
^a(v, v) + j0(v)-(f, v) = H(v). (4.29)
Обозначим через & пространство полиномов степени 1.
Имеем
^'с№(й) (так как й ограничена) и а (и, р) = 0
205
Для существования решения необходимо выполнение следующего
условия:
VpeeT5 функционал Я(Хр) ограничен снизу при Х-->±оо. (4.30)
Поэтому
щхр)=/0(Хр)-Х(А p)=%rjp^dr-(A р)]-
_г J
Но при Х->4-оо
fp^dr->((^p+-glp-)dr
J ftp J
г г
и при Х-> —со
Jplg£)dr-> J(^-^p-)dr,
г г
так что условие (4.30) означает (при Х->-4-оо)
$(g2p+-giP"Mr-(A p)=s0,
Г
т.
е.
(4.31)
Vp е
и
(при X—>• —со) '
$ (giP+ - gtP~) dr - (А р) sg О,
Г
т.
е.
—/о(—р)-(А р)<о Vpe^5.
Заменяя р на — р, получаем, что последнее условие эквивалентно
(4.31). Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 4.1. Для того, чтобы задача 4.1 имела решение,
необходимо, чтобы f удовлетворяла условию (4.31).
Частный случай. Пусть /0 = 0 (это соответствует (см. за-
мечание 4.1) классическим задачам). Тогда (4.31) эквивалентно
условию
(А р) = 0 Vp е SP,
т. е.
(А 1) = 0, (А ха) = 0, а=1, 2. (4.32)
Предельный случай. При g2 = 0, gx = — oo (4.31) дает:
(А Р)«^0 Vpe0\ pS=0 на Г. (4.33)
Более того, необходимое условие (4.33) можно вывести непо-
средственно из соотношения (4.16). Заметим, что (4.16) эквива-
лентно задаче
a(u, 1»)2&(А v) VyeKi, а(и, u) = (f, и). (4.34)
Полагая »=реЛи находим необходимое условие (4.33).
206
4.4. Решение задачи 4.1. Достаточные условия.
Теорема 4.2. Пусть f принадлежит L2(Q) и gi<0<g2,
gt конечны. Предположим, чтот)
(А Р)</о(р) р¥=0. (4.35)
Тогда задача 4.1 имеет по крайней мере одно решение.
Замечание 4.2. В случае /о = О условия (4.32) являются
достаточными; это классическая альтернатива Фредгольма. Сущест-
вует бесконечно много решений: если « — решение, то все другие
решения задаются формулой и 4- р, р<=&.
Замечание 4.3. При g2 = 0, gx = — оо имеем следующий
результат.
Теорема 4.2а. Пусть f принадлежит £г(й) и
(f, р)<0 Чр<=&, р^О на Г, р^О. (4.36)
Тогда задача 4.3 имеет по крайней мере одно решение.
Доказательство теоремы 4.2. Из (4.35) и того факта,
что имеет конечную размерность, следует, что существует е>0
такое, что
(Ар)</о(р)-8|р|, (4.37)
где через | <р | обозначена норма функции <р в L? (Q) (очевидно,
что вместо | <р | можно было бы взять в (4.37) некоторую другую
норму, изменяя при этом, возможно, е). Разложим «еЯ2(й)
следующим образом:
v — v-\-p, p&.ffi, (v,q)=0 (4.38)
Тогда при подстановке а (о) вместо а (у, v) функционал (4.29)
переписывается в виде
Я(о) = Я(о + р) = 4а(«) + /о(3 + Р)-(А v + p). (4.39)
Но /о(й + р)Ss/о(р) — Ci8«||, где через | | обозначена норма
в д2(й), |(А »)|<с2|р|.
Предположим, что справедлива
Лемма 4.1. Существует а>0 такое, что
а («) а I о ||2, v<=H2(&), (v, q) = 0 'iq^ST. (4.40)
Тогда Я (у) 2s а || v j2 — с81»1 +/о (Р) — (А Р) и поэтому, в силу
(4.37),
Я(г>)>а|бР-с8|5в + 8|р|. (4.41)
Но тогда Л(у)-> + со при ||«|->4-оо в силу следующей леммы.
Лемма 4.2. В пространстве Н2 (Q) нормы || v || и (а («))1/г + | р |
эквивалентны.
«Сильный» аналог (4.31),
207
Таким образом, теорема доказана, если только справедливы
утверждения лемм. Естественно, лемма 4.1 следует из леммы 4.2.
Поэтому остается доказать лемму 4.2. Основная идея доказатель-
ства та же, что при доказательстве леммы 7.1 гл. I. Положим
1М|Н(а(б))1/2 + И- (4-42)
Функция HI о HI определяет норму. Действительно, единст-
венный нетривиальный момент доказательства состоит в том, чтобы
показать, что из |||р|||=0 следует о = 0. Имеем а (v) — 0, | р | = О,
поэтому р = 0 и что приводит к 0 = 0 (так как (о, <?) = 0
Vp е
По теореме о замкнутом графике (как в лемме 7.1 гл. I) до-
статочно показать, что №(Q) —полное пространство относи-
тельно нормы (4.42). Пусть v„ = da-j-pn — последовательность Коши
относительно этой нормы. Тогда д*ип/дха дх$ сходится в Z? (Q) и
рп сходится В с?5. Тогда согласно работе Дени и Лионса [1] мы
можем найти последовательность е 0s такую, что v„ + qn-^w
в Я2(й). Но тогда
(Vn+<ln> q) Vq(Ei&, т. e. (qn, q)-+(w, q) Vqisfr.
Таким образом, qn-*-qo в SP и поэтому vn = (t>„ + qn) — qn->
—p0 в №(Q), следовательно, vn — vn + pn сходится в №(Q).
Доказательство теоремы 4.2a. Теорема 4.2a является
следствием теоремы 5.1 из работы Лионса и Стампаккья [1]
(в обозначениях этой теоремы полагаем V—H2(Q), р0(о) = |о|,
Pi (о) = (а (*>))1/2; тогда Y = и предположение (5.3) теоремы 5.1
из указанной работы эквивалентно лемме 4.1).
4.5. Проблема единственности в задачах 4.1 и 4.3.
Для задачи 4.1 вопрос единственности решения остается
открытым. Можно сразу же отметить, что если иг и ы2 —два
решения, то ыг —ы2е<^. Но нам не удалось выяснить могут ли
существовать несколько решений и и « + р, ps^.
Для задачи 4.3 имеет место следующий частный результат.
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия теоремы 4.2а и
предположим, кроме того, что Г не содержит прямолинейных
частей. Тогда задача 4.3 имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть и и и-\-р — два решения. Одно-
сторонние условия на Г имеют вид
«2г 0, F3^0, wF3 = 0,
ы-Ьр^О, F3^0, («+p)F3 = 0.
Но выполнение равенства Е3 = 0 почти всюду невозможно. Дей-
ствительно, в этом случае по формуле Грина
\№udx = {f, 1) = —$F3dr = 0,
й г
что невозможно в силу (4.36) при р = 1. Поэтому Fs > 0 на
множестве £сГ меры >0, и на Е имеем м = 0 и w + p = 0,
208
следовательно, р = 0 на Е, что при р=£0 невозможно ввиду усло-
вия, наложенного на Г.
4.6. Решение задачи 4.1а.
Теорема 4.4. Для того чтобы задача 4.1а имела решение,
необходимо, чтобы
gitnesr=^(/, l)<g2mesr. (4.43)
Доказательство. Мы должны минимизировать функцию
Н (у) на пространстве V функций oe/72(Q) с условием ди/дп = О
на Г. Если задача имеет решение, то (Н(|а), peR} ограничено
снизу, откуда (так же как в теореме 4.1)
(А н)=С/о(н) Vp.(=R.
Подстгвляя ц=1 и ц = —1, получаем, что последнее неравенство
эквивалентно (4.43).
Аналогично теореме 4.2 доказывается
Теорема 4.5. Предположим, что
giiHesrctf, l)<g3mesr.
(4.44)
Тогда задача 4.1а имеет по крайней мере одно решение.
На этот раз мы можем решить проблему единственности.
Теорема 4.6. В условиях теоремы 4.5 задача 4.1а имеет
единственное решение.
Доказательство. Пусть ut и ы2 —два решения. Тогда
<!(«! —и2, «1 — и2) = 0, поэтому и1 — и2 = р, р^Т1. Но dujdn —
= ди2/дп = 0, следовательно, др/дп = 0 на Г, что эквивалентно
тому, что p = ceR. Таким образом, два возможных решения
имеют вид и и и-}-с, а односторонние граничные условия дают
соотношения
^3 == gi —=->
Рз = —ёз=>
ц = 0
и^О
и^О
и u-j-c — O,
и «Н-с^О,
и « + с^0.
Выполнение равенства Fa ——(или F3 =— g2) невозможно,
так как тогда в силу формулы Грина было бы
(А 1)=----$F8dr = Jgldr,
г г
что невозможно согласно (4.44). Если — g2 < F3 < — gi на мно-
жестве Е положительной меры, то и-и-{-с = Ъ на Е, поэтому
с = 0. Остается рассмотреть случай: F3 —— gT на Гц F3 = — g2
на Г2, Г11|Г2 = Г, за исключением множеств меры нуль. Завер-
шается доказательство как в теореме 7.5 гл. I.
4.7. Решение задачи 4.2.
Задача 4.2 эквивалентна минимизации на №(Q) функционала
/(v) = уа(ц) + /1(ц) — (А о). (4.45)
Теорема 4.7. Для того чтобы задача 4.2 имела решение,
необходимо, чтобы выполнялось условие
(f, (4.46)
Замечание 4.4. Так как (с) = 0, с = const, то (4.46) означает
(А 1) = 0. (4.47)
Доказательство теоремы 4.7. Для того чтобы реше-
ние существовало, необходимо, чтобы функция X->J(Xv) была
ограничена снизу. Это приводит к (4.46) как в теореме 4.1.
Так же как теорема 4.2, доказывается
Теорема 4.8. Если
(f, p)<ii(p) Vp^&, р¥=0, (4.48)
то задача 4.2 имеет решение.
Легко видеть, что если и —решение, то ис —также реше-
ние-, поэтому решение не единственно. Вопрос о нахождении всех
решений нами полностью не исследован.
Замечание 4.5. Решение задачи 4.5 единственно. Действи-
тельно, форма а (и, v) коэрцитивна в Н2 (Q) П Н1й (Q), т. е. сущест-
вует константа ах>0 такая, что
Vve=H2(Q)fltf$(Q)-
В общем случае мы получим такой же результат, если потре-
буем, чтобы и обращалась в нуль на непрямолинейной части Го
границы Г. Это замечание распространяется и на другие типы
задач, обсуждаемые в настоящей главе.
Замечание 4.6. Для того чтобы задача 4.1 имела решение,
необходимо, чтобы
(А р)=с0 (Д2 определено в (4.21)). (4.49)
Фактически,
если Г —регулярная кривая, то $5f|A2 = R- (4.50)
Действительно, если р = a0 + aiXi+a2*2 то др/дп =a1n1-}-aini;
поэтому р е Д2, если а-уц + Ss 0 на Г. Но если мы возьмем
на Г точки с противоположным направлением нормалей, то
a1n1-\-ain2 = Q и a1 = a3 = 0. Таким образом получаем (4.50). Тогда
(4.49) эквивалентно равенству
(А 1) = 0. (4.51)
Мы не знаем, является ли это условие достаточным.
Приведем достаточные (и несомненно, слишком сильные) усло-
вия существования решения задачи 4.4. Предположим, что
(/, xa) = 0, а=1, 2, и (А 1) = 0, (4.52)
Q — открытое ограниченное выпуклое множество
с регулярной границей Г. (4.53)
21Q
Тогда задача 4.4 имеет решение.
Действительно, задача эквивалентна минимизации на К2 функ-
ционала у а (и) — (Д и). Но согласно (4.52) и альтернативе Фред-
гольма существует элемент F <=Н2 (й) такой, что
(Д v) = a(F, v) УцеЯ2(й) (4.54)
(F определяется с точностью до слагаемого из <^; выберем какое-
либо допустимое F). Тогда задача эквивалентна минимизации
функционала
a(v — F)=^(v) (4.55)
на FP(Q).
Перейдем к фактор пространству по введем
<5Г = Я2(Й)/^ (4.56)
и пусть <р-> ф'— каноническое отображение /72(Й)
На определим форму
а (ф‘, ф") = а (ф, ф), ф е ф', ф е ф‘,
и функционал
/(v') = a(v' — F'). (4.57)
Через /Сг обозначим образ К2 при отображении ф->ф‘. Тогда
задача эквивалентна минимизации /(v‘) на К?. Но (a(v‘, if))1/2
эквивалентна факторнорме на <г%~, так что мы докажем сущест-
вование решения, если покажем, что
К.'г замкнуто в (4.58)
Пусть и] — последовательность из К2 и в s%^. Сущест-
вует vj^v] такая, что dvj/dn^Q на Г, и можно найти такую
последовательность Pj е &, что
иу + р,->да в Я2(Й). (4.59)
Из (4.59) следует, что
dVj/dn-Fdpj/dn-^dwidn в Л2 (Г) (и даже в Д1/2(Г)). (4.60)
Полагая dVjldn-\-dpjldn = aj, имеем
dpjldn*=aj — dVjldn^aj на Г. (4.61)
Но так как £2 — выпуклое множество с регулярной границей, то
существует отображение х->ф(х), являющееся диффеоморфизмом
Г->-Г, и такое, что (через пу обозначена нормаль в ре Г)
(*)= (4.62)
Полагая Р/(x) = c0/ + ci/*i + c2/x2> имеем dpj (ф (х))/дп =
= — др; (х)/дп, так что (4.61) дает др/ (х)/дп ^ — а^ (ф-1 (х)) = bt (х)
и, следовательно,
а/(х)^др;(х)/дл=с £»/(*)» (4.63)
211
где aj и Ь] остаются в ограниченных множествах пространства
Ьа(Г). Так как \dpj(x)ldn |sg|а7(х) | + | bj(x) |, то заключаем:
dpj/dn ограничены в Л2 (Г). (4.64)
Тогда | Ci/1 +1 с2/1 < const и поэтому можно выделить подпоследова-
тельность (также обозначаемую через с1;-, с2у) такую, что
<7/ = + сг]Х2 -> <7 = ел + с2х2. (4.65)
Следовательно, условие (4.59), которое можно записать в виде
а/+со/ + <7/_>^' в вместе с (4.65) означает, что
0/ + Со/->Ф = ®~-<7 в (4.66)
поэтому
+ = в Л*(Г),
откуда следует ^-^0. Поэтому феи' и 5s 0, следовательно,
v'<=K'i. Этим доказано существование решения.
Решение и' единственно в Множество решений, таким
образом, состоит из функций иеД таких, что du/dn^Q на s^T.
Замечание 4.7. Естественно, можно ввести двойственные
постановки рассмотренных задач в соответствии с принципами,
изложенными в п. 3.5 гл. III.
§ 5. Эволюционные задачи с односторонними ограничениями
5.1. Постановка задач.
Здесь мы используем обозначения из § 4. Кроме того, положим
tf = L2(fi). (5.1)
Как обычно, обозначим через «(/) функцию х^>-и(х, /) и
положим
u'(t) = du(-, t)/dt, и" (f) — д2и (, t)/dt2, ...
Задача 5.1. Мы ищем функцию 7->(и(7)) из [0, Г] в №(Q)
такую, что и’ (/) е Н2 (й), и" (t) е Н, удовлетворяющую неравен-
ству
(«"(7). v-u’ + v — и’ (0) + /o(o)-/o(«z (O)S^
v-u’(t)) Vus№(Q) (5.2)
и начальным условиям
и (0) = ы0, и’ (0) = «!.
(5.3)
212
Эта задача — «эволюционный аналог» задачи 4.1. Ее можно
интерпретировать следующим образом. Прежде всего заметим,
что если и удовлетворяет (5.2), то
< Эгы/&« + Дгы=/ в Q = Qx]0, Т[. (5.4)
Граничные условия на £ = Гх]0, Т[ получаются так же, как
в § 4. Они имеют вид:
Мт = 0 на S, (5.5)
односторонние условия таковы:
- g2<E3<-gI=>-§r = 0 на 2,
F3---gl=^<0, (5.6)
г _х ди ~ __
^ = -^=>^^0.
Задача 5.1а. Введем пространство
У ={ц|0€=Яа(Й), |^ = 0 на г|. (5.7)
Мы ищем функцию t-+u(t) из [0, Т] в V такую, что м'(0е
eV, выполняется (5.2) Vo eV и условия (5.3).
Тогда граничные условия имеют вид
= 0 (вместо (5.5)), (5.8)
а односторонние условия (5.6) не изменяются.
Задача 5.2. Мы ищем функцию и, удовлетворяющую усло-
виям задачи 5.1, но с заменой /0 на Д, т. е. удовлетворяющую
условию
(«"(0- v-u' (t))+a(u(t), v — u' (0)+h(u' (0)>
^(/(0, y-u'(0) Voe№(Q), (5.9)
и начальным условиям (5.3).
Эта задача является эволюционным аналогом задачи 5.1. Ее
можно интерпретировать следующим образом: и удовлетворяет
(5.4), начальным условиям (5.3) и граничным условиям:
F3 = 0 на S (5.10)
*,<«,<*,= 0 на 2,
<5-н)
Л1 , _д ди _ м
Mx~kl=^dhdi sgo.
213
Задача 5.2а. Заменим в задаче 5.2 Н2(й) на Нъ(Й)ПЯ»(й).
Таким образом, мы ищем функцию и со значениями в Я2(Й)П
П HI (й), удовлетворяющую (5.9) при ое № (й) f) Щ (й) и на-
чальным условиям (5.3).
Задачу можно интерпретировать таким образом: и удовлетво-
ряет (5.4), (5.3) и граничным условиям
« = 0 на 2 (вместо (5.10)),
условия (5.11) не изменяются. (5.12)
Предельные случаи. Если в задаче 5.1 положим (фор-
мально) g2=0, gi = — оо, то придем к следующей задаче («эво-
люционному аналогу» задачи 4.3):
Задача 5.3. Пусть Дх —выпуклое множество, определенное
в (4.15). Мы ищем функцию t->u(t) такую, что
и' (0 е Ki,
(и" (/), v — и' (0) + а (и (0, v — u' (/)) Э-
^ (/(/), VvsXx (5.13)
и выполняются начальные условия (5.3).
Задачу можно интерпретировать таким образом: « — решение
(5.4), (5.3) при следующих условиях на 2:
Mx = 0, Е3^0, |рз = 0. (5.14)
Так же как выше, если положим (формально) Л2 = 0, kY =
= — оо в задаче 5.2, то придем к следующей задаче:
Задача 5.4. Пусть Д2 —выпуклое множество, определенное
в (4.21). Мы ищем функцию t-+u(f), удовлетворяющую неравен-
ству, аналогичному неравенству (5.13), с заменой Ki на Д"2.
Условия не изменяются, за исключением граничных усло-
вий (5.14), которые в данном случае примут вид
F‘ = 0’ = = <5-15>
Замечание 5.1. Аналогичным образом мы могли бы поста-
вить и решить динамические задачи с односторонним перемеще-
нием точек области й (ср. с п. 3.2.1) или с перемещением с тре-
нием в точках области й (ср. с п. 3.2.4).
5.2. Решение эволюционных задач с односторонними ограни-
чениями.
Методы доказательств в точности такие же, как в п. 5.5 гл III.
Сформулируем без доказательств некоторые результаты.
Теорема 5.1. Предположим, что
f, f'^L2(0, Т; H) = L2(Q), (5.16)
м0^Я4(й), Мт(м0) = 0, 7?3(но) = 0 на Г, (5.17)
«хеЯ2(Й)ПЯ4(Й). (5.18)
214
Тогда задача 5.1 имеет единственное решение, удовлетворяющее
условиям
и, u'<=LM(Q, Т-, Я2(Й)), (5.19)
a’eL“(O, Т; Я). (5.20)
Основная идея доказательства заключается в том, что мы регу-
ляризуем j0(v) посредством /0Е(а), где /ое (^) имеют, например,
вид
»><>• <5-2»
г
и затем рассматриваем регуляризованное уравнение
(«8» и)+а(«8. у) + (/ое(«е), 0 = (А О) Vtie/f2(Q) (5.22)
с начальными условиями
ие (0) = и0, и'е (0) = «j. (5.23)
Ввиду предположений, сделанных относительно «0, иъ из (5.22)
заключаем, что
«е(0) = /:(0) —Д2м0- (5.24)
Последнее равенство вместе с (5.16) дает нам возможность про-
дифференцировать (5.22) по t и получить априорные оценки,
соответствующие (5.19), (5.20).
Замечание 5.2. Можно ослабить условия на/, ы0» ui путем
введения слабых решений неравенств (см. Брезис и Лионе [1] и
Брезис [2]).
Можно взять ^=0 и положить §! = —g, g>0. Обозначим
через ug решение, соответствующее задаче 5.1. Тогда имеем сле-
дующий результат.
Теорема 5.2. Предположим, что выполняются (5.16), (5.17),
(5.18). Тогда задача 5.3 имеет единственное решение, удовлетво-
ряющее (5.19), (5.20). Кроме того, при g^>--\-<x> имеем
Ug^>-u, u'g-+u’ *-слабо в (0, Т\ Я2(й)), (5.25)
*-слабо в L°°(0, Т; L2(Q)). (5.26)
Для доказательства заметим, что из (5.22) можно вывести
не зависящие от е и g априорные оценки в L°°(0, Т; Я2(й))для
ие, «е и в L°°(0, Т-, для u"t.
Замечание 5.3. Можно решить задачу 5.3 непосредственно,
методом штрафа, аппроксимируя (5.13) задачей вида
(«ф v)4-a(«n> 0 + Т1$(— (u'^-yvdT = v) Vv<=№(Q),
г (5.27)
un(0) = wo, а^(0) = ы1.
Условие ««х = 0 на Г» можно заменить на условие на Г».
215
Замечание 5.4. Для задачи 5.1а имеет место результат,
аналогичный указанному в теореме 5.1.
Для задачи 5.2 справедлива
Теорема 5.3. Предположим, что выполняются (5.16), (5.17) и
их е Я2 (й), дщ]дп = 0. (5.28)
Тогда задача 5.2 имеет единственное решение, удовлетворяющее
(5.19), (5.20).
Основная идея доказательства заключается в том, что мы
регуляризуем /х(о), вводя функции /i8(v), например, таким образом:
/..<»)чтж'-тшгги »>»
г
Возьмем &2 = 0, £х =— k, k>0 и пусть ы* —решение, соответ-
ствующее задаче 5.2. Тогда справедлива
Теорема 5.4. Предположим, что выполняются (5.16), (5.17),
(5.28). При этом задача 5.4 имеет единственное решение и, удов-
летворяющее (5.19), (5.20). Кроме того, при имеем
uk^>-u, u'k-^-u' «-слабо в L°°(0, Т-, Я2(й)), (5.30)
Uk^-и" «-слабо в Т\ £2(Й)). (5.31)
§ 6. Комментарии
Линеаризованная теория пластин, которая здесь используется,
носит название теории Кирхгоффа. Есть и другие линеаризован-
ные теории (Рейснера и Хенки), изложение которых можно найти
в работе Сандера [Г]. Можно также обратиться к работам Лява [1],
Тимошенко и Войновского-Кригера [1], Рейснера [1, 2], Хенки
[1, 2], Грина [1]. В другой работе авторов проводится анализ
односторонних задач в нелинейном случае, что приводит к урав-
нениям Кармана.
Задачи о «пластических» пластинах также приводят к неравен-
ствам; результаты по этому вопросу можно найти в работе Кут-
риса [1].
Мы видели, что тогда как динамические задачи решаются
с математической точки зрения удовлетворительно, того же нельзя
сказать о статических задачах. В тексте мы указали на откры-
тые вопросы, связанные с единственностью решений. Проблема
регулярности решений, по-видимому, также открыта. Отметим,
однако, что для задач 4.3 и 4.4 можно доказать, что если
f е L2 (й), то и^Н* (Й) (методом сдвигов параллельно границе).
ГЛАВА V
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПЛАСТИЧНОСТИ
§ 1. Введение
К пластическим материалам относятся, в частности, материалы
вязко-упруго-пластические, идеально-жестко-пластические, пласти-
ческие с упрочнением и т. п. Для всех таких материалов имеется
порог —предел текучести, разделяющий два типа поведения.
Если предел текучести зависит от предыдущих деформаций,
то говорят, что материал подвержен пластической деформации
с упрочнением. Такие материалы в нашей книге не рассматри-
ваются.
Мы приведем вязко-упруго-пластическое уравнение состояния
и переходом к пределу получим уравнения состояния жестко-
вязко-пластическое, идеально-упруго-пластическое и, наконец,
идеально-жестко-пластическое.
В последних двух параграфах этой главы обсуждаются два
типа уравнений состояния, применимых в частных случаях ста-
тических или квазистатических задач. Здесь также рассматри-
вается закон пластичности Хенки и так называемые упрочняю-
щиеся материалы, для которых предел текучести зависит от
величины деформации.
§ 2. Идеально-упруго-пластическое (Прандтля — Рейсса)
и вязко-упруго-пластическое уравнения состояния
2.1. Идеально-упруго-пластическое уравнение состояния (Пран-
дтля — Рейсса).
Используя обозначения, введенные в гл. I, напомним соотно-
шения, полученные из законов сохранения
а) массы:
dp/d/+div(pt>) = O (2.1)
(где р и о — плотность и вектор скорости соответственно);
б) количества движения:
^/./+ft = p(dvi/dt) (2.2)
(индексы i и / пробегают значения от 1 до 3);
217
в) энергии:
р (de/dt) = вигу (у) (2.3)
(здесь предполагается, что приток и производство тепла пренебре-
жимо малы).
Проведем (как в гл. III) линеаризацию уравнений. Тогда из
уравнения (2.1) получим, что р(х, /) отличается от р0(х) = р(х, 0)
на функцию, зависящую от div v и, следовательно, в уравне-
ниях (2.2), (2.3) р(х, /) можно считать равным р0(х). Вектор пере-
мещения « = {«/} определяется из уравнения (2.2), которое при-
нимает вид
Ро (d2u{/dt2) = + f{. (2.4)
Здесь {/,} — заданная объемная плотность сил (зависящая от х
и t). Уравнение (2.3) характеризует внутреннюю энергию мате-
риала. В последующем положим p0(x)s=l.B
2.1.1. Предварительные замечания (Треска [1], Сен —Венан
[Ь 2], Леви [1, 2]). Рассмотрим металлический стержень (напри-
мер, из мягкой стали), к которому приложена растягивающая
рим график
сила ст, вызывающая относительное удлинение е.
Введем ортогональную систему координат, где в качестве
абсциссы откладывается е, а в качестве ординаты —а. Рассмот-
(е, о) (рис. 17). Когда е увеличивается, начиная
с нуля, то о также увеличивается и точ-
ка (8, а) пробегает отрезок прямой с
концом в начале координат О. Если мы
продолжаем увеличивать в, то линия,
описываемая точкой (е, ст), начиная с
некоторой точки S, будет изгибаться, при-
ближаясь к прямой, параллельной оси
Ое. Таким образом, при ее[0, Ч-оо),
график соотношения (е, ст) состоит из от-
резка прямой OS и дуги Sz.
Рассмотрим точку М с координатами
интервале OS. Если 8 изменяется в неко-
(8м» стм) на открытом
торой достаточно малой окрестности гм, то соответствующая
точка (е, а) движется в окрестности точки М, оставаясь на
отрезке OS. Таким образом, последний представляет собой об-
ласть, где поведение материала линейно и обратимо, иначе го-
воря, упруго.
Рассмотрим теперь точку Р на дуге Sz и будем уменьшать в.
Заметим, что соответствующая точка (е, ст) опишет прямолиней-
ный отрезок, параллельный OS, с началом в точке Р, ска-
жем PQ. Таким образом, в точке Р поведение материала
не является обратимым; дуга Sz представляет собой область
пластичности.
Если мы продолжим сегмент PQ до точки Qj на оси Os, то
получим открытый сегмент PQV на котором материал ведет себя
218
обратимым образом. Кроме того, PQ1>OS, так как дуга Sz
не параллельна Ое. Это явление пластической деформации с упро-
чнением очень интересно, так как оно позволяет получать зоны
линейного обратимого поведения, начинающиеся в точке
с большей амплитудой, чем у зоны, начинающейся с естествен-
ного состояния (начала координат).
Если, напротив, Sz — полупрямая, параллельная Ое (или
достаточно близкая к такой полупрямой), то
сматриваемый материал идеально пласти-
чен. В этом случае напряжение о никогда
не перейдет некоторого порога g неза-
висимо от величины деформации.
Сформулируем уравнение состояния
для идеально-пластического металличес-
кого стержня (рис. 18). Поскольку к
любой точке Q области, находящейся
между осью Ое и графиком OSz, мож-
мы говорим, что рас-
Рис. 18.
но прийти из точки (е, о), то для такого стержня невоз-
можно дать уравнение состояния, в котором е являлась бы
функцией от о или о —функцией от е. Напротив, если, начиная
с положения (е, о), мы увеличиваем е «малыми» прира-
щениями de, то а изменяется на величину do таким образом, что
de —Ado + К,
(2.5)
где
Х = 0, если o<g или если ст = 0, do<0,
Х^О, если о — g, do — 0.
Если увеличение на de происходит за время dt, то уравне-
ние (2.5) можно записать в виде
ё = До + Х, (2-6)
где «•» обозначает производную по t1) и
А = О, если o<Zg или если о — g, а <0;
А 0, если о = g и о = 0.
Соотношения (2.7) можно переписать в эквивалентной форме
А(т —o)sgO Vx^g, Ао = 0. (2.8)
Замечание 2.1. Если устремить коэффициент А к нулю,
иначе говоря, если наклон l/А сегмента OS устремить к беско-
нечности, то уравнение состояния (2.6), (2.7) примет вид ё = А,
где А удовлетворяет условиям (2.7). Это уравнение состояния для
х) Это обозначение, обычное в механике, используется здесь при формули-
ровке задачи, Впоследствии мы откажемся от него,
219
идеально-жестко-пластического материала: материал не подвержен
никаким деформациям, если a<.g, и он деформируется согласно
указанному закону, если <J = g.
2.1.2. Обобщения. Полученное уравнение состояния можно
обобщить на случай трехмерных идеально-пластических тел.
Предположим, что область упругости определена посредством
неравенства
/(ОуХО, (2.9)
а область пластичности — посредством равенства
«Г(Оу) = 0. (2.10)
Здесь сту — компоненты тензора напряжений и удовлетворяют
равенству оу = Оу. Функция ef выпукла и непрерывна относи-
тельно <Ту, так что область в R®, где вГ (<Ту) <: 0, является зам-
кнутым выпуклым множеством. Действительно, «У (try) включает
только девиатор тензора {<Ту} *).
Приведем два классических примера функций
1) модель Мизеса:
= (2.11)
где k— заданная константа.
2) модель Треска:
^(<ty) = sup | <TZ - <jj | - g, (2.12)
где о/— собственные значения тензора напряжений {<ту}, a g —
положительная константа. Покажем, что функция oF (су), опре-
деленная в (2.12), выпуклая. Для единичного вектора n — п2, п3)
введем вектор напряжений 2 с компонентами 2; = стулу-; разло-
жим 2 на вектор по направлению п, скажем, 2„ и перпендику-
лярный вектор Sr**). Легко проверить (переходом к главным
осям для {<Ту}), что для «7 вида (2.12) неравенство «7 (Оу)а^0
эквивалентно следующему:
^T^g Vn такого, что |л| = 1.
Отображение {<jy}->2r линейно для каждого п, так что если
{оу}(1) и {оу}(2)—два тензора напряжений, которым соответствуют
2'/’ и 2'/’, и если ае]0, 1[, то
| а2'/’ + (1 - а) 2?’| <а 12'/’ | + (1 - а) 12'/’ | < g
*) Девиатором оц называется тензор с нулевым следом —
— 6у^ (<ти-(-ага+<Тзз)> преобразующийся при вращениях координатной системы
по неприводимому представлению. (Прим, ред.)
**) Иными словами, £п — нормальное, а тангенциальное напряжения
на площадке с нормалью п. Максимальное значение достигается на пло-
щадке, нормаль к которой является биссектрисой между нормалями к площадке
с наибольшим и наименьшим нормальными напряжениями. (Прим, ред.)
220
при условии |<r'?’|<:g и | а'т | ^g, что означает выпуклость функ-
ции аГ, заданной формулой (2.12).
Заметим, что в двух приведенных выше примерах функция aF
не зависит от деформации. Это характерно для идеально-пласти-
ческих материалов.
Аналогом (2.6) в данном случае является уравнение
fy (м) = Ai/kfldkfl + Ху. (2.13)
Здесь Aijkh — коэффициенты упругости, удовлетворяющие, как
обычно, условиям
Aijkh = Aijhk = AkMj, <2
AijkhWkh a = const > 0.
Величина Ау*лО*л является упругой частью тензора скоростей
деформации еу(и), тогда как Ху, по определению, есть скорость
пластической деформации.
В предварительном обзоре (п. 2.1.1) число Л удовлетворяло
соотношениям (2.7) или (2.8), которые мы здесь можем обобщить:
Ху (Ту —Оу) 0 Vt: eF(Ty)^0, (2.15)
Худу=0. (2.16)
(Свойство (2.15) выражает также принцип максимума пластической
работы, сформулированный Хиллом [3].)
Если, более того, функции ^->Оу(/) дифференцируемы по t,
то (2.16) можно вывести из (2.15). Действительно, пусть Д/>0.
В (2.15) положим ту = Оу (/-f-ДО (соотв. Ту = <Уу^ —Д0), поделим
на Д/ и устремим Д/ к нулю. Получим Худу (t) 0 (соотв.
Худу(/)ЗэО), откуда следует (2.16).
Таким образом,
уравнение состояния для идеально-упруго-пластических
материалов выражается неравенством JF (Оу) 0 и
соотношениями (2.13), (2.15). (2.17)
Замечание 2.2. Как и в замечании 2.1 в одномерном слу-
чае можно положить Ayftft = 0, и тогда соответствующее уравне-
ние состояния становится уравнением состояния для идеально-
жестко-пластических материалов.
2.2. Вязко-упруго-пластическое уравнение состояния.
В уравнении состояния Прандтля — Рейсса (или в идеально-
упруго-пластическом уравнении состояния) скорость пластической
деформации при постоянном напряжении может быть очень боль-
шой по абсолютной величине; иначе говоря, для таких материа-
лов нет эффекта вязкости. Однако такая ситуация идеальна, и
мы вправе считать, что в пластических деформациях (часто боль-
шой амплитуды) на практике проявляется эффект вязкости, что
иногда может быть важным. По этой причине мы опишем модель
вязко-упруго-пластического уравнения, в которой материалы счи-
221
таются упругими ниже порога пластичности, а выше —вязко-
пластическими. Это довольно общее уравнение позволяет получить
непосредственно или переходом к пределу следующие частные
случаи:
1) вязко-жестко-пластический (ЛуАд = 0); этот случай подробно
обсуждается с привлечением различных методов в гл. VI;
2) идеально-упруго-пластический (вязкость стремится к нулю);
это уравнение Прандтля —Рейсса, рассмотренное в предыдущем
пункте;
3) идеально-жестко-пластический (Лу*л = 0 и вязкость стре-
мится к нулю); этот случай обсуждается в п. 5.2.
Введем замкнутое выпуклое множество
ft = {aia = {cF;/} е Re, Сту = ст/Ь (2.18)
где, как и в .предыдущем п. 2.1.2, PF — выпуклая непрерывная
функция шести скалярных переменных, а отображение ст -> (о) —
ортогональная проекция в обычной евклидовой структуре ае R8
на выпуклое множество К.
Тогда уравнение состояния можно записать в виде
ez/ (й) = Atjkhi5hh 4- Лу, (2.19)
г 0, если eF(o)<0,
I 2(Г если & (°) °>
где р — положительный скаляр, который можно рассматривать
как коэффициент вязкости1, если Сту постоянны (т. е. сту = 0),
то уравнение (2.19) принимает вид Сту = (Р^ст)у 4-2pev (й). Здесь
р и 8у (й) (тензор скоростей деформаций) играют ту же роль,
что и в уравнении состояния Навье —Стокса для жидкостей:
Сту = —рбу4-2реу(й);
В случае, когда К = {ст |{сту} — шаровой тензор}, имеем равен-
ство - рбу = (РцО)ц.
В частном случае условий Мизеса, т. е. когда еГ имеет вид
(2.11), уравнение (2.19) принимает вид
eZ/ (Й) = AljkhPkh. 4" Kjt
0, если (ст) <0,
J q!/2_£
--- 'оР, если «F(o)^0,
2р а}7/ 4 v
(2.20)
где {ст°} — девиатор тензора напряжений
Введем отображение из R* в R:
и о,,- -
222
Уравнение (2.19) можно переписать в эквивалентном виде:
е/у(й) = AijM^kh + hj, где Ху характеризуется неравенством1) _
А(т)-Л(°)^Ч(т//-а</)’ VtsR6. ' '
Если у, стремится к нулю, то функция /у. (т) стремится к инди-
каторной функции выпуклого множества К, cz Re, т. е. к «соб-
ственной» выпуклой функции, равной нулю на Д' и -}-оо вне К
(Л =/= 0). Формула (2.21) в пределе принимает вид
еу (й) = ЛуйЛбЛЛ4-Ху, где Ху характеризуется неравенством
Ху (Ту —оу) 0 яеК. (2.22)
Это просто уравнение Прандтля —Рейсса, сформулированное
в предыдущем пункте.
«Жесткие» материалы как предел «упругих». Если
все коэффициенты упругости Aijkh равны нулю, то (2.19)
является уравнением состояния для вязко-жестко-пластических
материалов, а (2.22) — уравнением состояния для идеально-жестко-
пластических.
Отметим, что если К — R®, то вязко-упруго-пластическое
уравнение состояния имеет вид еу (й) = Aijkhdkh, откуда (если
предположим, что в момент времени /0 материал находился
в ненапряженном свободном состоянии ®) и что перемещения
измеряются начиная с этого состояния) получим, интегрируя от
t0 до t: = AlJkh<Jkh, т. е. упругое уравнение состояния.
В данной главе мы изучаем деформации среды, которая в неде-
формированном состоянии занимает область й cz R6, а перемеще-
ния точек из Й малы. Если и(х, t) — вектор перемещения
в момент времени t точки, которая находилась в положении
х е й в недеформированном состоянии, то величина й (х, t) =
= ди (х, t)/dt представляет собой скорость в момент времени t
точки с координатой х -|- и (х, t) или скорость в момент времени t
материальной частицы, локализованной в х в недеформированном
состоянии. Фактически, так как и(х, t) мало, то мы считаем,
что й(х, t) = du(x, f)/dt — скорость в точке х. По этой же при-
чине д2 *и/(№ является, строго говоря, ускорением в момент вре-
мени t точки х + «(х, /), н° поскольку ы(х, /) мало, то в каче-
стве ускорения в точке х примем d2u(x, t)ldt*. Таким аппрокси-
мациям соответствует линеаризация, которая сводится к тому,
что х, начальное положение материальной частицы, не отличают
от положения этой частицы в деформированном состоянии.
J) Можно также сказать, что {Ху} где (а) — субградиент в а
(фактически, производная,, если у>0):
8у (“) —kiikhPkh + (?Ц (0))т (2.21а)
2) Это предположение подразумевается во всех рассматриваемых уравне-
ниях состояния, включающих тензор напряжений.
223
В гл. VI мы исследуем задачи, которые по виду своих гра-
ничных условий и природе уравнений состояния являются зада-
чами о течении, т. е. задачами, в которых перемещения матери-
альных точек большие. Открытое множество йс R3 тогда пред-
ставляет собой область, в которой мы изучаем течение, а й(х, t) —
скорость в момент времени t материальной частицы, локализован-
ной в точке х е й в этот момент времени (вообще говоря, точка
«•» не обозначает частную производную по t, но через «(х, t)
всегда будем обозначать скорость в х в момент времени /). Для
того чтобы избежать недоразумений и путаницы с обычным
обозначением, мы будем писать не еу (и), a Dtj (о), где v = v (х, t) —
скорость частицы, локализованной в х в момент времени I. При-
веденное описание известно как описание Эйлера для течения.
Добавим еще, что будет использоваться уравнение состояния
вида
£>у(и)=
О, если o’/J < g,
если
о ff
(2.23)
(g—заданная положительная константа). Отсюда следует, что
Dftft(o) = div v = 0, т. е. материал, который подчиняется такому
уравнению состояния, несжимаемый.
2.3. Задачи.
Мы собираемся изучить в динамическом и квазистатическом
случаях поля перемещений {«;} и напряжений {оу} сплошной
среды, которая в недеформированном состоянии занимает область
й cz R3. Как и в предыдущих главах, положим дй — Г, п — еди-
ничный вектор внешней нормали к Г, Г = ГУиГ>, ГуПГ>==0.
Материал подчиняется уравнению состояния (2.21).
Задача 2.1 (динамическая). Найти {щ} и в йх[0, Т},
удовлетворяющие (2.21), линеаризованным уравнениям движения
d*Ui/dt* =<;„,/ +fh (2.24)
граничным условиям
Ul = Ui на ГуХ]0, Т[, (2.25)
Oynj^Fi на 1>х]0, Т[ (2.26)
и начальным условиям
и (0) = и0, ди (O)/dt = щ, (2.27)
о(0)=о0. (2.28)
Здесь функции ft(x, t), Ft(x, t), Ut(x, t), u0(x), щ(х), o0(x)
заданы при
Задача 2.2 (квазистатическая). Это задача, в которой вели-
чины изменяются достаточно медленно при росте t, так что мы
можем пренебречь членами, описывающими ускорение в уравне-
ниях движения.
224
Найти {й,-} и {<3ц\ в Qx[O, Г], удовлетворяющие уравнению
(2.21), уравнениям равновесия
Oyj + h^Q, (2.29)
граничным условиям (2.25), (2.26) и начальным условиям
и (0) = ы0, (2.30)
а(0) = ао- (2.31)
Функции fi(x, t), Ft(x, f), Ut(x, f), u0(x), a0(x) заданы при
В § 3 мы рассмотрим задачи 2.1 и 2.2, а затем, в §§ 4, 5,
перейдем к предельным задачам при р->0 или при
§ 3. Упруго-вязко-пластические динамические
и квазистатические задачи
3.1. Вариационная постановка задач.
Рассмотрим сначала динамическую задачу 2.1. Положим
du/dt — v. (3.1)
Если v известно, то и определяется формулой
t
u(t) = \v (s) ds + u0. (3.2)
о
Используя (2.21a) и введенное обозначение, переформулируем
задачу 2.1:
Найти {иг} и {оу}, удовлетворяющие уравнениям
A-ijklfikh + (/u (а))// — &lj (?) = 0,
vi = в Qx]0, TP),
граничным условиям
vt = Ui на ГиХ]0, Т[,
tSijnj — Fi на Г>х]0, Т[
и начальным условиям
v (0) = щ, а (0) = ст0.
Отметим, .что система уравнений (3.3) нелинейна. Граничные
условия (3.4) неоднородны. Для того чтобы свести их к однород-
ным, введем функции о° = {оу} и v° = {w’}2) такие, что
Gijnj = Fi на Ггх]0, Д, о°(0) = о0; (3.6)
v°i=U'( на ГуХ]0, Т[, и°(0) = и1. (3.7)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
1) Т — произвольное, конечное.
г) Необходимые условия регулярности будут установлены ниже,
8 Г, Дюво, Ж,-Л. Лионе,
225
Введем также новые неизвестные функции
t)i = v — р°, о1 = о — о°. (3.8)
Тогда уравнения (3.3) принимают вид
AykhP^h. + (Ли (<У* + <Т°))/у — (О1) = gif» /3 g<
v\'— <3ii,i = hi, k ' }
где
gif = ev (u°) ~ АцырЯн, ht = ft — (v?)' + Otf, f, (3.10)
а граничные и начальные условия равны нулю.
Для упрощения записи будем опускать индекс 1.
Таким образом, мы свели задачу к следующей:
найти {vz} и {оу}, удовлетворяющие уравнениям
AtjkhPkh + ( Лц (а + — Rlj (0 —gift (311)
граничным условиям
Оуп, = 0 на ГРхр, Т[, _
о,=0 на ГцХ]0, Т[; {
и начальным условиям
<т(0) = 0, о(0) = 0. (3.13)
Для постановки задачи 2.1 в виде вариационного неравенства
введем (как в (3.69) гл. III)
(о, т) = J Aiikh<3khxi}dxt (3.14)
Q
пространства
^Г = {т|т = {ту}, Ту=ту/, tveL2(Q);,
H = {v|0 = {V/}, uz«=L2(Q)}, рло'
снабженные скалярными произведениями1)
(а, т) — J QijXijdx, (v, w) = J VtWidx,
a a
а также пространства
?7' = {т|тевГ, tw6L‘(fl), TVnz-0 на !>},
V = (v|vG=tf, oz.ye=L2(Q), vz=0 на Ги}. paD'
Заметим, что
(еу(0, Ty)4-(t»i, ту,у) = О VveV, x&V. (3.17)
х) Эти скалярные произведения обозначены одинаковым образом, но соот*
ветствуют различным пространствам,
226
Тогда, если {<уу}, {vj —решение задачи (3.11), (3.12), то
ezf(o', т) + (/ц(о + о°), т)+ $ ViHyjdx^ig, т) Уте?/,
г ° (3 .18)
(о, &у) + ) Oijwtjdx = (h, w) V»eV.
Q
Обратно, если {<тг/}, {vj — регулярное решение (3.18), то
можно вывести (3.11), а также равенства
§ viXijtijdV = 0, J Oi/tijWidr = 0,
г г
т. е.
$ vixifnjdX' = 0, J (<?//«/) wtdV — 0,
Гц rF
из которых следует (3.12). Таким образом, (3.18) эквивалентно
(формально) (3.11), (3.12). Поэтому задачу 2.1 можно рассматри-
вать как вариационное неравенство (3.18) с начальным условием
(3.13).
Используя те же обозначения, сформулируем в виде вариа-
ционного неравенства квазистатическую задачу:
Найти {оД, {оу}, удовлетворяющие уравнениям
т) + (/ц(а-Ьа°), т) + $ o/T</,ydx = (^, т) Vts?/, (3.19)
Q
$ QijWijdx = (h, w) Vo/ е V Q
и начальному условию
о(0) =0. (3.20)
3.2. Результаты. Предположим, что
g, g'eL2(0, Т; еТ); (3.21)
Л, h' е L2 (0, Т; Н) *); (3.22)
о0 не зависит от t. (3.23)
Замечание 3.1. Предположение (3.23) необходимо для полу-
чения сильных решений, возможно (но это не доказано), что оно
будет излишним, если рассматривать слабые решения.
Для динамической задачи справедлива
*) Нетрудно вывести условия на данные Uit щ, а0, достаточные для того,
чтобы выполнялись эти предположения.
8* 227
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (3.21) — (3.23). Тогда
существует одна и только одна пара вектор-функций и = {оу},
и = являющаяся решением задачи (3.18), (3.13), причем
о, a'eL“(0, Т; «ЙГ), (3.24)
v, V'€=L°°(O, Т- Н), (3.25)
а;/)/е/”(0, Т; Ls(9)), (3.26)
/ s £.°°(0, Т; L* 2(Q)). (3.27)
Замечание 3.2. Согласно (3.26) и (3.27) можно определить
ОуП; и v на Г. Интегрирование по частям в (3.18) законно.
Таким образом, имеем существование сильных решений задачи1).
Перейдем теперь к квазистатической задаче. Будем различать
два случая: mes Гу>0 и Гу = ф.
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Пред-
положим, кроме того, что mes Гу > 0 и что й(0) = 0. Тогда суще-
ствует одна и только одна пара вектор-функций о = {су}, v = {ty},
являющаяся решением задачи (3.19), (3.20) и такая, что
Т\ W), (3.28)
o'f=Z.°°(0, Г; «г%"), (3.29)
u<=L°°(0, Т; V). (3.30)
Если Гу = ф (и только в этом случае), мы можем положить
во втором уравнении (3.19) w — откуда получаем необхо-
димое условие /так как $оуръ/ dx = 0\:
\ а /
(й, р)=0 Vpee^.
Следовательно, если Гу = ф, то о0 —0, и в силу (3.10) мы имеем
тогда условие (/, р) + (оу,, р,) = 0 или, согласно (3.6),
(А Р) + $ Л/vPa^T =0 Vp е= 2). (3.31)
Таким образом, справедлива
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Пусть
Ту — ф, и предположим, что (3.31) выполняется и что /i(0) = 0.
Тогда существует одна и только одна вектор-функция о и
вектор-функция V, определенная с точностью до слагаемого из <&,
такие, что пара {о, и} является решением задачи (3.19), (3.20)
и выполняются условия (3.28), (3.29), (у) е L°° (0, Т\ L2 (й)).
3.3. Доказательство единственности.
Единственность в теореме 3.1. Пусть (о, и} и {о*, о*}—
две пары решений. Полагая o = ci— о*, v = v — v*, из (3.18) и
х) Можно также установить, что
а е L00 (0, 7; Г), v е= I™ (0, 7; V).
2) Следовательно, торсор сил должен быть эквивалентен нулю.
228
аналогичных уравнений для {о*, о*} получаем, что
е^(б', т) + (у', &у) + (/^(а + а0)—/'11(0*4-0°), т)щхц, /dx +
а
+ Jdy№Z,/dx = O. (3.32)
Если в (3.32) положим т = о и w = v, то учитывая (3.17) и
монотонность отображения о—>Л (о4- о°), выводим неравенство
(o', o)4-(u'> u)sgO, (3.33)
из которого, в силу равенств б (0) = 0, v (0) = 0, получаем, что
о=0, и=0.
Единственность в теореме 3.2 и единственность
по модулю <4? в теореме 3.3. Используя введенные выше
обозначения, выводим неравенство
оЛ (б/ 6)=с0, (3.34)
из которого заключаем, что 6 = 0. Теперь из первого уравнения
(3.19), записанного в виде
«// (») =ёи - Aiikh<Jkh - (Л (<г4-о®))//,
получаем (так как о = о*) равенство
МР) = М»Д (3.35)
Таким образом, если mesr^>0, то (3.35) означает, что и = а*,
а если Г^ = 0, то равенство имеет место с точностью до слага-
емого (зависящего от t) из е^.
3.4. Доказательство существования решения динамической
задачи.
Теперь мы регуляризуем уравнения (3.18) по пространствен-
ным переменным. Введем
[о, т] == $ о/7, /Т//, /dx, (3.36)
й
((у, w)) = $ vlt jWi, / dx (3.37)
й
и параметр т) > 0 (который потом мы устремим к нулю). При
любом q >0 регуляризованная задача
т) 4-(Л (а 4-0°), т)4-т][а, т]4- $ vfiyj dx = (g, т),
“ (3.38)
(uz ^) + q((y, ^))+J Of/^./dx==(/i, до)
Q
и
o(0) = 0, v(0) = 0 (3.39)
229
имеет единственное решение1). Сначала мы получим априорные
оценки для решения {а, и} (чтобы указать на зависимость от т],
будем писать {оч, v^}), а затем устремим q->0.
Априорные оценки (I). В уравнениях (3.38) заменим т
на а + о° и оу на v. Тогда (так как (Л(<т4-а°)> а + а°)^0 и
$ Vidtfj dx + J (JijVij dx = O')
a a /
(o' ст+о°) + 1][а, а + <т°" + (о', о) + т)((о, о)) «5
^(g, а+о°) + (Л, v). (3.40)
При т]->0 получаем2), что
о = ал ограничены в £®°(0, Т; <&’), (3.41)
v = Vfi ограничены в L°°(0, Г; Н), (3.42)
т]1/2ап (соотв. т]1/2ип) ограничены
в L2 (0, 7; V) (соотв. в L2 (0, Т; V)). (3.43)
Более того, полагая < = 0в (3.38), ввиду (3.39), получаем, что
^(а'(0), T) = (g(0)-A(H. т),
(о' (0), w) = (/i(0), w), (3.44)
так что при т)-»-0
сг'(О) (соотв. о'(0)) ограничены в Ж (соотв. в 77). (3.45)
Априорные оценки (II). Теперь мы дифференцируем
уравнения (3.38) по Z8); тогда
е^(о", т) + ((/'ц(о+а°))', т) + т|[а', т] + $ v'n;ijt/dx = (g', т),
(v", оу)Н-т]((о', to))-f-J o'nwijdx=*(h>, w). (3.46)
Q
Полагая т=сг' и w — v' в (3.46) и складывая, получим
И+пК <*'] + « v')+n((»'» У'))4-((Яц(а+о°))'. ст') =
= (g’, о') + (/г', о'). (3.47)
Но
(Ш^+^У> <П =
₽Нш^(Л(^+Д0+о°)-Л(а(0+о°). о(/+ДО-<т(0)^о
__22__ (3,48)
X) Это утверждение следует из общей теории монотонных параболических
задач (см, Лионе [1]), Однако, его можно было бы доказать, используя априор-
ные оценки, выведенные ниже,
2) Заметим, что при выводе первых априорных оценок предположение
(3,23) не использовалось.
3) Дифференцирование законно, если мы аппроксимируем (3,38) (например)
по методу Галёркина,
?30
(в силу монотонности отображения сг->7ц(а-|-а0))х). Следова-
тельно, из (3.47) мы заключаем, что
(ст", ст')4-т)[<т', o'] + (v”, у') + п ((»', v'))^(g', a') + (h', v'),
(3.49)
откуда, учитывая (3.45), при т)->0 получаем
ст' =а(| ограничены в Lm (0, Т; (3.50)
v' — Уц ограничены в /.“(О, Т\ Н), (3.51)
(соотв. т^Ч) ограничены
в Z?(0, Т\ V1) (соотв. в L2(0, Т; V)). (3.52)
Переход к пределу при т)->0. Из полученных оценок
следует, что
/ц(ап + а°) ограничены в (0, Т\ ®%^). (3.53)
Следовательно, можно выделить последовательность (также
будем обозначать ее через {стл, оп}) такую, что при г]->0
стл, о' *-слабо в Lw(0, Т; а%Э, (3.54)
оп, и' *-слабо в L°°(0, Т; Н), (3.55)
/Ж + °°)-’-Х *-слабо в L°°(0, Т; <ЯГ). (3.56)
В силу (3.43) можно теперь перейти к пределу в (3.38).
Таким образом, мы получили {ст, v},. удовлетворяющие урав-
нениям
®^(ст', т) + (х, t) + \vityjdx = (g, т),
? (3.57)
(У, w) + \tfijWi,jdx = (h, w).
Q
Но ввиду «монотонности» (этот аргумент мы уже использовали
несколько раз; см. также Лионе [1], гл. 2)
Х=Л(о + ст°). (3.58)
Таким образом, мы доказали существование {a, v}, удовлетво-
ряющих (3.18) (3.13) и (3.24), (3.25).
Из (3.18) следует, что уравнения (3.11) выполняются в смысле
распределений в цилиндре йх ]о. Л> откуда получаем (3.26),
(3.27), так как
8V (у) = Aykh^kb + (Яц (О + СТ°))у — gij, <Jtjj = Vl—fi
(тогда, как мы уже видели, (3.12) следует немедленно).
*) Здесь мы использовали предположение (3,23),
231
3.5. Доказательство существования решения квазистатической
задачи.
Мы получим решение квазистатических задач как предел при
£->() решений следующих задач:
(о', т) 4- (Д (о + о°), -г) + $ Vita, fdx = (g, т)
. й (3.59)
g(v', №) + ) OifWi'fdx = (h, w) \fw<=V;
Q
<j(0) = 0, v(0) = 0. (3.60)
В силу теоремы 3.1 при каждом |>0 существует, причем
единственное, решение {о, о} = {ст^, этой задачи. Исследуем
теперь зависимость от I априорных оценок из п. 3.4.
Аналогом (3.41), (3.42) являются следующие утверждения:
при |->-0
oj ограничены в L” (0, Т; е^Г), (3.61)
ограничены в L°°(0, Т; Н). (3.62)
Полагая ( = 0 в (3.59), получим, что
(о' (0), т) = (g (0), т) - (Л (о0), т), (3.63)
|v'(0) = /i(0), (3.64)
и, следовательно (так как по условиям теорем 3.2 и 3.3 h (0)—0),
^(0) = о'(0) = 0. (3.65)
Аналогично (3.50), (3.51) доказываются следующие утверждения:
при £->0
<т- ограничены в L°°(0, Т\ <№), (3.66)
ограничены в L°°(0, Г; Н). (3.67)
Кроме того, из первого уравнения (3.59) следует
е// (y0= A i/kh^'kh + Ли (ff 4* ст°) — S’ (3.68)
где о = о6, откуда, учитывая (3.61) и (3.66), получаем, что при
|->0
ez/(vfe) ограничены в L°°(0, Т-, L2(Q)). (3.69)
Теперь мы действуем в зависимости от того, какое из условий
те8Гу>0 или Гу = ф выполняется.
Если шезГу>0, то из (3.69) и теоремы 3.3 гл. III получаем
(как следствие неравенства Корна), что при £->0
ограничены в L°°(0, Т; V). (3.70)
Если Гу = 0, то мы должны ввести (как в гл. III) фактор-
пространство
V-=V/<&, (3.71)
и тогда при g-»-0
vi ограничены в L”(0, Т; V'). (3.72)
232
Поэтому можно выбрать последовательность (также обозначим
ее через {ст5, us}) такую, что при |->0
og, о' *-слабо в L°°(0, Г; e/f), (3.73)
1) v%->V *-слабо в Л“(0, Т; V), если Гу=^=0,
2) vi-^V *-слабо в LTO(0, Т; V), если Гу = 0. (3'74)
Ввиду монотонности мы можем перейти к пределу в^ц(о^4-о°).
Таким образом, а и v удовлетворяют условиям теорем 3.2 и 3.3х),
если только о удовлетворяет (3.26). Но последнее вытекает из
второго уравнения (3.19), которое можно записать в виде
— <*//,/===
Замечание 3.3. Одновременно мы получили, что при |->0
решение квазистатической задачи является пределом решений
задач (3.59), (3.60).
§ 4. Идеально-упруго-пластические задачи
4.1. Постановка задач.
Идеально-упруго-пластические задачи получаются из вязко-
упруго-пластических при р->0, где р, — коэффициент вязкости.
Введем на функционал
Ят) = 7 J (Т// - (Ь/ - dx-
(4.1)
Тогда первое уравнение из (3.18) можно переписать в виде
неравенства
(а', т — о) 4- р-1/ (т + о0) — р_1Л (о4-о°)4-
+ \vi(xv,/-av,/)dx^(£, х—а) 'ix<==.V‘. (4.2)
При р—>0 член р-1/(о 4-<т°) представляет собой штраф,
связанный с выпуклым множеством
К = {т I т е т (х) <= /( почти всюду в Q}.
(4.3)
Здесь мы действуем формальным образом. Обоснования наших
рассуждений будут приведены в последующих пунктах. Мы пока-
жем, что решения {сти, задачи (3.18), (3.13) сходятся при р->0
!) Так как по условию (ft, р)=0, в случае Гу —0 можно перейти к пре-
делу во втором уравнении (3,59),
233
к решению {а, а} динамической идеально-упруго-пластической
задачи
о (/) + <у° е К, (4.4)
(о', т — а) 4- j Vi (%ijd — Gyj) dx ^(g, т — o)
Q
Уте(К-о°)П^, (4.5)
(у', &y) + $ °ijwi,jdx — (h, w) Xfw <= V, (4.6)
Q
o(0)=0, o(0) = 0. (4.7)
Замечание 4.1. Разумеется, постановку задачи (4.4) —(4.7)
можно вывести непосредственно (не используя предельный пере-
ход), рассуждая как в п. 2.1.2.
Замечание 4.2. В задаче (4.4) — (4.7) можно исключить v1).
Действительно, (4.6) эквивалентно равенству
(4.8)
Введем вектор-функцию
5(0 = {а(4)Л1; (4.9)
о
тогда (4.8) можно записать в виде
v{(t) = Si/d + \hi(t1)dt1, (4.10)
О
а (4.5) —в виде (используя обозначение (3.36))
t
erf(S", т —S') + S + ^hftjdtu т —S' ^(g, т-S'). (4.11)
L о J
Положим G(t)=g(t)-\h(ti)dti, (4.12) 0
тогда задачу (4.4) — (4.7) можно переформулировать следующим
образом:
Найти вектор-функцию S такую, что
S'(0e(K-o°)n^. (4.13)
®^(S", т —S') + [S, t-S']^(G, т-S')
Уте(К-о®)П^, (4.14)
S(0) = 0, S'(0) = 0. (4.15)
Если известно решение S задачи (4.13)— (4.15) (см. теорему
4.1, ниже), то vt определяется из (4.10), a o = S'.
*) Можно было бы применить метод исключения и в § 3, но в том случае
это не было бы полезным»
234
Квазистатическая идеально-упруго-пластическая задача полу-
чается из динамической задачи (4.4) —(4.7), если опустить в (4.6)
слагаемое с v'. Найти вектор-функции о и v, удовлетворяющие
(4.4)/ (4.5), равенству (вместо (4.6))
J Gi/Wi,/dx = (h, w) VweV (4.16)
Q
и начальному условию
<j(0) = 0. (4.17)
Здесь также можно исключить о. Действительно, (4.16) экви-
валентно равенству
= (4.18)
Введем
Ь(0 = {т1те^Г, —rVj = hi, Ti,n/ = 0 на Г}. (4.19)
Если т е L (0 fl (К — о0), то $ О/(ту,у — ay,y)dx = 0 и квазиста-
Q
тическая задача принимает вид
а(/)е(/<-о0)ПЬ(0, (4.20)
(o', т — a)^(g, т — a) Vt <=(/< —<т°) Г| L (/), (4.21)
а(0) = 0. (4.22)
В данном случае, если даже а известно, при определении о
возникают некоторые трудности, которые мы укажем в замеча-
нии 4.4.
4.2. Результаты.
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и,
кроме того,
(4.23)
Тогда существует одна и только одна вектор-функция S,
являющаяся решением задачи (4.13) —(4.15), причем
S, S', S"eLeo(0, Т; (4.24)
S, S'eLTO(0, Т; Г). (4.25)
Напомним, что o = S', a v связано с S формулой (4.10).
Теорема 4.1 доказывает разрешимость динамической идеально-
упруго-пластической задачи.
Идеально-упруго-пластическая задача является предельной
(при р->0) для упруго-вязко-пластических задач с коэффициентом
вязкости р.
Обозначим решение, полученное в теореме 3.1, через {<тр, цД
(Н>0).
235
Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы АЛ и пусть
{a, о} —решение, определенное в теореме 4.1. Тогда при ц->0
оИ, °' «-слабо в L™ (О, Т; е%"), (4.26)
v' «-слабо в L°° (О, Т; Н), (4.27)
«-слабо в Lm(Q, Т; La(Q)). (4.28)
Для квазистатической идеально-упруго-пластической задачи
справедлива
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Пред-
положим, кроме того, что
о° = 0 (4.29)
и (как в теоремах 3.2 и 3.3) Л(0)=0. Тогда существует одна
и только одна функция ст, являющаяся решением задачи (4.20) —
(4.22), причем
ст, ct'«=L°°(0, Т-, Ж}, стеЬ°°(0, Т; V}. (4.30)
Аналогом теоремы 4.2 для квазистатической задачи является
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия теоремы 4.3. Обозна-
чим через {Стц, стц} решение, полученное в теореме 3.2 (соотв. через
v^} — решение, полученное в теореме 3.3). Тогда
ctu, cTil"*"01» а' «-слабо в LK(Q, Т; <№),
«-слабо в L°°(0, Т; La(Q)). (4,31^
Замечание 4.3. Мы не получили никакой информации
относительно е(;- (иД.
4.3. Доказательство единственности решения.
Пусть S и 5* — два решения задачи (4.13) — (4.15). Положим
t = S' (соотв. т = 3') в неравенстве (4.14) (соотв. в аналогичном
неравенстве для 5*) и сложим. Обозначая 5 = 8 — 5*, получим
®^(5", S') + [S, S'] «5 0,
откуда следует, что 5=0.
В точности так же, если ст, ст*—два решения задачи (4.20) —
(4.22), то, обозначая ст = ст —ст*, получим <г^(ст', ст)^0, откуда
ст = 0. И
4.4. Доказательство теорем 4.1 и 4.2.
Пусть {стц, — решение, полученное в теореме 3.1, т. е.
е^(ст4> т) + (7ц(СТц + ст°), т) + 5 vVilxlj,jdx = (g, т)
о
г (4-32)
(Стд, oO + j QvdjWi.jdx = (h, w) УшеУ,
о
Можно исследовать зависимость от р априорных оценок, полу-
ченных в § 3.
236
Заменяя т на стм и w на в (4.32), получим при ц->оо
оц ограничены в £“(0, Т; e5T), (4.33)
ограничены в £°°(0, Т; Н). (4.34)
Полагая в (4.32) / = 0, в силу рав?нства Ям (ст0) = 0 получим
е^(а'и(0), t) = (g(0), т), uU0) = A(0). (4.35)
Дифференцируя (4.32) по t и заменяя т на Оц и w на гф,
в силу (4.35) получим
Оц (соотв. Гц) ограничены (при р -> оо) в £°° (0, Т;
(соотв. в Lx(0, Т\ И)). (4.36)
Более того, если в (4.32) положим т = ст|Л4-ст°, w — v^. и сло-
жим, то получим оценку
т
J (7и (°и + а°)> аи + °0 di const = С,
о
или (применяя обозначение (4.1))
т
$(Ж + о°))^Си. (4.37)
о
Тогда можно выделить подпоследовательность (также обозна-
чаемую через {сти, цД) такую, что выполняются (4.26), (4.27).
Йз второго уравнения в (4.32) получим = v'lli — hh откуда
следует (4.28).
Йз (4.37) выводим, что ? (а + а0) = 0, и, следовательно, спра-
ведливо (4.4).
Как мы уже видели в (4.2), первое уравнение в (4.32) можно
переписать в виде
(ст'и, т - аД 4- $ Vm j - aMf/> Д dx ф-
+ Н"’7('г + о0)-р-1Л(сти + о0)^(^, т-стД. (4.38)
Если теА’-а0, то /(т + о°) = 0 и, так как (оц ф-ст0) 0,
то из (4.38) следует
(Стц, т - оД + $ vm (xih t - am/, j) dx 2s (g, т - стД, т e К - ст0.
Q
(4.39)
По аналогии с (4.9) введем вектор-функцию
$и(/) = $ом(^)Л. (4.40)
о
Тогда, исключая, как и выше, можно показать, что 5ц(0
удовлетворяет неравенству
®^(S;, T-S^) + [Sg, x-SH^(G, Уте=(К-о°)|Ж
(4.41)
237
Покажем, что 3 вида (4.9) удовлетворяет (4.14). Для этого
перейдем в (4.41) к пределу. Положим т = т(0, где
т, т' е L2 (О, Т; V), т (/) н/( - o’ для почти всех t, (4.42)
и проинтегрируем по t. Тогда
$e^(S4, т)4/ + $[3ц, t]<#-$(G, т-S'^dt^
О 0 0
т
^{(^(Зц, 3^) + [3И, Sg])d/ =-^(SUT), S'U(T)) +
о
+ |[Sg(T), Sg(T)],
и, следовательно,
т т
T)d/-(-${[S, т] —(G, т-5')}Л>
о о
>liminf Ц^(3^(Т), SHnHytW)’ МП]}>
Ц-+0 *
^l^(S'(n. S'(T)) + 1[S(T), 5(Т)] =
т
= $ {e^(S", S') + [S, 3']}Л.
о
Таким образом,
т
5 {orf (S", т — S') + [3, т - S'] - (G, т - S')} dt s== 0 (4.43)
о
для всех т, удовлетворяющих условиям (4.42). Отсюда мы полу-
чаем (4.14) обычной процедурой. (В качестве т возьмем функ-
цию т(0» постоянную в некоторой окрестности точки t и равную
3' (/) вне этой окрестности. Подставляем т, выбранное таким
образом, в (4.43), делим на меру <0j, после чего устремляем
меру 0/ к нулю.)
4.5. Доказательство теорем 4.3 и 4.4.
Обозначим через {о, v} = {o^, оц5} решение задачи
о# (О', т) + (^ц(о), т) + 5 ViXijjdx^^g, т),
а (4.44)
В (o', да) + $ ауда(1 у dx = (h, да) (5 > 0),
Q
о(0) = 0, о(0) = 0. (4.45)
Положим в (4.44) т==ст, да = о. Тогда при р, £->0
Ор.^ ограничены в £°°(0, Т; s?T); (4.46)
£1/2оИ5 ограничены в U°(0, Т; Н), (4.47)
238
и, кроме того,
т
$ dt const=с>
о
поэтому
т
^{^<11^. (4.48)
о
Полагая / = 0 в (4.44), получим, что при ц, |->0
Пр^(О) ограничены в &/Г, с^(0) = 0. (4.49)
Отсюда после дифференцирования (4.44) по t следует, что
(соотв. £1/2y[ig) ограничены в £“(0, Т; &%")
(соотв. в L°°(0, 71; Н)) при р., £->0. (4.50)
Тогда, как мы уже отмечали в теоремах 3.2 и 3.3, можно
перейти к пределу по £ и получить таким образом решение
{<Ур, Оц} или и’ц} из теорем 3.2, 3.3, удовлетворяющее усло-
виям:
Ор, ограничены в £“(0, Т; </%") при р->0; (4.51)
т
(4.52)
о
ощл; ограничены в £то(0, Т; £2(Q)) при ц->0. (4.53)
Но второе уравнение в (3.19) эквивалентно (формально) равен-
ству
— ^j.j=h{, (4.54)
а из первого уравнения в (3.19) (<т°->0) получаем, что
(Оц, % - Оц) + Р-1Л (т) - |Л-ХЛ (Op.) + J V{ (%{/J — ciy.if, j) dx
^(g. T-Op). (4.55)
Пусть tgL(/) (см. (4.19)), тогда
(Стр, т - Op) + Ц'7 (т) - р-1/ (Op) 2s (g, Т - Стр). (4.56)
Если, кроме того, теК, то/(т)=0, и, так как ? (Ор)^0, то
(Ор, т - ац) 2э (g, т - Ор), т s К П L (t). (4.57)
Из (4.51)—(4.53) следует, что можно выбрать подпоследова-
тельность (также обозначим ее через оц) такую, что выполняется
(4.31). Благодаря (4.52) мы можем показать, что следо-
вательно, а s Д П L (/). Тогда, рассуждая как обычно, из (4.57)
выводим (4.21).
Замечание 4.4. Зная решение о(х, /), описывающее поле
напряжений, мы можем попытаться определить поле скоростей
перемещений ди(х, t)/dt из условий
eV {du/dt) = -f-Лу, Лу(фу —(Ту)^О V<pe/C.
239
Задача определения du/dt из этих соотношений в общем слу-
чае, насколько нам известно, не решена.
Аналогичная ситуация имеет место в задаче упруго-пласти-
ческого кручения цилиндрического стержня. Эта задача решается
почти в явном виде (см. п. 6.6, замечание 6.3).
Замечание 4.5. В квазистатических случаях с уравнением
состояния Прандтля — Рейсса можно получить вариационную поста-
новку задачи, непосредственно включающую д{а^}/д1 (см. Кой-
тер [1], Буй и Дангван [1J, Херакович и Ходж [1]). Это свойство
может быть использовано в численном анализе, но вывод гло-
бального существования на интервале [О, Т] представляется,
по-видимому, трудным.
§ 5. Жестко-вязко-пластические
и идеально-жестко-пластические задачи
5.1. Жестко-вязко-пластические задачи.
Теперь мы «устремим к нулю» коэффициенты Aqkh в следующем
смысле: *)
заменим Aifkh на GAiJkhi где 6>0, 9->0. (5.1)
Рассмотрим решение {а9, и9}=а, v задачи
9^ (o', т) + (/ц (о + о0), т) + jj j dx = (g\ т),
, г (5.2)
(v , w) -|- j QijWij dx = (h, w)\
Q
a(0)=0, o(0) = 0. (5.3)
Если мы формально перейдем в (5.2) к пределу по 6 так,
чтобы в подходящей топологии а9->а (впоследствии мы уточним
это требование), то получим
(/it (О + 0°), т) 4- 5 Vitif.j dx = (g, т), (v', w) + J dx = (h, w),
Q О
(5.4)
v(0) = 0. (5.5)
Теперь исключаем а1 2). Первое уравнение из (5.4) эквивалентно
следующему:
/i*(or+a°)=g + e(0 (или g + D(v)), (5.6)
или
g 4- е (v) е с/ц (о 4- о0)- (5.6а)
1) Можно было бы рассмотреть более общую ситуацию, когда коэффи-
циенты Aijkh зависят от х, но сходятся к нулю сильно в L°°(Q). Для упро-
щения изложения мы ограничимся (5.1).
2) Имее) место двойственность между жестко-вязко-пластическим случаем
(когда исключается о) и упруго-идеально-пластическим случаем (когда мы
исключаем о). Мы уточним это утверждение ниже,
240
Введем теперь функционал Ли» двойственный к /и, опреде-
ленный на ЗГ по формуле
Ли (о) = sup [(о, т) -Ли (т)]. (5.7)
’ т
Так как Ли(ст) =Н-1Л (а)» то можно уточнить вид функцио-
нала Ли» именно:
Ли(<т) = Н’1Л*(ро), (5.8)
где/*—функционал, двойственный к Л-
Тогда (5.6а) эквивалентно (см. Моро [1])
a4-a°e^(8(o)+g), (5.9)
т. е.
K(&(w> + g)-^vi^(v)+g)-(a+<j0’ 8(ay)-8(tO)SsO. (5.10)
Второе уравнение из (5.4) можно записать в виде
(o', w — u)-f-(<r, г (w) — 8 (о)) — (h, w — u) = 0
и, используя (5.10), получаем
(и', ю-и)+ЛПе(^)Ч-£)-Лц(8(«)+£)^(—0?/./+Ль Wt-vi),
v, ке V. (5.11)
Мы докажем теперь следующий результат (такими же мето-
дами, как и ранее).
Теорема 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 с (4.23) и
g(0) = 0. (5.12)
Пусть ае, vq — решение задачи (5.2), (5.3). Имеем-.
ve, v’q-^-v, o' «-слабо в L°°(0, Т; Я), _
Vq-+v «-слабо в Lx (Q, Т; V), (5ЛЗ)
где v — решение неравенства (5.11), удовлетворяющее условию v (0) = 0.
Как всегда, доказательство основано на априорных оценках.
Из (5.2) следует, что
v9 ограничены в (0, Т; Н), (5-14)
61/2<т9 ограничены в L°°(0, Т; s%"). (5.15)
Полагая в (5.2) t — О, в силу (5.12), получаем, что
ffe(0) = 0, (5.16)
и, кроме того,
о9(0)=Л(0). (5.17)
Теперь, если продифференцируем уравнения (5.2), то получим,
что
Vq (соотв. 91/2<те) ограничены в L°°(0, Т; Н)
(соотв. в £“(0, Т; &Г)). (5.18)
241
Тогда второе уравнение (5.2) дает:
ограничены в L°°(0, Г; L2(Q)j, (5.19)
и, кроме того,
т
$ (Л (<*е + о°)> + о0) dt < С, (5.20)
о
'riK что из первого уравнения (5.2) получаем, что
Vqij ограничены в Z.°°(0, Т; L2(Q)). (5.21)
Таким образом, теорема доказана.
Замечание 5.1. Если v известно, то при определении
возникают трудности, аналогичные указанным в замечании 4.4
в «двойственном случае», ц
Замечание 5.2. Ассоциированная «квазистатическая» задача
является в действительности простой эллиптической задачей
и получается из (5.11) исключением члена с v'. ц
Замечание 5.3. К задаче, рассматриваемой здесь, мы вер-
немся в гл. VI, где сформулируем задачу более точно в нелиней-
ном случае, в
5.2. Идеально-жестко-пластические задачи.
Идеально-жестко-пластическая задача соответствует условиям
Aijkh~ 0, р = 0.
Эту задачу можно получить из вязко-упруго-пластической
переходом к пределу по Аук/> и по р, причем двумя различными
способами: предельным переходом сначала по А (соотв. по р),
а затем по р (соотв. по А)2). в
Рассмотрим сначала задачу, которая получается при устрем-
лении вязкости р к нулю из жестко-вязко-пластической задачи.
Обозначим через yg решение задачи (5.11), удовлетворяющее
условию уи (0) = 0. Здесь мы получим лишь формальный результат.
Прежде всего заметим, что из априорных оценок (5.14) и (5.18)
следует, что
ограничены в L“(0, Т; Н). (5.22)
Более того, можно показать, что
lim р-1^* (ро) = /* (о), (5.23)
ц-*0
где / — непрерывный на ©ЗГ функционал, выпуклый, недифферен-
цируемый и ^0.
Тогда, согласно (5.22), можно выбрать последовательность
(также обозначаемую через уц) такую, что
Уц, “*и> v' «-слабо в L00 (0, Т; Н). (5.24)
*) Вопрос об эквивалентности двух различных предельных переходов пол-
ностью не исследован.
242
Используя (5.8) и (5.23) и формально переходя к пределу
в (5.11), получим
(v', -w - п) + /* (8 И+g) - i* (е (v) + g) 3S (hl - O?/, /, wt - Vi)
Vw e V (5.25)
и
v(0) = 0. (5.26)
Если мы перейдем к пределу по р, то согласно результатам
из § 4 получим решение 30 задачи
e^(Se, T-S6)+[Se- т —S0]Ss(G, r-S^) Vt: t <= (Я - a°) П V,
(5.27)
Se(0e(K-a°)n^, (5.28)
Se(0) = 0, Se(O) = O. (5.29)
Пусть теперь 9->0. Проверим, что если G(0) = 0 (т. е. если
£(0) = 0), то
S0, Se ограничены в L(0, Т; V1), (5.30)
0V2S0 ограничены в L°°(0, Т\ <Sf). (5.31)
Этого достаточно для перехода к пределу.
Идеально-жестко-пластическая задача заключается в следующем:
Найти функцию S такую, что
5'(0е(Л-о°)П^, (5-32)
[S, т - S'] S& (G, т - S') Vt е= (К - о0) Л V, (5-33)
5(0) = 0. (5.34)
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1 и пусть
g(ty = Q. Тогда задача (5.32)—(5.34) имеет единственное решение,
удовлетворяющее условию
S, S'Т-, V1). (5.35)
Кроме того, если через S9 обозначить решение задачи (5.27)—
(5.29), то
Se, S&-+S, S' *-слабо в L~(0, Т; V). (5.36)
Таким образом,
a —S'. (5.37)
Замечание 5.4. Задачи в «терминах S» и в «терминах о»
двойственные.
Замечание 5.5. Можно дать другую двойственную поста-
новку задачи «в терминах S», основываясь на идеях Брезиса [2].
Введем индикаторную функцию множества К — о0:
0, если о s К — о0,
, (5.38)
-f-оо в других случаях.
Ф(ог)=
243
Так как отображение t->(G, т) непрерывно на и, следо-
вательно, на 2Л то
(G, т)=[6, т]. (5.39)
Тогда (5.33) эквивалентно неравенству
[S-G, т — 5'] + ф(т)- -vp(S') ===0 Vt, (5.40)
т. е.
—($-0)едф(5'). (5.41)
Введем функцию на ЧУ, двойственную (или сопряженную) к ф,
по формуле
ф* (о) = sup {[о, т] — ф (т)} (5.42)
и положим
я = —S-I-G. (5.43)
Тогда (5.41) эквивалентно тому, что R dtp (S'), что в свою
очередь эквивалентно утверждению: S' е<?ф* (R), т. е. —[S', т —
— 7?] + ф* (т) — ф* (Р)^0, следовательно, [/?', т —/?]—[G', т —/?]+
+ ф* (т) — ф* (R) 0, и, окончательно,
[/?', т —/?] + ф*(т) —ф*(/?)>(С', т — R) (5.44)
и
P(0)=G(0) = 0. (5.45)
Задача (5.44), (5.45) имеет единственное решение R такое, что
R, R'^L^(0, Т-, ЧУ). (5.46)
§ 6. Закон пластичности Хенки
6.1. Уравнение состояния.
Рассмотрим следующее соотношение между напряжением
и деформацией:
?lj (и) —AlJkhGkh-V^-iJ, (6-1)
где<г7(сг)«$0 и Лу (фу — <jy) 0 Уф: аГ(ф)<:0.
Это уравнение состояния было введено Хенки [1] для иссле-
дования статических и квазистатических задач без учета преды-
дущих деформаций. Ц
В действительности решения уравнения (6.1) совпадают с реше-
ниями уравнения Прандтля — Рейсса. В частности, это относится
к задаче упруго-пластического кручения цилиндрического стержня
(Брезис [2], Ланшон [1, 2, 4]).
6.2. Задачи.
Мы ищем поля перемещений {«;(*)} и напряжений {оу(х)}
в области й такие, что
+ А = 0 в Й, (6.2)
aljnj=Fi на Гл, (6.3)
Ui — Ui на Гу. (6.4)
244
Обозначения здесь те же самые, что и в предыдущих пара-
графах этой главы, и данные ft, Ft, Ut — функции только от х.
6.3. Вариационная постановка задачи для напряжений.
Как и в § 2 введем гильбертово пространство s%^, замкнутое
выпуклое множество К cz. и множество допустимых переме-
щений
#доп ={у1£' ^<=/P(Q), Vi = U{ на Гу}, (6.5)
где, для того чтобы #доп не было пустым, неявно предполагается,
что
Vi — сужение на Гу элемента из Я1/2(Г). (6.6)
Предположим, кроме того, что
fesL2(Q), Л,еР(ГД (6.7)
и определим множество
М ={ф|<реф//./+А=О в Q, — на Г/?}. (6.8)
Как и в предыдущих параграфах, положим
(ф. Ф)= $ AtjkhVkhtyij dx. (6.9)
Q
Последнее выражение является нормой (эквивалентной классиче-
ской) в
Тогда, если {и/}, {оу} — решение задачи (6.1)—(6.4), то поле
напряжений {<Ту} минимизирует на КОМ функционал
|<^(Ф, ф)— ( VflijnjdV
Гу
(предполагается, что множество К П Л4 не пусто).
Доказательство. Уравнение состояния (6.1) эквивалентно
следующему уравнению:
&У (U) = Aijkh^kh-VKjt (6.10)
где
о е К, $ К/ (SPtj — °у) dx «£ 0 Уф .<= К,
&
поэтому
$ еу (ц) (ф/; - ац) dx AijkhOkh (фу - оу) dx Уф <= К.
Q Q
Интегрируя по частям, получаем
(а, <р — а) Ui (qty — <ty) njdr Уф е К А М. (6.11)
г
245
Выполнение последнего неравенства эквивалентно тому, что
минимизирует на К П М функционал
/ (<₽)= 4 °* $ UiW4 dr* (6.12)
Гу
Отсюда немедленно следует
Теорема 6.1. Если К П М #= ф, то существует единственное
поле а, минимизирующее I (<р) на К П М.
6.4. Определение поля перемещений.
Теперь с помощью теории двойственности мы исследуем вопрос
о существовании поля перемещений и, соответствующего полю
напряжений о.
Напомним необходимые нам факты о двойственности (Моро [1],
Рокафеллар [1], Темам [1, 2]). Пусть X и У —банаховы прост-
ранства, не обязательно рефлексивные, и пусть L е Ж (X, У).
Пусть функции F и G, определенные на X и У соответственно,
со значениями в ]—оо, + оо] являются выпуклыми, полунепре-
рывными снизу и собственными (т. е. не равными тождест-
венно 4- оо).
Пусть, кроме того, F* и G* — выпуклые функции, сопряжен-
ные к F и G и определенные на X* и У* соответственно по
формуле
F*(x*) = sup {(х, х*) —F(x)},
хех
где (х, х*) реализует двойственность между X и X* (F** =F).
Пусть L* — отображение, сопряженное к L; тогда L* е
<=#(У*; X*).
Если Зх0 е X такое, что
1) F(x0)<oo,
2) G конечно и непрерывно на Lx0, то существует элемент у*
такой, что
inf [F* (L*y*) + G* (—y*)] = F* (L*y*)+G* (-у*), (6.13)
y*<=Y*
inf [F*(L*y*)4-G*(— y*)] + inf[f’(x) + G(Lx)] = O. (6.14)
Если, кроме того, существует элемент х0, минимизирующий
F(x)-|-G(Lx), то
F (х0) + F* (L*y*)=(L*y0% х0), (6.15)
G(Lx0) + G*(z/0*)=(y*, Lx0). Я (6.16)
Пусть X = У = (L2 (Q))6 = s%^, L — тождественное отображение.
Определим тогда
F(e)=— inf {4-®^ (т> т)—(е, x)\ = sup [(е, т)— 4(г, т)У. (6.17)
тек I 2 >
246
Пусть, при заданном е из X, те является
венства
(те, т — те)—(е, т — те) О Vt е /С;
решением нера
тг = /(. (6.18)
Легко проверяется, что
отображение непрерывно по Липшицу из X в X, (6.19)
F (е)— — у(те, те)+(е, те) непрерывен на X, (6.20)
где F — выпуклый функционал (как верхняя огибающая семейства
линейных функций).
Положим
G(e)=
—(v, f)— J FiVt dr, если e = 8Z/ (v),
+ oo в других случаях.
S ^доп>
(6.21)
Если Гу имеет положительную меру, то множество е={еу(о)},
v е й'доп, является выпуклым замкнутым подмножеством в X.
Действительно, если последовательность (vn) сходится
в L2(Q), то выбирая v0 из #доп, получаем, что ev(on —v0) схо-
дится в L2(Q); vn — vo = O на Гу, и поэтому vn — v0 сходится
в (ЯЦЙ))3, следовательно, vn-+v в (Я1^))3 и г(/ (ц„)-> еу (о).
Таким образом, G является собственной выпуклой функцией
на e/f' и, согласно (6.20), мы имеем все условия для того, чтобы
можно было применить метод двойственности.
Рассмотрим задачу минимизации, т. е. отыскания
inf [F(e) + G(e)], (6.22)
которая означает нахождение
inf [sup[(8 (у), т) — — ©^(т, т)1— (u, f)— iviFidr
(6.22a)
Игнорируя вопрос о том, имеет ли эта задача решение в общем
случае, докажем непосредственно, не обращаясь к общей теории,
утверждение:
Теорема 6.2. Задачей, двойственной к (6.22а), является задача
определения напряжений по начальным условиям.
Доказательство. В силу (6.14) достаточно доказать, что
1) F* (т) = у (т, т) + фк (т), где фд- — индикаторная функция
множества К. Это очевидно, так как F определена как функция,
сопряженная к |s^(t, т)-|-ф/с(т).
247
2) G*(t)= Ufiyttj dr+tyM(—т) /так как задачей, двойствен-
ГУ \
ной к (6.22а), является следующая:
inf [F* (т) + G* (т)] = inf |"4-е^(т, т) — ( иршп./
ТЕКЛА! 2 J
L Fu J/
Вычислим G* (т):
G*(r) = sup Пт, e(y))4-(f, v)+ U/F/dr'| =
°e ^доп [ Гр J
= SUP rJ(tye//(»)+fA)^4- \viFtdTl.
ое#доп[я rF J
Следовательно, верхняя грань равна +оо, за исключением, быть
может, случая
-T//./+W. (6.23)
а тогда
G*(t)= sup Г Ji (xtinJ + Fl)vidV + ( туП;С/гйГ1= + оо,
₽®#доп[Г/г Гу J
кроме случая, когда выполняется равенство
— xtJnj = F{ на Г>, (6.24)
из которого следует, что
G* (т) = $ XijtijUi dr + (— т).
ги
Теорема 6.3. Если задача (4.22а) имеет решение и, и если
о —решение начальной задачи (теорема 6.1), то и ио связаны
соотношениями (6.1) — (6.4).
Доказательство. Действительно, u = U на Гу, сте/<["|Л1,
следовательно, выполняются (6.2)—(6.4). Из (6.15) имеем
F (в (u)) + F* (ст) = (ст, е(н)).
Но F*(CT) = ye^ (ст, ст) согласно доказательству п.1) теоремы 6.2.
Поэтому
4 (ст, ст) —(ст, е(«)) = — F(e(u))=inf [4-е^(т, т) —(е(н), т)|,
2 tekl-« J
откуда
-1 (о, ст) — (о, 8 (н)) =С 4- (т> т)— (е (и)> т) е
что эквивалентно неравенству
(ст, т — ст) — (8(н), т — ст) 5= 0 Vre/C,
из которого получаем (6.1).
248
6.5. Изотропный материал с условием пластичности Мизеса.
Пусть & имеет вид (2.11), и пусть коэффициенты Al]kh такие
же, как и в упругом уравнении состояния (2.4) гл. III. Вычис-
лим (<т, т):
(а, т) = lijdx + <fyif dx
(модуль объемной сжимаемости мы обозначили через Хо, чтобы
не путать с обозначением выпуклого множества К)- Но оР.ту =
= 0ТКУДа следует, что
(а’ = i । dx + 2? j aVT0‘ dx‘
Тогда
= sup
тех
j W + I (V) - 4ка (T**)2 - 4jT
Легко получить, что
sup [je (у), т) — у (т, t)J = ( [у Кй(divо)2 + Ф(eD (y))Jdx,
где Ф имеет вид
[ цвРеР, если s^eP &2/2ц2,
ф(ес) = 1 ’ ' 14
| k — й/2р), если > £2/2р2.
Задача (4.22а) эквивалентна тогда нахождению
шЦ J [1 Ко (div v)2 + Ф (8d (о))] dx - (f, v) - J Ftv{ dr J (6.25)
Минимизируемый функционал не всегда коэрцитивен на простран-
стве (/Л(й))3, однако, функционал коэрцитивен на (IT1'1 (й))32) по
крайней мере в следующих важных случаях:
1) fi — Fl = O (такая ситуация встречается в задаче упруго-
пластического кручения цилиндрического стержня; см. п. 6.6,
ниже);
(Й) = {<р | <р, dqj/dxj, .... дф/дхя <=/Л (Й)}.
Отметим аналогию с теорией непараметрических минимальных поверхнос-
тей, где мы имеем функционал j (1 -(-1 grad |2)*^2 dx, который коэрцитивен на
пространстве IF1’1 (Й),
249
2) Л = 0 и fi = dq/dxi, <?еЯо(Й), так как тогда (Д и) —
= — (<?, div v) и
~ Ко J (div v)2 dx — с | div v |£® (q> -> + co,
если |divv|£2(Q)->- + oo;
3) существует ox e К П M такое, что
Действительно, тогда
(А »)+ $ЛМГ= \<JUjSij(v)dx- $ Ui(jUjnjdr,
О Гу
и
Gufii) (у) dx = ~ f au/ div v dx + f apz/8^ (u) dx,
где последний член удовлетворяет оценке
$ а1Уе/у (у) dx - (2С0)^ (8^80)1/2 dx.
Q Й
я
Теперь можно определить «очень слабое» решение задачи (6.25)
в пространстве ((L“ (й))')6. Рассмотрим для этого функционал из
(6.25), но не на ((Я1 (Й))3, а на пространстве (U71-1 (й))3; двой-
ственной задачей по-прежнему будет задача отыскания напря-
жений, обеспечивающих
• £г1
inf у (т, т) — I Ufiijtij dT , т е К fl М.
Гу
Заметим, что К с: (Лот (й))6.
Так как
j [4 %0 ^iv + ф (®D (°))] dx ~ v)~ j Fi°i dr -j- oo
(6.26)
при Ми7Ы(а)-> + со,
то из результатов Темама [2] следует, что задача, двойственная
к (6.26), имеет решение в ((£°°(й))')в (анало-
гичное утверждение неверно для (Н1 (й))3).
Более того, согласно (6.16) уравнение состояния
Хенки удовлетворяется в смысле двойственности
между (£да (й))' и Ь°°(й).
6.6. Кручение цилиндрического стержня
(рис. 19) (см. Аннин [1], Ланшон [1—4], Тинг
[1. 2]).
Здесь открытым множеством й в R3 яв-
ляется цилиндр без дыр, ограниченный двумя
плоскими сечениями Го и Гх с уравнениями
соответственно (h — заданная положительная
x3 = 0 и xa = h
длина) и боковой поверхностью Га. Через п мы, как всегда,
250
обозначим единичный вектор внешней нормали к дй. Мы нала-
гаем граничные условия, аналогичные рассмотренным в п. 6.2, а
именно:
fi — О в Q, ^цП) — 0 на Г2 (t = l, 2, 3), (6.27)
<г3 = 0 на Го и Г1( (6.28)
ut = ae,i3jX/x3 на Го и Гх. (6.29)
(иначе говоря,
ui = «2 = 0 на Го,
«! = — ahx2, u2 = ahxi на Гх).
Здесь а —угол кручения на единицу длины.
Материал предполагается изотропным, так что коэффициенты
упругости Aijkh такие же, как в п. 6.5, а условием пластичности
является условие Мизеса (2.11). При таких предположениях
М = {т | т е Н, %и = 0 в Q, = 0 на Г2,
т3 = 0 на Го и Гх}. (6.30)
Согласно п. 6.3 решение (поле напряжений) минимизирует
функционал
у (т, т) — ah j (xiT28 — х2т13) dr (6.31)
на
Пусть теперь {оу} —решение (поле напряжений). Ланшон [4]
доказал, что
Оу = 0, за исключением о13 и а23;
<Ьз= CTi3 С^1» ^г)» o23 = o23(Xi, х2). (6.32)
При таких условиях уравнения равновесия Оу,у = 0 сводятся
к следующим:
013.14*025,2 = 0, (6.33)
т. е. существуетх) 0 = 0 (хх, х2) такое, что
о13 = d0/dx2, о23 = — db/dxi. (6.34)
Уравнения ОуП/=0 на Г2 можно тогда просто переписать
в виде dQ/ds = 0, где s — криволинейная абсцисса на Го, т. е. 0 —
константа на границе Го в R®. Так как (6.34) определяет 0 с точ-
ностью до константы, то можно взять 0 е Н3 (Го), поскольку
должно выполняться условие о/3 е LI) 2(Q). Условие {<ту}е/С можно
тогда переписать как условие на 0:
0 е/С1={о|1»еЯо(Го)> I grad и | ^g почти всюду на Го}. (6.35)
I) В многосвязном случае мы должны несколько модифицировать рассужде-
ния, (См. Ланшон [2],)
851
Поле 6, соответствующее {<*//} по формуле (6.34), минимизирует
на К± функционал, аналогичный функционалу (6.31), именно:
4- f | grad v |2 dxt dx2 + |ia i (xx dv/dxx +x2 dv/dx^ dxt dx2,
Го Го
где (x — модуль сдвига, или (после преобразования второго инте-
грала) функционал
4 \ grad v |2 dxt dx2 ~ 2ga C v dxt dx2. (6.36)
Го Го
Если положим
я(9, ^) = $ grad 0 grad v dxx dx2, (6.37)
Го
f = 2pa, (/, v) = jj fvdx±dx2, (6.38)
Го
то справедливо следующее утверждение:
Поле 6, связанное с решением (полем напряжений) по формуле
(6.34), минимизирует на /<\ функционал
у а (и, у)-(/, у), (6.39)
т. е. поле 9 характеризуется вариационным неравенством
9еА\, а (9, v —9)эг(/, V — 9) Vue Др (6.40)
Естественно, каждое из этих утверждений означает существо-
вание единственного поля напряжений, являющегося решением
упруго-пластической задачи о кручении цилиндрического стержня
с уравнением состояния типа Хенки.
Замечание 6.1. Можно предположить, что угол кручения
а —известная функция от t, скажем а(/). Тогда методом, опи-
санным выше, мы получим решение 9а«) для каждого значения t.
Предположим теперь, что мы изучаем ту же задачу о круче-
нии, но с уравнением состояния типа Прандтля — Рейсса, с задан-
ным углом кручения а (/), являющимся непрерывно дифференци-
руемой функцией, и с условием а(0) = 0.
Тогда 9(0 (мы всегда предполагаем, что 9(/) связано с реше-
нием (полем напряжений) формулой (6.34)) является решением
вариационного неравенства
9 (0 е
а (9' (0. v — 9 (/)) Ss 2ца' (t) § (v — 9 (/)) dxi dx2 Vu e (6.41)
r0
9(0) = 0.
Более того, Брезис установил, что если а (/) — неубывающая функ-
ция t, то
0(0 = 9а(О. (6-42)
252
Замечание 6.2. Вопрос о распространении свойства (6.42)
на случай общей задачи из п. 6.2 остается открытым.
Замечание 6.3. Если известно решение (поле напряжений)
Охз = ст2з = — dtydxlt (6.43)
то соответствующее поле перемещений и = (ии и2, и3} можно искать,
скажем, в виде
м2 = ах3х1, м3 = аф(х1( х2). (6.44)
Таким образом, тензор деформаций имеет вид
8ц («) = е22 (и) = е33 (и) = О,
eW(U) = 0>
8i3(w) = aL—Хг + дф/дх!], 1 '
е23 (и) = а [х, + <3ф/дх2].
Поскольку материал изотропен и р —одна из констант Ламе,
то
81з(«)= 2^134Лз. 823(ы) = ^- о23 + Х2з, (6.46)
где
^1з(Т18 — сг1з) + >-2з('Г2з-°2з)^0 Vr13> т23: т13+т|з<£2- (6.47)
Укажем два возможных метода определения и, первый из
которых на самом деле заводит в тупик.
1) Если выпуклое множество Ki определено посредством (6.35)
и %Х1-“его индикаторная функция, то приведенное выше уравне-
ние состояния можно записать в виде
(G + Хк,) (о) + (G + хк,)* (8 («)) = (а, 8), (6.48)
где
G (а)= + °**)dX1 dx*' (6-49)
Го
Отсюда следует, что решение (поле перемещений) минимизи-
рует функционал
(0 + Хк,)*(8(й)) (6.50)
на множестве полей перемещений вида (6.44).
Функционал (6.50) можно вычислить в явном виде; находим
(б + Хк,)*.(8(й))= (813. e23)dxjdx8,
где
( М-1еI2, если le|sgg/2u,
Ф(813’ e2s) = { g|e|—g®/4p., если | в | >g/2pi, (6,51)
здесь | е| = (е?3 + е|8)‘/2 и
813 = а [— х2 4- д^/dXi], е83 = а [ххЧ- дф/faj].
253
Таким образом, мы ищем поле перемещений и как решение
вариационной задачи. Однако такой метод не приводит здесь
к разрешимости задачи, так как функционал, который нужно
минимизировать, не является коэрцитивным, например, на мно-
жестве функций ф(х1( х2) пространства 7Р(Г0).
2) Перепишем уравнение состояния (6.47) (Брезис [3]) в виде
— х2 + д^/дх! — — dQ/dx2 4- А дЗ/дх2,
(6.52)
+ %! + дф/дх2 — — дв/дх! — ).дв/дх1,
где
1 = 0, если I grad 61 <_g,
12s 0, если |grad6|=g.
Пусть ф(хх, х2) —решение (достаточно гладкое). Так как
д2у^/дх1дх2=д2^/дх2дх1, то дифференцированием (6.52) нетрудно
получить равенство
— 2 = — +
ца 1 дх2 \ дх2 j охх \ дхг /
или
-^-^- + -^-^- + 1Д9 = — 2——АО. (6.53)
дхх дхг 1 дх2 дх2 1 ца ' '
В области упругости (| grad 0 | <_g) имеем 1 = 0, что, конечно,
является решением уравнения (6.53) (так как правая часть тогда
равна нулю). В области пластичности (|grad6| = g) 9(хр х2) =
= grxdist ({xv х2}, дГ0) и, следовательно, уравнение (6.53) пере-
ходит в дифференциальное уравнение вдоль нормалей к границе
—g дк/дп +1Д0 = — 2 — Д0/ра. (6.54)
Тогда, замечая, что 1 = 0 в области упругости, мы можем
вычислить 1(хх, х2) явно. Условие 1(хх, x2)2s0 в области пла-
стичности следует из выполнения в области пластичности нера-
венства Д04-2ра^О. Таким образом, в частном случае кручения
можно определить поле перемещений, соответствующее полю
напряжений.
§ 7. Упрочняющиеся материалы
7.1. Уравнение состояния.
Введение понятия «упрочняющегося материала», а также вывод
графического уравнения состояния принадлежит Прагеру [3].
Такой материал можно интуитивно представить себе как мате-
риал, который имеет линейное упругое поведение до тех пор,
пока напряжения не достигнут определенного порога. После
достижения этого порога напряжения могут увеличиваться, но
они уже не вызывают сильных деформаций.
254
Сформулируем уравнение состояния: пусть /(еу)— непрерыв-
ная выпуклая функция от тензора деформаций е, причем f(0)<0.
Область возможных деформаций определяется неравенством
/(е)<0, (7.1)
а уравнение состояния записывается в виде
Оу = «/*ле*Л(«) + Цу, Ну(<?у~еу («))^0 Veefcy}; f(e)^Q.
(7.2)
Практически это уравнение применимо лишь в некоторых стати-
ческих или квазистатических случаях.
Как обычно, коэффициенты упругости удовлетворяют
условиям
ау*л = а*лу = ауль «улл^Ал^аеу^у, а = const >0. (7.3)
Пример уравнения состояния с пределом тек у-
чести. Обозначим через ei (1 = 1, 2, 3) собственные значения
тензора {ву} и при фиксированной положительной константе а
определим
/(«) = — ( inf е/+а),
/ — 1.2, 3
откуда следует, что f(e)^O, если и только если е^—а 41 =
= 1, 2, 3.
Мы докажем, что множество
{eeR‘: f(e)^O} (7.4)
выпукло.
Действительно, пусть п — единичный вектор, a Е — вектор
с компонентами E^e^nf, положим £(п) = еуП//гу. Легко доказать,
например, переходом к главным осям для {еу}, что условие
/(е)=^0 эквивалентно следующему:
inf Е(п)^ — а.
|Л| = 1
Из линейности Е (п) относительно {etJ} получаем требуемое свой-
ство.
Как и в случае идеальной пластичности, это уравнение состоя-
ния можно записать в интегральной форме. Введем гильбертово
пространство
Н = {е\е= {е{/}, е{/ <= L8(Q), ev =
co скалярным произведением
(<p, ф)== Jq>yi|)ydx, (7.5)
Q
где Й —открытое ограниченное подмножество в R8 с регулярной
границей Г.
Введем выпуклое подмножество k пространства Я:
6 = {е|ееЯ, /(е)«с0 почти всюду вй}. (7.6)
255
Условия (7.2) эквивалентны следующим:
° и — dykifikh («) + цу, (7.7)
где
$ Ру (£у — еу (u)) dx ==£ О Ve<=£, 8 («)<=/:, py«=L2(Q). (7.8)
о
(Действительно, (7.2) влечет (7.7) и, рассуждая как в п. 2.1.2,
можно доказать, что из (7.7) и (7.8) следует, что (7.2) выпол-
няется почти всюду в Q.)
7.2. Задача.
Следуя Прагеру [3] мы изучаем стационарную задачу о дефор-
мации тела, к которому приложена объемная плотность сил /(х)
с компонентами /((х) и поверхностная плотность сил F (х) с ком-
понентами Ft(x) на Гр, и, кроме того, известны перемещения
U (х) (с компонентами U{ (х) на Гу).
В качестве уравнения состояния примем соотношения (7.7),
(7.8). Считаем, что Г = Гу J Гг.
Поля перемещений « = {«/} и напряжений о = {оу} должны
удовлетворять уравнению состояния (7.7), (7.8) и следующим
условиям:
°у,/4-//= О в
Супу = Fi на
щ — Uj на
Q,
Гр,
Гу.
(7-9)
7.3. Двойная вариационная постановка задачи.
Уравнение состояния (7.7), (7.8) можно записать также в виде
5 Py8y (u) dx = sup $ Рубу dx = 1$ (р),
О ее* й
(7.Ю)
где ф& — индикаторная функция выпуклого множества ka: Н,
а ф? — функция, сопряженная к ф* (определения см. в § 6).
Теорема 7.1. Уравнение состояния (7.7), (7.8) эквивалентно
равенству
(£+Ф*)е(м) + (£+ф*)*(о)=.(е, о). (7.11)
где
g (е) = 4 J аиыеиеьи dx (7.12)
U
и фА — индикаторная функция подмножества k пространства Н,
а фл — ее сопряженная функция.
Доказательство.
1) (7.7), (7.8) =>(7.11).
256
Вычислим левую часть уравнения (7.11) при 8(u)s6:
g(e) + sup \ ’ aijkheijekk\dx =
= sup § (eijXJtj — 2 dijkh^Uekh. + у ау*л8у8лл j dx =
= sup aljkh (еУ 8tf) (8*Л — 8лл) + йуЫ&Ц(8*Л ~ 8*ft)j dx sg;
sup 5 [ey (<Уу - ailktfikh) + aiJMfiye.kh] dx =
es*n
= sup $ (eyp.y + aijkh^kh) dx = J (eypzy+аулАеуе*А) dx = (о, в),
ее* Q Q
Тогда
(g + ФШ8) 44g+ *(<*)<(<*. 8) (7.13)
и, так как по определению сопряженной функции
(g-Wft) (е) + (£+Ф*)* (о) S&(of, 8)> (7.14)
то (7.11) выполняется.
2) (7.11) =>17.7), (7.8).
Уравнение (7.11) влечет 8 («)<=£ и поэтому может быть запи-
сано в виде
g (в) + sup \ [вуОу - ~aykheyekh) dx = (e, а)
eefeJX
или, после перегруппировки,
(е, о) = sup С k/O/у - 4 aiJkh (е(/ - etj) (eftA - ekh) -
- aijkhtkh (ey - By)] dx. (7.15)
Пусть функция p. удовлетворяет соотношениям (7.8); тогда
неравенство (7.14) можно переписать в виде
sup ( I еуЦу - -I- ai}kh (еу - е.у) (ekh — 8ЙЛ)] dx = \ гуЦу dx. (7.16)
eeiJL J J
Пусть e — произвольный элемент из k\ «согласно (7.16) имеем
Hz/ 2 (^У 8>/) (&кл 8ал)^| dx 0. (7.17)
Применим (7.17) к элементу е100 из k, определенному равен-
ством
е'“> = ае + (1-а)8, аС(0,1). (7.18)
После деления на а получим
((ey — Ey)p.iidx — ^a<\ig(e-e.)dx^O, (7.19)
Q Й
9 Г. Дюво, Ж.-Д. Лионе,
257
откуда переходом к пределу при а->0 получаем неравенство
(7.7).
Следствия: вариационные постановки. Если ей
т — произвольные элементы из Н, то (g + ^)(e) + (g + ^)* (т)^
(е, т) и, следовательно, возможно, существующее решение
{««}> поставленной задачи минимизирует функционал
(Я+Фк) (е) + (g + Фк) * (т) - (е, т) (7.20)
на множестве статически допустимых полей напряжений т, т. е.
таких, что
те Я, Xtj,j + fi = O в Q, xijrij--=Fi на Г>, (7-21)
и на множестве; кинематически допустимых полей деформаций е,
т. е. таких, что
е = е(п), v—{vi\, ^еЯЦЙ), Vi — Ui на Гу.1) (L22)
Но тогда
(е,т)= \ftVtdx-y FiVidT + $ щхуп} dT (7.23)
Q Г/г
и вместо минимизации функционала (7.20) можно решать эквива-
лентную задачу: раздельно минимизировать функционал
Л(у) = (йг + Фл)(е(у))- \fiVtdx- $ FiUidV (7.24)
Й 1>
на множестве кинематически допустимых полей и функционал
It (т) = (£+Фа)* (т) - $ щхуп} dV
Ги
на множестве статически допустимых полей.
7.4. Существование и единственность решения (поля переме*
щений).
Если mes Гу > 0, то функционал (v), определенный в
(7.24), — строго выпуклый и полунепрерывный снизу на множе-
стве кинематически допустимых полей.
В случае Гу = ф необходимо, чтобы торсор сил f и F был
эквивалентен нулю. Функционал (о) определяется тогда на
факторпространстве (Н1 (Q))3/^, где еЯ3 — множество жестких
перемещений в R3. На этом факторпространстве функционал /х(и)
имеет те же свойства, что и установленные выше. Мы уже
встречались с рассуждениями такого рода в § 3 гл. III. Спра-
ведлива
Теорема 7.2. Если mes Гу >0, то существует единственное
поле кинематически допустимых перемещений и, которое мини-
мизирует функционал It(v).
х) Мы предполагаем, что Ц е £2(Й), е/Г1'2 Ut е Н1/2 (Г) (т. е.
имеем сужение на Гу элемента из Я|/2 (Г)).
258
Если ГТ/ = ф и если торсор сил эквивалентен нулю, то суще-
ствует элемент и е (Н1 (й))3, который минимизирует (о) на
множестве кинематически допустимых полей. Этот элемент един-
ствен с точностью до слагаемого — поля жесткого перемещения.
7.5. Ассоциированное поле напряжений.
Используя результаты теории двойственности, которые мы
напомнили в § 6, можно установить следующую теорему.
Теорема 7.3. Если существует поле напряжений а, которое
минимизирует функционал /2(т) на множестве статически допу-
стимых полей, определенных в (7.21), то о и г (и) связаны уравне-
нием состояния (7.11).
Замечание 7.1. Вопрос о существовании поля напряжений о
остается, насколько нам известно, открытым. Ситуация здесь
аналогична той, с которой мы сталкивались в § 6, если мы
поменяем местами напряжения и деформации.
§ 8. Комментарии
Относительно классических результатов по теории пластич-
ности можно обратиться к работам Койтера, Манделя [1, 2],
Прагера [1, 2], Прагера и Ходжа [1] и к библиографии, указан-
ной в названных работах.
Здесь мы приняли точку зрения, согласно которой различные
уравнения состояния пластичности (за исключением пластичности
с закаливанием, этот случай мы не затрагивали) представляются
как частные или предельные случаи вязко-упруго-пластического
уравнения состояния.
Проблемы, рассматриваемые в этой главе, относятся к задачам
с малыми деформациями; пространственные переменные суть
переменные Лагранжа. В отличие от этого в гл. VI, где мы
обсуждаем задачи о течении, в качестве пространственных пере-
менных фигурируют переменные Эйлера (описание этих двух
типов переменных см. Жермен [1], гл. 3).
В §§ 3, 4 результаты получены при предположении, что
выпуклое множество К не зависит от времени. Такое ограничение
действительно имеет место в важных частных случаях, таких,
как, например, при кручении цилиндрического стержня (Ланшон
[1—4], Тинг [1, 2], Аннин [1]). Однако часто встречаются ситуа-
ции, в которых выпуклое множество К зависит от времени;
насколько нам известно, соответствующие задачи не исследованы.
В этой главе рассматриваются и другие открытые проблемы, как,
например, в § 6 — определение решения (поля перемещений) или
в § 7 — определение решения (поля напряжений).
Мы не касались задач пластичности, включающих конечные
деформации; относительно соответствующих формулировок урав-
нений мы ссылаемся на работу Балабана, Грина и Нагди [1].
9*
ГЛАВА VI
ЖЕСТКО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ЖИДКОСТИ БИНГАМА1)
§ 1. Введение и рассматриваемые задачи
Жестко-вязко-пластическая жидкость — это сплошная среда,
для которой выполняются общие законы сохранения, указанные
в § 1 гл. 1, и специфические уравнения состояния. В этом пара-
графе мы выпишем эти уравнения и сформулируем задачи, которые
предполагаем изучать.
1.1. Уравнение состояния несжимаемой жестко-вязко-пласти-
ческой жидкости.
Предположение о несжимаемости, физически вполне оправдан-
ное, приводит к уравнению
divt; = O (1.1)
для векторного поля скоростей и. Используя закон сохранения
массы (п. 1.3 гл. I), получим
др _ др । др ____л /1 о\
dt ~ dt Vi °*
Следовательно, плотность среды остается постоянной во время
всего движения; если, к тому же, она не зависит от простран-
ственных переменных в какой-либо момент времени (как мы будем
предполагать), то
р = const =р0. (1.3)
Без ограничения общности можно считать» что р0 = 1.
Задавая р, мы тем самым определяем одну из неизвестных
функций в нашей задаче. Более того, при условии, что в урав-
нение состояния, включающее тензор напряжений, не входит
температура (что мы будем считать выполненным), можно отде-
лить закон сохранения количества движения от закона сохране-
ния энергии. В этой главе явления теплообмена (поле темпера-
тур, поток тепла) не рассматриваются; здесь мы будем изучать
лишь свойства течения (поля скоростей и напряжений).
1.2. Функция диссипации.
Член UijDij2) в уравнении (1.27) гл. I иногда называют
функцией диссипации Задание этой функции, например, из
х) Мы предполагаем, что читатель знаком с §§ 1—3 гл. I,
2) D/y определены в гл. I формулой (1.23),
260
эксперимента, дает нам возможность сформулировать уравнение
состояния для рассматриваемого материала. Мы будем считать,
что & зависит только лишь от тензора скоростей деформации
[Жермен [2], Прагер [1]), именно:
OyDy^^ + ^lD), (1.4)
где и — положительно однородные функции порядков 1
и 2 соответственно от компонент тензора D. Имеем
•^1
^2
-M^Dkh
_ 1 d&i п
- 2 dDkl Dkl‘
(1.5)
Так как тождество (1.4) должно выполняться для всех компонент
Dy, подчиненных равенству
Dkk = 0 (другая форма (1.1)), (1.6)
то компоненты тензора напряжений даются формулой
Оу = — рду + d&\/dDij + d&\/dDy,
(1.7)
где р —скаляр, не зависящий от Dy. Если, кроме того, пред-
положить, что жидкость изотропна, то скаляры и ^2 суть
функции только от инвариантов тензора D.
Жидкостью Бингама называют среду, для которой функции
и задаются выражениями (Прагер (lj)
^1 = 2^(D„)V2, ^2 = 4pDn, (1.8)
где Du — инвариант тензора D вида
Du = ~DyDy. (1.9)
Положительные скаляры g и р называются порогом пластичности
и порогом вязкости жидкости Бингама соответственно.
Уравнение состояния (1.7) можно записать тогда в виде
Оу = - рду + gDy/iDy ,)'/2 + 2pDy. (1.10)
Это выражение имеет смысл только при Dn#=0. Если £>ц=0,
то тензор напряжений не определен.
В (1.10) скаляр р представляет собой сферическую часть1)
тензора напряжений; р можно отождествить с давлением.
х) Если задан тензор второго ранга с компонентами Ту, то разложение
его на сферическую часть и девиатор имеет вид T., = s6..+7’£, где $ = -=--7 ,
I/ ij *1 о
и Т^О.
261
Для того чтобы обратить соотношения (1.10), положим
Оц = у (1.11)
где оР — компоненты девиатора тензора напряжений. Используя
(1.10), имеем
0п=(^+2рРК2)а, (1.12)
откуда следует В этом случае (1.10) можно обратить:
(1-13)
Возвращаясь к случаю Dn=0, отметим, что хотя тензор
напряжений не определен, условие dff^g выполняется, так как
в противном случае (1.13) определит тензор D с 2?п>0.
Окончательно, уравнение состояния жидкости Бингама имеет
вид
о1/,2 <g о D„ = 0,
' ' (l-g/0|a«?. (1J4)
Замечание 1.1. Если в уравнении (1.10) g = 0, то мы
возвращаемся к уравнению состояния для классической несжимае-
мой вязкой жидкости (жидкости Ньютона). Таким образом, при
малых g жидкость Бингама можно рассматривать как модель,
близкую к классической вязкой жидкости1). Жидкость Бингама,
как видно из (1.14), имеет следующую особенность: она движется
как жесткое тело до тех пор, пока некоторая функция напряже-
ний (здесь oj/j2) не достигнет предела текучести g.
Такое поведение наблюдается для некоторых масел или для
растворов, используемых в технике бурения скважен, а также
для бетона.
Если g — строго положительно, то в потоке имеются зоны,
в которых жидкость ведет себя как твердое тело. При возраста-
нии g эти зоны увеличиваются, а при достаточно большом g
полностью блокируют течение.
Замечание 1.2. Если в (1.10) положить р = 0, то соотно-
шения (1.14) теряют смысл, вернее, второе из соотношений (1.14),
тогда как первое остается в силе. В данном случае второе соот-
ношение получается как обратное к равенству ^i—gDiflD^i и
выражает тот факт, что = g2, откуда получаем, что тен-
*) Мы уточним это утверждение в § 5,
262
зор Dtj пропорционален тензору <т^. Поэтому мы должны заменить
соотношения (1.14) на следующие:
uii<go D/, = 0,
Он =^<=>ЭАагО: D;/ = Zoy.
(1.15)
Материалы, которые удовлетворяют уравнению состояния
такого типа, известны как «идеально-жестко-пластические» или
также как материалы «с пластическим потенциалом Мизеса». Мы
видим, что точка в R9, соответствующая девиатору тензора напря-
жений, находится внутри или на границе шара, задаваемого
уравнением
(1.16)
Если эта точка лежит внутри шара, то материал находится
в жестком состоянии, если — на границе, то материал может
испытывать пластические деформации.
1.3. Изучаемые задачи и формулировка уравнений.
Мы рассматриваем три типа задач: течение в ограниченной
области из R8; течение вне ограниченной области из R8 с задан-
ной постоянной скоростью на бесконечности; ламинарное течение
в цилиндрической трубе бесконечной длины.
1) Внутренняя задача. Пусть Q— ограниченная область
в R3 с границей Г. Требуется найти поле скоростей о(х, t) и
поле давлений р (х, t) для потока жидкости Бингама в области й.
Уравнения и граничные условия следующие:
у/ = о/Л/Н-// в П, i = l, 2, 3 (1.17)
(уравнения движения), где
= dvt/dt + vt, jVf, (1.18)
vlt j = 0 (несжимаемость), (1.19)
// — компоненты объемной плотности f(x, t) заданных сил. Ком-
поненты Оу тензора напряжений связаны с уравнением состоя-
ния жидкости Бингама, сформулированным в п. 1.2.
Условия на границе, как и для классических вязких жидкостей,
суть условия прилипания к стенке, т. е.
О/ = 0 на Г. (1.20)
Эту задачу можно ставить как в стационарном, так и в не-
стационарном вариантах. В первом случае неизвестные функции v{
и р не зависят от времени, во втором случае должны задаваться
начальные условия
vt\t-o = vot, (1.21)
где v0/ —заданные функции от х{, удовлетворяющие (1.19) и (1.20).
263
2) Внешняя задача. Рассматривается задача обтекания
твердого тела жидкостью Бингама с заданной постоянной ско-
ростью на бесконечности.
Твердое тело занимает ограниченную область Q в R’c регуляр-
ной границей. Поля скоростей и давления удовлетворяют
в R* 3 * * —fi = Q уравнениям (1.17) —(1.20), к которым добавляется
условие на бесконечности
lim v(x, = 0, 0), (1.22)
I х | — ое
где (Д —заданная положительная константа, и начальное условие
типа (1.21).
3) Течение в трубе. Эта задача уже изучалась П. П. Мосо-
ловым и В. П. Мясниковым [1] ме-
тодом, отличным от приведенного
J _____________ здесь. Мы рассматриваем стационар-
\ ' L_______ ( \ ное и ламинарноех) течение жидкости
(7 /у ( /It Бингама в цилиндрической трубе
~7 под действием перепада давлений.
Образующие трубы параллельны
Рис. 20. оси Ох3 в ортогональной системе
координат Ох^Хъ (см. рис. 20).
Пусть область fl с R’- поперечное сечение цилиндра. Изу-
чается течение между сечениями
х3=0 и х, = А (L —заданная длина), (1.23)
на которых мы задаем давления
Р (х8) |х3 = о = 0> Р (х8) |*3 •= l = — с£, (1.24)
с—линейный перепад давления, положительный скаляр.
Если мы будем искать поля скоростей и давлений, удовлетво-
ряющие (1.17), (1.18), (1.19), уравнению состояния жидкостей
Бингама, условию прилипания
и«=0 на dflx[0, L] (1.25)
и условиям (1.24), то получим, вообще говоря, плохо поставлен-
ную задачу8). Мы ограничимся классом допустимых решений
в предположении, что течение ламинарно. Такое ограничение
экспериментально обосновано при условии, что перепад давлений с
не слишком большой (иначе говоря, если число Рейнольдса8)
течения не слишком велико).
X) Здесь это означает, что скорости параллельны образующим цилиндра*
2) Это подтверждается (но не доказывается) тем, что более узкая задача,
которую мы собираемся изучать, хорошо поставлена.
3) Числом Рейнольдса течения вязкой жидкости называется скаляр &
где {/ — характеристическая скорость течения, / — характеристическая
длина течения, р—плотность жидкости, р —вязкость жидкости.
264
При этих предположениях поле скоростей имеет вид (0, 0, v)
и уравнение (1.19) означает, что v зависит лишь от хх и х2. Тен-
зор скоростей деформации D принимает тогда вид
/ 0 0 1 , , у дъ/дхл
D= 0 0 1 л ~^dv/dx2 ; (1.26)
\у dv/dX) у dv/дхг 0 /
девиатор напряжения зависит ТОЛЬКО ОТ и х2 и /° 0 имеет вид
o-j-pl = = 0 0 W13 а23 • о / (1.27)
Уравнения движения (1.17) тогда дают:
др/дхг=0, др/дх2 = 0, dp/dxs — <jftA + o^fi — (1-28)
В третьем из уравнений (1.28) левая часть зависит только
от х3, а правая часть —только от xt и х2. Следовательно, обе
части равны по модулю и противоположны по знаку линейному
перепаду давления с, откуда
р = — сх3. (1.29)
Окончательно мы приходим к задаче:
Найти скалярную функцию о(хх, х2) в Q, удовлетворяющую
уравнениям
aM,i + C»+c = 0 в Q, (1.30)
CTai = Dii2 + 2pDsi, i = 1, 2,
при Dn=#0 (DH=(D31)2 + (D32)2) (1.31)
и граничному условию
u = 0 на Г (— дй). (1-32)
Замечание 1.3. В (1.28) мы положили f = 0, что привело
нас к интересным упрощениям.
Решение, если оно существует, позволяет получить ответ не-
сколько более общей задачи, которая включает, в частности,
случай объемных сил тяжести. Пусть
f — — gradO, (1.33)
где
Ф = <р (х3)-(-1|> (хх, х2). (1.34)
Положим
р = р + Ф. (1.35)
Эта величина должна удовлетворять уравнениям (1.28), в кото-
рых р заменено на р, поэтому р = р + Ф = С1х3 + С2, где Сх и
С2 —константы. Следует различать два случая:
265
1) ф==0: условиям (1.24) можно удовлетворить, полагая
Р (х„) = — сх3+XgL”1 [<р (L) - Ф (0)] - [ф (х3) - ф (0)].
2) ф^О: ламинарный поток уже не может удовлетворять
условиям (1.24). Более того, эти условия больше не являются
«естественными». Тогда мы просто должны положить
р(4 х», 0) = 0, р(х[, х£, L) = -cL, (1.36)
где (х®, х®) е Q, (х^-, х£) е й, и мы получим решение р в виде
р(хь х3, х3) = С,х3 + С2- ф(х8) — ф (xj, х2), (1.37)
где константы и С2 имеют вид
ф(М-ф(0) |(4> 4Н(4
Cj- c-f- L •+• L , ц 38)
С2 = ф(0)-|-ф(х?, xj).
§ 2. Течение в резервуаре.
Формулировка в виде вариационного неравенства
Теперь мы формально выведем вариационное неравенство,
«эквивалентное» задаче 1 из п. 1.3 предыдущего параграфа. Это
вариационное неравенство (которое мы примем в качестве точной
постановки задачи) будет изучаться в §§ 3 — 6.
2.1. Обозначения.
Обозначим через и — и(х, t) (в стационарном случае ы(х))
векторное поле —решение задачи 1. Для произвольного поля v
положим
Оц(о) = Dy (о) Dy (о), (2.1)
/(v) = 2 J(DH(u))1/2dx. (2.2)
Q
Если w — другое векторное поле, то определим билинейную
форму
a(v, да) = 2 jj Dy (о) Dy (да) dx. (2.3)
о
Ускорение у = у(с), соответствующее полю скоростей V,
является векторным полем с компонентами
yi(v) = dvi/dt = dvt/dt + viVit/. (2.4)
2.2. Вариационное неравенство.
Здесь будет доказана
Теорема 2.1. Если и = и(х, t) — (регулярное) решение за-
дачи 1, то
div« = 0 V/€=]0, Т[, (2.5)
ы = 0 на Гх]0, 7Д, (2.6)
a(u(t), v — u (t)) + gj (v) - gj (и (t)) Sa J (f - y) (v - и (t)) dx (2.7)
266
, Vv — пробной вектор-функции, такой что выполняются условия
divv = O; v=0 на Г. (2.8)
Для и, очевидно, следует добавить начальное условие (см. (1.21)):
и(О) = ыо. (2.9)
Замечание 2.1. Естественно, что в стационарном случае
достаточно положить в (2.7) dutldt = Q.
Доказательство теоремы 2.1. Ясно, что доказатель-
ства требует лишь неравенство (2.7). Пусть <т,у (и) — компоненты
тензора напряжений, ассоциированного с полем скоростей и
согласно уравнению состояния (1.11). Если v — пробное поле ско-
ростей, удовлетворяющее условию (2.8), то
$ оу (и) Dy (v — u)dx=\(f — y)(v — u (0), (2.10)
Q О
где в левой части уравнения (2.10) u = u(i). Используя (1.10),
перепишем левую часть (2.10) в виде
g \ Du (u)~V2 Dy (и) (v — u))dx + pa(u, и —и). (2.11)
й
Ввиду неравенства
Dy (и) Dy (v) 2Du (и)"2 Dn (o)I/2, (2.12)
первый член в (2.11) мажорируется выражением
2g J (Dn (v)1/2 - Dn (м)1/2) dx — gj (v) - gj (и)
Й
и тогда (2.10) влечет (2.7).
Теперь мы чисто формально докажем, что решение неравен-
ства (2.5) — (2.9) является решением задачи 1.
Замечание 2.2. Доказательство этого факта может быть
только формальным, так как постановка задачи 1 в «обычных»
терминах не вполне точна.
Если и = и (t) — решение (или одно из решений) неравенства
(2.7) такое, что функционал дифференцируем в точке и,
т. е. если
Е>п(ы)=#0 почти всюду в £2, (2.13)
то (2.7) «эквивалентно» равенству
а(и(0, v) + g(j'(u(t)), v) = (f — y, и),1) (2.14)
где
(/'(и), ц) = ^/(« + М lx-0= Dn(u)~l/2Dy(u)Dy(v)dx. (2.15)
Q
х) (Л ф)= y&idx.
267
Действительно, заменяя в (2.7) v на и (t) -|-1у (Х>0), получим
ца (и (0, v) + gk-1 [j (и (0 + Ху) - / (и (0)]0
и, устремляя к к нулю,
|ла(н(0. v) +Я(/'(«)> у),
откуда, заменяя у на —у, получаем (2.14).
Но (2.14) эквивалентно равенству
“ j D4 W Vidx+$s(^(Dli (и)~'/2Dij (“))} vidx =
= ^(fi — Vi)Vidx Vv — \vi}: Div v = 0. (2.16)
Q
Однако, если F = {Л} —вектор, ортогональный векторам с ну-
левой дивергенцией:
\FiVi dx = 0,
Й
то существует функция р (определенная с точностью до кон-
станты) такая, что
F = grad р (Fi = dpldxi). (2.17)
Поэтому (2.16) эквивалентно равенству
- 2ц (Dy (u))j -g(Du (и)-*'2 Dy (и))j = fi -Ъ-P.i (2.18)
и мы получаем (1.16) с (1.11).
Вследствие этого замечания разумно1) принять в качестве
точной формулировки задачи 12) задачу о разрешимости вариа-
ционного неравенства (2.7) (с условиями (2.5), (2.6), (2.9)).
Замечание 2.3. Как мы уже неоднократно отмечали в связи
с вариационными неравенствами, неравенство (2.7) «автоматически»
включает в себя задачу о «свободной поверхности». Здесь это та
«поверхность», которая отделяет область, где течение описы-
вается уравнением (2.18) от области, где жидкость движется как
твердое тело.
Нерешенная проблема: Никаких результатов относи-
тельно природы такой свободной поверхности, насколько нам
известно, нет.
х) В двумерном случае это обосновывается строго: имеет место теорема
существования и единственности (см. § 3, теорема 3.1).
2) Подчеркнем то обстоятельство, что (насколько нам известно) нет других
точных формулировок этой задачи, по крайней мере в тех пространствах,
в которых мы ищем решение (см. также замечание 2.3 ниже).
268
§ 3. Исследование вариационного неравенства,
характеризующего течение жидкости Бингама внутри резервуара
3.1. Необходимые сведения из функционального анализа.
Пусть Й —резервуар; й —открытое ограниченное множество
в R"1). Предположим, что граница Г области й «достаточно
регулярна».
В § 3 гл. I были определены: пространства HS(Q) для целых
sJsO h пространства Hs(Rn) для произвольных вещественных s.
Для произвольного положительного вещественного s можно
определить
Н* (й) — пространство сужений на й элементов Hs (R"). (3.1)
Более точно, пусть
/-> л/— сужение f на й
— отображение Hs (R") -* Ь2(й) (например); определим тогда HS(Q)
как образ Hs(Rn) при отображении л и снабдим Hs (й) гильбер-
товой нормой
inf
/^Ps(Rn)
nf =<p
Это определение совпадает (с точностью до выбора эквивалент-
ной нормы) с обычным определением в случае целых s2).
Обозначим через (ср, ф)н$(й) скалярное произведение в HS(Q,).
Введем далее
= {<р | <р е (^ (Й))л, Div<p = 0}, (3.2)
—замыкание V в (Я,(й))п. (3.3)
Здесь Vs есть гильбертово пространство с нормой
l|vl = ((v- v))‘/2, (3.4)
если
((и, ay))s = (v;, w)Hs{Qr (3.5)
Положим
v, = v, MX=H. (3.6)
VQ — H, |1ц1|о = 1п|, ((v, w))0 — (v, w). (3.7)
Лемма 3.1. Если s = n/2, mo
Vij^Ln(Q) VseV,. (3.8)
Доказательство. Если v e V s, to e Hs~x (й). Вообще,
если (ре//г(й), то феУ(й), 1/р = 1/2 — r/п (если 1/2 —г/л >0)
(см. Петре [1]); отсюда следует (3.8).
*) Конечно, в приложениях п = 2 или 3.
2) См. например, Лионе, Мадженес [1J, т. 1, гл, 1,
269
Для векторных полей и, v, w в Q положим (когда это имеет
смысл):
Ъ(и, v, ау) = J ар], twt dx. (3.9)
я
Для сокращения будем писать
|1<Р||(£р(Я))п= ^^(й)'
Неравенство Гельдера, примененное к (3.9), дает
|д(и, v, да)|^с1|1и|др(й)||ау(|£Р(й)2||О1.у/||£„ ,
i.i
2/p+\ln = \. (3.10)
Используя лемму 3.1, получаем
\b{u, v, №)I^<VMip(Q)IM|l₽(Q)Ms, s = n/2. в (З.Н)
Отметим, с другой стороны, следующее неравенство выпуклости *):
1V ||t₽ (й > ' С91V |$ (0) • IIV ||^(Q) Vv е Hl (О),
1/р =1/2-1/п. (3.12)
Замечание 3.1. Когда п = 2 и, следовательно, р = 4, до-
казательство тривиально. Достаточно доказать (3.12) для уе
e^"(Q). А так как мы можем продолжить v нулем вне Q, то
достаточно доказать (3.12) для ое^(К2). Имеем
х, + со
о2 (х) = 2 Jo {dv/dx^ dxA 'С 2 J | о | | dv/dxr | дхг = 2ох (х2);
— ©о — оо
меняя местами индексы 1 и 2, получим о2 (х) sg 2о2 (хх), откуда
4-оо 4* оо
J о4 (х) dx 4 J Vi (x2) dx2 J o2 (xx) dxx sg
«S 41| o|l2 (Rs» || do/dxx |д,»(R8) J о |L«(rs> |do/dx2 (r«>.
Отсюда, в частности, следует (3.12) (когда п = 2).
Из (3.11), (3.12) выводим:
|&(и, V, О>) I ^с^и 1>1/2-I и |1/2-||ш ||1/2-I W |1/2-Mis» S~J- (3-13)
В дальнейшем фиксируем
s = n/2. (3.14)
*) Это неравенство следует из теории интерполяции, а именно, из нера-
венства (см, Лионе и Мадженес [1], гл. I)
||оичй)<с5Ч^й)!Н2<й)
и из результата Петре [1] (уже использовавшегося при доказательстве леммы
3.1)! Я1/2 (Й) <= Lp(Q), 1/р= 1/2—1/2п.
270
Заметим, что
VS = V, если п = 2, (3.15)
и что во всех случаях (возможно, что VS = V)
V, cz V с Я с V'с Vs', (3.16)
где V (соотв. Vs) —Дуальное к V (соотв. к V0 пространство,
если Н отождествляется со своим дуальным пространством.
Обозначим через wj собственные функции канонического изо-
морфизма Л/ Vs->Vs. т. е.
((дау, v))s = 1;(ау7, о)1) VoeV^, ; wj | = 1. (3.17)
Легко проверяется, что для и, v, w
b(u, v, u>) + b(u, w, u) = 0, (3.18)
откуда, продолжая по непрерывности и применяя (3.11), полу-
чим аналогичные соотношения для не Lp (Й); о, w е V^.
3.2. Функциональная формулировка вариационных неравенств.
Если в (2.7) заменить у = у(и) ее значением согласно (2.4),
получим (используя обозначение 3.9 и и' = du/dt)
(и' (0, v — u(t}) + p,a(u(t), v — и (t))b (и (f), u(t), v —
- «(0)+gj (v) - gj (u (0) (f (t), v - и (0). (3.19)
Но (продолжая здесь формальные преобразования задачи для
того, чтобы прийти к окончательной формулировке задачи) со-
гласно (3.18) имеем
b(u(t), u(t), ы(0) = О и b(u(t), u(t), v) —— b(u(t), v, u(t)),
откуда
(«'(t), v — u (0) + pa (w (0, v — и (0) —
- b (u (0, v, и (t)) + gj (v) - gj (u (0) - (/ (0, v - и (i)). (3.20)
Будем далее различать два случая в зависимости от размер-
ности п.
Первый случай: размерность п = 2. Ниже будет доказана
Теорема 3.1. Пусть п = 2 и заданы f, и0 такие, что
f<=L*(O, Т\ V'}, (3.21)
м0 е Н. (3.22)
Тогда существует одна и только одна функция и такая, что
u<=L*(0, Т-, V), (3.23)
du/dt L2 (0, Т; V), (3.24)
и удовлетворяет (3.19) (или, что то же, (3.20)) Vo eV и
u(Q) — u0. (3.25)
0 Во втором члене (3.17) нет суммирования по /I
271
Второй случай: размерность п^З. Тогда необходимо
(по крайней мере теми методами, которыми мы располагаем)
ввести «очень слабые» решения (3.20).
Чтобы упростить изложение, будем в этом случае предпола-
гать, что
«° = 0. (3.26)
Введем множество
U7 = {o|veL2(0, Т; Vs), v't=D(0, Т; Н), v(0)=0}. (3.27)
В (3.20) можно положить v = v(t) (почти всюду); тогда полу-
чаем, что если « — решение (3.20), то
г
${(«', V — «) + ра(«, V — u) — b(u, v, «) +
о
v-u)\dt^Q = (3.28)
Действительно, из (3.20) (с v — v(f)) имеем
(у', V — м)-|-ра(ы, V — u) — b(u, v, u)+gj(v) —
v-u) = (v'-u’, v — u),
так что интеграл в левой части (3.28) равен 1 v (Т) — и (Т) [2,
откуда следует справедливость (3.20).
Возьмем неравенство (3.28) в качестве определения постановки
задачи. Будет доказана
Теорема 3.2. Пусть задана функция f, удовлетворяющая
условию (3.21), п —произвольное. Тогда существует функция и,
удовлетворяющая условиям
u^L^O, Т- V)f|L°°(O, Т; Н),
du/dteL*(0, Т-, Vs'), м(0) = 0 ' ’
и (3.28).
Замечание 3.2. Проблема единственности решения в тео-
реме 3.2 при не решена.
Замечание 3.3. При п = 2 мы докажем единственность
решения, удовлетворяющего (3.29), а также тот факт, что тогда
и является решением в смысле теоремы 3.1 (с «° = 0).
Замечание 3.4. В рамках теоремы 3.2 можно было бы
также рассмотреть случай «°У=0. Но при этом возникают допол-
нительные технические трудности, которых мы хотели бы избе-
жать.
Замечание 3.5. Случай g — О соответствует формулировкам
определений (ставших классическими после работ Лере [1, 2, 3])
слабых или турбулентных решений уравнений Навье — Стокса,
по крайней мере для п — 2.
Замечание 3.6. Если п = 2, то из (3.23) и (3.24) следует,
что, возможно, после изменения на множестве меры нуль, отобра-
жение /->«(/) непрерывно как функция [0, Т]-*-Н.
Теперь мы докажем сформулированные выше теоремы и нач-
нем с теоремы 3.2.
3.3. Доказательство теоремы 3.2.
Аппроксимируем / дифференцируемой функцией; положимх)
/е (У) = TZ7 f + 8)/2 dX' 8 > °- <3-3°)
с
Имеем тогда
UI (и), v) = \D„ (и) Du (v)dx. (3.31)
О
Естественно теперь «приблизить» неравенство уравнением
(Ые, v) + pa(«g, v) + b(ue, ие, v) + g(j'e(ue), v) = (f, v) (3.32)
с условием
м8(0) = 0.* 2 3) (3.33)
Однако, если п>2, при решении (3.32), (3.33) возникает тех-
ническая трудность; это заставляет вводить вторую регуляриза-
цию, добавляя «вязкий член» т] ((«, и))^ (s = п/2), г] > 0.
Таким образом, рассмотрим дважды регуляризованное уравнение
(u'tv о) + ца(м8Т1, v) +
+ &(ы8П, «8Л, о)п((«8П> o))«+g(/e(«en)» ») = (А »)» (3-34)
и8Т)(0)=0. (3.35)
План доказательства следующий:
1) решение (3.34), (3.35) и получение априорных оценок;
2) переход к пределу по е и ц.
Этап 1). Используем «базис» wlt ..., wm, ... пространства
точнее, «специальный» базис из собственных функций (3.17).
Определим ит (= usrim) как решение уравнений
(u„(t), Wj) + pa(um(t}, Wf) + b(um(t), um(t), ayz) +
+ n((«m(0- a’/))» + gr(/e(«m(0). Wj) = (f(t), Wj}, (3.36)
M„(0) = 0. (3.37)
Это определит um на интервале [0, tm]; но априорные оценки
показывают, что tm — T.
Используя то обстоятельство, что b(um(t}, um(t}, um(t}) = Q,
из (3.36) получаем3)
Y । W I2 + Я ““ & +
+g(j'dum(t)}, um(t}} = (f(t}, um(t}}. (3.38)
i) Приведенное ниже доказательство справедливо и для других регуляри-
заций /; это может оказаться важным в вычислительных задачах.
2) В случае п~2 (теорема 3.1) мы используем тот же метод с (0) =
= «° (#=0).
3) Полагаем а (у, 0 = а(р).
?73
Но существует а>0 такое, что
а (v) а || v ||* 2 Vo eV1); (8.39)
(/e(v). u)2s0. (3.40)
Из (3.38) следует, что
ит (012 + 2ар II ит (ст) ||2 da + 2rj $ || ит (ст) Ц da
о о
t t t
<2 j ||f(CT)||J«m(CT)||dCT<ap, J || um (ст) ||2 da + J ||/(ct)||2 da,2)
0 0 0
следовательно,
i i
um (i) |2 + ац5 я u.m (a) ii2 da+2tI SIIUm <a) 11®da
0 * 0
t
^4fjH(a)K^. (3.41)
0
Получаем:
um остаются в ограниченном подмножестве
L2(0, Т; V) П L™ (0, Г; Я), не зависящем от т, т], е. (3.42)
х]1/2ит остаются в ограниченном подмножестве
L2(0, Г; УД не зависящем от tn, е, tj. (3.43)
Теперь докажем, что
и'т остаются в ограниченном (и не зависящем от
т, е, т]) подмножестве L2(0, Т\ V's). (3.44)
Заметим, прежде всего, что для »eV5 b(um(t), um(f), v)
равно —b(um(t), v, и удовлетворяет согласно (3.13) нера-
венству
\b(um(t), v) | <с41| МО II-I МО I-kb
и, так как ввиду (3.42) | ит (f) | с, то (буквой с обозначены раз-
личные константы, не зависящие от т, е, г])
1НМ0- «т(0. tOKdMOHM (3.45)
откуда (используя (3.42)) получаем
b(«m(0> «т(0> v) = (hm(t), V), V^.VS, (3.46)
при этом hm остаются в ограниченном подмножестве L2(0, Т; V's)
J) Так как че V е /fj (£2).
2) Полагаем ||/|Ф— норма в V', дуальная к SUP •
seV PII
274
Заметим, что форма v->a(u, к) непрерывна на V, следова-
тельно,
а (и, v) = (Au, V), A(=.£(V, V'), (3.47)
так что (3.36) переписывается в (эквивалентной) форме
(и'т+мит 4- hm+4- gj' (ит) — f, Wj) = Q,
(3.48)
Если через Рт обозначить ортогональный проектор Я->-
—.... wm], то
Pmh — (h, W))W/ (суммирование по / от 1 до т) (3.49)
и из (3.48) следует (так как Рти'т = и'т)
Ит = Pm (f I^Allm ~ hm f]A.sUm gje (Um))- (3.50)
Но согласно (3.42) и (3.47) Aum остаются в ограниченном под-
множестве пространства L2(0, Т; V)c.L2(0, Т; V0; поэтому
согласно (3.43) имеем
| т) • Asum (о, г; V) = О (т|1/2).
Далее, согласно (3.31),
lj's(u)k^c^Dll(u)edxYt
откуда, в частности, следует, что j'e(um) лежат в ограниченном
подмножестве L2(0, Т; V'). Поэтому (3.50) означает, что
u'm = Pmkmi km е ограниченному подмножеству
L2(0, Т; V's). (3.51)
Значит, (3.44) будет доказано, если выполняется оценка
1Л»ф|и; ^c||<pJVs'. (3.52)
Однако Wwj образуют полную ортогональную систему в V's
(относительно нормы |ф||у'=||A;J<p||Ks), так что |1ф|у' =
= 2 (Ф> йУ///а)» 11Лпф1ф; = 5 (<Р> откуда следует (3.52)
/=i s /=1
с с— 1.
Переход к пределу по т. Используем одновременно
соображения компактности и монотонностих). Согласно (3.42),
(3.44) можно выбрать подпоследовательность и^ последователь-
ности ит такую, что
«-слабо в U°(0, Т; Н) и слабо в L2(0, Т-, V),
слабо в L2(0, Т; Vs), (3'53) 1
1) См. другие примеры в монографии Лионса [1], гл. 2.
275
«нсильно в Л2(0, Т; Н) и, возможно, извлекая подпосле-
довательность еще раз, будем иметь:
(t-я компонента ыц) -> uisy] (t-я компонента н8Т))
почти всюду в йх]0, Т[. (3.54)
С другой стороны, /е(нт) (соотв. u^Uju) остаются в ограни-
ченном подмножестве L2(0, Г; V') (соотв. L2(0, Т; Lp/2(Q)))
ввиду (3.12), (3.42); можно также предположить, что
/г(ыц)^-Х слабо в Л2 (О, т-, V), (3.55)
слабо в Z.2(0, 7; £Л2(Й)). (3.56)
Но согласно (3.54) -> и(-Е11н/гГ| (например, в смысле распре-
делений в Q), откуда, сравнивая с (3.56), получим
бу = U/8^U/ei]. (3.57)
Теперь
Ь(Ыц, Иц, №/) = — b(u^, wh иц)^-Ь(ие}, wh ие1})
(слабо в L2(0, Т) \fWj). ' ' '
Из (3.36) (для т = р) имеем
(u'en, Wj) + pa(ue1i, Wj) —
= Ь(иг^, wh uei)) + r]((ueT1, йУу)),+£(х, ги/) = (А wf) Vj. (3.59)
Поскольку система wf полна в V,, то из (3.59) следует, что
(«8Т1. 0) + 1Ш(Мел, v)-b(Uev V, U8T)) + r]((Wei. f))j + g(X. ^) =
= (А v) Vo eV,. (3.60)
Так как (3.35), очевидно, выполняется, то мы сможем завершить
доказательство этапа 1), если покажем, что
Х==/е(П8п)- (3.61)
Для этого используем «соображения монотонности».
Пусть <р — элемент L2(0, Г; V,) такой, что ф'е£2(0, Т; Vs),
Ф(0) = 0. Положим
7
Ац ~ g 5 (/е («и) - /е (ф), «И - ф) dt +
о
т т т
+ |л$а(Ыц-ф)Л + г]$ Иц-<Р!1^ + $ (4-ф'. «ц-ф)бК.
0 0 0
276
Используя (3.36), имеем
г г
Хц = $(А ф) + (/е(ф). Иц-ф)И-
о о
т т
— |л$[а(Ыц, Ф)Н-а(Ф, ии-ф)]^-т|$[((«и- фД + ((ф. Ц»-ф)),]Л—
О о
т
ф) + (ф'» Ыц-ф)И,
О
откуда следует ХЦ->А\ где
т
Х = И(А «еп)-Я(Х. ф)-^(/е(ф). иет1 -ф)-ца(ы8Л, ф)-
О
-ца(ф, «8П-ф)-п((«еЧ> Ф))*-П((Ф. «8Л-ф))8-
-(«етп ф)-(ф'> «ел-ф)}Л.
Но полагая, что в (3.60) допустимо v = vsn(t) (почти всюду), по-
лучим, что
т
Х = $ {£(Х~/®(ф)« «гЧ-ф) + МЛ(«8л-ф) +
О
+ л1«8Т)-ФЙ + («^1-Ф'» «гц-ф)1^-
Так как Х„^0 Vjx, то
/YSsO.
Подставив ф = ы8П —1ф, фе L2(0, Т; УД ф'е/.2(0, Т; Vs)»
ф(0) = 0, Х>0 получим (после деления на Л):
т т
g\ ф)<йДЛ$ {ра(Ф) + пИФЙ + (Ф'> Ф)}Л^0.
О о
Устремляя А, к 0, приходим к неравенству
т
g Их - /8 («еД ф) dt Ss 0 Уф,
о
откуда следует (3.61).
Таким образом, мы завершили этап 1) и доказали существо-
вание функции u8rp удовлетворяющей (3.34), (3.35) и условиям
«еп ограничено в L2(0, Т\ У)П£°°(О, Т; Н),
и'ец ограничено в L2(0, Т; У3), (3.62)
т]1/2мел ограничено в L2(0, Т; УД
Этап 2). Введем для фиксированного о из IF (см. (3.28))
выражение
т
^ет)= ца (иЕц, v w8t]) Д b (u8f], u8>), v u8t|) -1-
o
+ n((«8>i. v-usn))s+gje(v)-gjE(uE1)-(f, v-u6ri)}dt. (3.63)
277
Ввиду (3.34) имеем
т
Г8П = $ (o' - Met). V - «8Г)) di +
О
т
{/в (0 Is (Wgt)) (/е(^еп)’ Ug^)} dt. (3.64)
О
Но первый член в выражении (3.64) для Yer> равен
у | v (Т) — ug1) (Т) ,2, а второй член 5г 0 ввиду выпуклости функ-
ционала v /е (и). Следовательно, Уе)) 5г 0 или иначе
т
5 {(o', V - И8Т)) + ца(uev, v)-b(uen, V, U8T)) + ll((«eip y)K +
0
T T
+ gh(v)-(f, v-uKn)}dt^ii\a(ue^dt+g\ je(ueri)dt. (3.65)
0 0
Согласно (3.62) можно выбрать последовательность (обозначим ее
снова через uen) такую, что
*-слабо в L°°(0, Г; Н) и слабо в L2(0, Т\ V),
u'eri-^u' слабо в Р(0, Т; VS). (3,6б)
Из (3.65) и (3.66) следует, что
т
$ {(vz, v — и) + |ш(и, v) — b(u, v, u) + gj(v)~(f, v — u)}dt^
о
т т
lim inf р $ a (weT1)d/ + lim inf g $/8 (ueT1) dt. (3.67)
о о
т
Но так как функция u->jja(v)d/ полунепрерывна снизу в про-
6
странстве L2(0, Т; V) в слабой топологии, получим
т т
lim inf $ a(uen)dt^^a (u) dt. (3.68)
о о
Проверим, что
т т
lim inf /е (w8n) dt^\J (u) dt. (3.69)
о о
Имеем
5 / (u) dt^/^Dn (w)(^)/2 dx ^y/(1+e) / dx dt\e/{ 1+8),
6 \Q / \Q /
278
откуда
Т /Т \1+е
§ /в (М8г)) dt 1 j / (м8т)) ) ’
О 'О '
с8 = Q -е, 1Q, — мера Q,
т т
lim inf /е (м8Т)) dt 5? lim inf $ j (и8П) dt, (3.70)
о о
т
и так как функция t»->$ j(у) dt выпукла и непрерывна на
о
L2(0, Г; V), то она полунепрерывна снизу в слабой топологии
L2(0, Т\ V), следовательно,
т т
lim inf $ j (usri) dt J j(u)dt, (3.71)
о 0
что, вместе с (3.70), дает (3.69).
Неравенства (3.67), (3.68), (3.69) показывают, что и удовлет-
воряет (3.28).
3.4. Доказательство теоремы 3.1.
3.4.1. Доказательство существования. В случае п = 2 введение
регуляризации г|((м, v))j (см. (3.34)) не является необходимым,
так как тогда s= 1, следовательно, Vs = V, так что член ра(м, v)
будет «той же силы», что и ((м, v)),?.
Таким образом, мы решаем (3.32) непосредственно с условием
(вместо (3.33))
м8(0) = м°. (3.72)
Методом из п. 3.3 доказывается существование решения ие
уравнения (3.32) с условиями (3.72) и
«8 ограничены в L2(0, Т; V), (3.73)
и'е ограничены в L2(0, Т\ V). (3.74)
Существенным моментом, который позволит нам получить
существование «сильного» решения неравенства (3.19) вместо «сла-
бого» в формулировке (3.28)) и его единственность, является тот
факт, что оценки (3.73), (3.74) выполняются в двух пространст-
вах: L2(0, Г; V) и L2(0, Т; V'), двойственных друг другу.
Для »eP(0, Т\ V) введем (ср. с (3.63))
т
Ze = \ {(и'е, и — ие) + ца{ие, V — а8} +
о
4-6 (м8. Ms, v-Ms)+gr/e(v)-g’/8(ue)-(f, M-M8)}dt (3.75)
Используя (3.32), видим, что
т
2е = g5 {/в (у) - is (м8) - (/е (М8), v — uB)} dt 0. (3.76)
о
?79
Следовательно,
г
${(«8. v) + pa(«8, v) + ft(Me, u8, v)+gf/e(v)-(f, V — ue)}dt^
о
т
Ss^{(«e. ue) + na(ue)+g/e(ue)}dt =
О
т т
= 1|Ые(7,)|2-4|«°12 + н р(«в)«И+Д i&(us)dt. (3.77)
О о
Ввиду (3.73), (3.74) можно предположить, что из последователь-
ности «8 выделена подпоследовательность (обозначаемая также
через м8) такая,' что
и8->-и слабо в L2(0, Т; V),
• и'е^и' слабо в L2(0, Т\ V'). (3,78)
Отсюда следует, что ue (Т)м (Т) слабо в Н\ тогда все члены
в правой части (3.77) полунепрерывны снизу в смысле сходимо-
сти, определенной в (3.78), откуда1)
т
J {(«', о) + ра(«, о) + 6(ы, ы, v)+gj(y) — (f, v — u)}dt^s
о
^yliminfiM8 (Т) |г - ^!и°|2 +
т т
+ ц lim inf J а (ие) dt+g lim inf $ /е (t/e) dt
о о
т т
2*±\u(T) |2- j-1 u° i2 + H J a(u)dt+g J j(u)dt =
0 0
T
= ${(«', u) + na(u)+gj(u)}dt
6
и, следовательно,
т
${(«'. o-u) + pa(n, v-u) + b(u, u, v)+gj(v)-gj(u)-
o
-(/, v-u)}dt^O Vv«=L2(0, T; V). (3.79)
Докажем теперь, что если и удовлетворяет (3.79), то и удов-
летворяет и (3.19). Пусть w — произвольный фиксированный эле-
мент из V и пусть /0 — произвольное фиксированное число из
интервала ]0, введем
^/ = (^0-1//. /о + 1//)с]0, Т[
*) Как и в (3.58), видим, что
т т
b (u8, и8, о) dt -> ( Ь (и, a, v) dt.
280
для достаточно больших / и определим и так:
( и>, если t е
если /е[0, Г]. (3,80>
При таком выборе v (3.79) сводится к неравенству
{(«', w — и) + рд (и, w — и) + Ь (и, и, да) +
+gj(w)-gj(u)-(j, w-u)}dt^0. (3.81)
Так как
b{u, и, w) = (u, w), u^L2(0, Т\ V'),
деля (3.81) на (меру &t), получим
|<^/Гх $ («'+рД« + « — w)dt —10/|-1 «) +
0j
+ va(u)+gj(u)-(f, u)}dt+gj(w)^0. (3.82)
Но по теореме Лебега о дифференцировании функций множества
(см. например, Данфорд и Шварц [1], т. I, гл. III) имеем
| 0, Г1 $ («' + М« + « - Л dt -> и’ (4) + цАи (4) + й (4) - f (4)
в V для 4 *= £i» mes (EJ = 0, и
5 !<“'• H) + l*a(«)+g7(«)-(A «)}<#-*
-*(«'(4)> «(4))+pa(u(4))+g/(«(4))-(f(4). «(4))
для 4 £s, mes (£2) = 0.
Теперь можно перейти к пределу в (3.82) для 4 £1U £г:
(и' (4)4-Л«(4)+й(4)-/(4)» w)-(u'(t0), u(t0))-
— ра (и (4)) - (f (4), и (4))+gj (w) - gi (и (4)) 2s 0,
т. e. получаем (3.60).
3.4.2. Доказательство единственности. Пусть и и и*—два ре-
шения (3.19), удовлетворяющие условиям (3.23), (3.24), (3.25)
для и и аналогичным условиям для ы*. Полагая (что допустимо)
v = u^(t) (соотв. и = и(0) в (3.19) (соотв. в аналогичном нера-
венстве для и*) и складывая, получим (вводя (/ = « — «*)
-((/', U)-pa(U)-b(u, и, U) + b(u^, и*, U)^Q, (3.83)
откуда
4 Tt1 U{t} a + nai|t/(0ii4<
^b{u — U, и —U, U) — b(u, и, U) = — b(U, и, U). (3.84)
281
Но, ввиду (3.13),
\b(U(t), u(t),
<Иа|^(0||2+с'||Ы(012|{/(01в.
Если ввести
m(t)='u(f)f, (3.85)
получим
4^t/(/)^C'm(()|^(0 |2,
откуда
t
\U (/) ;2 2c' J m (о) IU (<j) j2 da.
о
Так как meL^O, T), to L/ = 0.
Замечание 3.7 (доказательство замечания 3.2). Если га = 2,
то любая функция и, для которой выполняются (3.28) и (3.29),
удовлетворяет (3.19) (поэтому при п = 2 задача (3.28), (3.29)
имеет единственное решение).
Действительно, положим
«?! = {v | v е= L2(0, Т; V), tfePlO, Т; V'), о(0) = 0}. (3.86)
Форма, ставящая в соответствие функции и первый член
в (3.28), непрерывна в пространстве W относительно топологии,
индуцированной из W^, так как W плотно в Wlt то (3.28)
выполняется при любом v е
Пусть теперь w — произвольный элемент из Wv Так как
то в (3.28) можно положить
o = Ve = (l _0) ы + ода, 0<=]О, 1[. (3.87)
Заметим, что Ь(и, ve, и) — вЬ(и, ш, и), j (ve)s=z (1 — 6)/ (и) 4-
4-9j(te>). Следовательно, (3.28) дает
т
в j {(t»e, и, —м) + ца(ы, w — u) — b(u, w, w) +
о
+g/(о»)-£/(«)-(A w-u)}dt^0. (3.88)
Деля на 9 и переходя к пределу при 9 -> 0, получим из (3.88)
т
${(u', w — и) + ^а(и, w — u) — b(u, w, «) +
о
+ gj (w) -gj w-u)}dt^0, (3.89)
откуда следует (так как IFi плотно в Л2 (О, Т; V)), что (3.79)
выполняется, откуда следует результат.
282
§ 4. Теорема регулярности и двумерные задачи
Теорема 4.1. Пусть п — 2 и пусть функции f и и° удовлет-
воряют условиям
fe=L2(0, Т; V'), /'ё=Л2(0, Т; V'), f(0)<=tf, (4.1)
u°elz и u°^(H2(Q))2. (4.2)
Тогда существует, и притом единственная, функция и такая,
НПО
и(=1*(0, Т; V),1) (4.3)
м'еЛ2(0, Т; V)ftLx(0, Т; Н) (4.4)
и выполняются (3.19), (3.25).
Доказательство. Мы исходим из решения ие задачи
(3.32), (3.72). Утверждение теоремы будет следствием оценок
|Мек»(0, Г; V) +11 «вк°°(о, Т.Н) С. (4.5)
Чтобы доказать (4.5), получим аналогичные оценки для решений ит
уравнений
(Um, W;) + y,CC(Um, Wf) + b(um, Um, Wj) + g(je(Um), Wj) =
= (f, Wj), l<J^m, (4.6)
«m(0) = t4, u^->u° в УП(Я2(Й))2. (4.7)
Из (4.6) при t = 0 получим
| Um (0) I2 = — ya (U°m, Um (0)) — Ь (U9m, U9m, U'm (0)) -
-g(/l(«W. «m(0)) + (f(0), u’m(0)). (4.8)
Ввиду (4.2) | a («m, u’m (0)); c | u'm (0) |.
Аналогично, используя (4.1), получим
|g(/e(«m)> «m (0)) + (/(0), Wm (0)) | | u'm (0) |,
так что (4.8) дает
!m;(0)|2^c|m;(0)! + |&(mL ML M^(0))|. (4.9)
Но в двумерном случае H2 (Q) с L00 (й), поэтому
| Ь (u'm, Um, Um (0)) | С || Um l|(Loo(O))81| Um j| • | Um (0) | C | Um (0) |
и (4.9) приводит к неравенству
| Um (0)|^ С. (4.10)
Теперь продифференцируем (4.6) по t (это формальная про-
цедура, однако ее можно обосновать, используя разностные отно-
шения, аппроксимирующие производные по /). Получим
(u’m, Wfy + yalUm, Wj) + Ь (и'т, Um, te>y) +
+ b(Um, u’m, w^+g^j'^Um})', wt) = (f', Wj), l^j^m. (4.11)
*) На самом деле в силу (4.4) и — непрерывная функция из [0, Т] в V.
283
Но, как мы уже видели (в гл. III),
((/е (Цт)) > Мт) 0 1),
и из (4.11) следует неравенство
(Um, u'm) + lUl(Um) + b(u'm, Um, и'т) + Ь(ит, u'm, U„) < (f, u'm) (4.12)
Ho
Ь (Um, Um, Unl) — 0,
| Ь (Um> Umi Um) | = | Ь (Um, Um> Um)
^ClUm^u'm
, “2" P^ il Mm ||2 “I" C I Um 2 || Um II2 I Um |2.
Так как известно, что |um(0i<c> то
I Ь (Um, Um, Um) | Р® il Um |)2 4“С | Um |2 II ит ]|2. (4.13)
Из (4.12) следует, что
V 3t I и’т ® I2 + На II Ыт (0 I®
< I ра II Um (0 II2 + с I и’т (0 2 Um (t) * + !| /'(t) И* К U’m (t) || <
«S ~ ра II и'т (0 li2 +с I и'т (/) |2 • | Um (t) ||2 + С||/' (t) j*,
откуда, благодаря (4.10), получаем
| и’т (0 I2 4- pa J | и'т (<т) ||2 do ==S
о
’ssc+cjllf (<T)4d<r+c$\и'т(о) 2jMffl(a)||2dCT. (4.14)
о о
Используя неравенство Гронуолла, получаем из (4.14)2):
// \
I ufm (0 i2 < с ехр m ит (а) ||2 do , t Т,
\о /
и, так как
т
$ |ит(а)||Мо=сС,
о
получим
\и'т (0 I (4.15)
!) Действительно, абстрактный аналог этого неравенства верен вследствие
монотонности /в.
2) Напомним еще раз, что через с обозначаются различные константы.
284
Но тогда (4.14) дает
т
^u'm(o)l* 2 *da^c, (4.16)
о
откуда следует необходимая оценка.
§ 5. Ньютоновы жидкости
как предельный случай жидкостей Бингама
5.1. Результаты.
На протяжении всего этого пункта мы предполагаем, что
и==2. (5.1)
Обозначим через ug решение из теоремы 3.1; в дальнейшем
мы будем варьировать g (в частности, устремим его к нулю),
тогда как остальные данные будем считать фиксированными.
Имеем
нг<=£2(0, Г; V), dug/dt (= U (О, Т\ V), ыг(О) = «о; (5.2)
(«g(0, o-«g(/)) + pa(«g(0, v-ug(t)) + b(ug(t), v, ug(t))~
-g! (0 - gj (Ug (0) 2s (f (0, v - ug (0) V» e 7, (5.3)
С другой стороны, пусть и — решение уравнения Навье — Сток-
са, т. е.
ueP(O, Т; V), u'e/?(0, Т\ V'), и(0) = и°; (5.4)
(м'(0, и) + ра(м(0, 0 + &(ы(0, и(0, у) = (/40, о) Vo eV. (5.5)
Теорема 5.1’). Если g-+0, mo
Ug->u слабое L2(0, Т; V), «g-^и' слабо в L2(0, Т; V'). (5.6)
5.2. Доказательство теоремы 5.1.
Из доказательств теорем 3.1 и 3.2 следует, что
II Ug ||д,(О, Т; V) + II u'g ||д«(О, Г; V) (5.7)
для всех ограниченных g>0- Следовательно, при g-*-0 можно
выбрать подпоследовательность из последовательности ug (сохраним
за ней обозначение ug) такую, что
ug-+w слабо в L2(0, Т; V),
Wg->u>' слабо в L2(0, Т; V'),
Uig (i-я компонента ug)-+-w{ сильно в L2(Q) и почти всюду2),
и{еи/е -i-WiW/ в L2(0, Т; L? (Q)) = L2 (Q)8). (5.8)
Ч Ниже, в замечании 5.3, мы приведем общий результат относительно
зависимости и„ от g.
2) См. (3.54).
») См. (3.56).
285
Тогда
b(ug, ug> v) = — b(Ug, v, ug)-^ — b(w, v, w)
слабо в L2(0, T) V^eV. (5.9)
Полагая в (5.3) v = v(t) почти всюду, »еР(0, Т; V), получим
т
$ {(«g, v)+na(ug, v)-b(ug, v, Ug)+gj(v)-gj(ug)-tf, v—ug)}dt^
0
т T
J {(Ug, Ug) + na(Ug)1ldl= ~IUg(T)li2-~lju°l2 + ^ \a(ug)dt.
0 0
I T \
Используя (5.8)’и (5.9), получим (так как \gj (ug)dt-+-0\
\ о /
T
J {(и/, ^) + |xa(^> v) — b(w, v, — v — w)}dt^
о
7
у |^(7) j2 — ~ | tz°|2 + fixlim inf j a(ug)dt^
т т т
^y | ш (T) P — у I u°|2 + p, J a(w)dt (ш', ИУ)Л + |Л f a(w)dt,
V о 0
следовательно,
т
J {(a/, v — w) 4- pa (w, v — w) — b(w, v, w) —
о
-(A v-w)}dt^0 Vve=L2(0, T-, V). (5.10)
Отсюда следует (так же, как в конце п. 3.4.1), что для почти
всех t е [0, Т] выполняются неравенства
(и/ (Z), V — да (0)+ ца (да (/), и — да(/)) —
— b(w(t), v, w(t)) — (f, v — да(/))^0 VoeV. (5.11)
Полагая в (5.11) v — w (/) ± -ф, феУ, видим, что
(да' (/), ip) + pa(ay(O, i|>) — b(w(t), % да(/)) —
-(f(/), t) = 0 Vip<=V, (5.12)
откуда (ввиду единственности решения (5.4), (5.5)) да = и, что и
требовалось доказать.
Замечание 5.1. Доказательство теоремы 5.1 можно исполь-
зовать для того, чтобы показать существование решения и задачи
(5.4), (5.5) (что касается единственности решения задачи (5.4),
(5.5), то ее доказательство аналогично доказательству из п. 3.4.2).
Но это было бы несколько искусственно, так как доказательство,
286
приведенное выше, использует помимо прочего технику, приме-
няемую при исследовании уравнений Навье —Стокса.
Замечание 5.2. В условиях теоремы 4.1 можно получить
следующий дополнительный результат:
слабо в L2 (О, Т\ V) и *-слабо в 17 (О, Т; Н). (5.13)
Замечание 5.32). Теперь мы докажем, что справедлива
Теорема 5.2. Для gv g2 е [0, g0] (g0 > 0 — произвольное
конечное число) существует число с (g0) = с такое, что
ll«g, — Wgt||z,oo(Oi г; H) + ||«gl — «gjlz.«<o, т-, — g2\. (5.14)
Доказательство. Положим u==ug2 (cooib. u = ug,)B нера-
венстве относительно ug, (соотв. ug2), введем uSl — ug, — w и
a(w, w)=a(w). Вычитая, получим
— (&', w) — pa (w) + Z> (ugl, Ug,, ug,)4-6(ug2, ug2, ug,) +
+ (gi ~ gi) U («g,) - / («g.)) o
или
(w', w) + pa(w)^\gi-g2\\j(ug,)-j(ug,)\ + b(w, w, Ug,). (5.15)
Ho
| b (w, w, Ug,) I < Ci ||Ug, II MI w i sC У pa (w) + Ci ||ug,||21 w |2,
так что (5.15) дает
w (012 + pa (w (0) < 21 gi - g211 j (ug,) - j (ug2) | + 2Ci | ug, ||21 w |2.
(5.16)
Но, используя неравенство Коши —Шварца, получаем
I / («g.) - / («J I < 7 (“g. - «g.) = / W < cia (^)1/2.
так что
21 gi - gi 11 / (Ug,) ~ I (Ug,) I < ^pa (w) + c21 gi - g212
и для t^T имеем
i 1 *
l«’(0(<i))do^c2T\gi-g2\*+2ci^Ug,^\w(<j)\ad<f.
0 0
(5.17)
Используя неравенство Гронуолла, получим
I (t) |2 =C c2T \gi—g212 exp (2ci J || ug, (a) ||2 da)
0
T
CiT \gi-giI2exp (2Ci$ 8Ug,J2da), (5.18)
*) Это замечание можно пропустить.
287
но при gi е [О, £0] ugl ограничены в Л2 (О, Г; V), поэтому
М t [О, Г]. (5.19)
Применяя (5.19) к правой части (5.18), выводим
IMOk’to, Г: ga|,
откуда следует (5.14).
Замечание 5.4. Рассмотрим случай g-> + oo. Докажем
теперь, что
если g->oo, то слабо в L2(0, Т\ V). (5.20)
Сначала мы уточним оценку (5.7), замечая, что
Khto. Т-, v)<c, g->oo. (5.21)
(Однако неверно, что !!wg|b(o. т: у» при g->oo, так как
в оценку для и'е, полученную в доказательствах теорем из § 3,
входит g.)
Если положить » = 0 в (5.3), то
т т
g\j(Ug)dt + p\a(Ug)dt + ^\Ug(T) |2<
о о
т 1
<$(А Ug)dt + ±\u<>\t, (5.22)
О
откуда следует, что
\j(Ug)dt^. (5.23)
о ё
Согласно (5.21) можно выбрать подпоследовательность (обоз-
начаемую снова через ug) такую, что
ug->-w слабо в L2(0, Т; V). (5.24)
т
Так как функция v-+-^j(v)dt полунепрерывна снизу в сла-
о
бой топологии La(0, Т°; V), то имеем
т т
lim inf J/ (Ug)(w)dt,
о о
что, вместе с (5.23), дает равенство
т
$ / (ш) dt = 0,
о
-поэтому / (к>) = 0 почти всюду и, следовательно, и> = 0, что и тре-
бовалось доказать.
288
С точки зрения механики результат (5.20) очевиден и озна-
чает, что в пределе при g->oo среда ведет себя как твердое тело.
Более того, если предположить, что
f = ft}, fi<=Lm(O, Т; L*(£l)), 1 = 1,2; м» = 0, (5.25)
утверждение (5.20) можем дополнить, а именно: мы докажем,
что тогда
ыг = 0 при g^gc, (5.26)
где — некоторое критическое значение.
Действительно, в силу единственности, достаточно доказать,
что при достаточно больших g функция, тождественно равная
нулю, является решением (5.3), т. е.
g/(f)>(/(0. v), VveV. (5.27)
Но в силу (5.25)
I (/ (0» *0 I С. ( |! Vi l’£S (Q) +1 va <Q))
согласно неравенству (которое получил Ниренберг [1] и обобщил
Штраус [1]) имеем
II 01 Ь (О) + II О2 ь <я> с2/ (о),
поэтому
|(f(0, O)!<cs/(v),
так что (5.27) справедливо при достаточно больших g. в
Нерешенные задачи. 1) Если функция g-*~ug непре-
рывна по Липшицу на любом компактном множестве и прини-
мает значения в L°°(0, Т; Н) П Т.2(0, Т; V), то можно ли вычис-
лить производную dugldg почти всюду по g?
2) Можно ли доказать (из соображений механики это очевидно
и согласуется с численными результатами Фортина [1]), что об-
ласть, где Dtj (ug) — 0, увеличивается с ростом g?
§ 6. Стационарные задачи
6.1. Результаты.
Для удобства мы вводим в формулировки параметр Х^0.
Теорема 6.1. Пусть задана f eV'. Тогда существует u^V
такое, что
ца(и, и — и) + М>(и, и, v)+gf(v) —
— gj(u)^(f, v-u) Vv(^Va, (6.1)
где
<i = max(l, n/2 — 1) (следовательно, о = 1 при 4). (6.2)
Заметим, что такая формулировка имеет смысл, так как
отображение и, v, w-*-b(u, v, w) непрерывно на VxVxVa (мы
используем неравенство Гельдера и теорему вложения Соболева,
10 Г. Дюво. Ж.-Л. Лионе» 289
в силу которой и е L9' (Q), 1/^= 1/2 — 1, если п> 2, и а» е £"'2(Q),
1 iq-t = 1/2 —а/п, если п > 2.
Мы также можем изучить поведение решения задачи при g->0.
Теорема 6.2. Пусть п<Л. Существует семейство решений
ug неравенства (6.1) такое, что при g->0
ug^-u слабо в V, (6.3)
где и —решение стационарной задачи для ньютоновой жидкости:
ра(и, v) + ^b(u, и, v) = (f, v) VueV, и е V. (6.4)
Замечание 6.1. Пусть п4. Тогда b(и, v, w) непрерывна на
VxVxV и
b(u, v, оу)^сга(м)1/2а(о)1/2а(а>)^2. (6.5)
Кроме того, для f е V положим
[/]*=sup(|(A t»)|/a(v)l/2), v<=V. (6.6)
Тогда,
если р2 > ХсД/]*, то решение u( = ug) неравенства (6.1)
единственно, решение и стационарных уравнений Навье —Стокса
также единственно и мы получаем (6.3)
без выделения подпоследовательности. (6.7)
Действительно, если и (соотв. и*) является решением нера-
венства (6.1) и если мы положим (что возможно при и=с4)
о = (соотв. и) в (6.1) (соотв. в аналогичном неравенстве для и*)
и сложим, то получим (w = u — u*)
— pa(o>)H-Xfc(м, и, «*)+%&(«*, и#, ы)Э*0,
откуда
pa (а>) «g (w, w, u)^Kc1a(w)a(u)i/i. (6.8)
Но, полагая t» = 0 в (6.1), находим, что
ра (и)+gj (и) и) ==£ [/]* а (и)™,
откуда ра(ы)1/а^[/]*, так что (6.8) дает
pa (w)^ [/]* а (оу),
откуда следует оу = О и, значит, (6.7).
(Это замечание аналогично замечанию 7.6 гл. 1 монографии
Лионса [1].)
Замечание 6.2. При Х = 0 существует и единственно реше-
ние и е V неравенства
ра(и, v — u)+gj(v) — g/(u)^(f, v — u) Vo eV. (6.9)
Мы вернемся к этой задаче в § 9.
6.2. Доказательство.
Доказательство теоремы 6.1. Мы приведем только
схему доказательства.
290
Прежде всего рассматривается дважды регуляризованное урав-
нение х)
ра(«гП’ и) + 11((«ег|. v))<s + М («еп> «вф V) + g(j'e (ы8Л), v) =
— (f, v) УиеУя (6.10)
(/в определено как в § 3).
Существование иеп доказывается с помощью методов монотон-
ности (см. Лионе [1], гл. 2). Более того, справедливы оценки
(6-П)
П1/411«еП11<г<С, (6.12)
где константа С не зависит от е, т], К, g.
Переход к пределу по е, т) осуществляется обычной процеду-
рой, как в доказательстве теоремы 3.2. Введем
Kg,, = (Ш (Uei)> ® W8t)) -|- ХЬ (Ugrj, Uet]» ^8ti) Д'
+ Т1((«е4’ V ~ + gh(v) - gje(Ue^ - (f, V-U^\ (6.13)
используя (6.10), получим
^81) = g [Je GO /в (ыеп) (/е (мвг))» v u8ij)] 0»
откуда
|ла(мет), v) + п ((«вц. о))<т + М(«8п> Ы8Ч> v) + gje(v)-(f, v — u^)5s
^iui(ue1) + gje(u^). (6.14)
Ввиду (6.11) можно выбрать подпоследовательность (обозна-
чаемую также через ы8Т1) такую, что
ы8П->« слабо в V. (6.15)
Левая часть (6.14) сходится к2)
ца(и, v) + kb(u, и, v)-j-gj(v) — (f, v — u), v е Va. (6.16)
Более того,
lim inf a (u8t)) Ss а (и),
и рассуждениями, подобными тем, что привели к (3.71), показы-
ваем, что
lim inf /8 (u8T1) Ss / (ы).
Из (6.16) и (6.14) следует, что и удовлетворяет (6.1).
Доказательство теоремы 6.2. Доказательство тео-
ремы 6.1 показывает, что существует решение ug е V неравенства
lUl(Ug, V - Ug) +ХЬ (Ug, Ug, V) + gj(v)-gj(Ug)^(f, V — Ug)
Vve=V (6.17)
X) При n^4 введение r|((weT? v))a не обязательно.
2) Используем соображения компактности, для того чтобы доказать утверж-
дение: b (и8тр у) b (и, v),
1Q* 291
такое, что
||ur||^c (константа с не зависит от g, g^O произвольно). (6.18)
Теперь можно выбрать подпоследовательность (обозначаемую
снова через ug) такую, что выполняется (6.3). Поэтому для дока-
зательства теоремы 6. 2 достаточно проверить, что и —решение
(6-4).
Из (6. 17) следует, что
ya(ug, v)-f-Xb(ug, Ug, v)+gj(v)-(f, v-ug)^tia(ug). (6.19)
Левая часть (6.19) сходится при g-+0 к выражению
,ра (и, о) + Х6 (и, и, v) — (f, v — м)
и lim inf pa (ug) ра (и), поэтому
ра(и, V — и) + М>(и, и, v) — (f, v — u)^0. (6.20)
Полагая (это допустимо) v = u±w, w^V, видим, что и
удовлетворяет (6.4).
Замечание 6.3. Так же, как в замечании 5.3, проверяется,
что
в V слабо при g->-j-oo (6.21)
(каким бы ни было решение ug неравенства (6.17)).
§ 7. Внешние задачи
7.1. Формулировка в виде вариационного неравенства.
Как и в § 3, мы используем здесь пространства V, Vs (их
определения сохраняют смысл независимо от того, ограничена
область Q или нет).
Введем множество #доп функций v (из функционального класса,
который мы потом уточним), дивергенция которых равна нулю и
( 0 на Г,
~ ( (U, 0, 0} на бесконечности. ' ’ '
Смысл, в котором понимается второе из условий (7.1), мы также
впоследствии уточним.
Формально задача заключается в том, чтобы найти функцию
u — u(t) такую, что
и (0 е #доп, (7.2)
(ди (t)/dt, v — u (/)) 4- ра (и (t),
v-u(t)) + b(u(t), u(t), v-u(t))-\-gj(v)-gj(u(t))^
^(f(t), v-u(t)) Уие=#доп, (7.3)
u(0) = ao, z/oe ^ДОП* (7.4)
Если ввести
w(f) — u (0 — a0,
(7.5)
292
то дело сводится к отысканию функции
ш(()е=У. (7.6)
При данном м0 это уточняет смысл, в котором понимается усло-
вие — 0, 0} на бесконечности» такой, что
(ш' ((), V — + v — w (()) 4- b (w (t). w(t), v — w (0)4-
+ c (w (t), v — w (0) + gj (v 4- u0) - gj (w (/) 4- m0) 5s
>(/(0, V«eV, (7.7)
где
c(w, v) = b(u0, w, v)-\-b(w, u0, v), (7.8)
= v) — a(u0, v) — b(u0, uot v) (7.9)
и w (0) = 0.
Предположим, что
du0/dxi^(Lm(Q))3, i = l, 2, 3;
dUa/dxitE^W, t = l, 2. (7Л0)
Тогда
]c(v, v)|^c0|v|2. (7.11)
Теперь можно окончательно сформулировать задачу, различая
два случая:
1) в случае п=2 мы ищем функцию w, удовлетворяющую
условиям (7.7) и
ше£8(0. Т-, V), дда/5/е£2(0, Т; V'), (7.12)
и»(0) = 0; (7.13)
2) в случае п = 3 мы ищем функцию ш, удовлетворяющую
условиям
w<=L2(0, Т; V)f|L°°(O, Г; Н), dw/dl^L*(0, Т\ V't), (7.14)
(7.13) и «слабому» неравенству
т
J [(o', u — w) + p.a(w, v — w) — b(w, v, ш)4-
4-c(ay, V — &у)4-£/(у + «о) — gj(w + u0) — (f, v — w)]dt^Q (7.15)
для всех v таких, что
уеР(0, Г; УД y'eL2(0, Г; Н), о(0) = 0. (7.16)
7.2. Результаты.
Для /eL2(0, Т\ V'), м°еУ такого, что выполняется (7.10),
существует единственное решение и
задачи (7.7), (7.12), (7,13). (7.17)
Для /eL2(0, 7’; V') и м° е V такого, что выполняется (7.10),
существует решение о» задачи (7.13), (7.14), (7.15)
(случай л = 3). (7.18)
293
Замечание 7.1. В случае (7.18) вопрос о единственности
остается открытым.
Замечание 7.2. Можно получить результаты, аналогичные
результатам §§ 4, 5.
Для доказательства результатов (7.17), (7.18) действуем как
в предыдущих пунктах. Ограничимся наброском доказательства
(7.17). Для случая (7.18) нужно было бы, как это делалось выше,
ввести дополнительный регуляризирующий член. Мы начнем
с решения уравнения
(&Уе, a) + pa(aye,o) + &(!jye, ws, о) +
+ c(ws, v) + g(j'e(we + u0), v) = (f, v) (7.19)
с условием
®8(0) = 0. (7.20)
Используем метод Галёркина с каким-либо «базисом» wlt ...
..., wn в пространстве V *). Априорные оценки будут при этом
несколько отличаться от выведенных ранее. Положим в (7.19)
v = wt. Так как область О не ограничена, то неравенство а (о, о)^
|v||* 2 3 *, а>0 уже не выполняется, но вместо него справедливо
следующее:
a(t>, t»)4-|v|8^a|op» а>0, (7.21)
Используя (7.11), получим
(i'e(We + u0), ®е) = (/е(^8 + «о). We + u0)-(j'e(We + u0), Uo)^
(И’е + «о)> Ио) - С1 (1 + II we (01|,
откуда, благодаря неравенству Гронуолла2),
|tM0l^. (7.22)
т
$ ||®e||2da^c. (7.23)
о
Иной будет и оценка для w'e. Используя преобразование
Фурье по ts), получим следующее.
Если D1/i~^wem — сужение на (0, Т) обратного преобразования
Фурье по т от | т |1/4~₽^ет, где wem есть преобразование
Фурье по t от ©ет (продолжение wem нулем вне (0, Г)), (7.24)
то
у02>О принадлежат ограниченному
подмножеству L2(0, Т; Н). (7.25)
г) Так как область не ограничена, то нельзя использовать базис из соб-
ственных функций. Вместо этого мы могли бы воспользоваться методом, пред-
ложенным в работе Лионса и Штрауса [1], с. 62.
2) Сначала эти оценки устанавливаем для приближений w6m, а затем пере-
ходим к пределу по tn.
3) Доказательство, приведенное в книге Лионса [1] гл. 1, п. 65, пригоднр
и в нащей ситуации.
294
Используя теорему 5.2 монографии Лионса [1], гл. 1, выде-
ляем подпоследовательность wRli такую, что
®ец-*-дае *-слабо в L°°(0, Т; Н) и слабо в Л* 2 (О, Т; V),
Wenfiv^-^WeiW^j слабо в L2 (Q) х),
откуда видно, что we удовлетворяет (7.19), (7.20) и имеются
оценки
II wz ||l« (0, Г; V) + II Wg, 11100(0, Т; Н)+|О)/4 ₽И’в1к8(0, т;Н)=Сс. (7.26)
Осталось перейти к пределу по е, как в § 3.
Замечание 7.2. Другой способ доказательства состоит в том,
что мы вводим ограниченные открытые множества
Qai = O(1 {х||х|<Л/}. (7.27)
Далее решаем задачи для 0^ (применяя результаты § 3 при
фиксированном М), а затем переходим к пределу при М->4-оо.
§ 8. Ламинарное течение в цилиндрической трубе
8.1. Рассматриваемые уравнения.
Пусть Q —поперечное сечение трубы. Предположим, что
Q — ограниченная область в R2 с регулярной границей Г. Тре-
буется найти поле скоростей и = и(х) (и —скалярная функция),
удовлетворяющее условиям
a?i.i + a?2,2---- в Q,2) (8.1)
= g-------+ 2pDw (8.2)
31 1(О1з)г+(ад1/2 V
и условию на границе
и = 0 на Г. (8.3)
Напомним, что в (8.2)
i = l, 2. (8.4)
Теперь мы дадим вариационную постановку, которая приве-
дет к точной формулировке задачи.
8.2. Вариационная постановка.
Теорема 8.1. Если поле скоростей и является «сильным»
решением задачи (8.1), (8.2), (8.3), то и удовлетворяет вари-
ационному неравенству
\ш(и, v — u) + gj(v) — gj(u)^(cf v — u) Vve/fo(i2), (8.5)
1) Используем теорему 5.2 из книги, цитированной выше, для любого
компактного подмножества Q.
2) с —перепад давлений на единицу длины,
295
где
а (и, v) — grad и grad v dx, (8.6)
о
j (а) = j I gradv i dx, (8.7)
я
(f, v) = J fv dx. (8.8)
a
Доказательство. Умножая (8.1) на v — u и интегрируя
по частям, получим
$стз/(а — и)> idx — (с, v — u)—Q (8.9)
, я
и, используя (8.2), выводим
р f и, i(v-u),idx + g ( dx = (g, v — u). (8.10)
g g («>/>«.»)
Так как
и, i и, i (и, {«,z)«/2 (v, i v, г)1/2,
получаем (8.5).
Точная формулировка задачи о ламинарном течении в цилинд-
рической трубе выглядит следующим образом:
Найти решение и е Н1 (Q) неравенства (8.5).
Так как то обстоятельство, что правая часть (8.5) содержит
константу с, не существенно, то мы будем рассматривать несколько
более общую задачу:
При заданном f^L2 (Й) найти решение иеЩ (й) неравенства
ца(и, v — u) + gj(v) — gi(u)^(f, v — u) Vvt=Hl9(®)- (8.11)
Замечание 8.1. Постановка имеет смысл (и теорема 8.2
остается справедливой) и при более слабых условиях на f, а именно:
/еД-^Й). (8.12)
Однако в теореме 8.3 условие feL2(Q) существенно.
Задача (8.11) эквивалентна задаче минимизации функционала
(813)
где
a(v) = a(v, v). (8.14)
Поэтому согласно результатам § 1 гл. I имеет место
Теорема 8.2. Задача (8.11) (или эквивалентная задача (8.13))
имеет единственное решение ие.
J) Мы вводим индекс g, так как в дальнейшем будем его варьировать,
сохраняя остальные данные без изменений,
296
Теперь мы перейдем к изучению свойств ug и функции g-*-ug.
8.3. Свойства решения.
Теорема 8.3. Функция g-+ug непрерывна по Липшицу при
g^O как отображение (0, 4- оо)->Но (Q). Более того,
ug = 0 при g^gc> gc —критическое значение,
зависящее от Q и f. (8.15)
Функция g-*-a (ug) (соотв. g-*-j(ug)) непрерывна
и убывает (равна нулю при g^gc). (8.16)
Доказательство. Если положить v сначала равным О,
а затем о = 2и = 2«г в (8.11), получим
pa(ug)+gj(ug) = (f, Ug), (8.17)
так что
Jg (ug) ~ %№ ^us)’ (8.18)
Из (8.17) видим, что (это верно и при /еН-1(й))
||ыг||^с при g^O (|| j —норма в Hl(Q)). (8.19)
Докажем теперь сильную непрерывность g-*-ug и свойство
(Липшица)
a (Ug - «g0)I/2 =С и"1 (mes Q)’/21 g - g01. (8.20)
Действительно, полагая v = ugt (соотв. ug) в неравенстве (8.11)
для ug (соотв. для ыйо) и складывая, получим
— (ug - ugt) -(g-g0) (j (ug) - j (ug,)) 0.
(8.21)
Но
\j(v) — j(w)\ = J (|gradv| — | grad а> |) dx | <
я
/ (v — w) «С (Неравенство Коши — Шварца) sg
«С (mes Q)I/2 a (v — ш)|/2,
(8.22)
так что (8.21) дает
ца (ug - ug,) < (mes Й)'/21 g - g01 a (ug - ug<l)V2,
откуда следует (8.20).
Докажем (8.15). По теореме Ниренберга и Штрауса [1]
I (f> V) I Я f Ид00 (Q) ’ II V к» (Q) I Z II/,* (Q) /' (и).
Значит, и = 0 есть решение (8.11), если gj (v) (f, v) Vo, что
верно ввиду (8.24), так как
I f к* (Я).
Осталось проверить свойство (8.16). Имеем
Vo, если g^h,
(8.23)
имеем
(8.24)
(8.25)
297
следовательно,
inf Jg (о) = — ~ pa (Ug) < inf Jh (v) = — ~ pa (uh),
откуда следует, что функция g-*~a(ug) убывает.
Более того, (8.21) доказывает, что
(g — go) (i(ug)-j(Ug,))^0,
откуда следует, что функция g^-j(ug) убывает.
Теперь будет доказана
Теорема 8.4. Если предположить, что
f^O почти всюду в й, (8.26)
то
Ug^O почти всюду в й. (8.27)
Доказательство. Положим в (8.11) (мы пишем и вместо ug)
v = u+; тогда V — и = и~ и
ра(и, u-)+g(j(u+) — j(u))^(f, и~), (8.28)
но а (и, и-) = — а(и~) и, так как
7 («) = /(«+)+/(«-), (8.29)
получаем
pa(u~) + gj («-) + (/, «“)==£ 0. (8.30)
Так как f^O, имеем (/, и~)^0 и (8.30) влечет а (и~) — 0, откуда
следует ы_ = 0.
Приведем теперь свойство сравнения решений для двух областей
Йх, й2; Qi с й2; пусть ut — решение неравенств
paSz(«z, v-«/) + g(/Q.(w)-/Qz(«i))^(A> У-«/)ар (8.31)
VvetfJ(Q<). ' = 1. 2, (ui е Щ (Й,)),
где
aQ{(u, v) = J grad и-grad vdx,
ja.(v) = J | grad vI dx, (f, v)a. = J fvdx.
Q* Q •
Теорема 8.5. Пусть йх cz й2 и
почти всюду в й2, 72Э=7Х почти всюду в йх. (8.32)
Тогда
почти всюду йх. (8.33)
Доказательство. В (8.31) для 1 = 1 возьмем ц = ых—
— («г-«1)~ (это допустимо, так как на Гх —границе йх —имеем
298
согласно (8.32) щ = 0, ы2 0 по теореме 8.4, поэтому (и2 — и^~ = О,
следовательно, и = 0 на Гх); тогда получим
рОй, («1, — («2 - «1)-) + g (Jat («! - («2 - И1)“) - /й, («1))
— (w2 —«i)“)q,. (8.34)
Продолжим щ из Qx в Й2 нулем, и продолжение обозначим
через йх, тогда йх е Я# (Й2); пусть
u = u2 + («2 — “i)“ (8.35)
Имеем с е Я} (Q2), поэтому можно подставить этот элемент v
в (8.31) при i = 2. Так как v — u2 в й2 — йх, получим
рао, («2. («2 - «i)“) + g (/а, («1 + («г - 41)-) - ja, (и2) Ss
Ss(f2> («2-«1)")й,- (8.36)
Заметим, что
/О, («1 - («2 ~ «1)”) +/Й, («1 + («2 - 41)~) ~ jsi, («1) ~ /й, («2) = 0.
так что (8.34) и (8.36) влекут
pan,(«2-4i, (42-Ui)-)^(f2-fi, (м2-«1)')я,>
откуда
paQ,((«2-»i)_) + (f2-A« (М2-«1)’)й,<0. (8.37)
Но по второму условию (8.32) имеем
(А-А> (Мг-И1)-)й,^0.
так что (8.37) означает, что aQl ((м2 — 4г)~) = 0, откуда следует,
что (м2 —wx)~ = 0 в йх (так как (ы2 — их)- е Hl0 (Qx)).
§ 9. Интерпретация неравенств с множителями
Здесь будут доказаны следующие утверждения:
Теорема 9.1. Пусть выполняются условия теоремы 3.1;
обозначим через ug решение задачи. Существует набор функций
ms = и распределение р? на Q такие, что
m^L^lQ), т^. = т^ Vij, m*k = 0, (9.1)
mfynj.^l почти всюду в Q, (9.2)
mijDti(Ug) = Dij (ug)Dij (ug))112 почти всюду в Q, (9.3)
dugildt — р kugl + tig) dugi/dXjUgi — g У 2 дтц!дх} =
= f{ — dy/dxi, t = 1, 2. (9.4)
Если, наоборот, заданы ug, mff, р& такие, что
ug<=L*(0, Т; V), u'g^L^Q, Т; V), (9.5)
ug(O) = uo (9.6)
и выполняются соотношения (9.1), (9.2), (9.3), (9.4), то ug есть
решение задачи, сформулированной в теореме 3.1.
299
Следующая теорема показывает, что «множители» /п®. непре-
рывно зависят от g в подходящей топологии.
Теорема 9.2. Если g-+gQ (go^O), множители mff мржно
выбрать так, что
т^. -> т^ в до *-слабо, (9.7)
где mf> — множители, соответствующие решению иёо (обладающие
свойствами, аналогичными перечисленным в предыдущей тео-
реме 9.1).
Докажем, прежде всего, обратное утверждение теоремы 9.1.
Из (9.4) следует, что
(«'(/), v-u(t))-^-pa(u(t), u — w(0) +
+ b(u(t), U(t), V-U{t))+gj(v)-gi(U(t))-(f(t), v-u(t)) =
= g[j (0 - / («) - 2 (mf„ Dy (V) - Dy (a))] = X,
но, ввиду (9.4), j(u) — 2(my, Dy(u)) и (9.2) дает
2 (mfz, Dy (v)) < 2 (Dy (u) Dy (v))1/2 dx = / (u),
Q
поэтому X5s0, откуда следует результат.
Перейдем к доказательству существования множителей т^.
Для упрощения записи будем опускать индекс g. Введем эле-
мент В (и, v) е V, определенный равенством
b(u, v, w) = (B(u, v), &у), и, v, w eV, (9.8)
и положим
F = du/dt— ц&и + В (и, и)— f; (9.9)
F — элемент из L2(0, Т; V'). Вариационное неравенство можно
записать в виде
(^(0. v)+gj(v)-[(F(t), u(0)+g/(«(0)]>0 VueV. (9.10)
Заменив в (9.10) v на ±Хи, Х>0, получим эквивалентное
неравенство
% [± (F (П, и) + gj (v)] - [(F (/). и (0) + gj (и (0)] 0. (9.11)
Полагая теперь в (9.11) v = v(t), где функция принад-
лежит L2(0, Т; V), получим
т т
К ±\(F, v) dt+g^ j (v)dt - J ((F, u) + gi(u))dt ^0
о 0
гт
о
VveL2(0, Т; V) и VX^O
(9.12)
Отсюда выводим
J (F, v) dt ^g J j (v) dt
о 0
VveL2(0, T; V) (9.13)
300
и
т
J((F, u)+f/(«M = O. (9.14)
О
т
Действительно, согласно (9.12) j ((F, u)+gj(u))dt^O, и, так
о
т
как (9.13) дает $ ((F, u)+gj(u))dt^O, получаем (9.14).
о
Используем теорему Хана —Банаха. Введем пространство
Ф = {ф|ф = {ф/7}, ф,у = ф//, фу е L1 (Q)},
снабженное нормой
I <Р !ф = $ (ЧШ/)1/2 dx dt. (9.15)
Q
Рассмотрим отображение
»-Di/(»)=|(t)(,/ + »/,i) (9.16)
из L2(0, Т; V) в Ф. Неравенство (9.13) эквивалентно неравенству
т
о
(F, v)dt =СйгрЛ2||лу||ф.
(9-17)
Следовательно, по теореме Хана — Банаха существует
т8 е Ф' = {ф | ф = {фу}, = <py<=L°°(Q)}
такое, что
т _
J (F, v)dt =—gV2<\myDli(v)dxdt (9.18)
о Q
(можно выбрать {/п®} еФ' так, что Dkk(v) = 0 и, следовательно,
mj»A = 0, что мы и сделаем) и
|| т8 ||ф- 1, Ф' снабжается нормой, дуальной к (9.15). (9.19)
Но (9.19) эквивалентно (9.2), (9.18) эквивалентно (см. опреде-
ление F) (9.4) и (9.14) эквивалентно (используем (9.18)) равенству
(ввиду (9.2))
mf, DtJ (u)dxdt = \ (Dt} (и) Dy (м))1/2 dx dt, (9.20)
Q a
которое влечет (9.3). _
Замечание 9.1. Положим o’/ = — ре8у -}-2pDy (и) g}F 2/n®,
тогда, очевидно, что (9.2), (9.3) эквивалентны утверждению:
{о?/} и {Dy (и)} связаны уравнением состояния для жидкостей
Бингама.
301
Кроме того, (9.14) эквивалентно равенствам
dugi/dt+ugjUgij = +fb
а это означает, что сг« является решением (полем напряжений
задачи.
Тем самым получена содержательная интерпретация решения
и(х, t) вариационной задачи (2.7) (напомним, что формальная
интерпретация приведена в замечании 2.2).
Доказательство теоремы 9.2. Согласно теореме 5.2
при g-^g0 имеем
Ug-^Ug, в Р(0, Т; V)(Uro(0, Т; Н). (9.21)
Более того, аналог теоремы 5.1 (с g->-go вместо g-+0) дает
dug/dt -> dugjdt слабо в L2(0, Т; V')- (9.22)
Ввиду (9.2). можно выбрать подпоследовательность (обозна-
чаемую также через т®) такую, что
т^-*Ру *-слабо в L°°(Q), (9.23)
РуРУ 1 почти всюду в Q. (9.24)
Из (9.4) следует, что
(tig, v) 4- pa (ug, v) + b (ug, ug, v) - (f, v) = — 2g (mft, Dtj (o)) (9.25)
и можно перейти к пределу по g в (9.25); получим
(«&. v) + ра (иё„, v) + b (ug6, и&а, v) - (f, v) = — 2g0 (piy, Dy (v)). (9.26)
Ho ugl) есть решение вариационного неравенства, соответствую-
щего g0, поэтому
(Ugo, v-Ug') + pa(ug0, v-Ug') + b(ugo, Ug0, v-Ug,)-
~(f> v-Ug') + goi(v)-goi(ug')^0.
Сравнение c (9.26) дает
go{j(v}~ j(Ug')-2(pu, Dij(v-ug'))}^Q Vo,
откуда
J (v) - 2 (py, Dt) (y)) - [/ (ug,) - 2 (pu, Dtj (ug'))]0. (9.27)
Полагая v = 0, получим / (ugo) — 2 (pi;, Dtj (uga)) 0. Но согласно
(9.24) j(ug')- 2 (p.y, Dt/(Ug'))^0, следовательно, j (ug,) - 2 (pi;,
Dij(ug')) = 0 и получаем:
PyOy («go) = (Pa («go) Dt] (ug'))'/2 почти всюду в Q. (9.28)
Следовательно, можно взять mf/ = py.
Замечание 9.1. Результаты, аналогичные приведенным выше,
имеются и для стационарных неравенств, изученных в этой
главе.
302
§ 10. Комментарии
Уравнения гидродинамики ньютоновых вязких несжимаемых
жидкостей изучались в многочисленных работах.
Исследование таких уравнений с математической точки зрения
проводились Лере [1—3], Ладыженской [I], Серрином [1], Фин-
ном [1], Лионсом, Проди [1], Лионсом [1].
Ближе к механике точка зрения работы Баркера [1], в кото-
рой содержится довольно полное исследование явных решений,
а также имеются ссылки на более ранние работы.
Теория, представленная здесь, в §§ 1 — 7, по-видимому, новая
(мы опубликовали заметку на эту тему; см. Дюво, Лионе [4]).
С точки зрения механики мы имеем дело с обобщением обыч-
ных задач для неньютоновых жидкостей; мы выбрали для рас-
смотрения среды Бингама, так как это самая простая модель,
приводящая к вариационным неравенствам. Соответствующие за-
дачи для других видов неньютоновых жидкостей, вероятно, также
могут быть исследованы методами, изложенными в этой книге, но
мы не стали их здесь рассматривать.
С математической точки зрения мы имеем дело со строгим
обобщением обычных задач. Естественно, что тогда возникает
вопрос о возможности распространения имеющихся результатов
для уравнений Навье —Стокса на неравенства, связанные с жид-
костями Бингама. Эта огромная и мало исследованная область,
хотя некоторый прогресс в этом направлении имеется.
Мы не касались следующих проблем:
1) изучение локальных по t и сильных решений неравенств;
2) поведение решения при /->оо;
3) поведение решения при р->-0; теория пограничных слоев;
4) возможность распространения результатов Фояша, Проди
[1], Фояша, Темама [1] для уравнений Навье —Стокса;
5) приложения к теории турбулентности.
Изучение численных аппроксимаций решения проводится в
работе Фортина [1], а также Бежи [1], Гловинского [I] и в уже
упоминавшейся книге Гловинского, Лионса, Тремольера [1].
ГЛАВА VII
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Читателю этой главы мы рекомендуем ознакомиться сначала
С § 1 —3 ГЛ. 1. ;
§ 1. Введение
В теории электромагнетизма также возникают задачи, которые .
можно сформулировать в виде вариационных неравенств. Напри- I
мер, задачи, связанные с явлениями электромагнетизма в жид- '
костях Бингама (см. Дюво и Лионе [7]). В настоящей главе
рассматриваются вариационные неравенства и задачи, связанные
с уравнениями Максвелла (в частности, для поляризуемой среды).
Мы не можем сослаться на унифицированное изложение теории
электромагнетизма, поэтому в § 2 мы просто выпишем уравнения,
а в § 4 —6 разовьем математическую теорию классических реше-
ний. Эта теория необходима для последовательного изучения
уравнений Максвелла в поляризуемой среде. В § 3 формулиру-
ются рассматриваемые физические задачи.
§ 2. Уравнение электромагнетизма
I
Уравнения электромагнетизма выводятся из
1) физических понятий (электрический заряд, плотность тока),
которые мы вводим здесь без экспериментальных объяснений
(по поводу последних мы рекомендуем обратиться к классическим
работам; см. Пановский и Филипс [1], Брюа [1])*); • ’
2) универсальных законов (сохранение электрического заряда,
закон Фарадея), которые мы сформулируем и представим в мате- t
матической форме (Жермен [3]);
3) уравнений состояния, характерных для каждого конкрет-
ного вида среды.
Если среда находится в состоянии покоя, то из совокупности
всех этих законов мы получим уравнения Максвелла. Для движу- ’
щейся среды получим уравнение магнитодинамики жидкостей **).
*) Русскому читателю, по-видимому, естественнее всего изучать вопросы,
упомянутые в 1) и 2), по книге И. Е. Тамма [1]. (Прим. ред).
*♦) См. по этому поводу Ландау, Лифшиц [3]. (Прим, ред.) §
3Q4
2.1. Физические величины.
Мы используем следующие понятия.
— Электрический заряд. Через q обозначается объемная, поверх-
ностная или линейная плотность электрического заряда; если не
оговорено особо, то подразумевается объемная плотность.
— Электрический ток. Вектор плотности тока обозначается
через J. Он характеризует поток электрических зарядов. Поток
электрических зарядов, проходящих через поверхностный элемент
dS в направлении единичного вектора п нормали к dS, опреде-
ляется скалярным произведением J-ndS.
— Магнитная индукция обозначается через В. Это вектор
в R3, фигурирующий в законе Фарадея.
— Электрическое поле обозначается через Н. Это вектор в R3.
Другие физические величины будут вводиться в процессе
изложения.
2.2. Закон сохранения электрического заряда.
Рассмотрим область в R3 с регулярной границей д&.
Изменение за единицу времени полного электрического заряда,
содержащегося в области равно сумме потока зарядов, про-
ходящих через границу д& и объемного притока зарядов за
единицу времени.
Аналитически этот закон выражается равенством
^\qdx = — J-ndS 4- gdx, (2.1)
W &
где через п обозначен единичный вектор внешней нормали к грани-
це д& области
Поскольку это соотношение справедливо для произвольной
области &, то можно перейти к дифференциальному уравнению
- g. + divJ=g. Н (2.2)
Введем теперь электрическую индукцию или потенциал заряда,
т. е. вектор D такой, что
<7 = divL>, (2.3)
и вектор G, удовлетворяющий условию
g = divG. (2.4)
Тогда из уравнения (2.2) видно, что дивергенция вектора dD/dt 4~
-\-J-G равна нулю. Таким образом, существует по крайней
мере один вектор Н, который мы назовем магнитным полем,
такой, что
- ^•4-J-rot/7 = G. (2.5)
Если объемный приток зарядов g равен нулю, то можно поло-
305
жить G = 0. Пусть 2 — двумерное многообразие в R" с границей
Тогда из уравнения (2.5) при 6 = 0 получим
J (dD/dt + J) nd% = \ H ds, (2.6)
s as
где через ds обозначен бесконечно малый вектор, касательный
к д£. Равенство (2.6) известно как теорема Ампера.
Замечание 2.1. Вектор 6 определен с точностью до вихре-
вого поля, поэтому магнитное поле Н зависит от выбора 6.
Замечание 2.2. Пусть поверхность S разделяет область &
на две подобласти и (единичный вектор п нормали к £
направлен в сторону ^2).
Если векторнбе поле D разрывно на поверхности то
jj Dnds = jj qdx, (2.7)
Dnds = q dx, (2.8)
\jqdx = jj qdx-\- § qdx-\- § q-d2 = § D-nds. (2.9)
Первое равенство в (2.9) означает, что электрический заряд
области & равен сумме объемных зарядов областей и ^2 и
поверхностных зарядов на S .
Из этих соотношений получаем
qdZ= — $ DW-ndS-f- J D^ndV, (2.10)
XlW sn^r
где D(1)(D(a)) — потенциал заряда в области ^(^j) соответ-
ственно, a q — поверхностная плотность электрических зарядов
на 2.
Поскольку равенство (2.10) выполняется для произвольных 2
и то на 2 имеем
(D(2) -DW) n = q. (2.11)
Аналогично, используя равенство
$ rotVdx= $ n/\VdS, (2.12)
&
из уравнения (2.5) получаем
пД(Я<2) _//(i)) = J, (2.13)
где Я(1)(Я(2)) — магнитное поле в области (^2) соответственно,
а / — поверхностная плотность электрического тока на поверх-
ности 2.
Отметим, что уравнения (2.11) и (2.13) содержатся в (2.3) (2.5),
если последние понимать в смысле распределений.
306
2.3. Закон Фарадея.
Производная по времени потока магнитной индукции В через
часть фиксированной поверхности 2 с границей 52 равна по модулю
и противоположна по знаку циркуляции электрического поля вдоль
контура 52.
Этот закон записывается аналитически в виде
J B-nd2-f-J Е-5$ = 0. (2.14)
Из (2.14) следует, что если 2 совпадает с границей некото-
рого открытого множества &\ то
^-(divB5x = 0, (2.15)
&
или (дифференциальная форма равенства (2.15))
5(divB)/5/ = 0. (2.16)
Поэтому, если в некоторый момент времени Zo divBo = O, то
и в любой другой момент времени t
divB = 0. (2.17)
Уравнение (2.14) так же, как и (2.15), можно записать в диф-
ференциальной форме
dB/dt 4- rot Е = 0.И (2.18)
Замечание 2.3. Пусть поля Е и В разрывны на поверх-
ности 2; тогда так же, как в замечании 2.2, можно показать, что
(B<«>-BU»)n = 0, (2.19)
пЛ(В(2,-В(1)) = 0. (2.20)
Замечание 2.4. Введем новую систему отсчета, движу-
щуюся относительно исходной равномерно и поступательно со ско-
ростью Уо, и определим электромагнитные характеристики в дви-
жущейся системе отсчета следующим образом:
/ = <7. J' = J~qV0,
D' = D, E' = E + V0/\B,
В’=В, H’=H — Vof\D.
Тогда, как легко видеть, уравнения Максвелла (2.5), (2.18), (2.3),
(2.17) не изменятся. Следовательно, уравнения Максвелла инва-
риантны относительно преобразований Галилея.
2.4. Уравнения Максвелла.
Итак, система уравнений Максвелла состоит из уравнений
dD/dt+ J —rot H = G, (2.21)
dB/dt + rot E = 0, (2.22)
divD=<7, (2.23)
divB = 0. (2.24)
307
В этой системе уравнения (2.21) и (2.22) являются основными.
Действительно, уравнение (2.23) можно рассматривать как опре-
деление электрического заряда q, а уравнение (2.24) следует из
уравнения (2.22), если в некоторый момент времени t divB = 0.
Если считать вектор G заданным, то уравнения (2.21) —(2.24)
дают шесть скалярных соотношений с пятнадцатью неизвестными,
а именно, компонентами векторов В, Е, D, Я, J. Очевидно, что
этой группы уравнений недостаточно для описания электромаг-
нитных явлений. Возникает необходимость ввести дополнительные
уравнения (менее общего характера), которые мы называем здесь
уравнениями состояния. Эти уравнения состояния различны для
различных видов среды.
2.5. Уравнения состояния.
Рассмотрим два закона.
1) П р оп о р ц и о н а л ь н о сть п о л е й и индукций. Этот
закон можно выразить соотношениями
Е> = еЕ, (2.25)
В = (2.26)
где через 8 обозначена диэлектрическая постоянная среды, а через
р — магнитная проницаемость. Уравнения Максвелла линейны,
если 8, р не зависят от электромагнитных явлений, протекающих
в среде.
2) Закон Ома. Если среда «устойчивая», т. е. сопротивле-
ние о среды не зависит от величин, характеризующих электро-
магнитные явления, то справедлив закон Ома
J~aE. (2.27)
Если под влиянием электрического поля среда «способна иони-
зироваться», т. е. сопротивление а значительно изменяется при
изменении электрического поля, то в этом случае закон Ома (2.27)
следует заменить на следующие соотношения:
< оЕ, если !£|<Е„
|(o + Z)E, если \E\ = EQ, v }
где положительная константа Ео —порог ионизации, а Л —надле-
жащий положительный, отличный от нуля скаляр.
Такой закон (2.28) имеет место в газах, подверженных дей-
ствию сильных электрических полей, например, в случае электри-
ческой дуги или пробоя антенны.
Замечание 2.5. Математическое уравнение (2.28) не описы-
вает полностью и точно явление, наблюдаемое экспериментально.
Действительно, если | Е | и | J | — длины векторов Е и J соответ-
ственно, то график функции J = J (Е), удовлетворяющей закону
(2.28), такой, как на рис. 21, тогда как экспериментально полу-
ченный график ближе к изображенному на рис. 22. Тем не менее
мы сохраним уравнение (2.28), так как «правильный» график
308
(рис. 22) отражает явление запаздывания ионизации, которая,
фактически, соответствует неустойчивости.
Замечание 2.6. Уравнения (2.25) и (2.26) неинвариантны
относительно преобразований Г алилея. Поэтому необходимо
в общем случае применять их в неподвижной системе отсчета или,
по крайней мере, всегда в одной и той же системе отсчета.
В работе Дюво, Лионса [7] эти уравнения рассматриваются в част-
ном случае магнитогидродинамики. При этом введена локальная
система отсчета, связанная с движущейся жидкостью и сделаны
некоторые упрощающие предположения, приводящие к инвариант-
ным относительно преобразований Галилея соотношениям.
Замечание 2.7. Уравнения состояния (2.25), (2.26), (2.27)
или (2.25), (2.26), (2.28) дают девять дополнительных соотноше-
ний с пятнадцатью неизвестными. Таким образом, вместе с урав-
нениями Максвелла они образуют систему, где столько же урав-
нений, сколько неизвестных.
§ 3. Физические задачи
3.1. Устойчивая среда с идеально проводящей границей.
Пусть Q — область (не обязательно ограниченная) в R3 с регу-
лярной ограниченной границей Г. Требуется найти решение В,
D, J уравнений
dD/dt + J-rot (pB) = G! в Qx]0, Т[,
dB/dt + rot (&D) = G2 в Qx]0, T[,
где векторы Gi и G2 удовлетворяют условиям
div G2 = 0, G2 • n = 0,
а константы p>0, 8>0 ограничены и связаны с введенными
выше константами р, 8 соотношениями
р=1/р, 8 = 1/8. (3.3)
В действительности, нижеизложенное справедливо и в более
общем случае, когда е, р — кусочно постоянные функции.
(3.1)
(3.2)
309
Отметим, что уравнения (3.1) получаются из (2.21), (2.22) при
помощи симметризации.
Начальные условия имеют вид
В(х, t)\t_0 = B0(x),
(3.4)
D (х, t) |/_0 = Do (х).
(Напомним, что div £> = </, divB = 0.)
Равенства (3.1) —(3.4) имеют общий характер: они справед-
ливы для всех задач, которые мы рассматриваем.
Так как среда предполагается устойчивой, то вследствие
закона Ома
J = сЕ = gsD в Q х ]0, Т[, (3.5)
где скаляр ст>0, характеризующий проводимость среды, ограни-
чен. Здесь о также может быть функцией от х.
Граничные условия в данном случае имеют вид
В п = 0, £>Дп = 0 на Гх]0, Т[. (3.6)
Мы предполагаем, что начальные данные Во и Do также удов-
летворяют на Г условиям (3.6), тогда условие (3.6) для В вклю-
чается в равенства (3.1) и (3.2).
Таким образом, задача заключается в следующем:
Найти вектор-функции В, D, J, удовлетворяющие уравнениям
(3.1), (3.5), граничным условиям (3.6) и начальным условиям (3.4).
3.2. Поляризуемая среда с идеально проводящей границей.
В этом случае уравнение (3.5) следует заменить на соотноше-
ние (2.28), а остальные уравнения и условия оставить такими
же, как и в задаче из п. 3.1. Перепишем (2.28) в терминах D;
| D | < => J = ^D,
|П| = ^0=>{ЗЛ^О: J = (oe + A)D}. (3‘7)
Здесь ^о^еЕо, а скаляр а (проводимость среды) предполагается
достаточно малым.
Положительная константа Ео называется порогом пробоя или
пробивным напряжением. Такое название особенно наглядно в слу-
чае плоского конденсатора, который заряжается все больше и
больше. Тогда между его пластинами создается электрическое
поле Е растущей интенсивности. Достигая порога Ео, поле иони-
зирует диэлектрик между пластинами, который скачком превра-
щается в проводник и начинает пропускать ток, что приводит
к разряду конденсатора, а иногда к его разрушению. Аналогич-
ное явление имеет место с антеннами. Если электрическое поле,
порождаемое антенной, очень сильное, то атмосферный газ иони-
зируется и, следовательно, становится проводником. Тогда через
310
антенну проходит сильный электрический ток, который разру-
шает ее. Такое явление называется пробоем антенны.
Замечание 3.1. В поставленных задачах граничное усло-
вие (3.6) можно заменить на следующее:
D n = 0, ВДп = 0 на Гх]0, Т[. (3.8)
Однако задачи с таким граничным условием не представляют
интерес с физической точки зрения. Во всяком случае все ниже-
следующее справедливо и в случае условий (3.8).
3.3. Биполярная антенна.
Возьмем в качестве области Q все пространство R3. Рассмот-
рим два открытых непересекающихся множества Qi и Q2, содер-
жащихся в R3 таких, как на- >—.
пример, на рис. 23. Через g (х, t) / )
обозначим объемную плотность / j s'” X
электрических зарядов, вводи- / / Д )
мых за единицу времени в Qj / / I г J
и в й2. 4.Z I
В этом случае можно поста- „ „„ 4—
J Рис. 23.
вить задачу, аналогичную задаче
из п. 3.1 (для устойчивой среды) или задаче из п. 3.2 (для поля-
ризуемой среды). Для этого в качестве Г следует взять пустое
множество и определить правые части Gt и G2 уравнений (3.1)
соответственно замечанию 2.1.
Определение Gi и G2. Не ограничивая общности, можно
считать, что G2 = 0.
Напомним, что вектор-функция Gj должна удовлетворять
уравнению
divG = g, (3.9)
где функция g (приток электричества) задана на и П2. Пола-
гая g = 0 на дополнении к (J Й2, продолжим g на все про-
странство R3. Так как в каждый момент времени все простран-
ство должно оставаться нейтральным, то
$g(x, t)dx — 0. (3.10)
R3
Это равенство является условием интегрируемости для уравнения
A<D + g = 0 в R8. (3.11)
Определим Gx по формуле
6! = —grad Ф, (3.12)
где Ф решение уравнения (3.11).
Очевидно, что определенная таким образом вектор-функция
Gi удовлетворяет уравнению (3.9).
ЗЯ
3.4. Щелевая антенна. Дифракция электромагнитной волны на
идеальном проводнике.
Пусть {B(I), О(1)} — электромагнитная волна в R3, т. е. реше-
ние уравнений Максвелла с нулевой правой частью для устойчи-
вой и, вообще говоря, однородной среды. Как будет изменяться
d решение {В(1), если в R8 ввести
идеально проводящее тело? Это задача
рассеяния электромагнитной волны на
-J./I идеальном проводнике. Аналогичная
у задача возникает для щелевых антенн.
/ Пусть идеальный проводник V* зани-
*<# мает ограниченную область й и й —
дополнение к й. В й (дополнение к
рис 24 И) имеется дуга АВ, на которой зада-
но распределение диполей (рис. 24). За-
данное распределение диполей будет излучать электромагнитную
волну {В(1), D(1)} в R3, вид которой легко определить при отсут-
ствии тела
Присутствие идеального проводника возмущает волну {В(1), О(1))
и тогда возникает явление дифракции.
Формулировка уравнений. Положим
{В<8>, D(2)} = {fi(D, £>(!)}_[_ {в, D}, (3.13)
где (В(2), О(2)} — электромагнитная волна при наличии идеального
проводника. Электромагнитные волны {В(1), О(1)} и {В(2), О<2)}
удовлетворяют уравнениям Максвелла с нулевой правой частью
и поэтому, в силу линейности {В, D}, также являются решением
уравнений Максвелла, т. е.
dD/dt-\-<£D — rot(pB) = 0, dB/dt A-rot (еО) = 0. (3.14)
На границе Г идеального проводника волна {В(2), D(2)) удовлет-
воряет условиям
В(2)-п = 0, 0<* 2>Дп = 0 на Г, (3.15)
поэтому
Вп — — Bw-n, D/\n = — DV/\n на Г. (3.16)
Зададим начальные условия
В(х, 0|z_o = Bo(x), О(х, 0|<_o = Do(x), (3.17)
где
divBo(x) = O. (3.18)
3.5. Общая постановка задач. Пусть Й — открытое множество
в R" не обязательно ограниченное0 с регулярной и ограниченной2)
!) Область Q ограничена в задачах 3.1 и 3.2 и неограничена в других
задачах.
2) Или пустой.
312
границей Г (например, Г — непрерывно дифференцируемое дву-
мерное многообразие, область й расположена локально по одну
сторону от Г). Напомним (см. п. 3.4), что й = Сй, & —
Пусть 8 и р. — кусочно постоянные функциих), определенные
в й, более точно,
8 = 8(,
8г>0,
н>°»
в йг,
1 = 1,
<7* 2).
(3.19)
Q
где (J й/ = й и общая для множеств йг и Й, граница Sy пред-
i=i
полагается регулярной и ограниченной.
Задача заключается в следующем:
Найти вектор-функции (В, D], удовлетворяющие уравнениям
dD/dt + J-rot^Bj^G! в Йх]0, Т[, (3.20)
dB/д/-|-rot(sD) = G2 в Йх]0, Т[, (3.21)
граничному условию
n/\D = 0 на Гх]0, Т[ (3.22)
и начальному условию
B(0) = Bo, D(O)=Do в Й, (3.23)
где для устойчивой среды
J = aeD, (3.24)
а для поляризуемой среды
j = laiD, если |D|<^„,
( (CT-f-X)eD, если \D\=^9. '
Здесь принято обозначение (3.3) и константы l^sO, ^о^О.
Замечание 3.2. Условия типа divB = 0, п-В = 0 на Г
и т. п. не задаются; они появляются как свойства решения постав-
ленной задачи, когда данные Gt, i = l, 2, и Во, Do выбраны
«подходящим» образом.
Замечание 3.3. Условия на разделяющих поверхностях
2у выводятся из уравнений задачи, если их (уравнения) пони-
мать в смысле распределений на й (см. замечание 2.2).
В §§4 — 7 рассматриваются задачи для устойчивых сред,
а в § 8 —для поляризуемых. Затем мы обсудим неоднородные
задачи, которые соответствуют «щелевым антеннам».
г) Можно было бы обобщить это на случай кусочно регулярных функций,
предполагая, что функция е постоянна в окрестности Г.
2) 0=2 для биполярной антенны,
313
§ 4. Устойчивая среда.
Первая теорема существования и единственности
4.1. Сведения из функционального анализа, необходимые для
«слабой» постановки задачи.
Определим пространство Н (rot; й):
Н (rot, й) = {v । v е (L2 (й))3, rot о e (£2(й))3}, (4.1)
которое относительно нормы
(I! v lib (Q)S + li rot V Щг(2)»)1/2 (4.2)
является гильбертовым.
Обозначим через (Cfc (й))3 пространство непрерывно дифферен-
цируемых векторов с компактным носителем в й. Предположим,
что граница Г области й регулярна и ограничена.
Лемма 4.1 (Сд(й))3 плотно в Н (rot; й).
Доказательство. Если цеЯ(го1; й) и <реЕ>(й), то
<рц е Н (rot; й) (так как оператор «ротор» описывается производ-
ными первого порядка).
Пусть ч|)е^(Кя) и ф = 1 в окрестности нуля. Определим
функцию
Фм = Ф (х/М).
Сужение функции фЛ1 на й будем также обозначать через ф^.
Тогда, если v е Н (rot; й), то ф^ц е Н (rot; й). Не составляет
труда проверить, что при Л1->-|-оо
фл11»-*ц в Я (rot; й).
Поскольку УЛ4 функция ф^и имеет компактный носитель
в й, то достаточно провести доказательство для элемента
е Я (rot; й) с компактным носителем в й.
Введем конечное открытое покрытие N окрестности
Г в R3, где каждое ограниченное открытое множество обла-
дает следующим свойством1):
Vi, 8>0 3 A(eR3: (4.3)
причем открытые множества + полученные параллельным
переносом, образуют открытое покрытие окрестности Г в R3.
Если ах,..., a,i (0ft — разбиение единицы окрестности
Г в R3, соответствующее покрытию {<*?/}, то можно записать
N
ц = 2агу + ио> (4-4)
1 = 1
где элемент v0^^(r°t; Q) имеет компактный носитель в Я-
Поскольку и0 можно аппроксимировать элементами из (Q), то
г) Вариант условия Хермандера [1]. Заметим, что такое покрытие {$/}
существует,
314
доказательство достаточно провести лишь для функций atv — w
(И, .... N).
Введем последовательность {/„} из R3 такую, что (ср. с. (4.3))
/г->оо,
wn (х) = w (х — tn) е Н (rot; й„), йсй„. (4.5)
Тогда, если обозначить через <р„ сужение на й элемента wn, то
при п->оо в Я (rot; й), поэтому ^достаточно показать,
что существует последовательность из (С}< (й))3, аппроксимирую-
щая элемент фл=ф (« — фиксированное).
Но (в силу (4.5)) ф является сужением на й некоторого эле-
мента Ye Н (rot; й'), й'эЙ. Если функция 0 е (Й') такая,
что 6 = 1 в й, то, продолжая бТ в R3 нулем, получаем
ОТ €= Н (rot; R3). (4.6)
Можно показать, что существует последовательность /fte J?(R3)
такая, что в Я (rot; R3), причем, если ft —сужение Ft
на й, то /,-->ф в Я (rot; й). Поскольку то лемма
доказана.
Замечание 4.1. Приведенное доказательство является общим,
так как мы не использовали конкретную структуру дифферен-
циальной операции «ротор».
Лемма 4.2. Пусть выполнены условия леммы 4.1. Отображе-
ние
и-^-п/\и\г = п/\и (4.7)
из (С1к (й))3 в (С1 (Г))3 можно продолжить по непрерывности до
линейного непрерывного отображения Я (rot; й)(Я-1/2 (Г)),
которое мы будем обозначать также через и-+п[\и.
Здесь через п обозначен единичный вектор внешней нормали
к Г.
Доказательство. Для <р е (Я1/2 (Г))3 введем ф е (Я1 (й)),
чтобы выполнялось равенство
ф !г = <р.
Отображение <р->Ф является линейным непрерывным отображе-
нием (Я'/2(Г))3->(Я1(Й))3.
Определим отображение ф-^-л(ф) по формуле
л (ф) = (rot и, ф) —(м, rotO), (4.8)
где « — заданный элемент из Я (rot; й) и
(А ё> = j figidx- (4.9)
я
Отметим, что правая часть (4.8) не зависит от выбора Ф (при
условии, что ф|г = ф). Действительно, если Чг —другой вектор,
такой, что Т := (Я1 (Й))3, ’Р'г = Ф> то
ф-Т = ее(ЯЦЙ))3
815
и поэтому
(rotn, 9) = («, rot 6).
Отображение <p->n(cp) является линейным и непрерывным
на (Нх/2 (Г))3, следовательно, оно имеет вид
Л (<р) = (<*«» <р)г, оя<=(Я-1/2(Г))3, (4.10)
где ( , )г —обозначение скалярного произведения между (№/2(Г))3
и (Я-'/2(Г))3.
Заметим, что отображение и->о„ линейно и непрерывно из
Я (rot, Й) в tf-V2(D3. Но если ие(Ск(й))3, то
(rotn, Ф) —(и, го1Ф) = $(пДи)<рЛГ, (4.11)
Г
следовательно, если и е(Ск(й))3, то аи = п/\и, откуда следует
заключение леммы.
Благодаря лемме 4.2 можно ввести замкнутое в Н (rot, й)
подпространство
Но (rot; й) = {и i v е Н (rot; й), пДо = 0 на Г}. (4.12)
Определим также пространство
Х = {<ре(Ск(й))3!пД<р = 0 на Г}- (4.13)
Лемма 4.2. Пусть выполнены условия леммы 4.1. Тогда X
плотно в H0(rot; й).
Доказательство. Функцию ue//0(rot, й) продолжим
нулем в R3 и обозначим продолжение через й. Тогда, если
Фе(^(Р3))3, то* 1)
(rotfi, ф)Кз = (й, rotO)R» = (w, rot <р)я =
= (rotu, <р)а —(пДп, <p)r = (rot«, <р)й
(так как пДи = 0 на Г), поэтому rot (й) = (rot й) <= (L2 (R3))3, сле-
довательно, элемент U^H(rot; R3) имеет компактный носитель
в Й. Как в доказательстве леммы 4.12), запишем
ч
й = а<й4-«0,
1 = 1
где u0<=H(rot; R3) с компактным носителем в й и поэтому
доказательство достаточно провести для afi = w при каком-либо
1 = 1, .... q.
Теперь, как и в (4.5), применим параллельный перенос, но
если в (4.5) направление переноса «из Й наружу», то здесь мы
А) Индексы обозначают области интегрирования. Через <р мы обозначаем
здесь сужение Ф на Q.
2) Доказательство, приведенное здесь, аналогично доказательству теоремы
1 в работе Хермандера [1].
316
движемся «в Q снаружи». Рассмотрим последовательность tn е R3
такую, что
|/„|->0, (^П2)+/Ясй, (4.14)
и определим wn по формуле w„(x) = w(x — tn). Заметим, что
wn^ Н (rot; R3) и имеет компактный носитель в Q.
Таким образом, мы аппроксимируем wn (в смысле Н (rot; Q))
элементами из (^ Ю))3. Лемма доказана.
Замечание 4.2. В действительности мы доказали утверж-
дение более сильное, чем сформулированное в лемме, а именно:
(Q)3 плотно в //0 (rot; Q). (4.15)
4.2. Оператор «Слабая» постановка задачи.
Пространство Положим
^=(L2(Q))e = (L2(Q))3 х (L2(Q))3. (4.16)
Если Ф = {ф, ф} <=е%’ (где фе(£2(Й))3, ф<= (A2(Q))3) и если
Ф* —{ф*> положим
(Ф, Ф*)^ = (еф, ф*) + (Й> Ч5*) (4-17)
(здесь использовано обозначение (4.9)). Поскольку функции е и
р ограничены в Q и удовлетворяют условиям
inf е > 0, inf р > 0, (4.18)
то скалярное произведение (4.17) эквивалентно «обычному» ска-
лярному произведению
(ф. Ф*) + ('1’> t*)-
Замечание 4.3. Поскольку окончательный результат (тео- •
рема 4.1) не з а в и с и т от скалярного произведения, то выбор ска-
лярного произведения в виде (4.17) не является, конечно, абсо-
лютно необходимым, но приводит, однако, к упрощению доказа-
тельства, так как, например, свойство (4.24), указанное ниже,
зависит от вида скалярного произведения в
Область О(г^). Прежде чем переходить к неограниченным
операторам в введем область определения D(a^) опера-
тора
О(е^) = {ф|ф = {ф, ф}е^Г,
rot (вф) е (А2 (й))3, rot (рф) е (А2 (О))3,
пДф = 0 на П- И (4-19)
Замечание 4.4. Покажем, что определение (4.19) имеет
смысл. Для этого необходимо придать смысл п Д ф. Так как
317
функция постоянна в окрестности Г, то существует открытое
множество QjC й (как на рис. 25) такое, что Г принадлежит
границе области йх; тогда
ФЕ Н (rot, йх), (4.20)
и поскольку граница c?Qj области йх содержит Г, то (вари-
__________ ант леммы 4.2)
С\ п Л ф е (Я-1/2 (Г))3; (4.21)
\ \^ ) / следовательно,
У. q>-+n Д ф — линейное непрерывное отобра-
д----’ жение Я (rot; Йх)(Я-1/2 (Г))3. (4.22)
2 у
s'Х^з Оператор orf. Определим
( Я3 ) А
X е^Ф = {—rot (рф), rot(e<p)}, (4.23)
Рис. 25. где Фей (е^), е^Ф е <&.
Лемма 4.4. Область D(os£) плотна в и оператор erf
замкнут. Кроме того,
<^* = — <2^, D(erf*) = D(erf). (4.24)
Доказательство. Введем обозначения
Ф' = {ф', ф!'} — сужение Ф = {ф, ф} на й(, г = 1, ..., q;
(л (Qz))e = {ф । ф« е (<^ i = 1, ., qy
Очевидно, что (л^ (йг))в плотно в и содержится в D (erf)
следовательно, D(e^) плотно в sJT.
Докажем, что оператор erf замкнут. Возьмем последователь-
ность Фу Е0(е/), где Ф/ = {ф/, ф/}, такую, что Фу^Ф в ей? и
о^Фу-^Т в «йГ. Тогда ф/—* ф, ф/—> ф в (Л2(й))3 и гоЦрфу),
rot(e<py) сходятся в (Ь2(й))3. Но rot (p%)->rot (рф) в (^'(й))3,
rot (е<ру) -> rot (е<р) в (^' (й))3, следовательно,
rot (е<р) е (L2 (й))8, rot (рф) е (L2 (й))3.
Более того, фу-хр1 в Я (rot; Йх) и поэтому (ср. с (4.22))
цДфу-хгДф1 в (Я-1/2(Г))8. Так как п Д<р) = О на Г, то
nA<px = 0 на Г, откуда получаем ФеО(®/).
Заметим, что можно описать область D(e^) следующим об-
разом:
Ф = {<р, ф} е D если и только если выполняются следующие
условия:
rot <р;, rot фг е (L2 (й;))3, р/п Д ф* = р/п Л на Sy,
e/П Д q>f = буп Д ф( на Sy, /гДф1 = 0наГ, i, / = 1. (4.25)
318
Пусть Ф»еЙ(г/*), т. е. Ф* — элемент из такой, что
линейная форма
Ф->(а^Ф, Ф«)^
непрерывна на D (а^) в топологии, индуцированной из
Поэтому форма Ф->(а^Ф, Ф*)^- непрерывна, в частности,
на (л^ (й/))в в топологии, индуцированной из Но, если
фе (л& Ш<))в, то
(а^Ф, Ф*) = — У, (М‘‘> rot(eM))o< + £ (W. rot(M4))fi/
i i
(где через (-,.)а. обозначено скалярное произведение по области
й/), откуда следует, что
rot (е^) е (L2 (Й ,))3; rot (Дл|4)е № (й О)3»
или
rot q>i е= (L2 (Qz))s, rotiK«=(L2(Q))3. (4.26)
Поэтому в силу леммы 4.2 можно определить п Л п Л Ф»
на и Г.
Выберем теперь Ф = {<р, ф} из D (а/) так, чтобы Ф‘ е (Ск (й))в.
Так как тогда выполняются условия (4.25), то
(а/Ф, ф*) = — 2 (rot (М“')> ШЦ + .2(Г0НМ>‘')> =
i i
= — $(яД ФОф^нл^/Н- $ (« Л фОФ&МЕу-
2,7 л 2/7
- $ (я Л Ф1) Ф*®1Р1 dV — (р,ф, rot (еф*)) +
+ (вф, гоЦрф*)). (4.27)
Согласно (4.26) объемные интегралы в (4.27) непрерывны
по Ф в топологии, индуцированной из и, следовательно,
такое же утверждение справедливо для суммы поверхностных
интегралов:
$ ((и Л ф&Д - (п Л ФО ф^ру) d2y,
5 ((яЛф‘‘)Ф/Лн<-(яАФ/)Ф/ЗА)^2у» (4.28)
2/7
\(п /\ ф1) ф^Амг
г
непрерывны в топологии, индуцированной из
В силу условий (4.25) первый интеграл в (4.28) равен инте-
гралу
— $ {е/яДф^-еуяАф^А/ф7^.
319
Последний непрерывен в топологии, индуцированной из sST, если
и только если
^Дф^ = еуиДф/ на
Аналогично, рассматривая второй интеграл в (4.28), получим
равенство ix/ftA1!5* —на Sy и, рассматривая интеграл
в (4.28), — равенство пДф1 = 0 на £. Следовательно, ф* eD(e^)
и <гт£Ф* = — erfФ. Обратно, если
(е^Ф, Чг^= — (Ф, е^¥)^. УФеОИ),
то Y eD (<г^), откуда следует (4.24).
Определим ,
е^ф = {оеф, 0}. (4.29)
Очевидно, что
«ЯГ). (4.30)
Задача. Найти вектор-функцию U = {D, В} такую, что
Ue=lS(0, Т\ <ЯС), (4.31)
т
J ((/, — (U, Н- (®^'^ > j dt ~
° т
= $(G, <D)^dt + (U0, Ф(0))^- УФ, (4.32)
о
где
ФеА2(0, Т; D(s^)), дФ/д/е=£2(0, Т; «ST), Ф(Т) = 0, (4.33)
G = {GX, G,}eL2(0, Г; «%"), (4.34)
U0 — {De, В0}«=еГ. (4.35)
Лемма 4.5. Задача (4.31), (4.32) есть «слабая» постановка
задачи (3.20) — (3.24).
Доказательство. Действительно, предположим, что U =
= {£>, В} —решение задачи (3.20) — (3.24). Пусть Ф = {ф, ip} имеет
свойства (4.33). Возьмем скалярное произведение выражений
(3.20), (3.21) с ёф и pi|) соответственно, тогда при помощи инте-
грирования по частям получим (4.32).
В п. 4.3 мы решим задачу (4.31), (4.32), затем в §§ 5, 6 обсу-
дим существование «сильных» решений этой задачи.
4.3. Существование и единственность слабого решения.
Теорема 4.1. Задача (4.31), (4.32) имеет единственное решение.
Доказательство существования. Заметим, что ото-
бражение
ф = |ф, •ф}_>(ф, rot (вф), rot (р/ф))
позволяет нам отождествить D (е^) с замкнутым подпространстве»»
пространства (L2 (й))12, откуда следует, что D (е^) сепарабельно.
Пусть Фх, ..., Фщ, ... — «базис» в О(е^) в обычном смысле:
320
Vm Ф1> ...» Фт линейно независимы и конечные комбинации
S£/D,-, E/sR, плотны в D(a^). (4.36)
Доказательство проводится методом Галёркина. Сначала ищется
«приближенное» решение Um уравнения (4.32), т. е. решение
ит (О ЕЕ [Фр .... Фт] (здесь через [Фх...Фот] обозначено про-
странство, порожденное элементами Фх,..., Фот) следующей задачи:
((/да (О» Ф/)^’ + (®^^т(0» Ф/)а%Л + (®^^т(0> =
= (G(0, Ф/)^, (4.37)
t/m(0) = Uот* U от ,Фр •••> Ф/n]» От *“** и0 в «ЯГ. (4.38)
Функция Um определена единственным образом на интервале
[О, Т]. Пусть
t4(0 = S ^И(0Ф/.
/=1
Умножим уравнение (4.37) на kjm(t) и просуммируем на /.
В силу (4.24) и равенства
Um(t))^ = O
получим
+ = (4.39)
откуда в виду (4.30)
44^ ® 8 (0 Сг+8 G (0 Ur 8 и<п (0 Ur. (4.40)
Обратно, так как то
I Um (0 < С3 + М | (4 (О) dO
о
и, согласно лемме Гронуолла,
(4.41)
где константа с не зависит от т. Поэтому можно выбрать под-
последовательность такую, что
U^U *-слабо в L°°(0, Т\ (4.42)
Пусть
ГИо
>= ।
где
£уе=СЧ[0, Л)> 1/(Л = 0. (4.43)
11 Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе 321
Полагая m = p., умножим (4.37) на £/, Суммируя
по / и интегрируя по частям, ввиду (4.24) получим
о
Ч (G’ ^dt + tu^, Т(0))^. (4.44)
о
В силу (4.42) и (4.38) мы можем перейти в уравнении (4.44)
к пределу. Таким образом, получим существование вектор-функ-
ции U, удовлетворяющей условию (4.31) и уравнению (4.32) при
любой функции Ф = Т вида (4.43).
Но, если Ф'имеет свойства (4.33), то ввиду (4.36) можно найти
последовательность Т* функций вида (4.43) такую, что
ТЛ->Ф в L2 (О, Г; D (е^)), d4kldt->дФ/dt в L2 (0, Т; «%•’),
следовательно, уравнение (4.32) выполняется при любой функ-
ции Ф со свойствами (4.33).
Доказательство единственности. Рассмотрим урав-
нение (4.32) с G ==0, Uo = 6. Продолжим U нулем в полуплоскость
/<0 и полученное продолжение обозначим через U.
В уравнении (4.32) положим Ф = |ЧГ, где | — сужение на
[О, Т] функции Ее^(—оо, Т). Тогда в смысле распределений
^'(—оо, Т) справедливо равенство
d(U, ^^ = 0.
Если мы продолжим теперь 0 нулем для t>T (обозначим
полученное продолжение также через 0), то в этот раз получим
равенство в смысле распределений (R/):
d({7, ^4^ +И#, 4f)a5r=c6(/-T). (4.45)
Пусть pe^(R() имеет носитель в [0, е]. Тогда из (4.45) следует
(4- (0 * р), - (# * Р, + (®^ Ф #р), Т) =cp(f - Г), (4.46)
откуда (так как р(/ — Т) — 0 при t^T)
^-(^*рю. ^)^+
+ (®^((7*р(0), 4^ = 0, (4.47)
Но из (4.47) следует, что форма
Ч'-^({7*р(/),
322
непрерывна на D в топологии, индуцированной из Сле-
довательно, 0 * р (f) & D и в (4.47) можно положить Т =
=={7*р(/). Положим U*р (t) = w(/). В силу (4.24) получим
/<Т-
Так как ш = 0 при /^0, то ®з0. Следовательно, (7*р = 0 Vp,
t<T, поэтому (/ = 0.
4.4. Непрерывная зависимость решения от диэлектрических
констант и от магнитной проницаемости.
Введем последовательность {&, р/} со свойствами:
ё/2гс1>0, p/ 3sc2>0 почти всюду в Q
(здесь U, р/ —кусочно постоянные функции, причем е/= const
в окрестности Г);
р/->р почти всюду в О, (4.49)
и последовательность {о/} со свойствами:
ст^ ограничены в £°° (й), ст^-^-ст почти всюду в £2, (4.50)
где ё, р, ст определены в предыдущих пунктах.
Пусть и Mi — операторы, аналогичные операторам arf,
М и соответствующие {еЛ pz}, {<^}. Пусть 1^ —решение задачи,
аналогичной задаче (4.31), (4.32).
Теорема 4.2. При условиях (4.48), (4.49), (4.50)
W-+U .-слабо в Т; ^Г). (4.51)
Доказательство. Пусть Um — решение задачи (аналог
задачи (4.37))
Um (/), + (&^fUm (t), +
Ф4)^ = (6(0. (4.52)
Тогда (здесь мы используем только лишь условие (4.50), так как
член с исчезает)
ll^(olbr^c’
где константа с не зависит от т и /. Таким образом,
Uf ограничены в L°°(0, Г; nW). (4.53)
Следовательно, можно выбрать подпоследовательность (также
обозначим ее через U1) такую, что
*-слабо в L°°(0, Г; «ЯГ). (4.54)
323
11»
Мы получим утверждение теоремы, если покажем, что U* —
решение задачи (4.31), (4.32), т. e.U* = U. Введем функцию Фх
со свойствами:
Ф>еЛ2(0, 7; D (&>&)), (ф/)'е£2(0, 7; «%"), Ф'(7) = 0. (4.55)
Тогда
т
${(1/А (ф/)')^-^, е^/ф/^ + ^Т//, =
т
= $(G, Ф/)а%Л ^ + (^о, (0))q%^" (4.56)
о
Предположим, что справедлива
Лемма 4.6.' Пусть функция Ф удовлетворяет условиям (4.33)
и Ф'еА2(0, 7; D(<a^)). Тогда существует последовательность
|ф/} функций, удовлетворяющих (4.55), такая, что
Ф/->Ф в
(ф/)'_^ф' в /л(0, т-, Ж),
е^/ф/^-е^ф в £2(0, Т; (4.58)
В силу (4.54), (4.57), (4.58) можно перейти в (4.56) к пределу
по /. Таким образом, U* удовлетворяет (4.32), так как простран-
ство функций Ф со свойствами, указанными в лемме 4.6, плотно
в пространстве функций Ф со свойствами (4.33). Отсюда утверж-
дение теоремы следует, если только верна лемма 4.6.
Сначала мы докажем другую лемму, представляющую и само-
стоятельный интерес.
Лемма 4.7. Пусть f задана в Существует единствен-
ная функция U eD такая, что
(^+k)U = f (4.59)
и
(4.60)
где 1>0.
Замечание 4.5. В силу леммы 4.7 оператор erf является
инфинитезимальным производящим оператором сжимающей полу-
группы В а/?’(см. § 10).
Доказательство леммы 4.7 проводится методом Галёркина.
Пусть Ф1( ..., Фт, ... — «базис» в D(a^). Пусть ...
..., Фт] — решение системы
((г^4-Х)1/т, ФД^ = (А Ф^, X^j^m. (4.61)
Система (конечномерная) уравнений (4.61) имеет единственное
решение. Если (/т = ^Ф/, то умножая (4.61) на и суммируя
по /, в силу равенства ит)^ = 0, получим
^l!^m|^ = (/.
т) Здесь важен выбор нормы в
324
откуда S [ Лд%^- Поэтому можно выбрать последова-
тельность l/ц такую, что иц-^и0 слабо в е%^.
Положим в (4.61) т = ц и фиксируем /s^p. Тогда
%((7|л, Ф/)^ — (t/р., <а7^Ф/)е%^ = (/, Ф/)^«
Переходя к пределу, получим
Ф/)^ —®^'Ф/)е%^ = (/. Ф/)д%^
и, так как это равенство выполняется для любого /, то
^((7*, Ф)^-(^*> ®7^Ф)^=(/» Ф)^* УФеО(е/). (4.62)
Отсюда следует, что форма Ф->((/„, е^Ф)^ непрерывна на
D(&£) в топологии, индуцированной из «йГ, следовательно,
(У* eD(®/) и (4.62) можно записать в виде
((®^ + %)(/*, Ф)<2%^ = (/> Ф)д%^ УФ е 0(<г^),
следовательно, (/„. — решение (4.59) и можно положить (/ = (/#.
Так как (arfU, = то из (4.59) следует
%|(/^ = (/, U)^,
откуда получаем единственность решения и оценку (4.60).
Доказательство леммы 4.6. Определим (для почти
всех i) функции Ф7(У) как решение в О(<г^0 уравнения
(в^> + 1)ф/(0 = (®^4-^)Ф(0» (4.63)
где Х,>0.
Согласно лемме 4.7 такая функция Ф7 (t) существует и един-
ственна в Так как Ф'е(2(0, Т; О(о^)), то
(^+Х)(Ф/(/))' = (г^ + Х)Ф'(0- (4.64)
Мы получим утверждение леммы, если докажем, что
Ф/->Ф слабо в Л2(0, Т; Ж). (4.65)
Действительно, предположим, что справедливо (4.65), тогда в силу
(4.63)
т т
( ((<2^^-}-%) Ф^, Ф^)в%/’!1Ф^1!^/’^ =
о о
=$((^+^)ф, 5((^+^)Ф,
ООО
откуда т
рФП>^-И цф^^,
о о
что вместе с (4.65) доказывает сильную сходимость Ф' к Ф
в L2(0, Т; е%"). Но тогда ®^'/ф/ = (г^'4-Х)Ф — &Ф7->а^Ф сильно
325
в L2(0, Т; е^). Аналогично из (4.64) вытекает, что (ф/)'->Ф'
сильно в L2(0, Т\ е%Э и а^/(ф/)->^Ф' в L2(0, Т; <ЯГ).
Остается доказать (4.65). Из равенства (4.63) получаем
II (0 Цг < k"1 II +А.) Ф (01|^-,
поэтому
Ф> ограничены в L2(0, Т; е%”). (4.66)
Тогда можно выбрать подпоследовательность (обозначим ее также
через Ф/) такую, что
ф/->ф* слабо в L2(0, Т; <^Г). (4.67)
Докажем равенство Ф* = Ф. Если О = {9, е (^ (Q))« (где
Q = Qx(0, Т) и ( , ) обозначает скалярное произведение между
(^'(^))в и (^(Й))в и между (>'(Q))3 и (^(Q))3), то
((е^/ф/, 6)« — (rotp/ife/, 9) +(rote/ф/, х) =
= — (Д/ф/, rot б) + (^/<р/, rotx). (4.68)
Но в силу (4.68), (4.69) и теоремы Лебега имеем
(V rot 9 -> р rot 0 в (L2 (Q))3,
|/rotх-^-^rotx в (b2(Q))3.
Тогда, если Ф# = {ф#, ip*}, то из (4.68) и (4.67) следует
(s^/ф/, O)-*-(t|)#, р rot9) + (<р„, £го1х)=(®^Ф», ©),
следовательно,
в^/ф/^е^ф* в (<Г'(0)в- (4.69)
Более того, согласно (4.63) и (4.67)
®^/ф/->(е^+1)ф-1ф1|! слабо в L2(0, Т; ^Г),
откуда, сравнивая с (4.69), получим
а^/фХ-^о^ф, слабо в L2(0, Т-, ^Г)\ (4.70)
(®^ + Х)Ф# = (ет/ + %)ф. (4.71)
Таким образом, равенство Ф*=Ф справедливо, если Ф* е
sL’(0, Т; D (&£)). Докажем, что %eL’(0, Т; D(&£)). Дейст-
вительно, согласно (4.67), (4.69) и лемме 4.2
пАФ/->пЛФ* слабо в L2(0, Т; (Д-‘/2(Г))3).
Поскольку пДф/ = 0, то п/\ф* — 0. Таким образом, лемма дока-
зана.
Приложение 4.1. Предположим, что функции е, р кусочно
постоянны в различных областях Q/. На самом деле такое пред-
положение является идеализацией. В действительности функции
е, р непрерывны в £2, постоянны «внутри» каждой из и «быстро»
переходят от одного значения к другому в окрестности разделяю*
326
щих поверхностей. Теорема 4.2 показывает, что «идеальная»
задача аппроксимирует «реальную».
Приложение 4.2. Пусть
ч
й = (J Qi U 2//
z = i у
и пусть при i — i0 mesQi„->0.
Теорема 4.2 показывает, что при этом решение соответствую-
щей задачи сходится к решению задачи с областью
й = и и
§ 5. Устойчивая среда. Существование «сильных» решений
5.1. Сильное решение из D(e^).
Теорема 5.1. Пусть
G, dG/dte=L2(0, Т\ с5Г), (5.1)
1/0еО(<^ (L/0 = {D0, Во}). (5.2)
Тогда существует одна и только одна вектор-функция U — {D, В},
вляющаяся решением задачи
U^Lm(0, Т-, D(<^)), (5.3)
at//5ieL°°(0, Г; е%"), (5.4)
dD/dt — rot (цВ) + — G-l в йх]0, И» (5.5)
dB/dt + rot (e,D) = Gz в QxJO, T[, (5.6)
n/\D = 0 на Гх]0, Т[, (5.7)
0(0) = О0, В(О) = Во в Й. (5.8)
Доказательство. 1) Здесь, как и в доказательстве
теоремы 4.1, мы используем метод Галёркина. Так как Uo е D (е#),
то мы можем выбрать «базис» Фц ... , Фда,... так, чтобы
^[Фх]. (5.9)
Тогда в задаче (4.37), (4.38) можно положить Uom = Uo. Диф-
ференцируя уравнение (4.37) по t, получим
Ф/)<2%^ + (^№(0> ф/)^' +
+ (^U'm (О, Фу)^ = (G’ (0, ф/)^- (5.10)
или (используя (4.38))
(№(0), Ф/)^г = (6(0)-^О0-^О0, Ф,),
откуда
I Um (0) Il G (0) — @^ий — <г^и0 S^. (5.11)
327
Умножая (5.10) на и суммируя по /, получим
^\U'nAt)^ + WV'm(t), U'm(t))^ = (G'(t), U'm(t))^.
Последнее равенство вместе с (5.11) дает оценку
(5.12)
где константа С не зависит от т.
Отсюда следует, что слабое решение U (полученное в теореме
4.1) удовлетворяет условию (5.4) и равенству U(Q) = U0, откуда
следуют начальные условия (5.8).
2) Теперь проинтегрируем по частям (4.32). Получим
у т
J [(dU/dt, Ф)^ - (U, ®^Ф)^ + (&WU, Ф)^] dt = (G, Ф)^Л.
(5.13)
Полагая в (5.13) Фе(1)(йх]0, И))8, приходим к уравнениям
(5.5) и (5.6). Следовательно,
rot (№)=>dD/dt + oeD -G^L^O, T; L2(Q)),
rot(eD) = — dB/dt+Ga<=L'°(0, T\ L2(Q))]
и поэтому для того чтобы получить (5.3), остается лишь дока*
зать граничное условие (5.7).
Для этого рассмотрим вектор-функцию Ф = {<р, ф} такую, что
Ф принимает значения в (С}< (Й))в (см. лемму 4.1), удовлетворяет
(4.33) и, кроме того, условию /гД<р = О на Гх]0, Т[. Возьмем
скалярное произведение (5.5) (соотв. (5.6)) и eq> (соотв. рф):
(dU/dt, Ф)^-}-^ёр(пДР)фс?Г — (U, е^Ф)^ +
+ (©#£/, Ф)в^- = (С, Ф)е^*>
откуда, интегрируя по t и сравнивая с (5.13), получаем равенство
$ ер.(пД/))фб1Г dt = O,
ГХ]0. Г[
из которого следует (5.7).
5.2. Решение физических задач.
В физических примерах функция G4 обладает некоторыми
дополнительными свойствами, кроме указанных в (5.1). Для того
чтобы ясно представлять происхождение налагаемых условий, мы
докажем два утверждения, в которых выведем дополнительные
свойства В из свойств данных.
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5Л и, кроме
того,
divG2 = 0 в Йх]0, Т[, (5.14)
divBo = 0 в й. (5.15)
328
«к
Тогда
divB = O в Qx]O, Т[. (5.16)
Доказательство. Применяя оператор div (в смысле рас-
пределений) к равенству (5.16), получим (так как divrot<p = 0
и имеем условие (5.14))
d (div В)/д/= О, (5.17)
откуда в силу (5.15) следует (5.16).
Теперь мы докажем, что если п • G2 = О и п- Во — О на Г х ]0, Г]
и Г, то п-В = Ь на Гх]0, Т[. Для этого нам понадобятся неко-
торые результаты из функционального анализа, которые мы сей-
час приведем.
Введем пространство (ср. с (4.1))
Я (div; Й) = {о|ое(Р(Й))3, divu <=Л2(Й)}. (5.18)
Это гильбертово пространство относительно нормы
(I v йьча))’ +11 div v |Ь(й)),/2-
Аналогично лемме 4.1 (см. замечание 4.1) доказывается
Лемма 5.1. (С£(й))8 плотно в H(div;Q).
Лемма 5.2. Отображение
о->п-ц|г = н-о (5.19)
из (С'к (й))8 в С1 (Г) можно продолжить до линейного непрерывного
отображения Я (div; й)-> Я-1/2 (Г) (также обозначаемого через
v-+n-v).
Доказательство. Основная идея та же, что в доказатель-
стве леммы 4.2. Пусть <реЯ1/2(Г). Введем ФеЯх(й) так, что
Ф|г = <р (5.20)
и
отображение <р-»-Ф является линейным непрерывным
отображением Я1/2 (Г)Я1 (й). (5.21)
Определим
n(<p) = (diVM, Ф) — (и, divФ), (5.22)
где и^Н(div; й).
Поскольку правая часть в (5.22) не зависит от выбора Ф (при
условии, что выполняется (5.20)), то отображение (5.22) имеет
смысл.
Отображение ср ->• л (<р) является линейным непрерывным
отображением Я1/2(Г)->-Й, поэтому
п (<р) = (то, <р), та е Я~1/2 (Г), отображение и т„ — линейное
непрерывное отображение Я (div; й)->-Я_1/2(Г) (5.23)
(здесь через (,) обозначено скалярное произведение между Я-1# (Г)
и Я1/2 (Г)).
329
Но если и е (Ск (й'))3, то
л (<р) = (п и)ср dr,
г
откуда следует утверждение леммы, q
Заметим, что если G3eL2(0, Т; (£2(й))3) удовлетворяет усло-
вию (5.14), то
G2eP(O, Т; 77 (div; Й)), (5.24)
поэтому в силу леммы 5.2
п • 62 е L2 (О, Г; Я-'/2 (Г)). (5.25)
Теорема 5.3. Пусть выполнены условия теоремы 5.2 и, кроме
того,
n-G = 0 на Гх]0, Т[, (5.26)
п • Во = 0 на Г. (5-27)
Тогда
п-В = 0 на Гх]0, Т[- (5.28)
Доказательство. Из уравнения (5.6) следует, что
t А 1
В (7) J rot (eD) (o)do = B(i+\G2 (ст) do. (5.29)
о о
Поскольку rot (е£)) <= (Z.2 (Й))3 и div rot(e£)) = 0, то
rot (W) е= L2 (О, T-, 77 (div; Й)).
Следовательно, можно применить оператор v-^-nv к уравнению
(5.29). Используя условия (5.26) и (5.27), выводим равенство
t
п • В (/) + J п • rot (е • D) (о) do = 0.
о
Таким образом, мы докажем теорему, если докажем
равенство
nrot(e£))(CT) = 0. (5.30)
Так как функция е постоянна на Г, то
п rot (eD) = ен • rot D.
Поскольку
п • rot ф — производная вектора п Д ф по тангенциальному направ-
лению на Г, (5.31)
то пД£) = 0, следовательно, справедливо равенство (5.30). в
380
§ 6. Устойчивая среда. Сильные решения
в пространствах Соболева
6.1. Теоремы вложения.
Пусть й? —открытое ограниченное множество с регулярной
границей д0х). Определим пространство
X = {y|oe(L2(0))3, rotve(L2(0))8, di v у s L2 (0),
П'» = 0 на д0]. (6.1)
Относительно нормы
i! v ||х = (И v 1|2(р + И rot v ii2(p + div v l|2£2 (^))1/2 (6.2)
пространство X гильбертово.
Теорема 6.1. Имеет место (алгебраическое и топологическое)
тождество
Х=(Н1(&))3. (6.3)
Лемма 6.1. Пространство {ф | <р е (С1 (&))3, п-ф = 0 на д0\
плотно в X.
Доказательство леммы приведено в конце этого пункта.
Доказательство теоремы 6.1. Начнем с того, что
докажем для ф е (С1 (0))3 тождество
$ dx= jj (I div<p|24-|rot<p|2)dx4-
0 0
4- (fWP/,/ — n^^hl)dS. (6.4)
90
Если п-ф==0, то поверхностный интеграл в (6.4) можно запи-
сать в виде
— 5 n/<₽/<P/.idS = — $ <р(пУ(рД tdS+ J Wjnj.tdS, (6.5)
Ъ0 90 90
где мы продолжили функцию х->п(х) в окрестность д& как
функцию из С1, так что пу,/ имеет смысл.. Но так как п<р = 0,
то tyid/dxi является дифференциальным (по касательным направ-
лениям) оператором на д0 и поэтому <pj (n<p)t z-0 на д&.
Таким образом, из (6.5) следует
— $ И/ф.фу, z dS « J ^t(pfn/tldS. (6.6)
90 90
Подставляя (6.6) в.(6.4), получим
5 4>ij4i,/dx = $ (|div<p 2 + jrot ф|2)йх+ J ФДР/«/, t dS. (6.7)
0 ® W
1) Теорема верна как для ограниченных так и для неограниченных.
331
Но
5 <Pi<P/«/,/dS s£Cj 5 q>t<p,dS. (6.8)
5® d®
Более того, Ve>0 Эс(е)
$ 4>2dSsge $ tytity tdx-\-c(e) $ ф2с?х, (6.9)
d® ® ®
где феС1 (<£?). Выбирая e так, чтобы cxe = y, из (6.8) и (6.9)
получим
^(ffn^idS <jpz,/Pz,/dx + c4 |<р|2dx. (6.10)
д® ® '®
Из (6.7) и (6.10) вытекает неравенство
$ ф;,/фг jdx^2 [| div ф |2+1 rot ф |24-с21Ф |2] dx, (6.11)
® ®
из которого благодаря лемме 6.1 следует утверждение теоремы.
Здесь мы используем понятия и обозначения, введенные
в §§ 4, 5.
Определим пространство
У = {v | v е (Л2 (Q))3, div о = 0, rot (р.о) е (L2 (Q))8,
п-о = 0 на Г}. (6.12)
которое является гильбертовым относительно нормы
I! v !!у = (|| о (0». + В rot ((to) 1!Ь < о»«)1/2. (6.13)
Обозначим через v‘ сужение о на Q/ (i = 1, ..., q). Напом-
ним, что р = 1/р = const в 2г1).
Теорема 6.2. Если о е У, то
1 = 1, .... q, (6.14)
||о'||(нчйр)«^с||о||, ( = 1, ..., q. (6.15)
Доказательство. 1) Пусть функция 0eCl(Qx) такая,
что 6 = 1 в окрестности Г и 9 = 0 в окрестности 5QX\T. Пусть
о е У. Тогда
9oe(L2(Q1))3, div(9o)eL2(Qx), rot (6о) е (L2 (Qx))3,
п(9и) = 0 на dQx
и, следовательно, согласно теореме 6.1
9о е (Я1 (Qx))3. (6.17)
1) Функция ц постоянна в окрестности Г.
332
2) Полагая ро = м, получим
и е (L2 (й))3, div (pu) =0, rot (u) e (L2 (Й ))3,
n-u = 0 на Г; (6.18)
ue(//‘(0i))s. (6-19)
где — окрестность Г f| ЙР
Тогда можно продолжить и в R8 таким образом, что
w е (Я1 (<^г))3, w = u в Й, (6.20)
где ^ — окрестность й в R3. Через w обозначено продолже-
ние и в R3. Положим
f = rotw (6.21)
и определим вектор-функцию 4е = {Фи У2, Т8} с помощью преоб-
разования Фурьег) следующим образом:
^=2Sib(^8“^a)- (6‘22)
Тогда из формулы, которая выводится из (6.22) циклической
перестановкой, получим
rotT=f, (6.23)
ОТ/Ох/е (L2)3, (6.24)
где L2 = L2(R3). Тогда rot (w — Ф) = 0, поэтому
= Ф = grad Р, dPldxi^L^. (6.25)
Обозначим через ф (соотв. р) сужение Ф (соотв. Р) на й. Из
(6.25) следует, что
u —i|> = gradp, (6.26)
откуда (так как div(p«) = 0 в й)
div (р grad р) div (рф) = 0. (6.27)
Обозначая через р' (соотв. ф<) сужение р (соотв. ф) на й;,
получим
div (р; grad pz) +div (р(ф9=0 в йг. (6.28)
Более того, выполняются следующие условия на границах и
на контактных поверхностях:
др!дп — — n-ф на Г (6.29)
(так как п • и = 0 на Г) и • щ = руП • uf на Sy (так как div (ри)=0
в й), где Sy —общая часть границ множеств й; и йу.
Следовательно,
^idp/dn — p.jdp[dn = (ру — пф. (6.30)
i) См, определение в п, 3.2 гл, I.
333
Но в силу (6.24) (рис. 26)
я$е//^(Г) и ифеД1'2^). (6.31)
Из (6.28)—(6.30) и регулярности решений задач с кусочно непре~
рывными коэффициентами следует, что
д^рудх/дхь е L2 (Qt) У}, k, (6.32)
откуда в силу (6.26) и равенства 1у = |л;и; получаем утверждение
теоремы, ц
Доказательство леммы 6.1. Лемму 6.1 можно переформу-
лировать следующим образом: пространство {<р е (№ (<^))31 п • <р =0
на д®\ плотно в X. Так как для иеХ и фе^(^) цфеХ,
то в действительности это свойство локально и ситуация сводится
к следующей. Введем «локальную карту» (рис. 27), т. е. открытое
множество G и диффеоморфизм G -> Q+, где Q+ = S х Ы. Ц. S =
= ]0, 1[х]0, 1[, без ограничения общности можно считать, что
вектор нормали к d@[\G переходит в вектор, направленный по
оси у9. Пусть Р; (1 4) —образы при отображении 8 диффе-
ренциальными операторами rot (три компоненты) и div; тогда
Pj<p = p//fed<p7/dxft (6.33)
и можно положить
Рзз=!- (6.34)
Рассмотрим сначала вектор-функцию us X с носителем
(в G(]®), как указано (заштрихованная часть) на рис. 27, и ее
образ w при отображении 0. Тогда w е Y, где
У=(Ф <pe(P(Q+))3, Р|<реД(<?+). <₽з = 0 на S}*)
(так как v — касательный к д®, то w касательный к S).
Более того, w имеет носитель такой, как указано (заштрихо-
ванная часть) на рис. 27, т. е. функция w равна нулю в окрест-
I) Y является гильбертовым пространством относительно нормы
Ф £(£,« W+))3 + S i ^<ф 11* (Q+)j111.
334
ности #3=1 и dSx]O, 1[. В этом случае будем говорить, что w
удовлетворяет условию (S).
Задача заключается в следующем:
Аппроксимировать (в смысле топологии пространства У) век-
тор-функцию wsY, удовлетворяющую условию (S), элементами
пространства
| <pe(№(Q+))3, фз = 0 на S, <р удовлетворяет условию (S)}.
Проведем регуляризацию по тангенциальным переменным ylt у2.
Введем последовательность рт = рт(у1, у2) такую, что
p'ne^r(R^,J/s), ртЗзО, $pOT(z/i, yjdyidy^l,
supp pm ge {(#!, y2)yl+yl<:i/m}.
Определим последовательность {ф”1} по формуле
фт = ®*рт (6.35)
(т. e. фт(//) = ^(уг — %i, у2 — Х2, y9)pm(li, Т0ГДа
^еР(0, 1; ЯЧ2)) (6.36)
и фт удовлетворяет условию (S) и равенству ф" = 0 на S. Кроме
того, согласно лемме Фридрихса (см. Фридрихе [2]) фт->да
в Y. Ввиду (6.34)
^/dz/3eL2(Q+). (6.37)
Из (6.36) и (6.37) следует
^e/P(Q+). (6-38)
Фиксируя т, приходим, таким образом, к следующей задаче:
Пусть задана функция ф, обладающая следующими свойствами:
ф;е/?(0, 1; №(%)), i=l, 2, ^>3eH1(Q+), ф3 = 0 на S,
ф3 удовлетворяет условию (S). (6.39)
Требуется аппроксимировать ф (в смысле Y) элементами <р из
Можно положить фз = ф3. Пусть ф ={ф1, ф2}, тогда
ЛФ = С/Ф + Рза5Фз/^а> (6.40)
поэтому в силу леммы 4.1 и замечания 4.1 достаточно аппрокси-
мировать ф элементами ф в следующем смысле:
Q/Ф-^Ф в (L2(Q+))2,
Л А (6.41)
Ф->Ф в (L2(Q+))2, <pE(/P(Q+))«,
где функции $ равны нулю в окрестности #8 = 1 и дХх]0, 1[.
6.2. Регулярность решения.
Теорема 6.3. Пусть выполнены условия теоремы 5.3 и, кроме
того, предположим, что граница Г и поверхности раздела»
335
дважды непрерывно дифференцируемы. Тогда, обозначая через Вг
сужение В на Q/, имеем
В‘<= £°°(0, 7; (Ях(^))8)- (6.42)
Доказательство. Согласно теоремам 5.1, 5.2, 5.3 в обо-
значениях (6.12) имеем
Bg=L°°(0, Т; У), (6.43)
где пространство У определено в (6.12), так что (6.42) есть след-
ствие теоремы 6.1. Так как Н1 (Qt) cz Le (Qz) по теореме вложения
Соболева (см. С. Л. Соболев [1]), то из (6.42) следует
В-'е£“(0, Т-, (£в(ЙЖ (6.44)
Этот результат существенно используется при изучении магнито-
гидродинамических уравнений (см. Дюво, Лионе [7]).. в
6.3. Регулярность решения (D).
Теорема 6.4. Пусть выполнены условия теоремы 6.3 и, кроме
того, предположим, что
ее = const в Q (например, <т = 0), (6.45)
divG^O, (6.46)
div£>0 = 0. (6.47)
Тогда, обозначая через D1 сужение D на й/, имеем
Dl<=Lm(b, Т-, (/Л(^))3)- (6.48)
Доказательство. Применяя оператор div к (5.5), в силу
(6.45) получим
д (div D)/dt + ое div D = div Gj,
откуда
divD —0. (6.49)
Рассуждая аналогично п. 6.1 и п. 6.2, получим (6.48). За
деталями мы отсылаем читателя к работе Бардос [1]. в
§ 7. Щелевые антенны. Неоднородные задачи1)
7.1. Постановка задачи (см. п. 3.4).
Задача заключается в следующем:
Найти вектор-функции D и В такие, что2)
dD/dt - rot ((IB) + aeD = Gt (где div Gx = 0) в Q x ]0, T[, (7.1)
dB/dt + rot (eD) = G2 (где div G2 = 0) в Q x JO, T[, (7.2)
n-B = g, n/\D = h на Гх]0, T[, (7.3)
div В = 0, (7.4)
В(О) = Во, £)(O) = Do (где divBo = 0, divDo = O) в Q. (7.5)
i) Для понимания дальнейшего чтение этого параграфа не обязательно.
2) Здесь мы несколько обобщаем задачу из п. 3.4.
336
Замечание 7.1. Задача «неоднородна» ввиду граничных
условий (7.3).
Замечание 7.2. В формулировке задачи из п. 3.4 мы
полагали
л-+ ядра), (7.6)
Gi = 0, (7.7)
G2 = 0. (7.8)
7.2. Результаты.
Определим на Г функцию
<pt = q> —п(п.<р). (7.9)
Оператор ф->п-го!ф|г можно тогда записать в виде
п • rot ф |г = <2фт, (7.Ю)
где Q — дифференциальный оператор первого порядка, танген-
циальный относительно Г.
Теперь мы выведем (пока формально) необходимые условия
существования решения задачи (7.1)—(7.5).
Заметим, что условие n/\D = h можно заменить на следующее
(эквивалентное) условие:
£>Т = Л* на Гх]0, Ц. (7.11)
Из уравнения (7.2) следует, что
d(n-B)/dt + n rot(&D) = nGz на Г,
откуда, в силу (7.10), получаем равенство
д (nB)/dt + eQDx = nG2,
из которого следует
dg/dt 4- eQft* = п • G2 на Гх]0, Т[. (7.12)
Так как n-Dt = 0, то из (7.11) получаем, что
п/ц=0 на Гх]0, Л- (7-13)
Более того, если divB = 0, то J п- Bd(dQ) = 0, поэтому
ая
\gdS-0. (7.14)
г
Окончательно ввиду равенства n-B(Q)=g(0) получим
л-Во = 5(0). (7.15)
Мы докажем (формально) следующее утверждение:
Пусть {D, В} —решение уравнений (7.1), (7.2), удовлетворяю-
щее условию
n/\D = h на Гх]0, Л (7-16)
337
и начальным условиям (7.5). Если выполняются равенства (7 12)—
(7.15)1), то {£>, В} является решением поставленной задачи, т. е,
удовлетворяет условиям (7.3), (7.4).
Действительно, из уравнения (7.2) следует
д (п B)[dt 4- sQA* = nGv
откуда, согласно (7.12),
д (п-B)/dt = dgldt,
и в силу (7.15) получаем равенство n-B=g, которое вместе
с (7.16) составляет граничное условие (7.3).
Приведем теперь другую (эквивалентную) постановку задачи
(7.1)—(7.5).
Допустим, что существует вектор-функция Р такая, что
Р, dP/dt L2 (0-, Т; (7.17)
divP = 0, РТ = А* на Гх]0, Г[.
Пусть
D*=D —Р, (7.18)
тогда однородная задача
dD*/dt — rot ((!B)4-creD* =Gl — dP/dt — оёР = GX, в Qx]0, T[,
dB/d/4-rot (e£>) = G2 — rot (&Р) = G2 в Q x ]0, T[,
n{\D = 0 на Гх]0, T[, (7.19)
D*(O) = Do-P(O), B(O) = £o в Q
эквивалентна задаче (7.1) —(7.5).
Будем говорить, что задача (7.1) —(7.5) имеет (единственное)
«слабое» решение, если задача (7.19) имеет (в смысле леммы 4.5)
(единственное) «слабое» решение.
В п. 7.3 доказывается следующая
Теорема 7.1. Предположим, что
GP G.2gL2(0, T;(P(Q))3), (7.20)
h*, dh*/dt<=L3(0, Т;(Нг'г (Г))3), (7.21)
g<=L3(G, T; //-^(Г)) (7.22)
и выполняются условия (7.12), (7.13), (7.14). Тогда задача (7.1) —
— (7.5) имеет единственное «слабое» решение.
7.3. Доказательство теоремы 7.1.
Согласно рассуждениям, проведенным в п. 7.2, доказательство
теоремы сводится к доказательству следующей леммы.
Лемма 7.1. Пусть выполнены условия теоремы 7.1. Тогда
существует вектор-функция Р, удовлетворяющая условиям (7.17).
Доказательство. Введем пространство
1 = {<р|фе=(Д1 (Q))3, ф = 0 на Г, Шуф = 0}. (7.23)
х) Мы предполагаем также, что divG2=0, divBo=O.
338
Пространство Z замкнуто в (Я»(П))3.
Отметим, что
Ф|ге2, (7.24)
где через <р |г обозначен «след» на Г функции ф, а пространство
2 = {ф|фе(Я1/2(Г))3, $л.ф4/Г = 0} (7.25)
г I
замкнуто в (Я1/2(Г))3.
Согласно работе Каттабрига [1] существует отображение
ф-э-е^ф, линейное из I в Z и такое, что
е^ф|г = ф. (7.26)
Определим теперь
Р (t) = еЯТг* (/), t g= [0,Т]. (7.27)
Согласно (7.13) /i*, dh*l dt eL2(0, T\ В) и, так как e%’eJ5’(^,
Z), то P, dP/dt <=L2 (0, T; Z), поэтому выполнены два условия
из (7.17).
Ввиду (7.26) Р|г = Л*, поэтому Рх — Р — п(пР)=Н* — n(nh*) =
= h*. Таким образом, выполнены все условия из (7.17).
Замечание 7.3. Можно было бы вывести необходимые и до-
статочные условия существования «сильных» решений или, напротив,
более общих решений (транспозицией) (но, как нам кажется,
в литературе по этому поводу ничего нет).
Относительно систематического изучения неоднородных задач
(не содержащих уравнений Максвелла) для параболических систем
и некоторых гиперболических систем (например, хорошо поста-
вленных в смысле Петровского), см. Лионе, Мадженес [1].
§ 8. Поляризуемая среда
8.1. Существование и единственность решения вариационного
неравенства, связанного с уравнениями Максвелла.
Здесь используются обозначения из § 4.
Пусть заданы G = {G1( G2} и t/0 = {£>0, Во} с условиями (как
в теореме 5.1)
G, dG/d/«=Z,2(0, Т; <£Г). (8.1)
L/osD(a/). (8.2)
Определим множество
/< = {<р | <р е (L2 (й))3, е | ф (х) | sg почти всюду в Q}, (8.3)
где
— функция > 0, кусочно постоянная или, более точно:
— константа в областях, где постоянны
функции е и р. (8.4)
339
Замечание 8.1. С физической
интерес случай (рис. 28), когда
точки зрения представляет
йз,
Й1 U й2,
(8.5)
где dQ — константа; тогда
Рис. 28.
множество /< можно определить сле-
дующим (эквивалентным) образом:
К = {<р|<ре(L* *(Й))8, ё81ф(х)|<d0
почти всюду в й8}. (8.6)
Здесь й = R3.
Справедливо утверждение:
— выпуклое замкнутое множество в
(L4Q))3. (8.7)
В п. 8.3 будет доказана
Теорема 8.1. Пусть заданы G и Uo со свойствами (8.1),
(8.2). Предположим, что
и1)
(8.8)
rot rot (eD0) (Ь8 (й))8, иДпЯ(еЬо) = О на Г,
п/\Во — 0 на Г, rotrot(pBo) «=(£8(й))8,
n/\rot(pB0) = 0 на Г. (8.9)
Тогда существует единственное решение {D, В} следующей
задачи:
D, BeLa(0, T-,(L* (Й))8),
dD/dt, dB/dteLm(0, Т;(£8(Й))8), (8.10)
D(t)<=K, /е[0, Т], (8.11)
rot(eD)e=L“(0, Т;(£8(Й))8), (8.12)
пДГ> = 0 на Гх]0, Т[, (8.13)
(dD(t)/dt, 8(ф-£>(0)) + (овР(/), 8(ф-Р(0))-
— (ДВ(0, rot(e(V-D(0))>(Gi(0, в(ф-Р(П))8) (8.14)
Уфе К такого, что rot (вф) е (L8 (й))8, и пДф = 0 на Г,
dB/dt + rot (eD) = G2, (8.15)
D(0)=Do. B(O) = Bo. (8.16)
x) При рассмотрении «слабых» решений задач для поляризуемой среды эти
условия можно исключить.
*) Здесь (/, g)—jjigidx.
340
Замечание 8.2. Если divG2 = 0 и п-Во = О, то из (8.15)
следует:
div 5 = 0, (8.17)
га-В = 0 на Г. (8.18)
Прежде чем доказывать теорему 8.1, покажем, что эта теорема
обеспечивает разрешимость задачи для поляризуемой среды.
8.2. Интерпретации вариационного неравенства. Решение задачи
для поляризуемой среды.
Интерпретация, которую мы даем, несколько формальна. Если
rot (цВ) е (В2 (Й))3, то вариационное неравенство (8.14) можно
записать в виде
(F(0, 8(<p-D(0))>0 V<p<=K, (8.19)
где
F (0 = dD (t)/dt + oeD (0 - rot (pB (/)) - Gj. (t). (8.20)
Ho (8.19) эквивалентно неравенству
F (x, t) • e (<p (x) — D (x, 0) S5 0 V<p e К
или
F(x, t)-(k — £D(x, 0)>0 V/:eR3: |Jfe|O0/,
если xeQf1). (8.21)
Следует различать два случая:
1) s|D(x, тогда F(x, t) = 0,
2) 11D (x, t) | = &oi-, тогда существует функция (х, t), удов-
летворяющая условиям
ХДх, F (х, /) =—Хг(х, t)&D(x, t),
т. е.
dD (х, t)/dt + (а(х, f)) ё£> (х, t) — rot цВ (х, t) =
= G!(x, t), Xz(x, (8.22)
Эта задача содержит задачи для поляризуемой среды.
8.3. Доказательство теоремы 8.1.
8.3.1. Доказательство существования. Мы будем применять
следующие методы:
1) метод регуляризации (чтобы получить операторы параболи-
ческого типа);
2) метод штрафа (чтобы получить уравнения).
Определим пространство V следующим образом:
Г = {ф|ф = {<р, ф}, <ре=(В2(Й))3, фе(В2(Й))3,
rot (е<р) е (В® (й) )3, rot (цф) е (В2 (й) )3, п Д <р = 0 на Г}. (8.23)
i) ^0 = ^0/ в Qt.
341
Для ФбЕ^, Ф*={ф*, ф#}еЕ^ положим
((Ф. Ф*)) = (rot (8ф), rot (^4,)) +(rot (ЯН гоЦЯф*)). (8-24)
Заметим, что V — гильбертово пространство относительно нормы
Iф -(I <Р (Q) )*+11Ifc (0))? + ((ф, ф)) )1/>. (8.25)
Введем теперь оператор штрафа 0: (L*(Q))3->(LS(Q))3, свя-
занный с множеством К, т. е.
0 — ограниченный, монотонный и непрерывный по Липшицу
оператор из (L2(Q))3 в (L2(Q))3, р(ф)=0«фе/(. (8.26)
Например,
0 (Ф)(х) =
е/ 1Ф<(*)| ’
если х s Qz, I/! Фг (х) [ 3® ^ог;
О, если х е Qz, ё/ I ф, (х) |
(8.27)
Регуляризованное уравнение и уравнение со
штрафом. Введем параметры т)>0 и %>0. Найдем решение
D = D^, В = ВТ)Ь U = U^~{D^, BnJ (8.28)
следующей задачи
(О', ёф)4-(В', рф)-}-((oeD), ёф) — (ДВ, rot (ёф))(rot (80), рф) 4*
4- п ((О, Ф)) 4- V1 (0 (О), ф) = (0,Ф)^-
УФ = {ф, (8.29)
где G = {Gj, Ga},
D(O) = Do, В(О) = Во. (8.30)
Задача (8.29), (8.30) имеет единственное решение U (частный
случай теоремы 1.2 гл. 2; см. Лионе [1]), которое удовлетворяет
условию
l/sL‘(0, Т; V) П ^“(0. Т- <ЯГ). (8.31)
Пусть в (8.29) t = 0. Находим (замечая, что 0(Do) = O, так
как £)0 е К)
(D'(0), ёф(0))4-(В'(0), ЯФ (0)) 4- (<тёО0, еФ(0))-
— (rot(pBo), 8ф (0)) 4- (rot (ёО0), ЯФ(О) )4-т] (rot (ё£)0),
rot (ёф (0))) 4- т] (rot (ЯВ0), rot (Яф (0))) = (G (0), Ф (0) )^,
откуда в силу (8.9) следует
О' (0) = Gj (0) - oeD0 4-rot (рВ0) - rjrot (rot (ёО0)),
В' (0) = G2 (0) - rot (ёО0) - n rot (rot (ЯВ0)). ’
Следовательно, при т], Х->0
{D'(0), В' <0)} = {0^(0), В;к(0) ограничены в (8.33)
342
Если (8.29) выполняется в Р), то
(D", ё<р) + (В", ргф) + (ae,D', ёф) —(рВ', rot(e<p))4-
+(rot (ё, D'), ^) + г)((1/,,Ф)) + ^((₽D)', <p) = (G', Ф)^г. (8.34)
Возьмем ф = £>', ф = В' в (8.34). Тогда4)
(U\ U^ + ^D', ёО') + т]р'14 + Х-1((рО)', D') = (G’, U'\£%\
(8.35)
Но (это можно получить, используя метод разностных отноше-
ний) ((₽£>)', D') = lim/i-2(p(D(/ + ft))-₽(D(O). D(t+h)-D(t)),
поэтому ((PD)', D')>=0 в силу монотонности оператора р. Сле-
довательно 8),
у у IIV (0 -НН U' (0 s4 1 и1 (i)^+c21G' (01’dT. (8-36)
Из (8.36) и (8.33) в силу неравенства Гронуолла следует:
и'пк ограничены в А00 (О, Т; е2Г)« (8.37)
П1/2^х ограничены в L4(0, Т; (8.38)
Так как (7^(O) = (/o = {Do, Во}, то из (8.37)4) следует, что
ограничены в L°°(0, Т; &%'). g (8.39)
Переход к пределу по г] и X. Вейлу (8.37) и (8.39) мож-
но выбрать подпоследовательность (также обозначаемую через t/^)
такую, что при Х->0, т]->0
(соотв. (соотв. U') *-слабо в L°°(0, Т; «%'"). (8.40)
Докажем теперь, что если
Фа£4(0, Т; Г), q> = <р (/) 6= К, (8.41)
то выполняется неравенство
$ {(U', Ф-и)^ + (тО, ё(ф-£)))-(рВ, rot 8ф)-|-
о
+ (ёО, rot pj>) - (G, Ф - (/)} dt >0. (8.42)
Действительно, заменяя в (8.29) Ф наФ — U^, получим
(£7ф1> Ф — Н" (°^\ь (Ф ~ ~
-(jxB^, го1(ё(ф-Рл0)) + (го1ёВпХ, ix^-B^))-)-
-|-T)((£A)V Ф) (G, Ф G4x)e%'>) =« т] j {/^ |4 X 1(P(Bt)x)» ф — TJjjj,).
_______________ (8.43)
М Этого можно достичь, используя метод разностных отношений,
4)1^'Р = ((£/'.
?) Заметим, что | (<т?£>', tD') | U' (t) .
4) Утверждение (8.39) можно получить также из (8.29).
343
Но так как по условию (8.41) ф = ф(/)е/<, то ₽(<р) = 0 и пра-
вая часть в равенстве (8.43) равна выражению
ПIIj2 + V1 (р (<р) - р (D^), Ф - £V) 0.
Замечая, что
(рВ^, rot eD^) — (rot sD^, p.B^) = Q,
из (8.43) получаем неравенство
т
$ Ф - t/nJsT + е (ф - D^)) -
о
-(ДВПЬ rot (8ф)) + (8^, rot (pip)) +
4-11 ((t/щ. Ф))-(О. Ф + и^Шси^О. (8.44)
Следовательно,
т
$ {(^х» Ф^Ч-ИО^, 8<р)-(цВпХ, гоЦёф)) +
о
+ (80^, rot(HM’))4-T|((^nx» Ф))-(0. Ф-
т
>yl ^(П11^ -у»^о^4- J И0,*, ID^dt. (8.45)
О
В силу (8.40) и (8.38) левая часть в (8.45) сходится к интегралу
т
\{(и',Ф)^+^О, 8ф)-(рВ, rot«p) +
о
+ (8Г>, rot (flip)) — (G, <b-U)^}dt,
а нижний предел правой части в (8.45; не меньше следующего
выражения:
т
^\и(П1£г-4-Ро1^Г4-J(оёР, lD)dt =
= ${(*Л U)jf+(™D, e,D)}dt.
о
Таким образом, неравенство (8.42) доказано, g
Заметим, что мы не налагали никаких ограничений на ком-
поненту ip пары Ф = (ф, тр} (см. (8.41)), поэтому неравенство
(8.42) будет справедливо также для Ф* = {ф, fe»p}, где AeR.
Подставляя в (8.42) Ф* при &->±оо получим
т
5 {(В', рф) + (ё£>, rot(pip)) — (G2, pp)}d/ = O. (8.46)
о
Следовательно, выполняется равенство (8.15) и rot (ёО) = G2 — dBfit
удовлетворяет условию (8.12). Возьмем скалярное произведение
344
равенства (8.15) с функцией (лф и проинтегрируем от 0 до Т.
Тогда, сравнивая с (8.46), получим
$ ёр,(пДР)1р(/г^ = О,
ГХ]0, Т[
откуда следует граничное условие (8.13). g
С другой стороны, из (8.15) следует, что
т
J {(В', Д(ф-В)) + (го1ёО, р,(ф-В))-(Са, (Х(ф-В))}сИ =0,
о
так что неравенство (8.42) можно переписать в виде
т
e(<p-D)) + (aBD, е(ф —D)) —
о
-(рВ, rot ё (ф — D)) — (Gp e(q>-£)))}Л5=0. (8.47)
Но тогда, как мы уже отмечали, можно перейти к локальному
условию по t, т. е. к (8.14). |
Таким образом, чтобы получить существование решения
в теореме 8.1, остается лишь доказать условие (8.11). Заметим
сначала, что из (8.11) при ф = ОпХ, ф = ВпХ следует оценка
т
A-^(p(DnX), D^dt^c. (8.48)
о
Более того, ввиду (8.39) и определения оператора р, р (D^) огра-
ничены в £“(0, Т; (£2(Q))S) и поэтому (возможно, после пере-
хода к последовательности)
Р(^)-*Х «-слабо в £“(0, Т; (£2(й))3). (8.49)
Из уравнения (8.29) получаем, что
dD^/dt 4- oeD^ — rot (jxB^) + rj rot rot (eD^) + Ar1 (D^) = Ga,
откуда ввиду утверждений (8.37), (8.38), (8.39)
P(^)->0 в ^'(Qx]0, Л).
Сравнивая с (8.49), получим
p(D^)->0 «-слабо в £“(0, Г, (£2(Й))3). (8.50)
Если ф — произвольная функция в £2(0, Т; (£2(й))3), то
т
^(Р(Ф)-Р(Р^), y-D^dt^O.
о
Из (8.48) и (8.50) получаем, что
т
$(Р(ф), (f-D)dt^Q. (8.51)
о
345
Пусть (p = £> + sG, где s>0, 6еА2(0, Г; (L2 (fi))3) — произволь-
ная функция. Тогда
т
о
следовательно,
т
$ (₽(D + s8), G)d/>0,
о
поэтому при s->0
т
\ (0(D), G)d/^O ve,
о
откуда
₽(D) = 0.
Таким образом, мы получили условие (8.11) и, следовательно,
доказали существование решения. Н
8.3.2. Доказательство единственности. Пусть {D, В}, {D*, В*} —
два решения задачи. Положим
u = D-D*, v = (8.52)
В (8.14) (соотв. в аналогичном неравенстве для £>*, В*) положим
Ф = (соотв. <р = £>). Складывая соответствующие неравенства,
получим
— (и', Ъи) — (оги, eu) + (pv, roteu)3a0. (8.53)
Но из уравнения (8.15) и аналогичного уравнения для {£>#, В*}
вытекает, что
u'-f-rot (ей) = 0. (8.54)
Следовательно,
(o', (ли) (rot (ей), pv) = 0
и (8.53) эквивалентно неравенству
— (ы', Вы) —(o', До) —(сем, ёы)^О,
из которого, в частности, следует, что
-^lW(t)^^0,
где F = {u, о}. Так как 1Г(0)=0, то имеем W = 0. S
§ 9, Устойчивая среда как предельный случай поляризуемой среды
9.1. Результаты.
Сейчас мы покажем, что когда «поляризация» неограни-
ченно возрастает, решение- = {D$°, В$°} соответствующей за-
дачи для поляризуемой среды (см. теорему 8.1) сходится к реше-
нию U = [D, В} задачи для устойчивой среды (см. теорему 5.1).
34в
(9.1)
(9.2)
(9.3)
Теорема 9.1. Пусть
inf -> + оо.
Тогда
D^-^-D, dD$*[dt-+dD[dt, В&-+В,
dB^/dt-^dBldt «-слабое L°°(0, Г; (L2(2))3),
rot (sD&) -> rot (W) «-слабо в L“ (0, T; (L? (Q))8).
9.2. Доказательство теоремы. 9,1.
Из доказательства теоремы 8.1 видно, что при ^0->4-оо
dD^/dt, BSx>, dB^/dt ограничены в L°°(0, Т; (L(Q))3). (9.4)
Из уравнения (8.15) тогда следует, что rot (вДО») = G^-dB^/dt
ограничены в L°°(0, Т; (2?(й))8).
Тогда можно выбрать подпоследовательность (также обозначае-
мую через Di1», В&>) такую, что выполняются (9.2). (9.3). Осталось
показать, что {£), В\ является решением задачи для устойчивой
среды. Для этого достаточно доказать равенство
dD/^ + aeD-rot(|iB) = G1. (9.5)
Пусть задана функция <р со свойствами
<p<=(L2(Q))8, rot(e<p)s(A2(Q))8, пД<р=0 на Г, (9.6)
/<^ro = {(p:(pe(£2(Q))3t в|ф(х)|почти всюду в 2} (9.7)
(см. определение (8.3)).
Поскольку <р е (L°°(2))8, то при достаточно больших
Ф^ (9.8)
и, следовательно, из вариационного неравенства (.8.14) следует
(dD^a/dt, 8(q> —Р^г°))4-(аеР-^0, в(ф — —
- (fiB^o, rot е (ф - D^o)) S® (Gx, 8 (ф - D^>)),
поэтому, если
f<P (0^00(0))»^const, t<=[0, Т], (9.9)
то
5 \[dD^n/dt, еф)-|-(аеР^Г|>, еф) —
— (рВ^7", rot (8<p))-t-(p,B^o, rot(eD^r*))-(G1, в(ф — D^tyjdt
[(dD&°/dt, eD^o) + eD^»)] dt. (9.10)
0
Но из (8.15) имеем
dB^o/^ + rot(eD^ro)==Gt, (9.11)
847
так что (9.10) можно переписать следующим образом:
J {(dD^u[dt, еф) + (стЮ^<-. ё<р) — го!(ёф)) +
о
+ (^о, G2)-(Gv ё(ф-Р^«))}^^
т
^{(dU&o/dt, +(euD^o, eD&tydt-
о
т
_|||t/^o(7’)|^_|!it/o|l^r+j(aeD^o, eD^dt. (9.12)
и
Теперь можно перейти к пределу (соотв. к нижнему пределу)
в левой части (соотв. в правой части) (9.12). Тогда
т
J {(dD/dt, ёф)4-(аё£), ёф) + (нВ, rot(&p)) +
о
+ (АВ, G2)-(Glt fe(<p-D))}d/>
т
^{(dU/dt, U)^ + (oeD, tD)}dt. (9.13)
0
С другой стороны, (9.11) переходит в равенство
dB/dt + rot (ё£>) = G2, (9.14)
поэтому из (9.13) следует
т
| {(dD/dt, ё (ф— £>)) +(оёД, ё(ф — D)) —
,-(|*В, rot ё(ф —£>))•—(Gj, &(<p-D))}dt^O. (9.15)
Отсюда для почти всех t получаем неравенство
(dD/dt, ё (ф — D)) + (оёО, ё(ф — D)) —
-(|1В, rot 8 (ф — D)) — (Gj, ё(ф-О))^0, (9.16)
где ф —любая функция, удовлетворяющая условиям (9.6).
Но как и в § 6 можно доказать, что пространство функций ф,
удовлетворяющих условиям (9.6), плотно в пространстве функ-
ций ф таких, что
Ф е (L2 (й))3, rot (ёф) е (L2 (й))3, пДф = 0 на Г. (9.17)
Тогда неравенство (9.16) справедливо для любой функции Ф»
удовлетворяющей условию (9.17). Таким образом, в (9.16) можно
заменить ф на В±ф, поэтому
(dD/dt, ёф)-|-(аёО, ёф) —(цВ, rot (вф)) — (Gx, 8ф) = 0
для любой функции ф, удовлетворяющей условию (9.6). Теорема
доказана.
348
§ 10. Дополнение
Замечание 10.1. В силу леммы 4.7 и теоремы Хилле —
Иосиды (см. Хилле, Филлипс [1], Иосида [1]) справедлива
Теорема 10.1. Оператор является инфинитезимальным
порождающим оператором полугруппы t-*-G(f), непрерывной из
t^O в X Ж).
Иначе говоря, если Uo задано в в%^ (соотв. в D (ф^)), то
существует и притом единственное решение t-+U (f) задачи
dU/dt+е^и = 0, (10.1)
U(Q) = U0. (10.2)
Это решение слабое (соотв. сильное), если t U (/) непрерывно
(соотв. непрерывно дифференцируемо) из {/^0} в «ЯГ, и опре-
деляется по формуле
U(t) = G(t)Ua. (10.3)
Если Uq^Dто U (/)еDV/3s 0. Более того, (здесь
важен выбор нормы в с^) G(f) является сжимающей полугруп-
пой, т. е.
§ 11. Комментарии
В этой главе мы рассмотрели среды двух типов: «устойчивые»
и «ионизируемые», которые характеризуются законом Ома (2.27)
и законом (2.28) соответственно. В действительности часто имеет
место промежуточный закон вида
/ = Ф(Е).
Естественно было бы попытаться обобщить результаты на случай,
когда Ф — многозначное отображение с максимальным монотонным
графиком. Однако, как указано в замечании 2.5, физические
измерения показывают, что соответствующие явления включают,
по-видимому, явления запаздывания, а тогда функция Ф уже не
монотонна. Соответствующие задачи с математической точки зре-
ния не изучались. Тем не менее можно исследовать случай,
когда Ф непрерывна по Липшицу.
Во всех рассматриваемых здесь задачах мы не учитывали тот
факт, что скорость света велика (относительно L/Т, где L — отно-
сительная длина), что означает, что периодическое стационарное
явление достигается за короткое время, в то время как возму-
щение само по себе синусоидально. Математическая модель этой
ситуации приводит к следующей задаче.
Вернемся к примеру из п. 3.1 с
GUx, t) = Y
Ga(x, t)~Y (t)G2(x)e™,
849
где Y (t) равно нулю при / <0 и равно + 1 при t>0, г = ]/—1,
® — положительная константа, a Gj (л) и G2 (х) — заданные функ-
ции только от х.
Требуется доказать, что при достаточно больших t решение
{В, D} задачи из п. 3.1 близко к выражению
В(х, t) = B* (x)eia>t, D{x, t) — D* (х) eial.
Можно поставить такую же задачу, исходя из ситуации п. 3.2 с
g(x, t)=g* (x)eia>‘,
или из ситуации п. 3.3 с
• п = Y (t) b* (х) eie>t,
Dw-n = Y (t)d* (x)eial.
Теоремы вложения из § 6 воспроизводят результаты Гулауика
и Ханузе [1], Гоберта [3] и Шмидта [1].
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВРЕМЯ ОСТАНОВКИ,
ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И НЕРАВЕНСТВА
1. Время остановки. Постановка задачи.
1.1. Детерминированный случай. Пусть в открытом множестве Q с: опреде-
лена регулярная вектор-функция x->g(x): QRn; при х е Q рассмотрим
дифференциальное уравнение
3 2; О, У^)=х, (1.1)
решение (траекторию) которого будем обозначать через ух($). Это решение
определено при
(1.2)
где тх—первый момент времени, когда траектория коснется границы Г обла-
сти Q.
Пусть 0 — время остановки, т. е. в нашем случае любое действительное
число, удовлетворяющее неравенству
(х фиксировано); (1.3)
6 есть переменная управления.
Для каждого 0 определим «стоимость»
е
Л0)=р(^(«)Ж (1.4)
6
где / — некоторая непрерывная вектор-функция из Q в Rn.
Чтобы избежать двусмысленности в определении интеграла (1.4) часто рас-
сматривают
J(6)= le^f{yx(s))ds, (1.5)
О
где а > 0, и f считается ограниченной (так как 0 может принимать значе-
ние + оо, если тх = + о°)-
Задача об оптимальном времени остановки заключается в том, чтобы найти
inf J (0), 0€=[О,тх]. (1.6)
Поскольку в (1.5) (или в (1.4)) J (0) зависит от х, то будем писать
Л(б) = /(б). (1,7)
Очевидно, что (1.6) определяет функцию от х:
u(x) = inf Jx(0). (1,8)
Задачу управления можно таким образом разбить на две следующие:
1) найти и (х) в явном виде,
2) при известном и найти оптимальное управление (время остановки), если
gho существует.
Здесь мы будем заниматься только первой задачей; мы увидим, что и
характеризуется вариационным неравенством»
351
1.2. Стохастический случай. Задача, Доставленная в п. 1.1, в приложениях
наиболее важна в стохастическом случае (и приводит тогда к наиболее удов-
летворительной математической теории).
Рассмотрим стохастическое уравнение Ито1)
dy=g(y)ds+a(y)dw(s), s>0, у(0) = х, (1.9)
где w (s)—n-мерный нормализованный винеровский процесс, а о—положительно
определенная матрица. Для простоты изложения будем считать, что
а (у) — единичная матрица. (1.10)
Решение задачи (1.9) будем также обозначать через yx(s). Введем обозна-
чение т* для времени первого выхода траектории на границу Г (теперь это
случайная величина) и рассмотрим времена остановки (случайные переменные,
соответствующие процессу), такие, что (1.3) выполняется с вероятностью 1.
Теперь функция стоимости имеет вид
/0 \
jeasf^(s))ds , (1,11)
\о /
где £ —математическое ожидание.
Определим
u(x)«inf Jx(6) (1.12)
0
и рассмотрим задачи, аналогичные задачам 1) и 2) из п. 1.1.
Мы увидим, что и характеризуется вариационным неравенством типа
«задачи с препятствием».
2. Время остановки и задача с препятствием.
2.1. О динамическом программировании. Рассуждения, приведенные здесь,
формальны. Обоснование выкладок дается в эволюционном (параболическом)
случае Бенсусаном и Лионсом [1], детальное изложение см.в работе Бен-
сусана и Лионса [2].
Пусть и(х) определено посредством (1.12). Очевидно, что
и (х) Jx (0) (6 == 0 допустимое),
и так как Jx(0) — 0, то
п(х)^0. (2.1)
Кроме того, рассмотрим подмножество иг чисел 0, удовлетворяющих условию
Имеем
где е достаточно мало.
и (х) inf Jx (0), б е ue.
Для б е ue можно записать
8 0
J e-^f (ух (s)) ds + J e~asf {yx (s)) ds
0 e
(2-2)
(2.3)
(2-4)
В (2.4) первый член справа можно представить в виде ef(x) + o(e), так что
Но
0
inf Jx(9) = ef (x)4-inf£ e~asf (ух (s)) ds + ... .
.о
(2.5)
/е \ 8 ]
inf £ C e~asf (yx (s)) ds = inf E e-«« f <r«sf (y~ (s)) ds + ... , (2.6)
6 \o / 6 о x j
x) См., например, работу: Гихман И. И., Скороход В, В. Управляемые
случайные процессы, —Киев; Наукова Думка, 1977,
352
где =л:+eg'(х) 4-оу (8), в—любое время остановки для траектории, выходя-
щей из Я, б~^т~.
X
В силу определения и (Я) из (2.6) получаем
/ 0 '
inf Е ( e-^sf (ух (s)) ds 1«(/ — осе) Е (и (х +&g (х) + w (в))) + ... (2,7)
0 \8 /
Если и достаточно регулярна (это требует проверки!), то
Ей (х + eg (х) + w (8))« и (х) + 8 [g (х) Vu (х) + (1 /2) Ди] Ч- ... (2.8)
(здесь используется тот факт, что E(w(s))=0, Е (wi (0 Wj (s)) = d? min (ft $)),
так что (2.3), (2.5), (2.7), (2.8) дают
и (х) 8/ (х) + и (х) ч- 8 [g (х) Vu (х) + (1/2) Ди — аи] Ч- ..., (2.9)
откуда
Ли—/^0, (2,10)
где
п
Л=-1/2Д-+ (2.U)
t=l
Но (формально этот факт очевиден, но является тонким моментом при обос-
новании) при заданном х оптимальное время остановки или равно нулю
(в случае и(х) = 0) или больше 0. В последнем случае при достаточно малом в
в (2.9) имеется равенство, и, следовательно, Ли=/, поэтому
и^О, Ли—/^0, (Ли—/)и —0 в Q, (2.12)
Естественно, если хеГ, то тх —0, так что
и(х)х=0, если хеГ. (2,13)
В задаче (2.12), (2.13) легко узнать вариационное неравенство; положив
а (и, о) = 1/2 j VuVv dx—jgVuu dx+^ аис/dx, (2,14)
К = {v | v e H'o (Q), v 0}, (2,15)
перейдем к следующей задаче:
ueK, a(u, v—и)^(/, v —u) (2,16)
Это неравенство имеет единственное решение при а>0.
Замечание 2.1. Как уже отмечалось, тех, кто интересуется обоснова*
нием эквивалентности неравенства (2.16) и задачи об оптимальном времени
остановки, мы отсылаем к работам Бенсусана и Лионса [1, 2].
Замечание 2.2. Те формальные рассуждения, которые приведены выше,
относятся к теории динамического программирования; см. Беллман [1].
2.2. Зоны остановки, непрерывности, контакта и равновесия. Определим
= {х | и (х)=0}, ^ = {х | и (х)<0}, граница между
Если х s то оптимальное 0 равно нулю; это зона остановки. Если
х е то оптимальное б равно первому моменту времени, когда траектория
встречает $; —зона непрерывности.
В двумерном случае неравенство (2.16) можно сформулировать в терминах
задач с препятствием (когда g—0, а==0) как задачу равновесия мембраны,
которая находится под действием сил f и должна быть ниже препятствия
ф = 0. Зона есть вона контакта, а зона —зона равновесия.
Таким образом, мы получили вероятностное представление решения задачи
с препятствием.
12 Г, Дюво, Ж,-Л. Лионе 353
Нам кажется, что было бы интересно получить такую интерпретацию,
непосредственно исходя из статистической механики.
2.3. Случай ненулевого препятствия. Если рассмотреть более общую задачу
и —ф^О, Ли — f^O, (и —ф) (Ли —/) = 0 в Q, (2.17)
и = 0 на Г (2.18)
(считая, для совместности, выполненным условие ф^О на Г), то получим для
и (х) такую же интерпретацию, как и раньше, если только к функции стоимо-
сти добавить член Еф (ух (тх)), если 6 = тх.
2.4. Детерминированный случай. Решение детерминированной задачи (постав-
ленной в п. 1.1) можно получить <переходом к пределу» из стохастического
случая (принципиальных трудностей здесь нет, но есть технические). Для этого
введем в (1.9) параметр т| > 0:
dy—g (у) ds + тр (у) dw (s).
(2.19)
Значение т) = 0 соответствует детерминированному случаю.
Вариационное неравенство, соответствующее (2.19), имеет вид (обозначим
через un функцию и при i]=l)
Л^и^—и^^О, (Л^и^—/) и^ —0 в Q, и —0 на Г, (2.20)
где
4n=-^A-gV+a. (2.21)
БИБЛИОГРАФИЯ *)
Аннин (Annin В. D.)
[1] Existence and uniqueness of the solution of the elastic — plastic torsion
problem for a cylindrical bar of oval cross section. —J. Appl. Math. Meeh.,
1965, 29, p. 1038—1047.
A p т о л a (Artola M.)
[1] Sur les perturbations des equations d’evolution. Application a des proble-
mes de retard. —Ann. Ecole Nat. Sup. Meeh., 1969, 2, p. 137—253.
Б а й о к к и (Baiocchi С.)
[1] Sur un probleme a frontiere libre tranduisant le filtrage de iiquides a tra-
vers des milieux poreux. —C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A, 273, p 1215—
1217, 1971.
Балабан, Грин, Наг ди (Balaban M. M., Green А. Е., Naghdi Р. М.)
[1] Acceleration waves in elastic —plastic materials. —Intern. J. Engrg. Sci.,
1970, 8, p 315—335.
Б a p д о c (Bardos C.)
[1] Lecture Notes. —P.: University of Paris-Nord, 1973.
Б e ж и (Begis D )
[1] Analise numerique de 1’ecoulement d’un fluide de Bingham. Thesis of 3
cycle. —Univ, de Paris VI, 1972.
Беллман, Кук (Bellman R., Cooke K.)
[1] Differential-Difference Equations.— N. Y..‘ Acad. Press, 1963.
Берлин г, Дени (Beurling A., Deny J.)
[1] Espace de Dirichlet. I. Le cas elementaire. —Acta Math., 1958, 99, p.
203—224.
Беркер (Berker R.)
[1] Mouvement d’un fluide visqueux incompressible. —B.: Springer-Verlag,
1963. — Handbuch der Physik; 1963, V. 8/2.
Б и p о л и (Biroli M.)
[1] Sulla perturbazione delle disequazioni d’evoluzione paraboliche. — Ann.
Scuola Norm. Sup. Ser. 3, 1971, 25, p. 1—24.
Браудер (Browder F.)
[1J Non linear elliptic boundary value problems. —Bull. Amer. Math. Soc.,
1963, 69, p. 862—874.
Брезис (Brezis H.)
[1] Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dua-
lite. —Ann. Inst. Fourier, 1968, 18, p. 115—175.
[2] Inequations variationnelles. — J. Math. Pures Appl., 1971, 50.
[3] Неопубликованные результаты
Брезис, Лионе (Brezis Н., Lions J.-L.)
[1] Sur certain problemes unilateraux hyperboliques. — C. R. Acad. Sci. Paris,
1967, 264, p. 928—931.
Брезис, Сибони (Brezis H.. Sibony M.)
[1] Equivalence de deux inequations variationneles et applications. —Arch.
Rat Meeh. Anal., 1971, 41, p. 254—265.
♦) Звездочкой отмечена литература, добавленная при переводе. {Прим,
ред.)
12*
355
Брезис, Стампаккья (Brezis Н., Stampacchia G.)
[1] Sur la regularite de la solution d’inequation elliptiques* — Bull. Soc.
Math. France, 1968, 96, p. 153—180.
Б p ю a (Bruhat G.)
[1] Electricite. — P.: Masson, 1947.
Брюн (Brun L.)
[1] Methodes energetiques dans les systemes evolutifs lineaires. 1. Separations
des energies. II. Theoremes d’Unicite.— J, Mecanique, 1969, 8, p. 125—
166; 167—192.
Бурбаки H. (Bourbaki N.)
[1] Топологические векторные пространства — M.: ИЛ, 1959.
Бурга (Bourgat J. F.)
[1] Analyse numerique du probleme de la torison elasto-plastiqu . Thesis of
3rd cycle. —Univ, de Paris VI, 1971.
Бюи, Дангван (Bui H. D., Dangvan K.)
[1] Sur le probleme aux limites en vitesse des contraintes du sol ide elasto-
plastique. —Intern. J. Solids Structures, 1970, v. 6, p. 183—193.
Быховский E. Б.
Решение смешанных задач для уравнения Максвелла в случае сверхпро-
водящей границы. —Вестник МГУ, 1957, 13, с. 50—65.
Быховский Е. Б., Смирнов Н. В.
Об ортогональном разложении пространств вектор —функций.— Труды
ин-та им. В. А. Стеклова, 1960, 59, с 5—33.
В а ш и ц у (Washizu К.)
[1] Variational methods in elasticity and plasticity.—Oxford: Pergamon
Press, 1968.
В и о (Viaud D.)
[1] Publ. IRIA, 1971.
Гловински, Лионе, Тремольер (Glowinski R., Lions J.-L., Tremo-
lieres R.)
[1] Численное исследование вариационных неравенств.—M.: Мир,
1979.
Г о б е р т (Gobert J.)
[1] Une inequation fondamentale de la theorie de I’elasticite. —Bull. de la
Soc. Roy. des Sci. de Liege, 1962, № 3, 4
[2] Operateurs matriciels de derivation elliptiques et problemes aux limites. —
Mem. de la Soc. Roy. des Sci. de Liege, 1961, 6, p. 7—143.
[3] Sur une inegalite de coercivite» — J. Math. Anal. Appl., 1971, 35.
Годунов С. K. *
[1] Элементы механики сплошной среды.— М.. Наука, 1978.
Грин (Green А. Е.)
[1] On Reissner’s theory of bending of elastic plates.—Quart. J, Meeh, Appl.
Math., 1949, 2, c. 7.
Грин, Церна (Green A. E., Zerna W.)
[1] Theoretical elasticity.—Oxford: Clarendon Press, 1968,
Грин, Ривлин (Green A. E., Rivlin R. S.)
[1] Multipolar continum mechanics: functional theory I, —Proc. Roy. Soc.
Ser A, 1965, 284.
Гулауик, Ханузе (Goulaouic C„ Hanouzet В»)
[1] Un resultat de regularite pour les solutions d’un systeme d’equations dif-
ferent idles.
Г у p c a (Goursat M.)
[1] Analyse numerique d problemes d’elasto-plasticite et viscoplasticite. Thesis
of 3rd cycle. —Univ, de Paris VI, 1971.
Данфорд H., Шварн Д. T, (Dunford N„ Schwartz J. T, S.)
[1] Линейные операторы. Tl. — M.: ИЛ, 1962.
Дени, Лионе (Deny J., Lions J.-L.)
[1] Les espaces du type de Beppo Levi. Ann. Inst Fourier, 1953—54, 5,
p, 305—370.
356
Дифермос (Dafermos С. М.)
[1] An abstract Volterra equation with applications to linear-visco-elasticity.
[2] On the existence and the asymptotic stability of solutions of the equations
of linear thermoelasticity Arch. Rat. Meeh. Anal., 1968, 29, p. 241—271.
Джон (Jhon F.)
[1] Plane strain broblem for a perfetcly elastic material of harmonic type.—
Comm. Pure Appl. Math., 1960, 13, p. 239—296.
[2] Plane elastic waves of finite amplitude. Hadamard material and harmonic
materials. —Comm. Pure Appl. Math., 1966, 19, p. 309—341.
Динка (Dinca)
[1] Sur la monotonie d’apres Minty —Browder de 1’operateur de la theorie de
plasticite. — C. R. Acad. Sci., 1969, 269, p. 535—538.
Дистефано (Distefano J. N.)
[1] On a class of Volterra integral equations. —Univ, of Southern Calif., Jan.
1968, p. 243.
Дэй (Day W. A.)
[1] Time reversal and the Symmetry of a linear Viscoelastic Material. Archive
Rat. Meeh. Analysis., 1971, 40 (3), p. 155—159.
Дюво (Duvaut G.)
[1] Application du principe de 1’indifference materielle a un mileu elastique
materiellment polarise. —C. R. Acad. Sci. Paris, 1964, 258, p. 3631—3634.
[2] Lois de comportement pour un milieu isotrope materiellement polarise de
degre deux. —C. R. Acad. Sci. Paris, 1965, 261, p. 3178—3179.
[3] Probleme de Signorini en viscoelasticite lineaire . C. R. Acad. Paris, 1969,
268, p. 1044—1046.
[4] Problemes unilateraux en mecanics des milieux continus. —In: Congres
International des mathematiciens. Nice, 1970.
Дюво, Лионе (Duvaut G., Lions J.-L.)
[1] Sur de nouveaux problemes d’inequations variationnelles poses par la Me-
canique Le cas stationnaire. — C. R. Acad. Sci. Paris, 1969, 269,
p. 510—513.
[2] Sur de nouveaux problemes d’inequations variationneles poses par la
Mecanique. Le cas d’evolution. —C. R. Acad. Sc. Paris, 1969, 269,
p. 570-572.
[31 Nouvelles inequations variationnelles recontrees en thermique et en thermo-
elast icite.-C. R. Acad. Sc. Paris, 1969, 269, p. 1198—1201.
[4] Ecoulment d’un fluide rigide viscoplastique incompressible C. R. Acad.
Sc. Paris, 1970, 270, p. 58—61.
[5] Sur les equations de Maxwell des mileux polarisables et sur la magneto-
dynamique des fluide de Bingham —C. R. Acad. Sc. Paris, 1970, 270,
p. 1600—1603.
[6] Elasticite avec frottement: — J. de Mecanique, 1971.
[7] Inequations en thermo-elasticite et magneto-hydrodynamique. — Archive
Rat. Meeh. Anal, 1972.
[8] Transfer! de Chaleur dans les Fluides de Bingham dont la Viscosite de-
pend de la Temperature. —J. Functional Analysis, 1972, 11, N 1, p,
93—110.
Жермен (Germain P.)
[1] Механика сплошных сред. —M.: Мир, 1965.
[2] Cours de Mecanique des solides (1964/1965).— Faculte des Sciences de Paris.
[3] Theorie des ondes de chocs en dynamique des gaz et en magnetodynamique
des fluides. Cours a la Faculte des Sciences de Paris. —Departement de
Mecanique, 1962/1963.
И о с и д a (Yosida K.)
[1J Функциональный анализ. —M.: Мир, 1967.
Кабаннес (Cabannes H.)
[1] Magnetodynamique des fluides. Les cours de Sorbonne. C. D. U. Paris, 1969.
Казал (Casal P.)
[1] Capillarite interne en mecanique des mileux continus.—C. R. Acad, Sci..
Paris, avril 1963, 256.
357
Каттабрига (Cattabriga L.)
[1] Su un problema al conterno relativo al sfstema di equazioni di Stokes. —
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1961, 31, p. 1—33.
Кой тер (Koiter W. I.)
[1] General the orems for elastic plastic solids. Progress in solid mechanics.—
Amsterdam: North-Holland, 1960, p. 165—221.
Колеман, Нолл (Coleman В. D., Noll W.)
[1] Material symmetry and thermodinamic Inqualities in Finite Elastic Defor-
mations.—Arch. Rat. Meeh. Anal., 1964. 15, N 2, p. 87—111.
Коминчиоли (Comincioli V.)
[1] Un risullato relativo a disequazioni varizionali d’evoluzione per operatori
del primo ordinie in t con termini di retardo. —Ann. Mat. Рига Appl.,
1971, 88, V. 4, p. 357—378.
[2] Disequaziono variazionali d’evoluzione per operatori del 2° ordine in t con
termini di retardo. — Ball. Un. Mat. Ital., 1971, 4, p. 273—289.
[3] Publications $lu Laboratoire de Calcul de 1’Universite de Pavie, 1971.
К о у л и н г (Cowling T. G.)
[1] Magneto hydrodynamics. — Interscience. Tracts, 1957, N 4.
Красносельский M. A.
[1] Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.—
М.: Физматгиз, 1956.
Критеску (Gritescu N.)
[1] Dynamic plasticity. —Amsterdam: North-Holland, 1967
К у p ж a p e (Courjaret B.)
[1] Готовится к печати.
К у т p и c (Coutris N.)
[1] Elexion elastoplastique d’une plaque.—C. R. Acad. Sci. Paris, 1970, 270,
p. 1377—1380.
Ладыженская О. A.
[1] Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. —М.:
Наука, 1970.
Ладыженская О. А., Солонников В. А.
[1] Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для
вязкой несжимаемой жидкости. —Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова,
1960, 59, с. 115^173.
Л ан дау Л. Д., Лифшиц Е. М.
[1] Теория упругости. —3-е изд., перераб. — Мл Наука, 1965,
[2] Механика сплошных сред Гидродинамика и теория упругости. —М.‘, Л.:
Гостехиздат, 1944.
[3] Электродинамика сплошных сред. —М.: Гостехиздат, 1957.
Л а н ш о н (Lanchon Н.)
[1] Solution du probleme de torison elastoplastique d’une barre cylindrique de
section quelconque. —C. R. Acad. Sci. Paris, 1966, 263, p. 791—794.
[2] Sur la solution du probleme de torison elastoplastique d’une barre cylin-
drique de section multiconnexe.— C. R. Acad. Sci. Paris, 1970, 270, p.
1134—1140.
[3] Probleme d’elastoplacite statique pour un materiau regi par la loi de
Hencky.—C. R. Acad. Sci. Paris, 1970, 271, p. 888—891.
[4] Torison elasto-plasticite d’un arbre cylindrique de section simplement ou
multiplement convexe. Thesis. —Paris J. Mecanique, 1972.
Ланшон, Дю во (Lanchon H., Duvaut G.)
[1] Sur la solution du probleme de torison elastoplastique d’une barre cylind-
rique de section quelconque.—C. R. Acad. Sci. Paris, 1967, 264,
p. 520—523.
Леви (Levy M.)
[1] Memoire sur les equations generales des mouvements interieuis des corps
solides ductiles au —dela des limites elastiques. — C. R. Acad. Sci. Paris,
1870, 70, p. 1323—1325.
[2] Memoire sur les equations des corps solides ducti.es au —dela de la limite
elastique.—J, Math, Pures Appl,, 1871, 16, p. 369—372.
358
Леонард (Leonard Р.)
[1] Problemes aux limites pour les operateurs matriciels de derivation hyper-
bolique des premier et second ordres, 1965, 11, p. 7—128.
Лере (Leray J.)
[1] Etude de diverses equations integrales non lineaires et de quelques proble-
mes que pose 1’Hydrodynamique. — J. Math. Pures Appl., 1933, 12, p.
1—82.
[2] Essai sur le mouvement plan d’un liquide visqueux que lim tent des pa-
rois. —J. Math. Pures Appl., 1934, 13, p. 331—418.
• [3] Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant 1’espace.— Acta Math.,
1934, 63, p. 193—248.
Лин (Lin T. H.)
[1] Theory of inelastic structures. —John Wiley, 1968.
Лионе (Lions J.-L.)
[1] Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972.
[2] Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с част-
ными производными.—М.: Мир, 1972.
13] Les problemes aux limites en theorie des distributions Acta Math., 1955,
94, p. 13—153.
[4] Sur un nouveau type de probleme non lineaire pour operateurs hyperboli-
ques du deuxieme ordre. — Sem. J. Leray. College de France, 1965/66,
II, p. 17—33.
[5] Singular perturbations and singular layers in variationel inequalities.— In:
Symp. Non Linear Func. Analysis. April 1971. C. R. Acad. Paris, 1971.
[6] Cours d’analise numerique Faculte des Sciences de Paris, 1971.
[7] Inequations variationnelles d’evolution. — In: International Congress of Ma-
thematicians. Nice, 1970.
Лионе, Мадженес (Lions J.-L., Magnes E.)
[1] Problemes aux limites non homogenes et applications. —P.: Dunod, 1968,
v. 1, 2, 1970, v. 3.
Русский перевод т. 1: Неоднородные граничные задачи и их
приложения. Том 1.—М.: Мир, 1971.
Лионе, Петре (Lions J.-L., Peetre J.)
[1] Sur une classe d’espaces d’interpolation. —Inst. Hautes Etudes, Paris, 1964,
19, p. 5—68.
Лионе, Проди (Lions J.-L., Prodi G.)
[1] Un theoreme d’existence et unicite dans les equations de Navier Stokes en
dimension 2. —C. R. Acad. Sci. Paris, 1959. 248.
Лионе, Стампаккья (Lions J.-L., Stampacchia G.)
[1] Variational inequalities.—Comm. Pure Appl. Math., 1967, 20, p. 493—519.
Лионе, Штраусс (Lions J.-L., Strauss W.)
[1] Some non linear evolution equations. —Bull. Soc. Math. France, 1965, 93,
p. 43—96.
Л я в (Love A. E. H.)
[1] Математическая теория упругости.—M.: ГИТТЛ, 1935.
Мадженес, Стампаккья (Magenes Е., Stampacchia G.)
[1] I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellitico.—
Ann. Scuola Norm. Sup. Ser. 3, 1958, 12, fasc. 3, p. 247—358.
Мандель (Mendel G.)
[1] Cours de mecanique des milieux continus. Vol. 1. Mecanique desTluides.
Vol. 2. Mecanique des solides. — P.: Gauthier-Villars, 1966.
[2] Seminaire de plasticite. — Publ. Sci. Tech. Ministere de 1’air N. T., 1962,
116.
Марокко (Marocco A.)
[1] Application de la methode de penalisation a la resolution d’un probleme
d’elasto-plasticite. Thesis of 3rd cycle. —Univ, de Paris VI, 1970.
Мин длин, Тирштен (Mindlin R. D., Tiersten H. F.)
[1] Effects of couple —stress in linear elasticity,—Arch, Rat, Meeh, Anal,.
1962. 11, N 5, p, 415-448.
359
М и н т и (Minty G.)
[1] Monotone (non linear) operators in Hilbert space. —Duke Math. J., 1962,
29, p. 341—346.
Мосолов П. П., Мясников В. П.
[1] Вариационные методы в теории течения вязко-пластических сред.—
ПММ, 1965, 29, с. 468—492.
Моро (Moreau J. J.)
[1] Fonctionnelles convexes. —In: Seminaire J. Leray. College de France,
1966/1967.
[2] La notion de surpotentiel et les liaisons unilaterales en elastique. — C. R,
Acad. Sci. Paris, Ser. A, 1968, 267, p. 954—957.
[3] Sur la naissance de la cavitation dans une conduite.—C. R. Acad. Sci.
Paris, 1964, 259, p. 3948—3951.
Муни (Mooney M.)
[1] Theory of Large Elastic Deformation. —J. Дрр1. Phys., 1940, 11, N 9,
p. 582-591.
M у с к а т (Muskai)
[1] The flow of homogeneous fluid through porous media. — N. Y.: MacGraw-
Hill, 1937.
[2] Multiphase flow through porous media. —N. Y.: MacGraw-HilL
Мюллер (Muller)
[1] Foundation of the mathematical theory of electromagnetic waves. B., N. Y.;
Springer, .1969, —Grundlehren math. Wiss., Vol. 155.
Неделек (Nedelec J. C.)
[1] Sur des inequations variationnelles. —Ball. Un, Mat. Ital., 1971, 4,
p. 762-774.
H e ч a c (Necas J.)
[1] Les methodes directs dans la theorie des equations elliptiques. — Prawue:
Acad. Tchecosl. des Sci., 1967.
Ниренберг (Nirenberg L.)
[1] Private communication, April 1971.
Нитше (Nitsche J. С. C.)
[1] Variational problems with inequalities as boundary conditions or: How to
fashion a cheap hat for Giacometti’s brother.—Arch. Rat. Meeh. Anal.,
1969, 35, N 2, p. 83—113. C
Нолл, Трусделл (Noll W., Trusdell С.)
[I] The non linear field theory of mechanics. —B., N. Y.: Springer, 1965.—
(Handbuch der Physik; Vol. III. 3).
Нэйроллз (Nayrolles B.)
[1] Essai de latheorie fonctionnelle des structures igides plastiques parfaites.—
J. Mecanique; 1970, 9, N 3, p. 491—506,
[2] Quelques applications variationnelles de la theorie de des fonctions
duales a la mecanique des solides. —J. Mecanique, 1971, 10, N 2,
p. 263—289.
Or азо (Haugazeau Y.)
[1] Thesis. —Paris, 1968.
Пановский, Филипс (Panofsky W., Phillips M.)
[1] Классическая электродинамика.—M.: Физматгиз, 1963.
Петре (Peetre J.)
(1] Espace d’interpolation et theoreme de Sobolev. —Ann. Inst. Fourier, 1966,
16, p. 279—317.
П p a rep (Prager W.)
[1] Введение в механику сплошных сред.—М.: ИЛ, 1963.
[2] Проблемы теории пластичности. — М.: Физматгиз, 1958.
[3] On ideal locking materials. —Soc. Rheology, 1957, 1, p. 169—175.
Прагер, Ходж (Prager W., Hodge P. G.)
[I] Теория идеально пластических тел.—M.: ИЛ, 1956.
П и о (Piau М.)
[1] Conduction de la chaleur et propagation des ondes dans les milieus elasto —
plastiques,—C. R. Acad. Sci, Paris, 1970, 271, p, 1133—1136,
36Q
Рейснер (Reissner Е.)
[1] On the theory of bending of elastic plates. —J. Math, and Phys.
1944, 23.
[2] The effect of tranverse shear deformation on the bending of elastic pla-
tes.—J. Appl. Meeh., June 1945.
Рейсс (Reuss A.)
[1] Z. Angew. Math. Phys., 1930, 10, p. 266.
P ок a p д (Rocard Y.)
[1] Thermodynamique. —P.: Masson, 1967.
Рокафеллар (Rockafellar T.)
[1] Duality and stability in extremum problems involving convex functions.—
Pacific J. Math., 1967, 21, p. 167—187.
[2] Integrals which are convex functionals. —Pacific J. Math., 1968, 24, N 3.
Сандер (Sander G.)
[1] Application de la methode des elements finis a la flexion des plaque. —
Publ. 1’Univ. Liege, 1969, N 15.
Санчас-Паленсия (Sanchez-Palencia E.)
[1] Sur 1’existence et 1’unicite des solutions de certains problemes aux limites
poses par la magnetohydrodinamique. These Faculte des Sciences de Pa-
ris.—P.: Department de Mecanique, 1966.
Cea, Гловински (Cea J., Glowinski R.)
[1] Metodes numeriques pour I’ecoulement laminaire d’une fluide rigide visco-
plastique incompressible.—Int. J. of Comp. Math., B, 1972, vol. 3«
p. 225—255.
Cea, Гловински, Неделек (Cea J., Glowinski R., Nedelec J.)
[1] Application des methodes d’optimisation, de differences et d’elements finis
a 1’analyse numerique de la torison elasto-plastique d’une barre cylindrique,
dans «Approximation et methodes iteratives de resolution d’inequations
variationnelles et de problemes non lineaires». — Cahier de 1’IRIA, 1974,
12, p. 7—138.
Седов Л. И.
[1] Введение в механику сплошной среды. —М.: Физматгиз, 1962.
Сен-Венан (Saint-Venant М.)
[1] Sur I’etablissment des equations des mouvements interieurs operes dans
les corps ductiles au-dela des limites d’elasticite. —C. R. Acad. Sci. Paris,
1870, 70, p. 473—480.
[2] Sur les equations du mouvement interieur des solides ductiles. —J. Math.
Pures Appl., 1871, 16, p. 373—382.
С e p p и н (Serrin J.)
[1] The initial value problem for the Navier —Stokes equations. —In: Non
Linear oroblems/ed. by R. E. Langer, 1963, p. 69—98.
С и б о н и (Sibony M.)
[1] Une metode iterative pour les inequations variationnelles non lineaires. —
Calcolo, 1970, 2, p. 65—183.
Синьорини (Signorini A.)
[I] Sopra alcune question! di elastostatica — Atti della Soc. Ital. per il Pro-
gress© della Scaienza, 1933.
[2] Question! di elastostatica linearizzata e semilinearizzata. — Rend. Mat.
Appl., 1959, 18.
Соболев С. Л.
[1] Некоторые применения функционального анализа в математической физи-
ке.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
Соломон (Solomon L.)
fl] Elasticitate Liniara. —Bucuresti: Ed. Acad. Rep. Soc. Romania,
1969.
Солонников В. A.
[1] О некоторых стационарных краевых задачах для уравнений магнитной
гидродинамики. —Труды матем, ин-та им. В. А. Стеклова, 1960, 59,
с, 174-187,
361
Сьюэлл (Sewell М. J.)
[1] On dual approximation principles and optimization in continum mecha-
nics.—Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A, 1969/1970, 265, p.
319—351.
Тамм И E. *
[1] Основы теории электричества. —M.: Гостехиздат, 1956.
Темам (Temam R )
(1] Solutions generalisees d’equations non lineares non uniformement elliptL
ques. —Arch. Rat. Meeh. Anal., 1971, 44, p. 121—156.
[2] Cours Fac. Sci. —Orsay, 1971.
Тинг (Ting T. W.)
[1] Elastic plastic torison problem III. —Arch. Rat. Meeh. Anal., 1969, 34,
p. 228—243.
[21 Elastic plastic torison of convex cylindrical bars. —J. Math. Meeh., 1969,
N 19, p. 531-551.
[3] Elastic plastic torison of symply connected cylindrical bars. —Indiana Univ.
Math. J., 1971, 20, N 11, p. 1047—1076.
T о нт и (Tonti E.)
[1] On the formal structure of continum mechanics. Part I. Deformation
theory. —Meccanica, 1970, V. 1.
Треска (Tresca H.)
[1] C. R. Acad. Sci. Paris, 1864, 59, p. 754; 1870, 70, p. 27; 1868, 18, p.
733, 1872, 20.
Трусделл, Тупин (Truesdell C., Toupin R.)
[1] The classical field theory. —B.: Springer, 1960, p. 226—793. —(Handbuch
der Physik, Vol. 3/1).
Тупин (Toupin R.)
[1] Theories of elasticity with couple stress.—Arch. Rat. Meeh. Anal., 17,
N 2, p. 85—112.
Тимошенко С. П, Войновский-Криг ер C.
[1] Пластинки и оболочки.—2-е изд., перераб. —М. Физматгиз, 1963.
Ф и к е р a (Fichera G.)
[1] Problemi elastostatici con vincoli unilateral! il problema di Signorini con
ambigue condizioni al contorno. — Mem. Accad. Meeh. Anal., 1965, 19, p.
363—406.
Финн (Finn R.)
[1] On the exterior stationary problem for the Navie Stokes equations and
associated perturbation problems. Arch. Rat. Meeh. Anal., 1965, 19, p.
363—406.
Ф л ю г re (Flugge W.)
[I] Viscoelasticity. —Waltham: Blaiseell Publishing Company, 1967,
Фортин (Fortin M.)
[I] Resolution numerique d’ecoulements newtoniens et non newtoniens: The-
sis.—Paris, 1962.
Фояш, Проди (Fois C., Prodi G.)
[1] Sur le comportement global des solutions non statiouaires des equations
de Navie Stokes en dimension 2. —Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 39,
N 1, p. 1—34. 1967.
Фояш, Темам (Foias C., Temam R.)
[1] Structure of the set of stationary solutions of the Navier Stokes equations. —
Comm Pure Appl. Math., 1977 , 30, p. 149—164.
Фредриксон (Fredrickson A. G.)
[1] Principles and applications of rheology. —N. J.: Prentice-Hall, 1964.
Ф p e м о н (Fremond M.)
[1] Solide pose sur un sol elastique C. R. Acad. Sci. Paris, 1970, 271,
p. 508-510
[2] Thesis. —Paris, 1971.
Фрейденталь, Герингер (Freudenthal A. M., Geiringer H.)
[1] Математические теории неупругой сплошной среды.—М.: Физматгиз,
1962.
362
Фридрихе (Friedrichs К. О.)
[1] Differential forms on Riemannian manifolds.—Comm Pure Appl. Math.,
1955, 8, p. 551—590.
[2] Symme trie hyprbolic linear differentional equations.—Comm. Pure Appl.
Math., 1954, 7, p. 345—392.
Фушарди, Моско, Скарпини, Скиаффино (Fusciardi A., Mosco U
Scarpini F., Schiaffino A.)
[1] A dual method for the numerical solution of some variational inequali-
ties.—J. Math. Anal. Appl., 1972, 40, 471—493.
Хаар, Карман (Haar A., Karman Th.)
[1] Zur Theorie der Spannungszustande in plastichen und sandartigen Medien. —
Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math. —Phys., II, KI, 1909, p. 204—218.
Халанай (Halanay A.)
[1] Differentional equations, stability, oscillations, time lags. — N. Y.: Acad.
Press, 1966.
X айярт (Hayart R.)
[1] Extension des formules de Murnaghan relatives au sol ide en phase d’elas-
ticite finie, au cas de couple superficiels. —C. R. Acad. Sci. Paris, Feb.
1964, p 258.
Хенки (Hencky H.)
[1] См. Генки X. Теория пластичности: Сб. статей.—М.: ИЛ, 1948.
[2] Uber die Berucksichtigung der Schubverzerrung in ebenen Platten. — Ing.
Arch., 1947, 16.
Херакович, Ходж (Herakovich С. T., Xodge P. G.)
[1] Elastic-plastic torison of hollow bars by quadratic programming. —Inst.
J. Meeh. Sci., 1969, 11, N 11, p. 53—63.
X ерман дер (Hormander L.)
[1] Definitions of maximal differential operators.—Ark. Mat., 1958, 46, p.
501—504.
Хилл (Hill R.)
[1] Хилл P. Математическая теория пластичности. — M.: Гостехиздат, 1956.
[2] Quart. J. Meeh. Appl. Math., 1948, 1, N 18.
[3] A Comparative Study of Some Variationnal Principles in the Theory of
Plasticity. — J. Appl. Meeh., 1950, 17, N 1, p. 64.
[4] On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point. —Phi-
losophical Magazine, 1951, 42, N 331, p. 868—875.
Хилле, Филлипс (Hille E., Phillips R. S.)
[1] Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
Ходж (Hodge Р. G.)
[1] Elastic-plastic torison as a problem in non linear programming. — Intern.
J. Solids Structures, 1967, 3, p. 989—999.
X а у п e p т (Houpert A.)
[1] Elements de mecanique des fluides dans les milieux poreux. —P.: I. F. P.
(Technip), 1957.
Ill а т ц м а н (Schatzman M.)
[1] Thesis of 3rd cycle. —Paris, 1971.
Шварц (Schwartz L.)
[1] Theorie des distributions. I, II —P.: Hermann, 1957.
[2] Distributions a valeurs vectorielles. I, II. —Ann. Inst. Fourier, 1957, 7,
p. 1—141; 1958, 8, p. 1—209.
Шмидт (Schmidt G.)
[1] Spect.al and scattering theory for Maxwell’s equations in an exterior do-
main.—Arch. Rat. Meeh. Anal., 1968, 28, p. 284—322.
Штраус (Strauss W.)
[1] Variations of Korn’s and Sobolev’s inequalities. —In: Berkeley Symposium;
1971.
Эринген, Сух уби (Eringen A. C., Suhubi)
[1] Non linear theory of micro-elastic solids. —Intern, J. Engrg. Sci., 1964,
2, N 4, p. 389—404,
363
Дополнительная библиография
Б еж и (Begis D.)
[1] Etude numerique du comportement d’un fluide de Bingham. — Rapport
LABORIA 42, IRIA, 1973.
[2] Etude numerique de I’ecoulement d’un fluide viscoplastique de Bingham
parune methode de Lagrangien augmente. — Rapport LABORIA 355, 1979.
Брезис, Киндерлехрер (Brezis H., Kinderlehrer D.)
[1] The smoothness of solutions to non linear Variational Inequalities. Indiana
Univ. Math. J., 1974, 23, p. 831—844.
Брезис, Стампаккья (Brezis H., Stampacchia G.)
[1] The hodograph method in fluid dynamics in the light of Variational Ine-
qualities.—Arch. Rat. Meeh. Anal. 1976, 61, p. 1—18.
Бурга, Дюво (Bourgat J. F., Duvaut G.)
[1] Numerical Analysis of flow with or without wake past a symmetric two-
dimensional pr6file without incidence. — Int. Journal for Numerical Methods
in Engineering, 1977, vol. II, p. 975—993.
Гловински (Glowinski R.)
[1] Finite elements and Variational Inequalities. —M. R. S. Technical Rapport,
1885, Sept. 1978.
Гуре а, Кеадра (Goursat M., Quadrat J. P.)
[1] Analuse numerique d’inequations associees a des problemes de temps d’arret
optimaux en controle stochastique. — Rapport LABORIA 154, Janvier 1976.
Киндерлехрер, Ниренберг (Kinderlehrer D., Nirenberg L.)
[1] Regularity in free boundary problems. Ann. Scuola Norm. Sup., 1977,
4, p. 373-391.
[2] Hodograph method and the smoothness of the free boundary in the one
phase Stefan problem, dans Moving Boundary problems/ed. par. D. G. Wil-
son, A. D. Solomon, P. T. Boggs. —Acad. Press, 1978, p. 57—69.
Марокко (Marocco A.)
[1] Resolution numerique de problemes de saturation endo ou exo-term i q ue. —
Rapport IRIA Inf. 7203, Janvier 1972.
[2] Experiences numeriques sur des problemes non lineaires resolus par elements
finis et lagrangien augmente. — Rapport de Recherche LABORIA, 309,
Mai 1978.
Экланд, Темам (Ekeland I., Temam R.)
[1] Выпуклый анализ и вариационные проблемы. —М.: Мир, 1979,
Библиография к приложению
(см. также библиографию в указанных работах)
Б'айокки (Baiocchi G.)
[1] Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media. —
Proc. Int. Congress Math. Vancouver, 1974, 11, p. 237—243.
Беллман (Bellman R.)
[1] Dynamic programming. —Princeton University Press, 1957.
Бенсуса н, Лионе (Bensoussan A., Lions J.-L.)
[1] Problemes de temps d’arret optimal et inequations variationnelles parabo-
liques. —Appl. Anal. 1973, 3, p. 267—294.
[2] Applications des Inequations Variationnelles en Controle Stochastique.—
P.: Dunod, 1978.
[3] Controle Impulsionnel. —P.: Dunod, 1980.
[4] Nouvelles methodes en Controle Impulsionnel. —J. Appl. Math. Optimiza-
tion, 1975, 1, p. 289—312.—См. также: Note C. R. Acad. Sci. Paris, 1973r
276, p. 1189—1192.
Тартар (Tartar L.)
[1] Inequations Quasi Variationnelles abstraites. —C. R, Acad. Sci. Paris,
1974, 278, p. 1193—1196,
ДОБАВЛЕНИЕ
ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
§ 1. Введение
Вариационные неравенства, вообще говоря, приводят к реше-
ниям задач со свободной границей, т. е. задач, в которых урав-
нения (или граничные условия) различны в различных частях
рассматриваемой области (или ее границы). Поверхность раздела
(не заданная заранее) этих частей называется свободной границей.
Например, в гл. I в задачах о полупроницаемых преградах
априори неизвестно, в каких именно точках перегородка про-
пускает жидкость. В данном случае свободная граница делит
перегородку на «непроницаемую» и «проницаемую» (в одном на-
правлении) части. В гл. III в задачах с трением априори
неизвестно, в каких именно точках будет прилипание, а в каких —
скольжение, так что и здесь имеется (неизвестная) граница, раз-
деляющая зоны с различными граничными условиями. Аналогич-
ная ситуация встречается также в гл. IV в задачах с односто-
ронним перемещением. В гл. V в задачах упруго-пластичности
роль свободной границы играет поверхность, лежащая внутри
области Q и отделяющая зону, где материал упругий, от зоны,
где материал упруго-пластический.
Во всех приведенных примерах свободная граница участвует
в постановке задачи неявно. При этом можно доказать разреши-
мость вариационного неравенства и, анализируя решение, полу-
чить информацию о свободной границе (см. Брезис и Дюво [1],
Кавол [1], Дюво [1], Бриер [1]).
Естественно возникает такая проблема: можно ли произвольную
задачу со свободной границей сформулировать в виде вариацион-
ного неравенства?
Эта проблема мало исследована. Отметим следующее.
1) В «обычной» задаче со свободной границей решение или
его производные разрывны. Это противоречит общим результатам
о регулярности решений вариационных неравенств (см. Брезис и
Стампаккья [1, основная библиография]). Следовательно, можно
предположить, что соответствующее вариационное неравенство
не будет иметь решений.
2) Однако, иногда трудность, указанную в п. 1), можно пре-
одолеть путем замены неизвестной функции. Первое исследование
в этом направлении для задачи о пористой преграде было про-
делано Байокки ([1, 2]). Пример Байокки детально разбирается
365,
ныи несжимаемой жидкостью,
так, что дно бассейна лежит
в § 2 этого Добавления. Другой пример для эволюционной задачи
(задача Стефана) рассмотрен в § 3. См. также работы Дюзо [3, 4],
Фремона [1].
3) Некоторым задачам со свободной границей соответствуют
квазивариационные неравенства, т. е. неравенства, в которых
выпуклое множество К. или выпуклая функция j (v) зависят от
неизвестной функции и. Последний случай был рассмотрен для
задачи Синьорини с трением (см. гл. III).
По поводу квазивариационных неравенств см. также Прило-
жение.
4) Наконец, существуют задачи, которые нельзя сформулиро-
вать в виде вариационного или квазивариационного неравенства.
Одним из многочисленных примеров может служить задача со
свободной границей «жидкость — атмосфера».
§ 2. Задача о пористой преграде (см. Байокки [1, 2])
2.1. Физическая задача.
Рассмотрим бассейн из непроницаемого материала, заполнен-
и введем систему координат Охх'у
в координатной плоскости х'Ох.
В бассейн помещена пористая
перегородка, причем в сечении
х' = 0 эта перегородка занимает
область Q. Предположим, что Q
имеетвид прямоугольника OADE
(см. рис. 29), основание О А кото-
рого лежит на оси Ох, а сторо-
на ОЕ — на оси Оу. Пористая пе-
регородка делит бассейн на две
части, в которых уровни жидко-
сти, вообще говоря, разные. Про-
никая в перегородку, жидкость
занимает некоторую область Qm. Обозначим через часть прямо-
угольника OADE, не занятую жидкостью, и через X — кривую,
разделяющую и
Пусть уровень жидкости Н в области {х<0} выше уровня
жидкости h в области {х>Д}. Соответствующие точки на сто-
ронах прямоугольника OADE обозначим через F и В, так что
OF = H и AB = h. Тогда кривая X пересекает ОЕ в точке F,
а AD — в точке С. Последняя лежит на отрезке АВ.
Обозначим через v — (vlt v2) скорость жидкости в Qm и выпи-
шем уравнения:
divu = 0 в йт, (2.1)
v = — grad (р + pgy) в йт. (2.2)
Уравнение (2.1) выводится из предположения о несжимаемости
жидкости, а уравнение (2.2) выражает закон Дарси. Здесь р —
~.Г6
давление, р —плотность (заданная константа), g — ускорение силы
тяжести.
Граничные условия имеют вид:
PA-pgy — PgH на OF, (2.3)
PA-pgy — Pgh на АВ, (2.4)
р = 0 на Й^ П FEDB, (2.5)
^(p + pgy) =0 на О А, (2.6)
р = 0, vn = ^n{p-\-pgy)-Q на X, (2.7)
где « — единичный вектор нормали к кривой X. Атмосферное
давление считается равным нулю.
Анализ выписанных уравнений приводит к следующим заме-
чаниям.
Замечание 1. Если кривая X задана, то из уравнений
(2.1), (2.2) следует
Др = 0 в Qm, (2.8)
и, кроме того, в точках д£1т\Х заданы условия Неймана или
условия Дирихле, а на X — одновременно условие Дирихле
и условие Неймана. Такая ситуация характерна для задач со
свободной границей.
Это замечание можно использовать при развитии методов при-
ближенного вычисления решения. Фиксируем некоторую кри-
вую X и зададим на ней только одно из двух условий, например,
р = 0. Тогда мы имеем хорошо поставленную задачу в
допускающую единственное решение р. Пусть
2=£ф+р^).
Если Z Ф 0 на X, то следует взять другую кривую и повторить
вычисления, и так до тех пор, пока не получим решение р, при
котором Z не будет равным нулю во всех точках кривой X.
Замечание 2. Если в качестве неизвестной функции взять
давление р(х, у), то, как видно из граничных условий, функция
р(х, у) непрерывна в й, но gradp разрывен в некоторых точках
кривой X. Поэтому в силу результатов Брезиса и Стампаккьи
[1, основная библиография] о регулярности, р(х, у) не может
быть решением вариационного неравенства. Это замечание наво-
дит на мысль выбрать в качестве неизвестной другую функцию
так, чтобы избежать указанного противоречия.
367
2.2. Замена неизвестной функции.
Пусть
У = 1(х) (2.9)
— уравнение (неизвестное) кривой X.
Введем функцию
ы(х, (/) = • г 0 lw $ р(х, я) dr) В в (у^Цх)),
(у<1(х)). (2.10)
н Тогда = ( £(Х, Л) Ж). on j on 1 У ди ду~ — р В Й/п» (2.11)
откуда видно, что и и grad и непрерывны в й.
Замечание 3. Введенную функцию м(х, у) можно рассмат-
ривать как «гидравлический заряд» *).
Справедлива
Лемма 2.1. Если р —решение задачи (2.1) —(2.7), то
Ц Р О В Oj, /9 12'1
м>0, р>0 в Йт. 1 ’
Доказательство. Действительно, в й^ р = и = 0. В Йт
функция р гармоническая, следовательно, она может достигать
своего минимума лишь на границе. Но в ABCFO р^О. С дру-
гой стороны, минимум не может достигаться на О А, так как
^ = -pg<0 на ОА. (2.13)
Следовательно, р>0 в Qm и м>0 в йот.
Переформулируем теперь задачу для функции и(х, у).
Сначала вычислим Ды. В йот
Цх)
S" J WW;
и
так как Др = 0, то
У
_ др (х, у) I , др(х, у) , др(х, 1(х)) . ..
“ ду ду ' дх 1 W-
*) Или как разность «гидравлических потенциалов». — (Прим, ред.)
368
Следовательно, в силу (2.11),
(2.15)
ду дх 1 '
Но из (2.7)
[-^'’м+^к^+рг-о »« •»• <2-16>
что позволяет переписать (2.15) в виде
— Ды = — pg в Qm. (2.17)
Отметим, что при получении (2.17) использовались граничные
условия на X.
Очевидно, что
— Ди = 0 в (2.18)
п^О; и, grad и непрерывны в Q. (2.19)
Граничные условия для и(х, у) имеют вид:
и = 0 на BCDEF, (2.20)
«(0. У) = Р§{ 2^ на OF, (2-21)
и (a, y) = pg{ 2у} где а=|ОЛ|. Кроме того, 1 (X) ди (х, 0) С д . . л дх - \ дх^*' на АВ, 1 (х) = — f »1(^, Т))^- (2.22)
Последний интеграл в этой цепочке равенств характеризует
поток Q жидкости, протекающей через вертикальное сечение
с абсциссой х. Поток Q является постоянной величиной относи-
тельно х, так как жидкость несжимаема. Следовательно, и (х, 0) =
= — Qx+u(0, 0) и, так как функция и(х, у) непрерывна в точ-
ках О и Л, то
u(0, O) = pg^,
«(a, 0) = pgy, (2.23)
q _ и (0, 0) —ц(а, 0)
Ч— а
Окончательно получаем, что функция и(х, у) удовлетворяет
(2.17) —(2.19) в области Q и
u = U на дй, (2.24)
369
где U определено по формуле
О на BCDEF,
рг<"=4? на OF,
U-- pg<t* на АВ, (2'25>
Р£ у+ р-у (*’-«’) н« О А.
2.3. Вариационная постановка.
Введем обозначения:
К = Я1(Й),
K = \v.v^V, о^О в Q, v = U на дй}. (2.26)
Имеет место
Предложение. Если р —решение задачи (2.1) —(2.7) и
функция и определена по формуле (2.10), то и является решением
вариационного неравенства
и<=К,
а(и, v — и)^? — pg ^(v — и) dx dy \/v<=K,
a
где
a (и, v) — grad u-grad u dxdy. (2.28)
о
Доказательство. Если « — решение задачи (2.17), (2.18),
(2.19), (2.24), то mgK и
§ — &и (о — и) dx dy = — pg J (v — м) dx dy,
Q Q
m m
HO
J — Л«(о — u)dxdy = a(u, v — u),
am
m
— pg (v — u)dxdy =
cim
m
—— pg\(v-u)dxdy-\-pg \ vdxdy^ — pg J (v — u) dxdy,
0 °s °
откуда вытекает (2.27).
2.4. Существование и единственность решения вариационного
неравенства.
Справедлива
Теорема 2.1. Существует и единственно решение вариаци-
онного неравенства (2.27).
370
Д оказательство. Задача (2.27) эквивалентна задаче мини-
мизации функционала
J (у) = у а (и, и) 4- pg j v dx dy (2.29)
на выпуклом множестве К.
Этот функционал строго выпуклый, так что достаточно дока-
зать его коэрцитивность, т. е., что если v е К с: Н1 (й) и рЗнцо)-»-
-+<х>, то J (v)->oo.
Пусть (/ — функция, определяемая условиями:
U <=№(&), 0 = U на <ЭЙ. (2.30)
Тогда VaeX
a(v, v) — a(y — ll, v — U) + C2a(y, U) — a(U, U),
и в силу неравенства Пуанкаре для v — V е Но (Й) получаем
a(v, v) S==C|t>-UН-Ci £v||н. (Q),
где С и Сх — константы, не зависящие от veZ/UQ). Следова-
тельно, Vv е К
J (0 I <й)+ Са р ||hi(Q)4-C8.
Таким образом, утверждение доказано.
2.5. Возвращение к задаче для р.
Пусть « — решение вариационного неравенства. Определим
ЙЛ = {(х, </)<=й, и(х, у) = 0},
Йт = {(х, у) s й, и (х, у) > 0},
# = дЙ,ПЙ, (2.31)
(ди
—ч— в Qm,
ду
0 в й^ U <5?.
Используя неравенство (2.27) и условия на и в й, можно
показать, что
Др = 0 в йт. (2.32)
Допустим, что справедлива
Лемма 2.2. В области й
Тогда, используя принцип максимума (см. Байокки [2]), можно
получить:
pS&O в йт. (2.33)
Более полный анализ рассмотренной здесь задачи содержится
в работах Байокки [1, 2].
371
$ 3. Задача Стефана (Дюво [2])
3.1. Физическая задача.
Пусть кусок льда при температуре 0° занимает область О' с
cR3 с регулярной границей Г. Предположим, что Г разбита на
три части Г,, Г2, Г3, причем 1\ и Г8 не имеют общих точек,
а шезГ1>0.
Нас интересует, как будет изменяться область, занятая льдом,
если через часть границы 1\ подавать тепло, а на Г3 поддержи-
вать температуру 0°; часть Г2 границы предполагается нетепло-
проводной и неподвижной. Будем считать, что изменения объема
малы и вода, получающаяся в результате растворения льда,
остается на месте. Обозначим через X (t) поверхность, разделяю-
щую лед и воду. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид
t = I (х) (априори неизвестное). Обозначим через k удельную теп-
лоту плавления льда.
3.2. Постановка задачи.
Требуется найти поле температур ©(х, t), хей, t е [0, Т],
Т>0, удовлетворяющее следующим условиям:
-^--Л6=0 при t>l(x), (3.1)
6 (х, /) = 0 при t^l(x), (3.2)
grad 8- grad 1= — k при t==l(x)1), (3.3)
--g- = 6(6-0!) на Гj (3.4)
(здесь 6>0 задано),
•£- = ° на Г„ (3.5)
6 = 0 на Г3, (3.6)
0 (х, 0) = 0, хей. (3.7)
3.3. Вариационная
функцию
и (х, /) =
постановка. Следуя Байокки [2J,
t
0 (х, т) dx, если t > I (х),
I (х)
0, если
введем
(3-8)
х) Пусть й—единичный вектор нормали к 35 (/), направленный в ту
область, где 0=0. Уравнение (3.3) выводится из следующих физических сооб-
ражений: поток тепла —grad б • й, проходящий через единицу поверхности
35 (/), равен теплу, необходимому для таяния объема Vn льда, где Vft —нор-
мальная скорость (относительно п) перемещения поверхности 35 (/), т. е.
— grad б • fi=kVn. Последнее равенство эквивалентно (3.3).
372
Положим
Д = Р(Й), V = {u!ue/71(Q), о = 0 на Г3},
/< = {о|иенУ, в □},
а (и, v) = § grad и • grad vdx, L(v) = — k^v dx,
a a
(u,v)—\uvdx Vm.veV.
a
Функция u(x, t) удовлетворяет следующим условиям:
u(t)<=K Vt(=[O, Г], (3.11) (3.12)
u = 0, grad« = O при / = ^(х),
и — 0 при t<Z.l (х), (3.13)
—Ды = — k при dt г t>l(x), (3.14)
-^ = &(«-ех0 на Г1, (3.15)
^“=0 на дп Г4. (3.16)
Из (3.11) —(3.16) получаем, что и удовлетворяет вариацион-
ному неравенству
для п. в. t <= [О, Г],
(«', v — u)-\-a(u, v-u)-\-b — (v — и) dr 5s
г,
^L(v — и) Vv<=K, (3.17)
и(. 0)==01).
Вариант. Заменим условие (3.4) на следующее:
6 = 61 на Гх, (3.4')
и вместо множества К введем множество
Ki(t) = {v:v <=V, у|г, = 6Л vSsO в й}. (3.18)
Другие условия задачи оставим без изменений. Тогда функция и,
определенная по формуле (3.8), удовлетворяет такому вариацион-
ному неравенству:
и (/) <= Л1 (/) для п. в. t <= [О, Т],
(и' (t),v — u(i)) + a(ii(t),v — u(t))^L(v — u(t)) Vve/Q^), (3.19)
«(•, 0) = 0.
i) Здесь использовано обозначение
«' = ^«(0.
373
3.4. Результаты.
Теорема 3.1. При любом й>0 существует единственное
решение иь вариационного неравенства (3.17) такое, что
ub, u'b(=L2(0, Т-, V)nL°°(0, Т; Н). (3.20)
Свойство 3.1. Если 0Ь2Ьг, то
0^uba(x, t)^ubl(x, t)^£f(x)t, (3.21)
где (х) —функция, определяемая из условий
ДаГ' = 0 в Й,
«^ = 81 на Г,, <=/Г = 0 на Г3, (3.22)
Свойство. 3.2. для п. в. t е [0, Т].
Теорема 3.2. Существует единственное решение и вариа-
ционного неравенства (3.19) такое, что
U(=L2(0, Т; V)ftLM(0, Т; И).
Кроме того, при Ь-> + оо сильно в L2(0, Т; Н) и слабо
в L2(0, Т; V), а и'ь-+и’ *-слабо в L“[Qx(0, Т)].
3.5. Доказательство теоремы 3.1.
Доказательство единственности, решения очевидно. Доказатель-
ство существования проведем методом штрафа.
1)Регуляризованная задача со штрафом. Пусть
е>0 и пусть
р(ц) =
v (х) 0,
v (х) < 0.
Обозначим через ие(х, t) решение задачи со штрафом:
u8eP(0, Г; V), (4eL2(0, Т; Н),
(и'е, v) + a(ue, v)+’ (₽(ме), у) +
+ b\ (us-ext)vdT =L(v) Vo eV, (3.23)
г,
“s (0) = 0.
2) Априорные оценки (I). Полагая в (3.23) v — ue(t),
получим
.^_L^r+a(Ue)+ * (р(Ые), Ue) + b Ct4dr=L(«e) + e1^ («edr,
Ut a C J
Г» Г»
374
откуда следует, что
м8 ограничены в L°°(0, Т; Н) П L2 (О, Т; V). (3.24)
3) Априорные оценки (II). Пусть t е [О, Т[ и h>0
такое, что t+he е [О, Т]. В равенстве (3.23) для момента вре-
мени t (соотв. для /4-Л) положим
v = u(t + h) — u(t) (соотв. v — u(t) — u(t + h))
и сложим почленно полученные равенства. Обозначая
= — (3.25)
получим
— w^ — a(w) — b^w2dT'^ — Q1hb^wdr. (3.26)
rt г,
Поделим (3.26) на —Л2. Интегрируя по ]0, Т(, получим
О О Г1
о Г1
Поскольку u&(t) дифференцируемо по /, то при Л->0
t t
у |Ug(Z) |2+ f а (и'& (х)) dx + b j j u'e2dT dx^z
О О Г1
t
<9^ J J «;drdT + y|He(0)l2-
О Г,
Применяя (3.23) при t = 0, получим оценку
I tig (0) | C,
из которой следует, что
и'е ограничены в L°°(0, Т; 7/)QL2(0, Т; V), (3.27)
или, возвращаясь к (3.23),
(1/е)Р(«е) ограничены в Z?(0, Г; V')1)- (3.28)
4) Предельный переход. Из оценок (3.24), (3.27), (3.28)
следует, что существует последовательность u8 такая, что
Ug ~ >U слабо в L2(0, Т; V),
— >u' «-слабо в Т-, Н),
Ug — >u' слабо в L*(0, Т; V),
Р (we) ~ >0 сильно 1 в L2(0, Т- V').
1) V'— пространство, двойственное к И, если только Н отождествить с его
двойственным.
375
Пусть oeLs(0, Т; К)- В (3.23) в качестве пробной функции
возьмем — В силу монотонности 0 и равенства 0(0 = 0
получим
(^’ w — + V ——ме) + М& j(y — ue)dr, (3.29)
где ах(и, v) = a(u, v) + b ^uvdT.
г.
Переходя к нижнему пределу в правой части, окончательно
находим
V — u^ + ax(u, V — u)^L(u — и) +вх1Ь j (v — u)dT
г,
Vo е Я. (3.30)
Нетрудно .проверить, что м8(0)->«(0) слабо в Н. Так как
0(не)->О сильно в L®(0, Т\ V'), то и (?) е К и из (3.30) следует,
что и является решением вариационного неравенства (3.17).
Замечание 3.1. Анализируя доказательство теоремы 3.1,
отметим, что мы вывели утверждение (3.20), используя линей-
ность правой части (3.17). Пусть теперь
L1(0(y) = L(t’) + W/ $ vdr,
г,
так что
LJOeL^O, Т- V'), Lx(0)<=H, ЦЦ)<=1*(0, Т; V'). (3.31)
Теорема 3.1 остается справедливой при условиях (3.31).
3.6. Доказательство свойства 3.1.
1) Покажем, что и(х, Пусть
W (х, I) — (и (х, t) — /)+
и положим в (3.17)
V = и (t) ± W (х, t),
что допустимо, так как 0^w(x, t)^u(x, t). Тогда
(и' (?), ад) 4-а (и (?), ад)4-Ь $ (и — 6г?) ад dT = — k J ад dx^O,
г, о
откуда
(ад' (/), ад (/)) 0, (3.32)
так как
J (u — Q1t)wdV = $ адМГ^О
Г! Г\
и
а(^Г, ад)= J ^ад</Г^0
Гх
376
^так как OsgeJT то в силу принципа максимума ^3~~2sOj.
В результате, из (3.32) следует, что и>(0==0, откуда
и(х, п. в. в QxJO, Т[.
2) by <: Ь2 =^> «ь, иь,. Для упрощения выкладок будем писать:
Ui = ub{, i=l, 2. В неравенстве (3.17) для Wi (соотв. для ы2)
ПОЛОЖИМ V = Uy — (u2 — UJ+ (соотв. и = и2 + (и2 —«!)+). Сложим
почленно полученные неравенства:
(о/, ay) + a(te», w) -f- j (Uy — Gyi) — b2 (u2 — 0x/)]dr sg;0, (3.33)
r,
здесь w = (Uy — w2)+.
В (3.33) интеграл по Г\ берется на самом деле по множеству
точек из Г1( где и1>«2. Но тогда ввиду п. 1)
u2-6yt<Uy-Qyt^Q, (3.34)
откуда, так как О <61<62,
w [61 (Uy - 6yt) - b2 (иг - 6^)]Ss 0. (3.35)
Интегрируя теперь (3.33) по ]0, Т[, получим
w (t) = 0,
следовательно,
иу^и2 п. в. в Qx]0, Т[.
3.7. Доказательство свойства 3.2.
1) Доказательство неравенства и'(/)^0.
Пусть /е[0, Т[ и 6>0 такое, что t-\-h е[0, Г]. Положим
w (х, I) = [«(%, 14-Л) — и (х, /)]“. (3.36)
В неравенстве (3.17) для момента времени t (соотв. t-\-h) поло-
жим v — и (/) — w (/) (соотв. v = u (t-(-h) — w (t)) и сложим почленно
полученные неравенства. Тогда
(w (t), (w (/))') + «i (0)< - Ь9 $ w (0 dr <0. (3.37)
г,
Интегрируя (3.37) по ]0, Т(, получим
1|да(/)|2+j ay(w(t)) ^||U,(O)P\
о
Но
ш(0) = [г/(х, h) — u(x, 0)]- = [«(*, h)]~ — 0, (3.38)
откуда w (i) — 0, т. е.
и(х, t+h)-u(x, 0 2s 0, (3.39)
377
следовательно,
и'(х, 0 п. в. в йх]0, Т[.
2) Доказательство неравенства и' (t) 2%”.
Введем функцию
ur(x, t) = Q%"t — u(x, t), (3.40)
которая, как нетрудно показать, удовлетворяет условиям
0<s«i(x, u'{x,.t)^^+. (3.41)
Из свойства 3.1 и вариационного неравенства (3.17) следует,
что и(х, t) удовлетворяет следующему вариационному неравен-
ству:
и (t) е Л (/) = {v | v е К, у t],
{и' {t), о —м(/)),4-а(и(/), V — u(t)) + b J (u(0 —61(0)(° —
г,
Ss — k § (v — u(t)) dx Vv^K{t), (3.42)
о
ы1(0) = 0.
Из (3.41) и (3.42) видно, что новая неизвестная функция «х(х, /)
удовлетворяет вариационному неравенству
их е К (t),
(ui{t), v1 — u1(t)')-\-a(u1(t) — ^'t, ох — «i(0) +
+ fe “1 <0 (ui “ ы< (0) </Г 5г $ (£ + ^Г) (vj - U1 (/)) dx
г, я
VVjeKK), (3.43)
Uj (0) = 0.
Достаточно доказать, что «1 (t)^Q. Пусть Ze[0, Т[ и пусть
Л>0 такое, что t+h е [0, Г]. Положим
w{x, /)=[«!(.£, — иг(х, 0]~ (3-44)
и в неравенстве (3.43) для момента времени t+h (соотв. t) положим
ух = и {t+h) + w (t) (соотв. v1 = u{t) — w(t)),
что допустимо. Сложим почленно полученные неравенства:
(w', w) + a(w)+b J u>2dT +ha(^’, w)^0. (3.45)
r,
В сил> определения s%^ n(s%^, w)~5z0, откуда
(w’, w)^Q,
378
или (после интегрирования по ]0, /[)
| w (/) I2 =С | w (0) |2 = 0.
Утверждение доказано.
3.8. Доказательство теоремы 3.2.
1) Единственность. Доказательство единственности реше-
ния очевидно. Действительно, если и(х, t) и и* (х, t) — два реше-
ния неравенства (3.19), то полагая о = ы* (соотв. v — u) в нера-
венстве (3.19) для и (соотв. для и*) и складывая почленно
полученные неравенства, для функции w = u — и* получим
(w't w) + a(w, tei)<0, (3.46)
откуда, интегрируя по ]0, /[, получим да(/) = 0, т. е. u(t) =
= и* (/). '
2) Существование. Покажем, что решение вариацион-
ного неравенства (3.17) сходится к решению и вариационного
неравенства (3.19) при &-> + оо. Для этого используем свойства
3.1 и 3.2, доказанные выше, и априорные оценки для ай.
Априорные оценки. В неравенстве (3.17) положим v =
= <г%4, где определено условиями (3.40). Тогда
(и’ь, £ft-ub) + a(ub, <ЯГ-иь)+Ь \(ub-y)2dT^
Г1
- k $ (е%Д - ub) dx, (3.47)
Q
ИЛИ
(Мб-^Г, ub-^rt) + a(ub-<^t) + b \(ub-^dV^
r,
sg (^ 4- k) - ub) dx — a (Jft, ub - <Wt). (3.48)
Q
Интегрируя (3.48) no ]0, /[, получим
t t
у | ub — |2 + j* a(ub — T)dr4-j j (ub — Syr)2 dr dx sg
^c^ub-^Txldx, (3.49)
о
где с —константа, не зависящая от b. Так как впоследствии мы
устремим b к +оо, то можно считать, что &>1. Выражение
||v|| =/а(п)4- $ u2dr\1/2
\ г, /
эквивалентно норме элемента v в Нг(й), поскольку гпеэГ1>0.
379
Из (3.49) следует
1|Ыб-а%/’/|2+-‘^||«г>-е5ГтРЛ +
4-(ft-l)^(aft-91T)2drdT<c1, (3.50)
о г
где константа сх не зависит от Ь.
Из (3.50) получаем
иь ограничены в L°°(0, Т; Н) f| L2 (0, Т; V), (3.51)
t
' (b - 1) $ $ (ub - 91Т)2 dT dx С1. (3.52)
о rt
В силу свойства 3.2
и'ь ограничены в L°°(Qx]0, ТО» (3.53)
и в силу свойства 3.1
и*(х, /) —неубывающая по Ь, ограниченная сверху б^1). (3.54)
Предельный переход. В силу установленных выше оце-
нок справедливы (может быть после перехода к подпоследователь-
ности) следующие утверждения (при Ь->4-оо):
иь-+и «-слабо в Lw(0, Т; Я), (3.55)
ub-+u слабо в L2(0, Т; V), (3.56)
Ub-^U «-слабо в L2(Qx]0, ?[), (3.57)
ub(x, 0-3 -ы(х, t), (х, /)еЙх]0, Т[. (3.58)
Кроме того, в силу (3.54)
т т
0 $ (ub(x, t))*dxdt-> J (ы(х, t))zdxdt, Q 0U (3.59)
следовательно, иь^и в L°°(0, Т, Н). (3.60)
Аналогично иь-+и в L2(0, Т; £2(Г0) (3.61)
и ввиду (3.52) W |г, в (3.62)
Тогда (3.63)
1) В силу леммы 3.2 uj ограничены сверху t,
380
Полагая в (3.17) v^Ki(t), получим
(и'ь, и — иь) + а(иь, v — ub) +
+ b\ (ub — — ub)dr — (v — ub)dx.
r, u
Интеграл по I\ отрицателен, поэтому
(ub, v — ub) + a(ub, v — Mft)Ss — ft J (o — ub)dx (3.64)
C
откуда получаем (3.64).
Замечание 1. Существование решения в теореме 3.2 можно
доказать также другим способом, сделав замену неизвестной функ-
ции и используя вместо свойства 3.2 результат Брезиса [4].
Введем множество
К8(0 = {»8|»2<= V, и8|г, =0, OSsVjSs — «ЯП}.
Пусть м8 (/) = «(/)—«ЯГ/. В силу свойства 3.1 функция и
должна удовлетворять вариационному неравенству
(«а, у8 — иг) + а (ы8, о8 —u8)3s —$ («ЯГ ft) (о8 — u2)dx,
а
(3,65)
Vu8(= K2(t),
«а(0)=0.
Нетрудно показать, что существует (единственное) решение нера-
венства (3.65) такое, что
«,sL!(0, Т; V), Т; Н).
Замечание 2. В точности так же можно получить сущест-
вование решения в теореме 3.2, используя метод частичного
штрафа. Введем для этого оператор штрафа (J из Н в Н по фор-
муле
{О, если и^О,
о, если о<0
и аффинное пространство
V1(/) = [ype И, ,» = ei< на Гх}.
881
Пусть 8>0. Впоследствии мы устремим е к нулю. Обозначим
через ие(х, t) решение задачи
и8(/) е (/) для п. в. /е[О, Т],
(и'е, v — ue) + a(uE, V-UE)+ | ф(ие), v — uE) —
— — (v — иЕ) dx, Vv^V^lt). (3.66)
Q
Полагая в равенстве (3.66) v — ^ft, получим1)
ue ограничены в L°°(0, Т-, #)f)L2(0, T\ V). (3.67)
Пусть t е [О, Т], Л>0, t + h<= [О, Г]. Положим в равенстве
(3.66) v — uE(t) для момента времени t+h и v — uE(t-\-h) для
момента времёни t. Сложим почленно полученные равенства.
В силу монотонности Р получим
и’е, ограничены в А00 (О, Т; #)()La(0, Т; V) (3.68)
(так как ы8(0) ограничены в Н).
В силу оценок (3.67) и (3.68) возможен предельный переход
при е->0 и тем самым доказывается существование решения
в теореме 3.2.
Замечание 3. Мы не стали использовать рассуждения, при-
веденные в замечаниях 1 и 2, а предпочли провести доказательство
существования решения в теореме 3.2, исходя из свойств 3.1
и 3.2, так как при этом проявляются некоторые физические свой-
ства решения. Из теоремы 3.2 видно, что решение вариационного
неравенства (3.19) является пределом решений вариационных
неравенств (3.17), когда коэффициент b стремится к 4-оо.
Замечание 4. Из доказательства теоремы 3.2 очевидно,
что решение и вариационного неравенства (3.19) обладает свойст-
вами 3.1 и 3.2, сформулированными для иь.
Замечание 5. Аналогичные рассмотрения можно применять
и к другим явлениям плавления или, наоборот, кристаллизации.
Эти явления характерны тем, что температура, при которой среда
переходит в другое состояние, должна быть постоянной, будь то
температура плавления или температура кристаллизации.
Замечание 6. Мы рассмотрели задачу Стефана с одной
фазой, где предполагалось, что начальная температура льда равна
нулю. Если начальная температура отлична от температуры фазо-
вого перехода (например, отрицательна), то область разбивается
на три зоны (решение положительно, отрицательно или равно
нулю). Такая задача называется задачей Стефана с двумя фазами
(см. Дюво [3, 4], Фремон [1]).
!) Здесь используется монотонность оператора Р и рсгенство Р(е5? /)=0.
382
Библиография
Байокки (С. Bayocchy)
[1] Note aux С. R. Acad. Sci. Paris, 1971.
[2] Probleme a frontiere libre en hydraulique.—C. R. Acad. ccL Paris, 1974,
278, p. 1201 — 1204.
Брезис, Дюво (Brezis H., Duvaut G.)
[1] Ecoulement avec sillage autour d’un profil symetrique.—C. R. Acad. Sci
Paris, 1973, 276, p. 875 — 878.
Бриер (Briere Th.)
[1] These de 3eme cycle. — Universite P. et M. Curie, Paris, 1976.
Дюво (Duvaut G.)
[1] Problemes unilateraux en M6canique. — CIME, Bressanone, 1973.
2] Resolution d’un probleme de Stefan.—C. R. Acad. Sci. Paris, 1973, 176.
3] Solution of two phases Stefan problem by variational inequality. — In:
Proc, of the Symp. on Moving Boundary Problems. Oxford, 25 — 27
Mars 1974.
[4] Two phases Stefan problem with varying specific heat coefficients.— An.
Acad. Brasil. Cienc., 1975, 47, 3/4.
Ф p e м о н (Fremond M.)
[1] Diffusion problems with free boundaries. Autumn course on Applications
of Analysis to Mechanics. —I. С. T. P., Trieste, 1976.
К а во л (Kawohl B.)
[1] Uber nichtlineare gemischte randwertprobleme ... auf gebieten mit ecken:
Dissertation. — Darmstadt, 1978.
t. Дюво, Ж.~Л. Лионе
НЕРАВЕНСТВА В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
М„ 1980 г., 384 стр. с илл.
Редактор Г. И. Кузнецова
Техн, редактор Н. В, Кошелева
Корректор Н. Б. Румянцева
ИБ № 11558
Сдано в набор 14.12.79. Подписано к печати 18.06.80. Бумага
e0X90i/je, тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 24. Уч»-цзд. л. 23,89. Тираж 10 000 экз.
Заказ Ns 755. Цена книги 2 руб.
Издательство «Наука» ’
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Ленинградской типографии Ns 2 головном
предприятии ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
градского объединения «Техническая книга» им. Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29 с матриц
ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского производствен яо^екнического объеди-
нения «Печатный Двор» имени А. М. Горького «Союзполиграф-
прома» при Государственном комитете СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград,
П-136» Чкаловский пр., 15