Т.И.Трофимова
З.Г.Павлова
СБОРНИК
задач по курсу
физики
с решениями
Рекомендовано
Министерством общего
и профессионального образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов вузов
Москва
«Высшая школа»
1999
УДК 53
ББК 22.3
Т 70
Р с ц е н з е и т. В. А. Касьянов
Трофимова Т. И., Павлова 3. Г.
Т 70 Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб, пособие
для вузов.— М.: Высш, шк., 1999.— 591 с: ил.
ISBN 5-06-003534-4
Предлагаемый задачник с решениями составляет единый мет одический
комплект с «Курсом физики» и «Сборником задач ио курсу физики» Т. И.
Трофимовой (М., Высш, школа). Он состоит из семи разделов, полностью
соответствующих пршраммс курса физики для вузов.
Основное назначение пособия — научить студента решать задачи, показать
им рациональную запись условия, решения, расчета, ответа. Решение задач дается
без каких-либо пояснений, что потребует от студента, в случае необходимости,
обратиться к теоретическому материалу, вникнуть в суть рассматриваемых
явлений и процессов.
Для студентов и преподавателей вузов и техникумов. Может быть полезен
учащимся лицеев и колледжей, а также абитуриентам, готовящимся к поступлению
в технические институты.
ISBN 5-06-003534-4
© Издательство «Высшая школа», 1999
Оршииал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая
школа» и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия
издательства запрещается.
Оглавление
’Предисловие.....................................................5
ЬИетодические указания...........................................5
Физические основы механики
11.1.	Элементы кинематики........................................6
1.2.	Динамика материальной точки и поступательного движения
твердого тела...............................................29
1.3.	Работа и энергия........................................48
1.4.	Механика твердого тела..................................72
1.5.	Тяготение. Элементы теории поля.........................94
1.6.	Элементы механики жидкостей............................114
I 1.7. Элементы специальной (частной) теории относительности...131
>2. Основы молекулярной физики и термодинамики
2.1.	Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов........145
<	2.2. Основы термодинамики...................................166
2.3.	Реальные газы, жидкости и твердые тела.................186
3.	Электричество и магнетизм
3.1.	Электростатика.........................................199
3.2.	Постоянный электрический ток...........................233
3.3.	Электрический ток в металлах, в вакууме	и газах........247
3.4.	Магнитное поле.........................................251
3.5.	Электромагнитная индукция..............................279
3.6.	Магнитные свойства вещества...;........................297
3.7.	Основы теории Максвелла для электромагнитного поля.....303
4.	Колебания и волны
4.1.	Механические и электромагнитные колебания..............307
4.2.	Упругие волны..........................................360
4.3.	Электромагнитные волны.................................377
5.	Оптика. Квантовая природа излучения
5.1.	Элементы геометрической и электронной оптики...........385
5.2.	Интерференция света....................................401
5.3.	Дифракция света........................................413
5.4.	Взаимодействие электромагнитных волн с веществом.......431
5.5.	Поляризация света......................................441
5.6.	Квантовая природа излучения............................452
6.	Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
6.1	I еория аз ома водорода по Бору......................
6,2.	Элементы квантовой механики..........................
6.3.	Элементы современной физики атомов и молекул.........
6	4. Элементы квантовой статистики.....................
6.5.	Элементы физики твердого тела........................
7,	Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
7	1. Элементы физики атомного ядра........................
7	2. Элементы физики элементарных частиц..................:
Важнейшие формулы, используемые в задачнике..................:
Периодическая система элементов Менделеева..................:
Предисловие
При изучении курса физики во втузе большое значение имеет практичес-
кое применение теоретических знаний, главное из которых — умение решать
задачи. Данное учебное пособие полностью соответствует “Курсу физики"
т. И. Трофимовой (издательство “Высшая школа”, 5-е изд., 1998) и “Сборнику
?адач по курсу физики” Т. И. Трофимовой (издательство “Высшая школа”, 1996).
образуя, таким образом, с ними единый методический комплект.
Для формирования навыков работы над задачами все решения оформле-
ны однотипно: запись условия, перевод данных в СИ, запись необходимых урав-
нений, их решение в общем виде, подстановка числовых значений в конечную
'формулу, запись ответа. Решение задач приводится без каких-либо пояснений,
поскольку сначала следует тщательно изучить теоретический материал по дан-
'ной теме, затем провести собственный анализ задачи, решить ее и только тогда
’(для сравнения результатов обратиться к готовому решению, которое, кета i и, не
^всегда является единственным.
I}, Все задачи снабжены ответами, которые даны с точностью до трех знача-
‘ щих цифр. Таким же числом значащих цифр выражены величины в условиях
Ьадач и справочных таблицах, приведенных по мере представления материала
.Значащие цифры — нули, стоящие в конце чисел, — для упрощения записи
'опускаются. В условиях задач и в ответах используются кратные и дольные
единицы, образованные от единиц СИ. В конце сборника приведен перечень
важнейших используемых формул.
$
Авторы
I	Методические указания
Решая задачи, целесообразно использовать следующие методические указания.
, |Т) Вникнув в условие задачи, сделать краткую запись условия, выразить все
данные в СИ и, где Это только возможно, дать схематический чертеж, по-
\ ясняющий содержание задачи.
[2~|Выяснив, какие физические законы лежат в основе данной задачи, решить
ее в общем виде, т. е. выразить искомую физическую величину через за-
£ данные в задаче величины (в буквенных обозначениях, без подстановки
й числовых значений в промежуточные формулы).
I Гз~1 Проверив правильность общего решения, подставить числа в окончатель-
ную формулу и указать единицу искомой физической величины, проверив
правильность ее размерности.
<v>
1. Физические основы механики
1.1. Элементы кинематики
Скорость течения реки v = 3 км/ч, а скорость движения лодки
относительно воды о, = 6 км/ч. Определите, под каким углом от-
носительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки.
Дано
о = 3 км/ч = 0,833 м/с
О] = 6 км/ч = 1,67 м/с
Решение
v
— - cosa,
wi
а
v
а = arccos—
V,
а = 60°.
v
Капля дождя при скорости ветра и, = 11 м/с падает под углом
а = 30° к вертикали. Определите, при какой скорости ветра и2
капля воды будет падать под углом (5 = 45°
Дано
О[ = 11 м/с
а = 30°
^ = 45°
Решение
щ = иг~ и,
и,
— = tga,
и
и
— 9
tga tg/?’	2 'tga ( Ответ ) о2 = 19 м/с.

tfc 1.3 ) Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движут-
ся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденно-
го ими пути задается уравнениями At + ВС и s2 = Ct + DC + FC Опреде-
лите относительна ю скорость автомобилей
Дано	Решение
sx~ At + Вс s, = Ct + DC + Я3 и	бл. и = Ь1! - v7,	и, = —- = А + 2Bt, dt v,=^- = C+2Dl + 3Ft2, - dt u = A + 2Bt-C~2Dt-3Ft2 = A-C+2(B - D)1 - 3FC.
Ответ	и = а-с+ 2(в-D)t-3Ft2.
>>...’Ж ---------------------------------------------------------------
V	I “елосипедаст пРоехал первую половину времени своего движения
Хщ.п.м'.Х со скоростью i>) =16 км/ч, вторую половину времени — со ско-
ростью и, = 12 км/ч Определите среднюю скорость движения велосипедиста.
Дано	Решение
t t. — t't ~ ” 2	/ \ ** ( V/ —	»	5 —	* ' ' i
и, =16 км/ч = 4,44 м/с	
= 12 км/ч = 3,33 м/с	s2 = V-,C ,	/=/,=-, 2	--	‘ 2 t	t ,	-J
И-?	S = V\^+V2^ = (П1 + П2 )~ ,
/ \ = (Ц1 + Ц2)^ _ L'l +
2/	~ 2
QOmeem^) (п) = 14КМ/7
( 1.5 J Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью
у! = 16 км/ч, вторую половину пути — со скоростью v2 = 12 км/ч
Определите среднюю скорость движения велосипедиста.
Ответ ) (0
= 13,7 м/с.
Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью
у, =16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоро-
стью у2 = 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью у3 = 5 км/ч
Определите среднюю скорость движения студента на всем пути
Дано
Решение
t2 -
Vj = 16 км/ч = 4,44 м/с
у, = 12 км/ч = 3,33 м/с
у3 = 5 км/ч = 1,39 м/с
•S] ~
(у) -?
(и) =
•S]	^3
l\ + h + z3
У] У2 + У3
2У)(у2 + у3)
2У] + у2 + у3
	я 52 »	
		
V1 G S	v2 tl	V3
		
S] - У]^| ,	52 - У2/2 ,
53 = U3*3 J	~ *^2	^3 >
^2 = ^3 ’
Ответ j (у) -11,1 км/ч.
[ 1/7 1 В течение времени г скорость тела задается уравнением вида
и - Л-г Bt + Ct* 2 (0 < t < г). Определите среднюю скорость за
промежуток времени г
Дано	Решение
1 = А + В! + Сг
О т
s = ju dr = |(Л + Bt + Ct~)dj =
о о
Ja dr + pr dr + jcr2 dr =
0	0	0
, Br' Ct
At +----+----->
2	3
Br Cr2
2	3
При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доно-
сится через г = 5 с. Принимая скорость звука v = 330 м/с, опре-
делите глубину колодца.
Дано
Г = 5 с
। = 330 м/с
/г - ?
Решение
h = vt2,	i,

gr2+ 2vt\-2vt = 0 ,
v | 2vt
g
V
g
>,67 c,
= 107 м
2
Ответ }Л=ио7м
( 1.9) '"*) Тело падает с высоты h = l км с нулевой начальной скоростью
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какой пун
пройдет тело- 1) за первую секунду падения; 2) за последнюю секунду падения
Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
п0 = 5 м/с. В тот же момент времени вертикально вниз с той же
начальной скоростью из точки, соответствующей максимальной верхней точке
Дано
Решение
h - \ км = 103 м
полета /г,пах первого тела, брошено второе тело. Определите: 1) в какой мо-
; мент времени t тела встретятся; 2) на какой высоте h от поверхности Земли
I произойдет эта встреча; 3) скорость 17 первого тела в момент встречи; 4) ско-
| рость и2 второго тела в момент встречи.
i	Дано	Решение		
! п0 = 5 м/с	. 2		
	*max= — 2g vx = v0-gt,	hm v2 =v0+gt,	 k	
1 h —2 ! Щ v2 — ?			
		t v°	h
- v0/+-^~,
h = s} =V0t~^- = V0-^--
2 4g
gVo = 7^0
16g1 2-2 32g’
( 1.1(1- 1 7 ело падает с высоты h = 1 км с нулевой начальной скоростью
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какое вре-
мя понадобится телу для прохождения: D первых 10 м пути; 2) последних
10 м пути
(Ответ t) Z| i,43 с; 2) л o.i с
u0 3
vi = v0-gi = v0-g— = -v0,
4g 4
1) t = 127 mc;
3) 17 = 3,75 м/с;
wn 5
y2 = v0 + gt = v0 + g-f- = - v0.
4g 4
2) h = 56 cm;
- 6,25 м/с.
ю
Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максималь-
ная высота подъема h = s/4 (s — дальность полета). Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определите угол броска к горизонту.
h = л/4
Дано
Тело брошено co скоростью v0 = 15 м/с под углом a-30° к гори-
зонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) высо-
ту h подъема тела; 2) дальность палета (по горизонтали) тела, 3) время его
движения.
vOr ~ L'o COSC!: >
Решение
О
Дано
voy = sin a ,
1) й = 2,87 м; 2) s = 19,9 м; 3) t = 1,53 с.
Тело брошено со скоростью v0 = 20 м/с под углом а-30° к гори-
зонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момен-
та времени t -1,5 с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) танген-
циальное ускорение.
Решение
(J время подъема, 2t — время полета)
2
h = voyt-^~
gt2 ,  gt2
= v^sina--s— ,
2	2
п0 = 20 м/с
a = 30°
t = 1,5 с
gt2 = votsma ,
t - v° s‘nQ:
g
h = ~
4
(по условию), s =
 2t = 2ц
'ot cos a =
2	7 , -)
Vq sin2a
2 = 2g
2uq cosa sina
1) “n-2
2) aT -?
При :
vy = 0,
g
sina .
/, = -2----= 1,02 c.
g
v0 sin a = gt,,
Vy = «Оу - gt} ,
vOy = v0 sina.
t = 1,5 c > Г, (спуск), t' = t -r t\ = 1,5 c-1,02 c = 0,48 c,
t’5 sin'a
2g
2?1q cosa sina
4g
sina = cosa ,
У t - v0x - У0 cos а ’
vy = gt',
vy
— = tgp,
vx
sin a
----= 1,
cosa
tga = 1,
a = arctgl,
gt'
<p = arctg--------
v0 cos a
a = g,
aT = gsinp,
a„=g cos<p,
= 45°
I gt'
a„= g cos arctg--------
V v0 cosa
• I gt'
aT-g sin arctg---------
V w0 cosa
= 45°.
1) an =9,47 м/с2;	2) aT =2,58 м/с2.
12
13
Q 1.15 9 С башни высотой Н = 40 м брошено тело со скоростью и0 = 20 м/с
под углом а = 45° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воз-
духа, определите: 1) время/движения тела; 2) на каком расстоянии л отоснования
башни тело упадет на Землю; 3) скорость v падения тела на Землю, 4) угол ,
который составит траектория тела с горизонтом в точке его падения.
С башни высотой h = 30 mb горизонтальном направлении бро-
шено тело с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Определите: 1) урав-
нение траектории тела у(х); 2) скорость v тела в момент падения на Землю;
3) угол р, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.
Ответ 1) / = 4,64 с; 2) $ = 65,7 м;
3)и = 34,4 м/с; 4) <р = 65,7°.
Тело брошено горизонтально со скоростью v0 = 15 м/с. Пренеб-
регая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны тра-
ектории тела через t - 2 с после начала движения.
Дано
|'о =15 м/с
i = 2 с
R — ?
Решение
v = ^v2+v2 =^v20 + g2t2',
V = ^v2Q + 2gh ,
2) v ~ 26,2 м/с; 3) <р = 67,6°.
“ = g, an=g cosip,
gcos<p gv0
v0
COSip = —
V
an
R ’
R ^o+g2t2)3/2
Л. —-----------
gVo
R=1Q2 m.
Некоторые физические постоянные
Скорость света в вакууме с = 3  108 м/с
Нормальное ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2
Гравитационная постоянная G = 6,67  10“" м3/(кг  с2)
<тг>
/1<\
*---------!
fclWllSo Зависимость пройденного телом пути от времени задается урав-
нением s = A- Bt + Ct2 + Dt3 (Л = 6 м, 5=3 м/с; С = 2 м/с2,
D = 1 м/с3). Определите для тела в интервале времени от /, - 1 с до = 4 с
1) среднюю скорость, 2) среднее ускорение
Дано
s = А - Bt + Ct2 + Dt3
А = 6 м
5=3 м/с
С=2 м/с2
D -1 м/с3
/, = 1 с
t2 = 4 с
1) И
2) (а) - ?
Решение
h -
s2 =	, si=4,,,
v = — = ~B + 2Ct + 3Dt2,
dt
/ \ v2 ~ vi
(a) = —---L ,
h - '1
”2 = 4-/,,	= 4=,,
QOmeem i) 0 = 28 м/с, 2) 0 = 19 м/с2.
Зависимость пройденного телом пути от времени задается урав-
нением s = А + Bt + Ct2 + Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Опре-
делите. 1) через сколько времени после начала движения ускорение а тела бу-
дет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение (а) тела за этот промежуток времени.
1) t = 10 с;
2) (я) = 1,1 м/с2.
Объясните, может ли изменяться направление вектора скорости,
в то время как его ускорение по модулю остается постоянным
16
j Тело движется равноускоренно с начальной скоростью о0. Опре-
делите ускорение тела, если за время / = 2 с оно прошло путь
5 = 16 м и его скорость v = 3vu.
Дано
t = 2 c
5=16 M
v = 3v0
Решение
а - const,
г1 = i’o + at,
ar
2
V = 3v0,
3v0 = v0 + at,
a — ?
t
2н0Г
,0/ +' ” ~2vo!,
s
(!o = д;
2s s
а =------= —
2t I Г
a - 4 m/c-
1,22
Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение
линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с2 Опре-
делите в конце десятой секунды 1) скорость точки, 2) пройденный точкой путь
Дано
Решение
а - kt
/| = 10 с
о, = 5 м/с2
a = kt,
к = - = ^
t Л
1) Щ -9
2)	- 9
*	kt ~
v = J«(0 dt = J#/ dt = —
о	
о
кг О|/|
V, = — = —
1	2	2
s =
'г fa2	kt3
— dt =— ,
J 2	6
о
_ а,Т|2
т~~г
Ответ
1) О| =25 м/с, 2)5, =83,3 м
; уравнения движения двух материальных точек
имеют вид x}=Ait+Bit2+C}t3 и х2 = A2t + B2t2 + С/, где
5; = 4 м/с2, С] = -3 м/с3, В2 = -2 м/с2, С2 = 1 м/с3. Определите момент време-
ни, для которого ускорения этих точек будут равны.
Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиу-
сом г = 4 м, задается уравнением а„ = А + Bt + Ct2 ( А = 1 м/с2,
В~6 м/с3, С = 9 м/с4). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь,
пройденный точкой за время /, =5 с после начала движения; 3) полное ускоре-
ние для момента времени /2 = 1 с-
t = 0,5 с.
‘г'	ненил движения двух материальных точек
имеют вид х, = Л, + Btt + Qt2 и х2 = А-, + B2t + C2t2, где В, = В2,
С] = -2 м/с\ С2 = 1 м/с2. Определите: 1) момент времени, для которого ско-
рости этих точек будут равны; 2) ускорения и а2 для этого момента.
Дано	Решение
&	-Г)	to	*	+ и 		 —	।	to	Ш s	_L	4- -2 tJ	।	——	 dx> W,=17 = A+2C,Z’ dx-> ^=^-=B2+2C2/, U| = u2,	B| = B2,
i) 'L,,=„2 -? 2) a, -?	Bl +2С/ = B2+2C2t, t-	-0
3) a2 -?	2(C2-C,)
du.
»,=^ = 2С,
Дано	Решение
г = 4 м cin — А + Bt + Ct' А = 1 м/с2 В - 6 м/с3 С = 9 м/с4 t\ = 5 с t2 = 1 с 1)	«г -? 2)	5, - 3)	а2 - ?	э о	V" — А + Bt + Ct ,	cin —	, г v = Jr(A + Bt + Ct2) =	+ 6/ + 9?) = du d z„ . = 2(1 + 3/) = 2 + 6/, ar = — = — (2 + 6/), d/ dt 5, = Ju d/ - j(2 + 6/) d/ = 2/| + 3/2, 0	0 u2 (2 + 6/, )2 aTl - ax,	an. = “ = r	r
2	(2 + 6/2)4
ап2 - 1 аг2 +	2
1) аг - 6 м/с2;	2) я, = 85 м; 3) а2 = 17,1 м/с2.
du2
а2 - —— - 2С2 -
а/
Зависимость пройденного телом пути л от времени t выражается
уравнением s = At - Bt2 + Ct2 (А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3).
Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени
t - 2 с после начала движения 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение
1) / - 0 ; 2) Я] = -4 м/с2, 3) а2 = 2 м/с2.
1) з = 24 м; 2) v = 38 м/с, 3) а = 42 м/с1
18
19
( । 27 j Зависимость пройденного телом пути по окружности радиу-
сом г = 3 м задается уравнением s = At2 + Bt (.4 = 0,4 м/с2,
В = 0.1 м/с) Определите для момента времени t = 1 с после начала движе-
ния ускорение: 1) нормальное, 2) тангенциальное; 3) полное.
Ответ
1) ап= 0,27 м/с2;
3) а = 0,84 м/с2
2) аТ = 0,8 м/с2;
Точка движется в плоскости ху из положения с координатами
х, =	= 0 со скоростью v = ai + bx'j (а, b — постоянные, i, j —
орты осей л и у). Определите: 1) уравнение траектории точки у(х); 2) форму
траектории.
Дано	Решение
X] = У] = 0	v= ai + bx'],
v - ai + Z>xj	vx = а ,	vv~bx ,
Лх)_?	dx = vx dr,	dy = vy dr, dx = a dr,	dy = bx d/, , bx , dy = — dx , a
(Ответ Л	2) парабола.
х. —	-	✓ 2а
Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по
закону г = г5! + Зг j, где i, j — орты осей х и у. Определите для
момента времени t - 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.
Дано	Решение
Y^th+ЪГ}	v = ^- = -^-(/3i + 3/2j) = 3/2i + 6/ j,
	d/ d/
t = 1 с			—	
1) v — ?	a = —= 6/i + 6j,	v = yjv; + vy ,
2) а — ?	nr=3/2,	vy=6t,
	v =-J(3/2)2+(6/)2 ,	a = Jn2 + o2,
<7=6/,	<7=6, Л	У	a = ^(6t)2 + 62 
^Ответ 1) v = 6,7 м/с;2) <7 = 8,48 м/с2.
W	РадиУс‘векгоР материальной точки изменяется со временем по
закону г = 4/2i + 3t j + 2k . Определите: 1) скорость v; 2) ускоре-
ние а; 3) модуль скорости в момент времени t - 2 с.
Дано	Решение
r = 4/2i + 3/j + 2k t = 2 c	dr v = — = 8/i + 3j, d/
1) V —? 2) a —?	dv o- a = — = 8i, d/
3) yi — ?	vt = 7(8r)2 + 32 .
1) v = 8ri + 3j;
2) а = 8i;
3) vt =16,3 м/с.

1.32
( 1 31 ) Движение материальной точки в плоскости ху описывается зако- 
ном х = At, у = At(l + Bt) , где Л и В — положительные постоян-
ные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точкиу(х); 2) радиус-
вектор г точки в зависимости от времени; 3) скорость v точки в зависимости
от времени; 4) ускорение а точки в зависимости от времени.
Дано	Решение
x = At	x- At,	t = — A ’
y= 4t(l+Bt)	
l)y(x) —? 2) r(t) — ?	y = ^(l + Bt)=^4fl + B-Lx + -x2, A\ AJ	A
3) v(t) — ? 4) n(t) — ?	Bx2 y-x +	, A
г = xi + yj = Ari + At(l + B/)j,
Дано
Г = 12,5 см = 0,125 м
af - 0,5 см/с2 = 5 • 103 м/с2
а = 45°
Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом
г - 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением ат = 0,5 см/с2.
Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения а образует с
вектором скорости v угол а = 45° ; 2) путь, пройденный за это время движу-
щейся точкой.
Решение
tga = —,
do
п= — = const.
r dt
an
2) s
aTt,
dr
v = —- = Ai +(A + 2ABt)j,
dt
V = A2+(A + 2ABt)2 = Ai/l + (l + 2Bf)2 ,
о
dv
a = 2AB = const.
и"
tg« =—
г а,
a~t~ _ <M'
raT r
г tg а
J az
V2
Вх2
1) у = х + ——;
А
3) v = A-Jl + (l + 2Bt)2 ; 4) а = 2АВ = const.
2) r = dti+/lf(l + Bt)j;
s= J
0
= jnTt dt =
о
art
t = 5 с; 2) s = 6,25 см.
Некоторые математические формулы
sin(a ± j3) = sina cos+ cosa sinj8
cos(a ± Д) = cos a cos /J + sin a sin Д
Линейная скорость щ точки, находящейся на ободе вращающе-
гося диска, в три раза больше, чем линейная скорость п2 точки,
находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска.
B-9 cm.
Колесо вращается с постоянным угловым ускорением е = 3 рад/с
Определите радиус колеса, если через t = 1 с после начала движе
ния полное ускорение колеса а = 7,5 м/с2
Дано	Решение
£ = 3 рад/с2	
t = 1 с	а=^аТ+а„,	aT = sR,
а = 7,5 м/с2	ап - — = а>2R-е2!2R,
R — 9	a2 = e2R2 + sYr2 = e2R2(i + е Y),
£з/1 + £2/4
f - 2 мин = 120 с
= 240 мин-1 = 4 с'1
^2 = 60 мин-1 = 1 с '
£ —?
Q Ответ'') я» 79 см
( 1.35 Л Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения п = 50 с 1
v	после выключения тока, сделав У = 628 оборотов, остановился
Определите угловое ускорение £ якоря
Дано		Решение			
> s и " СТ. С71 3 ° ОО о 1		£t2 <p = a>Qt-~	3	<р = 2nN,	
£ —9		а>о = 2лп,		2л N = 2лп1 -	st2 2
		(о - а>0 - £t,		0 = 2лп - £t,	
2лп t =	, £	2nN -	„ 2лп £	4л2и	2л п	лп2
		£	2е2	Е	Е — 		 N
^Ответ £	-12,5 рад/с2.				
Колесо автомашины вращается равнозамедленно За время t -2 мин
оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин 1 Определите
ij) угловое ускорение
колеса, 2) число полных оборотов, сделанных колесом за
#о время
Решение
О12=О11-£1,	Ш2-2л"И2,
= 2лп}
2л(п} - и2)
2 л п2 = 2лп} - st,	£ =-----------
st2
2л N = 2лп,(------
2
2xN = 2лп}( - л(пх -n2)t,
(п, - д,)/
N =	1 2 ---
Ответ i) £ = 0,157 рад/с7, 2) n = зоо
Точка движется по окружности радиусом R - 15 см с постоян-
ным тангенциальным ускорением аТ К концу четвертого оборо-
та после начала движения линейная скорость точки г1] - 15 см/с Определите
•нормальное ускорение ап2 точки через ?2 - 16 с после начала движения
Дано	Решение
Л = 15 см = 0,15 м ar = const У] =4 г?! = 15 см/с = 0,15 м/с /2 = 16 с «„2 — 9	Hi а„ =ш~ R = (£t у R, ят = — = еЛ = const, 6=”^’ 2	°	/	2 V 2яУ,=^-, £ =	a-=rSvV’ 2	4xN]R‘'	[,4xN\R J (	\	-	4 *> 1’1	1	„ \i\nN}R~ J	16Tt_NfR
Q Ответ а ? = 1	5 cm/c’ <2?>
I 1.38 I Диск радиусом 5 = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так.
........S что зависимость угла поворота диска от времени задается уравне-
нием ip = А + Bt + Ct2 + Dt3 (В - 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Опреде-
лите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения
1) тангенциальное ускорение ат; 2) нормальное ускорение а„; 3) полное уско-
рение а.
ат = 1,4 м/с2;	2) ап = 28,9 м/с2;	3) а = 28,9 м/с2.
। -in А Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла
хяии»®, ПОВОрОта радиуСа диска от времени задается уравнением <р - А Г
(А = 0,5 рад/с2). Определите к концу второй секунды после начала движения-
1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находя-
щейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное ат, нормальное
ап и полное а ускорения.
Дано	Решение
<р = At"	. 2	^<0 Ф-At ,	(и = — = 2.4/,
А - 0,5 рад/с2	dr
t - 2 с	
г = 80 см = 0,8 м	е - — = 2А = const, dr
1) (О — ?	do
	a= —,	v-tvr,
2) Е — ?	T dr
3) аТ - ?	2
«л -?	aT = 2Ar ,	an ~ — - агr = 4A2rl2 , r
I а = у/а2 + а2 .
1.4(1 J Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость
4,11 111 - угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением
? = At2 (А = 0,1 рад/с2). Определите полное ускорение а точки на ободе дис-
а к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость
той точки в этот момент равна 0,4 м/с.
Дано	Решение
p = At2	<p = At2,	a> = 2At,
A = 0,1 рад/с2	s = 2A,	i>| = a)R=2AtlR ,
f, = 2 c	v,	v? V? • 2At\ „ л
= 0,4 м/с	2At	R v,
a,-?	 1	/ \2 aTi =eR=2AR = — ,	a, = (ЗЛо,/,)2 + — 6	V
(Ответ J 0| = о,256 м/с2.	
Ответ Л 1) а> = 2 рад/с; 2) е = 1 рад/с2;
3) аТ = 0,8 м/с2; ап = 3,2 м/с2; а = 3,3 м/с2.
Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линей-
ной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается
уравнением v = At + Bt2 (Л = 0,3 м/с2, 5=0,1 м/с3). Определите угол а, ко-
торый образует вектор полного ускорения а с радиусом колеса через 2 с от
начала движения.
Дано	Решение
R = 10 см = 0,1 м	ar	dr _ Л Э R, tetr = —-,	or — ~~ — A + 2Bt,
V = At + Bt2 A = 0,3 м/с2	v2 (At + Bt2)2
В = 0,1 м/с3 t = 2 c	Jn~ R~ R (A+2Bt)R
a — ?	(At+ Bt2)2 ’
(Ответ g = 4°~
26
27
( Д,42 4 Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла
поворота радиуса диска от времени задается уравнением
‘Р = А + В/3 (А = 2 рад, В = 4 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса
1) нормальное ускорение ап в момент времени Г = 2 с; 2) тангенциальное ус-
корение для этого же момента; 3) угол поворота <Р, при котором полное уско-
рение составляет с радиусом колеса угол а - 45°.
Дано	Решение	
R = 10 см = 0,1 м А + Bt3	<р- А + Bt3,	а) = ЗВГ,
А = 2 рад	s = 6Bt,	an=(jj2R = (3Bt2)2R,
В = 4 рад/с3 Г = 2 с	ат = sR= 6BtR ,	tg« = l,
а = 45°	tg(2 = —, ап	ат = ап,
!)«„-?	(3Bt2)2R = 6BtR,	9B2r4R = 6BrR,
2) ат - 9 3) <Р — 9	t3=±, ЗВ	2	2 ср — А + В — — А + — • ЗВ	3
1) ап = 230 м/с2; 2) ат = 4,8 м/с2; 3) </>=2,67 рад.
1.2. Динамика материальной точки
и поступательного движения твердого тела
V дДЗчЛ Тело массой т=2кг движется прямолинейно по закону
>	5 = А - Bt + Ct2 - Dt3 (С = 2 м/с2, D = 0,4 м/с3). Определите силу,
действующую на тело в конце первой секунды движения.
Дано	Решение
т = 2кг s = A- Bt + Ct2 -Dt3	du F - та - т— > dr
С =2 м/с2	и = — = -B + 2Ct-3Dt2,
D = 0,4 м/с3	dr
t = 1 с F — 9	а = — = 2C-6Dt, dr F = m(2C - f>Dt) 
Ответ	f = 3,2 н.	
Тело массой т движется так, что зависимость пройденного пути
от времени описывается уравнением 5 = A coswr, где А и ш —
Десятичные приставки к названиям единиц
постоянные Запишите закон изменения силы от времени.
1 — тера (1012)
Г — гига (109)
М — мега (106)
к — кило (103)
Д — деци (10 ')
с — санти (10 2)
м — милли (10 3)
мк — микро (10 6)
н — нано (10 9)
п — пико (10 |2)
ф — фемто (10 |5)
а — агто (10“18)
7
F = -mAa) coswr •
К нити подвешен груз массой т = 500 г. Определите силу натя-
жения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2;
2) опускать с ускорением 2 м/с2.
1) Г = 5,9 Н; 2) Т = 3,9 Н.
28
<29>
11.46 J Два груза (от, = 500 г и т2 = 700 г) связаны невесомой нитью и
лежат на гладкой горизон-
тальной поверхности. К грузу тх прило-
жена горизонтально направленная сила
F = 6 Н Пренебрегая трением, опреде-
лите 1) ускорение грузов; 2) силу натя-
жения нити.
т2
1) а = 5 м/с* 2;	2) 7 = 3,5 Н.
f 1.47>J Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов
...... S равноускоренного движения, представляет собой два груза с не
равными массами тх и от, (например тх > т2), которые подвешены каль-
кой нити, перекинутой через неподвижный блок Считая нить и блок невесо-
мыми и пренебрегая трением в оси блока, определите 1) ускорение грузов
2) силу натяжения нити Г, 3) силу F, действующую на ось блока.
к 1 48 ) РисУнке изображена система блоков, к которым подвешены
1 грузы массами тх - 200 г и т2 = 500 г Считая, что груз тх под-
нимается. а подвижный блок с т2 опускается, нить и блоки невесомы, силы
Трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити 7; 2) ускорения, с
вторыми движутся грузы.
т\
ль>
mx > m-,
Дано
Решение
Т\ = Т2=Т,
////////////^^^^ ////////////////^
| а, = 202 ,
I' miai = T-mxg >
/П|<7 = mxg- Т,
п^а = Т - m2g .
Т
Т
т2

T = mxg-mxa,
тх
от «
тха + т2а = mxg - тха- m2g,
|wig
mx + m2
ш2а2 - m2g-2T ;
2от,а2 - Т - mxg ,
= n^g - 2Т;
- mxm2g = 2mxm2g - 4mxT ,
"'m2T + 4m,7 = 2mxm2g + mxm2g,
+ 4m,) = 3m|«2g ,
L 3mpn2g ,
| m, + 4m,
T - mxg 2(m2-2mx)g
a, =	= -
nix	m2
4 от.
m2 _ mig ~ I?
2mx T-mxg
„ _m2g~2T	{m2-2mx)g
ll2 —---------—-------------
m2 + 4/И|
т2
,	mx - m, 2mxmog
I = mxg - m, —--2-g =	™
mx + m2 mx + m2
F = 2Т.
,,	(/и,—m2)g „	2m,m,
l)a = ^-l---2/5.	2)T =----'-T-g-	3)7 =
mx + m2	mx+	mx+ m2
4m, m,
-----'~g
1)7 = 2,26 H; 2) a, = 1,5 м/с2; a2 = 0,75 м/с2.
31
30

Q 1.49 j В установке (см рис.) угол а наклонной плоскости с горизонтом
равен 20°, массы тел mt = 200 г и т2 = 150 г. Считая пить и блок
невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым
будут двигаться тела, если тело т2 опускается.
М В установке углы « и наклонных
и"	плоскостей с горизонтом соответ-
ственно равны 30 и 45°, массы тел тх = 0,45 кг и
I
м, = 0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пре-
ебрегая силами трения, определите: 1) ускорение,
। которым движутся тела; 2) силу натяжения нити.
‘ ..........
Ответ ) 1) a = 1,33 м/с1 2;	2)Г=2,8Н.
Тело массой т движется в плоскости ху по закону г = A cosat,
у = В sin at , где .4, Ви а) — некоторые постоянные. Определите
нодуль силы, действующей на это тело.
Дано	Решение
Q 1.50 J Тело А массой А/ = 2 кг находится на горизонтальном столе и
соединено нитями посредством блоков с телами В ( т} = 0,5 кг) и
С ( т2 - 0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами тре-
ния, определить: 1) ускорение, с которым будут двигаться эги тела; 2) разность
сил натяжения нитей.
Дано
Решение
V
К - A COS(Dt
у = В sin су г
А = const
iB = const
(Д = const
F — ?
F-ma,	r = A coswt • i + В sincy/ j,
v = — = -A(d sin oh • i + Ba) costDt  j,
dt
QV	2	2 •	•
a = — = -Aw cos(Dt-i-B(D sinco/ j,
dr
a = yj(-Aa)2 coswz)2 + (-Ba)2 sin cot)2 =	+ y2 ,
Л/ 2 кг
= 0,5 кг
///-, = 0,3 кг
™,g
а =	~w2)g
М +т} + т-, ’
Т2 = m2(a + g),

пни =Т2~ m2g,
Т\ - »i\(g - а
Т}-Т2 = mi(g-a)-m2(g + a)
1) а = 0,7 м/с2;	2) 7] - Г2 = 1,4 Н
F = ma)2y/x2 + y2 
Qpmeem J F = mq)2yp~^
Некоторые математические формулы
sm2a = 2 since cosct
cos 2a - cos2 a - sin2 a
1 Сборник задач
пл (bn iiikp

Тело массой m - 2 кг падает вертикально с ускорением а = 5 м/с2.
Определите силу сопротивления при движении этого тела.
Частица массой т движется под действием силы F = Fo cos он
где Fo и а) — некоторые постоянные. Определите положение
частицы, т. е. выразите ее радиус-вектор г как функцию времени, если в на-
чальный момент времени t = 0 , г(0) = 0 и v(0) = 0.
Дано	Решение
А Л A Ч 5 О	о	о	»	и I	II	II	о*3 '	о	<=>	О '°	о сл е	„ „	dv F = F0cosart,	F = ma = m—, dr dv „	Fn m—=F0 cos art,	dv = —cosartdz, dr	m v(r)-v(0) = — [cosartdr = -^-sinwr =-^-sinart, m *	ma)	0 ma)
v(0) = 0,
dr = v(/)d/,
Ответ ) Fconp = 9,62 н.
С вершины клина, длина которого I = 2 м и высота h -1 м, начинает
скользить небольшое тело Коэффициент трения между телом и кли-
пом f = 0,15. Определите: 1) ускорение, с которым движется тело, 2) время про-
хождения тела вдоль клина; 3) скорость т^ла у основания клина.
Ответ 1) а = 3,63 м/с2,	2) t = 1,05 с;
3) v = 3,81 м/с
F
v(/) = —— sin art ,
ma)
г(Т) - r(0) = — [sin art dr = —cos art
тш *	та/
о
F
----%- (cos O)t - 1) =
ma)
По наклонной плоскости с углом а наклона к горизонту, равным
30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй се-
унды от начала скольжения, если коэффициент трения f = 0,15
F
= —^(l-cosart),	r(0)=0,
ma)
F
r(0 = —V О - cosort).
mar
v = 7,26 м/с.
F
r(0 = —(1 - COS O)t)
таг
На тело массой т =10 кг, лежащее на наклон-
ной плоскости (угол а равен 20°), действует
горизонтально направленная сила F = 8 Н. Пренебрегая
трением, определите: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой
тело давит на плоскость.
Вагон массой т = 1 т спускается по канатной железной дороге с
уклоном а = 15° к горизонту. При- V()
цимая коэффициент трения f = 0,05, определи-
те силу натяжения каната при торможении ваго-
на в конце спуска, если скорость вагона перед
торможением и0 = 2,5 м/с, а время торможения
t - 6 с
T = 2,48 кН.
1) a = 4,11 м/с2;	2) N = 89,4 H.
34
35
( 1.59 Л грузы одинаковой массы (m1 = m2 = 0,5 кг) соединены нитью
........перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце сто .
ла. Коэффициент трения груза т2 о стол f = 0,15. Пренебрегая трением 1?(
блоке, определите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натя '
жения нити.	1
j|L.6O } Система i-рузов массами ш, = 0.5 кг и т2 = 0,6 кг находи1ся в
лифте, движущемся вверх с ускорением а = 4,9 м/с2. Определите
силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массы и опо-
рой / = 0,1 .
Дано
Решение
Дано
Решение
m2= 0,5 кг
/ = 0,15
1) « —?
2) T — 1
тха = mlg-T,
т2а = Т - f n^g;
W| + т2
mxa + m2a = mxg- f m2g,
т, = 0,5 кг
т2 = 0,6 кг
а = 4,9 м/с2
/ = 0,1
т — '

(п^а = /V - /»|g,
т2(а' - а) = m2g - Т,
а' — ускорение грузов относительно стола^,
N ~ п\а + mtg ,
T^g-a) = Jg-A^)g L^2.(l + /)g
m, + m2
+ m2
т.а’ - Т - f(m}a + m}g),	а' --— f\a + g),
1	Ш]
1) а = 4,17 м/с2;	2) 7 = 2,82 Н.
И?2---------+ g)~ а =	~ Г ,
-'о От,	)
Некоторые математические формулы
2	1
sin а = — (1-cos 2с)
пъТ - iri^ib fa- n^iih f g -	- mtin2g - mJ’.
T{mt + m2) = т}т2( fa + /g + a 4 g),
Т т\ mi^ +	+
/и, - т2
, 1
cos с = —(1 + cos 2а)
T = 4,41 H.
37
1.61 На гладкой горизонтальной поверхности находится доска массой
т1, на которой лежит брусок массой тх. Коэффициент трения
бруска о поверхность доски равен f . К доске приложена горизонтальная сила F.
зависящая от времени по закону F - At, гае А — некоторая постоянная. Опре-
делите: 1) момент времени t0, когда доска начнет выскальзывать из-под брус-
ка; 2) ускорения бруска ах и доски а2 в процессе движения.
aT i ^2 ) В установке угол а наклона плоскости с горизонтом равен 30°.
\S„	массы тел одинаковы (т -1 кг). Считая нить
ц блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока,
Определите силу давления на ось, если коэффициент тре-
ция между наклонной плоскостью и лежащим на ней те-
лом / - 0,1.
Ответ
Дано
т\
т-,
f
F = At
А = const
1) 'о-?
2) а, -?
а2 — ?
At
ax = a-> =----------;
mx + m2
a\= fg = const,
m2
Решение
= FTP ,
m2a2 = F-Flv,
Ftp max — f W\S ,
(ff?i +ffl2)/g 
_ At-fmxg
a2----------
m2
(я а
F = mg(l + f cosa + sina) cos^— _ у
= 13,5 H.
63 На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту a - 35°
Д положена доска массой т2 = 2 кг, а на доску — брусок массой
ni{ = 1 Ki. Коэффициент трения между бруском и доской Д = 0,1, а между дос-
кой и плоскостью /2 = °,2 • Определите: 1) ускорение бруска; 2) ускорение дос-
ки, 3) коэффициент трения /2 > ПРИ котором доска не будет двигаться.
Qomeem 1) q1 = g(sina-Д cosa) = 4,82 м/с2;
2) а, = gfsina + Д — cosa - /2	+	cosa] = 3,62 м/с2;
\	m2	т2	)
> т2 sina + fxmx cosa >n
j) J2
(mx + m2)cosa
_(m]+m2)fg
О 'о -	~	>
A
2) при t > t0 a, = fg = const; a2 =
At- f mxg
m2
Некоторые внесистемные единицы
1 сут = 86400 с	1" = 4,85 • КК6 рад
1 год = 365,25 сут = 3,16 • 107 с 1 рад = 57,3°
Г = 1,75  10 2 рад	1 ммрт. ст. = 133,3 Па
Г = 2,91  10 4 рад	1 эВ =1,6-10-” Дж
38
Снаряд массой m = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке
траектории имеет скорость v = 300 м/с. В этой точке он разорвал-
ся на два осколка, причем больший осколок массой т, = 3 кг полетел в обрат-
ном направлении со скоростью V] =100 м/с. Определите скорость v2 второго,
меньшего, осколка.
Платформа с песком общей массой М = 2 т стоит на рельсах
на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд мас-
т = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой
Скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость
^наряда и = 450 м/с, а ее направление — сверху вниз под углом a = 30° к
Горизонту.
Дано
т = 5 кг
v = 300 м/с
т, = 3 кг
и, = 100 м/с
Решение
mv = mtvt + m2v2,
mv = -m^j + m2v~,,
т2- т- т},
и2 -?
_ mv + mlv]
v2 —-----------
т2
v2 = 900 м/с.
Г 1.65 ) Лодка массой М - 150 кг и длиной I - 2,8 м стоит неподвижно в
.......стоячей воде. Рыбак массой т = 90 кг в лодке переходит с носа на
корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определите, на какое расстояние s
при этом сдвинется лодка.
$ -1,05 м.
( 1.66 } Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью и0, разрывается на
два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоя-
нии / (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со
скоростью движения снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением возду-
ха, определите, на каком расстоянии (по горизонтали) от орудия упадет второй
осколок.
5 = 4/.
Ответ ) v = 1,55 м/с.
железнодоРожн°й платформе, движущейся по инерции со ско-
ростью и0 = 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с ору-
дием М = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения пла<формы. Сна-
ряд массой т = 10 кт вылетает из ствола под углом а = 60° к горизонту'. Опре-
делите скорость v снаряда (относительно Земли), если после выстрела ско-
рость платформы уменьшилась в п = 2 раза.
Дано
v0 = 3 км/ч = 0,833 м/с
М = 10 т = 104 кг
1 т = 10 кг
а = 60°
Vo
v\ = —
п
п=2
v — ?
Решение
i »Mv.
(т + M)v0 = mv cosa +--
п
Mvo
mv cosa = mv0 + Mv0----—
Му0
mv cosa = mv,, +---
2
I 1
m + — M un
k 2 J
v = •------------
m cosa
и = 835 м/с.
п = 2,
40
41
71
Определите положение центра масс системы, состоящей из че-
тырех шаров, массы которых равны соответственно т, 2т, Зт
Две легкие тележки (массы соответственно т} и m2 = 2mj) со.
единены между собой сжатой, связанной нитью пружиной. Пере- '
жигая нить, пружина распрямляется и тележки разъезжаются в разные старо, й 4w, в следующих случаях: а) шары расположены на одной прямой; б) шары
[М вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами
вно 15 см. Направление координатных осей показано на рисунке.
ны. Считая коэффициент трения для обеих тележек одинаковым, определите расположены по вершинам	,пяпями
1) V]/v2 —отношение скоростей движения тележек; 2) ft/72 —отношение
времени, в течение которого тележки движутся; 3) st/s2 — отношение путей,
пройденных тележками.
Дано
Решение
Дано	Решение
	mlvl = m2v2,
m2 = 2m1	U] m2
	.
f	v2 щ
	^1 = ^1,	FTpJ=/Wlg,
1) vjv2 —2	
2) tt/t2 —?	^П>2Г2 = ^2,	FTp2~ff»2g,
3) Vs2 -?	ti _ mlvl Лрз m^^ _ V[
	l2 ^rpt M2V2 ^m2v2 v2 ’
о Л. \, _ V1(1	/ \ . v2h	S, v4i
	S2={V2)(2=~’	-L = -_LL.
2	2	S-2	^2^2
QOmeem^ vJv	2 = 2;	2) tjt2=2-, 3)s,/i2=4.
-+---------------
т
2т
3m
4m
а = 15 см = 0,15 м
т 2т Зт 4т
Две одинаковые тележки массой М каждая движутся по инерции
(без трения) друг за другом с одинаковой скоростью v0. В какой-
то момент времени человек массой т, находящийся на задней тележке, прыг-
нул на переднюю тележку со скоростью « относительно своей тележки. Опре-
делите скорость vt передней тележки.
Ответ )	тМ
J *i = vo + ;-rrfu-
(m + Л/)
*с -1
Ус
<с — ?
н x '
= ——,
I	/
fc-	Z-I '

t

Zm-z'
Zc= I". 
а)	хс = 30 см;
б)	хс = 7,5 см, ус = 4,5 см;
в)	хс = 1,5 см, ус = 4,5 см, zc = 3 см.
Определите положение центра масс половины круглого диска ра-
>г/ дцусом R, считая его однородным.
4R
хс = — от центра.
Зл
. J Определите координаты центра
масс системы, состоящей из че-
тырех шаров массами 2т, Зт, 4т и т, ко-
торые расположены в вершинах и в центре
равностороннего треугольника со стороной
а = 20 см. Направление координатных осей
показано на рисунке.
Ответ ) х _12гм. v _S77r„
1 ~ СМ, — D, / / см.
1.74 ) Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной Противлением воздуха, определите ускорение я ракеты через 1=3 спосленача-
—-----' массой	начинает движение из состояния покоя под воздействи-	Поле силы тяжести считать однородным.
ем постоянной силы тяги F. Через отверстие в дне платформы высыпается пе-
сок с постоянной скоростью fi (кг/с). Определите v(t), т. е. зависимость ско-
рости платформы от времени.
Дано	Решение
s 4	5 о и fl w Д I °	ч ®	1 ч 1	+ &	t II	- 1	4 ft	“	„4 e-	aip.	IL II	1	< 3 2 1 1 s
На кадере массой т = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий
со скоростью и = 6 м/с относительно катера назад д = 25 кг/с
аоды. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость
йтера через t - 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную ско-
лоть катера.
1) v = 3,8 м/с; 2) итах = 6 м/с.
76 I Ракета, масса которой в начальный момент времени М-2 кг,
запущена вертикально вверх. Относительная скорость выхода про-
дуктов сгорания и = 150 м/с, расход горючего fl = 0,2 кг/с. Пренебрегая со-
-	Дано	Решение
$ M - 2 кг	ma = Ff>-mg,
kt = 150 м/с	
= 0,2 кг/с	Fp = ди,
f = 3 c	m = M — fit,
‘g = 9,81 м/с2	Fp _
	a -	g - ,,	g 
a — 2	m	M - fit
а = 11,6 м/с2.
Некоторые математические формулы
Д - fit
sin2а = 2 sin a cosa
, 1
sin a = — (1-cos2a)
cos 2a = cos2 a - sin2 a
, 1
cos a-— (1 +cos2a)
45
Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально
вверх. Начальная масса ракеты Шд, скорость истечения газа отно-
ростью и = 200 м/с. Расход горючего ц = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлени ^нтельно ракеты постоянна и равна и. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
ем воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) за какой промежуток
времени скорость ракеты станет равной и, = 50 м/с; 2) скорость и2, которое
достигнет ракета, если масса заряда т0 = 0,2 кг.
дат в Ракета, масса Мкоторой в начальный момент времени равна 3001
мяпйу начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной ско
Дано
M - 300 г = 0,3 кг
и - 200 м/с
fi = 100 г/с = 0,1 кг/с
v, = 50 м/с
ГПд = 0,2 кг
Решение
ma=Fp,
т= М - fit,
Fp=fiu,
do
а = —,
dt
, ,,	, du
(M - fit)— = fiu ,
1) /, -?
2) и2 — ?
м
u, =u In----------,
M ~ fit\
, . f dr
v(t) = uu ------—
M-/it} и
M
M — fit '
= и In
М
<1 =
, M
u2 = и In------------
M ~ tUg
1) /, = 0,66 м/с; 2) и2 = 220 м/с.
----------= е
М- fit[
«0 = 1,5 кг
t = 600 м/с
| и = 0,3 кг/с
Fi = lc
)и, -?
!) v2 — ?
1.78 J Ракета с начальной массой т(), начиная движение из состояния
	- покоя, к некоторому моменту времени t израсходовав топливо
массой т, развивает скорость v. Пренебрегая сопротивлением воздуха и вне-
шним силовым полем, определите зависимость и от т , если скорость истече-
ния топлива относительно ракеты равна и.
v = и ln(m0/(m0
разите скорость ракеты v в зависимости от т и t (т — масса ракеты; t —
мя ее подъема). Поле силы тяжести считайте однородным.
v = uln(mg/m)-gt.
80
Решение
Дано
Ракета с начальной массой тд = 1,5 кг, начиная движение из со-
стояния покоя вертикально вверх, выбрасывает непрерывную
ую газов с постоянной относительно нее скоростью и = 600 м/с. Расход газа
= 0,3 кг/с. Определите, какую скорость приобретет ракета через 1 с после
чала движения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в одно-
дном поле силы тяжести. Оцените относительную погрешность, сделанную
1я данных условий задачи при пренебрежении внешним силовым полем.
dv
?na = Fp + F, m = mg-fit, я = FV = FU>
du
F = 0, (тд - fit)— -fiu, du =
dr
-^-dr,
/no-/<r
v(t)~ f———dr = win
mg
mg-fit’
:	du
\mg-Ft)— = F«-(mg~fit)g,
at
, mg
U| = u In---------1
du fiu
dr mg - fit
Fp = fiu,
F=mg,
dt-g, v(t) = и In
mg-fit
mo
v2 = и In——--gty,
Ft\
С_Ц1~Ц2 _
«1
gt\
wln-^_
mo~Ft\
1) и, =134 м/с; 2)и2 = 124м/с;	3) £ = 7,3 %.
46
1.3. Работа и энергия
Тело массой т = 5 кг поднимают с ускорением а = 2 м/с2. Опре-
делите работу силы в течение первых пяти секунд.
а Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой
т = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона а = 30° к го-
ризонту на расстояние 5 = 4 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент
трения f = 0,06.
А = 1,48 кДж.
Дано	Решение
w = 5 кг	ma-F-mg,	F-ma+mg-m(a+g),
a = 2 м/с2	
t = 5 c	A = Fh,	h = — ,	A = m(a+g)—. 2	2
A —7	
	
	Ответ a = i,48 кДж.
Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона а
к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. При-
нимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным f , определите
расстояние 5 , пройденное телом на горизонтальном участке, до полной оста-
новки.
ИмИнИи! Автомашина массой т = 1,8 т движется в гору, уклон которой со-
ставляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите: 1) работу, совер-
шаемую двигателем автомашины на пути 5 км, если коэффициент трения ра-
вен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь
был преодолен за 5 мин.
Дано	Решение
т = 1,8 т = 1,8 • 103 кг
h = 3 м
/=100 м
А — /fa + F-tpS ,	= mg sin a ,
Гтр = fN = fmgcosa,
Дано
h
а
f
s
mgh =	,
Fipi = fmg cosa,
Решение
Ртр2 = fr»g,
sina ’
.	h
' mgh ~ f mg cosa-----+ f mgs ,
sina
s = 4(l-/ctga).
s =-y(l - / ctga).
49
Насос мощностью N используют для откачки нефти с глубины h
Определите массу жидкости, поднятой за время t, если КПД на-
соса равен г].
Дано	Решение
N	
h	
I	^атр	Nt
	nNt
	m-	.
m —?	
С Ответ Л ™ =	
'	—	/	g!	
Поезд массой т = 600 т движется под гору с уклоном а = 0,3° и
за время / = 1 мин развивает скорость v = 18 км/ч. Коэффициент
трения j = 0,01. Определите среднюю мощность локомотива
Дано
т - 600 т = 6 • 105 кг
« = 0,3°
I = 1 мин = 60 с
г = 18 км/ч = 5 м/с
/ = 0,01
Решение
+ fg cosa - gsina
И-9
/•'|Я11| = nt~ + f т& cosa _ тё sina,
Ответ Ш = 195кВт.
I 1 87 J Автомобиль массой m = 1,8 т спускается при выключенном дви-
гателе с постоянной скоростью v = 54 км/ч по уклону дороги (угол
к горизонту а = 3°). Определите, какой должна быть мощность двигателя ав-
томобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем с той же скоростью
W = 27,7 кВт.
Материальная точка массой т = 1 кг двигалась под действием неко-
торой силы согласно уравнению s = А~Bt + Ct2 - Dt3 (В = 3 м/с,
С - 5 м/с2, D = 1 м/с3) Определите мощность N, затрачиваемую на движение
точки за время, равное 1 с.
Дано	Решение
m -1 кг	
	2V = —,	<M = dZ’,
s = A-Bt + Ct' - Dr	d/
B — 3 м/с	
C = 5 м/с2	„ mv2	, d | mv2 |	du
D = 1 м/с3	2	*	d/< 2 )	dt
/, = 1 c	ds	->
	u = — = -B+2Ct-3Dt2,
	dr t
N — ?	
	du
	— = 2C-6Dt,
	dt
N = т(-В + 2Ct - 3Dt2)(2C - 6Df)
Ответ ) ^ = 16Bт.
Некоторые математические формулы
sin2а = 2 sin a cosa
cos 2a = cos2 a - sin2 a
Ветер действует на парус площадью S с силой F = ASp(v0 - и)2/2,
где А — некоторая постоянная; Р — плотность воздуха; и0 —
скорость ветра; v — скорость лодки. Определите скорость лодки при макси-
мальной мгновенной мощности ветра.
Решение
Дано
F = ASp(v0-v)2 /2
* = *п,ах
V — ?
N = Fv,	F = ASp(v0-v)2/2 ,
N = -^^-(v20v ~ 2vov2 + u3),
dN
— = °,
du
TV ASp 2 л о 2x n
— = —-(u0-4u0u + 3u ) = 0,
du 2
Vq - 4u0u + 3u2 = 0 ,	3u2 - 4и0и + Ug = 0,
_ 4u0 ± 716u2 -12uq _ 4u0 ± 2u0
и, = u0 (не удовл.),
Wo
V = v7 = —
2 3
( 1.90 4 Тело массой m поднимается без начальной скорости с поверхно-
.......**' сти Земли под действием силы F, изменяющейся с высотой подъе-
ма^ по закону F = -2mg(l - Ay) (где А — некоторая положительная постоян-
ная), и силы тяжести mg , Определите: 1) весь путь подъема; 2) работу силы F
на первой трети пути подъема. Поле силы тяжести считать однородным.
Ответ
2) Af.- = 5mg/(9A).
h = — ;
А
С| 91 А Тело массой in начинает двшаться иод дейсчвпем силы
S F = 2/ i + Зг j, где i и j — соответственно единичные векторы ко-
ординатных осей г и г. Определите мощность Л’(/), развиваемую силой в мо-
меш времени /.
Дано	Решение
н> F - 2/ i ч- 3rj \(/Т — ’	Д'- Fv,	F = 2/i + 3/2j = ma . 1	_ >. dv a- (2/i bjrj)=-—, III	dt
	I t	1 v = [ad/- — [(2/i + 3/2j) d/ - — (ri - ?j) - •J	/77 J	)))
X(/) = (2/i + 3rj)	1 , 1 , s —(T i + / j) = (2/ +3/ ). ill	m
С Ответ YV(/)--	-(2/3+3f)
( 1.92 ) Тело массой m - 5 кг падает с высоты ~ 20 м Определите сум- му поюпциалыюй и кинетической энергий тела в точке, находя- щспся от поверхпосш Земли на высоте /?, = 5 м Трением тела о воздух пре- небречь Сравнше эту энергию с первоначальной энергиеп тела	
Дано	Решение
in 5 Ki h - 20 м Л, 5 м	— IT — nigh ,	Е) — П| + /|,	11, = nigh। . и,	М ’ 1	п	’ in 2g(h-h{) Л| - iiig^ +	- nigh ,
Л’, - Е - mgh
Ответ £| 98т дж
Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Зем-
лей обладает импульсом р = 100 кг м/с и кинетической энергиеи
Т = 500 Дж Определите-1) с какой начальной высоты тело падало, 2) массу тела
1) /7=5,1 м, 2) m = 10 кг.
С башни высотой Н -20 м горизонтально со скоростью г0 = 10 мТ
брошен камень массой m = 400 г Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите для момента времени t -1 с после начала движения
1) кинетическую энергию; 2) потенциальную энергию.
Дано
// = 20 м
п0 = 10 м/с
m = 400 г = 0,4 кг
/ = 1 с
1) г-—9
2)П —9
г _ шу-
2 ’
= ё!,
h= H-h{,
11 = w J н-~~
Ответ ) 1) т = 39,2 Дж; 2) П = 59,2 Дж.
Автомашина массой т = 2000 кг останавливается за t = 6 с, прой-
.......дя расстояние 5 = 30 м. Определите: 1) начальную скорость авто-
машины; 2) силу торможения.
Дано	Решение
m = 2000 кг t = 6 с .5 = 30 м А	2s а = -т-,	v0 = at, Г 2s	mvl ”« = 7-	—=Fs' mvl m 4s2 2ms F —	— -	= ~ . 2s r 2s t2
11) v0 -? .2) F — ?	
1)ио = 1Ом/с; 2) F = 3,33 кН.

Материальная точка массой т = 20 г движется по окружности
радиусом 7? = 10 см с постоянным тангенциальным ускорени-
ем. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия
Материальной точки оказалась равной 6,3 мДж. Определите тангенциаль-
ное ускорение.
I	Дано	Решение
Ъп = 20 г = 2 • 10 2 кг I/? =10 см = 0,1 м [# = 5 Вт = 6,3 мДж = | =6,3 10-3Дж (ч-?	т mv2	[2Т 1 2яА= —,	ат=- = £/?, 2	t v	vt2	vt	4itNR £ = — ,	2jiN =	= —,	t =	, Rt	2Rt 2R	v
v v2 Т
а= — =-----=-------•
t 4xNR 2xmNR
ar = 0,1 м/с2.
( 1.97 )। Ядро массой т = 5 кг бросают под углом а = 60° к горизонту,
' совершая при этом работу 500 Дж. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите: 1) через какое время ядро упадет на землю; 2) какое рас-
стояние по горизонтали оно пролетит.
sina	, ?и1>п
I,	tx=-±------,	Л =
g	2
„ \2А sina
' = 2J--------
V m g
_uosina Vn .
v = v,. cosa • 2--= — sin 2a,	s = — sin 2a.
g g	"»g
Q Ответ
1) t = 2,5 c; 2) s = 17,6 m.
Тело массой m = 0,5 кг бросают co скоростью v0 - 10 м/с под
углом а = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением возду-
ха, определите кинетическую Т, цотеяциальную П и полную Е энергии тела:
1) через t = 0,4 с после начала движения; 2) в высшей точке траектории.
С Ответ Л 1) Т = 19 Дж; П = 5,9 Дж; Е = 24,9 Дж;
4------' 2) Т = 18,7 Дж; П = 6,2 Дж; Е = 24,9 Дж.
-------------- 111
Тележка проходит расстояние ,s = 300 м под гору с уклоном а = 5°
и продолжает двигаться в гору с тем же уклоном. Принимая коэф-
фициент трения f постоянным и равным 0.05, определите расстояние х, на ко-
торое поднимается тележка.
mgh-F^s + х) = mgh,, h = ssina- ht - x sina ,
= f mg cosa ,	mgs sina - f mg cosa(5 + x) = mgx sina ,
Xsina- f cosa)
sina + f cosa
^Omeem x = 81,8 m.
ffi.lOtQ К нижнему концу пружины жесткостью кх присоединена другая
пружина жесткостью к2, к концу которой прикреплена гиря. Пренеб-
регая массой пружины, определите отношение потенциальных энергий пружин.
Дано	Решение
к\	£|Х| = к2х2,
к2	х1 к2	т-r ^1х12	„
mg	— = ~,	П, = -^~, х2 к\	2	2	2
ГТ	П| ^х2 к,к2 к2
		II	1 ,	 11			 ...			
		 — 9 П2 •	П2 к-,х2 к2к^ к}
Г Ответ Л ni ki	
	
< П, к{	
		——		
56
Тело массой т = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высо-
той h -10 см и длиной / = 1 м. Коэффициент трения тела на
всем пути f = 0,04. Определите: 1) кинетическую энергию тела у основа-
Подвешенный на нити шарик массой т = 200 г отклоняют на угол
а = 45° . Определите силу натяжения нити в момент прохождения
шариком положения равновесия
ния плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до
остановки.
FHaT - mg(3- 2 cosa) = 3,11 Н.
1) Г = 0,24 Дж; 2) s = 1,53 м.
Тело брошено вертикально вверх со скоростью по=2О м/с
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на какой высо-
те h кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии
T05) При абсолютно упругом ударе шаров одинаковой массы всегда
отскакивает столько шаров, сколько налетает Докажите этот ре-
зультат.
Дано	Решение
Л = 10,2 м.
Тело массой т = 70 кг движется под действием постоянной силы
F = 63 Н. Определите, на каком пути s скорость этого тела воз-
растает в п — 3 раза по сравнению с моментом времени, когда скорость тела
была равна и0 = 1,5 м/с.
Дано	Решение
т-10 кг	„ mv2 тип
^ = 63 Н	Fs =	-, 2	2
п0 = 1,5 м/с п = 3 5 —?	v = т>а, Fs = —(n -1),
М
n2 — ?
Nimv{ - N2mv2,
2	‘ 2
v? N,
v\ ~ N, ’
= N2.
N2 =/V,
^^°(п2-1).
2F
Тело брошено под углом a = 45° к горизонту со скоростью
и0 = 15 м/с Используя закон сохранения энергии, определите ско-
рость v тела в высшей точке его траектории.
s = 10 м.
v = v0 cosa = 10,6 м/с.
58
59
( 1.107 ) Шайба массой т скользит без трения с высоты h по желобу, пере
.....-.-1111^ ходящему в пеглю радиусом R. Определите 1) силу давления /
шайбы на опору в точке, определяемой углом а (см. рис.); 2) уюл а , при
котором произойдет отрыв шайбы.
Решение
hx - 7?(1 + sin ст),
mgh =	+ sin а),
mu' = 2mgh - 2mgR(\ + sina),
2mgh - 2mgR(\ + sin a)
—2---------------------- - mg sin a = mg
F ---------mg sin a ,
R
2(h- /?(l + sin«))
—-------------/ _ sma
R
F = Q
—— 2 - 3 sin a = 0 ,
R
1 h il
sin« - —-----1 ,
)
a - arcsin
2
3
1) F -mg
2(й- /?(! + sma))
R
sin a
J
2) a - arcsin
Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту h, с которой
должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходяще-
му в петлю радиусом R = 6 м, и не оторваться от него в верхней точке петли.
Дано
Решение
mgh =	+ mghf ,
mv~ = mgR,
mv’’
hi=2R. mg = —- ,
К
mgR
mgh =	— + mg 2 R ,
(Ответ") h=i5lSi
flBLl09 <I Спортсмен с высо гы h - 12 м падает на упругую сетку. Пренебре-
......'' гая массой сетки, определите, во сколько раз наибольшая сила
давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под
действием только силы тяжести спортсмена х0 = 15 см.
Дано	Решение
1 h=\2 м х0 = 15 см = 0,15 м	П = ~~-,	=	|ffJg| = Ax0, Kax| = fa.nax, nig
и —?	ДПИ)р = АПГЯ| (в точках, где АГ = 0),
	kx2 ЛП	ллта\	А гт -гщДЬ+т \
	’	^11Я1 nig( н + vmas),
кх~ 2ач -mgh+mgxmdx,	=2!!!Sh 2mg	mg _ -'•max	. О +/.	-^max ->	,	— Хл . k	k	к
Xmax - 2*0*max “ 2x0h = 0 ’	хтЛх = xo+^xo +2x0h ,
Г+2^=1+ ОЕ
Х0 у хо У х0
Ответ ) w = 13,7.
С вершины идеально гладкой сферы радиусом R = 1,2 м соскаль-
зывает небольшое тело. Определите высоту h (от вершины сфе-
ры), с которой тело со сферы сорвется.
гЯ	Гиря массой т = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку,
..... скрепленную с пружиной жесткостью к = 30 Н/см. Определите
при этом смещение х пружины.
Дано
Решение
Дано
Решение
R= 1,2 м
dll = Пв - ПА = -mgh,
vA=0, dn + d7’ = 0,
mv2B = 2mgh,
т =10 кг
h = 0,5 м
к = 30 Н/см = 3 • НУН/м
2 2mg 2mg
x------x------h = 0,
к к
кх2
mg(h + x) = —
Ax2
—— mgx - mgh = 0,
mg
к
2
mv2
----= mg cosa - /V ,
R
mv2r,
NB = 0,	—- = mg cosa,
R
х = 21,6 см.
mv2B = mgR cos a,
2mgh = mgR cosa,
R-h
cosa =-----
R
nR-h „ ,
2h- 7? cosa = R-- R-h,
R
3h=R,
„л
3
Пуля массой т = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью
v = 0,5 км/с, попадает в баллистический маятник М = 6 кг и за-
стревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откач-
нувшись после удара.
----------------------------------------,--------- ---------------
h = 0,4 m.
Дано
Решение
(1.Л1 ) Два цилиндра массами mt = 150 г и »?2 = 300 г, соединенные сжа-
той пружиной, разошлись при внезапном освобождении пружины
в разные стороны. Пренебрегая силами сопротивления и учитывая, что кинети-
ческая энергия Т упругой деформации пружины составляет 1,8 Дж, определите
1) скорость V] движения первого цилиндра;
2) скорость и2 движения второго цилиндра.
т,	т2
Ответ ) 1)	= 4 м/с; 2) v2 = 2 м/с.
>; = 15 г = 15 • 10"3 кг
t'
«) = 0,5 км/с = 500 м/с
^М = 6 кг
mv = (m + M)u,
h —2
mv
u =----,
m+ M
m
h
(m+ M)u2
--------= (m + M)gh,
и2
h =—
2g 2g(m + МУ
(mv)2
T •
Ответ
h = 7,9 cm.
Пуля массой т = 15 г, летящая
1 горизонтально, попадает в балли-
стический маятник длиной 7 = 1 ми массой
Л/ = 1,5 кг и застревает в нем. Маятник в ре- т
зчльтате этого отклонился на угол <р = ЗО° .
/////^///////^///////////
11116 ) Пуля массой т = 12 г, летящая с горизонтальной скоростью
* 1 v = 0,6 км/с, попадает в мешок с песком массой М = 10 кг, вися-
цй на длинной нити, и застревает в нем. Определите: 1) высоту, на которую
щнимется мешок, отклонившись после удара; 2) долю кинетической энер-
и, израсходованной на пробивание песка.
Определите скорость пули.
Ответ
1) h = 2,64 см;
Д7
2) — = 99,9%.
v = 164 м/с.
Пуля массой т = 15 г, летящая горизонтально со скоростью
v = 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной ! = 1 мп
массой М =1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения <р маятника
Дано	Решение
m = 15 г = 15  10'3 кг t1 = 200 м/с / = 1 M M = 1,5 кг -?	mv = (m + M)u, mv u =	, m+ M (m+M)u2 			= (m + M)gh,
И.117 ) Зависимость потенциальной энергии П тела в центральном сило-
р ' вом поле от расстояния г до центра поля задается функцией
I в
й(г) = -у- — (/1 = 6 мкДж • м2, В = 0,3 мДж • м). Определите, при какихзна-
| г г
|ениях г максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия тела;
Ь сила, действующая на тело.
Решение
dn
dr
ti = 6 мкДж • м2
> =6- 10-6 Дж  М2
|1 = 0,3 мДж • м
I = 3  10“4 Дж  м
Ь п = п
11	11 max
A F = F
W max
dn _df __2Л
dr drkr2 r) r3 r2
1	2/1
—(~2A + Br) = 0 2A=Br r = -—
r3	’	В
F-F
4	4 max
df	dn 2.4	В
— = 0, F =—— = ^ 
dr	dr r r
2gl(m + М)2
<р = arccos 1 -
(mv)2
2gl(m + М)2
&F d(A В
dr dr I г3 г2
6A 2B	2	„
—7- + —j- = —t(-3A + Br) = 0,	ЗА = Br , r
r	r	r
QOmeem зб,9°?
2) r = — = 6 cm.
В
СборПЛХ KUcl4
no (Ihf Hike.
На рисунке представлена каче-
ственная зависимость потен-
циальной энергии П взаимодействия двух
частиц от расстояния г между ними. Объяс-
ните, какому расстоянию между частицами
соответствует равновесие, при каком рас-
стоянии оно является устойчивым и при ка-
ком — неустойчивым.
Шарик из некоторого материала, падая вертикально с высоты 0,9 м,
несколько раз отскакивает от пола. Определите коэффициент вос-
ановления материала шарика при ударе о пол, если с момента падения до
Ьрого удара прошло время t = 1 с.
Решение
, mv?
mgh\ = —
гравн =г2 —устойчивое равновесие,
mv2
mg>h = —
гравн - г4 — неустойчивое равновесие.
Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил,
описывается законом F = A(yi + xj), где А — некоторая постоян-
ная; i и j — соответственно единичные векторы координатных осей хну. Оп-
ределите потенциальную энергию П(х, у) тела в этом поле.
П(х, у) = -Аху + С, где С — аддитивная постоянная.
[ 1 ГО) Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с
высоты /?!=80 см и отскакивает от него на высоту й2=72 см
Определите коэффициент восстановления материала шарика.
Дано	Решение
h{- 80 см = 0,8 м	7	2 V-,	mv7	, mu,
	Е = —,	mgh !=—L,	mgh2=—^,
й2 =72 см = 0,72 м	W]	2	2
е —2	-^=4=?,	£= E. hi У1	ул.
,= h + 2/2 ,
Десятичные приставки к названиям единиц
Ответ j е = о,95.
Т — тера (1012)
Г — гига (109)
М — мега (106)
к — кило (103)
д — деци (10"')
с — санти (10~2)
м — милли (10“3)
мк — микро (10 б)
н — нано (10 0
п — пико (10-12)
ф — фемто (10~'5)
а— атто (10~18)
^1 122J При центральном упругом ударе движущееся тело массой т} уда
	ряется в покоящееся тело массой т2, в результате чего скорое i ь
первого тела уменьшается в 2 раза Определите: 1) во сколько раз масса первз
го зела больше массы второго тела; 2) кинетическую энергию Т2 второго те п
1 123 Определите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движу-
щегося со скоростью П|, при его соударении с покоящимся ша-
ом, масса которою в п раз больше массы налетающего шара Удар счизагь
ен г ральным абсолютно упругим
непосредственно после удара, если первоначальная кинетическая энергия /
первого тела равна 800 Дж
Дано
Решение
Дано	Решение
7\ = 800 Дж 1)	— 9 2) Л' —9	m[v[ = i^v'i + т2и2, i	,2 WjL1! №|V1 ПЪУ2 2 ~ 2	1	2 m\	m}	v	Шо n =	’	A	Vj m2			
V,
7= - — //?!	/щс1! =	
		
Ж	'У	
		
	9	7?7э -	77Ш| ,
у, + m2v2,
п[" гп^2
1', =	+ nv2,
= У|“ + nv{ ,
т ]
W2
, ui
V = —1,
1	2
'1 - ”i
п
п
Ik
2
2
nvt
2
nvf
8
2 ’
-и;2 _ (v;	+ и;)
vl'

п
п
1’1
- п—,
2
,2	3	2
v-, =—т>.
‘	4	1
А
- ’’j)2 QvillX’kllil
S /7"
п
-----=wi+w;
п
У1	3	э
/7“--= —Ш’Г
4	4	1
п = 3,
п
1,
п.х + п - х - 1,
,Ил

7’1'= m,v;2
2 -г
= klLkL = Zi
2 4	4
х(и-1) = -(п +1),
А* = -------=-------
/1-1	1-Н
Т'| _ 1 + п
nJ 1-п
2L_ з
4 4
1) л = 3;	2) 77 = 600 Дж
V! 1 + II
г>;	1-п
68
69
Тело массой т} = 3 кг движется со скоростью vx=2 м/с и ударя
ется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар централь,
ним и неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе
0 = 3 Дж.
Два шара массами т. = 3 кг и т2 = 2 кг подвешены на нитях дли-
ной I = 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой,
м больший шар отклонили от положения равновесия на угол a = 60° и от-
стили. Считая удар упругим, определите скорость второго шара после удара.
Дано
Решение
Два шара массами m, = 9 кги /^=12 кг подвешены на нитях
длиной I = 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между со-
бой, затем меньший шар отклонили на угол a = 30° и отпустили. Считая удар
неупругим, определите высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара
Дано
Решение
$=3кГ
^1 = 2 кг
ih
£=60°
& -1
m\gh = —
h = l-l cosa = /(1- cosa), w, = -J2g/(1 - cosa),
mxVx = W|W| + «2У2 ,
2	/2
2
2
mx= 9 кг
m2 =12 кг
/ = 1,5 м
a = 30°
2
v,^y/2ghl ,
mt(vt-v'i) = m2v2,
2
mx(v2 - w{")= m2v2 ,
h — ?
72g/(l-cosa)
V =---------------
m,+ w2
v~
(W]+ w2)— = (W]+ m2)gh ,
v2
h = — -	,
2g (nj|+m2)

2
+	-Vi)= m2v2 ,
Vj+v'j =v'2,
W|Wi = mx(v2 - W])+ m2v2,
hy= I -1 cosa = /(1 - cosa),
WjVf = (mt+ m^v,
vt = yfegia _ cosa)
Vj = 2w]' V, = 2m,--y/2gl(l-cosa).
m, + m2 m} +
v2 = 3,76 м/с.
wiyi
v =----
«1 + ^2
///////////////
/////;////////,
Два шара массами тх = 200 г и /»2 = 400 г подвешены на нитях
длиной I = 67,5 см. Первоначально шары соприкасаются между
собой, затем первый шар отклонили от положения равновесия на угол a = 60°
И отпустили. Считая удар упругим, определите, на какую высоту h поднимет-
ся второй шар после удара.
„	. 1 I m,
2g/(l - cosa) — = -------1—
2g
/(1-cosa).
,	4w,2/(l - cosa) , ,
h = —= 15 CM-
(W1 + W2)
h = 3,7 cm.
SL.12H
Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы.
Докажите, что в случае упругого, но не центрального удара угол
между направлениями скоростей после удара составляет л/2 .
л
*=2
70
71
1.4. Механика твердого тела
Выведите формулу для момента инерции полого шара относитель-
но оси, проходящей через его центр. Масса шара равна т, внут-
ренний радиус г, внешний R.
Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиу
сом R и массой т относительно оси симметрии
Дано	Решение
т
J = mR2-
R
2	2	2	,	4	,
J = —m{R ~~m2r , m^—TtpR ,
Выведите формулу для момента инерции тонкого стержня мас-
сой т и длиной I относительно оси, проходящей через центр масс
перпендикулярно его длине.
4	3
J—?	т2=-лрг ,
*24 пЗ г>2	4	3 2	5	2 4	5
j/ = y уярл 7?^- —лрг	—KpR - — -—лрг-
т= т{-т2	- г3),
Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиу-
сом R и массой т относительно оси, проходящей через центр масс
шара.
2 4 I

Дано
\т
. 2 Я5-г5
J	т—,----г .
5 7?3-г3
13
Г
Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты
относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса
фты равна т, внутренний радиус г, внешний R.
Решение
dJ = г2 dm,
dm = pdV = р-2xrh dr,
R	R	4
J = 2лг3й dr = 2xph |r3 dr = 2лркД
= ^(Т?4-г4),
m=mi-m2 = ^ph(R2-r2), J = -m(R1 + r2).
2	R
Ц Ответ J J = lw(7?2 + r2).
73
R
г + dr
Определите момент инерции сплошного однородного диска ра-
диусом R = 40 см и массой т = 1 кг относительно оси, проходя-
Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же
материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинако-
щей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
Ответ
J - 0,12 кг • м2.
«135^ Определите момент инерции J тонко го однородного стержня дли-
........ной I = 50 см и массой т - 360 г относительно оси, перпендику-
лярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от
конца стержня на У его длины.
Дано	Решение	
1 = 50 см = 0,5 м	J = JC + та2,	, 1У
т = 360 г = 0,36 кг	1	
1	J =— ml\	1 1 - I
АВ=~в	с 12	А В	С
	I 1 /2 PV J t - —ml + т — =	-ml2,
1) Л-?	12	3
2)	1 > (1 У	2	?	2
	JR = —ml2 + ml		= — ml2
	В 12	<2 б)	36
Ответ i) jA =	3 • 10'2 кг • м2;	2) JB	= 1,75 • 10-2кг-м2.
юй скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара мень-
ше кинетической энергии сплошного цилиндра.
Момент инерции тел правильной геометрической формы
Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же	—mR2 2
рпо 7] поступательного и Т2 вращательного движения диска ^Ответ"^ т} = 16 Дж; т2 = 8 Дж		
г 5 Прямой тонкий стержень длиной 1	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину	—ml2 12
j.. То же 3	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец	1 ,2 — ml 3
| Ш ар радиусом R t	Ось проходит через центр шара	CO 1 t-э 5 tu
( 1.138) Полый тонкостенный цилиндр массой т = 0,5 кг, катящийся без
........скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорое и
цилиндра до удара о стену и, = 1,4 м/с, после удара и] = 1 м/с. Определите
выделившееся при ударе количество теплоты.
Ей Шар радиусом R = 10 см и массой т - 5 кг вращается вокруг оси
симметрии согласно уравнению <р = А + Bt2 + Ct2 (В =2 рад/с2,
С = -0,5 рад/с3). Определите момент сил М для 1 = 3 с.
Дано	Решение	
m = 0,5 кг		
	mv7 J(jJx	mti!" J(u\2
и, = 1,4 м/с	T, =	L +	L,	T2 =
	2	2	2	2
t'j = 1 м/с		
	co = — ,	j — mR" ,	Q = Д - T,,
	R	
e-?		
-<) =
2(t°’
2	2	2	2
„ mv, J(DX mv\ JttA m, ?	->
Q =-----1- +--!------!-------!- = —(u, - v
2	2	2	2	2 1	1
Дано
Решение
R = 10 см = 0,1 м
in = 5 кг
jp = А + Bt2 + Ct2
[&=2 рад/с2
= -0,5 рад/с3
1 = 3 с
М = j£ ,
da?
(£) = —
d/
<w = 2Z?/ + 3C/2,
___?
J = — mF2 ,
5
dw
£ =---,
dr
8 — 2В 4- 6С/ ?
M = ^mR2(2B+6Ct),
1	( 2	,2)
7	7	1	7 Vi Ui	7	7
= —(Vf - V| ) + —тЯ2 —г-------=- - т(у~х -Vj*),
2 1	'	2 I Я2 R2)	1	1 ’
Q = w»(v, +v;)o, - up
Ответ ) м=-одн-м.
Q = 0,48 Дж.
1.139 I К ободу однородного сплошного диска массой т = 10 кг, насажен-
ного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Оп-
ределите кинетическую энергию через время t = 4 с после начала действия силы
Вентилятор вращается с частотой п = 600 об/мин. После вык-
лючения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав
W = 50 оборотов, остановился. Работа/1 сил торможения равна 31,4 Дж. Оп-
геделите: 1) момент сил М торможения; 2) момент инерции J вентилятора.
Дано	Решение
m =10 кг F = 30 H	Т -	Ы -РТ> Те	Т mR1 7вР-—M=FR=Je,	J =	
t = 4 c T 	9 2вр	FR 2F	2F t~	=	,	(1) = £t =	Г, J	mR	mR mR2(2F V 1 F2t2 T =	- r Bp 2 VmR J 2 m
Твр - 1,44 кДж
Дано	Решение	
= 600 об/мин = 10 об/с #=50	А = М<р,	<p = 2nN ,	cj(i = 2л n ,
•4 = 31,4 Дж	А А м = — =	,	M=Js,
—		<р 2nN	
1) M — ?	2лп	2 8t (ОД
2) J — ?	£ = — = ——, t	t	<P - (Dot			, 2	2
2;V
М MN
£ ЛП
w0
2яи и
1)W = 0,1H-m;	2) J = 1,59-IO-2 кг • m2.
76
77
Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого
J = 150 кг • м2, вращается с частотой п = 240 об/мин. Через t -1 мин
после начала действия сил торможения он остановился. Определите: 1) мо-
мент Л/с ил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до
полной остановки.
QOmeem"') i) .и=62,8 н-м;
2) # = 120.
Щ|Др13иП Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклон-
ной плоскости, образующей угол а с горизонтом. Определите
линейное ускорение а центра диска.
Дано
а
а —2
Лр
Je _ mR2a _ та
R~ 2R1 ~ 2
Решение
та = mg sina - F^ ,
mR2
та
та = mg sina——
3
— а
2
= gsina,
2 .
а = — gsma.
3
QOmeem
2	.
a =—g sina .
3
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости
без скольжения
,1	2 1 г 2
Т = —mvr+ — Jr(i> .
2	с 2 с
где т — масса тела; ис — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции
тела относительно оси, проходящей через его центр масс; а> — угловая ско-
рость тела.
К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м при-
ложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении
щека на него действует момент сил трения = 2 Н  м Определите массу т
тиска, если известно, что его угловое ускорение е постоянно и равно 16 рад/с2.
Дано	Решение
7? = 0,5 м	М= FR- ,	М = Js,
# = 100 Н	
= 2 Н-м	J=—,	Je = FR-M 2
е = 16 рад/с2	
т — ?	mR2	и	KFR-M^ 	 s = FR-Mm,	т =	=—— 2	тр’	sR2
Q Ответ	от = 24	КГ.
Частота вращения и0 маховика, момент инерции J которого ра-
вен 120 кг • м2, составляет 240 об/мин. После прекращения дей-
ствия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в под-
шипниках остановился за время t = л мин. Считая трение в подшипниках по-
стоянным, определите момент М сил трения.
Дано	Решение	
п0 = 240 об/мин = 4 об/с		
J = 120 кг • м2		
t - л мин = 60л с		со0 = 2лн0,
М —7	2	
2m^J
м ------
t
Ответ
М = 16 Н-м.
Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого
J -1,5 кг  м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за
время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с п0 = 240 об/мин до
и, =120 об/мин. Определите: 1) угловое ускорение е маховика; 2) момент М
С наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизон-
том, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением,
определите время движения шарика по наклонной плоскости, если известно,
что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.
силы торможения; 3) работу торможения А.
Дано
Решение
J - 1,5 кг  м2
t = 1 мин = 60 с
п0 = 240 об/мин = 4 об/с
=120 об/мин = 2 об/с
ш = ш0 — st,
Cilg — 2ТГИд ,
шГ1 - а) 2л:
£=-^—= —(ИО-И),
M=Je,
1)	£ — ?
2)	М — ?
3)	А — ?
J(1)q	J(l)~ J ,1.	2, э_2 ,, 2 2Ч
А = ~2----------— =	) = 2л:	)
(D = 2лп,
1) £ = 0,21 рад/с2;
2) М = 0,315 Н- м; 3) А = 355 Дж.
, 2	2
J=—mR ,
5
Колесо радиусом R = 30 см и массой т = 3 кг скатывается без
трения по наклонной плоскости длиной I = 5 м и углом наклона
mv2
mgh = — +
,2
2mR
5
v2
2R2 ’
7	2
mgh = —mv ,
10
а = 25° . Определите момент инерции колеса, если его скорость v в конце дви-
жения составляла 4,6 м/с.
Дано
7? =30 см = 0,3 м
т - 3 кг
1 = 5 м
а = 25°
v = 4,6 м/с
Решение
J — ?
J = 0,259 кг  м2.
, at2	vt	21	h
1 =----= —, t = —,	1 =-----,
2	2	v	since
2h 2
since since
2h
-t =--------
v sin a
mgl Sin а-----
2 J
2 ft2	„,Г 2g/since
—~=mR2	-----1
V	\ v
t = 0,585 c.
Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального
участка дороги со скоростью и = 1,5 м/с. Определите путь, кото-
рый он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м
на каждые 100 м пути.
s' = 4,59 м.
( ГДэЦВ На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см
„а?' намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой
т = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с2. Опре-
делите: 1) момент инерции J вала; 2) массу т1 вала.
Решение
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 7? =20 см,
момент инерции которого J = 0,15 кг  м2, намотана легкая нить, к
концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения бараба-
на высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опуска-
ния груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в
момент удара о пол.
R=50 см = 0,5 м
т - 6,4 кг
а = 2 м/с2
та = mg-T,
Т= m(g-a),
М =TR= m(g - a)R,
1) J — ?
2) m, -?
M _ m(g-a)R2 _ 2f g
— —----------— mK I —
e a	la
j_ m\R2
2
Дано
Л = 20 см = 0,2 м
J = 0,15 кг - м2
m - 0,5 кг
h = 2,3 м
1)	t —?
2)	Т — ?
3)	wK -ч
Решение
mv2 Jco2
mgh = — + ~,
h =-----,
2
v = at,
Qomeetn 1) J = 6,25 кг M2;	2)	= 50 кг.
Je	a
---. £ = — ,
R	R
TR = Je,
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см
и массой М = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой при-
креплен груз массой т -1 кг. Определит^: 1) зависимость s(f), согласно кото-
рой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость <p(t), согласно
которой вращается вал; 4) угловую скорость а> вала через t = 1 с после начала
движения; 5) тангенциальное (яг) и нормальное (ап) ускорения точек, находя-
щихся на поверхности вала.
2	2 2
mv ma t
2 ~ 2
_ Ja
T - —,
7?2
mg
1) t = 2 c; 2) T = 4,31 H; 3) 1FK = 1,32 Дж.
1) s = 0,82г2 ;
3) <р = 16,4г2;
2) Т = 8,2 Н;
4) со = 32,8 рад/с;
5) ат = 1,64 м/с2, ап - 53,8 м/с2.
Некоторые математические формулы
sin(a ± /J) = sin a cos fl ± cos a sin fl
cos(a ± fl) = cos a cos + sin a sin fl
(&)
СI 153^ ' 1еРез неподвижный блок в виде однородного сплошного цилннд-
X .....X ра массой т = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам кото-
рой прикреплены тела массами mt = 0,35 кг н ш2 = 0,55 кг. Пренебрегая тре-
нием в осн блока, определите: 1) ускорение груза; 2) отношение T^/Tj сил на‘
тяжения нити.
Решение
Тело массой ffl,= 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посред-
ством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом мас-
сой т2 = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока
т = 0,15 кг Коэффициент трения f тела о поверхность равен 0,2. Пренебре-
гая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение а, с которым будут дви-
гаться эти тела; 2) силы натяжения 7] н Т2 нити по обе стороны блока.
т = 0,2 кг
= 0,35 кг
т-, - 0,55 кг
1) а — ?
2) Т211\ - ?
2
(T2~T})R = ~
miai = 7] - m}g,
• m2a = m2g-T2,
(J2-T0R=J£,
J -
2 ’
T2 - T\ = m2g - m2a - m}a - m{g,
ma + 2m2a + 2mxa = 2m2g -2mlg,
т-, = 0,2 кг
т = 0,15 кг
/ = 0,2
Решение
«10 = 7]-^,
 m2a = m2g-T2,
(T2-I\)R=Je,
F^=fN = fm{g,
J = mR2,
w2g - T2 = m2a ,

д_ (w2-w,)g
m
m, + m2 T—
1	2 2
T2 = w2(g-a),	7] = wl(g + a),
a =
ffi]+ m2 + m
T2 _ ffl2(g-a)
7] rn^g + a)'
QOmeem 1) a = 1,96 м/с2;	2) 72/7] =1,05.
Некоторые внесистемные единицы
1 сут = 86400 с	1" = 4,85 • Ю~6 рад
1 год = 365,25 сут = 3,16 • 107 с 1 рад = 57,3°
1° = 1,75 • 10~2 рад	1 мм рт. ст. = 133,3 Па
Г = 2,91  10“* рад	1 эВ = 1,6 • 10 19 Дж
7i-/m|g = m]a,
T2 - T} = ma ,
Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Мак-
ХтжммгЖ свелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и
массой т, туго насаженный на ось радиусом г, которая подвешивается на двух
предварительно намотанных на нее нитях. Когда маятник отпускают, то он со-
вершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при
одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления
и момент инерции оси, определите: 1) ускорение поступательного движения
маятника; 2) силу натяжения нити.
Однородный шар радиусом г = 20 см скатывается без скольже-
ния с вершины сферы радиусом R = 50 см. Определите угловую
скорость а) шара после отрыва от поверхности сферы.
Дано
г = 20 см = 0,2 м
R = 50 см = 0,5 м
Решение
Решение
ш — ?
mv2 Jo)2
mv2
mgh = — +
mR2v2
2-2r2
, mv2 Ja>2
mgh = ~ + ~
= (R + г) - (R + г) cosa, mg(R + r)(l - cosa) =
at2 a2t2( R2
g----~------ 1 + —7
2	2 \	2r2
g
1 + Л2/(2г2)’
2Tr = Je,
(	,2 2 A i
$(R + r )| 1--—j = —a>2r2,
M \ g(^ + r)J 10
g(R+r)-a>2r2	o)2r2,
mR2 g	mgR2
2r (1+R2/(2r2y)’	2(2r2 + R2)
17 ,
g(/? + r) =—(i)2r2,
1 10 ч
g(K+r)
г V 17
2
1) a -----g-----	2) T =___-------
}	\+R2!(2r2y	2(2r2 + R2)
(i> — 10 рад/с.
Десятичные приставки к названиям единиц
Т — тера (1012)
Г — гига (109)
М — мега (106)
к — кило (103)
д — деци (10"1)
с — санти (Ю“2)
м — милли (10'3)
мк — микро (1СГ6)
н — нано (10"9)
п — пико (10 12)
ф — фемто (10“15)
а — атто (10“18)
Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным
угловым ускорением £ = 0,4 рад/с2. Определите кинетическую
*нергию маховика через время t2 = 25 с после начала движения, если через
^1 =10 с после начала движения момент импульса Ц маховика составлял
>0 кг • м2/с.
Ответ г = 750 дж.
(L158J Горизонтальная платформа массой т - 25 кг и радиусом R = 0,8 м
...вращается с частотой п |= 18 мин 1. В центре стоит человек и дер-
жит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите часто-
ту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент
инерции от J] = 3,5 кг • м2 до Л = 1 кг • м2.
Дано
т = 25 кг
R = 0,8 м
И|= 18 мик1 = 0,3 с"1
=3,5 кг • м2
J2 - 1 кг  м2
п2 — 2
Решение
а>1=2лгн1,	а>2 = 2лгл2,
Ижбшв! Человек массой т = 60 кг, сто-
нт । in ящии на краю горизонтальной
платформы массой М =120 кг.
тращающеися но инерции вокруг неподвиж-
юй вер шкальной оси с частотой п} = 10 мшт ',
тереходит к ее центру. Считая платформу крут-
ым однородным диском, а человека — точеч-
юй массой, определи те, с какой частотой п2
тудет тогда вращаться платформа.
<77-------\----------------------
Ответ )	(м+2т)
L	J Пл =-------и.= 20 мин
ч---------м
«2 =
2 J, + mR2
--------т" п1
2J2 + mR2
ИИзЬКИй Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, мо-
I*	жет вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси
На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы плат-
рормы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость враще-
ния платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное
(Головине радиуса платформы.
Ы59)
QOmeem^ ^ = 23 мин-1.
Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень
длиной I = 2,5 ми массой т = 8 кг, расположенный вертикально
вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает мо-
ментом инерции J - 10 кг • м2 и вращается с частотой ц = 12 мин Опреде-
лите частоту «j вращения системы, если стержень повернуть в горизонталь-
ное положение.
, mR~ т 7
Л =-----+ — R2
2	3
= - mR2,
6
mR2 т( R}2 7	2
г2=---+ — — =— mR2,
2	3<27	12
,2
и2 =8,5 мин-1.
5mR2 -12
6 • 7 mR2
— = 1,43. ( Ответ Л = 1,43.
<89>
СЧеловек массой т = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной плат-
формы радиусом R = 1 м и массой М = 120 кг, вращающейся по
инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой и, =10 мин пере-
ходит к ее центру Считая платформу круглым однородным диском, а чело-
века — точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при пе-
реходе от края платформы к ее центру.
Дано	Решение
т = 60 кг W = 120 кг R = 1 м /?,= 10 мин= 0,17 с А — ?	г 2	Г 2 2	2 .	MR2	п2	MR2 • mR ,	J2-	, 2	2 coj = 2%nt,	J1a>1 = J2a)2,
w, = 1 1 = - Л	MR2 Д 2	M + 2m + m/T •	. -2;тгп1=	-Дтгп. 2	\ MR2	M	’’
, MR	f(M+2m)2	Д	1	f MR2		1
A =		1	Т7Г2- 4ЯН,)2					+ mR2	(2ЛЭ7!)‘	— XX
2	I	\	2	! 2		2
= 2л-Л2«Г
(М + 2т)2
2М
А = 65,8 Дж.
Дайте определение и объяснение гироскопического эффекта.
<(9(Г>
К проволоке из углеродистой стали длиной I = 1,5 ми диаметром
d = 2,1 мм подвешен груз массой т = 110 кг. Принимая для ста-
ли модуль Юнга Е = 216 ГПа и предел пропорциональности ап = 330 МПа,
определите: 1) какую долю первоначальной длины составляет удлинение про-
юлоки при этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел
оропорциональности.
Дано	Решение
! = 1,5 м [7 = 2,1 мм = 2,1  10"3 м	А/ 1 F	„ 1 ,2 — =	>	S = —xd2, 1 Е S	4
77= 110 кг Е- 216 ГПа = 216- 10’Па хп =330 МПа=33-10’Па	с	А/ 4mg F = mg,	— = s-, I nd2 E C-F = 4mg S nd2
А/ )у-? ) о -?	QOmeem )
2) а = 312 МПа, а<оп.
Медная проволока сечением 5 = 8 мм2 под действием растягиваю-
щей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при на-
ревании на 30 К. Принимая для меди модуль Юнга £ = 118 ГПа и коэффициент
инейного расширения а = 1,7-10 5 К"1, определите числовое значение этой силы.
Дано	Решение
? = 8 мм2 = 8 • 10 6 m2 1Г=30 К E = 118 ГПа= 118• 109Па x = 1,7 10"5 К 1 F 	9	_ f	_L a~~S ’	1 ~ E ~ S E ’ Fl M = ~, M = al\T,	F = aES AT . ES
r^Omeem	r = 48i	H.
	<9?>
Г Х'д&ййэ Резиновый шнур длиной 40 см и внутренним диаметром 8 мм на-
У тянут так, что удлинился на 8 см. Принимая коэффициент Пуассо-
на для резины равным 0,5, определите внутренний диаметр натянутого шнура.
Определите объемную плотность потенциальной энергии упруго-
растянутого медного стержня, если относительное изменение дли-
ны стержня £ = 0,01 и для меди модуль Юнга £ = 118 ГПа.
Решение
w = 5,9 МДж/м3.
I = 40 см = 0,4 м
d = 8 мм = 8 • 10 ' м
Д/ = 8 см = 8 10-2 м
А =0.5
dt -?
Ат/ А/	„ , nd Д/
— = и—. Да =-----------------,
d I ’	I
d, = с/ - Ас/ = c/f 1 - -I.
1	V I )
Два ва,она (масса каждого т = 15 т) движутся навстречу др\ г
другу со скоростью v = 3 м/с и сталкиваются между собой. Оп-
ределите сжатие пружины буферов вагонов, если известно, что сила про-
порциональна деформации, и под действием силы F = 50 кН пружина сжи-
(мается на А/ = 1 см.
d\ = 7,2 мм.
Дано
Решение
Определите работу, которую необходимо затратить, чтобы сжать
пружину на 15 см, если известно, что сила пропорциональна де-
формации и под действием силы 20 Н пружина сжимается на 1 см.
777 = 1 5 т= 15 • 103кг
'и = 3 м/с
F = 50 кН = 5 • 104 Н
А/ = 1 см = 10 2 м
mv2 2kl2
2 - 2
Л/ ’
А = 22,5 Дж.
mv2 А/
тиА/
= 77,/----
2F У 2F
[ tlM j Определите относительное удлинение алюминиевого стержня
........если при его растяжении затрачена работа А = 6,9 Дж. Длина стер
жня I = 1 м, площадь поперечного сечения 5 = 1 мм2, модуль Юнга для алю-
миния Е = 69 ГПа.
Дано	Решение
А = 6,9 Дж 1 = 1 м 5 = 1 мм2 = 10 6 м2 £ = 69 ГПа = 69- 109Па 7 — 9	А/	л П 1£5/л7\2 Е = у,	Л = П = -—(А/) , 1	(A/V 1	2	\2А QOmeem	£ = o,oi4
I = 11,6 см.
Рекомендуемая литература
Трофимова Т И. Курс физики, М., 1998.
Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики, М., 1996.
Трофимова Т. И Физика. 500 основных законов и формул. Справочник, М., 1997
Трофимова Т. И. Оптика и атомная физика: законы, проблемы, задачи (спра-
вочник для студентов вузов), М., 1998.
<93>
1.5. Тяготение. Элементы теории поля
Считая орбиту Земли круговой, определите линейную скорость v
движения Земли вокруг Солнца.
f ЭМмИм Определите период обращения вокруг Солнца искусственной
X.	планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической
орбиты больше на 107 км большой полуоси земной орбиты.
Дано	Решение
/?!= /?2 + R
R-, = 1,49-10" м
R = 107 км = 1О'° м
Т-, = 12 мес
1\ — ?
Ti R\ ’
Вычисления:
Дано	Решение	
М = 1,98-1030 кг Л = 1,4910" м 6 = 6,67-10’" м3/(кг  с2)	mv2 „ тМ R	R2	
v — 7	f Ответ v	= 29,8 км/с.
(1,49-Ю11 m + 10iomV
Г = 12 мес •, ------------------- = 13,2 мес.
Ж 1,49-10" м )
QOmeent ) Г| = 13>2 мес
в 1.174 J Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 ч.
.......S Считая его орбиту круговой, определите, на какой высоте от по-
зерхности Земли находится спутник.
Период обращения кометы Галлея вокруг Солнца Г = 76 лет.
Минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца,
составляет 180 Гм. Определите максимальное расстояние, на которое комета
Галлея удаляется от Солнца. Радиус орбиты Земли принять равным Rq =150 Гм.
Дано	Решение
Т = 76 лет
Я,™ =180 Гм=1,8-10"м
= 150 Гм= 1,5  10й м
= £	л _	+ ^ах
702 R* ’	2
|	Дано	Решение	
\г = 3 ч= 1,08  104с	mv2	тМ	г = R + h,
Г		= (j	у- ,	
'r= 6,37- 10б М	г	г2	
\м = 5,98 -1024 КГ		2л
	V~(i)r ,	со = —,
6 = 6,67-10’" м3/(кг  с2)		Т
	.GMT2 г = X 	т— ,	, Jgmt2 „ /1 = 3	У-- R.
р 1	V 4я2	V 4я2
Ответ j /? = 4,19 мм.
..
..........................................................
№
Некоторые астрономические величины
QOmeem^	= 5>2.ю9 км.
Радиус Земли
Масса Земли
Радиус Солнца
Масса Солнца
--------------
6,37-106 м
5,98-1024 кг
6,95-108 м
1,98-1030 кг
Q1.175J Планета массой М движется по окружности вокруг Солнца со ско-
........ростью v (относительно гелиоцентрической системы отсчета)
Определите период обращения этой планеты вокруг Солнца
Дано	Решение	
м	2nR	Mv2	ММС
мс	г =—, V		-G	 R	R2
V	r^GMc	т 2*GMC v3 ’
Т— ?		
Ответ ) 2лСмс
У *	ч
0.17б)
Определите, во сколько раз сила притяжения на Земле больше силы
притяжения на Марсе, если радиус Марса составляет 0,53 радиу-
са Земли, а масса Марса — 0,11 массы Земли.
QOmeem"^ п = 2,5~.
Определите среднюю плотность Земли, считая известными гра-
витационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободно! о
падения на Земле
Дано	Решение	
G = 6,61 10’" м3/(кг  с2)	тМ mg = G—r-,	
R = 6,37 106 м	R~	
g = 9,81 м/с2	М = рУ,	4	1 V = -xR3, 3
Р	М gR2 3	3g
		
	Р V ~ G 4яЛ3 ’	Р 4tiGR
^Omeem р = 5,5	г/см3.	
Две ма1еРиаль1Ше -чки массами тх и расположены дру! oi
друга на расстоянии R . Определите угловую скорость вращения,
с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстоя-
ние между ними осталось постоянным.
Дано	Решение
тх	2	2 mlVi	”J2V2	1( -(t}r = Сг о ,	= Ст	>
т2	n	R2	r2	R2
R = const	
—	v2=<i)r2,	rx+r2 = R,	a2r.= G^,
CD — ?	1 R2
(j)2r2 = G^-, R2	a)2(rx+r2) = -^-(mx+m2),	(^=J-^(ml+m2). R	V R
T Ответ Л П	'Z
	Z а)= — I Л	
Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, со-
прикасаясь друг с другом, притягиваются. Определите, как изме-
нится сила притяжения, если массу шаров увеличить в п - 3 раза за счет уве-
личения их размеров.
Дано	Решение
>fnx - m2= m	2 , = 2Я. f =	™ =	=
R[=R2 = R	r2	4R2	3
p\=p2=p	1 Зт „ M2	, „	l3M
	R — ^	»	/*3 — G—Гу — 2Ку, Ky — 3	,
‘M = nm	V 4лр	V 4яР
n = 3	
—	F~ Gn2,n2 - ”2 F-n^F	Fi №
F3 -A 	9	3	П ч ?“ ‘ 2/3r n p ,	c n 
F	4	—
	у k 4лр)
( Ответ )	=„^ = 4 33	
V F	
И Сборник. задач
97
Определите высоту, на которой ускорение свободного падения
составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности
Земли
h = R, R — радиус Земли
Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на ко-
торой ускорение свободного падения составляет 25% от ускоре-
ния свободного падения на поверхности Земли
h=0,15R, R —радиус Земли.
На какой высоте И ускорение свободного падения вдвое меньше
его значения на поверхности Земли
Дано
Решение
g' = g/l
7? =6,37 IO6 м
mM
mg = G~,
К
, _ тМ
mg' = G-------,
(R+h)2
h — r>
g _(R + h)2
g' R2
— = 2,
g'
(R+h)2 = 2R2,
h2 + 2Rh-R2 = 0,
й=Я(Т2-1)
h= 2,64 Мм
Некоторые астрономические величины
Радиус Луны	1,74 10б м
Масса Луны	7,33 1022 кг
Расстояние от центра Земли до центра Солнца
Расстояние от центра Земли до центра Луны
1,49 10й м
3,84 108 м
98
Я Стационарным искусственным спутником Земли называется спут-
* инк, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора.
Определите расстояние такого спутника до центра Земли
Дано
= Т = 24 ч = 86400 с
R = 6,37 106 м
Решение
тМ
mM
mgt = G-^-,
?
V2 2
gi = — = ш г,
g\ R
2
7 ’
gR1
g\=—V
2л	(2 л2 gR2
I Т J Г~ г2
г = 4,22 104 км
, gR2T2
Д 4л2
| На экваторе некоторой планеты (плотность планеты р = 3 г/см3)
тела весят в два раза меньше, чем на полюсе Определите период
планеты вокруг собственной оси
Дано	Решение
р = 3 г/см3 =3 108 кг/м3 Р = -рп э 2 п	mv2	„ тМ Pn = mg,	Py = mg—mg = G-£-, 4 о	GM 4 r,D	2лЛ M = -7tpR’,	g = ~^- = ~npGR, v =
T — 9
J	mv'
mg = 2 mg-——- ,
V л у
4	8 л “У?
2
1	mv
— mg = ---
2	R
2v2
8 = ~Г
. 8a2R 3 6л
T2 =-----=----,
4npGR pG
T = 2,7 ч
99
2 4л2Я2 8л2Я
8~ T2R Г2
T =
Принимая, что радиус Земли известен, определите, на какой вы-
соте h над поверхностью Земли напряженность поля тяготения
равна 4,9 Н/кг.
Дано
Решение
gi = 4,9 Н/кг
g = 9,81 Н/кг
2? = 6,37 106 м
h — ?
_FX _ GM
m (R + h)2
R + h _ ПГ
R U ’
GM	g _ (R + h)2
R2 ’	gi " R2
h = 2,64 Mm.
Определите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяю-
щей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна
нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз
больше массы Луны.
Дано
М = Пт
R
Решение
х
= 81(7?-х)2,	х = 9(Я-х),	10х = 9Я,
л =0,92?
Ответ
х = 0,92?.
<Тоо>
ttl.lo7 I Имеется тонкий однородный стержень массой т и длиной I. Для
....точки, находящейся на одной прямой со стержнем на расстоянии а
от его ближайшего конца, определите: 1) потенциал гравитационного поля стер-
жня, 2) напряженность его гравитационного поля.
Дано
т
I
а
Решение
1) <Р ~ 9
2) g — ?
, т А
dw — — ox j
, dm ^m dx
dtp = -G— = -G--------------
l+a ,	,
m r dx m l + a
<p=-G— — = -G—In------------,
Z •> x I a
a
A	•
g = -gradp= —— i
da
g = -
+	„ m
— i = G----
a J (/ + a)a
i.
m , I + a
1) <p = —G—In-;
I a
m
2) g = G-------
6	(/ + a)a
Связь между потенциалом поля тяготения
и его напряженностью
,	\ dtp, dtp дф
g = -grad^, или g = _ -JL1 + ^L| + _tlk
\ Эх dy dz
где i, j, k — единичные векторы координатных осей.
<W1>
Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу т. Опреде-
лите в точке А, расположенной на оси диска на расстоянии h от
него: 1) потенциал гравитационного поля; 2) напряженность гравитационного
поля.
Дано
Решение
2m г xdx 2тГ I 2	,
tp = — G—х- I ,—	— —G—< "v п +х
s!L
, dp. d „2т ГТ ~у
g =-gradp =— i =-— <7—з~(VА2 + Л" - Л)
dh dh L R
G-^f-(ft2 + 7?42 -2Л-1
7?2 2^	>
i = G—r- 1 -
Л2
яЧ
h
Jh2 + R2;
2)g = G^iL=
\lh2 + R2
<W2>
( I Д89|1 Для тела массой т, находящегося в гравитационном поле Земли
над ее поверхностью, выведите зависимость потенциальной энер-
гии тела от расстояния до центра Земли. Считать известными радиус Земли R$ н
ускорение свободного падения g на поверхности Земли.
Дано
Решение
R
П= |Fdr,
со
F = G^,
„ тМ
mg = G-^-,
Ло
GmM = mgR^ ,
П =—2-
R
Как известно, искусственный спутник Земли движется вокруг нее
по круговой орбите. Определите, во сколько раз гравитационная
потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии.
Дано	Решение
R И_, т	mv2 mM	mv2 — О	X- j	1 —	5 R	R2	.2 . । „тМ П =G , 1 1	R |П| GmM 2 R Т ~ R mv2 R~
— = 2.
Т
6оз>
Два алюминиевых шарика (р = 2,7 г/см3) радиусами г, = 3 см и
г2 = 5 см соприкасаются друг с другом. Определите потенциаль-
ную энергию их гравитационного взаимодействия.
Дано
Решение
р = 2,7 г/см3 =
= 2,7 • 103 кг/м3
>\ = 3 см = 3  10“2 м
Гт = 5 см = 5 • 10 2 м
n = -G^
R
4 з
»11 = рК| =р-уЯГ] ,
П—?
ii:	зз
И- С 16 ^2л2 Г!'2
11 ——С/----Л р -------
9 г, + г-
П = - 0,36 нДж.
R = rx+r2,
4 з
т2 =~ Р'~^ПГ2 ,
I 'Л.лдаУ! Два одинаковых однородных шара из одинакового материала со-
....... прикасаются друг с другом. Определите, как изменится потенци-
альная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увели-
чить в 3 раза.
Дано
Решение
тх-т2~т
U} = -G^ = -G^,
Г] + г2 2г
п - сМ'
1К = —Сг-,
2 2R
Р\~ р2 - р
М — пт
п = 3
4 з
т~ р-—лг ,
3
4 з
М = р-—nF?,
И 3
П,
Л1 =
п.
М2г
m2R
Л 3/-
— = \П ,,
1	.У2
= и2 • —= = п'
V п
М = пт,
М
3 _
— = п,
т
= 6,24.
104
( 1.193 ) Принимая, что атмосфера на Луне отсутствует, определите ско-
рОСТЬ падения метеорита на ее поверхность. Скорость метеорита
вдали от Луны считать малой.
v - 2,37 км/с.
I 1.194 1 Спутник поднимают на высоту h = 6370 км и запускают его по
круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ
на поднятие ( Ах) и на запуск (А-.) спутника.
Дано
Решение
/г = 6370 км = 6,37- 106м
7?з = 6,37'10б м
R — Ry + h
тМ тМ
А] = АП = — G-----— G-----
Rj + h \ R3 ,
А
—____?
А2
= GmM] —-----1
R3
GmMh
+ h) ~ R^R3 + h) ’
, GmM GmM
А-) ~	~
2R 2(7?з + й)
2
, mv
A, h 2(Л3 + /?)
Л? + Л)
mv2	тМ
— Ст 5
R	R2
2h
L1,19э ) Определите числовое значение первой космической скорости, т. е.
горизонтально направленной минимальной скорости, которую
надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала круговой
(тело могло превратиться в искусственный спутник Земли).
Wj = 7,9 км/с.
105
Определите числовое значение второй космической скорости, т. е.
наименьшей скорости, которую надо сообщить телу, чтобы его
орбита в поле тяготения Земли стала параболической (тело могло превратить-
ся в спутник Солнца).
V2 = зЛ^З = 1 № КМ/с.
Определите числовое значение второй космической скорости для
Луны
v2 = 2,37 км/с.
Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на
высоте h - 500 км. Определите скорость его движения.
Дано
h = 500 км = 5 • 105 м
R = 6,37 106 м
М = 5,98 1024 кг
Решение
r = R+h,
гтЕ	тМ
----
г	г
и —9
v = 7,62 км/с.
А£	ДваспУгникасоДинак°вой массой движутся вокруг Земли по круго-
x-iiaSX вым орбитам разных радиусов Я, и R2 (R2 > Rt). Определите
1) отношение кинетической энергии второго спутника к первому, 2) как зави-
сят от радиуса орбиты потенциальная и полная энергия спутников.
(Ответ ) n 2L=А.
-------У ’ Т2 R,'
2) П и Е возрастают с удалением от Земли
Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы тело
массой т = 1 000 кг, находящееся на Земле, смогло превратиться
в спутник Солнца (при отсутствии сопротивления среды).
QOmeem а = 62,6 гдж.
<Ж>
( 1.20 йн К потолку вагона, движущегося в горизонтальном направлении с
V '.i-'y ускорением а = 9,81 м/с1 2, подвешен на нити шарик массой
т = 200 г. Определите для установившегося движения: 1) силу натяжения нити Т,
2) угол ‘Р отклонения нити от вертикали.
Дано
а = 9,81 м/с2
g = 9,81 м/с2
т = 200 г = 0,2 кг
1) Т-ч
2) ^ — ?
Решение
Fl(=-ma,	FK + wg = F,	T = -F,
|F„| = та, F = V(mg)2+(wa)2 , И = И.
T = т^g2 + a2 ,
ma a
tg<p =----= -,
g
a
<p = arctg—.
g
Ответ
1) Г = 2,77 H;
2) 95=45°.
Силы инерции
Fhh = FH + Fu + FK ,
где FH — силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении сис-
темы отсчета с ускорением а0: Fa = -та0; Fu — центробежные силы инер-
ции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела,
удаленные от оси вращения на конечное расстояние R). Fu = -ma)2R; FK —
кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся
со скоростью v' во вращающейся системе отсчета): FK = 2w[v'<u],
( 1.202ч Вагой под действием силы тяжести катится вдоль дороги, состав-
.......S ляющей угол а = 30° с горизонтом. Сила трения составляет
г] = 10% от веса вагона. К потолку вагона на ннтн подвешен шарик массой
т = 15 г. Определите: 1) силу F, действующую на нить; 2) угол <р отклонения
инти от вертикали
Дано
а = 30°
77= 10%
т= 15 г= 15  10 3 кг
1) F
2) <р — ?
Решение
Ma = Mg sin а - FTp,
= T]Mg,	Ma - Mg sin a - у Mg ,
a = g(sina-7;), F = Fw+mg,	F„=-ma,
F = д/f,,2 +(mg)2 -2Fumg cos(90°-«),
F = ^[mgCsina- 7/)]2 +(w*g)2 - 2(mg)2(sin a - 77) cos(90°-a) =
= mg^(sin a - 77)2 +1 - 2(sin ct-77) sin a ,
Fu F	 Fu sin(90°-a)
—— =-------------,	sin <p = —-----------,
sin^i sin(90°-a)	F
. mg(sina - 77) cosa
<p = arcsin — ------------.
F
F = 0,128 H, 2) </>=23,5°.
<W8>
Л [,203® Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, состав-
ляющей с горизонтом угол а = 30°, а затем переходящей в гори-
зонтальный участок. Силы трения на обоих участках составляют 10% от веса
вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой т = 15 г. Определи-
те силу F, действующую на нить, н угол <р отклонения ннтн от вертикали на.
1) наклонном; 2) горизонтальном участках дороги.
1) F = 0,128 Н; <р = 23,5°;	2) F = 0,148 Н; <р = 5,7°.
1Ж На наклонной плоскости с углом наклона а = 30° лежит тело.
-H-п., коэффициент трения между телом н наклонной плоскостью
f = 0,2. Определите наименьшее горизонтально направленное ускорение а,
с которым должна двигаться наклонная плоскость, чтобы тело, лежащее на ней,
поднималось по наклонной плоскости.
Решение
Дано
а = 30°
/ = 0,2
= та,
a=amin, mgsina + FTp-F„cosa = 0,
F^ - fN = f (mg cosa + Fu sina),
mg sina + f(mg cosa + ma sina)- mo cosa = 0 ,
ma cosa - fma sina = mg sina + jmg cosa ,
_ g(sina + f cosa)
cosa- f sina
QOmeem q = 8,62 м/с2.
<109>
(L205J) Самолет, летящий со скоростью v = 360 км/ч, описывает верти-
кальную петлю Нестерова радиусом R = 360 м. Определите силу,
прижимающую летчика (т - 80 кг) к сиденью: 1) в нижней точке этой петли;
2) в верхней точке этой петли.
Дано
v = 360 км/ч = 100 м/с
R = 360 м
т =80 кг
1) ?
2) F2 - ?
Решение
F, = -— + mg,
IX.
1) F' =3 кН;
2) F2 = 1,44 кН.
Модель центробежного регулятора враща-
ется с частотой п = 2 с'1. Учитывая только
массу шаров, определите угол отклонения стержней,
несущих шары. Длина стержней I = 15 см.
а = 65,5°.
Некоторые внесистемные единицы
1 сут = 86400 с	1" = 4,85 • 1 (Г6 рад
1 год = 365,25 сут = 3,16 • 107 с 1 рад = 57,3°
1° = 1,75 • Ю 2 рад	1 мм рт. ст. = 133,3 Па
1' = 2,91  104 рад	1 эВ = 1,6-10 19 Дж
Определите, во сколько раз ускорение , обусловленное центро-
бежной силой на экваторе Земли, меньше ускорения а2, вызыва-
емого силой тяготения на поверхности Земли.
Дано	Решение
T = 24 ч = 86400 c G = 6,67 IO-" м3/(кг • c2) R3 = 6,37-10б м A/ = 5,98-1024 кг a.	* тяг	г? _ ~	•>	2 ’ a,	R3 F = m<iTR3,	a) = —, “ T a2 GmMT2	GMT2 а,	Лз«-4я2Л3	4я2/?з
= 292.
(1.208) Мотоциклист в цирке едет вдоль внутренней поверхности верти-
кального цилиндра радиусом г = 15 м. Центр масс мотоцикла с
человеком отстоит на h = 1 м от места соприкосновения колес со стенкой. Ко-
эффициент трения шин о стенки f = 0,5 . Определите: 1) минимальную ско-
рость vmin , с которой должен ехать мотоциклист; 2) угол а наклона мотоцик-
листа к горизонтальной поверхности при данной минимальной скорости.
QOmeem^ i) umin = i7,i м/с; 2) « = 26,6°.
Некоторые математические формулы
—(х )=их
ах
AflV__L
dxkx/ х2
d / J_ A
dxlxnJ
n
n+l'
X
(Ж Тело массой т = 1 кг, падая свободно в течение / = 4 с, попадает
на Землю в точку с географической широтой <р = 45° . Учитывая
вращение Земли, определите и нарисуйте все силы, действующие на тело в
момент его падения на Землю.
1210 ) Тело массой m -1 кг, падая свободно в течение т = 6 с, попадает
на Землю в точку с географической широтой = 30° . Учитывая
1ац1сние Земли, определите отклонение тела при его падении от вертикали.
Дано
т = 1 кг
t - 4 с
<р = 45°
6,67-Ю'"
7 м /(кг- С2)
^3^6,37-10^	I
М^5-98-1о^ кг	/
F — ?
Решение
Дано
Решение
1. Сила тяготения
_	,, тМ
R3 ^3’
Л3
тМ
| = 1 кг
= 6 с
> = 30°
’ =24 ч = 86400 с
FK = 2m[v' co],
FK = 2mv'(i) sin(v', co) = 2mv'a) cos<p ,
___?
г
к~ m
2л
= 2gC—cos^p,
v' = gt,
2л
<и = -—,
Т
2. Центробежная сила инерции
Fu = -nm'r , F = moFr ,
2л
w = —,	r = F3cos^>,
|к - /ак & _
I 0
4лgcos<p f
T 0
2л^_СО££
Т
т- 4л2 R3 cos<p
Т2
r	_	т	_ з
= J„K d, = J,= dI =
о	<i	Л
s = 4,45 cm.
3. Сила Кориолиса
Fk - 2?h[v' со] , FK = 2пт'ш sin(v', CO),
,	2л
и -g/,	ш = ~,
T
sin(v', СО) = cos<p,
.	„ , 2л 4mng/ costa
l\ = 2mv — cc>stp =---------------— _
Некоторые математические формулы
~-(ех) = е:
dx
-i(lnx) = -
dx x
d .
—-(sinx) - cosx
dx
♦
'id
f—(cosx) = -sinx
d , 4
—(tg*) =
1
cos2x
Ответ J 1) F = 9,83 H; 2) Fu = 23,8 mH; 3) Fk = 4,04 mH.
1.6. Элементы механики жидкостей
По трубе радиусом г = 1,5 см течет углекислый газ (р - 7,5 кг/м’)
Определите скорость его течения, если за t - 20 мин через попе-
Полый медный шар (р = 8,93 г/см3) весит в воздухе 3 Н, а в воде
(р' - 1 i/cm3) — 2Н Пренебрегая выталкивающей силой воздуха
речное сечение трубы протекает т = 950 г газа.
определите объем внутренней полости шара
v - 0,15 м/с.
Ответ
\(p-v р\
-	------' =68 см3,
g Р р)
1 1.2^4 И В бочку заливается вода со скоростью 200 см3/с На дне бочки
....—образовалось отверстие площадью поперечного сечения 0,8 см
Пренебрегая вязкостью воды, определите уровень воды в бочке
^1.212 J На столе стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до уров-
' ня Н = 20 см от дна. Если в воду (р = 1 г/см3) опустить плавать
тонкостей!1 1Й никелевый стакан (р' - 8,8 г/см3), то уровень воды подымается
на Л = 2,2 см. Определив уровень Я, воды в сосуде, если стакан утопить.
Дано
V = 200 см3 = 2  10" м3
t = 1 с
5 = 0,8 см2 = 0,8- Ю4м;
Решение
Дано
Решение
h —9
2g’
V , V2
St	2gS2t~
Я = 20 см = 0,2 м
h = 2,2 см = 2,2 • 10 2м
р = 1 г/см3 = 103 кг/м3
р' - 8,8 i/cm3 =
= 8,8 103к!/м3
= Pg$P ,
Я = 31,9 см.
HS=H,S-V^,
P'gv^ = fa ,

p'gVUl = PgSpc ,	(H + h)S = HS + S)x ,
P'gvw = PghS,
V -^P.
rNi “
P
Spc = ftS,
H , = H +	H + ~-
s p'
= 20,2 cm
В сосуд заливается вода со скоростью 0,5 л/с Пренебрегая вязко-
стью воды, определите диаметр отверстия в сосуде, при котором
вода поддерживалась бы в нем на постоянном уровне h = 20 см
d = 1,8 см.
Формула Торричелли
v = ^2gh,
(Где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидко-
сти в сосуде.
Бак цилиндрической формы площадью основания 10 м2 и объе-
х. ✓ мом 1 оо м3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, опреде-
лите время, необходимое для полного опустошения бака, если на дне бака об-
разовалось круглое отверстие площадью 8 см2.
Дано
Решение
5 = 10 м2
V = 100 м3
5, =8 см2 = 8 • 10 4 м2
т — ?
d V	5, --
d/2 =	= —^2gh dt,
д	О
5 1 ? dA
si T^g [jh
A _L
si 75g s^sg s,)j g
r = l,78 104 c.
Сосуд в виде полусферы радиусом
R = 10 см до краев наполнен водой.
На дне сосуда имеется отверстие площадью по-
перечного сечения 5 = 4 мм2. Определите время,
за которое через это отверстие выльется столько
воды, чтобы ее уровень в сосуде понизился на 5 см.
Ответ
t = 10 мин.
i 1 218”j Определите работу, которая затрачивается на преодоление трения
~ при перемещении воды объемом V = 1,5 м3 в горизонтальной трубе
зт сечения с давлением рх - 40 кПа до сечения с давлением р2 - 20 кПа
Дано
Г = 1,5 м3
р} = 40 кПа = 4 • 104 Па
/а - 20 кПа = 2 10 Па
Решение

Ответ л = зо кДж.
В дне сосуда имеется отверстие диаметром d}. В сосуде вода под-
держивается на постоянном уровне, равном h. Считая, что струя
не разбрызгивается, и пренебрегая силами трения в жидкости, определите ди-
аметр струи, вытекающей из сосуда на расстоянии ht= 2h от его дна.
Дано	Решение
d\ h h ,= 2h d2 — ? dl _S2 _ vx _ -fogh d{ S] v2 J2g(h+h	S(t)| = S2v2,	v, = Jlgh , l,2 = V2S<A+Al) ’ e _Я<У2 s2= 4 , _ Д	i ) 43h	V3 ’
d2 = 0,76с/].
<П7>
Площадь поршня, вставленного в горизонтально расположенный на-
литый водой цилиндр, S, = 1,5 см2, а площадь отверстия S2 = 0,8 мм2
Пренебрегая трением и вязкостью, определите время t, за которое вытечет вода из
Объясните, почему легкий шарик, помещенный в
струю воздуха, выходящую с большой скоростью из
рубы с узким отверстием, свободно парит в этой струе.
цилиндра, если на поршень действовать постоянной силой F = 5 Н, а ход пор-
шня 1 = 5 см. Плотность воды р = 1000 кг/м3.
Решение
= 1,5 см2 = 1,5 • КН м2
S2 = 0,8 мм2 = 0,8 • 10-6 м2
F = 5 Н
1 = 5 см = 5 • 10"2 м
р = 1000 кг/м3
t
*1.223 ) Объясните, почему бумажный конус А втягивается в
П-  воронку, а не выталкивается из нее при продувании
через воронку воздуха в направлении, указанном стрелкой.
2	5] 2< S2
_lU-£
V22 J 2 5,
/ = 1,15 c.
измерения динамического давления pv2/2 ис-
пользуется трубка Пито. Нарисуйте, как дол-
жен выглядеть прибор, который измеряет гид-
ростатическое давление.
1.224 | Для точного измерения малых разностей давле-
ния служат U-образные манометры, которые за-
полнены двумя различными жидкостями. В одном из них при
(использовании нитробензола ( р = 1,203 г/см3) и воды
(р' = 1,000 г/см3) получили разность уровней Ah = 26 мм.
рпределите разность давлений.
Др = 51,8 Па.
Для измерения статического дав-
ления р используется зонд, для
Трубка Пито
к 1 225 ) По горизонтальной трубе в направлении, указанном на рисунке
стрелкой, течет жидкость. Разность уровней Д/г жидкости в мано-
метрических трубках 1 а 2 одинакового диаметра составляет 8 см. Определите
скорость течения жидкости по трубе.
Дано
d\ = d2
Ah = 8 см = 8 • 10“2 м
v — ?
Решение
pv2
— = pgAh,
v = ^2g Ah .
= 1,25 м/с.
<H9>
По горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. Пло-
щади поперечных сечений трубы на разных ее участках соответ-
ственно равны 5] = 10 см2 и S2 = 20 см2. Разность уровней Д/г воды в верти-
кальных трубках одинакового сечения составляет 20 см. Определите объем воды,
проходящей за 1 с через сечение трубы.
Дино
Sj = 10 см2 = 10 3 м2
S2 = 20 см2 = 2  10'3 м2
Д/г = 20 см = 0,2 м
t = 1 с
V —1
Р2~Р\= Pg ,
V = lyS, = Stt
QOmeem^) г = 2,29-ю3 см3
Решение
2	2
Pv\	Pv2
~ + Р\ = ^ + Р2,
^1*5] — ^2*^2 ’
У2 =У1~
'2
Определите, на какую высоту h поднимется вода в вертикально!!
трубке, впаянной в узкую часть горизонтальной трубы диаметром
В Определите разность давлений в широком и узком (d, = 9 см,
d2 = 6 см) коленах горизонтальной трубы, если в широком колене
1,29 кг/м3) продувается со скоростью v, = 6 м/с.
HJ Ар = 94,3 Па.
иШаЯВ Вдоль оси горизонтальной трубки диаметром 3 см, по которой
[	течет углекислый газ (р = 7,5 кг/м3), установлена трубка Пито.
Пренебрегая вязкостью, определите объем газа, проходящего за 1 с через сечение
[грубы, если разность уровней в жидкостном манометре составляет Ah = 0,5 см.
Плотность жидкости принять равной р' = 1000 кг/м3.
Дано
о = 7,5 кг/м3
р’ = 1000 кг/м3
rf = 3 см = 3 • 10’2 м
ДЛ - 0,5 см = 5 • 10“3 м
i
( = 1 с
Решение
d2 = 3 см, если в широкой части трубы диаметром d[ = 9 см скорость газа
V, = 25 см/с.
Дано
Решение
dt =9 см = 9  10~2 м
d2 = 3 см = 3 • 10~2 м
и, =25 см/с = 0,25 м/с
SjVj — S2v2,
S = ^L = xdl
1	4 ’	2	4
Pl - Pl = pgh >
2	2
pw,	pv2
— + P\=~ + P1,
pv; Г df j
р'~*=~г[дгт
!s=—,
:	4
I,^ pt-P2 ^vt(Jl4 1
pg 2g\d2	,
Ответ
Ap = p'g Ah ,
= p'g Ah,
V = Svt,
2	।
r, nd	L ,, p'
V =-----t- 2g Ah—.
4 V P
К = 2,55-103 см3.

C1	Через трубку сечением
.?. ’	.S', = 100 см2 продувается
воздух со скоростью 2 м3/мин. В трубке
имеется короткий участок с меньшим по-
перечным сечением S2 = 20 см2. Опре-
делите 1) скорость U] воздуха в широ-
кой части трубки, 2) разность уровней
А/? воды, используемой в подсоединен-
ном к данной системе манометре Плотность воздуха р = 1,3 кг/м’, во ш
р' = 1 000 кг/м3
1) И] =3,33 м/с; 2) Ah = 1,8 см.
Пренебрегая вязкостью жидкости, определите скорость истечения
жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, если высота h уров-
ня жидкости над отверстием составляет 1,5 м.
Дано
/? = 1,5 м
''2 — 9
2	2
Pv\ , PV2 ,
~ + pghi=—+pgh2,
Решение
» s2,
У1 « v2,
— ^2*^2 »
2	2
РЩ <<c Р^г
2	2 ’
i Pv-> ,
Pgh\=~^ + pgh2,
vl = 2g(hi-h2)=2gh,
v2 =
2g/?
Q Ответ y2 = 5,42 м/с.
<H2>
В боковой поверхности цилиндрического сосуда, стоящего на го-
ризонтальной поверхности, имеется отверстие, поперечное сече-
ие которого значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отвер-
гие расположено на расстоянии ht = 49 см от уровня воды в сосуде, который
юддерживается постоянным, и на расстоянии = 25 см от дна сосуда. Пре-
[ебрегая вязкостью воды, определите расстояние по горизонтали от отверстия
о места, куда попадает струя воды.
Ответ ) j = 70 см.
На столе стоит наполненный водой широкий цилиндрический сосуд
высотой h = 40 см. Пренебрегая вязкостью, определите, на какой
ысоте от дна сосуда должно располагаться небольшое отверстие, чтобы расстоя-
Ие по горизонтали от отверстия до места, куда попадает струя воды, было макси-
альным.	  
h= 20 см.
Для вытекания струи жидкости из сосуда с постоянной скорос-
тью применяют устройство, приведенное на рисунке (сосуд Ма-
йотта). Определите скорость истечения струи.
<1235
Q1.235J Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости S = Ю см1, ко
эффициент динамической вязкости жидкости г] = 10 3 Па с, а но,
пикающая сила трения между слоями F = 0,1 мН. Определите градиент скорости
Дано
S = 10 см’ = 10 3 м3
?/ = 10 3 Па с
F = 0,l мН = 10 4 Н
giad v — ?
Решение
[ 1.237 ) Смесь свинцовых дробинок (плотность р = 11,3 г/см3) диамет-
ХЕЗЕНВЗИ р0М 4 мм и 2 мм одновременно опускают в широкий сосуд глуби-
ной h - 1,5 м с глицерином (плотность р = 1,26 г/см3, динамическая вязкость
г/ = 1,48 Па • с). Определите, на сколько больше времени потребуется дробин-
кам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.
F -г]
du
dx
du _ F
dx r)S ’
gradv = 100 c
Шарик всплываете постоянной скоростью в жидкости, плотность
которой в три раза больше плотности материала шарика Опреде
ли!е отношение силы трения, действующей на всплывающий шарик, к его веез
Дано
р = 11,3 г/см3 =
= 11,3- 103 кг/м3
dx = 4 мм = 4 • 10 3 м
d2 = 2 мм = 2 • 10~3 м
h = 1,5 м
,р' = 1,26 г/см3 =
= 1,26 • 103 кг/м3
'?/ = 1,48 Па-с
Ат — ?
Решение
h
V » const, t - —,
V
mg =Fa + F ,
4	3
mg=pgK = jpgwr ,
.	4 f 3
fa = P gF = -p g^r ,
F - 6m]rv,
Дано
!' = COnSt
!>' = Зр
Решение
Р
F/1 = wg + FTp,
Лр = Fа - mg,
P=mg.
fa = P’SV ,
P=pgV,
gd\(p~ Р'}
18?/
4 з 4 з z
—pgtrtr =—p gnr + omjrv;
2gr2(p-p')	gd2(p-p')
1 St?
gd^p-p')
u7 =-----------,
2	18?/
h	h	,( 1	11 18ЙП 1	1
\t = P -tt=-= h\----=------—	--
v2	u, <u2	vj	gtp-p')^	df
QOmeem a/ = 76,ic.
FTP = Fa-mg = p'gn-pgn = p'- p = 3p-p = 0
P mg pgV p p
Некоторые математические формулы
г xn+l	rdx	rdx 1
fx" dx =----(«*1)	f— = lnx	f—2= —
J	n + l	J x	Jx2 x
<124>
125
В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность р = 1,26 г/см3,
динамическая вязкость г] = 1,48 Па • с), падает свинцовый шарик
(плотность р = 11,3 г/см3). Считая, что при числе Рейнольдса Re < 0,5 выпол-
няется закон Стокса (при вычислении Re в качестве характерного размера бе-
рется диаметр шарика), определите предельный диаметр шарика.
{Ответ ) ^ = 5,41 мм.
Л|ИЯНн Пробковый шарик (плотность р = 0,2 г/см3) диаметром d = 6 мм
всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом (плотность
р' = 0,96 г/ см3), с постоянной скоростью v = 1,5 см/с. Определите для касто-
рового масла: 1) динамическую вязкость ; 2) кинематическую вязкость v .
Решение
Стальной шарик (плотность р = 9 г/см3) диаметром d = 0,8 см
падает с постоянной скоростью в касторовом масле (плотность
р = 0,2 г/см3 = 2  102 кг/м3
d = 6 мм = 6 • 10~3 м
р' = 0,96 г/см3 = 960 кг/м3
v = 1,5 см/с = 1,5 • 10~2 м/с
1) Л — ?
р' = 0,96 г/см3, динамическая вязкость г/ - 0,99 Па • с). Учитывая, что крити-
ческое значение числа Рейнольдса Re*,, = 0,5, определите характер движения
масла, обусловленный падением в нем шарика.
Дано	Решение		
р-9 г/см3 = 9  103 кг/м3 d = 0,8 cm = 8 • 10 3 м v = const p' = 0,96 г/см3 = 960 кг/м3	mg=FA+F, 4	з mg - pgV -—pgnr , 4 ,	3	«I । /11 TJ, 1	h
Q, I Q, о	\ я С «у	тг | о	°	O-	II "	1 e II	U	о к-	C4	\o	Fa =pgV = ~pg^r , F = 6m]rv, v_ Kp-P'ygr2 _ (p-p')gd2 18 т?	I11 h' I 111 1;1 w	
FA=mg + F,
4	' 3 з
~яр Г =—Jtpr +
2gr\p- р')	gfi/2(p-p')
п =-----------=------------
9г	18г
1]
v = —.
Р'
Ответ ) 1) = о,99 Па • с; 2) V = 1,03 • 10’3 м2/с.
В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный капил-
дяр с внутренним диаметром d = 2 мм и длиной I = 1,2 см. Через
капилляр вытекает касторовое масло (плотность р = 0,96 г/см3, динамическая
вязкость т/ = 0,99 Па  с), уровень которого в сосуде поддерживается постоян-
ным на высоте h = 30 см выше капилляра. Определите время, которое требует-
ся для протекания через капилляр 10 см3 масла.
jtdpgh
Re = p'vd = Р'(Р~Р'№3
г] 18?/2
Некоторые математические формулы
Re = 2,2 , Re > ReKp, движение жидкости турбулентное.
Jsinx dx = -cosx
jcosx dx = sinx
Jex dx = ex
<126>
<127>
СД.242) В боковую поверхность цилиндрического сосуда D вставлен ка-
пилляр с внутренним диаметром d и длиной I. В сосуд налита
жидкость с динамической вязкостью d . Определите зависимость скорости г
<। 244^ ОпреДелите наибольшую скорость, которую может приобрести
< X свободно падающий в воздухе (р = 1,29 кг/м3) свинцовый шарик
(р' = 11,3 г/ см3) массой т = 12 г. Коэффициент сопротивления Сх принять
равным 0,5.
понижения уровня жидкости в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром
Дано	Решение		
D d 1 Г]	лг4 Apt	. o ,	,	Ap~pgh, d	D	D	
h v(h) — ?	r = ~, R = ~, 2	2 ’ />1 = лг2,	5 = я/?2 , V = S\V{t = nr2vxt,	1.11, H . I II IM iS'pS'N ll11', ,1 1 1 I, h A Ji Ji 1 J 'ii и и' 1	।	MS h -^-Jd 4 Г
xr4pght	г = лг v,t, fyl	1 Si v = v, — , 1 S	rp&L,	vsx = vS, ' fyl d~	d~pgh-d‘ 7 ~ mm	l> = —~	 5 D-	4 877Z D-	_ pghd4 VylD-	
Дано
р = 1,29 кг/м3
р' = 11,3 г/см3 =
= 11,3  103 кг/м3
т = 12 г= 12  10“3 кг
G = 0,5
Решение
4 з
mg = pgV = p’g -лг ,
v = wmax, mg = Rx + Fa ,
pv~
FA « mg, p « p', mg=Rx, Rx = Cx—S ,
.2
P^max -^2
, 4	3 r
pg-лг = CX 2
Sp'gr
N 3CXP ’
Ответ ) pgd*
---	} 32^/£>2
Парашют (m, = 32 кг) пилота (m2 = 65 кг) в раскрытом состоя-
нии имеет форму полусферы диаметром d = 12 м, обладая коэф-
(L243J В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного
на столе, вставлен на высоте h । = 10 см от его дна капилляр с
внутренним диаметром d = 2 мм и длиной I = 1 см. В сосуде поддерживается
постоянный уровень машинного масла (плотность р = 0,9 г/см3, динамичес-
кая вязкость 7] = 0,1 Па • с) на высоте h, = 70 см выше капилляра. Определите
расстояние по горизонтали от конца капилляра до места, куда попадает струя
масла.
фициентом сопротивления Сх -1,3 . Определите максимальную скорость, раз-
виваемую пилотом, при плотности воздуха 1,29 кг/м3.
Дано	Решение
mx - 32 кг	(m,+ m2)g = Rx + Fa,	Rx=Cx-~-S,
m-, = 65 кг	
d = 12 м C = 1,3	2	2 « (m1 + m2)g, CXP™X- 4 -(mi+m2)g,
p = 1,29 кг/м3	l8(m1 + m2)g
—	°max 1	„	,2 у Cpr.d p
Ответ ) <тах = зд 7 м/с.
л = 11 см.
> Сборник 3 1 пч
по физике
Автомобиль с площадью миделя (наибольшая площадь сечения в
направлении, перпендикулярном скорости) S = 2,2 м2, коэффици-
ентом лобового сопротивления Сх - 0,4 и максимальной мощностью Р = 45 кВт
может на горизонтальных участках дороги развивать скорость до 140 км/ч При
реконструкции автомобиля уменьшают площадь миделя до = 2 м2, оставляя Сх
прежним. Принимая силу трения о поверхность дороги постоянной, определи-
те, какую максимальную мощность должен иметь автомобиль, чтобы он разви-
вал на горизонтальных участках дороги скорость до 160 км/ч. Плотность воз-
духа принять равной 1,29 кг/м3.
1.7. Элементы специальной (частной) теории
относительности
.243 ) Покажите, что события, происходящие одновременно в различ-
....ных точках в одной инерциальной системе отсчета, не одновре-
Дано
S = 2,2 м2
Сх = 0,4
Р = 45 кВт = 45 • 103Вт
v = 140 км/ч = 38,9 м/с
= 2 м2
- const
= 160 км/ч = 44,4 м/с
р = 1,29 кг/м1
Решение
В лабораторной системе отсчета в точках с координатами х, и
х2 = Xj + /0 одновременно происходят события 7 и 2, причем

P = Fv)
R..c,£fs,
7J = 58,5 кВт.
F- Rx + F^,,
f pv2 )
pJCx~-S + F^v,
P^\Cx^Sl+F^v},
\	J
Объясните, зависит ли разность давлений на нижнюю и верхнюю
поверхность крыла самолета от высоты его подъема.
/0 = 1,4 км. Определите: 1) расстояние /', фиксируемое наблюдателем в систе-
ме отсчета, связанной с ракетой, которая движется со скоростью v = 0,6с в
отрицательном направлении оси х; 2) время между этими событиями, фикси-
руемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой.
Дано	Решение			
			
X,	исо,	Х| , х2 - X] + /0,	t^t2 = f,
x2 = X| + /0			
l0 =1,4 км = 1,4 • 103 м	исо2	х;, х^,	/[ , (2 
(\ = h		Х| - vt	
v = -0,6с		-v2!c2 ’	
1) R — ? 2) А/’ — ?		х2 - vt	
		1 - v2/с2	
Х? - Щ-Х; +Vt	Л		'2 — Х| _	7q	t-VX.I с , И = > ,
/ - Л2 Xj	,	1/1	-v2jc2 ^\-v2/c2	
t - vx? I с2
bt' - ^2 G'
w(x2-X])
vlq______ vl'
c2^-v2/c2~	c2'
1) Г = 1,75 км; 2) M' = 3,5 мкс.
<В0>
Q1.250J Две нестабильные частицы движутся в системе отсчета К в од-
"* S ном направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью
v = 0,6с . Расстояние между частицами в системе К равно 64 м. Обе частицы
распались одновременно в системе К', которая связана с ними. Определите
промежуток времени между распадом частиц в системе К .
Дано	Решение
Ах = 64 м Аг = 0 г> = 0,6с	71-V!/c2
АГ — ?	__ (Г - rt) +ц Ах/с2 _ V Ах Jl-v2/c2	c2/l-v2/c2 ’
Q Ответ	АГ = о,1бмкС.
Докажите, что длительность события, происходящего в некото-
рой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, от-
носительно которой эта точка неподвижна.
Определите, во сколько раз увеличивается время жизни нестабиль-
X',аймХ 110й частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она на-
чинает двигаться со скоростью 0,9с •
Дано	Решение
v = 0,9с	Ы = -. &0-	~ = ~г
А/о	Jl-v2/c2	Jl-v2/c2
Q Ответ j аг
= 2,29.
(132>
Собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени
жизни по неподвижным часам. Определите = v/c.
f Дано
T^ooi
Решение
At - At0
At

к =

с
1-в2=(1-к)2, P = Jk(2-k).
Космический корабль движется со скоростью v = 0,8с по направ-
лению к Земле. Определите расстояние, пройденное им в системе
счета, связанной с Землей (системе К), за /0 = 0,5с, отсчитанное по часам в
смическом корабле (системе К') 
Ответ j i = 2оо Мм.
Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости
v = 0,995с пролетают до распада 1 = 6 км. Определите: 1) соб-
ственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для
наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона.
Дано	Решение
v = 0,995с 1 = 6 км 1>/о—?	ИСО, l0, At0; ИСО2 1, At; l0 = lyll-v2/c2 , At = —	AZ0=-. 4	'	V	V
At
2)
3) Дг0 -?
1) /0 = 599 м; 2) At = 20,1 мкс;
3) At0 = 2 мкс.
Докажите, что линейные размеры тела наибольшие в той инерци-
альной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
Определите относительную скорость движения, при которой реля-
тивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10%.
v = 1,31  105 км/с.
В системе К’ покоится стержень (собственная длина /0 = 1,5 м),
ориентированный под углом д'= 30° к оси Ох'. Система К’
движется относительно системы К со скоростью v = 0,6с . Определите в сис-
теме К : 1) длину стержня I ; 2) соответствующий угол д .
Дано
Решение
10 = 1,5 м
д' = 30°
v = 0,6с
1) I — ?
2) д — ?
k)x ~ A) COS д' ,
Iqx-Jl V /с >	1у — 1§у ,
Z = -J/q (cos д' )2 (1 - и2/с2) + /2 (sin д' )2 ,
Ответ
1) I = 1,28 м; 2) д = 35,8°.
Определите собственную длину стержня, если в лабораторной
системе его скорость v = 0,6с , длина I = 1,5 м и угол между ним
и направлением движения 9 = 30° .
Ответ
/0 = 1,79 м.
Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский
закон сложения скоростей, если переход происходит от системы К
к системе К' ,
Дано	Решение		
K-+K' u'(u) —? c	, x-vt X = 1	, Vi-/*2 y’ = y, z' - z , t - vx/ c2 а/1-Д2 ’	3 j •5	•&!	-91 •S ii	и	и a4	a*1	, dx' x dt' ’ , dy' < =—, y dt' , dz’ uz ~, г dt'
dy' = dy,
, , dx - v dt
dx =
, , d/- v dx с2
dt' =-->	'
dx' dx-ud/
u'r = — = ,--r--
д/l -	_ dx - v dt
dt-v dx/c2 di - v dx/c2
d/
d/ ’
ux -v
l-vux/ c2
'	_ dy-^l-/?2 tTy-Jl-/?2
y dt' dt-vdxjc2 l-vujc1 ’
<®>
= dz ;
1.2
Космический корабль удаляется от Земли с относительной скоро-
стью V, = 0,8с , а затем с него стартует ракета (в направлении от
Земли) со скоростью и2 = 0,8с относительно корабля. Определите скорость и
ракеты относительно Земли.
и = 0,976с
I 1.262 I Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с,
™~~ испустил фотон в направлении своего движения. Определите ско-
рость фотона относительно ускорителя.
Дано	Решение
и' - 0,8с и — ?	и’ + V и =	,	V = с, 1 + u'vj с 0,8с + с и -	! , - С . 1 + 0,8с- с/с2
QOmeem^ и=с.	
			—		
( 1.263 1 Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно непод- вижного наблюдателя с одинаковой скоростью, равной 0,5с Оп- ределите скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей 1) в классической механике; 2) в специальной теории относительности.	
Дано	Решение
V\=v2 = 0,5с 1) “кл -? 2) “рел — ?	икл - vi + v2 ~ 0,5с + 0,5с = с, С wne„ =	7 -, =	= 0,8с. рл 1 + ^Пл/с2 1 + 0,25
1)г'кл = с; 2)ирел=0,8с
136
(£1.264 } Релятивистская частица движется в системе К со скоростью и
1	под углом д к оси х. Определите соответствующий угол в систе-
ме К' , движущейся со скоростью v относительно системы К в положитель-
ном направлении оси х, если оси х и х' обеих систем совпадают.
Решение
wv = wcos$, uy = usin&,
sin# J1 - и2/^
v' = arctg--------------
cosv - v/u
a sin#Jl-v2/c2
= arctg-------------
cosv - v/u
Докажите, что интервал между двумя событиями является вели-
чиной инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение во всех
инерциальных системах отсчета.
Воспользовавшись тем, что интервал является инвариантной ве-
.......личиной по отношению к преобразованиям координат, определи-
те расстояние, которое пролетел л-мезон с момента рождения до распада, если
время его жизни в этой системе отсчета А/ = 4,4 мкс, а собственное время жизни
А/о = 2,2 мкс.
Дано	Решение
1о = О	^12 =	^12 ^12 =	’
At = 4,4 мкс = 4,4 • 10-6 с	с2А/2 = с2Д/2-/2,
Af0 = 2,2 мкс = 2,2 • 10 6 с	/ = c-Jai2-A?o •
/ —?	
QOmeem	z = i,i4	км.
Частица движется со скоростью и ~ 0,8с. Определите отношение
полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.
----= 1,67.
Ео
Определите, на сколько процентов полная энергия релятивистс-
-	кой элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоро-
стью v = 0,75с, больше ее энергии покоя.
на 51,2%.
Определите скорость движения релятивистской частицы, если ее
полная энергия в два раза больше энергии покоя.
v = 0,866с.
Определите релятивистский импульс протона, если скорость его
движения v = 0,8с.
р = 6,69 -1019 Нс.
Определите скорость, при которой релятивистский импульс час-
тицы превышает ее ньютоновский импульс в 3 раза.
= 0,943с.
АШШШ Определите зависимость скорости частицы (масса частицы т) от
времени, если движение одномерное, сила постоянна и уравне-
ние движения релятивистское.
Дано	Решение
w F = const	F = — ,	dp = F dr, dr
v(t) -?	mv p-p	 2, 0	yjl V /С
-==^== = Fr, Jl -v2lc2	mv = Ft^l - u2/c2 ,
m2v2 = F2t2-F2t2v2/c2,
л2=^/2(1-п7с2),
F2t2v2/c2 + m2v2 - F2t2,
v2(F2t2/c2+m2) = F2t2,
2_ F2t2
F212/с2 + т2 ’
Ft	Ft/m
v =	. . =	,
^{Ft/cf + m2 ^(Ft/mc)2+l
. X	Pt/m
v(t) =	1
<®>
1.273 ] Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее
J энергию покоя. Определите скорость этой частицы.
v = 298 Мм/с.
Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии по-
коя. Определите скорость частицы.
Дано
Ео - тс2
Т = Е0
v
v = 260 Мм/с.
Решение
„тс
Т = Е - Ео, Е= .	, Т=Е0 = тс2,
Vi-п /с2
1-и2/с2= —,	v2/c2= — , v = cj— - 0,866с.
4	4	V4
Определите релятивистский импульс р и кинетическую энергию 1
протона, движущегося со скоростью v = 0,75с.
Дано	Решение
/пр = 1,67-10-27 кг v = 0,75с Р — ? Т — 1 (Ответ р = 5>6{	mpv ? А 2/ 2 ’ \j\-V /С 2 т„с	7 Т = -. р- -трс\ /t-V-lc1 ' M0“19H-c; т = 7,6910‘” Дж.
<W>
Определите кинетическую энергию электрона, если полная энер-
гия движущегося электрона втрое больше его энергии покоя. От-
вет выразите в электрон-вольтах.
Дано	Решение
те = 9,11-10’31 кг	Т=Е-Е0 = ЗЕ0-Е0 = 2Е0,
£ = ЗЕ0	Ео = тес2 ,	Т = 2тес2 
Г — ?	Q Ответ т = 1,02 МэВ.
Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен
пройти протон, чтобы его скорость составила 90% скорости света.
Дано	Решение	
тр = 1,67-10'27 кг е = 1,6-10~19 Кл v = 0,9с U —2	Т=трс \ тс2 е			--1 ,	Т = м, z	ч ( Ответ ) 1	ч	/ J (/ = 1,22 ГВ,
——					
Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен прой- КздЖЖ/ Ти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.		
Дано	Решение	
те = 9,11-10'31 кг е = 1,6-10 19 Кл Z = /0/2 и —1 ее	е	l = l0^-v2/c2,	/ = /0/2,	A/1-v7c2=|, / \ „	2	1 T=eU,	Т = тес .	— 1 , 1V-v!с~ / (^Ответ	(/ = 512 кВ. <141>	
в Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы уве-
личить скорость частицы от 0,5с до 0,7с.'	'
Дано	Решение
V] = 0,5с	Л = Т2-7],
v2 = 0,7с	т2= , тс2 э -тс2,	Т]=-. тс21 -тс2,
А —2	д/1-и2/с	д/1-с2/с2
А = 0,245/ис2.
Выведите в общем виде зависимость между релятивистским им-
пульсом, кинетической энергией релятивистской частицы и ее
массой.
Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая
энергия которого Т = 1 ГэВ.
Дано
= 1,6-10~19 Кл
Т = 1 ГэВ =
= 109- 1,6  10” Дж
Р — ?
Решение
pc = ^Т(Т + 2тес2) ,
^Т(Т + 2тес2)
Р =--------------
С
(Ответ ) р = 5|34.10-» Н е
Докажите, что выражение релятивистского импульса
jT(T + 2mc2)
р =------------- при v «с переходит в соответствующее вы-
с
ражение классической механики.
Дано
^Т(Т + 2тс2)
Р =----с----
V « с
Решение
Т = Е-Е0,
п	2
Ео = тс ,
р = mv — 7
-1 +2тс2

p = mv.
Ответ
p = mv 
f 1.283 ] Докажите, что для релятивистской частицы величина Е2 - р2с2
........является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение во всех
инерциальных системах отсчета
Решение
Дано
Ео - тс2
Е = ,
mv
Е2 - р2с2 ~ inv
тс т v с
_ /п2с4 - m2v2c2 _ т2с2(с2 - у2) _ 2 4
= 1-г?/с2
Q Ответ ) Ег _ ргг =	= inv.
Определите энергию, которую необходимо затратить, чтобы раз-
делить ядро дейтрона на протон и нейтрон. Массу ядра дейтрона
принять равной 3,343 • 10 27 кг. Ответ выразите в электрон-вольтах.
Дано	Решение
md = 3,343 Ю' 27 кг	ЕЕ = (тр + тп)с2 - mdc2,
тр = 1,672 10’27 кг	1 эВ = 1,6- 10 19 Дж
т„ =1,675 ЛО-27 кг	
ДЕ — ?	Ответ де = 2,25МэВ.
Определите энергию связи ядра 14 N. Примите массу ядра азота
равной 2,325 • 10-26 кг. Ответ выразите в электрон-вольтах.
Ответ
Есв =100 МэВ.
<144>
2.1 Основы молекулярной физики
и термодинамики
2.1. Молекулярно-кинетическая теория
идеальных газов
Начертите графики изотермического, изобарного и изохорного
процессов в координатах р и V, р и Т, Т и V.
Определите число А атомов в 1 кг водорода и массу одного атома
водорода.
Дано	Решение
т = 1 кг	т
М = 2-10-3 кг/моль	N = vNA=—NA, м
Na = 6,02-1023 моль 1 N —?	5 II | 5
— ?	
Q Ответ v = 3 01	1026, т0 = 3,32 10 27 кг.
Основные физические постоянные
Постоянная Авогадро ,\'А = 6,02 1023 моль '
Молярная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(К • моль)
Постоянная Больцмана к = 1,38 I0’23 Дж/К
В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г
и гелий массой 12 г. Определите: 1) давление; 2) молярную массу
газовой смеси в сосуде, если температура смеси Т = 300 К.
Дано
Решение
V = 20 л = 2  10~1 2 м3
т,- 6 г = 6 • 10’3 кг
Л/, = 2-Ю-3 кг/моль
т2 = 12 г = 12  10'3 кг
М2 = 4 • 1О-3 кг/моль
Г = 300 К
R = 8,31 Дж/(К • моль)
1) Р — ?
2) М — ?
Р = Р] + Рг,
m, RT
RT( т, т2
р =------L + -^-
V ( Мх М2
_ т2 RT
Рг~ М2 V
RT
М =---(т^ т2) •
1) р = 0,75 МПа;
2) М=3-1О~3 кг/моль.
Определите плотность смеси газов водорода массой 8 г и
кислорода массой т2 - 64 г при температуре Т = 290 К и при
давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными.
Дано
т}= 8 г = 8  10 3 кг
М = 2-10”3 кг/моль
т2 = 64 г= 64  10"3 кг
М2 = 32  10-3 кг/моль
Т = 290 К
р=0,1 МПа= 105Па
R = 8,31 Дж/(К  моль)
Р
Решение
т
т= mt+ т2,
pV =
т I m, 1
—!- + —?- \RT,
Мх М2 J
RT
М] М2 J Р
(тх+т2)р
Р~ ( х
М, М2,
RT
р = 0,498 кг/м3.
<146>
/ V> 5 ) В баллоне вместимостью 15л находится азот под давлением 100 кПа
при температуре = 27 °C. После того как из баллона выпустили
I
азот массой 14 г, температура газа стала равной t2 = 17 °C. Определите давле-
ние азота, оставшегося в баллоне.
р = 16,3 кПа.
Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота
при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определите массу во-
дорода, если масса смеси равна 150 г.
= 6,3 г.
S' 2 7 Л Азот массой 7 г находится под давлением р - 0,1 МПа и темпера-
у- _ 290 к Вследствие изобарного нагревания азот занял
объем К2 = Ю л. Определите: 1) объем V{ газа до расширения; 2) темпера-
туру Т2 газа после расширения; 3) плотность газа до и после расширения
Дано	Решение	
М = 28-10"3 кг/моль m = 7 г = 7 • 10 3 кг р = 0,1 МПа = 105 Па	m — м	PV2 = ^RT2, М	Мр
7] = 290 К Г, =10 л= 10 2 м3 R = 8,31 Дж/(К  моль)	МрУ2 2 mR ’	m	m Рг~Т2-
1) -?	(^Omeem Л	I 1) Vx = 6,02  10-3 м3;
2) Т2 — ?		2) Т2 = 481 К;
3) Рх -?		3) р] = 1,16 кг/м3;
Р1		р2 = 0,7 кг/м3.
<147>
В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Опре-
делите концентрацию молекул кислорода в сосуде.
Дано	Решение
V = 1 л = 10 3 м3 М = 32 10~3 кг/моль m = 1 г=103кг п —	р р = пкТ ,	п - — , т „	р т R pV = — RT,	— — к М	Т	MV mR п =	. МкУ
и = 1,88-1025 м3.
В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится
азот. Определите: 1) количество вещества v ; 2) массу азота;
3) концентрацию п его молекул в сосуде.
Q Ответ 1)	о,233 моль; 2) m = 6,24 г; 3) и = 2,69-1025 мЧ
Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных
условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?
Дано	Решение
(окв) = 480 м/с	/ \ l3RT	,, ^rt
Т = 273 К	u 2 V м	К)
т = 1 г = 10 3 кг R = 8,31 ДжДмоль К)	
N — ?	М ’	3RT
Ответ 1 n = 2,04 io22.
В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре Т = 290 К на-
ходится некоторый газ. На сколько понизится давление газа в со-
суде, если из него из-за утечки выйдет N = 1019 молекул?
Дано
Решение
И=О,Зл=3 Ю^м3
7 - 290 К
JV = ю’9
pV=r!h.RTy
2 м
&Р = Р\~Рг =
RT _ MnRT
М V~~ MV
м
Др — ?
Дт _ N
NRT_ NkT
QOmeem^ др = 1ззпа.
Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если
его плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость
молекул газа составляет 480 м/с.
Дано	Решение
р = 0,01 кг/м3 (’’кв) = 480 М/С	У м ’
р — ?	pV= — RT,	р = ~, М ’	м
/НТ	ЯТ	RT Ю2
УМ	М '	м 3
3
р = 768 Па.
<149>
Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность
которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.
Дано	Решение
о = 0,35 кг/м3 р = 40 кПа = 4 • Ю4 Па	/27?Т	т	т
	м р	N р
(Ответ Цв=478
Определите среднюю кинетическую энергию (е0) поступатель-
ного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па.
Концентрация молекул газа равна 1013 сг!.
Дано	Решение
р = 0,1 Па п = 1013 см-3 = 1019м“3 Ы -?	р = пкТ,	Т = — , пк ' 0/ 2	2 пк 2п
( Ответ	= 1)5.1О-2о д*.	
Определите: 1) наиболее вероятную ив; 2) среднюю арифмети-
ческую (п); 3) среднюю квадратичную (пкв/ скорость молекул
азота (N2) при 27 °C.
2) (v) = 476 м/с; 3) (пкв) = 517 м/с.
При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул
кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с.
Дано
(укв)-г’в = 100 М/с
М - 32 • 10 3 кг/моль
Т — 2
Решение
Г = 381 К.
Используя закон распределения молекул идеального газа по ско-
ростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости vt.
Дано
Решение
(	~то"2
f(v') = 4т	v2 е гкТ
\2mkT)
(	\ X ~'п0"2
f(v) = 4m —| v2 е 2кт .
\2ткТ)
f(y) = max
^=0.
du
<151>
Используя закон распре деления молекул идеального газа по ско-
ростям, найдите закон, выражающий распределение молекул по
относительным скоростям и (и = v/vB).
Дано	Решение
( m 1 f (= 4тг|	1 и2 е 2А/ v	\2nkTJ V и- — /(«) -?	а	л ив 		,	1 - I в« ,	dr = ив dz/, V mo -^- = /(u)dr,	^^- = /(u)dr, N	N f(u)=	f(v) uB, du
V
f(u)= 4л\	] -ив
J ' \2лкт)
-т01 ви2
иг е 2кГ vt ~
. ( «Ь 2кт 2
= 4л\----- ------- и
к 2лкТ )
-m0 2кТи2
, 2iTm0
Используя закон распределения молекул идеального газа по скоро-
стям, найдите среднюю арифметическую скорость (у) молекул
Указание: средняя арифметическая скорость определяется по формуле
00
v = |и /(и) du
о
8кТ
Ж,
152
Используя закон распределения молекул идеального газа по ско-
ростям, найдите среднюю квадратичную скорость (икв).
Дано
-МрУ2
а = ^,
2кТ
ЗкТ
то
х = v
V
к 2 л кТ)
е Ж
Используя функцию распределения молекул идеального газа по
энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию (е) молекул
Дано	Решение
f(£)~(kTYi/242 ^(кг’	HR" - V i * >	ИГ> u	tt 4 s- „Ji to	a..- 8 ' ~о M -wf’r' ^*4 Nh II i i г 8 д’0 Jfe L	H
х = £
Х ' 4л 4 \кТ) 2
1
~кТ ’
^4-
<153>
Используя функцию распределения молекул идеального газа по
энергиям, найдите наиболее вероятное значение энергии ев мо-
лекул.
Дано
М=ЪкТ)Ре'12 е-^т)
Решение
12И = 0,	2 (^Г3/2£|/2е-‘/(Н)| = 0,
de de \ уд	)
£в
J	( 1	£.1/2^
Д=(кТу2!2 e^Vr'/2-— =0,
<2	кТ)
1 £V2	1
-Цй-^7-0,	^=-кТ.
2е\2 кТ	2
1
^ = 2^-
Используя функцию распределения молекул идеального газа по энер-
гиям, найдите для данной температуры отношение средней кинети-
ческой энергии (е) молекул к их наиболее вероятному значению энергии е0.
Дано	Решение
/(£)2(кТД/^ Т - const «в	(с) = Je Де) ds = 0 = 2	3/2Ъ/2 ^Т^ЛкТ. 1	2 Используя результат задачи 2.22, находим ея=-кТ,	^ = 3. В 2	£.
QOtneetn
12.24 J Закон распределения молекул газа по скоростям в некотором мо-
лекулярном пучке имеет вид /(и) = Av3e~m°v Л2И\ Определите:
1) наиболее вероятную скорость ив; 2) наиболее вероятное значение энергии
ев молекул в этом пучке.
Дано
f(y) = Av3 е^2АГ)
<W)_Q
du
Решение

— Av3e * I 2*r
du
1) vB -?
2) £„ - ?
= A 3u2e --3- 2u u3e 2kl
2kT
-mov2 (	2 A
= Av3^ 3-^-1 = 0,
I kT J
^ = 0,
de
"fry2
2 ’
du
Ж> = /(п)—= 0.
de
u=
= (2«0£)“1/2,
d£
f- V/2 -	7 л
/(f) = A — екГ (2т0еуг 2 -—eetT
d 2A -
— —-£e^
2^_d_
d£
£ ekT
2A	_
— еАГ 1--------=0,
т-й I kT)
1- — =0,	s = kT,
kT
e„ = kT.
<155)
накова и равна 10 °C.
На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления
на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде оди-
Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давле-
нию на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли
находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты
Дано	Решение
Р = 0.6/?(|
/ = 10°С
М = 29 10-3 кг/м оль
h --- ?
Mgh in 77
RT Ро ’
Mgh
Jd-edT
Po
RT p
h=---In—.
Mg Po
Дано
h, = 1 км = 103 м
/ъ = -1 км = 10 3 м
Т = ТП К
Решение
Mgh,
Pi =Ро? RT >
/ Mgh2
Pl _ RT I RT )
Рг
^gh:
P2 = Po e RT >
Pi
% = 0

h - 4,22 km.
= 0,778.
Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать,
что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °C, а уско-
рение свободного падения не завидит от высоты? Давление воздуха у поверх-
ности Земли примите равным р0.
Дано	Решение
h = \ км = 103 м / = 22 °C; Г = 295 К М = 29 10”3 кг/моль g = const Po	Р = Ро е~п/(ИП),	п = -ntogh, р = роемкт) = ро^тт).
Р — ?
Р = 2р0 .
f 2.28 J На какой высоте плотность воздуха в е раз (е — основание нату-
.......ральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на
уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считайте
не зависящими от высоты.
Qpmeem^ h lM m
Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле
n = n0eMgh^T) = noe-mogh/(kT)
или
н = н0 еН1/(Н\
где п и п0 — концентрация молекул на высоте h и h = 0; П = mQgh —
потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.
<157>
Используя идею установки Перрена для определения постоянной
Авогадро и применив к частицам краски, взвешенным в воде, боль-
цмановское распределение, найдите объем частиц, если при расстоянии между
двумя слоями 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое вдвое больше,
чем в другом. Плотность растворенной краски 1700 кг/м3, а температура окру-
жающей среды 300 К.
При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул
водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 °C? Диа-
метр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.
Дано
Решение
Дано	Решение	
t\h - 80 мкм = 8 • 10-5 м — = 2 «2 р = 1700 кг/м3 pi = 1000 кг/м3 Т = 300 К NK =6,02-1023 моль"’	п «1 «2 N V >едт jero лых	4	4 з = пое кТ , т = -лгр, тх=-лг 	й|	, R к =	, 3RT\n —	RT In ”L =	n2	 n2 A 4лг\р- p\)g{h2~h\) Vg(p-p{)kh
V — ? Определите q рода, находяп столкновений, испытываем		RT\nn' Qomeem NAg	K = 5,22-10	m3. пою длину свободного пробега (/) молекул кисло- ся при температуре 0 °C, если среднее число (z) молекулой в 1 с, равно 3,7 • 109.
Дано		Решение
А/ = 32-10“3 кг/моль Г =273 К (z) = 3,7-109 с'1 (/)-?		. . (v)	, , I8RT /л = 1™г.± W УлМ (z)'
= 115 им.
(I) = 2,5 см = 2,5 • Ю -’м
t = 67 °C, Т = 340 К
с? = 0,28 нм = 2,8- 10-'°м
р = пкТ,
1
И = —т=---
1
Р — ?
кТ
р = ~т=—:
р = 0,539 Па.
Определите среднюю продолжительность (г) свободного пробе-
га молекул водорода при температуре 27 °C и давлении 0,5 кПа.
Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.
Дано	Решение
М = 2 -10”3 кг/моль f'= 27 °C, Т = 300 К р = 0,5 кПа = 5  102 Па (/ = 0,28 нм = 2,8 • 10 |Ом W-?	х?) (z) = >/2nd2n(y}, (v>-hr , , = kTjitM _ ky[TM '	JZrtd2pJtRT 44лМ2р ’
г"
Ответ
ч______
<@>
Средняя длина свободного пробега ) молекул водорода при нор-
мальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю дли
ну их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остае i -
ся постоянной.
Дано	Решение	
(/,) = 0,1 мкм = 10 7 м р-> = 0,1 мПа = 10"4 Па		р = пкТ,
Pi= 1,01 105 Па	Ю = ft,	
Т = const	№ Р\	ft
= 101 м.
При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свобо i
ного пробега (!) молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно сред-
Определите: 1) плотность р воздуха в сосуде; 2) концентрацию п
его молекул; 3) среднюю длину свободного пробега (/) молекул,
рели сосуд откачан до давления 0,13 Па. Диаметр молекул воздуха примите равным 0,27 нм. Температура воздуха 300 К.		
Дано	Решение	
р = 0,13 Па <7 = 0,27 нм = 2,7- 10~10м Т=300 К	m р~~р’	рУ.-RT, М
М - 29 • 10-3 кг/моль	рМ р~~—> RT	р — пкТ,
1) Р — ? 2) п — ? 3) (/)-?	кТ	п
^Omeem i) р = 1,51-1 о-6 кг/м3; 2) п		= 3,14-1019 м-3; 3)(/) = 0,1м.
нее число (г) столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачан,
до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считайте постоянной.
*2.36 II Определите коэффициент теплопроводности Л азота, находяще-
por	гося в нек0Т0р0М объеме при температуре 280 К. Эффективный
Диаметр молекул азота примите равным 0,38 нм.
Дано	Решение
Т = 300 к (/) = 0,1 мкм = 10 7 м М = 32 10-3 кг/моль Ра = 0,1р	W (/) ’	' ' V лМ {-) р	р / \ _ М А_ = /87?7 ft И (1) р N лМ {1}р ’
Ответ J(Z]) = 4,45 ю8 с1.
Дано	Решение
‘М = 28  10 3 кг/моль 7 = 280 К У = 0,38 нм = 3,8 * 10“10м А — ?	i = 5 Р = ^’ J	Z M i——j	у
\%RT
у лМ ’
I i R рМ кТ I8RT
32 М RT 42nd2р У лМ
i к [RT
3 лЛ2 у лМ
<160>
QOmeem Л = 8,25 мВт/(м• к).
б Сборник задач
( 2 37 / Кислород находится при нормальных условиях. Определите ко-
”эффициент теплопроводности А кислорода, если эффективный
диаметр его молекул равен 0,36 нм.
Л - 8,49 мВт/(м • К).
Пространство между двумя параллельными пластинами площа-
дью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от
друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температу-
ре 17 °C, другая — при температуре 27 °C. Определите количество теплоты,
прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к дру-
гой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр
молекул кислорода считать равным 0,36 нм.
Дано	Решение
M = 32-10 3 кг/моль 5 = 150 см2= 15 • 10 3 m2	Q= л^-st	^T=t2-t., Дх	2	1
Ax = 5 мм = 5  10“’ м /] =17 °C /, = 27 °C	, i k [RT (см. задачу 2.36), 3 ла V лм
t = 5 мин = 300 c	O = -—
T = 273 К d =0,36 нм = 3,6 • 10-'° м 2-?	3 nd2 N лм Ax
0 = 76,4 Дж.
Зависимость между коэффициентами теплопроводности,
диффузии и внутреннего трения
<2.39  Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормаль-
........ ных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода прими-
Ire равным 0,36 нм.	
v	Дано	Решение
“ М = 32 10-3 кг/моль Г = 273 К р = 1,013105 Па d = 0,36 нм = 3,6 • 10"10 м D —?	1 , ., ,	, , l8RT d=-(uVA,	(v) = J—, 3х Л	' У лМ (0= Г Л! ’ p-nkT,	n~~Ur> ' ' j2jtd2n	kT ± I8RT kT 3 V лМ Jbtpd2
D = 9,18 Ю-6 м2/с.
| 2.40 ) Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии че-
ЧМИКЮ/ рез площадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направле-
ши, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура азота 290 К, а
средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм.
Дано	Решение		
S - 50 cm2 = 5 • 10“’ m2 / = 20 c M = 28  1О-3 кг/моль		D^-S, dx	
— = 1 кг/м4 dx		_ ISRT N лм	3\лМх'дх
T = 290 К			
(/) = 1 мкм = 10-6 м			
m — 7			
T] = pD, k/r]Cy = \.
т = 15,6 мг.
162
163
( 2.411) Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динам и-
.....' S ческой вязкости углекислого газа и азота, если оба газа нахо
дятся при одинаковой температуре и одном и том же давлении. Эффективные
диаметры молекул этих газов равны.
И
Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К.
Определите коэффициенты диффузии D и внутреннего трения Ц.
Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.
г~
Дано	Решение
П = 9,74-10~б м2/с;	т]= 1,13-Ю-5 кг/(м  с).
=44-10 3 кг/моль
М2 = 28-1 О'"3 кг/моль
Т} = Т2
Р\=Р1
d\ = d2
41
у2яа п	(v)= J	 ' ' у лМ р = пкТ,
m pV^ — RT,	m рМ Р=-=-	
м	V RT
_ 1 РхМх 8RTX	1
1 3 RTX УлЛ/,	4btdxnx
Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенка-
ми сосуда Дьюара, если расстояние между стенками сосуда рав-
но 8 мм, а температура 17 °C? Эффективный диаметр молекул воздуха при-
нять равным 0,27 нм.
Дано
1 = 8 мм = 8  10“3 м
Г = 17 °C, 7 = 290 К
d = 0,27 нм = 2,7  10"10 м
Решение
1
р - пкТ,
1Р2М2 /wT I ,
2 3 RT2 у лМ2 Jbtd2n2 ’
Pi= Р2> Ti=T2, dx=d2, пх = п2,
Рвах
кТ
кТ
Аак " VW/ ‘
Рвак 1.54 Па.
= 1,25.
42
Определите коэффициент теплопроводности А азота, если коэф-
фициент динамической вязкости т] для него при тех же условиях
Л&2.45 ) Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре
17 °с равно 130 мкПа. Можно ли вести разговор о высоком вакууме,
если характерный размер /0 (расстояние между катодом и анодом трубки) составля-
(ет 50 мм? Эффективный диаметр молекул воздуха примите равным 0,27 нм.
равен 10 мкПа • с.
Дано	Решение		
т] = 10 мкПа - с = 10~5Па- с М = 28  10-3 кг/моль	b = ^'P{v){l},	4 = \pWY	А = СуГ],
А — ?	i R Ср “		> 2 М	А = -—т1, 2 М '	! = 5.
А = 7,42 мВт/(м  К).
р = 130 мкПа= 13  10~5Па
/0 = 50 мм = 5 • 10~2 м
<7 = 0,27 нм = 2,7- 10~‘°м
/ = 17 °C, Г = 290 К
Дано
Решение
яЬр р‘"кт’
кТ
j2nd2p
Вакуум высокий.
<164>
2.2. Основы термодинамики
Азот массой т = 10 г находится при температуре Т - 290 К. Оп-
ределите: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы
азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех моле-
кул азота. Газ считайте идеальным.
до j В закрытом сосуде находится смесь азота массой mt - 56 г и кис-
лорода массой тг = 64 г. Определите изменение внутренней энер-
гии этой смеси, если ее охладили на 20 °C.
\ .
— Я АГ = 1,66 кДж.
2
Дано	Решение
т = 10 г= 10"2кг Т = 290 К М = 28  10-3 кг/моль 1)	(c} = ^kT,	i = 5, (£вр) = (£вр)лг,	(£вр) = 'вр^“’	'вр = 2, » OTjVa	\ . kT mNK М ’	\ вр/ вр 2 М ‘
QOmeem^ (е) = 10-2о д^. 2) (евр) = 860 дж.
Считая азот идеальным газом, определите его удельную теплоем-
кость: 1) для изохорного процесса; 2) для изобарного процесса
1) cv =742 Дж/(кг-К); 2) ср = 1,04 кДж/(кг  К).
Определите удельные теплоемкости Су и ср, если известно, что
некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем
 v = 0,7 м3/кг. Что это за газ?
Дано
ПеИВДэдВ Кислород массой т = 1 кг находится при температуре Г = 320 К
Определите: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) сред-
нюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ
считайте идеальным.
Дано	Решение
т = 1 кг Г = 320 К М = 32 10-3 кг/моль 1) 67—? 2) (£вр) -?	i=5t	(£"р) = (£»р)'ДГ’ \с»р/ '«₽ 2	М ’ /г \ = / kT mN^	i -э \Еч>) 'вР 2	м ,	'вр"2-
(Ответ"') \уи =	208 кДж; 2) ^£вр^ = 83,1 кДж.
ср
Г1
= 0,7 м3/кг
fe = 273 К
!,Э = 1,013 Л05 Па
Решение
V
v = —
т
RT
м =---
pv
— ?
i R
Су — ——
v 2 M’
pV = —RT,
м
/ = 5,
i + 2 R
Ср~ 2 М'
кислород; Су = 649 Дж/(кг • К); ср = 909 Дж/(кг • К).
Связь между молярной Ст и удельной с теплоемкостями газа
Ст=сМ,
где М— молярная масса газа.
<Тб6>
<167>
2.51 J Определите удельные теплоемкости су и ср смеси углекислою
газа массой тх = 3 г и азота массой = 4 г.
Определите показатель адиабаты у для смеси газов, содержащей
гелий массой тх = 8 г и водород массой т2 = 2 г.
Дано	Решение
tnt= 3 г = 3  КГ3 кг	\Q = Cym&T,	m=mi+m2,
М} = 44-103 кг/моль	&Q ~ &QX + MQ2,	&Qi - Cy ] m} &.T,
т2=4 г = 4 • 10"3 кг	Д02 = cvim2 i^T,
	cvm AT = Cy.mi AT + cV7m-, AT ,
М2 = 28-10 3 кг/моль	
			_	"* СУ2^2
	
Су -?	«! + m2
	_ /] R	i2 R СИ 2 Mi ’	Cv i 2 M2 ’
	'1=6	i2 = 5
_ r(ixmx , 12т2 \ 				_ cP\fni+cp2m2
2 ( Мх М2 ) тх+гп2	р	тх+	
z ]+ 2 R Ср{ 2 М{'	Л 2 R. CpZ 2 M2'
с _ R_ (/i+2)m, (/2 + 2)m2	1	
1	2 Мх	М2	j tnj+n^
i»+ 2 7?
Ср'=^2~~мх’
Дано	Решение
fW]= 8 г = 8 • 10 3 кг	Ср
	7 = — ,
= 4-10-3 кг/моль	Су
m2 = 2 г = 2 • 10 3 кг	_ срХтх+ ср2т2
^f2 - 2-10 кг/моль	F	mt+ m2
f		СуХтх+Су2т2
	Су — тх+ т2
(см. задачу 2.51)
'2=5
i2 + 2 R
СР2=~2~~М7
R i2 R
— m,-i-------—
M, 1 2 M2
Ответ ) Cf/ = 667	. К);	=917 дж/(кг-К).
('1+ 2)“TT + (h + 2)“~
Mx	M2
tn, .tn-,
' Mx 2 M2
У = 1,55.
Молярная теплоемкость
при постоянном объеме и постоянном давлении
Cy-^R,
Cp = l-~R, Cp = Cy + R.
.2.53® Применяя первое начало термодинамики и уравнение состояния
идеального газа, покажите, что разность удельных теплоемкостей
cp-cv^RlM.
[Ответ Cp-cy = R/M.
<®>
<169)
( 2 54 ) Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлени-
S ем 0,1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление в
сосуде повысилось в 4 раза. Определите: 1) объем сосуда; 2) температуру, до
которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газом.
При изобарном нагревании некоторого идеального газа (v = 2 моль)
на ДТ = 90 К ему было сообщено количество теплоты 5,25 кДж.
Определите: 1) работу, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии
газа; 3) величину y = cp/cv .
1) и 2,41-10~2 м3; 2) Т = 1,16 кК; 3) 0 = 18,1 кДж.
( 2.55) ОпРеД®лите количество теплоты, сообщенное газу, если в процес-
се изохорного нагревания кислорода объемом V - 20 л его давле-
ние изменилось на Др = 100 кПа.
Qpmeem^ 1) Л = 1,5 кДж; 2) ДС/ = 0,6 кДж; 3)У = 1,4.
Азот массой т = 280 г расширяется в результате изобарного про-
цесса при давлении р = 1 МПа. Определите: 1) работу расшире-
ния; 2) конечный объем газа, если на расширение затрачена теплота 2 = 5 кДж,
fa начальная температура азота 7] = 290 К.
Дано	Решение	
И = 20 л = 2- 10~2м3 Др = 100 кПа = 105 Па 2-?	Q=AU+А, 2 = А^,	Д£/ = —-ЯДГ М 2
М	М
p2v-p^ = ^-RT2--^-rt},
м м
\pV = — R&T,
М
Q = —-R^T = -V\p-
М2 2
2 = 5 кДж.
Дано	Решение		
т = 280 г - 0,28 кг М = 28 • 10-3 кг/моль р = const р = 1 МПа = 106 Па 2 = 5 кДж = 5  103 Дж Тх = 290 К 1) А — 2 2) V2—2	К 1 Г о. + к s 1	* 1 и -1 11	irs	"»• |С» tj	М	
		i = 5	
	л__ QR-2 22 (; + 2)Я /+2’		
Двухатомный идеальный газ ( v = 2 моль) нагревают при постоян-
ном объеме до температуры 289 К. Определите количество теплоты,
A = p(V2-^),	pV^-^-RIi,
v2 = -+p =-[а+—jezfl
2 р 1 р\ М ')
которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в п = 3 раза.
Ответ
Q = —vR(n-l)Tt = 24 кДж.
QOmeemi) л = 1,43 кДж; 2) к, = 0,026 м3.
<170>

(	Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Опреде-
лите, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, что-
бы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увели-
чить его давление вдвое в результате изохорного процесса.
Дано	Решение	
Fj = 1 л = 10"3м3		
	рх = const	и „ Qj=—С,}\Т, м р
Л/= 32-10 кг/моль Р\ - 1 МПа = 106 Па 1) р{ = const И = 2^ 2) V} = const Р2 = 2 Pl 1) 2 -?	TZ	т DT	7/	т DT Piyi=~^RT'’	P\V2=\ZRT2, м	м м n-Pl^Lc P^v ( + 2)Л _ (i + 2) СЛ —	• С„ —		—	рх Дг . 1 R р R	2	2 М / = 5	
2) Q. -2	И = const	м
т
p\y}=-^RTt
м
Pz^i - ,, RT2,
м
1| др =—ядг,
1 м
Ар = Pi - Р\ >
0 _ И Ар с . ДР
R
~R = -P,Ap.
R 2	2 '
/ = 5
1) Qi = 3,5 кДж; 2) д2 = 2,5 кДж.
Некоторый газ массой т = 5 г расширяется изотермически от
объема Pj до объема И2 = 2\\. Работа расширения А = 1 кДж
Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа.
Q Ответ
= 930 м/с.
<172>
Азот массой т = 14 г сжимают изотермически при температуре
rapjrwwZ у _ 3QQ jr от давления = 100 кПа до давления р2 = 500 кПа.
Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) коли-
чество выделившейся теплоты.__________________________________
^Ответ^ 1) Д£7 = 0;	2) А = -2,01 кДж; 3) 0 = 2,01 кДж.
.«	| Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре Т = 300 К и
Г-	под давлением р\ =0,5 МПа В результате изотермического сжатия дав-
ление газа увеличилось в два раза Работа, затраченная на сжатие, А = -432 кДж.
Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.
Дано	Решение
т = 1 кг	т dA = pdV,	pV	,
Г = 300 к	И	м
р, = 0,5 МПа = 5  105 Па	
	mRT	rmRT dV mRT, H
	cL4 =	dK, A=	=	In-1,
Pi - -Pi	MV	J M V M V}
А = -432 кДж =	И
= -4,32  105 Дж	тг	„	„ m^T , D,
	PlVl ~ P2V2,	A- . . In >
	А/ p2
1) газ — ?	
2) и, -?	mRT . P\ A/ =	In2-1-,
	A p2	m
77. mRT V,=	,	и. = Мр<	• ^Ottieent 1)гелий; 2) и, = 1,25 м3/кг.
2.63 ) Азот массой т = 50 г находится при температуре 7] = 280 К.
- В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось
в п = 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа
в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определите: 1) работу,
совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа.
1)Л = 2,08 кДж; 2) ДП = 0.
<173>
Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа со-
ставляет А - 2 кДж. Определите количество подведенной к газу
теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.
Дано
Решение

А - 2 кДж = 2 • 103 Дж
/=5
1)7’ = const
2) р - const
й =bU + A,
Т = const,
АО = 0, Qi=A,
р - const, А = р AV,
1) Й -?
2) 02-?
т
А= — R&T,
М
рАК=—ЛАТ,
М
МИ
АГ =--
mR
62 = АО + А = —А + А = Л|
АО = — Су А7 =
М V
hneem Л i) й = 2 кДж;
-------' 2) 6г = 7 кДж.
1
Vi
т i МА _ iA
М2 mR~ 2 ’
3) AO^-^W,)^ кДж.
М 2
Азот массой т-1 кг занимает при температуре Д =300 К объем
Г	И] - 0,5 м3. В результате адиабатного сжатия давление газа увели-
шлось в 3 раза. Определите: 1) конечный объем газа; 2) его конечную темпера-
|уру; 3) изменение внутренней энергии газа.
1) Г2=^у =0,228 м3;	2) Т2 = ^J У = 411 К;
Азот, находившийся при температуре 400 К, подвергли адиабатно-
му расширению, в результате которого его объем увеличился в п = 5
аз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определите массу азота.
Дано
Решение
11ри адиабатном расширении кислорода ( v = 2 моль), находящегося
при нормальных условиях, его объем увеличился в л = 3 раза. Опре-
делите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа.
Дано	Решение
v = 2 моль	Q=AU+A,	Q=0,	\U=-A,
Д = 273 К	
V2=nVl	MJ = vCy\T, CV=^R, i=5,
п = 3	
—	T^-l = T2vr',	г2 = д W ',
1) АО — ?	
2) А	•	I’/'.rV’1 "1
A = -\U-
W = 28 • 10 3 кг/моль
|=5
Д = 400 К
F2 = nvx
в = 5
|ДО = - 4 кДж =
[	= -4-103Дж
\т — ?
6 = 0
М у — 1
У = —:— = W,
Му-1
V,
A=-bU,

V2 п ’
fl
1- -
\п.
лс/=х-/!(т2-7;)=г-й;||^
rj -1
т =--г—
ЯД 1-
M(y-l)bU
1
п.
1) АО = -4,03 кДж; 2) А = 4,03 кДж.
т = 28 г.
175
Q2.68J Двухатомный идеальный газ занимает объем р, = 1 л и находится цс
давлением р{ = 0,1 МПа. После адиабатного сжатия газ характерцу
ется объемом V2 и давлением р2  В результате последующего изохорного процесс
газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление р2 = 0,2 МПа.()ц
ределите: 1) объем V2; 2) давление р2. Начертите график этих процессов.
Pjtgijyj Кислород, занимающий при давлении р{ = 1 МПа объем Vx = 5 л,
расширяется в п = 3 раза. Определите конечное давление и рабо-
совершенную газом. Рассмотрите следующие процессы: 1) изобарный;
изотермический; 3) адиабатный.
Дано
Решение
У} =1 л= 10~3м3
1 = 5
А =0,1 МПа= 105Па
р2 = 0,2 МПа=2- 105Па
О И2 —?
2)	— ?
/’|‘т =
Г2=^-
Рз
Дано
tJ=32-10“3 кг/моль
= 5
?] =1 МПа= 106Па
= 5 л = 5  10 3 м3
"=п/|
1 = 3
) р = const
) Т - const
I) 6 = 0
?
?
Решение
А = р ДК,
р = const
Р = Р\
Q= MJ+A,
А = р{ ^У = р1(У-У1) = Р1У](п-1),
Т = const
Ppi = pV,
„ . Р\У\
р v ’
И,
1 + 2
У = —— = 1,4,
Р2=Р{^)
А =
Й
Г	fdr	V
Jpdr = p1P| J—= pjK|ln—,
И	г,	1
или
V2 = 0,5 л; 2) р2 = 264 кПа.
Работа в случае адиабатного процесса
A = ^—CV(J\-T2)
м
RT{ т
у —1 М
Р\У\
у-1
где 7,, Т2 и Г], V2 — соответственно начальные и конечные температура п
объем газа.
Q = 0
A = -MJ,
pVy = const,

Р=
лс^сдг-т;), л = ^ад-о,
рг=-^кт,
М	2
Ответ1) р = 1 мПа, и = ю кДж;
2) р= 0,33 МПа, А = 5,5 кДж;
3) р- 0,21 МПа, А = 4,63 кДж.
<177>
( 2.70 ) Кислород массой 10 г, находящийся при температуре 370 К, прд*.
.......вергли адиабатному расширению, в результате которого его дав-
ление уменьшилось в п = 4 раза. В результате последующего изотермического
процесса газ сжимается до первоначального давления. Определите' 1) темпе-
ратуру газа в конце процесса; 2) количество теплоты, отданное газом; 3) прира-
щение внутренней энергии газа; 4) работу, совершенную газом.
Дано
т = 10 г = 10"2 кг
М = 32 10“3 кг/моль
1 = 5
7^ =370 К
Р2
п = 4
1) Т2 — ?	2) Q — 1
3) \U 4) А -?
Q12 - о
(?23 ~ ^23 ~ ~ОД ,
71/ ft
Q = -Q22 = -^-RT2\n-, ьи=ьи}2 + ьи23, bUn = ^-R(T2-Tx),
Мп	М2
Д£/ = ^7ОД-7;), л = д2
л = -дц3 + 023 = -лц3+03.Г Ответ J
MJ23 = о
+ А23, Д2 — At/]2 — —At/|3
1) Т2 = 249 К; 2) 0 = 896 Дж;
3) MJ = -786 Дж; 4) А = -110 Дж.
I 2.71 J Идеальный двухатомный газ, занимающий объем Pj = 2 л, под-
вергли адиабатному расширению. При этом его объем возрос в 5
раз. Затем газ подвергли изобарному сжатию до начального объема В резулы
тате изохорного нагревания он был возвращен в первоначальное состояние
Постройте график цикла и определите термический КПД цикла.
г] = 34,1%.
Идеальный двухатомный газ (v = 3 моль), занимающий объем
К, = 5 ли находящийся под давлением р\ = 1 МПа, подвергли
изохорному нагреванию до Т2 = 500 К. После этого газ подвергли изотерми-
ческому расширению до начального давления, а затем он в результате изобар-
ного сжатия возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла
и определите термический КПД цикла.
Дано
v = 3 моль
/ = 5
V\ =5 л = 5 • IO'3 мэ
р, =1 МПа= 106Па
Т2 = 500 К
Решение
MJi2=v^R(T2-Tt),
Т2 = const
к,
Ат, = vRT2 In—,
.3	2
PiV3=vRT3, K3 =
P] = const
ьи23 = о
023 - Лз
^2 = K] ,	P3 = Pl,
vRT3 _ vRT2
Рз Pi
Й23 = vRT2 In— ;

т _ Piki
vR ’
t/ = 13,3%.
<179>
Рабочее тело — идеальный газ — теплового двигателя совершает
....цикл, состоящий из последовательных процессов изобарного
адиабатного и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагре-
вается от 7j = 300 К до Т2 = 600 К. Определите термический КПД теплового
двигателя
Дано
Решение
f	J Азот массой 500 г, находящийся под давлением д - 1 МПа при
«WOF температуре = 127 °C, подвергли изотермическому расширению,
в результате которого давление газа уменьшилось в п = 3 раза. После этого газ
подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изо-
барно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите рабо-
ту, совершенную газом за цикл.
7] = 300 К
Т2 = 600 к
YJ — ?
_ Qi ~ Qi _ 012 ~ бз!
Й Й12 ’
и, 7] ’
ту-Г' = ТУГ' >
р - const
dQ=O
i+ 2
т; = г3
Й31 = vRTi
йг = vCpR(T2 - 7]) = R(T2 - 7]),
к	kt;
In-1 = vRT. In-1-1 = vRT. In
И	v2T{
1
7]J Tx
у	212
= vRT} Inf= vRT\ Inf2 = vRT\ — InZl
I t; j	2	7]
(Т2-Т^]п^
t] =---------L
72-7]
Q Ответ
Y] = 30,7%.
А = -11,5 кДж.
Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количества теп-
лоты, полученного от нагревателя, отдает холодильнику. Количе-
ство теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определите: 1) терми-
ческий КПД цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.
Дано	Решение
^2 = 0,7Q Й = 5 кДж = 5 • 103 Дж 1) Г] — ? 2) А — ?	II	II <3 IS I tO	1 .	II Ю Ю । to
Ответ ) i) ?? = зо%;	2) а = 1,5 кДж.
Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревате-
.....—ля количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Опре-
делите: 1) термический КПД цикла; 2) отношение температур нагревателя и
холодильника.
Ответ
1) t] = 20% ;
2) Zl = 125.
Т2
<180>

Решение
44 - (.4 -1)4 2-
А34 = -240 Дж.
А — А^2 + А:
Дано
Qi
о
v
= 1-К
Г,
Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которо-
го равен 0,4. Определите работу изотермического сжатия газа, если
работа изотермического расширения составляет 400 Дж.
Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в
процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в
= 4 раза. Определите термический КПД цикла.
Дано
Решение
т] - 0,4
4г = 400 Дж
44 -?

4г + 44 = Иг»
Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя
Т} - 500 К, холодильника Т2 = 300 К. Работа изотермического
расширения газа составляет 2 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла;
2) количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику.
Дано
Решение
= иГ2
= 4
Pi.
1
_ Q\ ~ Qi _
Yi
Ру
j
г-1
г.
туГ{ = т2уГ{,
г+ 2
У = ~
i = 6
о
Ответ ) »? = 37%.
7] = 500 К
Т2 = 300 К
4, = 2 кДж = 2- НГДж
»/=
а тх ’

Qi  4г
1) П —1
2) &-?
q2 = q^=aR_
*7]	12 Т}
о
1)4 = 40%; 2) 02 =1,2 кДж.
е2
3
к
3
Р, Ра
Ц	V
у = 1,33
Во сколько раз необходимо увеличить объем (v = 5 моль) идеаль-
ного газа при изотермическом расширении, если его энтропия
увеличилась на AS = 57,6 Дж/К?
ал
п = evR = 4 .
183
( 2 81В При нагревании двухатомного идеального газа (v = 2 моль) его
'ass®' термодинамическая температура увеличилась в и = 2 раза. Опре-
делите изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изо-
барно.
Дано
Решение
7 = 5							C(/ =-R, 2
v = 2 моль				V - const	dg=	vC\- dT,	
п = —=2 Тх 1) V = const				2	Tz = j vC	dr r v —=vCv	ьЛ, T,
2) р = const				i	. T,	i	
				AS| = v—Kin— = 1	2	7]		v—7?Inn, 2	
AS2 — ?						—R, 2	
р - const		dg=	vCpdT,		cP-		
	= f-C, r,	dT T ~	rC In^-, p 7]				
7 + 2	7)	7 + 2
AS, = v------R In—- v---------7?Inn .
2	2	7]	2
£ Ответ	) 1) AS] = 28,8 Дж/К;	2) AS2 = 40,3 Дж/К.
	—	
Идеальный газ (v - 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что
объем газа увеличился в «] = 2 раза, а затем изохорно охладили,
так что давление его уменьшилось в п = 2 раза. Определите приращение энт-
ропии в ходе указанных процессов.
Ответ
AS = 11,5 Дж/К.
<184>
3
Азот массой 28 г адиабатно расширили в п = 2 раза, а затем изо-
барно сжали до начального объема. Определите изменение энт-
опни газа в ходе указанных процессов.
kS —?
— 45]2 + 452з >
02 - 0 >
23-J м
г Дано
,----------------
I/ = 28-1(Г3 кг/моль
ч = 28 г = 28  10~э кг
= 5
4512 = 0 >
-с ]—
М т
г2
Тз
m С In
—С„ In—
М
Р * 'Г
У2
= const
Cp = ~TR
Л=Л=1
K2 K2 n ’
45 = 4523 = ^2/?!^.
23 M 2 n
AS = -20,2 Дж/К.
»••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Изменение энтропии при равновесном переходе
из состояния 1 в состояние 2
2	2
2.3. Реальные газы, жидкости
и твердые тела
Углекислый газ массой 2,2 кг находится при температуре 290 К в
сосуде вместимостью 30 л. Определите давление газа, если: 1) газ
реальный; 2) газ идеальный. Поправки а и Ь примите равными соответственно
0,361 Н  мУмоль2 и 4,28 • 10~5 мУмоль.
I 2.о4 I Кислород (v = 10 моль) находится в сосуде объемом V = 5 л. Оп-
ределите: 1) внутреннее давление газа; 2) собственный объем мо-
лекул. Поправки а и Ь принять равными соответственно 0,136 Н • мУмоль2-и
3,17  10~3 м’/моль.
1) рх = 3,32 МПа; 2) р2 = 4,02 МПа.
Дано	Решение	
v=10 моль		
V = 5 л = 5 • 10’3 м3 a = 0,136 H • мУмоль2	, v а р=^-’	vb=4y,
b = 3,17  10-5 мУмоль	V = — 4	
1) р' 2) У — ?		
	^Omeem	) 1) р' = 544 кПа; 2) У = 79,3 см3.
Плотность азота р -140 кг/м3, его давление р -10 МПа. Определи-
sте темпера1уру	если; j) газ реальный; 2) газ идеальный. Поправ-
ки а и Z? примите равными соответственно 0,135 Н • мУмоль2 и 3,86  10~3 мУмоль.
1)7] =260 К; 2)7'2=241К.
ggilBB Анализируя уравнение состояния реальных газов, определите ве-
-	ЛИЧИНЬ1 поправок а и b для азота. Критические давление и темпе-
ратура азота соответственно равны 3,39 МПа и 126 К.
Углекислый газ массой 6,6 кг при давлении 0,1 МПа занимает объем
3,75 м3. Определите температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ
идеальный. Поправки а и Ь примите равными соответственно 0,361 Н • м4/моль*
и 4,28  10-3 м3/моль.
Дано
М = 44  10-3 кг/моль
т = 6,6 кг
р = 0,1 МПа = 103 Па
V = 3,75 м3
а = 0,361 Н • м4/моль2
Ь = 4,28-10-5 м’/моль
О Тх -?
2) Т2 — ?
Решение
m
~М’
!	Дано	Решение
hK = 126 к 1 рк = 3,39 МПа = = 3,39- 106Па а — ? b — ?	p + ^{V-vb) = vRT, pV2, - (vRT + pvb)V2 + v2aV - v^ab = 0, И], V2, Уу — корни уравнения.
	р = рк, Т=ТК, Г1=И2 = Г3 = ГК л(И-Ик)3 = 0,
РКУ3 -ЗрЛИ2 +ЗркИ2К -	-рЛ3 = о,
ркК3 - (vRTK + pKvb)V2 + v2aV - v3ab = 0,	ЗркКк = vRTK + pp’b,
МрУ
mR
м2г2Д м )
mR
pV = — RT2
И М 2
3аД = > Pk^k = v3ab, — - vb,
1 Л К	• Л I*	J	'
3p  3vb = vRT + p vb,	8pKvb = vRTK,
J Л	Л 1 Л >	l Л
1) 7] = 302 К;
2) Т2 = 301 К,
a = 0,136 H • мУмоль2;
3pK (‘ivb')2 = v2a , a = 27pK62,
, RTK	T1R2T2
8pK	64/?K
b = 3,86 • 10'5 м’/моль.
<187>
Кислород массой 100 г расширяется от объема 5 л до объема 10 л.
....Определите работу межмолекулярных сил притяжения при этом
расширении Поправку а примите равной 0,136 Н • мУмоль2.
Дано
М = 32 10~3 кг/моль
т = 100 г= 0,1 кг
Г, = 5 л = 5 • 10‘3 м3
V2 =10 л= Ю"2 м3
а = 0,136 Н • м4/моль2
А —1
Решение
т
~М'
, , V2 а ,
с!Л = —=-dK,
V2
Л = 133 Дж.
Q 2.90 Некоторый газ (v - 0,25 кмоль) занимает объем И, = 1 м3. При
расширении газа до объема Г2 = 1,2 м3 была совершена работа
против сил межмолекулярного притяжения, равная 1,42 кДж. Определите по-
правку я, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
а = 0,136 Н • м4/моль2.
Азот (v = 3 моль) расширяется в вакуум, в результате чего объем
газа увеличивается от К] = 1 л до Г2 = 5 л. Какое количество теп-
лоты Q необходимо сообщить газу, чтобы его температура осталась неизмен-
ной? Поправку а примите равной 0,135 Н • м4/моль2.
Дано	Решение
V = 3 моль И] = 1 л = 10"3 м3 Г2 = 5 л = 5  10 3 м3 я = 0,135 Н  м4/моль2	<\Q-<\U + AA, dl? = 0 с!Л = р'dr = -p-dK , 2 ( 1 1 Q= —=dK = o —	• и }VV2	lr, v2)
е-?	С Ответ Л 2=972 дж.
^2.92^) Углекислый газ массой 88 г занимает при температуре 290 К объем
1..1000 см3. Определите внутреннюю энергию газа, если: 1) газ иде-
альный; 2) газ реальный. Поправку а примите равной 0,361 Н м4/моль2.
Дано	Решение
т = 88 г=88- 10“3 кг	
М = 44 10-3 кг/моль	U{~MCvT’	Cv=^R’
Т = 290 К	
И = 1000 см3 = 10 3 м3	U2=^-(cvT-—L	Vm=- = —V,
я = 0,361 Н  м4/моль2	Vm)	v m
i = 6	2
	ma
	
	
	M2 V
1) и, - ?	
2)t/2-?	
2) С72=13 кДж.
Кислород (v = 2 моль) занимает объем И, -1 л. Определите изме-
нение температуры кислорода, если он адиабатно расширяется в
1
вакуум до объема V2 -10 л. Поправку а примите равной 0,136 Н • м4/моль2.
Дано
i = 5
v = 2 моль
^ = 1 л = 10 3 м3
V2 -10 л = 10~2 м3
е=о
а = 0,136 Н • м4/моль2
-?
Решение
Q = MJ + A
Q = Q, А = 0 \U = и2-и^ = 0,
U2=U}, Ui=v\cvl\-^\, U2 = v\cvT2-^-
k и/	к И2<
CVT\-— =СуТ2_—,
г2
av ( 1	1
Ответ
Т2-1\ =-11,8 К.
2яг Г 1	1
iR V2)'
Азот ( v = 2 моль) адиабатно расширяется в вакуум. Температура
газа при этом уменьшается на 1 К. Определите работу, совершае-
мую газом против межмолекулярных сил притяжения.
Дано
v = 2 моль
т = 5
' ЬТ = -1 К
Решение
Q=AU+A,
ьи = и2-и}=о,
4-?
И*.«9^Д Покажите, что эффект Джоуля — Томсона будет всегда отрица-
тельным, если дросселируется газ, для которого силами притяже-
ния молекул можно пренебречь.
Дано	Решение
д = 0	+ P\V\ =U2 + p2V2,
,(T2-7])>0-?	
а v2
1	И * 1	1 CvbT ..	, v2a
\Т = Т,-Т,=----------,----------—--, dA = p'dV, р=^~,
2	1	V2) V. V2 га	Г2
Ц = vQT;
av2
U2 = vCvT2 - — ,
2 V2
u2 = vCvT2,
^.2
= -V ЛТСу = --R ИСТ.
2	4 = 83,1 Дж.
Кислород (v = 1 моль) (реальный газ), занимавший при 7] = 400 К
объем Г] = 1 л, расширяется изотермически до V2 = 2К,. Опреде-
лите: 1) работу при расширении; 2) изменение внутренней энергаи газа. Поправ-
ки а и b примите равными соответственно 0,136 Н • м4/маль2 и 3,17 • 10"5 м’/моль.
Дано	Решение
V = 1 моль	vb}~vRT	d VRT
Т = 400 К = const И] =1 л= 10"’м’ ^ = 2^ а = 0,136 Н • мкмоль2 b =	 Ю 5 м’/моль	|/+ p JV vb)-vRT,	P~y_vb V2 ’ K2 - vb 2 ( 1 Д =.«!„	+A( - . K,	1	2 tt	г-	TT _ Sr T «’’1 U\ = vICyP--— I	(72 - vl СуГ- — 1
1) А —2 ">\ ЛТГ	9	2( 1	1 "l
f Ответ J 1) Я = 2,29 кДж; 2) АС/= 68 кДж.	
P + -^j(Vi-vb) = vRTi,
Т'2Я|/	.\
p-j(K2-v&) = ^T2.
Sa = 0 рУ1 = vRT\ + pp>b,
iCyT] + vRT} + ptvb = vCvT2 + vRT2 + p2vb,
№1(Су + R) + p}vb = vT2(Cy2 + R)+ p2vb,
H2 - Tt)v(cy + R) = vb(p}- p2),
i ь
L’	---——
l2 '~~с~ГГ- I д ” д
р2К2 = vRT2 + p2vb,
(Г2-Т])>0.
(Т2 - ) > 0, эффект Джоуля — Томсона отрицательный.
E 2.97 ) Покажите, что эффект Джоуля — Томсона будет всегда положи-
1 тельным, если дросселируется газ, для которого можно пренеб-
речь собственным объемом молекул.
о 1	1
т т_ U И,
1 Су + R
<191>
( 2.98'7 При определении силы поверхностного натяжения капельным
.....‘..методом число капель глицерина, вытекающего из капилляра, со-
ставляет п = 50. Общая масса глицерина т = 1 г, а диаметр шейки капли в мо-
мент отрыва d = 1 мм. Определите поверхностное натяжение о глицерина
Дано	Решение
и = 50 т = 1 г = 10“3 кг d = 1 мм = 10~3 м	F	т о = — ,	F = —g, I = nd , I	n
о — ?	a= F r md Ответ j o = 62,5 мН/м.
JJ ОпрОД6-™76 радиус R капли спирта, вытекающей из узкой вертикаль-
ной трубки радиусом г = 1 мм. Считайте, что в момент отрыва капля
сферическая. Поверхностное натяжение спирта о = 22 мН/м, а его плотность
р = 0,8 г/см3.
Ответ^ R = 1,61 мм.
Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим,
определите работу А , которую надо совершить, чтобы увеличить
его размер с dt = 6 мм до d2 = 60 мм. Поверхностное натяжение мыльного
раствора примите равным 40 мН/м.
Дано	Решение
T = const d{ = 6 мм = 6 • 1О”3 м d2 = 60 мм = 6  102 м <7 = 40 мН/м = 4 • 10~2Н/м A —2	AE o = — , AE = A, AS = 2S2-2S,, AS	2	1 S2 = nd2, S] = nd2,
	T = const о = const, A = о • 2n(d2 - d2).
	
	(Ответ a = 896 мкДж.
ИДИПИВ Две капли воды радиусом г = 1 мм каждая слились в одну боль-
WWWy шую каплю. Считая процесс изотермическим, определите умень-
[ение поверхностной энергии при этом слиянии, если поверхностное натяже-
ие воды о = 73 мН/м.
Дано	Решение
г = 1 мм = 10“3 м иг = 73 мН/м = Г =73  Ю3Н/м ЁГ = const кд — ?	“7	11	11 | оо	О а	Ли	» Q II а о и —	и II	II <*> 1	<jJ I я "w
5 = 4я/?2 = 4я^4т2
8 з
S = 2S{-S = 8 л г2 - 4я^4 • г2 = 4лт2 (2 - V?),
к£ = <тД5 = а-4яг2(2-1/4).
i
Ответ	дд = 378 нДж.
ННИНВ Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Ар = 200 Па боль-
ше атмосферного. Определите диаметр d пузыря. Поверхност-
ное натяжение мыльного раствора о = 40 мН/м.
Дано	Решение
Ар = 200 Па <7 = 40 мН/м = 4 • 10"2 Н/м	Л 0 2(7 8(7 Лр = 2Т--,
d —2	
d = 1,6 мм.
192
7 Сборник задач
193
"2:103$ I Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глуби-
Капилляр, внутренний радиус которого 0,5 мм, опущен в жидкость.
Определите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее
шерхностное натяжение равно 60 мН/м.____________________________
не /1 = 25 см под поверхностью воды. Определите давление воз-
духа в этом пузырьке. Атмосферное давление примите нормальным. Поверх-
ностное натяжение воды а = 73 мН/м, а ее плотность р = 1 г/см3.	
Дано	Решение
d = 0,02 мм = 2  10'5 м h = 25 см = 0,25 м р0 = 1,01-105 Па а = 73 мН/м = = 73 • 10“3Н/м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3 Р — ?	р = р0 + р{+Ар,	Pi = pgh, , 2а 4о ДР = — = —, г а t 4а P = Po + Pgh + ~. а Q Ответ р = п8кПа.
। - 0,5 мм = 5 • 10 4 м
; = 60 мН/м - 6  10"2 Н/м
ч —?
Дано
Решение
P=F,
F = ol,
2лго
т =----
g
P=mg,
I = 2лг,
' Ответ Л „=1,и.10-5
(2.104) Ртуть массой 3 г помещена между двумя параллельными стеклян-
ными пластинками. Определите силу, которую необходимо прило-
жить, чтобы расплющить каплю до толщины d = 0,1 мм. Ртуть стекло не смачи-
В стеклянном капилляре диаметром d = 100 мкм вода поднима-
ется на высоту Аг = 30 см. Определите поверхностное натяжение а
вает. Плотность ртути р = 13,6 г/см3, а ее поверхностное натяжение о - 0,5 Н/м.
F = 2,2 Н.
Г 2*105 I Вертикальный стеклянный капилляр погружен в воду. Определи-
.......те радиус кривизны мениска, если высота столба воды в трубке
h = 20 мм. Плотность воды р - 1 г/см3, поверхностное натяжение о = 73 мН/м.
юды, если ее плотность р -1 г/см3.
Дано	Решение
d = 100 мкм = 10=* м h = 30 см = 0,3 м р = 1 г/см3 = Ю3 кг/м3 а — ?	2<TC0St>	„	_	«	, h =	,	9 = 0	costf = l, Pgr pgrh	d	pghd a = ——,	r = —,	a =  	• 2	2	4
Ответ $ - 73,6 мН/м.	
Дано
h=20 мм = 2  10~2 м
р = 1 г/см3 = 103 кг/м3
о = 73 мН/м =
= 73  10~3Н/м
R —2
Решение
, 2а cos 9
п =-------,
pgR
7?= 744 мкм.
9 = 0	cos 9 = 1
R = —
Pgh
Поверхностное натяжение
а - F/1 или а = AE/AS,
где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур /, ограничи-
вающий поверхность жидкости; Д£ — поверхностная энергия, связанная с
площадью AS поверхности пленки.
1.2.10ЯН Широкое колено U-образного манометра имеет диаметр dx = 2 мм,
узкое — d2 = 1 мм. Определите разность Ай уровней ртути в обо-
их коленах, если поверхностное натяжение ртути а = 0,5 Н/м, плотность piyi и
р = 13,6 г/см3, а краевой угол д - 138°.
Определите наименьшее расстояние между центрами ионов на-
трия и хлора в кристаллах NaCl (две одинаковые гранецентриро-
ванные кубические решетки, вложенные одна в другую). Плотность поварен-
ной соли р = 2,2 г/см3.
Дано
Решение
Дано
Решение
г/, = 2 мм = 2 • 10'3 м
d2 = 1 мм = 10'3 м
о = 0,5 Н/м
р = 13,6 г/см3 =
= 13,6 • 103 кг/м3
$ = 138°
,	2<т cos &
ht=---------
pgh
,	2<т cos &
h2=----------
Pgr2
А
2 ’
d2
Г 2= —,
2 2
р = 2,2 г/см3 =
= 2,2  103 кг/м3
Л/ = 58,5 1О“3 кг/моль

И,=а3,
а — 2
а = 0,28 нм.
M
vm=—
P
М
а = з--
\2NAp
Ah — ?
4cr cos 9 Г 1
pg U2
Используя закон Дюлонга и Пти, определите удельную теплоем-
кость: 1) натрия; 2) алюминия.
1
4
Дй =
Дано
Решение
i\h = 5,6 мм.
1) A/Na = 23-10 3 кг/моль
2) Мм = 27-10~3 кг/моль
с
' М ’
Q = ЗЯ,
Изобразите элементарную ячейку ионной кубической объемноцен-
”	трнрованной решетки хлористого цезия (CsCl) и определите соот-
ветствующее этой решетке координационное число.
1) -?
2) сГА| -?
3R
с,- - —.
1 М
число равно 8.
1) crNa = 1,08 кДж/(кг  К);	2) с(,-А! = 0,924 кДж/(кг • К).
Изобразите элементарную ячейку ионной кубической решетки
поваренной соли (NaCl) и определите соответствующее этой ре-
шетке координационное число.
Пользуясь законом Дюлонга и Пти, определите, во сколько раз
удельная теплоемкость железа больше удельной теплоемкости
золота.
Q^Omeem Координационное число равно 6.
п = 3,52.
197.
Дня нагревания металлического шарика массой 10 г от 20 до 50 °C
затратили количество теплоты, равное 62,8 Дж. Пользуясь зако-
ном Дюлонга и Пти, определите материал шарика.
Дано	Решение	
т = 10 г = 10"2 кг		г
1, = 20 °C	CV=3R,	е - С Г/ ~~	« м
t2 = 50 °C	Q = cvm(t2 - tx),	t2-tx = M,
Q = 62,8 Дж R - 8,31 Дж/(моль • К)	Q = — m\t, M	Q
М		
М = 0,119 кг/моль, олово.
АИ|ИИ| Изменение энтропии при плавлении 1 моль льда составило 25 ДжЖ.
Определите, на сколько изменится температура плавления льда
при увеличении внешнего давления на 1 МПа? Плотность льда рх - 0,9 г/см3,
плотность воды р2 = 1 г/см3.
Дано	Решение
V = 1 моль	_	L	ДО т	де
М = 18 • 10"J кг/моль	АТ Г(К2-К,)	Т
AS = 25 Дж/К Ар = 1 МПа = 106 Па рх = 0,9 г/см3 =	У\ = —,	к = —,	tn = vM, А	Рг
= 9 • 102 кг/м3 р2 = 1 г/смэ = Юэ кг/м3	Т	Ар (vM vM\ ^Т= (г2-К1)Ар = ^|	— , L	AS k р2	У
АГ — ?	vM \р f 1 И AS \р2 pj
QOmeem"^ &т = -	0,08 К.
198
3. Электричество и магнетизм
3.1. Электростатика
Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заря-
женных капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской
силой отталкивания. Определите заряд капель Плотность воды равна 1 г/см3.
Ответ
2 = 0,36 аКл.
[ 3.2 у ) Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой дли-
нь1> опускаются в керосин плотностью 0,8 г/смэ. Какой должна быть
плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в
керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина е - 2.
Дано
Решение
рк = 0,8 г/см3=8  102 кг/м3
а
8 = 2
F=mgtga/2,
FK=(mg-FA)tga/2,
Р —2
8--^.
4jt£Qr
F4=Pj'g’
mg = pVg,

F FK	£рк
---—	,	p —-
mg mg-FA-------------------E-l
p = 1,6 г/см3.
6995
Q 3.3 J В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые
	положительные заряды Q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд Q
необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его сто-
роны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?
F = 2F} cosa = cosa ,	F. = —- - =--^T-4cos2 а,	F = -F3,
4лт0г	4лт0/г 4яе0г
f = -f3 , q} = -	( Ответ) q = ц 5 нКл.
2 cosa X—_	- X
Свинцовый шарик (р = 11,3 г/см1) диаметром 0,5 см помещен в гли-
церин (р -1,26 г/см3). Определите заряд шарика, если в однородном
электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростати-
ческое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность Е = 4 кВ/см.
Дано	Решение						
р = 11,3 г/см3 = = 11,3  103 кг/м3 d = 0,5 см = 5 • 10-3 м р} = 1,26 г/см3 = = 1,26 • 103 кг/м3 Е = 4 кВ/см = 4 • 105 В/м О 9			(О	2	Ч j II	+	1 а	11	.”5 сч	х a.	LU I 4=.	II а	2 гч ъ 1	ю|ас II 1 <2 			= р	। to 7	| । ।г । | >< | 1 Cl	( d W ’Р	3 S,	—
Q Ответ Q = i,6i нКл.							
							
<200>
ИШИМ Два точечных заряда = 4 нКл и Q2 = -2 нКл находятся друг от
друга на расстоянии 60 см. Определите напряженность Е поля в
точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если
второй заряд положительный?
Дано
Qx = 4 нКл
Q2 = -2 нКл
I = 60 см
Ej — ?
Е2 — ?
t С Q •
Решение
Е|=Е++Е_,
ЕХ = Е+ + Е_,
Е - 1 1й|
4да0 (//2)2
Е 1 I&I ,
4яе0 (z/2)2 ’
Е+ Е Q
а--------
Е_
(|0|'1й1)-
( Ответ £| _ 0 6 кВ/м. Ег = 0 2 gBlu.
/вВИга Определите напряженность поля, создаваемого диполем с элект-
WIBBWy рическим моментом р = 1 нКл • м на расстоянии г = 25 см от цен-
тра диполя в направлении, перпендикулярном оси диполя.
Л 3 7 I ®пРеделите напряженность электростатического поля в точке А,
V.......S расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды Qx = 10 нКл
и Q2 = -8 нКл и находящейся на расстоянии г = 8 см от отрицательного заря-
да. Расстояние между зарядами I = 20 см.
Дано
Решение
0, =10 нКл=108Кл
Q2 =-8 нКл = -8- Ю’Кл
г = 8 см = 8 • 10г2 м
Z = 20 см = 0,2 м
Е~'	Е- И
Е2 “ л 2 *
4яе0г
1) Е = Е, + Е,,
1)
Е = Е2 - £],
Е |й!
1 4яе0(/ + г)2 ’ 2)
2) Е - Ei ч- Е?, Е — £i 4- Ei, Е\ —-----------:
1	2	4я£0(/-Н'
£-> = -М_.
4я£ог
1) Е= 10,1 кВ/м; 2) Е = 17,5 кВ/м.
На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряжен-
ной плоскости с поверхностной плотностью о = 0,1 нКл/см2 рас-
положена круглая пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями на-
пряженности угол 30°. Определите поток Ф£ вектора напряженности через
эту пластинку, если ее радиус г равен 15 см.
Дано
Решение
а = 0,1 нКл/см2
/3 = 30°
г = 0,15 м
£ = 1
Ф£ = EScosa, Е = -^~
- и 2
Фр =-----тег cosa
Е 2е0
Ф£ = 3,46 кВ • м.
<202>
Определите поток ФЕ вектора напряженности электростатичес-
кого поля через сферическую поверхность, охватывающую точеч-
ные заряды Q} = 5 нКл и Q2 = -2 нКл.
ФЕ = 339 В • м.
Расстояние I между зарядами Q = ±2 нКл равно 20 см. Опреде-
лите напряженность Е поля, созданного этими зарядами в точке,
находящейся на расстоянии г, = 15 см от первого и г = 10 см от второго заряда.
Ответ
£ = 2,14 кВ/м.
В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые поло-
жительные заряды 2 = 2 нКл. Определите напряженность элект-
ростатического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата.
Дано
Решение
а = 5 см = 5 • 10 2 м
2 = 2 нКл = 2  10“9Кл
1) £, -?
2) £, — ?
1) £1 = 0;
2) £2 = 2£ cosa ,
2
5леоа2
Q 2	42
5ягоа2 7? 5у[5лЕоа2
2) £2 =10,3 кВ/м.
<203>
(3.12J Кольцо радиусом г = 5 см из тонкой проволоки равномерно заря-
жено с линейной плотностью т = 14 нКл/м. Определите напря-
женность поля на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на
расстоянии а = 10 см от центра кольца.
Дано
Решение
г = 5 см = 5  1 О*2 м
г = 14 нКл/м =
= 1,4  10 8 Кл/м
а - 10 см = 0,1 м
Е4 -?
Q = JdQ - т  2лг,
а	, „ a dO	v ,	„
cosa = —	d£1 = —5-,	d£2 = d£ sin а, XdEj = 0,
R	(а~+г1Г‘
r a dp _ 2arar
^4я£0(а2+r2)3/2 4я£0(а2 + r2)3/2
E. = 2,83 кВ/м.
Определите поверхностную плотность заряда, создающего вбли-
зи поверхности Земли напряженность Е = 200 В/м.
Дано	Решение
Е = 200 В/м £ = 1	г а Е =	,	<J = eenE. ££0
а — ?
Ответ
а - 1,77 нКл/м2.
ЛЯИВ Под действием электростатического поля равномерно заряженной
чММИУ бесконечной плоскости точечный заряд Q = 1 нКл переместился
вДоль силовой линии на расстояние г = 1 см; при этом совершена работа 5 мкДж.
Определите поверхностную плотность заряда на плоскости.
QOmeem о _ §§5 мкКл/м2.
...................................—.Z
Электростатическое поле создается двумя бесконечными парал-
лельными плоскостями, заряженными равномерно одноименны-
ми зарядами с поверхностной плотностью соответственно <j} = 2 нКл/м2 и
= 4 нКл/м2. Определите напряженность электростатического поля: 1) меж-
ду плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения
напряженности вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
1) 113 В/м; 2) 339 В/м.
Основные физические постоянные
Элементарный заряд е = 1,6-10-19 Кл
Масса покоя электрона те = 9,11 • 10-31 кг
Удельный заряд электрона е/те = 1,76 • 1011 Кл/кг
Электрическая постоянная е0 = 8,85-Ю-12 Ф/м
1/(4ле0) = 9 • 109 м/Ф
Магнитная постоянная = 4л • 10-7 Гн/м
Электростатическое поле создается двумя бесконечными парал-
лельными плоскостями, заряженными равномерно разноименны •
ми зарядами с поверхностной плотностью а, = 1 нКл/м2 и а2 = 2 нКл/м2. Оп-
ределите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями,
2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности поля
вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
1) Е( = 169 В/м; 2) Е2 = 56,5 В/м.
На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд Q = 2 нКл.
Определите напряженность Е электростатического поля: 1) на
расстоянии Г] = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на рассто-
янии г2 = 20 см от центра сферы. Постройте график зависимости Е(г).
Е] = 0, Е2 = 800 В/м, Е3 = 450 В/м.
<206>
Поле создано двумя равномерно заряженными концентрически-
ми сферами радиусами ^ = 5 см и Л2 = 8 см. Заряды сфер соси-
вётственно равны 0 = 2 нКли Q2 = -1 нКл. Определите напряженность элект-
ростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях:
1) /\ = 3 см; 2) г2 = 6 см; 3) r3 = 10 см. Постройте график зависимости Е(г).
Дано
Решение
= 5 см = 5 • IO’2м
Л2 = 8 см = 8  IO-2 м
0 = 2 нКл = 2- КГ9 Кл
02 = -1 нКл = -10'9Кл
г( = 3 см = 3 • 10'2 м
г2 = 6 см = 6  10'2 м
г3 = 10 см ~ 0,1 м
£2, £3 — ?
£(г) ~ ?	______________________________________
Ответ j = о, е2 = 5 кв/м, е3 = о,9 кв/м.
Шар радиусом R = 10 см заря-
жен равномерно с объемной
плотностью р -10 нКл/м3. Определите на-
пряженность электростатического поля: 1) на
расстоянии /] =5 см от центра шара; 2) на рас-
стоянии r2 = 15 см от центра шара. Построй-
те зависимость £(г).
Ответ
£t =18,8 В/м, Е2 = 16,7 В/м.
.’3#
Фарфоровый шар радиусом £ = 10 см заряжен равномерно с
объемной плотностью р = 15 нКл/м3. Определите напряженность
электростатического поля: 1) на расстоянии rt =5 см от центра шара; 2) на
поверхности шара; 3) на расстоянии r2 = 15 см от центра шара. Постройте гра-
фик зависимости £(г). Диэлектрическая проницаемость фарфора е = 5 .
U 21 I Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд,
равномерно распределенный по всей длине провода с линейной
плотностью 2 нКл/м. Определите напряженность £ электростатического поля
на расстоянии г = 1 м от провода.
Дано
R = 10 см = 0,1 м
р = 15 нКл/м3 =
= 1,5 • 10“8 Кл/м3
£ = 5
г, = 5 см = 5 • 10"2 м
г2 = 15 см = 0,15 м
S
Решение
-(pdK,
£4
_	.	2	4	3	рг,
£>|-4ли =Py^i ,	D|=3’
Dx=eoeEx
Е,= — =-^~,
Е0Е 3f0£
£ = —— = 36 В/м.
2лГГ£0
1)	Щ
2)	Er~?
3)	Е2 -?
4)	£(г) — ?
r = R
Dr  4nR2 = ру-тгЛ3,
£>л - eoeEr ,
Е, В/м
2
р£3
D,=~,
- Зг2
£ -
3£0Г2
Dr~
3 ’
Е„^
Зее0
11
5.6,5. __
50
D2  4лг2 = ру-тгЛ3,
Z)2 — е0£2 ,
£ 1
I о
ю
2.5,1
1.1,3 ..J

г, см
2
1)	£t =5,65 В/м;
2)	Er = 11,3 В/м (для г < Л); ER = 56,5 В/м (для г > R);
3)	£2 = 25,1 В/м; 4) см. рисунок.
Q3.22 J Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолиней-
.......ного коаксиального провода радиусом Rx = 1,5 мм заряжен с линей-
ной плотностью Г] = 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого про-
вода радиусом R2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью т2 - ~0,15 нКл/м.
Пространство между проводниками заполнено резиной ( е = 3 ). Определите
напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на
расстояниях: 1) rt = 1 мм; 2) г2 = 2 мм; 3) г3 = 5 мм.
Дано
Решение
£t = 1,5 мм = 1,5 • 10"’ м
= 3 мм = 3 • 10 3 м
г, = 0,2 нКл/м =
= 2-10 10 Кл/м
т2 = -0,15 нКл/м =
= -1.5- 1010 Кл/м
Е = 3
= 1 мм = 10~3 м
г2 = 2 мм = 2 • 10"3 м
= 5 мм = 5 • 10-3 м
£, =о,
И
Е2=-------->
2ле0ег2
£3 = Г|+Г2
2лГ£0£Г3
2л £ог3
1) Е,
2) Е2
3) Е3
--- ?
--- ?
--- ?
1)	£,=0;
2)	£2 = 800 В/м;
3)	£3 = 180 В/м.
209
Q 3.23Элею ростатическое поле создается положительно заряженной с
v.......постоянной поверхностной плотностью <т = 10 нКл/м2 бесконеч-
ной плоскостью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести элек-
Одинаковые заряды 0 = 100 нКл расположены в вершинах квад-
рата со ст0р0н0й а = ю см. Определите потенциальную энергию
угой системы.
трон вдоль линии напряженности с расстояния г( = 2 см до гг = 1 см?
Дано	Решение
Дано
Решение
<т = 10 нКл/м2 = 10 8 Кл/м2
Г] = 2 см = 2  10 2 м
r2 = 1 см = 1 (У2 м
е = 1,6-10’19 Кл
А —?
0 = 100 нКл = 10’7Кл
а = 10 см = 0,1 м
и — I
- ^23 - ^34 - ^12 ’
С/ - Un + t/13 + С/,4 + с/23 + ^24 + ^34 >
1 02
Ц2 ~ ~	~~
4л£0 а
1 0
t/13=---------^7=
4ле0 а-х/2
а= pdr = -^- Jdr=^-(rt-r2) С Ответ) л = 9-10~19 Дж
г,	V-----------'
^24 “ ^13 ’
1 402 t 1 202
4лт0 а 4ле0 а^2
-Ье1(4+^).
4ле0 а
^3.24 Электростатическое поле создается положительно заряженной
v......бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью т = 1 нКл/см.
Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к
нити вдоль линии напряженности с расстояния rt = 1,5 см до r2 = 1 см?
Дано	Решение
т = 1 нКл/см = 10“7 Кл/м е = 1,6-10~19 Кл от = 9,11 • 10~31 кг Г; = 1,5 см = 1,5  10’2 м г2 = 1 см = 10-2 м V — ?	А = Т =	,	v = J—, Е =	, 2	V w	2%£ог ет F= еЕ=	,	<1Л - F dr , 2ле0г л Гр.	ет fdr ет	г, А= lFdr =	—=	In—, J	2лт0 J г	2лт0	г2
1 ет г,	~	---------------
у лЕот r2	С Ответ J п = 1бМм/с.
Q Ответ	и = 4>87 МД'Ж-
В боровской модели атома водорода электрон движется по круго-
вой орбите радиусом г = 52,8 пм, в центре которой находится
протон. Определите: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энер-
гию электрона в поле ядра, выразив ее в электрон-вольтах.
Дано	Решение
г = 52,8 пм = 5,28' 10'1'м е = 1,6-10’19 Кл т = 9,1110~31 кг п — ? и	mv2	1	е2 г	4л:г0	г2 ’ |	е2	1	е2 v - 1	U - у 4л:£0/иг ’	4ле0	г
v = 2,19 Мм/с, U = -27,3 эВ.
210
ДМцДа Кольцо радиусом г = 5 см из тонкой проволоки несет равномер-
но распределенный заряд Q = 10 нКл. Определите потенциал <р
электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр
кольца, в точке, удаленной на расстояние а = 10 см от центра кольца.
Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Оп-
ределите радиус шара, если потенциал в центре шара равен
= 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии г = 50 см, <р2 ~ 40 В.
Дано	Решение
г = 5 см = 5 • 10-2 м
д = ю нКл= ю8кл
а = 10 см - 0,1 м
<Ро — ?
‘Ра — 7
.	1 dS
dtp =--------,
4ле0 г
Я ае _ g
• 4тГ£0г 4тГ£0г ’
:	Дано
I-------------
=200 В
^>2 = 40 В
= 50 см = 0,5 м
г------------
— ?
Решение
Ответ
Л	dQ . Q
'Рл J	t~z	- rz	T 
о 4тге07г +a 4тГ£оуг +a
£l = _L
<Р1 R ’
<pA = 805 B.
Ответ ) я=ю см.
f 'SraZjrB На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1м равно-
.. •’1 * мерно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре
кольца.
Электростатическое поле создается положительным точечным
зарядом. Определите числовое значение и направление градиента
Потенциала этого поля, если на расстоянии г = 10 см от заряда потенциал ра-
LeH у? = 100 В.
<р = 100 В.
Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q = 10 нКл. Оп-
ределите потенциал <р электростатического поля: 1) на поверхно-
сти шара; 2) на расстоянии а = 2 см от его поверхности. Постройте график
зависимости <р(г).
Дано
г = 10 см = 0,1 м
= 100 В
grad у, —?
Решение
E = -grad^,
jgrad^l = Е,
Ответ ) 1)	= 1,8 кВ; 2) <р2 = 1,29 кВ.
ЦЯЕцГ
4Я£оГ
Е = ^’ |grad^| = y.
grad у, = 1 кВ/м, направлен к заряду.
212
<2В>
I 3 32 ) Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, за-
ряженной равномерно с поверхностной плотностью о = 5 нКл/м2
Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля
Дано	Решение
о = 5 нКл/м2 = = 5 • 109Кл/м2	E = -grady?,	Е = -^—,	|grady>| = -^-. 2е0	2е0
grad <р —	( Ответ Л grad= 282 в/м’ V	У направлен к плоскости.
Q 3.33 J Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью
заряженной равномерно с линейной плотностью г = 50 пКл/см
Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на
расстоянии г = 0,5 м от нити
( Ответ j grad<p = 180 В/м, направлен к нити
Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной
нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с
расстояния Г] = 5 см до г2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, рав-
на 50 мкДж
BH3i35O Электростатическое поле создается положительно заряженной
.........бесконечной нитью Протон, двигаясь от нити под действием поля
рдоль линии напряженности с расстояния rt = 1 см до г2 = 5 см, изменил свою
ркорость от 1 до 10 Мм/с Определите линейную плотность заряда нити
т = 17,8 мкКл/м
г еЗ 'ЗпЯ Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, рав-
,	номерно заряженной с поверхностной плотностью ст = 1 нКл/м2
Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащи-
ми на расстоянии xt = 20 см и х2 = 50 см от плоскости
Дано	Решение
о = 1 нКл/м2 = 10-9 Кл/м2	х2 С	° tp\-tp2 = \Edx,	Е = ^~’
>1 = 20 см = 0,2 м	х	2ео Х1
Хп = 50 см = 0,5 м	
	Х2	х2 г	г о	а
f	<Р\ ~*Р^= J£dx= 1—dx = —— (х2-Х]) J	J 2гп	2en
Ч>\ ~ Ч>2 — 9	X,	Х|	0	°
С Ответ ) v,-r2	= 16,9 В
Дано	Решение
Q = \ нКл = Ю-’Кл Г] = 5 см = 5 10 2 м г2 = 2 см = 2 10~2 м А= 50 мкДж = 5 10 5 Дж т — 9 2леп/1	dA = Q dtp , r2 Е =—-—,	du? = -Edr, А = -@[е& 2тсе0г	v	J Г1 л = -el— =	in—, } 2ле0г 2ле0 j г 2ле0 г-, Г,	Г|
gin-3- ( Ответ ) г = з,оз мкКл/м
Определите поверхностную плотность зарядов на пластинах плос-
кого слюдяного (е = 7) конденсатора, заряженного до разности по-
тенциалов U = 200 В, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм
Дано	Решение
Е = 1 U = 200 В d = 0,5 мм = 0,5 10 ’ м	С	Z? D = ЕцеЕ , D = o, Е = — , а = -У— d	d
О —9	С Ответ о = 24,8 мкКл/м2
3.33 J Электростатическое поле создается равномерно заряженной сфе-
рической поверхностью радиусом /? = 10 см с общим зарядом
2 = 15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля,
лежащими на расстояниях rt = 5 см и r2 = 15 см от поверхности сферы.
= 360 В.
Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 5 см.
равномерно заряженной с поверхностной плотностью о = 1 нКл/м ’
Определите разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на
расстояниях г, = 10 см и r2 = 15 см от центра сферы.
Электростатическое поле создается шаром радиусом Л = 8 см,
равномерно заряженным с объемной плотностью р = 10 нКл/м1
Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащи-
>асстояниях rt = 2 см и г2 = 8 см от его центра.
Дано
Решение
R= 5 см = 5- 102м
а = 1 нКл/м2 = 10-9 Кл/м2
Г] =10 см = 0,1 м
г2 = 15 см = 0,15 м
<р, - <р2 = [*£ dr,	Е = —-—Я,	Q - о • 4л/?2,
;	4тГ£0 г
%R2 dr _ oRV _ П '2 _ oRV j_ _ £
J V2 £o	£o r2
<Р\	— ?
'Pi ~'Pi = 0’94 B.
Дано
К = 10 см = 0,1м
[р = 20 нКл/м3 =
i = 2- 10~8Кл/м3
^1 = 2 см = 2 • 10 2 м
fs = 8 см = 8  10 2 м
к------------
Р1 ~<Р2
Решение
^£ndS = —>
5	£0
r<R, еп = е,
Е 4тгг2 = —•—да-3,
Е0 3
Электростатическое поле создается равномерно заряженным ша-
ром радиусом /?= 1 м с общим зарядом 2 = 50 нКл. Определите
разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях
1) Г] = 1,5 м и г2 = 2 м; 2) rt'= 0,3 м и г2 = 0,8 м.
<Pl Ф1
= \РГ = Р(Г22-£|2) = _Р_
’ 3е0	3с0 ’2	б£0
1) Др] =75 В; 2) Л<р2 = 124 В.
«5.	----------
Д)твет J ^-^ = 2,26 в.
216

( 3.43 ) Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром ра-
.....—.-X диусом 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью
г = 10 нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками этого
поля, лежащими на расстоянии г, = 2 мм и г2 = 7 мм от поверхности этого
цилиндра.	________________________________
/ 3.45 J Пространство между пластинами плоского конденсатора заполне-
।	X Но парафином (£ = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм.
Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверх-
ностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см2?
। -------------------------------------- ---------------------
( Ответ Л д^, = i кв.
Дано
R-8 мм = 8 • 10'3м
т = 10 нКл/м = 10'8 Кл/м
г, = 2 мм = 2  10 3 м
г-, = 7 мм = 7 • 10 3 м
Решение
1 т
2лГ£0 г ’
Rtr,
<Pl-<P2= J£dr
R+r,
R+r,
t tar t , R+r,
------ — =-----------]n------
2лт n „J r Insn R + >\
J R+r,	u
(з.4б) Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет
v.......d = 5 мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов
U = 500 В между пластинами конденсатора вдвинули стеклянную пластинку
(£ = 7). Определите: 1) диэлектрическую восприимчивость стекла; 2) поверх-
ностную плотность связанных зарядов на стеклянной пластинке.
r .R + r,
0. - 0, =-in-----
2яе0 R + rt
Rt~ lP2='13 B'
В однородное электростатическое поле напряженностью
Ео = 700 В/м перпендикулярно полю помещается бесконечная
плоскопараллельная стеклянная пластина (е = 7). Определите: 1) напряжен-
ность электростатического поля внутри пластины; 2) электрическое смеще-
ние внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4) поверхностную плот-
ность связанных зарядов на стекле.___________________________________
Дано	Решение
Ео = 700 В/м £ = 7	Е = — ,	D=£e0E, Е
£-? ' D р — 9	-	D=e(jE + P,	P=D-e0E. о' = Р.
о> _ ? С Ответ	1) £ = 100 В/м;	2) £> = 6,19 нКл/м2;
3) Р=э,31 нКл/м*;	4) а' = 5,31 нКл/м\	
Дано	Решение
d = 5 мм = 5 • 10 3 м U = 500 В £ = 7 1) X —? 2) о' — ?	Ю | Си 43 X " II hq f 7	о|	11 II	II	И X	bq
1)х = 6;
2) ст'= 759 нКл/м2.
3.47 J Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слю-
;	дяной пластинке (£ = 7) толщиной d = 1 мм, служащей изолято-
ром плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами кон-
денсатора и - 300 в.
от = 15,9 мкКл/м2.
6185
<219>
(3.48)
Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя
диэлектрика — слюдяная пластинка ( еv = 7) толщиной d, - 1 мм
и парафин ( е2 = 2) толщиной d2 = 0,5 мм. Определите: 1) напряженность элек-
тростатических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если
разность потенциалов между пластинами конденсатора U - 500 В.
(3.50J Свободные заряды равномерно распределены с объемной плот-
ностью р = 5 нКл/м3 по шару радиусом R = 10 см из однородно-
го изотропного диэлектрика с проницаемостью е - 5 Определите напряжен-
। ность электростатического поля на расстояниях г, - 5 см и r2 = 15 см от цент-
ра шара.
Дано	Решение
d, = 1 мм = 10-3 м	ГА	Г-	Г-	^1	£2
£1 = 7	D=e0e}E}=e0e2E2,	— = — , Е2 £1
d-, = 0,5 мм = 0,5 • 10“3 м	E,U
£2 = 2	U-Eidi + E2d2,	Et - £2“1 + £1“2
U = 500 В	£,E,
	E2 =	,	Z) = eoe1E1.
11 Е, Е-, —9	£2
	
2) D — ?	( Ответ n e, = 182 кВ/м, e2 = 637 kb/m
	2) D = ll,3 мкКл/м2.
Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляе i
j ~ j см> разность потенциалов U = 200 В. Определите поверх-
ностную плотность о' связанных зарядов эбонитовой пластинки (с = 3), по-
мещенной на нижнюю пластину конденсатора. Толщина пластины d2 = 8 мм
^2 ~ ^0-^2 ’
рЯ3
3£0г2
Дано
Решение
Q Ответ ) £|=1>88В/м;
Е2 = 8,37 В/м.
d = 1 см
L/ = 200 В
d2 = 8 мм
£ = 3
dx=d-d2
О’
°'= р = *Е.Е2 =	• С Ответ Л а- = 25з нКл/м2
Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм,
разность потенциалов U = 1,2 кВ. Определите: 1) поверхностную
плотность заряда на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность свя-
занных зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая воспри-
имчивость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, X = 1.
1) о = 4,24 мкКл/м2;
2) о' = 2,12 мкКл/м2.
<221>
Г оЯнВи Пространство между пластинами плоского конденсатора запол-
V-toMWF Нено стеклом (£ = 7). Расстояние между пластинами <7 = 5 мм,
разность потенциалов U = 1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле;
2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхнос-
тную плотность связанных зарядов на стекле.
Дано	Решение
е = 7 d = 5 мм = 5 • 10“3 м [7 = 1 кВ = 103В 1)	Е 2)	ст — ? 3)	ст' — ?	и и = Ed,	Е = —, d а Е =	,	а = ££0Е, ££0 а' - р = D- е0Е = ее0Е - £оЕ = (е — 1)еоЕ .
ДИД К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена раз-
1	ность потенциалов - 500 В. Площадь пластин S = 200 см2,
расстояние между ними d = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источ-
ника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин ( е = 2).
Определите разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэ-
лектрика. Определите также емкости конденсатора q и С2 до и после внесе-
ния диэлектрика.
, Дано
=500 В
S = 200 см2 = 2 • 10-2 м2
Решение
Q1=Q2 = Q = const ,
о = — = const.
s
ЕО
d = 1,5 мм = 1,5  10~3 м
.£=2
1) Е = 200 кВ/м; 2) ст = 12,4 мкКл/м2;
3) ст' = 10,6 мкКл/м2.
<172 — ?
Е2 = —
еое
Ux=Exd, U2 = E2d, U2=^
, £
Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора,
если между ними приложена разность потенциалов U = 150 В,
И -?
|(?2 —
£о^
d ’
’2 = ^ = £q.
2 d 1
и2 = 250 В, q = 118 пФ, С2 = 236 пФ.
причем площадь каждой пластины S = 100 см2, ее заряд Q = 10 нКл. Диэлект-
риком служит слюда ( е = 7).
Дано	Решение	
[7 = 150 В 5 — 100 см2 = 10“2 м2	с EqES d	II и
£>=10 нКл= 10”8Кл	EqeS Q	J £oeSU
£ = 7	d U ’	Q
d — ?		
d = 9,29 мм.
JS = 200 см2 = 2- 10-2м2
= 1,5 мм = 1,5  10“3 м
|е = 2
------------------
r
Решите предыдущую задачу для случая, когда парафин вносится
в пространство между пластинами при включенном источнике
питания.
Дано
= 500 В
Решение
L\ = U2 = U = const,
С =	с - £E°S
1 d ’	2 d 
q-?
с2_?
(72 =500 В, С; =118 пФ, С2 =236 пФ.
<223)
Определите емкость коаксиального кабеля длиной 10 м, если ра-
диус его центральной жилы rt = 1 см, радиус оболочки г2 = L5 см,
3.58
Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер
радиусами rt = 5 см и г2 = 5,5 см. Пространство между обкладка-
а изоляционным материалом служит резина (е = 2,5).
ми конденсатора заполнено маслом ( е - 2,2 ). Определите: 1) емкость этого
конденсатора; 2) шар какого радиуса, помещенный в масло, обладает такой же
Дано	Решение
Ответ ) 1) с = 135 пФ; 2) г = 0,55 м.
Определите напряженность электростатического поля на рассто-
янии х = 2 см от центра воздушного сферического конденсатора,
(Образованного двумя шарами (внутренний радиус rt = 1 см, внешний— г2 = 3 см),
между которыми приложена разность потенциалов U = 1 кВ.
( 3 57 ) Определите напряженность электростатического поля на рассто-
.......янии d = 1 см от оси коаксиального кабеля, если радиус его цен г-
ральной жилы Г] = 0,5 см, а радиус оболочки г2 = 1,5 см. Разность потенциа-
лов между центральной жилой и оболочкой U = 1 кВ.
I Дано
рс = 2 см = 2 • 10 2 м
L] = 1 см = 10"2 м
|г2 = 3 см = 3  10 2 м
[[7 = 1 кВ = 103В
к — ?
Решение
4.те0е х~
Q=CU,
Дано
Решение
С = 4я£0£—^2— ,
г2 -п
г 1 л Г1Гэ г, 1	Пг2
Е =------4ле0£------[7 —
4я£0£ Г, - X Х~ г2 - Г[
d = 1 см = 10 2 м
Г[ = 0,5 см = 0,5-10-2 м
г2 = 1,5 см = 1,5 • 10 2 м
[7 = 1 кВ = 103В
Е =—~,
2тге0£<7
I ’
Q _ г/ _ 2я£о£/
U~~U~
In

№
Е — ?
2Л£п£[7
Т =	( X
1п[ —
и
Е = 37,5 кВ/м.
Ответ
Е = 91 кВ/м.
2л£о£[7
In — 2л£0ео' d In
г2
Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соеди-
нены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 300 В.
=7 Определите разность потенциалов этой системы, если пространство между
ri ) Пластинами одного из конденсаторов заполнено слюдой (£ = 7).
Ц = 75 В.
• Разность потенциалов между точками А и В U = 9 В. Емкость
конденсаторов соответственно равна = 3 мкФ и С2 = 6 мкФ
Определите: 1) заряды Q и g2; 2) разность потенциалов С, и U2 на обкладках
каждого конденсатора.
Определите емкость С батареи конденсаторов, изображенной на
рисунке. Емкость каждого конденсатора С, = 1 мкФ.
Дано
Решение
Дано
U = 9 В
С, = 3 мкФ = 3 • 10^Ф
С2 = 6 мкФ = 6 • 10 й Ф
а, а -?
и}, и2-?
Решение
Ct = 1 мкФ
и = и,+и2,	С1 с2
21 = 22 = Q = const, А-------11-—11-----
1-_L 1	1	1
с~	+ С3 + С4 + С/
ct = с2 = с3 = с4 = с5 = с,.
С\ = — >	с2-°-, и2
схи, = с2и2,	и2 = 7^, С2
С = 0,286 мкФ.
и~и\ + ^-и\,	их =	, u2 = u-uv 2i = 22 = Qa
'-2	С| 4- Cj
Q Ответ ц = 6 в, с2 = з в,й = д2 = 18 мкКл.
^3.64 J Уединенная металлическая сфера электроемкостью С = 4 пФ за-
:	ряжена до потенциала <р = 1 кВ. Определите энергию поля, зак-
люченную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сфери-
ческой поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной
^сферы,
Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последова-
тельно соединенными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд
Q = 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность по-
тенциалов на обкладках каждого конденсатора, если Ct = 200 пФ.
Дано	Решение
с = 100 пФ = 10~|0Ф	1 1 1
д = 20 нКл = 2' 10“8Кл	21 = е2 = 2 = const,	77 = 7~ + 7-> С-	(_-j	С-2
Cj = 200 пФ = 2- 10-10Ф	
	сс,	„2	„2
	С —	1	IL —	7 7 —
	"2 q-с’ "'с,’	"2 с2'
с2 — ?	
Ц -?	Ответ Л с2 = 200 пФ, ц = юо в,
U2 — ?		и2 = 100 в.
Дано
С = 4 пФ = 4- 10~|2Ф
р = 1 кВ = 103В
/?! =47?
W —1
w-Mr- f£o^dr_	= су Г 1V’ =
J J 2 J (4л:)2£^4 2 8ле0 {г2 8т0 k г J R
_ С2<р2 < 1	И	с2<р2 Г 1_И сУЗ-4ле0 3Qp2
ЗяеДя	7V	8лг£0кЯ	4R) ~ 8л£0 4С	“ 8	'
^Ответ рг=1,5 мкДж.
Х	=—=	—
<227>
<226>
Две концентрические проводящие сферы радиусами 7?,= 20 см и
R2 - 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядами
0 = 100 нКл. Определите энергию электростатического поля, заключенного
между этими сферами.

Сплошной шар из диэлектрика радиусом 7?= 5 см заряжен рав-
номерно с объемной плотностью р = 10 нКл/м3. Определите энер-
гию электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве.
W - 2,46 пДж.
Дано
Решение
7?]= 20 см = 0,2 м
R2 = 50 cm = 0,5 м
0 = 100 нКл= 107Кл
w -
e0eE2
2
2
E =
Q
w — ?
4т0г2
dV = 4тгг" dr ,
dr
W = [и’ dK ,
2



R( £ов2 4тгг2 dr _ Q f J______1_
J 2 (4яе0)2г4 8лг0 [ 7?t R2j
W = 135 мкДж.
(X66S) Сплошной эбонитовый шар ( е = 3) радиусом R = 5 см заряжен
- равномерно с объемной плотностью /5 = 10 нКл/м3. Определите
энергию электростатического поля, заключенную внутри шара.
Дано
Решение
Шар, погруженный в масло (£ = 2,2), имеет поверхностную плот-
ность заряда о -1 мкКл/м2 и потенциал <р = 500 В. Определите:
1) радиус шара; 2) заряд шара; 3) емкость шара; 4) энергию шара.
Дано
£ = 2,2
<7 = 1 мкКл/м2 = 10й Кл/м2
</> = 500 В
1)7?-? 2)0-?
3) c-?
4) W
Решение
Q = oS = о  4nR2,
1 Q oR
<p =---------= —
4тГ£0£ R EgE
₽_ £о£Р
Л —-----,
С = 4%£0£7? ,
W = —
2
1) R = 9,74 мм; 2) 0 = 1,19 нКл;
3) С = 2,38 пФ; 4) W = 0,3 мкДж.
£ = 3
R= 5 cm
p = 10 нКл/м3 = 10~8 Кл/м3
dW = wdV,
2
„ D
Е-------, dC = 4тгг2 dr .
££0
В однородное электростатическое поле напряженностью
Ео = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пла-
стинку (£ = 7) толщиной d - 1,5 мм и площадью 200 см2. Определите: 1) по-
верхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электроста-
тического поля, сосредоточенную в пластине.
w —1
s
V
D-4m2 = р—лгг, D = — ,
3	3
D2 р2г2
w —-----=-------,
2е0£ 1 8е0£
R	2 . «
[ w 4т2 dr = ——— [
Jo	18^ {
Дано
Ед = 700 В/м
£ = 7
<7 = 1,5 мм = 1,5 • 10 3 м
5 = 200 см2 = 2 • 1О-2м2
Решение
Е = —, D = еоеЕ , D = е0Е + Р,
£
о' = Р = £0(£ - 1)Е =	1)£°
E
_ 1лр2 г5
9е0е 5
я „ ->
0 45е0£
W = 0,164 пДж.
o' — ?
W — ?
w = ^t.Sd = ^-Sd.
2	2е
o' = 5,31 нКл/м2;
W = 9,29 пДж.
228
ЯНЛВ Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 10 пФ заряжен
до разности потенциалов = 500 В. После отключения конден-
сатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора
было увеличено в 3 раза. Определите: 1) разность потенциалов на обкладках
конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению
пластин.
Ответ J 1) £Л, = 1,5 кВ; 2) А = 2,5 мкДж.
К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена раз-
ность потенциалов Ux = 500 В. Площадь пластин 5 = 200 см2,
расстояние между ними dx -1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния
d2 = 15 мм. Найдите энергию И] и W2 конденсатора до и после раздвижения
пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не
отключался.
Г '3.72 J Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора
Уважва®^ U = 100 В. Площадь каждой пластины 5 = 200 см2, расстояние
между пластинами d - 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафи-
ном ( е = 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.
Дано
£7 = 100 В
S = 200 см2 = 2  10 2 м2
d = 0,5 мм = 0,5 • 10"1 м
е = 2
Решение
Q = cu,
F _ (eqeSU'? 1	_ EqeSU2
d J 2e0eS 2d2
F — 2
F = 7,08 mH.
Дано	Решение		
= 500 В 5 = 200 см2 = 2 • 1О-2м2 dx = 1'5 мм = 1,5 • 10 '3 м d2 = 15 мм = 1,5 • 10~2 м 1) 0 = const 2) U = const 1) Wf, W2 — ? 2) Wx, W2 — ?	q	_ £o|5'	_ e^S d2
	i)	Q - const	m = c2u2,
		ОД2 £	0SU2
		2 2	2d} ’ £0Sd2U2 wd2.
			2d2d2	’ d{ '
	2)	U = const	Qx=c{ux,	Q2 = C2U1,
C^=Eo5^ 1	2	2dx		__ c2u? = 2	_ jy d] 2d2d}	’ d2 ’
Пространство между пластинами плоского конденсатора запол-
нено слюдой ( е = 7). Площадь пластин конденсатора составляет
50 см2. Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если
пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН.
Дано	Решение
Е = 1 S = 50 см2 = 5 • 10 3 м2	Q = oS,	|F| = -^—= —, 11 2e0eS 2е0е
F = 1 мН= 103Н	
	I2e0eF	„о I 2F
o' — ?	o = J—у—,	£ =— =	, V 5	£о£ V £о£$
2/^е
а' = Е0(Е -1)£ = (£ -1).—
V eS
Ответ	}1)	=14,8 мкДж,	W2 =148 мкДж;
	2)	=14,8 мкДж,	W2 = 1,48 мкДж.
o' - 4,27 мкКл/м2.
230
<231>
(ЗЙЙ74 J Пространство между пластинами плоского конденсатора запол-
нено стеклом ( £ = 7). Когда конденсатор присоединили к источ-
нику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Опреде-
лите: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) элект-
рическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле,
4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плот-
ность энергии электростатического поля в стекле.
Дано	Решение
£ = 7 p = l Н/м2	|F|=_eL=£^,
	2eoe5 2e0e	5 2e0e
1) о — 2	
2) D-2	1) о = yj2£o£p ,
3) £ - ?	
4) o' -?	2) D = a,
5) w — ?	3) £ = —,
	£0£
	4) o' = ’x.e0E = e0(£-1)£ ,
	
	5)"- 2 •
Г Ответ Л i) <т = п,1 мкКл/м2;	
2) £» =	11,1 мкКл/м2;
3)	£ = 179 кВ/м;
4)	<т' = 9,5 мкКл/м2;
5)	w = 0,992 Дж/м3.
Сила притяжения между двумя разноименно заряженными
обкладками конденсатора
И., Q ^£q£E2S
2£qeS 2e0e 2
3.2. Постоянный электрический ток
Сила тока в проводнике равномерно нарастает от /0 = 0 до / = 2 А
в течение времени г = 5 с. Определите заряд, прошедший по про-
воднику.
Дано	Решение
4 = 0 7 = 2 А т = 5 с Q	dQ=Idt,	I = kt, k =	=	dQ = ktdt, Т	Т _ 7,	fa2	/r Q- 1 kt d/ =	= —. J	2	2 0
^Omeetn Q = 5 Кл.	
	
\ 3 76 1 Определите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением х.	J 1,6 мм2 прошло 2  10” электронов.	
Дано	Решение
t = 2 с S = 1,6 мм2 = 1,6 • 10 * м2 А = 2-1019 j	i	Q J S’	t ’ Ne Q = Ne,	j = ~~. St Q Ответ 7 = i д/мм2
Плотность тока в проводнике
j= ne(v),
где (v) — скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; п — кон-
центрация зарядов.
<233>
Г 3.77 J По медному проводнику сечением 0,8 мм2 течет ток 80 мА. Най-
Дите среднюю скорость упорядоченного движения электронов
вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один сво-
Г 3 79 I Определите общее сопротивление между точками А и В цепи,
Virnr..У представленной на рисунке, если 7^ = 1 Ом, Я2 = 3 Ом,
= V2 Ом, Л; = 4 Ом.	_________________
бодный электрон. Плотность меди р = 8,9 г/см3.
Дано	Решение
S = 0,8 мм2 = 0,8 • 10-6 м2	1
7 = 80 мА = 8 • 10 2 А	I = ~^’	j = пе{у),
и = п'	
р = 8,9 г/см3 =	
	vm М
= 8,9  103 кг/м3	
М = 63,5  10-3 кг/моль	
е = 1,6-10-19 Кл	S Л/ ' '
	/ \ М}
ЛГЛ = 6,02 1023 моль-’	
	Napes'
(ц) - ?	
^2365 -
Дано
Решение
(Ответ ) /,Л -л ,
J (и) = 7,4 мкм/с.
Определите суммарный импульс электронов в прямом проводе
длиной I = 500 м, по которому течет ток I = 20 А.
Дано	Решение
/ = 500 м 7 = 20 А	р = Nm(y),	j -пе(у),	п~~^ ’
т = 9,11-10~31 кг е = 1,610’19 Кл	 1	IN,. ’’-f	y-st’
Р — ?	(y) = — ,	p = Nm{v) =	. ' ' Ne	' ' e
Дано
г = 3 Ом
Рисунок б) — эквивалентная схема.
Ответ ) „ ,,о 1П_»	,
J р = 5,69 10 кг • м/с.
Я| = 1 ОМ
R2 = 3 Ом
7?3 = Д, = «б = 2 Ом
/?5 = 4 Ом
R —?
^236^5
^236 + ^5
^12365^4
^12365 + ^4
Я = 1,2 Ом.
Рисунок б) — эквивалентная схема.
^2365 ~	+ ^2365 ’
в Определите сопротивление проволочного каркаса, имеющего фор-
му куба, если он включен в цепь между точками А и В. Сопротив-
ление каждого ребра каркаса г = 3 Ом.	____________________
Решение
Я
Ответ
Я = 2,5 Ом.
Q 3.81 J Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлени-
41	ем 7?t, показал напряжение Ц = 198 В, а при включении после-
довательно с сопротивлением R2 ~ 27?, показал U2 =180 В. Определите со-
противление 7?] и напряжение в сети, если сопротивление вольтметра г = 900 Ом.
Г 3.83, Й Через лампу накаливания течет ток, равный 0,6 А. Температура воль-
.....ч—^ фрамовой нити диаметром 0,1 мм равна 2200 °C. Ток подводится
медным проводом сечением 6 мм2. Определите напряженность электрического поля:
1) в вольфраме (удельное сопротивление при 0 °C р0 = 55 нОм  м, температур-
ный коэффициент сопротивления а = 0,0045 °C4); 2) в меди (р = 17 нОм • м).
Дано	Решение	
Ц = 198 В ТА = 180 В г = 900 Ом Т?2 = 27?] 7?! -? и — ?	U = const t/, = 7,r = - Г Т/,(7?1 + г) = 7?,=^ 2U2-	7?] + г	R2+r Ur	rr r	Ur , U2 = I2r- •—, ? i + r	R2 + r = t/2(T?2+r), T7I(7?1+r)=T/2(27?I + r), ^k, t/=k^J_±k= Ц	r	\ Г )
(^Ответ л,= юоом, с/ =		220 B.
В цепи на рисунке амперметр показывает силу тока I = 1,5 А. Сила
тока через сопротивление 7? ] равна 7] = 0,5 А. Сопротивление
Дано
7 = 0,6 А
d = 0,1 мм = 10-1 м
7 = 2200 °C
S = 6 мм2
р0 = 55 нОм • м =
= 5,5 • 10~8 Ом • м
а = 0,0045 °C
р = 17 нОм  м =
= 1,7- 10~8Ом-м
1)Е1—? 2) Е2 — ?
Решение
 г Е
j = yE = — ,
Р
1) jx=yE\= — , p^PoCl + af),
Pi
I I	47	„
Ji = ~ =	,2 /. » E\ = j\P\ = —pPo^ + ^)-
St л d /4	nd
E7	7	. Ip
2) h ~	Q ’ E2 - pj2 -	.
p	О	О
С Ответ ) i) ex = 45,8 в/м; 2) e2 = 1,7 мВ/м.
Т?2 = 2 Ом, 7?3 = 6 Ом. Определите сопротивление 7? t, а также силу токов /2
и 73, протекающих через	сопротивление T?2 и 7?3.	7?1	
Дано	Решение	T?2	
7 = 1,5 A Д = 0,5 A	I = 7] +12 + 73, U = const,	Ri	
R2 = 2 Ом	j p _ f j , j \ e2r2	.	.	,		A,
7?3 = 6 Ом	i “02 1 h) D D ’	h 1 A ~ 1 R2 + 7T3		
По алюминиевому проводу сечением S = 0,2 мм2 течет ток
7 = 0,2 А Определите силу, действующую на отдельные свобод-
ные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление алю-
(7-71)7?27?3
А(Л2 + 7?3) ’
Т?2	Т?2 ’	3	7?3
12 —7	,---
,	9 ( Ответ \ т?1 = зом, /2 = о,75а, 73 = о,25А.
миния р = 26 нОм  м.
Дано	Решение
S = 0,2 мм2 = 0,2 • КГ* m2	E	. I F = eE,	j = yE = — ,	j = —,
7 = 0,2 A	P	s
p = 26 нОм • м =	I-- il 1 tn и I'S' 4 и ns I'S"
= 2,6  10“8 Ом  м	S p	s	s
e = l,6 10’19 Кл	
F — ?	QOmeem } F = 4,i6 10 21 н
<236>
Электрическая плитка мощностью 1 кВт с нихромовой спиралью
предназначена для включения в сеть с напряжением 220 В. Сколь-
ко метров проволоки диаметром 0,5 мм надо взять для изготовления спирали,
если температура нити равна 900 °C? Удельное сопротивление нихрома при 0 °C
Сила тока в проводнике сопротивлением R = 120 Ом равномерно
возрастает от /0 = 0 до /П1ах = 5 А за время т = 15 с. Определите
залепившееся за это время в проводнике количество теплоты.
Po = 1 мкОм • м, а температурный коэффициент сопротивления а = 0,4 • 10-3 К?1
Дано	Решение
Р=\ кВт= 103 *Вт и = 220 в d = 0,5 мм = 0,5-10’3 м / = 900 °C р0 = 1 мкОм • м = = 10-6 Ом  м а = 0,4-10-3 К	п и* 2	п 1	1 Р = Т’	R = P^ = Po(l + at)- Л	0	0 S = ~	i-.u2s= u2jtd2 4 ’	Pp	4Pp0(\ + atY
1 —?	Q Ответ i = 6,99 m.
Дано
R = 120 Ом
/О = о
Лпах = 5 А
т = 15 с
2-?
Решение
dQ= I2Rdt,
l = kt,
Q = jdQ = jk2Rt2 dt = ^k2Rr3.
2 = 15 кДж.
_ Лпах А)
Т
Сила тока в проводнике сопротивлением Л =100 Ом равномерно
убывает от /0 = Ю А до I = 0 за время т = 30 с. Определите вы-
делившееся за это время в проводнике количество теплоты.
Два цилиндрических проводника одинаковой длины и одинаково-
го сечения, один из меди, а другой из железа, соединены парал-
лельно. Определить отношение мощностей токов для этих проводников. Удель-
ные сопротивления меди и железа равны соответственно 17 и 98 нОм • м.
Дано	Решение
h = = i	U - const
& 11 bJ II 05	_ U2	I
pj = 17 нОм • м =	11 | II 5 col
= 1,7- 10~8 Om m	
p2 = 98 нОм • м =	/5 = ^,	А.Л
= 9,8 -1 О*8 Ом • м	P\l	p2l	P2 Px
A_,	Г Ответ Л 21 = 5,76
2 = Ю0 кДж.
Определите напряженность электрического поля в алюминиевом
проводнике объемом V = 10 см3, если при прохождении по нему
постоянного тока за время t = 5 мин выделилось количество теплоты Q = 2,3 кДж.
Удельное сопротивление алюминия р - 26 нОм • м.
Дано	Решение
V = 10 см3 = 10 5м3
t = 5 мин = 300 с
2 = 2,3 кДж = 2,3  103 Дж

р = 26 нОм  м =
= 2,6 • 10 8 Ом • м
£=0,141 В/м.
Е
<239>
Плотность электрического тока в медном проводе равна 10 А/см2.
Определите удельную тепловую мощность тока, если удельное
сопротивление меди р = 17 нОм • м.
w = 170 Дж/(м3 • с).
Определите ток короткого замыкания источника ЭДС, если при
внешнем сопротивлении R j = 50 Ом ток в цепи It = 0,2 А, а при
/?2 =110 Ом — 12 = 0,! А.
Дано
R; = 50 Ом
7; = 0,2 А
Я2 =110 Ом
7, = 0,1 А
Решение
1 R}+r’
71(7?1+r)=72(/?2+r),
IK,f = Il(R1+ г),
R2 + г’
г _ 4^2 ~	1
7?1(А-Л)
^2^2 -	1
Ответ ) /|o = i,2a.
В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением R = 8 Ом,
включают вольтметр, сопротивление которого 7?( = 8ОО Ом, один
раз последовательно резистору, другой раз — параллельно Определите внут-
реннее сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях
одинаковы.
Ответ
г = 0,08 Ом.
На рисунке /?]= Л2 = Л3 = 100 Ом. Вольтметр показывает
Vv = 200 В, сопротивление вольтметра Rv= 800 Ом. Определи-
те ЭДС батареи, пренебрегая ее сопротивлением.
Дано
Решение
Я1=Я2 = Я3 = Ю0 Ом
иv = 200 В
Яи=800 Ом
—?
& = 325 В.
На рисунке сопротивление потенциометра R = 2000 Ом, внутрен-
нее сопротивление вольтметра Rv- 5000 Ом, О0 = 220 В. Опре-
делите показание вольтметра, если подвижный контакт находится посередине
потенциометра.
Дано	Решение
R = 2000 Ом	Ri= Ri=~ <
Яг=5000 Ом	2
Uo = 220 В	R/2_ ly
/,=/, = //2	Ry
-	! _ R/2-I0
Uy ~2	V R/2+Ry'
Uy = IyRy =
R/2-U0-Ry
R/2+Ry)
Ry Up
Чо_____
' R/2+Ry
Uy =100 в.
Определите ЭДС & и внутреннее сопротивление г источника
тока, если во внешней цепи при силе тока 4 А развивается мощ-
ность 10 Вт, а при силе тока 2 А мощность 8 Вт.
Дано
Решение
А = 4 А
Д =10 Вт
4 = 2 А
Р2 = 8 Вт
1
г —?
P=?I,	#=I(R + r),
P^Ix-l2r,	r =	P^li-fy,
I1	I2	I2
Л =	- 4 (^ - Л) -	Рг = * h - у-+4,
А	А	А
А= 5,5 В; г = 0,75 Ом.
Даны четыре элемента с ЭДС <*'= 1,5 В и внутренним сопротивле-
нием г = 0,2 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы по-
лучить от собранной батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имею-
щей сопротивление R = 0,2 Ом? Определите максимальную силу тока.
Дано	Решение
к = 4	2 л Р = п?1-1 —г	[пит— соответственно число
А=1,5 В	т
г = 0,2 Ом	последовательно и параллельно соединенных элемен-
R = 0,2 Ом	, . .	дР	дР	п п тов], 7 = 7тах,	— = 0,	— = п?-21—г = 0, д/	д!	т
I — max	„ п ’	\ т J ’
„	, п	И	R + —r
IR+ I—г- 21—г = 0,	т
т т
mR=nr\	_ п%	_________
т+п = к\ п = 2’т = 2’ пда ' С Ответ Л /тах = 7,5 а.
т V -..... X
На рисунке RX=R2=5Q Ом, R2-\QQ Ом, С= 50 нФ. Определи-
те ЭДС источника, пренебрегая его внутренним сопротивлением,
если заряд на конденсаторе Q = 2,2 мкКл.
Дано	Решение
R =Ri= 50 Ом	
R 3=100 Ом	и = UC=Q, с с
С = 50 нФ = 5 • 10 чФ	
Q = 2,2 мкКл =	U = 1	 7?! + Л2
= 2,2- 10-’ Кл	
л -?	
	cr}r2
1 +
(/? 1 + 7?2)/?3
Л,Л2
^ = О' + О'3 = —
С
= 220 В.

На рисунке Я(= R, R2= 2R,
ряд на конденсаторе.
7?3= 3R, T?4= 4R. Определите за-
Дано	Решение		С	R. 	|| —	1	L
			
> II и	и .	и	>5 1	*	>3	&3	ь5°	ь5°	°” II S	“ И II >>	II	->* + + " ё	* ьэ	II	дС"'	II	ix Т	*	11 £ U ) v>	+	1 к> . •>	I1-’ 40 § и ко о 1 ’аз 1	50	- 			Т /4pJ
Лд — 4л Q-1 Л^23 = А ^4 ’ Л =		9-1 4	* О O0<N О С* f II 05 1 О'. О'	II С4	г-,
л =	Uc = I^ + I2R2=~U0, Q=CUc = ^U0C.
Q Omeem ^q=^uoc.
<243)
В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого
'  d = 5 мм, вдвигают стеклянную пластину (s - 7 ) с постоянной ско-
ростью v = 50 мм/с. Ширина пластины b = 4,5 мм, ЭДС батареи F - 220 В. Оп-
ределите силу тока в цепи батареи, подключенной к конденсатору.
Дано	Решение
d = 5 мм = 5 • 10 3 м £ — 7	dr		 ...
v - 50 мм/с = 5  10-2 м/с b = 4,5 мм = 4,5 10'3 м Л = 220 В I — ?	de.^d,.	f o' = eouE,		 X = £-l,	^‘~~d'	d8=£0(£~l)vbdt,
/ = £0(е-1)—vb.
d
I = 526 nA.
Два источника тока с ЭДС = 2 В и /, = 1,5 В и внутренними
сопротивлениями rt = 0,5 Ом и г2 = 0,4 Ом включены параллель-
но сопротивлению R = 2 Ом. Определите силу тока через это сопротивление
Дано
Л, = 2 В
Л, = 1,5 В
Г) = 0,5 Ом
= 0,4 Ом
R = 2 Ом
I —7
Решение
IR+Irf = ^,
1R + I2r2 = &2,
Rzj +rtr2 + Rr2
Ответ
7 = 0,775 A.
На рисунке =	2^=48 Ом,
Т?2 = 24 Ом, падение напряжения U2 на
сопротивлении R2 равно 12 В. Пренебрегая внутрен-
ним сопротивлением элементов, определите: 1) силу
тока во всех участках цепи; 2) сопротивление 2?3.
Ответ
1)4 = 0,25 А, 12 = 0,5 А, 13 = 0,75 А; 2) 2?3 = 16 Ом.
На рисунке $ = 2 В, /^ = 60 Ом, Т?2 - 40 Ом, R3 = R4 = 20 Ом и
7^ = 100 Ом. Определите силу тока IG через гальванометр.
Дано		Решение а)	I?,	Rz —1  1—т—1 -1—
<? =2 В 7^ = 60 Ом R2 = 40 Ом R3 = 2?4 = 20 Ом 2^; = 100 Ом. 64 + 472 = 0,2, • 273 + 274 = 0,2,	-5 671 + 107G + 274 = 0,2;		£ £ £ § 5	'+ “7 +	*	+	t	+	i. o'+ о	о"1 2"'	И ll+k_ сГ	“7	й» +	+	'	+	II	II ю ю о	?s 11	11	11 ° -° и То j j 7° 'Х ’ ‘ С1	7?з j Ra 	1(	 ► 7|			► 7; @,,7с =*£ — I
104-4^ = 0,2 ->	474-27G = 0,2 -> /4Л?±.2Л,
1U	4
64 +10IG + 2Ц = 0,2,	б(-О’—& ]+107G +	3 1 = 0,2,
°	I 10 J G (	4	)
l,2 + 247G + 1007G+l + 107G = 2,	1347g=-0,2, 7g =-1,49-10~3 A.
[ Ответ }	449 мА, направлен в сторону, противоположную пер-
воначально выбранной.
На рисунке <^ = 10 В, ^ = 20 В, ^ = 40 В, а сопротивления
7?! - /Д = ^з = Л = 10 Ом. Определите силу токов, протекающих
через сопротивления (I) и через источники ЭДС (Г). Внутреннее сопротивле-
ние источников ЭДС не учитывать.
3.3. Электрический ток в металлах,
в вакууме и газах
Дано	Решение		
Д =10 в	Выберем направления а)	1 /?,	
<% = 20 В Д = 40 В 2?! = R2 = Д = 7?=10 Ом	токов (рисунок б). Д = А + Д > Д + Д = Д, Д + Д = д,	/?3|	□ «2 || 
		1	3
Д ’ Д > Д ? Д , Д, Д 2	^2 =	^3 ’ б)		у-»Д
рД = - , \ 7?! + I2 = ,		ф	|| 
[д/?2 = + Д;			|1
Д10=20,	Д10 = 30,	Д  10+ 310= 40 ; Д = 2 А,	Д = 3 А,	Д = 1 А;			д*~
Д = 3 А,	Д = 0,	Ц = -2 А,
3.104) Определите минимальную скорость электрона, необходимую для
*’ “Т’ионизации атома водорода, если потенциал ионизации атома во-
дорода Ut =13,6 В.
Дано	Решение
Ц =13,6 в е = 1,6 10-19 Кл от = 9,1110’31 кг	eU -	v _ 1^1 '	2 ’	m,n V т
и	— ? ‘ vmin	{Ответ vmin = 2,i9 Мм/с.
\ 3 1059 °™°шение работ выхода электронов из платины и цезия
-1,58 . Определите отношение минимальных скоростей
теплового движения электронов, вылетающих из этих металлов.
Vpt/vCs=l,26.
Работа выхода электрона из металла А - 2,5 эВ. Определите ско-
рость вылетающего из металла электрона, если он обладает энер-
Ц направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.
Ответ	) А =1 а,	Д = 3 А,	Д = 2 А,
	Д' = 2 А,	Д = 0,	Д = 3 А.
гией W = 10 18 Дж.
Дано
Решение
/4 = 2,5 эВ = 4- 10~19Дж
1К = 10-18 Дж
— = W-A,
2
v =	- А)!т .
v — ?
ц = 1,15 Мм/с.
<247>
Термопара железо — константан, постоянная которой
а = 5,3 • 10-5 В/К и сопротивление R = 15 Ом, замкнута на галь-
ванометр. Один спай термопары находится в сосуде с тающим льдом, а второ и
помещен в среду, температура которой не известна. Определите эту температу -
ру, если ток, протекающий через гальванометр, I = 0,2 мА, а внутреннее со-
противление гальванометра г = 150 Ом.
Т = 896 К.
^3.108^ Термопара <*т железо—константан и соединенный с нею после-
довательно гальванометр включены, как показано на рисунке, где
— батарея с ЭДС, равной 1,5 В. Полное сопротивление потенциометра равно
15 кОм. Холодный спай термопары находится в сосуде с тающим льдом. По-
стоянная термопары а = 5,3  10-5 В/К. Определите температуру горячего спая
термопары, если при сопротивлении RAB = 150 Ом сила тока в цепи гальвано-
метра равна нулю. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Дано
К = 1,5 В
Ral = 15 кОм =
= 1,5 • Ю4Ом
а = 5,3 10'5 В/К
Го = 273 К
Ялв = 150 Ом
/с = 0
j _2
Решение
1g - 0 -> /т - <рАВ - IRju
(I - сила тока в потенциометре),
/ = <*7 Rag,
RaB Rag
?т=а(Т-Т0),
Т = --^ +Tq
R.4C a
Ответ
7=556 К.
Определите работу выхода электронов из металла, если плотность
тока насыщения двухэлектродной лампы при температуре 7] рав-
на у,, а при температуре Т2 равна j2.
Дано
j\
Т2
h
А — ?
Решение
j, = CT^kT\
jxlh = ^lT2)2^
4±_iW<i
Ш2 rj Д2гД’
j2=CT2eA*kl\
WK ln(4l
A =----------
T\~T2
Выведите зависимость скорости изменения плотности термоэлек-
тронного тока насыщения от температуры.
Ток насыщения при несамостоятельном разряде /нас = 6,4 пА. Най-
дите число пар ионов, создаваемых за 1 с внешним ионизатором.
Дано	Решение
7нас = 6,4 пА = 6,4-10~12 А Г = 1 с	Q=2Ne,	I = ’	* нас	[	( ’

N —2	N - нас . 2e
Ответ ) N = 2.ю7.
<249>
Потенциал ионизации атома водорода U, = 13,6 В. Определите
температуру, при которой атомы имеют среднюю кинетическл ю
энергию поступательного движения, достаточную для ионизации.
Дано		Решение		- -
Ц = 13,6 в	et/,	= -кТ,	тДеЦ,	
Т	?		2	Зк	
(Ответ^T=\Q5 кк.				
(з.пэ) Определите температуру, соответствующую средней кинетичес-
Xeasasa^ кой энергии поступательного движения электронов, равной рабо-
те выхода из вольфрама, если поверхностный скачок потенциала для вольфра-
ма 4,5 В.
3.4. Магнитное поле
»	В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена
..квадратная рамка площадью 5 = 25 см2. Нормаль к плоскости
1амки составляет с направлением магнитного поля угол 60°. Определите вра-
цающий момент, действующий на рамку, если по ней течет ток / = 1 А.
5=0,1 Тл
5 = 25 см2 = 25 10'4 5 * *м2
а = 60°
/ = 1 А
М — ?
Решение
М = [рга,В],
М- pmBsina ,
Рт =IS >
М - ISB sina .
Дано	Решение
(£) = а	,, 3
	(е) = — кТ,	А-е<р,
у, = 4,5 В	\ / 2
Т — ?	3 « = Л,	-кТ = е<р,
	т . 2е<Р
	ЗкТ
М= 217 мкН  м.
В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл находится
прямоугольная рамка длиной а = 8 см и шириной b = 5 см, со-
держащая N = 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке I = 1 А, а плоскость
рамки параллельна линиям магнитной индукции. Определите. 1) магнитный
момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку
Ответ Ъ = з4,8кк.
1) рт =0,4 А • м2;	2) М = 0,2 Н-м.
Основные физические постоянные
Постоянная Больцмана к = 1,38-10-23 Дж/К
Элементарный заряд е = 1,6 10-19 Кл
Масса покоя электрона те = 9,11 • 10-31 кг
Основные физические постоянные
Электрическая постоянная е0 = 8,85 10“12 Ф/м
Магнитная постоянная ц0 = 4л 10-7 Гн/м
Масса покоя протона тр = 1,627 10'27 кг
<2515
<250>
В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл находится
квадратная рамка со стороной а - 10 см, по которой течет ток
/ - 4 А. Плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Оп-
ределите работу?!, которую необходимо затратить для поворота рамки относи-
тельно оси, проходящей через середину ее противоположных сторон: 1) на 90°;
2) на 180°; 3) на 360°.
Q Omeent^ 1) 4 =0,04 Дж; 2) А2 = 0,08 Дж; 3) Л3 = 0.
(3.117J Тонкое кольцо массой 10 г и радиусом R = 8 см несет заряд, рав-
.......|Г|*Г номерно распределенный с линейной плотностью т = 10 нКл/м.
Кольцо равномерно вращается с частотой л = 15 с1 относительно оси, пер-
пендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определите:
1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отноше-
ние магнитного момента к моменту импульса кольца.
Дано	Решение	
т = 10 г = 10 : кг	, Q T-2nR pm = IS, I = ^ =	= 2ялтЯ, j	k p
R = 8 см = 0,08 м	Т Т	
т = 10 нКл/м	S = tcR2, Т = \/п,			
и = 15 сч	pm = 2лл tR  тсR2 = 2тг2л rR3,	R /
1) Рт	L = mvR > v = o)R = 2nnR ,	
2)	pm/L = 27t2nrR3/(m-27tnR2>)= TtrR/m.	
1) рт = 1,52 нА • м2; 2) pm/L = 251 нКл/кг.
3.118] | Принимая, что электрон в атоме водорода движется по круговой
**.... орбите, определите отношение магнитного момента рт эквивален-
тного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона.
= 87,8 ГКл/кг.
<252>
( 3.119;I Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого отрез-
ком бесконечно длинного провода, в точке, равноудаленной от
концов отрезка и находящейся на расстоянии R = 4 см от его середины. Длина
отрезка провода / = 20 см, а сила тока в проводе 7 = 10 А.
Дано	Решение	
R = 4 см = 4  10'2 м / = 20 см = 0,2 м 7 = 10 А В — ?	B = -^-(cosa ,-cosa 7), 4л7?	1	2 ’ //2	1 cosaj = -—, г а2 = 180°-«].	7	Л “2 в
		
В = 46,4 мкТл.
Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной
квадратной рамки со стороной а = 15 см, если по рамке течет ток
1=5 А.
Дано
<2 = 15 см = 0,15 м
' = 5 А
Решение
а 2 = 180°-а1
В=4В\,
4л (а/2)
7?=4-
———-2- cos at
4л (а/2)
? — ?
Ответ ) в = 37,7 мкТл.
ИЩИмМ По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам,
находящимся на расстоянии R -10 см друг от друга в вакууме,
текут токи 7] = 20 А и 12 = 30 А одинакового направления. Определите маг-
нитную индукцию В поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой,
соединяющей оба провода, если: 1) точка С лежит на расстоянии t\ = 2 см ле-
вее левого провода; 2) точка D лежит на расстоянии г2 = 3 см правее правого
провода; 3) точка G лежит на расстоянии г3 - 4 см правее левого провода.
Дано
Решение
7] = 20 А
12 =30 А
7? = 10 см = 0,1 м
rt = 2 см = 0,02 м
г2 = 3 см = 0,03 м
г3 = 4 см = 0,04 м
1) Д -?
2) Вг-?
3)5,-? •
д _ /<о 27]	212
47Г(7?+г2) 4тг г2
& _	2 А _ Во 272
2 4л г3 4тг(7?-г3)
1) В]=0,25 мТл;
2) В2 = 0,23 мТл; 3) Bj = 0 .
По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводни-
кам, расстояние между которыми d = 20 см, текут токи 7t = 40 А
и 12 = 80 А в одном направлении. Определите магнитную индукцию В в точке А,
удаленной от первого проводника на ^ = 12 см и от второго — на r2 = 16 см.
В = 120 мкТл.
254
123 J По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам,
расстояние между которыми d -15 см, текут токи = 70 А и
/2 = 50 А в противоположных направлениях. Определите магнитную индукцию В
в точке А, удаленной на ^ = 20 см от первого и г2 = 30 см от второго проводника.
Дано
Решение
d = 15 см = 0,15 м
7] = 70 А
12 = 50 А
г ]= 20 см = 0,2 м
г2 = 30 см = 0,3 м
В — ?
2 , 2__у 2
/3 = 180°-а, d2 = г2+ г2+ 2г]Г2 cosa , cosa = —----------
2rtr2
B = JB?+B22-2BtB2 cosa = — 1^ + -^-—rf2) •
2Л у Г ] Г 2 Г ]Г 2
В = 42,8 мкТл.
жйИДрк Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с
магнитным моментом рт =1,5 А • м2 равна 150 А/м. Определите:
1) радиус витка; 2) силу тока в витке.
Дано
Решение
/7 = 150 А/м
Рт = 1,5 А • м2
I = 2RH.
1) 7? —?
2) 7 — ?
Рт = is ,
S = TtR2
Рт
2лН
1) 7? = 11,7 см;
2) I = 35,1 А.
<255>
Определите магнитную индукцию в центре кругового проволоч-
ного витка радиусом R = 10 см, по которому течет ток 7 = 1 А.
МИЦиВ Круговой виток радиусом 7? = 15 см расположен относительно
бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна
проводу. Перпендикуляр, восставленный на провод из центра витка, является
В = 6,28 мкТл.
нормалью к плоскости витка. Сила тока в проводе 7=1 А, сила тока в витке
72 - 5 А. Расстояние от центра витка до провода <7 = 20 см. Определите маг-
(ЗЛ26)
Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного
кольца радиусом 7? =5 см, по которому течет ток 7=10 А, в точ-
ке А, расположенной на расстоянии <7 = 10 см от центра кольца.
Дано	Решение
R = 5 см = 0,05 м 7 = 10 А d = 10 см = 0,1 м В — ?	= /d/ = 1 d/ 4.7 г2 4я‘(7?2 + <72) ’ dB । = dB sin ф '	sin </> = — jR2 + d2
нитную индукцию в центре витка.
Дано
R-15 см = 0,15 м
7, =1 А
72=5 А
d = 20 см = 0,2 м
В — ?
Решение
5 = 21,2 мкТл.
Определите магнитную индукцию В4 на оси тонкого проволоч-
ного кольца радиусом 7? = 10 см, в точке, расположенной на рас-
стоянии d = 20 см от центра кольца, если при протекании тока по кольцу в
центре кольца В = 50 мкТл.
ВА - 4,47 мкТл.
<256>
В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл находится
прямой проводник длиной I = 15 см, по которому течет ток 7=5 А.
Иа проводник действует сила F = 0,13 Н. Определите угол а между направле-
ниями тока и вектором магнитной индукции.
Дано	Решение	
В = 0,2 Тл 7 = 15 см = 0,15 м	F = 7[dl, В],	F = ИВ sin а,
,7=5 А	F	. F
	sm а = —,	а = arcsm— .
F = 0,13 Н 'а — ?	ПВ	ПВ
а = 60°.
Сборник 3d 1*1'1
<257>
По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток
I) = 10 А. Под ним на расстоянии R = 1,5 см находится параллель-
ный ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток /2 = 1,5 А. Опреде-
лите, какой должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого провода,
чтобы он удерживался незакрепленным. Плотность алюминия р - 2,7 г/см3.
Дано	Решение
7] =10 А	_ Црц1\12	_ цДЬ	т£ = pvg = p$g
R = 1,5 см= 1,5 • 10 2м	1	2л R /(=|	2л R	7	1
/2 = Ь5 А	
р = 2,7 г/см3 =	F -mg,	- pSg , S ’	2л7?
= 2,2 • 103 кг/м3	
—	о _ FoVz
.5 — ?	2nRpg
Q Ответ	1 S = 7,55-10-9 м2.
а = 0,5 м
/ = 5 А
/] = 1 А
Ь = 10 см = 0,1 м
F — ?
Контур из провода, изогнутого в форме квадрата со стороной
а - 0,5 м, расположен в одной плоскости с бесконечным прямо-
линейным проводом с током I = 5 А так, что две его стороны параллельны
проводу. Сила тока в контуре /, = 1 А. Определите силу, действующую на контур,
если ближайшая к проводу сторона контура находится на расстоянии b = 10 см.
Направления токов указаны на рисунке.
Дано	Решение
Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с оди-
наковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от
друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 27?, на каждый санти-
метр длины проводника затрачивается работа А - 138 нДж. Определите силу тока в
проводниках.
F - Fj + Fn + F3 + F4,
F-) — — F4 ,	F - Fj + F3,
Дано
л
2R
А = 138 нДж =
= 1,38-10’’ Дж
7 = 1 см = 10-2 м
1}=12 = 1
Решение
&A = F6x, р = №1^1	=	,
2лх /(=] 2лх
F = /j-F3, д = 1,
P . Ppi II ..(1_L? - ^O771 q2
2л \b b+a) 2л(а+Ь)Ь
Q Ответ	f = 4,17 mkh.
2лЬ
F3 = ........a,
2л(Ь + a)
I — ?
2R
A- jFdx =
R
Ц0121
2л
2R
R
dx _ p0I2l In 2
x 2л
Десятичные приставки к названиям единиц
_ I 2л A
у pol In 2
/=10 A.
Т — тера (1012)
Г — гига (109)
М — мега (106)
к — кило (103)
д—деци(10-')
с — санти (10-2)
м — милли (10-3)
мк — микро (Ю 6)
н — нано (10“9)
п — пико (10“12)
ф — фемто (1015)
а — атто (10 ls)
<259)
Прямоугольная рамка со сторонами а = 40 см и b = 30 см распо-
ложена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным прово-
дом с током 1 = 6 А так, что длинные стороны рамки параллельны провод;.
Сила тока в рамке 7, = 1 А. Определите силы, действующие на каждую из сто-
рон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии
с = 10 см, а ток в ней сонаправлен току I
( 3 134 j По тонкому проволочному полукольцу радиусом R = 50 см течет
ток у _ । д Перпендикулярно плоскости полукольца возбуждено
однородное магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл. Найдите силу, растяги-
вающую полукольцо. Действие на полукольцо магнитного поля подводящих
проводов и взаимодействие отдельных элементов полукольца не учитывать.
Дано
а = 40 см = 0,4 м
b - 30 см = 0,3 м
1=6 А
7, = 1 А
с = 10 см = 0,1 м
F, -9
F, — ?
^4 -?
Решение
Дано
Решение
dF = /[dl, В],
В = ^~,
2лг
[О-»]=р
/? = 50 см = 0,5 м
7=1 А
В =0,01 Тл
F — ?
dF = IBR da,
d/^ = dF cosa , dF( = dF sina,
dF - Z[dl, В],
(dl?B) = Tt/2,
dF = IB dl,
dZ = R da,
д	а
1 J 1 1 J '2лш 2тгс
Fx = j IBR cosa da = 7B2?(sina)|* = 0,
о
Fy = JIBRsina da = 7В7?(-соза)|* = 2IBR,
о
J 1 2л1 2л с
F P-qI Ца
3 2л(с + Ь) ’
F4 = F,
F = Fy = 2IBR.
(Ответf} = 4,8 мкй~	f2 = 1,66 мкН,
F3 = 1,2 мкН,	F4 = 1,66 мкН.
F=0,01 H.
Применяя закон Ампера для силы взаимодействия двух параллель-
ных токов, выведите числовое значение магнитной постоянной ц0.
Закон Ампера
dF = Z[dl, В],
где dF — сила, действующая на элемент dl проводника с током I, помещен-
ный в магнитное поле с индукцией В.
7, = 72 = 1А, Я = 1 м, — = 210~’н/м,
4я R	dZ
dF „
—
и =1, и0 = d/......= 4я ИГ7 Н/А2= 4я 10"7 Гн/м.
А*	А*0	2/2
.260
<261)
Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,1 Тл по окружности. Определите угловую скорость враще-
ния электрона.
Дано
Решение
Электрон движется прямолинейно с постоянной скорость^
1 v = 0,2 Мм/с. Определите магнитную индукцию В поля, созда-
ваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии г = 2 нм от электрона
и лежащей на прямой, проходящей через мгновенное положение электрона и
составляющей угол а = 45° со скоростью движения электрона.
Дано	Решение
v = 0,2 Мм/с = 0,2-106 м/с г = 2 нм = 2 • 10-9 м а = 45°	доде[у г] В	’	В-',	Q-e, „ иаеи .			—	
В — ?	в~ ° Sina. Z	X 4лг	Ответ J в = 566 мкТл
= 0,1 Тл
гл = е[ув],	|е) = е,
mv2 	= evB, г	егВ v =	 т
2лг 2лт	2л
Т =---=-----
v еВ
еВ
со = — = —
Т т
щ = 1,76'10В * 10 * рад/с.
Определите напряженность Н поля, создаваемого прямолиней-
н0 равномерно движущимся со скоростью v = 5000 км/с элект-
роном, в точке, находящейся от него на расстоянии г = 10 нм и лежащей на
перпендикуляре к v, проходящем через мгновенное положение электрона.
Я =637 А/м.
3.138 ) Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокрз г
—....ядра по круговой орбите радиусом г = 52,8 пм. Определите ма; -
нитную индукцию В поля, создаваемого электроном в центре круговой орбите
Дано I Решение •
Электрон, обладая скоростью v = 10 Мм/с, влетел в однородное
магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Индукция магнитного поля В = 0,1 мТл. Определите нормальное и тангенци-
альное ускорения электрона.
ап = const = 1,76-1014 м/с2; пг = 0.
В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнит-
ной индукции движется прямой проводник длиной 40 см. Опре-
делите силу Лоренца, действующую на свободный электрон проводника, если
возникающая на его концах разность потенциалов составляет 10 мкВ.
г = 52,8 пм = 5,28 • 10'“ м
В — ?
8лг yj7teorm
(v;r) « Д!=11 ]еН.
4яг	2
2	1	2	I т
п До ev mv 1 е	е
В~-----~-----------------у, v= ----------•
4л г	г 4яе0 г	у 4ле0гт
Q Ответ в=1,25 ю~и Тл
Ответ
Fn = 4-10~24 Н.
Модуль силы Ампера
dF = IBdl sina,
где a — угол между векторами dl и В.
<263>
( 3.142 ) Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, дви-
жется параллельно прямолинейному длинному проводнику на
расстоянии г = 1 см от него. Определите силу, действующую на электрон, если
через проводник пропускать ток 7 = 10 А.
Дано
U = 0,5 кВ = 500 В
г - 1 см = 10"г м
7=10 А
F — ?
Решение
>
r, mV
еи =------------,
2
V т	2лг ’
F = evB = ——.— .
лг>/2т
7 = 4,24 10-16 Н.
Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетая в
однородное магнитное поле с магнитной индукцией 5 = 2 мТл,
движется по окружности. Определите радиус этой окружности.
Дано	Решение
U = 0,5 кВ = 500 В	„Т, т>2	12&и
Q= 1,6-10"19 Кл	ои =—,	v = J	, 2	V от
от =1,67-10"27 кг 3=2 мТл = 2 • 10 ’ Тл	mv2	_ mv y/lmQU R’QV QB 
7? —?
Ответ
5 = 1,61 м.
<264>
(3.144) Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индук-
Чвявх	_ 2 м'рЛ1 движется по круговой орбите радиусом R = 15 см.
Определите магнитный момент рт эквивалентного кругового тока.
Дано
Решение
В = 2 мТл = 2- Ю-3Тл
R = 15 см = 0,15 м
S = nR:,
2nR
——,	evB ,
R
T '
eBR
p =---,
m
ev
2nR
e2BR2
2m
pm - 0,632 nA • m2.
Электрон, обладая скоростью v -1 Мм/с, влетает в однородное
магнитное поле под углом а = 60° к направлению поля и начина-
ет двигаться по спирали. Напряженность магнитного поля Н = 1,5 кА/м. Опре-
делите: 1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали.
Дано
Решение
v = 1 Мм/с = 106 м/с
а = 60°
Н = 1,5 кА/м =
= 1,5  103 А/м
1) h — ?
2) R — ?
,	2nR
h=V]T = v coscr------
v sincr
„ mv2
ev2B =---
2 R
v= V] + v2,
- v coscr,
v2 = v sincr,
2jtR 2nR
T = — =----------
v2 v sincr
2т>т coscr
В^Ц!>Н,
Ответ JI) й = 9,49 мм; 2) R = 2,62 мм.
Электрон движется в однородном магнитном поле с магнитной
индукцией В = 0,2 мТл по винтовой линии. Определите скорость i
электрона, если радиус винтовой линии R = 3 см, а шаг h = 9 см.
v = 1,17 Мм/с.
149 ) Ионы двух изотопов с массами тх = 6,5 1 0 26 кг и = 6,8-10 26 кг,
ускоренные разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетают в одно-
юдное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл перпендикулярно линиям ин-
[укции Принимая заряд каждого иона равным элементарному электрическо-
iy заряду, определите, на сколько будут отличаться радиусы траекторий ионов
[зотопов в магнитном поле.	_________
ож	~	“—
iy Определите, при какой скорости пучок заряженных частиц, дви-
гаясь перпендикулярно скрещенным под прямым углом однород-
ным электрическому (Е = 100 кВ/м) и магнитному (В = 50 мТл) полям, не от-
клоняется
Дано
Решение
Дано	Решение		
Е = 100 кВ/м = 105 В/м В = 50 мТл = 5 • 102Тл V — ?	Fe = 2E, 0Е=0пВ,	Fa = 2[v,B], Е v- —. В	^ = ^л-
v = 2 Мм/с.
От] = 6,5 10’26 кг
т, = 6,8 10~26 КГ
U = 0,5 кВ
В = 0,5 Тл
R.-R, -1
„ mv2
evB =---,
R
г,
eU =--------,
2
/?=1
BN е ’
R2-R} =0,917 мм.
mv
R=—,
еВ
2eU
v =,|---
V m
*2-*i=^^(7"7-7"7)
(3.148 I В однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,2 Тл пер-
пендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной скорос-
тью влетает заряженная частица. В течение 5 мкс включается электрическое
поле напряженностью 0,5 кВ/м в направлении, параллельном магнитному полю
Определите шаг винтовой траектории заряженной частицы.
Дано	Решение	
В =0,2 Тл	ти~	i 2л R 2лт „
/ = 5 мкс = 5  10 6 с Е = 0,5 кВ/м = 500 В/м h —2	Fet = mv},	Т=	=	, F=QE v QB	* ’ „ Fet QEt	2л El т	т	В
h = 7,85 см.
Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий 20 МэВ.
Определите радиус дуантов циклотрона, если магнитная индук-
ция В = 2 Тл.
Дано	Решение
Т = 20 МэВ = = 3,2- Ю '2 Дж	mv2	[2Т Т =	,	v = -d—,
т = 1,67 10’27 кг	2	N т
В=2 Тл	mv2	„ mv2 >/2Тт evB =	,	R =	=	•
			R	evB eB
R — ?
266
267
(3.151) Определите удельный заряд частиц, ускоренных в циклотроне в
..... однородном магнитном поле с индукцией В = 1,7 Тл при частоте
ускоряющего напряжения v = 25,9 МГц.
Дано
Решение
р.153) В случае эффекта Холла для натриевого проводника при плотнос-
ти тока у = 15о А/см2 и магнитной индукции В = 2 Тл напряжен-
ность поперечного электрического поля Ев - 0,75 мВ/м. Определите концент-
рацию электронов проводимости, а также ее отношение к концентрации ато-
мов в этом проводнике. Плотность натрия р - 0,97 г/см3.
В =1,7 Тл
v = 25,9 МГц =
= 2,59- Ю’Гц
= — (условие синхронизма),
и v
2
mv „ „
— =0,В.
v - 2nvR,
£_?
Q _ v 2nvR 2nv
m RB RB В
— = 9,57 • 107 Кл/кг.
m
Протоны ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле
с индукцией В = 1,2 Тл. Максимальный радиус кривизны траек-
тории протонов составляет R = 40 см. Определите: 1) кинетическую энергию
протонов в конце ускорения; 2) минимальную частоту ускоряющего напряже-
ния, при которой протоны ускоряются до энергий Т = 20 МэВ.
i	Дано	Решение 			
। у = 150 А/см2 = ; = 1,5  106 А/м2 5=2 Тл = 0,75 мВ/м = : =0,75  10 3 В/м р = 0,97 г/см3 = 970 кг/м3 М =23-10-3 кг/моль	еЕв -evB,	V~ В ’ j _ JB i = nev ,	n- — - ~> J	ev eEB |/m Mjp M n	jBM
L -	n' eEBN^ p £ Ответ	n = 2,5 1028 м-\ и/и' = 0,984
Дано	Решение
5=1,2 Тл	mv2	eBR
R = 40 см = 0,4 м	evB =	,	v =	, R	m
7] =20 МэВ =	
= 3,2 • 10 12 Дж	mv2 e2B2R2 T =	=	 v = _1
	
t-i	1
v, —ч	w1=2hv.5,	vt =	J	.
	11	2jiR\ m
( 3.154 J Определите постоянную Холла для натрия, если для него отноше-
ние концентрации электронов проводимости к концентрации ато-
мов составляет 0,984. Плотность натрия р = 0,97 г/см3.
Дано	Решение		
n/n' = 0,984	i 5 = — ,	'_N^ .	_ Na P
p = 0,97 г/см3 = 970 кг/м3	еп	M/p M
M = 23  1О-3 кг/моль	n = 0,984и' ,	1	M R 			= 		t 0,984ел' 0,984e/VA p
R -?
Ответ	) T = 11 МэВ,	vt = 24,6 МГц.
		—
R= 2,510“’° м3/(А • с).
268
269
Через сечение медной пластинки толщиной d = 0,2 мм пропус-
кается ток I = 6 А. Пластинка помещается в однородное магнит-
I 3«155 Ч Определите, во сколько раз постоянная Холла у меди больше, чем
V гм-лЯг у алюминия, если известно, что в алюминии на один атом в сред-
нем приходится два свободных электрона, а в меди — 0,8 свободных электро-
нов. Плотности меди и алюминия соответственно равны 8,93 и 2,7 г/см3.
Дано	Решение
Pcu = 8,93 г/см3 =	п	1	1
= 8,93 • 103 кг/м3	^Си ~ ~	>	Яд, 		 , е«Си
pAi = 2,7 г/см3 =	«Си = 0>8«си ’	«А1 = °,8«а1 >
= 2,7- 1О3кг/м3	
MCu = 63,5 • 1О”3 кг/моль	
	^Си	А1 Л/А1 ’
Мм = 27-10-3 кг/моль	
	^Си «А1	2«А|
	
—	=0,8	*м «си 0,8«си
'«'Cu	^Си _ ^Рм ^Си
—	=2	5А| 0.8рСиЛ/А|
	
	
	
Яд1	
( Ответ Л л-и , „ V	J — = 1.78.	
ЛА1	
ное поле с индукцией 5=1 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направ-
лению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концент-
рации атомов, определите возникающую в пластинке поперечную (холловс-
кую) разность потенциалов. Плотность меди р = 8,93 г/см3.
Дано
5 = 0,2 мм = 2 • 104 м
1 = 6 А
5 = 1 Тл
р = 8,93 г/см3 =
= 8930 кг/м3
и = п'
М = 63,5  10-3 кг/моль
Решение
Ар
еЕв = е— = evB;
а
Др = vBa,
1 = jS = nev  ad ,
S = ad,
IBa 1 IB
Др =-----=------,
nead en d
Холловская поперечная разность потенциалов
Л
где В — магнитная индукция; I — сила тока; d — толщина пластинки:
1
R = — — постоянная Холла (и — концентрация электронов).
РИ
Др — ?	,	pNK	. _ MIB n- n -	-	,	Ap	Ar j ’ Km M	epN^ d
Qpmeem Др = 2,	21 мкВ.
033.57 J Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окруж-	
			ности, через	центр которой перпендикулярно ее плоскости прохо-
дит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I - 5 А.	
Дано	Решение
1 = 5 А ^Bdl —? L	^Bdl = ^5; dl = UQI. L	L
( Ответ ) |Bd| L	= 6,28 мкТл • м.
<270>
271
( 3.158 ) Определите циркуляцию векто-
ра магнитной индукции для
замкнутых контуров, изобра-
женных на рисунке, если сила тока в обоих
проводниках 1 = 2 А.
Соленоид длиной I = 0,5 м содержит N = 1000 витков. Опреде-
лите магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если со-
противление его обмотки R = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В.
у В dl = 2,51 мкТл • м;
L
2) dl = 5,02 мкТл • м;
L
Дано	Решение
I = 0,5 м A =1000 R = 120 Ом 17 = 60 В	p/dZ^^/,,	Bl = p0IN, L	‘ U	B PoUN ^-r’	Ri ‘
В — ?	Qpmeem в = 1,26 мТл.
\ 3.162 ] В соленоиде длиной I - 0,4 ми диаметром D = 5 см создается
......магнитное поле, напряженность которого Н = 1,5 кА/м. Опреде-
лите: 1) магнитодвижущую силу Fm ; 2) разность потенциалов U на концах
обмотки, если для нее используется алюминиевая проволока (р = 26 нОм  м)
Q3.159J По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I = 10 А
Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В , ма: -
нитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии г = 10 см от про-
водника.
3.160 1 Используя теорему о циркуляции вектора В, рассчитайте магнит-
ную индукцию поля внутри соленоида (в вакууме), если число
витков соленоида равно А и длина соленоида равна I .
диаметром d = \ мм._____
Дано	Решение			
l = 0,4 м	F =^Hdl =	^Htdl=Ylt, Fm = Hl.
D = 5 cm = 5  10“2 м	L	L	'
H = 1,5 кА/м=1,5-1 O’A/m		„ 1 n~ek N’~a’ R~ s’
p = 26 нОм - м =	J dl = IN	
= 26  10 9 Ом  м	L	
d = 1 мм = 10 3 м	D I, - 2л— N 1	2	I	_ лd2 = nD-,	S =	, d	4
1) Лп -?	nDl-4 p	f\	=	i=ur,	hi = i-
2) U — ?		
	' dxd ~	d3
, , Др™ Г------\-----------------
d2  Q Ответ Ji)Fm=600 A; 2) 17 = 3,12 В.
<273>
Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индук-
цию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сер-
дечника, по обмотке которого, содержащей 200 витков, протекает ток 2 А. Вне-
шний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см.
Дано
А = 200
7=2 А
Dx = 60 см = 0,6 и
D2 = 40 см = 0,4 м
В — ?
н
Решение
(р, б/ = д0£/;,
L	'
В  2лг =	,
NI
S = '*“2^'
Н = —.
Цв
В = 0,32 мТл; Н = 255 А/м.
Определите магнитный поток сквозь площадь поперечного сече-
ния катушки (без сердечника), имеющей на каждом сантиметре
длины п = 8 витков. Радиус соленоида г = 2 см, сила тока в нем I - 2 А.
Дано	Решение
и = 8 см-1 = 800 м'1 г = 2 см = 2  10 2 м 7=2 А	Ф, = 5S,	5 = лг2, В = цоп! ,	ф[ = ц0п!лг2 
Ф, — ?
Ф[ = 2,53 мкВб.
(3.165 ) Внутри соленоида с числом витков N = 200 с никелевым сердеч-
xiBWZ ником (д = 200) напряженность однородного магнитного поля
Н = 10 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника 5 = 10 см2. Опреде-
лите: 1) магнитную индукцию поля внутри соленоида; 2) потокосцепление.
Дано	Решение
А = 200 д = 200 /7 = 10 кА/м = 10'А/м	е to и и to > § *
5 = 10 см2 = 10 3 м2
1) В — ?
2) Ф — ?
£ Ошбе/И J 1) 5 = 2,51 Тл; 2) Ф = 0,502 Вб.
«В однородное магнитное поле напряженностью /7=100 кА/м
помещена квадратная рамка со стороной а = 10 см. Плоскость
рамки составляет с направлением магнитного поля угол а = 60°. Определите
магнитный поток, пронизывающий рамку.
Дано
Решение
// = 100 кА/м
а = 10 см = 0,1 м
а = 60°
Ф = BS cosa,
5=дод//|^=! =ц0Нг
S = a2,
Ф = цйа2Н cosa.
ф _?
Ф = 628 мкВб.
<275>
3.167
Поток магнитной индукции через площадь поперечного сечения
соленоида (без сердечника) равен Ф = 1 мкВб. Длина соленоида
I = 12,5 см. Определите магнитный момент рт этого соленоида.
Дано
Ф = 1 мкВб = 10-6 Вб
/ = 12,5 см =0,125 м
Решение
N
Ф~В5 = fi0I—S,
Рт
1--^,
p0NS
pm = ISN = — .
Mo
Q Ответ
pm = 0,l A • m2.
В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с
током 7 = 20 А расположена квадратная рамка со стороной, дли-
на которой а = 10 см, причем две стороны рамки параллельны проводу, а рас-
стояние d от провода до ближайшей стороны рамки равно 5 см. Определите
магнитный поток Ф , пронизывающий рамку.
Дано
7=20 А
а = 10 см = 0,1 м
<7=5 см = 0,05 м
Решение
в^,
2лг ’
Ф — ?
}	' 2лг 2л I г 2л а
а	а
Ответ
Ф = 0,44 мкВб.
РЯ69Л Прямой провод длиной / = 20 см с током I = 5 А, находящийся в
Ммиг однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, расположен
перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля,
под действием которых проводник переместился на 2 см.
Л = 2 мДж.
(3.170 ) Квадратный проводящий контур со стороной I - 20 см и током
V......I = 1 о А свободно подвешен в однородном магнитном поле с маг-
нитной индукцией В = 0,2 Тл. Определите работу, которую необходимо совер-
шить, чтобы повернуть контур на 180° вокруг оси, перпендикулярной направ-
лению магнитного поля.
Дано	Решение
1 = 20 см = 0,2 м 7 = 10 А В = 0,2 Тл а = 180°	dA-Mda,	М = [рт,В], ^ = Pm5sina,	pm = Il\ St	Jt
А	A = j M da = J JBI2 sina da = -IBl2 cosa| = 2IB12. 0	0
А = 0,16 Дж.
(	В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл
находится квадратный проводящий контур со стороной 7=20 см
и током 7 = 10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол в
30°. Определите работу удаления контура за пределы поля.
Ответ
А = 0,04 Дж.
<277>
I	Круговой проводящий контур радиусом г = 5 см и током 1 = 1 А
находится в магнитном поле, причем плоскость контура перпен-
дикулярна направлению поля. Напряженность поля равна 10 кА/м. Определите
работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 90° вокруг
оси, совпадающей с диаметром контура.
Дано	Решение
г = 5 см = 5 • 10 2 м 7 = 1 А 77 = 10 кА/м = 104 А/м л а = — 2 А -?	dA=Mda,	M=pmBsma, pm = IS,	В =	, S' = яг2, я/2	л/2 А= j М da = /яг2рйН jsina da = цол1гг Н. 0	0
Qpmeemа = 98,7	мкДж.
(3.173 .1 В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 1 Тл
находится плоская катушка из 100 витков радиусом г = 10 см,
плоскость которой с направлением поля составляет угол fl - 60°. По катушке
течет ток 7 = 10 А. Определите: 1) вращающий момент, действующий на ка-
тушку; 2) работу для удаления этой катушки из магнитного поля.
1) Л/= 15,7 Н- м; 2) Л = 27,2 Дж.
Q3.174J Круглая рамка с током (S = 15 см2) закреплена параллельно маг-
........S нитному полю ( В = 0,1 Тл), и на нее действует вращающий мо-
мент М = 0,45 мН • м. Определите силу тока, текущего по рамке.
Ответ
7 = 3 А.
3.5. Электромагнитная индукция
[ 3.175 J Соленоид диаметром d = 4 см, имеющий = 500 витков, поме-
’  щен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скорос-
тью 1 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол
а = 45°, Определите ЭДС индукции, возникающую в соленоиде.
Дано	Решение
d = 4 см = 4 • 10“2 м N = 500 — = 1 мТл/с = 10~3Тл/с d/ а = 45°	dO	nd2 	,	® = NBScosa,	S~	, dz	4 1 । d	7td2 dB £ = —(NBS cosa)= N	cosa. dzv	4 dz
г, — ? ^3.176^ В магнитно (Д) = 0,1 Тл,	Ответ	= 444mkB. e поле, изменяющееся по закону В = Во coswz сю = 4 с-1), помещена квадратная рамка со стороной
а = 50 см, причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол а = 45°.
Определите ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени Z = 5 с.
Дано	Решение
В= Во coscot	dO =——	Ф = ВВсоза,
Во = 0,1 Тл	Qi
сю - 4 с 1	2	(j S = a ,	s =	(Bna2 coswz cosa) =
а = 50 см = 0,5 м	dz
а = 45°	
z = 5 с	= -Boa cosa—(cosa?Z)= Boa ш cosa • sin wz.
$4	9			
{Ответ") = 64мВ.	

I 3'.173и Кольцо из алюминиевого провода (р - 26 нОм • м) помещено в
магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции
Диаметр кольца D= 30 см, диаметр провода d = 2 мм. Определите скорость
изменения магнитного поля, если ток в кольце / = 1 А.
Дано
р = 26 нОм • м =
= 2,6  10-8 Ом • м
D = 30 см = 0,3 м
d = 2 мм - 2 • 10"3 м
/=1 А
Решение
R=p-,	l = xD,	S = ~,	t, = IR,
S	4
dt dt A dt
dB
--- --9
d/
dB 4^ AIR _ I61p
dt tiD2 ~ xD2 ~ xd2D '
В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл помещена
прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой
7 = 15 см. Определите ЭДС индукции, возникающей в рамке, если ее подвиж-
ная сторона перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со
скоростью v = 10 м/с.
Дано	Решение ®	
В = 0,3 Тл I = 15 см = 0,15 м v = 10 м/с — ?	II	II	И 1	to	j I Q.	&	Q. А	и	"	1 & Й	to A II 1 to 1		4		©	1 —►v I - A " ®	© в -Blv, |if,| = B/w.
=0,45 В.
Ответ ) dB
.	J— =0,11Tji/c.
4	x d/
(3.178 J Плоскость проволочного витка площадью 5 = 100 см2 и сопро-
тивлением R = 5 Ом, находящегося в однородном магнитном поле
напряженностью Н = 10 кА/м, перпендикулярна линиям магнитной индукции.
При повороте витка в магнитном поле отсчет гальванометра, замкнутого на
виток, составляет 12,6 мкКл. Определите угол поворота витка.
Дано	Решение
5 = 100 см2 = 10“2m2 R= 5 Ом Я=10 кА/м = 1О4 А/м dQ = 12,6 мкКл = = 1,26- Ю 5 Кл a — ?	dФ	dO $,=—&=IR=R—, dt	‘	dt dO 6Ф &	яа^-СФг-Ф,), Ф2 = u0HS cosa,	Ф, = р0Н$, RdQ = /г0//5(1-cosa), cosa = l- —. p0HS
Дано
а = 30 см = 0,3 м
В = 0,1 Тл
т = 5 г = 5 • 10'3 кг
v = 0,5 м/с
Q Ответ
(3.180 ) Две гладкие замкнутые металлические шины, расстояние между
Чг--нана< КОТОрЫМИ равно 30 см, со скользящей перемычкой, которая мо-
жет двигаться без трения, находятся в однородном магнитном поле с индукци-
ей В = 0,1 Тл, перпендикулярном плоскости контура. Перемычка массой т = 5 г
скользит вниз с постоянной скоростью v = 0,5 м/с. Определите сопротивление
перемычки, пренебрегая самоиндукцией контура и сопротивлением остальной
части контура.
Решение
6Ф
%, =-----,
' dt
Ф2 -Ф] _
t
BS Bavt „	„
— = Bav , в = IR
t * 1
t
R
BavBa B2a2v
R =-----=------
wg mg
R =	mg=FA=IBa, f = ^-,
1_______ Ba
(Ответ ^ = 9.2mOm.
280
<281>
В катушке длиной I = 0,5 м, диаметром d = 5 см и числом витков
".... N = 1500 ток равномерно увеличивается на 0,2 А за одну секунду,
На катушку надето кольцо из медной проволоки (р = 17 нОм • м) площадью
сечения 5К - 3 мм2. Определите силу тока в кольце.
Дано
1 = 0,5 м
d = 5 см = 0,05 м
У = 1500
dZ
— = 0,2 А/с
d/
р = 17 нОм•м =
= 1,7- Ю'8Ом/м
= 3 мм2 = 3 • 10’6 м2
Решение
( 3.183 ) В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) вращается с постоян-
X — ной уГЛОВОй скоростью to = 50 с-1 вокруг вертикальной оси стер-
жень длиной I = 0,4 м. Определите ЭДС индукции, возникающей в стержне,
если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнит-
ной индукции.	___________________________________________
I —
2К
£	г wN2S
dr ’	I
§ = 0,4 В.
|^s| AoA	N27td2 dl 4/ d/ ’	I , VIS	NTtd2 dl W=№w 4/ d,
“ R '	R = &.,	lK=Xd, /к=Ж-, n:pd
NS„d dl
L = pou—5-. x	”4.-------
4lP СОтвет ) Л = 1.66 mA.
Катушка диаметром d = 2 см, содержащая один слой плотно при-
легающих друг к другу N = 500 витков алюминиевого провода
сечением S = 1 мм2, помещена в магнитное поле. Ось катушки параллельна
линиям индукции. Магнитная индукция поля равномерно изменяется со скоро-
стью 1 мТл/c. Определите тепловую мощность, выделяющуюся в катушке, если
ее концы замкнуты накоротко. Удельное сопротивление алюминия р = 26 нОм/м.
(3.184 ] В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл равно-
х......S мерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стер-
жень длиной I = 0,5 м. Ось вращения проходит через конец стержня парал-
лельно линиям магнитной индукции. Определите число оборотов в секунду,
при котором на концах стержня возникает разность потенциалов U = 0,1 В.
Дано	Решение		
В = 0,02 Тл	, dO » =		X	X	X	x
I = 0,5 м	' dr		dpV x В
U = 0,1 В	Ф = BS cosa,	X / X	7 х V
п — У	a = 0,	'	0	n 1 r 4/	V
d5
d/ ’
d<p = otdt,
Дано	Решение
d=2 cm = 2 • 10“2 м N = 500 5 = 1 мм2 = 10 6 m2 — = 1 мТл/c = 10“3 Тл/с dr p = 26 нОм • м = = 26 • IO9 Ом • м P — ?	|?,l = —, Ф = УВВ, S = —, R = p—, dt	4	Sj ?,2	dr J 51 Nnd^SjdB}2 R	pTtdN	16p \ di J {Ответ} p=0,302 мкВт.
nd2 . . . 2л
d5.... dp
I2	I2
dS =— dp =—co dr,
2	2
„ 2U
co = 2nn = —=
Bl2 ’
U
n =-----7.
7tBl2
и = 6,37 c"1.
В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно с часто-
той и = 600 мин-1 вращается рамка, содержащая N = 1200 вит-
ков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки «5 = 100 см2. Ось вра-
щения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индук-
ции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.
Дано
В =0,2 Тл
п = 600 мин-1 = 10 с’1
N = 1200
5 = 100 см2= 10~2м2
Решение
Ф = NBS cosa ,
a = <ot- 2nnt,
< — ?
<*, = -NBS—(cos2fl?H) = NBS  2лп-sm2nnt,
dt
£ = 2xnNBS.
'max
= 151 B.
max
Магнитная индукция В поля между полюсами двухполюсного
генератора равна 1 Тл. Ротор имеет 140 витков (площадь каждого
витка S = 500 см2). Определите частоту вращения якоря, если максимальное
значение ЭДС индукции равно 220 В.
п = 5 с1.
В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно вращает-
ся прямоугольная рамка, содержащая N = 200 витков, плотно
прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Определите частоту
вращения рамки, если максимальная ЭДС, индуцируемая в ней, =12,6 В
Ответ
п=5 с '.
( 3 188Н В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоуголь-
ЧддаяаУ ная рамка с частотой и = 600 мин1. Амплитуда индуцируемой ЭДС
?0 = 3 В. Определите максимальный магнитный поток через рамку.
Фтах = 47,7 мВб.
С318») Катушка длиной I - 50 см и диаметром d = 5 см содержит
N = 200 витков. По катушке течет ток 7 = 1 А. Определите:
1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее
поперечного сечения.
Дано	Решение
1 = 50 см = 0,5 м d = 5 см = 0,05 м А = 200 7 = 1 А /г = 1	т	N2S	о xd2 L =	—,	S = ——, I	4 r	A2 nd2	. LI L=u0u	,	Ф = —. I 4	A
2)	__?9	Q Omeetn 1) £ = 197 мкГн; 2) Ф = 985 нВб.	
Длинный соленоид индуктивностью 7 = 4 мГн содержит
А = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида
5 = 20 см2. Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если
сила тока, протекающего по его обмотке, равна 6 А.
Дано	Решение
L = 4 мГн = 4 • 10"3 Гн A = 600 5 = 20 cm2 = 2 • 10'3 m2 7=6 A.	Ф = £7,	<D = NBS,	B =	= NS NS
В — ?	( Ответ ) в = о,о2 Тл.
Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причем ин-
. дуктивности этих катушек Д = 0,64 Гн и £2 = 0,04 Гн. Опреде-
лите, во сколько раз число витков первой катушки больше, чем второй.
Дано
Д = 0,64 Гн
Z2 = 0,04 Гн
Решение
г	ЛГ2.? £ = ^-j-,	£2 n2
V-
Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих
друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной тол-
щины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы по-
лучить однослойную катушку индуктивностью £ = 100 мкГн?
Дано	Решение
d = 0,5 мм = 5 • 10-4 м 0=1,5 см = 1,5 • 10‘2м £ = 100 мкГн=10-4Гн /* = 1 N — ?	Т	N2S	„ _ nD2 4 ’ Ad 4dL N =	2 
Ответ ;у = 225.
<Ж>
С 3.193 ) Определите индуктивность соленоида длиной I и сопротивлени-
ем R, если обмоткой соленоида является проволока массой т
(принять плотность проволоки и ее удельное сопротивление соответственно за
Р и р').
Дано
Решение
I
R
Р
Р'
т
L —2
Т N2S
L = PoP—j~
V = litrN
S = яг2
n2s
~ Ро I ’
^')2	s' = ^-
(2nN)2 ’	R
v 7 m = pl S
mR	N2 я(7')2 Po mR
pp' ’	‘W° I (ZrtN)2 pp'
Po mR
pp'
Сверхпроводящий соленоид длиной I = 10 см и площадью попе-
речного сечения 5 = 3 см2, содержащий ДГ = 1000 витков, может
быть подключен к источнику ЭДС if = 12 В. Определите силу тока через 0,01 с
после замыкания ключа.
Дано	Решение
7 = 10 см = 0,1 м	
5 = 3 см2 = 3 • 10~ 4м2	т n2s	n2s	r r L = PoP—r- =p0—~,	? + ?s = lR,
N = 1000	I	I
	fi-]
Л =12 В	
t = 0,01 с	di	di /?=0,	<^ = -/<=-£•—,	= £ —
	dr	dr
I —ч	
	,r / ,	if	, if It
	dl- — dr, 7- [— dr-— r, 7-
	L	0L	L	“l>N S
Q Ответ 7 = 31,8	A.
<287>
I 3.195 I Через катушку, индуктивность L которой равна 200 мГн, проте-
кает ток, изменяющийся по закону I = 2созЗ/. Определите: 1) за-
кон изменения ЭДС самоиндукции; 2) максимальное значение ЭДС самоин-
дукции^_____
Определите, через сколько времени сила тока замыкания достиг-
нет о,95 предельного значения, если источник тока замыкают на
катушку сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью 0,5 Гн.
Q Ответ	= 1,2sin3z,в;	а = 1,2 в.
Q Ответ
Z = 125 мс.
(3.196 J В соленоиде без сердечника, содержащем N = 1000 витков, при
увеличении силы тока магнитный поток увеличился на 1 мВб.
Определите среднюю ЭДС самоиндукции («0, возникающую в соленоиде, если
изменение силы тока произошло за 1 с.
Катушку индуктивностью /, = 0,6 Гн подключают к источнику
тока. Определите сопротивление катушки, если за время t = 3 с
сила тока через катушку достигает 80% предельного значения.
Дано	Решение
W = 1000 ДФ = 1 мВб = 10-3Вб Д( = 1 с	00=w—.
	( Ответ ) {г > = 1в
Дано
/, = 0,6 Гн
Z = 3 с
/ = 80%/0
Решение
( --
О,8/о = /о 1-е L‘
R — ?
R
0,2 = еЛ',
L In 0,2
R =--------
t
(ЗЛ9?) Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением
R = 0,8 Ом. Определите, во сколько раз уменьшится сила тока в
катушке через / = 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть
накоротко.
7? =322 мОм.
Дано	Решение
/. = 0,1 Гн R = 0,8 Ом Z = 30 мс = 30  10 ’с	7'
/	С Ответ ) , V	' ^=1,27.
Бесконечно длинный соленоид длиной I = 0,8 м имеет од-
нослойную обмотку из алюминиевого провода массой
т = 400 г. Определите время релаксации г для этого соленоида. Плотность
и удельное сопротивление алюминия равны соответственно р = 2,7 г/см] и
р' = 26 нОм  м.
г = 712 мкс.
(. 6ор| (I [К hl 144
ini (hit titke
<289>
288
(ч'ЗйИИИ Соленоид диаметром d = 3 см имеет однослойную обмотку из
Ч ЧУ плотно прилегающих друг к другу витков алюминиевого провода
(р = 26 нОм  м) диаметром dx - 0,3 мм. По соленоиду течет ток 70 = 0,5 А
Определите количество электричества Q, протекающее по соленоиду, если его
концы закоротить.
Дано	Решение
d = 3 см = 3 • 10 2 м р = 26 нОм • м = = 2,6- 10~8 Ом • м	R 7 = /0е L ,
<7, = 0,3 мм = 3 • 10“4 м /0 = 0,5 А	e = pd/ = /0J е^' d/ = ^Z0, 0	0	R
Q	.	N2S	p0N2S } , Д=1
I = Nd},	xd2 о =	, 4	L _ p.0N2xd2 4Ndx	_ p0Nxd2 4rf,
R=p~,	/] = xdN,	_ xd/	
	& _ p^Nxd d\ Io 4d^p 4dN	_ ppxdd^ 16p	°‘	
С Ответ	\ Q = 42,7 мкКл.		
Ток при размыкании и замыкании цепи
/ = /0(1-е-'А),
где г - L/ R — время релаксации (Г — индуктивность, R—сопротивление).
Катушка индуктивностью L = 1,5 Гн и сопротивлением R t - 15 Ом
и резистор сопротивлением 7?3 = 150 Ом соединены параллельно
и подключены к источнику, электродвижущая сила которого ? - 60 В, через
ключ К. Определите напряжение на зажимах катушки через	= 0,01 с и /2 - 0,1 с
после размыкания цепи.
Дано	Решение	
L -1,5 Гн /гj = is ом R-, =150 Ом	и j "X	Ri L, 7?! --HSSSSSW—
г = 60 В /, = 0,01 с	7 = 70е L , R — R j +	5	
t2 = 0,1 с	u = ir2,	K ^1
t/, -?	A £71 = — R2e L , 7?,	
U, — 9		
Q Ответ г, 200 в, и2 = o,oi в.
(3.2Q1) Две катушки намотаны на один общий сердечник. Определите их
взаимную индуктивность, если при скорости изменения силы тока
в первой катушке dZj /dt = 3 А/с во второй катушке индуцируется ЭДС 7,2 = 0,3 В.
Дано	Решение
dljdt = 3 A/c Л, 2 = 0,3 В	Дз = ^21>	Ф21 = 7-217], _ 6Ф21_ dZ, dt ~ ^dt' 21 dZt d/
{Ответ д2 = o,i Гн. <$91> 10*	\	/	
<290>
(3.204| Два соленоида (Ц = 0,64 Гн, Д = 1 Гн) одинаковой длины и прак-
......’ тически равных сечений вставлены один в другой. Определите
взаимную индуктивность соленоидов.
Дано
Ц = 0,64 Гн
Z-2 = 1 Гн
/,=/, = /
Ws
Аз -?
Решение
т - , N?st т Nls2 Гм
А — /*оД , ’ А? _ МоД , , N] - --
'1	А	V ДоД'
ЛГ I hh г N,N2S г——
г, ’ А2 _ ДоД , --vAA; •
V /*оДл2	»
QOmeem^^Q^
Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой
катушки Д = 0,12 Гн, второй — Д = 3 Гн. Сопротивление второй
катушки R2 = 300 Ом. Определите силу тока 12 во второй катушке, если за вре-
мя Az = 0,01 с силу тока в первой катушке уменьшить от Ц = 0,5 А до нуля. 12
12 = 0,1 А.
(3 207^ Автотрансформатор, понижающий напряжение с =6 кВ до
U2 = 220 В, содержит в первичной обмотке N} = 2000 витков. Со-
противление вторичной обмотки R2 = 1 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети
пониженного напряжения) R = 12 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной
обмотки, определите число витков во вторичной обмотке трансформатора.
Дано	Решение
Ut = 6 кВ = 6 • 103 В U2 =220 В A, = 2000 R2 = 1 Ом 7? = 12 Ом	, U2 fit —	U	- n ’ “	К N 2= M-Л	=	—+ 1 • 2 I R 2	2)U}	\R J
n2 — ?	Ответ j n2 = 79.
АлТрансформатор, понижающий напряжение с 220 В до 12 В, со-
держит в первичной обмотке = 2000 витков. Сопротивление
вторичной обмотки R2 =0,15 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной
обмотки, определите число витков во вторичной обмотке, если во внешнюю
цепь (в сети пониженного напряжения) передают мощность Р = 20 Вт.
Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижает
* X напряжение с 220 В до 6 В. При этом сила тока во вторичной об-
мотке равна 6 А. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, опреде-
лите сопротивление вторичной обмотки трансформатора.
Дано	Решение
N2/Nt =0,15	^- = ^2., ^=^2-и t2 = I2R, + U2,
Ut = 220 В	Ру N}	Nx	2	2.2’
и2=6 В	R -J2-U2	R __ n2uk/n} -u2
I2 = 6 А	2 A ’	2	A
R? -?	QOmeem ")r2 = 4,5 Om.
Дано
= 220 В
U2 = 12 В
Nt =2000
R2 = 0,15 Ом
Р = 20 Вт
N2 — ?
Решение
дм
n2 = -^-,

pr2	I PR? г, Ш
»2-1Л^2-^и2,
Ответ
n2 = 111.
292
293
Сила тока I в обмотке соленоида, содержащего N -1500 вит-
ков, равна 5 А. Магнитный поток Ф через поперечное сечение
соленоида составляет 200 мкВб. Определите энергию магнитного поля в соле-
ноиде.
Дано	Решение
1=5 А	LI2
А = 1500	W =	,	Ф = МФ,=Ь1, 2
Ф = 200 мкВб =	
= 2- 10^Вб	z = w = ^- 1 ’	2 ’
W — ?	
Q Ответ	w = 0,75 Дж.	
Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжени-
ем, имеет сопротивление Л = 15 Ом и индуктивность £ = 0,3 Гн.
Определите время, за которое в обмотке выделится количество теплоты, рав-
ное энергии магнитного поля в сердечнике.
Дано	Решение	
Л = 15 Ом L = 0,3 Гн	Q = w,	Q = I2Rt,
e=ir	U = const >	LI2 W =	, 2
t —?	Z/2	_2„ 	= I2Rt,	L
		t = —.
	2	2R
QOmeem f = o,oi с.		
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля
длинного соленоида
в2 _№нг=вн
2/^оА	2	2
ж
Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки
диаметром d - 0,5 мм имеет длину I = 0,4 ми поперечное сече-
ние 5 = 50 см2. Какой ток течет по обмотке при напряжении U = 10 В, если за
время t = 0,5 мс в обмотке выделяется количество теплоты, равное энергии
поля внутри соленоида? Поле считайте однородным.
Дано	Решение					
d = 0,5 мм = 5 • IO’4 м / = 0,4 м	Q = W,	Q^IUt ,	W =		»=1	2/<o
5 = 50 см2 = 5  10'3 м2 С7 = 10 В t = 0,5 мс = 5 • 10^ с	V = Sl,	l = Nd,	N	~ d ’		
2 = ^	N1 B = Vo —	I	W			
I —?		™ d’		d2-!^		2d1 ’
2Utd2
/i0Sl
IUt^
2d2
/ = 995 мА.
Индуктивность соленоида при длине 1 м и площади поперечного
сечения 20 см2 равна 0,4 мГн. Определите силу тока в соленоиде,
при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида
равна 0,1 Дж/м3.
Дано
l = 1 м
5 = 20 см2 = 2 • 10“3 м2
Г = 0,4 мГн = 4- 10-4 Гн
w = 0,1 Дж/м3
I —1
Решение
W' = -LI2, 2	W w =—, Г ’
V = Sh	1 LI2 w =	, 2 SI
i2wSl	С Ответ )
/=1 А.
гежаиЗМ Объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида
- длиной 50 см и малого диаметра равна 0,7 Дж/м3. Определите
магнитодвижущую силу этого соленоида.
Дано
w = 0,7 Дж/м3
I - 50 см = 0,5 м
F — 9
1 m
Решение
~	... ..........................  -.—.	I ..
(3.214) Тороид с воздушным сердечником содержит 20 витков на 1 см.
1 “'х Определите объемную плотность энергии в тороиде, если по ею
обмотке протекает ток 3 А.
Дано	Решение	
N — = 20 см 1 = 2- Ю’м 1	W	В2	B2
/	W = ~,	W =		
	V	2/г0д	।	^0
1= 3 А		
w — 1	jiB/dl =	, Bl = u0NI,	
L

u2N2l\ul:i(FYj2
122ц0	2 I / J
w = 22,6 Дж/м3.
3.6. Магнитные свойства вещества
£МИИИк Докажите, что отношение числового значения орбитального маг-
нитного момента рт электрона к числовому значению его орби-
тального механического момента Le (гиромагнитное отношение орбитальных
моментов) одинаково для любой орбиты, по которой движется электрон.
S = ~-
2т
с
Принимая, что электрон в невозбужденном атоме водорода движет-
ся по круговой орбите радиусом г = 52,8 им, определите: 1) магнит-
ный момент рт эквивалентного кругового тока; 2) орбитальный механичес-
кий момент Le электрона; 3) исходя из полученных числовых значений, гиро-
магнитное отношение орбитальных моментов, доказав, что оно совпадает со
значением, определяемым универсальными постоянными.
Дано	Решение
и = 1 е = 1,6-10'19 Кл г = 52,8 им = 52,8- 10"нм т = 9,11-10’31 кг	2	2 mv	е	е 	 	у ,	v - /	, г	4®/	^4Л£0тг , е pm = is,	1 = ^,
1)	Рт 2)	4-? 3)	g — ?	т 2лг	с	evr е1 \ г v	2	4 ]] ЛЕот е 1 тг	п _ Рт _ е е	2^Я£0	4 2т
(Ответ i) = 9,25-ю"24 а-м2;
2) Le =1,05-1 О"34 кг - м2 3/с;
3) g = 87,8 ГКл/кг.
<297>
( 3.217 j В пространство между полюсами электромагнита подвешивают-
Хйвпаоава*' ся поочередно висмутовый и алюминиевый стержни. Оказалось,
что при включении электромагнита алюминиевый стержень располагается вдоль
магнитного поля, а висмутовый — поперек магнитного поля. Объясните разли-
чие в их поведении.
В однородное магнитное поле вносится длинный вольфрамовый
стержень (магнитная проницаемость вольфрама ц = 1,0176) Оп-
ределите, какая доля суммарного магнитного поля в этом стержне определяет-
ся молекулярными токами.
Дано	Решение
/г = 1,0176 В' 	 	9 В	Си ] to to	to "' 4 - Л	 II fe 1^	* to U	^11 * J — 4
Ответ )
------z в
Напряженность однородного магнитного поля в платине равна
5 А/м. Определите магнитную индукцию поля, создаваемого мо-
лекулярными токами, если магнитная восприимчивость платины равна 3,6 • 10 4
Дано	Решение
Н=5 А/м ^3,6-lG-4	B' = u0J,	J = XH, В' = цаХН
В' -?
Ответ )в =2,2б нТл.
( 3.220 ) По круговому контуру радиусом г = 40 см, погруженному в жид-
......... кий кислород, течет ток I = 1 А. Определите намагниченность в
центре этого контура Магнитная восприимчивость жидкого кислорода
%=3,4-1О“3.
Решение
г — 40 см = 0,4 м
7 = 1 А
Z = 3,4 10'3
J = 4,25 мА/м.
По обмотке соленоида индуктивностью 7=3 мГн, находящегося
в диамагнитной среде, течет ток 7 = 0,4 А. Соленоид имеет длину
I = 45 см, площадь поперечного сечения 5 = 10 см2 и число витков N = 1000.
Определите внутри соленоида: 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность
Дано
L = 3 мГн = 3  10 3 Гн
7 = 0,4 А
I - 45 см = 0,45 м
5 = 10 см2 = 10~3 м2
А = 1000
Решение
n2s
L = u(,u—^.
LI
fl =--5---
A-5/<0 •
В =	,
В
J — ?
LI NI _ LI
N2S I ~ NS"
‘/ = Х^ = (Л-1)Я = |—~—1)^.
V NS/i0 J I
5 = 1,2 мТл,
J = 66 А/м.
Соленоид, находящийся в диамагнитной среде, имеет длин}
-	1 = 30 см. площадь поперечного сечения 5 = 15 см2 и число вит-
ков .V = 500 . Индуктивность соленоида L - 1.5 мГн, а сила тока, протекающе-
го по нему, I = 1 А. Определите: 1) магнитную индукцию внутри соленоида:
2) намагниченность внутри соленоида.
Ответ
1) 5 = 2 мТл;
2) J = 75 А/м.
(3.223)
Индукция магнитного поля в железном стержне В = 1,2 Тл. Опре-
делите для него намагниченность, если зависимость В(Н) для
данного сорта ферромагнетика представлена на рисунке.
Дано
Решение
5=1,2 Тл
В(Н)
5=1,2 Тл,
Н = 800 А/м (см. рисунок),
y = %H = (/z-l)// = |-?--l И.
J —?
./ = 954 кА/м.
Железный сердечник длиной I = 0,5 м малого сечения (d « Г) со-
держит 400 витков. Определите магнитную проницаемость желе-
за при силе тока I = 1 А. Используйте график из задачи 3.223
(Ответ
/z = l,19-103.
<зоо>
f3.225 ) По обмотке соленоида, в который вставлен железный сердечник
Чигтаж-даХ (график зависимости индукции магнитного поля от напряженно-
сти представлен в задаче 3.223), течетток 7=4 А. Соленоид имеет длину / = 1 м,
площадь поперечного сечения S’ = 20 см2 и число витков N = 400. Определи-
те энергию магнитного поля соленоида.
Дано	Решение
7=4 А 1 = 1 м S = 20 см2 = 2 • 10 ’ м2 А = 400 W — 1	1 ’	2 ’	2
Q Ответ w _ 2,24 Дж.	
(3.226J Обмотка тороида с железным сердечником имеет N = 151 виток.
Средний радиус г тороида составляет 3 см. Сила тока I через
обмотку равна 1 А. Определите для этих условий: 1) индукцию магнитного
поля внутри тороида; 2) намагниченность сердечника; 3) магнитную проница-
емость сердечника. Используйте график зависимости В от Н , приведенный
в задаче 3.223.
Ответ1) в = 1,2 Тл; 2) J = 954 кА/м; 3) >м = 1,19-1О3.
(^3.227J На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром
......d -10 мм намотана обмотка с общим числом витков N = 600. В
сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной b = 1,5 мм (рисунок к
задаче 3.228). При силе тока через обмотку 7 = 4 А магнитная индукция в про-
рези Во = 1,5 Тл. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, определите
магнитную проницаемость железа для данных условий.
ц = 428.
<зоГ>
("*3'S28/j железном сердечнике в виде тора со средним диаметром
ЗЯМИНУ J = 70 мм намотана обмотка с общим числом витков N = 600
В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной b - 1,5 мм. Магнит-
ная проницаемость железа для данных условий и = 500. Определите при силе
тока через обмотку 7 = 4 А: ^напряженность Н магнитного поля в железе,
2) напряженность 770 магнитного поля в прорези.
Дано
Решение
d = 70 мм = 7 10 2 м
Я = 600
b - 1,5 мм = 1,5 • 10 3 м
и = 500
7=4 А
1) Н — 7
2) Но -?
H(nd-b) + Hob = NI,
Во = ц0Нй ,	= fiQH0,	=	(nd - b)H + bfiH = NI,
NI	fiNl
(nd-b)+fib ’	0 (nd-b) + fib
1) Я = 2,48 кА/м, 2) Ho = 1,24 МА/м
На рисунке качествен-
но представлены гис-
терезисные петли для
двух ферромагнетиков. Объясните,
какой из приведенных ферромагне-
тиков применяется для изготовле-
ния сердечников трансформаторов
и какой—для изготовления посто-
янных магнитов.
<302>
3.7. Основы теории Максвелла
для электромагнитного поля
Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника
ЭДС. Пренебрегая краевыми эффектами, докажите, что ток сме-
щения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конден-
сатора, равен току в цепи источника ЭДС.
J 2лг1 dt	2л г I dt J 2лг1 dt
dQ dQ	2xrldQ dQ
— ------,	о = 2лг1,	=--------= —
dt	dt	2л r I dt	dt
Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной
и дифференциальной формах и объясните физический смысл каж-
дого из уравнений. Зачем вообще необходима дифференциальная форма урав-
нений9
<303>
Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационар-
ных полей ( Е = const и В = const ) в интегральной и дифферен-
циальной формах и объясните физический смысл каждого из уравнений.
Запишите уравнения Максвелла через поток вектора электричес-
кого смещения Фо, поток вектора магнитной индукции Фя , за-
ряд Q и силу тока /.
Докажите с помощью одного из уравнений Максвелла, что пере-
менное во времени магнитное поле не может существовать без
электрического поля.
Дано	Решение
в = в(о	В = В(7), —^0, rotE = -— £ 0 , rotE^O. dt	dt
rot Е — ?	
QOtneem Есть вихревое электрическое поле.	
Докажите, что уравнения Максвелла rotE — — ЭВ/Sz и divB = 0
совместимы, т. е. первое из них не противоречит второму.
Дано	Решение
dB 1) rotE = - — ’	dt 2) div В = 0	1) rotE = - —, , dt div rot E = div| - — | = ——(div B), \ dt J dt
Совместимы 1) и 2) — ?	div rotE = 0;	div В = const, 2) div В = 0;	1) div В = const.
1) и 2) совместимы.
<304>
(3.236 ) Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиу-
на/ сом R, изменяют так, что магнитное поле внутри соленоида рас-
тет со временем по закону В = At2 ,гдеА — некоторая постоянная. Определи-
те плотность тока смещения как функцию расстояния г от оси соленоида.
Постройте график зависимости jCM(r).
Дано	Решение		
R B=At2 А = const	др /см “ ~ ’ 01	dB	
Ам(О ~ ?	fEdl = -f L	S	— dS, dt	
	B=At2,	dB „ , — = 2At; dt	
r<R,	2лгЕ = лг2 	2At,	E - Air,	Am = -£0Ar ;
r> R,	2лгЕ = лЕ2	2At,	„ R2At E -	, r	e0AR2
			Jcm —	’ r
r = R,	E=AtR,		j'eM = Z()AR 	
(305>
В физике известно так называемое уравнение непрерывности
г	дО
Ф j dS  ---, выражающее закон сохранения заряда Докажите,
8	Э‘
что уравнения Максвелла содержат это уравнение. Выведите дифференциаль-
ную форму уравнения непрерывности.
Дано	Решение
Г Вывести из уравнений Максвелла, записать дифференциальную фор- му уравнения непрерыв- ности. Поверхность замкнута, пс	^7//d/ = |(j + —| dS (S —любая поверх- ность, опирающаяся на замкнутый контур L), j j„ dS = Н, d/ - j — dS . Рассмотрим бесконеч- S	L	S а> но малый контур, стянув его в точку, а поверхность оставим конечной. Тогда Ht dl = 0. L дЕ) тому можем записать: у jn dS = -у	dS .
Используем III уравнение Максвелла и продифференцируем его по времени:
.V
V
aQ	-л
— —уравнение непрерывности в интегральной форме
dt
<fj„dS	J^dK
I	I M
lim -------= - lim --------
i ->o И r->o V
.. . ар
div j --------
dt
Определите силу тока смещения между квадратными пластинами
конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электричес-
кого поля изменяется со скоростью 4,52 МВ/(м  с).
Ответ
/см = 0,1 мкА.
р dP' ,
5
<5об>
4. Колебания и волны
4.1. Механические и электромагнитные колебания
Гармонические колебания величины .s описываются уравнением
(
s = 0,02 cos I бда + у I, м. Определите: 1) амплитуду колебаний;
2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.
Дано
Решение
s = 0,02 cos
s = A cos(w0/ +	,
А - 0,02 м, со0 = 6% с1,
1)	Л — ?
2)	<w0 — ?
3)	v — 2
4)	Т — ?
Ю0
v = — = 3 Гц,
2%
7^ = 1 = 0,33 с.
v
I) А = 0,02 м; 2) а>0 = 6л с-1;
3) v = 3 Гц;
4) Г = 0,33 с.
Запишите уравнение гармонического колебательного движения
точки, совершающей колебания с амплитудой А = 8 см, если за
t = 1 мин совершается п = 120 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.
Дано
Решение
А = 8 см = 8 • 10 2 м
/ = 1 мин = 60 с
/7 = 120
а = 45°
х = A cos(o>0/ +	.
2л
v(() —9
, см.
Q 4.3 J Материальная точка совершает гармонические колебания с амп-
’чмийииг ЛИТуДой _ 4 см и периодом Т = 2 с Напишите уравнение дви-
жения точки, если ее движение начинается из положения х0 = 2 см
Дано
Решение
Л = 4 см = 4  10 2 м
Т = 2 с
х0 = 2 см = 2 • 10-2 м
х = A cos(to0f + <р),	[ - о ,
cosu? = —=0,5,	«? = —,
г А г 3 ’
х0= A cos<p,
2л
"о = —л- с-',
х(Г) -?
Точка совершает гармонические колебания с периодом Т = 6 с и
начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, счи-
тая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на полови-
ну амплитуды.
(Omeem^ t = i с?
г 4.5 } Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его
..... - амплитуда А = 15 см, максимальная скорость колеблющейся точ-
ки пгаах = 30 см/с, начальная фаза <р - 10°.
Дано
А = 15 см = 0,15 м
wmax = 30 см/с = 0,3 м/с
<р = 10°
г(Г) — ?
Решение
х = A cos(ft>0r + уэ), и = sin(ft>or + <р),
°" А
„ I	я \
х = 0,15 cos 2/ + — , м
I	18 /
Точка совершает гармонические колебания по закону
х = 3 cos
, м. Определите: 1) период Тколебаний, 2) мак-
симальную скорость vmax точки; 3) максимальное ускорение «тах точки.
1) Т = 4 с; 2) vmax = 4,71 м/с; 3) атах = 7,4 м/с2.
Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см
и периодом Т = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную ско-
рость; 2) максимальное ускорение.
Дано
А = 10 см = 0,1 м
Т = 5 с
1) итах — ?
2) «гаах — ?
Решение
х = A cos(to0/ + <р), v = -Аси0 sin(to0r + р),
у	। . I
а = -Аш-0 cos(w0/ + p), ш0= —, итач=(Лсо0|,
ата.х =|л^|. Q Ответ у,пах = 12,б см/с;
2) агаах = 15,8 см/с1-.
ff** 4 8 'J Скорость материальной точки, совершающей гармонические ко-
лебания, задается уравнением ) =-6 sin 2Я1. Запишите зави-
симость смещения этой точки от времени.
х(/) =— соэ2л7
я
Материальная точка совершает колебания согласно уравнению
х = A sin mt. В какой-то момент времени смещение точки х( = 15 см
При возрастании фазы колебания в два раза смещение х2 оказалось равным 24 см
Определите амплитуду А колебания
Ответ
А = 25 см.
<309>
Материальная точка совершает гармонические колебания соглас-
но уравнению х = 0,02 cos ^я/ + у j, м. Определите: I) ампли iyj\
колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максималь-
ную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько време-
ни после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия
Дано
Решение * I
I	л 1
х = 0,02 cos я/ -I— , м
I	2 J
х = A cos(a>0f + <р),
А = 0,02 м,
т = —
ш0
= л ,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Г = 2 с,
и — ?
max
"max
v = -0,02я sin я/ + —
тач = 0,02я м/с.
гу I	!
а = -0,02я" cos я/ + — ,
I	2J
"max = 0,02я- mV
А -?
Т — ?
<р — 2

При х - 0 0,02 cos я/ +
л1 + — = (2m +1)— (m ~ 0.1,2, 3,. j
тл
---= m.
л
Qomeetn'y 1)Л = 2см; 2)T = 2c; 3)¥> = у; 4) nmas = 6,28 см/с.
5) атах = 19,7 см/с2; 6) / = т с, где т = 0, 1, 2, 3,...
Определите максимальные значения скорости и ускорения точки,
совершающей гармонические колебания с амплитудой А - 3 см
и периодом Т = 4 с.
Umax = 4,71 см/с;
2) "max = 7’4 СМ/С2.
<зТо>
ОД2 3 Материальная точка, совершающая гармонические колебания с
-	частотой v = 1 Гц, в момент времени / = 0 проходит положение,
определяемое координатой х0 = 5 см, со скоростью и0 = 15 см/с. Определите
амплитуду колебаний.
А - 5,54 см.
^4.13^ Тело массой /и = 10 г совершает гармонические колебания по за-
кону х = 0,1 соз(4л7 + л/4), м. Определите максимальные значе-
ния: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.
Дано	Решение	
т- 10 г= 10“2 кг	х = А соз(ш0/ + <р),	X - 0,1 COS 4М + — ,
х - 0,1 соз(4л:/ + я/4) м		к	4/
—	А = 0,1 м,	ш = 4л с’1,
1) |^тах| -?	v --Аа)0 sin(to/ + <р),	а = -Aojq cos(to0/ + <р),
2) 4ах -?	ат„. = -Аа>п , max	и ’	F = та,
Qomeem 1) |Fmax| = 0,158 Н;2) Tmax = 7,89 мДж.
Материальная точка массой т = 50 г совершает гармонические
Зтг
колебания согласно уравнению х = 0,1 cos—/, м. Определите:
1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е
точки.
1) £ = 78,5 мН; 2) £ = 5,55 мДж.
<зи>
Материальная точка массой т = 20 г совершает гармонические
колебания по закону т 0.1 соз(4лт г/ ') м Опр», пс ние потную
энергию Е этой точки
Дано	Решение
m=2Q г = 2 10 2 кг х = 0,1 соя(4л7 + л/4), м	„ „	mv2 тА2оД\ э Е — F 1-11 ,	Г ~ ~	~— sin (Wq/ + у?),
Е	„ fcr2 тА2<1)7,	,	mA2a>k П= 2 =	2 0 cos-K/+^,	Е=	°
Ответ ) 5 = 15,8 мДж
Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна
10 мкДж, а максимальная сила . действующая на точку, рав-
на-0,5 мН Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колеба-
ний равен 4 с, а начальная фаза <р = я/6
Дано	Решение
Е = 10 мкДж = 10 5 Дж Лпах = -0,5 мН Т = 4 с	Е= 2 °,	|FmdJ - wAo2,
л	Е _ mA2a)Q _ А	А= 2Е nax|	2	^niax 2%
X(f)	a)Q= —,	х = A cos(w0/ + <р)
Вычисления
^ГЮ101дж = 004 0,5 10’3Н	2л л	ППЛ (л л} м, to., = — = — с1 т = 0,04 cos —1 + — , м 4 с 2	1 2	6 J
Опр< ii нк )1п> к । .innoii энергии 7 точки соверша
ющей 1 армоническне. ко тебтнпя к ее потенциальной энергии II
если известна фаза колебания
Дано	Решение
(Dot + (р	\ - 1 cos(o( t + р) ,
			1 - Iwo ып(«эо/ 4 р) ,
	И - If )2 cos(w,)/ 4 р) - -йЭрХ .
wir тА'ш^
т = -у- = —“ sin-(w0Z + р),
n = -J
о
г 2 та\л mA
тш^х ах = ——
о
cos“(«V + <Р),
Т sin2(w0/ + p)
п-----т——; =	+ <Р)
П cos (<j)ot + <p)
= tg-(wor + <р)
Определите полную энергию материальной точки массой т , ко-
леблющейся по закону х = A cos(to0/ + <р)
Дано
Решение
х = A cos(w0r + <р)
Е=Г+П,
2	.2 2
mv mA со.,
? ______ и
2 “	2
sin‘(w,7 + <р),
П- Ьс* _ тА~Шд
2 “	2~~
cos2(w0r + р),
’ п
Е — ?
тА-ю~й
L =-------
2
Л —--------
2
313
Q4-19 J Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертика-
ли с амплитудой Л = 8 см. Определите жесткость к пружины, если
известно, что максимальная кинетическая энергия Гтах груза составляет 0,8 Дж
Дано	Решение
А = 8 см = 8 • 10 2 м ГП1ач = 0,8 Дж	кх2 Е = Птях = Ттях,	П =	, гп ах	т dx ‘	*
 2
к — ?	„	кА	2Г П	_	 1 _ ^'тах max	о >	* —	о А~
Ответ ) * = 250 н/м
Материальная точка колеблется согласно уравнению х - A cosco/.
 где А = 5 см и ш = я/12 с-1. Когда возвращающая сила F в пер-
вый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказыва
ется равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени /; 2) соответствую-
щую этому моменту фазу (Dt.
Дано	Решение
х = A cosw/	F = -кх - -Ак cosw/,
А = 5 см = 5 10 2 м из = тт/12 с 1 F = -12 мН = -1,2- 10’2Н П = 0,15 мДж = = 1,5- 10 4 Дж	„ кх2 кА2 2 П =	=	cos cut, 2	2 П	А — =	cosw/, F	2
1	( 2П
1) / —? 2) (Dt — ?	t = — arccos	, w	1, AF J ( 2ПА ш( = arccos	. 1 AF)
( Ответ ) V	' = 4	c; 2) cot = — рад.
ДИИЙИИН Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по верти-
кали с амплитудой А = 6 см. Определите полную энергию Е ко-
лебаний груза, если жесткость к пружины составляет 500 Н/м.
м2
Е = — = 0,9 Дж.
д,22 -J Спиральная пружина обладает жесткостью к = 25 Н/м. Опреде-
лите, тело какой массой т должно быть подвешено к пружине,
чтобы за t = 1 мин совершалось 25 колебаний.
Дано
к = 25 Н/м
t = 1 мин = 60 с
N = 25
Решение
т — ?
kt
2л) 4x2N
Ответ ) т=з,б5 кг
Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружи-
не, на 600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Опре-
делите массу первоначально подвешенного груза.
Дано	Решение
\т = 600 г = 0,6 кг Т2 = 2Т\	„ ~ [т	~ - 1т+Дт '=лУк’	2= V к ’ Е 1т+ Ат
т —2	-J	-2,	4w-w+Aw, Т2 V т
	т = —. 3
г Ответ	1 т = 200 г
<315)
4Й) При подвешивании грузов массами	= 600 г и m2 = 400 г к сво-
бодным пружинам последние удлинились одинаково (I = 10 см).
Пренебрегая массой пружин, определите: 1) периоды колебаний грузов; 2) ка-
кой из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколь-
ко раз.
Ответ J 12) г г 0>63 с;3) ®L=a=1,5
- -- Ег т2
I 4.‘25уу На горизонтальной пружине жесткостью к = 900 Н/м укреплен
шар массой М = 4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он
может скользить без трения. Пуля массой т= 10 г, летящая с горизонтальной
скоростью и0 - 600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную
вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пру-
жины и сопротивлением воздуха, определите: 1) амплитуду колебаний шара;
2) период колебаний шара.
Дано
к = 900 Н/м
М- 4 кг
т = 10 г= 10-2 кг
v0 = 600 м/с
1) А — ?
2) Т — ?
Решение
mv0 =(М+ m)v,
v =----,
М + т
(M+m)v1 2 _ кА2
2	2 ’
(Л/ + т)А2ш2 _ кА2
2
2л . М+ т
Т = — = 2л.------
w \ к
1) Л = 10 см; 2) Г = 0,419 с.
<316>
На чашку весов массой М, подвешенную на пружине жесткос-
тью к, с высоты h падает небольшой груз массой т. Удар груза
о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза
начинает совершать колебания. Определите амплитуду А этих колебаний.
Дано
м
к
h
т
Решение
А —7
mv}
— = mgh ,
mvt = (т + M)v,
т+ М
При ненагруженной чашке:
Mg = kl,
Mg
—(ш+М)и2+(М+zw)g(x0 -/) = ]кх dx ,
-(ш+ М)—~~~— 2gh + (m + M)g(x0-/) = —^(Xq-/2)
2	(т+М)~	2
Решаем уравнение относительно х0:
т+ М m2g2	2т2 gh
х =-----„ ± —+------ё--
к у к2 (т + М)к
При нагруженной чашке:
(т + M)g = кГ,
,	(т+ М)
А = г -Г= m2g2 । 2n,2gh
°	\ к2 {т+ М)к
А= , 2m2gh
\ к2 (т + М)к
<^17>
Физический маятник представляет собой тонкий однородный стер-
жень длиной 35 см. Определите, на каком расстоянии от центра
масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.
сЬ 73g(/2-12x2)
^х(/2 + 12х2)3
12-Пх2 = 0,
х = 10,1 см.
Однородный диск радиусом R - 20 см колеблется около горизон-
тальной оси, проходящей на расстоянии 7 = 15 см от центра диска.
Определите период Т колебаний диска относительно этой оси.
Дано
Л = 20 см = 0,2 м
7 = 15 см = 0,15 м
Решение
Т —?
ImR2 + 2ml2 IR2 + 2/2
'J------; = 2лЛ ;—
V 2mgl У 2gl
Ответ ) т = 1,07 с.
Тонкий обруч радиусом R = 50 см подвешен на вбитый в стену
гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Определи-
те период Т колебаний обруча.
Т = 2 с.
в Тонкий однородный стержень длиной I = 60 см может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верх-
ний конец стержня. Стержень отклонили на угол «0 = 0,01 рад и в момент
времени ?0 = 0 отпустили. Считая колебания малыми, определите период ко-
лебаний стержня и запишите функцию a(f).
Т — 1,27 с; а(Г) = 0,01 cos 1,57л7 рад.
Тонкий однородный стержень длиной I - 60 см может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии
х - 15 см от его середины. Определите период колебаний стержня, если он
совершает малые колебания.
Дано
i = 60 см = 0,6 м
х = 15 см = 0,15 м
Решение
Т___2
Т = 2л
ml2 2
---+mx
\~------
I mgx
, ll2 + 12x2
V 12gx
7 = 1,19 с.
4.32
Маятник состоит из стержня (7 = 30 см, т - 50 г), на верхнем
конце которого укреплен маленький шарик (материальная точка
массой т' = 40 г), на нижнем — шарик (R= 5 см, М = 100 г). Определите
период колебания этого маятника около горизонтальной оси, проходящей че-
рез точку О в центре стержня.
Дано
Решение
1-30 см = 0,3 м
т = 50 г — 0,05 кг
т' = 40 г = 0,04 кг
7? = 5 см = 0,05 м
М = 100 г = 0,1 кг
+ - MR2 +
5
2
Математический маятник, состоящий из нити длиной Z = 1 м и
свинцового шарика радиусом г = 2 см, совершает гармоничес-
кие колебания с амплитудой А = 6 см. Определите: 1) скорость шарика при
прохождении им положения равновесия; 2) максимальное значение возвраща-
ющей силы. Плотность свинца р = 11,3 г/см3.
V / + Г
Ъ /?тах=-ряг3/1^-=218 мН.
max	1 + г
Два математических маятника имеют одинаковую массу, длину,
отличающиеся в п = 1,5 раза, и колеблются с одинаковой угловой
амплитудой Определите, какой маятник обладает большей энергией и во сколько
раз
Дано
Решение
и, - я, - т
,ai =<! ’ ~ а
h - 1,5А
£>Птах,	Ппшх - mghmilx,	^,ax=Z-Zcosa = Z(l-cosc/),
£. Z,
F} = mgl}Q - coscr),	F-, = wgZi(l-coscr),	— = —.
E2 h
^Orneemj f.{ } 5
Два математических маятника, длины которых отличаются на
AZ-16 см, совершают за одно и то же время один н, = 10 колеба-
ний, друюй— п2 -6 колебании Определите длины маятников Z, и /2
QOmeetn^ = 9 см; /2 = 25 см.
Математический маятник длиной Z = 50 см подвешен в кабине
самолета. Определите период Т колебаний маятника, если само-
лет движется: 1) равномерно; 2) горизонтально с ускорением а = 2,5 м/с2.
1) 1,42 с; 2) 1,4 с.
<321>
(Ж Математический маятник длиной 1 = 1 м подвешен к потолку ка-
.....	' бины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорени-
ем at = g/4. Спустя время t, = 3 с после начала движения кабина начинает
двигаться равномерно, а затем в течение 3 с тормозится до остановки. Опреде-
лите: 1) периоды 7], Т2, Т3 гармонических колебаний маятника на каждом из
участников пути; 2) период Т4 гармонических колебаний маятника при движе-
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
L = 0,2 мГн и конденсатора площадью пластин S = 155 см2, рас-
стояние между которыми d = 1,5 мм. Зная, что контур резонирует на длину
волны А = 630 м, определите диэлектрическую проницаемость среды, запол-
пластинами конденсатора. 
нии точки подвеса в горизонтальном направлении с ускорением а4 = g/4.
Дано
I = 1 м
«1 = g/4
/, = 3 с
v2 = const
t2 = 3 с
v3 = О
а4 = g/4
1) 7], т2, т3 — ?
2) Т4 — ?
1) 7J = 2,32 с,
Решение
Т4 = 2л
дающей пространство между
Дано
L = 0,2 мГн = 2  10~4Гн
5=155 см2= 1,55 • 10“2м2
d - 1,5 мм - 1,5 • 10-3 м
А = 630 м
£ —?
Решение
С = ^,	Г = 2л77с,
а
, . т о LcoeS
X = сТ = 2ncJL-,
V d
( Ь f d
£ = -- -----.
\2ncJ £qLS
Колебательный контур содержит соленоид (длина 1 = 5 см, пло-
щадь поперечного сечения 5, = 1,5 см2, число витков N = 500) и
плоский конденсатор (расстояние между пластинами d = 1,5 мм, площадь пла-
стин S2 = 100 см2). Определите частоту собственных колебаний контура.
Т2 = 2,01 с, Т3 = 1,79 с ;
2) Т4 = 1,97 с.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн
и конденсатора емкостью С = 2 нФ. Пренебрегая сопротивлени-
ем контура, определите, на какую длину волны этот контур настроен.
Дано	Решение
L = \ мГн= 10“3Гн	X = cT,	T = 2xjLC ,
C = 2 нФ = 2 • ИГ’Ф R=0	A = 2лсДс .
A —?	(Ответ') A = 267
Дано
1 = 5 см = 0,05 м
S] = 1,5 см2 = 1,5 • 10~4м2
N = 500
d = 1,5 мм = 1,5 • 10-3 м
S2 = 100 см2 = 10~4 м2
Решение
т ДГ2^ ЛГ2^
=do~Y~
^=i
Id
Wn — I	>
V Eodo^ ^2
1	_ c r~id~
бУ°'”?	C 4^d~o’
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностьк
L = 0,1 Гн и конденсатора емкостью С = 39,5 мкФ. Заряд конден-
сатора Qm=3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запишите уравне-
ние: 1) изменения силы тока в цепи в зависимости от времени; 2) изменения
напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.
Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в
колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раз-
Дано	Решение
£ = 0,1 Гн С = 39,5 мкФ=3,95- 10~5Ф gm=3 мкКл = 3 • 10-6Кл R = 0 1) /(/)-? 2) £7с(0 — ?	1 "о- Г~->	Q-Qm COSW0t, v - 1 =	= ~42тШО sin<Uof = -4?тШ0 cosf W,jf + у).
С >	См,
^2 = —<Р1 = «‘<Р1,
двигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в п = 2 раза.
Определите работу, совершенную против сил электрического поля.
Дано	Решение
= 0,2 мДж = 2'10“* Дж п=2 А —?	v = l,	Т’ = 2лэ/£С, Т V2	\С2 ^2
Q = С^, = С2<р2 = const,
- 'У
1) I = 1,5 COS 1607Г/ +
2) Uc = 76 cos(160jt/), мВ.
Л=1Г2-^ = и2^-^=(и2-1)^.
Ответ л = о,б мДж.
Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку индук-
тивностью £ = 0,1 Гн и конденсатор, со временем изменяется
согласно уравнению I = -0,1 sin 200л/, А. Определите: 1) период колебаний;
2) емкость конденсатора; 3) максимальное напряжение на обкладках конденса-
тора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию
электрического поля.
га л л а Л
V 4.44 £1 Конденсатор емкостью С зарядили до напряжения U и замкнули
у. ту
на катушку индуктивностью £ . Пренебрегая сопротивлением кон-
тура, определите амплитудное значение силы тока в данном колебательном контуре.
Ответ )	2
s .п 1) Г = — = 10 мс; 2) С =—=- = 25,3 мкФ;
ш0	4л2 £
1	LI2
3) ит =	= 6,29 В; 4) С =	= 0,5 мДж;
СОдС	2
С/72
5) 1Гтэ=—^ = 0,5 мДж.
Дано	Решение
с ит £ I 2т С Ответ Л \	✓ Im=L	1 Q - Qm cos(w0r + <р),	ш0 = г— , Qm = сит ,	I = -<w02m sin(«V + </>), Ап ~ шо£?т ~	U™ =^т	’ '"Jf-
f 4.45 ) Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков
'чигтитии»*' jv = iqo индуктивностью L = 10 мкГн и конденсатор емкостью
С = 1 нФ. Максимальное напряжение Um на обкладках конденсатора состав-
ляет 100 В. Определите максимальный магнитный поток, пронизывающий ка-
тушку.
Дано	Решение
N= 100 L = 10 мкГн= 105Гн С = 1 нф= 109Ф Um = 100 В ф — 9 m ( Ответ Л ф =п 	 У	v	Q=Qm cos(w0/ + <р),	а>0=	, y/LC 1 = -^oQm sin(w0/ + <р), Im = a>o0m , Qm=UmC,	^ = ^Фт, ф = и™ = L^oQm _ WpLC Um _ Um r— m N	N	N	N	 1 мкВб.
j Д Д6 ga Два °Динаконо направленных гармонических колебания одинако-
........вого периода с амплитудами A t = 4 см и А2 ~ 8 см имеют раз-
ность фаз <р = 45°. Определите амплитуду результирующего колебания.
Дано	Решение
A j = 4 cm = 4 • 10-2 м	X, = A , cos( w/ +	),
Аг = 8 cm = 8 * 10 2 м	— A~y cos(w/ + <p~)),
p=45°	4>2 - <Pl = <P ,
A -?	A2 = A 2 + A% + 2А cos<p ,
	A = A j" + A2 + 2/1 |/l-> cosy, .
Q Ответ j л = и,2см	
«ж) Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сло-
жтМпИУ жении двух одинаково направленных гармонических колебаний
одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60°, равна А = 6 см. Опреде-
лите амплитуду А 2 второго колебания, если А ]= 5 см.
Определите разность фаз двух одинаково направленных гармони-
ческих колебании одинаковой частоты и амплитуды, если амплиту-
да их результирующего колебания равна амплитудам складываемых колебаний.
Qpmeem^ ^ = 120°.
Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колеба-
ний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см
составляет л/4 . Напишите уравнение движения, получающегося в результате
сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.
Дано	Решение
s о II S о II o " И H -	9- Ьч ч;	<	9-	X] = A ] cosw/, x2 = A2 cos(a>t + p2), л	_ 2л Ду? = —,	p2 — &ip,	w- , A = A 2 + A2 + 'ZA ^2 cosy? — A j -^2(14“ cosA^p) f
х(Г)—?	A' sin^ + ^sin^	п
tgy? =--------------= 0,414, р- — ,
А ] COS^] + А2 COSy?2	8
х = A cos(oH + tp).
(Ответ )	(nt лЛ
J х = 9,24 соя — + — , см.
---------S	2	8 }
<326>
<'3275
(4.50~)
Складываются два гармонических колебания одного наира: .
ления, описываемых уравнениями xt = 3 cos2.т/ , см :
v2 = 3 соз(2л7 + я/4), см. Определите для результирующего колебания: 1) ам
плитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания
п представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.
Дано
Решение
г( = 3 cos 2л /, см
а. - 3 соз(2л7 + я/4), см
1)	А
2)	<Р — ?
3)	х(Г) -?
/\<р = <р2 -/>!=->
Х| = Л| cosfto/ + <р| ),
х2 - А2 cos(a>t + <р2),
At sin <р. + А2 sin <р2 _ sin tp} + sin <р2
A, COS<P| + А2 COSp2 COS^i + COSyb
А = у] А? + А2 + 2Д А2 cos Ду? = Л,	,
sin 0 + sin -
tgy? =-------1=0-414’
cosO+ cos-
4
л
8'
.4-3'2 1+cos- =5,54 см,
И 4 J
х = 5,54 со8^2л7 + —j .см.
1) А = 5,54 см;
л
8 ’
3) х = 5,54 cos 2л/ + — , см.
\	87
<^28>
Й.51
Точка одновременно участвует в п одинаково направленных гар-
монических колебаниях одинаковой частоты: А} cos(ov -г- у?,),
J, cos(on + уъ), А„ cos(«H + <рп). Используя метод вращающе! ося вектора
амплитуды, определите для результирующего колебания: 1) амплитуду. 2) на-
чальную фазу.
Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов на-
строены на 560 и 560,5 Гц. Определите период биений
Дано	Решение
= 560 Гц - 560,5 Гц Г - 9 л 5 (Ответ г	2тг Т- -	,	Aw = 2.Т Ап, Ла) 1 Ап = Пт - П|,	Гб =	. rs-v, С.
<329>
В результате сложения двух колебаний, период одного из которых
7] = 0,02 с, получают биения с периодом Т& = 0,2 с. Определите
период Т2 второго складываемого колебания.
Й!5бЯ| Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
Ж ‘ииУ происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = 3 cosa?/, см и у = 4 cosa?/, см. Определите урав-
нение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
Ответ
Т-, = 18,2 мс
Складываются два гармонических колебания одного направления,
имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы,
с периодами 7] - 2 с и Т2 = 2,05 с. Определите: 1) период результирующего
колебания; 2) период биения.
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = 3 cos2a?/, см и у = 4 cos(2a?/ + л), см. Определите
уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
1)7’ = 2,02 с;
2) Т’б = 82 с.
С 4.55 ) Результирующее колебание, получающееся при сложении двух
' гармонических колебаний одного направления, описывается урав-
нением вида х = A cost cos45/ (t — в секундах). Определите: 1) циклические
частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующего колебания.
Дано	Решение
х = A cos/ cos45/	X - Х| + Х-> ,
1) а?! — 9 а?2 — ? 2) 7^ -?	а;, - а?э	( а?, + а?,	А х-2А cos	/ cos —J	-t + to , 2	I, 2	)
Дано	Решение
x = 3 cos2a?/, cm у = 4 cos(2a?/ + %), cm T(x) — ?	у = 4 cos(2a?/ + я) = -4 cos 2a?/, у	X cos2a?/ = -—,	cos2a?/ = —, 4	3 x у	4 — + — =0,	y = -~x- 3 4	3
2	a?] -a?2= 2,	+ ^2 _ де 2	a?] +a?2= 90,
2a?] = 92,	a?] = 46 c ’,	a?2 = 44 c"1,	
т’-^Ь
6 Аа?
2я
2 с’1
= 3,14
с.
х = 3 см, у - -4 см;
х = -3 см, у = 4 см;
х = 3 см, у = -4 см;
х = 0 см, у = 0 см.
1)бо1=46с_|, а?2 = 44 с’;	2) Т6 = 3,14 с.
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = .4 sinoir и у = В coscot, где А, Ви со — положи-
тельные постоянные. Определите уравнение траектории точки, вычертите ее с
нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.
Дано	Решение
х = A sin со/
у = В coscot
х
— = sin cot
А
— = coscot,
В
КН Точка участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих
Г'8т"ти^г во взаимн0 перпендикулярных направлениях и описываемых урав-
нениями х = соз2яг и у - cos л/. Определите уравнение траектории точки и
вычертите ее с нанесением масштаба.
^Omeem^ 2у2-х = 1.
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
ЖДУ происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = A sin air и у = A sin 2cot. Определите уравнение
траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
Решение
х = A sin air
у - A sin2air
>(*)-?
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях
одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях и описываемых уравнениями х = A sin(oir + л/2) и у - A sin cot
Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масшта-
ба, указав направление ее движения по этой траектории.
£-11 1
у~2 ЕЕ?
Г А2
Дано	Решение
х = A sin(air + л/2)
у = A sin ан
Я*)-?
t = 0	x= A, y = 0;
T t=— 2	x = -A, y = 0;
х= Asincot,
X 1
у 2coscot ’
х = 0, у = 0;
х = 0,5 А , у - 0,866А ;
х - 0,707 А , у - А;
х = 0,866.4 , у = 0,866.4 .
у = A sin 2cot = 2 A sin air coscot,
х
— = sinair, coscot =
A
/ = 4х2 l-Д,
I Л
ЯНКВЯВ Период затухающих колебаний Т = 1 с, логарифмический декре-
Мент затухания & = 0,3, начальная фаза равна нулю. Смещение точ-
ки при t =' 2Т составляет 5 см. Запишите уравнение движения этого колебания.
Дано	Решение
Т = \ с
0 = 0,3
<р = о
t = 2T
X] = 5 см = 0,05 м
х = е coscor, (о = —,
Т
& = дТ,
х(0 -?
Й =	х, = 4>е Й2Г cos^-2T = 4 е 20 ,
?6*>	1	Ч2.Д
^40 = х1е ,	х = т cos—Г.
(Ответ ) Q1 -о,з( Л - ,
J x = 9,le	cos2л/, см.
Докажите, что для затухающих колебаний, описываемых уравнени-
ем х(г) = 4» е-<5' cos to?, выполняется условие x(t + Т) = х(1)е 'лт .
Амплитуда затухающих колебаний маятника за t = 2 мин умень-
шилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания <5.
Дано	Решение
t = 2 мин= 120 с — =2 4	x = A0e~Stcos(«jt + <p), А1 = е\ 1п^ = й/ Л	4 1 А,	-			
д —2	д~7’1п4~~ {Ответ	<5 = 5,78 ю“3 с
Логарифмический декремент колебаний 0 маятника равен 0,01.
Определите число Я полных колебаний маятника до уменьше-
ния его амплитуды в 3 раза.
А = 110-
К166 I Амплитуда затухающих
КГ J
И1||ПГ"1 за 1 мин уменьшилась в
:еныпится за 4 мин.
Ответ ) Al = 81
---------Z 4
колебаний математического маятника
3 раза. Определите, во сколько раз она
Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника 4 = 3 см.
По истечении ?, = 10 с А ]= 1 см. Определите, через сколько вре-
мени амплитуда колебаний станет равной А2 = 0,3 см.
Ответ ) z = 21 с.
Тело массой т = 0,6 кг, подвешенное к спиральной пружине же-
сткостью к - 30 Н/м, совершает в некоторой среде упругие коле-
бания. Логарифмический декремент колебаний 0 - 0,01. Определите: 1) вре-
"Мя, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; 2) число полных ко-
лебаний, которые должна совершить гиря, чтобы произошло подобное умень-
шение амплитуды.
Дано	Решение
т = 0,6 кг 4=30 Н/м 0 = 0,01 ”4 — = 3 А2 1) ?! -? 2) А, - ?	Си	5-	И "	Ч	1	V “!г t -=1—	,	Си	' _	о йх 1	е IJ J	+ II	II	“ 1- 11	I	К>	Си I —	II е 1 а	„	%, 11	11	? 44
Q Ответ	Z] =	97,6 с; 2)4=110.
335
Докажите, что выражения для коэффициента залхания д = г/(2т) ।
/~~	(r У
циклическом частоты ш =-^ «>0 - о' - .-— > 0 следуют из решения ди<р-
у т \2т)
ференциального уравнения для затухающих колебаний тх т- гх + кх = 0 ( т
масса тела, г —коэффициент сопротивления, к — коэффициент упругости;
Дано	Решение
тх + гх + кх - 0	1) х -= Яд e'df cos(to/ + <р),
1) д = 2т	х = -Лод e”<5f соз(аЯ г у?)- 10 е	sin(wt + <р),
2) а> = у]и)20 -d2 = = L f-iXo V т х2т)	х = Лод2 е ~Ar cos(o)/ + <p) а Д, e"dfw sin(w/ + <p) + i .ф)д e л’ sm(w' + у?) -- Д> e д,ш2 cos(uH г 99).
даД, е ''! [д' созфш + <р) + 2r)w sin(wt + <р) - cd2 cos(wz + 99 )j -
- гАо е'1” [d cos(to? + <р) + w siirUaii + у?)] + кА^ е'1' cos(a)t + <р) = 0,
(тд2 - то)2 - rd + к) cos(<uZ + <p) + (2md- г)ш sin(«H г уэ)= 0.
2тд- г = О
д = -~.
2 т
2) тд2 - ти>2 -гд + к = 0,
та)~ = тд2 - rd + к ,
к_
т
0.
т
<336>
f 4.70 ) При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух
< последовательных колебаний амплитуда второго меньше ампли-
Хды первого на 60%. Период затухающих колебаний Т = 0,5 с Определите:
П коэффициент затухания б : 2) для тех же условий частоту г0 незатухающих
Колебаний
Дано
А-, = 0.4Л ।
Т = 0,5 с
[ Решение
ф---------------------- — -
; А - 0,4zl..	0 = 1п—-.
! ~
&~дГ,	д = — In— ,
Т Л2
2) v0 = 2,02 Гц.
Q Ответ
1) д = 1,83 с
Тело массой m - 100 г, совершая затухающие колебания, за т = 1 мин
потеряло 40% своей знертии. Определите коэффициент сопротив-
ления г .
Дано		Решение
т = 100 г = 0,1 кг т = 1 мин = 60 с E(t + r) = 0,6E(t)		г	„ .	„ mA'а)2 й =	,	г - 2т0 ,	£ =	 2т	2 4 А	- е’2Й'
		
г —?		А	’	ДГ + т) е-2д(,+г)
£(/) 1		1	<1,1	2m. 1 т, 1 = — , б - — In — ,	г - — In — = — In —. 0,6	2т 0,6	2т 0,6 г 0,6
E(t + r) 0,6 ’	С	
^Omeem	г -8.51 10 4 кт /с.	
(gi)
Q	Дифференциальное уравнение для заряда в электрическом колеба-
d20 dQ Q
тельном контуре задается в виде +	+ с"= ' Зайдите решение это-
го уравнения. Определите: 1) собственную частоту контура; 2) циклическую ча-
стоту и; 3) коэффициент затухания <5.
Частота свободных колебаний некоторой системы со = 65 рад/с, а
ее добротность 0 = 2. Определите собственную частоту со0 ко-
[ебаний этой системы.
Дано
Решение
Дано	Решение
02Q R&Q Q 	
_^ + _^ = 0)	0 + 2д0 + со20 = О,
dt2 L dt LC	*
6 = -^-,	® = z	’ где u =	’
w = 65 рад/с
0 = 2
й>о •
ШО =
ш
2я
со = —,
Т
я
© = <ЗТ, 0 = -
0
0 я _ со
- 0Г ~ 20 ’
1) й)0__?	После нахождения производных и подстановки:
2) со—?	ii+ (соц-д2)и = 0,	в)2=Шц-д2,
и + ш2и = 0,	и = Qm cos(coc + <р),
I 2 W2
(V +—<
4Q2
1	>>	V------------------
-02J1 + 402 Г Ответ J <»0 = 67 рад/с.
__________________Q=Qme6‘ cos(w/ + y>).________
Q Ответ") Q = Qm e~d< cos^/+<p);
; З)^-
£ 4.75 И Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
* L = \0 мГн, конденсатора емкостью С = 0,1 мкФ и резистора со-
противлением И =20 Ом. Определите, через сколько полных колебаний амп-
литуда тока в контуре уменьшится в е раз.
За время, в течение которого система совершает N = 50 полных
колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определите доброт-
ность Q системы.
Дано	Решение
N = 50 A>/An=2	„ л 2=0’	® = <5T,
Q-l	
Дано	Решение
L = 10 мГн = 10"2 Гн С =0,1 мкФ = 10 7 Ф R= 20 Ом Апо _ е /щ/V	^ = ей\	^	= е\	йс = 1, (5-—	Г=-	= —,	t = NT, 2L'	<3	7? 2я	2я	I 1
N — ? 2я Г = , f 1 R2 \ LC 4L2	Т -	не t ill R2 N=- =	J	у  T я/?\ LC 4IL
QOmeem) n = s.
колеоательный контур содержит катушку индуктивностью
L 25 мГн> конденсатор емкостью С = 10 мкФ и резистор со-
ставлением Л-1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества
й. -1 мКл. Определите: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический
декремент затухания колебаш.й; 3) уравнение зависимости изменения напря-
жения на обкладках конденсатора от времени.
______Дано
L = 25 мГн = 2,5 • 10* Гн
С = 10 мкФ = 10'5 Ф
Я = 1 Ом
Решение
2тг__2я
ш ~ ГЕЛЕ’
UC 4L2
'	|в = дГ.___й(0=-^-е-*созм.
)i)r=WMC. 2)б1д0п„.
3) *7(0 = 100 е 20' cos637л/, В.
Определите логарифмический декремент, при котором энергия
колебательного контураза = 5 полных колебаний уменьшается
в п = 8 раз.
	Дано	Решение
II 23 II 00	А. К г 2 »L'
«4.78 ) Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
L = 6 мкГн, конденсатор емкостью С = 10 нФ и резистор сопро-
тивлением R = 10 Ом. Определите для случая максимума тока отношение энер-
гии магнитного поля катушки к энергии электрического поля.
— = 6.
г
ЭЛ
Определите добротность Q колебательного контура, состоящего
из катушки индуктивностью L = 2 мГн, конденсатора емкостью
С - 0,2 мкФ и резистора сопротивлением R = 1 Ом.
g = 100
№?4.80 J Частота v затухающих колебаний в колебательном контуре с доб-
ротностью Q = 2500 равна 550 кГц. Определите время, за кото-
рое амплитуда силы тока в этом контуре уменьшится в 4 раза.
Дано	Решение	
г = 550 кГц =5,5- 105Гц		ln-^- = (5r = ln4,
Q = 2500	АпЛ'	
I „	In 4	3T Л JIV
_mSL = 4 An.V	t =	,  d	Q~ 0~ dT~ d ’
-		s TCV о = —,	gln4
t —?	Q	
(Ответ / = 2 мс.		
Г 4 8 Определите закон убывания заряда конденсатора со временем при
его разряде в апериодическом режиме, т. е. когда о = ы0.
(Ътвет
<341>
<340>
I 4.W Я Определите минимальное активное сопротивление при разрядке
лейденской банки, при котором разряд будет апериодическим.
Емкость С лейденской банки равна 1,2 нФ, а индуктивность проводов состав-
ляет 3 мкГн.
j Собственная частота v0 колебаний некоторой системы составля-
WMHMF ет 5QQ гц Определите частоту v затухающих колебаний этой си-
стемы, если резонансная частота грез = 499 Гц.
Дано	Решение
C=l,2 нФ = 1,2 - Ю~9Ф	7—> co ,	бо-> 0,
z = 3 мкГн = 3 • I О’6 Гн	w =	-d2 ,	w0 = d ,
R — ?	"0- г—	& = — ,
	JLC	2L
	_1_ = A	R- 2L -2 Г VLC 2L’	~4bC \C-
Ответ	я= iooom.	
Дано		Решение	
v0 = 500 Гц		ш^с^-д2 ,	бод = ш2 + д2,
vpe3 = 499 Гц		"рез =7"о~ 2д2 ,	"о = "рез + 2<52 ,
v-2		<у2+д2 =60^3 +2д2,	д2 = О)2 - <3,
tOg = <У2 + б2 = (Z)2 + Ct)2	2	2	2 - "рез = 2(V ~ 60^ ’		v02 = 2v2-v2pe3,
^+У2рез
V 2
v = 499,5 Гц.
Объясните, в чем заключается различие автоколебаний и вынуж-
денных колебаний.
HHtou I Период затухающих колебаний системы составляет 0,2 с, а отно-
........шение амплитуд первого и шестого колебаний равно 13. Опреде-
лите резонансную частоту данной колебательной системы.
Решение
Определите резонансную частоту колебательной системы, если
собственная частота колебаний v0 = 300 Гц, а логарифмический
4L=e”r=13’
5бТ = 1п13, д = —, Wne, = J"o - 2Й2 ,
декремент 0 = 0,2.
Дано	Решение
г0 = 300 Гц 0 = 0,2 v 	9 *реэ ^рез	Wq I	0 v	=. —-— = —— 11	 рез 2тг	2яГ 2я2	"рез =з/бу0-2о ,	д = —=	5-, Т 2л I &2 "рез="0^-Г-Г, V 2я _v L ®2		 v V 2л1 ' Q Ответ Vpej = 299,7 гц.
/	\2
( 2я |	.2 <>> $2
Шоез =1 --------- +(Г -2(Г
рез 111 J7 I
l	flnl3f I L 2 ln2l3
—J— - ----- =---J™------
2л\{Т} 5T J 2лT N 25
vpe3 = 4>98 Hl.
<343>
I	Гиря массой от = 0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине
X	жесткостью к = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с
коэффициентом сопротивления г = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины дей-
ствует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,1 cos cot, Н. Опреде-
лите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания б ; 2) резо-
нансную амплитуду Лез.
мИиЯЯМЬ Гиря массой от = 200 г, подвешенная на спиральной пружине же-
сткостью к - 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэф-
фициентом сопротивления г = 0,2 кг/с. На верхний конец пружины действует
вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,2 cos cot, Н. Определите:
1) частоту г0 собственных колебаний; 2) резонансную частоту грез; 3) резо-
нансную амплитуду Лрсз; 4) статическое отклонение.
Дано
от = 0,5 кг
к = 50 Н/м
г = 0,5 кг/с
F = 0,1 coscoz, Н
Решение
тх = -кх -rx + Fo coscot,
ti Fa	t г
X + 2OX 4 CO7X -— COSCOt .	0 = —
0 от ’	2от
1) г0 = 7,96 Гц; 2) грез = 7,88 Гц; 3) Лез = 2 см; 4) 4 мм.
1) <5 —?
2)	-?
A______V—
pe3’2dOT^-d2’
( 4.90 ) Амплитуды двух вынужденных колебаний системы с одинаковы-
i......ми собственными частотами при всех значениях частоты вынуж-
дающей силы различаются вдвое. Определите, какой одной (и только одной) из
величин (массой, коэффициентом сопротивления среды, коэффициентом упру-
гости, амплитудой вынуждающей силы) отличаются эти системы.
Ответ j i) <5 = 0,5 c-'; 2) ярез = 2 см.
Решение
^рез = 7ш0 - 2б2 ,
<5 = -^,
2от
(4.88Гиря i сассой от = 400 г, подвешенная на спиральной пружине же-
сткостью к = 40 Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротив-
ления г для этой системы составляет 0.5 кг/с. На верхний конец пружины дей-
ствует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = coscot, Н. Определи-
те: 1) амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы
вдвое меньше собственной частоты колебаний; 2) частоту вынуждающей силы,
при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 3) резонансную
амплитуду.
4 о
— = 2 для всех со, значит, и для отп., :
Л	р
Л	- Л
2Ьт{<о2-д2 1к г2
\ т 4т
Должна меняться только одна из величин: ни к, ни от (сл0|
1) А - 3,3 см; 2) сорез = 9,96 с *;	3)	= 20 см.
ни г (г входит в Лез дважды в знаменателе), изменяется Fo, причем F0] - 2Fm •
Qpmeem
Ли ~ 2F02.
<345>
В цепь колебательного контура, содержащего последовательно
соединенные резистор сопротивлением R = 40 Ом, катушку ин-
дуктивностью L = 0,36 Гн и конденсатор емкостью С = 28 мкФ, подключено
внешнее переменное напряжение с амплитудным значением Um = 180 В и ча-
стотой to = 314 рад/с. Определите: 1) амплитудное значение силы тока 1т в
цепи; 2) сдвиг <р по фазе между током и внешним напряжением.
Дано	Решение
R = 40 Ом Г = 0,36 Гн С = 28 мкФ = 28 • 10^Ф Um =180 В а) = 314 рад/с 1) 4. -? 2) <Р — ?	1	(	, \2 Z = .R2 + \a)L—— ,	U=ImZ, у I <оС)	т т I - -	Um т Г (	1 v ’ , R2 + ItoZ--- У \ <оС) Т 1 (i)L	
tg^ =----.
К
Вычисления:
, 402 Ом2 + 314рад/ сО,36Гн-----------------—
У	\	314рад/с-28-10~б Ф,
1
314 рад/с-0,36 Гн-	~г-
. Л	314рад/с-2810’6Ф
tgp =---------------——-------------------- -0,0175.
40 Ом
<р - -Г . Ток опережает напряжение.
Q Ответ i) im =4,5~а~ 2) ^ = -i°.
В цепь колебательного контура, содержащего катушку индуктив-
ностью L = 0,2 Гн и активным сопротивлением R = 9,7 Ом, а так-
же конденсатор емкостью С = 40 мкФ, подключено внешнее переменное на-
пряжение с амплитудным значением Um =180 Ви частотой to = 314 рад/с.
Определите: 1) амплитудное значение силы тока 1т в цепи; 2) разность фаз <Р
между током и внешним напряжением; 3) амплитудное значение напряжения
UL на катушке; 4) амплитудное значение Uc^ на конденсаторе.
Дано	Решение
L = 0,2 Гн Л = 9,7 Ом	,		 .	"£~<7с
	" 1	1	;V’	R '
С=40 мкФ = 4- 10’5Ф Um =180 В	JR.2 + wL	 У \ wCJ
to = 314 рад/с	При C->oo (7^ =7m^R2+(to£)2 
1) L	If i \2	i
2) ^ — ? 3) -?	При L —> 0, R 0	— Тщ i/	1 = Im	 F	c”	toCj m<oC
4) Uс —1	
С Ответ Л 4 =	9,27 A; 2) <p = -60°, ток опережает напряжение;
4 '	=589 В;4) Uc = 738 В. in
£,4.93 ) Последовательно соединенные резистор с сопротивлением
' S R = 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменно-
му напряжению с амплитудным значением Um =110 В. Оказалось, что ампли-
тудное значение установившегося тока в цепи 1т = 0,5 А. Определите разность
фаз между током и внешним напряжением.
-60°
ток опережает напряжение.
<347>
НИИНВ В колебательный контур, содержащий последовательно соединен-
ные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, под-
ключено внешнее переменное напряжение, частоту которого можно менять
не меняя его амплитуды. При частотах внешнего напряжения = 400 рад/с
и и, = 600 рад/с амплитуды силы тока в цепи оказались одинаковыми. Опре-
делите резонансную частоту тока.
Дано	Решение	
= 400 рад/с ш2 = 600 рад/с	1 = 1т при Щре, =	1 [lc '
Um - const	]	Ули.	
Anl “ ^т2	Jml	]	 J	—	1 у ’
^рез 2		(щС;
Дано
1=0,1 мГн = 10 4 Гн
7? = 3 Ом
С-10 нФ= 10вФ
t/m = 2 В
Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
L - 0,1 мГн, резистор сопротивлением R = 3 Ом, а также конден-
сатор емкостью С = 10 нФ. Определите среднюю мощность, потребляемую
контуром, необходимую для поддержания в нем незатухающих колебаний с ам-
плитудным значением напряжения на конденсаторе Um = 2 В.
Решение
(Р)-?
Q = Qm coscor,
Qm = cum,
dQ „ .
I =	= ~a)Qm sin tor,
dr
t]0 Г 0J	2 2LC 2 L
(Ответ ) D
J у)= 0,6 мВт.

<У2------
СО7
%ез =	•
2
^рез
60] -<w2
£_ £
<w2
l^l^l ,
%ез - 490 рад/с.
В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц пос-
ледовательно включены резистор сопротивлением R = 100 Ом, ка-
тушка индуктивностью L = 0,5 Гн и конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Опре-
делите амплитудное значение: 1) силы тока в цепи; 2) падения напряжения на
активном сопротивлении; 3) падения напряжения на конденсаторе; 4) падения
напряжения на катушке.
1) 4=M6 А;
3) иСт = 369 В;
2) t/o =116 В;
лп»
4) ULm =182 В.
f 4В цепь переменного тока частотой v = 50 Гц включена катушка
	' длиной I = 20 см и диаметром d = 5 см, содержащая N = 500
витков медного провода площадью поперечного сечения S = 0,6 мм2. Опреде-
лите, какая доля полного сопротивления катушки приходится на реактивное
сопротивление. Удельное сопротивление меди р = 17 нОм • м.
Дано	Решение
V = 50 Гц 1 = 20 см = 0,2 м	Z=^R2 + X2,	X=Rc + Rl,
d = 5 см = 0,05 м	^C = °,	Rl=<oL,
У = 500 S = 0,6 мм2 = 6  10“7 м2	R = p~s’	l' = nNd,
Р = 17 нОм • м = = 1,7 • 10*8 Ом • м	_ pitNd $ ’ <0= ^-nv>
X 	 	9 Z	L - u	S' - R-qN2S'	nd2 L Pol* ,	,	,	S'	
	Z .	1	4 ’ /4=1
X = Rl = lav/i^N2 — =	—-----= 0,97 Ом; R = 2,22 Ом;
X X
( Ответ Л £=оло1.
>----------7 Z
В цепь переменного тока частотой v = 50 Гц включена катушка
длиной / = 30 см и площадью поперечного сечения S = 10 см2,
^держащая N -1000 витков. Определите активное сопротивление катушки,
если известно, что сдвиг фаз <р между напряжением и током составляет 30°.
l.	Дано	Решение
	
V = 50 Гц	T i cuL-	
/ = 30 см = 0,3 м	tga? =	^c_,	w -	,
S = 10 см2 = 10“3 m2	R
У = 1000	1
p = 30°	^c= —= 0,	Rl = cuL, cot
R — ?	X cuL	N2s	uqN2S ,6*,= я=Т- i = w /	= 1 •
cuL 2m>ii0N2S	/4 = 1
R- -	
tgy?	1 tg<p	
[ Ответ ) я = 2,28 0м.
ДИюЙФ'' 1 К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью
’ИИ*' С = 0,15 мкФ. Определите амплитудное напряжения на зажимах,
если амплитудное значение силы тока равно 3,3 А, а частота тока составляет 5 кГц.
Ответ
Um=0,7 кВ.
Полное сопротивление Z цепи переменного тока,
содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку
индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается пе-
ременное напряжение U = Um cos cut,
Определите в случае переменного тока (v = 50 Гц) полное сопро-
тивление участка цепи, состоящего из параллельно включенного
конденсатора емкостью С = 10 мкФ и резистора сопротивлением R = 50 Ом.
z=r +	+
D
Z = - .-	= 49,4 Ом.
з/1+4тЛ2Я2С2
<351>
\ В цепь переменного тока с частотой v = 50 Гц и действующим
значением напряжения U = 300 В последовательно включены
лоиденсатор, резистор сопротивлением Л = 50 Ом и катушка индуктивностью
£ = 0,1 Гн. Падения напряжения Ц :772 = 1:2. Определите: 1) емкость конден-
сятора; 2) действующее значение силы тока.
Г ,4|Д4|||М Цепь переменного тока состоит из последовательно соединен»;
 катушки, конденсатора и резистора. Амплитудное значение су.
маркого напряжения на катушке и конденсаторе U> < m = 173 В. а амплцтудно
значение напряжения на резисторе UR =100 В. Определите сдвиг фаз меж
током и внешним напряжением.
Дано	Решение	—
UICm = 173 В =100 В	г 1 (i)L	 tg^_	wC , К	
<р - 9 Ч.	ик ~и, -иг и( = 4 шС ’	г- 	 —о ~ о—	,
г / I г	1 I
t.i ~ Ап ljl’----,
< шс)
Ч,
-АЛ,
t UicJm Ui.C,
120 —----X- ---J
uRb<
Дано	Решение
>»=50 Гц и = 300 В 7J = 5O Ом £ = 0,1 Гн	Г U1 1 tt II г^п-	
	° II	I——' 4 >
	
1) С - ? 2) / — ?	О] = 7-J/?2 + R2 =//r2 + (бо/)2 , 1	,	1 f 1 \2 O2 = /J/?2 + 7£ =Ф2 + ^—j ,
<р = 60°.
.Ц=1
U2 2 ’
R2 + (wL)2
^-*** * В ЦеПЬ пеРеменного тока частотой v = 50 Гц последователи!
включены резистор сопротивлением 7? = 100 Ом и конденсате
емкостью С = 22 мкФ. Определите, какая доля напряжения, приложенного
этой цепи, приходится на падение напряжения на конденсаторе.
( 1 У2
4Т?2 + 4(бо£)2 = 7?2 + —
Дано	Решение
г = 50 Гц 7?=100 Ом С - 22 мкФ = 2.2 • 10 5Ф v in	Q f'n,	Um=ImZ, Z=y)R2 + ^,	7<~=J- ш( = 2.tv .	=	=- +(1/2лиС)2 ( Ответ )Ц^0 8а
С = —	1 . -------,	(j) = 2яу ,
(O^R2 + 4(бо£)2
U
1) С = 29,8 мкФ; 2) / = 3,32 А.
U
г 1V I F Tv’
R2 +1 wL-.AR2+\ 2nvL-~—-
боС/ V \ 2nvC)
12 Сборник j и i’i
353
Я|||Щб| Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное зна- |
чение напряжения 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость
которой С = 1 нФ. Определите амплитудное значение напряжения на конден-
саторе, если активное сопротивление цепи R = 5 Ом.
В цепи переменного тока (см. рисунок к задаче 4.105) с частотой
v = 50 Гц вольтметр показывает нуль при значении С ~ 20 мкФ.
Определите индуктивность катушки.
Дано
v = 32 кГц=3, 2- 104Гц
Um = 120 В
С = 1нФ = 1(Г9Ф
R = 5 Ом
ос -?
Решение
Z. = 0,51 Гн.
Z - R (в случае резонанса),
Uc
'-'т
1
фС ’
ф = 2т>,
ис =119 кВ.
'-'т
ис,
1
4
С/с
ит
2лтС R
R фС ’
В цепи переменного тока с частотой а) = 314 рад/с вольтметр по-
казывает нуль при L = 0,2 Ги. Определите емкость конденсатора.
Дано
Решение
Z R ’
В приведенной на рисунке цепи переменного тока с частотой
v = 50 Гц сипа тока внешней (неразветвленной) цепи равна нулю.
Определите емкость С конденсатора, если индуктивность L катушки равна 1 Гн.
Дано
v = 50 Гц
7 = 0
1 = 1 Гн
С.—2
RL~ Re,
Решение
7 = 0,
£/д =^с
= Цп,

ит
1
фС’
ф = 314 рад/с
L = 0,2 Гн
Uy=Q
<4 = о,
+ Ц? = о,
4 = /4,
4 =	,
ф = 2т>,
1
фС ’
Rl=(oL ,
4 = о,
= фЬ .
фС
1
ф2Ь '
С = 50 мкФ.
= фЬ ,
фС
С = 10 мкФ.
U
Rl=(dL ,
1 1
Ф2Ь 4ti2v2L
Активное сопротивление колебательного контура R = 0,4 Ом.
Определите среднюю мощность (Р), потребляемую колебатель-
ным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колеба-
ний с амплитудным значением силы тока 1т = 30 мА.
= 18 мВт.
.354
U*
Как и какими индуктивностью L и емкостью С надо подключиц
х..,,-..,, катушку и конденсатор к резистору сопротивлением R = 10 кОм
чтобы ток через катушку и конденсатор был в 10 раз больше общего тока? Ча-
стота переменного напряжения г = 50 Гц.
Дано	Решение
Я = 10 кОм= Ю40м v = 50 Гц Л=-/с = 10/ L — ? С -? Rl = wL ,	С = - &	il = ic=\qi. Резонанс токов. Параллельное включение: =	=	7 = ^,	/с= —, R	R? =	Т = ^10Р "l R<: R	шС 0	т	R ,	а) = 2лл>, R	10ш
2xvR’ L 20да/	) Г = 3,18 Гн; С = 3,18 мкФ
Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 5 нФ
и катушку индуктивностью L - 5 мкГн и активным сопротивлени-
ем R = 0,1 Ом. Определите среднюю мощность (р), потребляемую колеба-
тельным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических ко-
лебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе Um = 10 В
Дано	Решение
С =5 нФ = 5 • 10~9Ф L = 5 мкГн = 5 • 1 СР6 Гн Я =0,1 Ом Umi =10 В (р)-?	2	Кс	тс lm=UmcwC, <о = шй=—^=, (Р) = ±и2т(^e-R L С ^твет J (7’) = 5мВт.
Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
L = 6 мкГн и конденсатор емкостью С = 1,2 нФ. Для поддержа-
ния в колебательном контуре незатухающих гармонических колебаний с амп-
литудным значением напряжения на конденсаторе U =2 В необходимо под-
водить среднюю мощность (Р) = 0,2 мВт. Считая затухание в контуре доста-
точно малым, определите добротность данного контура.
Дано	Решение				
1 = 6 мкГн = 6 • IO-6 Гн ,С = 1,2 нФ= 1,2- 10~9Ф Um =2 В тс (р) = 0,2 мВт = 2- 104Вт	Q = ^, * 2d <P} = ~I2mR’ 2.	<5 = — , 2L An ~ Ап( з		-II	Л- итс Rc ’
II r-i Е с<. 1	11 CM	'a-F	Rc =~7г’ ^т‘ ojC (Р\ 2(P}L	<»сит( , р-с<	0)	= w0 = Г».	1 VZc ’
	з'м| и П Д-	У 2{P}L	1с	2{Р)	Vi 
Q Ответ 6 = 141.					
вЁРжВ В сеть переменного тока с действующим значением напряжения
’’WrHMHF 120 В последовательно включены проводник с активным сопро-
тивлением 10 Ом и катушка индуктивностью 0,1 Гн. Определите частоту v
Тока, если амплитудное значение силы тока в цепи равно 5 А.
Дано	Решение
77=120 В	7m=^T^m = ^V2, Z = Jp2+(wL)2, ш = 2лг,
R = 10 Ом	Z
1 = 0,1 Гн	V277	1 \2U2	.
^=5 А	I =	v =	 -7--T? -51,6Гц. ^R2 + (2TtvL )2	2nL)j Im
V.— 2	Q Ответ	=51,бГц.
<357>
сш Диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которого равна 2,8.
ч. ..	исполь3уется в конденсаторе в качестве изолятора. Конденсатор, нахо-
дясь под напряжением, поглощает некоторую мощность, причем при v = 50 Гц
коэффициент мощности cosy, = 0,1. Определите удельное сопротивление ди-
электрика.
•О -
0P”
Цепь, состоящая из последовательно соединенных безындукци-
онного резистора сопротивлением R -100 Ом и катушки с ак-
jhmm сопротивлением, включена в сеть с действующим напряжением
= 300 В. Воспользовавшись векторной диаграммой, определите тепловую
4Г	X,
мощность, выделяемую на катушке, если действующее значение напряжения
да сопротивлении и катушке соответственно равно UR = 150 Ви UL = 250 В.
р =--------= 12,9 МОм • м.
27CVEE0V1 — cos2 р
Дано
7=Ю0 Ом
^ = 300 в
^ = 150 В
UL = 250 В
Решение
Ur
R ’
U2 = U2R + U2L-2URVLcos<pL,
u2-u2r-u2l
PL = IUL cos<pL,
( 4.114 | В Цепь переменного тока напряжением Um = 220 В и частотой
" 	50 Гц включена катушка с активным сопротивлением. Сдвиг фаз
между напряжением и током составляет я/6. Определите индуктивность ка-
тушки, если известно, что она поглощает мощность 445 Вт.
Дано	Решение
Um =220 В v = 50 Гц Г =445 Вт <р = 30° L — ? 2 _ Ptgpfw2!2 2 2' Ощ	2 + (V L uL V tg <р	;	Um ~	>	Z = д/R2 + (wL)2 , (uL p=i2r, R = —	f2 _ ^tgg> tgp’	m a>L ’ ,	w ~ 2nv ,
?
L R 4 2UrUl

'R
PL = 25 Вт.
Десятичные приставки к названиям единиц
T — тера (1012)	д—деци (IQ-1)	н — нано (10~9)
Г — гига (109)	c — санти (10г)	п — пико (10-12)
M — мега (106)	м — милли (10-3)	ф — фемто (10-15)
к — кило (103)	мк — микро (Ю-6)	а — атго (10-18)
4.2. Упругие волны
Волна распространяется в упругой среде со скоростью v = 150 м/с.
Определите частоту v колебаний, если минимальное расстояние Дх
лргяпу точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0,75 м.
Ответ ) v = ioor«.
Определите разность фаз Др колебаний двух точек, лежащих на
луче и друг от друга на расстоянии Л/ = 1 м, если длина волны
А = 0,5 м.
Дано	Решение
Д/ = 1 м А = 0,5 м	&<р = —Ы. А
Ду, —?	Вычисления:
	* 2л Д<Р = Л F  1 м - 4л . 0,5 м
Ду, = 4л, точки колеблются в фазе.
Определите длину волны А, если числовое значение волнового
вектора к равно 0,02512 см’1.
А = 2,5 м.
4.11
Звуковые колебания с частотой v = 450 Гци амплитудой А = 0,3 мм
распространяются в упругой среде. Длина волны А = 80 см. Оп-
ределите: 1) скорость распространения волн; 2) максимальную скорость час-
тиц среды.
Дано
Решение
v=450 Гц
Л = О.З мм = 3  Ю^м
Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на
расстоянии xt = 4 м и х2 = 7 м. Период колебаний Т = 20 мс и
скорость v распространения волны равна 300 м/с. Определите разность фаз
колебаний этих точек.
Дано	Решение	А = 80 см = 0,8 м
X] = 4 м х2 = 7 м	2л Ду> = —Д/,	zV = x2-x1) Л	1) V 2) ®	- ?
Г = 20 мс = 2‘ 10-2с v = 300 м/с Ду, - ?	A-vT,	&Р = — (х2-Х]). VI	' d/ / max
Ду, - л, точки колеблются в противофазе.
X
Ё ~ A cosw t —
I v
A = vT,
1
Т = -
v
v = Av,
I	= | Aw | = 2tivA .
max
w = 2nv,
d£ . . [ x
— = - Jwsinw t---
dr	k v
1) и = 360 м/с; 2) I у-1	=0,848 м/с.
''	1 max
Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой,
- совпадающей с положительным направлением оси х в среде, не
поглощающей энергию, со скоростью v = 10 м/с. Две точки, находящиеся на
этой прямой на расстоянии х, = 7 ми х2 = 10 м от источника колебаний, ко-
леблются с разностью фаз Д = Зл/5 . Амплитуда волны А = 5 см. Определи-
те: 1) длину волны А; 2) уравнение волны; 3) смещение второй точки в
момент времени t2 = 2 с.
Ив Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со ско-
ростью v = 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 5 см, а
колебаний Т -1 с. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину
цррИОД —
водны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположен-
ной на расстоянии х, =9 м от источника колебаний в момент времени zt = 2,5 с.
Дано
Решение
Дано
Решение
v = 10 м/с
Х| = 7 м
х2 = 10 м
Д<р = Зл/5
А - 5 см = 0,05 м
<2=2 с
.	2л,
Д^ = -у(Х2-Х1)’
2 2л
а.<р
v = 10 м/с
J-= 5 см = 0,05 м
Г = 1 с
х,=9 м
/1=2,5 с
X
Ё = A cosco t----
v
A = vT,
Т
2л( х
Ё = A cos— t —
s Т к v
£(х,/)= Я costo t~— ], to = ——,
v J т
Т = -
v
2ло
со-----,
А ’
1) Я — ?
2)^ Л, -?
2л [	X]
<Д. =--- 'll----
Т к	»
я л I *
= A cos— /t-
Т I v
1)	А — ?
2)	£(х,/) -?
3)	-?
t А	Х2
?2 = A cos cut-,-----------
И ) 1) Л = 10 м;
	2л . 2л	xt
Ё. = -А--sin— /]----
51	т Т к	v
2) £(х,/) = 0,05 соз^2л/-ух j, м;
-	2я(,	»1
«.=--< т “SY ',-7
3) ^2=5 см.
2лт-ух1,см; 1) Л =10 м;
Уравнение плоской волны,
распространяющейся вдоль положительного направления оси х,
£(х, 1) = A cos( to? - кх + <р0),
где £(х, /) — смещение точек среды с координатой х в момент времени /; А —
амплитуда волны; со — циклическая частота; к = 2л/А = 2л/(иТ) = со/и — вол-
новое число (А — длина волны; v — фазовая скорость; Т — период колеба-
ний); <р0 — начальная фаза колебаний.
2)	= 3,2л , £i = -4 см, =18,5 см/с, = -160 см/с2.
d2£	1 02£
Убедитесь, что волновому уравнению —т = -т-—г удовлетворя-
Эх v дг
ет плоская волна £(х, /) = A cos[a>(/ - x/v)+ у?0].
• <362
скоростями.
	Дано	Решение	'		
и V		——	V = —	da) U	7 9	U = 	 вк	
к ’
и -
Л
к ’
I dA	2я
d*	t2
Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с ча-
стотой v = 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде
У = 1 км/с. Определите, при какой наименьшей разности хода, не равной нулю,
будет наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное ос-
лабление колебаний.__________________________________________________
Дано
Решение
do>
и = —
вк
, du
= v-Л—.
вЛ
у = 400 Гц
v = l км/с
, v
k = vT~ —
v
, du
и = v-Л—
вЛ ’
Атах
Amin -?
т=1,
Л =-
^тах
V
Ат1П =(2от + 1)А, w=0,
2
Атах — 2^“ ,
Л = - = —
min 2 2г
4.125^ Докажите, что в недиспергирующей среде групповая и фазовая
скорости равны.
, где
4.126) Определите групповую скорость для частоты v = 800 Гц, если
фазовая скорость задается выражением v
а0 = 24 м • с -3/2, b = 100 Гц.
Дано
Решение
Атах 2,5 М,
Amin = t25 М.
Два когерентных источника посылают поперечные волны в одина-
ковых фазах. Периоды колебаний Т = 0,2 с, скорость распростране-
ния волн в среде v = 800 м/с. Определите, при какой разности хода в случае нало-
жения волн будет наблюдаться: 1) ослабление колебаний; 2) усиление колебаний.
1) А = ±80(2от+1), м (от = 0, 1, 2,...);
2)Д = ±160от,м (т = 0, 1, 2,...).
V = 800 Гц
и =	+ ь
аа = 24 м • с -3/2
6 = 100 Гц
„ _	di' dr
вк вк	/1
d —
г
1,5г + Ь ,
—>-	dr,
По поверхности воды распространяются две волны, возбуждае-
мые двумя точечными когерентными источниками. Какую форму
имеют линии, на которых лежат точки, имеющие одну и ту же постоянную
разность хода?
и
ura0vr + O йдл/г + г
dp^ (1,5г+ 6) dr 1,5г + Ь
и = 0,55 м/с.
Уравнение сферической волны
Ал
— cos(<o/ - кг + <pQ ),
где г — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.
364
365
--------- ------------------------------------------------------V
ЩВ Два динамика расположены на расстоянии d = 0,5 м друг от дру,
га и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте
v - 1500 Гц. Приемник находится на расстоянии 7 = 4 м от центра динамиков,
Принимая скорость звука v - 340 м/с, определите, на какое расстояние от цен-
тральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он
зафиксировал первый интерференционный минимум.
Ответ ) х = 90,7см.
Образование стоячих волн обычно наблюдают при интерферен-
ции бегущей и отраженной волны. Объясните, когда и почему на
дранице Отражения получается узел или пучность.
>3^ Объясните, где человек слышит более громкий звук: в пучности
или в узле стоячей волны.
НИИИЭ Два динамика расположены на расстоянии d = 2,5 м друг от дру -
га и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определен-
ной частоте, который регистрируется приемником, находящимся на расстоя-
нии I = 3,5 м от центра динамиков. Если приемник передвинуть от централь-
ной линии параллельно динамикам на расстояние х = 1,55 м, то он фиксирует
первый интерференционный минимум. Скорость звука v = 340 м/с. Определи
те частоту звука.
Дано
Решение
Определите длину волны А, если расстояние Д7 между первым и
четвертым узлами стоячей волны равно 30 см.
Дано	Решение 		
“Г7	~ Д/4! =30 см = 0,3 м	,	3,	1  2 * Д/4,. ^4,1 ~ 2 ’	з
л —?		 .—
Л = 20 см.
d = 2,5 м
7 = 3,5 м
2
^min ~ si ~	= (2m +1)—,
СВЧ-генератор излучает в положительном направлении оси х
плоские электромагнитные волны, которые затем отражаются об-
ратно. Точки и М2 соответствуют положениям двух соседних минимумов
интенсивности и отстоят друг от друга на расстоянии 7 = 5 см. Определите
частоту микроволнового генератора.
Дано	Решение			
1 = 5 см = 5 • 10'2 м	Л	с с
с = 31О8 м/с	l = ~2’	V~ 21'
V — ?	
QOmeem г = з ггц?
(J.136J Один конец упругого стержня соединен с источником гармони-
ческих колебаний, подчиняющихся закону £ = A coscy/, а другой
его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стер-
жня происходит от менее плотной среды, определите характер колебаний в
любой точке стержня.
Дано	Решение
£ = A coscy/	‘—		.
Среда менее плотная	^!= A coscyl /-— , 1 о)
^(х, /) — ?	^2= A coscyl / + — , 1 v J
1(х, /) =	= A cos^ai	сухА	(	(ох\ V )	'	\	VI
ШЮЛЛЧ ) Один конец упругого стержня соединен с источником гармони-
ческих колебаний, подчиняющихся закону £ = A coscy/, а другой
конеп жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стер-
д(йя происходит от более плотной среды, определите характер колебаний в
любой точке стержня.
ано
Решение
£= A cosiol
Среда более плотная

£.= A coscy t —
и
Ё-,= A cos ш 1 + —
2	I v
X
+ п = -А coscy t + — ’
►г \ я	j-	, f	.	( сох
$(х, t) =	+^2 =	A	cos су/---------- A	COS	СУ/ + —
\ V J \ V .
. (ОХ •	. (ОХ	(ОХ	(ОХ
coscy/  cos— + smcy/  sm—+ совой • cos---------sm су/  sin—
v	V	v	V
(ox
= A coscy/ cos — + Sin(Ot  sin
V
(ОХ	СУХ	СУХ
-----COS СУ/  cos — + sin СУ/ • sin —
V	V	V
= 2A cos—-coscy/,
v
2tc	,	_	(ox 2ti T 2л
(o = — ,	Л = о/ ,	— =------x = — x
T	v T Я Я
2л
£(x, t)~ 2 A cos—x  coscy/ — уравнение стоячей волны.
Л
Прих'=±си-^- (т = 0, 1, 2,...) — пучности.
(OX .
= 2A sin----smcy/,
2л
(O = —,
T
A = vT,
сух 2л T	2л
— =-----х = —X
v Т А А
^(х, t)= 2А sin—х  sin су/ — уравнение стоячей волны.
При х = ±w-| (m = 0,1,2,..) — узлы.
При х = ±^т + —(т = 0, 1, 2,...) — узлы.
При x = ±fm + -|—	(от = 0,1,2,...) —пучности,
к 27 2
Уравнение стоячей волны
. .	. _ 2тс
§(х, /)= 2 A cos—х coscy/ = 2A coskx coscy/.
Л
.138 ’’l Выведите условие для координат пучностей и узлов стоячей волны.
Для определения скорости звука в воздухе методом акустическо-
го резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембра-
ной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между соседними положени-
ями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте v = 2500 Гц, со- ставляет / = 6,8 см. Определите скорость звука в воздухе.	
Дано	Решение
v = 2500 Гц 1 — 6,8 см = 6,8 10 2 м	X = vT = -,	2 = 2/ , V
v = 2lv.
v —1
2/ = —
инимать звуки, соответствующие гра-
и v2 = 20 кГц. Принимая скорость
ЗЙука в воздухе равной 343 м/с, определите область слышимости звуковых волн.
17 м-5- 21,4 м.
Ответ
Определите интенсивность звука (Вт/м2), уровень интенсивности
L которого составляет 67 дБ. Интенсивность звука на пороге слы-
шимости 10 -10~’2 Вт/м2.
v = 340 м/с.
Дано
Решение
Стержень с закрепленными концами имеет длину I - 70 см. При
трении стержень издает звук, основная частота (наименьшая час-
тота, при которой может возникать стоячая волна) которого v0 = 1 кГц. Опре-
делите: 1) скорость звука v в стержне; 2) какие обертоны (волны с кратными
основным частотами) может иметь звук, издаваемый стержнем.
J>67 дБ = 6,7 Б
ZQ = 10-12 Вт/м2
I —?
1) ц = 1,4 км/с; 2) v, = kv0 (к= 2, 3, 4,...).
Труба, длина которой I = 1 м, заполнена воздухом и открыта с
одного конца. Принимая скорость звука v = 340 м/с, определите,
при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна
Дано	Решение
v = 340 м/с 1 = 1 м г0 ? С Ответ r°,a5	1 = -,	Х =	X = vT = — , 4	v0 41 = — ,	v0= —. v0	4Z Гц.
I
Jo
— = 10д,
Ответ ) /=5,01 мкВт/м2.
Определите отношение интенсивностей звуков, если они отлича-
ются по уровню громкости на 2 фон.
Дано
Г = 2 фон
А_?
h
Ц = Igy,
Jo
= lg А. = 0,2 Б,
h
Решение
г = ! ф0Н _ единица уровня громкости.
[у = 1000 Гц
Г = 2 фон
12
*о
Г = 1 фон, если L -1 дБ.
L = 2 дБ = 0,2 Б.
Az = z1-z2 = igA-igA=ig-^- = igA)
•*0 Ш А)72	72
A=10<u=i58 С Ответ ) А = 158
/2	4---------h
371
370
Разговор в соседней комнате громкостью 40 фон слышен так,
как шепот громкостью 20 фон. Определите отношение интен-
сивностей этих звуков.
Дано
Г1 =40 фон
Г2 - 20 фон
— _ 9
Л 
Решение
L = ^T,
rt = 40 фон
Г2 = 20 фон
AZ = lgy->	А = юа/
Л ’	Л
Zi = 40 дБ = 4 Б;
Z2 = 20 дБ = 2 Б.
Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа
при некоторых условиях составляет 480 м/с. Определите скорость v
Дгпространения звука в газе при тех же условиях.
Пайо I Решение
f₽5
AZ = 2 Б,
Z 2
-у- = 102 =юо.
Л
р- = 100.
2
v = 328 м/с.
Определите, на сколько фонов увеличился уровень громкости
звука, если интенсивность звука увеличилась: 1) в 1000 раз,
2) в 10 000 раз.
yRT
Докажите, что формула v = ум ’ вЫРажающая скорость звука
I-
[ур
» газе, может быть представлена в вцде » =	, где 7 - отношение моляр-
1) на 30 фон; 2) на 40 фон.
ных теплоемкостей при постоянных давлении н объеме; Р — давление таза;
р — его плотность.
распространения звуковой волны в газе с молярной массой
М = 2,9 • 10~2 кг/моль при t = 20 °C составляет 343 м/с. Определи-
те отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме.
Дано
Решение
v =
v =
m- pV,
Дано
М - 2,9-10-2 кг/моль
t = 20 °C, Т = 293 К
н = 343 м/с
Решение
с '
ч-
и =
v =
pV = — RT,
И М
RT _РУ ^. Р
М т р
—Z- —?
Си
У2М
RT
У = 1,4.
1ур
v = — , что и требовалось доказать.
V Р
(*150)
Плотность р некоторого двухатомного газа при нормальном дав-
лении равна 1,78 кг/м3. Определите скорость распространения
звука в газе при этих условиях.
Дано
р = 1,78 кг/м3
1 = 5
р = 1,01-105 Па
v — ?
Решение
yRT rz т nrr,	.. i + 2
v = .~--, pV ~—RT, m = pV, y =---------
V M	M	i
Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой v0 = 400 Гц.
Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка час-
тотой v = 395 Гц. Принимая скорость звука v = 340 м/с, определите скорость
движения теплохода. Приближается или удаляется теплоход?
Дано
v0 = 400 Гц
v = 395 Гц
v = 340 м/с
Решение
(v±vnp>o
v	( верхний знак — сближение; ниж-
г> + гист
ний знак — удаление.
z,	Wn
% = 0, ±4<ct=-^--W
иист = 4,3 м/с, теплоход удаляется.
В реке, скорость течения которой равна v, установлен неподвижный
источник колебаний, создающий в воде колебания частотой v0 . По
разные стороны на равных расстояниях от источника установлены неподвиж-
ные приемники колебаний П1 и П2. Определите частоты, регистрируемые
этими приемниками.
= v2 = v0.
Наблюдатель, стоящий на станции; слышит гудок проходящего
электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых
яолебаний гудка равна	, а когда удаляется— v2 . Принимая, что скорость v
звука известна, определите: 1) скорость >>ист электровоза; 2) собственную час-
тоту v0 колебаний гудка.
V — ?
vhct
Vo' — ?
Ответ
Решение
% = 0,
W0
V, =-------
v пист
I v,=
w0
V-> =	"	’
Ц + Пист
VpOl V2?.
W0
2v2
f------— V
V] + v2 ________
w0
V~—
v Т v ис?
71	=----------о з
ист v{ + v2
2vtv2
v0 = ---------
u V! + V2
2V(V2
vQ =--------
и v, + v2
Vhct V] + v2
ит co скоростью 72 км/ч мимо неподвижно-
______________г_	гудок, частота которого 300 Гц. Принимая
скорость звука равной 340 м/с, определите скачок частоты, воспринимаемый
приемником.
Дано
«ист ~ км/ч = 20 м/с
v0 = 300 Гц
v = 340 м/с
Av — ?
Решение
w0
v = 0, v = —z ’
"P	v + wHCT
w0
V2 =-------
V + У„ст
Av = 35,4 Гц.
Wo
Vj =--------
V Пист
2vHCTw0 _
AV = v1-v2 = (v_^ct)(v + Vhct)
4.3. Электромагнитные волны
Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного при-
емника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает ска-
чок частотой Av = 53 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определите
частоту тона звукового сигнала гудка поезда.
Дано	Решение
пист = 54 км/ч = 15 м/с Av = 53 Гц v = 340 м/с v0 — ?	% = 0,	v =	v v + v™	v-v„CT’ Ъ = -^-, Av = v.-v2 =	^CT-W0 .. v+v™	^-v„CT)(v + nHCT) v _ (»-Vhct)(»+^hct)Av 1o 			. _
и
HCTV
Дано
v = 250 Мм/с=2,5 • 108м/с
v0 = l МГц= ЮбГц
Скорость распространения электромагнитных волн в некоторой
среде составляет v = 250 Мм/с. Определите длину волны элект-
ромагнитных волн в этой среде, если их частота в вакууме v0 1 МГц. —
Решение
V V
А = цГ = —= —
v v0
А = 250 м.
г0 = 599 Гц.
Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, дви-
жущегося со скоростью V] =10 м/с, посылается ультразвуковой
сигнал частотой v, = 50 кГц, который распространяется в воде. После отраже-
ния от второго катера сигнал принят первым катером с частотой v2 = 52 кГц. При-
нимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, оп-
ределите скорость движения второго катера.
Дано	Решение	
Wj = 10 м/с	,,, V + V2	
vt = 50 кГц = 5 • 104Гц	Vl	, v- и.	*2 =	4, v- v2
=52 кГц = 5,2 • 104Гц	V + V| v + v2 p =	1	2	v + v2 _ V-V\ v2
v = 1,54 км/с = 1540 м/с	V~V2 V-V]	V-V2 V + V( V|
	V-V) v2	b-1
v2 —?	— и,	V2-~-V.
(Ответ") у2 = 20,2 м/с.
в Д ля демонстрации преломления электромагнитных волн Герц при-
менял призму, изготовленную из парафина. Определите показа-
тель преломления парафина, если его диэлектрическая проницаемость е = 2 и
магнитная проницаемость и = 1.
(Ответ") » = i,4i.
в Электромагнитная волна с частотой v = 5 МГц переходит из не-
магнитной среды с диэлектрической проницаемостью е = 2 в ва-
куум. Определите приращение ее длины волны.	
Дано	Решение	________
v = 5 МГц = 5- 106Гц	Ао = —,	А = - = —=
Е = 2	v	v nv у[ецу
Ц = 1	
	/ \
	с	1
	ДА = А0-А = — 1—т= -
АА —?	№ ) 	
(Ответ	да = 17,6.	
	<зтт>
Определите длину электромагнитной волны в вакууме, на кото-
рую настроен колебательный контур, если максимальный заряд
Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженны^
сигнал от которой дошел до него за t = 36 мкс. Учитывая, что
диэлектрическая проницаемость воды е = 81, определите расстояние от лока-
тора до подводной лодки.
Дано	Решение
Г = 36 мкс = 3,6- 10~5 с € = 81 Д = 1	2s = vt,	v = - = ~, п Дц' Ct	~		
J —?	2у[Ёщ ’ Г Ответ ) т = боо м.
Дано
йп =50 нКл = 5- 108Кл
л-?
да-обкладках конденсатора Qm = 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре
/ = 1,5 А. Активным сопротивлением контура пренебречь.
______________
Решение
Q=Qmcosw/, / = —sinwr,
й) = 2nv,
с _ 2л с _ 2ncQm
vw lm
£ Ответ ) Я = 62,8 м
После того как между внутренним и внешним проводниками ка-
беля поместили диэлектрик, скорость распространения электро-
магнитных волн в кабеле уменьшилась на 63%. Определите диэлектрическую
восприимчивость вещества прослойки.
Дано	Решение
C-V 	= 0,63 С к — ?	1-- = 0,63, v =	= ~,	v = ^= с х=е-1,	£= Х+1,	1	=L= = 0,63, V х +1
Длина к электромагнитной волны в вакууме, на которую настро-
ен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным со-
противлением контура, определите максимальный заряд Qm на обкладках кон-
денсатора, если максимальная сила тока в контуре
= 1 А.
Дано	Решение
А = 12 м 4=1 А	2 = сТ,	T = 2ajLC,
Qm -?	£ гч II hi г) II К, ^4 II и
Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 0,5 нФ
и катушку индуктивностью L = 0,4 мГн. Определите длину вол-
0г
2лс '
ны излучения, генерируемого контуром.
Qm = 6,37 нКл.
Два тонких изолированных стержня погружены в трансформатор,
ное масло и индуктивно соединены с генератором электромагнит-
ных колебаний. При частоте колебаний 505 МГц в системе возникают стоячие
волны, расстояние между соседними пучностями которых равно 20 см. Прини-
мая магнитную проницаемость масла равной единице, определите его диэлек-
трическую проницаемость.
В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
ная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны
равна 10 В/м. Определите амплитуду напряженности магнитного поля волны.
Дано
Решение
v = 505 МГц	\
M = 1	Z“2’
/ = 20 см = 0,2 м	v
-—.—---------- Л ,
9	v
£ — '
Дано
« = 1
£о = Ю В/м
Решение
4/V ‘

Q Ответ	е = 2,2.
Е = Ей cos(o>/ - кх), Н = HQ cos(w/ - кх).
При £ = 1 и /г = 1	~	;
я0 =
£0 г
---Е<з.
V До
Ответ ) нй = 26,5 мА/м.
зкууме вдоль осих распространяется плоская электромагнит-
ная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны рав-
на 1 мА/м. Определите амплитуду напряженности электрического поля волны.
Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а
вторые индуктивно соединены с генератором электромагнитных
колебаний, погружены в спирт. При соответствующем подборе частоты коле-
баний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя узлами
стоячих волн на проводах равно 40 см. Принимая диэлектрическую проницае-
мость спирта £ = 26, а его магнитную проницаемость ц = 1, определите час
тоту колебаний генератора.
QOmeem^ у = 73,5 мгц.
(4.I67) Покажите, что плоская монохромная волна Еу - Е{}у соз(аЯ - кх + р)
д2Еу 1 д2 Е
удовлетворяет волновому уравнению —к' = ~—, где v —фазовая ско-
дх V dt
рость электромагнитных волн.
Е = 0,377 В/м.
В вакууме вдоль оси х распространяется плоская монохромати-
ческая электромагнитная волна, описываемая уравнениями
Е = Ео cos(w/ - кх) и Н = Но cos(W - кх). Эта волна отражается от плоско-
сти, перпендикулярной оси х. Запишите уравнения, описывающие отраженную
J--—	Л1ШРП
Уравнение плоской электромагнитной волны
Е = Ео cos(wZ - kx + tp); Н = Но cos(to/ - кх + <р),
где Ео и Но — соответственно амплитуды напряженностей электрического и
магнитного полей волны; ш — круговая частота; k~a>]v — волновое число;
<Р — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0 •
<380>
381
4.171 ) Рассмотрите су„ер„ювдию двух	моиохроматтес
электромагнитных волн с одинаковыми амплитудами Е и Н
Z~~	Ра
1) Е] Ео cosfctH - кх) — прямая волна
Е, Ео cosfctH + кх) — отраженная волна
Е = Е, +Е2= E0[cos(w/ - kx)+cos(wz + fc)J = 2Ео cos 2лх
Я
'"У 'ТУ 5*
— ™1 ~ = ±тл Г^ы I = ±(т + 1)я .
Л
Л
хп = ±т—
2
г - J >И
х у - ± т + — —
V 2) 2 ’
от = 0, 1, 2,...
2) Н] Но cosfcoT - кх) — прямая волна
Н2 - Но cosftor + кх + л) — отраженная волна
^ВЙР72 ) В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная
^№ИВ!В8Г волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью ее по-
дутаюшего. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 0,15 А/м.
Определите давление, оказываемое волной на тело. Воспользуйтесь результа-
тру выводов теории Максвелла о том, что если тело полностью поглощает па-
дающую на него энергию, то давление равно среднему значению объемной
плотности энергии в падающей электромагнитной волне.
Дано	Решение
е = 1	
Н0 = О,15 А/м P = {w}	Е = Ео cos(w/ - кх), Н = Но cos(<w/ - кх),
р—?	еоеЕЕ 2	w ЦОЦН2 И' -	,	w =	, э 2	2
"S = "м >
w = w, + wM =2w3 = 2wM,
w = 2и\, = р.$р.Н2 = /10(иЯ02 c°s2(wZ - кх) ,
хп — ? ху — ?
р=Ц = 2£о^о.
Н ~ н1 +н2= H0[cos(<w/ - кх) + cos(<wr + кх + Я)] =
р- 14,1 нПа.
H0[cos(<wt - кх) - cosfwr + tv)] = 2Н0 sin—sin cot
Пучности
2ях
—— = ±(т+1)я
Л
х„ = ±fm+-)-,
I 2)2
Узлы
2лх
~—— = ±тл.
Л
, А
х - ±т—
у 2 ’
т = 0, 1, 2,...
№173 у В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
 ная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью ее
поглощающего. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна
2 В/м. Определите давление, оказываемое волной на тело.
Пучности Е совпадают с узлами Н и наоборот.
р = \1,1 пПа.
Плоская монохроматическая электромагнитная волна распрор.
раняется вдоль оси х. Амплитуда напряженности электрического
поля волны Ео - 5 мВ/м, амплитуда напряженности магнитного поля волны
Но = 1 мА/м. Определите энергию, перенесенную волной за время t = 10 мин
& Оптика. Квантовая природа излучения
5.1. Элементы геометрической
и электронной оптики
через площадку, расположенную перпендикулярно оси х, площадью поверхно-
сти 5 = 15 см2. Период волны Т « t .
W = ~E0H0St = 2,25 мкДж.
На горизонтальном дне бассейна глубиной h = 1,5 м лежит плоское
зеркало. Луч света входит в воду под углом ц - 45°. Определите
расстояние s от места вхождения луча в воду до места выхода его на поверх-
ность воды после отражения от зеркала. Показатель преломления воды п - 1,33.
Г 4.1*75	В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
ная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны
составляет 50 мВ/м. Определите интенсивность волны I, т. е. среднюю энер-
гию, проходящую через единицу поверхности в единицу времени.
Дано
Решение
Дано	Решение
E = 1 Ц = 1 Eq = 50 mB/m = 5 • IO-2 В/м I -?	I = (s),	s= EH = E0H0 cos2((jot-kx), (S}-^EOHO,	(cos\wt-kx)j = ^, ДоЁЕа = -УмоМ^о >	HQ = I--° • Ea , V Mo/4
й = 1,5 m	s = AB = 2h tgi2,
и = 1,33	sin 	= n,
i, = 45°	sini2
							sinit
	sin i2 =	, 1	n

sin ъ sin i ।
tg'2=-----~
cosz2
h
• 2 •
sin
п2
п. 1-
2/isin i i
Луч света падает на плоскую границу раздела двух сред, частично
. г- отражается и частично преломляется. Определите угол падения, при
Мотором отраженный луч перпендикулярен преломленному лучу.
2уц0М
Ответ Л / = з,32 мкВт/м2.
В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
' ная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля составля-
ет 5 мА/м. Определите интенсивность волны.
Дано
«21
'1+ ’2 = 90°
Решение
sin А
------ = n2i
sin i2 ~ ’
= 9QO- = 90°- i],	Sin i2 = sin(90°- ij) - cos ij,
Q Ответ / = 471 мВт/м?
<384>
«Hi = tg. = „2[, h = arctgn21. < Ответ J it = arctg^i 
COS !)	_________ __________
13 Сборник 3<М4’1
г по физике
CSHHSft На плоскопараллельную стеклянную ( n = 1,5) пластинку толпл,
ной d = 5 см падает под углом i = 30° луч света. Определите бс
ковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку.
Человек с лодки рассматривает предмет, лежащий на дне водо-
ема (п = 1,33). Определите его глубину, если при определении “на
гПаз” по вертикальному направлению глубина водоема кажется равной 1,5 м.
Дано
n = 1,5
d = 5 cm = 5  10'2m
i j = 30°
Решение
sinz.
—T= «21
sinz,
CD = BD-BC,
d
- . sin zi
sm z2 =----1
n
x = ED = CD sin(90°-zt),
BD =------~-----,	BC - dtzi,
tg(90-z,)
d
Я -?
/» = 1,5 м
и=1,33
Дано
Решение
htgat = Н tga2,
„ Z,
Н= И--------,
tga2
а},а2 — малы,
— h -

п

x = 9,69 мм.
x = d sinz’J 1-
COS Z(
>	• 2 -
-sm Z]J
sinQi _
sin«2
tg«i
tg«2
Н = hn.
Н = 2 м.
Между двумя стеклянными пластинками с показателями прелом-
ления И] и п2 находится тонкий слой жидкости. Луч света, рас-
пространяющийся в первой пластинке под углом z) (меньше предельного),
выходя из слоя жидкости, входит во вторую пластинку под углом z2. Докажите,
что в данном случае выполняется закон преломления sin z) /sin i2 = «2/zit неза-
висимо от присутствия слоя жидкости между пластинами.
Человек с лодки рассматривает предмет, лежащий на дне. Глуби-
на водоема везде одинакова и равна Н , показатель преломления
воды равен п. Определите зависимость кажущейся глубины h предмета от угла i ,
образуемого лучом зрения с нормалью к поверхности воды.
9	3 •
Нп COS Z
'"(„’-sin’,)1'1
Дано		Решение —;— 				
«1		sin z.	n		 7			
«2		sina	II -J 1 1 4	1Ж	’| । ; । । । 1
’1 < ’пред		sina	_ n2	”2	’2	Лг	-S'
h		sin z2	n . . n2 sma = smz2~, 	 n	sin i!	n n
j sin Z] _ v sin i2				sin i2	i II 1
	-9 ”4	Г Ответ ) sini’i ”2			
*пр = 65°
п = 1,5
Предельный угол полного отражения на границе стекло—жид-
кость 1пр = 65°. Определите показатель преломления жидкости,
если показатель преломления стекла п = 1,5.
Дано
Решение
иж
sminp = —
к п
n* = «sinznp.
иж = 1,36.
386
387
5.8
Луч света выходит из стекла в вакуум. Предельный угол /||р = 42“
Определите скорость света в стекле.
Дано
Решение
Длинное тонкое волокно, выполненное из прозрачного материа-
ла с показателем преломления п = 1,35, образует световод. Опре-
делите максимальный угол а к оси световода, под которым световой луч еще
может падать на торец, чтобы пройти световод с минимальным ослаблением.
'np = 42°
1
Sln'np=~>
n
u = l = csinzIip.
Дано
Решение
V -?
rt = l,35
Y ^Пр 5
v - 201 Мм/с.
a —1
I sininp = -
п
5.9
На дне сосуда, наполненного водой (п = 1,33) до высоты h = 25 см,
находится точечный источник света. На поверхности воды плава-
ет непрозрачная пластинка так, что центр пластинки находится над источни-
ком света. Определите минимальный диаметр пластинки, при котором свет не
пройдет сквозь поверхность воды.
sina
------- л,
sin $
sin /3 = cosy,
sina
-----= n,
cosy
1
siny = —,
n
Дано
Решение
/ ГТ- I 1
sina = п cosy = иу1 - sin у = и. II —у
V п"
а - 65 .

а - arcsin V и -1 .
h- 25 см = 0,25 м
л = 1,33
d — ?
1
п
S
11 Л Расстояние а от предмета до вогнутого сферического зеркала
равно двум радиусам кривизны. Определите положение изобра-
жения предмета и постройте это изображение.
Дано
Решение
a = 2R
. . R
sin I = "7—. .
xh2 + R2
R > 1
•Jh2 + R2 п
Ь — ?
1 1-1=1
a b R f
a = 2R,
Rn
R2(n--\)
d = 2R,
2h
i
2R+ b~ R’
b =—R.
3
b R\ 2) 2R
b = — R.
3
<389>
На рисунке показаны поло-	S
....жения главной оптической	*
оси MN сферического зеркала, светя- м
щейся точки S и ее изображения S' .
Определите построением положение цен-
тра сферического зеркала и его фокуса.
Укажите вид использованного зеркала.
Дано ! Решен не
Выпуклое сферическое зеркало имеет радиус кривизны 60 см. На
ЧНЕ-—*' расстоянии 10 см от зеркала поставлен предмет высотой 2 см.
Определите: 1) положение изображения; 2) высоту изображения. Постройте
MN
S
S'
C,F, зеркало вогнутое.
На рисунке показаны поло-
жения главной оптической
м
ab = bd
(а — любая
точка на Ж'),
Sd-> Р (зеркало),
Ж || MN, KS' -> F .
чертеж._______
Дано
/{ = 60 см = 0,6 м
д = 10 см = 0,1 м
й = 2 см = 0,02 м
1) b = 7,5 см;
Решение
1 1 = 1 = 1
а+ b~ R f'
2) И -1,5 см.
оси MN сферического зеркала, светя- *
щейся точки 5 и ее изображения S'. Д£
Определите построением положение цен-
тра сферического зеркала и его фокуса.
Укажите вид использованного зеркала.
Постройте изображение произ-
вольной точки S , которая ле-
жит на главной оптической оси собираю-
щей линзы.
Г 5.14 1 Вогнутое сферическое зеркало дает действительное изображение.
" которое в три раза больше предмета. Определите фокусное рассто-
яние зеркала, если расстояние между предметом и изображением равно 20 см.
Постройте изображение про-
извольной точки S , которая
лежит на главной оптической оси рассеи-
вающей линзы.
/ = 7,5 см.
Фокальная
<391>
^5.18	Определите построением ход луча после преломления его собираю.	На рисунке показаны положения главной оптической оси MN
v	щей (рис. а) и рассеивающей (рис. б) линзами. На рисунках MN _	тонкой линзы светящейся точки S и ее изображения 5' Опре-
положение главной оптической оси; С» — оптический центр линзы; F — фоку j п	оптический центр линзы и ее фокусы. Укажите вид линзы,
сы линзы. Среды по обе стороны линзы одинаковы.	’ Ф > ^итепосгроением оптический цени ли
-	 Среды по обе стороны линзы одинаковы.
а)’б)______________
( 5.19 ) На рисунке показаны положение главной оптической оси
х""1 тонкой собирающей линзы и ход одного луча АВС через эту лин
зу Постройте ход произвольного луча DE. Среды по обе стороны линзы оди-
наковы.
На рисунке показаны положения
главной оптической оси MN
тонкой линзы, светящейся точки S и ее изоб-
ражения S'. Определите построением поло- —-------------------------
жения оптического центра линзы и ее фокусов. Укажите вид линзы Среды по
обе стороны линзы одинаковы.
На рисунке показаны положения
главной оптической оси MN
I	I На рисунке показаны положение главной оптической оси MN
ViiaMtiirlfey тонкой рассеивающей линзы, ход луча 1, падающего на линзу, и
преломленного луча 2. Определите построением оптический центр и фокус-
ное расстояние линзы Среды по обе стороны линзы одинаковы.
тонкой линзы, светящейся точки S и ее изоб-
S
S' *
ражения S'. Определите построением поло- М_________________________N
жения оптического центра линзы и ее фоку-
сов. Укажите вид линзы Среда по обе стороны линзы одинаковы.
Двояковыпуклая тонкая линза (показатель преломления п) с ради-
усами кривизны 7?, и Т?2 находится в однородной среде с показате-
лем преломления пх. Выведите формулу этой линзы, используя принцип Ферма.
<393>
ЯИИВА Выпукло-вогнутая тонкая линза (показатель преломления п) с
радиусами кривизны (передняя поверхность) и R2 (задняя
поверхность) находится в однородной среде с показателем преломления п}
Выведите формулу этой линзы, рассматривая последовательное преломление
света на двух сферических поверхностях.
1
— , где N = n/«t .
К2 У
Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической си-
лой Ф = 4 дптр. Определите радиус кривизны выпуклой поверх-
ности линзы, если показатель преломления материала линзы равен 1,6.
Определите расстояние а от двояковыпуклой линзы до предме-
та, при котором расстояние от предмета до действительного изоб-
„□жения будет минимальным.				
Дано	Решение
1 1	1=а+Ъ>
1 &	1 , 1 1
д-?	a b f
= —, ь = / - а , If = al-а2,
ab f
f il	dZ 2п(а-/)-а2 _
—, - = 0 (условие	~
Дано
Решение
Ф = 4 дптр
п = 1,6
Мо-/)-о2 = 0.	о = 2/-
R — ?
1
— = Ф, R,
f	1
— =(Л1-1)[—---—\ где
N = n,
N = ~
«I
Ответ
a = 2f
П\ =1,
я2 = я,
R=^l
Ф
R = 15 см.
Двояковыпуклая линза с показателем преломления п = 1,5 имеет
одинаковые радиусы кривизны поверхностей, равные 10 см. Изоб-
ражение предмета с помощью этой линзы оказывается в 5 раз больше предме-
та. Определите расстояние от предмета до изображения.
Тонкая линза с показателем прелом-
ления и и радиусами кривизны R\
и R-, находится на границе раздела двух сред с
показателями преломления п, и и2. Пусть а и
b — соответственно расстояния от предмета до
линзы и от изображения до линзы; / и /2 —
соответствующие фокусные расстояния. Докажи-
Дано
и = 1,5
Я = 10 см = 0,1 м
7 = 5
Решение
(а + Ь) — 9
а + Ь = (\ + г])а-
(\ + y)2R
2г}(п-Г)
2 у	+ №
те справедливость соотношения — + ~ \
________________ а Ь
Ответ ) (« + £>) = о,72 м.
I 5/ИЯВ Из тонк°й плоскопараллельной стеклянной пластинки изготовь
ны три линзы. Фокусное расстояние линз 1 и 2, сложенных вдду
те, равно , фокусное расстояние линз 2 и 3 равно - f" . Определите фоку,
ное расстояние каждой из линз.
Докажите, что освещенность, создаваемая изотропным (сила све-
та источника не зависит от направления) точечным источником
света I iip бесконечно малой площадке, удаленной на расстояние г от источ-
gjnca, равна Е - cos i, где i — угол падения луча на площадку.
Решение
ЙФ
COSZ
72 f Ответ X г-о / - f f" f f,
f3-? V J h ~1 ’	+ f3-f 
Двояковыпуклая линза из стекла (п = 1,5) обладает оптической
силой Ф - 4 дптр. При ее погружении в жидкость (П; = 1,7) лини
действует как рассеивающая. Определите: 1) оптическую силу линзы в жидко-
сти; 2) фокусное расстояние линзы в жидкости; 3) положение изображения точ-
ки, находящейся на главной оптической оси на расстоянии трех фокусов о:
линзы (а = 3/) для собирающей линзы и рассеивающей линзы. Постройie
изображение точки для обоих случаев.
£ = -yCOS! —7
ЙФ	, ЙФ
Й5± = г2йсо, £ = Тй^С°5г’
I
E- — COSI.
Дано
и = 1,5
Ф = 4 дптр
«1 = 1,7
а = «I = 3/
1)	Ф, -?
2)
3)	ъ -?
Решение
ф = 7 = (л-1)|,	=	.1
/ R	Ф ’	7 Ф ’
V2 , ±_±=_± «Ji
V-/ 2’	а\ ь\ f\’ ' a\+f\
Ответ ах О Ф1 =-0,94 дптр;
Л + 3/ '	2)/j=-l,06 м;
3) Ь=37,5 см, Ь,= 44 см.
] На какую высоту над чертежной доской необходимо повесить лам-
почку мощностью Р-300 Вт, чтобы освещенность доски под
Лампочкой была равна Е = 60 лк. Наклон доски составляет 30°, а световая от-
дача лампочки равна 15 лм/Вт. Примите, что полный световой поток, испуска-
емый изотропным точечным источником света, Фо = 4x1.
Дано	Решение
Р=300 Вт Е = 60 лк 1 = 30° L = 15 лм/Вт Фо - 4x1 h	фо = ЕР,	ФО = 4Я/, г р	I	LP г	Е = —ycosi =	у COSZ 7-4л’	h2	4яй2 I LP cos i У 4хЕ
396
Линза позволяет при последовательном применении получить дв<
изображения одного и того же предмета, причем увеличения ока
зываются равными = 5 и т)2 ~ 2 • Определите, как при этом изменяется ос
вещенность изображений.
Дано
П\=5
т/2 = 2
Решение
ф] = /со,,
9 Отверстие в корпусе фонаря закрыто идеально матовым стеклом
(т. е. яркость источника не зависит от направления) размером
Сила света 1 фонаря в направлении, составляющем угол <р = 30°,
равна 12 кд. Определите яркость В стекла.
В = —— = 1,85 ккд/м2.
5 cos<p
Ответ
— _ 9
E2 ’
«I
и St площади предмета и изображения.
S,
£t = -51 =
5,' s:
ISt = I
a?S{ afrft ’
-1—U2
a\ b\ f
b\ t/i + I
У\ = — ,	щ=——
ai	т/i

I
Е, =----------— = _____________
(J7i+l)W (?7i+l)2/2’
Ег =
&2+tff2’
_E\_ _ (?2 + ’У
£2	(У} + I)2
Докажите, что в том случае, когда яркость источника не зави-
сит от направления, светимость R и яркость В связаны соот-
ношением R = nB.
Дано
В * В(а)
R-лВ
Решение
Ф
Я = —,
S
6Ф = BaS cosa da),
п
•2	4
5.35
Светильник в виде равномерно светящегося шара радиусом
г = 10 см имеет силу света /=100 кд. Определите для этого све-
тильника: 1) полный световой поток Фо; 2) светимость R.
Дано
г = 10 см = 0,1 м
7 = 100 кд
1) Фо-?
2) 7? — ?
Решение
Ф0 = 4л/,	R=^-, S = btr2,
S
R‘i-
1) Фо = 1,26 клм;
2) R= 10 клм/м2.
д£) = sina da dp ,
|f> — азимутальный угол,
> 0 до 2тг, a —> 0 до л/2,
Я/2
2л л/2
ф = |аФ = S jdp | Ва sina cosa da = 2д5 jВа sina cosa da =
0	0	0
л!2	1
= 2nBS [sin a cosa da = 2tiBS — = aBS,
J	2
о
в=в
Ф = 7tBS,
Ф = Я5,
R = 7tB.
R-лВ.
398
( 5	1	лист ®ел°й бумаги размером 10 X 25 см нормально к поверх^
сти падает световой поток Ф = 50 лм. Принимая коэффициен-
рассеяния бумажного листа р = 0,7 , определите для него: 1) освещенносп,
2) светимость; 3) яркость.
5.2. Интерференция света
Дано
5 = 250 см2 = 2,5 • 1 О'* м2
Ф = 50 лм
р = 0,7
1)	Е — ?
2)	R — ?
3)	В — ?
Решение
Ф
Е = — ,
S
R-лВ,
Ф
Л = р-,
S
ВЛ
л
1) Е~2	2) Я = 1,4 клк/м2; 3) 5=446 кд/м2.
) Ц Объясните, чем отличаются просвечивающие и отражательные
у электронные микроскопы.
5.40
Объясните, почему в электронно-оптических преобразователях
можно получить увеличенное изображение предмета большей
интенсивности, чем интенсивность самого предмета.
Некоторые математические формулы
о
А П'
dx =------
йл+1
о
dx = —
2а
Jx3 e-<“2 dx = -fl-2
o	2
г х dx
J ёх -1
о 1
л2
~6
о
х3 dr _ я4
ех -1 “ 15
ределите длину отрезка Z,, на котором укладывается столько
длин волн монохроматического света в вакууме, сколько их
укладывается на отрезке 12=5 мм в стекле. Показатель преломления стекла
п = 1,5 •	______________________________________________________
Дано
Решение
Hj=l
«2 = 1,5
/2 = 5 мм = 5 • 10 ’ м
4 h
A, A2
v-kvi
с
v = —,
п
9
Л = —,
nv
I] _ h
л, V
I -I —
и,
А = h •
«1
1Х = 7,5 мм.
^&42 Два параллельных световых пучка, отстоящих друг от друга на
расстоянии <7 = 5 см, падают на кварцевую призму (п -1,49) с
преломляющим углом а - 25° . Определите оптическую разность хода А этих
пучков на выходе их из призмы.
Дано
d = 5 см = 5  10 2 м
п = 1,49
a = 25°
Решение
A = (l2 -1\ )n = BC  n,
BC = d tga,
A = nd tga.
А — ?

А = 3,47 см.
400
401
В опыте Юнга расстояние между щелями d = 1 мм, а расстояние 11
от щелей до экрана равно 3 м. Определите: 1) положение первоц
светлой полосы; 2) положение третьей темной полосы, если щели освещац
монохроматическим светом с длиной волны Л = 0,5 мкм.
Дано	Решение
п х, —?
Imax
2) x3min -?
d = 1 мм = 10~3 м
I = 3 м
Л = 0,5 мкм = 5 10 7 м
Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d - 0,5 мм
(Л = 0,6 мкм). Определите расстояние I от щелей до экрана, если
ширина Ах интерференционных полос равна 1,2 м.
max
A = s-, ~ s,, A - — .
xd	l	i
xmax=±w-A, xlmax=± —Л (w=l).
1	d	d
jmin |-у- = ±(2от + 1)Л,
= ± m +
k 2/ a

I ,	л з	, d Ах
= +т — л ,	Л* - ~ ’	2 = —;— •
d	d ___________А______________
В опыте Юнга расстояние 2 от щелей до экрана равно 3 м. Опре-
делите угловое расстояние между соседними светлыми полоса-
ми, если третья световая полоса на экране отстоит от центра интерференцион-
ной картины на 4,5 мм.___________________________________________
Ответ j i) xlmax = ±1,5 мм; 2) x3min = ±5,25 мм.
ь
В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми изоб-
ражениями источника света равно 0,5 мм, расстояние I от них до
экрана равно 5 м. В желтом свете ширина интерференционных полос равна 6 мм
Определите длину волны желтого света.
Дано	Решение
d = 0,5 мм = 5 • ifr4 м	max А = ±лгА (m = 0, 1, 2,...),
I = 5 м	xd	xd	, 2 .
Ax = 6 мм = 6 • 10'3 м	A = —— ,		_ 4-7^ j ^max ~	t i I	I	d
A — ?	Л 2	Ard Ax = — A,	A =	
	d	I
Ответ z=o,6	MKM.
mA (т-Г)А А х
Аа==---------— = - = — •
d d d ml
х mA
o»tgo = 7=—
<403>
<402>
(• ЗЛ-'Ж) Если в опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей
поместить перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пла.
стинку (п = 1,5), то центральная светлая полоса смещается в положение, пер
воначально занимаемое пятой светлой полосой. Длина волны Л = 0,5 мкм
Определите толщину пластинки.
	Дано	Решение
п-1,5 т = 5 Л = 0,5 мкм = 5 • 10 7 м d — ?	b = nd-d = d(n-l), Ь = тЛ, тЛ- d(n-l),	d = -^ n-1
d = 5 мкм.
Расстояние от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана соот-
ветственно равно о = 30 см и 6 = 1,5 м. Бипризма стеклянная
Определите, во сколько раз изменится ширина интерференцион-
ных полос на экране в опыте с зеркалом Френеля, если фиолето-
вый светофильтр (0,4 мкм) заменить красным (0,7 мкм).
Дано	Решение
= 0,4 мкм			—		
	| шах | А = ±гсЯ (w = 0, 1,2,...).
Л-, = 0,7 мкм	
	xd	xd
	b.--—		±тЛ
	
Ах.	
—- —? Дх2	Х = ±—Л,
	d	d	d d
ДХ| Л2
Лг2 Я, ’
d = 2а sirup = 2а<р = 2а(п -1)#,
2а(п-\)д Ьх
а + Ь
Л =
Вычисления:
& = 20' = 20 2,91 Ю"4 рад = 5,82-10’3 рад;
, , 2-30-10-2 м-0,5-5,82-10-3 рад-0,65 10-3 м 7
2 —----------------—— --------------—-----— = о, з • 1 и м.
(1,5+0,3) м
Л - 0,63 мкм.
Расстояние от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана соот-
ветственно равно а ~ 48 см и 6 = 6 м. Бипризма стеклянная
(п = 1,5) с преломляющим углом & - 10'. Определите максимальное число
полос, наблюдаемых на экране, если Л = 600 нм.
— = 1,75.
'2
Ответ Л ... 4дб(н-1)2#2 _
На стеклянный клин (n = 1,5) нормально падает монохроматичес-
кий свет (Я = 698 нм). Определите угол между поверхностями
На плоскопараллельную пленку с показателем преломленц,
и = 1,33 под углом 1 = 45° падает параллельный пучок белого све.
та. Определите, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отражен,
ный свет наиболее сильно окрасится в желтый цвет (Л = 0,6 мкм).
nv 1,5
А»698 нм = 6,98  10“7 м
Дх = 2 мм = 2 • 10 3 м
а—?
г<д<йа. если расстояние между двумя соседними интерференционными мини-
jiy^BMH в отраженном свете равно 2 мм.
Дано
Решение
у
a«tga = —,
Ах
А = 2уп,
А = [2(/и +1) + 1]у - [2/и +1]^ = Я
(/и = 0, 1,2,...),
2d ,	. л
(п - sin г sin /) + — = 2 ,
cosz-'	' 2
----- 1-sin Г = —
cosz-'	/ 9 ’
2п Ах
2dn 7
-----cos
2dn cosz- = —
2 ’
(	-2 sin/
- и-sin Г------
cos A	sjnr
cos г	2
d =—-—
4zicosz- ’
На стеклянный клин (п = 1,5) нормально падает монохроматичес-
кий свет. Угол клина равен 4' . Определите длину световой вол-
ны, если расстояние между двумя соседними интерференционными максиму-
мами в отраженном свете равно 0,2 мм.
cosr = 71-sin2 z- = —^ln2 - sin2 / ,
n
Л
4>/n2 - sin2/
На тонкую мыльную пленку (п -1,33) под углом i - 30° падает
монохроматический свет с длиной волны Я = 0,6 мкм. Определи-
те угол между поверхностями пленки, если расстояние b между интерферен-
^Ответ^ а = 12,5~
ционными полосами в отраженном свете равно 4 мм.
<407>
монохроматический свет падает нормально на поверхность
душного клина, причем расстояние между интерференционны,,
полосами Лтц = 0,4 мм. Определите расстояние Дх2 между интерференции
ными полосами, если пространство между пластинками, образующими клад
заполнить прозрачной жидкостью с показателем преломления п = 1,33.
Дано	Решение	~~
ДХ] = 0,4 мм = 4 • 10^ м «1=1 и2 = 1,33 Дх2 — ?	2 а = 2„	(см> задачу 5'52)’	«1 = «2 , 2, = 22, МЛ,	Дх2=—Ах,. Дх2 И]	И] {Onteem^ av2 = 0,3mm.
^лосковыпУклая линза радиусом кривизны 4 м выпуклой сторо ной лежит на стеклянной пластинке. Определите длину волы падающего монохроматического света, если радиус пятого светлого кольца i отраженном свете равен 3 мм.	
Дано	Решение
R = 4 м т = 5 rm =3 мм = 3 • 10~3м	’ * <\Е	। Г) £ II а; 1 с? 1 £ II
2 —?	^Ответ	д = о,5 мкм.
— -	МММ	
Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохро-
^’®®®И8ВГ магическим светом с длиной волны 2 = 0,55 мкм, падающим нор-
мально. Определите толщину воздушного зазора, образованного плоскопарал-
лельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой в том
месте, где в отраженном свете наблюдается четвертое темное кольцо.
d -1,1 мкм.
Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохро-
матическим светом с длиной волны Л = 0,6 мкм, падающим нор-
но. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жид-
ро, и наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы
4 м. Определите показатель преломления жидкости, если радиус второго
пого кольца г - 1,8 мм.
л 1Д6 мкм
Дано
; = 6 • 10“7м
м
г *>1,8 мм = 1,8 • 10'1 м
n = 1,48.
Д
n- —,
2d
f = 0,9 m.
b. = mk ,
mk
.~2d'
Решение
г = ^R2-(R-d)2 ~ y[2Rd ,
2
d = —, Д = 2dn,
2R
R-d
n
d
2dn - тл,
mX-2R mXR
п =---т— = —Г"
2г2 г
1 2
9 Плосковыпуклая линза с показателем преломления п = 1,6 выпук-
лой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус третьего
лого кольца в отраженном свете (Л = 0,6 мкм) равен 0,9 мм. Определите
Кусное расстояние линзы.
h Плосковыпуклая линза с радиусом сферической поверхности
R = 12,5 см прижата к стеклянной пластинке. Диаметр десятого
(рмного кольца Ньютона в отраженном свете равен 1 мм. Определите длину
&лны света.__________________________________________
'-----—--—--
Ответ ) , Л _
Ц	J Л =-----— о, 2 мкм.
— — ~	4 т R____________________________________
.408
409
П'?Ж1ЬДИ Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохр0
матическим светом, падающим нормально. При заполнении пр0,
странства между линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью ра.
диусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,21 раза. Определи г
показатель преломления жидкости.
Дано	Решение
К — = 1,21 г2	rm »-JlRd ,	д = 2dn + -|,	Д = (2т +1)
п — 7	2Л>Д = (2», + 1)А </ = —,
	2	2	2п
Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверхностей
стекла осуществляют “просветление оптики”: на свободную по-
верхность линз наносят тонкую пленку с показателем преломления п -	. В
этом случае амплитуда отраженных волн от обеих поверхностей такой пленки
одинакова. Определите толщину слоя, при которой отражение для света с дли-
ной волны Л от стекла в направлении нормали равно нулю.
Дано	Решение
п =	Д = 2dn,
л	min Д = (2/и + 1)р
d —?	2dn = (2m + \)—,
, (2/и + 1)Л (2>и + 1)Л
а =---------=-----т==—.
4н
(Ответ Л = (т = о, 1,2,...).
------------✓ дД
На линзу с показателем преломления п = 1,58 нормально падает
монохроматический свет с длиной волны А = 0,55 мкм. Для уст-
(нения потерь света в результате отражения на линзу наносится тонкая плен-
[ Определите: 1) оптимальный показатель преломления для пленки; 2) тол-
вру пленки.
^Ответ J i) „п = 1,26; 2) d = 109 нм.
МИЙИВ Определите длину волны света в опыте с интерферометром Май-
кельсона, если для смещения интерференционной картины на 112
#лос зеркало пришлось переместить на расстояние I = 33 мкм.
Л = 589 нм.
ИИННВ Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч
интерферометра Майкельсона помещена закрытая с обеих сторон
скачанная до высокого вакуума стеклянная трубка длиной I = 15 см. При за-
воднении трубки аммиаком интерференционная картина для длины волны
В = 589 нм сместилась на 192 полосы. Определите показатель преломления
аммиака.
'	Дано	Решение		
1 = 15 см = 0,15м |1 = 589 нм = 5,89- 10 7 м >и = 192	A = ln-ln0 = l(n-Y),	(н0 = 1), A	IZ Д = /и—,	/(и-1)=ш-, 2	2 mA , н =— + 1-	1 21	ДП 	 »	 1,000377 . .——————*—
(Вычисления: 192 -589 10-9 м . п 		5	+1 ~ 2-1510 * м	
п = 1,000377.
CS«66Q На рисунке показана схема интерференционного рефрактометра,
применяемого для измерения показателя преломления прозрач-
ных веществ. 5 —узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с дтп
ной волны А = 589 нм; 1 и 2 — кюветы длиной 7 = 10 см, которые заполнены
воздухом (п0 -1,000277 ). При замене в одной из кювет воздуха на аммиак ин-
терференционная картина на экране сместилась на т= 17 полос. Определите
показатель преломления аммиака.
Дано
Решение
А - 589 нм = 5,89 • 107 м
7 = 10 см - 0,1 м
п0 = 1,000277
w=17
п — ?
L\-=ln- ln{) = 1(п- п0),
Вычисления:
п =
17-589'10~9'м
0,1 м
+ 1,000277 = 1,000377.
Ответ
// = 1,000377.
( 5.67 ) На пути лучей интерференционного рефрактометра помещаются
^™"....трубки длиной I = 2 см с плоскопараллельными стеклянными ос-
нованиями, наполненные воздухом (пп = 1,000277). Одну трубку заполнили
хлором, и при этом интерференционная картина сместилась на т - 20 полос
Определите показатель преломления хлора, если наблюдения производятся с
монохроматическим светом с длиной волны А = 589 нм.
п = 1,000866.
<412>
5.3. Дифракция света
Точечный источник света (Л = 0,5 мкм) расположен на расстоя-
нии я = 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием диаметра
й = 2 мм. Определите расстояние Ь от диафрагмы до точки наблюдения, если
отверстие открывает три зоны Френеля.
Дано
Решение
Д = 0,5 мкм = 5 • 10-7 м
= 1 м
d = 2 мм = 2 • 10-3 м
7» = 3
Р"
кл»1-
; а + b
НА»1-
f а + b
b+m-k.
г2 = а'-(а-х)2,
ЬтЛ
2(а + Ь) ’
Ь2
2=\ь
,2j2
! Л 5
-------г-/и
4(п + Ь)2
2
Ь =.-	,
атЛ-г
Л ]	,	2
+ m~2J ~(^ + х) >
Ь2
, т2Л? — пренебрежимо мало,
4(п + Ь)2
у
d	ad
г — — ,	0 —---------к •
2	4 атЛ - d1
Ь = 2 м.
Определите радиус третьей зоны Френеля, если расстояние от
точечного источника света ( Л = 0,6 мкм) до волновой поверхнос-
ти и от волновой поверхности до точки наблюдения равно 1,5 м.
г3 = 1,16 мм.
На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 5 мм падает
нормально параллельный пучок света с длиной волны Л = 0,6 мкм.
Определите расстояние от точки наблюдения до отверстия, если отверстие от-
крывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля.
1) 5,21 м; 2) 3,47 м.
<41|>
Определите радиус третьей зоны Френеля для случая плоской вол-
ны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения
равно 1,5 м. Длина волны Л = 0,6 мкм.
На зонную пластинку падает плоская монохроматическая волна
(Л = 0,5 мкм). Определите радиус первой зоны Френеля, если рас-
гояние от зонной пластинки до места наблюдения b = 1 м.
Дано
Решение
= 707 мкм.
г = 1,64 мм.
т = 3
6 = 1,5 м
Л = 0,6 мкм = 6 • 10’7 м
г — ?
к
Зонная пластинка дает изображение источника, удаленного от нее
на 2 м, на расстоянии 1 м от своей поверхности. Где получится
ображение источника, если его удалить в бесконечность?_______________
Дано
fa = 2 м
>6 = 1 м
«I = 0°
Решение
2 аЬ
rm =----тЛ
а + Ь
fm = т^Л
(см. задачу 5.68),
(см. задачу 5.71),
Определите радиус четвертой зоны Френеля, если радиус второй
зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 2 мм.
Дано	Решение
/И| = 2	r = 4bmX (см. задачу 5.71),
/«2=4 Г] = 2 мм = 2 • 10"3 м	П _ ^Ьт}Л _ г2 Д>т2Л ущ ’	2 V Wl
г2 	?	
г2 = 2,83 мм.
НЙджНя Определите радиус первой зоны Френеля, если расстояние от то-
чечного источника света (Л = 0,5 мкм) до зонной пластинки и от
пластинки до места наблюдения а = b ~ 1 м.
Г] = 0,5 мм.
6, -?
пб
6, =----
1 а+Ъ
6] = 6,67 см.
Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источни-
ка монохроматического света (Л = 0,5 мкм). Посередине между
источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Оп-
ределите радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экра-
не является наиболее темным.
Дано	Решение
а+Ъ=\ м а = Ь Л= 0,5 мкм = 5  10’7 м г —?	г2 _ об	(см. задаЧу 5.68). а+ Ъ Центр наиболее темный при т = 2. 1 ab . 2аЬ , г = 	тл = 	Л . \ а+Ь	Vа + Ъ
Ответ ) г = о,5 мм.
415
Сферическая волна, распространяющаяся из точечного монохро-
матического источника света (Л = 0,6 мкм), встречает на своем
Покажите, что за круглым экраном С в точке В,
лежащей на линии, соединяющей точечный источ-

пути экран с круглым отверстием радиусом г = 0,4 мм. Расстояние а от ис-
точника до экрана равно 1 м. Определите расстояние от отверстия до точки
экрана, лежащей на линии, соединяющей источник с центром отверстия, где
наблюдается максимум освещенности.
ик с центром экрана, будет наблюдаться светлое пятно. Разме-
ы экрана примите достаточно малыми.
Ответ
Ь = 36,3 см.
Дифракция наблюдается на расстоянии I от то-
чечного источника монохроматического света
в
На экран с круглым отверстием радиусом г = 1,5 мм нормально
падает параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны Л - 0,5 мкм. Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоя-
Л = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном
[аходится непрозрачный диск диаметром 5 мм. Определите расстояние I ,если
щек закрывает только центральную зону Френеля.
Дано	Решение
нии b = 1,5 м от него. Определите: 1) число зон Френеля, укладывающихся в
отверстии; 2) темное или светлое кольцо наблюдается в центре дифракцион-
ной картины, если в месте наблюдения помещен экран.
Дано	Решение
г = 1,5 мм = 1,5  10м А = 0,5 мкм = 5  10-7 м b = 1,5 м	/		Г2 r = dbmk (см. рисунок к задаче 5.71), т =— . Ък
	Если т — четное — min. Если т — нечетное — max.
1) т -? 2) min, max — ?	Вычисления: (1,5-10-3)2 м2 1) т =	т— = 3; 1,5 м 0,510"6 м
2) т — нечетное, светлое кольцо.
Л = 0,5 мкм = 5 • 10 7 и
d = 5 мм = 5 • 10"1 м
т = 1
I —?
а2 = а2 -2ах + х2 + г2,
. т'к ,	>	1
о + от/. +----= о + 2Ьх + х- + г’
4
2 m л
х , —-----пренебрежимо малы
Ответ ) 1) т = 3;	2) светлое кольцо.
На экран с круглым отверстием радиусом г = 1,2 мм нормально
падает параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны Л = 0,6 мкм. Определите максимальное расстояние от отверстия на его
оси, где еще можно наблюдать наиболее темное пятно.
( Ответ Л z = 1,2 м.
I , d~
тл — 2	1
2	4
<4?6>
14 Сборник задач
417
На узкую щель шириной а = 0,05 мм падает нормально монохро-
магический свет с длиной волны Л = 694 нм. Определите направ-
ление света на вторую дифракционную полосу (по отношению к первоначаль-
ному направлению света).
Решение
а = 0,05 мм = 5  10~5 м
Л = 694 нм = 6,94 • 10 7 м
т = 2
<Р — ?
sin =
(2w + 1)Я 5л
2а 2а
£•84 I На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохроматичес-
кий свет (А = 0,6 мкм). Экран, на котором наблюдается дифрак- ионная картина, расположен параллельно щели на расстоянии 1 = 1 м. Опре- елите расстояние b между первыми дифракционными минимумами, распо- оженными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.	
Дано	Решение
1 = 0,6 мкм = 6  10“7 м | = 1 м т= 1 а = 0,1 мм = 10 4 м Ь-?	См. рисунок к задаче 5.85, min asin<p = ±mA,	т = 1, А sinp = —,	sinp«tgp, а 2 b = 21 tgp = 21 sinp = 27—. а
f Ответ Ль = 1,2 см.
На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Его
направление на четвертую темную дифракционную полосу состав-
ляет 2°12' . Определите, сколько длин волн укладывается на ширине щели.
Дано		Решение
<р = 2°\2' т = 4 min а — — 9 А		a sinp = +тЛ	(/и = 0, 1,2,...), а т	( A sin<p Вычисления: р = 2°12' = 2,2°; а	4	, - =	= 104 . A	sin 2,2°
Q Ответ	- = 104. А	
Г - л - На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохроматичес-
.......кий свет с длиной волны А = 0,5 мкм. Дифракционная картина
наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определите рас-
стояние / от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного мак-
симума Ъ = 1 см.
Дано
Решение
<4£8>
а = 0,1 мм = 10"* м
А = 0,5 мкм = 5 • 10’7 м
b= 1 см - 10~2 м
I
min
т=\,
b = 2llg<py 1 =---------, tn - arcsin—.
2 tgp	а
a sin<р = ±тА ,
А
sm<p = —,
а
I -1 м.
4‘
RRyH Монохроматический свет с длиной волны Л = 0,6 мкм падает на
длинную прямоугольную щель шириной <7 = 12 МКМ ПОД углом
а0 = 45° к ее нормали. Определите угловое положение первых минимумов
расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
Дано
А = 0,6 мкм = 6 10 7 м
а = 12 мкм = 12 • Ю4’ м
а0 = 45°
Решение
— ?
a_j —?
Монохроматический свет падает на длинную прямоугольную щель
шириной а = 12 мкм под углом а = 30° к ее нормали. Определи-
ину волны Л света, если направление <р на первый минимум (т = 1) от
ального фраунгоферова минимума составляет 33°.
Ответ ) л - a (sin у-sin a )= 536 нм.
На дифракционную решетку нормально падает монохроматический
свет с длиной волны Л = 600 нм. Определите наибольший порядок
(фектра, полученный с помощью этой решетки, если ее постоянная d = 2 мкм.
A = AB-CD,
& = a sina- a sina0 = a(sina -sina0),
t Дано
= 600 нм = 6  10 7 м
\</ = 2 мкм = 2 • IO-6 м
Решение
d siny = mA,
4sin^>max ^max^ ’
min
Д = ±тл (m=l,2, 3,...).
®max ?
sinV’max = 1>
77гтпах —
m = +l:	a(sina+| -sina0) = Л ,
sina+1 = sina0 +—,
a
«max = 3 ’
«+1 = arcsin sincr0 + — .
К	Cl)
m = -l:	«(sina.!-sina0) =-Л ,
sina.! = sina0 —
a
.	. Л'
а , = arcsm sina0 —
v а.
Вычисления-
. I лсо 0,6 10~б
а.। = arcsin sin45 +—
I 12
м
Л - =49,2°=49°12';
10'6mJ
a_! = arcsin| sm45 -
10’6 м ]
—-— =411°=41об'
12-10“6м/
На дифракционную решетку длиной 7 = 15 мм, содержащую
= 3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с
Длиной волны Л = 550 нм. Определите: 1) число максимумов, наблюдаемых в спек-
тре дифракционной решетки; 2) угол, соответствующий последнему максимуму.
Дано	Решение
/ = 15 мм= 1,5 • 10~2m # = 3000 ^• = 550 нм = 5,5 • 10~7m 1) n —? 2> V’max — ?	dsin<p-±mA	(jn - 0, 1, 2,...),	4 = — , 4	/ mrnax =y при SUlp = l,	"’max=^, и — 2znmax ,	d sin (pmax — wimaxA ,
/
ттаА m AN	. m AN
sm V’max = —T~ =-----i----• iPmax - 3103111	,
a	I	l
a+l =49°12',	а_]=41°6'.
1) n = 18; 2) pmax = 81°54'.
420
421
Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если
углу <р - 30° соответствует максимум четвертого порядка для
монохроматического света с длиной волны 2 = 0,5 мкм.	
Дано	Решение
р = 30° т = 4 2 = 0,5 мкм = 5 • 10"7 м п — ?	|тах | dsin<p = ±mA	(т = 0, 1, 2,...), d = ~^~ d = J_ sin^’	№	I d тл ’
Ответ и=250 мм-1.	
; Дано
jpi = 18°
J?2 -?
е Монохроматический свет нормально падает на дифракционную
решетку. Определите угол дифракции, соответствующий макси-
того порядка, если максимум третьего порядка отклонен на <р{ =18°.
Решение
min| d sin <p} = т}Л, d siny?2 = m2^,
sin <p2 = —- sinpj,
mi
На дифракционную решетку нормально падает монохроматичес-
кий свет с длиной волны Л = 0,5 мкм. На экран, находящийся от
решетки на расстоянии L = 1 м, с помощью линзы, расположенной вблизи ре-
шетки, проецируется дифракционная картина, причем первый главный макси-
мум наблюдается на расстоянии I = 15 см от центрального. Определите число
штрихов на 1 см дифракционной решетки.
Дано
Решение
sin^>| _ m,
sin ^>2 m2
.	™2 •
tp2 = arcsin sin^j
k mi
<p2 = 24°20'.
ИМ На дифракционную решетку нормально падает монохроматичес-
кий свет. Определите угол дифракции для линии 0,55 мкм в четвер-
том порядке, если этот угол для линии 0,6 мкм в третьем порядке составляет 30°.
р = 37°42'.
На дифракционную решетку нормально падает монохроматичес-
кий свет. В спектре, полученном с помощью этой дифракционной
решетки, некоторая спектральная линия наблюдается в первом порядке под
углом р = 11°. Определите наивысший порядок спектра, в котором может на-
блюдаться эта линия.
Дано	Решение
р = 1Г	dsm<p=mk,	т = 0, 1, 2,..., /итах .
т = \	
	sin у?	т ^Sln^max -
^тах	?	ашУ’тах ^тах
SiniPmax 1,
1
оттах -----------
sin у?
^тах
Определите длину волны монохроматического света, падающего
нормально на дифракционную решетку, имеющую 300 штрихов
на 1 мм. если угол между направлениями на максимумы первого и второго
порядка составляет 12°
Дано
n = 300 мм 1 = 3  IO5 м 1
Ap = 12°
W] = 1
m, = 2
п
Решение
d sinpj =
d sinp, =
тх = 1, т2 = 2.
л — ?
Л . 2Л
Sinp|=—, sinp, =—,
d ~ d
sinp2 - 2 sinp(,
Дано
= 5 мкм = 5 • 10 6 м
= 30°
1= 0,5 мкм = 5 • 10 7 м
На дифракционную решетку с постоянной d = 5 мкм под углом
# = 30° падает монохроматический свет с длиной волны Л = 0,5 мкм.
еделите угол р дифракции для главного максимума третьего порядка
Решение
<p2-<Pi+&p, sin(p] + Ар) = 2sinр,,
sin р] cos Др + cos р, sin Ар = 2 sin р,,
sin p| (2 - cosAp)= cosp] sin Ap ,
sinp, sinAp
tgp! =----= -------—,
cosp]	2 -cosAp
2
Ар
*-
—?
Д = AB-CD = d sinp - d sin# ,
d sin p - d sin # = тЛ,
p = 53°8'.
I sin Ар ]
Pi = arctg ----д—
12- cos Ару ’
. , . 1 . |
Л - d sinp] = — sin arctg
n '
m-2
sinAp 'll
2 - cosДру
Л = 664 нм.
Какой должна была бы быть толщина плоскопараллельной стек-
лянной пластинки (п=1,55), чтобы в отраженном свете макси-
мум второго порядка для Л = 0,65 мкм наблюдался под тем же углом, что и у
дифракционной решетки с постоянной d -1 мкм.
х=577 нм.
ft I
'D
। p
+3
тЛ . „
sinp =----г sin#
r d
+3
На дифракционную решетку под углом # падает монохрома-
тический свет с длиной волны Л . Найдите условие, определя-
ющее направления на главные максимумы, если d » тЛ (т — порядок
спектра).
(Ответ <7cos# (p-#) = mA.
Узкий параллельный пучок рентгеновского излучения с длиной вол-
ны Л = 245 пм падает на естественную грань монокристалла ка-
менной соли. Определите расстояние d между атомными плоскостями моно-
кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается при
падении излучения к поверхности монокристалла под углом скольжения # = 61°.
d = 0,28 нм.
<424>
(5.10® "Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского
У излучения падает на грань кристалла с расстоянием между ei 0
атомными плоскостями d = 0,3 нм. Определите длину волны рентгеновскою
излучения, если под углом ft = 30° к плоскости грани наблюдается дифракни-
онный максимум первого порядка. 
Дано	Решение
d = 0,3 нм = 3 • 10-10 м # = 30° т = 1	_ , . „	,	, 2Jsinft 2d sin ft = тл,	Л =	. т
Л — ?	Г Ответ j л = зоо пм.
Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны А = 245 пм
падает под некоторым углом скольжения на естественную грань
монокристалла№С1(Л/ = 58,5’10 3 кг/моль), плотность которого р = 2,16 г/см’
Определите угол скольжения, если при зеркальном отражении от этой грани
наблюдается максимум второго порядка.
Дано	Решение
Л = 245 пм = 2,45  10 10 м М = 58,5 10“3 кг/моль р = 2,16 г/см3 = = 2,16 • Ю3 кг/м3 т = 2 9 — ?	2d sin ft = тХ,	ft = arcsin . 2d В ячейке NaCl 4 Na+ и 4 СГ. Каждый ион входит в 8 ячеек. Число ячеек равно числу ионов. В 1 моль — 2NА ячеек. d = Hv , V = ^, vm= —, p ’
j Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения па-
дает под углом скольжения & = 60° на естественную грань моно-
[сталла NaCl ( М = 58,5-10-3 кг/моль), плотность которого /> = 2,16 г/см3,
ределите длину волны излучения, если при зеркальном отражении от этой
Йи наблюдается максимум третьего порядка.
Л = 163 пм.
ЯОЗ 1I Диаметр D объектива телескопа равен 10 см. Определите наи-
.Wlr 9г Меньшее угловое расстояние <Р между двумя звездами, при кото-
ром в фокальной плоскости объектива получатся их разрешимые дифракцион-
ные изображения. Считайте, что длина волны света А = 0,55 мкм.
Дано	Решение
D = 10 см = 0,1 м
Л = 0,55 мкм = 5,5  10 7 м <р = 1,22—.
<р — ?
Q Ответ '') <p = i,4".
Определите наименьшее угловое разрешение радиоинтерферомет-
ра, установленного на Земле, при работе на длине волны А = 10 м.
Дано	Решение
А = 10 м Я3 = 6,37-10б м	□ Ь dtp-	. 27?3
— ?	dp =	!°—.	= 0,7 85 • 10'6 рад = 0,2". 2 6,37 106 м
Q Ответ ) d^ = o,2~
<427>
(5.Ш) На дифракционную решетку нормально падает монохроматичес-
1 S Кий свет с длиной волны Я = 0,6 мкм. Угол дифракции для пятого
максимума равен 30°, а минимальная разрешаемая решеткой разность длин
волн составляет дЛ = 0.2 нм. Определите: 1) постоянную дифракционной ре-
шетки; 2) длину дифракционной решетки.
Дано	Решение
Л = 0,6 мкм = 6 • 10‘7 м	, .	,	, иЯ	я asinw = «M,	d =	,	R = — -mN,
т = 5 <р = 30°	sm<p	<5Я
дЛ = 0,2 нм = 2 • 10“10 м	
	»	,	nr J — /7Л7 —	.	- —
	(5Л m	sin <p оЛ m oA sin <p
1) d — ?	
	
	QOmeem i) j = 6 мкм; 2) / = з,б мм.
2) / — ?	
—"	.	 . .. ..... , - 			 ,	
{ 5.106 1 Сравните наибольшую разрешающую способность для красной	
	' линии кадмия (Л = 644 нм) двух дифракционных решеток одина-	
ковой длины (1 - 5 мм), но разных периодов (d} - 4 мкм, d2 - 8 мкм).	
Дано	Решение
Я = 644 нм = 6,44  10 7 м	d}5mtp = т}Л,	d2s\n<p = т,Л, siny>max -1,
1-5 мм = 5  10 3 м	d}	d->
dt = 4 мкм = 4 • 10'* м	~ — , w2 - ~, tn2 — целые числа. л	Я
d2 = 8 мкм = 8  10 '6 м	l	I
	N.= — ,	N-, = —, R. - m,N,,
	
^1 max 	?	4-Ю'6м	£
max 	?	
	Л2тах=^2-	т'- 644.10-9м"6’'”2’12’
5 10~3м	
У. =	т— = 1250, 410-бм	AC = 625 ; /?Imax = 6 1250 = 7500. ^2max = 7500.
С Ответ	» J “1 max	^2 max = 7500.
МНИВ Покажите, что для данной Л максимальная разрешающая спо-
в™'1' собность дифракционных решеток, имеющих разные периоды, но
маковую длину, имеет одно и то же значение.__________________
R =1
2тпах
^КЯтх|| Определите постоянную дифракционной решетки, если она в пер-
вом ПОрадке разрешает две спектральные линии калия (Л; = 578 нм
Я Я2 - 580 нм). Длина решетки I = 1 см.
Дано	Решение
т = \ = 578 нм = 5,78 • 10 7 м ' Я2 = 580 нм = 5,8 • 10’7 м / = 1 см = 1 О’2 м d — ?	R = h-=mN,	У = -^,	^ = Л,-Л., дЛ	дЛ т	21 1	1 дХт N
^Ответ"^ d = 34,6 мкм.	
ИгйОШят Постоянная d дифракционной решетки длиной 1 - 2,5 см равна
5 мкм. Определите разность длин волн, разрешаемую этой ре-
шеткой, для света с длиной волны Л = 0,5 мкм в спектре второго порядка.
Дано	Решение
1 - 2,5 см = 2,5 • Ю"2 м d = 5 мкм = 5 • 1 О'6 м Л = 0,5 мкм = 0,5 • 10"6 м т~ 2	Л	,	1	Л 1 — -mN,	N = —	—= т—. Ы.	'	d’	Ы. d' Xd дХ = — ml
дЯ — ?	( Ответ У дя = 50 пм.
f	Дифракционная решетка имеет N -1000 штрихов и постоянную
= ю мкм. Определите угловую дисперсию для угла дифракции
у? = 30° в спектре третьего порядка. Найдите разрешающую способность диф-
ракционной решетки в спектре пятого порядка.
Дано	Решение
N = 1000	_ дк т,	„ к
d = 10 мкм = 10'5 м	D= — =	—»	Я = — v dtp d cosy?	6А
у? = 30°	
т{ - 3	
т7 = 5	
	Ответ	= 3,46 • Ю5 рад/м;
Df—7	R~?	7? = 5000.
Г ЗЛИ ) Определите длину волны, для которой дифракционная решетка с
х ....постоянной d - 3 мкм в спектре второго порядка имеет угловую
дисперсию D,p - 7 105 рад/м.
Ответ ) а = 457 нм.
Угловая д исперсия д ифракционной решетки для к- 500 нм в спек-
тре второго порядка равна 4,08 • 105 рад/м. Определите постоян-
ную дифракционной решетки.
Дано
Решение
Л = 500 нм = 0,5  1О'6М т = 2 = 4,08 1 05 рад/м	D ,.= т дк d cosy?’ тк siny? = —, d	costp =, dsmtp = mk, siny?	mkD.<pd tgy?=	Д’ = kD , cosy? d m	’
d — ?		
<р = arctg(iD^), d =	. С Ответ j d- 5 мкм.
-	sin у?
5.4. Взаимодействие электромагнитных волн
с веществом
Докажите, что если монохроматический пучок света падает на
грань призмы с показателем преломления п под малым углом, то
и Малом преломляющем угле А призмы угол отклонения <р лучей не зави-
|т угла падения и равен Л(п -1).
Дано
Я
А
а, — мал
<р = Л(п-1) —?
Решение
/3] +/32 - Л,
а2 = «^2 = п(А - /?]) = пА-п^ = nA-ai,
<p = a]+a2-A = ai + nA-ai-A = А(п -1).
<р = Л(и-1).
На стеклянную призму с преломляющим углом А = 55° падает
луч света под углом а, = 30°. Определите угол отклонения <р луча
призмой, если показатель преломления и| стекла равен 1,5.
<р = 35° 40'.
4ИВИН| На грань стеклянной призмь! (п = 1,5) нормально падает луч све-
та. Определите угол отклонения <р луча призмой, если ее прелом-
ляющий угол А = 30°.	1
+
<р = 18°36’ .
вкаВИИВ На рисунке представлен симметрич-
ный ход луча в рав нобедренной при-
зме с преломляющим углом А = 40° (внутри при-
змы луч распространяется параллельно основа-
нию). Определите угол отклонения <р луча при-
змой, если показатель преломления п материла
линзы равен 1,75.
Ответ ) (р = зз°32
Луч света выходит из стеклянной призмы (п = 1,5) под тем же
углом, что и входит в нее. Определите угол отклонения <р луча
призмой, если ее преломляющий угол А - 60°.
Дано	Решение
n = 1,5	j
а] = а2 = а	/W2 = 0 = y,
.4 = 60°	sin a
— 9		s sin/3
sin а - п sin /3 - и sin
а = arcsin п sin —
k <2
tp = 2а - A = 2 arcsin n sin
--------------------1
p = 37°ll'.
432
и
МИМИм Определите максимальную скорость вынужденных колебаний сво-
бодного электрона, если в точке его нахождения радиопередат-
чик, работающий на частоте 500 кГц, создает поле электромагнитного излуче-
им Ео =10 мВ/см.
| j Дано	Решение
К = 1,6-10~'9 Кл L = 9,1I1O~31 кг tv = 500 кГц =5 • Ю5Гц | £0. = 10 мВ/см = 1 В/м	, F х +	= —5SiL cosait,	(i)=27tv, ш0 = 0, т еЕп	еЕ0 . Е.„ =е£п, х =	cosa>t, x = v =	sinaH, вын	и	т	тш
} 	 V 1 vmax	= еЕ0 = еЕ0 ^тах tna) 2тт
Offlgem J Vmax = 55 9 км/с.
f 5.119 ) Электромагнитная волна с частотой и> распространяется в разре-
женной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме
равна п0. Определите зависимость диэлектрической проницаемости £ плаз-
мы от .частоты ш. Взаимодействием волны с ионами плазмы пренебречь.
Дано
«о
О)
£<Ъ) — ?
Решение
£ = 1 + X = 1 +-, Р = ппех ,	£ = 1 + ——,
£оЕ	£qE
еЕп
Е = Еп coscdI , х = A cosa)t. А =--~—z-,
т(а>2-а>2)
2 еЕо
Х + О)(,Х =----coswt >
т
»pg2
г0тсо2
2
e = l + Z!o£______
с 1 -г	2	2
еот u)q - а)
е = 1 -
»pg2
£йта>2
433
Определите концентрацию свободных электронов ионосферы,
если доя радиоволн с частотой v = 97 МГц ее показатель прелом-
ления п = 0,91.
Дано	Решение
v = 91 МГц = 97 • 106Гц	п = Дц ,	ц = 1,	п = 4г ,
п = 0,91	
е = 1,610"19 Кл	с = 1 + х,	Р=-х.г0Е0, Р-поехтзх,
т - 9,11-10-31 кг	Р	ПС\в И'=Ь = 1+ Х = 1 +	= 1 + —— Xmax , г Г	с Г	тах с-О-^О	£0^0
«о —?	2 _ Z 2 1Л £q£q	2 еЕй п -(п	1)	,	x + wox-	cosa)t,
	«max	т
	еЕо
со = 2лт, x = Jcoscor	, 2	2x ’	% —	Amax ~	’ m(a)0 - co )
X - g£°	„ л .,2л£о£о^2 .гЛдУгрСТ
^тах 2 ’ Л0 О )	2 т- (* Л )	2
та)	е Eq	е
(Ответ }	- 1л7 „ 3
J по = 2-1О см <
I	I При прохождении в некотором веществе пути х интенсивность
света уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз умень-
шится интенсивность света при прохождении пути 2х.
Коэффициент поглощения некоторого вещества для монохрома-
г '	" тического света определенной длины волны а = 0,1 см-1. Опреде-
лите толщину слоя вещества, которая необходима для ослабления света в 2 раза
и в 5 раз. Потери на отражение света не учитывать.
dx = 6,93 см; <У2 =16,1 см.
Плоская монохроматическая световая волна распространяется в
некоторой среде. Коэффициент поглощения среды для данной
длины волны а - 1,2 м"1. Определите, на сколько процентов уменьшится ин-
тенсивность света при прохождении данной волной пути: 1) 10 мм; 2) 1 м.
Дано	Решение
а = 1,2 м-1 1) х = 10 мм = 10 2 м 2) х = 1 м	1-1 е'0*	Л) ~ _ Л) ~ Л) е _ < -ах /о	/о
1й-1 —	 —7 h	Ответ	i) 1,2%; 2)70%.
Свет падает нормально поочередно на две пластинки, изготовлен-
ные из одного и того же вещества, имеющие соответственно тол-
щины = 5 мм и х2 = 10 мм. Определите коэффициент поглощения этого
вещества, если интенсивность прошедшего света через первую пластинку со-
ставляет 82%, а через вторую — 67% от начальной интенсивности.
Дано
X] = 5 мм = 5 • 10’3 м
х2 =10 мм = 10~2 м
/, = О,82/о
А = О,б7/о
а — ?
Решение
7 = 7 е~ах>
Л 2ос ’
А- еа(*2“Х1)
12
/2=/0е-'“2,
х2 - Х|
« = 0,404 см-1.
435
Источник монохроматического света с длиной волны Ло = 0,5 мкм
движется по направлению к наблюдателю со скоростью 0,15с (с —
скорость света в вакууме). Определите длину волны, которую зарегистрирует
приемник наблюдателя.
Дано
Ло = 0,5 мкм = 5 • 10 7 м
и = 0,15с
# = л
X — ?
Решение
(COS7r 1} COwggw 3я=4зонм
При какой скорости красный свет (690 нм) будет казаться зеле-
ным (530 нм)?
v = 77,4 Мм/с.
В спектральных линиях, излучаемых астрономическими объекта-
ми — квазарами, наблюдалось красное смещение, отвечающее
трехкратному уменьшению частоты. Определите, с какой скоростью при этом
должен был бы удаляться квазар.
Дано	Решение	
	/	
3		1--
# = 0		с
	V — Ул	, и дх U , COS V — 1 , V — Vf) V	1 1 + — COS#	1	1+- ’
v — ?	с	с
— = -,	L_£. = [T| ,	1 + 2 = 9fl--l Ю- = 8, и = 0,8с.
v0 3	1+г> W	с ( с) с
Ответ
v = 0,8с.
<436>
Известно, что при удалении от нас некоторой туманности линия
излучения водорода (А = 656,3 нм) в ее спектре смещена в крае-
вую сторону на ДА = 2,5 нм. Определите скорость удаления туманности.
v -1,14 Мм/с.
Выведите выражение для уширения ДЛ/Л спектрал ьных линий в
случае продольного эффекта Доплера при v « с.
Исходя из общей формулы, описывающей эффект Доплера для
электромагнитных волн в вакууме, выведите формулу для попе-
речного эффекта Доплера. Почему поперечный эффект Доплера является чис-
то релятивистским эффектом?
Выведите выражение для уширения ДЛ/Л спектрал ьных линий в
случае поперечного эффекта Доплера.
Дано	Решение
ft = л/2	
л , с
ДА 	 	9 Л	v’ = v—5, cosft = cos— = В, А = —, 1 v „	2	v 1 + — cosft с
(	2'
v Л I с ,

ip] зМ
2<c2J + 8U4J+'"’
1 f1)2 '
2
Л/
Л
А' = Л + ДЛ
ДЛ _ v2
А ~2?’
v2
2с2 '
<437>
вИИ|Нн Определите доплеровское смещение ДА для спектральной линии
атомарного водорода (А = 486,1 нм), если ее наблюдать под пря-
мым углом к пучку атомов водорода с кинетической энергией Т = 100 кэВ.
Дано
Решение
А = 486,1 нм=486,1 1(Г’м
# = -
2
7 = 100 кэВ =
= 1,6- 10 14 Дж
т= 1,67-10'27 кг
с = 3  108 м/с
ДА —?
1Р
A'	‘I -
A	J 1
ДА
А
v2
1с2 ’
1 + — cos#
с
, с
V --------,
А'
v2
COS# = 0, р' = у I----- ,
V с2
и2]72	if и2'
с2)	ЛД
А + ДА
А
А' = А + ДА,
2 2Т
V -—
т
а/
А
2
А
С ,
з( v4
^efc4
— 1 4 —х-
2<с2
Т
ДА = А—у.
тс
с
v = —,
А
+...,
ОI
с
„ WV2
Т =----
2
ДА = 51,7 пм.
5 133 Определите скорость электронов, при которой черенковское из-
лучение происходит в среде с показателем преломления п = 1,54
под углом д = 30° к направлению их движения. Скорость выразите в долях
скорости света.
Дано
Решение
и =1,54
# = 30°
cos# - —
т>
с
v =-------
п cos#
v — ?
v = 0,75с.
438
Определите кинетическую энергию протонов, которые в среде с
показателем преломления п = 1,6 излучают свет под углом 9 = 20°
к направлению своего движения. Ответ выразите в электрон-вольтах.
Дано
т=1,67 10’27 кг
и = 1,6
£ = 20°
Г(эВ) — ?
Решение
с	v	1
cos£ =— ,	— ------
т>	с	и cost/
Г =0,319 ГэВ.
ИЦВ Определите минимальный импульс, которым должен обладать
электрон, чтобы эффект Вавилова—Черенкова наблюдался в сре-
де с показателем преломления п = 1,5.
Дано	Решение	
т=9,11-10”3' Кг п = 1,5	Q с cosv = —, ни	С
		п cos 9
Ашп	п	(cos £ = 1),
тс	тс	тс
Pmin	1	2 /	(?) 1 п. И _ 1 min V	\ с J	П-. 11 —-X- V п	Fmin	I ~ V«2-i
{Ответ Ртп а 2,44.10-22 кг.м/с
<439>
ииМЕВздт Определите минимальную кинетическую энергию, которой дол-
жен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления
п = 1,5 возникло черенковское излучение. Ответ выразите в МэВ.
Ответ )
4	Ттт = тс2
,	- -1 =0,175 МэВ.
Л ц?у Определите минимальную ускоряющую разность потенциалов
х _ •	, которую должен пройти электрон, чтобы в среде с показа-
телем преломления п = 1,5 возникло черенковское излучение.
Дано	Решение	
т = 9,11-10-31 кг п = 1,5	COS& =—, пи	с v~	Я’ п COSV
П — 9 min	с ^тт —	’ п	( COS 1) = 1 ),
™	2
Ттп = тс
7m,n = HUm,n
Ответ ) с/ют = 175 кВ.
5.5. Поляризация света
138 J Опишите поведение светового вектора Е в данной точке простран-
 У ства в случае эллиптически поляризованного света.
Определите степень поляризации частично поляризованного све-
та, если амплитуда светового вектора, соответствующая макси-
мальной интенсивности света, в 3 раза больше амплитуды, соответствующей
его минимальной интенсивности.
Дано	Решение
Ей /Ей =3 max / vmin р — ?	D — Ап ах ~~ Ашп	г тр 2 I +1	’	7~£°’ max ' min
Степень поляризации частично поляризованного света составля-
ет 0,75. Определите отношение максимальной интенсивности све-
та, пропускаемого анализатором, к минимальной.
Дано	Решение
Р=0,75 Апач 	 Ашп QOmeem Лих Ашп	Ап ах __ । Р — Алах ~ Ашп	р _ Ашп Алах Ашп	Ihkml | Anin 7.
<441)
ВНИЯВ Определите степень поляризации Р света, который представляе
собой смесь естественного света с плоскополяризованным, ecu
интенсивность поляризованного света равна интенсивности естественного
Al Аст
г = /
max п
Дано
+ — Z — кп
2 ест Г)
Решение
р ~1
Р = Anax Anin
Anax + Anin
3
2
2
' =1/ -1/
min 2 ест 2 2,1 ’
= 60°-
Интенсивность естественного света, прошедшего через два нико-
ля, уменьшилась в 8 раз. Пренебрегая поглощением света, опре-
елите угол между главными плоскостями николей.
.145) Определите, во сколько раз ослабится интенсивность света, про-
шедшего через два николя, расположенные так, что угол между
главными плоскостями а = 60°, а в каждом из николей теряется 8% интен-
сивности падающего на него света
р = ^—
3 _	1
21п + 2 7"
? Ai 1
— - -и- = 0,5.
2/п
Р=0,5.
Дано
а = 60°
к = 0,08
Решение
1^^1-к),
12 - Д(1-k)cos* 2a,
Определите степень поляризации Р света, который представляет
собой смесь естественного света с плоскополяризованным, если
интенсивность поляризованного света в 5 раз больше интенсивности естествен-
ного
т-?
*2
1	>	1
/2 =-/0(1-^) cosza,
А>=___2
12 (1- к)2 cos2 а
/о
2
— = 9,45.
2 ________
Р = 0,833.
м
J46) Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность естествен-
ного света, прошедшего через два николя, главные плоскости ко-
торых образуют угол в 60°, если каждый из николей как поглощает, так и отра-
жает 5% падающего на них света.
Угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора
составляет 30°. Определите изменение интенсивности прошедшего
через них света, если угол между главными плоскостями равен 45°
Дано	Решение
at = 30°	A = Io cos2 ctj,	l2 - l0 cos2 a,,
а2 = 45°	A _ cos2^!
А о	Iz cos2a2
—- — 9 h	Q Ответ A_ = 15 		 h
Дано
а = 60°
Jc, = к2 = 0,05
А)
—____?
Л
Решение
A~~(^~(ki + k2))I0=— 0,9 20,
Z2 = А 0,9 cos2 а - — Ip 0,92cos2«,
5- = 9,88
г
2 
1р _	2
I2 0,92 cos2 а
442
443>
Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, угол
между главными плоскостями которых равен а. Поляризатор и
анализатор как поглощают, так и отражают 10% падающего на них света. Он-
ределите угол а, если интенсивность света, вышедшего из анализатора, равна
12% интенсивности света, падающего на поляризатор.
Дано	Решение
к} = к-,= 0,1 Л =0,12/о	А=|(1-(Л1 + ^))/о = |-0,8-/о,
1
а — ?	12 = I] • 0,8cos а,	12= — ‘1о-0,8' cos а ,
cosa =
= 0,612,
а = arccos0,612 = 52,24°= 52°14’ .
| 2-0,12
Л-0,82
а = 52°14' •
Естественный свет интенсивностью 10 проходит через поляриза-
тор и анализатор, угол между главными плоскостями которых со-
ставляет а . После прохождения света через эту систему он падает на зеркало
и, отразившись, проходит вновь через нее. Пренебрегая поглощением света,
определите интенсивность 1 света после его обратного прохождения.
cos2 а =—/л cos4 а.
2 0
г 1 г 4
I = — Io cos а .
2 0
йрпендикулярны.
Докажите, что при падении света на границу раздела двух сред
под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно
Известно, что при падении света на прозрачный диэлектрик под
углом Брюстера отраженный свет является плоскополяризован-
ым. Чем необходимо воспользоваться, чтобы получить преломленный свет
актически полностью поляризованным?
Пучок естественного света падает на стеклянную призму с углом
а = 30°. Определите показатель преломления стекла, если отра-
женный луч является плоскополяризованным.
Определите показатель преломления стекла, если при отражении
от него света отраженный луч полностью поляризован при угле
преломления 35°.
Дано	Решение
у = 35°	sina	.	.	sin(90°-y)
		=п, а=1д,	1д=90-у, п=—1.
п — ?	sin у	sin у
(Ответ'') и=1,43.	
<445>	
ЛВВНВНЖ Определите, под каким углом к горизонту должно находиться Сол
нце, чтобы лучи, отраженные от поверхности озера ( п = 1,331
были максимально поляризованы.
Дано	Решение
/7=1,33	1ё'в = '121 = п’ iB = arctgn,
— ?	7 R | г) II S-
Q Ответ
«яикЯВЛ Предельный угол полного отражения для пучка света на границе
кристалла каменной соли с воздухом равен 40,5°. Определите угол
Брюстера при падении света из воздуха на поверхность этого кристалла.
Дано	Решение	
'пр = 40,5°	sin'пр =Hi	и2 _	1
'в ?	sin(it/2) Hj	Hi sminp
(Ответ ) ,• =57°
Свет, проходя через жидкость, налитую в стеклянный сосуд
(п = 1,5 ), отражается от дна, причем отраженный свет плоскопо-
ляризован при падении его на дно сосуда под углом 41 °. Определите: 1) показа-
тель преломления жидкости; 2) угол падения света на дно сосуда, чтобы на-
блюдалось полное отражение.
Ответ )1)и=1,73; 2)/=бо°7'.
Параллельный пучок света падает нормально на пластинку из ис-
Wy ландского шпата толщиной 50 мкм, вырезанную параллельно од-
ической оси. Принимая показатели преломления исландского шпата для обык-
новенного и необыкновенного лучей соответственно п0 -1,66 и пе = 1,49 , оп-
)вделите разность хода этих лучей, прошедших через пластинку.
в Дано
W - 50 мкм = 5 • 1 О'5 м
Ч> = 1,66
ч = 1,49
Решение
А = dn0 - dne = d(n0 - пе).
Д -?
1 У'
*Т~*
t
• О
» ,о
е
Д = 8,5 мкм.
• О'
Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме
Л = 589 нм, падает на пластинку исландского шпата перпендику-
лярно его оптической оси. Принимая показатели преломления исландского
шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно п0 = 1,66
тл. пе = 1,49, определите длины волн этих лучей в кристалле.
Дано	Решение
Л = 589 нм = 5,89- 10*7м п0 -1,66	Л = сТ,	Ло = v0T ,	= veT, с	с	Л
пе=1,49	vo = —,	ve = —,	= —, п0	пе	«о
	л Ле = — (См. рисунок к задаче 5.156).
К	
Ответ ) л„ = 355 нм, = 395 нм.
<447>
5-15}
Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме
Л = 530 нм, падает на пластинку из кварца перпендикулярно ее
оптической оси. Определите показатели преломления кварца для обыкновеп-
ного (п0) и необыкновенного (пе) лучей, если длины волн этих лучей в крис-
талле соответственно равны ЛО = 344 нм и Ле =341 нм.
по = 1,54 , пе = 1,55.
Определите наименьшую толщину кристаллической пластинки в
четверть волны для Л = 530 нм, если разность показателей пре-
ломления обыкновенного и необыкновенного лучей для данной длины волны
= 26>5 мкм-
16
Используя задачу 5.159, дайте определение кристаллической пла-
стинки в полволны и определите ее наименьшую толщину для
1= 530 нм, если разность показателей преломления необыкновенного и обык-
енного лучей для данной длины волны пе - п0 = 0,01
пе-п0- 0,01. Пластинкой в четверть волны называется кристаллическая пла-
стинка, вырезанная параллельно оптической оси, при прохождении через кото-
рую в направлении, перпендикулярном оптической оси, обыкновенный и нео-
быкновенный лучи, не изменяя своего направления, приобретают разность хода,
равную Л]4.
Используя задачу 5 159, дайте определение кристаллической пла-
стинки “в целую волну” и определите ее наименьшую толщину
Л = 530 нм, если разность показателей преломления необыкновенного и
обыкновенного лучей для данной длины волны пе - п0 = 0,01
Дано
4 = 530 нм =5,3  10-7 м
пе-п0 = 0,01
Д = Л
Решение
А =	“«<,)> Д = л(прит=0),
2
^min(we — «о) —	—	•
И — И
Дано		Решение	
Л = 530 нм - 5,3 пе - по = 0,01 Д = Л/4 d — ?	10-7 м	\ = d(jie-no), d = —±— 4(пе-по) '	Л = А. 4
^Отёет^	d = 13,3 мкм.		
<7т1П = 53 мкм.
Объясните, изменится ли наблюдаемая оптическая картина в слу-
чае эффекта Керра, если направление напряженности электричес-
кого поля изменить на противоположное.
Кристаллическая пластинка из исландского шпата с наименьшей
толщиной d = 0,86 мкм служит пластинкой в четверть волны (см
задачу 5.159) для Л = 0,59 мкм. Определите разность Дп показателей прелом-
ления обыкновенного и необыкновенного лучей.
Определите толщину кварцевой пластинки, для которой угол по-
ворота плоскости поляризации монохроматического света опре-
деленной длины волны р =180°. Удельное вращение в кварце для данной дли-
ны волны а - 0,52 рад/мм.
Ди = 0,171.
d = 6,04 мм
<448>
Пластинка кварца толщиной d} = 2 мм, вырезанная перпендику-
лярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поля-
ризации монохроматического света определенной длины волны на угол
= 30°. Определите толщину d2 кварцевой пластинки, помещенной между
параллельными николями, чтобы данный монохроматический свет гасился
полностью.
Дано	Решение	
d} = 2 мм = 2 • 10 3 м	<р} = ad},	<р2 = ad2,
=зо°	<Pi di	d d'</>2
	— _	“2 ~
<р2 = 90°	<Р2 d2	<P\
-?	QOmeem J	) d2 = 6 мм.
С2 = 0,157 г/см3.
Раствор глюкозы с массовой концентрацией С] = 0,21 г/см3, на-
ходящийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляри-
ии монохроматического света, проходящего через раствор, на угол	= 24°.
пределите массовую концентрацию С2 глюкозы в другом растворе в трубке
кой же длины, если он поворачивает плоскость поляризации на угол <р2 = 18° .
Определите массовую концентрацию С сахарного раствора, если
при прохождении света через трубку длиной I - 20 см с этим ра-
створом плоскость поляризации света поворачивается на угол <р =10° . Удель-
ное вращение [а] сахара равно 1,17- 10-2 рад  м2/кг.
Плоскополяризованный монохроматический свет, прошедший че-
рез поляроид, оказывается полностью погашенным. Если же на пути
рвета поместить кварцевую пластинку, то интенсивность прошедшего через поля-
роид света уменьшается в 3 раза (по сравнению с интенсивностью света, падаю-
щего на поляроид). Принимая удельное вращение в кварце [а] = 0,52 рад/мм и
^енебрегая потерями света, определите минимальную толщину кварцевой
астинки.
Дано
Решение
Дано	Решение
I = 20 cm = 0,2 м p = 10° [«] = 1,17 • 10-2рад  м2/кг	<P = [«]CZ,	С = -~. [«]/ 1°= 1,75 10-2 рад.
С — ?	Q Omeem с =74,8 кг/м3.
[а] = 0,52 рад/мм =
= 520 рад/м
d — ?
Некоторые внесистемные величины
1 сут = 86400 с	1°=1,75 10”2 РЗД
1 год = 3,16  107с	Г = 2,9110-4 рад
1" = 4,85 10-6 рад
f Ю
2 агсс Д'у з J
d =--------ГГ--------
[«]
d = 1,18 мм.
450
<451>
5.6. Квантовая природа излучения
Объясните, почему в неотапливаемом помещении температура
всех тел одинакова.
ИММНМ Температура внутренней поверхности муфельной печи при откры-
том отверстии площадью 30 см2 равна 1,3 кК. Принимая, что от-
верстие печи излучает как черное тело, определите, какая часть мощности рас-
сеивается стенками, если потребляемая печью мощность составляет 1,5 кВт.
Дано
Решение
5.170-) Объясните, почему открытые окна домов со стороны улиц кажут-
ся черными.
S = 30 см2 = 3 • 10-3 м2
Т = 1,3 кК = 1,3- 103К
Р = 1,5 кВт = 1,5- 103 Вт
Ризл = ^ = оТ45, Ррас = Р-Ризл = Р-оТ45,
^рас = t oT4S
Р Р '
Чайная фарфоровая чашка на светлом фоне имеет темный рису-
нок. Если эту чашку быстро вынуть из печи, где она нагревалась
до высокой температуры, и рассматривать в темноте, то наблюдается светлый
рисунок на темном фоне. Объясните почему.
р
1 рас
~Р~
— = 0,676.
Р
Имеются два одинаковых алюминиевых чайника, в которых до
одной и той же температуры нагрето одинаковое количество воды.
Один чайник закопчен, а другой чистый. Объясните, какой из чайников осты-
нет быстрее и почему.
Энергетическая светимость черного тела Re = 10 кВт/м2. Опреде-
лите длину волны, соответствующую максимуму спектральной
плотности энергетической светимости этого тела.
Л = 4,47 мкм.
Определите, во сколько раз необходимо уменьшить термодина-
мическую температуру черного тела, чтобы его энергетическая
светимость Re ослабилась в 16 раз.
Дано	Решение
^- = 16	Rel=aT4,	Re2=aT4,
^2	и
— —? Т1	
— =2.
п
Определите, как и во сколько раз изменится мощность излучения
черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его
спектральной плотности энергетической светимости, сместилась с Л] = 720 нм
до Л2 = 400 нм.
Дано	Решение
Л, = 720 нм = 7,2 • 10-7м Л2 = 400 нм = 4  10 7 м Рх	ъ		i Ь	1 II	II СО	ч |ч О* » '' О II -Cl | Е4*	< 11	х-х, ” § «О II	II	ф -Г
^МИД& Черное тело находится при температуре 7J = 3 кК. При остыва-
нии тела длина волны, соответствующая максимуму спектраль-
ной плотности энергетической светимости, изменилась на АЛ = 8 мкм. Опре-
делите температуру Т2 , до которой тело охладилось.
Ответ Jr2 =323 K.
В результате нагревания черного тела длина волны, соответству-
ющая максимуму спектральной плотности энергетической свети-
мости, сместилась с Л| = 2,7 мкм до Л2 = 0,9 мкм. Определите, во сколько раз
увеличилась: 1) энергетическая светимость тела; 2) максимальная спектраль-
ная плотность энергетической светимости тела. Максимальная спектральная
плотность энергетической светимости черного тела возрастает по закону
(^т)тах = Ст5 > где С = 1,3 • 10"5 Вт/(м3 • К5).
АИНННВ Черное тело нагрели от температуры Тх - 600 К до Т2 = 2400 К.
Определите: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая
светимость; 2) как изменилась длина волны, соответствующая максимуму спек-
тральной плотности энергетической светимости.
Дано
Решение
Площадь, ограниченная графиком спектральной плотности энер-
гетической светимости г2т черного тела, при переходе от термо-
Л) = 2,7 мкм = 2,7 • 10чм
Л2 = 0,9 мкм = 0,9 • Ю-6 м
(гл г) = СТ5
\ 4,2 /max
 С = 1,3 10~5 Вт/(м3-К5).
^ = оГ4,	Л = -,
Т
(r 1 =СТ5
Яе2 7|4 Л4 ’	' V'max
Гга2,т2 _ Т2 _ А5'
VA,,T, ) Т\ ^2
’• 1 max
динамической температуры Тх к температуре Т2 увеличилась в 5 раз. Опреде-
лите, как изменится при этом длина волны Лтах , соответствующая максимуму
спектральной плотности энергетической светимости черного тела.
___ СОтвет Л Ansi = 1,49,
Amax| ^2 — V^2 _ 4	^тах2
4^7” Т\ ~	» 51	уменьшится в 1,49 разх
\rA|,T| J
1 1 max
^- = 81; 2)
^2
= 243.
Основные физические постоянные
Постоянная Стефана—Больцмана
Постоянная Вина
о = 5,67-10’8 Вт/(м2  К4)
6=2,90-10“3 м-К
Постоянная Планка	h = 6,63  10 34 Дж • с
Постоянная в законе, связывающем
максимальную спектральную
плотность энергетической светимости
черного тела с термодинамической
температурой	С = 1,3 10'5 Вт/(м3 • К5)
454
Определите, какая длина волны соответствует максимальной спек-
тральной плотности энергетической светимости (гА,г)тах, равной
1,3  10" В т/м3.
Решение
ВяЗинКвО Принимая Солнце за черное тело и учитывая, что его максималь-
ной спектральной плотности энергетической светимости соот-
ветствует длина волны 500 нм, определите: 1) температуру поверхности Солнца;
2) энергию, излучаемую Солнцем в виде электромагнитных волн за 10 мин;
3) массу, теряемую Солнцем за это время за счет излучения.
(а7)	= 1,з  ю" вт/м3
\ ’ /max ’
С = 1,3-105 Вт/(М3 • К5)
Q Ответ ^так = 183 мкм.
Считая никель черным телом, определите мощность, необходи-
мую для поддержания температуры расплавленного никеля
1453 °C неизменной, если площадь его поверхности равна 0,5 см2. Потерями
энергии пренебречь.
Дано
Г = 1453 °C; Г = 1726 К
5 = 0,5 см2 = 5  10 5 м2
Р — ?
Решение
P=ReS = oT4S.
Р = 25,2 Вт.
83 I Металлическая поверхность площадью 5 = 15 см2, нагретая до
—температуры Т = 3 кК, излучает в одну минуту 100 кДж. Опреде-
лите: 1) энергию, излучаемую этой поверхностью, считая ее черной; 2) отно-
Дано	Решение
Атах = 500 нм = 5  1 О'7 м / = 10 мин = 600 с Rc = 6,95 108 м тс =1,98 Ю30 кг 1)	Т — ? 2)	W — ? 3)	и — ?	1 -i	т= — ''тпах 7-, '	Л	’ 1 „	лтах W W = ReSt = oT4 4jtR&, m = ~. QOmeem^ i) т = 5,8 кК, 2) W = 2,34-IO29 Дж; 3) m = 2,6-IO12 кг.
—				
^5.185^ Определите температуру тела, при которой оно при температуре 		* окружающей среды /0 - 23 °C излучало энергии в 10 раз больше, чем поглощало.	
Дано	Решение
t0 = 23 °C; То = 280 К -^ = 10 ^погл т — ?	= ATuT4St = T4	т т 1 0^ ^оогл AT0T4St T4’	° Woo,,. ' QOmeem 7 = 533 K
шение энергетических светимостей этой поверхности и черного тела при дан-
ной температуре.
Некоторые астрономические величины
1) W = 413 кДж;
D
2) — = 0,242.
Радиус Земли 6,37  106 м
Масса Земли 5,98  1024 кг
Радиус Солнца 6,95 • 108 м
Масса Солнца 1,98 • 1030 кг
<457>
АННИНВ Считая, что тепловые потери обусловлены только излучением,
WmIIMMF определите, какую мощность необходимо подводить к медному
шарику диаметром d = 2 см, чтобы при температуре окружающей среды
t0 = -13 °C поддерживать его температуру равной I = 17 °C. Примите погло-
щательную способность меди Ат = 0,6.
Дано
d = 2 см = 2 • 10-2 м
t0 = -13 °C; То = 260 К
t = 17 °C; Т = 290 К
Ат = 0,6
Решение
P^ = AtuT4S, Pmr!l = AroT4St,
S = 4 •	= nd2,
4
^=^-^огл = Л^2(г4-т;/).
Р= 0,107 Вт.
Определите силу тока, протекающего по вольфрамовой проволо-
ке диаметром d - 0,8 мм, температура которой в вакууме поддер-
живается постоянной и равной t - 2800 °C. Поверхность проволоки считать
серой с поглощательной способностью Аг = 0,343. Удельное сопротивление
проволоки при данной температуре р = 0,92 10 4 Ом • см. Температура окру-
жающей проволоку среды t0 = 17 °C.
Дано
Решение
d = 0,8 мм = 8 • 10"4 м
( = 2800 °C; Г = 3073 К
Ат = 0,343
р = 0,92 • 1 О*4 Ом  см =
= 9,2-10-7 Ом • м
t0 = 17 °C; То = 290 К
P = I2R, Р = Агог(Т4 -T4)S (см. задачу 5.186),
S = 3tdl, R= р—	S =
Sce -	4
|лга(Т4-Г04>2/
V л V 4р
I — ?
I = 48,8 А.
<458>
Преобразуйте формулу Планка для спектральной плотности энер-
гетической светимости черного тела от переменной v к перемен-
ной Л.
Пользуясь формулой Планка rv т -
2nv2 hv
с2 e^-l
докажите, что
в области малых частот (hv « кТ) она совпадает с формулой Рэлея—Джинса.
2лз>2 hv
Пользуясь формулой Планка rvT - —j------ЬгЦкТ)—j" ’ выведите из
нее закон Стефана — Больцмана.
Пользуясь формулой Планка rvT -
2л г 2	hv
с2 e^^-l
выведите из
нее закон смещения Вина.
Используя формулу Планка, определите спектральную плотность
потока излучения единицы поверхности черного тела, приходя-
щегося на узкий интервал длин волн ДЛ = 5 нм около максимума спектраль-
ной плотности энергетической светимости, если температура черного тела
Г = 2500 К.
Дано	Решение
Т= 2500 К	2nhc2	1	b
АЛ = 5 нм = 5 • 10 9 м	Л5 ehc/{ldT)_^
(гг,т'А^)	?	/	\_2ahc2Ts	1 \гкТ АЛ)~	b5	eAc/(**)_j ' АЛ-
QOmeem^ (Глг.д	Л) = 6,26 кВт/м2.
<459>
больше истинной.
Объясните: 1) происхождение радиационной, цветовой и ярко-
стной температур; 2) может ли радиационная температура быть
МНИВ Освещая поочередно фотока-
тод двумя разными монохрома-
тическими источниками, находящимися на
Одинаковых расстояниях от катода, получи-
ли две зависимости (2 и 2) фототока от на-
пряжения между катодом и анодом. Объяс-
ните, в чем отличие этих источников.
Для вольфрамовой нити при температуре Т - 3500 К поглощатель-
ная способность Ат = 0,35. Определите радиационную темпера-
туру нити.
Дано	Решение
Г = 3500 К	Rt = AtoT\	Rt = oT*,
Ат = 0,35	АтоТА=оТр,	Т^АтТ\
Т 	9 Р	Тр = ^Ат-Т
зывающего фотоэффект.
Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна
500 нм. Определите минимальное значение энергии фотона, вы-
Q Ответ ?р 2,69 кк~
Дано
,Л0 - 500 нм = 5  10~7 м
Решение
Em,n = !”(> ,
Отношение энергетической светимости R? серого тела к энерге-
тической светимости Д, черного тела равно Аг . Выведите связь
между истинной и радиационной температурами.
_ he
^min "j
Aq
(5.196^ Определите максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых
с поверхности металла, если фототок прекращается при приложе-
нии задерживающего напряжения Uo = 3,7 В.
[Ответ £min = 2,49 эв.
Дано
Uо = 3,7 В
е = 1,6-10'19 Кл
m = 9,1110-31 кг
Решение
777 max
2
о,
_ 2е{70
77 max у
V m
На рисунке схематически пред-
ставлены вольт-амперные ха-
рактеристики (кривые 1,2 и 3) фотоэффекта
Для одного и того же металла. Объясните
причину отличия этих кривых.
итах = М4 ММ/С.
<461>
иНИНИп Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла, полностью
задерживаются при приложении обратного напряжения Uo = 3 В
Фотоэффект для этого металла начинается при частоте падающего монохрома-
тического света v0 = 6 -1014 с'1. Определите: 1) работу выхода электронов из
этого металла; 2) частоту применяемого излучения.
1) Л = 2,48 эВ; 2) v = l,32-1015 с’1.
Определите работу выходаЛ электронов из вольфрама, если ‘’крас-
ная граница” фотоэффекта для него Ло = 275 нм.
Дано	Решение
Ло = 275 нм = = 2,75- 10 7м	A-hv(i,	v0=y, л
- -		he
А	А = Т0' Q Ответ	а = 4,52 эВ.
Калий освещается монохроматическим светом с длиной волны
400 нм. Определите наименьшее задерживающее напряжение, при
котором фототок прекратится. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ.
ИвЦВВ Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна
ЧтаИИЕу 500 нм_ Определите: 1) работу выхода электронов из этого метал-
ла; 2) максимальную скорость электронов, вырываемых из этого металла све-
том с длиной волны 400 нм.
Дано	Решение
Ло = 500 нм = 5 • 10 7 м Л = 400 нм = 4 • 10"7 м	he	,	. A=hv0 = —,	hv = A + —, Ло	2
1) А — ? 2) wmax - ?	he he fflvL	2hc( 1	1 I — = — + —и — 		• i	max -i	,	5 Л v0	2	у m (Л Ло )
Q Ответ 1) Л = 2,49 эВ; 2) итах = 468 км/с.
Выбиваемые светом при фотоэффекте электроны при облучении
фотокатода видимым светом полностью задерживаются обратным
напряжением Uo = 1,2 В. Специальные измерения показали, что длина волны
падающего света Л = 400 нм. Определите красную границу фотоэффекта.
Ло = 652 нм.
Дано	Решение	
Л = 400 нм = 4  10 7 м А = 2,2 эВ = = 3,52 • 10-'9 Дж е = 1,610-19 Кл	й Г< S С-1	к = §	ь а	щ +	II й II « 2 сч 1	"Х £	5	с V = —, Л
h = 6,63-Ю’34 Дж-с Ц>~?	йс t —- - A + eU0, л	-Г-4 е
^Ответ	и0 = о,91 в.		
Q5.205J Задерживающее напряжение для платиновой пластинки (работа
ЧшлтимаХ выхода 6,3 эВ) составляет 3,7 В. При тех же условиях для дру!ой
пластинки задерживающее напряжение равно 5,3 В. Определите работу выхо-
да электронов из этой пластинки.
Дано
Л ,= 6,3 эВ
и{ = 3,7 В
U2 = 5,3 В
Л2 -?
Решение
hv - Л,+ eU{,
Л,+ eU{ - А2 + eU2,
hv = А2 + eU2,
А2 = Л,+ -eU2.
А2 = 4,7 эВ.
<463)
15.206 J Определите, до какого потенциала зарядится уединенный сереб-
ряный шарик при облучении его ультрафиолетовым светом дли-
ной волны Л = 208 нм. Работа выхода электронов из серебра А - 4,7 эВ
Дано
А = 4,7 эВ =
= 7,52 • 10 19 Дж
Л = 208 нм = 2,08' 10 7 м
<Р — 9
Решение
,	.	С	he
т = A + etp , v = — ,	— = А + е<р ,
А А
р = 1,28 В
При освещении вакуумного фотоэлемента монохроматическим све-
том с длиной волны А, =0,4 мкм он заряжается до разности потен-
циалов = 2 В Определите, до какой разности потенциалов зарядится фотоэле-
мент при освещении его монохроматическим светом с длиной волны Л2 = 0,3 мкм
(Ответ У2 = з,04 в
f 208 J Плоек™ серебряный электрод освещается монохроматическим
Ч»"М| излучением с длиной волны Л = 83 нм Определите, на какое мак-
симальное расстояние от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон,
если вне электрода имеется задерживающее электрическое поле напряженнос-
тью Е = 10 В/см. Красная граница фотоэффекта для серебра Ао = 264 нм
Дано	Решение
А = 83 нм = 8,3 • 10 8 м Ао = 264 нм = 2,64 10 7 м Е = 10 В/см = 101 В/м е = 1,6 10-19 Кл	he	he	he f 1	1 ) — = — + ebs ,	5 = —	 А Ло	eE A Ao )
s — ?	(Ответ j s = 1,03 cm.
Фотоны с энергией £ = 5 эВ вырывают фотоэлектроны из метал-
ла с работой выхода А = 4,7 эВ Определите максимальный им-
пульс, передаваемый поверхности этого металла при вылете электрона
Дано	Решение
е = 5 эВ = 8 • 10 19 Дж /( = 4,7 эВ = = 7,52 10 19 Дж Ртах	mL. Рт^ = т)т^^	£=А+ тах , 12	I	 umax=i —ртях=^2т(е-А). V т
ртач = 2,96'10 25 кг м/с.
(5.210J При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохромати-
-	ческим светом с длиной волны 2 = 310 нм фототок прекращается
при некотором задерживающем напряжении При увеличении длины волны на
25% задерживающее напряжение оказывается меньше на 0,8 В. Определите по
этим экспериментальным данным постоянную Планка.
Дано	Решение
2, =310 нм = 3,1 10 7 м 22 = 1,252, и2 = Ц -Д1/ ДС/ = 0,8 В h — ?	he	Т	/?с — =Я + еС/|,	A + e(J2, 2(	22 \ Л) /Ц J hc\		— = е AU, 2, 1,252, J
, 5е2, ли
п ------1-----
с
Л = 6,61 10 34 Дж с
<465>
Определите максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вы-
рываемых с поверхности цинка (работа выхода А = 4 эВ), при
облучении У -излучением с длиной волны X = 2,47 пм.
Дано
А = 4 эВ =
= 4  1,6 • 10 19 Дж
X = 2,47 пм =
= 2,47 -10 :м
Решение
he
Г 6,63 10~34 3 1 08
I 2,47 10’12
эВ =
= 0,503 106 эВ = 0,503 МэВ.
е » А = 4 эВ.
v —7
umax ‘
£	, Е + тс2
2	=	2
тс тс
2	/ 2	,
umax/c 1
(£+ тс2)2 ’
2
тс
£ + тс2 3
I
итах С ЛГ ,	2\2
У (£ + тс )
Ответ vmax = 259 Мм/с.
Определите для фотона с длиной волны X = 0,5 мкм 1) его энер-
гию; 2) импульс; 3) массу.
1) £ = 2,48 эВ;
2) /? = 1,33-10 27 кг  м/с,
3) m = 4,43 10“36 кг.
<466>
Определите энергию фотона, при которой его эквивалентная масса
равна массе покоя электрона. Ответ выразите в электрон-вольтах
Дано	Решение
е = тес2	,	£ (Дж) £ = ч?,	г<эВ)=1610.„.
£ (эВ) — ?	
	QOmeem £ = 512 кэв
J Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, что- Х.Хпм.ив' бы ег0 импульс был равен импульсу фотона, длина волны которо- го л = 0,5 мкм.	
Дано	Решение
Ре=Р А = 0,5 мкм = 5 • 10 7 м	Ре	h Ve = ~,	Ре = Р = Т> те	X
”. -?	h е Хте
Ответ j = 1,46 км/с.
Определите длину волны фотона, импульс которого равен импуль-
су электрона, прошедшего разность потенциалов U = 9,8 В.
Дано
Решение
е -1,6 10 19 Кл
U = 9,8 В
Ре = Р
X —
ре = mev = yj2meeU ,
ft
Р = Ре, х =	---
y]2meeU
л = 392 нм.
Определите температуру, при которой средняя энергия молеку!
трехатомного газа равна энергии фотонов, соответствующих из-
лучению А = 600 нм.
Ответ
Т = 8 кК.
Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, что-
бы его кинетическая энергия была равна энергии фотона, длина
волны которого А = 0,5 мкм.
v = 935 км/с.
Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, что-
бы его импульс был равен импульсу фотона, длина волны ко-
торого А = 2 пм.
Дано	Решение
Ре = Р	he	,,	2
А = 2 пм = 2  10~12 м	Е= —,	Еп-тс. А
V — 1
6,63 10~34 Дж'С -3 108 м/с
2 -10"12 м
Дж = 0,62 МэВ ;
£0=9,11 ИГ31 кг (3 108 м/с)2=8,2 1014 Дж = 0,51 МэВ;
h	mv
£ ~^0 , р - 7 > Ре - I------------7 ’
A	yj\-Vic-
h
А’
т v - .2 0 ~ ’’ Iе ), h~c2 = v~(m А2с" + h2).
Л
ch
т~ А2 с~ + h2
Ответ
V = 0,17с.
<468>
Докажите, что световое давление, оказываемое на поверхность
тела потоком монохроматического излучения, падающего перпен-
дикулярно поверхности, в случае идеального зеркала равно 2и, а в случае
полностью поглощающей поверхности равно w , где и — объемная плот-
ность энергии излучения.
Давление монохроматического света с длиной волны Л = 500 нм
на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно
падающим лучам, равно 0,12 мкПа. Определите число фотонов, падающих
ежесекундно на 1 м2 поверхности.
Дано	Решение
А = 500 нм = 5 • 10'7 м р = 0 р = 0,12 мкПа = = 1,2- 107 Па t = 1 с 5 = 1 м2	+ Л с, | и | 53	h ".	ч !«  О.	Й;	о, +	II со + т	£	о ctfl U	-Si 		 Cs	Й:
N —?	СОтвет
На идеально отражающую поверхность площадью S = 5 см2 за
время 1 = 3 мин нормально падает монохроматический свет, энер-
гия которого W = 9 Дж. Определите: 1) облученность поверхности; 2) свето-
вое давление, оказываемое на поверхность.
Дано	Решение
S = 5 см2 = 5 • 10 J м2 /Э=1 t = 3 мин = 180 с W = 9 Дж	,, _w	Ее..	2Ее Ее- — ,	р = —(1+р)	=	• С	р=1	с
1) £е-? 2) Р - ?	Ответ 1) Ее = юо вт/м-; 2) р = 667 нПа.
469
Определите давление света на стенки электрической 150-ваттной
лампочки, принимая, что вся потребляемая мощность идет на из-
лучение и стенки лампочки отражают 15% падающего на них света. Считайте
лампочку сферическим сосудом радиуса 4 см.
Дано	Решение
/’=150 Вт	Ее„ .	„ w Ф„ Р
Р=Фе	Р - ~0 + р),	Е = — = — = — И с	St S S
р = 0,15	.	р
R = 4 см = 0,04 м	S-totR2,	Р-л п2 (1 + р). 4л7? с
Р — ?	
Давление р монохроматического света с длиной волны Л - 600 нм
на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно
падающему излучению, составляет 0,1 мкПа. Определите: 1) концентрацию п
фотонов в световом пучке; 2) число N фотонов, падающих ежесекундно на 1 м2
поверхности.
(Ответ) р = 28 6мкПа
Дано
р = 0,1 мкПа = 10'7 Па
Я = 600 нм = 6  10~7 м
р = 0
/ = 1 с
S = 1 м2
1) п — ?
2) N — ?
Решение
F
р = — (1+ р) = w(l + р),
с
W	Р
п- — , w = ----,
£	1 + Р
W = EeSt = — N,
Л
Е - рс к - EeS{^ - PcSt!^ _ PSl^
(1+p)	he (J + p)hc h(l + p)
N=ncSl .
Q Ответ	= 3j02.,0>i M % 2) w = 9,06 io19.
Г 5.223) Давление монохроматического света с длиной волны Я - 500 нм
на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно
падающему излучению, равно 0,15 мкПа. Определите число фотонов, падаю-
щих на поверхность площадью 40 см2 за одну секунду.
Дано	Решение	
Я = 500 нм = 5  10 7 м	Е	W
р = 0,15 мкПа =	р = —(1 + р), С	
= 1,5  10“7Па р = 0	W	Р=о,
5 = 40 см2 = 4  10~3м2 1 = 1 с	W = pStc,	я
X —?	WX pStc N ~	. he h	
На идеально отражающую поверхность нормально падает моно-
хроматический свет с длиной волны Я = 0,55 мкм. Поток излучения
Фс, составляет 0,45 Вт. Определите: 1) число фотонов , падающих на поверх-
ность за время t - 3 с; 2) силу давления, испытываемую этой поверхностью.
Ответ \ Лг = 4>52 ,1017
Дано	Решение	
Я = 0,55 мкм = 5,5  10 7м	he	W he ,r	
	W = eN = —N,	Фс = —= —<V,	
р = 1	Я ’	t ЯГ	
Ф„ = 0,45 Вт	Ф Я/	E.S	ф
	N = ^-	F = pS = -S-{\ + p)-.	= —(i + p).
Г = 3 с	he	c	С
1) N —1	Г Ответ ) дг = 3,73-ю18;	2) F = 3 нН.
2) F —2					
470/
<4?Г>
(5.226J Плоская световая волна интенсивностью 1 = 0,1 Вт/см2 падает под
углом а = 30° на плоскую отражающую поверхность с коэффи-
циентом отражения р = 0,7 . Используя квантовые представления, определите
нормальное давление, оказываемое светом на эту поверхность.
Ответ J K1±£)c0S2o=4j25 мкПа.
	с
^5.227J Рассматривая особенности механизма комптоновского рассеяния,
 * объясните: 1)почему длина волны рассеянного излучения боль-
ше, чем длина волны падающего излучения; 2) наличие в составе рассеянного
излучения “несмещенной” линии.
^5.228J Определите длину волны рентгеновского излучения, если при ком-
птоновском рассеянии этого излучения под углом #=60° длина
волны рассеянного излучения оказалась равной 57 пм.
Л = 55,8 пм.
(5.229J Фотон с энергией е = 1,025 МэВ рассеялся на первоначально по-
........коившемся свободном электроне. Определите угол рассеяния фо-
тона, если длина волны рассеянного фотона оказалась равной комптоновской
длине волны лс = 2,43 пм.
Дано	Решение
г = 1,025 МэВ =	, he	.he
= 1,64- 10 12 Дж	£ = hv =	, Л =—, Л = Л+Л</(1 - cos#),
Г = Лг	
лс = 2,43 пм =	Лс - — + Лс(1 - cos#),	cos# = —, £	ЛС£
= 2,43 • 10 12 м	
—	ч	1 he |
	
# —?	1 ас£ J Г Ответ j # = 60°.
(5.230) Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения па-
дает на рассеивающее вещество. Оказывается, что длины волн
рассеянного под углами = 60° и #2 =120° излучения отличаются в 1.5 раза.
Определите длину волны падающего излучения, предполагая, что рассеяние
происходит на свободных электронах.
Дано	Решение
= 60°	Л] = Л + Ас(1- cos^!), Лэ — Л + Лс(1 “ cos^t),
#2 =120°	Г2 _ Л + Ас(1-cos#2) _ 5
л;	л + Лс(1 -cos#,)
— = 1,5	
а;	л + Ас -Лс cos#2 = 1,5Л + 1,5ЛС -1,5ЛС cos#,.
	Л = Лс(3cos#, -2 cos#, -1)’
л ? х	—	
( Ответ	Л = 3,64 пм.
Фотон с длиной волны Л = 5 пм испытал комптоновское рассея-
ние под углом д = 90° на первоначально покоившемся свобод-
ном электроне. Определите: 1) изменение длины волны при рассеянии; 2) энер-
гию электрона отдачи; 3) импульс электрона отдачи.
Дано
Решение
Л = 5 пм = 5 • 10 12 м
# = 90°
1)	А А — ?
2)	if; - ?
з)	Ре - ?
ДЛ = Л'-Л= Ac(l-cos#) = Лс (cos# = 0),
Ре =
1) АЛ = 2,43 пм; 2) We = 81,3 кэВ; 3) ре = 1,6 • 10 " кг • м/с.
472
473
--------------------------------------------
Фотон с энергией e = 0,25 МэВ рассеялся на первоначально поко-
'иниии*^ ившемся свободном электроне. Определите кинетическую энергию
электрона отдачи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 20%.
Дано
е = 0,25 МэВ =
= 4- IO’14 Дж
А' = 1,2А
Решение
, he he е „	£
Е =----=------=-----, Т. = Е------------
А' 1,2А 1,2	1,2
£
6 ’
Те = 41,7 кэВ.
Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся под углом 9 = 180° на сво-
бодном электроне. Определите долю энергии фотона, приходя-
щуюся на рассеянный фотон.
Фотон с энергией 100 кэВ в результате комптоновского эффекта
рассеялся при соударении со свободным электроном на угол
-& = л/2. Определите энергию фотона после рассеяния.
Ответ
е' = 83,7 кэВ.
Фотон с энергией е = 0,25 МэВ рассеялся под углом $ = 120° на
первоначально покоившемся электроне. Определите кинетичес-
кую энергию электрона отдачи.
Ответ
71 = 106 кэВ.
6. Элементы квантовой физики
атомов, молекул и твердых тел
6.1. Теория атома водорода по Бору
Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электро-
на в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.
Дано
Решение
Z= 1
т = 2
п = 3
Я = 3,29-1015 с4
^3,2 “ ^v3.2 ,
Е3 2 = hR\ 2
\ т п
^3.2 — ?
Е3 2 = 1,89 эВ.
Определите максимальную и минимальную энергии фотона в ви-
димой серии спектра водорода (серии Бальмера).
Дано	Решение
z = 1	
m = 2	_ J i И
	V	2 ’ \ 2 n )
E — 9 max	« = 3,4, 5,...,
E	
nun	
Е =	| = — hR,	Етах = W-
min I ^2	^2 I	’	max I ^2
1_
Етах = 3,41эВ, Emin = 1,89 эВ.
<475>
% р|3|^Д Определите длину волны Л. соответствующую второй спектраль-
ч —^ нои линии в серии Пашена.
Л = 1,28 мкм.
Максимальная длина волны спектральной водородной линии се-
рии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридбер-
га неизвестна, определите максимальную длину волны линии серии Бальмера
Дано
Решение
Z = 1	п
^О,12»М-1,2.1<Г’М А Ь"
Определите длину волны спектральной линии, соответствующей
переходу электрона в атоме водорода с шестой воровской орбиты
на вторую К какой серии относится эта линия и какая она по счету?
Дано	Решение	х		
		
		
	[ 1	1 \	д	
т - 2	V ^1 2	2 I ’	,	
п = 6	\ т п /	J	
Л — ? Л Ответ Л Л=о,41	v=k ±__L , л=~. - и2 б2;	v мкм, четвертая 2рии Бальмера.	1	—		—
Определите длины волн, соответствующие: 1) границе серии Лай-
мана, 2) границе серии Бальмера; 3) границе серии Пашена. Про-
анализируйте результаты.
Дано
Решение
1)	серия Лаймана
2)	серия Бальмера
3)	серия Пашена
1)	Л, -9
2)	А2 — ?
3)	А3-9
т = 1, п = 2, 3,оо
Л' = 1,1 107 м — = R' 1,	«=оо,
А]
1
1,1 107 м-1
= 91 нм.
т = 2, п = 3, 4,оо
А <22
и2/ А, 4
п- СО ,
4
— = 364 нм.
R'
т = 3, п — 4, 5,..., оо
А 1з2 П2Г
— =Я'—,
А3 9
п=«>, Л, = — = 820 нм
2 R'
1)	Я] — 91 нм, область ультрафиолета,
2)	А2 = 364 нм, вблизи видимого фиолетового излучения,
3)	Л3 = 820 нм, область инфракрасного излучения.
Обобщенная формула Бальмера
где v — частота спектральных линий в спектре атома водорода; R — постоян-
ная Ридберга; т определяет серию (т = 1, 2, 3, ...), п определяет отдельные
линии соответствующей серии (п = т + 1, т + 2,...): т = 1 (серия Лаймана),
т - 2 (серия Бальмера), т = 3 (серия Пашена), т = 4 (серия Брэкета), т = 5
(серия Пфунда), т = 6 (серия Хэмфри).
f 6,7 1 Атом водорода находится в возбужденном состоянии, характери-
•	 зуемом главным квантовым числом п = 4. Определите возмож-
ные спектральные линии в спектре водорода, появляющиеся при переходе ато-
ма из возбужденного состояния в основное.
Дано
z = i
п = 4
7?'= 1,Ь107 м-1
Л —?
Решение
Л, Ч12 32J’	8 7?'’
16 1
~ 15' R' ’
36 1
” 5 ’ R' ’
_16 1
5 3 R'
_ 144 1
6	7 R'
Л, =1,2110-7 м;
л4 = 6,54-10-7 м;
Л, = 1,02 10-7 м;
Л5 = 4,85-10’7 м;
Л3 = 0,97-10’7 м;
Яб = 18,7-10-7 м.
Основные физические постоянные
Постоянная Ридберга
Постоянная Планка
R = 3,29 1015 с
2?'= 1,10 107 м-1
h = 6,63 10 34 Дж • с
h = 1,05 10~34 Дж - с
<478>
ЦиН В инфракрасной области спектра излучения водорода обнаруже-
....... но четыре серии — Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри. Запиши-
те спектральные формулы для них и определите самую длинноволновую ли-
нию: 1) в серии Пашена; 2) в серии Хэмфри.
Дано
Решение
Z = 1
т = 3, 4, 5, 6
Я' = 1,1107 м4
МЛ-А
Л W п2
1) 'Цтах — ?
2) ^6,max 7
АЗ2 п
Серия Пашена
п
1
V62 72,
2
1
О ^з.тах = I,87 МКМ; 2) ^6,max = 12,3 МКМ.
Определите число спектральных линий, испускаемых атомарным
водородом, возбужденным на n-Й энергетический уровень.
N=n(n-l)/2.
479
НМИмМИ На дифракционную решетку с периодом d нормально падает пу-
'' чок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водоро-
дом. Оказалось, что в спектре дифракционный максимум к -го, порядка, на-
блюдаемый под углом <р, соответствовал одной из линий серии Лаймана. Оп-
ределите главное квантовое число, соответствующее энергетическому уровню,
с которого произошел переход.
Дано
Решение
ск
Rd sin у.
1
2
Используя теорию Бора для атома водорода, определите: 1) ради-
ус ближайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус), 2) ско-
рость движения электрона по этой орбите.
Дано	Решение
и и N к	mv2 Ze2	. 	=	-,	mvr = nn , г	4лге0г2
О г, -?	Z=l,	n = l,	h = h/27t.
2) г), -?
mv] _ е2
Г1 4ле0г] 
mv^j- ti 2)
4лг£0Й2
Г1=-----2
те
Й
и, =-----.
тг\
1) Г]= 52,8 пм;
2) Н] = 2,19 Мм/с.
Определите, на сколько изменилась энергия электрона в атоме во-
дорода при излучении атомом фотона с длиной волны
Л = 4,86 10’7 м.
Дано	Решение
Z = 1	№ = E„-Em = hv,
/Л = 4,86 10"7 м	c	. „ he
v = -,	ЛЕ =—
ДЕ —>	А’	Л ‘
ДЕ = 2,56 эВ.
Определите длину волны Л спектральной линии, излучаемой при
переходе электрона с более высокого уровня энергии на более
низкий уровень, если при этом энергия атома уменьшилась на ДЕ = 10 эВ.
Л = 124 нм.
Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный мо-
мент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода
Дано
z = i
п = 3
h = 1,05 1034 Дж  с
Решение
pm = is
/ = -,
Т
Рт
evr
рт = —— , mvr = и/?,
т= 2лг
V
S - лг2,
nh
vr - -—,
m
enh
Pm "Т
2m
QOmeem^ Pm = 2,810 23 a m\
16 Сборник jaia i
no (bn И1КС
Определите изменение орбитального механического момента элек-
трона при переходе его из возбужденного состояния в основное с
испусканием фотона с длиной волны Л = 1,02-10 7 м.
Дано	Решение	
Л = 1,02-Ю-7 м т~\ R' = 1,1-107 м-1	mevr ~nh ,	L = nh,	AZ = nh - mh = (n - m)h , Я Vm2 n2' ’	n2 m2 hR’ ’	
Д£ —? АГ ( /12-1,02-10-7м1,1- V 1,02 10-7 м-1,1-107	11 Л о M «7s J x v £ as	i 	 _ еч II	s J c	2 a	1 m2xR'	L kR' -m2 J ’ — = 2,l l0-34 Дж с = 2Й.
Ответ	дл = 2й = 2,1 • iо~34 Дж  с.
It 6.1,7 I Предполагая, что в опыте Франка и Герца вакуумная трубка на-
полнена не парами ртути, а разреженным атомарным водородом,
[определите, через какие интервалы ускоряющего потенциала <р возникнут
(максимумы на графике зависимости силы анодного тока от ускоряющего по-
тенциала.
Ответ j <р = 10,2 в.
Используя постоянную Планка h, электрическую постоянную е0 ,
массу т и заряд е электрона, составьте формулу для величины,
^характеризующей атом водорода по Бору и имеющей размерность длины. Ука-
жите, что это за величина.
Докажите, что энергетические уровни атома водорода могут быть
,,	D	D	Г. С
описаны выражением Еп =-----т- R, где R — постоянная Ридберга.
п
Решение
mevr = nh,
Позитроний — атомоподобная система, состоящая из позитрона
и электрона, вращающегося относительно общего центра масс.
Применяя теорию Бора, определите минимальные размеры подобной системы.
Дано	Решение
e~	(mvr)+ + (mur). = nh,
e+	2mvr = nh
		2	2
	mv	e
	г 4ле0(2г)2
4m2v2r2 = n2h2,	4aEomv2  4r = e2,	n=l,
r"	2	’	d =2r= ^E°— Mmin	о ’
яе m	л: me
QOmeem	dmin = юб пм.	
Ьп 2 К
П
У =	___^”- =
h
8/А5
4	/ 1
тее I 1
h-ih2E20\n2
16’
mev2 _ е2
г 4лгог2
->Й-4ле0 ' „	1 е1 1 т е4
тее2 ’	"	2- 4да0г„ п2 8/?2Eq ’
2л-й л 2лгй тее4 1 тее4
= r/Л2	’
fl	fi Oft CQ	fl Or» CQ

Определите скорость с электрона на третьей орбите атома во
торода
Дано
Решение
Z=1	1	1 mv'	е“
rt = 3	г 4л:е0)2
	mvr = nh,
_1 е2	1 е2
п 4л-£0Й	3 3 4лг£0Й
Ответ ] Wj = 0,731 мм/с	
е2
г =-------1 ’
4л£0тп~
mve2
-------у = ил,
4лЕ0ти
Электрон находится на первой боровской орбите атома водорода
Определите для электрона 1) потенциальную энергию Еи, 2) ки
нетическую энергию £h. 3) полную энергию Е
QOtneem^ о еп =-21,2 эВ
2) Ек =13,6 эВ, 3) £=-13,6 эВ
Определите частоту f вращения электрона по третьей орбите
атома водорода в теории Бора
Дано	Решение	
a N 11	mv2 _ 1 е2 Г	4Л£о г2	mvr = nh,
f	-> 4лгг0й г = п"		— . 'п '*	-> ’ те~	1 е2 п ~	А	. ’
4	4
v„ те	те
2лгп	З2л-3гой3н3 4£ц/г3и3
(Ответ f=2A2 10i4 Гц
<484>
23 J Определите 1) частоту / вращения электрона, находящегося на
J первой воровской орбите, 2) эквивалентный ток
Решение
!и = 1 Г) = 52,8 пм	mvr = nh,	п = \	h и, = —, mr}	
1) f —7 I	2тгг, Т =	L, fi		J =~ 2ЛТЗ	h
				2лтг\
	/=-=е/ Т			
1)/ = 6,58 Ю’5 Гц, 2) I = 1,05 мА
....yjj’x------------------------------------------------------------
I 6.24 ) Определите частоту света, излучаемого атомом водорода, при пе-
.......реходе электрона на уровень с главным квантовым числом п = 2,
если радиус орбиты электрона изменился в к - 9 раз
Дано	Решение
п=2	
к = 9	\п~ т~ J Гп	гп п
V — 9	II 1 — II ак>| >3 1 1
v = 0,731 1015 Гц
Пользуясь теорией Бора, найдите числовое значение постоянной
Ридберга
з,27 1015 с 1
8/Л5
<485)
Определите потенциал ионизации атома водорода.
Дано
Решение
Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода
Иии^НУ _ j 3 6 эв определите в электрон-вольтах энергию фотона, со-
>тветствующую самой длинноволновой линии серии Бальмера. 
Z = 1
R = 3,29-1015 с1
Ei=e4\, E,=hvx„ = hR\\-~\=hR,
\ 1 ОО )
Дано
Решение
р,-1
hR
<Р, = —
е
Е, =13,6 эВ
E, = hv^ = hR\
]£ г 1	——. 9
,	, J 1 1 I
~-^3,2 ~ ^v3,2 -	22 З2 /
п
р, =13,6 в.
Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода
Е, = 13,6 эВ, определите первый потенциал возбуждения <рх это-
го атома.
£ Г 1	= Е; [ —Т-
‘>,лта«	\ 2^
-4]=—Е,.
З2/ 36
Дано
Е, =13,6 эВ
<Р\ — ?
Решение
Еб , = 1,89 эВ.
( 1	1)3
E^etp^hR, = hvl2 = hRl-^--—^-1^—Е;.
3Et
Pi =7 —.
4 е
Вычисления:
<Р\ = 10,2 В.
3-13,6-1,6-10~19 Дж
4 1,6 10"|9Кл
= 10,2 В.
Определите первый потенциал возбуждения атома водорода.
Ответ ) ^=ю,2 в.
Первый потенциал возбуждения
Первый потенциал возбуждения — это ускоряющее напряжение, соответ-
ствующее переходу невозбужденного атома в первое возбужденное состояние.
Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения атома
водорода <р] =10,2 В, определите в электрон-вольтах энергию
фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера.
Дано
=10,2 В
£4,2-?
Решение
epi = hvi2,
( 1	1 А з	3
hvI2 ~hR -j---?\ = -hR, e<pl=-hR,
• U2 2 J 4	4
П
6
/г£ = -^е^1, Е42-/г£|
7еР1 
Е4 2 = 2,55 эВ.
<487>
I	Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы уда-
лить электрон со второй воровской орбиты атома водорода за пре-
делы притяжения его ядром.
I-Определите, какие спектральные линии появятся в видимой обла-
< ' сти спектра излучения атомарного водорода под действием ульт-
>афиолетового излучения с длиной волны Л - 95 нм.
А = 5,45-10"19 Дж.
Дано	Решение
Z = 1 Л = 95 нм = 9,5  10 8 м	he	с- с- £ =	,	Е2- Е, + £ , Л
Л — ?	^=-13,6 эВ,	Е2=^-Е1, п
Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном со-
стоянии, фотоном, энергия которого е = 17,7 эВ. Определите ско-
рость у электрона за пределами атома.____
Дано	Решение
Z = l п — 1 £ = 17,7 эВ = = 28,3 • 10 ” Дж	2 e = Ei+~,	Е, =13,6 эВ = 21,8-10”Дж,
	у т
V — ?	
Q Ответ	v = 1,2 Мм/с.	
иИМИИи Фотон с энергией е = 12,12 эВ, поглощенный атомом водорода.	
'4SSSS*F находящимся в основном состоянии, переводит атом в возбужден- ное состояние. Определите главное квантовое число этого состояния.	
Дано	Решение
е = П,\2 эВ	е= Е2- Е} (см. рисунок к задаче 5.34),
п — ?	Е{ =-13,6 эВ,
	Е.	1% 1 Е, Е,=Ч	” = J— = J—— 2 п2’	}Е2 Vi + E-
Ответ п = з.	
			
Вычисления:
п = п, п-1,..., 3.
6,63-10 34-з-ю8 _ ... п
е = —----5-------19 эВ = 13,1 эВ;
95-Ю-9 1,6 10 19
Е2 = -13,6 эВ + 13,1 эВ = -0,5 эВ;
-13,6 „
и = ,-----= 5 >
У -0,5
Л5 =--------3 1()8	v = 0,434 • 10-6 м;
5	( 1	1 \
3,29-1015 с-1 ~у--2
I 22 52 J
Л4 =-------3 108 М /-----р- = 0,486 • 10~6 м;
3,29-1015 с-1-2-—=
122 42 )
,	З-Ю8 м/с
Яз=-------------ZT-
3,29-1015 с-1 -г
<22
-р-= 0,656-10~6 м.
32>
п
5
4-
3-
2-
Q omeem = о;434 мкм; 0,486 мкм; 0,656 мкм.
488
<489>
( 6.35 J В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, дли-
|| . ны волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода.
Определите элемент, которому принадлежит данный спектр.
Z = 3, литий.
Применяя теорию Бора к мезоатому водорода (в мезоатоме водо-
рода электрон заменен мюоном, заряд которого равен заряду элек-
трона, а масса в 207 раз больше массы электрона), определите: 1) радиус пер-
вой орбиты мезоатома; 2) энергию ионизации мезоатома.
Дано
z = i
п = 1
Q = e =1,6- 10 ”Кл
т = 207те
1) г, -?
2) Е,-1
Решение
тмг _ ZQ1 2
г 4яе0г2
2 /Г  4Я£о
Г = П ----,
mZQ2
n = l, Z = 1
mvr=nh,
п -1,2,....
h2 4лд0
1) г = 0,254 пм;
Z2 mQ4
£1 =-----Г5-,
Sh2e20
Z = l,Ea = 0,
mQ4
Е^—у.
8й2е2
2) Е, = 2,8 кэВ.
Определите, какая энергия требуется для полного отрыва элект-
рона от ядра однократно ионизованного атома гелия, если: 1) элек-
трон находится в основном состоянии; 2) электрон находится в состоянии, со-
ответствующем главному квантовому числу п = 3 .
1) Е1} = 54,2 эВ; 2) Е,2 = 6,02 эВ.
490
6.2. Элементы квантовой механики
Определите импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) элек-
трона, если длина волны того и другого равна 10’10 м.
Дано	Решение
А = Ю’10 м У	"х II
е = 1,6 10-19 Кл 1) ру,	— ? 2) Ре, Ее-Ч	Г	2 ре = ~ = ру,	Ее = —. е А	у	2т
1) ру - 6,63-10 24 кг-м/с, Еу = 12,4 кэВ;
2) ре = 6,63-10 24 кг • м/с, Ее = 151 эВ.
в Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося
в атоме водорода на третьей боровской орбите.
Дано	Решение	
е = 1,6-Ю-19 Кл п = 3	. _h _ h Я — 	 — 	 5 р mv	mvr= nh,
А —?	2	2 mv _ е г 4ле0г2 ’	1 е2 v-	 п 2e0h
А - 2h2tKo
те2
А = 1 нм.
<3й>
Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося
со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К.
Дано
ю
m = 1,675 10”27 кг
Т = 290 К
к= 1,38 10-23 Дж/К
Решение
h _ h _ h
Р m (у КЙ) yfikmT
Я —?
QOmeem
Л = 148 пм.
Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В =15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определите дли-
ну волны де Бройля для протона.
к = 0,197 пм
( 6 42 I Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен
пройти протон, чтобы длина волны де Бройля А для него была
равна 1 нм.
Дано	Решение		
к-1 нм = 10 9 м «= 1,675 10'27 м и — ?	eU = -^~, 2m k = -j=L^, •j2meU	р — -JkmeU , 2иеЛ2	А = -, Р
U = 0,822 мВ.
<492>
Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U - 500 В,
имеет длину волны де Бройля Л = 1,282 пм. Принимая заряд этой
частицы равным заряду электрона, определите ее массу.
Решение
Дано
U = 500 В
Л = 1,282 пм =
= 1,282- 10 12 м
е —1,6 10-19 Кл
т — ?
eU =	,	р = yflmeU ,
2т
, h h	h2
Л = — =	,	т   z— .
р yl2meU	2еЛ U
т = 1,672-1О’27 кг.
Выведите зависимость между длиной волны де Бройля Л реляти-
вистской частицы и ее кинетической энергией.
Дано	Решение
Л,Т Л(Г) -7	Л = ~,	pc = Jt(T +2тс2), Р Jl\T + 2mc2)	,	he р='	л- 			 с	jT(T + 2mc2')
Ответ ) л_ hc
--------7	^Т(Т+2тс2) '
в Выведите зависимость между длиной волны де Бройля Л реляти-
вистского электрона и ускоряющим потенциалом U.
С Ответ ) -с
-JeU(2mc2 + eU)
<4<ф
Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину
волны де Бройля.
Выведите связь между длиной круговой электронной орбиты и
длиной волны де Бройля.
Дано
Т = \ кэВ =1,6- 10 16 Дж
«7 = 9,11 10’31 кг
2 —?
Решение
h h „ mv2	Ff
— - —, 1	v = d—
p mv	2	\i m
(Ответ 2яг = .
Определите, как изменится длина волны де Бройля электрона в
атоме водорода при переходе его с четвертой воровской орбиты
A = 38,8 пм.
Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определите дли-
ну волны де Бройля.
Решение
Т = 0,6 МэВ =
= 9,6  1014 Дж
m = 9,11  10 31 кг
2 —?
2 = -,	р2с2 = Т(Т + 2тс2),
Р
^Т(Т + 2тс2)	, he
Р = л----------, А =	.. _
с	л]Т(Т+ 2тс2)
2 = 1,26 пм.
Определите, при каком числовом значении скорости длина волны
де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны.
(Ответ ) ,,	1П« .
J v _ 2,12.1 о м/с
Определите, при каком числовом значении кинетической энергии
WlftMUU^ Т длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской дли-
не волны.
на вторую.
Дано	Решение
и и 5 к	2лг = н2 , 2лт4 = 424, 2лг2 = 222, r4 = 42rt, 2	24 2лт-4 2 г4 42г, _ — 2 г, ,	, - л	л	.
^4	о	22 4 2лт2 2г2 2 2“ Г]
2,	Q Ответ _к = 2
1 В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную кар-	
V.wimhX 1ИНу ЦрИ 01ражении цучка элемронов oi ешеывенной дифракцион-	
ной решетки — монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляю-	
щем угол а = 55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум	
отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов Т = 180 эВ.	
Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.	
Дано	Решение
т = 9,11-10"31 кг	2dsint) = H,	$ = 90°-—,	2 = — ,
а = 55°	2	Р
к = 4 Т = 180 эВ = = 2,88  10 17 Дж	Р2	!	 . (	С|Л	СГ Т =	. р = у/2тТ , sin 90	= cos—, 2т	\	2/	2 2dcos-=t^_	j		
d —-?	2	2cos“
Ответ ) <7 = 0,206 нм
Г =0,212 МэВ.
Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате
ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d - 0,15 нм
Определите скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка
наблюдается, когда угол скольжения 9 = 30° .
Дано	Решение
d = 0,15 нм = 1,5 • 10 10 м т = 1,675 1 0’27 кг к = \ Я = 30°	2d sin # = кА,	Я = —, mv ’ v = ~,	kh mA	2 dm sin д
V — ?	С Ответ	v = 2,64 км/с.
f Параллельный пучок электронов, ускоренный разностью потен-
циалов = 50 В, направлен нормально на две параллельные, ле-
жащие в одной плоскости щели, расстояние d между которыми равно 10 мкм
Определите расстояние между центральным и первым максимумом дифракци-
онной картины на экране, который расположен от щелей на расстоянии I = 0,6 м
(Ответ ) . м
J tsx- —,- —	=	10,4 мкм.
’	dd2meU
( 6 56 г Исходя из общей формулы для фазовой скорости ( Пфа) = ш/к),
определите фазовую скорость волны де Бройля свободно движу-
щейся с постоянной скоростью v частицы в нерелятивистском и релятивист-
ском случаях.
Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен
нормально на узкую щель шириной а = 1 мкм. Определите скорость
этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии I = 20 см от щели,
ширина центрального дифракционного максимума составляет Ах = 48 мкм.
Дано
Уфаз = Ш!к
1) V « С
2) у я: с
Решение
_	2л	ha) Е
со = 2лт , к = —, цфаЯ = — = — ,
Л	ПК Р
„ р2	р2	р mv и
v « с, Е = — , ц. , = —- = -Е- = — = —,
2т	фаз 2тр 2т 2т 2
„2	Е wc2 с2
v*c, Е = тс , и 2= —=-----------= —.
р mv V
ифаз1	2
г’фаз2	?
2
ифаз2 = ~
Можно вывести, что для релятивистского случая фазовая скорость
уФаз = (см- задачу 6.56), т.е. фазовая скорость волн де Бройля
больше скорости света в вакууме Объясните правомерность этого результата.
. т, .	.	,	,	, <т Ах , /г	2lh
Ar = 2/tg<p, tg<p~sin<p (угол <р мал), Л =--------, Л = — , v =-----------
2/ mv am Ах
Объясните, почему представление о боровских орбитах не совме-
стимо с принципом неопределенности.
v = 6,06 Мм/с.
<496>
Докажите, что групповая скорость волн де Бройля равна скоросп
свободно движущейся частицы. Рассмотрите нерелятивистский г
релятивистский случаи
и - V 
Докажите, что для свободно движущейся с постоянной скорос-
2
тью v частицы выполняется соотношение v^uu = c (и —груп-
повая скорость).
QOmeem
’’фаз ”	~ 
Выведите закон дисперсии волн де Бройля, т.е. зависимость фазо-
вой скорости волн де Бройля от их длины волны Рассмотрите
нерелятивистский и релятивистский случаи.
Ответ
h
О ”фаз — _ ,5
2тЛ
2) ’’фаз
Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией
Т -1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры
Вильсона, составляет Ах = 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу об-
наружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.
Дано	Решение
т = 9,11-10-31 кг 7 = 1,5 кэВ = 2,4- 10 16 Дж Дх = 1 мкм =10 ° м	2	2		 Т = ^— = ^~, рх-^2тТ, Ах А/э, h, 2 2т h
Ах Др, = h  Др, = — ,	---------
Ах рх Ах^2тТ
Р,	С Ответ	«j X	S рх
ЪиШРм ) Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке раз-
....	' ностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность
скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределен-
ность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях кван-
товой или классической частицей?
Дано
т = 9,11 10'31 кг
е = 1,6 10"19 Кл
U = 1 кВ = 103 В
Aw
— = 0,001
Решение
tnv1
Т =----=eU,
2
Ар Av
— = — « 1,
р v
Ах —?
h _ h _ h
Ар т Av 0,Q0lyl2meU '
Ах Ар > h,
QOmeem^ =388нм.
Определите отношение неопределенностей скорости электрона,
если его координата установлена с точностью до 10 5 м, и пылин-
_ 12
ки массой т = 10 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.
Дано
те = 9,11  10~31 кг
Ахе = 10"5 м
тп = 10-'2 кг
Дхп = 10"5 м
Решение
Ах Арх h.
% Д’4, Ахп = h ,
Ахете Ave = h,
Ave _Ьт„Ах„ =тп
Av„ hme Axe me
At'
—- — ?
Avn
—^- = 1,11018.
Aun
499
6.6S J Электронный пучок выходит из электронной пушки под действи
ем разности потенциалов U = 200 В. Определите, можно ли од
новременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм (с точное
тью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10%
Дано	Решение
U = 200 В Ах = 100 пм = 10 10 м Ли = 0,h) Ах те Ан — ?	тл2 Tr	l2eU —— = eU,	v = J	, 2	У mL Ди = 0,1	, Axme Av = 0,1^2meeU Ax . ] me
^Ответ Дх Ше = 7,64 • 10 35 Дж • с < h.	
Электрон движется в атоме водорода ио первой боровской орбите
Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составля-
ет 10% от ее числового значения, определите неопределенное гь координаты элек-
трона Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории'?
Дано	Решение
m = 9,11 10-31 кг	mvr = nh,	n = l,	mvt\ = h ,
n = 1 An = 0,1d	v = ~, Av = 0,1 —,	r{= 52,8 пм, h = — , тиГ|	«)Г|	2л
Ax — ?	h Ax A/\ h,	AxmAvx = h, Ax =	 m Av,
Ах = 3,34 нм » Г]
( 6.67 ) Применяя соотношение неопределенностей, покажите, что для
........движущейся час гицы, неопределенность координаты которой рав-
на длине волны де Бройля, неопределенность скорости равна по порядку вели-
чины самой скорости частицы
<500>
(6.68 j Используя соотношение неопределенностей в форме Ах Ар, > h .
*..... оцените минимально возможную полную энергию электрона в
атоме водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу ато-
ма. Сравните полученный результат с теорией Бора.
Решение
Дано
Ах Дрд > ti
Ах- г
п — 1
Z=1
-1
^ = 0.
—.—	dr
Атг,,/;2
*•	=-----и--
пип	2
те
Ах Ap.v > /?,	~ * 1, рх « Дрх =	,
Рх	Ах г
>	/	2 Л	.2	2
£ = 7' + П = —+ |----------—1, £ = —Ц----------------—,
2т \ 4яе0г} 2тг 4яе0г
d£ _ ti2 е2 _1_Г е~ _
dr	mr3 4де0г2 ’	r:l.4%f0 mr
f.2	2	4
_ ii e _ me
2mr2m 4rn0rmm 2(4m0)2fi2
_ h	me*
'~2n'	m,n='8ft2?0‘
(Ответ Л „ me4
У £nlin = -TTTT = 4 3’6 эВ-
-	8A £0
Объясните физический смысл соотношения неопределенности для
энергии Е и времени t : АЕ Ar h.
Основные физические постоянные
Постоянная Планка h = 6,63 10 34 Дж-с
Й = 1,05 Ж34 Дж  с
Электрическая постоянная г0 = 8,85 10~12 Ф/м
<5(И>
( 6*70 ) Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оцените раз-
—-....S мытость энергетического уровня в атоме водорода 1) для основно-
го состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10 8 с)
Дано
1) п = 1
2) п>1
ДГ = 10-8 с
1) ДЕ —?
2) \Е — ?
Решение
ИЗ
м> 1
АГ
1) ЛЕ = 0,
2) ЛЕ = 414 нэВ.
Q6.71 J Длина волны Л излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм.
Принимая время жизни возбужденного состояния А/ = 10“8 с,
определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на ко-
торый был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.
Дано
Решение
ДЛ = 0,6 мкм = 6 107м
AZ = 10~8 с
ДЕ
ДЕ Аг > h,
ДЕ Ar - h,
ДЕ

*	е„
Е
ч г
Е„
2-Ю-7.
Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм,
определите (в электрон-вольтах) неопределенность энергии дан-
ного электрона.
1 Z
ЕЕ =---------у = 16,7 эВ.
2ш(Дх)2
Объясните, почему физический смысл имеет не сама Ф -функ-
ция, а квадрат ее модуля |ф|2 ?
Объясните, почему волновая функция должна быть конечной, од-
нозначной и непрерывной.
Запишите выражение для вероятности W обнаружения частицы
в конечном объеме V , если известна координатная пси-функция
частицы ф(х, у, z).
6.76 J Волновая функция, описывающая некоторую частицу, может быть
El
представлена в виде Ф(х, O-V(x) е Л Покажите, что плотность вероятно-
сти нахождения частицы определяется только координатной ф -функцией.
Дано	Решение
--Bt '¥(x,t) = tp(x)e Л w — ?	w = |ф(х, f) |2,	|ф(х, t) |2 = Ф(х, t) Ф*(х, /), -1 Et ф	~Et	ф	.	>2 и’ = ^(х) e ft Ф (x) еЛ =ф(х)1/> (x) = |i/>(x)) .
Ответ ) w = \y(xf.
Некоторые математические формулы
sin(a + /?) = sina cos/? ± cosa sinjS
cos(a ± /?) = cosa cos/? Jsinasin/?
sin 2a = 2sina cosa	cos2a = cos2 a - sin2 a
2	1	2	1
sin a = —(l-cos2a)	cos a-— (l + cos2a)
<503>
-Функция некоторой частицы имеет вид ^ = — е г-а , где г —
расстояние этой частицы до силового центра; а — некоторая постоянная.
Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный
коэффициент А.
Используя условие нормировки вероятностей, определите норми-
ровочный коэффициент А волновой функции ip = А е~г,1а , опи-
сывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где г — расстоя-
ние электрона от ядра, а — первый боровский радиус.
Дано
= Ае
Решение
j|^|2dr=l, dV = 4xr2dr, \ip(r)\2 = A2 e~2r/a ,
v
А
jA2 e 2r/e  4rtr2 dr = 4лА2 jr2 e 2r/a dr = 1,
о
fr2 e~2r/adr = —
° (-1
\ a 1
а3
?	4
о
лА2а3 -1,
, a3
4лА2----
^6.79 Используя условие нормировки вероятностей, определите норми-
ровочный коэффициент волновой функции ip(r) = А е ' /(2а \
описывающей поведение некоторой частицы, где г — расстояние частицы от
силового центра; а — некоторая постоянная.
I Волновая функция Ц> = A sin(2yrx//) определена только в области
О < х < I . Используя условие нормировки, определите норми-
ровочный множитель А .
Дано	Решение
, ч , . 2лх ^(x)= A sin—y— 0 x I	i j I^(x)|2 dx = 1, D
A -?	1 . .|2	,2-2 2ЛХ |^(x)| - A sin —y—,
j |vw|2 =
_	I
2лх ,	,2 Г . п 2ях ,
----ах = А sin*--------dx =
1	о 1
о
4ях'|
- cos-----
I )
A2
dx =
Я2 г, А2 г	4лх
— dx--------cos------dx =
2	0J 2 oJ 1
A2 I , 4лх
-----sin----
 ' I
2 4л
—Z = 1,
2
2
2
о
505
WfiBMW V’ -Функция некоторой частицы имеет вид tp = — е г'а , где г -
расстояние этой частицы до силового центра; а — некоторая постоянная. Оп-
ределите среднее расстояние (г) частицы до силового центра.
Дано	Решение
^ = -е*г/о
Г
а = const
0-?
(г) = Jr|v|2 dr = Jr^* dr, dr = 4яг2 dr ,
о	о
А =	(см. задачу 6.77),
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид
V = А е~г ^2а >, где г — расстояние этой частицы до силового
центра; а — некоторая постоянная. Определите среднее расстояние (г) час-
тицы до силового центра.
Дано	Решение
^ = Ае~г2^	1	1 А = - . "	(см. задачу 6.79), dr = 4лг dr ,
а = const	4лУ2а3 ОО	00
(г) — ?	(r) = Jr|v>|2 dr - JrJ2 е"г /“2‘4лг2 dr =
	0	0
	= j 4лг3 .1 . е“г /а dr = Jo Л3
4	fl -2/Л2 t	4	1	2а f
= -г=—г ] г3 е ' dr =-	г з " 1 ~ г ( Ответ ), х 2«
^а Jo	<J^-a j 1	-Jn у	у \г)~~7=- г 2LJ 1
Волновая функция, описывающая основное состояние электрона
в атоме водорода, имеет вид = А е~г?а , где г —расстояние элек-
трона от ядра, а — первый боровский радиус. Определите среднее значение
квадрата расстояния (г1'} электрона до ядра в основном состоянии.
Дано
ip - А е"г1а
а = const
Решение
dr - 4яг2 dr ,
(см. задачу 6.78),
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид
^(г ) = —е”г2,,/а ,где А — нормировочный множитель, равный ~ > л_*; г —
расстояние частицы от силового центра; а — некоторая постоянная. Опреде-
лите среднее значение квадрата расстояния ^г2^ частицы до силового центра.
Дано
у(г) = -е-г2/°2
г
Решение
dr = 4яг2 dr ,
1
а = const
507
V	В°лновая функция, описывающая основное состояние электрона
в атоме водорода, имеет вид	= А е'г'°, где г — расстояние элек-
трона от ядра, а — первый боровский радиус. Определите наиболее вероят-
ное расстояние гя электрона до ядра.
Дано	Решение
ip- А еГг/а	dFF = |^(r)|2dK.	dr = 4?rr2dr,
а = const	dlV = 4яЛ2г" e~2r,/o dr, w = —— = 4лЯ2г2 e-2,'“ ,
г —? 'в	dr
dw	1	-1,-la л j1 — = 8лЛ re"' + 4згЛ ?	2 2r/a ( 2] e 1	
dr	\ aJ
8лА2г e~2r/ofl--'l = 0,
\ aJ
dr
1-^0, a	
{Ответ	1 = a .
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид
V = Ае'г /<2а 1, где г — расстояние частицы от силового цент-
ра; а — некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние гв
частицы до силового центра.
= а .
Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний
электрона, находящегося в атоме водорода.

Запишите одномерное уравнение Шредингера (для стационарных
состояний) для частицы, движущейся под действием квазиупру-
гой силы
Запишите общее уравнение Шредингера для свободной частицы,
движущейся вдоль оси х, и решите это уравнение.
Исходя из принципа классического детерминизма и причинности
в квантовой механике, объясните толкование причинности в клас-
сической и квантовой теориях
Известно, что свободная квантовая частица описывается плоской
монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности
(вероятность, отнесенная к единице объема) обнаружения свободной частицы
j'pj2 =	= const Объясните, что означает постоянсгво этой величины
Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний для
свободной частицы, движущейся вдоль оси х, а также определите
посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать
об энергетическом спектре свободной частицы?
trkz
Е =----, спектр непрерывный
2т
Волновая функция, описывающая частицу в моментвремени / = 0,
_ 2 / 2	.
имеет вид Т(х, 0) = А е 1 'а +1 , где а и к — некоторые поло-
жительные постоянные Определите 1) нормировочный коэффициент А ,
2) область, в которой частица локализована.
2) 0 < х < а.
<509>
( ’вЙЙГ j Частица находится в одномерной прямоугольной “потенциальной
яме” шириной I с бесконечно высокими “стенками”. Запишите
уравнение Шредингера в пределах “ямы” (0 < х < Г) и решите его.
Дано	Решение		
0 < х < 1, и = 0 х < 0, 1/ —> да х > 1, U ^><х> у(х) — ? 2 2тЕ h2 ’ ip(x) - A sin кх + В cos foe, tp(l)= A sin kl = 0 ,	d2W 2 т -2+-r(E-U)^ = 0, дх h 0 < х « i, U = 0, ,	С/-*» dip 2т „ —т + ~т- Eip - 0 , dx2 Й2 d2V> i	и=о	
	—-+k2ip = 0 , Эх" i/?(0) = 0, В = 0 , kl = rm , к = —, 1	9	1	" х ip(x)= A sin for , т V>(x) = A sin—х	
QOmeem т
= A sin-^y-x
Частица находится в одномерной “потенциальной яме” шириной I
с бесконечно высокими “стенками”. Выведите выражение для соб-
ственных значений энергии Еп.
Дано	Решение	
0 < х < /	,2,_л	, 2 2тЕ
и = о	у + к ip — 0 5 дх	к2=—^~, h2
Еп~7 п2л2 2тЕ	гт к = —	(см. задачу 6.94),	
I2 ~ h2 ’	" П 2ml2 ’	п = 1,2, 3, ...
С Ответ ) F	" = 1.2,3... 2ml2	
Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномер-
ной прямоугольной “потенциальной яме” с бесконечно высокими
“стенками”, имеет вид Ц>(х) = A sin кх . Определите: 1) вид собственной волно-
вой функции Уя(х) J 2) коэффициент А , исходя из условия нормировки веро-
ятностей.
Дано	Решение
ip(x) = Asin кх	= O >	^(/) = A sin kl = 0 ,
1) -?	kl-rm, к = — , ipn(x') = A sin—х ,
2) А — ?	f |^„(x)|2 dx = 1,	f A2 sin2—х dx = — A2l = 1. о	о	1	2
(Ответ ) ., , . , ..ия. л_ [2
J 1)	= A sm—x ,	2) А = ^~.
Известно, что нормированная собственная волновая функция, описы-
вающая состояние электрона в одномерной прямоугольной “потенци-
альной яме” с бесконечно высокими “стенками”, имеет вид
^„(x) = J— sin—х, где I — ширина “ямы”. Определите среднее значение
координаты (х) электрона.
Дано
Vn(X)
Решение
(х)= Jx|^„(x)| dx, (х> =—J
о	Z о
. -> Л.П
х sin"— х dx =
/
Ответ
511
I 0.У5 I Докажите, что собственные волновые функции, описывающие со-
х''"вии*^ стояние частицы в одномерной “потенциальной яме” с бесконечно
высокими “стенками”, являются ортогональными, т. е. удовлетворяют условию
jVn(x)V’m(x)dx = 0, если и* т. Здесь I - ширина “ямы”; и и т —целые
о
числа.
^6.101^ Электрон находится в одномерной прямоугольной “потенциаль-
........ ' ной яме” шириной I с бесконечно высокими “стенками”. Опре-
делите вероятность W обнаружения электрона в средней трети “ямы”, если
электрон находится в возбужденном состоянии (п = 3 ). Поясните физический
смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности
обнаружения электрона в данном состоянии.
Дано
Решение
&
2
} Частица в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” шири-
ной I с бесконечно высокими “стенками” находится в основном
состоянии. Определите вероятность обнаружения частицы в левой трети “ямы”.
. пл
sin—X
I
И
п = 1
О
W — ?
//3
о
Дано
. пл
sin—X
I
Решение
sin—X ,
/
//з
/
3
о
271
'/з
f — sin2—х dx =
Jo 1	}
1,/3 о
1 г	2я
- cos—.
Ц 1
O '
.	1	1 I . 2л |//3
dx —-------sin—x
3 12л I
2я А
—X ох -
I
1	1 . 2л n
-- — sm— = 0,195.
\0	3 2л 3
 п = 3
1
з'4
2
. Зя
sin—X
I
О
и=3
W —?
21/3
»'= JI
//3
3' 3 '
?2 . 2 Зл
//3
21/3	21/3
=	i
//3	1/3
6л
cos—
I
dx =-х
1 1.
,2//3
7/3
£
3
1 ( . 6л 21	. 6л I
— sin--—sin—-
6л v I 3 I 3,
IL	6л V
— 1 — cos—x dx =
J 21 I )
1/3
1 I . 6л
----sin — X
16л I
.2//3
7/3
” “ ~ (sin 4^ - sin ~ 
FT = 0,195.
Ответ ) w = -
J з
6.100) Частица в одномерной прямоугольной “ потенциальной яме” ши-
риной I с бесконечно высокими “стенками” находится в возбуж-
денном состоянии (п = 2 ). Определите вероятность обнаружения частицы в
6.102^ Частица в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” ши-
риной 1 с бесконечно высокими “стенками” находится в возбуж-
денном состоянии (п = 3). Определите, в каких точках “ямы” (0 < х < I)
плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минималь-
на. Поясните полученный результат графически.
W = 0,091.
I I 51	. _l 21
1) w = max при X-— —, — ; 2) w-min при x
6 2 o___________________________________3 j
512
17 СборШ1К задач
513
Частица находится в одномерной прямоугольной “потенциальной
яме” с бесконечно высокими “стенками”. Определите, во сколько
( 6.103 J Определите, при какой ширине одномерной прямоугольной “по-
тенциальной ямы” с бесконечно высокими ‘’стенками” дискрет
ность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетичес-
кой энергией при температуре Т.
Дано	Решение
М„ = ЕК Т	А£„=(2п + 1)^, 2ml1
I — ?
раз изменяется отношение разности соседних энергетических уровней
[ Д£„+1 „ /Еп частицы при переходе от п = 3 к п' - 8 . Объясните физическую
Сущность полученного результата.
Дано
Решение
3
Ек=-кТ,
1	2
*2 2 э	।---
2т/	2	]2ткТ
Р = 3
I «' = 8
&Еп+\ „ __?
Е„
Вычисления:
Е.
I t /2" + l
/ = fin J---
V 3mkT
<0.104 J Докажите, что энергия свободных электронов в металле не Кван гу-
ется. Примите, что ширина / прямоугольной “потенциальной ямы”
с бесконечно высокими “ стенками” для электрона в металле составляет 10 см.
Дано
Решение
n' - 8
2x2	л:2Й2
“..и =
2ml
2n +1
5
^Еп'+1у ^2n' + l
E„>	(и')2
^4,3 _
E.
^E<) 8
E.
7
- = 0,78.
9
16
64
0,26.
Уменьшается в 3 раза.
т = 9,1110-31 кг
/ = 10 см = 0,1 м
_ 27Т2Й2
2ml1
\Еп -?
- Еп+1
2x2
hml2
2x2	~2t.2
7Г П	Л, h
= (2и + 1)—у* П----р.
2m/ ml
А£„ ~0,75п-10“16 эВ.
6.106 1 Частица с энергией Е движется в положительном направлении
оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный
барьер высотой U и конечной шириной /, причем Е <U. Запишите уравне-
<514>
г } Для условия задачи 6 106 запишите решения уравнений Шредии-
X гера для областей 1 2 и 3 ф -Функция обычно нормируется так.
что А , = 1 Представьте графически качественный вид -функций.
1)	Ч>\ =е,к‘х + В] е'^1'.
2)	4'2 = 4 е-/?х + В2 е?х
3)	= 4 е'*’л .

4
К = к3 = ~Е , А = ЛЛЕЛ1
V	й
4=1,	4 = 0.
f 6.110 ) Протон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направ-
-......лении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциаль-
яый барьер высотой £7 = 10 эВ и шириной I = 0,1 нм. Определите вероятность
прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, что-
бы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона
При вышеприведенных условиях.
Решение
Электрон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направ-
лении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциаль-
ный барьер высотой U = 10 эВ и шириной I - 0,1 нм. Определите коэффици-
ент D прозрачности потенциального барьера.
Дано
т = 9,11 10 34 кг
£ = 5 эВ = 8 1О',9Дж
U = 10 эВ = 1,6- 10-|8Дж
I = 0,1 нм = 10"10 м
Решение
тр = 1,<37А0~21 кг
Е = 5 эВ = 8- 10 '9 Дж
17 = 10 эВ = 1,6 • 10 18 Дж
/ = 0,1 нм= 10“|Ом
те = 9,11  10”31 кг
Wp ->
г
Wp = D = ex? ~~~^2mp(U - Е) ,
We - exp

D —?
D = 0,\.
£>=ехр
п
HZ, =1,67-IO'43;
-^2me(U-E)
n
= exp	(1/-E) ,
Й v K
- Ц-^2тр(и - Ё) = ~^-j2me(U - E) ,
n *	ft
1= E.
Г V me
— = 42,8.
Г
( 6 109 Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину / = 0,1 нм.
......Определите в электрон-вольтах разность энергий U - Е , при ко-
торой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5.
( 6.111 J Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину I - 0,1 нм.
Разность между высотой потенциального барьера и энергией дви-
жущегося в положительном направлении оси х электрона U - Е = 5 эВ. Опре-
делите, во сколько раз изменится коэффициент прозрачности D потенциаль-
ного барьера для электрона, если разность U - Е возрастает в 4 раза.
Ответ ) (t/_£)=0>454 эВ_
= 10.
(6.1121 Частица с энергией Е движется в положительном направлении
ЧажапиШаУ оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
ный потенциальный барьер высотой U, причем E>U. Запишите уравнение
Шредингера для областей 1 и 2.
 6.114 J Частица с энергией /2 = 10 эВ движется в положительном направ-
лении оси х. встречая на своем пути бесконечно широкий прямо-
угольный потенциальный барьер высотой U = 5 эВ. Определите коэффициент
Преломления п волн де Бройля на границе потенциального барьера.
Дано
Решение
+	к2 = ~Е-
дх	ti
d2tli,	i	2m
2)-^- + ^2 = 0, k2 = -^(E-U).
£ = 10 эВ
U = 5 эВ
п — ?
А, к, E-U
п = — = — = А--
А2 V £
1) д~^г+к2^] =0,
дх
2) ^Т- + ^2=0,
дх
Ответ ) « = о,7О7.
Ё2тЕ
^1 = t
п
^2m(E-U)
к2 -

Для условия задачи 6.112 запишите решение уравнений Шредин-
гера для областей 7 и 2 У -Функция обычно нормируется так,
что А{=}  Представьте графически качественный вид ф -функций.
Электрон с длиной волны де Бройля А] =100 пм, двигаясь в поло-
жительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконеч-
но широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой 77 = 100 эВ. Оп-
ределите длину волны де Бройля после прохождения барьера
Ответ Л ; - , ^ —= = 172 пм.
1) ф1(х) = е'А'х + ^
Частица с энергией £ = 50 эВ, двигаясь в положительном направ-
лении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямо-
угольный потенциальный барьер высотой 77 = 20 эВ. Определите вероятность
отражения частицы от этого барьера.
Дано
£ = 50 эВ
U = 20 эВ
Решение
W — ?
=(У£-У£^7)2
(Дё+Je-u)2
к\>к2,
ТУ = 0,016.
(6.117) Частица массой т = 10'19 кг, двигаясь в положительном направ-
лении оси х со скоростью v - 20 м/с, встречает на своем пути
бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 100 эВ.
Определите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенци-
ального барьера.
Дано
Решение
т = \0 19 кг
v = 20 м/с
и =100 эВ
R —1
R^^lh
кх + кг
— 1 — - ,
2
, JlmE
fc =---,
1 h
Je-Je-u2
у/Ё+ЛДй •
, J2m(E - (7)
fc, =-----------
Вычисления:
£=10-(20m^ = 2i0_	25эВ_
2
E>U
R =
125-V25
= 0,146.
7? =0,146.
I b.118 M Частица с энергией E движется в положительном направлении
......" оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
ный потенциальный барьер высотой U, причем Е <U. Запишите уравнение
Шредингера для областей I и 2.

O'U’l , 7
1) +
ОХ~
, J~2mE
fei =—
г 2 , л
2) ---- + ^7^7 — 0 ,
дх“

ti
E<U
U
5.119 ) Для условия задачи 6.118 запишите решение уравнений Шредин-
Р.......гера для областей 1 и 2. -Функция обычно нормируется так,
(то Л, = 1. Представьте графически качественный вид V' -функций.
= е'к'х + В, е
\2тЕ
k'= —
V>2 = А2 е ,
Д2т(Ц-Е)
Р h
в,=о
Электрон с длиной волны Л де Бройля, равной 120 пм, движется в
положительном направлении оси х и встречает на своем пути бес-
печно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 200 эВ.
пределите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенци-
ального барьера.
Дано
Решение
W = 9,11-10 кг
И. = 120 пм = 1,2  1010м
V = 200 эВ
2	^2
Е = — =-----у (см. рисунок к задаче 6.118),
2т 2>гЛ~
^2m(E-U)
2 “ h
к] к2
^1	^2
"E-^E-U
H + ylE-U
IR —2
L V2m£
R =
к} - &2
к} + &2
h
Р = Т
2
2
R =
вычисления:
(6,63 10~34 Дж с)2
2 9,11 10“31 кг • (1,2 1010 м)2
= 1,67 10-17
Дж »100 эВ.
E<U
V100-л/100-200
f V100+V100-200
1-Г
R = \.
<521>
Частица с энергией Е движется в положительном направлении
оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
Частица с энергией Е движется в положительном направлении
оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
ный барьер высотой U, причем Е <U. Принимая А} = 1 (как это обычно де-
ный потенциальный барьер высотой U, причем E<U. Принимая A ,= 1 (как
лается) и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой
производной на границе областей 1 и 2, определите плотность вероятности
|^2(0)|2 обнаружения частицы в точке х = 0 области 2.
Дано	Решение
E<U А,=1	^|(х)=еЛ|,+ 5| е’1*1*, h
^1(0)= ^2 (°) ^1(0) = ^(°)	,кх	d2m(E-U) ip2(x)-A2 е 2 ,	к2 = п ^[(х)= iky е'к,х + By(-iky)е~‘к'х,
	
Это обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функ-
ции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определите плот-
ность вероятности обнаружения частицы на расстоянии х от потенциально-
|ГО барьера.	
!	Дано	Решение
\E<U А^1 V»i(0) = V>2(°) V’K0)=^з(О)	d2ipy 2т г, п	д2гр2 2т + й(Е-(/>2=0, «.,(»)= е*-+Де-*-, *,=2^. й
1р2(х) - А2 е'к-х ,
ьи2	^2(х) = л2№)е'*2,:’	и	
^,(0) = 1 + В|,	v-2(0)	= а2 ,	
^{(O)=iky-ikiB], ^г(°)	= ik2A2,	
1 4- 5| — ^2 ,	—	5| = к2А2,	и
В|-у42-1,	Л]-(Я2 1)#|-&2Я2,
1 + By— А2,
ку — Вук{- к2А2
2к,
2ky=(ki + k2)A2,	Л=-Т-Т-
/С] т* Л 2
	2ку	2	2уГЁ	2	2jE 2
|V’2(0)| “Иг! _	^2		Je+Je-u		у[Ё + i/u - Е
4Е_____________________4£__________ 4Е
(у/Ё+^и-Е)(ДЁ-iy/U-E) ~ E + iy/U-E-iylU-E + U-E U
V>,(0W2(0)
^1(0) = Ц>2(0)

ку + i/3

k2-i^,
<522>
Jmk 2
Докажите, что волновая функция ^(х) = Ах е 2Л может быть
решением уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, масса ко-
торого т и постоянная квазиупругой силы к . Определите собственное значе-
ние полной энергии осциллятора.
125 ) Объясните физический смысл существования энергии нулевых
колебаний для квантового гармонического осциллятора. Зависит
наличие нулевых колебаний от формы “потенциальной ямы”?
Дано	Решение
Гч	з	1 L	и е о	И II	о ! зТЯ 		д2у 2mf majox2L - о 4тк дх2 h V	2	2Й <Хх)=Лхе-“2,	— = А	- 2аАх2 е’^ , дх
.2
.2
е
2 + 4а2Лх3 е
= -баАх е “ + 4а2Ах3
Дано
= 1 м
= 9,81 м/с2
0-?
126
Математический маятник можно рассматривать в качестве гармо-
нического осциллятора. Определите в электрон-вольтах энергию
евых колебаний для маятника длиной I - 1 м, находящегося в поле тяготе-
Земли.
Решение
Ео =|йш0,
2л:
«о = —,
Т = 2а.
"о =
^2
—V = -2аАх е-<ис - 4аАх е
дх~
,	> , □ 2тЕАх т2и>пАх
- баАх + 4а Ах +----z--------у—
Й2
.3
-‘°’
£о-2Й-
Ео = 1,03-10-15 эВ.
14тк 2тк -> тЕ
-------1---"1-------4“
2Й 4Й2 Й2
2
------т* - 0 ,
т 2й“
тЕ _ 3yjmk
~V~ 2й
£ =
Е = —по)п.
2 0
K.127J Рассматривая математический маятник массой т = 100 г и дли-
ЖЬ-.йнУ лой / = 0,5 мв виде гармонического осциллятора, определите
лассическую амплитуду А маятника, соответствующую энергии нулевых ко-
лебаний этого маятника.
\ 6 124 । Частица массой т движется в одномерном потенциальном поле
Wiier U(x) = кх2/2 (гармонический осциллятор). Волновая функция,
описывающая поведение частицы в основном состоянии, имеет вид
2
т/.’(х) = А е , где А — нормировочный коэффициент; а — положительная
постоянная. Используя уравнение Шредингера, определите: 1) постоянную а ,
2) энергию частицы в этом состоянии.
-^- = 1,54 10"17 м.
т
С ОтветУ^ а =	2) Е = ^-,гДе ш0 =
2й	2
<524>
6.3. Элементы современной физики
атомов и молекул
Запишите возможные значения орбитального квантового числа / и
магнитного квантового числа для главного квантового числа п = 4.
Сf». 128") Представьте: 1) уравнение Шредингера для стационарных состо-
яний электрона, находящегося в атоме водорода; 2) собственные
значения энергии, удовлетворяющие уравнению; 3) график потенциальной энер-
гии взаимодействия электрона с ядром; 4) возможные дискретные значения
энергии на этом графике.
g £29 ] Как известно, уравнению Шредингера, описывающему атом во-
* S дорода, удовлетворяют собственные функции	р), оп-
ределяемые тремя квантовыми числами: главным «, орбитальным I има1-
нитным от,. Объясните физический смысл указанных квантовых чисел и запи-
п- 4, I = 0 , т, =0.	/ = 1, т, = 0. ±1.
7 = 2 , от, = 0, ±1, ±2.	/ = 3, от, = 0, ±1, ±2, ±3
6 132 I ®пРеделите’ только различных волновых функций соответству-
»i 	✓ ет главному квантовому числу п = 3 .
п - 3 ; 9 различных волновых функций (без учета спина).
«6.133 ) Учитывая число возможных состояний, соответствующих данно-
|	му главному квантовому числу п, а также правила отбора, пред-
ставьте на энергетической диаграмме спектральные линии атома водорода,
^Образующие серии Лаймана и Бальмера.
134} Покажите возможные энергетические уровни атома с электроном
в состоянии с главным квантовым числом п — 6, если атом поме-
ен во внешнее магнитное поле.
135 1 Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепле-
ние энергетических уровней и спектральных линий (с учетом пра-
вил отбора) при переходах между состояниями с I = 2 и I - 1.
шите их возможные значения.
( 6Л30 } Волновая функция	описывающая атом водорода,
определяется главным квантовым числом п, орбитальным кван-
товым числом I и магнитным квантовым числом т,. Определите, чему равно
число различных состояний, соответствующих данному п.
-состояние	1 = 1, от, = 0, ±1.	d^-
d -состояние	7 = 2, от, = 0, ±1, ±2.	
4
Д/ = ±1.
т,
-+2
+-+1
- 0
~	- Дот, = 0, ±1 .
QOmeem^ п2.
_____ И" ..........................---------------
-2
<526>
Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепле-
ние энергетических уровней и спектральных линий при перехо-
дах между состояниями с I = 1 и I = 0 .
Волновая функция, описывающая 15-состояние электрона в атоме
водорода, имеет вид = С е'';", где г — расстояние электро-
Нормированная волновая функция, описывающая Ь-состояние
электрона в атоме водорода, имеет вид ^юо(г)= /—- е Г “ , где
У ла3
\а —первый боровский радиус. Определите: 1) вероятность dW обнаружения
Электрона на расстоянии от г до r + dr от ядра; 2) расстояния от ядра, на
(Которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероя! костью.
на от ядра, а — первый боровский радиус. Определите нормированную вол-
новую функцию, отвечающую этому состоянию.
Дано	Решение
у(г-)=Се~''/а а = const V'ioo(r)	?	/И V di7 = 4тгг2 dr ,
1) dW = ~r2 e~2r;a dr; 2) г = а.
а3
J li/'p dr = |С2 с-г/а 4яг2 dr = 4яС2 jr2 e 2,/a dr = 4яС2
оо	о	|	।
I а I
еИЙвЖа Нормированная волновая функция, описывающая l.s-состояние
rW	j
электрона в атоме водорода, имеет вид V’lOoO-)= ~i-= е ’“ > г;|е
у ла3
а — первый боровский радиус. Определите среднюю потенциальную энер-
гию электрона в поле ядра.
4тгС2-2а?
23
Ответ \	' е-/»
’	Vл сг
6.138 1 | Предполагая, что нормированная волновая функция, описываю-
Дй...щая к-состояние электрона в атоме водорода, известна (см. зада-
чу 6.137), определите среднее значение функции 1/г, принимая
Дано	Решение
, \	1	no W)oO')= I—-e у ла	u =, 4л£0Г
a = const (0-? 00 /	2 A 1 (0 = f	I 3 e ' 4ле0г J ла	(0 =	dr ,	dr = 4яг2 dr , '^a 4лг“ dr 		r [re 2r^a dr = 4яг0 a3 Jo
Ответ
во внимание, что
е2 4 1! е2 4 а2	е2 1
4ле0 а3 С 2V	4л£0 а3 4	4яа0 а
\ aJ
е" 1
4тгс0 а
<528>
18 Сборник «адач
6.141J Нормированная волновая функция, описывающая 1s -состояние в
атоме водорода, имеет вид Vi оо (г)= ~'г~— е ~''а .где а — первым
V7T«3
боровский радиус. Определите среднее значение модуля кулоновской силы,
действующей на электрон.
С Ответ ) . . е2
-----------'	----г.
2лгг0«
Электрон в атоме находится в /состоянии. Определите возмож-
ные значения (в единицах h) проекции момента импульса Lk
орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнит-
ного поля.
Q Ответ l)z = q, +/?, ±2й, +зй .
f 6 143В Электрон в атоме находится в ^-состоянии. Определите: 1) мо-
.......... мент импульса (орбитальный) Lt электрона; 2) максимальное зна-
чение проекции момента импульса (/г) на направление внешнего магнит-
ного поля.
Дано	Решение
d -состояние	L, =	+1),	1 = 2, £/ =	,	Ш/ = 0, ±1, ±2, m/nrn=2.	Llz=fmt,
1 = 2 !)£,—? 2) Мтах ?	
Ответ J L/ = 2>45й, 2) £femax = 2й.
С f
Определите, во сколько раз орбитальный момент импульса L,
электрона, находящегося в /-состоянии, больше, чем для элект-
рона в р-состоянии.
Дано	Решение
J,l = 3 Р, / = 1 — 9	+	L{ =^3(3 + 1) = й712, ^=й7к1+1) = й72,
	( Ответ Л ,М = 2 45 4	' Ш
< л— \
г 6ДждЭ 1s электрон атома водорода, поглотив фотон с энергией Е = 12,1 эВ,
перешел в возбужденное состояние с максимально возможным ор-
битальным квантовым числом. Определите изменение момента импульса ЛА,
орбитального движения электрона.
Дано	Решение
1s , /, = 0 £ = 12,1 эВ = = 1,94  IO”'8 Дж ^шах М, -2 Q Ответ д£, = 2	Is /, = 0, £, =/д//(/+1), £п = 0, МП	_ 1 hR -j-J,	п Z = 0,l,2,...,(H-l),	Z2=Zmax = «-l’ L, =aJ(h-1)h,	= Mux ~	= ^7(h~1)h  ‘max	’ ,57-IО’34 Дж - c.
СОбъясните, почему в опыте Штерна и Герлаха по обнаружению соб-
х. 7 J—X ственного механического момента импульса (спина) электрона ис-
пользовался пучок атомов водорода, заведомо находящихся в ls-состоянии.
(6.147) Объясните, почему в опыте Штерна и Герлаха по обнаружению
собственного механического момента импульса (спина) электро-
на использовалось неоднородное магнитное поле.
Определите числовое значение: 1) собственного механического
момента импульса (спина) Ls; 2) проекции спина L., на направ-
ление внешнего магнитного поля.
1) 4=й75(л + 1), 5 = 1,
11 (1 \ ГТ
£ = й - - +1 =	= 9,09 10“35
’	¥2<2 )	V4
Дж • с.
2) Lsz = tun,, ms = ±1, Lsz = +fi — = +5,25 1 0 35 Дж • с.
2	2
Объясните, что лежит в основе классификации частиц на фермио-
ны и бозоны, а также которые из них описываются симметричны-
ми волновыми функциями.

Исходя из принципа неразличимости тождественных частиц, дай-
те определение симметричной и антисимметричной волновой
функций. Объясните, почему изменение знака волновой функции не влечет за
собой изменение состояния.
Учитывая принцип Паули, определите максимальное число элек-
тронов, находящихся в состояниях, определяемых данным глав-
ным квантовым числом
1 = 0,1,2, 3,
mt = 0, +1, +2, ±3,...,	,
1
т=+—,
5	2
п-1
У = Х2(2/ + 1)=2п* .
1=0
Заполненной электронной оболочке соответствует главное кван-
товое число п = 3 . Определите число электронов на этой оболоч-
которые имеют одинаковые квантовые числа: 1) ms = -1/2 ; 2) mt = 0 ;
)) т, = -1,	= 1/2 .
F	-	' -
Дано	Решение
TsJ **"•	" "Sj ” 2 2 2 I	II	II	II <>	2-	°	1 > ~к> г  II 1 1	и	и	и ю	—	© .2	.2	J и	И	И ООО 1+	1+ 1+ гэ .2 и2 © II	И	II Н-	Н-	1+ К) | “ wl - и 1-
Ответ ) т, = -±. n = 9;
2) т, = О, N = 6;
3) т, = -1, т = — , У = 2.
' I  J
Заполненной электронной оболочке соответствует главное кван-
товое число п = 4. Определите число электронов на этой оболоч-
ке, которые имеют одинаковые квантовые числа. 1) т, =-3, 2) ms =1/2,
I = 2 ; 3) ms = -1/2 ,	= 1.
QOmeem^ I) 2; 2)7;7)7.
Определите суммарное максимальное число s р -, d f - и g-
электронов, которые могут находиться на N- и О-оболочках атома.
Ответ
82.
<533>
6 155 ) Запишите квантовые числа, определяющие внешний, или валент-
ный5 электрон в основном состоянии атома натрия.
И Na Is2 2s2 2р63s.
'“'ЯК----------------------------------------------------------
Объясните: 1) почему тормозной рентгеновский спектр является
-..  сплошным, 2) почему сплошной рентгеновский спектр имеет рез-
кую границу со стороны коротких волн и чем определяется ее положение.
Валентный электрон: п = 3 , 1 = 0 , т, = 0, т = ±—
J 2
Определите наименьшую длину волны рентгеновского излучения,
если рентгеновская трубка работает при напряжении £7 = 150 кВ
(,Йбй315б J Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева,
х — .и, «г запИшИте символически электронную конфигурацию следующих
атомов в основном состоянии: 1) неон; 2) аргон; 3) криптон.
18 Аг
Ю Ne| Is2 2? 2р6.
1? 2? 2р6 3s2 Зр6.
Дано	Решение
U = 150 кВ = 1,5 Ю5В	с	ch Aia\ ~ ^max =	~	~ vmax еи
41П -?	Q Ответ ят п = 8,29 пм.
36 Кг| 1? 2? 2р6 3? 3p63rf10 4? 4р6.
(6.157 ) Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева.
- запишите символически электронную конфигурацию атома меди
в основном состоянии.
f 6.164 ) Минимальная длина волны рентгеновских лучей, полученных от
трубки, работающей при напряжении U = 60 кВ, равна 20,7 пм.
Определите по этим данным постоянную Планка.
/г = 6,62 1034 Дж-с.
Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева,
запишите символически электронную конфигурацию атома цезия
в основном состоянии.
Определите длину волны коротковолновой границы сплошного
рентгеновского спектра, если скорость v электронов, бомбарди-
Электронная конфигурация некоторого элемента
Is2 2s2 2р6 3s2 Зр . Определите, что это за элемент.
рующих анод рентгеновской трубки, составляет 0,8с
Электронная конфигурация некоторого элемента
Is2 2s2 2р6 3s2 Зр6 3d10 4s . Определите, что это за элемент
в Определите в периодической системе элементов Д. И. Менделее-
ва порядковый номер, у которого заполнены К , L , М -оболоч-
____________ки, а также 4л-подоболочка.
Дано	Решение
v = 0,8с «о =9,11 •10’31 кг ^т,п - ? ,	he	eU = T, гт hc eU = ~~' Л1П)П h
^тт “	/ 2	1	, тс 1	1 ^l-v'/c*	J Ц1-1?/с2 ,
<534>
535
( 6.166 } Определите длину волны коротковолновой границы сплошного
-•....рентгеновского спектра, если при увеличении напряжения на рен-
тгеновской трубке в два раза она изменилась на 50 пм.
Дано	Решение
2и'	л2 = л,-дл, Лл = 50 пм = 5 • 10 11 м	he	.. he
Л,—?	=	he _ 2hc Aj - ДЯ Aj
2(Л1 - АЛ) = ,	A, = 2 ДА .
Ответ ) л, = юо пм.
( 6.167 J Определите порядковый номер элемента в периодической систе-
V. W ме элементов Д. И. Менделеева, если граничная частота А?-серии
характеристического рентгеновского излучения составляет 5,55 • 1018 Гц.
Дано	Решение
vx =5,55-1018 Гц Л^-серия	v = R{Z-o)2\ Д-- Д-),	n = 00, rn = \,
о = 1 Z —?	vM = 7?(Z-l)2^ = 7?(Z-1)2, Z = J^+1. m m=,	’ R Ответ z = 42, молибден.
(6.168 ) Определите длину волны самой длинноволновой линии Х-серии
характеристического рентгеновского спектра, если анод рентге-
новской трубки изготовлен из платины. Постоянную экранирова-
ния принять равной единице.
Л = 20,4 пм.
<536>
f 6 169 ) Определите порядковый номер элемента в периодической систе-
........ме элементов Д. И. Менделеева, если длина волны Л линии К,,
характеристического рентгеновского излучения составляет 72 пм.
Дано	Решение
Ка -линия о - 1 Я = 72 пм =7,2  10 11 м Z — ?	~ = T?'(Z-a)2f— —У’ Я' = 1,1Ю7 м', Я	\пГ nJ 1 / 1 1 4 W = l, „=2,	— = 7?'(Z-1)"I-5--—yl, Я	\Г 2‘Я
Ответ J Z = 42, молибден.
Определите постоянную экранирования о для Z-серии рентгено-
вского излучения, если при переходе электрона в атоме вольфра-
ма с М-оболочки наЛ-оболочку длина волны Я испущенного фотона составля-
ет 140 пм.
Дано
Решение
Z = 14
L!t
Я = 140 пм =1,4- 1(Х,ом
L,, -линия
о
Я	\2
о - 5,63.
La -линия:
т= 2, п= 3 ,
,2	36
{Z-o 2 =----
5Я'Я
3
2
1
537
Q6.171J В атоме вольфрама электрон перешел с Л Аоболочки на £-оболоч
х... ...ку Принимая постоянную экранирования о = 5,63, определите
энергию испущенного фотона
Е = 8,88 кэВ
Известно, что в спектре комбинационного рассеяния помимо не
смещенной спектральной линии возникают стоксовы (или крас-
ные) и антистоксовы (или фиолетовые) спутники Объясните механизм их воз
никновения и их свойства
Объясните механизм возникновения, свойства и особенности вы-
нужденного (индуцированного) излучения
Объясните, почему для создания состояний с инверсией населен-
ностей необходима накачка
(6.175 I Объясните, почему активные среды, используемые в оптических
........квантовых генераторах, рассматриваются в качестве сред с отри
цательным коэффициентом поглощения
Объясните, какие три компонента обязательно содержит оптичес-
кий квантовый генератор (лазер) и каково их назначение
( 6.177 ) Перечислите и прокомментируйте основные свойства лазерною
У излучения
6.4. Элементы квантовой статистики
Объясните отличие бозе-газа от ферми-газа, а также обоих этих
газов от классического газа
f 6,179 ) Покажите, что при очень малом параметре вырождения распре-
""   деления Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака переходят в распре-
деление Максвелла—Больцмана
Я = еМЮ «1
е(£,-л)Ж)± j е<!? /т е-/</(кТ}± j
1
efi/(*n 1±1
А
Л
ее^Г)±Л~Яе
Е /(ИГ)
Пользуясь распределениями Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дира-
ка, получите распределение Максвелла—Больцмана
Объясните, при каких условиях к электронам в металле примени-
ма 1) классическая статистика, 2) квантовая статистика
(6.182) Объясните, при каких условиях можно применять статистику
f""1 Максвелла—Больцмана к электронам в металле Пользуясь рас-
пределением Ферми—Дирака, получите распределение Максвелла—Больцмана
(V/О» кТ
е(Е /<)Д*Г) » Д
М е(Е -lA/(ET)+ j '	-	1	_ Р (Е -Я)/(ЛГ) _ я/(*Т) -E,/(W) _ Л -Е 1(кТ) S(E -^КкТ) - е	-е	е	-/,е
<539)
С 6 183 'l Определите функцию распределения для электронов, находящих-
х'===а®*г ся на энергетическом уровне Е для случая Е - EF « кТ, пользу-
ясь: 1) статистикой Ферми—Дирака; 2) статистикой Максвелла — Больцмана
Объясните на основе квантовой теории отсутствие заметного от-
личия в теплоемкостях металлов и диэлектриков.
Дано
Е- Ev « кТ
Решение
Статистика Ферми—Дирака
{N(E)}
E-Er!(kT) j
(E-EF)«W 2
[Статистика Максвелла—Больцмана
_JL	(-g-gf) (g-gF)
{N(E)) = Ae kT =ekT -е кТ =е кг = е кТ
введения фононов, а также перечис-
Какая статистика описывает фононный газ? Почему?
I (£-EF)«*T
Определите функцию распределения Ферми—Дирака при Т * О К
для электронов, находящихся на уровне Ферми. Объясните полу-
ченный результат.
Определите в электрон-вольтах максимальную энергию Е фоно-
на, который может возбуждаться в кристалле NaCl, характеризуе-
мом температурой Дебая Ть = 320 К. Фотон какой длины волны Л обладал
бы такой энергией? 
Ответ	1 i i
---—. Z E = EP ,	(N(E')} = (£_£р)/МГ) =	~ 
Дано
NaCl
Тр =320 К
Решение
Объясните физический смысл энергии Ферми.
Е — ?
Л —?
Е = 0,028 эВ, Л = 45 мкм.
Объясните, почему работа выхода электрона из металла следует
отсчитывать от уровня Ферми, а не от дна “потенциальной ямы”,
как это делается в классической теории.
Сравните выражения для удельной электрической проводимости
металла по классической и квантовой теории и объясните, чем
(6.187 j Определите число свободных электронов, занимающих в среднем
-Z уровень энергии, равной энергии Ферми.
отличаются они по физическому содержанию.
Ответ
Объясните причину электрического сопротивления металлов с
точки зрения квантовой теории электропроводности металлов.
п = 1 .
<540>
6.5. Элементы физики твердого тела
Докажите, что уровень Ферми в собственном полупроводнике дей-
ствительно расположен в середине запрещенной зоны.
Объясните различие энергетических состояний электронов в кри-
сталле и в изолированном атоме.

Объясните образование зонного энергетического спектра в крис-
талле, показав, что этот эффект — квантово-механический и вы-
текает из соотношения неопределенности Гейзенберга.
от 0 до 17 °C. Принимая ширину
= 0,72 эВ, определите, во сколь-
ю раз возрастает его удельная проводимость.
С Ответ
2,45.
Объясните, как изменится энергетический спектр валентных элек-
тронов, если число образующих кристалл атомов увеличить в 3 раза.
Объясните различие в электрических свойствах металлов, ди-
электриков и полупроводников с точки зрения зонной теории
твердого тела.
204 J Определите ширину запрещенной зоны собственного полупровод-
ника, если при температуре 7] и Т2 (Т2 > Tt) его сопротивление
соответственно равно R, и R2 .
Дано
Решение
Объясните различие между диэлектриками и полупроводниками
с точки зрения зонной теории твердого тела.
Г2>Т]
А, А
£ = 1,38-10-23 Дж/К
У = Уо е
ЬЕ
кТ
1
у ~ ,
r R
1
У = “’
Р
Уз = А
У1 А
R-P,
Объясните различие между металлами и диэлектриками с точки
зрения зонной теории твердого тела.
А£ -?
Объясните механизм дырочной проводимости собственных по-
лупроводников.
ехр[-А£/(2£Т2)
У] ехр[-А£/(2£Т|)
= ехр
А£[ J__J_
~2к[ Т, Т2
2 Л)
А.
А
ТХ , А
д£ = 2£-^-1п-А
Г2 - 7] лг
Объясните электрические свойства полупроводников с точки зре-
ния зонной теории твердого тела. Как меняется с температурой
сопротивление полупроводника — увеличивается или уменьшается? Почему?
А£ = 2£ —H-ln-i-.
т; - 7’1 R2
542
543
6.205
Нарисуйте зонные схемы полупроводников и-типа и p-типа и
объясните механизм их проводимости
В чистый германий введена небольшая примесь мышьяка Пользх
ясь периодической системой элементов Д И Менделеева, опре
делите и объясните тип проводимости примесного германия
(6.207)	В чистый кремний введена небольшая примесь бора Пользуясь
х периодической системой элементов Д И Менделеева, определи-
те и объясните тип проводимости примесного кремния
(6.208)	Объясните и нарисуйте на зонной схеме положение уровня Фер-
............ми для электронного и дырочного полупроводников 1) при 0 К
2)	при повышении температуры
(6.209)	Пользуясь периодической системой элементов Д И Менделеева,
.............' объясните, какой проводимостью будет обладать германий, если
в него ввести небольшую примесь 1) алюминий, 2) фосфор
Объясните с помощью зонной теории механизмы собственной и
примесной фотопроводимости
Объясните, каким образом удалось установить, что люминесцен-
тное излучение не является тепловым
6.212	) Объясните, по какому признаку удалось установить, что излуче-
ние Вавилова—Черенкова не является люминесценцией
<544>
Какие признаки лежат в основе деления люминесцентного излу-
чения на разные его виды9
Объясните с помощью зонной теории механизм возникновения
....J флуоресценции и фосфоресценции
Объясните на основе зонной теории контакт двух металлов с раз-
личными работами выхода
(6.216) Чем объясняется при контакте двух металлов 1) возникнове-
X—m—Z ние внешней контактной разности потенциалов9 2) возникнове-
ние внутренней контактной разности потенциалов9
Используя зонную схему объясните механизм физических про-
цессов, происходящих при контакте металла с полупроводником
и-типа для случаев 1) Ам > А, 2) 4М < А ( Аы — работа выхода из металла,
А — работа выхода из полупроводника)
Используя зонную схему, объясните механизм физических про-
X*"'./’.цессов происходящих при контакте металла с полупроводником
p-типа для случаев 1) 4М > А , 2) Av < А ( Ам — работа выхода из металла
А — работа выхода из полупроводника)
Объясните, почему возникает запирающий контактный слой при
контакте 1) донорного полупроводника с металлом, если А < Аи ,
2) акцепторного полупроводника с металлом, если А> Аы (Av — работа вы-
хода из металла, А — работа выхода из полупроводника)
Объясните механизм возникновения для контакта металл—полу-
проводник пропу скного и запорного направлений (для тока)
545
( 6 22Q Какое направление (и почему) при контакте металл—полупровод-
ник является для тока пропускным, если: 1) внешнее и контактное
поля по направлению совпадают; 2) внешнее и контактное поля по направле-
нию противоположны?
7. Элементы физики атомного ядра
и элементарных частиц
7.1. Элементы физики атомного ядра
Используя зонную схему, объясните механизм физических про-
цессов, происходящих в р-и-переходе.
в Какое направление (и почему) в р-и-переходе является для тока про-
пускным, если: 1) внешнее и контактное поля противоположны по
направлению; 2) внешнее и контактное поля по направлению совпадают?
Определите массу нейтрального атома Ст.
Объясните, в каком направлении не могут проходить через запи-
рающий слой контакта полупроводников п- и р-типа: 1) свобод-
ные электроны; 2) дырки.
(т -19,9272 • 10-27 кг) составляет масса его электронной оболочки.
Объясните механизм односторонней (вентильной) проводимости
р-п-перехода.
Объясните принцип устройства и действия полупроводниково-
го триода (транзистора). Сравните работу транзистора и лам-
Дано
12с
6 е
т = 19,9272 10’27 кг
те = 9.11-1031 кг
Решение
Z = 6,
Zme 6-9,11-10"31 кг
т ~ 19,9272 10“27 кг
пового триода.
Zme _?
т
= 2,74-10"4.
Определите число протонов и нейтронов, входящих в состав ядер
трех изотопов бора 1) ?В ; 2) '° В ; 3) ’JB.
в Определите число протонов и нейтронов, входящих в состав ядер
трех изотопов кислорода: 1) 1 gO ; 2) 1 gO ; 3) *|О .
<547>
Определите, пользуясь таблицей Менделеева, число нейтронов и
протонов в атомах платины и урана.
Дано	Решение	
Pt и	195 и 78™	Z=78,	N = A-Z = U7 .
	238 П 92 U	Z = 92,	N = 146.
Определите зарядовые числа ядер, массовые числа и символы ядер,
которые получатся, если в ядрах 9Ве, I3N, 33Na нейтроны заме-
нить протонами, а протоны — нейтронами.
Определите плотность ядерного вещества, выражаемую числом
нуклонов в 1 см3, если в ядре с массовым числом А все нуклоны
плотно упакованы в пределах его радиуса.
Дано	Решение	
A V = 1 см3 — 10“6m3	A N~ — , у	V = -xR3, 3
= 1,4-IO15 м	R = RoA'/3,	A - 3
N — ?		
QOmeem у = 8,7-ю37 см-3.
Объясните, почему плотность ядерного вещества примерно оди-
накова для всех ядер.
7.10 ) Определите, что больше — масса атомного ядра или масса сво-
бодных нуклонов (протонов и нейтронов), входящих в его состав
<548>
Определите, какая энергия в электрон-вольтах соответствует де-
фекту массы Ат = 3-10 20 мг.
£=16,9 ГэВ.
Определите энергию связи ядра атома гелия % Не. Масса нейт-
рального атома гелия равна 6,6467 • 10 27 кг.
Дано	Решение
2 Не тНе = 6,6467 10"27 кг тн =1,6736 10'27 кг т„ = 1,675-1 О*27 кг	= [ZmH + U - Z)mn - т]с2, Z = 2,	А = 4,	A-Z = 2.
Е — ^св	QOmeem	Есв = 28,4 МэВ
Определите удельную энергию связи д£св (энергию связи, отнесен-
ную к одному нуклону) для ядер: 1) \ Не; 2)126 С. Массы нейтральных
атомов гелия и углерода соответственно равны 6,6467 • 10 27 и 19,9272  10 27 кг.
Дано	Решение
1) "Не	£св = Ате2,
2) ,2С	Есв = [Zmn + (А~ z)m„ ' т]с2 ’
<5Е — ?	дг [zmH+(A-Z)mn-m]c2
	св	А
= 6,6467-10 27 кг. 2 не	т12г = 19,9272 10'27 кг.
тп -1,675  10'27 кг.	тИ = 1,6736-10’27 кг.
QOmeem 1) д£св = 7,1 МэВ/нуклон; 2) д£св = 7,7 МэВ/нуклон.
<549>
(S.14^
Используя данные задачи 7.13, определите, какая необходима энер-
гия, чтобы разделить ядро 12 С на три альфа-частицы.
Энергия связи Есв ядра, состоящего из трех протонов и четырех
нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определите массу т нейтрального
Е = 7,26 МэВ.
Определите массу изотопа '^N, если изменение массы при обра-
зовании ядра ’?N составляет 0,2058 • 10“27кг.
Дано	Решение
"N Ли =0,2058-10'37 кг т — ?	Em = ZmR + (А- Z)mn - т, т - ZmR + (А - Z)mn - Дт, тп = 1,675  10’27 кг,	тн = 1,6736 • 10’27 кг, Z=7,	Л = 15.
Ответ ) т = 2,4909 • 1 о-26 кг.
При отрыве нейтрона от ядра гелия \ Не образуется ядро ? Не. Оп-
ределите энергию связи, которую необходимо для этого затратить
Масса нейтральных атомов \ Не и 2 Не соответственно равна 6,6467 • 10 27 кг и
5,0084-1027 кг.
Дано	Решение
2 Не mt =6,6467 10-27 кг 2 не пъи =5,0084 10’27 кг 2 Не Е '—? ^св	= ^зНе + тп - z«4He с2.
Ответ j есв = о,з зоз • ю-11 Дж = 20,64 мэв.
(тома, обладающего этим ядром.
Дано	Решение
Есв = 39,3 МэВ = = 6,288 10 12 Дж Z = 3 ;V = 4 т„ = 1,675-10"27 кг mR = 1,6736-10-27 кг	- 1 <*ч А 5	5	Sin 1	1 tq 1 u s:	*	1 Д	А N	N	Д 1	1	N Ч!	1 Т	Т	3 5?	S?	+ ,N, II	И »	5 n	II k	£
_	С Ответ ) m = i,i65 ю-20 кг. т —	<	У	
Определите, какую долю кинетической энергии теряет нейтрон ^Я2****^8У при упругом столкновении с покоящимся ядром углерода 1 С, если после столкновения частицы движутся вдоль одной прямой. Массу нейтраль- ного атома углерода принять равной 19,9272 • 10“27 кг.	
Дано	Решение
п 12С 6е тп =1,675-10-27 кг тс =19,9272-10"27 кг	mnvn = mnv'n + mcv'c , ти„и2 m„<4)2 , тс(у'с)2 2 “	2	2	’ -	, (тп mC^Vn	,	2mnvn удар упругий v'n -	, v'c =
ДГ 	 	9 Т	1	,,in 1 //iC- ST^(mcvc)2	T __ mnv2n 2	2
Д7" _ тс | v'c ] тс | 2тпя | _ 4тптс
	Т тп<Уп) тДтп + тс) (тп + тс)2
Ответ)	= о 286.
________/ т
<551>
Определите число нуклонов, которые могут находиться в ядре на
низшем квантовом уровне.
W = 4.
Г 7,25 J Определите постоянную радиоактивного распада Л для изотопов:
v	1) тория “901 h , 2) урана 23|U; 3) иода 13 j I. Период полураспада
этих изотопов соответственно равен 1)7- 103 лет; 2) 4,5 • I09 лег; 3) 8 сут.
ного момента ядра).
Определите, во сколь:, раз .. гнтоь -'ра (единица магнитною
момента электц >на) больше. ядерпО1 о мат нетона(единицамагнш-
Ответ j
1) А -3,13 нс; 2) А--4,87 ас; 3) 1 мкс.
Дано
-- —
Решение
Определите, что (и во сколько раз) продолжительнее — три пери-
ода полураспада или два средних времени жизни радиоактивного
ядра.
ей	eh
Цъ _ ^JL
А*я те
Дано	Решение
	1п2	1	31п2	_ _ 2
-’'1/2	7р2 “	>	,	^1/2“	’	о ’ 1/2 А	А	1 А	А
2т	
	——			3 In 2 > 2, следовательно, 37]/2 > 2т 
Охарактеризуйте свойства и особенности сил, действующих меж-
ду составляющими ядро нуклонами.
( 7.22 ) Объясните принципы построения капельной и оболочечной мо-
>-...делей ядра.
( 7.27 Я Опреде: иге, во сколько раз начальное количество ядер радиоак-
V । «S тивного изотопа уменьшится за три года, если за один год оно
уменьшилось в 4 раза.	_______________________________
Дано
Решение
Объясните, почему радиоактивные свойства элементов обуслов-
лены только структурой их ядер.
Считая постоянную Л радиоактивного распада известной и ис-
пользуя закон радиоактивного распада, выведите выражение:
1) для периода полураспада 7^2 радиоактивного ядра; 2) для среднего времени
жизни т радиоактивного ядра.
Ответ	) п т -	• / о A/г --т->	2) т = |.
	Л	Л
/) = 1 год t2 = 3 год ^ = 4 N\	N = N0 e-'1', AG = No е Ц , No ь	1 1п4 -2- = е1' = 4 ,	А =	, М	А 1п4<г ^о. = еА'2=е 6	=е31п4 М,	N2 = No е~^-,
—2- 	9 n2		
[ Ответ ) n0 <	У 	= 04 .		
N2		
<552>
553
( 7.28 J Определите, какая часть (%) начального количества ядер радио
-	активного изотопа останется нераспавшейся по истечении време-
ни t, равного двум средним временам жизни г радиоактивного ядра
Дано	Решение
t = 2т	,	т = |,	/ = 2т = 2--- = ~ *	АЛ -л 4	7 А 1 N = Noe А=Аое~2, — =е“ =0,135.
N М)	
( Ответ ")Л = 13 5о/о	
		' N.	
t = 849 с.
Определите, какая часть начального количества ядер радиоактив-
ного изотопа распадется за время t , равное двум периодам полу-
распада 7]/2.
= 0,75.
Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8
начального количества ядер этого изотопа распалось за время
Дано	Решение
NN 5 Ао "8 t = 849 с 2|/2 — ? (Ответ T]/2 = w	А = АоеЛ ^=М^ = 1_е-2' = 5,е-^Л Ао М)	8	8 1 8 , ,3	, з	1п2 1п2г -Ь = 1„-.	Л--;*.	7J,,- л	. пз мин.
</554'5
Период полураспада радиоактивного изотопа актиния 2 89 Ас со-
ставляет 10 сут. Определите время, за которое распадется 1/3 на-
чального количества ядер актиния.
t = 5,85 сут.
| *7 32'^1 Постоянная радиоактивного распада изотопа 2g2Pb равна 10 9 с '.
хаииЛУ Определите время, в течение которого распадется 2/5 начального
количества ядер этого радиоактивного изотопа.
Дано	Решение		
А = Ю'9 с’		ДА No-N	,	-А/	2
	N = N,.e ,	— — “ ' ' '——	= 1 - е = —,
21° Ph 82 rD		No	5
ДА _ 2		С	1пз
А0 5	-Лг = 1п—,	Ar = In-,	Г = -^-.
	5	3	Л
t —?	Г Ответ }	t = 16,2 год.	
Выведите формулу для скорости (активности) радиоактивного
 распада через период полураспада и начальное число N(j
радиоактивных атомов.
Дано	Решение
^1/2 А —? С Ответ j 21/2	AN = -A^ dr,	А = — = kN , N = N„ e-2', dr ln2t A = -^,	Л = ^ЛГ0е . T\/2 (ln2)> ^oe .
<555>
Первоначальная масса радиоактивного изотопа иода (период
полураспада 7]/2 = 8 сут) равна 1 г. Определите: 1) начальную ак- тивность изотопа, 2) его активность через 3 сут	
Дано	Решение
М - 131-10~3 кг/моль т = \ г = 10 3 кг Тщ = 8 сут = 6,91 • 10s с t = 3 сут = 2,59 • 105 с I) Л -? 2) А — ?	4)=^0,	Л = ~, Т1/2 Ао=^-, м	т1/2 м 1,	. In2 mN. _i, ’	А=т ' W е • 71/2 Л7
Qpmeem ) 1)Л =	4,611015 Бк;	2) л = 355-1015 Бк.
	
I	Активность некоторого радиоактивного изотопа в начальный мо- мент времени составляла 100 Бк. Определите активность этого изотопа по истечении промежутка времени, равного половине периода полу- распада.	
Дано	Решение
Aq =100 Бк ' = ^/2 А	А = Ао е^',	Л = — , V’ In 2/ А = Аое т'1г ,	— = 1, Т]/2 2 In 2 А = Aq е 2
A = 70,7 Бк.
<55?>
Начальная активность 1 г изотопа радия Ra равна 1 Ки Опре-
делите период полураспада 7]^ этого изотопа.
Дано
Решение
М = 226 10 3 кг/моль
т = 1 г = 10 3 кг
Ло = 1Ки = 3,7 1О'°Бк
Туг-?
, In 2
2 =-----,
^1/2
_ mN 1п2
Т'>2~ МА.
А In 2 mNK
Т]^ =1582 год:
С 7 37 Принимая, что все атомы изотопа иода (7Jp = 8 сут) массой
т = 1 мкг радиоактивны, определите: 1) начальную активность
А. этого изотопа; 2) его активность А через 3 сут.
1) А. = 4,61 ТБк;
2) А = 3,55 ТБк.
Определите период полураспада 7у2 некоторого радиоактивного
изотопа, если его активность за 5 суток уменьшилась в 2,2 раза
Дано		Решение		
^2-= 2,2 А t =5 сут		. 1п2 V , 1, Л	Т - 1п2 Л ’ 1п2	А = А. е~2',
Туг		2 =-In—, t А	7|/2 —	. 1 In 2,2	
Q Ответ	Т]/2 = 4,4 сут.			
Определите удельную активность а (число распадов в 1 с на 1 кг
вещества) изотопа если период его полураспада
Ядра радиоактивного изотопа тория 2392ТЬ претерпевают после-
довательно а -распад, два fl~ -распада и а -распад. Определите
Ту2 = 4,5 • 109 лет.
а =
А\1п2	„„
=12,3 МБк/кг.
^1/2
ОСгьясните, как изменится положение химического элемента в таб-
лице Менделеева после а - и fl -распадов ядер его атомов.
конечный продукт деления.
Определите, сколько fl -и а-частиц выбрасывается при превра-
щении ядра таллия 21g°1Tl в ядро свинца 28® РЬ.
пользуясь таолицеи Менделеева и правилами смещения, опреде-
лите, в какой элемент превращается после трех а - и двух
^=1,
^=3.
fl -распадов.
Радиоактивный изотоп радия 288Ra претерпевает четыре а-рас-
пада и два fl~ - распада. Определите для конечного ядра: 1) заря-
Дано
Решение
238 и
92 U
За
2/Г
238 ТТ _i 234ТТ|	230Ря Л 226Pn	226т- Л 226р
92>-i -> 9oin-> 88ка-> 86Кп-> 87гг —> 88ка .
торий радий радон франций радий
х —?
довое число Z; 2) массовое число А .
Определите высоту кулоновского потенциального барьера для
а - частицы в ядре свинца 2РЬ 
X=2*Ra.
Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, опреде-
лите, в какой элемент превращается U после шести а - и трех
fl -распадов.
209 rj;
83 B1-
Дано	Решение		
282РЬ	кул 4лге0	gPb& R	0Pb - 2pbk| , Qa Z(,|e| ,
7 Не			2?pb = ^4b3, Ru = RqA}I\
7^=1,4 10"’5 м	R = 7?рь + Rlt		
			
	и - 1	ZnuZ	li2 ( Ответ Л
		^Pb^	-J-l— v	J
U 	 кул	кул 4лт0	^(4ь	+ Я'Л\ UK}, =22,5 МэВ.
558
С 'ТИИи Покоившееся ядро радона 2^Rn испускает а -частицу, имеющую
скорость 16 Мм/с. Зная, что масса дочернего ядра составляет
3,62  10 25 кг, определите: 1) импульс а -частицы; 2) кинетическую энергию
а -частицы; 3) импульс отдачи дочернего ядра; 4) кинетическую энергию от-
дачи дочернего ядра.
QOmeem '	\ 1) 1,07  10 19 кг • м/с,	2) 5,35 МэВ;	—
	' 3) 1,07 • 10 19 кг - м/с;	4) 9,89 кэВ.	
Покоившееся ядро полония 2^Ро испускает а - частицу с кине-
тической энергией Та = 5,77 МэВ. Определите: 1) скорость отда-
чи дочернего ядра; 2) какую долю кинетической энергии а -частицы составля-
ет энергия отдачи дочернего ядра.
Дано	Решение
2“Po^ **Pb+ jHe	tn
Ta = 5,77 МэВ =	2
= 9,23 • IO15 Дж	m„v„ J2m T	m„v2 m T = a (X — * a a	т 		Д. Д_ _ a1 a
Ш’д ~ ?	Д	*	x л	_	> тд	тд	2
т	
2)тг -?	
С Ответ i ,,	т
v	J i) =	339 км/с; 2) -J- = 0,02. Т
••••••••••••••	••••••••••••••••••••••••••а Правила смещения
для a - распада	AZX^ llY+fe;
для (Г - распада	AZX-^ ^,Y+ >;
для /J+ - распада	zX-^z^Y+>.
Определите энергию, выделяющуюся в результате реакции
•	. pMg —> pNa + + qV . Массы нейтральных атомов магния и на-
трия соответственно равны 3,8184  10~26 кг и 3,8177- 10 26 кг
Дано	Решение
fjMg—> 2> + °с+ °ог	mMg = mMg-12me >	«Na = mNa-n"'e ,
= 3,8184 1(Г26 кг	tfiMgC2 = m’.ac2 + TNa + m .c3 + Г, + Tv ,
wNa = 3,8177 10"26 кг	tn + = tn = tn * e	e	e ’
те - 9,11 • 10~31 кг	Q = ^Na +	+K~ (mMg ~ WNa - me* )C ,
2-?	Q = (mMg -1-% +1 lme - me)c2,
	2 = (mMg-mNa-2me)c2.
Q = 2,91 МэВ.
Запишите В - распад магния ?^Mg
Известно, что р - активные ядра обладают до распада и после
него вполне определенными энергиями, в то же время энергети-
ческий спектр (j~ - частиц является непрерывным. Объясните непрерывность
энергетического спектра испускаемых электронов.
7 Объясните, почему существование антинейтрино полностью по-
зволяет объяснить все особенности [Г - распада.
560
561
Запишите превращение нейтрона в протон с указанием частиц,
которые при этом испускаются. Объясните, почему этот процесс
является энергетически возможным.
Объясните, почему при «- распаде одинаковых ядер энергии
а - частиц одинаковы, а при (У - распаде одинаковых ядер энер-
гии электронов различны.
7.56
Применяя понятия квантовой статистики, объясните, почему не-
возможно принципиально создать “нейтринный лазер’’.
7.57
Опишите основные процессы, происходящие при взаимодействии
У - излучения с веществом.
(7.58Свободное покоившееся ядро 19?Ir (w = 3 1 7,109 53 1 0 27 кг) с
энергией возбуждения Е = 129 кэВ перешло в основное состоя-
ние, испустив У - квант. Определите изменение энергии у - кванта, возникаю-
щее в результате отдачи ядра.
Дано
Решение
1911г
77 1Г
т = 317,10953-10-27 кг
Е = 129 кэВ=2,06- 10-|4Дж
mv = тус,
Ес Е
р- mv - — = —
с" с
Ле — ?
. mv2 р2
Ее =----• = -£—
2
Е2
2т 2тс2
Ле = 0,047 эВ.
( 7.59 ) Назовите два важных механизма, которыми можно объяснить ос-
........лабление потока фотонов с энергией Е = 500 кэВ при его про-
хождении через вещество.
Объясните, почему треки а - частиц представляют сплошную тол-
стую линию, а треки - частиц — тонкую пунктирную линию.
Объясните, где и почему лучше использовать длинные цепи рож-
дений и распадов частиц высоких энергий — в камере Вильсона
или в пузырьковой камере.
Определите, является ли реакция jLi + ]Н —> ^Ве+ \п экзотерми-
ческой или эндотермической. Определите энергию ядерной реакции.
Дано	Решение
ти =11.65079 10“27 кг ти = 1,6736 10~27 Ki шВс = 1 1,65231 10 27 кг тп = 1,675 10~27 кг	jLi+ }н —> дВе+ Д£ = (mLl + тн - mQe - тп )с2 
Ай — ?	С Ответ j ле = -1,64 МэВ, реакция эндотермическая
Определите, поглощается или выделяется энергия при ядерной
реакции 2Н + ]Н —> эНе + \п . Определите эту энергию
(Ответ дд = i7,6 МэВ.
Определите, выделяется или поглощается энергия при ядерной
реакции ^Са + ]Н -э + ^Не . Массы ядер, участвующих в ре-
акции:	=7,2992-10 "б кг, =1,6736 10 27 кг, mAil, = 6,8021 10-27 кг,
20^-а	1 **	jgK
«41[е = 6,6467 10 ~7 кг.
<563>
Определите, выделяется или поглощается энергия при ядерной
реакции 14N + 4 Не —> }н + ’8О . Массы ядер, участвующих в ре-
акции: mlt = 2,3253-10 26 кг, т4 = 6,6467 10 27 кг, т. =1,6736-10 27 кг,
7 Гч	2 **6	| **
от,, =2,8229-10-27 кг.
8U
Определите зарядовое число Z и массовое число А части-
цы, обозначенной буквой х, в символической записи реакции:
1) 14N + 4Не —> 'gO + х ; 2) ®Ве + ^Не-> ’^С + х;3) *Li + x->^H + ^Не.
QOmeem^ i) I4n+4Не^ р8о + х; z = i, Л = 1,
2)	®Ве+ 4Не-> '26С + х ; Z = 0, A = l, Jn;
3)	jLi + x —> ,H + 4He; Z = 0 > А = 1, Jh •
V; 7 67 J Запишите недостающие обозначения х в следующих ядерных ре-
акциях: 1) 1°В(и,С1!)х;	2) j°Ar(a, п)х ; 3) х(р, и)|8Аг;
4)	32Не(х, р)|н; 5) х(и, а)2Н.
........................
Символическая запись ядернойреакции
АХ + а^ A^+b,
или
АХ(а, b)Az.Y,
где ZX и 2-Y _ исходное и конечное ядра с зарядовыми числами Z и Z' и
массовыми числами АиА';аиЬ — соответственно бомбардирующая и испус-
каемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.
В ядерной реакции 2Н + 2Н-> ^He-i- выделяется энергия
Д£ = 3,27 МэВ. Определите массу атома |Не, если масса атома f Н
равна 3,34461 • 10 27 кг.
Дано	Решение
2Н+ ]Н-> 3Не + 'оп ЬЕ = 3,27 МэВ = = 1,0032- 10-'8 Дж m = 3,34461-10’27 кг !Н	2Н+ 2Н^> jHe+ qH + AE, АЕ
М’не -?	QOmeem	не = 5,00841  1 о-27 кг.
Первая в истории искусственная ядерная реакция осуществлена
Резерфордом. Запишите эту реакцию и объясните ее огромное
значение для развития ядерной физики.
147N+ 4Не ’^0+ }р.
С 7'70 J Жолио-Кюри облучали алюминий 23А1 а - частицами, в резуль-
тате чего испускался нейтрон и образовывалось искусственно-
радиоактивное ядро, испытывающее /Г - распад. Запишите эту реакцию.
273А1 +^Не^ ^Р+ 10п,
3Op\3OSj 0	0
15	' 14al + +le + 0ve 
Жолио-Кюри облучали магний 24 Mg а - частицами, в результате
чего испускался нейтрон и образовывалось искусственно-радио-
активное ядро, испытывающее /Г - распад. Запишите эту реакцию.
<5и>
565
Запишите превращение протона в нейтрон с указанием частиц,
которые при этом испускаются. Объясните, почему это превраще-
Запишите схему электронного захвата (е-захвата) и объясните его
отличия от /З* 1 - распадов. Приведите пример электронного захвата.
ние энергетически возможно только для протона, связанного в ядре.
7.73 ) В процессе осуществления реакции у—>	+ +°е энергия Ео фо-
тона составляла 2,02 МэВ. Определите полную кинетическую
^Ответ е-захват: %Х + _°е^> Z?(T + qV, , вылетает
При - распаде вылетают две частицы: (е + “г) или (+°е + рИ).
энергию позитрона и электрона в момент их возникновения.
У -> -1е +
Ео = 2,02 МэВ =
= 3,23 • 10 |9эВ
Решение
Ео = 2тс2 + Т,
Т= Ео- 2тс2 
недостающие обозначения х в следующих ядерных
1) 233U + 0*л-> ‘^La + х + 4(}л;
2) 233 U + рЛ -> ^Zr + |33Те + х0‘л ;
3) 232 Th + о'л -> х + 14^Хе + Зо'л;
4) ^Ри + о‘л -> ^Se + 152Nd + Зо’л.
Т = 1 МэВ.
Под действием каких частиц — нейтронов или а - частиц—ядер-
ные реакции осуществляются более эффективно? Объясните ответ.
При столкновении позитрона и электрона происходит их анниги-
ц	ляция, в процессе которой электронно-позитронная пара превра-
щается в два у - кванта, а энергия пары переходит в энергию фотонов. Опреде-
лите энергию каждого из возникших фотонов, принимая, что кинетическая
энергия электрона и позитрона до их столкновения пренебрежимо мала.
Дано	Решение
т = о	_?е ++?е = 2у , 2mc2 + T = 2EQ,
m = 9,11  10-31 кг	т->	2
	Т = 0,	Ео = тс .
Ео -?	
Ео = 0,51 МэВ.
Объясните, почему на медленных нейтронах в основном идут ре-
акции типа (п, п) и (л, у), а на быстрых нейтронах — реакции
типа (п, р) и (л, а).
Для обнаружения нейтрона используются реакции захвата тепло-
вых нейтронов легкими ядрами (3 4 Ео *Не, ‘sBe), в результате кото-
рых испускаются заряженные частицы. Запишите возможные реакции.
2 Не + цЛ —> 3Н +	
*2В +пЛ-> iLi+ эНе-
<567>
(7.80J При энергии нейтронов г 10 МэВ становится возможной на ядре
урана 2^U ядерная реакция типа (п, 2п), в результате чего обра-
зуется искусственно-радиоактивное ядро, испытывающее - распад. Запи-
шите эту реакцию.
238тт । 1„ , 237tj 4-7'и
92 и +0Л^ 92U +20Л’
237 тт ч 237хт„ , 0„ , О,?"
92U 9jNp + _{е + оге 
$7.81 Вй Ядро урана Ч* U, захватывая быстрый нейтрон, превращается в
радиоактивный изотоп урана, который претерпевает -распад,
и превращается в трансурановый элемент, который в свою очередь также пре-
терпевает [}~ -распад, в результате чего образуется плутоний. Запишите все эти
процессы в виде ядерной реакции.
Ответ
^и + 'л-^^и-^^р+Ле,
23М-^Ри+>.
I 7.82 Ч Определите кинетическую энергию Е и скорость v теплового ней-
V	трона при температуре окружающей среды, равной 17 °C.
Дано
тп =1,675ИО-27 кг
/ = 17 °C; Г = 290 К
Е — ?
v —2
Решение
г- з
Е = —кТ,
2
Ответ
Е-6 10 21 Дж; г = 2,68 км/с.
Ядро урана 23;U , захватывая тепловой нейтрон, делится на изо-
топы стронция и ксенона с массовыми числами 95 и 139, второй
из которых, являясь радиоактивным, претерпевает три /3 - распада. Запишите
реакцию деления, а также цепочку /3 - распадов.
( Ответ г“ц '”хе^ gsr +2jn,
При захвате теплового нейтрона ядром урана 23|U образуются
два осколка деления и два нейтрона. Определите порядковый но-
мер Z и массовое число А одного из осколков, если другим осколком являет-
ся ядро стронция з|8г
Объясните, почему деление ядер должно сопровождаться выде-
лением большого количества энергии.
Определите энергию (в электрон-вольтах), которую можно полу-
чить при расщеплении 1 г урана 2^ U, если при расщеплении каж-
дого ядра урана выделяется энергия 200 МэВ.
Ответ
ДЕ = 5,12 1023 МэВ.
Скорость нарастания цепной реакции
— =-----------, откуда N = No e'k 1}I/T,
at I
где No — число нейтронов в начальный момент времени; N — число нейтро-
нов в момент времени Г,Т — среднее время жизни одного поколения; к— коэф-
фициент размножения нейтронов.
Определите суточный расход чистого урана 2^U атомной элект-
ростанцией тепловой мощностью Р = 300 МВт, если энергия Е .
выделяющаяся при одном акте деления, составляет 200 МэВ.
Дано
2«и
Р= 300 МВт = 3 • 108Вт
Е = 200 МэВ =
= 3,2 • 10-" Дж
t - 24 ч = 86400 с
М = 235-10'3 кг/моль
Решение
NM _ PtM
т = 316 г.
| Определите, во сколько раз увеличится число нейтронов в цепной ядер-
ной реакции за время / = 10 с, если среднее время жизни Т одного
поколения составляет 80 мс, а коэффициент размножения нейтронов к ~ 1,002 .
Дано	Решение
/ = 10 с Т = 80 мс=8' 10~2 с	N(k-\)	.. .. — — = —1,	N = N„e г
к = 1,002	dt	Т ’	и
	.	и
	— = е т
N	М>
		
	
С Ответ Л — = 1.284.	
X	z	
Объясните, какой характер носит цепная реакция деления, если
коэффициент размножения: 1) & > 1; 2) £ = 1; 3) к < 1.
<J7O>
Г	В ядерном реакторе на тепловых нейтронах среднее время жизни Т
х	одного поколения нейтронов составляет 90 мс. Принимая коэф-
фициент размножения нейтронов к = 1,002 , определите период т реактора,
т.е. время, в течение которого поток тепловых нейтронов в реакторе возрастает
в е раз.
QOmeem^ т = 45 с
Определите число нейтронов, возникающих за 1 с в ядерном ре-
акторе тепловой мощностью Р = 200 МВт, если известно, что при
одном акте деления выделяется энергия Е = 200 МэВ, а среднее число нейтро-
нов на один акт деления составляет 2,5.
п= 1,56ПО19 с"1.
( 7 92 ) Объясните особенности реактора-размножителя и запишите ядер-
ХиившиимХ ные реакцИИ( за счет которых может в них идти процесс воспро-
изводства ядерного горючего.
В водородной бомбе вместо реакции 2Н + 2Н ^Не + \п ис-
пользуется реакция 2Н + ,Н -э 2 Не + \п- Объясните почему.
L  Ч Объясните, почему реакция синтеза атомных ядер — образование
из легких ядер более тяжелых — является колоссальным источ-
ником энергии.
Объясните, почему для протекания термоядерной реакции необ-
ходима очень высокая температура.
7.2. Элементы физики элементарных частиц
Г	Известно, что в углеродно-азотном, или углеродном, цикле число
ядер углерода остается неизменным. В результате этого цикла че-
тыре ядра водорода {Н (протона) превращаются в ядро гелия тНе, а также
образу ются три у -кванта, два позитрона и два нейтрино. Записав эту реакцию
определите выделяющуюся в этом процессе энергию.
Дано	Решение
и, =1,6736 Ю-27 кг 1н	4jH -> ^He + 2^ + 2gv, + 3? + Q,
=6,6467 10“27 кг	Дт = 4т|н-(^не + 2щг J,
т, =9,11 10“31 кг	Q = \тсг.
е~?	С Ответ Л q = 25,8 мэв.
Дайте определение и объясните происхождение первичного и вто-
ричного космического излучения.
Объясните происхождение мягкого и жесткого компонентов вто-
ричного космического излучения.
Представьте схематически и объясните происхождение электрон-
но-позитронно-фотонного, или каскадного, ливня
Запишите схемы распада положительного и отрицательного мюо-
нов.
Ответ
->	+ ОЪ' >
/т ->	+ °ove +
572
При с0УДаРении высокоэнергетического положительного мюона
К"~, ,V и электрона образуются два нейтрино. Запишите эту реакцию и
объясните, какой тип нейтрино образуется.
(Ответ)
При захвате протоном отрицательного мюона образуется нейтрон
и еще одна частица. Запишите эту реакцию и определите, что это
за частица.	____ _____ _________________
Ответ
Е + ‘р-> (Jn+
Г 7 103 I Принимая, что энергия релятивистских мюонов в космическом
излучении составляет 3 ГэВ, определите расстояние, проходимое
мюонами за время их жизни, если собственное время жизни мюона
Го = 2,2 мкс, а энергия покоя Ео = 100 МэВ.
Дано	Решение
Е = 3 ГэВ = 3  Ю’эВ
10 = 2,2 мкс = 2,2  10"6 с
Ео = 100 МэВ = 108эВ
мезонов.
Известно, что продукты распада заряженных пионов испытыва-
ют дальнейший распад. Запишите цепочку реакций для лг+ - и лг~ -
Д'’ —> w+ + gVft , А<+—»+?е + qVc + фТц .
лг -н> /г + Qi',,, ц -э°е + $1^ +	.
f 7.105 ) лг° - мезон распадается в состоянии покоя на два у - кванта. При-
ЧМаг нимая массу покоя пиона равной 264,1 те, определите энергию
каждого из возникших у -квантов.
Дано
Решение
тл = 264,1те
те = 9,11-10’31 кг
Е —
у
= тД,
Еу = 67,7 МэВ.
Известно, что распад нейтрального короткоживущего каона про-
исходит по схеме К® -> л+ + я". Принимая, что до момента рас-
пада каон покоился и его масса покоя составляет 974 те, определите массу
покоя образовавшихся заряженных л - мезонов, если известно, что масса каж-
дого образовавшегося пиона в 1,783 раза больше его массы покоя.
тл = 273,.
pjjffiRlwlw К+ - мезон распадается (в состоянии покоя) на два пиона. Прини-
мая массу покоя каона равной 966,2 те и пренебрегая разностью
масс заряженного и нейтрального пионов, определите энергию каждого из воз-
никших пионов.
Ответ
£ = 247,5 МэВ.
Назовите и охарактеризуйте четыре типа фундаментальных взаи-
модействий, а также сравните радиусы их действия. Какое из вза-
имодействий является универсальным.
Что называется изотопическим мультиплетом и изотопическим
спином?
Объясните, в чем заключается принцип зарядового сопряжения.
Запишите продукты распада антинейтрона.
Возможно ли вынужденное излучение, если фотоны были бы фер-
мионами? Дайте объяснение.
При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их анни-
гиляция, в результате чего возникают два У - кванта, а энергия
частиц переходит в энергию у - квантов. Определите энергию каждого из воз-
никших у - квантов, принимая, что кинетическая энергия нейтрона и позитро-
на до их столкновения пренебрежимо мала.
Дано	Решение
тп = 1,675-1О-27 кг	Jп +	> 2у,	Е- 2тпс~,
	Е
	Еу = тпС 
Еу = 942 МэВ.
Перечислите основные свойства нейтрино и антинейтрино и
объясните, чем они отличаются по современным представлени-
ям-друг от друга.
575
(wsj
ных реакций:
Выбрав из четырех типов нейтрино (ve, ve,	) правильное,
напишите недостающие обозначения (х) в каждой из приведен-
1) х +[}«—> }р+ _°е;
2) x+Jn-> }р + ц
3) х + "р ->	.
О ove+ d«-> 1Р+
2)	+о”^ 1Р+ в ;
3) о^+ 1Р-» о"+ +°е-
( 7.116 ) Назовите элементарную частицу, обладающую наименьшей мас-
сой покоя. Чему равен электрический заряд этой частицы?
(7.117)
Элементарным частицам приписывают квантово-механическую
величину — четность. Что она характеризует? В чем заключается
закон сохранения четности и при каких взаимодействиях он выполняется?
7.118
Объясните, какая характеристика элементарных частиц положена
в основу деления адронов на мезоны и барионы.
Ответ
Барионное число В:
мезоны: В = 0 ;
барионы: В = 1.
7.119J Объясните, к какой группе элементарных частиц и почему отно-
сится: 1) Л° - гиперон; 2) протон; 3) тау-лептон; 4)тг°-мезон.
576,
Объясните, к какой группе элементарных частиц и почему отно-
сится. 1) мюонное нейтрино; 2) нейтрон; 3) фотон; 4) К° -мезон.
Перечислите, какие величины сохраняются для процессов взаи-
мопревращаемости элементарных частиц, обусловленных слабым
и сильным взаимодействиями.
Ответ ) 1 энергия.
У 2. Импульс.
3.	Момент импульса.
4.	Зарядовое число.
5.	Массовое число.
6.	Спин.
'	7. Лептонное число.
8.	Барионное число.
9.	Изотопический спин (только сильное взаимодействие).
10.	Странность (только сильное взаимодействие).
11.	Четность (только сильное взаимодействие).
12.	Очарование (только сильное взаимодействие).
Определите, какие из приведенных ниже процессов разреше-
иямииг ны законом сохранения лептонного числа: 1) р	п + е+ + ve;
2) К -> р + г;(; 3) лг+ -> р+ + е~ + е+ ; 4) К+ -> е+ + л° + ve 
Ответ
1)	р->и + е+ +ге;
(0) = (0) + (-1) + (+1) разрешен;
2)	К~ -> р +	;
(0) = (+1) + (-1) разрешен;
3)	лг+ -> р+ + е~ + е+ ;
(0) * (-1)+(+1) + (-1) запрещен;
4)	К+ -> е+ + я0 + г/,
(0) = (-1)+(0) + (+1) разрешен.
<577>
I	Определите, какие из приведенных ниже процессов запре-
-	щены законом сохранения странности: 1) р + л~ -> Л° + К°-.
2) р + л~ —> Z+ + К~ ; 3) р + п	Л° + S+; 4) р + л" —> К + Х+ + п.
QOmeem^ i) р+лг ->л0 + к°;
(0) + (0) = (-1) + (+1), разрешен;
2)	р + л~ -> S+ + К~;
(0) + (0)* (-1) + (-1), запрещен;
3)	р + п -> Л° + Z+ ;
(0) + (0) * (-1) + (-1), запрещен;
4)	р + л~ -> К + К+ + п,
(0) + (0) = (-1) + (+1) + (0), разрешен.
( 7.124) Ниже приведены запрещенные способы распада. Перечислите для
' каждого из них законы сохранения, которые он нарушает:
1)лГ -> р~ + v/i; 2) К~ + п ->Q" + К* + К°; 3) р+ п-+ Л° + S+.
Ответ
1)эт" —>/г + vu; лептонное число: (0)^ (+1)+(+1);
2)	К~ + п -> Q~ + К* + К°; зарядовое число: (-1) + (0) * (-1) + (+1) + (0);
3)	р + п -> A° + S+; странность: (0) + (0)* (-!)+(-!).
Ниже приведены запрещенные способы распада. Перечисли-
те для каждого из них законы сохранения, которые в нем на-
рушаются: 1) р + р-+ р + л+ ; 2) л + р-> К. + S+ ; 3) л + «-> Л° +К ;
4)	л -> р +е+ + е .
<3>
f?7. Т2() J Исследование взаимопревращаемости элементарных частиц при-
вело к открытию нового свойства симметрии •— операции зарядо-
вого сопряжения, заключающееся в том, что при замене частицы на античасти-
цу в уравнении данной реакции получается новая реакция. Примените опе-
рацию зарядового сопряжения к следующим процессам: 1) Е+ -> р + л° ;
2) p+p->S" + A° + № + A".
(7.127 J Примените операцию зарядового сопряжения (см. задачу 7.126) к
следующим процессам: 1) лг° -> 2у; 2) р + К~	S0 + л+ + л~ .
QOmeem^ 1) л-0 -> 2у;
2) р + К* -> S0 + л~ + л+.
f 7.128-‘1 Охарактеризуйте основные свойства кварков (антикварков) — за-
рядовые числа (электронное и барионное), спин, странность, цвет,
очарование, прелесть.
Объясните, почему понадобилось введение внутренних характе-
ристик кварков — цвета и очарования.
Запишите, какие комбинации известных в настоящее время квар-
ков воспроизводят свойства: 1) нейтрона; 2) протона; 3) л+ - ме-
зона; 4) л - мезона; 5) S0- гиперона.
Ответу 1) л - нейтрон (udd );
2)	р - протон (uud );
3)	л+ - мезон (nd );
4)	л~ - мезон («</);
5) S0 - гиперон (uds ).
Важнейшие формулы, используемые в задачнике
1. Физические основы
механики
Средняя скорость и среднее ускоре-
ние
Мгновенная скорость и мгновенное
ускорение
Дг	Av
v = —; а = —.
Ar	Ar
Тангенциальная и нормальная состав-
ляющая ускорения
du	и2
= < . » ап ~	•
at	г
Полное ускорение
а = аг + а„ ; а - у а2 + а2 .
Кинематические уравнения равнопе-
ременного поступательного движения
v = v0 ± at,
at2
5 = vor±T.
Угловая скорость и угловое ускорение
<d = —: е =-----.
dr dr
Кинематические уравнения равнопе-
ременного вращательного движения
cd = а>0 ± st,
Et2
<p = <D^t + ~.
Связь между линейными и угловыми
величинами при вращательном дви-
жении
s = R<p; v = Ra>;
aT = Rs; an = <v2R.
Импульс (количество движения)
р = WV.
Второй закон Ньютона
т, dp
F = та = ~.
dr
Сила трения скольжения
Закон сохранения импульса (для замк-
нутой системы)
Р = ^т-У; = СОПЯ!
1=1
Работа переменной силы на участке
траектории I—2
2
А = Jf cosa ds
।
Мгновенная мощность
Кинетическая энергия
Т = ^-
2
Потенциальная энергия тела, подня-
того над поверхностью Земли
П = mgh.
<58§>
Потенциальная энергия упругодефор-
мированного тела
стержню и проходящей через его
середину
Полная механическая энергия системы
Е-Т+П.
Закон сохранения механической энер-
гии (для консервативной системы)
Т + П = Е = const.
Скорость шаров массами и, и
после абсолютно упругого централь-
ного удара
, _ (w|-mz)V|-b2mzV2
1 m^+tn^
, (m2-ml)v2 + 2mlvl
v2 -	—-	•
Скорость шаров после абсолютно
неупругого удара
v_ ^iVi + »bV2
mlm2
Момент инерции системы (тела)
Г=|
Моменты инерции полого и сплош-
ного цилиндров (или диска) относи-
1 ельно оси симметрии
J-mR2-	J = —mR2.
2
Момент инерции шара относительно
оси, проходящей через центр шара
J-—mR2.
5
Момент инерции тонкого стержня
относительно оси, перпендикулярной
Момент инерции тонкого стержня
относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через его
конец
J — - ml2.
3
Теорема Штейнера
J- Jc + ma2.
Кинетическая энергия вращающегося
тела относительно неподвижной оси
т -
вр 2 ’
Момент силы относительно непод-
вижной точки
М = [rF].
Момент силы относительно непод-
вижной оси
М = [rF].,.
Момент импульса материальной
точки относительно неподвижной
точки
L - [гр] = [г, wv].
Момент импульса твердого тела от-
носительно неподвижной оси
п
Lz =	= Jza>.
i=i
Уравнение динамики вращательного
движения твердого тела
Mz = J7e; М -
z z dt
Закон сохранения момента импульса
L - const.
Закон всемирного тяготения
F = G^.
Сила тяжести
P = mg.
Напряженность поля тяготения
g = F/m.
Потенциал поля тяготения
Релятивистский импульс
т
Р= I............- v-
7i -(»/<)
Закон взаимосвязи массы и энергии
-Иг
71-нс?
Связь между полной энергией и им-
пульсом релятивистской частицы
£ = 7^2с4 + р2с2 .
Взаимосвязь между потенциалом
поля тяготения и его напряженно-
стью
g = -grad(p.
Уравнение неразрывности
Sv = const.
Уравнение Бернулли
ри2
+ pgn + р~ const.
Релятивистское замедление хода часов
, _ т
-( г -/с Г ’
Релятивистское (лоренцово) сокра-
щение длины стержня
-w2’
Релятивистский закон сложения ско-
ростей
и’ + v , и - v
и ~----77Т ; и =-----ГТ 
1 + гш/с l-vu/c
2. Основы молекулярной
физики и термодинамики
Закон Бойля—Мариотта
pV = const при Т, т = const.
Законы Гей-Люссака
K = F0(l + at) при р, т = const,
Р ~ Ро(1+ at) ПРИ И, m = const.
Закон Дальтона
Р = Pi + Р2 + Рз+-+Рп 
Уравнение Клапейрона — Менде-
леева для произвольной массы газа
рУ = ~RT = vRT.
М
Основное уравнение молекулярно-
кинетической теории
рЦгало^’кв)2-
Средняя квадратичная скорость мо-
лекулы
Средняя арифметическая скорость
молекулы
Наиболее вероятная скорость молекулы
\2kf I2RT
L'“ V «о Ум
Барометрическая формула
Средняя длина свободного побега
молекул
/* = &= -L.........
{z} J2xd2n
Среднее число столкновений моле-
кулы за 1 с
(s') = 42xd2n{y}.
Закон теплопроводности Фурье
, dT ,1	, К/Л
Закон диффузии Фика
Закон Ньютона для внутреннего тре-
ния (вязкости)
=	’?=|Хг’Х0-
Средняя энергия молекулы
(г)-—кТ.
х ‘ 2
Внутренняя энергия произвольной
массы газа
U = VLRT = ?LLRT _
2 М2
Первое начало термодинамики
dQ = AU + f>A.
Молярная теплоемкость газа при посто-
янном объеме и постоянном давлении
CV=~R~, Cp = ^R
Работа газа при изменении его объема
6A = pdV.
Работа газа при изобарном расширении
A = p(V2-V]) = ~R(T2-T]).
м
Работа газа при изотермическом
расширении
A^Q.^-RT^^^-RT^
М Г, II р.
Уравнения адиабатного процесса
(уравнение Пуассона)
pVy = const;	/у*"1 - const,
= const.
Работа газа при адиабатном расши-
рении
m
A = ~CV(T\-T2).
м
Термический КПД для кругового
процесса
п = ~----.
0
Термический КПД цикла Карно
7] -Т2
7 = ---L
Уравнение Ван-дер-Ваальса для к)0"
ля реального газа
\p + -^\^-b)=RT.
583
3. Электричество
и электромагнетизм
Закон Кулона
F_ 1 laeJ
4ле0 г
Напряженность электростатического
поля
E = F/&.
Поток вектора напряженности элек-
тростатического поля сквозь замкну-
тую поверхность S
Ф£ = £е dS =	d5.
s s
Принцип суперпозиции
n
1=1
Электрический момент диполя
p=|e|i.
Теорема Гаусса для электростатиче-
ского поля в вакууме
^Eds=^£„ds=—Хе,;
5	.5	£°	'=1
^EdS = ^£„ d5 = — JpdK.
s s	e°	V
Объемная, поверхностная и линейная
плотности заряда
d2	d0	dQ
р =---; о =------; т =------.
и dK	dS	dl
Напряженность поля, создаваемого
равномерно заряженной бесконечной
плоскостью,
Напряженность поля, создаваемого
двумя бесконечными параллельными
разноименно заряженными плоско-
стями,
Напряженность поля, создаваемого
равномерно заряженной сфериче-
ской поверхностью,
1 Q
4.ле0 гЕ 2
(г > Л);


Потенциал электростатического поля
Связь между потенциалом электро-
статического поля и его напряжен-
ностью
Е = -grady?.
Связь между векторами Р и Е
Р = X EqE 
Связь между е и х
£ = 1 + х.
Связь между векторами электриче-
ского смещения и напряженностью
электростатического поля
D = еоеЕ .
Электрическая емкость уединенного
проводника
c-Q.
ч>
Электрическая емкость шара
С = 4ле0еЛ .
Е = —
2е0
Электрическая емкость плоского кон-
денсатора
г ...
d
Электрическая емкость цилиндриче-
ского конденсатора
с_
ln(r2/ri)
Электрическая емкость сферическо-
го конденсатора
С = 4ле0е-~^—.
Электрическая емкость параллельно
и последовательно соединенных
конденсаторов
Энергия заряженного уединенного
проводника
W=C^=O!P=^
2	2	2С'
Энергия заряженного конденсатора
>Г = С(М2 =	=
2	2 2С
Объемная плотность энергии элек-
тростатического поля
W е0еЕ2 ED
ш = — =------=-----.
И 2	2
Сила тока
dz
Плотность тока
J = I/S.
Электродвижущая сила, действу ю-
щая в цепи
% = А/О)-,	? = <fECTdl
Закон Ома для однородного участка
цепи
I = U/R.
Закон Ома в дифференциальной форме
j = yE.
Мощность тока
p=—=ui= i2r=u2/r.
dt
Закон Джоуля — Ленца
, U2
dQ=IUdt = I2Rdt = — dt.
R
Закон Джоуля—Ленца в дифферен-
циальной форме
cd = jE = уЁ2.
Закон Ома для неоднородного участ-
ка цепи (обобщенный закон Ома)
/ = ^1	+ ^2
R
Магнитный момент рамки с током
pm = 7Sn .
Связь между индукцией и напряжен-
ностью магнитного поля
В = ^0/гН.
Закон Био — Савара — Лапласа для
элемента проводника с током
Магнитная индукция поля прямого гока
в_ РоР 27
4я R
<585>
Магнитная индукция поля в центре
круглого проводника с током
ЭДС самоиндукции
Закон Ампера
dF = /[dl,B],
Магнитное поле свободно движущего-
ся заряда
в= W£0[vr]
4л г3
Сила Лоренца
F = 0[vB],
Холловская поперечная разность
потенциалов
1 IB	IB
&ip =----= R-----.
еп d	d
Закон полного тока для магнитного
поля в вакууме (теорема о циркуля-
ции вектора В)
dl = f В, dZ = ц0Хл •
L L	*=1
Магнитная индукция поля внутри
соленоида (в вакууме), имеющего N
витков,
г, NI
Индуктивность бесконечно длинной
соленоида, имеющего N витков,
r N2S
Ток при размыкании цепи
/=/ое~'/г.
Ток при замыкании цепи
/=/0(1-е'-'/г).
Энергия магнитного поля, связанно-
го с контуром,
W = LI2/?..
Объемная плотность энергии маг-
нитного поля
_W _ ц0цН2 _ ВН
W~ V~	2	2
Намагниченность
.1л
«J —
V
Связь между векторами J и Н
J = %H.
Связь между и и %
Поток вектора магнитной индукции
(магнитный поток) сквозь произ-
вольную поверхность
Os = ^BdS = ^5„ dS.
5	5
Закон Фарадея
dO
е,=-----.
' dr
<58£>
А« = 1 + Х-
Закон полного тока для магнитного
поля в веществе (теорема о циркуля-
ции вектора В)
£Bdl = <p| dZ = ^0(Z+Z').
L	L
Теорема о циркуляции вектора Н
j>Hdl = I.
L
4. Колебания и волны
Уравнение гармонического колебания
5 = Acos(a)0t + <р);
а>й- 2л:/Т = 2лт .
Период колебаний физического ма-
ятника
Период колебаний математического
маятника
T = 2nfi/^.
Формула Томсона
Т=2тг4ьС .
Логарифмический декремент затухания
Индуктивное сопротивление
Rl - o)L.
Емкостное сопротивление
Полное сопротивление цепи
lif 1
Z —, R + (oL + ——
Длина волны
k = vT.
Уравнение плоской волны
£(х,/)= Асо5(ш1-кх + <р0).
Уравнение сферической волны
Ап
= —cos(ftH - кх + <р0).
Фазовая и групповая скорости
a)	da>
v = —; и = —.
к	dk
Уравнение стоячей волны
.	_ , 2пх
£ - 2 л cos-cos «и .
Л
Эффект Доплера в акустике
(1Т±Н	>0
v =---.
Н + НИСТ
Скорость распространения электро
магнитных волн в среде
с
V - —j= .
Jeu
5. Оптика. Квантовая
природа излучения
Закон отражения света
Закон преломления света
sin I,
-т—= «21-
sinz2
Формула тонкой линзы
, (1 1Л 1 1
(У-1) — + — = - +
Д Л, Л2 J а Ь
Показатель преломления света
v
п = —.
с
Оптическая длина пути
L — ns.
Оптическая разность хода
Д = £2 —	.
У словия интерференционных мак-
симумов и минимумов
Д — +тА0 (т = 0, 1, 2,...);
Д = ±(2т+1)^- (и = 0, 1,2,...).
Оптическая разность хода в тонких
пленках в отраженном свете
Д = 2d-Jn2 - sin2 i + —.
2
Условия дифракционных максиму-
мов и минимумов от одной щели
asinр — +(2т +1)— (т = 1, 2, 3,...);
2
asin<p = ±2m— (т = 1, 2, 3,...).
Условие главных максимумов ди-
фракционной решетки
d sin ip = ±тА	(т = 0, 1, 2,...).
Условие дополнительных миниму-
мов дифракционной решетки
t/sin<р =	(»/# О,ЛГ, 2/V,...).
Формула Вульфа — Брэггов
2dsind = mA (т = 1, 2, 3,...).
Разрешающая способность спек-
трального прибора и дифракционной
решетки
2
/? = -—; R-mN.
Продольный эффект Доплера
ф-v/c
V = »0 L , •
-71 + v/c
Поперечный эффект Доплера
г = Vo^-(y/c)2 .
Степень поляризации
р — Anax Anin
Anax + Amn
Закон Малюса
I = A) cos2 а .
Закон Брюстера
tg'B = n2i 
Угол вращения плоскости поляриза-
ции в кристаллах и растворах
tp = ad\ <p = [a]Cd.
Закон Стефана — Больцмана
Re^aT4.
Закон смещения Вина
^тах =	
Формула Планка
2т> hv
Г^Т = сг 
Уравнение Эйнштейна для внешнего
фотоэффекта
, л WWmax
hv = А + ——.
2
Энергия и импульс фотона
а, , he	8 0 hv
А	с с
Давление света при нормальном па-
дении на поверхность
Г*
р = —(1+р)=и’(1+р).
с
Изменение длины волны при эффек-
те Комптона
ДЛ = ——(1 - cos0) = -^-sin2 —.
т^с	т$с 2
6.	Элементы квантовой
физики атомов, молекул
и твердых тел
Закон Мозли
\ т
Обобщенная формула Бальмера
v=R
И
П )
Энергия электрона
добном атоме
" п2 8h2E2
в водородопо-
(«=1,2,3, ...)•
Длина волны де Бройля
Л=Л
р
Соотношение неопределенностей
ДхДрх > h,
• tsxtSf>y h, AJE&t > h.
> h,
Общее уравнение Шредингера
- — AT + U(x,y,z)'¥ = ih^-.
2m	dt
Уравнение Шредингера для стацио-
нарных состояний
2w
Д^ + —^(Е - иугр = 0 .
h
Коэффициент прозрачности прямо-
угольного потенциального барьера
D = Do exp -—.yj2m(U-E)l .
й
7.	Элементы физики
атомного ядра
и элементарных частиц
Энергия связи нуклонов в ядре
£св = \Zmp + (А - Z)mn - ] с2.
Дефект массы ядра
Лт = [Zmp + (А - Z)mnj - тя .
Закон радиоактивного распада
Период полураспада
•	In 2
Среднее время жизни радиоактивно-
го ядра
1
г-л’
Правило смещения для а -распада
/X—э ^.ДУ+^Не.
Правило смещения для рГ -распада
Правило смещения для /3+ -распада
^X-^Y++°e.
Энергия квантового осциллятора
„ Г 1Y
еп = «+- М>.
\ z> /
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
ПЕРИОДЫ	РЯДЫ	ГРУППЫ				
		1	11	III	IV	V
1	I	н • 1.00794	, I? ВОДОРОД	1				
2	п	Li з 6.94, 2?	! ЛИТИЙ	2	Be 4 9,01218	, 2,1	i БЕРИЛЛИЙ 2	5 В , 10.81 3	2p‘ 1	БОР	6 C , 12,011 4	2P’ 2	УГЛЕРОД	7 N , 14,0067 5 2p’ 2	АЗОТ
3	ш	Na 11 22,98977	,	, 33	8 НАТРИЙ	2	Mg 12 3,2	2 МАГНИЙ	2	13 Al ,	26,98154 8 3p’ 2 АЛЮМИНИЙ	’4 Si 28,O85c 8	3’1 2	КРЕМНИЙ	15 P , 30,97376 I ” 2	ФОСФОР
4	IV	К W 39,098^, J КАЛИЙ	2	Ca	2« 40,08	,	2 «•’	1 КАЛЬЦИЙ	2	SC 21 44,9559	3 34'4.J J СКАНДИЙ	2	Ti	22 47.90	2 THTAH	2	v	23 50,9415	2 34J4? 'J ВАНАДИЙ	2
	V	29 CU '« ,о , 63’54‘ 8 3d,04s’ 2	МЕДЬ	30 Zn it	, «38 8	4f* 2	ЦИНК	31 Ga 18	®-72 8 4P 2	галлий	32 Ge 18 d . 72,5, j	4 Г 2 ГЕРМАНИЙ	33 As .5	74,9216 'J 4,2 2	МЫШЬЯК
5	VI	Rb 37 ( 8S’467« SJ. 4 5s g РУБИДИЙ	2	Sr 38 2 87,62	,	8 СТРОНЦИЙ 2	Y 39 2 88,9059	’ 4 A1 ИТТРИЙ	2	Zr 40 2 91,22	(8 id2},2 ЦИРКОНИЙ 2	Nb 4i. f 92,9064	12 4</4Sp 'J НИОБИЙ	2
	vn	। 47 Ag ’J , 107,8682 Jo Cfl 8 5J 2	СЕРЕБРО	J8 Cd 18	112.41 18	5,1 2	КАДМИЙ	In II	114,82 1»	5„> 2	ИИДИЙ	4 50 Sn l| 5,2 118'6’ 2	ОЛОВО	/1 Sb it C3 12IJ5 t s₽ 2	СУРЬМА
6	vni	CS 55 ) 132,9054 6? 1} ЦЕЗИЙ	2	Ba 56 2 13733	,| 611 1 БАРИЙ	2	57La—Lu71 ♦	Hf 72 178,4,	1« iA? 18 ГАФНИЙ	2	Ta 73 2 180,947,;	j' 5rf36,^ 18 ТАНТАЛ	2
	IX	I 79	Au $	196,9665 ч A1 2	ЭОЛрТО	2 80	Hg 32	W, 18	6,1 8 2	РТУТЬ	з81	JI $	204383 18 6/71 2	ТАЛЛИЙ	4 82 РЬ 32	207,2 '|	б,2 2	ГВИНЕИ	5 83 Bi 1’2	208,9804 18 6p3 1	ВИСМУТ
7	X	Fr 87 , 223,0197	ig 7,1	it 8 ФРАНЦИЙ	2	Ra 88 2 226,0254 jJ 18 8 РАДИЙ	2	89Ac-(Lr)103 ♦*	KU «И 2 [261]	j?. 6d2ii2 8 КУРЧАТОВИЙ 2	Ns 105 2 [2621	“ «a1 IS2 3J 8 НИЛЬСБОРИЙ 2
•Л А Н Т А Н
La 57 138,905s j 5?6? 18 ЛАНТАН !	Ce 58 г 140,12	;8 4/’6? 18 ЦЕРИЙ 2	Рг 59 140,9077	8 4/36? ПРАЗЕОДИМ 2	Nd 60 2 W. 8 4/46? 18 8 НЕОДИМ 2	Pm 61 1М513 2 33 4/’бР 18 8 ПРОМЕТИЙ 2	Sm 62 150.4	• 1 4/‘б? 1| САМАРИЙ 2	Ей «2 151,96	8 4Z’6? 1S ЕВРОПИЙ 2	Gd м 2 157^s	2? 4f2Sd'6i2 ГАДОЛИНИЙ 2
** А К ТИН
Ас 89 2 227,0278 Д 64'7? 1| АКТИНИЙ	Th 90 2 232,0381 й 32  f>d2ll2 >} ТОРИЙ	Ра 91 2 231,0359 :о 5/’б4'7»! ПРОТАКТИНИЙ	и 92 2 238,02, 2| sArfbj1 ’} 2 УРАК	Np 93 2 237,0482 5f*6dht2 НЕПТУНИЙ	PU 94 2 244,0642 2$ 5/*112 1| ПЛУТОНИЙ	Ат ”, 243,0614 5Z77j2 1| АМЕРИЦИЙ	Ст 96 247,0703 Л sfidhi2 , КЮРИЙ 2
ЭЛЕМЕНТОВ Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА
ЭЛ ЕМЕНТОВ												
VI		VII				VIII						
		н				2	Не 4,00260 2	ГЕЛИЙ						
8	О 15.9994 6	2р‘ 2	КИСЛОРОД		9	F 18,998403 7	2Р5 2	ФТОР				ю Ne . 20.17, ,	2,‘	’ 2	НЕОН						
16	S ,	.	32.06 2	СЕРА		п	С1 ,	,	35,453 ; з”! 2	ХЛОР				18	Аг ,	. 39,94, »	з,‘	’ 2	АРГОН						
Ст 24 51-946	, ,	13 З^!1 'f ХРОМ	2		Мп 25 54.9380	2 3?4? Ч МАРГАНЕЦ	2				Fe 26 55,84,	2 7 34*4,1 ЖЕЛЕЗО	2			Со 27 58,9332	,2 34’4,= IS, КОБАЛЬТ	2		Ni 28 58.™	d 34'4,1	16 НИКЕЛЬ	2	
24 Se |« , < 78-’6 8 4Р 2	СЕЛЕН		35 .	ВГ 7	79,904 8 2	БРОМ				36 Кг 	.5	83’8° 2	КРИПТОН						
Мо 42 1 95.94	13 МОЛИБДЕН	2		Тс 43 3 98.9062	JJ 4rfs5j2 g ТЕХНЕЦИЙ	2				Ru 44 , 1О1'°7 4.’S,'	!« Sr* g РУТЕНИЙ	2			Rh 45 , 102,9055 , , 'J 44*5,1 'f РОДНИ	2		Pd 46 о 106.4	„	|! 44и5,° 'f ПАЛЛАДИЙ	2	
. 5г	Те 2	ТЕЛЛУР		, 53	I 126.9045 S 5PS 2	ИОД				, 54 Хе if 5/ 131’29 2	КСЕНОН						
W	24 2 183.8;	12 5<Гб$г 18 ВОЛЬФРАМ	2		Re 75 , 186207	£ 54!6? If РЕНИЙ	2				Os 76 2 1902	й 54‘6i! И 8 ОСМИЙ	2			Ir	72 , '92,22	Jf 5tf'6j2 18 ИРИДИЙ	i		Pt ™ ( 195.08	Я 54’6? If ПЛАТИНА	2	
6	84	Ро ]’	208,9824 Ч б/ 2	ПОЛОНИЙ		, 85	At If	209,9871 18	6p5 8 2	АСТАТ				, 86 Rn 1«	222,0176 18	f>P6 8 2	РАДОН						
Атомная масса Распределение электронов, по застраивающимся и последующим застроенным подуровням о и д ы			U '238,0289 'Sptd'ls1 || УРАН	2		Атомные массы приведены пи Международной -Атомный номер	таблице 1983г, Точность последней значащей цифры ±1 или ±3. -Распределение	если она выделена мелким шрифтом. электронов	в квадратных скобках приведены	массовые числа по уровням	наиболее устойчивых изотопов. Названия и символы элементов, приведенные в круглых скобках, не являются общепринятыми,							
ТЬ 65 2 158.9254 г? 4/’6у' Ч ТЕРБИЙ 1	Dy 66 162,50 tfi’6,1 ДИСПРОЗИЙ		2 1 2	Ho 67 2 164,9304	29 4/%= i гольмий 2			Ег 68 2 ,67^|! г й 4/|!6,! 8 ЭРБИЙ	2	ТШ 69 2 168,9342	31 4/|16? 1 ТУЛИЙ	2		Yb 7°2 !73.04 Л 4/‘*6,! 1 ИТТЕРБИЙ 2		Lu 71 2 174,967	32 54 6,1 g ЛЮТЕЦИЙ 2
о и д ы
Bk ’75 247,0703	26 5/864‘7,2 БЕРКЛИЙ 2	Cf	j 251,0796 If 5/107,i	'j КАЛИФОРНИЙ	Es ” j 252,0828 Ц 5/" 7,1 ЭЙНШТЕЙНИЙ	Fm и» i 257,0951	30 5/'i 7,1 'I ФЕРМИЙ	Md ioi 2 258,097	31 5/IJ7,i .2 МЕНДЕЛЕВИИ	(No) 1.02 2 259,1009 32 5/w 7,1 (НОБЕЛИЙ! 2	(Lr) юз 2 260,1054 st 32 5/'*6417,l If (ЛОУРЕНСИЙ)2
Учебное издание
Трофимова Таисия Ивановна
Павлова Зоя Григорьевна
Сборник задач по курсу физики
с решениями
Редактор Г. Н. Чернышева
Художественный редактор Ю. Э. Иванова
Корректор Г. И. Петрова
Компьютерная верстка С. Ч. Соколовский
ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ФМ-179. Сдано в набор 17.03.98. Подл, в печать
12.10.98. Формат 60x88/16. Бумага газетная. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная
Объем: 36,26 усл. печ. л.; 36,51 усл. кр.-отг.; 23,49 уч.-изд. л. Тираж 10000 экз. Зак. № 1718
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4. Неглинная ул., д. 29/14
Отпечатано в ГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»,
432601, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14