Автор: Шмыглевский И.П.   Баранец В.Н.  

Теги: техника средств транспорта   физика   аэродинамика   космические аппараты   космонавтика   космическая техника   издательство наука   главная редакция физико-математической литературы  

Год: 1973

Похожие

Механика космического полета. Проблемы оптимизации.

Механика космического полета с малой тягой.

Механика космического полета в элементарном изложении

Механика деформируемого твердого тела

Текст
                    МЕХАНИКА
КОСМИЧЕСКОГО
ПОЛЕТА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973

В. Н. БРАНЕЦ, И. П. ШМЫГЛЕВСКИЙ
ПРИМЕНЕНИЕ
КВАТЕРНИОНОВ
В ЗАДАЧАХ ОРИЕНТАЦИИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА

1 г
' •
ИЗД А Т ЕЛ Ь С Т ВО «Н А УК А »
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРА! УРЫ
МОСКВА 1973

675.2
Б 87
УДК 629.19
Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела.
В. Н. Б р а и е Ц, И. П Шмыглевский. Главная редакция физи-
ко-математической литературы, Изд-во «Наука», М., 1973, 320 стр.
Книга посвящена вопросам применения аппарата кватернионов
к общим теоретическим проблемам кинематики вращательного дви-
жения твердого тела и к практическим задачам управления. Теория
конечного поворота и кинематика углового движения твердого тела
представлены на основе операций умножения кватернионов. Рассмот-
рены вопросы исследования кинематических уравнений и их числен-
ного интегрирования, вопросы использования кватернионов в задачах
управления угловым движением твердого тела и оптимизации про-
странственных разворотов. На ряде примеров показаны удобства и
преимущества использования кватернионов в задачах управления.
Книга может представлять интерес для специалистов в области си-
стем управления движением летательных аппаратов и для всех, кто
интересуется общими проблемами механики твердого тела.
Табл. 7. Илл. 57. Библ. 67 назв.
(g Издательство «Наука», 1973.
Владимир Николаевич Бранец, Игорь Петрович Шмыглевский
Применение кватернионов в задачах
ориентации твердого тела
М„ 1973 г., 320 стр. с нал.
Редактор Ю. Г. Гуревич.
Техн, редактор С. Я. Шкляр. Корректоры Е. .4. Белицкая, Е. В. Сидоркина.
Сдано в набор г-2/XI 1972 г. Подписано к печати 3/IX 1973 г. Бумага 84Xl'j87s!,
тип. .Xi 1. Физ. печ. л. 10. Усдоэн. печ. .1. 16.8. Уч.-над. л, 11.28. Тираж 2400 экз.
Т-11080. Цена книги 1 р. 45 к. Заказ .Vs 415.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071. Москва, В-71, Ленинский проспект. 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союаполиграфпрома. при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издатели-гв. полиграфии и книжной торговли
г. Ленинград. Л 52, 11змаП.10всКИ1! проспект, 29
263-1606
Ь 042(02)—73
159-73

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .	  7
Глава 1. Кватернионы и их свойства	.............Н
§ 1.1.	Алгебра кватернионов ..........................  11
§ 1.2.	Представление кватерниона на сфере ...... 20
§ 1.3.	Преобразование вращения .........................26
§ 1.4.	Геометрия на сфере.............................  32
Глава 2. Теория конечного поворота твердого тела ... 41
§ 2.1.	Ортогональные преобразования.................... 43
§ 2.2.	Представление ортогонального преобразования в фор-
ме умножения кватернионов ....	... 54
§ 2.3.	Преобразование базисов  .........................57
§ 2.4.	Преобразование компонент неизменного вектора. Ги-
перкомплексное отображение............................  60
§ 2.5.	Инвариантность операции вращения. Параметры Род-
рига— Гамильтона .  	....	.... 62
§ 2.6.	Сложение поворотов ............................ .68
§ 2.7.	Связь параметров Родряга — Гамильтона с другими
кинематическими параметрами .......	76
Глава 3. Кинематические уравнения .	....	92
§ 3.1.	Бесконечно малое преобразование. Вектор угловой
скорости .	.	......	. .	93
§3 2.	Вывод кинематических уравнений . .	...	97
§ 3.3.	Кинематические уравнения в других параметрах ,	105
§ 3.4.	Исследование кинематических уравнений...........120
§ 3.5.	Решение частных случаев кинематических уравнений 131
§ 3.6.	Формальное решение кинематического уравнения .	142
Глава 4. Приближенное и численное интегрирование кине-
матических уравнений .	.	. .	147
§ 4.1.	Построение численных методов . .	...... 147
§ 4.2.	Кинематические уравнения для ненормированных ква-
тернионов. Коррекция нормы	....	153
§ 4.3.	Численные методы коррекции нормы .	...	156
§ 4.4.	Погрешности численных методов при постоянном шаге 160
§ 4.5.	Численные методы интегрирования с переменным шагом 176
§ 4.6.	Погрешность квантования	.	.........182
§ 4.7.	Стабилизация модуля и угла в уравнениях Пуассона 185

в
ОГЛАВЛЕНИЙ
Глава 5 Использование кватернионов в задачах управления
движением твердого тела............................... ....	190
§ 5.1.	Зависимость сигналов управления от кинематических
параметров . .	...............................192
§ 5.2.	Кинематическая задача ориентации в инерциальной си-
стеме координат ... ............................................................ .....	197
§	5.3.	Кинематическая задача ориентации	во	вращающейся
системе координат.................................................................205
§	5.4.	Динамическая задача ориентации ,	..226
§	5.5.	Примеры..................................................................229
Глава 6. Оптимальные пространственные развороты твердого
тела..............................................240
§	6.1.	Кинематический оптимальный разворот.	Постановка
задачи ......................................................................... .....	241
§ 6.2.	Решение задачи кинематического оптимального раз-
ворота .	.	...............................245
§ 6.3.	Оптимальное управление для случая ограниченного мо-
дуля вектора угловой скорости ........................ 250
§ 6.4.	Оптимальное управление при ограничениях на компо-
ненты вектора угловой скорости ........ 256
§ 6.5.	Динамический оптимальный разворот. Постановка за-
дачи ..................................................290
§ 6.6.	Частный случай решения задачи динамического опти-
мального разворота для тела со сферической симмет-
рией при ограничении	на модуль управляющего момента	295
§ 6.7.	Дополнительные	замечания......................308
Основные обозначения ................................................................. 314
Литература ...	 .316
Предметный указатель.....................................320

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные результаты классической теории углового
движения твердого тела были получены в прошлом веке.
Для описания движения твердого тела около неподвиж-
ной точки был предложен ряд кинематических парамет-
ров, таких, как параметры Родрига — Гамильтона, па-
раметры Кейли — Клейна, углы Эйлера — Крылова и
направляющие косинусы. Усилия исследователей в то
время были направлены на поиски удобной формы
представления уравнений и к отысканию интегрируемых
случаев движения. После этого центр тяжести исследо-
ваний переместился в область прикладной теории ги-
роскопов. При этом движение твердого тела задавалось
исключительно углами Эйлера — Крылова, которые на-
шли широкое применение во всех работах по механике,
в том числе и в работах по исследованию управления
движущимися объектами. Кроме того, в теоретических
работах применялся также матричный аппарат; при
этом положение тела задавалось направляющими ко-
синусами. Другие способы описания углового движения
упоминались главным образом для полноты изложения.
За последнее десятилетие положение изменилось.
Развитие систем управления летательными аппаратами,
использование цифровых вычислительных машин в
управлении движением привели к тому, что практиче-
ское значение приобрело рациональное описание про-
странственного движения твердого тела в различных
задачах управления. К таким задачам относятся,

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
в частности, построение бесплатформенных (бескардано-
вых) инерциальных систем, построение систем управле-
ния пространственными разворотами, ориентацией и
стабилизацией твердого тела. Использование углов Эй-
лера— Крылова в этих задачах связано с некоторыми
неудобствами. Любая система углов, по существу, моде-
лирует некоторый карданов подвес. При определенных
значениях углов происходит вырождение кинематических
уравнений, отражающее эффект складывания рамок
этого подвеса. Такое вырождение уравнении не вызвано
реальными физическими ограничениями, накладывае-
мыми на угловые движения твердого тела. Кроме того,
интегрирование кинематических уравнений и преобра-
зование координат в углах Эйлера — Крылова связаны
с тригонометрическими операциями, которые снижают
эффективность использования электронных вычисли-
тельных машин.
Среди всех кинематических параметров особое ме-
сто занимают параметры Родрига — Гамильтона и Кей-
ли-Клейна. Эти параметры не вырождаются при лю-
бом положении твердого тела, в отличие от углов Эй-
лера. Число этих параметров равно четырем, поэтому
они имеют одно уравнение связи, в отличие от шести
для направляющих косинусов. Все это упрощает задачу
численного интегрирования кинематических уравнений.
Кроме того, параметры Родрига — Гамильтона (и Кей-
ли-Клейна) дают возможность эффективно решать
многие вопросы теории конечного поворота твердого
тела, устойчивости управляемого движения и т. п. Не-
смотря на такого рода преимущества, использование
этих параметров осложняется тем, что оно приводит
к применению векторной теории конечного поворота или
же к стереографическому проектированию и унитарным
преобразованиям, не имеющим простого геометриче-
ского смысла. Применение кватернионов позволяет соз-

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
дать весьма удобный и наглядный формализм, исполь-
зующий параметры Родрига — Гамильтона.
Кватернионы впервые были введены в математику
в 1843 г. В. Р. Гамильтоном. С 1833 г. он занимается
теорией созданных им кватернионов, стремясь найти
для изучения геометрии пространства столь же удоб-
ный аппарат, который мы имеем в виде комплексных
чисел при решении задач на плоскости. Результатом
его трудов явились две книги: «Лекции по кватернио-
нам» [55] и «Элементы кватернионов» [54]. В дальней-
шем теорией кватернионов занимались Г. Ганкель и
Ф. Клейн. Однако до последнего времени кватернионы
не нашли какого-либо практического применения и слу-
жили примером формальной математической модели
четырехмерной линейной алгебры.
В настоящей монографии представлены работы
авторов по применению кватернионов к исследованию
углового движения твердого тела. На основе известной
формы представления ортогонального преобразования
в виде операций умножения кватернионов развивается
формализм ортогональных преобразований и теории
конечного поворота твердого тела. Сделана попытка свя-
зать разработанный формализм, использующий кватер-
нионы, с другими кинематическими параметрами. По-
дробно проведено исследование общих свойств кинема-
тических уравнений. Предложен общий метод вывода
этих уравнений, справедливый для различных кинема-
тических параметров и хорошо поясняющий их физи-
ческий смысл.
Применение кватернионов позволило представить в
единой векторной форме бесконечно малые вращения,
определяющие вектор угловой скорости, и произвольные
преобразования, являющиеся конечными поворотами.
Кватернионы дают чрезвычайно удобный аппарат для
исследования кинематики движения твердого тела, что

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
объясняется дуализмом кватернионных единиц, являю-
щихся, с одной стороны, ортами реального трехмерного
пространства, а с другой, операторами преобразования.
Благодаря такому свойству кватернионов параметры
Родрига — Гамильтона и Кейли — Клейна получают
простое и ясное физическое содержание.
В книге рассмотрены также вопросы применения
кинематики углового движения к практическим задачам
управления движением твердого тела. Подробно иссле-
дованы вопросы численного интегрирования кинемати-
ческих уравнений, вопросы использования кинематиче-
ских параметров (в частности, элементов кватерниона)
в управлении, а также рассмотрены частные случаи
задачи оптимизации пространственных разворотов. Ав-
торы ставили целью показать возможность применения
аппарата кватернионов как к общим теоретическим
проблемам, так и к практическим задачам управления
движением твердого тела, а также привлечь к этому
мощному аппарату внимание широкого круга специа-
листов в области систем управления движением лета-
тельных аппаратов, бесплатформенных систем и всех,
кто интересуется общими проблемами механики твер-
дого тела.
Авторы пользуются случаем выразить свою глубо-
кую признательность Б. В. Раушенбаху и Т. М. Энееву
за помощь в работе над настоящей книгой.

ГЛАВА I
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
§ 1.1. АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ
Необходимость расширения операций трехмерной
векторной алгебры до операций умножения и деления
привела Гамильтона (1843 г.) к введению алгебры для
четырехмерных чисел, или кватернионов [54, 55]. Под
кватернионом понимают число, составленное из действи-
тельной единицы 1 и трех мнимых единиц*) ib i2, i3,
с действительными элементами следующего вида:
А ==- (Zo, Z2, Z3) = ZqI + Aji] + Z2r2 + Z3i3.
Изложим основные постулаты, определяющие дей-
ствия над кватернионами.
Г Два кватерниона А и М равны, если равны их эле-
менты ).i = ц, (i = 0, 1, 2, 3).
2° Суммой кватернионов А и М называется кватер-
нион, элементами которого являются величины /л+щ:
А + М = (Хо + Цо) 1 + (Zi + Pi) + (л2 + Иг) h + (Z3 + ц3) ij,
3° При умножении кватерниона А на скаляр а про-
исходит умножение на это число всех его элементов:
аА = aZol + aZji'i + a/,2i2 -j- flZ3i3.
В частности, отрицательным будет кватернион
А == Zq 1 Zjij  Z2i2  Z3I3,
а нулевым — кватернион (0,0,0,0).
*) Гамильтон обозначал три мнимые единицы через /. /, k,
однако мы для удобства изложения используем обозначения, введен-
ные Ганкелем: С i?, is. Заметим, что возможно дальнейшее расши-
рение гиперкомплексных чисел на случай, когда сами М также комп-
лексны. Построенные таким образом числа называются бикватернпо-
намп и находят применение при описании винтового движения твер-
дого тела. В настоящей работе бикватернионы не рассматриваются.

J2
[ГЛ. i
квлтврчио^ ч СВМСТ4
Из этих определений . ле»,
нионов и умножение их w ь'Т’ ЧТ0 сложение кватеР*
лам обычной алгебры: Г W подчиняются прави-
ло	(Az^+n^a + (M + N).
5° аА = Аа, (а&)А=^
6° (а + й)А = лЛ + ц Ч+М)«аА + аМ.
ничныГвХоры\орш)Тт! Рассматривать как еди-
которое обозначим Н. Т^д>х?еРЯОГО пРостРанства>
представить в этом прос[лакЮбои кватеРнион можно
вектором. Сложение нектЕрг»,ве точК0Й или радиусом-
ляр в пространстве Н пр$с>/т7“акИХ
ном векторном пространстве ?-ит За1< же’ как и в ооыч
Н состоит в том, что он» чОсобенность пространства
тельно операций умножения ^яется замкнутым относи-
7° Чтобы определить п,рсЛелениЯ'
обходимо задать правила уи?едение KBaTePHIIonoB> н®'
Эти правила следующие: жжения единиц 1, ii, 13.
1O(1 = ( ol=i„	lol = 1.
(,<>*,—	1,	ZSO/,= -!,
ll0i2=-i2Oil=i3t i3oi1=^;	,	. г o; —}
При таком правиле vMhn
кватернионов также явл^тУетя пРаизведение двУ*
Правила умножения fipS кватернионом.
годаря им алгебра кватерн?1114311110 Удачны ) бла-
гебру действительных и kojHOB содержит в себе ал-
трехмерную векторную ад^еб?лекснь1Х чисел’ а также
(а,ОДО)РНс°НединстСвЭ/\У действительные числа
'	I* Синицей 1, комплексные * i,
*) Относительно изобретения
«Они появились на свет оконча' елкватеРни°нов Гамильтон писал:
1843 г., когда я с миссис ймилсТ0|? сформировавшимися 16 октября
Шел на Брукгамский мост, который ||Р0ГУливался 110 Дублину и взо-
вают Кватернионным мостом. Мо? этого момента студенты назы-
замкнулась цепь мыслей и ярко пр»?° сказать, чт0 в этот момент
i, i, k точно такие, какими я пЛьа№авились основные соотношения
v 'Ось по настоящее время».

S 1.1]
АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ
13
числа (а, Ь, 0,0) с двумя единицами 1, I и векторы
(0, а, Ь, с) в пространстве трех измерений. Однако если
действительные и комплексные числа образуют поле
(т. е. сложение, умножение и деление дают снова эле-
мент рассматриваемого множества), то произведение
двух векторов, как будет показано далее, уже является
не вектором, а кватернионом.
Правило умножения 7° показывает, что умножение
на 1 не изменяет кватерниона, т. е. компонент 1 ведет
себя как обычный скаляр; по этой причине в дальней-
шем в выражении для кватерниона первый член (Ао) мы
будем писать без единицы.
Далее, можно идентифицировать единицы ii, i2, h
с ортами трехмерного векторного пространства *) и рас-
сматривать коэффициенты при этих
единицах как компоненты вектора.
В соответствии с этим кватернион
представим в виде суммы скалярной
и векторной частей, которые будем
обозначать sqalA и vectA соответ-
ственно:
8° А = sqal А -f- vect А = Хо -f- к
— выражение векторной части для
удобства будем записывать в виде,
принятом для обычных векторов.
Правила умножения мнимых единиц легко запо-
мнить, используя следующее представление (рис. 1.1):
при умножении двух единиц, расположенных по стрел-
ке, получается третья единица с плюсом; при движении
в обратную сторону (против стрелки) единица берется
с минусом.
*) Поскольку если ввести ортогональное преобразование еди-
ницы ii в i'j (i'^c^ii), то в силу ортогональности с/£сА/ = б/А
можно видеть, что 1у подчиняются тем же правилам умножения
кватернионных единиц:
12в13
il 1з 1з
— C2iC3i + с21 С22 С23
£з! ^32 ^33
“Cllil + C12i2 + C13i3 = *l И Т' А

14
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ, 1
Выполняя умножение двух кватернионов А и М, по-
лучим
А ° М = Д,оцо —	— Л2р2 —	+ 1Мз)+
+ Но (W1 + ^2*2 + М3) -ф
ii i2 h
A>i л2 •
(1.1)
Hi Н2 Из
Если поменять порядок сомножителей, т. е. рассмат-
ривать произведение М°А, то в формуле умножения
(1.1) изменится детерминант, а именно, строки Z и р
поменяются местами (т. е. изменится знак детерми-
нанта). Используя формулу (1.1), можно доказать ос-
новные свойства умножения.
9° Умножение кватернионов обладает ассоциатив-
ными и дистрибутивными по отношению к сложению
свойствами.
Для доказательства этого положения рассмотрим
произведение трех мнимых единиц, поскольку для дей-
ствительной единицы это свойство очевидно. Имеем
(i[ ° i2) = i3 — ° is — 1,
(Л°«з)0^— — *2°*2= 1>
(iIoi2)oii = i3°ii~^,
(ij 0^)0/2— — i2)
(1'1 о i3) 0 ij = — i, 0 /, = i3>
(it 0^)0^= — i3,
iI°(i2°i3) = ii°ii== —1,
/1O(i3°i2)= -1,01! = 1,
0 («2° *1) = — *1°*3=*2,
ii ° (il о j2) = j. о i3 — — i2,
iio(i3oii)==/ioi2==f3>
h °(ii °*з)== — ii °i2=-i3:
остальные произведения получаются аналогично цикли-
ческой перестановкой (возможность которой! следует из
правил умножения 7°, иллюстрируемых рис. 1,1). От-
сюда следует, что справедливо равенство
(А ° М) о X = А ° (М о N)
для любых кватернионов. Точно так же можно непо-
средственно убедиться, что
А ° (М -ф X) = А ° М -ф А ° N,
поскольку компоненты произведений в обеих частях ра-
венства совпадают при каждой единице.

§ ] л]	АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ	15
10° Умножение кватернионов некоммутативно', пере-
становка сомножителей допустима только тогда, когда
один из сомножителей является скалярным или когда
векторные части сомножителей пропорциональны.
Действительно, рассматривая формулу умножения
(1.1), можно видеть, что А«М = МоА только тогда,
когда исчезает детерминант. Последнее возможно
либо когда Xi = Л2 = Хз = 0 или pi = рг = Рз = 0,
т. е. когда А или М является скаляром, либо когда
- Из формулы (1.1) имеем также
sqal (А ° М) = sqal (М о А).
Используя это соотношение, можно показать, что
11° Скалярная часть произведения кватернионов не
изменяется при циклической перестановке сомножи-
телей.
Рассматривая равенство
sqal [А ° (М о N)] = sqal [(М о N) о А] =
= sqal [М о (N о А)] = sqal [(N ° А) ° М],
получаем, что
sqal [А о М о N] = sqal [М о N о А] = sqal [N ° А о М]. (1.2)
12° Кватернионом, сопряженным данному кватер-
ниону А, является следующий кватернион, обозначае-
мый А:
А = Aq — X.
Можно видеть, что сопряженное сумме кватернио-
нов равно сумме сопряженных кватернионов, т. е.
(А + М) = А + м.
Поскольку векторные части кватернионов А и А
отличаются знаком, из свойства 10° следует, что
А о А = А о А.
Это произведение называется нормой кватерниона А
и обозначается ЦАЦ. Из формулы умножения (1.1) сле-
дует, что
13° ||А|| — А ° А = А о А = Ao + Al-ф Аг +

16
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. 1
Таким образом, норма кватерниона есть скаляр;
II All = 0 в том и только в том случае, когда м = /,2 =
= Лз = ло = О*). Когда норма ||А|| = 1, кватернион
называется нормированным.
Рассматривая произведение (1.1), можно видеть,
что при изменении знаков векторных частей сомножи-
телей меняется знак при членах с Zq и цо, а знак де-
терминанта не меняется. Меняя строки Z и д в детер-
минанте местами, получаем кватернион, векторная часть
которого изменила знак: (А ° М); очевидно, что он по-
лучается от умножения М на А:
14° (А ° М) = М о А, т. е. сопряженное произведению
двух кватернионов равно произведению их сопряжен-
ных значений, взятых в обратном порядке.
Используя полученное правило, найдем величину
нормы произведения:
15° || А ° М || = А о М о (ATM. =
= А ° М о М о А = А ° || М || о А = || М || о А о А —1| М || о || А ||,
поскольку ||М|| есть скаляр. Отсюда следует, что норма
произведения двух кватернионов равна произведению
норм сомножителей.
По индукции можно доказать, что свойства 14° и 15°
сохраняются для случая п сомножителей:
(А^Аг® ... ’A„)=ABoA„_jo ... °A|,	(1.3)
II а, о А2о ... о А„ || = || Aj IHIА2II... II А„||.	(1.4)
Полученные свойства позволяют получить также
следующее:
16° Произведение двух кватернионов равно нулю
только тогда, когда один из сомножителей равен нулю.
Действительно, если А»М = 0, то||А<>М||=0, отку-
да || А |)|| М ||=0. Поскольку (IА || и || М || являются скаля-
рами, то последнее соотношение указывает на то, что
либо || А || = 0, либо || М || = 0, что возможно, когда А = 0
или М = 0 соответственно. Из этого же свойства сле-
*) Для бикватернионов это не выполняется.

АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ
17
дует, что произведение нормированных кватернионов
дает также нормированный кватернион.
Пусть даны два известных кватерниона А и М и
кватернион N определяется как результат их умноже-
ния, т. е.
N —А°М.
Приравнивая в формуле умножения (1.1) элементы при
единицах iI( i2, 13, имеем
v0 = Л.0И0 —	— ^2^2 — ^“ЗР-З, '
vi = AyHi +	+ АгИз — ^зИг, (I	g)
Q	v2 = Л0ц2 +	+ ^зИ1 — Л1Нз>
.	v3= ?оц3 + А.3Цо + ^iH2 —
Если же заданы кватернионы N и А (или М), то для
•J определения кватерниона М (или А) необходимо опре-
делить операцию деления кватернионов.
В координатах эта операция равнозначна решению
3; системы линейных алгебраических уравнений (1.5) от-
носительно неизвестных (или 7.г); решение системы
возможно, если детерминант системы не равен нулю.
Если А — не равный нулю кватернион, т. е. ||А||#= 0,
то, следуя определению нормы 13°, получаем
17; Кватернионом, обратным данному кватерниону А.,
называется кватернион А —	, для которого вы-
полняется равенство
А о А 1 = А 1 ° А = 1.
Исходя из этого, уравнение N = A M при неизвест-
ном М можно решить следующим образом: умножим
слева данное равенство на А-1, в результате чего по-
лучим
А-’оАоМ = М = A~’oN = 4^-.
IIАII
Для случая неизвестного А толучаем аналогично

18
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. т
Найденное решение соответствует решению системы
линейных уравнений (1.5).
Следует отметить, что формулы для получения А
и М несимметричны; это связано с некоммутативностью
умножения. По этой причине нельзя использовать сим-
N
метричную запись деления кватернионов в виде -у или
N
Отметим также, что полученные решения являются
единственными, ибо если есть еще одно решение, на-
пример M1 = A~IoN, то справедливо соотношение
АоМ, = АоМ, т. е. А°(М1 — М) = 0, откуда следует,
что Mj — М = 0(см. 16°).
Свойство 15° указывает на то, что если M = A-1oN,
то для их норм выполняется равенство || М || =	•
Кватернион, обратный произведению кватернионов,
находится следующим образом:
N“1 _ N __ (А»М) _ М°А __м-1 .-1
l|N||	"||А°М||	||M||o||Aj|
И	_______________
(А1ОА2О ... оА„)-'	°t4- =
v 1	2	п> I|Aj°A2° ... ° А„ II
= Аф‘оАф21О ... о АГ1. (1.6)
Рассмотрим, далее, произведение кватернионов,
имеющих нулевые скалярные части, т. е. произведение
«векторов». В соответствии с формулой умножения
(1.1) получим
*1 ^2 *3
X, о у,------— Х2ц2 — X3JX3 +
Aj л2
Х3 .
Hi Нг Нз
Скалярная и векторная части полученного произве-
дения равны:
sqal (X о р) = — (Х1Ц1 + Х2ц2 + Х.щ3)
vect (X о ц) =
h h h
л I Х2 л3 •
Hi И2 Нз

§ 1.1]
АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ
19
Чтобы иметь геометрическую интерпретацию в трех-
мерном базисе й, i%, й (рис. 1.2), положим
X=Xi1, ц = Ц (й cos ft X i2 sinft).
Произведение этих кватернионов равно
А. о р, = Zpi (— cos fl X i3 sin ft),
откуда имеем
sqal (X о ji) = — Хц cos ft,
vect (X ° ц) = i3Xp sin ft.
Рассматривая правую ортогональную систему осей
й, й, й (см. рис. 1.2), можно видеть, что понимаемое
в обычной векторной алгебре
[28] скалярное и векторное про-
изведения двух векторов равны
соответственно:
X  ji — — sqal (X о ц),
X X ji = vect (X о и)
(точкой будем обозначать ска-
лярное произведение, знаком
X — векторное, а знаком о —
кватернионное умножение).
Перемена мест сомножителей
не меняет скалярной части про-
изведения, но меняет направление орта й; отсюда сле-
дует:
sqal (X о ц) = sqal (ц ° X), vect (X о ji) = — vect (ц ° X).
Полученные соотношения позволяют получить:
2 sqal (X ° ц) = —2Х  и = X о и X ц о X, 1
2 vect (X ° ji) = 2Х X И = X ° ц — ц о X. J
Используя символы скалярною и векторного произ-
ведений, приведем формулу умножения двух кватер-
нионов (1.1) в следующем виде:
Хо ji= - X  ц -X X ХИ,	1
А о М = ХцЦо — X  ji X XqH X НоХ х х X И- J

20
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. !
Эти соотношения устанавливают соответствие между
векторной алгеброй и алгеброй кватернионов,
В заключение рассмотрим формулу умножения трех
векторов.
Обращаясь к (1.2), получаем
sqal (X о р о v) = sqal (р ° v о X) = sqal (v о X о р).
Поскольку (X ь Р о V) = ( — V) О ( — р) о ( — X) = — V О U О X
и скалярные части кватерниона и его сопряженного
совпадают, а для векторных частей они отличаются зна-
ком, справедливы следующие равенства:
sqal (X о р о v) = sqal (X о р о v) — — sqal (v ° р ° X),
vect (X о р о v) = — vect (X ° р о v) = vect (v ° р ° X).
§ 1.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАТЕРНИОНА НА СФЕРЕ
Любой кватернион с действительными элементами
А — Хо -ф Xjij X2i2 X3ij
может быть представлен в следующем виде:
А = Л + W1 + ^дг'Л (^ +	’ О-10)
где Л= VКп + X? + Х2 + Хз = У|| А || =| Л | носит на-
звание тензора данного кватерниона. Очевидно, что тен-
зор единичного кватерниона равен единице. Величина
Хо 1 X
~ называется верзором кватерниона; смысл вер-
зора будет выяснен позднее, пока лишь заметим, что
это-—кватернион, норма которого равна единице. Введем
единичный вектор g, направленный по вектору X:
у._______X_______Xhi 4~ Х;/; ~Ь Х313
/xf + x22 + xj - У х, + х| + х?
С учетом этого вектора векторная часть верзора может
быть записана в таком виде:
X _у Ух? + х2 + х|
6 Л '

§ 1 2!
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАТЕРНИОНА НА СФЕРЕ
21
Замечая, что квадрат скалярной части верзора и
квадрат коэффициента при £ в сумме дают единицу,
введем следующие переменные;
Ал	V'a? “I- Ал + Ат
cos -О' = -д-, sin -О' =---, О 0 < я.
С учетом этих обозначений кватернион (1.10) может
быть представлен в следующем виде:
A = A(cos0 + £ sin0).	(1.11)
В выражении кватерниона (1.11) знак угла О опре-
деляется выбором знака единичного вектора g, т. е.
выбором его направления (по сути дела, в выражениях
для t, и sin О следовало бы поставить знаки ±); пока
мы не будем устанавливать однозначности выбора по-
ложительного направления отсчета угла О и положи-
тельного направления единичного вектора g.
Представление кватерниона в форме (1.11) удобно тем,
что позволяет легко находить корни уравнения А"=М.
Действительно, поскольку =	=—1 (в чем пред-
лагаем убедиться непосредственно вычислениями), то
А2 = А о А = Л2 (cos 0 + g sin 0)2 == Л2 (cos 20 + g sin 20)
и для любой степени п справедлива формула Муавра
Ага = Ага (cos /10 + £ sin «0).
Решение уравнения Л" == М возможно в том слу-
чае, когда вектор ц направлен по вектору g; само ре-
шение в этом случае аналогично решению сходного
уравнения в теории комплексных чисел, и мы не будем
здесь на нем останавливаться.
Представление кватерниона в форме (1.11) позво-
ляет получить наглядную геометрическую интерпрета-
цию кватерниона.
Рассмотрим нормированный кватернион
А = cos0 + £ sin0.
Этот кватернион может быть представлен в виде
произведения некоторых двух векторов Ьосг1, удовлет-
воряющих следующим условиям:
1) а~Ь, а=УЙ Ь= /Ий;
2) угол между векторами а и b равен 0;

22
КВАТЕРНИОНЫ И „X СВОЙСТВА
[ГЛ. 1
3) плоскость аЬ перпендикулярна к единичному век-
тору g;
4) векторы a, b, g образуют правую систему осей
(рис. 1.3).
Имея в виду свойство 1), можем написать
А = cos 6- 4- £ sin 0- =
ab cos О + sin О
Величины об cos 0 и gaOsin-fl' можно представить в
виде скалярного и векторного произведений а-b и а%Ь
соответственно (результат векторного произведения в
правой системе координат направлен по вектору £).
Исходя из этого, получаем
а-Ь + аХЬ _________ — sqal (a°b) + vect (а° Ь)
II а II “ И ~
sqal (6°а) + vect (Ь°а) ______ b ° а _______b ° а
II «II — II «II ~~ II «II
b°a~l. (1.12)
Из рис. 1.3 следует, что когда
векторы а, Ь, g обра-
координат, угол Й < л отсчиты-
зуют правую систему
вается от а к b против на-
правления движения часо-
вой стрелки при наблюдении
с положительной оси g.
Принятые здесь определен-
ность выбора положитель-
ного направления единич-
ного вектора £ и соответ-
ствующее ему положитель-
ное направление отсчета
утла О- задаются только пра-
вилами векторного умноже-
ния векторов а и Ь, в принципе можно взять обратное
направление отсчета Ф и т. п.; однако установленной
здесь условности мы будем придерживаться в даль-
нейшем.
Из соотношения (1.12) следует, что каждому нор-
мированному кватерниону А может быть поставлена в
соответствие дуга большого круга сферы радиуса а = Ь,
имеющая направление положительного угла fl и соеди-
няющая концы векторов а и Ь (см. рис. 1.3). В связи
с этим кватернион А может быть однозначным образом
представлен дугой большого круга аге А, плоскость ко-

§ 1.2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАТЕРНИОНА НА СФЕРЕ
23
1 или
произ-
л, кватернион А =
;ктор £ может иметь
Л
Я
Рис. 1.4.
торого определяется вектором g, а длина — углом ft. На-
правление кватерниона задано направлением вектора £;
положение дуги А на ее большом круге произвольно,
т. е. дуга является скользящей (с произвольным нача-
лом отсчета).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Когда 4 = 0 или ft =
А = — 1 соответственно, и вс
вольное направление; этот
случай является исключи-
тельным, так как любой точ-
ке на сфере соответствует
А = 1 и любой половине
окружности А = —1. Еди-
ничному вектору £ соответ-
ствует четвертая часть боль-
шого круга. Если кватернио-
ну А соответствует агсА =
== то обратному, т. е.
сопряженному, кватерниону
А-1 = А = cos ft — g sin Ф
соответствует arc А, рав-
ная дуге (т. е. дуге
обратного направления, ибо
в этом случае такое направл
носитсльно вектора -). Кватерниону —А соответствует
кватернион
— cos ft — £ sin ft = cos (л — ft) — £ sin (л — ft),
т. e. дуга (см. рис. 1.3), идущая от диаметрально
противоположной точки зФ' к точке <$.
Рассмотрим, далее, операцию умножения кватер-
нионов и найдем ее представление на сфере.
Пусть даны единичные кватернионы Л. и М. Оба эти
кватерниона можно представить в виде (1.11) и в виде
дуг большого круга соответствующих длин. Дуга ква-
терниона аге А располагается на большом круге, пер-
пендикулярном к вектору к; дуга arc М — на большом
круге, определяемом вектором ц, Поместим конец дуги
аге А и начало дуги агсМ в точку зФ пересечения кру-
гов (рис. 1,4).
дуги положительно от-

24
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. 1
Введя векторы а, Ь, с, получаем
A = &oa-i) М = аос-1.
Дуга большого круга, соединяющая точки и <%,
определяет некоторый кватернион N = & = Очевид-
но, что
N = b ° с-1 = b ° а~1 о а ° с~‘ = A«M,
т. е. произведению кватернионов соответствует операция
геометрического сложения дуг на сфере\ агсМЧ-
+ arc А = аге (АоМ).
Поскольку кватернион А — скользящая дуга на сфе-
ре, то А равняется также a°f~{ (углы бГСлФ и
равны и определяются углом О’); аналогично кватер-
ниону М соответствует dear1;
отсюда следует, что произведе-
г/х ' \ /А нию М о А = d ° а~1 о а ° f~l =
\	।	== d о f соответствует дуга
/	\ / С/* представляющая кватер-
А, / А/ нион Nz—МоА, т. е.
ДсЛ7	arc А + arc М = arc (М о А).
Рис. 1.5.	Здесь особенно наглядно
видно, что происходит, ког-
да производится перестановка сомножителей при ум-
ножении кватернионов.
Аналогичным образом при геометрическом сложении
трех дуг больших кругов А, М и N имеем (рис. 1.5)
arc N 4- arc М 4- аге А == arc (А »Мо N),
так как
А = а°&_1, М = &ос-1,
N == с ° d \ А ° М о N = а °
Таким образом, векторная сумма нескольких дуг
больших кругов, каждая из которых задается кватер-
нионом, дает дугу большого круга, определяемую произ-
ведением этих кватернионов в обратном порядке.
Из условия, что точке на сфере соответствует ква-
тернион, равный 1, следует, что для замкнутого

§ 1.2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАТЕРНИОНА НА СФЕРЕ
25
сферического треугольника
arc N + arc М ф- аге А = О,
т. е.
arcAoMoN = 0 и А»МоХ=1,
В общем случае дуги, представляющие циклически
расположенные кватернионы Ap Л2,	А„, образуют
замкнутый многоугольник тог-
да и только тогда, когда
° A„_j ° ... oAj = 1.
Приведенное в этом пара-
графе представление кватер-
нионов в виде дуг на сфере во
многих случаях оказывается
весьма полезным. В качестве
примера предложим вывод
тригонометрических формул
сферического треугольника. Пусть для треугольника
(рис. 1.6) дано:
аге А 4- arc М = arc N = arc М о А,
А = а°& 1 = cos а + sin а,
М = с ° а-1 = cos р 4- ц sin р,
N = с о Ь~1 = cos у + v sin у,
(1.13)
где а, р, у — длины дуг кватернионов А, М и N,
Поскольку N — МоД, т. е. с ° Ь~1 — (с о а“') о (а о
то
(cos р + Ц sin р) ° (cos а + sin а) = cos у 4~ v sin у.
Заметим, что
jio Z — —ц • Z 4~ Н X = — Ъ  ц—= cos зФ—a sinз1,
где (л — д$)— угол между векторами ,ц и X, т. е. угол
при вершине а треугольника равен зФ (см. рис. 1.6),
Производя умножение (1.13) и приравнивая ска-
лярные части, получаем сразу же известную формулу
косинусов
cos у = cos р cos а 4~ sin р sin a cos

26
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. 1
Приравнивая векторные части произведения, полу-
чаем
ц sin р cos а + sin a cos р — a sin Л sin р sin а = v sin у.
Умножим полученное равенство скалярно на а;
в силу того, что aji = aX = 0 и а-а=1, получим
sin sin р sin а = — а - V sin у = — а • (& X с),
так как vsiny = &Xc. Отсюда
sin Л- _________________ a- (b \ с)
sin у	sin a sin р sin у ’
Последнее произведение не меняется при цикличе-
ской перестановке векторов и углов, следовательно,
имеем известную теорему синусов
sin ____________________ sin &  sin ‘g’
sin у	sin р	sin d
§ 1.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
Алгебра кватернионов позволяет представить конеч-
ный поворот (преобразование) в пространстве в про-
стой и удобной форме. Такое представление базируется
на следующей фундаментальной теореме [26, 49, 66].
Теорема 1.1. Пусть А м R — нескалярные кватер-
нионы-, в этом случае величина
R' = \aRo\-1	(1,14)
есть кватернион, норма и скалярная часть которого рав-
ны норме и скалярной части кватерниона R. Векторная
часть vect/?' получается вращением vect/? по конусу
вокруг оси vect А на двойной угол А. Так, если
А = A (cos у + g sin ,
то vect/?' получается вращением vect/? вокруг оси g на
угол
Доказательство. В соответствии со свойствами
нормы, имеем для нормы /?'
|)/?1=11 А о /? о A-1 |)=ll А IIII /? ||)) А~' 1=|| /? 1111А |||| А 1Г5=|1 /?|).
(1-15)

§ 1.3]
преобразование вращения
27
Аналогично, используя свойство (1.2), получаем
sqal 7?/=sqal (Л ° 7? ° A-i)=sqal (А-1 ° А ° 7?)=sqal 7?. (1.16)
Более того, записывая 7? в виде 7? = г0 + г, получаем
формулу (1.14) в следующем виде:
А ° 7? ° А-1 = Л о г0 о А-1 А ° г ° А-1 =
= Го + А ° г о А 1 = Го 4"	(1-17)
и
Я' = г0 + г',
т. е. операция (1.14) изменяет только векторную часть
кватерниона 7?:
vect (А ° 7? ° А-1) — А о (vect 7?) ° А”1
или
/ = АогоА-'.	(1.18)
Определим характер преобразования векторной части
кватерниона (1.17). Представим
де (1.11)
7? = | 7? | (cos qp + е sin ф) =
= 7? (cos ф + e sin ф).
Тогда, в соответствии с
(1.17), имеем
vect R'= r! =
= А ° (7?е sin ф) ° А-1 =
= /?sincf(A о е □ А~1) = А>/зтф.
кватернион к в ви-
Чтобы показать геометрическую суть преобразования
единичного вектора г', положим (рис. 1.7)
е = 7j cos ф + f2 sin ф,
а вектор кватерниона А направим по оси fb т. е. £ =
в этом случае
е,' ~ А з е ° А ' — (А ° ° A"1) cos ф + (А ° i2 ° А sin ф.

28
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
Поскольку vect А и ix параллельны, то А о ix ° А ’ =
= А ° А-1 ° ij = ij. Для i2 имеем
» . а -1	( ft । . . ft\ . ( ft . . ft\
А О 12 О А = I COS у + 11 Sin у] о 12 ° I COS-g — lx sm-g I =
/,	'0',, .	ft \ /	©	. .	ft \
= ^2 COS -g + l3 Sin	yj О (^COS — — l( sin	у ) =
. I ,	ft . 9 ft\	, .	. O'	.	ft\
= l2 ^COS"	у — sin2 у j	+ l3 ^2	sin у sin -gj ,
t. e. орт i2 переходит в орт
i2 = i2 cos 6- 4-1’3 sin ft,
получаемый путем вращения орта i2 вокруг оси ix (т. е.
вокруг £) на угол ft в положительном направлении.
Соответственно и е = ix cos ip + i2 sin ip переходит в
e' = i’i cos + i2 sin ip,
t. e. совершает вращение по конусу с осью g на угол ft.
Таким образом, доказано, что при преобразовании
(1.14) векторная часть R вращается по конусу вокруг
оси vect А.
Операция (1.14) изменяет только векторную часть
кватерниона — по этой причине ее можно рассматривать
как операцию преобразования вектора г в вектор г',
записываемую в виде (1.18). Поскольку норма кватер-
ниона не меняется преобразованием (1.15), то длина
вектора (т. е. его модуль г = ]/"|| R || — г2 = ]/г2 + г; + г2)
также остается неизменной:
Г' = V\\R'\\-{r^ = Уи/?Ц- Г2 = Г.
Отсюда следует, что преобразование (1.18) является
ортогональным преобразованием. Согласно теореме Эй-
лера [16]. любое ортогональное преобразование есть
вращение вокруг некоторой оси. Преобразование (1.18)
определяет сразу же ось этого вращения: этой осью яв-
ляется vect А = X, поскольку только эта ось не ме-
няется преобразованием
к' = А о 1 о д-1 = А о А-1 о 1

преобразование вращения
29
В соответствии с этим операции (1.18) и (1.14) бу-
дем называть операциями (преобразованиями) вращения.
Дадим координатное выражение преобразования
(1.14).	Пусть
R = /"о + rih	г2ь + г3i3,	R' = r'o + г if s + г^2 4" гз*з
и
Л — Ло + Aji] + ЩЙ + ^зФ-
Выполняя умножение (1.14) и приравнивая члены
при четырех единицах, получаем выражение компонент
кватерниона R' в виде линейной функции компонент R':
г'>= п>,
,	,2(^Л-Ш	2(;“Л + ЧЧ
г 1 — р	r id	д5 г 2-3-------Р	г 3’
z 2 (Х|Л2 + А0Л3)	. 2 (Л2Л3 — AqZj)
Г2 	Д2 rl d	Д2	Г2-Т	Д2	Г3’
г 2 (AjAg — AQA2) 2 (/Д-з "I" Vi) _i	— ^2
r 3 =----A2 ri "I-------А5 Г2' А? Гз"
(1.19)
Можно проверить, что детерминант преобразования ком-
понент векторных частей кватерниона равен единице.
В том случае, когда кватернион А, задающий пре-
образование вращения, есть нормированный кватернион
(||А|| = А“ = 1 и А ' = А), операции (1.14) и (1.18)
запишутся в таком виде*):
7?/=Ао7?оА; rz=A°roA. (1.20)
___	О1	О'
Пусть А = cos y-j- fesin y— нормированный ква-
тернион. Форму Ао( )оА можно рассматривать как
*) Преобразование (1.20) в случае, когда А не есть единичный
кватернион, дает наиболее общую форму преобразования простран-
ства: вращение и растяжение (величина последнего определяется А2).
Отсюда А получило название тензора («растяжителя») про-
странства, а А/А — верзора; однако эгп названия не употребляются
в наше время, так как в понятие тенз’ора вкладывается более широ-
кий смысл. Величину А будем далее называть модулем кватерниона.

30
кватернионы и их свойства
[ГЛ. 1
оператор вращения, задаваемый кватернионом А; под
преобразованием вращения, определяемым А, будем по-
нимать именно этот оператор; будем говорить также,
что кватернион А задает вращение на угол fl, понимая
под этим операцию (1.20).
Оператор А°( )®А определяет поворот на угол fl;
рассмотрим кватернион (—А); поскольку (—А)=—А,
то вращения А°( )°А и (— А)о( )о(—А) дают один
и тот же результат.
Кватернион
- А = cos (л — у) + (— £) sin (л — -у)
задает вращение на угол 2л — & вокруг оси —т. е.
в обратную сторону; при этом становится очевидным,
что результат такого вращения тот же, что и результат
вращения на угол й вокруг оси
Поскольку вращение А°А°( )°A°A=1o( )°1,
то вращение Ао( )°А задает поворот в обратную сто-
рону на угол fl, что, впрочем, о'чевидно, так как
ft	ft	/ ft \	/ ft \
A = cos — — g sin у = cos yj + gsin yj.
Пусть нормированный кватернион А задает поворот
на угол fl по оси Z, а нормированный кватернион М —
поворот на угол у по оси р. Последовательность пово-
ротов А и М соответствует оператору
М°А°( ) о А ° М = (М ° А) ° ( )°(МоА). (1-21)
Поскольку МсА также есть нормированный кватер-
нион, скажем,
М ° А = cos у 4- v sin у,
то результат двух последовательных поворотов экви-
валентен одному повороту на угол ф вокруг оси v; ось
результирующего поворота и угол находятся по компо-
нентам результирующего кватерниона по правилам их
умножения (1.5).
Таким образом, вращение А и последующее враще-
ние М эквивалентны одному вращению МоА. j5 более

§ 1.3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
31
общем случае последовательность вращений Л(, Л2, ...,Л„
эквивалентна одному вращению A.n°\n_[° ... оЛ2оЛ].
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Если Л = Х, т. е. 4=90°, то вектор
е' = ‘л - е-Ь = — X ° е ° X
получается поворотом е на 180° по конусу вокруг оси X.
Таким образом, преобразование — Хо( )оХ дает век-
тор, симметричный первона-
чальному относительно оси
X (рис. 1.8). Преобразова-	-------
ние Х° ( ) °Х дает вектор, -Лс$сЛ Г
обратный вектору —Х°
о ( ) оХ, т. е. может рас-	\	/
сматриваться как зеркаль-	\ /
ное отражение вектора от-	*—------------------
носительно плоскости, пер-	\
пендикулярной к X.	\
Последовательность двух	\
зеркальных отражений, оп-
ределяемых векторами X и	Рис. 1.8.
ji [т. е. последовательность
вращений Хо( )оХ и ji ° ( )°ц], эквивалентна одному
оператору
J1 О X О ( )oXoJl = Jl°Xo( ) О (jl О X)-1,
задающему вращение. Но так как ji ° X = — и • X — ХХи, то
ji о X = — cos qp — b sin qp = — (cos qp -ф- b sin qp),
где qp— угол между векторами X и ц.
Отсюда следует, что последовательность двух зер-
кальных отражений относительно двух плоскостей экви-
валентна вращению вокруг линии пересечения этих пло-
скостей па двойной угол между ними.
Вспоминая представление единичного кватерниона
в виде дуги большого круга единичной сферы, полюсом
которой является вектор кватерниона, можно видеть,
что операция вращения дает поворот, определяемый
двойным углом (т. е. двойной дугой) вокруг этого же
полюса.
Рассмотрим теперь сферический многоугольник;пусть
его стороны, обходимые последовательно (циклически),

32
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ.
представляют кватернионы А1; А>,	А„; в соответ
ствии с результатами § 1,2 имеем
А„о A„_f о ... °А( — I,
Поскольку (AfjoAfj-jo ... °А|)= I, то оператор
А„оА„_(О ... о Aj о ( )<>А|оА, о ... оАя=1о( )°1,
т. е. такая последовательность вращений Аь А2. А„
дает исходное состояние. Отсюда, в частности, следует
теорема Гамильтона — Донкина:
Если $4	— некий сферический треугольник, то три
последовательных вращения, определяемых дугами
23Е\ 2Ч£$4 и 2о43 (т. е. относительно их полярных
осей), приводят тело в исходное состояние.
§ 1.4. ГЕОМЕТРИЯ НА СФЕРЕ
Правила умножения гиперкомплексных единиц по-
лучаются довольно естественным образом: квадраты
мнимых единиц равны —1 и произведение един-
ственным образом может быть положено равным /3;
остальные правила умножения получаются из свойства
ассоциативности умножения *).
Эти правила определяют числа, имеющие двойной
смысл: с одной стороны, это некоторые геометрические
образы (векторы в четырехмерном пространстве), с дру-
гой стороны, это операторы преобразований в трехмер-
ном пространстве. Чтобы пояснить эти свойства ква-
тернионов, рассмотрим здесь некоторые задачи сфери-
ческой геометрии, которые исторически способствовали
открытию кватернионов.
*) Действительно, из этого равенства умножением получаем
Й °(Ц °Г) = Ц °i3 = (Л = — i:,
= Й 0(«2 0 *2) = — й-
Перемножим эти два равенства;
(Ч ° is)0 Оз ° h)	it0 (Й ° »з)0 й = — й 0 /. = — 13,
(й° is)0 (Г ° б) = й 0 Г — is0 (1 ° i')° ij ~ ~ ii0 is и т. д.
Можно проверить, что выполняются все правила умножения гипер*
комплексных единиц.

«1.41
ГЕОМЕТРИЯ ИА СФЕРЕ
33
Геометрия на сфере во многом напоминает геомет-
рию на плоскости. Так, если :Л и &— две точки на
сфере, то можно аналогично отрезку на плоскости рас-
сматривать величину	понимаемую как
расстояние между точками и <%, т. е. дугу большого
круга, идущую от точки д/ к точке 9L
Понятие разности двух точек как дуги, их соеди-
няющей, включает в себя и понятие суммы; очевидно,
что
($ —д/) + ^=^.
откуда следует
+	(1.22)
Смысл последней операции можно истолковать так:
дуга перемещает точку в точку !%. Здесь уже
появляется новый смысл, приписываемый дуге, а имен-
но, смысл оператора-, по этой причине дугу называют
также верзором.
Приведенное определение приписывает дуге
определенное направление: от точки з/ к точке <%. Под
дугой 91з4- понимается дуга
большого круга, идущая от
точки 9! к точке з&, т. е. дуга	.s I
обратного направления*): по-	\
скольку 9%зЛ = зЛ— 9 и	\
= ——= 0,	______
то	= — з4-9Л Данного опре- 9^
деления разности точек доста-
точно, чтобы задать сложение	Рис‘ 1,9>
и вычитание дуг на плоскости.
Рассмотрим уравнение (^ — ^) + (^ — ^) = (^ — $),
которое в соответствии с определением запишется как
W + W = ^,	(1.23)
т. е. сумма двух сторон сферического треугольника
равна третьей его стороне (рис. 1.9).
Две дуги будем считать равными тогда и только
тогда, когда они лежат на одном большом круге, а их
длины и направления равны. Равные дуги могут быть
*) Очевидно, что на большом круге есть две дуги, идущие от
точки с4- к точке Пока мы не будем делать различия между ними.
2 В. Н. Бранен,, И. П. Шмыглевский

34
КВАТЕРНИОНЫ II ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. I
совмещены движением по большому кругу, на котором
они находятся. Замечая, что в соответствии с этим опре-
делением (см. рис. 1.9) S№> = ёШ' и	полу-
чим, переставляя местами слагаемые в равенстве (1.23),
W + W =	= Л'Л',
т. е. получим новую дугу, не равную дуге Отсюда
следует, что сложение дут на сфере некоммутативно.
Сложение дуг коммутативно только тогда, когда они
лежат на одной дуге большого круга: в этом случае
сложение сводится к простому арифметическому сло-
жению.
Вычитание дуг может быть получено из сложения
заменой знака одного слагаемого; так, рассмотрим раз-
ность 'fist— (см. рис. 1.9); поскольку ёУё —
то
w - w =	=ёл + дуё =
Поставим в соответствие каждой дуге з>/Д? ее полюс,
при наблюдении с которого вращение от точки з/
к точке $ происходит против направления движения
часовой стрелки. Этим самым осуществляется различие
между двумя путями от з/ к $ (на угол fl и 2л — fl),
так как каждому пути будет соответствовать свой
полюс.
В геометрии сферы существуют два ряда образов,
для которых справедливы все теоремы: это дуги боль-
ших кругов и их полюсы. Соответствие полюса дуге его
экватора, т. е. соответствие точки дуге, оказывается на-
столько адекватным, что необходимо ввести в извест-
ном смысле их равенство.
Действительно, ранее было дано определение дуги
как разности двух точек, однако операция собственно
сложения точек еще не определена. Чтобы остаться в
рамках того положения, что «аддитивность» точек дает
дугу, необходимо сделать новую предпосылку. Положим
точку и дугу однородными между собой, т. е. каждой
точке, как полюсу, сделаем равной положительную
дугу экватора длиной л/2 (квадрант). Покажем, что
введенная предпосылка оставляет в силе рассмотрен-
ные выше правила.

5 1.41
ГЕОМЕТРИЯ НА СФЕРЕ
35
Действительно, —з^ = з^$,	и з^ — ёЧ?,
т. е. ючки равны своим верзорам-квадрантам
(рис. 1.10).
Имеем
= = = <№),
и действительно, ^Ф = з^Я, так как они лежат на одном
большом круге и длины дуг и з1Ъ равны я/2.
Далее, справедливо также равен-
ство (Я — з/) + :Л = так как	х/\
и з4- = (5%,	\\
откуда следует, что	\ \
(7J — з!) + зФ = 3<Ш + з£= с
= ГЗб + Ж = %Ф = %.
Любой точке 3& на сфере	Рис. 1.10.
соответствует ее антипод з$',
антиподу з£' соответствует верзор обратного направ-
ления, т. е.
з$ + з$'=0 и з>/= —З'/С
нетрудно видеть, что эти равенства справедливы и для
дуг-квадрантов этих точек. Исходя из этого, можно об-
ратить сумму двух точек в их разность и тем самым
определить ее. Рассмотрим, например, сумму
<8 + Л- = Я — зФ'—зФ'$ = {з4$ + зФз4-г) = з4Л% + л, (1.24)
где через л обозначена дуга з$з$7, равная половине
большого круга. Меняя местами $ и з^, имеем
3,fl Л = W -ф- л,
но так как -J-л равно —л, поскольку дуга не меняется
от добавления 2л, получаем
з^ + $ = -	4- л) = - ($ + з4\
Итак, сумма двух точек есть также дуга (верзор),
не равная, вообще говоря, квадранту, поэтому сумма
(как и разность) не равна, вообще говоря, точке. Сум-
ма меняет знак при перестановке слагаемых,
2*

36
КВАТЕРНИОНЫ II ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. 1
Существует единственный случай, когда сумма и
разность точек дают точку. Пусть Зъ 32, З3 — три
точки сферы такие, что дуги З'дЗ'з 11 З33х СУТЬ
квадранты с положительными полюсами в точках З3,
3I и 32 соответственно (рис. 1.11).
В этом случае
3 I -ф ^2 == 323 I -J- 5т = Siх3 2-
Но, поскольку, по определению, Si\3'2 = Sii — Зх = 33,
то 3\ +^2 = 5^3- Из полученного соотношения сле-
дует, что сумма или разность двух точек определяет
снова точку только тогда, когда угол между ними ра-
вен л/2. Меняя циклически 3 х, 32 и З3, получаем
^+^2 = ^3,	^2 + ^з = ^ь ^з + 3Х = 3,. (1.25)
Поскольку для антиподов квадранты меняют направле-
ния, имеем
32 + 3х = 3'з, З3 + 32 = 3\, Зх + З3 = 3'2. (1.26)
В этих формулах также можно найти двоякий смысл
точки и верзора: кроме непосредственного геометриче-
ского образа, точку (верзор) можно понимать как опе-
ратор вращения. Так, первое слагаемое является опе-
ратором, переводящим второе слагаемое в результат:
Зх вращает точку 32 на одну четвертую часть круга,
после чего она совпадает с З3, и т. п.
Теперь можно доказать теорему о вращении.

ГЕОМЕТРИЯ НА СФЕРЕ
37
$ 1-4]
Пусть на большом круге сферы даны пять точек
S',	$>, 3), SS, отделяющих равные дуги (рис. 1.12).
Положим, что имеются две совпадающие сферы — под-
вижная и неподвижная. Повернем подвижную сферу во-
круг оси С на угол л; точка & при этом совместится
с точкой S'. Повернем, далее, подвижную сферу вокруг
оси С& на угол л; при этом точка д/ совпадет с точ-
кой S), а точка S' (т. е. — с точкой Ж. В этом ко-
нечном положении дуга д/Й? окажется смещенной по
дуге большого круга до положения т. е. смещен-
ной на дугу = 2д/Ф7 Первый поворот является по-
воротом на двойной квадрант д/, т, е. на 2.;У, второй —
соответственно на 2^.
Отсюда следует, что сумма вращений 2^4"2д£
эквивалентна вращению на дугу 2д/^, т. е.
2^ + 2д^ = 2дО
[последнее следует также и из (1.24), поскольку пово-
рот на угол 2л приводит к начальному положению].
Точно так же можно показать, что
2^ + 2^=2W,
а следовательно, выполнив последовательно два таких
вращения, получим
2"С + 2^ + 2$ + 2д/ = 2W + 2дЖ
Очевидно, что вращение 2J? + 2$ приводит к исход-
ному состоянию; кроме того, 2<₽| + 2д/= 2д/‘₽|, откуда
2^ = 2Ж + 2дО,	(1.27)
т. е. результат последовательных вращений сферы на
удвоенную дугу 2дО около ее положительного полюса
и на удвоенную дугу 2.W около ее положительного
полюса всегда эквивалентен вращению сферы около
третьей дуги сферического треугольника д7^^, а имен-
но, на удвоенную дугу 2д/^ около положительного по-
люса дуги д/'?’. Следовательно, если между тремя вер-
зорами л, о, т существует соотношение .л + о = т, то
всегда по отношению к вращению будет иметь место
условие
2л -ф 2о = 2т.

38
КВАТЕРНИОНЫ И ИХ СВОЙСТВА
[ГЛ. 1
Из того соображения, что эта эквивалентность незави-
сима от начального положения сферы, следует ассоциа-
тивность сложения вращений.
Полученного материала достаточно, чтобы перейти
к изучению операций над векторами в пространстве.
Свяжем с каждой точкой радиус-вектор. Необходимо
поставить в соответствие найденным операциям сложе-
ния верзоров и точек операции над векторами. По-
скольку сложение верзоров некоммутативно, ему может
соответствовать только операция умножения векторов;
по этой причине сферическое сложение назовем умно-
жением, а вычитание — делением.
Обозначим векторы точек зФ, S’, лежащих на еди-
ничной сфере, через сц, blf ct. Можно показать, что при
приведенном нами определении действий над векторами
сохраняются все основные положения, задающие дей-
ствия над точками. Под частным двух векторов
= b1oa~i будем понимать разность точек $— з4, т. е.
верзор Очевидно, что соотношение сферического
треугольника (1.23) при этом со-
храняется: соотношению (д/— '?’) +
+ (^ -- ^) = SffL + ЗЯ? = 31 з? соот-
ветствует равенство
Щ О С1"1 О Cj о Ь\1 = О; О Ь\\
т. е. произведение двух частных
дает частное того же типа.
Поскольку точке, например, S’
рнс. из. (рис. 1.13), соответствует верзор
.Фг = Я — Я, то каждому вектору
С] соответствует частное я°пг‘, т. е. ct = п° т~1. Оче-
видно, что антиподу S' соответствует вектор с\, противо-
положный вектору с1( т. е.
С1 = — с1.
С другой стороны, так как точке S' соответствует
верзор ЯЯ = Я — Я, то c! = ffl»fl“1, откуда следует,
что с1ос(=1, что и должно быть, так как для верзо-
ров S + S! = 0.
Полученное соотношение показывает, что вектор с),
противоположный вектору clt удовлетворяет условию

§ Mi
ГЕОМЕТРИЯ НА СФЕРЕ
39
С] = с^!, ибо только в этом случае с[ос'\ = \. Но, с дру-
гой стороны, с\ = —С[, откуда следует, что ° (— Cj)= 1
и с1°с1=— 1, т. е, квадрат любого вектора (единич-
ного) равен —1,
Эти положения позволяют для системы трех орто-
гональных единичных векторов л, /2, is, которые прохо-
дят через точки ЭТ, Э'г, Э'з (см. рис. 1.11), получить, в
соответствии с (1.25) и (1.26), следующие соотношения:
i [0 i j =z 1 ,	t2 ° i"2	— 1 >	is ° is == — 1>
ii°i2 — is,	i2°^3“*i>	is°ii~i2,
i2° ii = is—~ is, i3°i2=i'i = ~ii, ii ° is~ ~ i2, 
(1.28)
где i'j — векторы противоположных направлений.
Найденные правила умножения единичных векторов
можно перенести на умножение произвольных векторов
в пространстве. Для этого представим произвольный
вектор а в виде
а = аа,,
где а>— единичный вектор, а а — число (скаляр), кото-
рое назовем тензором вектора. Рассмотрим частное двух
векторов, а.= аа, и & =	которое обозначим че-
рез Л:
Л = ~ = а о Ь '1 == ~ а1 ° &Г1.	(1.29)
О	р
Первый фактор полученного частного а/|3 называется
тензором, а второй д =	—верзором. Частное Л зави-
сит от отношения длин векторов, от угла между ними
и от положения плоскости, а поскольку положение пло-
скости определяется двумя параметрами, то для опре-
деления Л нужно всего четыре параметра — по этой
причине Л называется кватернионом.
Ортогональные единичные векторы ilt i2, i3 (1.28)
являются поэтому также кватернионами. Правила их
умножения обнаруживают тот двоякий смысл, который
присущ кватернионам: с одной стороны, они суть неко-
торые геометрические образы, с другой, — операторы.
Так, в произведении ii ~ i2 можно первый множитель
рассматривать как оператор,воздействующий на вектор

40
КВАТЕРНИОНЫ II ИХ СВОЙСТВА
(ГЛ, 1
t2 и переводящий его в вектор i3. Поскольку ква-
тернион (1-29) определен как частное, то если угол
между векторами а и b равен углу между векторами с
и d, отношения а'Ь и c/d равны и, кроме того, плоско-
сти, образуемые парами векторов а, b и с, d, совпадают
(рис, 1,14), то их отношения
а ° Ь~[ = с ° d~x
образуют один и тот же кватернион. Таким образом
кватернион определяется плоскостью, образуемой вею
торами а, b и углом между ними.
Заметим, что так как верзору л/2 соответствует
точка (вектор), то частное двух взаимно перпендику-
лярных отрезков есть вектор. С другой стороны, если
векторы а и & коллинеарны, то их частное есть просто
действительное число.
Рассмотрим случай произвольного угла между век-
торами а и b (рис, 1.15), Вектор а можно разложить
на сумму а = «о + в этом случае
А = (а0 +	0	= а0°	+ ап° Ь~1
будет представлять сумму действительного числа, рав-
ного отношению модулей ао/Ь, и вектора, Отсюда сле-
дует, что каждый кватернион может быть единственным
образом разбит на скалярную и векторную части. Не-
трудно видеть, что скалярная часть (1,29) равна
а0 a cos ft а п
-T = -T- = Jc°s<l)
„	а , „
модуль векторной части аналогично равен -p-sinv.
Если разложить, далее, вектор кватерниона по орто-
гональным единичным осям ib z2. h, то придем к тому
представлению кватерниона как гиперкомплексного
числа, с которого начиналась эта глава.

ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
В настоящей главе будут рассмотрены ортогональ-
ные преобразования, которые являются математической
формой описания вращательного движения твердого
тела [16, 44, 66].
Произвольное конечное движение твердого тела может
быть разложено на поступательное перемещение, связан-
ное с некоторой произвольно выбранной точкой, и враще-
ние относительно этой точки. Соответственно этому из
шести независимых координат, описывающих движе-
ние твердого тела, три координаты задают перемеще-
ние некоторой фиксированной точки тела в простран-
стве, а три координаты характеризуют его вращение.
Нас будет интересовать только вращение твердого
тела относительно фиксированной точки. Эта про-
блема является самостоятельной задачей механики;
решение этой задачи требуется при исследовании лю-
бого движения тела, когда учитываются его конечные
размеры. В большинстве практических случаев враща-
тельное движение не зависит от поступательного пере-
мещения твердого тела; так, например, когда фиксиро-
ванная точка является центром масс, тело находится
в свободном движении в произвольном поле сил,
При решении любой динамической или кинематиче-
ской задачи, где твердое тело не может быть представ-
лено точкой, требуется рациональное описание кинема-
тики вращательного движения. Существенную роль при
этом играет выбор кинематических параметров, соот-
ветствующих трем вращательным степеням свободы
движения твердого тела. Известен ряд различных ки-
нематических параметров, используемых для описания
движения твердого тела: направляющие кош. .усы, углы
Эйлера и Крылова, параметры Кейли — Косина, пара-
метры Родрига — Гамильтона [19, 31, 44]. Одними из
наиболее удобных параметров являются параметры

42
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ГЛ, 2
Родрига — Гамильтона, представляющие собой компо-
ненты кватерниона. Эти параметры не вырождаются
при любом положении твердого тела (т, е, не обра-
щаются в бесконечность ни сами параметры, ни скоро-
сти их изменения), в отличие от углов Эйлера. Число
параметров Родрига — Гамильтона равно четырем, т, е,
имеется одно уравнение связи, в отличие от шести урав-
нений связи в случае направляющих косинусов, С дру-
гой стороны, эти параметры характеризуют наиболее
естественный способ задания положения твердого тела
с помощью плоского вращения.
Конечное вращение твердого тела (т, е. движение
тела, имеющего неподвижную точку) имеет ту особен-
ность, что оно всегда оставляет неподвижной в про-
странстве одну ось. Этот факт устанавливается извест-
ной теоремой Эйлера; в соответствии с ней любое вра-
щательное движение твердого тела эквивалентно пло-
скому вращению вокруг некоторой оси и может быть
задано конечным поворотом вокруг этой оси, или век-
тором конечного поворота, направленным по оси эй-
лерова вращения и имеющим длину, зависящую от угла
вращения. Плоское вращение имеет один и тот же угол,
не зависящий от центра вращения; при этом, естествен-
но, оси вращения остаются параллельными друг другу,
В этом смысле вектор конечного поворота является ин-
вариантом произвольного перемещения тела, В частно-
сти, произвольное перемещение можно разложить на
два поступательных перемещения — вдоль оси вектора
поворота и в плоскости вращения — и собственно вра-
щение, Выбором оси (или центра) плоского вращения
можно поступательное перемещение в плоскости враще-
ния свести к нулю (т, е. объединить его с вращением; при
этом ось вращения становится так называемым центром
вращения)', в этом случае произвольное перемещение
твердого тела сводится к винтовому движению [19].
Вектор конечного поворота определяет параметры
Родрига — Гамильтона (так же, как и параметры Кей-
ли — Клейна).
Применение такого рода кинематических парамет-
ров естественным образом приводит к использованию
кватернионов. Кватернионы дают аппарат, позволяю-
щий наиболее удобным образом записывать все one-

§ 3 !j
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
43
рации, связанные с описанием и исследованием движе-
ния твердого тела.
В этой главе рассматриваются ортогональные пре-
образования, являющиеся в соответствии с теоремой
Эйлера конечными поворотами. Устанавливается изо-
морфное соответствие операции ортогонального преоб-
разования и операции умножения кватернионов. При-
менение кватернионов позволяет наиболее полным об-
разом исследовать теорию конечного поворота. В част-
ности, все известные результаты теории конечного по-
ворота [31] получаются в виде операций умножения
кватернионов. Использование кватернионов позволяет
получить ряд новых результатов: теорему сложения
преобразований (поворотов) для параметров Родрига—
Гамильтона, обобщение теоремы переставимости конеч-
ных поворотов и т. д.
С другой стороны, полученные формы операций над
кватернионами, соответствующие ортогональным преоб-
разованиям, имеют достаточно универсальный вид и по-
вторяются при записи аналогичных операций в любых
параметрах. Приведенное ниже исследование связи па-
раметров Родрига — Гамильтона с другими кинемати-
ческими параметрами довольно четко иллюстрирует
этот факт.
Развитый в этой главе аппарат позволяет в удоб-
ной форме представлять все операции, связанные с ор-
тогональными преобразованиями.
§ 2.1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Вращательное движение твердого тела может быть
описано различными способами. Наиболее общим из них
является способ, при котором ориентация твердого тела
определяется ориентацией связанной с телом ортого-
нальной (декартовой) системы координат.
Будем считать, что с твердым телом жестко связана
прямоугольная система координат Е, имеющая единич-
ные векторы е2, е3. Движение тела рассматривается
относительно прямоугольной системы координат / с ор-
тами осей Г, i2, i2. Системы координат Е и / будем на-
зывать соответственно связанным и неподвижным ба-
зисами; будем считать, далее, что начала обоих базисов

44
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
расположены в одной точке, вокруг которой осуществ-
ляется движение твердого тела.
Положение любой оси eh базиса Е в системе коор-
динат / определяется тремя направляющими косину-
сами, образуемыми этой осью с осями ij (k, j=A, 2, 3):
' i[>	' *2>
Система девяти направляющих косинусов определяет
полностью ориентацию связанного базиса Е относитель-
но исходной системы координат /; расположим эти ко-
синусы в матрицу размера 3X3, называемую матрицей
направляющих косинусов'.
а31	а32	°33
Любой орт связанной системы Е может быть выра-
жен через орты базиса / с помощью соотношений *)
= (ek ' h) С + (ek ' 4) h + (ek ‘ С)	(2.2)
Данное соотношение является одним из способов зада-
ния движения твердого тела, т. е. преобразованием од-
ной координатной системы в другую.
Рассмотрим теперь, как направляющие косинусы по-
зволяют выразить компоненты некоторого неизменного
вектора в системе координат Е, если известны его ком-
поненты в системе /. Пусть г — неизменный вектор, а
rf и r'k — его проекции на базисы / и Е соответственно.
Очевидно, что
г =	+ r2i2 + r3t3 = r\ex + r'e2 + r'3ey
*) Отметим для справки, что определяемые соотношением (2.!)
элементы akl суть ковариантные составляющие вектора ес в базисе /;
разложение же вектора е;. на орты базиса задается контравариант-
ными компонентами ek в базисе I. Для ортогональных систем коор-
динат Е и I ковариантные и контравариантные компоненты совпа-
дают [28], благодаря чему возможна формула (2.2).

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
45
§ 2 !
Отсюда легко получить, что
г' = г  е, = гл.  е. + г л,  е. 4- гл.  еь,
k	к 11 k 1	2 2 я' 33
т. е.
з
r'k=^ak!rj.	(2.3)
Очевидно, что преобразование (2.3) может опреде-
лять преобразование системы координат; это есть другой
способ задания преобразования базисов, когда описы-
вается изменение компонент неизменного вектора, зада-
ваемое соотношениями (2.3), тождественными соотно-
шению (2.2).
Соотношения (2.3) являются уравнениями линейного
преобразования, определяемого матрицей	Ввиду
того, что это преобразование описывает движение твер-
дого тела, матрица (2.1) является матрицей ортогональ-
ного преобразования; элементы ац удовлетворяют изве-
стным условиям ортогональности:
з	з	р при j = k,]
2 S ==--6/* = Q при .^k J. (2.4)
Условия ортогональности являются отражением свой-
ства твердого тела сохранять неизменным расстояние
между любыми его точками. Неизменность длины век-
тора г означает, что должны выполняться равенства
3/3 V 3	\	3/3	\
= 2 I 2 aiir! ) 3 aikr k I ~ S aljaik Ir (2.5)
2=1 \/=l	/ \fc=l / I, A=1	/
откуда и следует первое соотношение (2.4).
Рассмотрим обратное преобразование, переводящее
базис Е в базис /; оно будет определяться матрицей
А =|а//||, обРатной матрице А. Аналогично соотно-
шениям (2.2) и (2.4) обратные преобразования могут
быть записаны в виде равенств, связывающих орты

46
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
базисов Е и /, или в виде соотношений между проек-
циями неизменного вектора на эти базисы:

(2.6)
Повторяя вывод (2.5), можно получить, что элементы об-
ратной матрицы должны также удовлетворять условиям
ортогональности
= <2-7)
С другой стороны, рассмотрим следующее представ-
ление вектора г:
з	з	з/з \
Г = 2	= 2 г'е. = 2 г'. 2 а!Л •
(=1	/=1 ’ 1	‘ \fe=l /
Изменим порядок суммирования в полученной сумме,
при этом вначале будет происходить суммирование по
второму индексу, а затем по первому:
т. е., во-первых, происходит транспонирование матрицы
А, во-вторых, получаем, что
Сравнивая полученное соотношение (2.8) с равен-
ствами (2.6), можно видеть, что
aik~akj’	(2-9)
т. е. элементы обратной матрицы равны элементам тран-
спонированной матрицы, Очевидно, что при этом равен-
ство (2.7) переходит во второе условие ортогональности
(2.4). Кроме этого, условия (2.9) сами по себе являются
условиями ортогональности, совершенно эквивалент-

§ 2 I]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
47
нымп”) условиям (2.4); обозначая транспонированную
матрицу |к/,г,.[|= Ат и обратную ||a'jk|! - к 1, запишем
условие (2.9) в виде
А"' = АТ.	(2.10)
Условия ортогональности следуют и непосредственно
из соотношений (2.2) и (2,6), если учесть, что для орто-
нормированного базиса выполняются равенства
Ч  lk=^jk, ei  es = bls.	(2.11)
Подставляя в эти равенства выражения для ортов (2.2)
или (2.6), получим непосредственно условия (2.4), кото-
рые, очевидно, есть отражение условий ортогональности.
Для удобства задания преобразований используем
матричную символику. Введем матрицы-столбцы, состав-
ленные из единичных векторов и е^, которые обозна-
Используя операции умножения матриц, преобразование
(2.2) можно записать в таком виде:
Е = А1, 1 = А Е —АЕ.	(2.13)
Введем также матрицы-столбцы, составленные из
компонент вектора г в каком-либо базисе, т. е. из вели-
чин fj и гр
В этом случае представление (2.3) может быть записано
в матричной форме:
г =	= ETR' = RTI = ITR, (2.14)
И Эю можно проверить непосредственно, вычисляя элементы
обратен матрнны. которые равны соответствующем дополнениям;
при -лом равенства (2.9) выполняююя при наличии равенств (2.4)
ч обра пю

48
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
и эти соотношения могут быть легко получены с ис-
пользованием введенной матричной символики*):
ETR' = (AI)TR'=ITATR'«1TR,
откуда
R = ATRZ, R' = AR	(2.15)
(здесь АТА = ААТ—1, где 1 = || дц |) — единичная ма-
трица) .
Ортогональное преобразование в форме (2.13) и
(2.15) определяется матрицей А, которую можно рас-
сматривать как оператор, преобразующий I в Е (при
первом способе задания вращения), или как оператор,
задающий переход между компонентами неизменного
вектора при преобразовании базисов (при втором спо-
собе задания преобразования вращения). Очевидно, что
оба эти способа совершенно эквивалентны и достаточно
задать вращение любым из этих способов.
Однако существует еще один способ задания враще-
ния твердого тела, имеющий другую интерпретацию
ортогонального преобразования. Рассмотрим вектор,
положение которого не меняется относительно преобра-
зуемого базиса, т. е. вектор, совершающий вращение
совместно с системой координат. Очевидно, что такой
вектор изменяет свое положение в пространстве в ре-
зультате вращения базиса; соответственно этому век-
тор г при преобразовании базисов переходит в новый
вектор г'. Вектор г' можно определить, так как компо-
ненты вектора г в исходном базисе и компоненты век-
тора г' в преобразованном базисе одинаковы:
3	3
r=2oi/=RTI. r'= 2r/e/ = RTE. (2.16)
/=i	/=1
Используя соотношение (2.13), можно найти преобра-
зованный вектор
г' = RTE == RTAI = (ATR)T I = R'TI,
*) Используется также следующее свойство матриц: транспони-
рованная матрица произведения двух матриц равна произведению
транспонированных матриц в обратном порядке.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
49
§ 2.U
где R' — матрица-столбец компонент вектора г' в базисе
I. Из полученного равенства следует, что
R' = ATR,	(2.17)
а поскольку матрица Ат преобразует вектор г в вектор
г', ее можно рассматривать как оператор, задающий
преобразование векторов; при этом можно условно
записать
г' = Атг.	(2.18)
Полученное условное равенство (2.18) есть следствие
равенства (2.17), которое в матричной форме задает
компоненты нового вектора. Это — еще одна форма за-
дания движения, при которой задается вращение век-
тора относительно неподвижной системы координат.
Следует отметить, что преобразования (2.17) и (2.18)
суть форма общего аффинного преобразования (линей-
ного преобразования; см., например, [28]). Матричное со-
отношение (2.17) определяет следующее ортогональное
преобразование:
з
(2.19)
1=1
Важно отметить, что соотношения (2.17) или (2.18)
формально подобны соотношениям (2.15) или (2.3),
вследствие чего последние часто трактуют также как
операции преобразования вектора в вектор. Однако фор-
мулы (2.3) и (2.15) определяют координаты одного и
того же вектора в разных базисах, тогда как соотноше-
ния (2.17) и (2.18) определяют действительно разные
векторы в одном базисе (в нашем случае в базисе /).
Вследствие этого преобразование R в R'в случае (2.15)
выполняется матрицей А, а в случае (2.17)—обратной
матрицей Ат.
Операция (2.18) преобразования вектора в вектор
позволяет задать преобразование базисов еще и в
форме
ek = Mk (6=1, 2,3),	(2.20)
при которой каждый орт базиса / преобразуется в орт

50
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
базиса Е путем применения преобразования (2.18).
Можно проверить, что орты eh образуют ортогональную
систему осей. При этом следует отметить, что в первом
рассмотренном случае преобразования базисов (2.2) или
(2.13) орты нового базиса Е выражаются через орты
старого базиса 1, тогда как в преобразовании (2.20) ком-
поненты ортов нового базиса выражаются через компо-
ненты ортов старого базиса, причем эти компоненты бе-
рутся в одной и той же координатной системе.
В связи с этим нужно различать следующие возмож-
ные способы задания вращения твердого тела:
а)	преобразование задается в виде операции преобра-
зования базисов (2.2), (2.13) или, что то же самое, в
виде преобразования компонент неизменного вектора
при преобразовании базисов (2.3), (2.15); при этом вра-
щение вектора задается обратной операцией;
б)	преобразование задается в виде операции враще-
ния вектора (2.18) или (2.17). Если совместно с этим
происходит и вращение базиса, то положение преобра-
зуемого базиса относительно исходного определяется
обратной операцией.
Легко понять причину различия этих двух интерпре-
таций: при одном и том же вращении связанной си-
стемы координат относительно исходной движение свя-
занного вектора в неподвижной системе координат
кажется обратным движению неподвижного вектора от-
носительно связанной системы координат. Хотя ортого-
нальные преобразования (2.15) и (2.17) формально
одинаковы, необходимо дополнительно указывать и вид
задаваемой операции*).
Матрица ортогонального преобразования А имеет
определитель, равный 4-1; кроме того, преобразование,
определяемое матрицей А, оставляет неизменной одну
ось. Следствием этого является известная теорема Эй-
лера, утверждающая, что любое перемещение твердого
тела, имеющего неподвижную точку, эквивалентно вра-
щению вокруг неподвижной оси. Ось вращения является
собственным вектором матрицы А, соответствующим
собственному значению 4-1, и определяется из
*) Этот вопрос обсуждается у Голдстейна [16].

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
51
характеристического уравнения *)
(A-A1)R = 0,
где 7.— собственное значение матрицы.
Характеристическое уравнение в координатах имеет
следующий вид;
(аи — Z) г[ + а[2г2 + а13г3 — О,
a2vr I + (°22 — 7<) г2 + а22гз = 0,
ацГу + а32г2 + (а33 — Z) гА = 0,
(2-21)
и его решение для 7,= 1 определяет с точностью до про-
извольного множителя вектор оси вращения. Для реше-
ния этого уравнения необходимо рассмотреть, как изме-
няется оператор при преобразовании базиса.
Пусть имеется вектор s, преобразуемый оператором
G в вектор / [аналогично (2.18)]:
t=Gs,	(2.22)
и для матриц-столбцов Т и S аналогично (2.17) имеем
Т = GS;	(2.23)
при этом оператор G задается матрицей Ilgy/JI-
Пасть, далее, происходит преобразование системы
координат, осуществляемое матрицей А; в этом случае
матрицы-столбцы, определяющие векторы t и s в новом
базисе, найдутся в соответствии с (2.15) как
Г=АТ, S' = AS.	(2.24)
С другой стороны, матричное равенство (2.23), отра-
жающее равенство векторов (2.22), также должно под-
вергнуться преобразованию (2.15), т. е. имеем
AT=AGS.	(2.25)
Отсюда можно получить
Г= АТ = AGS = AGA“'AS = AGA 'Sz = G'S', (2.26)
г e. векторному равенству (2.22) отвечает в новом ба-
зисе равенство (2.26), аналогичное равенству (2.23),
') Доказательство теоремы изложено в книге Голдстейна, и мы
считаем излишним повторять его здесь.

52
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
причем матрица оператора G также преобразуется к но-
вым координатам. Такое преобразование называется по-
добным и в соответствии с (2.26) имеет вид
Gz= AGA"’ = AGAT.
(2.27)
В общем случае характеристическое уравнение (2.21)
имеет три корня; обозначая номер корня вторым индек-
сом, можно записать характеристическое уравнение
(2.21) в следующем виде:
з	8
X aijf jk= ^krik— i fi
/=i	/ = i
Если обозначить матрицу == R, то полученное
характеристическое уравнение может быть записано в
матричном виде
AR = R^,
где
— диагональная матрица, содержащая собственные зна-
чения. Из полученного соотношения следует, что
g=R-IAR,
т. е. для того чтобы найти собственные значения ма-
трицы А, нужно найти такое преобразование базиса,
при котором матрица А приводится к диагональному
виду. Известно, что матрица ортогонального преобразо-
вания имеет одно собственное значение, равное 4-1 (и
два комплексно сопряженных [16]), которому соответ-
ствует собственный вектор оси эйлерова вращения.
Пусть матрица В дает ортогональное преобразование
к осям базиса Е', в котором преобразование матрицы А
есть вращение вокруг оси е', т. е. матрица А7, опреде-
ляемая в соответствии с (2.27) как
А'=ВАВТ,	(2.28)

5 2.U
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
53
имеет вид
А'== О
О о
cos fl sin fl
— sin "ft cos fl
(2.29)
1
О
где fl1 — угол поворота вокруг оси вращения.
Очевидно, что положение оси собственного вращения
матрицы А, т. е. направление е,, будет определяться
первой строкой матрицы В [в соответствии с (2.15)], эле-
менты которой и должны быть решением характеристи-
ческого уравнения (2.21). В соответствии с (2.29) можем
записать так:
А=ВТА'В.
Вычисляя полученное произведение трех матриц, обра-
зуем разности элементов матрицы А, симметричных от-
носительно ее диагонали:
«12 — «21 = 2£>13 sin1»,
«31 — «13 = 2^12 sin1»,
«23 — «32= 2&л sin !»• 
(2.30)
След матрицы А не изменяется подобными преобразо-
ваниями и равен
Sр А = «и -} «22 4” «зз == Sp А' = 1 + 2 cos 0. (2.31)
Из полученных равенств (2.30) и (2.31) находятся
элементы bij, являющиеся направляющими косинуса-
ми собственного вектора (оси эйлерова вращения) мат-
рицы А:
_2.
Г1 =	= («23 — «зг) [4 — (1 — «ц — «22 — «зз)1 2,
Г2 — &I2 = («31 — «1з) [4 — (1 — «И — «22 — «зз)] 2 >
(2.32)
гз &1з—(«)2 — «21) [4 — (1 — ап — а22 — «23)] 2-
Рассмотренных здесь основных соотношений, опреде-
ляющих ортогональные преобразования, достаточно для
дальнейших исследований. Более детальное рассмотре-
ние этого вопроса читатель может найти в цитированной
литературе.

54
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
§ 2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ФОРМЕ УМНОЖЕНИЯ КВАТЕРНИОНОВ
Рассмотренное в предыдущем параграфе представ-
ление ортогонального преобразования, определяемого
матрицей направляющих косинусов А, является наибо-
лее общим способом задания движения твердого тела.
Сама матрица А содержит три независимых параметра:
два из них определяют ориентацию оси вектора эйлерова
плоского вращения [т. е. величины (2.32)	г2, при
условии rjrj-ф r| = 1] н один — угол вращения th Со-
ответственно этому элементы lltZiJI могут быть выра-
жены в функции этих трех параметров. Однако матрич-
ная форма записи ортогональных преобразований при
этом становится весьма неудобной и зависящей от пред-
ставления операции в том или ином базисе. Значительно
более удобным оказывается представление ортогональ-
ных преобразований с использованием алгебры кватер-
нионов. Это представление базируется на фундаменталь-
ной теореме 1.1, рассмотренной в § 1.3. В соответствии
с этой теоремой операция вращения (1.14) задает преоб-
разование векторной части кватерниона г в г' (1.20) и
поэтому может рассматриваться как ортогональное пре-
образование в вещественном трехмерном пространстве,
Пусть в трехмерном базисе /, образованном ортами
ii, i2, *з, задан вектор
Пусть, далее, матрица В определяет линейное ортого-
нальное преобразование вектора г в вектор г', заданное
в форме (2.19), которое может быть также записано и
в операторном виде (2.18):
г' = Вг
(в данном случае В = АТ).
Будем рассматривать четырехмерное гиперкомплекс-
ное пространство Н, образованное гиперкомплексными
единицами it, i2, ij, формально совпадающими с ортами
трехмерного базиса /.

§22] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 56
Пусть в пространстве Н задана операция вращения
(1.20), определяемая единичным кватернионом, которая
вектору г ставит в соответствие вектор г';
r' = \aroX.	(2.33)
Очевидно, что векторы г' и г определены своими компо-
нентами в гиперкомплексном базисе Н, при этом опера-
ция вращения (1.20) аналогично операции (2,20) задает
преобразование вектора в вектор, выполняемое относи-
тельно фиксированного базиса. Запишем эти два преоб-
разования в координатной форме, полученной из формул
(2,19) и (1.19) соответственно'.
(2.34)
г 1 = (Аэ -ф Ai — А? — Аз)гI 4~ 2	— АэМ) г2 +
+ 2 (AjA3 4- Z0^2) гз,
гз = 2 (AjAq + А0А3) И + (Ао 4~ Аг — Aj — А3) г2 4-
4~ 2	— АцА^ гз,
Гз = 2 (Л] Аз — АоАг) П 4~ 2 (А2А3 4~ AoAi) г-2 4~
4- (Ао 4" Аз — А? — Аг) Гз-
Отождествим коэффициенты bij преобразования
(2,34) с коэффициентами линейного преобразования
(2.35); при этом устанавливается однозначное соответ-
ствие между формами представления ортогонального
преобразования (1.20) и (2.18). Это соответствие яв-
ляется изоморфным, т, е. любой операции группы вра-
щений в трехмерном пространстве I, определяемой орто-
гональной матрицей В (оператором В), соответствует
операция вращения в гиперкомплексном пространстве,
задаваемая кватернионом Л, причем В и Л взаимно
определяются друг другом.
Действительно, рассмотрим условия группы.
1. Обратной операции (2.34) или (2.18)
r = B 1г

66 ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. 2
соответствует преобразование
Г ~ А О г' О А,
причем имеют место равенства ВВ-1=В-1В = 1 и
АоА = А°А—1, т, е, существует единица, определяе-
мая тождественным преобразованием,
2, Произведению двух преобразований
г'=Вг, г"— Сг',
т. е. преобразованию, определяемому оператором-матри-
цей D
r"=Dr, D = CB,
отвечает произведение кватернионов последовательных
преобразований
r'~X°r°A-, r" — Mor'oM, rv=NoroN(
где
N = М о Л.
Аналогично элементам матрицы В, являющимся на-
правляющими косинусами, компоненты кватерниона мо-
гут служить кинематическими параметрами, поскольку
они однозначно определяют положение одного базиса
относительно другого. Отсюда следует, что их можно
использовать для описания движения твердого тела отно-
сительно некоторой выбранной системы координат. При
этом следует иметь в виду, что одному положению тела
соответствуют два кватерниона (Л и —Л), определяю-
щих одно и то же преобразование вращения.
Из формул (2.34) и (2.35) непосредственно следует,
что компоненты кватерниона Л определяют элементы ма-
трицы В. Отсюда же можно определить и компоненты Л
(как и следовало ожидать, они получаются двузнач-
ными), если заданы величины действительно, в соот-
ветствии с (2.35) имеем
Ьи 4* ^22 Ц- 5зз — 3?^о — Xi — /-2 — Х3 — 4Ло — 1,
1_____________________,	4~ Hi 4~ 622 + bi3
(2.36)
2

$ 2.3.1
Преобразование базисов
5?
и, рассматривая разность симметричных относительно
диагонали элементов, получаем
Ьз2 — Ь2? _______________Ь32 — Ь23___________
4Х0	2 |Л1 4-	4- Ь22 + Ь33
Ъ\з — ^з1 _ _____________fria — &з1__________
4Х0	2 J ! 4~ 6ц 4~ Ь22 4- &зз
&21 — &12 	&>1 — &12
42-о	2 ]'Г I 4- &ц 4- &22 + &зз
(2.37)
Сравнивая соотношения (2.36), (2,37) и (2.31), (2.32),
легко убедиться, что векторная часть кватерниона Л яв-
ляется осью эйлерова вращения, т. е. является собствен-
ным вектором матрицы В (следует учесть, что в нашем
случае В = А1 и компоненты ?.,• суть направляющие ко-
синусы единичного вектора £ кватерниона Л).
§ 2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ
Полученное соответствие между двумя формами
представления преобразования вектора г в вектор г' по-
зволяет операцию ортогонального преобразования (2.19)
записать в форме (1.20). Преобразование (1.20) всегда
преобразует вектор, поскольку базис / остается неизмен-
ным, формально совпадающим с ортами tj гиперком-
плексного пространства Н, в котором выполняются опе-
рации умножения кватернионов. Тем не менее известным
операциям преобразования базисов и координат неиз-
менного вектора можно найти однозначно им соответ-
ствующие операции над кватернионами.
Рассмотрим задачу преобразования базисов. Пусть
в трехмерном пространстве помимо базиса / задан орто-
нормированный базис Е с ортами е,, причем
з
ek = ^ekiit (/,6=1, 2,3).	(2.38)
Рассмотрим, далее, ортогональное преобразование, осу-
ществляемое над компонентами векторов е,.:
з
(2.39)
/=1

68
теория конечного поворота твердого тела
[ГЛ. 2
Очевидно, что элементы е'м определяют новые векторы
ek =
1=1
которые получаются из eh ортогональным преобразова-
нием (2.39). Это преобразование можно записать также
в матричном виде:
(£=1,2,3).	(2.40)
Можно убедиться, что векторы e'k образуют ортонор-
мированный базис Е' (это выполняется вследствие усло-
вий ортогональности матрицы В). В силу изоморфизма
операции ортогонального преобразования (2.34) и опе-
рации вращения (1.20) преобразование базисов (2.39)
или (2.40) может быть записано в виде
=	(k= 1, 2, 3).	(2.41)
Такое преобразование действительно определяет преоб-
разование базисов. Векторы е'к будут единичными (так
как преобразование вращения не изменяет норму век-
тора) и взаимно ортогональными. Рассматривая скаляр-
ное произведение, можно видеть, что выполняются усло-
вия ортогональности
= -|(А о ек о еп ° А + А ° еп ° ek ° А) = — А ° (ек • еп) ° A =6кп,
т. е. векторы e'k образуют базис Е'.
Отсюда видно, что преобразование базисов, заданное
в форме операции вращения (2.41), соответствует только
одной из рассмотренных выше форм задания движения
твердого тела, а именно: ортогональному преобразова-
нию в виде (2.20).
Другая форма представления преобразования бази-
сов (2.2) и (2.13) выражает орты нового базиса в виде
их разложения по векторам исходного базиса. Такая
форма преобразования не может быть записана в виде
операции вращения (1.20). Тем не менее элементы ма-
трицы преобразований (2.2) и (2.13) могут быть выра-

§ 2 3.]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ
59
жены через элементы матрицы преобразования враще-
ния, так как преобразования в форме (2.18), (2.40) и
в форме (2.2), (2.13) имеют взаимно обратные матрицы
!д. е. транспонированные матрицы).
Действительно, пусть задано преобразование базисов
в форме (2.39). Покажем, что орты нового базиса e'k вы-
ражаются через орты исходного базиса eh с помощью
обратной матрицы Вт. В соответствии с (2.39) имеем
зз	з
Д 2	= 2	2 bijekjemiem,
l.f=l
где орты ii выражены с помощью преобразования, обрат-
ного (2.38). Поскольку элементы образуют матрицу
ортогонального преобразования, то справедливо равен-
ство
3
2	1 
Вставляя эту единицу в сумму, определяющую ед, по-
лучим
з	з
m=i
3/3	\	3
— 22 bjib\бт~ 2 bmk^rn (2.42)
m=I \/, /=1	/	m=l
— здесь были использованы условия ортогональности
(2.4). Из (2.42) следует, что элементы матрицы Вт, опре-
деляющей разложение векторов базиса Е' по векторам
базиса Е, эквивалентны элементам матрицы преобразо-
вания вращения (2.35), задаваемого обратным кватер-
нионом Л.
Рассмотрим, далее, представление векторов базиса Е
(2.38); можно убедиться, что коэффициенты ehi образуют
матрицу ортогонального преобразования, переводящего
орты in в орты ек, причем формой преобразования, ана-
логичной (2.39), будет очевидное тождество
Ski~ 2 <’(2.43)
/=1

60
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
которое ставит в соответствие единичным компонентам
разложения исходного базиса (т. е. /) новые компоненты
ем базиса Е. В силу изоморфизма операции ортогональ-
ного преобразования и операции вращения существует
такой кватернион S, компоненты которого определяются
элементами ehi по соотношениям, аналогичным (2.36) и
(2.37), что выполняется равенство
ek == S ° 1к ° S.	(2.44)
Из того же представления можно видеть, что в фор-
муле разложения векторов (2.38) и ортогонального пре-
образования (2.43) участвуют элементы обратных (тран-
спонированных) матриц ||едг1|.
Еще раз отметим, что преобразование (2.44) задает
вращение вектора, т. е. оно изоморфно преобразованию
(2.40), а не (2.2).
§ 2.4.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ НЕИЗМЕННОГО
ВЕКТОРА. ГИПЕРКОМПЛЕКСНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
В предыдущих двух параграфах преобразование век-
тора и преобразование базиса были заданы в форме опе-
рации вращения (1.20). Рассмотрим теперь, как можно
представить в этой же форме преобразование компонент
неизменного вектора, происходящее за счет изменения
базиса.
Рассмотрим неизменный вектор г; пусть его проек-
циями на оси базисов Е и Е' будут величины г[Е и г iE,
соответственно:
г = 2 riEe{ = 2 rlE,e'.	(2.45)
Введем следующие кватернионы, составленные из ком-
понент вектора в базисах Е и Е':
#Е = Г1Е*1 + Г'2Е*2 + ГЗЕ^З>
Re, = r{E,i{ + r2E,i2 + r3E,i3 •
Назовем кватернионы (2.46) гиперкомплскснымп отобра-
жениями (или просто отображениями) вектора г на ба-
зисы Е и Е' соответственно. Гиперкомплексное отобра-

§ 2.4
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА
61
жение вектора на некоторый базис совпадает с самим
вектором, если этот базис совмещается с тремя векто-
рами ii, i2, 1з гиперкомплексного пространства Н или, что
го же самое, совмещается с базисом /.
Орты базиса Е' выражаются через орты базиса Е с
помощью операции вращения (2.41). Подставим соотно-
шения (2.41) в равенства (2.45):
3	3 ~ / 3 \
г — 2 г{Е,е'. = 2 riEA о о Л = Д. ° I 2 riE,e{ \ ° А.
Если теперь совместить орты базиса Е с векторами ii, i2,
i3 гиперкомплексного пространства, то в полученном ра-
венстве
г = 2 riEe. = Л о (2 riE,e) ° А
i=i	\i=i /
3	3
величины 2 riEei и 2 riEei совпадут с гиперкомплекс-
Z==l	i=l
ными отображениями вектора г на базисы Е и Е' (2.46),
откуда следует, что
Re = Л ° Re' ° А.
Умножая это выражение слева на А и справа на А, по-
лучаем
Re=X°Re°X.	(2.47)
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2,1. Если преобразование единичных, векто-
ров базиса Е в векторы базиса Е' определяется опера-
цией вращения (2.41), то преобразование координат не-
изменного вектора на эти базисы задается обратной опе-
рацией (2.47), выполняемой над отображениями.
Полученный результат естествен, так как ортогональ-
ные преобразования, задающие преобразование базисов
в форме (2.20) и преобразование компонент неизменного
вектора (2.15), являются обратными. Поскольку опера-
ции вращения (2.33) и (2.41) задают преобразования
единичных векторов, каждый из которых представлен в
кватернионной форме, т. е. задан своими компонентами
в базисе I, то обратная операция (2.47), задающая

62
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
преобразование компонент неизменного вектора в этих
базисах, выполняется над кватернионами, которыми и
являются отображения (2.46). Компоненты riE, вектора г
могут быть найдены по компонентам г.Е, если в формуле
(2.47) выполнить умножение кватернионов и приравнять
элементы при ортах пространства Н.
В соответствии с теоремой 2.1 можно ожидать, что
если при преобразовании базисов [например, при преоб-
разовании (2.41)] некие величины преобразуются обрат-
ной операцией [например, (2.47)], то они определяют не-
изменный вектор. Найдем связь проекций вектора г на
базис Е и его проекций на базис I. Обозначим проек-
ции вектора г на базис I величинами г}/:
з
г = 2 Г^}.
j=\ >' 1
Переход от базиса / к базису Е определяется кватернио-
ном S с помощью операции вращения (2.44); в соответ-
ствии с теоремой 2.1 компоненты г/7 должны выражаться
через г[Е с помощью обратной операции, выполняемой
над отображениями. Действительно, отображение г на
базис I совпадает с самим вектором:
3	3
*Г=Г = 21V/==i?/i£er
Подставляя е,- через их значения (2.44), получаем
Rf = S	S — S	S == S о RE ° S,
откуда следует
/?£ = So/?/OS.	(2.48)
§ 2.5. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОПЕРАЦИИ ВРАЩЕНИЯ-
ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА - ГАМИЛЬТОНА
Рассмотрим теперь, как выглядит операция (2.33)
преобразования вектора г в вектор г', если ее записать
в проекциях вектора г не на базис /, а на другой базис,
скажем, Е. Обозначим проекции вектора г на базис Е
через г1Е, а проекции вектора г' на базис Е через г'1Е.

S 2.61
ИНВАРИАНТНОСТЬ ОПЕРАЦИИ ВРАЩЕНИЯ
63
Имеем
где г/7, г'ц— проекции векторов г и г' на базис I (обо-
значавшиеся ранее как г t и г'^, а /?7 и R'f—гиперкомплекс-
ные отображения векторов г и г' на базис I, совпадаю-
щие с векторами г и rf. Составим отображения г и г'
на базис Е:
3	3
re= S riEh>	S riEif
В соответствии с теоремой 2.1 проекции векторов г и
г' на орты базиса Е связаны с их проекциями на орты
базиса I операцией, выполняемой над гиперкомплекс-
ными отображениями и обратной операции преобразова-
ния базисов. Поскольку преобразование ортов базиса Е
определяется операцией (2.44), то аналогично (2.48)
имеем
/?£ = S ° Ri ° S, Re — S ° Rf ° S.
Найдем связь RE и Re. Отображения Rr и Rf сов-
падают с векторами г' и г и, следовательно, они связаны
соотношениями (2.33); поэтому
Re = S<>Rf о$ = $оЛо/£7оЛо$ =
==S ° Л о s ° Re ° S ° Л о s == Аг о RE о Д£) (2.49)
где через Аг обозначен кватернион S ° Л о S, и тогда, оче-
видно, Л.£ = 3°ЛоЗ. Можно видеть (см. § 1.3), что ква-
тернион Ад имеет ту же скалярную часть, что и кватер-
нион Л; векторная часть кватерниона Л£ получается из
векторной части кватерниона Л преобразованием враще-
ния (1.20), т. е.
У~Е~ 3 ° X ° 3.

64
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
Из этого равенства можно заключить, используя ре-
зультаты теоремы 2.1, что векторная часть кватерниона
А, задающего операцию вращения (2.33), является неиз-
менным вектором, поскольку при преобразовании базиса
она изменяется в соответствии с правилами преобразо-
вания координат неизменного вектора. Кроме того, легко
заметить, что операция преобразования (2.49) сохранила
свою форму идентичной (2.33). Отсюда следует такая
теорема:
Теорема 2.2. Операция вращения (2.33) инвариантна
относительно преобразования базисов, если векторы г и
г' и векторная часть кватерниона преобразования А вы-
ражаются в координатах одного и того же произволь-
ного базиса, причем преобразование координат этих век-
торов происходит в соответствии с правилами преобра-
зования неизменного вектора.
Итак, операцию преобразования вектора г в вектор г'
можно записать в компонентах г и г' на любой базис,
при этом векторную часть кватерниона А также следует
спроектировать на этот же базис.
Ввиду того, что можно записать
3	3	3
r=l\r;Eeh	r'='^r’iEei,	A = A0+2\.fe(,	(2.50)
Z=I	1=1	1=1
содержание теоремы 2.2 можно истолковать и таким об-
разом, что операцию (2.49) можно записать в виде (1.20)
над величинами (2.50), причем «правила» умножения
ортов е; аналогичны правилам умножения гиперком-
плексных чисел. Легко понять, что это получается благо-
даря тому, что с любым базисом трехмерного веществен-
ного пространства могут быть совмещены орты ilt i2, i3
гиперкомплексного пространства Н; при этом векторы
трехмерного пространства совпадают с кватернионами —
отображениями этих векторов.
Те фема,- 2.2 устанавливает еще одну особенность
операции вращения (2.33) — тот факт, что эта опера-
ция имеет векторный смысл. Используя представление
умножения кватернионов с помощью операции умноже-
ния векторов (1.9), можно представить преобразование
(2.33) с помощью векторных операций в трехмерном
пространстве.

«24	ИНВ\РП \НТНОСТЬ ОПЕРАЦИИ ВРАЩЕНИЯ
65
Для этого необходимо кватернион преобразования А
представить функцией от трехмерного вектора. Это
можно сделать, рассматривая величину
ф = 1 + Д;, + ф«5 + ф.3- 1 + ф=| +4-0,
которая определяет кватернион Л одним вектором
0 = 2-у-.	(2-51)
Ло
Вектор 0 называется вектором конечного поворота [31,
44]; используя представление кватерниона в форме
(1.11), можно видеть, что вектор конечного поворота
равен
0 = 2?tg4-	(2.52)
Применяя формулу (1.9), заменим операции умноже-
ния кватернионов в соотношении (2.33) операциями ум-
ножения векторов в трехмерном пространстве:
г' = Л ° г ° Л. — (Kq + X) ° г ° (Xq — X) =
= (Xor — X • г + X X г) ° (Хо — X) =
3 ХоГ — ХоХ  г -I- XqX X г “Ь Xpf • X — ХдГ X X -I- (X • г)Х-|-
+ (X X Г) • X - (X X Г) X X.
Приводя подобные члены и учитывая, что (ХХН • X = 0,
а также то, что (ХХНХ X = XX(rXX) = г (X • X) —Х(г • X),
полученное выражение для г' запишем в виде
г' = Xof + 2Х0Х X г + гХ2 — 2 (гХ2 — Хг • X) —
= г + 2Х0Х X г - 2Х X (г X X) =
, ,2 2Х . , /	1	.. 2к\
= '- + Хо1?Х(г-¥гХ^)>
где
х2 = X - X = X? + X2 + X2.
Используем введенный вектор конечного поворота
(2.51); учитывая, что в соответствии с (2.52)
,2	2 О'	1
Хо = COS ~ =-----:----,
i+^l0!2
3 В. И. Бранен, И. П. Шмыглевский

66
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
получаем известную формулу Родрига для преобразо-
вания вектора при конечном повороте:
г'=г +------J----0Х(г+40Хг).	(2.53)
1 + А|0|2 v
Заметим, далее, что кватернион Л, задающий опера-
цию (2.41) ортогонального преобразования базиса Е в
базис Е', также определяет вектор конечного поворота 9
(2.51). Это преобразование действительно является вра-
щением вокруг оси 9, поскольку сам вектор 9 при тако.м
преобразовании не меняется:
Л ° 9 ° А = А о Z о д — ~ к = 9.
Aq	Aq
Используя представление кватерниона в форме
(1.11), его компоненты можно записать в следующем
виде:
Zo = cosj, А,! = Yj sin j, Z2 = y2siny, Z3 = y3 sin у,
(2.54)
где уь Y2> Уз — направляющие косинусы вектора О, равно
как и Л, в осях рассматриваемого базиса. В соответствии
с этим вектор конечного поворота или кватернион преоб-
разования может задаваться своими компонетами в лю-
бом базисе. Аналогично гиперкомплексному отображе-
нию неизменного вектора на некий базис будем рассма-
тривать кватернион, составленный из компонент (2.54),
где у/—проекции вектора g кватерниона на данный ба-
зис. Последний назовем отображением кватерниона А
на рассматриваемый базис. Очевидно, что отображение
кватерниона имеет ту же скалярную часть, что и исход-
ный кватернион, и векторную часть, равную отображе-
нию векторной части кватерниона на этот базис. Так,
отображением кватерниона А = 7.о + на базис Е будет
введенный ранее [см. (2.49)] кватернион
з
Af = Ло + Xf = Ло ф- 2 ^iEii = S ° А ° S.
Отображение кватерниона на базис будем обозна-
чать индексом этого базиса, в отличие от исходного ква-

§ 2 51
ИНВАРИАНТНОСТЬ ОПЕРАЦИИ ВРАЩЕНИЯ
67
терниона без индекса. В соответствии с теоремой 2.1
отображение кватерниона находится операцией враще-
ния, обратной операции преобразования базисов.
Особый смысл имеют компоненты кватерниона в той
системе координат, которая преобразуется этим кватер-
нионом. В рассматриваемом случае такой системой яв-
ляется базис Е, преобразуемый кватернионом Л в базис
Е'. Преобразование базиса Е в базис Е' определяется
операцией (2.41), причем в соответствии с теоремой 2.2
это преобразование может быть записано в проекциях
единичных векторов ег и еС и кватерниона Л на базис Е
(так же, как и на любой другой базис).
Компоненты кватерниона Л в базисе Е определяются
отображением Af. Ввиду того, что преобразование (2.41)
ортов базиса Е в орты базиса Е' в соответствии с теоре-
мой 2.2 может быть записано в виде (2.49), т. е. в форме
(efe)f = Л-е ° (,ek)E °
то компоненты А в базисе Е' определяются отображе-
нием А на базис Е' с помощью обратной операции:
Af' = Af ° Af ° Af = Af.
Отсюда видно, что компоненты кватерниона А в базисах
Е и Е' одинаковы. Компоненты кватерниона в базисе,
преобразуемом этим кватернионом, заданные в фор-
ме (2.54), называются параметрами Родрига— Гамиль-
тона [31].
Кватернион, компонентами которого являются пара-
метры Родрига—Гамильтона, будем далее отмечать
звездочкой. Этот кватернион имеет равные компоненты
в двух системах координат вследствие того, что именно
этим кватернионом определяется переход от одной си-
стемы координат к другой. В связи с этим кватернион,
параметрами которого являются параметры Родрига—
Гамильтона, имеет особый смысл: он является как бы
«собственным» кватернионом преобразования.
В дальнейшем условно будем называть кватернионы,
составленные из параметров Родрига—Гамильтона,
собственными кватернионами преобразований. В рассмо-
тренном случае таким кватернионом будет
А = Л-е — Л-е1 == S ° А о S.
3

68
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ГЛ. 2
Точно так же, поскольку переход от базиса / к базису
Е определяет кватернион S (2.44), в соответствии
с теоремой 2.1 получаем следующие величины отображе-
ний кватерниона S на базисы I и Е:
S/=S, Se = S ° S/ ° S = S,
откуда
S* = S/ = S£ = S.
§ 2.6. СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ
При выполнении последовательности двух, трех
и т. д. ортогональных преобразований осуществляется
сложение конечных поворотов. Этому соответствует опе-
рация умножения матриц составляющих преобразова-
ний: если первый переход (например, от базиса Е к ба-
зису £z) задается матрицей А, а второй (от £z к Е")
определяется матрицей В, то матрица результирующего
поворота С (от базиса Е к базису £zz) будет задана
произведением
С = ВА.	(2.55)
Если операция перехода от базиса Е к базису Е'
определяется изоморфной операцией вращения, задавае-
мой кватернионом А (2.41), а операция перехода от ба-
зиса Е' к базису Е" задается аналогичным образом ква-
тернионом М
е;'=Мог;вЙ (/=1,2,3),
то кватернион результирующего преобразования N, опре-
деляемый операцией перехода
e; = Noe.oN,
находится как произведение кватернионов составляющих
преобразований:
N = MoA	(2.55)
(это было рассмотрено в § 1.3). Отметим здесь сходство
формул умножения операторов (2.55) и (2.56).
Компоненты кватерниона N = v0 + Vj/i + V2/2 + V3I3
определяются компонентами кватернионов составляющих

§2 6]
СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ
69
3	3
преобразований А = л0 + S Z./Z/ и М = ц0 4- S цft/ в
/=1	/=1
соответствии с правилами умножения кватернионов
(1.5). Выполняя это умножение и приравнивая коэффи-
циенты при ортах, получаем четыре скалярных равен-
ства:
Vq = ?,оцо — ZjH; — л2ц, — ZjiLij,
V, — -ф	“ ЛаНз,
,	а	(2.57)
V2 = яоц, 4- Л2цо + А1Нз ~ АзНь
Уз =	+ ЛзНо + ?,2Ц1 — Мг-
Компоненты /л, цг и м, составляющих и результирую-
щего кватерниона определяют в системе координат /
(т. е. в той системе, где заданы кватернионы) векторы
первого, второго и результирующего поворотов. Однако
в предыдущем параграфе было показано, что операция
вращения справедлива в любой системе координат, если
в ней выразить преобразуемые векторы и векторные ча-
сти кватерниона преобразования. Рассмотрим, как вы-
глядит операция сложения преобразований (2.56), если
ее выразить в другом базисе.
Пусть переход от базиса / к базису Е определяется
кватернионом S в соответствии с (2.44). Тогда компонен-
тами этого кватерниона в базисах I и Е будут величины
s; (z = О, 1,2,3), поскольку отображение кватерниона на
базис I совпадает с самим кватернионом (S/ = S), а
отображение S на базис Е определяется операцией вра-
щения, обратной (2.44), г. е.
Se = S ° S о S = S/— S .
Рассмотрим кватернион А, определяющий конечный
поворот, переводящий базис Е в базис Е'. Отображе-
нием кватерниона А на базис Е будет (см предыдущий
параграф) кватернион
A£ = ScAoS.
Поскольку переход от базиса / к базису Ег определяется
последовательным применением S и А. то, согласно
(2.56), результирующий переход определится произведе-
нием Ао$. В соответствии с этим отображение А на

70
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
базис Е' найдется как
Af / = (А ° S) ° А ° (А ° S) = S ° А ° А ° А о S =
= S ° А о S = Af = А*, (2.58)
что и было показано ранее.
Переход от базиса / к базису Е" определяется после-
довательностью переходов, задаваемых кватернионами
S, А, М; результирующий кватернион перехода от базиса
/ к базису Ё" будет равен M = A = S. Отображением ква-
терниона А на базис Е" будет величина
Af// = (М о А ° S) ° А ° (М t>AoS) = SoAoMoA»MoA°S.
(2.59)
Рассматривая аналогично кватернион М, задающий
переход от базиса Е' к базису Е", найдем величины ото-
бражений М на базисы Е, Е' и Е"-.
М£ = S ° М ° S,	М£< S ° А о М о А о S,
М£«. = (S ° А ° М) о М ° (М о А о S) =
= S°AoMoAoS = Mfz = М*.
(2.60)
Проекции вектора результирующего поворота на базисы
Е Е' и Е" определяются отображением кватерниона N
на эти базисы:
N£ = S о N о S, N£z = S о А о N о А о S,
W£zz = S0A0M0N0M0A0S =
= SoNoNoNoS = N£ = N*.
(2.61)
Отметим, что отображения кватерниона М на базисы
Ef и Е", так же как и отображения N на базисы Е и Е",
получились равными, определяющими собственные ква-
тернионы (параметры Родрига — Гамильтона) этих пре-
образований.
Теорема 2.3. Компоненты кватерниона результирую-
щего поворота (N) определяются по компонентам пер-
вого (А) и второго (М) поворотов по правилу умноже-
ния кватернионов (2.56) и (2.57). Правило умножения
сохраняется для отображений этих кватернионов на про-
извольный базис.
Доказательство. Частным случаем этой теоремы
является сама формула (2.56), поскольку кватернионы

§ 2 6]
СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ
71
N, А и М совпадают с их отображениями на базис /.
Найдем отображение кватерниона N на базис Е в зави-
симости от отображений составляющих кватернионов А
и М на этот же базис. В соответствии с соотношениями
(2.56), (2.58)— (2.61), имеем
N е = S ° N о$ = $оМоА°5 =
= S о М о s ° $° А о S = Mf- ° Ад.
Аналогично можно получить выражения для отображе-
ний N на базисы Е' и Е"-.
Nf/^SoAoNoAoS —
= S ° А о М о А ° S ° S ° А - S = М/?' о А/?,,
== s ° А ° М оN о М о A oS =
ДоМоМо (М ° А ° S ° S ° А ° М) ° А ° М о А ° S =
= AI^' о А^.
Таким образом, эта теорема позволяет использовать
формулы (2.57) для нахождения компонент кватерниона
результирующего поворота в любом базисе, при этом
компоненты кватернионов составляющих поворотов дол-
жны быть выражены в этом же базисе.
Кватернионы N, АиМ определяют векторы конечных
поворотов рассматриваемых преобразований; каждый
кватернион можно записать в виде

72 ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. 2
Из теоремы 2.3 следует, что правила нахождения про-
изведения двух преобразований Х = М = А сохраняются
для любых проекций векторных частей кватернионов на
один и тот же базис. Последнее можно интерпретировать
как возможность использования в качестве ортов гипер-
комплексного пространства Н единичных векторов бази-
сов Е, Е' и Е" (что и должно быть, так как гиперком-
плексный базис г'[, i2, h можно совместить с любым из
трехмерных базисов). С другой стороны, поскольку опе-
рация умножения Х = МоД инвариантна относительно
преобразования базиса, она имеет векторный смысл.
Получим векторную формулу сложения конечных по-
воротов. Используя представление (1.9) умножения ква-
тернионов и введя аналогично (2.51), (2.52) векторы ко-
нечных поворотов
0 =2-ф-,	0„ = 2 —,	0V = 2 —,
л	ц Mo	v Vo ’
получаем
N = v04-v = MoA = (ц0 -j- ц) о (Zq +	=
— Р(Ло +	— ц • + Ц X
Разделим скалярную и векторную части полученного
выражения:
v0= рХ-о — !1 • X v = ЛоР + Ц(Д X !l X X
Очевидно, что
Взяв отношение этих выражений, получим векторную
формулу сложения конечных поворотов
Х =—J----------(е, + е +^.е хеХ (2.63)
Рассмотрим, далее, три последовательно выполняе-
мые ортогональные преобразования. Если переход от ба-
зиса Е к базису Е' определяется кватернионом А, от Е
к Е"—кватернионом М, а от Е" к Е'"— кватернионом
Р, то кватернион результирующего преобразования N,

§ 2 6]
СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ
73
переводящего базис Е в базис Е'", определится произ-
ведением (см. § 1.3)
Х-Р:М:.\.	(2.64)
причем аналогично предыдущему можно показать, что
формула умножения операторов (2.64) справедлива для
отображений N, Р, М, А на любую одну и ту же си-
стему координат.
В качестве примера спроектируем равенство (2.64)
на базис Е. Очевидно, что аналогично (2.58) — (2.61) по-
лучим
= S о N о S, Р£ = S ° Р ° S, = S о М о S,
Af- = S ° А ° S,
А’я = S ° Р ° М ° А ° S — (S ° Р ° S) ° (S ° М ° S) ° (S ° А ° S) =
= Pf0 о Af.
Точно так же можно расширить теорему умножения 2.3
на произвольное число кватернионов, задающих ряд по-
следовательных переходов.
Правило нахождения результирующего поворота по
известным составляющим обладает тем недостатком, что
кватернионы необходимо проектировать на одну и ту же
систему координат. В связи с этим это правило не по-
зволяет связать параметры Родрига — Гамильтона ре-
зультирующего и составляющих преобразований. Дей-
ствительно, проектируя равенства (2.56) на любую из
систем Е, Е' и Е", будем получать соответствующие ото-
бражения кватернионов, из которых только какие-либо
два будут собственными кватернионами, составленными
из параметров Родрига — Гамильтона.
Кватернион, компонентами которого являются пара-
метры Родрига — Гамильтона, имеет особый смысл. Это
объясняется тем, что кинематические уравнения, опреде-
ляющие связь производных от кинематических парамет-
ров с величинами угловой скорости, записываются для
проекций вектора конечного поворота на начальную (не-
подвижную) п конечную (связанную) системы коорди-
нат, в связи с чем именно эти параметры и используются
для приложений.
Развитый здесь аппарат проектирования кватерниона
на различные системы координат позволяет доказать

74
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
следующую теорему, определяющую связь результирую-
щего кватерниона N* с составляющими А* и М*.
Теорема 2.4. Пусть А', М* и N' — собственные ква-
тернионы соответственно первого, второго и результи-
рующего поворотов. Тогда компоненты кватерниона ре-
зультирующего поворота X* определяются через компо-
ненты кватернионов первого А* и второго М* поворотов
по правилу умножения кватернионов (1.5), причем со-
множители берутся в обратном порядке-.
А’=А‘оМ*.
(2.65)
Доказательство. Выражая кватернионы N*, А*
и М” с помощью соотношений (2.58), (2.60) и (2.61),
сразу же получаем формулу (2.65):
N* = АД S ° N о $ = S ° М ° А о S =
= S ° А о S ° (S о А о М ° А ° S) = А£ = А’ о М*.
Выполняя умножение кватернионов (2.65) и приравни-
вая составляющие при ортах, находим
*	А *	>	А »	*	А**	А *	*
vo ~	~ 1И1 ДРг ^з^з’
*	А*Ж1лТ:*|лТ*	л**
V2 = 4^2 +	+ ^3^! — ^1Н3.
V3 = ^“О^З + ^‘З^О “Ь ^2	•
(2.66)
Сравнивая соотношения (2.57) и (2.66), можно убе-
диться, что изменился знак двух последних членов век-
торной части кватерниона. Отметим также, что формулы
(2.66) можно получить из соотношений (2.57), ёсли запи-
сать их в проекциях, например, на базис Е'; при этом
нужно перепроектировать компоненты вектора N на ба-
зис Е или Е" с помощью матрицы направляющих коси-
нусов типа (2.35).
Теорема 2.4 остается справедливой и для случая трех
последовательно выполняемых преобразований, опреде-
ляемых соответственно кватернионами А, М И Р. В этом
случае, учитывая соотношения (2.58) и (2.60), а также
то, что результирующий кватернион N определяется

§2 6]
СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ
75
соотношением (2.64), найдем
v _ ад = а* = а£ = а£, м _ мл. _ мл,.
р* = Р£„ = s о А о М о Р о М о А о S =
= S ° А ° М ° Р ° Р о Р о М о А ° S = Pf "
и далее
N* = S о Р о М о А о S =
= (S ° А ° S) ° (S ° А ° М ° А ° S) ° (S ° А о М о Р о М о А ° S) =
= А* о М‘ о Р*.
Поскольку любые два поворота, записанные в форме
(2.65), могут быть объединены в один, то последователь-
ное применение этой формулы умножения позволяет
сразу же получить только что доказанную формулу ум-
ножения для трех поворотов. Очевидно, что методом ин-
дукции эту теорему можно распространить на случай
произвольного числа последовательно выполняемых пре-
образований.
Проведенное исследование показывает, что собствен-
ные кватернионы преобразований при их сложении пере-
множаются также по правилам умножения кватернио-
нов, однако эта форма сложения преобразований уже не
имеет векторного смысла. Тем не менее именно эта фор-
ма сложения справедлива, как будет показано далее,
при сложении относительных движений. В этом отра-
жается свойство кватернионов более полным образом
описывать трехмерное пространственное движение.
В заключение рассмотрим известную теорему о пере-
ставимости конечных поворотов.
Теорема 2,5. Результирующее преобразование будет
тем же самым, если вначале выполнить второй поворот,
а затем первый вокруг оси, преобразованной предыду-
щим поворотом.
Доказательство этой теоремы получается сразу же из
формулы умножения кватернионов: если кватернион А
определяет первый поворот, а кватернион М — второй,
то результирующий поворот будет определяться кватер-
нионом
А _ М А М А = М о М = Ам ° М,

76
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
где через Ал обозначен кватернион М°АоМ, который
получается путем преобразования кватерниона А опера-
цией вращения, определяемой кватернионом М.
Кроме этого, можно видеть, что
X = М ° А — А ° А о М ° А = А ° М ~
А ’
где М~— кватернион, векторная часть которого преобра-
зована обратным преобразованием А. Отсюда следует,
что повороты можно переставить и таким образом: сна-
чала сделать второй поворот вокруг оси, преобразован-
ной обратным первым поворотом, а затем выполнить пер-
вый поворот вокруг первоначальной оси.
Можно распространить теорему о переставимости по-
воротов на случай трех поворотов. Пусть первый поворот
определяется кватернионом А, второй — кватернионом
М, третий — кватернионом Р; тогда результирующий по-
ворот будет задан кватернионом
N = Р о М о А = Р о М о А о (М о Р о Р о М) о (Р о Р) =
= (Р о М О А О М О Р) О (Р о М О Р) О Р = Арм О Мр О Р,
где
Арм = (Р о М) о А ° (Р ° М), Мр = Р о М ° Р,
т, е. тот же результирующий поворот получается, если
вначале выполнить третий поворот, затем второй вокруг
оси, преобразованной предыдущим поворотом, затем
первый поворот вокруг оси, преобразованной предыду-
щими двумя.
Формально нетрудно распространить эту теорему на
случай произвольного числа последовательно выполняе-
мых преобразований.
§2.7. СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА — ГАМИЛЬТОНА
С ДРУГИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ
Собственный кватернион преобразования имеет ком-
поненты, которыми являются параметры Родрига — Га-
мильтона. Связь между компонентами кватерниона, за-
дающего преобразование вращения, и направляющими
косинусами, являющимися элементами матрицы ортого-
нального преобразования, была подробно исследована
во втором параграфе этой главы.

§2'1
СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
77
При этом преобразованию вращения (2.33), (2.35)
было поставлено в соответствие ортогональное преобра-
зование в форме (2.18), (2.19), (2.34). В соответствии
с этим направляющим косинусам, определяющим пре-
образование базиса в форме (2.13) или (2.40) и преоб-
разование компонент вектора (2.15) или (2.17), постав-
лены в соответствие элементы кватерниона. Элементы
матрицы преобразования В = Ат выражаются через ком-
поненты кватерниона соотношениями (2.34) — (2.37).
Установим связь кватерниона преобразования с дру-
гими кинематическими параметрами.
I. Углы Эйлера и Крылова. В целом последователь-
ность трех вращений вокруг различных несовпадающих
осей задает произвольное пре-
образование; преобразование
такого рода носит название
вращения на эйлеровы углы.
При вращении вокруг коорди-
натных осей различают две
последовательности вращений:
поворот на углы Эйлера и по-
ворот на углы Крылова.
Рассмотрим вначале эйле-
рову последовательность трех
плоских поворотов, переводя-
щих базис / в базис Е и со-
вершаемых вокруг координатных осей (рис, 2.1).
Пусть первый поворот осуществляется вокруг оси i3 на
угол прецессии ср, второй поворот — вокруг оси ii на
угол нутации ф и третий поворот— вокруг оси е3 на угол
вращения О. Матрица преобразования А, задающая пе-
реход от системы координат / к системе Е в форме
(2.13), получается в виде произведения трех матриц по-
следовательных поворотов:
А =
COS 0’ sin 0-
— sin 0- COS 01
о о
0
0
1
0
1
о
— sin ф
о
cos ф
cos ф
0
sin ф
cos qp sin qp
— sinqp cos qp
0
0
1
0	0

78
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
Выполняя умножение, получаем
А =
cos 0 cosФ — sin d sin ф cosф
— sind cos Ф — cos d cos ф sin ф
sin ф $1пф
cos dsintpH* sind cos ф cos Ф
— sin ф sin 0 + cOsd cos Ф cos ф
— sin ф cos ф
s  n d ч । n ф J
iOb d s in Ф .
cos ф II
(2-67)
Аналогичным образом можно найти кватернион ре-
зультирующего преобразования по кватернионам каж-
дого плоского поворота. В соответствии с фундаменталь-
ной теоремой 1.1 кватернион плоского вращения на угол
О'	о
О равен cos у+ £ sin у, где £— единичный вектор оси
вращения. Для нахождения результирующего кватерни-
она можно было бы в соответствии с теоремой 2.3 пред-
ставить каждый из составляющих кватернионов в одном
базисе, однако при этом как минимум два вектора вра-
щения не проходили бы по координатным осям и их вы-
ражения были бы достаточно сложными. Удобнее исполь-
зовать результаты теоремы 2.4.
Пусть А — кватернион первого поворота, совершае-
мого вокруг оси «з на угол qp, тогда, очевидно,
A = cos-y 4-i3sm-y.
Второй поворот происходит вокруг оси ii на угол тр; соб-
ственный кватернион М* этого поворота равен
М* = cos -у + it sin у.
Третий поворот совершается вокруг оси е3 на угол Ф;
кватернион этого поворота
р*	©	...	©
Р = cos-y + t3Siny .
Согласно теореме 2.4 результирующий собственный
кватернион N* будет равен произведению
А’оМ‘оР* =
=1 COS у t3sinyj о ^cos -j- 4-	0 |COS y+ljSinyj=
ф ср 4- O’ , . . ф <г — О,
= COS у COS -!-у-1- t. Sin у COS —-Ь
, .	. ф . qp — О . . ф . <р+©
+ l2sin sin — 2--HsCOS-^-sin^y—. (2.68)

§2 7!
СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
79
Отсюда вытекает следующая связь компонент кватер-
ниона с углами Эйлера:
ф
v0 = cos у cos
» -ib <г — ©
Vj = sin у cos 2—
,	. ib . ср — ft
v2 = sin -у sin —
,	ф	.	<p + ft
V, =	COS-7	sin	—--.
6	z	z
(2.69)
+ тЭ-
2
Используя эти выражения для составляющих кватер-
ниона V, с помощью операций вращения можно полу-
чить формулы перехода от базиса / к базису Е [напри-
мер, в виде (2.44)] и формулы
для нахождения компонент
неизменного вектора [вида
(2.48)]. Можно проверить, что
этечлпы матрицы перехода
вида (2.35) с учетом (2.69)
совпадают с полученной выше
патрицей Аг (2.67).
Рассмотрим теперь после-
довательность трех поворотов
па углы Крылова (рис. 2.2),
совершаемых также вокруг
координатных осей преобра-
зуемого базиса. Первый пово-
рот выполняется вокруг оси К
поворот происходит по оси Г,
Рис. 2.2.
на угол курса ср, второй
на угол крена ф и тре-
тий— вокруг оси е; на угол тангажа 0. Матрица пре-
образования А, задающая переход от системы коорди-
нат / к системе Е, получается путем умножения трех
матриц плоских вращений:
I' 1	0	0
А 	()	cosO sin fl
0 — sin О cost)
cos ф 0
0	1
sin ф 0
— sin ф:
0
COS ф|
cos qp sin qp 0
— sin qp cosqp 0
0	0	1
Выполняя умножение матриц, получаем
I	COS ф c OS ф	cosф Sin ф
A = - n 0 sin Ф COS Ф — COS sin ф sin 0 sin ф sin ф + <os ft cos ф
-sin ф
sin О cos ф
< 'b t) sin ф cos ф + sinO *ln ф
cos bin ф sin Ф —sin-d cos Ф cos О cos ф
(2.70)
Полечим, далее, кватернион преобразования враще-
ния. ос\ 1цес I вл яющего переход от базиса / к базису Е.

80
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ГЛ. 2
Аналогично предыдущему случаю найдем сначала соб-
ственные кватернионы последовательных плоских пово-
ротов. Первому повороту, происходящему вокруг оси i3
на угол qp, соответствует кватернион
A’=cos-| +i3sin-~-.
Второму повороту вокруг оси /г на угол гр отвечает ква-
тернион
M* = cos у + i2sin^-,
а третьему повороту (вокруг оси е} на угол й) — кватер-
нион
в* О ... О
Р = cos у + ii sin у .
В соответствии с теоремой 2.4, имеем для кватерниона
результирующего вращения
N’=A*°M*oP* =
® . . . ® \ / ib ... lb
cos-| + b3Sin^ о (^cos -y-HsSiny-
13',. . ©'
COS у + liSiny
(2.71)
Выполняя умножение кватернионов, получаем следую-
щие значения для его компонент в функции углов
Крылова:
»	® ib © ,	. ср . ib .	©
v0= cos -5- COS -у COS -Z- 4- sin sin -y sin — ,
Z	Z	Z	Z	Z	Z
.	®	ib	. l3	®	. lb	©
V. — COS COS -5- Sin -K------------Sin 4y- Sin -3- COS -5-
*	Z	Z	Z	Z	Z	Z
,	.	ib	Ф	©	1	, ®	ib	.	©
V, = Sin	COS	-y	COS	—	+	SHI 4- cos	-4- sin	—
z	z	z	z	z	z
(2.72)
»	. ® ib © -ib ® . •&
V, — Sin -*r COS COS -y — Sin — COS 4- Sin -7f .
О	Z	Z	Z	Z	Z	Z
Полученные величины кватерниона позволяют записать
операции ортогональных преобразований в форме опе-
рации вращения [например, в виде (2.44), (2.48)]. Чи-
татель может убедиться, что элементы матрицы опера-
ции вращения вида (2.35) совпадают с элементами мат-
рицы А1 (2.70),

§ 2.7]
СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
8!
При заданных осях вращений и заданных углах по-
воротов последовательность трех эйлеровых поворотов
полностью определяет преобразование. С другой сто-
роны, если задано требуемое преобразование и заданы
оси вращений и их последовательность, то этим одно-
значно определяются эйлеровы углы вращения. Дей-
ствительно, преобразование определяется компонентами
V; кватерниона преобразования; можно видеть, что фор-
мулы (2.69) или (2.72) однозначно разрешимы отно-
сительно величин углов поворотов
Вращение на эйлеровы углы есть вращение вокруг
координатных осей (разумеется, последовательно преоб-
разуемых). Поставим вопрос: можно ли выполнить про-
извольно заданное преобразование путем трех поворотов
относительно произвольных осей и, если нельзя, какие
существуют условия на расположение осей вращения?
Применение кватернионов позволяет достаточно полно
и наглядно исследовать этот вопрос.
Рассмотрим произвольное преобразование, которое
определяется заданным кватернионом N. Представляя
кватернион N дугой единичной
сферы, можно видеть (см. § 1.2),
что эта дуга занимает свободное
положение на большом круге,
определенном векторной частью
v кватерниона, а длина ее равна
половине угла вращения кватер-
ниона N. Пусть то же самое
преобразование выполняется пу-
тем вращения вокруг некоторых
заданных осей. Каждая ось вра-
щения определяет на сфере боль-
шой круг, на котором должна
Рис. 2,3.
располагаться дуга соответствующего кватерниона, со-
ставляющего результирующее преобразование.
Рассмотрим сначала случай, когда заданы две оси
вращении, составляющих заданное преобразование; эти
оси определяют круги А и М на сфере (рис. 2.3). Оче-
видно, что заданный кватернион А можно представить
дугой в виде произведения двух кватернионов,
представленных дугами и 9^св\
N - А о АГ,

82
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
Дуга М' получается из «разрешенной» дуги М (т. е.
<¥’3Г) путем ее переноса преобразованием вращения.
Действительно, из треугольников и находим
<^=<^ + ^=w=^ + w,
или, обозначая дуги ёЕЕ)=ЕЕ)(ё и	кватер-
нионами Р и А] соответственно, имеем
Р = М о А , = A4 о М',
откуда
= Aj оМоА].
В соответствии с этим имеем следующее выражение
заданного кватерниона N через «разрешенные» направ-
ления вращения:
N — А ° М' — А о А] ° М о А].
Поскольку вращения А и А! происходят вокруг од-
ной оси, то преобразование AoAj представляет одно
вращение вокруг этой же оси, которое обозначим Аг,
в результате чего
N = A2oMoA!,	(2.73)
Очевидно, что это есть эйлерова последовательность
вращений вида (2.68). Заметим, что сложение дуг ква-
тернионов можно производить в двух точках пересече-
ния дуги А с дугами А и М; на рис. 2.3 показано одно
из таких сложений на обратной стороне сферы, приво-
дящее также к соотношению (2.73). На рис. 2.4 пред-
ставлено сложение, начинающееся от точки пересече-
ния дуг N и М. В соответствии с рис. 2.4 имеем
АА -М. ААМ ^М .А.
откуда
N = М; о А О М; о М - М j О А О М2,
что, очевидно, соответствует другой последовательности
эйлеровых поворотов.
Можно видеть, что требование «перпендикулярности»
дуг составляющих кватернионов (т. е. «разрешенных»
осей вращения) не является обязательным. Однако из
рассмотрения рис. 2.5 следует, что для приведенного
расположения больших кругов составляющих поворо-

§ 2.7]
СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
83
тов Л н М не всякое вращение X может быть представ-
лено их произведением. Действительно, преобразование
вращения вокруг оси Л может «перенести» дугу М не
в любую точку сферы, а только в область, ограничен-
ную малыми кругами S и S, Аналогичное условие
имеем и для другой последовательности вращений, ко-
торая определяет аналогичную область, ограниченную
плоскостями S' и S' (показано на рис, 2.5 пунктиром).
Заметим, что максимальные длины дуг кватернионов
X' и X" для обеих последовательностей могут быть
различны. Следовательно, с помощью произведения ква-
тернионов М и Л может быть представлена такая дуга
X', которая умещается в области, ограниченной пло-
скостями S7 и S или З7' и S'. Отсюда видно, что про-
извольный кватернион с углом iSy, е jj), может быть
выражен эйлеровой последовательностью вращений
только при перпендикулярности осей составляющих по-
воротов, хотя при < ~ возможно использование и
неперпендикулярных вращений.
Рассмотрим представление кватерниона N с помо-
щью произведения трех различных вращений. Пусть за-
даны три направления вращений, определяющих боль-
шие круги Л, М и Р на сфере (рис. 2.6). На этих кругах
будут располагаться дуги кватернионов, составляющих
заданный кватернион X; дуга кватерниона X располо-
жена на соответствующем большом круге. Если задана
последовательность вращений (например. Л, М, Р — как

84
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
в данном случае), то этим однозначно задается геомет-
рия сложения дуг на сфере. Действительно, из сфери-
ческого треугольника находим
\ = А - К,
а из треугольника 1L><S3~ такого, что 3j<£ =	имеем
К = М о Р,
откуда
N = А о М ° Р,	(2.74)
т. е. получили последовательность сомножителей, соот-
ветствующую поворотам на углы Крылова (2.71). Мож-
но видеть, что положение боль-
шого круга кватерниона К фик-
сировано точкой 4s? (концом
дуги кватерниона N) и условием
равенства дуг и &Ж. Точно
такой же треугольник существует
и на обратной стороне сферы.
Другой последовательности вра-
щений будет соответствовать дру-
гая геометрия сложения дуг.
Из рис. 2.6 видно, что требо-
вание взаимной перпендикуляр-
ности составляющих вращений
не является обязательным. Тем
эм положении составляющих дуг
возможно указанное разложение; анализ показывает,
что достаточным условием выполнимости разложения
является требование, чтобы дуга кватерниона К (дуга
была не больше максимально возможного расстоя-
ния между соответствующими точками дуг кватернио-
нов М и Р. Так, например, можно видеть, что при близ-
ких кругах М и Р может иметь место случай, когда дуга
будет всегда меньше дуги т. е. разложение не-
выполнимо. Если же хотя бы две из трех осей враще-
ний перпендикулярны, то разложение возможно всегда,
причем при непрерывном приближении одного большого
круга к другому последовательность вращений прибли-
жается к эйлеровой.
II. Параметры Кейли — Клейна. Параметры Кейли—•
Клейна являются комплексными комбинациями ко.мпо-

§2 7]
СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
85
нент кватерниона. Они вводятся в кинематику враще-
ния твердого тела либо посредством стереографического
проектирования сферы на плоскость и задания дробно-
.пшенного преобразования плоскости в себя [31, 44], либо
с помощью изоморфной операции линейного преобразо-
вания, задаваемой унитарной матрицей [16]. Для уста-
новления связи кватерниона с параметрами Кейли —
Клейна удобнее использовать второй путь. Здесь мы
кратко изложим суть этого метода; более полное изло-
жение читатель может найти в работе [16].
Пусть задано комплексное двумерное пространство
uv и задано его линейное преобразование
ц/ = аи + р&,
определяемое матрицей
(2.75)
Матрица, комплексно сопряженная и транспонированная
относительно матрицы U (комплексно сопряженные ве-
личины будем отмечать звездочкой), т. е.
называется матрицей, эрмитово сопряженной с матри-
цей U. Будем рассматривать такие преобразования, для
которых выполняются условия
UU+=-U+U=1,
det U = 1
(2.76)
1 О
О 1
(здесь 1 —
— единичная
матрица).
Матрицы, удовлетворяющие первому условию (2.76),
называются унитарными матрицами. Условия (2.76)
приводят к следующим соотношениям, которым должны
удовлетворять элементы а, р, б и у.
а"а + Р*Р= 1,
/у+ 6*6= 1,
и у + Р 6 = О,
(2.77)
аб — ру = 1,

86
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
Здесь первые три равенства являются условиями уни-
тарности матрицы U, а последнее соответствует требо-
ванию единичного определителя матрицы. Из третьего
равенства (2.77) получаем соотношение
Y “ Р’
которое при подстановке в четвертое приводит к выра-
жению
— (аа* +	= 1.
С учетом первого равенства (2.77) получаем следующие
условия на элементы матрицы U, к которым сводятся
условия (2.76) и (2.77):
¥=-₽*, а‘ = б,
аа* + р₽’= 1.
(2.78)
Четыре элемента а, ₽, у и 6, удовлетворяющие усло-
виям (2.78), называются параметрами Кейли — Клейна.
Всего матрица линейного преобразования (2.75) содер-
жит восемь величин, так как каждый из ее элементов
является комплексным.
Равенства (2.77) содержат следующие условия: пер-
вые два равенства — вещественные, третье — комплекс-
ное, поэтому требование унитарности матрицы преобра-
зования содержит четыре условия. Пятым условием яв-
ляется требование к детерминанту матрицы U. Таким
образом, матрица U при выполнении условий (2.76) и
(2.77) содержит только три независимых параметра, т. е.
как раз такое число, какое нужно для описания ориен-
тации твердого тела в трехмерном пространстве.
Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве
матричный оператор
R —| г3_ П-/Ч	(2 79)
|| Г1 + /Г2 Г3 II
вещественные компоненты гь г2, Гз которого будем ин-
терпретировать как координаты вектора г в трехмер-

§ 2 7]
СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
87
ном пространстве. Пусть посредством унитарной мат-
рицы U матрица R подвергается следующему преобра-
зованию:
Rz—URU+.
(2.80)
Соотношение (2.80) описывает подобное преобразо-
вание матрицы R, которое происходит, когда простран-
ство uv испытывает унитарное преобразование [заме-
тим, что и-1 = и+, что следует из (2.76)]. Поскольку
матрица R является эрмитовой (т. е. эрмитово сопря-
женная матрица равна самой матрице: RT — R) и ее
след равен нулю, то и матрица Rz также должна быть
эрмитовой и иметь след, равный нулю (последнее сле-
дует из того факта, что подобное преобразование не ме-
няет обоих этих свойств матрицы). Отсюда следует, что
матрица Rz должна иметь вид
R' =
Г3 Г\ - ir2
г[ + 1г',	- г'3
где г', г' и г'— вещественные числа. Поскольку детер-
минант матрицы также не меняется при подобном пре-
образовании, то
det R = — (г? + г\ + г!) = R' = ~ [(^)2 +	+ (г;)2].
(2.81)
Соотношение (2.81) является условием ортогональ-
ности преобразования; в соответствии с этим операцию
(2.80) можно рассматривать как операцию преобразо-
вания вектора г в новый вектор г'. Выполняя умноже-
ние матриц в соотношении (2.80), получаем следующую
связь компонент г' с компонентами г, (i = 1, 2, 3):
II <а6+₽у) rs-ay Ц1-Ц,) + |Зй(д + /га	-2a|3rs + a2 (г^Гг^-р1 (М-Hr.)
Il	2yfirs—у! (г,-irj+б2 (Г1+/га)	-(ав+Зу) Гз+аПм-Нгр-РбУч-НГ!)

88 ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. 2
Если представить связь компонент г', с rt в виде соот-
ношения (2.18), то матрица преобразования в соответ-
ствии с полученным равенством будет равна
АТ=В =
± (а2 _ у2 у <у> _ р2) 2. (у2 _ а2 у §2 _ 02)	_ ар
J (а2 Н- Y2 — р2 — б2) у (а2 + Y2 + Р2 4- 62) — I (ар — уб) •
Р<5 — «Y	i (ау + Р6) аб + Ру
(2.82)
Можно показать, что ортогональное преобразование
(2.81) изоморфно операции (2.80), и развить данный
формализм на все преобразования, связанные с дви-
жением твердого тела. Однако удобнее установить
связь параметров Кейли — Клейна с кватернионами,
чтобы использовать полученные выше результаты. Эта
связь легко устанавливается с помощью спиновых мат-
риц Паули. Спиновыми матрицами являются следую-
щие три двумерные матрицы:
h 11° / II
2 h о|
О 1
1 О
0
—
0—1
• (2.83)
Р1 =
Отметим, что все спиновые матрицы — эрмитовы
(т. е. = pz), унитарные и след каждой из них равен
нулю. Совместно с единичной матрицей
1
0
1

0
спиновые матрицы образуют систему четырех незави-
симых матриц двумерного комплексного пространства.
Любая матрица размера 2X2 в двумерном простран-
стве может быть представлена в виде линейной комби-
нации указанных четырех матриц:
а b
с d
= 4(^ + c)Pi +у(&-с)р2 +у(п —й)рз +
+ у(“ + d) 1.
(2.84)

§2 7]
СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
89
Если след этой матрицы равен нулю, то последний член
в (2.84) исчезает. Если, кроме того, матрица эрмитова
(т. е. a, d — действительные числа и Ь = с*), то коэф-
фициенты при спиновых матрицах в разложении (2.84)
суть действительные числа.
Матрицы Паули позволяют представить оператор R
в следующем виде:
R =
|3. Г} гГ2 | = /'lPl + Г2Р2 + НРз-
+ -Гз II
(2.85)
Благодаря этому матричный оператор R, которому по-
ставлен в соответствие вектор г, представлен в форме
разложения вектора по «ортам» трехмерного простран-
ства. При этом в качестве таких ортов выступают спи-
новые матрицы Паули; этим самым устанавливается
связь двумерного комплексного пространства и трехмер-
ного вещественного пространства.
Рассмотрим, как может быть представлена унитар-
ная матрица U с помощью спиновых матриц.
В соответствии с (2.84) имеем
и = Г Л ! = 4 + Y) +4(Р-У)р2 + 4 (а-6) +
|| у 6 I z	z	z
+ 4(а-Ь6)1- (2.86)
Можно видеть [см. соотношения (2.78)], что коэффи-
циенты при р(- суть мнимые числа, а коэффициент при
единичной матрице — действительное число. Отсюда
следует, что матрица, эрмитово сопряженная с матри-
цей U, равна
и = 4 <а+б)1 — 4 (р+y) pi - 4 <р ~ y) р2 - 4 (а~бж.
Т. е. изменился знак коэффициентов при спиновых мат-
рицах.
Покажем теперь, что каждая спиновая матрица опре-
деляет оператор единичного поворота вокруг своей оси.
Действительно, операция преобразования (2.80) для
маурицы U, равной, например,
U=a1 -фри

90
ТЕОРИЯ КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 2
(что имеет место при а —б и 0 = у), оставляет неиз-
менным вектор, имеющий то же направление, т. е.
R = r1p1 = R' = r;p1.
Подставляя указанные величины в соотношение (2.80),
получаем
R/=URU+==(a1 +РР1)Г1Р1(а1 -№,) = /-, (а2-^,^,
(нужно учесть, что р|1 = 1р1=р1 и р1р1 = 1).
Можно показать, что если у;— направляющие коси-
нусы единичного вектора, то унитарная матрица
U «= 1 cos -у + i (у^! + у2р2 + УзРз) sin -у (2.87)
определяет преобразование (2.80), оставляющее неиз-
менным вектор Yjpj + у2р2 + Уз£з> который! и будет осью
вращения (угол поворота равен '&). Представление уни-
тарной матрицы (2.86) и преобразования (2.80) стано-
вятся эквивалентными соответственно представлению
кватерниона (1.11) и операции вращения (1.14), если
учесть, что спиновые матрицы, позволяющие осуще-
ствить «векторное» представление операторов R и U,
подчиняются правилам умножения гиперкомплексных
единиц:
^=^ = ^ = 1-
Мз = - Ш = jpb pt1=1pi = pi,
Ы1 = - Мз = *>2,	=
Ы2=-Ш = ^з>	р31 =1рз = 153-
Таким образом, спиновые матрицы позволяют уста-
новить соответствие между кватернионами и унитар-
ными матрицами. Заметим, однако, что спиновые мат-
рицы несколько по-разному представляют матрицу-век-
тор (с действительными коэффициентами) (2.85) и
матрицу-оператор преобразования (J (2.86) (коэффици-
енты мнимые у векторной части). Вследствие этого не
такими симметричными получаются и формулы умно-
жения спиновых матриц (2.88). Тем не менее эквива-
лентность матрицы преобразования (2.87) кватерниону

5 2П
связь параметров
91
показывает, что выполняется соответствие
Zj = cos-|- = y(a + 6),	Л,! = Yi sin^ = —у(₽ +у),
л2 = у2 sin = у (₽ - у), Л3 = уз sin у = — у (а — 6),
где л,- (г = 0, 1, 2, 3) могут быть, в частности, пара-
метрами Родрига — Гамильтона,
С учетом этих соотношений, следующих из равенства
(2.86), можно связать параметры Кейли — Клейна с
компонентами кватерниона:
a = /.2 4“ 1'^3, 6 — /-о — iA3,
|3 = /.2 4“ /К,	у = /Л] — Л2.
(2,89)
Представляя унитарную матрицу в выражении (2.86)
через компоненты Ль можно преобразование (2.80) све-
сти к преобразованию (2.33), при этом применимы все
результаты, полученные в § 2.2—2.6.
Отметим только, что операция (2.80) изоморфна ор-
тогональному преобразованию в форме (2.18).
В заключение, пользуясь соотношением (2.89) и ра-
нее полученными равенствами (2.69) и (2.72), свяжем па-
раметры Кейли —Клейна с углами Эйлера и Крылова.
Подставляя вместо X,- (г = 0, 1, 2, 3) величины v, из
(2.69), получаем для углов Эйлера
a = cos -у е1 ~~,
о . . -ф , ®~<р
Р =t siny —2~
o = cos-|-e	~2"^,
. . ф , Ф--& I
у = i sin ~ е‘ -т~. j
(2.90)
Используя соотношение (2.72), находим зависимость
параметров Кейли — Клейна от углов Крылова:
i(J>
а = е 2 ^cos-^cos — — i sin4sin-у),
i<p
6=e 2 (cos cos-J 4-i’sin4 sin41 >
о	—IT („	ft  1Ь ,  ib . О’ \
р = е (cos — sin -i- 4- i cos-^-sin -у),
(2.91)
Ф . ib . ф . O’ \
Y== —e2 icos-g-sin-^—zcos-^-sin-g-).

ГЛАВА 3
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Кинематические уравнения связывают вектор угло-
вой скорости вращения твердого тела с производными
по времени от кинематических параметров. Вид кине-
матических уравнений определяется в зависимости от
кинематических параметров, поэтому для углов Эйлера,
направляющих косинусов и параметров Родрига — Га-
мильтона уравнения различны. Желательно иметь еди-
ный подход к исследованию кинематических уравнений,
а следовательно, и к их получению. При выводе урав-
нений будем полагать, что читателю известна такая
физическая величина, как вектор угловой скорости [9,
16, 29], Основываясь на понятии угловой скорости как
предела отношения бесконечно малого поворота к эле-
менту времени, в этой главе приводится вывод кине-
матических уравнений. Показывается, что запись этих
уравнений с использованием кватернионов является
универсальной и повторяется для всех кинематических
параметров при соответствующей формализации. По-
лучен общий вид кинематических уравнений.
Использование кватернионов позволяет представить
кинематические уравнения в наиболее естественном
виде, когда связываются однородные параметры, ха-
рактеризующие элементарное вращение (вектор угловой
скорости) и конечное вращение (компоненты кватер-
ниона). В связи с этим использование кватернионов по-
зволяет доказать теорему об общем решении кинема-
тического уравнения, построить формальное решение и
исследовать ряд простых случаев, когда удается полу-
чить решение в элементарных функциях. Проведенные
исследования оказываются полезными для приближен-
ных методов решения, рассматриваемых в следующей
главе.

БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
93
5 3.1]
§ 3.1. БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ВЕКТОР
УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Кватернион преобразования вращения, например
(2.41), определяет вектор конечного поворота, перево-
дящего систему координат Е в положение Е'. Рассмот-
рим бесконечно малое преобразование, при котором
положение систем Е и Е' отличается на малую вели-
чину. Этому преобразованию должен отвечать кватер-
нион, осуществляющий вращение на бесконечно малый
угол Дй; в соответствии с представлением кватерниона
(1.11) можно видеть, что приближенное значение этого
кватерниона с точностью до членов второго порядка от-
носительно Ай равно
ДА=1+?-^,	(3.1)
где ДА — кватернион бесконечно малого преобразова-
ния. g — мгновенная ось вращения, Дй— угол поворота.
Пусть теперь кватернион (3.1)' задает преобразова-
ние вращения (2.33), благодаря чему связанный с си-
стемой координат вектор г переходит в новое положе-
ние г'.
Выполняя операции умножения, можно видеть, что
г' = ДА о г о ДА. = (1 + g 4) °г ° U ~ £-4 ) =
, о АЙ	<, \Й е. я Ай2
=	? — °Г ~	----^°г°	~4-<
Отбрасывая член вюрого порядка малости, имеем сле-
дующее приращение вектора:
Ar = г' — г = £ о г ~ — г ° £ 4^ — (£Ай) X г, (3.2)
В формуле (3.2) было использовано представление
умножения кватернионов с помощью умножения векто-
ров (1.8).
Беря отношение обеих частей равенства (3.2) к М
и переходя к пределу, получает:
dг  f & di) । . ,	. ,	/ п
(3.3)

94
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Это равенство убеждает нас в том, что величина
г dii
^~dT
равна вектору угловой скорости ю движения системы
координат Е' относительно Е. В соответствии с этим
кватернион бесконечно малого преобразования (3.1)
может быть записан и в таком виде:
ДА = 1 -ф у	(3.4)
Приведенный вывод, позволивший связать вектор
угловой скорости с кватернионом бесконечно малого по-
ворота, носит иллюстративный характер. В действитель-
ности мы имеем право, исходя из определения вектора
угловой скорости как отношения вектора бесконечно
малого поворота к элементу времени dt и основываясь
на фундаментальной теореме 1.1 и соотношении (2.51),
сразу же написать соотношение (3.4).
В случае направляющих косинусов вектор угловой
скорости вводится через элементы матрицы бесконечно
малого преобразования. Изоморфная операция преобра-
зования вектора (2.18) задает преобразование матри-
цей В ~ Ат, которая может быть представлена в виде
суммы единичной и некоторой матрицы, соответствую-
щей малому преобразованию:
В = 1 фе.
Такая матрица задает почти тождественное преобразо-
вание, отличающееся от него бесконечно малым опера-
тором. В соответствии с (2.18) имеем
г' = (1 + е) г — г ф ег,
т. е.
Аг = г' — г = ег,
(3.5)
где е—оператор бесконечно малого приращения.
Матрица обратного преобразования В-1 должна
быть равна
В!=1 — е,

А 3 I]
БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
93
так как в этом случае выполняется соотношение
ВВ1 = (1 +е)(1 -е)=1
с точностью до членов второго порядка относительно е-
Но для ортогональной матрицы обратная матрица сов-
падает с транспонированной, следовательно,
В = 1 ~|- е = 1 — е, е - — е.
Таким образом, матрица бесконечно малого преобра-
зования является антисимметрической, т. е. имеет вид
	ег/ =	- е/ь
о е12	е13	0	е!2 еВ
e2i 0	е23	—	~~ е12	0 е23 . =
е31	е32	0	— е1з	— е23 0
		0	— АтЭ’з	АтЭ'з
		= АО. 0	- AOj
		- АО, AOj 0
Рассматривая отношение этой матрицы к элементу А/
и обозначая предел этого отношения при А/-*0 через
.	<№>i
S2, а величины через со,, получаем
	0 — со3		К>2	
Q =	“з	0	— CDj	(3.6)
		Ml	0	
Каждой антисимметрической матрице в трехмерном
пространстве соответствует вектор ш, компонентами ко-
торого являются величины оц, со2, ©з- Связь элементов
матрицы с компонентами вектора устанавливается фор-
мально с помощью символа Леви-Чивита Этот сим-
вол равен нулю, если среди индексов I, j, k имеются
одинаковые, и равен ф-1 или —1 в зависимости от чет-
/ i 2 3 \
ности или нечетности перестановки I ,	. Соот-
ношение, устанавливающее связь матрицы Це^-Ц с ком-
понентами вектора, имеет такой вид:
А^==у 2 б(-мем.	(3.7)
/, Й=1

96
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Три величины Л#, (или с?0,) матрицы е являются
тремя независимыми параметрами, определяющими вра-
щение. Подставляя значение е в (3.5), получаем для
приращений вектора
dr{ = r3 (1^2 — г 2
dr-2 = r\ — r3
г/г3 = г2 d'&i — fl d^z,
что можно записать также в виде векторного равенства
dr = d& X. г
или
dr
dt
Поскольку величина ю определяется векторной ча-
стью кватерниона преобразования вращения, то в соот-
ветствии с теоремой 2.2 она является вектором. Отсюда
следует, что определяемые компонентами кватерниона
dX (3.4) величины со, суть проекции вектора угловой
скорости ш (так же, как и кватерниона) на любую си-
стему координат, в том числе и на базис Е. Очевидно,
что проекции на базисы Е и Е' в данном случае оди-
наковы, так как dX определяет переход между этими
базисами.
Рассмотрим в заключение последовательность двух
бесконечно малых преобразований, определяемых ква-
тернионами dX\ и dX2. Результирующее преобразование
будет равно
dX = dX2 <>dX{ = (1 + <a2dt \ ° (1 -f- iсе»; dt\ =
= 1 + 1 (0), + ®2) dt + co2 0 dt2 ~ 1 + I (©! + (02) dt,
т. e. с точностью до малых второго порядка происхо-
дит сложение бесконечно малых поворотов и соответ-
ственно угловых скоростей. Отметим, что порядок умно-
жения здесь не играет роли; это говорит о том, что
проекции вектора -|- ю, на близкие системы коор-
динат с точностью до малых второго порядка не отли-
чаются.

J 32]	ВЫВОД К1111 L MATII4ECKIIX УРАВНЕНИИ
97
Полезно полученную формулу записать отдельно
как правило умножения кватернионов малых вращений.
Согласно (3.4) кватернионы малого вращения с точ-
ностью до малых второго порядка от величины угла
поворота 13 можно представить в виде
ДА = 1 + 1 0 + о (0),
1де 0 = £& — векюр бесконечно малого поворота. Фор-
мула умножения кватернионов малых преобразований
с точностью до членов второго порядка малости будет
такой:
АА2=— А А, ° АЛ,— [1 + у 0i + o^j)^ ° |^1 + — 02+o(i32)j —
= 1 +4 01 + у 02 + о (13,0м) = 1 +y0j + o(i3j),
Отсюда видно, что бесконечно малые повороты скла-
дываются как векторы.
S 3.2. ВЫВОД КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При выводе кинематических уравнений следует учи-
.ывать, что практически нашли применение уравнения,
в которых фигурируют проекции вектора угловой ско-
рости со движения подвижной системы координат отно-
сительно исходной либо на эту исходную, либо на под-
вижную систему координат (а не вообще на какой-либо
базис).
Этим объясняется, что в кинематических уравнениях
используются проекции кватерниона на начальный и ко-
нечный преобразуемые базисы, т. е. параметры Родри-
га— Гамильтона. Приведем два вывода кинематических
у равнений.
I. Будем рассматривать исходную систему коорди-
нат I и движущуюся относительно нее с угловой ско-
ростью со систему координат Е. Пусть переход от
базиса / к базису Е определяется кватернионом А
с помощью операции вращения типа (2.44), которую
.чтппшем в таком виде:
£ = Ао7 = а.	(3.8)
4 В Н Бранец. П. П. Шмиг теп.кий

98	КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. 3
Вследствие относительного движения базисов ква-
тернион А будет переменной величиной. Это означает,
что компоненты кватерниона U (i = 0, 1, 2, 3) будут
функциями времени %г(0. и соответственно этому вре-
менной функцией А(0 будем обозначать также ква-
тернион А. Чтобы получить величину скорости измене-
ния компонент кватерниона, рассмотрим два близких
положения системы координат Е в моменты времени t
и t + dt. Очевидно, что эти положения будут опреде-
J	ляться относительно исходного
V	базиса I кватернионами А(0 и
\	A(f + df). С другой стороны,
Y	взаимное положение базиса Е
\	в моменты t и t + dt будет за-
V	висеть от угловой скорости
\	движения базиса Е и будет за-
даваться кватернионом беско-
Рис. 3.1.	нечно малого перемещения dA
(рис. 3.1).
Отсюда легко получить связь между кватернионами
А (/), A (t + dt) и dA. Однако прежде всего рассмот-
рим, на какие системы координат следует проектиро-
вать полученное равенство, т. е. какие отображения
данных кватернионов следует использовать. При этом
нужно исходить из того, что кватернион dA желатель-
но выражать в проекциях либо на оси системы коор-
динат Е, тогда его компонентами будут проекции угло-
вой скорости на связанную систему координат, либо на
базис I, в этом случае компонентами dA будут проек-
ции на неподвижную систему координат.
В первом случае используем теорему 2.4, согласно
которой собственные кватернионы каждого преобразо-
вания перемножаются следующим образом:
A*(f+ Л) = А,(0о^А*.
Здесь кватернионы A*(t-[-dt) и А* (/) имеют параметры
Родрига — Гамильтона в качестве компонент преобра-
зований, переводящих базис I в базисы E(t) и Е (t-\-dt)
соответственно. Кватернион dA* имеет компонентами
равные величины проекций угловой скорости на связан-
ные системы координат E(t) и E(i-\-dt). Используя пред-
ставление кватерниона dA (3,4) и обозначая кватер-

» 3.2]
ВЫВОД КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
99
нион-отображение вектора w на базис Е через по-
лучаем окончательно
Л* (t + dt) = Л’ (0 о (1 +1 dt).	(3.9)
Обратимся к теореме 2.3, согласно которой сумму
поворотов Л(0 и ПЛ, составляющих поворот A(t-{-dt),
можно проектировать на один и тот же базис. При
этом, чтобы получить в результирующем соотношении
собственные кватернионы преобразований (кватернионы,
составленные из параметров Родрига — Гамильтона), в
качестве базиса для Проектирования можно использо-
вать только базис I. Для базисов E(t) и E(t-)-dt) либо
кватернион A.(t-}-dt), либо кватернион Л(0 не будет
собственным кватернионом преобразования. Согласно
теореме 2.3 имеем
Л’ (t + dt) = Л/ (t + dt) = dkloXl(i) = dki<> A* (t),
т. e. компонентами кватерниона ПЛ/ будут проекции
вектора угловой скорости на исходную (неподвижную)
систему координат. Используя представление (3.4), за-
пишем полученное соотношение в таком виде:
A* (t + dt) = (1 + ®/Hf) ° Л* (t).	(3.10)
Соотношения (3.9) и (3.10) и есть две формы кинема-
тического уравнения. Уравнения в такой форме имеют
смысл для всех численных методов решения, так как
связывают значения кватерниона в последующий мо-
мент времени с его значением в текущий момент вре-
мени.
\	Однако чаще используется еще одна форма записи
'' кинематического уравнения. Рассмотрим величину
А* (f + Ш) - А* (f)
dt
представляющую собою формальную производную от
кватерниона как четырехмерного вектора
dA dA0 5 dAj * * dK2 ( dA^
~dT ~ ~dT + il ~dF + *2 ~dT *3 ~~dt~'
4*

100
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Эта производная взята, естественно, в предположении не-
изменности базиса I, являющегося составным гиперком-
плексного пространства Н. Можно видеть, что с уче-
том этого равенства кинематические уравнения (3.9) и
(3.10) могут быть соответственно записаны и в такой
форме:
ТГ=4Л’°“*'	(ЗЛ|>
(3.12)
Заметим, что кватернион Л* задает переход от ба-
зиса I к базису Е операцией вращения (3.8); в соответ-
ствии с теоремой 2.1 преобразование компонент неиз-
менного вектора угловой скорости должно определяться
обратной операцией вращения, выполняемой над гипер-
комплексными отображе-
ниями, т. е.
I	L/л,
I	= л о <й/ о л*. (3.13)
Очевидно, что соотноше-
Рис. 3.2.	ние (3.13) однозначно
удовлетворяет уравне-
ниям (3.11) и (3.12). Уравнениям (3.9) и (3.10) соот-
ветствуют две возможности сложения кватернионов на
сфере (рис. 3.2). Согласно этому рисунку
Л* (/ + df) = dX, о Л* (/) = Л* (/) о dXE,
и связь дуг dAy и dXE определяется операцией переноса
dXE — А* ° t/Ay о А*,
являющейся выражением равенства (3.13).
II. Кинематические уравнения можно получить еще
одним способом. Пусть переход от опорного, базиса I
к базису Е определяется кватернионом А (3.8); тогда
для любого орта, как и вообще для любого вектора, не-
подвижного в базисе Е, преобразование определяется
этой же операцией:
г' = Л* or о А*.
Рассматривая изменение г' в исходном базисе, т. е.
движение, происходящее только за счет изменения А*,


§ 3.2]	ВЫВОД КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ	Ю1
получаем величину локальной производной от радиуса-
вектора
dr' dA* т» i  • dA*
—оГоЛ +A oro —=
= -^-oA*or'-r'o-^oA\	(3.14)
так как г ° A* = A’or'и A*or = r'oA‘, и из равенства
А* о А* = 1 следует, что
^-оЛ- + Л-о<=0,
т. е.
а величина производной от кватерниона понимается в
смысле (3.11), т. е. представляет собою локальное изме-
нение кватерниона относительно опорного базиса. С дру-
гой стороны, локальная производная от вектора, не-
подвижного в базисе Е, определяется соотношением
(3.3). Чтобы получить связь величины с вектором
угловой скорости <в, необходимо векторное равенство
(3.3) представить в виде произведения кватернионов
<0Xr' = 4«»/or'-r'o<B/),	(3.16)
что следует из представления (1.8), где
®z= Qiii + Q2I2 + йз*з	(3-17)
— кватернион, составленный из проекций вектора ю на
оси исходного базиса, т. е. отображение <о на I.
Сравнивая соотношения (3.14) и (3.16), сразу полу-
чаем
®/= 2~- о А*,	(3.18)
откуда следует форма кинематического уравнения (3.12).
Форма (3.11) получается из (3.18) с учетом того, что

102
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. 3
кватернион-отображение ыЕ получается из <<>у опера-
цией (3.13).
Из соотношения (3.11) следует, что
Й£ = 2.Го^,	(3.19)
и величина этого кватерниона
©£= alil 4- Ю2/2+ куй	(3.20)
определяется проекциями вектора ш на связанную си-
стему координат Е.
Используя представления (3.17) и (3.20), запишем
уравнения, определяющие компоненты вектора угловой
скорости через производные от кватерниона преобразо-
вания (3.18) и (3.19), в виде скалярных соотношений
(здесь и далее будем опускать звездочки у компонент
кватерниона, понимая, что в кинематических уравнениях
фигурируют только параметры Родрига — Гамильтона):
Й! = 2 (zoz. - z z, + z2z} - z2z3),
й2=2(лЛ -ZOZ2 +;.Л-Мз), '
йз= 2 (Z0Z3 — XqZj -)- z;z2 — j
C01 = 2 (Z [/.Q — ZjZ; •-}- Z..;Z2 — Z_,Z3),
G>2= 2 (?^2Zq — ZnAi 4- Z|Z3 — Z3Z1),
CO3 = 2 (Zj?ij — ZqZ3 -|- Z2Z1 — Z;Zj).
(3.21)
(3.22)
Уравнения (3.21) и (3.22) определяют величину угло-
вой скорости, которая является физической характери-
стикой движения и может быть измерена. Можно по-
казать, что определитель из коэффициентов при скоро-
стях [т. е. при производных Z, в системах (3.21) и
(3.22)] всегда равен единице. Эго означает, что, во-пер-
вых, обращение этих систем всегда выполнимо и, во-
вторых, кинематические уравнения в форме (3.11),
(3.12) не вырождаются при любых значениях парамет-
ров. Это свойство весьма важно для приложений, в осо-
бенности при численном решении уравнений.

ВЫВОД КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
103
Запишем уравнения (3.11) и (3,12) в виде скаляр-
ных соотношений
2Хо = ~ (O[Zj — со_>Л2 — со3Л3,
2Z1 = (0^ + И3>.2 — К>2ЛЪ
2?.2 = ю2Л) + оЭ1Л3 — ю3/, j,
2/, j = СО3/4) 4~ со2/.| — от б.у,
2/.о= — ЙРч — £>Л2 — Qj/.з,
2Л, = О,Л3 + ор.3 - о3л„
2Л2 = Q,z04-Q3.1 -(Ш
2M=Q3Z0 +0,^-0^,.
(3.23)
(3.24)
Отметим еще раз, что кинематические уравнения
вписывают движение одной системы координат относи-
тельно другой, поэтому в них фигурирует вектор отно-
сдельной угловой скорости.
Рассмотрим в заключение, как происходит сложе-
ние относительных движений.
Пусть кватернион Л* задает переход от системы
координат I к системе Е, а кватернион М* — переход от
системы координат Е к системе Е'. Пусть угловая ско-
рость системы координат Е относительно системы I
равна ел, а угловая скорость системы координат Е'
относительно системы Е равна ®2. Кинематические урав-
нения, описывающие движение системы координат, со-
гласно (3.11) и (3.12) имеют вид
А* = !(»!/о Л’ = 1а*оо)1£.	(3.25)
Аналогично этому такие же соотношения опреде-
ляют и относительное движение базиса Е' относитель-
но базиса Е:
М’ = 1(1),£оМ’ = 1М’о(о2^	(3.26)
где (>)>г и со>£' — кватернионы, составленные из проек-
ций! вектора оъ на исходный (Е) и связанный (Е'> базисы.
Рассмотрим результирующий кватернион N*; как
следует из теоремы 2.4, для собственного кватерниона,

J04	КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ 3
составленного из параметров Родрига — Гамильтона,
справедливо соотношение
N =Д’оМ’.
Дифференцируя это равенство, получаем
Подставим в него значения производных от составляю-
щих кватернионов в соответствии с первыми равен-
ствами (3.25) и (3.26):
= у 0)1/0 N* -ф- у А* о (о2£° А* о V.
Поскольку проекции вектора о)2 на базис Е связаны
с его проекциями на базис I операцией вида (3.13), то
отображение вектора <о2 на базис I будет равно
(о,,= А* о о А*.
4./
Подставляя это соотношение в полученное выше равен-
ство, имеем
^=1(а>1/ + а)2/)о?<’,	(3.27)
т. е. кинематическое уравнение для сложного движения
имеет вид (3.12), причем, поскольку в нем представ-
лены отображения векторов <о, и <о2 на один и тот
же (исходный) базис, происходит сложение векторов
угловых скоростей. Равенство (3.27) есть отражение
известного кинематического закона сложения угловых
скоростей при сложении относительных движений.
Аналогично, рассматривая вторые равенства (3.25)
и (3.26), получаем
= -у А* О (О[£ О М -ф А‘ О М* О <02£' =
u t	£	£
= 1N* о М’ о (О1£. о М‘ + 1V о ®,£,.
2	1 2

УГАВ1ШНИЯ В ДРУГИХ П ХРА.МГ ГР'.
105
: !:юекцни вектора wi на базис Е' определяются опера-
, я'! вращения, обратной операции преобразования ба-
чков:
<l)l£' = М* ° 6) | £ 3 М ,
< ।и_\да следует, что
= у N* О («)!£'+ «-’£')>	(3.2й)
: е. уравнение принимает форму (3.11) и происходит
- иже сложение векторов угловых скоростей. Отметим,
. : соотношения (3.27) и (3.28) можно было бы сразу
и 'Т-.чпть из (3.11) и (3.12), учитывая, что скорость си-
. ,1ы координат Е' относительно системы / равна
<- «2. Полученный вывод иллюстрирует справедлп-
.- ,,ль кинематических соотношений.
•- ОЗ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ДРУГИХ
1ПРАМЕТРАХ
I. Направляющие косинусы. Для вывода кинемаш-
 шжих уравнений, связывающих производные от косипу-
; • с компонентами вектора угловой скорости, рассмот-
.м соотношение (2.18), задающее преобразование век-
: >p-i в вектор при ортогональном преобразовании Этом;,
" ; ношению соответствует матричное равенство (2.1").
i.j’iirieM эти равенства, заменив матрицу А’ на рав-
I ю di матрицу В:
r' = Br, R' = BR.	(3.29)
И.чобразование описывает изменение вектора, непод-
иного в связанной движущейся системе координат,
"Р'.'.ь ходящее за счет движения базиса. Компоненты г
• н.'Хадпом I и конечном Е базисах одинаковы, откуда
ешд-. ет, что матрица R постоянна.
Рассмагривая изменение вектора, происходящее за
-<01 движения базиса, имеем для матричного соотно-
шения (3.29)
R'=BR = BBTR'.	(3.30)
С грхгой стороны, в § 3.1 было рассмотрено изменение
томзинеит вектора при бесконечно малом преобоазова-
(д.З),

106
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Найдем зависимость величины R' от угловой скоро-
сти. Пусть имеем два близких значения R' (t + dt) и
R' (/), которые отличаются на бесконечно малый опе-
ратор (3.5):
R (/ 4~ At) = (1 те)R'(t).
Из этого соотношения имеем
AR' = R' (t -{ At) - R' (t) = tR' (2);
взяв отношение этой величины к Д/ и перейдя к пре-
делу. получим
R'=(de/dt)R' = QR',	(3.31)
где de/dt — матрица угловой скорости (3.6).
Отметим, что равенство (3.31) есть матричная за-
пись векторного соотношения (3.3). Кроме того, по-
скольку соотношение (3.29) описывает движение век-
тора г относительно исходного базиса, элементами мат-
риц R и R', также как и матрицы угловой скорости Q
являются соответственно проекции векторов г, г' и со
на неподвижную систему координат L В связи с этим
матрицу £2 в равенстве (3.31) будем в дальнейшем от-
мечать индексом базиса; так как проекции вектора ш
на базис I обозначены величинами Q, (« =	4-o,i2 _|_
+ й313), то
Сравнивая соотношения (3.31) и (3.30), получаем
ВВТ.	(3.32)
Умножая справа выражение (3.32) на ненулевую мат-
рицу В, имеем (ВВТ=ВГВ = 1)
В = Q/B.	(3.33)
Это есть первая форма кинематического уравнения для
направляющих косинусов, в которую входят величины
проекций вектора угловой скорости на неподвижный
базис.

УРАВНЕНИЯ В ДРУГИХ ПАРАМЕТРАХ
107
Для получения второй формы уравнения рассмот-
ри .1 матрицу £2/, которая, очевидно, является матрич-
ным оператором. В § 2,1 было показано, что при пре-
образовании базиса матричный оператор подвергается
подобному преобразованию (2.27). Поскольку А=ВТ,
то в соответствии с (2.27) оператор £2 в базисе Е (обо-
значим его C2f) будет связан с £27 следующим подоб-
ные преобразованием:
<2£=Вт£2/В.	(3.34)
Соотношение (3.34) позволяет найти проекцию век-
юра угловой скорости ш на базис £; эти компоненты
определяются полученным оператором
0	— <о3
£2
з
К>2
- Й!
О
где w = со1е1 ф- ю2е2 ф- ю3е3, а ю; — проекции вектора со
на баше Е.
Подставляя в (3.33) матрицу угловой скорости £2/,
выраженную через £2^ согласно (3.34), получаем вторую
форм;, кинематического уравнения, з которую входят
величины проекций угловой скорости на связанную си-
стему координат:
В — В£*Д,	(3.35)
Сразу же отметим, что форма кинематических уравне-
ний (3.33) и (3.35) сходна с формой уравнений соот-
ветственно (3.12) и (3.11).
В го.м случае, когда ортогональное преобразование
мшатся в таком виде, где используется матрица А,
кинематические уравнения для матрицы А получаются
из (3.33) и (о.35) с учетом того, что
АВ = ВА=1, АВ + АВ = 0, В = — ВАВ.
1 клеем
А= - £2fA= - А£2/.	(3.36)
Анатогично соотношению (3.32). исходя из равенства
(3.35), получим матрицу, определяемую проекциями

108
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
вектора угловой скорости на связанные оси, в функции
ог направляющих косинусов и их производных:
<^=ВТВ=-ААТ.	(3.37)
Поскольку определитель матрицы ортогонального пре-
образования равен единице, то обращение уравнений
(3.32) и (3.37) всегда выполнимо; поэтому кинематиче-
ские уравнения (3.33), (3.35) и (3.36) не вырождаются
при любом значении параметров, т. е. при любом поло-
жении твердого тела.
Запишем кинематические уравнения в скалярном
виде. Поскольку при записи ортогональных преобразо-
ваний чаще используется матрица А, уравнения запишем
для элементов ai;, имея в виду, что	Исполь-
зуя уравнения (3.36), запишем следующие 18 скалярных
уравнений, являющихся уравнениями Пуассона;
«11= — ю2«3» + ю3«2»,
«21 — — ®3«ii + Е>1«3;,
«3i = — ®l«2i + a2«Ib
(l, k =
«А1 = — &3ak2 + ^2«W,
«A2 = — ^1«A3 4“
«A3 — ~ ^2«A1 + &1«A2
1, 2, 3).
(3.38)
Соотношения (3.32) и (3.37) определяют величины ком-
понент угловых скоростей!
<}£=-ААт и
Имеем
— — «31«21~«32«22~«33«23— «21«31+«22«32 + «23«33>
К>2 = -d11«?1-d12«}2-di3«33==«31«Il + «32«12 + «33«13,
И) = — «21 «11 ~~«22«12	«23«13 == «11«21 4~ «12«22~F «13«23?
П.= -«12ац-~«22й>3-а»«33=«13«12 + «23«22 + «33«32,
О, = - а.. 3 а; ; - «23«21 - «33«31 = «11« к?+«з i«23+«si «зз,
--3= — «12«Ц ~ «22«21 — «32«31 = «12«114-«22«21_|_«32«31-
(3.39)
Девять кинематических уравнений Пуассона (3.38),
содержащие проекции вектора угловой скорости на свя-
занные или на неподвижные оси, описывают движение


УРАВНЕНИЯ В ДРУГИХ ПАРАМЕТРАХ
109
ipex ортов связанного базиса. Очевидно, что для ориен-
тации тела достаточно задать положение только двух
riо осей, поэтому любая тропка уравнений может быть
опущена. Одна тройка уравнений описывает движение
одной оси; при этом имеется одно уравнение связи
Сравнение, фиксирующее длину орта, т. е. уравнение
юрмы). Кроме того, когда задано движение одной оси
(первая тропка уравнений), на вторую тропку уравне-
ний налагаются две связи: фиксируется длина орта и
перпендикулярность к первому. Таким образом, си-
исма кинематических уравнений содержит три незавп-
i нм.) ж параметра.
Уравнения (3.33), (3.35) и (3.36) имеют наиболее
общею форму кинематических уравнений, совпадающую
формой уравнений в кватернионах (3.11), (3.12).
В случае кватернионных уравнений осуществляется ум-
лм-юше кватерниона преобразования и кватерннона-
л обряжения вектора угловой скорости на тот или иной
базис. В случае же уравнений для направляющих ко-
синусов происходит умножение матрицы преобразова-
ли'! на матрицу угловой скорости, Отметим, что из
уравнении (3.33), (3.35) и (3.36) могут быть получены
уравнения в любых кинематических параметрах, если
то жко в них выражена матрица ортогонального преоб-
'р-а...нзания (что всегда возможно).
В заключение покажем, что уравнения (3.33), (3.35)
и (3.36) подчиняются известному закону кинематики,
по киюрому происходит векторное сложение угловых
еж.рослей при сложении относительных движений. Рас-
с'ж;п;!м два преобразования: переход от базиса I к ба-
з цу Е, определяемый матрицей Аь и переход от ба-
Micu Е к базису Е', задаваемый матрицей А:. Резуль-
тирующее преобразование будет определяться матрицей
А, А2 А ।.
Пусть со; — угловая скорость базиса Е относительно
оазиса 1, а со2 — скорость вращения базиса Е' относи-
'ельно базиса Е\ пусть, далее, О] и ^“Соответствую-
щие матрицы этих скоростей. В соответствии с (3.36)
имеем две СИС1СМЫ кинематических уравнений, опреде-
ля.о'цпх взаимное движение базисов I, Е, Е':
А, .-г- -. quAi = - Аф-.’ы, А_> - - О^А> = - АА’£.

по
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ 3
Дифференцируя матрицу Аз результирующего пре-
образования, получаем
Аз = А.А[ + А2А1 = — Й2£'А?А1 — АД-ieA; =
= - АА>2£А1 - А.А1Й1Л (3.40)
Матрица Q\e есть оператор, «спроектированный» на ба-
зис Е; при переходе к базису Е' он испытывает подоб-
ное преобразование:
— Aj—itAj.
С учетом этого из равенств (3.40) следует кинематиче-
ское уравнение
Аз = —	й2£') Аз,
являющееся первой формой кинематического уравнения
для движения с угловой скоростью со, 4~ оь.
Если выразить оператор в базисе I, то он будет
иметь вид
^2/ = АШзеА1 ,
благодаря чему из равенств (3.40) получаем вторую
форму кинематического уравнения
Аз=- Аз (Й./+ «2/).
В этом уравнении также происходит сложение компо-
нент угловых скоростей.
II. Углы Эйлера и Крылова. Кинематические уравне-
ния в параметрах, которыми являются углы Эйлера
пли Крылова, хорошо известны [9. 16, 31]. и поэтому
мы остановимся на этом очень коротко. Связь компо-
нент угловой скорости с производными от тглов Эйлера
пли Крылова можно получить из соотношений (3.32)
п (3.37), используя значение матрицы (2.67) или (2.70)
соответственно. Однако легче использовать тот факт,
что вектор угловой скорости равен сумме векторов угло-
вых скоростей относительных составляющих движений.
Так как преобразование задается тремя последователь-
ными плоскими поворотами на углы (г, й и ф, то угло-
вая скорость каждого вращения направлена ио осп

УРАВНЕНИЯ В ДРУГИХ ПАРАМЕТРАХ
111
поворота и равнаф, 4иф. Из рис. 2.1 имеем для углов
Эп.тера
Q, = ф cos ф + fl sin ф sin ф,
О, = ф sin ф — Ь sin Ф COS ф,
= ф + fl cos ф;
©i = ф cos fl + ф sin f> sin ф,
(o2= — ф sin О-рф созФ sin ф', 
©3 =	4 -j-ф cos ф.
(3.41)
Для углов Крылова в соответствии с рис. 2.2 полу-
чаем следующие соотношения:
Q, = fl cos ф cos ф — ф sin ф,
Q2 = 4 cos ф sin ф + ф cos ф,
□3=ф	—fl sin ф;
©i = fl	—	ф	sin	ф,	]
©> = ф cos ф sin fl + ф cos fl, j-
©з = ф cos ф cos fl— ф sin fl, )
(3.42)
: де, как и в (3.41), Qt. и (k — 1, 2, 3) суть проекции
вектора угловой скорости на неподвижный (/) и свя-
занный (£) базисы.
Кинематические уравнения получаются обращением
сравнений (3.41) и (3.42). Определитель системы урав-
нений (3.41), разрешаемой относительно ф, ф и 4, ра-
вен sin ф и, стало быть, система (3.41) необратима при
ф = kn (k = О, 1, ...). Этим значениям соответствует
потеря одной степени свободы (совпадение осей враще-
ния ф и fl); при ф =/= kn имеем
ф = Q[ cos ф + Q2 sin Ф>
4 = о sin Ф r> cos Ф
1 sin ф '2 sin ф
ф = О3 — Q| sfn ф ctg ф +
+ Q2cos ф ctg ф,
ф = М| COS fl — ©2 s>n
4 — ©з — ©[ sin fl ctg ф —
— ©2 cos fl ^ф,
. sin fl । cos fl
ф = ©, —-----r + ©2 “----Г •
T 1 sin Ф sin ф
(3.43)
Как видно из этих уравнений, при приближении к точке
ф -- kn стремятся к бесконечности скорости изменения
О ЛОВ ф и fl.
Для решения уравнений (3.42) относительно вели-
чин 4, Ф п 4 необходимо, чтобы определитель каждой

1'2
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ 3
из систем, равный cosi|?, был не равен нулю. В точках
ф= (2/?-f-1) чу происходит совпадение направлений ф
и & и система таких параметров теряет одну степень
свободы. В точках ф =£ (‘2k + 1)имеем согласно (3.42)
ф= Q2 cos Ф — й] sin ф,
О = O..22LL + q _££1Ф ,
cos ф cos ф
Ф = Q3 + Qt cos <р tgip +
4- Q, sin <p tg ф,
ф = <о2 cos О — И; sin 1?,
fl = со, + sin fl tg ф +
+ ®3 cos fl tg ф,
. cos fl i sin fl
ф = (0, -------- 4“ COo ------ .
° COS Ф “ cos ф
(3.44)
Как и в предыдущем случае, при приближении к точке
ф=(2^-г!)у обращаются в бесконечность скорости
изменения углов ср и fl, хотя и сщ остаются конеч-
ным и.
Выше мы отмечали, что равенства (3,41) и (3.42)
можно получить из общих соотношении (3.32) и (3.37).
Однако кинематические уравнения (3.43) и (3.44) не
соответствуют общим уравнениям (3.33) и (3.35), в ко-
торых фигурируют производные от направляющих ко-
синусов, являющиеся комбинациями углов ф, fl п ф п
их производных.
Поэтому кинематические уравнения (3.33) и (3.35)
не вырождаются при любом движении твердого тела,
чего мы не имеем в случае кинематических уравнении
в углах Эйлера и Крылова.
III. Параметры Кейли—Клейна. Развитый в § 3.2
метод вывода кинематических уравнении может быть
применен (как и в случае кватернионов и направляю-
щих косинусов) для параметров Кейли — Клейна. Най-
дем вначале параметры Кенли — Клейна для бесконечно
малого преобразования, т. е. определим их зависи-
мость от вектора бесконечно малого поворота, а сле-
довательно, и от угловой скорости. Для этого удоб-
нее всего воспользоваться представлением унитарной
матрицы преобразования в виде ее разложения ио
спиновым матрицам Паули (2.87), т. е. представить

5 " 3]
УРАВНЕНИЯ В ДРУГИХ ПАРАМЕТРАХ
113
параметры Кейли — Клейна в таком виде:
а ... -ft я fl	.	. а )
<z = cos+ гу3 sin, 0 = cos-5- — ty3 sin — , 1
; i (3.45)
P = (Y2 + iYi)sin—, Y = ~ (Y2-2’Yi)sin—.
Эти соотношения получаются из сравнения двух пред-
ставлений матрицы преобразования в виде (2.86) и
(2.87); они позволяют выразить параметры Кейли —
Клейна в функции угла поворота и направляющих ко-
синусов единичного вектора преобразования. Отметим,
чго соотношения (3.45) соответствуют равенствам
(2.89), связывающим параметры Кейли — Клейна с ком-
понентами кватерниона.
В соответствии с (3.45) бесконечно малому преоб-
разованию, т. е. преобразованию с малым углом вра-
щения ДА, будет отвечать матрица
AU--
II-
1 + 1 Y.i ~
i , да
(Y2 ~ iYi) —
1 • \ 4fl
Y2 + zYi) ~
,	. да
1 - 'Дз —
s I
получаемая, очевидно, с учетом величин первого по-
рядка малости относительно ДО в формулах (3.45).
Представим эту матрицу, определяющую почти тожде-
ственное преобразование, в виде суммы единичной мат-
рицы и матрицы бесконечно малого вращения:
ди = 1+ил = Щ
Оз —
(Y2 + О1) —
да
2
. да
-Оз —
(3.46)
Рассмотрим отношение
мепи Д( и возьмем предел
В этом случае величины
проекций вектора угловой
отношения U фД/ через V,
матрицы U . к элементу вре-
этого отношения при Д) —0.
\а
Y/-\y перейдут в величины
скорости; обозначая матрицу
получаем
1Й ;'аз
V ~ !
2 II — ©2 4- Z©j
©2 + Z©|
— ZK.j
(3.47)

114
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ 3
Используя разложение матрицы по спиновым мат-
рицам Паули (2.84), можно видеть, что
V = y(a1H 4- со2р2 + со3рз),	(3.48)
т. е. матрица угловой скорости V подобно вектору раз-
лагается по «ортам», которыми являются спиновые мат-
рицы. Здесь, естественно, проявляется полная аналогия
кватернионов и спиновых матриц. Отсюда следует, что
матрица бесконечно ма-
лого
преобразования
(3.46) с учетом (3.47)
представима в следую-
щем виде:
AU = 1 + V А/. (3.49)
Теперь мы можем пе-
рейти к составлению ки-
нематических уравнений.
Пусть положение ортов
базиса Е относительно
исходного базиса I определяется преобразованием типа
(2.80), задаваемым унитарной матрицей U; рассмотрим
два близких положения базиса Е, определяемых зна-
чениями и (0 и U (t + At). Очевидно, что переход от
базиса I к базису Е в момент t + At, задаваемый мат-
рицей U (/ + &()> может быть представлен в виде суммы
преобразований: преобразования U (() и бесконечно
малого преобразования AU (рис. 3.3).
В соответствии с правилами умножения операторов
при сложении преобразований имеем
U (7+ А/) = AUU(H.
Следует заметить, что поскольку матрица AU задает
переход между двумя положениями базиса Е, то мат-
рица угловой скорости V должна содержать компонен-
тами проекции вектора угловой скорости на связан-
ные оси. В соответствии с этим в полученном выраже-
нии матрица бесконечно малого поворота (3.49) будет
содержать своими компонентами проекции вектора угло-
вой скорости и на оси базиса Е, т е. величины, обозна-
чаемые нами через заменим в полученном выраже-

S 3 Г
УРАВНЕНИЯ В ДРУГИХ ПАРАМЕТРАХ
115
пни матрицу AU согласно (3.49), а также в соответ-
ствии с приведенным замечанием отметим матриц}’ V
индексом базиса:
и (t + АО = и (о + VHJ (о АЛ
Обозначим
U (t 4-	\t) -	U (/)
пт-------- -'7-----—	=	U	(О
А/-»1;	л
и согласно правилам дифференцирования матрицы по-
лз ним
Переходя к пределу при St—>0, получаем первую
форму кинематического уравнения для параметров
1\ейли — Клейна:
U-V£U.	(3.50)
Из этого уравнения сразу же получаем величины про-
екций вектора угловой скорости на связанные оси умно-
жением справа на матрицу, эрмитово сопряженную с
матрицей U:
Vf = UU+.	(3.51)
Отметим сразу же формальное сходство соотношений
(3.30) п (3,51) с аналогичными уравнениями (3.35) и
(3.31), а также сходство (3.50) с (3.11). Разный поря-
док умножения в формулах (3.36), (3.50) и (3.11) объ-
ясняется порядком умножения рассматриваемых опера-
торов последовательных преобразований и собственных
кватернионов (см. теорему 2.4). Запишем эти уравне-
ния в координатах; из уравнения (3.50) имеем
 a	p'j	j 1	z©3	оъ + za, j ji а
i .  — -ф 1	v : 'I
I у	6	-	— gj_. —j- z'u) ।	•— zcBj 111 Y	5
Выполняя умножение матриц, получаем
„	1 (3.52)
А - Ч- \ Т a,	j- р. I

116
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И'.Ч, 3
Отметим, что из приведенных четырех уравнений
вторая пара (для [3 и д) является следствием первой
пары (для а и у) и получается из нее с учетом связи
(2.78) между парамефами Кейли — Клейна (является
комплексно сопряженной с первой парой уравнений).
Если же подставить выражения для а и у через эле-
менты кватерниона (2.89), то можно убедиться, чго
уравнения (3.52) перейдут в уравнения (3.23) для ква-
терниона. Следует заметить, что так как в уравнениях
(3.52) а и у (а следовательно, 0 и 6)—комплексные
величины, то собственно скалярными действительными
уравнениями, соответствующими уравнению (3.50), бу-
дут именно уравнения (3.23) для кватерниона; при этом
уравнения связи (2.78) переходят в уравнение нормы
кватерниона.
Чтобы получить вторую форму уравнений, содержа-
щую проекции вектора угловой скорости на оси непод-
вижного базиса, рассмотрим другую последовательность
преобразований. Пусть положение системы координат Е
в момент времени t + А( определяется, как и ранее,
унитарной матрицей U(( + A()- В отличие от преды-
дущего случая, это положение можно представить в виде
бесконечно малого преобразования — перехода от ба-
зиса I к базису I' такому, что последующий переход
от Г к Е в момент t + М определяется матрицей U (().
Таким образом, если в предыдущем случае матрица
U(( + A() представлялась в виде последовательности
матриц U (0 и AU (см. рис. 3.3), то в данном варианте
последовательность обратная, причем матрица AU опре-
деляется уже бесконечно малым преобразованием, про-
исходящим в базисе 1. Соответственно этому матрица
бесконечно малого преобразования будет содержать
проекции вектора угловой скорости со на оси неподвиж-
ного базиса I, т. е., согласно (3.49) и (3.47),
AU - 1 + 4 V/А^= 1 + у
сПз
Q2 + ZQ!
(3.53)
Исходя из определенной выше последовательности пре-
образований, получаем
U(( + A()=U(()AU.

УРАВНЕНИЯ Б ДРУГИХ ПАРАМЕТРАХ
117
13, одно равенства с учетом (3.53) после деления на
Л; н перехода к пределу, получщм второю форму кине-
па ;ИяОеКОГО ураьнеьня:
u = uvz.
(3.54)
' снижая это сравнение справа на U+, получаем урав-
; • пне для матрнаы угловой скорости
V/=U'U.	(3.55)
Отметим формальное сходство кинематического
•.равнения (3.54) с полученными ранее (3.36) и (3.12).
.впишем уравнение (3.54) в координатах:
« Р	Р 1.1	^ + ^1!;
Y М ’ 2! Y d: - S2+ iQ, -ZQ3 Г
1 lye,.аводя умножение матриц н приравнивая элементы,
а. чаем
,.Q,	. (‘ф - о2 о	•	'4>3	. /Q, _ q ]
-----|Ф	Y — ~ YH-------2	6’ I
,3 го, „ , <>. + л-,1 А /«3 Х I &’+&! М3‘56)
|3 = - р Н--------а> 6	+ Y- ]
Заметим, что вторая пара уравнений (для у 11 5)
мд следствие первой пары (комплексно сопряженные
< илми \ равнения). Уравнения (3.56), так же как и
О 52), еще не скалярные действительные уравнения,
мт inn; параметры а. р, у и 6— комплексные. Разделяя
mi:, шпельную и мнимую части (3.56), с учетом (2.89)
тю.р чаем сравнения для кватерниона (3.24).
Выпишем еще в скалярном виде уравнения для ком-
Шинл угловой скорости согласно уравнениям (3.51) и
Ю.ЗЗ): ’
<’й3	а., ial , а |3 ]i ।	6 — р
ом - /со. — /ец ) |j у 6 )i|j — у а
--J-)- i--', | S	— р а |В j
-У г	у	h - Y а ill У 6 |

118
ЭНИГМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ 3
откуда имеем
©1 = — г (dp Д- рб Д- уа Д- бу), ю2 = ар Д- рб — уа — бу, ©j = 2г (уР + бб) — — 2/ (аа Д- ру);	(3.57)
Qj = — г (ар + уа Д- ₽б бу), П2 = «Р + рб — уа — бу,	(3.58)
Q3 = 2г (ур + бб) = - 2г (аа Д- ру).	
Можно проверить, что при подстановке в (3.57) и
(3.58) соотношений (2.89) получаются равенства (3.22)
и (3.21) для компонент кватерниона. Поскольку на
практике решаются действительные скалярные кинема-
тические уравнения, то уравнения в параметрах Кей-
ли— Клейна тождественны уравнениям в компонентах
кватерниона, отличаясь от них только формой записи.
Можно, далее, по аналогии с кинематическими урав-
нениями в направляющих косинусах показать, что по-
лученные формы кинематических уравнений (3.50) и
(3.54) удовлетворяют закону сложения относительных
движений, при котором происходит сложение векторов
относительных угловых скоростей. Это доказательство
может быть проведено исходя из аналогии представ-
лений операций вращений (2.80) и (1.20); при этом цс
пользуются все результаты, полученные для кватер-
нионов.
IV. Уравнения для вектора конечного поворота. По-
скольку среди кинематических параметров есть пара-
метры. определяемые вектором конечного поворота (ве-
личина угла поворота й и единичный вектор g конеч-
ного поворота), выведем кинематические уравнения для
этих параметров. Обычно, поскольку эти величины опре-
деляются компонентами кватерниона преобразования, в
качестве таких уравнений используются кинематические
уравнения для кватерниона, однако форматьчо уравне-
ния для 0 и £ отличны от кватернионных.
Для вывода этих уравнений используем, например,
уравнение (3.19), согласно коюромх
<»£= 2А‘ с А*,

УРАВНЕНИЯ В ДРУГИХ ПАРАМЕТРАХ
119
где о)£ — кватернион-отображение вектора угловой ско-
рости па базис Е, а Л* — собственный кватернион пре-
образования, т. с. кватернион, компонентами которого
Я31ЯЮТСЯ проекции вектора конечного поворота на ба-
нк Е.
Если в этом уравнении заменить кватернионное
\ мпожепие операциями в трехмерном пространстве, то,
поскольку векторные части каждого кватерниона заданы
в одном и том же базисе, это уравнение просто пе-
рейдет в векторное уравнение. Следовательно, согласно
(1.9), имеем
о) = 2 (aq/.q X XqX — ХиХ X X  X — X X X),
При этом, исходя из формы представления (ЕН),
. fl	•	<. . А	А . fl
Z0=ces —, Л=с,мп—, лч=------------£-sin — ,
; г . А . А «. А
X=feSin —H-yfeCOSy.
С уютом этих равенств, получаем уравнение для век-
юра угловой скорости
<) = flfe X t sin fl X £ X ь (1 ~ cos fl). (3.59)
,'-"равнение (3.18) представляет собой ту же опера-
цию, записанную в другом базисе (I). Предоставляем
читателю доказать, что она также приводит к вектор-
ному уравнению (3.59).
Уравнение (3.59) определяет вектор угловой скоро-
сти через кинематические параметры и их производные.
Для получения кинематических уравнений необходимо
разрешить (3.59) относительно производных от кине-
матических параметров. Умножим (3.59) скалярно на
к. Учитывая, что £•£=(), так как g — единичный вектор
и X £) • ? =-- 9 имеем
fl — to •£.	(3.60)
Для получения производной oi вектора £ используем
кинематическое уравнение (3.11) и способом, аналогич-
ным описанному преврати и его в тюк торное уравнение
2 (л„ X — Х[|<о — X  to X X X

120
Kill 1CM \T114ECKIIF УР \ВПЕППЯ
IK'I 3
С учетом равенств, выражающих л; и X через й и £,
получим
*	• о * о
— ft sin у + fig cos у + 2? sin у
ф	ф	ф
= W cos — со • £ sin у + £ X о sin у.
Исключая из этого равенства скалярную часть, учиты-
вая, что
'Q'	
<0 COS у— frgcos у = (I) cos у — (со • fe) g COS у =
= к х (« X cos у,
и деля на siny=X0 (не рассматриваем Д=0, 2л, соот-
ветствующие тождественному преобразованию), полу-
чим окончательно
2S = [SX(wXfa)]ctgy+ ^Х®-	(3.61)
Можно проверить, что уравнение (3.12) приводит
к такому же векторному уравнению. Уравнения (3.60)
и (3.61) суть кинематические уравнения для вектора
конечного поворота.
§ 3.4. ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Проведенные исследования различных кинематиче-
ских параметров, с помощью которых может быть за-
дано движение твердого тела, показали, что сущсщвуют,
вообще говоря, только три различных типа параметров.
Это — направляющие косинусы, углы Эйтсра и компо-
ненты кватерниона, являющиеся параметрами Ролрп-
га—Гамильтона. Такне параметры, как компоненты
вектора конечного поворота и параметры Кейли — Клен-
па, сводятся к кватернионным параметрам, так как они
определяют различным образом одну п т\ же физиче-
скую величину — эквивалентное эйлерово вращение во-
круг одной осп.
Различие параметров определяется спосо' ,м описа-
ния движения твердого тела пли, что то же, связанной

11' i ЛГ ДОВЛПИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ J 1J AB 11E Ill 111
121
.. nix.M системы координат. Б случае направляющих ко-
'дмв задается «координатное.» положение связанной
имени координат относительно исходной; при этом
каждая ось связанного базиса может быть различным
.-бразом представлена в исходном базисе (см. § 2.1).
Ь c.iviae углов Эйлера положение твердого тела за-
, .хе 1ся с помощью трех последовательных плоских по-
углов, таких, что их сумма дает эквивалентное поло-
, чр.е связанного базиса. Для параметров Родрига —
: имдльтоиа положение твердого тела задается одним
j илвалентным плоским поворотом вокруг некоторой
mi, определяемой как ось эйлерова вращения. Соответ-
с я.нно эю.ма кинематические уравнения, описывающие
д,щ/кение твердого тела в функции от величины угловой
ivjpociii, имеют, вообще говоря, три различные формы:
'.равнения в направляющих косинусах, углах Эйлера и
к. J ;сриионах.
кинематические сравнения в направляющих косину-
,<i:. представляют собой систему девяти скалярных ля-
ikiHibix уравнений, удовлетворяющих шести связям, яв-
ляющимся условиями ортогональности; эти уравнения
:е имеют особых точек, т. е. в принципе всегда разре-
шимы. Уравнения в углах Эйлера (и Крылова) яв-
ляются системой трех независимых линейных сравне-
нии, имеющих одну особую точку, в которой система
нщюмегров вырождается. Кватернионные уравнения
аре тсщвляюг собой систему четырех линейных невы-
рождающихся у равнений, удовлетворяющих одному
•.равнению связи (на норму кватерниона).
Бреди всех кинематических параметров и соответ-
. iiiCuKo способов задания движения твердого тела не-
л л.лование кватернионов представляется наиболее
зобным. В отличие от направляющих косинусов, опе-
р-щип ортогонального преобразования однозначно за-
даются формальными операциями над кватернионами
(в г.тучае направляющих косинусов, как было показано
в главе 2, существуют два различных способа задания
люд-тег,ня магрицами ортогонального преобразования
А и В). В случае кг-а терипонов имеется минимальное
•шс.в.) щ-в:,’.рождающихся параметров и соответственно
1 я I i, м. 1 ь ное число связей, это обстоятельство дает
Ум v iосиное преичущес 1во этим параметрам при

122
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ 1 Л. 5
численном интегрировании кинематических уравнений.
Наконец, использование кватернионов позволяет пред-
ставить в едином виде две наиболее важные физические
величины, характеризующие движение твердого тела:
характеристику его локального движения (угловую ско-
рость) и характеристику его положения (вектор конеч-
ного поворота). Обе эти величины представляются век-
торами мгновенного эйлерова вращения и эквивалент-
ного эйлерова вращения.
Аппарат алгебры кватернионов позволяет в явном
виде представить эти величины векторами пространства
Н, которое всегда можно совместить с реальным трех-
мерным пространством. При этом вектор конечного по-
ворота и вектор бесконечно малого вращения (угловой
скорости) имеют один и тот же физический смысл. При-
менение другого формализма приводит к более слож-
ным представлениям оператора преобразования и опе-
ратора угловой скорости.
Все это делает кватернионы наиболее удобными ки-
нематическими параметрами для исследования общих
свойств движения твердого тела и, в частности, для ис-
следования общих свойств кинематических уравнений.
Поскольку кинематические уравнения описывают одно
и то же движение, они, естественно, должны сводиться
друг к другу; однако этот переход не всегда тривиален
и далее он будет рассмотрен. Полученное в предыдущем
параграфе формальное представление кинематических
уравнений в общей форме умножения двух операторов
(оператора преобразования и оператора угловой ско-
рости) позволяет легко распространить полученные для
случая кватернионов результаты на случай любых ки-
нематических параметров.
Рассмотрим кинематические уравнения для кватер-
ниона-преобразования, записанные в форме (3.11) и
(3.12), где кватернионы ц ы/ заданы в функции
времени. В скалярном виде каждое из этих уравнений
представляет собой систему четырех линейных диффе-
ренциальных уравнений (3.23) п (3.24). Коэффициентами
этих уравнений являются проекции ы; вектора угловой
скорости на связанный базис или проекции Q; на не-
подвижный базис, так что в общем случае коэффициен-
ты уравнений суть заданные функции времени.

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
123
В соответствии с общей теорией линейных диффе-
ренциальных уравнений [40] можно ожидать, что должна
с\шествовать система четырех линейно независимых ре-
шений, образующих фундаментальную систему реше-
ьо1* этих уравнений. Фундаментальная система может
семь получена из решений, для которых, например, в
качестве начальных значений взяты орты четырехмер-
кяю пространства Н, т. е. векторы (1, 0, 0, 0), (0, 1,
И. 0), (О, 0, 1,0), (0, 0, 0, 1).
(' помощью фундаментальной системы может быть
I,отроено общее решение кинематических уравнений в
виде линейной комбинации линейно независимых реше-
ний (их число должно соответствовать размерности про-
странства Н). Однако операторное представление ки-
нематических уравнений! (3.11) и (3.12) в виде произ-
ведения искомого кватерниона на кватернион угловой
скорости позволяет находить общее решение кинема-
тических уравнений в другой форме. Это решение опре-
деляется следующей! теоремой.
Теорема 3.1. Пусть задано кинематическое уравне-
ние в первой (3.11) или второй (3.12) форме для ква-
терниона. описывающего движение твердого тела при
‘сданной временной функции <»>/(/) или ®E(f), и пусть
известно одно решение этого уравнения N(l). Тогда
кватернион
A^=C£oN(0	(3.62)
является решением уравнения (3.11), а кватернион
=	(3.63)
~ решением уравнения (3.12), причем СЕ и Ci—по-
стоянные кватернионы. Кватернионы (3.62) и (3.63) яв-
ляются общими решениями уравнений (3.11) и (3.12)
в том смысле, что любое решение этих уравнений, удов-
летворяющее требуемым начальным условиям, полу-
чается из (3.62) и (3.63) соответствующим выбором
констант Ст или СЕ.
Доказательство этой теоремы получается сразу же
при подстановке в исходные уравнения (3.11) и (3.12)
решений (3.62) и (3.63). Здесь следует учесть, что
производные от кватернионов-произведений берутся

124
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1ГЛ. 3
обычным образом:
А £ = = 67/;* 3 N, А / ' ' N о С],
Для нахождения решения уравнения (3.11), удовлетво-
ряющего начальному значению А£о, необходимо выбрать
следующую величину кватерниона-константы СЕ:
А^о = А£ (0) = СЕ ° No,
откуда
СЕ — Аео 0 No
и решение (3.62) примет вид
Хе (0 — Аго ° No ° N (/).
(3.64)
Аналогично решение уравнения (3.12), удовлетворяющее
начальному условию A/о, получается в таком виде:
А/ (/) = N (t) о No ° А/о,
(3.65)
Можно видеть, что N0oN(/) есть решение уравне-
ния (3.11), удовлетворяющее начальному условию (1, 0,
0, 0), точно так же, как и N(f)°NG для уравнения (3.12)
удовлетворяет этому же начальному условию. Решения
(3.62) и (3.63) пли же в записи (3.64) и (3.65) яв-
ляются единственными решениями, удовлетворяющими
заданным начальным условиям; это следует из теоремы
единственности, поскольку	(i — 0, 1, 2, 3) так-
же являются решениями кинематических уравнений.
Перейдем к обсуждению теоремы. Формально урав-
нения (3.11) и (3.12) суть линейные уравнения первого
порядка, если исходить из алгебры кватернионов (т. е.
допустить возможность выполнения операций линейной
алгебры на множестве кватернионов). Поэтому вполне
естественно, что их общие решения записываются в
виде (3.62) и (3.63)—в виде частного решения, умно-
женного на константу (кватернион).
Если допустить в качестве констант кватернионы, то
можно видеть, что начальные условия (1, 0, 0, 0), (0, 1,
0, 0), (0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0. 1) уже не будут линейно
независимыми, т. е. и определяемые ими решения также
будут зависимы. Этот факт показывает, что кпнемати-

<5 3.4]
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
125
ческие уравнения имеют одно фундаментальное ре-
шение.
С другой стороны, нетрудно показать, что к такому
же выводу можно прийти и в результате анализа ска-
лярных уравнений (3.23) и (3.24). Для этого, напри-
мер, можно использовать представление*) ортов гипер-
комплексного пространства в виде следующих матриц
размера 4 X 4:
		, 1	0	0	0			0	1	0	0	
1		0	1	0	0	. г		-1	0	0	0	
1 -		°	0	1	0		—	0	0	0	1	
		0	0	0	1			0	0	-1	0	
		0		0	1	°!'			0	0		1 1
h =		0		0	0	—	*’з	J 0	0	-1		0
		-1		0	0	0 г		X 0 н	1	0		0
		0		-1	0	о!		ii 1	0	0		0
В этом случае рассмотренному выше частному реше-
нию, удовлетворяющему начальным условиям (1, О, О,
0), будет соответствовать фундаментальная система ре-
шений, имеющая начальной матрицей матрицу 1.
Рассмотрим физический смысл полученных общих
решений. Всегда будем считать, что обе формы кине-
матических уравнений описывают одно и то же дви-
жение твердого тела. Отметим, во-первых, что решение
(3.64) не удовлетворяет уравнению (3.12), ибо, вы-
полняя подстановку решения Aje в указанное уравнение,
полу чим
2Afo ° Nq о N (/) = А/;. ° No о N °	= О/ ° А^о ° No ° N,
и. так как o;=N = (o£oN, то видно, что полученное
равенство может быть выполнено, если либо один из
кватернионов есть нуль, либо все они коллинеарны, либо
Аго5 N,, = 1, чего не может быть в общем случае. Точно
так же решение (3.65) не удовлетворяет в общем слу-
чае уравнению (3.11). Отсюда можно заключить, что
каждому из кинематических уравнений (3.11) и (3.12)
*) Такое соответствие изоморфно.

126
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1ГЛ. 3
отвечает свое множество решений Af (0 и А/К), кото-
рые определяются единственным образом своими на-
чальными условиями.
Как только что было показано, множества Хе(1)
и А;(/) не совпадают, т. е. элементы А£ (t) в общем
случае не удовлетворяют уравнению (3.12), а АД/1) —
уравнению (3.11). Оказывается, что справедлива следую-
щая теорема.
Теорема 3.2. Множества решений (3.62) и (3.63)
для одного и того же движения твердого тела пересе-
каются в одной и только од-
ной точке, причем этим ре-
шением, принадлежащим обо-
им множествам, является ре-
шение Х(/).
Действительно, то, что N (?)
удовлетворяет обеим формам
уравнений, было предположе-
каждое частное решение, по-
Рис. 3.4.	лученное из общего (3.62) или
(3.63), определяется началь-
ными условиями; при этом решение (3.62) удовлетво-
ряет уравнению (3.12) только при единственном началь-
ном условии
Afo 0 Nq = 1.
Точно так же можно проверить, что решение (3.63)
удовлетворяет уравнению (3.11) при
Ато ° А/о= 1,
а при этих условиях решениями (3.62) и (3.63) яв-
ляется кватернион Х’(0.
Физический смысл общих решений Af(/) и АД/) по-
ясняет рис. 3.4, на котором условно каждый базис пред-
ставлен вектором. Кватернион АД/) дает переход от
базиса I к базису Е и тем самым описывает движение
базиса Е относительно базиса I, происходящее из-за на-
личия угловой скорости со. Это движение может наблю-
даться из базиса I, этому случаю движения соответ-

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
127
ствует уравнение (3.12). Очевидно, что точно таким же
будет наблюдаться из базиса I и движение любой дру-
гой координатной системы Е', вращающейся относи-
тельно 1 с тон же угловой скоростью со, так как это дви-
жение характеризуется теми же проекциями вектора ш
па базис I (т. е. кватернионом со/). Поскольку движение
базисов Е и Е' происходит с одной и той же угловой!
скоростью относительно базиса I, их относительное по-
ложение не меняется и может быть задано постоянным
кватернионом С/. Таким образом, общее решение (3.63)
соответствует описанию движения произвольного ба-
зиса Е относительно базиса I, наблюдаемого из ба-
зиса I и заданного функцией (•)/(/).
Аналогично рассмотренному случаю общее решение
|'3.62) соответствует движению базиса Е, описываемому
1'е только относительно исходного базиса I, но и от-
носительно любого другого базиса Г, повернутого от-
носительно базиса I на постоянный угол, определяе-
мый кватернионом Се- При этом наблюдение движения
происходит из связанного базиса Е\ этому' соответствует
уравнение (3.11), так как при наблюдении из базиса Е
движение характеризуется проекциями вектора угловой
скорости (о на базис Е. т. е. кватернионом со£.
Очевидно, что эго движение выглядит одинаковым
тносителыю любого исходного неподвижного базиса Г.
При этом не следует забывать, что рассматривается
твкжепие базисов Ё п Е' относительно базисов I и Г,
происходящее с одной и той же заданной скоростью
М'1 • Пюбое из общих решений Ас (О или А/(/) удов-
летворяет одной фор.ме уравнения (3.11) или (3.12);
при этом обеим формам уравнений в соответствии с тео-
ремой 3.2 удовлетворяет единственное решение N’(/).
Найдем вторую форму кинематического уравнения
для движений, описываемых функциями АД/) и А£(/).
Рассмотрим решение А/(/), удовлетворяющее уравне-
нию (3.12):
2А/= (О/ ° А/,
Очевидно, что второй формой этого уравнения, описы-
вающего движение базиса Е' относительно базиса I,
будет уравнение, содержащее проекции вектора угло-
вой скорости io на базис Е', т. е. величину (ле . Отобра-

128
КИНЕМ \TII4I СКИЕ СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
жение вектора о на базис Е' определяется операцией
вращения
== А/ ° <й/0 А/,
откуда получаем вторую форму уравнения для движе-
ния АД/):
2А/= А/° <)£'.	(3.66)
Аналогично для кватерниона А£(/) имеем также две
формы уравнения:
2А/? = А^ о	= чу- ° А^,	(3.67)
где о)/-= А£ о о Л£ определяется проекциями вектора о
на базис Г. Подставляя в полученные соотношения для
«г и о)£' величины А/ и А£ из (3.63) и (3.62), имеем
= Ci о N о О/ о N о С i	Ci ° ь)е ° Cj, ]
(3.68)
O/z = Се ° А ° g)e ° AJ о Се == Се 0	° Се, J
что удовлетворяет известным правилам проектирования
неизменного вектора. Отсюда следует такая интерпре-
тация теоремы 3.2:
Если заданы два ряда временных функций oy(t) и
(/), определяемые проекциями вектора (d(t) на ба-
зисы I и Е, то этим самым однозначно определено и на-
чальное положение этих двух базисов. С другой сто-
роны, если задана одна форма уравнений, определяю-
щая кватернион-проекцию вектора угловой скорости
a(t), и задано начальное положение базисов I и Е, то
этим самым однозначно задается и вторая форма кине-
матического уравнения.
Примером такой связи и служат соотношения (3.68),
так же как и уравнения (3.66), (3.67). Отсюда же сле-
дует, что решение А(/), удовлетворяющее двум задан-
ным формам кинематического уравнения [заданным в
том смысле, что определен конкретный вид функции
ю{(/) и О; (/) — проекций вектора угловой скорости на
исходный и связанный базисы], является единственным,
поскольку начальные условия этого решения однознач-
но определены

s> 5 4J ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 129
Следует иметь в виду, что одна из функций <йе(/)
п 0/(0 может быть произвольной и однозначно опреде-
лять вектор угловой скорости, однако обе они связаны
соотношением (3.13) ортогонального преобразования,
причем не произвольного, а определяемого решением
кинематического уравнения в одной из двух форм.
Проведенные здесь исследования позволяют дока-
зать еще одну теорему, касающуюся расширения част-
ного решения на другие случаи движения. Согласно
теореме 3.1 можно находить различные решения для за-
данного уравнения, в котором о>/ или «е суть конкрет-
ные функции времени, по одному известному частному
решению. Однако это же частное решение позволяет
найти в некоторых случаях решение и для других
со/ (/) или «£(/); эти решения определяются следующей
теоремой.
Теорема 3.3. Пусть N(/) есть решение кинематиче-
ского уравнения для движения с угловой скоростью
co(f). В этом случае для движения с угловой скоростью
получаемой из <»(/) путем ортогонального пре-
образования
ы'— S ° ы ° S,	(3.69)
где S — постоянный кватернион, существует частное ре-
шение, получаемое как
N' = SoNoS	(3.70)
и удовлетворяющее уравнению
2A'=o>;oA' = A'oo^.	(3.71)
Частично с результатами этой теоремы мы встреча-
лись при исследовании вторых форм уравнений для об-
щих решений A/(Z) и А£(/) [см. (3.66) и (3.67)]; в этом
случае в уравнениях присутствовали кватернионы
и (лГ. Решения же для этих кватернионов угловых ско-
ростей являются в свою очередь решениями и для угло-
вой скорости, имеющей отображение на базис I, рав-
ное так же как и для другой угловой скорости,
отображением которой на базис Ё является о)£'.
Доказательство теоремы 3.3 проведем для един-
ственного решения, удовлетворяющего двум заданным
5 В. Н. Бранец, И. П. Ш.мыглевский

130
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
формам кинематического уравнения (3.11), (3.12):
2А = «/ о Д = Л ° с)£.
Очевидно, что если угловая скорость о' получается из
о путем преобразования (3.69),то и отображения на ба-
зисы I и Е связаны с и «е теми же соотношениями.
Действительно, если совпадает с о, то о) также сов-
падает с о', т. е.
(i)' = S о (О о S, -- S о (|)_ О S.
/	i } L	к,
Подставляя (3.69) и (3.70) в уравнение (3.71), полу-
чаем
2S ° N о S = S о (i)^ о N о S,
откуда очевидно, что N' удовлетворяет первой форме
уравнения.
Покажем, что N' удовлетворяет и второй форме
уравнения; для этого, очевидно, нужно, чтобы имело
место соотношение
= Л' О Oi) О Л',
что получается из следующих соотношений:
(di, — Soо oS = S°No(i)/oNoS =
£> £
= s ° N о S ° о)/ ° S ° N ° S = N' ° coz о N',
Отметим, что решение N'(/) удовлетворяет тому же
самому начальному условию (взаимному положению
базисов), что и N(/). Физический смысл теоремы до-
статочно прост: вектор относительной угловой скорости
о(0 м°жет быть повернут на постоянный угол в раз-
личное положение в базисах I и Е; при этом соответ-
ствующие решения (3.70) отличаются на постоянный
кватернион.
В заключение укажем еще одно важное свойство ки-
нематических уравнений:
Кинематическое уравнение для заданной векторной
функции угловой скорости о(/) может быть приведено
к кинематическому уравнению с единичным вектором

РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ	131
1гловой скорости
w (и
со I/)
Такая возможность следует из однородности кине-
матического уравнения; для этого в уравнениях (3.11)
и (3.12) необходимо сделать замену независимой пере-
менной
dx = со (/) dt, со (/) Ф- 0	(3.72)
и соответственно этому заменить аргумент согласно
сиптношению
t
т = | со (/) Л = Ф (/),	/=ф-’(т),	(3.73)
о
Подставляя (3.72) и (3.73) в кинематические урав-
нения (3.11) и (3.12), получаем их в такой форме:
rfA ®Дф-1(т)]	®£[Ф~’(т)]
2----= - f —- о А = А о - с--	—(3./4)
dx со [Ф (т)]	со [ф (т)]
3 ;ееь ®//о> и о)£/со суть единичные векторы, так как
д шча (норма) вектора не меняется при его проектиро-
liiHini на различные базисы, т. е. |со/| = о и [= со.
Представление кинематических уравнений в виде
(3.74). где угловые скорости суть единичные векторы,
плота может оказаться удобным при их решении.
Рассмотренные в этом параграфе свойства кинема-
шческих уравнений являются общими и остаются спра-
ведливыми для любых кинематических параметров,
от результат следует непосредственно из полученной:
в § 3.3 общей операторной формы кинематического урав-
нения. тождественной уравнениям (3,11) и (3.12). Тем
самым все проделанные выводы могут быть дословно
повторены для любых кинематических уравнений.
§ 3.5. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
I. В первой главе были рассмотрены различные спо-
собы представления кватерниона и, в частности, было
показано, что любой кватернион представим дугой на
сфере [см. (1.11)]. Ввнд} гою, что в этом представлении
и

132
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
единичный вектор кватерниона играет роль мнимой еди-
ницы, т. е.	1, аналогично известной формуле
Эйлера для комплексных чисел возможно такое пред-
ставление кватерниона *):
о
А = cos-у + £ sin ~ = е 1.	(3.75)
Очевидно, что для сопряженного кватерниона выпол-
няется соотношение
А = cos — — £ sin — = с
а рассмотренная в § 1.2 формула Муавра с использо-
ванием такого представления будет иметь вид
1 Н	I г,	{У	Ь Г)
А = cosn—+ g sin n-у = (? 2.
Однако такое удобное представление кватерниона в
виде экспоненциальной функции от вектора, длина ко-
торого определяется углом поворота, не нашло широ-
кого распространения, как это имело место, например,
в случае комплексных чисел. Дело в том, что произве-
дение двух кватернионов не может быть представлено
в общем случае в виде экспоненциальной функции, по-
казателем которой является сумма показателей состав-
ляющих:
; Д f Д ' Д-+- Д-
А, оА, = е 2	2 =^ек‘ 2 ’’ 2 .	(3.76)
В этом можно убедиться хотя бы из того факта, что
сумма векторов в показателе обладает свойством ком-
мутативности, т. е.
е.	Д | < Д1_
fei 2 -t-fc2 2	2 “rfci 2 ’
а это должно привести однозначно к возможности пе-
рестановки сомножителей-кватернионов, что в общем
случае недопустимо.
*) На возможность такого представления указывается v Ганке-
ля [12].

S 3 3]
РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
133
Выполним умножение кватернионов, представив их
операциями в трехмерном пространстве (1.9):
д, г А = (cos -L + sin ~ о (cos — + g2 Sin-y-) =
X	0,	. fl . fl,	. -О] fl,
— cos — cos — — fel - fe2 sin sin — + Si sin -—cos ~ +
+ £2 sin cos % + X £0 sin-y- sin-^-. (3.77)
Можно видеть, что операция умножения кватернио-
нов приводится к сложению показателей экспонент
только в двух случаях.
а)	Векторы и коллинеарны. Как видно из (3.77),
при н = Ь2=? имеем
.	ю-.,+<ь
е 2 о е - = е 2
Геометрически этому случаю соответствует сложение
дуг одного п того же большого круга; очевидно, что
этому сложению соответствует и сложение коллинеар-
ных векторов, у которых длина определяется пропор-
ционально углу дуги.
б)	Углы i&i и О2 — бесконечно малые величины. Как
следует из (3.77), в этом случае произведение
. fl, , д. ца
sin -у- sin пг ‘fl есть малая величина второго по-
рядка, с точностью до которой выполнимо следующее
соотношение:
A; s А, « 1 -4- gj -j- £_> -у- — fl ' 2 0 е ' =
ТЭ*-,	^‘0’1	1?’	“О'7
— е' 2 о е' 2 = е 2 ’’ 2.
На тот факт, что для бесконечно малых углов произве-
дение кватернионов дает векторное сложение векторов
оесконечно малых поворотов, указывалось ранее [см.
(3.8)]. Геометрически это означает, что бесконечно ма-
лые дуги на сфере складываются как векторы (вслед-
ciBiic того, чго при малых дугах сфера мало отличается
от касательной плоскости).

134
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
II. Рассмотрим теперь, чему равна производная от
кватерниона, представленного в виде (3.75). Ввиду того,
что кватернион, описывающий движение твердого тела,
является переменным, величины £ и О также будут
функциями времени. Согласно определению производ-
ной имеем
£	, Ар+ .'<)-A(f)_ е2	-в2
А = Ilm----------------г----------------lim --------------------—------------------
\ ;_,Г|	АГ	л г п	АГ
Показатель степени первой экспоненциальной функции
можно разложить в ряд:
+ АО (t + АО = U0 (О + £ (0 (О А^ +
+ UW0 А/+ о (АО-
Тем не менее, как было показано выше, нельзя пред-
ставить в общем случае экспоненциальную функцию
от суммы в виде произведения экспоненциальных функ-
ций. Очевидно, это возможно только в том случае, ког-
да вектор g является постоянным; можно видеть, что
при этом
фи (/+АО	4 S [# (t)+b Д/+о(Др[ фЕД(/) 1Е[йд/+оШ)]
= е-	= е: <>е-	=
\t+o(Atn 4sW)
= el	ое2
Производная от такого кватерниона будет равна
Можно убедиться в том, что
lim
дг-»о
4; д/+о (до1
е~	— 1
1 .
7^

РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
135
[например, представляя экспоненциальную функцию в
ь„де разложения по синусу и косинусу (3.75)]. С учетом
этого получаем окончательно
А = егЕ о у £0 -- у о е21 .	(3.78)
Эго соотношение показывает, что в том случае, когда
fl-
вектор конечного поворота В = 2^tgу имеет постоянное
направление, производная от кватерниона представима
в виде произведения производной от показателя экспо-
ненты (3.75) на сам кватернион:
А = — А о £0 = у о А.
Здесь возможна перестановка сомножителей, так как
кв.иернионы £ и А имеют коллинеарные векторные
части.
Сравнивая соотношение (3,78) с кинематическими
уравнениями (3,11) и (3,12), можно видеть, что
—
N(0 = e2	(3.79)
яв ;яется решением кинематического уравнения в том
елхчае. когда вектор угловой скорости имеет постоянное
направление, причем
со (£) = geo (£)= && (О-	(3.80)
Частное решение (3.79) должно определять все ре-
шения кинематических уравнений для данного случая
движения. Если вектор угловой скорости задан с по-
мощью его проекций на базис I, то тем самым задан
кватернион coz:
0^=
гак как при проектировании меняются только направ-
ляющие косинусы единичного вектора, а не его длина.
В соответствии с теоремой 3.1 формула (3.79) опреде-
ляет общее решение уравнения (3.12) в таком виде:
А/(0 = е?Е/ви,оС/.	(3.81)

136
кинематические уравнения
[ГЛ. 3
Аналогично,	если вектор	задан с	помощью	своих
проекций в	связанном базисе	Е, общее	решение	кине-
магического	уравнения (3.11)	получаем	в таком	виде:
	Af (t) = Се ° t	) 4		(3.82)
Пусть теперь кинематические уравнения описывают
движение базиса Е относительно базиса I, происходя-
щее с данной угловой скоростью (3.80), причем началь-
ное положение базиса Е определяется кватернионом С/.
Поскольку величина угла поворота 0(0 согласно (3.80)
равна [см. также (3.60)]
t	t
0(0= f ® (0) • ^'dt' = [ ш (0) dt', (3.83)
о	6
то в начальный момент 0(0) = 0.
Найдем, какой вид имеют решения (3.82) и (3.81)
для этого случая движения; очевидно, что должно вы-
полняться равенство
А. £(()= А/(О-
В начальный момент имеем
А£(0) = С£ = А/(0)=С/,
откуда решение (3.82) должно иметь такой вид:
А£ = Ci ° е2 1 .
Отсюда следует, что А/ тогда и только тогда будет
разно Af, когда выполняется соотношение
А/=е-	° С/ — Ci о \Ci ° е2	’С/=С/ = А ' ,
т. е.
^Е ~ ^1 °	°
точно так же, как и
О)£ = Cj О <|)/ О Сг
т. е. вид (0/ и (f>E и двух форм кинематического уравне-
ния определяется только начальными условиями.

§ 3 5]
РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
137
В том случае. когда С/= 1, рассмотренное реше-
ние переходит в частное решение N(/) (3.79); если же
кватернион С/ направлен по вектору т. е. возможно
представление
Сi= s ~	,
то имеем решение (3.81) в виде
удовлетворяющее начальному условию типа сдвига
фазы. Рассмотренный пример хорошо поясняет содер-
жание теорем предыдущего параграфа.
Укажем еще одну возможную форму представления
частного решения для случая, когда вектор угловой ско-
рости имеет постоянное направление:
t
4 | ° (t'l dt'
N(0 = /a .	(3.84)
Эта форма получается из (3.79) с учетом (3.83). Фи-
зически рассмотренное решение представляет простой
случай вращения в одной неподвижной плоскости.
III. Согласно теореме 3.3 по известному решению
кинематического уравнения для данного вектора угловой
скорости может быть получено решение для любого дру-
гого случая движения с угловой скоростью, получаемой
и.з чанной постоянным преобразованием. Попробуем при-
менить такой же подход к случаю произвольной угловой
скорости.
Очевидно, что вектор угловой скорости ш может быть
представлен в виде
со (?) = $ (ф о (?) ° S (П = ш (О S ° £ ° S,
т. е. в виде переменного единичного вектора, положение
которого определяется кватернионом S(^) и временной
функцией со (/). Выше определено решение для случая
постоянного направления вектора угловой скорости
few(Q, которое обозначим \(/). Найдем теперь, как от-
личается решение кинематического уравнения для дви-
жения е углотзой скоростью о(/) от величины

138
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
N'= S°NoS. Будем рассматривать уравнения в проек-
циях на исходный базис L Исходным уравнением будет
(3.12); найдем, какому уравнению удовлетворяет ква-
тернион N'.
Дифференцируя, получаем
N = S°NoS-|-SoNoS — S0N0S0S0S.
Пусть кватернион S удовлетворяет такому уравнению:
2S = £2, о S.
Подставляя выражение для производной в уравнение
для N' и учитывая, что кватернион N определяется
уравнением
2N =	(0 о N,
получаем
2N? = 2 (S » S)» S о N о S -ф S о (^) о N о S —
- S о N о S о (2S о S) = (Q/ о N' - N' о £2,) -ф W/ (t) о N'.
(3.85)
Отсюда видно, что N удовлетворяет тому же урав-
нению, что и A (t), с точностью до члена £2/ о V — V о
решение же N' может быть всегда получено по извест-
ному решению N описанным способом. Случай £2/о N'=
= N'o£2/ сводится к £2/= 0, т. е. S= const, что и было
рассмотрено в теореме 3.3, либо к требованию парал-
лельности £2/ и vect N'.
IV. Соотношение (3.85) показывает, что в некоторых
случаях движения решение кинематического уравнения
может быть получено в виде произведения кватернио-
нов, каждый из которых удовлетворяет более простому
кинематическому уравнению. Рассмотрим этот вопрос
более подробно.
Пусть дано кинематическое уравнение (3.11) пли
(3.12); его решение будем искать в виде произведения
двух кватернионов
А —- А] о А2,
что соответствует представлению искомого преобразо-
вания в виде двух последовательно совершаемых пре-
образований (например, переход от базиса I к базису

РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
139
I' и затем к базису Е). Дифференцируя А, найдем, что
Л -- А, о А2 + А, с Л2 = у (О[/о А, о А2 + у Aj о юг/' ° А2 =
= 7р(®1/+ Aj о 0)2/< о А,) о А.
Задача состоит в том, чтобы выбрать такое разло-
жение данной угловой скорости
ш/ (0 = wi/ + Ai0	0 Ai = ш1/ + 0)2/	(3-86)
на составляющие о)]/ и (о2/-= А1 о о)2/о А,, чтобы для
каждой из них решение было известно. В частности,
если (01/ и о)9/' имеют постоянные направления, то ре-
шения АД/1) и А2Д) могут быть получены в виде (3.84).
Заметим при этом, что, хотя и (о2Г будут иметь
постоянные направления, результирующая скорость е>/(^)
(3.86) будет переменным вектором по величине и на-
правлению.
Рассмотренный здесь метод позволяет получить ре-
шение кинематического уравнения для случая кониче-
ской прецессии. Пусть вектор угловой скорости обра-
щается по круговому конусу вокруг некоторой оси, на-
пример i3, так что имеет место равенство
(0/ = ai-, cos bt + ai2 sin bt + ci3, (3.87)
где «, b, c—произвольные константы.
В соответствии с теоремой 3.3 достаточно найти ре-
шение для этого конкретного положения конуса прецес-
сии вектора о)(/); все другие его положения в базисе I
могут быть получены из рассматриваемого простым по-
вороши. Представим этот вектор угловой скорости в
виде разложения (3.86), причем в качестве оц выбе-
рем вектор b = bi3. В этом случае, так как bi3 опреде-
ляет изменение кватерниона Ль имеем
2А[ = <•)[/« А = Ы3 о А,
и At может быть представлено в соответствии с (3.84)
в таком виде:
"7 t'hdt' j
А,(/) = /о =e~b‘3t

140
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Пусть, далее,
oh/' = ati + (с — b) i3 = «/о — Ъ,
где w/o = (i)/(O) в начальный момент времени. Тогда ®2/
получается из <о2/' операцией вращения, выполняемой
кватернионом A, (i), т. е. имеем
б)2/ = Ai о о)2/'° А-i = е2 ’ о [ai1 -ф- (с — &)/3] => е 2 & =
= aii cos bt + bi2 sin bt ф- (с — b) i3.
Отсюда видно, что при таком выборе и ы;/ мы
действительно получаем скорость ф- «2/ в формуле
(3.86), равную о)/ (3.87).
Решение для кватерниона А2, удовлетворяющего
уравнению
2А2 = о)?/' ° А2 = [а/] ф- (с — b) i3] о А2 = («/о — Ь) ° А2,
получается в виде (3.84), так как соответствующий век-
тор угловой скорости имеет неподвижное направление:
А, = 3(“/о-Ь)'.
Окончательно получаем такое частное решение ки-
нематического уравнения для угловой скорости (3.87):
I	I
— b t — (&/,)— b\t
А/=е2 ’е-	'.	(3.88)
Аналогичным образом находится решение и для дру-
гой формы кинематического \равнения, имеющего угло-
вую скорость в виде (3.87). Дифференцируя (3.88),
можно непосредственно убедиться, что A/(z) удовлет-
воряет кинематическому уравнению (3.12).
V. Как было показано в § 2.7, любой кватернион мо-
жет быть выражен произведением трех кватернионов,
имеющих заданные направления, Рассмотрим возмож-
ность представления решения кинематического уравне-
ния в виде произведения трех решений, каждое из
которых может быть получено каким-либо образом, на-
пример в виде (3.84). Бхдем рассматривать кинемати-
ческое уравнение в форме (3.12) (для краткости опу-
стим индексы базиса у кватерниона и угловой ско-
рости).
1

РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
141
§ 3 5)
Пусть кватернион преобразования представлен в
виде произведения
A = AjoA.2oA3,	(3.89)
где Аь А2, А3 задают три последовательных преобра-
зования, сумма которых эквивалентна данному преоб-
разованию. Допустим, что каждый кватернион удовлет-
воряет уравнению
2A; = w(oAz (7=1,2, 3).	(3.90)
Дифференцируя соотношение (3.89), получаем
2А ::= 2 (Ад ° Л2 ° А3 -ф А. ° А2 ° А3 -ф А| ° А2 ° А3) ==z
= ((l)j -ф Aj О ®2 О А] “ф А) о А2 О (|)3 о А2 ° Aj) о А.
Из полученного выражения видно, что А(/) (3.89) бу-
дет удовлетворять исходному уравнению (3.12) в том и
только в том случае, когда выполняется равенство
о) (0 = -ф А; о (!).> о Aj -|~ А] о А2 ° Wj ° А2 ° Ар (3.91)
Рассмотрим случай, когда составляющие кватернионы
Аг суть плоские вращения, т. е. векторы о;(() имеют
постоянные направления. В качестве примера выберем
следующие угловые скорости:
о1=фф, а>2 = ф<2,	=	(3.92)
В этом случае частными решениями уравнений (3.90)
будут такие кватернионы:
-тс	—'М,
Aj = e- , А. = е- ’, А3 = е2 .	(3.93)
Поставим теперь вопрос: можно ли выбрать вели-
чины д(Д, ф(/) и 17(/) так, чтобы для любого о)(()
выполнялось равенство (3.91)? Подставляя в (3.91) вы-
ражения для кватернионов (3.93) и угловых скоростей
(3.92) и выполняя операции умножения кватернионов,
получаем
0) (/) = Qjij -ф П2/2 -ф — qj, -ф ф (ф cos q: — ij sin ф) -ф
+ ft (i2 sin <p cos ф — ф sin ф — it cos ф cos ф).

142
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРХВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Приравнивая коэффициенты при ортах, находим сле-
дующую систему уравнений для определения углов <р,
ф и 0:
Qj = О cos ср cos ф — ф sin <р,
Q2 = sin <p cos ф + ф cos qp,
й3 = ф — О sin ф.
Эта система является ничем иным, как системой кине-
матических уравнений для углов Крылова (3.42). Этого
можно было ожидать, так как выбор вращений (3.92)
имеет последовательность поворотов для углов Кры-
лова. Точно так же выбором другой последовательности
(3.92) можно свести решение кинематических уравнений
к уравнениям Эйлера; аналогичным методом можно по-
строить решение и для второй формы кинематического
уравнения.
Следует отметить, что рассмотренное представление
последовательности плоских вращений типа (3.89) мо-
жет оказаться полезным при исследовании кинематики
движения сложных подвесов гироскопических систем.
С другой стороны, представление решения кинематиче-
ского уравнения в виде (3.89) позволяет получить раз-
ложение движения на сумму более сложных известных
движений (3.91), а не только движении с постоянными
направлениями вращения (3.92), как это только что
было проделано.
§ 3.6. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
Для получения формального решения кинематиче-
ского уравнения рассмотрим еще одно возможное пред-
ставление кватерниона бесконечно малого преобразова-
ния. В первом параграфе этой главы были приведены
соотношения (3.1) и (3.4), связывающие этот кватер-
нион с вектором угловой скорости. Используя представ-
ление кватерниона (3.75), можно получить и такое со-
отношение:
0
(3.94)

4 '! 6]
ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
143
В этом соотношении предполагается, что во времен-
ном интервале [С t + Ad величина угловой скорости
принимается постоянной и равной ее значению в какой-
то средней точке. Сравнивая (3.94) с решением (3.84),
можно видеть, что значение АА получается как реше-
ние кинематического уравнения в предположении, что
в интервале [г1, t А/] величина угловой скорости не ме-
няется. Точное значение приращения кватерниона имеем
только при переходе к пределу, устремляя А^ к нулю:
dA (t) ~ е2
(3.95)
Рассмотрим первую форму кинематического уравне-
ния (3.11) и обратимся к ее записи в виде (3.9). Ра-
зобьем весь временной интервал решения [О, Т] на .V
интервалов АС-, причем
V, M = C + i —С-,	тах|АС|<-^-
(i = 1. 2, .... N),
где .V- ограниченное число. В соответствии с соотно-
шением (3.9) значение кватерниона в момент C+i будет
определяться по его значению в момент С с помощью
кватерниона бесконечно малого преобразования (3.94):
A (i, ,!) — A (tf} о ДА (С) = A (ti) ° е: Е^1 'г + 1 г + :) ;+1,
1.
(3.96)
Здесь, поскольку каждый кватернион является собствен-
ным кватернионом преобразования, вектором угловой
скорости является отображение ® на связанный базис.
Из соотношения (3.96) видно, что если движение начи-
нается с кватерниона Ао в момент t = 0, то значение
кватерниона A(/!+i) может быть приближенно представ-
тено в таком виде:

144
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Соотношение (3.97) поясняется рис. 3.5, на котором
кватернионы представлены дугами сферы. Будем уве-
личивать теперь число интервалов до бесконечности,
произведений (3.97), взятых
уменьшая длину каждого
интервала; тогда реше-
ние уравнения на каж-
дом интервале (3.94) бу-
дет стремиться к точно-
му значению (3.95); при
этом можно ожидать,
что выражение (3.97) бу-
дет стремиться к точному
решению кинематическо-
го уравнения (3.11).
Аналогично интегралу
Римана, получаемому
как предел частных сумм,
рассмотрим величины,
являющиеся пределом
в прямом и обратном по-
рядках:
Игл
Л’->оо /—О
Д/;-»0
и
lim fj	А'г+‘.	(3.98)
Л'->оо j=.V
Эти величины обозначим символами
Se^E(t}dl и
о	т
(3.99)
Если предел существует, то он определяет общее реше-
ние кинематического уравнения (3.11) в таком виде:
A£(7’) = Ao°S^“£(i)d( •	(3.100)
о
Повторив аналогичным образом все рассуждения
для второй формы кинематического уравнения (3.12).

§3 6]	ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ	]45
получим общее решение, удовлетворяющее начальному
условию Ао в соответствии с (3.99) в таком виде:
0 1
A/(7') = Se2 И/^°А0.	(3.101)
т
Покажем, что функции (3.100) и (3.101) действи-
тельно являются решениями уравнений (3.11) и (3.12).
Рассмотрим производную от кватерниона как следую-
щий предел:
A£(Z + AO-A£(/)
\Е= hm -----------г-,------=
t ,	-i
. Q — aE <0 di 1- t
= Ao о О e2	lim —-----Г-.-----.
0	At->0	dr
Sy K‘E di
e2	как предела
произведения (3.98), можно показать, что
Нт —---------г-------= 1<в£(^).
д/->о	лг	2
Для нахождения этого предела учтем тот факт, что вели-
t~\t ।
Sy о£ (Г) dt'
е-	может быть приведена к величине
t
у J of и') аг
е 1	, что следует из предельного перехода
(3.98), где для малого At можно произведение экспонен-
циальных функций [в соответствии с замечанием б)
§ 3.5] заменить экспоненциальной функцией с суммой
показателей. Предел ее величины

146
кинематические уравнения
(ГЛ. 3
находится обычным образом;
t+\t
—	<0£ (/') dt'	J
“ Г	у «>ЕЧ + 1М) St
.. е	— 1	е	— 1
lim -----------г-,--------= hm --------------------------= ojn (/).
д?-»о	д?->о
Отсюда следует, что (3.100)есть решение уравнения (3.11).
При отыскании производной А,(/) следует учесть, что
L А “/dt'
о в"
А// + Д/) - А,(/)	,+ А<
hm — --------------—= lim	—гт
оА,(/)
л/
и аналогично предыдущему
lim
д t ->0
— J
т. е. (3.101) есть решение уравнения (3.12).
В заключение заметим, что в бесконечном произве-
дении (3.97), так же как и в пределе (3.99), в общем
случае не происходит сложения (т. е. интегрирования)
показателей экспоненциальных функций. В частном слу-
чае, когда вектор угловой скорости имеет постоянное
направление, суммирование показателей возможно. Оче-
видно, что только в этом случае можно получить такое
выражение для величин (3.99);
t 1	о I
SeT“£(/')rf/' = e о , S^a,{t]dt' = e
о	t
t
[ ®/ (И) dt'
б
и при этом, как нетрудно видеть, решения (3.100) и
(3.101) переходят в найденное ранее решение (3.84).

ГЛАВА 4
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Точное решение кинематических уравнений в общем
случае не может быть выражено в элементарных функ-
[1иях. Поэтому на практике приходится использовать
приближенные методы, моделирование на аналоговых
вычислительных машинах и численное интегрирование.
Особый интерес представляет численное интегрирование
кинематических уравнений в бесплатформенных систе-
мах управления.
В данной главе проводятся построение и анализ чис-
ленных методов интегрирования кинематических урав-
нений в связанном базисе, т. е. уравнений (3.11). Ана-
логичное построение может быть проведено и для урав-
нений (3.12).
§ 4.1. ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
В предыдущей главе было показано, что общее ре-
шение уравнения (3.11) может быть выражено через
частное решение с единичными начальными условиями.
Этот же результат можно выразить в несколько иной
форме. Интегрируя (3.11) почленно, имеем
- t
А (/) = Л (/0) +1J А (/') о о)£ (/') dt'.	(4.1)
^0
I io TO.'KIIM
А(/)=А(ф)оА(0-	(4.2)
Подщавляя соотношение (4.2) в равенство (4.1), на-
ходим
> (В= 1 + i- j МП’МХ- (4.3)
Таким образом, Х’(/) удовлетворяет кинематическому
уравнению (3.11) с начальным условием
N(/o)=l.

148
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
Для построения алгоритма численного интегрирова-
ния положим в соотношении (4.2)
=	= tn = tn-1 + h,
где h— некоторый интервал, имеющий смысл шага ин-
тегрирования; имеем
А^А^оЛ'л.	(4.4)
В данной формуле приняты такие обозначения:
A„ = A(U, N„ = N(/„).
Точное решение уравнения (4.3) может быть по-
строено методом Пикара и представляет собой кватер-
нионный аналог матрицанта:
N (/) =
t	t
=i+4 р£(/ж+4 j
ые (t') dt' .
(4.5)
На основе формулы (4.5) могут быть построены чис-
ленные методы различных порядков. Следует заметить,
что при построении численного метода нельзя, вообще
говоря, считать, что величина ьуе(/) доступна измере-
нию в произвольный момент времени. В частности, при
интегрировании кинематических уравнений в бескарда-
новых системах первичная информация обычно поступает
в виде интеграла от угловой скорости за шаг интегри-
рования. Соответственно этому введем вектор кажуще-
гося поворота
t
0’ = [	(/') dt'.	(4.6)
о
Тогда первичная информация на zz-м шаге представ-
ляет собою первую разность этого вектора, взятую
«назад»:
С
V0;,= 0Д/„) — 0 (/„_1)= j toE(t') dt'. (4.7)

§4 1]
ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
149
Аппроксимируем 0*(0 внутри шага интерполяцион-
ным полиномом четвертого порядка. При этом, не умень-
шая общности, можно считать, что в начале шага
0‘(/„-1) = О.
Имеем:
0’ (Т) « (V0‘ - 1V0* - 1 V30‘ - X v4©;) т +
+ |' 1 V20* - ± V0*) т2 + V 30; + J_ у 40^ тз + V 10;т4,
0.8)
~ (v о* - j v 2©‘ -1 v 3©; - v10;) +
4- |V20;-^V40;j т + (1уз0; +т2 + 1у40Х
(4.9)
где т — безразмерное время внутри шага:
т— z ~ /д-'
т— h
Подставляя введенную величину вектора кажуще-
гося поворота с помощью соотношений (4.6), (4.8),
(4.9) в формулу (4.5) и удерживая члены до четвер-
того порядка малости включительно, получаем следую-
щее выражение для решения в момент 0:
>0 = 1 + У V©; - ±| vo; р + -L (v0; х v2©;) -
-	I v ©; р ?©; +	(V©; х v 3©«) -
--]l?|v©;p\20; + -|T|\0;r+ ... 0.ю>
1-J	O<J-r
Здесь для получения данной формулы операции умно-
жения кватернионов были представлены в виде опера-
ций умножения векторов (1.9).
Оставляя в соотношении (4.10) члены соответствую-
щего порядка малости, получаем алгоритмы численных

150
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
методов:
N*= 1+4Х0">	(4-11)
N;= 1+1\0‘_±| V0* |2,	(4.12)
N’= 1 + 1 У0‘—’ | V0‘ |2+1(V0*XV20‘)-^|V0’|2V0’.
(4.13)
При этом значение кватерниона А, вычисленное на дан-
ном шаге, определяется выражением
a‘ = a*_ion;.
В данном соотношении, как и в (4.11) —(4.13), звездоч-
кой отмечены величины, вычисленные по приближенным
формулам.
Методы (4.11) и (4.12) получили в литературе
[22, 38] названия соответственно обычного и модифици-
рованного методов Эйлера. Формула (4.13) определяет
метод третьего порядка. Само выражение (4.10) можно,
разумеется, рассматривать как метод четвертого по-
рядка.
Вторая группа численных методов может быть по-
строена непосредственно для вектора истинного пово-
рота.
Пусть
X(t) = e^.
Введем вектор истинного поворота *)
Дифференцируя данное равенство и исключая £ с по-
мощью уравнения (3.61), получаем кинематическое
уравнение для вектора 0
•	fl fl	2 о 1
0 = 0)^4 Ctg | + 0 (^ • 0)-------- + 4(0Х®£) (4.14)
*) Такой вектор вводится, например, в работе [14] и имеет там
название вектора конечного поворота. Мы будем называть его век-
тором истинного поворота, в отличие от 9 [см. (2 52)].

5 1]
ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
151
г>	0,0	[,	О' , О' \ п _о
Выражения — ctg-y и II ^ctg —1$ являются
аналитическими функциями Поэтому для решения
уравнения (4.14) можно воспользоваться методом ма-
лого параметра [4, 34], считая 9 и j &Edt величинами
первого порядка малости; представим решение в таком
виде:
0=2	(4.15)
fe=i
Уравнения для 0<ft) получаются подстановкой (4.15)
в исходное уравнение (4.14) и приравниванием членов
одинакового порядка малости:
©" = «>£,
е'-'=4-е11,х®с.
0'' = - Д ®£ 10'" |! + Д е™ [®г  0'"1 + j [в111 X ®£].
0',’ = --ГШ£[0'".0й] +
+ 4 е” (е'» [«,  в'-1] + 0й [Ш£ - 0" р + Д [о™ х ® J.
1 л	10-
Далее необходимо выполнить интегрирование получен-
ных соотношений. Используя (4.6) — (4.9), имеем в мо-
мент 1п при условии, ЧТО 0(Bi-i) = O с точностью до
членов четвертого порядка малости включительно:
0"’ = V0’„,
w=-уз (V©;. х V2©,;)+(ve; х v3©;),
0^=0.
Окончательно получаем
©„ = V0* X -± (V0- X \ 20п) + 77 (V0* XV3©;,) + ... (4.16)
Одерживая в (4.16) только первый член, получаем чис-
ленный метод, который можно назвать методом средней
скорости-,
5;! = ^ХН'!.	(4.17)

152
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
Аналогично получаются методы третьего и четвертого
порядков:
(418)
*'п — с	•	1У)
Заметим, что высшие разности в полученных форму-
лах можно выразить через первые разности на преды-
дущих шагах. В частности, выражения (4.13), (4.18),
(4.19) могут быть преобразованы соответственно к сле-
дующему виду:
N;=i+|v©;-l|ve‘ |2-
- X V0* _,) - -^-1 V0- |2 V0*,
_ e~(v0« Ы (v0nX v0n-l))
XT* _ T (v0,* - s' (V0f! X v0n-l)+-24' (V0«X ?0тг-з)) .
Третья группа численных методов основана на ис-
пользовании разностных схем численного интегрирова-
ния по Стилтьесу [25]. С учетом (4.6) уравнение (3.11)
может быть представлено в форме уравнения Шен-
нона:
JA = yAod0‘.	(4.20)
Можно показать, что соответствующие формулы чис-
ленного интегрирования по Стилтьесу для уравнения
(4.20) имеют вид *)
+	(4.21)
А*п = АХ, + I АХ, о \ 04 + 1VA* о \0*,	(4.22)
А’ = АХ 1 + 4 АХ. ° V0’ + 1 VA’ о V0* +
+ 4г {VA* о V20‘ - V2A’ о V 0,*,} (4.23)
Здесь, по аналогии с (4 6), принято обозначение
VA/д = Ап Ап—

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕНОРМИРОВАННЫХ КВАТЕРНИОНОВ 153
п представляют собою соответственно интерполяцион-
ные формулы прямоугольников, трапеций и квадратич-
ных парабол. Заметим, что величины УА; и V2A;, вхо-
дящие в эти формулы, не известны к началу вычисле-
ний на данном шаге и их следует вычислить путем
экстраполяции разностей на шаг вперед. Экстраполяци-
онная формула для (4.22) имеет вид
VA* - УА;_, + У2А;_, + уза;-,.	(4.24)
Для формулы квадратичных парабол имеем
уа; ~ уа„_1 + у2а;_, + у3а;_, + у4а;_ь i
у2а; - у2а;_! + у3а;_, + у4а;_,.	) (4-2д)
Как и в предыдущих случаях, высшие разности
можно выразить через первые разности на предыдущих
шагах. Необходимость экстраполяции разностей яв-
ляется недостатком этой группы методов.
§ 4.2. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ НЕНОРМИРОВАННЫХ КВАТЕРНИОНОВ. КОРРЕКЦИЯ
НОРМЫ
При численном решении кинематических уравнений
возникает специфическая трудность, связанная с ухо-
дом нормы кватерниона. Дело в том, что в предыдущих
гтавах предполагалось, что норма кватерниона равна
единице, т. е.
АоА==1,	(4.26)
В частности, при этом предположении были определены
операции над кватернионами, соответствующие ортого-
нальным преобразованиям. В то же время условие
(4.26) не следует из вида кинематического уравнения.
В самом деле, умножая (3.11) справа на А, имеем
А ; А = у А •. w£ г А,	(4.27)
Переходя к сопряженным величинам, получаем
А о А — .V ° »А = — Д А0	° А >	(4.28)

154
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
Складывая почленно (4.27) и (4.28), имеем
А о А + А о А = О,
т. е.
4(АоА) = 0.	(4.29)
Таким образом, уравнение (3.11) имеет первый ин-
теграл
А о А = const,
причем конкретное значение константы не следует из
вида самого кинематического уравнения, а определяется
лишь заданием подходящих начальных условий. На
практике из-за методических ошибок и ошибок округле-
ния равенство (4.26) с течением времени перестает вы-
полняться, если не принять специальных мер. В этой
связи представляется полезным выяснить вид кинема-
тического уравнения для ненормированных кватер-
нионов.
Рассмотрим кватернион А такой, что
АоА=А2>0,
и кватернион А<п), получающийся из А в результате
нормировки:
А,п) = ^-А.	(4.30)
Пусть кватернион А<п), описывающий движение системы
координат, удовлетворяет уравнению
А(п)=у А(п)о<й£.	(4.31)
Дифференцируя (4.30) и подставляя в (4.31), получаем
дифференциальное уравнение для квдтерниона А:
а=тл+4Ао®£-	(4-32)
Обозначим
| = f(0.	(4-33)

$ 4.2] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕНОРМИРОВАННЫХ КВАТЕРНИОНОВ 155
Имеем окончательно
A = f (О A-f-у А о®£.
л
(4.34)
Уравнение (4.34) эквивалентно (3.11) в том смысле,
что результат нормировки решения (4.34) удовлетво-
ряет уравнению (3.11). Таким образом, независимо от
величины и характера изменения А(0>0 кватернионы
А(п) и А, являющиеся решениями этих уравнений, опи-
сывают одно и то же движение системы координат, т. е.
задают одно и то же преобразование. При этом, од-
нако, преобразованию A(n)о( )oAw для нормирован-
ного кватерниона соответствует преобразование
Ао( ) о А'1 для ненормированного.
Мы видим, что добавление в кинематическое урав-
нение члена /(/)А не меняет физического смысла дан-
ного уравнения. Уравнение (4.34) является, так же как
и (3.11), кинематическим уравнением, описывающим то
же движение. На вид функции f(f) не налагается ни-
каких ограничений; при этом вместо уравнения для
нормы (4.29) имеем в силу соотношения (4.33) такое
уравнение:
^-=f(0A.	(4.35)
Используя произвол в выборе вида функции f(t),
можно сделать точку А = 1 асимптотически устойчи-
вым положением равновесия уравнения (4.35). Напри-
мер, можно принять
f=k(l-А)
или
f= — klgA,
но для практических целей наиболее удобно положить
f=-6(A2-l)
и решать кинематическое уравнение в форме
А = 4- А о ®£ - kA (А2 - 1).	(4.36)
л

156
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ {ГЛ. 4
В этом случае (4.35) интегрируется в конечном виде:
А(0= 1-
л2 - I 1
При Ло > 0 имеет место Л(/)-* 1 (f->oo). Таким обра-
зом, введение в кинематическое уравнеййе члена
— feA(A2 — 1) обеспечивает автоматическую коррекцию
нормы решения.
§ 4.3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ НОРМЫ
Результаты, полученные в предыдущем параграфе,
показывают, что уход нормы решения от единицы не
приводит к ошибке построения системы координат. Тем
не менее этот уход весьма нежелателен, так как может
привести к переполнению разрядной сетки вычислитель-
ного устройства либо, наоборот, к ее недоиспользованию
и в пределе к вырождению решения в нуль. Кроме того,
операции ортогонального преобразования, сложения
поворотов и т. п. для ненормированных кватернионов
имеют более сложный вид по сравнению с соответствую-
щими операциями для нормированных кватернионов.
Все эти обстоятельства приводят к необходимости огра-
ничивать уход нормы решения от единицы. Для числен-
ных методов, рассмотренных в § 4.1, это может быть
достигнуто периодической нормировкой решения. При
этом, однако, требуются достаточно сложные вычисли-
тельные операции — извлечение корня и деление.
В данном параграфе будет построена группа чиС'
ленных методов, основанных на решении кинематиче-
ского уравнения в форме (4.36), в котором обеспечи-
вается автоматическая коррекция нормы.
Положим
л;=л;_, о {n; _ (a2_i - о).	(4.з?)
Здесь N’ определяется по одной из формул численного
интегрирования § 4.1.
Беря квадрат модуля (норму) от обеих частей (4.37),
имеем
Л„ = Л2_1 {I vect N„j2 + [sqal tfn-k (Л2^ - l)]2}. (4.38)

§ 4.31
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ НОРМЫ
157
В случае, когда | vect N„ |= const, sqal N„= const, вы-
ражение (4.38) определяет функцию последования для
Дп с такими установившимися значениями:
д2те = 1 +1 {Sqal N* ± у 1 -1 vect N* I2},
Л2те = 0.
(4.39)
Нас будет интересовать значение Л1,, определяемое
нижним знаком первого соотношения (4,39), поскольку
именно это значение близко к единице или в точности
равно ей, Для методов, определяемых формулами
(4,11) —(4,13), имеем соответственно
1+-Й1?ет,
Для методов (4,17)— (4,19), использующих экспонен-
циальное представление, всегда имеем
Таким образом, установившееся значение Л« близко
к единице или в точности равно ей,
Для анализа устойчивости рассмотрим производную
дЛ2
—2— и потребуем, чтобы
(4.40)
Дифференцируя (4.38) и подставляя A^-i = AL, имеем
после некоторых преобразований
5Л2_!
= 1 -2йЛ2оо/1 -IvectN’j2. (4.41)
При этом неравенство (4.40) приводит к условию
0 < k < [Л2те(1 -1 vectN* |2)] 71

158
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
или, с учетом (4.39),
О < k < -г	+ V 1 — I vect V — sqal X*, (4.42)
Kl-|vectN*p т У ।	1	>
Неравенство (4.42) будет заведомо выполнено, если по-
требовать соблюдения условия
0< k < 1.
Можно показать, что при этом условии другие два уста-
новившиеся значения А^ (4.39) оказываются неустой-
чивыми.
Естественно выбрать k = 1/2, тем более что при
этом выражение (4.41) весьма близко к нулю, т. е.
к тому значению, при котором обеспечивается макси-
мальная скорость сходимости.
Рассмотрим теперь устойчивость процесса коррекции
нормы при произвольном ограниченном V0„. В этом
случае функция последования зависит от п, причем вы-
ражения *)
Л2_ = А2 (1,5 -0,5А2)	(4.43)
Al = А2 {| vect N* |2 4- [sqal N — 0,5 (А2 — 1)]2} (4.44)
являются минорантой и мажорантой функции последо-
вания (4.38), получаемыми, когда |V0,‘,| принимает со-
ответственно нулевое или максимальное значение. Для
методов (4.17) — (4.19) миноранта и мажоранта имеют
одну и ту же неподвижную устойчивую точку A;L=1.
При этом сама функция последования будет, очевидно,
иметь ту же самую устойчивую неподвижную точку.
Для методов (4.11) — (4.13) выражения (4.43) и
(4.44) определяют хотя п близкие, но различные не-
подвижные точки. Поэтому А„ сходится к некоторому
предельному отрезку, содержащему эти точки. Можно
показать, что границы этого отрезка равны:
A2nax= max [А+(А2)[,
*) Здесь и во всех последующих формулах принято, что k = 1/2.

§4 3]
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КОРРЕКЦИИ НОРМЫ
159
Наибольшую длину имеет, естественно, предельный от-
резок для метода Эйлера:
1 - 4г I V0‘ I4 < А2 < 1 + 41 ' О* I2.
Теперь, после того как устойчивость коррекции
нормы доказана, преобразуем формулу (4.37) к виду,
удобному для оценки погрешности. С этой целью по-
пытаемся исключить Ап—1, выразив его через первич-
ную информацию. Положим в равенстве (4.38)
An = 1 4-хл>	(4-45)
Имеем
ил = (1 + vect N„|2+ [sqal — yXn-i] }— 1.
После замены n на n—1 и некоторых преобразований
получим выражение
''-Л-1 ~ (1 ~Т Хд-г) [(А'п-1 о N„-l) —
— хл_2 sqal N;_1 + 4	— 1,
из которого окончательно получаем
и,.-! = [(N*_1 оХ;_,)-1] + xn_2[(N;_i о N„-i)—sqalN„_J —
— x„_2[sqal N*_! — j] + 4z«-2- (4-46)
Чтобы свернуть рекуррентное соотношение (4.46),
подставим в него хп-2, вычисленное по тому же соот-
ношению, затем аналогично исключим х„_з и т. д.
С точностью до членов четвертого порядка малости
включительно имеем соответственно для методов
(4.11) — (4.13):
«п-i ~ 4 lV0"-'l2+4l И V0;_2|2-^ |V0‘_2|4, (4.47)
хл_! « g^-| \0„-i |4,	(4.48)
zn_! яй "192” I I4-	(4.49)
Используя равенства (4.47) —(4.49), с учетом (4.45),
можно исключить A„_j из формулы (4.37).

160
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
Таким образом, для указанных методов можно за-
менить (4.37) выражением
A; = A‘_10Nr,	(4.50)
где соответственно
1 + 4	I2 -
- -!• I v0„_i |21 \	12 + А । V0- |2,
N** = 1 +1 то; -11V0-12 - -X. IV©;_ 1 р,
Z	О	1ZO
bT=i + jv0*-l|V0;i2 + ^(v0;xv20;)-
-Jg|V0* |2V0‘ +V0’_,|4.
Для методов (4.17) — (4.19) с точностью до членов
четвертого порядка малости получается
xn_i « 0.
Таким образом, для методов (4.17) — (4.19) выражения
для N" и N„ совпадают.
§ 4.4. ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
ПРИ ПОСТОЯННОМ ШАГЕ
Обозначим через ДА„ разность между значениями
Ап, вычисленными по приближенным и точным форму-
лам:
ДАЛ=АЛ —Ал.
Сравнивая (4.4) с (4.50) и полагая, что предыдущее
значение Ал_! было точным, имеем
ДАл=Лл_,одХл.
Здесь
SN„=N;-N„	(4.51)
— погрешность на шаге интегрирования для методов
без коррекции нормы. Для методов с коррекцией нормы
соответственно
dNn=N„*-N„.
(4.52)

ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
161
Явный вид &Х'п для различных численных методов при-
веден в таблице 4.1.
Для оценки погрешности, накопленной на большом
интервале интегрирования, представим А,, в виде
A„ = A0o\c ... oN„_,oN„:	(4.53)
аналогично представим Ал с учетом (4.51) и (4.52);
А,г = Ао ° (Nj + dNj о ... о (Nn_j 4- б.\тп_[) ° (Nrt SNrt).
(4.54)
Для кватерниона накопленной ошибки А„ относи-
тельно Ал имеем
SAn=A;oA„.	(4.55)
Поскольку Ап — нормированный кватернион, то
)дА„| = |А* |= П-Ч	(4-56)
*=1
Nfe = |N‘fe|.
Для накопленной погрешности модуля получаем выра-
жение
6А‘ = П Nfe - 1 = П (1 + 6Nft) - 1 = V 6Nfe + О (S<
fe=l	Ь=1	fe=l
(4.57)
Здесь через SNn обозначена погрешность модуля N*
на данном шаге. Явный вид SNn для различных чис-
ленных методов приведен в таблице 4.2.
С точностью до членов более высокого порядка ма-
лости можно заменить сумму в выражении (4.57) ин-
тегралом
t
dA* | 6\(t')dt'.	(4.58)
о
В таблице 4.3 приведены явные выражения для накоп-
ленной погрешности модуля SA* и скорости ее ухода.
6 В, 1-1. Бранец, И. П. Шмыглевскнй

Таблица 4.!	—
О
Погрешность численных методов на шаге интегрирования	м
Численный метод	6N„	3 "0
Метод Эйлера		tn *
А А„ 1°(1 4- 4 V0* \ п	п—11	1 2 п /	^г;.г	tn I X о
		
Модифицированный метод Эйлера		
л„ = л„_|.(| + 1те;_Д|те’|!)	—S-(’<xv4)+^-|’e;|2ve;	p
А„-А„_,.[1 + -1те;-1|те;|г+	^(ve;xv4)+	384 l’e4‘	X I о tn
+4? <ve^х v2o - ve" I2		S I
Метод средней скорости		TJ
А _ Л	4 V°« Ап — Ая_] °е	- ~ (vo« X v20^)	•n о co
		X
A A 4|Ve"+T>'	\2н‘)1 Лп= Ап-,ос‘ 1	71	-4(V0"X v^n) Чо	ГИ
Метод Эйлера с коррекцией нормы		
A„ = Art-1O 1 _|_±?0д4-~-(1 -Л2_,)	- у V0H  V20n - 4- (V0H X V26n) 4- ~ 1 VQnf V0n	4*
Модифицированный метод Эйлера с коррекцией
нормы
Л„ —V0„ — у |V6rt + - (I- A-_()
An = Art_1° 1 4-V0n — — | V0« 4-
+ й W X *4) -4^1 I2 + 1 (! - <_
2? ^0" X + 48 ' I2
(V0n X v30n) 4- I vo« I2 v20«
T’O	I <• £
Метод средней скорости с коррекцией нормы
Лп = An-i 4* ту ^п-\ ° V0a
-^(VOnX V20n)
- 4r X v3°^
4»
T1™"*2
3
О
"0
Я
3
-г*
6
о
н


ГС
ГС
Л„ = Ли-i 4* ~2 ^п~1 °	If ^Ап» V0n
VA„=VAn_14-V2An_14-V3An-i
Л„ = Лп-1 4-	А«-1 ° V0« 4- -J VAn ° V0n 4-
4- (VAtl ° V~tfn — V2A„ ° V0p
VAra = VAn_[ 4- V2Ara—( 4- ^3АП—] 4“ ^4A„_]
V2An = V-A^—! + V’An-, 4- V’A„_,
_ ‘ (ve; x v2e'„) + 4-1 vet, f vet,
24	Уо
- i (ve« X v3On) 4- 4-1 v0« I2 v20" -”141 V€>" *'
48	Уо	i^.o
tr
X
г
м
о
tl
о
С0
СГ>
ш

164
165
Погрешность модуля на шаге интегрирования
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ (ГЛ. 4
ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Таблица 4.3
Накопленная погрешность модуля и скорость ее ухода
Численный метод		Погрешность модуля 6Л*	„	rf6A*	- Скорость ухода ———	ri 2
,	ч + еч	гч • е	» е Ф	Ф >	> — |оо	— |ос е'	» е	• е ф	Ф	Ф >	t>	i> — |сч	——|oq +	+	+ - -г'	1 ... J О	О	о 7	7	7 с	ее с	«5	с II	II	II с	ее <!		t -3- f ю2 dt' “ J 0 t h3 C 128 J “ dt 0 __^L f 4 384 J ® dt 0 4л'“2 128 h ®	БЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4 ♦	3 «ч	3 Л 5, “	М	1 II 1 1
+-24 (’в;хртву- 48 re; i2’»;			
4 ve* An= An_(°e- a a	у |v6n + ~(vB"x у2н'‘)1 An~ Ац-^Г L	*-	1 л.-л, .. | + |то;+1(1-л2_,). A„=A„_,.[i+ive;-i|w;|2+i(i-Aj_l)]			
' ,—,'	* e V	"	°e 1 1	<3	CS -	2	। ™	. e +	-1^	.	£ * e	i	+	> ®	• e	* c	°c	7 t>	—-	Ф	Ф	e ,	-	“	-=T	V'	'	"c	1	£ i — ®	“	<f	«! -1^ 1 1	c x	>	>	Iе4 T _ >	-|2	7	*~c	-H 7	-I’* + 7 e —	I	l>	1 e 1	= J -	I=o 1 О	+ <	+	< f i	к'	» e	• e >	* e	> » e	— гч “ -	Ф	Ф .	®	i + .e ®	1+	>	> +	+ T Ф >	+	.s	°_	e_ -	-	71 1	O	4/	t e	X	1	il	1	I e ।	— |сч X	®	L>	c	e«	c	« < i 1 |!,«	-1^	-i-~< 1	7 + ' -к	-	+	+ t + t 7 -	-	-1-	i c !	4.	1	1	I	lei	e «	'	=	e	e	e<*e	<!.< <	<	<	<	> t> II	II	II	II	II II II	II II e	ее	e	eee	ce < <<<! <!<<! < < > > £.	)	t - J dl 0 t 3854 ft’ J М' 0 t 192 Л3 J d'' 0	$4 4]	ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ	16' И !	1	1	f «I30	40 S м	—

168
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
При этом учитывается, что
dtk~l
Заметим, что составляющая накопленной погрешности,
определяемая формулой (4.58), не приводит к ошибкам
в определении системы координат (см. § 4.2) и может
быть устранена периодической нормировкой А*.
Рассмотрим теперь составляющую накопленной по-
грешности. которая не может быть устранена норми-
ровкой. Нормируя (4.55), имеем
«А’^-ргдА^-^А^А».	(4.59)
Л_	А„
п	п
Преобразуя (4.59) с помощью (4.53), (4.54), (4.56), по-
лучаем
6А<Г> = А) ° [Nt + dN(tn)] о ... ° [N„ + dNjT’] о N„ о ... о N, о Ao-
Здесь
6N<n) = ^-(N„ + dN„)-N„
представляет собою погрешность на шаге, остающуюся
после нормировки. Явный вид dN^ для различных чис-
ленных методов приведен в таблице 4.4. Заметим, что
именно эта составляющая приводит к ошибке в по-
строении системы координат.
Имеем, далее, по аналогии с предыдущим случаем
дЛ(п) = 1 + 2 Aq ° N ] ° ...
ft=i
... oNfc-todN^oNj-to ... oNtoAo + 0(dNJ2) =
= 1 + 2 A*_t о dNj?’ ° Aft + О (dNfc2).
й=1

169
§ 4 41
Заменяя сумму интегралом, получаем
ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
dA(n) « 1 + 4 / A О') о д№” О') о А О') dt'.
о
Представим дА(п) через вектор истинного поворота в:
дА(п) = cos у де + £ sin у дв.
Отсюда находим
dO = 2garctg |уес^бА<П}1
6 sqal (6A(n))
или
60 « 2 vect [дЛ(п)].
Величина 60 определяет отклонение-истинного положе-
ния системы координат от расчетного, т. е. ошибку по-
ложения.
Легко видеть, что
/ t	\ t
vect I J" А о 6N(n) о Л dt' I = j Ao vect (dN(n)) о A dt'.
Ко	/о
С учетом этого, получаем следующее выражение для
накопленной погрешности вектора истинного поворота
(«угла»):
t
60 ~ 4 J A О') ° vect [dNw О')] о А О') dt'.	(4.60)
о
В таблице 4.5 приведены явные выражения для 60 и
скорости ее ухода для различных численных методов.
Заметим, что порядок величины 60 не ниже h2 для
асех методов, в том числе и для метода Эйлера.

Таблица 4.4
Погрешность на шаге, не устраняемая нормировкой
Численный метод	6Nn}
' • е'	‘х—<’ Ф	7 о	1 д	о. с <! * в	1 ф	д >	“дтг1	s—' _	+ _Д,	— J _|м 51-	*	V х + —	М	**	О4! V	ф	>	।	— >	>	Ге	X	_	Ф —	—	— ф	• е	4—' -	!=°	~1°°	>	f	-1^	_ico -—-	I	I	х	X	+	। V	Фе	£	Ф	+	V	Vе t>	>	>	>^	Ге	> -|см -|СМ	.е	Ф	-1^ +	+	+ Iе4 >	—	+	4- ~	-	- д- -|^	-Г'	-	- 				 1	1	।	1	1	1	5	. ООО	О	О	о	о “	7	7	7	7	7	7 е	е	е	е	е	е	« <	<!	<!	<	<	<	< II	II	II	II	II	II	II сей	с	с	с	е <	<!	•<	<	<	<	<	-	14 (те; X V’e;) - -Д1 те; f те; -	Д (те; х v2»;) + Ш । те; f те; -	Д W X v*;) +	| ve; f уте; -	Д- те х ’те;) -	Д те х те - 4f(ve;x уте;) + 4^1 ve;fve; — 4f(ve; Х тте;> +Л_| ун; рув;
+ 2Т (v< X	- & IЧI2 те„ +1 (I - Л 2 _,)]
Л„ = А„_, + 4 А„_, -те; + 4 ’А„.те;
ул„ = ул„_, + у2л„ , + Г'А„_,
-ч=А,..+4 а„_ , - те;+4v А„ - у»; +
+ Д-(УА„”Уте;-у>л„оте;)
УА„ = VA„_, + УгЛ„_, + V3A„_, + V‘A„_,
V2An — V2A„_, + У’Л„_, + V<A„_,
- 78 (те; x уте;» + -42 | те; f vh;
-11 те.x те»
~ 4? <TO"X’’**»>
-	ii (ve; x утеу - ~ | те; f те;
-	(те; x w„) + 4г I TO; |2 те;
- 4^ (те; x ?теу + A । TO. p ртв; _ _3_! TO; r
.170 ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4	§4.4]	ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Таблица 4.5
Накопленная ошибка положения и скорость ее ухода
Численный метод
Накопленная ошибка положения 66
_	I d 60
Скорость ухода ———
I dt
Л„ = Л„_,о(1 +4те;)
a„-.a„_,.(i + -1to; —^те;?)
А„-л„_,.[1 + 1те;—1| те;р+
+ (те; х е;) - ± |те; f те;]
A„ — ^n-\°e
4 |\«n+4r('Xx
An — An-^e"
a„=a„_,.[i + 4-те.’. + 4(1“л“-')
л„-л„_,"[1 + 4те;-1|те;|? +
+4('-лМ
t
h2 С	.
---ЙГ А° (® X ®) ° Л dt' —
о
t
h2 С
---— До (со2®) ° Л dt'
о
t
А2 f	.
“72 J Ao(®X<»)°Adr+
о
t
h2 С	~ ,
~24 A ° (co2®) ° A dt
о
t
h2 f	.. ~
— I A ° (®X®)eAd/ +
o
t
hA C .
+ -7^-	A°(®2w)° A dt'
9o J
0
j" Л о (® x ®) ° A df
0
— —~ A»(wX ®)°A dt'
24 J
0
t
h2 C	-
---I А о (® X ®) 0 A dt +
0
t
ht Г	~	,
-I--— A о (cd2®) о A dt
24 J
0
t
h2 C
— 72 A ° (® X ®)0 A (ZZ +
6
t
+ ^-J A°(®2®)°Ad//
0
/l ® X ® I2 + ®6
h2 f	1
JL-y |®Xw|2 + To>e
h2	1
— (®X ®) — -4- to2®
I <0 X ® I
h2 t, f,	_ z • 1, .	1
T2 ]/ I ® X «> I +4-®
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 1	§ 1 Л	ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Таблица 4.5 (продолжение)
Численный метод				Накопленная ошибка положения 68					Скорость ухода |		d 68 | dt I	
Ад — Ап_] °	i+4ve«			Л3 24	Г		Л	° (<о X ®)° A dt' +	Л3 24	» х ® —~ ® 4	2®	
		-4,-1те"Г« +4с-	>;+ Лп-1)]	+ — 96	0	t	Л	° (ttf’co) ° Л dt'				
А„ — А„_ 1 °	1	! съ 1 < ф а * i"	у('-А2_,)		Л2 12	0	1	Л	° (® х ®)°Л dt'		*Т2 1 ® Х ®		
П ~ Ад_ ] о	у [ven + - е	(х< X V 2Н* +4(|-	4- ЛД-[)}	Л3 24	с	t	Л	°(<й X <в)° Л dt'		24 1®Х‘>		
л„-л„-1 + 4Л»-|°те»
h~ -_12 .	t А» (о X ° A dt' —	V^l<d x ® I2 +
0		
	t	
ft2		
12 .	A ° ((O2<o)o A dt'	
6		
л„ = Л„_, + 4 Л„_, о те; +1 гл„ о те;
?Л„ = VA,-, + 5гА„_, + V’A»-,
л„=л«-.+4 л«-1 °ve;+4 vA« °ve;+
+4 (ГЛ+Г'Н"vhp
A„ = VArt_, + V2A„_I 4- VJA^-! + V'A^,
?2A„ = V2A„_, + V3A,t_, + V’A„_I
t
----J A ° (® X ®) ° A dt' +
о
t
+ Л о (®2®) о A dt'
4o J
о
t
— J A ° (<o X ®) ° A dt' +
о
i
+ 4/ Ao(co2to)° A dt'
4o J
0
й2 Г 	1
"12]/ l®X®H+igO)6
24
О) x ®> —	w2®
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГГЛ 4	§ 4.4i	ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

176
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ .
§ 4.5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ
Ввод информации об угловой скорости в цифровое
вычислительное устройство требует представления этой
информации в квантованном виде. В бесплатформенных
системах, как правило, процесс квантования угловой
скорости (точнее, приращений вектора 0*) совмещен
с процессом его измерения. Другими словами, инфор-
мация на выходе блока измерителей (датчиков) угло-
вой скорости представлена в виде квантованного потока
приращений V0** (квантованные величины будем отме-
чать двумя звездочками). При этом элементарное при-
ращение (импульс) в данном канале*) имеет вид
V0j‘=±ee,, \0,‘=±ee2, V03*=±8(?3
где е — величина кванта.
Для реализации алгоритмов численного интегриро-
вания с постоянным шагом требуется накапливать эле-
ментарные приращения на входе вычислительного уст-
ройства в специальных счетчиках и периодически (в
конце очередного шага) опрашивать эти счетчики.
При достаточном быстродействии вычислительного
устройства можно исключить процесс накопления при-
ращений и связать конец очередного шага интегрирова-
ния с моментом поступления очередного элементарного
приращения по любому из каналов. При этом, естествен-
но, величина шага интегрирования оказывается пере-
менной, зависящей от темпа поступления элементарных
приращений на вход вычислительного устройства.
В этих условиях можно непосредственно применять
численные методы интегрирования, использующие толь-
ко первые разности, т. е. обычный и модифицированный
методы Эйлера (4.11) и (4.12), метод средней скорости
(4.17) и соответствующие методы с коррекцией нормы.
Формулы оценки погрешности, выведенные выше, непо-
средственно к данному случаю не применимы.
*1 Будем предполагать, что канал содержит чувствительный
элемент и преобразующее устройство, измеряющие проекцию угловой
скорости на данную ось.

§ 4 5] МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВХННЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ
177
Введем угол суммарного поворота
t
Ф— j a>(f) dt'
о
в качестве независимой переменной в кинематических
уравнениях. Как показано в § 3.4, при такой замене пе-
ременных вид кинематических уравнений сохраняется,
но роль вектора угловой скорости (в нашем случае
о£) выполняет его орт
:== (в(о , во) , во)д).
Таким образом, обозначая штрихом дифференцирование
по Ф, имеем согласно (3.74)
Л' = ~ Л о е,„.
Точно так же сохраняется вид всех формул данной гла-
вы, только вместо шага по времени h в соответствую-
щих местах войдет шаг по углу суммарного поворота g.
Итак, замена аргумента позволяет распространить
формулы предыдущих параграфов на случай перемен-
ного /г, но постоянного g. При этом
Vft9*-/-~r(ew).
При работе по каждому элементарному приращению
шаг g. вообще говоря, не остается постоянным, но из-
меняется в достаточно узких пределах:
Рассмотрим среднее значение шага g на некотором
интервале интегрирования. Пусть общее число импуль-
сов (элементарных приращений) в i-м канале равно Кг-
Положим
_ ф
gcp ~ Кг + К2 + К3 •
С другой стороны,
t	ф
О	I*

178
ПРИБЛИЖЕННОЕ II ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(ГЛ. 4
Тогда
или окончательно
где
£сР = Х.е,
________________________1__________________
7 I е0> । + I е0> 1 + I еИ1 Г
Очевидно, что
Естественно допустить, что а следовательно, и £ср
являются медленно меняющимися переменными. В этом
случае, по аналогии с (4.58) и (4.60), можно получить
оценку накопленной погрешности при работе по эле-
ментарным приращениям:
ф
6А’ = Г 6N
J g
О
ф
60 = 2 [ А ° vect(6N,fI’)c А
t)	§
с
(4.61)
Явные выражения для 6А*, 60 и соответствующих ско-
ростей а хода для различных численных методов при-
ведены в таблицах 4.6 и 4.7.
Анализируя формулы интегрирования (4.11), (4.12),
(4.17) и соответствующие формулы интегрирования с
коррекцией нормы, можно показать, что при работе по
приращениям их реализация приводит к сравнительно
малому объему вычислений на шаге. При этом для
обычного и модифицированного методов Эйлера сле-
дует выбирать величину кванта, равную 2"'’, где k —
целое число. В таком случае операции умножения
исключаются или заменяются сдвигом. Для метода
средней скорости по тем же соображениям выгодно вы-
бирать
о - 9

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ
179
Накопленная погрешность модуля при работе по приращениям и скорость ее ухода

Таблица 4.7
оо
Накопленная ошибка положения и скорость ее ухода при работе по приращениям
Численный метод	Накопленная ошибка 60	_	I d 60 I Скорость ухода —— 1
A„ = An_1o(i +1ув*‘) 1	I \		ф е2 Г [	de№\ ~ “Та J л°(‘‘х <га>/°л*2‘'ф' 0 ф г — ~[2 J A°e<o°AX? 0 Ф е2 Г /	de \ _ “IFj Л°ГХ ^ф/ Лх2е/ф/ + 0 Ф + ^4 J A°et>oAx2 dti>’ 0				
			g2	/ -f2- X2® У 1 4-	de^ dФ		
			82	т/i Т2 K-’m V 4 +	de«, <7Ф		2
А„ = А,,-;»	1 * а Ф 1>					
о /						
I V А л •— А п _ 1 ° е		? Г 	л.. ,	.	; — - А°|е X —,-г 1 °Ау- (/Ф 12 J	X«z' с1Ф ! л 1) Ф е2 f /	de \ ~ 	I А ° I е X —гг ) ° Ay2 d(b' 4- 12 J \	d&! л 0 Ф + -|^ J А°е(аоЛх2 </Ф' 0 Ф е2 Г	/	de<t>\ ~ ~Л2 J A°rX ^Ф/°АХ "Ф + 0 ф р2	- + "24 Аоет°Л%2</Ф' 0 Ф р2 Г	1	de№\ 	 1	Л о I р		1	° Л. у	б/ф7 12 J	V®	dФJ * п	г 1 ’ 12 Х | </Ф			
А« = Ап_ ] ° Ап = Ап_ ] ° Ап = Ап_ ] °	1	1	||	 _  л	— -1-	+	4- ф	1-!—	ю| — +	а • ю|-	+	।	+ tcj- I	п, >	।	2	1 г	>	+	> Г	1“		X2®]/ Д +	de« t/Ф		
			«2 1/ 1 -.2 Х-«> И у + е2 ? de„ -12 Х “ 11Ф		dФ	2
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ 4	. 4 "] МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ

182
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 4
С другой стороны, использование счетчиков на входе
интегрирующего устройства позволяет применять чис-
ленные методы высокого порядка со сравнительно боль-
шим шагом: при этом среднее количество операций в
секунду при той же погрешности может оказаться даже
меньшим, чем при работе по приращениям. Таким об-
разом, выбор метода интегрирования может быть сде-
лан только на основе подробного анализа конкретной
задачи.
Следует также иметь в виду, что в реальных усло-
виях информация, поступающая на вход вычислитель-
ного устройства, может содержать помехи, поэтому сле-
дует избегать алгоритмов, которые прямо или косвен-
но используют операцию дифференцирования. В этом
смысле алгоритмы (4.11) — (4.13) и (4.17) — (4.19),
использующие приближенное решение кинематического
уравнения, имеют определенные преимущества перед
классическими разностными схемами, в том числе перед
формулами (4.22) — (4.25). Кроме того, сама функция
(/) не всегда бывает достаточно гладкой, и в этом
случае использование методов высокого порядка может
даже увеличить погрешность интегрирования.
§ 4.6. ПОГРЕШНОСТЬ КВАНТОВАНИЯ
При выводе формул предыдущих параграфов не рас-
сматривалась специфическая погрешность, вызванная
тем, что вместо истинного значения вектора V6* исполь-
зуется квантованная величина V6**. Процесс квантова-
ния осуществляется вне вычислительного устройства,
поэтому погрешность квантования не зависит ни от
шага интегрирования, ни от применяемого численного
метода и обусловлена некоммутативностью сложения
конечных поворотов*).
Для оценки погрешности квантования рассмотрим
плоское вращение, задаваемое ортом ео.
*) В процессе вычислений в цифровом вычислительном устрой-
стве с конечной длиной разрядной сетки возникает дополнительная
составляющая погрешности, вызванная округлением. Ее величина за-
висит от длины тага, количества операций на шаге, способа округле-
ния, количества разрядов, а также от того, выполняются ли вычисле-
ния с фиксированной или с плавающей занятой. В данном параграфе
эта составляющая не рассматривается.

5 4 6]
ПОГРЕШНОСТЬ КВАНТОВАНИЯ
183
При плоском
падают, поэтому
вращении
векторы 0, О" и
евФ сов-
I е<»ф
° е-
Обозначим угол
между соседними
Очевидно, что
суммарного поворота на
импульсами в i-m канале
интервале
через Ф;.
Ф, = —
1	D
(2=1, 2, 3).
Пусть для определенности
Ф, Ф, Дг ф3
(4.62)
При этом, очевидно, количество импульсов Л, в i-м ка-
нале на интервале Ф удовлетворяет условию
Выберем интервал Ф, равный Ф1 При этом = 1;
кроме того, в среднем *) за несколько интервалов
Ь- _ I е0Ь I ,, ___ | I
^2“ Те Г>	Лз ПГТ'
I % I	I I
Введем в рассмотрение среднее количество импуль-
сов в третьем канале между соседними импульсами во
втором канале:
%23 —
Для оценки погрешности следует задаться наиболее не-
благоприятным распределением импульсов на интер-
вале ф. Предположим, что вначале поступают К23 им-
пульсов в третьем канале, затем один импульс во вто-
ром канале. Этот процесс повторяется Л'2 раз, после
чего поступает один импульс в первом канале. Такой
последовательности импульсов (элементарных прираще-
ний) соответствует кватернион
Д’” = Д о "isn (е“з) о 3 ‘2*Sisnо 3Z‘E si8n ("Ш1)
*) Величины Кг, Кз. Кгз, рассматриваемые как средние на неко-
тором интервале, могут, вообще говоря, не быть целыми числами.

184
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. 4
В то же время истинному движению соответствует
кватернион
А о ° е
Кватернион рассогласования равен
Полагая
(4.63)
после соответствующих преобразований получаем
Ар = 1 + 4 8Ф {i 1 sign (еи) +
+ i2ea>s sign (ем.) — 1?еш sign (еш,)} + . ..
Из (4,61) имеем
d60	/ dApi
или
I d 60 I = - V^e" +(?-
I dO I 2 1	•
Аналогичные формулы можно получить не только
при условии (4.62), но и при любом соотношении между
Фь Ф2, Фз- Отличие будет только в номерах соответ-
ствующих индексов.
Величины представляют собою направляющие ко-
синусы, поэтому
? .БД 4-	= 1
с О) I * со * ссо3 1
И
Можно показать, что оценка (4.64) остается спра-
ведливой и в том случае, когда нарушается условие
(4.63), использованное при ее выводе. Из формулы
(4.64) следует, что для уменьшения накопленной по-
грешности положения необходимо в первою очередь
уменьшать величину кванта.

СТАБИЛИЗАЦИЯ МОДУЛЯ И УГЛА
185
§ 4.7. СТАБИЛИЗАЦИЯ МОДУЛЯ И УГЛА
В УРАВНЕНИЯХ ПАУАССОНА
Как известно, уравнения Пуассона (3.38) могут быть
шписаны в векторной форме. Например, для левой
руппы уравнений (3.38) имеем
U = 1, 2, 3),	(4.65)
где
«; = («!;, йц), «=((£>,, (О . (Dj).
По аналогии § 4.2 рассмотрим уравнение, эквива-
юнтное (4.65), для ненормированного вектора. Пусть
нас интересует положение тела относительно некоторой
1си и не интересует вращение вокруг нее. В этом слу-
чае можно ограничиться одним уравнением (4.65)
а = а X
. 1егко видеть, что оно эквивалентно уравнению
а=-а+а/о
а
в юч же смысле, как (4.31) и (4.32). По аналогии с
! 1.34) для стабилизации модуля можно положить
a = af(a) + а X ®,
где, например,
f (а) = — k (а2 — 1).
В общем случае следует задать положение тела от-
носительно двух несовпадающих осей:
а = а X I
Эквивалентность сохраняется, и для стабилизации мо-
делей можно заменить (4.66) у равнениями
а = af («) + а X <*>, )
b = bf (Ь) + ьх^.]	(4‘67)
Одииовременно со стабилизацией модулей векто-
ров, входящих в уравнения Пуассона, необходимо

186
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ (ГЛ. 4
стабилизировать величину угла между ними. В самом
деле, умножая первое уравнение (4.66) скалярно на Ь,
второе — на а и складывая, имеем
d(a-b) _ п
dt
Для уравнений (4.67) соответственно получаем
4(а-&) = (а-6)[/(«) + /(Ж
Обозначим и = cos (a, Ь). Тогда
а • Ь = abw.
Рассмотрим производную от w по времени. В силу (4.67)
,	. г /	1	ab ~ (а • Ь)	— \а  Ь) tab)
dw ___ d [ (a~b) 1_ dt '	'	dt y	~
dt dt L ab J	a2b2
Таким образом, уравнения (4.67) имеют первый интеграл
w (/) = ау0-
К сожалению, при отклонении w от заданного зна-
чения не имеет места эквивалентность в том смысле,
как мы ее понимали выше. В самом деле, при w =£ &'о
не ясно, какой из векторов отклонился от первоначаль-
ного направления и в какую сторону. Поэтому без до-
полнительных предположений не ясно, как в этом слу-
чае восстановить положение тела.
Несмотря на это обстоятельство, можно построить
устойчивое управление величиной w, поддерживающее
w ях w0. При этом следует позаботиться о том, чтобы
процессы стабилизации w и модулей протекали по воз-
можности независимо. Для устранения неопределен-
ности, о которой шла речь выше, можно потребовать,
например, чтобы в процессе управления векторы а и Ь
двигались навстречу друг другу по кратчайшему пути
с одинаковой скоростью.
С учетом сказанного приступим к построению за-
кона управления, Процесс стабилизации модулей не на-
рушается, если сохранить структуру уравнений (4.67).

5 4 7]
СТАБИЛИЗАЦИЯ МОДУЛЯ И УГЛА
187
Поэтому положим
а = af (а) + а X (® + ок), 1
b = bf(b) + b Х(®-®к), )
(4.68)
где ®к — угловая скорость коррекции. При = 0 урав-
нения (4.68) совпадают с (4.67). Умножая первое урав-
нение (4.68) скалярно на а, второе — на Ь, имеем
Аналогично
% = af(a),
^ = ьнь).
dw  _ „ (Д&«>к)
dt	ab
(4.69)
iде (а6(йк) обозначает смешанное произведение векю-
ров а, Ь, ©к-
Чтобы движение векторов а и b происходило по крат-
чайшему пути, положим
®к= ,4(flXft).	(4.70)
В качестве коэффициента пропорциональности возьмем
нечетную функцию рассогласования (w— ху), например,
Л=^(ьу —цу).	(4.71)
С учетом (4.70) и (4./1) имеем после некоторых пре-
образований
-^ = — 2/г(1 — w2)(w — w0).	(4.72)
Уравнения (4.68) принимают вид
л = af (а) + а X ®	[Ьа2 — а(а  b)](m'— ху),
> = bf (b) -ф b X ®	[ab2 — b (a  6)] (x — xyk
( 1.73)
Очевидно, что (4.69) и (4,72) независимы.

188
ПРИБЛИЖЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. 4
Для доказательства устойчивости возьмем функцию
Ляпунова в виде
W = а (а — I)2 + р (b — I)2 + у (w — дау)2,
а > О, Р > 0, у > 0.
В соответствии с уравнениями (4.73) или, что то же
самое, (4.69) и (4.72), имеем
~=2аа(а — 1) f (а) +
+ 2рб (b — 1) f (б) — 4kу (1 — да2) (да — w0)2.
Поскольку а > 0 и b ~> 0, для устойчивости достаточно
потребовать, чтобы
(a—l)f(a)<0 при а =#= 1,
(б—1)((б)<0 при б=/=1,
k > 0, да2 =£ 1.
Для практических целей достаточно, чтобы управ-
ления по модулю и по углу были независимы лишь в
первом приближении. Поэтому уравнения (4.73) можно
несколько упростить. Во-первых, в выражении в квад-
ратных скобках можно положить а « b « 1 и abv
« да0. Тогда
а = af (а) + а X © — k (да — да0) (Ь — ада0), )
> (4.74)
b = bf (b) + b X ® — k (да — да0) (а — бда0). /
Далее, можно приближенно заменить (да —да0) на
(а-b — да0), так что
а = af (а) + а X ® — k (а  b — да0) (Ь — адаэ), i
; (4.7о)
b = bf (б) + b X ® — k (а  b — дау) (а — бдау). I
В важном частном случае, когда векторы а и b
должны быть взаимно перпендикулярны, т. е. когда
да0 = 0, уравнения (4.75) принимают более простой вид:
а= af (а) + а Xй — k (а  б) б, i
)	(4.76)
б = bf (b) + б X ® — k (а  б) а.)

СТАБИЛИЗАЦИЯ МОДУЛЯ И УГЛА
189
к 4 71
Можно показать, что упрощенные варианты управления
(4.74) — (4.76) устойчивы, хотя область устойчивости
\же по сравнению с (4.73).
Уравнения (4.73) —(4.76) более сложны, чем, напри-
мер, (4.36). Тем не менее для них можно построить
вполне работоспособный алгоритм численного интегри-
рования. Использование уравнений Пуассона со стаби-
лизацией модуля и угла особенно целесообразно, когда
векторам а и Ь можно приписать конкретный физиче-
ский смысл, например когда исследуется ориентация
твердого тела относительно направлений на две задан-
ные звезды.

ГЛАВА 5
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ В ЗАДАЧАХ
УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кинематические параметры являются обобщенными
координатами, позволяющими описывать угловое дви-
жение твердого тела. С другой стороны, кинематические
параметры находят применение в задачах управления
угловым положением твердого тела при его движении.
Сигнал об угловом отклонении твердого тела от задан-
ного положения в системе управления является функ-
цией кинематических параметров. Рассмотрим в общем
виде систему автоматического управления движением
твердого тела вокруг его центра масс. Система должна
состоять из датчиков углового положения, определяю-
щих угловое положение (ориентацию) тела относитель-
но заданной системы координат и задающих сигнал уг-
лового отклонения, функционального преобразователя,
формирующего по сигналу углового отклонения управ-
ляющий сигнал, и, наконец, управляющего устройства,
с помощью которого может изменяться угловое поло-
жение твердого тела. Описанная система управления
образует обычный замкнутый контур автоматического
регулирования; именно по такой схеме строятся системы
управления угловым положением космических аппара-
тов, самолетов, ракет, кораблей и т. д.
Рассмотрим вопрос о получении сигналов углового
отклонения твердого тела относительно заданной систе-
мы координат (исходного базиса). Традиционно в ка-
честве таких сигналов используются чаще всего функ-
ции от углов Крылова или углов Эйлера. Это связано
с тем, что в автоматике управления угловым положе-
нием в первую очередь нашли применение различного
рода гироскопические устройства, имеющие кардановы
подвесы. Такого рода устройства позволяют измерять
углы поворота осей кардановых колец, которые и яв-
ляются углами Эйлера и Крылова.
Развитие техники управления и в особенности кос-
мической техники привело к появлению датчиков угло-

1 J. V
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
191
вито положения негироскопического типа. Примерами
таких датчиков являются оптические датчики ориента-
ции на центр планеты, на Солнце, датчики ориентации
на звезду и т. п. Сигналы углового рассогласования,
определяемые этими датчиками, являются функциями
направляющих косинусов, а не углов Эйлера. В тех
случаях, когда в системе управления используются вы-
делительные устройства и определение углового поло-
жения тела производится путем интегрирования кинема-
тических уравнений, как это имеет место в бесплатфор-
менных системах управления, в качестве сигналов
углового рассогласования могут использоваться любые
кинематические параметры. Вид кинематических пара-
метров в этом случае будет определяться типом интегри-
руемых кинематических уравнений.
Таким образом, в принципе возможно использование
различных кинематических параметров в задачах управ-
ления. Применение кватернионов оказывается наиболее
удобным по двум обстоятельствам. Во-первых, иссле-
дование устойчивости процессов ориентации, проведен-
ное с использованием параметров Родрига—Гамиль-
юна, позволяет судить об устойчивости системы в це-
лом. Кватернионы позволяют найти наиболее общий
вид функциональных зависимостей, осуществляющих
устойчивое управление. Во-вторых, компоненты ква-
терниона могут быть использованы в качестве управ-
ляющего сигнала, что может иметь место, когда эти
параметры вычисляются в системе управления. Приме-
нение компонент кватерниона как сигналов управления
позволяет получить не только устойчивое управление
угловым движением твердого тела, но и в ряде случаев
управление, достаточно близкое к оптимальному (см.
гл. 6).
Под задачей ориентации твердого тела в некоторой
заданной опорной системе координат I будем понимать
задачу приведения связанной с телом системы коорди-
нат Е к опорной. Мы будем рассматривать две поста-
новки задачи ориентации: кинематическую и динамиче-
скую.
В первом случае будем предполагать, что процесс
ориентации заключается в том, что связанной системе
координат Е сообщается абсолютная угловая скорость

192
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
ЦП J
коррекции йк, назначение которой — изменять таким об-
разом ориентацию базиса £, чтобы вызвать его совпа-
дение с системой координат /. Процесс приведения ба-
зиса Е к базису I, происходящий за счет наличия угло-
вой скорости йк, будем условно называть процессом
коррекции. Такая постановка будет называться кинема-
тической задачей ориентации. На практике она очень
близка к задаче ориентации и управления угловым
положением твердого тела. Дело в том, что си-
стема управления ориентацией, например, космического
аппарата, осуществляет регулирование величины его
угловой скорости, которая задается в функции углового
отклонения аппарата от требуемого положения. Не-
смотря на то, что управление реально выполняется пу-
тем приложения к телу управляющих моментов (от ре-
активных двигателей или путем изменения кинетического
момента внутренних масс), характер движения при до-
статочно больших ускорениях от управляющего момен-
та близок к тому, который будет рассматриваться в
кинематической задаче ориентации.
Во втором случае — динамической задаче ориента-
ции— будет предполагаться, что управлением является
не угловая скорость коррекции йк, а величина управ-
ляющего момента М, прикладываемого к твердому телу.
Управляющий момент вызывает соответствующее движе-
ние твердого тела; при этом целью ориентации остается
также совмещение связанного базиса с опорным.
В данной главе будут исследованы типы управле-
ния, т. е. вид функциональных зависимостей й, и М,
обеспечивающие выполнение процесса ориентации. Ис-
следуется устойчивость процесса управления; показы-
вается, что для некоторых типов управления кинемати-
ческие условия устойчивости являются необходимыми
условиями и для динамической устойчивости.
§ 5.1. ЗАВИСИМОСТЬ СИГНАЛОВ УПРАВЛЕНИЯ
ОТ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
Необходимым условием для решения задачи ориен-
тации является получение сигналов управления, харак-
теризующих угловое рассогласование системы коорди-
нат твердого тела Е и опорной системы I. В действи-

ЗАВИСИМОСТЬ СИГНАЛОВ 01 ПАРАМЕТРОВ
193
тельности управление ориентацией твердого тела
строится на основе измерений некоторых датчиков угло-
вого положения, определяющих положение связанных
осей относительно некоторых направлений в простран-
стве (направление на планету, Солнце, звезду, косми-
ческий аппарат и т. п.). Будем считать для общности,
что датчики углового положения определяют положение
осей ik базиса I, связанного с направлениями ориен-
тации.
Будем различать два типа ориентации: ориента-
цию, при которой базис I является инерциальной не-
врашающейся системой координат, называемую инер-
циальной ориентацией, и ориентацию во вращающейся
системе координат, когда базис I совершает заданное
вращение. В любом случае выходные сигналы датчика
могут определять одну, две или три угловые коорди-
наты рассогласования базисов.
Каждому выходному сигналу будем приписывать
направление оси чувствительности датчика таким об-
разом, что при вращении вокруг этой оси из положения
совпадения базисов Е и I возникает только этот выход-
ной сигнал. Из общих соображений ясно, что для
пространственной (трехосной) ориентации необходимо
иметь не менее трех сигналов датчиков, оси чувствитель-
ности которых не лежат в одной плоскости( образуют
пространственный базис). Выходные сигналы датчиков
углового положения можно представить в функции ки-
нематических параметров, характеризующих взаимное
положение базисов.
Рассмотрим различные способы представления вы-
ходных сигналов датчиков углового положения.
Пусть переход от системы I к системе Е опреде-
ляется с помощью некоторых кинематических парамет-
ров и представлен матрицей А, выраженной через углы
Крылова (2.70) или компоненты кватерниона (1.19).
При этом, очевидно, одни параметры могут быть выра-
жены через другие; однако мы будем рассматривать
только такие параметры, которые суть физически изме-
ряемые величины.
В том случае, когда ориентация выполняется с по-
мощью трехстепенной гиростабилизированной платфор-
мы, положение осей карданова подвеса которой
7 В, 1L Бранец, II. П. Шмшлевский

194
использование кватернионов
[ГЛ. S
соответствует выбранной последовательности углов Кры-
лова (рис. 5.1), выходными сигналами будут сигналы,
снимаемые с измерителей углов в осях подвеса. Эти сиг-
налы будут функцияхми непосредственно углов Крылова
Ф, <р и ф: /j(O), /2(ф), /з(ф). Так, например, при исполь-
зовании индуктивных измерителей угла будем иметь
fl (ft) = sin е, f2 (qp) = sin qp, f3 (ф) = sin ф.
Отметим, что направлением каждого выходного сиг-
нала гироплатформы Д, т. е. осью чувствительности, бу-
дет соответствующая ось
карданова подвеса, и ори-
ентация с помощью гиро-
платформы выполнима
всюду, кроме положе-
ния совпадения двух
осей ее карданова под-
веса.
В качестве другого
примера рассмотрим дат-
чик, реализованный в ви-
де визирующего устрой-
ства в двухстепенном
Рис. 5.1.	кардановом подвесе (рис.
5.2). Выходными сигна-
лами этого датчика могут быть сигналы измерителей
углов в осях подвеса. Если последовательность углов
перехода от системы координат датчика к осям объ-
екта соответствует рассмотренной выше последователь-
ности (см. рис. 5.1, на котором третий угол принимается
равным нулю), то измеряемыми углами будут и qp.
Соответственно этому оси чувствительности такого дат-
чика располагаются по осям подвеса.
Можно рассмотреть датчик, установленный непод-
вижно в осях базиса Е и визирующий некоторое на-
правление, которым может быть направление на пла-
нету, Солнце, звезду и т. п. В этом более общем случае
выходные сигналы такого датчика будут функциями
направляющих косинусов линии визирования с осями
системы координат Е. Так, если визируется ось ц и
оптическая ось датчика расположена по оси в], то вы-
ходными сигналами могут быть функции	и

S 5.!]
ЗАВИСИМОСТЬ СИГНАЛОВ ОТ ПАРАМЕТРОВ
195
Очевидно, что третий косинус не несет
информации о направлении отклонения оси Ci от iit
являясь в то же время мерой этого отклонения.
Положение датчика относительно осей системы ко-
ординат Е характеризуют две его оси чувствительности
и (рис. 5.3). При отклонении от направления визи-
* рования путем вращения во-
/8 круг осей |i и возникают
сигналы fa и fa соответствен-
но. Малое угловое отклоне-
ние базиса Е от заданного
положения, определяемое
вектором малого поворота 0,
может быть частично из-
мерено датчиком. Выходные сигналы датчика будут за-
висеть от величин 0  и 0  Е2, которые суть направ-
ляющие косинусы осей чувствительности и с век-
тором углового отклонения. Очевидно, что такого рода
двухкоордпнатный датчик измеряет только компоненты
углового отклонения, не являющегося вращением во-
круг оси линии визирования, и не дает полной информа-
ции об угловом рассогласовании. Полностью векгор 0
может быть измерен только в случае, когда существует
не менее трех осей чувствительности, не лежащих в од-
ной плоскости.
Для трехосной ориентации твердого тела необходимо
иметь информацию об отклонении двух осей, скажем
п е2, от опорного базиса. Если связать с каждой осью
7

196
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ, 5
неподвижный датчик, оси чувствительности которого
расположить по осям базиса Е, то выходные сигналы
этого датчика будут функциями от направляющих коси-
нусов между осями ih и ек. Пользуясь формулами (1.19),
можем записать следующие соотношения для направ-
ляющих косинусов:
Zj ' £?2 — 2 (Л,|/.2 Z.iiAp,
*i  вз = 2 (/qZ3 + XoZ2),
х’з • в] == 2 (Лол3 + л,?,2),
z2 • е.,==2 (Z3Z2 — ZqZ,),
h ‘ ei = 2 (/ч^з — ^oA2),
z’3  e2 = 2 (Л3?.2 +
(5.1)
В случае малого отклонения базиса Е от базиса I
из сравнения (2.70), (1.19) и (2.1) получим с учетом
величин только первого порядка малости относительно
угла пространственного вращения:
ft ~	е; •	z2	«	—	е2 • z,	2^о^3,
ср ~	в2 •	z3	~	в, • z2	2XqX|,
Ф ~	е3 •	Zj	~	—	е, • z3	«	2Zu?.2-
(5.2)
Эти соотношения связывают различные кинематические
параметры для случая малых отклонений. Практически
именно они и имеют значение при описании функцио-
нальных зависимостей выходных сигналов датчиков, по-
скольку большинство датчиков имеет выходную харак-
теристику с малой «линейной» зоной, в которой выход-
ной сигнал несет информацию о величине угла откло-
нения. В остальной «рабочей» зоне, как правило, датчик
дает информацию только о знаке отклонения; рабочая
зона также часто бывает ограничена. В соответствии
с этим выходная характеристика датчика может быть
представлена в функции величин (5.2).
Соотношения (5.2) указывают, что для управления
наряду с традиционно используемыми углами ft, q? и ф
могут быть применены величины /.07,. Ниже будет дано
строгое обоснование этого утверждения. При последую-
щих рассмотрениях сигналы управления, формируемые
на основании выходных сигналов датчиков углового по-
ложения, будут задаваться в функции величин (5.1)
или (5.2).

ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
197
§ 5.2. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ
В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Рассмотрим кинематическую задачу ориентации
твердого тела в базисе I, являющемся инерциальной
системой координат, Пусть движение связанного ба-
зиса Е относительно базиса I описывается кватернио-
ном А(0 и абсолютная угловая скорость вращения ба-
зиса Е равна — скорости коррекции, формируемой по
сигналам датчиков углового положения.
Исследуем процесс приведения системы Е к инер-
циальной системе I при различных зависимостях сиг-
налов коррекции от кинематических параметров и най-
дем требования к управлению, обеспечивающему устой-
чивость системы коррекции. Уравнениями движения
базиса Е относительно базиса I будут кинематические
уравнения в форме (3,11), поскольку скорость коррек-
ции QK задается в осях базиса Е системой управления,
регулирующей величины проекций угловой скорости
(; = 1, 2, 3) на оси тела. Запишем эти уравнения в ска-
лярном виде:
2к0 = -Л,ок1-/Лф,-фОк1,
2Л1 = /-О^К! + W-K? — А Ф-к.-,
2?<= ^оЙк2 + ФИц — Ф--к!,
27,з= Шз + Ша- Ф(А,.
(5.3)
Исследуем достаточные условия устойчивости ориен-
тации и вид функциональных зависимостей величин Q;,,
обеспечивающих такую ориентацию.
1. Введем положительно определенную функцию
IV7 = 1 — ко — — [(1 — /.ч) -ф ф -ф 2.? -ф к>].	(о.4)
Эга функция в ориентированном положении твердого
тела, т. е. при совпадении базисов Е и I, обращается
в нуль [этому положению соответствсет кватернион
(I, 0, 0, 0)]; при всех остальных положениях базиса Е
относительно опорного базиса I она имеет положитель-
ное значение. Производная от этой функции, составленная

198
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
в соответствии с уравнениями движения (5.3), будет
равна
й7 = — 2Л(До ~ W-1 Йк1 + ^-0^2”К2 + ^О^зЯкЗ- (5.5)
Рассмотрим сначала случай, когда для управления
используются компоненты кватерниона, т. е. управляю-
щий сигнал формируется в функции величин (j = 1,
2, 3). Такой случай может иметь место, когда ком-
поненты л,- вычисляются в системе управления.
Соотношения (5.2) показывают, что в качестве меры
углового отклонения служат величины до/.,, совпадаю-
щие при малых отклонениях с соответствующими угла-
ми. Если учесть, что одному положению тела соответ-
ствуют два кватерниона (А и —А), то можно видеть,
что величины /.о/..; несут информацию о направлении
кратчайшего пространственного разворота, величина ко-
торого меньше п.
В случае линейной коррекции величину угловой ско-
рости коррекции следует задать в виде
йк/=-^.0А/.	(5.6)
Можно видеть, что при kj > 0 производная (5.5) будет
отрицательно определенной формой везде, кроме ориен-
тированного положения:
— W = /гф.оА: kzkoh?
Таким образом, функция (5.4) является функцией Ля-
пунова, и управление (5.6) обеспечивает асимптотиче-
скую сходимость процесса коррекции к положению рав-
новесия. т. е. к положению А = (1, 0, 0, 0), во всей об-
ласти изменения А, кроме точки /,э == 0 (вообще
говоря, точке 2,0 = 0 соответствует некоторая область
положений).
Как следует из соотношения (5,6), при д0 = 0 ско-
рости Q,,, также обращаются в нуль; обращается в нуль
и производная W, Это состояние является неустойчивым
положением равновесия. Для определения характера
движения в этой точке положим kj — k\ в этом случае
- АЛо(1 — Л5) == - Ж(1 - IF).

ЗАДАЧА ориентации в инерциальной системе
199
Ннгегрируя это уравнение, находим
|)Д"‘г
W =
где Wo равно значению 1F в начальный момент времени,
Он-юда видно, что скорость сходимости зависит от ко-
эффициента коррекции /г, и W(t) стремится к нулю при
/г > 0 для начальных значений W’o < 1. Очевидно, что
W не может быть единицей нигде, кроме точки /,0 — 0;
.. и: U"o = 1 имеем W'(0 = 1-
Пусть 1^о=1 — 6, где 6 — бесконечно малая; тогда
^(0
1
1 + 6ekt ’
т. е. особая точка ?.о = 0 является неустойчивым узлом,
У правление по величинам будет асимптотически
у с-ойчивым и при нелинейных функциях коррекции,
Пусть управление имеет такой вид:
Ок/ = - kjFj (л0) Фу (Ху),	(5.7)
i;;e функции Fj(x') и ФДл’) удовлетворяют условиям
xFj (х) > 0, хФу(х)>0,	| х | С 1 •	(5.8)
В дальнейшем будем говорить, что управление (5,7)
принадлежит к классу (5.8). При таком управлении про-
изводная функции Ляпунова (5.5) будет отрицательно
определенной при > 0 везде, кроме особой точки
/о — 0, в которой она обращается в нуль. Отсюда сле-
дует, что любого типа нелинейное управление по компо-
нентам кватерниона (5.7), принадлежащее к классу
(5 8). обеспечивает асимптотическую устойчивость про-
цесса управления всюду, где /.о #= 0.
Для асимптотической устойчивости во всей области
положений твердого тела достаточно доопределить
управления (5,6) и (5.7) таким образом, чтобы они не
обращались в нуль в точке /,0 = 0. В этом случае, не-
смотря на то, что производная от функции Ляпунова об-
ращается в нуль в точке 7.0 = 0, эго положение уже
• се будет положением равновесия (хотя и неустойчи-
вого), как в рассмотренном ранее примере линейного
управления (5.6). Для доказательства этого факта со-

200
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ, 5
шлемся на теорему Ляпунова [1] в такой формулировке:
если существует положительно определенная функция
фазовых координат такая, что ее производная неполо-
жительна и обращается в нуль на некотором множе-
стве, не содержащем целых траекторий кроме положе-
ния равновесия, то положение равновесия системы асим-
птотически устойчиво.
II. Рассмотрим случай управления по направляющим
косинусам: будем исследовать управление, являющееся
линейной функцией направляющих косинусов (5,1).
Очевидно, что для выполнения трехосной ориентации
достаточно использовать две пары косинусов, опреде-
ляющих ориентацию двух осей системы координат I
в связанном базисе; при этом из четырех косинусов
независимы только три.
Пусть, например, используются косинусы осей ij и
/2; тогда можно сформировать три величины угловой
скорости коррекции как линейные функции косину-
сов (1.5). Учитывая, что при малых отклонениях фор-
мируемые сигналы коррекции должны в соответствии
с (5.2) принимать вид (5.6), получаем
=	' ез) — — (Мо —
QKi------------зу- (г, • е3)-------k> (AiXq -ф X|Z,3),
Ок.=-----------(*2 • ei)= “ (A3A-o -ф- XjA.2),
(5.9)
QKi—	(i[ • е>) — — ki (Х3Х0 — ^Л2),
т. е. имеются две возможности формирования трех сиг-
налов коррекции из четырех направляющих косинусов.
Покажем, что для обоих случаев возможно выполнение
достаточных условии устойчивости. Для доказательства
будем искать функцию Ляпунова в следующем виде:
Г = а(1 - Zo) + -ф + бМ, (5.10)
где а, р, у и б — произвольные положительные пара-
метры. Очевидно, что эта функция — положительно
определенная и обращается в нуль только в положении
равновесия.

ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
201
'5 : Я
Производная от этой функции, составленная в соот-
 етствии с уравнениями (5.3), имеет следующий вид:
- — IF = k i (а -ф 5) Zo2„i -ф (а -ф У) Й'Ф -ф /?з (а -ф Р) 7-о74 ~ф
+ ЫР - У)	(р - 5) Z1/.3 ± ki (& - у) 7.Ф4 +
•ф (У — Р — я — 5) -ф /г> (а + у + р — б)-ф
+/гфб — у ± а ± pip.yqZA,, (5.11)
-де верхний знак соответствует третьему, а нижний —
четвертому равенству (5.9), определяющим управление
о 3. Чтобы производная (5.11) была отрицательной
функцией, необходимо выполнение следующих условий:
Ф>0, р>у, р>б, ± (б - у) > 0 (/= 1, 2, 3). (5.12)
Покажем, что выбором параметров а, р, у, б можно
полечить знакоопределенность функции Ф7 во всей об-
даст изменения величин 7.;. Представим функцию (5.11)
в следующем виде:
— д й7 = (а -ф б) -ф k \ (р — у) 2,ф.з -ф a'hj'hJSM *ф
+ ki (а -ф у) ЛиТ.2 + k, (Р — б) Zp’.i + W.AiX.-Aj -ф
+ Ыа + Р) >-о>-з ± k3 (б - у) 4-	(5.13)
где величины а, Ь, с подчиняются условию
.1 - [) л- с = (у — р — а — б) +
~t~ ky (ct -ф у -ф Р — б) -ф /д (б у zt ct + р).	(5.14)
Птребхем знакоопределенности каждом из трех квад-
ратичных форм в соотношении (5.13); для этого дол-
жны выполняться следующие условия:
а2<4Ф1(а + б)(р-у)= Л2 > 0,	|
б2 < 4бИа л-уНР - б) = й2 >0,	}	(5.15)
с2 <± 4k] (а + р) (б - у) = С2 > 0. |
В соответствии с необходимыми условиями (5.12) Л. В
и- С — действительные величины. Условия (5.15) можно

202
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВ \TEPIIIIOIIOB
ТГЛ. 5
записать также в таком виде:
— А уб и Уб А,
— в </? < в,
— С С с <С.
(5.16)
Полученные неравенства удовлетворяются при лю-
бых а, b и с, лежащих внутри параллелепипеда со сто-
ронами А, В, С. Если учесть дополнительную связь
(5.14), ю неравенства (5.16) могут быть выполнены
тогда и только тогда, когда плоскость d — а + б + с
пересекает параллелепипед АВС, т. е. когда
„(Д + В + С)<6?<(Д + В + С).
Последнее неравенство получается суммированием не-
равенств (5.16); заменяя в нем величины А, В, С и
а, Ь, с в соответствии с (5.14) и (5.15), получаем
- 2k, /(а + б)(р-у) - 2k 2 /(а + у) (р - 5) -
— 2k, / ± (а + Р) (д — у) < /г, (у — р — а — б) +
+ k2 (а + у + р — б) + k, (б — у ± а ± Р) Уб
< 2k, б) (р-у) + 2k2 /(а + у) (Р - б) +
+ 2k t У ± (а + Р) (б — у).
Исследуем полеченное выражение; его можно раз-
бить на два следующих неравенства:
-	{(а + б) + (Р - у) - 2 /(а + б) (Р - у)) +
+ k2 ((а + у) + (Р - б) + 2 /(а + у) (Ь - б)) ±
± /?3 {(а + р) ± (б - у) ± 2 Гг± (а + Р) (б-у) > О,
kt ((а + б) + (Р - Y) + 2 ] ''(а + б) (р - у)) -
- k2 ((а + у) + (р - б) - 2 /(а + у) (Р - б)} -
+ k3 ((а + р) ± (б - у) + 2 /±(а + р)-(Г^))> 0.
Положим а б = р —- у; тогда а + у = р — б; это ра-
венство не противоречит рассмотренным выше необхо-

задача ориентации в инерциальной системе
;оз
.пилим условиям устойчивости (5.12), Тогда первое не-
p.iseiiCTBO (5.17) примет вид
(5,18)
u >'.орое неравенство
(5.17) приведется к следующему;
/?!> + /?<
[) а + р ? 1 ± (б - у)]2
4 (а 4- 6)
(5,19)
Рассмотрим случай верхнего знака, что соответствует
заданию Qh-3 третьим равенством (5.9). Неравенство
(3 18) удовлетворяется всегда при любых положитель-
ных k<2 и k3. В неравенстве (5,19) наложим еще одно
гс.мпнчение на параметры а, р. у, б: положим у = а-ф
-•-о -- р. Тогда это неравенство примет вид
/г.
Р - |ф2 - а2
2 (а + 5)
а,

Р
1: все необходимые условия (5.12) выполняются. Выбо-
рг, с оставшегося нефиксированного параметра а это
неравенство можно всегда удовлетворить,
Аналогично для случая нижнего знака, соответствую-
щего заданию 9.3 четвертым равенством (5.9), неравен-
ыиа (5.19) удовлетворяется тождественно. Неравенство
(5 18), полагая у = а 4- б—р, приведем к такому виду;
/?2
k:i
а — ] а2 — р2
2 (« + У)
р.
а
Очевидно, что это неравенство также всегда может быть
у.Д'з.тетворетю выбором параметров а р у. Отсюда
следует, что неравенства (5.17) выбором параметров
р, б п у могут быть выполнены при любых коэффп-
’Д ентах k,. что соответствует знакоопределенности
производной (5,11) и, следовательно, асимптотп-
чсекон устойчивости управления по направляющим ко-
сищ сам.
В проведенном доказательстве нигде не фиксирова-
лась величина коэффициентов ki (i = 1, 2, 3) и не
использовалось свойство их постоянности. В соответ-
ствии с принципом «кажущейся линеаризации» любая

201
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ, 5
нелинейная функция управления, удовлетворяющая
условиям (5,8) при х =# 0, может быть представлена
как
Ft (х) = kt (X) х (i = 1, 2, 3).
Отсюда следует, что любая нелинейная функция направ-
ляющих косинусов типа (5.8) также обеспечивает устой-
чива ю ориентацию.
Аналогично можно рассмотреть случай управле-
ния, когда для коррекции используются направляющие
косинусы двух других осей (г2 и Г3 или *1 и z3).
Hi. Для устойчивого управления положением твер-
дого тела достаточно трех независимых сигналов кор-
рекции, задаваемых в функции направляющих косину-
сов пли величин Установим, какое минимальное
число независимых сигналов нужно для устойчивой
ориентации, т. е., другими словами, нет ли своего рода
избыточности в трех независимых сигналах управления.
Для решения этого вопроса исследуем, к какому поло-
жению приходит система координат Е при использова-
нии одного или двух сигналов коррекции.
Рассмотрим для примера управление по компонен-
там кватерниона (5.6) и положим, что используется
только один сигнал коррекции kt > 0, a k2 = k? = 0
(т. е. случаи управления по одному каналу), В этом
случае производная от функции Ляпунова (5.5) рав-
на— /гДД? п обращается в нуль везде, где /.] = 0,
не считая положения /,0 — 0- Очевидно, что эти поло-
жения будут положениями равновесия, в которых управ-
ление (угловая скорость коррекции) исчезает. Этому
случаю соответствует такое положение системы Е, когда
вектор конечного поворота, переводящий базис I в ба-
зис £, лежит в плоскости е2е3; любому из этих поло-
жений соответствует целая траектория уравнений дви-
жения (5.3).
Аналогично при использовании двух сигналов кор-
рекции, например, таких, что > 0, k2 > 0 и k3 = 0
(«правление по двум каналам), имеем равную нулю
производную (5.5) для /.{ =	= 0, что имеет место,
когда вектор конечного поворота направлен по оси е3.
Любое из таких положений также является положением
равновесия. Отсюда следует, что для ориентации тела

•5 4 ->J
.ПЛАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ
205
относительно инерциальной системы координат необхо-
димо использование не менее трех независимых сигна-
лов коррекции, т. е. трех независимых сигналов датчи-
ков углового положения.
§ 5.3. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ
ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Помимо рассмотренного случая инерциальной ориен-
тации, наиболее часто встречается ориентация во вра-
щающейся системе координат. Примером такого рода
является ориентация космического аппарата в так на-
зываемой орбитальной системе координат, направления
осей которой связаны с плоскостью орбиты и направ-
лением на центр планеты. Орбитальная система коор-
динат совершает упорядоченное вращение с угловой
скоростью ©о, равной орбитальной угловой скорости.
Вектор йо имеет определенное направление в осях орби-
тальной системы: он постоянен по направлению и рас-
положен по бинормали к орбите. При движении такого
рода орбитальная система координат совершает враще-
ние в одной плоскости относительно инерциального про-
странства (прецессией плоскости орбиты пренебрегаем).
Другим примером ориентации во вращающейся си-
стеме координат может служить ориентация космиче-
ского корабля на другой корабль. Если рассматривать
относительное движение двух кораблей, то радиус-век-
тор. их соединяющий, совершает (в общем случае) вра-
щение в одной подвижной плоскости. Соответственно
этому можно ввести связанную с плоскостью вращения
систему координат, одна ось которой расположена по
радиусу-вектору, а другая перпендикулярна к плоско-
сти вращения. В этом случае угловая скорость враще-
ния опорного базиса относительно инерциального про-
странства имеет фиксированное положение в осях опор-
ного базиса.
1. Итак, при рассмотрении задачи ориентации во
вращающейся системе координат будем предполагать.
ЧТО связанная система координат £ совмещается с опор-
ной системой I путем сообщения базису Е угловой ско-
рости коррекции. При этом система координат I вра-
щается относительно инерциального пространства с

206
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
угловой скоростью ®0, причем вектор угловой скорости
определенным образом расположен в базисе I и не ме-
няет своего направления. Не уменьшая общности, бу-
дем считать, что вектор йо = <вой направлен по осп й.
Рассмотрим, какую абсолютную угловую скорость
должна иметь система координат Е. Очевидно, во-пер-
вых, что скорость вращения базиса Е должна содер-
жать угловую скорость коррекции йк, задаваемую в
функции рассогласования базисов Е и I с помощью про-
екций QKj в связанных осях. Во-вторых, целесообразно
потребовать, чтобы ориентированное положение было
положением равновесия; для этого нужно, чтобы при
совпадении систем координат Е и /, когда угловая ско-
рость коррекции обращается в нуль, базис Е совершал
такое же вращение, что и опорный базис. Поэтому не-
обходимо, чтобы базис Е имел дополнительную скорость
вращения о/, направленную по той же оси (е3), что и
опорный базис (й), и имеющую ту же величину, т. е.
должно быть со* = а*е3 = а0^з- Отсюда следует, что аб-
солютная угловая скорость базиса Е равна
" = -^К + ® ~ ^к1е1 + ^К2^2 + (-2кЗ + %) es- (5.20)
Пусть положение связанного базиса Е относительно
опорного задается кватернионом А(/). Введем дополни-
тельно инерциальный базис Z и б\дем описывать отно-
сительно него движение базисов Е и I с помощью ква-
тернионов N и М соответственно, Если переход от ба-
зиса Z к базису I дается кватернионом М, а от базиса I
к базису Е — кватернионом А, то переход от базиса Z
к базису Е определяется их произведением:
N = MoA.	(5.21)
Кинематические уравнения, определяющие движение ба-
зисов I и Е относительно инерциального базиса, в со-
ответствии с (3.11), (3.12) и с учетом (5.20) будут иметь
следующий вид:
2 М = <t>oz ° М = М о
2N = о N = N о ti£,
где coqz, coo/—гиперкомплексные отображения вектора о)0
на базисы Z и /, а Й? и й£ — отображения вектора О
(5.20) на базисы Z и Е.
(5.22)

> -) 3] ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ
20';
В соответствии с (5.21)
A = MoN,
откуда можно получить кинематическое уравнение, опре-
деляющее движение базиса Е относительно базиса /:
2А = 2-М ° N — 2М о М о М о N =
= М ° N о £2£ — М о М о (t)Oj о М о N = А о й£ — too/ о А. (5.23)
Отметим, что это наиболее удобная форма уравнения,
гак как вектор Q задается своими компонентами в ба-
зисе Е, т. е. на самом деле задан вектор Qf. Точно так
же и вектор wo задан в базисе /, т. е. известна именно
величина оь/.
Если перепроектировать, например, вектор wq на ба-
зис Е, то получим
<йд£ = А о W,,/ О А,
и уравнение (5.23) принимает обычный вид (3.11) для
згловой скорости Q£ — g>0£, которая является относи-
1ельной скоростью движения базисов Е и /. В соответ-
ствии с (5.20) и определением вектора «о имеем сле-
дующие величины отображений:
“£ = (QK1, QK2, + ££»о), Йо/ = (0, 0, £й0),
С \ четом этого кинематическое уравнение (5.23) движе-
ния в компонентах кватерниона А запишется в виде та-
ких скалярных соотношений:
2х0=-ХА,-х2йк2-?.3ак3,
2Л] = Xo^Kl +	— ^3^к2 + 2/._,ОЗо,
2Z3= Z0Qk2 + Z3QkI -Л,Йк3 - 2Z1£o0,
2?.3=Щ<з + ^Р-к2-Ш:1-
(5.24)
Полученные уравнения ориентации во вращающейся
системе координат отличаются от аналогичных уравне-
нии инерциальной ориентации (5.3) наличием двух чле-
нов с угловой скоростью wo. Как видно, уравнения
(5.24) распадаются на две группы: уравнения для ком-
понент ?.о и /.з, аналогичные тем же уравнениям (5.3),

208
использование кватернионов
[ГЛ.
и уравнения для щ и /.2, связанные из-за наличия ско-
рости вращения опорного базиса &>о. Положение равно-
весия /., = 0, QbJ-= 0 (i=l, 2, 3), очевидно, является
решением уравнения, что получилось, когда ы* поло-
жили равной ы0; можно проверить, что в противном
случае в первом и четвертом уравнениях (5.24) появи-
лись бы члены с ио — (в*.
Интересно отметить, что уравнение (5,23) представ-
ляет для постоянных величин а»0 = ®* и = 0 разре-
шимый [см. (3.88)] случай прецессии:
Хо(О = ^о, Лз(О = ^з.
Z1 (/) = Z? COS (Hot + К°2 sin (Hot,
^2 (0 = ^2 cos (£>i)t + sin (Oot
Это решение указывает, что при отсутствии коррек-
ции движение системы координат Е относительно си-
стемы I таково, что вектор конечного поворота (даю-
щий переход от системы I к системе Е) вращается по
конусу, ось которого расположена вдоль оси е3, если на-
блюдать движение в связанных осях, или вдоль оси z3
при наблюдении из опорного базиса.
П. Исследуем необходимые и достаточные условия
устойчивости процесса приведения системы координат
Е к системе I. Рассмотрим случай, когда управление
осуществляется по компонентам кватерниона. Введем,
как и в предыдущем параграфе, функцию Ляпунова в
виде (5.4). Ее производная, составленная в соответ-
ствии с уравнениями (5.24), имеет точно такой же вид,
как и для случая инерциальной ориентации (5.5). От-
сюда сразу же следует, что линейное управление (5.6)
и произвольное нелинейное управление вида (5.7), удов-
летворяющее условиям (5.8), осуществляют асимптоти-
ческую сходимость процесса коррекции.
В некоторых случаях, в отличие от инерциальной
ориентации, вращение опорной системы координат де-
лает возможным приведение системы координат Е к си-
стеме I при управлении только по двум сигналам. Та-
кая возможность выполнения ориентации при непол-
ной информации от датчиков углового положения вы-
звана изменением положения равновесия при наличии

5'3] ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ
209
вращения. На этот факт указывалось в ряде работ [42,
451 без исследования возможных типов коррекции и без до-
казательства устойчивости процесса приведения в целом.
Рассмотрим случай коррекции по двум сигналам QKi
н Q,,2	> 0, fe2 > 0, /г3 = 0). В этом случае производ-
ная от функции Ляпунова отрицательна везде, кроме
области Xi = 7.2 — О- Нужно выяснить, содержит ли мно-
жество Z] == 7.2 = 0 целые траектории, удовлетворяющие
уравнениям (5.24) при заданной коррекции. Полагая в
'.равнениях (5.24) величины QK; = 0, получаем
io = O, ?v3=0, Xj = ZoCOq, Z2= —/.[бу. (5.25)
Очевидно, что для случая 7ц =	= 0 этим уравне-
ниям удовлетворяет траектория (/) = 7.о, Л3(/)=7.°.
Отсюда следует, что при коррекции по двум сигна-
лам Qki и Йь-2 [типа (5.6) или (5,7)] имеются целые
траектории, на которых производная от функции Ляпу-
нова обращается в нуль, т. е. условия асимптотической
устойчивости не выполняются и, следовательно, выпол-
нение ориентации с использованием таких двух сигна-
лов невозможно.
Пусть теперь коррекция выполняется по следующей
паре сигналов QKi и Qh-3 (&i > 0, k3 > 0, /г2 = 0). Иссле-
дуем. могут ли при такого рода коррекции существо-
вать решения, на которых QKI и йк3 обращаются в нуль,
когда какие-нибудь другие координаты отличны от нуля.
Положив йп-^0, получим соотношения (5.25), кото-
рые, очевидно, могут удовлетворять условиям ?.i=Z3=0
только при Z2 = 0. Таким образом, множество 7.j =
^/.з = 0 не содержит целых траекторий, кроме ориен-
тированного положения 7,] = 7.2 = 7.3 = 0. Отсюда сле-
дует. что при коррекции по таким двум сигналам воз-
можно выполнение пространственной ориентации.
Аналогично при коррекции по сигналам Q,;2 и Q,;3
> 0, k3 > 0, /г, = 0) на множестве 7.2 = 7.3 = 0 не
содержится целых траекторий, кроме точки 7.! = 7.2 =
" 7-з = 0, т. е. выполнение ориентации с использова-
нием этой пары сигналов также возможно.
Таким образом, ориентация во вращающейся системе
координат может быть осуществлена по двум сигналам
датчиков углового положения, при этом управление

210
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
типа (5.6) или (5.7) обеспечивает устойчивость в це-
лом (как и ранее, это управление нужно доопределить
в точке Хо = 0 так, чтобы оно было отлично от нуля).
При коррекции только по одному сигналу существуют
целые траектории, на которых производная W равна
нулю. Так, при коррекции по Qb! (/г2 —= 0, k} > 0)
имеем для множества Xi = 0 (на котором fiKi обра-
щается в нуль) следующие решения:
Хо (/) — Хо, Хз (0 = Х3.
Аналогичные решения существуют и при коррекции
по сигналу Qb2, т. е. при —	0, fe2 > 0. Для слу-
чая коррекции по сигналу Q13, т. е. при fe, = k2 = 0,
#3 > 0, имеем для множества /,3 = 0 траектории
X] (/) = X® cos со0/ + Х° sin а>0/,
Х2 (0 — Х2 sin io0t — X? sin toot,
удовлетворяющие уравнениям (5.25). Отсюда следует,
что выполнение устойчивой ориентации с использова-
нием одного сигнала датчика углового положения не-
возможно.
III. Рассмотренный выше случай устойчивой коррек-
ции по сигналам Qk3 и QkI (т. е. по Х0Х3 и Х0Х[) инте-
ресно проиллюстрировать исследованием процесса при-
ведения для случая линейной коррекции (5.6). Отметим
сразу же, что аналогичным образом происходит про-
цесс коррекции и по сигналам й,.з и Q. 2 (Х0Х3. Х0Х2).
Пусть коэффициенты коррекции k, равны и ориента-
ция выполняется при таком управлении:
QKI — ZzXpX], Qki = — &ХдХ3.
В этом случае уравнения (5.24) примут следующий вид:
2Х0 = k' о ГХ? + Хз) = feXo (1 - Хо - Х1), )
2Х3 = -^ХоГХАз-W,	!
I (5.26)
2Xj = — feXo (Х0Х, + Х2Х3) + 2и0Х2.	|
2Х2 — 2a0Xi 	I
Эти уравнения описывают процесс приведения базиса Е
к базису I при коррекции по двум сигналам; точное ре-

> ,J ЗАДХЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 211
шение этих уравнений получить не удается. В связи с
мим приведем приближенное исследование уравнений
(3.26). Движение, описываемое (5.26), можно разбить
на три участка, определяемых начальными условиями,
л следовательно, и областью изменений величин А,.
1. Пусть начальные рассогласования и коэффициент
коррекции k таковы, что выполняется условие Qhl,^>a»o
всюду, кроме тех положений, где м и а3 являются ма-
лыми величинами. (Это условие эквивалентно требо-
ванию ы0 k.) Рассмотрим следующее движение, близ-
кое к (5.26) и отличающееся от него малыми членами
ио- которыми согласно сделанному предположению
можно пренебречь:
2Ао-— kXo (1 — %о — ^2),
2?.;= - 6л0(лД3 — АД,),
2Z[ = k%o (Aj/-o А2Л3),
2A, = 0.
(5.27)
Pin уравнения интегрируются; с учетом того, чтоА2 = А;>
(Х — начальные значения компонент кватерниона), име-
ем из первого травления (5.27)
Полученного решения достаточно, чтобы проанали-
зировать характер движения. Поскольку Aj + А3= 1 —
— аз — /Л то
ДИР -Нб (0 = [« + «1X

212
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ 5
Из э^ого равенства следует, что при больших значе-
ниях t
М(О + Г(/)	1-« -а[.-«Р
(лу)2 + (л3°)2
т. е. сходимость процесса достаточно быстрая и опре-
деляется выбором коэффициента коррекции k и на-
чальных условий л° < 1.
Очевидно, что соотношение (5.28) описывает про-
цесс приведения оси е2 к оси /2. Отметим, что близость
/.2 к единице означает, что Zq мало и положение тела
близко к точке Z° = 0; этот случай следует рассматри-
вать особо.
Если представить компоненты кватерниона в виде
"О'	"О1
Zu^cosy, /.z = YiSin-g (/ = 1,2,3),
где у( — направляющие косинусы вектора конечного по-
ворота, то из соотношения + следует, что
у( + у|-*0 и, Следовательно, у)—> 1. Это означает, что
в процессе приведения оси е2 к оси /2 угол поворота $(t)
(угол эйлерова плоского вращения) уменьшается от на-
чального значения ф0, так что
 <40	• Д о
Sin—у°,
где у° — начальное значение соответствующего коси-
нуса вектора конечного поворота. При таком положении
система координат Е оказывается повернутой от ориен-
тированного положения вокруг оси е2 на угол &(/). На
этом заканчивается первый, относительно быстрый этап
приведения, заключающийся в совмещении оси е2
с осью /2.
2. При дальнейшем движении оси е2 и /2 останутся
близкими, т. е. движение будет представлять собой вра-
щение системы координат Е вокруг оси z2, в результате
которого должно произойти совмещение систем Е и I,
т. е. величина $(/) должна убывать до нуля. Для при-
ближенного исследования второго этапа движения, ко-

$м ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 213
юрым является вращение вокруг оси егЦг), положим
в уравнениях (5.27) производные ZI = X3 = 0, так как
величины /..(() п /.з(/) приводятся в результате кор-
рекции к малым величинам, какими они и остаются на
протяжении всего последующего движения. Из этого
хсловия следует, что выполнимы приближенные равен-
ства
поскольку /.о и /,з являются малыми величинами, квад-
ратами которых можно пренебречь. Подставляя полу-
ченное значение м в четвертое уравнение (5.27), имеем
откуда следует решение
Z2(/) = ^e - k	(5.30)
описывающее разворот базиса Е вокруг оси i2 к ориен-
тированному положению (здесь — начальное значе-
ние на втором этапе движения, т. е. конечное значение
fr \
для первого этапа, равное y^sin-g-1.
Интересно отметить, что величина коэффициента
коррекции k здесь оказывает обратное влияние на ско-
рость сходимости процесса: скорость уменьшается по
мере роста коэффициента k (сравнительно с первым
Э1НП0М движения, где скорость приведения оси возра-
стает с ростом коэффициента k).
Предложим следующий метод ускорения коррекции:
поскольку из-за наличия скорости соо координаты Zi и
. оказываются «связанными», а в рассматриваемом
случае коррекция выполняется по сигналу ?.i (QK-i —
= /e?.0/.i), то можно ввести так называемую перекрест-
ную коррекцию в таком виде:
-ф:2 ------
(5.31)

214
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
Н'Л. 5
Оставляя в стороне вопрос исследования сходимо-
сти процесса коррекции на этапе совмещения оси е2
с осью i2 (такое совмещение выполняется), рассмотрим
только вращение вокруг оси е2, т. е. движение по ко-
ординате 7.2. Из второго и третьего уравнений (5.24)
при выбранной коррекции для 7«1=7.3 = 0 имеем с уче-
том первых порядков малости величин 7.[ и /.3 соотно-
шение для компоненты 7.i в виде, аналогичном (5.29).
С учетом этого четвертое уравнение (5.2-1) примет сле-
дующий вид:
(Т-о + 2<ои) <ои д
Принимая во внимание, что Zq ~ 1 — 7.1,
следующее решение найденного уравнения:
получим
i/z + 2<jj)i coj
Аг (/) — 7-2
h [W
h + 2w0 2'
2g\(/i + 2(0q)
k
(5.32)
Отсюда видно, что сходимость процесса может быть су-
щественно ускорена введением перекрестной коррекции.
3. После того как компонента 7.2(7) станет малой,
приближенные решения (5.28), (5.30) и (5.32) теряюг
силу. Последний, третий этап движения вблизи положе-
ния равновесия при малых значениях /.2 и А3 описы-
вают линеаризованные уравнения (5.26), в которых не
учитываются члены второго порядка малости относи-
тельно Zi, 7.2, 7-з (7-о ~ 1):
2А3 — — М3,
27-1 = —	+ 2(О07,2,
2А2 =» — 2о)07. ].
(5.33)
Эти уравнения могут быть использованы при анализе
точности процесса приведения. Уравнения (5.33) пока-
зывают, что канал 7.3 независим от каналов 7И и 7.2, свя-
занных между собой из-за наличия скорости вращения
соо- Характеристическое уравнение второго и третьего

s-'i] ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 215
равнений системы (5.33) будет
Р~ + ~2 Р + “о ~ О
I имеет корни
k п f k- ,
±]/ -)б - “о *
При очень малых величинах <о0 (сравнительно с k)
длительность процесса сходимости велика. Для ускоре-
ния процесса можно ввести перекрестную коррекцию
<5.31); в этом случае третье уравнение (5.33) изме-
лится на следующее:
2Z.9== —	— 2 су/. i.
Характеристическое уравнение примет вид
р2 + у Р + % (Wo + у) “ О
и будет иметь корни
Р1,2 = -у±]/ -у - (too + Т) .
Отсюда видно, что выбором коэффициента перекрестной
коррекции h скорость сходимости может быть увеличена.
В заключение рассмотрим поведение системы в осо-
юй точке 7.°	1, в которой, как следует из решения
(5.28), сходимость процесса должна отсутствовать. Зна-
>'иию /.2=1 соответствует такое положение, когда оси
У. и /2 систем координат Ей/ совпадают, а оси и ег
1'.'Впадают с осями -—р и —<з, т. е. системы координат
f и I развернуты на 180°. Заметим, что точные урав-
нения движения (5.26) допускают частное решение
Д=1, /.о = у = л3 — 0, и указанное положение яв-
ляется положением равновесия; в этом положении кор-
ректирующие сигналы QhI и Ql3 обращаются в нуль.
Пети доопределить управление в этой точке так, чтобы
'но не исчезало, то такое положение согласно уравне-
ниям (5.24) уже не будет положением равновесия.
Для исследования вблизи этой точки положим в урав-
нениях (5.24) /,2 лэ 1 и будем считать величины а0, 7.j
и /.•< малыми. В этом случае получим следующую

216
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
систему уравнений (напомним, что Qk2s=0):
2Х0 — — X]QK1 — X3QK3)
2Xj = ЛойК1 + QK3 + 2w0,
2X2 = X3.QK1 X[Qk3 2X1(0q,
2X3 = X0QK3-QJ;1.
Из этих уравнений видно, что, несмотря на малость
величин Хо, /-и Хз, скорость движения по координатам
Хз и /.! определяется в основном скоростями коррекции
ЙК1 и Qb3 соответственно. В том же случае, когда ско-
рости коррекции заданы в виде (5.6) и обращаются в
нуль в точке Хо — '/,} = Хз = 0, движение в малой
окрестности этой точки описывают приближенные урав-
нения
2Х0 = О,
2Хз = /гХ0Х,,
2X ।— &Х3Х3 2соо,
2Хо — — 2сооЛ I,
(5.34)
получаемые из (5.26) с учетом членов до третьего по-
рядка малости относительно величин Хо, Xi, Хз.
Можно видеть, что уравнения (5.34) описывают дви-
жение консервативной системы, т. е. величины Xi изме-
няются по гармоническому закону с частотой
2
=== ------
4
где Хо — начальное значение координаты Х3. Однако
не во всех случаях величины X, в процессе движения
остаются малыми. Поскольку \ход траектории от точки
Х2 = 1 в большей степени характеризуется изменением
координаты Х2(/), приведем решение системы (5.34) для
этой координаты:
I 9	j
---7— + <06 COS V/
X; (/) = Х>---------------h
+ Х3 —(1 — cos v/) — Х? — sin vt.
v

5 ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 217
г)то решение показывает, что координата л2(0 оста-
k’^:	2
и гея волизи единицы только при ------------> 0‘ при
малых же коэффициентах наличие угловой скорости вра-
щения <во приводит к сравнительно быстрому уходу си-
ноды из этой точки.
IV. Рассмотрим вопрос устойчивости управления,
когда управляющие сигналы коррекции задаются в
функции направляющих косинусов. Будем искать функ-
цию Ляпунова в виде (5.10) при управлении, осуществ-
ляемом по направляющим косинусам осей Ц и i2 и
имеющем вид (5.9). Производная от функции Ляпунова,
составленная в соответствии с уравнениями движения
(5.24), при данном управлении будет равна
— — W = k\ (а -р 6) Zo^i -р k\ (Р — у) ХоХз -р k2 (а -р у) ЛсЛг -р
+ ki(р — б) ZiХз -р ki (а -р Р) 7.У-3 ± Уз (б — у)<1’.’ +
+ kx [(у — а — р — б) + k2 (а + Р + у — 6) +
± /г3(б — у + а + р)]	— 2а>0 (б — у) ^2. (5.35)
Положим б = у и потребуем знакоопределенности
полеченной квадратичной формы. Для этого необхо-
димо прежде всего, чтобы выполнялись условия
kt >0	(t=l, 2,3), р>у (Р>б).
Введем обозначение
d = а -р b — (k2 — kx ± /г3) (а + Р) (5.36)
к представим производную (5.35) в таком виде:
2	=	”Р (Р — у) ^2^3 ~Р 1 ХзЛз] -р
-р {k2 (а -р у) Л0Л2 -р k2 (р — б) лДз -р йЛоУЛг^з] ~Р
-р &з (а -р Р) W-з'
Условия знакоопределенности двух квадратичных
4 орм (\словно заключены в скобки) в приведенном вы-
ражении бхдут:
4/г, (а + у) (Р — у) а',	4/г] (а + у) (Р — у) > Ь2.

218
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕР! 1110110 6
|ГЛ. о
Эти же условия можно записать и в таком виде:
— 2^ /(а + у) (р — у)< a ^2k{ /(а + у) (р — у),
— 2k-> /(а + у) (Р — у)< b ‘С 2/г2 /(а + у) (Р — у).
Эти неравенства выполняются тогда и только тогда,
когда прямая (5.36) в плоскости параметров а, b пере-
секает прямоугольник со сторонами | (а-у у) (В — у)
и /г21/(а + у)(р~ у), что имеет место только тогда,
когда
— 2 (/г, + /г2) /(а + у) (Р — у)< d<
< 2 (&[ + /г2) /(а + у) (р — у).
Полученное выражение можно разбить на два неравен-
ства:
/г2(/а + у + /р-у)2 — М/а + У- /Р~ у)2 ±
± /г3(а + Р)>0,
, г------ г----------v / /------------ г-----------} (5.37)
(/а + у + /р — у)" — /г2 (/а + у — /р — у)' + |
+ /г3 (а + Р) > 0. ]
Чтобы выполнялись неравенства (5.37), положим
а + У = Р — У-
Рассмотрим случай верхнего знака. Первое неравен-
ство (5.37) удовлетворяется всегда, второе приводится
к такому:
/г1	=	(5.38)
1	5 4 (а + у) 2	v '
Для нижнего знака имеем всегда выполненное вто-
рое неравенство (5.37) и первое в таком виде;
/ V <	(5.39)
-	5 4 (а + у) 2	v '
Очевидно, что выбором коэффициентов коррекции
указанные неравенства могут быть удовлетворены, т. е.
производная (5.35) от функции Ляпунова будет отрица-
тельно определена и процесс коррекции устойчив асим-
птотически.

$ -,3’ ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ
219
Как видно из приведенного доказательства, наличие
вращения опорной системы координат I приводит к тому,
чго появляются дополнительные условия на параметры
р, у и д. за счет чего возникают условия (5.38) и
(5.39). Случаю (5.38) соответствует такая коррекция,
кзгда в управлении используются два направляющих
косинуса оси i2; таким образом, этот случай определяет
процесс совмещения оси е2 с осью i2. Аналогичное усло-
ьпе (5.39) определяет процесс совмещения осей е-; и
о. По третьему каналу в обоих случаях используется
сигнал, определяемый третьим направляющим коснну-
ып! (5.9).
Из приведенного доказательства сразу же следует,
ч> при использовании в управлении двух направляю-
 их косинусов оси i2 величина коэффициента коррек-
.'Лн k2 может быть положена равной нулю. При этом
охраняются все условия знакоопределенности функции
Ляпунова (везде) и ее производной всюду, кроме поло-
жений. соответствующих совпадению осей е2 и i2. Од-
.• :ко, как было показано ранее, эти положения не яв-
нются целой траекторией уравнений движения (5.24),
куда следует, что возможно выполнение трехосной
тщентации во вращающейся системе координат при кор-
, .кипи по направляющим косинусам одной оси i2. Ана-
логично рассмотрение условий (5.39) указывает на то.
чго возможно приведение системы Е к опорной при кор-
ги-инн по направляющим косинусам оси Ц.
Чтобы пояснить характер ограничений на коэффи-
Д- -нты коррекции (5.38) и (5.39), рассмотрим случай,
да корректирующие сигналы являются нелинейной
Анкпией направляющих косинусов. Будем исследовать
е^чай коррекции по двум сигналам (направляющим
к ’синусам) осн i2 в связанных осях:
QKi = — Q sign (ZqZj — ?.А3), 1
e„__c,sien(^.j+xX>J ;
т. е. будем рассматривать случай релейной функции
У ' изления.
В качестве функции Ляпунова выберем функцию,
ицределяему ю направляющим косинусом оси i2 с

220
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
осью е2:
Ее производная в силу уравнений (5.24) при функциях
коррекции (5.40) будет равна
- W = Q, | А0А, ~ А2А3 I + Й31 Мз + V-з I + 2®0А,А2.
Рассмотрим область, где полученное выражение об-
ращается в нуль или отрицательно, т. е. область, где
движение не свертывается. Очевидно, что для этого не-
обходимо выполнение таких неравенств:
8[ А| А2 | Ад А ।   А2А3 I
е3А [ Х2 1 Ад А 3 + А । А2 |
при А,А2^0,
где
о 2юо \ о
е' = ~>0.
е — 2ю°
2— Йо
0.
(5.41)
Возводя неравенства в квадрат, получаем
в|А AgA[ — 2AgAiA2A3 -j- A0A3,
83A1A2 AqA,3 + 2A.0AA2A3 + AlAg.
Чтобы существовали области, где производная от
функции Ляпунова положительна, необходимо выполне-
ние обоих неравенств. Обратно: если показать, что хотя
бы одно неравенство не выполняется во всей области
движения, то производная будет отрицательно опреде-
ленной функцией. Рассмотрим второе неравенство как
квадратный трехчлен относительно АдА3
(АоАз)'2 + 2 (АоА3) (AtA2) + (1 - 83) (А,А2)’’ < 0, (5.42)
имеющий корни
(АдА3)1.2 = (—А[А„2) ± е3 (А,А2) = — (1 -+- е3) (A[A2).
Ввиду того, что ?и?.2	0, неравенство (5.42) при усло-
вии е3 <. 1 выполняется в интервале
(^0^3)1 А0А3 (АоА3)2
или же, согласно квадратному уравнению (5.42),
( AjA2) (1	83) АдА3	(— AjA2) (1 + 83).

ЗАЛ\ЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 221
Для оценки величины Хо?.[/.2^з умножим это неравен-
ство на (—2.[А2):
/4Л2 (1 — 63)	— А-сЛА[А2 (1 + ез).
Отсюда следует, что
— 2.0А1А2А3 = v7.i2.2i	(5.43)
где 1 — ез Щ' v d 1 + ез-
Подставляя полученную оценку во второе неравен-
ство (5.41), имеем
(2v-eD^.2 + *otf + ^3<O.	(5.44)
Очевидно, что вследствие соотношения (5.43) сомно-
житель
2v-e2>2(l - e3)-ef	(5.45)
выбором величин е, и ез может быть всегда сделан по-
ложительным; при этом строгое неравенство (5.44) не-
выполнимо. Равенство (5.44) возможно только в сле-
дующих случаях:
а) - 0, 2.2 = 0; о) А[ = 0, hj0; в) А2 —- 0, Аз 0.
Для первого из этих случаев производная от вы-
бранной функции Ляпунова
-I^ = QS| А0А3|
обращается в нуль только при 7.3 = 0 либо при ?.о = 0.
Точно так же во втором и в третьем случаях производ-
ная от функции Ляпунова обращается в нуль на мно-
жестве значений 7.1 = 0, 7.2 = 0, 7.3 = 0 и на множестве
7.п = 0. /.о = 0 или 2.0 = 0, 2.1 = 0, 7.3 = 0.
Таким образом, доказано, что производная от функ-
ции Ляпунова отрицательна везде, кроме двух поло-
жений: 1) /.) — /.2 = /,3 = 0 — это положение соответ-
ствует выполнению требуемой ориентации; 2) Ао = 0 и
одна из других компонент также равна нулю — это,
как оiменялось ранее, неустойчивое положение равно-
весия Заметим, что последнее следует из того, что про-
изводная
(Ао + Ai>) = — (А.! + Аз) 0,

222
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
т. е. положительно определенная для рассматриваемых
компонент случая а).
Интересно отметить смысл ограничений на величины
61 и е3: необходимо, чтобы выполнялись условия ei < 1
и 63 < 1 и несколько более сильное условие (5.45). Та-
ким образом, величины скоростей коррекции Q3
должны быть минимум в два раза больше скорости вра-
щения (о0, что, как легко видеть, является необходимым
условием приведения оси е2 к оси z2.
V. Рассмотренные в этом параграфе вопросы ориен-
тации во вращающейся системе координат относились
к случаю, когда вращение исходного базиса I выполня-
лось вокруг одной его осп (в данном случае вокруг
оси z3), Существенной особенностью ориентации во вра-
щающейся системе координат является показанная в
этом параграфе возможность выполнения ориентации
при неполной информации от датчиков углового поло-
жения. Последнее вызвано тем, что наличие вращения
существенно изменяет возможные положения равно-
весия.
Рассмотрим теперь случай ориентации твердого тела
в опорном базисе I, совершающем вращение таким об-
разом, что вектор угловой скорости со3 имеет в базисе I
произвольное положение.
На практике такой случай может соответствовать,
например, ориентации в системе координат, повернутой
относительно орбитальной системы на произвольные
(программные) углы. В этом случае вращение опорной
системы координат происходит с той же орбитальной
угловой скоростью Йо, однако эта скорость может иметь
произвольное заданное направление в базисе I.
Будем считать, что вектор ®о задан тремя проек-
циями в базисе I, т, е.
“о = гоо/= “,/, +о)2г2 + o)3z3.	(5.46) |
Система координат твердого тела Е совмещается с опор- '
ной путем задания угловой скорости коррекции Qi; и,
кроме того, дополнительной скорости св*. При этом до-
полнительная скорость св* должна быть такой, чтобы
при совпадении систем координат Е и 1 скорость св* сов-
пала с сво, т. е. чтобы положение ориентации было по-
ложением равновесия. Угловые скорости коррекции йк

ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 223
л (.»' задаются в связанной системе координат компо-
Hc..i а ми
= QE£ = *2К jei 4~ Q-iei + Пкзвз,
со = <л>£ = colei 4- (O262 4- coj6
(5.47)
Вс.юрная сумма этих скоростей определяет абсолют-
н'. угловую скорость движения базиса Е. Уравнениями
о . осительного движения базисов Е и I будут уравне-
но . (5.23) при значении соо/, определяемом по (5.46),
и (>£ = Qk£ 4- со).- из соотношений (5.47).
.-Ии уравнения, определяющие изменения компонент
к;...терниона А, запишем в скалярном виде:
210=-?4QK1-WK2-43.QK3t
2/., = л0(>к1 - 7.3 (Qk2 + 2(0,) 4- Ъ (Qk! + 2(03),
(5.48
27. > = 7.r,QK2 — Лj (2к3 4~ 2(03) 4- 7-з (QK1 4~ 2(oJ,
2/.3 = 7,j<2k3 — 7.2 (QK1 4- 2(0]) 4- /., (Йк2 4- 2(О2).
Положения равновесия, возникающие в результате окон-
'['"ля процесса коррекции, будут описываться уравне-
ния ни
7'0= О,
X] = Х2(О3 — 7.3со2,
Х2= 7,3(О] — 7.] (о3,
(5.49)
7.3— 7,](О2 — 7.3(О],
получаемыми из (5.48) при йщ — 0. Уравнения (5.49)
Дж; постоянных cot- (i = 1, 2, 3) имеют следующие ре-
шения, которые описывают прецессионное вращение:
, 0 СО] + (со) + Ю3) cos со/
:Л1------------------------------+
+ 7.2 [-^ sin (0/ 4- -М- (1 — cos (0/)] —
— 7.3	(1 ~ cos	s*n *
(5.50)

224
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
А.2 (0 = л? [— (1 — cos at) — sin со/j +
2 « ( 2 i 9\	,
0 со2 + (со, + сж) cos со/
+	--------------h
+ А.з sin tiit + -^ffL (1 — cos co/)j ,
Лз (/) = Xi [ ~^>3- (1 — cos tiit) + sin co/j +
+ 7-2 [~T^ (1 “ COS tilt) — sin tilt J +
0 (£>3 + (co^ + (£>2) cos co/1
+ ^3----------------,
где и2 = co, + co| + ©?. Очевидно, что положение ориен-
тации 7.1 = 7.2 = 7v3 = 0 является положением равнове-
сия системы (5.48).
Для исследования возможности выполнения ориента-
ции будем искать функцию Ляпунова в виде (5.4); тогда
ее производная, составленная в соответствии с уравне-
ниями (5.48), будет иметь вид (5.5). Отсюда сразу же
следует, что управление по компонентам кватерниона
линейного типа (5.6) и произвольное нелинейное управ-
ление (5.7), удовлетворяющее условиям (5.8), обеспе-
чивают асимптотическую сходимость процесса кор-
рекции.
Рассмотрим вопрос о возможности выполнения ориен-
тации при неполной информации от датчиков. Оставим
пока в стороне вопрос о возможности реализации та-
кого случая: поскольку датчик углового положения свя-
зан с направлением визирования, то не при любом его
положении возможно получение сигналов углового рас-
согласования. Так, при орбитальной ориентации датчик
связан с направлением на планету и может работать
только в том случае, если его ось визирования нахо-
дится в определенной области относительно направле-
ния на планету. Пока предположим абстрактно, что
при любом положении опорного базиса возможно по-
лучение сигналов углового рассогласования. Рассмотрим
два случая: 1) все компоненты угловой скорости вра-
щения отличны от нуля; 2) две компоненты йо не равны

- -J з| ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 225
нулю (случай одной не равной нулю компоненты сщ рас-
сматривался ранее).
1) о>1 =# 0, (02 ¥= 0, о)з =# 0. В этом случае выполне-
ние ориентации в принципе возможно только по од-
ному любому сигналу от датчика углового положения.
Действительно, пусть существует коррекция только по
одному каналу, например QK). В этом случае производ-
ная от функции Ляпунова (5.5) будет отрицательна
везде, кроме множества /.] е= 0 (предполагаем, что урав-
нение доопределено в точке Хо = 0 так, что оно не об-
ращается в нуль).
Решения (5.50) показывают, что множеству Xi е= 0
может удовлетворить только одно положение равнове-
сия X? = Х° = Хз = 0, т. е. ориентированное положение.
Эти же решения поясняют и физический смысл такой
ориентации: если измерять величину ХД/), то достаточ-
но трех измерений в различные моменты времени, чтобы
по ним определить величины X?, Х° и Х° (хотя эти же
значения могут быть определены и по одновременному
измерению трех величин Хц 7.2 и Х3).
На практике реализация этого случая невозможна
ввиду того, что не существует датчиков углового поло-
жения для такого случая ориентации. Так, при орби-
тальной ориентации рассматриваемому случаю соот-
ветствует программное положение опорного базиса I
01 носительно орбитальных осей. При этом физически на-
правлениям опорного базиса ничего не соответствует,
т. е. они не направлены на планету, с которой связана
орбита, поэтому построение сигналов управления невоз-
можно.
2) со] = 0, (Оз =/= 0, соз =# 0. Совершенно ясно, что
> равнения симметричны и случай равенства нулю
дугих компонент сводится к данному, В этом случае
выполнение ориентации возможно при использовании
юлько одного сигнала от датчика углового положения
по каналу Qk2 или Пкз. Соответственно этому возможно
выполнение ориентации по любой паре сигналов и не-
возможна ориентация при одном сигнале QK,.
Для доказательства обратимся к производной от
функции Ляпунова (5.5), которая будет отрицательна
везде, кроме некоторого множества, определяемого
8 В, Н. Бранен, II П, Шмыглеваний

226
'ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
используемым сигналом управления. Так, при коррекции
по сигналу ЙК2 нужно проверить, не содержит ли мно-
жество /,2 = 0 целых траекторий. Из соотношений (5.50)
при o)i = 0 можно видеть, что /.2 = 0 возможно тогда
п только тогда, когда м —	— 0; отсюда следует,
что при коррекции по сигналу ЙК2 происходит процесс
устойчивой ориентации. Аналогичный случай имеет ме-
сто при коррекции по сигналу QK3. Однако при ориен-
тации по сигналу ЙК1 множество /.1^0 в соответствии
с решениями (5.50) может, кроме ориентированного по-
ложения, содержать еще и такое решение:
Х_>О)з — ^1-3(02 = 0.
Отсюда следует, что могут быть выбраны /.5 и не
равные нулю, такие, что ;.2(/)=^=0 и 7.3(/)=£0, хотя
М(/) = 0.
На практике такому случаю может отвечать, напри-
мер, ориентация в программно повернутой относительно
орбитальных осей системе координат /, если поворот
выполнен, например, в плоскости местного горизонта.
В этом случае угловая скорость орбитального вращения
йо проектируется на две оси базиса I. С другой сто-
роны, поскольку одна ось базиса остается связанной
с направлением на планету, возможно измерение откло-
нения связанного базиса Е относительно опорного. В со-
ответствии с доказанным, в этом случае возможно вы-
полнение ориентации с использованием одного сигнала
от датчика углового положения (т. е. сигнала по ка-
налу тангажа или крена, но не сигнала по каналу
курса). Аналитическое исследование процесса приведе-
ния в данном случае сложно и возможно только в об-
ласти малых отклонений от положения ориентации.
§ 5.4.	ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ
Условия кинематической устойчивости являются не-
обходимыми условиями и для динамической устойчиво-
сти. Дополнительным условием динамической устойчи-
вости является, в частности, наличие в управлении дем-
пфирующего члена, содержащего угловую скорость, при
определенной зависимости управления от «кинематиче-
ской» функции \правления.

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ
227
Рассмотрим пример динамического управления, когда
справляющая функция формируется по линейному за-
Пусть движение твердого тела описывается ди-
намю ескимп уравнениями Эйлера
J| ей, + (J2 — J3) CiMCip — М],
JjCOj -j- (J ; — J]) 0).0). ------------ M2,
J фу “p (J J — J2) Ci>j Ci>2 = М3,
(5.51)
где J], J2, J3 — главные центральные моменты инерции
тела; М|, М2, Мз — внешние (приложенные к телу)
управляющие моменты.
Уравнения (5.51) совместно с кинематическими урав-
нениями, например, (5.3), для случая инерциальной
ориентации полностью описывают движение управляе-
мого тела. Управляющие моменты Мг (1 = 1, 2, 3) сле-
Л'ег задать в функции угловых скоростей at тела и ки-
пе'.’одических параметров, определяющих отклонение or
положения ориентации.
Рассмотрим случай, когда кинематическое управле-
ние задается в виде (5.6). Зададим управление такой
линейной функцией:
М, = — hial —
(5.52)
Для исследования устойчивости такого управления бу-
дем искать функцию Ляпунова в виде
Т= Г + W,
где П —«кинематическая» функция (5.4), а член V опре-
деляется «динамикой» движения тела
Г — ту (J j£Oj + J2a| + J
(5.53)
и равен кинетической энергии его движения. Очевидно,
что функция Т положительно определенная и имеет один
нуль в ориентированном положении относительно инер-
циального базиса:
<о, sO, sO, Zo= 1	(z—1,2,3).	(5.54)

228
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
Производная от этой функции, составленная в силу
уравнений (5.51) и (5.3), будет равна
3	3
Т = 2 фоу-М, + 2 X0Zitt)f.
i=i	t=i
Подставляя управление (5.52), получаем
3	3
т = - 2	- 2	- Jf).
i=i	<=i
В простейшем случае можно положить kt — Jt- и полу-
чить отрицательно определенную функцию Т, обращаю-
щуюся в нуль только в положении требуемой ориента-
ции. Отсюда следует, что управление типа (5.52) может
обеспечить выполнение ориентации.
Ориентация твердого тела может быть выполнена
при более общих функциях управления. В частности,
рассмотрим управление типа
М; = - Л (о>1 - ПК1) (/=1,2,3),	(5.55)
где функции Ft принадлежат к классу (5.8), а аргумен-
том функции управления является разность угловой
скорости движения твердого тела и «кинематической»
скорости приведения, формируемой по сигналам от дат-
чиков углового положения. Управление (5.55) также осу-
ществляет устойчивую ориентацию твердого тела.
Рассмотрим выражения (5.53) для кинетической
энергии вращения твердого тела. Производная V’, со-
ставленная в соответствии с уравнениями (5.51) и при
управлении (5.55), будет равна
з
V = -- 2	(со,- — QKi).
i=i
Очевидно, что эта функция отрицательна везде при
| и,-1 > | Ом | и положительна при | а, | < | QKi |. Отсюда
следует, что управление (5.55) при больших угловых
скоростях осуществляет уменьшение кинетической энер-
гии тела до величины, соответствующей
® 1 =	,
а при малых скоростях увеличивает ее.

3
ПРИМЕРЫ
229
Таким образом, управление (5.55) стремится при-
вести движение к вращению с угловыми скоростями Икц
При достаточно жестком управлении такое движение
может практически совпадать с исследованными слу-
чаями ориентации. Тем не менее управление (5.55) не
в, мгда осуществляет асимптотическую сходимость про-
цесса к нулю; вид функции определяет характер по-
седения системы в нуле. Так, нелинейные функции
'управления могут вызывать автоколебания системы
около ориентированного положения.
Изучение движения твердого тела при различных
законах управления представляет собой отдельную и
весьма обширную область исследований, и мы ограни-
чимся рассмотренным примером.
§ 5.5. ПРИМЕРЫ
Будем предполагать, что управление движением
ичрдого тела формируется с использованием сигнала
углового положения таким образом, чтобы обеспечить
устойчивую ориентацию в положении равновесия. При
этом управление может задаваться, например, в одной
из описанных в предыдущих параграфах форм. Важным
является тот факт, что для ориентации в некоторой за-
данной системе координат в качестве сигналов углового
положения используются величины компонент кватер-
шиша. задающего переход от заданной системы коор-
динат к связанной. В дальнейшем такой кватернион
оудеу[ называть кватернионом рассогласования.
Рассмотрим различные случаи ориентации в разных
систеугах координат, при которых определение кватер-
ниона рассогласования производится различным обра-
зом. Важным приложением этого является построение
инерциальных систем управления с использованием
принципа бескардановых систем.
1. Пусть положение опорной инерциальной системы
координат определяется путем интегрирования кинема-
тических уравнений. При этом угловая скорость изме-
ряется с помощью датчиков угловой скорости, жестко
установленных в связанных осях. Не уменьшая общно-
сти. будем считать, что оси чувствительности датчиков
угловой скорости расположены по осям связанного

230
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
базиса Е. В этом случае датчики измеряют компоненты
вектора угловой скорости ю£, и для интегрирования
должно быть использовано кинематическое уравнение
(3.11).
Пусть интегрирование начинается в момент /0 и в
качестве начального кватерниона используется кватер-
нион (1, 0, 0, 0). В этом случае получаемый в резуль-
тате интегрирования кватернион A(/j будет описывать
движение базиса Е относительно инерциального базиса I
при начальном условии I = E(t0). Очевидно, что
если А(0 использовать в качестве кватерниона рассогла-
сования для формирования сигнала углового управления
[аналогично (5.6)], то при таком управлении ориента-
ция будет выполняться таким образом, чтобы совме-
щать оси тела с соответствующими осями исходного ба-
зиса 7 = £(/0). Блок-схема подобной системы управле-
ния представлена на рис. 5.4, где приведена замкнутая
Рис. 5.4.
схема контура автоматического управления. В дальней-
шем при рассмотрении подобных схем мы не будем
изображать замкнутый контур управления, предполагая,
что он всегда существует (не будем изображать блоков
«формирование управления» и «объект управления»).
Наша задача заключается в получении кватерниона
рассогласования, что является необходимым условием
ориентации в заданной системе координат.
Рассмотрим теперь задачу ориентации не в базисе
/ = £(/0), а в другом инерциальном базисе, который
обозначим Еп. Пусть переход от базиса I к базису Еп
определяется кватернионом Ап (рис, 5.5). В этом слу-
чае для управления нежно использовать кватернион, за-

Примеры
231
Рис. 5.5.
дирлцнп положение базиса Е относительно базиса Еп,
1. е. кватернион Лр. Очевидно, что выполняется следую-
щее соотношение:
А = Ап°Ар,
о: к<да
Лр=ЛпоА.	(5.56)
При управлении по кватерниону Ар (5.56) базис Е бу-
щ совмещаться с заданным базисом Еп,
Возможен другой способ выполнения ориентации в
г--.нее Еп. Очевидно, что если в момент начала интегри-
рования в качестве начального условия использовать
i.h;< 1 ерпион Ап. то получаемый в результате инте-
и чровання кватернион в соответствии
с теоремой 3.1 будет кватернионом
(о 56), т. е. Ар будет также удовлетво-
ри .> реализуемому кинематическому
\ шшению. Отсюда следует, что при
. о-ом способе получается ориентация
о: юсительно базиса £п-
Пусть, далее, выполняется ориента-
ция относительно базиса I~E(t0) и в
щкоторый момент времени t требуется
осуществить переход к ориентации в базисе Е„. Для
осуществления такого перехода необходимо вместо ква-
терниона А(О использовать для управления кватер-
нион АР(/) (5.56). Такая смена кватерниона управления
вызовет требуемую переориентацию объекта. Таким об-
разом, система управления, в которой выполняется ни-
трирование кинематических уравнений, позволяет по-
учить ориентацию относительно любого инерциального
базиса, причем переход от одного базиса к другому осу-
ществляется выполнением дополнительной операции
умножения (5.56) и использованием результата в каче-
стве кватерниона рассогласования. Блок-схема ориен-
тации такого рода представлена на рис. 5.6.
Переход от ориентации в базисе I к ориентации в
Другом базисе Е можно осуществить и другим спосо-
бом. Пусть в момент переходаЦ кватернион, получаемый
в результате интегрирования кинематических уравне-
нии. равен. А(н). Очевидно, что при интегрирова-
нии уравнении, начиная с момента для выполнения

232
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
ориентации в базисе I=E(t0) необходимо в качестве на-
чального условия взять А(/[). Если же ориентация вы-
полнялась бы относительно базиса £п, то в момент /[
при том же положении базиса £(/[) величина кватер-
ниона была бы равна Ар (/j) = Ап ° А (^) (см. рис. 5.5).
Рис. 5.6.
Отсюда следует, что для перехода в момент ti от ориен-
тации относительно базиса I к ориентации в базисе Еа
можно в этот момент
от А(^) к АпоА(/1).
предыдущему случаю
перейти в блоке интегрирования
При этом можно использовать
блок-схему системы управления,
представленную на рис. 5.4.
II. Рассмотрим задачу ориен-
тации относительно вращающей-
ся системы координат. На рис. 5.7
представлены инерциальный ба-
зис Z, вращающийся относитель-
но него базис I и связанный ба-
зис Е. Очевидно, что аналогично
для ориентации в базисе I необ-
ходимо кватернион рассогласования формировать в сле-
дующем виде:
Ар = М о А,
(5.57)
Кватернион А(/) получается в результате интегрирова-
ния кинематических уравнений на основании измерения
угловой скорости (о£ при соответствующем задании на-
чальных условий. Кватернион М может быть получен
(если он не известен заранее для любого момента вре-
мени) по величине угловой скорости (о0 вращения ба-
зиса I путем интегрирования кинематических уравнений
при нужном выборе начальных условий. При этом мо-
жет быть использована любая форма кинематического

ПРИМЕРЫ
233
уравнения [(3.11) или (3.12)] — выбор можно делать в
'зависимости от того, в каком базисе ©0 выражается наи-
более простым образом. Блок-схема такого типа ориен-
тации представлена на рис. 5.8.
Рис. 5.8.
Такого же рода ориентацию можно получить и дру-
гим образом. Заметим, чго требуемый кватернион Ар
удовлетворяет кинематическому уравнению [см. уравне-
ние (5.23)]
2Л.., = Лр с (0£ —	<= Ар,	(-5.58)
полученному из (5.57) с учетом того, что
2М = (ouz о М = М о о)0/.
Измеряемым вектором угловой скорости является
век юр и£ (имеющий компонентами проекции то на свя-
занные оси); кроме того, вектор вращения и0 неподвиж-
но-!) базиса I может быть задан в проекциях на оси
этого базиса (а не базиса £). В связи с этим можно
предусмотреть блок интегрирования, реализующий урав-
нение (5.58). В этом случае блок-схемой ориентации во
вращающемся базисе может быть схема (см. рис. 5.4)
с указанным блоком интегрирования. Следует отме-
ьиь, что в некоторых случаях более предпочтительной
может оказаться схема, представленная на рис. 5.8, так
юж в этом случае сохраняются непрерывно положения
двух систем координат I и Z и имеется возможность вы-
полнения ориентации в любой из них.
Помимо ориентации непосредственно в базисе I,
приведенная схема позволяет выполнять ориентацию в

234
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
1ГЛ. 3
базисе £п, имеющем относительно I фиксированное за-
данное (программное) положение, характеризуемое ква-
тернионом Ап- Пусть взаимное положение базисов Z, I,
Еа и Е определяется кватернионами М, Ап, Ар и А в
соответствии с рис. 5.9. Очевидно, что для ориентации
относительно базиса £п следует для управления исполь-
зовать кватернион
Ар = АпоМэА.	(5.59)
Блок-схемой такого рода ориентации может служить
схема (см. рис. 5.8), дополненная еще одним блоком
умножения, выполняющим умноже-
1	//	ние кватерниона Ап на кватернион
51 э А-
Поскольку кватернион Ар (5.59)
> удовлетворяет (при постоянном Ап)
/уравнению (5.58), то такого же
I' 1_____* у £ типа ориентация может быть полу-
чена и в блок-схеме на рис. 5.4
1 с' ' при использовании блока интегриро-
вания, реализующего уравнения
(5.58). Для перехода от ориентации в базисе I к ориен-
тации в базисе £п в момент времени Л, необходимо в
интеграторе произвести замену начальных условий:
вместо кватерниона Ap(/j), получаемого в результате
интегрирования, следует записать величину AnoAp(/j).
При этом, как следует из соотношений (5.57) и (5.58),
будет полхчена требуемая величина кватерниона рассог-
ласования (5.59).
III. При исследовании способов реализации ориента-
ции во вращающемся базисе было принято, что полу-
чаемые в результате интегрирования кинематических
уравнений кватернионы А(/) и М(/) пли же кватернион
Ар(/) имеют соответствующим образом выбранные на-
чальные условия, обеспечивающие требуемую ориента-
цию базиса I (и Z). Однако на практике это не всегда
имеет место и базис I, в котором производится ориен-
тация, не совпадает с требуемым базисом Е (вследствие
ухода и ошибок в начальных условиях).
Допустим, что с объектом управления, т. е. с бази-
сом £, связан датчик углового положения, определяю-

ПРИМЕРЫ
235
i!uni ориентацию базиса Е относительно базиса /0- Не
уменьшая общности, будем считать, что датчик измеряет
компоненты кватерниона N(0> определяющего переход
01 базиса /0 к базису Е (рис. 5.10). Пусть рассогласо-
вание базисов 10 и I определяется кватернионом Р. Оче-
видно, что имеется следующая возможность определе-
ния Р по имеющимся кватернио-
нам Ар и N:
р=ХоДр. (5.60)
Движение базиса I относитель-
но инерциального базиса Z за-
дается кватернионом М и проис-
ходит с угловой скоростью о,*;
движение же базиса /0 относи-
тельно базиса Z происходит со
скоростью гои и задается кватер-
i!iio;K)M М„. При этом задача исследования взаимного
лг.жю.иия базисов I и Л> полностью совпадает с рассмот-
pi-Щ’ои в § 5.3 задачей ориентации во вращающейся
системе координат. Действительно, для кватерниона Р
в <'>>)) вот с I впи с рис. 5.10 имеем
Р = М0оМ,
откуда помечаем уравнение относительного движения
2Р; - 2 51. = М > 51 о М + 251 . AL — , Д’ - 1ь в ,.
(5.61)
где в соотттетствии с приведенным выше условием
2?,: j = o)0z ° Ми = Мо о йо/о (
(5.62)
251 =(4оМ
Для приведения базиса I к базису 10 необходимо
ввести дополнителыту ю угловую скорость коррекции QK
движения базиса /. т. е. полная угловая скорость ба-
зиса I должна быть равна
‘А + (О*.
В этом случае уравнение (5.61) перейдет в уравнение
к<>ррек1пр\ емой системы координат
2Р = - о)()Д , Р + Р о « + QK/),	(5.63)

236
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ. 5
аналогичное уравнению (5.23). Соответственно этому
второе уравнение (5.62), определяющее движение вра-
щающегося базиса I относительно инерциального ба-
зиса Z, перейдет в такое уравнение:
2М = М о (о,)/+ Йк/).	(5.64)
Реализацию этого уравнения и следует осуществить
для решения задачи коррекции базиса /. Для формиро-
вания сигнала коррекции можно использовать имею-
щийся (вычисляемый) кватернион (5.60); при этом все
Рис. 5.11.
рассмотренные в § 5,3 способы коррекции обеспечивают
устойчивый процесс приведения базиса I к базису 70-
Блок-схема такого процесса управления с коррекцией
положения базиса I приведена на рис. 5.11. Как видно
из рисунка, эта схема имеет два контура управления:
контур управления положением твердого тела и контур
коррекции, приводящий базис I к требуемому положе-
нию.
В заключение заметим, что датчик углового положе-
ния не обязательно должен иметь линейную характери-
стику в функции компонент кватерниона N и измерять
величину N при любом положении базиса Е. В действи-
тельности при работе контура управления величина рас-

§ 5' примеры	237
согласования Лр будет мала; при малом отклонении ба-
зиса / от базиса 10 и кватернион Р будет близок к еди-
ничному. Для малых отклонений формула (5.60) пере-
ходит в векторную форму сложения малых векторов
угловых рассогласований. Можно показать, что для кор-
рекции допустимо использование достаточно широкого
класса функциональных зависимостей выходных сигна-
лов датчиков углового положения. Однако исследова-
ние этого вопроса достаточно сложно и носит специаль-
ный характер.
Приведенные здесь схемы построения системы управ-
ления могут использоваться, например, для ориентации
космического аппарата в орби-
тальной системе координат при
еп. полете около планеты. В ка-
честве датчиков углового поло-
жения могут служить датчики,
определяющие направление на
и-'ьтр планеты или направление
вектора скорости полета космиче-
ского аппарата.
IV. В большинстве практиче-
ски’; случаев инерциальной ориен-
тации требуется не произвольное
него базиса I, а определенное,
се звездной системой координат (экваториальной, эклип-
тической и т. п.). Обозначим это требуемое положение
системы координат Iq. Очевидно, что для совмещения
б-,тиса / с базисом 10 необходимо начинать интегриро-
вание кинематических уравнений в блоке интегрирования
(см. рис. 5.4) в тот момент, когда базис Е совпадает
с базисом /,).
Однако существует еще одна возможность совмеще-
нии базисов I и /0, которая становится необходимой
вследствие уходов базиса I при интегрировании кине-
матических уравнений, а также при невозможности вы-
ставки базиса I в положение /о- Пусть в базисе Е
установлены звездные датчики, которые позволяют
определять положение базиса Е относительно бази-
са I,. Не конкретизируя типа этих датчиков, будем
^читать, что измеряются компоненты кватерниона N
(рис. 5.12).
положение инерциаль-
связанное, например,

238
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ
[ГЛ 5
Поскольку значение кватерниона А(/) вычислялся
в блоке интегрирования и также является известной ве-
личиной, то имеется возможность вычисления кватер-
ниона Р, характеризующего рассогласование базисов I
и /0, по соотношению (5.60). Ввиду того, что базисы I
и 10 являются инерциальными, кватернион Р останется
постоянным. Введем угловую скорость коррекции S}K,
Рис. 5.13.
которую будем добавлять к скорости о>л на входе в блок
интегрирования, а величину зададим в функции ква-
терниона Р.
Движение базиса Е относительно базиса 10 происхо-
дит с той же угловой скоростью (абсолютной угловой
скоростью движения базиса £), поэтому имеем такое
уравнение изменения N:
2Х = (О/ N = \ : <>/;.
Уравнение, реализуемое в блоке интегрирования с уче-
том коррекции, будет таким:
2АР == (о)/ + Qh/) = АР = Ар о (и£+ йк£) = Ар ° ш£ Д- Qh/ □ Ар.
(5.65)
Отсюда в соответствии с (5.60) получаем следующее

S' ->.j]
ПРИМЕРЫ
239
уравнение, описывающее движение базиса I относи-
тельно базиса 10\
2Р = 2N ° ЛР - 2N о Лр ° Ар ° А„ =
= «/□ Р — Р о (ю,QK/) = — Р о QK/) (5.66)
так как оу/. Р = Р:(и;. Уравнение (5.66) показывает,
что процесс коррекции положения базиса I является
тождественным рассмотренному в § 5.2 случаю ориента-
ции в инерциальной системе координат.
Блок-схема ориентации в корректируемой системе I
представлена на рис. 5.13. Блок интегрирования в дан-
ном случае должен реализовывать уравнения в виде
(5.65). Система содержит также контуры ориентации и
коррекции опорного базиса. Заметим, что особой зада-
чей является формирование величины угловой скорости
коррекции по сигналам звездных датчиков. Сложность
этой задачи заключается в том, что звездные датчики
имеют ограниченную выходную характеристику, их вы-
ходные сигналы характеризуют вектор углового рассо-
гласования в произвольных осях, определяемых распо-
ложением звезд визирования; возможно осуществление
коррекции при неполной и избыточной информации от
датчиков. Этот вопрос также требует специального ис-
следования.
Рассмотренные здесь примеры показывают, что вы-
полнение ориентации различного типа осуществимо в
схемах, использующих две стандартные операции: инте-
грирование кинематических уравнений и умножение ква-
тернионов.

ГЛАВА 6
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
РАЗВОРОТЫ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Задача оптимального пространственного разворота
твердого тела получила практический интерес при ис-
следовании проблем управления космическими аппара-
тами. К настоящему времени имеется ряд работ, по-
священных этому вопросу, в которых решены некоторые
частные случаи. К их числу относятся оптимизация пло-
ского разворота вокруг одной из главных осей инерции
тела и оптимизация управления разворотом быстро вра-
щающегося тела в пространстве [18, 50, 61].
Задача оптимального разворота, на наш взгляд, яв-
ляется одной из самых сложных задач теоретической
механики. Формализм теории оптимального управления
приводит в общем случае либо к линейным дифферен-
циальным уравнениям с переменными коэффициентами,
либо к нелинейным уравнениям, решение которых в об-
щем виде не получено. Тем более далека от завершения
задача построения оптимального управления простран-
ственным разворотом в функции фазовых координат и
скорости, т. е. задача синтеза оптимального управления.
В настоящей главе рассматривается задача оптими-
зации пространственного разворота твердого тела по
быстродействию. В первых четырех параграфах иссле-
дуется задача так называемого кинематического разво-
рота, когда управлением являются величины компонент
угловой скорости твердого тела. Эта задача решается
до конца; при этом показывается, что управление по
кватернионам является близким к оптимальному. Этот
факт дает большие преимущества управлению, которое
строится по компонентам кватерниона рассогласования.
В двух последних параграфах рассматривается за-
дача динамического оптимального разворота в поста-
новке оптимизации разворота по быстродействию и по
расходу рабочего тела, затрачиваемого на разворот.
Дается решение задачи для частного случая управления
твердым телом со сферической симметрией.

§6 1]
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗВОРОТ
241
§ 6.1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗВОРОТ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Под кинематической задачей пространственного раз-
ворота твердого тела будем понимать задачу управле-
ния движением твердого тела, когда управляющей функ-
цией является величина угловой скорости движения
твердого тела. В этом случае уравнениями движения
управляемого объекта (т. е. твердого тела) будут кине-
матические уравнения, в которых компоненты угловой
скорости представляют собой функции управления. Оче-
видно, что такая постановка задачи не учитывает того
факта, что в действительности движение твердого тела
описывается динамическими уравнениями Эйлера (5.51)
и в качестве функции управления выступают величины
моментов, действующих на тело (именно такова поста-
новка задачи динамического разворота твердого тела).
Тем не менее кинематическая задача пространственного
разворота имеет практическое значение. В действитель-
ности система управления пространственной ориента-
цией твердого тела (например, космического аппарата)
построена таким образом, что всегда осуществляется
управление тремя компонентами (проекциями) угловой
скорости тела.
Будем рассматривать положение твердого тела, опре-
деляемого связанным базисом Е. Движение базиса Е
относительно опорного базиса I будем задавать ква-
тернионом А; это движение описывается кинематиче-
ским уравнением (3.11), которое запишем в кватернион-
ной и координатной формах:
2 А = А о о)£,
2Хо == —	— ^зшз>
2Х[ = Zg(O[ -ф /.jOj. — А3ОЙ2,
2i2 =	-j- A,3c£>i — Z[(03,
2Zj = Z0W3 "В — AOi,
(6.1)
где co, (r = 1, 2, 3) — компоненты угловой скорости дви-
жения базиса Е относительно базиса I в проекциях на
оси базиса £.

242
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 5
Величины сщ являются в данной задаче функ-
циями управления. Будем предполагать, что множе-
ство функций ограничено. Обозначим это мно-
жество символом Ее и будем считать его замкнутым:
со,(0 See.	(6.2)
Будем рассматривать движение на отрезке времени
[/о, Л, при этом начальное положение тела зададим ква-
тернионом Ао, а конечное его положение — кватернио-
ном Ат, т. е. имеем следующие граничные условия дви-
жения:
А(/0) = А0, А(Л = ЛТ.	(6.3)
Ищется управление соД/), минимизирующее время пе-
рехода от начального к конечному положению, Уравне-
ния (6.1) совместно с условиями (6.2) и (6.3) полностью
определяют кинематическую задачу пространственного
разворота.
Рассмотрим кинематическое уравнение (3.12). Оче-
видно, что уравнение в этой форме имеет более огра-
ниченное применение, так как оно отражает процесс
управления движением твердого тела, когда функ-
циями управления являются компоненты проекции угло-
вой скорости на исходный опорный базис. Исследование
второй формы кинематического уравнения представляет
скорее теоретический интерес.
Запишем уравнение движения (3.12) в кватернион-
ной ii координатной формах:
2А = со, ° А,
2Z0=-ZIQI-A,Q,-z,Qj)
(6.4)
2%! = л0о1 + л3о2 _ ;.2О3)
2Z2 = Z0Q2 + ZiQ3_z3oI!
где й, (i = 1, 2, 3)—компоненты угловой скорости дви-
жения базиса Е относительно базиса I в проекциях на
осп базиса I.

§61] КИНЕМАТИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗВОРОТ	243
1е
БУ \i считать управление ограниченным, т. е.
и	(6.5)
jipii’iea множество Е/ будем считать отличным от мно-
жестве (6.2). Граничными условиями движения для
этого.изучая будут служить условия (6.3).
П‘(о идем к формулировке необходимых условий опти-
мал>’ьАти управления по быстродействию, для чего
испо-щ’уем формализм принципа максимума Понтря-
гина ;е ’ 41].
Б’ефе.м вспомогательные функции фо, фь фм, фз, со-
огве1(Юдующие фазовым переменным 7.0, М, 2.2, Лз, пол-
носД1я определяющим движение. Для уравнений дви-
женИ (6.1) составим функцию Гамильтона
•ФД := ^.ф) = — у Фо Ul^I + ФУГ + 2-3(О3) +
1 ф	_	.	(
4~ у 1 (?«0(£>i + /.>(03 — /-oWj) + — ф2 (2.0(о2 + 2-3(О| — 2И(О3) ф-
+ Л) Фз (2"0<Оз +/ц(02—ZoCOj). (6.6)
ФиДв;1!!! ф, (< — 0, 1, 2, 3) должны удовлетворять так
лазы \мои сопряженной системе уравнений

(6-7)
’Р
кот с 4
в соответствии с (6.6) примет такой вид:
2ф, = — ф 1со1 — ф2(о2 — ф3(о3,
2ф1 = ФиС°1 4“ Ф_>Ы; — ФзОЬ,
2ф, = фм®2 4- ФзЮт — Ф10)3,
(6.8)
2ф, — Фо°)з 4" Ф 1Й>2 — Фз01!
у ;i определения управления имеем четыре скаляр-
ный рДавпеппя движения (6.1), четыре уравнения (6.8)
и Т] '1 условия максимума, заключающиеся в том, что
npi ,г Итимальном управлении функция (6.6) дости-
гав жкепмума на множестве Г£ (6.2):
(t), ф; (0, «„(<)]= max 4Г£[ф; (0, лг (0, wK(<)]
- ~Е
(1 = 0, 1, 2, 3; /г= 1, 2, 3).
(6.9)

244
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
Для восьми дифференциальных уравнений (6.1) и (6.8)
имеем восемь граничных условий (6.3). Тем самым ре-
шения ХД(), фг(() и управления сой(() должны быть
однозначно определены. Однако условия (6.9) опреде-
ляют управление сой в функции величин фг и а урав-
нения (6.1) и (6.8) суть линейные уравнения, перемен-
ными коэффициентами которых являются функции <вй.
Отсюда видно, что непосредственно эти уравнения
неразрешимы (так как нет общего решения линейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффи-
циентами, а в данном случае нет и общего решения ки-
нематических уравнений).
Для второй формы представления задачи оптималь-
ного кинематического разворота, т. е. для уравнений
(6.4), получаем (для тех же обозначений вспомогатель-
ной функции ф,) следующую функцию Гамильтона:
<3^/=	= —g фо (Z|Qi + Z2Q2 + ZjQ3) +
+ ~2 Ф1 (Ш 4~ Z3Q2 — Z2Q3) + уфг^ойг + Z[Q3 — Z3Q|) +
+ Фз(Zo^3 + Z2Q[ ZjQ2). (6.10)
Сопряженная система уравнений (6.7) для этого случая
примет такой вид:
2ф> = — Ф1Й! — ф2й2— Ф3^з>
2ф| = ф0^1 +	(6 11)
2ф, = фой2 ф- ф|й3 — ф3йь
2ф3 = фой3 + ф2й( — ф! Й2.
Управление Q;, (k = 1, 2, 3) будет оптимальным,
если функция Гамильтона достигнет максимума при
данном управлении, т. е.
Ф/(0^(0]= max	(6.12)
Условия максимума (6.12) совместно с уравнениями
(6.4) и (6.11) при граничных условиях (6.3) достаточны
для определения оптимального управления и соответ-

§ 6.2]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА
245
ствующего движения. Однако здесь имеем ту же труд-
ность, что и в предыдущем случае: не удается получить
непосредственного решения кинематического уравнения
ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ фуНКЦИЙ
§ 6.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО
ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА
Решение задачи кинематического оптимального раз-
ворота удается получить благодаря тому, что системы
сопряженных уравнений (6.8) и (6.11) для вспомогатель-
ных переменных ф; совпадают с уравнениями движения
(6.1) и (6.4) соответственно*). Как нетрудно видеть
нз (6.8), сопряженная система может быть записана
в форме кватернионного уравнения (3.11)
2Y=To®£,	(6.13)
где Т = ф0 + ф;!; + ф2/2 + Фз»з — кватернион, опреде-
ляемый вспомогательными функциями.
В соответствии с теоремой 3.1 можно утверждать,
что, поскольку уравнения (6.8) и (6.1) являются кине-
матическими уравнениями для одной и той же угловой
скорости (о£, функции Чг(/) и А(/) должны отличаться
на константу
Т=С£°А,	(6.14)
где Се — постоянный кватернион. Нетрудно проверить,
что (6.14) действительно имеет место. Рассмотрим для
этого кватернион
С£=ТоЛ
и найдем производную от него
2Се= 2V о А - 2’Г о А о АоА =
— Ч*" о (о£ о А — ’У о А ° А ° <й£ о А = О,
которая действительно обращается в нуль.
*) Можно показать, что для любой линейной системы дифферен-
циальных уравнений X = АХ. имеющей кососимметрическую матри-
цу А, справедлив тот же рез ьтат и может быть получено решение
задачи оптимального управления.

246
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
Рассмотрим теперь функцию Гамильтона Же (6.6)
и представим ее в следующем виде, выделив члены при
управляющих функциях:
«З'Ге = -^ (0] (фУо фЛ -ф ф2/-з фз^г) ~Ь
+ у оз2 (фУ-о — ФоГ2 + Фз^1 — ф'1^з) +
+ ~2 о)3 (ФУ-0 — Фо^з + ФА — ФУ'1)-
Введем векторную функцию рЕ (I) (т. е. кватернион р£)
которую определим следующими ее компонентами:
Pie = ^A - Vi + V'3 - V2> ]
Р>Е = ФА - Фо\ +	- ФЛ’ (6.15)
Р-е = Ф.А - ФА + ФА - ^1-
Векторную функцию рЕ (/) будем называть сопряжен-
ным вектором управления. Можно видеть, что функция
Гамильтона записывается в таком виде:
^Е = {	+ “2Р>£ + (0A£) = 4 °£ • Ре’ (6- 16)
и поэтому условие максимума функции Же на множе-
стве Ef определяет управление ®£ в функции сопряжен-
ного вектора, причем вид этой зависимости будет опре-
деляться конфигурацией множества Ее.
Сопряженный вектор управления определяется вели-
чинами ф/ и Г, с помощью соотношений (6.15). Ранее
было установлено, что функции фД/) могут быть выра-
жены через /.,(/), поскольку уравнения (6.8) и (6.1)
имеют один и тот же вид и содержат одну и ту же
скорость й£. Отсюда следует, что в принципе имеется
возможность выразить рЕ в функции только /.,(/). Дей-
ствительно, простой проверкой можно убедиться, что
равенства (6.15) могут быть записаны в виде такого
произведения кватернионов:
рЕ= vect (А с Т),	(6.17)
т. е. функция рЕ есть векторная часть произведения ква-
тернионов А и ЧС Однако связь кватернионов Чг и А

« 6 2]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА
247
дается равенством (6.14), откуда следует, что искомое
произведение равно
АоТ=АоС£оА	(6.18)
п определяется только кватернионом А.
Найдем скалярную часть кватерниона АоТ:
sqal (А ° ’F) = sqal (А ° Се ° А) = sqal (А ° А ° Се) = sqal Се
(6.19)
(так как норма кватерниона А равна единице).
Следует сказать также, что в силу однородности со-
пряженной системы можно выбрать кватернион Т та-
ким, чтобы норма его также была равна единице, от-
куда будет следовать, что и норма Се также равна еди-
нице:
|| А о Т ||= || А о Се ° А ||= || Се ||= i| || II А ||= 1.
Теперь, используя равенства (6.18) и (6.19), можно
найти величину векторной части произведения кватер-
нионов Чг и А :
vect (А ° Т) = А ° Чг — sqal(А = V) = А о Се 0 A — sqal Се =
= А = (Се — sqal СЕ) ° А = А ° (vect Се) ° А = А о сЕ о А.
Таким образом, согласно (6.17) получаем окончательно
следующее основное соотношение, определяющее со-
пряженный вектор управления:
р£ = Аос£оА.	(6.20)
Этим самым кинематическая задача оптимального
пространственного разворота решается полностью. Дей-
ствительно, условие максимума функции ^е (6.9) с ис-
пользованием выражения (6.16) определяет управление
о>£ (t) в функции сопряженного вектора рЕ. Вектор рЕ
соотношением (6.20) определяется в функции фазовых
координат и некоторого постоянного вектора с£. Бу-
дучи подставленными в кватернионное уравнение дви-
жения (6.1), функции управления й£(Д внесут в \рав-
нение движения те же фазовые координаты и константу

248
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
сЕ, выбор которой должен однозначно удовлетворить
граничным (конечным) условиям движения. Таким об-
разом, в принципе (не рассматривая вопроса об ана-
литической разрешимости полученных уравнений) за-
дача решается полностью.
Следует отметить, что кватернион А является дву-
значной функцией положения твердого тела (А и —А
тождественны одному положению); согласно уравне-
ниям (6.8) и (6.13) кватернион V также может быть
двузначным. Отсюда следует, что и кватернион рЕ, так
же как и сЕ, тоже нужно положить двузначным, т. е.
допустить возможность существования двух значений
+с£ и —сЕ, одновременно удовлетворяющих решению
оптимальной задачи. Как мы покажем позднее, это
предположение является весьма существенным.
Найдем теперь решение задачи оптимального разво-
рота для второй формы уравнений. Сопряженная си-
стема уравнений (6.11) для вспомогательных перемен-
ных ф; для этого случая совпадает с уравнениями дви-
жения (6.4) и, следовательно, может быть записана
в виде
2Т=й/оТ,	(6.21)
где 4*“ — определенный выше кватернион [см. (6.13)].
В соответствии с теоремой 3.1 уравнения (6.21) и
(6.4) имеют одну и ту же фундаментальную систему
решений и, стало быть, функция Ч^/) отличается от
А(/) на постоянный кватернион, причем справедливо та-
кое соотношение:
Т=АоС/.	(6.22)
Убедимся, что такое равенство действительно вы-
полняется. Согласно (6.22) имеем следующее выраже-
ние для константы:
С/ = А Л.
Производная от нее, полученная в соответствии с урав-
нениями (6.4) и (6.21), действительно равна нулю:
2С/ = -2А о А о А о Т + 2А ° Ф =
— А ° о); о А ° А ° Т А ° о Т = 0.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА
249
§ 6.’i
Рассмотрим функцию Гамильтона Жт (6.10) и пред-
ставим ее в таком виде:
5^/ = — Qj (— A.j'ipo 4~ Mi + ^Фз — ^-зФг) +
+ у —2 См>2 — ^Фо + ФЛз — ^1Фз) +
+ у ^Зр-оФз — Мо + А,]ф2 — ^2Ф1).
Аналогично (6.15) введем векторную функцию р7 (/)
(т. е. кватернион р7), определяемую переменными и
фг, таким образом:
Pi/=Mi - Мо + Мз ~ Ф2Ч ]
P2/=M2-Mo + Mi ~Мз’ }	(6.23)
Р37=?^оФз	^3Ф0 + ^1Ф2	^2^1’ |
Функцию р7 (/) также будем называть сопряженным
вектором управления. С его помощью функция Гамиль-
тона может быть представлена в виде скалярного про-
изведения функции управления о)7 и сопряженного век-
тора р7:
= У + ^Р-я + ЗД ={«>/• Рг (б-24)
Поскольку вектор р7 определяется в функции Т и
А соотношениями (6.23), а кватернион 4*“ выражается
через А равенством (6.22), то имеется возможность вы-
разить р7 в функции только переменной А(/). Действи-
тельно, проверкой можно убедиться, что соотношения
(6.23) могут быть представлены в виде такого произ-
ведения кватернионов:
р7= vect (Ч^о А).	(6.25)
Рассматривая полученное произведение, в соответствии
с (6.22) получаем
Ч*1 о А = А ° Ci ° А.
Найдем скалярную часть кватерниона 4J = A:
sqal (4е ° А) = sqal (А □ Ci ° А) = sqal (А ° А ° С/) — sqal О/.

250
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
Отсюда выражение для его векторной части получим в
таком виде:
vect (То Д) = Т о Д. — sqal С/ =
— А ° (С, — sqal С/) ° А = А ° с/ ° А.
Таким образом, имеем окончательно следующее выра-
жение для сопряженного вектора управления:
pt = А о Cj ° А.	(6.26)
Сопряженный вектор управления (6.26) выражен в
функции только фазовых координат и трех констант.
Условие максимума функции 5^/ (6.24) определит управ-
ление о)7 в функции р,, а стало быть, и фазовых коор-
динат и констант. Подставив это управление в исходные
уравнения движения (6.4), получим замкнутую систему
дифференциальных уравнений, которая, вообще говоря,
всегда разрешима; при этом постоянную с, следует
выбрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям.
Так же, как и в предыдущем случае, функцию р7 сле-
дует положить двузначной функцией.
Найденные здесь решения кинематической задачи
оптимального пространственного разворота определяют
только необходимые условия оптимальности. Это озна-
чает, что все полученные решения должны быть проана-
лизированы для выбора одного из них, имеющего мини-
мальное значение критерия (времени разворота).
§ 6.3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ
ОГРАНИЧЕННОГО МОДУЛЯ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ
СКОРОСТИ
Рассмотрим случай управления, когда граница мно-
жества допустимых управлений представляет собой
сферу, т. е. когда имеет место ограничение на модуль
угловой скорости. Будем рассматривать первую форму
кинематического уравнения. В этом случае множество
S£ (6.2) будет определяться таким условием:
(of + а»2 + “з “о-	(6.27)
где ®о — величина максимально допустимого модуля
угловой скорости. Такое управление, по-видимому, един-

* 6 3]
ОГРАНИЧЕНИЕ НА МОДУЛЬ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
251
ственное, для которого множество 3/ (6.5) для второй
!рормы кинематического уравнения является тем же са-
мым, т. е.
Qi + Qj + Qs ©о.	(6.28)
Условие максимума (6.9) с учетом представления
функции Гамильтона в виде (6.16) сводится к требова-
нию, чтобы было максимальным скалярное произведение
вектора управления и сопряженного вектора рЕ,т. е.,
очевидно, должно выполняться равенство
= hpE,
где 1г — коэффициент пропорциональности, и, кроме
того, значение со£ должно выбираться максимально воз-
можным, т. е.
Если потребовать, чтобы длина сопряженного вектора
рЕ была единичной (т. е. и длина сЕ также в этом слу-
чае должна быть равна единице), то написанные выше
два условия максимума запишутся в таком виде:
ыЕ= a(JpE.	(6.29)
Сопряженный вектор управления рЕ в соответствии с ре-
шением данной задачи определяется выражением (6.20),
и, стало быть, оптимальное управление (6.29) будет
определяться следующим соотношением;
<а£= а0А о се ° А.	(6.30)
Следует отметить, что полученное выражение пред-
ставляет собой оптимальное управление, заданное
непосредственно в функции фазовых координат, т. е.
имеем решение задачи синтеза оптимального управле-
ния. Величина вектора сЕ, равная, очевидно, начальному
значению сопряженного вектора управления
се = Ре (/о)’
Должна быть выбрана таким образом, чтобы удовлетво-
рить граничным условиям движения (6.3).
Чтобы получить выражения для сЕ через граничные
значения кватерниона А(/), подставим решение (6.30)

252
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
в кватернионное уравнение движения (6.1); имеем сле-
дующее:
2А = А о = А ° (ajA о се 0 А) = а,;С£ ° А.
Полученное уравнение совпадает по форме с кинема-
тическим уравнением (3.12) для постоянного вектора
угловой скорости, равного ®ос£. Решением такого урав-
нения является функция [см. решение (3.18)]
£ t
A(f) = e^oc£ oAqi	(6.31)
удовлетворяющая начальному условию. Чтобы эта
функция удовлетворяла конечному условию, необходи-
мо, чтобы в момент времени Т выполнялось следующее
условие:
Из этого условия находим, что
1 с т
= АтоА0.	(6.32)
Поскольку сЕ— единичный вектор, то
e2<0o£ = cos ^у 4- се sin ^у cdqT") -
откуда получаем следующее выражение для вектора сЕ
(кроме случая, когда = 2л, что соответствует тож-
дественному преобразованию):
сЕ = ----р----(ат □ Ао — cos у oj07j .	(6.33)
sin — а0Т '
Подставляя это значение в решение (6.31), находим
А(0 =
_Г 1 л	1
cos 2 I	।
sin у «о7"
0 Ао=
/1	1	1	\ sinytoo/
= Ao I cos у (ои/ — siny(o0/ctgy a07j + AT--j--, (6.34)
'	sin— w0T

ОГРАНИЧЕНИЕ НА МОДУЛЬ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
253
§ 6.3]
т. е. получаем решение задачи кинематического опти-
мального разворота для данного случая ограничений на
.правление в функции непосредственно граничных ус-
ловий.
Интересно с помощью соотношений (6.32) и (6.33)
представить функцию оптимального управления (6.30)
для данного случая:
=-----р----[ А ° Ат 0 Ао о А — cos у <яот\.
sin — а0Т '
Полученный результат не зависит от того, з какой мо-
мент времени брать текущий кватернион, так как в со-
ответствии с (6.31) и (6.32) имеем
__1_ ct -<л с Т -<£> с t
А ° Ат о Ао о А=А0 се - ° е о е2 ° е о е2 о е о а0= Ао 0 Ат.
Отсюда получаем окончательно такое выражение для
оптимального управления:
«>£(/) =---г2---(а0о Ат — cos у а>фг\. (6.35)
sin — ы0Т '
Таким образом, оптимальной траекторией в рассмат-
риваемом случае управления является плоский разворот
(6.34), осуществляемый с постоянной максимально воз-
можной угловой скоростью (6.35), причем направление
этой скорости определяется конечным и начальным по-
ложениями тела. Отсюда следует, что плоский эйлеров
поворот твердого тела с максимально допустимой угло-
вой скоростью является оптимальным по времени раз-
воротом для случая, когда управлением является функ-
ция угловой скорости, ограниченная по модулю.
В предыдущем параграфе было сделано замечание
о том, что величину сЕ (и рЕ) следует брать двузнач-
ной. Поясним смысл этого требования. Согласно (6.30)
двум знакам сЕ (независимо от знака кватерниона А)
будет соответствовать различные знаки и, следова-
тельно, разные направления вращения. Оба эти реше-
ния удовлетворяют условиям оптимальности и дают
разворот соответственно на угол ®о(Т— /0) = $ или
(IQ(Г — г0) = 2л — й (& — угол разворота).

254
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. б
Из этих двух решений только одно удовлетворяет
условию минимума времени разворота (кроме разво-
рота на угол л). Соответственно этому для минималь-
ного времени разворота должно выполняться следую-
щее достаточное условие оптимальности:
(£>0 (Т — /0) л.	(6.36)
Можно видеть, далее, что определяющий управление
кватернион Ат э Ао является как раз кватернионом рас-
согласования (для данных двух положений тела) в за-
дачах управления по кватернионам, рассмотренных в
главе 5. Отсюда следует, что управление в кинемати-
ческой задаче будет оптимальным, если скорость кор-
рекции формируется таким образом:
= йтах—7====” sign А,о	(/=1,2,3), (6.37)
V 1 - *5
где Отах—максимальное значение модуля угловой ско-
рости коррекции. К такому управлению близко, напри-
мер, управление (5.6).
В заключение рассмотрим решение данной задачи
для второй формы кинематического уравнения. Выше
указывалось, что ограничение на допустимое управле-
ние (6.28) совпадает с ограничением (6.27). Отсюда сле-
дует, что условие максимума (6.12) с учетом функции
Гамильтона (6.24) запищется в виде двух условий
<а7 = /?р7,	а7=а„
аналогичных условиям для первой формы кинематиче-
ского уравнения.
Потребуем, чтобы величина (модуль) вектора р7
была равна единице; тогда оба эти условия могут быть
записаны в виде
°/ = моР/’	(6.38)
аналогичном условию (6.29). Учитывая, что в соответ-
ствии с решением оптимальной задачи сопряженный
вектор управления р7 определяется выражением (6.26),
получаем для оптимального управления (6.38) следую-
щее соотношение:
о)7= (йиА ос7 ° А.	(6.39)

§6 3] ОГРАНИЧЕНИЕ НА МОДУЛЬ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 255
Очевидно, что вектор с7 определяется как начальное
значение сопряженного вектора управления:
C/=P/(Q
Для получения оптимальной траектории движения
подставим оптимальное управление (6.39) в кватер-
нионное уравнение движения (6.4):
2А — о), о А = а„А о с,.
Это уравнение является кинематическим уравнением
[типа (3.11)] для постоянного вектора угловой скорости
к>ос7. Его решением является следующая функция:
А(/) = А0°е?и^Л	(6.40)
Решение (6.40) удовлетворяет начальному условию
(6.3). Чтобы это решение проходило через конечную
точку Ат, необходимо соответствующим образом вы-
брать вектор с7. Приравнивая правую часть (6.40) в
момент времени Т конечному условию (6.3), получаем
I
— со С ,t
Ао ° е '- °1 ~ Ат,
откуда находим, повторяя аналогично предыдущему
случаю все выкладки, что вектор с1 должен опреде-
ляться таким соотношением (ы0Г =т/=2л):
с7=-----р---[л0о Ат — cos у й07'] •	(6.41)
sin — ЙОГ
Подставляя это значение в решение (6.40), получаем
точно так\ю же траекторию, определяемую соотноше-
нием (6.34), как и в предыдущем случае. Естественно,
что результат получился тем же самым, поскольку огра-
ничение (6.27) и, следовательно, оптимальное движение
должны быть теми же самыми, хотя они могут иметь
различные формальные записи в разных системах ко-
ординат.

256
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[гл. е
Найдем функцию оптимального управления
Подставляя в равенство (6.39) значение вектора с, из
(6.41), получаем
(д/ (/) = -у--- ГА О Ао о Ат О а — COS ЮоЯ .
slnyoV L	J
Из решения (6.40) можно показать, что
А о До о Дт о А =
— Ао о е2 01 о Ао о Ао о е- 01 ° е 2 0 1 о До = Ат о Ао.
Отсюда получаем такое окончательное выражение для
оптимального управления:
«/(/)=-----р---[атоА0-cosy®07’].	(6.42)
sin у ЙОГ L
Очевидно, что управление (6.42) определяет тот же са-
мый плоский эйлеров разворот, что и в предыдущем
случае.
Доказательством этому может также служить тот
факт, что кватернионы-отображения о)7 (6.42) и (6.35)
определяют один и тот же вектор угловой скорости.
Действительно, можно проверить, что выполняется со-
отношение
«>£ = А о фу ° А,
связывающее два отображения одного вектора. Для
этого достаточно обратиться к проведенным выше вы-
кладкам, из которых следует, что
А о Ао о Ат о А = Ат о Ао, А ° Ат о Ао ° А = Ао ° Ат
и, следовательно, согласно (6.42) и (6.35) приведенное
выше соотношение справедливо.
§ 6.4. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ
НА КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Следующий случай управления имеет место, когда
ограничивается каждая компонента — проекция вектора
угловой скорости. Практическое значение имеет анализ

;• г oi рмшчепия н\ компоненты угловой скорости 257
управления в случае, когда заданы ограничения па про-
екции вектора угловой скорости на связанный базис Е.
.•1ио;кество =-е (6,2) будет определяться такими усло-
виями;
|(d£.|<Q/	(/=1,2,3),	(6.43)
1Де Q,--величины максимально допустимых компонент
вектора угловой скорости по связанным осям е,. В про-
странстве сое, множество -е будет иметь вид парал-
лелепипеда, стороны которого равны Q,.
Условие максимума функции' Гамильтона (6,9) или
(6.16) при такого рода области допустимых управлении
сводится к требованию максимизации величины <о£ • рЕ
что имеет место, когда каждая компонента вектора
приобретает максимальное значение в направлении век-
тора рЕ:
а>£; = Q,sign(p£/) (/=1,2,3).	(6.44)
Обозначим векторы, идущие от начала координат в
вершины параллелепипеда Ес (т, е, по его диагоналям),
через а»,„ (in = 1, 2,	8), не оговаривая пока по-
рядка присвоения индексов. Каждый из этих векторов
получается, когда все три компоненты <о£ принимают
экстремальные значения (6.43).
Обозначим векторы, идущие из начала координат
перпендикулярно к каждому ребру параллелепипеда Е£,
через Можно видеть, что всего существует двена-
дцать таких векторов, т. е. 1= 1, 2, ..., 12. Векторы
суть значения вектора <лЕ, когда две его компо-
ненты принимают экстремальное значение, а одна обра-
щается в НУЛЬ.
Обозначим, наконец, векторы, идущие из начала ко-
ординат перпендикулярно к каждой грани параллеле-
пипеда Е£, через <аЛп. Величина каждого из этих век-
торов равна всего имеем шесть таких векторов, т. е.
п = 1, 2, ,.., 6. Каждый из векторов равен вектору
w£ v которого две компоненты обращаются в нуль, а
сына принимает экстремальное значение.
Рассмотрим теперь условия (6.44) оптимальности
управления и обсудим, какие движения эти условия
выделяют. При нахождении вектора pE(f) всюду вне
9 В И Ьринсц, И, Н. Шмыыеыкий

258
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
координатных плоскостей, т. е. при р Ei 0 (г — 1, 2, 3)
условия (6.44) определяют такого рода движение, ко-
торое осуществляется с одним из максимальных век-
торов угловой скорости ез,„. Если же вектор pE(J) по-
падает на координатную плоскость, т. е. обращается
в нуль одна (или две) из его компонент, то данный
случай представляет собой особое управление.
Анализ особых управлений показал, что необходимо
допустить следующую гипотезу (не вытекающую из
принципа максимума):
Г Если обращается в нуль какая-либо компонента
рЕ то соответствующая компонента скорости может
принимать три значения: -фЙ,-. 0. —Й(. Другими сло-
вами, функции sigo. (р ~.) в выражении (6.44) .может при-
нимать в нуле значения -ф 1, 0, —1.
В п. I § 6.7 показало, что такое допущение яв-
ляется весьма существенным, так как оно позволяет рас-
ширить число допустимых траекторий движения до не-
обходимого их числа.
Благодаря такому свойству функций (6.44) происхо-
дит расширение возможных движении, удовлетворяющих
необходимым условиям оптимальности: во-первых, ста-
новятся возможными движения с одной из угловых ско-
ростей кщ.; во-вторых, возможны движения со скоро-
стями Первый случай имеет место, когда вектор рЕ
попадает на координатную плоскость и одна из компо-
нент рЕ[ обращается в пуль. Согласно принятой гипо-
тезе компонента мЕ. может быть равна -ф Й., 0, —йц
т. е. допускается движение с угловой скоростью «>к..
Во втором случае вектор рЕ попадает на координатную
ось, т. е. две его компоненты становятся равными нулю,
в связи с чем возможно движение со скоростью
(в и. I § 6.7 будет показано, что возможны другие
случаи двп/кепия со скоростью ). Таким образом,
всего имеем m -ф и -ф / — 26 допустимых векторов угло-
вой скорости, и вращение с каждым из них удовлетво-
ряет условию оптимальности.
Обозначим всю совокупность этих скоростей сщ
(k — 1, 2, ... , 26) и будем называть их экстремальными

S 6 1] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОП СКОРОСТИ 959
жловыми скоростями. Согласно (6.44) вся траектория
движения должна состоять из участков, на каждом из
которых происходит крашение с одним из таких векто-
ров углоткш скорости. Вращение на каждом участке
осуществляется с постоянной угловой скоростью; для
такого случая движения известно решение кинематиче-
ского уравнения (3.79). Это обстоятельство позволяет
до конца решить рассматриваемую задачу оптимального
кичем этического разворота.
В результате решения задачи должен быть дан ответ
ча такие вопросы; из скольких участков движения со-
стоит целая траектория; какова последовательность вра-
щений с экстремальными угловыми скоростями для
реализации требуемого пространственного разворота;
как сильно отличается оптимальное управление для
тайного случая от управления (6.37), рассмотренного в
.предыдущем параграфе.
Прежде чем перейти к исследованию движения при
управлении (6.44), сделаем несколько общих предполо-
жений.
2° Требуемый пространственный разворот, определяе-
мый граничными условиями (6.3), задает как минимум
одно начальное значение сопряженного вектора управ-
ления рЕ*).
3° Вектор рЕ будем считать двузначным; будем по-
лагать, что граничные условия движения (6.3) задают
одновременно два значения вектора рЕ, при этом движе-
ние реализуется одним из двух значений вектора рЕ,
сохраняющимся во всем последующем движении**).
Качественное исследование движения. Напомним, что
соотношения (6.44), (6.20) и (6.1) совместно с гранич-
ными условиями (6.3) образуют замкнутую систему
уравнений, описывающих оптимальный кинематический
разворот. Согласно (6.44) все движение будет состоять
из участков вращений со скоростями омг. Таким
образом, угловая скорость оптимального разворота бу-
дет кусочно-постоянной функцией. Разрывы функции
*) Далее будет itт.а<ачо. что граничные условия могут опреде-
ли гъ пс одно, а песке п.кп различных ;иыжений.
'") ГипотР5-	Л--7 г-тшт, же наглядной, как гипотеза 2°;
ее обоснование приводи ня в п. 1 § В.7.
9*

260
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
угловой скорости будут происходить при пересечении
вектором р координатных плоскостей.
Рассмотрим, как выполняется соотношение (6.20) для
траекторий такого рода. Обозначим конечное значение
кватерниона движения на k-м участке через Ад; тогда
это значение будет начальным значением кватерниона
на (&+1)-м участке движения, происходящего со ско-
ростью о)д+1. Решение кинематического уравнения дви-
жения на (k + 1)-м участке имеет вид
1
A(^+i) = AAoe2“fc+i mi,	(б<45)
где	<^+i, /д-ц — текущее время на (k + 1)-м
участке движения. Значение A^^j) будет равно Aft + 1.
Для первого участка движения аналогично (6.45)
имеем
А А
A! = A0oe- ,
где Ао определяется начальным условием (6.3). Если
движение начинается с первого участка и кончается
й-.м участком, то согласно (6.45) получим следующее
значение конечного кватерниона:
—... f	—L ?
Ат= Ао о е1 1 1 ° ... о е2 k k,
что соответствует теореме (2.4).
Пусть имеем начальное значение сопряженного век-
тора управления р£0 = с£. В конце первого участка дви-
жения он будет определяться согласно соотношению
(6.20) таким выражением:
р£1 = -\0?£° А1 = е 2°‘Л° А0ОС£°
Примем величину Л.0<>с£оА0 за рЕй, тогда
1 ,	1 ,
—- <0. г 1	у®!*!
РЕ1 = е ~ °РЕ>ае" 
Это конечное значение для первого \частка будет на-
чальным значением для второго участка движения, и,

<Й4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОП СКОРОСТИ 261
стедовательно, в конце второго участка движения будем
’меть
1 । .
--------<> '	— W.f,
РЕ2=в ~ ° Pei ° е' •
Продолжая применять эту формулу, получаем сле-
пющее значение вектора рЕ в конце движения:
Ат ° сЕ ° Аф,
Отсюда можно видеть, что соотношение (6.20) остается
справедливым и для кусочно-непрерывных функций угло-
гой скорости. Величина
1	1
— (0 t	— О, t,
Q - 1 1 о , , , О £ ’ k k
представляет собою результирующее движение. Можно
видеть, что она однозначно определяется граничными
условиями (6 3). Обозначим ее следующим образом:
-№ t	-at
Av — е~ 1 1 ° ... ° е2 * * = Ао о Ат. (6.46)
Данный результирующий кватернион определяет и
соотношение между начальным и конечным значениями
юпряженного вектора управления.
Рет = ^°Ре)° Ле-	(б-47)
Согласно гипотезе 2° величина As должна определить
начальное значение вектора pfG. Проводя качественное
исследование задачи, мы пойдем обратным путем: будем
считать, что задан вектор рЕ0 и будем атю лизировать
получающиеся движения и результирующий кватернион.
Пусть величины Q1 (6.43) равны, т. е. областью до-
пустимых управлений Ес является куб со стороной 2йг,
Без ограничения общности можем положить Q, = 1; при
этом куб Ес окажется вписанным в сферу радиуса, рав-
ного у/3(рис 6.1). В соответствии с соотношениями (6.44)
и гипотезой 1° относительно функции sign (0) движение
будет происходить с угловыми скоростями, равными:

262
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРХПСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.

§6 4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 263
а) полудиагоналям куба о™—величина каждой угловой
скорости равна У 3; б) полудиагоналям квадратов (гра-
ней куба) — величина каждой угловой скорости
равна ]/2; в) половине ребра куба ыЛп—величина каж-
дой угловой скорости равна 1.
Введем нумерацию скоростей так, как это показано
(правда, не для всех ы/;) на рис. 6.1. Будем считать, что
начальное значение вектора р£Г1 задано и рассмотрим
различные случаи движения, определяемые его положе-
нием. Приведем результаты такого анализа.
Из рисунка 6.2 видно, что на сфере существуют во-
семь областей (m = 1, 2, .... 8). Если вектор рЕ0
находится в такой области, то движение выполняется со
скоростью ат и в результате движения вектор р£ не
изменяет знака своих компонент. Действительно, при
вращении по конусу в любую сторону вектор р£, нахо-
дясь в области ^т, не пересекает и не касается коорди-
натных плоскостей. Границей этого случая движения бу-
дет такое положение вектора р£0, при котором произой-
дет касание координатной плоскости и, так как областью
допустимых управлений является куб, произойдет каса-
ние одновременно трех плоскостей. Такую границу бу-
дем называть сепаратрисой и будем считать ее не при-
надлежащей области &т.
При любом расположении вектора р£0 внутри области
5йт реализуется только один случай движения, когда
результирующее вращение имеет один участок движе-
ния со скоростью Ит. Соответствующий кватернион бу-
дем обозначать Ат. Результирующий кватернион в дан-
ном случае будет определяться только одной состав-
ляющей:
А,,1=еТа«\	(648)
Множеству точек положения конца вектора р£0 на
сфере п в области 2Вт соответствует тот же случай дви-
жения, что и при совпадении векторов р£0 и о)7!. Отсюда
следует, что область $т эквивалентна одной точке, опре-
деляемой пересечением вектора со сферой. Харак-
терной особенностью этой точки является то, что при

264
ОПТП.М\ЛЬ11ЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
прохождении через нее векторpE(t) не меняет своего
положения в результате определяемого им движения
(вектор остается постоянным). Точки такого рода бу-
дем называть стационарными.
Можно видеть, далее, что на сфере существуют
шесть областей (п = 1, 2, ... ,6), отличных от обла-
стей и разделяемых от них сепаратрисой (сепара-
трису также будем считать не принадлежащей области
s£n). При нахождении в каждой! из областей вектор
р£ может достигать и пересекать координатные плоскости;
в связи с этим именно в этих областях возможны дви/ю.-
ния с различными угловыми скоростями. Скорости вра-
щения при этом суть ю,„, а последовательность смены
скоростей и длительность каждого участка движения
с постоянной скоростью определяются положением век-
тора р£С. Типы движений, возникающих при расположе-
нии вектора р£0 в области s£n, будут исследованы далее.
При нахождении вектора р£0 на сепаратрисе имеют
место особые случаи движения, возникающие тогда,
когда вектор р . попадает в точки (см. рис. 6.2); при
этом обращается в нуль одна компонента этого вектора.
В соответствии с гипотезой 1° значение функции sign(0)
в этих точках может быть равным -4-1,0, — 1. В тех
случаях, когда значение sign(O) равно ±1, угловые ско-
рости вращения согласно (6.44) будут равны одной из
величин <о,п, и вектор рЕ в результате вращения с такой
скоростью покинет точку ‘Эф Однако если значение функ-
ции sign(0) будет равно нулю, то оказывается возмож-
ным участок движения со скоростью При таком
движении вектор рЕ (проходящий через точку ‘g’/) со-
впадает с вектором и, следовательно, не меняет
своего положения в результате движения.
Таким образом, мы имеем еще один случай стацио-
нарной точки: при прохождении вектора р£0 через точку
и при значении функции sign(O) —0 движение со-
стоит из одного участка вращения со скоростью
Соответствующий кватернион обозначим через
= е2
(6.49)

6 4| ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОП СКОРОСТИ 26э
Имеется еще один тип стационарной точки, в кото-
рой может реализоваться движение. состоящее из одного
участка. Эта точка находится в центре области
л точке пересечения сферы с координатной осью. Если
вектор рЕ проходит через эту точку, то могут обратиться
в нуль две его компоненты. В соответствии с гипотезой
Г управление (6.44) допускает при этом вращение со
скоростью Такое вращение не изменяет вектора р£,
г. е. также является стационарным. Обозначим кватер-
нион вращения со скоростью ы через \ Лп\
1
4^ = 6-'’^.	(6,50)
Итак, мы показали, что с;. ществуют такие положения
вектора р£с, на сфере, которые определяют движение с
любой из экстремальных скоростей со?,. При потожении
вектора р£П вне этих точек в областях и на сепара-
трисе реализуется движение, тлеющее несколько участ-
ков вращения с экстремальными скоростями.
Проведем классификацию возможных движений в
зависимости от числа участков и последовательности
угловых скоростей вращения.
Отметим сначала рассмотренные случаи стационар-
ных вращений, когда результирующее движение состоит
из одного участка.
Имеем следующие типы движений (траекторий):
I Ащ = А,п [при положении вектора р£0 в области &т
см. (6.48)];
II Ак- = А^ [при положении вектора рЕГ) в точках
пересечения координатных осей со сферой; см. ‘'6,50)];
III Av = AcZ [при положении вектора pEi в точках
см, (6.49)].
Рассмотрим теперь случай, когда вектор рЕ0 распо-
лагается в области sin. Для определенности (без умень-
шения общности) будем считать, что вектор ргг, распо-
лагается в области д/з в первом квадрик к-, который
образован положптетьпыми направ тешшуц осей е,, с2, е>.
Получаемые траектории вектора рЕ представлены на

266
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
1ГЛ. 6
рис. 6.3. Заметим, что при нахождении вектора pEQ в
области всюду, кроме центра этой области, движе-
ние происходит только со скоростями От. Действительно,
даже при попадании вектора рЕ на координатную плос-
кость, когда обращается в нуль одна его компонента,
вектор рЕ не остается на этой плоскости, а пересекает ее.
В качестве примера рассмотрим случай прохождения
вектора рЕ через плоскость е2е3 (см. рис. 6.3). В квад-
ранте eje2e3 движение происходит со скоростью wj, в
результате чего вектор рЕ понадает па плоскость е;е3
и компонента рЕ[ обращается в путь. Согласно гипотезе
Г функция sign(O) принимает значения -f- 1 или 0, или
— 1, и в этих случаях движение будет происходить со
скоростями <О|, <о-1 или (ii; соответственно. Во всех слу-
чаях век гор рЕ должен пересечь плоскость е2е3. Со-
гласно рис. 6.3 имеем следующие типы движений:
IV	Av=.\joA,;
V	Av = А( ° А2 ° А д
VI	Av= А| = А.о А3оД4;
VII	As= АщАжАщА^.М.
Возможен случай, когда конец дуги А{ (т. е. век-
тора р£т) попадает в точку р/0; такой случай мы назо-

§ 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 267
вем замкнутым циклом. Очевидно, что возможно даль-
нейшее увеличение числа участков, когда траектория
становится длиннее одного замкнутого цикла и образует
двойной цикл и т. д. (число участков может возрастать
неограниченно). Ввиду того, что любая последователь-
ность вращений должна соответствовать заданному по-
вороту Ал, в принципе увеличение числа участков воз-
можно только при уменьшении каждого из них, что
имеет место при приближении вектора р£0 к центру
области <я/3. Если вектор рЕй расположен вблизи центра,
то движение будет состоять из бесконечно большого чи-
сла бесконечно малых вращении, т. е. будем иметь так
называемый скользящий режим. Результирующая ско-
рость такого движения будет равна
Можно видеть, что получаемый случай стационарного
вращения (6.50) есть предел бесконечного числа цикли-
ческих движений, стремящихся к траектории типа II.
Отсюда же следует, что вращение (6.50) является обо-
собленным и не может стыковаться с другими враще-
ниями*), в отличие от вращений (6.48) и (6.49).
Покажем, что на любой из определенных выше тра-
екторий движения число произвольных параметров не
превышает трех, т. е. того числа, которое необходимо
для задания произвольного разворота твердого тела.
Очевидно, что траектории, состоящие из m участков,
имеют m свободных параметров (углов вращений), От-
сюда следует, что траектории, состоящие из одного, двух
и трех участков движения, однозначно определяются ре-
зультирующим кватернионом Av. Тем не менее условия
максимума (т, е. условия непрерывного движения век-
тора рЕ) налагают ограничения на величины углов вра-
щений. Можно видеть, что на траектории типа V должны
выполняться неравенства
Р ~г
в'2^0'3, Оз < —-,	(6.51)
откуда следует, что оптимальной может быть только
траектория, имеющая наиболее продолжительный сред-
ний участок движения. Если условия (6.51) выполнены,
*) В п, I § 6.7 раеема грпваегся другая гипотеза, при кото-
рой движение типа II может переходить в другие типы движений.

268
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 3
то любом; случаю разложения движения As на три
вращения Ао; .может быть сопоставлена траектория дви-
жения вектора рЕ. Для траектории типа VI имеем
длину второго участка, равную длине третьего, а число
свободных параметров также равно трем
2^7
й,= 183<Д^,	^<й2 = й3,	01<А,==Й;. (6.52)
Аналогичный случай имеет место для пяти и более
участков движения.
Рассмотрим, наконец, типы движений, возникающих
при нахождении вектора р£с на сепаратрисе (рис 6.4).
В этом случае возможны движения, состоящие из одного
участка, т. е. обсуждавшиеся ранее траектории типа I
и III. Можно видеть, что если вектор рЕ проходит через
точку а функция sign(O) не принимает нулевого
значения, то может быть реализована траектория типа
IV. Однако, в отличие от предыдущего случая, в данной
траектории возможны участки движения с углом вра-
щения превосходящим . По этой причине выше мы
не налагали ограничений па углы вращений для траек-
тории типа IV. При дальнейшем движении вектора рЕ

§ 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 269
при этих же условиях может реализоваться траектория
.,	", 2л
гипа \ с углом V,— — и последующие типы траекто-
рий. Однако, как будет показано далее, траектории, со-
зсржащие более двух участков вращений с углом пово-
2 л	,
рота -у, дают угол результирующего вращения больше
л; в связи с этим в первом соотношении (6.52) стоит
знак строгого неравенства.
Новым типом траектории для случая, когда вектор
р£0 находится на сепаратрисе (см. рис. 6.4), будет сле-
дующая траектория:
VIII	Ах = А] о
Данная траектория возникает, когда при попадании
вектора рЕ в точку 43 \ функция sign (0) принимает зна-
чение нуль. Пусть, далее, вектор рнаходится в точке
п ему соответствует вращение (6.49). Однако если
допустить, что по истечении некоторого времени функ-
ция sign(0) меняет свое значение с 0 на -ф 1, то такому
случаю будет отвечать траектория
IX	Av = Ayi ° А|.
Следующей траекторией такого типа будет траекто-
рия
X	Av = А) о A$fi ° А[.
Если после нулевого значения функция sign(0) при-
мет значение —1, то такому случаю будет соответство-
вать траектория As = Ag’!°A2, относящаяся к типу IX.
Однако, если движение начинается с вращения со ско-
ростью <£>!, имеет место еще один тип траектории:
XI	Av=Ajo АУ1оА2.
Рассуждая аналогичным образом, можно получить
далее такие типы траектории:
XII	As= AjoA2o А^;
XIII	Av = А[ о Ayi ° А2 о А^о",
XIV	Av = Aj ° A-.fi ° А, о А^20 А3.
В этих трех случаях угол вращения i% (кватернио-
на А2) равен Дальнейшего увеличения участков
и

270
ОГШЕММТЫ1ЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
движения иыи, не может, так как но привело бы как ми-
б.т
ним\м к дву?я вращениям на угол -.у-, что в сумме даст
угол t'x, превосходящий л, В и. I! § 6.7 показы-
вается, чго траектория типа XII при	эквива-
лентна траекториям типа VIII н IX, т. е.
Aoq о Л2 о \^2 — А^( о А3 = А2 0 А^2,	(6.53)
причем на траектории типа XII происходит сложение
дуг вращения А-л и А^3, а именно:
Йщ = ftg-i +	= Одз-
Из этого свойства траектории типа XII следует, что
траектория типа XIII эквивалентна следующим траекто-
риям:
Av = Aj ° Л у I ° Ао ° Ауз = Л[ ° A^i ° А> = A j о Ао о А(;2.
В первом случае, очевидно, имеем траекторию типа
XI, а второй случай определяет новый тип траектории,
который также обозначим номером XIII:
XIII Ах = А, ° А. А-,, б2^-ф-
(пмея в виду, что ирн М = щр- эта траектория экви-
валентна траектории типа XI). К этому же типу траек-
тории отнесет; траекторию такого рода:
XIII Av = Ау, о Ai о Ac,
Аналогичным образом получаем, что траектория типа
XIV сводится к такой:
XIV As = А! ° Ajci с Ао о А3=А[ о А, о Ау- о А3, Оу-1=0^2.
2 7
поскольку всегда й_. —	.
Итак, мы определили 14 типов возможных траекто-
рий движения. Можно видегь, что число свободных
параметров на каждой траектории типа VIII—XIV че
превышает грех. :. с. ’« .го числа параметров, которое
однозначно (при а;-щ. нх ыг-; лъ'жх вр- :иг :пя)
определяемы зададщлм роз\л.ы.ipyioxv.M 1юв>«рогом А*.

? 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ ПЛ КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 271
Отсюда следует, что все составляющие вращения для
каждого типа траекторий могут быть определены по
величине Лг.
С другой стороны, если задано результирующее вра-
щение (6,46). то ему, вообще говоря, может соответство-
вать несколько (из числа перечисленных) траекторий,
удовлетворяющих условиям оптимальности. Этого сле-
дует ожидать, исходя, например, из того, что условия
оптимальности являются только необходимыми усло-
виями; условия же выбора из всех данных траекторий
наиболее короткой будут достаточными условиями опти-
мальности.
Чтобы перейти к анализу этого вопроса, нужно уста-
новить, сколько из перечисленных выше 14-ти типов
траекторий может существовать для заданного резуль-
тирующего кватерниона. Пусть кватернион Az опреде-
ляется углом поворота и вектором (1.11); послед-
ний задает точку на сфере (точку пересечения вектора
со сферой). Трея независимым параметрам соответ-
ствуют угол Од и два параметра — координаты вектора
(мы будем определять их величинами у,. уо и у3 —
направляющими косинусами вектора £щ), Рассмотрим
области на сфере, в которых будут находится концы
векторов для каждого из 14-ти типов возможных
траекторий.
Траектории типа I, II и III имеют один свободный
параметр, а именно, угол вращения, который должен
быть равен ijx. По этой причине такие траектории имеют
на сфере только одш точку (т. е. областью их суще-
ствования является точка). Траектории типа IV, VIII,
IX, XII, состоящие из двух участков, имеют по два сво-
бодных параметра и потому определяют па сфере ли-
нию, на которой располагаются концы векторов Av,
Все остальные траектории имеют на сфере конечные (по
площади) области. Эти области, естественно, ограни-
чены линиями, которыми будут некоторые граничные
случаи данного двнжеш:ч, Каждый такой граничный
случай возникает при переходе от одного типа движения
к другому. При этом условие такого перехода н являет-
ся дополнительным у словн-'-м, уменьшающим число сво-
бодных па p.i mi л ров с трс.х до двух, чему соответствует
линия на сфере.

272 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ [ГЛ. 6
Покажем, что такие граничные случаи действительно
имеют два свободных параметра, т. е. определяют ли-
нию на сфере. Так, например, область траектории типа
V ограничивается с одной стороны случаями, когда
Оу = О2 или ^2 — Оз (число свободных параметров при
этом действительно равно двум); эти случаи определяют
границу перехода между траекторией типа V и траек-
торией типа VI. С другой стороны эта область огра-
ничена случаями О] — 0 и if>3 = 0, т. е. траекториями
типа IV.
Область траектории типа VI ограничена указанными
выше границами с траекторией типа V (что имеет ме-
сто, когда на траектории типа VI выполняется условие
01 = О или О4 = 0); с другой стороны этой области
границы определяются случаями Оз — Оз = О; или
01 — 02 — Оз (эти границы отделяют данный тип траек-
тории от траекторий типа VII).
Траектория типа VII от последующего типа траекто-
рий отделяется такими границами: О2 — 0J=04==0J + О{,
02=01=03 = 04 и О2 = 0з = 04 = 0ь
Траектория типа X имеет только две границы: пер-
вая определяется условием О[ — 0, когда границей тра-
ектории типа X является траектория типа IX, а вторая—
условием 0[— 0, когда границей является траекто-
рия типа VIII. Случаю же Ogn =0 соответствует траек-
тория типа I, т. е. одна точка, в которую сход.ятся обе
границы — траектории типа VIII и IX (при Ощ = 0).
Траектория типа XI имеет следующие границы: тра-
екторию типа IV при Oga — 0 п траекторию типа VIII
или IX при Oj = 0 или О2 = 0. В случае, когда угол О2
2л
достигает значения получаем границу между траек-
и
торией типа XI и траекторией типа XIII (в последней
следует положить 0, = 0). Иного типа граница суще-
2 %
ствует при Оу = -у-, когда аналогично (6.53) имеем
Aj °	— Аут ° Aj,
вследствие чего получаем вторую модификацию траек-
тории типа XIII:
As — Ag-j о Aj о А2.

§ 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 273
Траектории типа XIII и XIV существуют только при
больших углах и области их существования следую-
щие: траектория типа XIII имеет два свободных пара-
метра, т. е. является линией (границей), отделяющей
траекторию типа XI от траектории типа XIV. Таким об-
разом, можно построить все области существования для
каждого типа траекторий. Этим определяется, какая из
:раекторш! (или какие несколько траекторий) осуществ-
. мет заданный разворот Av. Если в данной точке су-
ществует несколько траекторий, то необходимо из них
выбрать наиболее короткую. Тем самым будут даны
ответы на все вопросы поставленной задачи: будут опре-
делены угловые скорости вращений и их последователь-
ность, число участков вращений с предельно допусти-
мыми скоростями и их время разворота.
В заключение сделаем следующее замечание. Усло-
вие (6.47) определяет следующие два соотношения, по-
зволяющие найти рЕ0 и рЕт: угол между векторами
и pF, равен углу между векторами и р£т, а дву-
гранный угол между плоскостями, образованными соот-
ветственно векторами М н рЕ0 и векторами и рЕт
павен 10's. С другой стороны, мы видели, что на любой
оптимальной траектории однозначно определяются
.’липы дуг составляющих вращений; при этом положе-
ние векторов рЕ0 и рЕт задается однозначно. Казалось
бы, что приведенные выше два условия являются лиш-
ними или же число условий для определения положения
лекторов р£0 п рЕт больше, чем требуется. Оказывается,
чю на оптимальных траекториях эти два типа условий,
"пределяюших положение векторов pEQ и р£т, совме-
стимы. Отсюда, в частности, следует такой любопытный
Факт: на траектории замкнутого цикла VII имеет место
равенство
Р£О ~ РёГ
1гэ согласно (6.47) может быть тогда и только тогда,
ко-да вектор направлен по вектору рЕ0.
Можно видеть, что возможно и дальнейшее увеличе-
,е числа участков траектории, ведущее к появлению
ж'йного цикла. В этом случае, если первый «оборот»
•t-KTOpa рЕ (т. е. первый цикл) заканчивается в момент

274
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
ii, имеем
р£^1) Р£О’
и, следовательно, вектор (/,) также направлен по
вектору рЕ0. А так как для двойного цикла результи-
рующий кватернион может быть представлен как
Ах (Г) = Л2 (/j) ° Ах (Т — /])
и Ах (Г) и Ax(/i) имеют направление р£), то и Ах(Г —
имеет то же направление и его угол вращения [как и
Ах (/])] равен половине угла йх.
Аналогичное разбиение имеем для трех-, четырех-
кратного цикла и т. д. Пределом таких циклов при уве-
личении их числа до бесконечности и уменьшении каж-
дого участка движения до нуля будет скользящий режим
со всеми четырьмя скоростями (в данном случае о,, ю2)
<о3, <о4), эквивалентный стационарному случаю вращения
со скоростью о>лз.
Малые повороты. Случай малых поворотов интересен
тем, что позволяет найти аналитическое решение для лю-
бого типа траектории. Мы подробно проведем это иссле-
дование, чтобы пояснить на примере методику построе-
ния областей для каждого типа траекторий.
Приведем выражение для кватернионов, являющихся
решениями кинематических уравнений со значениями
угловых скоростей (6.44) в порядке их расположения,
указанного на рис. 6.1.
Для скоростей ат согласно (6.48) имеем (приведем
только первые четыре решения)
.	О, . е, + е2 +	. ft,
Aj = cos+-4—т=----sin-тЦ
*	J о
А
Л2= cos -g-
— е, + е2 + е3
. ft2
sin — ,
А	^3 I
A3=cos-^- +
— et — е i + е, . ft,
----- - -3- Sill -А
К 3	2
(6.54)
.	ft, . е, — е. + е3 . ft
л<=С05т + —17 51Пл

5 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 275
Для скоростей согласно (6.50) получаем такие
решения;
1	7* 1	।	• St 1
A^j — cos —Д- в] sin g—
ft v,	ft
Л^2 = COS + e2sin -~-
Ллз = cos —— + е. sm —g—
(6.55)
(приведены первые три решения).
Для скоростей приведем также решения (6.49)
для первых трех значений скорости:
Ay, = cos	—+ 2 ~	e2 + e> 	1<J 1 — - Sin 7~ , J 2	2	
	fty>	— e, + e,	fty,	
Лу2 = cos	+		Д-.—‘ sin —~ , J 2	2	(6.56)
	%3 ,	—	+ e,	ft -3	
Ay3 = cos	2 +	5 sin	. J 2	2	
Будем считать, что углы тД всех составляющих кватер-
нионов малы, так что можно пренебрегать их произве
дениями. В этом случае, во-первых, угол результирую-
щего поворота Os будет также мал; во-вторых, при
умножении кватернионов малых вращений будет проис-
ходить сложение их векторных частей (см. § 3.1),
Рассмотрим траектории типа IV—VII, существующие,
когда вектор рЕ находится в области Исследование
начнем с траектории типа IV. Согласно (6.54) для малых
хглов 0;, получаем
Av = Aj о А., ~ I + е' +	~ ftj + ~	е-+- - ft2;
1	2) 3	2) 3
для малого угла ftv имеем также
As ~ 1 4~ у (Yiei + У-2е2 + Yj^j) fts-
Приравнивая компоненты кватернионов, имеем
Yi^s -Ц-	— di)> Y2^s =	= -=- (е, + ft2).
Jo	J о

276
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТР ШСТВЕПНЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ, 6
Отсюда видно, что результирующий кватернион мо-
жет располагаться только на дуге сферы, образованной
ее сечением с плоскостью, для которой у2 = Уз- Этого
и следовало ожидать, так как сумма двух векторов 0]
и 02 может дать результирующий век гор, находящийся
в плоскости, образованной этими векторами. Разрешая
полученные равенства, найдем величины углов состав-
ляющих вращений в функции кватерниона А^:
=-^ (У1 + У2)	^2 = --тг-(У2 —У1Ж-
Условия положительности этих углов определяет сле-
дующий отрезок дуги;
У1 + у2>0, у2>уь у2 = Уз- (6.57)
Именно на этой дуге может располагаться конец век-
тора кватерниона As для данного типа траекторий.
Рассмотрим далее траекторию типа V. Аналогично
предыдущему случаю, имеем такое выражение для ре-
зультирующего кватерниона:
A2 = A1cA2oA3« I + f±4+-£м +
2/3
__е, + е, + е3
2 / 3	2	2/3
откуда
Yi^ = ут (<>1 ~ '°- ~
у^2 = у=-(^ + ^-^,
Уз^В =	(^1 + / +
Разрешим эти уравнения относительно углов (/:
(Y1 + Уз)>
Ф2=-^Ыу2 —Y1),
/з =-^ ЫУз — Уг)-

$ 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НЛ КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОП СКОРОСТИ 277
Условия положительности углов вращения i9/i( а
:акже условия (6.51) определяют следующую область
а сфере, в которой существует рассматриваемое дви-
жение, состоящее из трех участков
Yi+Yb>0,	Y2>Yi, Yt>Y2, 1
(6.58)
Ya Yi Yi + Yt> Y’ Yi Ya Y'2- J
Очевидно, что каждое из этих неравенств определяет
раницу, являющеюся пересечением сферы с такими пло-
костями:
Л + Y3=0> Y2 = Yi, Y3 = Yz> Y2 = 2yi + Y.3> 2y’2=Yi + Y3>
t. e. все границы суть дуги большого круга (все плоско-
сти проходят через центр сферы). Указанные пять
.раниц представлены на рис. 6.5, где на плоскостьразвер-
:\та полусфера. Неравенства (6.58) выделяют заштри-
 званную область. Как видно из рисунка, стществен-
ыми являются только четыре границы [а именно: пер-
вое, третье, четвертое и пятое условия (6.58)]. Первые
зри условия (6.58) тождественны условиям (6.57) и оп-
ределяют ту границу', при подходе к которой один из
•ре.х участков движения обращается в нуль. Отсюда
следеет, что границей области траекюрип типа V с
одной стороны являются линии типа (6.57), т. е. линии

278 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ [ГЛ. 6
траектории типа IV. Следует ожидать, что другие две
границы [четвертое и пятое условия (6.58)] будут опре-
делять переход к траекториям типа VI. Внутри самой
области траекторий типа V везде выполняются строгие
неравенства (6.51) и углы Оц 0'2 и Оз положительны.
Обратимся к траекториям типа VI. Производя под-
становку величин кватернионов (6.54) в выражение для
результирующего кватерниона, получаем
Д2 = А, о Д2о А3 о Д4- 1 +	+ езОу + ~е> + езО2+
1	2)3	2 р 3
Приравнивая элементы при единицах е,. получаем
YiOs =	(О) ~ 02 — О3 + О4),
У20в =	(^1 + — О3 — М
г 3
Y30v = -р=- (О, + 02 + Оз + М
и второе условие (6.52) дает еще одно равенство
О2 = О3,
благодаря которому данные уравнения разрешимы от-
носительно углов составляющих вращений:
О,= J-1o2(2y2 + Yj + Уз),
1	4
О2 = О3 = Os (Y’3 — Y1 )>
O4 = ^OS (Yl+Y3-2y2).
Требование положительности углов OI( О2, Оз и О4, а
также условия (6.52) определяют такие границы обла-
сти траекторий типа VI:
2v2^Yi+Yj, 2у2 + Yi + Уз 0, Y3^Yi> 1 СГ1.
।	>>	(6.59)
Yi + Y2 0> Yi s^Y’2-	J

§ 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 279
Данная область и границы (6.59) представлены на
рис. 6.6. Видно, что первая группа условий (6.59) опре-
деляет границы [см. (6.58)] с траекториями типа V,
тогда как вторая группа задает границу с траекториями
того же типа, состоящими из другой последовательности
вращений.
Последнее утверждение следует из того, что траек-
тории типа VII эквивалентны траекториям типа VI, так
как малые повороты переставимы:
Av=Aj ° А, ° А3 о ° А] = А] • А] ° Л2 ° А3 о А4,
и данная траектория совпадает с траекторией типа VI
с учетом того, что первый угол вращения равенО, + О].
Окончательная картина областей траекторий типа
IV—VII представлена на рис. 6.7. На рисунке приняты
такие обозначения: каждая область и граница отме-
чены соответствующей траекторией, однако индекс неко-
торых кватернионов обозначен жирной цифрой. Это
означает, что угол вращения данного кватерниона мень-
ше предельно возможного; например, ЛзсЛзоЛ^ озна-
чает, что 02 < Оз п Й4 < Оз. Границам областей соответ-
ствует дополнительное условие, уменьшающее число
свободных параметров до двух, что нашло отражение
в обозначениях; так, граница Аз ° Л3 ° At соответствует

280
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
траектории, для которой {Ь — й3 > она разделяет
области A2oA3oA4oAi и А2оА3°.\.4. Рис. 6.7 позво-
ляет проиллюстрировать все положения относительно
областей и границ движения, высказанные при каче-
ственном исследовании.
че,
Рис. 6.7.
Представленные на рис. 6.7 области движений соот-
ветствуют траекториям, получаемым при движении век-
тора р£ в области «5^з. когда он «обходит» точку е- (см.
рис. 6.2). Точно такие же траектории и соответственно
картины областей траекторий типа IV—VII существуют
в любой области В любом случае достаточно по-
строить разбиение на области движений только в зоне,
например, ^^^^2 (рис. 6.8) пли даже в ее половине
так как все остальные зоны сферы адекватно
расположены относительно трехгранника и векторов
скоростей вращения и, следовательно, имеют точно та-
кое же разбиение на области движений, как и зона

ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВО'Л СКОРОСТИ 285
Можно видс!Ь, что области траекторий типа V и VI
и границы IV, представленные на рис. 6.7, полностью
покрывают именно талую зону. Таким образом, движе-
ние типа IV, V и VI имеет области, полностью покры-
вающие всю сферу. Отсюда следует, что траектории
типа IV, V, VI позволяют осуществить произвольный
малый разворот.
Найдем время выполнения разворота. Величина уг-
ловой скорости сэ», равна ф 3; отсюда следует, что время
движения будет равно сумме всех углов составляющих
движений, деленной на У 3. Используя подученные зна-
чения углов для каждого
лучаем
убывает до значения •frs/ф 2
у, _ fli +	_
V— 5 3
=
Л'! = Лж =
Л + ^+б-з + йЗ Л
г~ -Мз.
(6.60)
т. е. на всех траектори-
ях время движения при
одном и том же угле
максимально и равно fts
при положениях As в
точках д/„ и равномерно _
в точках Я?1 и до значения •O's/ф'З в точках
Рассмотрим теперь другие возможные траектории.
Стационарным траекториям типа I—III соответствуют
точки на сфере (6.48)— (6.50). Можно видеть, что время
движения по этим траекториям совпадает со временем
движения по траекториям типа IV—VII; в этом смысле
все эти траектории являются оптимальными и движение
возможно по обоим тинам траекторий.
Траектория типа VIII и эквивалентные ей траек-
тории типа IX и а (в силу коммутативности малых

282
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
вращений) определяют для малых углов и такое
движение [согласно (6.54) и (6.56)]:
А А Л 1 I £1 4~	4“ л |	4~ ^2 а
Л2 = Л, О Л^! ~ I + V- &! + fyf),
1	2 J' 3	2/2
Yi'O's = Y/x = -7=- / + 77= fyri, Y./s = ~7~ fy,
o /2	у 6
откуда получаем
е1 = узй2уз>о,
flvi = /2 fts (у2 — Уз) =
= /2 MYi ~ Уз) > О-
Такие траектории существуют на следующей кривой на
сфере:
У 2 — Yi / Уз
и время движения по таким траекториям будет равно
Туш = Т[Х=	+ -£= = й2у( = й2у2.
J О I Z
Поскольку областью существования таких траекторий
является как раз граница симметричных зон (кривая
^2^1 на рис. 6.8), можно видеть, что на этой границе
возможна траектория типа IV с точно таким же време-
нем движения.
Рассмотрим траекторию типа XI. Для малых углов
согласно (6.54) и (6.56) имеем
As^AjoA^oA^ 1 +	+
откуда
Yi^s = 7=7 (^1 ~	+ 77=-
о	ул
Уг'й'х = -J7= (fy + ^2) +	/л>
Уз^2=у=- (^i + />)-

s 6 1] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 283
Разрешим данные равенства относительно углов вра^
пений;
(Уз + Vi — у2) = /3 й2у3,
= рЛ3 $2 (у2 — Yi) = О,
= ]/2^v (у2 — у,).
Область существования данной
УСЛОВИЯМИ
Уз > О, У2 = У1,
Данная область представ-
лена на рис. 6.9. Как вид-
но, она является границей
области для траектории
типа V (это—область
A5oA|oA2, получающая-
ся при движении вектора
РЕ в области з^2)- Время
движения по траектории
типа IX равно
Txi =
^1 + ^2
~	1 2
траектории определится
^2У2,
1. е. совпадает со временем движения по траектории
типа V [см. (6.60)].
Траекторий типа XII—XIV для малых углов не су-
а. 2л
Шествует, так как для них v.> = -g- .
Итак, найдены все области существования оптималь-
ных разворотов для малых углов.
Дадим теперь ответ на последний вопрос: насколько
шйденное оптимальное уравнение отличается от управ-
ления по компонентам кватерниона (6.37)? Пусть Ах
располагается в области, ограниченной жирными дугами
''см. рис. 6.7). Можно видеть, что этому случаю соответ-
твует прохождение вектора V через одну грань куба
'6.43). В этом случае для управления (6.37) величина
юксимальной угловой скорости будет равна =
— 1/уз, откуда следует, что время разворота на угол Ох

284
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ [ГЛ. в
при таком управлении будет равно Т ~ уз^£, т. е. совпа*
дает со временем оптимального разворота (6.60).
Таким образом, в первом приближении при малых
углах разворота управление (6.37) является оптималь-
ным и для ограничений типа (6.44). Если учесть вели-
чины второго порядка малости, то рассмотренные опти-
мальные развороты все же «короче», чем вращение типа
(6.37). Ниже будет показано, что при больших углах
эта разница будет заметной.
Произвольные углы разворота. Как было показано
на примере малых углов вращений, процесс решения
задачи сводится к построению на сфере областей суще-
ствования каждого типа траекторий и определению до-
статочных условий оптимальности. Случай, когда со-
ставляющие вращения представляют собой произволь-
ные углы, является существенно более сложным и его
не удается решить аналитически. В любом случае можно
составить уравнения, выражающие величины Хп (i =
= 0, 1, 2, 3) результирующего кватерниона и функции
углов составляющих вращений для каждого типа траек-
тории, однако обращение этих равенств в произвольном
случае невыполнимо. Для решения задачи мы исполь-
зовали метод построения границ областей. Каждая
граница области определяется тем, что первое и послед-
нее вращения приобретают свое максимальное или ми-
нимальное значение; при этом для любого типа движе-
ния число свободных параметров не превышает двух.
Решение строилось путем расчета на ЦВМ следующей
задачи: один параметр (угол одного вращения) прини-
мает фиксированное значение; второй выбирается таким
образом, чтобы обеспечить требуемый угол результи-
рующего поворота fts; этим определяется одна точка
на сфере. Изменяя первый параметр (угол первого вра-
щения) от минимального до максимального значения,
получаем линию на сфере — границу области. Расчеты
выполнялись для четырех значений угла {Ц, равного
у, ~ и л. Результаты решения представлены на
рис. 6.10—6.15 в зоне па сфере с обозначениями, анало-
гичными представленным на рис. 6.7. На всех рисунках
на плоскость развернута полусфера; пунктиром пред-
ставлены границы симметричных зон.

§6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОП СКОРОСТИ 285
На рис. 6.10 представлены зоны для случая, когда
угол йт = у. Как видно из рисунка, для такого враще-
ния наибольшие области существуют при положении
вектора р£11 в зоне мО п, в частности, для траекторий
типа V. На рисунке представлены границы этих обла-
стей, с одной стороны состоящие из траекторий типа IV,
Рис. 6.10.
а с другой стороны отделяющие эту область от траекто-
рий типа VI. Траектории типа VI занимают узкие обла-
сти вдоль координатных осей; ближе к центру (е3)
находятся их границы с траекториями типа VII; пред-
ставлена также траектория замкнутого цикла. Как видно
из рисунка, внутри и на границе цикла существуют од-
новременно траектории типа VI и траектории, состоя-
щие из большого числа участков (типа VII, замкнутый
цикл и т. д.). Однако расчеты показали, что в целом
оказывается справедливой такая гипотеза:
4° Оптимальными являются траектории, состоящие
из меньшего числа участков.

Рис. 6.11.
• V	'
Рис. 6.12.

§ 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 287
Вне траекторий типа V некоторую область занимают
траектории, получаемые при нахождении вектора pEQ
на сепаратрисе, т. е. траектории типа X и XI, ограничен-
ные траекториями типа VIII, IX и IV. Можно видеть,
Рис, 6.13,
что везде осуществляется непрерывный переход от од-
ного типа движения к другому.
По мере увеличения угла вращения 0’s (см. рис.6.11
для 0’s = у и рис. 6.12 для iQ’s = -y-j происходит умень-
шение областей, определяемых движением вектора рЕ
в зоне ^з, и расширение областей сепаратрисы (заме-
тим, что при малых углах последние области вообще
отсутствуют). При этом происходит вначале уменьшение
областей траекторий типа VI, а затем они вновь рас-
ширяются. Угол O’s = -y является предельным углом,

288
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ [ГЛ. 6
для которого область траекторий типа V подходит к
точкам (dm. С другой стороны, при	не суще-
ствует траекторий типа XII—XIV.
Рис. 6.14.
Особое место занимают траектории для угла $2 = л.
На рис. 6.13 представлены области, получаемые при
нахождении вектора р£0 в зоне sh. Как видно из ри-
сунка, произошло дальнейшее расширение зон траек-
торий типа VI и сужение областей траекторий типа V;
появились также зоны областей траекторий типа VII.
Траектория замкнутого цикла стала максимальной, од-
нако в целом область данного типа траекторий сильно
сократилась. С другой стороны, на рис. 6.14 представ-
лены области траекторий, получаемых при движении

§ 6.4] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 289
вектора рЕ по сепаратрисе; как видно из рисунка, эти
области покрывают всю сферу. На данном рисунке не
представлены области траекторий типа XIII и XIV
(одна из границ этих траекторий представлена на
Рис, 6.15.
рис. 6.15), так как оказалось, что, во-первых, зона их
существования целиком покрывается областью траекто-
рий типа XI, а во-вторых, траектории типа XI «короче»
траекторий типа XIII и XIV, т. е. гипотеза 4° оказалась
справедливой и для этого типа траекторий.
На рис. 6.15 представлены области всех типов траек-
торий. Из этого рисунка видно, что в центре области 5^3
существуют одновременно области траекторий типа V—
VII и VIII—XI. Расчеты показали, что траектории типа
VIII—XI везде «короче» остальных траекторий. Таким
Ю В. Н. Бранен, И. П. Шмыглевский

290
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
образом, можно получить оптимальное движение, реали-
зующее любой заданный разворот.
Рассмотрим в заключение вопрос о том, насколько
отличается построенное оптимальное управление от
управления типа (6.37) по компонентам кватерниона.
Можно видеть, что во всех случаях в точках <лт и
оптимальное управление точно совпадает с (6.37); ана-
лиз показал, что в остальных точках оптимальное управ-
ление «короче». Разность между временами разворота
при управлении (6.37) и оптимального разворота до-
стигает максимума (при любом фиксированном угле -0’s)
в точках Эта разность в данной точке в функции
угла 6s возрастает с ростом этого угла, достигая мак-
симума при 6х — л. Оптимальный разворот в этом слу-
чае определяется траекторией типа IV, у которой оба
2л
составляющих вращения имеют угол -у , т. е. суммар-
ный угол поворота равен 240°. Однако поскольку враще-
ние происходит со скоростью |<от|=]/3, то время раз-
ворота
Г2=	138°,8 < 180°.
/3
§ 6.5. ДИНАМИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗВОРОТ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В задаче динамического оптимального разворота
предполагается, что функцией управления является ве-
личина внешнего момента, приложенного к телу. Урав-
нениями движения твердого тела являются динамиче-
ские уравнения, дополненные кинематическими уравне-
ниями. Будем рассматривать вращательное движение
твердого тела относительно неподвижной системы коор-
динат /, начало которой расположим в центре масс
тела. Динамическими уравнениями движения будут
уравнения Эйлера (5.51).
Будем считать, что управление M{Mi, М2, М3} огра-
ничено и принадлежит к некоторой замкнутой области М:
М{МЬ М2, М3}е М.	(6.61)
Определяемые уравнением (5.51) величины угловой ско-
рости задают кинематику движения твердого тела, опи-

$ 6.5]	ДИНАМИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗВОРОТ	291
сываемую уравнениями (6.1). Для полного описания
движения необходимо задать граничные условия движе-
ния по положению тела:
А(0) —Ао, А(Г) = АТ,	(6.62)
где 0 и Г — моменты начала и конца движения. Гранич-
ными условиями по скорости являются следующие:
<о (0) = <о0)	®(Г) = ©Т,	(6.63)
где ®о и <дт — некоторые желаемые допустимые [в том
смысле, что они могут быть достигнуты при ограничен-
ном управлении (6.61)] значения.
Практическое значение имеет задача, в которой
<д0 = (от=0,	(6.64)
т. е. задача разворота тела из одного неподвижного по-
ложения в другое.
Чтобы полностью замкнуть задачу, необходимо вве-
сти критерий оптимальности. Будем рассматривать две
постановки задачи: динамический оптимальный разво-
рот по быстродействию и оптимальный разворот по так
называемой величине «расхода». В первом случае мини-
мизируется время Т разворота; во втором случае при
фиксированном времени разворота Т минимизируется
следующая величина:
т
а=](т+1Ы+1^1)Л.	(6.65)
о
где Гц Г2, г3 — некоторые длины, имеющие смысл плеча
действия реактивной тяги, создающей соответствующий
момент М,. Величина G равна суммарному импульсу
тяги реактивных двигателей и определяет расход топ-
лива, затрачиваемого системой управления на выполне-
ние разворота. В частном случае G = 1 величина G
определяет суммарный импульс момента; по-видимому,
возможна постановка задачи, когда минимизируется эта
величина.
Динамические уравнения (5.51) совместно с (6.1)
при заданных начальных условиях (6.62), (6.63) и при
некоторых функциях управления МД/) имеют единствен-
ное решение (траекторию). Очевидно, что не при всех
10*

292
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
возможных функциях управления траектория придет в
конечную точку, определяемую Ат и <от [см. (6.62) и
(6.63)]. Будем предполагать, что всегда существует под-
множество функций управления МД/), принадлежащих
множеству (6.61), для которых траектория движения си-
стемы удовлетворяет граничным условиям (6.62), (6.63).
Задача состоит в том, чтобы среди всех возможных до-
пустимых управлений отыскать те, которые имеют ми-
нимальное значение выбранного критерия качества
управления: времени Т или импульса G. Для нахожде-
ния условий оптимальности управления используем фор-
мализм принципа максимума Понтрягина [6, 41].
Чтобы в обеих постановках задачи оптимизации
иметь одинаковый подход к ее решению, сведем случай
оптимизации по импульсу тяги к случаю оптимизации
по быстродействию путем добавления к уравнениям дви-
жения дополнительного уравнения
Q=|M,| . |М2|
Г1 ' Г2
I М31
Гз
(6.66)
получаемого из критерия оптимальности (6.65). Оче-
видно, что начальное значение G равно нулю; конечное
значение не фиксируется и управление должно его ми-
нимизировать.
Введем дополнительные функции <рь <ра и <р3, соот-
ветствующие переменным йь ю2 и ю3, функции ф; (г = О,
1, 2, 3), соответствующие координатам А,, и функцию g,
соответствующую G. С помощью этих функций построим
функцию Гамильтона
<%> = 2ёл + <ЖК + <ЖР = (ф©) + (Аф) + (Gg) =
= Мх^ Г" ®2®3) + ф2 (х jX °1®3) +
+фх+х’М + < + Пх+-7г+х1'
(6.67)
где функция Гамильтона разбивается на «динамиче-
скую» <5^д, «кинематическую» Жг и «расходную» ^р.
Величиной ^к = у (Ю]р( + Ю2Р2 + ®зРз) является рас-
смотренная в § 6.2 функция Гамильтона для кинемати-

5 6.5]
ДИНАМИЧЕСКИЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗВОРОТ
293
ческой задачи оптимального разворота (6.6); она мо-
жет быть выражена через кинематический сопряженный
вектор управления. В случае управления по быстродей-
ствию последний член <^р в соотношении (6.67) отсут-
ствует.
Дополнительные переменные определяются уравне-
ниями
Ф* (k 1, 2, 3), ф, — —(г—0, 1, 2, 3),g	5q-
Запишем эти уравнения отдельно для разных групп пе-
ременных. Имеем следующие уравнения, определяющие
функции <pft:
Ф1 = Фг	11	^3	| _ Jg J1 г	©з Г фз - j ”2	^3	®2 —	1 „ 2-Р1,
Ч>2= Ф1	J3 Jg .. 1 „ Jg J) Jj	1 Фз J3	©1	уР2,
Фз= Ф1		®1~	4рз’
(6.68)
где величинами рь являются введенные ранее величины
(6.15)—проекции сопряженного вектора р$-
Поскольку кинематические переменные hi (i = О, 1,
2, 3) входят только в кинематическую функцию Гамиль-
тона Ж К
 дЭё дЭёК
то уравнениями для переменных т]ц будут полученные
ранее уравнения (6.8) и (6.13) кинематической задачи.
Наконец, для случая оптимизации по импульсу тяги
двигателей имеем последнее уравнение для перемен-
ной g:
g = 0.	(6.69)
В случае оптимизации времени разворота это уравнение
отсутствует.
Необходимые условия оптимальности управления за-
ключаются в том, что управление Мл (k = 1, 2, 3)
должно максимизировать функцию Гамильтона Ж на
множестве (6.61) допустимых управлений- Поскольку
управление входит только в первый («динамический») И

294
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. в
третий («расходный») члены функции Гамильтона, то
это условие запишется таким образом:
WHO, <М0, МО, G(0, фИО, t/(0, g(t)}=
= max {Mi, со* (О, МО, G (О, Ф*(0, ФИО, g (01 =
MAsM
= max (со*, фА, М*) + max 2вр (М*, g, G). (6.70)
MjeM	MjeM
В случае постановки задачи по минимуму расхода,
когда фиксируется время разворота Т, эти условия- не-
обходимо дополнить следующим соотношением, которое
должно выполняться в конечный момент времени Т (см.
[6], § 8, теорема 6):
g(T)=-l.	(6.71)
Написанных соотношений достаточно для решения
(в принципе) поставленной задачи. Действительно, ус-
ловие максимума (6.70) определяет управление в функ-
ции ©* и вспомогательных переменных ф* и g. Выразив
формально функции управления М* с помощью условий
максимума через ф* и g, получим замкнутую систему
14 дифференциальных уравнений первого порядка (6.51),
(6.68), (6.1), (6.8) (не считая уравнений для G и £).Эти
дифференциальные уравнения в свою очередь опреде-
ляют функции (Akt Az, фй, фц, g (i = 0, 1, 2, 3; k = 1, 2, 3)
необходимым числом граничных условий (6.62), (6.63)
и (6.71). Следует таким образом выбрать константы,
задающие функции ф* и ф{, чтобы траектория {со*, Az),
выходя из начальной точки (6.62), (6.63), прошла через
заданную конечную точку.
В случае оптимизации управления по быстродействию
управление Mi (k = 1, 2, 3) определяется условием мак-
симума только динамической составляющей функции
Гамильтона:
max Ж — max (М*, со*, ф*).	(6.72)
Этим самым управление задается в функции величин
©я и фй, и вид этой зависимости определяется конфигу-
“рацией множества управлений М.

5 6.6]
РАЗВОРОТ ТЕЛА СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
295
В случае оптимизации управления по импульсу тяги
имеем в соответствии с (6.69) и (6.71)
g(0=-i-
Исходя из этого, выбор оптимального управления будет
находиться из условия максимума функции
тах^ = тах{<Жд(Мъ	<р*)--^1-	ИМ (6-73)
М4еМ	Г1 г2 гз
и будет определяться более сложными соотношениями,
зависящими от времени разворота Г (ниже это будет
показано).
Системы уравнений (5.51) и (6.68) представляют со-
бой системы нелинейных уравнений; поэтому, даже когда
получается непосредственное представление управления
Мл в функции фл и «к, решения уравнения получить не
удается. К тому же, если исходить из условия (6.73), то
его разрешение возможно только при известных (най-
денных) функциях фй и ®h. Следует также учесть, что
в уравнения для <рь входят величины рь, определяемые
в функции решения кинематического уравнения, кото-
рое также в общем виде непредставимо через элемен-
тарные функции. Отсюда ясно видны все принципиаль-
ные трудности решения задачи динамического оптималь-
ного разворота.
§ 6.6. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДИНАМИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА ДЛЯ ТЕЛА
СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ
НА МОДУЛЬ УПРАВЛЯЮЩЕГО МОМЕНТА
По-видимому, этот случай является единственно раз-
решимым аналитически, поскольку при сферической сим-
метрии тела имеем Ji = J2 = J3 = J и нелинейные урав-
нения (6.68) (нужно учесть, что условием максимума
определяются как функции <р&) переходят в линейные
дифференциальные уравнения. С другой стороны, ре-
шение даже для такого частного случая симметрии твер-
дого тела интересно тем, что позволяет до конца про-
следить все особенности поставленной задачи и хорошо
иллюстрирует роль полученного решения кинематиче-
ской задачи.

296
Оптимальные пространственные развороты [ГЛ. в
Для рассматриваемого случая функция Гамильтона
(6.67) примет такой вид:
^ = <Pi4L + <₽2JT + <₽3Jr + ^K-|M1|-|M2|-|M3|
(6.74)
(мы Приняли, ЧТО Г1 = Г2 = Гз = 1).
Динамические уравнения Эйлера (5.51) и уравнения
для вспомогательных функций фь (6.68) сводятся к сле-
дующим:
= Чк = -±-рк (Л = 1, 2, 3). (6.75)
Сюда же следует добавить кинематические уравнения
(6.1) для величин и соотношения (6.15), определяю-
щие величины рк в функции и ф; (i = 0, 1, 2, 3). За-
пишем эти уравнения в кватернионной форме, используя
соотношение (6.20):
А = у А ° ®£, рЕ = А ° pEQ о А,	(6.76)
где рЕ0— начальное значение сопряженного вектора, а
рЕ — кватернион (6.15).
Исследуем сначала случай оптимизации управления
по быстродействию и рассмотрим условие максимума
(6.72) для этого случая. Введем следующие векторы
(и кватернионы):
М = М^+М2/2 + М3*з, 1
Ф = Ф1$1 + <p2i2 + <p3i3. f
Отметим, что если гиперкомплексный базис совмещен
с базисом Е, то М есть вектор управляющего момента
в связанных осях. С учетом (6.77) условие максимума
(6.72) запишется в таком виде:
max 2$ = тах [Ф • М].
MsM
В частном случае, когда область допустимых управ-
лений есть сфера (момент ограничен по модулю), имеем
из условия максимума такое конечное выражение для
функции управления:
М — Цф.
(6.78)

§ 6.6]
РАЗВОРОТ ТЕЛА СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
297
Здесь у,— коэффициент нормировки, равный МШах/|ф|.
где Мщах — максимальное значение модуля момента.
Это соотношение выражает управление в функции только
вспомогательных переменных <р&: момент М должен быть
максимален по величине и направлен по вектору <р. Век-
тор ф в свою очередь определяется вторым уравнением
(6.75) в функции вектора р£; вектор рЕ выражается со-
отношением (6.76) в функции ш£.
Представим соотношения (6.75) в векторной форме,
используя обозначения (6.77) и рассматривая управле-
ние, определяемое условием (6.78):
^=-4^ <6-79)
Полученные уравнения совместно с уравнениями (6.76)
дают замкнутую систему дифференциальных уравнений,
которая должна единственным образом удовлетворять
граничным условиям (6.62) и (6.63).
Следует отметить, что запись уравнений (6.76) в век-
торной форме является формальным представлением
равенств (6.75), поэтому производные (лЕ и <р являются
здесь локальными производными (взятыми без учета
движения базиса Е).
Обсудим выбор произвольных констант полученной
системы уравнений и их связь с граничными условиями
задачи. Поскольку векторные равенства (6.79) есть фор-
мальная запись скалярных соотношений, то дифферен-
циальные соотношения (6.79) можно формально проин-
тегрировать:
ю ___m । Мтих [*
О
t
Ф = Ф0 —у |р£Л',
о
(6.80)
где в>0 и фо — начальные значения величин ш£ и ф.
Из полученной записи следует, что при выборе на-
чального значения угловой скорости, равной соответ-
ствующему граничному условию, удовлетворяется пер-
вое условие (6.63). Можно себе представить, что второе

298
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. в
условие (6.63) может быть удовлетворено соответствую-
щим выбором начального вектора фо. Первое (началь- }
ное) условие (6.62) также выбирается автоматически
заданием в решении кинематического уравнения соответ- ’
ствующего начального кватерниона Ао. Конечное значе-
ние кватерниона Ат должно удовлетворяться соответ- ?
ствующим выбором начального вектора рЕ() (6.76).
Итак, полученная замкнутая система уравнений -
должна иметь решение, определяемое девятью констан- :
тами (по три константы для каждого вектора <о£, ф
и р£), что полностью согласуется с граничными усло-
виями задачи.	•
Перейдем к анализу полученной системы. Вектор ре
получается как результат решения кинематических урав-
нений. Дифференцируя второе соотношение (6.76), по- s
лучаем следующее дифференциальное уравнение, описы-
вающее движение этого вектора:	;
2р£= р£°®£~ ®£°р£-	(6.81)
Можно видеть, что уравнения (6.79) и (6.81) как раз и
образуют замкнутую систему трех векторных дифферен- ’
циальных уравнений первого порядка (т. е. систему .»
девяти скалярных уравнений). Однако эти уравнения
являются нелинейными; они содержат три переменные
®£, ф и рЕ и даже сведение этих уравнений к одной
переменной представляет серьезные трудности.
С учетом того, что векторные равенства (6.79) яв-
ляются формальной записью скалярных соотношений,
продифференцируем второе уравнение этой системы:
ч,= -^р£-
В полученное равенство подставим значение производ-
ной (6.81), заменив функцию р£ через <р. В результате
будем иметь такую систему уравнений, соответствующую
системе (6.79), (6.81) и содержащую только две пере-
менные:
®£ =
2ф =
Мщах <Р
J |<р| ’
<ро<0£ - ®£0фх=2<р Х“£.
(6.82)

I 6.6]
РАЗВОРОТ ТЕЛА СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
299
Исследовать общее решение полученной системы не
удается — укажем поэтому одно частное решение. Пусть
вектор «>£ параллелен вектору <р, т. е. параллелен век-
тору рЕ; это означает, что производная от вектора <р
имеет то же направление, что и вектор <р. Исходя из
равенства (6.81), получаем, что должно иметь место
равенство
Ре = Рео'
а вектор <лЕ должен иметь постоянное направление. Из
второго уравнения (6.80) получаем
<р(0 = -4р^ + «.	(б-83)
где а — постоянный вектор, причем, так как вектор «>£
должен иметь также направление вектора w£, т. е. и
вектора рЕ0, то вектор а должен быть коллинеарен с
вектором рЕ0. Итак, функция <р(/) является линейной для
рассматриваемого случая и может менять знак только
один раз. В соответствии с этим согласно (6.78) управ-
ляющий момент является постоянным по направлению,
максимальным по величине и может менять знак один
раз на всей траектории движения.
Единичный вектор функции <р(0 совпадает с векто-
ром рЕ0; используя первое решение (6.80), получаем
для функции угловой скорости
®£=®о +
Мщах
~Т~р0>
± t для 0 т,
±(2t,—/) ДЛЯ ?! t Т
(6.84)
где Т—временной интервал движения, a Ti — момент
изменения знака функции <р(/). Из полученного равен-
ства видно, что (о0 — начальное значение угловой скоро-
сти— не может быть произвольным, а должно иметь
направление вектора р£0; точно так же и конечное зна-
чение шт определяется этим направлением. Отсюда сле-
дует такой вывод: рассматриваемое частное решение
системы (6.82) справедливо только для некоторых гра-
ничных условий (6.63), а именно таких, когда векторы
начальной и конечной скоростей имеют направление

300
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ [ГЛ. 6
чаем. Вследствие этого число
О
Рис. 6.16.
и момент изменения знака
вектора р£о. Соответственно число этих условий (6.63)
уменьшается с шести до двух (т. е. задаются только
величины «о и (дТ). Тем не менее следует отметить, что
такой частный случай имеет практическое значение, и
граничные условия (6.64) являются именно таким слу-
"	...э граничных условий (6.62)
и (6.63) уменьшается с
девяти до пяти: три усло-
вия (6.62) на угол и на-
правление вращения и два
условия (6.63) на вели-
чины начальной и конеч-
ной скоростей. Число кон-
стант полученного реше-
ния также равно пяти:
три константы опреде-
ляют р£0 и а (т. е. направ-
ление вектора вращения
скорости) и по одной констан-
те— веЛИЧИНЫ (до И (дт.
Характер изменения &E(t) представлен на рис. 6.16.
Нарастание скорости происходит с максимальным
ускорением, время разворота Т здесь не фиксировано —
оно должно определяться величиной угла разворота.
Решение кинематических уравнений для случая постоян-
ного по направлению вектора скорости известно. Для
®£(/) в виде (6.84) имеем
— Р <в t ±  ш -
А(/)=А3ое2	го I о	j	2j	ПрИ
1р [щ f ± Мта* (ат ( т2 П]
А(1) = А3°е2	0	J	\ 1	1 2	Л
при
(6.85)
Полный угол вращения за время Т найдется как
^ = (o07’+^s^(2t17’-t2-^);	(6.86)
он должен определяться кватернионом А0оАт (6.46)
с помощью, например, такого соотношения:
2$ = arccos [sqal (Ао о Ат)].

§ 6.6]
РАЗВОРОТ ТЕЛА СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
301
Направление же вращения, т. е. вектор рЕ0 , определяется
векторной частью (6.85):
p£o==vect(^ooAT)/sin'T-	(6-87)
Очевидно, что рассматриваемый частный случай
описывает плоский разворот тела из начального поло-
жения в конечное. Представляет интерес сравнить по-
лученное решение (6.84), (6.87) с решением (6.35) ки-
нематической задачи. Из сравнения видно, что именно
этот частный случай управления дает плоский разворот,
определяемый кватернионом Ао°Лт.
Величины Г и ii определяются из решений (6.84) и
(6.86):
®т-®0= + ^(7’-2т1),
М ГГ	I (6-88>
О __ &оТ = ±	_ (Г _ т,)2] .
Условия (6.88) приводят к квадратному алгебраиче-
скому уравнению относительно ti или Т, причем из двух
корней этого уравнения только один имеет смысл. Тем
не менее двум знакам решений (6.86) и (6.88) отвечают
разные значения Т и ть Для верхнего знака имеем
Нижнему знаку соотношений (6.88) отвечают такие
значения:
(6.90)
Эти два решения отражают два пути, ведущие из
точки «о в точку Ют (см. рис. 6.16). При нулевых началь-
ной и конечной угловых скоростях возможно только

302
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 8
решение (6.89). Очевидно, что этому случаю соответ-
ствует такое движение, когда половину времени движе-
ния момент действует в одну сторону в направлении
требуемого разворота, половину времени — в обратную.
Согласно (6.88) угол, на который осуществляется раз-
ворот при таком управлении, равен
А мтах р
а максимальная угловая скорость
Решение (6.90) имеет смысл только тогда, когда
имеются отличные от нуля начальная и конечная угло-
вые скорости, причем ясно, что для того, чтобы решение
(6.90) существовало, должно выполняться неравенство
«>2 _|_ >_Mmax ф
О 1 т J
При этом характер управления может быть совершенно
иным: управляющий момент в начале движения может
иметь направление, обратное требуемому развороту (см.
рис. 6.16).
В любом случае имеется неоднозначность решения,
вызываемая, во-первых, возможностью разворота на
угол О или 2л—•&, а во-вторых, тем, что существуют гра-
ничные условия, для которых имеют смысл и решения
(6.89), и решения (6.90). Очевидно, что всегда следует
из всех допустимых решений выбирать то, которое имеет
наименьшее время движения Г. Ответ на этот вопрос
не является тривиальным, если только не имеем нуле-
вых граничных условий по скоростям (6.64). В послед-
нем же случае решение является четко однозначным:
решения (6.90) не существует, а из углов О и 2л—й
следует выбрать тот, который меньше л. Исследование
же общего случая весьма интересно и может быть про-
ведено на основании полученных соотношений; такое
рассмотрение представлено здесь не будет, так как оно
увело бы нас от основной идеи изложения в сторону
частных подробностей.

§ 6.6]
РАЗВОРОТ ТЕЛА СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
303
Обратимся теперь ко второму критерию оптимально-
сти— минимизации импульса управляющего момента
при фиксированном времени разворота Т. Условие мак-
симума функции Гамильтона Ж (6.73) для данного слу-
чая определяет более сложную зависимость управляю-
щего момента от функции q(T), чем это имело место
для случая (6.72). Можно видеть, что, если
з
^ = уМ-(р-2|М/|>0,
>=i
т. е.
з
(6.91)
i=i
условие максимума № определяется теми же соотноше-
ниями, что и в случае (6.72). Однако когда неравенство
(6.91) нарушается, максимальное (неотрицательное)
значение достигается при нулевом управлении
М;^0 (i = l, 2, 3).
Таким образом, движение должно состоять из участ-
ков, когда действует максимальный момент, и участков
свободного движения. Можно видеть, что на участках
ненулевого управляющего момента оптимальное управ-
ление будет определяться точно такими же соотноше-
ниями, как и в случае задачи оптимизации времени
разворота, управляющий момент определяется соотно-
шением (6.78), движение твердого тела и изменение
функции <р — соотношениями (6.79), а кинематика дви-
жения описывается равенствами (6.76). Отсюда следует,
что полученные решения для задачи оптимизации по
быстродействию полностью применимы к отдельным
участкам движения для рассматриваемой задачи. Ос-
тальные участки движения должны иметь нулевой уп-
равляющий момент, т. е. являться участками свободного
движения твердого тела. Траектории свободного дви-
жения сферически симметричного твердого тела будут
такими:
Л(0 = А(т0)о£2 “£(Т0)(<-М
(6.92)

306
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 6
соотношений в виде
(6.94)
У Мтах
При угле вращения Ф ытТ [в случае равенства мо-
жет иметь место условие (6.93) и возможно движение
по такой траектории] и <о0 <от вращение выполняется
на угол •6 + 2/гл (k = 1, 2, ...), если только нет более
экономичных траекторий другого типа.
Для траектории в) выполняются аналогичные соот-
ношения:
о)т-о)й=±^(7'-т3),
<О8Т ±	(Г^з)2 = fr,
J	41
где Тз — длительность первого участка свободного дви-
жения. Значение Тз находится из этих соотношений в
таком виде:
тз - Т - 1/2^-a>°7’)J .	(6.95)
F	Mmax
В тех случаях, когда atoT Ф [равенство возможно
при выполнении условия (6.93)], движение по такой
траектории должно происходить на угол 0'4-2/гл (k =
= 1, 2, ...), если нет более экономичных траекторий
другого типа. Точно так же, если тз получается отрица-
тельным, движение должно выполняться на угол 2л—О
или по траектории другого типа.
Для траектории а) имеем соотношения такого рода:
<ОТ —	— — —J-----(Т) — т2),
±(ЛоТ + Тт, - Tf - т,(<00 - (От) -
— 2ЛГ~ (“о ~ ®т)2= *
*мтах
где Ti > 0, тз > 0 — длительности первого и третье-
го участков движения с постоянным максимальным
моментом.

5 6.6]
РАЗВОРОТ ТЕЛА СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
307
2Мтах
Эти соотношения определяют значения п и т2:
Г (шт — ш0) j
Tl = - + —------------
И 4 2Мтах Мтах 4М2тах Т'
___Г (юр — юТ) J ___
т2 — 2 - 2Мтах
r±(^°)JLT(^°2LJ+-^(o)0_<aT)2.
И 4 2Мтах Мтах 4М2тах
(6.96)
Здесь верхний знак соответствует случаю движения,
когда первый участок имеет положительный момент (а
третий — отрицательный); нижнему знаку отвечает
обратная последовательность моментов. Отметим, что
вторая траектория а) не всегда имеет место.
Так, например, при (Оо = <от=0 существует только
первая траектория (6.96), так как для второй имеем
отрицательные значения Ti и т2. При «о =	> 0 и
•6 > (£>оТ существует также только первая траектория
(т2 < 0), при & = а0Т реализуется траектория только
свободного движения (6.93), при Ф < а0Т существуют
и первая, и вторая траектории. При дальнейшем возра-
стании «о значения Г; и г2 приближаются к у Т и при
©0=0 +	становятся равными ~ Т. При <о0 >
> О + М”а* решения (6.96) формально теряют смысл
(появляется отрицательная величина под корнем). Это
указывает на то, что при таких граничных угловых ско-
ростях разворот за время Т на угол Ф невозможен; при
этом осуществим разворот на угол Ф + 2kn (k =
= 1,2, ...).
В любом случае существует несколько траекторий
типа а), осуществляющих требуемый разворот. Такая
неоднозначность определяется, во-первых, возмож-
ностью разворота на углы Ф, 2л—О и •6 4-2/гл (k =
= 1,2, ...), дающие тот же самый пространственный
разворот, а во-вторых, двумя возможными траекто-
риями (6.96). Всегда для нахождения оптимального

308
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. в
разворота следует рассмотреть все возможные траекто- ,
рии и выбрать из них наиболее экономичную.
Такого рода неоднозначности не существует только '
для нулевых граничных условий по скоростям (6.64).
В этом случае, как указывалось выше, реализуется
только одна траектория (6.96), имеет место равенство
Xi = т2 и оптимальный разворот осуществляется на
угол Ф < л. Именно такой случай имеет практическое
значение, поэтому рассмотрим его подробнее. При таком
движении сначала происходит разгон с максимальным
управляющим моментом, имеющим направление кватер-
ниона рассогласования Л0оАт, до значения угловой
скорости	_________
ТМтах /1	f <	4'0J )
<а=~и—I1 -у 1 ~	(6-97)
определяемой по заданному времени разворота. После
этого следует участок свободного движения длитель-
ностью	__________
7’1/Г 1	40'J
V 1	т>мтяк
и затем участок торможения максимальным моментом
обратного направления. На практике обычно задают не
время разворота Т, а угловую скорость разворота (6.97).
Если при этом управляющий момент задать в виде
релейной функции
—Qfe.) (»= 1,2,3),	(6.98)
где £2Ki — угловая скорость коррекции (6.37), то можно
видеть, что управление (6.98) как раз и реализует
рассмотренное здесь оптимальное управление для случая
сферически симметричного тела. Этим объясняется вы-
сказанное в главе 5 положение о том, что управление по
компонентам кватерниона близко к оптимальному.
§ 6.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
I. Обсудим кратко гипотезы, принятые в § 6.4. Наи-
более простой из них является гипотеза 2°. Проведенное
в этом параграфе исследование показало, что для каж-
дого заданного Az может существовать один или не-

§ 6.7J
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
309
сколько типов траекторий, реализующих это движение.
Согласно этому, Ае определяет одно или несколько зна-
чений рЕ0. В действительности в любой конечной обла-
сти оптимальной является
достаточных условий оп-
тимальности), поэтому в
действительности Ае един-
ственным образом опре-
деляет вектор р£0. Однако
нам не удалось найти
алгоритма, который ста-
вит в соответствие ква-
терниону Az вектор рЕ0.
Гипотеза 3° более сло-
жная; ее альтернативой
является допущение о
том, что вектор р£(/) мо-
жет менять свой знак
(т. е. осуществлять пере-
ход от одного двузначного
значения к другому) в
процессе движения. Если
одна траектория (с учетом
допустить такую возможность, то можно показать, что
такой переход от одного знака к другому может происхо-
дить только при попадании вектора рЕ на координатную
плоскость.
В этом случае оказывается возможным движение
в скользящем режиме, когда вектор рЕ движет-
ся вдоль координатной плоскости (рис. 6.18); угло-
вая скорость такого движения будет равна ы^п. Длина
такого участка зависит от места попадания вектора рЕ
л
на координатную плоскость и не превышает так как
такой скользящий режим продолжается до попадания
вектора р .в точку &i. Движение со скоростью ь>Лп в
этом случае может стыковаться с другими движениями;
число возможных траекторий увеличивается за счет по-
явления новых типов траекторий, включающих в каче-
стве одного из участков движение (6.50). Такими дви-
жениями являются следующие 13 траекторий [здесь

810
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ
[ГЛ. 8
используем обозначения для составляющих кватернио-
нов (6.48) —(6.50)]:
Axi°Al, AXi°A2, Л;°Ал1, Л|°Лл1°А;, Л[ 0	0 Л2,
A4°Ai°A^i, А4 о Л1 о Л^1 0 Af, А4 ° Л; ° Лх1 ° Л2,
Аз ° Л4 о Л; о A^i, Аз о Л4 ° Ai ° Axi о Af,
Аз о Л4 о Л1 о Ал:0 А2, Ал1 о А; ° As, Лл1 0 А2 ° Ав.
Все эти типы траекторий позволяют однозначно опре-
делить составляющие вращения через результирующий
кватернион Az и условия движения вектора рЕ. Так,
например, на траектории А40А1 ° Ал: 0 Af, число участ-
ков которой превышает три, углы Фл: и связаны та-
ким условием:
/3 tg (-J- — Ол1) = ctg + у)
(смысл этого условия понятен из рис. 6.18). Кроме
этого, существует еще целый ряд траекторий, в которых
среди составляющих вращений присутствует как вра-
щение Алп, так и вращение Ag?. Для такого типа
траекторий составляющие вращения определимы не во
всех случаях. Укажем траектории, для которых As
однозначно определяет все составляющие вращения:
Ал1°А^1, А1<>Лл10А^1, Л40 А! оАл10 Ag-i,
Аз о Л4 о Al ° Ал! 0 А^ь
Во всех указанных здесь случаях движения было про-
ведено численное исследование. Были построены области
существования решений для каждого типа траекторий;
эти области накладываются на области, существую-
щие при движении вектора рЕ в области и по сепа-
ратрисе и рассмотренные в § 6.4. Результаты расчета
показали, что все эти траектории «длиннее», чем рас-
смотренные в § 6.4. Иногда оказывалось, что траекто-
рии такого рода имеют время движения больше, чем при
управлении (6.37). Таким образом, справедливость ги-
потезы 3° подтверждается проведенным исследованием.
Гипотеза 1° является, по-видимому, самой сложной и
неочевидной. Если допустить, что функция sign(0) в вы-

§ 6.71
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
SI 1
ражении (6.44) не имеет нуля среди своих значений, то
исключаются движения со скоростями При этом
исчезают траектории типа VIII—XIV и появляется ряд
областей, не покрываемых оставшимися траекториями.
Таким образом, чтобы иметь оптимальное управление в
любой точке (точке положений концов вектора Ае), не-
обходимо допустить среди значений функции sign(O)
нулевое значение. Аналогичным образом отсутствие зна-
чений + 1 или —1 для этой же функции sign(O) ведет
к сокращению возможных движений, в результате чего
появляются области, в которых нет «оптимального» ре-
шения. Тем не менее физически трудно понять, каким
образом происходит смена значений функции sign(O)
при движении вектора рЕ.
Гипотеза 3° позволяет рассматривать только одну
полусферу, в которой располагаются концы векторов
As. Обратному вращению соответствует кватернион Ае,
имеющий противоположное направление.
Можно видеть, что обратному вращению Ае должно
соответствовать движение, реализуемое вторым значе-
нием вектора рЕ, т. е. вращение будет происходить с
обратными (по знаку) угловыми скоростями. Однако
это самое движение, если его рассматривать на второй
полусфере, будет выглядеть точно так же, как это ого-
ворено гипотезой 3°.
II. Покажем, что траектория типа XII при среднем
2л
угле вращения, равном -д-, становится эквивалентной
траекториям типа VIII и IX. Рассмотрим сначала для
этого кватернион траектории типа IX
Ае = Ayi ° Аг,
и подставим сюда значения составляющих согласно
(6.54) и (6.56).
Выполняя умножение, получаем для компонент ре-
зультирующего кватерниона:
я	‘6,4Х| 'fro I / 2 . Фо-, Ф2
Лео = coscos-и---------у y sin-P-sin
1	^2
Aei =-----т=- cos --sin —,
КЗ 2	2

312
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАЗВОРОТЫ [ГЛ. 6
1	. fyfl
A>z2 = —т=" sin-------
/2	2
$2 - 1
COS —— -j
2 КЗ
1
Ахз = ~y~-
.	1 fyfl • ^2
H---7=^ COS —— sin-----
КЗ 2	2
1	fyfl
----7=-Sin——Sin-----
/6	2
Otfl O2 1 ftcf.
sin—- cos-----p -t=- cos —— sin----[-
2	2 КЗ 2	2
1	. fyri
—— °1 n ®
Кб 2
®2
2
sin—— sin —
2
Умножим теперь полученный кватернион справа на
кватернион Л^2 [согласно (6.56)]. После необходимых
преобразований он приводится к такому виду:
Ax = Ag-i о Л2 ° Ag-2,
$2	+ 6y2 -if 2	f>2 .	+ бу2
Azo = cos -g- cos-----g-------К у Sln “2“ Sln-----2
^2
2  \3
+ —т=- sin—— sin-^- sin
КЗ 2	2
0V1 + frg2 -
2
1
—т=г sin
«2
2
cos-----sin——
2	2
1	• *2	+ ^2
2 “7Ts,nTsln—2 
.^slnla(/2cos^ + sin^!-'
3/	2 v 2	2,
1	^2
Л21 -----7=- Sin-COS
КЗ	2
/t>9 л
+5!п(т~7
te_ '
K2 2	2
.	1	. ^2 &gl + &g2
H--—sin----COS —
К 3	2
i 1	• P2
H--7=-Sin --
КЗ \ 2
1 O9 fL.. + fb-9
123 = — cos — sin gi y-2-
К 2	2	2
1 ‘d’n 'O'sf I “Ь	1	^2	4“
4- —sin — cos — y- + -^ sin — sin	4
* K3 2	2 Кб 2	2
1	^4Г2 . ( n ^2
4- -7=- sin— sin — sin------£
Кз 2	2	\3	2

§ 6.71
Дополнительные замечаний
313
Если здесь положить t>yi = O, то получим результирую-
щий кватернион для траектории типа VIII:
As =Аг ° Луг,
th ^4Г2 т f 2
As0=cos^cos^-y 3-sln^-sinHr’
1 Ф > t}cz2 1	^2 tL-2
Ati =---7=- sin — COS---7=- cos — sin-1
КЗ 2	2 KF 2	2
.	1	. ^2	- ы
+ sln-----Sin ~
KF 2	2
^У2
2 ’
1
^13 — TT
1	^2	^4Г2
Л22 = -7=- sin COS —— ,
'Гп	2	2
th	^</>4	1	th
cos — sin ——I—?=• sin —• cos
2	2	КЗ	2
^9	&<g2
2	2	*
,	1	.	^2	.	- 5 2
4---7=- Sin---Sin-----.
/6	2	2
*У2
2
Можно видеть, что если в выражении для Л2=»
2jt
= Ag-i о Л2 о Л^2 положить t}2—т0 оно точно со-
впадет с выражением для As=AyioA2, в котором
угол Oyi следует заменить на угол thn + t>y2. Можно
убедиться, что и траектория Aj = Аг0Лу2 переходит
в траекторию Л2 = A^i о Л2 ° Ag-г при этом же значении
угла О2-
2л
Итак, доказано, что при •&2=~ выполняется
равенство
Ayi 0 А2 (Фг)0 Ау2 (Ф^г) = A^i (O^i + О^г) 0 А2 (02) ==
= Л2 (th)9 Ay2 (t>yi + О'уг).

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Н — гиперкомплексное пространство;
I,	Е, Е', Е" — ортонормированные базисы в трехмерном про-
странстве;
*2, 1з ~ гиперкомплексные единицы; орты базиса /;
ez, е{, е" — орты базисов;
Л, М. R, S, Р, N — кватернионы;
Лр I11’ ri’ si’ ₽р vi ~ компоненты кватерниона;
sqal, vect — обозначения скалярной и векторной частей кватер-
ниона;
Л, ц, г, s, р, V—векторы; векторные части кватерниона;
Л, М — сопряженные кватернионы;
А-1, М-1 — обратные кватернионы;
|| Л ||, || М || — нормы кватернионов;
|A] = }^||A||=A — модуль (тензор) кватерниона;
ft, g — угол и единичный вектор кватерниона;
ДА, AN — кватернионы бесконечно малого преобразования;
Af, — кватернионы-отображения на базис;
Ао, Лт — начальное и конечное значения кватернионов;
А2 — результирующий кватернион;
ft2, Zs, — Угол и единичный вектор результирующего кватер-
ниона;
ft
0 — 2g tg — вектор конечного поворота;
0 = ftg — вектор истинного поворота;
6* — вектор кажущегося поворота;
Сг, СЕ — постоянные кватернионы;
Yi, Y2, Уз — направляющие косинусы векторов g, g2;
а, b, с, d, г, т— векторы;
а = | а | — модуль вектора;
<в — вектор угловой скорости;
гЕ, аЕ’ $£ —векторы отображения на базис Е;
riE, ®1Е.— компоненты векторов отображений гЕ, е>Е;
©/, Qi — компоненты — проекции ® на связанный и неподвижный
базисы Е и Z;
®£> отображения <в на базисы Е и Z;
е — единичный вектор;
®т,	~ экстремальные векторы угловой скорости;
Ат, А^г, А^п — кватернионы вращений с экстремальными ско-
ростями!

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
315
N (t) — кватернион-частное решение кинематического уравне-
ния, в том числе с единичным начальным условием;
А, В, С, D, Q, 8 — ортогональные матрицы;
Ат — транспонированная матрица;
А-1 — обратная матрица;
R, Т, I, Е — матрицы-столбцы;
1	= || Ъц || — единичная матрица (в том числе двумерная);
1	-|- е — матрица бесконечно малого преобразования;
ft — угол вращения матрицы А;
kk — собственные значения матрицы А;
U, R — двумерные унитарные матрицы;
и, о — элементы двумерного комплексного пространства;
U* — матрица, комплексно сопряженная с матрицей U;
U+, 1ГТ— матрица, эрмитово сопряженная с матрицей U;
AU — матрица бесконечно малого преобразования;
Рь Р > Рз — спиновые матрицы Паули;
й, й£, й/ — трехмерные матрицы угловой скорости;
V. v£, V/ — двумерные унитарные матрицы угловой скорости;
л, о, т — верзоры (единичные векторы);
О, ф, "ф — углы Эйлера;
9Й, <€, S), %,	— точки иа сфере;
h, х — шаг интегрирования и время внутри шага;
Ф «= J о dt — угол суммарного поворота;
о
g — шаг по углу суммарного поворота;
£ср
% == —-----коэффициент;
W, Т, V — функции Ляпунова;
Йк/ — скорости коррекции;
Уб — функция Гамильтона;
ф. — вспомогательные функции, соответствующие Лр
<рг — вспомогательные функции, соответствующие
Ji, Jz> J3 — главные центральные моменты инерции тела;
М —внешний управляющий момент;
5/ — оси чувствительности датчиков углового положения;
М, 2^, Sz — допустимые области управления в динамической
и кинематической задачах;
s£n, &m — области на сфере;
°, •, X — знаки соответственно кватернионного, скалярного и
векторного умножений;
е — квант измерения угловой скорости;
I — мнимая единица.

ЛИТЕРАТУРА
1.	Барбаш ин Е. А., Та буев а В. А., Динамические системы с
цилиндрическим фазовым пространством. М., Изд-во «Наука»,
1969.
2.	Б е ж к о А. П., Б р а н е ц В. Н., Захаров Ю. М., Ш м ы г л е в-
с к и й И. П., Применение кватернионов в теории конечного по-
ворота твердого тела. «Изв. АН СССР. Механика твердого тела»,
1971, № 1.
3.	Березин И. С., Жидков Н. Б„ Методы вычислений, I и II.
М„ Физматгиз, 1959.
4.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптоти-
ческие методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз,
1958.
5.	Б о д а и с к и й Е. Д., Фурман В. Д., О погрешностях числен-
ного интегрирования кинематических уравнений Пуассона. «Кос-
мические исследования», 1970, VIII, вып. 6.
6.	Б о л т я н с к и й В. Г., Математические методы оптимального
управления. М„ Изд-во «Наука», 1966.
7.	Б ранец В. Н., Шмыглевский И. П., Кинематические за-
дачи ориентации во вращающейся системе координат. «Изв.
АН СССР. Механика твердого тела», 1972, № 6.
8.	Б ранец В. Н., Шмыглевский И. П., Применение кватер-
нионов в управлении угловым положением твердого тела. «Изв.
АН СССР. Механика твердого тела», 1972, № 4.
9.	Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. II.
М., Гостехиздат, 1945.
10.	Воронов А. А. и др., Цифровые аналоги для систем автома-
тического управления. М., Изд-во АН СССР, 1960.
11.	Вычислительная техника. Справочник под ред. Г. Д. Хаски и
Г. А. Корна, I и II, перев. с англ. М,—Л., Изд-во «Энергия», 1964.
12.	Ганкель Г., Теория комплексных числовых систем, преимуще-
ственно обыкновенных мнимых чисел и кватернионов Гамильто-
на вместе с их геометрическим толкованием, перев. с нем. Ка-
зань, изд. Казанского университета, 1912.
13.	Гарбузов А. Р., Погрешности преобразования координат на
плоскости поворотом осей цифровым дифференциальным анали-
затором. В сборнике «Автоматика и телеинформационные систе-
мы». М., Изд-во «Наука», 1965.
14.	Г е л ь ф а н д И. М., М и н л о с Р. А., Ш а п и р о 3. Я., Представ-
ления группы вращений и группы Лоренца. М., Физматгиз, 1958.
15.	Гилмор Дж. П., Фелдман Дж., Гироскоп с обратной связью
по моменту для бескарданной системы, перев. с англ. В сборнике
переводов «Вопросы ракетной техники», 1970, № 9.
16.	Го л детей н Г., Классическая механика, перев. с англ. М., Гос-'
техиздат, 1957.

ЛИТЕРАТУРА
317
17.	Г р о б о в В. А., К о ц ю б а А. В., О применении параметров Кей-
ли — Клейна при исследовании квазипрецессиоиного движения
свободного твердого тела. «Прикладная механика», 1971, VII,
вып. 7.
18.	Гурман В. И., Лавровский Э. К.> Сергеев С. И„ Опти-
мальное управление ориентацией осесимметричного вращающе-
гося космического аппарата. «Космические исследования», 1970,
VIII, вып. 8.
19.	Диментберг Ф. М., Винтовое исчисление и его приложения
в механике. М., Изд-во «Наука», 1965.
20.	Диментберг Ф. М., Севостьянова Е. Г., К теории ко-
нечных перемещений твердого тела. «Изв. АН СССР. Механика
твердого тела», 1969, № 2.
21.	3 о м м е р ф е л ь д А„ Механика, перев. с нем. М„ ИЛ, 1947.
22.	Инерциальные системы без гиростабилизированной платформы
(обзор), перев. с англ. В сборнике переводов «Вопросы ракет-
ной техники», 1967, № 1.
23.	И ш л и н с к и й А. Ю., Механика гироскопических систем. М.,
Изд-во АН СССР, 1963.
24.	К а л я е в А. В., Теория цифровых интегрирующих машин и
структур. М., Изд-во «Советское радио», 1970.
25.	К а л я е в А. В., Численные методы интегрирования по Стилтьесу
в цифровых интегрирующих машинах. «Кибернетика», 1966, № 2.
26.	Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высШей,
I и П, перев. с нем. М.—Л., ГТТИ, 1933—1934.
27.	Кошляков В. Н„ О применении параметров Родрига — Га-
мильтона и Кейли — Клейна в прикладной теории гироскопов.
«Прикладная математика и механика», 1965, 29, вып. 4.
28.	Лагалли М„ Векторное исчисление, перев. с нем. М., ОНТИ,
1936.
29.	Л е в и - Ч и в и т а Т., А м а л ь д и У., Курс теоретической меха-
ники, II, ч. 2, перев. с итал. М., ИЛ, 1951.
30.	Летов А. М„ Устойчивость нелинейных регулируемых систем.
М., Физматгиз, 1962.
31.	Лурье А. И., Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961.
32.	М а й о р о в С. А., Новиков Г. И., Малогабаритные вычисли-
тельные машины. М., Изд-во «Машиностроение», 1967.
33.	М а й о р о в Ф. В., Электронные цифровые интегрирующие ма-
шины. М., «Машгнз», 1962.
34.	М а л к и н И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колеба-
ний. М., Гостехиздат, 1956.
35.	М э т ь ю с Ф. Б., Тейлор Г. Р., Испытания бесплатформенной
инерциальной навигационной системы, перев. с англ. В сборнике
переводов «Вопросы ракетной техники», 1970, № 8.
36.	Н е с л у х о в с к и й К. С., Цифровые дифференциальные анали-
заторы. М., Физматгиз, 1963.
37.	Николаев И. А., О сохранении устойчивости по Ляпунову при
моделировании линейных систем дифференциальных уравнений
на ЦИМ. «Изв. вузов. Приборостроение», 1968, Ns 8.
38.	О т f е н, Инерциальные навигационные системы без гиростаби-
лнзированной платформы, перев. с англ. В сборнике переводов
«Вопросы ракетной техники», 1967, № 12.

818
ЛИТЕРАТУРА
39.	П а р с Л. А., Аналитическая динамика, перев. с англ. М., Изд-во !ь
«Наука», 1971.
40.	Понтрягин Л. С„ Обыкновенные дифференциальные уравие-'г
ния М„ Физматгиз, 1961.
41.	Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Г а м к р е л и д-к
зе Р. В., Мищенко Е, Ф., Математическая теория оптималь- j
ных процессов. М., Физматгиз, 1961.	t
42	Р а у ш е н б а х Б. В., Об измерении углов ориентации инер- ”
циальными датчиками. «Космические исследования», 1971, IX, ’.
вып. 5.	^1
43.	Саваж П. Г., Новое решение второго приближения для вычис-1
лителя ориентации бескарданной инерциальной системы, перев. <1
с англ. В сборнике переводов «Механика», 1968, № 1.	Ч.
44.	Синг Дж. Л., Классическая динамика, перев. с англ. М., Физ-
матгиз, 1963.
45.	Т о к а р ь Е. Н., Возможные принципы ориентации космического
аппарата относительно вращающейся системы координат. «Кос- -г
мические исследования», 1966, IV, вып. 3.	,ч
46	Цифровые дифференциальные анализаторы. Сборник переводов.
м„ ил, 1959.	;
47.	Шил ей ко А. В., Цифровые модели. М., Изд-во «Энергия», ’
1964.
48.	В о г t z J. Е„ A New Mathematical Pormulatin for Strap-down
Inertial Navigation. «IEEE Trans. Aerosp. and Electr. Systems»* '
1971, No. 1.
49.	Brand L, Vector and Tensor Analysis. New York, J. Wiley, Lon-
don, Chapman and Hall, 1948.
50.	C h i 1 d s D. W., Tapley B. D., Fowler W. T„ Suboptiniai
Attitude Control of a Spin-stabilized Axisymmetric Spacecraft.
«IEEE Trans. Automat. Contr.», 1969, 14, No. 6.
51.	C rubin C„ Derivition of the Quaternion Scheme Via the Euler
Axis and Angle. «Internat. J. Control», 1968 8, No. 3.
52.	Dickinson, Comparision of Digital Differential Analyzer and
General Purpose Equipment in Guidance Systems. «Communicati- <
ons and Electronics», 1961, 1, No. 52.	&
53.	Garra d W. L., A Method for Suboptimal Stabilization of Space-
craft Angular Velocity. «Internat. J. Control», 1968 8, No. 3.	>
54.	Hamilton W. R., Elements of Quaternions. Chelsea Publishing
Company, New York, 1969.	:
55.	H a m i 11 о n W. R., Lectures on Quaternions. Dublin, Hodges and
Smith, 1853.
56.	Ickes В. P., A New Method of Performing Digital Control SyS- ,
tern Attitude Computation Using Quaternions. «А1АА Journal»,’,
1970, 8, No. 1.	;
57.	M a s о n W. L., Wedekind D. E., Prediction and Measurement r
of Strap-down Inertial Measurement Unit Performance on Lunar ,
Mission. AIAA paper, No. 1028, 1970.
58.	Me. Kern R„ Gilmore J., A Redunant Strap-down Inertial Sys- :
tem Mechanization. SIRU AIAA paper, No. 1027, 1970.
59.	Mitchell E. L., Rogers A. E., Quaternion Parameters in the
Simulation of a Spinning Rigid-Body. «Simulation», New York,
1968,

ЛИТЕРАТУРА	319
60.	Mortensen R., A Globally Stable Linear Attitude Regulator.
«Internat. J. Control», 1968, 8, No. 3.
61.	Porcelli G., Large-angle Attitude Control of a Spinning Space
Body. «IEEE Trans. Automat. Contr.», 1969, 14, No. 6.
62.	Q u a s i n s G. R., Strap-down Inertial Systems. «Space/Aeronau-
tics», 1963, 40, No. 3.
63.	Robinson A. C., On the Use of Quaternions in Simulation of
Rigid-body Motion. WADD Techn. report, No. 58—17, 1957.
64.	Smyth R. K-, Guidance and Control 1968. AIAA paper, No. 72,
1969.
65.	Weber H. J., Inertial Guidance System Uses Digital Integrator.
«Space/Aeronautics», 1958, 30, No. 5.
66.	W h i 11 а к e r E. T., Analytische Dynamic der Punkte and Starren
Korper. Berlin, Springer, 1924.
67.	Wilcox J. C., A New Algorithm for Strapped-down Inertial Na-
vigation. «IEEE Trans. Aerosp. and Electr. Systems», 1967, 3,
No. 5.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналог матрицанта 148
Базис неподвижный 43
— связанный 43
Бнкватернноны 11
Вектор истинного поворота 150
— конечного поворота 65, 118, 150
— управления сопряженный 246, 249
Верзор 39
— кватерниона 20
Вращение на эйлеровы углы 77
Задача ориентации динамическая 192
-*--кинематическая 192
Отображение вектора гнперкомплекс-
ное 60
— кватерниона 6S
Параметры Кейли — Клейна 84. 112
—	Родрига — Гамильтона 67
Поворот конечный 26, 65
Преобразование вращения 29
—	подобное 52
Прецессия коническая 139
Процесс коррекции 192
Разворот динамический 240
— кинематический 240
Режим скользящий 267
Кватернион 11, 39
—	нормированный 16
кватернион-отображение 99
кватернион преобразования собствен-
ный 67
—	рассогласования 229
—	, сопряженный данному 15
Коррекция 192
—	перекрестная 213
Косинусы направляющие 105
Сепаратриса 263
Символ Левн-Чивита 95
Система координат орбитальная 205
Тензор 39
— вектора 39
— кватерниона 20
Теорема Гамильтона — Донкина 32
— Эйлера 42, 50
Точка стационарная 264
Матрица спиновая Паули 88
— унитарная 85
—, эрмитово сопряженная 85
Метод малого параметра 151
— Пикара 148
— средней скорости 151
— Эйлера модифицированный 150
----обычный 150
Модуль кватерниона 29
Угловая скорость зкстремальная 280'
Углы Крылова 77, 110
—	Эйлера 77. 110
Управление особое 258
Уравнение Шеннона 152
Уравнеиня Пуассона 185	I
Уход нормы кватерниона 153
Норма кватерниона 15
Операция вращения 29
Ориентация во вращающейся системе
координат 193
—	инерциальная 193
Формула Муавра 21, 132
—	Родрнга 66
Функция Гамильтона 243
Центр вращения 42	' 4
Цикл замкнутый 267	j