Текст
Г. ДЮЛАК
О ПРЕДЕЛЬНЫХ
ЦИКЛАХ
Перевод с французского Г. И. ШИЛОВОЙ
Под редакцией Н, Ф, ОТРОКОВА
МОСКВА «ЙАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980
21161.6
Д 95
УДК 517.9
Д ю л а к Г. О предельных циклах.— М.: Наука, Главная ре-
редакция физико-математической литературы, 1980, 160 стр.
Работа Г. Дюлака, крупнейшего французского математика,
посвящена доказательству теоремы о конечности числа пре-
предельных циклов алгебраического дифференциального уравнения.
Методы исследования предельных циклов, изложенные в
работе, представляют большой интерес для математиков, ас-
аспирантов и специалистов, занимающихся теорией дифферен-
дифференциальных уравнений и ее приложениями в теории нелинейных
колебаний.
Книга доступна студентам математических специальностей
университетов и педагогических институтов,
©Перевод на русский язык
Издательство «Наука».
п 20203 — 071 qq ол 4 7ПОГКППЛП Главная редакция
ДЛСО/Л(П ,_—оУ-oU.l/U^UoUUUU физико-математической литературы
053@2)-80 1980.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Методы качественного исследования дифференци-
дифференциальных уравнений, опирающиеся на теорию предель-
предельных цикло/i, получили широкое распространение.
Вместе с тем достаточно популярного, изложения ос-
основных результатов этой теории, равно как и изло-
изложения большого круга идей, связанных с проблемами
оценки числа циклов, пока, по-видимому, не сущест-
существует. Предлагаемая впиманию читателя книга отча-
отчасти восполняет этот пробел. Здесь дается полный пе-
перевод работы Генри Дюлака A870—1955) «О пре-
предельных циклах», опубликованной им в 1923 году
(Bulletin de la Societe Mathematique de France, t. 31),
в которой последовательно и в доступной форме из-
излагается доказательство теоремы о конечности числа
предельных циклов у алгебраического дифференциаль-
дифференциального уравнения.
Еще Пуанкаре сформулировал свою знаменитую
теорему: предельных циклов конечное число, если
только ни один из них не проходит через седло. Мно-
Многие видные математики делали безуспешные попытки
показать, что ограничение в теореме Пуанкаре не
нужно и что каждое нормальное уравнение с правой
частью в виде отношения двух полиномов всегда име-
имеет конечное число предельных циклов. С глубиной,
настойчивостью и изобретательностью Г. Дюлак в ре-
результате долгих исследований блестяще доказал эту
теорему. Этот результат о предельных циклах, при-
принесший автору мировую известность, является наибо-
наиболее значительным за последние пятьдесят лет.
В работе дается полная классификация особых то-
точек, через которые могут проходить циклы, выводятся
каионические формы дифференциальных уравнений
для седловых областей, примыкающих к особым точ-
точкам. Рассматривается совершенно новый класс функ-
функций полурегулярных вблизи сепаратрисного цикла,
в этом классе доказывается существование нормиро-
нормированных первых интегралов, с их помощью строится
функция последования. Самостоятельный интерес
большого теоретического и прикладного значения
имеют изложенные в работе методы исследования осо-
особых предельных циклов (полициклов).
Следует остановиться па форме изложения. К. Вей-
ерштрасс в своем письме к С. Ковалевской писал:
«От всякой научной работы я требую единства мето-
метода, последовательного проведения определенного пла-
плана и достаточной проработки деталей». Работа Г. Дю-
лака не только удовлетворяет всем этим требованиям,
но является примером великого служения науке, убе-
убедительно показывающим как можно невероятно слож-
сложное сделать доступным, строгим и увлекательным.
В книге исправлены незначительные опечатки и
приложен список трудов Г. Дюлака — полный, на-
сколько это было возможно.
г. Горький, Н. Ф. Отроков
1979
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Постановка задачи
Действительную интегральную кривую, определяе-
определяемую дифференциальным уравнением
х, уЫу
будем Называть характеристикой. Предположим вна-
вначале, что X и Y — полиномы по переменным хну.
Замкнутую характеристику назовем циклом. Работы
Пуанкаре и Бендиксона1) позволяют сформулировать
следующие результаты относительно поведения ин-
тегральных кривых этого уравнения.
А. Пусть S — произвольная кривая на плоскости
ху, координаты которой есть голоморфные функции
параметра t. Обозначим через Л/о и М две соседние
точки на S, соответствующие значениям параметров
t0 и t. Предположим, что через эти точки проходят
две характеристики Со и С, которые, следуя в одном
и том же направлении, вновь пересекут S в точках
Мо и М , отвечающих значениям параметров t0 n t.
Если на дуге М0М0 кривой S нет особых точек диф-
дифференциального уравнения и если характеристика Со
не касается S в точке М01 то имеет место зависимость
t' - hit},
где hit) — голоморфная функция в окрестности точ-
точки t = to. Функция соответствия между положением
точек М и М' голоморфная.
х) Р о i n с а г с, Journal de mathematique, annees 1881 et 1882;
Beudixson, Ada Mathematical t. XXIV,
B. Если Г — цикл, не проходящий через седло или
сложную особую точку (кратную точку пересечения
кривых Х{х, у)=0 и Y(x, г/) = 0), то в окрестности Г
существуют две кольцеобразные области, примыкаю-
примыкающие к Г: внешняя Е и внутренняя 1 такие, что в каж-
каждой из них возможен один из следующих двух слу-
случаев,
1) ни одна из характеристик, проходящих внутри
области, не является циклом;
2) все характеристики, проходящие внутри обла-
области,— циклы.
Случай, который будет иметь место в области Е,
одновременно будет иметь место и в области /. Если
выполняется случай 1), то кривую назовем предель-
предельным циклом.
C. Если не существует циклов, проходящих через
седло или сложную особую точку, то предельных цик-
циклов конечное число.
В случае, когда характеристика С оканчивается в
узле или в сложной особой точке и соседние с ней ха-
характеристики также оканчиваются в этой точке, ха-
характеристику С нельзя продолжить через особую точ-
точку. Если же характеристики, близкие к С, не окан-
оканчиваются в особой точке, то характеристика С имеет
одно или два продолжения, как это, например, имеет
место в случае седла. Через Со обозначим совокуп-
совокупность С и одного из ее продолжений.
Исследование характеристик, проходящих в окре-
окрестности седла или сложной особой точки, позволяет
следующим образом обобщить результаты, сформули-
сформулированные в пунктах А, В и С.
А'. Если дуга М0М0 кривой Со проходит через од-
одно седло, то функция соответствия между точками М
и М'', указанная в утвероюдеиии А, изменится и при*
мет вид
где % — положительное число, получаемое непосредст-
непосредственно из дифференциального уравнения, функция
fit) определена в окрестности t = 0 и не обращается
в нуль при t = 0.
Если X — число иррациональное, то fit) представ-
представляется в виде ряда, члены которого есть конечные
суммы произведений целых положительных степеней
а
& и функций переменного t, голоморфный
в точке t = 0. Функция fit) в общем случае не может
быть представлена в виде ряда по степеням t и tK,
но она обладает следующим свойством, которое бу-
будет использоваться в доказательствах. Каково бы ни
было положительное число о, функцию fit) можно
записать в виде
/(«=P0U, f) + t°Rait),
где Ра — полином по степеням t и £\ Ra стремится
к нулю вместе с t.
Если А, — рациональное, или на дуге М0М0 лежит
более одного седла, или, наконец, на ней расположе-
расположены сложные особые точки, то функция fit) имеет
другую структуру, но свойство, аналогичное указан-
указанному, имеет место.
В'. Пусть Го — цикл, проходящий через одну или
большее число особых точек. В неособой точке Mq на
Го проведем нормаль к этому циклу. На нормали, по
разные стороны от точки Д/о, можно найти две точки
М\ и Л/г такие, что на каждом сегменте М0М\ и
М0М2 будет иметь место один из следующих двух
случаев:
1) никакая характеристика, пересекающая сег-
сегмент, не является циклом;
2) все характеристики, пересекающие сегмент,—
циклы. Может оказаться, что на одном сегменте име-
имеет место один из указанных случаев, а на другом —
второй.
С. Предельных циклов конечное число.
Доказательства этих теорем проводятся при един-
единственном предположении, что все рассматриваемые
характеристики расположены в области, где функции
X и Y голоморфны.
Во введении, после напоминания результатов, ко-
которые считаются известными, будет доказано ряд
лемм, используемых в дальнейшем.
В первой части устанавливается форма общего
интеграла дифференциального уравнения, справедли-
справедливая в действительной области в окрестности седла.
Этот интеграл применяется при изучении функции
соответствия, которая связывает точки пересечения
М и М' двух дуг S и S' с характеристикой С, близ-
близкой к характеристике Со, проходящей через одно седло.
9
Доказывается теорема Ё' для цикла Гь; проходящего
через одно или несколько седел.
Во второй части рассматриваются исключительные
особые точки, в окрестности которых дифференциаль-
дифференциальное уравнение (при надлежащем выборе осей коор-
координат) может быть записано в виде
x, y)]dy+Y2(x,
где Х% и Уг — ряды по х и у, начинающиеся с много-
многочленов второго порядка. Будет показано, что пробле-
проблема построения функции соответствия в случае исклю-
исключительных особых точек полностью сводится к зада-
задаче с простыми седлами.
В третьей части рассматриваются особые точки со-
совершенно произвольного типа и с помощью преды-
предыдущих результатов изучается функция соответствия,
роторая связывает точки пересечения двух дуг S и 5'
с, характеристикой С, близкой к характеристике COi
проходящей ч,ерез одну исключительную особую точ-
точку. Доказывается теорема В' для цикла, проходяще-
проходящего через любое число особых точек.
В четвертой части, прежде чем доказать, что пре-
предельных циклов конечное число, будет рассмотрен
случай особой точки типа «центр», в которой ни одна
характеристика не может оканчиваться с определен-
определенной касательной. Доказывается, что в окрестности
такой точки либо все , характеристики — сдирали, ли-
либо все — циклы, окружающие особую точку. В более
частном случае, когда X и У — полиномы, показыва-
показывается, каким образом функция соответствия, может
быть распространена на характеристики с бесконеч-
цйми ветвями. , ; ;
, В последующих работах и при других условиях
будут развиваться полученные результаты о, поведе-
поведении характеристик, {! а также о числе й приближен-
приближенном расположений предельных циклов. : ,
§ 2. Функция соответствия
в окрестности дуги характеристики,
не проходящей через особые точки
Рассмотрим дифференциальное уравнение и запи-
запишем его в виде
10
где X и Г- голоморфные функции х и у в окрест-
окрестности дуги М0М0 уже рассмотренной характеристики
Со. Пусть S и S' — две дуги кривых, проходящих со-
соответственно через Мо и М0- Сделаем следующие пред-
предположения:
1) в окрестности точки Мо с координатами xq, yQ
координаты любой точки М и дуги S — голоморфные
функции параметра t, который предположим равным
нулю в точке Af0;
2) в окрестности точки Мо с координатами х0, у0
координаты точки W дуги S' — голоморфные функ-
функции параметра t\ который предполагается равным ну-
нулю в самой точке Мо;
3) характеристика Со уравнения A) не касается
в точке Мо дуги £";
4) на дуге МОМ'О кривой Со нет особых точек урав-
уравнения A).
Покажем, что если рассматривать характеристику
С, проходящую через точку М дуги S, отвечающую
значению параметра t и близкую к точке Mq, to эта
характеристика встретит дугу S' в точке Шг с пара-
параметром t', связанным с t соотношением
*'=Л(«), *(*)= 2*»»», B)
k = l
где hit) — голоморфная функция t, равная нулю
при t = 0.
При перемещении по характеристике Со от точ-
точки Мо к точке Мо параметр z, входящий в A), изме-
изменяется в конечных пределах от z0 до z0, поскольку
на дуге М0М0 нет особых точек уравнения A). Мож-
Можно предполагать, что z0 = 0- Если рассмотреть харак-
характеристику С, проходящую при z == z0 через точку Л/,
лежащую на S в окрестности Мо, имеющую коорди-
координаты х\ и у и и взять переменное t за параметр, то
координаты точки х и у этой характеристики на ос-
основании теоремы Пуанкаре выразятся голоморфными
функциями параметров z и t в окрестности te 0,
zq = z = 0. Действительно, х и у — голоморфные
функции #i, i/i для #i в окрестности £0 и у\ в окрест-
окрестности z/o. Следовательно, они голоморфные функции t.
Они будут и голоморфными функциями z в силу
11
уравнения A). Поэтому имеем
x = x'0 + az + at + ..., у = у'о + Ы + §t + ..., C)
где выписаны только члены наинизшей степени по
Z И t.
Координаты точки М' дуги S' выражаются в ок-
окрестности Мо в виде
х=щ + а'1'+...9 y = y* + Vt'+..., D)
где выписаны только члены младшей степени, а ко-
коэффициенты а', Ь', а, &, а, [} — постоянные. Для точ-
точки пересечения характеристики С с дугой S будем
иметь
az + at +... = a't' + ...,
Определитель аЬ' — Ьаг отличен от нуля, так как
характеристика Со, получающаяся из С при £ = 0, не
касается S' в точке Мо- Поэтому на основании теоре-
теоремы о существовании системы неявных функций в ок-
окрестности точки £ = я = £' = 0 эту систему можно раз-
разрешить относительно z и t', выразив их как голоморф-
голоморфные функции переменного J, обращающиеся в нуль
при t = 0. Таким образом, характеристика С, прохо-
проходящая через точку М, близкую к Л/о, пересекается с
дугой S' в точке М', отвечающей параметру t\ кото-
который выражается в форме B).
Замечание 1. Неяэно предполагалось, что про-
производные от х и у по t для точек дуги S' не обраща-
обращаются одновременно в нуль при t' = 0, Это всегда воз-
возможно, еслиЛ/о— обыкновенная точка дуги S'.
Замечание 2. Если Мо есть обыкновенная точ-
точка дуги S и если характеристика Со не касается в Мо
с S, то параметр t, соответствующий точке Л/, можно
рассматривать как функцию tr, голоморфную при
г' = 0. Это следует из того, что постоянная С\ в B)
отлична от нуля.
Когда условия, сформулированные выше, будут вы-
выполнены, будем говорить, что имеется голоморфное
соответствие между точками М и М\ в которых ха-
характеристика С встречает соответственно кривые S
и S'.
12
В работе будет дано обобщение функции соответ-
соответствия, найденной Пуанкаре A881 г.) для двух после-
последовательных точек пересечения характеристики с од-
одной и той же кривой S.
Функция соответствия позволяет легко доказать
теоремы В и С. Для обобщения этих теорем вначале
будет изучена функция соответствия в случае, когда
на дуге М0М0 кривой Со есть особые точки. Для это-
гр прежде всего необходимо уточнить различные типы
особых точек, способы продолжения характеристики
через особую точку, а также возможные типы особых
циклов. Все эти вопросы на основании работ Пуанка-
Пуанкаре и Бендиксона будут изложены в третьем парагра-
параграфе. Следует только заметить, что при изложении из-
известных результатов они группируются так, как это
представляется наиболее целесообразным. Для удобст-
удобства формулировок вводятся некоторые новые понятия.
§ 3. Сепаратрисы
Всякий раз, когда речь пойдет о дуге характери-
характеристики, оканчивающейся в. точке Р, будем подразуме-
подразумевать дугу, ограниченную точкой Р. Характеристика,
продолжаемая через особую точку, будет состоять из
двух дуг, оканчивающихся в точке Р.
Пусть С — характеристика, оканчивающаяся в
особой точке Р с определенной касательной. Прове-
Проведем нормаль в точке М к кривой С и будем рассмат-
рассматривать характеристики, близкие к С, идущие в том
же направлении от М к Р, что и характеристика С.
Очевидно, что на этой нормали можно найти две точ-
точки М[ и Жг, лежащие по разные стороны от С, такие,
что будет иметь место один из следующих трех слу-
случаев:
1) все характеристики, пересекающие М\М2, окан-
оканчиваются в Р;
2) ни одна из характеристик, отличная от С и пе-
пересекающая M\M<i, не оканчивается в Р;
3) характеристики, пересекающие один из сегмен-
сегментов ММ2 или AfAfi, оканчиваются вР, а характеристи-
характеристики, пересекающие другой из этих сегментов, не окан-
оканчиваются в Р.
В первом случае будем говорить, что С лежит
внутри узловой области точки Р.
13
Во втором и третьем случаях будем говорить, что
С есть сепаратриса особой точки Р1). Другими слова-
словами можно говорить, что С есть сепаратриса, примы-
примыкающая к точке Р, если по крайней мере с одной ее
стороны не существует характеристик, близких к С
и примыкающих к Р.
Рассмотрим круг с центром в точке Р настолько
малого радиуса, чтобы внутри его не было никакой
другой особой точки, отличной от Р. Возьмем точку
М на пересечении характеристики С и границы этого
круга. Предположим, что точка М\ находится справа
от наблюдателя, помещенного в точку М и обращен-
пого лицом в направлении, по которому можно до-
достичь точки Р, перемещаясь по С. Если характеристи-
характеристики, пересекающие ММ\, не оканчиваются в Р, то бу-
будем говорить, что характеристики, расположенные
справа от С, не оканчиваются в Р. В этом случае су-
существует характеристика С, оканчивающаяся в Р и
такая, что внутри сектора, расположенного справа от
С, ограниченного характеристиками С и С", не суще-
существует никакой характеристики, оканчивающейся в Р.
Если через точку этого сектора провести характери-
характеристику Г, то она при продолжении в обе стороны вый-
выйдет из сектора. Такой сектор мы назовем сектором
или областью отталкивания особой точки Р. Харак-
Характеристики, расположенные в секторе отталкивания,
по своему виду напоминают ветви гиперболы, для ко-
которой роль асимптот играют характеристики С и С.
Естественно рассматривать С как правое продолже-
продолжение С через точку Р. Если характеристики, пересека-
пересекающие Л/Л/г, не оканчиваются в Р, то существует ха-
характеристика С", оканчивающаяся в Р и являющая-
являющаяся левым продолжением характеристики С через точ-
точку Р. Характеристики С и С" ограничивают область
отталкивания особой точки Р. Кривые С" и С" различ-
различны, за исключением случая, о котором будем говорить
позднее в § 5, когда особая точка — полуособая.
Если характеристика С не сепаратриса, то она вхо-
входит в область, в которой все характеристики оканчи-
*) Сепаратрису можно рассматривать как «характеристику,
надлежащим образом продолженную через Р», как это дела-
делалось раньше Бевдиксоном (стр. 25) при условии голоморфно-
голоморфности X и Y в окрестности точки Р. Здесь, как и в дальнейшем,
имеется в виду работа Бендиксона, упомянутая на стр. 5.
(Прим. ред.)
14
Ёа*бтся в Р, т. е: ё узловую область, или область при-
притяжения. Очевидно, что такая характеристика не про-
продолжаема через Р. Чтобы продолжение было опреде-
определенным, необходимо особое соглашение.
Замечание 1. Соглашение продолжать сепа-
сепаратрису через точку Р направо означает, что все
характеристики, близкие к С справа, расположены в
окрестности продолженной характеристики С. Следо-
Следовательно, если С" есть правое продолжение С и не
оканчивается в новой особой точке Р', то далее долж-
должно рассматриваться правое продолжение С через точ-
точку Р'. В случае, когда начальное продолжение С —
правое, все последующие продолжения должны быть
правыми. Если характеристики, близкие к С и распо-
расположенные справа, после прохождения в окрестности
различных особых точек оканчиваются в точке Р', то
должны оканчиваться в точке Р' и продолжения С.
Отсюда следует, что характеристика С не может иметь
более двух продолжений, каково бы ни было число пе-
пересекаемых особых точек.
Замечание 2. Каждая сепаратриса ограничива-
ограничивает две области, в которых, в общем случае, характери-
характеристики имеют различное поведение. Характеристики,
близкие к сепаратрисе С и расположенные по разные
ее стороны, при продолжении не остаются близкими.
§ 4. Циклы
Термин цикл в дальнейшем сохраним для замкнутой
характеристики, не проходящей через особую точку.
Предельный цикл —- это цикл С, обладающий тем свой-
свойством, что все характеристики, близкие к нему, пред-
представляют собой спирали, неограниченно приближаю-
приближающиеся к С в соответствующем направлении движения.
Известно, что если характеристики, близкие к С и рас-
расположенные по одну сторону от С, есть спирали, не-
неограниченно приближающиеся к С, то тем же свойст-
свойством обладают и характеристики, лежащие по другую
сторону.
Если характеристики, близкие к С, не спирали, то
они все г— циклы, и в этом случае С будем называть
обыкновенным циклом. ;
Если существует замкнутая кривая С, составленная
из дуг сепаратрис, продолженных через особые точки,
и если хотя бы в одной из областей, ограниченных С,
не содержится характеристик, оканчивающихся в осо-
особых точках, расположенных на С, тогда С назовем
особым циклом.
Особый цикл составлен из сепаратрис и их продол-
продолжений — или только правых, или только левых. Осо-
Особый цикл может проходить и через одну особую точку.
Другие замкнутые кривые, составленные из харак-
характеристик, рассматриваться не будут.
§ 5. Типы особых точек
Особые точки можно классифицировать двумя раз-
различными способами в зависимости от того, рассматри-
рассматривается ли расположение характеристик в окрестности
особой точки или изучается форма уравнения вблизи
такой точки.
Эти две точки зрения различны; уравнения разной
формы могут иметь одинаковые расположения характе-
характеристик в окрестности особой точки. Первая точка зре-
зрения необходима при решении вопросов, связанных с
понятием непрерывности характеристик. Вторая точка
зрения будет необходима при исследовании функции
соответствия, когда характеристика проходит в окрест-
окрестности особой точки и в ней не оканчивается.
В этом параграфе исследуются особые точки в свя-
связи с расположением характеристик. Любая характери-
характеристика, которая оканчивается в особой точке или окан-
оканчивается в этой точке с определенной касательной, или
спиралью, накручивается на Р и неограниченно к ней
приближается. Каждый из этих двух случаев, имею-
имеющий место для одной характеристики, будет иметь ме-
место и для всех характеристик, оканчивающихся в Р.
В соответствии с этим будем различать следующие
случаи:
1. Ни одна из характеристик не оканчивается в Р*
Точка будет центр1).
2. Характеристики оканчиваются в Р, но ни одна
из них не оканчивается с определенной касательной.
Особая точка — фокус. В этом случае, если точку при-
*) Бендиксон и Пуанкаре дают другие определения центра.
В § 36 будет доказано, что в случае, когда X и У — голоморф-
голоморфные функции в окрестности Р, все три определения эквивалент-
эквивалентны между собой.
115
нять за центр круги достаточно малого радиуса, то всё
характеристики, входящие внутрь этого круга, спира-
спиралями приближаются к Р (§ 52). К точке Р не будет
примыкать ни одна сепаратриса.
3. Дуги характеристик, оканчивающиеся в Р с оп-
определенной касательной, будут сепаратрисами. Особая
точка — седло. Число характеристик, оканчивающихся
в седле, всегда конечное и четное. Каждая из них име-
имеет два продолжения. Область, ограниченная двумя со-
соседними характеристиками, оканчивающимися в Р,
есть область отталкивания.
4. Характеристики оканчиваются в Р с определен-
определенной касательной, но ни одна из них не будет сепара-
сепаратрисой. Особая точка — узел. Приняв Р за центр кру-
круга, можно выбрать его радиус настолько малым, чтобы
каждая характеристика, входящая в этот круг извне,
приближалась к Р с определенной касательной.
5. Дуги характеристик оканчиваются в Р с опреде-
определенной касательной, и некоторые из них, но не все —
сепаратрисы. Такую особую точку назовем смешан-
ной. Существует конечное, число сепаратрис, оканчи-
оканчивающихся в Р, каждая из которых имеет одно или
два продолжения. Построим круг с центром в точке
Р, не содержащий внутри особых точек, отличных от
Р. Можно показать, что при достаточно малом ради-
радиусе круга, каждая сепаратриса пересекает круг толь-
только в одной точке. Две сепаратрисы назовем соседни-
соседними, если их точки пересечения с границей круга,
обозначенные соответственно N и N\, определяют
ДУГУ? которую не пересекает ни какая другая сепа-
сепаратриса, примыкающая к Р. Две соседние характери-
характеристики, из которых одна есть продолжение другой,
ограничивают сектор отталкивания. Две сепаратрисы,
не продолжающие одна другую, ограничивают сектор
притяжения, или узловой сектор.
Простейший пример смешанной особой точки да-
дает уравнение
x2dy + у dx = О,
общий интеграл которого запишется в виде у = сеУх.
Область х < О — узловая. Две области полуплоскости
х > 0, ограниченные прямыми х = О и у = 0, есть об-
области отталкивания. Положительная часть оси Ох —
сепаратриса, имеющая продолжениями две полуоси
2 г. Дюлак 17
бу. Седло и смешанную особую точку можно объеди-
объединить в один тип особых точек, имеющих область от-
отталкивания.
Замечание 1. Из сказанного выше следует, что
для обобщения функции соответствия на характери-
характеристики, близкие к характеристике Со, проходящей че-
через особые точки, следует рассматривать только такие
Со, которые проходят через точки, имеющие области
отталкивания.
При обобщении теоремы В будем рассматривать
только особые циклы.
Замечание 2. Среди особых точек необходимо
отметить такие, в которых оканчиваются только две
характеристики. Эти дуги, имеющие в особой точке
общую касательную, дают такое же расположение
кривых, как дуги характеристики, оканчивающиеся в
обыкновенной точке. Ввиду этого такую точку будем
называть полуособой1).
Две характеристики, оканчивающиеся в полуосо-
полуособой точке, которую можно предполагать совпадающей
с началом координат, изображаются функцией у =
= /(#), имеющей при х = 0 точку регулярности, ал-
алгебраическую точку или точку другой более сложной
природы. Нетрудно привести примеры таких точек.
Дифференциальное уравнение
[у2 + х2(х2 + y2)\dy + xyll-z*- у2Ых = О
в полярных координатах имеет общий интеграл
р2 In sin2 6 + ср2 = 1.
Две характеристики, проходящие через полуособую
точку # = 0, £/ = 0, это две полуоси z/ = 0.
Для уравнения
2у dy - ЗхЧх = 0,
имеющего общий интеграл у2 — хъ = с, две дуги харак-
характеристики, оканчивающиеся в х = 0, у = 0, задаются
уравнением у2 = Л ,
1) Бендиксон (стр. 28) по этому поводу замечает, что та-
такую , точку, можно уподобить обыкновенной точке. Можно по-
показать, что с точки зрения функции соответствия они играют,
роль, аналогичную точкам регулярности.
Для уравнения
2х2у + 2у2 + 2у*Ыу +
= 0 E)
только две дуги характеристики оканчиваются в на-
начале координат, каждая из них касается ветви пара-
параболы у + х2 = 0, и они не могут быть представлены
функцией, голоморфной или алгебраической при
х = 0. Действительно, уравнение E) заменой перемен-
переменного
и = х2 + г/2
приводится к виду
u2dy + (у + u)du = 0.
Через точку и = 0, у = 0 у этого уравнения проходят
характеристики а = 0 и у = ф(и), причем функция
<рЫ при ц = 0 не будет пи голоморфной, ни алгеб-
алгебраической.
§ 6. Форма дифференциального уравнения
в окрестности особой точки
Исследуем форму дифференциального уравнения
в окрестности особой точки. Предположим, что особая
точка лежит в начале координат и рассмотрим диффе-
дифференциальное уравнение A) в окрестности Р{х = 0,
0 = 0).
1. Если Р — простая точка пересечения кривых
Х(х9 у) = 0, Y(x, у) = 0, F)
т. е. если эти кривые не касаются между собой в на-
начале координат, то точку Р будем называть простой
обыкновенной особой точкой. Оставив в стороне слу-
случай центра или фокуса, при надлежащем выборе осей
координат уравнение A) можно записать в виде
0, G)
где Х2 и Y<i — полиномы или ряды, не имеющие ли-
линейных членов, К и а — постоянные, причем ^=^0.
В зависимости от знака 'К особая точка — седло или
узел.
2. Если Р —кратная точка одной из кривых F)
или если эти кривые касаются в Р, то особую точку
назовем кратной.
2* 19
Среди кратных особых точек будет рассмотрен
один частный случай, когда заменой переменных
уравнение A) преобразуется к виду
Х2(х, y)dy +[y + Y2ix, у)]йх = 0, (8)
где Х2, Y2 — полиномы или ряды по х и у, начинаю-
начинающиеся с членов не ниже второй степени.
Особую точку в этом случае будем называть иск-
исключительной.
Можно построить ряды Q2ix, у) и R2(x, z/), содер-
содержащие лишь члены йе ниже второй степени, такие,
что заменой переменных
й = х + Q2ix, у), v = y + R2ix, у)
уравнения G) и (8) приводятся к виду
0, (9)
который называется канонической формой. Если п — О,
то из (9) получаем случай простой особой точки типа
седла или узла. Если п¥=0, то получим исключитель-
исключительную особую точку, которая будет седлом, узлом или
точкой смешанного типа в зависимости от знака К и
четности числа п.
Особую точку назовем элементарной, если заменой
переменных уравнение в окрестности этой точки мож-
можно привести к виду G) или (8). Неэлементарную осо-
особую точку будем называть сложной. Это различие меж-
между элементарными и сложными точками используется
при установлении различия между простыми и крат-
кратными точками, .
§ 7. Функциональные мажоранты
В дальнейшем встретимся с несколькими приемами
представления функций fix, у) рядами, удовлетворяю-
удовлетворяющими некоторым условиям. Чтобы выделить эти усло-
условия, будем употреблять, за недостатком лучшего выра-
выражения, следующее»
Определение. Пусть даны положительное чис-
число Я и функция fix, у); будем говорить, что эта функ-
функция удовлетворяет условию X — F > 0, если она подчи-
подчиняется требованиям:
20
1) функцию fix, у) можно представить в виде ряда
по у
с коэффициентами fkix) (& = 0, 1, 2, ...), непрерывны-
непрерывными по # в промежутке 0 < х < 1;
2) существуют положительные числа Fh такие, что
для 0 ^ х ^ 1 выполняются неравенства
Fk U = 0, 1, 2,...);
о
3) ряд F (у) = 2 FhVh сходится в точке у = 1;
4) имеет место неравенство К — Fil)>0.
оо
При этих предположениях ряд 2 /* (*) Уfe абсолютно
сходится для всех |г/|<1, 0<х<1. Постоянные
Fh — мажоранты для коэффициентов fk{x). Функция
F(y) — мажоранта для fix, у) при всех 0 < х < 1,
О ^ у < 1. Наконец, для этих значений х и у будет
иметь место неравенство
К-fix, y)>0.
Пусть gix, у) — произвольная голоморфная функ-
функция в окрестности начала координат и равная нулю
при х = 0, у = 0; проделав замену переменных х ==
= 0X1, У~Ъу\, где а и Ь — постоянные, получим но-
новую функцию
giaxh byi)=
Покажем, что коэффициенты а и Ь можно выбрать
так, чтобы функция fix\, y{) удовлетворяла условию
% — F > 0. Поскольку gix, у) — голоморфная функция
в окрестности х = 0, у = 0, найдутся такие числа |
и г|, что g(.z, у) представляется рядом, абсолютно схо-
сходящимся в точке х = £, у = т). Сделав замену пере-
переменных л: = ^w, г/ = r]L?t получим
gi%u, r\v) = т((и, у).
Ряд ^(гг, у) абсолютно сходится при и = 1, у= 1, и его
можно представить в виде
с»
У {и, v) = 2 Yfe (u) Л
21
Пусть ТЫ, v) — ряд, который получается из уЫ, v) за-
заменой коэффициентов при и и v их абсолютными зна-
значениями; тогда
Для всех 0^и<1, (X у ^ 1 и для любого п имеют
место неравенства
1?«(ыI ^ Г„(и) < Г„A); 1тК i>)l < Пи, v).
Функция ТЫ, v) равна нулю при и == 0, и = 0, поэто-
поэтому ее можно представить в виде
Г(и, у) = мЛ (и) + уЖи, у),
где
с»
иЛ (и) = Го (и); 5 (и, v) = S ГЛ (и) у»-».
Обозначим через Я/Bг) наибольшее из чисел ЛA) и
ВA,1). Можно, предполагать, что г<1. Очевидно, что
Л-Г(г, г)>0. A0)
В функции уЫ, v) сделаем замену переменных и =■
— ra?i, y = ri/i; получим
g(x, у) == «у(и, у) = «у(гд?1, гг/х) = /Ub i/i).
Покажем, что f(xu y{) удовлетворяет всем условиям
Я — F > 0. Действительно:
Обозначив /fc(^i) = rh*(k{rx\), получим
где /kUi) — непрерывные функции при
2. I/Abi)l
Следовательно, если положить Fft = г^Г^Сг), то
l/kUi)l<Ffc (й = 0, 1, 2, ...) для всех
3. Обозначим
22
Этот ряд сходится при t/ft= 1, поскольку
F(l) = r(r, г).
4. Из равенства Fil) = Г(г, г) и A0) заключаем,
что
Замечание 1. Если функция
голоморфна при Ы ^ 1, li/l < 1, то за числа Fh можно
взять сумму абсолютных значений членов ряда ДA).
В этом случае для функции fix, у) будет выполнено
не только условие К — F > 0, но она обладает еще и
свойствами:
1) для любого п и для всех \х\ ^ 1
А,-/„М>0;
2) [X — /п(^)] и [X — fix, у)]" — голоморфные
функции х и у при Ы < 1, \у\ < 1;
3) если fix, у) представить рядом по х
то для каждого п при lyl < 1 имеем
Замечание 2. Аналогично, если дано положи-
положительное число к и ряд fix) абсолютно сходится при
2 = 1, то будем говорить, что функция fix) удовлет-
удовлетворяет условию К — F > 0, если сумма абсолютных
значений членов ряда /A) меньше X.
Замечание 3. В соответствии с введенным по-
понятием будем говорить, что Fix) есть мажоранта для
fix) на отрезке [0, 1], если Fix) положительна и
Fix)> \fix)\ для всех х из указанного отрезка.
В дальнейшем, когда положительную или отрица-
отрицательную функцию fix) заменим на ! положительную
или отрицательную функцию Fix) такую, что [Fix) >
>/(#) при всех 0<#<1, то будем говорить, что уве-
увеличиваем функцию fix).
'23
§ 8. Лемма 1
Дифференциальное уравнение
x[k-xg(х)\ d£-(r + X)y = z*+4i (x), A1)
где X и г — произвольные положительные постоянные;
s — целое; g{x) и h{x) — функции регулярные в ок-
окрестности точки х = 0, разлагающиеся в ряды с по-
положительными коэффициентами, сходящиеся при
я = 1, имеет решение, представимое в виде ряда
с положительными коэффициентами, сходящегося при
х = 1, если
(
s\ -r > 0.
Рассмотрим уравнение без правой части; получим
«1= (' + *>*> (ЦАМ + u>{x)dx.
и'(х) представляется в виде степенного ряда, схо-
сходящегося в силу предположений относительно g(x)
при # = 1. Следовательно, общее решение уравнения
A1) запишется в форме
^х) f x-l-*e-«x)h (x)
у = ^™ + ^х) f x*e«x)h (x)dx
h — xg (xI
где подынтегральное выражение имеет вид
проинтегрировав его, получим
оо
V
sl\kXr
h—Q
В силу предположений леммы ни один из знамена-
знаменателей коэффициентов этого ряда не может быть ра-
равен нулю, и ряд сходится при # = 1. Положив в об-
общем решении уравнения A1) с = 0, получим частное
24
решение
fe=o
также сходящееся при я = 1. В случае, когда г/% рав-
равняется целому числу q, все решения уравнения (И)
будут регулярными, но этот случай неинтересен, так
как разложение будет начинаться с члена степени
q + i меньшей, чем 5+1. Докажем, что в выделенном
частном решении все коэффициенты положительны;
для этого напишем разложения
fc=s+l
h{x) =
и будем непосредственпо вычислять коэффициенты ак
с помощью уравнения A1). Подставив выписанные
ряды в уравнение A1) и приравняв в обеих частях
равенства коэффициенты при одинаковых степенях х
получим
- г — ШЛ = (к - l)a
Л-5+1, s + 2, ...
Так как к принимает значения, начиная с 5 + 1, то
коэффициент kX — r — k всегда больше или равен ве-
величине sX~ г, которая по условию леммы положи-
положительна. Из написанных уравнений видно, что все ве-
величины ah (& = s+l, s + 2, ...) положительны.
Замечание. Первая часть рассуждений, прове-
проведенных в доказательстве леммы 1, распространяется
и на уравнение
x[l- 4{x)\%- [v + */(*)] у = h{x)t
где fix) и h{x) — ряды с произвольными коэффициен-
25
тами, сходящиеся при я = 1. Если g{x) удовлетворяет
условию 1 — G > 0 (см. § 7, замечание 2), то рассмат-
рассматриваемое уравнение имеет частное решение, предста-
вимое в виде ряда, сходящегося при х = 1.
Обозначим
хЦ-xg (x)] x ' ~ w
Очевидно, что ряд нЛя) сходится при #=1. Тогда
общее решение уравнения запишется в виде
+! [I -Xg (*)]
Подынтегральное выражение можно записать как
дробь
k=0
Легко видеть, что если v не равно целому положитель-
положительному числу, то общее решение у{х) разлагается в ряд,
сходящийся при # = 1. Если же v — целое число, то
следует различать два случая:
1) Cv^O — никакое решение не будет регулярным
вследствие того, что при интегрировании в у(х) вой-
войдет выражение
2) cv = 0 — все решения регулярны и сходятся
при х = 1.
§ 9. Лемма 2
Рассмотрим дифференциальное уравнение
f 0, A2)
где п — целое положительное или нуль, функции g(x)
и fix) непрерывны при 0<£<1. Это уравнение име-
имеет единственное непрерывное на интервале 0 < х < 1
решение у{х) такое, что */A) = 0. Исследуем его.
Покажем, что справедливы следующие свойства;
26
1) решение у(х) положительно на интервале (О, 1),
если функция f(x) положительна на этом интервале.
Действительно, положим
1
тогда
2) если при фиксированной функции fix) увели-
увеличить g(x), заменив ее на G(x), удовлетворяющую не-
неравенству G(x)> g(x), то решение нового уравнения
Y обращается в нуль при х=1, удовлетворяет нера-
неравенству Y(x) — у{х) >0 в интервале 0<#<1. Дейст-
Действительно, У удовлетворяет уравнению
£ + G(x)Y + f(x) = 0. A3)
Вычитая почленно A2) из A3), получим
ИЛИ
Y = y обращается в нуль при # = 1, [G(x) — g{x)]y>
> 0, поэтому в силу 1)
Y-y>0
при
01
3) если увеличивать функцию /(ж), оставив неиз-
неизменной gix), то решение у(х) увеличится. Это не-
непосредственно следует из выражения для реше-
решения у(х);
4) если ф(#) есть решение уравнения A2) такое,
что срA) = Ь>0, то для всех 0<#<1 должно быть
выполнено неравенство <р(х) > у(х). Это непосредст-
непосредственно следует из выражения для решения
27
5) в силу сказанного выше приходим к заключе-
заключению, что если в интервале @, 1) увеличить функции
g(x) и fix), увеличив при этом начальное значение
уA), положив его равным Ь>0, то в интервале
О < х < 1 увеличивается и решение у(х).
§ 10. Полурегулярные функции
В дальнейшем неоднократно будут встречаться
функции fix), которые при любом целом о могут
быть представлены в виде
где Ra стремятся к нулю так же как х, Ро — сумма
конечного числа членов. Такие функции fix) будем
называть полу регулярными в точке х = 0.
В каждом отдельном случае уточняется структура
членов, входящих в конечные суммы Ра. Иногда это
будут степенные ряды по х, в других случаях — ря-
ряды по х, содержащие такие выражения, какх г In x
и хХ{, где h{ > 0, i принимает некоторое множество
значений.
В дальнейшем Ра строится как такая сумма, лю-
любое слагаемое которой Р(х), поделенное на х°, при
х -+ 0 либо неограниченно возрастает, либо стремится
к конечному пределу. Однако это лишь свойство чле-
членов суммы Ро, его не следует рассматривать как спо-
способ построения Ра-
Очевидно, что сумма или произведение полурегу-
полурегулярных функций есть функция полурегулярная.
В дальнейшем рассматриваются только полурегуляр-
полурегулярные функции, которые обращаются в нуль при х = 0.
Для таких функций, в соответствии с определением
полурегулярности, будем говорить о бесконечно ма-
малых членах наинизшего порядка. Для функций, ко-
которые встречаются в дальнейшем, такие минималь-
минимальные члены будут сху, где с и v — постоянные. Члены
же с In х могут входить в величины более высокого
порядка.
Докажем следующее утверждение.
Если f{u) — функция, полурегулярная при и = 0 и
и = g(x) — функция, полурегулярная при х = 0, то
h(x) = f[g{x)] есть функция, полу регулярная при
0
28
Пусть б — любое фиксированное целое число, г й
s — целые, которые подберем в дальнейшем. В силу
полурегулярности функций f(u) и g{x) имеем
/(а) = РЛа) + итЪЛи) = аиЧ1 + АЫ)] + и'ЯДц),
и = g{x) = p^x) + х'ЯЛх) = ЬхЧ1 + ВШ + x'Rtix),
где аиа и Ъх* — соответственно члены с наименьшими
степенями в f(u) и g(x), A{u) и ВЫ) — конечные
суммы, обращающиеся в нуль при и = 0 и х = 0.
1. Так как Ьхь — член наинизшей степени в g(x),
то
где у@) = 0. Если это выражение подставить вместо
и в urRr{u) и предположить, что г выбрано так, что
[}г > а, то будем иметь
где Six) стремится к нулю при я, стремящемся к ну-
нулю. Выражение urRr(u) начинается со слагаемых,
имеющих порядок по х выше чем о.
2. Покажем, что РГЫ) содержит только конечное
число бесконечно малых членов, имеющих по х по-
порядок, не превосходящий а. Пусть mwv(ln u)v'— неко-
некоторый член из РГЫ). Показатель v' равен нулю или це-
целому положительному числу. Выражение для и мож-
можно записать еще и в виде
где z стремится к нулю при х, стремящемся к нулю.
Тогда
muv (In u)v' = mb^x^ A + В (:r))v A + x'-tzI» X
X [In b + p In x + In A + В (x)) + In A + х8~Щ\v'.
Разложим в этом выражении величины fl+BU)]v
и {l + xs"^z)v no формуле бинома и рассмотрим сла-
слагаемые, которые содержат z. Во всех этих членах вы-
выражение, содержащее наииизшую степень х, имеет
вид
mia.flv-p+* [in ь + р In x]v\
Наименьшее значение- показателя v равно а. Следо-
29
вательно, бели 5 выбрать так, чтобы выполнилось не-
неравенство оф — (J + 5 > а, то множество членов, содер-
содержащих z, будет вида x°S(x), т. е. опи входят в
x°Ra(x). Чтобы найти члены вида muv (In u)v,входящие
в Р0(х), достаточно рассмотреть выражение
тпЪ^х^ A + By [In Ь + Р In х + In (I + В)]*
и выбрать из него слагаемые, степени которых мень-
меньше чем о. Таких слагаемых будет конечное число.
Повторяя аналогичные рассуждения относительно
различных членов Pr(w), придем к заключению, что
h(x) = f[g(x)] - Ра(х) + х°На(х),
где Ра(х) содержит только конечное число слагаемых.
Следовательно, функция h{x) — полурегулярная при
0
ЧАСТЬ 1
ЦИКЛЫ, ПРОХОДЯЩИЕ В ОКРЕСТНОСТИ СЕДЕЛ
§ 11. Этапы исследования
В начале установим простейшие канонические фор-
формы, к которым с помощью замены цеременных можно
привести дифференциальное уравнение в окрестности
седла. Эти формы позволяют построить в окрестности
простого седла общий интеграл дифференциального
уравнения и получить свойства этого интеграла в дей-
действительной области изменений переменных. При по-
помощи их получим форму функции соответствия для
характеристик, лежащих в окрестности характеристи-
характеристики, проходящей через одно седло.
Пусть на дуге М{)М0 характеристики Со лежит
только одно седло и S, S' — дуги кривых, пересекаю-
пересекающие Со соответственно в точках М0 и Мо; обозначим
М и М' точки пересечения соседней с Со траектории С
с кривыми S и S'. Тогда можно установить зависимость
между параметрами, определяющими положение точек
М и Mf на кривых S и S'. Полученная функция соот-
соответствия применяется к исследованию характеристик
в окрестности особого цикла, проходящего через одну
или несколько особых точек типа седла.
§ 12. Упрощение дифференциального уравнения
в окрестности одного седла
Покажем, что с помощью замены переменных
в уравнении
= O A4)
можно избавиться от некоторых групп членов разло-
разложения в ряд X и Г.
31
Прежде всего, заметим, что если за оси коорди-
координат х = О и у = О принять две характеристики, прохо-
проходящие через седло, то уравнение A4) преобразуется
к виду
d + [ + ( )]d = 0, Ч A5)
где X — положительная постоянная, а(х, у) — функция
переменных х и у, регулярная в некоторой окрестно-
окрестности точки х = 0, у — О и такая, что л@, 0) = 0. Не из-
изменяя формы этого уравнения, можно в случае необ-
необходимости заменить х на сх и у на су так, чтобы функ-
функция а(х, у) удовлетворяла еще условию X — А > 0
(см. § 7).
Покажем, что если X не рациональное число, то, ка-
каковы бы ни были целые положительные числа г и s,
существуют два ряда по целым, положительным степе-
степеням х и у; Их, у) и Ь(х, у), обращающиеся в нуль
при х = 0, у = 0, такие, что при помощи замены пере-
переменных V — у[1 + Z(x, у)] уравнение A5) приводится
к виду
xdv + v[X + xrv*b(x, v)]dx = 0. A6)
Обозначим через cpi, ф2, фз,...— функции перемен-
переменного х; построим функцию вида
оо
ф=2фа (я) yh
так, чтобы она удовлетворяла уравнению в частных
производных
Щх — у[Х + а (х, у)] ц)у + А,ф = 0. A7)
Функцию а{х, у) можно представить в виде
СХ)
а (х, у) = хо! (х) + 2 akyk,
где а'(х) — производная от ряда по целым степеням х,
обращающегося в нуль при х = 0, аи #2, ... ряды по
целым степеням, сходящиеся, как известно, при 1x1 < 1.
Для функции ф1 имеем
откуда находим ц>\(х) = eaix) в предположении, что
Ф1 = 1 при х = 0. Функция фДх) регулярна при UI < 1.
Покажем, что указанным свойством регулярности
32
обладают и функции ф* (& = 2, 3, .,.). Действительно,
если предположить, что функции (pi, фг, ..., (fk-\ суще-
существуют и регулярны, то, приравнивая нулю коэффици-
коэффициент при#* (для определения фь(#)), получим уравнение
Щк (х) -- [(к — 1) Я + хко! (х)] yk(x)=(k— 1) ахщ„х (х) +
+ (к — 2) аафЛ_а (*) + ...+ «л-1ф1 (*). A8)
где правая часть — функция, регулярная при \х\ ^ 1.
Согласно замечанию (§ 8) уравнение A8) имеет ре-
решение фь(#), регулярное при Ы ^ 1.
Определив последовательно члены фь ф2, ..., фв,
рассмотрим функцию
fix, у) «е уфх(х) + у2Ср2(х) + ... + У*Ц)8(х).
Если в A7) заменить ф на /, то коэффициенты при
> У2* • • •> У8 в левой части исчезнут и получим
V + */i - У [Ь + л (я, УI /i = i/s+N («, У), A9)
где г\(х, у) — регулярная функция при \х\ < 1, \у\ ^ 1.
Положим ф = / + if»; тогда г|) будет удовлетворять
уравнению
xtyx-Vlb + a (х, у)] у'у + Ц + ys+1?) (x, у) = 0. B0)
Представив а(х, у) и т](.г, у) как ряды по степеням х:
оо оо
а (х% у) == 2 Р* (У) ^ft, П (ж, У) = 2 % {У) xk,
будем искать решение B0) в виде
где г|)Л(у) D = 0, 1, ...) — функции одного только у. Ко-
Коэффициент фо(у) находится из уравнения
Ро (»)] *i - Чо - У8+\ (У) = 0.
Функция Po(ff) (см. замечание 3 § 7) удовлетворяет ус-
условию к — 2? > 0. В силу этого дифференциальное урав-
уравнение для tyo(y) имеет (см. замечание § 8) бесчислен-
бесчисленное множество регулярных по у решений, и только од-
одно из них не содержит членов с первой степенью у.
Это решение примем за функцию if>o(y); она имеет
множитель ys+l и представляется в виде ряда, сходя-
г, Дюлак
33
щегося при у *= 1!). Покажем, что такими же свойства-
свойствами будут обладать функции tyk (& = 1, 2, ...), т. е. они
представляются рядами но степеням у, сходящимися
при у = 1 и имеющими множитель у8*1. Если предполо-
предположить, что справедливость этих свойств доказана для
функций фо, tb ..., ^n-ь т0> приравнивая нулю коэф-
коэффициент при хп в B0), получим
Правую часть этого соотношения обозначим ys+]4n(y\
где ^п(у) — ряд по степеням у, сходящийся при у = 1.
Согласно замечанию § 8 у этого уравнения существу-
существует решение, представимое в виде ряда по степеням у,
сходящегося при у = 1 и имеющего множителем у8+1.
Определив таким способом \fo, \|>ь •••, 'фг-ь положим
g{x, у) = г^0(г/) + xtyiiy) + ... + xr-^r-x(y).
Если в уравненни B0) вместо 1|)(д:, у) подставить
g{x, у), то коэффициенты при #, а;2, ..., хг~1 в левой
части исчезнут, и получим
xg'x — I/ [^ + л (х, у)] gy + ^ +
+ 2/8+1Л (ж, у) = з*у*+Чъ (х, у). B1)
Положим К(х, у)=/ + ^, тогда, приняв во внимание
A9) и B1), получим, что функция К{х,у) удовлетворя-
удовлетворяет уравнению
мр'х — у\Ь + а (х, у)) q>'y + ХФ = &y*+lh (x, у). B2)
Вместо переменного у введем новое переменное
v = K(x,y). B3)
Функция К(х, у) имеет вид К = у[1 + 1{х, у)], где
Кх, у) —ряд, сходящийся в области |у| ^ 1, \х\ ^ 1,
/@, 0) = 0. Поэтому B3) можно разрешить относитель-
относительно переменного у, выразив его через хи v. Проделав в
уравнений A5) замену переменного B3), будем иметь
х dv = xK'xdx + xK'ydy = [хК'х — у (X + а) К'у] dx.
Обозначим через V(x, v) коэффициент при dx, заменив
1) Здесь и в последующем слова «функция имеет множп-
толь ys+l» означают, что разложение этой функции в ряд по
степеням у начищается с членов степени ? + I. (Прим. ред.)
предварительно у его выражением через х и v; тогда
уравнение A5) в новых переменных примет вид
xdv+Vix,
В уравнении B2) сделаем замену переменного B3);
обозначив через Fix, и) результат подстановки в ф(я, у)
вместо у его выражения через х и v, получим
xF'x (х, у) -[у{Ь + а) К'у-х К*х] F'v + kF = x'y^h (x, у)
или
xF'x — V (х, v) F'V + IF = xrv*+lb (яг, и).
Так как это уравнение имеет решение F ssav, то
F(x, v)-Xv-xrV+lb(x, v).
Следовательно, замена переменного B3) приводит
уравнение A5) к виду A6).
Замечание 1. Замена переменного B3) возмож-
возможна только при таких достаточно малых v, для которых
КуфО. Но заменяя v на си, где с мало, можно пред-
предполагать, что указанная подстановка имеет место при
Ы < 1, lyl^l и что функция ЬОг, v) удовлетворяет
условию Х-В>0 (§ 7).
Замечание 2. Уравнение A5), в частности, мож-
можно привести к виду
хdv + vik + vbix, v)]dx = О,
если заменить х вместо того, чтобы заменять у. Ис-
Использовав разложение aix, у) в ряд по степеням у, пе-
перепишем уравнение A5) в виде
2 у\ (*)
+ dx+dx 0.
у 1 х х
Введем новое переменное и, определив его из уравнения
Взяв с достаточно малым, заменяя х на и, приведем
уравнение A5) к виду
udy + ylk + уЬЫ,
где Ыи, у)*—ряд, сходящийся при |и| < 1, \у\ ^ 1.
3* 35
§ 13. Случай рационального %
Если К — число вида p/q, где р и q -* целые и вза-
взаимно простые числа, то рассуждения предыдущего
параграфа применимы не при любых г и s. Предполо-
Предположим в начале, для простоты, что уравнение A5) (со-
(согласно замечания 2 § 12) приведено к виду
хdy + у[Х + а(х, y)]dx = 0,
где
00
а (х, У) = S Ч (*) Ук
и ah(x) (A: = 1, 2, ...) — регулярные функции х. Так
же как и в предыдущем случае, найдем функцию
оо
ф (*. у) = 2 фл (*) у\
k
удовлетворяющую уравнению
Щх — у (к + а) у'у + %у = 0. B4)
В начале определим регулярную при х = 0 функцию
9i(x) такую, что ф1@) = 1, и без затруднений найдем
также в виде рядов по х и фг, фз, ..., ф?. Но в общем
случае будет невозможно найти функцию ф7+1 в виде
ряда по целым степеням х. Действительно, уравнение,
из которого определяется ф9+ь имеет вид
+ aq {х) = 0, q% = р,
где ^вС^) вырая^ается через известные функции фЬ
ф2> ,.., фд. Следовательно,
Если в разложении а^(ж) имеется член ci;zp, то в фд
войдет член cia:plna; и функция уже не будет регуляр-
регулярной. Однако от этого члена можно избавиться, если
вместо уравнения B4) рассмотреть уравнение
£ф* — У (^ + а) уу + Я,ф = —
В этом случае для функций фь (к = 1, 2,..., дО получим
такие же выражения, как и прежде, но функция
36
будет определяться из новогб уравнений
Теперь решение этого уравнения фд+i будет рядом по
целым степеням х, в котором коэффициент при х —
произвольный. Аналогично можно избавиться от членов
с 1п# в функциях ф^+ь фзд+ь •. •» ф™<?+1» если вместо
B4) рассматривать уравнение вида
т
Щх -У& Ч- а) Ф; + Ьр - - 2 сл^ф*р+1, B5)
fci
где cfe(i = 1, 2,..., m) — постоянные, которые могут быть
и нулями. Условимся для определенности в дальней-
дальнейшем коэффициент при zkp, который остается произ-
произвольным при определении ф^+u считать равным нулю.
Предположим, что т можно выбрать так, чтобы
имело место" неравенство-
mq + 1 <5^ (т + l)q.
Тогда, так же как и в § 12, построим функцию
s
которая удовлетворяет уравнению
xf'x ~ У (Л. + а) /; + ^ = у +1П + S f*/*'+I*»p, B6)
где г| — ряд по целым степеням х и /у.
Если положить ф==/ + 1|\ то уравнение B5) преоб-
преобразуется следующим образом:
171
2-^л - у (X + о) ^ + ?4 + У<+1П + S cJk+Wp =
= !^(/ + Г+1' B7)
Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
где ф*(у) — функции одного только переменного у.
Очевидно, если положить а@, у) ■» §o(j/)f то ^ будут
37
йахоДитьсй из уравнений
(* + *)♦*-* [*• + Ро Ш *л + Г+1Т* Ы = О-
Для к = О непосредственно видно, что
1) Y*(#) — РЯД по Целым степеням у;
2) г|)А(г/) — ряд по целым степеням у, имеющий
множитель г/**1.
Если первое свойство выполняется для Л —0, 1,
2,..., п — 1, то оно будет иметь место и при к = /г, т. е.
7*(#) будет также выражаться рядом по целым степе-
степеням у. Пусть г|)о, ^ь •••, фп-i — ряды по i/, имеющие
множитель t/*+1; тогда таким же свойством обладает и
$п(у). Найдем условия, при которых эти свойства на-
нарушаются. Уравнение для г|)л можно переписать в виде
УЦп - [у + 1 + »«' (I/)] ^. = ^+1Л, (У),
где а^(г/) — производная от а(у), функции г\Лу) и
а(#) — ряды по целым степеням у. Решив это линейное
уравнение, найдем
Уп = cy-^V^ + гр\^ J у'"?-1»,,, (у) e~«v)dy.
Положив с == 0, получим, что г()п будет рядом по целым
степеням у, если при интегрировании не войдет член
с In у. Но подобный член может появиться, только если
выполнены следующие два условия:
1) п/К = nq/p — целое, т. е. когда п = кр, к — целое;
п
2) разложение у хцпе~а в ряд начинается со сво-
свободного члена.
Для этого необходимо $ — п/% < 0 или п > sp/q.
С другой стороны, по предположению, mq + l^s. Из
последних двух неравенств находим, что п ^ тр + р1ц.
Это неравенство будет заведомо выполнено, если п ^
Таким образом, если г удовлетворяет неравенству
r</?(w+l), то функции фо, г|)ь \jv-i — ряды по целым
степеням. Выбирая всякий раз с = 0 в выражении для
г|)л, можем предполагать, что все они имеют множите-
множителем ys+l. Это следует из вида подынтегральной функ-
функции. Положим
g(z, у) = tyW + ХЬ{У^ + •
38
тогда получим
- a*y*+% (x% y), B8)
где Ыя, #) — ряд по целым степеням х и у.
Приняв во внимание B6) и B8), видим, что
ft = / + g есть решение уравнения
m
*<pi - */ (Л + а) фу + ^Ф = 2 (Ъф^+^р + х^+1А (х, у).
Далее, рассуждая так же как и в § 12, приходим к
заключению, что заменой переменного v = K(x, у)
уравнение A5) приводится к виду
— 2 ChxhPvkq — xrv*b (x, v)\dx=z 0.
fc=i J
Можно предполагать, что ряд Ь(х, и) сходится при
Ы ^ 1, \и\ < 1 (см. § 12, замечание 1).
§ 14. Форма общего интеграла
дифференциального уравнения в окрестности седла
Рассмотрим уравнение A5) в виде
xdy + у[К — xra(x, y)]dx = О,
B9)
оо
в>(х*У) - 2 <*h(x)y\
где ah(x) (ft = s, s+ 1,...) — ряды по палым степеням х.
Случай, который обычно будет рассматриваться, со-
соответствует значениям r=0, .v = 1, однако для дальней-
дальнейшего будут полезны свойства общего интеграла при
любых г и s. Предположим, что аХх, у) удовлетворяет
условию % — А>0 (§ 7), и поэтому существуют посто-
постоянные числа Ah такие, что при O^x^l выполняются
неравенства \ah(x)\ ^ Ah (ft = 5, $ 4- 1,...).
Найдем общий интеграл уравнения B9) в виде
Функция / должна удовлетворять уравнению
' (*, У) /у-
Для определения / положим /A, у) —у. Тогда полу-
получим xjx — Я/i = 0 и f\(x) = хк9 так как при х = 1 долж-
должно быть /i» 1. Коэффициенты fn(x) при га > s удовлет-
удовлетворяют уравнениям
xfn — ДХ/П =
- -a? [an-ih + 2fln-«/, + . •. + (п - s) ajn^\\ C0)
отсюда
так как
/пA)=0 (лг = 2, 3, ...).
Из C1) видно, что можно последовательно найти*
функции /„ (п = 2, 3, ...) и что все они ограничены
при 0<я<1. Для каждой функции /п (га^З, 3, ...)
определим мажорирующую функцию Fn такую, чтобы
она была положительна или нуль при х = 1 и удовлет-
удовлетворяла уравнению
xFn - nXFn ^-x' [An^F, + ... + (n - s) A3Fn_s].
Их нельзя получить непосредственно из выражения
C1) для /„. С этой целью найдем функцию
удовлетворяющую уравнению
где
Будем различать два случая:
1) 5 = 1, г = 0. За функцию F можно взять общий
интеграл уравнения
xdy + yW-^ AhA dx = 0. C2)
40
ПОЛОЖИМ
где а (у) — производная от aiy). Все коэффициенты ря-
ряда <х(у) положительны, и он сходится при \у\ < 1, по-
поскольку знаменатель левой части C3) не обращается
в нуль при этих значениях у. Следовательно, уравне-
уравнение C2) имеет общий интеграл Fix, у) *& yx%e*{v) =* с.
Легко видеть, что разложение в ряд по степеням у
функции Fix, у) удовлетворяет всем требованиям ма-
мажоранты для функции fix, у), можно считать, что это
будет справедливо при 0<х^1. Ряд для F сходится
при \у\ < 1, разложение функции / по степепям у схо-
сходится при Iу\ < 1 и х, меняющемся от 0 до 1. Поэтому
1+2 йк(*)|Л
А — 1 J
F ix, у) = ух*
где 1 + S GhVh = е^к Так как \gkU)\ < Gkr то ряд
со
1 f 2ft (x) Ук будет сходиться в той же области, что
и ряд f(x, у). Таким образом, получаем следующую
теорему.
Если а(х, у) удовлетворяет условию Х. — Л>0, то
дифференциальное уравнение
xdy + y[l-ya(x, y)]dx = 0 C4)
имеет при \у\ ^ 1, 0<х^ 1, общий интеграл вида
ух Ч \
р^р ghix) (Л —1, 2, ...) —ограниченные функции при
0<~я< 1;
2) г и s — любые. В этом случае
F\=x\ F2 = f3 = ...==/?>. = 0,
и гак как Fh (Л = 5+1,...) имеет множитель яг*\ то
41
оо
к{х,у)= 2 *,•(*)»".
n=s-f 1
где /5:ЛA) = 0 (и«* + 1, 5 + 2, ...).
Функция /£(#, */) удовлетворяет дифференциально-
дифференциальному уравнению
(г + Л) Я + хКх - А*/< = -У А (у) - уа'Л (*/) К»
поэтому Кп будут находиться из таких же уравнений
вида C0), что и fh. Найдем функции Gn, мажорантные
для Кп при я, меняющемся от нуля до 1, и потребуем,
чтобы G была положительна или нуль при х = 1; тогда
б (*,»)= 2 Gk{x)y",
удовлетворяет уравнению
(Г + Я) G - ^ - ХуС; = - у А (у) - у А (у) G'y. C5)
Действительно, уравнения, которым удовлетворяют ко-
коэффициенты Gn, получаются из уравнений для функ-
функций Кп заменой хт на 1, поэтому, применив лемму § 9,
получим функцию Gn.
Решение уравнения C5), не зависящее от х7 долж-
должно удовлетворять уравнению
Это уравнение вида A0) § 8. Предположим, что г и s
выбраны так, чтобы sX > г. Оно имеет решение
GG/)= 2 бЛ/,
сходящееся при у = 1, причем все коэффициенты Gk
положительны. Gh будут мажорантами для функции Kh,
Fh — для fh при 0 < х < 1. Поэтому ряды для Я, F, f аб-
абсолютно сходятся при lyl^l и 0<«<1, Функции
/г,..., U тоя^дественно равны нулю, поскольку они
имеют мажорантами равные нулю функции jF2, ..., F..
Очевидно, ряды для / и F имеют вид
сю
I 4mJ ОД V /
оо
I ^J ft \
Таким образом, доказана следующая теорема.
Дифференциальное уравнение
xdy + y[X + xry'a{x, y)]dx = 0, C6)
еде а(х, у) удовлетворяет условию X — А > 0, имеет
общий интеграл вида
*) yk\ = с.
J
x'y* S gk+в (
ft-o
Ряд, стоящий в левой части, сходится при |
0=^.г<1, gk(x) — ограниченные функции при
§ 15. Исследование частного вида уравнения
при рациональном X
Прежде чем рассматривать вопрос об общем интег-
интеграле уравнения C6) в случае рационального X = p/q,
исследуем вначале частный вид дифференциального
уравнения
dx = 0, C7)
с(хРу<*)= S <V
h=0
где ch (i==0, 1, ...) — постоянные, m — целое, кото-
которое в общем случае равно 1. Для дальнейшего доста-
достаточно рассмотреть случай, когда с — полином по степе-
степеням хруч, но в рассуждениях ничего не изменится, ес-
если с предполагать рядом по этим переменным. Пусть с
ее
удовлетворяет условию X — О 0, т. е. plq — 2 кь| > 0.
fc=0
Тогда в силу теоремы из § 14 уравнение C7) имеет об-
общий интеграл вида
g (*, У) ™ УхР/я I 1 + 2 Zh (х) Уь I = const.
43
Найдем аналитические выражения для коэффициентов
gk{x). Полагая
и = уХр/\ t « — In X,
уравнение C7) преобразуем к виду
du + umq+lc(uq)dt = 0.
Общий интеграл этого уравнения можно найти в форме
Функция f(u, t) удовлетворяет уравнению
Действительно, из общих теорем существования следу-
следует наличие у рассматриваемого уравнения интеграла
f(u, t) такого, что f(u, 0) = и. Этот интеграл можно
представить в виде ряда по степеням t с коэффициен-
коэффициентами, зависящими от и, причем ряд сходится в окрест-
окрестности точки t = и = 0. Коэффициенты }п последова-
последовательно определяются уравнениями
(п + 1) /п+1 (и) = umq+1c (ия) fn (и).
Полагая п == 0, находим, что /i имеет множителем umq+1.
Легко убедиться, что все последующие функции
/п (?г = 2, ...) содержат множитель iznw</+1. Следователь-
Следовательно, /(a, t) имеет вид
L
ftmu 1+ 2
где Rk (k = 1, 2,...) — многочлены или степенные ряды
по и9, в зависимости от того, будет ли с мпогочленом
или рядом. У ряда /(и, t) можно перегруппировать
члены, расположив их по степеням щ тогда
где Рк (к в 1, 2,...) — многочлены по t степени не вы-
выше к и не имеющие свободного члена. Если в }Ы, t)
заменить а и a yxp/q и f на - In x, то интеграл / будет
тождествен интегралу g, поскольку оба при хж 1
44
обращаются в у. Следовательно,
g (x> у) = узР'* 1+2 x™kPy™^Pk (- In яг) L
где Pk — многочлен по In x степени не выше п.
§ 16. Структура общего интеграла
в случае рационального к
Рассмотрим уравнение
х dy + у [-£ - с (хРуя) - xry*a {x, z/)] dx = 0, C8)
где
с1э с2, .. .<v —постоянные, afc(rc) (& = * + 1,...) — функ-
функции переменного д:. Пусть г > /п'р, 5 > wi'g.Положим
1| Л 1Ы1
= S
Предположим, наконец, что функция c(xpyq) + xry8 X
X а(#, у) удовлетворяет условию X — С — Л > 0. Общий
интеграл C8) в силу теоремы § 14 напишется в виде
/ (*, У) = y&/q | 1 + S /ft W УЧ = const,
L ft=i J
/(д:, у) — удовлетворяет уравнению
s/i - У Iplq ~ с (жрг/9) - xry*a{x, y)\f'y = 0.
Согласно § 15 функция
J
45
удовлетворяет уравнению
xgx — y[b — c (xPy*)] g'y = 0, k^ p/q.
Поэтому, если положить
fix, y) = q(x, у) + xx+r(pU, у),
то для ф получим дифференциальное уравнение
(к + г) ф + х<р'х — Хуу'у = — (с + xry'a) yq>'y — у'+1ау'у.
Будем искать функцию ф в виде
оо
Ф (*> У) = 2 Фа (х) */\
где <рЛA)«0 (ft = l, 2,...).
Коэффициенты ф*(#) находятся из уравнений
xq>'h - (ЛХ - X - г) фь == — i|)fe,
где tfifc зависят от коэффициентов функций я и с, а так-
также от тех ф,- и £», для которых i < к. Найдем мажоран-
мажоранты Фк функций ф*(#), заменив ah q{ и d соответствую-
соответствующими мажорантами. Для этого построим функцию
где Gh — мажоранты для gk(x) при х, изменяющемся
от нуля до единицы. Существование такой функции
было показано в § 14. Построим ряд
с неотрицательными при х = 1 коэффициентами
ФЛ (Ас = 1, 2,...) и такой, чтобы он удовлетворял диф-
дифференциальному уравнению
где А (у) — мажоранта для а(х, у). Это уравнение
имеет вид C5) и к нему применимы рассуждения из
§ 14. Поэтому ряд, представляющий функцию ф, схо-
сходится при \у\ ^ 1 и 0^#<1. Следует заметить, что
при п < s + 1 функции Фп s 0, как и функции F%,
46
F3,..., Pa (см. § 14). Поэтому cpfc (i = i, Й,..., s) --
же нули.
Таким образом, используя результаты из §§14 и 15,
приходим к следующей теореме.
Дифференциальное уравнение
х dy + у [-£ - с (sty«) - а^ва (х, у)] dx = 0, C8)
где г>т'р, s>m'q, с(хру9)— полином степени m no
хруч и функция с{хруя) + хту*а{х, у) удовлетворяет ус-
условию p/q — С — А > 0t имеет общий интеграл вида
Г т' 1
1+2 xkPyk*Pk (In x) + afj/sA (х, у) = с.
L A=i J
Функции Ph(\nx) СА: = 1, 2, ..., т') полиномы по \пх
степени, не превосходящей индекса к, h{x, у) имеет
вид
*(«.»)« S л* W у*.
где hh (fc = 0, I,...) — функции одного только х и ряд
hix, у) сходится при |г/1^1и(Х1
§ 17. Структура общего интеграла
в случае иррационального А,
Различные формы, которые можно придать уравне-
уравнению A5), позволяют установить свойства разложения
общего интеграла этого уравнения, а также вид чле-
членов в этих разложениях.
Как было показано, уравнение
xdy + ylX + yaix, i/)]cfa = 0 C9)
имеет общий интеграл
- с D0)
такой, что /A, у) = у. Если сделать замену перемен-
переменного, указанную в § 12:
то уравнение C9) приводится к виду
xdv + v[K + xrv*b{x, v)]dx = 0
47
и имеет общий интеграл
G(x, v) = хЫ1 + xfv*g{x, и)] « б.
Если в G заменить v на у[1 + 1(х, у)], то получим
функцию /£(#, у), которая, будучи приравнена к по-
постоянной, даст общий интеграл C9). Пусть
оо
у + 2 ад*
fe=2
— значение, которое принимает этот интеграл при
х = 1. Функция (fix, у), определяемая соотношением
Ф + 2 «*Ф* « Ж" (я, у),
ft=2
будет иметь вид
Ф {х, V)^K (х, у) + 2 ($„£" (x, у), D1)
где аь, pfc (Л == 2, 3, ...) — постоянные. Из способа по-
построения функции ср(#, у) следует, что она представ-
представляет собой интеграл C9), равный у при #=1. Следо-
Следовательно, фз/; отсюда вытекают следующие свойства:
1) члены в разложении /, содержащие у в степени,
меньшей чем 5+1, получаются, если в разложении G
взять только одно слагаемое Л и заменить в D1)
К{х, у) на ухх[1 + Е(х, у)], где
Е(х, у) ш ylx(x) + уЧ2(х) + ... + y-4-xiz)
есть сумма первых 5 — 1 членов ряда Кх, у), функции
U (i = l, 2, ..., 5 — 1) — ряды по целым степеням х.
Кроме того, из ряда D1) нужно взять только первые 5
слагаемых. Члены в разложении /, содержащие у в
степени не выше 5+1, тождественны с соответствую-
соответствующими членами выражения
ухЧ1 + Е) + p2jr W1 + ЯJ + ... + p.0Vx(l + ЕУ.
Вследствие этого при n<s коэффициент /п будет по-
полиномом по хк степени не выше /г. Коэффициенты это-
этого полинома — ряды по целым степеням х. Число 5
может быть взято каким угодно, и, следовательно, это
справедливо при любом п. Функции fh — полиномы по
х^ степени не выше к и коэффициенты этих полино-
полиномов— ряды по целым степеням х;
2) выделим в fix, у) члены, в которые переменное
х входит с показателем степени, не превосходящим а.
Предположим, что г ж s выбраны так, что
o<r, o<U+l)Jt.
Искомые члены можно получить из D1); для этого
нужно рассмотреть слагаемые, содержащие К в степе-
степени не выше s, и заменить К на ухх[1 + Mix, у)]. Вы-
Выражение
Mix, у) вв moiy) + xirtiiy) + ... +xr-lmr-.i(y),
где mkiy) есть ряды по целым степеням у, обозначает
сумму членов Их, у), которые не имеют множителя х\
Очевидно, что совокупность рассматриваемых членов
Poix, хк, у) имеет вид полинома по # и хк, коэффици-
коэффициенты которого ряды по целым степеням г/. Поэтому
можно написать
fix, у) = Paix, x\ y)+x°Raix, у),
где Ra имеет разложение, аналогичное fix, у). Функ-
Функция Ra ограничена при \у\ < 1, 0<#^l. Более того,
она стремится к нулю при х, стремящемся к нулю.
Действительно, члены, которые остаются в выражении
К + fcK2 + ... + $gK* после выделения части, входя-
входящей в Ра, содержат множитель х в степени выше а,
и частное от деления их на ха остается конечным в
рассматриваемой области, поскольку они выражаются
рядами, сходящимися в этой области. Такое же заклю-
заключение можно сделать и в отношении членов /, полу-
оо
чающихся из 2 Р/Дп(#>.*/)• Эти члены содержат
множителем #(Я+1)Х и послб деления на х° стремятся
к нулю вместе с х, поскольку a<is + l)K. Число а
может быть сделано как угодно большим, откуда сле-
следует, что / как функция переменного х полурегулярна
при х = 0 (см. § 10).
§ 18. Свойства общего интеграла
при рациональном к
Уравнение C9), имеющее интеграл D0), заменой
переменного, введенной в § 13, преобразуется в урав-
уравнение
xdv + vik-cixpyq)— xrv*aix,
4 г. Дюлак
й интегралом (§ 16) вида
G(x, и) в xKull + H(xpv\ xvvq In x) + xrh(x, u)\ = 6,
где Н — полином степени т по каждому из выраже-
выражений xpv9 и хрич In #. Пусть s > mg, г > тр.
Применим к рассматриваемому уравнению рассуж-
рассуждения § 17. Если в G переменное и заменим на yil +
+ Кх, у)], то получим интеграл уравнения C9), кото-
который обозначим через К{х, у). Интеграл D0) тогда за-
запишется в виде
Поэтому имеют место утверждения:
1. Члены /, которые содержат у в степени не вы-
выше 5, получаются следующим способом: рассмотрим в
G один член Л>A + #), заменим в этом выражении и
на 1/A + Е) и возьмем только те слагаемые, в которые
у входит в степени, меньшей s + 1. Подставим полу-
полученное выражение вместо К в
К + р2Я2 + ... +PJP. D2)
Для п < s функции fn в интеграле D0) будут полино-
полиномами по хх и хрЫх с коэффициентами, представимы-
ми в виде рядов по целым степеням х. Степени этих
полиномов по хх не выше w, a no xp In x не выше n/q.
Это свойство справедливо для любого п1 поскольку s
можно выбрать сколь угодно большим.
2. Выделим в / слагаемое, содержащее х в степе-
степени, не превосходящей а. Возьмем г и s такими, чтобы
г и U+DA, были больше а. Интересующие нас члены
получим из D2), если в этом выражении К заменим
на ихкA + Н) и и на у{1 + М). Рассматриваемые члены
будут иметь вид полинома Ра(х, #\ xpyqlnx) по степе-
степеням выражений х, ж\ хр, yqlnx. Коэффициенты этих
полиномов — ряды по степеням у. Так же как и в пре-
предыдущем параграфе, имеем
/-Ра(ж, х\ xpy<lnx)+x°R0(x, у),
где Д0 — функция, ограниченная при \у\ < 1, (Хх ^ 1,
и стремится к нулю при х, стремящемся к нулю. Функ-
Функция fix, у) — полу регулярная по х при х = 0.
50
§ 19. Функция соответствия
в окрестности характеристики,
проходящей через одно седло
Пусть особая точка Р с координатами хо, Уо есть
седло, в этой точке оканчиваются четыре дуги харак-
характеристики Гь Гг, Гз, Г4, попарно касающиеся двух
прямых; они делят окрестность точки на четыре сек-
сектора. Характеристики, расположенные в каждом из
них, образуют четыре существенно различных семей-
семейства. Будем изучать отдельно каждый сектор.
Пусть R — один из них, Fi и Гг — сепаратрисы,
ограничивающие этот сектор. Очевидно, Fi и Г 2 не
имеют общей касательной в точке Р. Предположим,
что при движении по Fi в сторону точки Р область й
остается справа и Гг будет правым продолжением Гь
Характеристика С, близкая к Гь пройдет в окрестно-
окрестности Гг, если она проходит в окрестности Fi, и в том
же направлении, что и Гь
Совокупность кривых Г] и Г2 образует характери-
характеристику Со, имеющую в Р угловую точку (см. § 3). Это
будет единственная характеристика в области Я, кото-
которую можно рассматривать как составленную из двух
характеристик.
Из результатов § 12 следует, что дифференциаль-
дифференциальное уравнение в окрестности Р можно, с помощью за-
замены переменных вида
с»
и = а (х — х0) + Ъ (у — у0) + 2 спк {х — хо)п (у — уо)\
n+fe=2
D3)
l>= 2 Упк {X - Х0)п (у - yQ)h
представить в виде
udv + vlX + vahi, v)]du = 0. C9)
Разрешив уравнение D3) относительно (х — #о) и
(у — Уо\ получим
во оо
knu^vn, y-yQ= 2 Bknukvn. D4)
а, Ь, спь, ifnft, Ahn, Bkn — постоянные.
Четыре полупрямых в плоскости и, v, определен-
определенные прямыми и = 0, v = 0, соответствуют четырем ду-
4* 51
гам характеристик Гь Гг, Гз, Г4 в плоскости ху. Каж-
Каждому из четырех секторов, образованных в плоскости
и, и прямыми и = О, и = О, соответствует сектор в пло-
плоскости ху, ограниченный двумя сепаратрисами из
Гь Гг» Гз, Г4. Можно предполагать, что рассматривае-
рассматриваемой области R в плоскости ху соответствует в пло-
плоскости ии сектор и > 0, v > 0. Предположим нако-
наконец, что переменные и, v таковы, что заменой D4) и
D3) общий интеграл уравнения C9) приводится к виду
с D5)
для всех и и v, лежащих между 0 и 1 (см. § 12, заме-
замечание 1 и § 14). Известно, что ДA) = 0 (к = 1, 2, ...).
Рассмотрим в плоскости uv квадрат O'A'D'B' со
сторонами, уравнения которых будут соответственно:
О'А'\ v = 0, О'В'\ и = 0, A'D'\ и = 1, B'D'\ v - 1. Ха-
Характеристика Сг уравнения C9), которая пересекает
сторону 5'Z)r в точке N'(u, 1) выйдет из квадрата, пе-
пересекая A'D' в точке (?'A, у), поскольку она не может
ни остаться внутри квадрата, ни пересечь стороны
О'А\ О'В' и B'D\ ни окончиться в особой точке О\
Для всех точек квадрата О'A'D'В' в силу интеграла
D5) имеем соотношение
Дуги Л/) и BD на плоскости ху, в которые заме-
заменой переменных D4) переводятся сегменты A'D' и
B'D\ играют роль кривых S и S' (§ 2). Координаты
и и i; точек N' и ()' определяют в силу формул D4)
положение точек N я Q, точек пересечения характери-
характеристики С в плоскости ху с дугами AD и J5D. Характе-
Характеристике Со, образованной двумя дугами Т\ и Гг, соот-
соответствуют сегменты О'А' и 0ГВ' плоскости uv, игра-
играющие роль дуги М0М0 характеристики Со (§ 2).
Таким образом, получаем функцию соответствия
между точками пересечения характеристики С, близ-
близкой к Со с двумя дугами кривых AD и BD в случае,
когда на дуге ВРА лежит одно седло Р.
Эта функция соответствия v = иЧ1 + /(»)] вообще
не голоморфная, но обладает свойствами, установлен-
установленными в §§ 17 и 18, которые позволяют использовать
52
функции /Ы, полурегулярные в точке ц = 0, таким
же образом, как и ряды по целым степеням и.
Замечание. Рассмотрим две дуги S и S', пере-
пересекающие сепаратрисы Fi и Г2 в точках Мо и Л/о так,
что па дугах АМ0 и ВМ0 кривых Т\ и Г 2 нет особых
точек. Легко установить вид функции соответствия
между точками М и М' пересечения дуг S и S' с ха-
характеристикой С, близкой к Со. Будем считать, что для
дуг 5, S' и их расположения относительно Со выпол-
выполнены предположения 1), 2), 3) и замечание § 2.
В частности, координаты точки М. на S будут функ-
функциями параметра t. Эти функции голоморфны при зна-
значении параметра t = О, соответствующего точке Л/о. Ко-
Координата точки Л/' на S" есть функция параметра t\
голоморфная при t' = 0, соответствующем Ы0.
Предположим, что характеристика С, близкая к Со,
следует в направлении М0РМ0 и встречает:
1) S в точке Л/ с параметром t\
2) дугу ЛО в точке N с параметром и;
3) S' в il/' с параметром *';
4) J5D в Q с параметром у;
На дугах MqA и J9Af0 кривой Со нет особых точек,
поэтому будем иметь
*' = аиН + АЫ], и = Ш + git)],
где а и Ъ — постоянные, отличные от нуля; АЫ, g
голоморфные функции такие, что g@) == О, МО) == 0;
используя уже имеющуюся зависимость
получим
ЬХЛ[1 + Ж)] Г = abkm + Git)],
где с — постоянная, отличная от нуля; II и G — функ-
функции переменного t, которые (согласно § 10) будут по-
полурегулярными и равными нулю при t = 0, поскольку
/(и) — полурегулярная функция и, равная нулю при
и = 0. Установленная зависимость между t' и t имеет
место, если t достаточно мало. Как и в § 2, легко уста-
установить, что если М достаточно близка к Л/о, характе-
характеристика, пересекающая S в точке Af, будет пересекать
£' в точке Л/', близкой к Мо. Этот результат может
53
быть также получен при помощи рассуждений, анало-
аналогичных тем, какие проведены Бендиксоном (стр. 19).
Уравнение, связывающее t и t\ можно разрешить от-
относительно t; тогда получим
где с • с' = 1, X • V = 1. Функция K(t') полурегулярная
и равная нулю при t' = 0. Чтобы получить зависн-
* мость между t и t' в этой форме, достаточно провести
рассуждения, подобные изложенным выше, но в обрат-
обратном порядке.
§ 20. Характеристика в окрестности цикла,
проходящего через одно седло
Рассмотрим особый цикл Со, проходящий через
седло Р и не имеющий других особых точек. Этот
цикл, согласно изложенному в §§ 3 и 19, имеет фор-
форму петли с угловой точкой в Р. На основании § 19
можно заключить, что характеристики, близкие к Со,
будут только те, которые расположены в области R
внутри Со. Всегда можно предполагать, что области R
соответствуют в окрестности Р часть плоскости uv,
для которой и и v положительны. Найдем условия, при
которых в области R существуют замкнутые характе-
характеристики, близкие к Со. Сохраним те же обозначения,
что и в предыдущем параграфе. Пусть S — дуга кри-
кривой BD, соответствующей сегменту B'D'. Обозначим
$' Дугу кривой AD, соответствующей сегменту A'D'\
Цикл Со пересекает дуги S и 5" в точках А и В, кото-
которые определяют на Со две дуги АРВ и BIA. Построим
характеристику С, близкую к Со и продолженную в
направлении ВРА1В. Характеристика С пересекает
кривую S в точке N с параметром и, дугу S' в точке
Q с параметром v и вновь пересекает S в N\ с пара-
параметром щ. Согласно § 19 имеем зависимость
D6)
оо
Из результатов § 2 следует, что у = 2 ahuu посколь-
ку на дуге А1В кривой Со нет особых точек и дуги S
и S' не касаются характеристики Со в точках А и В,
54
СледоватеЛЬЙб,
Это соотношение легко разрешить относительно и или
щ. Зависимость между и и п\ дает функцию соответ-
соответствия, связывающую параметры двух последовательных
точек пересечения дуги S с характеристикой С. Чтобы
характеристика С была циклом, необходимо и доста-
достаточно, чтобы точки N vl N\ совпадали, т. е. чтобы
с»
2 али* = и41+/(")]. D7)
Очевидно, что если ЯтМ, то это соотношение не будет
удовлетворяться ни при каких значениях и, близких
к нулю; следовательно, не существует замкнутых ха-
характеристик, близких к Со.
Если Xе 1, то могут представится два случая:
1) точка Р — центр1), т. е. с помощью надлежащей
замены переменных D4) уравнение A5) может быть
приведено к виду
udv + udu = 0.
В этом случае /(и) =з 0. Соотношение D6) имеет вид
и = и, а D7) перейдет в
с»
2 ^ = и.
£слц ai = 1 u ah = 0 (Л = 2, 3, ...), го все характери-
характеристики, близкие к Со, есть циклы. Если эти условия не
удовлетворяются, то ни одна из характеристик, близ-
близких к Со, не может быть замкнута-,
2) точка Р — фокус. Это означает, что в интеграле
D5) функции Д(ц) содержат члены с In и. Покажем,
что в этом случае ни одна из характеристик, близких
к Со, не замкнута.
Соотношение D7), согласно § 18, при любом поло-
положительном а можно записать в виде
Р„(в, и In ц) + и°Я0Ы = 0, D8)
где Ро — полином по степеням и и и In u, все члены
1) О центре и фокусе в случае седла см. мемуар Дюлака
[18], с. 21-22.
55
р ito бтйоШеиию к и бесконечно малые йдряДка
не выше о, Ra стремится к нулю при и> стремящемся
к нулю.
Покажем вначале, что существует целое v такое,
что при о < v полином Р0 тождественно равен нулю,
а полином Pv отличен от нуля.
Тогда многочлен Pv имеет вид uvP(ln и), где Р —
многочлен по степеням In и, выражение D8) при
а = v обратится в
Для малых и это уравнение не имеет решений. Следо-
Следовательно, не существует циклов, близких к Со.
Остается доказать, что такое v, для которого Pv ^ О,
существует. Действительно, если бы для любого о мно-
многочлен Ро был равен нулю, то левая и правая части
D7) до членов степени пе выше а были бы тождест-
тождественны. Это означает, что правая часть не содержит
членов с 1п и.
Она получается, если в интеграле D5) положить
v ?= 1. Значение и ~ 1 не имеет пикакого преимуще-
преимущества перед другими, так как, заменяя у па су в диф-
дифференциальном уравнении C9), можно и = 1 поста-
поставить в соответствие любое число, и вид интеграла D5)
при этом сохранится. В силу этого член с In и не мо-
может исчезнуть при и = 1.
Дадим другое доказательство того, что Pv ^ 0. Ес-
Если не имеет места случай центра, то постоянные с\,
С2, ..., ст, полученные в § 13, не могут быть все рав-
равны пулю.
Пусть Cm *= if — первая из этих постоянных, отлич-
отличная от нуля. Тогда уравнение C7\ рассмотренное в
§ 15, при X = р = q == 1 имеет вид
xdy + yll — 4znymldx = 0,
и его интеграл, согласно § 15, будет
g{x, у) ^xyll + тчхтут1пх]~]/тя.
Если теперь написать дифференциальное уравнение
C9) в виде, рассмотренном в § 16, где m' = m,
г > т, s> m и заменить х и у на и и у, тогда в инте-
интеграл D5) войдет член уц\ который при Я = 1, у=1,
п{ = 1 в равенстве D7) сократится с соответствующими
членами в левой части. В этом случае единственный
56
член интеграла D5) со степенью по переменному и,
меньшей чем т + 2, не сокращающийся в уравнении
D7), будет чит+1ит*1 In и.
Следовательно, если а\ Ф 1, то v = 1, а если а = 1,
то v = т+ 1. В результате предыдущих рассуждения
приходим к выводу. Всегда можно построить внутри R
кольцевую область А, ограниченную с одной стороны
циклом Со, такую, что в ней возможны только два
случая:
1) ни одна из характеристик в А не является
циклом;
2) все характеристики^ расположенные в Л,—
циклы.
Первый из указанных случаев — общий. Для вы-
выполнения второго случая необходимо, чтобы Х = 1, точ-
точка Р была центром (постоянные с» § 2 все нули) и чтобы
выполнялось бесконечное множество других условий.
§ 21. Особые циклы, проходящие
через несколько седел
Рассмотрим особый цикл, проходящий через не-
несколько седел. Предположим, что эти седла встреча-
встречаются в порядке
Ри Р2, ..., Рп, Ри
когда цикл Со обходится в некотором направлении.
Цикл Со образован дугами сепаратрис, идущими из од-
одного седла Р{ в другое седло Pi+i (i = 1, 2, ..., п).
Согласно сказанному в
§§ 3 и 19 цикл Со в каж-
каждом седле имеет угловые
точки. Окрестность особой
точки Ри в которой будут
рассматриваться характе-
ристики, близкие к Со,
вполне определена: это
сектор с углом, не превос-
превосходящим jt, и ограничен- рис ^
ный двумя сепаратрисами,
идущими из точек P<~i и
Р1Ч1 в точку Pi. Будем рассматривать только такие цик-
циклы Со, для которых область /?, ограниченная Со, содер-
содержит секторы каждого из седел Pi (i = 1, 2, ..., /г). Это
57
позволяет выделить характеристики, расположенные
в /?, близкие к Со.
Если особый цикл Со имеет двойную точку, то он
должен обходиться таким образом, чтобы рассматри-
рассматриваемые дуги не пересекались (рис. 1).
Так циклом должен быть РАА'РВВ'Р, но не
РА'АРВ'ВР. Подобные циклы или полициклы обра-
образуют на плоскости более двух
областей. Изучение характерис-
характеристик в каждой из этих областей
существенно зависит от харак-
характера области. Например, на
рис. 1 три области, помеченные
цифрами 7, 2, 3. Изучение ха-
характеристик, расположенных в
областях 1 и 2, ограниченных
соответственно циклами РАР и
РВР было проведено в § 19.
Характеристики, расположен-
расположенные в области 3, ограниченной
циклом РА'А'РВВ'Р, и близкие
к нему, должны рассматривать-
рассматриваться как характеристики, прохо-
проходящие вблизи двух седел.
Действительно, эти характери-
характеристики проходят дважды вблизи седла Р и его следует
считать за два седла. На рис. 2 четыре седла Pi, Рг, Рз,
Ра расположены на изображенной кривой таким обра-
образом, что получается шесть областей, помеченных циф-
цифрами 1, 2, 5, 4, 5, б; соответствующие им циклы:
1. Р1Р2Р355/РзР4СРь 2. PiP
3. Pi£P4FPb 4. PXF
5. Р2АА'Р2, 6. РЪВВ'РЪ.
Характеристики в области 1, близкие к циклу 1, долж-
должны рассматриваться как проходящие вблизи пяти се-
седел Pi, P2, Рз, Рз» Р4. Седло Рз должно рассматривать-
рассматриваться дважды. Точно так же для характеристик области 2,
близких к циклу 2, седло Рг считается два раза. Ха-
Характеристики, расположенные в области 3 и 4, близ-
близкие соответственно к циклам 3 и 4, проходят вблизи
двух седел Pi и Р4. Характеристики, расположенные
в областях 5 и б, близкие соответственно к циклам 5
и 6, нроходят вблизи только одного седла,
§ 22. Характеристики, близкие к особому циклу,
проходящему через несколько седел
Пусть цикл Со проходит последовательно через сед-
седла Pi, P2, ..., Рп при обходе в определенном направ-
направлении. Некоторые из седел могут совпадать, тогда они
должны рассматриваться так, как это объяснено на
рис. 1 и 2. Седла, в окрестности которых характерис-
характеристика С, близкая к Со, проходит дважды, будут обозна-
обозначаться двумя индексами.
Каждому седлу Р<, проходимому в направлении
Pi-.\PiPi+\, соответствует показатель Я*, значение кото-
которого получается в результате приведения дифференци-
дифференциального уравнения, заменой переменных типа D3) к
виду
и dv + vlh + va{v, и)]du = 0.
Дуге Pi-\Pi соответствует в плоскости и, и положитель-
положительная часть оси и = 0, дуге P<P<+i соответствует положи-
положительная часть оси v = 0. Если Р< и Р} — одно и то же
седло, проходимое дважды, то Я* = А,,-.
На каждой дуге P<P<+i возьмем точку М{ и прове-
проведем дугу кривой S^ пересекающую Со в Ми За дуги
Si можно брать прямые, в частности отрезки, парал-
параллельные координатным осям. Пусть U есть значение
параметра, фиксирующего положение точки iV, на Su
ti должно обращаться в нуль, когда точка N{ совпада-
совпадает с Ми Точка Мп будет расположена между Рп и Pi.
Рассмотрим характеристику С, близкую к Со и пе-
пересекающую Sn в точке N с параметром t. Известно,
что если JV достаточно близка к Л/п, то эта характери-
характеристика будет при своем продолжении проходить в на-
направлении PrtPi, ... P«~iPn» встречая последовательно
все кривые Si в точках Nt с параметрами t{ и, в част-
частности вновь встретит Sn в точке с параметром tn. Со-
Согласно § 19 имеем зависимость
D9)
59
где ci, <?2, •-•', ёп — отличные от нуля постоянные,
Fi(U-\) — функции переменного и~\, полурегулярные
и равные нулю при u-i =* 0. Возведем обе части вто-
второго уравнения в степень А,п, обе части третьего урав-
уравнения в степень %п • A,n-i и т. д., предпоследнего в сте-
степень Jin -Хя-i ... ^з и последнего в степень кп -К-\ ...
... Яз • Ая- Перемножая полученные таким образом ра-
равенства, будем иметь
vn - Я„, E0)
vl = ^п'^л-1* • -^1»
vn vn-1 v2.
Ci = Cn'Cn-i" »Ci ,
«„ = ClfVl [1 + Fn (*»-i)l •. • [1 + Fi @1V2- E2)
Для того чтобы характеристика С была замкнутой,
необходимо, чтобы tn = t. Полагая в E2) tn = t, поде-
поделим правую и левую части на t. Если принять во зни-
мание, что Fn(^n-i), ..., Z^iU) стремятся к нулю при /,-,
стремящихся к нулю, получим, что равенство tn = t
возможно, если
v;=!' E3)
С[ = 1.
Таким образом, имеем два необходимых условия
для того, чтобы существовали Циклы в окрестности Со.
Первое условие алгебраическое, ибо числа Kt могут
быть получены алгебраическими вычислениями. Усло-
Условие же с\ = 1 не алгебраическое, потому что числа
Ci (i = 1, 2, ... п) вычисляются не алгебраическим ме-
методом. Если рассмотрим, например, особый цикл Со,
изображенный на рис. 1, РА'АРВВ'Р, который два ра-
раза пересекает седло Р, имеющее показатель X, то в
этом случае п = 2, ?ц = %2 — X.
Для того чтобы характеристики, близкие к Со были
циклами, необходимо чтобы № = 1, т. е. К = 1.
Таким образом, в общем случае в кольцевой окрест-
окрестности цикла, проходящего через несколько седел, не
существует других циклов. Покажем, что при более
детальном изучении вопроса имеет место заключение,
аналогичное тому, которое сделано в § 20.
60
§ 23. Исследование функции соответствий
между t и tn
Найдем зависимость между t ъ tn непосредственно
из равенства D9), воспользовавшись соотношениями
E0) и E1).
Заменяя £n-i в первом из уравнений D9) его зна-
значением из второго уравнения, получим
t
tn =
Выразив также tn-2 через £п-з, будем иметь
tn = cn_/nnSd2[\+Kn_2(tn_s)l
и, продолжая далее, получим, наконец, соотношение
t« = ci*v«[l + £i(t)]. E4)
Согласно сказанному в § 10 все функции К{ полу-
полурегулярны при ^-1 = 0 и К{@) = 0. Это свойство вы-
полпяется при i'=*n—1, тг —2, ..., 1, поскольку каж-
каждый раз в полурегулярную функцию подставляем по-
полурегулярную.
Основное соотношение v = иЧ1 + /(u)], доказанное
в § 19 и положенное в основу наших рассуждений,
справедливо при 0 ^ и ^ 1. Последовательные подста-
подстановки, которые приводят к формуле E4), уменьшают
интервал изменения £, но не могут свести его к нулю.
Существует положительное е такое, что равенство E4)
будет справедливо для 0 ^ t < e. Все большее услож-
усложнение функции Ki по мере уменьшения индекса не
может изменитьхприроду функции в проводимых рас-
рассуждениях. Действительно, по определению полурегу-
полурегулярных функций можно каким угодно способом рас-
расположить члены функции Ki по возрастающим степе-
степеням t, отыскивая в начале слагаемые, порядок которых
не выше единиц, затем слагаемые, порядок малости
которых не выше двух, и т. д. Легко найти выраже-
выражение Ки Положим
Члены Kn-\(t) содержат только степени t и Г, где v
принимает два значения: Яп-1 и Хп-\ '^п. Если Jin-i или
Хп — рациональные числа, то к этим слагаемым необ-
61
ходимо добавить еще степени Pint. Таким образом,
установлено, что при у == лг — 1, Kj(t) содержит только
степени £ и Г и, может быть, еще С In £, где v прини-
принимает вначения
v = vj (*«/,/ + l,...,*)• E5)
Покажем, что Kj-\(t') содержит только степени
t', *'v' и, может быть, tfV' In *',где v' принимает зна-
значения
v' = vj_, (* = /-1, /,..., n). E6)
Действительно, принимая tj-% и t}~\ за t', имеем
Заменяя в E7) и его выражением из E8), получим
Рассмотрим выражение uv, которое входит в Kj для
значений v, заданных равенствами E5). Величина и*
зависит от t' и содержит только степени t/v для
v' = vkj-\. Значения vr задаются формулами E6). Со-
Содержащиеся в E7) члены с uvlnn и слагаемые с
*/Л'-Чп$'в E8) легко переводятся в члены c^/V Int' в
Используя соотношения E4), можно определить те
случаи, когда кривые близкие к Со, будут циклами.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы tn = t, и сно-
снова получаем два условия E3), найденные ранее.
Если эти условия выполнены, то необходимо и до-
достаточно, чтобы, кроме того,
0. E9)
Покажем, что если #iU)#0, то существует поло-
положительное число т] такое, что уравнение E9) не имеет
ни одного корня между Оит].
Функция К\ — полурегулярная при t = 0. Поэтому
можно найти такое целое число а, что
где P0(t) — полином, не равный тождественно нулю,
имеющий порядок малости по t выше о — 1, но не вы-
ше о. Функция RM) стремится к нулю при £, стремя-
щемся к нулю. Выберем среди конечного числа чле-
членов Ра те, порядок малости которых наивысший. Эти
члены можно написать в виде t°B, где В — отличная
от нуля постоянная, а в более сложных случаях поли-
полином по In t. Следовательно, В имеет вид Ж1п t). Поде-
Поделив равенство E9) на Г, получим
где Sit) стремится к нулю при t, стремящемся к ну-
нулю. Это уравнение не имеет корней, близких к нулю.
Из проведенных рассуждений можно заключить:
В окрестности Со всегда существует кольцевая об-
область А, ограниченная с одной стороны циклом Со так,
что в ней возможен только один из следующих слу-
случаев'.
1. В области А нет ни одной замкнутой характе-
характеристики.
2. Все характеристики, проходящие в А^—циклы,
Ч А С Т Ь 2
ЦИКЛЫ, ПРОХОДЯЩИЕ В ОКРЕСТНОСТИ
СЛОЖНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
§ 24. Форма дифференциального уравнения
в окрестности исключительной особой точки
Особую точку будем называть исключительной,
если после переноса ее в начало координат и надле-
надлежащего выбора координатных осей дифференциальное
уравнение можно привести к виду
Х2(х, y)dy + ly+Y2(x, y)]dx = 0, F0)
где Х2 и Y2 — полиномы или ряды по целым степеням
переменных х и у, начинающиеся с членов не ниже
второй степени. Известно1), что заменой переменных
вида
х = xi + F2(xu уО, у = у\ + G2(xu уО,
где F2 и G2 — ряды, содержащие члены только выше
первой степени по х и г/, дифференциальное уравне-
уравнение F0) приводится к виду
Zi+1dyx + [аух + хху±А (хх) +
+ у\В (ух) + С (хх) + х1У\Ф (xv у,)} dx1 = 0, F1)
где а — постоянная, отличная от нуля, п — целое
число, А, 5, С* и Ф — ряды по целым степеням Х\ и
У\ соответственно и С@) = 0. Покажем, что можно
подобрать такую замену переменного, что С(х\) будет
начинаться с члена п + 1 степени. Приравняем нулю
коэффициент при dx\ в F1), разрешим это уравнение
1) Дюлак [18], с. 59.
64
относительно переменного у\, получим t/i /ii
Обозначим через cpn(#i) члены со степенями ниже
и+1, входящие в у\(х\). Проделав в уравнении F1)
замену переменного у\ = q>n(#i) + zb получим
z\B (zt) + Сг (хх) + ztz\O fa, z±)] dXl = 0,
где С\(х\) начинается с члена не ниже п + l степени
по переменному х\. Для дальнейших рассуждений бу-
будет полезно показать, что с помощью замены пере-
переменных возможны следующие упрощения дифферен-
дифференциального уравнения F1):
1) можно считать BiyO тождественно рдвным
нулю;
2) можно Х[А(х\) заменить на Ъх{, где Ь — посто-
постоянная, которая может быть и нулем;
1. Чтобы привести к случаю, когда В за 0, запи-
запишем уравнение F1) в виде
^х + у\В (ух)
(-)+^к)+^фк,УI
Построим функцию z(y\) такую, что
az
Это уравнение имеет бесконечно много голоморфных
решений z(yi), равных нулю при i/i = 0. Среди этих
решений выберем функцию вида
2 F3)
где / — ряд по целым степеням у\. Делая замену пере-
переменного F3) в уравнении F2), приведем его к виду
<ix dz+dX+^гл (^>+^j t ;Ci {Xv z) ^ - °
i dz+dXl+^j t ;C ^ - °»
аг » l > а2 [1 + 2/1B)] x '
где h(z)— функция голоморфная и равная нулю при
z = 0. Умножая обе части уравнения на az, получим
xl+ldz + [az + xLzA (xx) + С (хх) + ххг*Ф2 (х±, z)] dxx = 0.
5 г. Дюлак 65
2. Чтобы показать возможность замены х\А{х\)
на Ъх\ рассмотрим уравнение
а + х А (хх)
Покажем, что при надлежащем выборе постоянной Ь
это уравнение имеет голоморфное решение #2 = /(#i),
равное нулю при х\ = 0. Положим
Х2^ЮХ\ + Х\. F4)
Тогда получим уравнение
[а + Ьх[ A + w)n] • \xydw + (i + w) dx±] -
= (w + 1)»+Ча + xlA(x1)]dx1,
которое можно записать следующим образом:
х1{а + Ъх" + ...) div =*
= {паш + ел + •••"" ba^i + ...) dxx,
где выписаны только члены наинизшей степени как
среди членов, содержащих Ь, так и среди членов, не
зависящих от Ь. Будем искать решение этого уравне-
уравнения в виде ряда
Коэффициенты ak определяются из уравнений
= Ph, F5)
где Ph — полином, зависящий от коэффициентов aq,
для которых q<k, и коэффициентов ряда -4(#i). Лег-
Легко найти аА, если к<п. Эта группа коэффициентов не
зависит от 6, для А = п уравнение F5) примет вид
O^Pn — b. Положим Ь==РП, и тогда ап будет произ-
произвольным. Принимая, например, ап = 0, можно опреде-
определить коэффициенты ah и для к > и. Очевидно, что
полученное такпм образом разложение w будет схо-
сходящимся рядом для достаточно малых х\. Сделав в
уравнении F1) подстановки F3) п F4), получим
l -j- И (х,) + x%z*F {xv z)] dx8 = 0. F6)
В результате от уравнения F0) заменой переменных
х = хг + f\ (хг, уг)\ y = yL + G2 (a?lf yt)
z =* Ух + уЬ'Ш'* x2=xl[l+w (xx)]
можно прийти к уравнению F6). Ряд w не имеет
свободного члена, и, очевидно, эти подстановки при-
приводятся к виду
#2 = х + Q2(x, у); z = */ + R2(x, у),
где ^ и /?2 — ряды, начинающиеся с членов не ниже
второй степени, по х и у»
§ 25О Поведение характеристик
в окрестности исключительной особой точки
Чтобы исследовать характеристики уравнения F0)
в окрестности точки х — 0, у = 0, достаточно рассмот-
рассмотреть уравнение F1) вблизи точки ^i—O, г/i = 0;
опуская индексы, запишем это уравнение в виде
C(x) + ху2Ф(х, y)]dx - 0. F7)
Известно (Бендиксон, с. 45), что если рассматри-
рассматривать характеристики, проходящие через точки, близ-
близкие к началу координат и расположенные в области,
где х>0, то могут представиться два случая:
1. Еслп а < 0, то у стремится к нулю при х%
стремящемся к нулю па каждой из характеристик.
Все кривые проходят через начало координат.
2. Если а>0, то существует единственная, отлич-
отличная от я = 0 характеристика, проходящая через нача-
начало координат. Пусть ее уравнение будет у = у(х).
В обоих случаях характеристики, отличные от
# = 0, оканчиваются в начале координат, касаясь
прямой у = 0. Действительно, все характеристики,
оканчивающиеся в @, 0), имеют определенные каса-
касательные. Чтобы найти эти касательные, положим
x — ty, Тогда уравнение F7) приводится к виду
[а + yh{ty)] lydt + t dy] + tn+]y"dy - 0. F8)
Если t стремится к конечному пределу, когда у стре-
кйтся к нулю, то предел й силу F8) может быть
только t = 0. Но это невозможно, ибо в плоскости у, t
для уравнения F8) точка t = 0, у = 0 — седло. Через
вту точку цроходят две характеристики Z = 0 и z/ = 0.
В плоскости х, у им соответствует характеристика
х = 0 и не могут соответствовать рассматриваемые
характеристики. Следовательно, t должно неограничен-
неограниченно расти, когда хну стремятся к нулю.
Известно, что в случае а > 0 функция у = фЫ,
соответствующая характеристике, оканчивающейся в
начале координат, вообще не выражается рядом по
целым степеням х. Эта функция полурегулярная при
х = 0. Каково бы ни было а, можно записать:
где Ра — полипом степени о и Ro стремится к нулю
при я, стремящемся к нулю. Если предположить, что
С{х) имеет множитель хп+{ (это можно сделать в силу
рассуждений § 24), то многочлен Ра при а>п+1
будет также иметь множитель xn+l.
Исследуем теперь характеристики, близкие к на-
началу координат и расположенные в области х < 0.
Для этого достаточно заменить х на —х.
Очевидно, будут иметь место следующие четыре
случая:
1. а < 0, п — четное. Все характеристики оканчи-
оканчиваются в @, 0).
2. а < 0, п — нечетное. В области х > 0 все харак-
характеристики оканчиваются в @, 0). Только одна харак-
характеристика из области х < 0 оканчивается в @, 0) и
вместе с двумя полуосями Оу она ограничивает два
отталкивающих сектора.
3. а > 0, п — четное. Четыре дуги характеристик
оканчиваются в @, 0). Две из них образованы двумя
полуосями Оу. Две другие касаются оси Ох: одна со
стороны положительных ж, другая со стороны отрица-
отрицательных х. Эти характеристики ограничивают четыре
отталкивающих сектора.
4. а > 0, п — нечетное. Все характеристики, распо-
расположенные со стороны отрицательных #, оканчиваются
в @, 0), и только одна характеристика со стороны
х > 0 оканчивается в @, 0). Вместе с двумя полуосями
Оу она ограничивает два сектора отталкивания.
Из проведенных рассуждений и из всего сказан-
сказанного в §§ 3, 4 следует, что особые циклы, проходящие
через исключительную особую точку, содержат часть
оси Оу и ее продолжение через точку @, 0). Можно
предположить, изменяя направление осей, что часть
оси Оу, которая принадлежит циклу, расположена со
стороны положительных у и что ее продолжение рас-
расположено со стороны положительных х. Следователь-
по, достаточно рассматривать только случаи 3 и 4,
предполагая а > 0, и изучать характеристики, распо-
расположенные в области х > 0 над характеристикой, ка-
касающейся оси Ох в @, 0).
§ 26. Упрощение дифференциального уравнения
в окрестности исключительной особой точки
Используя результаты, установленные в § 24, за-
запишем уравнение F6) в виде
= 0, F9)
где а — положительно; /7 — ряд по степеням х%, на-
начинающийся с членов степени не ниже тг + 1. Пусть
z = ф(#2)—единственное решение, такое, что z стре-
стремится к нулю при х2, стремящемся к нулю. Проделав
замену переменного z = ф(^) + и>, уравнение F9)
приведем к виду
+ 2 (* + 1) ФН1 (*г) «i (*a) + 2 bi (*2) ""I dx2 - 0,
i=l i=l J
где bi(x2) — полурегулярные функции в окрестности
х2 = 0.
Положим w = z{k{x2) и покажем, что при надле-
надлежащем подборе Х(х2) уравнению можно придать вид
zl + zx a + Ъх\ + 2 zlpt {x2) dx2 = 0, G0)
где функции 6 и р,-~ полурегулярные и равные нулю
при х2 = 0. Для этого достаточно, чтобы
i + 1) <Pi+1 (х2) а, (х2) =
= а + Ья&
ф(х2), так же как и Жх2), имеет множитель x£+l.
Полученное уравнение можно представить в виде
V ===Xg(x2I и поэтому
j git)dt
Очевидно, что Gi^)— функция полурегулярная и
равная нулю при х2 = 0.
Уточним область, в которой имеет смысл рассмат-
рассматривать уравнение G0). Можно предполагать, что в
оо
уравнении F9) ряд 2 аг (^2) zi+1 сходится при Ы < е,
ii
и что в этой области
не пре-
восходит Л/. Члены рассматриваемого ряда (по мо-
модулю) при \х2\<гг меньше соответствующих членов
с. Мг
разложения по степеням z выражения £ = \ __ .
Заменяя в этом выражении z на
f ]1 G1)
будем иметь
- ЧР (*в) - *х [4
Л/8
е -
Можно предполагать г' настолько малым, чтобы
функции Н{х2) и фСагг) были определены при всех
(Хя^^в' и чтобы для этих значений х2 выполня-
выполнялись неравенства
lq>(s,)l<e/2; \i+G(x%)\<2; а + Ъг'п>0. G2)
70
Каждый член разложения £ по степеням z будет,
следовательно, меньше по модулю соответствующего
2Ме
члена в разложении Е„ 2^| 1+ 6'(^2) |'
Слагаемые, в которые Z\ входит в степени выше
первой, будут равны слагаемым с той же степенью в
разложении
ь- е(е — 2-г | 1 + G\y
оо
Члены ряда S^iP^fe) получаются из членов ряда
ОО
2 zA+1ocft (x2) заменой z выражением G1) с после-
оо
дующим делением на Z\{l + G). Члены ряда 2 ziPfc
будут, следовательно, по модулю меньше соответствую-
24Mz
щих членов разложения —г-—т~Т' Если положить
х2 = eV, па = —; Л{ (и) = —^- , G3)
8 8
то уравнение G0) приводится к виду
гг + zx \па + Ъип + 2 zl*i (^) им = 0.
оо
При 0 ^ и < 1 члены ряда 2 &{ (гг) 2Х по модулю
будут мепьше членов с той же степенью zx в разло-
разложении
е'п (е - 4zx) e'
Вместе с тем при 0 ^ w ^ 1 имеет место неравенство
па-\- Ьип > пс, где с, согласно G2),— положительное
число. Из полученного неравенства следует, что если
оо
0 ^ и ^ 1, то выражение па + {щп + 2 zi^i (u) может
г=1
обратиться в пуль при значении z\, по модулю боль-
больше того, которое удовлетворяет уравнению пс —
71
2
= 0. Пусть 0 < г) < г/ч есть постоян-
постоянe'n(e-«
ное такое, что
2 Л/ ПС (8 4Т]) (Н£\
~77Г~; ^ • \*Ъ)
Если положить
fr. (U)
zx = Tjy; /ц (и) = -^-у-, G6)
то получим уравнение
а + Ьип + 2 o^i (w) dw = 0. G7)
i=l J
oo
Коэффициенты ряда 2 <;|'г* iu) будут при 0<u^l
по модулю меньше соответствующих членов G4), где
%\ заменено на r\v. Заменяя одновременное в этом
выражении М его значением из G5), получим
пс (е — 4г|) и . .
— ___ , » полагая 6 == 4т)/е, будем иметь
*с(*-в)». G8)
Коэффициенты разложения в ряд по степеням v вы-
выражения G8) служат мажорантами для функций
ht(u).
Уравнение G7), которое в дальнейшем будет рас-
рассматриваться, имеет смысл при (X и < 1, 0<у< 1/0.
Так как 8 < 1, то область изменения v можно брать
от 0 до 1. При этих условиях коэффициент при du в
уравнении G7) положительный, поскольку па+Ьип>
> пс, в то время как (согласно G8)) сумма абсо-
оо
лютных значений членов ряда 2 у*/ц(м) меньше
г=1
или равна пс.
§ 27. Приведенная форма
дифференциального уравнения
Чтобы придать уравнению G7) возможно более
простую форму, будем предполагать, согласно § 21,
что в уравнении F1) функция 2?(yi)s0? т. е, оно
72
Приводится к виду G0) или G7), где (Jft@)=0, 7^@)=*
= 0. Пусть s — произвольное целое положительное
число. Поскольку Eй(а) — полурегулярпые функции
при и = 0, уравнение G7) можво записать в виде
un+4v+Vdu = 0, G9)
где
S-1
V = {па + Ьип) и + v2 2 uVi М + "
/i, ..., /s-i — ряды по целым степеням у; F(u, у)-—ряд
по степеням у, коэффициенты которого полурегуляр-
полурегулярные функции м, равные нулю при а = 0.
Покажем, что заменой переменного вида
z = K{u, у) (80)
уравнению G7) можно придать форму
un+xdz + zYna + bun + zusm{u, z)]da = 0, (81)
где т — ряд по целым степеням z, коэффициенты ко-
которого полурегулярные функции переменного и при
и = 0.
Сделав замену переменного (80) в уравнении G9),
получим
мп + id2 + (VK'V - u^1 ^) du = 0.
Чтобы это уравнение имело форму (81), после замены
переменного у в функциях КТ и /?и его значением
через z и м, достаточно потребовать выполнения тож-
тождества
Эго будет иметь место, если выражение
Л' - {an + fcu") у + и2 2 M'/i (у) I Я'* —
L i=i j
K'u — {an — bun)K
up содержит членов, в которые и входит в степени,
меньшей чем 5. Будем искать АЧа, у) в виде суммы
, у) ^ /со(у) -Ь м/с,(у) + ... + u'-'A.-id;) + и'йДу).
Чтобы найти коэффициенты /с0, fti, ..., /c,_i, наишпем
73
ё того, что члень! в выражении М, которые
содержат и в степени, меньшей чем s, равны нулю.
Обозначим ki производную ki{v)\ имеем
Пусть q < n; приравнивая нулю члены с ия в /V, по-
получим
па (uk'q - kq) + v2 (fX-i + /2^-2 + • • • + Wo) = О-
Рассмотрим частное решение этого уравнения
Применяя полученную формулу для q = 1, найдехг,
что Ai будет рядом по целым степеням v, имеющим
множитель и2. Обычные в таких случаях рассуждения
доказывают, что то же свойство имеет место для
q = 2, 3, ..., п — 1. Если q > п, имеем
па (uk'q — kq) + v2 (/x/fq-x + ...+ fqk^) -f
+ bi-Avn - № + ? - w) /re_n = 0; (82)
в частности, для q == /г
/га (^ - A-J + i^2 (/xAvi -f . ..+ /^0) = 0.
Очевидно, что, как и выше, можно взять кп в виде
ряда по целым степеням i% имеющего множителем
v2. То же самое будет иметь место и для кЯ1 п ^ q <
^5—1. Коэффициент к, подберем так, чтобы /Ш, v) ^
« и, тогда ряд Агв будет иметь множителем и2. Таким
образом, приходим к следующему заключению: су-
существует замена переменного вида
Z = V + цу2р(ц, у), (83)
где Р — полином по и степени 5—1, обращающийся
в нуль при и = 1, коэффициенты которого — ряды по
целым степеням у, сходящиеся при М < 1, такая, что,
проделав ее в уравнении G7), получим (81).
74
§ 28. Общий интеграл
дифференциального уравнения G7)
Найдем интеграл уравнения G7) в виде ряда
оо
Г (и, и) = 2 Ун (и) uh = const,
k=i
где fk (к = 1, 2, ...)— функции переменного и. Оче-
Очевидно, он должен удовлетворять уравнению
со Г оо "J
= и S Ь*-^* И «а + &ып + S ^ (") ^ •
fe-i L &=i J
Коэффпциепты ^* (А; = 1, 2, .. .) найдем из системы
а
и"+1Т; = (Ла + feu") Yi; Yi =■ ^^ иП>
+ Ьип) Yfe+ Yft-i
Подчинив их дополнительному условию
(А = 2, 3, ...), получим
Покажем, что полученный таким образом ряд Г(а, v)
будет сходиться в области 0 < и < 1, 0 < v < 1.
Согласно § 9 и тому, что было сказано в конце
§ 26, найдем мажоранты для ук {к = 1, 2, .. .) при
0<u<i. Заменим в уравнении G7) па + Ъип на пс,
а функции htiu) соответствующими членами разложе-
пс A — 8) и -
ния по степеням v выражения ^ _;■ ' , все коэф-
коэффициенты которого отрицательны. Чтобы найти мажо-
мажоранты 1\(и), 4 = 1, 2, ... для ЧяЫ построим общий
интеграл
С (и, v) s= 2 ^г/ (»-) = const
75
уравнения
un+*dv A г^—;—* du = О (84)
в предположении, что 1\A) > О, /с = 1, 2, ..., причем
Проийтегрировав (84), получим общий интеграл
ес—°ие~с/уП A — i;H-1 = q,
в разложении которого по степеням v все коэффици-
коэффициенты при а = 1 положительны. Вследствие этого ряд
Г(м, г;) будет сходиться при О ^ а ^ 1. Дадим другое
доказательство этого факта, которое выясняет свойст-
свойства функции ТЫ, и). Мажоранты функции *(h получим,
заменяя, согласно § 9, функции hk их мажорантами,
которые по доказанному представляют собой коэф-
коэффициенты разложения по степеням и выражения
пс A — G) v ^
—т—7j—• Ьсли в этом выражении заменить пс
на па + Ьип, которое всегда больше чем пс, то еще
больше увеличим мажоранты функций hk. Такая за-
замена приводит к уравнению
(па + Ьип) v (I — v) 1 n
un+1dv + ^—^—.—^ ' du = О,
1 1 — 01; '
общий интеграл которого при и = 1, начинающийся с
члена е~аи, имеет вид
ииье~а/иПA — и)®-1 = сг.
Коэффициенты разложения левой части общего ин-
интеграла по степеням и положительны при и — 1
и представляют собой мажоранты для соответствую-
соответствующих членов Г(ц, и). Если Г(ц, и) представить в виде
Г(м,у) = ииье-а'и 1 + 2j v
то члепы ряда, заключенного в скобках, имеют мажо-
мажорантами соответствующие коэффициенты разложения
A — и)е по степеням и. Этот ряд, следовательно,
сходится при \v\ < 1. В результате получаем следую-
следующую теорему.
Уравнение
uH+ldu + ulna + bun + vh{u, v)\du = 0,
7G
где h(u, v) — ряд по целым степеням v, коэффициенты
которого полу регулярные функции при и = 0, удов-
удовлетворяющий условию па - \Ь\ — // > О (§ 7), имеет
при \v\ < 1, О < и < 1, общий интеграл вида
- с, (85)
коэффициенты которого /ft+i (ft = 1, 2, ...) — ограни-
ограниченные функции при О ^ и < 1.
§ 29. Общий интеграл дифференциального уравнения,
имеющего приведенную форму
Предположим, что дифференциальное уравнение
G7) приведено к виду (81)
un+ldz -\-z[na-\- bun + zu*m (и, z)] du == 0,
oo
zm (u, z) = 2 zkmk (u)y
где mh(u), ft = l, 2, ... определены для 0< м < 1 и
являются полурегулярными функциями при и = 0.
Покажем, что в этом случае общий интеграл (85) мож-
можно представить в виде
Г (и, z) в zifie-*'*4 Г1 + ^ S z*Zk+i (и)] = с, (86)
L *=i J
где gft, ft = 2, 3, .. .t—- ограниченные функции при
0 < и < 1. Очевидно, что эти функции остаются ко-
конечными, когда и Ф 0, ибо gh = ]Ju\ Чтобы исследо-
исследовать их при и = 0, рассмотрим уравнение
и = zT'z [па + Ъип + zu*m(u, s)],
которому должна удовлетворять функция Г(м, z).
Обозначим через f(u) выражение иье~а/иП и положим
Г (w, z) = zy (и) + и'у {и) g (и, г),
Функция g(n, 2) удовлетворяет уравнению
^n+1gu + {па + Ъи71 + sun) g — (na+ bun) zg2 =
= (z2 + г*ич£) т {и, z),
77
поэтому для коэффициентов gk(u) должны быть спра-
справедливы равенства
' - [па (&-!) + ип (bh-b- s)l gk -
Допустим, что для к = 2, 3, . •., /> — 1 ограниченность
gft доказана. Покажем, что gP также ограничена. Если
обозначим gp^y, и = х, то функция у(х) удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
хп+ iy> _ [па (р _ 1) + дни (ftp _ ft _ 5) у] = ф до,. (87)
где <р(;г) — ограниченная функция при 0 < х < 1.
В соответствии со сказанным ранее достаточно пока-
показать, что у{х) остается ограниченной при х, стремя-
щехмся к нулю. Доказательство для у = g2 будет не-
посредственно получаться тем же методом, что и для
к = р.
Пусть е таково, что при 0 < х < е имеет место не-
неравенство
па(р - 1) + (рЪ - Ь -s)xn > 0.
Можно найти два числа А и В, А > В и построить
прямоугольник со сторонами я = 0, # = е, [/ = ^4,
у = S такой, что при 0 < д: < е кривая
у[ла(р - 1) + (рЬ - s - Ъ)хп\ + ф(я;) -= 0 (88)
лежит внутри этого прямоугольника. Часть плос-
плоскости ху, заключенная между прямыми х = 0 п
х =» е, делится на три области: область I, для которой
У>А, область III, для которой у<В, и область II
внутри прямоугольника.
Рассмотрим характеристику уравнения (87) для х,
уменьшающихся от е до 0. Пусть М — точка этой ха-
характеристики с координатами я, у. Если А/ все время
остается внутри области I, то у будет убывать и стре-
стремиться при х, стремящемся к пулю, к конечному пре-
пределу, большему или равному А. Если М все время
остается в области III, то у будет возрастать и стре-
стремиться при х, стремящемся к нулю, к конечному
пределу, меньшему или равному В. Приняв во вни-
внимание, что каждая характеристика, проходящая через
точки прямых у~А и у~В, входит в область IIпри
убывающих х, придем к заключению, что каждая
||а, tfotof>&& йё остаётся в области 1 или
в области III, остается в области II и, следователь-
следовательно, остается ограниченной при (Хж^е.
Можно установить более точный результат и по-
показать, что когда х стремится к нулю, у стремится
к конечному пределу, равному ординате точки пере-
пересечения оси Оу с кривой (88).
§ 30. Свойства общего интеграла уравнения (85)
Преобразуем замену переменного (83) к виду
оо
z^v + v^vHPiM + CiW], (89)
где Рг(и) — полиномы, степени 5—1 по переменному
a, Ci — постоянные такие, что /?Д1) + Ci = 0. Если в
интеграле (86) уравнения G8) переменное z заменить
ею выражением (89), то получим интеграл уравнения
G7). Этот интеграл при и = 1 имеет значение ve~a
такое же, как и общий итеграл (85) уравнения G7).
Поэтому
где z нужно заменить его выражением (89).
Приравнивая в обеих частях коэффициенты при
одинаковых степенях г, получим
u9[g2iu) + с\],
h^)"Pk-\(u) + uaPk{g2, ... gk) ik = 2, 3, ...),
где РА —линейное выражение относительно g2, gz, ...
..., gh Так как целое число s может быть каким угодно,
то эта формула показывает, что функции Д(ц) долу-
регулярные при и = 0.
§ 31. Функция соответствия
в окрестности характеристики,
проходящей через одну исключительную особую точку
Рассмотрим в плоскости a, v квадрат О'А'ТУ В',
стороны которого имеют уравнения О A1'- v = 0; О'В''
ы = 0; A'D'\ ц=-1; ВТ)': и = 1. Характеристика С
79
дифференциального уравнения G7), входящая в квад-
квадрат через точку Q' стороны A'D', выходит из него,
пересекая сторону B'D' в точке N', так как и возрас-
возрастает, когда и убывает от 1 до 0. Действительно, из
рассуждений, проведенных в § 26, следует, что ^ < 0
внутри квадрата O'A'D'B'. Пусть A, v) — координа-
координаты точки Q\ а Ы, 1)— координаты точки N\ Всегда
можно, заменяя, в случае необходимости, и на cv,
выбрать постоянную с так, чтобы формула (85) обще-
общего интеграла G7) сохраняла смысл и при и—1. Об-
Общий интеграл (85) непосредственно дает зависимость
между параметрами и и у, определяющими положе-
положение точек N' и Q' на прямых и = 1 и и = 1:
ve-a = иЪе-а/и" 1+ Xfh(u)\. @0)
L ft=2 J
Это и есть искомая функция соответствия.
Из вида уравнения F6) следует, что все коэффи-
коэффициенты аДяг) в уравнении F9) имеют множитель хъ
В силу этого в уравнении G7) все коэффициенты
hi(u) имеют множитель и. Применяя к уравнению
G7) результат, полученный в § 29, видим, что функ-
функции fk(u) (к = 2, 3, ...) равны нулю при ц = 0. Сле-
Следовательно, (90) можно записать в виде
v = а^е-*"*" [I + f (и)}, (91)
где а\ — постоянная, f(a) равно нулю при ц = 0.
Далее заметим, что, согласно доказанному в § 30,
Д(и) = рк-хЫ) + usPk(g2, ..., gk) (к = 2, 3, ...),
где рк-\Ы) — полиномы по и степени, меньшей чем
оо
s п ряд v + 2j Phvk+l сходится при |у| < 1. Следова-
Следовательно, /(ц) есть функция полу регулярная и равная
нулю при ц = 0.
Рассмотрим в плоскости #г/ две кривые 5 и S\
соответствующие прямым и = 1 и i? = 1 плоскости и,
I?. Пусть С—характеристика уравнения F0), соот-
соответствующая характеристике С уравнения G7), и Со —-
характеристика F0), проходящая через особую точку
@, 0) и соответствующая двум дугам сепаратрис и = б,
v = 0, ограничивающих область отталкивания, в кото-
80
рой расположена С. Кривые 5и5' пересекают Со 8
точках Qo и Л/о. Точкам Qo и No соответствуют близкие
точки Q и N, лежащие на пересечениях дуг S и S' с
кривой С. Функция соответствия между Q и N из-
известна.
Освободимся от ограничений, связанных со спе-
специальным выбором кривых S и £". Возьмем на части
дуги Со, соответствующей v = О, точку /?о, а на части
дуги Со, соответствующей и = 0,— точку Ро. Пусть эти
точки будут таковы, что, перемещаясь по Со в направ-
направлении PqORq встречаем последовательно точки Ро, Мь
О, Qo, До, не пересекая других особых точек, отличных
от @, 0).
Пусть jSi — дуга кривой, пересекающей Со в /?0, и
#i —дуга кривой, пересекающей Со в Ро. Найдем функ-
функцию соответствия между точками Р и /?, в которых ха-
характеристика С, проходящая через Q и N, пересекает
кривые jSi is Si. Эта зависимость получается непос-
непосредственно на основании § 2 (см. § 19, замечание), если
координаты х и у точки Q на S будут голоморфными
функциями ц, а координаты точки N на S' будут голо-
голоморфными функциями и. Исследуем результирующую
замену переменных, переводящую уравнение F0) в
уравнение G7). Эти замены следующие:
х2 = х + Q2(x, у), z = y + R2{x, j/), (92)
z = ф(е'ц) + [1 + G(z'u)]r\v, x2 = г'и. (93)
Функции cp(e'iz) и G(e'u) — полурегулярные и равные
нулю при и = 0, Q2^x, у) и R2(x, у) — ряды, начинаю-
начинающиеся с членов не ниже второй степени по х и у.
Равенства (92) можно разрешить относительно х и у,
выразив их .как голоморфные функции х2 и z. В силу
этого на кривой S, соответствующей и = 1, х и у будут
голоморфными функциями и. Пусть t — параметр, фик-
фиксирующий положение точки R на S\; если этот пара-
параметр обращается в нуль, когда R совпадает с /?о, то
справедливо соотношение
t = £ bkv\
где правая часть — ряд по степеням v с постоянными
коэффициентами Ьк (к = 1, 2, ...). Из этой зависимости
6 Г. Дюлак 81
й уравнения (91)
t - a2ube~a^n [1 + F {и))г
где постоянная а% Ф О, F(u) — функция полурегуляр-
полурегулярная и равная нулю при и =» 0.
Однако, рассуждая таким образом, нельзя полу-
получить соответствие между точкой Р на Si и точкой N
на 5'. Действительно, согласно формуле (93), на дуге
£', соответствующей у = 1, имеем
z = ф(е'и) + [1 + GU'h)] т], z = ц + т(и),
где функция т(и) — полурегулярная и равная нулю
при и = 0; координаты х я у точки N на 5' не будут
голоморфными функциями w, эти функции полурегу-
полурегулярные.
§ 32. Окончательная форма функции соответствия
Чтобы найти функцию соответствия между точками
пересечения характеристики С с кривыми S' и Su
рассмотрим промежуточную кривую 5", имеющую в
плоскости z, и уравнение z = e. Постоянная е, о кото-
которой шла речь в § 26, не превосходит радиуса сходимо-
оо
сти ряда 2 &k(xi)zhi который входит в уравнение F9).
Пусть т] < е. Кривая S" пересекает характеристику
Со в точке Д/о и характеристику С в точке Л/. Чтобы
найти функцию соответствия между точками М и N,
т. е. точками пересечения характеристики С с кривыми
S' и iS", рассмотрим дифференциальное уравнение F6)
и запишем его в виде
а [2 + х2Н2 (х2, z)] cte2 = 0.
Заменяя х2 на е'ц и а на яае/П, получим уравнение
un+ldz + naiz + uK{(Ui z)\du = 0, (94)
где К\ — ряд по целым степеням и и z, не имеющий
свободного члена. Число ег можно считать настолько
малым, чтобы дуга кривой 2 + ^2/^2(^2, z)ss*Q при
0^£2<е' не пересекала бы дуги кривых z = cp(#2) +
+ [1 + G(#2)]i] и z = е, отвечающих соответственно ду-
дугам 5х и б1" в плоскости Х2, z. Это означает, что при
0 < и < 1 кривая z + uKiiu, z) ~ 0 не пересекает кривых
82
2' и 2", представленных в плоскости и, % уравнениями
2 = r| + m(u) и 2 = е, которым в плоскости ху у соот-
соответствуют кривые S' и S". Выражение z + uK\{u, ъ)
остается положительным, когда точка Ы, z) лежит в
области, ограниченной прямыми 11 = 0, iz = l, 2" и
кривой 2'. Таким образом, если, оставаясь в этой об-
области, перемещаться по характеристике уравнения
(94), то координата и текущей точки будет убывать
при возрастании z от значения на кривой 2' до е.
Вследствие этого каждая характеристика С уравне-
уравнения F0), пересекающая S' в точке N с параметром
и, пересечет S" в точке М с параметром щ. Построив
рисунок, можно - заключить, что если щ достаточно
мало, то каждая характеристика С, пересекающая S"
в точке Л/, пересечет S' в точке /V.
Величины и и и\, определяющие положение точек
N и Л/, одновременно обращаются в нуль, и каждая
из них есть возрастающая функция другой. Покажем,
что эти функции полурегулярные.
Характеристика и = 0 дифференциального уравне-
уравнения (94) пересекает дуги 2х и 2" в точках Ро и Л/о
с ординатами z = ц и z = е. На дуге РоМо нет других
особых точек. Функция щ, в которую обращается
при s = 8 интеграл уравнения (94), удовлетворяющий
начальному условию #о = и и zo = z, будет голоморф-
голоморфной функцией и и z для ц = 0 и 2 = 0. Поэтому щ =
= Н(и, 2 — г|). Если начальное значение ц и 2 есть
координаты точки дуги 2', представляемой уравнени-
уравнением 2 = л + тЫ), то
щ = /Ли, 7я(ц)]. (95)
Эта формула показывает, что щ — полурегулярная
функция и и равная нулю при и = 0.
Функции соответствия (95) достаточно для рас-
рассмотрения циклов, проходящих через одну исключи-
исключительную особую точку. Но, чтобы рассматривать все
возможные случаи, докажем, что и есть также полу-
полурегулярная функция Hi. Это можно установить из
вида функции Я. Покажем, что отношение щ/и стре-
стремится к единице, когда и стремится к нулю, и что
(95) можно разрешить относительно и.
Рассмотрим интеграл уравнения (94), обращаю-
обращающийся при 2==е в и\. Значения, которые имеет этот
интеграл при 27 близких к tj, будут голоморфными
6* 83
функциями щ и z в окрестности точки z — г\, щ=0.
Интеграл имеет вид
и = <D(tti, z — ц).
Если N — точка пересечения характеристики, соответ-
соответствующей этому интегралу, с кривой 2', представляе-
представляемой уравнением z = ц + тЫ), то
(96)
Так как т(и) — полурегулярная функция, то, каково
бы ни было целое положительное число s, можно за-
записать:
тЫ) = р(и) + u*q(u),
где р — полином степени s и q стремится к нулю при
w, стремящемся к нулю. Рассмотрим соотношение
в*Ф[оь рЫ)]. (97)
O(iii, z—ц) равна нулю при tzi = O и, следовательно,
имеет множителем щ. Такой же множитель есть и в
правой части (97), поэтому (97) можно переписать в
виде m = #(mi), где g(u\) — ряд по целым степеням wi,
не имеющий свободного члена. Положим
w. (98)
Поскольку и и g(u\) стремятся к нулю при щч стремя-
стремящемся к нулю, то тем же свойством должна обладать
и функция w. Если покажем, что w/u\ стремится к ну-
нулю при щу стремящемся к нулю, то тем самым будет
установлено, что и и есть полурегулярная функция т.
Легко установить соотношения
Ф{нь plg(u\)]) = g(u\),
Ф[»ь т(и)] = Ф[щ, p(u))+a9R(u, щ),
Ф{«1, р[д{щ) + w\) = Q{uu p[g{u\)\) + wQ(uu w).
Присоединяя к этим трем уравнениям (96), получим
и = ф[щ, т(и)] = g(u\) + u*R{u, u\) + wQ(uu w).
Из этого выражения, согласно (98), находим
w = wQiui, w) + и'Щщ щ),
где Riu, iii) стремится к нулю при и, стремящемся к
нулю, так же как и функция Q(u\, w), которая имеет
множителем п\\ поэтому и ф[аь р(и)] стремится к
84
нулю при и, стремящемся к нулю. Следовательно, от-
ношение w/us стремится к нулю при гг, стремящемся
к нулю. Чтобы показать, что то же свойство имеет ме-
место и для отношения w/u\, достаточно показать, что
и/п\ не стремится к бесконечности, когда и стремится
к нулю.
Функцию g(u\) в выражении A8) можно предста-
представить в виде
где с — постоянная, не равная нулю и ei — функция,
которая стремится к нулю при щ, стремящемся к ну-
нулю. Поделив обе части (98) на и, получим
1 = с^-иТ1 A + Ч) + -р (99)
Когда и стремится к нулю, w/u — стремится к нулю,
величина и^1 A + ег) стремится к нулю при г> 1 и к
единице при г=1. Если отношение и/щ не ограниче-
ограничено, то щ/и стремится к нулю и равенство (99) невоз-
невозможно.
Согласно (95) отношение щ/и не может неограни-
неограниченно возрастать, когда и стремится к нулю, поэтому
равенство (99) возможно, если г = 1 и предел и/щ
равен с. Следовательно, имеем соотношение
и = си\[1 + к(щ)], A00)
где к(щ) — функция полурегулярная и равная нулю
при щ = 0.
Обозначим t' значение параметра, определяющего
положение точки Р на кривой S\\ t обращается в
нуль, когда точка Р совпадает с Ро. Между t' и щ
существует зависимость в форме
ki = J ***'*.
где правая часть — ряд по целым степеням V. На ос-
основании A00) получим
где lit') — полурегулярная функция, равная нулю при
f = 0, с\~ постоянная.
85
В силу § 31 имеем
t = а2иье'а/иГ [1 + F (и)].
Заменяя и его выражением через t\ получим соот-
соотношение, между параметрами t и t\ определяющими
положение точек пересечения R и Р характеристики
С, близкой к Со с двумя кривыми Si и Si, выделяющи-
выделяющими на Со дугу, не содержащую никаких иных особых
точек, кроме исключительной точки 0. Выразим это со-
соотношение в более простой форме. Поскольку lit') —
полурегулярная функция м, равная нулю при t' = 0,
можно записать:
где аз — постоянная, pit') — полином по t' степени,
меньшей чем п и такой, что piO) <0; qit') — функция
полурегулярная и равпая нулю при t' = 0. Следова-
Следовательно,
е-а1иП = а1ер(П/г'П [1 + Q (V)]. A01)
В этих формулах <xi и р — постоянные, Q(t') и Git')—
полурегулярные функции, равные нулю при t' = 0.
Такова окончательная форма, которую можно дать
функции соответствия в окрестности характеристики Со,
пересекающей одну исключительную особую точку.
Замечание. Будем обходить характеристику Со,
начиная с точки Ро в направлении PoNqOQqRq и на
продолжении дуги QoRo возьмем точку То такую, чтобы
на дуге RqTq не было ни одной исключительной точки,
но имелось бы некоторое число седел. Пусть S2 — дуга
кривой, пересекающей Со в точке Го. Характеристика
С, идущая в направлении PNQR, пересечет S в точке
Т, положение которой на S2 определяется параметром
0, равным нулю, когда Т совпадает с Го. Согласно ска-
сказанному в § 21 между параметрами t и 9, определяю-
определяющими положение точек йиГ, существует зависимость
где с и v — положительные постояпиые, Fit) — полуре-
80
?улярная функция, равная нулю при i = 6. Если в df 6м
выражении для 0 заменить t его значением из A01),
получим соотношение между параметрами t' и 8,.
определяющими точки пересечения С с кривыми
S[ и S"t:
vp(f')
[1+G(t')]v\\ + F(t)], A02)
где положено
a
ф(/') — полурегулярная функция, равная нулю при
г' = 0. Действительно, члены cpU'), степень которых не
превосходит целого числа s, не могут быть получены из
Fit), где t заменено его выражением A01). Будем рас-
рассматривать только те слагаемые в выражении 11 +
+ GU')]V— 1, степень которых меньше s+ 1. Эти члены,
аналогично членам полурегулярной функции G(t'), об-
образуют полином P,U'), и ф(^) будет представляться
в виде
ф(П=Р.(П + *.(П,
где QM') — функция полурегулярная и равная нулю
при t' - 0.
Изменяя пезначительно обозначения, рассмотрим две
кривые S' и S, пересекающие Со в Ро и Го- Характери-
Характеристика С, близкая к Со, пересечет Sf и S в точках Р и Г,
соответствующих параметрам t' и 8, равным нулю, ког-
когда Р я Т совпадают с Ро и Го. Между этими парамет-
параметрами имеет место соотношение A02), если будут выпол-
выполнены следующие условия:
1. На дуге РоГо кривой Со лежит только одна ис-
исключительная особая точка, которую будем обозна-
обозначать Р'.
2. На дуге Р0Р' кривой Со нет других особых точек,
отличных от Р\
3. Дуге РоР' в плоскости гг, и соответствует харак-
характеристика уравнения G7) ц = 0, дуге РТ0 соответству-
87
ёт хараКтерйстика v = 0. Характеристика Со не будет $
общем случае голоморфной в Р\
4. На дуге Р'Т, за исключением Р\ нет особых то-
точек, отличных от седел. Число седел любое.
§ 33. Характеристики, близкие к особому циклу,
проходящему через одну
исключительную особую точку
Пусть Со — особый цикл, проходящий через исклю-
исключительную особую точку Р' и через некоторое количе-
количество седел. Обозначим (как и в § 31) через «Si и S\ две
дуги кривых, пересекающих Со в точках Rq и Pq так,
что на дуге P0P'Rq нет других особых точек, отличных
от Р'. Предположим, что дуге PqP' соответствует в пло-
плоскости переменных и, у, введенных в § 31, характери-
характеристика n==0. Между параметрами t и t\ определяю-
определяющими положение точек пересечения R и Р характерис-
характеристики С с кривыми S\ и Si, имеется соотношение A01).
Продолжим характеристику С, близкую к Со в направ-
направлении R0P'P. Согласно сказанному в § 21 о характе-
характеристиках, близких к циклу Со, пересекающему не-
несколько седел, С вновь пересечет S\ в точке Pi с пара-
параметром t\. В соответствии с § 23 между параметрами
t' и t будет иметь место зависимость вида
где С\ и v — положительные постоянные, KW) — полу-
полурегулярная и равная нулю при tr = 0 функция. Для то-
того чтобы С была циклом, необходимо, чтобы две точки
пересечения R и R\ кривой С с S\ совпадали, т. е. чтооы
Zi = t. Следовательно, должно иметь место равенсл во
v(t')
Соотношение подобного вида не может иметь места для
значений t\ близких к нулю. Действительно, поделив
правую и левую части равенства па t'v и переходя к
пределу при t', стремящемся к нулю, видим, что левая
часть имеет пределом нуль, в то время как правая
часть стремится к пределу, отличному от нуля. Следо-
Следовательно, не существует циклов, близких п особому
циклу Cq.
§ 34, Замечания о характеристиках,
близких к циклу,
проходящему через несколько исключительных
особых точек
Параметры и и у, введенные в § 19 при получении
функции соответствия в окрестности характеристики,
проходящей через одно седло, абсолютно равноправны.
Соотношение, связывающее и и и, имеет одинаковый
вид, разрешить ли его относительно и или относитель-
относительно v. Этого уже нельзя сказать о переменных и и v,
введенных в § 31 при получении функции соответствия
в окрестности характеристики, проходящей через одну
исключительную особую точку. Соотношение (91) изме-
изменит свою форму, если его разрешить относительно а.
Рассмотрим цикл Со, проходящий через несколько
исключительных особых точек Pi, Р2, ..., РЛ. Обозна-
Обозначим через Uf, Ui — параметры, соответствующие точке
Pi — аналогичные параметрам и и и, рассмотренным в
§ 31. Допустим, что параметр п{ играет ту же роль, что
и параметр и в § 31. Можно всегда предполагать, как
в § 22, что дуга Pi-\Pi соответствует положительной
части оси Ui = 0. Если на цикле Со зафиксируем опре-
определенное направление обхода, при котором точки Р»
проходятся в порядке их индексов, то, начиная от Рь
будут встречаться точки Р< двух различных категорий:
1) такие, для которых дуге Pi-\Pi соответствует
положительная часть оси V\ = 0;
2) такие, для которых дуге Pi-iPt соответствует по-
положительная часть оси щ = 0.
Допустим, что, следуя вдоль характеристики С,
близкой к Со, в направлении, зафиксированном на Со,
пройдем в окрестности точки Р* первой категории. При
этом характеристика пересечет линию щ = 1 в точке с
параметром vx и выйдет из окрестности, пересекая кри-
кривую Ui = 1 в точке с параметром щ. В этом случае бу-
будем говорить, что Со пересекает Р, в смысле ии. Если
точка Рг — второй категории, то будем говорить, что
Со пересекает А в смысле ии.
Предположим теперь, что, обходя цикл Со, пересе-
пересечем исключительную точку Р в направлении uv и по-
после прохождения через некоторое число седел пересе-
пересечем вторую исключительную точку Рг в направлении
vu. Рассмотрим характеристику С, близкую к Со. Пай-
дем функцию соответствия между точками пересечения
С с двумя дугами кривых S и S', пересекающих Со в
точках Мо и Мо. Пусть при этом кривые S и S' пересе-
пересекают Со таким образом, что, перемещаясь по дуге
M0M0J начиная с Л/о, встречаем вначале точку Р, затем
после некоторого числа седел точку Р' и, наконец, Мо.
Покажем, что искомая функция соответствия имеет
форму, аналогичную тому, как если бы на дуге М0М0
не существовало других особых точек, кроме седла.
Возьмем на дуге Л/0Л/0 точку jao, заключенную
между Р и Р' и не совпадающую ни с одним из се-
седел. Рассмотрим дугу кривой 2, пересекающую Со в
Mo- Характеристика С встречает последовательно кри-
кривые S, 2, S' в точках А/, [г, М' с параметрами t, 8, t'.
Предположим, что эти параметры обращаются в нуль,
когда С совпадает с Со. В силу A02) § 32 (замечание)
имеем
Pit)
Q~ataetn [I+ (?(*)],
a(tf)
Q= a't'a'e *'т[1+ H(t%
где a, a', a, a — положительные постоянные, тип —
целые, р и q — полиномы степени соответственно мень-
меньше m и п, С и Я — полурегулярные функции, равные
нулю при t = 0, t' = 0.
Приравнивая два значения 6 и логарифмируя, по-
получим х
i-^г- + af In Г + In [1 + Н (Г)] =
г
Это равенство можно переписать в виде
frm tn
Извлекая корень степени т из обоих членов, полагая
v = n/m и обозначая Ait') и B(t) и нолурегуляр-
ные функции, равные нулю при нулевых значениях
90
Переменных, имеем
t'll + A(t')] = сГ[1 + Bit)], A03)
где с — постоянная. Из A02) следует, что частное t'lV
имеет конечный предел при t, стремящемся к нулю.
Поэтому
A04)
где ф(£) — стремится к нулю при t, стремящемся к
нулю. Покажем, что эта функция полурегулярная при
* = 0. Из A03) и A04) имеем
Ф+A + ф)Л(П = ВШ. A05)
Так как Ait')— полурегулярная функция при £' = 0,
то, каково бы ни было s, можно записать
Ait') ~f.it', fmlnt') + t''gtit')t
где g№') стремится к нулю, когда t' стремится к ну-
нулю, fa — полином по обеим переменным %' и t/m In t'.
Если заменить t' в выражении t/m In t его значением
из A04), то получим
Гт In Г - ст A + ф)т tn [ In с + v In t + In A + Ф)].
* Пусть Kit, tnlnt, ф) — значение fM\ t'm\nt'), куда
вместо t' подставлено A04). Функция К есть ряд по
t и Пп£, причем все его коэффициенты обращаются
в нуль при t = 0. Таким образом, можно записать
ЖП = /Ш, Г In*, ф)+ J'"g.(*').
Рассмотрим функцию zit), равную нулю при ( = 0 и
удовлетворяющую уравнению
z + A + z)Kit, Г In *, z) = Bit), i 10S)
которое получается, если в A05) вместо Ait') подста-
подставить Kit, Г In t, z) и заменить ф на z. Очевидно, z
будет голоморфной функцией переменных t, tn In t,
Bit). Следовательно, z — полурегулярная функция,
равная нулю при t = 0. Положим ф = z + w; тогда
Kit, Г In*, z+w) = Kit, Г In*, z) + wGit, tn\nt, w),
A07)
где G — ряд по степеням w с коэффициентами, пред-
ставляющими собой полиномы по t и tn In *, равный
нулю при t« 0.
91
Сделав ту же подстановку ср = 2+ w в A05) и при-
принимая во внимание A06) и A07), получим
wG + t"gM')] = 0,
g =*-(!+*)*" £.(*').
Это соотношение показывает, что при t, стремящемся
к нулю, w и t' стремятся к нулю, причем отношение
wft'8 также стремится к нулю. Аналогично ведет себя
и отношение w/tsw. Величина sv может принимать какие
угодно большие значения. Отсюда следует, что ф = z +
+ w — полурегулярная функция, равная нулю при
1 = 0.
Таким образом, A04) имеет структуру, анало-
аналогичную той, какую имеет функция соответствия для
характеристики, близкой к дуге М0М'0, проходящей
через одно седло (§19).
§ 35. Характеристики, близкие к циклу,
проходящему через несколько исключительных
особых точек
Рассмотрим особый цикл Со, проходящий через ис-
исключительные точки Pi, P2, ..., Рп и через некоторое
число простых седел, которые расположены каким-ли-
каким-либо образом между точками Р{. Пусть Р* и Pi+\ — две
последовательно проходимые, исключительные особые
точки, такие, что первая проходится в смысле uv, a
вторая в смысле vu, когда цикл обходится в фиксиро-
фиксированном направлении Рь Р2, .. .,РП. Тогда прохождение
характеристики С, близкой к Со, в окрестности точек
Р<, Pi+\ и седел, заключенных между ними, равносиль-
равносильно в отношении функции соответствия прохождению
вблизи одного седла (§ 34). Следовательно, можно ис-
исключить из рассмотрения эти две точки вместе с со-
соответствующими седлами и заменить их одним фик-
фиктивным седлом. Будем поступать, таким образом, вся-
всякий раз, когда встречаются две исключительные точ-
точки, из которых первая проходится в смысле и, v, дру-
другая — в смысле vu. Устранением точек подобного рода
можно прийти к рассмотрению как исключительных
точек, расположенных последовательно, так и, в след-
следствие выбрасывания, к точкам, которые первоначаль-
92
йо не были последовательны. После попарного удале-
удаления указанным способом исключительных точек, на-
насколько это возможно, могут представиться два случая:
1) все исключительные точки устранены;
2) остались некоторые исключительные точки.
В первом случае значениям параметров t и t' со-
соответствуют две точки пересечения характеристики С,
близкой к Со, с кривой S, пересекающей Со. Между
этими параметрами (равными нулю, когда С совпада-
совпадает с Со) имеет место зависимость
t' =crti + F(t)],
где с и v — положительные постоянные, Fit) — полуре-
полурегулярная функция, равная нулю при t = 0.
Чтобы характеристика С была циклом, необходи-
необходимо выполнение равенства t' = t. Для значений t, близ-
близких к нулю, это возможно только в том случае, если
с = i? v == 1 и Fit) = 0. При выполнении этих равенств
все характеристики С, близкие к Со, есть циклы. Если
же не все предыдущие условия выполнены, то харак-
характеристики С» близкие к Со»— не циклы. Приходим к за-
заключению § 23.
Рассмотрим второй случай, когда остается неко-
некоторое число исключительных точек. Пусть эти точки
Р1,Р2,-.., Р'г- Можно всегда предполагать, что при
надлежащем способе обхода цикла Со точка Рг имеет
тип ии и что другие точки Pi встречаются в порядке
их индексов. Нетрудно показать, что все эти точки
имеют также тип uv.
Действительно, если существуют точки типа vu, то
можно обозначить первую из этих точек через Р\+\-
Две последовательные точки Р{ и Р\\.\ проходятся —
первая в смысле uv, вторая в смысле vu, но это про-
противоречит предположению, поскольку все подобные
пары были удалены из рассмотрения. Таким образом,
все точки Pi, Р2,..», Рг имеют тип uv.
На характеристике Со между точками Р{-г и Р{ вы-
выберем точку М{; тогда точка М\ лежит между Рг и Рх.
Через каждую точку М{ проведем кривую, напри-
например отрезок прямой, не касающийся Со.
Характеристика С, которая встречает S\ в точке
N\, близкой к М\, будет пересекать каждую из дуг £<
93
й точке iV<, близкой к Ми и должна будет вновь встре-
встретить S\ в точке iVr+i.
Пусть U— значение параметра, определяющего по-
положение Ni на Su этот параметр обращается в нуль,
когда С совпадает с Со.
Между значениями U и ti+\, согласно § 33 (замеча-
(замечание), имеет место соотношение вида
где at> сц — постоянные, рМд — полином степени не
выше пи такой, что /?Д0) < 0, ф» — полурегулярные
функции, равные пулю при U = 0.
Чтобы характеристика С была циклом, необходимо,
чтобы tr+\ = t\, но это невозможно. Действительно,
отношение tM/U стремится к нулю при tt, стремящем-
стремящемся к нулю, поскольку pi@) < 0. Все дроби
...; tr+\/tr
одновременно стремятся к нулю при t\, стремящемся
к нулю. То же самое имеет место и для их произведе-
произведения. Следовательно, для U, близких к нулю, невозмож-
невозможно равенство £r+i = £i. Никакая характеристика, близ-
близкая к Со, не может быть циклом. Пришли к тому же
заключению, что и в § 23.
ЧАСТЬ 3
ЦИКЛЫ, ПРОХОДЯЩИЕ В ОКРЕСТНОСТИ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК
§ 36. Метод исследования
Рассмотрим сложную особую точку Р. Перенеся на-
начало координат в нее, запишем дифференциальное
уравнение в виде
+ [Yr(x, y) + Y*(x, y)]dx = 0, A08)
где Хг и Yr — однородные полиномы степени г по пере-
переменным х и #, X* и У* — полиномы или ряды, начина-
начинающиеся с членов степени не ниже г + 1. Предположим,
что многочлены Хг и Yr не могут одновременно тож-
тождественно обращаться в нуль. Такую особую точку
# = 0, у = 0 назовем особой точкой порядка г. Заметим,
что если г = 1, то особая точка не обязательно будет
простой.
Для изучения характеристик, близких к особому
циклу, проходящему через сложную особую точку, не-
необходимо провести исследования сепаратрис, примыка-
примыкающих к этой особой точке. Согласно изложенному в
§ 3 сепаратрисы могут существовать при условии, что
вообще есть характеристики, оканчивающиеся в Р с оп-
определенной касательной. В этом случае все характери-
характеристики, оканчивающиеся в Р, имеют в ней касательную.
Поэтому целесообразно начать исследование с характе-
характеристик, оканчивающихся в Р с определенной касатель-
касательной. Применяемый для этой цели метод состоит в том,
что делают замены переменных, приводящие диффе-
дифференциальное уравнение к простейшей форме, т. е. к
95
виду уравнения, имеющего в начале координат простую
особую точку (§ 6). С помощью этого метода непосред-
непосредственно выводятся необходимые и достаточные условия
того, чтобы сложная особая точка была центром или
фокусом. Для того чтобы облегчить рассуждения, будем
применять наиболее простые замены переменных, поз-
позволяющие, однако, изучить сепаратрисы.
Все эти предварительные исследования дают воз-
возможность наиболее простым способом построить функ-
функции соответствия для характеристик, проходящих в ок-
окрестности точки Р. Эту функцию соответствия постро-
построим вначале для одного случая, который впоследствии
будет полезен при переходе к общему случаю. В за-
заключение получим, что прохождение характеристики
в окрестности сложной особой точки эквивалентно (в
смысле функции соответствия) прохождению характе-
характеристики в окрестности нескольких простых особых точек.
§ 37. Дикритическая точка
Рассмотрим вначале случай, когда я = 0, у = 0 есть
дикритическая точка, т. е. такая особая точка уравне-
уравнения A08), для которой выражение
Шх, у) ш уХАх, у) + xYr{x, у) A09)
тождественно равно нулю. Обозначим через Р(х, у) од-
однородный полином степени г—1. Уравнение A08) в
этом случае можно записать в виде
\хР+ 2 Ak]dy+\-yP+ 2 *Jd*=Of A10)
где Aki Bh — однородные полиномы степени к.
Положим у = xz; тогда вдоль каждой характеристи-
характеристики, оканчивающейся в начале координат с касательной,
отличной от оси Оу, переменная z должна стремиться
к конечному пределу. Этой заменой уравнение (НО)
преобразуется к виду
z)]dz +
+l(l,z) + Br+l(Uz) + Y(x1z)]dx = O1 A11)
где функции X и У имеют множитель х. Обозначим че-
через Г характеристику уравнения A11) и С — соответ-
соответствующую ей характеристику уравнения A10),
90
Если для z — а выполнены условия
1, а) = 0; aAr+l(l, а) + Дг+1A, а) = 0, A12)
то направление прямой у = ах назовем особым направ-
направлением. Характеристике С в плоскости ху, касающей-
касающейся этого направления, соответствует характеристика Г,
проходящая через особую точку х = 0, z = а в плоско-
плоскости xz. Оставим этот случай в стороне.
Будем предполагать, что а не удовлетворяет обоим
уравнениям A12). В таком случае через точку # = 0,
z = а проходит единственная характеристика Г. Ей со-
соответствует определенная характеристика С, проходя-
проходящая через точку х = 0, у = 0 в направлении у = ах.
Если РA, а) Ф 0, то ни Г, ни С не представляют ника-
никакого интереса для дальнейшего. Допустим, что z = a
есть корень кратности п>1 уравнения P(l, z) = 0.
Полагая z = a + t из уравнения A11) находим
где а — постоянная, отличная от нуля, и е U) стремит-
стремится к нулю при t, стремящемся к нулю. Следовательно,
у = xz = ах + tx;
Если п — четное, то характеристика Г, представляемая
уравнениями
z = а +1;
пересекает ось х = 0 в точке х = 0, z = а. Соответст-
Соответствующая ей характеристика С касается прямой у = ах
в точке @, 0), имея в этой точке такое же расположе-
расположение, как у обыкновенной кривой в регулярной точке.
Если п — нечетное, кривая Г касается оси х = 0, не
пересекая ее в точке х — 0, z = а. Характеристика С
имеет в начале координат точку возврата.
Чтобы получить характеристики С, которые касают-
касаются оси х = 0 в точке @, 0), полагаем х = иу и рассмот-
рассмотрим характеристику Г дифференциального уравнения
[~Р(щ 1) + Х{и, y)]du +
7 г. дюлак
проходящую через особую точку у = 0, и = 0. Если
/40,1) = 0 и 4r+i@,1) = 0, то направление ж = 0 особое
для дикритической точки.
Во всех других случаях будем иметь единственную
характеристику, проходящую через точку и = 0, у = 0.
Ей соответствует характеристика С, проходящая через
точку х = 0, у = 0 и касающаяся оси Оу.
Если w = 0 — корень нечетной кратности уравнения
РЫ, 1)=0, то кривая Г в точке м = 0, у = 0 касается
оси и = 0, не пересекая ее в этой точке. Соответствую-
Соответствующая кривая С имеет в х =* 0, у = 0 точку возврата с
касательной # = 0.
Направление, удовлетворяющее одновременно двум
уравнениям
Р{х, у) = 0; уАг+\(х, у) + жВг+iU, у) = 0,
назовем особым. Неособое направление, получающееся
приравниванием нулю линейного множителя нечетного
порядка многочлена Р{х, у), назовем необычным. Тог-
Тогда полученные выше результаты можно сформулиро-
сформулировать следующим образом. Существует одна, и только
одна характеристика С, касающаяся в дикритической
точке Р каждого неособого направления D. Если это
направление является необычным, то в этом и только
в этом случае точка Р будет точкой возврата первого
рода для характеристики С.
Замечание. Область Л, примыкающая к точке Р
и заключенная между двумя ветвями характеристики
С, имеющей в Р точку возврата, будет областью оттал-
отталкивания для дикритической точки.
Действительно, рассмотрим случай, когда касатель-
касательная в точке возврата отлична от оси х = 0 (это гсегда
можно предположить); тогда характеристика Г, соот-
соответствующая С в плоскости переменных xz, не пере-
пересекает ось ж = 0 в окрестности х = 0, z == а. Предполо-
Предположим для определенности, что она остается справа от
х = 0. Характеристики Г', близкие к Г и расположен-
расположенные справа от Г, не пересекают прямой х = 0. Преоб-
Преобразование у — xz переводит их в характеристики С",
близкие к С, расположенные в области Я; для них # и
у не могут одновременно стремиться к нулю, поскольку
при обходе Г' переменное % не может обращаться
в нуль.
§ 38. Характеристики,
оканчивающиеся в особой точке
с определенной касательной
Сделаем в уравнении A08) замену переменного
у = xz. Используя обозначение A09), преобразованное
уравнение можно записать в виде
х\ХА\, z) + X**{x, z)]dz +
+ [ДA, z) + Y**ix, z)]dx = 0. A13)
Переменная z должна стремиться к конечному пределу
на каждой характеристике С, оканчивающейся в @, 0)
с касательной, отличной от оси х = 0. Этот предел
удовлетворяет уравнению Ж1, z) = 0. Полагая далее
х), A14)
получим уравнение в переменных х и уи которое в
дальнейшем будем называть трансформированным или
преобразованным из A08). Характеристики этого пре-
преобразованного уравнения будем обозначать Г, соответ-
соответствующие им характеристики уравнения A08) — С.
Точку х = 0, z/i = 0 обозначим О\. Если z = а — простой
корень уравнения i?(l,z) = 0 или если этот корень
кратный, но такой, что Xr(l, z)¥=01 то уравнение в
переменных х и у\ назовем уравнением простой фор-
формы. Для него я = 0, г/i = 0 будет элементарной особой
точкой. Известно, что в этих случаях существует по
крайней мере одна характеристика Г, проходящая че-
через х = 0, у\ = 0 и отличная от х = 0. Следовательно,
существует по крайней мере одна характеристика С,
проходящая через точку х = 0, у\ — 0, касающаяся в
ней прямой у = ах.
Чтобы исследовать характеристики С, проходящие
через @, 0) и касающиеся в этой точке оси х = 0, по-
положим
х^иу A15)
и будем отыскивать характеристики трансформирован-
трансформированного уравнения
, y)]du +
0, A16)
проходящие через точку у = 0, и = 0 и отличные от
У = 0. Такие характеристики могут существовать лишь
7* 99
при условии, что и = 0 есть корень уравнения
R(u, 1)=0. Утверждать же их существование можно
только в двух случаях:
1) когда и — простой корень уравнения R (и, 1) =0;
2) когда и — кратный корень уравнения Жщ 1) = 0,
но не обращает в нуль величину УДи, 1).
Все эти результаты можно сформулировать следую-
следующим образом.
Возможные направления касательных в @, 0) к ха-
характеристикам, проходящим через особую точку, полу-
получаются приравниванием нулю линейных действитель-
действительных множителей выражения R(x, у).
Если фиксировать один из этих множителей, то ха-
характеристики С, касающиеся соответствующей прямой,
определяются из трансформированного уравнения, по-
получающегося заменой переменных A14) или A15). Ког-
Когда рассматриваемый линейный множитель простой или
когда он кратный, но не может быть множителвхМ
УД#, у) и ХЛх, г/), тогда трансформированное уравне-
уравнение имеет простую форму и существует по крайней
мере одна характеристика С, касающаяся исследуемого
направления в @, 0). Если же соответствующий мно-
множитель Жя, у) кратный и, кроме того, будет множите-
множителем Yr(x, у) и ХЛх, у), то трансформированное уравне-
уравнение не имеет простой формы.
Пусть, папример, в переменных х и у\ уравнение
запишется в виде
*lArt(x, yx)+A*{x,yl)]dyi +
+ 1ВГ1{х, y0 + B*(x9 yi)]dx = 0, A17)
где Л г, п ВГг— однородные полиномы степени г\ по
переменным х и у\, А* и 5* — члены степени выше
чем Г\. Чтобы определить характеристики С, нужно
найти характеристики уравнения A17), проходящие че-
через точку х = 0, г/i = 0.
Замечание 1. Уравнение A17) имеет характери-
характеристику х == 0, которая оканчивается в начале координат
с определенной касательной. Ввиду этого все характе-
характеристики Г, оканчивающиеся в х == 0, у\ = 0, будут
иметь в этой точке определенную касательную и могут
быть найдены при дальнейшем исследовании уравне-
уравнения A17). То же самое относится и к уравнению A16).
Замечание 2. Решение я = 0 уравнения A17) не
дает характеристик С, Чтобы отличить это решение от
100
других решений уравнения A17), приводящих к харак-
характеристикам С, будем называть его решением, введен-
введенным при помощи преобразования у~х(а + у\). Анало-
Аналогично уравнение A16) имеет решение г/ = 0, которое
также будет введенным решением.
§ 39. Последовательные преобразования уравнений
Если уравнение A17) имеет дикритическую точку,
то к нему применимы результаты § 37. Если же х = О,
i/i==0 не будет дикритической точкой, то, согласно
§ 38 (замечание 1), задача приводится к изучению ха-
характеристик Г, имеющих в х = 0, у\ — 0 определенную
касательную. Будем исследовать уравнение A17) так
же, как уравнение A08), именно: образуем трансфор-
трансформированные дифференциальные уравнения по отноше-
отношению к различным возможным направлениям касатель-
касательных в точке # = 0, i/i=0. Получающиеся уравнения
будем называть вторыми трансформированными урав-
уравнениями для A08).
Если вторые трансформации приводят к уравнени-
уравнениям простой формы, то проблема исследования характе-
характеристик Г решена, поскольку известно поведение харак-
характеристик для уравнений этого рода. Если некоторые из
вторых трансформаций не имеют простой формы, то
вновь повторим рассуждения, относящиеся к уравне-
уравнению A17), делая указанные замены переменных вида
A14) или A15) и т. д.
Какое бы число замен переменных ни делалось,
всегда можно вернуться к исходному уравнению и вы-
выразить старые переменные х и у в виде полиномов от
новых переменных и и v. Одна из этих переменных и
или v в некоторых случаях может совпадать с х или у.
Рассматривая последовательные преобразования, бу-
будем получать характеристики f» оканчивающиеся в
и = 0, ув0 с определенной касательной. Этим кривым
соответствуют искомые характеристики С для уравне-
уравнения в переменных хну.
Известно (Бендиксон, стр. 72 и 75), что в резуль-
результате конечного числа замен переменных указанного
типа приходим к уравнениям в переменных и и v, для
которых и = 0, v = 0 будет либо простой особой точкой,
либо обыкновенной точкой.
101
Если в ряду трансформированных уравнений не
нстретится уравнение, имеющее в начале координат ди-
критическую точку, то для всех преобразованных урав-
уравнений начало координат будет особой точкой, в окрест-
окрестности которой сами уравнения приводятся к одной из
следующих простых форм:
iu + X2(u, v)]dv + [Ku + av+Y2iu, v)]du=*0, A18)
щ v)dv +lv+ Y2(u, v)]du = 0, A19)
где А, и a — постоянные, X2 и Y2 — целые ряды по сте-
степеням и и v не ниже второй степени. Все трансфор-
трансформированные уравнения в этом случае имеют решения
или и = 0, или и = 0.
Однако может случиться, что в ряду трансформиро-
трансформированных уравнений встретится уравнение, для которого
начало координат будет дикритической точкой; тогда
необходимо рассматривать каждую из прямых, прохо-
проходящих через эту точку. Если эта прямая не особого
направления, то получим уравнение, для которого и = 0,
v = 0 будет обыкновенной точкой и это уравнение мож-
можно написать в виде
dv = F(u, v)da, A20)
где F — ряд по целым степеням и и v.
Если же прямая имеет особое направление, то у
трансформированного уравнения в начале координат
будет особая точка, но не будет, как это видно из A11),
ни решения и — 0, ни решения v = 0 — в отличие от
тех преобразований, которые не приводят к дикритиче-
ским точкам. Изучение этого трансформированного
уравнения проводится как и в случае уравнения A08).
Замечание 1. Решение или характеристику транс-
трансформированного уравнения будем называть введен-
ным в трансформированное уравнение, если ему не со-
соответствуют решения или характеристики исходного
уравнения. Такими решениями могут быть либо и = 0,
либо и = 0, если и и и — переменные преобразованного
уравнения. Может случиться, что новое уравнение,
преобразованное относительно направления введенной
характеристики, имеет простую форму и у него есть
только характеристики введенного уравнения. Такое
уравнение простой формы в этом случае, очевидно,
не дает никаких характеристик С.
102
Рассмотрим, например, для уравнения A17) введен-
введенное решение х = 0. Положим
1) + Ж0, 1) = а; Ж0, 1) = ?
и допустим, что постоянные а и [} отличны от нуля;
тогда получим уравнение
Ух[Р + Х(и, tfi)]dii + и[а + У(и, ух)Ыух - О,
где Х@, 0) = 0, 7@, 0) = 0. Если а • р > 0, то особая
точка w = 0, i/i = 0 — седло. Характеристики, проходя-
проходящие через эт.о седло, будут и = 0 и у\ = 0. Но ни та,
ни другая не дают характеристик уравнения в пере-
переменных хну.
Замечание 2. Как уже отмечалось (§ 38, заме-
замечание 1), для уравнения A17), имеющего характери-
характеристику х = 0, все характеристики оканчиваются в х = О,
г/1==0 с определенной касательной. То же самое спра-
справедливо для уравнения, преобразованного к перемен-
переменным и и у, имеющего или решение и = 0 или и = 0.
Для .преобразованного уравнения с дикритической
точкой, в общем случае, этого не может быть. Уравне-
Уравнение с дикритической точкой не имеет ни решения и = 0,
ни решения у = 0 и, на основании § 5 для него воз-
возможны следующие случаи.
1. Уравнение имеет характеристику, оканчивающу-
оканчивающуюся в и = 0, у = 0 с определенной касательной. Как и
в случае, рассмотренном в § 38, все характеристики,
оканчивающиеся в и = 0, v == 0 имеют в этой точке
касательную.
2. и == 0, у = 0 — фокус. Бесчисленное множество
характеристик оканчиваются в особой точке, не имея
касательной.
3. и = 0, у = 0 — центр. Ни одна из характеристик
не оканчивается в этой точке.
В двух последних случаях (Бендиксон, стр. 69) спи-
спирали или замкнутые кривые, окружающие @, 0), пере-
переводятся в характеристики уравнения A10), проходящие
через х == 0, у = 0, но ни одна из этих характеристик
не касается в начале координат направления, которому
соответствует преобразованная форма. Все эти харак-
характеристики заполняют часть узловой области. Ни одна
ш лих не будет сепаратрисой.
103
§ 40. Случай, когда особая точка — центр или фокус
Для того чтобы особая точка О(х = 0, у = 0) урав-
уравнения A08) была фокусом или центром, необходимо
(§ 5), чтобы ни одна из характеристик не оканчивалась
в О с определенной касательной. Из предыдущего сле-
следует, что такие случаи могут иметь место. Уточним их.
При исследовании уравнения A08), вообще говоря,
могут быть следующие четыре возможных случая.
1. Точка О — дикритическая точка. Это единствен-
единственный случай, когда уравнение возможных направлений
касательных в О для характеристик, оканчивающихся в
этой точке, обращается в тождество.
2. Уравнение R(x, у) = 0, дающее направление ка-
касательных в О, имеет по крайней мере один действи-
действительный множитель, которому соответствует трансфор-
трансформированное уравнение простой формы.
3. Уравнение R(x, у) = 0 не имеет действительных
множителей.
4. Уравнение R{x1y) = 0 имеет действительные мно-
множители, но ни одному из них не соответствует транс-
трансформированное уравнение простой формы.
Как известно (§§ 37, 38) в случаях 1 и 2 существу-
существует по крайней мере одна характеристика С с опреде-
определенной касательной в точке О. В случае 3 таких харак-
характеристик нет. В случае 4 необходимы дополнительные
исследования. С этой целью получим трансформирован-
трансформированные уравнения для каждого из действительных множи-
множителей R(x, у). Рассмотрим какое-либо из этих уравне-
уравнений. Случай 3 для него не может иметь места, так как
оно имеет введенное решение х = 0 или у = 0. Случай
2 может представиться, но ему не будет соответство-
соответствовать характеристика С.
В самом деле, рассмотрим действительный множи-
множитель выражения R{x, у), соответствующий введенному
решению х = 0 или у = 0, и сделаем преобразование,
отвечающее этому множителю. Согласно сказанному
(§ 39, замечание 1) полученное уравнение будет иметь
только введенные решения, а они не дают характери-
характеристик С. Поэтому только случаи 1, 2 и 3 могут иметь
место для каждого последующего преобразования. Все,
что было сказано в отношении уравнения A08), может
быть повторено для каждого нового трансформирован-
трансформированного уравнения. Продолжим рассуждения до тех пор,
№
iiorta нб встретится случай 4. После конечного
преобразований увидим, что для того чтобы точка О
была фокусом или центром, должны выполняться сле-
следующие условия:
а) необходимо, чтобы уравнения, определяющие на-
направление касательных в начале координат как для дан-
данного уравнения, так и для его различных трансформа-
трансформаций, не имели, за исключением множителей, соответ-
соответствующих введенным решениям, никаких линейных
действительных множителей, приводящих трансформи-
трансформированное уравнение к простой форме;
б) если линейный множитель, соответствующий
введенному решению, приводит трансформированное
уравнение к простой форме, то необходимо, чтобы это
уравнение имело только введенные решения.
Сформулированные необходимые условия будут и
достаточными. Действительно, из результатов § 39 сле-
следует, что всякая характеристика С, имеющая касатель-
касательную в О, соответствует характеристике Г" дифферен-
дифференциального уравнения простой формы, полученного в
результате конечного числа последовательно выполнен-
выполненных преобразований. Эта характеристика Г' также
должна оканчиваться в начале координат с определен-
определенной касательной. Но если условия а) и б) выполняют-
выполняются, то трансформированное уравнение простой формы,
полученное посредством замен переменных, не имеет
характеристик Г', которым бы соответствовали харак-
характеристики С.
§ 41. Результирующие преобразования,
приводящие уравнения к простой форме
Совокупность замен переменных, которые надлежит
сделать, чтобы получить уравнение простой формы,
имеет то неудобство, что не сохраняется (по крайней
мере в некоторых случаях) ни одно из первоначальных
переменных х и у. Для упрощения подстановок важно
показать, что в большинстве случаев можно сохранить
или переменное х, или переменное и, связанное с х со-
соотношением ир=*х, где р — целое число, выбранное
соответствующим образом.
Случай, когда не сохраняется переменное х, будет
иметь место, если рассматривать характеристику, для
которой отношение у/х неограниченно возрастает при
105
х и у, стремящихсй к нулю, или, в более общем случае,
когда для рассматриваемой характеристики в перемен-
переменных х и ys, отношение yjx неограниченно возрастает
при х и г/„ стремящихся к нулю. Положим х = ysxu
тогда х\ будет стремиться к нулю одновременно с ys-
Рассмотрим самый общий случай; предположим,
что для исследуемой характеристики, если сделать за-
замену переменных
Xi-i = y9Xi\ Х0 = Х, A21)
то Xi стремится к нулю вместе с х^\ и у3. Могут иметь
место следующие два случая.
1. В результате конечного числа замен переменных
вида A21) в плоскости xpys получается уравнение та-
такое, что для рассматриваемой характеристики отноше-
отношение yjxv стремится к конечному пределу а, который
может быть и нулем. Для уравнения в переменных хр
и уа особая точка хр = О, у3 = О будет тогда или эле-
элементарной, или сложной.
2. Каково бы ни было число i проделанных замен
переменных вида A21), всегда в точках рассматривае-
рассматриваемой характеристики значения хг стремятся к нулю
вместе с ys и Xi-\. При этом очевидно, что для некото-
некоторого конечного i = q (Бендиксон, стр. 72) получится
уравнение простой формы. Это уравнение в перемен-
переменных хр и у8 имеет характеристику, обладающую тем
свойством, что при любом целом г отношение xqly\
стремится к нулю при хя и г/8, стремящихся к нулю.
Рассмотрим первый случай.
По предположению yjxv = t будет иметь конечный
предел, когда уа и хР стремится к нулю. Пусть
Если положить х = uv+l, то t = yvs +1/mp+1 , откуда
следует, что отношение yju стремится к конечному
пределу при и и ys, стремящихся к нулю. Рассматривая
уравнение в переменных и и у8, приходим к общему
случаю, когда существует характеристика, которая в
плоскости переменных а и у, не касается прямой и == О
в точке и = 0, ys = 0. Таким образом, в этом случае,
можно не применять подстановки A21), а сделать за-
замену вида
х - х?, A22)
где п — целое число. Напомним, что приведение урав-
106
нения к простой форме требует конечного числа замен
переменных. Осуществляя конечное число подстановок
вида A22) Х{ — £|+ъ можно избежать замен перемен-
переменных A21).
Совокупность подстановок типа A22) эквивалентна
одному преобразованию х = ит.
Допустим, что существует характеристика С, прохо-
проходящая через точку О, такая, что отношение у/х стре-
стремится к конечному пределу, когда х и у стремятся к
нулю, и что для всех применяемых при отыскании С
преобразований переменных х и yt, отношение yjx то-
тоже стремится к конечному пределу. Этот случай будем
называть нормальным. Заменой переменного
у =
где Ц){х) — надлежащим образом подобранный полином
степени ниже чем п + 1, дифференциальное уравнение
в переменных х и v преобразуется к виду A18), A19)
или A20). Тем самым устанавливается соответствие
характеристики С с характеристикой преобразованного
уравнения, проходящей через точку х = 0, v = 0.
Если при исследовании характеристики С не при-
приходим к нормальному случаю или же отмеченному вы-
выше случаю 2, то будем говорить, что имеет место при-
приводимый случай. Пусть тип — целые числа и ф(#) —
надлежащим образом подобранный полином степени не
выше п. Тогда заменой переменных вида
ипи A23)
уравнение преобразуется к типу A18), A19) или A20).
Характеристике С соответствует характеристика урав-
уравнения в переменных и и v, проходящая через точку
и = 0, и = 0.
Наконец, может встретиться случай 2, который бу-
будем называть неприводимым случаем. Обозначим т, п
и q целые числа и срЫ соответствующим образом по-
подобранный полином степени не выше п. Замена пе-
переменных
x = zm; у = cp(z) + vzn; z = uvq
приводит в этом случае к уравнению в переменных и и
v вида A18), A19) или A20). Тем самым характери-
характеристике С будет приведена в соответствие характеристи-
характеристика Г', проходящая через точку и = 0, и = 0, обладаю-
107
щая тем свойством, что, каково бы ни было г > 0 отно-
отношение u/vr стремится к нулю вместе с и и v. В силу
этого уравнение в переменных а и и не может иметь йи
форму A18), ни A20). Оно имеет вид A19) и точка
и = 0, v = 0 — исключительная особая точка.
§ 42. Отыскание сепаратрис
Допустим, что среди характеристик, оканчивающих-
оканчивающихся в О, есть сепаратрисы. В точке О они имеют каса-
касательную и принадлежат к виду кривых, изученных в
§§ 38 и 39. Если при отыскании сепаратрис не встреча-
встречаются уравнения с дикрнтическими точками, тогда эти
кривые находятся из уравнений вида A18) или A19),
имеющих решение либо и = 0, либо и = 0.
Если же при отыскании сепаратрисы С встретится
уравнение с дикрптической точкой, то соответствую-
соответствующая характеристика Г' не может иметь в этой точке
касательную с обыкновенным направлением, в против-
противном случае Г' оказалась бы внутри сектора, где все ха-
характеристики оканчиваются в дикритической точке. То-
Тоже самое должно иметь место и для С, что невозможно,
поскольку С есть сепаратриса. Таким образом, в ди-
критическом случае имеются две возможности.
1. Характеристика Г' касается необычного направ-
направления. В этом случае Г', а следовательно, и С будут
получаться.с помощью уравнения вида A20), для ко-
которого и = 0, и = 0 будет обыкновенной точкой.
2. Г" касается особого направления, тогда сепарат-
сепаратриса С будет, в виде исключения, получаться при по-
помощи уравнения типа A20), а в общем случае из урав-
уравнений вида A18) и A19), которые могут не иметь ни
решения и = 0, ни решения v = 0. Во всех случаях,
очевидно, существует конечное число уравнений вида
A18), A19) или A20), которые могут дать сепаратрисы.
Чтобы выделить уравнения, имеющие сепаратрисы, по-
покажем вначале, что сепаратрисам данного уравнения
A08) всегда соответствуют сепаратрисы преобразован-
преобразованных уравнений.
После замены у = xz точка М с координатами хну
перейдет в точку [i с координатами х, z. Кривая С пло-
плоскости х, у преобразуется в кривую Г на плоскости xz.
Пусть С\ и С*2 — две сепаратрисы, соответствующие
х = 0 и у == 0, ограничивающие область отталкивания
103
R в окрестности О. Предположим, что R не пересека-
пересекается осью Оу и ни С\, ни С2 не касаются оси Оу в точ-
точке О. Преобразованием у = xz кривые С\ и С2 перево-
переводятся в характеристики Fi и Г2 плоскости х, z. Эти
кривые пересекают ось х = 0 соответственно в точках
А[ и А2 с координатами z = ai и z = a2. Если ai^a2,
то области /? плоскости ху соответствует область р, ог-
ограниченная кривыми Fi, Г2 и отрезком оси х = 0. Всякая
характеристика Г уравнения в переменных х и z, за-
заключенная в области р, не пересекает сегмент А\А2 осп
х = 0, поскольку таким кривым соответствовали бы ха-
характеристики С уравнения в переменных х и у, оканчи-
оканчивающиеся в точке О и лежащие внутри R. Следователь-
Следовательно, Fi и Т2 будут сепаратрисами особых точек А[ и А2.
Если ось Оу пересекает сектор R и характеристика
С] не касается оси Оу, то построим полупрямую OL с
тангенсом угла наклона, равным а, ограничивающую
вместе с С\ сектор /?', расположенный в R и не содер-
содержащий внутри себя оси Оу. Применяя к сектору /?',
где полупрямая OL играет роль С2, те же рассуждения,
что и для /?, получим, что Fi будет сепаратрисой, окан-
чпвающейся в особой точке £ = 0, 2 — ai.
Если С\ касается оси Оу в точке О, то сделаем за-
замену переменного х = yz и, рассуждая аналогично, по-
покажем, что в плоскости у, z кривой С\ соответствует
сепаратриса Fi, оканчивающаяся в особой точке г/ = 0,
2 = 0.
Таким образом, сепаратрисе С соответствует сепа-
сепаратриса Г трансформированного уравнения, и это свой-
свойство остается справедливым, каково бы ни было число
выполненных преобразований. Следовательно, если F
характеристика уравнений A18), A19) и A20), соот-
соответствующая сепаратрисе С, то она также будет сепа-
сепаратрисой, примыкающей к точке и == 0, и = 0.
Если после захнены переменных приходим к урав-
уравнению вида A20), то для того, чтобы характеристика
этого уравнения, проходящая через точку и = 0, у = 0,
могла привести к сепаратрисе, необходимо (§ 37, заме-
замечание), чтобы Г' не пересекала ось у = 0в точке и*= 0,
1> = 0. Уравнение A20) трансформируется из уравне-
уравнения g дикритической точкой и соответствует необычно-
необычному направлению в этой дикритической точке.
Если получается уравнение вида A18), то необходи-
необходимо и достаточно, чтобы Л было числом положительным.
109
Только в этом случае характеристика Г, проходящая
через точку и = 0, v = О, будет сепаратрисой.
Наконец, если получается уравнение вида A19), то
легко найти, согласно сказанному (§§24 и 25), условия
того, чтобы характеристика Г, проходящая через точку
и = О, v = 0, была сепаратрисой.
Замечание 1. Приведенные выше рассуждения
в случае, когда ось Оу пересекает область R и когда
характеристика С\ не касается оси Оу, будут распрост-
распространяться и на случай, когда С\ не будет сепаратрисой,
при условии, что не существует никакой характеристи-
характеристики С, оканчивающейся в О и остающейся внутри сек-
сектора R\ ограниченного С\ и OL. Характеристика Г, со-
соответствующая С, может быть сепаратрисой. Очевидно,
что если характеристике С при помощи замены пере-
переменных у = xz ставится в соответствие сепаратриса Г,
то обратное не всегда верно.
Например, уравнение
(у + 2x)dy — у dx = О,
общий интеграл которого
будет иметь в точке О узел. Полагая у = xz, получим
уравнение в переменных z и я, у которого особая точка
х = 0, z = 0 будет седло и прямая z = 0 есть сепаратри-
сепаратриса этого седла, тогда как соответствующая характери-
характеристика у = 0' не будет сепаратрисой.
Замечание 2. Поскольку сепаратрисе трансфор-
трансформированного уравнения не обязательно соответствует
сепаратриса уравнения в переменных х и у, полезно
указать, каким образом можно выделить сепаратрисы
среди характеристик уравнения, приведенного к одной
из форм A18), A19) или A20).
Если обозначить Го совокупность двух ветвей ха-
характеристики уравнения A20), проходящих через точ-
точку и = 0, и = 0, то Го может соответствовать сепаратри-
сепаратрисе только при условии, если A20) преобразуется из
уравнения с дикритической точкой и если характери-
характеристика Го этого уравнения, соответствующая Го, касает-
касается в этой дикритической точке неособого направления.
Две ветви Го касаются ребра возврата. Чтобы характе-
характеристика Со уравнения в переменных х и у была сепа-
110
ратрисой, необходимо и достаточна, чтобы характери-
характеристика Г уравнения с дикритической точкой, заключен-
заключенная между двумя ветвями Го, соответствовала харак-
характеристике С, не оканчивающейся в 0. Легко проверить,
будет ли это иметь место, если рассматривать последо-
последовательные замены переменных, которые от уравнения
в переменных х и у приводят к уравнению в перемен-
переменных и и v.
Рассмотрим характеристику Ти сепаратрису уравне-
уравнения A18) или A19), примыкающую к точке u = 0, i> =
= 0. Чтобы соответствующая характеристика С\ урав-
уравнения в переменных хну была сепаратрисой, примы-
примыкающей к точке О, необходимо и достаточно, чтобы
существовала по крайней мере еще одна характеристи-
характеристика Сг, оканчивающаяся в О и такая, что область, за-
заключенная между С\ и Сг, была бы областью отталки-
отталкивания. Эта вторая сепаратриса Сч может быть получена
только при помощи уравнений A18) или A19). Рас-
Рассматривая те из этих уравнений, которые могут приве-
привести к сепаратрисам, и выполняя соответствующие за-
замены переменных, можно определить два трансформи-
трансформированных уравнения Е' и Е" простой формы A18)
или A19), позволяющие найти сепаратрисы С, располо-
расположенные по разные стороны от С\ и ограничивающие
вместе с С{ области отталкивания. Чтобы, например,
узнать, дает ли уравнение Е' сепаратрису Сг, ограни-
ограничивающую вместе е С\ область отталкивания, рассмот-
рассмотрим все возможные сепаратрисы Го уравнения Е' и
найдем для каждой из них соответствующую ха-
характеристику Со в плоскости ху, если она вместе с
С\ ограничивает область отталкивания, то ее можно
принять за сепаратрису Сг. Исследуя уравнения Е' и
£"', можно установить принадлежит ли С\ к границе
одного или двух секторов отталкивания, или С\ не бу-
будет сепаратрисой.
§ 43. Замечания о случаях,
встречающихся при исследовании сепаратрис
Чтобы исследовать характеристику С, имеющую в
О касательную, сделаем замену переменных типа ука-
указанного в § 39 и получим преобразованное уравнение
Е в переменных и и и. Кривой С в плоскости u, v со-
соответствует характеристика Г, проходящая через точку
111
и = О, v = 0. Будем говорить, что сепаратриса С изоли-
изолируется рассматриваемой заменой, если соответствующее
уравнение Е имеет одну из форм A18), A19) или A20).
Если две характеристики С\ и С2 проходят через О,
но не имеют в этой точке общей касательной, то будем
говорить, что характеристики С\ и С2 разделены. Две
характеристики С\ и С2 назовем разделимыми заменой
переменных, приводящей уравнение к виду Е, если две
характеристики Fi и Г2 проходят через точку и = 0,
и = О, но не имеют в ней общей касательной.
Из результатов § 42 следует, что сепаратриса С
всегда может быть изолирована. Если уравнение Е име-
имеет вид A20), то, кроме Г, оно не имеет никакой харак-
характеристики, проходящей через точку и = 0, у = 0. Если
же Е вида A18) или A19), то оно имеет характеристи-
характеристику Г, соответствующую С, и еще характеристику и = 0
или v = 0, которые в общем случае будут введенными.
Покажем, что две сепаратрисы С\ и С2, имеющие
общую касательную и ограничивающие область оттал-
отталкивания особой точки О, всегда можно разделить.
Будем предполагать, что в процессе разделения се-
сепаратрис не встретится случай приводимости, так как
от него можно избавиться заменой х на хп, где п — не-
некоторое целое положительное число. Предположим, что
такое преобразование в случае надобности выполнено.
Тогда останутся лишь два возможных случая: нормаль-
нормальный и неприводимый. Рассмотрим каждый из этих слу-
случаев в отдельности.
Пусть С\ и С2 — две сепаратрисы такие, что при
изоляции каждой из них имеет место нормальный слу-
случай. Обозначим
У = <Рх{х) + х"*»; у = щ(х) + хп*и
замены переменных, изолирующие каждую из этих
сепаратрис. Здесь ср$ и ф2 — полиномы степени соответ-
соответственно не выше щ и гс2. Члены первой степени в по-
полиномах ф1 и ф2 совпадают, поскольку С\ и С2 имеют
общую касательную в точке О. Докажем предваритель-
предварительно, что ф1 и ф2 не могут быть равны тождественно.
Допустим противное: пусть ф1 = ф2, следовательно,
щ = гс2, тогда заменой переменного у = фх + xn±v будет
установлено соответствие С\ и С2 двум сепаратрисам
Г] и Г2 преобразованного уравнения Е, изолирующего
С\. Обе эти кривые проходят через точку х = 0, и = 0.
112
Уравнение Ё не может -быть вида A20), так
последнее имеет только одну кривую, проходящую
через точку х = 0, v = 0. Следовательно, оно будет или
вида A18) или вида A19). Допустим, для определенно-
определенности, что С\ и Сч расположены по одну сторону от оси
Оу, например со стороны положительных х. Тогда соот-
соответствующие сепаратрисы Fi и Г2 также расположены
в плоскости х, и со стороны положительных х. Уравне-
Уравнение вида A18) или A19) имеет характеристику # = 0,
и если одна из характеристик, расположенных справа
от оси Оу, есть сепаратриса, то других характеристик,
проходящих через точку х = 0, у«0и расположенных
со стороны положительных х, быть не может. Кривые
Fi и Гг не могут быть сепаратрисами.
Следовательно, два полинома cpi и ф2 различны.
Предположим, что они имеют различные члены, начи-
начиная с порядка не ниже чем г + 1, в то время как члены
степени меньше чем г + 1 тождественны между собой.
Пусть ср(#) — полином, образованный этими одинаковы-
одинаковыми членами. Полагая
хгуг. A24)
Получим преобразованное уравнение Е в переменных
х и уг. Сепаратрисам С\ и Сч будут соответствовать се-
сепаратрисы Г] и Г2, проходящие через точку х = 0, ут =
== 0, но не имеющие в этой точке общей касательной.
Следовательно, С\ и Сч разделимы, причем они имеют
в точке О касание порядка г.
Замечание. Общую замену переменных A24),
приводящую уравнение в переменных жир виду £*,
в переменных х ш ут можно рассматривать как резуль-
результат последовательных замен вида
yi+i = пгх + хуи уо = У d = 1, 2, 3, ..., г).
Что касается замен переменных, которыми уравнение
Е приводится к форме, изолирующей С\, то их можно
представить таким же образом, полагая f = r+l,
г + 2, ..., п.
Уравнения, получающиеся при последовательной
замене переменных, соответствующие i<r, могут иметь
в х = 0, Уг = 0 дикритическую точку, а при i ^ r особая
точка х == 0, г/г = 0 дикритической быть уже не может.
Действительно, сепаратрисам С\ и Сч соответствуют
в плоскости переменных х и уг характеристики Fi и Г2.
8 г. Дюлак ■ ИЗ
Кривая Fi — сепаратрис^, йримьшающая к 1^очкё х = О,
Hi *=* 0. Области отталкивания, ограниченной в плоскости
ху кривыми С\ и Сг, соответствует в плоскости xyi
область, ограниченная кривыми Гх и Г2, если i < г, и
область, ограниченная кривыми Гц, Г2 и отрезком оси
х = 0, если i > г. В последнем случае эта область тако-
такова, что в ней можно провести бесконечно много векто-
векторов, начинающихся в точке х = 0, у{ = 0. Если при
каком-либо i > г точка х = 0, г/г- = 0 оказалась бы ди-
критической, то существовали бы характеристики Г',
касающиеся в этой точке каждого из этих векторов и
расположенные в исследуемой области. Каждой из та-
таких кривых Г' соответствовала бы в плоскости ху ха-
характеристика, оканчивающаяся в точке О и располо-
расположенная в области отталкивания, заключенной между
С\ и Сг. Полученное противоречие показывает, что ни
уравнение Е, ни те уравнения, которые из него полу-
получаются путем преобразований, не могут иметь в начале
координат дикритическую точку. Отсюда, в частности,
следует, что каждое из преобразованных уравнений,
которые получаются из Е для изоляции С\ или С2,
имеет характеристику х = 0.
§ 44. Сепаратрисы, при отыскании которых
встречается неприводимый случай
Чтобы определить такие сепаратрисы, рассмотрим
все случаи, где они встречаются. Пусть С — характе-
характеристика, в процессе изоляции которой имеет место слу-
случай неприводимости.
Существует целое положительное число s и поли-
полином ф(#) степени не выше 5, равный нулю при х = 0,
такие, что заменой переменного
х'ув A25)
исходное уравнение преобразуется в уравнение Е, се-
сепаратриса С переходит в характеристику Г, проходя-
проходящую через точку х = 0, уа == 0 и для точек этой харак-
характеристики отношение х/уrs, каково бы ни было целое по-
положительное число г, стремится к нулю при ж, стре-
стремящемся к нулю. Может случиться, что 5 = 0, тогда
у = у о и ф === 0.
114
Покажем вначале, что для случая неприводимости
необходимо, чтобы уравнение Е имело решение х = 0.
Допустим, что такого решения нет. Тогда уравнение
Е запишется в виде
[хА (х, у8) + yps{a + ysF (ж, ys))] dys + В {х, ys) dx = 0,
где a — постоянная, отличная от нуля, р — целое поло-
положительное число, F, А, В — ряды по целым степеням
х и уа и Ж0, 0) = 0.
Положим х=иу%+1; тогда, поделив на уГ» получим
уравнение
где D и С — ряды по и и ys, ZXO, 0) = 0. Это уравнение
не имеет решения, для которого и стремится к нулю
при z/s, стремящемся к нулю, вопреки требованию не-
неприводимости. Полученное противоречие доказывает
утверждение, что уравнение Е имеет решение х = 0.
Предположим, что уравнение Е имеет решение х =
= 0, и допустим также, что при отыскании сепаратри-
сепаратрисы, примыкающей к особой точке х = 0, уа = 0, встре-
встретился случай неприводимости. Согласно § 41 существу-
существует целое положительное число q такое, что заменой
переменного
* = xqy* A26)
уравнение Е приводится к простой форме, если q до-
достаточно велико. Сепаратрисе Г уравнения Е соответст-
соответствует сепаратриса, примыкающая к особой точке xq = 0,
ys = 0, и она касается в этой точке прямой xq = 0, по-
поскольку не имеет места нормальный случай.
Следует иметь в виду, что есть два различных вида
уравнений простой формы. В одном случае существует
только одна характеристика, проходящая через точку
xq = 0, ys = 0 и касающаяся в ней оси xq = 0, в другом
случае таких характеристик бесконечно много. Если
имеет место первый случай, то эта характеристика бу-
будет xq = 0, она соответствует решению х = 0 уравнения
£. Если выполняется второй случай, то очевидно, что
с каждой стороны характеристики Г', отличной от xq =
= 0, существует бесконечно много характеристик, сколь
угодно близких к Г' и оканчивающихся в точке xq = 0,
ys = 0. Ни одна из этих характеристик Г' не может соот-
соответствовать сепаратрисе Г, Следовательно, сепаратрисе
8* 115
Г уравнения Е в переменных х и у8 не может соответ-
соответствовать никакая характеристика, отличная от xq = 0«
Характеристика xq = 0 переходит в характеристику С,
уравнения в переменных х и у только при условии, что
у него есть решение х = 0. Действительно, из A26)
следует, что если xq = 0, то х = 0. Из A25) при s>0
заключаем, что если х = 0, то у = 0. Но для характе-
характеристики С это невозможно. Итак, приходим к следую-
следующему результату. Неприводимый случай при изоляции
сепаратрисы уравнения A08) может встретиться толь-
только тогда, когда эта сепаратриса есть ось х = 0.
Следовательно, если случай неприводимости встре-
встретится при исследовании двух сепаратрис, ограничиваю-
ограничивающих область отталкивания особой точки О, то одна из
них будет х = 0, другая касается прямой, отличной от оси
Оу. Такие сепаратрисы всегда разделены. Ясно, что при
отыскании сепаратрис можно простым поворотом ко-
координатных осей избавиться от случая непроводимости.
§ 45. Преобразование уравнения
относительно интегралов, касающихся осия?=0
Можно всегда предполагать, изменяя в случае необ-
необходимости направление координатных осей, что х = 0
не будет возможным направлением касательных в точ-
точке О для характеристик уравнения A08). Таких пред-
предположений в отношении уравнений, преобразованных
из A08) и имеющих, вообще говоря, решение х = 0,
делать уже нельзя. При изучении функции соответст-
соответствия потребуется рассматривать уравнения, преобразо-
преобразованные относительно действительных или комплекс-
комплексных интегралов, касающихся оси а; = 0 и удовлетворя-
удовлетворяющих уравнениям, полученным из A08) заменой пере-
переменных. Рассмотрим уравнение
хХ(х, y)dy + Y(x, y)dx = 0. A27)
Очевидно, оно имеет решение х = 0. Чтобы исследо-
исследовать действительные или комплексные интегралы, ка-
касающиеся оси а; = 0 в точке О, положим х = Х\у. Тог-
Тогда получим уравнение, имеющее ршеыия х\ == 0 и у = 0,
которое можно записать в виде
u у) +
|у)]Жг1=О, A28)
116
где А{х\, у) и В(х\'% у) — однородные полиномы степени
п, представляющие собой члены наименьшей степени
в коэффициентах при dx\ и dy. Если не делать никаких
дополнительных предположений, то п может быть про-
произвольным положительным целым числом, но если
предположить, что сделана замена переменных х = х\,
где р — целое число, позволяющая избавиться от слу-
случая приводимости в интегралах уравнения A27), каса-
касающихся оси х = 0, то для п возможно только одно зна-
значение тг = О, т. е. уравнение A28) должно быть простой
формы. При доказательстве этого утверждения будем
опираться па следующую теорему1), в которой рассмат-
рассматриваются как мнимые, так и действительные интегра-
интегралы. Для интегралов, изучаемых в этом параграфе, х\ и
у могут стремиться к нулю и по комплексным значе-
значениям. Отношение ylx\ при х\ и г/, стремящихся к нулю,
может стремиться как к комплексному, так и к дейст-
действительному пределу.
1. Если # = 0, у = 0 — особая точка порядка р, т.е.
если в уравнении
Х(х, y)dy + Y(xi y)dx = 0
ряды X и У начинаются с однородных многочленов по
х и у степени /?, то существует не менее р + 1 раз-
различных интегралов, проходящих через точку # = 0,
V-0.
2. Если х = 0, у = 0 — исключительная особая точ-
точка, т. е. если дифференциальное уравнение в перемен-
переменных х и у имеет вид A19), то существует бесконечно
много интегралов, для которых х и у одновременно
стремятся к нулю.
Итак, покажем, что при сделанных предположениях
п = 0. Поскольку исключается случай приводимости, то
интегралы, касающиеся оси х = 0, могут быть только
при условии, что встретится случай неприводимости.
Выполним последовательно замены переменных
U=l, 2, ...).
На любом шаге будут получаться уравнения, обладаю-
обладающие тем свойством, что для каждого интеграла, про-
проходящего через начало координат, отношение y/Xi стре-
') Первая часть этой теоремы доказана Дюлаком в работе
[3]. Доказательство в юрой част дано в его статье [18].
117
мится к конечному пределу, или нулю, когда х{ и у
стремятся к нулю.
Покажем невозможность того, чтобы в получаемых
уравнениях члены с наинизшей степенью по перемен-
переменным х{ и у в коэффициентах при dx{ и dy все время
имели бы порядок п+1. Действительно (§ 45), эти за-
замены переменных приводят к уравнению, для которого
Xi = 0, у = 0 будет особой точкой первого порядка, что
соответствует степени п = 0. С другой стороны, пока-
покажем, что если точка х{■ = 0, у = 0 для уравнения в пе-
переменных х{ и у будет особой точкой порядка меньше
чем тг+1, то будет иметь место приводимый случай.
Из полученного противоречия будет следовать, что п = 0.
Для доказательства достаточно рассмотреть уравне-
уравнение в переменных х2 и у. Предположим, что порядок
особой точки Х2 = 0, у = 0 меньше чем л + 1. Предвари-
Предварительно установим тождество
А(х1,у) + В(х1,у)Е=сх»; A29)
где с — постоянная. Действительно, если это тождество
не имеет места, то заменой переменного у = tx\ уравне-
уравнение преобразуется к виду
t) + X**(zu t)]dt +
+ t[A(l, t) + B(l, t) + Y**(xu t)]dxx = 0. A30)
Равенство
Ж1, t)+BU, *)=0 A31)
выполняется по крайней мере для одного t = а. Дока-
Докажем, что существует хотя бы один интеграл такой, что
t стремится к а, когда х стремится к нулю, тем самым
будет показано, вопреки нашему предположению, что
имеет место приводимый случай и тождество A29) бу-
будет установлено.
Если а =7^0 и АН, а)=^0, то существует голоморф-
голоморфный в точке х\ = 0 интеграл t(x\) уравнения A30) и
такой, что £@) = а. Если а^0 и АН, а) = 0, причем
£ = а есть корень порядка q уравнения A31), то, пола-
полагая в уравнении A30) z = t — а получим
x\[zh(z) + х\Н{х\, z)]dz + [zqg(z) + x\Gix\, z)\dx\ == 0,
где h(z) и g(z) — полиномы по z, g@) = 0, H и G — ря-
ряды по целым степеням х\ и z. Можно всегда предпола-
118
гать, Что х\й(х\, z) начинается с Членов йе ШШ& йтб-
рой степени. Если это не имеет места, то, полагая х\ =»
= и2, получим требуемое свойство. Таким образом, при-
приходим к рассмотрению двух случаев уравнений в пере-
переменных Х\ и z:
1. 9 = 1, точка £1 = 0, z = 0 — исключительная осо-
особая точка.
2. q > 1, точка хх = 0, z = 0 — особая точка порядка
выше первого.
В обоих случаях существуют интегралы z(x\), стре-
стремящиеся к нулю при #i, стремящемся к нулю.
Если сс = О, ЛA, 0)^0, то z = * = 0, ^ = 0 будет
исключительной особой точкой уравнения A30). Для
ос = 0 Ж1, 0)=0, тогда z = £ = 0, #i = 0 будет особой
точкой порядка выше первого. В этих двух последних
случаях существуют интегралы t(x\), отличные от t = 0,
для которых t стремится к нулю при х\, стремящемся
к нулю.
Тождество A29), таким образом, доказано. В силу
этого, если положить х\ =~-Х2У, то уравнение A28) при-
приведется к виду
J у)] dx2 = 0, A32)
где г — целое число, меньшее или равное п, g{x2) —
полином по х2, g@) ¥= 0. Н и G — ряды по целым сте-
степеням х2 и у, причем /7@, 0) = 0 и G@, 0) = 0.
Поскольку предполагаем, что особая точка х2 = 0,
у = 0 имеет порядок меньше чем тг + 1, то наименьшая
степень членов в скобках будет меньше п. Для этого
необходимо, чтобы г<п, или же чтобы выражения
yH(x2i у) или yG(x2i у) начинались с членов степени,
меньшей чем д. Рассмотрим в отдельности каждый из
этих случаев.
Если г < п, то заменой переменного у = vxr2 уравне-
уравнение A32) преобразуется к виду
z2[cxn-r + vHl(x.2, v)]du +
+ v [g (x2) + rex™ + vGx (x2, v)] dx2 = 0, A33)
где Н\ и G\ — ряды по целым степеням х2 и v. Так
как g@) Ф 0, то х2 = 0, и = 0 — исключительная особая
точка уравнения A33). Если гс = г, но разложение
НB, у) или yG(x2y у) в ряд начинается с членов сте-
119
пени, меньшей чем n, to можно, обозначая эти
соответственно через уР(х2у у) и yQ(x2, у), написать
уравнение A32) в виде
Ч [уР fa* У) + СХ2 + VHi (х*> У)] йУ +
+ У [yQ (*at У)+ g (*») хп% + yGx {х^у)] dx2 = 0.
Положив у = vx2, получим уравнение
z2lvP(l, v)+P2(x2i v)]dv + vlvPll, v)-¥
+ vQ(l, v) + Q2(x2, v)]dx2 - 0, A34)
в котором функции Р2 и Q2 имеют множителем х2.
Функции, стоящие в каждой из скобок, начинаются
по крайней мере с членов первой степени по х2 и vf
особая точка ^2s==0, у==0 будет иметь порядок выше
первого. Следовательно, чтобы у уравнения A33) или
A34) существовал по крайней мере один интеграл, от-
отличный от и = 0, который бы стремился к нулю при х2,
стремящемся к нулю, должен иметь место приводимый
случай. Таким образом, можно сформулировать следую-
следующую теорему.
Если при исследовании действительных или ком-
комплексных интегралов уравнения A27), проходящих не-
рез точку х = 0, у = 0 и касающихся в ней оси х == 0,
не может иметь места приводимый случай, то для
уравнения, полученного при помощи подстановки
х = х\у, точка #1 = 0, i/ = 0 будет простой особой
точкой.
Случай, когда х = 0, у = 0 дикритическая, невоз-
невозможен,
§ 46. Функция соответствия
для области отталкивания,
ограниченной единственной характеристикой £=0
Предположим, что выполнены следующие условия:
1. Дифференциальное уравнение имеет характери-
характеристику х = 0, проходящую через сложную особую точку
х = 0, у - 0.
2. По одну сторону от этой характеристики, напри-
например со стороны положительных х, не существует ника-
никакой характеристики, оканчивающейся в х = 0, у = 0 и
не пересекающей оси х == 0.
120
Дифференциальное уравнение запишем в виде
х1Р(х, у) + XU, y)Uy + [Q{x, у) + YU, y)Ux - 0, A35)
где хР и Q — однородные полиномы степени п, пред-
представляющие собой члены наинизшей степени в коэффи-
коэффициентах при их и dy.
Пусть I и V — два положительных числа таких, что
дифференциальное уравнение не имеет, за исключени-
исключением х = 0, у = 0 никакой другой особой точки, располо-
расположенной на оси х = 0 между прямыми у = I и у = —Z'.
Рассмотрим характеристику С, близкую кж = 0, и най-
найдем функцию соответствия между абсциссами точек
пересечения М и ЛГ кривой С с прямыми у = I и
Лемма. Зависимость, которую дает искомая функ-
функция соответствия, показывает, что каждая характерис-
характеристика С, пересекающая прямую у = 1 в точке М, доста-
достаточно близкой к оси Оу, пересечет и прямую у = —Z' в
точке М\ которая будет также близка к оси Оу.
Чтобы не вводить в рассуждения излишних осложне-
осложнений, докажем это свойство непосредственно. Оно будет
в дальнейшем использоваться во многих рассуждениях.
Всегда можно найти такое а, что для у = I и 0 <
<х<а коэффициент [Q(x, y) + Y(x, у)] при dx в
уравнении A35) не будет обращаться в нуль. Пусть Af0
и М о — точки пересечения характеристики ж = 0с пря-
прямым у = 1 и 2/ = — V. Обозначим А и А' — точки пе-
пересечения прямых у = I и у = —V с х = а и рассмотрим
прямоугольник M0AA'Mq, который будем обозначать Л.
Можно подобрать а настолько малым, чтобы внутри
R не существовало особых точек уравнения A35). Ха-
Характеристика С, проходящая через точку М отрезка
MqA, не касается его в этой точке. Продолжим ее
внутрь прямоугольника R; очевидно, что С выйдет из R
через точку М\ так как внутри R нет особых точек и, по
предположению, С не может окончиться р точке О. Ког-
Когда точка М приближается в точке Д/о, соответствующая
ей точка М' перемещается по границе R в одном и том
же направлении и, следовательно, стремится к некото-
некоторому предельному положению К'. Покажем, что К'
совпадает с Мо.
Действительно, если К' не совпадает с Мо, то через
точку К' проходит характеристика С", отличная от оси
Ш
Оу. На характеристике С" существует направление, сле-
следуя по которому она входит внутрь области Л через точ-
точку К'. Действительно, если бы это не имело места, то
характеристика С, проходящая через точку М', близ-
близкую к К!, также не могла бы войти внутрь Я. Харак-
Характеристика С, следуя по указанному направлению, вый-
выйдет из R через точку К, отличную от Л/о. На дуге К' К
кривой С нет особых точек. Характеристика С, прохо-
проходящая через точку М', близкую к К' и следующая в
том же направлении, что и С", выйдет из Д в точке Л/,
близкой к К. Но это невозможно, поскольку М должна
быть близка к Л/о, а К отлично от Mq.
Таким образом, К' совпадает с Мо. Характеристи-
Характеристика С, пересекающая прямую у = I в точке М, близкой
к Д/о, пересечет у = —Г в точке М', близкой кМ0. Лем-
Лемма доказана. Прежде чем приступить к нахождению
функции соответствия между М и М\ сделаем одно за-
замечание.
Предположениям, сделанным в отношении рассмат-
рассматриваемого уравнения, не противоречит утверждение,
что уравнение A35) имеет действительные или мнимые
решения такие, что частное х/у стремится к нулю при
х и у, стремящихся к нулю. Необходимо только пола-
полагать, что на этих решениях х стремится к нулю, при-
принимая отрицательные значения. Допустим сначала, что
приводимый случай не встретится при исследовании ин-
интегралов уравнения A35), проходящих через точку х =
= 0, у = 0 и касающихся в ней оси х = 0. Если сущест-
существуют интегралы, на которых х/у стремится к нулю од-
одновременно с х я у, то они должны быть такими, что
для любого целого положительного s отношение x/ys так-
также стремится к нулю при х и у, стремящихся к нулю.
Пусть ц — произвольное положительное число. Рассмот-
Рассмотрим прямые OD и OD', имеющие соответственно урав-
уравнения цу = х и цу + х = 0. Если точка М достаточно
близка к точке Afo, то М будет лежать выше прямой
OD, а Ш' ниже OD'. Характеристика С, пересекающая
у = I и у = —V в точках с абсциссами х и х будет пе-
пересекать OD и OD' в точках N и N' с абсциссами х\ и
хг. Выбирая надлежащим образом т], покажем, что мож-
можно найти:
1) функцию соответствия между х и ти а также
между х и хх;
№
2) функцию Соответствия между х\ и х\.
1°. Функция соответствия между х и х\. Если по-
положить x = yt, то уравнение A35) приведется к виду
tlPit, 1) + Q(t, 1) + X*U,
0, A36)
где X*U, 0) =0 и Y*(ty 0) = 0. Поскольку предположи-
предположили, что приводимый случай не может иметь места для
решений уравнения A35), проходящих через точку t =
= 0, х = 0 и касающихся в ней оси х = 0, то, согласно
§ 45, t = 0, у == 0 — элементарная особая точка уравне-
уравнения A36). Следовательно, одновременно Р@, 1)и()@,1)
не могут обращаться в нуль. Выражение Pit, 1) +
+ <?U, 1) не равно тождественно нулю, ибо в противном
случае х = 0, у = 0 была бы дикритической точкой,
а это противоречит сформулированному в начале § 46
условию 2.
В силу выбора чисел I и V на оси t = 0 между пря-
прямыми г/ = —Г и у = Z нет никаких особых точек урав-
уравнения A36), отличных от точки £ = 0, г/== 0. Существу-
Существует г] > 0 такое, что при — r\<t<r\ выражение Pit, 1)+
+ (?(£, 1) не обращается в нуль, за исключением, быть
может, точки t = 0 *).
Положение точек пересечения Му N, N', W кривой
С с прямыми у = Z, т]г/ = #, т]г/ = —ж, г/ = —Г будет пол-
полностью определяться значениями х, х\, х\ , х' абсцисс
этих точек. Соотношение х = ty ставит в соответствие
характеристике С уравнения A35) характеристику С%
уравнения A36), точкам Ж, Л/, Л/', М1 точки M2,N2,
N'2, М\, в которых С2 пересекается с прямыми у = I,
tx\ = 1, £г] = — 1, у = —Z. Положение этих точек будет
полностью определяться значениямих, а^, #[, ж'. Точкам
Л/о и Мо соответствуют в плоскости t, у точки A0{t =
]) Если Р@, 1)+<?@, 1)=0, то * = 0, у = 0 будет исключи-
исключительной особой точкой уравнения A36), и можно показать, что
это уравнение имеет решение y(t) такое, что когда t стремится
к нулю по надлежащим образом выбранному коптуру в плос-
плоскости комплексного переменного £, то функция у и отношение
y/t стремятся к нулю. Можно, следовательно, предполагать
(§ 43), что Р@, 1) -Ь<?@, 1) ф 0, поскольку случай приводимо-
приводимости не будет иметь места при отыскании интегралов уравнения
A35), проходящих через точку х = 0, у = 0 и касающихся в
ней осп Ох.
123
«= 0, у = I), Ао (t = 0, у = — /'). Возьмем в плоскости
ty точки О' (у = 0, t =0), Z)o (у = 0, ( = 11), D'o (у = О,
* = -Г)).
Рассмотрим часть характеристики Сг, расположен-
расположенную в области t > 0, г/ > 0, она близка к характеристи-
характеристике Со, образованной сегментом А0О' оси £ = 0 и сегмен-
сегментом O'Dq оси у = 0. Прямые г/ = Z и £ = т], которые пе-
пересекают Со в точках А0 и Д), будут нормалями к Со.
На дуге Л0О'А) кривой Со есть только одна элементар-
элементарная особая точка. Следовательно, известен вид зависи-
зависимости между х и х\. Точно так же из рассмотрения час-
части С% расположенной в области t < 0, у < 0, найдем за-
зависимость между Xi и х'. Природа этой зависимости оп-
определяется характером особой точки О', которая может
быть или седлом, или исключительной особой точкой.
2°. Функция соответствия между х\ и х±. Положим
y*=xz, тогда уравнение A35) приведется к виду
xlxPil, z) + X(x, z)]dz +
= 0. A37)
Двум прямым x = ±Y)y плоскости х, у соответствуют две
прямые т]2 = ±1 плоскости х, г, характеристике С со-
соответствует характеристика С^ пересекающая прямые
Г]2 = 1иг12 = --1в точках Лгх и N{ с абсциссами xv и хх
Допустим вначале, что па оси % = 0 между прямы-
прямыми т]2==±1 нет ни одной особой точки уравнения A37).
Выражение zP(l1 z) + Q(l, z) не обращается в нуль,
когда x\z изменяется от —1 до 1.
Обозначим До иД0 точки пересечения прямой я = 0
с прямыми r\z = ± 1. Сегмент [До, Ао] прямой х = 0
представляет собой дугу характеристики, на которой
нет особых точек. Характеристика С^, близкая к это-
этому сегменту, определяет голоморфное соотношение
между ^ и х1( абсциссами точек пересечения С с пря-
прямыми r\z = ± 1. Следовательно, х'х — xxh (хг), где h(x0 —
функция голоморфная при х = 0 и МО) Ф 0.
3°. Функция соответствия между х\ и ххв случае,
когда уравнение A37) имеет особые точки на оси х = 0.
Рассмотрим теперь случай, опущенный в 2°. Пред-
Предположим, что уравнение A37) имеет одну или несколь-
124
ко особых точек на оси # = 0 между прямыми r\z=*
= ±1. Вне этого отрезка на оси х = 0 нет других осо-
особых точек уравнения A37). Разделим сегмент [До, А^]
на части так, чтобы в каждом из полученных отрезков
лежала бы только одна особая точка. Пусть z=<Xj+Zi
и z = oti—lu прямые перпендикулярные к х = 0, огра-
ограничивающие сегмент, содержащий особую точку х = 0,
z = а*. Зависимость, которая существует между х\ и
хи будет результирующей зависимостью между абсцис-
абсциссами х точек пересечения характеристики Сг с различ-
различными прямыми z = oci 4- hi z = <*г — l{, где i принима-
ет значения 1,2,..., р, соответствующие числу особых то-
точек уравнения A37), лежащих на оси х = 0. Найдем
вид этих соотношений, приняв во внимание, что х ==»
= 0, ъ = а< — особая точка того же характера, что и
точка # = 0, i/ = 0 для уравнения A35).
Если положить z = a,i + yi, то уравнение в пере-
переменных х и у\ не будет иметь характеристик, оканчи-
оканчивающихся в точке # = 0, у\ = 0 и расположенных со
стороны положительных х, так как такие характеристики
соответствовали бы характеристикам уравнения A35),
оканчивающимся в точке х = 0, у == 0. Уравнение в пере-
переменных х и у\ имеет, так же как и уравнение A35), реше-
решение х == 0. Чтобы установить зависимость, которая су-
существует в плоскости х, у\ между абсциссами точек пе-
пересечения характеристики Сг с прямыми у\ = 1\ и^ =
= — убудем проводить рассуждения, аналогичные тем,
которые были проделаны для уравнения в переменных
х я у при получении соотношения между абсциссами то-
точек пересечения характеристики С с прямыми у = 1 и
у = —V. Если, положив */i=£Zi, получим дифференциаль-
дифференциальное уравнение в переменных х и z, не имеющее особых
точек на конечной части прямой х = 0, то зависимость
между абсциссами рассматриваемых точек получим
так же, как и в 2°. Если уравнение в переменных х и
z\ имеет особые точки на конечной части оси х = 0, то
повторим рассуждения 3°.
Продолжая эти преобразования далее, придем к урав-
уравнению в переменных х и zq, не имеющему особых то-
точек на конечной части оси х = 0. Действительна после-
последовательные выполнения указанных замен переменных
приводят к уравнениям, имеющим решения у(х) (мни-
(мнимые, если х положительное) такие, что ylx% у\/х, ...
125
стремятся к конечному пределу, когда х стремится к
нулю 1). Известно, что, выполняя указанные преобразо-
преобразования, будем получать элементарные особые точки до
тех пор, пока не остановимся на уравнении в перемен-
переменных х и zg, не имеющем особых точек на оси х = 0.
Сформулированное утверждение справедливо, ибо если
придем к уравнению в переменных х и уп, имеющему
элементарную особую точку х = 0, уп = 0, то у получен-
полученного уравнения будет существовать по крайней мере
одна характеристика, расположенная со стороны поло-
положительных х и оканчивающаяся в точке х = 0, уп = 0,
Этой характеристике будет соответствовать характерис-
характеристика С, расположенная со стороны положительных х и
оканчивающаяся в точке х = 0, у = 0, что противоречит
сделанным предположениям. Следовательно, проводя
указанные преобразования переменных, непременно
придем к случаю 2°.
Применим теперь изложенный метод к нахождению
функции соответствия между х^ и^. Рассмотрим се-
серию промежуточных параметров хг (г = 1,2,..., р), кото-
которые будут абсциссами точек пересечения характеристи-
характеристики С с кривыми, проходящими через точку х = 0, у = 0
и заключенными в угле между прямыми цу = ±х. По-
Полагая xi+i = xi, получим серию соотношений между
двумя последовательными значениями х{ и xi+\, где i
принимает значения 1,2,..., /?. Эти соотношения будут
голоморфными или соотношениями, соответствующими
прохождению характеристики в окрестности элементар-
элементарной особой точки.
Заключение. В случае, когда к уравнению A37)
применимы рассуждения 2° или 3°, приходим к заклю-
заключению. Прохождение характеристики вблизи особой точ-
точки эквивалентно, в смысле функции соответствия, пос-
последовательному прохождению характеристики в окрест-
ности некоторого числа элементарных особых точек.
Если, например, предположить, что для уравнения
A36) особая точка £ = 0, у = 0 — седло и что у урав-
1) Конечные пределы, которые получаются для отношений
у/ху у\/х, ..., будут действительными, поскольку рассматрива-
рассматриваются только действительные особые точкп, расположенные на
оси х = 0, но решения, соответствующие этим пределам, обяза-
обязательно будут мнимыми для положительных значений я, так как
не существует характеристик, расположенных со стороны поло-
положительных х и оканчивающихся в точке х «= 0, у = 0.
126
нения A37) нет особых точек на оси # = 0, то будем
иметь соотношения
£ ]; х[ = bxfV [1 + G (*')];
где а, Ь, с, А,, X' — постоянные, К • X' = 1, F и G — полу-
полурегулярные функции, равные нулю при нулевых значе-
значениях аргументов, Я — голоморфная функция, равная
нулю при хх = 0. Исключая последовательно Xi и хг
из этих соотношений, получим
где к — постоянная, К — полурегулярная функция, рав-
равная нулю при х = 0. В частном случае К может быть
рядом по целым степеням х', но, вообще говоря, К —
полурегулярная функция, представляющая собой ряд
по степеням х\ х'К, х'%', а также х'\пхг, если X — раци-
рациональное. Если все особые точки, встречающиеся при
применении к уравнениям A36) и A37) указанного
метода, будут седла, то соотношения между хжх име-
имеют вид х== кх'[1 + #(#')], где функция К{х')— полу-
полурегулярная и равная нулю при х = 0. Это утверждение
распространяется, только с некоторыми ограничениями,
на случай, когда некоторые из рассматриваемых особых
точек будут исключительные особые точки. Так следует
заметить, что если одна из этих исключительных точек
проходится в направлении цу, то другая будет прохо-
проходится в направлении vu (см. § 34).
Замечание. Метод, который был применен при
получении функции соответствия в случае особой точ-
точки рассматриваемого типа, распространяется, в частнос-
частности, на случай полуособой точки (§5). Если две дуги ха-
характеристики, оканчивающиеся в полуособой точке х=
= 0, у = 0 есть ветви кривой, для которой х = 0, у = 0 —
регулярная точка, то с помощью замены переменного,
приняв эту кривую за ось х = 0, можно применить ме-
метод, указанный далее, для произвольной особой точки.
§ 47. Изменения, вводимые при исследовании
приводимого случая
В § 46 было введено ограничение, состоящее в том,
что при исследовании интегралов уравнения A35), про-
проходящих через точку х• = 0, у = 0, не может встретить-
127
ся приводимый случай. Неявно такое же ограничение
было введено и в 3° для интегралов (проходящих через
особые точки) различных уравнений, получаемых из
A35) заменами переменных. Освободимся теперь от это-
этого ограничения.
Чтобы избавиться от затруднений, которые встре-
встречаются при изучении приводимого случая, подберем та-
такое г, что подстановкой х = иг уравнение A35) преоб-
преобразуется в уравнение в переменных и и у, для которого
приводимый случай уже не имеет места. Целесообразно
г подобрать так, чтобы приводимый случай не имел бы
места ни для одного интеграла A35), которому соответ-
соответствует характеристика такая, что на ней отношение
х/у стремится к нулю при х и у, стремящихся к нулю.
Для уравнения в переменных и и у случай приводимости
не будет иметь места для всех характеристик, на кото-
которых отношение у/иг неограниченно растет, когда и и у
стремятся к нулю, оставаясь на этой характеристике.
Замена переменного х = иг характеристике С уравнения
A35) ставит в соответствие характеристику Г уравнения
в переменных и и у. Уравнение A35) после такой заме-
замены приводится к виду
иШщ у) + ХЫ, y)]dy + [ВЫ, у) + Y(u, y)]du = О,
A38)
где A is. В — однородные полиномы наименьшей степе-
степени в коэффициентах при dy и du. Если получим зави-
зависимость между значениями м, соответствующими точ-
точкам пересечения характеристики Г с прямой у = Z,
и кривой у = l'ur, где Z, V — постоянные, то тем самым 6^j-
дет получена зависимость между значениями х, соответ-
соответствующих точкам пересечения характеристики С с
прямыми у = I и у = 1'х. Таким образом, можно освобо-
освободиться от ограничений, сделанных в § 46, при установ-
установлении зависимости между значениями х и Х\.
Если положить u = tyy то уравнение A38) npeoi/pa-
зуется к виду
tlAit, 1) + Bit, 1)+ *♦(*, уШу +
O, A39)
где X*U, 0) = 0, F*U, 0) = 0. Для интегралов уравнения
A38), проходящих через точку и == 0, у = 0 и касающих-
касающихся в ней оси и = 0, случай приводимости не будет иметь
128
места. Известно (§ 45), что t = 0, у = 0 есть элементар-
элементарная особая точка для уравнения A36). Перенесем на
уравнение A39) рассуждения, проведенные для уравне-
уравнения A36). Подберем t]i>0 такое, чтобы выражение
A(t, I)-hBit, 1) не обращалось в нуль при — r\\<t<
<т]ь за исключением быть может £ = 0. Рассмотрим в
плоскости t, у характеристику Г', соответствующую ха-
характеристике С. Характеристика Г' пересекает прямую
y = Z в точке с параметром ми прямую £ = т]1вточкес
параметром щ. Зависимость между и и щ известна и
определяется типом особой точки t = 0, у = 0. Следова-
Следовательно, найдем и зависимость между абсциссами точек
пересечения характеристики Г с прямыми у = I и
Положив теперь в A38) г/ = г/i^, получим
, уО+Х**(и, yx)]dyi +
+ 1у{АA, уО + Ж1, уО + Г**(ц, уОЫи = 0. A40)
Еслп это уравнение имеет на оси и = 0 особые точ-
точки с положительными ординатами, то обозначим через
1\ наибольшее положительное число, меньшее всех ор-
ординат этих точек. Пусть характеристике Fi уравнения
A40) соответствует характеристика Г уравнения A38).
Применяя к уравнению A40) рассуждения, проведен-
проведенные для уравнения A37) (§ 46, 3°), получим зависи-
зависимость между значениями и, соответствующими точкам
пересечения характеристики Fi с прямыми r]ii/=l и
ух = Zi, которая в свою очередь позволит установить за-
зависимость между значениями и, отвечающими точкам
пересечения характеристики Г с прямыми у = 1 и у =
= /;и. Если у уравнения A40) нет особых то-
точек с положительными ординатами, лежащих на оси
гг=* 0, то, положив v\\l\ = 1, найдем зависимость между
значениями и и щ, определяющими абсциссы точек пе-
пересечения характеристики Г с прямыми у = 1 и у = 1\и.
Применим теперь к уравнению A40) рассуждения,
проведенные для уравнения A38), и найдем зависи-
зависимость между значениями, отвечающими точкам пересе-
пересечения Fi с прямыми у\ = 1\ и у\ = hu, где число h игра-
играет такую же роль, как и 1\ в A38). Таким образом, мо-
может быть получена зависимость между последователь-
последовательными точками пересечения характеристики Г с кривыми
У = I, У = hu, У = hu\ • • • Продолжая этот процесс, по-
9 Г. Дюлак 129
лучим ряд соотношений между точками пересечения ха-
характеристики Г с pi, уа1\Щ y^ku2, ..., y=*lriir.
Если в этих соотношениях заменить и на zl/r, то по-
получим зависимость между абсциссами точек пересече-
пересечения характеристики С уравнения A35) с прямыми у =■
«= I и у = Гя, где 1Т = Г.
Рассмотрим различные формы соотношений, которые
получим, применив метод § 46 для значений и и и\ со-
соответствующих точкам пересечения характеристики Г
с двумя последовательными прямыми y^Uu и y=li+\u.
Все эти соотношения легко найти, заменяя и на хх/г и
и' на я'1".
Если есть зависимость
где а и Я — положительные постоянные и F(u)— полу-
регулярная функция, равная нулю при и = 0, то после
замены будем иметь
и" = агиХг11 + F(u)]r; x = wrtl + срЫ1,
где а—-постоянная и ф(#)—- полурегулярная функция,
равная нулю при х == 0.
Если же полученная зависимость имеет вид
Р(Ц)
где а—-положительная постоянная, тг — целое,
многочлен степени не выше п, то получаем
х' = ахье
где ф(#), так же как и функция F(u),— полурегуляр-
полурегулярная и равная нулю при нулевом значении аргумента.
Эти соотношения могут быть использованы для по-
получения функции соответствия, так же как и те, из ко-
которых они получены. В частности, сохраняется свойст-
свойство, доказанное в § 34 о характеристиках, проходящих
последовательно в окрестности двух исключительных
особых точек, одну из которых проходят в направлении
uv, другую в направлении vu.
130
§ 48. Функция соответствия
в одном частном случае
Установим функцию соответствия для области от-
отталкивания сложной особой точки при следующих пред-
предположениях:
1. 0Gr = O, у = 0)—особая точка. В этой точке на-
наряду с другими оканчивается характеристика # = 0 и
характеристика Г, касающаяся в О оси Ох со стороны
положительных х.
2. Характеристика Г и положительная часть оси Оу
ограничивают сектор отталкивания R особой точки О.
В области, расположенной справа от оси Оу и выше Г,
нет характеристик, оканчивающихся в О.
3. Если положить у = упхп, где п — натуральное чис-
число, то уп стремится к нулю при #, стремящемся к ну-
нулю по характеристике Г. Кроме того, для дифференци-
дифференциального уравнения в переменных х и уп точка # = 0,
уп = 0 будет элементарной особой точкой.
Напишем рассматриваемое дифференциальное урав-
уравнение в уже знакомой нам форме A35)
х[Р(х, у) + Xix, y)Uy + [Q(x, у) + Y(x, y)]dx - 0.
A41)
Возьмем на положительной части оси Оу точку Мо и на
характеристике Г точку Мо так, чтобы на дугах харак-
характеристик MqO и ОМ0, которые в совокупности обозна-
обозначим через Со, не было особых точек, отличнь^с от О.
Через точку Мо проведем дугу 5, например прямую
у = /0. Через точку Мо проведем дугу S\ например
прямую х = V. Пусть С — характеристика уравнения
A41), проходящая через точку Ж, расположенную на
дуге S и имеющую абсциссу, равную Xq. Легко дока-
доказать (рассуждая так же как в лемме § 46), что если xq
достаточно мало, то характеристика С, начинающаяся в
точке М и следующая в надлежащем направлении, пе-
пересечет дугу S' в точке М\ так же достаточно близ-
близкой к М 0.
Этот результат также вытекает из работы Бендиксо*
на (стр. 23). Пусть v — длина дуги М0М', определяю-
определяющей положение точки Л/'.
Выражение xPix, y) + Q(x, у) не может быть тож-
тождественным нулем, так как точка О не может быть
9* 131
дикритической. Среди действительных или мшгмых.
прямых, полученных приравниванием этого выражения
к нулю, имеется некоторое число прямых с положи-
положительными угловыми коэффициентами.
Пусть а, Ь, с, ..., к — эти коэффициенты, записан-
записанные в порядке убывания. Обозначим через OD\,ODi,...
..., ODq полупрямые, расположенные со стороны поло-
положительных х п имеющие положительные угловые ко-
коэффициенты п\, Ь\, ..., к\, 1\ такие, что
О < h < к < кх < ... < Ьх < а < аи
В секторе, заключенном между двумя последова-
последовательными прямыми ODittODi+x, лежит одна прямаяу~
= тх, угловой коэффициент которой удовлетворяет
уравнению РA, т) + (К1, т) = 0. Если х0 достаточно
мало, то точка М лежит над прдмой OD\ и точка М' ле-
лежит под прямой ODq. Достаточно нарисовать чертеж,
чтобы увидеть, что дуга ММ' характеристики С пересе-
пересекает все прямые ODu Пусть xt есть абсцисса точки Mi —
точки пересечения характеристики С с полупрямой ODia
Для нахождения зависимости между параметрами Хо и
v, определяющими положение точек М и М\ найдем:
1) зависимость между х\ и xi+\\
2) зависимость между Xq и х\\
3) зависимость между xq и v.
1. Зависимость между Xi и Х{+\. Установим, напри-
например, зависимость между хх и х%. Положим у = x(a + z).
Согласно сделанным предположениям особая точка
х == 0, z — 0 уравнения в переменных х и z обладают
следующими свойствами:
а) уравнение имеет характеристику # = 0;
б) уравнение не имеет характеристик, расположен-
расположенных со стороны положительных х и оканчивающихся
в точке х = 0, 2 = 0.
Следовательно, имеем случай, разобранный в § 46.
Если обозначить через С характеристику уравнения
в переменных х и 2, соответствующую характеристике
С, то х\ и хч будут абсциссами точек пересечения ха-
характеристики С с прямыми z = а\ — а и z = b\ — a. Ha
части характеристики х = 0, заключенной между этими
прямыми, нет других особых точек, отличных от точки
х = 0, 2 = 0. Поэтому в силу § 47 известна зависимость
между хх и Х2 и вообще между х% и xi+\.
132
2. Зависимость между хо и х\. Положим x~ty, тог-
тогда получим уже знакомое уравнение вида A36)
O. A42)
Рассмотрим вначале случай, когда t = 0, у = 0 — эле-
элементарная особая точка.
Пусть С" — характеристика уравнения A42), кото-
которой соответствует характеристика С уравнения A41).
Значения xq и х\ — абсцисс точек пересечения характе-
характеристики С с прямыми у = h и а\Х = 1 — определяют
положение точек пересечения характеристики С" с
прямыми у = 10 и a\t = \. Уравнение A42) имеет две
характеристики: t = 0 и у = 0. На отрезках этих
характеристик, отсекаемых прямыми у = 1$ и a\t = 1,
есть только одна особая точка t = 0, г/ = 0, ко-
которую будем считать элементарной; тогда известна за-
зависимость между xq и х\.
Чтобы освободиться от предположения, что t = 0,
у = 0 есть элементарная особая точка уравнения A42),
нужно провести такие же рассуждения, как и, в § 47.
3. Зависимость между xq и v. Положим у = у\Х\ тог-
тогда получим уравнение
+ [РA, У1)у{ + (HI, z/i) + Y**(x, yOUx = 0, A43)
имеющее особую точку х = 0, yi = 0. Через эту точку
проходит характеристика х = 0 и дуга характеристики
Fi, соответствующая дуге характеристики Г уравнения
A37). Область, расположенная справа от х — 0 и выше
Fi, есть область отталкивания. Характеристике С урав-
уравнения A41) соответствует характеристика Сх уравне-
уравнения A43). Кривая С пересекает прямую у — 1\х в точ-
точке Мч с абсциссой хч и прямую х = V в точке Ш' такой,
что М0М = v. Эти параметры определяют положение
точек пересечения характеристики С\ с прямыми i/i = l\
и x — V в плоскости ху\. Если ж = 0, yi = 0 будет эле-
элементарной особой точкой уравнения A43), то зависи-
зависимость между viixq определяется непосредственно. Дей-
Действительно, на кривой, образованной отрезком оси
х = 0, заключенным между прямыми у\~1 и у\ = 0 и
дугой характеристики Fi, заключенной между же0и
х = Г, нет особых точек, отличных от х = 0, i/i = 0.
133
Предположим теперь, что я = 0, у\ = 0 не будет эле-
элементарной особой точкой. Уравнение A43) удовлетво-
удовлетворяет всем свойствам, перечисленным вначале § 47,
нужно только заменить Г на Fj, у на i/i и / на хп~1.
Следовательно, к уравнению A43) применимы рассуж-
рассуждения, относящиеся к уравнению A41). Обозначим че-
через h число, играющее для уравнения A43) такую же
роль, как 1\ в A41), и получим зависимость между точ-
точками пересечения С с прямыми у\ = 1\ и у\ =Z2#. Про-
Продолжив такие замены далее, положим, наконец, yq-\ =*
= xyq и, обозначив Cq — характеристику, которая в
плоскости х, yq соответствует характеристике С, найдем
зависимость между абсциссами точек пересечения ха-
характеристики Cq с прямыми yqz=lq и yq = lq+\x. Из
этой зависимости найдем соотношения, связывающие
точки пересечения характеристики С с последователь-
последовательностью кривых у = lqxq (q = 0, 1, 2, ...) в плоскости ху.
Когда после замен придем к уравнению в переменных
х и уп, причем, по предположению, для этого уравне-
уравнения точка х = 0, уп = 0 будет элементарной особой точ-
точкой, получим зависимость между абсциссой точки
пересечения С с кривой у = 1пхп и параметром v, опре-
определяющим положение точки пересечения С с прямой
Заключение. Зависимость между значениями xq
и и, определяющими положение точек пересечения ха-
характеристики с двумя прямыми S и £", получается в
результате использования соотношений, установленных
в пп. 1, 2, 3. Эти соотношения имеют такую же форму,
как та, которая встречается при рассмотрении характе-
характеристик, проходящих в окрестности элементарных осо-
особых точек. Таким образом, приходим к заключению,
что прохождение характеристики в окрестности рас-
рассматриваемой особой точки дкеивалентно с точки зре-
зрения функции соответствия прохождению характеристи-
характеристики последовательно в окрестности некоторого числа
элементарных особых точек.
Замечание. Установлена функция соответствия
между точками пересечения характеристики С с пря-
прямыми у = 1о и х = V. Однако эта функция будет абсо-
абсолютно той же самой, если прямую у = k заменить
кривой S, определяемой уравнением у = (fix) и пересе-
пересекающей ось х = 0 в такой точке, что на части оси х = 0,
заключенной между S и у = 1о нет особых точек урав-
134
нения A41). Пусть срЫ голоморфна при # = 0, тогда
между абсциссами х0 и х0 точек пересечения С с у = k
и S существует голоморфное соотношение
где а — постоянная и h(xo) — голоморфная функция,
равная нулю при хо = 0.
§ 49. Функция соответствия
для области отталкивания особой точки
произвольного вида
Пусть Сх и С2 — две дуги характеристики, оканчи-
оканчивающиеся в особой точке О и ограничивающие сектор
отталкивания этой точки.
Обозначим ОТХ и ОТ2 полупрямые, касающиеся С\
и С2 в точке О. Если существует отрезок OD такой, что
он целиком лежит внутри рассматриваемого сектора, то
углом этого сектора назовем наименьший угол, на ко-
который нужно повернуть ОТ\, чтобы он совпал с ОТ2,
пройдя предварительно через OD. Этот угол может
быть равным 2я, если ОТХ и ОТ2 совпадают.
Если никакого сегмента OD с указанными свойства-
свойствами не существует, то угол сектора будем считать рав-
равным нулю. Такой случай имеет место, если область от-
отталкивания ограничена двумя дугами характеристики,
для которых О — точка возврата. Если угол сектора
отталкивания меньше я, то можно предполагать, что
внутри этого угла не проходит ось Оу и что ни ОТ\, ни
ОТ2 не совпадают с Оу. Этого всегда можно достигнуть
заменой координатных осей. Можно также предпола-
предполагать, что рассматриваемый сектор расположен в полу-
полуплоскости х > 0. Если угол сектора больше я, то можно
считать, что полупрямые 07*1 и ОТ2 расположены в
области х > 0.
Рассмотрим прямую х = Z, пересекающую С\ и С2
в точках М\ и Л/2. Предположим, что на дугах ОМ\ и
ОМ2 кривых С{ и С2 нет особых точек, отличных от О.
Характеристика С, достаточно близкая kCj и С2, пере-
пересекает х = I в точках N{ и Л^2, близких соответственно
к Mi и М2. Найдем функцию соответствия между Nx
и Л^2, т. е. форму зависимости между расстояниями
M\N\ = V\ и M%N2 = v2.
135
Напишем дифференциальное уравнение, имеющее
особую точку х = 0, у = О в виде
[А(х, у) + Х(х9 у)Ыу + Шх, у) + Пх, р)]*с-О, A44)
где Л и В — однородные полипомы степени п, пред-
представляющие собой совокупность членов наинизшей сте-
степени в коэффициентах при dx и dy. Пусть
R(x, у) = уА{х, у) + хВ(х, у).
Оставим на время в стороне случай, когда R(x, у) рав-
равно тождественно нулю и точка # = 0, у — О дикритиче-
ская. Чтобы найти функцию соответствия, рассмотрим
различные случаи.
1. Угол сектора отталкивания меньше п и большей.
Рассмотрим все полупрямые, удовлетворяющие одно-
однородному уравнению Жя, у) = 0 и расположенные внут-
внутри сектора отталкивания. Пусть ОТ{ эти полупрямые,
занумерованные в том порядке, как они встречаются,
начиная от ОТХ при описывании угла сектора оттал-
отталкивания. Индекс i принимает значения 1, 2, ..., q — 1.
Внутри каждого угла ТхОТи ..., Г|0Гг«+1, ..., Tq^YOT2
проведем одну полупрямую. Допустим, что полупря-
полупрямые ODi занумерованы в том же порядке, что и пря-
прямые ОТ{. Обозначим а< угловой коэффициент полу-
полупрямой ODu Индекс i принимает значения 1, 2, ...
..., q.
Аналогично тому, как это было сделано в лемме
§ 46, покажем, что если характеристика С, проходящая
внутри области отталкивания, встречает прямую х = I
в точке N\, достаточно близкой к М\, то она встречает
каждую из прямых ODi в точке Qu Положение этих
точек будет вполне определяться абсциссами хи
Чтобы найти зависимость между #<, положим у « zx9
Уравнение A44) преобразуется к виду
xlA(i, z) + X*(s, z)]dz + [ДA, z) + Y4x, z)]dx - 0,
A45)
где X*@, z) = 0 и Г*@, z) =0. Кривой С соответствует
в плоскости xz характеристика С", прямой OD{ соответ-
соответствует прямая z =s а*, сектору между прямыми OD{ и
ODi+\ соответствует часть плоскости xz, где я>0, за-
заключенная между г = а< и z = ai+\. Уравнение A45)
имеет характеристику х = 0. На отрезке оси х = 0,
136
заключенном между прямыми z^a* и гва<+1, есть
только одна особая точка. Ни одна из характеристик,
расположенных со стороны положительных х, не окан-
оканчивается в этой точке. Следовательно, имеем случай,
изученный в § 46, и поэтому известно, как найти
зависимость, которая существует между абсциссами
Хх и Xi+\ точек пересечения С с z = a* и zeat+i. Из
леммы § 46 следует, что если одна из этих точек суще-
существует, то обязательно есть и другая.
Чтобы получить функцию соответствия для области
М\ОМч, достаточно найти функцию соответствия между
точками Nx и Qu в которых характеристика С пересе-
пересекает прямые х ~1 и OZ?i, поскольку функция соответст-
соответствия между #2 и Qq (точками пересечения С с x = l n
ODq) получается таким же образом. Вернемся к замене
переменного у = zx. Сепаратрисе С\ в плоскости xz
соответствует сепаратриса С\, пересекающая прямую
х=*1 в точке Ми аг^Ов точке А{, ордината z кото-
которой равна угловому коэффициенту полупрямой ОТ\.
Полупрямая OD\ переводится в z = а\. Характеристика
С", соответствующая С, пересекает прямые ж = 1иг =
= а! в точках N[ и Qt, соответствующих N\ и Q\. Если
А\ есть элементарная особая точка уравнения A45),
то, как и в общем случае, имеем функцию соответствия
между х\л абсциссой точки Qx и длиной отрезка v =
= M[N[ = MXNV Следовательно, получаем функцию со-
соответствия между @i и N\. Если ^41 — не элементарная
особая точка, то предположим вначале, что при иссле-
исследовании сепаратрисы С\ имеет место нормальный слу-
случай (§ 41), и сделаем замену переменного, чтобы прий-
прийти к случаю, рассмотренному в § 48. По доказанному
в § 41 известно, что существует целое число m и по-
полином g{x) степени не выше пг такой, что если сделать
замену переменного
Z = g{x) + IJmX™,
то будут выполнены следующие условия:
а) ут и хт стремятся к нулю одновременно, когда,
перемещаясь по Си приближаемся к точке А\\
б) для уравнения в переменных х и ут точка я —О,
ут == 0 — элементарная особая точка.
Следовательно, если положить z = g(x) + i/o, то по-
получится дифференциальное уравнение в переменных х
137
и t/o» Дли которого особая точка х — О, г/о = 0 будет
удовлетворять трем предположениям, указанным в на-
начале § 48. Используем также замечания § 48 о форме
зависимости между v и х\. Таким образом, функция
соответствия между N\ и N2 может быть получена в
результате использования уже установленных соотно-
соотношений. Изучим теперь опущенный случай.
2. Угол сектора отталкивания по-прежнему заклю-
заключен между 0 и л, но точка А\ч рассмотренная в 1), не
будет элементарной особой точкой и при исследовании
сепаратрисы С\ не мооюет быть нормального случая.
Поскольку сепаратриса С\ отлична от х = 0, то извест-
известно (§ 44), что если не встретится нормальный случай,
то будет иметь место случай приводимости. Существует
целое число г такое, что, полагая х = и\ придем к
нормальному случаю, и сепаратрисе С\ плоскости ху
соответствует характеристика Fi в плоскости иу. Ха-
Характеристике С соответствует характеристика Г.
В §§ 49 и 47 было получено соотношение между па-
параметром у, определяющим пересечение Г с и = еи% и
параметром и, определяющим пересечение Г с у = а\х.
Заменяя в полученном соотношении и на хх/\ найдем
функцию соответствия между Qi и N\.
3. Угол сектора отталкивания равен нулю. Две полу-
полукасательные ОТ\ и OT<l совпадают и расположены в
области х > 0, так же как и область отталкивания.
Известно, что характеристики С\ и Сг можно раз-
разделить (§ 43) при помощи замены переменного
у = ср(#) + утхг, которая устанавливает соответствие ха-
характеристики С характеристике Г и сепаратрис С\ и Сг
сепаратрисам 1\ и Гг, ограничивающим в плоскости пе-
переменных х и уг область отталкивания особой точки
# = 0, у г = 0. Рассуждая так же, как и в 1 и 2, уста-
установим функцию соответствия между точками пересече-
пересечения v\ и V2 кривой Г с х = Z, следовательно, найдем со-
соотношение между длинами отрезков M\N\ и M2N2.
4. Угол сектора отталкивания больше п. Две полу-
полупрямые ОТ\ и ОТ2 могут совпадать и угол сектора мо-
может быть равен 2я. К полупрямым, удовлетворяющим
уравнению Жя, у) = 0 и расположенным в угле секто-
сектора, добавим полупрямые, образованные из оси Оу точ-
точкой О. (Две полуоси Оу.) Приведем, как и в 1, между
этими полупрямыми, к которым добавлены ОТ\ и ОГг,
полупрямые ODu Сохраним все обозначения 1. Чтобы
138
получить функцию соответствия между iVi и N2, доста-
достаточно вспомнить все, что было сказано в 1 и дополни-
дополнительно показать, как получается функция соответствия
между точками пересечения С с двумя полупрямыми
OD, и ODe+i, ограничивающими сектор, содержащий
часть оси Оу. Пусть х — ау = 0 и х + $у = 0 уравнения
ODa и ODs+\, где аи ^ положительны. Положим x = ty\
тогда получим дифференциальное уравнение в перемен-
переменных t и у, имеющее характеристику у = 0:
[Ж*, 1) + Х*(*, y)]dy + y[B(t, 1) + У*(*, у)]Л = 0. A46)
Если Ж0,1) ^ 0, то уравнение A46) не имеет особых
точек, расположенных на у = 0 между прямыми t = а и
£ + [5 = 0, соответствующими <9De и ODs+\. Характери-
Характеристике С соответствует в плоскости ty характеристика
С", пересекающая £ — а = 0 и t + $ = 0 в точках Q8 и
&>+ь соответствующих (?в и Qs+\. Следовательно, может
быть найдено голоморфное соотношение между коорди-
координатами у9 и ys+\ точек Qs и Qs+\. Полагая
Pi = OQU
получим голоморфное соотношение
pa+i = ape[l + h(p3)]
между рв и р,+ь Если
Ж0, 1)==0,
то
есть особая точка A46). В этой точке не оканчивается
никакая характеристика (кроме у = 0). Таким образом,
этот случай аналогичен тому, который рассматривался
в § 46. Известно, как найти функцию соответствия
между ра и ps+i.
Введя параметры р* вместо параметров xiy рассмот-
рассмотренных в 1 при получении функции соответствия меж-
между Qi и Qi+ij избавимся от необходимости введения от-
отрицательных параметров.
§ 50. Функция соответствия в области отталкивания
для дикритической точки
В § 37 (замечание) было указано, в каких случаях
существует область отталкивания в дикритической точ-
точке. Если рассмотрим необычное направление у ~ах
в дикритической точке х = 0, у = 0 и если положим
139
у «== zx, то для дифференциального уравнения в пере-
переменных х и z точка А(х^=0, z*=a) будет обыкновенной
точкой. Через нее проходит характеристика Го, касаю-
касающаяся оси х = 0 в А и не пересекающая в этой точке
прямую х = 0. Характеристики Г, близкие к Го, распо-
расположенные в области, ограниченной кривой Го и не со-
содержащей точек оси я = 0, близких к А, также не бу-
будут пересекать ось # = 0 в окрестности точки А. Кри-
Кривой Го соответствует характеристика Со уравнения в
переменных х и у. Для кривой Со точка я = 0, у^О
есть точка возврата. Характеристикам Г соответствуют
характеристики С, заключенные между ветвями Со; они
не могут оканчиваться в О. Область, ограниченная вет-
ветвями Со, есть область отталкивания.
Рассмотрим прямую х = /, пересекающую обе ветви
Со в точках М\ и М$ таким образом, чтобы на дуге
М\0М2 кривой Со не было особых точек, отличных от
О. Характеристика С пересекает х = I в точках N\
и Л^2. Функцию соответствия между N\ и N2 получить
легко. Действительно, точкам N\ и N2 в плоскости xz
соответствуют точки Nx и iV2, которые лежат на пе-
пересечении Г с х = I. Прямая х = I пересекает Го в точ-
точках Mi и М2 так, что на дуге М[АМ^ нет особых
точек. Поэтому существует голоморфное соответствие
между параметрами
I?! = M[N[, v2 = M '2N'2.
Следовательно, существует голоморфное соответствие
между длинами отрезков M\N\ и M2N2, пропорциональ-
пропорциональных V\ И У2.
§ 51. Характеристики, близкие к циклу,
проходящему через сложную особую точку
Подведем итог предыдущим рассуждениям; допу-
допустим, что дана область отталкивания, ограниченная дву-
двумя сепаратрисами С\ и Сг, оканчивающимися в сложной
особой точке. Прямая х~1 пересекает С\ и Сг соответ-
соответственно в точках М\ и А/г. Рассмотрим характеристику
С, пересекающую ж==/ в точках N\ и N2. Полагая z\ ==
~M\N\ и 22=Л/2Л^2, найдем функцию соответствия между
z\ и Z2. В самом общем случае с помощью серии замен
переменных придем к рассмотрению точек пересечения
140
С с серией кривых £*, проходящих через особую точку
внутри области отталкивания. Получим соотношения,
связывающие точки пересечения С с двумя последова-
последовательными кривыми Si. Некоторые из этих соотношений
будут голоморфными, другие, получаемые в окрестно-
окрестности элементарной особой точки при помощи вспомога-
вспомогательных уравнений, будут иметь форму, зависящую от
природы этой особой точки: седла или исключительной
особой точки.
Очевидно, что с точки зрения функции соответствия
прохождение характеристики в окрестности сложной
особой точки эквивалентно прохождению С в окрест-
окрестности нескольких элементарных особых точек в опре-
определенной последовательности.
Если эти элементарные особые точки — седла, то
соотношение между Ъ\ и z2 может быть разрешено либо
относительно zj, либо относительно z2. Например,
где а и v — положительные постоянные, F(z\) — функ-
функция, полурегулярная и равная нулю при z\ = 0. Можно
утверждать, что если рассматривать только главный
член правой части az[, то прохождение С в окрест-
окрестности сложной особой точки эквивалентно прохождению
в окрестности одного седла.
Существенно упрощается и определение показате-
показателя v в функции F{z\Y):
Если среди элементарных особых точек, появляю-
появляющихся в связи с применением изложенного метода, най-
найдутся сложные особые точки, то этот метод также мо-
может быть применен. Например (§ 34), если проходятся
две исключительные особые точки одна в смысле глу,
другая в смысле vu. Следует также заметить, что полу-
полученные результаты не позволяют утверждать, что со-
соотношение между zx и z2 можно разрешить или относи-
относительно zx или относительно z2. Зависимость между %\ и
z2 получается из промежуточных соотношений между
точками пересечения характеристики С с вспомогатель-
вспомогательными кривыми St.
') Нетрудно доказать, что показатель v равен отношению
показателей сепаратрис С\ и С2. Эти показатели для уравнения
с элементарной особой точкой получаются непосредственно
(см. мемуар Дюлака [3]).
141
На основании рассуждений предыдущий параграфов
и § 35 ясно, что результаты, относящиеся к случаю
особого цикла, проходящего только через элементарные
особые точки, распространяются и на особые циклы,
проходящие и через особые точки произвольного вида.
В области, ограниченной циклом Со, в котором рас-
рассматриваются характеристики, близкие к Со, существу-
существует кольцевая область R, примыкающая к Со и такая,
что в ней возможны только два случая:
1. Ни одна из характеристик, лежащих в R, не бу-
будет циклом.
2. Все характеристики в R — циклы.
ЧАСТЬ 4
ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ
§ 52. Характеристики, близкие к особой точке,
в которой ни одна характеристика
не оканчивается с определенной касательной
Покажем, что на этот случай можно распространить
все предыдущие рассуждения, если точку О рассматри-
рассматривать как выродившийся цикл. Все характеристики в ок-
окрестности такой точки либо циклы, окружающие ее,
либо спирали, приближающиеся к О в одном направ-
направлении.
Чтобы установить этот результат, примем особую
точку О за начало координат и уже рассмотренное ра-
ранее дифференциальное уравнение A44) запишем в виде
[А(х, у) + Х(х, уШу + №х, у) + Y(x, y)]dx -0. A47)
Выражение R(x, у)=*уА(х, у)+хВ(х, у) может, как и
в § 49, иметь линейные действительные множители
ах + by, но не существует ни одной характеристики,
проходящей через О и касающейся в этой точке прямой
ах+ by ■» 0.
Рассмотрим, как и в § 49, полупрямые, удовлетво-
удовлетворяющие уравнению Д(я, ^)я0, и присоединим к ним
две полупрямые, совпадающие с двумя полуосями Оу.
Пусть ОТ{ эти полупрямые, занумерованные в одном и
том же порядке вращения вокруг О, начиная с одной
из них. Индекс i принимает значения 1, 2, ,.., г—1.
Проведем между двумя последовательными полупрямы-
полупрямыми OTi и OTi+l полупрямые ODU OD2, ..., ODr. Полу-
Полупрямая ODr тождественна с OD\. Если положим y~xz
и рассмотрим уравнение A45), тогда характеристике Г
этого уравнения соответствует характеристика С урав-
143
нения A44), и рассуждениями, подобными тем, что
проделаны в лемме § 46, покажем, что есци С пересека-
пересекает прямую ODi в точке М{, достаточно близкой к О, то
она пересечет и Ой{+\ в точке М(+ь которая также бу-
будет близка к О. Характеристика С, пересекающая OD\
в М\, вновь пересечет OD\, совпадающую с ODr, в точ-
точке Мг. Характеристики, близкие к С, будут циклами,
если Мг совпадает с М\, и спиралями, если Mi и Мт
различны.
Чтобы различить, какой из этих случаев будет иметь
место, заметим, что, рассуждая как и в § 49, получим
зависимость между pt и pi+i, где р» = ОМХ. На основа-
основании полученных результатов между величинами р\ и рг,
определяющими положение двух последовательных то-
точек пересечения С с ODU получается соотношение та-
такой же природы, как и соотношение между параметра-
параметрами, определяющими последовательные точки пересече-
пересечения кривой S с характеристикой С, близкой к Со. За-
Заключение § 51 применимо и в этом случае. В общем слу-
случае характеристики С, близкие к О, есть спирали, кото-
которые в определенном направлении приближаются к О.
Если же выполняются дополнительные условия, од-
одни алгебраические, другие трансцендентные, то все ха-
характеристики, близкие к О, будут циклы, окружающие
О. Пусть дан круг с центром в точке О и достаточно
малым радиусом, тогда существует бесконечно много
циклов внутри этого круга. В первом случае точка О —
фокус, во втором — центр.
§ 53. Бесконечно удаленные точки
Хотя выражение «цикл» и «замкнутая кривая» ка-
кажутся неприменимыми к характеристикам, имеющим
бесконечные ветви, однако результаты предыдущих
глав можно распространить и на случай характеристик,
имеющих бесконечно удаленные точки. Действительно,
томографическим преобразованием можно установить
соответствие такой характеристики с кривой, не имею-
имеющей точек на бесконечности. Изучение характеристик,
имеющих бесконечно удаленные точки, ничем не отли-
отличаются от характеристик, которые остаются в конечной
части плоскости. При этом имеется в виду не простое
перенесение рассуждений на бесконечно удаленные
точки. Чтобы доказать, что существует конечное число
144
предельных^циклов для уравнения
Х{х, y)dy + Y(x, у) dx = 0, A48)
где X и Y — многочлены по х и у, необходимо рас-
рассмотреть и характеристики, проходящие через беско-
бесконечно удаленные точки.
Будем предполагать, что X и У —полиномы степе-
степени п. Члены степени п в этих многочленах обозначим
через Хп и У„, а члены степени п — 1 пусть будут Xn-V
и Уп_!. Положим
R{x, y) = yXn(x, y) + xYn{x, у).
Для исследования бесконечно удаленных точек в
направлении оси Оу положим
у = 1/Uj х = v/u.
Уравнение A48) примет вид
uiYAv, l) + X*]dv = [R(v, 1) + Y*]du, A49)
где X*(i;, 0) =0, У*(у, 0) = 0. У этого уравнения нуж-
нужно исследовать точку и = 0, v = 0.
Чтобы изучить бесконечно удаленные точки в на-
направлении, отличном от Ох, положим х = 1/и, у = z/u,
тогда уравнение A48) сведется к виду
u[Xn(U 2) + X**]dz = [ДA, г) + У**Ш, A50)
где Х**@, z) = 0 и У**@, г)«0. Для исследования
бесконечно удаленной точки в направлении у=*ах по-
положим z т= а + v и рассмотрим точку и « 0, у я 0.
Уравнения A49) и A50) различны, если Жя, у) ^0.
Если же /?(х, у) = 0, то положим
Хп(х, у) == жЛU, [/), Уп(х, г/) = — жЛ(д:, у),
£(#, у) = уХп~\(х, y) + xYn-{(x, у);
тогда уравнения A49) и A50) преобразуются к виду
l)+U(v, u)]dv = №v, 1)+V(v, и)Ыщ A51)
l, z)+U*(z, u)]dz = [B(Zi 1)+F*(z, u)]da, A52)
где U4z, 0) = f/(i;, 0) - 0 и V*(z, 0) = У(у, 0) - 0.
Точку на бесконечности будем называть «обыкно-
«обыкновенной», «особой», «седлом», «узлом» и т. д., если соот-
соответствующая ей точка м = 0, z;==0 для уравнений A49)
и A51) или точка для уравнений A50) и A52) будет
10 Г.Дюлак I*5
«обыкновенной» точкой, «особой» точкой, «седлом»,
«узлом» и т. д.
Очевидно, что если R(х, у) # 0, то уравнение в пере-
переменных и и v имеет характеристику ua0, поэтому
соответствующая точка на бесконечности будет или
обыкновенной, и через нее будет проходить единствен-
единственная характеристика и = О, или особой, но тогда она не
может быть ни центром, ни фокусом. Для того чтобы
бесконечно удаленная точка в направлении $х — ау »
«»0 была особой, необходимо и достаточно, чтобы
Я(а, р)-0.
Если R(x, i/)853 0, то из уравнений A51) и A52)
следует, что бесконечно удаленная точка в направлении
$х — ау = 0 будет особой в том и только том случае,
если
Л (а, р) —0, Жа, р) = 0.
Эта особая точка не интересна для дальнейшего.
Рассмотрим уравнение в переменных и и v и иссле-
исследуем точку и = О, v ■= 0. Пусть Г\ и Г2 — две дуги ха-
характеристики, оканчивающиеся в и = 0, v = 0 и обра-
образующие или две ветви одной характеристики Г, прохо-
проходящих через обыкновенную точку и = 0, v = 0, или
ограничивают область отталкивания особой точки
и = 0, у = 0. Характеристики Tj и Г2 будут в обоих
случаях продолжением одна другой. Этим двум харак-
характеристикам Fj и Гг соответствуют в плоскости ху две
бесконечные ветви С\ и С2 характеристик, которые,
естественно, будем рассматривать как продолжение
одна другой и считать, что они образуют одну харак-
характеристику С.
Предположим вначале, что точка u=0, t>=0, которую
в дальнейшем будем обозначать w, есть обыкновенная
точка. Возьмем в плоскости uv две дуги кривых Si и 22,
пересекающих Ft и Г2 соответственно в точках щ и ц2.
Эти точки будут таковы, что на дуге \iiiv\i2 характери-
характеристики Г нет особых точек. За Sj и 22 можно всегда
взять прямые v == =fc Z, или и == =Ь Z\ Если в плоскости
иг рассмотрим характеристику Т\ близкую к Г, то
между точками пересечения \ii и ц2 характеристики
Г' с дугами Si и S2 будет существовать голоморфное со-
соотношение. Характеристике Г' соответствует в плоскости
ху характеристика С", которую будем называть харак-
характеристикой, близкой к С. Дугам Si и S2 соответствуют
146
кривые Si и S2, точкам [ii и \i2 — точки Mi и М2*
Параметры, которые определяют положение [h и fx2,
а следовательно, Mi и М2, будут связаны голоморфным
соотношением. В этом случае будем говорить, что име-
имеется голоморфное соответствие между точками пересе-
пересечения С с S\ и iSr2. Если характеристика Г не касается
в точке w прямой и = О или если она касается и «= О,
пересекая ее в этой точке, то кривая С" имеет две
ветви на бесконечности.
Если Г касается в точке w прямой и = 0 и не пере-
пересекает ее в этой точке, то характеристики С", располо-
расположенные по одну сторону от С, будут иметь две ветви
на бесконечности, а характеристики С\ расположенные
с другой стороны С, не имеют бесконечных ветвей вбли-
вблизи бесконечных ветвей С.
Предположим теперь, что w — особая точка, и пусть
Fj и Гг — две сепаратрисы, ограничивающие область
отталкивания этой точки. Рассмотрим характеристику
Г', близкую к Г и расположенную в области отталкивав
ния, ограниченной Г. Проведем, как и выше, кривые Si
и Ег, пересекающие 1\ и Т2 в точках \i\ и \х2 так, что
на дуге \x\W[i2 кривой Г нет других особых точек, от-
отличных от w. Форма зависимости между параметрами,
определяющим^ положение точек пересечения [Xi и М^
характеристики Г' с дугами Si и 2г, известна. Рассмат-
Рассматривая на плоскости ху характеристику С", соответству-
соответствующую Г', получим функцию соответствия между точ-
точками пересечения Мх и М2 кривой С с Si и $2, соот-
соответствующим Si и S2.
Из предыдущего следует, что «циклом» можно на-
назвать характеристику, имеющую две бесконечные ветви,
при условии, что если, удаляясь в бесконечность по
одной ветви кривой, переходя затем в бесконечности
на характеристику, которая является продолжением
данной бесконечной ветви, перемещаясь все время в
одном и том же направлении, возвращаемся в исходную
точку, не пересекая при этом узловых областей особых
точек.
В частности, можно рассматривать особые циклы,
имеющие точки на бесконечности. Эти точки на беско-
бесконечности могут быть либо обыкновенными, либо осо-
особыми. В последнем случае на цикле может лежать
часть бесконечной прямой.
10* 147
Рассмотрим особый цикл Со и характеристики С,
близкие к Со. Если кривая S пересекает Со в точке Мо
и характеристику С последовательно в двух точках М
и М\ то соотношение между точками М и М' в силу
предыдущих рассуждений имеет одну и ту же формулу
независимо от того, имеет ли Со точки на бесконеч-
бесконечности, или она лежит полностью в конечной части пло-
плоскости. В результате этого все рассуждения предыду-
предыдущих глав применимы и к обобщенному понятию цикла.
§ 54. О конечности числа дредельных циклов
Как известно (Бендиксон, стр. 16) внутри каждого
цикла лежит по крайней мере одна особая точка.
С другой стороны, число особых точек уравнения A48),
где X и Y — многочлены, конечно. Чтобы показать, что
число предельных циклов конечно, достаточно доказать,
что конечно число предельных циклов, окружающих
особую точку Р.
Проведем через точку Р прямую PL, на которой не
лежит ни одна конечная или бесконечно удаленная
особая точка, исключая точку Р. Если существует
бесконечно много предельных циклов, окружающих Р,
то их точки пересечения с PL имеют по крайней мере
одну предельную точку М, лежащую на конечном рас-
расстоянии или бесконечно удаленную. Следовательно, на
PL существует сегмент ММ\ такой, что через точки М',
достаточно близкие к Л/, проходят предельные циклы.
Покажем, что это невозможно.
Обозначим С характеристику, выходящую из М' и
продолженную в произвольно выбранном направлении.
Известно (Бендиксон, стр. 17), что тогда возможен
один из следующих случаев:
1. С — цикл, не проходящий через особые точки.
2. С неограниченно приближается к замкнутой
кривой, не проходящей через особые точки.
3. С оканчивается в особой точке и характеристи-
характеристики, выходящие из точек отрезка ММ\, близких к М,
также оканчиваются в этой точке,
4. С оканчивается в особой точке; характеристики,
выходящие из точек отрезка ММи близких к Л/, не
оканчиваются в этой особой точке.
Рассмотрим последовательно каждый из этих
случаев.
148
1. С — цикл. Если рассмотрим характеристику С,
проходящую через точку М' отрезка ММ\У достаточно
близкую к Л/, то эта характеристика вновь пересечет
отрезок ММ\ в точке М", близкой к Л/, и будет су-
существовать голоморфная зависимость между длинами
отрезков ММ' и ММ". Поэтому или все характеристи-
характеристики С есть циклы, или ни одна из них не будет пре-
предельным циклом.
Чтобы обойти затруднения, которые могут возник-
возникнуть в случае, когда PL касается кривой С в точке Af,
достаточно заметить (Бендиксон, стр. 11), что можно
описать вокруг точки М (как центра) круг такого ма-
малого радиуса, чтобы каждая характеристика С, прохо-
проходящая через внутренние точки этого круга, пересекала
нормаль MN[, проведенную к кривой С в точке М.
Каждая характеристика С", проходящая через точку
Л/', достаточно близкую к Л/, пересекает нормаль в
точке N'. Возникшие затруднения будут обойдены, если
предыдущие рассуждения провести для точки N' от-
отрезка MN'.
2. Спирали, неограниченно приближающиеся к зам-
замкнутой кривой К. Известно (Бендиксон, стр. 15), что
в этом случае всегда можно окружить точку Л/ кругом
такого малого радиуса, что все характеристики, прохо-
проходящие через внутренние точки этого круга, будут спи-
спиралями, неограниченно приближающимися к К. В этом
круге лежат точки отрезка МЛ/i, близкие к Л/, и поэто-
поэтому невозможно, чтобы через эти точки проходили цик-
циклы, в частности предельные циклы.
3. Поскольку характеристики С", выходящие из
точек М' отрезка МЛ/], близких к Л/, так же как и С,
оканчиваются в особой точке, то они не могут быть
предельными циклами.
4. Известно, что если характеристика С оканчивается
в точке Pi, а характеристика С", проходящая через
точку Мг отрезка ММ\ близкую к Л/, не оканчивается
& Pi, то характеристику С можно продолжить через точку
Pi при помощи характеристики С\ так, что С" будут
близки и к Сь На совокупность кривых С и С\ можно
перенести рассуждения, относящиеся к С. Если при
этом получим случай 2 или 3, то по доказанному не
существует характеристик, которые будут предельны-
предельными циклами. Если же для С\ снова будем иметь слу-
случай 4, то рассмотрим характеристику Сг, представляю-
149
щую собой продолжение С\ через точку Рд, в которой
оканчивается С\, и так далее.
Если встретится случай 2 или 3, то доказано, что
предельных циклов нет, случай же 4 не может повто-
повторяться неограниченно потому, что число особых точек
конечно, а следовательно, конечно и число сепаратрис;
поэтому, если не встретится случай 2 или 3, то необхо-
необходимо вернемся в исходную точку. Характеристика С
и ее продолжения С\п Сг, ... образуют особый цикл. Из
предыдущего ясно, что в этом случае характеристики
С", проходящие через точку М\ лежащую на ММ\ и
близкую к М, или все замкнуты или среди них нет ни
одного цикла. В обоих случаях предельных циклов нет.
Эти рассуждения, опираясь на § 53, можно перенести
и на случай, когда предельная точка М находится в
бесконечности.
Можно предполагать, чтобы избежать осложнений,
отмеченных в случае 1, что прямая PL не касается ха-
характеристики С в точке Мл находящейся на беско-
бесконечности.
Если же предельная точка М совпадает с Р, тогда
будет иметь место один из следующих случаев.
1. Существует по крайней мере одна характеристика,
оканчивающаяся в Р с определенной касательной.
2. Ни одна характеристика не оканчивается в Р с
определенной касательной.
В первом случае, очевидно, не существует циклов,
проходящих вблизи Р и окружающих точку Р. Во вто-
втором случае, как это было показано в § 59, или все
характеристики С" — близкие к Р циклы, или ни одна
из них не замкнута. Ни в одном из этих случаев нет
предельных циклов. Поэтому можно сформулировать
теорему:
Дифференциальное уравнение
Xix, y)dy + Yix, y)dx = 0, A53)
где X и Y — полиномы, имеет конечное число предель-
предельных циклов (или нуль).
Предположение о том, что X и Y — полиномы, было
использовано в трех пунктах, которые позволили утвер-
утверждать, что:
1. Можно исследовать особые точки, лежащие в ко-
конечной части плоскости, в предположении, что X и
150
У — голоморфные функции в окрестности каждой из
этих точек;
2. Можно исследовать каждую точку на бесконеч-
бесконечности, сводя их изучение к исследованию уравнения
Р{щ v) dv + QU, v)du*=*0,
где Р и Q — голоморфные функции в окрестности точки
ц = 0, у==0;
3. Число особых точек в конечной части плоскости
и на бесконености конечно.
Все э?и заключения распространяются и на случай,
когда X и Y — непрерывные функции переменных х и
у, если эти функции таковы, что выполняются три свой-
свойства, указанные выше. Все заключения о циклах, в
частности о предельных циклах, переносятся на пло-
плоскую область R такую, что внутри и на границе этой
области лежит конечное число особых точек и при ус-
условии, что в окрестности каждой точки области л и на
ее границе функции X и Y голоморфны.
СПИСОК РАБОТ ДЮЛАКА (DULAC HJ
1. Sur les series de Mac Laurin a plusieurs variables. Acta Math,
31, 1909.
2. Sur les points singuliers d'une equation differentielle. Ann.
Fac. Sci. Toulouse, s. 3, t 1, 1909,
3. Integrales d'une equation differentielle dans le voisinage de
conditions initiales singulieres quelconques. Ann. Univ. Gre-
Grenoble, t 17, 1905.
4. Remarques sur les conditions necessaires pour qu'une equa-
equation differentielle ait ses points critiques fixes. Bull. Soc.
Math. France, t. 36, 1908.
5. Sur les integrales passant par equation differentielle. Bull.
Soc. Math. France, t. 36, 1908.
6. Solution d'ordre imaginaire d'une equation differentielle. Bull.
Soc. Math. France, t. 39, 1911.
7. Solution d'un systeme d'equations differentielles dans le voi-
voisinage de valeurs singulieres. Bull. Soc. Math. France, t. 40,
1912.
8. Sur les cycles limites. Bull. Soc. Math. France, t. 51, 1923.
9. Determination et integration d'une certaine classe d'eguations
differentielles ayant pour point singulier un centre. Bull. Sci.
Math. s. 2, t. 32, 1908.
10. Sur une forme de l'integrale generate d'une equation diffe-
differentielle dans le voisinage de certaines valeurs singluliers.
Bull. Sci. Math. t. 37, 1913.
11. Sur les cols des equations differentielles. С R. Acad. Sci. Pa-
Paris, t. 129, 1889.
12. Sur les integrales annalytiques des equations differentielles
du premier ordte dans le voisinage de conditions initiales
singulieres. С R. Acad. Sci. Paris, t. 34, 1901.
13. Sur les integrales analytiques dans le premier ordre et de deg-
re quelconque dans le voisinage de certaines valeurs
lieres. Ct R» Acad. Sci. Paris, t. 133, 1901.
152
14. Sur tes fonctions de n variables represented par series de
polynomes homogenes, С R. Acad. Sci Paris, t. 137, 1903.
15. Sur les integrates d'une equation differentielle dans le voisi-
nage d'un point dicritique, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 142, 1906.
16. Sur quelques proprietes des integrates passant par un point
singulier d'une equation differentielle, C. R. Acad. Sci. Paris,
t. 145, 1907.
17. Sur les cycles limites. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 169, 1919.
18. Recherches sur les points singuiiers des equations differentiel-
les. J. Ec. polyt. Paris, s. 2, с 9, 1904.
19. Sur les points dicritiques. J. Math, pures appl. s. 6, t. 2, 1906.
20. Integrates passant par un point singulier d'une equation dif-
ferentielie. C. R. Circ. math. Palermo, t. 27, 1909,
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Введение 7
§ 1. Постановка задачи 7
§ 2. Функция соответствия в окрестности дуги ха-
характеристики, не проходящей через особые точ-
точки 10
§ 3. Сепаратрисы 13
§ 4. Циклы 15
§ 5. Типы особых точек 16
§ 6. Форма дифференциального уравнения в окре-
окрестности особой точки 19
§ 7. Функциональные мажоранты 20
§ 8. Лемма 1 24
| 9. Лемма 2 26
§ 10. Полурегулярпые функции 28
Часть 1. Циклы, проходящие в окрестности седел . , 31
§ 11. Этапы исследования 31
§ 12. Упрощение дифференциального уравнения в
окрестности одного седла 31
§ 13. Случай рационального к 36
§ 14. Форма общего интеграла дифференциального
уравнения в окрестности седла ..... 39
§ 15. Исследование частного вида уравнения при ра-
рациональном X 43
§ 16. Структура общего интеграла в случае рацио-
рационального К 45
§ 17. Структура общего интеграла в случае иррацио-
иррационального К 47
§ 18. Свойства общего интеграла при рациональном X 49
§ 19. Функция соответствия в окрестности характе-
характеристики, проходящей через одно седло . . 51
§ 20. Характеристика в окрестности цикла, проходя-
проходящего через одно седло 54
§ 21. Особые циклы, проходящие через несколько
седел 57
§ 22. Характеристики, близкие к особому циклу, про-
проходящему через несколько седел .... 59
154
§ 23. Исследование функции соответствия между I
и tn 61
Часть 2. Циклы, проходящие в окрестности сложной осо-
особой точки . 64
§ 24. Форма дифференциального уравнения в окрест-
окрестности исключительной особой точки ... 64
§ 25. Поведение характеристик в окрестности исклю-
исключительной особой точки ....... 67
§ 26. Упрощение дифференциального уравнения в
окрестности исключительной особой точки 69
§ 27. Приведенная форма дифференциального урав-
уравнения 72
§ 28 Общий интеграл дифференциального уравне-
уравнения G7) ♦ 75
§ 29. Общий интеграл дифференциального уравне-
уравнения, имеющего приведенную форму , 77
§ 30. Свойства общего интеграла уравнения (85) . « 79
§ 31. Функция соответствия в окрестности характе-
характеристики, проходящей через одну исключитель-
исключительную особую точку , 79
§ 32. Окончательная форма функции соответствия 82
§ 33. Характеристики, близкие к особому циклу, про-
проходящему через одну исключительную особую
точку 88
§ 34. Замечания о характеристиках, близких к циклу,
проходящему через несколько исключительных
особых точек 89
§ 35 Характеристики, близкие к циклу, проходяще-
проходящему через несколько исключительных особых
точек .•..,....«.. 92
Часть 3. Циклы, проходящие в окрестности произволь-
произвольных особых точек # 95
§ 36. Метод исследования 95
§ 37. Дикритическая точка 96
§ 38. Характеристики, оканчивающиеся в особой точ-
точке с определенной касательной 99
§ 39. Последовательные преобразования уравнений 101
§ 40. Случай, когда особая точка — центр или фокус 104
§ 41. Результирующие преобразования, приводящие
уравнения к простой форме 105
§ 42. Отыскание сепаратрис 108
§ 43. Замечания о случаях, встречающихся при ис-
исследовании сепаратрис .111
§ 44. Сепаратрисы, при отыскании которых встреча-
встречается неприводимый случай 114
§ 45. Преобразование уравнения относительно интег-
интегралов, касающихся оси х = 0 116
§ 46. Функция соответствия для области отталкива-
отталкивания, ограниченной единственной характеристи-
характеристикой х = 0 120
§ 47. Изменения, вводимые при исследовании приво-
приводимого случая 127
§ 48, Функция соответствия в одном частном случае 131
155
§ 49. Функция соответствия для области отталкива-
отталкивания особой точки произвольного вида . . . 135
§ 50. Функция соответствия в области отталкивания
для дикритической точки 139
§ 51. Характеристики, близкие к циклу, проходящему
через сложную особую точку , 140
Часть 4. Дополнения и заключения «143
§ 52. Характеристики, близкие к особой точке, в ко-
которой ни одна характеристика не оканчивается
с определенной касательной 143
§ 53. Бесконечно удаленные точки . .... 144
§ 54. О конечности числа предельных циклов . . 148
Список работ Дюлака 152
Г. Дюлап
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛАХ
М., 1980 г.,160 стр. с илл.
Редактор В. В. Абгарян
Техн. редактор Н. В. Вершинина
Корректор Т. С. Вайсберг
ИБ J* 11571
Сдано в набор 24.09.79. Подписано к печати
23.05.80. Бумага 84xlO8'/32, тип. Н 2. Обыкно-
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн.
печ. л. 8,4. Уч.-изд. л. 7,55. Тираж 6000 экз.
Заказ К» 726. Цена книги 75 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической
литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25