В. Л. Г И Р к о
ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
для функций
случайных
величин
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образова¬
ния УССР в качестве учебного посо¬
бия для студентов вузов, обучаю¬
щихся по специальностям «Матема¬
тика» и «Прикладная математика^
Киев
Головное издательство
издательского объединения «Впща школа»
1983

22.17я73
Г 51
УДК 519.21 (07)
Предельные теоремы для функций случайных
величин. Гирко В. JI.— Киев : Вища школа. Го¬
ловное изд-во, 1983.—	207	с.
'В учебном пособии изложены основные предель¬
ные теоремы для борелевских функций зависимых и
независимых случайных величин. С помощью ме¬
тода доказательства предельных теорем для сумм
зависимых случайных величин, предложенного
автором, получены значительно более глубокие
результаты для предельных распределений сумм
зависимых случайных величин, чем известные до
настоящего времени. В некоторых случаях по¬
лучены необходимые и достаточные условия схо¬
димости распределений борелевских функций не¬
зависимых случайных величин к некоторым предель¬
ным законам.
Предназначено для студентов вузов, обучающихся
по специальностям «Математика» и «Прикладная
математика».
Библиогр.: 18 назв.
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук И. Г. Жур-
бенко (Московский' государственный университет),
доцент В. В. Баклан (Институт прикладной ма¬
тематики и механики АН УССР)
Редакция литературы по математике и физике
Зав. редакцией Е. Л. Корженевич
1702060000—113
Г М211 (04)—83	103—182
© Издательское объединение
«Вища школе», 1983

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предельные теоремы для функций случайных величин
являются одной из основных частей теории вероятностей и
математической статистики. Частный вид таких функций —
суммы независимых случайных величин — достаточно пол¬
но изучен и включен в учебники и учебные пособия по тео¬
рии вероятностей. Однако предельные теоремы для боре-
левских функций независимых случайных величин в учеб¬
ной литературе освещены недостаточно и это представляет
определенные трудности при чтении нормативных и специ¬
альных курсов по теории вероятностей и ее приложениям.
Кроме того, в настоящее время вопросы предельных
теорем для сумм зависимых случайных величин широ¬
ко рассмотрены в периодических изданиях, однако они
пока еще не нашли своего отражения в учебной литературе
для вузов.
Предельные теоремы для борелевских функций незави¬
симых случайных величин являются естественным обобще¬
нием предельных теорем для сумм независимых случайных
величин. В пособии рассматриваются две постановки зада¬
чи: отыскание условий сходимости, а также общего вида
предельных законов для распределений нормированных
борелевских функций независимых случайных величин при
условии, что каждая случайная величина мало влияет на
поведение предельной функции распределения; нахождение
необходимых и достаточных условий, которые следует на¬
ложить на случайные величины при условии, что распреде¬
ления нормированных борелевских функций случайных
величин слабо сходятся к некоторому заданному закону
распределения.
Следует отметить, что доказательство предельных теорем
для сумм зависимых случайных величин в основном связы¬
валось с «методом секционирования» С. Н. Бернштейна.
Кроме того, применялся мартингалькый метод, который
3

требовал, чтобы случайные величины были мартингал-раз¬
ностями. В предлагаемой книге изложен новый метод, ко¬
торый объединяет «метод секционирования» и мартингаль-
ный метод. Суть его заключается-в том, что борелевские
функции (суммы) случайных величин представлены в виде
суммы мартингал-разностей и для проверки условий пре¬
дельных теорем для таких сумм нужно доказывать вспомо¬
гательные предельные теоремы типа закона больших Чисел.
Естественно, что доказательство предельных теорем типа
закона больших чисел намного проще, чем нахождение
условий сходимости сумм зависимых случайных величин к
некоторому заданному невырожденному распределению.
В книге приведены простые условия, при выполнении ко¬
торых справедливы вспомогательные предельные теоремы.
Однако в целях более компактного изложения материала
и упрощения доказательства теорем для сумм случайных
величин, связанных в цепь Маркова, и обобщенных U-ста¬
тистик в некоторых случаях условия предельных теорем
сформулированы в виде предельных теорем типа закона
больших чисел.
Актуальность изучения предельных теорем для борелев¬
ских функций случайных величин очевидна непосредствен¬
но при анализе работы сложных кибернетических систем,
подверженных воздействию случайных помех. Во многих
случаях можно предположить, что эти помехи независимы
и каждая из них в отдельности мало влияет на поведение
всей системы в целом. Возникает вопрос: можно ли при та¬
ких минимальных предположениях о случайных помехах
получить нетривиальные утверждения о поведении систе¬
мы? Оказывается, что для систем, описываемых борелев-
скими функциями, можно найти условия, при выполнении
которых система будет адекватна системе, где случайные
помехи заменены случайными величинами с функциями
распределения, принадлежащими некоторому определен¬
ному классу функций. Таким образом, исходную систему
в определенных случаях можно приближенно заменить
системой с новыми случайными величинами, которые вы¬
бирают из достаточно широкого класса функций случайных
величин.
Материал учебного пособия изложен следующим обра¬
зом. Вначале рассматриваются предельные теоремы для
произвольных борелевских функций независимых случай¬
ных величин, из которых следуют, например, все известные
предельные теоремы для сумм независимых случайных ве¬
4

личин. Затем доказываются предельные теоремы для боре¬
левских функций зависимых случайных величин.
В пособии изложены предельные теоремы для борелев¬
ских функций случайных величин, которые использова¬
лись автором для чтения курса по теории героятностей
и специальных курсов по моделированию сложных систем,
теории управления, теории планирования экспериментов,
статистическому моделированию на факультете кибернети¬
ки, механико-математическом факультете Киевского уни¬
верситета и в Центральном университете г. Санта-Клара
(Республика Куба).
Автор искренне благодарен за ценные советы доктору
физ.-мат. наук, проф. В. В. Анисимову, доктору физ.-мат.
наук проф. В. М. Максимову, доктору физ.-лмат. наук
В. И. Ротарю, чл.-кор. АН УССР А. В. Скороходу, док¬
тору физ.-мат. наук, проф. М. И. Ядренко, а также рецен¬
зентам доктору физ.-мат. наук И. Г. Журбенко и доц.
В. В. Баклану за полезные замечания, способствовавшие
улучшению рукописи.
Отзывы и пожелания просим направлять по ад¬
ресу: 252054, Киев-54, ул. Гоголевская, 7, Головине
издательство издательского объединения «Вища шко¬
ла», редакция литературы по математике и физике.

Глава 1
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ ИЗМЕРГМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этой главе рассмотрены условия, при выполнении
которых распределение борелевской функции независи¬
мых случайных величин (число величин стремится к беско¬
нечности) можно приближенно заменить распределением
этой же функции, но от других независимых случайных
величин, которые могут обладать лучшими свойствами,
чем первоначальные случайные величины.
§ 1. Операторы возмущений. Пусть (Q, ©}, {X, 33} —
измеримые пространства. Отображение g : со ->■ х, х£Х,
называется измеримым отображением пространства {Q, ©}
в {X, S3}, если g~x (В) : = {со : g (со) £ £}*, g~{ (В) £ ©,
для произвольного В £ 33. Случайным элементом £ со зна¬
чением в измеримом пространстве (X, 33} называется изме¬
римое отображение пространства (Q, @, Р} в (X, 33}.
Если X — векторное пространство, то £ называется слу¬
чайным вектором. Предположим, что заданы последователь¬
ности п некоторых измеримых пространств [Х\п] X...
хХ{п\ 33(1Л)’ Х...Х 33^}, последовательность измери¬
мых пространств {Уп, Сп} и измеримые отображения
fn(xu ...9хп) пространств Х\п) Х...Х Х{пп) в пространства
У ю xi£ Х\п\ i = 1, п. Пусть в пространствах Yп заданы
функционалы 1п и они являются измеримыми относитель¬
но о-алгебр Сп.
Основным вопросом предельных теорем теории вероят¬
ностей является изучение предельных распределений по¬
следовательности измеримых отображений fn (l\n) (со), ...
..., ^п] (со)), где (со), i = 1, n, п £ N, независимые для
каждого значения п случайные элементы со значениями
в измеримых пространствах Х\п\ ЗЗГ\.
* Символ : = означает равенство по определению.
6

Основным аналитическим аппаратом, который исполь¬
зуется для изучения распределений случайных элементов,
в большинстве случаев являются характеристические функ¬
ционалы М exp [iln (/„)} и связанные с ними некоторые не¬
равенства. Большинство предельных теорем заключается
в отыскании условий, при выполнении которых
Hindoo [М exp {iln (/П(ЙП), ... , &"’))} -
-Мехр {Ип(Шп\ ■ ■ • . ЛИ = 0,	(1.1.1)
где т)»'"*» i — 1, п, — некоторая последовательность неза-
висимых для каждого п случайных элементов со значения¬
ми в измеримых пространствах Х\п\ SS[-n).
Изучение пределов характеристических функционалов
заключается в представлении (1.1.1) в следующем виде
[12, 13, И:
limn-*оо [М ехр {Цп (/„ йГ, ... , |<п)))} -
— Мехр {//„(/„ (л(Г), .... 'п!.'”))}] =
= lim,n-*co £Lo[Mexp{i7„(M£in).-".^-b	...	пП>))}	—
— Мехр {iln(fn(lin), ... , йп), Лн-ь ... , л»"’))}']-	(1-1.2)
Для изучения предела (1.1.2) необходимы так называемые
операторы возмущений. Пусть заданы независимые слу¬
чайные элементы |in), ... ,	.	. . , т]^) и измеримые
отображения fn(xlt . .. , хп). Обозначим £/г+1) = l[n\ tfTU =
= t\kl). Введем оператор 0s,	1, действующий
на функционал ln(fn (|il,), .. . , tnn))) и определенный на
множестве случайных элементов r]!n), .. . ,
e‘sln(fn(£i'\ ... , ls-71', £s, ...,У) =
= In tin (il‘,). • • • . Ss-T1*, T]S. Л*+Ь • • - , rp-Ь h, i/+l, - - .
.... U) - M [ln (/„ (Si'*’.....	,	Л/-1,
...,U)/M,	(1.1.3)
где oni — минимальная ..ст-алгебра; относительно которой
измеримы элементы r\{k \ кф1, k = 1, п\ ik= ± 1,
k= 1, п. Аналогично определяем оператор 0*:
..., Is-T1', Is,..., £»)) =

= UMi!Ч • • •, fc”. л« ..., r\„ Еж У) -
- м [/„ (fn (£!'<> rj„ Еж...., У)/М-
(1.1.4)
§ 2. Предельные теоремы с условием Линдеберга. Под
обозначением vn рп, где vn и р„ — некоторые после¬
довательности случайных величин, будем понимать
lirru-veo [М exp (itvn) — М exp (it pj] = 0 для любого ко¬
нечного t. Если vn и р„ — последовательности линейных
функционалов, то vn ~ р„ означает, что lim n-*OQ [М exp (/ X
X tvn) — МУ exp (//pjl = 0. В дальнейшем верхний ин¬
декс (п) у случайных элементов (величин) там, где это не
вызывает недоразумений, писать не будем.
Теорема 1.2.1, Пусть для каждого значения п случайные
элементы £in),	lhn\ т|1Лг)* Л20» •••» Пнезависимы
и заданы измеримые отображения fn(xly ..., хп) такие,
что для всех п и некоторых измеримых функционалов 1П
М [/„ (/„ (El, .... Eft-1, Л*. ••• . Tin))]2 < °°, k= 1, П + 1.
(1.2.1)
Для всех значений xlf x2, xn
МУ [l/i (fn (•% 1» • • • » Xk—\j Xk-fl9 • • • t Xn))] =
= Ml[ln(fn(xly , . . , *A_1, Л/г, «Л+1, . . . , xn))f,
k = 1, ny i = 1, 2.	(1.2.2)
Для измеримых отображений и случайных элементов £ь ...
• ••, Ль •••> Чп определены операторы 0*, 0SZ по формулам
(1.1.3)	и (1.1.4), причем
supn £2=1 [М (0?/„ (fn (• )))2 + М (ё?/я (fn (• )))*]	<	00,	(1.2.3)
и выполняется условие Линдеберга: для любого т 0
Urn*-.» £2_i !И>1 хЧ [Р {0f/„ (fn (in)) < X] +
+ р {0«М/„О<*}] = О.	(1.2.4)
Тогда
In (fn (Ei, • • • . У) ^ U (fn Ob, • • • . Tin))-
Для сокращения формул иногда вместо fn(%Ly ...,
будем писатьили /„ (У, где Е„ = (Еь ..., У-
8

Доказательство. Выполним следующие оче¬
видные преобразования:
| М exp [И„ (/„ (У)] - М exp [iln (/„ (л„))]| <
< ELi Iм exp [il„ (/„ .(%, ... , r\k-u • • • . У)] —
— М exp [iln (/„ (%, r\k, U+n • • • , У)]| < ELi M | M x
x {exp (Mln (/„ (•)))- exp (iV\ln (/„ (• )))/оУ | <
< EL. M | M {(exp m\ln (/„ (•))]- 0,5 (i’0i/n (/„ (• )))2 -
- 1)/<хУ | + EL. M IM {(exp [k1ln(fn (*))]- 0,5 («tf/„ X
X (fn(-))f~ \V°nk)\ <SL, Jw<Tk--i-/x-o,5(y2|x
X d[P{ef/„(/„(•))<*} + P fe*/„ (/„(•))<*}] +
+ EL. J I 1 -^-o,5(.x)21 d [P {et/„ (/„(•)) <.*} +
+ P {91/„ </»(•))<*}]< *3-' EL. M (0f/„ (/„ (• )))2 +
+2 EL. Jw>t**d [P <0?z«	+
+ p {eft, (/„(•))<*}].
Выбрав т достаточно малым, получим утверждение теоре¬
мы 1.2.1.	*
Условие (1.2.4) можно заменить условием Ляпунова:
для некоторого б >> 0
linwEL.[M|e^ {fn (• ))|2+л + М I Qkdn(f„ (• ))|2+л ] = 0.
Заметим, что вместо условия (1.2.2) можно принять сле¬
дующее:
Ншп-^сю	11 М [ln (fn (|If ... , £/j, r]ft, ... , Пп))] —
— M Un (fn (li, • • • , Ь-и Пъ • • • , Tin))]' I = 0.
Отметим, что в условиях теоремы можно потребовать,
чтобы условие (1.2.2) выполнялось для значений i = 1, 2, ...
..., /г, где k — некоторое постоянное целое число. Тогда,
если вместо условия (1.2.3) будет выполняться условие
sup* ELi № 10?Z„ (/„(•))!*+ м {0?Ц/„ (•))!*]<«>.
9

а вместо условия Линдеберга условие: для любого т > О
Hmn-oSZ=4w>,l*l‘d №.(/»(*))<*} +
+ Р fflln(fn(-))<x}} = о, '
ТО Ifl {fn (^1» • • • » in)) — ifn ("Hi» • • • » Лп))*
Доказательство теоремы 1.2.1 при сделанных изменениях
сохраняется, за исключением того, что вместо неравенств
\eix — 1 | ^ х, | eix — 1 — ix — 0,5 (ix)2 | ^ (З!)""1 | ix |3
необходимо взять неравенство
\eix_i^ix_ ... —(fe!)-1 (/х)*|< [(k+ l)!]-1!^)^1.
В общем случае условие (1.2.4) проверить трудно. Дока¬
жем утверждение, позволяющее в некоторых случаях
упростить условие (1.2.4). Пусть заданы независимые случай¬
ные элементы vb ..., v„, \ilf ..., \хп и некоторые измеримые
отображения gn (хь ..., хп). Оператором хр, р = 1, п — 1,
действующим на g (v(/l}, ..., v^), называется правило,
согласно которому g (v(/!), ..., v^) заменяется этим же
функционалом, но элементы vs заменены на ps для всех
S = р + 1, п (v^+I) = Vp, v^-,) = Up).
Теорема 1.2.2. Пусть для каждого значения п случайные
элементы gi'0, ..., lhn\ r\\n\ ..., т\пП) независимы и заданы
измеримые отображения fn (хъ ..., хп), выполняются усло¬
вия (1.2.2) и (1.2.3), для случайных элементов ..., tn\
r\\n\ ..., у]{п] и fn {хъ ..., х„), п 6 N, определены операторы
Кр> 0s, 0s, для всех ik=* ± 1, k = 1, rrt (m — целое число,
не зависящее	от	п) и п^ lk> /*_i > ... > l\	>1
М	(**)• • -0<;+1 (*.) 01’ Cl) in {fn (• Ж	=	'
=	M	[xu0^_,+! (/*). • .01’ (h) In (fn ( • ))]2,	(1.2.5)
где 0p(+ 1)= 0p, 0p(— 1) = 0p, для любого т>0
limbec•••>/,>ifw>x*dP (0^_l+i(im) x ••• x
X 05(0 UM •))<*} = 0,	(1.2.6)
для всех k = 2, m и любого т > 0
НШл-^оо	•»	>/t>l	j|A.|>T^ iKlk— i *
10

x efc;+, ('*)• • -0|' (it) In (fn (•)) < X] = О, (1.2.7)
suPn	••• >f,>l M (0^_2+I (ik) ••• 011 (*l) X
X/„(/n(-)))2<~,	(1.2.8)
где l0 = 0.
Тогда
ln(fn(lu .... In)) ^ UM%, • • • . Лп))-	(1.2.9)
Доказательство. В соответствии с теоремой
1.2.1 при выполнении условий (1.2.1) г-(1.2.4) выполня¬
ется (1.2.9). Из условий (1.2.5) и (1.2.7) следует, что вели¬
чины 0{7П, Ъ\1п бесконечно малы (случайные величины Н/п\
i = 1, я, п £ iV, называются бесконечно малыми, если для
любого е > 0 имеем lim„-oo supt.=1— Р {| Е* | > е} = 0).
Покажем, что условие (1.2.4) вытекает из соотношения
limn-..*, [ П*=, М exp (ts0* (tx) /„ (/„ (•))) —
- П^=1 exp {- 0,5s2M (0Г (it) ln (fn (-)))2}1 = 0, (1.2.10)
где ik = ± 1.
Действительно, так как величины 0i (t,) ln (/„ (•)) бес-
конечно малы и выполняется неравенство (1.2.8), то
|П*=| М exp (isvk) — exp {£"=i [Мехр (isvk)— 1]}|<
5j"=i IМ exP (tsvfc) — exp {M exp (isvk) — 1 }| ^ e2 x
X SLi | Me,svfe — 112 < [| s | e + supfe=1- P {| vfc | >
> e}l S*=i	oo,
где vk: = 0? (h)l„(fn(-)), e-*-0.
Из этого соотношения и (1.2.10) вытекает
linwco £/Li {М [exp (isvk) — 1] + 0,5s2Mv?} = 0.
Отсюда
0,5s2 S2-1 Mv| - Z'U J|rK8 Re (1 - e*«) dP {vk <
<*} = E/U,fw>. Re (1 — e*sx) dP {v*<*} + o(l).
Выражение о (1) здесь и в дальнейшем означает, что
о (1) -> 0 при п -> оо.
11

Подынтегральное выражение справа не превосходит
х2 в-2, а слева не превосходит x2s2. Следовательно,
j w>e х~№ {vk < *} < e~2s~2 SiLi Mv* +o(l).
Устремив s к бесконечности, получим равенство (1.2.4).
Используя равенство (1.2.5), запишем (1.2.10) в виде
limn-^nn/Li Mexp (/set (ч) ln(fn('))) — П/Li М exp (is х
X (»ц)7в (/„ (•))]+ (П"=1 М ехр (/»с*0* (/,) /„ (/„( •))) —
- П2_1 exp {- 0,5s2M (x*0? (н) /„ (fn (• )))2}]} = 0.
Согласно доказательству теоремы 1.2.1, первая разность в
этом выражении стремится к нулю, если для любого т >> 0
limbec £«>/,>/,Jw>T*2^p {0/,'+i (/*) 0'1 (h) InifnHX*} =
= 0, ix = ± 1, i2 = ± 1;	(1.2.11)
вторая разность стремится к нулю, если
lim„-oo Е/,-1 £и>тдА*Р К0'1	•))<*}	=	°.
i\ — it: 1.
Повторяя эти рассуждения для суммы (1.2.11) т раз и учи¬
тывая, что для всякого k = 1, т бесконечная малость вели¬
чин 0^ i (ik) х ... X0^ ln (fn) следует из условий (1.2.5) и
(1.2.7), получаем утверждение теоремы 1.2.2.
Теорему 1.2.1 можно обобщить на случай, когда неко¬
торые tk существенно влияют на поведение борелевской
функции независимых случайных величин. Это обобщение
напоминает центральную предельную теорему для сумм
независимых случайных величин при выполнении условия
Линдеберга — Золотарева.
Теорема 1.2.3. Пусть выполняются условия теоремы
1.2.1,	но вместо условия (К2.4) выполняется условие Лин¬
деберга — Золотарева [121: для любого т > 0
linwc E*-1 U, *2 ИМ IР (0t/n (/„ (• )))/а„*} -
- Р {01 In (fn (■)]< xlonk)II = 0.	(1.2.12)
Тогда 1п (/„ (£,,..., У) ^ /„ (fn Oli. • • • . Л*))-
Доказательство получаем из доказательства
теоремы 1.2.1 на основании следующего простого неравен¬
ства:
12

MIМ {exp (/„(•))) - exp (i%\ln (fn (.)))/<r„*}| <
^ J | efx _ i _ ix _ o,5 {ixf 11 dM | P {0f/„ (/„ (•)) < xlonk) -
-P {bUn(fn(-))<x/onk}\\.
Здесь и в дальнейшем, если не указана область интегри¬
рования, будем считать, что интегрирование ведется по
всей области изменения переменных.
Отметим, что если условие (1.2.2) теоремы 1.2.1 не выпол¬
няется, то вместо условий (1.2.1) — (1.2.4) принимаем сле¬
дующее:
linw E/Li J \d [P I0i/n(M•))<*}- P {0?(fn(•))■<
<*}]| = 0.
Рассмотрим измеримые отображения случайных эле¬
ментов n?=iE;'2), где Е\п) — случайные матрицы (тп-го
порядка) и произведение берется в порядке возрастания ин¬
декса i.
Найдем условия, при выполнении которых
П?_, з<п>~П ин\п\
где Н\п) — некоторые случайные матрицы тп-го порядка.
В качестве линейного функционала можно выбрать
Sp Q П"=1 Е(Д где Q — матрица параметров тп-го порядка.
Теорема 1.2.4. Пусть для каждого значения п случайные
матрицы Е\п\ Н\п\ i = 1, /г, независимы,
М || Нх . . . Ek—\Hk .. . Яп f < оо, Л=1, д+ 1,
M3k=MHkf k = T7^,
^	=	^ {Нk)ii (HkU /» Ру I = ^
supn EJL. {М1 f +М||ЩР]<оо,
Uk — Si. . .S*_i (Ek — MEft) Hk+\. . Hn, n =
= S,.. .S*_, (Hk - MH„) Hk+l. . .Hm
где ISI = (Sp 23')1/г, и выполняется условие Линдеберга:
для любого т>0
limnVc £"=. JW>T хЧ [Р (I Uk|j< х} + Р (1 Vk I < х}} = 0.
Тогда для всех Q таких, что || Q || < оо,
Sp Q П?_1 Е{в) ~ SpQ П?=, Hf),
13

Доказательство теоремы 1.2.4. вытекает из
доказательства теоремы 1.2.1, если учесть, что Sp QUk ^
< IIQII lit/*II-
Аналогичное утверждение можно сформулировать для
случайных матриц вида
У». , /7<«>w<n)s?(n>
где — неслучайные числа.
§ 3. Сопровождающие безгранично делимые распределе¬
ния для борелевских функций независимых случайных
величин. Пусть	...,	Е^)— некоторые борелевские
функции независимых для каждого значения п (= N слу¬
чайных величин £(/г),	Е„\ Предположим, что у случай¬
ных величин fn (Е(/°, ..., Е,(г/г)), п £ А, не существуют мате¬
матические ожидания. Отметим, что при одном условии
независимости случайных величин l[n\ i = 1, п, получить
теоремы о предельном поведении борелевских функций fn
не удается. Анализ многих задач подсказывает те ограниче¬
ния, которые нужно наложить на случайные величины t^n).
Именно, потребуем, чтобы каждая случайная величина
$г) мало влияла на поведение предельной функции распре¬
деления последовательности fn. Это дает возможность охва¬
тить широкий круг задач, связанных с предельными теоре¬
мами для fn, заключающимися в нахождении условий, при
которых fn можно при достаточно большом п заменить дру¬
гой борелевской функцией от некоторых независимых
случайных величин.
Теорема 1.3.1. Пусть для каждого значения п случайные
величины |//г), i = 1, /г, независимы, еуществуют независи¬
мые между собой для каждого значения п и от случайных
величин Et-, i = 1, п, случайные величины т][л), i = 1, п,
и борелевские функции cjm (хъ x*_i, Xk+u •••, хп) такие,
что почти для всех значений xk
Ж exp {is [fn (хи . . . , Xk—1, %, xk+u	—
— Ckn {Хи . .. , JC*_1, Xk+u .... Xn))} = exp {j" [exp (t x
X S[/n {X\y • • • » Xk—Ь У у Xk-\-\, . . . , xn)
— Ckn (*1 Xk-u Xk+u • • • , *n)]) —l]dP < y\} ,
lim„-.co £*=1 M IM texP №*п) — 1/а*„]|г = 0, (1.3. i)
14

где vk„ = /„ (iib ... , У . .. , |„) — ckn (т)„ . . . ,Л*-ь
g/e_i_], . . . , tl7), Okn— минимальная о-алгебра, относитель¬
но которой измеримы случайные величины i = 1, k — 1,
lh i = k + 1, n.
Тогда f„ (|b tn) ~ fn (%,	rj„).
Доказательство. Воспользуемся очевидными
неравенствами
I м exp {isf„ (U, ... , У} — M exp {isfn (i^, .. . , rU}| =
= S"=i [M exp {isfn(ib .... T\k—ь Ik, • • • . У) — Mexp {ts X
X fn Oli. • Ль h+u .... In)}] I < S2=i м I Фа + 1 — <?k |,
(1.3.2)
где фА = M {exp (isvkn)/okn) — 1.
Отсюда на основании равенства (1.3.1) получаем утверж¬
дение теоремы 1.3.1.
Вместо условия (1.3.1) можно использовать следующее
утверждение.
Лемма 1,3.1. Цели
Ckn (t|i> • • • * 4k— 1,	• • • » £л) =
= j \x\<TXdP {fn Oil, .... Щ-и Ik, • • . . In) < X/Okn),
limrt-.ee supt==T^ | Сы | < t,
где T > 0 — произвольное постоянное число, и .
lim„-.eo SLi M [M (vL (1 + vLr'/cTArt]2 = 0,	(1.3.3)
то справедливо условие (1.3.1).
Доказательство. Пусть Fkn (х) — Р {fn (rjj, . . .
. . . , rj/e-ь Iky • • • , £л) < x/oim}. Используя неравенство
| eix— ix— 1 |^*2/2 и выражение для величины Ckn, полу¬
чаем
| J (<?«<~*rt) _ X)dFkn (JC)| ^ 2	{x)	+
+ J 1*1 <T (eiHx~Ckn) - it (X - Ckn) - 1) dFkn (*) +
+ it fw<x (x — ckn) dFkn (*)| < (2 + Cknt) [WSsT dFkn (x) +
+ °>5{2 Ji*i<t (* — c^f dFk» W-	О -3-4)
При х^тв силу того, что \Ckn\<L т, имеем
П + (х — ckn) ~]	—	Ckn)	“]	\
15

при X < т
1 ^ [ 1 + (т + I Ckn I)2] [1 + (х — Ckn)2] 1.
Из этих двух неравенств и неравенства (1.3.4) получим
I j	_	X)dFkn {х) ^ Ckn {t) м [(1 + vj2)~'/0kn]t (1.3.5)
где Ckn (0 = (2 + t21	|) [1 + (т — Ckn)2] (т — СкП)~2 +
+ 0,5/2[1 + (т + |с*л|)2]. Используя (1.3.5) и (1.3.3), полу¬
чаем равенство (1.3.1). Лемма доказана.
§ 4. Метод интегральных представлений. В качестве
примеров борелевских функций, для которых применимы
доказанные теоремы, возьмем следующие:
fn (h, • •.. In) = E?-i U fn (Ли .... У = £»/ ai/Ui
и т. д. В общем случае, однако, трудно добиться выполне¬
ния условия (1.2.2). Все же, даже при нарушении условия
(1.2.2)	можно доказать предельные теоремы, если восполь¬
зоваться так называемым методом интегральных представ¬
лений, в основе которого лежит следующая формула (ра¬
зумеется, если fn такова, что эта формула имеет место):
М exp {isfn (съ ... , У) = М J---Jexp{ £2=11рхр} х
X Р (S, хъ ... , хп) Пр=1 d Re Xpd Im xp, (1.4.1)
где xp — комплексные переменные, p(-) — некоторая изме¬
римая функция.
С помощью формулы (1.4.1), используя предельные тео¬
ремы для сумм случайных величин, докажем предельные
теоремы для борелевских функций fn (£ь ..., Е„).
Рассмотрим выражение
£ •. У exp (t Е"=! УрХр] fn (*i, • • • . хп) П 1=\ dxt: =
= Р (Уи • • • . Уп),
где /„, р — борелевские интегрируемые функции (если
fn не интегрируема, то рассмотрим это преобразование для
функцииg(fn( •)), где g— некоторая непрерывная функция).
По формуле обращения для преобразований Фурье по¬
лучим
fn (Хи • • • . хп) = (2п)~п J • • • J ехр {— i Е"=1 Урхр) X
X р(уи ... , yn)U"=ldyi.	(1.4.2)
16

Формула (1.4.2) удобна для доказательства предельных
теорем для fn (У У.
Например, если существуют М/*, где /г>0 — целое
число, то
М/ (У . • • > У = М [(2л)	^	*	*	*	I	ехР	{	*	Sp—1 Ур^р) X
X р (Уи • • • >Уп) п?=1 dyt]k	(1.4.3)
и дальше нужно применить предельные теоремы для сумм
независимых случайных величин. В качестве примера ис¬
пользования формулы (1.4.3) докажем следующее утверж¬
дение.
Теорема 1.4.1, Пусть для каждого значения п случайные
величины tiny i = 1, /г, независимы, Щр = Мт]р, =
= Мт)р, р = 1, /г, функции f (хъ ..., хп) борелевские и ин¬
тегрируемы,
sup„ £p=i Dll (2л)-2" С I ур I31 р {ух, . .. , уп)I П"=1 dyt < оо,
(1-4-4)
supn (2л)-" § | р (уи ... , уп) | U"=ldyi < оо,
где функция р задана соотношением (1.4.2), и выполняется
условие Линдеберга: для любого т >> О
lim„-vM (2л)-" 2p=i £ [in>Tx2ldfp (£р<*1 —
— Р {%<*}] \у1\р(Уъ •••, yn)\^"=idyi= 0.	(1.4.5)
Тогда fn(lъ ... , tn) ~	.. ., цп) *.
Доказательство. Очевидно (см. доказательство
теоремы 1.2.1),
|М/*&,	М/*(ть	...,	ть,)|	=
= I (2л)-"* [ J М ехр {- i Sti 1Р (St. yPs)) -
— M exp {— / S"=i Ip (S*=i yPs))] П^, p (yis, ...
... , yns) Tidyi$ | < (2л)-"* £ П*=11 p (г/is, ... , yns)| X
X Шг/,-* (Sm=i | м exp [— i'Em (Ss=i«/ms)] — M exp [ — /riOT X
x (S*=l #ms)]|} ^ (2л)	£ nt, | p (г/ь, .. . , yns)\ X
* Под обозначением ~ т]П| где £n и r],7 — некоторая последова¬
тельность случайных величин, будем понимать, что почти для всех
* Итл-.СС fp {ё„ < X] — Р {Г)„ < *}] = 0.
17

X Tldyis { Sm=l I £s=l Уш |33_,xD& + 2 X
x £"=. (SL.ife,s)2Jw>x*s|dP{lm<x} — d? {i1m<*}|}.
Используя это неравенство и формулы (1.4.4) к (1.4.5),
получаем
linWoo [Мfn (Sx, . . . , Ert) Мfn (т)х, . .	. ,	т]п)]	= 0.
Отсюда, так как sup*. / (хи ..., хп) < оо,	то	для	любого s
limn^oo [М exp {isfn (Elf .. . , Hn)} — M exp {is X
X M*h, ... , i\n)}] = 0.
Теорема доказана.
Теорема 1.4.2. Пусть для каждого значения п случайные
величины tiny i = 1, л, независимы, функции fn (хъ ..., хп)
борелевские и интегрируемы,
linw (2л)-" 22_, (М (1 + vr2)-1)2 f | yk |41	p (yu	yn) | X
xntidj/^0,	(1.4.6)
Нт„-*м supfeUi |a*|< t, (2л)-" j | p (ylt . .. , yn) | X
X П"=1 dyt < oo,
где vk = lk — ak, ak = ^W<T xdP <x},x > 0 —произволь-
ное постоянное число, функция p задана no формуле (I A.2).
Тогда fn (Еъ ...,£„) ~ fnOli. .. . , r)J, где ^, k =
= l, n,— независимые	случайные величины, распределен-
ные по безгранично делимому закону, характеристические
функции которых равны
exp (М exp (ivk) — 1 + iak).
Доказательство. Используя неравенство
(1.3.2), получаем для любого k>0
IМ/* (Е1( ...,?„)- М/* (ть .... *\п)\ < е2 (2n)-nk X
X ^ n'L, | р (уи> ... t уп^\ П dyif 2m=i | м exp (— I x
X vm (S'=l	1	Г-	(1-4.7)
Используя это неравенство, неравенства (1.3.5) и (1/4.6),
получаем утверждение теоремы 1.4.2.
i Если функция fn (хъ ..., хп) неинтегрируема, то чтобы
для таких^функций случайных величин можно было бы при¬
18

менить метод интегральных представлений, /„ умножают на
некоторую измеримую интегрируемую функцию рп так,
чтобы функция fnpn была ограниченной и интегрируемой.
Тогда
fn (хп) = I exp [— i (хп, I)] qt (s„) П?=1 dst х
X [J ехР[— i(хп,Я,)] q2 (sn) FlLi dSi]-1,
где q1 и q2 — некоторые интегрируемые борелевские функ¬
ции, преобразования Фурье которых равны соответственно
fnPn И рп-
 >
В большинстве случаев в качестве функции q2 (sn) берут
плотность стандартного многомерного нормального закона
q (s„): = exp {— 0,5 ||sn||2} (2л)~п/2.
Для некоторых борелевских функций справедливость
формулы (1.4.2) устанавливают, не прибегая к формуле об¬
ращения характеристической функции. Например, легко
установить справедливость формулы
det (/ + AA')~'U = Мехр {г(Ац, !)},	(1.4.8)
где А — квадратная действительная матрица я-го порядка,
—> —>
Е, г| — независимые я-мерные случайные векторы, распре¬
деленные по нормальному закону N (0, /).
Теорема 1.4.3. Пусть для каждого значения п случайные
элементы $}\ i, / = 1, я, матриц Ап = (Е^) независимы,
sup„ [| Sp Вп | + Sp ВпВп] < оо,
sup„ £?,/= 1 М (1 + v^-2)-1 < оо,
где v£j = ty — а{и\ ау] = ^|л.,<т xdP <*}, т>0,	=
= (b[f + a if) — квадратные матрицы п-го порядка, by —
неслучайные числа,
SUPn	^>ij "fC °0,
для любого е > 0
Нш/г-юо sup.Р {| h\f}! > е} == 0.
Тогда [2]
det (/ + В + А) ~ det (/ + В + А),
где А — (Е^)"/^, случайные величины	г,	/	=	1,	я,
для каждого значения я независимы и распределены по
19

безгранично делимым законам с характеристическими функ¬
циями
exp {М exp (isvff) — 1 + isaff}.
Отметим, что некоторые борелевские функции случайных
величин можно с некоторой погрешностью заменить некото¬
рыми интегральными представлениями. Например, рас¬
смотрим функцию Ятах (АА') — максимальное собственное
число матрицы АА'. Для нее используем формулу
{АА') --= linis^oo VSp (АА'У = {/Sp (AA'f + е„
где Нт5^со es = 0.
Для Sp (AAf)s интегральное представление имеет вид
(s—1)! Sp (АА'У = (ds/dts) In det (/ + tAA') (— l)s |,=0 =
= (- l)s (ds/df) In M exp (i (Ац, g))|/e0.
§ 5. Центральная предельная теорема для борелевских
функций независимых случайных величин. В предыдущих
параграфах были найдены условия, при выполнении ко¬
торых распределение борелевской функции fn(tu ..., Еп)
независимых случайных величин можно приближенно за¬
менить распределением этой же борелевской функции,
но от других независимых случайных величин. Следует от¬
метить, что во многих предельных теоремах борелевская
функция также меняется. Например, рассмотрим функции
fn —	sin	Ik-	При выполнении условий центральной
предельной теоремы fn ~ gn (%, ..., г\п), где gn (хъ ...
• ••> хп) —	xk и г]i — независимые случайные вели¬
чины, распределенные по нормальному закону N (М sin Е,-,
D sin ti). Из этого соотношения видно, что функция gn
устроена проще, хотя вычисление D sin Е* и представляет
собой в некоторых случаях известные трудности. Заметим,
что всегда fn (£lt У » /„ (Фх (Лж), •••> 4>п (Лп)) *> гДе
Ф, — некоторые борелевские функции, а г],- — независи¬
мые случайные величины, распределенные по нормальному
закону N (0, 1). Но функции ф* сложны и поэтому неудобны
для практических применений, а борелевские' функции,
которые меняют исходные функции в предельных теоремах,
во многих случаях более простые. Центральной предель-
* Символ да, стоящий между двумя случайными величинами, озна-
чает совпадение их функций распределения.
20

ной теоремой для борелевских функций независимых слу¬
чайных величин будем называть утверждение о том, что рас¬
пределение борелевской функции fn (Нъ £„) независи¬
мых случайных величин при п оо сближается (в слабом
смысле) с распределением случайной величины gn (%, ...
..., r]J, где gn — некоторая борелевская функция, вид
которой будет указан ниже, а г], — независимые случай¬
ные величины, распределенные по нормальному закону
N( 0, 1).
Введем операторы Ns, которые действуют на произволь¬
ную борелевскую функцию независимых случайных величин
следующим образом:
NJn (61, • • • • U = Па Vm(fn-M(U°s))*IOa) + ** ifn/*a),
где t]s, s = 1, я,— независимые случайные величины, рас¬
пределенные по нормальному закону N (0, 1) и не зависящие
от случайных величин as = о {г]р, р = 1, п\ k =
= 1, пу k^s).
Теорема! .5.1. Пусть для каждого значения п заданы бо-
релевские функции fn (Еь Еп) независимых случайных ве¬
личин такие, что существуют
М (П*_, NJn)\
sup, 22.1 М [П-1 Nsfn - М (Пй Ns X
X fJb, r\it i = TTn, i¥=k)]2<oo	(1.5.1)
и выполняется условие Линдеберга: для любого т >> О
HnWco 22-1 Ll>T*’dP NJn —
— М (П*",1 Nsfn/lt, i = 1, п, i ф k) < х) = 0. • (1.5.2)
Тогда
fп (?1> • • • » ?л) — ёп (^il> • • • » Tin),
где gn Oil» • • • . Лп) = П?=1 Nsfn (ii. ■ ■ ■ ,h) и произведение
операторов Ns берется в порядке убывания индекса s.
Доказательство. Используя доказательство
теоремы 1.2.1, получаем
М exp {isfn (£lt ... , у) — М exp {is Ut^Nkfn (|ь ... , Ел)} =
= S"=i [М ехР iis Nkfn] — М exp {is П£=1 Nkfn}].
21

Далее, используя условия (1.5.1) и (1.5.2), а также дока¬
зательство теоремы 1.2.1, получаем утверждение теоремы
1.5.1.
Рассмотрим некоторые свойства операторов Ns. Если
функция /„ является полилинейной однородной и = О,
D|( = 1, то
nt,Ay„(li, • • • , У = Ы%, • •Ль Ун. ... . У- (1-5.3)
Если функция fn равна сумме полилинейных однород¬
ных функций различных порядков и = О, = 1,
то также справедливо равенство (1.5.3).
Если функции fn (£[П), ffi) такие, что существуют
независимые случайные величины г\\п)у ..., v$\	не
зависящие от случайных величин	|пП) и удовлетво¬
ряющие соотношению
М exp {is [fn(xu .. . , xi-u Л/» *i+u • • • , хп) —
— Щп (хъ ... , xi-u 1ь xi+u • • • . хп)]} = exp {— 0,5s2 x
X tyfn{xi> • • • > xi—i, лтц_1, . . . , xn}}, I = 1, ft,
почти для всех значений xh i = 1, nt то
nti (V,f„(Si. • • •, У «Мль •... Ль би-ь • • •. У-
Очевидно, аналогичное утверждение справедливо также
для операторов ЫУ, которые действуют на произвольную
борелевскую функцию независимых случайных величин
lk и vk следующим образом:
Nl'Jn (У • • • , Iя, vlf . . . , v„) =
= Ч /м (/„ - M (fn/tk, Vk,k^s,k= Т7~п)У +
+ м vft, k = Т7Я k ф s),
где vs, s = 1, riy некоторые случайные величины такие,
что Mvs = 0, Mvs = 1.
Аналогичное утверждение справедливо также для боре*
левских функций fn (gx, Е„), где lt — случайные век¬
торы.
§ 6. Необходимые и достаточные условия предельных
теорем для борелевских функций независимых случайных
величин. Пусть для каждого значения n^N случайные
22

величины	£пп}	независимы, f„ (g!^,	J#0)	—
измеримые по Борелю функции от этих случайных величин,
Ns — операторы, введенные в предыдущем параграфе,
Ms» s=l, я,— независимые случайные величины* распре¬
деленные по нормальному закону N (0, 1).
Теорема 1.6.1. Пусть для некоторого 6 Г> О
sup„ELiM|A*/„|4+6<oo,	(1.6.1)
limft-^TinWoo sup^g^+i Р {| М (П*Г,' Ns X
X fnhi, h, i = ГЯ i^k)\>h] ==0,	(1.6.2)
для некоторого бх > 0
linw SLi м [М {(АаШЛ(, h, i = Гл, £}]1+б’ = 0,
(1.6.3)
М [(Afe/„)3/rif, i = ТГп, i--j= k] = 0, k = ТГп, (1.6.4)
Akfn = Utl Nsfn — M (ПЙ NsfnHi, Ль i = ПЯ гфЩ.
Тогда, для того чтобы f„ &и ... , У ~ gn (%, ... , Лп),
где gn (%, ... , г]п) = riLi Nsfn (|lt ... , tn), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие Линдеберга: для
любого т > 0
Ншп^.оо E*Ui Jw>, хЧР (Akfn < *} = 0.	(1.6.5)
Доказательство. Достаточность условия (1.6.5)
доказана в теореме 1.2.1. Докажем необходимость условия
(1.6.5). Пусть
okn = о {£*, Т]„ i = 1, п, i фк\.
Очевидно,
М exp (isfn (£„ ... , |„)} — М exp (isg„ (%, ... , п«)} =
= £p=i [М exp (is П£~| лу„} — М exp {isП£=1 Nkfn}] =
= S"=i М {[М (exp (is&kfn) — exp [— 0,5s2M х
X {(А*Шо„*}]/оп*)]ехр {is М (П?~! NpfjGnk)}} = £*=> М X
. х {[М {(exp (isAkfn) — 1 — isAkfn)]onk) + 0,5s2M х
X {Akfn)2/onk\] exp {isM (П*-1, Npfn/onk)}} - SLi M [exp x
X {— 0,5s2M {(Akfn)Vonk}} - 1 -0,5s2M ((Aa/„)2/o„,(}] x
X exp (isM (П^, Npfn[onk)}].	(1.6.6)
23

Введем обозначение
Gn (*, у) = SJLi Jlc z*dP {Д*/„ < 2, M (П£\ Лу>п*) < у}.
Используя (1.6.1) и (1.6.3) для всех | s | < оо из (1.6.6), по¬
лучим
linwco £ j [(eisx — isx — 1) х~2 + 0,5s2] eislJdGn (.x, у) = 0.
Разделив это выражение на s4 и перейдя к пределу при s ->
->■ 0 в силу условий (1.6.2) и (1.6.4), получим
]\тп-юо £ x2dGn (х, 4-оо) = 0.
Из этого соотношения вытекает (1.6.5). Теорема доказана.
Из теоремы 1.2.2 следует, что условие Линдеберга
(1.2.4)	эквивалентно условиям (1.2.6) и (1.2.7). Поэтому
условие Линдеберга (1.6.5) можно заменить соответствую¬
щими условиями, которые приведены в теореме 1.2.2. Для
этого нужно, чтобы &,(%, ..., лn)~fn (vb v„), где
vi> •••> vn — некоторые независимые случайные величины.
Далее по величинам £х, ..., Ея, vb ..., vn определяем опера¬
торы 0*, хр.
Предположим, что функции fn можно представить в виде
следующей формулы:
/п (*^1» • • • » хп) = ^ exp [i ХрЧ\р\,
гДе Лр» Р	— 1* п> п — некоторые случайные	величины.
Теорема 1.6.2. Пусть для каждого значения	п	слу¬
чайные величины	i = 1, ft, независимы, не зависят от ве¬
личин г)р, р	= 0, D£t *= a?, i = 1, л,
sup^M | Лр I3 < oo,	(1.6.7)
suPliEJL,o>< oo.	(1.6.8)
Тогда, чтобы fn(ll9 ..., 5„) ~(vIf v„), где vb
i = 1, ft,— независимые случайные величины, распределен¬
ные по нормальным законам N (0, о]), и чтобы случайные
величины i = 1, ft, бб/./ш бесконечно малы, достаточно,
а в случае, если симметричны и infp Мт]р >> 0, ц необхо¬
димо выполнение условия Линдеберга: для любого т > О
Ншл^оо S"=i £ м>т хЧР {1Р < х) = 0.	(1.6.9)
24

Доказательство. Достаточность. Использо¬
вав доказательство теоремы 1.4.1, получим
| М [Re / (|lf .... !„)]* [Im / (|t, ... , In)]' -
— M[Re/(vb , vjftlm/K, ... ,v„)]'K
^ M ([| 2^=1 4ms | -R | Ssi+1 4ms |] X
X 3-‘eD|m -R 2 £m=l [| Stl Tims I + I Ssilfl 4ms |]2 X
X Jw>r*2dP {ImC*}.	(1.6.10)
где r]ms, m, s£N,— независимые случайные величины,
распределенные так же, как и величины r)s (r]ms не зависит
ОТ ?р).
Выбирая е достаточно малым и используя условия
(1.6.7)	— (1.6.9), приходим к утверждению теоремы.
Необходимость. В силу неравенства (1.4.7)
....	..., ЮК .
< е2т IМ ехр {- Цт ELi Tims) - 112 <
<е2с*Х1т=1СТр(Р{|Ы>е} + e),	(1.6.11)
где ck < оо — некоторая постоянная, j\xh i = 1, /2,— неза¬
висимые случайные величины, распределенные по безгра¬
нично делимым законам, характеристические функции ко¬
торых равны
exp (М exp (islk) — 1}.
Так как величины £р, р = 1, я, бесконечно малы и вы¬
полняются условия (1.6.7) и (1.6.8), то, используя (1.6.11),
получаем
Нп^с [M/ft (|ь ...,|„)- Щк (рх !*„)] = 0, k£N.
Но тогда
[М/* (pj, .... (*„) -М/*К, ... , v„)] = 0. (1.6.12)
Преобразуем это равенство к виду"
М [exp { £p=i (М (exp [t|p (£m=i 4тР)У4тР, т = 1, k) —
— 1)} — exp {— Ep=i°D(Sm=i Т|тр)2}] —*■ 0, п —> оо. (1.6.13)
Так как случайные величины |р симметричны, то выраже¬
ние, стоящее под знаком математического ожидания, будет
25

неотрицательным. Поэтому для любого k £ N
plim„_co 1 [{М [i^p (Xj^=1 Цтр)УЦтру tTl = \, fo)
- 1} + Op (£«=, ri,np)2] = 0.	(1.6.14)
В силу условий (1.6.7) и (1.6.8)
SUPrt М | У1г7=1 [{М exp [flip (2^=1 Цтр)\1Цтру М = 1, k) —
— 1} + оrn (^jm=l ^mp)2]\ /г <С 00 •
Поэтому, используя равенство (1.6.14), имеем
lim,,-,со £р=1 (М exp [tgp (£m=l Цтр)\ + СГ2М (££1=1 Цтр)2] = о.
(1.6.15)
Преобразуем полученное равенство
£2-1 <4м (£5,-, Чтр? - £р=. м Jw<e Re [1 -
— exp (ix £m=i Timp)l dP (gp < x) = £р=1 M ^и>е Re [1 —
— exp (ix 2m=l 'Цтр)] dP (cp < x] + 0(1).
Подынтегральное выражение справа не превышает вели¬
чины х2б~2, а слева — величины х2 (£пг=i ЦтР)2. Следова¬
тельно,
22-1 Jw>, хЧР !ёр < X} k~lМ (£,п=1 Лтр)2 <
< В-2 22-1 о2/г_1 + о (1).
Так как inf^Mr^ > 0, то переходя к пределу при k-> оо,
получаем (1.6.9). Теорема доказана.
§ 7. Предельные теоремы для решений конечно-разност¬
ных уравнений. Рассмотрим метод интегральных представ¬
лений решения обыкновенных дифференциальных уравне¬
ний второго порядка. Сначала решение дифференциального
уравнения приближенно заменяем решением соответст¬
вующей конечно-разностной краевой задачи, затем, исполь¬
зуя интегральные представления для случайных детерми¬
нантов [1], переходим к пределу и находим точное решение
рассматриваемого дифференциального уравнения. Среди
краевых задач для обыкновенных дифференциальных урав¬
нений основную часть составляют задачи для уравнений
второго порядка. Рассмотрим одну довольно распростра¬
ненную краевую задачу. Необходимо решить уравнение
26

и” {х) — 5 (х) и (я) = г) (я) в классе дважды непрерывно
дифференцируемых случайных функций на отрезке [0, 1]
при граничных условиях и (0) = а, и (1) = 6, где £, ц —
непрерывные случайные процессы, заданные на [0,1], я, Ь —
некоторые случайные величины. Заменим вторую производ¬
ную в этом уравнении разностью второго порядка:
я2 (uk+1 — 2ak + uk-1), uk = и (kin), k = 0, n — 1.
Получим систему разностных уравнений
я2(яж — 2Uj + h/_i) — IjUf = г)у, /=1, /г —I, (1.7.1)
где £/ = | (//л), г|у = г] (//я) и граничные условия замене¬
ны соотношениями и0 = а, ип = Ь.
Теорема 1.7Л. Если с вероятностью 1 I (х) ^ 0У х £
ею, и,
supx€[0,i] М [| I (*)| + IП М|1 <
Ишмозир^кИМИЮ-НШ +М|т| (*')-т1(Г)|] = 0,
то
и (г) = /п (/) dt)~{ |b §20 m(t)dt +	(t)	dt Д-
+ т (t) dt \l(\lm (t) dt) r| (я) dx + ^ m (t) dt x
x К (П m (0 dt)	’	(1.7.2)
где m(0 = [m exp {— 0,5 l(y)w2 (y)dy)/o] “ (см. [1]).
Здесь стохастический интеграл понимаем как средне¬
квадратический предел сумм, построенных по случайным
ступенчатым функциям, w (у) — процесс броуновского дви¬
жения, не зависящий от g (у) о — минимальная а-алгебра,
относительно которой измерим процесс £ (у).
Доказательство. Систему (1.7.1) можно пред¬
ставить в ‘следующем виде:
Л,2яп = Чл,
где Ап = [(— 2 — /Н2^) 6£/ + 6£/_i + 6,ж]; яп = (иь . . .
—^
• • • ,	Л^ “ (4i» • • • , 4/i), 4i = 4i 4/г =	^	=
= 2, я — 1, Цп = г\п—Ь. Тогда
uk = det ЛТ1 det Л,?*,
где индекс (k) означает, что й-й вектор-столбец матрицы Ап
заменен вектором г^.
27

Введем обозначения
Bk = det [(— 2 — rr~2^j) 6ij + 6f7_i -f
С/г — det [(— 2 — Я~“2Е/) 6/, + 6*7—1 +	]£/—!.
Тогда
det A? = «-2 s?-i(— l)'+4C,--iB* + «-3 2?-a+i (- 1)M'* x
и
= det Лп 1 (/г~2 $]?=i Ci_iB^i + n—2 S«'=/?+i Л;С/г—+
+ aBk + bCft—i),	(1.7.3)
где
С/г = det [(2 + п~~2Ь) 6if — 6£/-—i — 6//_|_i]?t/-=i,
Bk — det [(2 -f- rr~2tj) Ьц — 6*/—i — 8f,i-L\]ij=k+i.
Обозначив
un(z) = Uk, bn(z) = n{~~[)Bkt cn{z) = n~lCk_u
4n (z) = Л/г, khi < г < (k + 1)1 n,
с помощью метода интегральных представлений для слу¬
чайных детерминантов получим, что bn(z) ^ m (t) dt,
cn(z)^>^\m(t) dt (см. [1]). Но тогда из (1.7.3) вытекает,
что ип (г). => v (г), где v (z) — правая часть формулы (1.7.2).
Решение уравнения и" (х) — Е (х) и (х) = л (х), и (0) = а,
'и (1) = Ь, с вероятностью 1 единственно. Нетрудно убе¬
диться, что v (г) удовлетворяет этому уравнению. Теорема
доказана.
Рассмотрим некоторые разностные уравнения, соответ¬
ствующие обыкновенным дифференциальным уравнениям,
порядок которых больше двух. Пусть
Л/2 = [( 2 6,;; + 6t/—1 + 6t7+i]/f/-=i, ип =
= (и19 . . . , ^/г)»
Чгг = (Ль • • • , Лп), Л< = п~\> 1 =	/г> т1/ = n~2y\h
j = п, п — k, л$ = п~\> s = k + 1, n — k — L
Обозначим элементы матрицы Л7"1 разностного уравнения
(1.7.4)
28

через dij. Из доказательства теоремы 1.7.1 следует, что
(Ci^Bj) det А^1, in^j,
(Cj-Фд det A7l, i > j.
Если h = I (i/n), r\( = T| (i/n) и для функций | (х), ^ (х),
0<	1,	выполняются	условия	теоремы	1.7.1,	то
ап (г, х) => а (г, х) =
Гг	ГО	/	Г1	\—1	(1.7.5)
\Qm(t)dt\xm(t)dt[\0m(t)dt) ,	г<л;,
где ап (z, х) = n~xaih i/n < 2 < (i + 1 )/п,	j/n < л: <
< (/ + 1)/л.
Из равенства (1.7.4) получаем
  у! /I	—
UP	  *2fe=1	aPl fth1* * * ' aL2k—li2kr\l2k
= Хк,, ... ,^2fe—1 aP[tahi2 * • * al2k—\i2^2lP' 4/2*
Обозначим a (я) = при р/п ^ я < (n + 1)/л. Тог¬
да, используя доказательство теоремы 1.7.1 и формулу
(1.7.5), получаем
и W => I о • • • f о а (х' У1) а (У и Уъ)	а (угк-и У>к) X
X г) (г/2*) dy1 ... dy2k,
где а (х, у) определено формулой (1.7.5). Аналогичные фор¬
мулы получаем также для разностных уравнений, у которых
вектор имеет следующий вид:
Л* =	+	ь,
где b — вектор, у которого только конечное число компо¬
нент (не зависящее от п) отлично от нуля, т] = (тщ, ..., rj^).
§ 8. Предельные теоремы в методе максимального прав¬
доподобия и в теории распознавания образов. Пусть
£2* •••> 1т ••• независимые наблюдения над случайной вели¬
чиной I с плотностью распределения ра (х), где а — неиз¬
вестный параметр. Метод максимального правдоподобия
А
определения оценки а параметра а заключается в следу¬
ющем.
29

Вводится функция правдоподобия L = Ц'г=1 Ра(Ь)- Ре¬
шения а уравнений supa€.4 Ця=1 ра ('£■) = П"=1 р£ (£,), где
А— некоторое множество, £Li. (д/да) In ра (?,) = О,
называются оценками максимального правдоподобия. К ре¬
шению аналогичных уравнений сводятся также некоторые
задачи теории распознавания образов. Установим некото¬
рые важные свойства оценок ak максимального правдо¬
подобия с помощью метода интегральных представлений.
Теорема 1.8.1. Пусть хъ х2, ... — независимые одинаково
распределенные случайные величины, f (я, 0), х £ Rlt 0 £ 0,
© cz Rlt— борелевская функция, 0 — борелевское множе¬
ство,
supeeo j [| f (х, 0)| + | р (х, 0)|] dx < оо, (1.8.1)
j supogG | р (s, 0)1}/1 —1<7 (s)|2ds< оо, (1.8.2)
где р (s, 0) = j eisxf (х, 0) dx, q (s) = Me*'”, и функция
g(Q) := Mf (xlt 0) выпукла.
Тогда plinwoo 0« = 0, где Q*n — любое решение уравнения
supeg© S”=i f (хь 9) = S?-i f(*i, 0«).	(1.8.3)'
a 0 — решение уравнения supe€© g (0) = g (0).
Доказательство. Так как выполняется (1.8.1),
то преобразуем уравнение (1.8.3) к виду
supee© ft-1	0)	=	(2п)—1 £ р (s, 0,’,) (п~1 X
X ^^=1 е ^xji) ds.
Очевидно,
М | J р (s, 0п) (п-1 Sfc-i - Ме-'«.)| <
< J |/m|/7(S, 0,;)i2 х
X У'п-Щ (Г'“‘-Мг“') У,и (/“р — MeisXp) ds <
< ft-v. sup* j supee© IP (s, 0)| Ю — I <7* (s)|2 ds.
Следовательно, в силу неравенства (1.8.2)
linwJW I ft-1 E5U / (Л, 0I) — м/ (xlt 0) I = o.
30

Покажем, что отсюда вытекает соотношение plinWoo 0я =
= 0. Предположим, что это не так. Тогда найдем подпосле¬
довательность п' такую, что lirrv-co Р {0^ € (0 — £,
0 + е)} > 0, где е < 0 — некоторое постоянное число.
Но тогда, так как функция g (0) выпукла, случайные вели¬
чины 0я не удовлетворяют уравнению (1.8.3), начиная с не¬
которого п. Полученное противоречие доказывает утверж¬
дение теоремы 1.8.1. Эту теорему можно сформулировать
в другом виде.
Теорема 1.8.2. Пусть хг, х2, ... —независимые, одинако¬
во распределенные случайные величины, / (х, 0), х £ Rly
0 £ В, 0с Rly— борелевская функция,	0 — борелсвское
множество,
suP*€tf, 1 f (x, 0)| + | p (x, 0)| dQ < oo,
^ [M (p (xu s) — Mp {xu s)) (p (xlt s) — Mp (xu s))]'/s ds < oo,
где p (x, s) — j'Q e‘s0/ (0, x)dQ и функция Mf (xlt 0) выпукла.
Тогда plim/1H.co 0« = 0, где 0„— любое решение уравне¬
ния (1.8.3), а 0 — решение уравнения supe^@ М/ (хх, 0) =
= M/(*lf-0).
Итак, пусть задана выборка наблюдений хъ х2, ..., хп
над случайной величиной g с плотностью р (а, х), где а —
неизвестный параметр. Пусть для случайных величин
хь ..., хп выполняются условия теоремы 1.8.1.
Тогда plim„_<x, [g (0„) — g (0)] = 0, где g (0) = j / (х,
0) р (а, х) dx, а а — параметр. Для того чтобы Qn а,
необходимо, чтобы функция f (х, 0) была такова, что урав¬
нение supeee ^ / (х, 0) р (а, х) dx = £ / (х, 0) р (а, х) dx бу¬
дет иметь решение в точке 0 = а. Очевидно, для этого
уравнения можно взять f (х, 0) = In р (х, 0).
Выражение L (g„) N (О, 1), где 1п — некоторая по¬
следовательность случайных величин, означает, что функ¬
ции распределения случайных величин £п сходятся к стан¬
дартному нормальному закону.
Теорема 1.8.3. Пусть	•••	—	независимые,	одинако¬
во распределенные случайные величины, f (х, 0), х £ Rly
0 £ 0, 0 cz Rly— борелевская функция, выполняются усло¬
вия (1.8.1) и (1.8.2), решение 0 уравнения Щ (liy 0) = О
31

единственно
IМ>С (*> ^ dx =	С -8-4)
O<D/(0, У <00.	(1.8.5)
Тогда
^{[g(0n)-^(0)](D/(0,yr,/!]/rt)+»A^(O, 1),	(1.8.6)
где 0„—любое измеримое решение уравнения 2£=i/(£ь 9) =
= 0, а 0 — решение уравнения g (0): = М/ 0) = 0.
Доказательство. Рассмотрим равенство
{£ е~1Х*п [£"=1 Р (х, У] dx—§ е~1Х®« $]Li М р (ху g,) dx] х
X (nDf (0, У)-7' = £ е-‘х0пцп (*) dx,
где
г,„ (х) = (nDf (0. У]-7’ £?_1 [/ (х, h) - Мf (х, Ш-
Л
Из доказательства теоремы 1.8.1 следует, рПт/г-оо (0„ —
— 0) = 0, где 0 — решение уравнения g (0) = 0.
Поэтому, используя еще условия (1.8.4), (1.8.5), полу¬
чаем
- g (0„) УК (D/ (0, у)"7* = J е-^Цп (X) dx =
= £?=i [/ (0, If) - М/ (0, h)] (nDf (0, УГ7*. (1.8.7)
Поскольку в силу центральной предельной теоремы для ре¬
шения 0 уравнения М/ (|ь 0) = 0
L I £?-, [/ (0. ы - Щ (0, у ] [nDf (0, у]-72} =» N (0, 1),
то из (1.8.7) следует (1.8.6). Теорема доказана.
Если функцию g (х) можно разложить в ряд Тейлора
в некоторой малой окрестности точки 0:
g (0„) - (0 - 0n) g' (0) + (0 - 0„)2 g" (0 + аЯп - а0)/2,
0<а< 1,
где sup | g" (х) <. оо, то при выполнении условий теоремы
1.8.3 из (1.8.6) следует
L {(0 - 0П) У (0) (£2-i D/ (0, У Г‘Л/г) *N(0,1).
32

Глава 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ
ИЗМЕРИМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 1. Предельные теоремы с условием Линдеберга. Пусть
заданы случайные элементы Е[п), ..., ^ со значениями в
измеримом пространстве X и определены операции сложе¬
ния и умножения элементов в этом пространстве. Поли¬
линейным отображением назовем выражение
С 	 Y1/2	V	(т)
In' — Zjm=\	•	•	<lm^n	aiii2—imxiixl2 • * * Xim'>
где k — некоторое целое число, не зависящее от я, is =
= 1, я, s= 1, &, a\™\im, xif i£N,— неслучайные эле¬
менты из пространства X.
Докажем предельные теоремы для полилинейных функ¬
ций случайных величин, из которых легко можно получить
предельные теоремы для функционалов полилинейных изме¬
римых отображений независимых случайных элементов.
Теорема 2.1.1. Пусть для каждого значения п слу¬
чайные величины H(in), £{п\ Л(/г)» •••> ^ независимы,
fn = £?=1 Х(, существуют МН„ Mr|,-, Dc(,	М|,-	= Щ;,
D|(- = Dr)t, i = 1, п, sup„ y]f=i D£t *< oo и для любого т>0
lim„-,oo S"-i JW>T x2\d(P $n) - Ml\n) <x}-
-P{tf>-Mr#"<x})\ = 0.	(2.1.1)
Тогда £Li h — X?=i Л г (см- [12])'
Доказательство. Пусть для функций fn и слу¬
чайных величин Е,, гц, i = 1, я, определены операторы
0? и 01 по формулам (1.1.3) и (1.1.4). Легко видеть, что
условия (1.2.1) — (1.2.3) выполнены и операторы 0*, 0? обла¬
дают следующим свойством:
01/» = Ь-М|*. ё? = Г|А — Мг|*.
Следовательно, из равенства (1.2.12) вытекает (2.1.1).
Теорема доказана.
В частности, в качестве т]^ можно выбрать случай¬
ные величины, распределенные по нормальным законам
N (ME,, D£,).
2 2-774	33

Теорема 2.1.2. Пусть для каждого значения п слу¬
чайные величины ..., r\lf ..., ц„ независимы, fn =
= Sna>/>£>i ctijXiXj, Щс = Mrp, Щ,- = Dr|t-, ai< — неслучайные
действительные числа,
sup„ [Е(>/а?/ст‘?(Т/ + X?=i a?M (H/=<-h a<vi/)2| < 00. (2.1.2)
где о? --= D|(-, Зля любого x > 0, ix — ± 1, i2 = ± 1,
limbec £p>/ {w>T*8dP {a/P (|}t‘) -Mg^) ($*> -Mg<l'’>) <
<x}=0,	(2.1.3)
Hindoo S?-i { W>T	- M^1’) [S/Wi aiKi +
+ S/=i aar\j\ < *} =0,	(2.1.4)
где &+l) = h, |!_1) = %.
Tогда У ,•>< a,7|,| ,■ ^ Y]/>(- а*,т| ,-Л/.
Доказательство. Проверим справедливость
условий теоремы 1.2.2. Очевидно, операторы 0i, 0{, щ обла¬
дают следующим свойством:
е{/„ = (I, - Щ,) (Ц/=ч-1 а,& + 2/t! a„g,),
0{/„ = (Л/ - Мл/) (S/-/+1 а^/ + Е£! A//S,).
0?+10{/„ = (Ь - Щ,) (Ъ - Щ9) ciiq, q>l.
Условия (1.2.5) и (1.2.6) выполняются. Из условий (1.2.6)
и (1.2.7) при т = 2 получаем (2.1.3) и (2.1.4). Теорема дока¬
зана.
Если в качестве величин гр выбрать случайные величины,
распределенные по нормальным законам /V (M£t-, DEt-), то
условие (2.1.4) будет вытекать из следующего условия:
Пшп^оо £Li \lxl>Tx2d |Р {(if — му S/=i+iaf/Mii<^} +
+ Р ((I, - Mt(.) (£"=ж alQZj'* < *}] = 0.
а условие (2.1.3) из условия: для любого т ;> 0
lim„-.M £/>,- j|x|>T хЧР {ац (|; — Му (I,- — Му < х} = 0.
Аналогичное утверждение докажем для любой последо¬
вательности полилинейных функций.
34

Теорема 2.1.3, Пусть для каждого значения п случайные
величины ^п), г|/л), i = 1, п, независимы,
fn — \jm=\	"	<im^n	aii~.imxiixi2	•	*	•	Xim>
где k — некоторое целое число, не зависящее от пу is =
= 1, /г, s = 1, ky ац..л — неслучайные действительные
числа, Щ( = Мт|, = 0, DH; = Dx\h
$иР/г ^jm=l	• • <1т^п ah~ ЛпР^11 *•' Dbm<°°.	(2.1.5)
для любого т> 0, s = 1, k и рг = ± 1, . . . , ps = ± 1
limn.eoSi«/1<...</g^Jw>t^pUif,) ... I^’x
X Em=s 2 0(i,+1.(i+3	<m,	11is+i%+2 • • •	<	X\	= 0.
1... $
(2.1.6)
где £p+1) = £p, gjr1* = ЦРу (ts-j-i, *s+2> im)ix...is — выборки
из чисел 1, 2, n, содержащие числа /ь ..., /5.
Тогда
bm= 1	•	•	</m<«	аЦЦ^ЧтЬ1Ь2 • • • Ьт —
— !L'h=i Xii^i<-• • <im^n	•••	(2.17)
Доказательство. Снова воспользуемся теоре¬
мой 1.2.2. Очевидно, условия (1.2.5) и (1.2.8) выполняются,
так как справедливо (2.1.5). Условие (1.2.7) имеет вид
(2.1.6). Условие (1.2.6) вытекает из (2.1.6) при s = k. Таким
образом, все условия теоремы 1.2.2 для полилинейной функ¬
ции fn выполнены. Следовательно, выполняется (2.1.7).
Теорема доказана.
«Любая полилинейная функция п переменных равна сум¬
ме однородных полилинейных функций. Обозначим поли¬
линейную однородную функцию порядка т через fnn) (х1у ...
..., хп). Если математические ожидания величин	не
равны нулю, то, подставляя вместо случайных величин
в полилинейной функции fn величины h — Mgt- +
снова придем к некоторой полилинейной функции п слу¬
чайных величин (gt- — Мgt-), которая, как уже указывалось
выше, равна сумме однородных полилинейных функций.
Отметим, что условие (2.1.6) вытекает из следующих
условий:

для любого т 0 <и s — 1, k (см. [12])
linw* Si£м>тА1Р {&, . .. ^ X
X [S'H=' S abS-Ll-lm), ; D^Cs+l ••• ^»‘mJ	^ Л:) =
М-- s
Нтл-.со lim.woo supj==r:7i М I I'ji'11 [Driln,]-I/212 X (r][-n) [Dr);n)J-‘/2 >
> A) = 0,
где	[Drif"']-1/2 = 0, если Dr|J'l) = 0, X (Л) — индикатор
события А, и условия (2.1.5).
Действительно, используя простое неравенство
м ) |«|>тх*аЧР W < Ма2 Jм>т/л x4F (*) +
+	(х)Ма2Х(|а|	> Л),	(2.1.8)
где а — случайная величина, F (х) — функция распределе¬
ния, имеем
-<‘s^	1^’	^р%+1	•••
... 1\l Sm=4 2	,	%5+1%5+2 ••• 11<т<Л'}<
1... $
< Mai Si</,<. • • <is^n\W>X/A x2dV {£/, .. . ^pD%+1 • • •
• • • E>Vps [Sm=s+1 L aUS-\-l--im)l t Obs+l . . . DStm] /! < X} -[-
1-. g
Mall (| an | > A) y,m=i S abl-im)l	•••
1'“ S
где
an = Ц1р • • • 11^ — m=s+l	^ + 1 • ’ •
• • • (Dy]lp • • • ■ЧГ* (S^+i 2 a<W"j Db,+1 • ••
• • • Db J-v‘-
Введем случайные величины r\t =- p/X, (| pt-1 ^ B) —
— МрД ( I P; I < В), ГЦ - pt0C (I p, I > B) — Mp,.X ( I Pf | > B)>
где p, = r)t- [BriJ"1/s.
Очевидно, случайные векторы (л,-, л*), i = 1, п, неза¬
висимы, и если хотя бы одна из величин л* в выражении
36

для ап равна тр, то lims-.M Нтл-к»ап = 0. Следовательно,
Пгпл-юо Пт„-.мМаяХ( \ап \ > А) =
= Пгпв^м Птл^сд Пш„^соМа^Х( | а„ | > А) ^
<С Пшв^оо lim^-voo lim„-Kx, VmS /М | а„ |8/Г1,
где a/2 получена из а„ заменой всех гц на
Легко видеть, что
MaJ < М^р .. . Mrps (Drpp . . . Drps)—2 {k — s — l)3 X
Воспользуемся следующей, легко доказуемой леммой.
Лемма 2.1.1. Пусть случайные величины i^iV,
независимы,	=	0, Dtc = 1, sup*1 Ht-1 <Сс. ГогЭа Эля лю¬
бого m£N
где с > 0 — некоторая постоянная, ^ч...г/г — неслучайные
действительные числа.
Используя лемму 2.1.1, получаем
где с-А — некоторая постоянная, зависящая только от k.
Выбирая А достаточно большим, устремляя п к бесконеч¬
ности и используя условия (2.1.5) и (2.1.8), получим (2.1.6)
на основании следующего простого неравенства:
где t — некоторая случайная величина, ас — действитель¬
ные числа.
Теорему 2.1.3 обобщим на случай, когда некоторые
случайные величины могут существенно влиять на пове¬
дение полилинейной функции.
sup„ Ma„ ^ сг < оо,
4
37

Теорема 2.1 .4. Пусть выполняются условия теоремы
2.1.3, но вместо условия (2.1.6) справедливо следующее
условие Линдеберга — Золотарева:	для	любого	х	>*	О
и s = 1, k
1 i ГП/2-* со Ei*/,<-••</,«»»ii.vl>xIv/, •••
• • • yis E 01/^!..^.^+, • • • Tfcm < x\ = o,	(2.1 .9)
где y£j i = 1, n,— независимые между собой и не зависящие
от случайных величин i — 1, /г, обобщенные случайные
величины с функциями распределения
р {y«<*} = llcoMfp ib<x) — р {л«<*}]|.
Тогда выполняется соотношение (2.1.7),
Доказательство. Из теоремы 1.2.3 следует,
что если выполняется условие (1.2.12), в котором fn —
полилинейная функция, то справедливо соотношение (2.1.7).
Очевидно, для данной fn условие (1.2.12) вытекает из сле¬
дующего соотношения: для любого т >» О
Пт„^£2=,[к1>тЛ*Р(Д^<х} =0.	(2.1.10)
где Д* — оператор, который действует на функцию fn так,
что меняет все величины t£t s ^ i <С k, входящие в на
величины гр, величину на yk и обращает все члены поли¬
нома, не содержащие величину £*, в нуль. Из условия
(2.1.9) следует, что случайные величины A\fn бесконечно
малы, поэтому, используя доказательство теоремы 1.2.2,
получаем утверждение теоремы 2.1.4.
Предположим, что
Шпл^ Hindoo sup,.=n М (11,- (Dr],-)-1/г)'2 % (| т1,-! (Dii,)—1/г >
>А) = 0.
(если Drp = 0, то считаем, что rp/]/Drp = 0). Тогда усло¬
вие (2.1.9) можно заменить следующим [121:
lirrwco Si^<...<^ ^м>ххЧР j yit . ..
• . • yi, [Em-s S a«,+l"V, , Dtl‘s+1 • • • DTl/m],/* <*1=0.
s
Перейдем теперь к изучению полиномиальных случай¬
ных функций gn от п независимых случайных величин
38

£-/г), i = 1, п. В общем случае gn может содержать в себе
произвольные степени величин ^in\ i — 1, п. Обозначим
h = (hi	£*)>	&	— порядок полиномиальной функции
gn. Функцию gn удобнее записать в виде
Sn Sn (rl> ^2» • • • »
Используя теорему 2.1.3, получим следующее утвержде¬
ние.
Теорема 2.1.5. Пусть для каждого значения п случай¬
ные векторы h и гр = (г)ц, ..., r]^), i = 1, п, независимы,
= Мг]^г|^, Щьс = ЛЦЧ| s = 1, k, р = 1, k, для функ-
• > — >
ций gn и случайных векторов гр определены операторы
0s, 05, кр по формулам
0s^stt (^1> * * * ,	=	Sn (^1, • • * , h — 1, ^S, • • • , Щ—1,	•	•	•
• • • , ln)—f^lgn(hi • • • , £-i. Л*, • • • , Ц1-и Ть • • •
..., ы/м,
0ь^п(^1» • • • » ^м)	^Vz(bl, • • • ,	—1»	TJS, .. . , 1)/,	.	.	.
• • • , ^п)	^	(^1, • • • , h—1,	11s,	• • • , Л/, Ъ/-f-1 >	• • •
• • • , £rc)/cbi/]»
где o,i! — минимальная о-алгебра, относительно которой
измеримы векторы г|/г, кф1, k = 1, п. Оператор хр
действует на gn(lA, ... , EJ так, что меняет векторы Н,
на r|s для всех s = р + 1, п. Выполняются условия Линде-
берга: для любого т>>0 и ik = zh 1, k = 1, ту
iimn-.c	J|„>Tx2dP {0/^+i (im) ...
• • • 0i‘ (h) gn<x\ = 0,
для всех k = 2, m
lirri/l-xx) X|A2^//v._l> • * ->/,^1 ^ |д:|>Т	0//(;_2-|-l (^ k) * * *
• • •	(t'l)	gn	< *} = 0,
39

где е'(+1) = е', 0р(—1) = ё£,
 i> • • >/^1 М (0/^ j (У ... 01 (t\) §^)2 <!! оо.
Тогда. §п(£i, ..., У)—•••» Л л)-
Рассмотрим важное следствие этой теоремы — пре¬
дельную теорему для случайных квадратичных форм
ХЪ^ЛЛг
Следствие 2.1.1. Пусть для каждого п случайные вели¬
чины У i = 1, я, независимы, существуют ME?, М£, = О,
i = 1, я,
sup* £?=. (f - М£?)2 < 00,	(2.1.11)
sup„ Yii>ialiaWi < оо, а,2 = D£„	(2.1.12)
я выполняются условия Линдеберга: для любого т > О
limbec X?=1 f IHX.X x2dP {{fi — а2) аи < х) = О,
г	(2.1.13)
lirrw*, 2t>l\M>,x'dP {aijlil/ < л:} = О,
lim^» 5j?=i fw>t*2dP lit	+	S/>fa?/a?)V'2<x) =
= 0.	(2.1.14)
Тогда
~ £?=i аиУ{Р + Е<>/ aavf'tf' +
+ %'UauO],	(2.1.15)
где случайные векторы v*-l), v-“}, i = 1, я, для каоюдого зна¬
чения я независимы, не зависят от случайных величин Е,,
i = 1, я, я распределены по нормальному закону с нулевым
вектором математических ожиданий и матрицей ковариа¬
ций
м (f - mfr mi (f - mf)'
_mi(f-mf)	mf
Доказательство. Из теоремы 2.1.5 при т = 1
следует, что соотношение (2.1.15) будет выполняться, если
для любого т > О
lirrwco S?=i Jw>1 хЧР \{fa — аа) au +
+ h (Sh+i aijl + Xl=l altvf>) <x\ = 0 (2.1.16)
40

(здесь будем считать, что £/=i = О),
limbec £"=1 jw>TхЧР (v\l)au + V;2> (£м+1 «г/i/ +
+ £Sfl,/v}2))<xJ = 0	(2.1.17)
и справедливы условия (2.1.11) и (2.1.12).
Используя неравенство
JIИ+*1>* ХЧР dG ^ < И !*+*1>т.М£т/2 X*dF W dG (У) +
+ J J \y\>v2x4F W dG (у) < J w>T/2 dF (*) +
+ Jjc*dF(jc) JM>x/2dG(y),
где F (x) и G (x) — функции распределения, получаем, что
условия (2.1.16) и (2.1.17) вытекают из следующих:
Ншлчоо £?-1 Jw>Tx2dP {(й — Ои) ап < х) = О,
liriWoo £Li j,* >г x2dP {it (£yL/+i aiih +
+ £/=!%!/)< *1=0, (2.1.18)
lim„-co £"= i ^w>x*2dp IV!IW<*1 =0.
linw„ £?_i JM>1 x2dP (v}2) (£;=г+1	+
+ yli=\a,ili)<x} = 0,
что и доказывает утверждение следствия 2.1.1.
Найдем характеристическую функцию квадратичной
формы
Рп- = SLia/iVi” + £<•>/• a//v i2,v(2).
Очевидно, v(/’ = e^Tj, + 0/£,, v)2) = a^,, где r|b £„ l£N,—
независимые случайные величины, распределенные по нор¬
мальному закону N (0, 1),
0,. = аГ1 м {£ -- al) h, Qi, = [М (It - О?)2 - 0?,]‘/!.
Введем обозначения Л/г = (apiopOi) — квадратная матри¬
ца п-го порядка, у которой арр = 0, р = 1, я. Матрицу Лп
можно представить в виде Ап = Т\Т\ где Л = (hp6Pi) —
диагональная матрица собственных чисел, Т =
= (kvi) — ортогональная матрица, столбцами которой яв¬
ляются собственные векторы матрицы Л, кп = (хь
..., х„), X/ = to/0/,.
41

Используя введенные обозначения, получим
М exp {itpn} = М exp [it £"=i а«0г& + i £'/=i щц, +
+ it SLp=j=iapi°p°i4p4i\ = exP {—0,5^ S'/=i abdl —
- 0,5 ((/ - 2itAnr' x„, xj) det (/ - 2ИАп)~ч\
Здесь под корнем комплексного числа понимаем его главное
значение.
Из следствия 2.1.1 получаем центральную предельную
теорему для случайных квадратичных форм.
Следствие 2.1.2. Пусть дополнительно к условиям след¬
ствия 2.1.1
linwco sup/e=r^ | Kkn | = 0,
limrt_co {S/=i (9^	®й) "f" 2 Sp An] = 1.
Тогда
lim^co P \ {A~\n, |„) — £?= l aiioj < x\ =
= (2n)~'h exp (— y2l2) dy.
Доказательство следует из того, что при вы¬
полнении условий следствия 2.1.2
liiiWoo exp | — 0,5/2 £'/=i а2цв1 —
— 0,5 ((/ — 2itAn)~l х„, x„)j det (/ — 2iMn)~’/s =
= ехр(—0,5/2).
Полиномиальную функцию можно записать в виде
V	V*	nD'-’’mtSPi)	t(pm'	,	.
,^jm=l	•	•	<im^n	iJPi	Pn=1 1‘—‘m	*■’	*‘m	°’
(2.1.19)
где sf5' =	-	№£?s.
~ s	s	s
Используя те же рассуждения, что и при доказательст¬
ве теорем 1.2.3 и 1.2.4, получим следующее утверждение.
Теорема 2.1.6. Пусть для каждого значения п случай-
ные векторы lt = Й, ..., g*), тр = (тр,, ..., rp*), i =
= 1, Пу независимы,
М $ - №) & - м&) = Мтр5тр> Mriis = о,
42

функция fn(l1 — Mli, •••>	—	Mt„)	определена no форму¬
ле (2.1.19),
Нпм-с Шпп-юо sup(.=u; M (г),- (Drp)~1/г)2 X (| r\i I (Dti,)-V2 > A) =
= 0,
suPn	ljm=l	1 <«',<• • • <l„fin Ep,...Pm-l [йг,...i^"]2 < 00>
для'любого т>0 ы s= 1, k
limn-vco	Xi 1 =%/,<• • • <ls^n j|t|>T x2dP { Sp,...ps=i Уцр^Уцр,	• • •
/yft	yft	у*	у (ps+l...pm)
•	• •	2jps+i...pm=i 2j</s+i...vm=i Zj «is+i-Vi	г	x
V	rjPs+l^s+l	pfmPmxVi	I	  a
x а(‘5-ы-'т>/, г *«*+1	•	• • H(,n >	< *1 ~
где 7P = (7^1, ypk)t /7=1, /г, — независимые обобщен¬
ные случайные векторы с функциями распределения
Р (YpI *^1» * • • » V/jA’ -^/г! =
= Jlco ••• J-coMn^C*!. .... 1 T<Xk\ —
— Р{Лр1<*1. • • • , rjp* <л:*}] I,
= Мтк р r\iq .
s	1	sys	1 S4S
Тогда /„(fi —MIi  In — МУ ~ ЫПх. •••, In)-
Очевидно, аналогичные утверждения можно сформули¬
ровать для полилинейных измеримых отображений незави¬
симых случайных элементов.
§ 2. Необходимые и достаточные условия предельных
теорем для сумм случайных величин. Рассмотрим некото¬
рые вспомогательные утверждения, которые будут исполь¬
зованы при изложении метода интегральных представлений,
а также при доказательстве предельных теорем для сумм
независимых случайных величин.
Теорема 2.2.1. Пусть для каждого значения п случайные
величины Ьп, i = 1, п, независимы. Тогда, для того чтобы
при некотором подборе постоянных ап
lim --со liriWcoP {| ULi Ikn — ап\ >/г] = 0,	(2.2.1)
43

необходимо, чтобы
SUpn М (1 -f- \lkn ) 1 <С СЮ,	(2.2.2)
где \ikn = Ът — тиПу гпкп — медиана величины Un{см. [5]).
Доказательство. В силу условия (2.2.1) для
любой последовательности постоянных &п О
Р 11Ш/2_>со £■ п ( k—\ £>kn O'ru == О*
Поэтому
limbec П*=11 fkn (ten) | = 1,	(2.2.3)
где fun (t) = M exp (itlkn).
Из формулы (2.2.3) следует, что начиная с некоторого
n>n0 supt==1— | fkn (ten) | > 0 для всех t£[—Т, Т], где Г>
>0 — фиксированное число, и
linWco 2*=1ln I fkn (ten) I = 0-	(2.2.4)
Воспользуемся теперь следующим элементарным нера¬
венством:
211п | fkn (ten) || = — In | fkn (ten) I2 > 1 — | fkn (ten) |2 >
> 1 — (M cos (tenlkn)f — (M sin (tenlkn))2 >
> M (1 — cos (tenlkn)) — (M sin (tenlkn))2, (2.2.5)
где ti [-T, T],	n^n0.
Легко проверить, что для всех х £ Rx и любого посто¬
янного Ь
0 < сг (b) ^ (1 — (Ьх)~1 sin (bx)) (1 + л:-2) sC с2 (b) <. оо.
Используя это неравенство, имеем
io [ 1 (1 — cos Угп*)) dFk (X) ] dt =
—	(1	— (bx)~l sin (bx)) dFk (n~xx) ^
> bcx (b) M (1 + еГ1Гп2)“'.	(2.2.6)
Предположим, что величины bm симметричны. Тогда,
используя выражения (2.2.4) — (2.2.6), получаем
linw 2*=i м (1 + е~Ч7пГ1 = 0.	(2.2.7)
Перейдем теперь к доказательству теоремы в общем слу¬
чае.
Пусть для каждого значения п случайные величины
Цкп и Ът независимы, r\kn и Ьт имеют одинаковые функ-
44

ции распределения. Тогда, используя соотношение (2.2.7),
имеем
£2=1 М (1 + е-2 (£,,„ — г!*,,)-2)-1 =
Покажем, что
М (1 + е-2 (Ъп - riftn)-2)-1 > 0.5М (1 +8-2 {1,т - ткп)-2Г1.
Очевидно, х-2 ^ (х — у)~2 при ху ^ 0. Поэтому
М(1 4"	(%>Ьп	— Лkn)	)	^
> SL<o.v>o>u<*>ol(,«» (х-у)2(\ + (х- у)Т' х
X dP {&п {y\kn ftlkn) #, 8а (^/г/г Wbti) <С £/| ^
> 0.5М (1 + е-2 (U - тДл)-2)-1.
Следовательно,
lim„_oo E'/Li Me^iL(l +	=	0.
Учитывая, что при 0 < а << 1
а2*2 (1 + а2;:2)'"1 ^ а2*2 (1 + х2)~\
получаем
limbec. г2п ELa MpL(l + pL)-1 = 0.
Отсюда, так как гп — любая последовательность, стремя¬
щаяся к нулю, вытекает утверждение теоремы 2.2.1.
Теорема 2.2.2. Пусть для каждого значения п случайные
величины Ьпу i = 1, п, независимы и бесконечно малы. Тог¬
да, для того чтобы при некотором подборе постоянных ап
limbec Thiw Р {| £L, Ъп - ап\ > ft} = 0,	(2.2.8)
необходимо и достаточно, чтобы
sup„ £L=i I (1 + x~2)~l dP {g/kn — a,m<x} < сю, (2.2.9)
где akn = ^ w<x xdP {E/гп <C x), т > 0 — произвольное посто¬
янное число [5].
Доказательство. Необходимость. Используя
неравенство (1.3.5), получаем следующее утверждение.
Лемма 2.2Л. Для любого конечного t
| /*„ (/) - 1 |< Ckn (t) м (1 + \ы)~\	(2.2.10)
где	vkn = Ъп — aim, fim (t) = М exp (t7v/in),	с*„ (t) = (2 +
+	| ад„ |) [1 + (x — aknf \ (t — oc/m)-2 + 0,5/2 [1 + (t +
+ |а*„|)2].
45

Легко видеть, что для всех 0 ^ t ^ b и любого 8 > О
| ^ sin (sntx) dP {1 kn — aim < x) | <
< p { I hn — ocftrt | > 6} + Ьгп6.
Поэтому, так как величины бесконечно малы и а,„ -> О
при п —*■ ОО,
6„: = supfr=1— | j sin (вп1х) dP {$kn — akn < x) | ->- 0,	я -> оо.
Ha основании леммы 2.2.1
([ sin (tenx) dP {bn — akn < x})2 < 8n | fkn	(tzn) —	1 |<
< 6„c*„ (e„0 M (1 + v^,2)-1.	(2.2.11)
Используя неравенства (2.2.6) и (2.2.5), получаем
2 j J In I fkn (tsn) I \dt > [бсх (6) — bnEn7 j* ckn (ten) dt] x
X (1 + Vkn 8/1 )
Очевидно,	jjo с/т (isn) dt ^ С, 8л->0, n->oo.	Поэтому,
так как e„ — любая как угодно медленно стремящаяся к
нулю последовательность, то в силу соотношений (2.2.4) —
(2.2.6)	справедливо условие (2.2.9).
Достаточность. Так как выполняется условие (2.2.9)
и величины Ьп> i = 1, п, бесконечно малы, то, используя
лемму 2.2.1, получим
Е2-. I (/) -112 < sup, cln (t) v;u, [м (i + vLr'i2 -> о
при n~> oo. Но тогда
Mexp [it Yik=\ v*n} = exP IS Li lfim{t) — 1]) + o(l),
и поэтому в силу неравенств (2.2.10) и (2.2.9)
|Мехр {it S]Li v,„} |>
> exp [— t2 (1 + Л2) $ SLi (1 + -v-5) dP {bn — a*„ < x] —
— SLi (1 + x 2) X (| x | > A) dP {— au„ < лс}] + о (1).
Из этого неравенства легко получить условие (2.2.9). Тео¬
рема 2.2.2 доказана.
Отметим, что можно было бы выбрать другие норми¬
рующие постоянные, например, аи = Щ/т (1 +
46

§ 3. Необходимые и достаточные условия предельных
теорем для случайно нормированных сумм независимых
случайных величин. Пусть £in, i = 1, /г,— независимые
для каждого значения случайные величины, г|£/г, i = 1, п,—
некоторые случайные величины, которые не зависят от
случайных величин |££г, i = 1, п. Случайно нормированны¬
ми суммами независимых случайных величин называются
СУММЫ У]Г=1 \inf\in-
Теорема2.3.1. Пусть для каждого значения п случайные
величины Ьпу i = 1, п, независимы, бесконечно малы
limn_*co	МгрД (| y\in | <С 1)	0.
Тогда, для того чтобы
ИтЛ^ооНтЛ^воР { I 2/Ul (Ът — CCkn) Ц1т\^ h] = 0,	(2.3.1)
где akn = \]x]<TxdP < х], т> 0 — произвольное постоян¬
ное число, необходимо, а в случае, если sup„ sup.=y-^ Мщ/г <
<оо, и достаточно, чтобы
sup„£/Li j О + x~2)~l dP {tkn — (Xkn< x] < oo. (2.3.2)
Доказательство. Необходимость. Для любой
последовательности е„, как угодно медленно стремящейся
к нулю,
рПгЩ-юо Gn k—l УкпЦкп = 0»
ГДе Vkn = "%кп ССкп»
Поэтому в силу того что при Д | < ОО
limn_>oo М 11 — Re П£=1 fkn (tj\kn)] = 0,
то
рНшп-vco	(^Т|/гП) = 1,
где fkn (t) = М exp (itenv/m).
Следовательно, используя доказательство теоремы 2.2.1,
для достаточно больших п ^ п0 и | t | ^ Т имеем
2M*lEiU|ln|M<Tl*,)||]>
> £"= 1 М ( 1 — COS {trnVkny\kn)) X ( I Щп I < 1) —
— M (M sin {t&nvimr\kn)lr\bif X (| Щп | < 1) + o (1),	(2.3.3)
где g (x) — | x | X (| х | < e), s > 0.
47

На основании доказательства теоремы 2.2.1 получаем
[М (1 — cos (/e„vу. (| f\kn |	< 1)] dt >
> be, (b) M (1 +	X (|	л*™ | < 1),	(2.3.4)
а используя доказательство теоремы 2.2.2, находим при
\t\<T
(М sin (tznvkni]kn)/r\kn)2 ОС (I Ti*n I < 1)<
<6„с,М(1	+VteV-	(2-3.5)
Из неравенств (2.3.5), (2.3.4)	и (2.3.3)	получаем	условие
(2.3.2)	(см. доказательство теоремы 2.2.2).
Достаточность. Очев и дно,
|м exp [it £2=1 ^кпЦы] — м exp }£2=i (/* (tr\kn) — 1)} | <
< М [ | П*=1 fk (%„) — exp {£Щ (fk (tr\kn) — 1)} | X
X X (£2=i I 1 — fkn (CTito) |2 ^ e)] +
+ 2P {£2=i | fk ЦЩп) — 1 I2 > e) ^
< e2eP {£2=i | /ft {tx]kn) — 1 |X s) +
+ 2P (£2=. | fk (trun) - 1 |2 > e).	(2.3.6)
Используя лемму 2.2.1 и то, что sup*,„ Мт]|„ < оо, находим
м £ L, | fk (tr\kn) -1IX £ 2=i м [с,т (/%„) м (l + vTfr1 f <
< с £2=1 (М (i + Vfe г')2.
где с > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от
t и ограниченная для всех | t | ^ Т < оо.
Отсюда, так как справедливо условие (2.3.2) и величины
k = 1, я, бесконечно малы, следует
lim„_ooM £2=i | (/Tito) — 112 = 0.
Тогда, используя неравенство (2.3.6), имеем
Нт„.»м | М exp [it £2=i vknr\kn) —
-М exp (£2=, (fk (/Tito) - 1)11 = 0.	(2.3.7)
Снова используя лемму 2.2.1, находим, что для любой по¬
следовательности гп 0
йт„->м М I £2=1 [fk (/e„T]to) — 1 ] | = о.
48

Следовательно, в силу соотношения (2.3.7)
рПгПи-юо en k=i Vhnx\fin ~ 0.
Отсюда вытекает предельное соотношение (2.3.1). Теорема
доказана.
§ 4. Сопровождающие безгранично делимые распреде¬
ления для полиномиальных функций независимых слу¬
чайных величин. Рассмотрим полиномиальную функцию
п случайных величин
fnilu • •. . У = !<,*,+ •■ ■+tn^aiU..lntt ...
где сумма распространяется на всевозможные выборки из
чисел 0, 1, 2, ..., п.
Будем считать, что случайные величины \£ центрированы
либо своими математическими ожиданиями, если они суще¬
ствуют, либо медианами. В противном случае, подставляя
вместо % величины ^ — с£ + сь где с£ — центрирующая
константа, снова придем к некоторой полиномиальной
функции с центрированными случайными величинами. Не
ограничивая общности, можно считать, что свободный член
полиномиальной функции равен нулю. Обозначим через
—У
fn (Ei, .... Im-l, Лт. lrn+1, •••. In) ПОЛИНОМИЭЛЬНуЮ фуНКЦИЮ,
которая получена из /„ заменой случайного вектора
tnT1, .... 1т вектором T)m = (т)ть .... Цтк), характеристи-
ческая функция которого равна
Mexp {i ULi sf(\mi\ = exp |exp {t Y,i=1 s,xl) — lj dFnm (*)},
где Fnm(x)~ P {?m < x], случайные векторы r\m не зависят
от случайных величин £t, i£N.
—>
Пусть 0 = (0,	0)	—	нулевой вектор, состоящий из
k компонент, и
}пт (0 = м iexp {it [fn (Г|1э ,. . , Г)т_!, Еот, ... , Ея) —
/л Oil» ^2» • • • > 'Цт—Ь 0»	1» • • * >	^ =
= 1, пу 1Ф т] — 1.
Используя теорему 1.3.1, получим следующие утверж¬
дения.
49

Теорема 2.4.1. Если для каждого п случайные величины
i = 1, я, независимы и
linw,ME2-i|M0l* = 0,	(2.4.1)
то
/n(il> ■ • ■ » in) — fn (Ль Л2» ■ • * у Ля)*
Вместо условия (2.4.1) можно сформулировать анало¬
гичное условие (1.3.3).
Рассмотрим последовательность серий предельно по¬
стоянных случайных величин £t-n, i — 1, n, n£N. Слу¬
чайные величины linj i = 1, /г, называются предельно по-
стоянными, если существуют такие неслучайные числа
а1П, что lirrwoo supt-ef^P (| Ьп — ciin | > е} = 0 для лю¬
бого е > 0. Вместо аы можно выбрать медианы min ве¬
личин tin (см. 151).
Самая общая постановка задачи о природе совместных
предельных функций распределения для квадратичных и
линейных форм независимых случайных величин может
быть сформулирована следующим образом: при надлежа¬
щем подборе постоянных рп, 1п и векторов qn = (q\n, ...
•••» Qnn) найти условия сходимости, а также общий вид сов¬
местных законов распределения для последовательности
случайных величин
in* ^ (^n (in Qn)j (In Яп)) Pm in = ipm in)	^m
где An — (a{q}) — неслучайная симметричная матрица п-го
порядка, сп = (ст, ... , Спя), in = (im, ... , inn).
Пусть
Яки = ttlkn + СктxdFkn (Х + т*")> 1п = S"=l с1пЯ1п,
рп = S"=1 alu%„,
где Р/„ = Ci<t x*dFkn (л: + тип), т— медиана величины
Ът, Fkn (л:) = Р |Ikn < х}, т > 0 — произвольное постоянное
число.
Пусть для каждого п случайные векторы v;,„,
k = 1, п, независимы и распределены по безгранично дели¬
мому закону, характеристическая функция которого равна
М exp {Uvkn -f isp*„} =
= exp {М exp [it ((Ikn — qknf — M + is {hn — <7/m)l — 1}.
50

Через Ап] обозначим квадратичную форму, полученную из
(Aniin-qn)t (In — qn)) — S?=i ctiVfyin
заменой случайных величин (£/„— qin)2 — и Ьп — qin,
I = 1, ky соответственно величинами \in, [лin, 1 = 1, k.
Через c{n] обозначим линейную форму
^j/=l Cin\kin -f- /=£-{-1 С In feln Q In)*
И
fkn (t, s) = M [exp j itdkk (dkn — qknf — Ы +
2it (tkn qtiti) (Xii=l H” i=kA-\ dki (?m qin) "4“
-j- iSCftn (Ji'kn ^7/гп)|	l/^ш,	[l/'/ij	i	"7“	i	=z	^]*
Используя доказательство теоремы 1.3.1, получим сле¬
дующее утверждение.
Теорема 2.4.2. Если для каждого п случайные величины
i = 1, Пу независимы и
Пт,г-.сс S*=i м I fkn (t, s) |2 = 0,	(2.4.2)
mo
(ln, U^(An \ <T).
Следствие 2.4.1. Пусть для каждого п случайные вели¬
чины Ъп, i = 1, Пу независимы,
£*=i М[£(1 + х~\7пГ1 dP {£*„ — qkn <х)J2 = 0,
(2.4.3)
lim„-co SLi [M exp {iiaiV (Цп — (W) — I]2 = 0, (2.4.4)
где r\,m = a« Vfa+_S"=/h-i аы’ {tin — qm), Xkn = ш —
— qkn, (М-ш,	i=	1,	Пу	—независимые для каждого п
случайные векторы, не зависящие от характеристи¬
ческие функции которых равны
Мехр {itvkn + isp,*,7} =
= exp {М exp [it ((!ikn — qimf — Ы + is (?/,- — qkn)] — 1}.
Тогда ln ~ Ann.
Доказательство. Покажем, что сумма
е„: - М XI/e=i IМ [exp [itankk ((£*„ — qimf — I\n) +
+ 2it {Ът — qkn) Y[kn) — l/лkn] |2
стремится к нулкГпри n -> оо.
51

Очевидно,
е„ < 2 SLi IМ exp {itaTk ((Ikn — qimf — M} — 112 +
+ 2 V"=1 м | M [exp (2it (i*« — Якп) т]*л} — 1/тЫ |2-
Первое слагаемое стремится к нулю в силу условия (2.4.4).
Второе слагаемое стремится к нулю при я-»- оо, так как
выполняется условие (2.4.3).
Отметим, что условие (2.4.4) выполняется, если вели¬
чины (Ikn — <7/г/г)2» k = 1, я, бесконечно малы и
sup* Еа=1 м (1 + ((£*,, — qknf — P*rt)~2)-1 < С < оо
(см. доказательство леммы 1.3.1).
§ 5. Предельные теоремы для случайных билинейных
—> —>
форм. Рассмотрим билинейные формы цп = (Ап1пу £„), ГДе
—>	—>
In = (£m, ••• , &m), tn = (Si/г, ... , Inn), An — квадратная
матрица я-ro порядка, Ап = (а\р).
Предположим, что случайные величины Ьп, Ьп, i =
= 1, я, для каждого п независимы и бесконечно малы.
С помощью линейной нормировки изучение х\п можно
свести к исследованию трех случайных величин
—> —>
Л/г ~ Л In + Л2/г + ЛЗ/г + {АпСп, Ьп),
Лиг = {Ап (Нп сп), (£л	ЬР))9 Л2п — (Ап (Е.п	сп),	Ьп)у
ЛЗ/г = (Ancnt (£п	Ьп)),
—>	—У
где сп = (С\п, ...» Спп), ьп = (bin, ..., ьпп) — некоторые по¬
стоянные векторы.
Постановка задачи и доказательства предельных теорем
для величин r\iny i = 1, 3, такие же, как и для случайных
квадратичных форм. Положим
Cm = min + £,*,<Tl xdP {lin<x},
bin = ft in	|tt7i <C X),
где nim, ft in — медианы величин Ьп, Ьп, тг>0, т2>0.
Пусть для каждого п случайные величины vkn, \\kn,
k = 1, я, независимы и распределены по следующим без¬
52

гранично делимым законам:
М exp {ilv,m} = exp {М exp [it (bn — <?/«)] — 1},
M exp {itHkn} — exp [M exp [it (bn — bkn)] — 1}.
Введем обозначения
 >  >
Vn = (Vl,„ . . . , vm), = (Pi„, . . . , n„„),
fkn (ti, t2) = м [exp {i (bn — Ckn) (/, SLi cthi (bn — bln) +
"1" 4 S*=l aklb)il) \   1 /bn, I = 1, i
Фkn (ti, t3) = M [exp I i (bn — bkn) (*1 S"=1 OkiVin +
+ t3 SLi ClklCln)} — 1 hin, 1= 1, n I.
Теорема 2.5.1. Если для каоюдого п случайные величины
Ъп, i = U я, независимы и
lim„-oo SL111 fkn (ti, 12) |2 + I 4>kn (h, t3) |2] = 0, (2.5.1)
mo
hi». 'П2n, т)зп] ~ l(Anvn, p„), (Anvn, bn), (Ancn, ц„)].
Теорема 2.5.2. Пусть для каоюдого п случайные вели¬
чины £[П, liny i, I = 1, а, независимы, существуют tA£in =
= Сщ, Mbn = bm, Dim = &in, Dbn = бm, выполняется (2.5.1) и
limn^oo SLi M {| M [exp [i (bn — ckn) Щп\ — 1 —
i (^zkn Ckn) %kn 0,0(3kn'^kiJbn, i == 1, о ] [ -|-
+ IM [exp {i (bn — bkn) 0te} — i (bn — bkn) 0kn +
+ 0,56L9L/v/„f I = 1, n] I} = 0»
%kn “	d\il	(£/и bln) 4“ ^2 ]Lw=l &klblnj
0/vv? — t\ ^j/=l CLkiVin T~ ^jL-1 QklCltiy
v/n, Pp/i, ly p = 1, ny— независимые случайные ветчины,
распределенные по нормальному закону с параметрами 0
2 с 2
П О In, О/д.
Тогда
['Пт, 42п, Лз«] ~ [(Anvn, р„), (Ап\п, Ьп), (Апсп, рл)]. (2.5.2)
Обозначим
иа-н = S/-I aid (bn - bln), y-kn = SLi akibin,
0/« = S'/=i awV/„, 6)m = SLi akicin.
53

Следствие 2.5.1. Пусть для каждого п случайные вела-
чины r£in, i= 1, я, независимы,
г ^ ^	2	2	2
supn	UklGkiidln	<С	°0
w выполняются условия Линдеберга: для любого т > 0 и
i = 1, 2
£2=i М [к//,]]2 j|X(oA:|>T (I/m — ckn < х} = О,
limy-.cc £2=1 м [0й]2 jie,(-)A|>i хЧР [Un - bkn < х} = О.
Тогда справедлива формула (2.5.2).
Следствие 2.5.2. Если дополнительно к условиям след-
ствия 2.5.1 выполняются условия
lim/7_*co sup^y^ Xkn = О,
Ншл^оо {Sp + SLi (otaln + S|pL)} = 1,
гдг —собственные числа матрицы Вп = (2fe=i а^' X
X ctkj^j)i,j=h tXkn :== 5j/=i U/iibit7, P/j/7 = ^j/c=i a^iCim mo
lim„-.co P {(A,?„, £„) — (Л„сп, fe„) < x) = (2п)“,/г	e~!'2/2dy.
§ 6. Необходимые и достаточные условия предельных
теорем для случайных билинейных форм. Пусть заданы
билинейные формы ^]£/=i	где случайные вели¬
чины Т[\п\ i=\y пу для каждого значения п незави-
СИМЫ, Вп = (£2=1<^а*А6/)"/=|.
Теорема 2.6,1. Если ME, = Мт^- = 0, i == l, n, я С ^V,
существуют дисперсии DEt-, Dr]b случайные величины £iy
r|t-, i— l, /г, бесконечно малы,
sup,, £?,/=] af/ofr/ < o°,	(2.6.1)
где of = DEf, 6/ = Ощ,
supn sup(.=|— |M I £2=| auli I3 + M I £2=I ацх\, |3] < oo. (2.6.2)
Тогда, для того чтобы
lim„H-cc IM exp [it £2,/=i <ffilpl)£tn)} —
— det (/ + t2Bn)~lU\ = 0	(2.6.3)
достаточно, а в случае, если величины Em, ч\£п симметричны,
и необходимо, чтобы выполнялось условие Линдеберга: для
54

любого т > О
linWc* Е£=1 [и>г X2 [dP lift S7=1 «А/Л/ < х\ +
+ Р (л* Sw aik% < х)] =0.	(2.6.4)
Доказательство. Достаточность следует из
теоремы 2.1.1.
Необходимость. Пусть г\г = (т]1л, р = 1, п), Л2 = (%п,
/7=1, я) — независимые случайные векторы, распределен¬
ные по нормальному закону с нулевым вектором математи¬
ческих ожиданий и единичной матрицей ковариаций.
Введем обозначения
ап = М exp {it (Апл«)} —
— М exp (М [exp (г7^х^) — l/xft„l|,
= М ехр (2*=1 М (exp (ilt^kn) — 1/и*,,]) —
— Mexp (ЛпТ)!, 11)),
Y„ = Mexp \it(Anr\lt Л'} —
— М exp (£*=i М [ехр (Ыц^ы) — 1/0ап]},
6„ = М ехр {Sfc=i м (ехР (itr\ia$kn) — 1/9*/г!} —
— Mexp {«(/4„rii, г)2)|,
в*л = S?=1 а«ЛИ, = Х"=1 °«Л/*
Используя условия (2.6.1) и (2.6.2), получаем, что
11т.лг —= 1 ini/2-vco у fi —■ 0.
Поэтому
lim^c [М ехр {« (ЛХ, г\п)} — М ехр {й (Л„ль *П2)}] =
= 1 iГГц —>сю [|5П + б„1 = 0.
Если величины H/m, ч\кп симметричны, то подынтеграль¬
ные выражения в формулах для |3„ и 8„ больше или равны
нулю.
Следовательно,
lim^oo ULi {М ехр [itlkn^kn] — 1 + 0,5/2aLMxL} = 0,
limn_voo V]/Li {M exp \it£iiffikn] — 1 + O,5/2<jLM0L) = 0.
Отсюда получим условия Линдеберга (2.6.4) (см. доказа¬
тельство теоремы 1.2.1).
55

§ 7. Предельные теоремы типа закона больших чисел.
Теорема2.7Л. Пусть для каждого п случайные величины
t\n\ i = 1, /г, независимы,
lim£?_i М (1 + vrV2)-1 = 0,	(2.7.1)
где V,- —Ь —	(I Ы < т), Л/ — £/=ж аг/V/, т > 0.
Тогда
plirrwoo Yili=u^iaavivi = °-
Доказательство. Аналогично, как и при дока¬
зательстве теоремы 1.2.1, получаем
1М exp {it £ 1ф, a(-/VjV;-) — 11 <
< £2=1 МIМ |ехр	—	\!x\k)	|.
Поэтому утверждение теоремы вытекает из леммы 1.3.1.
Теорема доказана.
Условие (2.7.1) в случае, если у величин vk существуют
дисперсии, можно заменить условием
lim„-co SJLi Mv-т]' = 0.
Следствие 2.7.1. Пусть для каждого п случайные вели¬
чины i = 1, п, независимы и
Пгп,2_о ^1}=иф!-М [1 + a^vf 'v^r1 = 0,	(2.7.2)
где vc =	—	mit	mt	—	медианы	величин	£t-.
Тогда
plimn-voo Yjlj=\,i*ianvivi = 0.
Доказательство, Покажем, что из условия
(2.7.2)	следует условие (2.7.1). Прежде всего отметим, что
условие (2.7.1) вытекает из следующего соотношения (см.
теорему 2.3.1):
Нтя_юоМехр {is £"=i v-rp} = 1,
где rp, i = 1, п,— независимые случайные величины, рас¬
пределенные так же, как и величины rp, i = 1, п, и не за¬
висящие от величин vh i = 1, п.
Аналогично, как и при доказательстве теоремы 2.7.1,
получим условие (2.7.2). Следствие доказано.
56

Следствие 2.7.2. Пусть для каждого значения п случай•
ные величины г\ i — 1, п, независимы и
S'"=i £<;, /Л)М 11 + a~iikv~2 ... v“2]_1 = О,
где (г\, ik) — выборка k чисел из чисел 1, 2, п.
Тогда
plimn-o. £*Li  ik)	...	v,ft = 0.
§ 8. Сопровождающие безгранично делимые распределе¬
ния для сумм бесконечно малых независимых случайных
элементов. Пусть %\п (со), \пп (со) — независимые для
каждого значения п случайные элементы со значениями в
действительном банаховом пространстве Хт Хп — двой¬
ственное пространство всех непрерывных линейных функ¬
ционалов х* (х). Случайные элементы t[n (со), £пп (со),
п £ /V, назовем бесконечно малыми, если для любого
е > О
Urn*-*, supк==ТГп Р (I tkn (со) || > е} = 0.
Теорема 2.8.1, Пусть для каждого значения п £ N слу¬
чайные элементы \kn (со), k — 1, я, независимы, бесконечно
малы и
sup,, ULi М (1 +| vkn (со) Г2)-1 < оо, (2.8.1)
где (со) = lkn (со) — akn, a akn определяется соотношением
I (а*„) = ) X (1 х 1| < х) / (х) (dx) VI € Х*п,
т ^ 0 — неслучайное число,	—	распределение	элемента
^kn (со).
Тогда для любого I £ Хп
М ехр | il (Sa=i (Ikn (со) — а*„))) =
= exp {E2_.M(exp07(vte(<o)) — 1)} +0(1).	(2.8.2)
С целью упрощения формул вместо (со), vkn (со) будем
писать Zkn, Vkn.
Докажем некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 2.8.1. Для любого конечного t и линейного функ¬
ционала I G X* при достаточно большом п
| М exp (ill (Ikn — ctkn)) — 1 К

где %kn (/) = (2 + I21| а,т [|) [ 1 + (т — |] акп || )2] (т — | akn ||) 2 +
-(- 0,5/2 [1 + (х -f-1| акп || )2].
Доказательство.
I J {е^-Чт> _ 1} ^ (dx) ^ 2 J X ( II X1 > X) ц*„ (dx) +
+ I j X (II X li < т) (е‘‘Пх~а'т> — ill (х — акп) — 1) цкп (dx) +
+ it § X (I x || < т) I (x — akn) Ркп (dx) | <
< (2 + I aknt I) j 7, (1 x I > t) j-ikn (dx) +
+ 0,512 J X (I x || < x) 12 (x - akn)	(dx).	(2.8.4)
При ||x||>t, в силу того что !!а^|<т и	||а*„	||	=	0
при достаточно большом п, имеем
(\+\\х- акп |Г2]-’ > 11 + (т - Иакп ||Г2]"1.
При || л: || С х
[1 + (т + I акп I )2 ] [ 1 + || х — a ^ f] 1 ^ 1.
Из этих двух неравенств и (2.8.4) получаем неравенство
(2.8.3). Лемма доказана.
Лемма 2.8.2. Пусть для каждого значения п случайные
элементы Ь.п* i = U независимы, бесконечно малы. Тог¬
да, для того чтобы при некотором подборе неслучайных
элементов ап £ Хп
lim/7-,co lim/T_voo Р {| (E'v=i hn — an) | > Я} = 0,
достаточн о, чтобы
sup„£fr=iM(l + II v „Г'Г1 < оо,	(2.8.6)
и необходимо, чтобы
' sup/7 £Li М (1 + (/ (v/m))“2)_1 < ОО, (2.8.7)
где I — любой функционал из X*.
Доказательство. Необходимость. Используя
доказательство теоремы 2.2.1, имеем
Нт/7_со £5Li In | fkn (t&n) 1 = 0, |/|<7\ п > nQ,
21 In | fkn (t8n) || > M (1 — cos (tbnl (Ikn — a,kn)) —
— (M sin (l&J (!Ikn — a/en)),
58

где по и / £ X* — произвольный линейный ограни¬
ченный функционал,
fkn (t) = М exp (itI (lkn — akn)) — 1,
«[Jd — cos (tenl (Ikn — a in))) Hfrn (dJc)] Л >
> be, (b) M (1 + e"2 (/	-	a*.,,))-2)—'.
Используя это неравенство, лемму 2.8.1 и доказательство
теоремы 2.2.2, получим
linweo ej S2-1 М (1 + (I (!Ikn — сс/,,,))""2)-1 = 0.
Отсюда вытекает условие (2.8.7). Доказательство достаточ¬
ности условия (2.8.6) очевидно. Лемма 2.8.2 доказана.
Доказательство теоремы 2.8.1. Используя
лемму 2.8.1 и условие (2.8.1), так же, как и при доказа¬
тельстве теоремы 2.2.2, получим формулу (2.8.2). Теорема
2.8.1	доказана.
Формулу (2.8.2) можно представить в виде
MexpjiZ (£2=i Vkn)} = exp {Jx„\{*:ii*ik6> (ell{x) — 1 —
- a (x) (l + и x i2)-1) (l +1 x |-2) Gn (dx) + а (Уп) -
— 0,5 j"i|*u<612 (x)	(dx) j	+ 0 (1) + e„ (6),
где
Gn (B) =	+1	x\\	”)	'l^imidx),
l (Уп.б) = IX„\{.v:!W<«} I (X) II X I~2Gn (dx),
linieio !imn_cc 18n (6) I = 0,
(dx) — распределение элемента ?/т(») — акп, 6>0.
Предположим, что Хп s X, меры Gn (В) слабо сходят¬
ся к конечной мере G (В), т. е. для любой ограниченной и не¬
прерывной функции / (х), х £ X,
linin-co £ / (х) Gn (dx) = § f(x)G (dx),
liniejo / (уп,б) = I (у), y£X,
lime i о limbec S*=i ]и<б0,5/2 (x) p/,.„ (dx) = <p(Z),
где <p (I) — некоторая функция.
Тогда
Нт„_воМехр Ji'Z (£Li v*„)} = Цл:\{0) (e'Mx) —
- 1 - il (x) (1 + |М|2Г‘) (1 + 1 x Г2) G (dx) + il (у) - q> (/)}.
69

Хотя характеристические функционалы сходятся к не¬
которому предельному выражению, остаются невыяснен¬
ными два вопроса: будет ли предельное выражение харак¬
теристическим функционалом и следует ли сходимость рас¬
пределений случайных величин	v/en	к предельному
распределению?
Легко показать, что в общем случае ответы на эти два воп¬
роса отрицательные. Действительно, пусть хг, х2,	. . .
..., хп, ...—последовательность случайных элементов со
значениями в X и рп(х) распределение элемента хп,
lim,2_co М ехр [И (хп)} = ЭДехр (г/(л:0)}, но для некоторой не¬
прерывной и ограниченной функции f(x), х^Х,
£ f (х) рп (dx) = 0. Следовательно, если f (*0) Ф 0, то в дан¬
ном случае из сходимости характеристических функцио¬
налов не следует сходимость распределений.
Рассмотрим теперь характеристический функционал
ехр {—!| s ||2 ( в гильбертовом пространстве. Конечномер¬
ные распределения соответствующего случайного элемен¬
та S будут равны нормальному распределению с нулевым
вектором математических ожиданий и единичной матрицей
ковариаций, но тогда с вероятностью 1 || | || = оо.
§ 9. Предельные теоремы для сумм независимых беско¬
нечно малых случайных векторов. Будем пользоваться обо¬
значениями, введенными в предыдущем параграфе.
Теорема 2.9.1. Пусть (со),1пп (со) — бесконечно ма¬
лые и независимые для каждого значения п случайные
векторы со значениями в конечномерном евклидовом
пространстве Rnv Тогда для сходимости распределений
случайных векто юв У]”=1 Ьт (со) — ап (ап — некоторая по¬
следовательность неслучайных векторов) необходимо и
достаточно, чтобы Gn(B \ ДМ ^>G(B \ {0}), где G {В) —
конечная мера в Rm, В £ 33, 33— о-алгебра борелевских
множеств в Rm>
lim6;o limn_co S'/Li <6xxf[i/w (dx) = s,
1 iin/tсо \an — £Li j,]x[i<Tx\ikn(dx)] = a,
где I s I < оо, т > 0, s — неотрицательно-определенная
матрица т-го порядка [3].
60

Характеристическая функция предельного распределе¬
ния равна
ехр {J ,т_,й){е^ х) — 1 — i (q, х) (1 + || ^||2)_1(1 +
+ II х Г2) G (dx) + i (a, q) + i j «от_{0) (s, x) | x ||_2G (dx) —
— 0,5 (sq, q)},
где q£Rm, (q, x)— скалярное произведение векторов в Rm.
Доказательство. Необходимость. Если рас¬
пределения случайных векторов £L=i hn (ю) — ап слабо
сходятся к предельному, то в силу леммы 2.8.2
SUPnEL.1 j(l + II X И-2)-1 [Х/сг {dx) < ОО,	(2.9.1)
где — распределение вектора Ьт — а»т,
OCkn = IjjJiKT	^	*
Используя неравенство (2.9.1) и теорему 2.8.1, получим
для любого действительного вектора s £ Rm и 8>0
М ехр {i (Y,'k=\ tkn ап, s)} = ехр {^т^{Л<б} (^ ^ —
— 1 — 7 (s, х) (1 + I х |2)-1 (1 + I х |Г2) Gn {dx) +
+ i (fin — S"-l 1й<т X^kn	+
+ |яот\{Л*К6) (S’ *) 1 X II G" (dx) + j ЙК6 (e ( ’ ' ~
- 1 -i(s, x)(l + !|xf)_l)(1 +||x||-2)G„(dx)} +0(1).
(2.9.2)
По теореме Хелли из последовательности Gn (В) можно
выделить подпоследовательность Gn> (В), слабо сходящую¬
ся к некоторой конечной мере G (В). Тогда
f (s): =	Re	In	M exp {i bn- — a*, s)} =
= j" R,n\m (cos (s- x) — 1) (1 + IIX1Г2) G (dx) —
lim<5\ о ЦШ/г'-».сс {Tn' ftS, s),
61

где 7V,6 = ^]"=| Скв хх\1ы (dx) — неотрицательно-опреде¬
ленная матрица n-го порядка и supn',6|7V,6||< оо. Так
как существует предел в левой части равенства (2.9.2),
то существует Игпвю lirtv_,o7V,б = 7\. Очевидно,
lim„'^.oo (ап — ££=i ]й<т х\1Ы (dx)) = a, a £ Rm,
lima j о Нга^-^ос ^ /?m\u:w<«) (s, х) I х Г2<j„ (dx) =
= $	(s.	*)fx 1Г2° (^)-
Итак,
g (s): = linv-юо М exp (i (2*=i bw — as)} =
= exp {jRm4{0> (e‘<S' Ж> — 1 — 1 (s. x) 0 + INI2)-') X
X (1 + ||х|Г2) G (dx) -f i (a, s) + i j/^vo} (s, x) x
X !x|r2G(dx)} — 0,5 (7\s, s)).	(2.9.3)
Покажем, что формула (2.9.3) однозначно задает функцию
—>
G (В)у вектор а и матрицу 7\.
—> —> .— —> —>
Для этого положим s = q + )/е г|, где т] — случайный
вектор, распределенный по нормальному закону N (0, /),
е > 0. Тогда
(d3/<3e3) М In g + У г r|) = 2”3 J e{q' ехр (— 0,5е || х ||2) X
X II х II4 (1 + II х II2) G (dx) = j V (dx),
где v (В) = 2~3 §в ехр (— 0,5е || х ||2) || х ||4 (1 + | х f) G (dx). Из
этой формулы в силу единственности формулы обращения
для косинус-преобразований Фурье мер в конечномерных
пространствах получаем, что G (В) однозначно определя-
—►
ется функцией g (s). Но тогда вектор а и матрица 7\ тоже
определены однозначно. Следовательно,
Gn (В) => G (В),
Игл,,..*, (ап — У]"=! [^1|<г х\укп (dx)) = а.
Доказательство достаточности очевидно. Теорема 2.9.1
доказана.
62

Глава 3
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМ
ДЛЯ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Предельные теоремы, доказанные в гл. 1 и 2, имеют
некоторые недостатки. Наиболее существенный из них —
слишком громоздки условия, которые необходимы при дока¬
зательстве того, что случайные величины полилинейной
формы можно приближенно заменить безгранично делимы¬
ми. Если у случайных величин не существуют моменты по¬
рядка больше двух, то метод доказательства теоремы 2.1.5
не пригоден для полиномиальных функций независимых
случайных величин
vn : = £р=|	 i;	_1	•	•	•	lip	+ а0.
Недостатком указанных предельных теорем является
и то, что их очень трудно распространить на полиномиаль¬
ные функции зависимых случайных величин. С помощью же
метода интегральных представлений это довольно просто
сделать. Докажем предельные теоремы для vn с помощью
метода интегральных представлений. Наложим более жест¬
кие условия на коэффициенты cns... но не будем требо¬
вать существования моментов Mt*, s > 2.
Отметим, что метод интегральных представлений, рас¬
смотренный в главе I, играет важную роль при доказатель¬
стве предельных теорем для неотрицательно-определенных
случайных квадратичных форм. В этой главе найдены
необходимые и достаточные условия сходимости распре¬
делений квадратичных форм к предельной функции' Пока¬
зано, что распределение квадратичной формы независимых,
бесконечно малых случайных величин можно приближенно
заменить распределением некоторой квадратичной формы
независимых безгранично делимых случайных величин.
§ 1. Предельные теоремы для квадратичных форм нор¬
мальных случайных величин. Пусть (AnZny 1п) и (сПУ 1п) —
соответственно квадратичная и линейная формы от нор¬
мальных случайных величин 11у ..., £/г с вектором матема¬
тических ожиданий ап = (а1у ..., ап) и матрицей ковариа¬
ций Rn ранга п, где Ап — симметричная матрица п-го
63

порядка,
Сп= (^i> •••» сп) £>п ~ (ii> •••> in)*
Введем обозначения: Вп ; = Rn2AnRn\ hn, i = 1, п>— соб¬
ственные числа матрицы Вт Л = (imS//), Т — ортогональ-
—>
ная матрица собственных векторов tt матрицы ВП1
Йп ■ = (Й1> • • •. йп) = 2Л„7?’/2 Га, : = (61( ..., Ьп) =
= /^Тс,
= (^п» ^я)*
Рассмотрим характеристическую функцию совместного
распределения линейной и квадратичной форм нормальных
случайных величин:
Фп {t, S): = М exp {it (Ап\п, f„) + is (сп, ^г)} =
= М exp {it (Ап (|„ — ап), (£„ — а„)) + 2it (Апап, Цп —
— ап)) + is (с„, (fn — an))j exp {itmn + isln).
Отсюда
Фп (t, s) = Ше=1 (1 — 2ithmV4* exp {—{tqkn + sbkn)~ X
X (1 — 2i7^/i)"“1} exp (*7т„ + Шп). (3.1.1)
Аналогично можно получить характеристические функ¬
ции для билинейных форм нормальных случайных величин,
а также для произвольного конечного числа квадратичных,
билинейных и линейных форм нормальных случайных вели¬
чин.
Обозначим:
Gtn (х) = 0,5	1 Jlc y*dFkn (У), G,n [х) = 2«=i	(дс),
G3/2 (х:) = 5j/e=] blm F kn (x), G<\n (x:) = ^6=1 CJknbknFkn (x),
Fkn (x:) = {1, x	0, x <d 2!,
(X) = jr е_г/(*/«/) + (!+ У) g2„ (лг/г/)) d«/.
Теорема 3 Л J. Для слабой сходимости функций распре-
—>• —>	—У	—>
деления случайных величин (Ап1п, Еп) — а„, (с„, Нп) —
— Ъп к предельной функции распределения при некотором
64

подборе постоянных ап и Ьп необходимо и достаточно,
чтобы
Гп (л) => Г (х), Gzn (•«) ■=> G (х), Gin (х) > 55 (х),
тп — Sp Ап — а„ у, 1п — Ьп -+■ q,
где Г (х), G (х) — неубывающие функции ограниченной ва¬
риации, Д) (х) — функция ограниченной вариации, у, q —
постоянные числа, а символ —> означает слабую сходимость
действительных функций ограниченной вариации.
Характеристическая функция общего вида предельных'
функций распределения равна
/ (t, s): = exp (ity + isq — j [edK — 1 — itxellx\ x
X x~2dr (x) — ts j (1 — г/х)-1 d0 (x) — s2 j (1 —
— itx)~ldG(x)},	(3.1.2)
где (ettx — 1 — ilxe“x) x~2 = t2/2 при x = 0.
Доказательство. Достаточность. Используя
(3.1.1), получаем
fn {t, s): = ф„ (/, s) exp {— itan — itbn\ = Il'/Ui (1 —
— 2it%kn)~4t exp | itXkn — (tqim + *bi!n)2 (1 —
— 2ifkknV') exp (it Im„ — Sp An — a,,} + is \ln — bn]) =
[In (1 — itx) + itx| x~~dG\n (x) — t2 j’ (1 —
— г/х)-1 dG>n (x) — ts {j (1 — г/х)-1 dGin(x) — s2 j (1 +
+ itx)~l dGZn (x) -f it \mn — Sp An — a,J + is (l„ — bn).
Легко проверить, что
— Г1 (d/dt) In fn (t, 0) = £ elxdrn (x) — (mn — Sp An —
-an)(it)~'.
Используя это равенство и теорему Хелли, получаем
достаточность условий теоремы.
Необходимость. Очевидно,
Re /„ (t, s) = — j [0,5 In (1 + /2х2)] x~2dGm (x) —
— i2 j (1 + /2x2)-1 dG2n (x) — ts j (1 + /2x2)-1 dGi„ (x) —
— s2 j (1 + /2x2)-1 dGzn (x).
3 2-774	65
= exp {—j

Из сходимости fn (t, s) к непрерывной функции следует,
что при достаточно больших п ^ п0 и некоторых | /1 < /0,
I 5 | < S0
0,5 J х2 In (1 + t2x2) dG\n (х) + t2 j (1 + t2x2)~' dGln (x) +
+ /s j" (1 +t2x2)~' dG4n (x) + s2 j (1 + t2x2)~l dG-sn {x) < oo,
(3.1.3)
Из этого неравенства, полагая t = 0, находим, что
sup„ G3n (+ оо) < ОО.
Поскольку
ехр {£ х“2 In (1 + t2x2) dG\n (х)) > 1 + t2G\n (+ оо),
то
supnGi/i(+ оо)< + ОО,
а поэтому
supn £JLi tin < оо.
Тогда в силу того, что j (1 + t2x2)~l dG2n {х) = S*=i qln{ 1 +
+ t2kkny~x, из неравенства (3.1.3) имеем
sup* G2n(+ oo)< + oo.
Очевидно, | G^n (x) ^ G3n (x) G2n (x). Используя это нера¬
венство, легко получить, что supn 0нп (+ оо) < + оо.
Итак, множества {Gin (х)}, i = 1,4, компактны. Поэтому
для доказательства необходимости условий теоремы оста¬
лось только доказать, что / (t, s) однозначно определяет
Г (х), G (х) и 0 (х). А это следует из единственности формул
обращения для характеристических функций и преобразо¬
вания Стилтьеса
—Г"1 (d/di) In / (t, s)s=0 = j* eltxdr (x) — iy,
— (dVds2) In f{t9 s) = J (1 — itx)~l dG (x).
В этих выражениях под логарифмом комплексной функции
понимаем его главное значение.
Покажем теперь, что f (/, s) определяет 0(х) однозначно.
Предположим, что для / (t, s) возможны два представления
в виде равенства (3.1.2) с функциями 0Л (и) и 02 (и). Обо¬
значим через (02) положительную, а через 0\ (0)^ от¬
рицательную вариацию функции 0г (02) и
Ф (t) = — (d/ds) In / (t, s)s=Q.
66

Тогда
^cl{01 (х) + 0\ (л:)] (1 — itx)~x = ^ d [0\ (х) -[- 0'2 (х)] (1 —
— itx)~~x = t~l (ф (/) -f iq).
Отсюда, так как функции 0[(х) + 01 (х) и 0\(х) + 0'2(х)
неубывающие, то почти везде 01 = 02. Теорема доказана.
Заметим, что функции G[n (х), i = 1,4, могут стремить¬
ся при п оо только к чисто скачкообразным функциям.
Аналогично доказываем следующее утверждение.
Следствие 3.1.1. Для слабой сходимости функций рас-
—> —>
пределения случайных величин (Anlni EJ — ап при неко¬
тором подборе постоянных ат где Ап — симметричная
матрица, tn — случайный вектор, распределенный по нор¬
мальному закону N (0, /), необходимо и достаточно, чтобы
Gn {х) G (х), Sp Ап — ап у,
где Gn(x) = ^]*=i dFkn{y), G (x) — неубывающая функ-
ция ограниченной вариации, у — постоянное число.
Характеристическая функция предельной функции рас¬
пределения равна
exp { — ^ [In (1 + itx) — itx] x~2dG (*)}
([In (1 + itx) — itx] x~2 Uo = m).
§ 2. Метод интегральных представлений и сопровождаю¬
щие безгранично делимые законы для неотрицательно-опре¬
деленных случайных квадратичных форм. Рассмотрим слу¬
чайные квадратичные формы (Anlny tn)y где Ап = (а\?) —
неотрицательно-определенные квадратные матрицы п-го
порядка, Ъп = (luu Inn) — случайные векторы. Так
как любую симметричную матрицу можно представить
в виде разности неотрицательно-определенных, то линейно
нормируя случайные величины доказательство пре¬
дельных теорем для квадратичных форм случайных величин
можно свести к доказательству предельных теорем для сов¬
местных распределений двух неотрицательно-определен¬
ных квадратичных форм и линейной формы случайных вели¬
чин litl — Р/и, где (Зш — некоторые постоянные.
Теорема 3,2.1. Пусть для каждого значения п случайные
величины У akklkn, Иkn, k= 1,/г, независимы и бесконечно
67

малы, г)im распределены по безгранично делимым законам,
характеристические функции которых равны
exp {М exp [is (Ьп — Р*л)] — 1},
где ftkn = ^\ху—\<ТХ^Р {lkn<x) Vakk, k=\9n, и не за¬
висят от величин tiin.
Тогда, для того чтобы
2?,/—1 ^in Р*л)(5/л — Р/л) 2^/=1 aiir^in^in*
необходимо и достаточно, чтобы
sup„ SLiM(l +	< оо,	(3.2.1)
где [Л/m = "j/"akk £kn
Доказательство. Необходимость. Очевидно,
Мехр {-S(An(ln-K)y (С* — Р/г))} = Мехр {/1/1 х
X 22=i V cikk Oikn — Р kn) у kn),	(3.2.2)
где5^0,рл = ($kn, k= 1, п), случайные величины y/m, k =
= 1, /г,	не	зависят от случайных	величин т]Лп, /г	=
= 1,/г,	для	каждого значения м и	случайный вектор уп	=
= (j'/r~ctkiiykn, k=\,n) распределен по многомерному
нормальному закону с нулевым вектором математических
ожиданий и матрицей ковариаций 2Ап. Тогда, используя
теорему 2.3.1, получаем условие (3.2.1).
Достаточность. Используя равенство (3.2.2) для любого
в > О, имеем
|	М ехр {— s (Ап (i„ — j3„),	(|„ — р„))} —
— М	ехр	{— s Ylli= 1 a(lv\tnv\ln) |<М| П*=, f,m (V s укп) —
— ехр (2*=i [fkn (Vs уы—1)1} |М2*=, I1 —
— fkn (V s уы) |2 < e] + 2P {S*=i | fkn (]/s ykn) — 112 > e}<
< e2e P{ S"=. I fkn (V~syim) - 1 Is < e} +
+ 2P {SZ-il fkn (Vs уы) - 112 > 6}.	(3.2.3)
Используя теорему 2.2.1, находим
M SLl | fkn (Vs ykn) — 1 I2 < 22-1 supft=1- M [Ckn (iykn) X
X M (l + цыr1] < 6- (0 2L. [M (l + PteГ1]2,
68

где с (t) — некоторая постоянная, зависящая только от
t и sup|/|<oo с (I) С оо.
Отсюда, так как выполняется неравенство (3.2.1) и вели¬
чины Vcikkbm бесконечно малы, следует
linw м ULi I fkn (V~S у*„) - 112 = 0.	(3.2.4)
Но тогда из неравенства (3.2.3) и выражения (3.2.4) сле¬
дует утверждение теоремы 3.2.1.
Теорема 3.2.2. Пусть для каждого значения п, i = 1,2,
/ = 1,3 случайные величины (а$)1/2£*п, Л/т» & = 1» п, незави¬
симы, случайные величины §/ел (<аЙ)1/2, g/m, Ckn, £=1, д,
бесконечно малы (а%1 — элементы неотрицательно-опреде¬
ленных матриц А,и=(а,р1)у / = 1,2, Ckn — неслучайные
постоянные), гфп распределены по безгранично делимым
законам, характеристические функции которых равны
ехр {М ехр [I £Li si (1*« — Р$)1 ~ М-
где
рАгс — ^х^/~xdY* {^/г/г	Х},	/=1,2, & = 1, /I,
Рал = ^\xckn\<x3 xdP {Ьп<х}, k = Щг; т/ > 0, I = ТТЗ.
Тогда, для того чтобы
{(Ат {In Prtl)» (£я Prtl))» {Ап2 (5л Рпг), (in — Рпг))»
(рПУ (i/z	р/гз))}	~ {(ЛЛ1Т|мЬ ЛлО» (Л/г2Л«2> Лгс2),
(сл, Ллз)},
где%ь = (pw, k = 1, /г),	=	(с/г/г,	k == 1, /г), т]п/ = (r^, k =
= 1,д), необходимо /г достаточно, чтобы
sup„ Sa=iM (SLi М(1 + pw2)-1} < ОО, (3.2.5)
где = Va\‘l Цкп — ры), 1= 1,2; цкз = скп (Ъы — Раз).
Доказательство. Необходимость условия
(3.2.5)	доказывается аналогично доказательству необхо¬
димости условий предыдущей теоремы.
Достаточность. Пусть
Fkp (х) = Р (fx/ep < х), р = 1,3, F/ДХр, Р = 1,3) =
69

— р {М'/ер Хр> Р — 1> 3],	^2» ^з)
= М ехр {i tpiikpXkp [а$]~у* + tf3lu*.3},
где ^	=	(kkp, к = 1, /г), р = 1,2, —независимые	случайные
векторы,	распределенные по нормальным законам	/V	(О,	Л/2/;),
если некоторые = 0, то будем считать, что %k0 [a{kkV4i =
= 0.
Рассмотрим неравенства
I fk (tv U, У - 11 < 8 Sp-1 I tphp	1	+
U318 4* 4 Xp=i P {(Л&р > 8}	(3.2.6)
I fk (tv h, /3) — 1 I = I J|;Cpl<TpiP=o (exp {/ £p= i	X
X [a{kk\~'!t + it3x3} — 1 — i Sp=1 tpXplkp [а^Г'и —
- ад dFk (xp, p = 173) + j<-':|*;i<Vp=-3> (exp (i X
X Sp=i tp Xp Xhp [cikk] ^ ~b ^3X3} — 1) dFь (Xp, p = 1, 3) -f-
+ i Ep=i tpFkp Wkk] h £uр|<тр,,;=йXpdFk (Xp, p = ДЗ) -f
4"	|'|*р|<г/„р=Гз	(*p*	P	=	Ь	3)	I.	(3.2.7)
Из доказательства леммы 1.3.1 следует, что для доста¬
точно больших п
ljl*pi<T/; xdFkp I < 2хр ji*>v2 dFkp’
x2dF)tp <(1 +t“)J(l + x-2)-1 dF,p,
Jl*l>Tp ^^к!> ^ (^ 4~ Xp 2) £ С 4~ x ") 1 dF/ip, P = 1,3.
Отсюда, используя неравенства (3.2.6) и (3.2.7), получаем
litiWco £JLi М | fk (h, h, f„) - 1 |2 = 0.
Следовательно,
iini/7_vco IM exp { 5jp=i tp (Anp (In $np)y (In P>v0) “f*
4" ^3 (Cz> (?n	Р«з))} M exp {5j/e=l [//j (/j, /2» ^з) —
— 1]} I = 0.
Теорема доказана.
70

Если математические ожидания величин Е*,г существу¬
ют и
Нт,г-,го supft=rH Р {I ikn _ щ!т | > е} = О,
то в теореме 3.2.2 будем полагать
Р$ = Wkn , / = 1,2, р*3„ = скпЩк,,
Введем в рассмотрение случайные процессы и величины
in W = S/U [х (1 + У~2)~[ dFM (Л/л [akk]~'u у),
J —оо
7n = ^ x~ldtn (х), ПШс^со iiтд.,оо Р {In (+ оо) > с] = 0.
Обозначение (g„(дг), £„(+оо), уп)=> (|(х), |(+оо), у)
означает слабую сходимость конечномерных распределений
случайных процессов Е„ (я) и случайных величин Е;1 (+ оо),
уп к соответствующим распределениям £ (я), Е (+оо), у.
Теорема 3.2.3. Пусть для каждого значения п случайные
величины Е/г„, k = 1, п, независимы, величины (аЙ)1/г
бесконечно малы и
! 1п(х), 1п(+оО), уп}=>{1(х), £(+оо), у} (3.2.8)
на некотором всюду плотном множестве D, где Е (*) — не¬
убывающая, ограниченная с вероятностью 1 случайная
функция.
Тогда
Ит,г_>го М ехр {— s (Ап\ (Е/г — р„0, (Е„ — Р/ы»} = М exp [i х
X к; у + [ e‘Yix — 1 — ix V~S (1 + х2)~‘)(1 -f х-2) dl (х)},
s>0.
Доказательство. Очевидно,
lim,i-,oo М ехр {— s(Ап\ (!„ — Pni), (f„ — Р,и))} =
=	limn^coMexp [iVsyn + £ f (x)	(x)},
где / (x) = [exp (i |/sx) — 1 — t l/s(l + x2)-1] (1 + х~2),хф
Ф 0 (/ (0) = s/2 — непрерывная функция), \n (x) —	(x), если
l,t(+ oo)^c и 5„(х) = 0в противном случае.
Пусть A, B£ D, s£[0, 5]. Тогда
м Е» f w d^n м I ^ max i ? w
i'* CO	~	—	—
в / (X) d%n (x) | < max | f (x) | [M£„ (+ oo) — M£„ (fl)].
71

Поэтому для доказательства теоремы 3.2.3 достаточно пока¬
зать, что
)DAf{x)din(x)^>\BAf(x)dl{x),. п-+оо, с —*■ оо.
Так как f (х) непрерывна, то найдется такое разбиение ин¬
тервала Ш, А[ точками хь что для всех х £ bc/e-i, xk]
\f(x) — f(xk)\<e, k=l,m.
Обозначим fe (x) = f (xk), x£ | xk-\> xk], где точки xk вы¬
браны так, чтобы они были точками множества D.
Очевидно,
М | J*Bf(x) d\n (х) - [ABh (х) din (.x) | < eC, (3.2.9)
M| \AB f (x) dl(x) — ^ fe (x) dl(x) | X (g (+ oo)<c)<8C.
(3.2.10)
Из (3.2.8) следует, что
liiTWc, M exp {i V~s yn + £/T=o / (xk) [ln (xk+i) — f„ (xk)]} =
= M exp {t У s v + Yjk=o f (xk) [£ (*a+i) —
-&(**)]*(&(+ 00) <C)}.
Отсюда, используя неравенства (3.2.9) и (3.2.10), получаем
утверждение теоремы 3.2.3.
Пусть
Gn (х) = £a=i (1 + у-1Г1 dP
In •• = (Ат (in - Ы, (in - P».)),	= Ikn	- P«.
Теорема 3.2.4. Пусть для каждого значения п величины
Ьт, k = 1, п, независимы, величины (ctkl)~ -Чьп бесконечно
малы и
plim,,-.,* S'Ll {/ [%/! (a.kk)~'h V/гя] —
— М/ [i1tol (а^)~Чг Vtol} = 0.	(3.2.11)
Тогда, для того чтобы \п	где g—некоторая
случайная величина, необходимо и достаточно, чтобы суще¬
ствовала неубывающая функция G (х) ограниченной вариа¬
ции такая, что Gn (х) => G (я). Преобразование Лапласа
случайной величины £ равно
exp {j” (exp (— sx) — 1)(1 + *_1) dG (x),
72

где точка нуль входит в область интегрирования и
(е ьх — 1) (1 + х *) |*=о = — s, s>0.
Доказательство. При выполнении условия
(3.2.11) в силу теоремы 3.2.1
linwoo М exp (— sln) = Ншл^ео ехр	(exp (— sx) —
-1)0 + x^)dGn(x)}.
Функции Gn (х) с точностью до постоянного множителя
являются функциями распределения. Поэтому в силу тео¬
ремы Хелли можно выбрать подпоследовательность Gnf (х)
такую, что Gn' (х) =ь> Gx (х). Тогда
М ехр (— sj„) = exp {(еХр (— sx) —
— 1)(1 + x-^dG^x)}.
Покажем, что Gn (х) G3 (х). Предположим, что это не
так. Выберем некоторую подпоследовательность Gn" (х),
которая слабо сходится к некоторой функции G2 (х) и
Gi (х) ф G2 (х) хотя бы в одной точке х. Но тогда
(ехр (— sx) — 1) (1 + *-1) d.G1 (х) = (ехр (— sx) —
— 1) (1 -f- Х ) dG2 (х).
Возьмем производную по s от обеих частей этого равенства
при s > 0. Тогда, взяв вместо s число s + 1, получим
j” ехр (— sx — х) (1 + х) dGl (х) = ^ ехр (— sx — х) (1 +
+ х) dG2 (х).
Отсюда
ехр (— sx) dW1 (х) =	ехр	(— sx) dW2 (х),
где
Wi (х) = j^exp (—у)(\ + у) dGt (У), i = 1.2.
Но тогда в силу единственности формулы обращения для
преобразования Лапласа Wx (х) = W2 (х). Отсюда G3 (х) =
= Go (х) для всех точек х. Полученное противоречие доказы¬
вает теорему.
Пусть rn(t,s) = a\}\ если Ип ^ t <С (i + 1)М, j/n^s^
^ (/ + 1 )//г, т]л (х) = т|п, если ihi ^ х < (i + 1 )/л,	0 ^
^ t, s, х ^ 1.
73

Теорема 3.2.5. Если выполнены условия теоремы 3.2.3
и равномерно по к = 1, п
п	(1 -|- г/-2)-1 dP {vkn < у}	=> G (х),
п .\у( 1 + У2)-' \vim <у}-+ 7. Л. (Л s) -> ' (*, s).
а функция г (t, s) непрерывна в области 0 ^ t ^ 1, О ^ s ^
^ 1, то
lim^co М exp (— sln) = М exp {i Ys у г| (t) dt -f
+ j j (exp (i V's г] (t)x) — i Vs л (t) x (1 + x2)_1 — 1 X
X (1 + x~)dG(x)dt},	(3.2.12)
где 11 (t) — гауссовский процесс с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной функцией г (t, s).
Доказательство. Очевидно,
м I S/Ui [М (exp [i Vs Ли^}/Л«) --^-f(V's Л/011 <
< sup^—г М | «М [ехр {г Vs Л/civ,,} Apal — f (Vs m>0 I.
где
/ («) = \ (exp (iuy) — iuy( 1 + г/2)-1 — 1) (1 + y~J) dG (tj) -f
+ iuy,
и G„ (x): = n ^ (1 + y~2)~' dP [vkn < г/} ==> G (x). Поэтому
lim„-.«, M | пШ [exp {iVs 13*1 vft}/r|fci] — f (V's iiw) | = 0.
Следовательно,
M exp (— stn) = M exp {j*‘ / (V's л„ M) dx) + 0(1).
Докажем, что
M exp (— ln) -> M exp | ^ / (i] (x)) dx.
Рассмотрим выражения
гп = M exp {J J / {V~s r]n (x)) dxJ —
— m exp {S*=o f OKs л„ (xk) &xk},-
6„ = M exp j j’ / (Vs л (*)) dxj —
— M exp {У k=o f (Vs Л ^k)	}.
74

где xh i=\tm9—разбиение точками сегмента [0, 1| и
Д xtj== Х£+1 —■ х£.
1ак как функция f (х) непрерывна, rn(t, s) -> г (/, s) и
функция г (/, s) непрерывна в области	1, то
ЙГПтахДд^-уО НШ/г-юо 8П = О,
HnimaxA^/j-^O ^п == О*
Но так как
lirru-vco м ехр {££L0 f (Vs Tin (.xk)) Axk} =
= M exp {S£-o / {V~S 11 (**)) Axk\,
TO
Нш„^ос M exp (— s£„) = M exp ^lQf(Vs 11 00) clx''j'
Теорема доказана.
Аналогично можно доказать предельные теоремы для
совместной функции распределения квадратичной и, линей¬
ной форм.
Используя доказательство теорем 3.2.5 и 2.9.1, получа¬
ем следующее утверждение.
Теорема 3.2.6. Если для каждого п случайные величины
SA-/1, & = 1, п9 независимы, одинаково распределены, суще-
ствует мера на плоскости G (х) такая, что для любого бо¬
ре леве кого множества В на плоскости
Gkn {В \ (0}} => G (В), £ £ x~lGkn (dxdy)-> у,
\ \ y~lGkn(dxdy)^>- б, limeiolitTW^ G*,, (х, у:	х2 +
+ У2 < е) = Нте* о Ит^оо Gkn (х, у t х2 + у2 < е) = Ь,
limbecrn(t, s) = r(t, s),
где г (/, s) — непрерывная в области 0 ^ t ^ 1, 0 ^ s ^ 1
функция,
<в> - j °+<"г+*г'г' “р ,v*" <
<«, рм<у},
то
Нт„_,м М ехр { — st„ + it (сп, (|„ — Р„3))} =
= М ехр {isу j' г] (х) dx + itb — 0,5sb фif (х) dx +
75

Iо 11 (ехр Т1 (*) # + itz1 — s'П МУ + i х
X (1 + у2 + г2)"1 (1 + (г/2 + г2)-1) G (dydz) dt], s > 0.
Аналогичные утверждения можно сформулировать для
конечного числа квадратичных и линейных форм.
§ 3. Предельные теоремы с условием Линдеберга. Пред¬
положим, что для каждого а случайные величины
k — 1, /г, независимы, имеют конечные дисперсии oln и
sup,, (Sp вп + S*=i cL) < оо,
где Вп = (2a1("lo„lai„) — квадратная матрица п-го порядка.
Не ограничивая общности, можно считать, что ^ име¬
ют нулевые математические ожидания.
Будем говорить, что для величин Qimlkn, к = 1, я, вы¬
полняется условие Линдеберга, если для любого т>0
lim,,-.», £2=1 \ xhlFkn (х) = 0,
где Fkn М = Р {Bavz^/g? <С х}> 0/m = laj!l} + cln]/а.
Теорема 3.3.1. Для того чтобы
lirrwco [М ехр { — s (A J„, 1„) + it (сп, %п)} — ■
— ехр {— 0,5/2 (/ + sSn)_1 qn, qn)} det (/ + sfi„rV2l =
-0, s> 0,
где qn = (c\no\n, С/шОдл) ы величины IknQim были бес¬
конечно малы, достаточно, а в случае, когда Е/т симмет¬
ричны, и необходимо, чтобы для величин £/т0/т выполня¬
лось условие Линдеберга.
Доказательство. Достаточность. Из усло¬
вия Линдеберга следует, что величины Ikrfiim бесконечно
малы.
Из доказательства теоремы 1.2.1 вытекает, что для дока¬
зательства достаточности условий теоремы 3.3.1 нужно
показать, что
lirn^co ULi М {fk (t, s) + о1пЩ/2] = 0,
где х* = ]/sT)ft + tck, (t, s) = M [exp (tHftnXft)/rik] — 1 и r]*,
k= 1 , я, —случайные величины, не зависящие от случай¬
ных величин £/гп и распределенные по нормальному закону
N (0,2Ап).
76

А это следует из того, что
I fk (t, s) + 0,5OknXk I = | j lexp (ixKk) — 1 —
— ixKk — 0,5 (mtt)2] dFkn (x) + Г |0,5x2X' -f
J И>г
+ exp (ixxk) — 1 — ixxk] dFi;n (x) ^ 6—1 | xk |3e X
X \ x2dFb, (x) + «I \. . x2dFkn (x).
,4*1<e	Л*1>ь
Необходимость. Так как lim„_*co Yik=\ ^ I f* s) I2 =	T0
limn»ooM [exp (V"=l fk({, s)} — exp { — 0,5V^=, а|пК|}] = 0.
Выражение, стоящее под знаком математического ожида¬
ния, неотрицательно, поэтому pliiiWoo Y^L, Ifk(U s) +
+ 0,5a£/7 xjp = 0. Отсюда, в силу тоге, что случайная ве¬
личина	I/*	(^» s) + 0,5a“n имеет ограниченные мо¬
менты,
linWc ££=| М [/* (/, s) + 0,5a2, xfj = 0.
Тогда при п -> оо и фиксированных t = я, е > 0
0,5(2/;„ —	\	(1	—	Qk(x)) dFkn (х) =
J |-Ч^е
= £"=1	— Як (X)) dFkn (X) + 0(1),	(3.3.1)
где bn = ££-, а\пЩп, qk (x) = exp (- x‘H2a^0-*) X
X COS (xtCkn^kii)-
Подынтегральное выражение справа не превышает вели¬
чины х2&—2, а слева — величины Л2. Разделив (3.3.1) на
0,5 t2bm получим
1 — b'] XILi Г	x2dFkn (х) < 2е~2Г2 + о (1).
J I -И ^ с
Правую часть можно сделать сколь угодно малой, если вели¬
чину t выбрать достаточно большой. Следовательно, вы¬
полняется условие Линдеберга.
Следствие 3.3.1. Пусть Bni = (a^cjpGj), i = 1, 2,— ягот-
рицательно-определенные матрицы, sup„ Sp (B,ti *+- Впч) С
< оо.
Тогда, для того чтобы
limbec, |М ехр {— /	|„)	— s (В„?£п, £„)} —
- del(/ + 1Вп1 + sBra)-‘f‘] = 0, s> 0, 1>0,
77

и величины £/,„ (aik + aiik), к = 1, /г, бесконечно малы,
достаточно, а 6 случае, когда симметричны, и необхо¬
димо, чтобы для этих величин выполнялось условие Линде-
берга.
Следствие 3.3.2. Пусть
D&„ = 1, k = ITT, Skn = St. t;(!.	(3.3.2)
Тогда, для того чтобы
Пт,,-*» М ехр {— i S'/Ц n~2Sln] = [ch У%ГЧ\ t > О,
и величины tknfi-'1*, k = \, я,	бесконечно малы, до¬
статочно, а в случае, когда с/т симметричны, и необходи¬
мо, чтобы для величин	k=lt п, выполнялось усло¬
вие Линдеберга.
Доказательство. Обозначим Wn (х) = /г—^S/m,
к!п ^ х <С (k + 1)/п. Так как выполняется условие Лин¬
деберга и (3.3.2), то Wп (л:) W (я), где W (х) — процесс
броуновского движения. Используя теорему 3.2.5 и разло¬
жение в ряд броуновского процесса [3], получим
lim/:->co М ехр {— t S/J=i n~2S\n) = М ехр j— t ^lQW2(x)dx j —
= Пг=1 (1 + 2 t[(k — 0,5)2 n2r,)-J/*.
Заметим, что
ch (x) = ПГ=, (1 + x2{k — 0,5)~2 я-2).
Следствие 3.3.2 доказано.
Следствие 3.3.3. Пусть для всех s С [О, S] существует
liriWoo det (/ + sBn).
Тогда, для того чтобы функции распределения случай¬
ных величин (Antny Е„) слабо сходились к X2-распределению
с k степенями свободы и величины Уakktim, к = 1, п, бы¬
ли бесконечно малы, достаточно, а в случае, когда ккп сим¬
метричны, и необходимо, чтобы для величинУakk\kn, к =
= 1, я, выполнялось условие Линдеберга и
НгПп-ххЛ,- = 1, i=l, ky lim/2_co Sp Вп = /г,
где К£ — собственные числа матрицы Вп, %1 ^ %2 ^
••• Ж-
Пусть теперь Ап — произвольная симметричная мат¬
рица. Матрицу Вп можно представить в виде Вп = ТАГ',
78

где Л = (kfiij) — диагональная матрица, Т — ортогональ¬
ная матрица. Обозначим \ Вп \ = ТАгТ\ где Лх = (|	| 6i7).
Предположим, что supnSp | Вп | < оо и
f,x(t, s) = ехр {— 0,5s2((/ + itBn)~l qn, qn)} x
X det (/ -f itBn)~4\
Следствие 3.3.4. Для того чтобы
limn_co [М ехр [it	f„)	+	is	(с„, Г„)} — /„ (I, s)J = 0,
(3.3.3)
достаточно, чтобы для величин [btu -т с\п]ЧгЪп, k = 1, п,
выполнялось условие Линдеберга (Ь{£! — элементы матри¬
цы | Вп |).
Доказательство. Очевидно, Вп = Вп\—Bn2i где
Вп\ и ВП2 — некоторые неотрицательно-определенные
матрицы, sup„ Sp Bni < оо. Пусть
х,и = (В„&п, У, г=1, 2, Fn (х, у, z) ='
= р {х„1 < х, хп2 < у, (с„, у < z}.
Выберем из последовательности функций Fn некоторую сла¬
бо сходящуюся подпоследовательность /v. Из следствия
3.3.3	вытекает, что для такой подпоследовательности суще¬
ствует
—> —>
lim,М ехр {— stxn'i — s2xn-2 + it (сП', In-)} —
= limn'^oo9/.'(s1, s2, t),	(3.3.4)
где
4V(si. s2. t) = exp {— 0,5t2([/ +sxS,n -f s2B,r2)-' X
X qn-, qn')} det (/ + SjBn-i + s2Sra'2)-1; sx >0, s2 > 0.
Следовательно, для данной последовательности выпол¬
няется соотношение (3.3.3). Покажем, что оно будет справед¬
ливо и для всей последовательности Fn. Предположим, что
это не так. Тогда найдется подпоследовательность п" такая,
что Fn- => F и
lim„"-.oo [М ехр {й{А,^-, 1П") + is(c„», У)1 —
— gn"(t, S) = 0, НШп”-.со SUpn | gn" (t, S)	/n" it, s)|^=0.
(3.3.5)
79

Но из формулы (3.3.4) следует, что соотношение (3.3.5) не
выполняется, что противоречит предположению. Следствие
3.3.4	доказано.
§ 4. Предельные теоремы типа закона больших чисел для
случайных квадратичных форм. Воспользуемся обозначения¬
ми, введенными в теореме 3.2.3.
Теорема 3.4.1. Пусть для каждого значения п случайные
величины Ьт, k=l, ti, независимы, величины ]/~afu X
X bin, k = 1, п, бесконечно малы, Ап = (atf) — неотри¬
цательно-определенные матрицы. Тогда, для того чтобы
рПгП/^сс Ьг = а, где а > 0 — неслучайная величина, до¬
статочно, чтобы
lim^oo Р {уп < z) =* (2nq)~1/" exp (— х2/2q) dx,
J —1oo
limE4 oplim,j-.w [£„ (4- °°) — (In (e) —	(— e))] = 0,	(3.4.1)
lim^oplinw* [g„(e) — tn(— e)] = a — q, q> 0.
Доказательство. На основании теоремы 3.2.3
lim„-.coM exp (— s£„) = lim^cx, limn->MM exp {/ Vsyn +
+ J/ W4W),	s>0.
Но тогда, используя условие (3.4.1), получаем
ИгП/г-юо М exp (— sln) = exp [— sa], s ^ 0.
§ 5. Спектральные представления полиномиальных
функций. Пусть задана однородная полиномиальная функ¬
ция независимых случайных величин:
vp : “	•	•	•	Ьр»
Введем матрицу и векторы
л — 1п. .	.
% ~ (fetjЬ2 * • •	(п>	^*2» ' • • » ik) £ ^l)>
У= (hk+\hb+2 * * •	(‘*+1.	•	•	•	» 1р)€®г)»
где Ql и Q2 — соответственно множества упорядоченных зна¬
чений векторов (С, ik) и (4+i, ..., /р), причем эти значе¬
ния в некотором установленном порядке одинаковы как
в векторах х и у, так и в матрице Л, 1 ^ /? ^ р — фикси-
80

рованное число, в матрице А индекс ixi2 ... ik указывает ин¬
декс строки, а 4+i ... ip — индекс столбца,
Если р — четное, то будем полагать, что к = /7/2, если
же р нечетное, то к = [pi2]. Для четного р матрицу А мож¬
но выбрать симметричной:
А—Гп	\{iP'	2+1	4)€Q2
где aiv..ipioip/2+\...ip= 0,5 \^iu..ip/2ip/2-\-\••• + "Ь aip/2+\‘--ipi,...ip/2\'
Будем всегда предполагать, что для четного р матрица
А симметричная.
Пусть р нечетное. С помощью введенных обозначений
vp запишем в виде
vp= (Ах, у).	(3.5.1)
Матрицу А представим в виде А = SH, где S — неотрица¬
тельно-определенная матрица, Н — ортогональная мат¬
рица. Тогда (3.5.1) будет иметь вид
(Sz, у), г = Нх.	(3.5.2)
Пусть	%ъ	...,	\п —	собственные числа	матрицы	S,	a	hx, ...
..., hm	—	собственные векторы. Тогда	(3.5.2)	запишем сле¬
дующим образом:
Vp =	(К,	Z)	(К,	1).	(3.5.3)
Итак, полиномиальная однородная функция порядка р равна
сумме т произведений однородных полиномиальных функций,
одна из которых имеет порядок [р/21, а другая [(р + 1)/2].
Если р — четное, то А = НАН', где Л = (ХД,) — диа¬
гональная матрица собственных чисел, Н — матрица соб¬
ственных векторов, соответствующих собственным числам
Х£. Тогда
Vp =	*)2-	(3.5.4)
§ 6. Интегральные представления для полиномиальных
функций. Формулу (3.5.3) представим в виде
X"=i К (+ г) (К У) = 0,5 S!Li К КК z) + (А„ у)¥ —
- HU К (К ?)* - E2L, я, (А„ у)\	(3.6.1)
Итак, получена сумма квадратов некоторых полиномиаль¬
ных функций, умноженных на некоторые коэффициенты.
81

Формула (3.6.1) идентична формуле (3.5.4), которую в
целях упрощения вычислений и будем в дальнейшем ис¬
пользовать.
Пусть Xs = Xs (sign Xs + l)/2, Xs = Xs (sign k$ — l)/2.
Вместо формулы (3.5.4) введем два выражения
Е.Л Х)^ Yish's&s, xf
и рассмотрим для них преобразования Лапласа
М ехр {- 0Х S* К (К, х)2 - 02 £s К (hs, х)2} =
= М ехр {(' ]/0i 2s V\ К | (hs, х) +
+ iVblisVtixsfc, х)},	(3.6.2)
где xs, xs, s £ N,— независимые случайные величины,
распределенные по нормальному закону N (0, 2).
С помощью интегрального преобразования (3.6.2) по¬
нижен порядок полиномиальной функции. Таким образом*
снова получена полиномиальная функция, коэффициенты
которой зависят от случайных величин ks и х*. Для такой
полиномиальной функции проводим те же преобразования
до тех пор, пока не получим преобразование Лапласа не¬
которой полиномиальной формы первого порядка, коэффи¬
циенты которой будут некоторыми случайными величина¬
ми. Для таких форм справедливы теоремы, рассмотренные
в этой главе.
Глава 4
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ СУММ МАРТИНГАЛ-РАЗНОСТЕЙ
Предельные теоремы для сумм мартингал-разностей иг¬
рают важную роль при изучении предельных распределе¬
ний измеримых отображений независимых случайных эле¬
ментов. Примечательным фактом предельных теорем для
сумм мартингал-разностей является то, что для проверки
условий этих теорем нужно доказывать некоторые предель¬
ные теоремы типа закона больших чисел для сумм зависи¬
мых случайных величин.
82

В предыдущих главах показано, что распределение бо-
релевских функций случайных величин при некоторых
условиях можно приближенно заменить распределением этих
же борелевских функций, но от некоторых других случай¬
ных величин. Такой подход, однако, при решении некото¬
рых задач малопригодный, поскольку трудно подобрать
такие случайные величины, чтобы можно было найти рас¬
пределение борелевской функции случайных величин, за
исключением тривиальных случаев. Оказывается, что путем
представления борелевской функции в виде суммы мартин¬
гал-разностей можно получить нетривиальные теоремы для
их функций распределения. Пусть fn	£,(2/2))	—
последовательность измеримых отображений случайных
элементов	...,	Предположим,	что	существует
М/п (fn (•))» ГДе 1п— некоторый функционал. Тогда, оче¬
видно, с вероятностью 1 (в дальнейшем слова с вероят¬
ностью 1 будем опускать)
К (fn (■))- тп (fn (•))=£*-! {Mow ln (fn {■))-
-M o^lnifn (.))},
где Мст(я) — условное математическое ожидание при фикси¬
рованной минимальной сг-алгебре событий а*0, порожден¬
ной случайными элементами ..., В{п\
Последовательность случайных величин
4k = Мст(«) А(Ы*))—	(/„(•))•	1, п,
R—1	R
называется последовательностью мартингал-разностей, так
как величины	o(n)ln(fn(-))7	образуют	мартин¬
гал. Ее иногда также называют абсолютно беспристраст¬
ной последовательностью.
С целью упрощения формулировок и доказательств тео¬
рем в этой главе доказаны предельные теоремы для сумм
мартингал-разностей случайных величин, которые можно
без труда распространить на суммы мартингал-разностей
функционалов случайных элементов.
§ 1. Предельные теоремы типа закона больших чисел.
Пусть для каждого значения п заданы случайные величины
Bin, i = 1, пу у которых существуют математические ожи¬
дания tAfein = 0, где Mi — условное математическое ожи¬
дание при фиксированной минимальной о-алгебре событий
83

оini относительно которой измеримы случайные величины
Е,ч-!/7, ..., ьпп. В дальнейшем такую последовательность
будем называть последовательностью мартингал-разностей.
Теорема 4.1.1. Если для некоторой последовательности
постоянных сп выполняется условие
1 ini/*-ycoC/z ^j/<:=1	==
то
рПгЩ-усоСл ^Lii=l — О*
Несмотря на то что теорема 4.1.1 тривиальна, она исполь*
зуется при доказательстве многих утверждений (см. сле¬
дующие главы).
Докажем предельные теоремы типа закона больших
чисел, ослабив условие на существование моментов Щ1г.
Рассмотрим урезанные случайные величины
\\inj | \ln I <	j	It/ll I Ъп I ^
Vfn	~ \	M>in ==1 \
10,	\ltn\>6n9	*	10,	|^|<«„
где	>	0 — произвольные	постоянные	числа.
Теорема 4.1.2. Если для некоторой последовательности
постоянных сп
I ini/2-»-сс Cti k=\ № | \ifzn | === НШдг^со Cn &n Х|/г=1 I ^kn | == 0»
lim„_co c7l SLi M | Mkvkn 1 = 0,
mo
plinWcofcT1 1,'Uhn =0.	(4.1.1)
Доказательство следует из следующих прос¬
тых замечаний.
Случайные величины vfm — Mkvitiu k = 1, /г, образуют
абсолютно беспристрастную последовательность
м	I £"=. bn I < [м (S*-i [v*n -	лм*,,])*]7' +
+ £/г=! М	I Hkn I + M | £*=1 P*\kVim |	[6„	£fc=i ^ I v*n	I ] /v	“П
+ EL, м к, | + м | EL,	|.
В	частности, если существует	такое f/>	0,	что
sup,, sup/e==1— М I |1+f < OO, TO
M | p*„ | < б"Ы 11*„ |I+e, | M*v*„ |< M | iikn |< 6,7 M | jl+E.
Поэтому, если lim,l4wсЕ2Ьпп = 0, iimrt_,<*= 0, то
справедливо соотношение (4,1.1).
84

§ 2. Сопровождающие безгранично делимые законы для
сумм мартингал-разностей.
Теорема 4.2.1. Пусть задана последовательность мар¬
тингал-разностей /= 1, п и == (el>V/‘rt—isviin—1),
где
Vim =	(E"=fr	< С), k = 1, «, С > 1,
для некоторого с > 1
plim*^, EL, | М,еЫ3 = О, sei-S.S], (4.2.1)
plim*-»	— a„(s)] = 0,	s£[— S, S], (4.2.2)
где ak — (eiS=lln — isct.,,— 1), s>0; a„(s) — некоторые не¬
случайные функции,
plim^SL.M/J,^ 1.	(4.2.3)
Тогда для любого s £ [—S, 51
limn-» [M exp {is EL, H/m) — exp [a„ (s)}) = 0. (4.2.4)
Доказательство. Рассмотрим выражение
fn (s): = M [exp {is EL,v„„ — EL,	— 1 ] =
= EL, M [exp {isvi„} — exp {M,B/} 10/,	(4 2.5)
где
0, = exp {is y,k=i+\vim — EL,	EL.	=	0.
Очевидно,
10/К exp {0,5 EL, s2M,vL) = exp {0,5s2 JL X
X X (EL* №iU, < C) <: exp {(),5s2C).	(4.2.6)
Тогда выражение (4.2.5) можно записать в виде
fn (s) = EL, М [1 + ЛЛ/Р/ - ехр (М/|3/)] 0/.
Используя это равенство и (4.2.6), имеем
| fn (s) | < ехр (2 + 0,5Сг) М EL, |	|з.
Так как Е"=, I !2^ 0,5s2C, то используя это неравен-
ство и условие (4.2.1), получаем
!im„*K supsgr—s,s] | fn (s) I = 0.	(4.2.7)
Представим fn (s) в виде
fn (S) = m [exp {is EL, v*„ - EL, MA) — 1 ] X (Aa) +
+ M [exp {is EL; v*„ - EL, M*p*} - 1] X (An), (4.2.8,
85

где Ап = (со : | £?=, МД, - 1 | + I £Li - ая (s) | +
+ |£"-i (М*«*-Ма*)|<е}.
Очевидно,
SiLi v4„ - £2=,	=	SLi Iknl (£?=* M,|?„ > C), (4.2.9)
j£7=1 №* - M*a*) I < 0,5s2 £*=1 M,|L X (£?=* M Д > с).
(4.2.10)
Докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 4.2Л. Для величин Е/гп выполняется равенство
рИП1„-=о [£'/Ll vkn — £"=1 Ikn] = 0.	(4.2.1 1)
Доказательство. Используя соотношение
(4.2.9), имеем
т ехр [is £*=.. Ьп* (£/'=* М$„ > с)} =
= М ехр (is £Li ЬтУ. (£?=* м,& > С)} X
X X (S/-1 М,& > с) + MX (£7-1 м,& > с) + 1.
Так как выполняется условие (4.2.3), то полагая с > 1, из
этого соотношения получаем равенство (4.2.11).
Аналогично справедлива следующая лемма.
Лемма 4.2.2. Для величин tkn выполняется равенство
plim,^ supse[_s,s] I £Li — №k<xk) | = 0.	(4.2.12)
Используя леммы 4.2.1 и 4.2.2, а также условия (4.2.2)
и (4.2.3), для любого в > 0 имеем
lirru-oo MX (Ап) = 0.	(4.2.13)
Учитывая это равенство и (4.2.6), из соотношения (4.2.8)
находим
/„ (s) = М [ехр {is 2JU - a*„ (s)} - 1] + 0 (1).	(4.2.14)
Очевидно, в силу условия (4.2.3) lirrWoo | a„ (s) | ^
^ 0,5s2. Поэтому из соотношения (4.2.14) следует равен¬
ство (4.2.4). Теорема 4.2.1 доказана.
Следствие 4.2.1. Если для всякого в > 0
plim,,.... £*=i М JU (М* | |/т | > е) = 0,	(4.2.15)
либо
plim„-vM £7=11 MfeOCft I2 = О, s£[—S, 5],
plim,,.,*, £7=i Mftccft — a„ (s) = 0, s £ [— S, S],
piimn-^ £7=i м kfkn = i,
86

то для любого s £ [—5, S]
limn-»w [М exp {is 2*=i |*л} — exp (a„ (s))] = 0.
Доказательство вытекает из следующего про¬
стого неравенства
Sfc-1! M*|3fc |2 < S2 Sfe-1 (M* | bn | > 6) +
-(- es2 S*=i Nifjzkn
и неравенства (4.2.10).
Следствие 4.2.2. Если для всякого в > 0
plinw ELi (м* I ikn I > e) = о.
и почти для каждого х
pliriWc*{Gn{x, со) — Кп (*)] = 0,	(4.2.16)
plim„-.K,G„(4- оо, со) = 1,	(4.2.17)
где Gn (х, со) = £Li y2dP {bn < y/okn}, Kn (*) — неслу¬
чайные функции, то для конечных s
limn-.oo [М exp {is £a=i bn} —
— exp | j (eisx — isx— 1) x~2dKn W}j — 0.
Доказательство вытекает из тоге, что при вы¬
полнении условий (4.2.16) и (4.2.17)
рНшп^.,» 2/'=1 МАа/; — ^ (eisx — isx — 1) x~2dKn (х) — 0.
Отметим, что условие (4.2.15) эквивалентно одному из
следующих условий:
plinw Е2-1 (М*&,)1+в = 0, 6> 0,
plim„-.cc sup/!=i— Mk | bn | = 0, plim„-.re S*=i Mkfkn = 1.
Используя предельные теоремы для сопровождающих
безгранично делимых законов сумм независимых случайных
величин, доказанные в главе 2, получаем следующее утверж¬
дение.
Теорема 4.2.2. Если выполняются условия следствия
4.2.2, то для слабой сходимости функций распределения
случайных величин ^к=\Ъп к предельной, необходимо и до¬
статочно, чтобы существовала неубывающая функция
ограниченной вариации К (х) такая, что Кп (х) => К (х).
Логарифм характеристической функции предельного
87

распределения равен
j (eitx — itx — 1) x~-clK (x).
Заметим, что в общем случае в условиях следствия 4.2.2
/Д (х) ф МGn (х, со), а в условиях теоремы 4.2.1 ап (s) Ф
Ф 2^=1Мос/?. Для того чтобы можно было в этих утвержде¬
ниях положить Кп (х) = МGn (х, со), ап (s) = 2^=1Мак9
достаточно, чтобы выполнялось следующее условие, кото¬
рое назовем условием равномерной интегрируемости сумм
условных дисперсий величин |
lim,^М	(SLi	>	A)	=	0.
(4.2.18)
Очевидно, тогда теорему 4.2.1 можно сформулировать
с лед у ющи м обр азом.
Теорема 4.2.3. Пусть выполняется условие (4.2.18) и
Пт/г-.то М |	|2	=	0,	s<E[-S,	S],
plim„^oo Y'Li (М*а* — ап (s)) = 0, s £ [— S, S],
рИгПп^.^,	:	С
где an (s) — некоторые неслучайные функции.
Тогда для любого s£ [—S, 5]
Ит„_м [М ехр {is ££=i Ikn) — ехр {£*=1 Maft}] = 0.
Покажем, что для функции ап (s) из теоремы 4.2.1 и
следствия 4.2.1 справедливо равенство
an(s) = j (eisx— isx— 1)x~2dKn (x) + o(l), (4.2.19)
где Kn (x) — неубывающие функции ограниченной вариа¬
ции. Для этого рассмотрим выражение
м (S*Li M*a*) X (ZU МkCkn < с), с> I.
Очевидно, согласно условиям (4.2.2) и (4.2.3), это выраже¬
ние равно
j (e£sx — ISX — ] j у—'с:(1п (x) = an {s) 4- д (1),
где
Gn (x) = M £;;=1 уЧP {§*„ < ylaun] x (S*=1 MMn < C).
Отсюда и вытекает (4.2.19).

В качестве функции ап (s) в теореме 4.2.1 и в следствии
4.2.1	можно взять функцию 2^г=1МаЛ.
Для таких функций сформулируем следствие 4.2.1 в та¬
ком виде.
Следствие 4.2.3. Если
plinWco ELi1 I2 = 0, s £ [— S, 5],
plinwco ELi (Mftoc* — !ftak) = 0, s£[— S, 5],
plimn^ EL, = 1,
то для любого s £ [—S, SI
linWoo [M exp {is EL,I/m} — exp {ELi Mablj) = 0.
§ 3. Сопровождающие безгранично делимые законы для
сумм мартингал-разностей без предположения существо¬
вания их дисперсий. Метод доказательства теорем и след¬
ствий предыдущего параграфа можно распространить на
случай, когда у случайных величин Ikn не существуют дис¬
персии. Так, докажем снова теорему 4.2.1.
Теорема 4.3.1. Пусть задана последовательность мар¬
тингал-разностей i = 1, п,
plimn_co ELi | I2 = 0, s£[—5, S],	(4.3.1)
plim„-*,0 [ELiMta;i — a„(s)] = 0, s£[— S, S],	(4.3.2)
где ak = (exp (is^kn) — islkn — 1), an (s) — некоторые неслу¬
чайные функции,
plim„-w EL, Nik (1 + ?L)_1 = 1.	(4.3.3)
Тогда для любого s £ [—S, S]
Urn,,-*, [M exp {is Y]Li bn] — exp {an (s)}] = 0. (4.3.4)
Доказательство. Рассмотрим случайные вели¬
чины
vkn = |,;д (E'U ivui (1 + &г'<С), k = ТТТг, с > l.
Пусть Р/г = (exp (iSVkn) — iSVkn — 1). Поскольку
| (eisx — isx — 1) — (e£sy — isy — 1) | ^ 2 | s \ \ x — у |,
TO
EL, IMA I2 < 2 EL, I I2 + 2 EL, I - M*a* I2 <
< 2 EL, | M*a* I2 + 4 I s I EL, M* i lkn I X
X х(ЕимД(1 +1\пГх>С).
89

Используя условие (4.3.3) так же, как и при доказательст¬
ве леммы 4.2.1, получим
plinw Sft-i М* 11kn | X (2?-*	(1 + &)“l >С)= 0.
Поэтому, учитывая условие (4.3.1), находим
РИт„^.Е2_1|М*рЛ|а = 0.	(4.3.5)
Далее, также, как и при доказательстве теоремы 4.2.1, рас¬
смотрим равенство
fn (S): = E?=I м [ехр {isvin} — ехр {М^}] 0,.
Очевидно, вследствие неравенства
[ eisx — isx — 1 | = | (eisx — isx — 1) (1 + x~'2) | (1 + x2)-{ x~
^ (2 + 0,5s2) x2 (1 + x2)~~l
получим
I 0, |< exp {(2 + 0,5s2) M* [tknl (£?=*	(1	+	tL)_1	<	С)	X
x [l + &, X (SL/еМД (1 + Й.Г1 < C]-1]} <
<exp {(2 + 0,5s2) C}.
Далее доказательство аналогично доказательству теоре¬
мы 4.2.1, кроме некоторых тривиальных изменений.
Следствие 4.3.1. Если
рНшлн-эо Ук=1 (лу-L о + tkn)~lf = о
и выполняются условия (4.3.2) и (4.3.3), то справедливо ра¬
венство (4.3.4).
Аналогично можно сформулировать и остальные след¬
ствия из предыдущего параграфа.
§ 4. Сопровождающие безгранично делимые законы для
сумм случайных величин. Пусть заданы случайные вели¬
чины tin, i = 1, п. Предположим что не существуют МД-ш.
Тогда, изменив соответственно доказательство теоремы
4.3.1,	можно доказать следующее утверждение.
Теорема 4.4.1. Пусть ak = [eSikn — 1),
plirrin-voo 2 4=1 i МАаЛ|2 = 0,	s£[— S, S],	(4.4.1)
plini/i-к» [2*=i Mkak — a„(s)] = 0, s£[— S, 5],	(4.4.2)
где an (s) — некоторые неслучайные функции,
plinw У’и м* (1 + I tkn Г1)'1 = 1.	(4.4.3)
90

Тогда для любого s £ [—5, S]
[М exp {is У!"=1 ife,} —exp {ос„ (s)}] = 0. 14.4.4»
Доказательство этой теоремы аналогично дока¬
зательству теоремы 4.3.1, но при этом используются нера¬
венства
|е‘-- l|<(2 + |s|)(l + М—О"1,
|	_ !)_ (etsu — 1) | ^ (2 + | s |) (1 + \х — у
и рассматриваются случайные величины
Vfcl = ЬпЪ (S?-fc(1 + ! Ьп	<с), k = ТТп. с > 1.
Предположим, что
i=l ^in ^ ^j^=l ['Ч’л + Ут]»
где
у in = м,_, S2-1 м/гЕ/этх (I bn | < т) - m,	X
X ( I bn |	^)i	—	lin	— Мг'£(ПХ ( |	| <C T).
Теорема 4.4.2. Пусть (3^ = (e'^kn+Vkn) — isyim — 1),
plim„-.oo S*=i II2 = 0, s6[— 5, S],	(4.4.5)
plim^^tS^i МЛ —P„(s)] =0,	s£[—	S, S], (4.4.6)
где (in (s) — некоторые неслучайные функции,
plim^oc SL. M*(l + v^2)-1 = 1,	(4.4.7)
и для некоторого h > 0
P {У]*=1 MAy|n > /г) = 0.
Тогда для любого s £ [—5, 51
Пшан.« [М exp {fs Ьт) — exp {P„ (s)}] = 0.	(4.4.8)
Доказательство. Введем случайные величины
Pta = V/гД (£"=* M, (1 + vjf)~[ с С),
Щп — УкпУ- (y^k^iyL < h), с > 1
и применим к ним теорему 4.4.1.
Согласно построению величин \лкп для функций (Зъ
имеет место неравенство (см. лемму 2.2.1)
I |< с (s) [МА (1 + v72) + Nlkyl).
Поэтому вместо условия (4.4.3) можно взять условие (4.4.7).
Дальнейшее доказательство такое же, как и доказательство
теоремы 4.3.1.
91

Очевидно, условие (4.4.5) выполняется, если для любого
с д> О
рНГПг^оо SLl (МЛ (1 -j- V;7:)'"1)2 О,
рИт.^о, £L=i	(iAkyi > е) = 0.
Вместо условия (4.4.6) можно рассмотреть условия
plim„_oo ULi jl* (1 + У~2) dP {vk + yk < *//а*„) = G (x),
plim^oo ULi (v/e + 7^) (1 + (v* + у*)2)-1 = y,
где G (x) — неслучайная функция ограниченной вариации,
а у — неслучайное число.
Тогда существует
linnп-у^ Pn (s) = isy + j (eisx — isx( 1 + x2)-1 — 1) X
X (1 + •*r“2) dG (x).
Подынтегральное выражение при х = 0 равно
_ isx (1 + *2)-! _ 1) (1 _j_ *-2) = _ s2/2>
§ 5. Центральная предельная теорема для сумм мартин¬
гал-разностей.
Теорема 4,5.1. Пусть задана последовательность мар¬
тингал-разностей tin, i — 1, я, м выполняется условие
Линдеберга: для любого т >> 0
plim,,-.*, 22=i МД,Х (|	| > т) = 0,	(4.5.1)
plinv.00 Y>k=iMklln = 1.	(4.5.2)
Тогда [ 161
Р {22=i Ьт < х} = (2я)-‘/> ехр (— г/2/2) ф.
(4.5.3)
Доказательство следует из неравенств (см.
обозначения, введенные в теореме 4.1.1)
£2=1! М*Р» I2 < 0,5es2 S2=1 Мktn + 2в—2 22=1 Мkfkn X
X X (I Ikn | > 8), ! 22=1	+	0,5s2 22=1 Mk?kn I <
< еб-11 s i3 22=1	+	s2 22=1 M kfkn% (11*,, | > e)
и теоремы 4.1.1.
Используя теорему 4.3.1, докажем центральную пре¬
дельную теорему для сумм мартингал-разностей без пред¬
положения, что у них существуют дисперсии.
92

Теорема 4.5.2. Пусть задана последовательность мар¬
тингал-разностей tinу i = 1, п, п £ N, для любого в >* О
plirrw .x; \ik=\ №/jiizn (1 llvi) % (I \kn 1s) = 0,
plinw* Sfe-i M*(l + &?)"' = 1.
Тогда справедливо равенство (4.5.3).
Доказательство вытекает из неравенств (см.
обозначения, введенные в теореме 4.3.1)
£Li | mkak !2 < (2 + s2) £Li (М* (1 + ^Г1)2 <
< (2 + s2) £2=, М* (1 + Wn)~X.[X (| Сkn I > г) + 8],
£2=1 Щак = jw>8 (е‘'« — isx — 1) (1 -f лг"2) dGn (х, со) +
+	— *sjc — 1) (1 + х-'?) dGn (х, «в),
где
Gn а, ©) = £2=, м (1 + е^2)-1 X акп <х),	8 > о. _
Если Em, i = 1, /г, n£N, произвольная последователь¬
ность серий случайных величин, у которых существуют ма¬
тематические ожидания, то их можно преобразовать в мар-
тингал-разности, вычитая из них Мfein. Тогда величины
\in мд/п будут уже мартингал-разностями, для которых
справедливо такое утверждение.
Теорема 4.5.3. Пусть vin = £in—М{%£п,
plim,!.^ £?=i (М,-|г„ — MclVl) = 0,
и для любого е > 0
рНшл^.00 £Г=1 M,-v2„X (I vin I > е) =0,
рИтл-оо £?=1 m{vl -	1.
Тогда
limn-c<, Р {£2=1 din — Щеп) < X) = (2я)-‘А X
х ехр (— 0,5г/2) dy.
§ 6. Сходимость распределений сумм мартингал-разнос-
тей к рандомизированным безгранично делимым распреде¬
лениям. Пусть задана последовательность мартингал-раз¬
ностей £m, i = 1, /г,	= (ехр (isl,m) — 1). В предыду¬
щих параграфах при доказательстве предельных теорем
93

использовалось следующее условие:
рНШп^о, M*afe — a„ (s)] = 0, s£[— S, S],
где an (s) — некоторые неслучайные функции.
Теперь ослабим это условие, считая, что ап (s) являет¬
ся некоторой случайной функцией.
Рандомизированным безгранично делимым распределе¬
нием называют распределение, характеристическая функ¬
ция которого имеет вид
М ехр {iy (со) s + £ (eisx — isx (1 + л:2)-1 — 1) X
X (1 +х-2) dG(x, со)},
где у (со) —случайная величина, а G (х9 со) — случайная
функция, которая при фиксированном со является неубы¬
вающей функцией ограниченной вариации.
Обобщим теорему 4.2.1.
Теорема 4.6,1. Пусть для любого s £ [—S, S] и некото¬
рых событий Akn, k = 1, п:
plim,!-.^	|	M*	(ak/A,m) |2 = 0,	(4.6.1)
где ak = (exp (isvk) — 1),	=	lkn — Mft {lknIAkn)\
plim^^, [S/"=i м/г {akIAkn) — an (s, to)] = 0,	(4.6.2)
где an (s, со) — некоторые Вп-измеримые случайные функ¬
ции (Вп = (J ?=1 Акпу,
plirrw [£2=i М* (gn/Abn) — У = 0,	(4.6.3)
где — некоторые ограниченные случайные величины, из¬
меримые относительно Вп.
Тогда для любого s 6 (— s, s\
(М ехр {is £/’=1 У} —М ехр {ап (s, со) +
+ is £2-. М* (lknlAkn)} ] = 0.	(4.6.4)
Доказательство. Пусть = vkn
X pin!Ащ) С С), С > 0, |5* = (е‘5М,*« — ispfal — 1).	Рассмот-
рим следующее выражение:
/„ (s): = М [ехр (is £Li р.*„ — £Li М*р*/Дп] x
X exp {a„(s, со)) — exp (a„(s, со)).
Использовав доказательство теоремы 4.2.1, получим
утверждение данной теоремы.
94

Очевидно, если
[£JU м (ijAtn), SZ-i J1m^p Is/- - (hJAkn) <
Cy/Akn, ato}]=>[7(®). 0(x, со)],
то при выполнении условий теоремы 4.6.1
Нтя-„о М ехр {is 2£=i £*„} = M exp {iy (со) s +
+ j (elsx — isx — 1) x~~2dG (.x, со)}.
§ 7. Предельные теоремы для сумм векторных мартин¬
гал-разностей. Теоремы, доказанные в этой главе, легко
обобщить на суммы случайных векторов, являющихся мар¬
тингал-разностями. Так, обобщим теорему 4.2.1.
Пусть для каждого значения п заданы случайные век-
—>
торы \itu i — 1, пу принимающие значения в пространстве
Rm, и Mjgfo = 0, где Mt- — условное математическое ожи¬
дание при фиксированной минимальной ст-алгебре собьггий
oilu относительно которой измеримы случайные векторы
fe+1/м .... Inn- Под обозначением plim^oo (S„ — Тп) = О,
где Еп — случайная, а Тп — неслучайная матрицы конеч¬
ного порядка, будем понимать пределы по вероятности раз¬
ностей соответствующих элементов матриц Зп и Тп.
Теорема 4.7Л. Пусть для любого е>0
plinw 2 Li JVyLrx (MJI !> e) = 0
и почти для каждого борелевского множества В:
plimn_cc [G„ (Б\{0), а>)-Кп(В\{0})} = О, pHm„_oeG„x
X (Rm, со) = 1, где Gn (В, со) = У^=| ]yfdP {h„<y/okn\,
Кп (В) — неслучайные конечные меры на Rm\
lim^oplinw* [£*=1 ^W1<6 xx'dP {lkn<x/okn} —Tn] = О,
где Тп — неотрицательно-определенная неслучайная мат¬
рица.
Тогда для любого конечного s^Rm
lining [М ехр (i (2Li Ikn, sj} — exp {— 0,5 (Tns, s) +
+ S^ ~ 1 («. *) ~ !) Й~2 Kn (dx)}] = 0.	(4.7.1)
Доказательство этой теоремы основывается на
доказательствах теоремы 4.2.1 и следствия 4.1.2, причем
95

вместо формулы (4.2.5) нужно взять формулу
/„ (s):= М [exp {i (s, £Li v,m) — £{Ui M^} — 1] =
= S?=i M |exp {i (s, v/„)} — exp	0/t
где
6/ = exp (i (s, Ylk=i+1 v«n) — YlLi
(5; = (e«£v _ j (S, v,„) — 1),
vkn = ьл (i,;u мг 1f < о, k = ITT.
В завершение доказательства используем теорему 2.9.1.
Теорема 4.7.2. Если для любого % > О
plim„_*co ULi || f*,7 II2 % (II !■*„ || > т) = О,
Р1 iпЗ/i_»., SLi Mkiknlfm = Тту	(4.7.1)
где Тт — положительно-определенная матрица, то
linwM Р {YCUbn 6 В} = (2я)—",/2 det Т„/г х
х exp {— 0,5 (T7ilx, х)} ЦЦ dxh
где В £ Ъу Ъ — борелевская о-алгебра в Rm.
Отметим, что условие (4.7.1) можно заменить условием
pi im„^ SLi ЬпЪп = Т„.	(4.7.2)
Чтобы доказать равносильность этих условий, нужно
рассмотреть выражение
М ехр {— q \	(s,	Ы2	—	£/Ui	Mft	(s,	|to)]}	x
X X(SLiM*(s, hn)2<C).
Используя условие Лнндеберга так же, как и в § 1, полу¬
чим, что это выражение стремится к 1, что и доказывает
условие (4.7.2).
§ 8. Связь предельных теорем для сумм мартингал-
разностей со стохастическими дифференциальными уравне¬
ниями. При доказательстве предельных теорем для сумм
мартингал-разностей были использованы условия, которые
сводились к тому, чтобы суммы некоторых случайных функ¬
ций сходились по вероятности к некоторой неслучайной
функции. Если эти условия не выполняются, то при опре¬
96

деленных предположениях можно доказать, что предель¬
ная случайная величина представима в виде интеграла
Ито, который является решением некоторого стохастиче¬
ского дифференциального уравнения. Пусть Em, i = 1, /1,
п £ N,— последовательности мартингал-разностей и с ве¬
роятностью 1 Mj-E 1г >> 0. Тогда
S*=i I*.. = S2-i (M/e|LrVs (M,tL)I/2.
Если для величин ак = Ьп (Мк£мп)~'/г выполняется условие
Линдеберга, то, согласно предыдущему параграфу, конеч¬
номерные распределения случайных процессов Wn (t) : =
= 2/^//га/г, 0^	1, слабо сходятся к конечномерным
распределениям процесса броуновского движения W (t).
Пусть (Ш,$тп)4'2 =	(t) при kin < t (k + 1 )/п. Тогда,
если wny ln^>wy% и с вероятностью 1 ^ £2 (t) dt < 00,
lim/U0 lirn^^co supKi_^K/l M | E„ (fx) — \n (t2) | = 0,
где E, (t) — измеримый случайный процесс, неупреждающий
относительно потока а-алгебр, порожденного случайным
процессом W (t), то, согласно определению стохастического
интеграла,
Определим стохастическое дифференциальное уравнение
для процесса £(/).
Обозначим
Ьп = % (t), k/n<t^(k+ 1)/п. (4.8.1)
Предположим, что мы представили процесс %п (s) в виде
некоторого функционала /„ (s, r\n (s)) от процесса r\n (t).
Тогда формула (4.8.1) примет вид
Пп (0 = fo/п (s* Чп (s))dWn(s).
Если fn (/, •) сходится на реализациях процесса г]^-) к
пределу f (t, •)> f *) — непрерывная, ограниченная функ¬
ция, и уравнение r\ (t) = f (s, rj (s)) dW (s) с вероятнос¬
тью 1 имеет единственное сильное решение, то r\n (t) =$>
т| (/) и ц (t) является решением уравнения dr] (t) =
==/(*» Л (s)) dW (0, Л (0) = 0 (см. [3]). В этом случае
EJU Ьп =» Jo' / (*. И (s)) dr (0 = и (1).
4 2-774	97

§ 9. Необходимые и достаточные условия предельных
теорем для сумм мартингал-разностей. Пусть задана после¬
довательность	мартингал-разностей £/m, k	= 1, п.
Используя	доказательство теоремы 2.9.1 и следствие
4.2.1,	получим следующее утверждение.
Теорема 4.9Л. Пусть для всех | s | < оо
plinw E!U|M*a*|2 = 0,	(4.9.1)
plinWoo Yil=i М/га* — a„ (s) = 0,	(4.9.2)
где an (s) — неслучайные функции, ak = exp (is^kn) — 1 u
plim^MSLiM^L= 1.	(4.9.3)
Тогда, для того чтобы
L{S2_iSto}=^^(0. 1),	(4-9.4)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Лин¬
деберга: для любого % > 0
рНшп^ос Sfc-I M*gnX (I Ьп I > X) = 0.	(4.9.5)
Если у случайных величин £/m, k = 1, п, не существуют
условные математические ожидания, то, используя теоре¬
му 4.4.2 и обозначения, введенные в §4 этой главы, получим
такое утверждение.
Теорема 4.9.2. Пусть для случайных величин £*/г, k =
= 1, пу выполняются условия (4.4.5) — (4.4.7). Тогда, для
того чтобы выполнялось соотношение (4.9.4), необходимо
и достаточно, чтобы
lim£joplinWco ULl Е,|<е(1+^~2)~1 dP К + Yk<yl<3kn) =
= 1, limeioplim,,-.^ H/"=I j|!/|>E(1 4-г/-2)-1 X
X dP (vA + yk < y/oitn} = 0.	(4.9.6)
Заметим, что условия (4.9.1) и (4.4.5) во многих случаях
можно легко проверить. Значительно труднее проверить
условия (4.9.2) и (4.9.3), которые сводятся к доказательству
предельных теорем типа закона больших чисел для сумм
зависимых случайных величин. Очевидно, если предполо¬
жить асимптотическую независимость случайных величин
Ьги 6=1, п, то можно вывести простые условия выполне¬
ния равенств (4.9.2) и (4.9.3).
96

§ 10. Усиленный закон больших чисел для сумм мартин¬
гал-разностей. Пусть, как и ранее, /п := fn (Е(/г), ..., Н^0) —
борелевская функция независимых для каждого а случай¬
ных величин Е(10, ^27)» • ••,	Предположим, что сущест¬
вует Щп. Тогда справедливо равенство
fn М//1 = k—1 У/т,
где ykn = tAk-\fn —
Для n~l (fn— Щп) легко доказать закон больших чи¬
сел. Однако, для доказательства усиленного закона боль¬
ших чисел нужно выполнить еще некоторые вычисления.
Предположим, что случайные величины t(/2), ...,
п d N, заданы на одном вероятностном пространстве.
В дальнейшем будем считать, что все случайные величины,
определенные в схеме серий, заданы на одном вероятност¬
ном пространстве. Докажем следующее утверждение.
Теорема 4.10Л. Если для каждого п случайные величины
£;п) независимы и для некоторой последовательности • по¬
стоянных сп
£“=i (£2=i [м у\пСп*\чГ < оо,
то с вероятностью 1
linwc cj1 Ifn — Щп] = 0.
Доказательство. Оценим четвертый момент
величины fn — Мfn:
м (£?-, у£)4 = м (£"=, УсГ (£2=> Ъ)2 =
= м (£2=1 у2 + £{+/V<Y/) (£;=. Yp + £р+* УрУд =
- М S2-1V? (£р.»-0 УрУг) + м £p=i yl (£2/=i у(у,) +
+ м £,•+/,рф1 УсУ/УрУ, < 2 £2=i (My-)7* X
х (М (£р ур)*)'/г + М £ w>,•+/,/,.4 УсУсУс +
^ £/¥=!.ptW./^p YiY/Yp	^ £^p./+p.i*iVpViYi Н“
+ М £*r*u.*p YiY.Yp < 2 £2=1 (M^)V‘ X
х (М (£Р Yp)4)72 + 4М £2=1 Yi (£/Y/ - Уд2 -
- 4М £w y.2Y? <2 £2=, (МyjjU X
х (М (£Р Yp)4)v* + ем £2=1 у] (£/ уjf +

+ sm s?-i Ti < 10 S?-i Ш)'/г x
x (M(SPTP)4)V, + 8JVlS?-iTi.
Здесь использован тот факт, что Му^уiypyl = 0, если все
индексы £, /, ру I не совпадают между собой.
Введем обозначения:	М (^ у,-)4 = х, 10 $]*1/"Му* = а,
8 У]; Му? = Ъ. Тогда х ^ a Yх + Ь. Решая это неравенство,
получаем, что x^6’(V"=] V№yty2> где с>0— некоторая
постоянная. Для завершения доказательства нужно вос¬
пользоваться леммой Бореля — Кантелли.
§ 11. Предельные теоремы для сумм мартингал-разнос¬
тей в неклассической ситуации. Пусть задана последова¬
тельность мартингал-разностей ciny i = 1, /г, n£N. Най¬
дем условия, при выполнении которых распределение сум¬
мы S'/=iЪп ПРИ больших п можно приближенно заменить
распределением суммы E?=iT)m, где rpn, i = 1, пу п £ N,—
некоторая последовательность мартингал-разностей, ко¬
торые, в частности, могут быть независимыми случайными
величинами.
Теорема 4.11.1. Пусть заданы две независимые последова¬
тельности мартингал-разностей Hm, ь = 1, п и щгу i =
= 1, пу п £ Nу
plim/7_co S/J=i (crl— Ь\) = 0,	(4.11.1)
где ol=Mklln, 6* = Щщп, для некоторого h> 0
nrn^ooP{2fc-ia|>A} = 0	(4.11.2)
и выполняется условие Линдеберга: для любого е > 0
plinwco ££=1 ^lxl>ex2\d(P {bn<xhkn} —
— Р {r\kn<x/okn})\ =0,	(4.11.3)
где О/т = о (?/c-f 1 /ij • • • у \пп1 Л^-fi • • • > Лаш)*
Т огда
limn.voo[Mexp {is У^=\Ъп) — Mexp {is £5Ui 'П/т}] = 0.
(4.11.4)
Доказательство. Положим
v*„ = Iknl (£L* milin < 6’)>
l^kn ==	^	m^ln < C), A = 1, /2, С o.
100

Рассмотрим равенство
fn (s): = м [ехр {is vfcn + 0,5s2	(М,У1;п —
— M^L)} — ехР iis S'Li и-kn И = S?=iмexp {is x
X £l='i \xkn ) Iм/ exP iisvin + 0,5s2 (M;v;n—	—
— M, exp {isn,„}] exp {«£[J=/+1 (,u/m + vkn) +
+ 0,5s2 S'Lz+.lM.vL - M/fpL]} •	(4.11.5)
Так же, как и при доказательстве неравенства (4.2.6), по¬
лучим
£2=ж WL < с, 22^+, м*ц|„ < с, i = о, п-1.
(4.11.6)
Используя теперь равенство (4.11.5) и неравенства
| eisx — isx — 1 | ^ 0,5s2а:2,
| eisx — isx — 1 — (isx)212 | ^ 6"11 isx |3,
найдем
I fn (s) | < 2?=ieXP (s2c) M I Mz leXP (isvln) — Win —
— 1 — 0,5 (isvln)2 — exp (isp;„) -f- isp/„ + 1 +
+ 0,5 (isp,,,)2! + M, [— exp (isvln) — 0,5s2 (v?„ — p?„) +
+ exp { isvln + 0,5s2 (JV^v'i, — MpiJ,,) j ] | <
M [P„ -(- 6 * | S I-* 6 ^j/=l [(M^vjn lyiplj,,) -|~ | 	 I'1	X
x [ 1 — exp (0,5s2 (M^l, — Mpi2 J + 0,5s2 (M^2, _
_ M;p2()l + M, (eisv‘n - 1) 0,5s2 (M,v2, - fAvl) |]},
где p„ = £'/=i \ x*\d{P {v.-„ < x/aln} — P {p,„ < x/aln}) |.
|*l>e
Отсюда, применив неравенства (4.11.6), имеем
I fn (s) | <	(s) 2L| M (M/.UL — ВД„)2 + c2 (s) X
X М [М;р2г I Mpi2, - Мд2г |] + p„ + ec3 (s), (4. [ \ j)
где sup|S|^s [cx (s) + c2 (s) + c3 (s)] < oo.
Очевидно,
£?-i (М^-М^^ес + ф,,,
S?-i Wl Wm—Wn Кec + CP«-
101

Учитывая эти неравенства и (4.11.7), получим, что
limbec, I fn (s)! = 0, для всех | s | ^ 5, если
limbec Мрл = 0.	(4.11.8)
Случайная величина |3„ ограничена константой с и при
условии, что с>к Х1/г=1 °l^h>	имеем	(in =
= 22=1 Jw>^3 И (р {5*п < х/акп) — Р \Чкп < х!акп\) |.
Отсюда, при выполнении условий (4.11.2) и (4.11.3) спра¬
ведливо равенство (4.11.8). Следовательно, limrt-*oo| fn (5)| =
= 0, s £ [—5, 5]. Поэтому, используя условие (4.11.1)
так же, как и при доказательстве теоремы 4.2.1, получим
(4.11.4). Теорема доказана.
В условиях теоремы 4.11.1, в частности, можно положить,
что случайные величины r\ini i = ~\y /2, для каждого п
независимы и не зависят от случайных величин i =
= 1, /2. Тогда, очевидно, 6J; =	Р	=
= Р {г]kn<x). Если еще дополнительно предположить,
что случайные величины r)/m распределены по нормальному
закону N (0,	62), то из равенства (4.11.4) получим цен¬
тральную предельную теорему для сумм lkn, n£N.
Глава 5
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ ИЗМЕРИМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этой главе докажем предельные теоремы для измери¬
мых отображений зависимых случайных элементов с по¬
мощью предельных теорем для сумм мартингал-разностей.
§ 1. Мартингальный метод и метод интегральных пред¬
ставлений. Используем обозначения § 2, гл. 2.
Пусть для каждого значения п на некотором линейном
нормированном пространстве заданы случайные элементы
l\n\ ..., ril'0, ..., а также измеримые отображе¬
ния fn (хъ ..., Хг) такие, что для всех п и для некоторого из¬
меримого функционала 1п.
М\ln (fn Oh,. . • , rp--1.	• • • , InV°k)\ = M [/„ (fn Oh, • •	•
• • • »Л/г»	’	* » w/i)/^ft)]»
102

где ok — минимальная сг-алгебра, относительно которой
измеримы случайные величины %и+и cn, r\kjrU ..., г\п.
Случайные элементы %, ..., г|/2 независимы для каждого
значения п.
Предположим, что для измеримых отображений fn и
случайных элементов	у\и	...,	г\п	определены	опера¬
торы 0s, 0s по формулам (1.1.3) и (1.1.4) и выполняется
условие Линдеберга (1.2.4).
С помощью преобразований, которые были использова¬
ны при доказательстве теоремы 1.2.1, легко показать, что
если
lira,,..» inf 22_, М | М [(0f ln (fn (-)))Уокп] -
— M[(01 ln(fn(-))?IVkn\\ = 0,
где inf берется по всем возможным распределениям элемен¬
тов r\причем % всегда независимы, то
где il*, i = 1, /г,— такие независимые случайные элементы,
что выражение
SLi М | М [(Of In (fnГ)))2/ст*„] -М [(0? ln(fn (• )))*/о*„] |
минимально при г\с = тр.
Часто при доказательстве предельных теорем'для функ¬
ций fn зависимых случайных величин пользу этся инте¬
гральными представлениями для fn (см. формулу (1.4.3)),
с помощью которых доказательство предельных теорем для
функций случайных величин сводится к доказательству
предельных теорем для сумм случайно нормированных
случайных величин (см. формулу (1.4.3)). При доказатель¬
стве предельных теорем для таких сумм можно использо¬
вать предельные теоремы, доказанные в предыдущей гла¬
ве, для сумм мартингал-разностей.
Мартингальный метод можно использовать и без инте¬
гральных представлений. При этом разность fn — Щп нуж¬
но представить в виде суммы мартингал-разностей и исполь¬
зовать для них предельные теоремы.
Пусть fn(h, ..., £„) — измеримые функции случайных
величин ..., 1п и существуют ml Обозначим ук *=
= fAk-\fn — М kfn> гДе M/j — условное математическое
ожидание при фиксированной минимальной а-алгебре onk>
относительно которой измеримы случайные величины
Sfc-fl, •••> ёп*
103

На основании результатов предыдущей главы получа¬
ем следующее утверждение.
Если
plimn^„E/UM*Yl - 1	(5.1.1)
и для любого е > О
рНшпн.» jjiLi M*v* г (I Ук I > 8) = о, (5.1.2)
то
lim„^co Р {/„ — Щп < х) = (2n)-*/» ^ ехр (— у2/2) dy.
В следующих главах покажем, что условие (5.1.1) вы¬
полняется во многих конкретных случаях.
§ 2. Предельные теоремы для неотрицательно-опреде¬
ленных квадратичных форм зависимых случайных величин.
Проиллюстрируем взаимосвязь метода интегральных пред¬
ставлений и мартингального метода при доказательстве
предельных теорем для неотрицательно-определенных квад¬
ратичных форм зависимых случайных величин.
Пусть YJljz=x а{/-] hnljn* п 6 N* неотрицательно-определен¬
ные квадратичные формы, а[р— неслучайные числа (арр —
= я/?))> hny *’= 1, п*	— случайные величины.
Найдем условия, при выполнении которых распределе¬
ние квадратичной формы У]'//=1 ctuhnHjn можно приближен¬
но заменить распределением суммы квадратичной	X
X а^рЪпУ/п и линейной форм с0 + с(у(п, где уш,
i= 1, пу — независимые случайные величины, распреде¬
ленные по безгранично делимому закону.
Представим квадратичную форму в виде
V?>/=1 aflin l,n = YHf-i af v‘*vin + S"-i СЛ +
где vin = %in — min, cin = 2 £;Li aumin, c0 = £'/._, a\fx
x mtnm,n.	_
Обозначим через т]ш, i = 1, n> случайные величины, рас¬
пределенные по нормальному закону с нулевым вектором
математических ожиданий и матрицей ковариаций 2Ап,
Ап = (ац)1л=1, случайные величины туп не зависят от
величин Еш, i = 1, пу n£N, и
k ~ ОХр (iSVkfi4kn ~Ь ttCkn^Rn) i	tCkn)	^kn
k = 1, /г,
104

где vkn = tkn — ^klkny — условное математическое ожида¬
ние при фиксированной минимальной ст-алгебре а1т относи¬
тельно которой измеримы случайные величины	tnn.
Теорема 5.2.1. Пусть для любых s £ [—S] и t£
£[-7\ Т]
plinw 22», | МА (ak/r\kn) |2 = 0,	(5.2.1)
plinw». гм* (ак/г\кп) — М (аА/т)Ап)] = 0, (5.2.2)
рПт,1-юо [ | S'/Ui (M*v|B - MvL) ril, | Н- (MAv?n -
— MvL) cln] = o,	(5.2.3)
plimn^c [ | J]"_1 (MA£A„ — Щ-kn) Т]/;л I + $]"=i Ckn
- Щ,п)] = 0,	(5.2.4)
sup„ [2?_i a«1 Mv?„ + VL| cjn Mv?„] < oo. (5.2.5)
Тогда для всех q £ [0, S2I и I 6 I—T, T\
linw [M exp {— q £».=1 af vinvjn + it £”=1 Ckn x
X vkn) — M exp { — q .=] aw 7^7/n + « £Li c*nY*n} 1 = 0,
(5.2.6)
где уin, i=l, n,— независимые случайные величины, рас¬
пределенные по безгранично делимым законам с характерис¬
тическими функциями М ехр (isykn) — ехр [М ехр (isvkn) —
-11.
Доказательство. Используя условие (5.2.4),
получаем
М ехр (— q £?/=,	c^’/m} =
= Mexp {г £"=i \'kndkn) % (£L=i (s2t|/L + t2c2kn) x
X MVkn < c) -f M exp {i 5]”=i vkndkn} X (^j*=i (s2rjAn +
+ t*cln) M^„ > с) + о (1),	(5.2.7)
где q s у dkrj	sv|Ab	“I- tCkn‘
Введем обозначения
Иап = vkndkn% (ULft (s2t)L + t*cin) M,Vm),
Pft = {e‘Hn — tPftn — 1), k = ITrt.
105

Очевидно,
VLi (,И/,„ — dknv!m) = 2"=1 d/,„v,;„7v (VL/e (S3 X
^ Ц1п “T" £~Cln) N*iV]n ^ С).
Докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 5.2.1. Если выполняются условия (5.2.3) и
(5.2.5), то
plim„-« [ 2Z=i Vkn — 2Z=i X (2"=i (s2 X
X T|L + *4.) MvL < c) = 0.	(5.2.8)
Доказательство. Очевидно,
М exp (/0 £'«=1 (flte _ dfeiv*„)} X (25U (S2^ +
+ ^2cL) Mv*„ < c) = M exp {t'0 2Z=i d/mvin x
X x (E?-* (s4n + Pci) Mzv?„ > c)} X (SLi (s24n +
+ Pel) MvL < с) = M exp {t'0 2Z=i dknvkn x
X X (SL* (s2ri?n + /2ci) МД, > с)} X (SL.i (s2 X
X л In + Pel) MvL<c) x (SLi (s4/ + tWn) мД >
> с) + м 11 + X (£L, (s2ii/n + Pel) мД„ > с)] X
x X (SLl (S2T|fn + Pci) tffin < c).
Используя это равенство и условие (5.2.3), получаем ра¬
венство (5.2.8). Лемма доказана.
Рассмотрим теперь выражение
gn = М [ехр {/	ц*„	- £»_, Mft (Р*/л*„)} - 1 Петп =*
= 2 ?-1 М 1еХР {~ еХР (P//Tlin)} 1	=
= 27-1 м П + м/ ФАг) — ехР (м/	0f/№,
(5.2.9)
где
0/ = ехр {/ 2L/+1 Vkn - HZ-/ М* (Р* /rk)}> (SZ+1 = 0),
хс = X (2S-1 (s2riL + Pel) MvL < c),
= exp {£»_, M (a*„/ri*n)}.
Очевидно, t
I0/КexP I0.52Z=/Ma(nL/riL)) = exP(HZ-/(s® x
106

X IlL -Г t-clt) MlcvJm% (У'/Lk (s2r\jn -f fcUm.vl < c)| <C
^ exp (c).	(5.2.10)
Используя выражения (5.2.9) и (5.2.10), получаем
| gn К exp (2 + с) M | M; ф,/1\,п) |2 lc- (5.2.11)
Следовательно,
I St. (IЩ (PAin) I2 - I щ (аг/пг„) |2) | <
< 4 £?_, IЩ (Pi/Л/я) — Щ («//л/n) I < £2=i (s2riL +
+ t2c\n) M*v2„X (£?=* (s2rifa + Pcin) м £vf„ > c).
Из этого неравенства, используя доказательство леммы
5.2.1,	находим
plinwc | £?=1 (|М, (Р,/Л/„) |2 - | М£ (a,/i\ln) |2) | %с = 0.
Отсюда, вследствие неравенства £'/=1|М, (Р//г)/„) |2^с, а
также неравенств (5.2.10) и (5.2.11) получим
lim„-.Mg'„= 0, |s|<S, |П <7\	(5.2.12)
Представим gn в виде
ёп = М (exp [i £"=1	£2=i	^4* (Ра^Лли)] X
X %с (X И/г) + % (Л„)) — Хс} т„,
где
= (® : I £2=1 (МА (Р*/1!*,.) — М* (а*Л]*„) I +
+ | £2=1 1^4* (a*/%n) М (ak/v\kn)] | 4~ | £2=i Шп —
-Mvln)(riln + ctn)\<s}, 8 > 0-
Выше было доказано, что
plim^oo | £g_, (М* (р*/п*п) — м*	Хе = 0.	(5.2.13)
Используя это равенство, лемму 5.2.1, а также условия
(5.2.3)	и (5.2.2), имеем, что для любого е > 0
lmwMx04n)%c = 0.	(5.2.14)
Очевидно,
I £2=1 м (аЛкп) I % < с.
Учитывая равенство (5.2.14), лемму 5.2.1, а также выраже¬
ние (5.2.12), находим
linwoc [М exp {i £"=1 ~Vkn (r|te s 4- tckn)] —
— M exp {£^=1 M Ых\кп)} lc\ = 0.
107

На основании равенства (5.2.7) получим
М ехр {—q £"/=1 a\'pvtllvin + it £"=1 cknvkn} =
= М ехр Щ=1 М (akn/r\kll)} + Мехр Щ=1 М («*„/%„)} х
X X, + М ехр {t 2ft=i vkndkn) % + о (1),
где
1с = 1 CL 1= 1 (s2*iIn + t2c2kn) Nivl > с).
Согласно условию (5.2.5), lim^cJVlX,, = 0. Отсюда и сле¬
дует утверждение теоремы 5.2.1.
Отметим, что ^'г/=1	являются	квадратичными
фермами независимых случайных величин и для нахожде¬
ния их предельных распределений можно использовать тео¬
ремы главы 3.
Приведем некоторые простые следствия из теоремы
5.2.1.
Следствие 5.2.1. Если для любого г > 0
рНгПп-.к, SL1 (4п + с1г) Мkv\n 1 ([akk + I ckn |] mk I vkn I >
> e) = 0
и выполняются условия (5.2.2) — (5.2.5), то справедливо
равенство (5.2.6).
Доказательство вытекает из следующего не¬
равенства:
T*=i I М„	I2	< S'/Ui (t2r\kn + S2c\n) Niltvin X
X X {[akk -j- | ckn |] M* | vkn | >■ e) + 6—1 e 1 t2\\kn -j-
Wkk + I Ckn |]
Метод доказательства теоремы 5.2.1 можно распро¬
странить на случай, когда у случайных величин не суще¬
ствуют дисперсии. Предположим, что у случайных величин
Ikn существуют математические ожидания.
Теорема 5.2.2. Пусть для любых s £ [—S, S] и t С
с [—Т, Т] выполняются условия (5.2.1), (5.2.2) и
plim^co | £*-1 « + c2kn) {а\к + йп)~1 [М* (1 +
+ vl (аЪ + 4я)-‘)-! - М (1 + vhl Kk + С)-1)-1] I = 0,
(5.2.15)
sup„ М (1 + v^2 (al + cl)-1)-1 < «>•	(5.2.16)
108

Тогда для всех q £ [О, S2] и t £ [—Т, Т] справедливо
равенство (5.2.6).
Доказательство. Рассмотрим случайные ве¬
личины
М'бгс = vkndkn& (S?=^ [2 + (s2r\in + t2c2in) (an +
+ cin)~~l] МД1 + vin (ati + cin)-')-1 < c), k = 1, n.
Пусть
P* = (еШкп — i|A*n — 1).
Поскольку
| (eisx — isx — 1) — (eisv — isy — 1) | ^ 2 | s 11 x — у |,
TO
ELi IM* (Мл*») I2 < 2 jiUi I(«ik/ти») I2 +
+ 2 2*=1 IM* (Р*/ти«)— M* (а*/т1 kn) I2 <
^ 2 £fc=l I	(«ik/TlAn) |2 + 4 у £=1 I ST)A„ +	I X
X (alk + CteJ-v.M* Iv*» I ^ (S?=/k (s2ri£, + f2c?„)‘x
X (2 + ail + C/n)—1 M (1 -f- V;(!2 (<2/z -|- C/n) *) 1 ^ c).
Используя условия (5.2.15) и (5.2.16) так же, как и при
доказательстве леммы 5.2.1, получаем
plinwco ££=i (pAn — d/mvkn) %c = 0,
где
= * (£*-> (*4n + t2cl) (2 + °lk + cl)-1 M (1 +
+ vTn (alk + c2kn)-1 < c).
Поэтому, учитывая условие (5.2.1), имеем
plimn_vco Ylk=\ I (РАл) I2 = 0.
Далее, так же, как и при доказательстве теоремы 5.2.1,
рассмотрим равенство
gn = E?=i м 11 +	(РА/)	— ехр (М/ (Р/Л]/))] 0/Хстп.
Согласно неравенству
| eisx —isx — 11 ^ (2 + 0,5s2) я2 (1 + х2)~~1,
получим
I 6/1 < ехр {[2 + (s2rfkn + t*fa) (a\k + fa)-'] X
X MkVkn% (S/=/eM/ (1 + vin (ail + cin)~~l)~'1 [2 + (s2r\in 4-
109

+ t2cin) (al + c2ln)-1 I < с) [1 + v/Д (Y’Lk f2 + (s2nL +
+ t2Cin) (aji -f- cin)~l Mi (1 -f“ Vin (ciu + cin)~~l)~~1 <C c]~1
^ exp (c).
Последующие рассуждения аналогичны доказательству те¬
оремы 5.2.1, кроме некоторых тривиальных изменений.
Следствие 5.2.2. Если в условиях теоремы 5.2.2 выполня¬
ется равенство
plinWoo ULi [Mfe(l + v^2 (aik + eh)-1)-1]2 = 0
вместо условия (5.2.1), то справедливо равенство (5.2.6).
На основании доказанных выше теорем и следствий до¬
казывается следующее утверждение.
Теорема 5,2.3. Пусть для любых s£ [—5, S] и t£
е \-тУ т]
рНт,,-.», ££=1 Iм* (а*/тЬл) I2 = °>
plim„^ £"=1 [Мk(ak/x\kn) — М (ak/x\kn)] = О,
plim^oo SLi (Щп + tin) (aik + cL)-1 [M* (1 + vjT x
X (alk + tin)*1)-1 — M (1 + v^;2 (akk + tin)-1)-1] = 0,
plim^oc [ | ££=1	(I %kn I < T) —	(11ы I <
< *0) 11 kn I + I 2Li ckn №ktkn% (I Ikn I < *) — Щы X
x x(HimI < *)) I ] = 0,
sup,, S2-1 м (1 + v~n (a2a + tin)-1)-1 < oo.
Тогда для всех q £ [0, S] и t £ [—T, T]
limn_M [M exp { — q £"/=1 a‘»>vfBv/fI + it	cknvkn}	—
— Mexp {—q	,=1 tifymVin + it 2*_i ckn4kn)) = 0,
где уm, i = 1, n,— независимые случайные величины, рас¬
пределенные по безгранично делимым законам с характерис¬
тическими функциями
М exp (isykn) = exp [М exp (isvkn) — 1].
Теорема 5.2.4. Пусть
рНш^с 22», С (Мkvln - мtin) = о,	(5.2.17)
sup„ S2=i Mvlakk < оо,	(5.2.18)
plim„_.M ££=1 Т1ь (Mklkn — Щы) = 0	(5.2.19)
110

и выполняется условие Линдеберга: для любого % > О
plinweo SZ-i akkb\kvin% (Vакк \ vkn | > т) = 0. (5.2.20)
Тогда
lim,,.,» [ М ехр { — q V?/=] afvlnvjn) — det (I +
+ 2<7 (a(/a(<r,)«/=1)-‘Д = 0,	(5.2.21)
где q ^ 0, af = Mvf„.
Доказательство. Положим = (elsVknr]kn —
— 1). Очевидно,
E*Li | (aft/riftn) I2 < s2 S*=1	(v*„ vakk? X
X ОС (I vft„ V^kk I > e) + e SLi | + |3 al{°Mk (vkn	(5.2.22)
В этой и следующих формулах считаем, что r\k (akk)~1/2 =
= 0, если акк = 0. Используя формулы (5.2.22), (5.2.20)
и (5.2.18), получим
pliriWoo ££=I IМ* (a*/lW I2 = °-
Отсюда, на основании (5.2.17) — (5.2.19), так же, как и при
доказательстве теоремы 5.2.1, имеем
М ехр {— q ££.=I afvinvjn\ = М ехр {Шк(ак1г\кп)) +
+ 0(1).	(5.2.23)
Заметим, что
12L, М* КЧД - SLi 0,5s2t!Lm^ к 0,5s2 X
х I S'ft=i (Mkvln — Mvln) T]L | + 6-1 e I s I3 SLi I 4kn I3 X
X aj?'^\k (v,m Vakk)2 + s2 SLi r)ln.Mkv2kn% (| vkn \ Vakk > e).
Из этого неравенства и равенства (5.2.23) находим
Hnwoo [М ехр {— q £?/=I a\fvinv,n) —
-ехр{—q SLinLffL)l = °.
откуда следует равенство (5.2.21). Теорема доказана.
Рассмотрим случайные квадратичные формы, у которых
матрица коэффициентов является матрицей Теплица или
Ганкеля. Очевидно,
E?./-ifliw I	= f I	I2	dF (*)•
где F (x) и G (x) — некоторые функции распределения.
ill

Эти две формы неотрицательно определены, поэтому для.
них справедливы все результаты настоящего параграфа.
Но при этом остается нерешенным вопрос: как получить
центральную предельную теорему для таких квадратичных
форм? Поскольку эти квадратичные формы являются обоб¬
щенными (/-статистиками, то этот вопрос рассмотрим в сле¬
дующей главе.
§ 3. Изучение распределений сумм зависимых случайных
величин с помощью предельных теорем для сумм мартин¬
гал-разностей. Пусть заданы суммы зависимых случайных
величин :=	n£Ny	у	которых	существуют
вторые моменты. Одним из методов изучения предельных
распределений таких сумм является метод представления
их в виде суммы мартингал-разностей. Очевидно,
Sn — MSn= ££=1 yk,	(5.3.1)
где
Vk = XLi №k-\nlin — XLl Mknlin,
Ntkn — условное математическое ожидание при фиксиро¬
ванной минимальной о-алгебре, порожденной случайными
величинами п,	Inn.	На основании вышеизложенно¬
го (см. гл. 4), получаем следующее утверждение.
Теорема 5.3.1. Если
plim,,..^ YUl = 1	(5.3.2)
и для любого т > О
pliт,г..со V'Li MknyJK (I Ун | > T) = 0,	(5.3.3)
mo
L{S„-MS„}=>W(0, 1).	(5.3.4)
Условие (5.3.3) во многих конкретных случаях легко
проверить. Оно выполняется, например, если выполняется
условие Ляпунова: для некоторого б > 0
1™— XLiMl^l2+6 = o.
Труднее проверить условие (5.3.2), но при этом следует
заметить, что проверка его гораздо проще, чем доказатель¬
ство предельных теорем для сумм Sny поскольку здесь
нужно доказывать предельные теоремы типа закона боль¬
ших чисел.
Таким образом, нужны предельные теоремы типа закона
больших чисел для сумм SlLiT^, где t\in ^ 0 — случайные
величины. Сделаем несколько простых замечаний.
112

Если существуют /V3r|£T/2, то
D Хд=! П«^ = Si\/=1 п = S|'—/I+ Sit—i\>rn Riin*
где Rijn — ковариация величин r]£n и ц]П, т > 0 — целое
число, не зависящее от п.
Очевидно,
D St'=l Лт ^ L|t-/I^KDll,n |/"От)уЛ -f- S|t’—/1>/7г	^
X VЩшЩт ,
где rijn — коэффициент ковариации величин и r\jn.
Если теперь предположить, что sup.^j-^Dri^->0 при
п->оО, a	УЩ~ < °°> г£/п-^° при'| г—/1оо,
то D У[.г=1гр,г -> 0 при п-^ оо.
Если в теореме 5.3.1 вместо условия (5.3.2) выполняется
равенство
plim/2_co V£=1	—	myD	=	0
и
suPn SLi му1 <00 >
то	для	проверки	условия (5.3.2) используем	следующее
условие:
м(2?_,{ад-ВД8 =
= S?,=i Е^йм-Г/
- M(n	[M,.„ (M;_ln>sM,_ln|f) -
- M,.„	•„£,)] - [M	-
-	M	[M (M;-_i„£sM/-inl<) ~ M (M/rl£sM/fltJ] 0,
tt —> oo.
Отметим, что кроме рассмотренного представления сумм
случайных величин в виде сумм мартингал-разностей суще¬
ствует еще следующее представление:
2JU & - мы = 2JU f* + ЕЕ-1 (м*ь - мы,
где yk = lk — М*Ы
В	этом случае ^ — последовательность	мартингал-
разностей и нужно найти только такие условия, при кото¬
рых
plinWoo 2£=1 (Mftift — МЫ = 0.
113

§ 4. Предельные теоремы для сумм функций случайных
величин, распределенных по совместному нормальному за¬
кону. Пусть fkn(x)y k= 1, п, n£N,— борелевские функ¬
ции и ckn, /е= 1, п,— случайные величины, распределен¬
ные по совместному нормальному закону, Sn: = У]"=- Дп X
X (H/jn). Очевидно, S„ распределена так же, как и случай-
ная'величина ££=1+ Ур=*ар">тЬ)> где V р f /Y> —
независимые случайные величины, распределенные по
нормальному закону N (0, 1), а величины а^} являются ре-
шением системы уравнений y^.XW = rto, где гь =
= М (Е* — a*) (Ё, — as), as = M£s.
Для доказательства центральной предельной теоремы для
сумм Sn необходимо выполнение условий
plim^co (Мkfk (Е*„) — М/* (£*„)) = 0,	(5.4.1)
plinWoo ££=1М* (/* (Ь«) —	(ёл«))2 = 1 -	(5.4.2)
для любого 8 > О
plim^oo ££=1 м* (/* (tkn) — мkfk (|/;п))2 х
X X (| fk (Ы - M*/* (Ы | > e) = 0.	(5.4.3)
Очевидно, условие (5.4.1) эквивалентно условию
plim„^oo У 'L, (У 2_*+1 a$i1Р) = 0,	(5.4.4)
где
4>im (У) - (2я)-‘/. [ J />„ (х[^ьр=]	+ у) e~*2/2 х
X dx — J /*„ (дс [^"=1 а|;!]'/2) e-v2/2 dx], (У"=л+,	= °).
а условие (5.4.2) эквивалентно условию ^
plinwc У2_, ffte (У^й+1 <4) = 0,	(5.4.5)
где
8кп (У) = (2я)-'/. J (/ (* (£*=, а|р),/г + У) —
- (2я)-'/, { / (г (£*_, a2p)V* + у) е-22/2 dz}2 е~*2/2 dx.
Для проверки условия (5.4.3) используем условие Ляпу¬
нова.
Обозначим
nW = V<n)
r/es ^jp=max(/?,<)-pl	SP
и проверим условия (5.4.4) и (5.4.5), воспользовавшись
следующим утверждением.
114

Теорема 5.4.1. Пусть р = 1, п,— случайные вели¬
чины, распределенные по нормальному закону с нулевым ма¬
тематическимi ожиданием и ковариациями ры, еры (х) —
измеримые функции, удовлетворяющие условию
| ^ Ф,т (л:) (х + гу) егх*12-У212 dxdy | < с[ф | 8 |, (5.4.6)
где с/”] — некоторые постоянные.
Тогда, если
то
р\тп-юо У\пк=1 фkn (*Плл) = 0.
Следствие 5.4.1. Пусть функция ф (х) удовлетворяет
условию Липшица и ограничена:
НшЛН(00 /г-1 М (У]^=1 (ф (11ы) — Мф (ти,г)))2 > 0.
Тогда
£2=1 tfp Cn kn) — Мф (r|te)] [М (££=1 [ф (rite) —
— Мф (life,))]-72 => N (0,1).
§ 5. Предельные теоремы для борелевских функций
зависимых случайных величин. При доказательстве предель¬
ных теорем для борелевских функций зависимых случай¬
ных величин £/гп, k = 1, /г, а также для неотрицательно¬
определенных случайных квадратичных форм с использо¬
ванием метода интегральных представлений необходимо
доказывать предельные теоремы для сумм	где
г]ы, k = 1, п,— некоторые случайные величины, которые
не зависят от случайных величин Е/гп, k = 1, п. Если у
случайных величин Ъ,т существуют дисперсии, то суммы
запишем в следующем виде:
5j/L=1	^kn^^kn	^1 (М*—ll/гл
— ГЛ&п)).	(5.5.1)
При фиксированных величинах x\kn и выполнении усло¬
вий соответствующих теорем (см. гл. 4) распределения ве¬
личин £'г=1 У]£=1 г\ьп (M,_.i£*« —М;£/гп) сближаются (слабо)
с распределениями случайных величин Yii=i vt* Где v> —
115

независимы и распределены по нормальному закону N (О,
D;), a D. = М | У];;=1 (Mi-itkn — fAibn)/y\kn]2-
Очевидно, случайная величина yV7=i vt распределена так
же, как и случайная величина Y^=1 (n/e/lv^), где случай¬
ные векторы {vikl k=\, п}, i=l, пу независимы и рас¬
пределены по совместному нормальному закону с нулевым век¬
тором математических ожиданий и матрицей ковариаций —
= (М (Nli-fan - ЩЪп) Wi-lhn - Щрп))1р=г
Используя доказательство теоремы 5.2.4 настоящей гла¬
вы, получим следующее утверждение.
—> —>
Теорема 5.5.1. Пусть (Апспу £п) — неотрицательно-
определенные квадратичные формы, in = (tklu k = 1, n),
существуют D ,	j	vj
sup„ (АпЩп, My < оо,
plim,,-» V^=1 (М*т£, — M [y^A>„ ]) = О,
sup« SZ=i Sfc,P=ia^Mv«v»<00>
для любого x > О
piinw	ln4V^k II > x) = °-
где r\kny h= 1, ny — случайные величины, не зависящие от
случайных величин Ikn и распределенные по нормальному
закону N (0, 2Ап), А„ = (аи), yln = S'LiTl/m (Mc-ihn —
— М&„), nf — условное математическое ожидание при
фиксированной минимальной о-алгебре событий, отно¬
сительно которой измеримы случайные величины г)/оп, к =
= 1, п, 1М9 k= i + 1, . . . , п.
Тогда
S?,/—1 aij%ir£fn— 2?,/=1	Vfii	*
* (SLl
Очевидно, преобразование Лапласа случайной величины
Е?./-1 ач	(EL,	Vv)	Равно
det [/ -f 2s/4J]'!=] 7?г]_'/2,	s>0.
Аналогично, при некоторых условиях, используя соответ¬
ствующие результаты § 4, гл. 1, получим
fn (Sin, • • •, Inn) СИ fn (SLi V« + му, i = 1, n),
116

где fn — некоторые борелевские функции (точные опре¬
деления см. в § 4, гл. 1).
§ 6. Коэффициент независимости. Чтобы предельное рас¬
пределение для сумм бесконечно малых зависимых слу¬
чайных величин было безгранично делимым (в частности,
нормальным), нужны какие-либо условия асимптотической
независимости случайных величин Еь \ k — I | -> оо,
которые состоят в том, что некоторые функции этих слу¬
чайных величин, называемые коэффициентами, стремятся
к нулю при | k — / | -> оо, либо меньше некоторой кон¬
станты.
Перечислим известные коэффициенты:
1) коэффициенты эргодичности. Пусть при каждом зна¬
чении п £ N случайные величины lnSy s = 1, п, связаны в
неоднородную цепь Маркова с фазовыми пространствами
(Xnsj Ans), переходными функциями Q,7f> (х, В), s =
= 2, п— 1, и начальными распределениями ji/7.i (В).
Величина
V-'ns — SUpXuXttB | Qns C^l» В) Qns (^2j I
называется коэффициентом эргодичности переходной функ¬
ции Qns\
2) коэффициент сильного перемешивания. Пусть —
стационарная последовательность случайных величин,
тТ {tnlo) — минимальная а-алгебра, относительно которой
измеримы случайные величины {Ел, k ^ т} ({Ер, р < т}).
Коэффициентом перемешивания называется выражение
а (г) = suP4€mo_^C£m~ I р (Ав) — Р М) Р (в) I;
3) коэффициент равномерно сильного перемешивания.
Определим его, воспользовавшись теми же обозначениями,
что и для предыдущего коэффициента
ф (т) = sup ,	„	I р (АВ) - Р (А) Р (В) I р-1 (Л);
 ОО’	I-f-T
4) максимальный коэффициент корреляции. Он опре¬
деляется так:
d (Л, В) = sup | Mgr] — MSMrj |,
где верхняя грань берется по всем парам (£, т]) таких слу¬
чайных величин, что их дисперсии не превосходят 1, слу¬
чайная величина £ измерима относительно Л, г\ — отно¬
сительно В\
117

5) коэффициент независимости. Пусть заданы случайные
величины l\n\ ..., ^/7). Коэффициентом независимости
назовем величину
=	I	Р	{£k—m,n	^ Xk—tnj • • • ,	£/т	%k> ЕIn ^ Уh • • •
^ yi+m}	Р {Е/я ^ Uh • • • » Е/+яг,я	f/Z-j-m!	X
X Р (Е/г—т,п	^ Л^/г—т, • • • , Е/гя ^ Х^).
Если выполняется одно из следующих условий: ans ^
<с<	1	и	величины	£s	связаны в цепь Маркова,	а (т) ->	О
при	т	-у	оо, ф (т)	0	при т оо , d (А, В) -> 0 при т
оо, то а/"/г) -v 0 при т-* оо, & — I -> оо.
Обратное утверждение, очевидно, в общем случае не¬
верно.
В следующих главах условия независимости случайных
величин выражены через коэффициенты независимости.
Глава 6
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ U-СТАТИСТИК
И СУММ m-ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть (^/г),. . . , gw), n£N — последовательность серий
случайных элементов, f{V { (хъ . .., хп) — измеримые ото¬
бражения (см. гл. 1),	ik	—	различные целые числа
от 1 до nt

где (iu ..., ik) — выборка k чисел из чисел 1, 2, ..., п и сум¬
ма берется по всем таким выборкам.
Если случайные элементы являются случайными вели¬
чинами, распределения случайных величин i == 1, я,
не зависят от п и одинаковы, . (х1у. . . , xk) = f (х19 ...
. . . , xk)y то случайная величина vn в математической ста¬
тистике называется U-статистикой, функция / — ядром
U-статистики. В более общем случае, который рассматрива¬
ется в этой главе, случайные величины vn будем называть
обобщенными U-статистиками.
Нам понадобится еще следующее определение:	после¬
довательность серий случайных элементов Ем, . . . , 1пп на-
US

эывается тп-зависимой, если для каждого п случайные
векторы (££>,, Е£)р+1,...,	V	•	•	>	ЭД,)	неза¬
висимы при k — / > тп% Величину тп назовем показате¬
лем зависимости.
§ 1. Предельные теоремы типа закона больших чисел
и центральной предельной теоремы. С целью упрощения фор¬
мул и некоторых вычислений предположим, что заданы обоб¬
щенные {/-статистики случайных величин, а не случайных
элементов.
Обозначим
’•-2« WC*«F «?•
где	*/г) — выборка k чисел из чисел 1, 2,.. . , п
и сумма берется по всем таким выборкам,	.. . , £%2) —
случайные величины, /|.л) . (х19..., xk) — борелевские
функции действительных переменных аргументов, ys =
= M(S—i)V„ — M(S)Vn, M(S) — условное математическое ожи¬
дание при фиксированной минимальной а-алгебре, отно¬
сительно которой измеримы случайные величиины . ..
Ш)
• • • » <гп *
Очевидно, v„ —Mv„ = V;2=1ys.
При доказательстве предельных теорем для случайных
величин vn можно применить доказательства предельных
теорем, рассмотренных в гл. 1 и 4.
Теорема 6.1.1. Пусть существуют	s= 1, п, где
ys — M(s-i) v„ — M-S)Vn, M(S) — условное математическое ожи¬
дание при фиксированной о-алгебре, относительно ко¬
торой измеримы случайные величины ЕЗД,... , £<[г),
lirai.^ooSi.jM^X),	(6.1.1)
plinw,» с-1 2^, [Mfs — М (v^/pf))] = 0,	(6.1.2)
где р<п) — минимальная о-алгебра, относительно кото¬
рой измеримы случайные величины с\п), 1ф s, I = 1, п,
сп = D (v„ — Mv„) и выполняется условие Линдеберга: для
любого т > О
рНгппн.» 2?=i jw>TJc2dp{c~,/'<Vs<^Psn)} =*	(6.1.3)
Тогда
L К4* (v« — Mv„)) N (0, 1).	(6.1.4)
119

Если для некоторой последовательности постоянных ап
linwMа~°- = 0,	(6.1.5)
ТО
plim,,-,» а~{ [v„ — MvJ == 0.	(6.1.6)
Обозначим через (ilt ..., ik)s — выборку k чисел из чи¬
сел 1, 2, п, среди которых одно число фиксировано и
равно s, s = 1, п. Если для каждого значения п случайные
величины t\n\ i = 1, п, независимы, то
v. = M<-«S„ <Л 	IS,)-
-'««£	 ?!;>)•	<6.i.7>
где суммирование ведется по всем возможным выборкам
(j'i, ..., ^)s.
Число слагаемых в выражении для ys может стремиться
к бесконечности при я -v оо, причем каждое слагаемое за¬
висит от случайной величины Is'4. Поэтому можно найти
условия, при выполнении которых plim^oo b~<] [ys —
— М (уД1п))\ — 0, где bns — некоторая последовательность
постоянных. Таким образом, справедливо следующее
утверждение.
Следствие 6.1.1. Пусть выполняются условия (6.1.1) и
(6.1.3), для каждого значения п случайные величины Ьп,
i = I, п, независимы, существует такая последователь¬
ность постоянных bns, что
Hindoo limn-co с-1 £?=1 ЬЦЛ (b~lys)2/1 Ь~'у5 | >
>Л]Р{|^Т.1>М = 0	(6.1.8)
plimn->TO b~l [ys — М (ys/i<n))] = 0,
ТП^ С-' Уп Ь2 < ОО.	(6.1.9)
ИШ/г-VOO п	s= 1	ns
Тогда выполняется соотношение (6.1.4).
Следствие 6.1.2, Пусть выполняются условия (6.1.1)
и (6.1.3), для каждого значения п случайные величины
i = 1, я, независимы и
lim„ tr-1 (М (7S — М (7s/L))2 + [М (Y, —
— M(Ys/is))2	= 0.	(6.1.Ю)
Тогда справедливо соотношение (6.1.4).
120

Доказательство этого следствия вытекает из
соотношения
’ £s=i м I мЦ - М (Т2/р(-) [ = м | М (Ys/y)3 - М [(Y, -
- Л» (75/У)2/р(Я - М [(Vs - М (Vs/gs)) м (Vs4)/p(;2)l) <
< SLi {М (Vs - м (V,/6,))3 + [М (Ys - Я* (v./g»))a My?]17-},
в силу которого справедливо условие (6.1.2).
Следствие 6.1.3. Пусть случайные величины Ех, Е2, ...
... , ?,:> • независимы, одинаково распределены, /?1 ife(xr, ...
л^) -= / (х^ ..., х/г), функции f (xt, ..., xj симметричны,
т. е не изменяются при перестановке любых двух аргумен¬
тов, и
D {М [/ (Нх, Е2,..., Шг]}Ф0-
Тогда [6]
L «Saw*) f • • •. %) - А* М/ (ёх..... Ы х
ХИЛЩ^ЛЩ^ £ft)/gi]}]-v*} =>/V(0, 1),
где Akn = n{n— l)...(n — ft+1), С* =
Прежде чем доказать следствие, докажем следующие
вспомогательные утверждения.
Лемма 6.1.1. Если выполняются условия следствия 6.1.3,
то
M(v„-Mv„)»<Cn(*C£;l)*f
где С > 0 — некоторая постоянная.
Доказательство. Очевидно, на основании фор¬
мулы (6.1.7)
М (v„ - Mv„)2 = Му2 < 2 2?=1 (£„• ,A,S [M X
X/2 tft (+„ • ■ •. M,/2)2<c«^cn-!)2-
Лемма 6.1.2. Если выполняются условия следствия
6.1.3, то при k ^ 2
М (v„ - Mvn)2 = n pC*i})» D {M [/ (glf .... 5*)/£г]} +o(l).
(6.1.11)
Доказательство. Очевидно,
M (v„ - Mv„)2 =	= £?-. [M ЫУ)2 +
+ M(M (Y,/£,))*].	(6.1.12)
121

В силу леммы 6.1.1 и формулы (6.1.7) находим
M(YS— м (Ys/gs))2 < С (п — !)((* — 1)С*-|)2,	(6.1.13)
м (М (yA))2 = (6Щ)2 D (М [/ (glf ..., £*)/&]}. (6.1.14)
Так как при k ^ 3
М (Ys - М (уAs))2 [М (М (уAs))2\~l <(п- 1) X
X [(Л — 1)С"]* 1ЛС“]-ай2(л-1 + 0(1))| (блл5)
то, используя формулы (6.1.13) и (6.1.14), а также (6.1.12),
получим утверждение леммы 6.1.2.
Доказательство следствия. В качестве
нормирующих постоянных сп выберем числа п {kCh^Z|)2Х
X D {М [/ (У ..., У/Ы}.
На основании леммы 6.1.1 и формулы (6.1.15) получим
^ SS-1	М (VS.))2 + [М (Ys - М (Ys/gs))2 X
X MY?J1/2} < С [л (ЛОД)2Г‘ /г {(п - 1) ((ft - I)2 C*zir +
+ [(л _ 1) ((ft _ 1)» Щ)2 (ЙВД)»]1/.}, ft > 2.
Поэтому справедливо условие (6.1.10).
Условие (6.1.1) будет выполняться вследствие выполне¬
ния равенства (6.1.11).
Докажем, что справедливо условие (6.1.3). Запишем
vn в виде
%1 = Etft ik) ^ lk +
где
~ (У • • • * У ( I fe, > • • • > bfl) | ^ Q,
^iv...,ik =	(ъч»	•	•	•	»	Ъ})	У ( | fii ik • • • i S//e) I > C),
C> 0.
Очевидно, для сумм
 ф
будет справедливо условие (6.1.3).
Используя доказательство леммы 6.1.1, получим
м (S(^,..,v	- Мч ,,])* < С/г X
X (ЙЩ IM/2 (glf..., У х (| / (У . . ., У | > C)]V2)2.
Эта сумма, деленная на п (6CnZi)2, стремится к нулю при
С-> оо, так как величины У Н2, ...,	...	независимы	и	оди¬
наково распределены и существует М/2 (У ..., у.
122

Итак, все условия теоремы 6.1.1 выполняются. Следствие
6.1.3 доказано.
Теорема 6.1.2 Пусть для каждого значения п случайные
величины £\п), ..., lli} независимы, для некоторого е ;> О
inf„ infs=I7j infn^D {M [/(i, ikh X
X (It,, ..	|ift)/y}>0,	(6.1.16)
sup„ sups_rn sup,,, tkh D (M [/(/, lkh x
X (li, } < 00
и выполняется условие Линдеберга (6.1.3), в котором
сп — ®	 tk)	fh	ik • • • >
Тогда
 <*>[/*, ф^ .... Ьк)~Щн фн, .... Ъ,)]Х
X [D£(/l 	^)Г,/2}^>Л^(0,	1).
Доказательство. Используя (6.1.16) так же,
как и при доказательстве леммы 6.1.1, получим
М (v„ — Mv„) 2 < Сп (kCnZ\)2.	(6.1.17)
Аналогично, используя (6.1.6) и доказательство лемлы
6.1.2,	получим
М (v„ - Mv„)2 = D  ik) f (У, .... bk) >
> n~'+en [(£C*Zl)26 + o(l)],	(6.1.18)
где 6 > 0. Но тогда справедливо условие (6.1.10). Теорема
доказана.
Вместо условия Линдеберга можно пользоваться усло¬
вием
sup,, sups=T7n sup(/, ,v М 1 М х
X [/а,	.... Ь*)/Ы12+в<оо.	6>0.
Отметим, что при доказательстве теоремы 6.1.1 не требо¬
валось, чтобы случайные величины Em, i = 1, п, были неза¬
висимыми.
Для проверки условия (6.1.9) используем условие (6.1.5).
Если
ПгГЫ-со bns~	^	(^m—lVs ^mVs)2 = 0,
то справедливо условие (6.1.9).
123

Отметим, что аналогичные утверждения можно доказать
для совместных распределений любого конечного числа
обобщенных /7-статистик.
§ 2. Сопровождающие безгранично делимые законы для
обобщенных (/-статистик. Продолжим изучение /7-статис¬
тик с помощью предельных теорем для сумм мартингал-
разностей. Если
plinw E£=i I IVVx* |2 = 0,	(6.2.1)
рНпЬ-юо 22-1 (МАа* — Шак) = 0,	(6.2.2)
где ak = (et$yi™ — isykn — 1),
plirrin-oo 22=i (М* (1 + 7/m)-2)-' — M (1 + Vte)-1) = 0,
sup,, 2*=i M (1 + ykn)~2)~' < oo, (6.2.3)
то на основании теоремы 4.3.1
limu-oo [M exp {is (v„ — Mv„)} — exp {£/Li Mot*}] = 0.
Чтобы проверить условие (6.2.1), используем следующее .
условие:
plim„-oo S/5=i | МЛ (1 + у7п)~' I2 = 0*	(6.2.4)
Как было отмечено в предыдущем параграфе, пусть
рНгПп-юо bnl (у,т — М [укЛТ)) = 0,	(6.2.5)
где bkn — некоторая последовательность постоянных. Учи¬
тывая равенство, предположим, что вместо условия (6.2.2)
выполняется условие
plimn-*co S”=i [Л*л (1 + 7^2)-1 X (I Ъп | Ь/т > А) +
+ {уkn — м (у1т/&п])2 г (| у*п I bkn < А)] = 0.	(6.2.6)
Докажем следующее утверждение.
Теорема 6.2.1. Пусть для каждого значения п случайные
величины |(/г), ..., независимы, выполняются условия
(6.1.15)	и (6.1.16). Тогда
L {cTl  lk)	(b‘i»	•	• •» &f)
-Wb фг,
где Fn — безгранично делимые распределения, характерис¬
тические функции которых равны ехр {^=1Мехр {i х
124

X sykc~l}, a
cl = D Ц(< ik) fit ik Hi,> • • •'. b,),
yk = Mfe_iV„ — mkVn.
Д-о-к^а зательство. Покажем, что справедливы
условия (6.2.4), (6.2.3) и (6.2.6). Очевидно,
Д„: = SiLi М | Шк (1 + yTtfclr' |2 =
= SLi м I М* (1 + yTntiY [1 (Akn) + X (Акп)] |,
где Аы — {о : | уы — M {yuJlkn) | < e}, e > 0.
Оценим Д„, используя (6.1.17), (6.1.18) и (6.1.10) при
Л>3,
А„ < 2*=1 I м* {1 + {М (ТА! + гкГ'с1}-[ I2 +
4"	^ I УкпРп Г X (Л/т) < С„ [(feC,t_l)2 4" Б"]2 X
X [п (/eCuZl)2]-2 + 22-1 [М (Y*n - М (yA-n/t/;„))2cZY/2 +
+ 2 SLi [М (v*n - М (ykJbn))2 MyLc-'Y2 + ‘
+ ELi с72м I М (Yte/gte) Г х (Л*,) <о(1) + спгЬг~- х
X п~1(/г_1) + с? 22-1 М | М {yJlkn) Г X
X М [(vte — М (у,г,,/Ы2ГР/Ы е-2+0 <
<0(1)4- с„б4л-2«-4(*-1) + с [п (kCnZ\)2rl п (kCnZl)2 X
X 1(П — 1) {(Дг — 1) (C*Zi)2] е-2 <
<о(1) + се4/1—-f п2к—^&-‘2.
Полагая 8 = п~\ из этого неравенства находим, что ра¬
венство (6.2.4) выполняется.
Докажем, что справедливо условие (6.2.3). Действи¬
тельно,
6/1: = I Ц/г=1 (fAky\nc^2 (1 + ylnC^2)~l —TAylnCT2 X
х (1 + yLcJT2)-1 I < 2 £iLi M (Yb. — M (yuJlkn))2 c72 +
4-	2 E*=i [M (Y*n - M («yJlkn)f MyL]v? cY +
+ I £*_. (M* (M {yjtkn))2 c72 (1 + yLcYr1 —
- M (M (y knZ^kn)2 C72) (1 + yixx2)-' |.	(6.2.7)
Поскольку M* (M {ykJbn)Y = M (M (7v,,/^))2, то так же,
как и при доказательстве неравенства (6.2.7), имеем 6„ ^
125

^ о (1). Отсюда и вытекает справедливость равенства
(6.2.3). Аналогично доказываем выполнение условия (6.2.6).
Теорема доказана.
Теорема 6.2.2. Пусть случайные величины t£, i £ N,
независимы и одинаково распределены, f (х1у ..., xk) — бо-
релевские функции, для которых существуют М/ (У ...
..., У, причем, М [/ (Нь ..., y/SJ Ф 0.
Пусть также выполняются условия (6.2.3) и (6.2.4), в
которых вместо уы взято уыс1т, где С/т = nl/aCnZ\, а.
функции распределения случайных величин
гь = М№, Уи, . .., g*+*-i)/y — М/(Е,, ..., У-/^1)
принадлежат области притяжения устойчивого закона с
параметром а > 1.
Тогда
(v„ — Mv„) с=> t,
где t — случайная величина, распределенная по симметрич¬
ному устойчивому закону с параметром а.
Доказательство. Введем обозначение
ykn = Mk-\Vn — Mkvn =	 tk)s	(M*_1	/	(!,„	..., %ik) X
.... Ь4)|<Л)-М*/(Ь„
X X( I f (h„ • •., lik) I < Л)) +	A,s	(M*_,/	(blt	.... §,7;) X
x x(| f	,	%ik)\>A)-mkf	,	bk) x
xx(|f(s,„ ig|>Л)).
Первая сумма, деленная на bnk := пСпHj, стремится по
вероятности к нулю при п оо (см. доказательство след¬
ствия (6.1.2). Математическое ожидание модуля второй сум¬
мы, деленной на bniij стремится к нулю при А оо. Таким
образом,
lim/7_ooM | у/т — М (ykJlk) I bTk — 0.	(6.2.8)
Докажем, что условие (6.2.4) выполняется для величин
Ysn “ ysnCkn » Ckn • = nCn—\nXlah (п),
где h (п) — медленно изменяющаяся функция.
Пусть
Ans = (tt) I bnk | у$п Л1 (ysn/^sn) |	£}•
126

Используя неравенетва (1 -j- х~2) 1	2	|	х |, Щ~'(Щ-) 1
а также неравенство Иенсена, имеем
£2=i МI(1 + vita) Г' = £2=1 М [(М* (1 + уТпГ1)2 X
X X (Апк + Л„*)] < с £2=i (М (1 + (t)L - е)-1)-1)2 +
+ с £2=i М {М [ |	| X (Ля,,)/у X
X [1 + М [ | v*n | X (Ля*)/!,]]-1} < cn~l J (х2 + е) X
X (1 + х2 - е)-1 dFn (*) + с £2=i п-*/«МХ (Л„*) X
X [М1/Й!,	У|р]1/р,	(6.2.9)
где 1 <р<а, Fn (х) = Р {r\\n < х), Г|1,г = YlnC/m, с > 0 —
некоторая постоянная.
Согласно выкладкам главы 4, M|ys/l— М (ут/&п) \р ^
^.с(п — l)1-^. Поскольку функции распределения величин
принадлежат области притяжения устойчивого закона, то
из [5] получаем
M|/(Ei, УГ<с<оо, где 1</?<а.
Теперь используя равенство (6.2.8), а также то, что
функции распределения величин принадлежат области
притяжения устойчивого закона в силу того, что М% (АПк) ^
^ ъ~рс (п — 1)1_р, из условия (6.2.9) найдем
£2-1М | М/е (1 + уТпГ11 < с7' + спп~]/ап1~р + о(1).
Если обозначить а = 1 + е, где 0<е^1, и р = 1 -с
+ ej, где 0 < ех < е, то
П~'   (1 + б)-1  8Х = ДКО-Г Ё)-El.
Пусть 8 > ех > е (1 + е)—1, тогда
linin-.ee £2=1 м | М* (1 + YГя2)-11 = 0.
Докажем, что выполняется условие (6.2.6). Так как вы¬
полняется равенство (6.2.8), то условие (6.2.6) будет спра¬
ведливо, если
linwco £2=1 я-‘/“Мх (ЛяЛ [МI f (у ..., у П1/р = О,
а это равенство было уже доказано. Теорема доказана.
127

§ 3. Необходимые и достаточные условия центральной
предельной теоремы для обобщенных {/-статистик.
Теорема 6,3Л. Пусть для каоюдого значения п случайные
величины £S'K,), ..., Е,(г/г) независимы и выполняются условия
(6.1.15), (6.1.16).
Для того чтобы
 [/■' Ф - Ьк)-Щ1 .... Ьк)\*
X [D У](« ■ ■■, ^)]~1/2}=>N(0, 1),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Линдеберга (6.1.3), в котором сп = D
Доказательство. Достаточность следует из
теоремы 6.1.2.
Необходимость. Согласно теореме 6.2.1, распределения
случайных величин
Е« №. ь & • • • ’ &*)-*№, (&■> • • • > Ь*)1 х
X[DS„ .... 1ДГ7г
сближаются при п оо почти для всех х с безгранично де¬
лимыми распределениями, заданными в теореме 6.2.1. Тог¬
да, используя предельные теоремы для сумм независимых
случайных величин (см. гл. 2), получаем утверждение тео¬
ремы 6.3.1.
§ 4. Предельные теоремы для обобщенных {/-статистик
зависимых случайных величин. Рассмотренные в предыду¬
щих двух параграфах некоторые законы и условия для
обобщенных {/-статистик независимых случайных величин
справедливы также и для обобщенных {/-статистик зави¬
симых случайных величин.
Для обобщенных {/-статистик зависимых случайных
величин справедливо следствие 6.1.1. Одно из условий, при
которых выполняется следствие 6.1.1, равно
рПшп-к,^1 (y, —M(Ys/gJn>)) = о.
Таким образом, доказательство центральной предель¬
ной теоремы для обобщенных {/-статистик зависимых слу¬
чайных величин сводится к доказательству предельных
теорем типа закона больших чисел для сумм зависимых
случайных величин. Доказывать эти предельные теоремы
гораздо легче, чем доказывать центральные предельные
теоремы. Чтобы показать справедливость равенства, можно
использовать мартингальный метод.
128

§ 5. Предельные теоремы для сумм га-зависимых случай¬
ных величин. Пусть задана последовательность серий gi„, ...
Inn т„-зависихмых случайных величин. Предположим,
что существуют математические ожидания и дисперсии слу¬
чайных величин \in. Тогда
SL, (Ьп - Щкп) = SLi (SZ-1 (М_,бь, -М5Ы) =
V п
= Zj-s = l Vs,
ГДе Vs ~ lLik=[s/mn]-\-\ (Ms_ I ;/m	Msg/m).
Если
plim„^SLi(Msys2-My2) = 0, inf„SLiMy2>0 (6.5.1)
и выполняется условие Линдеберга: для любого т >> О
\\тп-+со SLi Му2Д (| у* | > т) = 0,	(6.5.2)
то
L (S'/Li (Ikn - Щкп) (D SLi Ы~1/в) => /V (0, 1).
Выполнимость условий (6.5.1) и (6.5.2) можно доказать на
основании достаточных условий, рассмотренных в главе 4.
§ 6. Центральная предельная теорема для полилинейных
форм независимых случайных величин. Пусть задана не¬
которая	полилинейная форма V,, := EiLiE«, <*> х
х	... bk-
Предположим, что Mg* Ф 0. Если это условие не выпол¬
няется, то его можно получить, преобразовав данную фор¬
му с помощью замены
= Ь +
Очевидно, vn является обобщенной (У-статистикой. Исполь¬
зуем равенство
V„ — Mv„ = Sfe=iY*-
Если Нш„_2£=1М^>0 и	$м>,хЧР	х
X {у* < х) = 0 для любого Т > 0,
plim„-*co SLi (М*у* — My2) = 0,
то L (vn — Mvn) => N (0, 1).
Если Mg* Ф 0, то можно применить метод доказатель¬
ства, которым мы пользовались раньше, только вместо
условия
рИтп-юо S/Li №kyl — My*) = 0
б 2-774	129

использовать условие, которое в некоторых случаях легче
проверить, а именно:
plim„-c* (yk — М {yk/£k)) bZl = О,
S й=1 bns -*■ О,
где bns — последовательность постоянных величин. Очевид¬
но,
Ys = Ylk=\  lkhai“
—щь, • • • itk] = (is—m^s)	 x
X	.. . lik —Mklit . .. Ц,Ь5=Ь
Таким образом, теперь остается доказать предельные теоре¬
мы типа закона больших чисел для полилинейных форм,
которые рассмотрены уже в главе 2.
§ 7. Предельные теоремы для £/-статистик с ядрами рас¬
тущего числа переменных. Рассмотрим (/-статистики
  w'* bJ- (6’7Л)
Здесь (il9 ..., im ) — выборка тп чисел из множества N.
Причем сумма берется по всем тем выборкам, где тп оо
при п —> ОО.
Предельные теоремы для таких (/-статистик доказыва¬
ются при изучении предельных распределений случайных
детерминантов, [2], а также совместных моментов конечно¬
мерных распределений эмпирической функции распределе¬
ния.
Исследование предельного распределения данных
(/-статистик в общем случае чрезвычайно сложно.
Примером (/-статистик могут быть случайные детерми¬
нанты det 33', где 3 есть тп X п случайная матрица.
Для таких детерминантов [21 при некоторых условиях
L (bjl [In det ES' — an]) => N (0, 1),
где an, bn — нормирующие постоянные.
Другим примером (/-статистик с ядрами растущего чис¬
ла переменных являются симметрические функции
Если случайные величины Нг-, i£N, независимы и оди¬
наково распределены, Mgt-= 0,	= о2, 0<а2<оо, то
L (v^ft-1/2(j) => N (0, 1).
130

Если случайные величины У /£ N, независимы, одина¬
ково распределены, М In |	1 = О, D In | £, | = б2, 0 < б2 <
< оо, то
L ([In | vw | — М In | vw | ]	^	N	(0,	1).
Исследуем теперь асимптотическое распределение
[/-статистики	При	условии, чтоПгПдг^оо тп = оо. Дока¬
жем сначала предельные теоремы типа закона больших
чисел.
Теорема 6,7Л. Пусть случайные величины У i £ N, не¬
зависимы, неотрицательны, одинаково распределены, суще¬
ствуют М In2 У М In2 (1 + у. Тогда
plim^^ (In v^n* — М In v^nn)) n-1/2 = 0.	(6.7.2)
Доказательство. Так же, как и при доказа¬
тельстве предыдущих теорем, имеем
In vJJV — Min vJj'V = 22-i (M*—i 1° vTn) — ^ vhmn)) =
- £2-1 (M/j—i In (lkak + bk) - mk In (lkak + &*)), ‘(6.7.3)
где ak и bk такие случайные величины, что %>kak + bk =
= v*. Отсюда
M [Mfc__i In (E/eafe + bk) — M^ In i^kak + У]2 =
= M [{№*_! In (tkak + bk) — M* In (lkak + bk)}2 X
X [X [ak >bk)+% (ak < bk)\) < M In2 (1 + £*)•
Используя теперь соотношение (6.7.3), получим равенство
(6.7.2). Теорема доказана.
§ 8. Метод интегральных представлений для £/-статистик.
Пусть функции р (х1у ..., xk) — измеримы и интегрируемы
по Лебегу в RkJ
/ (*1, • • •, xk) = (2n)~n ^ exp {— i Ss=i tsxs} X
xp(t„ s = ~k)ndts,	(6.8.1)
где p (ts, s = 1, k) = j exp {i £*=i t,xs) f (хъ ...,xk) n*=id*s.
На основании равенства (6.8.1) получаем
v„ : = (2л)~п j [S(/, i/t> exp {i V]s=i ^,s}] X
X p (ts, s = 1, k) ndts.
5*	131

Очевидно, при фиксированных ts сумма
еХР {* 1jS=1	=	\j(jlr...,jk) Tl/j ... Л//г
является полилинейной формой случайных величин
т|р = ехр {itp^jj, s = 1, лг, или £-й симметричной функцией
величины t]s, s = 1, п. Теперь можно применить метод
интегральных представлений, рассмотренный в главе 1.
Глава 7
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН,
СВЯЗАННЫХ В ЦЕПЬ МАРКОВА
В этой главе доказаны предельные теоремы для сумм
случайных величин, связанных в цепь Маркова, с помощью
мартингального метода.
§ 1. Мартингальный метод. Пусть при каждом значении
п £ N случайные величины lnSl s = I, я, связаны в неодно¬
родную цепь Маркова с фазовыми пространствами (xns,
A7s), измеримыми переходными функциями Q.lh (х, В),
s = 2, п — 1, и начальными распределениями \хп\ (В).
Величина
&п$ — SUpJ;lfjr2ji6 | Qns (-^1» В) Qns (х2, В) |
называется коэффициентом эргодичности переходной функ¬
ции Qns.
Предположим сначала, что у случайных величин £,IS
существуют математические ожидания. Сумму Xj?=i(£/is —
— Mins) можно представить в виде суммы мартингал-раз¬
ностей
(In,-Mins) = - V?=1 ynS9	(7.1.1)
где
Упя = Ms_,	у	-	M,	(£^s_, у,
Ms — условное математическое ожидание при фиксирован¬
ной минимальной а-алгебре событий, относительно которой
измеримы случайные величины 1щ, / = 1, s — 1, либо
5]s=l	~	2^1 Уп*	MS;2s),	(7.1.2)
ГДе у ns = £>ns MJ^ns*
132

Отметим, что равенство (7.1.2) для доказательства
предельных теорем применить нельзя. Действительно,
= ф/к (In S—1), где флгз (х) — некоторая борелевская
функция. Если для сумм 5js=i Y/7S можно применить пре¬
дельные теоремы для сумм мартингал-разностей, то для
сумм S's=i(ms^s —м| /IS ) этого сделать не удается, так
как они являются суммами функций случайных величин
cp/is (с/2 s—l) — Mcpns(S/is_i), связанных в неоднородную цепь
Маркова (для однородной цепи Маркова ф„5 (■) == ср (•)).
Равенство (7.1.1), хотя оно и более громоздкое, можно успеш¬
но использовать при доказательстве предельных теорем.
Докажем с помощью сумм (7.1.1) следующее утверждение.
Теорема 7.1.1. Пусть с вероятностью 1 для всех п \ tns | С
<С с <С ОО, s = 1, п, и
sup„ sups=iji ans = a < 1,	(7.1.3)
D 2?=i ЪпП-1'* = oo.	(7.1.4)
Тогда
1 Kl 2s=1 (Ins - мIns)) N (0, 1),	(7.1.5)
где cl = D ^ £*,.
Доказательство. Используя теорему 4.5.1 и
равенство (7.1.1), получим, что соотношение (7.1.5) спра¬
ведливо, если выполняются следующие условия: для любого
т > 0
SL, М kflmc-4 (С-> | Укп I > т) = 0,	(7.1.6)
Plim«-*oo SlUi ШьУ\пс72 = !•	(7-1-7)
Докажем, что величины ysn ограничены. Запишем их
в виде
ysn ~ 2l&=s—1 ^ yQs—2 (dyy ^/i(s—2))
-	SLs J уф (<iy, U-d) -gns-1,	(7.1.8)
где Qp (A, x) = P {hm £ A/lpn = x), k > p, и докажем еле-
дующую лемму.
Лемма 7.1.1. Если выполняется условие (7.1.3), то
sup,.j,|<tf(i4, x) — Q£(A, у) |<П*_ра«, k^p. (7.1.9)
Доказательство. Очевидно,
Qp (Л, у) = f Qp+i (л:, Л) Qp (г/, dx).
J Р
133

Обозначим
sup, Qp (А, у) = ЛС, inf, Qp (Л, у) = mf.
Тогда
M®	•••	/Яр1 > mj+i > •••
Пусть
sup, Qp (A, y) = Qp (.4, г/i), inf, Q, {A, y) = Qp (Л. y2).
Рассмотрим равенство
- mf = jXp Qp+i (*, A) [Qp (r/b dx) -
— Qp(y2, dx)].	(7.1.10)
Поскольку Qp (уlt dx) = jXpQp(y2, dx) = 1, to
Qp(«/i. *p) — QP(M2, Xf) =^x+[Qp(Mi,dx) — Qp(y2,dx)] =
_lQP(yi, dx) — Qp{y2 dx)],
xp
где — множество таких значений x, для которых
QP(y 1» dx)— Qp(y2, dx)> 0, X7 — множество таких зна¬
чений x, для которых Qp(ylf ах) — Qp(y2, dx)^. 0. Тогда
из равенства (7.1.10)
^	|	Мр	—	mkp	К	I Мр+1 — /Пр+i I а пр.
Отсюда вытекает неравенство (7.1.9). Лемма доказана.
Запишем равенство (7.1.8) таким образом:
Уэп — k=s j j* у [Qs—i (dy, |n(s—о) Qs—i (dy, *)] x
X Qi (dx) £ns 5j/j=s+i j* j* У [Qs (dy, ^)
— Qs (dy, x)}Q]-l(dx).	(7.1.11)
Используя это равенство, а также лемму 7.1.1, получим
| У sn | ^	^1 Af=s—f— 1 n,=s QW*
Пусть а = supnsups=T^ans. Поскольку величины | SsП I
ограничены, то согласно условию (7.1.3),
|Ys/i|<c + 6Д (1 — ар <б’2< ОО.	(7.1.12)
Следовательно, величины | ys„ | ограничены некоторой
одной и той же постоянной величиной, не зависящей от п-
134

Поэтому справедливо (7.1.6). Докажем, что справедливо
условие (7.1.7). Очевидно, Ms^n — Nly2m = cps (£„ s_!), где
ф5 (ж) — некоторые ограниченные борелевские функции.
Используя то, что с\ = D £"=1 Нет, имеем
м (SLi- D2 = с74 £;U, (Sp-i «) х
X ф, (?;_i „) < с-'с У)прл1'РшМ сср-‘.
Отсюда, на основании условия (7.1.4), получаем равенство
(7.i.7). Теорема доказана.
Эту теорему можно обобщить в нескольких направлениях.
При этом не обязательно, чтобы случайные величины Е/г
были ограничены или чтобы у них существовали математи¬
ческие ожидания. Можно также ослабить условие асимпто¬
тической независимости случайных величин £/г и tt при
| к — / | -> оо.
Предположим, что случайные величины |/г, k £ N, не-
ограничены, но у них существуют математические ожида¬
ния и дисперсии.
Теорема 7.1.2. Пусть выполняются условия (7.1.3),
(7.1.4), (7.1.6) и
supnsups=i>nD|ns< оо.	(7.1.13)
Тогда справедливо соотношение (7.1.5).
Доказательство. Покажем, что величины
mkyln ограничены. На основании равенства
Щ = - F (х) dx +	[ 1 - F (х)] dx, (7.1.14)
где £ — случайная величина с функцией распределения
F (х)у у которой существует конечное математическое ожи¬
дание, из формулы (7.1.11) получаем неравенство
| ysn I ^ I |ns I 4" k=zS	s—l) —
- Qs_i (y, x)\dy\ Q{-' (dx) + SLs+1 J | J <& (y, Us) -
— Qs (У, x)\dy\ Q(_1 (dx).
Применяя неравенство \Мкр — tnp | ^ | Mp+l — mp+l | (cm.
обозначения леммы 7.1.1), найдем
I Ysn | ^ 1 Ins | 4” \ik=$ П/=5 ani ^ Q (y, y0) dy -f-
+ El=s+\ П?=5 ani j" Q (y, y0) dy,
гДе y0 — некоторая фиксированная точка.
135

Используя равенство (7.1.14), убеждаемся в том, что
№(!/, Уо) dy < ОО. Тогда
M,v«<2D& + 2с,(1 — а)-2<с2 < оо. (7.1.15)
Дальнейшее доказательство совпадает с доказательством
теоремы 7.1.1.
Условие (7.1.6) теоремы 7.1.2 можно упростить. Так,
если sup„ sups=77^M | У |4+6 < оо, б > 0, то справедливо
равенство (7.1.6) вследствие выполнения (7.1.15) и условия
(7.1.4).
Если у случайных величин У существуют математиче¬
ские ожидания, но не существуют дисперсии, то следует
воспользоваться формулой (7.1.1).
Теорглга 7.1.3. Пусть для каждого значения п заданы
случайные величины У, k— 1, п, связанные в цепь Мар¬
кова с переходными функциями Q/t_i (X, В) и начальными
распределениями \ikn, k = 1, п, ak = (etsyьп — isykn — 1),
sup„ SUp^I^T пШк (1 + yTn)~' < с < оо, (7.1.16)
1im„-.oo [n (1—а„)] = оо.	(7.1.17)
Тогда для любого s£[—S, 5]
lim„_o< [М exp {is , (!*« — М£*„)} —
-ехр{£»_1Л1а*}] = 0.	(7.1.18)
Доказательство. Согласно теореме 4.4.1, дан¬
ная теорема будет доказана, если будут выполняться усло¬
вия:
pi irrirt—ОО 2 2=1 I М/га/г I2 = 0, set—S, S],	(7.1.19)
plim„^o.2Z_i(M*a* —МаЛ) = 0, s£[—S, S], (7.1.20)
plim„-«, 22=i (м*О + Vto?)-1 — M (1 -f- уы)~1) = 0,
SUP/, 22-1 М(1 +уГлГ'<оо.	(7.1.21)
Докажем, что справедливо условие (7.1.19). Очевидно,
1 ^0^ |2 ^ (с + | s |2) п " Xi2=i I я £ (1 + * 2) 1 X
X qLi (dx, у) |2 Qo~‘ (dy).
Отсюда, используя неравенство (7.1.16), получаем равенст¬
во (7.1.19).
136

Условие (7.1.21) вытекает из условия (7.1.16). Докажем
условие (7.1.20). Имеем
Et-i (м*а* — Ма*) = n~l S"=i Ф (Ы.
где
Ф (?ля) ~ ^ (е — isx— 1)0+* ) ] d [п 0 + У ) X
х {Qt-l(dy, bn)-Q?(dy)}].
В силу условия (7.1.16) величины ф (?/гл) ограничены.
Используя неравенство
М [-2Li Ф (Ьп)}2 < сп + (1 - <г2
и равенство (7.1.17), получаем, что справедливо условие
(7.1.20). Теорема доказана.
Предположим, что у случайных величин £kt k = 1, п,
не существуют математические ожидания.
Теорема 7.1.4. Пусть для каждого значения п заданы слу¬
чайные величины £>kn, k — 1, связанные в цепь Маркова
с измеримыми переходными функциями QjLi (X, В) и на¬
чальными распределениями \х>.:П1 k = 1, /г, pfe = (els^kn— 1),
k = 1, n,
supnsup/c=T^-ttM*(l + \lkn Г1Г1<с<оо| (7.1.22)
n (1 —an) = oo.	(7.1.23)
Тогда для любого s £ [—S, S]
lim^_cc [M exp {is £Li — exp (£Li Mp*}] = 0. (7.1.24)
Доказательство. Согласно теореме 4.4.1, дан¬
ная теорема имеет место, если выполняются условия:
pliiTWoo SLi | I2 = 0, s 6 [- S, S],	(7.1.25)
plinw*, | S'/Ui (Mftp* — M0*)] =0, sg [— S,	S],
plim^» 2"=i (Mfe (1 + | hn Г1)-1 —
— М(1 +|ь/тГ‘Г' = 0,	(7.1.26)
sup„ M (1 + I Ьп Г'Г1 < oo.	(7.1.27)
Докажем, что справедливо условие (7.1.25). Очевидно,
£LiImAP<(6' + MM-2£;l.I" х
х J -титр (dx' y) |2 Q°_1 {dy)’
137

Отсюда, используя соотношения (7.1.22) и (7.1.23), полу¬
чаем условие (7.1.25).
Условие (7.1.27) вытекает из условия (7.1.22). Докажем
условие (7.1.26). Очевидно,
(ivi*p* - мр*) = я-1 SJLi ф (Ы.
где ф (У = ^ (elsx —l)\x\~]d[n	(1	+ | у I-1)-1 Qi (dy)].
Вследствие условия (7.1.22), величины | ф (lk) | ограниче¬
ны. Тогда, используя равенство (7.1.23), получаем условие
(7.1.26). Теорема доказана.
Условие (7.1.22) можно заменить следующими двумя
условиями:
sup,, sup*=p7 м [пШк (1 + 11 kn р1)-1]2 < оо,
sup„ 232-1 М(1 + l&taF'r^oo.
Тогда в доказательстве теоремы 7.1.4 необходимо ввести
такие изменения: величины ф (Е/г) не ограничены, величины
М I Ф (?/г) |2 ограничены. Так же, как и при доказательстве
теоремы 7.1.2, получаем
| Мф (£к) ф (Sz) | ^со!*-1, k>l.
Предположим, что случайные величины центрированы
своими урезанными математическими ожиданиями. В этом
случае получаем утверждение, доказательство которого
состоит из доказательств теорем 7.1.1 и 7.1.3.
Теорема 7.1.5 Пусть для каждого значения п заданы
случайные величины Ьт, k — 1, п, связанные в цепь Маркова
с измеримыми переходными функциями Ql_i (*, В) и на¬
чальными распределениями
p/m, k = 1, п, ak = (ехр (isvkn + isykn)— 1),
где vitn = cim	(\ bn |	t), y^n — У /? [^s—ibn^ X
X (I Ьп I < t) — Mslknl (I lkn I < T))], t > 0 — постоянное
число, и
supn SUp/^=T7i n [Mfc (1 + Vkn) 1 + Mfc (1 +	ykn) 1	+
+ | №kVkn (1 + v-2) I ] < С < 00,	(7.1.28)
linWoo [n (1 — ап)] = оо.	(7.1.29)
Тогда для любого s £ [—S, S]
ИIм exp {is [£"=1 bn —	x
X X(| &„ | < T)]} - exp {^=1 Ma*}]	=	0.	(7.1.30)
138

Доказательство. Согласно теореме 4.4.2, дан¬
ная теорема имеет место, если выполняются следующие
условия:
plimr^oo£"=1|M*a*|2 = 0,	(7.1.31)
plinWoo J]Li “ Мос*) = °»	(7-1 *32)
plim^^oo Х|/е=1 [Мд, (1 -f- Vkn) + М/г (1 + ykn ) 1 —
- М (1 + Vte2)-1 - м (1 + 7Гп Г1 ] = о, (7Л .33)
sup„ SL, [Я* (1 + visfr' + М (1 + ТГпГ‘] < оо. (7.1.34)
Условия (7.1.33) и (7.1.34) вытекают из условий (7.1.28)
и (7.1.29). Докажем условие (7.1.31). Очевидно,
I 1 < J М* {e,sv'« - 1} е15у*п | + | mk (eCsy'<" - isykn - 1) |.
Отсюда, используя лемму 7.1.1 и неравенство (7.1.28), по¬
лучаем условие (7.1.31).
Чтобы доказать условие (7.1.32), рассмотрим выражение
£Li (МЛ (ехр {isvkn + isykn} — isvkn (1 -f vTn)~] —
— isy/m — 1) — M (exp {isvkn + isykn} — isvkn (1 + v^2)"^ —
— isyim— 1)) H“ is \ik=i {M/t,v/en(l -f- vim) 1 —
— Mvjm (1 -f- Vim)	}	•
Далее, используя соотношения (7.1.28) и (7.1.29), так
же, как и при доказательстве теорем 7.1.3 и 7.1. 4, получа¬
ем (7.1.32). Теорема доказана.
Доказанные теоремы для сумм случайных величин со зна¬
чениями в Rly связанных в цепь Маркова, допускают обоб¬
щение для величин, связанных в цепь Маркова, но со зна¬
чениями в произвольном измеримом пространстве X. При
этом нужно рассматривать следующее преобразование:
М ехр	—	ап\),
где / (•) — линейный функционал в X, а ап и Ьп — норми¬
рующие константы.
§ 2. Закон «одной трети» для неоднородных цепей
Маркова. В этом параграфе будут ослаблены ограничения
на максимальный коэффициент эргодичности.
Теорема 7.2.1. Пусть случайные величины £„s, s = 1, д,
для каокдого значения п связаны в неоднородную цепь
139

Маркова
lim„.,co (1 - а,,)-1 (п [D 22=, Ь.Г2)’/з = О,
С£п = SUPs=ijn CCns, Slip,1(S j Esn | <С ^	00•	(7.2.1)
Тогда
L К1 2?=>	- MU) => N (О, 1),	(7.2.2)
где cl = D £?=1
Доказательство. На основании 4.5.1, данное
утверждение	справедливо, если выполняются следующие
условия (см.	обозначения, введенные в	§	1): для	любого
т > О
plinWeo 22=i Щу1псТ2^ (сТ11 Уы | >	т)	= 0,	(7.2.3)
plinw 22=i Mkylnc72 =	1 •	(7.2.4)
Не ограничивая общности рассуждений, будем считать,
что МУ = 0. Докажем сначала выполнимость условия
(7.2.4). Для этого рассмотрим выражение
м (22=1 [Щу\п - MyL])2 = Зг + #2 -
где
= S2.s=i,^smmaYLmsTL,
= 22=i [м (мky\nf - (m7L)2],
^ = 22,=,.^%LMyL-
Заметим, что
= 22./=i IMftMfr-tEpMfc-ig/ -	(7.2.5)
Для упрощения записей в этом и в следующих выражениях
индекс п у случайных величин tpn будем опускать.
Используя (7.2.5), для (31 имеем
Заметим, что поскольку k Ф s, то
М [(МА^р.М^Ю (WsMs^tP№s-ib2)] =
= М (Mfc——igp2M s—,|/2).	(7.2.6)
Отсюда получаем
^	№^ЛР,мк-1ь1-м£Р1гл&1)	х
X (М^рМ^.-М^М^,)} =
140

= £2,л.Ргл=.м	- м„ум,у) х
X ШР!М0Ь2 - М„уМпЬ2) - е„,	(7.2.7)
где
fc'n = £2, А.р2>/,=1 £2=1^ {(Mfc— l£p,M*_l£l,	М*£Р|М*|;,) X
X (M*_iyM*_]Ei, — Л1лУгМ*У2)}.
Исходя из доказательства неравенства (7.1.12), находим
+ = £2=,м «£2=. м*_,у2 - (£у, м*у2]2 =
= £2=i	[£2=, м*_А + м*у2 <
<Cj £2=i My* [1 + (1 — а„)~2],
при этом
£2=1 Му* = £2./=! м (|р - му (I, - му <
< С2 £2,1=1 «Ю < csn (1 — «пГ1 + с4 (1 — «по¬
следовательно,
e„<c6dn,	-	(7.2.8)
где d»_r ” ^ ~ а^~3 + п(1—а^-'+ ^ ~ а»)~2 (* + о —
— а„)~2). Аналогично
3.2^c6dn.	(7.2.9)
Для величины так же, как и для Зъ имеем
^3 = £2,a.p,A=> м (мо1Р1м0^. - м„умПу) X
X М (М0ум0у - МП|РгМп?18) - е,„	(7.2.10)
где е„ удовлетворяет неравенству (7.2.8).
На основании соотношений (7.2.7)—(7.2.10), после
несложных вычислений получим
м (£2=,	IMOn - %У)2 < I £2,а.р,а=-м	-
-мгаум,у)(м0ум0|* -MniPlMni;2)-м(м0ум0у-
- м„ер мпу) м (м0ум0у - М„уМ„У) | + c7dn<
+ + £P,>i„P2>i!.i1>/?a2,_/,a22_/4I“'? + СА =
= Cs £/^rnin (p„Ps> (Al - /2) ал+**-“. + сА <
^ ся £р>>р, [1 + 2 (ссп)г + 3 («„)-> +	• • • + Pi («n)Pl] X
.	1	crPl~^2
X «£-*>. + C//„ - CS> £P2>P]an2-P' yy •	!_"a2	+	CA<
141

-j   b О—an) 0 an) +^1 X
^ 1£p2,pi=i a«1+p2 (1 — Un) 1 + cidn ^ c12n (1 — ocn) +
+ c13n (1 — ccn) 1 + c14: (1 — an)	-j-
+ ^15(1 —an) 3 + с1б(1	an)	•
Из этого неравенства следует справедливость условия
(7.2.4). Докажем, что выполняется условие (7.2.3).
Так же, как и при доказательстве условия (7.2.4),
и условию (7.2.1), равенство (7.2.3) выполняется. Теорема
доказана.
Из условия (7.2.1) следует, что
где гп — любая последовательность, стремящаяся к нулю
при п -> оо.
Глава 8
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ КОМПОЗИЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
НА ГРУППАХ И ПОЛУГРУППАХ
Пусть Е2, ... — случайные элементы со значениями
в некоторой группе (полугруппе). Докажем предельные тео¬
ремы для распределений ап (П?=| ЕД, где ап (•)— после¬
довательность некоторых функционалов, заданных на
группе, а произведение элементов % взято в порядке возра¬
стания индекса i.
§ 1. Предельные теоремы для произведений комплексных
независимых случайных величин. Пусть £/г'г), к = 1, п,
< SL.
(1 — ап) = [п (D 22_. Ikn)
где еп —>■ 0 при п—> оо. Если D ^ ся, то
(1 — а„) >
142

п £ N,— последовательность независимых в каждой серии
случайных комплексных величин.
Введем обозначение г^г) = |	|, ф^ = arg EjW. Тогда
П2_, Vkn) = П£=1 rf ехр {12»., ф^)}.
Преобразование
Фп (*. k): = М exp {itc~' In П'Ц ^'г) — £*li а* +
+ k^z> 1*1 <°°.
где сп и ak — некоторые нормирующие постоянные, назы¬
вают преобразованием Меллина.
Используя теоремы Хелли и формулу обращения для
интегралов Фурье, получаем следующее утверждение.
Если ср,г (t,	k) ф (ty	k)	и функция	ф (ty k) непрерывна
в окрестности	точки t =	0,	то
[c7l In ns_,	rs - ELi Oft,	{(2л)	1	ф<п)}] =» [h, 5а].
где {x} — дробная часть	числа х,	^	и	— некоторые слу¬
чайные величины, причем Н2 задана на сегменте [0, 1].
Теорема, 8.1.1. Пусть случайные величины £in), k= 1, п,
для каждого п независимы,
ей1 In П"=1 rs — £JUia* =>
sup/?fS| Mexp {ik(1< 1,
plim«^.oo (c~] In rs — aj = 0t s= 1, n.
Тогда arg П'г=1	g2> где t2 — случайная величина,
равномерно распределенная на интервале ]0, 2п[ и не за¬
висящая от £i [7].
Доказательство. Согласно условию теоремы,
Фл (t, k) = М exp {it (оГ1 In rs — as) + ik^[n)) =
= M exp {} a (k) + о (1),
где a (k) = 1 при k = 0 и a (k) = 0 при k Ф 0.
Следовательно, a (k) = M exp {iki2}, так как функция
распределения, сосредоточенная на конечном интервале,
однозначно задается своими коэффициентами Фурье. Тео¬
рема доказана.
Используя доказательство этой теоремы, сформулируем
следующее утверждение: если случайные величины &2, ...
независимы, одинаково распределены и имеют нерешетча¬
тое распределение, т. е. | М exp | < 1, то для любого
143

числа а > О
{cr'CZU £*)} =>Elf
где ^ — равномерно распределенная на сегменте [О, а]
случайная величина.
Для доказательства нужно рассмотреть математические
ожидания коэффициентов Фурье
М ехр {ika~l2n £*} = М.ехр [ik {arl (££=1 Е*)}].
Рассмотрим теперь произведение комплексных незави¬
симых случайных величин для которых справедливо
условие: для любого е > О
limrt_co sup*=*f^ Р {| hin) — 1 | > е} = 0.
Пусть $п\ i — 1, п,— действительные случайные вели¬
чины, Введем преобразование Меллина
jn(k, t) = МЩ1, ([sign|Г’]А|gl'0 f),	(8.1.1)
где fegZ, — oo</< + oo.
Если b = 0, to b | b Г1 =0, I h 1° = 1 •
Используя функцию fn (k, t)t распределение vn : =
= П'/Ui l[n) можно определить по следующим формулам:
М [ехр (U In | П2_,	1	}/П?=1	Ьп>	> 0] X
хР{Пг_,йп,>о} = о,5(/я(о, о + /п( 1- о).
М [ехр {it In | vn | }/vn < 0] P {v„ < 0} =
= 0,5 (fn (0, i)-fn( 1, 0).
Отсюда с помощью формул обращения для характеристиче¬
ских функций получаем формулу для распределения.
Обозначим:
П” (х) = 2S-, jlji + (Г2)-1 d? (in 11+ 7<n) | -
— Р;г’<y, у'рт>—Ц,
T{? (х) = И (1 + у-2)-' dP {In 11 + чТ | -
J —oo
-$У<у> УТ> 4.
^ = Ll<t Xd? 11П 1 1 + y'p] 1 <	’
где ypn> = й(Рп> — 1, P = 1, n, т > 0 — произвольное по¬
стоянное число.
144

Теорема 8.1,2. Если случайные величины Ь,\п\ i = 1, /г,
для каждого значения п независимы и величины уру р =
= 1, я, бесконечно малы, то для того чтобы функции рас¬
пределения случайных величин Пр=] (1 + ур) ехр (— ап) сла¬
бо сходились к предельной функции распределения при неко¬
тором подборе постоянных ап, необходимо и достаточно,
чтобы
- ап + j X (1 + х2)-1 drt0 (X) - v;u Pi т,
где у — постоянное конечное число, и чтобы существовали
такие неубывающие функции Г(1) (х), Т{2) (х) ограниченной
вариации, что Тп] (х) => Т{1) (х)у Т\2) (х) => Т{2) (х).
Предельная случайная величина распределена так же,
как и величина а М-преобразозание величин и £2
равно
= ехр {ity + [ \eitx — itx( 1 + л:2)"1 — 1 ] X
X (1 + x~2)dT0) (х) + j (/'"li-j/i (— 1)*- 1) X
X (1 + y-'-)dTi2)(y)}, A = 0, 1.
Доказательство. Если в формуле (8.1.1) k —
четное и Тп1) (х) => Г(1) (х), Тп] (я)	Т(2) (х), то доказатель¬
ство теоремы совпадает с доказательством предельной тео¬
ремы для сумм независимых бесконечно малых случайных
величин (см. гл. 4). Если k — нечетное, то
/„ (k, t) ехр (— £р=1 рр) = Пр=1 /р,
где
/р = М j 1 + Тр |" ехр (— //Рр) sign [ 1 + у„\, р = ТСп.
Очевидно, при 0 < т < 1
!/р— 112 = |Мехр (й In| 1 — YpI —■	—	1	+
+ jw>TexP Ь \ 1 — дг| — йРр( dP (Yp< x) +
-f f exp {й In \ 1 — x | — йРр} sign (1 — x) dP (yp < x} |2 <
J \x\ si
< 2 | M exp {ft In | 1 — yp | — it$p) — 1 |2 +
+ 8 (1 -j- T-2) [M (1 -j- yp 2) !]2.	(8.1.2)
145

На основании доказательства теоремы 6.2.2 имеем
lim,,_co 22=i |мехр {«In \ 1 — 7<,n)| — it$p) — 112 = 0. (8.1.3)
Вследствие того что величины ур бесконечно малы и
sup„ 22=i м (1 + y72)-1 <
ТО
ПгПп-юо 22-1 (М (1 + тГ2)-1)2 = 0.	(8.1.4)
Используя равенства (8.1.3) и (8.1.4), из (8.1.2) получаем
lim^co 22=1 I /р — 112 = 0.
Следовательно,
Пр=,/Р= ехр {22=1 (/Р-1)}+0(1) =
— ехР (22=1 jx<J [ехр (t7 In 11 — л: | — iffSpj — 11 X
x dP (Ур < x) + 22=1 jx>1 [exp {it In 11 — x\ — it$p] X
X (—l)fc —l]dP (yp < x) = exp{^ (еиУ— ity{ 1 + y2)-1 — 1)X
X (1 + г/-2) <ПУ {у) + j (eity-it£n (_i)*_i)(i+ y-2) x
X dTl? (y) + it \ y-'dT<!> (y)},	(8.1.5)
где e„— некоторое число, причем en -> 0, если п-> оо,
Из этой формулы следует достаточность условий теоремы.
Докажем теперь их необходимость. Поскольку случайные
величины YiP=1 Ур — ап ПРИ подборе некоторых постоянных
ап сходятся, то (см. гл. 2)
suPnTn] ( + °°) <1 +оо.
Выберем некоторую слабо сходящуюся подпоследователь¬
ность функций Тп] (х)	Т{1) (х), Тп) (х) =>Тк2) (х). Тогда,
на основании формулы (8.1.5),
H2=i/p ехр {—it j y~'dT{nl) (г/)} ->■ ехр {^ {еа« — ity(\ +
+ у2)"1 - 1) (1 + у"2) dT(l) (у) + J (е“У (— 1 )* — 1) (1 +
+ У-2) dT& (у)}.	(8.1.6)
Покажем, что преобразование (8.1.6) однозначно определя¬
ет функции Т{]) (у) и Т{2) (у) (обозначим его через f (/е, /)),
146

Очевидно,
{HI In f (k> t)dt — 2\nf (k, s) = — 2 {els* (1 — *-1 sin x) X
X (1 + лГ2) {dtX) (л:) + (—1 )kdT(2) (*)}.
f Отсюда, как и при доказательстве теорем главы 5, имеем,
что функции Т{]) (лг) и Г(2) (л;) однозначно восстанавливаются
по функции f (й, t) почти во всех точках х. Теорема доказана.
Следствие 8.1.1. Пусть выполняются условия теоремы
8.1.2 и существует такая неубывающая функция ограничен¬
ной вариации Т{2) (я), что Тп] (я) => Т(2) (х). Тогда
lim.-1-.во [р |П"=1 (1 - Ур) е~ап > 0} + Р {П"=1 (1 - Ур) е~ап >
> 0}] = 1 + ехр [— 2 { (1 + У~2) dTi2) («/)].
Доказательство основывается на теореме 8.1.2
и равенстве
P{g>0}+P{£>0} = l+ME,
где £ = sign г| и г) — некоторая случайная величина.
Перейдем теперь к изучению предельных теорем для
произведений комплексных случайных величин П£=1 (1 +
+ ilk)- При этом воспользуемся следующим преобразова¬
нием:
м ЩЦ, (1 + /У" ехр [ik [arg nLi (1 + ilk)]},
где | 11 < oo, k С Z, a lk — действительные случайные
величины.
Теорема 8.1.3. Пусть для каждого значения п случайные
величины lt?> k = 1, п, независимы,
lim/i-vooHm^-voc Р [	h}>
где vp = Ер — ав — р0, рр = ^ , < т xdP {lD — ар < х),
т н> 0 — произвольное постоянное число, а неслучайные
числа ар таковы, что для любого г > 0
lim„_TCsupp=T^ Р {| Ёр — ар | > е} = 0,
sup„ | ^"=1^. + ! SS-ibp |] < оо,
если Ьр = рр + ов.
Тогда, для того чтобы функции распределения случат
пых векторов \ VjU: In | 1 + ilp | — ап, arg Пр=н( ] -f —с,,}
слабо сходились к предельной функции распределения при
147

некотором подборе постоянных ап> сп, необходимо и доста¬
точно, чтобы существовала такая неубывающая функция
ограниченной вариации G (х), что
Gn (*) =P-G(x), 0,5 In П2=1 (1 + bl) — ап	ух,
j x~ldGn (х) + arg П"=1 (1 + ibD) — cn	y2,
где 7i и y2 — конечные числа,
Gn (*) = £”=. JO (1 + у-Y' dP {vp < у].
Функция распределения предельных величин однозначно
определяется следующим преобразованием:
m(t, k): = ехр {Иуг + iky2 + J [(1 + ixf (1 + х2){~1г+и>Г2 —
— ikx (1 + х2)-1 —1] (1 + л:-2) dG (х)}, k £ Z.
Доказательство. Используя следствие 8.1.1,
получаем
М ехр {// (In | Ц-i (1 + tip) | — an) + ik (arg П”=1 (1 + igp) —
— +)} = rip=i/p exp {//Si„ + ikS2n} + о (1),
где
/„ = M(1 +/Vp)ft(l+v2p)("-*)/2,
6i„ = In njL, (1 + bi) — a„, 62n — arg П*=, (1 + ibk) — cn.
Очевидно, для любого конечного t
limn-ccsupp=iy/р| = 1,	(8.1.8)
| /р - 1 = | J [(1 + ixf (1 +	1 ]dFP (x) | <
< J I (1 + хй)‘ш -\\dF0 (x) + j |i|<t | (1 + ixf (1 + xTm-
ikx 1 | dFp (x) + 2 J|*|^x dFp (x) + | k \ т | J dFp (x) |,
где
fPW = P|vf<4	(8.1.9)
После несложных вычислений при | х | < т найдем
(I + ixf (1 + хг)~к/? — ikx — 1 |^|(1 + ixf — ikx — 11 +
+ (1 + |^|)|(1 +x20-l |<x2[t-2(1	+	(1	+
+ | k | t) t—2 (1 + t2)*].	(8.1.10)
148

Для достаточно больших п (см. гл. 2)
I J W<T dFP W I < 2т I|.V|>V2 dFP (*)•	(8.1.11;
Используя неравенства
J|*|<т x4FР (*)< 0 + *2) j (1 + Х~2)~] dFp (X),
i |*1>т	+1-	2)	§	(1 + Х 2) 1 dFp (х),
а также соотношения (8.1.11), (8.1.10) и (8.1.9), получим
|/р- 1|<{|П(1 +г2) + (1 +т2)т-- + (1 + т2)((1 +т)*Х
X тГ2 + (1 + \k | т) (1 + т2)* т-2) + 2 | k | (4 + т2)} М (1 +
+ V72)-1.	(8.1.12)
На основании формул (8.1.12) и (8.1 8),
limn-»oo l]p=i | /р — 1 I2 = 0.
Следовательно,
М exp {it (£*=i In 11 + ilk I — an) + ai‘g (П"=1( 1 + "ti*) —
— cn)} = exp [£p=i (fp— l)j +o(l) = exp {«6i„ + ikb2n +
+ 5 [(1 + ixf (1 + х*){“-к)/'2— ikx (1 + X2)-1] (1 + x-2) dGn X
x (x)} + 0(1).
Из условий теоремы следует, что
supnG„ ( + °°) <С +оо.
Таким образом, множество функций (Gn (я)} слабо ком¬
пактно.
Чтобы завершить доказательство теоремы, нужно пока¬
зать, что формула (8.1.7) определяет G (х) однозначно.
Это следует из равенства
I In т (г, 0)dz — 2 In т (/, 0) = j (1 + *2)t7 dv (л:),
где
v {и) = —2	[1	—	sin	In	(1	+	x2) [In (1 + x2)]"1] x
X (1 + x~2)dG(x).
Поэтому, используя то, что функция распределения, сосредо¬
точенная на интервале ]—я, я[, однозначно определяется
своими коэффициентами Фурье, получаем, что формула
(8.1.7)	однозначно определяет G (х). Теорема доказана.
149

G(X) = U2
Следствие 8.1.2. Пусть выполнены условия теоремы
8.1.3.	Тогда, для того чтобы
plimn-»oo[ljp=i In | 1 4“ I — 0,5 $jp=i In | 1 -f-	| J = or2,
Ifm„-.ooP {arg Пр=1 (1 + ilp) — arg П"=1 (1 -f ibp) — j x~'d X
X Gn (*).< z} =	p (x) dx,
где
|(2пс)-'/г £!!,*, exp {—(2c)~! (x + 2&rt)2), x£]—л, л[,
Pi*)— j 0>	ЛГ^]_00) Я] у [Я) oo[, c>0,
необходимо и достаточно, чтобы для любого фиксированно¬
го г > 0 выполнялись условия
2"=1P{|vp|>T}+0,
22-1 {{W<T x4Fp(x) - (Jw<t xdFp(x)J} ->a2. (8.1.13)
Доказательство. В формуле (8.1.7) положим
(0,	х<0,
[a2,	х>0.
В этом легко убедиться, используя формулу суммирования
Пуассона
S-co Ф (х + 2k\) = X~ln S-oo / (пп/Х) eln{n/K)xy
где f — плотность вероятности, которая имеет интегриру¬
емую характеристическую функцию, а ср, X, х —действи¬
тельные параметры. Условие Gn (х) => G (х) эквивалентно
условию (8.1.13). Следствие доказано.
§ 2. Предельные теоремы для произведений независимых
случайных элементов со значениями в компактной группе.
Пусть h, £2> ••• — независимые случайные элементы со
значениями в компактной группе G. Рассмотрим произве¬
дение	Естественно,	что	при весьма широких усло¬
виях, налагаемых на распределения £t-, П?=1^ v, где
v — случайный элемент в G с вероятностным распределе¬
нием Хаара р на G.
Теорема 8.2.1. Пусть pt (Е) —распределения элементов
и для любого борелевского множества Е
pi{E)'^ci\i(E)i 0<^<1.	(8.2.1)
Тогда 1 П?_, /?; (£) — ц (£) | ^ П?_! (1 — ct) (см. [7]).
150

Доказательство. Пусть Q( = ptct (lx = At + (1 —
— с,) fi, где = Pi— |х- Тогда HLiQ/ = П?=ц4* + П?=1 X
X (1 — Cj*)|x, поскольку At* [х = Pi * \х — |ы = 0. Следо¬
вательно, для любого борелевского множества Е выполня¬
ется равенство
п?«, р\ (Е) = П?_, QJ (£) + п?_, [1 - (1 - с<)»] ц (£).
Отсюда
(£) - ц (Е) > -ПГ=1( 1 - с<у» ц (£) > —П?=1 (1 - с,у*.
Из этого неравенства вытекает условие (8.2.1). Теорема
доказана.
Следствие 8.2.1. Если выполняется условие (8.2.1) и
Нт,г-ооП7=1 (1 — ct) = 0, то для любого борелевского мно¬
жества Е
liriWoo | П-=1/?! (Е) — |л (£) | =* 0.
Рассмотрим суммы
_ SJLibnfe'E,,
где Е{ £ G, i= 1, /г, независимы, величины ^ независи¬
мы между собой и не зависят от Еь i = 1, k — 1. Предпо¬
ложим, что принимают значения из некоторой локально
компактной группы Г и 1кЕ( £ Г.
Теорема 8.2.2. Пусть а (•) — линейный функционал,
заданный на группе Г, и пусть для случайных элементов
определены математические ожидания и дисперсии,
= 0,
sup„Da (f* ГГ“| S,) < оо.	(8.2.2)
Предположим, что выполняется условие Линдеберга: для
любого х > 0 и любого ограниченного функционала а
linwc V'L, J W>T x*dP [a (5* nt; S,)^ < x} «= 0, (8.2.3)
для элементов E( справедливы условия следствия 8.2.1.
Тогда для любого ограниченного функционала a [10]
lim,,-,*, [М exp [irTl/* £L=i a (£* Sj} — exp {— п-Ю.б X
X £)Li Da (t, rifc! S,)}] = 0.	(8.2.4)
Доказательство. Легко видеть, что величины
vk := a (lk nt}Ef) являются мартингал-разностями.
Поэтому, согласно теореме 4.5.1, условие (8.2.4) выполня¬
ется, если справедливы следующие условия:	условие
151

Линдеберга (8.2.3), условие (8.2.2) и для любого ограниченно¬
го функционала а
pliriWoo гг' £Li (M*vf„ - MvL) = 0,	(8.2.5)
где Mfe — условное математическое ожидание при фиксиро¬
ванной минимальной а-алгебре, относительно которой изме¬
римы случайные элементы £/н_ь ln, Eiy i = 1, k —- 1.
Докажем, что справедливо равенство (8.2.5).
Очевидно,
M*vj(n = g (П?-,1 Ег),
где g (х) — некоторый ограниченный функционал на G.
Тогда условие (8.2.5) является простым следствием теоремы
8.2.1.
Если Щк Ф 0, то суммы	можно	пре¬
образовать таким образом:
$]7г=1	S(.	=	У]/Ц)	(1ь	 Щк)	S/	+	Х|/г=1	X
х №к)ПЦЕ{,
Для первой суммы, стоящей в правой части этого равен¬
ства, можно применить теорему 8.2.1, для второй эта теорема
не справедлива, так как элементы (М£л) П?~! Е,- не являются
в общем случае мартингал-разностями. Все-таки, исполь¬
зуя мартингальный метод, для второй суммы также можно
доказать центральную предельную теорему.
Теорема 8.2.3. Пусть Ei9 i £ TV, независимые случай¬
ные элементы со значениями в компактной гриппе G и для
их распределений выполняются условия теоремы 8.2.1, для
любого ограниченного функционала а, заданного на Г,
supn п-'Da (Sft-1 (МУ П?-,1 8;) < оо, (8.2.6)
suр„ М [а {Щ„ 1Тг? S( (S,.._, - MSfc_,)) Г < оо. (8.2.7)
Тогда для любого ограниченного функционала а
linw [М ехр {/ [а (V?=) (МУ Е() - Ма (£"*=, (Mg*) X
X П?-{ j | - ехр {-0,5 PVftl I = 0,	(8.2.8)
еде
Ук = М*_,а (£Li (Mg.) Ц-{ S() - Mba (V;'=| (My П^| Sf),
a Mfe — условное математическое ожидание при фиксиро¬
ванной минимальной а-алгебре, относительно которой из¬
меримы случайные элементы 3kt k = 1, п.
152

Доказательство. Очевидно, с вероятностью 1
а (22-1 №k) H1-J 2() - Ма (22=, (Mg*) na S,) =
= £*=i Yfe-
Для величин yk воспользуемся условиями теоремы 4.5.1:
plinwn-' 22-1 (М*т2 - МТ2) = о, (8.2.9)
supn п~] 22=1 My* < оо	(8.2.10)
и для любого Т > 0
plim/2->co ELi n~lfAyl% (п~хfAkyl > г) = 0.	(8.2.11)
Условие (8.2.10) вытекает из условия (8.2.6). Докажем, что
справедливо равенство (8.2.9). Очевидно,
7* = £?=*-« М*_,а ((Mg,) П|-| s,) - 2L*-! пка ((Mg,) X
X П?1{ Ег) = а ((Mg,) [na2St] (S*_, - MS*_,)) + 2?-*-i X
ХМ/,_,а(-) — M*a(-)].
Легко видеть, что, согласно условиям теоремы 8.2.1,
| Al/e—ioc (•) — Ма(-)|^Сс/г, где С>0, 0<с<1.
Поэтому
supSt„| sLife-2 [Nlb-ia(-) — М*а(-)]'| < оо. (8.2.12)
Тогда в силу неравенства (8.2.7) величины yi ограниче¬
ны и являются некоторыми функциями элементов i Sb
s = k, n. На основании теоремы 8.2.1, величины vk =
= (Мkyi — /VIyl) асимптотически независимы, следователь¬
но, справедливы условия (8.2.9) и (8.2.11). Тогда выполня¬
ется и условие (8.2.8). Теорема доказана.
Используя равенство
22=1 a (g* па Et.) = 22=1 v*,
где vk = a [(g* — Щк) П^,1 Sf] + yk, и учитывая, что вели-
чины vk являются мартингал-разностями, получаем следую¬
щее утверждение.
Теорема 8.2.4. Если выполняются условия теорем 8.2.2
и 8.2.3, то для любого ограниченного функционала а
[М ехр {tot (22=i Ik ИЙ 3() — Ma (2"=i Ik X
X Па St)| - ехр {-0,5 22=i Da ((|, - Му Ц=! S,) -
-0,5 22=i DV*}j =0.
153

Заметим, что в условиях теоремы 8.2.3 вместо выполне¬
ния условий теоремы 8.2.1 можно потребовать, чтобы для
любого s = 1, п распределения элементов nf=s слабо
сходились к мере Хаара на G при поо. Кроме того,
матрицы vk := П;=1 Eh k £ N, образуют цепь Маркова и
поэтому для доказательства предельных теорем можно ис¬
пользовать предельные теоремы для сумм случайных вели¬
чин, связанных в цепь Маркова.
§ 3. Предельные теоремы для произведений случайных
матриц в схеме серий. Пусть &я, i = 1, п, п £ N,— по¬
следовательность независимых случайных матриц конечного
порядка, не зависящего от п, со значениями в некоторой,
полугруппе Ту в которой определена норма. Случайные мат¬
рицы / = 1, пу называются предельно постояннымиt
если для любого е > О выполняется равенство
limn-со sup,=1— Р {I ha — cin |i > s} = О,
где ctn — неслучайные матрицы из Т. Тогда рассмотрим
случайные процессы
М„ (/) = П?=1 tin, Л/л <*<(£+ 1 )/п, k = 17~п,
ап (0 =! 2г=1 (tm — cm), с„ (t) = П*=| cm,
Изложим кратко идею доказательства предельных теорем
для произведений случайных матриц в схеме серий.
Для П'иЬп справедливо соотношение
П?=1 Zin — П?=1 Ctn = SL	Itn	(%1п	— Cin) П?=/+1 Cin\n
Используя это равенство, имеем
In (0 = са (t) + К Ы* + 0) dan (X) сп (1 - х + 0), 0 < t < 1,
(8.3.1)
(в этом равенстве полагаем, что для %п (х) определен опера¬
торный интеграл, см. [71). Аналогично получаем уравнение
In (<) = Sodb« W (x + °) + Го dUn M + 0)’ (8-3,2)
где bn(t) = £Li (cm — 1), k/ns^t <(k + 1 )ln. Пусть
supo^*<i||cn Wll<00 и c вероятностью 1
SlQ\\tn(x)tdx<™.	(8.3.3)
154

Предположим, что ап(х)=>а(х), xf[0, 1], сп(\ — х)-*
->с( 1—х). Выберем слабо сходящуюся подпоследователь¬
ность In' (х) =?>1(х). Тогда, переходя к пределу при /г-*- оо
в равенстве (8.3.1), получим
t(t)=c (0 + J * £ (х + 0) da (х) с (1 - х + 0).	(8.3.4)
Если выполняются условия (8.3.3) и Ьп (х) -> Ъ (я), ап(х)-=>
z>a(x), х£[0, 1], то для сходящихся подпоследователь¬
ностей \П' (я) I (л:) имеет место уравнение
I (t) = \‘0ь (.х) &\ (х) + jo I (х) da (л;).	(8.3.5)
Если уравнения (8.3.4) и (8.3.5) имеют единственное силь¬
ное решение (т. е. измеримое относительно вероятностного
пространства, на котором заданы процессы а (х))9 то соот¬
ветственно в каждом из двух рассмотренных случаев и вся
последовательность %г (х) сходится в смысле сходимости мер
к процессу £ (я), если последовательность мер, соответству¬
ющая процессам (х), слабо компактна.
§ 4. Мартингальный метод доказательства предельных
теорем типа закона больших чисел. Пусть ЗГг), i = 1, /г, —
случайные элементы группы (полугруппы), a fon)(zn)9
i = 1, s,—некоторые измеримые функционалы элементов
гп = П-Li 3}п) (произведение берется в порядке возрастания
индекса i). Предположим, что существуют М$п) (zn)y
М [р//7) (гл)]2, и представим $\п) (zn) — M(5-n) (zn) в виде
pl^-Mpr-ESLi у к,
где
Ък = М	- М {р„/а(;}},
— минимальная а-алгебра, относительно которой из¬
меримы элементы 3^, s = k + 1, п. Оказывается, при не¬
которых весьма общих предположениях можно найти не
только общий вид предельных распределений, но и необхо¬
димые и достаточные условия сходимости распределений
сумм HaLiY/j, Ук = (Уи;> *‘ = 1, s), к предельному закону.
Преимущество этого метода по сравнению с использованием
предельных теорем типа закона больших чисел и централь¬
ной предельной теоремы для цепей Маркова заключается в
следующем: не обязательно, чтобы случайные элементы
Е^}, i = 1, tiy имели одинаковые распределения и чтобы их
165

порядок не зависел от п. Для сумм сп	гДе °п — не¬
которая последовательность нормирующих постоянных,
можно доказать сходимость их распределений к безгранично
делимым законам, а также найти необходимые и достаточные
условия, сходимости распределений сумм cnYjji=\Ук к за¬
данному безгранично делимому закону (в частности, к нор-
—>
мальному закону). Обозначим через |3„ = {Pi„, i = 1, т\,
Pin = Р//. (n"_iS-”)), некоторые измеримые функционалы
элементов П”=12*п).
Используя результаты § 1, гл. 4, получаем, что если
Hm„-vooCr2	IP	= 0,	(8.4.1)
где
IIY*II = V(b7^), 4k = М {р„/оГ.} -М {Р„/аГ},
сп — некоторая последовательность постоянных, то
plim„^.coСп' [Р„ — Мр„] = 0.	(8.4.2)
Можно доказать также предельные теоремы типа закона
больших чисел для сумм У^к=\ yk, ослабив условие суще¬
ствования М || yk ||2.
Рассмотрим урезанные случайные величины
Ть Ш<*П.	-	Y*»tv*l>6n.
v*= I	^=
1°. II Vk II >	[о, ы<8„,
где 8п — произвольные постоянные числа. Согласно § 1,
гл. 4, получаем следующее утверждение.
Если для некоторой последовательности постоянных сп
linWooсп SLiMfl[ik|| =0, limn-***Сп2йп Hfc=iM||vJ = 0,
lim^c Cn' EJU M J M [vft/(rin)] 1 = 0,
TO
рНгщ-со cn (|3n	==
Рассмотрим некоторые достаточные условия, при выполне¬
нии которых справедливо равенство (8.4.1). Функционал
g (2), 2 £ Г, называют однородным, если для любого числа
а выполняется равенство g (az) = amg (2), где т — дей¬
ствительное число.
156

Пусть 3/я), i = 1, я, — независимые случайные матри¬
цы размера тп X тп, |3,:,г = f (llJLiS*/4), где f — одно¬
родный функционал.
Теорема 8.4.1. Пусть случайные матрицы Еь i £ N,
—*	i	/?
одинаково распределены, для цепи Маркова 0„ = {П^ 3, х
X || (П?=1 Ht-)||—1 , ^/г+i} существуют стационарное рас¬
пределение р и конечные интегралы
supnJ(Jln|/(A>lK)|j5„(dX)-J5 In | f(XAY)pn(dX)p x
x(dA))2 p(dA)pn(dY)< oo, JJln!(X4)|/j(dX, dA),
sup„ м in | / (П?., a, I П?_, s, !|_1) | < oo,
—>
где pn — переходная вероятность цепи Qn.
Тогда
plim,,-.*,»-1 [1п|/(П"=| EJI] = — m j In[|(XЛ)||/? (dX, .dA)
Доказательство. Исходя из условия теоремы,
имеем
Y*: = М [in ! / (П?=| Sf)/cr*_i] — М [in | / (П?=1 Sj/cr*! =
= м [in | / (П?-| a, I (П?-,1 а,) ц-1 п;-и з,-1	X
х 3,) Г1 |/а*_,| - М [In I / (Utl 3,. II (flfcj S,) Г' П?=, Зг х
X II (П?=/г+| 3;) II-1 !/о*[,
In I / (П?_, 3,) I = In I / (Пи st II (П?_, з;) Г1) I -
-/nSLi In 11(2* Rz,1 3(||(П"=1 3;)Г' II |.
Из этих равенств, условий теоремы и (8.4.1) получаем ис¬
комое утверждение.
Теорема 8.4.2. Пусть случайные матрицы 3t- = (^/),
i = 1, пу заданы на одном вероятностном пространстве,
размера тп X тп для каждого значения п независимы,
их элементы независимы между собой и распределены по
устойчивому невырожденному симметричному закону, харак¬
теристическая функция которого равна exp {—cpi\s\a\.
Тогда с вероятностью 1 для любых р = 1, тПУ I =
= 1, тп
plinw п~] [In I (RL> 3(.)р, I - М In I (П?_1 Зг)р/1 ] = 0.
157

• • •
Доказательство. Случайные величины
(П?в1	4=1 Cik_Xik 111 tk_xik |a)	l/a)pt
распределены	по	устойчивому закону, где
  yi		 fc1 t2	tk~~2	tk
TlZ/e	jik	“ 2j'-s=l.%,s=2,/e— 1.Л+1.П t>pi2$i2i* • ♦ • &4—24—1&УЧ-1 * * •
Если г] — симметричная случайная величина, распределен¬
ная по устойчивому невырожденному закону с показателем
а, то существуют М lnm | ц |, т >> 0, в силу того, что суще¬
ствуют М | г] |а при 0 < а < а (см. [5]). Отсюда М I Y* I4 <
^ с < оо. Тогда на основании неравенства (см. гл. 4)
и теоремы Бореля — Кантелли следует утверждение теоремы
8.4.2. Теорема доказана.
Теорема 8.4.3. Пусть случайные матрицы Sb / = 1, п,
размера тп X тп для каждого значения п независимы, зада¬
ны на одном вероятностном пространстве и их элементы
распределены по совместному невырожденному нормаль¬
ному закону.
Тогда с вероятностью 1 для любых р = 1, тПУ I = 1, тп
Нш„-,.со я-1 | In | (П7_. St)„ I — М In I (П?_, В()„; I ] = 0.
Доказательство. Очевидно,
Мyt = М[М (In | x\nk + ank \lGk—\) — M {In |	+ ank	j4,
где
M	1Vm«	£(1Ж2)	ct{h) .  m^/?>
T|Ilk — bnk 2j4-~>4—\=\b:nfyxi2 • • • Ь*/г_2г/г— 1 VS*/?—&’/г—H/J X
*(/*+1)	t(«)
* Ьу/г_|_1 • • •
„  и.— 1 vnin	£(1)	г/М£(^	1	t('n]
anh — Unk	l=1bm,	•	•	•	&/г_2*/г—ll	l*fcJ	~44+l	’	’	*	=4—1/»
u — \'mn	t(l,t(2)	t(A—:1)	t(i)
Unk —	4—1=1	/.,...,4—1=1	*	• • Ы/г—24— itp/, • • •
t(fe-l) r	£(*+1)	£<")	tin)
•• • W/г—2//г—1 Г4— l'V/г—l/'fc &У 4-1 * ’ ’	* * ’ =4—\l>
= «i"L,
Случайные величины распределены по нормальному за¬
кону Л/ (0, 1) и \\Пк не зависит от апк. Поэтому
< 16М In41 (пПК + ank)!f (ank) |,
< 1,
> 1.
11 \ 11> I и
где f(u) = [Uf \и
158

При | a-nk | < 1
sup„ supA_,— M In41 r\nk + ank | < OO.
При |a„*|>l, 0<e<l
M ln4| tWI ank\ +11 = (2л)-‘/гМ {„|/lan/;| <e In41 x/am, + 11 exp X
X (— xV2) dx + (2л)~1/2 M jtj In41 1 + x/\ anl! 11 exp (—хЧ2) x
X dx + (2я)-1/г M In411 + xl | ank | | exp (—x2/2) dx ^
<-ln4(l—е) + (2лГ’/2{|;/|&е11+г/К1 In41 1 + г/1exp x
X (~alky42) | ank | dy + M | 1 + r\nk/1 a,114 < -In4 (1 - e) +
+ 8	^ I ^ I ^	^ И “H 4nk!\ a„k 114	°°,
Li = {| ж I > e | anft I, | 1 + x/\ ank 11< 1},
L2 = {| x | > e | ank I, 11 + x/\ ank 11 > 1}.
С помощью аналогичных утверждений убеждаемся в том,
что существует М In | (ITlLiSJp/ |. Дальнейшее доказа¬
тельство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь предельные теоремы типа усиленно¬
го закона больших чисел для произведений случайных мат¬
риц с положительными элементами.
Теорема 8АЛ, Пусть случайные матрицы St-, i = 1, /г,
размера тп X тп для каждого значения п независимы, все
элементы матриц St- заданы на одном вероятностном
пространстве, причем их элементы положительны и
п~А SLi (М In4 тах. /=1—	+ М In4 ттг/=^|$)7г <
< оо.	(8,3.4)
Тогда с вероятностью 1
limn-со n""1 [in (П”=1 Si)pi — М In (П?=1 Н^р/] = 0. (8.4.4)
'Доказательство. Так же, как и при доказа¬
тельстве теоремы 8.4.3, получаем
= М [М {ln^/aHlLi} — М {In iinfc/a^}]4,
где
r\nk = (П?„, S()pi [(П£{ 3tQ ЦЩ, S<y-\
159

Q — матрица размера тп X тПУ все элементы которой рав¬
ны 1. Для величин r\nk выполняется неравенство
mini j=T^n	< iи < max^.^
Используя это неравенство и доказательство теоремы 8.4.2,
получаем равенство (8.4.4). Теорема доказана.
Теорема 8.4.5. Если в условиях теоремы 8.4.4 вместо
условия (8.4.3) выполняется условие
linwoo п~2 2a=i |М In2 max, /=г^	+
+М In2 mini./=T^ln = 0,
mo
plim/2->co n~l [in (П-Li — M In (ПЬ Sjp/] = 0.
Теоремы 8.4.4 и 8.4.5 можно применить также для про¬
изведений независимых случайных матриц, у которых эле¬
менты могут быть отрицательными. Любую действительную
матрицу Е* представим в виде разности матриц с неотрица¬
тельными элементами
E^S^-S}2*,	Е/(1)	=	(Ер/}),	S !;2) = (^2)),	^>0,
Ipi2) > о.
Очевидно,
Г\п н — V	ТТ?	'hW	V	П'2
i = l —'i	Zjyrt	_	,0ч	£ = 1 l“J£	2jy^	,,	£	=	1	»
^(-__lPj.=0(mod2)	2jc-=_ip^=l(mod2)
где pc= 1, 2, i = 1, n.
Первую сумму, стоящую в правой части этого равен¬
ства, обозначим через 2', а вторую — через 2". К каждой
из этих сумм применим доказательства теорем 8.4.4 или
8.4.5. Используя доказательство теоремы 8.4.5, получаем
следующее утверждение.
Теорема 8.4.6. Пусть для каждого значения п случайные
матрицы Е{, i = 1, tг, независимы,
Ншли-оо п~2 £„=0 £*=i |м In2 max,	+
+Mln2min^^<V}=0,
lim,,-.Mrc~'[M In (S )pi — M In (£ )p/] >0.
Тогда
plim„-.ogtt-1 (in (2 )Pi — M In )Pi) = 0.
160

Заметим, что при доказательстве предельных теорем для
произведений случайных матриц особый интерес представ,
ляет вычисление М In (Щ=13,-)р/ или нахождение для этого
выражения оценок сверху и снизу. Используя теорему 8.4.1,
получаем следующее соотношение (см. введенные в этой
теореме обозначения)
/г_1М In I Il'L, S£ 1 = п~х Yjk=\ j In IХЛ || pk (dX) p (dA).
Теорема 8.4.7.	Пусть	случайные	матрицы St =
= (£pV)^/=i, i= 1, ny независимы и их элементы распре¬
делены по совместному	невырожденному	нормальному за¬
кону N (0, Rt),	_
п _ (Jh \*’/=1'w
At — Vii,ps)p
Тогда
M in I (П?_, 3i)pi\2 = In EE ,n_, [(Цц Tiq)PiY + nbn,
гд? 74 =	Sv-1	=	ri/U (2л)—,/г X
X £ In л:2 exp (—xv2) dx^. S„	0.
Доказательство. Очевидно,
1п|(П?„.2<у2 = 1п[(ЕГ=1|Й)а« [S^-i4V.P/a«fl//]-Vt)2 X
X (ЕГ/=1/рЛр/а«/0//)],	(8.4.5)
где «„ =	fc/.	r% = МВД?.
Случайная величина т| := E"=i (ЕГ/=1 Гр1Р1аи x
X	распределена	по	нормальному	закону	N(0,1)	и
не зависит от случайной величины У]Г/=1 ^plpfludin Исполь¬
зуя равенство (8.4.5), получаем
М In 1(П?_, 32 = М In Т12 + М In (ЕЕ-1 (£Г=1 tpiqfluf),
где tpiq, — элементы матрицы V(rpi,pl)T,i=i .
Преобразуем равенство (8.4.6):
м In 1(П'Ц Е,.)р/]2 = М In rf + М In [EE-i (S“/=1 Е/Ж," X
X (Ew.*->	x
x (EE!=i a<71)_1] + м in EE=i a<?i>
l(P.O __ VOT	t t<3)	£<")
uijqi “	IplQibjia * ‘ ‘	>
/т — Vm	r u(P’l)h(p,!)
Uql — i j,t,s=1 f ij.tsUijqi utsq1 •
6 2-774	161
где

Отсюда получаем неравенство
a„t М In т& (2U а,,)"1 < М In [(П?=1 St)p,\2-IA X
X In S^=i aq% — M In r|2^ In fS"-i (Mr^,) (S^=i a,,)-1],
где = YiT.i=i	.	Легко убедиться в том, что
случайные величины распределены по нормальному за¬
кону N (0, 1) и не зависят от случайных величин aQi. Про¬
должая такие преобразования, получим утверждение тео¬
ремы 8.4.7.
Найдем теперь неравенства для М In (П/=1 Н7)р/, где
Et — независимые случайные матрицы с положительными
элементами. Введем обозначения:
(Пи = njL, {(П£! Q{ ITU St)pl [(П?=, Qi HU,-, x
^ ai)pl\ I»
где Qc — матрицы того же порядка, что и матрицы Ес, все
элементы которых равны 1.
Используя доказательство теоремы 8.4.4, получаем
(п — 2) in т + 25Li М In	< М In (П?=1 Е t)pi <
< Ц/L, М In (max,. Js=^lu)) + (п — 2) In т.
§ 5. Мартингальный метод доказательства предельных
теорем для однородных функционалов произведений случай¬
ных элементов полугрупп. Пусть G — полугруппа и
i £ ,Y,— независимые случайные элементы со значениями
в полугруппе G, гп = П/Lil,. Причем элементы £г- таковы,
что их произведения также являются случайными элемен¬
тами со значениями в группе G. Предположим, что f —
некоторый неотрицательный непрерывный однородный функ¬
ционал, заданный на G, и в G определена норма элементов.
Теорема 8.5.1. Пусть существуют М [In f (zn)]2,
п £ N, и
litiWco гГх D In / (zn) > 0.	(8.5.1)
Для любых a, b £ G и любого борелевского множества Е
полугруппы G, кроме некоторого множества вероятностной
меры нуль,
limn-юо supi-s^hn, i>s I p {azs,i I azsj |_| £ E) — P {bzs,t || bzsj |_l £
£E} | = 0,	(8.5.2)
162

где hn — такая последовательность целых чисел, что
hnln-+Q, hn->-oo при п->-оо, Zs,i = П/_,
Нтл-.оо Iim,t-co °п 2 MyL (М [yln/okn) > К) = 0, (8.5.3)
где Сп = D In / (z„), yfai = M*_i ln f (zn) — Mk ln / (z„), M/e —
условное математическое ожидание при фиксированной
минимальной о-алгебре событий, относительно которой
измеримы случайные элементы %k, ..., %п,
НтМ-»0 supagG |ln / (а + х) — In f (а) | = 0.
Тогда
lim,,-,» |Мехр {iscT' [ln/(z„)—Min/(г,,)]} —
— ехр {ЛЛос,;}] = 0,	(8.5.4)
где ak = (е 'х'1 V/m— isyhnCTl — 1), s£ [—S, S].
Доказательство. Докажем, что для сумм
Yik=iYimcTl выполняются условия теоремы 4.2.1:
linw Ши М | M/;aft |а = 0, s£ [—S, S],	(8.5.5)
plinin^.^ Y]ft=i (MAa*— Maft) = 0,	s£[—S, S], (8.5.6)
plimn^cC-1 S2-1 (M*Yte -MyL) = 1.	(8.5.7)
Условие (8.5.5) следует из условий (8.5.1) и (8.5.3). Пока¬
жем, что выполняется условие (8.5.6). Очевидно,
E*=1 (M*a* —	=	E*=i	(m/;YL	<	A)	—	Maft% X
X (MyL < A)} + £*,=1 (MftaftX (MftyL > .4) — MakX X
X	(MftyL > 4l)}.	(8.5.8)
В силу условия (8.5.3), вторая сумма в этом выражении стре¬
мится к нулю при А	->	оо и п оо. Представим	уin	в виде
у in = М/_1 In / (atbh,iy) — МДп / (аф/tjy),
где
at = Пу=11Р, bk.i = nu+iЪр, У = Пр=/!+1 |р, k>l.
Введем обозначения:
en = bk,iy\\bk,iyf~i — bk,ix\bk,ixf~\ xF G,
у ik = M/_i ln f {afik.ix) — M* ln f (afihjx).
Очевидно,
yin — ум = M/_1 [ln f (a(II a,_, 1Г1 8„ + a, || a/_, |f' bk,i *|| bh,i x
6*	163

х *г‘) — In / (at ||a<_i Г1 bkjx 1||—г)| — Мг [In / (а, х
X !| a/_i |Г‘ е„ + &11 a/_i Ц-1 II Ь/гдХ||-1) — In / (а, || а;_, ||-1 X
X bhjxWbkjxljT1)].
Поскольку функционал f непрерывен на G и справедливо
условие (7.5.2), то в силу того, что yi,k—\ и уы, k > 1, не¬
зависимы, для любого е > 0 получим
Hnw suph_/>lt h t k /=П5 P {M [ | уt,n — Yu-i |2/о;,г] > 8} = 0.
(8.5.9)
Рассмотрим теперь выражение
М | 22-1 {М (аД (М [Yftn/айл] < А)/Окп) — МаД (М [у1г/<7/«] <
<71)1 |2 = 2|fc —l\<hn	“Р Sift—
где
== M (afcX (M [у*п/а,т] < А)/оьп) — МаЛХ (M [yL/ob] < Л).
Ha основании того, что lim,7_cohjn = 0, первая сумма в
рассматриваемом выражении стремится к нулю при п-^оо.
Докажем, что и вторая сумма также стремится к нулю при
п-+оо. Используя неравенство
| (eia — ia — 1) — (e'V — t|3 — 1) | ^ 2 / а — (31,
условие (8.5Л), а также то, что случайные величины yi,k—i
и уы, k > /, независимы, находим
| пШщкь | = я21 [М { М (а{1 (М [yjn/Gln\ A)/oln) М (акХ (М х
X [yln/Ohn] < Л)/о/,„)) — м (аД (М [у2tn/oin] ^ Л)) М (аД (М X
X [у\jOkn) < Л))] | < схАпШ{ | [Slln/Cn (е‘“ - 1) du | X (М х
sVl,k—Vcn
X [у21п/<Ущ] < Л) I} + п? IМ {М ((e‘svi.*-»/cn _ isyLk_\lcn — 1) х
X X (М [Y?n/cf/>i] < Л)/а/„) М (аАХ (М (улп/сп„г] < Л)/сг,т)} — М X
X (аД (М [yiJoin\ < Л)) М (аД (М |у1,г/о,т] < Л))| < Лсд2М X
X | у in — У/,и-112 X (М [yVoin] < Л) Л- с3М [у?,А—ГХ (М х
X [уы/ощ] > Л)] +с4яМ | Г-"Д (eiu -\)du\+ c&Myjn x
J svl,h-\/cn
X X (M lY/n/o/n] > Л)< c6s2M I Ytn - yiA-112 [X (M [YJ,./amj <
164

< А) + 1] + сзт [$.„_■ + Съу1п] г (М [yjjain] > А) < c0s2M х
X {| Ъп — yi,k-11 х (М [Y 1п/а,п] + М [ylh^/ain] < Л)} + c7s2 х
X М [(y?„ + y?.*—1) ^ (м [Yh/om\ + М [y/%-i/0(/j] > Л)] + с6 X
X %/Д (М [Y/n/cJ/n] > Л) + с3М [Y/.fe—iX (М [y\h-\lein\ >
>B)] + c3SP(M [Yte/o/„]> Л},
где^>* 0, i = 1, 7, В > О, А > О— постоянные величины.
Отсюда, переходя к пределу сначала по п и А (А -> оо,
я—у оо), а затем по В(В-^оо) и используя равенство
(8.5.9), получим, что для величин yLn справедливо условие
(8.5.6). Аналогично доказываем условие (8.5.7). Теорема
доказана.
Следствие 8.5.1. Если выполняются условия теоремы
8.5.1,	то для того чтобы
linw Р {сГ' [In / (П’и Е,) — М In / (njL, ?i)l < *}• =
= (2я)~’/г exp (—у2/2) dy,	(8.5.10)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Лин-
деберга: для любого % > 0
limn-со S/Ll ^1х1>т хЧР [уысЕ1 <х] = 0.	(8.5.11)
Заметим, что условия (8.5.1), (8.5.3) можно проверять
в различных конкретных случаях. Так, условие (8.5.3)
выполняется, если для некоторого 6 > 0
S2-I (m,yL)i+6 < оо.
Величину у]п представим в виде
yin = М/_, In f (atbktiy) — Ml In / (atbk,iy), k>l.
Величины {a/_i ||a/_i ||“\ Ez} образуют цеоь Маркова, поэто*
му для проверки условий (8.5.1) и (8.5.2) используем пре¬
дельные теоремы для этой цепи.
§ 6. Предельные теоремы для однородных функций про¬
изведений независимых случайных матриц с положительны¬
ми элементами. Пусть 2{/г), ...,	n£N,— последова¬
тельность случайных матриц Ejp =	элементы
165

которых с вероятностью 1 положительны. Обозначим As =
  TTS С'('7)
Лемма 8.6.1. Для любых действительных векторов
х= {хи ... , хтп), у = {уи ... , утп), х,>0, г/,> 0, выпол-
няется неравенство
| Asx | Asx Г1 — Asy | Asy Г1 К 2 П*=2 [ 1 —
- (min;	^/,/maxi	/=Г7й	(8-6.1)
,J ’ n	,y	’	n
где \x \ = V]^ | x£ | — норма вектора.
Доказательство. Очевидно,
| Asx | Г1 — Asy | Asy Г11 = £%, | £“»,a# X
x [£:^,44]-‘ - e :i^yP [Е-ы? x
x yp}~' I <	I maxp=T-^ jc$ (Ей,«&Г1} —
- minp=T^ {afp (ЕЙ^Г11,	(8.6.2)
где ajf — элементы матрицы A..
Пусть в выражении (8.6.2) максимум достигается при
р = Ри а минимум — при р = р2. Рассмотрим равенство
As) rV^^r1	Js> Г Vmn /y(s) 1—1 _ Ymn	V
aipi \.lji=\awa	aip2 I2jt=ia£p2] “ 2^k=\Qik *
x &>,	- Еь^аг1^. isa^r1 =
= ЕЬ, (bk - ck) a%~'] [ЕУ1«5'Г1)]-1,	(8.6.3)
где ^ = 1аЕа«'-Г1,[ЕЬ4)г1,
^ _ t(s) Vmn /y(S_1) Г Vmii nish~l
Ck — ±kp2	I	2j 1=1^2!
Далее
lip, min/= ^	[$), maxz=T^n Ш,Г' < bk!c,t <
У (max/=1^ S^/min,^ !$,)	(8-6.4)
E2-.&*=i, E^,c*=i.	_
Введем обозначения: s' = [k : bk — c*>»0, k=\ ,mn}9 s" —
~={k\bk — б’/г^О, k—\,тп]. Используя (8.6.4), получим
E*es'(bk — ck) = E*£■•='■ I— ck\ < 1 — min* tkL x
X min, l{IPl [max*max, 5/pJ-1.
166

Тогда из формул (8.6.2) и (8.6.3) следует
| Ах | Ах Г1 — А у | А у Г1 |<|ЕЙ, {Е*е*	— ck) х
X аГ" [Ей ^-1)Г‘ - E*cs» (ck - bk) a\k~l) X
X [ЕЙ, ««Г1*]-1 к [1 — (min*,p tkplrmxk.p tklf] X
x Ей, I тах,г=^“1) lS:iU^1,]-) -
— minfc=r^ a«_1) [Ей al/T1’]-1 <
’ tl
< 2 П/=2 [ 1 — (mim.p lip/max^ fi!p)2].
Отсюда и вытекает неравенство (8.6.1). Лемма доказана.
Теорема 8.6.1. Пусть для каохдого значения п случай¬
ные матрицы Н//г) = (S^^Lp / = 1, /г, независимы, случай¬
ные величины ^[7, i, /, /^iV, с вероятностью 1 положитель-
ны, ps : = I 4*1, где Л5 == Пр=, ЕЙ л: = (хх, . . . ,	—
произвольный вектор-столбец,	i=\,mny сущест¬
вуют Mln2P„, n^N,
yps = M (In ps/ap_it„} — M {In Ps/ap>n},
где oPtn — минимальная (5-алгебра, относительно которой
измеримы элементы случайных матриц еГ}, s = /? + 1, /2,
limbec lim/^oo CE2Myl% (M [у?5/а;,„] > ft | = 0, s = 1, n,
(8.6.5)
где cl = SLiMy?„ и
suprt sup.=T^MyL < 00,	(8.6.6)
для любого в > 0
limn_voo suP|S_i|^>s</j/=i^,s==i‘^zi P (Пр=5 [1
- (т‘п<./-йгл S}/”/maxi,/-uin X
X №4=1^ Ей, maxp=i7mn^<№f"1) (minp=i^n £*p’I,)—I >
>e}=0,	(8.6.7)
где	hn	—	такая	последовательность целых чисел, что
hjn ->■	0,	hn	00	при	п -> оо, и
"_1 Ей	(8.6.8)
167

Тогда для всех s £ [—5, S], где s > 0 — произвольное
постоянное число,
lim^co[M exp(*s£L=i УкпСТ1) — ехр {VJLi Ма/г}] =0, (8.6.9)
л	. isVlmcn *	.	—1
где ak = (е — tsytmcn — 1).
Доказательство. Представим yin в виде
yin = м {In I AtBk,iy \/oi-\,n} — М {In I AtBkiy |/о/.п},
где
A — TT	R	— П/г ^{n)	ГИ о («С
Л / — A lp=\ i_jр , Dk,l — А 1 р—1+\	,	у — А Ар=/г_(_1 Я,
к>1.
Введем обозначения:
8 = ВклУ | ВклУ Г1 — ВклХ I ВклХ Г',
yik = м {In I Afibjx |/o/_i,n} — М (In I А^клхУа^п).
Тогда
У In — У Ik = м {In I AtBh,iX I /4,8*,,* г' + /4,81 Л, X
X [ | Bkjx | ]_1 I-1 |/a,_i,„} — M {In | А[ВклХ X
X | А{Вклх I-' + Ар | А,Вклх | Bkjx |_l |-,|
Легко проверить, что компоненты вектора BkjX
X х/\ Bkj х\ = (du dm) удовлетворяют неравенству
тахр=!^р+17ттр=^(/р+1)].
Поэтому, используя лемму 8.6.1 и условие (8.6.7), получим,
что для любого е > 0
supk_i>hn<k>iM=rn Р (I A‘s I	х
X \Вк,*\~1Г1\>е} = 0.	(8.6.10)
Вследствие условия
| /4,81 АьВклх I ВклХ г1 г11 < 8 < 1,
выполняется неравенство
I yin — У1к\< max {21 In 11 — 8„ 11, 21 In | 1 + е„ 11},
где е„ = | е | (minAc/*)—1.
168

Используя неравенства (8.6.6) и (8.6.10) и учитывая неза¬
висимость величин yi'k— 1 и yim, k > /, найдем, что для лю¬
бого е > 0
ИгЛя-юо supk_i>hn<k>iM=—n Р (М [ | yin — yi,k—\ 12/а/.„] > е) = 0.
(8.6.11)
Рассмотрим выражение
М | Yik=\ {М (аД (М [yL/сгм] < A)/oktn) — Ма* X
X X (М [ylnloktn] < Л)} I2 =	Mx*xz	+
+ \l\b—l\>hn
где и* = М (аД (М Г^лг/сг^^] < А)/о/гя) —МаД (М
<Л).
Поскольку	=	0, то первая сумма в этом выра¬
жении стремится к нулю при п оо. Доказательство того,
что и вторая сумма стремится к нулю при п-^ оо, вытека¬
ет из доказательства теоремы 8.5.1 на основании равенства
(8.6.11). Теорема доказана.
§ 7. Центральная предельная теорема для произведений
независимых случайных матриц с положительными элемен¬
тами.
Теорема 8.7.1. Если выполняются условия теоремы
8.6.1,	то для того чтобы
lim„_vcoP [с7{ [In | П£=121")*| — М 1п|П^=1еГ)л:|]<х} =
= (2я)~7*	ехр (— у212) dy,	(8.7.1)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Лин¬
деберга: для любого т ;> 0
limn.,.*, Yik= 1 [	x2dP {yknC7' <*}	= 0.	(8.7.2)
Теорема 8.7.2. Пусть для каждого значения п случайные
матрицы Е\п) = (E//))^i=1, / = 1, п, независимы и с вероят¬
ностью 1
0<с<Н[-у/)<С< оо, 0 < с ^ xt ^ С < оо, /, /, / 6 7V,
lim	(1	—	c2C~7)h"	=	0,
..	~i	rin	iM 2 n	(8.7.3)
limn-voo n 2j^=i Щьп > 0,
limn-ycc hjn = 0, limn^oo/in = oo.
Тогда справедливо равенство (8.7.1).
169

Доказательство. Исходя из условия (8.7.3),
получаем условие (8.6.7). Теперь представим уы в виде
yi„ = М {In | Л/_ 1 ||	1 р1 S\n)BnJx | BnJx Г11/сг/—1>/2}	—
— м {In I Л,_, I	1Г1 Е\п)ВпЛх I ВпГх Г11/от),
где || Л II = max, 2, |я,7|.
Тогда для yin на основании неравенств (8.7.3) получаем
О < сх < | уы | < с2 < оо, / = 1, я, п £ N. Поэтому спра¬
ведливы условия (8.6.5), (8.6.6), (8.6.8), (8.7.2). Теорема
доказана.
Рассмотрим одно простое условие, при выполнении кото¬
рого справедливы некоторые условия теоремы 8.6.1. Пред¬
ставим yin в виде
у in = М {In [ | Ai-iE\n)Bn,ix 11 Ai^\C iBn,ix\~x}l(5i^xtn) —
- M {In [ | А^Е^ВпГх 11 Ai^CfiSx \-'}/oi,n},
где Ct — матрица размера mn X m„, все элементы которой
равны 1. Тогда
м (I yin ?!ci.n) < м {In2 f I Ai^bJx 11 A^Cfinj X
X x\~Va/.n} < max {M In2 maxt ?j'), M In2 min; — l§}.
’ П	’ П
Если 0 < с < M In2 max( E^ < С < оо,	0 < e <
•'— ' n
< M In2 ттг	.	E/f < С < oo, I = 1, /7, n £ TV, to сущест-
>/	’	n
вуют M In2 (3„ и выполняются условия (8.6.5), (8.6.6). Усло¬
вие (8.6.7) можно проверить с помощью различных простых
условий. Так, если тп не зависит от я и
lim/^eo	sup(.=T--	S=I^ P {min.=T:s $?>h} =	0,
lime4 о	inf,=l—	s=-„ P {max/=n?t > e} =	1,
M [mini/==f-^ ElfVmax^/=1— iff']2 > a> 0, p = ~n, n£N,
то условие (8.6.7) выполняется.
Таким образом, получаем следующее утверждение.
Теорема 8.7.3. Пусть для каждого значения п случайные
матрицы Е\п) = (?i/))7-Li> ^	независимы,
0 <с < М In2 шах,. tii] < с < ОО,
0 < с < М In2 mint.jy.=T^n tlf < С < оо, /? = 1, п, я 6 iV,
170

и выполняются условия (8.6.7) и (8.6.8). Тогда для того что¬
бы выполнялось условие (8.7.1), необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие Линдеберга (8.7.2).
Теорема 8.7.4. Пусть для каждого значения п случайные
матрицы В//г) = (Е^)"}^, / = 1, я, независимы, т не за¬
висит от я,
О < с < М In2 max,. /=1—	< С < оо,
О < с < М In2 min(. /=f-^	< С < oo, p=l,n, n 6iV,
inf" 'п{Р„Рг=1.2,/=Пй Iм In2 qp! — (M ln e^)2l > °>
eft = max,./=1— ей = rnin./=I—?ft.
Тогда для того чтобы выполнялось условие (8.7.1), не¬
обходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Линде¬
берга (8.7.2).
§ 8. Метод стохастических аппроксимаций. Пусть за¬
дано вероятностное пространство (Q, ©, Р) и независимые
случайные отображения F{ (со, •) этого вероятностного'про-
странства в пространство X с ст-алгеброй $8. Предположим,
что случайные отображения Ft (со, •) определены на про¬
странстве X и принимают в нем такие значения, что Ft (со, х)
при х £ X являются измеримыми случайными отображе¬
ниями.
Рекуррентным случайным уравнением называется урав¬
нение вида
=Fn(cot хп)9 n£Z0l х0£Х.
Из этого случайного уравнения следует, что
хп+] = Fn (со, Fn-\ (СО, Fn_2 (со, . . . , х0)) . . . ).
Суперпозицию таких случайных отображений обозначим
через Fn О /v_, О ... О F0.
Основные задачи, которые возникают при исследовании
рекуррентных случайных уравнений, заключаются в доказа¬
тельстве сходимости хП9 в явном вычислении распределе¬
ний хп, а также в доказательстве устойчивости решения
хп и уточнении сходимости (хп+] —Mx,+ i) (Dx,?+i)-1.
Рассмотрим задачу, связанную с изучением случайных
рекуррентных уравнений,
—>
Пусть в пространстве Rn заданы функции (х),	...
• ••> fm М 11 необходимо найти решение уравнения f (х) = О,
где f(x) = (/, (х), fm (х)).
171

Предположим, что в каждой точке хк можно вычислить
—> —>
значение / (хк) с некоторой случайной ошибкой и вместо
^	—►
f (хк), k=\, п, получим некоторую выборку fk (со, х*)
—>	—»■
независимых случайных величин такую, что Щк (со, я*) =
—^ —>
= f (хк). Метод стохастических аппроксимаций нахожде-
■—> ■—>	—>
ния решения уравнения f (х) = 0 заключается в последова¬
тельном рекуррентном оценивании этого решения по фор¬
муле, предложенной Роббинсом и Монро,
(дс*+1 — хк) аг' = (со, ЛГ*), 6 6-/V, (со) = лг, 6	(8.8.1)
где а*, /г £ iV, — некоторая последовательность действи¬
тельных чисел. Предположим, что в формуле (8.8.1)
М[/*(со, jc* (а>))/л:* (oj) = г] = 7(г), /г 6 Л'-
Теорема 8,8.1. Пусть
inf -	.	(и	—	м°)*/(и)>0,	(8.8.2)
е^||и—м®Ке—1 v	7 ' v 7	1	v 7
М |/ft (со, xk) f < d (1 + | и Г), d > 0,	(8.8.3)
E£-,am=oo, Sn=i«i<«>, «m>n,	(8.8.4)
Тогда с вероятностью 1
limm-voc (со) = Xq,
где x0 — решение уравнения f (x) = 0 (см. [41).
Доказательство. Пусть от — а (хь ..., ,vm).
Из уравнения (8.8.1) и неравенства (8.8.3) получаем
М {||jcm+i ||7am} = 1 хт |Р 2amx'mf (хт) +
+ «тМ {II fk (со, хк) ||/a,„} < II хт |р — 2amx'mJ(хт) +
+ amd (1 + 1 хт |р) < 1 хт |р + afnd (1 + || хт ||2) =
= I хт IP (1 + c4d).
Введем обозначение
ит = II хт |р П£=„, (1 + aid) + Yik=m atdnZ=k+i (1 + aid).
Очевидно,
M {u,n+l/om} < ит.
172

Поскольку о (хи ..., хт) = о (ии ..., ит), то
М {ит+\/ии . . . , ит)
Следовательно, ит является полумартингалом и Mwm+i <С
С М«,„ с оо согласно условий (8.8.4).
По теореме о сходимости полумартингалов (см. [3])
последовательность ^ сходится с вероятностью 1. Тогда
с вероятностью 1 сходится и последовательность || хт || к не¬
которой случайной величине £ (со). Не ограничивая общ¬
ности распределений, положим, что и0 = 0. Докажем, что
с вероятностью 1 £ (со) = 0. Используя неравенство (8.8.5),
имеем
МII х,п+1 II2 < м II II2 + Ел=, a*d (1 + МII II2) -
— 2 ££=1 akNixkf (хк),
откуда
2 SS.1 a*Mxkf (хк) < МII II2 -Щхт ||2 +
+ SS-1 aid(l +М|**В2)-
Тогда
SS=1 akMxkf{xk) < оо.
Теперь на основании соотношений **/(**) ^0 и	=
= оо вытекает, что существует подпоследовательность
такая, что с вероятностью 1 lim^oo xpf {xk') = 0 и с веро¬
ятностью 1 Н (со) = 0. Теорема доказана.
При некоторых условиях на величины ak найдем оценку
—>
скорости сходимости последовательности хк к решению
*—>	^
уравнения f (xk) = 0.
—> ■—>
Предположим, что решение х0 уравнения f (х) = 0
единственно и в окрестности этого решения функции
—>	—>
fk (со, х) можно представить в виде
fk (со, х) = Вк (со) (х — х0) + eft {х — х0),	(8.8.6)
—> —>
где Bk{со) — случайные матрицы, MSft(co) = S, еk(z) — слу¬
чайные векторные функции,	Q	/Vle^	(z)	=	0.
Используя равенство (8.8.6), представим формулы (8.8.1)
в виде
{хк+1 — х0) = (хк — х0) + [fift (xlt — х0) 4- 8ft (xk — x0)\.
(8.8.7)
173

Обозначим tjk+\ = (лг/г+i — х0) 7/e+i, где — некоторые неслу¬
чайные числа. Тогда выражение (8.8.7) примет вид
Ук+i = V/e+iT/71 (/ + ockBk) yk + а^+1е.^ (*Л — х0)у
откуда
Ук — Рл + Sp=1	Л^рр_1,	(8.8.8)
где = akyk+lsk (** — *0). Аи = Yn-iYft"' (1 +akBk), |30 = у0.
Предельные распределения для сумм (8.8.8) уже рас¬
сматривались в предыдущих параграфах. Используя их,
можно найти условия, при которых распределения yk схо¬
дятся к нормальному закону.
§ 9. Распределение ошибок округления в методе Гаусса.
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений
Ах = bt где А — (ail) — квадратная матрица п-то поряд-
—>	—>
ка, х = (хи ..., хп)у b = (Ь1у ..., Ьп) — вектор-столбцы.
Для упрощения дальнейших вычислений будем считать^
что dij Ф 0, i, / = 1, п, det А Ф 0. Предположим, что числа,
полученные в результате арифметических операций на ЭВМ,
округляются с некоторой ошибкой. Вопрос о том, является
ли эта ошибка случайной величиной или нет, сложен.
Для заданных двух чисел такая ошибка не является случай¬
ной величиной. Между тем для большого количества пар
чисел полученные ошибки можно рассматривать как вели¬
чины, поступающие с некоторого датчика псевдослучайных
чисел, и поэтому их можно считать случайными, распреде¬
ленными в некотором интервале.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических
уравнений Ах = b заключается в преобразовании матрицы
А к треугольному виду. Решение х, получаемое этим мето¬
дом, равно х = riLi Тк П/г=1 ТкАЬу где Тк — оператор, ко¬
торый действует на любую матрицу В = (btj) п-го порядка
так, что превращает элементы biky i — ky пу в нуль, элемент
Ькк — в единицу; Тк — оператор, который действует на лю¬
бую матрицу В = (bij) так, что превращает элементы
i=\yk—1, в нуль. Произведение Пк==\Тк берется в по¬
рядке убывания индекса /е, а \\’1=\Тk — в порядке возрас¬
тания индекса /е. Очевидно, результат действия операторов

Tk и Tk на матрицу В можно записать в виде
TkB = Тк (В) В, ТкВ = Тк (В) В,
где Тк (В) —треугольная матрица, В дальнейшем под вы¬
ражением ТкВ будем понимать произведение матриц Тк (В)
и В.
Если вычисления ведутся с ошибками, то вместо вектора
х получим
Л
X = Тг(и>){. .. (Т2(<х>)(Т1 (со) 6 + у + у ••• +Ы, (8.9.1)
где Тк (со) (Тк (со)) — матрица, которая определена матрицей
Тk—1 • • • (Т2(ТгА + 2Х) + ^2) • • •	О»
(Г2(ги + аг) + з2) ... +за+Л)),
Ег- — некоторые случайные матрицы ошибок, которые зави¬
сят от матриц Зь ..., Sа £t- — случайные векторы оши¬
бок, которые зависят от случайных векторов ..., |/_!
и матриц Еь ...,
Из формулы (8.9.1) получим
х = Хр=2 П2-, Тк (со) П?=„ Tk (со) g, +
+ SLi П?=/Г* (со) In+1 + nLiтк (со) njL,^ (со) b. (8.9.2)
Чтобы найти предельное распределение сумм (8.9.2), можно
использовать результаты предыдущих параграфов.
§ 10. Предельные теоремы в теории оценивания пара¬
метров систем управления. Математические модели неко¬
торых дискретных систем управления задаются с помощью
рекуррентных уравнений
Уk = ®Ук— 1 + fr/г— 1 + Bfe, k = 1, /г,
где 0 = (0//)"/=i — неизвестная матрица; */0, Ьк, k^Ny—
известные векторы размерности га; yk, k£N,— наблюдае¬
мые векторы; гкУ k^N,— независимые случайные векторы.
Оценку @П' матрицы 0' найдем из уравнения
zk— \Zk—10/1 = Sfe=l Zk—lZky

Из этого же уравнения
22=1 Zk—\Zk—\ (©/7 —	=	22=1	Zk—l&k.
Если Ме/г = 0', ТО при условии, ЧТО 2L2= 1 -г/г 12Г/е 1 ф 0,
Л
п £ N, оценка ©„ является несмещенной. Докажем, что при
некоторых	дополнительных условиях	она	будет состоя¬
тельной,	и	найдем	скорость сходимости	0„	—	0 к 0 при
/1-> оо в смысле сходимости распределений.
Теорема 8.10.1. Пусть случайные векторы гк = (е^, ...
8m/<), k £ Nу независимы, supitJ Мб// < оо,
sup/fel мЛ|| < оо,	(8.10.1)
где uk = ©Vo + £?=/ ©\_/, м
supj #*||< оо,	(8.10.2)
нпи.» II {л-12JU (SLi (SL. ©‘я *©'')} | > о
при Rk = Ме/ге*,.
Собственные числа матрицы 00' меньше 1.
Тогда
М ехр {/]/nSp Q [©„ — 0']} = ехр { — п~х [22=i Q'A'Rk X
X QAuky uk) + 2д=1 Sp 0 Q'A'RkAQ@ Rk]} +0(1),
где Q — матрица параметров, A = 22=i ukuk + 2*=i X
X Rk-iQl.
Доказательство. Очевидно,
Zk = © Уо + 2*=1 © (е/г—/■ + bk—i)y
22=1 MZ/j—iZ/e—i = 22=1 [+г^/г + 22=1 ©*/?£—/@ V
2=1 (Zfc—iZ/j—i —MZ/г—iZ/e—i) = [©Vo + 22=1 ©Vfc—/] X
X [22=1* © £k—l]' + [2* = 1 ® &k—i] [©Vo “Ь 22=1 © bk—lY +
+ 22,/=l © [S/г—fill—I —	/6//]	© .
Используя условия теоремы 8.10.1, легко видеть, что
рНпь-со гГх 22=i {Zk-\Zk-x — fAzk—\Zk—\) = 0. (8.10.3)
Г7 —*	—
Докажем, что распределения сумм /г-1^ 2*=iz*—i ^ асимп¬
тотически нормальны. Вследствие предельных теорем для
176

сумм мартингал-разностей (см. § 7, гл. 4), имеем
М ехр {m~'/2Sp [Q ELi zk-\tk\} = ехр {—n~l х
X [ELdQ'RkQUk, и») + ELi Sw Spe'Q'^Q©^]} +0(1),
если выполняются следующие условия:
рПшл-оо гг1"1 ELi [(Q'#*Qz*_i, zft_i) — M,(Q'RkQzk-U z*_1)]-=
= 0,
lim„^co n~2 ELi M | (Q'RkQzk_u z*-i) |2 = 0,
supn n_1 ELi M {Q'RkQZk-1, zfc_i) < oo.
Справедливость этих условий вытекает из условий на¬
стоящей теоремы. Теорема доказала.
Глава 9
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК
ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В этой главе рассмотрены предельные теоремы для част¬
ного вида борелевских	функций случайных	величин
fk	•••> In) = где	Ъ* > ••• > In — упорядоченные
по возрастанию величины
§ 1. Предельные теоремы для порядковых статистик за¬
висимых случайных величин в схеме серий.
Теорема 9.1,1. Пусть заданы случайные величины
k ~ 1, п, п £ N, упорядоченные по величине,	^	...	^
^ tnn ^ 0 и пусть
рПгЛп-юо ELi [М	{(1 + lLr'/оы}]2 = о,	(9.1.1)
sup„ ELi м (1 + $£)~1 < <*>•	(9.1.2)
Предположим, что почти для каждого х
plirrin-M ELl	rf[p	{lkn<ylokn)	—
— Р <*/}] = О	(9.1.3)
E?=i[l-F((z)]=*>*(2),	(9.1.4)
7 2-774	J77

где функция k (z) непрерывна и ограничена для всех z > О,
Fi (г) = Р {tin <. z}, Gkn — минимальная о-алгебра, относи¬
тельно которой измеримы случайные величины tk+\ п, ...
• • • » i/Zrt-
Тогда для любых целых kx > k2 > ... >	> 0 а дейст¬
вительных чисел хт ^ xm_i ^	^	хх > О
1 j ПЗ/2 —V со Р {Н/г,П <С Xif tfi2n <С ЛГ2, . • . ,	^	—
= (— 1)т [(6т — I)!]-1 ехр ■(— k (гх)) dk (2г) ПГ=7' {[(£(. —
-ki+i - I)!)-1 Р;+’ [Л (г,) - k(zi+l)]kc~!4+l~ldk(zi+l)} X
Х[й(2т)]^-‘.	(9.1.5)
Доказательство. Если	<	00	>	то
Sin = [EJU l/^'l [ VLi ЙпГ1 + “s.
ё„ = [EiU - (li’,/+1] [E2-i lb, - (Q;T‘ + Pp. (9-1.6)
и Т. Д.
lims-.ccas = 0, limp^.00 Рд = 0.
Согласно условию (9.1.1),
M ехр {— q ELilL} = ехр {E*=i Щ (ехр (— qiL) — 1)} +
+ о(1),
где q > 0 (см. § 1, гл. 4).
Отсюда, вследствие (9.1.2), получаем
ПтА^ооПтя..еоР{Е2-1Йп>Л} =0.	(9.1.7)
Используя условия (9.1.1) — (9.1.3) и доказательство теоре¬
мы 4.1.1, получаем, что при s ;> 2
М ехр {iq1 \1=\ & 1 + tq2 IjaUi lln — Уз &т] =
= М ехр {Е£=1 !м ехр [iqjtlf1 + iq£kn — q3fkn\ — 1}} -f о (1),
Чз>0-
Из этого соотношения найдем, что почти для всех х, у
и г для любого фиксированного s
р {V2-1< х, EL. &, < у, Ег=1 й» < z} =
= р {ELi ' < *, EZ-1 Л*»! < У> 'Sft=i Л/« < г} + о (1),
(9.1.8)
178

где случайные величины r[kn, k = 1, я, для каждого значе¬
ния я независимы, и \\kn ~ lkn (см. § 2, гл. 1).>
Исходя из условий (9.1.8) и (9.1.6), получим, что почти
для каждого л;
р {iirt < х/У,к=1 fkn < с} = Р {T]i'n < х/££=1 TiL <С} + asn,
где lims_voo lim;wcoOcsn = 0, v\ln — упорядоченные по возрас¬
танию величины г]kny k= 1, я. Тогда на основании равен¬
ства (9.1.7), ЕГл — лГи-
Аналогично, используя формулы (9.1.6), получаем, что
для любых целых k±> ... >> km > О
• • • > 'ik п) ~ {Ц^Пу • • • ,
Разобьем интервалы ] 0, xL[y i=\, m, точками 0 =
= z[L) < 4° < ••• <	и пусть	= 2/+i — z/°, I =
= 1, s, — 1, i = 1, Я2.
Введем обозначение
p {Л/„ < гР,-ь л/„-1 < 4-ь • • •, n/ft.+i < zpV-m/ft, 6
€ [2Р,\ 20,—1 I. Zp!	/7г,—1	2Рг—Ь ^	-	<'-	ZPr—	1'	•	•	•
^г<2)	СГ?<2> 7(2) 1	-,<«1-0	^
• • • »	г1//г2+1	^	ь	Л//г2 t » 2р2—lb • • • , гРт—I ^
<ГТ1	^ -7{т) П	СГ7(Ш)	7(т)	^	7{т)	^
^ 1>/ftm+l < ZP,n'	zPm.	ZPm-V’ ZPm^
Y4	~(m)	\	  TyPiPi-'-Pfn
<1Ч-ь	< л/х! -P-l)/2 ft
где /х,	—	перестановка	чисел 1, 2, ..., я; pt, i = 1, m,—
целые числа.
Расположим величины г),-,	/= 1,	я, в порядке возрас¬
тания гц,г^ ••• ^т]шг. Вследствие	равенства	(9.1.8)	имеем
P/i ■ = Р {?М Xlf . . . , \kmn ^m} = Р {Л/г,/1	•	•
• • • , Чктп< Хт\ + 0(1) = НтДг^а/=1— Е PPi**;yn +,<4*),
где суммирование ведется по всем возможным значениям
не равных между собой индексов //г,, ... , jktn и по всем
непересекающимся выборкам (/,<,_ь ... , jki+1), ... , (/„m, ...
... , /\) чисел 1,2, ... , я, из	которых изъяты	числа	jkl9 ...
••• . ikm, Pi = 1, sh i = 1, m.
7*	179

Очевидно,
Р» = ИтДгг0,/=ГЙ Е/ /* E?,=l F''>	•	•	•
t	кт
• • • V* (^-.) [f (4?) -	(^V-i)l	П?=1	X
X {S£U, Т tf, *£+) S,Vl W+1+1, IV. (z+Ll -
-Vi О ••• IVO-^.^X
x iv, <0 - V> -1)]}	 /,)	и	-
- v.(0 ••• 4-F'.(0.
где
(1, u?Cv,
Г (ы, y) = |0 ц > v F( (и) = P {»),„ < «}.
Рассмотрим выражение
= E« im) (*) — ft, (2)1 • • • lF i,n (*) — f im (*)! =
= (яг!)-1 [Ep=i [fp W - Fp m'n + 0n (tn),
где
0n (яг) = — E (Pi1 ■■■ PJV1 [Fl W — F1 (z)]Pl . ..
... [Fn (x) — F n (z)]4
Суммирование ведется по всем Pi = 1, п, E?=iP; = яг и
среди чисел pL хотя бы одно больше или равно 2, (+ ...
...+т) — выборка т чисел из 1, 2,	/г.
После несложных преобразований находим
10П (яг) К ((яг — I)!]-1 sup/=ur [F, (х) — Ft (г)) х
X [Ep=i1 Fp(x)-FD(z))]'n-\ х>г.
Используя это неравенство, условие (9.1.4) и то, что вели¬
чины 1]/,7, i = 1, я, бесконечно малы, получаем
lirrvoo 0„ (т) = 0.
Следовательно,
Уп = [к (г) - к (х)]т + о(1).	(9.1.9)
Аналогично
Fln (х) ... FiI (х) = exp (— k (*)) +	(9.1.10)
180

где/„, ... , lx — перестановка чисел 1, ... , п, alimn_.coе/”?../, =
= 0 равномерно относительно /„, . . . , /х.
Согласно равенствам (9.1.9) и (9.1.10),
Р» = limA*^o.i-uS 2/fc, //em Sp,-| exp {— k (Zp.Li)} X
X [F/4i (z'V) - /% (Zp.L,)] ПГЛ1 Ц+*_, [(*, - *,+, - l)!)-1 x
x Г (Zp], z^L,) [k (zg) - k (z^L,)]'^^'-1 x
X [F/VH1	0] [(*„ - I)!]-1 [Л (z™)]*" -1 +o(l) =
= limA*f-o./-rsi Ep,=i exP i— (4?-i)} I* (4?-i) —
-k(ziV)] nr=7‘ {Sj+'-i K*< -fc+1 - I)!]-1 F(z{,‘\ Zp.y,L[) x
X [Л (Z«) - k (z^'Loi'^+i-1 [6 (Z^L,) -
- k (Z^!)]} l(km - l)!]-1 [k (zTJ)]kn~l + 0 (l>-
Отсюда, так как функция к (г), z > 0, непрерывна и
ограничена, приходим к утверждению теоремы 9.1.1. Тео¬
рема доказана.
Из этой теоремы следуют равенства:
Urn*.,,*, Р {lln <х) = — [(к — I)!]-1 х
X ^ exp {— k (z)} [k {z)]k~1 dk (z)
для всех k > m,
lim„^.co p 1 Ikn < X, lmn<.y} = [(m — 1 )\{k — tn— I)!]-1 x
X ^ exp (— k (zx)) dk (zx) [k (zx) — k (z2)]/!_m~1 x
x [k (z2)f-‘ dk (z2).
Если функция k (z) дифференцируема, то
lim„.« P {lln < x} = exp (— k (x))	H!]-1 [k (*)]m
Обозначим выражение, стоящее в правой части равенства
(9.1.5), через F (хъ ..., хт> к (•)). Функцию h (п) называют
медленно меняющейся, если для любого t > О
liтп->оэ [h(tn)/h(n)] = 1.
Следствие 9.1.1. Если случайные величины Ьп (дополни¬
тельно к условиям теоремы 9.1.1) равны (^ — ап) где
181

?i> i £ одинаково распределены, и распределения ве¬
личин принадлежат области притяжения устойчиво¬
го закона с характеристическим показателем а (0 < а <
<2),
Ншп^ооП [1 — р {(£, — ап) с“‘ <«}] = и~а, и> О,
сп = nUah (и).
Тогда для всех ^ > • • • > km, хт > • • • > х{ > О
ПгПгс-»с« Р {£к,Сп < Xlt • . . , ЪгтСп ■'С -tm} =
= /** (-£j,	- . .	,	Я/7),	^ ( '))»
lirrin-co Р {lJmc7l <Х)= e-x~ar V^ntm!)-1	х/\
где
*<./4	\и~а<	0	< а < 2,	•;/«., ч
А (“) = (о а = 2 С" =	(Л)’	“ > ’
•••, S/i — порядковая статистика, образованная из
величин ....,
Доказательство. Поскольку распределения
величин принадлежат области притяжения устойчивого
закона с характеристическим показателем а, то Нт,г^со/г X
X [1 — Р {Ни — ап < хсп) I = k (х) (см. [51)
Далее нужно использовать доказательство теоремы
9.1.1.	Следствие доказано.
§ 2. Гипотеза Вигнера. Энергетические уровни тяжелых
атомных ядер при высоких энергиях расположены весьма
близко друг к другу и найти их практически невозможно,
даже если известен гамильтониан системы. В связи с этим
Е. Вигнер предложил рассматривать статистическую модель
высоковозбужденных состояний тяжелых атомных ядер,
в которой сложные ядра рассматриваются как некоторая
«черная полость», а частицы, из которых состоит ядро,
взаимодействуют друг с другом по неизвестному случай¬
ному закону. Центральной проблемой является выбор ма¬
тематической модели таких систем Е Вигнер в качестве
модели ансамбля сложных атомных ядер выбрал эрмитову
матрицу большой размерности, элементы которой явля¬
ются независимыми случайными величинами с нулевыми
математическими ожиданиями, одинаковыми дисперсиями
и ограниченными моментами. Эта модель гамильтониана
182

системы является наиболее простой и не удивительно, что
нормированная спектральная функция такой матрицы не
имеет ничего общего с распределением уровней в ядрах.
Предельная спектральная функция для нормированных
спектральных функций эрмитовых случайных матриц, опи¬
санных выше, была найдена Е. Вигнером. Плотность ее име¬
ет вид полуокружности, и потому эта спектральная функ¬
ция была названа полу круговым законом Вигнера [18].
Чтобы достичь согласованности между теоретическими и
экспериментальными результатами, можно теперь услож¬
нить статистическую модель атомного ядра, считая, что
элементы случайной матрицы имеют различные распреде¬
ления или являются зависимыми случайными величинами
[2]. Однако оказалось, что статистическая модель ядра,
предложенная Е. Вигнером, хотя и не согласуется с эмпи¬
рическими плотностями энергетических уровней атомных
ядер, весьма удобна для исследования теоретического зако¬
на расстояний между соседними уровнями. Остановимся на
этом более подробно. Во многих работах было указано, что
«отталкивание» между уровнями одинаковой симметрии
должно привести к исчезновению в спектрах атомных ядер
уровней со сколь угодно малыми расстояниями. Такое
поведение энергетических уровней подтверждалось также
экспериментальными данными. Е. Вигнер предложил сле¬
дующую гипотезу: в последовательности большого числа
уровней, удаленных в среднем на расстояние D друг от
друга и имеющих одинаковые значения всех поддающихся
идентификации квантовых чисел, таких, как момент коли¬
чества движения и четность, вероятность встретить два
уровня на расстоянии между t и t + At равна
Q (0 dt: = (2D)-1 nt ехр (— nt4~lD~2) dt. (9.2.1)
В качестве математической модели для проверки этой
гипотезы снова была выбрана модель, предложенная
Е. Вигнером. Мехта и Гуден [18] нашли плотность р (t)
расстояния между двумя соседними собственными числами
случайной эрмитовой матрицы, элементы которой, располо¬
женные на диагонали и выше ее, независимы и распределе¬
ны по стандартному нормальному закону. Эта плотность
отлична от величины (9.2.1), но не намного (sup, | Q (t) —
— Р (О I ^ 0,0162). Поэтому для практических целей гипо¬
теза Е. Вигнера пригодна.
Ниже рассмотрим формулу для усредненной функ¬
ции распределения расстояний между соседними собствен¬
на

ными числами некоторых случайных матриц. С помощью
этой формулы и предельных теорем для борелевских функ¬
ций случайных величин получено утверждение, которое
уточняет результат Гудена и Мехты.
Пусть Хг ^	^	••• > К — собственные числа слу¬
чайной симметричной матрицы S и матрица S такова, что
у случайных величин существует плотность р (xlt ...
..., хп)у Xj > ... > хп, и р симметрична, т. е. не изменяется
при одновременной перестановке переменных. Введем спект¬
ральную функцию
случайной величины, равной расстоянию между двумя со¬
седними собственными числами.
Очевидно, вследствие симметричности
где L£ — множество значений переменных yh I Ф i, i + 1,
среди которых i — 1 переменных больше yt1 а остальные
меньше yi+1. Тогда
где R — множество действительных чисел на прямой.
^Дифференцируя это равенство по х, найдем
Функция 0„ (х) равна средней функции распределения
X
х$ ... j р (Уи ..., Уп) rw.
(dldx)Qn(x) = n >!)	•••
Р {У1’ У‘~и у< + *’ У‘+и • • ‘ ’ Уп) Х
J у j+x, у j[
(9.2.2)
184

Представим равенство	(9.2.2) в виде
(д/дх) 9„ (х)	= л~‘ (п!)-'	2w	dy,	J*4J?/.+x,y.(	•	•	•
"• S*xJy,+^/(^’ •••’ У1~и У1+и *••• ^)Х
х	еп(дг),
где
е„ (*) = (д/дх) [«-‘М 2"=/ F(x — (Kt — %l+{)) X
х F (| Я.,+, | — с)], с > 0.	(9.2.3)
Кроме (д/дх) 0„ (х), рассмотрим спектральные функции
(д/дх) кп (х, с) = (д/дх) 0„ (х) — (д/дх) г„ (а;) =
= (д/дх) Щ-'М 2?=/ F(x — (К - Я.,+1)) F (с — | Xi+] |)].
После соответствующих преобразований получим
(я!) 1 Ew	•	•	•	»	yn)Vi=v,„ru	X
X пкфи1йук = (л!)-1 (dVdudv) ^Дх]цо[
• • • ]U Р (У\, • • - , Уп) HLi dyk = (дУдиди) р (и, v),
где р (и, у) — вероятность того, что все собственные числа
лежат вне интервала Iи, vl.
На основании этого равенства и равенства (9.2.3) фор-
мула (9.2.2) принимает вид
0„ (*) = л-1	(d2/dudv) р (и, v) u=y,v=2+y dydz +
+ j*e n(z)dz.	(9.2.4)
Аналогичная формула «на физическом уровне строгости»
была выведена Гуденом и Мехтой [18].
Воспользуемся теперь оригинальным методом исследо¬
вания формулы (9.2.4), предложенным Мехтой и Гуде¬
ном [18].
Пусть р {уи уъ ..., уп) — плотность собственных чисел
эрмитовой гауссовской матрицы:
с ехр (— 2?=i ХЬ Ц> ,(Х{ — Xj)2, хг> ••• > хп,
с_, = 2 п{п , )/2 п, Пп/2 Пп_, /к
Для такой матрицы
р (и, V) = (л!)-1 J ... J §]Bi0[ det [фй_! (Xi)fk^-n П?=1 dxit
185

где
Ф, (х) = (2'/! Vп)~'/! ехУ2 (— д/дх)1 е~х\
Воспользуемся следующей формулой:
det [ 1! ф‘ ^ ф/ ^ ЛХ] = П • • • Sa det2 (ф“' ^ ^"=<dx/‘
(9.2.5)
Тогда получим
р (и, v) = det [ б(7 — ^ ф,- (х) ф j (х) dx j.
При изучении предельных теорем для таких детерминантов
используем интегральные представления (см. гл. 1)
р (и, v) = [м ехр {J" (Е/-1 Л<Ф< (*))* dx}}~2.	(9-2-6)
где i £ TV,— независимые случайные величины, рас¬
пределенные по нормальному закону N (О, V2*).
Исходя из последнего равенства, запишем кп (х, с)
в виде
Мх„ (х, с) = n~l ^ ^ dy ^2р 3 (и, v) X
X [М ехр {£] (£ П«Ф« М)2 dx} (S ЛгФ( fa))2 (£ Л«Ф, («))2 —
— Зр-' (и, v) М ехр |	(V Л«Ф< W)2 dx J (£ Л<Ф< fa))2 X
X М ехр	(Ц Т1,ф£ (х))2 dx j	(£ Л/Ф, fa))2]„=i, ц=г+г/ dz•
Введем обозначение
ехр {^ (Ц л«ф< (X))2 dx} = I («, у).
Тогда
Мх (г, с) = п~1	^	<*г/ {2р—3 (г/, * + у) X
X [MS (г/, х + у) (£ т),ф,- (г/))2 (£ ri.cp* (х + у))2 —
— Зр-1 (у, х + у) Щ (у, х + у) (2 т^ф, (у))2 X
х ME (у, X + у) (£ Т1.Ф,- (X + г/))2]) dx.
Подставим вместо г, с величины	сп-1/*	и	сделаем
замену переменных у =	л;	=	vnr1^. В результате
найдем
Мх (гп~ч\ сгГ,/г) = п~] ^ ^ dy {2р~3(уп~ч\ (х + у) n~'h) х
X [ME (yn~v\ (х + у) п~'/2) п~' (£ г)#ф# (yn~'h))2 X
186

х (£ %Ф; ((X + у) n~'uf — Зр-1 (уп~ч\ (х + у) п~'и) Щ х
х {уп~ч\ (х + у) п~'ы) п~'/> (XI грф, (уп~'/г))2 М| х
X (уп~ч\ (х + у) п~,/!) п-‘л (X ri.-ф,. ((* + у) /г-'/г))21} (9.2.7)
(переменные «нов полученном интеграле обозначены через
У, *).
Найдем предел p(#/2~~v\ (х + */) n“l/2) при п-+оо.
Очевидно,
P(«/«~‘/s, (* + у) п~'и) = [М ехр {£*Лп(г +
где
Лп (О = S7-i f)/9i	я_,/\
т1п (0 — гауссовская непрерывная с вероятностью 1 слу¬
чайная функция, для которой Мт|п (/)'= 0, а ковариацион¬
ная функция
/?„ (,', s) = гГ4' V"-n‘ ф. (ln~‘,s) ф, (sn~'/!).
Докажем следующую лемму.
Лемма 9.2.L r]n (t) =^> ц (/), —оо < t < оо, еде r| (t) —
стационарная гауссовская случайная функция, Мп (t) = О,
R (t, s) = [л-1 sin (t — s)| (/ — s)-1.
Доказательство. Пусть p0 (x), ..., pn (x) — n
ортогональных многочленов и kn — коэффициент при стар¬
шей степени многочлена рп (х). Для таких полиномов спра¬
ведлива формула Кристоффеля — Дарбу [141
Х7=о pi (х) Pi (у) = Мл-н (х — у)~1 х
X \Рп+1 (X) рп (у) — рп (х) Рп+1 («/)]•
Используя эту формулу и определение многочленов Эрмита
Нп (х), получим
Х?=0 Ф< (х) ф(- (у) = Vп/2 (х — у)~' X
X |ф„ (х) Фп_1 (у) — ф„ (у) фп_1 (дг)|,	(9.2.8)
Для полиномов Эрмита Нп (х) справедлива следующая
асимптотическая формула [141:
Г (п/2 + 1) \Г (п + 1)]“’ ехр (— х2/2) Нп (х) =
= COS ((V~n х — пп/2) +
+ б~1х?п~ч* sin (|fnx — пп/2) + о (п~1).
187

Учитывая, что
Ф,- (*) = (2'/! Vп)-,/г ехр (л:2/2) (— dldx)' ехр (— х2),
Г (п -г \) (2"я! ]/п)-‘ [Г {п/2 + 1)Г' = 2‘ля-,/г/г-’л + о (1),
(9.2.9)
получим
Ул пи2~4,Ф, (хп~'к) = (— 1)"/2 cos л: + о (1), (9.2.10)
если п четное, и
Кяя'^-’ЧрДлл-'7’) = (— l)(n~1)/2sinx + o(l), (9.2.11)
если п нечетное.
При доказательстве равенства (9.2.9) мы воспользова¬
лись формулой Стирлинга
In Г (п) = In У 2л + (п — я-1) In я — я + 0 (12я)-1,
0<0<1.
Подставляя значения (9.2.10) и (9.2.11) в формулу
(9.2.8), получим
я~'/г Е/=о ф/ (хп~Чг) фу (уп~1/г) = 2“'/г {[Уя я7‘2—7< х
X ф„ (лтг~'/г)] []/я я‘/42-'лфп_1 {уп~'и)\ —
— [J/я я1/42-1/‘ф„ (уп~Чг) У я я‘/42-‘Лфп_1 (лтя-1/г)]} X
X (xn~'h — yn~vT] У2 я-‘/гя-1 =
= я-1 (х — у)~’ sin {х — у) + о (1).
Лемма доказана.
На основании леммы 9.2.1
linwco р (уп~Х/\ (х + у) п 1/г) =
= [м ехр {jflTi2(2 -j- y)dz)\ ,	(9.2.12)
I (уп~ч\ {X + у) n~'h) => ехр if (2 + У) dzj, (9.2.13)
n~'h (ИгЛсФ, ((* + У) я-1/г))2=> rf (х + у).	(9.2.14)
На этих формулах базируются следующие утверждения,
которые доказали Гуден и Мехта.
Теорема 9.2.1. Если S — случайная гауссовская эрми¬
това матрица, то предел вероятности того, что собст¬
венные числа матрицы S не попадут в интервал laTv%
188

p7Vf[, равен
[M ехр (z) dz}]~2 = Пы (1 — |х*)*	(9.2.15)
где i-i; — собственные числа интегрального уравнения
я”1 fр (х — уГ1 sin (x — y)f (у) dy = %f (х), х 6 ] а, р [.
(9.2.16)
Доказательство. Процесс rj (г) разложим в
ряд	'	_
Л (г) = £/=оЛ/>ЛчФ/ (2),
где ф; (z) и р, — собственные функции и собственные числа
интегрального уравнения (9.2.16).
Отсюда и следует утверждение данной теоремы.
Теорема 9.2.2. Если S — эрмитова гауссовская матри-
ца, то
limbec пМкп (хгг~ч\ err'1*) = 2с J* (d2/dy2) q (у) dy, (9.2.17)
где q (z) =	(1	—	р; (г)) и р, (г) — собственные числа
интегрального уравнения
я-1 j* {х — г/)-1 sin (х — y)f (у) dy = Kf (х), л: € [0, г]. (9.2.18)
Доказательство. Используя формулы
(9.2.12)	— (9.2.14), преобразуем равенство (9.2.7) к виду
пЬ\хп (хп~ч\ сгГ1'2) = ^dydx (2р“~3 (у, х + у) X
X [ME (у, х + у) т]2 (у) т)2 (х + у) — Зр~’ (у, х + у) Щ X
X (у, х + у) yf (у) ME (у, х + у) г\2 (х 4- у)]} + о (1), (9.2.19)
где р (у, х + у) = [м ехр {+2 (2 + у) dz)\ ,
1{У> х + У) = ехр {jo л* (2 + У) d2} •
Очевидно, выражение, стоящее в правой части равенства
(9.2.19), равно
К dx dy ((d2/dudv) р (и, v)~ \=у,и=х-\-у + 0(1).
Поскольку т] (/) — стационарный гауссовский процесс, то
р (и, о) = р (и — v). Отсюда на основании теоремы 9.2.1
получаем равенство (9.2.17).
Чтобы найти предельное распределение расстояний меж¬
ду двумя собственными числами, мы использовали не весь
189

спектр матрицы S, а только некоторую его часть. Сначала
«растянули» спектр, т. е. умножили разности	на
Vпу а затем ограничились только теми Xh которые малы по
величине.
Теорему 9.2.2 можно применить для гипотезы Е. Вигне¬
ра следующим образом. Пусть в некоторой области (напри¬
мер, 1—евп~чАу е > 0 — произвольное постоянное
число) нужно измерить энергетический уровень атомного
ядра (в нашей математической модели это означает, что из¬
меряем собственное число), а затем измерить расстояние
его до ближайшего от него (справа) энергетического уров¬
ня. При этом считают, что в интервале I —еп-1^, еп_1/*[
находится только один энергетический уровень. Это рас¬
стояние, очевидно, будет некоторой случайной величиной и
распределение ее в предложенной Е. Вигнером модели
равно
(*): = SL.P {Ь, - Ь,+1 < х, \Х,\< гпч\ \ кк \ >
> гп~ч\ k Ф t} 2?=i р {| КI < еп-‘/г, | К | > гп~'и,
k Ф t})-1.
Используя вывод формулы (9.2.17), получаем, что
linWco Д„ (хп~'/г) = [е j* (d2/dy2) q (у) dy +
+ 6 Jo (d2/dy2) Я (у) dy\ [е Jo (d2/dy2) Я (у) dy +
+8(d2/dy2) я (у) dy]~l•
Перейдем к пределу при е О,
Ише-.о Пт„_оо Д„ (хп~,/г) =
= jo (d2/dy2) q (у) dy [ J “ (d2ldy2) q (y) dy]~\
Глава 10
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В МНОГОМЕРНОМ
СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
§ 1. Предельные теоремы для обобщенной дисперсии.
—>	—>
Пусть дана выборка наблюдений х1у ..., хп над р-мерным
случайным вектором размерности р, п> р. В качестве
оценки вектора математических ожиданий возьмем х : =
190

~n xY!k=\Xfo а оценки ковариационной матрицы s : =
= [п — ll”"1 $]/Ui (xk — x) (xk — x)'. Обобщенной диспер-
—>	—>
сией выборки хи ..., называется выражение det s.
—> _
Если векторы	i =	I, /г, независимы и распределены
по многомерному нормальному закону N (т, /?), то распре¬
деление del s хорошо известно, оно равно распределению
случайной величины det R (п — 1)р П"=РХ2, где X? — не¬
зависимые случайные величины, распределенные по
Х2-закону с i степенями свободы. В общем случае распределе¬
ние det s имеет громоздкий вид, во многих задачах числа п
и р велики, поэтому представляют интерес предельные теоре^
мы для распределений det s.
Очевидно,
det s =		*р=1 det [zik.zikj\lHV
где Zij - хц — n~l Vy=1 xij.
Отсюда следует, что det s является £/-статйстикой.
Если п -> оо, а р = const, то для det s применимы предель¬
ные теоремы главы 6.
Докажем предельные теоремы при условии Пт^ооРя =
= оо, ПгПя^со пр7] = оо. Для упрощения формул индекс
п величины рп будем опускать.
Теорема 10.1.1. Пусть случайные величины Е4-;*, t, / 6 7V,
независимы, ME,, = ajt DE,, = о2, О<С а; < оо, М (Ei,a“2)4 =
= 3, для некоторого б >» О
sup„ sup,.=U7 /=1- М 11ц г+6 < ОО.	(10.1.1)
Тогда
lim„_co Р {[In [(n — 1)р (Ап)~х det s] — In (nfp)] x
X (2 In (п/р)~Чг <x) = (1/^2л) Jl^e~yy2dy,
где An = n (n — 1) ... (n — p + 1).
Доказательство. He ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что МЕ/, = 0, так как в вы¬
ражении для s из величины Е,, можно вычесть аг Кроме то¬
го, можно также предположить, что а2 = 1, так как det s
можно разделить на П,а/ так, что вместо величин Е,, в
det s будут стоять величины \ipjx,z.
191

Представим det s в следующем виде:
(Арп)-' det 5<Г1)Р = П?., yk,	(10.1.2)
где
Ti = n-1 2?=1 z\iy y2 = S/=2^ — 1 r1 (ElU^p#/)2. ...,
Ts= S/=s s + 1)	(SPl=T^rip2==I2Trt:...,ps_1=i=^2:sp’	x
X tpipJptPa . • •	i/)2*	S	=	2, /?,
^ i* j = k, ny— элементы ортогональной матрицы Tky
измеримые относительно минимальной а-алгебры, порож¬
денной случайными величинами zpiy i = 1, пу р = 1, ky
первый вектор-столбец матрицы Tk равен вектору
(Sp 1='uf...>Ps_1=^viZkpAiP2 ••• i/v* /2» /=	яь
k = 2, n; {El/Vi , / = 1., /г}, fe = 1, если у/г 0,
и произвольному действительному неслучайному вектору
единичной длины, если у*, = 0.
Очевидно, для любого 0 С е <1 1 и некоторого б > 0
Р{|7*-1|<е, к = ТГр)>Р{'£1Р^\ъ-1\2+6<г2+6}>
>1- EiL,M|Y*-l|2+fie-2-6.	(10.1.3)
Величины ys можно записать таким образом
Ys = H/U (п — S + I)-1 Л/. Л/ = SS-.
где случайные векторы 0, = (0Л/, р — 1, n), / = s, я, орто-
нормированы и не зависят от случайных величин zspy
р = 1, м.
Тогда
ys= )iip.i=\apiZSpZsi, api = S/=s(n —s+ I)”1 0p/0//. (10.1.4)
Введем обозначения
zSp = *sp — rTl,2asy as = £р=Лр.
Очевидно,
У$ = У,» /=iClnlXsnXsl	Cl^tl ^jp,/=l^p/Xsp "j"	Sp.^=1^P^*
Для некоторого бх < б получим
Mlv.-l |2+6, < 3|+б,М | Zp,‘=&piXsPXsi - 1 |2+6, +
+ 3l+6lM I as2ti~4i 2прЛ=>ар!х$р |2+6’ + 31+е'М | а\п~х х
192

x £ft/-ian 12+б- < б1+6'М |	|2+е'	+
+ 61+б,М I EL> (4, -\)а00 |2+б> + Cln-I+6’/2 + с2п-2+6' <
< 61+й' [м (Ер*, apixipxsiY],2+6l)/4 +
+ 61+й'М | Ep=i (4 - 1) арр |2+б> + с3п-1+6>/2.
Из этого неравенства, учитывая формулу (10.1.4), в резуль¬
тате несложных вычислений найдем
М | Ys - 112+6‘ < с4 (п — s + 1)-'-е‘/2.	(Ю. 1.5)
Согласно неравенствам (10.1.3) и (10.1.5),
р {|Vft— 1 |<е. k = С Р} > 1 +
+ с4е-2+6 E2-I (n — k+ l)-,-6l/2.	(10.1.6)
Рассмотрим выражение
In [(Л2Г1 (п — 1)° det s„] = Eft=i (Yft-1 + !)• (Ю.1.7)
Используя неравенство (10.1.6), получим, что пр.и 0<
< ех < 8 < 1
Р II S*=i In (yk — 1 + 1) — \ik=\ (Yk — 1) +
+ 0,5 Ей-l (Y*-l)2|<e|<P(lE£=. ln (Y*~ 1 + 1)-
— EL, (y* — i) + o.5 EL, (y* — i)21 <
<e/ES-11Y.- 1 |2+б’ <ex} P {E?=1 lYft— 1 Г6<^}>
> 1 - еГ'с EL, (n-k + l)-1-6^2.
Поскольку p —> oo при /г->оо, то из этого неравенства
вытекает
In [(Л?,)-1 (п - 1)р det s„] ~ Sft=i (Yft - 1) -
-0,5 EL, (Yft-I)2-
Отсюда
In [(Л£)-1 (я - 1)P det sn] ~ ES-1 [(Yft - \)Vn-k + \] x
X (n-k + 1)~1/2— 0,5 EL, [(Yft - I)2-2(n-k+ I)-1) —
- EL, (n-k + 1)_1.	(10.1.8)
Пусть а*л) — минимальная а-алгебра, относительно ко¬
торой измеримы случайные вектор-строки (zsPi р = 1, п),
s=^=k. Так как Mzsp = 0, Dzsp= 1, MzsP = 3, s, p£TV, то
193

легко убедиться, что
I М {(у, - 1) Vn — k + 1 /аГ>} | < ClfT\
IМ {[(у* - 1 )Vn — k+ 1 ]7аГ’} - 2 |< с2п~ч\
М | (7* - \)Vn-k+\ |2+fi < с,.
Следовательно, для величин vk = [(7,,— 1) Vп — k 4- 1] X
X (п — k + 1)—1/2 справедлива теорема 4.5.1, в силу ко-
торой
linwco Р {(2 In (п/р))~Чг |l]jLi (п— k + 1)—1/2[(7* — 1) X
X V'n — kAr 1 ]]<z} = (2я)~,/; ^1мехр (—yV2)dy. (10.1.9)
Используя доказательство неравенства (10.1.5), получаем
М (| (7* - I)2 - 2 (п - k + 1) |1+,"7аГ} <
<С(П-Л+1Г1-в'Л.
Отсюда
plinwc* (2 In (п/р))~'/г ££=1 [(7* — I)2 —
— 2(п — k+ 1Г'] = 0.	(10.1.10)
На основании равенств (10.1.9) и (10.1.10) получаем утверж¬
дение теоремы 10.1.1.
§ 2. Самоусредняемость нормированных спектральных
функций выборочных ковариационных матриц. Пусть
...,	— собственные числа выборочной ковариаци¬
онной матрицы s, = /7/Г1 Vbl, F (х — Kk) — нормиро¬
ванная спектральная функция матрицы s, где F (х) = 1,
если х > 0, и F (х) ^ 0, если х ^ 0.
Ниже покажем, что при некоторых весьма общих
условиях нормированные спектральные функции матриц
сближаются по вероятности с неслучайными функциями.
Такие функции называют самоусредняющимися.
Теорема 10.2.1. Если наблюдения хг, х2, ... независимы и
lirri„_oott/?T2 = 0, то для любого е > 0 почти для каждого
х в Ri
lim^oo Р (|	(х)	—	(л:)	|	>	е} = 0.	(10.2.1)
194

Доказательство. Рассмотрим преобразова¬
ние Стилтьеса функции	(х)
1(1+	d\in (х) =	р~' Sp Rt,
где t — действительный параметр, Rt = (I + its)~\
Так же, как и в главе 4, получим
Sp/?,-MSp/?, = £Li Y*
где yk = М(л i) Sp Rt — M(*) Sp Rt% М(Л) — условное матема¬
тическое ожидание при фиксированной минимальной а-ал-
гебре событий, относительно которой измеримы случайные
—>	—
векторы хь 1= k+ 1, п.
Матрицу s запишем в виде
s — 2^,р=»1 bipXiXp,
где bip — некоторые неслучайные числа.
Используя такое представление для матрицы s, найдем,
что для любого 6=1, п
s — xkXkbkk + xuVk + «л,	(10.2.2)
где Vk = 2 ^рфФркХр, «* = Yii.P^kXLXp.
В работе [1], § 5, гл. 2, получена формула
Sp (/ + it$)~l — Sp (/ + it (s — jtftjtft))-1 =
= ((/ + it (s — xkxk)f xs, xs) [1 + (/ +
+ it (s — XftJtft))-1 +, xs]~\	(10.2.3)
Из этой формулы следует, что для любого t
| Sp (/ + iYs)-1 — Sp (/ + it (s — xkXk))~x | ^ 2. (10.2.4)
Тогда
у* = Mft_, {Sp Rt — Sp (/ + it [s — xkx'kbkk — xkVk])~1} —
— Mk {Sp Rt — Sp (/ + it [s — xkXkbkk — ^ftVft])-1}.
Используя равенство
Sp Rt — Sp (/ + it [s — xhxkbkk — x^k\)~x =
= [Sp Rt — Sp (7 + it [s — xkxkbkk])~l] +
195

+ [Sp (/ + it [ s — xkx/,bkn]) 1 —
— Sp (/ + it [s — xkxkbkk — xkVk\Tx]
и формулы (10.2.3), (10.2.4), находим, что | yk | ^ 8.
Следовательно, так как lim^^пр72 = 0, то для лю¬
бого t
plimn_oo p7l [Sp Rt — M Sp Rt] = 0.
На основании этого равенства
Ншячоо Л (1 + it^x^) 1 (1 + it2x2) d [M|x„ (a^) X
x Vn (X2) — MPn (*l) Щп {x2)] = 0.
Отсюда в силу того, что \in (а) — 0» а < 0, вытекает, что
почти для всех xlt х2
Y\mn-*oo (хг)\1п М— (лгх) М^гл (х2)\ = 0.
Из этого соотношения следует условие (10.2.1). Теорема
доказана.
Предположим, что наблюдения хк над р-мерным слу¬
чайным вектором зависимы. Введем обозначение
а (я, fe, s) = supА£ап,В£Вп [Р (АВ) — Р (А) Р (В)],
где Ап — минимальная а-алгебра, относительно которой
измеримы случайные векторы xh I = 1, fe, Вп — мини¬
мальная а-алгебра, относительно которой измеримы слу¬
чайные векторы хт, т = s, рПУ fee s.
Теорема 10.2.2. Если
liiTWcott/?;r2[fen + p2nSupi^k<s^pn,\k-s\=kn а (я, fe, s)] = 0,
(10.2.5)
то почти для каждого х и любого е > 0
lim„_*oo Р {| Vn(x) —	(х)	| >е} = 0.	(10.2.6)
Доказательство. Так же, как и при доказа¬
тельстве предыдущей теоремы, рассмотрим величины ук =
= M/e_i Sp R( — Mfc Sp Rti где М* — условное математи¬
ческое ожидание при фиксированной ч минимальной с-ал-
гебре, относительно .которой измеримы векторы xh / =
= fe + 1, я. Пусть Sk — матрица, полученная из матрицы
s путем замены элементов векторов xh I = fe, s, нулями.
196

Тогда
|Sp(/ + its)-' — Sp(/ — itSkn)\^ckn9 c> 0. (10.2.7)
Представим ym, ra£]k, s[, в виде
Ут —	1	[Sp	(/	-f- its) 1 — Sp (/	itS(m—kn,m+kn)) *] —
— Mm [Sp (I -f its) 1 — Sp (/ -f itS(m—kn,m+kn)) !] +
{Мш_1 Sp (/ -f- //S(,72—k^m+kn))
— Sp (I +	m	—	kn	^	0,	m	+	kn < я.
Находим, что
I Ут I2 < С \(2kn)2 + $Upi^k<s<pn.\k—!>\=ktG' (П, ky S) pl\.
Тогда, используя условие (10.2.5), получаем равенство
(10.2.6). Теорема доказана.
Если а (п, k, s) = сл ехр (—c2&„) при \k — s\ = kn>
сг > 0, с2>0 и limbec прГ1 = с <С ос, то выбирая. kn =
= In n(1+e)/\ 8>0. получаем, что равенство (10.2.6) спра¬
ведливо.
§ 3. Центральная предельная теорема для следов степеней
выборочных ковариационных матриц. При решении не¬
которых задач многомерного статистического анализа не¬
обходимо найти условия, при выполнении которых
L {[Sp s'" — М Sp sml с^}] => N (0, 1), где сп — некоторая
последовательность постоянных, т — целое положи¬
тельное число. Один из методов доказательства таких
предельных теорем заключается в следующем. Для резоль¬
вент Sp (I + its)~] доказываем центральную предельную
теорему, на основании которой можно получить централь¬
ную предельную теорему для следов степеней ковариаци¬
онных матриц в силу следующего равенства:
(т— 1)! Sp s'77 = (— i)-m (dmldtm)S? V + its)~] |/e0.
Теорема 10.3J. Пусть для каждого значения п слу¬
чайные элементы , /= 1, тПУ i= 1, пу матрицы Н =
= (Й”*) независимы, Щ}? = 0,
Щц' = <*2/я, M \lq — о2 In]2 = d2n~23 а2 < оо, 0< d2<oo,
(10.3.1)
197

supn sup,=1- M I Vn [(Д‘ (0 t, 1*) - (оУп) Sp Rk (0112+6 <
<00,	(10.3.2)
где S>0— некоторое постоянное число, Rk (t) = f/ +
4- t (Bn +	\	k	—	1, mn, t~^ 0. Bn — неотри¬
цательно-определенная матрица,
lim„_»oo (l/n> Sp (/ + lBn)~1 = m0(i),	(10.3.3)
lim„^.oo (1/n) ^.?=i Pi, (t) p.:, (s) = m0 (i, s),	0, s^O,
(10.3.4)
где pu(i)— элементы матрицы (I + lBn)~\
Тогда
Sp Я (fl — M Sp/? (О =И (0,	(10.3.5)
где E (t) — гауссовский случайный процесс с нулевым мате¬
матическим ожиданием и ковариационной функцией
R(ti, t2) = co4\tll2(d2/dt1dt2){tlt2a(t1, l2, 1))х,х(„ —
— t\t2 (dldt-д ЦЛи (tu	1)) (d/dl2) (t2a(tu	t2,	1 ))x/ix<l —
— l-itl(d/di2) (i2u(t2,	1)) (dldtx)	(1Ла(1Л,	t2,	\))x,tKl 4-
+ tbl	(d/dtj (t,u(tu 1 ))(d/dt2)(t2u(t2, l))a(/„	t2,	1) X
X K?,X/J	4-	C [d2 + a4] |/j*j (d2/di1dt2) (txt2b (tt, t2,	1))	xt x;. —
— txt2 (d/dtt) (i-iU (t^,	1)) (d/dt2)	(t2b (tu	t2,	1)) x* x,, —
— tjt2{d/dt2) (t2u{t2,	i)) (d/dtj	(txbit^	t2,	l))X(,xi4
4-t1t2(d/dt1)(t1u(tu 1 ))(d/dt2)(t2u(t2, 1 ))b(tlt t2, l)x?.x?,],
xt = [\ + tu(t, I)]-1,
a(tlt t2, 1) = (tt — t2)~] [*!«(<,, 1 ) — t2u(t2, 1)],
b (tu t2, y) = m0(tlt <2) —с^М<Э/д*г) (*i&(*i, t2, дс)> 11 4-
+ *,«(*„ a:)]-1 + t2 (d/dt2)(ttb(tlt t2, x)) X
X [1 + l2u (t2, x)]~l] dx,	(10.3.6)
u (t, x) = m0
ext \ 1
1 + tu (t, x)
1 + cxl
1 + tu (t, X)
(10.3.7)
Решение уравнения (10.3.6) существует и единственно
в классе функций, аналитических по tx и t2i непрерывных по
198

у и имеющих также непрерывные первые производные по
у, причем
*)>0.
Решение уравнения (10.3.7) существует и единственно
в классе функций аналитических по t и непрерывных по
ху 0 ^ х ^ 1.
Доказательство. Так же, как и при доказа¬
тельстве предыдущих теорем, получаем
Sp R (0 - м Sp R (/) =
где Mawi — условное математическое ожидание при фикси¬
рованной минимальной о-алгебре событий, порожденной
вектор-столбцами матрицы Я, начиная с й-го,
Ук щ = t.(d/dt) t (Rk (t) jkt jk)
+
o2n i (d/di) t Sp R* (t)
1 + o2ri~lt Sp Rk (t)
+1 (Я* (0 и, ы
_ t (d/a/) t КД* (0 Ik, &) - a2n-‘ Sp Rk (/))	,	„2и_,	,
	 ——	 -+•	a	n	-+-
i + u/?*(0i*. Ы
1M10 5ft. 5ft) - a2'!"1 Sp /У (/))
+ / [((3/a/) / Sp * (/)]
11 + t (Rk (/) Eft, Eft)) 11 +	Sp	Rk	(01
— V"
ЛФ]
t (d/dt) tr •
+
I + /(/?* (0 5ft. 5ft)
4
a2n 4 (d/dt) t Sp /?* (0 trt
|1 + / (Rk (0 Eft. 5ft)I 11 + to*n~l SpRk (0|
t (д/dt) tru
+
\ + t(Rk (0 £*, 5ft)
4“
+
o2n 11 (d/di) t Sp Rk (/) r u
11 + < (Л* (0 5ft. 5ft)) 11 + <о*я-' Sp Rk (01
где lk k-й вектор-столбец матрицы Я,
(0 = \l t (Bn^js=i,s=£k kh)] 1 = (Гц).
На основании теоремы (10.2.1)
lini/г^оо | (R* (t) iki |Л) — (o2/n) M Sp Rb (t) | = 0,
lirrwoo n~1 [M Sp Rk (/) — M Sp R (/)] = 0.	CO-3.8)
Условие (10.3.2) позволяет применить для величин
Sp R (t) — M Sp R (f) теорему 4.5.1, но при этом необхо-
199

димо еще доказать, что
lim"— ХГд м I мт*—м (у2Мп)) I = о. (10-3-9)
где ст*4 — минимальная ст-алгебра, относительно которой
измеримы все вектор-столбцы матрицы Н, кроме k-ro.
Покажем, что с вероятностью 1
п~' 1",= 1	(/,) (/,) -►
l)-/,u(fa, 1)],	(10.3.10)
S2-1 М^М/ОМ^Г;, (*,)-►&&, t2, 1). (10.3.11)
Действительно, используя равенство
Sp R (<i) R (t2) = (<, — (s)-1 [*x Sp /?(, — t2 Sp R,t]
и теорему 10.2.1, получаем выражение (10.3.10),.
Легко видеть, что limbec М | ги (Д) — Мги (/х) | = 0.
Поэтому в выражении (10.3.11) можно вместо величин
Мд>.—\Гц (/х) подставить величины ги (^).
Докажем лемму.
Лемма 10.3.1. С вероятностью 1
limn_eo п~' S"=i \rtt (tj) г и (t2) — Mr ,7 (/х) ги (*2)] = 0.
Доказательство. Очевидно,
гГ1 S?=! \Гц (tr) Га (t2) — Мп, (*г) Га (t2)] = я“1 S7~i Ps>
где
Ps = S"=i [M<£_i)rft (М гй {t2) — M(s)r, (/x) Гй (/2)] =
= S2=i {M(S—цГй (^i) \гц (/2)— Га (/2)] +
+ М(5в1)Гй (t2)	(/i) — Гй (/J — M(s)rи (h) [ги (t2) —
- rb (/a)] - М(8)Гй (t2) [r« (/i) - rstf
а Гй(0— элементы матрицы [/ + t(Bn+ S^.s^)]""1.
Легко проверить, что I ra (0 — г-, (/) | < с. Поэтому
IPslCCi. Тогда, на основании теоремы 10.2.1 получаем
утверждение леммы 10.3.1.
Найдем теперь предел выражения bn(tl9 t2i 1) = /г 1 X
X М Yit=\ra (h) гit (/2). Введем обозначение
(Р/7 (0) =и + цвя+ SL", *»)Г’ = ТТ.
200

Очевидно,
£?-i [Р™ (h) Ра (*,) - Pa~[ (/i) Pu~l (/,)1 =
= S(-i tPa (/i)-Pa~l M Pa (/,) + S"-i Pa~' (<,) X
X [Ра(к)-Ра~1 (gj,
S5Ui p?* (0 pli (0 = p« (0 +1 оm) pi, (t).
Используя эти уравнения, равенство (10.3.8) и то, что
lim,М | р^ — рй-11 = 0, получаем
(«Г1 М 2?=.i Ра (М Ра ih) = п~1 VJL, р« (д р° (д _
V”» EL, тг	1
—	Zjs=I
1 + lo2n 1 Sp Tn(
У"'" £"-1^У|,,р‘г'	р~‘	>'■>°,n~
2	^Js=1	1	+	1агп~1	Sp T'P	'
Введем обозначение
bn(tlt t2, y) =n-‘M Sp«(^)Pii(^). если s/rt<y<(s + 1)/л.
Легко проверить, что функции bn(tXt t2, у) ограниченной
вариации по у и аналитические гто tx и t2. Выберем слабо
сходящуюся подпоследовательность bn> (tly t2, у)
Ь (1Ъ /2, у), тогда
д	д
b„-{t 1, t2, г/)-> -^-b(tly t2, у),
Ыл "n "2’	сН,
d -6„'(g t2> у) ->■ -4i-b{tu t2, у).
dtt
Используя условие (10.3.4), получим
b(tu hi У) = Щ (hi h) —
h ~~Щ	(^t»	hi *)) h ih^ (h* h-> *))
1 + txu (tlt x)	1	+	hu	(h>	K)
-02C J.
dx.
Единственность решения этого уравнения доказываем
так же, как и в [1].
Итак, справедливо выражение (10.3.11). В результате
несложных вычислений убеждаемся в справедливости
равенства (10.3.9), используя при этом формулы (10.3.8),
(10.3.9)	и (10.3.11). Вычислим ковариационную функцию
201

предельного случайного процесса. Очевидно,
Rn it» h) = SbiM	(к)	-	Mkyk	(tj)	(tt)
-МЛ (/,)) = E£, (M	(f2))	-
-M(M*Y* (M M*Y* (Ш-
Используя выражение для (/), получим
«М (Mft_iYA (/х) Mfc_i (*2)) = а4л-‘М £"/=1
— t
dt,
■	—t x
X Гц (tt) x?" + t^n-1 tlM Sp (fj)	(^)	X
5 Mft-ir,-, (*2) x?'' + t2o2n~x -J— <2 X
X (*D2
— t,
2 a/.
X M Sp Rk (t2) t2«!*_,/■„ (t2) (xty + nm S?_. {M [& -
— o2n~l] — o*n-2) — <! -J— t^k-ira (tx) Xt" +
+ tjp'tv
2„_l
-^MSp Rk (*,) MwfHW Ю3
— t.
2 ctt.2 12
f*X
X	(f2)	X/.	+	t2a2n~l	-Qj—	t2M	Sp	(<2)	МЛ_1	X
X /•« (/2) (xtl)
+ 0 (1)»
где
x?" = [ + <а2л_1М Sp Я* (*)]-1.
Легко проверить, что для всех конечных tx и t2
lim/^ooAiM (Mk (yk (ti))tftkyk (t2) = 0.
Поэтому, на основании выражений (10.3.10) и (10.3.11),
делаем вывод, что Rn (tly t2) -> R (tl9 t2) при n ->■ оо. Теоре¬
ма 10.3.1 доказана.
§ 4. ^-преобразование. В этом параграфе отметим одно
из важнейших применений предельных теорем для норми¬
рованных спектральных функций эмпирических ковариа¬
ционных матриц при доказательстве предельных теорем
для спектральных функций несимметричных случайных
матриц с независимыми случайными элементами. Отметим,
что для несимметричных случайных матриц Нп в общем
случае применить преобразование Стилтьеса не представ¬
202

ляется возможным, так как интегралы MSp(/z — Нп)~\
где г = t + is, во многих случаях не существуют. Однако
с помощью ^-преобразования изучение спектральных функ¬
ций несимметричных случайных матриц можно свести к
изучению спектральных функций эрмитовых случайных
матриц.
Рассмотрим нормированные спектральные функции
vn (х, у) = п~] У]!г=| х (о): Re Xk < х, Im < у),
где Кк— собственные числа комплексной случайной квад¬
ратной матрицы Нп п-го порядка,
Vn (X, г) = п~] 5] v=i X (со : Xk (z) < х),
где кк (z)— собственные числа эрмитовой матрицы (/г —
-Нп) (1г-Нп) *.
^-преобразованием спектральной функции vn(x, у) назо¬
вем следующее выражение: ,
j j &р*+1чус1чп {х, у) = (^2 + /?2) (4ш/?)_1 X
X £ j (3/5/) f In (л:, г) | eitp+iSQdtds, р ФО.
Если для некоторого 6 > 0 и конечных с
sup,zKcsup„ М ^ (In *)И~° dVn U, г) < оо,
то при доказательстве предельных теорем для vn (х, у)
нужно с помощью преобразования Стилтьеса найти пре¬
дельную спектральную функцию для (х, z) и перейти
в ^-преобразовании к пределу при п оо.

Список литературы
1. Г и р к о В. Л. Случайные матрицы. Киев, Вища школа. Изд-во
при Киев, ун-те, 1975. 448 с.
2. Г и р к о В. Л. Теория случайных детерминантов. Киев, Вища
школа. Изд-во при Киев, ун-те, 1980. 338 с.
3. Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В. Теория случайных
процессов. В 3-х т. Т. 3. М., Наука, 1973. 496 с.
4. Гладышев Е. Г. О стохастической аппроксимации.— Те¬
ория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, вып. 2, с. 297—300.
5. Гнеденко Б. В., КолмогоровА. Н. Предельные рас¬
пределения для сумм независимых случайных величин. М., Гостехиздат,
1949. 264 с.
6. Гофдинг В. Класс статистик с асимптотически нормальным
распределением.— Математика, 1958, т. 2, № 3, с. 17—29.
7. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах.
М., Мир, 1965. 274 с.
8. Добрушин Р. Л. Центральная предельная теорема для
неоднородных цепей Маркова 11.— Теория вероятностей и ее примене¬
ния, 1956, т. 1, вып. 4, с. 365—425.
9. Ибрагимов И. А., Л и н н и к Ю. В. Независимые и ста¬
ционарно связанные величины. М., Наука, 1965. 524 с.
' 10. М а к с и м о в В. М. О применимости центральной предельной
теоремы к суммам вида 2/ (£lt ..., £р).— Изв. высш. учеб. заведений.
Математика, 1970, № 12, с. 61—71.
11. Н а г а е в С. В. Некоторые предельные теоремы для однород¬
ных цепей Маркова.— Теория вероятностей и ее применения, 1957,
т. 2, вып. 4, с. 389—416.
12. Р о т а р ь В. И. Предельные теоремы для полилинейных форм и
квазиполиномиальных функций.— Теория вероятностей и ее примене¬
ния, 1975, т. 20, вып. 3, с. 527—546.
13. Р ы ж о в Ю. М. Предельные распределения некоторых функци¬
оналов от стационарного гауссовского процесса.— Теория вероятностей
и ее применения, 1969, т. 14, вып. 2, с. 236—249.
14. С е г е Г. Ортогональные многочлены. М., Физматгиз, 1962.
500 с.
15. Furstenberg Н., Kesten Н. Products of Random
Matrices.— Ann. Math. Statist. 1960, vol. 31, p. 457—469.
16. G a e n s s 1 e г P., S t г о b e 1 J., S t u t e W. On Central
Limit Theorems for Martingale Triangular Arrays.— Acta Math. Acad.
Sci. Hung., 1978, vol. 31, No. 3—4, p. 205—216.
17. К 1 о p о t о w s k i A. Limit Theorems foi Sums of Dependent
Random Vectors in Rd, Dissertations Mathematical. Warszawa, Panstwowe
wydawnictwo naukowe, 1977. p. 5—58.
18. M e h t a M. L. Random Matrices and the Statistical Theory
of Energy Levels. New York — London, Acad. Press., 1967. 260 p.

Оглавление
Предисловие 	 3
Глава 1
Предельные теоремы для измеримых отображений независимых
случайных элементов 	 6
§ 1. Операторы возмущений (6). § 2. Предельные теоремы с услови¬
ем Линдеберга (8). § 3. Сопровождающие безгранично делимые
распределения для борелевских функций независимых случайных
величин (14). § 4. Метод интегральных представлений (16). § 5. Цен¬
тральная предельная теорема для борелевских функций независи¬
мых случайных величин (20). §6. Необходимые и достаточные ус¬
ловия предельных теорем для борелевских функций независимых
случайных величин (22). § 7. Предельные теоремы для решений ко¬
нечно-разностных уравнений (26). § 8. Предельные теоремы в ме¬
тоде максимального правдоподобия и в теории распознавания
образов (29).
Г лава 2
Предельные теоремы для полилинейных измеримых отображений
независимых случайных элементов	 33
§ 1. Предельные теоремы с условием Линдеберга (33). § 2. Необ¬
ходимые и достаточные условия предельных теорем для сумм
случайных величин (43). § 3. Необходимые и достаточные условия
предельных теорем для случайно нормированных сумм незави¬
симых случайных величин (47). § 4. Сопровождающие безгранично
делимые распределения для полиномиальных функций независи¬
мых случайных величин (49). §5. Предельные теоремы для случай¬
ных билинейных форм (52). § 6. Необходимые и достаточные усло¬
вия предельных теорем для случайных билинейных форм (54). §7.
Предельные теоремы типа закона больших чисел (56). § 8. Сопро¬
вождающие безгранично делимые распределения для сумм беско¬
нечно малых независимых случайных элементов (57). §9. Предель¬
ные теоремы для сумм независимых бесконечно малых случай¬
ных векторов (60).
Глава 3
Метод интегральных представлений доказательства предельных
теорем для полиномиальных функций независимых случайных
величин 	   63
205

§ 1. Предельные теоремы для квадратичных форм нормальных слу¬
чайных величин (63). § 2. Метод интегральных представлений и
сопровождающие безгранично делимые законы для неотрицательно-
определенных случайных квадратичных форм (67). § 3. Предельные
теоремы с условием Линдеберга (76). § 4. Предельные теоремы типа
закона больших чисел для случайных квадратичных форм (80).
§ 5. Спектральные представления полиномиальных функций (80).
§ 6. Интегральные представления для полиномиальных функций
(81).
Глава 4
Предельные теоремы для сумм мартингал-разностей
§ 1. Предельные теоремы типа закона больших чисел (83). §2. Со¬
провождающие безгранично делимые законы для сумм мартингал-
разностей (85). § 3. Сопровождающие безгранично делимые законы
для сумм мартингал-разностей без предположения существования
их дисперсий (89). § 4. Сопровождающие безгранично делимые
законы для сумм случайных величин (90). § 5. Центральная пре¬
дельная теорема для сумм мартингал-разностей (92). § 6. Схо¬
димость распределений сумм мартингал-разностей к рандоми¬
зированным безгранично делимым распределениям (93). § 7. Пре¬
дельные теоремы для сумм векторных мартингал-разностей (95).
sj 8. Связь предельных теорем для сумм мартингал-разностей со сто¬
хастическими дифференциальными уравнениями (96). § 9. Не¬
обходимые и достаточные условия предельных теорем для сумм
мартингал-разностей (98). § 10. Усиленный закон больших чисел
для сумм мартингал-разностей (99). § 11. Предельные теоремы для
сумм мартингал-разностей в неклассической ситуации (100).
Глава 5
Предельные теоремы для измеримых отображений зависимых слу¬
чайных элементов
§ 1. Мартингальный метод и метод интегральных представлений
(102). § 2. Предельные теоремы для неотрицательно-определенных
квадратичных форм зависимых случайных величин (104). § 3. Изу¬
чение распределений сумм зависимых случайных величин с по¬
мощью предельных теорем для сумм мартингал-разностей (112).
§ 4. Предельные теоремы для сумм функций случайных величин,
распределенных по совместному нормальному закону (114). § 5.
Предельные теоремы для борелевских функций зависимых слу¬
чайных величин (115). §6. Коэффициент независимости (117).
Глава 6
Предельные теоремы для обобщенных ^/-статистик и сумм т-зави-
симых случайных величин
§ 1. Предельные теоремы типа закона больших чисел и централь¬
ной предельной теоремы (119). § 2. Сопровождающие безгранично
делимые законы для обобщенных (/-статистик (124). § 3. Необхо¬
димые и достаточные условия центральной предельной теоремы
для обобщенных (/-статистик (128) § 4 Предельные теоремы для
обобщенных (/-статистик зависимых случайных величин (128). § 5.
Предельные теоремы для сумм m-зависимых случайных величин

(129). § 6. Центральная предельная теорема для полилинейных
форм независимых случайных величин (129). § 7. Предельные
теоремы для (У-статистик с ядрами растущего числа переменных
(130). §8. Метод интегральных представлений для ^/-статистик (131).
Г лава 7
Предельные теоремы для сумм случайных величин, связанных
в цепь Маркова	132
§ 1. Мартингальный метод (132). § 2. Закон «одной трети» для не¬
однородных цепей Маркова (139).
Глава 8
Предельные теоремы для композиций распределений на группах
и полугруппах 	142
§ 1. Предельные теоремы для произведений комплексных неза¬
висимых случайных величин (142). § 2. Предельные теоремы для
произведений независимых случайных элементов со значениями
в компактной группе (150). § 3. Предельные теоремы для произведе¬
ний случайных матриц в схеме серий (154). § 4. Мартингальный ме¬
тод доказательства предельных теорем типа закона больших чисел
(155). § 5. Мартингальный метод доказательства предельных тео¬
рем для однородных функционалов произведений случайных эле¬
ментов полугрупп (162). §6. Предельные теоремы для однородных
функций произведений независимых случайных матриц с поло¬
жительными элементами (165). § 7. Центральная предельная тео¬
рема для произведений независимых случайных матриц с поло¬
жительными элементами (169). § 8. Метод стохастических аппрок¬
симаций (171). § 9. Распределение ошибок округления в методе
Гаусса (174). § 10. Предельные теоремы в теории оценивания пара¬
метров систем управления (175).
Г лава 9
Предельные теоремы для порядковых статистик зависимых слу¬
чайных величин 	177
§ 1. Предельные теоремы для порядковых статистик зависимых
случайных величин в схеме серий (177). § 2. Гипотеза Вигнера
(182)
Глава 10
Предельные теоремы в многомерном статистическом анализе ...	190
§ I. Предельные теоремы для обобщенной дисперсии (190). § 2. Са-
моусредняемость нормированных спектральных функций выбо¬
рочных ковариационных матриц (194). § 3. Центральная предель¬
ная теорема для следов степеней выборочных ковариационных
матриц (197). § 4. ^-преобразование (202).
Список литературы
203

Вячеслав Леонидович Гирко
Предельные теоремы для функций
случайных величин
Редактор J1. П. Онищенко
Литредактор J1. П. Никитина
Обложка художника В. И. Дейниченко
Художественный редактор Е. В. Чурий
Технический редактор 3. С. Онищук
Корректор И. П. Берус
Информ. бланк № 6080
Сдано в набор 29.12.81. Подп. . в печать 29.10.82. Формат
84Х 108/32. Бумага типогр. N° 1. Лит. гарн. Выс. печать.
10,92 усл.-печ. л. 10,92 уел. кр.-отт. 9,64 уч.-изд. л.
Тираж 2500 -кз. Изд. N° 5377. Зак. N° 2—774. Цена 69 к.
Головное издательство издательского объединения
«Вища школа», 252054. Киев-54, ул. Гоголевская, 7.
Головное предприятие республиканского производственного
объединения «Полиграфкнига», 252057, Киев,
ул. Довженко, 3.