НА	IЕЛ
Про*. Д- Д- МордухдВ	арифметики в сере-
дине XVIII в. . . .	  1
И.	С.	Плужников —О 1	иях, связанных с упо¬
треблением радикал	  6
С.	В. Филичев — Страш	го словаря ...	13
П.	Н.	ШевченкО —Терь	ь .........	.	17
М. С. Бернштейн — Задачи на доказательство в курсе геометрии 19
И. М. Кипнис — Геометрические задачи, требующие составления
тригонометрических уравнений	 31
Л. Н. Грацианская-Дорошкевич— К приемным испытаниям в вузы 38
ПРАКТИЧЕСКИЕ НАВЫКИ
A. Могильн «цчий — Некоторые применения математики в артилле¬
рии . .	  46
Г. А. М1«-:айдов — Простые измерительные приборы	 49
ХРОНИКА
Д. Гончаров — Четвертый год работы секции математиков при
Одесском городском методическом кабинете	 52
Н.	Пукалова — Математическая выставка на августовской конфе¬
ренции 	 53
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Р. Бончиовский — Пробный учебник по тригонометрии	 55
С. И. Новоселов — Обзор новых книг	63
B. А. Невский — Новые книги по математике	 65
ЗАДАЧИ	*
В. Голубев — По поводу задачи № 16	 67
Решения задач, помещенных в № 1 1941 г	 6Ь
Задачи для преподавателей	 79
Задачи для учащихся	80
Сводка по № 6 1940 г	    80
актор А. Н. Барсуков	:	с	.л	■	t
Ann or пелякммм: Woe**». О* >чко* ют*.. %.	к	«гв’йлвл

Пролетарии всех стран, соединяйтесьI
математика
В ШКОЛЕ
МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
1941
ИЮЛЬ -АВГУСТ
год издания носьмой
УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ И СРЕДНИХ ШКОЛ НАРКОМПРОСА РСФСР
Ш'Ш'Л
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
№
ОСНОВЫ АРИФМЕТИКИ В СЕРЕДИНЕ ХГП1 в.
Проф. Д. Д. МОгДУХАЙ-ВОЛТОВСКОЙ
(Ростов-на-Дону)
Г Ъ
М]
§ 1. НАУКА ПУДУЩЕГО *
етодика наука более будущего, чем
настоящего.
Методика средней школы в на¬
стоящее время находится в младен¬
ческом состоянии. В настоящее время это
только ряд методических замечаний, отно¬
сящихся к материалу среднешкольного
преподавания, при этом в большой мере
чисто дидактического характера. Только в
будущем вырисовываются очертания нау¬
ки, о которой можно высказать следую¬
щее суждение, представляющееся в атмос¬
фере недоверия к методике весьма парадо¬
ксальным: наука эта будет богаче своим
содержанием, чем наука диссертаций и ме¬
муаров. Ведь она будет решать аксиома-
т и чески- психологическую про¬
блему. Она будет давать доказательства,
исходя только из тех предпосылок, кото¬
рые доступны тем, кому даются эти
доказательства.
Вместо одной окристаллизованной
истины научного мемуара, она будет искать
многообразие тех истин или, пожалуй,
лучше сказать, истин не вполне раскры¬
тых, тех истин, которые требуют различ¬
ные возрасты и различные концентры пре¬
подавания.
История математики будет теснейшим
образом переплетаться с методикой. Исто¬
рический и методический эволюционные
pw будут порой сходиться, порой расхо¬
диться. Мы не будем учить детей по
Евклиду, как это делают англичане.
Р' iiTue ребенка не является, конечно,
к это утверждали так называемые '«пе¬
дологи» сокращенным повторением истории
наших предков, но история будет учить
методиста ставить методические проб¬
лемы.
§ 2. ИСТОРИЯ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ
История методики математики, т. е.
история математики в ее нижнем тече¬
нии, не только у нас, но и за границей
бедна. Если история математики как исто¬
рия открытия научных истин отно¬
силась к наукам низшего сорта, а может
быть, и совсем не считалась наукой, и
такие научные работники, как В. В. Бобы-
нин, сходили в могилу без ученой степени,
то история методики являлась уже настоль¬
ко незначительным делом, что и в мате¬
матических журналах, задававшихся мето¬
дическими целями, статьи по этому пред¬
мету являлись пасынками в сравнении с
заметками по элементарной математике или
узкодидактическими статьями, а между тем
для учителя это будет всегда и интерес¬
ным и поучительным прошлым.
Следует несколько выйти из своей науч¬
ной лаборатории, хоть немножко сделаться
учителем, чтобы понять, что все мето¬
дическое настоящее — это коралло¬
вые острова, это результат незаметной
работы незаметных полипов.
Я сейчас хочу обратить внимание на прош¬
лое теоретической арифметики.
Эго прошлое, прежде всего, указывает
на то, что ребенка раньше не понимали,
что в него всегда проектировали
мысли взрослого.
Мы теперь обходимся без той теорети¬
ческой арифметики, которую вызубри¬
вал несчастный ребенок XVIII в. Мы
1

не стараемся в первую очередь, как это делали
еще в XVIH в., вложить в голову ребенка
определения аксиомы и доказательства по
образцу эвклидовых «Начал», или, вернее,
рациональной философии Вольфа. Поко¬
лениями вырабатывался тот особенный язык,
на котором мы теперь говорим с детьми,
далекий от эвклидовского.
§ 8. МЕТОДИКА. XVIII в.
Я вовсе не намерен дать систематическую
историю теоретической арифметики, начи¬
ная с 7, 8, 9-й книг «Начал» Эвклила.
Я дам только одну страничку из этой
истории, а именно ознакомлю с основами
арифметики, главным образом первой поло¬
вины XVI11 в.
Аксиоматическое обоснование арифмети¬
ки и алгебры первой половины XVIII п.
шло по направлению Лейбница,
который считал возможным обоснование
всей математики только с помощью
определений и двух чисто логи¬
ческих законов; тождества и противо¬
речия, сливая с последним закон исклю¬
ченного третьего.
Истинными аксиомами, по его мнению
и по мнению его верного ученика и мето¬
диста Христиана Вольфа, являются только
тождественные положения.
Вольфианские учебники, из которых
родились наши учебники конца XVIII и
начала XIX вв. стараются убедить учащихся
в различных математических истинах све¬
дением их к такого рода бессодержатель¬
ным предпосылкам.
Все это, конечно, от нас очень далеко.
§ 4. АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ШКОЛЕ
Но есть один момент в лейбницианской
системе мышления, который должен обра¬
тить на себя внимание и современного
методиста.
Это прохождение в лейбницианские
определения актуальной бесконеч¬
ности.
Таково лейбиицианско-вольфианское оп¬
ределение подобных фигур, как таких,
в которых нет признаков, которыми бы
они отличались, причем Лейбниц делает
прибавку «без соприсутствия чего-
либо третьего», что в ущерб определению
отбрасывается Вольфом.
Такое определение, конечно, предпола¬
гает актуальную бесконечность проверок,
которые фактически не могут быть произ¬
ведены.
Таково и определение равенства
перешедшее тоже от Лейбница к Вольфу
Тождество не определяется, а равенств!
определяется с помощью тождества. Дк:
количества, в частности, два числа a, f
признавались равными, если всякая опера¬
ция Л (а) давала тот же результат по под¬
становке в вместо с.
В теоретической и практической арифме¬
тике Дм. Аничкова*, учебнике ясно выра¬
женного вольфианского типа, это определе¬
ние превращено в 3-ю аксиому: «Равны?
количества имеют между собой взаимное
сношение, т. е. одна на месте другой может
поставлена быть».
Что такого рода определения и сейчас
могут иметь методическое значение следует
из того, что, например, связанная с пер¬
вым определением аксиома Вольфа, что
«одинаковые операции произведенные над
подобными фигурами дают подобные фи¬
гуры», дает возможность сразу утверждать,
что и медианы, и высоты, и биссектрисы
в подобных треугольниках относятся, как
соответственные стороны.
Что же касается до второго определения,
то в нем, прежде всего, следует усмотреть
подчеркнутую в нем разницу
тождества и равенства.
Равные абстрактные числа, конечно,
тождественны, но едва ли следует-учаще¬
муся это подчеркивать, так как учащий¬
ся всегда будет мыслить кон¬
кретными числами, которые будут
разны, но не тождественны.
Равенство же будет всегда мыслиться
по Лейбницу, т. е. в смысле общности
всех признаков данных объектов или толь¬
ко фигурирующих в операциях, которые
над этими объектами производятся.
Две суммы денег: 4 пятака и 2 гривен¬
ника равны, хотя это и не те же деньги,
равны потому, что при всех торговых
сделках два гривенника можно заменить
четырьмя пятаками.
<
§ 5. МЕТОДИКА И ЗАКОНЫ АРИФМЕТИКИ
Законы арифметики математикам XVIII в.
представлялись очевидными истинами, т. е.
аксиомами, вроде аксиом первой книги
«Начал», но, тем не менее, они дока¬
зывались.
Это очень характерная черта поздней¬
шей рационалистической мысли — вера в
доказуемость всего, даже очевидного, из
логических аксиом и определе¬
ний.
* Л н и ч к о и — «Арифметика». М., 1786, стр. 17.
2

Стремление доказывать очевидное — это
очень характерно для первой половины
XVIII в.
Этим эпоха отличается от конца XVIII
и начала XIX вв., когда математика оказы¬
валась без аксиом или с ничтожным
их числом, как элементы Лежандра, вслед¬
ствие того, что тогда твердо верили, что
все основные предпосылки математики
извлекаются из опыта: о том, что пре¬
красно видно, не следует распространяться.
Отношение к законам арифметики ме¬
няется со временем. О них очень много
говорят Вольфианские учебники, Лакруа
в начале XIX в. о них ничего не говорит.
Но современные учебники не пропускают
их без внимания. Формально-аксиомати¬
ческое настроение в науке кладет свое
отражение и в начало преподавания ариф¬
метики, но это отражение проходит через
призму тех методических приемов, кото¬
рые с таким трудом вырабатывались в
течение двух столетий.
В настоящее время мы уже не стоим на
точке зрения вольфианских учебников.
Мы не можем стать и на точку зрения
эмпириков, воспитанных энциклопеди¬
ей Дидро*. Мы, во всяком случае, должны
учеников подводить к логической
конструкции математики, причем со¬
вершенно независимо от того, какое про¬
исхождение имеют ее основные истины. Мы
никогда не должны вместе с тем упускать
педагогические цели преподавания матема¬
тики, которая не только дает знания, но
и учит абстрактно мыслить.
Мы не разделяем наивной веры Лейбница.
И если бы Лейбниц был прав, то мы
никогда не протянули бы так далеко аксио¬
матическое исследование. '
Мы, действительно, говорим о законах
арифметики, даем систему аксиом и часть
их доказываем, но не стремимся к тому,
чтобы они были независимы, и, более
того, даже к тому, чтобы была соблюдена
их полнота. Мы оставляем часть под
порогом сознания.
§ с. коммэтчтнввость И АССОЦПАТПВПОСТЬ
Отметим еще, что среди аксиом XVIII в.
фигурируют далеко не все те, которые мы
в настоящее время выставляем.
Для нас кажется в высокой степени
странным, что в систему этих аксиом не
входят те, которые относятся к комму¬
тативности и ассоциативности.
Отсутствие закона коммутативности для
равенства объясняется тем, что равенство
мыслилось как отношение, в кото¬
рое не входило понятие поряд¬
ка.
Но и в настоящее время, не будучи в
состоянии в школе вполне встать на точку
зрения чисто формальной математики (как
Гильберт) *, мы обходим эту аксиому, при
этом понятие равенства, связанное с такого
рода аксиомой и опасно для учащегося,
так как аксиома эта, как лишенная
внутреннего содержания, только
путает мысль учащегося.
Но иное дело — закон коммутативности
и ассоциативности сложения и умножения.
Для мысли учащегося множитель и
множимое должны иметь различ¬
ный конкретный смысл.
Закон коммутативный имеет вполне кон¬
кретное содержание: 7 рабочих, получая
по 8 рублей в день, получат ту же зар¬
плату, что 8 рабочих, получая по 7 руб¬
лей.
Затем, зарплата получается та же, бу¬
дет ли выдаваться она сразу за первую и
вторую работу, а затем отдельно за третью
или же сперва за первую, а затем сразу
за вторую и третью.
Интересно здесь отметить, что Эвклид
доказывает закон коммутативный в
16-м положении 7-й книги, вольфианская
же школа не идет за Эвклидом.
§ 7. ПЕРВЫЙ две эвклидовы аксиомы
Но вольфианские учебники старательно
доказывают первую Эвклидову аксиому:
«Величины, равные порознь третьей, равны
между собой», что символически можег
быть выражено так:
a = c.J = co -а = Ь,
или так:
а = с-с— Ь-э-а = Ь.
Эта аксиома утверждает свейство тран¬
зитивности равенства.
Чтобы быть кратким, мы выразим тоже
в символической форме весь ход вольф н-
анского доказательства.
Обозначая через а\Ь замену а на Ь,-
мы будем иметь:
Ь = с'-э -Ь\с,
а = с-Ь\с-э-а = Ь.
* Fncyclopedie metho4ique des arts et des metiers.	*	Гильберт	—	«Основания	геометрии».
3

Теперь расшифруем это так:
Если b равно с, то, согласно уже самому
определению раренства, во всех операциях
и зависимостях можно заменить с на Ь.
Пусть а равно с, тогда замена дает как
раз а — Ь.
Совершенно так же доказывается вто¬
рая Эвклидова аксиома:
a = b, c — d--D-a-\-c=b-\-d.
Доказательство развивается так:
c = d, о + с = с-{-сО •a-\-c = a-\-d.
Таким же образом получается и b -f- d —
—a-\-d, откуда в силу доказанного выше
положения:
a-\-c = b-\-d.
§ 8. ЧАСТЬ П ЦЕЛОЕ
Вольф идет гораздо дальше, он доказы¬
вает даже 9-ю Эвклидову аксиому: часть
меньше целого.
Его доказательство особенно характерно
для этой эпохи. В настоящее время мы
не станем доказывать не только эту истину,
но и истины предыдущего параграфа. Более
того, мы обычно оставляем эти истины
под порогом сознания.
Чтобы лучше ознакомить с конструкцией
вольфианского доказательства, мы и здесь
употребим символику, которой сам Вольф,
конечно, не пользуется.
Мы будем обозначать через Ъ часть Ь.
Тогда а—Ь будет означать, что о есть
часть Ь, а а—Ь будет означать, что а
равно части Ъ (иначе говоря меньше Ь).
Доказательство ведется так:
а —а, а = b-э -с = £>о-а<^Ь.
Расшифровывается это так: а равно о,
но а есть часть Ь, поэтому можно сказать,
что а часть Ъ. Значит, а меньше Ь.
Здесь очень характерно употребление
аксиом математического тождества.
Следовало подробно развить доказатель¬
ство: а то же самое, что а, а по¬
тому, если на место а ставить опять а
во всех операциях и зависимостях, то будет
всегда получаться тот же результат, а
потому а равно а.
Это положение Аничковым возводится
но вторую аксиому: «Количество само себе
равно».
По поводу этого доказательства возни¬
кает методический вопрос об употреблении
такого тождественного положения: а = а.
4	*
Оно, конечно, неизбежно при формально
логическом построении математики.
Для школы такое положение является
неприемлемым. Положение «о равно
а» поскольку мыслится конкретное содер¬
жание, совершенно теряет смысл. Ра¬
венство можно мыслить только между
различными величинами, величину
нельзя сравнивать с самой собой.
Доказывается также и 4-я Эвклидова ак¬
сиома, что
а-{-с^>а-\-с, если Ь^>а.
Схема доказательств следующая:
а<С^Ь-о ■a^b-'D - Ь = а-\- р,
Ь-\-с — р -\-a-\-c-Z) •а 4-с = &4-со •аф-
Ч-с<Ь-{-с.
Расшифровать схему не трудно.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ
Понятие иррационального числа
в это время еще не вполне образовалось,
на его месте стояло Эвклидово отно¬
шение величин, не всегда выражаемое
через число.
Очень интересно отметить, что отно¬
шение и пропорция являлись тогда
основными понятиями, с помощью кото¬
рых определялось умножение и деление
как целых, так и дробных чисел.
Если a:b = c:d, то при
d = 1 ... а — Ьс
b = 1 ... а —
а
В настоящее время мы умножение всег¬
да определяем с помощью сложения.
кПомножить, говорят современные мето¬
дисты, данное число на другое, значит
данное число повторить слагаемым столько
раз, сколько единиц в другом данном числе».
Но даже в учебниках XIX в. умноже¬
ние определялось иначе, как нахождение
числа, которое содержало бы множимое
столько раз, сколько множитель содержит
единицу.
Следует отметить, что в XVIII и начале
XIX в. слова отношение не было,
вместо него стояло содержание.
Приведенное нами определение символи¬
чески переводилось так:
ab: а = b: 1.
Недостаток современного определения по
сравнению со старым тот, что старое го-

лилось для всяких чисел, а новое только
для целых, и мы для дробей дали другое
определение, конечно, чувствуя себя очень
скверно при употреблении термина умно¬
жен и е.
§ Ю. ДИСТРИБУТИВНЫЙ ЗАКОН
Очень интересно, как Карстен* выводит
закон дистрибутивный (для всех чи¬
сел) из свойств пропорции;
1 : е = с: се, 1 : е = b: be-zD - а'ае =
= b : be- з. а: ае
(а + Ь): (ае -f- be) ■ гэ -1 : е =
= (а -f- Ь): (ае + be) - з.
(а + b) е = ае -J- be.
Конечно, эта манера доказательства резко
отличается от той, которую мы даем в
школе, рассматривая умножение как
повторное сложение и заменяя
(а -\- Ь) е через
а-\- Ь
а-\- b
а-\-Ь
и суммируя а и b по столбцам.
Понятно, что наш вывод уже не годится,
когда е дробное, а тем более иррацио¬
нальное.
Что же касается до вывода Карстена,
то он постулирует основные положения
5-й книги «Начал» Эвклида, которые тогда
выводятся чисто геометрически и прини¬
маются за очевидные истины, если не все,
то частично. Но степень очевидно¬
сти их в настоящее время представляется
ниже, чем степень очевидности положений,
которые доказываются с их помощью.
§ 11. ЛОМАПЫЕ ЧИСЛА
Приоритет отношения перед
дробью или ломаным числом, как пра¬
вило, выдерживается во всех учебниках
XVIII в.
Понятие отношения а: b всегда отлича¬
лось от понятия дроби хотя уже Нью¬
тон объявляет число отношением.
•Karsten — Mathesis theoretics ele¬
ment a г i s. Rostock, 1760, § 15 n 17.
Но Лакруа* уже говорит, что «отноше¬
ние есть число целое или дробное, пока¬
зывающее, сколько раз одно из чисел со¬
держит другое».
Правило умножения дроби на дробь
поясняется следующим образом.
с	f	а	с
Если /=	то
a: b = f: 1, c:d — g: 1,
откуда на основании теории пропорций,
которая развивается по образцу 5-й книги
«Начал»:
(a-с) :(b-d) = b-g: 1,
и, наконец, отсюда уже выводится, что
История изучения дробей в XVIII в. ста ■
вит перед нами методическую проблему,
и притом весьма актуальную, о пра¬
вильной установке понятия от¬
ношения и дроби.
Различение отношения и дроби, приво¬
димое методистами XVIII в. с методиче¬
ской точки зрения является правильным,
хотя, с точки зрения формальной
математики, имеющей дело только с фор¬
мальными операциями, является совершенно
несущественным.
В то время как отношение является
результатом сравнения, дробь — ре¬
зультат действия над целыми числами.
Когда пишут:
a:b=c:d,
то в собственном смысле здесь равенства
нет, а есть только п о доб и е в эвкли¬
довом смысле, и Эвклид говорит в
8-м определении 5-й книги «Начал»: «Про¬
порциональность есть подобие
отношений», между тем, как дроби
4	2
— и — равны.
6	3
Хотя подход	к	дробям	через пропорции
для нас является	чуждым,	но	и	здесь	между
методическими заблуждениями мы можем
высмотреть и методическую правду**.
♦ Лакруа — «Арифметика».
** Отметим, что в вопросе о понятии отношения
двух чисел редакция является сторонником точки
зрения, проводимой проф. А. Я. Хинчиным (см. его
статью в № 2 журнала за 194L г.)
«Xl&y*—	*019*

О НЕКОТОРЫХ НЕДОРАЗУМЕНИЯХ,
СВЯЗАННЫХ С УПОТРЕБЛЕННЕМ РАДИКАЛА
и. с. плгяепшгов
{М осква)
§ 1. Известно, что отдел алгебры «Дей¬
ствия с радикалами» представляет большие
трудности для преподавания и с трудом
усваивается учащимися. В преобразованиях
с радикалами встречается, кажется, наиболь¬
шее количество ошибок, и не только у уче¬
ников слабых, но подчас и у сильных, в чем
постоянно приходится убеждаться препода¬
вателям высшей школы. Дело в том, что пе¬
дагогические трудности этого отдела зависят
не только от его содержания и, так сказать,
идейной сущности, но и от той путаницы и
отсутствия необходимой четкости в вопросе
об употреблении радикалов, которыми стра¬
дает учебная литература. Естественно, что
такое положение дела в математической ли¬
тературе является источником многих недо¬
разумений и невольных ошибок, которые
обычно не ставятся в вину учащимся сред¬
ней школы и нередко не замечаются даже
преподавателями, но которые в серьезных
вопросах, несомненно, не могут игнориро¬
ваться. В высшей школе на первом же курсе
из года в год неизменно приходится встре¬
чаться с некоторыми типичными ошибками,
обнаруживающими неумение правильно поль¬
зоваться радикалом, правильно производить
действия над радикалами. Правда, ошибки,
о которых я говорю, встречаются в вопросах
довольно тонких, но зато делаются поголов¬
но всеми, окончившими среднюю школу.
Цель настоящей статьи — фиксировать вни¬
мание преподавателей средней школы на
вопросе о правильном употреблении радика¬
ла и тем самым способствовать искоренению
тех ошибок, о которых будет нтти речь ни¬
же и которые стали столь привычными, что
о них не принято говорить в средней школе.
Начну с рассмотрения примеров.
§ 2. Пусть требуется исследовать на возра-
х 4-1
стаиие и убывание функцию у = arc cos —-*—.
Заметим, что речь идет о главной ветви
арккосинуса. Прежде всего легко видеть,
что эта функция существует в интервале
— со<хг^— — . Для решения вопроса о воз¬
растании и убывании функции образуем
первую производную и упростим ее, причем
необходимые алгебраические преобразования
выполним так, как их обычно выполняют
окончившие среднюю школу. Получим:
У:
1
V'-m
X — (х -f- 1)
х~
1
X — X — 1
У
х2 -\-2x-\-l
&
 1
— а- - 2л: - 1
у~2х~\-хг ху~(2А-+1) ‘
Легко видеть, что у1 существует в интер¬
вале — оо < je<
1
при А'= — — первая
производная У обращается в оо). Так как
х <0, то у < 0 во всей области своего су¬
ществования, т. е. взятая функция должна
быть убывающей на всем интервале
своего существования.
Непосредственное же изучение данной
функции показывает следующее: при а' -*■ —оо
х "4“ 1
дробь—±	*■	+	!•	оставаясь	меньше	-)-1 и
у-*0, оставаясь все время больше нуля; при
х =	  дробь	=	—	1	и	у— т.. Таким
2
образом, аргумент заданной обратной круго-
вой функции ^т. е. выражение _ ~Ь..^ изме¬
няется непрерывно от -J- 1 до — 1 при непре-
1
рывном изменении х от —оо до —— : при этом
сама функция (как это известно из свойства
арккосинуса) изменяется монотонно от 0 до it,
следовательно, возрастает. График этой
функции имеет такой вид (черт. 1):
Функция без всякого сомнения возрастаю¬
щая, а первая производная показала ее убы¬
вающей. В чем же причина парадокса?
Оставляя пока этот вопрос без ответа, пе¬
рехожу к рассмотрению второго примера.
§ 3. Требуется исследовать па возрастание
и убывание функции _y = arcsecx.

Как и в предыдущем примере, речь здесь
идет о главной ветви обратной круговой
функции. График этой функции хорошо из¬
вестен; вот он (черт. 2).
Видим, что функция существует в интер¬
валах — оо<а'<;—1 и	+ ив
обоих этих интервалах функция возраста¬
ющая. Применим теперь для исследования
возрастания функции первую производную,
которую образуем от arc sec х по Валле-
Пуссену*:
у1 = (arc sec А')1 = (arc cos
__ (т)'
V‘-
V 1+1^2
Преобразовываем обычным способом (запи¬
сываем преобразование подробно);
1-]/з _(l— |/з~) У\ + У~2 _
V\ А-УУ	1+УУ
Ь-Уз)У 1+VT (i —1/2)
(14-1/2) (l -V2)
(1 -Уз)У (1+J/2K1-У2)2
= (]/з - l) У (1 - 2) (1 — у 2 ) =
= (V/3 — i)V УУ- 1.
Преобразования сделаны, повидимому, пра¬
вильно. Но сравнивая заданную дробь с по¬
лученным результатом, видим, что в то вре¬
мя как заданная дробь отрицательна (так как
1—1^<0), полученный результат поло¬
жителен (так как 1/з — 1 >о). В чем при¬
чина этого парадокса?
* Шарль-Жан-де-ла - Валле-Пуссен — «Курс анализа
бесконечно малых*. Перевод с франц. под ред. фпхтен-
гольца, т. I, стр. 87-
§ 5. Рассмотрим еще пример. Пусть тре¬
буется найти
lim { У х2 4- х -(- 1 — Ух2 — а +1}.
х->± со
Непосредственная подстановка предельного
значения аргумента дает неопределенность
виДс1 оо — оо, которую и раскрываем обыч¬
ным в таких случаях приемом:
{ У х2— Ух- — х	\ } ==
(A* + A+1)-(A°-A+1)
lira
= lim
х ф со [ X2 4- А -{- Г -|- ~У Xs — А 4" 1
I.	2а
= Игл
хУ*=7
Первая производная (у1) существует в тех
же интервалах, как и заданная функция
(только при x=H2l первая производная у1
обращается в оо).
Рассматривая первую производную, видим,
что при изменении а от — оо до — 1 первая
производная у1 <0, следовательно, функция
в этом интервале должна убывать, тогда как
на самом деле она возрастает. Опять полу¬
чили парадокс.
§ 4. Возьмем теперь пример из области
элементарной алгебры. Пусть требуется из¬
бавиться от иррациональности в знаменателе
следующей дроби:
1 -Уз
= lim
а-»±оо Уа24"а4" 1 +i/a-2-a4-i
2
±co/' + T+j+/>-T+i
= + !■
Между тем, непосредственное изучение
заданного выражения приводит нас к выво¬
ду, что при любом х>0 имеем;
У Аг4-х4-1— 1/Аг-х4-1>0,
а при любом а<0 имеем: •
У а-2 + а-4-1-1/а2-х + 1<0,
следовательно, заданное выражение при
а-*- — оо не может стремиться к 4- 1-
В чем же дело?
§ 6. Рассмотренные парадоксальные случаи
и много подобных им оказываются возмож¬
ными только потому, что до настоящего
времени в математической учебной литера¬
туре и в педагогической практике не все
благополучно с употреблением радикала.
Прежде всего, точный смысл знака ради¬
кала в школьном преподавании не указы¬
вается с достаточной четкостью, во всяком
случае символ у- употребляется не в одном
смысле. Так при решении квадратного урав¬
нения х2 = в всегда пишут а = -±.Уа, н вся¬
кий преподаватель сочтет за ошибку запись
решения в виде: а = Уа. Этим самым, сле¬
довательно, признается, что звак V обозна¬
чает единственное значение квадратно¬
го корня, так называемое «арифметическое»
значение корня, которое определяется как
«положительное значение корня из положи¬
тельного числа»(см. Киселев — «Алгебра»;
Маракуев — «Алгебра»; Бронштейн —
«Методика алгебры.").
С другой стороны, считается правильным
и такое равенство:
У г [cos (<р 4- 2ft я)	i sin (ip 4- 2k я)] =
= Уr ^cos
-j- i sin
<p -(- 2krt\
n /
Здесь знак радикала в левой части обозна¬
чает уже все значения корня, в то время
7

как тот же знак в правой части обозначает
«арифметический» корень.
Радикал применяется также и в такой
записи:
з /
У — 8 = — 2.
Здесь, очевидно, радикал опять обозначает
единственное значение корня, но это
значение уже не будет «арифметическим»
(т. е. положительным из положительного
числа).
Наконец, некоторые авторы знаком ради¬
кала без предшествующих знаков -f- или —
обозначают л ю б о е из всех значений
к ори я. Так, например, в учебнике алгебры
Маракуева мы находим по поводу известно¬
го софизма:
P = fi= (1/^Т)	-
= /(-!)(-!) = V+T= + 1
следующее разъяснение (кстати сказать, со¬
вершенно неправильное): «Когда мы знаем
происхождение подкоренного количества в
формуле У■*“. т- е- знаем, получилось ли х*
от умножения (+*)(-|-*) или от умножения
(—*)(—*). то корень следует брать с одним
знаком: в нервом случае с -j-, во втором с —»
(Маракуев, стр. 410; Маракуев это правило
приписывает Безу).
Подобное объяснение можно встретить не
только у Маракуева. Приведенная цитата с
полной очевидностью показывает, что здесь
знак радикала употребляется для обозначе¬
ния хотя и одного, но не обязательно ариф¬
метического значения корня (если даже ко¬
рень и может иметь арифметическое значе¬
ние).
Короче: здесь радикал употребляется для
обозначения л юбог о из всех значений корня
(хотя произвол выбора этого единственного
из всех значений корня и оправдывается
теми или иными соображениями).
Разнообразие в употреблении знака ради¬
кала и отсутствие в этом отношении четкой
договоренности вносит в дело большую пу¬
таницу.
Было бы целесообразно все значения
корня из данного числа обозначать каким-
либо другим знаком в отличие от знака Y~,
который нужно оставить для обозначения
только одного (но не любого, а вполне
определенного во всех случаях) значения
корня.
Но какое одно значение из всех возмож¬
ных значений корня от данного числа должен
обозначать символ У ? Здесь речь идет о
выделении, так сказать, «главного зна¬
чения корвя» (по аналогии с главным
значением обратной тригонометрической
функции). «Главное значение корня» не сле¬
дует отождествлять с «арифметическим» зна¬
чением корня, хотя для корня четной степени
из положительного числа «арифметическое»
значение корня естественно считать «глав¬
ным значением этого корня. В настоящее
время приходится мириться с отсутствием
особого знака для обозначения совокупности
всех значений корня п-ой степени из данного
числа. При этом нужно добиться от учащихся
полного понимания следующих положений:
1. 3 н а к р а д и к а л а употребляется
сейчас в двух различных смыс¬
лах: для обозначения совокуп¬
ности всех значений корпя п-о й
степени из данного числа и, чаше,
для обозначения только одного
главного значения корня п-о й сте¬
пени из данного числа.
2. Если среди значений корня
имеется одно вещественное, то
это вещественное значение кор¬
ня принимается за главное; если
же вещественных значений корня
два, то в качестве главного зна¬
чения берется положительный
корень*.
Обозначая символом у~ только «главное
значение» корня, мы должны писать:
У 4 =2; ]/(—2)2 = 2: точно так же, как
пишем:
^Г=2;	& = — 2.
§ 7. Но чему в таком случае будет рав¬
няться Ух2?
Здесь мы уже должны принять во внима¬
ние область изменения переменного х. Если
по характеру вопроса х может принимать
только положительные значения, то, конеч¬
но, можно писать Ух2 = х; но если х может
быть и положительным_и отрицательным, то
тогда нужно писать: Ух- = \ х | **.
Так же, очевидно, следует писать во всех
случаях, когда знак переменного х не изве¬
стен. Отсюда понятно, что не следует пи¬
сать:
У а2 — 2ab -|- Ь- = а — Ь,
а нужно писать:
У а2 — 2аЬ + Ь2 = \а-Ь\
Теперь станет понятным, в чем причина
парадокса, с которым мы встретились в пер¬
вом и во втором из разобранных примеров.
Упрощение производных в этих примерах мы
должны были бы сделать так.
1-й пример
1*1 ___!*!
У— 2х— 1 хг У-2х—1-\х\2
  1
I* I У—(2* + 1)
Теперь у1 > 0 во всей области своего су¬
ществования, следовательно, заданная функ-
( % 1\ «,
ция Гу = arc cos —^—J действительно оказы¬
вается возрастающей на всем интервале
своего существования.
* Главное значение корня из любого комплексного
числа есть то значение, которое имеет среди всех
значений наименьший аргумент.
** Знак | |, как известно, есть знак абсолютной
величины.
8

2-й пример
(*)	= \*\
1_J_ x'Vx2— 1
X-
\Х\	1
|je|2]/je3—1	|	jc	1 V x3— 1
Теперь во всей области своего существо¬
вания у1 > 0, следовательно, функция всюду
возрастает, как и нужно. Легко избегнуть
парадокса и в четвертом примере, если де¬
лать его так:
Iim f \^хг-{-х-{-1 — 1Л*2 — х-{- l} =
■*->■±00 I
*'*±coVx!! + x+l + Vx2-x+ 1
2х
= lim 	  _	—	•	■	•	—
''±”ЧК1+т+^+/‘-т+т.)
=±1.
Из разбора этих трех примеров ясно, что
никаких парадоксов в них не возникло бы,
если бы окончившие среднюю школу умели
правильно пользоваться радикалом. Этому,
к сожалению, ни преподаватели, ни учебники
их не научают. Вот немногие примеры, число
которых можно было бы значительно уве¬
личить.
В «Алгебре» Маракуева (стр. 127—128)
читаем такие строки:
«Заметим, что в предстоящем нам изложе¬
нии преобразования корней мы будем рас¬
сматривать только так называемые ариф¬
метические величины корня, т. е. как
подкоренное количество, так и самые корни
будем брать положительные. Поэтому, если
требуется извлечь кв. корень из (а — Ь)2, то
не должно полагать V(a-b?=±{a-b), но
приписывать ему только одно положитель¬
ное значение: а — Ь. Точно так же:
я)2 = только -J-а, а|/(—af только—я».
Приведенная цитата достаточно свидетель¬
ствует о той путанице в вопросе об употре¬
блении радикала, которая царит в таком по¬
пулярнейшем из старых учебников алгебры
как учебник Маракуева.
Да и в современных учебниках и задачни¬
ках дело не лучше. В «Сборнике алгебраиче¬
ских задач» Шапошникова и Вальце-
в а (изд. 1933 г., ч. 2, гл. IX) под № 47 и 53
даны следующие примеры и в конце задач¬
ника ответы к иим:
3/80Сй2= 12с2д/5
(вместо того, чтобы написать: 12с2|Д| l/б).
/(а2 — 2аЬ + Ь2)у _ (я — b)j/J
25	“	5
I вместо 	   I.
В известном дореволюционном «Сборнике
алгебраических задач» Бем, Волкова,
Математика в школе, JSt 4
Струве (изд. 1915 г., ч. 2, стр. 61) встре¬
чаем известное правило:
|/го2й = д \ПГ,
причем ничего не говорится о знаке числа я.
Этим же правилом, повидимому, пользуют¬
ся во всех школах и в наше время, ничего
не оговаривая относительно знака числа а.
§ 8. В связи с этим правилом уместно
остановиться на вопросе о преобразовании
радикальных выражений.
Правило, о котором упомянуто в конце § 7,
обычно широко применяют, не обращая вни¬
мания на знак числа а и не учитывая того
обстоятельства, что правила преобразования
радикальных выражений доказаны лишь для
арифметических корней и могут применяться
в других случаях лишь после особого иссле¬
дования или по специальному условию (как,
например: V — 4 = ]/"—Т • 4 ).
Записывая ^хг = jc, очевидно, предпола¬
гают, что при любом значении х действие
извлечения корня и действие возведения в
степень взаимно уничтожаются, иначе гово¬
ря, порядок действий возведения в степень и
извлечения корня (с одним и тем же показа¬
телем) можно менять. Это было бы справед¬
ливо, если бы во всех случаях была справед¬
лива теорема «Корень из степени равен той
же степени из корня»:
(Г*=№П
Тогда, независимо от знака х, действи¬
тельно можно было бы писать:
j/jё2 = С|А:)2 = х.
(согласно определению действия извлечения
корня: «Извлечь корень л-ой степени из дан¬
ного числа значит найти такое число, кото¬
рое, будучи возведено в л-ую степень, дает
подкоренное количество»). Но тогда был бы
неразрешим известный парадокс:
-1 = р = (У^П)2 = Vi-1)2 =
= J/+7= + l,
а указанная выше попытка Маракуева раз¬
решить этот софизм есть по существу не что
иное, как вторичное, обратное, применение
той же теоремы, на что мы здесь не имеем
права, хотя результат в конце концов полу¬
чается верный, так как две сделанные ошиб¬
ки взаимно компенсируются. Вот как можно
представить парадокс с объяснениями Мара¬
куева в цепи выкладок:
_1 = г*=(1/Г“1)г = Vc— == i/+T *
(?!)
= j/(— 1)2=	=	—1.
(?!)
Нужно, однако, иметь в виду, что указан¬
ная теорема и более общая теорема («корень
из произведения равен произведению кор¬
ней») оказываются верными для любых чисел
только на Римановой многолистной поверх¬
ности *, а не на обыкновенной плоскости
* См., например, о Римановой поверхности в курсе
Привалова «Введение в теорию функций комп¬
лексного переменного», изд. 1S35 г.. стр. 120.
9

комплексного, переменного (где эти теоремы
верны только для действительных положи¬
тельных чисел), а также при умножении по¬
ложительных чисел на отрицательные.
Разберем примеры, пользуясь тригономе¬
трической формой комплексного числа.
Так, если
г = 4 (cos 225° + i sin 225°),
то
г2 = 16 (cos 90° -f-1 sin 90°),
Т/z2 = 4 (cos 45° -f- i sin 45° ).
(Берется главное значение корня.)
В то же время:
У г =2 (cos 112° 30* +/ sin 112° 30').
{\rzf = 4 (cos 22-5° + i sin 225°);
следовательно, z'~ ф (Уz )2,если мыостаем-
ся в,обыкновенной плоскости комплексного
переменного. Если же берем Риманову мно¬
голистную поверхность, то имеем:
z — 4 (cos 225° + 1 sin 225°),
г2 = 16 (cos 450° 4-г sin 450°),
Уzs = 4 (cos 225° +1 sin 225°),
yj= 2(cos 112° 30-H sin 112° 30),
(Vz)~ = 4 (cos 225° + i sin 225°),
следовательно, теперь Уz- — (Уг У
Указанные теоремы сохраняют свою силу
для действительных положительных чисел
потому, что аргумент этих чисел равен 0,
следовательно, при умножении, делении и
сложении аргументов данных положитель¬
ных чисел аргумент результата остается рав¬
ным нулю и результаты всех действий оста¬
ются на одной и той же числовой прямой.
Если же будем производить действия над
отрицательными числами, то теоремы теряют
свою силу:
Г
4
• У— 9 = )/
4 (cos 180° -f- i sin 180°),
I
У 9 (cos 180°	1	sin 180°) =
= [2(cos90°4-i sin90°)]-[3 (cos 90°-j-/ sin 90°)] =
= 6 (cos 180° 4- * sin 180°) — — 6;
]/(_ 4) . (_ Q) = У4 (cos 180° + i sin 180°) • 9 (cos 180° + i sin 180°) =
= 1/зб (cos 360° 4- i sin 360°) =У 36 (cos О 4 *s,n O) = 6 (cos О 4- * sin O) = 6,
следовательно,
У~А . У~% ф 1/(— 4).(- 90
Вот почему нужно писать так:
У — 4 - У— 9 = 21 - 3i = 6г2 = — 6,
но не -следует писать:
]/"—4 - У-д = У{-4) ■ (-9) = УУб = 6.
Но в то же время можно писать:
УУ7- У9 = 2i ■ 3 = 61 = 6 У— 1,
а также можно писать:
У— 4 • У9 = У(— 4) ■ 9 = У— 36 ;
= i'/ГТ. Узё = 6 у^т.
Таким образом,
уУТ ■ У 9 = У {-
■4)9,
в чем можно убедиться, пользуясь опять три¬
гонометрической формой комплексного числа.
§ 9. Теперь легко понять причину ошибки,
обнаруженной при решении примера, данно¬
го в § 4. В этом примере мы подвели под
корень отрицательное число (l—У2 ), возведя
его в квадрат и тем самым превратив в чис¬
ло положительное и в то же время уничто¬
жив автоматически знак — перед корнем.
Здесь произошла та же ошибка, как и в ни¬
жеследующем примере.
Пусть требуется преобразовать выражение
— 2 l/з, вводя рациональный множитель под
радикал. Очевидно, нужно написать:
— 2 У~Ъ = — У22 - 3 = — У\2,
но нельзя писать:
— 2 j/i" = У(— 2)2 • 3 = У~П (?)-
10
Причина ошибки, которую мы делаем, дей¬
ствуя, как показано во втором случае, видна
в следующих подробных (анализирующих)
выкладках:
— 2 ]/з = (— 2) Уз (так можно!) =
= (]/— 2 ) • V3 (так можно, но определен
нию корня) = У(— 2)2 - Уз (так нельзя, так
как действия возведения в степень и извле¬
чения корня нельзя менять местами, если за¬
данное число отрицательное!) = У4 - У3 =
= У Уз = I/12 (результат неверен вслед¬
ствие сделанной одни раз и указанной
ошибки).
Правильные же выкладки в подробном
(анализирующем) изложении выглядят для
рассматриваемого случая так:
— 2 }/з=(-2) Уз =(У-2)! • Уз =
= yz^. yz^ . 1/3 =
= У~—2- (У—2 ■ У'з) = У—2 - У— 6 =
= У 2 ■ i ■ l/б - / = Г У12 = — у 12.
Аналогичный анализ примера, рассмотрен¬
ного в § 4, показывает, что здесь ошибка
произошла вследствие забвения того, что пра¬
вила преобразования радикаль¬
ных выражений доказаны лишь
для арифметических корней и мо¬
гут применяться в других случаях лишь после
особого исследования.
В этой задаче следовало действовать так:
1 — Уз _ (l —Уъ)У 14- У 2 _
+	1+V

_ (i-Vpl^i + jP- О — VP _
(l+/2).(l-]/2)
_(l-V3)Vl + V2 ~(l—VP __
1—2
{\-Уъ)У\+УТ ЛУ2-\) __
2—1
{\—Уъ)У'{\+У2)(ХГ2—\Т __
1
=(1 — Vz}V (У2 +1X1/2— OCt/2-1):
VT-1 У
■ Jfax-
Тогда и обратно:
если
-=( У—
1—У ах2
при .<>0
при а<0
при а>0
при а<0,
У-
то можно записать заданную функцию и
так:
j | А | у/Т
ут
при
при
-«>0 \ /-
-*<о ]=ХУ‘
= (l ~Уз)У (2 — l)(l/2 — l) =
= (1_Кз)К1/2^1.
Теперь результат получился правильный.
А как быть в том случае, когда под ко¬
рень вводится буквенный множитель, кото¬
рый по смыслу задачи может получать отри¬
цательные значения?
Например, требуется преобразовать (введе¬
нием множителя под радикал) следующее
выражение: лс|/я. Пусть при этом известно,
что о > 0 а'20. Тогда очевидно при а>0
имеем х с > 0, а при х < 0 имеем х У а <0.
Поэтому нужно писать так:
Получим прежнее выражение.
Не следует пугаться, что одно выражение
после преобразования превращается в два
выражения: на таких сравнительно простых
и естественных случаях нужно в наше время
и учащихся средней школы подготовить к
мысли, что функция может задаваться ана¬
литически не только при помощи одной, но
иногда и при помощи нескольких формул.
Впрочем, в этом случае все же можно было
бы обойтись н одной формулой, если за¬
писать так:
ХУ* = уг\У
fix2,
или так:
а- у а. =	У ах2.
Пт
*-»±со
{УГА*+А+1->/А*-а4- l} =И
Теперь данный в § 5 и разъясненный уже
в § 7 пример может быть решен и так:
2а
А—»± оо |/Л-2 + А-(-1 +1/а2 —А+ 1
= lim
X ± оо 1
X
= lim
- (Ух* + Х+ 1 + УX* - х+ 1)
2
•= ± 1.
'■»±~!2(У + 1+^+У-1+11)
ить два
1НИ10 по
У1 —х2 — sin у,
§ 10. В заключение разберем еще два при¬
мера, где правильное применение радикала
(с использованием знака абсолютной вели¬
чины) позволяет полнее и глубже изучить
заданную функцию во всей области ее су¬
ществования.
Пусть имеем: у = arc sin УI — х2 (берется
как и прежде, лишь главная ветвь обратной
кругово,й функции). Функция эта существует
в интервале—1 ^а<+1 и в этом интер¬
вале всюду непрерывна.
Найдем первую производную:
1	2а
Чем объяснить два значения производной?
По определению понятия «арксинус» имеем
у=-
VI— (1— А2)	2	У1 — А2"
X	X
откуда:
откуда:
или:
т. е.
1 —х- = sin2j>,
х2 = 1 — sin
I A I = V 1 — sin-у,
1 A I =]/coS3y ,
IA I — I COS у I ,
т. e.
У X2 - \f \ - A*
1
y = <
УI — A2
1
У i-.
Ul /1 A2
, При A>0
, при A < 0.
U:
A = I COS у I При A > 0
cosy I при A<0.
Но так как у = arc sin У1 — а2, как глав¬
ная ветвь арксинуса, берется в интервале
7С	7С
от — — до — ,а в этом интервале косинус
всюду положителен, то | cos y | = cos у, по¬
этому имеем:
11

f X = COS,V при X>0
\—X=COsy> при x<0,
или:
{у — arc cos x при x > 0
у = arc cos (— x) при x ■< 0.
Значит, заданная функция в этом новом
своем виде определяется уже не одной, а
двумя формулами.
Вот график этой функции (черт. 3):
Черт. 3
Здесь видно, что действительно на участке,
(—1...0) производная положительна,
а на участке (0... —1)—производная отри¬
цательна.
§ 11. Пусть теперь дана функция:
у = arc sin sin х.
Найдем ее первую производную:
COS X
Vi-
sin2x
cosx
при
{+1 при COSX>0
— 1 при COS X < 0.
Чем объяснить двойственность значений_у*?
Объяснить это можно так: пользуясь онре?
делением понятия «арксинус», на основании
условия имеем:
sin_y = sin х,
(или: у 4- х = (2ft +1) я,
откуда: <
(или: у — х = 2йя,
(26 + 1)*-*, (1)
откуда
{или: у —
или: у =
(2)
Так как у, как главное значение арксину¬
са, не должен по абсолютной величине пре¬
те
вышать —, то для получения значений
функции (которая является однозначной)
приходится пользоваться либо одной, либо
другой из написанных формул, давая ft со¬
ответствующее значение.
Тогда построится следующая таблица зна¬
чений функции (ограничимся только поло¬
жительными значениями для х, но будем
иметь в виду, что функция определена для
любых значений х в интервале — оо j- оо).
X
0
2
я
— ... я
2
3
я ... —те
2
— Я . . . 2ic
2
2ic	2 — я
2
2 —я.. .Зге
2
Уравнение для опре¬
деления у ... .
у = х
у = п—х
у = я — х
У — X — 2я
У = X — 2я
у = Зя — х
Из какого уравне¬
ния получаем . .
N 2
N 1
N 1
N 2
N 2
N 1
При каком значе¬
нии ft
ft = 0
fc = 0
ft = 0
ft = —1
fc = — 1
ft = 1
Вот график этой функции (черт. 4):
В интервалах 0...
cos х > 0
2
У' = + 1
2 — те, и т. Д.
п	п	3 о 1	ч I
В интервалах —	.—я, 2— я...З— п.
2 2 2 2
и т. д. cosx<;0 и у = — 1.
§ 12. Разобранных примеров, мне кажется,
вполне достаточно, чтобы согласиться со
следующими утверждениями:
1) необходимо внести в учебную мате¬
матическую литературу полную ясность и
четкость относительно употребления ради¬
кала и действий над радикальными выраже¬
ниями;
2' в практике преподавания этого отдела
необходимо учесть сделанные здесь замеча¬
ния и устранить все встречающиеся до сих
пор двусмысленности и ошибки.
тс&у.

СТРАНИЧКА ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СЛОВАРЯ
С. В. ФИЛЛЧЕВ (Москва)
Алгебраическая форма. Однородные мно¬
гочлены часто называются алгебраическими
формами, например, ах2 -f- Ьху + су2 есть
форма второй степени с двумя переменными
хну (бинарная квадратичная форма).
Анализ Диофанта — неопределенный ана¬
лиз, решение неопределенны* уравнений в
целых числах. Неопределенный анализ зани¬
мается отысканием рациональных корней си¬
стемы уравнений, в которой число уравне¬
ний меньше числа неизвестных.
Архимед (287—212 до н. э.)—величайший
математик древней Греции. Архимед родился
в Сиракузах, не раз путешествовал по Егип¬
ту и был в дружеских отношениях с але¬
ксандрийскими учеными, в частности, с Эра¬
тосфеном. Погиб при взятии Сиракуз римля¬
нами. Архимед работал во всех областях мате¬
матики и механики и везде сделал замеча¬
тельные открытия. К сожалению, не все из
его творений дошли до нас.
По арифметике Архимед написал трактат
«Псаммит» — исчисление песчинок, в котором
дал способ получения как угодно большого
натурального числа.
Большинство трактатов, дошедших до нас,
посвящены геометрии и механике.
В геометрии Архимед открыл, что поверх¬
ность и объем шара соответственно состав¬
ляют 2/з полной поверхности и объема ци¬
линдра, описанного около шара; установил
соотношение между объемами цилиндра,
шара и конуса — 3:2:1, если площади осно¬
ваний цилиндра и конуса равны площади
большого круга шара, а высоты их равны
диаметру шара. В трактате об измерении
круга дал приближенное значение для отно¬
шения длины окружности к диаметру (22/;).
В трактате о квадратуре параболы дал впер¬
вые суммирование бесконечного ряда. В трак¬
татах «О спиралях» и «О коноидах и сферо¬
идах» встречаемся с настоящим интегриро¬
ванием. В области механики Архимед являет¬
ся творцом статики твердых и жидких тел
(трактаты о равновесии плоских фигур, о
плавающих телах).
Безу (Bezout) — французский математик
(1730—1783). Безу работал главным образом
в области высшей алгебры. С его именем
связаны многие теоремы алгебры о свой¬
ствах многочленов и, в частности, теорема о
делении целого рационального многочлена
на двучлен первой степени вида х + а. Безу
установил общие методы решения системы
алгебраических уравнений и дал общие мето¬
ды последовательного исключения неизвест¬
ных в системе алгебраических уравнений ка¬
ких угодно степеней.
Бернулли — знаменитое в истории матема¬
тики семейство (родом из Голландии), дав¬
шее ряд выдающихся математиков.
1.	Яков Бернулли (1654—1705), профессор
математики Базельского университета, являет¬
ся одним из основоположников анализа бес¬
конечно малых. Своими работами положил
начало комбинаторике.
В трактате по теории вероятностей «Ars
conjectandi» изложил основной закон ее, так
называемый «закон больших чисел». Много
занимался бесконечными рядами. В частности,
он дал прием вычисления сумм вида 1"-(-
+ 2"-f- 3" +... -f- тп при помощи чисел, на¬
званных потом Бернуллиевыми числами.
2.	Иван Бернулли (1657—1748), брат Я. Бер¬
нулли, работал главным образом в области
анализа бесконечно малых. Он составил пер¬
вое руководство по анализу бесконечно
малых, ввел знак 'интеграла, вместе с братом
является основателем вариационного исчис¬
ления.
3.	Даниил Бернулли (1700—1782), сын И.
Бернулли, был членом Петербургской акаде¬
мии наук, работал больше всего по гидро¬
динамике.
Бинарная система счисления — система
счисления, в которой за основание принято
число два. Для записи чисел по этой (двоич¬
ной) системе достаточно цифр 1 и 0. Г1о
двоичной системе число пять изобразится так:
101, число двенадцать изобразится так: 1100
и т. д.
Эта система для практических целей не¬
удобна, так как дает для чисел запись очень
длинную в сравнении, например, с десятич¬
ной системой счисления. В теоретических же
исследованиях двоичная система счисления
оказывается во многих случаях наиболее
целесообразной, например, в теории чисел
нередко пользуются бинарной системой счи¬
сления.
Бригг (Briggs), Генри (1556—1630)— англий¬
ский математик, друг Непера. Бригг высоко
, ценил изобретение Непером таблиц логариф¬
мов. Но убедившись в практических недо¬
статках Неперовой системы, предложил для
основания логарифмов число 10. Логарифмы
с основанием 10,. которые теперь главным
образом в вычислительной практике и упот¬
ребляются, были вычислены впервые Бриггом.
В 1617 г. Бригг дал первый образец своей
новой системы (логарифмы чисел первой
тысячи с 8 знаками), а в 1624 г. дал 14-знач¬
ные таблицы логарифмов чисел от 1 до
20 000 и от 90 000 до 100000 с пояснениями
их составления («Arithmetica Iogaritlimica»,
London). Бригг же составил таблицы лога¬
рифмов синусов, тангенсов и секансов.
Бгорги (1552—1632) — швейцарец, один из
изобретателей логарифмов. Логарифмы были
изобретены независимо друг от друга Нспе-
ром и Бюрги, но Непер опубликовал свои
таблицы в 1614 г., тогда как Бюрги только
в 1620 г. (в Праге, на немецком языке). Таб¬
лицы Бюрги вышли под заглавием: «Arithmeti-
sche und Geometrische Progresse-Tabulen...»
(арифметические и геометрические таблицы
прогрессий).
Бюрги считается вторым изобретателем
логарифмов. Для теории логарифмов Бюрги
дал меньше, чем Непер. Таблицы Бюрги
составлены очень тщательно. Они представ¬
ляют собой сопоставление членов арифме¬
тической прогрессии с членами геометриче¬
ской. Применение, которое можно было дать
этой таблице, основано на связи между дей¬
ствиями над членами обеих прогрессий (сло¬
жению в арифметических прогрессиях со¬
ответствует умножение в геометрических,
1C

вычитанию — в арифметических прогресси¬
ях — деление в геометрических).
BHeT(Viete), или Виета,Франсуа(1540—1603),
французский математик. Будучи юристом,
Виет всю жизнь занимался математикой.
В своих произведениях Виет ведет вычис¬
ления в десятичных дробях, отделяя десятич¬
ные знаки от целого числа вертикальной
чертой. Виет много занимался решением
геометрических задач алгебраическим путем.
Он считается творцом алгебраической сим¬
волики. В своем трактате «Isagoge in artem
analyticam» (1591) ввел в употребление бук¬
вы для обозначения величины вообще, при
этом известные величины обозначал соглас¬
ными буквами, а неизвестные — гласными.
Виет в своих произведениях дал правила
сложения и вычитания многочленов, прави¬
ла умножения и деления одночленов, умно¬
жения многочленов. Он умел упрощать
уравнения путем введения вспомогательного
неизвестного и знал зависимости между
корнями и коэфициеитами уравнения.
Виет показал, что решение всякой задачи,
приводящей к кубичному уравнению или
уравнению 4-й степени может быть приведено
к построению двух средне-пронорциональных
или сведено к трисекции угла.
Слабое место алгебры Виеты — отсутствие
отрицательных чисел.
Геометрические построения (геометро-
графия) — раздел элементарной геометрии,
посвященный графическому воспроизведению
тех или иных точек и фигур по определен¬
ным заданиям.
В этом разделе обыкновенно излагаются
методы решения геометрических задач на
построение, вопросы о неразрешимости не¬
которых задач, например, обосновывается,
что циркулем и линейкой невозможно про¬
извольный данный угол разделить на три
равные части, невозможно построить квадрат,
равновеликий данному кругу, и т. д. У древ¬
них греков геометрические построения явля¬
лись только теоретическими проблемами, и
они признавали для геометрических построе¬
ний только два инструмента: циркуль и ли¬
нейку (имели дело только с прямыми линия¬
ми и окружностями). От них остались три
неразрешенные знаменитые задачи: 1) задача
об удвоении куба, 2) задача о трисекции
угла, 3) квадратура круга.
В XIX в. установлено, что циркулем и ли¬
нейкой могут быть построены только такие
отрезки, которые выражаются в зависимости
от данных рационально или с помощью кор¬
ней квадратного уравнения.
На русском языке по геометрографии
имеется:
1) И. Александров — «Методы реше¬
ния геометрических задач на построение)'.
2) Н. Ф. Ч е т в е р у х и н — «Методы гео¬
метрических построений», 1938.
3) А. Адлер — «Теория геометрических
построений», 1940.
Геометрические преобразования устанав¬
ливают соответствия между элементами двух
различных геометрических образов или меж¬
ду элементами одной и той же фигуры. Гео¬
метрически преобразовать фигуру F—это
значит привести ей в соответствие фигуру
F' таким образом, чтобы различным элемен¬
там фигуры F соответствовали определенные
элементы фигуры F' и обратно.
Геометрические преобразования будут то¬
чечными, если точкам фигуры F буду г соот¬
ветствовать точки фигуры F'. Примером
точечных преобразований будут: гомотетия,
инверсия и т. д. Инверсия, например, преоб¬
разует всякую окружность (F), проходящую
через центр инверсии, в прямую (F’). Геомет¬
рические преобразования играют большую
роль в геометрии. Фигуру F, свойства кото¬
рой нам известны, возможно подбором со¬
ответствующего преобразования привести в
фигуру F', свойства которой мало известны,
и, преобразуя фигуру F, мы из очевидного
свойства ее получим не столь очевидные
свойства фигуры F'. В этом.и заключается
цель геометрических преобразований.
Золотое сечение (деление данного отрезка
в крайнем и среднем отношении) — такое
деление отрезка на две неравные части, что¬
бы большая часть была средней пропорцио¬
нальной между всем отрезком и меньшей
его частью, т. е. а:х = х: (а— л), где а —
данный отрезок, х — наибольшая его часть.
Для определения х достаточно решить квад¬
ратное уравнение: хъ-\- ах — я2 = 0. Найдено,
что большая часть составляет приблизитель¬
но 62%, а меньшая — 38% всего данного
отрезка.
Квадратура круга — знаменитая задача
древности на построение, заключающаяся в
том, чтобы построить с помощью циркуля и
линейки квадрат, равновеликий данному
кругу. Несмотря на кажущуюся простоту
условия, задача о квадратуре круга не была
решена в Течение двух тысяч лет.
Если площадь круга с радиусом R обозна¬
чим через я 'R2, а площадь квадрата со сто¬
роной х обозначим через х-, то задача све¬
дется к построению отрезка х по формуле
x = Rl/it. Лишь в XIX в. (1882) Линдеман
доказал трансцендентность числа г. и, отсюда,
невозможность построения отрезка лс =
с помощью циркуля и линейки.
Эта задача разрешима, если пользоваться
кроме циркуля и линейки, другими инструмен¬
тами, необходимыми для вычерчивания неко¬
торых трансцендентных кривых (квадратрис-
сы, синусоиды и т. д.), с помощью которых
решается задача о квадратуре круга.
Практически пользуются приближенными
построениями.
Магницкий Л. Ф. (1669—1739) — русский
математик, автор первого печатного учебни¬
ка по математике в России, выпущенного в
Москве в 1703 г. Книга Магницкого боль¬
шого формата, напечатана на славянском
языке под названием «Арифметика, сиречь
наука числительная. С разных диалектов на
славянский язык переведенная и воедино со¬
брана и на две книги разделена». Книга бога¬
та по содержанию. Наряду с подробным
изложением правил арифметики, вопросов
прикладной арифметики, элементов алгебры
и геометрии в ней помещены правила три¬
гонометрии, сведения по астрономии, геоде¬
зии и навигации. Книга -Магницкого сыгра¬
ла в свое время большую роль в распростра¬
нении математических знаний в России.
Между прочим по этой книге учился М. Ло¬
моносов.
Л. Ф. Магницкий учился в Славяно-греко¬
латинской академии в Москве и с 1701 г. до
смерти преподавал математику в московской
14

школе математических и навигационных
наук *.
Моавр, или Муавр (de Moivre) де Абрагам
(1667—1754) —французский математик, эмиг¬
рировавший в Лондон, где и прожил большую
часть своей жизни. Был в дружеских отно¬
шениях с Ньютоном. Моавр работал в обла¬
сти рядов и теории вероятностей. По теории
вероятностей он между прочим доказал тео¬
рему Лапласа. В теории комплексных чисел
вывел правила возведения в степень н извле¬
чения корней п-й степени для комплексных
чисел:
[г (cos 9 +; i sin 9)]п = rT (cos n 9 + i sin n 9);
n 	 n,—/, 9 4-2 я ft ,
у /-(cos 9 + i sin 9) —	(^cos	n "г
...	9	"У	2	тс	ft	\
4-1 sin 4_J	].
n J
Henep (Nepair, или Napier), Джон (1550—
1617)—знаменитый шотландский математик,
открывший логарифмы, изложенные в главном
его труде (1614) «Mirifici logarithmorum cano-
nis descriptio...» («Описание удивительной
таблицы логарифмов...»). Непер в молодости
путешествовал по Германии, Франции и Ита¬
лии. Потом все время жил в! Шотландии,
занимался богословием и математикой. По
математике занимался больше всего тригоно¬
метрией, нашел четыре пропорции, связываю¬
щие стороны и углы сферического треуголь¬
ника. Но обессмертил себя Непер открытием
логарифмов, упрощающих арифметические
вычисления.
Непер вместе с Бюрги является главным
основоположником учения о логарифмах.
В своих таблицах Непер излагает свойства
логарифмов, дал описание таблиц, их упо¬
требление и примеры.
При построении своих таблиц Непер исхо¬
дил из сравнения двух прогрессий — арифме¬
тической и геометрической, причем члены
арифметической прогрессии назвал логариф¬
мами, которым в геометрической прогрессии
соответствовали определенные числа. Табли¬
цы Непера имели целью получение логариф¬
мов не натуральных чисел, а /ригонометри-
чсских величин. Но по его таблицам, кроме
нахождения логарифмов синусов, косинусов,
тангенсов, можно было находить логарифмы
и натуральных чисел.
Только после деления членов обеих про¬
грессий Неперовых таблиц на 107 мы полу¬
чим «Логарифмы» и их < числа» в нашем
теперешнем смысле при основании-L(e =
= 2,71828...).
Паскаль (Pascal), Блез (1623—1662) — знаме¬
нитый французский математик, физик и
философ. Его отец Этьенн Паскаль был мате-
матиком-любителем и занимался больше все¬
го кривыми линиями (улитка Паскаля). Пас¬
каль Б. 16 лет написал сочинение «Рассужде¬
ние о конических сечениях», в котором,
между прочим высказал одну из важнейших
теорем проективной геометрии" точки пере¬
сечения противоположных сторон шести¬
угольника, вписанного в коническое сечение,
лежат на одной прямой. Ряд работ Паскаль Б.
* Подробнее о Л. ф. Магницком см. ЛЁ 5 журнала за
1940 год.
посвятил арифметическим рядам и бино¬
миальным коэфициентам. В своем «Traite dn
triangle aritlimetique» он дал так называемый
«Паскалев треугольник» — фигуру, в которой
коэфициенты разложения (я + Ь)п для различ¬
ных п расположены в виде треугольника.
В 1642 г. Паскаль изобрел первую счетную
машину для 4 арифметических действий.
Вместе с Ферма является основателем теории
вероятностей. Паскаль работал и в области
исчисления бесконечно малых. По физике
занимался барометрическим давлением и гид¬
ростатикой.
Риторическая алгебра ■— словесная алгебра,
не употребляющая никакой символики. Ал¬
гебра древних греков, средневековых мате¬
матиков и арабов была алгеброй риториче¬
ской: все числа в примерах, задачах выписы¬
вались словами, а не цифрами.
Ромбоэдр — параллелепипед, у которого
все грани — ромбы.
Сравнение. Если числа а и ft (положитель¬
ные или отрицательные) дакгг одинаковые
остатки при делении их на третье положи¬
тельное число р, то говорят, что а сравнимо
с ft по модулю р. По предложению Гаусса
сравнение обозначается так: а = b (mod р).
Сравнение, другими словами, выражает дели¬
мость разности а—ft на число р и может
быть заменено равносильным ему равенством
а — ft -j- ftp, где ft — целое число.
Сравнения имеют большое сходство с ра¬
венствами. Сравнения по одному и тому же
модулю можно почленно складывать, вычи¬
тать и перемножать. Сравнения можно по¬
членно делить на одно н то же число, вза¬
имно простое с модулем, и т. д.
Сравнение вида ах = ft (mod р) будет
сравнением первой степени: при условии
(а,р)=\ это сравнение имеет одно и только
одно решение. Если р простое число н а
не делится на р, то аР~% = 1 (mod р) (теоре¬
ма Фермата, выражающая делимость числа
аР-1 — 1 на простое число р при условии,
что а не делится на р, например, 25—1—1
делится на 5).
Тела Архимеда. Шар радиуса R, равносто¬
ронний цилиндр, радиус основания которого
R, а высота 2R, и конус, радиус основания
которого R, высота 2R, называются телами
Архимеда.
Одно из свойств этих тел: объем цилиндра
равен сумме объемов шара и конуса.
Триада Менехма — название конических
кривых (эллипса, параболы и гиперболы).
Такое название этим кривым дал Эратосфен
в честь греческого геометра Менехма (IV в.
до н. э.), так как последнему приписывается
открытие конических сечений.
Тригонометрия (от греч. rprpovov— тре¬
угольник и |xe.TpEiv — измерять) — часть геомет¬
рии. изучающая соотношения между сторо¬
нами и углами плоских и сферических тре¬
угольников и изучающая решение треуголь¬
ников. Название не совсем удачно, так как
в тригонометрии не измеряют, а вычисляют
треугольники.
Тригонометрия называется прямолинейной,
если она изучает треугольники, образован¬
ные на плоскости прямыми линиями, и сфе¬
рической, если изучает треугольники, образо¬
ванные на сфере дугами больших кругов.
В нашей средней школе изучается лишь
прямолинейная тригонометрия, которая для
15

установления связи между углами треуголь¬
ника пользуется особыми тригонометрически¬
ми функци ’ми угла: синусом, косинусом,
тангенсом, котангенсом, секансом и косекан¬
сом. Прямолинейная тригонометрия обычно
распадается на три отдела:
1) гониометрия — учение о тригонометри¬
ческих функция* и их свойствах; сюда же
относят и вопрос о решении тригонометри¬
ческих уравнений;
2) учение о составлении тригонометриче¬
ских таблиц; 3) решение треугольников (при¬
ложение тригонометрических функций к ре¬
шению треугольников).
Исторически тригонометрия возникла до
II.	э. в связи с потребностью решения кон¬
кретных задач по астрономии. Впервые самое
слово ■^тригонометрия» встречается в загла¬
вии книги Питискуса «Trigonometria sive
de solutione triangulorum tractatus brevis et
perspiciius» (1595). С этого времени это назва¬
ние вошло во всеобщее употребление. В со¬
здании тригонометрии принимали участие
греки, индусы и арабы. В Западной Европе
успехами своими тригонометрия обязана тру¬
дам Виеты, И. Бернулли, Моавра, Ламберта,
Эйлера. В современный, знакомый нам вид
привел тригонометрию Эйлер (1707—1783).
Трисекция угла — знаменитая задача древ¬
них греков о делении любого угла на три
равные части. Частный случай этой задачи о де¬
лении прямого угла на три равные части с по¬
мощью циркуля и линейки был ими решен,а об¬
щий случай не поддавался решению. Тогда не¬
которые из геометров, например, Менехм (IV в.
до н. э.), предложили особые приборы для
трисекции угла, а другие решили эту зада¬
чу с помощью сложных кривых (квадратрис-
сы, конхоиды и т. д.). Архимед, в частности,
решил эту задачу с помощью конических
сечений. Виета (XVI в.) один из первых мате¬
матиков показал, что задача о трисекции
угла не может быть решена с помощью цир¬
куля и линейки, так как решение ее сводит¬
ся к решению уравнения третьей степени
(4дг’ — З.с + а, где sin 3 а = a, sin а = х), а кор¬
ни кубического уравнения не могут быть
построены с помощью циркуля и линейки.
Ферма (Fermat) Пьер (1601—1665) — знаме¬
нитый французский математик. Будучи юри¬
стом по образованию и профессии, занимался
в часы досуга вопросами теории чисел, гео¬
метрии, алгебры, теории вероятностей и т. д.
Ферма не заботился об опубликовании полу¬
ченных им замечательных результатов. Боль¬
шая часть открытий Ферма известна из со¬
хранившейся переписки его с лучшими мате¬
матиками того времени (Паскалем, Декартом,
Валлисом и т. д.). Некоторые открытия Фер¬
ма из теории чисел дошли до нас в форме
записей на полях арифметики Диофанта, при¬
надлежавшей ему.
В своих записях и письмах Ферма не давал
указаний на методы, которыми 'он пользовал¬
ся при решении задач или доказательстве
открытых им теорем. Впоследствии большин¬
ство из этих теорем были вполне строго
доказаны Эйлером, Коши и другими матема¬
тиками. Одна же из теорзм, известная под
названием «великая теорема Ферма»: уравне¬
ние je,i4-_y" = неразрешимо в целых чис¬
лах при п >2, не доказана в общем в»де до
сих пор. Наибольшей известностью пользуют¬
ся работы Ферма по теории чисел. В геомет¬
рии он один из первых разработал метод
координат, а своим методом отыскания ма¬
ксимума и минимума является предшественни¬
ком изобретателей диференциального исчис¬
ления. Своими работами Ферма оказал боль¬
шое влияние на дальнейшее развитие матема¬
тики в XVII, XVIII и XIX вв.
Эйлер (Euler), Леонард (1707—1783) — ге¬
ниальный математик. Родился в Базеле, уче¬
ник Ивана Бернулли. С 1727 г. по 1741 г.
работал при Петербургской академии сначала
профессором физики, а потом занимал кафед¬
ру математики.
В 1741 г. переехал работать в Берлинскую
академию, где проработал ровно 25 лет.
В 1766 г. вернулся в Петербург в качестве
члена Академии наук и работал в Петербур¬
ге до самой смерти. В Петербурге Эйлер ли¬
шился зрения (1768). Но несмотря на это, он
продолжал продуктивно работать в области
математики, диктуя свои работы сыну и уче¬
никам. Литературное наследство Эйлера со¬
ставляет десятки томов.
Эйлер работал во всех областях математики
и ее приложений, везде он оставил своими
работами глубокий след, то и дело встре¬
чаешь: формула Эйлера, теорема Эйлера,
способ Эйлера, интеграл Эйлера и т. д. Толь¬
ко благодаря авторитету Эйлера привилось
обозначение отношения длины окружности к
диаметру буквой it, а в тригонометрии при¬
вились обозначения sin х, cos х и т. д. Эйлер,
между прочим, ввел обозначение предела
^1-[-—'j при п неограниченно возрастаю¬
щем буквой е.
Все работы Эйлера отличаются глубиной
математической мысли; он внес простоту и
ясность в изложении сложнейших математи¬
ческих вопросов. Его изложение всегда со¬
провождается поясняющими примерами, в
которых вычисления доведены до конца.
Эпюр (фр. бриге) — плоский чертеж, произ¬
веденный по правилам начертательной гео¬
метрии. В начертательной геометрии изучае¬
мое тело обычно проектируется на две вза¬
имно перпендикулярные плоскости, из кото¬
рых одна потом поворачивается __на 90°
вокруг линии пересечения плоскостей. Тогда
обе проекции расположатся в одной плоско¬
сти. Полученное изображение будет эпюром.

ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
И. П. ШЕВЧЕНКО (Москва)
П
Пангеометрия, греч., состоит из «двух слов:
пас (pas), род. пад. катк (pantos) — весь, всякий,
целый и геометрия, см. это слово.
Так назвал Н. И. Лобачевский одно из
своих сочинений. Полное его название: Рап-
geometrie ou precis de geometrie fondee sur une
theorle generale et rigoureuse des paralleles
(1856).
Пантограф, греч., состоит из двух слов: rais
(pas) и урскрм (grapho) — пишу.
Паппа теорема. (В каждом коническом се¬
чении отношение произведения расстояний
любой точки кривой от двух противополож¬
ных сторон вписанного в нее четыреугольни-
ка к произведению расстояний той же точки от
двух других сторон есть величина постоян¬
ная.) Название происходит от собственного
имени. Греческий математик Папп (Паппус)
александрийский жил в IV в. От него оста¬
лось сочинение «Математические коллекции»
или «Математическое собрание», (^ovaytoyat
|act3r]|j.arix.ai). Здесь он собрал открытия своих
знаменитых предшественников и изложил
свои собственные. Декарт считал его одним
из самых замечательных геометров древно¬
сти.
Парабола, греч. кара^оЩ (parabole) — срав¬
нение; от этого слова произошли заимство¬
ванные лат. слова: parabole — подобие, para¬
bola притча, т. е. рассказ, основанный на
сравнении. В европейских языках встречается
и в качестве математического термина, т. е.
для обозначения кривой и со значением ал¬
легории.
Термин «парабола» нужно рассматривать в
связи с названиями других конических сече¬
ний (эллипса и гиперболы). Архимед пользо¬
вался еще старыми названиями этих кривых,
т. е. сечение прямоугольного конуса, сече¬
ние тупоугольного конуса и сечение остро¬
угольного конуса. Эти названия связаны с
исследованиями Менехма, который для полу¬
чения параболы, гиперболы и эллипса пере¬
секал плоскостью, перпендикулярной к обра¬
зующей, три различных конуса (прямоуголь¬
ный, тупоугольный и остроугольный—-см.
триада Менехма). Правда, одно сочинение
Архимеда называется «Квадратура параболы»,
но историки принимают этот заголовок за
позднейшую интерполяцию. Современные на¬
звания конических сечений введены Аполло¬
нием (см. Аполлониева окружность). Некото¬
рые авторы полагают, что новые названия
лишь более кратко выражают идею, вложен¬
ную в старре названия. В самом деле, для
получения эллипса (elleipsis—недостаток)
нужно было пересечь плоскостью конус, у
которого угол при вершине меньше пря¬
мого; для получения параболы (parabole —
сравнение) нужно было взять конус, у кото¬
рого угол при вершине между образующими
равен прямому, и для получения гиперболы
(hyperbole—избыток) нужно было взять ко¬
нус с углом большим прямого. Аполлоний
отказался от трех конусов и получал все три
кривые, пересекая один конус различно рас¬
положенными плоскостями.
Согласно другому толкованию, названия
кривых второго порядка выражают те свой¬
ства их, которые особенно легко наблюдать,
если написать их уравнения относительно
вершины. Уравнение параболы в этом случае
имеет вид: у2 = 2рх. Значит, можно сказать,
что квадрат, построенный на ординате какой-
нибудь точки параболы, равновелик
прямоугольнику, построенному на удвоенном
параметре кривой и на абсциссе взятой точки.
Бели мы возьмем соответствующие уравнения
для эллипса и гиперболы (уг— 2вд— qx-x\
у2 = 2рх-\- qx-x), то увидим, что и здесь
квадрат, построенный на ординате, равен
прямоугольнику, построенному на удвоенном
параметре и абсциссе, но в первом случае
уменьшенному на некоторую величину
(недостаток), а во втором случае увели¬
ченному на ту же самую величину (избы¬
ток). Иными словами, уп шяиутый квадрат в
одном случае меньше прямоугольника (имеет
недостаток), в другом случае больше прямо¬
угольника (имеет избыток).
Параболоид, греч., состоит из двух слов:
кара$оЩ (parabole) сравнение и eiBo; (eidos) —
вид, наружность. См. парабола.
Параллелепипед, греч., состоит из двух
слов: яараШ)Хо; (parallelos) — идущий рядом и
IraraBov (epipedon) — плоскость, поверхность.
Параллелограм, греч., состоит из двух слов:
jcapdXXrp.oi (parallelos) — идущий рядом и урарр.^
(gramme) линия.
Параллельный, греч., 7сараХЯу]Хо« (parallelos)—
идущий рядом.
Это слово перешло во многие европейские
языки.
Параметр, греч., тсараретрёи (parametreo) — из¬
меряю одну вещь другою' сравниваю. В ка¬
честве математического термина встречается
во многих европейских языках.
Partes proportionales, лат. pars, род. пад.
partis — часть, proportio — соразмерность. Сло¬
ва эти поставлены в именительном пад. mhcn
жественного числа.
Букв. знач.— части пропорциональные.
Пента, от греч. ravre (pente) — пять (числи¬
тельное). Входит в состав многих заимство¬
ванных слов: пентаэдр и др.
Периметр, греч., состоит из двух слов: rapt
(peri) — около, вокруг и pirosiv (metrein) —
измерять.
Букв, знач.—окружность.
Период, греч. rapioBos (perlodos)— обход, кру¬
говое обращение. Происходит от слов rapi
(peri) около, вокруг и 0004 (hodos) — дорога,
путь.
Периферия, греч. mpiaipaa (periphereia) —
окружность, округление. Состоит из слов
rapt (peri) — около, вокруг и <pipu> (phero) несу.
Перпендикуляр, лат. perpendiculum — отвес,
от глаг. perpendere взвешивать.
Перспектива, лат. от глагола perspicere —
видеть сквозь, проникнуть взором что-либо.
Пирамида, греч. лорарлс род. пад. лорардВо;
(pyramis, pyramidos) — пирамида. Существует
мнение, что это слово заимствовано у егип¬
тян.
2 Математика в школе, № 4
17

Планиметрия, состоит из двух слов: лат.
planus — ровный, плоский и греч. p-Erpsiv (met-
rein) — измерять.
Плюс, лат. plus — больше, сравнительная
степень от miiltum — много.
Полигон, греч., состоит из двух слов: тоХб?
(polys) многий, многочисленный и pivia
(gonia) — угол.
Букв. знач.— многоугольник.
Полином, греч., состоит из двух слов: тоХб?
(polvs) многий, многочисленный и vo[j.g; (по-
mos) — часть, доля.
Полиэдр, греч. состоит из двух слов: тсАо;
(polys) — многий, многочисленный и ебра
(liedra) — основание.
Букв. знач. многогранник.
Постулат, лат. postiilatum — требование, от
глаг. postulare требовать, просить.
Потенциальный, от лат. potentia — сила,
влияние, власть, способность.
От слова potentia происходит нем. Potenz —
степень в математическом смысле. Диофант
обозначал квадрат неизвестного словом 66va|ais
(dynamis) сила, способность, могущество, зна¬
чение. На лат. язык этот термин перевели
словом potentia, отсюда и возникло употреб¬
ление этого слова при возвышении в степень.
См. слово потенцирование.
Потенцирование, от нем. potenzieren — воз¬
водить в степень. В основе лежит корень
лат. potentia — способность, сила.
Призма, греч. npicjm (prisma) — отпиленный
кусок; от глаг. ярко (prio) — распиливаю.
Призматоид, греч. состоит из двух слов:
7cpiopa(prisma) отпиленный кусок и eioos(eidos)—
вид, наружность.
Букв. знач.— сходный с призмой по виду.
Прим происходит от сокращения лат. слова
primum — первое (primus — первый).
Часто употребляется для названия индекса
при буквах, например, at (читают а прим).
Проблема, греч. кр'Щг^ха (problema) — то,
что выставляется вперед; утверждение, вы¬
ставляемое или для доказательства, или для
опровержения.
Прогрессия, лат. progressio — движение
вперед.
Проекция, лат. projectio — бросание вперед,
от глаг. projicere — выбрасывать, бросать.
Пропорциональность, лат. proportio — со¬
размерность; от слов pro — сообразно с чем
и portio — часть, доля.
Процент, лат. pro cento — за сто.
Это выражение нужно понимать так: глу¬
бокая древность не знала иных процентов,
кроме коммерческих. Для римлянина, поло¬
жим, эпохи цезарей, выражения пятипроцент¬
ный раствор или процент смертности были
бы непонятны; он понимал под процентами
деньги, которые платит должник заимодавцу
«за каждую сотню» рублей. Отсюда и произо¬
шло название процент, т. е. плата за сотню.
Псаммит, греч. фарьриг^с— песчаный (psam-
mites). Название одного из сочинений Архи¬
меда (287—212 г. до P. X.). Псаммит содержит
решение вопроса о числе песчинок, если бы
они наполняли вселенную.
Псевдосфера, греч., состоит из двух слов:
ф£оЕо« (pseudos) ложь, вымысел и aipaipa (spha-
ira) — шар.
Пунктир, от лат. punctum — точка, момент,
мгновение.
Р
Радиальный, фр. radial — лучистый, луче¬
вой.
Радиан, фр. radiant — испускающий лучи,
лучеобразный.
Радикал происходит от латинского слова
radix — корень; род. пад. radicis.
Радиус, лат. radius — палочка, спица, радиус.
Слово radius — в англ. и фр. языке употреб¬
ляется как анатомический термин (лучевая
кость).
Рациональный, лат. ratio, разум.
Regula falsi; полное название: regula falsi
simplicis positionis; буквальный перевод: пра¬
вило ложного простого положения.
Так назывался «метод ложного положения?,
применявшийся в средние века и состоявший
в замене неизвестного произвольным числом.
Резольвент, лат. глаг. resolvo — неопр.
наклон, resolvere — разрешать, развязывать.
Результант от лат. resultare — отпрыгивать
назад, отдаваться, отражаться.
Рекуррентный, лат. recurrens, род. пад.
recurrentis — возвратный.
Ромб, греч. pojrpos (rhombos)— кубарь.
Ромбоэдр, греч., состоит из двух слов:
(rhombos)—кубарь и ёора (liedra) — основа¬
ние.
—---—чеХЭ’

«/туги —	-	—	-гСу^л	»_	.	_	-т.
МЕТОДИКА
ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
М. С. БЕРПШТЕЙЛ (Москва)
]сли в отношении вооружения наших
учащихся знаниями наша школа
добилась за последнее время зна¬
чительных успехов, то в отноше¬
нии развития их самостоятельного
мышления во многих случаях дело обстоит у
нас не совсем удовлетворительно, а без этого
и знания учащихся не могут быть ни система¬
тическими, ни глубокими, ни прочными, ибо
качество знаний теснейшим образом связано
и взаимно обусловливается качеством само¬
стоятельной мыслительной деятельности уча¬
щихся.
Испокон веков математика рассматривалась
как дисциплина, которая, наряду с родным
языком, лучше всего обеспечивает эту дву¬
единую образовательную и воспитательную
задачу, как дисциплина, одновременно обес¬
печивающая и вооружение учащихся систе¬
мой полезных теоретических и практических
знаний, и развитие строго логического науч¬
ного мышления.
Однако уж давно прошло то время, когда
думали, что преподавание математики обес¬
печивает глубокие знания и развитие мате¬
матического я^ышления, так сказать, авто¬
матически.
Слушая, в частности, механические «попу¬
гайные доказательства» некоторых наших
учащихся, зазубренные ими прямо по учеб¬
нику Киселева, невольно приходишь к убеж¬
дению, что нередко, благодаря неправильной
постановке преподавания геометрии, эти уча¬
щиеся скорее разучиваются логически
доказательно мыслить. Отсюда низкое каче¬
ство их знаний по геометрии, о котором так
часто приходится нам слышать от препода¬
вателей вузов, равно как и от людей, кото¬
рые наблюдают практическую беспомощность
многих наших учащихся на производстве и
в быту.
Главной причиной такого неудовлетвори¬
тельного состояния математических и, в част¬
ности геометрических, знаний наших уча¬
щихся, безусловно, является недооценка роли
и значения этой воспитательной сто¬
роны нашей учебной работы, недостаточное
наше внимание к развитию самостоятельного
доказательного мышления наших учащихся.
Чтобы овладеть математикой, а тем более,
чтобы выжать из изучения этой дисциплины
максимум того, что она может дать для
умственного развития учащихся, необходимо,
чтобы учащиеся глубоко ее пони¬
мали и осмысливали. Путем заучива¬
ния можно выучить сколько угодно мате¬
матических правил и законов, но нельзя
научиться решать задачи; путем зазубрива¬
ния можно, в частности, выучить сколько
угодно доказательств теорем, но таким путем
нельзя научиться самостоятельно доказывать
новые теоремы, нельзя овладеть методом
логического доказательства — этим мощным
орудием научного познания действительно¬
сти.
«Чтобы изучение математики принесло уче¬
нику пользу,— говорит французский мате¬
матик Адамар,— и не требовало бы от него
чрезмерных усилий и привело к правильно¬
му представлению о геометрии, надо, чтобы
ученик твердо знал, что мало понимать
предлагаемые ему рассуждения,— он должен
в той или иной мере научиться самостоя¬
тельно строить на основании изученного
новые умозаключения, находить доказа¬
тельства теорем и решать задачи» *.
КУожалению, н методическая наша лите¬
ратура не уделяет этой стороне преподава¬
ния должного внимания.
В последующих страницах я хочу поэтому
попытаться ответить на вопрос о том, как
научить учащихся самостоятельно доказывать
теоремы и решать задачи на доказательство.
Повседневное наблюдение, равно как и
целый ряд экспериментальных исследований,
показывает, что изучение того или иного
материала протекает легче, быстрее и за¬
крепляется прочнее, когда учащийся
знает, зачем и для чего он учит.
Поэтому, первым условием успешного овладе¬
ния учащимися методом доказательства яв¬
ляется постепенное раскрытие и глубокое осо¬
знание ими значения и назначения этого мето¬
да познания действительности. Как известно,
сущность этого метода, в отличие от эмпи¬
рического наблюдения или эксперименталь¬
ного исследования, заключается в том, что,
исходя из некоторых положений, правиль¬
ность которых установлена, выводят при
помощи рассуждения и системы умозаклю¬
чений правильность все новых и новых поло¬
жений и фактов, ранее неизвестных.
Первое применение этого метода должно
поэтому быть сделано не мимоходом и в
известной степени внезапно, как это обычно
происходит у нас на уроке, когда мы пере¬
ходим к теореме о биссектрисе равнобедрен¬
ного треугольника, а должно быть особенно
* К. Адамар — «Элементарная геометриям, ч. I.
Учпедгиз, 1936, гл. «О методах, применяемых н гео¬
метрии».
2*
19

1. Доказательства. основанные на аксиомах.
с
о
Я	С	о	в
а)
яс=ов
ЯО = СВ 9
Чер. 1
Л
ло=св
яс=ов>
оо±св
col оя
Чар. г
i-1-и.г -->80
22=23
ti*t3=iao‘2
1/2
Чер 3
*.3 = 2-4 9
41±
\г
\
21 =*.2 какВерток.
а)ес/ш22=23,то21**з ?
6}всли* 1 =23.то*3=*2 ?
Чер. 4
а)
ЛВЗ-СО
22 =23
СКЧ	о
*1=*Я?
g,2f = 24
22 =23
Я В ICO?
Чер 6
чер 5
2 АоказательстВа, основанные
но свойствах равнобедренных треуг -ков,
я
и неоднократно подчеркнуто учителем.
Сопоставляя этот метод познания с простым
суждением «на-глаз» или с методом эмпири¬
ческого измерения, следует подчеркнуть, что
лишь в результате логического доказатель¬
ства мы достигаем достоверности на¬
ших положений, причем сделанное нами таким
путем открытие носит более или менее
общий характер и распространяется на
целую группу геометрических объектов: дру¬
гими словами, таким путем мы устанавливаем
некоторый закон, а не только тот или
иной эмпирический факт.
Ценность каждой доказанной теоремы
не только в том, что мы узнаем при ее
помощи те или другие пространственные
соотношения геометрических фигур, а глав¬
ным образом в том, что доказанная
теорема становится ключом к от¬
крытию новых бесчисленных гео¬
метр и чес к их фактов и соотноше-
н и й. Надо, чтобы учащиеся поняли, что
всякая доказанная теорема может быть не¬
медленно использована для доказательства
новых теорем, для дальнейших геометриче¬
ских открытий. Но чтобы теорема стала
таким орудием добывания научных истин,
она предварительно должна сама быть дока¬
зана. Надо, чтобы учащиеся знали, что в
20
настоящее время су¬
ществует бесчислен¬
ное количество гео¬
метрических теорем,
что формулировка
новых теорем про¬
должается и по сей
день и будет постоян¬
но продолжаться; что
многие теоремы они
могут сами сформу¬
лировать, в частно¬
сти, что многие из
задач на доказатель¬
ства, которые они бу¬
дут решать, могут
быть сформулирова¬
ны в виде теорем.
Надо, чтобы ученик
понимал, что чем
больше он будет
знать теорем, чем
больше он сам дока¬
жет теорем, тем луч¬
ше будет вооружен
для самостоятельных
исканий в области
геометрии и для прак¬
тической деятельно¬
сти. Вместе с тем уче¬
ник должен знать,что
«передоказать» все
существующие тео¬
ремы и невозможно,
и не необходимо, что
главное —это овла¬
деть методом и
приемами само¬
стоятельного
доказательства
настолько, что¬
бы быть способ¬
ным и уметь до¬
казать новые те¬
оремы, которые
могут встретиться в дальнейшем.
Убедить учащихся в значении и полезности
уменья самостоятельно доказывать теоремы
сравнительно не трудно. Гораздо труднее
этому их научить, еще труднее добиться
овладения ими методом доказательств. Реше¬
ние этой последней задачи требует детально
продуманной и тщательно проводимой сис¬
темы методических приемов, обеспечивающих
постепенные и посильные упражнения уча¬
щихся в сознательном пользовании этим
методом доказательства. Как правильно ука¬
зывают авторы новейшего американского
учебника по геометрии Снел и Крауфард*
«занятия по доказательной геометрии идут
впоследствии значительно быстрей и с боль¬
шим пониманием, когда основные понятия
прорабатываются со всей необходимой тща¬
тельностью. Не следует опасаться, если зна¬
чительная часть первого семестра потрачена
на постепенное и прочное усвоение геомет¬
рических ОСНОВ').
Учитель геометрии должен постоянно по¬
мнить, что ничто так не убивает интерес уча¬
щихся, как трудности, которые он не в силах
преодолеть, и что ничто, наоборот, не вызы-
* Snell and Crawford — «Clear Thinking — an Approach
Through PIa.ie Geometry». 1933.

васт в нем большего энтузиазма, чем созна¬
ние того, что он научается делать то, что
ему нужно и хочется делать.
Самым лучшим учителем здесь является
практика, в данном случае—практика уча¬
щихся в самостоятельном доказательстве гео¬
метрических положений, начиная с самых
элементарных, при помощи аксиом, на гото¬
вых чертежах, с постепенным переводом их
на все более высокие ступени сложности,
к доказательствам, где требуется одна или
несколько вспомогательных построений.
Вот несколько иллюстраций таких элемен¬
тарных задач на доказательства, применя¬
емых мною и другими педагогами нашей
школы с первых же уроков преподавания
геометрии в шестых классах. (Первые 29 чер¬
тежей),
частая ошибка, допускаемая учащимися
при доказательствах, заключается в непра¬
вильном пользовании ими положением о том,
что «соответствующие части равных фигур
равны между собой». С одной стороны, уча¬
щиеся пытаются нередко ссылаться на равен¬
ство отрезков, углов, дуг и т. д. р а н ь ш е,
чем они доказали, что эти отрезки, углы или
дуги являются соответствующими частями
равных фигур. Но еще чаще приходится
констатировать, что затруднения учащихся
при доказательствах или решении задач воз-
Доказательства, основанные
на'прйзнаках равенства mpet/голвников
Е - середина ЛВ
£.1 = £-2
Чер. 15
О- середина ДВ
COl ЛВ
б)Второй признак
Чер.17
Чер.23
Чер. 2 5
21

л в -- лв,
I Третий признак
Чер. 26
Чер 27
ЬЛВС-равноб.
а с. л ОС- ровной
Д ьШ^ьВОС*
Чер.29
пикают именно потому, что они «забывают»
или не умеют пользоваться этим важным
оружием геометрического доказательства.
Весьма полезно наряду с вышеприведен¬
ными задачами предусмотреть в своем плане
уроков специальные задания, требующие при¬
менения этого оружия.
Приведем для примера несколько таких
задач из различных разделов и из курса
различных классов (черт. под № 30—55).
ав=вс
D, Еи Г-середины сторон
Л ED-DF?
х Сй° теоремы о средней
74	линии	&)
ABX.AD
СО\-ДО
£-1 = 4-2
РВ=ВС
F- серединаАС
F0±A3
FE-L ВС
DF=FE*
Чер 35
А В СО- пар-м
ВЕ±АС
Чер. 36
АЕ-бис. *-А
AD=OE
Чер.37
A BCD-пар-м
АЕ-бис.*-А \ FC- бис А С
AE=FC?
/EZ7-
Чер. 39
//В II СО
НС рисе С; GF&UCC Л
Под каким у слом
О пересекутся
эти 6ис-сы?
Чер. 41
Л BCD пар-м
В и Л -середины сторон БСиАО
ВН= Н& -6D 7
Вне ,= ,С
Чер. 7/2
, АВ-ВС
£о-продВС=ВЛ-пройАВ
О-серединаАС /
£D = DF?
Чер. кВ
АВС-раВмо&Ь.
' BD-8E
ЧерАк
Мы сознательно остановились на э л е м е н-
тарных задачах на доказательство, осно¬
ванных на аксиомах, определениях и на
первых теоремах. Очна из основных оши¬
бок, часто допускаемых недостаточно опыт¬
ными учителями при начальном преподава¬
нии геометрии, заключается в том, что они
не добиваются ясного, точного и простого
усвоения учащимися основных элементов,
на которых построено все дальнейшее пре¬
22
подавание. Часто учащиеся лишь поверхно¬
стно усваивают первые определения и основ¬
ные положения и, не получив необходимой
практики в пользовании ими, быстро забы¬
вают и часто путают их. Это крайне затруд¬
няет дальнейшее усвоение.
Эти элементарные задания имеют своей
целью наполнить основные определения,
аксиомы и теоремы конкретным геометриче¬
ским содержанием, постепенно приучить, а

Wep Ч5
ДВ-диаметр
00±ДС
ОСИ СВ? Q
ВГ-бисс. t-B?
£
СдереВиля ~ДЗ
С01. ОД
CELOB
S ~~p4^QD-paduydl/K;xopd
f J \ ДВ - диаметр
%£)~л
чер. 49
ДВ=ВО*
Vep.SO
ДВ и ДС-касат.
ОС- диаметр
СДНВС ?
Чер. 51
F-лроиз В. точка Внутри Л
£Г11Дв:вД11ДС
£С _ DS п
£ £В ~ ЪС ■
ДВСй-четырехуеольник
Е-проиэв.точка на диаеЛС
Ев иве; ее и со
Дв _ Д£ 9
■ST - Та?
Чер. 53
Чер. 54
чер.
главное, приохотить учащихся к решению
геометрических задач на доказательство,
убеждая их на посильных для них заданиях,
что они могут при желании овладеть этим
основным орудием научного познания, что,
пользуясь им, они могут самостоятельно
установить существующие соотношения и
закономерности.
На первых порах необходимо и целесооб¬
разно давать эти задания на заготовлен¬
ных учителем чертежах, ибо перевести
условия геометрической вадачи на графиче-»
ский язык часто бывает слишком трудно, а
нередко и непосильно для значительной
части учащихся.
Еще труднее бывает учащимся перевести
условие задачи на язык геометрической сим¬
волики, т. е„ пользуясь заготовленным по
условию задачи чертежом, записать кра¬
тко при помощи принятых в гео¬
метрии обозначений, что дано и что
требуется доказа^. Здесь мы по существу
имеем такое же положение, как при состав¬
лении уравнений по условиям задач в ал¬
гебре.
При решении алгебраических задач каждый
педагог уделяет много сил и внимания тому,
чтобы научить учащихся «перевести условие
задачи на алгебраический язык». В геометрии
же мы этой стороне дела уделяем крайне
мало внимания; между тем можно категори¬
чески утверждать, что эта сторона вопроса
играет в геометрии не меньшую, а пожалуй,
даже большую роль, чем в алгебре. Правиль¬
но сделать чертеж и грамотно, лаконично и
ясно перевести условие на язык геометри¬
ческих обозначений по чертежу часто озна¬
чает большую половину работы и нередко
непосредственно ведет к решению задачи.
Особенно тщательным должен быть сделан
переход к первому доказательству теоремы.
Здесь учащимся должны даваться следующие
основные указания:
1. Каждую теорему надо читать медленно
и внимательно, продумывая при этом зна¬
чение каждого слова.
Например: «В равнобедренном треуголь¬
нике биссектриса является также и медианой
и высотой». Здесь прежде всего надо отдать
себе отчет в том, что такое «равнобедренный
треугольник», что такое «биссектриса», «ме¬
диана», «высота».
2. В теореме следует четко различать то,
что дано, от того, что требуется до¬
казать. Обычно теорема формулируется
в виде: «если—...то». За словом если
следуют те .условия, которые считаются
данными, за словом «то» — что должно
из этих данных следовать. Необ¬
ходимо неустанно указывать учащимся, что
справедливость данных в условии положе¬
ний не нуждается в дальнейших доказатель¬
ствах, что доказывать следует
только справедливость заключе¬
ния. В случае, когда теорема не представ¬
лена в форме «если... то», весьма полезно
для учащихся бывает предварительно пере¬
формулировать ее в эту форму.
3. Переходя к доказательству теоремы, не¬
обходимо прежде всего сделать чертеж, т. е.
перевести условие на графиче¬
ский язык. Чертеж должен соответ¬
ствовать условию теоремы. Чтобы фигу¬
ра соответствовала условиям, необходимо,
23

чтобы она обладала темн свойствами, кото¬
рые указаны в условии и только этими
свойствами. Несоблюдение условий нередко
делает невозможным и затруднительным до¬
казать справедливость заключения, или же,
наоборот, если начерченная фигура обладает
лишними свойствами, не указанными в усло¬
вии, доказательство приобретает характер
более частной или более общей закономер¬
ности, чем предусмотрено в условии. Соответ¬
ствие условию предполагает также более
или менее точное соблюдение относительных
размеров отдельных частей фигуры. Очень
полезно с первых же шагов приучать учащих¬
ся пользоваться масштабом при черчении на
доске и в тетради. На первых порах учащиеся
должны пользоваться при вычерчивании фи¬
гуры линейкой, циркулем и транспортиром,
в дальнейшем, однако, следует их приучать
делать аккуратные чертежи от руки.
4. Затем следует обозначить соответству¬
ющие части фигуры буквами н записать тут
же около чертежа условие задачи на языке
геометрических обдзначений.
5. Проверить по чертежу и по геометри¬
ческой записи, все ли данные условия учтены
и использованы.
Так, например, выше приведенную теорему
можно оформить в следующем виде;
Условие дано; АВ = ВС
Z.B. = AB.
Заключение: тр. док. AD = DC?
LDz = L Di?
В
Черт. 56
О с
6.	Отделить условие чертой, и записать
под ней заключение тоже при помощи при¬
нятых обозначений.
Вопросительные знаки, стоящие после каж¬
дой записи заключения, означают, что это
положение еще нужно доказать. Некоторое
время, потраченное на закрепление навыка
такого оформления доказываемой теоремы,
как показывает опыт, вполне себя окупает
в дальнейшем, ибо это дает большую эконо¬
мию при самом доказательстве, как всякая
хорошая заготовка материалов обеспечивает
продуктивную работу над ним.
Выполнив чертеж и сделав запись, можно
приступить к завершающей части, к самому
доказательству. Но чтобы эта главная часть
не носила характера простых проб и оши¬
бок, не производилась на ощупь, необходимо
наметить план доказательства.
Вообще говоря, имеются два пути доказа¬
тельства. Одни часто называют эти методы
дедуктивным и индуктивным, другие — ана¬
литическим и синтетическим. Эти названия
не совсем точны: дедукция и индукция, рав¬
но, как анализ и синтез, неразрывно связаны
в каждом акте рассуждения и взаимно пере¬
плетаются. Конечно, в одних случаях мо¬
жет преобладать анализ, в других — синтез.
Я предпочитаю различать эти два пути
по следующему важному и понятному для
учащихся признаку: можно при доказатель¬
стве отправляться или от того, что дано, или
от toro, что требуется доказать.
Проиллюстрируем'это на примерах.
Предположим, что нам надо доказать тео¬
рему: «Диагональ делит параллелограм на
два равных треугольника».
л	с
Черт. 57
Чертим ABCD — параллелограм
BD — диагональ
Тр. док.: Д ABD = Д BCD?
Доказательство (отправляясь от того, что
дано). Что значит, что ABCD — параллело¬
грам?
— Это значит: 1) что АВ || CD, AD\\BC.
А что значит, что BD — диагональ? Это зна¬
чит, что BD соединяет две вершины парал-
лелограма, т. е. пересекает каждую из 4 сто¬
рон параллелограма в какой-либо точке,
поэтому мы можем BD рассматривать как
секущую по отношению к каждой паре
параллельных. При пересечении параллель¬
ных секущей, соответственные и внутрен¬
ние накрестлежащие углы, равны, значит
Zl=Z4 и Z2=Z3.
Таким образом, в треугольниках ABD и
BDC сторона BD является общей, а потому
равной самой себе, и два прилегающих к
этой стороне угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого
треугольника. На этом основании мы можем
заключить, что ДАВО = ДДОС. Теорема
доказана.
Но мы могли повести свое рассуждение
с обратного конца: нам надо дока¬
зать, что Д ABD = Д BDC. Что мы знаем про
эти треугольники? Во-первых, мы знаем, что
в каждый из них входит сторона BD. Что
же нам еще нужно для того, чтобы доказать,
что эти два треугольника равны?
Для этого, как известно, мы можем восполь¬
зоваться одним из трех признаков равенства
треугольников, т. е. доказать одно из сле¬
дующих трех положений:
1) два прилегающие к стороне BD угла
одного треугольника соответственно равны
двум углам другого треугольника;
2) какая-либо сторона одного треугольнику
и угол, заключенный между этой стороной и
стороной BD у одного треугольника, равны
стороне и углу, заключенному между ней и
BD другого треугольника;
3) остальные две стороны одного треуголь¬
ника соответственно равны остальным двум
сторонам другого треугольника.
Обращаясь к условию теоремы, т. е. к тому,
что нам дано, мы легко убеждаемся, что мы
можем доказать любой из этих трех
признаков, а именно:
24
I

Поскольку ABCD— параллелограм, постоль¬
ку /. 1 =/. 4 и /. 2 = /_3. Отсюда Д ABD =
= ABCD (по I-му признаку).
Поскольку ABCD— параллелограм, АВ || CD,
поэтому /. 2 = /. 3 и АВ = CD, значит,
ДДбО= A BCD (по 2-му признаку).
Наконец, поскольку ABCD — параллело¬
грам, AB = CD и AD = ВС, потому £\ABD =
= ABCD (по 3-му признаку).
К сожалению, в нашей практике мы слиш¬
ком часто пользуемся первым и очень мало
вторым путем доказательства. Объясняется
это, в первую очередь, дедуктивным построе¬
нием геометрии у самого Евклида и в наших
учебниках, ограниченностью времени и из¬
вестной довлеющей еще над нами традицией.
Это часто ведет к тому, что вместо того
чтобы стимулировать учащихся к самостоя¬
тельным поискам доказательств, мы им пре¬
подносим готовые доказательства, начинаю¬
щиеся со слов: «Для этого проводим...», «Пред¬
положим, что задача уже решена...» и т. д.
Этим самым мы выхолащиваем самую важную
часть всякого доказательства: осознанное
искание и действительное открытие этого
доказательства.
Если мы хотим требовать от учащихся,
чтобы каждый логический шаг в их доказа¬
тельстве был мотивирован и обоснован, а
именно этого мы должны от них требовать,
то нам самим необходимо при доказатель¬
ствах и построениях мотивировать и обосно¬
вывать каждый шаг. Между тем часто при¬
ходится выслушивать со стороны наиболее
вдумчивых учащихся замечание: «Но откуда
же было догадаться, что именно таким обра¬
зом надо доказывать или решать задачу?».
Совершенно очевидно, что какой бы путь
доказательства мы бы ни избрали, нам необ¬
ходимо значительно усилить элементы ана¬
лиза по существу вопроса. С этой точки
зрения обратный путь «от заключения к
условию», бесспорно, имеет с точки зрения
и возможности учащихся, одно важное пре¬
имущество: в заключении всегда сформули¬
ровано что требуется доказать, и это, не¬
сомненно, дает ужей известное направление
поискам доказательства.
Проиллюстрируем это опять-.таки на при¬
мере:
Предположим требуется доказать, что «Сум¬
ма углов треугольника равна двум прямым».
Дан, значит, произвольный треугольник, и
требуется доказать, что сумма его углов
равна 2 прямым, или 180°.
Конечно, можно «доказать» справедливость
заключения, отправляясь от того, что дано,
т. е. от самих углов треугольника. Скажем,
отрезав все три угла сложить их вместе, или
построить угол равный сумме трех углов,
или обернуть треугольник вокруг трех его
вершии. Но эти доказательства будут чисто
эмпирическими.
Другое дело, когда мы начинаем свое до¬
казательство с заключения: «Нам надо дока¬
зать, что сумма углов треугольника равняет¬
ся 2 прямым». Тут сейчас же перед нами
встает вопрос: «Что значит 2 прямых угла?
Какие углы равны двум прямым?
Вспоминаем: 1) углы, исходящие из одной
точки и рчсположенные по одну сторону
прямой, составляют в сумме развернутый угол,
т. е. угол в 180°;
ЗДатемашка в школе, jsfc 4
2) два смежных угла в сумме равны 180°;
3) внутренние односторонние углы при
параллельных в сумме дают 180°;
4) один прямой да' еще один прямой дают
в сумме 2 прямых, или 180°.
Попробуем воспользоваться каждым из этих
4 положений для доказательства нашей тео¬
ремы.
1.	Образуем из углов треугольника раз¬
вернутый угол.
-Н
Черт. 58
Проведем прямую MN через любую вер¬
шину треугольника (скажем, В)\ мы получим
развернутый угол, в состав которого входит
один из углов треугольника. Таким образом,
доказательство было бы возможно, если бы
нам удалось доказать, что остальные два
угла в сумме равны сумме двух остальных
углов А и С. Произвольно проведенная нами
прямая не дает нам этой возможности.
Тогда перед нами встает вопрос: а нельзя
ли провести прямую так, чтобы между угла¬
ми, которые она образует со сторонами
треугольника, и остальными углами треуголь¬
ника была бы какая-нибудь связь?
Вспоминаем прямую теорему о параллель¬
ных. Изменяем направление MN так, чтобы
она стала параллельной противолежащей /_ В
стороне АС. Тут мы сразу замечаем, *что
действительно мы получили /.3=^/1 и
/_ 4 = £_ 2 как накрестлежащие при парал¬
лельных. Тем самым мы получили первое
доказательство теоремы.
Черт. 59
Можно для закрепления предложить уча¬
щимся провести эту параллельную прямую
через другую или третью вершину треуголь¬
ника. Результат получится тот же.
2.	Как мы видели, существуют и другие
углы равные 2 прямым, например, два смеж¬
ных угла в сумме = 180°.
Воспользуемся этим положением: строим
у любой вершины треугольника смежный с
ним угол путем продолжения одной из его
сторон.
Черт. 60
На основании положения о смежных углах
мы можем написать, что
/_ АСВ +£BCD= 180°
25

Значит, если бы нам удалось доказать, что
/_ А -4- £_ В — /_ВСП, теорема была бы доказа¬
на. Опять-таки нам на помощь приходит
теорема об углах при параллельных: прово¬
дим через вершину С прямую СЕ, параллель¬
ную АВ. /_ 1 = /_ А как соответственные при
параллельных, /.2=/_В как накрестлежа-
щие при параллельных. Теорема снова дока¬
зана.
3. Попытаемся воспользоваться свойством
внутренних односторонних углов при парал¬
лельных.
Через произвольную вершину треугольни¬
ка (скажем, в данном случае через А) про¬
водим AD, параллельную ВС.
/_ D АС + Z. АС В = 180°, как внутренние
односторонние при параллельных.
Но DAC состоит из /_ САВ и / BAD, а
этот последний (/. BAD) равен /_ как на-
Черт. 61
крестлежащий при параллельных прямых.
А так как равные величины могут заменить
друг друга, то вместо /_ DAC мы можем
взять равную ему сумму углов CABABC.
Если к этой сумме прибавить еще /_ АСВ, то
получим, что /_А-\-/_В-\-/_С = 180°.
4. Мы можем, наконец, доказать эту тео¬
рему и при помощи 4-го положения: 2 пря¬
мых— это прямой угол прямой угол.
Для этого мы около вершин двух произ¬
вольных углов треугольника восстанавливаем
по перпендикуляру: AD и ЕС—перпендику¬
ляры к АС (черт. 62). Чтоб доказать нашу
Черт. 62
теорему, нам остается лишь доказать, что
/_В равен сумме двух дополнительных углов,
т. е„ что £_ В = /_ DAB -|- /_ ВСЕ. Здесь опять-
таки нам на помощь приходит свойство углов
при параллельных: из вершины В опускаем
перпендикуляр на AC. BF будет параллельным
к нашим перпендикулярам AD и ЕС, £_ DAB—
= /_ABF и /_ВСЕ = l_ FBC, как накрестле-
жащие при параллельных прямых. Таким
образом, и этот четвертый способ дает воз¬
можность доказать нашу теорему.
Достоинство такого, преимущественно ана¬
литического, пути доказательства теорем со¬
вершенно очевидно: он делает действительно
осмысленным каждое ззено в цепи логиче¬
ских рассуждений, тем самым убивает в самом
корне основную болезнь в обычном усвое¬
нии геометрии: механическое воспроизведе¬
ние готовых, неизвестно откуда возникших
способов доказательств. Во-вторых, он кон¬
кретно показывает учащимся, что к доказа¬
тельству каждой теоремы можно и должно
подходить с разных концов, пользуясь раз¬
личными исходными положениями. На опыте
такого разнообразия доказательств можно
поставить перед учащимися вопрос о сравни¬
тельной оценке каждого способа доказатель¬
ства, степени его соответствия критерию эко¬
номии сил, простоты и изящества, тем самым
поставив перед ними существенный вопрос
о качестве доказательства, совершенно
игнорируемый при шаблонном преподавании
геометрии.
Аналитический способ доказательства по¬
зволяет, наконец, поставить перед учащимися
со всей убедительностью и увлекательностью
вопрос о самостоятельных поисках ими но¬
вых доказательств. Дав им в руки испытан¬
ное орудие анализа вопроса по существу
и показав им на ряде примеров, что теоремы
действительно допускают различные способы
доказательства, нам становится значительно
легче воспитать в них естественную по¬
требность в самостоятельных поисках но¬
вых доказательств.
Еще в прошлом столетии немецкий мате¬
матик Кэрр очень удачно сформулировал
эту мысль: «Лучше одну теорему разобрать
десятью способами, чем десять теорем одним
способом». Это указание Кэрра, к сожалению,
не реализуется преподавателями математики
еще и в настоящее время.
Надо сказать, что мы зачастую не только
ограничиваемся одним доказательством тео¬
ремы, но умудряемся к тому же выбрать
менее понятное и менее изящное.
Так, например, малоудачными являются
приведенные в учебнике доказательства тео¬
ремы об измерении углов дугамш Эти дока¬
зательства, в частности, затрудняют весьма
полезное в этом случае обобщение всех
частных теорем одной теоремой, согласно,
которой «любой угол измеряется алгебраиче¬
ской полусуммой дуг, заключенных между
его сторонами и между их продолжениями»*
(черт. 63 —67).
Имеются более удачные доказательства
теоремы об углах с взаимно перпендикуляр-
* Едва ли целесообразно усложнять вопрос об из¬
мерении центральных углов заменой одной дуги полу¬
суммой двух, тем более считаем нецелесообразным
только в интересах обобщения (и притом единствен¬
ного во всем курсе) вводить понятие об отрицатель¬
ной (направленной) дуге. Ценпость предлагаемых здесь
автором доказательств теорем об измерении углов мы
видим, прежде всего, в их большей простоте по срав¬
нению с доказательством в стабильном учебнике, а
главное, в единстве метода, поэтому мы данную по¬
следовательность теорем предпочли бы изложшь в
таком примерно порядке:
(дасм сокращенную запись)
1. Z АОВ изм.' АВ.
2.	'	АЕ	—	w	BD	~	'	ЕС:
-£С = Г^5
2
Z ABC = Z ЕОС изм.
SZABC = ZDEC>,3u. ^£С =rlDd±^C;
2 2
i. — AE =
■ED.
/_ ABC — Z EDC изм.
-~-AC
~EC
' AC -
■AE
■FD
5. w У1В = — DB\
Z ABC = Z DAB изм.
■BD w AB
2 2
26

л в
Центр 4. РОВ изме -
. pdemcfT^B±^££
^CfJ V\J
г—f
Вписанный угол ABC измеряется
^^2 (второй дуга равна О, поскаль*
ку вершина леурит на окружности)
^£С- ~В0~В0 ~А£.\ ~А£ г £С или
w л/*
каждая из них =
*	/О л
/.£0С измер. —£С,т.е	,
С г. ЛВС ~ *- £0С, как соот. при П
с. ДВС измеряется
t- ABC измеряется
'zftc+^er. „ег^/г
г
£. ABC = 4.0АВ
ОРВ измер.
или равной ей^р
Чер. 67
ными или взаимно параллельными сторонами,
о внешнем угле треугольника, о замеча¬
тельных точках в треугольнике, о параллель¬
ных, пересекающих стороны угла, о пропор¬
циональных соотношениях в треугольнике и
круге, теоремы Пифагора (алгебраические и
геометрические доказательства) и т. д. Но
дело не столько в облегчении доказательства
отдельных теорем, сколько в самом стиле и
характере преподавания.
Нет конечно ни возможности, да и никакой
необходимости, каждую теорему доказывать
различными способами или обязательно при¬
думывать доказательства отличные от тех,
которые приводятся в учебнике.
На первых порах в шестом классе я не
только пользуюсь доказательствами, приво¬
димыми в учебнике, но нередко трачу спе¬
циальное время на то, чтобы на уроке
прочитать до к азатель с т в о прямо
по учебнику. Ведь нельзя забывать, что
книжный материал учебника геометрии резко
отличается от обычного материала других
учебников и совершенно необходимо при¬
учить учащихся пользоваться этим учебни¬
ком геометрии и другой математической ли¬
тературой. Но .уже и в шестом классе испод¬
воль показываю учащимся доказательства,
отличные от приводимых в учебнике.
На первых порах мы такого рода новые
доказательства подробно записываем в тет¬
радь. В седьмом же и восьмом классе я ста¬
раюсь при изложении нового материала на
уроке привлекать, где это возможно, ориги¬
нальные доказательства, поручая сильным
учащимся самостоятельно разобраться в до¬
казательстве, приведенном в учебнике. Силь¬
ные учащиеся охотно и легко справляются с
этим заданием, средние же ученики имеют
возможность при своем ответе пользоваться
любым из проработанных на уроке и дома
доказательством.
Главное, чтобы на уроках геометрии билась
живая творческая мысль учащихся, чтобы
каждая теорема или положение освещались
бы не изолированно и однообразно, а были
бы осмыслены во всех их связях и опосред-
ствованиях.
Чтобы учащиеся эффективно пользовались
всем этим богатством разнообразных спосо¬
бов доказательств теорем и решения задач,
необходимо все эти способы как-то система¬
тизировать, а главное, привести в «рабочее
состояние». Для этой цели современные за¬
граничные авторы рекомендуют учащимся
составить то, что одни из них образно назы¬
вают «геометрическим инструментальным
ящиком», или «связкой геометрических клю¬
чей», или, как более прозаически другие го¬
ворят, геометрический инвентарь.
Этот инвентарь, составленный обычно в
виде записной книжки учащихся, а иногда
оформленный в виде больших таблиц, выве¬
шенных в школьных математических кабине¬
тах наряду с записью аксиом, определений и
формул, содержит систематизированный пе¬
речень доказательств, часто употребляемых
при решении задач.
Вот примерный перечень, составленный
мною на основании ряда новейших американ¬
ских и английских учебников.
1.	Установить равенство отрезков можно,
доказав:
а) что при наложении они совпадают всеми
своими точками;
б) что они являются соответствующими
сторонами равных фигур;
в) что они являются сторонами треуголь¬
ника, лежащими против равных углов;
г) что они являются сторонами правиль¬
ного многоугольника;
д) что они являются наклонными, отсекаю¬
щими равные отрезки от основания перпен¬
дикуляра;
е) что они являются параллельными прямым,
заключенным между параллельными;
ж) что они являются радиусами одной и
той же или равных окружностей;
з) что они образованы при взаимном пере¬
сечении диагоналей параллелограма;

и)	что они являются отрезками стороны
угла, полученными в результате пересечения
ее параллельными прямыми, при условии
если эти параллельные делят вторую сторону
угла на равные части;
к) что они являются хордами одной и той
же или равных окружностей и что каждая из
них стягивает одинаковые дуги;
л) что они являются частями хорды, раз¬
деленной перпендикулярным к ней радиусом
или диаметром;
м) что они являются хордами одной и той
же или равных окружностей, одинаково от¬
стоящими от центра;
н) что они являются двумя касательными,
исходящими из одной и той же точки;
о)	что они являются расстояниями какой-
либо точки биссектрисы до сторон угла;
п) что они являются расстояниями какой-
либо точки, лежащей иа серединном пер¬
пендикуляре до каких-либо точек основания,
равно удаленных от основания перпенди¬
куляра;
'р) что они являются расстояниями каких-
либо точек одной параллельной прямой от
другой параллельной прямой.
2. Установить равенство углов можно,
доказав:
а) что каждый из них равен прямому или
каждый равен развернутому;
б) что каждый из них составляет с каким-
либо одним и тем же третьим углом или
с равными углами 90 или 180°, т. е. что
они являются дополнительными, или попол¬
нительными, углами к одному и тому же
углу или к равным углам;
в) что они взаимно вертикальны;
г) что они являются соответственными
углами равных фигур;
д) что они лежат против равных сторон
одного и того же треугольника;
е) что они являются углами правильного
многоугольника;
ж) что они являются соответственными,
или внутренними, или внешними накрестле-
жащими углами при параллельных;
з) что их стороны взаимно параллельны
и идут в том же или в обратном направле¬
нии;
и) что их стороны взаимно перпендику¬
лярны и идут в том же или обратном на¬
правлении;
к) что они являются углами треугольни¬
ков, у которых суммы двух остальных
у:лов равны;
л) что они являются противоположными
углами параллелограма;
м) что они являются углами одного и
того же наименования (центральными, впи¬
санными с вершиной внутри или вне круга),
опирающимися на одну и ту же или на
равные дуги одной и той же или равных
•окружностей;
н) что они образованы в результате про¬
ведения биссектрисы.
3. Установить, что прямые параллельны
между собой, можно, доказав:
а) что обе прямые перпендикулярны к
третьей прямой;
б) что при пересечении их третьей, обра¬
зуемые соответственные внутренние и внеш¬
ние накрестлежащие углы равны, а внутрен¬
ние или внешние односторонние в сумме
составляют 2d;
в) что каждая из них порознь параллель¬
на третьей прямой;
г) что они являются противоположными
сторонами параллелограма;
д) что одна из них является основанием
треугольника или трапеции, а другая соеди¬
няет середины боковых сторон треугольника
или трапеции;
е) что они делят каждую сторону угла на
равные или пропорциональные части;
ж) что они делятся пучком прямых на
пропорциональные части;
з) что дуги, заключенные между этими
прямыми, равны.
4.	Установить, что две прямые взаимно
перпендикулярны, можно, доказав:
а) что они образуют два равных смежных
угла;
б) что прямая, параллельная одной из
прямых, перпендикулярна к другой из них;
в) что одна из прямых является крат¬
чайшим расстоянием какой-либо точки от
другой прямой;
г) что они являются сторонами тре¬
угольника, когда сумма углов треугольника,
не заключенных между этими прямыми, со¬
ставляет 90°;
д) что они являются сторонами прямо¬
угольника или квадрата;
е) что они являются диагоналями ромба
или квадрата;
ж) что одна из них является основанием,
а другая биссектрисой противоположного
угла равнобедренного треугольника;
з) что одна из них является хордой, а
другая диаметром или радиусом, проходя¬
щим через середину этой хорды;
и) что они являются сторонами вписанного
угла, опирающегося на диаметр (на полу¬
окружность);
к) что одна из них является касательной,
а другая — радиусом или диаметром, про¬
веденным к точке касания;
л) что одна из них является линией цент¬
ров двух касающихся окружностей, а дру¬
гая — общей хорд и: этих окружностей;
м) что они являются сторонами описанного
угла, точки касания которого делят окруж¬
ность в отношении 1; 3.
Таким же образом составляются перечни
признаков равенства треугольников, подо¬
бия фигур, формулы метрических соотно¬
шений в треугольнике и в круге, формулы
вычисления площадей и т. д.
Так, например, для установления того,
что четырехугольник является параллело-
грамом, можно воспользоваться одним из
следующих способов;
Доказать:
а) что противоположные стороны парал¬
лельны;
б) что противоположные стороны равны;
в) что противоположные углы равны;
г) что две стороны равны и параллельны;
д) что диагонали, пересекаясь, делятся
пополам.
Само собой понятно, что эти инвентарные
записи не даются учащимся в готовом виде,
а составляются самими учащимися в про-
28

цсссе прохождения новых теорем. Некото¬
рые авторы учебника после каждого само¬
стоятельного раздела лишь напоминают
учащимся о необходимости пополнить свой
«инструментальный ящик».
Наличие такого геометрического инвен¬
таря само по себе не гарантирует учащимся
легкого и быстрого решения любой задачи
на доказательство, но умелое систематиче¬
ское пользование им значительно облег¬
чает решение более сложных задач, где
путь доказательства не виден сразу, а дол¬
жен быть отыскан.
Внимательное и вдумчивое сличение усло¬
вия задачи с соответствующим разделом
«инвентаря» позволяет сразу отбросить ряд
неподходящих направлений поисков. Пол¬
нота же перечня зачастую дает толчок мысли,
вызывает в ней проблески, которые спон¬
танно не возникали в голове. Кроме того,
этот инвентарь нередко толкает мысль на
новые дополнительные доказательства.
Возьмем для иллюстрации следующую
задачу.
Черт. 68
Таким же образом доказываем равенство
сторон BE и FD. Обычно этим доказатель¬
ством и ограничиваются.
Но наш перечень содержит еще пятый
способ (д), что диагонали, пересекаясь, де¬
лятся пополам.
И стоит нам только вспомнить об этом
способе доказательства и бросить взгляд на
чертеж, как требуемое доказательство как
бы само «просится в руки».
На самом деле. Что собой представляют
диагонали нашей фигуры BEDF'i С одной
стороны — это DB; т. е. вторая диагональ
параллелограма ABCD, а с другой—это
EF, т. е. вторая диагональ параллелограма
AECF.
Поскольку у обоих наших параллелогра-
мов АС общая диагональ, диагонали
BEDF, пересекаясь с АС, пересекаются и
между собой, и точки их пересечения делят
каждую из этих диагоналей пополам. Это,
безусловно, более простое и более изящное
доказательство.
Действенное значение «геометрического
инвентаря» можно проиллюстрировать и на
анализе следующей задачи на доказательство.
«Доказать, что линии, соединяющие после¬
довательно середины сторон квадрата, также
образуют квадрат».
Черт. 69
«Дано: ABCD и AECF— параллелограмы,
у которых АС — общая диагональ. Доказать,
что BEDF—тоже параллелограм».
Обращаемся к приведенному выше переч¬
ню способов доказательства параллелограма.
Способы: а, в и г могли бы быть приме¬
нены лишь в том случае, если бы нам было
известно что-нибудь об углах, образуемых
сторонами фигуры BEDF. Но так как эта
фигура образована посредством простого
последовательного соединения четырех сво¬
бодных вершин обоих параллелограмов, то,
очевидно, что мы об углах, образуемых
этими «соединяющими», ничего не знаем,
поэтому способы а, в и г само собой отпада¬
ют. Наше внимание обращается на способ б,
т. е. пробуем доказать, что противополож¬
ные стороны BEDF равны между собой.
Начинаем, скажем, с пары BF н ED. Заме¬
чаем, что они являются сторонами /\Z\ABF
и EDC. Значит, необходимо доказать, что
эти треугольники равны. А что мы знаем
об этих треугольниках?— АВ = CD и AF =
= ЕС. Остается доказать, что углы, заклю¬
ченные между каждой из этих пар равных
сторон, равны. Это не представляет ника¬
кого труда, так как /_ BAF = /_ ECD как
углы с соответственно параллельными сто¬
ронами, направленными в обратную сторону.
Для доказательства равенства £BAF и
ECD можно также воспользоваться диаго¬
налью АС:
/_BAC—/_ACD, как накрестлежащие при
параллельных АВ и CD
FAC = /_ АСЕ, как накрестлежащие при
параллельных AF и ЕС.
Сложив почленно оба равенства, получаем
Z_BAF= ECD.
Что значит доказать, что EFGH квадрат?
Это значит доказать, что все его четыре
стороны равны н что углы его прямые.
Так обычно н поступают. Равенство сто¬
рон доказывают при помощи положения:
«Соответствующие части равных фигур
равны между собой», а именно устанавли¬
вают равенство треугольников АЕН, EBF,
FCG и GDE1 по двум Катетам, и затем цутем
вычисления доказывают, что углы 1, 2, 3, 4
являются прямыми, так как вместе с приле¬
гающими к каждому из этих углов острыми
углами они составляют развернутый угол,
а сумма каждой пары острых углов рав¬
на 90°.
Если же и в данном случае вспомнить
(об этом и напоминает «инвентарь!») о свой¬
стве диагоналей, то можно сразу получить
еще два других доказательства.
1) Если соединить вершины четырехуголь¬
ника EFGH, то эти линии как соединяющие
попарно середины квадрата ABCD будут
взаимно перпендикулярны и равны.
Перпендикулярность диагоналей есть ха¬
рактерная особенность ромба, а что речь в
данном случае идет не просто о ромбе, а о
квадрате, легко доказать, сложив любую
пару прилегающих острых углов треуголь¬
ников, образованных в EFGH диагоналями.
Треугольники эти прямоугольные н равно¬
бедренные, значит, каждый острый угол
равен 45°.
2) Но можно еще эффектнее использовать
свойства диагоналей, если провести диаго¬
нали квадрата ABCD. По отношению к
29

\
диагонали АС линии EF и GH будут сред¬
ними линиями треугольников ABC и ADC,
поэтому они будут параллельны АС и рав¬
няться ее половине. Таким же образом ли¬
лии ЕН и FG будут параллельны BD и
равняться ее половине. А так как AC ± BD,
то и параллельные им линии EF н GH бу¬
дут перпендикулярны к линиям ЕН и FG.
Таким образом, при этом способе мы сразу
устанавливаем и равенство, и взаимную
перпендикулярность сторон EFGH. Это дока¬
зательство опять-таки является и более про¬
стым, и более изящным.
Начиная с работы американской исследо¬
вательницы Марии Калкиис о «математиче¬
ском мышлении» и кончая работой известно¬
го английского математика В. Броуна такие
качества, как «хорошая память», «память на
определения и положения», «память на
правила и уменья пользоваться ими» счи¬
таются весьма существенными в успешном
усвоении геометрии.
«Геометрический инвентарь» и должен в
первую очередь служить для учащихся тако¬
го рода памяткой, освобождая их силы
для умелого пользования известными им
геометрическими положениями. Как показы¬
вает опыт преподавания, умелое пользова¬
ние положениями — это нечто большее, чем
простое их запоминание и воспроизведение.
Как правильно указывает английский ученый
Бэрт в своем исследовании «Развитие мате¬
матического мышления у школьников»,
«решение логической проблемы зависит
от чего-то большего, чем от простого
запоминания данных. Эти данные должны
еще быть «схвачены» {grasped.) как единое
целое с пониманием взаимной зависимости
каждой части от остального. «Развитие
мышления — это рост числа, разнообразия,
оригинальности и компактности связей,
которые ум ученика может воспринять и
интегрировать в единое целое».
Геометрический инвентарь значительно
облегчает учащимся процесс анализа задачи
на доказательство, освобождая силы его
ума на синтетическую, созидательную работу,
решающую успех дела.
Само собой понятно, что и при наличии
такой рабочей памятки, работа по геометрии
может принять чисто механический характер,
когда учащиеся просто начинают вслепую
пробовать каждое из положений для реше¬
ния каждой задачи. Необходимо с самого
начала приучать учащихся к сознательному
пользованию этой памяткой. И с этой точки
зрения в начальной стадии работы мотиви¬
рованное доказательство учащимися неприме¬
нимости того или иного положения бывает
так же полезно, как и правильный выбор
пригодных в каждом отдельном случае
положений.
Очень существенным приемом привития
учащимся глубокого понимания геометри¬
ческих теорем и сравнительного свободного
оперирования ими является постоянное
стимулирование, руководство и помощь
учащимся в их попытках самостоятельно
.переводить установленные ими в простень¬
ких задачах соотношения и закономерности
в обычную форму геометрической теоремы,
т. е. в самостоятельной формули¬
ровке новых теорем.
Конечно, не каждая из решаемых задач
на доказательство может и должна быть
сформулирована в теорему, но многие из
них представляют не только посильный и
интересный материал для упражнений мате¬
матического мышления учащихся, но также
и ценный фактический геометрический мате¬
риал, который может получить в■ дальней¬
шем различное применение.
Так, например, на основании задачи № 5,
из приведенных выше, учащиеся могут
вывести теорему:
«Внешние углы ^3 и _/4 при основании
равнобедренного треугольника равны».
Задачу № 6 можно сформулировать так:
«Перпендикуляр, проведенный к биссектрисе
угла через его вершину, образует равные
углы со сторонами угла».
Задача № 31 означает, что: «линии, соеди¬
няющие середину основания равнобедренного
треугольника с серединами боковых сторон,
равны между собой».
Задача № 34. «Перпендикуляры, опущен¬
ные из середины основания равнобедренного
треугольника*на боковые стороны, равны».
Задача № 35 дает такую же закономер¬
ность в отношении высот, опущенных из
вершин углов основания на боковые стороны
равнобедренного треугольника.
Таким же образом могут быть сформули¬
рованы в теоремы задачи: №№ 38, 40, 41, 42,
43, 44 и 45 включительно.
Самостоятельная формулировка учащимися
прямых и обратных теорем, равно как фор¬
мулировка задач в виде теоремы, не только
облегчает дальнейший процесс преобразова¬
ния теорем для целей доказательства спра¬
ведливости содержащихся в них заключений,
но представляет значительную самодовлею¬
щую ценность с точки зрения развития
логического мышления учащихся, в частно¬
сти, приучая их к точному, ясному и логи¬
ческому выражению своих мыслей, приучая
их к строгости научного языка.
Вот почему необходимо и полезно при¬
учать учащихся к самостоятельной форму¬
лировке теорем не только на первой стадии,
до их перехода к решению доказательств
теорем и решению задач, данных в словесной
формулировке, но и на всем протяжении
курса геометрии, наглядно показывая им,
как на основе частных случаев бывает
возможно устанавливать общие геометри¬
ческие закономерности. Только таким обра¬
зом можно добиться правильного сочетания
индуктивного и дедуктивного мышления,
органически переплетающихся во всяком
процессе научного рассуждения.
Само собой понятно, что настоящая статья
не исчерпывает в полной мере вопросов,
связанных с методикой обучения самостоя¬
тельному доказательству теорем.
1
—--—
v

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ТРЕБУЮЩИЕ СОСТАВЛЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(Из опыта 79-й школы Кнева)
11.	М. КИПП11С (Инее)
'ромадное значение задач, требующих
применения тригонометрии к гео¬
метрии, очевидно. Методика этих
задач отчасти уже затрагивалась на
страницах журнала «Математика в
школе» (см. № 1 за 1940 г.).
По своей тематике -задачи на приложение
тригонометрии к геометрии могут быть раз¬
биты на четыре группы. К первой группе
следует отнести те задачи, в которых иско¬
мой величиной является какой-либо линей¬
ный элемент рассматриваемой геометрической
фигуры. Таковы, например, задачи, требую¬
щие вычисления радиуса описанного или
вписанного шаров.
Вторую группу составляют задачи, где
искомыми служат поверхности и объемы
тел. К этой группе относятся, между прочим,
почти все задачи на «Тела вращения».
К третьей группе должны быть отнесены
задачи на вычисление площадей сечений.
Четвертую группу образуют задачи, требую¬
щие вычисления угла.
Несомненно, что чрезмерное увлечение
задачами одного из перечисленных видов за
счет других подлежит осуждению как мето¬
дическая ошибка. Однако учителя нередко
концентрируют большую часть своего вни¬
мания и учебного времени на вычислении
поверхностей и объемов, несравненно меньше
времени уделяют задачам на сечения, а за¬
дачи, требующие вычисления угла, решают
еще реже; иногда эта важная группа задач
почти совершенно исчезает из поля зрения
учащих и учащихся.
Впрочем, пренебрежение к этим задачам
характерно также для стабильного задачника
по тригонометрии и для тематики испытаний.
В стабильном задачнике задачи на опреде¬
ление угла представлены крайне неравно¬
мерно, неполно и совершенно бессистемно;
на испытаниях как на выпускных по окон¬
чании средней школы, так и на приемных
при вступлении в вузы предлагают преиму¬
щественно задачи на вычисление поверхно¬
стей и объемов.
Столь односторонний подход к выбору
задач на приложение тригонометрии к гео¬
метрии, безусловно, подлежит суровой кри¬
тике.
Педагогическая ценность задач, требующих
вычисления угла, определяется не только
тем, что они, подобно задачам первых трех
групп, содействуют лучшему усвоению гео¬
метрии, а также тригонометрических преоб¬
разований и применения тригонометрии к
решению обобщенных задач геометрии; их
специфическое значение, обычно недооцени¬
ваемое, заключается в том, что эти задачи,
приводя к составлению тригонометрических
уравнений (порой весьма сложных) и требуя
их решения с наблюдением ограничений, на¬
лагаемых на эти решения геометрическими
свойствами рассматриваемой фигуры, могут
в немалой мере оживить и углубить прора¬
ботку темы «Тригонометрические уравнения».
Ограничить, как это нередко делают, из¬
учение раздела о тригонометрических урав¬
нениях только решением примеров
тригонометрических уравнений, неизвестно
откуда появившихся и для какой практической
цели предназначенных, значит — омертвить
эту интереснейшую и важную тему, придать
ей облик некоего «пустоцвета» и свести ее
изучение к «набиванию руки» в преодолева-
нии более или менее замысловатых примеров.
Ведь не секрет, что весьма многие учащиеся,
идя по линии наименьшего сопротивления,
в лучшем случае усваивают одну лишь тех¬
нику решения тригонометрических уравнений,
иногда увлекая за собою и преподавателя
(конечно, малоопытного) на этот ложный
путь.
Совершенно ясно, что в рабочий план про¬
работки темы «Тригонометрические уравне¬
ния» должно быть включено, в порядке
органического дополнения (а не замены)
к обычным примерам этих уравнений, до¬
статочное количество задач на вычисление
угла. Эти задачи должны быть не случайны
и разрозненны, а специально подобраны и
систематизированы соответственно типам тех
тригонометрических уравнений, к которым
они приводят; при их систематизации должна
быть принята во внимание также и степень
трудности составления и решения этих урав¬
нений.
Включение такого комплекса задач не
только содействовало бы лучшему усвоению
навыков в решении тригонометрических
уравнений, но, что для нас особенно ценно,
научило бы применять эти уравнения к бли¬
жайшей к тригонометрии области — геомет¬
рии.
Весьма существенно и то, что упомянутые
выше ограничения, налагаемые геометриче¬
скими свойствами фигуры на выбор решения
тригонометрического уравнения, не могут
не стимулировать понимания процесса
решения, в значительной мере суживая роль
слепых ремесленнических навыков.
Наконец, несколько методических сообра¬
жений, касающихся не только задач на вы¬
числение угла, но и любых других задач,
требующих приложения тригонометрии к
геометрии.
Следует привить учащимся умение н
стремление решать эти задачи не только
при тех или иных числовых данных, но и в
обобщенном виде с обязательным исследо¬
ванием полученных, таким образом, обоб¬
щенных ответов. Результаты исследования
должны, по возможности, подвергаться гео¬
метрической проверке.
Необходимо почаще давать учащимся еще
и такого характера задание: на основании
тригонометрической формулы решения обоб¬
щенной задачи подобрать для последней
такие числовые данные, которые допускали
бы ее решение одними геометрическими ме¬
тодами, и это геометрическое решение вы¬
полнить.
31

Иллюстрируем вышесказанное конкретным
примером. В стабильном задачнике по три¬
гонометрии находим следующую задачу
(§ 22—№ 13):
«Поперечное сечение конуса, проходящее
через центр описанного шара, делит объем ко¬
нуса пополам. Опре¬
делить наклон обра¬
зующей к основанию»
(черт. 1).
I.	Обобщение
задачи. Полагая,
что объем конуса в т
раз больше объема
той его части, кото¬
рая заключена между
поперечным сечением
и вершиной конуса,
составим тригономе¬
трическое уравнение
относительно иско¬
мого угла. Получим:
Черт. 1
mctg2 х ,
Б = cos2 х sin х.
8 sin3 х
После упрощений получим
sin х =
Следовательно,
х =
V\
= arc sin
6
т
8 *
6
И. Исследование решения. Иско¬
мый угол как угол при основании равно¬
бедренного треугольника должен быть ост¬
рым. Отсюда получаем:
Г
?<1;
/и<8
(4)
III. Геометрическая проверка
результатов исследования (см.
черт. 1):
V конуса ЛВС _ АР^-ВР
V конуса MBN М02-В0
поэтому
Следовательно,
Чго7-
ВО
во
<2;
Из подобия £\АВР и МВО имеем
AD __ BD
МО ~ ВО ’
но
BD < 2 Я, а ВО = Я.
/BD\3 '
[^qJ <8* и поэтому т <8.
IV. Решение данного числового
примера. Если поперечное сечение делит
объем конуса пополам, то это означает, что
т = 2.
32
При т = 2 задача возможна, так как 2 <8.
Подставим в формулу (3) вместо т его
значение и получим:
6
'2
з
х = arc sin
; 52°32'.
V. Частныеслучаи, допускающие
геометрическое решение. Потре¬
буем, чтобы ^ = 60° и, следовательно, sinx =
l/3
= с— . Из формулы (2) получим
1 */т = У±
У 8	2
Отсюда:
27
т = —.
8
(1)
(2)
(3)
Решим геометрически следующий частный
вариант задачи: «Объем конуса составляет
27
-д- объема той его части, которая заключена
О
между его вершиной и поперечным сечением,
проходящим через центр описанного шара.
Определить угол между образующей конуса
и основанием».
На основании рассуждений, изложенных в
пункте III, имеем:
\во)
ВР _ 3
во~Ут'
3
_	BP 1 /27	3
В данном случае —== I/ — = —
ВО г 8	2
т. е.
ОР =— ВО = — 7? = — О А
2 2 2
Поэтому
2 ОВР = 30°; £_АОР = 60°.
Отсюда легко вывести, что £_ ВАО = 30°
и, следовательно, /_ ВАР = 60°.
Не подлежит сомнению, 'что при система¬
тическом соблюдении вышеуказанных мето¬
дических принципов учащиеся четко усвоят
связь между геометрией и тригонометрией,
научатся сознательно применять одну к
другой. Был бы, безусловно, ликвидирован
тот разрыв между геометрией и тригономет¬
рией, который часто наблюдается у учащихся
и принимает иногда довольно курьезные
формы.
Ниже привожу ряд образцов задач, ’требую¬
щих расчета угла. Они систематизированы
соответственно типам тригонометрических
уравнений и трудности составления последних.
Подбор и обработка этих задач оказались
довольно хлопотливым и трудоемким делим.
Некоторые из этих задач взяты (иногда со
значительными изменениями) из стабильного
задачника по тригонометрии. В отношении
тех стабильных задач, которые не подвер¬
гались изменениям, я ограничивался только
указанием параграфа и номера (по изд.
1936 г.).
Прорабатывать эти задачи рекомендуется
в том порйдке, в котором они расположены.

Значительная часть тех задач, которые
приводят к простейшим тригонометрическим
уравнениям (типа sin x = l, cos x — l, tg х — I,
ctg х — 1), должна быть решена в I четверти
в связи с темой «Решение прямоугольных
треугольников»; остальными задачами сле¬
дует воспользоваться при прохождении три¬
гонометрических уравнений и, частично, при
повторении, т. е. в IV четверти.
В заключение привожу список источников,
которые в той или иной мере были исполь¬
зованы при подборе задач.
1. Рыбкин — Стабильный задачник по
тригонометрии. '
2. Рыбкин — Задачи по геометрии, треб,
применения тригонометрии.
3. Кобелева и К и се л ев ич — Пособ¬
ник з тригонометрН (на укр. яз., Киев, 1939).
4. Сорокин — Задачник по геометрии.
5. Андре — Задачник по тригонометрии.
6. Века — Задачник по тригонометрии,
7. Злотча некий — Задачник по триго¬
нометрии.
8. Т е р-С тепа нов — Задачи, треб, приме¬
нения тригонометрии к геометрии.
9. Русинковский — Сборник задач (на
укр. языке).
10. Минин — Геометр, задачи.
I.	Задачи, приводящие к простейшим
тригонометрическим уравнениям
№ 1. Каждая из непараллельных сторон
равнобочной трапеции равна меньшему осно¬
ванию. Большее основание относится к мень¬
шему, как т:п. Определить углы трапеции.
Решение исследовать.
•	т	—	п
Ответ, cos х =	;	задача возможна
2 п
т
только при — <3.
п
№ 2. Стороны АВ и АС треугольника
ABC соответственно равны сиЬ, а площадь
треугольника равна S. Определить угол А
Решение исследовать.
2S
Ответ. sinA=—; задача возможна
Ъс
с .6с
только при 6 sS—.
2
№ 3. Площадь четырехугольника ABCD
равна S, а его диагонали АС и BD соответ¬
ственно равны р ид. Определить углы
между диагоналями.
^ ■ 25
Ответ, sinх = —.
РЧ
Решить из § 16 стабильного задачника
следующие номера: 17,3,8,11, 6,4,9,10,15,14.
Сверх того, задачи 3, 8 и 11 §16 перефра¬
зировать так, чтобы в них шла речь о пира¬
мидах, и соответственно изложить их реше¬
ния.
№ 4. Дан трехгранный угол SABC, в кото¬
ром плоские углы CSA = CSB = а, а плоский
угол ASB = р. Определить угол наклона
ребра SC к плоскости грани ASB.
Ответ.
cos х - -
COS а
Решить из § 17 стабильного задачника
следующие №: 14, 2, 3, 5, 11, 12.
№ 5. Ребра параллелепипеда, исходящие из
общей вершины, соответственно равны я, Ь
и с. Ребра я и b взаимно перпендикулярны,
а ребро с образует с каждым из них по углу,
равному а. Определить угол наклона ребра с
к плоскости ребер a w Ь. Решение исследо¬
вать.
Ответ, sin х = ~У — cos 2а; задача возмож¬
на лишь при 45° < а < 135°.
Решить из § 19 стабильного задачника
задачу № 4.
№ 6. Через сторону основания правильной
треугольной призмы проведена плоскость,
пересекающая две боковые грани по прямым,
угол между которыми равен о. Определить
угол между этой плоскостью и основанием
призмы.
Ответ, cos х = ctg 30° tg —.
№ 7. Через сторону основания правильной
треугольной призмы проведена плоскость,
которая в сечении с призмой дает треуголь¬
ник, периметр которого в п раз больше
периметра основания призмы. Найти угол
между секущей плоскостью и основанием.
Ответ, cos х =
1
'угп (Зя — 2) "
Задача возможна при п > 1.
Решить из § 19 стабильного задачника
№ 2 и 5.
В связи с теоремой о площади- проекции
фигуры на плоскость решить следующие за¬
дачи из стабильного задачника: § 18 — № 7;
§ 19 — № 24 и 4.
№ 8. В правильной четырехугольной при¬
зме через середины двух последовательных
сторон основания проведена плоскость, пере¬
секающая три боковых ребра и наклоненная
к основанию так, что ее площадь равна 5.
Сторона основания = я. Определить 1) угол
между сечением и основанием; 2) углы мно¬
гоугольника, полученного в сечении.
Ответы. 1) х = arc cosf —^.
\8 SJ
2)	у = arc ctg (cos х) = arc ctg
C£>
3 Математика в школе, Jsli 4
33

где у означает 1_ ЛЕС (черт. 2); все углы
сечения выражаются через у, а именно:
м ЕАВ = L_ ABC = 180" —у, L_ AED =
= L_ BCD = 2_y; L EDC = 180° - 2y.
№ 9. Через середины двух смежных сторон
основания и вершину правильной четырех¬
угольной пирамиды проведена плоскость.
Найти угол наклона этой плоскости к осно¬
ванию, зная, что плоский угол при вершине
пирамиды равен а.
Ответ, tg х ■
1/2
COS а
а
sin —
2
Решить из стабильного задачника задачу
№ 13 § 17. Рекомендуется эту задачу обоб¬
щить (полагая отношение стороны основания
к высоте пирамиды равным
т\
п) "
исследо-
ем первой
(”<=})■"
Ответ, х = arc cos
f, 180°. “ \
(,g „ ,s^)'
cos -
180°'
x = 2 arc sin
a
cos —
2
№ 13. В предыдущей задаче заменить пер¬
пендикулярность сечения пирамиды к ее
боковой грани другим условием, а именно:
предположить, что это сечение делит объем
пирамиды, считая от вершины S в отноше¬
нии т: п.
вать обобщенное решение.
В результате исследования получим, что
задача возможна лишь при 0< — <1/2-
п г
Очевидно, что числовые данные задачи № 13
§ 17 удовлетворяют этому неравенству, так как
Решить из стабильного задачника № 10 § 17.
№ 10. В правильной и-угольной пирамиде
отношение высоты к стороне основания рав¬
но т. Определить двугранный угол, обра¬
зованный боковой гранью с основанием.
180°
Ответ. tgx=2m tg .
п
Сравнить № Юс задачей № 6 § 17 стабиль¬
ного задачника, являющейся частным случа-
решить ее как по
общей формуле, так и упрощенным, свой¬
ственным только ей способом.
Решить из стабильного задачника задачу
№ 12 § 19.
„	,	2 (]/rm -f- п — ТАи )
О т в е т. х = arc tg —			*-	-.
2\/т + п+\/т
Решить из Стабильного задачника следую¬
щие задачи: § 17 — № 15, § 19 — № 38, § 20 —
№ 1, 10, 24.
№ 14. Внутри конуса, у которого угол
при вершине осевого сечения равен а, на¬
ходится другой конус, имеющий с первым
общее основание; боковая поверхность внут¬
реннего конуса есть средняя арифметическая
между площадью основания и боковой по¬
верхностью внешнего конуса. Определить
угол между высотой и образующей внутрен¬
него конуса.
О т в е т: х = arc sin
sin а
№ 15. В усеченную правильную четырех¬
угольную пирамиду вписан усеченный ко¬
нус. Отношение стороны большего основа
ния пирамиды к стороне ее меньшего осно¬
вания равно ^. Определить наклон боковой
грани пирамиды к ее большему основанию.
т — п
Ответ, х = arc cos
т-\-п'
№ 16. В конус вписан шар. Линия касания
шара к боковой поверхности конуса делит
последнюю в отношении т:п. Определить
угол между образующей конуса и его осно¬
ванием. Исследовать.
Ответ, cos х = 1 —
/
т -j- п'
№ 11. В правильной n-угольной пирамиде
плоский угол при вершине равен а. Опреде¬
лить угол между боковыми гранями.
Ответ.
№ 12. Высота правильной треугольной
пирамиды SABC равна радиусу окружности,
описанной около основания. Через вершину
А основания проведена плоскость, параллель¬
ная стороне ВС основания и перпендикуляр¬
ная боковой грани BSC. Определить угол
между этой плоскостью и основанием.
О т в е т. х = arc tg = 26°33'54".
Решить из стабильного задачника следую¬
щие номера: § 22 — № 17, 18, 28.
№ 17. Около шара описан прямой парал¬
лелепипед, объем которого в т раз больше
объема шара. Определить углы в основании
параллелепипеда. Исследовать решение.
„ . 6
Ответ, sin х = —;	задача возможна
та
g
только при	—.Основание —либо ромб,
71
либо квадрат. При /я=— основание — ква-
77
драт.
II.	Задачи, приводящие к тригонометриче¬
ским уравнениям вида sin (ах -f Ь) =с, где
Ь = 0.
№ 18. В прямоугольном треугольнике ABC
катет ВС относится к катету АС, как —.
Какой угол образует с катетом АВ прямая,
34

соединяющая вершину В прямого угла с
точкой Е гипотенузы, если ВЕ—ВС1 Иссле¬
довать решение.
Ответ, ctg ^ + 45°
х= 2 arc ctg — — 90°.
ь п
Решить из стабильного задачника задачу
№ 16 § 19 и исследовать ее решение.
Ответ. Задача возможна при условии,
п ^ т ^
что 0<—<——.
п 2
№ 19. Поверхность шара, вписанного в
конус, равновелика площади основания ко¬
нуса. Определить угол при вершине осевого
сечения конуса.
О т в а т. ctg + 45°^ = -j-; х ~ 12°.
Полезно обобщить задачу, после чего ее
исследовать.
№ 19» Диагональ прямоугольного паралле¬
лепипеда равна d и образует с его основа¬
нием угол а. Боковая поверхность этого
параллелепипеда равна 5. Определить углы
между диагональю основания и его сторо¬
нами.
51/7
Ответ. sin(x + 45°)= -
2d- sin 2а
III. Задачи, приводящие к тригонометри¬
ческим уравнениям, представляющим собою
равенство двух одноименных функций
В качестве примера приведем следующую
задачу:
№ 20. Основанием пирамиды является
квадрат. Двугранные углы при ее основании
относятся между собою, как 1 :2 :4 :2. Опре¬
делить эти углы.
Ответ. Задача приводит к угавнению:
sin 4с = sin 2х, где х означает наименьший
из искомых углов.
IV. Задачи, приводящие к тригонометри¬
ческим уравнениям типа алгебраических
относительно тригонометрических функций
одного аргумента.
Решить нз стабильного задачника задачу
№ 24 § 16.
№ 21. В треугольнике АБС стороны АВ и
АС соответственно равны 6 см и 5 см. Вы¬
числить угол А, если площадь треугольника
ABC на 1 ем- больше площади квадрата,
сторона которого равна расстоянию от вер¬
шины В до стороны АС. Геометрически объ¬
яснить двойственность решения.
Ответ. 36 sin2 х —15 sin лс —(- 1 = 0;
- 1 , 1
х, - arc sin —; x, — arc sin —.
3	'	12
Решить из стабильного задачника № 15 § 19.
Полученное решение исследовать и дать
геометрическую интерпретацию двойствен¬
ности этого решения.
Решить задачу № 25 из § 23 стабильного
задачника.
з*
№ 22. (Обобщение задачи № 25 § 23 ста¬
бильного задачника.)
Через точку А окружности проведены
хорда АС и диаметр АВ. Отношение объема
тела, образованного вращением фигуры
АСтВ (ограниченной прямыми АВ и АС и
дугою ВтС) около диаметра АВ к общему,
полученному от вращения кругового сегмен¬
та АпС, ограниченного хордой АС и дугою
АпС, вокруг той же оси, равно р. Опреде¬
лить угол между АС и АВ.
Ответ. 0+1) cos1 х = 1;
|4/ 1_
х = arc cos I /
V р+1
Решить № 15 из § 22 стабильного задач¬
ника.
№ 23. Объем сферического сегмента в п
раз больше объема вписанного в него шара.
Определить величину дуги в осевом сечении
этого сегмента.
_	„	х	3
Ответ, sin2 — =	;
4 п + 2
х = 4 arc sin 1 / 	.
V л + 2
№ 24. Кривая поверхность шарового пояса,
основания которого равны между собою,
равновелика сумме площадей оснований.
Определить дуги в осевом сечении шарово¬
го пояса.
„	п	■	х	,	х
О т в е т. 2	sin — = cos2	—;
2	2
х = 2 arc sin (1^2 — 1) = 48°56'22".
№ 25. Шаровой пояс и цилиндр имеют
общие основания, а отношение объема пояса
к объему цилиндра равно «да. Определить
величину дуги в осевом сечении пояса.
Ответ, sin— (3т cos2— -f-sin2 —— 3^ = 0;
2	\.	2	2 J
х = 2 arc sin 1 /	.
\ 3m —1
№ 26. Отношение кривой поверхности
шарового сегмента к боковой поверхности
конуса, имеющего вершину на поверхности
шара, а основание — общее с основанием
сегмента, равно /и. Определить угол между
образующей конуса и его осью. Исследовать.
Разобрать 2 случая: 1) конус расположен
вне сегмента, 2) конус вписан в сегмент.
Ответы. 1) sin2 х = т sin х cos2 х;
х - arc sin I 	 J.
\ 2m )
2)	cos2 x = m sin x cos9 x;
x = arc sin —.
m
В первом случае задача возможна при
всяком 1И>0; во втором — только при
ш> 1.
35

№ 27. Перпендикуляр, опущенный из
пеитра основания конуса на какую-либо из
его образующих, вращается около оси конуса.
Часть конуса, заключенная между его
вершиной и поверхностью вращения этого
перпендикуляра, составляет i часть объема
конуса. Определить угол между образующей
конуса и его основанием.
Ответ, cfg х(т cos1 х — 1) = 0;
х — arc cos I / _
vh
Решить № 13 из § 22 стабильного задач¬
ника.
№ 28. (Обобщение № 13 § 22 стаб. зад.)
Поперечное сечение конуса, делящее его
объем так, что часть между сечением и вер¬
шиной конуса составляет — всего объема
т
этого конуса, проходит через центр описан¬
ного шара. Вычислить наклон образующей
конуса к его основанию. Решение исследо¬
вать. (В этой задаче особенно ценна также и
геометрическая проверка результатов иссле¬
дования.)
„	т	ctg!x ,
Ответ. 	2— = cos2jcsmjc;
4 sin3 х
Задача возможна только при т <8.
№ 28. Из точки А, взятой вне круга, про¬
ведены секущая ABD, проходящая через
центр, и касательная АС. Поверхность вра¬
щения фигуры ABC, ограниченной прямыми
АВ, АС и дугой б и С, вокруг секущей
ABD в л раз больше сферической поверхно¬
сти шарового сектора, образованного вра¬
щением кругового сектора БОС вокруг той
же оси. Определить угол DAC между секу¬
щей и касательной. Решение исследовать.
Ответ.
cos х ctg х + 2 (я — 1) sin х — 2 (я — 1) = 0;
х = arc sin	?—.
2л — 3
Задача возможна только при л>2.
№ 30. Центры шаров, описанного около
правильной четыреугольной пирамиды и
вписанного в нее, совпадают. Определить
плоский угол при вершине.
Ответ.
1+4f) !~4f)
'-<!) 2,8,(f)'
* = 2 arc tg (К2 — l) = 2-22°30' = 45°.
№ 31. В пирамиде, о которой идет речь
в предыдущей задаче, вычислить угол между
смежными боковыми гранями и также дву¬
гранный угол при основании (см. зад. N° 12
из § 19 стаб. задачника и зад. N° 11 (не
стабильную).
36
V.	Задачи, приводящие к тригонометри¬
ческим уравнениям вида asinjc b cos х = с.
№ 32. В прямоугольном треугольнике
отношение суммы катетов к гипотенузе рав¬
но т. Определить острые углы.
Ответ, sin х -(- cos х = т, где х—один
из острых углов.
№ 33: То же — для разности катетов.
№ 34. В равнобедренной трапеции каждая
из боковых сторон равна меньшему основа¬
нию, а отношение большего основания к
высоте трапеции равно т. Определить углы
трапеции. Исследовать
Ответ, т sin х — 2 cos х=\;
х = 2 arc tg (]/"m2 -(- 3 — т) ,
где х означает угол при большем основании.
Задача возможна только при 1. Прове¬
рить геометрически этот результат.
№ 35. Через сторону ВС основания пра¬
вильной треугольной призмы ABCAxBjC,
проведена плоскость, проходящая через вер¬
шину At второго основания. Найти угол
-между этой плоскостью и основанием приз¬
мы, для каждого из следующих трех слу¬
чаев:
1) Отношение боковой поверхности при¬
змы к полной поверхности отсеченной от
нее треугольной пирамиды AtABC равно т;
2) отношение боковой поверхности при¬
змы к полной поверхности четырехугольной
пирамиды AtBCBxCt равно т; ■
3) Отношение полной поверхности четы¬
рехугольной пирамиды AtBCBiCt к полной
поверхности треугольной пирамиды А^АВС
равно т. Полученные решения исследовать.
Ответы. 1)2 (/я — 3) sin х-\-т cos х = —т>
х — 2 arc tg
2(3 — т)
Задача возможна только при 0<^т<^2.
2)	2 (3 — 2т) sin х — т cos х = т;
х = 2 arc tg
2(3—2 т)
Задача возможна только при 0 < т <; 1,2.
3)	2 (2 — т) sin х -j- (1 — т) cos х = т — 1;
о х=2 arc tg
m—1
2(2 — т)
Задача возможна лишь при 0 < т < 1 —.
3
№ 36. Пирамида имеет своим основанием
ромб. Две боковые грани перпендикулярны
к плоскости основания и образуют между
собою острый угол, и две другие равно на¬
клонены к основанию. Определить угол
наклона между этими гранями и основанием,
если боковая поверхность пирамиды в т раз
больше площади основания. Исследовать.
Ответ, sin х — т cos х = — 1;
х — 2 arc tg
т — 1
m-i-1

VI.	Задачи, приводящие к тригонометри¬
ческим уравнениям вида алгебраических
относительно-тригонометрических функций
разных аргументов.
№ 37. В четырехугольнике ABCD дано,
АВ „
что — = 2;
CD
BAD: [_CDA : |_ ABC =1:2:3; расстояния
от середины стороны ВС до AD вдвое мень¬
ше расстояния от вершины А до ВС. Опре¬
делить углы четырехугольника ABCD.
О т в е т. 2 sin Зх = 2 sin х -(- sin 2х\
х = arc cos
1+1^33,
;32°32\
где х обозначает [_ BAD.
Решить задачу № 19 из § 16 стабильного
задачника.
3
О т в е т. 2 sin 2х — 3 sin х; х = arc cos •
№ 38. В равнобедренном треугольнике
отношение одной из равных сторон к рас¬
стоянию от вершины угла при основании
до центра вписанной окружности равно
Определить углы треугольника.
х
О т в е т. 7 cos — =15 cos х, где х означает
2
угол при основании:
о	5
х — 2 arc cos —.
6
№ 39. Определить центральный угол осе¬
вого сечения сферического сектора 1-го ро¬
да (т. е. не имеющего полости), если объ¬
емы его сферической и конической частей
равны между собой.
„	.	,	х	х	_	„ х
Ответ. sin2— cos — = 2sin2—;
2	2	4
х = 2 arc cos
(44
: 103°39'20".
№ 40. Решить ту же задачу в обобщенном
виде, полагая, что отношение этих объ¬
емов = т-а.
№ 41. Из вершины конуса, как из центра,
описана сферическая поверхность, касатель¬
ная к основанию конуса. Часть конуса, за¬
ключенная между его вершиной и этой
поверхностью,	составляет ~ часть	объема
конуса. Определить	угол при вершине	осе¬
вого сечения конуса. Исследовать.
х	х
О т в е т. 4 т sin5 — = tg2 —;
4	2
, = со. Г!±П±*“У
tV
Решить и исследовать задачу № 12 из §22
стабильного задачника.
Ответ. Задача приводит к уравнению
х
tgx = 4wtg3— . Задача возможна только при
»zSs 2.
13*
Решить задачу № 11 § 22 стабильного
задачника.
Приводит к уравнению
8tg2
1
1 =0.
COS X
№ 42. Площадь осевого сечения конуса
относится к его полной поверхности, как
т: п. Определить угол между образующей
и основанием конуса. Исследовать.
х
2тп cos2—
Ответ, п tgx =
cos х
т I
Задача возможна только при —< —.
п те
№ 43. Определить двугранный угол при
основании правильной пирамиды, если центр
вписанного шара делит ее высоту в среднем
и крайнем отношениях.
X /■	ху
Ответ, tgxtg — = ( tgx — tg — J;
Z	v,	* /
‘(44-
x — arc cos
’49'38".
№ 44. Определить двугранный угол при
основании правильной четырехугольной пи¬
рамиды, если радиус шара, описанного око¬
ло нее, в т раз больше радиуса вписанного
шара. Исследовать.
Ответ. 2/я tg х =
tf?x+2 .
xt = 2 arc tg
xt—2 arc tg
(Z1
+ yr(m-iy-2):
2m + 1
! — V (m— l)g — :
2m-{-1
Задача возможна только при l-j-1^2.
№ 45. Круговой сектор, центральный угол
которого = а, вращается около диаметра,
проходящего вне его. Объем полученного
сферического сектора составляет^- объема
шара того же радиуса. Определить меньший
из углов, образованных диаметром с край¬
ними радиусами кругового сектора (а < 180°).
Исследовать.
2/72
Ответ, cos х — cos (х -j- а) = —;
х = arc sin
inf—Л—\.
\ nsinT )
Задача возможна при условии, что
. а т . „ а
sin—— 3*sin2 —.
2 я 2
№ 46. Определить угол между боковым
ребром и основанием правильной треуголь¬
ной пирамиды, если дано, что этот угол
37

меньше линейного угла наклона боковой
грани к основанию на а. Исследовать.
Ответ. 2 tg х — tg (jc + а);
1	в
Xt — — arc sin (3 sin a) ;
2	2
Xt = 90° — j^-i- arc sin (3 sin a) 4-	.
Задача возможна только при a ^ arc sin— ;
3
проверить это геометрически.
Указание к выводу решений. Преобразовав
lg (х а)
уравнение к виду -2-i—!—! = 2, составить
tgx
производную пропорцию
tg(* + e)+tg* 2.
tg (JC + <*) — tg JC
отсюда, заменив ig их выражениями через sin
и cos, получим:
sin (2х -j- а) = 3 sin а.
VII.	Задачи, приводящие к простейшим
системам тригонометрических уравнений
№ 47. В четырехугольнике ABCD АВ =
= ВС = a; AD = Ь; CD = c; CD±AD. Опре¬
делить углы х и у наклона стороны AD к
сторонам АВ и ВС.
sin х -j- sin_y = — ;
Ответ.
i
I
) , b
J cos x+ cosy = —
I	"
Решить задачу № 22 из § 21 стабильного
задачника.
№ 48. (Обобщение задачи № 22 § 21.)
Плоский угол при вершине правильной
треугольной пирамиды равен а. Через боко¬
вое ребро проведена плоскость, делящая
объем пирамиды в отношении т: п. На ка¬
кие части эта плоскость делит двугранный
между боковыми гранями?
Ответ
(х+у = р
\ < sin х т
I sin у ~ п '
где р — двугранный угол между боковыми
гранями. (О его вычислении см. зад. № 11.)
К ПРИЕМНЫМ ИСПЫТАНИЯМ В ВУЗЫ
Л. П. ГР А ТТ'ПАПС ПАЯ-/1, ОГО III ТС ГВ 114
(Москва, Наркомпрос 2*СФС1*)
л
связи со статьей «Недоработки сред¬
ней школы по математике», напеча¬
танной в № 3 журнала, многими
читателями было выражено пожела¬
ние, чтобы были даны решения за¬
дач, приведенных в статье. Здесь и приво¬
дятся решения большинства задач из статьи,
а также дается небольшой набор задач (с со¬
кращенными и незаконченными решениями,
имея в виду преподавателя, или только с отве¬
тами), дававшихся в ряде вузов и втузов.
ПА ИСПЫТАНИЯХ ДЕСЯТЫХ КЛАССОВ
СРЕДНИХ ШКОЛ МОСКВЫ 19гО г
Задача. Из города А в город В, отстоящий
от А на d км, отправился пешеход. Спустя
час вслед за ним по той же дороге отпра¬
вился со скоростью, на а км в час большей
первого, другой пешеход, который успел до¬
гнать первого и возвратиться в Л в то вре¬
мя, в какое первый пешеход успел только
прийти в город В. Сколько километров в час
проходил первый пешеход?
Исследовать решение, принимая в>0.
Решение:
км1час — скорость первого пешехода.
d
— час. — время движения первого пеше-
х
хода.
— час. — время, необходимое второму пеше-
2х
ходу, чтобы догнать первого
: час,—время движения второго.
По условию имеем:
2х	d	„	„	,
—Ь 1	i 2хг ах — ad = 0;
а	х
 —а+У а2 -f- Sad
л — 	—	.
4
Исследование: по условию задачи
я>0; d> 0; х> 0.
Отсюда:
—а — Уа14- Sad
1) х = v- Я
4
не пригоден для ответа на вопрос задачи.
~а + У a?-\-Sad
2)	х =
4
пригоден для ответа, так как
У а1 + Sad > а.
38

Московский архитектурный ин¬
ститут. Август 1940 г.
1. Задача. Найти два числа, если известно,
что разность между	частными от деления
первого числа на	3, а	второго	на 5 равна	6;
если первое число разделить на второе, то
в частном получится пятая часть второго
числа, а в остатке 4.
Решение:
Обозначим первое число х, второе —у.
По условию 1)	——— = 6,	х — — -(-4;
3	3	3
2) 5х = Зу -(- 90,
5х= у* -(-20;
3) у*-Ъу — 70=0,
У, = Ю; уг = —7
Xi = 24;	хг =13
5
При делении с остатком частное всегда
подразумеваем целым, поэтому второй ко¬
рень не удовлетворяет условию задачи.
2. Упростить выражение:	—
1 f V Г-
V X V х? V
I f X? У Xs Ух
Решение:
23
„24	JL
Л 	12	Х}г—
23 " X = V X.
■24
3. Решить уравнение:
X frx— 1	—1
^	~	3/-	II
V х*~1 у X “И
■ 4.
Решение:
= 4.
4_	2_
X3 — 1	JC3 —	1
:L	JL
X3 —I	X3	1-	1
1 L
х3 -(-1 — jc3 —J— 1 — 4 = 0.
2_ 1_
х3 — х3 — 2 = 0
х3 = 2
1
*8 = -1
х, = 8
х% —	1.
Корень х= — 1 посторонний корень, так
как обращает обе дроби левой части уравне-
ш
ния в —.
0
Задание 19 (МАИ 1940.)
Упростить:
(У я2 — 4 — а) (2а) 1
У	\а — (я* — 4)2 /
Г Р (га)"1 (я — У а2 — 4)
1 + (7=^=—Г1
L \Yai~ 4—я/
— 2
+
14-
Ре ш е н и е:
/V а2 — 4 — я
9/т
+
+
У
а —	—	4
2а
V'+{v^}
~\/~ а ~ ТА*8 — 4
У	9.	а.
4— а
2а
I а — '(/'я* — 4
г	2а
« — 4 -f- о
2а
_(я + 1/а3 — 4) + (я — 1/ я8 — 4) _
я2 4 — а2
— 2а — а
2
3. Решить уравнение:
g'g«*’ _|_ )g^_ 2 |/2“= -i- (91g,lJr+1 — 9'Bl,;r)
Решение:
lg^-2^2 =lg/F(Vr2)s = 3
g2lg15^+ 3 = -^ • 8 • 9lg,s*
g2\gKx ^. д1-*м* _j_ з __ о
( glgis*. - з
\ 9,g«*» = 1
3'2’giiJr,—1 __ j
2Iga5x, — 1=0
. 1
I&5*1 = —
lgsS*I = 0
x2 = 1
=5
Оба корня удовлетворяют уравнению.

4.	Найти непрерывную геометрическую
пропорцию, зная, что сумма крайних ее чле¬
нов на единицу больше произведения сред¬
них, а коэфициент пропорциональности ра-
1
вен —.
3
Решение:
Из (1)
а   6   1
6	с	3
а + с=62+1.
6
а=з;
с = 36;
Подставляем из (3) и (4) во (2):
- + 36 = 6*+1; 36*- 106 + 3 = 01
3
(1)
(2)
(3)
(4)
( 6, = 3
I
аг = —
9
с, = 36 = 9
1. Решить уравнение:
,„-+0,25	/1/Г\	2^'Vr*	„
(т) " “(4)	(!)
, Обе части уравнения разделим на
■Vs у/х
(1)
,gyf0-25
или, что то же, умножим на
lg I 0,25	/l/a"\21g	1	0,25
"2
(т) ^ ~\ 2 ) ^
3-)jV4^+^vf У27 +2,^°‘25 = 1(
2 (УЪР + lsVz V*+ls-y=2 °’25 ) = °’
*g ~~ 0,25 = lg i- = lg , /—L;Y= 4»
|/2	—	4 ?2 W2)
(4)!
VX%YZX~ 7lg/3-x + 4 = 0,
V1BVT*=y> х = (УзУ'.
-jy*+y + 4 = 0,
y"- — 2y — 8 = 0,
У, = 4 \x, = (]ЛГ)4 = 38 = 6561,
Л = — 2 \xt = (j/3 )(_2)’= 9.
2.	Решить систему уравнений
/ 103-'В.о (х-У) = 250,
|v^v+7Vr^Kv=-^=-
V	z	1/*—_y
Решение:
3 — Igi0 (x —y) = lg 250,
1000
lg
■* —У
1000
: lg 250,
250,
x—y
x —y = 4.
Подставляя во второе уравнение:
2+}/4 + 2F=2^,
4 + 1/4 +2> = 26 —_y,
l/4 + 2^ = 22->,
4 + 2y = 484 — 44_y +_y2,
+ — 46> + 480 = 0,
> = 23 ±1/529 - 480,
> = 23 + 7.
>■, = 30
>.= 16
*, = 34
хг = 20
Корни jc, = 34; >, = 30 посторонние.
Работа по геометрии на испытаниях
десятых классов средних школ Москвы
3 июня 1940 г.
Вариант 1. На общем основании по¬
строены два прямых конуса: один внутри
другого так, что их вершины находятся друг
от друга на расстоянии а.
Определить объем, ограниченный кониче¬
скими поверхностями обоих конусов, если
угол при вершине осевого сечения большего
конуса равен а, а меньшего конуса равен р.
Вычислить при:
а = 53° 18'; Р = 90°; а = 3,252.
Решение:
V = Vкои. ASB — Vкон. ABC -
= — Т.0& (50 — СО) = — ъО&а.
3	3
Из Д505 имеем:
OB = SB-sin —.
2
Из Д SCB:
1 SB	а
. Р
a sm —
-J SB =
sin — sin -—
2 2
sin
р_а-
(1)
(2)
40

Подстановка из (2) в (1) дает:
аН
V = — таг3
3
2
1*.
2 2
sin2 — sin* —
(куб. ед.) -
sin*
Черт. 2
ЛВ = гг,
СК=Н,
АВ_СК
DE~ CL
DE = лс,
а Н
Н-х
Ю.
I
!<ь
Ь*=-
] 180
! _ 90
=	  71	-
180
е _
Решение:
120	2
  л = — г.
180	3
150
180
90
а + Я
V=x*=( аН■ У
Ча+Я/
С
Работа по геометрии и тригонометрии
в Московском архитектурном институте, ав¬
густ 1940 г.
1. В правильную четырехугольную пира¬
миду со стороною основания а и высотою Я
вписан куб так, что основание его лежит
в плоскости основания пирамиды, а четыре
из вершин его лежат на боковых ребрах
пирамиды. Найти объем куба.
2. Проверить тождество:
1 — sin* а — cos3 Р = —sin (a -f- р) sin (а — Р)_
Решение:
1 — sin2 а — cos2 Р = sin2 р — sin2 а =
= (sin P -(- sin а) (sin Р — sin а) и т. д.
или:
1 — sin* а — cos2 р = cos* а — cos* р и т. д.
3. Решить уравнение:
cos х — sin х = cos 2jc.
Решение:
cos x — sin x = cos* x — sin* x,
(cos x — sin x) (cos x -f- sin x — 1) = 0.
1) cos x — sin x = 0,
x, = 45° + 180° n.
2) cos x sin x = 1,
sin x = 1 — cos x
2 sin — cos — = 2 sin* —,
2 2 2
sin — fcos —— sin—^ = 0,
2 ч 2	2/
x2 = 360° n,
jcs = 90° -f- 360° n.
Задание МАИ по геометрии. Вариант 21.
1. Из точки, лежащей на окружности, про¬
ведены две хорды
по разные стороны
от центра. Хорды стя¬
гивают дуги в 90°
и 120°. Найти отно¬
шение площадей, на
которые разделится
хордами круг.
Черт. 4
5
— я,
6
2
Vi
2
S2 =
Qsr-
-&-S)
= Hi-1)’
41

2.	Каждый из плоских углов трехгранного
угла равен а = 63°48'52". Найти угол наклона
ребра этого трехгранного угла к его противо¬
положной грани.
Решение;
ED
sin (Pi = — =°
OD
1	Vii „	a	a
= — . - 2a sin —: a cos —,
3	2	2	2
Vi, «
sin?‘ = TgF'
AO 3	2	2
2]/3	.	a
=	sin —,
3	2
= arcsin(^tg^-) +
. /2^3 , Л
sin I —-— sin — .
\ 3	2/
-f- arc
3.	Вычислить без таблиц:
sin (
если
а 2
tg 2 ~ 3 '
Решение;
tga =
2-1
3
12.
-(})*
Sin а = -
/
1+й7
12
13*
COS а = ■
Г
V
1+
№
13
sin (а -1- —) = Sin a Cos — + cos a • sin — ;
4	4 /	4	4
. / .	12	Vi . 5 l/2
sin f a Ц ) = — •-		-— =
4	4/	13	2	13	2
_ 17 V 2 = 17l/2
13 2 “	26
4.	Решить уравнение:
tg 3x- sec 7x	sec 3x = tg 7x sec 3x -f- sec 7x.
sin 3x	1	_
cos 3jc cos 7x	cos 3x .
sin 7x ,	1
cos 7x cos 3x cos 7x
sin 3x + cos 7x  sin 7x -(- cos 3x .
cos 3x cos 7x cos 3x cos 7x
sin 3x -|- cos 7x = sin 7x -J- cos 3x;
sin 7x — sin 3x = cos 7x — cos 3x;
2 cos 5x sin 2x = — 2 sin 5x sin 2x.
Сокращаем на sin 2x. Однако возможно, что
sin2л: = 0; 2х=180°-А; лс, = 90°-й;
cos Зх = 0 — посторонний корень,
cos 5х = —sin 5х,
1 = —tg 5х,
tg 5х = 1.
Делим на cos5x; при этом, однако, воз¬
можно, что cos 5х = 0:
5х= f90° + 180°-ft,
х2 = 18° + 36°-fe,
5х=135°+180°-А,
x3 = 27° + 36°-fe,
ЗАДАЧИ, ДАВАВШИЕСЯ В РАЗНЫХ
ВУЗАХ И ВТУЗАХ
АЛГЕБРА
Упростить выражения;
1.
L _2Л6
2а — 3 а3 — 4а 3
М*= l-ГК2а-3)-(а-4)] Г=
1о°	*
2.
1 p-fy/l-x2 Vl — ха ~|	3	.
3aL V 1+х	I + Vl—X-J а’
„ У~х 3  ЛГ~\ — ~х 9
3а
За
* В целях экономия места заданное выражение
кратко обозначается через М.
42

I
■7
fj
3.
8 — m
3/-—
V m*
2+^
tn
2+ Vr"!
1 +
+
m.
3 —
2 у m
1)
4
8 — m
3 —
g ___	I	g	   g
jfm — 2 / у™2 + 2|fm
2+Vm 4 + 2^m-j-yn
2) У m
3)
/лг
3/—
yfm- — 4
\f"*2 -f 2 1Гт
=	(^+2)	—	2)	_	V-	_
С ^m — 2) •	(|/rm_|_	2)
g ^  g
4) 2— |A* + Vm — 2.
Решить уравнения:
42,-з _/025\-5"
0,125-4
-G!)'
2-3+2(2лг—3)—12,5jc_ j
18
— 8,5a — 9 = 0; a = —
17
5.
j/" 5s ^ = 5^-4
5 VT
5 ■* =5^"-4
5 Vеx — a У a -J- 4a = 0
У x (5 — x	x)	=	Ъ
X\ = 0; a* = 25; xs =■ 1.
Aj и а8 - посторонние корни.
6.
22лг+2. jqjc+i _ 10 -23*-5л:= 1200
4-1	<)3a+1	___	24_5^.3
2за+1.5л+1 (4_i) = 21.52-3 и т. д.
7.
A2'*4
2 lgs 4 IgsA = 2 (lgs 4 — 1) lgs 4.
* =	a=1
3
8-51&<Jlr-1,+1 = 11.5'E',1'0>~1 + lg 1 27
V'iT
9.
3,-
= 2— у m;
5 (a — 1)= 11 /a-1-6.
Уа — 1 =y и т. д.
5,gs 0B‘^-lgs a — 3 lg5 a = 4
lg^A-31g5A-4=0
lgs-*=.V и т. д.
а» = 54; as = — — посторонний.
5
10.
fe]/"8 1-^^216 = 1,125
lgj_/216 = ^ (~r)
»:	С
1
■I&8:
9
Ig^A*	8	4	8
IffyT" -** = 8 = lg^r2-	2	3°
и т. д.
11.
3 log0 (N — 1) = loga (5 + 4N — 3N*)
(W—1)S = 5 + 4W —31V*
N3 — N — 6 = 0
N3 — 8 — (IV — 2) = 0
(IV— 2) (N2 -j- 2N 3) = 0
N = 2.
12.
13.
14.
5!-54-56... б2* = 0,04“28
g2+4+6+ •••+2a_5!
56
и т. д.
(10a)’bj:= 10 000a
lgA(l+lgA) = 4 + lgA и т. д.
/
JgVx _
= 100
— Iga x— 2 и т. Д.
8
15.
gift* a’ 4. \gv_ 2Vr2=± (giftsA+l _ 9'B«a)
16.
g21guA_J_3 = JL - 8 - 9,e‘sX
g21gS5A — 4.glgssA 3	0
glgtt A = 2 + jA —3 =2 + 1 И T. Д.
Ig8A®= 2Ig*8 —1.
6Ige* = 2 ^-1.
lg8A
6lg^A-|-lg8A— 2 = 0 И Т.Д.
43

Решить системы уравнений:
17.
х—у	_
Vx + y = 2V3
(х+у)2у~* = 3
х-У ,
(1)
(2)
* + У
-У:
18.
2У~х у 2У~Л
1 1_
3х~у • 2 = 2 - З2
х—у — 2; х -\-у = 12.
ху = 243
У/Ш=(},)*
= 2-3
ху = 3*
2s хг
2у = —
За
Ху = &
— —2
2у -3* = jc*
.32^2=35
25“j' ■Зу-6=1; ({У'3'*1: 5-j/ = l
1Э.
20.
ху — 40
vigy = 4
Ig* + lg.y = lg4-l-l
Jg-^-*g_V = lg4 и т. д.
l03-Ig(A:-jO=250
.г  , 1 ,/	■	26—у
V *-у +- Ух + у = —=
z	у	х—у
3 — lg (* — у) = lg 250.
1000
= 250; х —у = 4.
25—_у
х-у
*+~УчТу 2
тренней касательной. Определить расстояние
между центрами этих кругов. Ответ: 9 см.
3. Ромб, у которого большая диагональ,
равная 2d, составляет со стороной угол а,
вращается около оси, проходящей через вер¬
шину острого угла параллельно другой
диагонали. Определить объем тела враще¬
ния. Ответ: 4та?3 tg а.
4. В сферический сектор, радиус которого
R = 6 см, вписан шар радиуса г = 2,0256 см.
Вычислить угол в осевом сечении данного
сектора. Ответ: sin — = —-—.
2	R — r
5. В правильной треугольной призме поме¬
щены три шара радиуса г. Каждый шар ка¬
сается двух соседних шаров, двух боковых
граней и обоих оснований. Определить объ¬
ем призмы. Ответ:	v	=	4r3(3 -|-3 ).
6. Боковая поверхность цилиндра развер¬
тывается в квадрат со стороною а. Вычис¬
лить объем этого цилиндра.
7. В шар радиуса а вписан цилиндр, боко-
2
вая поверхность которого равна — поверх-
5
ности шара. Найти объем цилиндра. Ответ:
S = 4 таг*.
8. Диагональ большей из боковых граней
прямоугольного параллелепипеда образует
с плоскостью основания угол р. Вычислить
отношение объемов частей параллелепипеда,
полученных при пересечении его плоскостью,
проходящей через меньшую сторону основа¬
ния под углом а к его плоскости (а •< р).
^ Vi	tg	а
Ответ: — —	-
2 tg р — tg а
х,=34; у, -30 — пост. реш.
Xg = 20; у2 = 16.
ГЕОМЕТРИЯ
1. Около круга радиуса г описана прямо¬
угольная трапеция, наименьшая из сторон
которой равна -^-г. Определить площадь
трапеции. Ответ: 4,5 г*.
2. Внешняя касательная двух кругов ради¬
усов 5 см и 2 см в 1-^ раза больше их вну¬
9.	На ребре двугранного угла <р дана точ¬
ка А, через которую проведена в одной из
граней прямая, образующая с ребром угол а.
На этой прямой дана точка М, расстояние
которой до другой грани равно Л. Опреде¬
лить длину проекции отрезка AM на вторую
грань двугранного угла. Ответ;
^ h ctg а у 1 -J- sin2 а
10. Двугранный угол при боковом ребре
правильной шестиугольной пирамиды ра¬
вен <р. Определить плоский угол при вер¬
шине пирамиды. Ответ: 2 arc tg	.
11. Определить ребро куба, вписанного
в конус, образующая которого равна I и
наклонена к плоскости основания под уг¬
лом а.
12. Параллелепипед имеет в основании
ромб со стороною а и острым углом а. Боко¬
вые ребра наклонены к плоскости основания
под углом р, причем одно из них выходит
из вершины острого угла основания и имеет
свой конец на перпендикуляре, восставлен¬
ном к плоскости основания в точке пересе¬
чения диагоналей основания. Определить
объем параллелепипеда и углы наклона боко¬
вых граней к плоскости основания.
44

ТГПГОПОМЕТГПЯ
Доказать тождества:
1.
tg За — tg 2л — tg а = tg3a-tg2a-tg а
tg За — tg 2а — tg а
Sin а
COS За COS 2а
sin а sin а (COS а — COS За COS 2а)
COS а	COS За COS 2а COS а
sin а [cos (За — 2а) — COS За COS 2а
COS За cos 2а cos а
sin а sin За sin 2а
COS За COS 2а COS а
2.
= tg За tg 2а tg а.
1 .
cos4 х -I- sin4 х = 1 sin5 2х
2
cos4 х 4" sin4 x = (cos2 x 4- sin2 x)2 —
7- 2 sin2 x cos2 x ~ I   sin2 2x.
2
3.
4 sin а (1—tg2a)
(1 4“ tg* “) sec “
4 sin a cos а (1 — tg2 а)
= sin 4a
■ = 2 sin 2a-(l —
1 + tg! a
— tg2 a) cos2 a = 2 sin 2a (cos2 a — sin2 a) =
= 2 sin 2a cos 2a = sin 4a.
COS2 a
1
  sin 2a.
tg--tg-
5.
6.
sin6 a 4-cos® a = 1 sln22a.
4
sin® a 4- COS® a = (sin2 a 4" COS2 a)2 —
— 3 sin2 a COS2 a (sin2 a 4- COS2 a) =
.	3	.	„
= 1 sin 2a.
4
tga-sec ip 4" tgp-sec a   a + y
sec a -(- sec <p	2
Выразить tg и sec через sin и cos.
7.
• » f42 1 a \	/42	a \	Sin “
sin2 (	 )	—sin2(	)	=	——
V 8	2j	\ 8	2j	yj
sin8
а
cos4 a — sin4 a -(- sin 2a = ]/2~ cos ^2a — —^
(cos2 a 4 sin2 a) cos 2a 4-' sin 2a =
= sin — 2a^ 4 sin 2a = ...
9.
115	1
arc tg	[- arc tg — = arc tg	1- arc tg	—
2	3	6	11
1)	tg ^arc tg 4 arc tg ^ =
2	3
1 —
V 1
10*.
cos x -4- sin x tcf — =
*2
X	XX
cos x cos 1- sin x sin — cos —
2	22
cos
X
COS —
2
= 1
11.
1/14 c°s a — Vi —
COS a —
V2 cos ——V2 sin — =
= V2 £cos — cos ^90° — —yj =
= 2 sin ^45°—
12.
sin2 2 a — 4 sin2 a
4 sin2 a cos2 a — 4 sin2a
Sin2 2a — 4 44 sin2 a 4 sin2 acos2 a — 4cos2a
■ sinz a sin2 a
— COS2a cos2 a
= tg4 a
13.
14.
15.
16.
17.
18.
sin2 x 4 sin2 2x = 1
sin2 x 4 1 — cos2 2x = 1
sin2 x — (1 — 2 sin 2x)2 = 0
4 sin4 x — 5 sin2 x 4 1—0
sin 3x 4 sin 4x 4 sin 5x = 0
sin 4x 4 2 sin 4x cos x = 0
sin 4x (142 cos x) = 0
-VHSiL = 2sinx
1 4 Ctg X
tg x = 2 sin x
(6 NCOS’ x + cos X 4,
f) = ^
cos2 X 4 cos x = 0
4
4S,nX = lT2
1
22siax _
sin x 4 sin 1 = sin (x 41)
* В тождествах 30, II и 12 задаются конечно только
первая и последняя части.
45

JIFAETJ1 ЧЕС KILE ПАЛЫ HU
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В АРТИЛЛЕРИИ
А.	Л! О Г ИЛ I,НИ TlJCllft (г. Гайсип)
ного наших учащихся после оконча¬
ния школы идут в армию. Многие
из них станут хорошими летчиками,
танкистами, артиллеристами. Наша
школа, выполняя указания XVIII
съезда ВКП(б) о практической подготовке,
должна дать учащимся также необходимую
военную подготовку. Многие думают, что
дело военной подготовки учащихся возло¬
жено только на военрука школы. Мне ка¬
жется, что преподаватели математики могут
оказать немалую услугу нашим будущим во¬
инам, рассказав им о тех применениях мате¬
матики, с которыми придется встретиться в
армии. Такие сведения покажут еще раз уча¬
щимся, какое большое практическое значе¬
ние имеет математика.
В настоящей статье я хочу рассказать о
некоторых применениях математики в артил¬
лерии.
Я поставил своей задачей собрать и «концен¬
трировать в небольшой статье материал, кото¬
рый очень нужен каждому артиллеристу и, в
особенности, такой материал, где видна важ¬
ность и необходимость математических зна¬
ний.
В книге «Артиллериях (отв. редактор майор
В.	Внуков) написано: «Артиллеристу она
(математика.— А. М.) нужна буквально на
каждом шагу артиллерист должен отлично
знать и арифметику, и геометрию, и триго¬
нометрию, и алгебру, и, отчасти, аналитиче¬
скую геометрию. Этими науками артиллери¬
сту надо овладеть так хорошо, чтобы даже в
бою, под огнем неприятеля он ие ошибался
в расчетах, уверенно и спокойно применяя
нужные формулы.
Для полного же понимания теории стрель¬
бы и науки о полете снаряда — баллистики —
надо знать всю высшую математику.
Быть хорошим артиллеристом — это значит
обязательно быть хорошим математиком».
Мои доклады на собраниях математического
кружка «О применениях математики в артил¬
лерии» всегда заинтересовывали учащихся и
встречали отклик и одобрение со стороны
командиров-артиллеристов, с которыми я про¬
вожу занятия по математике.
ИЗМЕНЕНИЕ УГЛОВ В АРТИЛЛЕРИИ
Всем, даже начинающим изучать геомет¬
рию, известно, что углы измеряются вградусах,
минутах и секундах. Но такое измерение для
артиллеристов неудобно. В артиллерии суще¬
ствует другая единица измерения углов.
Разделим окружность на 6 ООО равных ча¬
стей. —1— часть окружности и центральный
„ 1
угол, отвечающий  части окружности, на¬
зывается «тысячной» (значение слова объяс¬
ним дальше), или «делением угломера».
Для удобства чтения величину угла, изме¬
ренного в «делениях угломера», записывают,
отделяя две цифры справа черточкой. Так,
например, величину угла, имеющего 185 «де¬
лений угломера», записывают: 1—85, величину
угла в 5 делений записывают: 0—05, в 1280
делений —12—80. Очень легко установить за¬
висимость между «делениями угломера» и
градусами (см. таблицу 1)
Таблица I
Градусное изме¬
рение
«Деления угломера»
360
60-00
270
45-00
180
30—00
90
15-00
60
10-00
45
7-50
30
5—00
6
1-00
1
0—16—
3
З'Зб"
0-01
Измеряются углы в артиллерии специаль¬
ными приборами: шкалы этих приборов при¬
способлены к измерению углов в делениях
угломера.
Кто знаком с военным биноклем, тот в
поле зрения видел сетку с делениями: это и
есть деления угломера (рис. I).
Одно большое деление сетки равно десяти,
а малое — пяти делениям угломера.
Но для приближенного измерения углов
можно обойтись и без приборов. Наша ладонь
и пальцы, спичечная коробка могут стать
угломерными приборами, если знать сколько
в них заключается делений угломера, или,
как говорят артиллеристы, знать «цену» их.
Так, ширина ладони вытянутой руки рав¬
на примерно 1—20 делениям угломера, ши¬
ESI
46

рина пальца примерно — 0—30 (рис. 2). Угло¬
вая величина сторон спичечной коробки
стандартного размера 0—90, 0—60 и 0—30,
чертежного карандаша 0—12 по диаметру и
2—20 по длине (рис. 3).
Таблица 3
Рис. 2
Рис. 3
«Деления
угломера»
Г радусы
Значение
синуса с
точн. до
0,01
Значение
синуса, ко¬
торым поль¬
зуются в
артиллерии
1—00
6
0,10
0,1
2-00
12
0,21
0,2
3—00
18
0,31
0,3
4-00
24
0,41
0,4
5-00
30
0,50
0,5
6-00
36
0,59
0,6
7-00
42
0,67
0,7
8—00
48
0,74
0,8
9-00
54
0,81
0,8
10-00
60
0,87
0,9
11-00
66
0,91
1.0
12-00
72
0,95
1,0
13-00
78
0,98
1,0
14-00
84
0,99
1,0
15-00
90
1.00
1,0
Предметы
С какого
расстояния
видны (км)
Колокольни и заводские тру¬
бы
16—20
Отдельные деревья ....
9
Отдельные дома
5
Окна в домах
4
Отдельные деревья в лесу . .
2
Верстовые столбы
1
Остановимся еще в этом параграфе на опре¬
делении значений синусов углов, измерен¬
ных в делениях угломера, что очень важно
для артиллерии (см. § 5).
Для этого составим таблицу с переводом
величин углов, измеренных в делениях угло¬
мера в градусы, а затем значения синусов
возьмем из таблиц натуральных значений
тригонометрических функций (табл. 2).
Таблица 2
Более точно можно определять дальность
по угловой величине предмета. Разберем этот
способ.
Выше мы указывали, что в артиллерии
окружность делится на 6 000 равных частей.
Обозначим длину —5— части окружности че-
6000
рез Дг и определим Дг. Так как длина
n п	л	2.T.R
окружности равна 2та?, то Дг =	.	Если
6000
же представить себе окружность, проведен¬
ную радиусом, равным некоторой дальности
D, то
27zD
Дг =	.
6000
Подставляя вместо к его
лучим:
2-3,14
^00
значение 3,14, по-
Лг = -
d = 6j28 d_ J_d
6000	955
Для разных практических вычислений вели¬
чину округляют и считают:
955
AZ:
1
1000
D.
Из приведенной таблицы видно, что значе¬
ния синусов углов очень легко запомнить.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАЛЬНОСТИ
Для артиллериста очень большое значение
имеет определение дальности. Простейшими
способами определения дальности являются:
глазомерный и по угловой величине предме¬
тов.
Всем известно свойство глаза различать
предметы, начиная только с некоторого опре¬
деленного расстояния; зная, с какого рас¬
стояния какой предмет различается глазом
человека, можно примерно судить о расстоя¬
нии к данному предмету. Человек, готовя¬
щий себя к военной деятельности (да и не
только к военной), должен постоянно трени¬
ровать свой глаз, определяя разные расстоя¬
ния. Кроме того, следует запомнить, какие
предметы и с какого расстояния различает
глаз человека. Приведем соответствующую
табличку (табл. 3).
Поэтому деления угломера и названы тысяч¬
ными.
Теперь представим себе, что нам известна
линейная величина I некоторого предмета и
также известен угол а (в делениях угломера),
под которым наблюдается этот предмет. То¬
гда:
1 = л-Д z =
1000
Отсюда:
D = 1000•-
О)
Когда помнишь размеры часто встречающих¬
ся предметов, то легко по этому способу
определить расстояние до предмета.
Приведем линейные размеры некоторых
предметов (табл. 4).
Приведем пример определения дальности
по указанному способу. Пусть расстояние
между двумя телеграфными столбами видно
под углом 0—80. Тогда, учитывая расстояние
между столбами I = 50 м, получим расстояние
от данного места до столба:
£> = —• 1000:
80
;625 м.
47

Таблица 4
Название пред¬
метов
в
Линей¬
ные раз¬
меры
метрах
1
Стрелок с колена
Пеший, стоя	 1,7
Верховой	 2,3
Телеграфный столб ....	6
Расстояние между столба¬
ми телеграфной линии .	50
Железнодорожный вагон .	4,2
Следует только помнить, что наблюдаемый
предмет должен быть расположен перпенди¬
кулярно к линии наблюдения.
На основании формулы (1) можно решать
и другие задачи, имеющие практическое зна¬
чение.
Пример 1. Дальность стрельбы 4 000 м.
На сколько метров в сторону переместится
снаряд, если канал ствола повернуть на 0—25?
1	—*
I = п- — D = 25-4 = 100 м.
1000	i
Пример 2. Окоп находится на расстоянии
2 500 м от орудия. Снаряд упал у края окопа.
На сколько нужно повернуть канал ствола,
чтобы снаряды падали в середину окопа, если
длина окопа 50 м?
. 1000 п, 1000
п =1—— =25
D	2500
: 0-10.
ПОДГОТОВКА ДАППЫХ ДЛЯ ОТКРЫТИЯ
огня
Очень часто приходится вести стрельбу по
такой цели, которая с батареи не видна. Как
тогда направить орудие в цель?
В таких случаях командир-располагает свой
наблюдательный пункт (НП) в стороне от
батареи (О) так, чтобы с этого пункта была
видна цель (Ц).
Введем термины и обозначения, которые
применяются в артиллерии (рис 4 и 5).
Рис. 4
ОЛг   А
Рис. 5
местности, либо расчетом, либо по карте.
Определить базу расчетом можно так: от
орудия, видимого с точки (Я), выставляют
веху в направлении, перпендикулярном к
базе. Расстояние от орудия до вехи сообщает¬
ся телефоном командиру, который находит
угловую величину этого расстояния и по
формуле (1) определяет расстояние ОК, т. е.
базу.
С наблюдательного пункта определяем рас¬
стояние до цели Дк либо глазомерно, либо
по карте. Определенная дальность Дк должна
быть трансформирована для орудия в даль¬
ность Дб. На практике принимают, что ОЦ =
= КЦ + АК (рис. 4), или ОЦ = КЦ — АК
(рис. 5). В принятых обозначениях:
Дб = Дк ± d
(2)
требуется определить отход d. Так как угол
а командиру известен (он определяется с
помощью артиллерийских угломерных прибо¬
ров), то из прямоугольного треугольника
АН О следует:
d = Б-sin АОК, но■АОК 15 — 00 — а
а потому
d = Б ■ sin (15-00 — а). *	(3)
Подставив это значение в формулу (2), по¬
лучим:
Дб = Дк + Я-sin (15—00—а).	(4)
Примеры: 1. Определить Дб, если база
равна 1 000 м, Дк — 3 000 м, угол а —8—90
н известно, что батарея — сзади наблюдатель¬
ного пункта.
d= 1 000-sin (15—00—8—90)=1 000-sin 6—10=
= 1 000-0,6 = 600 м.
Следовательно:
Дб = 3 000 -f 600 = 3 600 м.
2.	Определить Дб, если батарея — спереди
наблюдательного пункта, Дк = 4 000 м, ба¬
за - 700 м и угол а - 3—00.
Дальность от наблюдаемого пункта до це¬
ли обозначим через Дк; дальность от основ¬
ного орудия (О) до цели (Ц) — Дб. Расстоя¬
ние от наблюдательного пункта (К) до основ¬
ного орудия называется базой (Б).
Опустим перпендикуляр на линию наблю¬
дения КЦ. Полученный отрезок называется
отходом (d), а отрезок АО — смещением (с).
Угол АКО обозначим буквой а.
Для всех дальнейших расчетов необходимо
знать величину базы. Величину базы опреде¬
ляют либо непосредственным измерением на
Рис. 6
3.	База = 800 м, угол а = 7—00, Дк = 4 200 М.
Определить Дб, если батарея сзади НП.
* Можно было бы определить отход по формуле
d = J5cosa, но кпк видно из таблицы (2), удобнее
пользоваться значениями синусов, которые легко за¬
помнить.
48

Зная дальность Дб, артиллеристы устанав¬
ливают определенный прицел на орудии. Но
нужно еще знать, куда направить орудие.
Направление орудия в цель производится
с помощью угломерных приборов. Один из
артиллерийских угломерных приборов есть
буссоль. Артиллерийская буссоль — это боль¬
шой компас, укрепленный на треноге. Деле¬
ния на окружности буссоли наносятся в «ты¬
сячных». Такая буссоль имеется и на наблю¬
дательном пункте, и на огневой позиции. На
наблюдательном пункте командир направляет
буссоль так, чтобы диаметр, на одном конце
которого стоит цифра 30, а на другом 0,
был направлен по линии наблюдения КЦ
цифрой 0 к цели. Тогда против северного
конца стрелки читаем: «буссоль цели».
Пусть, например, командир определил бус¬
соль цели 52—00. Если на огневой позиции
поставить буссоль 52—00 и расположить ствол
орудия по направлению диаметра буссоли
30—0, то ствол орудия при этом будет на¬
правлен параллельно линии «командир—цель»
(рис. 6). Следовательно, перед открытием огня
необходимо повернуть батарею в сторону
наблюдательного пункта на угол ДОЦ. Этот
угол называется «поправкой на смещение» и
обозначается ПС. Ясно, что угол ДОС равен
углу ОЦК, как внутренние накрестлежащие
при параллельных ОД, КЦ и секущей ОЦ.
Как же определить поправку на смещение?
И снова придется призвать на помощь ма¬
тематику, которая и даст необходимые фор¬
мулы.
Из прямоугольного треугольника АОК сле¬
дует:
с = Д-sin о (рис. 6)
Если в формуле I = п—5— Д = и-0,OOI27 по-
1000
ложим 27=276, то угол п и будет поправкой
на смещение и потому
с	„	Б ■ sin а
Пример. Определить гС, если Дк 3 000 и,
а = 6—20, база = 800 м н батарея — сзади Нт..
Находим отход по формуле (3):
d = 800 ■ sin (15—00—6 -20) = 800 • sin 8 -80 =
= 800-0,8 = 640 м.
Тогда Дб = 3 000 -j- 640 = 3 640 м.
Следовательно,
„	800-sin 6—20 800-0,6	,
пи =  		 =	=	1—30.
0,001-3640
3,6
После определения Дб (а следовательно, и
прицела) и окончательной буссоли (с учетом
пС) командир может подавать команду для
открытия огня.
Т.С-
0,001276
или пС ■■
0,001276'
(5)
В настоящей статье поданы самые необхо¬
димые и самые простые применения матема¬
тики в артиллерии. Для того же чтобы по¬
нимать более сложные работы артиллериста,
необходимо знать еще многие отделы мате¬
матики и притом не только элементарной
математики.
Если преподаватель расскажет учащимся
хотя бы о тех применениях математики в
артиллерии, о которых говорилось в настои-
щей статье, то и это будет очень полезной
работой: с одной стороны, учащиеся будут
знакомы с основными работами наших артил¬
леристов, с другой — учащиеся еще раз убе¬
дятся в необходимости глубокого изучения
математики.
Литература. 1. Артиллерия — отв. ре¬
дактор майор В. Внуков. Воениздат НКО
СССР 1938
2. Ф. Я. Винарский и Б. И. Пех — По¬
собие по стрельбе артиллерии для младших
лейтенантов. Воениздат НКО СССР, 1940.
3. Учебник по стрельбе артиллерии. Курс
артиллерийских школ РККА, ч. 1. Под общей
ред. В. Дьяконова. Воениздат НКО СССР,
1936.
ПРОСТЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
Г. А. МИХАЙЛОВ (г. Выкса1
Неотложная необходимость привития
практических навыков учащимся в
процессе изучения ими математики
и осуществление основного требова¬
ния педагогики — конкретизации со¬
общаемых учащимся знаний — заставляют
школу усиленно работать над поисками
объектов, на которых возможно было бы
осуществить выполнение указанных задач.
В этом отношении не мало сделано педаго¬
гической печатью: большое количество ста¬
тей в журнале’ «Математика в школе» и
специальные брошюры Научно-исследователь¬
ского института школ дают много ценных
указаний по этому вопросу. В настоящее
время перед школами стоит задача срочного
пополнения школьных математических каби¬
нетов простейшими наглядными пособиями,
главным образом измерительными прибора¬
ми собственного изготовления, так как ожи¬
дать их приобретения через торгующие
организации это значит отложить разреше¬
ние поставленной задачи на продолжительное
время.
В указанных выше печатных материалах
перечисляются некоторые необходимые при¬
боры, требующие фабричного изготовления
их. Такие приборы не могут скоро попасть
в школы ввиду ограниченности их выпуска,
а иногда и вследствие высокой их стоимости.
К числу таких приборов принадлежит
планиметр — прибор, крайне необходи-
' мый для привития учащимся практических
навыков в определении площадей, ограни¬
ченных произвольным контуром. Наиболее
распространенный тип этих приборов — пла¬
ниметр Амслера — школы едва ли смогут
приобрести, но этот дорогой и довольно
сложный прибор может быть заменен весь¬
ма простым, но мало известным в школах
4
49

планиметром Притца, или, так называемым
планиметром-топориком.
Планиметр-топорик представляет собой
скобу (черт. 1), сделанную из железной или
стальной проволоки диаметром 4—5 мм.
Черт. 1
На одном конце скобы делается острие а,
которым обводится контур измеряемой пло¬
щади, другой конец b расплющен и заточен
■рстрием — «топориком». Лезвие топорика
Должно лежать^в плоскости всей скобы, т. е.
направлено к острию а.
Лезвие b должно быть слегка изогнутой
формы и заточено настолько остро, чтобы
■оно под действием веса скобы немного вре¬
залось в бумагу и тем самым обеспечивало
бы движение конца Ь только вдоль на¬
правления лезвия и не позволяло бы этому
концу сдвигаться вбок по отношению к на¬
правлению лезвия.
Измерение площадей этим планиметром
производится следующим образом: 1) на-глаз
отыскивается центр тяжести О данной фигу¬
ры; 2) острие а помещается в этом центре
тяжести, а лезвие b — в произвольной точке
на свободном поле плана или чертежа; лег¬
ким нажимом на лезвие отмечается точка
Л1 —след первоначального положения лез¬
вия на бумаге; 3) острие а переводится по
прямой ОА, направление которой к кон-
туру фигуры может быть взято произвольно,
затем обводится по всему контуру до точки
А и вновь возвращается по прямой АО к
«ентру О (черт. 2).
При описанном способе движения острия
а лезвие Ь опишет некоторую ломаную ли¬
нию MNPQT. По возвращении острия а в
точку О вновь нажимом на лезвие отмечаем
след конечного положения его, точку Т.
Измерив масштабной линейкой расстояние
МГ, которое обозначим д, и умножив q на
длину планиметра р, равную расстоянию
между острием а и серединой лезвия b
(черт. 1), получим искомую площадь фигуры:
S=pq.
Теория планиметра показывает, что при
указанном способе обвода контура для опре¬
деления площади, ограниченной им, необхо¬
димо знать длину дуги МТ, имеющей
центр в точке О, которую обозначим через
I, длину планиметра р и площади фигур:
LPK, лежащей на внутренней стороне дуги,
MNK и LQT, лежащих на внешней стороне
дуги. Если площади этих криволинейных
треугольников обозначим соответственно
через Е„ Es и £3, тогда искомая площадь
будет:
S = 1р + £,-(£* + £3).	0)
но можно доказать, что если точка О совпа¬
дает с центром тяжести фигуры, то Е, —(£в -}-
4-£3) = 0, тогда формула (1) принимает про¬
стой вид:
S = 1р.
Если же дуга МТ будет заключать в себе
менее 20°, то с очень малой погрешностью
ее можно заменить хордой МГ = q, ив
этом случае получаем указанную выше фор¬
мулу для определения площади: S — рд.
Полнаи теория этого планиметра сложна
для учащихся средней школы *, поэтому вы¬
вод формулы для определения площади мож¬
но дать учащимся опытным путем. Для
этого необходимо заготовить несколько
планиметров различной длины, например:
100 мм, 150мм, 200 мм, 250мчч 300 мч, взять
простую геометрическую фигуру, площадь
которой и положение центра тяжести точно
известны (например, квадрат, круг) и, по¬
добрав 2—3 планиметра подходящей длины
так, чтобы расстояние МТ не получалось
слишком малым, трудным для точного изме¬
рения и в то же время, чтобы дуга МТ со¬
держала не более 2СР, производим обвод
контура указанным способом поочередно
всеми выбранными планиметрами, после
чего легко показать учащимся зависимость
между полученными величинами р, q и S.
Степень точности результата измерения пло¬
щади зависит от близости взятой начальной
точки О к центру тяжести площади. Так как
при неправильных контурах трудно опреде¬
лить на-глаз точное положение центра тяже¬
сти, то измерение может дать неточный ре¬
зультат. Но полученную ошибку можно
исключить повторным обмером площади, при
котором острие переводим от точки О к кон¬
туру в диаметрально противоположном
направлении н обвод контура производим
в направлении, обратном первоначальному.
В этом случае ошибки измерения при первом
и втором обводе будут взаимно противопо¬
ложными, и истинную величину площади
получим, взяв среднее арифметическое пло¬
щадей, полученных при обоих обмерах.
Наконец, неточности измерений могут
быть результатом неточного обвода острия
по контуру и недостаточной остроты лезвия,
позволяющей ему сдвигаться вбок.
Работа с этим планиметром представляет
большую ценность при изучении площадей
в курсе геометрии в VIII и IX классах сред¬
ней школы.
Второй, предлагаемый мною простейший
прибор— диаметрометр— у голь ни к—
также дает возможность решать ряд интерес¬
ных задач. Назначение его — определение
диаметров окружностей и дуг, положение
центра которых неизвестно.
Диаметрометр (черт. 3) представляет собой
деревянный угольник с прямым углом.
Длина одной стороны его, АВ, должна быть
точно известной, а на второй стороне уголь-
•Изложение теории планиметров» в том числе и
планиметра Притца, дано в книге И. А. Крылова
«Лекции оп нблнженных вычислениях». Изд. Академии
наук СССР» 1935.
50

ника ВС нанесен масштаб с делениями на
-ел и мм. При кустарном изготовлении тако¬
го угольника единственная трудность встре-
Черт. 3
ч
тится в нанесении делений на стороне
угольника ВС. Эту трудность легко обойти,
если не наносить деления, а наклеить на
сторону ВС ученическую чертежную линейку
с делениями, поместив ее так, чтобы нуле¬
вое деление шкалы приходилось в точке В.
Измерение диаметров дуг или цилиндров
производится следующим образом: прикла¬
дываем к измеряемому цилиндру угольник
так, чтобы плоскость его была перпендику¬
лярна к оси цилиндра и чтобы угольник
точкой А упирался в поверхность цилиндра,
а линейка АС касалась его. Замечаем, на
каком делении шкалы приходится точка ка¬
сания К- Обозначив длину АВ через а и ВК
через /, находим диаметр МК. по формуле:
а* + Р
а = —	 .
а
Вывод этой формулы вполне доступен
для учащихся VIII класса.
Для измерения диаметров различных тел
желательно иметь набор угольников раз¬
личных размеров.
По указанной выше формуле данным
угольником можно определить диаметр d
при условии, если d^2a. В случае, если
rf<2a обе стороны угольника будут касать¬
ся поверхности цилиндра, тогда d = 2l.
При изучении графиков функций следует
вычертить графики для определения диамет¬
ров к каждому из имеющихся угольников
и параллельно с вычислением диаметра по
формуле желательно проводить и нахожде¬
ние его по графику, вычерченному для
данного угольника (черт. 4).
Помимо привития навыков к графическому
методу решения задач, построение графика
к каждому угольнику представляет еще
интерес и в том отношении, что на различ¬
ных участках этот график показывает два
вида функциональной зависимости между { и d.
При JfcCfl имеем прямую пропорциональ¬
ность: d = 21, и график на этом участке имеет
вид прямой; при /> а зависимость выражает-
Р
ся функцией второй степени:	d^=a-\-
а
и график имеет вид дуги параболы, верши¬
на которой находится в точке .4 (о, а).
Третий прибор, необходимый на уроках
математики для привития практических на¬
выков в измерениях, — нониус. Нониус
является важнейшей частью точных измери- 0
тельных приборов.
Школьная модель нониуса (черт. 5) имеется
во многих школьных физических кабинетах,
так как она в большом количестве выпуска¬
лась мастерскими наглядных пособий. В этой
модели на шкале АВ нанесены сантиметро¬
вые деления; вдоль шкалы по прорезу может
передвигаться нониус Р, на переднем краю
которого, скользящем по шкале АВ, нанесе¬
ны 10 делений по 0,9 см каждое. При край¬
нем положении нониуса у упора С нулевые
деления нониуса и шкалы АВ совпадают.
Измеряемый предмет закладывается между
упором С и нониусом Р. По шкале АВ от¬
считываем число целых сантиметров, входя¬
щих в длину измеряемого предмета, а на
шкале нониуса находим первое деление, сов¬
падающее с каким-либо делением шкалы АВ',
номер совпадающего деления нониуса пока¬
зывает число десятых долей сантиметра,
содержащихся в измеряемой длине сверх от¬
считанного числа целых сантиметров.
Нониус является обязательной деталью
широко применяемого в производстве изме¬
рительного прибора— штангенциркуля.
Применение нониуса в штангенциркуле поз¬
воляет производить последним измерения
длин с точностью до 0,01 мм. Штангенцир¬
куль необходимо включить в оборудование
математических и физических кабинетов,
чтобы после практики с моделью нониу¬
са научить учащихся производству точных
измерений с помощью штангенциркуля.
Наконец, нониус применяется в астролябиях
и теодолитах.
4'

ХРОНИКА
ЧЕТВЕРТЫЙ ГОД РАБОТЫ СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ
ПРИ ОДЕССКОМ ГОРОДСКОМ МЕТОДИЧЕСКОМ КАБИНЕТЕ
Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)
стественное желание, присущее вся¬
кому преподавателю, искренне лю¬
бящему свое дело,— стремиться к
повышению качества своей работы
путем усовершенствования своей
квалификации и своего методического ма¬
стерства,— является очень сильным побуж¬
дением к общению и обмену опытом с това¬
рищами по работе.
Четырехлетняя деятельность секции препо¬
давателей математики при Одесском город¬
ском методическом кабинете могла бы про¬
иллюстрировать это положение, не вызываю¬
щее, собственно говоря, никаких сомнений,
целым рядом примеров. Уже одно то, что
на протяжении 4 лет регулярно еженедельно
происходят заседания секции, является под¬
тверждением высказанного выше, при этом
следует отметить, что здесь важным является
не только чтение или слушание доклада, но
очень часто весьма существенным является
то общение и тот обмен опытом, который
происходит, так сказать, в кулуарах— в бе¬
седах друг с другом до доклада и после до¬
клада.
В настоящей заметке описывается работа
секции преподавателей математики за 1940 г.
(второе полугодие 1939/40 учебного года и
первое полугодие 1940/41 учебного года).
Деятельность секции за 1937—1939 гг. описа¬
на в журнале «Математика в школе» за
1938—1940 гг.
Заседания секции происходили раз в шести¬
дневку во втором полугодии 1939/41 учебно-
1*0. года и раз в неделю в первом полугодии
1940/41 учебного года по первым дням неде¬
ли от 8—11 час вечера. Средняя посещае¬
мость заседаний около 30 человек.
За 1940 г. состоялось 38 заседаний, посвя¬
щенных различным научным, методическим
и организационным вопросам.
Во втором полугодии 1939/40 учебного
года были заслушаны следующие доклады:
124.— «Некоторые вопросы теории урав¬
нений в средней школе» (А. К. Беркович и
Д. О. Гончаров).
125.—«Модуль перехода (логарифмы)»
(И. И. Матвиенко).
126.— «Коллективное чтение статьи В. Е р-
мольева «Коммунистическое воспитание
на уроках математики» (см. журнал «Мате¬
матика в школе» за 1939 г. № 5).
52
127.— «О геометриях на шаре» (О. В. Ра¬
дунский).
128.— «Методика проведения упражнений
по закреплению материала на уроках мате¬
матики» (С. М. Бердичевский).
129.— «Исследование уравнений в средней
школе» (А. Г. Окунь).
130.— «Об одном слабом месте в препо¬
давании логарифмов (приближенные вычис¬
ления)» (проф. К. М. Щербина).
131.— «Практическая подготовка учащихся
средней школы» (Л. И. Швед). «Доказатель-
2.x *4* х cos х
ство монотонности функций
sin х
7t
в промежутке 0...— (Н. Я. Гиршик)*.
4
132.— «Дедукция и дедуктивное построение
геометрии» (И. Д. Дуб).
133.— «Исследование квадратного трех¬
члена» (И. А. Скрылев).
134.— «Геодезические работы в курсе ма¬
тематики средней школы» (И. Г. Молчанов).
135.— «Сечение Дедекинда» (3. Гырдымова,
учен. X класса средней школы № 23).
136. — Обратные тригонометрические
функции» (И. А. Скрылев).
137.— «Программы испытаний по матема¬
тике» (В. Г. Рубинштейн).
138.— «Современное состояние геометрии -
(проф. А. П. Норден, Москва).
139.— «Испытания в V7 классе по алгебре»
(Найдич н Гродская).
140.— «Народная математика и ее отноше¬
ние к школе» (проф. К. М. Щербина).
141.— «Виды домашних заданий по матема¬
тике» (Г. С. Томашпольский).
142.— «Математические миниатюры (из за¬
писной книжки преподавателя математики)»
(Р. 1'. Годованик).
143.— «О некоторых свойствах показатель¬
ной функции в комплексной области» (Д. О.
Гончаров).
144.— «Итоги V математической олимгёиады,
проведенной Одесским государственным уни¬
верситетом совместно с Горнаробразом в
1939/40 учебном году среди учащихся одес¬
ских средних школ» (Г. С. Томашпольский).
145.— «Наблюдения и предварительные
итоги испытаний но математике за текущий
учебный год» (В. Г. Рубинштейн).
* См. статью Р. Г. Годованика «Формула Сне-
лиуса» в жури. «Математика в школе» № 2 за 1939 г.

В первом полугодии 1940/41 учебного года
были заслушаны следующие доклады:
146.— «План работы секции математиков
на I полугодие 1940/41 учебного года»
(Д. О. Гончаров).
147.— «О десятичных дробях» (В. Н. Бара¬
новский).
148.— «Разбор открытого урока препода¬
вателя 23-й средней школы В. Г. Рубинштейна
на тему «Произведение биномов, у которых
первые члены одинаковы».
149.—■ «Сечения многогранников и методи¬
ка их построения» (С. М. Бердичевский).
150.— «Разбор открытого урока препода¬
вателя 118-й средней школы М. О. Порто-
рескула на тему: «Относительные числа».
151.— «Разбор открытого урока препода¬
вателя 102-й средней школы М. И. Матвиен¬
ко на тему «Расширение понятия о числе».
152 и 153.— «Элементы логики в школьном
курсе математики» (проф. К. М. Щербина).
154 и 155.— «Обоснование теории измере¬
ния площадей и объемов» (И. Д. Дуб).
157.— «Разбор открытого урока препода¬
вателя 99-й средней школы М. Г. Литинского
на тему «Биссектриса внутреннего угла треу¬
гольника».
158.— «Несколько замечаний о преподава¬
нии геометрии» (М. А. Шварцман).
«По страницам журналов и сборников:
а) Леонтий Магницкий,
б) Н. И. Лобачевский,
в) академик С. Н. Беренштейн (60-летие
со дня рождения)» (Д. С. Гончаров).
159.— «О затруднениях при решении ариф¬
метических задач» (Д. С. Гончаров).
160.— «Восприятие пространства» (проф.
Д. Г. Элькин).
161.— «Подготовка к январским учитель¬
ским совещаниям» (распределение докладов
и содокладов).
В заключение отметим, что открытые уро¬
ки вызвали особый интерес; так, например,
на некоторых открытых уроках присутство¬
вало свыше 20 человек преподавателей ма¬
тематики. Все открытые уроки были засте¬
нографированы. Стенограммы хранятся в
методическом кабинете. Высказывались по¬
желания о проведении еще ряда открытых
уроков.	-•
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЫСТАВКА
НА АВГУСТОВСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ
(Б предстоящим августовским совещанием учителей)
П. НУ КАЛОВА (Харъков)
основу своей работы кабинет мате¬
матики Харьковского городского
методического кабинета, нынешнего
Института усовершенствования учи¬
телей, положил изучение лучшего
опыта мастеров педагогического дела и пере¬
несение этого опыта в широкие массы учи¬
тельства.
Удачным методом показа и пропаганды
этого опыта явилась организация выставки
на августовской учительской конференции.
Выставка имела такие разделы:
1. Расширение понятия о числе
Были даны разработки тем: нумерация
целых чисел, устный счет на уроках мате¬
матики, таблица подобранных примеров на
все 4 действия с целыми числами. Относи¬
тельные числа в их развитии и действия с
Ними. Иррациональные числа, история раз¬
вития иррациональных чисел; действия с
ними.
Комплексные числа. История развития ком¬
плексных чисел, алгебраическая и тригоно¬
метрическая форма комплексного числа,
переход от одной формы к другой.
2. Задачи, исследование задач
Этот раздел начинался с классификации
по типам задач по арифметике в задачнике
Березанской.
Дана полная теория исследования корней
уравнений и образцы исследования задач.
Даны образцы записей при решении задач
на пропорциональное деление. Составление
■уравнений по условию задач.
Исследование квадратных неравенств.
Модуль перехода от одной системы лога¬
рифмов к другой.
3.	Культура математических
записей и вычислений
Доказательство теорем, оформление, за¬
пись.
Решение задач на вычисление и доказа¬
тельство.
Задачи на доказательство в VI—VII классах.
Решение задач на построение в VI- -X клас¬
сах.
Стенограммы лекций, читанных в горме-
тодкабинете.
4.	Повторение арифметики
на ) р о к а х математики
Разработана методика повторения ариф¬
метики на уроках математики VI—X классов.
Дана методика, схема и план повторения.
5.	Наглядность преподавания
в математике
Даны графики функций, изготовленные
учениками, учителями.
Тригонометрия в таблицах.
Модели задач (исключительны по своему
оформлению). Кроме того, демонстрировался
прибор для построения задач по стереомет¬
рии.
53
Ё!

6.	Тригонометрия в системе
координат
Изображен опыт преподавания тригоно¬
метрии в системе координат.
7.	Кружковая работа и детское
творчество I
Представлены:
1. Тематика кружка с подбором соответ¬
ствующей литературы.
2. Вечера математических развлечений.
3. Газеты, альбомы.
4. Доклады учеников-членов кружка.
8.	Кинофикация на уроках
математики
Был представлен опыт 88-й школы «Исполь¬
зование кинофильмов на уроках математики».
На выставке демонстрировался кинофильм:
I.	Прямая и обратная пропорциональ¬
ность.
II.	Обратные круговое функции.
Кинофильм сопровождался объяснением
преподавателя 88-й школы т. Рачинской.
Был дан перечень кинофильмов, которые
могут быть использованы на уроках мате¬
матики.
9.	Исторический отдел
Была дана галлерея портретов известных
математиков. К каждому портрету дана крат¬
кая биография и описание научных работ.
Оформление выставки. Выставка
оформлялась на больших листах. К каждой
теме прилагались тетради учеников, которые
отражали действительное прохождение осве¬
щаемого материала.
Проведение показа выставки.
При кабинете математики был организован
актив, из него был выделен выставочный
комитет.
Члены выставочного комитета давали объ¬
яснения по материалам выставки.
По просьбе учителей эта выставка будет
носить постоянный характер и постепенно
будет пополняться новыми методразработка-
ми н показом лучших образцов работы ма¬
стеров педагогического дела.
Выставка была сначала организована в
30-й школе Харькова, где была проведена
конференция математиков, а теперь перене¬
сена в Институт усовершенствования учите¬
лей.
Сейчас эта выставка уже пополнена новы¬
ми материалами.
ОТ РЕДАКЦИИ.
В М 2 в напечатанных письменных работах по алгебре для десятых клас¬
сов задача № 1 варианта 7 имела в оригинале опечатку. Следует
В № 2 журнала в статье «Преступная небрежностью был приведен факт
рассылки Чувашнаркомпросом для испытаний в девятых классах неразрешимых
задач. Народный Комиссариат Чувашской АССР сообщил, что «факты, указан¬
ные в статье, действительно имели место в 1938/39 учебным году, но этот недо¬
статок в последующие годы устранена.
Редакция вполне признает неправильность того, что ею не был указан год
испытаний,'на которых имел место описанный факт.
От редакции. В связи со все возрастающим количеством присылаемых ре¬
шений и сложностью их проверки и регистрации редакция настоятельно просит
всех присылающих решения строго соблюдать следующие условия.
1. Решение каждой задачи должно быть написано на отдельном листке и под¬
писано автором с указанием его местожительства.
2. К решениям следует приложить на отдельном листке перечень номеров ре¬
шенных задач и адрес автора.
3. Статьи, всякого рода запросы, задачи для помещения в журнале и пр. должны •
присылаться отдельно от решений.
4. Решение должно быть написано чисто и разборчиво. (Требование, особенно
плохо соблюдаемое большинством читателей.)
5. Срок присылки решений 50 дней, считая со дня получения соответствующего
номера журнала.
Редакция предупреждает, что решения, не удовлетворяющие перечисленным
условиям, не будут рассматриваться.

ИР ИТ 11НА И БИБЛИОГРАФИЯ
ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК ПО ТРИГОНОМЕТРИИ
(Обзор рецензий)
р. вопчновский
Зав. редакцией математики и физики Учпедгиза
1
сенью 1940 г. Учпедгиз выпустил но¬
вый учебник тригонометрии * для
ознакомления с ним широких кру¬
гов преподавателей математики и
научных работников. Этот учебник
подготовлялся издательством с целью заме¬
нить существующий учебник тригонометрии
Рыбкина, так как, по общему мнению, по¬
следний крайне плох и не удовлетворяет тре¬
бованиям, которые надлежит предъявлять к
учебнику. Однако издательство считало не¬
обходимым подвергнуть новый учебник ши¬
рокой предварительной проверке; с этой
целью первое издание было выпущено срав¬
нительно небольшим тиражом.
Издательство и редакция журнала «Мате¬
матика в школе» получили значительное
количество отзывов на новый учебник как
от отдельных лиц, так и от некоторых орга¬
низаций (педагогических институтов, инсти¬
тутов усовершенствования учителей и т. д.).
В «Учительской газете» появилась рецензия
на новый учебник. Московский институт
усовершенствования учителей организовал
двукратное обсуждение учебника при уча¬
стии учителей, работающих по нему. Учебник,
несомненно, привлек внимание общественно¬
сти и в общем вызвал к себе благоприятное
отношение, хотя были отдельные лица,
встретившие его с опаской и даже враждебно.
Нельзя не отметить, что значительная
часть полученных отзывов отличалась
большой обстоятельностью; некоторые из них
по объему превышали 20 страниц, написан¬
ных на'машинке. В них отмечались серьез¬
ные достоинства книги, а также указывались
различные ее недостатки. Полученный мате¬
риал позволяет дать оценку книги и решить
ее дальнейшую судьбу.
Чтобы дать представление об общей оцен¬
ке, которую получила книга, приведу выдер¬
жки из некоторых рецензий:
«Учебник прекрасно задуман...». «Книга,
безусловно, с большой пользой для дела
может заменить существующий стабильный
* Л. Ф. Бермавт и Л. А. Люстерник —
•Тригонометрия». Учпедгиз, 1946, 184 стр. 5000 экз.,
а. I р. 35 к.
учебник, если кое-что переработать, значи¬
тельно усилить отдел тригонометрических
уравнений и дать задачник, соответствую¬
щий ее идейному уровню» (Б р у с н л о в-
с к и й).
«Учебник заслуживает внимания и может
стать стабильным учебником» (Кацнель-
с о н).
«Я работал по этому учебнику в восьмом
классе. Он очень понравился...». «В десятом
классе я проработал обратные тригономет¬
рические функции с большим успехом. Вооб¬
ще учебник очень понравился многим. Он
хорошо читается, очень ясно написан с точ¬
ки зрения стиля и изложения, и после тех
переработок, которые авторы проделают, и
с соответствующими дополнениями, мне ка¬
жется, этот учебник нужно но возможности
скорее продвигать и перейти уже к этому
учебнику» (Левинсон).
Имеются и более осторожные высказыва¬
ния: «Считаю, что курс девятого класса в
учебнике Берманта и Люстерйика не нуж¬
дается в исправлениях, сокращениях и добав¬
лениях. Иначе обстоит дело в той половине
курса, которая касается программы десятого
класса...». «Даже после объяснений учителя
курс десятого класса является для ученика...
трудным и не совсем понятным» (3 у б-
к о в).
Встречаются и прямые противники учеб¬
ника:
«Следует думать, что эту книгу не толь¬
ко в качестве стабильного учебника, но и
вообще лучше не пускать в школу» (Кро-
г и у с).
Учительница Покровская, работавшая по
учебнику в школе, в противоположность
Левинсону, пришла к выводу, что учебник
слишком труден для учеников.
Просмотр рецензий показывает, что рецен¬
зенты, дающие прямо противоположную об¬
щую оценку книге, нередко указывают одни
и те же недостатки, но если одни находят их
легко устранимыми, другие считают их орга¬
ническими, не поддающимися исправлению.
Подобная разноголосица в значительной
степени объясняется тем, что за последние
8 лет не было издано ни одного нового
учебника тригонометрии. Авторам прихо-
fQ-'
55

лилось решать многие вопросы заново, не
опираясь на общее мнение; рецензенты не¬
редко высказывали свою личную точку зре¬
ния, не основанную на широком обществен¬
ном изучении различных возможных вариан¬
тов учебника. Но разногласия еще более объ¬
ясняются наличием нескольких методических
течений в школе, которые не сможет прими¬
рить ни один учебник.
2
Остановлюсь на наиболее серьезных недо¬
статках, указанных рецензентами:
«Издательство подчеркивает и говорит как
■о достоинстве учебника о том, что функци¬
ональная точка зрения нашла в нем сильное
отражение. Но это указание явно неверно».
«Никоим образом про такое изложение, ко¬
торое проведено в учебнике, нельзя сказать,
чю в нем функциональная точка зрения на¬
шла сильное отражение» (К р о г и у с).
«Функциональная точка зрения находит
себе место, лишь начиная со второй трети
книги» (Андрее в).
«Авторы стремятся провести какое-то не¬
понятное различение между тригонометриче¬
ской функцией и тригонометрической величи¬
ной...». «Они на семидесяти первых страни¬
цах пользуются только термином «тригоно¬
метрическая величина» и затем только поз¬
воляют себе употребить слово «функция».
А учащемуся придется переучиваться: отвы¬
кать от одного термина, к которому они
прочно привыкли на значительной части
курса, и привыкать к другому. Авторы едва
ли учитывают, как это трудно» (Кроги-
ус).
«Введение понятия «тригонометрическая
величина угла» представляется нам неправиль¬
ным» (Т а н н а т а р).
«Несколько спорным является вопрос о
разделении на два концентра изложения
тригонометрических величин любого угла и
тригонометрических функций. Такое разде¬
ление, правильное с принципиально науч¬
ной и методической точек зрения, возможно,
столкнется с недостатком времени и неясно¬
стью в выборе момента для практических
применений» (Брусиловский).
«Совещание считает совершенно излишним
то длительное разграничение между поня¬
тиями «тригонометрическая величина» и
«тригонометрическая функция», которое име¬
ет место в учебнике» (Калининский
пединститут).
Полное единство мнений по этому вопросу
свидетельствует о том, что предложенное
авторами разграничение понятий: «тригоно¬
метрическая функция» и «тригонометри¬
ческая величина»—неудачно. Только один
голос поддержал предложение авторов:
«Надо, безусловно, приветствовать четкое
разделение понятий:	«тригонометрические
величины» и «тригонометрические функции»
(Ро венский областной институт
усовершенствования учителей).
Как отмечает 11. П. Андреев, неудачен са¬
мый термин «тригонометрическая величина
угла», хотя в старых учебниках тригономет¬
рии ой и встречался: «совершенно очевидно,
что в двух фразах «величина угла» и «триго¬
нометрическая величина угла» слово «величи¬
на» имеет два различных смысла».
«Встречаемые учащимися в учебнике на
протяжении 70 страниц фразы: «величина
угла», «тригонометрическая величина угла»,
«тригонометрическая величина sin а...» вне¬
сут еще большую путаницу в несложившие-
ся еще у него (ученика.—Я. Б.) представле¬
ния».
Однако, несмотря на указанный недочет,
огромное большинство рецензентов не раз¬
деляет приведенного выше мнения т. Кроги-
уса и находит, что функциональная точка
зрения характерна для учебника, т. е. выска¬
зывается в том же смысле, как и редакция
Учпедгиза в аннотации к учебнику.
«Учебник Берманта и Люстерника не толь¬
ко дает понятие о функциональных зависи¬
мостях, лежащих в основе всего изложения,
но он имеет целью подготовить учащихся к
глубокому пониманию этих зависимостей и
такому пониманию, которое дает для уча¬
щихся вполне безболезненный переход от
школьной математики к учению о перемен¬
ных величинах в высшей школе. Этой цели
авторы достигают, используя целый ряд раз¬
нообразных средств...».
«В §46 вводятся расширенные понятия о
тригонометрических функциях, которые не
встречаются ни в одном из прежних учебни¬
ков и, однако, чрезвычайно важны... «Поня¬
тие о функции вводится авторами не слу¬
чайно, а проводится в строгой системе, при¬
чем изложение носит достаточно глубокий
для средней школы характер, отличается
строгостью терминологии и, главное, дает
обобщающие понятия, что, в свою очередь,
развивает у учащихся способность к обоб¬
щениям, т. е. способность к научному мыш¬
лению. В этом, пожалуй, главное преимуще¬
ство рассматриваемого учебника перед всеми
прежними учебниками» (Болгар¬
ский).
«Новый учебник выгодно отличается тем,
что он постепенно дает учащимся широкое
понимание тригонометрических функций»
(«Учительская газета»).
Перехожу к замечаниям по отдельным гла¬
вам.
3
Первая глава учебника посвящена рассмо¬
трению тригонометрических величин остро¬
го угла; она занимает 25 страниц. Здесь вво¬
дится синус, косинус, тангенс и котангенс
острого угла как отношения сторон прямо¬
угольного треугольника; даются аналогичные
определения секанса и косеканса, и формулы:
1	1
cosec а = —, sec а =	,
sin а	cosa
но в дальнейшем на всем протяжении кни¬
ги последние две функции вовсе не рассмат¬
риваются. В этой же главе рассматриваются
функции дополнительного угла, вводятся
основные соотношения между тригонометри¬
ческими величинами одного угла; даются
примеры вычислений одних тригонометри¬
ческих величин угла, если известны другие
тригонометрические величины того же угла,
вводится понятие о тригонометрическом
тождестве, о зависимых друг от друга тож¬
дествах. Разъясняется смысл задачи на дока¬
зательство тождества; разъясняется задача
об упрощении тригонометрических выраже¬
56

ний; рассматривается отыскание тригоно¬
метрической величины данного угла построе¬
нием и обратная задача — построение угла
по данной тригонометрической величине;
дается понятие о составлении таблицы три¬
гонометрических величин и разъясняется
работа с нею. Наконец, с помощью этой
таблицы решаются прямоугольные тре¬
угольники.
Таким образом, в первой главе рассматри¬
ваются все вопросы программы восьмого
класса в довольно широком аспекте.
На совещании в Калининском пединсти¬
туте «высказывалась даже мысль, что авторы
учебника недостаточно смело, не до конца
порвали с традицией, начав изложение
курса с рассмотрения тригонометрических
величин острых углов из соотношений эле¬
ментов в прямоугольных треугольниках.
Предлагалось построить более стройную
систему изложения материала, начиная с
рассмотрения тригонометрических функций,
гониометрии и переходя затем к рассмотре¬
нию соотношений элементов в прямоуголь¬
ных и, в дальнейшем, в косоугольных тре¬
угольниках. Но участники совещания не
поддержали этого предложения. Отмечая
наличие некоторой нестройности , в системе
изложения материала в учебнике, они счи¬
тают методически неправильным начинать
изложение курса тригонометрии с рассмотре¬
ния гониометрии. Педагогический опыт ряда
столетий показывает, что изложение мате¬
риала следует начинать именно с рассмо¬
трения тригонометрических величин острых
углов».
Таким образом, Калининский институт
находит правильным выделение первой гла¬
вы, содержащей программный материал
восьмого класса. Но некоторые рецензенты
находят, что в нее включено слишком мно¬
го материала.
Например, т. Загребельский пишет: «Слиш¬
ком много отведено места тригонометриче¬
ским функциям острого угла». По мнению
т. Крогиуса, «изучение этой главы не может
быть осуществлено в отведенные 10 часов;
не может быть, конечно, и в 20 часов».
По мнению многих рецензентов уже в
этой главе может быть дано понятие о
функции и, в частности, о тригонометриче¬
ских функциях.
Определения тригонометрических функций,
например, такое определение синуса: «Сину¬
сом острого угла называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе»,
Калининский пединститут находит неудач¬
ными, «поскольку у угла нет ни катетов,
нн гипотенузы».
По поводу почти полного исключения из
учебника функций секанс и косеканс выска¬
заны две противоположные точки зрения:
«Совещание считает, что функции sec* и
cosec х встречаются реже других тригоно¬
метрических функций, но все же встреча¬
ются в математической литературе, а пото¬
му нм следует уделить несколько больше
внимания. Следует рассмотреть часто встре¬
чающиеся соотношения (например, 1 -j- tg2 х =
= sec*xr), содержащие эти функции, рассмо¬
треть графики этих функций, дать определе¬
ния и графики обратных им функций»
(Калининский пединститут).
«Ненужное загромождение кур^нзучением
функций секанса и косеканса не имеет здесь-
места» (К а ц н е л ь с о н).
«В учебнике сознательно игнорируются
секанс и косеканс, как понятия, вышедшие
из употребления в научной литературе. Это
сделано целесообразно, так как употреб¬
ление этих величин потребовало бы введе¬
ния новых формул, связывающих их с дру¬
гими величинами, заставило бы включить в
учебник вопросы об их изменении, графиче¬
ском представлении' и пр., что излишне
загромоздило бы текст учебника» (Болгар¬
ский).
«Они (авторы — Р. Б.) справедливо считают
совершенно излишним самостоятельное изу¬
чение функций секанса и косеканса» («Учи¬
тельская газета»).
Но поводу рассмотрения в первой главе
основных соотношений между тригонометри¬
ческими функциями было сделано два заме¬
чания: здесь предполагается известной теоре¬
ма Пифагора, чего, принимая во внимание
программу, предполагать нельзя (Кро-
г и у с); основные соотношения выводятся
дважды, сначала для функций острого угла,
а затем для общего случая, — получается
излишнее повторение (К а ц н е л ь с о н).
Тов. Кацнельсон полагает, что вся первая
глава должна быть переработана: «Совер¬
шенно неудачно составлена первая глава и
начало третьей в смысле порядка располо¬
жения материала. В введении надо указать
первоначальную цель тригонометрии; отсю¬
да, естественно содержание § 15 в начале
книги. В первой главе нужно рассмотреть
изменение каждой из тригонометрических
функций острого угла в связи с изменением
угла. Содержание же §9—11 (соотношения
между тригонометрическими величинами.—
Р. Б.) можно перенести в третью главу»
(третья глава посвящена рассмотрению три¬
гонометрических величин острого угла. —
Р. Б.).
4
Вторая глава книги содержит обобщение
понятия об угле. Здесь вводится понятие об
угле, большем полного оборота, об изме¬
рении углов полными оборотами, о градус¬
ном и радианном измерении углов и дуг,
рассмотрен переход от радианной меры к
градусной и обратно, рассмотрено построе¬
ние углов, больших 360Л Далее рассматри¬
ваются направленные отрезки (термин «век¬
тор» не вводится), направленные углы и
дуги, проекции и две теоремы о проекциях:
о проекции отрезков, образующих с осью
равные углы, и о проекции замыкающей.
Эта глава вызвала только одно замечание
принципиального характера:	Калининский
пединститут считал, что можно добиться
большей последовательности, если второй
раздел учебника «посвятить рассмотрению
соотношений элементов в косоугольных
треугольниках и тригонометрических функ¬
ций углов, не превышающих 180°, а также
решению косоугольных треугольников. Тем
самым первые два раздела учебника озна¬
комят учащихся с решением первой простей¬
шей задачи тригонометрии — с учением о
треугольниках. Третий раздел учебника
может быть посвящен изучению тригономе-
57

трическимыфункцпй любого угла, гониоме¬
трии. Таким образом, в начальных главах
курса должно быть дано все, что нужно
для решенияягеометрических задач, а основ¬
ную часть курса следует посвятить изуче¬
нию гониометрии».
При обсуждении рецензий в Московском
институте усовершенствования учителей пред¬
ложение Калининского пединститута не было
поддержано.
Из более частных замечаний, отметим
замечание т. Кацнельсон:	«С	радианным
Измерением углов (дуг) можно познакомить
ученика немного другим путем: раньше
установить новую единицу измерения (ради¬
ан.— Р. Б.)... а затем уже выяснить, что
радианная мера центрального угла численно
равна отношению его дуги к радиусу. Такое
изложение более понятно ученику».
Тов. Болгарский с удовлетворением отме¬
чает, что «введенное во второй главе ради-
анное измерение углов фигурирует во всем
дальнейшем изложении учебника». «В учеб¬
нике Берманта и Люстерника на радианном
измерении даже базируется расширение
понятия о тригонометрических функциях в
сторону функций отвлеченного аргумен¬
та».
Почти все рецензенты с удовлетворением
отмечают то, что в учебнике тригонометри¬
ческие функции вводятся и определяются в
терминах теории проекций:
«Совещание приветствует усиление идей¬
ной стороны курса, отказ от рассмотрения
тригонометрических линий, введение основ¬
ных понятий при помощи проекций, усиле¬
ние роли рассмотрения понятий произволь¬
ных углов и дуг» (Калининский педин¬
ститут).
Однако раздел второй главы, посвящен¬
ный рассмотрению свойств проекций, вызвал
ряд нареканий: «В § 25 о направленных
отрезках материал изложен крайне сжато
и не иллюстрируется чертежом» (Андреев).
Касаясь того же параграфа, т. Крогиус также
указывает на необходимость чертежа, иллю¬
стрирующего текст, и на некоторую неяс¬
ность самого текста. Некоторые считают
полезным введение термина «Лектор» (М о-
розкин; Ровенский институт усо¬
вершенствования учителей). Од¬
нако, это пожелание при его обсуждений
не встретило особого сочувствия. В этом
же разделе т. Кацнельсон отмечает легко
устранимый промах: авторы не сказали, что
угол между осью й направленным отрезком
отсчитывается от оси. По мнению Калинин¬
ского пединститута, в параграф, посвящен¬
ный проекциям, следует ввести теорему
Шаля.
5
Третья глава содержит определения триго¬
нометрических величин любого угла; в ней
доказываются основные соотношения, свя¬
зывающие функции одного и того же (про¬
извольного) угла; вводятся формулы приве¬
дения; дается построение тригонометрических
величин любого угла; рассматривается при¬
ведение тригонометрических величин к
острому углу; разъясняется использование
таблиц для отыскания тригонометрических
величин любого угла.
Ровенский институт усовершенствования
учителей полагает, что определение триго¬
нометрических величин любого угла было
бы доступнее для учащихся, если бы авторы
воспользовались знакомством учащихся с
прямоугольными декартовыми координатами
из курса восьмого класса. Однако большая
часть рецензентов считает правильным опре¬
деление тригонометрических величин с по¬
мощью проекций. Тов. Кацнельсон высказы¬
вает лишь сомнение в целесообразности
порядка изложения в §§ 29, 33 и 37, в кото¬
рых все тригонометрические величины рас¬
сматриваются одновременно. «Даже слабый
ученик хорошо усвоит этот материал, если
придерживаться строгой постепенности в
изложении; порядок же, при котором все
тригонометрические функции и соотношения
между ними рассматриваются одновременно,
не создает экономии времени, а только за¬
трудняет ученика» (Кацнельсо и).
Касаясь формул приведения, т. Брусилов¬
ский находит, что «важнейшие в теории и
приложениях формулы:	,
sin (г -f- а) = — sin a cos (я -f- а) = — cos а
нельзя давать как промежуточные». Он пи¬
шет: «Я бы легко приветствовал исключение
мнемонического правила и всех формул
(формул приведения. — Р. Б.), кроме следую¬
щих:
1) sin (— а) = — sin а и т. д.
2) sin (90° — а) = cos а и т. д.
3) Sin (90° 4- а) = COS а и т. д.
4) sin (180° -)- а) = — sin а и т. д.»
«Хотя вывод формул приведения, начиная
с угла 90°-Ь“> удобнее (при помощи проек¬
ций), все же необходимо ранее дать формулы
приведения для угла 90 — а» (Брусилов¬
ский).
Неудачную формулировку мнемонического
правила приведения отмечают очень многие:
«Недостаточно ясное и неудобное для запо¬
минания правило» (Б о л г а р с к и й); «вы¬
учить и запомнить правило невозможно»
(Крогиус).
По мнению т. Кованько, авторы в этой
главе слишком формально оперируют с отри¬
цательными углами.
В четвертой главе вводится понятие о пере¬
менных и постоянных величинах, понятия о
функции, даются определения тригонометри¬
ческих функций, устанавливается периодич¬
ность этих функций, строятся их графики, и
по графикам изучается ход изменения триго¬
нометрических функций.
Эта глава не вызвала никаких серьезных
возражений. «Очень хорошо написана четвер¬
тая глава» (Кованько). «Авторы весьма
ясно вводят понятие функции вообще и
тригонометрические функции как функции
произвольного абстрактного числа, которое
может обозначать длину, время, темпера¬
туру и т. д.» (Ровенский институт
усовершенствования учителей).
Тов. Брусиловский замечает, что авторы,
определив четные и нечетные функции, не
указывают, что функция может не быть пи
четной, ни нечетной, как например, функция
sin*4-cos*. Тов. Тайбинский считает, что в
книге при построении графиков функций
недостаточно строго выдержано соотношение

между масштабами на осях абсцисс и орди¬
нат.
В § 51 авторы пишут: «При любом х мы
Следовательно,
имеем cos х = sin
Чл+т)-
вместо значения косинуса можно взять зна¬
чение синуса, увеличив аргумент на —.
Итак, графиком функции у ~ cos X служит та
п
же синусоида, но передвинутая на — налево);.
Тов. Крогиус находит, что «Ученик1 поймет
это только после обстоятельных пояснений)-.
Тов. Брусиловский и Морозкин считают необ¬
ходимым говорить об ассимптотическом при¬
ближении тангенсоиды к прямой, параллель¬
ной оси OY. Тов. Крогиус находит, что авторы
уделяют недостаточно много внимания про¬
стым вопросам исследования функциональ¬
ной зависимости, так, например, авторы
нигде ничего не говорят о характере возра¬
стания или убывания функций (ускоренном
или замедленном).
Параграф об изменении tgx и ctgx Кали¬
нинский пединститут относит к числу удачно
изложенных, хотя отдельные участники со-
гещания в этом институте еще подробнее,
еще полнее предлагают развить этот мате¬
риал. Тов. Болгарский отмечает: «Хорошо и
то, что в учебнике подчеркнуто, что
lg 90° и т. д. не существует, и тем дости¬
гается понимание условности записей, содер¬
жащих оо».
Б пятой главе дается вывод формул для
функций суммы и разности аргументов,
функций двойного и половинного аргумен¬
тов; даются выражения всех тригонометри¬
ческих функций через тангенс половинного
аргумента; показывается, как можно соста¬
вить таблицу тригонометрических функций
с помощью полученных в этой главе фор¬
мул. В следующем разделе пятой главы рас¬
сматривается преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму и
обратно — суммы в произведение (приведе¬
ние к виду, удобному для логарифмирования),
преобразования с помощью вспомогательного
угла и выражение степеней синуса и косину¬
са через синусы и косинусы кратных аргу¬
ментов. В третьем разделе тон же главы рас¬
сматриваются приближенные равенства для
тригонометрических функций, в частности,
приближения тригонометрических функций
многочленами. Эти приближенные равенства
тут же используются для составления таблицы
тригонометрических функций. В последнем
разделе главы вводится тригонометрическая
форма комплексного числа, выводится форму¬
ла Моавра, и с ее помощью получаются
выражения синуса и косинуса кратного угла.
Рецензенты резко расходятся в оценке пер¬
вого раздела пятой главы (формулы сложе¬
ния и вычитания): «К числу удачно изложен¬
ных следует отнести также параграф, посвя¬
щенный выводу формул сложения и
вычитания для косинуса» (Калининский
пединститут). По поводу того же пара¬
графа т. Крогиус пишет: «Необходимо было
очень обдумать, как сделать его доступным
ученикам. Авторы же, повидимому, думали
только о том. как бы изложить его покороче.
Вывод изложен чрезвычайно схематично»
Эти две цитаты показывают, как трудно
(и, пожалуй, невозможно) удовлетворить
всем вкусам!
Как положительное явление отмечается
наличие специального' параграфа, посвящен¬
ного выражению тригонометрических функ¬
ций через функции половинного аргумента
(Болгарский), наличие параграфов, по¬
священных преобразованиям произведения
тригонометрических функций в сумму и пре¬
образованиям с помощью вспомогательного
угла, выражению степеней синуса и косинуса
через синусы и косинусы кратных аргумен¬
тов, приближенным равенствам для тригоно¬
метрических функций, применению комплекс¬
ных чисел, введению формул Моавра и
следствий из нее (Калининский педин¬
ститут).
К недостаткам относят слишком мелкие
чертежи, особенно черт. 50, 51, в которых
трудно разобраться (Кованько, Кроги¬
ус, Болгарский, Калининский пед¬
институт), неудачное объяснение двой-
а
ственности знаков у tg— в формуле 107,
слишком лаконичную формулировку некото¬
рых предложений, например, «сумма сину¬
сов...» на стр. 95, неудачное определение при¬
ближенного значения (Брусиловский]).
Калининский пединститут отмечает, что авто¬
ры должны были, говоря о тригонометриче¬
ских тождествах, оговаривать те случаи,
когда эти тождества теряют смысл (когда
знаменатель хотя бы одного из членов ра¬
вен нулю). Тождеств такого рода много в
пятой главе.
Тов. Брусиловский полагает, что часть ма¬
териала, включенного в раздел «приближен¬
ные равенства», можно опустить
§ 71 («Формула Моавра») по мнению
тт. Кованько и Болгарского можно дать пе¬
титом как выходящий за рамки программы.
Тов. Крогиус недоволен разделом «Примене¬
ние комплексных чисел», считая, что это
«какой-то отрывок».
В шестой главе рассматриваются некоторые
применения тригонометрических функций.
В первом разделе главы вводятся основные
зависимости между элементами треугольни¬
ка; второй раздел посвящен гармоническим
колебаниям — одному из применений триго¬
нометрии к физике.
Тов. Кованько положительно оценивает
эту главу, отмечая оригинальность выводов.
Большие разногласия возникают между ре¬
цензентами по поводу того, в каком порядке
давать основные системы зависимостей между
элементами треугольника. В учебнике снача¬
ла введены соотношения вида c = 6cosa +
+ acosj5, затем из них получена теорема
синусов, наконец, из теоремы синусов полу¬
чена теорема косинусов. Первая система
соотношений выведена геометрически; вторая
и третья — аналитически и лишь затем нм
дано геометрическое истолкование. По мне¬
нию т. Брусиловского, «в школе, безусловно,
предпочтут раньше дать вторую систему
(теорему синусов). Такой порядок надо дать
и в книге, показав затем, как из этой систе¬
59

мы можно получить первую (по книге).
Именно при таком порядке можно, пожалуй,
сохранить и вывод третьей системы (§ 77),
которую, вообще говоря, удобнее получить
путем симметрических преобразований урав¬
нений первой системы». С другой стороны,
т. Андреев считает, что «с методической
точки зрения было бы правильней...» «наряду
с независимыми геометрическими доказатель¬
ствами гигтем соотношений между элемента¬
ми треугольника» показать, «как из одной
системы соотношений вытекают другие».
В книге сделано как раз наоборот. В резуль¬
тате для второй основной системы зависимо¬
стей получился более громоздкий вывод, чем
обычно» (Болгарский). «Так поступать
в школе нецелесообразно» (К р о г и у с).
Тов. Тайбинский, на основе опыта школ
Казани, считает, что отделять изучение зави¬
симостей между элементами треугольника от
решения треугольников нерационально, и
находит возможным «считать более целесо¬
образным совместное рассмотрение отдельных
зависимостей с самыми основными случаями
решения треугольников».
Тов. Брусиловский и Крогиус сделали не¬
которые частные замечания: т. Брусиловский
находит некоторую непоследовательность
в расположении материала на стр. 119—120.
На стр. 119 авторы, упрощая формулы тан¬
генсов половинных углов треугольника,
пользуются теоремой Герона; йа стр. 120 они
дают доказательство теоремы Герона. Однако
замечание т. Брусиловского нельзя считать
бесспорным, так как теорема Герона известна
учащимся из геометрии, и на стр. 120 дается
лишь другой вариант (тригонометрический)
ее доказательства. Тов. Крогиус указывает,
что геометрическое доказательство формулы
синуса суммы двух аргументов на стр. 121
дано в неуклюжей форме.
Раздел «Гармонические колебания» встре¬
чен всеми очень сочувственно:
«Очень рад, что авторы признают необхо¬
димым дать физические приложения теории
тригонометрических функций (колебательный
процесс)» (Брусиловский).
«Можно приветствовать внесение в курс
тригонометрии изложения гармонических
колебаний» (К а ц н е л ь с о н).
Но по поводу § 84 («Сложение простых
гармонических колебании») т. Крогиус заме¬
чает, что задача о сложении гармонических
колебаний недостаточно ясно поставлена.
Глава седьмая посвящена решению тре¬
угольников. В ней рассмотрены четыре основ¬
ных случая решения треугольника по табли¬
цам натуральных значений тригонометриче¬
ских функций; приведены две задачи на
решение треугольника в случае задания
неосновных элементов; дано описание таблиц
логарифмов тригонометрических величин и
рассмотрено решение треугольников (в основ¬
ных случаях) с помощью этих таблиц. Нако¬
нец, в двух небольших параграфах дается
представление об измерении линий и углов
на местности и о триангуляции.
Многие рецензенты считают эту главу
недостаточно полной. Высказывались голоса
ва включение в главу нескольких образцов
вадач на решение четырехугольников, за
•
введение раздела, в котором описывалась бы
логарифмическая линейка и приемы работы
с нею (Ровенский институт усовер¬
шенствования учителей), за вклю¬
чение ряда конкретных задач из области
геометрии, в частности, стереометрии, меха¬
ники, техники с подробными решениями
(Ровенский институт усовершен¬
ствования учителей, Калинин¬
ский пединститут), за включение опи¬
сания какого-либо землемерного (угломер¬
ного) прибора.
Некоторые рецензенты находили неудоб¬
ным пользоваться в учебнике греческими
буквами для обозначения углов и предлагали
заменить их латинскими.
Тов. Кацнельсон указала, что пример, при¬
веденный на стр. 132, может быть проще
решен с помощью теоремы косинусов. По
мнению т. Тайбинского, исследование ре¬
шения треугольника в том случае, когда
даны две стороны и угол Против одной иг
них, лучше сначала провести геометрически,
а уж потом аналитически. Тов. Брусиловский
указывает, что в решении задачи на стр. 152
■у
целесообразнее сначала вычислить-^-, тем же
способом, каким вычислены другие углы, а
затем воспользоваться формулой «-j-P + 7 =
= 180° как контрольной.
Серьезные нападки вызвал § 97 о триангу¬
ляции; «Положителен факт рассмотрения в
учебнике вопроса о триангуляции, но совер¬
шенно недопустима манера изложения этого
вопроса. У учащихся может сложиться совер¬
шенно неверное представление об излишнем
проведении вычислений и решений треуголь¬
ников для определения расстояний на местно¬
сти тогда, когда их можно непосредственно
измерить. Нужно подробно разъяснить уча¬
щимся, что техника измерения углов дает
более точные результаты, чем измерение
длин, что триангуляция дает определенные
преимущества, хотя и усложняет съемку
планов и карт местности (с последним едва
ли можно согласиться. — Р. Б.). Необходимо
прн этом упомянуть, что именно этим мето¬
дом пользовались французские ученые прн
определении величины метра, может быть,
приложить карту съемок, как это сделано у
Серре» (Калининский пединститут).
9
Наиболее суровой критике подверглась
последняя, восьмая, глава книги. В этой гла¬
ве даны определения обратных тригономет¬
рических величин, рассмотрена их много¬
значность, разъяснено, как по таблицам три¬
гонометрических функций можно отыскать
значение обратной тригонометрической вели¬
чины. В следующем разделе введено понятие
об обратных функциях, далее рассмотрены
функции arc sin х, arc cos х, arc tg x, arc cig x
и введено понятие о главном значении об¬
ратной тригонометрической функции. Далее
рассмотрены некоторые преобразования об¬
ратных тригонометрических функций. Послед¬
ний раздел главы, занимающий 7 страниц,
посвящен тригонометрическим уравнениям.
В этом разделе после кратких общих заме¬
чаний дан ряд подробно .разобранных при¬
меров на решение уравнений.
60

По поводу объема материала в разделе
«Обратные тригонометрические функции»
имеются две прямо противоположные точки
зрения:
«Обратным тригонометрическим функциям
отведено гораздо больше места и внимания.
Едва ли это хорошо. Обратные тригономе¬
трические функции встречаются не очень
часто, причем уж совсем редко приходится
пользоваться формулами для преобразования
двух обратно-тригонометрических функ¬
ций... последние формулы почти во всей рус¬
ской учебной литературе или совсем не из¬
ложены, или изложены с существенными
ошибками. Нельзя рассчитывать на то, что
широкие массы учительства этим владеют.
Поэтому целесообразно совсем не вводить
этих формул...» (Крогиус).
Нельзя не считать, что эта аргументация
говорит скорее в пользу авторов учебника.
«Совещание считает, что вопросы: «обратные
тригонометрические функции» и «решение
тригонометрических уравнений изложены
слишком сжато, развиты недостаточно»
(Калининский пединститут).
Более того, Калининский пединститут счи¬
тает вообще ошибочным выделение обрат¬
ных тригонометрических функций в особый
раздел:
«Совещание считает совершенно недопу¬
стимым разрыв, имеющий место в учебнике,
между изучением тригонометрических функ¬
ций и обратных тригонометрических функ¬
ций. Обратные тригонометрические функции
следует рассматривать или параллельно с
рассмотрением тригонометрических функций
(как это сделано у Серре), или непосредствен¬
но за ними. При этом необходимо, по край¬
ней мере вначале, пользоваться чертежами
тригонометрической окружности с указанием
дуг, соответствующих заданному значению
тригонометрических функций. В противном
случае у учащихся не будет конкретных
представлений, связанных с обратными три¬
гонометрическими функциями».
Раздельное рассмотрение обратных триго¬
нометрических величин и обратных триго¬
нометрических функций всеми рецензентами
было отвергнуто.
‘ Сильные нападки вызвал раздел «Триго¬
нометрические уравнения».
«Исключительно кратко и без всякой си¬
стемы изложен раздел о тригонометрических
уравнениях» (Андреев). *
«Отдел тригонометрических уравнений из¬
ложен очень схематично; даны образцы ре¬
шения отдельных уравнений, но нет ника¬
ких обобщающих выводов, что совсем сни¬
жает методическую и научную ценность
этого отдела. Этот отдел желательно пере¬
работать заново» (Болгарский).
«Тригонометрические уравнения изложены
сжато, отсутствует классификация по типам,
не дается графического решения тригономе¬
трических уравнений» (Т а й б и н с к и й).
«Важной теме курса, тригонометриче¬
ским уравнениям отводится всего 5 стра¬
ниц. Вовсе не рассматриваются уравне-
f(x')
ния вида f (х) у (д;) = 0 и -уА: = 0 и связан-
¥ W
ные с решением этих уравнений вопросы
искиочения посторонних корней» (Т а н н а-
тар).
«Этот раздел следует развить больше»
(Ушаков).
О том же говорят Брусиловский, Загре-
бельский, Кацнельсон, Калининский педин¬
ститут, Ровенский институт усовершенство¬
вания учителей.
10
Остановлюсь еще на добавлениях, пред¬
лагаемых рецензентами. Почти все требуют
введения параграфа, в котором давался бы
исторический очерк тригонометрии (К а ли-
нинский пединститут, «Учительская
газета», Кацнельсон и др.). Было пред¬
ложение ввести параграф о максимумах и
минимумах (Гончаров).
Несмотря на значительное число замеча¬
ний, касающихся тех или других недостат¬
ков учебника, большинство рецензентов
расценивало его появление как положитель¬
ное явление и считало, что после ликвида¬
ции выявленных недостатков книга сможет
служить школьным учебником.
«Испробованные на практике, исправлен¬
ные и дополненные по указаниям педагогов,
методистов и научных работников, новые
учебники могут стать пособиями, вполне
удовлетворяющими школу» («Учительская
газета»).
«По моему мнению, необходимо сделать
соответствующие дополнения, и тогда учеб¬
ник тригонометрии Д. Берманта и Л. Люстер-
ника занял бы выдающееся положение среди
учебников, предназначенных для средней
школы» (Зубков).
«Считаем, что учебник Берманта и Люстер-
ника после внесения соответствующих кор¬
ректив годен для использования его в шко¬
ле вместо устарелого уже учебника Рыбки¬
на» (Ровенский институт усовер¬
шенствования учителей).
Калининский пединститут отмечает поло¬
жительные стороны учебника и в целом его
одобряет; он отмечает следующие его досто¬
инства:
«1) Простое, ясное изложение материала.
2)	Простота доказательств (например,
формул сложения и вычитания для косинуса).
3) Повышение идейной стороны курса,
освещение курса тригонометрии с современ¬
ной точки зрения,
4) Введение ряда вопросов, не рассматри¬
вавшихся раньше в курсе тригонометрии
(применение тригонометрии к изучению гар¬
монических колебаний, к изучению ком¬
плексных чисел и целый ряд других).
В целом совещание дает положительную
оценку учебнику, считая, что после устра¬
нения указанных недочетов он будет лучше
существующего стабильного учебника триго¬
нометрии» (Калининский пединсти¬
тут).
«Учебник по своей сущности стоит значи¬
тельно выше существовавших до него учеб¬
ников тригонометрии, предназначенных для
средней школы. Он удовлетворит потребно¬
стям средней школы в условиях переживае¬
мой нами эпохи, если в нем будет устранен
ряд отдельных, указанных выше недочетов»
(Болгарский).
Лишь очень немногие рецензенты не одоб¬
рили учебника в целом (Крогиус, Тап¬
иа т а р).
61

11
На основе полученных рецензий авторы
чебника составили план его переработки.
амечания рецензентов и план переработки
были поставлены Учпедгизом на обсуждение
в Московском институте усовершенствования
учителей на широком совещании с участием
учителей, работавших по учебнику. Со¬
вещание одобрило план переработки, внеся
в него небольшие поправки. План перера¬
ботки состоял в следующем.
I. ОЫЦПЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Тщательно литературно о-тработать весь
текст в соответствии с указаниями учителей,
учеников и рецензентов с целью сделать
любое место книги вполне доступным сред¬
нему ученику.
2. Изменить разбивку материала по пара¬
графам с тем, чтобы по возможности один
параграф соответствовал одному заданию.
3. Переделать некоторые чертежи для до¬
стижения наибольшей наглядности.
4. Добавить краткий исторический очерк
возникновения и развития тригонометрии.
5. Максимально сократить размеры учеб¬
ника за счет: а) исключения ряда второсте¬
пенных вопросов; б) переноса дополнитель¬
ного материала в мелкий шрифт; в) более
компактного^ изложения некоторых доказа¬
тельств; г) литературной шлифовки.
II. ОСНОВНЫЕ ПЗМЕПЕППЯ
1. Длительное разграничение понятий «три¬
гонометрическая величина» и «тригономе¬
трическая функция» ликвидировать. Об об¬
щем понятии функции будет сказано в
первой главе, причем в первой и второй
I лавах, посвященных геометрическим вопро¬
сам, до формул сложения, синус, косинус
и т. д. рассматриваются как функции угла в
градусной мере.
2. Материал второй главы распределить
между тремя главами.
3. Понятие радианной меры перенести, в
связи с программой по геометрии, в начало
третьей (по новой нумерации) главы, в
которой изучаются с функциональной точки
зрения тригонометрические функции, как
функции сначала угла в радианной мере, а
затем отвлеченного аргумента. К этой же
главе будет отнесено понятие о гармониче¬
ском колебании и о его графике.
4. Четвертая глава будет содержать основ¬
ной материал бывшей пятой главы, т. е.
формулы сложения и их прямые следствия.
В качестве иллюстрации здесь дается лишь
параграф о сложении простых гармонических
колебаний. Остальной материал частью ис¬
ключается (§	66),	а	частью выделяется в
отдельную небольшую дополнительную гла¬
ву (пятую) о построении таблиц.
5. Глава шестая, из которой изъяты гар¬
монические колебания, будет называться
Элементы теории треугольника», при этом
вывод основных соотношений будет дан
геометрически, а затем мелким шрифтом
будет приведен алгебраический вывод одних
систем зависимостей от других.
6. Во второй (по новой нумерации) главе
будет значительно упрощен вопрос о при¬
ведении к острому углу и изменен» форму¬
лировка главных правил.
7. В главе о решении треугольников ис¬
ключаются примеры решения с помощью
натуральных таблиц. Будет переработан па¬
раграф о практическом применении тригоно¬
метрии.
8. В последней главе исключается понятие
обратных тригонометрических величии и
сразу вводится понятие обратных тригоно¬
метрических функций.
9. Теоремы о проекциях из второй и тре¬
тьей глав будут упрощены, и каждая будет
отнесена к тому материалу, где она исполь¬
зуется.
10. Будет введен в последнюю главу ме¬
тод алгебраизации тригонометрических урав¬
нений путем выражения функций через тан¬
генс половинного угла.
На основе этого плана авторы перерабо¬
тали учебник. Переработанная рукопись в
настоящее время изучается в Учпедгизе.
Возможно, что уже осенью 1941 г. учебник
будет выпущен вторым изданием.
Редакция математики и физики Учпедгиза
считает, что выпуск новых учебников проб¬
ными изданиями более чем оправдал себя. Он
позволил выявить все недостатки учебника до '
выпуска его массовым тиражом. Он позволил
выявить желания и мнения широких кругов
учительства и научных работников. Метод
пробных изданий дает возможность изда¬
тельству подготовить для школы хорошо
проверенную книгу.
В заключение позволю себе от имени ре¬
дакции математики и физики Учпедгиза
искренно поблагодарить тех лиц и те орга¬
низации, которые приняли участие в рецен¬
зировании и обсуждении пробного учебника
тригонометрии Берманта и Люстерника и
тем помогли редакции в подготовке книги.
Редакция надеется, что и другие пробные
учебники, а также и все другие книги, вы¬
пускаемые ею, будут встречены столь же
внимательной и вдумчивой критикой.
)

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ *
С. XI. НОВОСЕЛОВ (Москва)
JI. А. ЛЮСТЕРНИК — «Геодезические
линии. Кратчайшие линии на по-
верхност и». Издание второе, Гостехиздат,
1940, 50 стр., ц. 1 р. 25 к.
Брошюра проф. Л. А. Люстерника «Геоде¬
зические линии» рассчитана на читателя,
владеющего элементарной математикой в
объеме обычного школьного курса. В неболь¬
шой по объему работе автор дает понятие
об основных свойствах линий кратчайшего
расстояния на поверхностях. Сначала рас¬
сматривается задача нахождения линий крат¬
чайшего расстояния, соединяющих две точки,
лежащие на многогранной поверхности
(в частности, на поверхности призмы и пира¬
миды), затем автор переходит к случаю про¬
стейших поверхностей, могущих быть раз¬
вернутыми на плоскость (цилиндр и конус),
и к поверхности шара, наконец, сообщаются
элементарные сведения о геодезических ли¬
ниях на произвольной поверхности, имеющей
в каждой точке касательную плоскость. Книга
заканчивается рассмотрением изопериметри-
ческой задачи, т. е. задачи о нахождении,
замкнутой кривой наименьшей длины, огра¬
ничивающей площадь данной величины. Кро¬
ме перечисленных вопросов, автор сообщает
элементарные сведения о плоских и про¬
странственных кривых. Эти сведения необхо¬
димы для понимания основной темы о геоде¬
зических линиях.
Основные понятия геометрии, каковыми
являются касательная, кривизна, соприкаса¬
ющаяся окружность, соприкасающаяся пло¬
скость, главная нормаль кривой, нормаль к
поверхности и т. д., являются весьма просты¬
ми и интуитивно ясными, однако строгое
обоснование соответствующих предельных
переходов требует применения методов ма¬
тематического анализа, что было бы недо¬
ступно лицам, знакомым лишь с элементар¬
ной математикой. Кроме того, для начинаю¬
щего читателя аппарат математического ана¬
лиза способен затемнить геометрическую
сущность этих основных понятий. Не имея
возможности в пределах популярной брошю¬
ры пользоваться методами анализа, автор
дает описание указанных выше основных
геометрических понятий, прибегая к нагляд¬
ному геометрическому представлению и
к геометрической интуиции. Мы считаем
это описание весьма ценным для начина¬
ющего читателя, ибо правильные геометри¬
ческие представления будут полезны при
дальнейшем изучении математики. Естествен¬
но, что в ряде случаев рассуждения не пре¬
тендуют на математическую строгость; такие
рассуждения ни в какой мере нельзя рассмат¬
ривать как доказательства, их можно назвать
объяснениями того, почему естественно ожи¬
дать того или иного результата. Рекомендуя
книгу Л. А. Люстерника ученикам старших
классов, учитель должен иметь в виду от¬
меченное обстоятельство и давать учащимся
* В связи с поступающими многочисленными запро¬
сами редакция предупреждает читателей, что никаких
просьб и поручений по приобретению книг, рецензи¬
руемых или вообще упоминаемых в журнале, редакция
принимать на себя не может.
необходимые разъяснения. Сам автор также
делает соответствующие примечания в тех
местах, где рассуждения не являются вполне
строгими.
Задачи, которых касается автор, получают
полное свое решение в вариационном исчис¬
лении; нам представляется, что было бы по¬
лезно остановиться на трудности вариацион¬
ных задач, связанной с доказательством су¬
ществования экстремума (т. е. минимума и
максимума). Можно было бы привести ряд
совершенно элементарных примеров, когда
минимум или максимум не существует.
Книгу проф. Люстерника можно рекомен¬
довать для занятий ш юльных математических
кружков; в ней содержится много материала,
полезного для молодежи, интересующейся
математикой. Книга написана живо и до¬
ступно.
Дополнительный сборник алге¬
браических задач, часть первая. С. П.
Алексахин, Е. Б. Кауфман и К. С. Сычугова.
Пособие для учителей VI и VII классов непол¬
ной средней школы. 60 стр., ц. 75 коп.; часть
вторая. Б. И. Бляшов и В. I'. Чичигин. Посо¬
бие для учителей VIII, IX и X классов средней
школы. 75 стр., ц. 1 рубль. Под редакцией проф.
М. К. Гребеича. Учпедгиз, 1940.
Дополнительный сборник алгебраических
задач составлен применительно к стабиль¬
ному задачнику по алгебре Шапошникова
и Вальцова. Общеизвестным дефектом ста¬
бильного задачника является недостаточ¬
ное количество задач по многим разделам.
По некоторым же разделам, как, например,
«комплексные числа», «теорема Безу», можно
считать, что стабильный задачник не содер¬
жит сколько - нибудь серьезных упражне¬
ний.
Авторами дополнительного сборника была
поставлена следующая задача; дать к каждой
главе и к каждому параграфу стабильного
задачника дополнительный набор упражне¬
ний. Таким образом, этот сборник нельзя
рассматривать как книгу, имеющую самостоя¬
тельное значение, поскольку он строго ориен¬
тирован на задачник Шапошникова и Валь¬
цова и ставит перед собой скромную цель
дополнить последний недостающим материа¬
лом. Исходя из этой установки, авторами в
основном сохранены как стиль, так и идей¬
ный уровень задачника Шапошникова1 и
Вальцова. При наборе примеров и задач авто¬
рами преимущественно был использован ма¬
териал старого издания задачника Шапош¬
никова и Вальцова, не вошедший в стабиль¬
ный задачник.
В подборе упражнений авторы не всегда
стремятся дать примеры и задачи большей
трудности по сравнению со стабильным за¬
дачником. Нередко авторы приводят допол¬
нительные упражнения не большей трудно¬
сти, чем упражнения соответствующих раз¬
делов стабильного задачника. Их назначе¬
ние — увеличить количество и дать большее
разнообразие задач данной степени трудно¬
сти.
Итак, в качестве достоинства дополнитель¬
ного сборника следует отметить:
63

1) наличие дополнительного количества
упражнений по разделам, слабо представлен¬
ным в стабильном задачнике;
2) наличие некоторого количества более
трудных задач;
3) увеличено количество упражнений н
число типов примеров и задач. Это облегчает
учителю подбор задач для классной работы,
домашних заданий и контрольных работ.
В качестве недостатка книги, явившегося
неизбежным следствием принятой авторами
установки, следует отметить, что в научном
и идейном отношении она в большинстве
своих разделов не находится на большей
высоте, чем далеко несовершенный и зна¬
чительно устаревший задачник Шапошнико¬
ва и Вальцова. Многие недостатки послед¬
него оказались автоматически перенесенными
и на дополнительный сборник. Разумеется,
что последнее замечание нельзя отнести ко
всем, без исключения, разделам сборника.
Так, например, в отделах, посвященных не¬
равенствам, комбинаторике, прогрессиям и
уравнениям высших степеней, можцо найти
значительное количество интересных упраж¬
нений, которые рассчитаны не только на
приобретение учащимися формальных на¬
выков в вычислениях, но и на сознательное
применение теории.
Следует отметить, что авторами не было
обращено должного внимания на исправле¬
ние терминологических дефектов. На стра¬
ницах сборника можно встретить, например,
такие архаичные выражения, как: «соизмери¬
мое количество», «буквенное количество»
и т. п. Подобными выражениями не следует
пользоваться в школьной практике, а пото¬
му и подавно они не должны появляться во
вновь выпускаемых книгах.
В.	П. ШЕРЕМЕТЕВСКИЙ — «Очерки по
истории математик и». Серия «Биб¬
лиотека учителя». Учпедгиз, 1940, 177 стр.,
ц. в перепл. 3 р. 25 к.
Книга Шгреметевского является переизда¬
нием в виде отдельной книги очерка по
истории математики, написанного Шереме-
тевским и помещенного в книгу Г. Л о-
р,е н ц а «Элементы высшей математики».
В своем очерке автор останавливается на
основных этапах развития математики, начи¬
ная от периода древнеэллинской культуры
н кончая началом XX столетия. Весьма крат¬
кий по объему очерк не может претендовать
на полноту, поэтому автор останавливается
лишь на наиболее важных этапах развития
математики. Главной задачей автора является
проследить ход развития математической
мысли на протяжении многих столетий, а
потому перечисление фактов и указание
дат, естественно, поставлено автором на
второй план. В характеристике деятельности
отдельных ученых автор останавливается
лишь на таких центральных фигурах, как
Пифагор, Эвклид, Диофант, Тарталья, Кар¬
дано, Непер, Декарт, Ньютон, Лейбниц,
Эйлер. Стремясь дать широкую картину раз¬
вития математики в связи с общим развитием
культуры, автор нередко делает отступления
в сторону с целью дать характеристику об¬
щей тенденции научной мысли, характерной
для того или иного периода.
Книга Шереметевского в основном до¬
ступна читателю, владеющему школьным
курсом элементарной математики. Для чте¬
ния параграфов, посвященных последнему
периоду, начиная с Декарта, Лейбница и
Ньютона, от читателя предполагается зна¬
комство с оснрвными идеями аналитической
геометрии и математического анализа.
В расчете на широкий круг читателей автор
вполне естественно более подробно излагает
историю элементарной математики. Для луч¬
шей иллюстрации методов и характера изло¬
жения математики, свойственных различным
периодам, автор нередко в качестве образца
приводит цитаты из наиболее выдающихся
произведений. Учитывая, что подробное из¬
ложение идей современной математики было
бы недоступно начинающему читателю, ав¬
тор, касаясь периода конца XVIII и начала
XX столетий, останавливается лишь в весьма
кратких чертах на характеристике самых
основных направлений работы математиче¬
ской мысли. Книга Шереметевского написа¬
на живым выразительным языком и читается
с большим интересом. Кнйга снабжена под¬
строчными примечаниями и кратким преди¬
словием редактора А. П. Юшкевича.
Книгу Шереметевского можно настоятель¬
но рекомендовать вниманию учителей как
ценное и весьма интересное пособие по
истории математики. Книга может быть так¬
же использована учителем для занятий
школьных математических кружков.
1
 '—

ПОБЫЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ
В. А. НЕВСКИЙ (Москва)
I.	ПАУЧПАЯ ЛИТЕРАТУРА
Адлер А.— Теория геометрических по¬
строений. Перев. с иемецк. проф. Г. М. Фих-
тенгольна. С приложением статьи проф.
С.	О. Шатун овского «Геометрические
задачи и их решение с помощью циркуля
и линейки?. Изд. 3-е. Л., Учпедгиз, Ленин¬
градское отделение, 1940, 232 стр., с черт.,
ц. в перепл. 5 руб., 5 000 экз.
«Появление настоящей книги вызвано же¬
ланием представить в связном изложении и
с некоторой полнотой интересные и особенно
увлекательные для начинающего методы
и теории решения задач на построение. При
этом не предполагается никаких более или
менее подробных сведений из высшей мате¬
матики» (из предисловия автора).
Вышедшая в свет в оригинале в 1906 г.,
а на русском языке (в 1-м издании) в 1910 г.
книга пользуется заслуженной известностью
по широте и ясности изложения теории задач
на построение.
Гельфанд М. — Периодические дроби.
Утвержд. НКП УССР. (Украинский научно-
исследовательский институт педагогики.
Киев, изд-во «Радян. школа», 1941, 96 стр.),
ц. в перепл. 1 р. 40 к., 10000 экз., на укра¬
инском языке.
В книге изложена теория периодических
дробей и даны некоторые методические ука¬
зания о работе с периодическими дробями
в средней школе.
Голубев В. В.—-Лекции по аналитиче¬
ской теории диференциальных уравнений.
М.—Л., Гостехиздат., 1941, 398 стр., с черт.,
ц. в перепл. 8 р. 25 к., 4 000 экз.
«В настоящей книге изложено с некото¬
рыми дополнениями содержание лекций, чи¬
танных автором в течение ряда лет студентам
и аспирантам МГУ.
Дополнительный сборник ал¬
гебраических задач. Под ред. проф.
М. К. Гребеича. Утвержд. НКП РСФСР.
М., Учпедгиз, 1940. Часть первая. С. П. Але-
ксахин, Е. Б. Кауфман и К. С. Сычугова.
Пособие для учителей VI и VII классов
неполной средней и средней школ. 60 стр..
п. 75 коп., 50 000 экз.; часть вторая. Б. И. Бля-
шов и В. Г. Чичигин. Пособие для учителей
VIII, IX и X классов средней школы. 76 стр.,
ц. 1 рубль, 25 000 экз.
Сборник задач является дополнением к
стабильному задачнику Шапошникова и Валь-
цова. В него вошли задачи из прежних
изданий данного задачника (свыше 50%).
а также из ряда других русских и загранич¬
ных задачников.
Известия Ростовского государ¬
ственного педагогического ин¬
ститута. Том X. Ростов-на-Дону, 1940.
Книга содержит в себе 15 статей: По
поводу 40-летия научной, педагогической и
общественной деятельности проф. Д. М. Мор-
духай-Болтовского. Геометрия как наука
о пространстве. Методический коллоквиум
при кафедре математики Ростовского педин¬
ститута. Математически? ошибки в науке
и в школе. О размерностях физических
величин в преподавании физики. Периоды
тригонометрических функций. Методы реше¬
ния тригонометрических уравнений. Перио¬
дические дроби и их место в школе. Основные
теоремы теории трансверсалей на плоскости
Лобачевского. Некоторые проблемы динамики
материальной точки в неэвклидовом простран¬
стве. О несобственных треугольниках на
сфере (плоскости Рнмана). Плоская задача об
однородном намагничении тела заданной
формы. Об одном свойстве двояким образом
гомологичных тетраедров. Пример одевания
поверхности плоской тканью при условии,
что нити налагаются на кривые постоянной
геодезической кривизны. Аналитическое до¬
казательство одного обобщения теоремы
Паскаля.
Креер Л. И., проф. — Сборник упражне¬
ний по диференциальным уравнениям. Под
ред. проф. В. В. Степанова. М., Учпедгиз,
1940, 160 стр., с черт., ц. в перепл. 3 руб.,
5 000 экз.
Одновременно книга вышла в Киеве на
украинском языке (утвержд. НКП УССР
в качестве пособия для физико-математиче¬
ских факультетов пединститутов) в тираже
4 600 экз.
«Главная отличительная черта этой книги
состоит в том, что автор ставит своей целью
научить студентов решать задачи, которые
непосредственно не подходят под шаблонные
типы, рассматриваемые в теоретическом кур¬
се» (от редакции).
Курс высшей математики. Часть
первая. Состав. Н. А. Глаголев, И. А. Звя¬
гинцев, Г. Б. Иоффе и др. М., Изд. Всесо¬
юзной пром. академии им. И. В. Сталина,
1940, XIV 4- 436 стр., с черт., 450 экз.
Книга составлена применительно к про¬
грамме Промышленных академий.
Л я п и н С. Е,— Диференциальиая геомет¬
рия в пространстве (курс лекций). Л., Высшее
военно-морское инженерное ордена Ленина
училище им. Дзержинского. 1940, 82 стр.,
с черт., цена и тираж не -указаны.
Книга имеет три главы: I. Диференцнрова-
ние векторов. 11. Кривые в пространстве.
III.	Теория поверхностей.
Петерсен Ю. — Методы и теории ре¬
шения геометрических задач на построение.
Приведено больше 400 задач. Утвержд. IIK1I
УССР. Киев, изд-во «Радян. школа», 1940,
84 стр., с черт., ц. в перепл. 1 р. 65 к.,
10 200 экз., на украинском языке.
Перевод с датского (Копенгаген, 1879).
Романовский Б. В. — Дополнительный
сборник задач по стереометрии. Пособие для
учителей. М., Учпедгиз, 1940,32 стр., ц. 30 коп.,
25 000 экз.
В книге помещено 306 задач, дополняющих
стабильный задачник по геометрии Рыбкина.
Расположение задач соответствует порядку
изложения материала в стабильном учебнике
геометрии Киселева.
&

II.	МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
Материалы 1-й научно-педагогической кон¬
ференции учителей Ленинградской области.
Под ред. Е. Я. Голанта и И. В. Владимирова.
(Ленинградский областной институт усовер¬
шенствования учителей). Л., 1940, 160 стр., с
илл., ц.-З р. 75 к., 3 ООО экз.
В числе 23 докладов, помещенных в сбор¬
нике и заслушанных 26—28 марта 1940 г. на
конференции, имеется 4 доклада по вопро¬
сам преподавания математики: сознательное
усвоение знаний по математике. Самостоя¬
тельная работа учащихся по геометрии. За¬
крепление знаний по арифметике. Внимание
in уроках математики в средней школе.
Из опыта передовых учителей
V—X классов. Сборник статей. (Архан¬
гельский институт усовершенствования учи¬
телей.) Архангельское областное государ¬
ственное издательство, 1940,72 стр., ц. 1 р. 10к.,
5 000 экз.
В сборнике 2 статьи посвящены вопросам
преподавания математики: «Решение типовых
задач» и «Решение	задач по алгебре
в VII классе».
Из опыта преподавания матема¬
тики в начальной и средней шко-
л е. Сборник статей. Ответ, ред. Д. В. Сенчу-
ков. (Воронежский институт усовершенство¬
вания учителей. Опыт передовых учителей
Воронежской области, вып. III.) Воронежское
областное книгоиздательство, 1941, 26 стр.,
ц. 1 рубль, 1 000 экз.
Две статьи сборника говорят о преподава¬
нии математики в средней школе: «Как я
готовлюсь к урокам по математике» (в
X классе) и «Внеклассная работа по матема¬
тике».
И а у м о в А. А.— О технике решения три¬
гонометрических уравнений. Алма-Ата,
Казгосиздат, 1940, 36 стр., ц. 1 р. 70 к.,
3 000 экз. (Материалы к январским учитель¬
ским совещаниям управления нач. и средн.
школы Наркомпроса Казахской ССР).
Из опыта Петропавловской средней шко¬
лы № 2.
Материал ыкянварскимучитель-
ским совещаниям. Сборник № 12. Ма¬
тематика. (Управление нач. и средн. школы
Наркомпроса Казахской ССР.) Алма-Ата,
Казгосиздат, 1940, 44 стр., ц. 1 р. 65 к.,
3 000 экз.
Сборник содержит 4 статьи: Геометрия в
VII классе. Составление уравнений по усло¬
виям задач. Решение задач на построение в
VIII и IX классах. Исследование уравнений
I степени (в X классе).
Методы повышения успеваемо¬
сти в школе.
Труды I Всероссийской научно-педагогиче¬
ской конференции учителей РСФСР, ч. 1.
Допущено 1IK11 РСФСР. (Гос. научно-иссле¬
довательский* институт школ НКП РСФСР.)
М., Учпедгиз, 1940, 248 стр., ц. в перепл.
4 р. 50 к., 25 000 экз.
Шесть последних статей (докладов) сбор¬
ника освещают опыт прзподавания матема¬
тики в средней школе:	Как	я добиваюсь
высокого качества урока и прочного усвое¬
ния учащимися учебного материала. Как я
стремлюсь дать учащимся прочные знания
по математике. Приемы устного опроса на
уроках математики как средство активизации
интереса и внимания учащихся на уроке.
Самостоятельная работа учащихся в классе и
дома. Как я обучаю учащихся самостоятель¬
но работать. Об опыте лучших учителей
математики.
Об улучшении преподавания ма¬
тематики в среди е.й школе. Сборник
статей. (Гос. научно-исследовательский ин¬
ститут школ HKI1 РСФСР. В помощь учите¬
лю, № 20.) М.,	1941,	60	стр., с черт.,
ц. 2 р. 30 к., 1 500 экз.
В сборнике помещены 3 статьи: Арифме¬
тика в V классе (Е. С. Березанская). Алгебра
в VI и VII классах (В. Г. Прочухаев). Гео¬
метрия в VI и VII классах (Е. Д. Загоскина и
A. И. Фетисов).
Преподавание математики в
школе и подготовка учащихся к
практической работе. Сборник ста¬
тей. (Гос. научно-исследовательский инсти¬
тут школ.) М., изд. Наркомпроса РСФСР,
1941, 48 стр., ц. 55 к., 15 000 экз.
В сборнике даны 3 статьи. Практические
навыки в связи с преподаванием арифметики
в I—IV классах школы (Г. Б. Поляк!. Прак¬
тические навыки в связи с изучением мате¬
матики в V—X класах школы (Н. Н. Ники¬
тин). Геодезические работы в средней школе
(Я- С. Герценштеин).
В конце сборника помещены аннотации
к книгам по вопросу о землемерных работах
в школе (за 1889—1936 гг.).
Сборник кафед рн педагогики
Одесского государственного
универиситета, т. I, Одесса, 1940.
В числе других статей сборника помещены
2 статьи по вопросам преподавания матема¬
тики: Домашние задания по математике в
старших классах средней школы (стр. 73—85).
К вопросу с тождественных преобразованиях
в курсе тригонометрии средней школы
(стр. 87—100).
! Т р у д ы I н а у ч н о - п е да г о г и ч е с к о й
конференции учителей Ленин¬
град а. Март, 1940. Под ред. О. Ф. Маланюка,
B. К. Петрова, Е. Н. Петровой и Л. Е. Раски-
на. Л., Ленинградский городской институт
усовершенствования учителей, 1940, 418 стр.,
с черт., ц. в перепл. 25 руб., 1 000 экз.
В третьей части книги помещено 12 докладов
учителей математики V—X классов средней
школы Ленинграда,
/

—fr^TtXa   ■ -Е&УХз , _	^	_
4
ЗАДАЧИ
ПО ПОВОДУ ЗАДАЧИ № 16
(Л* 1 журнала «Математика в школе» 1941 г.)
В.	ГОЛУБЕВ (Куогигшосо)
1.	Следующее интересное предложение слу¬
жит обобщением этой задачи. «Существуют
два (или одно) /я-значных числа, любая целая
степень которых оканчивается теми же т
цифрами, написанными в том же порядке.
Сумма этих чисел равна 10т+1».
Докажем это предложение для квадратов.
Имеем два однозначных числа: 52 = 25 и
62 = 36, обладающих вышеуказанным свой¬
ством. (Числа на 1 и на 0 мы не будем рас¬
сматривать, так как уже при т = 2 нет числа
на 1 и на 0, обладающих требуемым свой¬
ством.)
При т = 2 мы получаем, что для десятков
числа (10 лс —[- 5) должно быть лс = 2, так как
(10 х + 5)2 = 100 х- + 100 х + 25.
Получаем число 25; 252 = 625.
Вообще, пусть т-значное число;
п = Ю"1 * a,-j- 10m " и$-[*-• “Ь lOflm—i -I-5
будет таким, что
н= = 10m+1 ft + Ютй0 + Ют -i a, +... +
-}- I O' Urn—l -}- 5.
Тогда, для m + 1-значного числа N =
10,nx-\-n имеем;
N- = (10тЛ + nf = 102m x2 + 10m ■ 2 nx f n2.
Ho 2n — число, состоящее из круглых десят¬
ков, следовательно, число 102тл2 + 10т-2 пх,
есть число с ш 1 нулями на конце.
Поэтому, если х = й0- то N будет также
обладать требуемым свойством.
Получаем рекуррентную формулу для
определения старшей цифры т 1-значного
числа по /и+1-й цифре п1 квадрата т-знач-
ного числа. В случае а0 = 0 т -(- 1-значное
число, оканчивающееся на 5 и обладающее
требуемым свойством, отсутствует. Но в этом
случае для т -f- 2-значного числа первой циф¬
рой будет m-f-2-я цифра числа п2.
Согласно вышеизложенному, получаем
следующие числа; 625; 90 625; 890 625; 2 890 625;
12 890 625 и т. д. Действительно, 6252 = 390 625;
90 6252 = 8 212 890 625 и т. д.
Пусть га-значное число п обладает выше¬
указанным свойством. Тогда для числа и, =
= 10m—	1	имеем:
п2 = Ю2т-|-п2+ 1 — 10т -2п -(- 10т-2 —
— 2«= 10т-г + «2 —2п-1- 1.
5*
Так как л* имеет последние т цифр те же,
что и число п, мы получаем, что
п2=10т/,— л+1,
т. е. число п также обладает вышеуказанным
свойством.
Согласно этому мы получаем другой ряд
чисел*; 76; 376; 9 376; 109376 и т. д. Дей¬
ствительно, 762 = 5 776; 3762 = 141 376; 9 3762 =
= 87 909 376 и т. д. 1787109 3762 =
= 5 193 759 921 787 109 376.
Докажем теперь методом совершенной ин¬
дукции наше предложение для п-й степени.
Пусть ш-значное число ft=10m—*0,-f-
+ ... + am такое, что
ft"-1 = Ют я0 + ft и ft2 = 10m I + ft.
Тогда для ft" имеем
ft" = ft " 1 •ft = (I0mc0-f ft)fc =
= 10m ft-a0 + ft2 = 10+ ft.
Предложение доказано полностью.
2.	Данное предложение справедливо и для
чисел, написанных в любой системе счисления,
если только основанием системы счисления
не является простое число или целая степень
простого числа.
Так, при основании 6 имеем:
З2 = 130; 132 = 81 = 213„;	213^ = 50 213,;
50 2162 = 4 134 350 2136 и т. д.; 42 = 24^
44g = 3 3440 и т. д.
При a = 12 имеем:
42 = 14,,; 54j2 = 2 45412; 92 = 6912;
69j2 = 3 96912 и т. д.
Действительно, при а составном (a = mri) Щ
мы имеем ft такое, что 1 < ft < а и ft2=ft -j- aq;
или ft-(ft — 1) делится на а, что возможно,
например, если ft делится на т, ft — 1 делится
на п.
Итак, однозначные числа, обладающие дан¬
ным свойством, в этом случае имеются, много¬
значные же мы получаем по определенному
рекуррентному правилу.
Так, при а = 15 = 3-5 имеем: 62 = 36 = 26,5.
(Здесь ft = 6 делится на 3, ft — 1 = 5.)
• Вычитанием: 101 — 25 =г 7G; 1001 — 625 = 376 и т. п.
67

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 1941 г.
I.
Квадрат со стороной а равновелик
прямоугольнику со сторонами тип
(«*•<«). Найти численную величину отно-
т
пгения , если периметр квадрата составляет
12
— периметра прямоугольника.
По условию имеем:
тп = а2,
4я
Отсюда:
2т + 2л
т-{-п =
_ 12
~~ 13'
13я
и п являются корнями
Следовательно, т
уравнения:
6хг — 13ах -(- 6а" - 0.
Решив его, найдем:
х, = — а; х2 = — а.
2	3
Так как т < п, то т ~ х2; п = х,.
будем иметь:
т 2	3	4
— =— а: — а = —.
«32	9
В ряде решений дан ответ:
т. е. не
учтено условие, данное в задаче (т < «).
Найти целое положительное число, не
являющееся точной восьмой степенью и
имеющее 9 делителей. При делении этого
числа на 312 в частном получается простое
двузначное число и в остатке 1.
Пусть искомое число
х = а“Лт ...,
где а, Ь, 'с... — простые делители числа х
Известно, что число всех делителей числа х
выражаются формулой (которую легко выве¬
сти элементарным путем):
w = (« +1) ff + i)Cr+i)...
Так как по условию N = 9, то возможны
лишь	2 случая:	l.'a-f-1 = 9. Но	тогда	a = 8,
и число	х = а8,	что противоречит	условию.
Остается единственный возможный случаи.
2. a -|-1=3; р -|- 1 = 3. Тогда:
х = аЧ2.	(1)
Обозначим частное от деления х на 312
через q. По условию,
11<7^97,	(2)
причем <7 — число простое.
Будем иметь:
я2*2 = 3127+1,
312(7= {аЪ +1) (яЬ-1),
24-13? = (в6+1) (яб-1).
(3)
(1)
(2)
Тогда
Множители ab -{- 1 и ab—1 одинаковой
четности (так как их разность 2) и один из них
должен делиться на 13, а другой на q. Слу¬
чай делимости одного из них на 13q исклю¬
чается, так как тогда он будет, по меньшей
мере, равен 13(7, а другой множитель будет
312(7
равен -—— = 24, и разность между ними
13(7
будет:
137 — 24 > 13-10 — 24 > 2.
Следовательно, один из четных множите¬
лей буд^г 2(7, 47, 67 или 127, а другой
соответственно: 156, 78, 52, 26.
Так как разность множителей в (3) равна 2,
то должно быть:
1) 27— 156 = ±2; 2) 47 —78 = + 2;
3) 67 — 52 = ± 2; 4) 127 — 26 = ± 2.
1.7= -°6~-2; 7 = 79 и 7 = 77. Задаче мо¬
жет удовлетворять лишь q = 79 (по условию
7 число простое)
78 4* 2
2. 7 = —3=^-; 7 = 20; 7 = 19. Может удов-
4
летворять задаче 7=19."
Случаи 3 и 4 не дают решений, так как
для 7 получаются значения, меньшие 10.
Итак, испытываем 7= 79 и 7= 19.
а) 7 = 79; х = аЧ2 = 312-79 + 1;
ab = V 312-79 + 1 = 157.'
Число 157 — простое и, следовательно, не
дает решения.,
Ь) 7 = 19; х = 312-19 + I;
аЪ =1^312-19 +1=77 = 7-11.
Число 77 удовлетворяет задаче. Следова¬
тельно:
x = 72 11~ = 5 929.
Доказать, что если три числа х, у, z
составляют геометрическую прогрессию, то:
(x+y + z){x-y + z) = x*+y2 + z2.	(1)
1. Если 7 — знаменатель прогрессии, то:
У — xq; z = xq\	(2)
Тогда имеем:
(x+y + z) (x—y+z) =
= х (1 + 7+?2)-* (1 — 7+?2) =
* Г/1 I	~Sl 		 „Я /1 I  3 t
= X2 ((1 + 7Т - <7-4 = х2 (1 + 7-” + 7'О-
С другой стороны:
х2 +у 2+ z2 = х2 + хг72 + XV =
= Х2 (1 + 72 + 74).
Из (3) и (4) вытекает (1).
2. Имеем:
(3)
(4)
(x+y + z) (х—v-f х) = (х + х)2—у =
= х2 + у2 + z2 4- 2xz — 2у®,	(5)
но
XZ = x-xq2 - (Х7)2 = У*.
(6)
Ь8

Подставив из (6) в (5), получим требуемое
равенство.
4.
Найти три положительных числа, состав¬
ляющих геометрическую прогрессию, если
известна их сумма и сумма их квадратов.
Пусть: х-\- y-jrz= а<	(1)
x2+f + z2=b.	(2)
Воспользовавшись равенством, доказанным
в предыдущей задаче, получим:
a (x—y + z) = b.
О гсюда:
x-y+z=-.
Вычтя (3) из (I), будем иметь
Ъ	а2	—	Ъ
2у а ; у =
а	2	а
Тогда из (1) получим
а2 — b _ д2 -|- Ь
2 а	2	а
x-\~z = а —
С другой стороны:
xz — T
4 а-
(3)
(4>
(5)
(6)
Следовательно, х и z являются корнями
уравнения:
4я®«® — 2а (а2 + Ь) и + (а2 — Ь)‘ = 0. О)
Отсюда:
_ а (а2 +6) ± /я® (я® + 6)® — 4я® (я® — bf
"|.з	4д2
1,2 ‘
я® + 6± |/ (яг + 6)® — 4 (а* - 6)2
2
Одно из найденных значений и берем за
х, другое за у.
Исследование. По условию д>0. Из (2)
следует, что 6> 0. Из (4) следует, что должно
быть я® >6. Корни уравнения (7) будут
положительными (так как сумма и произве¬
дение их положительны). Найдем дискрими¬
нант уравнения (7). Он равен:
4а2 (а2 + bf — 16а2 (а2 — bf = 4а* [(я® + Ь)2 —
— 4	(а2 — bf] = 4я® (— За* + 10д®6 - 36®; =
4а- (За2 — Ь) (36 — а2).	(8)
Так как а2 >6, то дискриминант будет
положительным при условии, если 36 — аг> 0,
т. е. а2 < 36.
Итак, условием получения решения задачи
будет:
6 < а2 < 36.
Если а2 = 6, то х — у — z — 0. Если а2 = 36
6
ТО X— у = Z ~ —.
а
Составить уравнение, имеющее своими
корнями:
- и х, -J- —,
х,	х2
где х\ и х2— корни уравнения: ах2 -f- bx -(-
Ч- с = 0. Определить, при каком условии
полученное уравнение имеет равные корни.
Обозначив корни искомого уравнения через
У\ и уг, по условию имеем:
J'i + Уг = X1 -)	(- .с» -)	=	(л:,'-^	хг) -j-
Х\	xt
, хг + хг
+ ~х^Г-
Но
Ь_ t_j_ _ 6 (я + с)
а с ~	ас	1
Сделав подстановку, получим:
Vi+Уг'
Далее:
yiyt = (xt+—^	^	=	+	—-г
\ xj \ x,J	хг
. xt. 1		 А+4 , 1
*1
= XiXs~]
*1-0 —
а2	а
+ —^
а
-х1хг'+
XiX3 - - • Xix2
(х, + xsf — 2xlx, ,
XiX£
Xi’X2
— = — +
xtxt a 1
6! — 2ac
ac
_с2Ц- b2 — 2яе -(- a2 _ (a — c)2 -|- b2
~	ac	ac
Итак, искомое уравнение будет:
асу2 -(-б (я + с) у -f- (я — с)2	6® = 0.
Для равенства корней необходимо, чтобы
дискриминант уравнения был равен нулю
т. е.
6* (a -f- cf — 4яс [(а — с/ -(- 65] = 6® (a -j- cf —
— 4яс6®— 4ас (а — с)2 = Ь2 [<а + с 8 — 4сс] —
— 4ас (а — cf = b2 [а — с)2 — 4ас (а — cf =
= (6® — 4ас) (а — cf — 0.
Условие будет выполнено, если:
1. 6® — 4яс = 0. Отсюда Xi = x£. Очевидно,
что тогда и уг=уг-
2. а — с = 0; а = с. Отсюда xtxt = 1. Дей¬
ствительно, в этом случае:
, 1 . 6
У, = Х1 + — = х1 + хг = — —,
Л|	и
1 1 , ь
Ун = Хг + — = хг -1- Xt = — —.
и
В ряде решений давалось лишь какое-либо
одно условие равенства корней,
63

Составить квадратное уравнение, имеющее
корни:
X, ++ и *8+1
-«1—1
1*
где л:, и хг—корни уравнения ах~ + Ъх+
+ с = 0.
Определить, при каком условии полученное
уравнение имеет противоположные корни.
Как и в предыдущем случае, можно выра¬
зить yi-\-ys и угу., через коэфнциенты дан¬
ного уравнения, в результате чего получим:
,	2 (с — а)	а — 6 + с
J'i +У* = ' , , , —; J'tVi = -ттт- ‘
Но можно решить вопрос короче. По условию:
* = £1+1 = 1+ 2
-«1 — 1
*1— 1
Отсюда:
(Ух — 1) 0*1 — 1) = 2; Xt — 1
.  Vi f ~ 1
Ух — 1
Точно так же:
*,=
У,— 1
Ух + 1
*1 — 1
Таким образом, искомое уравнение мы по-
> + 1
лучим, заменив в данном х через —
Будем иметь:
„ СУ+П* , .у-\Ы
у- 1
O'-!)2	у-1
с= О,
или:
* (у + Ф + ь (3^+1) (У-П + С (у-1У= 0.
По раскрытии скобок и приведении подоб¬
ных членов будем иметь:	\
(a + Ь + с) у2 + 2 (а — с)у -(- (а — Ь -(- с) = 0.
Уравнение будет иметь противоположные
корни, если коэффициент при у равен ну¬
лю, т. е.
а — с = 0; а = с.
Действительно, в этом случае *,*2 = 1, и
мы имеем:	,
*s + l	1	1	+	*1
*s—l 1
— 1
1 — *1
X
*. + 1
*1 — 1
= —Ух-
't.
Найти четырехзначное число, являющееся
точным квадратом, если его две первые
цифры одинаковы и две последние цифры
одинаковы.
Пусть искомое число М = т2. По условию
М — число четырехзначное, т. е.
Отсюда:
1024 =s£m2< 10000.
32
т < 100.
По условию число М имеет вид ааЬЬ.
Следовательно, оно кратно 11, а так как
М является квадратом, то оно кратно 121.
Итак:
т— 11 q,
т. е. //I может быть равно 33,44, ... 99.
Вместо того чтобы испытать все эти числа,
можно провести следующие рассуждения.
Последние две цифры искомого числа
одинаковы.
Отсюда:
1) Последняя цифра числа т не может
быть 5, так как квадрат числа, оканчива¬
ющегося на 5, всегда имеет цифру десят¬
ков 2.
(10* — 5)2 = 100* (*+ 1) + 25.
2) Последняя цифра не может быть 1
или 9, так как квадраты таких чисел имеют
на месте десятков четную цифру, т. е. не
равную 1 или 9.
(10* ± I)5 = 100*2 ± 20* + 1.
3) Последняя цифра не может быть 4
или 6, так как квадраты таких чисел окан¬
чиваются иа 6 и 4, а цифра десятков нечет¬
ная:
(10* ± 4)2 = 100*2 ±80*+ 10 + 6 = 100*2 ±
+ 10(8*+ 1) + 6.
4) Остается одна возможная цифра S, удо¬
влетворяющая условию. Действительно.
88s = 7 744.
8.
Сумма квадратов трех чисел равна 29645.
Если каждое из них разделить иа их О. H.D.,
то произведение полученных частных равно
2280. Найти эти числа.
Обозначив О. Н. D. искомых чисел *, у, г
через D, будем иметь:
* = Da; у — Db; г ~ Dc,	(1)
где а, b и с не имеют общего делителя.
Отсюда:
*- +_у2 + г2 = D2 (а2 + &2 + с2) — 29645. (2)
Значит, *2+j’2 + 2* имеет делителем D2.
Разлагаем 29645 на первоначальные множи¬
тели:
29645 = 5-72-И2.
Следовательно, D2 может равняться 72, II2
или 772.
Последний случай исключаем, так как раз¬
делив (2) на D2 = 772, получим:
я2 + б2 + с2 = 5,
Совершенно неожиданно оказалось, что не¬
которые из приславших решение путают
противоположные числа: а и —ас взаимно-
1
обратными числами а и — .
70

и о 5 не разлагается на сумму трех целых
квадратов.
Итак, или:
0 = 7; а2 + 6s + с2 = 605;
пли:
D=ll; а2 + Ь2 + С2 = 245.
По условию:
обе = 2 280 = 23-3-5-19.	(3)
Следовательно, одно из чисел а, 6, с, на¬
пример, а должно быть равно или кратно 19.
Но уже при а = 19 имеем а2 = 361 > 245.
Отсюда случай D = 11 тоже отпадает. Остает¬
ся случай:
я2 + Ь2 + с2 = 605.
Одно из чисел а, Ь, с должно равняться 19,
так как уже при « = 2-19 = 38 будем иметь
а2 = 1 444> 605. Пусть а — 19. Тогда:
V2 + с2 = 605 — 19* = 244.	(4)
Из (4) видно, что большее из чисел б и с не
может превосходить 15 (так как 16г = 256 >
> 244).
Пусть 6= 15. Тогда из (3) с = 8, и будем
иметь
152+ Ь2 = 225 + 64 = 289 > 244.
Остается один возможный случай « = 2-5 =
= 10 и 6 = 2-2-3=12, действительно удо¬
влетворяющий задаче, так как
102 + 12s = 244.
Итак:
«,= 19; 6=10; с =12; 0 = 7
н искомые числа:
х = 133; у = 70; z = 84.
9 ;
Середины сторон правильного шестиуголь¬
ника со стороной а соединены последова¬
тельно прямыми. Середины сторон получен¬
ного шестиугольника опять соединены
и т. д. Определить площадь n-го шестиуголь¬
ника.
1)	Докажем сначала, что полученный вто¬
рой шестиугольник — правильный. Равнобед¬
ренные треугольники РАМ, MBN, и т. д
равны между собою по боковым сторонам
и углу между ними. Отсюда:
PM = MN =...	(1)
Каждый из углов при основании равно¬
бедренных треугольников РАМ, MBN„. ра¬
вен
jg01-120°
Отсюда углы при вершинах Р, М, N...
второго шестиугольника равны каждый:
|_ Р = l М =l N = - = 1803 - 2 ■ 30° = 120°.(2)
Равенства (I) и (2) и доказывают предло¬
жение.
То же рассуждение можно повторить и по
отношению к каждому из последующих
6-угольников. Следовательно, все они будут
правильными.
2.	Определим сторону я-го 6-угольннка.
Из треугольника ABC выводим, чго
АС
MN=- (как средняя линия). Но АС —
сторона правильного вписанного треуголь¬
ника и равна R Уз = а l/з.
Отсюда:
MN =
'.у/3
или, обозначив сторону второго 6-уголь¬
ника через а.2:
dl/з
То же рассуждение можем применить по
отношению к каждому последующему
6-угольнику. Итак:
ak =
где k = 2, 3, 4... п.
Получим ряд равенств:
ак— 1 У~%
а4 = ■
а\/ 3
2
а. Уз
2
аУз
вл-х VS
= 2 '
Перемножив их и сократив на ам2а^...аn_t
получим:
aWs) "-1
П 2п~1
(5)
3.	Определим, наконец, площадь и го
6-угольника. Она равна сумме площади ше¬
сти равных правильных треугольников со
стороной а„, т. е.
1 2
5 = 6 • оп sin 60° =
_ 6 — д23”-1 ^3 3" V^11*
i)2/i — I
Можно было бы сразу определить отно¬
шение площадей второго и данного 6-уголь¬
ников и, составив ряд равенств, подобный (4),
71

сразу найти площадь п-го шестиугольника.
Мы имели бы:
с2|/з Зя8 ]/з
52 = 6
Отсюда:
И далее
4	2
'aj/зЛ _ j/J
*	2	У	_	9с2УЗ
8
S. = — 5о,
54 = -S3,
4
S„ = -
ft— 1 .
К!)'
3\* 1
л—1
2л- 2
Зя81/3
2
й2зпУ" з
„2л—1
Здесь:
AM=BN= . . . =
m-f-n
РА = MB = NC = . . .=
«а
Далее, имеем:
|_Я = |_АГ= |_N = 180° — (а + Р) (2)
Из (1) и (2) и следует предложение.
2. Из треугольника РАМ имеем:
Xs = АР2 + УШ- — 2АР-АМ cos 120°,
или:
\2 *
& = (-5i-V+ f
Ч/я + иУ
ла та
т + 77 т -f*
и окончательно:
а
х—
т
+ пУ «2 + "г« + «г
II.
По перемножении и сокращении на 52 Sa...
•5л—1 > получим:
Основания биссектрис треугольника ABC
со сторонами а, 6, с соединены прямыми.
Найти отношение площади каждого из четы¬
рех полученных треугольников к площади
данного.
10.
В правильном шестиугольнике со сторо-
«ой а каждая из сторон разделена (идя в
одном направлении) в отношении т:п и
точки деления соединены последовательно
прямыми. Определить стороны второго ше¬
стиугольника.
I. Аналогично предыдущей задаче докажем
что второй шестиугольник правильный.
1) По свойству биссектрисы имеем*
AN _ с_
NC~ а '
Беря производные пропорции, получим:
AN AN с	be
AN+NC~
AN + NC
b
b
a -\-c
; AN:
NC NC a
Аналогично получим:
be . „ ас
a -j- с
i±S; KC=-!i-. (3)
a-\-c
(П
(2)
AL
a-J- b
LB-
MC =
a-\-b
ab
BM-.
rc
64-c
(4>
b-\- c
2. Обозначив площадь треугольника ABC
через S и применяя теорему об отношении
площадей треугольников, имеющих по рав¬
ному углу, найдем:
AL-AN
cb
Ьс
АС-АВ
’ а -(- Ь а + с
Ьс
■ \Ьс~
т-{-п
[_Л=|_£=1_С=... = 1203
Отсюда:
Д РАМ = Д MBN= . . -
И следовательно:
PM = MN = ...	(1)
72
(a -f- Ь) (а + с)
Аналогично получим:
(5)
S	(6+ «)(’ +с)
*^С  	ab
S	(,с + а) (с + Ь)'
(6)

Не трудно видеть, что (6) можно было полу¬
чить из (5) круговой подстановкой. Сложим
(5) и (6).
= 1
SA + SB + Sr
1 —
ab (а Ь) be (6 -)- с) са (с 4- а)
Са + 6) (6 -|- с)(с-{-а)
(8)
JQ 	 _
2 a be
S (а+ 6)(6-f-c)(c-f о)
12.
N1
IV
Vv\
0
)
у
N
В
мк* = 4R2 4- R2; MK=R \/5 -
По свойству касательной ML и секущей МК’
МА-МК — ML2,
_ ab(a+ 6) + 6с(6 + с) + са(с + а) .
(a —f— 6) (6 —f- с) (с -(- я)	'«
5
Найдем, наконец; —
S
S0 _ S~(SA XSB + sc)
или:
MA-Rl/5 =R2,
МА = ?У1.
5
Тогда:
АК = MR—МА =R j/i" —	=
5
_4RVJ
5
Наконец, из треугольника ABK:
Л*
(2)
(3)
*® + :
После очевидных преобразований из (8) по¬
лучим:
О)
или:
отсюда:
Дана окружность радиуса R. Построить
квадрат так, чтобы одна из его сторон ка¬
салась окружности, а две остальные верши¬
ны лежали на окружности. Вычислить сторо¬
ну квадрата.
1.\А н а л и з. Пусть ABCD — искомый квад¬
рат. На стороне ВС строим квадрат, описан¬
ный около данной окружности. Так как
диаметр KL — ось симметрии обоих квадра¬
тов, то диагонали прямоугольников MNKL
и ABKR составляют одну прямую. Отсюда
построение.
2. Построение. Описываем квадрат
около данной окружности. Середину k одной
из его сторон соединяем с противополож¬
ными вершинами М и Q. Полученные точки
А и D пересечения КМ и KQ с окружностью
5л:® _ 16 /?®
4 “ 5 *
8*г
х — —.
2.	Можно итти обратным путем: сначала
вычислить сторону искомого квадрата, а
затем построить его. Обозначив сторону
через х, будем иметь в треугольнике АКО:
А/< = -|; КО — х — R; AO = R.
Т огда:
(~y + ix~Rf=R2,
х2 -f- 4х® — 8Rx = 0.
5х® = 8Rx; х = — .
5
Построение не представляет затруднений.
13.
Решить уравнение:
Ух2 —х —6 — Ух- — 9х -I- 18 =
: + 2
9х 3 '
Разложив трехчлены, получим:
У (х - 3)(л + 2) - f
8 1 Г х + 2
соединяем прямой и из них же опускаем
перпендикуляры на NP. Доказательство не
представляет затруднений. Решение всегда
возможно и единственное.
3.	Найдем сторону х квадрата ABCD. Из
треугольника MNK, где MN = 2Rn NK=R,
имеем:
а)
= У (х — 3) (л: — 6).
По возвышении в квадрат:
(x-3)(x + 2)-^(x + 2) + ^.(ii|
о	j	X	—	о
= (лг —3)(л—6).
(2)
7S

Отсюда:
51.	= 1® (х -t- 2) — 8 (х — 3).
9 х — 3	3
После обычных упрощений получим:
3х2 — 40х + 133 = 0.	(3)
Оба корня этого уравнения: 7 и 6 — удов-
3
летворяют и данному уравнению.
14.
В круг радиуса R вписан правильный
л-угольник. Произвольная точка Л1 окружно¬
сти соединена прямыми со всеми вершинами
многоугольника. Найти сумму квадратов и
сумму четвертых степеней полученных хорд.
(подробных вычислений не приводим, так
как они, во-первых, довольно просты, во-
вторых были даны в статье т. Яглома в № 4
1938 г.), окончательно будем иметь:
S2=4/?2
sin я	/	. л—1	\
	COS	(	а	-|	п	)
, т.	\	п	J
sin —
= 4 Я2 - — = 2 Я/?2.
2
(3)
Л ^ COS
1
sin — ■ —
/	и—1	2*\	2	п
= COS ( а + —— ■   )
\ ~ 2 П J . ъ
'	“	'	с I гт
sin —
я
Все присланные решения идут этим путем.
Лишь решение т. Шебаршина дает другой
способ. Приведем это решение.
П усть АВ = ВС = ... = FG = GA = а;
AM = х& ВМ = х2; СМ = х3; DM = х(,
ЕМ = х5: FM = хв и т. д.
L A MB = L ВМС = ...= L FMG = а, как опи¬
рающиеся на равные хорды.
1)	Обозначим ^ МАХ = а. Тогда длины хорд
будут:
МА, = 2/?sin —
2
МА2 = 27? sin	—f- —^
AMs = 2«sin^- + ^	(1)
МА„ = 2R sin
Искомая сумма S2 будет равна:
^	3
S2= У' МА. =
(2)
1
„	/а (j — 1)п\
= 4R22Jsin2(- + -7r-).
1
Воспользуемся формулой:
. „ Р—cos 2<р
sin- <р =	L
и произведем замену в (2). Приняв во вни¬
мание, что
Следовательно, L АМСг = па — а, где
я — число сторон многоугольника.
Но ля = 180°, а потому
L AMG = 180°— а.
Заметим, что а = 2 R sin а и из треуголь¬
ников АМВ, ВМС ...FMG и AMG опреде¬
лим сторону а. Получим:
2 . 2
а = Xj + -*2 — 2х,х2 cos а,
2 2
Я2=	+	Xg	—	2	Х2Х3	COS а.
* 2 , 2
«Г = X	+ X — 2 X Х„ COS а,
п— 1 г>	л—1 п
я2= х^ + Xj — 2 xn Xj cos (180° — а).
Заменяя cos (180° — я) через —cos я и скла¬
дывая, получим:
na2 = 2{xl + ^+... + xl)-
— 2 COS a (XjX2 + Х2Х3 + . . . + Хп—1 Хп — Хп Xi)
или:
Х,Х2 sin Я + Х2Х2 Sin а + ... -|-
яя2= 2 S,— 2 cos а-
sin а
-f- Хп-l Хп sin а — xn xtsin (180°—а)
sin а ’
2 плош. ABC...G
и па- = 2 Ss — 2 cos о
sin a
74

Здесь S3—искомая сумма квадратов хорд.
Но площ. ABC...G = n. площ," ДВОС—
R2 sin 2 а	.
= П • 	=	П	<-	Sin a cos а.
Таким образом вершины А, В, С искомого
треугольника дедят пополам дуги AtBb
В 42, и С,А,, концы которых А,В, и Сi
даны по условию.
Итак:
паг= 2 S„— 2 cos а
2 wR2 sin a cos а
Sin а	1
или:
и ■ 4 R2 sin2a = 2S2 — 4 я/?2-cos2 а,
откуда S2= 2 и/?2.
2)	Вычисление суммы четвертых степеней
St можно провести тем же путем, как и вы¬
числение S2. Имеем:
. .	/1—COS2ip\2
яп,»=(—;—; =
= — (1—2 cos 2 ? + cos2 2 p).
4
a	a . n
Давая здесь ® значения —, —|	,	.	..
2	2w
и сложив результаты, найдем:
.„iA01 _l
i = 1
4	2	v П J
+ ± T'c0*(a + «=W).
4	\	и	У
По предыдущему, второй член правой
части равен нулю. Для вычисления послед¬
ней суммы, воспользуемся формулой:
1 -f- cos 2 ?
cos3 о .— ■
2
Повторяя тот же процесс, что и при на¬
хождении S8 найдем:
.л.
4 ^4-1	\	и	У	4	2
/= 1
И окончательно:
54= 16 R2(- +	16R2- —= 6л R2.
V 4	8	У	8
15>
Построить вписанный треугольник, если
на окружности даны три точки пересечения
продолжений высот треугольника с окруж¬
ностью.
Пусть Д ABC—искомый, АА„ ВВ, и CCt
высоты.
Имеем:
L 1 + L в = 90°; L 2 + L В = 90°.
Отсюда:
L 1 = L 2 и	=	—дс,. (1)
Совершенно аналогично получим;
■— ACi = ■— АВц - CAj = w CBi. (2)
Построение очевидно.
Такое решение с небольшими вариантами
было дано всеми, в том числе и автором
задачи.
Лишь только трое подвергнули задачу
детальному исследованию и дали полное ее
решение,
Из присланных решений приведем пол¬
ностью решение М. Шебаршина (Медвеже-
горск).
(См. черт.) Пусть M,N,P— точки пересе¬
чений высот (или их продолжений) Д ABC
с описанной около него окружностью.
Имеем:
L Д=—— АС= -'-'CM-fi-'-'AM;
2 2 2
1
L СВМ = 90°— L С = — — СМ,
2
т. е.
- _ AM = l В 4- I С — 90°.
2
|_С= -->AB = --’BN + 1 ->AN;
2 2 2
I BCN = 90° — I В = — w BN,
2
т. e. — AN = i B-f- i С — 90°.
2
Отсюда:
AM — ^ AN, т. e. вершина А лежит на пере¬
сечении с окружностью биссектрисы ОР
угла Р треугольника MNP.
75

Аналогично находим положение вершин
В и С, и А ABC построен. Однако это
далеко не все: проведя биссектрисы NBt
и МСХ внешних углов Д MNP, найдем еще
A ABjPi, удовлетворяющий условиям задачи.
Чтобы в этом убедиться, надо доказать, что
B,N 1 ACi и С,М 1 АВи
Так как (_ CNBt = [_ BMCt=; 90°,
то се, = вс, = 2/г, т. е. е,с,//ес
и в1с,=ес.
Имеем еще:	[_	BCN	= 90° — \_ В;
L е,с,л = — w АВХ— — — ВР
2 2
(так как BBt 11 АР),
Но 124, 126, 374, 626, 874, 876 не делятся
на 8, делятся же только 376 и 624. Итак,
искомые числа 376 и 625.
3762 = 141 376
6258 = 390 625
В задаче была явная опечатка (доказывает¬
ся» вместо «оканчивается»). Подавляющее
большинство правильно поняли задачу. Но
некоторые искали число, любая степень ко¬
торого равнялась бы самому числу. Совер¬
шенно ясно, что кроме единицы никакое
число такому условию удовлетворять не мо¬
жет. Ошибочные решения давали один ответ
вместо двух.
L В,СИ = -1 w£P = !_ ВАР = 90° — l В;
следовательно, | BCN=\_BiCiA,
а так как ВС || В,С„ то АСХ || CN,
ио BtN±CN,
следовательно BtN±ACt.
Очевидно, эти рассуждения можно повто¬
рить по отношению к С,М.
Аналогично можно построить еще по
треугольнику около вершин В и С, т. е.
всего 4 треугольника: A ABC; А АВгСь
А еВ,СЕ и А сс ,с„.
Итак, в общем виде, задача допускает
построение 4 треугольников.
Частные случаи будут получаться тогда,
когда мы не сможем получить одной из то¬
чек Ви С, и С2, т. е. когда «внешние»
биссектрисы A MNP не пересекут окружно¬
сти. Это будет иметь место в том случае, если
одна или все прямые BXN, СгР, С,М будут
касательными. Но, например, РСг будет ка¬
сательной в том случае, если АР будет диа¬
метром, NP будет равна МР. Число воз¬
можных треугольников от этого не умень¬
шится: точка С2 совпадет с точкой Р и будет
иметь место A СХСР = A BJSP.
Если MN = МР = NP, то легко видеть, что
искомыми будут треугольники ABC, AMN,
BNP и CMP.
Если точки М и N совпадают, то Д ABC —
прямоугольный.
16.
Найти трехзначные числа, любая сте¬
пень которых оканчивается теми же тремя
цифрами (и в том же порядке).
Приведем наиболее короткое решение.
Пусть п — искомое число. По условию /г-
оканчивается теми же тремя цифрами. Следо¬
вательно, разность и8—п оканчивается тре¬
мя нулями. Но так как п,1—п всегда делится
на и8 — и, то в данном случае и пк — п тоже
должна оканчиваться тремя нулями, т. е. пк
при любом (целом положительном) k окан¬
чивается теми же тремя цифрами, что и и).
Итак для решения задачи достаточно найти
все числа, квадрат которых оканчивается
теми же тремя цифрами.
Как уже показано и8 — п = п(п — 1) должно
делиться на 1 ООО. Так как пип— 1 — числа
взаимно простые то одно из них должно
делиться на 8, другое на 125, будучи нечет¬
ным. Трехзначные числа, удовлетворяющие
последнему условию, будут: 125, 375, 625, 875.
17.
Определить площадь трапеции по площа¬
дям двух треугольников, образованных диа¬
гоналями и прилежащих к основаниям тра¬
пеции.
Обозначим:
AD = а; ВС — b; МО = hNO =
Saod — Si> Sboc = S2; SABCD = S.
Будем иметь:
S =	(й, _|_h2) - £*!_j_£**_|_
2 2 2
, bh, . bh
+ T+T-
Ho:
^ = S,:
о	о
bl'2 - St.
ah2 hhi
Определим —£ и —.
2 2
Из подобия треугольников AOD и ВОС
имеем:
h, _ а _ V(2
Ь У si'
Отсюда:
aht = bh\,
Vrsl
6 = а
VSt
Подставив из (4) в (3), получим:
VSs
ah. — ah t
VSy
CLti \ — 2Si,
76

следовательно:

ah., = 6ft, = 2S, ^-=1 = 2 V"S;S2.	(6)
/ S,
Подстановка в (1) дает:
5 = 5, -f- VSvb +J/SA + S, =
(V’s.+VsJ*.	(7)
что и дает ответ на задачу.
18.
•
Найти два положительных числа, кратные
четырем, разность кубов которых равна
четырехзначному числу, кратному 91. t
Обозначим искомые числа: 4х и 4у (х>у).
По условию имеем:
64 (XT'®—+) = 91 • 64 к.
(1)
При	1 правая часть будет иметь больше
четырех	цифр, что	противоречит условию.
Итак, к = 1, и из (1) получим:
х2 —+ = (х —У) (л-2 -f ху 4+) = 91.	(2)
Так как оба множителя левой части —целые
положительные числа и притом х—у<х2-(-
+ х_у4У> то возможны два случая:
1)	х—у = 7;	х* + ху+у*= 13;
2)	х—у= 1;	x2-fxy ++ = 91.
Но в первом случае:
х- + ху-\гу2 = (х —_у)2+ 2ху = 49 + 2 ху> 13.
Следовательно, этот случай отпадает.
Во втором случае:
х = У + 1,
0’+ 1)S + J'(J'+ 1) 4+ = 91,
ЗУ + 3>> + 1 = 91,
У 4 У— 30 = О,
У\ — 5; уг = — 6.
По условию у положительно. Итак:
у = 5; х = 6.
Искомые числа:
ух — 24; 4у = 20.
19.
Решить уравнение:
v (л + 1) (л* + 2) (х + 3) (х + 4) (х + 5)4 16=0.
Перемножим множители равноотстоящие от
концов:
(х2 + 5х) (х2 + 5х 4 4) (х2 + 5х + 6) +
+ 16 = 0.	(1)
Произведем подстановку:
х2 + 5х = у.	(2)
Получим:
У (У +4) (у 4 6)+16 = 0.
у 4 ю+4 2++ 16 = 0.	(3)
Разложим левую часть (3) на множители:
У + ЮУ + 24у + 16= + + 2+ + 8+ + 16у +
+ 8у+16=+(у + 2) + 8у(у + 2) +
48(y + 2) = Cy+?)(+ + 8jf + 8)=0.
Отсюда:
у 42 = 0; .у, = —2.	(4)
+ + 8у + 8 = 0; у,,ъ=-4±2\/2.	(5)
Подставив из (4) и (5) в (2), получим	три
уравнения:
х2 + 5х + 2 = 0
х2 + 5х + 4 + 2 У2 =0
х2 4 5х + 4 - 2 У 2 = 0,
решив которые, найдем:
— 5±/17
Х1Я ~~	п
*зл =
+.6 = ,
Так как преобразования не могли ввести
посторонних корней, то без проверки оче¬
видно, что все шесть корней удовлетворяют
данному уравнению.
20.
Решить уравнение:
sin10 (30° — х) + cos10 (30’— х) = а.
При каких значениях а уравнение имеет
смысл? Обозначим:
30°— х = ?.
0)
Тогда:
sin10 f 4 cos10 у = а.
(2)
Воспользуемся тождеством (которое легко
проверить):
я5 + 65 = (я + 6)6 — 5я6 (а + bf +
+ 5а26! (а + 6)2.	(3)
(Тождество легко получается, если разложить
(а + 6)6 по формуле бинома и сгруппировать
члены, равноотстоящие от концов многочле¬
на.)
Положив в (3) я = sin2 у; & = cos2<j>, полу¬
чим:
sin10 9 + cos10 9 = (sin2 9 + cos2 ?)6 —
— 5sin2 9 cos2 9 (sin2 9 + cos2 <p)3 4
+ 5sm4 9 eos1 9 (sin^ 9 + cos2 9) = a,
77

или:
1 —	5sin2 i cos2 ? + 5sin4 ?cos4 <? = a.	(d)
Положим:
sin2 9 cos2 9 = y.	(5)
Тогда из (4):
5У - 5.V + 1 — a = 0.	(6)
Решив уравнение (6) найдем:
Отсюда:
s:na 9 cos2 9
10
Умножив обе части (7) на 4, получим:
sin2 29 = 2 ±2J^±^.
60° — 2х = 180° k -f
Г
4- (— l)ft arc sin +_
У
'	2	УI + 4а
2 —'
Vb
2х = ISO-’ k 4- 60э —
— (— l)ft arc sin
■(*/
(7)
(8)
и окончательно:
x = зо’ (Зй 4-1)—
1
(*/-4?1)
   (— 1)* arcsin j +
Для того, чтобы уравнение имело смысл
необходимо:
Корень 2+--^—Ы?) как больший едн-
5
пины отбрасываем. (Понятно, что мы считаем Отсюда:
|/5(14"4я) вещественным числом, так кзк
а> 0 кат сумма четных степеней двух чисел.)
Итак, имеем, приняв во внимание (I):
2 V\ + 4а
0 <2— —<1.
У 5
■2]/Г+4^	„
1 < ——  sS 2.
V 5
-_ / п	2 |У i 4- 4а
sin (60° - 2.v) = +	/	2	-Т— ■ (9)
I 5
Решив это двойное неравенство относитель¬
но а, найдем:
—1.
16
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
61. Сумма четырех чисел, составляющих
арифметическую прогрессию, равна 1. Сумма
их кубов равна 0,1. Найти эти числа.
И. Кацман (Житомир)
62. Доказать (не пользуясь формулой Кар-
данз), что при вещественных корнях уравне¬
ния Xs4~РХ<7 = 0 коэфгадиент р < 0.
И. Кацман
63. Обратить периодическую дробь
08,637637..., изображенную в девятиричной
системе, в обыкновенною дробь, изображен¬
ную по десятиричной системе и проверить
полученный результат обращением его в
периодическую дробь, изображенную по де¬
вятиричной системе.
Б. Костриц (Ленинград)
64. Доказать, что всякое число, не деляще¬
еся ни на одно из чисел 2,3 и 5, есть всегда
делитель числа вида 111...1.
Б. Костриц
65. Решить уравнение:
х4 — 2х3 -\-х = а.
И. Николаев (Хабаровск)
66. Решить систему уравнений:
78
■*6 4~ .у6 = а6-
* 4-у = а.
Н. Николаев
67. Числа натурального ряда от 1 до 36
расположены в порядке возрастания в виде
квадратной таблицы. Обводят кружком про
извольное число и зачеркивают строку н
столбец, иа пересечении которых оно стоит.
В оставшейся таблице снова повторяют ту
же операцию и т. д., пока не исчерпают всей
таблицы.
Найти сумму чисел, обведенных кружком.
Обобщить на случай чисел от 1 до п2.
Ю. Соколовский (Москва)
68. Решить уравнение:
хуг (100 — и) = ЮООи (и — 1),
где х, у, z, и — однозначные числа.
М. Шебаршпн (Медвежегорск)
69. Решить в целых положительных числах
уравнение:
yz(7x — 10) 4- 7 (jc 4~ *0 — 10—0.
70. Решить уравнение:
х3 + рх 4- Ч — 0,

/>3 = 27(9 + 1).
7f. Две коалиции/! и В ведут войну между
собою. Нейтральные п государств находятся
в нерешительности, причем известно, что р
из них наверно не присоединятся к коалиции
■А, а другие к наверно не присоединятся к
коалиции Д. Сколько новых положений может
оказаться в этой войне в зависимости от
дальнейшего поведения п нейтральных госу¬
дарств?
72. Решить систему уравнений: >
(л — у -j- а? — bs)s --- 4c*z
(у — г + Ь- — с2)2 = 4а~х
(г — х + сг — а1)* = 4Ь2у
73. Решить уравнение:
9л3 — 6 = 13а.
74. Для какого треугольника отношение
rl+rt + n
достигает минимума?
75.	На отрезке MN, соединяющем основа¬
ние внутренних биссектрис AM и BN тре¬
угольника ABC, взята произвольная точка р,
из которой опущены перпендикуляры PD,
РВ, PF соответственно на стороны ВС, СА
и АВ треугольника. Доказать, что
PF = PD+PE.
т	А.	П.	Хейн	(Москва)
76. Треугольник DEF образован основа¬
ниями внутренних биссектрис треугольника
ABC. Доказать, что треугольник DEF прямо¬
угольный, если один из углов треугольника
ABC равен 120’.
М. Шебаршин (Медвежьегорск)
77. Если в треугольнике один из углов
равен 60°, то основания трех биссектрис внеш¬
них углов этого треугольника лежат па од¬
ной прямой. Доказать.
М. Шебаршин (Медвежьегорск)
78. Косоугольный треугольник разрезать
на три части так, чтобы из них можно было
сложить два треугольника, подобных дан¬
ному.
Б. Боголюбов (Ульяновск/
79. Прямоугольный параллелепипед с реб¬
рами в 8 см, 8 ctf и 27 см разрезать на че¬
тыре части, из которых можно было бы сло¬
жить куб.
Р. Н. Бончковский (Москва}
80. Дан круг радиуса R. В плоскости этого
круга начертить семь кругов, каждый радиуса
П
—, так, чтобы каждая точка данного круга
2
принадлежала по крайней мере одному из
этих семи кругов.
Р. Н. Бончковский (Москва)
ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ'
1. Доказать справедливость следующих
Тождеств:
г) к
"V*
Vr:
1 б) logo Ь " = Ъ;
_ \ogxN-logyN .
Найти Iog0 16.
„ .	4(3	—	а)
Ответ:
3 +а
log* w + l°gj' W
,)	=	i	i0g	ь.
log6j,a	y
2. Если log)227 = G.
0
3. Решить уравнения:
а) log?0-log3lO ^ 2 = x — 4.
б) 21og,A + 21oga: 4 = 5
(Ответ: x, = 16; a2 = 2)
в) log3 x + log, 5= 1
з уь'
(	3	V5	\
I Ответ: a = —^— I.
4. В шаре, радиус которого 7? =2 дм,
ысверлепо вдоль его лнаметра цилиндриче-
| * Р.-шешы в редакцию дисылягь не следует. Для
^иперкн правильности реш ний даю гея ответы.
ского вида отверстие. Найти объем остав¬
шейся части шара, если радиус цилиндра
г = -L/?.	(О	т в е г. 2 дм'),
2	Гайлевичус И. (Каунас).
5. Вычислить площадь заштрихованной
части круга, если радиус круга равен г.
f
твет:	S	=	--
(г-^)
Томашевич
(г. Алитус)
6. Определить сто¬
роны треугольника,
если одна из его сторон равна а и, кроме
того, его стороны а, Ъ, с и высота йв об¬
разуют геометрическую прогрессию
!
^ О т в е т: с = — а ( j/*5 — I);
Ь=уТс = а^/'
Голубев В. (Кувшчново)
79

7. Стороны треугольника образуют ариф¬
метическую прогрессию; его площадь равна
— площади равностороннего треугольника с
О
тем же периметром. Найти отношение сторон
данного треугольника
(Ответ: 3:5:7)
Голубев В. (Куешиново)
8. Доказать, что проекции любой точки
■окружности на стороны вписанного в эту
окружность треугольника, лежат на одной
прямой (прямая Симеона).
Костриц Б. (Ленинград)
9. Пересечь плоскостью выпуклый четырех¬
гранный угол так, чтобы в сечении получился
параллслограм.
Б. Костриц (Ленинград)
10.	Следующие тригонометрические выра¬
жения привести к виду, удобному для логариф¬
мирования:
' C0S2a COS2 а
б) tg a — Ctg a —
(Ответ: tg4 a)
COS a Sin a
2 sin (a — 45°) cos ^45° + —^ ^
Ответ:
cos — cos a
2
И. Гайлееичус (Каунас)
СВОДКА ПО № 6
Отличительным свойством решений по
этому номеру является громадное количе¬
ство неверных решений, несмотря на то,
что задачи в подавляющей части очень лег¬
кие. Наиболее частая ошибка — потеря кор¬
ней и притом только в одном случае (из
трех)— мнимых. Перечислим основные ошибки.
В № 101 давались неверные ответы в резуль¬
тате неправильных вычислений. В N° 102
находился лишь общий корень двух уравне¬
ний, а самые уравнения не решались. Иног¬
да, наоборот, оба уравнения решались неза¬
висимо друг от друга, что ие совпадает
с требованием условия задачи. Полных ре¬
шений задачи № 103 почти никто не дал.
Решившие ограничивались рассмотрением
одного из возможных случаев. Такие реше¬
ния все же засчитывались.
В № 104 давались 2 решения вместо че¬
тырех. Во многих случаях давался такой"
ответ: х = ±1; у —±8 без пояснений, бе¬
рутся ли здесь любые знаки или только
одновременно нижние или верхние. Такие
решения засчитывались.
В № 105 давались два, реже три решения
вместо четырех.
В № 106 давался многими ответ: л: = 0 и
Х—\—задача ими была не понята.
Простая задача № 107 получила много
недопустимо громоздких и длинных решений.
Впредь подобные решения засчитываться не
будут.
В № 110 давались только положительные
решения.
В № 115 доказывалась только необходи¬
мость условия.
В № 118 пропускались комплексные корни.
В № 120 при правильном большею частью
ходе решения делались ошибки при преоб¬
разованиях.
Даем сводку количества верных и невер¬
ных (в скобках) решений. № 101—86(7);
№ 102—99(12); № 103 — 44(22); № Ш4 —86(39);
№ 105 — 88 (37); № 106 — 24 (41); № 107 —
110 (5) №	108—115(0);	№ 109 — 70 (3);
№ 110 97(18); № 111—57(2); № 112 — 75(1);
№ 113-116(5); № 114 —53(4);№ 115 — 59 (28);
80
№ 116-58 (12); № 118 — 26 (92) № 11 —59(4);
№ 120—66 (17).
По техническим причинам в приводимом
ниже списке алфавитный порядок фамилий
не соблюден.
Л. Александров (Днепропетровск) 101—103,
107—109,	111—116,	118—120,	А.	Алексее	'
(Зарайск) 102, 104, 107, 108, 113, И. Алексеев
(Орловка) 101—103, 107—110, 112. 115. А. Ан¬
тоненко (Красноград) 102, 108, 109, 113. ■
Е. Алмазова (Торбеево) 101—103, 107, 108,
110—115. О. Аракелян (Кисловодск) 107, 1Г
110, 113, 116. Б. Андреев (Омск) 101, 102, 11
105, 107—’10, 113, 114, 116, 120. П. Бабаi *
(Языково) 102, 105, 107—111, 114, 120. С. ■-
дреев (Торжок) 101, 102, 106—116, 118, 1
И. Белов (Березо-Балка) 102, 105, 107, i
111—113, 115, 116, 119, 120. Г. Ахвердов (F i-
лив) 104—108, 112—115. 118—120. Г. Битер
и Э. Прислер (Коломыя) 101, 102, 104, 1J5,
107, 108, 113, 115. Н. Барщевский (Сухой Лог)
111—120. С. Бернштейн (Вороново) 105, 107,
110, 113. М. Борохович (Молотовка) 101, 110,
С.	Болдырев (Киров) 120. В. Берестовский
(Новоград-Волынск) 101—104,107—113. Г. Бон-
дгренко (Саша) 101, 102, 104, 107, 108, ПО-
112, 115. С. Бернштейн (Воронково) 103, 104,
112, 114, 119. И. Бригадин (Черепаново) 108
К. Брехов (Москва) 101—105, 107—113, 118. ■
Л. Бубис (Полтава) 104, 105, 108, 110. И. Бу¬
ренков (?) 101, 108, 110, 113, 120. Я. Волоf
(Житомир) 101-105, 107—110, 112—114, 116
120. А. Бутенко (Сорочииск) 113./". ГолянС
Д. Красоеский, С. Третьяков (ст. Ленинград¬
ская) 102, 104, 105, 107-110. 113-116, 1U Ь
120. Вайсинштейн (Гайсин) 101, 102, 10' j
107—110, 113, 117. С. Городов (Ленинград))'
101, 102, 104, 105, 107—109, 111-116, II",
И. Гондиса (Житомир) 102, 105, 107, 108, 11 *|
113. И. Гурский (ст. Пиков) 101, 102, 104, Кл
107-109,111—113, 115, 116, 118, 119. Я. Ва.-,
шавскнй (Кр. Слобода) 104, 105, 110, 113, 114.|
Я. Жовтун (М. Локня) 101, 102, 104,10/-
113, 120. Н. Введенский (Георгиевское) 10:
116, 119, 120. И. Жуков (Ст. Дивизион-	^
101, 102, 104, 106-116, 119, 120. А. Верн
(Красная Гора) 101, 104, 107—109, 111,
(Продолжение сводка см. на 3-й стр. облож ^

П. Захаров (Канат) 102,	04, 10/, 108, 111—
113, 116, 120. Г. Винокур (Лалининдорф) 101,
105, 107, 111, 112, 116. А. Иванов (Торопец)
101—104, 106—112, 114—116, 118 -120. А. Вла¬
димиров (Ялта) 111—120. М. Иванов (Тула)
116, 119. М. Владиславлев (Калинин) 101—105,
107, 108, 110, 112, ИЗ, 115, 116, 118, 120,
А. Кердиварешсо (Березо-Балка) 101, 102, 104,
106, 108—ИЗ. В. Г'ильц (Ханты-Маноийск.
104, 105, 107, 108, 110, 113-116, 119, 120)
П. Китайгородский (Москва) 101- 103, 105,
107, 119—114, 117, 120. А. Гинесин (Ленин¬
град) 102—108, 110, 112—115, 120. К. Ковалев
(Краснодар) 104, 108. Ф. Годлевскпй (Кужер)
101, 102, 1 '7, Г’8, 110, 113. Корниитин (Турки)
101—195, 107, 115,118—120. И. Голайдо (Крас¬
ная Гора) 101—105, 107—109, 111—113, 115,
116, 119, 120. Ф. Кузнецов (?) 107—109, 113,
120. Л. Гольдман (Свердловск) 107. В. Лимо¬
нов (Старожилово) 101, 102, 104, 107, 108, 110,
111, 113—115. А. Грекулова (Куйбышев) 102,
104, 105, 107, 108, НО, ИЗ, 115. Л. Медведев
(ПанфилоБО) 104, 107—114, 119. А. Григорян
(Ереван) 101, 104, 105, 107, ИЗ, 120. А. Мир-
Гайдаров (Мензелинск) 101, 102, НО, 112.
Т. Дегтерева (?) 102, 103, 105, 107, 108, НО—
115, 119, 120. Дегтярь (Калининдорф) 101,
103—105, 107, 108, 110—115, 119. Н. Дшгава
(Тбилиси) 101, 103, 105, 107, 110, 113, 115, 116,
118. Н. Доброгай (Мелитополь) 101, 102,
104—108, 110, 112, 113, 115. В. Дмитревский
(Ленинград) 101, 102, 104, 105, 107; 108, 112—
114, 116. 119, 120. Б. Дудилькевич (Пятигорск)
104, 107, 108, 113, 120. А. Запорин (Изюм)
101, 102, 1н7—110, ИЗ. И. Зиндер (Житомир)
101, 102, 106—108, 112, 113, 116, 120. Н. Зу-
билин (Нарышкино) 101—105,	107—113.
А.	Иванов (Ипатово) 102, 104, 105, 108, 110,
115. И. Кацман (Житомир) 102, 104, 105, 108,
110, 115. М. Кекелия (Бандза) 101—105, 108,
111—117, 119, 120. Н. Кириллов (Ярославль)
101, 102, 104, 107—109, ИЗ, 117, М. Климов
(Дорогобуж) 102, 104, 105, 107—110, 112,
114—116, 119. М. Клейнер (Житомир) 104,
108, 111. И. Клейнман (Кривой рог) 105, 108,
113, 12). Б. К былин (Галич) 101-117, 114,
120. С. Колесник (Харьков) 101, 102, 104, 105,
107, 108,	110—116,	119, 120. Г. Копылов
(Днепродержинск) 101—105, 107, 108, 110, 113,
115, 116, 119. Г. Корчагин (Усть-Кулом)
101—105, 107—116, 118, 119. А. Костовский
(Мелитополь) 101—104, 107—110, 112—116,
119. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Глазово)
101—105, 107—116, 120. В. Корталсвич (Хо-
ново) 116, 119. И. Кугай (Новоград-Волынск)
105, 107, ИЗ, 116. Лебедев (Обоянь) 102, 107,
112, ИЗ, 116, 118, 119. Ю. Лепешкин (Кузнецк)
ИЗ. В. Линис (Елгава — Латвия) 101, 102, 105,
108—116, 118—120. И. Лифшиц (Гомель) 102,
104, 105, 107, 108, 110, ИЗ, 117, 120. А. Лога-
шов (Павловка) 101—103, 105, 107—109, 111—
114, 116, 117, 119, 120. И. Луконин (Кемерово)
101, 102, 106-108, 110, 112. Н. Лю'очский
(Ст. Русса) 102, 104—106, 108, 113—115.
М. Метелицына (В. Михайлов) 101, 102, 104,
105, 107, 108, 110 'ИЗ, 114, 117, 120. Лядская
(Синелъниково) 105, 113. М. Мкртичян
(Майкоп) 102, 10. 108, 110-113. ЛГ. Макаров
(ст. Филоново) 05, 108. Б. Пеньковский
Казань) 101, 10?	04—198, 110, 113—116, 120.
A. Манукян (Ереван) 102, 107—111, ИЗ, 115.
116, 119. И. Пов.тер (Москва) 102, 104, 105,
107—110, ИЗ. Е, Марчевская (Харьков) 111.
112, 114, 120. Г. Подвальный (Калининдорф)
101, 102, 104, 105, 107—110. 112-114. 116, 119,
120. Б. Мель чан (Глуск) 102, 104, 105, 107,
108, 110, 113, 119, 120. /7. Постников (Рязань)
102, 105, 107—113, 117, 119, 120. А. Меркулов
(Билимбой) 101—105, 107, 110, 112—116, 118—
120. П. Прус (Макишин) 104, 107, ПО, ИЗ.
М. Ромоданов (Музыковка) 108, 118. М. Родо-
мысельскиа (Киев) 101, 102, 104, 105,107—110,
113, 114. С. Рябоконев (Евданово) 104, 105,
108; 109, ИЗ. С. Садиков (Баку) 101, 104, 110,
113. М. Месяц (Житомир) 101—120. Л. Табак
(Боровичи) 108—110,112. Г. Мискарян (Киро¬
вабад) 101, 102, 104, 105, 107—117, 119, Г-0.
М. Томилов (Городище) 101, 102, 104, 105,
108, 113. В. Михельсон (Воронеж) 102. А. Бу¬
нин (Калининдорф) 101—103, 105, 107 —109,
111—114, 119. А. Могильницкий (Гайсин),
101—105, 107—117, 119, 120. В. Ураевский
(Кузнецк) 107, 109, 118. И. Мхитаров (Ма¬
хачкала) 101—103, 115, 116, 119, 120. И. Уса¬
чев (Ново-Корсунская) 101, 103, 105—110, 113.
С.	Погосян (Ереван) 104, 111—113, 118
B. Примост (Одесса) 101—103, 106, 107, 109,
111—117, 119. Ушанов (Чистяково) 101, 103,
107—110, 113, 114, 120. Е.Пуырев (Пеиза)
101, 105, 107—109, 112, ИЗ, 118. В. Федоров
(Березово) 101-103, 105, 107—114,116,117, 119,
120. Н. Фришман (Вологда) 101, 102, 105,
107—110, 113, 115, 116, 119, 120. Р. Реннерт
(Новогрудок) 101—105,	107—110, 112, ИЗ.
118—120. А. Хайруллин (Мензелинск) 102,
105, 107, 110, 112, ИЗ, 116, 119, 120. В. Сан-
нинский (Сорочннск) 101—105, 107, 108, 110,
112, 113, 115, 116, 118-120. Ф. Чекалин (Ско¬
пин) 101, 105, 107, 108, 110. И. Сергачгв
(Рузаевка) 101, 102, 104, 105, 109, 113, 115,
120. М. Шебаришн (Медвежегорск) 101—129.
Б. Симонович (?) 101—107, 109-116, 119, 120.
Э.	Ясиновый (Березо-Балка) 101, 102, 104, 105,
107—116, 119. И. Смирнов (Ленинград) 102,
108, 113. А. Сорокин (Старое-Грязное) 104,
105, 107—113, 116, 119. М. Сорокин (Загорск)
101-105, 107—110, 113, 115, 116, 119. М. Спек-
тор (Житомир) 102, 104, 105, 107, 108, 110,
ИЗ, 115. Р. Срода (Астрахань; 104, 107, 10S,
ИЗ, 120. Л. Табахович (Марнамполь) 102,
105, 107, 113, 116, 118, 119. Л. Твалавадзе
(Баши) 102, 104, 105, 108, 110, ИЗ, 118, 120.
П. Гитов (Казань) 101, 102, 104-116, 119,
120.	Е. Тачошевич (Алитус) 102, 104, 108, 120.
А. Хайруллин (Мензелинск) 101, 115. С. Ха¬
физов (Каракашлинск) 105, 107—110, ИЗ, 119.
Е. Хвастовский (Сталинград) 101, 102, 106—
116, 118-120. И. Хичов (Суна) 107, 110, 116.
И. Чижиков (Краснослободск) 101, 108, 113.
И. Чучко (Орджоникидзе) 101, 102, 105, 107—
114, 116, 119, 120. В. Шалупенко (Куйбышев)
101—105, 107, 108, 110, ИЗ, 116, 119, 120.
А. Шафаренко (Лебедин) 101—103, 106—110,
112, 113, 115, 118, 120. А. Шварцбург (Иркутск)
102, 105, 107—109, 111—113, П5, 120. /7. Шна-
рупа (Ростов-на-Дону') 104, 107, 108, 110,
К. Яржемский (Горький) 101, 102, 104, 107—
ПО, 113. В. Яцына (Мелитополь) 101—103.
105-107.