Математическое
просвещение
ВАЦЛАВ СЕРПИНСКИЙ
О теории
множеств
Перевод в польского
3. 3. Рачинокогош
ИЗДАТЕЛ ЬСТВО
(ПРОСВЕЩЕНИЕ.
Москва 1966

WACLAW SIERPitfSKI
О TEORII MNOGOSCI
Wybrane zagadnienia
dla szkol srednich
WARSZAWA
PASSTWOWE ZAKLADY WYDAWNTCTW SZKOLKYCH

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Книжкой выдающегося польского математика Вацлава С е р п к н-
с к о г о издательство «Просвещение» открывает новую серию «Математи-
«Математическое просвещение». Выпуски серии будут рассчитаны на самую широкую
читательскую аудиторию: на школьников, учителей средней школы, отчас-
отчасти на студентов и вообще на всех любителей математики самых различных
возрастов и профессий.
Вполне закономерно, что первый выпуск серии посвящен элементар-
элементарному изложению важнейших понятий, методов и результатов теории мно-
множеств— дисциплины, лежащей в основе большинства разделов классиче-
классической математики (этому изложению отведена первая глава, занимающая
большую часть книги; вторая глава посвящена более детальному рассмот-
рассмотрению некоторых более специальных вопросов теории точечных множеств,
отражающих личные научные вкусы и интересы автора, демонстрирующего
здесь важные методы теоретико-множественных рассуждений).
В дальнейших выпусках (иногда довольно значительно различающихся
уровнем изложения и объемом) будут освещены многие важные и интерес-
интересные для широкого круга читателей вопросы классической и современной
математики и ее приложений.
Проф. В. Серпинский (род. в 1882 г.) — один из крупнейших
современных математиков, признанный глава польской математической
школы (многие выдающиеся представители которой — ученики Серпин-
ского). Ряд работ Серпинского (всего их более 700) по теории множеств,
топологии и теории чисел по праву считаются классическими. Серпинский—
действительный и почетный член многих Академий наук, математических
обществ и университетов мира — давно и активно работает в тесном содру-
содружестве с советскими математиками (начиная с Н. Н. Л у з и н а ).
Книги замечательного математика не раз издавались в Советском Союзе.
Настоящая книжка (снабженная автором подзаголовком «Избранные гла-
главы для средних школ») достойно представляет этого большого ученого и
как вдумчивого педагога и талантливого популяризатора.

От редакции польского издания
Теория множеств является одной из наиболее молодых отраслей ма-
математики, но ее элементы стали в настоящее время неотъемлемой частью
общего математического образования.
Многие ученые уже давно выражали мнение, что некоторые вопросы
теории множеств должны быть включены в программы средней школы.
Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств
не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной
подготовки.
В настоящей книге читатели найдут те фрагменты теории множеств,
которые, по мнению профессора Вацлава Серпинского, могут быть без
труда усвоены учащимися старших классов школы или техникума.
Учителя могут использовать эту книгу для кружковых занятий с мо-
молодежью, проявляющей особый интерес к математике.

Г Л А В А I
О МНОЖЕСТВАХ И ИХ СВОЙСТВАХ
1. Понятие множества
С различными множествами мы встречаемся не только в математике.
Примерами множеств являются: множество всех жителей данного города;
множество всех букв польского алфавита; множество всех книг данной биб-
библиотеки; множество всех целых положительных чисел; множество всех це-
целых чисел, заключенных между 10 и 100; множество всех точек данной пря-
прямой; множество всех диагоналей данного многоугольника; множество всех
прямых на плоскости, проходящих через данную точку; множество всех
предметов, обладающих каким-либо данным свойством W.
Теория множеств, созданная более 80 лет тому назад Георгом Кан-
Кантором, занимается исследованием общих свойств множеств, не завися-
зависящих от природы предметов (называемых элементами), образующих эти
множества.
Еще в первые годы текущего столетия о теории множеств не было речи
даже на математических факультетах университетов. Теория множеств
считается основой современного математического анализа, и некоторые
сведения из нее обязательны для каждого математика. В последнее время
теория множеств начала проникать даже в средние школы.
Вот, что написано в книге Г. Радемахера и О. Теплица
«Числа и фигуры»1:
«... крайне простые в своей сущности-, не требующие,никаких предва-
предварительных познаний, идеи и выводы великого основоположника теории
1 Перевод с немецкого, 3-е изд., М., Физыатгиз, 1962, стр, 47. — Прим. ред.
5

множеств Георга Кантора являют собой образец подлинно математиче-
математического стиля. Настоящая математика заключается не в нагромождении ис-
искусственных вычислительных приемов, а в умении получать нетривиаль-
нетривиальные результаты путем размышления при минимуме применяемого аппа-
аппарата»1.
Исследуя множества, мы не исключаем и множества, образованные из
одного-единственного элемента; например, множество всех простых четных
чисел содержит только один элемент, которым является число 2.
2. Равенство множеств
Два множества Л и В мы считаем равными и пишем А—В, если они
состоят из одних и тех же элементов, другими словами, если каждый эле-
элемент множества А является элементом множества В и наоборот. Если мно-
множества А и В не равны, мы пишем А^=В. Это означает, что по крайней мере
в одном из множеств А или В имеется элемент, которого нет в другом мно-
множестве (т. е. или в множестве А есть такой элемент, которого нет в множе-
множестве В, или в множестве В есть такой элемент, которого нет в множестве А,
или же имеет место и то и другое).
Казалось бы, решение вопроса о том, равны два множества или нет,
не должно представлять особых трудностей. Однако это не так. Приведу
здесь простой пример двух множеств А и В, очень просто определяемых,
о которых по сегодняшний день мы не можем решить, равны они или нет.
Пусть А — множество всех четных чисел, больших 4, г В — множест-
множество всех чисел, являющихся суммами двух простых нечетных чисел. Мы до
сих пор не знаем, какое из соотношений справедливо: А=В или АфВ, и
не знаем даже, как подойти к решению этого вопроса. В то же время можно
легко показать, что каждый элемент множества В является элементом мно-
множества А, что мы выражаем, записывая ВсА и говоря, что множество В
содержится в множестве А, или что множество В является частью (или под-
подмножеством) множества А. Действительно, поскольку наименьшим нечет-
нечетным простым числом является 3, сумма двух нечетных простых чисел всегда
будет четным числом, не меньшим 6 (в записи: ^6), следовательно, боль-
* В № 1—2 журнала Matematyka за 1963 г. (стр. 41—48) помещена статья Бог-
Богдана Новецкого «Опыт использования некоторых понятий теорнн множеств при
обучении геометрии (отчет об экспериментальном уроке)». Урок этот имел место на
конференции учителей математики, организованной в г. Сулеювек Польским матема-
математическим обществом н Центральным методическим кабинетом в ноябре 1962 г. Целью
урока было показать: 1) как от простых и известных примеров можно подойти к поня-
понятиям теории множеств, 2) как реагирует молодежь на новые для нее понятия н 3) как
она сумеет применить эти понятия к знакомому материалу. Молодежь на этом уроке
впервые услышала такие слова, как множество, элемент множества, сумма множеств,
пустое множество н.т. д,
6

шим 4 (в записи: >4), откуда и следует, что ВсА* В 1742 г. Хр. Гольд-
Гольдбах высказал предположение, что АсВ, а следовательно, что и А—В
(потому что, как легко видеть, для любых двух множеств Р и Q, если од-
одновременно PczQ и QcP, то P=Q). Однако предположение Гольдбаха до
сих пор не доказано и не опровергнуто.
Несколько иное положение было бы, если бы Л2 было множеством всех
нечетных чисел >7, а Вг—множеством всех чисел, являющихся суммами
трех нечетных простых чисел. Здесь мы тоже до сих пор не умеем решить,
имеет ли место соотношение А1=В1 или нет, но благодаря результатам,
полученным И. М. Виноградовыми его учениками, мы знаем метод,
дающий возможность путем выполнения определенных, указанных этим
методом вычислений решить, какое из соотношений А-^=Вг или А1=В1
верно. К сожалению, хотя эти вычисления совершенно элементарны, число
их так велико, что ни одна существующая электронная вычислительная
машина не была бы в состоянии их выполнить.
Пусть теперь Л2 означает множество, состоящее из двух чисел: 1093
и 3511, а В2 пусть будет множеством всех целых чисел п>1, для которых
число 2"— 2 делится на п2. Можно доказать, хотя это и не очень легко, что
АгаВг> но неизвестно, имеет ли место Л2=В2 или нет- Пример этот инте-
интересен тем, что здесь множество Л2 состоит всего из двух элементов.
3. Собственные подмножества
Если для множеств Р и Q имеет место Рс Q, но P=f=Q, то мы говорим,
что Р является собственным подмножеством множества Q (или, иначе, пра-
правильной частью Q). Как следует из приведенных выше примеров, иногда
трудно решить, является ли данная часть множества (данное подмножество)
его собственным подмножеством или же нет. Ясно, что часть части данного
множества всегда является его частью. Другими словами, для любых мно-
множеств Л, В и С из АсВ и 5czC следует АсС. Мы выражаем это, говоря,
что отношение, обозначаемое символом с (включение), является транзи-
транзитивным, подобно соотношениям величины между числами, обозначаемым
в арифметике символами < или •<.
Очевидно также, что часть собственного подмножества данного мно-
множества всегда является собственным подмножеством этого множества.
4. Пустое множество
Оказалось удобным ввести понятие пустого множества, т. е. множества,
не содержащего ни одного элемента. Без этого понятия нельзя было бы,
например, говорить о множестве всех корней какого-либо данного урав-

нения, если бы мы заранее не знали о существовании хотя бы одного его
корня.
Часто бывает трудно определить, является ли данное множество пус-
пустым или нет. Мы не можем, например, решить, является пустым или нет
множество Z всех решений в целых числах х, у, z уравнения x*Jry%-\-za=2Q.
В то же время легко показать, что множество всех решений этого уравнения
в целых положительных числах х, у, г является пустым.
Мы не знаем никакого метода, который дал бы возможность решить,
является определенное выше множество Z пустым или нет. Иначе обстоит
дело с множеством Zx всех решений в целых положительных числах урав-
уравнения xy-\-x-\-y—T-Vi'. В этом случае мы знаем метод, с помощью которого
можно решить вопрос о том, является множество Zx пустым или нет, но
необходимые для этого вычисления (деление числа 22l7+l на некоторые чис-
числа <2217) так трудоемки, что в настоящее время не могут быть выполнены.
Интересно, что для множества Z2 всех решений в целых положительных
числах уравнения ху+х+у^Ф11 недавно было доказано, что оно не явля-
является пустым, но до сих пор мы не знаем ни одного из элементов множест-
множества Z2> хотя известен метод, с помощью которого можно было бы определить
все его элементы.
5. Конечные множества
Непустое множество называют конечным, если число его элементов
может быть выражено с помощью какого-либо целого положительного чис-
числа. Например, множество всех решений в целых положительных числах
уравнения jr8+#8-j-z8=3 конечно (существует только одно такое решение:
х—y—z=\); в то же время мы не знаем, конечно или нет множество всех
решений этого уравнения в целых числах х, у, г, и не знаем никакого мето-
метода, который привел бы нас к решению этого вопроса. Известно, напротив,
что множество всех решений в целых числах х,у, г уравнения x9-\-ys+z*—l
бесконечно (что немедленно следует из тождества (9n*)8-f-(l —9л3)8-f-
+Cп — 9п*K=1 при п=1, 2, 3,...).
Существуют конечные множества, число элементов которых нам неиз-
неизвестно. Таково, например, множество всех натуральных делителей числа
22"+1. Но в этом случае мы можем указать число, большее, чем число эле-
элементов этого множества, например число 2217. Существуют, однако, мно-
множества, о которых можно доказать, что они конечны, но нельзя указать чис-
числа, большего, чем число их членов. Таким является, например, множество Т,
определяемое следующим образом: если существует бесконечно много
положительных четных чисел, не являющихся суммами двух простых чи-
чисел, то в множество Т включаем только число 1, если же существует только
конечное число таких чисел, то пусть Т означает их множество.

6. Равночисленные множества
При изучении множеств в теории множеств мы абстрагируемся или от
природы и порядка их элементов, или же только от их природы и обращаем
внимание на их порядок, о чем будет сказано ниже.
Чем же, однако, могут отличаться друг от друга два множества, если
мы отвлекаемся от природы и порядка их элементов? Два множества могут
отличаться своей численностью.
Можем ли мы установить, равночисленны ли два множества или ко-
которое из них, быть может, многочисленнее, не зная понятия числа?
Допустим, что у нас есть два коробка спичек: в одном —белые спички,
в другом — Красные. Вынем из каждого коробка по одной спичке (следова-
(следовательно, одну белую и одну красную) и отложим их в сторону. Из остав-
оставшихся вынем снова по одной спичке из каждого коробка и вновь отложим
их в сторону. Вынимая таким образом последовательно по одной спичке
из каждого коробка, мы либо исчерпаем оба коробка одновременно, либо
один из коробков окажется пустым, когда в другом еще останутся спички.
Первый случай, очевидно, будет иметь место тогда и только тогда, когда в
обоих коробках было одно и то же число спичек, во втором случае коробок,
оставшийся пустым, когда в другом еще были спички, содержал меньше
спичек.
Таким образом, желая убедиться, равночисленны ли два данные мно-
множества, мы не должны обязательно пересчитывать элементы этих множеств;
достаточно последовательно брать попарно по одному элементу из каждого
из этих множеств. Два множества будут равночисленными тогда и только
тогда, если, выбирая попарно по одному элементу из каждого из этих мно-
множеств, мы исчерпаем их одновременно. Результат не будет зависеть от по-
порядка извлечения элементов из каждого из двух данных конечных множеств.
7. Взаимно однозначное соответствие
Можно сказать также, что два множества равночисленны, если их эле-
элементы можно соединить в пары таким образом, чтобы в каждой паре было по
одному элементу из каждого из этих множеств (и чтобы каждый элемент
каждого из этих множеств имел себе пару). В этом случае каждому элемен-
элементу первого множества соответствует определенный и единственный элемент
второго множества, а именно тот, что образует с ним пару. И наоборот, каж-
каждый элемент второго множества соответствует определенному и единствен-
единственному элементу первого множества. В этом случае говорят, что между эле-
элементами, образующими наши множества, установлено взаимно однозначное
(или, иначе, одно-однозначное) соответствие.

Для установления такого соответствия совсем не обязательно пооче-
поочередно соединять в пары элементы, принадлежащие двум разным множест-
множествам; достаточно указать закон, определяющий это соединение в пары. На-
Например, будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми
нечетными положительными числами и всеми четными числами, большими
ста, если каждому нечетному числу п мы сопоставим четное число, большее
его на 101 (т. е. число п+101).
8. Равномощные множества
Если между элементами двух множеств можно установить взаимно од-
однозначное соответствие, то говорят, что эти множества равномощны (или,
иначе, эквивалентны). Два конечных множества равномощны тогда и только
тогда, когда они имеют одно и то же число элементов. Понятие равномощ-
мости применимо и к множествам, не являющимся конечными; например,
как мы видели, множество всех нечетных положительных чисел равномощ-
но множеству всех четных чисел, больших ста.
В этом случае, однако, могут иметь место факты, которые на первый
взгляд кажутся парадоксальными.
Так, например, множество всех натуральных чисел равномощно мно-
множеству всех четных положительных чисел. Взаимно однозначное соответ-
соответствие между элементами этих множеств можно, например, установить, со-
сопоставив каждому натуральному числу вдвое большее положительное
число. Мы имеем здесь, следовательно, пример бесконечного множества,
равномощного некоторой своей правильной части. Не существует ни одного
конечного множества, равномощного какой-либо своей правильной части.
Возникает вопрос, каждое ли бесконечное множество равномощно какой-
либо своей правильной части. На этот вопрос мы не сможем ответить, не
принимая специальных аксиом. Однако о многих бесконечных множествах,
встречающихся в математике, можно доказать, что они равномощны не-
некоторой своей правильной части. Мы вернемся еще к этому вопросу позже.
Чтобы выразить, что два множества М и N равномощны, пишут M~N.
Как легко заметить, отношение — является симметричным (т. е. из М—N
следует N—М), транзитивным (т. е. из М—N и N—Р следует М—Р) и
рефлексивным (т. е. М—М для любого множества М).
9. Счетные множества
Множества, равномощные множеству всех натуральных чисел, назы-
называют счетными, остальные же бесконечные множества — несчетными. Сле-
Следовательно, счетное множество — это такое бесконечное множество, все
10

элементы которого можно перенумеровать с помощью натуральных чисел
таким образом, чтобы каждому элементу множества соответствовал опреде-
определенный номер и чтобы каждый номер соответствовал определенному и един-
единственному элементу множества. Другими словами, элементы счетного мно-
множества можно расположить в виде бесконечной последовательности
и
х,
"з.
13
/4
/5
16
Г?
12
3
и
5
16
11
2
1
]/
6
19
Ю
9
в
7
20
25
24
23
21
21
Рис. 1
по порядковым номерам (индексам). Обратно, множество всех членов лю-
любой данной бесконечной последовательности (с различными членами) явля-
является счетным.
Очевидно, что часть счетного множества, если она не является конеч-
конечным множеством, будет счетным множеством. Это следует из того, что эле-
элементы любой части множества A) можно располо-
расположить в виде последовательности в порядке воз-
возрастания индексов. Например, множества всех
нечетных чисел, всех простых чисел, всех чисел,
являющихся квадратами натуральных чисел,—
счетны. О существовании взаимно однозначного
соответствия между натуральными числами и их
квадратами знал уже Галилей в первой поло-
половине XVII века.
Если плоскость разбить на прилегающие
один к другому квадраты, то множество этих
квадратов будет счетно. Перенумеровать все эти
квадраты можно следующим образом (рис. 1):
Можно также доказать, что, разбив трех-
трехмерное пространство на равные кубы, мы полу-
получим счетное множество этих кубов. И в этом случае можно бы поочередно
обходить кубы по ломаной, соединяющей центры смежных кубов.
Непустое множество мы называем конечным, если число его элементов
может быть выражено каким-либб натуральным числом. Отсюда следует,
что если данное множество Z бесконечно, т. е. не является ни пустым, ни
конечным, то для любого натурального числа п существует п различных
элементов, каждый из которых принадлежит Z. Доказать это можно по ин-
индукции. Указанное предложение справедливо для числа п=1, так как, по-
поскольку множество Z не пусто, в нем должен существовать какой-нибудь
элемент ах. Допустим теперь, что наше утверждение справедливо для не-
некоторого натурального числа п и что, следовательно, существует п различ-
различных элементов ах, а2,...,ап, каждый из которых принадлежит множеству Z.
Если бы, кроме этих п элементов, множество Z не содержало никаких дру-
других элементов, то оно имело бы только п элементов и было бы конечно, что
противоречит условию. Следовательно, в множестве Z имеется какой-то
элемент ап+1, отличный от каждого из элементов аг, а2 ап. Мы имеем,
11

следовательно, л+1 различных элементов, каждый из которых принадле-
принадлежит множеству Z. Утверждение наше справедливо, следовательно, для чис-
числа я+1. Отсюда по индукции заключаем о справедливости утверждения для
любого натурального числа п.
Казалось бы, что подобное рассуждение приводит к заключению, что
каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество (счетную
часть). Имея я разных элементов at, az,...,an множества Z, мы можем из-
извлечь из него новый элемент ап+1, отличный от каждого из элементов
аг, а2 ап, что приводит к бесконечному ряду alf а2, а3)... различных эле-
элементов множества Z, т. е. к некоторому его счетному подмножеству.
Но этому рассуждению можно предъявить следующий упрек. Образуя
последовательность alta^,...,an различных элементов множества Z, мы вынуж-
вынуждены я раз произвести выбор. Никто не сомневается в возможности осу-
осуществления любого конечного числа выборов. Но есть математики, которые
считают, что нельзя производить бесконечно много выборов без указания
закона или правила осуществления этих выборов (первым из таких мате-
математиков был Дж. П е а н о). Без использования так называемой аксиомы
выбора (сформулированной Э. Ц е р м е л о) мы не сможем доказать ни то,
что любое бесконечное множество содержит счетную часть, ни то, что каж-
каждое бесконечное множество равномощно некоторой своей правильной части.
То, что каждое счетное множество равномощно некоторой своей правиль-
правильной части, очевидно, так как множество A) равномощио множеству, которое
мы получим, удалив из него первый член иг. Но можно также доказать,
не прибегая к аксиоме выбора, что каждое множество, равномощное неко-
некоторой своей правильной части, содержит счетное подмножество. Вот на-
набросок этого доказательства. Допустим, что множество Z равномощно своей
правильной части Т. Каждому элементу а множества Z соответствует опре-
определенный элемент f(a) множества Т таким образом, что разным элементам
множества Z соответствуют различные элементы множества Т. Поскольку
Т является правильной частью множества Z, существует элемент а мно-
множества Z, не принадлежащий Т. Теперь можно легко доказать, что члены
бесконечной последовательности
a, f(a), №a))> №&))). ...
являются различными элементами множества Z и, следовательно, образуют
его счетное подмножество.
10. Сумма множеств
Суммой (или, иначе, объединением) двух множеств называют множест-
множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются эле-
элементами хотя бы одного из этих множеств. Сумму множеств А и В обозна-
12

чают через А и В1. Как легко видеть, сумма множеств обладает свойствами,
подобными свойствам суммы чисел: коммутативностью (переместительно-
(переместительностью) и ассоциативностью (сочетательностью), т. е. для любых двух мно-
множеств А и В мы имеем А [} В*=В [} А, а для любых трех множеств А, В, С
имеем (А и В) U С=А \) (В [) Q. Аналогично определяют сумму большего,
даже бесконечного количества множеств: это множество, содержащее все
такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы од-
одного из слагаемых.
Легко доказать, что сумма двух счетных множеств также есть счетное
множество. Пусть
их,щ,и3,... и vltv2,va,... B)
— два счетных множества. Образуем счетную последовательность, выписы-
выписывая поочередно по одному члену из каждой из двух последовательностей
B), т. е. образуем последовательность
и1,01,и8>08,и3,Рз>— • C)
Множество всех членов последовательности C) будет, очевидно, суммой
множеств членов последовательностей B). Если у этих последовательностей
имеются одинаковые члены, то для получения последовательности, содер-
содержащей толвко различные члены и являющейся суммой множеств членов
последовательностей B), достаточно из последовательности C) исключить
каждый член, равный какому-либо из предшествующих членов.
Аналогично можно легко доказать, что сумма трех и, вообще, любого
конечного числа счетных множеств есть счетное множество. Докажем те-
теперь, что сумма счетного множества счетных множеств тоже есть счетное
множество.
Допустим, что мы имеем бесконечную последовательность бесконечных
последовательностей CVC2,C3... . Члены последовательности Сп обозначим
через u{lp, u^f, и{"] Сумма множеств членов наших последовательностей
будет, следовательно, множеством всех членов такой бесконечной таблицы:
//A) —а.г/0) iiS^} —± и.^
** 1 **2 3 4 * * *
u<2> uf uf uf> ...
и<3) 43) из3)
г А4) /Л*)
1 Распространены также обозначения А + В и А + В.—Прим. ред.
13

Теорема будет доказана, если мы покажем, что все элементы этой таб-
таблицы можно расположить в виде обыкновенной бесконечной последова-
последовательности. Это можно сделать с помощью так называемого диагонального
метода1, а именно, выписывая сперва единственный член, у которого сумма
нижнего и верхнего индексов составляет 2, затем два члена с суммой ин-
индексов 3, далее три члена с суммой индексов 4 и т. д. Мы получим таким об-
образом обыкновенную бесконечную последовательность
,.U) „(!) „B) C) B) A) A) B) C) D) E) ,.\
Если, в частности, принять w ——, то бесконечная последовательность
D) содержала бы все рациональные положительные числа, причем каждое
из них — бесконечное число раз, так как -^=-^ при к—1,2,... . Чтобы
получить бесконечную последовательность, в которой каждое рациональное
положительное число встречается один и только один раз, достаточно оста-
оставить в нашей последовательности только несократимые дроби. Мы видим,
таким образом, что множество всех положительных рациональных чисел счет-
счетно. Ясно также, что и множество всех отрицательных рациональных чисел
счетно, а поскольку сумма двух счетных множеств есть счетное множество,
мы можем расположить в бесконечную последовательность все рациональ-
рациональные числа, отличные от нуля, а добавив к ее началу число 0, получаем тео-
теорему, что множество всех рациональных чисел счетно.
11. Несчетные множества
Возникает вопрос, счетно ли множество всех действительных чисел.
Оказывается, можно доказать, что оно несчетно. Можно ли доказательство
несчетности множества всех действительных чисел излагать в средней шко-
школе? Это зависит от того, что знают учащиеся о действительных числах.
Если, например, им известен факт, что каждое действительное число
имеет одно и только одно представление в виде бесконечной десятичной дро-
дроби, в которой бесконечно много цифр отлично от 9, то доказательство не-
несчетности множества всех действительных чисел можно вывести из более
общего утверждения, что для любой бесконечной последовательности дей-
действительных чисел
ultuitu3,... E)
существует действительное число х, не совпадающее ни с одним из членов
этой последовательности. Вот доказательство этой теоремы.
1 Чаще этим именем называют изобретенный Кантором и широко применяемый
в теории множеств и других областях математики метод доказательства, демонстрируе-
демонстрируемый в следующем параграфе.— Прим. ред.
14

Пусть
«2=/г2+0,
— представления чисел ult u2, u3, ... в виде бесконечных десятичных дро-
дробей, каждая из которых содержит бесконечно много цифр, отличных от 9.
Здесь kl7k2,k3,... —целые числа.
Определим теперь бесконечную последовательность цифр сл(я=1,2,.„.)
следующим образом. Пусть для данного натурального числа п сп будет на-
наименьшей цифрой, отличной от с<*>х и от 9. Очевидно, что имеется не меньше
8 цифр, отличных от с*"' и от 9. Таким образом, получим:
Бесконечная десятичная дробь
О,
будет, следовательно, представлять некоторое действительное число х, та-
такое, что 0<лг< 1 и будет содержать бесконечно много цифр, отличных от 9.
При этом хфип при л =1,2,..., так как для любого натурального числа п
дроби, представляющие х и ип и содержащие бесконечно много цифр, от-
отличных от 9, отличаются в л-й цифре.
Наша теорема доказана. Из нее сразу же вытекает, что множество всех
действительных чисел не может быть счетным
Учащиеся средней школы знают о существовании взаимно однознач-
однозначного соответствия между действительными числами и точками прямой.
Положение точки на прямой может быть определено с помощью дейст-
действительного числа, определяющего расстояние этой точки от заданной точки
О на прямой, причем расстояния точек, находящихся вправо от точки О
(расположенной на горизонтальной прямой), считают положительными, а
находящихся влево от точки О — отрицательными.
Ввиду наличия взаимно однозначного соответствия между действитель-
действительными числами и точками прямой, из теоремы о несчетности множества всех
действительных чисел следует теорема о несчетности множества всех точек
прямой. Теорему эту можно легко доказать также и геометрически, исходя
из так называемой аксиомы Асколи: Если dvda,d3,...— бесконечная после-
последовательность отрезков, из которых каждый, начиная со второго, целиком
содержится в предшествующем ему отрезке, то существует (по меньшей
мере одна) точка, общая всем этим отрезкам.
1 То есть от цифры, расположенной на (главной диагонали» бесконечной таблицы
бесконечных дробей, чем в объясняется название метода (см. предыдущее примечание).
— Прим. ред.
15

Допустим, что множество всех точек прямой Р—счетно; мы можем в
таком случае расположить их в бесконечную последовательность
Pv Ръ Рз>— ¦ F)
Очевидно, что можно построить отрезок dlt не содержащий точки рх.
Далее, можно построить отрезок d2, являющийся частью отрезка dx
и не содержащий точки р2. Для этого достаточно разделить отрезок dx на
три равные части и взять в качестве d2 ту, которая ни внутри, ни на конце
не содержит точки р2 (если этим свойством обладает не одна часть dt, то
выберем, скажем, самую левую). Затем так же строим отрезок d3, являю-
являющийся частью отрезка d2 и не содержащий точки ра, и т. д.
По аксиоме Асколи существует точка р, общая всем отрезкам dltda,dv,....
Эта точка не совпадает ни с одной точкой последовательности F), так как
при любом натуральном п точка р лежит на отрезке dn и, наоборот, точка рй
(как это следует из способа построения отрезка dn) не лежит на отрезке dn.
Предположение, что последовательность F) содержит все точки прямой Р,
ведет, следовательно, к противоречию. Следовательно, множество всех то-
точек прямой является несчетным.
12. Континуум-гипотеза
Существуют, таким образом, бесконечные множества разной мощности,
например, множество всех натуральных чисел и множество всех точек пря-
прямой. Возникает вопрос, существуют ли на прямой несчетные множества
точек, которые не были бы равномощными. На этот вопрос мы не можем
дать ответа. Предположение, что любое несчетное множество точек прямой
имеет равную мощность с множеством всех точек прямой, носит название
континуум-гипотезы. Эта гипотеза (высказанная создателем теории мно-
множеств Г. Кантором) до сих пор не доказана, но К- Г ё д е л ь1 доказал, что
она не противоречит общепринятым аксиомам теории множеств (если толь-
только эти последние непротиворечивыJ. Я посвятил континуум-гипотезе спе-
специальную книгу, изданную в 1934 г, на французском языке (Hypothese
du Continu); второе издание этой книги вышло в 1956 г. в Нью-Йорке.
В 1951 г. я доказал, что континуум-гипотеза равносильна следующей теореме,
в формулировке которой не участвует понятие бесконеч-
бесконечности: Если из точки О трехмерного пространства провести три взаимно
перпендикулярные прямые OX, OY, 0Z, то множество всех точек простран-
1 В 1940 г., русский перевод работы Гёделя опубликован в журнале «Успехи
математических наук», т. 3 A948), № 1, стр. 96—149. — Прим. ред.
2 В 1963—1964 гг. американский математик П. Дж. К о э н доказал независи-
независимость континуум-гипотезы (и аксиомы выбора), т. е. что отрицание ее также не проти-
противоречит аксиомам теории множеств. Русский перевод работ Коэна опубликован в
сборнике «Математика» (изд. «Мир») в 1965 г. (т. 8, №5).— Прим. ред.
16

ства является суммой трех множеств, из которых первое конечно на любой
прямой, параллельной прямой ОХ, второе конечно на любой прямой, парал-
параллельной прямой 0Y, а третье конечно на любой прямой, параллельной пря-
прямой 01х.
Положение точки на плоскости может быть, как известно, определено
с помощью пары действительных чисел, так называемых координат точек,
каковыми являются расстояния рассматриваемой точки от двух заданных
на плоскости взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями ко
ординат. Оказывается, однако, что положение каждой точки на плоскости
может быть также определено с помощью только одного действительного
числа. Доказательство основывается на утверждении, что каждое действи-
действительное число имеет одно и только одно представление в виде бесконечной
десятичной дроби, имеющей бесконечно много цифр, отличных от нуля.
Докажем, основываясь на этом, что множество Р всех пар действитель-
действительных чисел х, у таких, что
0<лг<1 и
является равномощным с множеством Z всех действительных чисел г та-
таких, что
Пусть (х, #) означает данную пару, принадлежащую множеству Р. Пред-
Представим числа х и у в виде десятичных дробей, имеющих бесконечно много
цифр, отличных от нуля. Пусть это будут, например, дроби
*=0,4300709500083 ....
#=0,05600300001402 ... .
Перепишем теперь по порядку цифры наших дробей, находящиеся пос-
после запятой, ставя вертикальную черту после каждой цифры, отличной от
нуля. Таким образом получим из каждой дроби бесконечную последова-
последовательность групп цифр:
и 4|3|007|09|5| 0008| 3| ...
05| 6| 003! 0000114|02|... •
Вставив теперь группы второй последовательности между очередными
группами первой последовательности, получим новую бесконечную после-
последовательность групп цифр:
4|05J 316| 007J 003109100001] 5| 4] 0008102| 3|... .
1 Множество называется конечным на данной прямой, если в нем имеется лишь
конечное число точек, принадлежащих этой прямой. Аналогично понимается конеч-
конечность пространственных множеств на прямых или плоскостях в т.п.— Прим. ред.
2 Заказ № 773 17

Опустим теперь в этой последовательности черточки. Полученная та-
таким образом бесконечная последовательность цифр будет представлением
в виде десятичной дроби некоторого числа
2=0,405360070030900001540008023...,
которое мы ставим в соответствие паре (х, у).
Легко заметить, что это взаимно однозначное соответствие между эле-
элементами множеств Р и Z. Следовательно, эти множества имеют равную
мощность.
Отсюда легко можно вывести следствие, что множество всех точек
плоскости является равномощным множеству всех точек прямой. Аналогич-
Аналогично можно доказать, что множество всех точек трехмерного пространства
равномощно множеству всех точек прямой.
В качестве примера двух несчетных множеств равной мощности приве-
приведем множества точек двух каких-либо отрезков прямой ОА и ОВ, которые
A
м
О
/V
Рис. 2
Рис. 3
мы расположим под прямым углом, так, чтобы они являлись катетами тре-
треугольника ОАВ (рис. 2). Соответствующими точками наших отрезков будем
считать точки, лежащие на одной прямой, параллельной гипотенузе АВ
(например, точки М и N).
Такое условие, очевидно, устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между точками наших отрезков.
Можно также легко установить взаимно однозначное соответствие меж-
между всеми внутренними точками конечного отрезка и всеми точками бесконеч-
бесконечной прямой. Для этого расположим конечный отрезок АВ перпендикулярно
данной прямой р, пересекающей его посередине в точке О (рис. 3).
На прямой, параллельной прямой р и проходящей через точку А, возь-
возьмем произвольную точку S, расположенную слева от А, а на прямой, парал-
параллельной прямой р и проходящей через точку В, возьмем точку F, располо-
расположенную справа от В. Каждой точке М отрезка АО, отличной от Л, сопоста-
сопоставим точку N прямой р, лежащую на пересечении прямой SM с прямой р,
каждой же точке Р отрезка ОВ, отличной от В, сопоставим точку Q прямой
18

р, лежащую на пересечении прямой FP с прямой р. Как легко видеть, та-
таким образом будет установлено взаимно однозначное соответствие между
всеми точками отрезка АВ (за исключением его концов) и всеми точками
прямой р.
13. Непересекающиеся множества
О двух множествах, не имеющих ни одного общего элемента, говорят,
что они не пересекаются. Если имеется несколько множеств, то говорят,
что они попарно непересекающиеся, если не пересекаются никакие два
из них.
Легко доказать, что если счетное множество разбить на попарно непере-
непересекающиеся множества, то множество этих множеств будет или конечным,
или счетным. Действительно, если мы каждому из множеств Z, на которые
мы разбили счетное множество ultua,u9,..., соотнесем самый первый член
этой последовательности, принадлежащий Z, то, поскольку наши мно-
множества не пересекаются, каждому множеству Z будет соответствовать другой
член нашей последовательности, и мы сможем расположить наши множе-
множества в виде конечной или бесконечной последовательности в соответствии
с расположением последовательности иг,и2,ид,... этих элементов.
Два счетных множества называют почти непересекающимися, если они
имеют только конечное (или равное нулю) число общих элементов.
Докажем, что множество всех натуральных чисел можно разбить на
несчетное число множеств, любые два из которых являются почти непере-
непересекающимися.
Обозначим с этой целью для каждого действительного числа * чере»
Е(х) наибольшее целое число <>:, а для каждого действительного положи-
положительного числа х обозначим через Z(x) множество всех чисел (очевидно,
натуральных)
2п[2Е(пх) + 1 ], где « = 1,2,3
Покажем теперь, что для 0<д:<г/ множества Z(x) и Z(y) имеют только ко-
конечное (или равное нулю) число общих элементов.
Действительно, если при каких-нибудь натуральных р п q имеем
<2Р[2Е{рх)+\ ]=2* [2E(gy)+l ],
то отсюда легко получаем, что должно бытьр=^, а следовательно, Е(рх) =
=E(qy), что, ввиду условия 0<х<г/, дает, как легко заметить, ру — рх<Ц
и Р<
Таким образом, множества Z(x) и Z(y) имеют менее чем—-, следо-
вателкно, конечное число общих элементов
2* 19

Мы доказали таким образом, что существует несчетное семейство беско-
бесконечных множеств натуральных чисел, любые из которых являются почти
непересекающимися. Поскольку эти множества различны, то отсюда сле-
следует, что множество всех натуральных чисел имеет несчетное количество
различных бесконечных подмножеств.
14. Сравнение мощностей бесконечных множеств
Займемся теперь вопросом, каким образом сравнивать между собой
мощности бесконечных множеств, которые имеют неодинаковую мощность.
Если множество А имеет одинаковую мощность с какой-то частью множе-
множества В, а множество В не равномощно никакой части множества А, то есте-
естественно будет считать мощность множества В большей, чем мощность мно-
множества А. Таким образом, мощность множества всех действительных чисел
больше мощности множества всех натуральных чисел.
Мы знаем уже две разные мощности бесконечных множеств: мощность
счетных множеств и мощность множества всех действительных чисел, или
так называемую мощность континуума. Возникает вопрос, можно ли до-
доказать, что существуют и другие мощности бесконечных множеств «, в
частности, существуют ли бесконечные множества с мощностью, большей
мощности континуума.
Можно доказать, что таковым является, например, множество всех раз-
различных множеств действительных чисел. Создатель теории мощностей
Г. Кантор доказал, что мощность множества всех различных частей каждого
данного непустого множества всегда больше мощности самого этого мно-
множества. Отсюда вытекает, что существует бесконечно много разных мощ-
мощностей бесконечных множеств. Возникает еще вопрос, что будет, если мно-
множество А имеет равную мощность с какой-то частью множества В, а мно-
множество В равномощно какой-то части множества А. Оказывается, можно
доказать, что в этом случае множества А и В равномощны. Это так называе-
называемая теорема Кантор а—Б ернштейна.
Г. Кантор высказал также более общую гипотезу, чем континуум-
гипотеза. Эта обобщенная континуум-гипотеза равносильна следующему
утверждению:
Если Z есть произвольное бесконечное множество, а Т — множество
всех различных частей множества Z, тоне существует множества, мощность
которого была бы больше мощности множества Z и меньше мощности мно-
множества Т1.
Континуум-гипотеза является частным случаем этой обобщенной гипо-
гипотезы, если в качестве множества Z взять множество всех натуральных чисел.
1 Упомянутые автором и в примечаниях на стр. 16 результаты К- Г ё д е л я
¦ П. Дж. К о э н а относятся н к обобщенной контннуум-гнпотезе.—• Прим. ред.
20

15. Аксиома выбора
Мы упоминали уже несколько раз об аксиоме выбора. Аксиома эта,
высказанная Э. Цермело в начале текущего столетия1, формулиру-
формулируется так:
Для любого семейства R попарно непересекающихся непустых множеств
Z существует по меньшей мере одно множество N, содержащее по одному
и только одному элементу из каждого из множеств Z семейства R.
Чтобы лучше понять трудности, связанные с принятием этой аксиомы,
рассмотрим один пример. Пусть будут даны три непустые и попарно непе-
непересекающиеся множества точек Zx, Z2, Zs. Поскольку множество Zx не пус-
пусто, мы можем из него выбрать какой-либо элемент аг. Аналогично можно
выбрать элемент at из множества Za и элемент as из множества Z3. Множе-
Множество Nx, образованное из элементов alt а2 и as, будет, очевидно, как раз
тем, о котором говорится в аксиоме выбора.
Вопрос кажется настолько простым, что можно было бы лишь пора-
поражаться, что он способен вызывать какие-то сомнения, если не говорить о
том обстоятельстве, что мы не определили, что означает выбор какого-либо
элемента из данного непустого множества. Выбрать какой-то элемент—зна-
элемент—значит ли это определить этот элемент так, чтобы не было сомнения, что все
имеют в виду один и тот же элемент?
Допустим теперь, что вместо трех множеств Zlt Z2 и Z3 мы имеем беско-
бесконечную последовательность Zlt Z2, Zs, ..., Zn, ¦•• непустых и попарно
непересекающихся множеств. Как тогда получить множество N, содержащее
по одному и только одному элементу из каждого из множеств Zn (для п —
= 1,2, ,..)? Можно ли в этом случае сказать: выберем элемент ах из множе-
множества Z1( затем элемент а2из множества Z% и так далее, а множество N, обра-
образованное из бесконечной последовательности элементов ах, а2, as, ..., будет
тем, о котором говорится в аксиоме выбора? Имеется ли возможность по-
повторения выбора бесконечное число раз? Не потребуется ли для этого бес-
бесконечно долгое время? Некоторые математики отвечают на это, что посколь-
поскольку выбор возможен для каждого отдельного множества Zn, то он возможен
также одновременно для всех множеств Zn (где п=\, 2, ...), так как выбор,
как любая математическая операция, должен рассматриваться как незави-
независимый от времени. В отношении какой-либо аксиомы, не противоречащей
нашей интуиции и не вступающей в противоречие с другими принятыми
уже нами аксиомами, можно занять две позиции: мы можем эту аксиому
1 Еще до Цермело необходимость такого рода аксиомы отмечал итальянский ма-
математик Б. Л е в и A902). Цермело же не только сформулировал ее в явной форме
A904),но и использовал в доказательстве одной из важнейших теоремтеории множеств'—
так называемой теоремы о вполне упорядочении (см. инже. §21), а впоследствии A908),
включил в систему аксиом теории множеств. — Прим. ред.
21

принять или отвергнуть. Очевидно, что отказ от данной аксиомы не озна-
означает принятия ее отрицания.
Что касается аксиомы выбора, то здесь следует учесть еще следующие
обстоятельства.
1. Многие следствия из аксиомы выбора были доказаны без использо-
использования этой аксиомы.
2. Из аксиомы выбора выведено множество других следствий, ни одно из
которых не привело к противоречию, а К- Гёдель доказал, что аксиома вы-
выбора не противоречит другим общепринятым аксиомам теории множеств
(если эти последние сами непротиворечивыI.
3. При современном состоянии науки аксиома выбора необходима
для доказательства большого числа различных теорем теории множеств
и анализа и значительно упрощает многие разделы этих наук.
Многие важные следствия аксиомы выбора мы не умеем доказывать без
использования этой аксиомы. Вот один из примеров.
Если мы возьмем конечное множество и будем его элементы соединять
каким-либо образом в пары, то или удастся все элементы соединить в пары,
или же останется один элемент без пары. Первый случай, очевидно, имеет
место при четном числе элементов, второй — при нечетном.
Казалось бы, если взять бесконечное множество и объединять его эле-
элементы в пары, то будет иметь место один и только один из двух случаев:
как бы мы ни объединяли элементы нашего множества в пары, или все эле-
элементы удастся объединить в пары, или же всегда будет оставаться один эле-
элемент без пары.
Что так может и не быть, нас убеждает следующий пример. Пусть Z
обозначает множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3 Если мы каждое
нечетное число объединим в пару с большим его на 1 четным числом, то,
очевидно, все элементы нашего множества Z будут объединены в пары. Од-
Однако если мы каждое четное число объединим в пару с большим его на 1 яечет-
ным числом, то, очевидно, одно число, а именно 1, останется без пары.
Таким образом, здесь может иметь место любой из рассматриваемых двух
случаев, в зависимости от способа объединения элементов множества в пары.
Возникает вопрос: будет ли так для любого бесконечного множества?
Как легко понять, для любого счетного множества это имеет место. Но будет
ли так для любого несчетного множества? Доказать это без использования
аксиомы выбора не удается. Без помощи аксиомы выбора мы не смогли бы
доказать даже такое, казалось бы, почти очевидное утверждение, что для
любого множества имеет место по меньшей мере одна из двух возможностей:
или все его элементы можно соединить в пары, или же останется один эле-
элемент без пары. Заметим, что и вывод этого утверждения из аксиомы выбо-
выбора отнюдь не является простым делом.
1 См. также примечание2 к стр. 16 .— Прим. ред.
22

В 1914 г. Стефан Мазуркевич доказал с помощью аксиомы выбора,
что существует множество точек на плоскости, такое, что любая прямая
на этой плоскости пересекает его точное двух точках. Ни одно такое множе-
множество мы не можем, однако, конкретно указать. Очевидно, на плоскости не
имеется множества точек, которое любая прямая на плоскости пересе-
пересекала бы в одной и только одной точке. Не может быть таковым множество,
состоящее из одной-единственной точки, так как тогда на плоскости имелись
бы прямые, не проходящие через эту точку. Если же наше множество, кроме
точки рх, содержало бы еще другую точку р2, то прямая, проходящая через
р1 и рг, имела бы по меньшей мере две разные точки {рх и р?, общие с нашим
множеством.
В то же время с помощью аксиомы выбора можно доказать, что для
любого натурального числа я>1 существует на плоскости множество, ко-
которое каждая прямая на плоскости пересекает точно в я точках.
Мы легко, без ссылки на аксиому выбора, можем указать множество
точек на плоскости, которое каждая прямая на этой плоскости пересе-
пересекает в счетном количестве точек. Таковым является, например, множество,
образованное всеми концентрическими окружностями с натуральными ра-
радиусами.
Рассмотрим теперь все множества точек на прямой, не симметричные
относительно некоторой точки О, выбранной на этой прямой. Разобьем
все эти множества на пары, зачисляя в одну пару два множества, симмет-
симметричные друг другу относительно точки О. Из аксиомы выбора следует, что
существует семейство множеств, которому принадлежит по одному и только
одному множеству из каждой такой пары. Однако мы не можем определить
такое множество. Мы не сможем, следовательно, здесь выбрать по одному
множеству из каждой пары наших множеств.
Приведем здесь еще одно интересное применение аксиомы выбора, най-
найденное около сорока лет тому назад польскими математиками. Допустим,
что мы имеем дело с множествами точек на прямой, на плоскости или в трех-
трехмерном пространстве. Мы знаем из элементарной геометрии, что такое кон-
конгруэнтные (т. е. совпадающие при переносе, повороте или симметричном
отражении) геометрические фигуры (или вообще произвольные множества
точек). Если каждое из двух наших множеств А и В является суммой одного
и того же конечного числа попарно непересекающихся множеств, например
A=Al\)A2\)... \}Am, B=B1UB2U — \)Вт> где Аг конгруэнтно Blt A 2 кон-
конгруэнтно В2и т. д., наконец, Ат конгруэнтно Bm,to говорят, что множества
А и В конгруэнтны при конечном разбиении.
В 1924 г. Стефан Банах и Альфред Т а р с к и й вывели из аксио-
аксиомы выбора удивительное следствие, что любые два ограниченных тела, хотя
бы и разного объема (например, два куба разной величины), конгруэнтны
при конечном разбиении. Позднее было доказано (тоже с помощью аксиомы
выбора), что любой шар К является суммой пяти непересекающихся мно-
23

жеств, из которых после соответствующих переносов и поворотов мы получаем
два непересекающихся шара, каждый из которых конгруэнтен шару К-
К сожалению, доказательство этого парадоксального утверждения
является так называемым чистым доказательством существования (основан-
(основанным на аксиоме выбора) н не дает возможности практического получения из
одного шара двух шаров такого же, что и он, объема.
Заметим здесь еще, что Банах и Тарский доказали, что для круга по-
подобный парадокс не имеет места. В то же время мы не знаем, конгруэнтен
ли круг при конечном разбиении квадрату с той же площадью. В этом
смысле проблема «квадратуры круга» еще не решена.
16. Алгебра множеств
Особый раздел общей теории множеств представляет собой так назы-
называемая алгебра множеств, которая занимается разными операциями над
множествами с произвольными элементами. О сумме двух или более мно-
множеств мы уже говорили выше. Если из множества А удалить те его элементы,
которые принадлежат множеству В, мы получим новое множество, называе-
называемое разностью множеств А и В и обозначаемое через А—В1. Множество же
всех элементов, принадлежащих одновременно как множеству А, так н
множеству В, называют пересечением (или общей частью) множеств А а В
и обозначают через А П В2. Для произвольных множеств А и В существует
также понятие возведения в степень, но его определение более сложно. Оп-
Определены также действия над произвольным, конечным или бесконечным
числом множеств. Некоторые свойства действий над множествами отличаются
от свойств действий над числами.
Например, множество А—(В—С) может не быть равно множеству
(А—В) и С, а множество (А [} В)—С может не быть равно множеству
A U (В—С). В то же время для любых множеств А, В а С имеем А [) В=
=(А— В)и (В—Л)и(ЛпВ), так же как A (\(B[}Q=(A(\ В}\){А(\С) и
(А и В)n(AUС)=»А\}(ВПС).
17. Упорядоченные множества
Имеются и другие разделы теории множеств, например теория упоря-
упорядоченных множеств. Множество 0 называют упорядоченным, если для
любых двух различных его элементов установлено правило, по которому
один из этих элементов считают предшествующим другому; для обозначения
1 Распространено также обозначение А\В.— Прим. ред.
е Илн просто А'В> или даже А В.— Прим. ред.
24

того, что а является элементом, предшествующим Ь, пишут а—>&. Кроме
того, это правило для любых элементов а, Ь н с множества U должно удов-
удовлетворять следующим двум условиям:
1) если a—>fr, то не имеет места Ь-$а (асимметричность);
2) если а-4 6 и ЪАс, то а—>с (транзитивность).
Множество всех действительных чисел, например, упорядочено по их
величине.
Не каждое множество мы можем упорядочить; мы не знаем, например,
как упорядочить множество всех множеств точек данной прямой1.
Конечное множество, состоящее из п различных элементов, может быть
упорядочено столькими способами, сколько есть перестановок из п элемен-
элементов, т. е. я! способами. Например, множество, состоящее из двух разных
элементов а и Ь, мы можем упорядочить двумя способами: а, Ъ или Ь, а.
Множество, состоящее из трех элементов а, Ь, с, мы можем упорядочить
шестью разными способами: а, Ь, с; а, с, Ь; Ь, а, с; Ь, с, а; с, а, Ь\ с, Ь, а.
18. Подобные упорядоченные множества
О двух упорядоченных множествах Ux и (/а говорят, что они подобны,
если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие, при
котором для любых двух разных элементов множества иг предшествующему
элементу множества Ult соответствует предшествующий элемент множе-
множества иг.
Легко доказать, что любые два конечных упорядоченных множества
с одним и тем же числом элементов подобны. Иначе дело обстоит для счетных
множеств- Например, множество всех натуральных чисел, упорядоченных
по их величине, не является подобным множеству всех целых чисел, упоря-
упорядоченных по их величине, так как первое из них имеет первый элемент,
т. е. предшествующий любому другому элементу этого множества (число 1),
второе же множество такого элемента не имеет.
Счетное множество иг, ма, м3 кроме упорядочения по порядку ин-
индексов, можно упорядочить, например, так:
. . . , м8, м2, %;
^n+i. «п+2. мп+з> • • •> «*• «2» • • • "л (при л=1,2...);
"i. «з. иь, . . . , м3, uit щ, . . . ;
«и «а» «5. ....... , й8» «i. «а-
1 Речь здесь идет, конечно, именно об уменнн задать конкретный закон
упорядочения; что же касается принципиальной возможности упорядоче-
упорядочения, то любое множество можно {хотя, вообще говоря, и неэффективно) упоря-
упорядочить — и даже вполне упорядочить (см. ниже, § 21 н подстрочное примечание на
стр. 27).— Прим. ред.
25

Никакие два из этих упорядочений не являются подобными.
Можно доказать, что счетное множество можно упорядочить бесчислен-
бесчисленно многими способами, никакие два из которых не являются подобными.
Доказательства некоторых, казалось бы, простых теорем об упорядочен-
упорядоченных множествах трудны. Так обстоит дело, например, со следующими дву-
двумя теоремами:
Любое упорядоченное счетное множество подобно некоторой своей пра-
правильной части.
Существует упорядоченное несчетное множество, которое не является
подобным ни одной своей правильной части.
Можно доказать, что любое упорядоченное счетное множество подобно
некоторому множеству рациональных чисел, упорядоченному по их вели-
величине.
19. Плотные упорядоченные множества. Сечения. Щели
Упорядоченное множество U называют плотным, если между любыми
двумя его элементами имеется по меньшей мере еще один элемент множе-
множества U. Нетрудно заметить, что в этом случае между любыми двумя элемен-
элементами множества U имеется бесконечно много промежуточных элементов это-
этого множества. Например, множества всех рациональных чисел и всех
действительных чисел, упорядоченные по величине, являются плотными.
Элемент упорядоченного множества U называют его последним элемен-
элементом, если он не предшествует ни одному элементу множества V.
Можно доказать, что два плотных упорядоченных счетных множества,
не имеющие ни первого, ни последнего элемента, являются подобными.
Сечением упорядоченного множества U называют любое разбиение всех
элементов этого множества на два класса А нВ, непустые и такие, что любой
элемент класса А предшествует любому элементу класса В. Такое разбиение
обозначают через [А, В].
Если в данном сечении [А, В J класс А имеет последний элемент, а
класс В в то же время имеет первый элемент, то говорят, что в сечении имеет
место скачок (разрыв). Так, например, множество всех целых чисел, упоря-
упорядоченное по их величине, имеет скачок в любом сечении. Нетрудно понять,
что для того, чтобы упорядоченное множество было плотным, необходимо
и достаточно, чтобы ни в одном его сечении не было скачка.
Если в сечении [А, В ] класс А не имеет последнего элемента, а класс В
не имеет первого элемента, то говорят, что в сечении имеется щель. Так,
например, в множестве всех рациональных чисел, отличных от нуля, сечение,
в котором к классу А мы отнесем все отрицательные числа, а к классу В —
положительные, образует щель. Можно также доказать, что сечение множе-
множества всех рациональных положительных чисел (упорядоченных по их вели-
26

чине), в котором к классу А мы причислим все рациональные положительные
числа w, для которых tc2<2, а к классу В — все остальные рациональные
положительные числа, образует щель.
Упорядоченное множество, не имеющее ни скачков, ни щелей, называют
непрерывным.
20. Заполнение щелей
Если данное упорядоченное множество U имеет щели, то их можно
заполнить, добавляя к множеству U новые элементы следующим образом.
Каждому сечению [А, В], образующему щель, мы ставим в соответствие но-
новый элемент (не принадлежащий U), который мы считаем самым последним
из всех элементов класса А и предшествующим всем элементам класса В.
Из Двух таких присоединенных элементов, соответствующих, например,
сечениям [А, В] и [Аъ В1], мы считаем первый предшествующим или по-
последующим второму в зависимости от того, является ли класс Л подмноже-
подмножеством (собственным) класса А1 или же наоборот.
Можно показать, что, прибавляя эти новые элементы к множеству V,
мы получим новое упорядоченное множество V, уже не имеющее щелей.
Применение этого метода для заполнения щелей в множестве всех ра-
рациональных чисел соответствует теории иррациональных чисел Д е д е-
к и н д а.
21. Вполне упорядоченные множества
Упорядоченное множество называют вполне упорядоченным, если
в каждом его непустом подмножестве имеется элемент, предшествующий
всем другим элементам этого подмножества.
Множество всех натуральных чисел является вполне упорядочен-
упорядоченным по их величине, а множество всех рациональных чисел не является
вполне упорядоченным по их величине. Не может быть вполне упорядо-
упорядочено множество всех точек прямой1. С помощью аксиомы выбора можно
доказать, что любое множество равномощно некоторому вполне упорядочен-
упорядоченному множеству.
1 Если под упорядочением понимать явное задание упорядочивающего,
правила. С помощью аксиомы выбора Ц е р м е л о A904 и 1908) доказал, что любое
множество может быть вполне упорядочено (см. примечание
на стр. 21). Теорема Цермело, однако, является чистой теоремой сущест-
существования (из нее нельзя извлечь никакого явного описания закона упорядочения),
н именно ее доказательства положили начало дискуссии, связанной с аксиомой
выбора.
Обсуждение этих вопросов в данном месте книги не входит в задачу автора, из-за
чего в следующей фразе он и дает значительно более осторожную и слабую формули-
формулировку теоремы о вполне упорядочении.— Прим. ред.
27

22. Принцип трансфинитной индукции
Вполне упорядоченные множества обладают следующим важным свой-
свойством, называемым принципом трансфннитной индукции:
Если какое-либо утверждение Т
1) справедливо для первого элемента вполне упорядоченного множе-
множества D,
2) справедливо для элемента а множества Z), если оно справедливо для
любого его элемента х-*>а,
то утверждение Т справедливо для любого элемента множества D.
Действительно, допустим, что для некоторого утверждения Т выпол-
выполнены условия 1) и 2), но существуют элементы множества D, для которых
утверждение Т не справедливо, и пусть N обозначает множество всех таких
элементов, N является, следовательно, непустым подмножеством вполне упб-
рядоченного множества D и имеет поэтому первый элемент а. Из определения
множества N вытекает, что утверждение Т должно быть справедливо для
любого элемента х множества D такого, что x-ia. Но тогда, в силу условия
2), утверждение Т должно было бы быть справедливо и для элемента а, что
невозможно, так как а принадлежит множеству N. Допущение, что принцип
трансфинитной индукции не имеет силы для какого-то вполне упорядочен-
упорядоченного множества, приводит, следовательно, к противоречию. Тем самым мы
доказали этот принцип.
23. Принцип математической индукции
Можно доказать, что если для данного упорядоченного множества спра-
справедлив принцип трансфинитной индукции, то это множество должно быть
вполне упорядоченным.
Что же касается принципа обычной математической индукции, то легко
доказать, что он равносилен утверждению Г„, что множество всех натураль-
натуральных чисел, упорядоченное по их величине, является вполне упорядоченным.
Действительно, допустим, что утверждение То справедливо. В этом
случае из определения вполне упорядоченного множества следует, что в
каждом непустом множестве натуральных чисел имеется наименьшее число.
Пусть теперь будет дано такое утверждение Т (в котором говорится о нату-
натуральном числе я), которое справедливо для числа я=1 и для которого из
справедливости утверждения Т для какого-либо натурального числа п выте-
вытекает его справедливость для числа п+1.
Если бы существовало натуральное число х, для которого утверждение
Т не имело бы силы, то множество Z всех таких чисел было бы непустым и
в силу утверждения То в нем имелось бы наименьшее число т. Это число т
было бы натуральным числом, для которого утверждение Т не имело бы
28

силы, и из условия относительно утверждения Т (что оно справедливо для
числа 1) следовало бы, что /га>1. Утверждение Т было бы, следовательно,
справедливо для натурального числа п=т—1, что, по смыслу условия,
принятого для утверждения Т, влечет за собой его справедливость для числа
n+1—tn, что противоречит предположению. Утверждение Т должно быть,
следовательно, справедливо для любого натурального числа. Мы доказали
таким образом, что из утверждения То вытекает принцип математической
индукции.
Допустим теперь справедливость принципа математической индукции.
Пусть Z есть некоторое произвольное непустое множество натуральных чи-
чисел. Допустим, что в множестве Z нет наименьшего числа. Очевидно, что в
таком случае число 1 не принадлежит множеству Z.
Обозначим через Т утверждение (в котором говорится о натуральном
числе п)\ «Ни одно натуральное число, меньшее или равное п, не принад-
принадлежит множеству Z». Утверждение Т очевидным образом справедливо для
числа п—\. Если утверждение Т справедливо для натурального числа л,
то оно имеет силу и для числа п+1, так как в противном случае число л+1
было бы, как легко видеть, наименьшим числом множества Z, что противоре-
противоречит предположению о том, что множество не имеет наименьшего числа.
Следовательно, на основании принципа индукции утверждение Т
справедливо для любого натурального числа п. Но в таком случае из утвер-
утверждения Т вытекает, что множество Z является пустым, что противоречит
предположению.
Итак, допущение, что существует непустое множество натуральных
чисел, не содержащее наименьшего числа, приводит к противоречию. Мы
доказали, таким образом, что из принципа математической индукции выте-
вытекает, что множество всех натуральных чисел, упорядоченное по их величи-
величине, является вполне упорядоченным.
Тем самым мы доказали, что утверждение Тв равносильно принципу
математической индукции.
24. Функции1
Пусть X и У — два каких-либо данных множества. Если каждому
элементу х множества X соответствует определенный элемент у множества
Y, то говорят, что в множестве X определена функция, значениями которой
являются элементы множества Y (впрочем, не обязательно все). Таким обра-
образом мы получаем самое общее понятие (однозначной) функции. Элемент у
множества Y, соответствующий данному элементу х множества X, обозна-
1 Следующий далее (до § 25) текст выделен в отдельный параграф при переводе.—
Прим. мрев.
29

чают через f(x). Множество всех элементов y=f(x), соответствующих эле-
элементам х множества X, обозначают через /(X) и называют отображением
множества X на множество Y (или соответственно на часть множества у),
или образом множества X. Если Ххс X, то через f(Xt) обозначают множество
всех элементов y=f(x), где х — элемент множества Хг. Легко доказать,
что если ХхС X и Х2с Х,то всегда f(Xx \J Х^=^Хг) (J /(Х2) и аналогично для
произвольного конечного или бесконечного числа слагаемых, и что всегда
f(X1f] X^cfiXx) fi/(X2), но не обязательно имеет место f(X1(] Х^ =
=f(X1)(]f(X2). Например, если X является множеством чисел 1, 2, 3, а
функция }{х) определена условиями /A)=/C)=1, /B)=2 и если Х1 является
множеством чисел 1 и 2, а Х2— множеством чисел 2 и 3, то, как легко про-
проверить, и f(Xt), и /(Х2), а следовательно, и /(Х^ П /(Х2) являются множества-
множествами, состоящими из чисел 1 и 2. В то же время множество f(Xx f) XJ образо-
образовано одним только числом 2, и поэтому здесь мы имеем /(XlflX2)=jfe
^/(Xi) (\f(X2). Поэтому образ суммы произвольного числа множеств всег-
всегда является суммой их образов, а образ пересечения произвольного числа
множеств всегда содержится в пересечении их образов. Однако образ пере-
пересечения двух множеств может не быть равен пересечению образов этих
множеств.
Если различным элементам множества X всегда соответствуют раз-
разные элементы множества Y, говорят, что функция /(*) разнозначна, или об-
обратима. Такая функция, очевидно, устанавливает взаимно однозначное
соответствие между элементами множеств X и /(X). Легко доказать, что если
функция f{x), определенная для элементов х множества X, является обра-
обратимой, то для произвольного числа множеств, содержащихся в X, образ их
пересечения является пересечением их образов.
25. Декартово произведение
Декартовым (или прямым) произведением множеств Хх и Х2, или
просто их произведением, называют множество всех упорядоченных пар
(х, у), первым членом (х) которых является какой-либо элемент множества
Х1У а вторым (у) — какой-либо элемент множества Хлг. Декартово произ-
произведение множеств Xj и Х2 обозначают через Х^Хз. Функция f(x), опре-
определенная для всех элементов множества X, значениями которой являются
элементы множества Y, определяет некоторую часть множества XxY,
образованную из всех пар (х, fix)), где х — какой-либо элемент множества X.
Для того чтобы данное подмножество Z множества XxY определяло какую-
то функцию элементов х множества X, значениями которой являются эле-
элементы множества Y, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента
1 Название дано в честь великого французского философа и математика XVII
века Р. Декарта, который, рассматривая плоскость как множество пар действи-
действительных чисел, положил начало аналитической геометрии.
30

х множества X в подмножестве Z существовала одна и только одна пара
(х, у), первым членом которой является элементх, а вторым — определенный
элемент множества Y.
В частности, если X=Y, то множество ХхХ называют декартовым
квадратом множества X. Исследование комплексных чисел является иссле-
исследованием декартова квадрата множества всех действительных чисел. Декар-
Декартовы квадраты играют важную роль в теории отношений.
Говорят, что между элементами данного множества X имеется опреде-
определенное отношение/?, если дано некоторое подмножество / множества ХхХ.
Говорят, что между элементами хх и х2 множества X существует отношение
/?, если упорядоченная пара (xltx2) принадлежит подмножеству / множества
ХХ. В этом случае пишут /?
26. Метрические пространства
В разных разделах математики рассматриваются различные простран-
пространства. Прежде всего, это так называемые евклидовы пространства (прямая,
плоскость, трехмерное пространство, вообще многомерные пространства),
затем — пространства бесконечно большого числа измерений (точки которых
определяются с помощью бесконечного множества координат), пространства,
элементами которых являются функции или кривые, и т. п. Чтобы не изу-
изучать каждый из этих видов пространств отдельно, создана теория метричес-
метрических пространств, т. е. всех пространств, в которых можно определить рас-
расстояние между любыми двумя их точками, удовлетворяющее некоторым
очень простым и естественным условиям.
С одной стороны, мы получаем таким путем полезное обобщение: теоре-
теоремы, доказанные для метрических пространств, справедливы для любого
частного случая таких пространств, и не нужно, следовательно, доказывать
их для каждого случая отдельно. С другой стороны, благодаря простоте
условий (так называемых аксиом расстояния) , которым удовлетворяет рас-
расстояние в метрических пространствах, теория метрических пространств-
является прекрасным примером применения аксиоматического метода. Все
теоремы этой теории можно вывести из трех чрезвычайно простых аксиом.
Метрическим пространством называют такое множество М произволь-
произвольных элементов, что каждой упорядоченной паре (а, Ь) элементов множества
М поставлено произвольным способом в соответствие неотрицательное дей-
действительное число р(с, Ь), называемое расстоянием между элементами
с и Ь, удовлетворяющее следующим трем условиям:
1) р(а, 6)=0 тогда и только тогда, когда а=Ь;
2) р(а, Ь)—р(Ь, а) для любых элементов а и Ь множества М (симметрич-
(симметричность);
3) р(а, с)<^р(а, 6)+рF, с) для любых элементов а, Ь и с множества М
(так называемая аксиома треугольника).
31

Множество Z точек метрического пространства М, обладающее тем
свойством, что для любой точки р множества Z существует положительное
число г такое, что каждая точка q пространства М, расстояние которой от
р меньше г, является элементом множества Z, называют открытым мно-
множеством этого пространства.
27. Евклидовы пространства
/и-мерным евклидовым пространством Rm, где т — данное натуральное
число, называют множество всех последовательностей из т членов
(х1г xz, ..., хт), являющихся действительными числами. Пространство/
будет метрическим, если расстояние между его точками х—(х1г лгг,
и У~(Уи Уг> — ут) определить формулой
?(х, У) = У
(доказательство того, что определенное таким образом расстояние удов-
удовлетворяет всем трем аксиомам расстояния, не представляет трудности).
Проекцией точки (х1г хг, ..., хт) пространства Rn на пространство Цт^
называют точку (хг, х2, ..., ^m_j) пространства /?m_i-
Проекцией PZ множества Z, содержащегося в пространстве 1}т, на про-
пространство /?m_| называют множество проекций на Rm-i всех точек множе-
множества Z.
Дополнением CZ множества Z по /?т называют множество /?m—Z. Исходя
из открытых множеств G, содержащихся в пространстве /?т с достаточно
большим числом измерений, получаем последовательно множества.
CG, PCG, CPCG, PCPCG, ...
(где PCG означает проекцию дополнения множества G, CPCG — дополне-
дополнение проекции дополнения множества G и т. д.).
Множества, полученные таким образом из открытых множеств попере-
попеременным применением конечного числа операций дополнения и проектиро-
проектирования, называют проективными множествами.
После того, как Лузин (в 1924 г.) ввел понятие проективных мно-
множеств, выяснилось, что все рассматривавшиеся прежде множества, даже наи-
наиболее сложные, использовавшиеся в качестве примеров различных особен-
особенностей, были проективными множествами. Лузин сумел, однако, дать при-
примеры множеств, не являющихся проективными.
28. Борелевские множества
В частности, множества типа PCPCG, где G пробегает все открытые мно-
множества пространства /?„+2, называют аналитическими множествами про-
пространства /?л. Свойства их исследованы достаточно детально. Множества,
которые являются аналитическими и дополнения которых также являются
32

аналитическими,— это не что иное, как борелевские множества (исследо-
(исследовавшиеся Э. Борелем), играющие важную роль в современном мате-
математическом анализе. (Впрочем, сам Борель определял эти множества иначе.)
Отметим здесь еще, что М. Суслинв 1916 г. первым доказал, что проек-
проекция борелевского множества может не быть борелевским множеством, и
начал исследование аналитических множеств, определенных первоначаль-
первоначально как проекции борелевских множеств.
История рождения аналитических множеств весьма интересна и поу-
поучительна.
В 1916 г. Николай Л у з и н, в то время молодой профессор Московско-
Московского университета, предложил своему ученику Михаилу Суслину изучить
работу А. Л е б е г а об аналитически представимых функциях, опубликован-
опубликованную в 1905 г. в известном французском журнал е Journal des Mat he mat igues.
В этой работе Лебег приводит, между прочим, теорему о том, что если
аналитически представимая функция обратима, то обратная ей функция
тоже является аналитически представимой. Доказательство этой теоремы
Лебег основывает на нескольких леммах и в их числе на лемме, согласно
которой проекция на прямую общей части бесконечной стягивающейся
последовательности множеств, расположенных на плоскости, является общей
частью проекций этих множеств. (Бесконечную последовательность мно-
множеств Zj, Z2,... называют стягивающейся, если каждое последующее множе-
множество этой последовательности, начиная со второго, содержится в предше-
предшествующем множестве.) Лебег не привел доказательства этой леммы, считая
ее очевидной, и того же мнения придерживались, видимо, многочисленные
читатели работы Лебега в течение 10 лет. Так вот, Суслин, проду-
продумывая эту лемму, установил, что она неверна. Обозначим через Zn множе-
множество всех точек плоскости с координатами х, у, где jc=O, 0<#<—. Множе-
Множество Z1'()Z2(]Z3 П -••> или общая часть всех множеств Zn (где я = 1, 2, ...),
а следовательно и его проекция на ось ОХ, является пустым множеством.
В то же время проекция каждого из множеств Zn (где л=1, 2, ...}, а следо-
следовательно и общая часть этих проекций, является множеством, образованным
из одной-единствениой точки @, 0). Но при я=1, 2, ..., очевидно, Zn+laZn;
следовательно, последовательность множеств Zx, Z%, ... является стягиваю-
стягивающейся, вопреки лемме Лебега.
Мне довелось быть свидетелем того, как Суслин сообщил Лузину
свое замечание и вручил ему рукопись своей первой работы. Лузин
очень серьезно отнесся к сообщению молодого студента, и подтвердил,
что тот действительно нашел ошибку в труде известного ученого. Я также
читал рукопись Суслина непосредствеино после Лузина и знаю, как Лузин
помогал своему ученику и как направлял его работу. Некоторые авторы на-
называют аналитические множества множествами суслинскими; правильнее
было бы называть их множествами Суслина—Лузина.
33

Суслин не остановился на том, что открыл ложность леммы Лебега. Он
начал исследовать, справедливы ли выводы, сделанные Лебегом из его лем-
леммы. Одним из них была теорема Лебега о том, что проекция на прямую-
плоского борелевского множества является борелевским множеством. Для
доказательства ложности этой теоремы Суслин построил плоское борелевское
множество, проекция которого на прямую не является борелевским множе-
множеством. С этой целью Суслин создал целую теорию, названную им теорией А
множеств (аналитических). Теория эта была затем упрощена и развита Лу-
Лузиным, который с ее помощью доказал, что теорема Лебега об обратимости
аналитически представимых функций все же справедлива, хотя она и была
выведена из ложной леммы.
Случай открытия Суслиным ошибки в лемме Лебега чрезвычайно по-
поучителен с разных точек зрения. Прежде всего он показывает, что и крупные
математики иногда выдвигают ошибочные утверждения. Случалось это и
с великим Ферма. В данном случае ошибка Лебега заключалась в том,
что он считал очевидным положение, которое на самом деле было ложным.
Этот вид ошибок встречается очень часто. Кто-то сказал даже, что очевидные
утверждения чаще всего ошибочны. Другой интересный факт — это то, что
ошибка Лебега оказалась полезной, так как она привела к созданию теории
аналитических множеств.
В 1917 г. Лузин начал писать большую работу об Л-множествах, которая
частично была опубликована только в 1926 г. на 95 страницах X тома поль-
польского журнала Fundamenta Mathematicae. В 1930 г. в известной серии мо-
монографий, выходящей под редакцией Э. Бореля, была издана книга Лузина
Lefons sur les ensembles analitiques et leurs applications1.
Некоторые теоремы об Л-множествах, доказанные Лузиным и мной,
были опубликованы в двух наших совместных работах, одна из которых
появилась в 1918 г. в Biuletynie Akademii Umiejetnosci в Кракове, другая —
в 1923 г. во французском Journal des Mathematiques.
29. Открытые и замкнутые множества
Мы говорили выше об открытых множествах данного метрического,
пространства М. Их дополнения до пространства М называют замкнутыми
множествами этого пространства.
Пусть множество Z есть множество точек из метрического пространства
М; точку р, принадлежащую или не принадлежащую множеству Z, называют
предельной точкой (или точкой накопления) множества Z, если любое от-
открытое множество рассматриваемого пространства, содержащее точку ру
1 В 1953 г. эта книга под названием «Лекции об аналитических множестйах и их
приложениях» была издана на русском языке (М., Гостехиздат).— Прим. ред.
34

•содержит по меньшей мере еще одну, отличную от р точку множества Z.
Так, например, если метрическим пространством М является прямая, а
множество 2 состоит из бесконечной последовательности точек ръ р2, ...
этой прямой, таких, что при «=1, 2, ... расстояние точки рп от некоторой
точки О нашей прямой равно —, то, как легко видеть, предельной точкой
множества Z будет только точка О. Напротив, если множество Z на прямой
состоит из всех точек, расстояние которых от точки О выражается рациональ-
рациональным числом, то любая точка прямой будет предельной точкой множест-
множества Z.
Из определения предельной точки множества Z немедленно вытекает,
что если точка р данного метрического пространства М является предель-
предельной точкой множества Z, заключенного в этом пространстве, то любое от-
открытое множество, содержащее точку р, содержит бесконечное число точек
множества Z. Действительно, если бы какое-то открытое множество U,
содержащее точку р, не содержало бы ни одной отличной от р точки множе-
множества Z, то точка р не была бы предельной точкой множества Z. Если же от-
открытое множество U, содержащее точку р, содержало бы только конечное,
отличное от нуля число точек множества Z, не совпадающих с р, то рас-
расстояния этих точек от точки р образовывали бы некоторую конечную после-
последовательность положительных чисел. Следовательно, существовало бы
положительное число г, меньшее любого из членов последовательности. Мно-
Множество U! всех точек рассматриваемого пространства, находящихся от точ-
точки р на расстоянии, меньшем г, было бы в этом случае открытым множеством
этого пространства, содержащим точку р, но не содержащим никакой другой
точки множества Z, вопреки условию, что р является предельной точкой
множества Z.
Докажем теперь, что для того чтобы множество Z, заключенное в
метрическом пространстве М, было замкнутым, необходимо и достаточно,
чтобы оно содержало все свои предельные точки.
Допустим, что замкнутое множество Z не содержит какой-нибудь своей
предельной точки р. Тогда точка р принадлежит дополнению Т=М—Z
множества Z до пространства М. Но из определения замкнутого множества
¦следует, что его дополнение является открытым множеством. Точка р при-
принадлежит, следовательно, открытому множеству Т, не содержащему ни од-
одной точки множества Z, вопреки предположению, что р является предель-
предельной точкой множества Z. Мы доказали, таким образом, необходимость на-
нашего условия.
Допустим теперь, что множество Z, заключенное в метрическом про-
пространстве М, содержит все свои предельные точки, и пусть Т = М—Z будет
дополнением множества Z до пространства М. Пусть q будет какой-либо
точкой множества Т. Поскольку Т = М—Z, точка q не принадлежит множе-
множеству Z и, следовательно, всоответствии с принятым относительно множества
35

Z условием не является его предельной точкой. Отсюда следует, что суще-
существует открытое множество U, содержащее точку q и не содержащее ни од-
одной точки множества Z. Следовательно, будет UczT. Следовательно, для
любой точки q множества Т существует открытое множество, содержащее
точку q и заключенное в множестве Т. Это доказывает, что множество Т
является открытым, и, следовательно, его дополнение М — Т = Z
является замкнутым множеством. Условие нашей теоремы является, следо-
следовательно, достаточным.
Множество Z точек прямой называют ограниченным, если существует
конечный отрезок, содержащий множество Z.
Аналогично, множество Z точек плоскости называют ограниченным, если
существует круг, содержащий (внутри или на окружности) все точки мно-
множества Z.
В евклидовых пространствах имеет место следующая теорема Больца-
но—Вейерштрасса:
Любое бесконечное ограниченное множество имеет по меньшей мере одну
предельную точку (содержащуюся в нем или нет).
Докажем эту теорему для множеств точек на прямой. Пусть Z — бес-
бесконечное ограниченное множество точек прямой. Существует, следователь-
следовательно, отрезок d, содержащий множество Z. Разделим отрезок d на два равных
отрезка. По крайней мере один из них будет содержать бесконечно много
точек множества Z. Пусть dt означает первый из двух наших отрезков, счи-
считая слева, который содержит бесконечно много точек множества Z. Анало-
Аналогично, выделим половину d2 отрезка dv которая содержит бесконечно много
точек множества Z, и т. д. Мы получаем таким образом бесконечную стяги-
стягивающуюся последовательность отрезков d^d^d^..., и, в соответствии
с аксиомой Асколи, существует точка р, общая всем этим отрезкам. Пока-
жем, что точка р является предельной точкой множества Z. Действительно,
пусть (а, Ь) — какой-нибудь интервал, внутри которого лежит точка р, и
пусть положительные числа г, и г% — соответственно расстояния точки р
от а и Ь. Из определения отрезков dn(n=l, 2, ...) легко выводим, что длина
j
интервала dn равна-^, где d — длина интервала d. Для достаточно боль-
больших п, очевидно, будет dn<.r1 и dn<Cr%, откуда следует, что отрезок dn
(содержащий точку р) будет лежать внутри интервала (а, Ь). Поскольку,
как мы знаем, отрезок dn содержит бесконечно много точек множества Z,
мы доказали, что внутри любого интервала, содержащего точку р,
имеется бесконечно много точек множества Z и, тем самым, что точ-
точка р является предельной точкой множества Z, что и требовалось до-
доказать.
Легко можно доказать, что множество всех предельных точек любого
данного множества является замкнутым множеством.
36

30. Производное множество и замыкание множества
Множество всех предельных точек данного множества Z называют
производным множеством множества Z и обозначают через Z'. Множество
»eZ(jZ' (образованное присоединением к множеству Z всех^го предель-
предельных точек) называют замыканием множества Z и обозначают Z. Замкнутые
множества —это, следовательно, такие множества Z, для которых Z—Z.
Легко доказать, что для любых двух множеств Zx и Z%
а также
ZjUZ^ZjUZ;, A)
что для любого множества Z
а также, что _
если множество Z пусто или имеет только один элемент, то Z=Z.
31. Топология
Топологическим пространством называют всякое множество М, любому
подмножеству Z которого поставлено произвольным способом в соответствие
некоторое подмножество Z множества М, такое, что для любых подмно-
подмножеств ZyZ^Zz множества М были выполнены условия A), B) и (ЗI.
Метрическое пространство М становится топологическим простран-
пространством, если замыкание Z множества Z, являющегося подмножеством мно-
множества М, определить как множество всех точек р множества М, облада-
обладающих тем свойством, что для любого положительного числа г существует по
меньшей мере одна точка q множества Z (не обязательно отличная от
р), расстояние которой от р меньше г.
Несмотря на свою общность, понятие метрического пространства
нашло много применений в математическом анализе.
Перейдем теперь к топология. Это раздел геометрии, изучающий свойст-
свойства формы и взаимного расположения фигур. Это наука о таких свойствах
геометрических объектов, которые не исчезают при взаимно однозначных и
непрерывных в обе стороны преобразованиях этих объектов, т. е. свойствах,
которые не исчезнут при произвольном изгибе и растяжении или сжатии
фигуры без разрывов и склеиваний в каком-либо месте. В частности, тополо-
1 В современной литературе, как правило, исходят нз других (эквивалентных
данному) определений понятия топологического пространства, чаще всего основан-
основанных на понятии окрестности (открытого множества). См., например, указанную в под-
подстрочном примечании на стр. 41 статью В. Г. Болтянского и В. А. Ефремо-
Ефремович а.— Прим. ред.
37

гия занимается понятием линии, поверхности, измерения; к топологии от-
относится также теория узлов.
Топология как самостоятельная наука появилась в начале XX века,
но некоторые ее вопросы интересовали уже Лейбница (который назы-
называл ее Analysis Situs), а затем Эйлера. Эйлеру приписывают теорему
Декарта о выпуклых многогранниках: число граней-Ьчисло вершин ^чис-
^число ребер +2 1.
Эйлер занимался также проблемой семи мостов в Кенигсберге на
реке Преголя (см. рис. 4), по каждому из которых нужно было последова-
последовательно пройти, не вступая ни на один из них дважды. Эйлер показал, что
решение этой задачи невозможно и привел необходимое и достаточное ус-
условие для того, чтобы можно было
последовательно пройти по всем от-
отрезкам линии, состоящей из конеч-
конечного числа дуг, соединяющих ко-
конечное число данных точек, не
проходя ни по одной дуге дважды2.
32. Односторонние поверхности
В
Рис. 4
Во второй половине XIX века
И. Б. Л и с т и н г и А. Ф. М ё-
б и у с открыли существование
односторонних поверхностей.
Возьмем прямоугольный листок бумаги, основание AD которого зна-
значительно (скажем, в 8 раз) длиннее его высоты АВ (рис. 5). Перекрутим
теперь этот бумажный прямоугольник и склеим его короткие стороны так,
чтобы точка С совпала с точкой Л, а точка D —с точкой В. Полученную таким
образом поверхность называют листом Мёбиуса (рис. 6). Край этого «листа»
образует одну непрерывную линию. С любой точки листа муравей мог бы
попасть в любую другую его точку, не пересекая край. Если с какого-либо
места начать красить лист, например, в зеленый цвет, то весь лист будет
окрашен в этот цвет полностью, и не будет другой стороны, которую мож-
можно было бы окрасить в другой цвет. Эта поверхность имеет, следовательно,
только одну сторону, а не две, как например поверхность полусферы, где
мы можем одну сторону, например внутреннюю, окрасить в зеленый цвет,
1 О приоритете Декарта см.: F г ё с h e t M., Fan К у. Introduction a la Topolo-
gie Combinatoire, I, Paris, 1946, стр. 25, и книги, цитируемые там же в сноске 1.
2 См.: S t e i п h a u s H. Kalejdoskop matematyczny, Warszawa, PZWS, 1954,
256—259. [В русском переводе, сделанном с первого польского издания (Г. Ш т е й и-
г а у з, Математический калейдоскоп, Гостехиздат, М.—Л., 1949), изложение более
краткое: стр. 120—121.— Перев.]
38

а другую, наружную — в красный, таким образом, что две разные краски
встретятся только на краю поверхности.
Разрежем теперь нашу ленту по средней линии, параллельной ее краям.
Мы получим в этом случае двустороннюю замкнутую поверхность, но пере-
перекрученную. Если бы мы полученную поверхность разрезали еще раз по
ее средней линии, параллельной краям, мы получили бы две замкнутые дву-
двусторонние поверхности, но переплетенные так, что их нельзя отодвинуть
одну от другой на произвольное расстояние. Если же разрезать лист Мё-
Мёбиуса вдоль линии, параллельной его краю и отстоящей от него на одну
треть ширины ленты1, то мы получим лист Мёбиуса (в три раза более узкий)
В
Рис. 5 Рис. 6
и замкнутую двустороннюю перекрученную поверхность (аналогично той,
что в первом случае), причем эти поверхности, подобно звеньям цепи,
нельзя будет, не разрывая, раздвинуть на произвольное расстояние
Советуем читателю самому соорудить эти простые фигуры из бумаги и
на собственном опыте убедиться, как это все происходит.
33. Проблема четырех красок
Примерно в середине XIX века был поставлен вопрос, до сих пор не
решенный, достаточно ли четырех разных красок, чтобы раскрасить произ-
произвольную карту, изображающую разные страны, таким образом, чтобы две
страны, имеющие общую границу, были всегда окрашены в разные цвета.
Это так называемая проблема четырех красок. Доказано, что трех красок
недостаточно, пяти красок хватит всегда, а четырех достаточно, если число
стран меньше 382.
1 Или на любом другом расстоянии от края, не равном половине ширины лен-
ленты.—Прим.. ред.
2 Более подробно с этим вопросом можно ознакомиться по книге Е. Б. Д ы н
кина и В. А. Успенского Математические беседы, Гостехиздат, М.— Л.
1952, раздел I, стр 11—47.
39

В качестве примера утверждения из области топологии часто приводят
утверждение, что на человеке, одетом в рубашку и имеющем связанные
руки, рубашку можно вывернуть на левую сторону.
Другое утверждение из области топологии: изгибая кольца и соот-
соответственно их укладывая, можно образовать из них замкнутую цепь с про-
произвольно большим числом звеньев, такую, что если в ней разорвать одно
какое-либо звено, то наша цепь рассыплется на отдельные, не связанные
друг с другом звенья. Пример такой цепи, образованный из трех звеньев,
красуется на обложке журнала Matematyka. Модель такой цепи с большим
числом звеньев имеется в книге Steinhaus H. Kalejdoskop matematycz-
пу, Warszawa, PZWS, 1954, 267, рис. 289 А1.
Литература по теории множеств и топологии
В выпуске 1—2 за 1963 г. издаваемого в Жеаеве журнала L'Enseignement Mathe-
matique, являющегося официальным органом Международной комиссии по обучению
математике, помещена статья проф. Фройденталя (Н. Freadenthal)
из Утрехта «Обучение современной математике илн современное обучение математике?»
На стр. 29 автор говорят об известной пропасти, существующей между школьной и
современной математикой. 3tj явление, ужасающее многих математиков с начала те-
текущего столетия, привело в наше время к созданию множества новых программ, более
соответствующих нынешнему состоянию математики.
В Cahiers Pedagogique от 14 ноября 1955 г. проф. Д ь е д о и и е (J. A. D i е-
d о n n ё) писал: ,,а T'heure actuelle les mathematiques enseignees dans nos lycces cor-
correspondent a peu pres a ce qu'on savait en 1640.
Из источников, по которым можно бы более подробно ознакомиться с теорией
множеств и топологией, назовем следующие: Sierpinski Waclaw, Wstep do teorii
mnogo&cii topologii, изд. II, дополненное, Варшава, 1947, 1—136. Эта книга переве-
переведена на английский язык и издана в Индии под названием: Introduction to the theory
of sets and topology, The Indian Press, Allahabad, 1—154.
П. С. Александров, В. А. Ефремович, Очерк основных понятий то-
топологии, Гостехиздат, М.—Л., 1936.
Более обширным является труд: Kuratowski Kazimierz, Wstgp do teorii
mnogo§d i topologii, нзд. И, исправленное, выпущенный в серии „Biblioteka Mate-
maty czna", t. 9, PWN, Warszawa, 1—254.
Алгебре множеств я посвятил книгу яа французском языке: Sierpinski
Waclaw. Algebre des ensembles, в серии „Monografie Matematyczne", t. XXIII, War-
Warszawa — Wroclaw, 1951, 1—205.
Трансфйнитиым числам посвящена моя книга на французском языке: Legon$ sur
les nombres transfinis, Gauthier-Viliars, Paris, 1950, 1—240, а также моя книга на анг-
английском языке: Cardinal and orginal numbers, „Monografie Matematyczne", t. XXXIV,
PWN, Warszawa, 1958, 1—487.
Общей топологии я посвятил книгу на английском языке, изданную в Канаде:
General Topology, University of Toronto Press, Toronto, 1952, I—XII, 1—290.
1 В русском переводе (см. примечание* иа стр. 38) имеется (на стр. 125) только
изображение цепи нз трех звеньев.— Прим. перев.
"- «В настоящее время математика, преподаваемая в наших лицеях, соответству-
соответствует приблизительно уровню знаний 1640 г.».— Прим. перев.
40

В 1954. г. в Варшаве был издан курс моих лекций о метрических пространствах,
читанный в Варшавском университете, под незнанием Przestrzenie metrус tie B05 стр.).
Теории множеств и ее приложениям к другим разделам математики посвящен из-
издаваемый с 1920 г. в Варшаве международный журнал Fundamenta Mathematicae.
Как пишет проф. Куратовский в предисловии к упомянутой выше его книге, журнал
этот вскоре стал ие только важным фактором развития теории множеств и родственных
разделен математики в Польше, но также и одним яз основных — в международном
масштабе — органов, сосредоточивающих научное творчество в этой области.
Веской 1963 г. нышел из печати пятидесятый том Fundamenta Mathematicae.
В связи с этим проф. Куратовский, теперешний редактор этого издания, опубликовал
в Кв 2D4) за 1963 г. журнала Nauka Polska (стр. 28—34) статью «Пятьдесят томов
Fundamenta MathetnaUcae. Воспоминания и замечания».
В 50-тн томах этого журнала опубликовано 1496 работ 414 авторов, в основном
заграничных, среди, которых много самых выдающихся современных ученых. В настоя-
настоящее время вышел уже том 52 Fundamenta Mathematicae 1.
1 На русском языке для более глубокого ознакомления с теорией множеств могут
быть рекомендованы следующие книги:
Ф. Хаусдорф, Теория множеств, Гостехнздат, М.>— Л., 1937.
П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств н функций, Гос-
Гостехнздат, М-— Л-, 1948.
П. С. Александровы А. Н. Колмогоров, Введение в теорию функ-
функций действительного переменного, Гостехиздат, М.— Л., 1938.
Н. Н. Л у з и н, Теория функций Действительного переменного, Учпедгиз, М.,
1948.
И. П. Натансон, Теория функцяй вещественного переменного, Гостехиз-
Гостехиздат, М.— Л., 1950 (изд. 2, 1957).
Для более глубокого ознакомления с топологией, кроме упомянутой выше кни-
книги П. С. Александрова н В. А. Ефремовича, можно рекомендовать «Очерк
основных идей топологии» В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича, на-
напечатанный в сборниках «Математическое просвещение», выпуски 2 — 5, Гостехнздат
(Фиэматгнз), 1957—1960.
Из более популярных изложений (могущих в первую очередь заинтересовать чи-
читателя) отметим следующие:
1. К. Гр е л л н и г, Теория множеств (пер. с немецкого),ОНТИ, М.—Л., 1935
(ныне — библиографическая редкость).
2. Г. Радемахер и О. Теплиц, Числа и фигуры (пер. с немецкого);
2-е изд. Гостехнздат, 1938; 3-е нзд. Физматгнз» М., 1952; 4-е изд. «Наука», М., 1966
(готонится s печати).
3. Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика? (пер. с английского)
Гостехнздат, М.—Л., 1947; нзд. 2., «Просвещение», М., 1966 (готовится к печати).
4. А. С. Пархоменко, Что такое линия? Гостехнздат, М.—Л., 1954.
5. «Математика, ее предмет, методы и значение (сборник)», т. 3, нзд. АН СССР.
М., 1956.
6. Н. Я. В и л е н к н н, Рассказы о множествах, нзд. «Наука»,М., 1965.—Прим.
мрев.

ГЛАВА II
О КОНГРУЭНТНОСТИ МНОЖЕСТВ. КОНГРУЭНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ
ПРИ КОНЕЧНОМ РАЗБИЕНИИ 1
1. Конгруэнтность множеств
Конгруэнтность геометрических фигур хорошо известна из элементар-
элементарной геометрии. Две геометрические фигуры, т. е. два множества точек,
лежащих на прямой, на плоскости или в пространстве, конгруэнтны между
собой, если они могут быть получены одно нз другого путем переноса, по-
поворота или зеркального отражения. Чтобы показать, что два множества А
и В конгруэнтны, пишут А^В. Необходимым и достаточным условием
конгруэнтности множеств А и В является существование между их точками
взаимно однозначного соответствия, сохра-
сохраняющего расстояния, т. е. такого, что если аг и а2 являются
двумя произвольными точками множества А, а Ьх и Ь2 — соответствующими
им точками множества В, то расстояние между точками аг и а2 равно рас-
расстоянию между точками Ьг и 62.
Преобразования множеств, сохраняющие расстояния, называют изо-
изометрическими. Вместо того, чтобы говорить конгруэнтные множества, мож-
можно сказать изометрические множества. Понятие изометрии может приме-
применяться не только к множествам точек в пространстве, одного или многих
измерений, но и вообще к множествам в так называемых метрических про-
пространствах, для которых определено расстояние между двумя любыми их
точками. Существуют множества точек даже на прямой, конгруэнтныенеко-
1 См. ннже, примечание2 к стр. 48. — Прим. ред.
42

торому своему собственному подмножеству (т. е. подмножеству, не совпадаю-
совпадающему со всем множеством). Таким множеством является, например, множе-
множество всех точек полупрямой.
Множество точек называют мономорфным, если оно не конгруэнтно
ни одному своему собственному подмножеству Множество точек называют
ограниченным, если существует число, большее, чем расстояние между
любыми Двумя точками этого множества. Докажем, что имеет место
Теорема 1. Каждое ограниченное множество точек прямой мономорфно.
Доказательство. На прямой зеркальное отражение какого-
либо множества относительно данной точки (как центра симметрии) совпа-
совпадает с поворотом этого множества на 180° около той же точки Покажем
сперва, что при повороте прямой на 180° вокруг какой-нибудь ее точки ни
одно множество точек не может отобразиться в свое собственное подмножество.
Допустим, что при таком повороте множество Е точек прямой отображается
в свое собственное подмножество Я. Пусть х — произвольная точка множе-
множества Е. При повороте она, следовательно, отображается в некоторую точ-
точку х' множества Я. Очевидно также, что при этом повороте точка я' (которая
принадлежит Н, а следовательно, и Е) отображается в точку х. Отсюда сле-
следует, что каждая точка множества Е принадлежит Я. а это противоречит
предположению о том, что Я является собственным подмножест-
подмножеством Е.
Обозначим теперь для произвольного множества Е точек прямой и для
произвольного данного Действительного числа а через Е[а) сдвиг множест-
множества ? на Длину а вдоль нашей прямой. Е(а) является, таким образом, множест-
множеством всех действительных чисел х+а, где х — точка множества Е. Очевидно,
что если Н=Е(а), то Я(—а)— Е, и что для каждого действительного числа Ь
Н(Ь)=Е(а+Ь).
Допустим, что множество Я точек прямой ограничено.Тогда существует
положительное (конечное) число d такое, что для любой пары х и х' точек
множества Е расстояние между х и х' меньше d. Если при сдвиге на длину
афО множество Е отображается на свою часть, или Е(а)сЕ (выражение
А с: В означает, что множество А является частью множества В), то мы имеем
также ?B a)czE(a) сЕ и, вообще, Е(па)сЕ при я = 1, 2, 3, ... Если х^
есть точка множества Е, то для любого натурального числа п хо+па яв-
является точкой множества Е(па) и, следовательно, также точкой множества Е
Поскольку расстояние между точками х0 и хо+па равно па, то абсолютна»
величина числа па должна быть <[d при п=1, 2, 3, что при афО невоз-
невозможно. Следовательно ограниченное множество точек прямой ни при
каком сдвиге (на длину, отличную от нуля) не может отобразиться на свою
правильную часть.
Теорема I доказана. Отметим, что для ограниченных множеств точек
на плоскости аналогичное утверждение не имеет места. Для этого случая
справедлива
43

Теорема 2. Существует ограниченное множество точек на плоскости,
конгруэнтное некоторой своей правильной части.
Доказательство. Пусть а обозначает какой-либо угол, несоиз-
несоизмеримый с прямым углом. Возьмем произвольный отрезок прямой и повер-
повернем его вокруг одного конца на угол а в данном направлении. Будем затем
поворачивать этот отрезок в том же направлении иа углы 2а, За, 4а и т. д.
Мы получим таким образом бесконечную последовательность отрезков OAlt
ОА%, ОА3, ... с общей точкой О. Если удалить точку О, то множество наших
отрезков будет ограниченным множеством точек плоскости, конгруэнтным
(при повороте на угол а) своей правильной части, а именно множество всех
точек отрезков ОА1г ОА%, ОА3, ... без точки О конгруэнтно множеству всех
точек отрезков ОЛа, ОА3, ... (также без точки О).
Отметим» что два множества, каждое из которых конгруэнтно части
другого, могут быть не конгруэнтны между собой. Пусть, например, А
есть множество всех точек прямой с неотрицательными абсциссами, а В —
множество, которое мы получим из А, добавив к нему точку с абсциссой —1.
Множество А есть часть множества В, а множество В при сдвиге вдоль пря*
мой на длину 1 конгруэнтно части множества А. Однако множества А Я В
не конгруэнтны между собой, так как для любой точки р множества А
существует другая точка этого множества, расстояние которой от точки р
меньше -к-, точка же множества В с абсциссой —1 таким свойством ие об-
обладает.
В связи с теоремой 1 отметим, что существуют множества (конечно, не-
неограниченные) точек прямой, которые конгруэнтны множеству, образуемому
из них удалением некоторой единственной точки. Таким является, например,
множество всех точек прямой с абсциссами, равными натуральным числам,
которое конгруэнтно множеству, образованному из него удалением точки с
абсциссой 1.
Имеет место
Теорема 3. Всякое множество Z точек прямой имеет не более одной
точки р такой, что по ее удалении из множества Z получается множество,
конгруэнтное Z.
Доказател ьство. Допустим, что некоторое множество Z точек
прямой имеет две различные точки р и q, такие, что по удалении из множе-
множества Z какой-нибудь из них мы получим множество, конгруэнтное Z. Пусть
Zx-есть, множество, образованное удалением из множества Z точки р, a Z2—
множество, образованное удалением из множества Z точки ц. Допустим,
что множество Z конгруэнтно Zx при повороте прямой на 180° около неко-
некоторой ее точки, и пусть при этом повороте точка р отображается в точку р'.
Поскольку точка р принадлежит Z, точка р' будет принадлежать Zx, и тем
более, Z. Но при этом же повороте точка р', очевидно, отображается в точ-
44

ку р, а множество Z отображается в множество Zt. Точка р принадлежала бы
тогда множеству Zx, что невозможно.
Следовательно, множество Zx не может быть конгруэнтно множеству Z
при повороте, и аналогично множество Z2 не может быть конгруэнтно мно-
множеству Z при повороте. Следовательно, множества Zx и Za конгруэнтны мно-
множеству Z при сдвиге, иначе говоря, существуют действительные числа а
и Ъ такие, что Zy=Z{d), Z%^Z(b).
Так как q=fcp, то q принадлежит множеству Zx—Z{d), и поэтому ц — а
принадлежит множеству Z. Так как ZX4^Z, то а=?=О, поэтому ц — афц и,
следовательно, q -— а принадлежит множеству Z2—Z(b), откуда следует,
что q — а — b принадлежит множеству Z, а из этого, в свою очередь, что
q — Ь принадлежит множеству Z{a)—Zx и тем более множеству Z; следова-
следовательно, q принадлежит множеству Z(b)—Zt, что невозможно.
Теорема 3 таким образом доказана. Как легкое следствие из нее полу-
получается
Теорема 4. Во всяком непустом множестве Z точек пряной, существует
точка р, после удаления которой из множества Z получают множество,
не конгруэнтное Z.
Доказател ьство. Теорема 4, очевидно, справедлива для мно-
множеств, состоящих из одной только точки. Если же множество Z содержит
по меньшей мере две разные точки р п q, то, удаляя р или q из множества Z,
мы получим два множества, которые по теореме 3 не могут быть оба конгру-
конгруэнтны Z.
Возникает вопрос, сохраняют ли силу теоремы 3 н 4 для множеств то-
точек на плоскости и для множеств точек в трехмерном пространстве.
Э. Штраус (Е. Q. Straus) доказал, что теорема 3, а следовательно,
и теорема 4 справедливы для множеств точек на плоскости, но доказатель-
доказательство этого является сложным1. ЯнМыцельский (J. Mycielski)
доказал, что теоремы 3 и 4 для множеств точек трехмерного пространства
неверны2.
С. Мазуркевич (S. Mazurkiewicz)HH доказали в 1914 г.,
что существует множество Z точек на плоскости, состоящее из двух не имею-
имеющих общих точек частей, каждая из которых конгруэнтна множеству Z 3.
Можно доказать, что таким свойством не обладает никакое множество точек
на прямой.
2. Движения множеств
Совершенно очевидно, что не существует множества точек
на прямой, содержащего более одной точки и не имеющего ни одной
1 См. Fundament a Mathematical, т. 44 A957). стр. 75—79.
3 См. Fundamenta Mathematicae, т. 42 A955), стр. 1—10.
• Comptes rendus Acad. Science, Paris, т. 158, стр. 618.
45

общей точки с любым своим движением1. В то же время легко привести при-
пример бесконечного множества точек прямой, имеющего с любым своим дви-
движением не более одной общей точки. Таким является, например, множество
точек прямой с абсциссами 10я, где п—\, 2 Легко доказать, что для
того чтобы множество точек на прямой обладало этим свойством, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы расстояния между любыми двумя его точками были
все различны.
При рассмотрении движений множеств точек на прямой возникает
вопрос: сколько для данного множества Z точек прямой имеется множеств,
конгруэнтных Z при движении? Ответ на этот вопрос зависит, очевидно, от
множества Z.
Обозначим, Для данного множества Z точек прямой, через R(Z) се-
семейство всех множеств, конгруэнтных Z при движении. Если Z — множе-
множество всех точек прямой, то семейство /?(Z) состоит, очевидно, из одного толь-
только множества, которым является множество Z. Как нетрудно заметить, это
единственный случай, когда семейство /?(Z) состоит только из одного мно-
множества2. В других случаях семейство R(Z) содержит более одного множества.
Действительно, допустим, что множество Z точек прямой не является
ии пустым, ни множеством всех точек прямой. Существует в таком слу-
случае точка а, принадлежащая множеству Z, и точка Ь, не принадлежащая Z.
Очевидно, что точка Ъ принадлежит множеству Z(b — а) (так как при сдви-
сдвиге множества Z на b — а точка а переходит в точку Ь). Следовательно, мно-
множества Z и Z(b — а) различны.
Возникает вопрос, существует ли множество Z точек прямой, для ко-
которого семейство /?(Z) состояло бы из конечного числа множеств? Докажем,
что ответ на этот вопрос является отрицательным. С этой целью доказы-
доказывается сначала следующая
Лемма. Пусть п есть натуральное число, большее 1. Если для множества
Z точек прямой существует действительное число а такое, что множества
Z{ka), где 6=0, 1, ..., п — 1 A)
все различны, то существует также другое действительное число Ь такое,
что множества
Z(kb), где *=0, 1, ... п — 1, п B)
все различны.
Доказательство.Допустим что для действительного числа
а множества A) являются все различными, и пусть Ь= —. Если бы не все
множества B) были различными, существовали бы целые числа kx и /г2
такие, что
и Z(kxb)=Z(k%b). 0)
1 То есть с множеством, получающимся нз данного в результате движения (сдвн-
га, вращения или отражения).— Прим. ред.
а Не считая, разумеется, тривиального случая, когда 2 пусто.— Прим. ред.
46

Поскольку «>1 и множества A) все различны, мы имеем Z=Z@)=)t
=f=Z(a)=Z(nb). В силу C) поэтому не может быть Лх=0 и k%=n.
Из условия Q^k^k^n вытекает, следовательно, что 0<А1<Аа<я.
Очевидно, что если для действительных чисел сг и с2 Z{c1)=Z(c^, то также
2=Z(ci— сх). В соответствии с C) мы имеем, следовательно,
Z=Z((k2— kx)b)t где 0<*1<*г<л. D)
Но из равенства Z=Z(c) следует равенство Z-Z(kc) для целых к; следователь-
следовательно, равенство D) влечет за собой равенство
Z=Z(k(kz—k1)b)
для целых k, откуда, в частности, для k=n при Ь=— находим
где k% — kt — одно из чисел последовательности 1, 2, ..., п — 1, что проти-
противоречит условию, что все множества A) различны. Следовательно, множе-
множества B) должны быть все различны, и наша лемма доказана.
Пусть теперь Z означает множество точек прямой, которое не является
ни пустым, ни множеством всех точек прямой. Как мы уже знаем, семейство
R(Z) состоит из более чем одного множества, и, следовательно, существует
такое действительное число а, что Z=f=Z(a). Условие нашей леммы выпол-
выполнено, следовательно, для п=2. По индукции из нашей леммы вытекает,
следовательно, что для любого натурального числа т семейство R(Z) со-
содержит по меньшей мере т разных множеств. Семейство R(Z) не может,
следовательно, быть конечным. Таким образом, доказана
Теорема 5. Если Z есть, множество точек прямой, непустое и не содер-
содержащее всех точек прямой, то на прямой существует бесконечно много раз-
различных множеств, конгруэнтных множеству Z при сдвиге.
Возникает вопрос, существует ли множество Z, для которого семейство
R(Z) счетно, т. е. состоит из бесконечной последовательности различных мно-
множеств. Существование такого множества можно доказать с помощью аксио-
аксиомы выбора, однако мы не знаем ни одного конкретного примера такого мно-
множества. С помощью аксиомы выбора можно даже доказать, что на прямой
существуют множество Z точек и бесконечная последовательность множеств
точек Zu Z2, Z3, ..., не имеющих попарно общих точек, такие, что любое
множество точек прямой, конгруэнтное множеству Z при сдвиге, является
одним из членов этой последовательности, и наоборот1.
Легко привести пример такого множества Z точек прямой, что любой
его сдвиг или совпадает с множеством Z, или не имеет с множеством Z ни
1 Доказательство этого утверждения имеется в моей книге, изданной в Индии:
On the congruence of sets and their equivalence by finite decomposition, Lucknow Univer-
University Studies, No XX, Lucknow, 1954, стр. 18—19.
47

одной общей точки. Таким является, например, множество всех точек пря-
прямой с целыми абсциссами, а также множество всех точек прямой с рацио-
рациональными абсциссами.
Э. Чех (Е. б е с h) доказал1, что существует непустое множество Z
точек прямой, не являющееся множеством веех точек прямой, и такое, что
для любого действительиого числа а среди множеств бесконечной последова-
последовательности
Z, Z(a), ZBa), Z(Za), ...
имеется только конечное число различных.
3. Конгруэнтность множеств при конечном разбиении
Пусть А и В будут два множества точек на прямой, на плоскости или в
трехмерном пространстве. При данном натуральном п говорят, что множества
А я В конгруэнтны при разбиении иа п частей2, и пишут A ~fi, если суще-
существуют такие множества Аг, Аг,..., Ля и Вх, Въ В„, что *
2°. ЛЙП Аг —Вк(]В,—О при
3°. АксаВк при k=\, 2, .... я.
(Выражение Z—Zl[}Zi[} ...{}Zn означает, что множество Z состоит из
тех и только тех точек, которые принадлежат хотя бы одному из множеств
Zlt Z2, ..., Zn, а выражение Р(\ Q=0 показывает, что множества Р к Q
не имеют ни одной общей точки.)
Если для данных множеств Л и В существует такое натуральное число
я, что А=В, то говорят, что множества А и В конгруэнтны при конечном
я
s
разбиении2, н пишут А=В.
Выражение А—В равносильно выражению А<=&В.
Займемся сперва конгруэнтностью множеств при разбиении на две
части.
Понятие конгруэнтности геометрических фигур при разбиении на две
или более частей хорошо известно из элементарной геометрии и именуется
там равносоставленностью. Имеется, однако, существенная разница между
определением равносоставленности в элементарной геометрии и приведенным
1 См, книгу, упомянутую н предыдущем примечании (стр. 19—20).
2 Буквально «конгруэнтны (или даже равносоставлены) посредством ко-
конечного разбиения (илн разбиения на п частей); выбор термина при переводе продик-
продиктован лишь соображениями кратности в удобства.— Прим.. ред.
48

нами выше определением конгруэнтности множеств при конечном раз-
разбиении.
Например, из элементарной геометрии хорошо известно, что прямо-
прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (рис. 7) можно разбить его вы-
высотой BD на два треугольника, из которых можно получить квадрат (пово-
(поворотом треугольника BDC на 270° вокруг точки В). Это, однако, не доказы-
доказывает, что треугольник и квадрат конгруэнты при разбиении на две части в
принятом нами смысле, ибо треугольники ABD и BDC, на которые был раз-
разбит треугольник ABC, имеют общую сторону BD.
Ъ элементарной геометрии два многоугольника (или многогранника)
считают равносоставленными, если они могут быть разложены на конечное
и одинаковое число многоугольников (или многогранников), соответственно
конгруэнтных друг другу и не имеющих общих внутренних точек. В на-
нашем же значении два множества _
конгруэнтны при конечном раз- 2. с. _д
биении, если их можно разложить
на одно и то же конечное число
множеств, соответственно попар-
попарно конгруэнтных и не имеющих
общих точек.
Возникает, следовательно,
вопрос, конгруэнтны ли при ко-
конечном разбиении (в нашем зна-
значении) прямоугольный равнобедренный треугольник и квадрат. Ответ на
это дает
Теорема 6. Прямоугольный равнобедренный треугольник конгруэнтен
при конечном разбиении квадрату.
Доказательство этой теоремы является далеко не легким. Чтобы про-
провести его, нам понадобится предварительно следующая
Теорема 7. Если А, В и С суть множества точек на прямой, на плос-
S S S
кости или в трехмерном пространстве, такие,чтоА=В и В=С, то А=С.
я
(Другими словами, отношение = транзитивно.)
Теорема 7, как легко заметить, является непосредственным следствием
такого утверждения:
Теорема 8. Если тип — натуральные числа, а А, В и С — множества,
такие, что А—В и В=С, то А = С1
л т тп
Доказательство. Вследствие А~В имеют место разложения
я
С
Рис. 7
1См.: В а п а с h S,, T a r s k i A, Fundamenta Mitthematicae, т. 6 A924), стр. 246—
248 (теорема 3).
49

1°, отвечающие условиям 2° и 3°, а вследствие В—С существуют разложения
т
?=?iU?sU — U?m и C=C1UC,U —UC. A)
такие, что
5йП В] ~CknCt=O при 1<А:</</п B)
и
BiczC, при /=1, 2, ..., т. C)
Пусть
Bkl=Bk(\Bl' при l<ft<« и 1</</п D)
(через Р П Q обозначается множество всех точек, принадлежащих одновре-
одновременно и Р и Q).
В силу 1°, A) и D),
Bk=Bkl\}Bkt\}...\jBkm при 1<?<л E)
и
Bi^BuUBv U--U В«; при 1</</и. F)
Из D),2° и B) следует, что при k=l, 2, ..., я. ^ = 1, 2 л, /=1, 2, ..., т,
1г = \, 2, ..., т
fi«nBfa<.=0' если /е=^=/е, или 1ф1г. G)
Вследствие 3е, E), 2° и F) при &=1, 2, ..„, /г существуют разбиения
4fc=AkilMeU —iMt,, 8)
такие, что при 1</г<п, l^ft^/г, 1<'</п, 1-^/^/и
^ыПЛы,=0, когда /гфкл или /=/=ilf (9)
и
Аы ^Вы при 1<А</г, 1</<ш. A0)
Аналогично из C), F), B) и G)следует, что при i=l, 2,..., /л существуют
разбиения
С, = Си U Си U-U С,,, A1)
такие, что
Q ПСА,Л=0, когда &=?=*i или 7^=/^ A2
и
ВысхСь, при l<fe<«, 1</<от 13)
Из выражений 1°, A), (8) и A1) следует, что А является суммой всех
тп множеств Ащ, где /г— 1, 2, ..., п, /=1, 2, ..., т, а вследствие A0) и A3)
имеем Аы^Сы при А=1, 2, ..., «, /=1, 2 т.
Выражения эти с учетом (9) и A2) дают А=С, что и требовалось до-
дошл
казать.
Можно доказать, что в теореме 8 число тп нельзя заменить меньшим
числом. Действительно, если А — множество точек прямой с абсциссами
50

1, 2, ..., тп, а В — множество точек с абсциссами kmn-\-l, где k=l, 2, ...,
а, 1=1, 2 т, и если С — множество точек с абсциссами тп, 2тп, Зтп,
... (тпJ, то легко доказать, что А —В, В=С, но А=С не имеет места ни
п т k
для какого натурального числа k<.mn,
Заметим, что можно доказать, что если А= Ви где Вх — множество,
п
содержащееся в В, а В= Аг, где Аг— множество, содержащееся в А,
т
то А = В.
тп
Из теоремы 8 следует (при /л=я=2), что если А=В и В=С, трЛ=С.
2 2 4
В связи с этим возникает вопрес, для любых ли двух множеств точек на
прямой, А и С, где А =С, существует такое множество В, что А = В и В=С.
4 2 2
А, Шарма (A. Sharma) доказал, что этого может и не быть. Напри-
Например, если множество А является совокупностью точек с абсциссами 1, 2,
3 и 4, а С — множеством точек с абсциссами 1, 10, 102 и 103, то, очевидно,
А=С, но легко доказать, что не существует множества В, для которого бы-
было бы А = В и В=С.
2 2
В то же время открытым остается вопрос, существует ли для любых
двух множеств Л и С, для которых А =С, такое множество В, что А = В=С.
3 3
Открыт также вопрос о существовании для любых двух множеств А
и С, для которых А —С, такого множества В, что А= В =С. Мы не умеем
3 2 2
этого доказать даже в предположении, что множества А я С конечны.
Лемма. Квадрат К (внутренняя область вместе с периметром) конгру-
конгруэнтен при разбиении на три части мнооюестеу, образованному из этого же
квадрата К и из лежащего вне его полуинтервала1 произвольной длины, мень-
меньшей половины стороны квадрата К-
Доказател ьство. Пусть К. будет квадрат со сторонами дли-
длиной 1 и пусть О — центр этого квадрата. Из центра О проведем отрезок
прямой О А, длиной меньшей 1/а. Пусть а — некоторый угол, несоизмеримый
с прямым углом. Повернем в каком-либо направлении отрезок О А на угол а,
а затем на углы 2а, За и т. д. (ср. доказательство теоремы 2.) Мы получим
таким образом бесконечную последовательность отрезков ОАг, 0А2, О А 3, ...
с общей точкой О. Если удалить точку О, то множество всех точек наших
отрезков будет конгруэнтно (при повороте на угол а) множеству всех точек
отрезков ОАЪ ОА-Л, ... (без точки О). Это последнее множество обозначим
через Za, через 2Х обозначим множество точек отрезка ОАХ без точки О
1 То есть множества точек, образующегося удалением из отрезка одного из его
концов.— Прим.. не рев.
51

и, наконец, через 23 — множество всех точек квадрата л (внутренних и
периметра), которые останутся после исключения из него множеств Zx
и Z2. Очевидно, что K=Z1[}Z2[}Z3, причем никакие два из множеств Zlf
Z2 и Z3 не имеют общих точек. Пусть Zi=Zl\}Zt.
Пусть теперь L есть множество, состоящее из всех точек квадрата К
и из множества Zb точек некоторого отрезка ВС с точкой С, но без точки В,
расположенного вне квадрата /С и равного по длине отрезку ОАг. Тогда
L=-Zz\}Zi\}Zb, причем никакие два из множеств Zs, Z4 и Zb не имеют об-
общих точек. Очевидно, что Z2=^Z4, a Z1^Zbi. Отсюда следует, что K=L,
з
что доказывает справедливость нашей леммы.
Мы можем теперь перейти к доказательству теоремы 6.
Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (рис. 8)
с высотой ВО, равной 1, и, следовательно, с катетами, равными |^2.Как
известно, }^2 — 1 <к-. Разделим отрезок ВС в точке D на отрезок BD дли-
длиной 1 и отрезок DC длиной У 2—1. Разобьем теперь треугольник ЛВС на
пять множеств, никакие два из которых не
имеют общих точек: множество Zt — треу-
треугольник А ВО (внутренние точки вместе с
периметром), множество Za всех точек от-
отрезка ОС без точки О, множество Zs всех
точек отрезка BD без точек BhD, множест-
множество Z4 всех точек отрезка DC без точки С и
множество Zh всех внутренних точек треу-
треугольника ВОС. Пусть, далее, К. есть мно-
множество всех точек квадрата АЕВО (внут-
(внутренних и периметра), FG — отрезок, рав-
равный по длине отрезку DC, без точки F и лежащий вне квадрата
К, Ze — множество всех точек отрезка FG, за исключением точки F, L=
—К U Zg. Повернем множество Zb около точки В на 270° (против часовой
стрелки). Мы получим при этом внутреннюю область треугольника АЕВ.
Поскольку отрезок BD без точек BhD конгруэнтен отрезку ЕВ без точек
Е и В, отрезок ОС без точки О конгруэнтен отрезку ЕА без точки А, а мно-
множество Z4 конгруэнтно множеству Zs, мы можем легко заключить, что тре-
треугольник ABC (внутренние точки вместе с периметром) конгруэнтен при
разбиении на пять частей множеству L. Так как по нашей лемме множе-
множество L конгруэнтно при разбиении на три части квадрату К, мы, на осно-
основании теоремы 8, заключаем, что треугольник ABC конгруэнтен квадрату
при разбиении на 15 частей. Тем самым теорема 6 доказана.
Возникает вопрос, ответ на который пока неизвестен: каково наимень-
наименьшее натуральное число п, при котором прямоугольный равнобедренный
треугольник конгруэнтен квадрату при разбиении на п частей?
52

С. Банахи А. Тарский доказали, что необходимым и достаточ-
достаточным условием для того, чтобы два многоугольника (расположенные на
плоскости) были конгруэнтны при конечном разбиении, является равенство
их площадей1. Заметим, что доказательство необходимости этого условия
значительно труднее, чем доказательство его достаточности.
Для многогранников положение совершенно другое. По теореме Ба-
Банаха й Тарского (доказанной ими с помощью аксиомы выбора), любые два
ограниченных многогранника конгруэнтны при конечном разбиении (даже
если они имеют разные объемыJ. Из результата Банаха— Тарского,
в частности, следует, что куб конгруэнтен при конечном разбиении кубу,
который в два раза больше его по объему, а шар (внутренняя часть вместе
с поверхностью) конгруэнтен при конечном разбиении кубу3. В то же время
мы не знаем, конгруэнтен ли при конечном разбиении круг (внутренняя
область вместе с окружностью) квадрату.
Теорема 9. Отрезок прямой конгруэнтен при разбиении на три части
некоторой своей правильной части, а именно — этому оке отрежу, лишен-
лишенному одного из концов.
(Рекомендуется сравнить теорему 9 с теоремой 1.)
Доказател ьство. Пусть Z — отрезок прямой, образованный
из всех точек прямой с абсциссами >0 и <Л, и пусть а—некоторое иррацио-
иррациональное число, 0 <я< 1. Обозначая через E(f) целую часть действительного
числа t (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее f), положим при
k~0, 1, 2, ... pk=ka—E(ka). Очевидно, что все pk суть действительные
числа !>0 и <^1. Пусть Zx означает множество всех точек отрезка Z с абс-
абсциссами pk, где 0^pfe<l—«, Z2~~ множество всех точек отрезка Z с аб-
абсциссами pk, где 1— а<^р?<1, и, наконец, Zs— множество всех остальных
точек отрезка Z, не принадлежащих ни Zv ни Za. Множество Z2 является,
следовательно, суммой трех множеств Zlr Z2, Z3, никакие два из которых не
имеют общих точек.
Заметим здесь, что неравенство 1—a<CPk можно заменить на 1—z<pk>
так как в случае 1—а=рй=йа—Е(Ы) было бы (\ + Ща.=Е(Ы)+\, что
невозможно, так как из этого следовало бы, что число а рациональное, во-
вопреки условию. Множество Z2 является, следовательно, множеством всех
точек отрезка Z с абсциссами pk, где 1—a<pft<l.
Пусть теперь Z' — это множество всех точек, которое мы получим, уда-
удаляя из отрезка Z его начало, т. е. точку с абсциссой 0; 24 — множество всех
1 См. Fundamenta Mathematicae, т. 6 A924), стр. 260 (предложение 20). Ср. также
Т а г s k i А. О rownowaznosd wielokqtow PrzeglgdMatematyczno-Fizyczny, № 2 A924),
стр. 12 и 14.
2 См. там же, стр. 263, теорема 27.
* Строго говоря, последнее утверждение следует непосредственно не нз сформу-
сформулированного в предыдущей фразе предложения, а из значительно более сильного его
обобщения, упомянутого автором в гл. I, § 15 (стр. 23). — Прим. ред.
53

точек отрезка Z с абсциссами рк, где 0<pfe-<a, и Zb — множество всех точек
отрезка Z с абсциссами pk, где а^.рк<1. Множество Z' есть, очевидно, сум-
сумма трех множеств Z3, Z4 и Zb, никакие два из которых не имеют общих точек.
Для доказательства того, что Z=Z', достаточно, таким образом, доказать,
3
ЧТО Z2a:Z4 И Zxcz.Zb.
Покажем, что множество Z4 конгруэнтно множеству 22 при сдвиге на
1—а. Действительно, если точка pk принадлежитZ4, то, как мы знаем,0<р^<
<а, следовательно, &>0 и 1—a<pft+l—<х<1, откуда, вследствие 0<1—а,
получаем, что E(pk-\-\—а)=0, а поскольку
Ра+1—a=ka—E(ka)+l—a.= (k—1>—Е(кл)+1,
то E[(k—l)a]—E(ka)+l=Q, откуда р*Н-1—а-(А—1>—E[(k— 1>] =рй_т
причем, вследствие &>0, pfe>0, рА_!>1—а и точка pfe_t принадлежит мно-
множеству Z2. Следовательно, любая точка множества Z4 при сдвиге на 1—а
переходит в точку множества Za.
Если же pk принадлежит множеству Za, то 1—а<рА<1, откудаО<р^+
-г-а— 1<а<1 и Е(рк+а—1)=0,
а поскольку pft+a—1=&а—?(Аа)+а—1 —(А+1_)а—E(ka)—1,
откуда O=E[(k+l)a—E(ka)—l ]=E[(fc+l)a\—E(ka)—l,
то pk+a— l = (k+l)a+El(k+l)*\=pk+1,
причем, вследствие р?<1, мы имеем рй+1<а, что доказывает, что точка
pk+1 принадлежит множеству 24. Следовательно, любая точка множества 22
при сдвиге на а—1 переходит в точку множества 24- Таким образом, мы до-
доказали, что Z2=xZt.
Пусть теперь pk есть точка множества Zx. Тогда 0<^pfe<l—а, откуда
a^pft+a<l и E(pk+a)=Q, а поскольку pk +n= (k-\-\)n—E(kcn), то
E\(k+l)a.]=^E(ka.), откуда pk+a = (k+l)a—E{(k+l)a.]=pk+1 и а<рА+1,что
доказывает, что точка pft+1 принадлежит множеству Z5. Следовательно,
любая точка множества Zx при сдвиге на а переходит в некоторую точку мно-
множества Zs.
Пусть, наконец, pk есть точка множества Z5. Тогда ь<^рк < 1, что Дока-
Доказывает, что &>0 и 0<Ср.ь—а<1—а<1» откуда Е(рь—а.)=0 и, поскольку
рй—a=(?— l)a=?(Aa), получаем Я[(А—1)<х—?(fex)]=0, откуда Я[(А—l)a]==
=E(ka), а затем рА—<*=(&—l)a+E[(k—l)a]=pft_b откуда 0^pft_i< 1—я,
что доказывает, что точка pft_i принадлежит множеству Zx. Любая точка
множества Z5 при сдвиге на —а переходит, следовательно, в точку множест-
множества Zr Мы доказали, таким образом, что Z1^Zb.
Теорема 9 доказана. В связи с теоремой 9 отметим, что можно доказать,
что отрезок прямой не конгруэнтен при разбиении на две части никакой
своей правильной части.
Теорема 10. Множество W всех точек прямой с рациональными абсцис-
абсциссами и множество D всех точек прямой с абсциссами, являющимися конечны-
конечными десятичными дробями, не конгруэнтны при конечном разбиении.
54

Доказательство (С. Мазур). Пусть W = WtU W2[},..[} Wn
будет разбиением множества W на п множеств. По меньшей мере одно из
этих множеств содержит бесконечно много чисел вида —, где р — простое
число. Пусть это будет множество Wx. Существуют, следовательно, два
простых числа р>5 и <?>р такие, что числа — и — принадлежат множеству
Wv Поскольку разность не может быть выражена конечной десятичной
дробью, следовательно, множество Wx не может быть конгруэнтно никакой
части множества D. Отсюда следует, что соотношение W=D не может иметь
а
места.
Можно доказать, что любое бесконечное множество точек прямой, плос-
плоскости или пространства содержит бесконечное подмножество, с которым оно
не конгруэнтно при конечном разбиении.
Теорема 11. Если а и b — два произвольных действительных числа, А —
множество всех рациональных чисел, меньших а, и В — множество всех
рациональных чисел, больших Ь, то А = В.
2
Доказательство. Мы можем, очевидно, принять, что аф Ь, напри-
например, а< Ь. Пусть т — такое натуральное число, что /тг>6—а. Обозначим че-
через Q множество всех рациональных чисел w таких, что а<^т><6, и (обоз-
(обозначая через Q (с) сдвиг множества Q на с) положим
B1=QU Q(-m) U Q(—2m) и Q(— Ът) и ...
Множества этой последовательности, как легко видеть, конгруэнтны
между собой и никакие два из них не имеют общих точек. Обозначим через
?2 множество, полученное из множества В путем удаления из него всех
точек множества В1У а через Ах — множество, полученное из множества Вг
путем удаления из него всех тех точек, которые принадлежат множеству
Q. Тогда
В=Вг[)Въ, В1ПВа=О, А=А1[)В2,
А^В^О, А1=В1(-т)^В1.
Отсюда немедленно следует, что А=В, и теорема 11 доказана.
2
Из теоремы 11, в частности, следует, что если А есть множество всех
рациональных чисел, меньших ]/1^ а В — множество всех рациональных
чисел, меньшихУЖ то А=В. Заметим здесь, однако, что наши множества
2
А я В не конгруэнтны между собой. Чтобы доказать это, докажем более об-
общую теорему, которая гласит:
Теорема 12. Множества А и В, о которых говорится в теореме 11, кон-
конгруэнтны между собой тогда и только тогда, когда b — а есть рациональное
число.
55

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для дока-
доказательства его необходимости допустим, что число Ь — а является иррацио-
иррациональным. Множества Л и Б не могут, очевидно, быть конгруэнтными при
повороте прямой около какой-либо ее точки. Следовательно, если они кон-
конгруэнтны, то это возможно только при сдвиге, и существует действитель-
действительное число с такое, что А(с)=В, откуда А=В(—с), причем, очевидно, числос
должно быть больше 0. Если бы было с< Ь — а, из чего следовало бы о +с< Ь,
то существовало бы рациональное число w такое, что a-f-c<oy<6, и число
w не принадлежало бы множеству А {с)—В, вопреки тому, что до< Ь. Если же
было бы с>6—а, т. е. а-\-с>Ь, то существовало бы рациональное число w
такое, что а+с>ш>6, и число принадлежало бы множеству А (с) и не
принадлежало множеству В, вопреки тому, что А (с)—В. Следовательно,
должно быть с—Ь — а. Пусть w—рациональное число, принадлежащее
множеству А. Число та)г=ш-\-с=т+Ь—а принадлежит в таком случае мно-
множеству А(с)=В и потому является рациональным, откуда следует, что и
число Ь — a=wx — w рационально, что доказывает необходимость нашего
условия. Таким образом, теорема 12 доказана.
Следствие. Множество А всех рациональных чисел, меньших У^2, и мно-
множество В всех рациональных чисел, меньишхУ^З, не конгруэнтны.
Доказательство. Как_следует из теоремы 12, в этом случае
достаточно доказать, что число У^З —У~2-~ иррациональное. Это действи-
действительно так, потому что если бы число та)=У~Ъ—У^2 было рациональным, то
рациональным было бы и число ш2=5—2}^6, а следовательно, и число ]/&.
которое, как известно, иррационально. Тем самым следствие доказано.
Теперь может быть доказана
Теорема 13. Если А есть множество всех рациональных чисел, меньших
\Г2, а В — множество всех рациональных чисел, больших ~\Г2, то множества
А и В не конгруэнтны, но конгруэнтны при разбиении на две части.
Доказательство. Поскольку неравенство до >уг2~ равносильно
неравенству —ш<—У^, то множество В конгруэнтно при повороте вокруг
точки с абсциссой 0 множеству С всех рациональных чисел, меньших —}/%
которое, в силу теоремы 11, конгруэнтно при разбиении на две части множе-
множеству Л. Ввиду Вс*С имеем, следовательно, также А— В. Напротив, АсхВ
2
невозможно, так как при этом было бы АсыС и из определения множества
Л и С по теореме 12, следовало бы, что число У2—(—]/2)—2 ~\f2 является
рациональным, что неверно. Теорема 13 доказана.
Заметим, что теоремы 11 и 12 сохраняют силу, если в их условиях слово
«рациональные» заменить словом «иррациональные». Доказательство изме-
измененной таким образом теоремы 11 остается прежним, а доказательство
измененной теоремы 12 нужно было бы несколько видоизменить.
56

Теорема 14. Если А — множество всех квадратов натуральных чисел,
а В — множество всех квадратов натуральных чисел, больших 1, то множе-
множества А и В не конгруэнтны при конечном разбиении.
Доказательство. Допустим, что множества Л и В конгруэнтны
при конечном разбиении. В таком случае должно существовать натураль-
натуральное число/г и множества Л ц Л 2,..., Л„и Въ Въ,..., В„, удовлетворяющие ус-
условиям Iе, 2° и 3е. Допустим, что Ak— тот элемент последовательности 1*.
который является бесконечным множеством. Поскольку Ak есть бесконечное
множество натуральных чисел, так же как и Bk, то Л* не может быть кон-
конгруэнтным Ви при повороте. По 3° множество Ak должно быть конгруэнтно
множеству Bk при сдвиге, скажем, на а. Допустим, что афО. Пусть рг есть
произвольная точка множества Л*. Тогда точка р2+а будет принадлежать
множеству Bk и, следовательно, будет существовать натуральное число q
такое, что p2+a=q2, откуда (р+ф (р—q)=p2—q2=—а. Так как p=f=q
(ибо а=0), ]р—<7| ^ 1, то p-j-q <! |а| и тем более р <J \a\. Множество Ak со-
содержало бы, следовательно, не более чем |а| точек, вопреки тому, что оно
бесконечно. Поэтому должно быть 0=0, откуда следует Ak~Bk.
Мы доказали, таким образом, что для любого бесконечного элемента
Ak имеет место Аы =Вь. Если среди множеств Л* (где k—1, 2, ..., п) множе-
множества Аг, Ла, ..., As являются Конечными, а множества As+X, Л5+а, ...,
Ап— бесконечными, то, обозначая S~As+i [} As+2U ,..., [}Ап> мы будем, на
основании 1°, иметь A=Al[}A2\}.-[}As[)S и В=ВХ\}ВЪ\}... UB*US.
Из этих выражений следует, что поскольку множество А получают из
множества В, присоединяя к нему точку 1, то множество Аг[} А2[) ... \}AS
получают из множества Вг[} BaU ••¦Bs, добавляя к нему точку 1. Множе-
Множество (конечное) A1uA2[}...[}As имеет, следовательно, на один элемент
больше, чем множество Вх [} Вг [} Bs. Но по 2° и 3° эти множества должны
иметь одно и то же число элементов, что приводит к противоречию.
Множества Л и В, таким образом, не конгруэнтны при конечном раз-
разбиении, и теорема 14 доказана.
Приведем здесь без доказательств еще несколько утверждений о кон-
конгруэнтности множеств при конечном разбиении, доказательства которых
имеются в цитированной в конце § 2 моей книге, изданной в Индии.
Отрезок прямой не конгруэнтен при конечном разбиении никакому мень-
меньшему отрезку. Аналогично квадрат (внутренняя область вместе с перимет-
периметром) не конгруэнтен при конечном разбиении меньшему квадрату. В то же
время (как это доказали с помощью аксиомы выбора С. Б а нах и А. Тар-
с к и й) куб (внутренняя область вместе с поверхностью) конгруэнтен при
конечном разбиении любому другому кубу1.
Р. М. Робинсон (R. M. Robinson) доказал2, что поверхность сфе-
1 Ср. примечания1 н 3 к стр. 5&— Прим. ред.
2 Fundamenta Mathematicae,T.M(\M7), стр. 254. (См. также Moszner Z.,
О paradoksalnym rozkladzie ktili, Materaatyka, 1964, № 4, стр. 149—153.— Перев.)
57

ры 5 является суммой двух частей, не имеющих общих точек, каждая из
которых конгруэнтна S при разбиении на две части.
Этот же автор доказал1, что шар К (внутренняя область вместе с поверх-
поверхностью) является суммой двух множеств, не имеющих общих точек,
K=Z1\jZ2, где Zx—K, a Z2=K- Отсюда следует утверждение (доказанное
2 3
уже в 1924 г. С. Банахом и А. Тарским), что шар конгруэнтен при
конечном разбиении двум шарам того же, что и он, размера, не имеющим
общих точек.
Можно доказать, что если множество Z содержит множество В и содер-
содержится в множестве Л и если А = В, то 2=Л2.
я л+1
Д. Кёниг (D. Konig) и С. Валько (S. Val ко) доказали3, что если
для некоторого натурального числа л Аг\^А^...\^Ап = Вг[}В3[) ... 1}В„,
где никакие два из множеств Л v Ла, ..., Ап, а также никакие два из
множеств Bv Вг, ..., Впне имеют общих элементов, иесли Л*. =аАгъ Вь ^Вг
при А=1, 2, ..., п, то Лх= Вг. Доказательство является трудным уже
для п—2 и для п=3. Доказательство для га=2 нашел К. Куратовски й4.
А. Линденбаум(А. Lindenbaum) высказал без доказатель-
доказательства следующее утверждение:
Если для натурального числа п множества Л и В конгруэнтны и имеют
— общих точек, то Л — В= В — Л (через Л — В обозначает-
менее —^-ф
ся множество всех тех точек множества А, которые не принадлежат множе-
ству В). В этом утверждении число ——^— нельзя заменить никаким
большим натуральным числом.
Доказательства этих утверждений приведены в моей книге, изданной в
Индии, на стр. ПО—113 (теоремы 32 и 33).
Вспомним здесь еще о проблеме разбиения квадрата на неповторяющие-
неповторяющиеся квадраты. Речь идет о том, можно ли представить квадрат в виде суммы
конечного числа (>1) квадратов, не имеющих общих внутренних точек, из
которых никакие два не равновелики между собой. Некоторое время пред-
предполагали, что такие разбиения не существуют, позже было найдено нес-
несколько разбиений5. Квадрат со стороной 175 можно разбить на 24 квад-
квадрата, стороны которых соответственно равны 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18,
1 Fundamenta Mathematicae, 34 A947), стр. 257.
aBanach S., Tarski A., Fundamenta Math., 6 A924) стр. 252, предложе-
предложение 9; см. также S i e r p i п s k i W., Fund. Math., 33, стр. 230, лемма 1.
3 Fund. Math., 8, стр. 131.
4 Fund. Math., 6, стр. 243.
5 Кордемский Б. А., Русалев Н. В., Удивительный квадрат, Гос-
техиздат, 1952, стр. 122—124.
58

20, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81. Неизвестно, можно ли раз-
разбить квадрат на менее чем 24 различных квадрата1. Неизвестно также,
для каких натуральных чисел п квадрат можно разбить на п различных
квадратов. Известно лишь, что может быть здесь п =24, 26, 28 и что чи-
число п может быть сколь угодно велико. Легко доказать, что если квад-
квадрат можно разбить на п различных квадратов, то его можно разбить и на
2п — 1 таких квадратов.
4. Преобразования сжатия
Конгруэнтность множеств является, как мы уже знаем, изометрическим
преобразованием одного из этих множеств в другое, т. е. преобразованием,
сохраняющим расстояния.
Взаимно однозначное преобразование множества А в множество В
такое, что если аг и оа— произвольные различные точки множества А, а
Ьг и Ь2 — соответствующие им точки множества В, то расстояние между
точками t>i и ?а меньше, чем расстояние между точками ах и о2, называют
преобразованием сжатия. В этом случае говорят также, что множество В
метрически меньше, чем множество А. Легко заметить, что если К — дан-
данный квадрат, а К± — квадрат меньших размеров, то существует преобразо-
преобразование сжатия квадрата К в квадрат Ки Множество Z всех точек прямой
метрически меньше самого себя. В качестве функции f, взаимно однозначно
преобразующей множество Z в себя, достаточно взять функцию f(x)=2x.
Можно доказать, что этот парадокс не имеет места для ограниченных
точечных множеств8.
Говорят, что множество В меньше множества А при конечном разбие-
разбиении, если существуют натуральное число п и разбиения, для которых выпол-
выполняются условия 1° и 2°; причем при k=\, 2, ..., п множество Bk метрически
меньше множества Аъ.
Дж. фон Нейман (J. von Neumann) с помощью аксиомы выбора
доказал парадоксальное утверждение, что отрезок прямой при конечном
разбиении меньше отрезка, имеющего меньшую, чем он, длину3. Можно
также (с помощью аксиомы выбора) доказать, что круг (внутренняя об-
область вместе с окружностью) при конечном разбиении меньше произволь-
произвольного данного Крута4.
1 См.: S t e i n h a u s H., Kalejdoskop matt maty czny, Warszawa, PZWS, 1954,
стр. 14. Там приведен рисунок разбиения квадрата на 24 различных квадрата, но до-
доказательство того, что этот рисунок дает желаемое разбиение, не слишком просто.
г Hadwiger H., Debrunner H., Kombinatorische Geometrie in der
Ebene, Monographies de l'Enseignement Mathematique, N 2, Женева, 1960, стр. 92.
3 Fundarmnta Mathematical, 13 A929), стр. 115.
* См.: Sierpinski W., Fund. Math., 35 A948), стр. 204, а также мою статью
Stir la congruence des ensembles et ses generalisations, в Comtnentarii Mathematid Hel-
Helvetia, 19 A946—1947), стр. 223»
59

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства .....,.,,.,,.... 3
От редакции польского издания , . 4
Глава I. О множествах и их свойствах
1. Понятие множества ................. 5
2. Равенство множеств .»..,....,,....., 6
3. Собственные подмножества , » . , » . . . * 7
4. Пустое множество ...«г.,,.»...,..,. —
5. Конечные множества 8
6. Равночисленные множества .„„..,,......, 9
7. Взаимно однозначное соответствие ,,».... —
8. Равномощные множества ,:.*....«..,.,.. 10
9. Счетные множества .*•».. ...,»..**.. —
10. Сумма множеств ................... 12
11. Несчетные множества *..»,.......«... 14
12. Континуум-гипотеза ..••«,......"..... 16
13. Непересекающиеся множества .*..«¦• к . * >». 19
14. Сравнение мощностей бесконечных множеств ,*«*...«« 20
15. Аксиома выбора ....««...«.,.....» 21
16. Алгебра множеств ......... ..»..*.*. 24
17. Упорядоченные множества ..»...,...,»... —
18. Подобные упорядоченные множества »,....,.«., 25
19. Плотные упорядоченные множества. Сечения. Щели ,...., 26
20. Заполнение щелей ..,,.*.,.«... 27
21. Вполне упорядоченные множества ....... > . г • . —
22. Принцип трансфинитной индукции ...... 28
23. Принцип математической индукции ........... —
24. Функции .......а,,,.....,,,.. 29
25. Декартово произведение ...... ,.*.•'..« 30
26. Метрические пространства .............о. 31
27. Евклидовы пространства ................ 32
28. Борелевские множества .................. —
60

29. Открытые и замкнутые множества ...„, 34
30. Производное множество и замыкание множества ......... 37
31. Топология —
32. Односторонние поверхности ,. 38
33. Проблема четырех красок ............... 39
Литература по теории множеств и топологии 40
Глава 11. О конгруэнтности множеств. Конгруэнтность множеств при конечном
разбиении
1. Конгруэнтность множеств ...»....„»..... 42
2. Движения множеств 45
3. Конгруэнтность множеств при конечном разбиении ....... 48
4. Преобразования сжатия .............. * 59

Вацлав Серпинский
О ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Редактор Ю, Гостев
Художественный редактор В. Рывчин
Технический редактор О. Виноградова
Корректор Н. П. Кононова
Сдано в набор 5/Х 1965 г. Подписано к
печати 4/IV 1966 г. 70x907i6- Печ. л. 4
D,68). Уч.-изд. л. 3,64. Тираж 52000 экз.
(пл. 1966 р. № 157). А 12034
Издательство «Просвещение» Комитета по
печати при Совете Министров РСФСР
Москва, 3-й проезд Марьиной рощн, 41
Ярославский полиграфкомбинат Главполи-
графпрома Комитета по печати при Совете Ми-
Министров СССР Ярославль, ул. Свободы, 97
№ заказа 773 Цена 12 коп.

В 1966-1967гг. В СЕРИИ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ»
ВЫЙДУТ СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:
А. С. КРОНРОД. Беседы о программировании.
Живое н увлекательное обсуждение актуальных и острых проб-
проблем программирования и перспектив развития электронных вычис-
вычислительных машин. Круг читателей — студенты педагогических
институтов и университетов, учителя, программисты и все лица,
обучающие, обучающиеся или хотя бы интересующиеся програм-
программированием.
Р. КУРАНТ и Г. РОББИНС. Что такое математика? 2-е издание.
Исправленное и несколько дополненное переиздание широко
известной книги, первое русское издание которой A947 г.) давно
стало библиографической редкостью.
Р. Р. СТОЛЛ. Множества, логика, аксиоматические теории.
Систематическое и строгое, но достаточно элементарное н не
требующее никаких предварительных знаний изложение важней-
важнейших идей, методов и результатов математической логики и аксио-
аксиоматических оснований математики, а также примыкающих к ним
вопросов алгебры множеств и теории булевых алгебр. Рассчитано
на учителей средней школы, студентов и лиц различных специаль-
специальностей, интересующихся математической логикой и ее приложе-
приложениями. Может использоваться в качестве учебного пособии при сис-
систематическом преподавании и для самообразования.