Автор: Стрелков С.П. Сивухин Д.В. Яковлев И.А. Хайкин С.Э. Эльцин И.А.
Теги: физика задачи по физике
ISBN: 5-9221-0604-Х
Год: 2005
Текст
УДК 530.1 @75.8)
ББК 22.3
С 23
Авторы:
СП. Стрелков, Д. В. С ив у хин, С.Э. Хайкин, И.А. Элъцин, И.А. Яковлев
Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. III. Электричество
и магнетизм / Стрелков СП., Сивухин Д. В., Хайкин С.Э., Эльцин И. А.,
Яковлев И. А.; Под ред. И.А. Яковлева. — 5-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2005. - 232 с. - ISBN 5-9221-0604-Х.
В предлагаемом сборнике задач по физике использован опыт преподавания
общего курса физики в МГУ, Московском физико-техническом институте и
Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина. По
степени трудности задачи охватывают широкий диапазон: от самых элемен-
элементарных до задач, стоящих на уровне оригинальных научных исследований,
выполнение которых возможно на основе углубленного знания общего курса
физики.
Сборник состоит из пяти книг: I. Механика. П. Термодинамика и моле-
молекулярная физика. III. Электричество и магнетизм. IV. Оптика. V. Атомная
физика. Физика ядра и элементарных частиц.
Для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
Учебное издание
СТРЕЛКОВ Сергей Павлович, СИВУХИН Дмитрий Васильевич,
ХАЙКИН Семен Эммануилович, ЭЛЬЦИН Иосиф Абрамович,
ЯКОВЛЕВ Иван Алексеевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Книга III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Редактор ДА. Миртова
Оригинал-макет: В.В. Затекин
Подписано в печать 30.08.05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 17,4. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0604-Х
78592206047
ISBN 5-9221-0604-Х
© ФИЗМАТЛИТ, 1977, 2005
© С. П. Стрелков, Д. В. Сивухин,
С.Э. Хайкин, И.А. Эльцин,
И.А. Яковлев, 1977, 2005
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к четвертому изданию
Ответы и
Задачи решения
§ 1. Электростатика 5 125
§ 2. Законы постоянного тока 28 146
§ 3. Постоянные магниты 42 153
§ 4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник
в магнитном поле 46 156
§ 5. Электромагнитная индукция 61 166
§ 6. Переменный ток. Свободные и вынужденные
колебания 76 177
§ 7. Электрический ток в жидкостях 102 189
§ 8. Термоэлектричество 105 190
§ 9. Электроника 106 191
§ 10. Электромагнитные волны 114 196
§ 11. Релятивистская электродинамика 121 209
Приложения
I. Таблица перевода выражений и формул из
гауссовой системы в систему СИ и обратно . . 220
П. Единицы и размерности физических величин
в СИ 221
III. Таблица перевода числовых значений
физических величин 227
IV. Некоторые сведения по специальной теории
относительности 229
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга представляет собой значительно дополненное издание за-
задач по электричеству и магнетизму, публиковавшихся ранее в составе
первой части «Сборника задач по общему курсу физики», выходившего
в свет в 1949, 1960 и 1964 гг. под редакцией С.Э. Хайкина.
Основу этой части Сборника составляют задачи, сложившиеся у ав-
авторов на физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова в период
времени, когда общий курс физики читал С. Э. Хайкин, написавший
для задачника § 10 «Электромагнитные волны». Теперь, к большому
сожалению авторского коллектива, в расширении и модернизации этой
книги С.Э. Хайкин A901-1968) и СП. Стрелков A905-1974) уже не
смогли принять участия.
Сборник дополнен задачами Д. В. Сивухина, которые в течение
ряда лет предлагались для решения студентам Московского физико-
технического института. Некоторое число новых задач представлено
В. Л. Гинзбургом, а также сотрудниками С. П. Стрелкова, В. И. Шмаль-
гаузеном и А. А. Харламовым. Новый §11 «Релятивистская элек-
электродинамика» написан безвременно скончавшимся В. А. Угаровым
A920-1977) на основе опыта многолетней и плодотворной его работы
на физическом факультете МГПИ им. В. И. Ленина. Содержание этого
нового параграфа было любезно просмотрено Н. П. Клепиковым.
Рукопись Сборника рецензировалась на физическом факультете
Киргизского государственного университета А. М. Жердевым, рецен-
рецензия которого обсуждалась кафедрами общей физики и физики твердого
тела КГУ (зав. кафедрами Д. И. Ибраимов и Л. В. Тузов). Ряд весь-
весьма полезных замечаний сделал доцент физического факультета МГУ
В. К. Петерсон. Авторский коллектив задачника и его редактор выра-
выражают искреннюю признательность названным рецензентам за ценные
замечания, содействовавшие улучшению задачника.
И. А. Яковлев
ЗАДАЧИ
§ 1. Электростатика
1. Чтобы представить себе величину электрического заряда 1 Кл,
подсчитайте, с какой силой F отталкивались бы два одноименных заряда
величиной каждый 1 Кл, находясь на расстоянии 1 км друг от друга.
2. С какой силой F притягивается электрон водородного атома к
ядру, если диаметр атома водорода порядка 2 • 10~8 см? Заряд ядра
4,8- Ю-10 СГСЭ.
3. Два одинаковых шарика радиуса г = 1 см и массы т = 9,81 г
подвешены в одной точке на шелковинках длины / = 19 см. Шарикам
сообщены одинаковые по величине и знаку заряды. Как велик заряд q
каждого шарика, если они разошлись так, что шелковинки образуют
угол 2а = 90°?
4. Будет ли устойчивым положение равновесия точечного заряда,
находящегося посередине между двумя другими одинаковыми точеч-
точечными зарядами, знак которых тот же или противоположен знаку пер-
первого заряда?
5. Один из опытов Кулона, с помощью которого он убедился, что
сила притяжения между двумя разноименными точечными зарядами
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, состоял
в следующем. В окрестности маленького заряженного шарика подвеши-
подвешивалась на нити небольшая горизонтальная шеллаковая стрелка, на од-
одном конце которой был прикреплен небольшой электрически заряжен-
заряженный кружок из золотой фольги. Измерялся период малых колебаний
стрелки Т в зависимости от ее расстояния d до заряженного шарика.
Предполагая справедливым закон Кулона, найти зависимость периода
колебаний стрелки от указанного расстояния и от других параметров
системы. Длина стрелки / очень мала по сравнению с расстоянием d.
6. Вычислить отношение силы электрического отталкивания Fe
двух протонов к силе их гравитационного притяжения Fg. Сделать тот
же расчет для электронов.
7. Шарик радиуса г = 1 см заряжен до потенциала <р = 3000 В.
Сколько электронов п надо отнять от шарика для такой электризации?
Насколько при этом уменьшится масса шарика М?
8. Две одинаковые и одинаково заряженные капли несжимаемой
проводящей жидкости находятся на большом (бесконечном) расстоя-
расстоянии друг от друга. Заряд, радиус и масса каждой капли равны соот-
соответственно q, r и т. Какую минимальную скорость v вдоль прямой,
соединяющей их центры, надо сообщить каждой капле, чтобы они
стали двигаться навстречу друг другу и при столкновении соединились
в одну каплю? Поверхностное натяжение не учитывать.
Задачи
Рис. 1
9. В вершинах квадрата со стороной а находятся одинаковые од-
одноименные заряды, равные q. Какой заряд Q противоположного знака
необходимо поместить в центре квадрата, чтобы результирующая сила,
действующая на каждый заряд, была равна нулю?
10. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в верши-
вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q противоположного
знака нужно поместить в центре этого треугольника, чтобы результи-
результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?
11. Доказать, что заряды каждого знака,
индуцированные на проводнике А поднесен-
поднесенным к нему зарядом +д (Рис- 1)> всегда мень-
меньше q.
12. Проводник заряжается от электрофора
путем повторяющихся поднесений к пластинке,
которая после каждого поднесения снова заря-
заряжается от того же электрофора до заряда Q.
Пусть q\ — заряд на проводнике после первой операции. Определить
заряд q на проводнике после очень большого числа операций.
13. Определить напряженность поля Е внутри и вне безграничного
плоского слоя толщины d, в котором равномерно распределен положи-
положительный заряд с объемной плотностью р.
Указание. Воспользоваться симметрией системы зарядов и при-
применить теорему Гаусса.
14. На вертикальной пластине достаточно больших размеров рав-
равномерно распределен электрический заряд с поверхностной плотностью
а = Ю СГСЭ. На прикрепленной к пластине нити подвешен маленький
шарик массы т = 1 г, несущий заряд того же знака, что и пластина.
Найти его заряд q, если нить образует с вертикалью угол а = 30°.
15. Определить силу притяжения между точечным зарядом q и ме-
металлическим шаром (рис. 2). Рассмотреть два случая: 1) шар заземлен;
2) шар изолирован, а полный заряд его равен нулю.
16. В условиях предыдущей задачи най-
найти работу А, которую надо затратить, чтобы
точечный заряд q удалить в бесконечность.
Рис. 2
Рис. 3
17. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки в точ-
точке А, на расстоянии О А = d от ее центра, помещен точечный заряд q
(рис. 3). Радиус внутренней поверхности оболочки г, а внешней R.
Найти: 1) поверхностную плотность индуцированных электрических
зарядов на внешней поверхности оболочки; 2) потенциал оболочки,
§ 1. Электростатика
принимая за нуль потенциал бесконечно удаленной точки; 3) поверх-
поверхностную плотность индуцированных зарядов в точках В и С внутрен-
внутренней поверхности оболочки.
18. Два длинных тонких провода, расположенных параллельно на
расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены разноименными
зарядами с линейной плотностью -\-н и —к. Определить напряженность
поля Е в точке, лежащей в плоскости симметрии на расстоянии h от
плоскости, в которой лежат провода.
Указание. Пользуясь теоремой Гаусса, найти напряженность по-
поля, создаваемого каждым из проводов, а затем геометрическую сумму
этих полей.
19. Диск радиуса R заряжен равномерно с поверхностной плотно-
плотностью а. Определить напряженность поля Е в точке, находящейся на
перпендикуляре к диску, проходящем через его центр, на расстоянии d
от диска.
20. Доказать, что сила взаимодействия между зарядом +q и прово-
проводящей бесконечной плоскостью, отстоящей от заряда на расстоянии d,
такая же, как между данным зарядом и зарядом -q, расположенным
симметрично относительно плоскости.
21. Найти силу, действующую на точечный заряд q, помещенный
на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя проводящими
плоскостями (рис. 4). Расстояние между зарядом q и вершиной дву-
двугранного угла О равно d.
42='—Я.
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
22. Точечный заряд q находится между двумя металлическими
плоскостями, образующими между собой двугранный угол 60° (рис. 5).
Найти предел, к которому стремится напряженность электрического
поля Е, когда точка наблюдения приближается к ребру О, все время
оставаясь между металлическими плоскостями. Как изменится резуль-
результат, если заряд будет неточечным?
23. На бесконечной плоской поверхности проводника имеется сфе-
сферический бугор CMD, центр которого лежит в той же плоскости
(рис. 6). На перпендикуляре вне проводника расположен точечный
заряд q. Найти электрическое поле во всем пространстве.
f о А СТОЯНИЯ d\ ДО
8 Задачи
24. Найти силу притяжения F между точечным электрическим
диполем и бесконечной металлической пластинкой, если дипольный
момент р перпендикулярен к плоскостям пластинки, а расстояние
диполя до ближайшей поверхности пластинки равно d. Определить
также работу А\2, которую надо затратить,
+q ^ чтобы удалить диполь от пластинки с рас-
f о А \
25. На расстоянии h от проводящей
бесконечной плоскости находится точеч-
точечный заряд -\-q. Определить напряженность
поля Е в точке А (рис. 7), отстоящей от
Рис- 7 плоскости и от заряда на расстоянии h.
26. Бесконечная плоскость равномерно заряжена положительным
зарядом с поверхностной плотностью а. Найти разность потенциалов V
между точкой А, находящейся на расстоянии d от плоскости, и точ-
точкой В, находящейся на плоскости.
27. Во внешнее однородное электрическое по- A A А
ле Е (рис. 8) внесен металлический шарик. Как
в результате этого изменится напряженность элек- g
трического поля вблизи поверхности шарика в точ-
точках А и Б, С и D?
28. Начертить схему силовых линий и эквипо-
эквипотенциальных поверхностей для системы двух точеч-
точечных зарядов +д и +4д, находящихся на расстоя-
расстоянии d друг от друга. а
Указание. Найти точку, в которой напря-
напряженность поля равна нулю. Найти точки на пря- Tit
мой, соединяющей заряды, в которых потенциал
имеет то же значение, что и в точке, в которой рис> 8
напряженность поля равна нулю.
29. Два разноименных точечных заряда, отношение величин кото-
которых равно п, расположены на расстоянии d друг от друга. Доказать,
что поверхность нулевого потенциала есть сферическая поверхность.
Определить радиус R этой сферы и расстояние h ее центра от меньшего
заряда.
30. Найти силу взаимодействия F между точечным зарядом q и
точечным диполем, если расстояние между ними равно d и дипольный
момент р направлен вдоль соединяющей их прямой.
31. Найти силу взаимодействия F двух точечных диполей, если
их дипольные моменты pi и р2 направлены вдоль соединяющей их
прямой, а расстояние между диполя-
P P2 ми равно d (рис. 9).
32. Найти уравнение силовых
линий электрического поля точечно-
точечного диполя в полярной системе коор-
Рис. 9 динат.
§ 1. Электростатика
33. Возможны ли круговые движения с постоянной скоростью то-
точечного электрического заряда вокруг неподвижного точечного элек-
электрического диполя?
34. Металлический шар радиуса R имеет заряд Q. Точечный за-
заряд q помещен на расстоянии d от центра шара (рис. 10). Найти
потенциал шара (р.
d
Рис. 10 Рис. 11
35. Полый шар радиуса R имеет заряд Q; в шаре имеется малое
отверстие (рис. 11). Как будет меняться потенциал шара, если то-
точечный заряд q перемещать из бесконечности через отверстие внутрь
шара?
36. Показать, что для параллельных проводов, расстояние между
которыми велико по сравнению с их радиусами: 1) эквипотенциальные
поверхности суть круговые цилиндры, оси которых параллельны прово-
проводам и лежат с ними в одной плоскости; 2) силовые линии расположены
в плоскости, перпендикулярной к проводам, и представляют собой
окружности, центры которых лежат на перпендикуляре, проходящем
через середину соединяющего следы проводов отрезка.
37. Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверх-
поверхностей для системы двух точечных зарядов -\-q и —4д.
Указание. Найти точку, в которой напряженность поля равна
нулю. Найти сферу нулевого потенциала, а также точку на прямой,
соединяющей заряды, в которой потенциал тот же, что и в точке, где
напряженность поля равна нулю.
38. Металлический шар радиуса R соединен очень тонкой проволо-
проволокой с землей. На расстоянии d = 2R от центра этого шара находится
электрический заряд -\-q. Чему равен отрицательный заряд Q шара? По-
Поверхность земли и все остальные предме-
предметы можно считать достаточно удаленными, , ,б
а влиянием соединяющей проволоки можно
пренебречь.
39. Точечный заряд q находится на рас-
расстоянии d от центра заряженного проводя-
проводящего шара Q (рис. 12). Каков заряд ша-
шара, если известно, что сила взаимодействия рис \2
между зарядами равна нулю?
40. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра зазем-
заземленного проводящего шара Q. С какой силой F притягивается заряд к
шару?
о-'" /.
10 Задачи
41. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра неза-
незаряженного проводящего шара радиуса R. Какой заряд протечет по
проводнику, если заземлить шар?
/"¦"" Р ">, 42. Заземленный шар находится вбли-
~*f" "ш зи точечного заряда (рис. 13). Определить
О / максимальную и минимальную поверх-
ч- I --'' ностные плотности наведенного на шаре
J_ заряда.
~= 43. В равномерно заряженной сфере
вырезано малое отверстие. Какова напря-
женность поля в центре отверстия?
44. Найти потенциал поля, созданного зарядами, равномерно рас-
распределенными вдоль бесконечной прямой с линейной плотностью к.
45. Прямой длинный цилиндрический проводник радиуса R несет
положительный заряд с равномерной поверхностной плотностью а.
Какова разность потенциалов V между поверхностью цилиндра и точ-
точкой А, находящейся на расстоянии d > R от оси цилиндра?
46. Электрическое поле в электростатике всегда перпендикулярно
к поверхности проводника. Пользуясь этим, доказать, что вблизи ис-
искривленной поверхности заряженного проводника электрическое поле
удовлетворяет соотношению
е( +
дп \Rx R2
где производная берется по направлению внешней нормали к поверхно-
поверхности проводника, a R\ и R% — главные радиусы кривизны этой поверхно-
поверхности (они считаются положительными для выпуклых и отрицательными
для вогнутых сечений поверхности).
Указание. Взять две бесконечно близкие эквипотенциальные
поверхности и произвести нормальное сечение их четырьмя плоско-
плоскостями, вырезающими на этих эквипотенциальных поверхностях два
бесконечно малых прямоугольника. К полученному бесконечно малому
объему применить теорему Гаусса.
47. Потенциал электростатического поля в некоторой области за-
зависит только от координаты х:
Какова будет напряженность поля? При каком распределении зарядов
получится такое поле?
48. Пользуясь теоремой Гаусса в дифференциальной форме, вы-
вычислить напряженность электрического поля равномерно заряженных
шара радиуса R и бесконечной пластинки толщины 2h. Объемная
плотность электричества равна р.
49. В шаре, равномерно заряженном электричеством с объемной
плотностью р, сделана сферическая полость, центр которой О' смещен
§ 1. Электростатика 11
относительно центра шара О на расстояние г. Определить электриче-
электрическое поле внутри полости.
Указание. Заполнить мысленно полость электричествами про-
противоположных знаков с плотностями -\-р и —р. Тогда поле в полости
можно рассматривать как суперпозицию полей двух равномерно и
противоположно заряженных шаров.
50. Сферический слой, ограниченный двумя концентрическими
сферами, заряжен электричеством с постоянной объемной плотностью.
Пользуясь законом Кулона, показать, что электрическое поле в поло-
полости, ограниченной таким слоем, равно нулю.
51. Сферический слой в предыдущей задаче равномерно сжимают
вдоль трех взаимно перпендикулярных диаметров, и притом так, что во
время сжатия электрические заряды внутри слоя неподвижно закреп-
закреплены. В результате он переходит в слой эллипсоидальный. Показать,
что при таком сжатии электрическое поле внутри полости остается
равным нулю.
52. Найти распределение электричества по поверхности трехосного
проводящей эллипсоида
2 2 2
о? ^ Ь2 ^ с2
Указание. Воспользоваться результатом решения предыдущей
задачи.
53. Найти поверхностную плотность электричества на бесконечно
тонкой проводящей эллиптической пластинке, получающейся равно-
равномерным сжатием трехосного эллипсоида в направлении оси Z.
Указание. См. предыдущую задачу.
54. Заряженный проводящий эллипсоид мысленно разделен на ча-
части равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными к одной из его
главных осей. Показать, что, каково бы ни было число таких частей,
величины их зарядов будут всегда одинаковы. В частности, если эл-
эллипсоид является вытянутым и бесконечно тонким, то электричество
распределится по его длине равномерно.
Указание. См. задачу 51.
55. Принимая Землю за шар радиуса R = 6400 км, определить за-
заряд Q Земли, если напряженность электрического поля у поверхности
Земли составляет Е = 130 В/м. Определить потенциал (р поверхности
Земли, принимая (р^ = 0.
56. Земля непрерывно облучается космическими лучами высокой
энергии, приходящими из пространства вне Солнечной системы. Кос-
Космические лучи в основном состоят из протонов, средняя энергия Ш
которых составляет несколько миллиардов электронвольт. Интенсив-
Интенсивность 3 потока протонов, достигающих земной атмосферы, равна при-
примерно одному протону на квадратный сантиметр в секунду. Оценить
время, необходимое для того, чтобы протоны космических лучей по-
повысили потенциал Земли настолько, чтобы они уже не могли попадать
12 Задачи
на поверхность Земли из-за электрического отталкивания. Объяснить,
почему и по истечении этого времени протоны космических лучей
продолжают достигать земной поверхности.
57. Очень маленький шарик, имеющий заряд +#, поднесен к боль-
большому металлическому листу на малое расстояние d. Чему равна на-
напряженность поля Е: 1) у основания перпендикуляра, опущенного из
шарика на плоскость листа; 2) на расстоянии 2d от плоскости на том
же перпендикуляре?
58. Найти приближенное выражение для силы F, действующей
в неоднородном поле Е в вакууме на маленький металлический шарик
радиуса R, если на протяжении диаметра шарика поле Е меняется
незначительно.
Указание. Во внешнем однородном поле Е шарик приобретает
дипольный момент р = В?Е.
59. Как меняется с расстоянием d сила взаимодействия F между
двумя маленькими металлическими шариками, из которых один заря-
заряжен, а другой не заряжен?
60. Два одинаковых положительных заряда q находятся на одина-
одинаковом расстоянии d от безграничной проводящей плоскости по одну
сторону от нее. Расстояние между зарядами равно 2d. Найти величину
и направление вектора напряженности поля на середине расстояния
между зарядами.
61. Заряженный проводник находится внутри замкнутой металли-
металлической оболочки. 1) Изменится ли электрическое поле внутри оболоч-
оболочки, если извне поднести к ней заряженный проводник? 2) Будет ли
изменяться поле внутри и вне оболочки, если внутренний проводник
перемещать внутри оболочки?
62. Какова была бы напряженность поля Е в центре сферической
поверхности радиуса R, если бы одна половина этой поверхности была
покрыта зарядами с постоянной поверхностной плотностью а, а другая
половина также равномерно покрыта зарядами, но с вдвое большей
плотностью?
63. Металлический шар несет некоторый заряд. Как изменится
напряженность поля вне и внутри оболочки, если шар заключить
в концентрическую сферическую оболочку из однородного диэлектрика
с диэлектрической проницаемостью е?
64. Как ответить на вопрос предыдущей
! задачи, если внешняя поверхность оболочки
| будет иметь не сферическую, а произвольную
форму?
65. Между двумя параллельными прово-
^—^— дящими пластинками, заряженными равными
| разноименными зарядами, помещают диэлек-
1 трическую пластинку, как указано на рис. 14.
Изменится ли напряженность поля в точке А
Рис 14 -\
^ после внесения пластинки?
§ 1. Электростатика 13
66. Два однородных диэлектрика с диэлектрическими проницаемо-
стями ?\ и ?2 граничат друг с другом вдоль плоскости MN (рис. 15).
В точке А первого диэлектрика помещен точечный заряд q. Найти элек-
электрическое поле в каждом из диэлектриков.
67. Какая сила действует на точечный
заряд q вблизи плоской границы раздела
двух диэлектриков?
68. Какой наибольший заряд Q можно
поместить на металлическом шаре радиуса
R = 15 см, если диэлектрическую прочность
воздуха Е принять равной 30000 В/см?
69. По сфере радиуса R равномерно рас-
распределен заряд Q. Определить давление из-
изнутри на поверхность сферы, обусловленное
взаимодействием зарядов.
70. Как известно, давление, вызываемое поверхностным натяжени-
натяжением сферической жидкой пленки, обратно пропорционально ее радиусу.
Будет ли устойчивым мыльный пузырь, если сообщить ему некоторый
заряд?
71. Поверхностное натяжение сферического мыльного пузыря а =
= 50 дин/см, радиус R = 1 см, наружное атмосферное давление Р =
= 106 дин/см2. Какой заряд Q надо сообщить пузырю, чтобы его
радиус увеличился вдвое? При каких размерах пузыря поверхностное
натяжение практически не влияет на результат и при каких является
определяющим?
72. По сферической поверхности радиуса R равномерно распреде-
распределены заряды с поверхностной плотностью а. Найти потенциал (р и на-
напряженность поля Е зарядов в зависимости от расстояния d до центра
сферы. Построить графики зависимости этих величин от координат.
73. На поверхность тонкой сферы радиуса R наносится равномерно
заряд. Когда полный заряд сферы достигает величины Q, сфера под
действием электрических сил отталкивания разрывается на одинаковые
части, летящие в разные стороны. Каждая из частей имеет массу т и
заряд q. Какой максимальной скорости может достигнуть осколок?
74. Металлический шар радиуса R\, несущий заряд Q, окружен
расположенным концентрически полым металлическим шаром с внут-
внутренним радиусом R2 и внешним R%. Заряд внешнего шара равен нулю.
Построить график зависимости напряженности поля Е от расстояния г
до центра шаров. Найти потенциалы шаров, если в бесконечности
потенциал равен нулю. Изменятся ли потенциалы шаров, если внешний
шар заземлить?
75. Вычертить графики зависимости напряженности поля Е и по-
потенциала (р от расстояния г до центра шара для следующего случая:
металлический шар с радиусом 10 см имеет заряд 20 СГСЭ и окру-
окружен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 2, причем
диэлектрик простирается до сферы радиуса 20 см.
14 Задачи
76. Два проводника имеют заряды — q и -\-2q соответственно. Эти
проводники вносят внутрь замкнутой металлической оболочки, потен-
потенциал которой равен (р. Показать, что потенциал проводника, несущего
заряд +2д, будет больше (р.
77. Мыльный пузырь радиуса R находится в равновесии. Если
ему сообщить некоторый заряд, он будет увеличиваться вследствие
появления сил отталкивания между зарядами, стремясь перейти к
новому устойчивому состоянию с радиусом R\ > R (см. задачу 70).
Какой заряд нужно поместить в центре пузыря, чтобы уравновесить
действие этих сил при его прежнем радиусе?
78. Проводящая сфера радиуса R составлена из двух полусфер.
Определить силу F, с которой отталкиваются эти полусферы, если
полный заряд сферы равен Q.
79. Как изменится ответ в предыдущей задаче, если в центре сферы
поместить дополнительно точечный заряд q? Сферу считать полой и
бесконечно тонкой.
80. Длинный проводящий цилиндр радиуса R составлен из двух
половин. Определить силу отталкивания F, действующую на единицу
длины каждого полуцилиндра, если на единицу длины цилиндра при-
приходится заряд к.
81. Как изменится ответ в предыдущей задаче, если вдоль оси
цилиндра поместить дополнительно тонкую заряженную нить, на еди-
единицу длины которой приходится заряд хо? Цилиндр считать полым, а
его стенки — бесконечно тонкими.
82. Какое поле создавали бы две безграничные взаимно перпен-
перпендикулярные плоскости, если бы на них были равномерно нанесены
электрические заряды одного знака с поверхностной плотностью заряда
на одной а, а на другой 2сг?
83. Определить эквипотенциальные поверхности по условиям
предыдущей задачи и закон изменения потенциала на плоскостях,
несущих заряды.
84. Заряды распределены равномерно по поверхности двух концен-
концентрических сфер с радиусами 10 и 20 см, причем поверхностные плот-
плотности зарядов на обеих сферах одинаковы. Найти плотность заряда а,
если потенциал в центре сфер равен 300 В, а на бесконечности равен
нулю.
85. Из трех концентрических бесконечно тонких металлических
сфер с радиусами R\ < R% < R3, находящихся в вакууме, крайние
заземлены, а средней сообщен электрический заряд Q. Найти напря-
напряженность электрического поля во всем пространстве.
86. Две концентрические проводящие сферы с радиусами R и
2R заряжены: внутренняя — одним микрокулоном, внешняя — двумя
микрокулонами электричества одного и того же знака. На расстоянии
3R от центра сфер потенциал <р = 30 СГСЭ. Найти R.
87. Какова была бы напряженность поля в произвольной точке
пространства между плоскостями задачи 82, если бы в дополнение
§ 1. Электростатика
15
Е'
Е
к зарядам на плоскостях были равномерно нанесены заряды с поверх-
поверхностной плотностью -За по поверхности цилиндра радиуса R, ось
которого совпадает с прямой пересечения заряженных плоскостей?
88. Какова была бы напряженность поля в произвольной точке
пространства, если бы заряды были равномерно распределены с по-
поверхностной плотностью а на бесконечной плоскости и на поверхности
сферы радиуса R с центром на данной плоскости?
89. Подсчитать среднюю объемную плотность р электрических за-
зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического
поля на поверхности Земли равна 100 В/м, а на высоте h = 1,5 км эта
напряженность падает до 25 В/м.
90. Две бесконечные плоскопарал-
плоскопараллельные металлические пластинки по-
помещены в вакууме параллельно друг
другу (рис. 16). Полный заряд на
единицу площади (т. е. сумма заря-
зарядов на обеих поверхностях пластин-
пластинки) равен q\ для первой пластинки и
#2 — для второй. Определить поверх-
поверхностные плотности электрических за- Ч\ Чг
рядов на пластинках, а также напря-
напряженность электрического поля между рис 16
ними и во внешнем пространстве.
91. Три хорошо изолированные параллельные металлические пла-
пластинки расположены на равном расстоянии друг от друга, как показано
на рис. 17. Пластинка / соединена с землей, а
пластинки 2 и 3 присоединены к зажимам батареи
в 80 В. Батарею отключают и после этого пластин-
пластинку / отключают от земли, а пластинку 2 присоеди-
присоединяют к земле. 1) Чему будет равна разность потен-
потенциалов между пластинками / и 2, 2 и 3? 2) Какова
будет разность потенциалов между пластинками,
если сначала, после отключения батареи, соеди-
соединить с землей пластинку 2, а затем уже отключить
от земли пластинку / и, наконец, пластинку 2?
рис 17 92. Батарею в 80 В присоединяют к пластинкам
1 и 2 (см. предыдущую задачу) при соединенных
накоротко пластинках 2 и 3. Какова будет разность потенциалов между
пластинками, если сначала отключить батарею, затем разъединить
пластинки 2 и 3 и, наконец, соединить третью пластинку с первой
(пластинка 2 все время соединена с землей)?
93. Из трех параллельных металлических пластинок А, В и С
(рис. 18) крайние А и В неподвижны и соединены с гальванической ба-
батареей, поддерживающей разность потенциалов V между ними посто-
постоянной. Средняя пластинка С сначала находится в контакте с верхней
пластинкой А. Затем с помощью изолирующей ручки она перемещается
16 Задачи
по направлению к нижней пластинке. Пренебрегая краевыми эффекта-
эффектами, найти напряженности полей Е\ и Е2 в зазорах между пластинками
в зависимости от переменного рас-
\ \ А 1 1 стояния х между пластинками А
х |ех —'— и С, если сумма зазоров между пла-
I | | q | i стинками равна d.
» IE ^^r 94. Даны потенциалы (р\, (р2,
-j—| * 2 | 1 <рз и <р4 в четырех смежных вер-
вершинах малого кубика. Как можно
рис 18 приближенно определить напряжен-
напряженность поля в области этих точек?
95. Три одинаковые пластинки расположены параллельно друг дру-
другу на расстоянии 1 мм одна от другой (очень малом по сравнению с
линейными размерами пластинки). Каковы разности потенциалов меж-
между пластинками, если на первой находится равномерно распределенный
заряд с поверхностной плотностью +0,2 СГСЭ, на второй +0,4 СГСЭ
и на третьей -0,6 СГСЭ?
96. Как изменится разность потенциалов между пластинками
предыдущей задачи, если пространство между пластинками заполнено
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 2?
97. Три одинаковых изолированных металлических шара располо-
расположены в вершинах равностороннего треугольника. Проволочкой, под-
подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого
неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каж-
каждого из шаров. Заряды на первых двух шарах оказались после этого
равными q\ и q2. Найти заряд q% на третьем шаре.
98. Четыре одинаковых изолированных металлических шара рас-
расположены в вершинах правильного тетраэдра. Проволочкой, подклю-
подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого
неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каж-
каждого из шаров. Заряды на первых двух шарах оказались после этого
равными q\ и q2. Найти заряды на двух остальных шарах.
99. Два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами
R\ = 10 мм и R2 = 10,5 мм заряжены одноименными зарядами, причем
поверхностная плотность зарядов на внешнем цилиндре 2 СГСЭ, а на
внутреннем 1 СГСЭ. Найти разность потенциалов V между цилиндрами.
100. Определить величину напряженности Е электрического поля
вне цилиндров при условиях предыдущей задачи.
101. Показать, что эквипотенциальными поверхностями двух па-
параллельных бесконечно длинных прямых, равномерно заряженных
электричеством противоположного знака, являются круговые цилин-
цилиндры, оси которых параллельны рассматриваемым линиям и лежат с
ними в одной плоскости.
102. В электрическом поле точечного заряда q на расстоянии d
находится свободно поворачивающийся электрический диполь с ди-
польным моментом р. Какую работу А надо совершить, чтобы удалить
§ 1. Электростатика 17
диполь в бесконечность? Считать, что длина диполя очень мала по
сравнению с d.
103. Может ли существовать в вакууме электростатическое поле,
вектор напряженности которого Е во всем объеме поля одинаково на-
направлен, но по величине изменяется, например, по линейному закону,
если переходить от точки к точке по нормальному к полю направлению
(рис. 19)? ^
104. Имеется заряженный до некоторого положи- *"
тельного потенциала изолированный проводник. Что »¦
произойдет с потенциалом этого проводника, если Е
приблизить к нему на конечное расстояние проводя-
проводящую плоскость, соединенную с землей? »
105. Как изменится разность потенциалов между ^
двумя изолированными заряженными проводниками,
если между ними ввести металлическую пластину, ^
толщиной которой нельзя пренебречь по сравнению
с расстоянием между проводниками?
106. Две удаленные от остальных тел одинаковые металлические
пластины площадью S, находящиеся друг от друга на очень малом по
сравнению с их линейными размерами расстоянии d, заряжены: одна
зарядом +д, а другая -\-2q. Какова разность потенциалов V между
ними?
107. Каков будет характер электрического поля в пространстве
между пластинами и вне пластин в условиях предыдущей задачи?
Какова напряженность поля с внешней стороны пластин, вблизи их
середины?
108. Две проводящие концентрические сферы имеют радиусы R\ =
= 10 см и Д2 = 20 см. На каждой из них равномерно распределен заряд
q = +50 СГСЭ. Чему равна разность потенциалов V между ними и
какова напряженность поля внутри сфер и снаружи?
109. Металлическому шару диаметром 20 м сообщен заряд 1 Кл.
1) Каков будет потенциал шара относительно бесконечно удаленной,
концентрической с ним сферы? 2) Удержится ли заряд на шаре, если
он будет окружен воздухом, диэлектриче-
? А екая прочность которого Е = 3 кВ/мм?
„ | 110. Два одинаковых круглых диска ра-
радиуса R, заряженные разноименными заря-
зарядами, распределенными равномерно с по-
поверхностной плотностью а, находятся на
небольшом расстоянии d друг от друга. Най-
Найти напряженность поля в точке А, располо-
р 2Q женной на общей оси дисков на расстоянии
h от ближайшего диска (рис. 20).
111. Обкладки плоского конденсатора сделаны из прямоугольных
полосок фольги размером 5 х 10 см2, наклеенных на парафинирован-
парафинированную бумагу (е = 2) толщиной 0,1 мм. К конденсатору приложена раз-
18 Задачи
ность потенциалов 100 В. Какой заряд (в единицах СГСЭ) находится
на каждой из обкладок?
112. Как изменится напряженность поля между обкладками уеди-
уединенного плоского конденсатора, если на одной из обкладок заряд будет
увеличен в два раза?
113. Плоский конденсатор имеет емкость 600 пФ. Насколько она
изменится, если ввести между обкладками параллельно им медный
лист, толщина которого равна 1/4 расстояния между обкладками?
Будет ли влиять на результат положение листа?
114. Металлический шар радиуса 5 см окружен шаровым слоем
диэлектрика (е = 7) толщиной 1 см и помещен концентрично в метал-
металлической сфере с внутренним радиусом 7 см. Чему равна емкость С
такого конденсатора?
115. В неограниченной диэлектрической однородной жидкости с
диэлектрической проницаемостью е помещен однородный шар с той же
диэлектрической проницаемостью, равномерно заряженный электриче-
электричеством с объемной плотностью р. В шаре сделана сферическая полость,
куда помещен меньший шар радиуса R из того же материала, также
равномерно заряженный с объемной плотностью р электричеством того
же знака. Зазор между поверхностью малого шара и стенками полости
пренебрежимо мал. Определить силу F, действующую на меньший
шар, зная расстояние между центрами обоих шаров.
116. Определить приближенно емкость между дву-
двумя одинаковыми шарами радиуса R, находящимися на
очень большом (по сравнению с R) расстоянии. Все
остальные тела также далеки от шаров.
117. Электроды катодной лампы — анод, сетка и ка-
катод — обладают определенной емкостью относительно
друг друга. При расчетах удобно рассматривать их как
конденсаторы малых емкостей, соединенные так, как
показано на рис. 21. Определить общую емкость между
рис 21 точками А и В, если Са.с — емкость анод-сетка, Сс.к —
емкость сетка—катод, Са.к — емкость анод-катод.
118. Для измерения емкостей между электродами трехэлектродной
лампы поступают так: соединяют накоротко сетку и анод и измеряют
емкость С\ между катодом и остальными электродами; затем соеди-
соединяют накоротко катод и анод и измеряют емкость С^ между сеткой и
остальными электродами; наконец, соединяют накоротко сетку и катод
и измеряют емкость Сз между анодом и остальными электродами. Как,
измерив С\, С% и Сз, определить межэлектродные емкости Са.к, Са.с,
Сс.к (рис. 21)?
119. Батарея из четырех одинаковых конденсаторов включена один
раз по схеме а), а другой раз по схеме б) (рис. 22). 1) В каком случае
емкость батареи будет больше? 2) Если емкости конденсаторов раз-
различны, то какому соотношению они должны удовлетворять, чтобы при
переключении со схемы а) на схему б) емкость батареи не менялась?
А*
В*
— с
— ^с-к
§ 1. Электростатика
19
120. Показать, что формулы для емкости цилиндрического и сфе-
сферического конденсаторов переходят в формулу для емкости плоского
конденсатора при малых разностях между радиусами внутренней и
внешней обкладок.
- Провод
3 4
Крышка
Рис. 22
Рис. 23
121. В трансформаторах высокого напряжения для проведения про-
провода через крышку употребляются так называемые конденсаторные
клеммы. Они представляют собой тонкие коаксиальные цилиндри-
цилиндрические изолирующие трубки, отделяющиеся друг от друга тонкими
листами станиоля, образуя комбинацию последовательно соединенных
цилиндрических конденсаторов (рис. 23). Как должна меняться длина
изолирующих трубок, чтобы все эти конденсаторы имели одинаковую
емкость? В чем смысл применения таких конденсаторных клемм?
122. Плоский конденсатор состоит из двух пластин, находящихся
друг от друга на расстоянии 0,5 мм. Как изменится емкость конден-
конденсатора, если его поместить в изолированную металлическую короб-
коробку («экранировать»), стенки которой бу- ^^^
дут находиться на расстоянии 0,25 мм ^^ '
от пластин (рис. 24). Искажением поля „ ПЛ
vr ' ^ Рис. 24
у краев конденсаторов пренебречь.
123. Как изменится емкость помещенного в коробку конденсатора
(см. предыдущую задачу), если коробку соединить с одной из пластин?
124. Два конденсатора, емкости которых
С\ и С2, соединены последовательно и при-
присоединены к источнику ЭДС <?. Определить
падение напряжения на каждом из конденса-
конденсаторов.
125. Четыре одинаковых конденсатора
соединены, как показано на рис. 25, и присо-
присоединены к батарее <f. Ключ К% сначала разо-
разомкнут, а ключ К\ замкнут. Затем размыкают
ключ К\ и замыкают ключ К%. Какова будет разность потенциалов на
каждом конденсаторе, если ЭДС батареи $ = 9 В?
IE
Рис. 25
20
Задачи
126. Решить предыдущую задачу при условии, что ключ К\ замы-
замыкают и размыкают при замкнутом ключе К2.
127. Два конденсатора С\ и С2, показанные на рис. 26, заряжаются
следующим образом. Сначала замыкают и размыкают ключ К\, затем
замыкают ключ К2. Определить разность потенциалов V\ и V2 на
конденсаторах, если ЭДС батарей &\
и <?2-
128. Три конденсатора с емкостя-
емкостями С\ = 2мкФ, С2 = 2мкФ, С3 =
= 4 мкФ и допустимыми напряжени-
напряжениями Vi = 1000 В, V2 = 450 В, V3 =
= 250 В соединены в батарею. При ка-
каком соединении конденсаторов мож-
можно получить наибольшее напряжение?
Чему равно это напряжение и соответ-
Рис- 26 ствующая емкость батареи?
129. Как известно, угол расхождения листочков электроскопа, со-
соединенного с заряженным проводником, зависит от потенциала этого
проводника. Какому условию должна удовлетворять электроемкость
этого электроскопа, чтобы возможно точнее измерять потенциал про-
проводника?
130. Две параллельные пластины ничтожно малой толщины заря-
заряжены одноименно, причем поверхностная плотность заряда на одной
пластине а\ = +1 СГСЭ, а на другой а2 = +2 СГСЭ. Расстояние между
пластинами h = 1 см мало по сравнению с линейными размерами пла-
пластин. Между пластинами вставлена парафиновая плоскопараллельная
пластинка толщиной d = 5 мм (рис. 27).
Диэлектрическая проницаемость пара-
парафина е=2. Определить разность
потенциалов V (в вольтах) между
пластинами.
131. В условиях предыдущей зада-
задачи определить: 1) напряженность поля Рис- 27
Е\ между пластинами вне диэлектрика; 2) напряженность поля Е2
внутри диэлектрика; 3) силу F, действующую на 1 см2 пластины.
132. Для измерения заряда наэлектризованного проводника мож-
можно воспользоваться электрометром, который показывает разность по-
потенциалов. Для этого прежде всего измеряют разность потенциалов
V\ между проводником и землей. Затем к проводнику присоединяют
известную электроемкость Со, вторая обкладка которой соединена с
землей, и измеряют новую разность потенциалов V2. Как из подобных
измерений определить величину заряда? От чего зависит точность
определения заряда?
133. Воздушный цилиндрический конденсатор состоит из прово-
проволоки диаметром 5 мм и коаксиального цилиндра диаметром 5 см. До
какой разности потенциалов V можно зарядить этот конденсатор, если
d\
+CJ!
+CJ9
h
§ 1. Электростатика 21
диэлектрическую прочность воздуха при заданных условиях можно
считать равной Е = 30 кВ/см?
134. Расстояние между обкладками плоского конденсатора равно
d и заполнено двумя слоями диэлектриков. Толщина слоя первого ди-
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е\ равна h\. Диэлектри-
Диэлектрическая проницаемость второго диэлектрика равна е^. Площадь каждой
обкладки равна S. Найти емкость С конденсатора.
135. Внутри плоского воздушного конденсатора, обкладки которого
соединены между собой, помещена поляризованная пластинка из элек-
электрета толщины In. Поляризованность пластинки 9 перпендикулярна
к ее боковым граням. Пренебрегая зависимостью поляризованности
электрета 9* от электрического поля, определить напряженность и ин-
индукцию электрического поля внутри и вне пластинки, если расстояние
между обкладками конденсатора равно d.
136. Пространство между пластинами плоского конденсатора, рас-
расстояние между которыми равно d, заполнено диэлектриком. Найти
емкость С конденсатора в двух случаях: 1) диэлектрик состоит из двух
пластин одинаковой толщины, но с различными диэлектрическими
проницаемостями е\ и в2, причем пластины расположены параллельно
пластинам конденсатора; 2) половина конденсатора заполнена одним
диэлектриком, а вторая половина — другим, так что граница раздела
между диэлектриками расположена перпендикулярно к пластинам кон-
конденсатора. Искажением поля у границы раздела пренебречь. Площадь
пластины равна S. Показать, что в первом случае емкость конденсатора
всегда меньше, чем во втором случае.
137. Между пластинами плоского конденсатора, площадь которых
S, помещен слоистый диэлектрик, состоящий из п слоев вещества
с диэлектрической проницаемостью е\ и из п слоев вещества с ди-
диэлектрической проницаемостью е^. Слои чередуются и каждый имеет
толщину d. Найти емкость конденсатора С.
138. Пространство между пластинами плоского конденсатора за-
заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого ли-
линейно меняется от значения е\ у одной пластины до значения е^ < ?\
у другой. Расстояние между пластинами d, площадь каждой из них
равна S. Найти емкость С конденсатора.
139. К плоскому конденсатору, расстояние между пластинами ко-
которого d, присоединена батарея, поддерживающая постоянной раз-
разность потенциалов V. В конденсатор вводят диэлектрик, заполняющий
все пространство между пластинами. Диэлектрическая проницаемость
этого диэлектрика е. Насколько изменится плотность электрического
заряда на пластинах конденсатора?
140. Какова напряженность поля Е в воздушном зазоре плоско-
плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами V =
= 200 В? Расстояние между пластинами d = 0,2 см, и между ними
находится лист стекла (е = 7) толщиной h = 0,1 см.
22
Задачи
141. Сферический конденсатор наполовину заполнен диэлектриком
с диэлектрической проницаемостью е = 7. Радиусы поверхностей: внут-
внутренней R\ = 5 см, внешней R^ = 6см (рис. 28). Определить емкость G
конденсатора, пренебрегая искривлением линий поля на границе ди-
диэлектрика.
Рис. 28
Рис. 29
142. Найти напряженность электрического поля между обкладками
сферического конденсатора, пространство между которыми заполнено
однородными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями е\
и 82 (рис. 29). Диэлектрики граничат между собой вдоль поверхности
конуса с вершиной в центре О. Телесный угол конуса, заполненного
первым диэлектриком, равен ?1\, а заполненного вторым диэлектри-
диэлектриком — Г^2 (^1 + ^2 = 4тг). Заряд на внутренней обкладке равен Q.
Найти также емкость конденсатора, если радиусы шаровых обкладок
равны R\ и i?2 № < #2).
143. Найти напряженность электрического поля между обклад-
обкладками длинного цилиндрического конденсатора, пространство между
которыми заполнено однородными диэлектрика-
диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями е\ и
?2 (рис. 30). Диэлектрики граничат между собой
вдоль плоскостей, пересекающихся на оси цилин-
цилиндров О. Двугранные углы, образуемые ими в ди-
диэлектриках, равны соответственно <р\ и (р2 {ip\ +
-f (p2 = 2тг). Длина конденсатора равна /, а заряд на
внутренней обкладке Q. Найти также емкость С
конденсатора, если радиусы цилиндрических об-
обкладок равны R\ и R2 (R\ < R2).
144. Найти поле между обкладками сфериче-
сферического конденсатора, если радиус внутреннего шара
R\ = 5 см, а внешнего it^ = 7 см; пространство
между шарами заполнено диэлектриком с диэлек-
диэлектрической проницаемостью е = 5; на внутреннем
шаре находится заряд Q = 5000 СГСЭ.
145. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью е
имеется однородное поле напряженностью Е. Внутри среды находится
сферическая полость. Найти напряженность поля Е; в центре сферы,
созданного зарядами, индуцированными на поверхности сферы, счи-
Рис. 30
§ 1. Электростатика 23
тая, что поляризованность 9* всюду (за исключением полости) имеет
постоянное значение.
Указание. Поверхностная плотность индуцированных зарядов а
на границе диэлектрика равна величине поляризованности 9>, умно-
умноженной на cos 0, где в — угол между нормалью N к поверхности и
вектором 9* (рис. 31). Найти напряженность поля
в центре сферы, создаваемую индуцированным
зарядом на элементе поверхности сферы, и про-
проинтегрировать ее затем по всей сфере.
146. Показать, что взаимная емкость двух
концентрических сферических поверхностей, до- рис ^
статочно удаленных от поверхности земли и дру-
других проводников, при заземленной внутренней сфере может быть вы-
выражена формулой С = R\/{R2 - R\), где R^ и R\ —соответственно
радиусы внешней и внутренней сфер.
147. Цилиндрический конденсатор, радиус одной обкладки которо-
которого вдвое больше радиуса другой, заряжен до разности потенциалов V.
Найти напряженность электрического поля Е в точке, находящейся на
расстоянии d от оси цилиндра.
148. Конденсатор присоединен к источнику постоянного напря-
напряжения (батарее). Изменится ли напряженность электрического поля
в конденсаторе, если его заполнить диэлектриком?
149. В пространстве между пластинами плоского конденсатора
имеется однородный поток электронов, который создает равномерный
объемный заряд. Расстояние между пластинами равно d. Потенциал
одной из пластин равен (р$. При каком значении объемной плотности
заряда р потенциал и напряженность поля у другой пластины равны
нулю?
150. Внутренняя обкладка цилиндрического конденсатора радиуса
R<i имеет потенциал ip$. Внешняя обкладка радиуса R\ заземлена.
Между обкладками конденсатора имеется заряд с постоянной объем-
объемной плотностью р. Найти распределение потенциала (р между обклад-
обкладками конденсатора.
151. В пространство между обкладками заряженного плоского кон-
конденсатора вдвигают параллельно обкладкам пластину из диэлектрика.
Какие силы действуют на ту часть диэлектрической пластины, вблизи
которой можно считать поле однородным?
152. Бесконечно тонкая диэлектрическая палочка равномерно за-
заряжена электричеством с постоянной линейной плотностью. Показать,
что эквипотенциальными поверхностями поля такой палочки являются
софокусные эллипсоиды, фокусы которых находятся на ее концах.
153. Между пластинами плоского воздушного конденсатора вве-
введена плоскопараллельная пластина из твердого диэлектрика, так что
между ней и пластинами конденсатора остались воздушные зазоры.
Как изменится при этом сила притяжения между пластинами конден-
конденсатора?
24
Задачи
154. Между пластинами плоского воздушного конденсатора вве-
введена диэлектрическая пластина толщины /2 с диэлектрической прони-
проницаемостью ?2 (рис. 32). Конденсатор частично погружен в жидкость
с диэлектрической проницаемостью е\ и плотностью т. Найти высо-
высоту поднятия жидкости в конденсаторе h, пренебрегая капиллярными
явлениями, если между его обкладка-
обкладками поддерживается разность потенци-
потенциалов V. Суммарная толщина столбов
жидкости в конденсаторе равна 1\.
Ч
Рис. 32
Рис. 33
155. Диэлектрическая пластина толщины 1% с диэлектрической
проницаемостью е введена между обкладками плоского воздушного
конденсатора (рис. 33). Между поверхностями пластины и обкладками
конденсатора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых
равна 1\. Определить силу притяжения F между обкладками, если
разность потенциалов между ними равна V, а площадь пластин S. Во
что переходит выражение для F в предельном случае 1\ —>> О?
156. Капиллярный вольтметр состоит из капиллярной стеклянной
трубочки с металлизированной полупрозрачной внутренней поверхно-
поверхностью, служащей одной из обкладок цилиндрического конденсатора.
Второй обкладкой является тонкая металлическая проволока, коакси-
коаксиальная с внутренней цилиндрической поверхностью трубочки. Опре-
Определить поднятие мениска воды h в вольтметре при наложении на
обкладки напряжения V = 100 В, если внутренний диаметр капилляра
D\ = 0,5 мм, диаметр проволоки D2 = 0,05 мм, плотность воды г =
= 1 г/см2.
157. На обкладках плоского конденсатора находятся заряды +q
и -q. Площадь обкладок S. Какую работу А смогут совершить об-
обкладки, сблизившись с расстояния do до расстояния d? За счет какой
энергии совершается эта работа?
158. Вычислить электростатическую энергию заряда на шаре ради-
радиуса R в вакууме, если заряд шара q равномерно распределен по его
поверхности.
159. Сделать тот же расчет для шара, заряд которого равномерно
распределен по его объему.
160. Конденсатор переменной емкости состоит из двух неподвиж-
неподвижных металлических пластин, расположенных на расстоянии d друг
от друга, и подвижной диэлектрической пластины, которая может
поворачиваться и входить в зазор между металлическими пластинами
§ 1. Электростатика
25
(рис. 34). Все пластины имеют форму полукруга радиуса R, причем
зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами конденсатора
пренебрежимо малы по сравнению с d. Пренебрегая краевыми эффекта-
эффектами, найти момент сил М, действующих на диэлектрическую пластину,
когда она выведена из положения равновесия. Конденсатор заряжен до
разности потенциалов V, диэлектрическая проницаемость подвижной
пластины равна е.
161. В предыдущей задаче величина момента сил М не зависит от
угла поворота в диэлектрической пластины. Но в положении равнове-
равновесия, когда 0 = 0, момент М должен обращаться в нуль. Объяснить это
расхождение.
162. С какой объемной плотностью р следует распределить элек-
электрический заряд в шаре, чтобы поле Е внутри него было направлено
вдоль радиуса и всюду имело оди-
одинаковую величину?
Рис. 34
Рис. 35
163. С какой поверхностной плотностью а (в) следует распределить
заряд по поверхности сферы радиуса R (рис. 35), чтобы поле внутри
нее было однородным и равным Ео? Каково при этом будет электриче-
электрическое поле вне сферы?
164. К полюсам батареи присоединены обкладки плоского кон-
конденсатора. Для раздвижения пластин конденсатора необходимо совер-
совершить работу. Как меняется с расстоянием потребляемая мощность,
если разводить пластины равномерно? На что затрачивается работа,
совершаемая при раздвижении пластин конденсатора? Что происходит
с начальной электростатической энергией конденсатора?
165. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности по-
потенциалов V и отсоединен от источника ЭДС. Площадь пластин S,
расстояние между ними d. Пластины конденсатора расположены вер-
вертикально. Снизу подводят сосуд с жидким диэлектриком, имеющим
диэлектрическую проницаемость е, так что диэлектрик заполняет по-
половину конденсатора. 1) Чему равна емкость конденсатора С? 2) Чему
равна напряженность поля Е в воздушной части промежутка между
пластинами и в части, заполненной диэлектриком? 3) Как распределена
поверхностная плотность а электричества в пластине? 4) Определить
уменьшение энергии конденсатора AW и на что она была израсходо-
26
Задачи
d
9
В
вана. Считать, что граница жидкость-воздух плоская и все параметры
конденсатора изменяются скачком.
166. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин 200 см2
и расстоянием между ними 0,1см находится пластина из стекла (е =
= 5), целиком заполняющая пространство между пластинами конден-
конденсатора. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклян-
стеклянную пластину? Решить задачу при двух условиях: 1) конденсатор все
время присоединен к батарее с ЭДС, равной 300 В; 2) конденсатор
был первоначально присоединен к той же батарее, а затем отключен,
и только после этого пластина была удалена. Найти механическую
работу, которая затрачивается на удаление пласти-
пластины в том и другом случае.
167. Подвижные пластины конденсатора пере-
переменной емкости стоят в некотором среднем по-
положении. Какой момент сил М действует (вслед-
(вследствие взаимодействия зарядов) на систему подвиж-
подвижных пластин конденсатора при разности потенциа-
потенциалов V = 300 В, если число «рабочих» промежутков
между пластинами конденсатора п = 20 0, каждая
пластина имеет форму полукруга радиуса R = 8 см
и расстояние между пластинами d = 0,5 мм?
168. Пластинка кварца растягивается силой
FH = 0,1 кгс. На боковых поверхностях, перпенди-
перпендикулярных к электрической оси кристалла, имеются
металлические обкладки А и В шириной а = 3 см
(рис. 36), толщина пластинки d <C а. Обкладки
соединены с электрометром, емкость которого мала по сравнению с
емкостью плоского конденсатора, образованного обкладками А и В.
Электрометр показывает, что под влиянием
нагрузки FH на обкладках А и В возникает
разность потенциалов V = 1,8 В. Диэлек-
Диэлектрическая проницаемость кварца е = 4,5.
Определить пьезоэлектрическую постоян-
постоянную а кварца.
169. Капля жидкости заряжена элек-
электричеством. Найти зависимость упругости
насыщенного пара над поверхностью кап-
капли от ее заряда q. Используя полученный
результат, объяснить принцип действия ка-
камеры Вильсона.
170. Параллельные длинные однород-
однородные пластины АВ и CD (рис. 37) сделаны
из материала, плохо проводящего электри-
Рис. 36
В
D
С
h
О
X
Рис. 37
О Неподвижных пластин 11, подвижных— 10.
§ 1. Электростатика 27
чество (например, из дерева). Боковые края их А и С накоротко соеди-
соединены хорошим проводником (например, металлом), а между краями В
и D поддерживается постоянное напряжение V. Найти напряженность
электрического поля и форму электрических силовых линий между
пластинами, пренебрегая краевыми эффектами. Расстояние между пла-
пластинами равно d, а ширина каждой из них АВ = CD = h.
171. Пространство между пластинами слоистого плоского кон-
конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим сла-
слабой электропроводностью. Диэлектрическая проницаемость и удельная
проводимость изменяются от е\ = 4, Ai = 10~9 См/см на одной поверх-
поверхности диэлектрика до е^ = 3, Л2 = 10~12 См/см на другой его поверхно-
поверхности. Конденсатор включен в цепь батареи постоянной ЭДС. Определить
величину и знак суммарного свободного заряда q, который возникает
в диэлектрике, когда в цепи установится постоянный электрический
ток / = 10~7 А, текущий через диэлектрик в направлении от стороны
/ к стороне 2.
172. Пространство между пластинами плоского конденсатора за-
заполнено двумя однородными слабо проводящими слоями диэлектрика
с толщинами d\ и d%. Диэлектрическая проницаемость и удельная
проводимость первого диэлектрика равны соответственно е\ и Ль вто-
второго — ?2 и М- Найти плотность поверхностных свободных зарядов а
на границе между диэлектриками, которая установится при наложении
на конденсатор постоянного напряжения V.
173. Свободная энергия Ф, термодинамический потенциал Ф и
энтальпия / изотропного диэлектрика определяются выражениями
Ъ = U -TS, Ф = Ф - — ED,
4тг
I = U-— ED,
4тг
где U — внутренняя энергия, a S — энтропия диэлектрика. (В дальней-
дальнейшем предполагается, что объем диэлектрика V постоянен и равен еди-
единице.) Показать, что для всякого бесконечно малого квазистатического
процесса выполняются соотношения
d№ = -SdT+^-EdD,
4тг
d<f> = -SdT- -j-DdE,
Air
dI = TdS - —DdE.
4тг
174. Найти выражение для плотности свободной энергии диэлек-
диэлектрика.
175. Найти выражение для плотности внутренней энергии диэлек-
диэлектрика.
176. Показать, что для диэлектриков с «квазиупругими» молекула-
молекулами внутренняя энергия совпадает со свободной энергией.
28 Задачи
177. Вычислить плотность внутренней и свободной энергии для
полярных газообразных диэлектриков с «твердыми» диполями.
178. Найти разность между теплоемкостями единицы объема ди-
диэлектрика при постоянной индукции CD и постоянной напряженности
электрического поля СЕ- Как осуществить нагревание при постоян-
постоянном D и при постоянном Е?
179. Найти изменение температуры диэлектрика при его квазиста-
квазистатической адиабатической поляризации (электрокалорический эффект).
Объем диэлектрика во время поляризации поддерживается постоян-
постоянным.
180. Определить изменение температуры газообразного полярного
диэлектрика с «твердыми» диполями при квазистатическом адиабати-
адиабатическом выключении электрического поля, если объем газа во время
процесса поддерживается постоянным. Дипольный момент молекулы
газа р= 10~18СГСЭ, постоянная адиабаты газа 7= 1>4, начальная
температура Т = 100 К, начальная напряженность электрического поля
Е= 100СГСЭ = 3- 106 В/м.
181. Показать, что вблизи абсолютного нуля температуры выпол-
выполняется соотношение л
lim — =0.
дТ
182. Прямой пьезоэлектрический эффект состоит в том, что при
механических деформациях пьезоэлектрический кристалл (например,
кварц) электризуется (приобретает электрический момент). Обратный
пьезоэлектрический эффект, напротив, заключается в том, что при
наложении электрического поля кристалл деформируется. Исходя из
законов термодинамики, показать, что из
существования прямого (обратного) эффек-
эффекта следует и существование обратного (пря-
(прямого) эффекта. Доказательство провести на
примере пластинки кварца с длиной /, ши-
шириной Ъ и толщиной h (рис. 38). Пластинка
вырезана таким образом, что при ее сжатии
У или растяжении вдоль оси X появляются
" электрические заряды на гранях, перпенди-
р оо кулярных к той же оси (продольный эф-
эффект). Заряды на тех же гранях возникают
также при сжатии или растяжении пластинки вдоль оси Y (поперечный
эффект). При сжатии или растяжении вдоль оси Z пьезоэффект не
наблюдается.
§2. Законы постоянного тока
183. Каково сопротивление R отрезка медного провода диаметром
2 мм, если масса всего отрезка 0,893 кг? Удельное сопротивление меди
р = 0,017 • 10~4 Ом • см и плотность т = 8,93 г/см3.
§2. Законы постоянного тока 29
184. В созданных А.Н. Лодыгиным первых электрических лампах
накаливания A872 г.) накаливался угольный стерженек. Подсчитать
мощность, потребляемую шестивольтовой лампочкой Лодыгина, если
угольный стерженек имел длину 6 см и диаметр 2 мм. Удельное сопро-
сопротивление угля при температуре О °С р = 7 • 10~3 Ом • см и темпера-
температурный коэффициент сопротивления а = -2 • 10~4 ""С. Нормальная
температура накала стерженька 1600 °С.
185. На цоколе лампочки накаливания с вольфрамовой нитью
накала написано: 120 В, 60 Вт. При измерении сопротивления этой
лампочки в холодном состоянии на мостике Уитстона оказалось, что
оно равно всего 20 Ом. Какова нормальная температура накала ни-
нити, если температурный коэффициент сопротивления вольфрама а =
= 5- Ю-^С?
186. Сопротивление электролампочки 120 В, 100 Вт в накаленном
состоянии больше, чем в холодном, в 10 раз. Найти ее сопротивление R
в холодном состоянии и температурный коэффициент сопротивления а,
если температура накала нити 2000 °С.
187. Какой следует взять диаметр D медного провода, чтобы паде-
падение напряжения на нем на расстоянии 1,4 км равнялось 1В при токе
в 1А?
188. Ленц для своих опытов, в которых он впервые точно устано-
установил закон, выражающий количество тепла, выделенное током (закон
Джоуля-Ленца), пользовался сосудом, наполненным спиртом, в кото-
который погружена платиновая спираль. Пропуская ток через спираль и
измеряя время, за которое температура спирта поднимается на градус,
Ленц установил количество тепла, выделенное током. Найти скорость
повышения температуры в приборе Ленца, если провод платиновой
спирали имел длину / = 40 см, диаметр D = 1мм; к спирали бы-
было подведено напряжение V = 1,1В, а масса спирта в сосуде т =
= 1 кг. Удельное сопротивление платины при рабочей температуре р =
= 0,12 • 10~4 Ом • см, удельная теплоемкость спирта с = 0,6 кал/(г • °С).
Теплоемкостью сосуда и потерями тепла пренебречь. Почему Ленц
пользовался спиртом, а не водой?
189. Электрическая цепь составлена из трех кусков провода оди-
одинаковой длины и сделанных из одинакового материала, соединенных
последовательно. Сечение всех трех кусков различно: 1, 2, Змм2.
Разность потенциалов на концах цепи
равна 12 В. Определить падение напря-
напряжения V на каждом проводнике.
190. Цепь составлена из девяти
проводников, образующих шестиуголь-
шестиугольник с диагоналями, исходящими из
одной и той же вершины (рис. 39).
Сопротивление каждого из проводов
равно г. Определить сопротивление R
всей цепи между точками А и В. Рис. 39
30
Задачи
191. Составлена цепь, показанная на рис. 40, где Rx — переменное
сопротивление. Начертить график зависимости силы тока от сопротив-
сопротивления Rx. Величины Ш и R известны.
Внутренним сопротивлением батареи прене-
пренебречь.
192. Батарея гальванических элементов
с ЭДС $ и внутренним сопротивлением г
замкнута на внешнее сопротивление R. По-
Построить график изменения напряжения V во
внешней цепи в зависимости от R.
193. Батарея включена на сопротивле-
сопротивление R\ = 10Ом и дает ток силой 1\ = ЗА.
Если ту же батарею включить на сопротивление R% = 20 Ом, то сила
тока будет /2 = 1,6 А. Найти ЭДС $ и внутреннее сопротивление
батареи г.
194. Шкала вольтметра, схема которого приведена на рис. 41,
имеет 150 делений. Вольтметр имеет четыре клеммы, рассчитанные на
измерения напряжения до 3, 15, 150 В. Стрелка прибора отклоняется
на 50 делений при прохождении через него тока силой в 1 А. Каково
внутреннее сопротивление прибора при включении его на различные
диапазоны измерений?
Рис. 40
15 В о-
150 В?
Рамка
прибора
Рис. 41
Рис. 42
195. Для определения величины некоторого переменного сопротив-
сопротивления Rx была собрана цепь, состоящая из батареи с ЭДС $ и внутрен-
внутренним сопротивлением г\, переменного сопротивления Rx и амперметра с
внутренним сопротивлением т^ (рис. 42). Оценить точность измерения
сопротивления Rx, т.е. установить связь между ошибкой измерения
тока А/ и ошибкой определения сопротивления ARX, если деления
шкалы прибора пропорциональны току /.
196. Схема омметра, предназначенного для приблизительных изме-
измерений сопротивления, показана на рис. 43. Измерительный прибор А
имеет сопротивление г = 2,5 кОм, шкалу на 100 делений с ценой
0,5 мкА. Указанные на схеме сопротивления имеют следующие значе-
значения: Rx = 1 Ом, R2 = 24 0м, Ro = 20 кОм, R3 = 7 кОм, R4 = 15 кОм.
Внутреннее сопротивление батареи ничтожно мало.
1) Определить сопротивление шунта прибора при напряжении ба-
батареи 8= 1,5 В, которое подбирается из условия: при замкнутых
§2. Законы постоянного тока
31
накоротко клеммах омметра стрелка прибора отклоняется на 100 де-
делений.
2) При уменьшении напряжения батареи (8 < 1,5 В) можно изме-
изменением шунта «установить нуль» омметра, т. е. добиться того, чтобы
при Rx = 0 стрелка прибора все равно показывала 100 делений. Опре-
Определить, до какой величины может понизиться напряжение батареи.
200 Вт
ИОВ
200 Вт
220 В
Рис. 43
3) Указать величину сопротивления Rx, соответствующего п деле-
делениям шкалы. Установить связь между шкалами измерительного прибо-
прибора и омметра.
4) Найти ошибку при определении сопротивления, если надежный
отсчет можно сделать только с точностью до половины деления шкалы.
5) Каким образом следует изменить величины сопротивлений R\ и
i?2, чтобы расширить диапазон измеряемых сопротивлений Rx в 10 раз,
т.е. чтобы значение сопротивления по шкале омметра было в 10 раз
меньше значения Rx?
197. Каково будет отношение плеч 1\
и /2 при равновесии в мостике Уитстона,
изображенном схематически на рис. 44,
если в другие плечи его включены пока-
показанные на рисунке электрические лам-
лампы? При каких условиях можно отве-
ответить на этот вопрос, имея в своем распо-
распоряжении только данные, указанные на
цоколях лампы?
198. К мостику Уитстона приложено
напряжение V. Гальванометр имеет со-
сопротивление г и показывает ток /, когда
в плечи мостика включены сопротивления Rx, R\, R2, R$. Найти
неизвестное сопротивление Rx.
199. Найти сопротивление R между точками А и В для цепи,
показанной на рис. 45. Сопротивления отдельных ветвей указаны на
рисунке.
32
Задачи
200. Точность измерения сопротивлений мостиком Уитстона наи-
наибольшая, когда сопротивления соседних плеч равны, т. е. когда R\ = Щ
(рис. 46). Доказать это для случая, когда сопротивление гальванометра
очень велико и поэтому током через
гальванометр можно пренебречь.
Рис. 45
Рис. 46
Указание. Найти связь между относительным изменением Rx и
изменением напряжения на гальванометре AV.
201. Нарушится ли равновесие мостика Уитстона, если поменять
местами источник тока и гальванометр? Изменится ли при этом чув-
чувствительность измерительной схемы?
202. В мостике Уитстона (см. рис. 44) положение на шкале пол-
ползунка А, соединенного со струной (реохордом), позволяет сразу опре-
определить искомое сопротивление в омах, если в правую ветвь мостика
включено постоянное сопротивление 1 Ом. Каким сопротивлениям Rx
отвечают положения ползунка на расстоянии: 1/3, 2/3, 5/6 длины L
струны от левого края, а также где помещается ползунок, если иско-
искомое сопротивление Rx равно 1 и 10 Ом? Построить соответствующий
график. Найти абсолютную и относительную погрешность определения
сопротивления, если полагать, что имеется постоянная погрешность
определения положения ползунка А, ко-
которая составляет 0,1 % длины реохорда.
203. Составлена цепь, показанная на
рис. 47, где Rx — переменное сопротив-
сопротивление. Начертить график зависимости
силы тока, текущего через R\, от со-
сопротивления Rx. Величины <f, R\ и R%
известны.
204. Какой шунт гш нужно присоеди-
присоединить к стрелочному гальванометру со шка-
шкалой в 100 делений, ценой деления 10~6 А и
внутренним сопротивлением гальванометра
150 Ом, чтобы им можно было пользоваться
для измерения сил токов до 1 мА?
205. Сопротивления R\ и R^ (рис. 48)
подобраны так, что ток через гальванометр G
не идет. Считая известными ЭДС <fi и <?2,
найти ЭДС 8. Внутренними сопротивлениями
батарей пренебречь по сравнению с R\ и R^.
Рис. 47
Ф)
Рис. 48
§2. Законы постоянного тока
33
Рис. 49
206. Сопротивления R\, R2, R3 (рис. 49) подобраны так, что ток
через гальванометр G не идет. ЭДС батарей <fi и Из известны. Считая
известными сопротивления R\, R2, R3
и пренебрегая внутренними сопротивле-
сопротивлениями батарей, найти ЭДС Щ и ток 1\,
текущий через батарею <?ь
207. Через вольтметр со шкалой на
100 В протекает ток 0,1мА, и стрелка
отклоняется на 1 В шкалы. Если к нему
присоединить добавочное сопротивление
90кОм, то какую наибольшую разность
потенциалов V можно будет измерять
этим прибором?
208. Батарея аккумуляторов с ЭДС
<f = 6 В замкнута на два последователь-
последовательно соединенных реостата, каждый сопротивлением г = 50000м. Что
покажет вольтметр, присоединенный к клеммам одного реостата, если
сопротивление вольтметра: 1) R= 100000 Ом; 2) R = 10000Ом (внут-
(внутреннее сопротивление батареи мало)?
209. В плоский конденсатор задан-
заданных размеров вдвигается с постоян-
постоянной скоростью v пластина диэлектрика
(рис. 50). Определить ток в цепи бата-
батареи, подключенной к конденсатору.
210. Две плоские прямоуголь-
прямоугольные пластины образуют конденсатор.
Между пластинами без трения может двигаться пластина твердого ди-
диэлектрика (рис. 51). Какую мощность затрачивает батарея, включенная
в цепь конденсатора, и как распределяется эта мощность между элек-
электрической и механической энергиями при втягивании диэлектрика?
1
8
Рис. 50
Рис. 51
211. Вольтметр при включении между зажимами цепи, присоеди-
присоединенной к источнику постоянного тока, показывает разность потенциа-
потенциалов 50 В; другой вольтметр между теми же точками показывает 51 В,
а электростатический вольтметр показывает 52 В. Электростатический
вольтметр, включенный при разомкнутой цепи, показывал 65 В. Опре-
Определить сопротивление цепи, внутреннее сопротивление источника и
сопротивление второго вольтметра, если первый имеет сопротивление
6500 0м.
2 Под ред. И. А. Яковлева
34
Задачи
212. N одинаковых элементов с ЭДС <f и внутренним сопротив-
сопротивлением г разделены на т групп по п элементов в группе. Элементы
в каждой группе соединены параллельно одноименными полюсами,
а сами группы соединены между собой последовательно. При каком
условии ток в цепи (при заданном внешнем сопротивлении R) будет
максимальным?
213. Три гальванических элемента с ЭДС &\, $2, Щ и внутренними
сопротивлениями г\, Г2, гз соединены по схеме, указанной на рис. 52.
Сопротивления соединяющих проводов пренебрежимо малы. 1) Какое
напряжение V будет показывать вольтметр, включенный так, как ука-
указано на этом рисунке? 2) Чему будет равно показание вольтметра, если
величины &i и Т{ связаны соотношением &\/г\ = ё^/гг = 8з/^з?
Рис. 52
Рис. 53
214. По ошибке в цепь были включены параллельно два гальвани-
гальванических элемента с разными ЭДС ^ = 1,9 В и <?2 = 1,1 Вис внутрен-
внутренними сопротивлениями г\ =0,1 Ом и т^ = 0,8 Ом. Элементы замкнуты
на внешнее сопротивление R = 10Ом (рис. 53). Чему равны токи 1\ и
/2 через элементы, как они направлены и как велико напряжение V на
сопротивлении R внешней цепи?
215. Электромагнитный прибор с ценой деления Iq (в амперах) и
внутренним сопротивлением г употребляется как вольтметр с добавоч-
добавочным сопротивлением R. Какова будет цена его деления в вольтах?
216. Имеется прибор с ценой деления 10 мкА. Шкала прибора
имеет 100 делений, внутреннее сопротивление 100 Ом. Как из этого
прибора сделать вольтметр для измерения напряжений до 100 В или
амперметр для измерения тока до 1 А?
217. Батарея с ЭДС & и внутренним сопротивлением г замкнута
на два сопротивления R\ и R%, включенные параллельно друг другу.
Найти: 1) ток / через батарею; 2) ток 1\ через сопротивление R\;
3) во сколько раз изменится ток 1\, если разорвать сопротивление R%
(рассмотреть частный случай, когда г <С R\).
218. От сети с постоянным напряжением 120 В нужно питать
прибор, рассчитанный на напряжение 20 В, и при этом требуется,
чтобы при изменении сопротивления прибора от 100 до 90 Ом разность
потенциалов на нем менялась не более чем на 1 %. Можно ли это
сделать с помощью потенциометра?
§2. Законы постоянного тока
35
219. В схему включены два одинаковых гальванических элемента
с ЭДС 1,5 В и внутренним сопротивлением 2Ом так, как показано на
рис. 54. Какой ток проходит через элементы? Что покажет вольтметр?
Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
220. Что покажет вольтметр в предыдущей задаче, если внутреннее
сопротивление одного гальванического элемента равно 3 0м, а другого
10м?
221. Что покажет вольтметр, если его включить вместе с тремя оди-
одинаковыми гальваническими элементами так, как показано на рис. 55?
Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Рис. 54
Рис. 55
Рис. 56
222. Найти условие, при котором ток, даваемый двумя соединен-
соединенными последовательно разными гальваническими элементами, облада-
обладающими соответственно ЭДС &\ и <?2 и внутренними сопротивлениями
П и Г2, будет меньше тока, даваемого первым из них, если они будут
включены на одно и то же внешнее сопротивление R.
223. При каких соотношениях между сопротивлениями г, Rx и R
в схеме, изображенной на рис. 56, прибор будет показывать практически
очень малое изменение силы тока при значительных изменениях сопро-
сопротивления Rx? Внутреннего сопротивления источника не учитывать.
224. В цепи, изображенной на рис. 57, батареи включены навстречу,
их ЭДС &i = 1,5 В и ?2 = 1 В. Сопротивления R= 100 Ом, Rx = 50 Ом
и R2 = 80 Ом. Найти силу тока, идущего через сопротивление R.
225. Каково должно быть соотношение между сопротивлениями и
ЭДС в цепи, указанной на рис. 57, при котором через вторую батарею
не будет течь ток?
L
1
r\
\b
1
Ri
Рис. 57
Рис. 58
226. Сопротивления цепи, данные которой приведены на рис. 58,
подобраны так, что ток через батарею с ЭДС &\ не идет. Чему равны
напряжение У% на зажимах сопротивления R% и сила тока /з через
сопротивление R%? Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.
36
Задачи
227. В условиях предыдущей задачи чему равны сопротивления R2,
R\ И Д4?
228. Батарея с ЭДС & замкнута на снабженный ползунком реохорд,
имеющий длину / и сопротивление R. К концу реохорда и к ползунку
подключен вольтметр с внутренним сопротивлением г. Как зависят
показания вольтметра от положения ползунка на реохорде?
229. За неимением одинаковых гальванических элементов при-
пришлось включить параллельно два гальванических элемента с ЭДС &\
и 8*2 и с внутренними сопротивлениями г\ и Г2. Они дают ток во
внешнюю цепь, сопротивление которой R. Найти ЭДС & и внутреннее
сопротивление г такого гальванического элемента, который дает во
внешнюю цепь такой же ток при любом сопротивлении R, и показать,
что & всегда меньше наибольшей из ЭДС &\ и <ё2.
230. В цепи, схема которой изображена на рис. 59, известны со-
сопротивления R\, R2, R3 и ток /3 через сопротивление R$. Определить
токи 1\ и /2 через сопротивления
R\ и R2 и ЭДС 8 батареи. r
R,
Рис. 59
Рис. 60
231. В цепи, схема которой приведена на рис. 60, известны все
сопротивления и сила тока /4 через сопротивление R4. Найти ЭДС <f
батареи. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
232. В цепи постоянного тока
(рис.61) П= 10В, ^1 =5 Ом, R2 = R3 =
= 1Ом, R4 = R$ = ЗОм. Найти силы
токов в каждой ветви. Внутренним со-
сопротивлением батареи пренебречь.
233. Чему равна ЭДС <? батареи
(в схеме рис. 61 и при величинах со-
сопротивлений, указанных в предыдущей
задаче), если известно, что ток через ба-
батарею равен 3,24 А?
234. В боковые стороны и диагонали схемы мостика Уитстона
включены источники тока с произвольными ЭДС (рис. 62). Сопротив-
Сопротивления этих сторон и диагоналей, включая внутренние сопротивления
источников тока, равны соответственно R\, R2, ..., Rq. При каком
Рис. 61
§2. Законы постоянного тока
37
условии замыкание и размыкание ключа в диагонали 6 не влияет на
показание гальванометра, включенного в диагональ 5?
235. В предыдущей схеме (рис. 62) гальванометр из диагонали 5
перенесен в боковую сторону /, а ключ К — в противоположную боко-
боковую сторону 4. При каком условии замыкание и размыкание ключа не
будет влиять на показания гальванометра?
Рис. 62
Рис. 63
С
Ш
D
Рис. 64
236. В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 63,
известны сопротивления R\, R^ и Ro,, сила тока / через батарею и
разность потенциалов V21 между точками
2 и /. Найти величину сопротивления R4.
237. Для определения внутреннего
сопротивления г гальванического эле-
элемента можно воспользоваться схемой
рис. 64, в которой гальванометр G с из-
известным сопротивлением R\ дает одина-
одинаковые отклонения стрелки. Будет ли по-
подвижный контакт находиться в В или
в С, причем сопротивление АВ для этой
цели специально подбирается. Пусть сопротивление АВ известно и
равно R%. Чему равно внутреннее сопротив-
сопротивление г гальванического элемента?
238. Рамка гальванометра магнитоэлек-
магнитоэлектрической системы обладает двумя идентич-
идентичными обмотками, так что при пропускании
одного и того же тока по этим обмоткам в
разных направлениях гальванометр остается
на нуле (рис. 65). Каждая из обмоток вме-
вместе с добавочным сопротивлением к ней име-
имеет сопротивление R\ = 1500000м. Обмот-
Обмотка / включена параллельно сопротивлению
i?2, составляющему часть реостата с сопро-
сопротивлением Rx = 10 000 Ом и присоединенно-
Рис. 65
38 Задачи
му к гальваническому элементу, внутренним сопротивлением которого
можно пренебречь. С помощью вращающегося коммутатора К заря-
заряжают от того же элемента п = 40 раз в секунду конденсатор С и
разряжают последний с той же частотой через обмотку // гальваномет-
гальванометра в направлении, противоположном току, идущему через обмотку /.
Сопротивление R% регулируют так, чтобы гальванометр оставался на
нуле; при этом R^ = 3000 Ом. Чему равна емкость конденсатора С?
239. На телеграфной однопроводной линии имеется повреждение с
определенным сопротивлением заземления г (рис. 66). Показать, что
ток / на принимающем конце линии будет наименьшим в том случае,
когда повреждение произошло в середине линии. Сопротивление при-
приемного аппарата мало по сравнению с сопротивлениями всей линии.
Рис. 66
240. Как устроить освещение одной лампочкой коридора, чтобы
человек, входящий с любого конца коридора, мог включить или вы-
выключить лампочку, висящую посередине коридора, независимо от того,
в каком положении находится переключатель на другом конце коридора?
241. Тело из плохого проводника имеет форму цилиндрической
трубки. Длина трубки /, внутренний и внешний радиусы поверхностей
П и Г2, удельное сопротивление вещества трубки р. Цилиндрические
поверхности трубки покрыты обкладками из идеального проводника,
и между обкладками создана некоторая разность потенциалов, вслед-
вследствие чего через стенку трубки идет ток. Найти сопротивление тела R.
242. Шаровой слой, образованный концентрическими сферами из
идеального проводника, заполнен веществом с удельным сопротивле-
сопротивлением р. Чему равно сопротивление R этого шарового слоя, если его
внешний радиус г\, а внутренний Г2?
243. Показать, что сопротивление однородной проводящей среды,
заполняющей все пространство между двумя идеально проводящими
оболочками произвольной формы, равно р/DтгС), где р — удельное со-
сопротивление среды, а С — взаимная емкость этой системы электродов-
оболочек в вакууме.
244. Два металлических шара одинакового радиуса г погружены
в однородную среду с удельным сопротивлением р. Чему равно со-
сопротивление R среды между шарами? Считать, что расстояние между
шарами очень велико по сравнению с их радиусами.
245. Два электрода А\ и А% произвольной формы глубоко зарыты
в землю и соединены между собой воздушным проводом (телеграфная
линия). Электроды находятся далеко друг от друга. Емкости электро-
§2. Законы постоянного тока 39
дов (в вакууме) равны соответственно С\ и С^- Почву в окрестности
каждого электрода можно считать однородной. Найти сопротивление
земли R между электродами, если удельные сопротивления почвы
в окрестности электродов равны соответственно р\ ир2.
246. Сравнить напряжения V на клеммах, а также мощности N,
развиваемые во внешней цепи следующими двумя генераторами тока:
1) батареей из п = 50 элементов, соединенных последовательно и
имеющих каждый ЭДС %?\ = 2 В, причем внешняя цепь имеет сопротив-
сопротивление R\ = 200 Ом, а внутреннее сопротивление элемента г\ = 0,2 Ом;
2) электрофорной машиной с несколькими дисками, создающей на
шаровых кондукторах разность потенциалов <?2 = 100 000 В и облада-
обладающей внутренним сопротивлением т^ = Ю8Ом, когда ее подключают
к внешней цепи с сопротивлением R2 = 105Ом. Как изменятся силы
токов и мощности во внешней цепи, если сопротивления внешних
цепей удвоятся?
247. Сравнить напряжения V и мощности N во внешней цепи,
создаваемые: 1) динамо-машиной постоянного тока с весьма малым
внутренним сопротивлением, дающей во внешнюю цепь с сопротив-
сопротивлением 20 Ом ток силой 5,5 А; 2) батареей элементов предыдущей
задачи, замкнутой на такое же сопротивление 20 Ом. Как изменятся
результаты этого сравнения, если внешнее сопротивление упадет в два
раза?
248. Батарея с ЭДС & = 40 В и внутренним сопротивлением г =
= 5Ом замыкается на внешнее сопротивление R, изменяющееся от
нуля до 35 0м. Построить на одном чертеже следующие графики за-
зависимости от внешнего сопротивления R: 1) мощности, развиваемой
во внешней цепи; 2) мощности, рассеивающейся внутри источника;
3) всей мощности.
249. Электрическая лампочка рассчитана на напряжение V и по-
потребляет мощность N. Нить этой лампочки можно рассматривать как
цилиндр длины / с радиусом г. Какой длины /' и какого радиуса г1
нужно взять нить из того же материала, чтобы лампочка при напряже-
напряжении V' потребляла мощность TV'? В обоих случаях считать температуру
нити при калении одинаковой, а охлаждение нити пропорциональным
ее поверхности.
250. Вследствие испарения нити при высокой температуре нака-
накала диаметр нити с течением времени уменьшается. Насколько надо
изменить (повысить или уменьшить?) приложенное к нити накала
напряжение при уменьшении диаметра нити на р%, чтобы температура
нити осталась прежней? Охлаждение нити происходит пропорциональ-
пропорционально величине ее поверхности.
251. По сети длиной 5 км необходимо передать энергию от ис-
источника с напряжением НОВ, имеющего мощность 5 кВт. Какого
минимального диаметра D должен быть медный провод, чтобы потери
энергии в сети не превышали 10% от мощности источника? Удельное
сопротивление меди р = 0,017 • 10~4 Ом • см.
40 Задачи
252. От источника с напряжением 8= 100000 В требуется пере-
передать на расстояние / = 5 км мощность N = 5000 кВт. Допустимая поте-
потеря напряжения в проводах п = 1 %. Рассчитать минимальное сечение S
медного провода, пригодного для этой цели. Удельное сопротивление
меди р = 0,017 • 10~4Ом-см. Сравнить с результатом предыдущей
задачи.
253. Во сколько раз следует повысить напряжение источника, что-
чтобы снизить потери мощности в линии в 100 раз при передаче той же
самой мощности при условии, что в первом случае падение напряжения
в линии AV = nV, где V — напряжение на нагрузке?
254. М. О. Доливо-Добровольский предложил трехпроводную си-
систему постоянного тока, изображенную на рис. 67 а. Преимущество
этой системы заключается в уменьшении массы меди, необходимой для
проводов, соединяющих источник с нагрузкой. Для выяснения этого
преимущества сравним две системы а и б на рис. 67, передающие
одинаковую мощность 0.
1) Определить относительное уменьшение массы проводов в систе-
системе Доливо-Добровольского при следующих условиях: нагрузки в си-
системе а симметричны, т.е. R\ = ifo передаваемые мощности и потери
.* '¦
"
Рис. 67
мощности в сети для обеих систем одинаковы; в каждой системе все
провода имеют одинаковое сечение; длины и материал проводов везде
одинаковы.
2) Подсчитать соотношение потерь мощности в сети для обеих
систем при несимметричных нагрузках в системе а, считая, что со-
сопротивление проводов выбрано исходя из условий, сформулированных
в п. 1, и мощность генераторов обеих систем одинакова. Определить
отношение потерь мощности как функцию величины а = 1\Щ.
255. Имеются три электрические лампочки, рассчитанные на на-
напряжение ПО В и имеющие мощности 50, 50 и 100 Вт. По какой схеме
можно включить эти лампочки в сеть с напряжением 220 В так, чтобы
все они горели полным накалом?
О Для осуществления этой системы Доливо-Добровольский специально
сконструировал машину постоянного тока с делителем напряжения, так что
вместо двух машин, указанных на рис. 67 а, применялась одна машина.
§2. Законы постоянного тока 41
256. В коридор квартиры подведено напряжение V = 120 В. В сере-
середине коридора и в противоположном от ввода конце горят 100-ваттные
лампочки. От ввода до второй лампочки в конце коридора расстояние
/ = 20 м. Насколько изменится потребляемая лампочками мощность,
если на равном расстоянии между ними включить электроплитку,
потребляющую ток / = 5 А? Сечение провода S = 2 мм2. Изменения
сопротивлений лампочек можно не учитывать.
257. Дана электрическая цепь, в которой находится, помимо дру-
других сопротивлений, некоторое сопротивление Ro, потребляющее мощ-
мощность N. Когда к клеммам этого сопротивления подключают парал-
параллельно еще одно такое же сопротивление, то в них обоих также
расходуется мощность N. Дать простейшую схему и расчет такой цепи.
258. Найти закон повышения температуры Т манганиновой про-
проволоки, по которой идет постоянный ток. Принять закон охлаждения
Ньютона, т. е. считать, что количество тепла, отдаваемое единицей
поверхности проволоки за единицу времени, Q = к(Т — То), где То —
температура окружающей среды, к — коэффициент в законе Ньютона.
В начальный момент температура проволоки равна температуре окру-
окружающей среды Tq. Сопротивление проволоки R, длина /, радиус сече-
сечения ее г, плотность т, удельная теплоемкость с. Сила тока, идущего по
проволоке, постоянна и равна /. Сопротивление манганина не зависит
от температуры.
259. К электродам электролитической ванны приложена разность
потенциалов V, которая поддерживается постоянной. Сопротивление
электролита в результате увеличения подвижности ионов и их концен-
концентрации меняется с температурой по закону
Принимая, что охлаждение электролита подчинено закону Ньютона
(см. предыдущую задачу), найти установившуюся температуру элек-
электролита. Поверхность электролита S и температура окружающей сре-
среды То. Массу электролита га и его удельную теплоемкость с считать
неизменными.
260. Как зависит от времени мощность N, выделяемая током
в угольном стержне, включенном на постоянное напряжение V, если
сопротивление R угля зависит от температуры по закону
Ro
R =
\+аТ
и если проводник охлаждается по закону Ньютона (см. задачу 258)?
Масса угля га, удельная теплоемкость с, поверхность S, начальная
температура угля и окружающей среды То.
261. Имеется п идеально проводящих тел в вакууме с зарядами
q\, q2, ..., qn и потенциалами (р\, (р2, ..., (рп. Какое количество тепла
будет выделяться ежесекундно, если пространство между этими тела-
42 Задачи
ми заполнить однородной жидкостью с удельной проводимостью Л и
диэлектрической проницаемостью е, а потенциалы тел поддерживать
при прежних значениях?
262. К заряженному до напряжения Vb
конденсатору с емкостью С\ подключается
незаряженный конденсатор с емкостью Сч
(рис. 68). Найти зависимость тока в цепи от
времени, если сопротивление проводов, сое-
~"" диняющих обкладки конденсаторов, равно R.
р ~? Какое количество тепла выделится в прово-
проводах в результате прохождения тока?
263. Пластины воздушного конденсатора с емкостью С = 10~10 Ф
соединены с сопротивлением R через батарею с ЭДС Ш. Пластины
быстро сближаются в течение времени At = 10~2 с, расстояние между
ними при этом уменьшается вдвое. При каком условии за это время
заряд конденсатора практически не изменится? Найти джоулево тепло
<ЭДЖ, которое выделится в сопротивлении R к моменту окончания
перезарядки.
§ 3. Постоянные магниты
264. Три совершенно одинаковые магнитные стрелки расположены
в вершинах равностороннего треугольника. Стрелки могут вращать-
вращаться вокруг осей, перпендикулярных к плоскости треугольника. Всеми
остальными влияниями и магнитным полем Земли можно пренебречь.
Длина стрелки много меньше длины стороны треугольника. Каково
положение равновесия стрелок?
265. Магнитная стрелка обладает магнитным моментом SDT (направ-
(направление магнитного момента совпадает с направлением оси стрелки от
южного полюса к северному). Найти потенциал V и напряженность Н
магнитного поля в точке А, находящейся на расстоянии d от центра
стрелки в направлении (р относительно оси стрелки. Какой угол в обра-
образует напряженность поля в точке А с радиусом-вектором d? Магнитная
проницаемость среды /х. Расстояние d много больше длины / стрелки.
266. Магнитная стрелка с моментом SDT расположена в однородном
магнитном поле, напряженность которого Н, и образует с направлени-
направлением поля угол в. Чему в этом случае равна потенциальная энергия &тт
стрелки в магнитном поле?
267. Два одинаковых достаточно тонких магнита находятся на
расстоянии, которое в п раз больше длины каждого из них. С какой
силой F притягивают они друг друга, если магнитный момент каждого
из них ЯЯ, а длина / и они расположены на одной прямой разноимен-
разноименными полюсами друг к другу? Магнитная проницаемость среды /х = 1
И ГС» 1.
268. Определить период колебаний Т магнитов предыдущей задачи,
если их сблизить так, чтобы расстояние между ними было в п = 20
§ 3. Постоянные магниты
43
раз меньше длины каждого из них, и отклонить их в одну сторону на
небольшой угол (р, как указано на рис. 69, а затем отпустить. Магниты
N
SN
Рис. 69
укреплены на осях без трения, и момент инерции каждого магнита
вокруг оси равен J.
269. Уменьшится или увеличится период колебаний, если в началь-
начальный момент магниты (см. условия предыдущей задачи) разведены на
N -
Рис. 70
одинаковые малые углы в разные стороны примерно так, как указано
на рис. 70, а затем отпущены?
270. В однородном вертикальном магнитном поле висит подве-
подвешенный за один конец тонкий намагниченный стержень. Магнитный
момент стержня SDT = 49 СГСМ, масса его ш = 6г, длина / = 100 мм.
Найти величину и направление напряженности поля Н, если период
колебаний Т этого магнита в два раза больше периода его колебаний Т
в отсутствие магнитного поля. Получить общее выражение для Т.
271. Магнитный момент стрелки компаса SDT, ее масса га, длина /.
Горизонтальная слагающая земного магнитного поля Н. Рассматривая
магнитную стрелку как тонкий стержень, определить период Т ее
колебаний в магнитном поле Земли.
272. Магнит с магнитным моментом SDT в виде цилиндрического
стержня массы m и радиуса R подвешен за свою середину на ни-
нити следующим образом. В середине стержня перпендикулярно к оси
просверлено очень малое отверстие, в котором закреплена нить. Как
расположится стержень в магнитном поле Земли, горизонтальная и
вертикальная составляющие которого соответственно равны Нт и Яв?
273. В узком зазоре магнита напря-
напряженность поля Н = 400Э (рис. 71). Ка-
Какова напряженность поля Щ в материале
магнита вблизи зазора, если магнитная
проницаемость материала /х = 500?
274. Намагниченность J^ прямоуголь-
прямоугольного бруска одинакова во всех точ-
точках бруска и направлена вдоль его оси
Рис. 71
Рис. 72
(рис. 72). Найти поверхностную плотность а магнитных зарядов на
концах бруска и соотношение между В и Н внутри бруска.
44 Задачи
275. Магнитная стрелка представляет собой прямую тонкую сталь-
стальную спицу длины / = 6 см и массы т = 1 г. Стрелка может свободно
вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс.
После отклонения от положения равновесия она совершает колебания
в магнитном поле Земли. Показать, что эти колебания гармониче-
гармонические (при малых углах отклонения). Определить магнитный момент
Ш стрелки, зная, что период колебаний Т = 5 с и горизонтальная
слагающая земного поля Н = 0,2 Э.
276. Постоянный магнит в форме подковы с круглым сечением,
диаметр которого D = 2 см, способен удержать якорь с грузом, ко-
которые вместе имеют массу m = 10 кг. Чему равны напряженность Н
магнитного поля вблизи полюсов магнита и поверхностная плотность
а магнитных зарядов на полюсе?
277. Ряд одинаковых магнитных стрелок насажен на острия, на-
находящиеся на одной прямой, на равных расстояниях друг от друга.
Каковы возможные положения равновесия и какие из них устойчивы?
278. Горизонтальную слагающую земного поля Н можно опреде-
определить следующим образом. Взять сильный короткий магнит в виде
прямоугольного бруска, насаженного в центре на вертикальное острие,
и найти период Т малых колебаний его около положения равновесия.
Затем расположить его перпендикулярно к земному полю в горизон-
горизонтальной плоскости и поместить короткую магнитную стрелку на про-
продолжении оси бруска на расстоянии d, много большем длины бруска,
и определить угол а, который образовала стрелка с направлением
бруска. Как, зная Т, d и а, вычислить Н? Момент инерции бруска
относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, считать
известным и равным J.
279. Как из данных предыдущей задачи определить магнитный
момент Ш бруска?
280 0. Свободная энергия Ф, термодинамический потенциал Ф и
энтальпия / изотропного магнетика определяются выражениями
Ф = U-TS, Ф = Ф - — НВ, I = U- — НВ,
4тг 4тг
где U — внутренняя энергия, г S — энтропия магнетика. (Во всем даль-
дальнейшем предполагается, что объем магнетика V постоянен и равен
единице.) Показать, что для всякого бесконечно малого квазистатиче-
квазистатического процесса выполняются соотношения
<№ = -SdT+^-HdB, б/Ф = -SdT - ^-
4тг 4тг
dI = TdS - ^-
4тг
1) Задачи 280-292 предполагают знакомство с явлением электромагнитной
индукции, а также вопросами, связанными с энергией магнитного поля и
процессами намагничивания.
§ 3. Постоянные магниты 45
281. Найти выражения для плотности свободной и внутренней
энергии пара- и диамагнетика.
282. Показать, что для диамагнетиков внутренняя энергия совпа-
совпадает со свободной.
283. Вычислить плотность внутренней и свободной энергий для
парамагнитных газов.
284. Найти разность между теплоемкостями единицы объема пара-
и диамагнетика при постоянной индукции Св и постоянной напряжен-
напряженности магнитного поля Си- Как осуществить нагревание при постоян-
постоянном Ю
285. Найти изменение температуры парамагнетика при квазиста-
квазистатическом адиабатическом намагничивании (магнитокалорический эф-
эффект). Объем парамагнетика во время намагничивания поддерживается
постоянным.
286. Решить предыдущую задачу в предположении, что магнитная
восприимчивость парамагнетика подчиняется закону Кюри ж ~ 1/Т.
Пренебрегая зависимостью Сн от магнитного поля и от температуры,
вычислить изменение температуры при адиабатическом размагничива-
размагничивании, когда поле меняется от Н до нуля.
287. Найти изменение температуры парамагнитного газа, к кото-
которому применима классическая теория теплоемкостей, при адиабатиче-
адиабатическом размагничивании. Получить числовой результат для кислорода
при нормальных условиях (Т = 293 К, Р = 106 дин/см2). Магнитная
восприимчивость кислорода х = 0,16- 10~6, начальное значение маг-
магнитного поля Н = 3 • 104 Э.
288. Почему магнитокалорический эффект, дающий при нормаль-
нормальных условиях ничтожные понижения температуры, является эффектив-
эффективным методом получения сверхнизких температур?
289. Показать, что вблизи абсолютного нуля температуры для пара-
и диамагнетиков выполняются соотношения
lim -f- = hm —- = U.
т^0 дТ т^о дТ
290. Щелочные металлы, как показывает опыт, обладают пара-
парамагнетизмом, не зависящим от температуры. Паули объяснил это об-
обстоятельство тем, что парамагнетизм таких металлов обусловлен не
магнитными моментами атомов, а спинами электронов проводимости
в металлах. Показать, что температурная независимость парамагне-
парамагнетизма «электронного газа» в металлах является следствием термоди-
термодинамики.
291. Показать, что вблизи абсолютного нуля температуры выпол-
выполняется соотношение
46
Задачи
292. В классической теории парамагнетизма газов Ланжевена на-
намагниченность J^ определяется выражением
где Ш — магнитный момент атома, п — число атомов в единице объема,
а х — безразмерная величина, равная ШН/(кТ). Какой вид принимает
это выражение вблизи абсолютного нуля температуры? Выполняется
ли при этом теорема Нернста? Рассмотреть те же вопросы для про-
простейшей квантовой теории парамагнетизма, в которой предполагается,
что магнитный момент атома обусловлен спинами электронов и равен
одному магнетону Бора. В этой теории
Рис. 73
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник
в магнитном поле
293. Из куска изолированной проволоки сделан круглый виток
радиуса R и подключен к источнику тока с постоянной ЭДС <f. Как
изменится напряженность магнитного поля в цен-
*^ тре круга, если из того же куска проволоки сделать
два прилегающих друг к другу витка радиуса R/2?
294. Дан плоский замкнутый контур произ-
произвольной формы, по которому идет ток (рис. 73).
Определить направление напряженности магнитно-
магнитного поля в точке А, лежащей внутри контура, и
в точке В, лежащей вне контура.
295. Вдоль стенки цилиндрической трубы идет постоянный ток
силы /. Какова напряженность магнитного поля Н внутри и вне трубы?
296. По однородному прямолинейному цилиндрическому проводни-
проводнику радиуса R идет ток /. Найти напряженность магнитного поля Н
внутри и вне проводника на расстоянии г от оси.
297. Бесконечно длинный цилиндрический
провод (рис. 74) состоит из двух коаксиальных
цилиндров: центрального сплошного цилиндра
радиуса R\, сделанного из материала с удель-
удельным сопротивлением р\, и окружающего его
полого цилиндра с внешним радиусом R<i, изго-
изготовленного из материала с удельным сопротив-
сопротивлением р2. Внешняя поверхность сплошного и
внутренняя поверхность полого цилиндров на-
находятся в электрическом контакте. По проводу
Рис. 74
параллельно его оси течет постоянный ток /. Найти выражения для
напряженности магнитного поля Н внутри и вне проводов.
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле
47
Рис. 75
298. Вдоль тонкостенной цилиндрической трубки радиуса R =
= 25мм течет постоянный ток / = 20 А. В стенке трубки имеется
тонкая щель ширины d = 1 мм, параллельная оси трубки. Определить
напряженность магнитного поля Н внутри трубки на расстоянии г от
середины щели, большем по сравнению с d.
299. По двум бесконечно длинным
прямолинейным проводникам, сделан-
сделанным из немагнитного материала и
изолированным друг от друга, текут
в противоположных направлениях то-
токи с одной и той же плотностью j =
= 1000 А/см2. Проводники ограниче-
ограничены цилиндрическими поверхностями.
(На рис. 75 поперечные сечения про-
проводников заштрихованы.) Найти вели-
величину и направление напряженности магнитного поля в полости /7. Ток
в левом проводнике направлен к читателю, а в правом — от читателя.
Расстояние между осями цилиндров АВ = d = 5 см.
300. Определить напряженность магнитного поля внутри беско-
бесконечной цилиндрической полости, сделанной в бесконечном цилиндри-
цилиндрическом проводе, вдоль которого течет постоянный ток плотности j,
равномерно распределенный по сечению провода. Расстояние между
осями провода и полости равно d.
301. В высокий цилиндрический сосуд радиуса R налит электро-
электролит. Внутри сосуда параллельно его оси расположен цилиндрический
металлический стержень, поверхность которого покрыта изолирующей
краской. Расстояние между осями стержня и сосуда равно d. В элек-
электролите параллельно оси течет ток силы /, возвращающийся обратно
по стержню. Считая плотность тока в электролите постоянной, найти
силу, с которой магнитное поле, созданное рассматриваемыми токами,
действует на единицу длины стержня. Куда эта сила направлена?
Радиус стержня равен г.
302. На рис. 76 показана схема симметричного разветвления токов.
Все проводники прямолинейны, бесконечны и лежат в одной плоскости.
Определить напряженность магнитного поля на линии, перпендикуляр-
перпендикулярной к плоскости токов и проходящей через точку А, если сила тока
в каждой ветви равна /.
303. Решить задачу 302 с таким изменением условия, какое можно
видеть на рис. 77.
\а "
Рис. 76
Рис. 77
48
Задачи
304. Определить напряженность магнитного поля в плоскости сим-
симметрии проводника, изогнутого под прямым углом (рис. 78), на линии
ОАО', лежащей в плоскости тока, и на
линии, перпендикулярной к этой плоскости
и проходящей через точку А. Начертить
приближенно ход линий магнитного поля
в плоскости симметрии.
305. Источник ЭДС присоединен к двум
противоположным вершинам проволочного
, плоского контура, имеющего форму квадра-
квадрата. Какова величина напряженности магнит-
р ного поля Н, создаваемого токами, текущи-
рис 78 ми по сторонам контура, в центре квадрата?
Поле подводящих проводов не учитывать.
306. Найти напряженность магнитного поля Н в центре плоского
прямоугольного контура со сторонами а и Ъ, обтекаемого током /.
307. Определить напряженность магнитного поля Н в центре рав-
равностороннего треугольника со стороной а, обтекаемого током /.
308. Какова напряженность магнитного поля Н в центре равносто-
равностороннего треугольника из однородной проволоки, если источник ЭДС
подключен к двум вершинам треугольника? Поле подводящих проводов
не учитывать.
309. К противоположным концам диаметра АВ проволочного кон-
контура в виде окружности радиуса R (рис. 79) присоединен источник
ЭДС. Какова напряженность магнитного
поля Н в произвольной точке С диаметра?
Поле подводящих проводов не учитывать.
В
Рис. 79
310. Деревянный шар радиуса R обмотан тонкой проволокой так,
что витки ложатся по большим кругам, пересекаясь в концах одного
и того же диаметра АВ (рис. 80). Число витков шесть, и плоскости
каждой пары соседних витков образуют угол 30°. По проволоке течет
ток силы /. Найти величину и направление напряженности поля Н
в центре шара.
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле
49
311. На деревянный цилиндрический барабан намотаны четыре
витка проволоки под углом 45° один к другому; каждый виток пред-
представляет собой прямоугольную рамку со сторонами h (высота бараба-
барабана) и D = АВ (диаметр основания). Обмотка начинается и кончается
в центре С одного из оснований барабана (рис. 81). По проволске течет
ток силы /. Найти величину и направление напряженности магнитного
поля Н в середине оси цилиндра.
Рис. 81
Рис. 82
312. Внутри однородной проводящей сферы от точки А к точке В
(рис. 82) по диаметру большого круга проходит проводник. Ток силы /
идет от В к А, а затем по сфере —к точке В. Определить напря-
напряженность магнитного поля внутри и вне сферы, создаваемого токами,
текущими по проводнику и по сфере.
313. Деревянный шар радиуса R обмотан тонкой проволокой так,
что все витки параллельны между собой. Витки плотно уложены и
покрывают половину поверхности шара в один слой (рис. 83). По прово-
проволоке идет ток силы /. Найти напряженность магнитного поля Н в цен-
центре шара С. Общее число витков N. Витки можно считать кольцами,
находящимися на равном расстоянии друг от
друга по дуге большого круга, плоскость ко-
которого перпендикулярна к плоскости колец.
Рис. 83 Рис. 84
314. Из одинаковых кусков проволоки спаян куб (рис. 84). К про-
противоположным концам А и В его диагонали приложена ЭДС. Какова
напряженность Н магнитного поля в центре куба? Поле подводящих
проводов не учитывать.
50
Задачи
315. Найти напряженность магнитного поля Н в центре плоского
замкнутого контура, изображенного на рис. 85, по которому течет
ток силы /. Контур состоит из двух дуг радиуса R и двух прямых,
отстоящих друг от друга на расстоянии 2а.
R/
Рис. 85
Рис. 86
316. Найти напряженность магнитного поля Н в центре плоской
спирали, по которой течет ток силы /. Спираль заключена между
окружностями радиуса R\ и R% (рис. 86). Общее число витков спира-
спирали N. Поле подводящих проводов не учитывать.
317. Найти напряженность магнитного поля Н на оси соленоида
в точке А, из которой диаметры концов видны под углами 2а и 2/3
(рис. 87). Соленоид состоит из N витков, равномерно намотанных на
длине /, и по нему идет ток силы /.
318. Для предыдущей задачи построить график зависимости на-
напряженности магнитного поля Н на оси соленоида от расстояния х
точки А от середины соленоида, приняв следующие числовые данные:
/ = 1 A; D = 2 см; I = 1 м; N = 1000;
х = 0; 25; 40; 45; 50; 60 см. *г
-D
Рис. 87
О
Рис.
X
319. Найти напряженность магнитного поля Н в фокусе плоского
эллиптического проводника, по которому течет постоянный ток силы /.
Эксцентриситет эллипса е = с/а и параметр р = Ь2/а, где а и Ъ —
полуоси эллипса, с —расстояние между его фокусами.
320. Два круговых тока одинакового радиуса R отстоят друг от
друга на расстоянии их диаметра. Токи одинаково направлены и оди-
одинаковой силы. Построить график зависимости напряженности поля Н
вдоль прямой, проходящей через их центры (рис. 88).
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 51
321. Заряженный шарик радиуса R равномерно вращается вокруг
своего диаметра с угловой скоростью ио. Общий заряд шарика равен q.
Найти магнитное поле шарика на расстояниях г, больших по срав-
сравнению с R, если заряд равномерно распределен: 1) по поверхности
шарика; 2) по объему шарика.
322. Определить удлинение спиральной пружины
х, по которой течет постоянный ток / и к нижнему
концу которой подвешен груз массы т (рис. 89). Длина
недеформированной пружины равна /, диаметр витка D,
число витков N. Предполагается, что деформации ма-
малы (х <С I) и подчиняются закону Гука (коэффициент -
жесткости пружины равен к).
323. Длинный сплошной металлический цилиндр
радиуса R заряжен электричеством и вращается с по-
стоянной угловой скоростью ио вокруг своей продольной оси. Заряд,
приходящийся на единицу длины цилиндра, равен Q. Найти напря-
напряженность магнитного поля Н внутри цилиндра, а также разность
потенциалов V между осью и поверхностью цилиндра, возникающие
из-за его вращения. Действием центробежной силы пренебречь. (Когда
это можно делать?)
324. Длинный сплошной цилиндр из диэлектрика статически по-
поляризован, причем поляризованность во всех точках цилиндра на-
направлена радиально, а величина ее пропорциональна расстоянию от
продольной оси цилиндра, т. е. 9* = кг (к = const, r — радиус-вектор,
проведенный от оси перпендикулярно к ней). Цилиндр вращается с
угловой скоростью ио вокруг своей оси. Найти напряженность магнит-
магнитного поля внутри цилиндра вдали от его концов, если радиус цилиндра
равен R.
325. Тонкий сердечник тороидальной катушки длины / сделан из
ферромагнитного материала. Минимальная напряженность магнитного
поля, при которой намагниченность материала достигает насыщения
(J^ = у, ), равна Н = Ншс. Определить минимальный ток /о, который
должен течь по обмотке, чтобы намагниченность сердечника достигла
насыщения. Какой толщины d должен быть сделан воздушный зазор
в сердечнике, чтобы не возникало насыщения намаг-
намагниченности, если по обмотке течет ток / > /q? Число
витков обмотки равно N.
326. Достаточно тонкий диамагнитный стерже-
стерженек массы т = 0,1 г, обладающий магнитной воспри-
восприимчивостью н= —14,5 • 10~6, свободно подвешен за
центр масс на оси кругового тока на расстоянии d
(значительно превышающем длину стерженька) от
плоскости витка (рис. 90). Радиус витка R = d =
= 10 см; сила тока /= 100 А. Как ориентируется стерженек и какая
результирующая сила F на него действует? Плотность вещества стер-
стерженька г = 9,8 г/см3.
52
Задачи
327. Конденсатор емкостью С = 1 мкФ механическим переключа-
переключателем присоединяется N = 100 раз в секунду к полюсам динамо-
машины, дающей V = 120 В, и столько же раз в секунду разряжается
через тангенс-буссоль, состоящую из п = 100 витков радиуса R =
= 15,7 см. Горизонтальная слагающая земного поля Н = 0,2 Э. Найти
угол отклонения магнитной стрелки.
328. Как влияет на отклонение стрелки тангенс-буссоли в преды-
предыдущей задаче сопротивление в цепи конденсатор-тангенс-буссоль?
329. Ток от батареи аккумуляторов с незначительным внутренним
сопротивлением проходит последовательно через реостат с сопротив-
сопротивлением R = 10 Ом и через тангенс-буссоль. Наблюдается отклонение
стрелки а\ = 60°. В цепь вводят дополнительное сопротивление г =
= 10 Ом, и отклонение стрелки уменьшается до а^ = 45°. Определить
сопротивление В! тангенс-буссоли.
330. Тангенс-буссоль сначала не была точно установлена в плос-
плоскости магнитного меридиана, поэтому при пропускании тока в одном
направлении стрелка отклонилась на угол 0, а при пропускании тока
в другом направлении стрелка отклонилась в противоположном на-
направлении на угол в' Ф в. Определить силу тока /, если постоянная
прибора к (к равна току, при котором стрелка отклоняется на 45°).
331. Плоская прямоугольная
проволочная рамка может повора-
поворачиваться вокруг вертикальной оси,
проходящей через центр рамки.
Угол поворота можно определять
по лимбу с помощью указате-
указателя, жестко связанного с рамкой
(рис. 91). В центре рамки на верти-
вертикальном острие помещена магнит-
магнитная стрелка; первоначально рамка
и стрелка находятся в одной плос-
плоскости. При пропускании тока 1А
стрелка отклоняется, и для того,
чтобы она снова оказалась в плоскости рамки, последнюю приходится
повернуть на угол в = 30°. Какой силы ток можно измерить таким
образом этим прибором?
332. Два взаимно перпендикулярных витка в виде окружностей
радиусов R и В! имеют общий центр и расположены в вертикальных
плоскостях, причем плоскость первого из витков совпадает с плоско-
плоскостью магнитного меридиана. В общем центре этих витков на острие
находится короткая магнитная стрелка, которая может свободно пово-
поворачиваться в горизонтальной плоскости. Сила тока в витке, располо-
расположенном в плоскости магнитного меридиана, равна /, в другом витке /'.
При этом наблюдается отклонение магнитной стрелки на угол в. Если
переменить направление тока /', то угол отклонения стрелки будет в'.
Рис. 91
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 53
1) Чему равна сила тока /'? 2) Чему равна горизонтальная слагающая
земного магнитного поля Я?
333. Два взаимно перпендикулярных круговых тока и магнитная
стрелка расположены так же, как и в предыдущей задаче. Силы токов
равны. Наблюдается отклонение стрелки на угол в. Найти силу тока /,
зная горизонтальную слагающую земного магнитного поля Н.
334. Прямоугольная проволочная рамка (площадь прямоугольни-
прямоугольника S), состоящая из п витков, подвешена на бифиляре и ориентирована
в плоскости магнитного меридиана. По рамке пропускают постоянный
ток, и она поворачивается на угол в. Определить силу тока, если
момент сил, закручивающих бифиляр на угол в 1 радиан, равен М.
335. Достаточно длинный соленоид может сжиматься и растяги-
растягиваться, как пружина, имеющая жесткость к (рис. 92). По соленоиду
проходит ток /, и длина его при этом равна /.
Определить первоначальную длину соленои-
соленоида /о-
336. Д.А. Гольдгаммер установил, что
удельное сопротивление висмута под дейст-
действием магнитного поля изменяется по закону
/ х
/ \
/
\
^ = 3 • 1(Г9Я2,
Р Рис. 92
где Н — напряженность поля в эрстедах. Этим свойством висмута
пользуются для измерения напряженности магнитного поля. Отвле-
Отвлекаясь от ошибок, с которыми был установлен числовой коэффициент
3 • 10~9, найти точность, с которой может быть измерено магнитное
поле напряженности 4000 Э, если сопротивление висмутовой спирали
порядка 10 Ом и измерение ее сопротивления производится на равно-
равноплечем мосте, в одну из диагоналей которого включена ЭДС 1 В, а
в другую — гальванометр с чувствительностью
1 • 10~6А на деление и сопротивлением 200 Ом.
Считать, что равновесие моста может быть уста-
установлено с точностью до 1 деления прибора.
337. Проволочный контур ABCD в форме
квадрата (рис. 93) находится в магнитном поле
длинного тонкого стержня с магнитным момен-
моментом единицы объема SDTq и сечением S, причем
северный полюс N магнита находится в центре
квадрата, а сам магнит перпендикулярен к плос-
плоскости проволочного контура. К противополож-
противоположным концам диагонали АС подключают источник ЭДС, вследствие
чего по сторонам контура идет ток силы /. Найти момент пары сил М,
вращающих контур, и его направление.
338. В магнитном поле магнита предыдущей задачи помещен круго-
круговой проводник радиуса R, обтекаемый током / по часовой стрелке, если
смотреть со стороны северного полюса магнита. Магнит расположен
54
Задачи
по оси кругового тока, и его северный полюс отстоит на расстоянии d
от центра проводника. Определить силы, действующие на проводник
со стороны магнита.
339. В постоянном однородном магнитном поле напряженности Н
находится вращающаяся вокруг оси рамка площадью S. Ось распо-
расположена перпендикулярно к на-
направлению поля (рис. 94). На
рамку намотано п витков прово-
проволоки, по которой через коллек-
коллектор идет ток /. Коллектор пере-
переключает направление тока в тот
момент, когда плоскость рам-
рамки перпендикулярна к направ-
направлению магнитного поля. Опре-
Определить максимальную работу А,
которую может совершить рамка
за один оборот, если известно, что ток / между переключениями можно
считать постоянным.
340. Магнит в виде круглого длинного стального цилиндра уста-
установлен вертикально. Для расчета принимаем, что на его полюсе N
сосредоточена магнитная масса т. На полюс опирается проволочная
скоба ABOCD со стержнем ON (рис. 95), имеющая форму буквы «Т»;
концы скобы А и D погружены в ртуть, налитую в горизонтальное
кольцевое корыто. Точка О является серединой ВС = 21. Части АВ =
= CD малы по сравнению с /. К магниту и ртути в корыте подводится
постоянное напряжение, вследствие чего по стержню ON идет ток 2/ и
проволочный контур вращается вокруг ON. Расстояние ON проволоки
ВС от полюса N равно /. Определить: 1) момент пары сил М, вращаю-
вращающих контур; 2) точку приложения
силы, действующей на плечо ОС.
рис
Рис. 95
Рис. 96
341. Принцип действия электродвигателя можно понять с помощью
модели, показанной на рис. 96. Неподвижный круговой проводник
расположен горизонтально в вертикальном однородном магнитном поле
напряженности Н. В центре круга С к вертикальной оси прикреплен
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 55
металлический стержень СВ массы т и длины /, касающийся другим
концом кругового проводника. К стержню у центра С и к точке А
кругового проводника через сопротивление R подведен ток от батареи с
ЭДС &. Найти закон возрастания угловой скорости uj вращения стерж-
стержня после включения ЭДС, если при вращении на стержень действуют
силы трения, момент которых равен al2cu, где а — постоянный коэффи-
коэффициент пропорциональности. Электрическим сопротивлением стержня,
кругового проводника, контактов и внутренним сопротивлением бата-
батареи можно пренебречь по сравнению с сопротивлением R.
342. Зеркальный гальванометр имеет проволочную прямоугольную
рамку 40 х 30 мм из 100 витков тонкой проволоки, подвешенную на
нити, коэффициент кручения которой 0,001 гс-см/(угл. град). Рамка
находится в зазоре между полюсами магнита, создающего поле на-
напряженности Н = 1000 Э, которое можно считать направленным ради-
ально к оси вращения при всех возможных положениях рамки. 1) На
какой угол а отклонится рамка, если по ее обмотке пустить ток 0,1 мА?
2) Если миллиметровую шкалу поместить от зеркала гальванометра на
расстоянии 1 м, то какому току / будет соответствовать отклонение
зайчика на 1 мм?
343. Прямоугольная рамка может вращаться вокруг вертикальной
оси, проходящей через середины противоположных сторон рамки. Рам-
Рамку помещают в однородное горизонтальное магнитное поле напряжен-
напряженности Н и пропускают по ней ток. Определить положения равновесия
рамки и исследовать их устойчивость.
344. Рамка из п витков тонкой проволоки имеет форму квадрата
со стороной а. Она может вращаться вокруг вертикальной оси, прохо-
проходящей через середины противоположных сторон рамки. По рамке идет
постоянный ток /. Рамка находится в однородном горизонтальном маг-
магнитном поле напряженности Н. 1) Указать направление тока в рамке
при ее устойчивом равновесии. 2) Определить период Т малых колеба-
колебаний рамки около этого положения, если момент инерции рамки J.
345. На железный сердечник, имеющий форму тора квадратного се-
сечения (сторона а = 4 см) с диаметром D = 40 см, намотана равномерно
в один слой проволока. Число витков N = 500. По проволоке пускают
ток / = 1 А. Магнитная проницаемость железа \± = 400. Найти поток
индукции через сечение сердечника.
346. Если железный тор предыдущей задачи разрезать в одном
месте так, чтобы образовался воздушный зазор толщиной d = 1 мм,
то чему будет равен поток индукции Ф, если пренебречь рассеянием
силовых линий?
347. Железный сердечник имеет размеры, указанные в предыдущих
двух задачах. Если воздушный зазор равен d\ = 1 мм, то при некоторой
силе тока поток индукции сердечника Ф\ = 3000 Мкс. Когда воздуш-
воздушный зазор увеличился до d% = 2 мм, то при той же силе тока значение
потока индукции оказалось <3>2 = 2500 Мкс. Предполагая, что в обоих
56
Задачи
случаях можно пренебречь рассеянием линий индукции, определить
магнитную проницаемость /i железа.
348. Аккумулятор питает катушки электромагнита, показанного на
рис. 97. При каком соединении катушек (параллельном или последова-
последовательном) подъемная сила электромагнита будет больше и во сколько
раз? Указать, какие концы надо соединять при том и другом включении
катушек. Обе катушки совершенно одинаковы.
/ \
;
Рис. 97
Рис. 98
349. Электромагнит из железного бруса в форме подковы имеет
размеры, указанные на рис. 98 в сантиметрах. Число витков обмотки
N = 200. Сила тока / = 2 А. Как велика подъемная сила F электро-
электромагнита, если /i = 200?
350. Якорь электромагнита предыдущей задачи несет нагрузку
в 20кгс и отстоит от сердечника на расстоянии 1мм. Какой ток /
нужно пустить в обмотку электромагнита, чтобы он притянул якорь?
351. Внутри длинной катушки (рис. 99), на каждый сантиметр
длины которой приходится п витков, находится короткая катушка се-
сечения S, состоящая из N витков; ось этой катушки перпендикулярна к
оси длинной катушки и направлена вертикально. Внутренняя катушка
Рис. 99
укреплена на одном конце коромысла весов, которое в отсутствие тока
находится в равновесии. Когда через обе катушки пропускают один
и тот же ток /, то для уравновешивания весов на длинное плечо
коромысла нужно поместить груз массы т. Длина плеча коромысла,
несущего груз, равна /. Определить силу тока /.
352. Как скажется значительное укорочение длинной катушки,
описанной в предыдущей задаче, на показаниях прибора, если число п
остается неизменным?
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 57
353. При каком условии можно с помощью прибора, описанного
в задаче 351, измерять силу переменного тока? Какую силу тока будет
показывать прибор?
354. Может ли прибор, описанный в задаче 351, служить ваттмет-
ваттметром?
355. По длинному соленоиду, имеющему п витков на 1 см, идет
ток /. Найти давление Р, действующее на боковую поверхность соле-
соленоида.
356. Почему два параллельных проводника, по которым идут токи
в одном направлении, притягиваются, а два параллельных катодных
пучка отталкиваются?
357. От полюсов источника ЭДС & ток идет по двум параллельным
длинным проводам, включенным на нагрузку R (рис. 100). Построить
Рис. 100
силовые линии электрического и магнитного полей в плоскости, пер-
перпендикулярной к плоскости параллельных токов.
358. От одного полюса источника ЭДС <? идут два параллельных
прямых провода, которые затем через сопротивление R и обратный
провод, достаточно удаленный от пер-
первых двух, присоединяются ко второму
полюсу источника (рис. 101). Каковы
электрическое и магнитное поля в плос-
плоскости, перпендикулярной к плоскости
параллельных токов?
359. По достаточно длинной шине,
укрепленной горизонтально, идет ток Рис. 101
/ = 1 А. На каком расстоянии d от ши-
шины параллельно ей в той же вертикальной плоскости должен быть
расположен голый, достаточно длинный медный провод, чтобы силы
маг"ит"ого взаимодействия уравновесили вес провода, если по нему в
ту же сторону идет ток г? Масса про-
I вода га, длина его /.
I 360. Под длинной горизонтальной
Т шиной на двух одинаковых пружинах
— *^^\ (коэффициент жесткости каждой пру-
пружины равен к дин/см) подвешен пря-
ис' мой провод длины I (рис. 102). Когда
по шине и проводнику токи не идут, расстояние между ними равно In.
Найти расстояние х между ними, если по шине течет ток /, а по прово-
проводу—ток г. Рассмотреть два случая: 1) токи совпадают по направлению
58
Задачи
и 2) токи противоположны по направлению. Провод может двигаться
только в вертикальной плоскости.
361. Между полюсами сильного магнита находится плоская кюве-
кювета, от узких стенок которой отходят две параллельные вертикальные
трубки. Сверху и снизу в кювету входят платиновые электроды А (+)
и К (—), присоединенные через ключ к источнику ЭДС &. Кювета и
трубки залиты проводящей жидкостью так, что уровни жидкости в вер-
вертикальных трубках стоят на одной высоте (рис. 103). Что произойдет
после того, как ключ будет замкнут?
Рис. 103
362. Прибор, описанный в предыдущей задаче, можно использовать
для измерения силы тока. Определить силу тока /, идущего через
жидкость кюветы, если индукция магнитного поля равна В, толщина
кюветы d, установившаяся разность уровней жидкости в вертикальных
трубках h, плотность жидкости т. От чего зависит чувствительность
прибора?
363. Оценить порядок величины «выталкивающей» силы, действу-
действующей на непроводящее тело объема V, помещенное в проводящую
немагнитную жидкость, в которой течет ток плотности j поперек
магнитного поля с индукцией В. Какие эффекты могут привести к
отличию реальной выталкивающей силы от силы, полученной согласно
такой оценке?
364. Между полюсами сильного электромагнита помещают U-об-
разную трубку так, что одно колено (капиллярное) находится в маг-
магнитном поле, а другое (широкое) — вне поля. В трубку наливают
жидкость, магнитная восприимчивость которой к, а плотность т. На-
Насколько изменится уровень жидкости в капилляре при включении поля
напряженности Н? Магнитную восприимчивость пара и воздуха над
жидкостью принять за 1.
365. В прямоугольную кювету (рис. 104), передняя и задняя стенки
которой металлические, а прочие стенки диэлектрические, налит элек-
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле
59
/
А
—=- =
/
I -
/
У,
Рис. 104
тролит с удельной проводимостью Л = 0,2 См/см. К металлическим
стенкам приложено напряжение V = 30 В, и вся кювета помещена
в однородное магнитное поле с индукцией
В = 100 Гс, направленной вертикально. Раз-
Размеры кюветы: ? = 20 см, а = 2 см, плотность
электролита г = 1 г/см3. Определить раз-
разность уровней жидкости Ah около правой и
левой стенок кюветы.
366. Для осуществления теплосъема с
ядерных реакторов в качестве теплоносите-
теплоносителя применяют расплавленные металлы. Пе-
Перекачка металлов по трубам производится
с помощью электромагнитных насосов: уча-
участок трубы с расплавленным металлом по-
помещается в поперечное магнитное поле, т. е.
поле, перпендикулярное к оси трубы; через тот же участок трубы пер-
перпендикулярно к ее оси и к магнитному полю пропускается поперечный
электрический ток. При этом возникает сила, приводящая жидкость
в движение. Оценить ток, необходимый для перекачки ртути по трубе
с диаметром D = 20 мм и длиной / = 10 м со скоростью v = 1 л/с.
Вязкость ртути rj = 1,5- 10~2 дин-с/см2, индукция магнитного поля
В = 1000 Гс.
367. В замкнутой сверхпроводящей обмотке электромагнита воз-
возбужден постоянный ток / (рис. 105). В магнитопроводе из мягкого
железа с магнитной проницаемостью \±
имеется небольшой зазор толщины /, так
что рассеянием магнитного поля в зазоре
можно пренебречь. Длина магнитопро-
вода (вместе с зазором) равна L. Чему
будет равен ток /0 в обмотке электро-
электромагнита, если в зазор вставить пластину
толщины / из того же железа?
368. Длинный сверхпроводящий ци-
цилиндр (из сверхпроводника I рода) вне-
внесен в постоянное однородное магнитное поле с индукцией В, направ-
направленное параллельно оси цилиндра. Определить силу /, действующую
на единицу площади боковой поверхности цилиндра.
369. Кольцо из тонкой проволоки помещено в однородное магнит-
магнитное поле с индукцией В = 10 Гс, перпендикулярное к плоскости коль-
кольца, и охлаждением переведено в сверхпроводящее состояние. Найти
силу тока в кольце после выключения магнитного поля, если радиус
кольца R = 5 см, а радиус проволоки г = 1 мм.
Указание. Индуктивность тонкого проволочного кольца (если
ток течет по его поверхности) в гауссовой системе дается выражением
Ь = 2тгД[1п(8Д/г)-2].
Рис. 105
60 Задачи
370. Над плоской поверхностью сверхпроводника I рода парал-
параллельно этой поверхности подвешен тонкий прямолинейный провод на
расстоянии h от плоскости, по которому течет постоянный ток /.
Найти линейную плотность сверхпроводящего тока г, текущего по
поверхности сверхпроводника.
Указание. Применить метод зеркальных изображений.
371. Над плоской поверхностью сверхпроводника I рода на изоли-
изолирующем слое толщины h = 5 мм лежит тонкое сверхпроводящее кольцо
радиуса R = 10 см, по которому течет постоянный ток /. При каком
токе / кольцо начнет парить над сверхпроводником, если масса кольца
т = 1 г?
372. На какой высоте h постоянный магнитик с магнитным момен-
моментом SDT = 103 Гс • см3 и массой т = 10 г будет парить в горизонтальном
положении над плоской горизонтальной поверхностью сверхпроводника
I рода? Магнитик считать точечным диполем.
У к а з а н и е . Применить метод зеркальных изображений. Восполь-
Воспользоваться выражением для взаимной потенциальной энергии двух то-
точечных диполей.
373. Шар радиуса R из сверхпроводника I рода внесен в постоянное
однородное магнитное поле с индукцией Во. Определить магнитное
поле В вне шара, если поле Во еще не разрушает сверхпроводимость
в шаре. Найти также поверхностную плотность сверхпроводящего то-
тока г.
374. Бесконечно длинный цилиндр радиуса R из сверхпроводника
I рода внесен в постоянное однородное магнитное поле с индукцией В,
перпендикулярное к оси цилиндра. Определить магнитное поле В вне
цилиндра, если поле Во еще не разрушает сверхпроводимость в ци-
цилиндре. Найти также поверхностную плотность тока сверхпроводи-
сверхпроводимости г.
375. Сверхпроводящий шарик летит по направлению к соленоиду
вдоль его оси. Индукция поля в центре соленоида В = 1000 Гс. Какова
должна быть начальная скорость v шарика, чтобы он смог пролететь
через соленоид насквозь? Диаметр соленоида много больше диаметра
шарика. Плотность материала шарика г = 8 г/см3.
376. Для получения сверхсильных магнитных полей в катушках
применяются обмотки из сверхпроводников II рода. Концы обмоток
(пока проволока находится в нормальном состоянии) присоединяются к
источнику тока. Затем катушки охлаждаются до гелиевых температур
и переходят в сверхпроводящее (или смешанное) состояние. После это-
этого катушки отключаются от источника тока и замыкаются накоротко.
Сверхпроводящий короткозамкнутый многослойный соленоид с
внутренним радиусом R\ = 2 см, наружным R% = 4 см и длиной / =
= 20 см создает внутри поле с индукцией Bq = 100 кГс. Оценить ко-
количество жидкого гелия, которое испарится при переходе соленоида из
сверхпроводящего (или смешанного) в нормальное состояние. Удельная
теплота испарения гелия q = 0,7 кал/см3.
§5. Электромагнитная индукция
61
377. В конденсаторе, состоящем из двух
пластин, действует однородное магнитное поле
напряженности Н, параллельное его пластинам
(рис. 106). Пластины конденсатора заряжают за-
рядами -\-q и —q, а затем их соединяют про-
водником, обладающим значительным сопротив-
лением. На проводник действует сила Лоренца,
сообщая ему некоторый импульс. Объяснить
происхождение этого импульса и вычислить со-
соответствующую плотность импульса поля. Поле
тяготения не учитывать.
Н
—ш
I
d-
—»¦»
%-я
рис
§ 5. Электромагнитная индукция
378. Два параллельных, замкнутых на одном конце провода распо-
расположены в однородном магнитном поле с индукцией В так, что плос-
плоскость проводов перпендикулярна к полю (рис. 107а). На провода поло-
положен металлический мостик, который может (без трения) скользить по
проводам. Если привести мостик в движение с постоянной скоростью v,
то в контуре, который он образует вместе с проводами, возникает ЭДС
индукции Ш и электрический ток /. Поэтому для поддержания скоро-
скорости v приходится приложить к мостику некоторую силу F. Исходя из
принципа Ленца и пользуясь законом взаимодействия между токами и
магнитным полем, вывести закон индукции.
Рис. 107
Указание. Принцип, установленный Ленцем, позволяет утвер-
утверждать следующее. Если мы закрепим мостик неподвижно и включим
в контур батарею (рис. 107 6), которая создает ток 1\, равный току /,
возникающему в случае движения мостика, то сила F\, действующая
на мостик, будет равна по величине и противоположна по направлению
той силе, которую надо приложить в первом случае, чтобы поддержи-
поддерживать движение мостика.
379. Представим себе, что рельсы железнодорожной колеи шири-
шириной 1,2 м, идущие по магнитному меридиану, изолированы друг от
друга и от Земли. По этим рельсам идет поезд со скоростью 60 км/ч.
Вертикальная слагающая магнитного поля Земли Нв = 0,5 Э. Что по-
покажет вольтметр, включенный в каком-нибудь месте между рельсами:
1) когда поезд приближается к прибору; 2) когда поезд проходит над
62 Задачи
прибором, т. е. прибор находится между двумя скатами какого-нибудь
вагона, и 3) когда поезд удаляется от прибора?
380. Будет ли в условиях предыдущей задачи влиять на показания
милливольтметра горизонтальная слагающая магнитного поля Земли,
если путь непрямолинеен?
381. Маленький прямолинейный магнит расположен в центре круг-
круглого кольца радиуса а, состоящего из N витков проволоки, концы
которой соединены с баллистическим гальванометром. Ось магнита
перпендикулярна к плоскости кольца. При удалении магнита из кольца
баллистический гальванометр дает отброс. Как по величине этого
отброса определить магнитный момент 9Я магнита?
382. Прямоугольная рамка со сторонами а и Ъ движется равномерно
со скоростью v в направлении, перпендикулярном к бесконечно длин-
длинному прямому проводнику, лежащему в плоскости рамки параллельно
стороне Ъ. По проводнику идет ток /. Найти ЭДС &, индуцируемую
в рамке, и указать направление индуцированного тока.
383. Прямоугольная рамка предыдущей задачи вращается с посто-
постоянной угловой скоростью вокруг стороны Ь, отстоящей на расстоянии
с > а от проводника, по которому идет ток. Будет ли ЭДС, индуцируе-
индуцируемая в рамке, синусоидальна?
384. Прямоугольная рамка (а х Ъ) равномерно вращается с угловой
скоростью uj вокруг стороны а в однородном переменном магнитном
поле, изменяющемся синусоидально с угловой скоростью и/ и перпен-
перпендикулярном к оси вращения рамки. Определить величину индуциро-
индуцированной ЭДС <f. Рассмотреть при uj = и/ частные случаи: 1) в начальный
момент Н = Щ, а плоскость рамки перпендикуляра Н, 2) в начальный
момент Н = Щ, а плоскость рамки параллельна Н.
385. Прямоугольная рамка (а х Ь) вращается вокруг одной из сво-
своих сторон в однородном магнитном поле напряженности Н, перпен-
перпендикулярном к оси вращения, с переменной угловой скоростью uj =
= о;оA — е~ы). Определить величину индуцированной ЭДС <f, если
в начальный момент рамка перпендикулярна к полю.
386. Длинная незаряженная пластина из немагнитного материала
движется равномерно в однородном магнитном поле с индукцией В =
= 1800 Гс со скоростью v = 6,28 • 107см/с. Векторы v и В взаимно
перпендикулярны и параллельны плоскостям пластины. Определить
поверхностную плотность электрических зарядов на пластине, возни-
возникающих вследствие ее движения.
387. Длинный незаряженный цилиндр из немагнитного материала
радиуса г = 12,56 см равномерно вращается в однородном магнитном
поле с индукцией В = 300 Гс, параллельном оси цилиндра, с угло-
угловой скоростью uj = 60 рад/с. Определить поверхностную плотность
зарядов а, возникающих вследствие вращения на боковой поверхности
цилиндра. Указать знак поверхностных зарядов, если векторы и; и В
направлены в одну сторону. Магнитным полем возникающих зарядов
и инерционными эффектами электронов пренебречь.
§5. Электромагнитная индукция
63
388. Металлический шар радиуса а из немагнитного материала
движется равномерно в постоянном и однородном магнитном поле с
индукцией В со скоростью v, направленной под углом к магнитному
полю. Найти напряженность электрического поля внутри и вне шара
в «неподвижной» системе отсчета, относительно которой шар движется
со скоростью v. Найти также объемную и поверхностную плотность
индуцированных зарядов. Магнитным полем движущихся индуциро-
индуцированных зарядов пренебречь.
389. На клеммах генератора поддерживается постоянное напряже-
напряжение V = 120 В. К клеммам присоединены последовательно соединен-
соединенные реостат и электромотор, общее сопротивление которых г = 5Ом.
В этих условиях через обмотку электромотора идет ток / = 10 А.
Электромотор отключают, замыкают на сопротивление R = 100 Ом
(включая собственное сопротивление электромотора) и используют
в качестве динамо-машины. Определить силу тока г, возбуждаемую в
цепи электромотора, если его вращать с прежней угловой скоростью.
390. И. И. Боргман определял магнитную восприимчивость слабо-
слабомагнитных жидкостей, погружая в эту жидкость две катушки, жестко
связанные между собой. Сравнивая ЭДС индукции, которая возникает
в одной из катушек при изменении силы тока в другой, один раз
в жидкости, а другой раз в воздухе, можно определить магнитную
восприимчивость жидкости. В одном из опытов оказалось, что ЭДС
индукции для катушек, погру-
погруженных в раствор хлорного же-
железа, равна <f 1 = 24,04 В, а для
катушек в воздухе ЭДС индукции
равна 8*2 = 24,00 В. Найти маг-
магнитную восприимчивость к рас-
раствора.
391. Якорь мотора имеет ба-
барабанную обмотку, состоящую
из последовательно соединенных
20 секций, каждая из которых со-
состоит из 30 витков прямоуголь-
прямоугольной формы B5 х 20 см2) тон-
тонкой проволоки. (Схема обмотки
для 12 секций представлена на
рис. 108). Якорь находится в од-
однородном магнитном поле с ин-
индукцией 3980 Гс. Якорь включен
через коллектор в сеть с посто-
Рис. 108
янным напряжением 120 В, и мотор делает 600 оборотов в минуту.
1) Какова сила тока в якоре (сопротивление якоря 0,5 Ом)? 2) Что
произошло бы при внезапной остановке якоря?
392. Медный диск радиуса а = 10 см вращается в однородном
магнитном поле, делая N = 100 оборотов в секунду. Магнитное поле
64
Задачи
направлено перпендикулярно к плоскости диска и имеет напряжен-
напряженность Н = 104 Э. Две щетки, одна на оси диска, другая на окружно-
окружности, соединяют диск с внешней цепью, в которую включены реостат
с сопротивлением R = 10 Ом и амперметр, сопротивлением которого
можно пренебречь. Что показывает амперметр?
393. Что будет показывать амперметр в условиях предыдущей за-
задачи, если диск заменить колесом того же радиуса, что и диск, с двумя
спицами, как показано на рис. 109? Электрическим сопротивлением
материала колеса пренебречь.
Рис. 109
Рис. ПО
394. На железный цилиндрический сердечник, через который про-
проходит однородный магнитный поток Ф = Фо cos u:t, надет тор из диэлек-
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е (рис. ПО). В торе имеется
бесконечно узкий воздушный зазор, образованный двумя бесконечно
близкими разрезами вдоль меридиональных плоскостей. Найти напря-
напряженность электрического поля Е в зазоре в зависимости от расстояния
г до оси цилиндра.
395. Полый диэлектрический цилиндр с внутренним радиусом г\ и
наружным радиусом т^ равномерно вращается в однородном магнитном
поле с угловой скоростью uj вокруг своей продольной геометрической
оси. Вектор индукции магнитного поля В параллелен оси цилиндра,
диэлектрическая проницаемость материала цилиндра равна е. Найти:
1) объемную плотность рсвяз связанных зарядов, появившихся в диэлек-
диэлектрике вследствие вращения в магнитном поле; 2) полный объемный
заряд q, приходящийся на единицу длины цилиндра; 3) плотность
поверхностных зарядов на обеих поверхностях цилиндра; 4) полный
заряд цилиндра.
396. Для измерения сопротивления в абсолютных единицах был
предложен следующий способ. Длинная катушка (га витков на единицу
длины) включена в цепь с ЭДС <f и сопротивлением R (рис. 111).
Внутри катушки вращается с постоянной угловой скоростью uj вокруг
оси, перпендикулярной к оси длинной катушки, маленькая катушка
с числом витков N и сечением S. В моменты, когда индуцированная
в малой катушке ЭДС максимальна, концы катушки замыкаются через
§5. Электромагнитная индукция
65
гальванометр G на то же сопротивление R. Последнее подбирается так,
что тока через гальванометр нет. Определить R.
Рис. 111
397. Как с помощью флюксметра можно измерить магнитное поле
внутри длинного соленоида, закрытого с обоих торцов крышками из
немагнитного материала, не вводя флюксметр внутрь соленоида? Об-
Обмотка соленоида доходит до самых концов цилиндра, на который она
намотана.
398. В однородном магнитном поле с индукцией В = 8400 Гс с
небольшой скоростью вращается квадратная рамка со стороной а =
= 5 см, состоящая из небольшого числа витков медной проволоки сече-
сечением S = 0,5 мм2. Концы рамки соединены накоротко. Максимальное
значение силы тока, индуцируемого в рамке при вращении, равно
/ = 1,9 А. 1) Определить число оборотов рамки в секунду. 2) Как
нужно изменить скорость вращения рамки, чтобы при замене медной
проволоки железной сила тока в цепи осталась неизменной?
399. Внутри достаточно длинного круглого железного стержня маг-
магнитный поток равномерно возрастает со временем. Вне этого стержня
магнитного поля нет. Определить характер электрического поля вне
железного стержня.
400. В условиях предыдущей задачи стержень окружен витком
проволоки, замкнутым на амперметр. Сопротивление витка и ампер-
амперметра R. 1) Что показывает амперметр? 2) Как направлен
ток в витке?
401. На некотором расстоянии от железного стержня
(см. задачу 399) находится электрон. Начальная скорость
его равна нулю. Как он будет двигаться?
402. Однослойная достаточно длинная катушка с же-
железным сердечником разделена на две секции (рис. 112).
Измерения индуктивностей секций дали следующие ре-
результаты: в первой секции L\ = 0,04 Г, во второй сек-
секции Z/2 = 0,09 Г. 1) Чему равна индуктивность катушки?
2) Сколько витков N в катушке, если в первой секции
100 витков?
403. Как определить индуктивность достаточно длин-
длинной катушки, пропуская через нее постоянный ток?
3 Под ред. И. А. Яковлева
Рис. 112
66
Задачи
20 мм
404. Определить индуктивность L проводника, показанного на
рис. 113. Ток идет по проволоке диаметром 1 мм, расположенной по оси
достаточно тонкой металлической трубки, переходит на
дно трубки, к центру которого припаяна проволока, и
возвращается обратно по поверхности трубки. Размеры
трубки даны иа рисунке.
405. Один и тот же ток идет по двум длинным
параллельным проводам в противоположные стороны.
Провода имеют круглые сечения радиуса г = 2 мм, а
расстояние между ними d = 2 см. Найти индуктивность
L единицы длины этой системы, учитывая магнитное
поле только вне проводов.
В 406. На один сердечник намотаны две катушки.
Т Индуктивности катушек в отдельности соответственно
равны L\ = 0,5 Г и L2 = 0,7 Г. Чему равна взаимная
индуктивность М? Рассеяния магнитного поля нет.
407. На длинный цилиндр намотаны вплотную две
обмотки /-/' и 2-2' так, как показано на рис. 114. Ин-
Индуктивность каждой обмотки равна 0,05 Г. Чему будет
Рис 113 равна индуктивность L всей цепи, если: 1) концы V и 2'
соединить, а в цепь включить концы / и 2; 2) концы /
и 2' соединить, а в цепь включить концы
/' и 2; 3) концы V и 2' и / и 2 соединить
и обе пары концов включить в цепь?
Сечение А-В
Рис. 114
Рис. 115
408. На тор, изготовленный из парамагнетика и имеющий регули-
регулируемый воздушный зазор d, намотана катушка (рис. 115). При d = 0
индуктивность катушки L = Lo, при d = d\ = 1 мм она вдвое меньше
(L = L\ = Lo/2). При каком зазоре d индуктивность L будет равна
L0/4?
409. Вычислить индуктивность L тороидальной обмотки, намотан-
намотанной на цилиндр высоты Ъ с внутренним радиусом г и наружным г + а
(рис. 116). Число витков катушки равно N, магнитная проницаемость
ц=1.
410. В предыдущей задаче по оси катушки протянут бесконечно
длинный прямолинейный провод (не показанный на рис. 116). Вычис-
Вычислить взаимную индуктивность М между катушкой и этим проводом.
§5. Электромагнитная индукция
67
411. Внутрь тонкого воздушного соленоида вставлена маленькая
плоская катушка с числом витков п = 40 и площадью витка S = 10см2,
по обмотке которой течет ток / = 1 А. Длина соленоида / = 50 см, число
витков N = 10000. Определить магнитный поток, который посылает
поле катушки через обмотку соленоида.
Указание. Использовать теорему о равенстве взаимных индук-
тивностей.
412. На поверхность кругового тора прямоугольного поперечного
сечения с размерами а = 17,2 см и Ъ = 5 см навита обмотка тонкой
проволоки, содержащая N = 1000 витков. (На рис. 117 изображена по-
половина тора. Обмотка не показана.) На тор надета кольцевая катушка
К с числом витков п = 100, по обмотке которой течет ток силой / =
= 1 А. Внутренний радиус тора равен г = 10 см. Определить магнитный
поток, который посылает магнитное поле катушки через обмотку тора.
Рис. 116
Рис. 117
413. Чему равна энергия W магнитного поля соленоида, состоя-
состоящего из N витков проволоки, намотанной в один слой, по которой
идет ток силой /? Длина соленоида /, сечение его S (диаметр сечения
соленоида мал по сравнению с его длиной).
414. Два параллельных достаточно длинных провода находятся на
расстоянии 20 см друг от друга. В них поддерживаются токи каждый
силой 20 А, направленные в противополож-
противоположные стороны. 1) Какую работу на единицу
длины проводов совершает магнитное поле
при удалении проводов до расстояния 40 см?
2) Как изменится при этом магнитная энергия
единицы длины системы двух проводов?
415. В предыдущей задаче магнитное по-
поле совершало положительную работу при уда-
удалении проводов друг от друга, а между тем
магнитная энергия токов увеличилась. За
счет каких источников энергии совершается
работа и увеличивается магнитная энергия?
416. Как будет изменяться во времени сила /о электрического тока
в цепи, параметры которой показаны на рис. 118, после того как
Рис. 118
з*
68
Задачи
ключ К будет замкнут? Омическим сопротивлением всей цепи при
рассмотрении начальной стадии процесса установления тока можно
пренебречь.
417. При отключении цепей постоянного тока, обладающих боль-
большой индуктивностью (например, обмоток возбуждения генераторов
постоянного тока), эти цепи предварительно
замыкают на параллельно включенное сопро-
сопротивление г для ограничения перенапряжений
(рис. 119). Определить, во сколько раз в этом
случае максимальное напряжение на зажимах
цепи VMaKC будет превышать приложенное по-
постоянное напряжение Vq.
418. Конденсатор емкостью С присоединен
рис ид к верхним концам двух параллельных медных
шин, расположенных вертикально на расстоя-
расстоянии / друг от друга. Однородное магнитное поле напряженности Н
горизонтально и перпендикулярно к плоскости шин. Вдоль шин в маг-
магнитном поле падает без начальной скорости медный проводник массы
т так, что всегда имеется контакт между проводником и шинами.
Сопротивлением и индуктивностью проводников, а также трением про-
проводника о шины пренебречь. Найти: 1) ускорение проводника; 2) силу
тока, заряжающего конденсатор.
419. В условиях предыдущей задачи вместо конденса-
конденсатора шины замкнуты вверху на соленоид, индуктивность
которого равна L, а сопротивление ничтожно мало. Най-
Найти закон движения проводника, скользящего вдоль шин.
420. Две длинные параллельные медные шины, рас-
расположенные вертикально на расстоянии / друг от друга,
замкнуты вверху на сопротивление R и помещены в од-
однородное магнитное поле напряженности Н, перпенди-
перпендикулярное к плоскости шин. Вдоль шин падает медный
проводник веса Р. Трение отсутствует. Чему равно уста-
установившееся значение скорости падения?
421. По двум вертикальным идеальным проводам (см.
задачу 420) в поле силы тяжести может скользить без
трения идеальная проводящая перемычка массы т и дли-
длины / (рис. 120). Проводники сверху замкнуты индук-
индуктивностью L, а снизу — сопротивлением R. Перемычка
сначала удерживается в некотором положении, а затем
В отпускается без толчка. Найти новое положение рав-
равновесия перемычки и характер переходного процесса.
422. Найти установившуюся скорость перемычки
в условиях предыдущей задачи, если проводники за-
замкнуты сверху последовательно включенными сопро-
Рис. 121 тивлением R и индуктивностью L (рис. 121).
с
R
Рис. 120
R
§5. Электромагнитная индукция 69
423. Маятник длины / и массы т, который можно рассматривать
как математический, представляет собой массивный металлический
шарик с острием на конце, подвешенный на тонкой проволоке. Острие
погружено в чашку с ртутью (рис. 122). Проволока в точке подвеса
маятника А и ртуть в чашке включены
в цепь, обладающую сопротивлением R. Ма-
Маятник совершает малые колебания в одно-
однородном магнитном ноле напряженности Н,
перпендикулярном к плоскости колебаний ма-
маятника. Определить увеличение логарифми-
логарифмического декремента затухания маятника, вы-
вызванное сопротивлением R. Сопротивление
среды пропорционально угловой скорости ма-
маятника, а коэффициент пропорциональности
равен к.
424. В условиях предыдущей задачи
в цепь вместо сопротивления R включена ин-
индуктивность L. Как изменятся логарифмиче-
логарифмический декремент и период колебаний? Рис- 122
425. В условиях предыдущей задачи в цепь вместо индуктивности
включена емкость С. Вопросы те же.
426. На нити висит тонкое медное кольцо радиуса г, массы т и
сопротивления R. 1) Найти увеличение логарифмического декремента
затухания малых крутильных колебаний кольца, если кольцо помещено
в однородное горизонтальное магнитное поле напряженности Н, при-
причем вектор Н совпадает с плоскостью кольца в положении равновесия.
2) Изменится ли ответ, если кольцо будет помещено в однородное
вертикальное магнитное поле? Индуктивностью кольца пренебречь.
427. Медное кольцо в предыдущей задаче совершает малые кру-
крутильные колебания с периодом Т. Индуктивность кольца L. Сопротив-
Сопротивлением кольца можно пренебречь. Как изменится период этих колеба-
колебаний, если кольцо поместить в однородное горизонтальное магнитное
поле, направление которого перпендикулярно к плоскости кольца в по-
положении равновесия?
428. Как изменится логарифмический декремент затухания кольца
в условиях предыдущей задачи?
429. Прямоугольная рамка (а х Ь) лежит в одной плоскости с
прямым проводником, по которому течет ток / и который расположен
параллельно стороне Ъ на расстоянии d > а от ближайшей стороны. Ка-
Какое количество электричества Q пройдет через любое сечение провода
рамки, если она повернется вокруг ближайшей к проводнику стороны
Ъ на 180° и останется в этом положении? Сечение проволоки рамки S,
удельное сопротивление р. Индуктивность рамки не учитывать.
430. В предыдущей задаче предполагалось, что индуктивностью
рамки можно пренебречь. Изменится ли ответ задачи, если пренебречь
индуктивностью нельзя?
70
Задачи
431. В задаче 429 рамка вращается с постоянной скоростью. Будет
ли зависеть количество электричества, протекшего через рамку за
время полуоборота, от скорости вращения
рамки, если сопротивлением рамки прене-
пренебречь, а ее индуктивность учесть?
432. Баллистический гальванометр
включен в цепь катушки, надетой на за-
замкнутый намагниченный сердечник. Же-
Железную пластинку А, замыкающую сердеч-
сердечник (рис. 123), быстро удаляют, и гальва-
гальванометр показывает отклонение в 20 деле-
делений. Сопротивление катушки и гальвано-
А
Рис. 123
метра 100 Ом. Чувствительность гальванометра равна 10 8 Кл на де-
деление шкалы. Как велико изменение потока индукции АФ вследствие
удаления пластинки А?
433. Как быстро нужно удалить пластинку А из намагниченного
сердечника в предыдущей задаче, чтобы отклонения гальванометра
были пропорциональны изменению потока?
434. Какие условия следует наложить на величины индуктивности
и сопротивления электрической цепи в задаче 432, чтобы отброс галь-
гальванометра был пропорционален изменению потока индукции?
435. Для определения взаимной индуктивности М обмоток транс-
трансформатора производится следующий опыт. Первичная обмотка через
сопротивление R\ известной величины подключается к источнику по-
постоянного напряжения <f. Во вторичную цепь включается баллистиче-
баллистический гальванометр G, измеряющий полный заряд Q, протекающий во
вторичном контуре. Сопротивление R^ вторичного контура известно.
Найти М.
436. Катушка с индуктивностью L, обладающая некоторым сопро-
сопротивлением г, включена в цепь симметричного моста (рис. 124). В диа-
диагональ моста включен баллистический
гальванометр. Найти заряд, который
протечет через гальванометр после за-
замыкания ключа, если сопротивление
гальванометра пренебрежимо мало.
437. Рамка, охватывающая площадь
S = 1400 см2, состоит из N = 100 вит-
витков проволоки и имеет сопротивление
Д = 4,6Ом. Рамка расположена в вер-
вертикальной плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к плоскости магнитного меридиана, рис 124
и соединена с баллистическим гальва-
гальванометром чувствительностью q = 2 • 10~6 Кл на деление шкалы. Рамку
быстро поворачивают вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее
центр, на угол а = 60°, так что плоскость рамки становится параллель-
параллельной направлению магнитного поля Земли. Каково будет отклонение 7
§5. Электромагнитная индукция
71
гальванометра? Сопротивление гальванометра г = 9,4 0м. Напряжен-
Напряженность магнитного поля Земли Н = 0,2 Э.
438. В постоянном однородном магнитном поле, индукция которо-
которого В, находится круглое, недеформируемое, достаточно малого сечения
кольцо радиуса г из материала, сопротивление которого исчезающе
мало. В начальный момент плоскость кольца параллельна направлению
магнитного поля и ток в кольце равен нулю. Определить силу тока /
в кольце сразу после того, как оно было повернуто так, что плоскость
кольца стала перпендикулярна к линиям магнитного поля.
439. В условиях предыдущей задачи: 1) найти полный магнитный
поток через кольцо после того, как оно было повернуто, 2) вычислить
напряженность магнитного поля в центре кольца, 3) качественно изоб-
изобразить графически распределение напряженности магнитного поля по
линии, совпадающей с диаметром кольца.
440. Какова напряженность магнитного поля Н и сила тока /
в условиях задачи 438 в кольце, если после того, как его повернули
перпендикулярно к магнитному полю, внешнее магнитное поле было
выключено?
441. Определить работу А, которую необходимо было затратить на
поворот кольца в задаче 438.
442. Сверхсильные магнитные поля можно получать взрывным
сжатием отрезка проводящей цилиндрической трубы, внутри которой
создано начальное магнитное поле с индукцией Bq. Определить ин-
индукцию поля В в трубе в момент максимального сжатия, если Bq =
= 5 • 104Гс, начальный внутренний радиус трубы R = 5 см, радиус
в момент максимального сжатия г = 0,5 см. Оболочку, окружающую
магнитное поле, считать идеаль-
идеально проводящей. Определить также
давление Р, необходимое для полу-
получения такого сжатия.
443. Для измерения взаим-
взаимной индуктивности двух катушек
собирают схему, приведенную на
рис. 125. Сопротивления R\ и R% и
емкость С конденсатора подбирают
так, чтобы гальванометр G оставал-
оставался на нуле при замыкании и раз-
размыкании ключа К батареи <f. Чему
равна в таком случае взаимная ин-
индуктивность М катушек?
444. В предыдущей задаче емкость конденсатора можно изменять
скачками величиной с каждый. При этом оказалось, что при значении
емкости конденсатора С гальванометр дал отклонение в в одну сто-
сторону, а при значении емкости конденсатора С + с гальванометр дал
отклонение в' в другую сторону, т. е. не удалось добиться нулевого
положения стрелки гальванометра. Как из этих измерений определить
72
Задачи
Рис. 126
взаимную индуктивность М катушек? Сопротивление гальванометра
г >Д2.
445. Для удаления газов из металлических частей вакуумных при-
приборов их накаливают токами Фуко в поле катушки высокой частоты
(рис. 126). Анод катодной лампы, представляющий
собой никелевый цилиндр диаметром D = 8 мм, вы-
высотой h = 2 см, со стенкой толщиной а = 0,1 мм, рас-
располагается коаксиально с катушкой из N = 15 вит-
витков толстой проволоки, по которой идет ток высокой
частоты (/ = 105 Гц) силой / = 50 А. Какое коли-
количество тепла Q выделяется ежесекундно в цилин-
цилиндре? Высота катушки высокой частоты Н = 10 см.
Магнитным полем токов Фуко пренебречь. Удельное
сопротивление никеля р = 7 • 10~6 Ом • см.
446. Катушкой высокой частоты предыдущей за-
задачи воспользовались для накаливания токами Фу-
Фуко платинового диска диаметром D = 2 см и толщиной d = 0,5 мм.
Диск расположен перпендикулярно к оси катушки, и центр диска на-
находится на оси. Магнитным полем токов Фуко пренебречь. Подсчитать
количество тепла Q, выделяющегося ежесекундно в диске. Удельное
сопротивление платины р = 10,7 • 10~6 Ом • см.
447. Для уменьшения потерь в железном сердечнике трансфор-
трансформатора сердечник делают из тонких пластинок, изолированных элек-
электрически друг от друга. Найти, какое количество тепла Q выделяет-
выделяется в такой пластинке ежесекундно при следующих данных: размеры
пластинки lab = 20 х 4 х 0,01 см; обмотка трансформатора имеет п =
= 4 витка на каждый сантиметр длины, и по ней идет 50-периодный ток
силой / = 5 А; магнитная проницаемость железа /х = 1000; удельное
сопротивление железа р = 9- 10~6Ом-см. Магнитным полем токов
Фуко пренебречь.
448. Сравнить потери W\ на тепло в металлической коробке, раз-
размеры которой приведены на рис. 127, с потерями W^ в пластинках,
Изоляция
Изоляция
Рис. 127
§5. Электромагнитная индукция
73
из которых сделана эта коробка, когда пластинки изолированы друг
от друга. В обоих случаях коробка помещена внутрь катушки, по
которой проходит ток высокой частоты, как в задаче 445, причем ось
катушки совпадает с осью коробки и параллельна стороне с. Толщина
пластинок d много меньше размеров коробки а и Ъ.
449. Катушка, обладающая омическим сопротивлением R = 1 Ом и
индуктивностью L, с площадью сечения S = 100 см2 и числом витков
N = 100, вращается равномерно с угловой
скоростью ио в магнитном поле Земли вокруг
вертикальной оси, проходящей через одно из
оснований катушки перпендикулярно к ее оси
(рис. 128). При вращении концы катушки
остаются все время присоединенными к об-
обкладкам плоского конденсатора емкостью С.
1) Найти значения / и V для установившего-
установившегося состояния. 2) Найти условие, при котором
в катушке выделяется наибольшее количе-
количества тепла в единицу времени. 3) Подсчитать
количество тепла Q, выделяющееся в этом
случае в единицу времени. Горизонтальная
слагающая земного поля Н = 0,2 Э.
Рис. 128
450. В условиях предыдущей задачи катушка внезапно останав-
останавливается в момент максимального заряда на обкладках конденсатора.
1) Как дальше будет изменяться V, если, кроме второго условия
предыдущей задачи, будет еще выполнено условие L/C = R2/4? 2)
Чему будет равно количество тепла Q, которое выделится с момента
остановки до исчезновения тока в цепи?
451. В плоскости расположены два концентрических проводящих
кольца. По внутреннему протекает переменный ток частоты ш. Найти
ток во внешнем кольце, если сопротивление его единицы длины р и
радиус малого кольца г много меньше, чем радиус большого R.
452. Магнитная стрелка, насаженная на вертикальное острие, мо-
момент инерции которой J, а магнитный момент ШТ, совершает гар-
гармонические колебания в горизонтальной плоскости (рис. 129). Под
стрелку подводят расположенный гори-
горизонтально круглый диск из меди, ось
которого совпадает с осью, вокруг ко-
которой колеблется стрелка, и укрепля-
укрепляют на таком расстоянии, что движение
стрелки становится апериодическим. То-
Тогда стрелку останавливают в ее положении равновесия и вращают
диск вокруг оси стрелки равномерно с угловой скоростью uj. 1) Какой
момент силы М нужно приложить к стрелке, чтобы удержать ее в по-
положении равновесия? 2) Какая мощность N будет при этом выделяться
в диске? 3) С каким угловым ускорением uj начнет двигаться стрелка,
если ее освободить? 4) Что произойдет дальше со стрелкой, если
Магнитная стрелка
Медный диск
Рис. 129
В
-щ
74 Задачи
момент, действующий на стрелку со стороны магнитного поля Земли,
будет сравним по порядку величины с моментом, с которым действует
на нее вращающийся диск?
453. К катушке с сердечником при-
приложено синусоидальное напряжение <? =
J = go cos cut. Определить графическим спо-
| собом форму тока, идущего через обмот-
j H ку, если задана кривая намагничивания
материала сердечника, обладающего ги-
гистерезисом (рис. 130). Омическим сопро-
сопротивлением обмотки можно пренебречь.
454. Почему в катушке Румкорфа,
работающей с прерывателем, при боль-
большом расстоянии между разрядными электродами, соединенными с кон-
концами вторичной обмотки, искра проскакивает только в одном направ-
направлении даже при одинаковой форме электродов?
455. Конденсатор емкостью С заряжен до разности потенциалов V
и разряжается через сопротивление R. Найти, как меняется со време-
временем энергия конденсатора W. Выразить эту зависимость аналитически
и графически.
456. Конденсатор емкостью С = 1 мкФ разряжается через сопро-
сопротивление R = 1000 Ом. Через какое время t от начала разрядки напря-
напряжение на пластинах конденсатора уменьшится вдвое?
457. Конденсатор емкостью С заряжается от батареи с ЭДС <f через
сопротивление R. Определить, как меняется со временем мощность N,
подводимая к конденсатору. Построить график зависимости N от вре-
времени t.
458. Конденсатор емкостью С заряжается через сопротивление R
до разности потенциалов, равной ЭДС заряжающей батареи <f. 1) Опре-
Определить энергию Q, переходящую в тепло при зарядке. 2) Определить
КПД rj установки, заряжающей конденсатор (полезная энергия — энер-
энергия, накопленная в конденсаторе).
459. В предыдущей задаче предполагалось, что начальный ток, т. е.
ток в момент включения, /q = &/R. Между тем до замыкания цепи ток
был равен нулю. Следовательно, после замыкания цепи должен был бы
мгновенно установиться ток /q. Возможен ли такой скачок в реальных
условиях?
460. Конденсатор заряжается от источника с постоянной ЭДС <f
через сопротивление R и индуктивность L, причем R? = 4L/C. 1) Как
изменяется сила зарядного тока / со временем (построить график)?
2) Через какое время t от начала зарядки сила тока достигает макси-
максимума? 3) Чему равна максимальная сила /макс зарядного тока? 4) Чему
равно напряжение V на конденсаторе в этот момент? 5) Чему равен
КПД г\ установки?
461. Конденсатор, заряженный до разности потенциалов Vb, разря-
разряжается на цепь, состоящую из сопротивления R и индуктивности L,
§5. Электромагнитная индукция
75
соединенных параллельно. Найти полный заряд Q, протекающий через
каждый из элементов цепи.
462. Две катушки, обладающие сопротивлениями R\ и R% и ин-
дуктивностями L\ и L2, соединены параллельно. Как распределится
между ними заряд Q, протекающий при разряде конденсатора?
463. Конденсатор емкостью С заряжается от батареи с ЭДС Ш
через сопротивление R. Параллельно конденсатору присоединена нео-
неоновая лампа Л (рис. 131), идеализированная характеристика которой
приведена на рис. 132. Процесс зарядки продолжается до тех пор,
Рис. 131
Рис. 132
пока напряжение на пластинах конденсатора не достигнет значения V3,
при котором вспыхивает неоновая лампа. Затем идет процесс разрядки
конденсатора до тех пор, пока напряжение на пластинах конденсатора
не упадет до значения Vr, при котором неоновая лампа гаснет. Затем
снова начинается процесс зарядки конденсатора и т.д. Построить гра-
график напряжения на пластинах конденсатора в зависимости от времени.
Найти продолжительность зарядки t\ и разрядки
^2 конденсатора, а также период Т всего процесса
зарядки и разрядки.
464. В разрыв проводящего подвижного диа-
диаметра CD (рис. 133) включена неоновая лампа,
потенциалы зажигания и гашения которой рав-
равны соответственно V3 > Vr. Окружность ABCD,
сопротивление которой мало по сравнению с со-
сопротивлением неоновой лампы (когда она горит),
сделана из однородной проволоки постоянного по-
поперечного сечения. Между точками А и В поддер-
поддерживается постоянное напряжение V. 1) При каких
положениях диаметра CD лампа вспыхивает и гаснет? 2) Чему равно
минимальное значение напряжения, при котором лампа еще может
вспыхнуть?
465. Рассмотреть явления, происходящие в схеме, показанной на
рис. 134, при замыкании и размыкании ключа К. Найти напряжение V
между точками Аи В. Активное сопротивление катушки не учитывать.
Рис. 133
76
Задачи
466. Известно, что конденсатор, присоединенный параллельно клю-
ключу, разрывающему цепь, препятствует образованию вольтовой дуги.
Для выяснения роли конденсатора подсчитать напряжение V между
точками А и В после размыкания ключа К
в схеме, показанной на рис. 135.
В
г = 24 Ом
"=" J? = 240GOm
Рис. 134
Рис. 135
467. В импульсном электростатическом ускорителе ван-де-Граафа
заряженные частицы ускоряются в разрядной трубке, проходя разность
потенциалов V = 5 MB между заряженным шаром радиуса R = 160 см
и землей. Какой средний ток ускоренных частиц можно получить
в течение импульса длительностью г = 200 мкс, если допустимая
относительная немоноэнергетичность пучка на выходе не должна пре-
превышать ? = 0,5%? (Ток подзарядки, переносимый движущейся лентой,
пренебрежимо мал по сравнению с током / ускоренных частиц.)
§ 6. Переменный ток. Свободные и
вынужденные колебания
468. Для зарядки аккумулятора постоянным током силы / тре-
требуется 8 часов. За отсутствием источника постоянного тока зарядка
ведется от сети переменного тока через двухполупериодный выпрями-
выпрямитель. При этом имеющийся в цепи аккумулятора электродинамический
амперметр показывает ту же силу тока /. Как долго придется заряжать
в этих условиях аккумулятор?
469. Характеристика выпрямителя изображена на рис. 136. Выпря-
Выпрямитель работает по двухтактной схеме на чисто омическую нагрузку
100Ом. Определить величину среднего тока /ср, идущего через цепь
выпрямитель-нагрузка, если амплитуда ЭДС равна 40 В.
470. Для нагрева электропечи до нужной температуры требуется
при питании постоянным током 5 А. Если через обмотку печи про-
пропускать переменный ток после однополупериодного выпрямителя, то
какие показания должны давать включенные в цепь: 1) амперметр
постоянного тока; 2) амперметр переменного тока, чтобы печь имела
нужную температуру?
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
11
471. Вольтметр магнитоэлектрической системы, присоединенной к
выпрямителю, показывает 100 В. Каково максимальное значение на-
напряжения, даваемого выпрямителем, если выпрямление: 1) однополу-
периодное; 2) двухполупериодное?
/, А
0,4
0,3
0,2
ОД
0 10 20 30 40 V, В
Рис. 136
Рис. 137
472. В выпрямительном устройстве, собранном по так называемой
схеме Латура (рис. 137), к точкам С и D подводится переменное на-
напряжение, а с нагрузочного сопротивления R снимается пульсирующее
напряжение (через это сопротивление идет ток в одном направлении).
Как связано напряжение между А и В с подводимым к С и D напряже-
напряжением, если сопротивление нагрузки много больше, чем сопротивление
конденсатора на данной частоте?
473. Подогревная спираль питается током силы 10 А. Каким зна-
значением силы тока надо пользоваться при вычислении максимальной
напряженности магнитного поля, создаваемого этим током?
474. В цепь 50-периодного тока включены реостат с сопротивле-
сопротивлением R = 103Ом и катушка индуктивности, состоящая из железного
цилиндрического сердечника с обмоткой из N = 400 витков медного
провода. Катушка имеет длину / = 40 см и диаметр D = 4 см. В цепи
наблюдается сдвиг фазы <р = 30° между ЭДС и силой тока. Определить
среднюю магнитную проницаемость /х железа сердечника. Сопротивле-
Сопротивлением обмотки пренебречь.
475. Имеются два одинаковых трансформатора с 220 В на 12 В.
Можно ли соединить их так, чтобы получить 6 В?
476. В цепи 50-периодного тока имеются: реостат с сопротивлением
R = 100 Ом, катушка с индуктивностью L = 1 Г и конденсатор с емко-
емкостью С = 1 мкФ. Чему равен сдвиг фазы (р между током и напряжением
на концах всей цепи, в какую сторону сдвинута фаза?
477. В цепи 50-периодного тока находятся реостат и катушка с
индуктивностью L = 0,1 Г. Между напряжением и силой тока наблю-
наблюдается сдвиг фазы if = 30°. Чему равно сопротивление реостата R
и какую емкость С нужно включить последовательно в цепь, чтобы
устранить сдвиг фазы?
478. Если конденсатор залит диэлектрической жидкостью, обла-
обладающей некоторой проводимостью, то такой конденсатор эквивалентен
78
Задачи
Рис. 138
некоторой емкости С, зашунтированной некоторым сопротивлением R.
Какой сдвиг фазы между силой тока и напряжением вызывает включе-
включение такого конденсатора в цепь переменного тока частоты оо?
479. Замкнутый проволочный виток с индуктивностью L и сопро-
сопротивлением R равномерно вращается с угловой скоростью ио вокруг оси,
лежащей в его плоскости, в однородном магнитном поле, перпендику-
перпендикулярном к оси вращения. При каком угле а между направлением поля
и плоскостью витка сила тока в витке будет
достигать максимума?
480. Квадратная рамка вращается рав-
равномерно с угловой скоростью ио в однород-
однородном магнитном поле, перпендикулярном к оси
вращения (рис. 138). Концы рамки все вре-
время остаются присоединенными к индуктивно-
индуктивности L. Омическим сопротивлением цепи мож-
можно пренебречь. В каком положении рамки сила
тока в ней будет максимальной?
481. В каком положении рамки предыду-
предыдущей задачи сила тока будет максимальной,
если, кроме индуктивности L, в цепь включе-
включены последовательно конденсатор С и омиче-
омическое сопротивление R?
482. Последовательно с конденсатором задачи 478 в цепь перемен-
переменного тока включена катушка с индуктивностью L. Вследствие этого
в цепи исчез сдвиг фазы между силой тока и напряжением. Чему равно
сопротивление диэлектрика конденсатора?
483. Катушка, имеющая индуктивность L = 0,3 Г и сопротивление
R = 100 Ом, включается в цепь 50-периодного тока с эффективным
напряжением V = 120 В. Определить амплитуду тока /, сдвиг фазы (р
между током и напряжением в цепи и выделяемую в цепи мощность N.
484. Для определения мощности, выделяемой
переменным током в катушке (индуктивность L,
сопротивление г), применяют иногда метод трех
вольтметров, заключающийся в следующем. По-
Последовательно с катушкой включают известное
сопротивление R и присоединяют к цепи три
вольтметра так, как показано на рис. 139. Изме-
Измеряют с помощью этих вольтметров эффективные
напряжения: V\ — на катушке, V^ — на сопротив-
сопротивлении и V — между концами цепи. Определить
искомую мощность N.
485. Для определения мощности, выделяемой
переменным током в катушке (индуктивность L,
сопротивление г), применяют иногда метод трех
©
Рис. 139
амперметров, состоящий в следующем (рис. 140). Параллельно катуш-
катушке включают известное сопротивление R. Измеряют эффективные зна-
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
79
чения тока: 1\ — через катушку, 1^ — через сопротивление R и полный
ток /. Зная показания приборов, определить искомую мощность N.
486. Катушка диаметром 40 см, ось которой находится в гори-
горизонтальной плоскости, состоит из п = 1000 витков тонкой медной
проволоки сечением S = 0,1 мм2. Катушка вращается в магнитном поле
Земли вокруг вертикальной оси, проходящей через середину катушки,
делая п = 103 оборотов в минуту. Концы катушки присоединены к
внешней цепи, обладающей омическим сопротивлением R = 154 0м.
Найти мощность N, выделяемую во внешней цепи. Горизонтальная
слагающая земного магнитного поля Н = 0,2 Э. Индуктивность катуш-
катушки не учитывать.
Рис. 140
Рис. 141
487. Железный сердечник несет на себе две обмотки. Одна обмот-
обмотка, из большого числа п витков, присоединена к источнику синусои-
синусоидальной ЭДС &. Другая обмотка состоит из одного кольца, сопротив-
сопротивление которого R. Точки А, В и С этого кольца (рис. 141) отстоят друг
от друга на равных расстояниях. 1) Если к двум из этих точек при-
присоединить достаточно чувствительный амперметр переменного тока с
сопротивлением г, то что он покажет? 2) Как изменится его показание,
если перебросить его в положение, указанное пунктиром на рисунке?
Железный сердечник не имеет магнитного рассеяния. Индуктивностью
кольца и соединительных проводов можно пренебречь.
488. Чем определяется сила тока в кольце в предыдущей задаче,
если омическим сопротивлением кольца можно пренебречь?
489. Чему равно полное сопротивление (для переменного тока
частоты uj) участка цепи, состоящего из параллельно включенных
конденсатора емкостью С и омического сопротивления R?
490. Имеются две самостоятельные цепи. Первая состоит из вклю-
включенных последовательно источника ЭДС некоторой частоты, катушки
с индуктивностью L и сопротивления R. Вторая — из источника ЭДС
той же частоты и параллельно включенных конденсатора емкостью С и
сопротивления R. При каком соотношении между L, С и R сдвиг фазы
80
Задачи
между током и напряжением в цепи в обоих случаях будет одинаков
по абсолютной величине?
491. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление источника, эквива-
эквивалентного цепи, показанной на рис. 142. Считать, что генератор So
настроен в резонанс с цепью и что R <C ujL.
II С
Рис. 142
Рис. 143
492. Дана схема, приведенная на рис. 143. Будет ли меняться сдвиг
фазы между токами в ветвях с изменением: 1) сопротивления it^;
2) сопротивления R\?
493. В схеме, приведенной на рис. 144, даны L, С, R и 1^ =
= /ocosa;?. Найти S, 1\ и сдвиг фазы <р между S и напряжением V на
конденсаторе.
494. Определить полное сопротивление г цепи, показанной на
рис. 145. Круговая частота переменного тока в цепи равна ио. Опреде-
Определить условие, при котором сопротивление цепи будет максимальным,
если R <C Leo, и найти это максимальное сопротивление гмакс.
Ш
С
R
С
Рис. 144
Рис. 145
495. Почему короткое замыкание конденсатора равносильно тому,
что его емкость становится бесконечно большой?
496. Задано напряжение на входе фильтра (рис. 146) О
VBX = A20sin300?+ 120sin600f) В.
Определить зависимость напряжения Увых на выходе от времени.
О В этой и многих последующих задачах в аргументе sin или cos встречает-
встречается произведение какого-либо числа на t. Число, на которое умножается t, имеет
размерность, обратную времени (т.е. размерность частоты), и выражается
в обратных секундах. Поэтому произведение этого числа на t есть величина
безразмерная. Чтобы не загромождать формул, ни единицы, в которых измеря-
измеряются эти числа, ни единицы времени не указываются.
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
81
497. Дана схема, представленная на рис. 147. Сила тока в катушке
L\ колебательного контура / = 0,5 cos 600^. Найти ЭДС &.
1000 Ом 1000 Ом
=0,01 Г
Рис. 146
Рис. 147
498. Показать, что трансформатор без рассеяния (рис. 148 а), ра-
работающий на чисто омическое сопротивление, представляет собой для
внешней цепи такую же нагрузку, как эквивалентная схема, представ-
представленная на рис. I48 6 (п — коэффициент трансформации). Омическим
сопротивлением обмоток трансформатора можно пренебречь.
Рис. 148
499. Цепь переменного тока показана на рис. 149. Определить:
1) сдвиг фазы между напряжением на конденсаторе и током через
сопротивление R; 2) сдвиг фазы между током через конденсатор и
током через сопротивление R; 3) сдвиг фазы между напряжением на
сопротивлении R и ЭДС <? всей цепи.
<л= cf a cos mt С ~^
s 1
— т —
X 1 ^v
1 X.
t
Рис. 149
Рис. 150
500. Переменное напряжение имеет форму, изображенную на
рис. 150. Найти эффективное значение такого напряжения (?Эф.
501. Ток, идущий через катушку индуктивности, имеет форму,
аналогичную указанной на рис. 150. Наибольшее значение силы тока
равно /о. Какова будет величина падения напряжения на индуктивно-
индуктивности? Представить графически изменение этой величины за период.
82
Задачи
502. Конденсатор емкостью С = 0,025 мкФ заряжен до разности по-
потенциалов V = 20 В и разряжается через проводник с индуктивностью
L = 4 мкГ. Сопротивление цепи г = 1 Ом. Определить угловую частоту
колебаний оо, логарифмический декремент затухания в и максимальное
значение силы тока Iq.
503. Электрическая цепь, состоящая из катушки (L = 0,2 Г, R =
= 10 Ом) и соединенного последовательно с ней конденсатора С, под-
подключена к сети переменного тока (/ = 50 Гц, амплитуда напряжения
go = 100 В). Подобрать емкость так, чтобы напряжение V на зажимах
катушки было максимальным, и определить величину этого напряже-
напряжения.
504. Какова должна быть величина емкости С в предыдущей зада-
задаче, чтобы амплитуда силы тока в цепи была равна 1 А?
505. Какова величина емкости С в цепи, описанной в задаче 503,
если известно, что амплитуда напряжения на сопротивлении равна
0,1 В?
506. Дана схема, изображенная на рис. 151. Определить: 1) при
какой частоте ЭДС & в цепи А будет идти ток, а в цепи В он постоянно
будет равен нулю; 2) при какой частоте ЭДС & в цепи В будет идти ток,
а в цепи А он будет постоянно равен
нулю. Взаимная индуктивность обеих
цепей М ф L.
507. В схеме предыдущей задачи
L = V = 2М = 0,01 Г, С = 1 мкФ и
R = 100 Ом. Определить амплитуды Iq
и /q сил токов в цепях А и В в случаях
1 и 2 предыдущей задачи, если мак-
максимальное значение ЭДС & равно 100 В;
подсчитать в тех же случаях мощность
N, расходуемую источником ЭДС.
Рис. 151
508. Емкость конденсатора в цепи, показанной на рис. 152, может
плавно изменяться в широких пределах. ЭДС источника равна & =
= <focosc<;?. 1) Определить мощность, отдаваемую источником, в за-
зависимости от величины емкости. 2) При каком
значении емкости эта мощность будет макси-
максимальной и чему она равна?
509. Генератор посылает энергию по ли-
линии в нагрузку. Эффективное напряжение
генератора равно <f. Сопротивление и индук-
индуктивность линии и генератора вместе соот-
соответственно равны Rq и Lq. Сопротивление и
индуктивность нагрузки равны R и L. Определить: мощность N, отда-
отдаваемую источником; полезную мощность N' и КПД т\ всей установки.
510. Определить: мощность N, отдаваемую источником; полезную
мощность N' и КПД т\ для цепи, показанной на рис. 153; ЭДС источ-
источника равна g =
Рис. 152
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
83
511. Схема электрической цепи показана на рис. 154 а. Значения
амплитуд напряжения, силы тока и сдвига фазы между напряжением и
током в цепи нагрузки показаны на рис. 154 6. Определить амплитуду
ЭДС источника <?о и КПД rj установки. Каково было бы значение
КПД rjf, если бы при тех же значениях
амплитуд напряжения и силы тока на-
нагрузка обладала только омическим со-
сопротивлением?
//Д60
Рис. 153
F0=120B
б
Рис. 154
512. В цепи нагрузки ваттная и безваттная составляющие силы
тока равны. Амплитуда напряжения на входных зажимах цепи нагруз-
нагрузки равна V = 100 В, а амплитуда силы тока / = 10 А. Определить
амплитуду ЭДС источника, если сопротивление линии и источника
Ro = 5 Ом.
513. Как с помощью амперметра и вольтметра переменного тока
можно измерить емкость конденсатора С? Дать схему и расчетную
формулу.
514. В сеть 50-периодного переменного тока напряжением в 120 В
включили последовательно конденсатор и измерительный прибор, ко-
который показал силу тока 240 мА. Чему равна емкость конденсатора С?
Сопротивлением прибора и подводящих проводов можно пренебречь.
515. При каком условии можно пользоваться описанным в преды-
предыдущей задаче приближенным методом для измерения емкости конден-
конденсатора?
516. Как можно просто опре- т
делить емкость конденсатора, обла-
обладающего утечкой, по методу, ука-
указанному в задаче 514.
517. Для измерения емкости
конденсатора применяют иногда ме-
метод моста, показанного на рис. 155.
АВ — реохорд, S — звуковой гене-
генератор (источник переменного то-
тока), Т — телефон, Сх — измеряемая
емкость, С\ — эталонный конденса-
конденсатор. Вывести условия баланса мо-
моста (т.е. условия, при которых в телефоне нет звука). Можно ли
в схеме моста поменять местами звуковой генератор S и телефон Т?
Рис. 155
84
Задачи
518. Схема моста дана на рис. 156. Можно ли при каких-либо
соотношениях величин L и С получить отсутствие тока через прибор
переменного тока G?
С,
Рис. 156
Рис. 157
519. К точкам А и В схемы, изображенной на рис. 157, подводится
напряжение V\ = V\osm.ojt, а с точек М и N снимается напряжение
У2 = V2osin(o;? - if). 1) Показать, что при R\C\ = RC имеем V\q =
= V20, и найти сдвиг фазы (р. 2) Чему будет равно <р, если R =
= 1/ujC? (Рассматриваемая схема является одной из простейших схем
фазовращателей.)
520. В схеме, параметры которой указаны на рис. 158, <f =
= 150 cos 300^ В. Подобрать величину емкости С так, чтобы сила тока
через амперметр А была равна 5мА.
ОД Г
ЮмкФ
ЮмкФ ЮмкФ
Рис. 158
Кнопка
Рис. 160
Рис. 159
521. Подобрать индуктивность дрос-
дросселя L так, чтобы амплитуда напряже-
напряжения V2 на выходе фильтра, показанного на
рис. 159, при частоте 100 Гц была в 10 раз
меньше, чем амплитуда V\ на входе.
522. Для питания электрического звон-
звонка пользуются понижающим трансформа-
трансформатором. Обычно первичная обмотка транс-
трансформатора остается постоянно подключен-
подключенной к сети (рис. 160). За что же платит
абонент: за все время присоединения пер-
первичной обмотки к сети или за те короткие
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 85
моменты, когда нажата кнопка звонка? Почему предпочитают включать
кнопку во вторичную обмотку трансформатора?
523. Ток холостого хода в первичной обмотке трансформатора (т. е.
при разомкнутой вторичной обмотке), питаемый от сети 50-периодного
переменного тока с напряжением 220 В, равен 0,1 А. Омическое сопро-
сопротивление первичной обмотки равно 200 Ом. Определить индуктивность
первичной обмотки трансформатора.
524. Трансформатор, повышающий напряжение с 100 В до 3300 В,
имеет замкнутый сердечник в виде кольца. Через кольцо пропущен
провод, концы которого присоединены к
вольтметру (рис. 161). Вольтметр показы-
показывает 0,5 В. Сколько витков имеют обмот-
обмотки трансформатора? 100 В |—1> И 3300 В
525. Сердечник трансформатора пред-
представляет собой тор квадратного сечения
со стороной а = 10 см. Ось тора отстоит
от середины поперечного сечения на d =
= 25 см. Первичная и вторичная обмотки
имеют соответственно щ = 500 и п^ = рис 1б1
= 10000 витков проволоки. Вторичная об-
обмотка разомкнута. Концы первичной обмотки присоединяют к генера-
генератору, и по цепи идет синусоидальный ток круговой частоты uj = 314 c
и эффективной силы /= 1,4А. Подсчитать: 1) индуктивность L пер-
первичной обмотки; 2) амплитуду напряжения V, создаваемого между
концами вторичной обмотки. Сопротивление первичной обмотки г =
= 0,5 Ом; магнитная восприимчивость материала сердечника н= 12.
526. Разделительный трансформатор имеет две одинаковые об-
обмотки, у каждой из которых индуктивное сопротивление на рабочей
частоте в п = 5 раз больше омического. Каково отношение мощностей,
потребляемых в первичной цепи при замкнутой и разомкнутой вторич-
вторичной цепи?
527. В трансформаторе омическое сопротивление первичной цепи
в пь а вторичной в п^ раз меньше индуктивного (на рабочей частоте).
Найти сдвиг фазы 5 между током и напряжением в первичной цепи.
Рассеянием магнитного потока в сердечнике трансформатора прене-
пренебречь. Получить числовой ответ при п\ = п^ = 10.
528. В цепь батареи постоянного тока включен плоский конденса-
конденсатор. Расстояние между пластинами конденсатора меняется по гармо-
гармоническому закону d = do(l + a cos out), где а <С 1. Какой силы ток /
будет течь в цепи, если ЭДС батареи равна 8, а площадь пластины
конденсатора 6? Омическим сопротивлением цепи можно пренебречь,
так как оно гораздо меньше I/Cuj.
529. Через баллистический гальванометр с баллистической по-
постоянной В пропускается кратковременный импульс тока, в течение
которого через него проходит количество электричества q. Спустя
половину периода, когда рамка гальванометра вернется в исходное по-
86
Задачи
ложение, через гальванометр пропускается такой же импульс тока, но
в противоположном направлении; через следующую половину периода
пропускается снова такой же импульс, но в первоначальном направ-
направлении и т.д. Таким образом, всякий раз, когда рамка гальванометра
проходит через положение равновесия, она испытывает одинаковые
толчки в направлении своего движения. Найти максимальный угол
отклонения рамки при установившихся колебаниях. Период (затухаю-
(затухающих) колебаний гальванометра Т, логарифмический декремент S.
530. К клеммам А и В (рис. 162) подводится произвольное пе-
переменное напряжение VBX(t), которое возбуждает между клеммами
М и N напряжение VBUX(t). Параметры R, L, С подобраны таким
образом, что напряжение на выходе в каждый момент времени мало
по сравнению с напряжением на входе в тот же момент. Показать,
что при выполнении этого условия выходное напряжение на схемах /
и 2 приблизительно пропорционально интегралу, а на схемах 3 и 4 —
производной от входного напряжения по времени.
531. С помощью схемы, показанной на рис. 163, требуется полу-
получить фазовый сдвиг на угол 90° между напряжением на входе VBX и
напряжением на выходе VBUX. Какому условию должны удовлетворять
параметры схемы R и L, если круговая частота входного напряжения
равна cj? Чему при этом будет равно отношение амплитуд входного и
выходного напряжений?
С
К сетке
следующей
М
лампы
Рис. 163
Рис. 164
532. Колебания напряжения на аноде усилительной лампы подают-
подаются в цепь сетки следующей лампы через «разделительный конденса-
конденсатор» С (рис. 164), который защищает цепь сетки следующей лампы от
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
87
попадания на нее постоянного анодного напряжения. Для того чтобы
электроны, попадающие на сетку следующей лампы, могли возвращать-
возвращаться к катоду, между сеткой и катодом включается сопротивление R
(«утечка сетки»). Подсчитать минимальную емкость С разделительно-
разделительного конденсатора, если R = 1 МОм, усилитель предназначен для частот
от 5 • 105 до 15 • 105 Гц и потеря напряжения на конденсаторе во всем
этом диапазоне частот не должна превышать 0,1 %.
533. Для передачи только переменной составляющей напряжения
V\ в цепь включен конденсатор С. Напряжение V^ снимается с со-
сопротивления R (рис. 165). Определить наименьшую величину емкости
конденсатора из условия, что потери напряжения должны быть не
более 5% в диапазоне частот от 50 до 10000Гц. Сопротивление R =
= 0,5 МОм.
Рис. 165
Рис. 166
534. Напряжение с частотой 50 Гц подводится к отклоняющим
электродам катодного осциллографа через цепь, показанную на
рис. 166. Емкость конденсатора С равна 0,5 мкФ. Найти величину
сопротивления R, при которой на экране осциллографа будет: 1) круг;
2) эллипс, у которого одна ось вдвое больше другой.
535. Определить отношение большой полуоси эллипса в предыду-
предыдущей задаче к радиусу круга.
536. Измерение величины сдвига фазы между токами можно про-
произвести с помощью катодного осциллографа по схеме рис. 167. 1) Как
осуществить это измерение? 2) Можно ли этим способом определить
знак сдвига фазы?
Рис. 167
537. В ответе предыдущей задачи указан способ определения сдви-
сдвига фазы между двумя токами. Этот способ недостаточно точен. Более
точно можно определить сдвиг фазы по положению главных осей
эллипса. Найти выражение угла сдвига фазы через длину и наклон
полуосей эллипса.
Задачи
538. С помощью схемы с катодным осциллографом, изображенной
на рис. 168, принципиально можно измерить мощность, потребляемую
в цепи (R,L,r). Как осуществить
это измерение? Какие данные
необходимы для такого измере-
измерения?
539. В электрической цепи,
показанной на рис. 169 а (соеди-
(соединение треугольником), даны на-
напряжения между точками 1,2,3
И СОПрОТИВЛеНИЯ 7*12, Г23, ПЗ-
Найти сопротивления R\, R^, Rs
Рис.168 в плечах «эквивалентной» цепи,
показанной на рис. 169 6 (соеди-
(соединение звездой). (Условие «эквивалентности» состоит в том, что при том
же падении напряжения между каждой парой точек 1, 2, 3 в обеих
схемах через эти точки протекают одинаковые токи.)
Рис. 169
540. Прямой однослойный соленоид с индуктивностью L совершает
вынужденные крутильные гармонические колебания вокруг своей оси
<р = <ро cos out. Соленоид гибкими проводами подсоединен к конденсато-
конденсатору емкости С (опыт Мандельштама и Папалекси). Найти напряжение
на конденсаторе при резонансе, когда частота uj равна собственной
частоте колебательного контура с^о = y/l/(LC). Радиус соленоида а,
длина проволоки, из которой он изготовлен, I, сопротивление соленои-
соленоида R.
541. Упрощенная схема электродинамометра изображена на
рис. 170. Прибор состоит из неподвижной катушки (выводы а, Ъ),
расположенной вертикально; коаксиально с этой катушкой подвешена
на пружине вторая катушка (выводы а', Ъ') с прикрепленной к ней
тарелочкой с разновесами. Если концы катушек Ъ и Ь' соединяют и
пропускают постоянный ток / от а к о!, то на чашку весов нужно
добавить 20г, чтобы положение катушки а'Ь' не изменилось, т.е.
чтобы указатель А не сместился из нулевого положения. Определить,
какую массу m нужно добавить на чашку, чтобы положение катушки
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
89
а'Ъ1 не изменилось, если через катушку аЪ проходит переменный
50-периодный ток силы 2 А, а через катушку а'Ъ' — той же частоты
переменный ток силы 0,5 А, но сдви-
сдвинутый по фазе относительно первого
на 30°.
542. Прибор состоит из двух вза-
взаимно перпендикулярных катушек, од-
одна из которых (внешняя) укреплена
неподвижно, а вторая подвешена на
нити внутри первой (рис. 171). Конец
обмотки первой катушки Ь соединяют
Рис. 170
Рис. 171
с а' и через обе катушки пропускают 50-периодный переменный ток
силой 1\, вследствие чего внутренняя катушка поворачивается. По-
Поворотом головки А на а\ делений влево возвращают катушку в на-
начальное (перпендикулярное к неподвижной катушке) положение. Затем
пропускают ток той же частоты, но силой 1% и поворотом головки на
OL2 делений влево снова возвращают катушку в начальное положение.
Наконец, ток 1\ пропускают через первую катушку от а к Ь, а ток 1% —
через вторую от а' к У, и тогда головку нужно повернуть на а% делений
вправо, чтобы катушка осталась на месте. Считая угол закручивания
нити пропорциональным моменту сил, определить сдвиг фазы между
токами 1\ и /2, если а\ = 14°5/; а^ = 10°; аз = 6°.
543. Как изменятся углы закручивания нити в предыдущей задаче
во всех опытах, если: 1) концы обеих катушек поменять местами;
2) переменить концы только у одной из катушек? 3) Возможно ли с
помощью данного прибора определить, в какую сторону сдвинута фаза
/2 относительно 1\}
544. Как будет изменяться со временем ток / в цепи, представлен-
представленной на рис. 172 а, после замыкания ключа К?
90
Задачи
545. Определить закон изменения силы тока / через батарею <f по-
после замыкания ключа К в схеме, показанной на рис. 172 6. Вычертить
кривую изменения силы тока при замыкании ключа.
= 20мкФ:
R* = 1 Ом
Рис. 172
546. Электрическая цепь состоит из батареи, конденсатора и ка-
катушки индуктивности (рис. 173). Определить силу тока / в цепи как
функцию времени, считая, что замыкание ключа К произошло в мо-
момент t = 0. Величины параметров цепи указаны на рисунке. Омическим
сопротивлением батареи и остальной цепи пренебречь.
1 = 0,49 Г
С = 0,25 мкФ
, С = 5 мкФ
^?=10 В
Рис. 173
Рис. 174
547. Определить закон изменения напряжения V на конденсато-
конденсаторе С после замыкания ключа К в основной цепи схемы, представлен-
представленной на рис. 174.
548. Последовательно соединенные дроссель L и омическое сопро-
сопротивление присоединены к источнику постоянного тока с ЭДС <f. Пол-
Полное омическое сопротивление цепи равно R. Индуктивность дросселя,
когда в него вставлен железный сердечник, равна L\. Индуктивность
того же дросселя без железного сердечника L^. Вначале сердечник был
вставлен. В момент времени t = 0, когда ток в цепи уже установил-
установился, очень быстро вынимают железный сердечник (в течение времени,
пренебрежимо малого по срав-
сравнению с временем установле-
установления тока). Определить силу
тока / в цепи в зависимости
от времени t для t > 0.
549. Схема электрической
цепи показана на рис. 175.
Определить напряжение V на
Рис. 175
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
91
конденсаторе С как функцию времени после того, как в момент t = О
замкнут ключ К.
550. Для схемы, представленной на рис. 176, определить заряд q
на конденсаторе С как функцию времени после включения ключа К.
L = 0,025 Г
С = 0,5 мкФ
Рис. 176
Рис. 177
551. Для схемы, представленной на рис. 177, определить, как
изменяется сила тока / через катушку индуктивности после замыкания
ключа К. Параметры цепи обозначены на рисунке.
552. Вместо батареи в электрическую цепь задачи 545 включен
источник синусоидальной ЭДС с частотой 10 периодов в секунду.
Ключ К замыкается в тот момент, когда ЭДС достигла максимального
значения. Амплитуда ЭДС равна 10 В. Определить напряжение на
конденсаторе V как функцию времени.
553. Источник синусоидальной ЭДС &= lOOsinlOOvrt В подклю-
подключают в момент t = 0 к катушке, обладающей индуктивностью L =
= 1 Г (рис. 178). Определить силу тока / в цепи. Внутренним со-
сопротивлением источника ЭДС и активным сопротивлением катушки и
соединительных проводов пренебречь.
Рис. 178
Рис. 179
554. К контуру L, С, R (рис. 179) с малым затуханием в момент
t = 0 подключают источник постоянной ЭДС <? с ничтожно малым
внутренним сопротивлением. Определить напряжение V на конденса-
конденсаторе С в зависимости от времени t. На какое минимальное напряжение
должен быть рассчитан конденсатор?
555. Катушка с индуктивностью L, конденсатор с емкостью С и
батарея с ЭДС <? и внутренним сопротивлением г соединены парал-
параллельно (рис. 180). Найти силу тока I(t) в катушке после включения
батареи. Параметры L, С, г удовлетворяют условию L < АСг2.
92
Задачи
556. По длинному прямому проводу течет синусоидальный ток /
высокой частоты v = 108 Гц. К проводу подносится квадратный прово-
проволочный контур со стороной а = 17,2 см, в который включена лампочка
(рис. 181 а). Когда контур поднесен на расстояние Ъ = 10см, лампочка
горит нормальным накалом. 1) Определить эффективное значение силы
тока в проводе /Эф, если для нормального накала лампочки требует-
требуется постоянное напряжение V = 6 В. 2) Уменьшится или увеличится
напряжение на лампочке и во сколько раз, если квадрат заменить
двойным квадратом, изображенным на рис. 1816? Сопротивлением
контуров пренебречь.
С |
г Ц
!
L
li
|1
\-
1
Ь
+
\
1
(8)
Т
а
Рис. 180
Рис. 181
557. Цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротив-
сопротивления R и большой индуктивности L, присоединена к источнику посто-
постоянного тока, поддерживающего на зажимах постоянное напряжение Vo.
Для ограничения перенапряжений во время
отключения источника параллельно с цепью
включен конденсатор емкости С (рис. 182).
Определить напряжение на конденсаторе
V(t) после отключения источника постоян-
постоянного напряжения. Параметры контура удо-
удовлетворяют условию 4L > CR2.
558. В колебательном контуре с ин-
индуктивностью L и емкостью С совершают-
совершаются незатухающие колебания силы тока / =
= /о cos out, где uj2 = l/LC. Катушкой индуктивности служит прямая
длинная проволочная спираль. Как изменятся частота, амплитуда и
энергия колебаний, если в момент времени t = 0 очень быстро (т. е.
в течение времени, малого по сравнению с периодом колебаний Т =
= 2tt/uj) растянуть спираль до удвоенной длины? Объяснить, почему
при этом меняется энергия колебаний.
559. К источнику синусоидального напряжения <f = <fo cos(c<;? + 5)
в момент времени t = 0 подключаются последовательно соединенные
сопротивление R и индуктивность L. Найти силу тока / в цепи в зави-
зависимости от времени. При каком условии после замыкания цепи в ней
сразу установятся синусоидальные колебания?
Рис. 182
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
93
Рис-
560. На вход схемы, изображенной на рис. 183, подается синусо-
синусоидальное напряжение частоты со. Исследовать зависимость амплитуды
и фазы выходного напряжения от величины
сопротивления R.
561. Колебательный контур содержит кон-
конденсатор с утечкой. Это значит, что небольшая
часть тока, поступающего на одну из обкладок
конденсатора, проходит через диэлектрик на
другую обкладку. Емкость конденсатора рав-
равна С, его сопротивление R. Пренебрегая со-
сопротивлением катушки индуктивности и про-
прочих проводов и предполагая, что выполнено
условие квазистационарности, вывести урав-
уравнение собственных колебаний колебательного
контура. Найти собственную частоту ujq и коэффициент затухания 7-
562. Два одинаковых проволочных кольца радиуса г
каждое расположены так, как указано на рис. 184. Рассто-
Расстояние / между центрами колец велико по сравнению с г.
В кольце / поддерживается переменный ток / = /q cos ujt.
Найти среднее значение и направление силы F взаимо-
взаимодействия между кольцами. Индуктивность одного кольца
равна L, омическое сопротивление R. Исследовать два пре-
предельных случая: 1) ujL ^> R; 2) ujL <С R.
563. Схема цепи показана на рис. 185. В момент вре-
времени t = 0 замыкают ключ К. Определить силу тока,
идущего через сопротивление, и напряжение на конденса-
конденсаторе. Амплитуда ЭДС <fo = 100 В, частота uj = 2007ГС,
остальные данные приведены на рисунке. Внутренним со-
сопротивлением источника ЭДС пренебречь.
564. В схеме, приведенной на рис. 186, в момент t = 0 включают
ключ К. Определить зависимость от времени падения напряжения V
на сопротивлении. Дано: <fo = 100 В, uj = ЮОтг с; параметры цепи
указаны на рисунке. Внутренним сопротивлением источника ЭДС пре-
пренебречь.
К
1
I
I
Рис. 184
> С? = 8q COSШ
= 31,4 Ом
Рис. 185
Рис. 186
565. В цепь переменного тока с напряжением Ш = 440 В и частотой
у = 50 Гц включены последовательно нормально горящая лампочка
накаливания и катушка индуктивности. Лампочка рассчитана на НОВ
94
Задачи
Zi/2
и 1 А. При замене лампочки другой, рассчитанной на 220 В и 0,8 А,
оказалось, что новая лампочка горит также нормальным накалом.
Найти индуктивность L и сопротивление R катушки.
566. Найти комплексный им-
импеданс Z бесконечной цепочки,
изображенной на рис. 187.
567. Решить предыдущую за-
задачу в предположении, что все
импедансы, из которых составле-
составлена цепь, — чисто мнимые (состоят
из катушек индуктивности и кон-
конденсаторов).
568. Найти импеданс беско-
бесконечной цепочки, изображенной
на рис. 188.
569. Обкладки плоского кон-
конденсатора имеют форму дисков
Рис. 187
Рис. 188
радиуса R. Пространство между
обкладками заполнено однород-
однородным диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями
s и /i. Конденсатор включен в цепь переменного тока I = Iq cos cut.
Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить электрическую и маг-
магнитную энергии, локализованные в конденсаторе. Найти отношение
максимальной магнитной энергии к максимальной электрической. Рас-
Расстояние между обкладками конденсатора d. Провести числовой расчет
для R = 10 см, частоты v = 100 Гц и е = /х = 1.
570. Пространство внутри длинного соленоида, состоящего из N
витков проволоки, заполнено однородным веществом с диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью /i. Длина соле-
соленоида равна /, радиус R. По обмотке соленоида течет переменный ток
/ = /0 cos cut. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить магнитную
и электрическую энергии, локализованные внутри соленоида, и найти
отношение максимальных значений этих энергий. Провести численный
расчет для R = 5 см, е = /х = 1 и частоты v = 100 Гц.
571. Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми обклад-
обкладками заряжены одинаковыми количествами электричества. Расстояние
между обкладками у первого конденсатора вдвое больше, чем у вто-
второго. Как изменится электрическая энергия системы, если второй кон-
конденсатор вставить между обкладками первого? Считать, что толщина
самих обкладок пренебрежимо мала. Рассмотреть два случая: 1) когда
конденсаторы одноименными зарядами ориентированы в одну сторону;
2) когда они ориентированы противоположно.
572. К плоскому воздушному конденсатору, обкладки которого
имеют форму дисков с зазором d = 1 см между ними, приложено
синусоидальное напряжение V = Vo cos cut с амплитудой Vb = 300 В и
круговой частотой си = 3 • 106 с. Найти амплитуды полей Щ и Bq на
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 95
расстоянии г = 1 см от оси конденсатора, если это расстояние меньше
радиуса обкладок конденсатора. Как изменятся эти амплитуды, если
зазор между обкладками заполнить однородным диэлектриком с е = 10
и /1 = 100?
573. В длинном воздушном соленоиде с радиусом намотки го =
= 1 см, содержащем п = 10 витков/см, течет ток, нарастающий с по-
постоянной скоростью / = 100 А/с. Какова будет форма силовых линий
соответствующего ему вихревого электрического поля Е? Найти вели-
величину Е на расстоянии г = 2го от оси соленоида. Как изменится поле Е
и индукция D, если соленоид погрузить в однородный немагнитный
диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е = 2?
574. Электрическая цепь представлена на рис. 189. Определить
силу тока / через сопротивление R\ после того, как в момент t = 0
замыкают ключ К. Амплитуда ЭДС равна 100 В, частота 2507ГС.
Параметры цепи указаны на рисунке. Внутренним сопротивлением
источника ЭДС пренебречь.
:С С:
Рис. 189 Рис. 190
575. Цепь состоит из соединенных последовательно двух одина-
одинаковых конденсаторов, каждый емкостью С, и катушки с индуктивно-
индуктивностью L (рис. 190). При разомкнутом ключе К один из конденсаторов
заряжают до разности потенциалов V. Затем источник отключают.
Определить закон изменения во времени зарядов на конденсаторах
после замыкания ключа К.
576. Какой должна быть взята величина индуктивности L катуш-
катушки, которую надо включить параллельно конденсатору емкости С =
= ЮмкФ, чтобы получившийся контур был настроен в резонанс на
50-периодный ток?
577. Колебательный контур состоит из катушки длины / = 40 см,
диаметра D = 4 см, на которую намотана виток к витку проволока тол-
толщиной а = 1 мм, и батареи из 10 плоских конденсаторов, соединенных
параллельно, пластины которых имеют размеры mxn = 20x 15см и
отделены друг от друга слоем диэлектрика с диэлектрической прони-
проницаемостью е = 5 и толщиной d = 0,1 мм. Найти приближенно собствен-
собственный период колебаний контура Т.
578. Чему равна длина электромагнитной волны Л, соответствую-
соответствующая собственной частоте колебаний контура, состоящего из катушки
с индуктивностью L = 0,4 Г и конденсатора емкостью С = 104 см?
96 Задачи
579. Какова должна быть емкость конденсатора С, чтобы с ка-
катушкой, имеющей индуктивность L = 25 мкГ, обеспечить настройку
в резонанс на длину волны Л = 100 м?
580. Найти связь между амплитудами тока /о и напряжения Vb при
свободных колебаниях в контуре, состоящем из катушки с индуктив-
индуктивностью L и конденсатора емкости С.
581. На колебательный контур, состоящий из последовательно
включенных конденсатора емкости С = 0,1мкФ, катушки с индук-
индуктивностью L = 0,01 Г и сопротивления R = 10 Ом, действует внешняя
ЭДС с амплитудой 10 В. Чему равна частота / ЭДС, включенной
последовательно в контур, если известно, что амплитуда силы тока,
протекающего в контуре, равна 1 А?
582. На колебательный контур с собственной частотой ljq и ло-
логарифмическим декрементом затухания 0 = 0,02 действует внешняя
периодическая сила с постоянной амплитудой. Частота uj внешней
силы, вначале равная частоте собственных колебаний, изменяется на-
настолько, что мощность, расходуемая в контуре, падает вдвое. Опреде-
Определить изменение частоты в процентах к собственной (или резонансной)
частоте ujq.
583. В колебательном контуре имеется катушка с индуктивно-
индуктивностью L и сопротивлением R. Эту катушку желают заменить двумя
катушками с индуктивностями L\ и L2 и сопротивлениями R\ и R2.
Каким условиям должны удовлетворять эти параметры катушек, чтобы
период и затухание собственных колебаний в контуре не изменились?
Рассмотреть случаи последовательного и параллельного включений
катушек (взаимную индуктивность катушек считать равной нулю).
584. Если в качестве антенны пользуются городской осветительной
сетью, то между сетью и приемником необходимо включить раздели-
разделительный конденсатор. Зачем это делается и чему должна быть равна
емкость такого разделительного конденсатора?
585. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки с
индуктивностью L = 1 Г. Чему равно омическое сопротивление кон-
контура, если известно, что амплитуда собственных колебаний в нем за
0,05 с уменьшается в е = 2,7 раза?
586. Через сколько периодов колебаний амплитуда их уменьшается
в е = 2,7 раза в колебательном контуре, у которого L = 1 Г, С =
= 0,5мкФ и Д = 30Ом?
587. Что характеризует собой коэффициент затухания контура 5 =
= R/BL)? Что характеризует собой логарифмический декремент кон-
контура 0 = 7rR^/CjL?
588. В колебательном контуре с малым затуханием одновременно
увеличивают емкость конденсатора и индуктивность катушки в одно и
то же число раз, равное п. Увеличение производится в произвольный
момент за время, малое по сравнению с периодом собственных колеба-
колебаний контура. Найти соотношение между амплитудами токов /о и /q до
и после изменения параметров контура.
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
97
С
COS €017
с
Рис. 191
589. Найти ток / (в установившемся режиме) в цепи, изображенной
на рис. 191. При какой частоте ш амплитуда установившихся колеба-
колебаний будет максимальна и при какой минималь-
минимальна? Чему равны максимум и минимум тока?
590. Генератор с синусоидальной ЭДС за-
замкнут на активное сопротивление R и реак-
реактивное X, соединенные параллельно. Убрав R
и X, тот же генератор замыкают на активное
сопротивление г и реактивное х, соединенные
последовательно. При каком условии амплиту-
амплитуда и фаза тока останутся неизменными? X и
х — величины вещественные.
591. Катушка колебательного контура с параметрами L, С, R =
= 0 помещена в постоянное магнитное поле, создающее в ней посто-
постоянный магнитный поток Фо. В момент времени t = 0 магнитное поле
выключается. Время выключения г пренебрежимо мало по сравнению
с периодом собственных колебаний контура. Найти ток / в контуре
в зависимости от времени после выключения поля.
592. В колебательном контуре с индуктивностью L = 1 Г, настроен-
настроенном в резонанс, под действием внешнего синусоидального напряжения
с амплитудой Vq = 200 В установился переменный ток с амплиту-
амплитудой /о = 20 А. Найти сопротивление контура R и время затухания г
(уменьшения амплитуды колебаний в е раз) в режиме свободных зату-
затухающих колебаний.
593. При изменении частоты v вынуждающей силы, действующей
на линейную колебательную систему, меняется фаза S установившихся
колебаний этой системы и запасенная в ней энергия W. Пусть при
малом сдвиге частоты от резонансной Ai/ = 1 Гц фаза колебаний 5
изменилась на тг/4. Как изменится при этом энергия W? Каково время
затухания г системы в режиме свободных колебаний?
594. Вблизи катушки колебательного контура с параметрами L\,
С, R расположена вторая катушка с индуктивностью Ь%. Взаимная
индуктивность между катушками равна М. Какой будет резонансная
частота контура, если выводы второй
катушки замкнуты накоротко? Считать,
что индуктивное сопротивление второй
катушки на рассматриваемой частоте
значительно больше ее активного сопро-
сопротивления. При каком условии резонанс
недостижим?
595. Сверхпроводящие катушки с ин-
дуктивностями L\ и Ь% соединены па-
параллельно и включены в цепь гальвани-
гальванической батареи с ЭДС $ и внутренним
сопротивлением г (рис. 192). Найти уста-
Рис. 192 новившиеся токи в катушках 1\ и 1% и
В
4 Под ред. И. А. Яковлева
98
Задачи
ток в общей цепи /, если взаимной индуктивностью катушек можно
пренебречь.
596. Колебательный контур имеет следующие параметры: L =
= 40мкГ, С = 270 пФ и R = 8Ом. Определить время, за которое
амплитуда собственных колебаний уменьшится в е2 раз.
597. В радиотехнике применяют вариометры, индуктивность кото-
которых можно изменять в известных пределах. Одна из схем вариометра
приведена на рис. 193. Внутри непо-
неподвижной катушки А находится катуш-
катушка В, которая может поворачиваться
вокруг оси, перпендикулярной к осям
обеих катушек. Индуктивность катуш-
катушки А равна 1000 мкГ, а катушки В —
400 мкГ. Максимальная взаимная ин-
рис jgg дуктивность между катушками равна
500 мкГ. Определить максимальную и
минимальную индуктивности вариометра, когда его катушки соедине-
соединены последовательно, т.е. индуктивность цепи между а и Ь'.
598. Даны две катушки индуктивности, расположенные неизменно
одна относительно другой, и мостик для измерения индуктивности.
Как можно, пользуясь этим прибором, определить взаимную индуктив-
индуктивность М между катушками?
599. В колебательный контур включен последовательно источник
синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды. Оценить приближенно
напряжение на катушке индуктивности
и напряжение на емкости при очень ма-
малых и очень больших частотах (по срав-
сравнению с собственной частотой контура),
пренебрегая внутренним сопротивлением
источника.
600. Внешняя ЭДС $ действует на
колебательный контур (рис. 194). Опре-
Определить силу тока / и сдвиг фазы <р меж-
между/и <? при резонансе.
601. В цепь, состоящую из последо-
последовательно включенных сопротивления R,
индуктивности L и емкости С, включен
последовательно источник синусоидаль-
синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды и переменной частоты. Изменяя ча-
частоту источника, настраивают ее в резонанс с частотой цепи, затем
уменьшают емкость контура в два раза и снова добиваются резонанса.
Изменится ли сила тока при резонансе? Каково отношение резонанс-
резонансных частот, соответствующих первому и второму случаям?
602. Как изменится мощность, расходуемая при резонансе источ-
источником ЭДС в задаче 600, если индуктивность контура будет увеличена
0*
С
Рис. 194
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 99
вдвое, а емкость уменьшена вдвое, причем Luj ^> Ю Частота и ампли-
амплитуда ЭДС все время остаются постоянными.
603. Показать, что в контуре задачи 601 амплитуда силы тока /
при отклонении частоты внешней ЭДС на небольшую величину А/ О
от резонансной частоты /0 будет связана с амплитудой силы тока при
резонансе Iq следующим соотношением:
у/1 + BA///0JQ2
где Q = — w— —добротность контура.
R у С
604. В колебательном контуре, состоящем из вариометра и кон-
конденсатора, увеличили емкость в два раза и, изменив индуктивность
вариометра, настроили снова контур на прежнюю частоту. Как изме-
изменяются при этом: логарифмический декремент контура, коэффициент
затухания, сила тока при резонансе и напряжение на конденсаторе при
резонансе, если в обоих случаях на контур действует последовательно
включенная ЭДС одинаковой амплитуды, а активное сопротивление
вариометра остается неизменным?
605. Определить добротность Q контура по следующим данным:
резонансная частота /рез = 600 кГц, емкость С = 350 пФ, омическое
сопротивление для частот, близких к резонансной, R = 15 Ом.
606. В колебательный контур включен источник ЭДС с амплитудой
<f0 = 5 В. Амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе равна
Vb = 150 В. Определить добротность Q контура.
607. Металлическое проволочное кольцо площади
S с омическим сопротивлением R и индуктивностью
L подвешено в горизонтальном однородном магнитном
поле Н = Щ cos out и удерживается в нем таким об-
образом, что угол между вектором Но и нормалью п
к плоскости кольца равен <р (рис. 195). Определить
средний момент сил М, действующих на кольцо со
стороны магнитного поля. Найти положения равновесия
кольца и исследовать их устойчивость. Рассмотреть два
предельных случая: 1) ujL ^> R; 2) ujL <С R. В каком Рис. 195
случае при одинаковых L вращающий момент больше?
608. Один из ранних методов определения отношения заряда к
массе е/т для электрона состоял в следующем. Электроны, вырван-
вырванные из алюминиевого диска А, ускорялись разностью потенциалов V,
приложенной между А и щелью S (рис. 196). Пройдя через щель S,
электронный пучок попадал в однородное магнитное поле, перпенди-
перпендикулярное к плоскости рисунка. Вся система помещалась в вакууме.
Изменяя напряженность магнитного поля, добивались того, чтобы ток
О А/ называется «расстройкой», а А///о — «относительной расстройкой»
частоты.
100
Задачи
на коллектор С, регистрируемый гальванометром G, был максимален.
Измерив магнитное поле В в этот момент, можно вычислить е/т. Про-
Провести этот расчет (в системе СГСМ), если расстояние между щелью S
и коллектором С равно d = 10 см, угол
между прямой, проведенной от S к С, и
начальным направлением электронного
пучка а = 30°, V = 1000В, В = 10,6Гс.
609. В определенном пункте напря-
напряженность электрического поля, созда-
создаваемого радиостанцией А, в пять раз
больше, чем напряженность электриче-
электрического поля радиостанции В. Опреде-
Определить добротность контура, с помощью
которого можно принимать в данном
пункте станцию В без помех со стороны
необходимо, чтобы амплитуда сигналов
бы по крайней мере в 10 раз больше
равна 210 кГц,
Рис. 196
станции А, если для этого
станции В в контуре была
амплитуды сигналов станции А. Частота станции А
частота станции В — 200 кГц (см. задачу 603).
610. Волномер состоит из контура, настраивающегося в резонанс с
внешней ЭДС. Резонанс устанавливается по максимуму тока в контуре
с помощью прибора, точность которого 2%. Данные контура такие
же, как в задаче 605. Подсчитать точность определения волномером
частоты колебаний в процентах.
611. Имеется двухпроводная линия из идеального проводника (без
тепловых потерь). Одна пара концов линии присоединена к генератору
постоянного тока, другая — к некоторому сопротивлению (нагрузке).
Показать, что если падения напряжения в проводах не учитывать, то
вектор потока энергии (вектор Умова-Пойнтинга) S в пространстве
между проводами направлен вдоль проводов от генератора к нагрузке.
Как изменится картина, если учесть сопротивление проводов?
612. Двухпроводная линия предыдущей задачи присоединена с
одного конца к генератору синусоидального тока. Напряжение и сила
тока в линии находятся в одной и той же фазе. Показать, что вектор
Умова-Пойнтинга S в пространстве между проводами всегда направлен
от генератора к нагрузке.
613. В линии предыдущей задачи ток отстает по фазе от напряже-
напряжения на 90°. Показать, что вектор Умова-Пойнтинга S через каждую
четверть периода меняет свое направление на обратное и, следователь-
следовательно, поток энергии за период равен нулю (стоячая волна).
614. По прямому проводу, обладающему сопротивлением, идет по-
постоянный ток. 1) Указать для произвольной точки боковой поверхно-
поверхности провода направление составляющей вектора Умова-Пойнтинга S,
обусловленной тангенциальной составляющей Е. 2) Показать, что про-
произведение модуля вектора Умова-Пойнтинга на величину боковой по-
поверхности провода равно мощности, выделяемой током в проводе.
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 101
615. Найти плотность тока смещения jCM в плоском конденсаторе,
пластины которого раздвигаются со скоростью и, оставаясь параллель-
параллельными друг другу, если: 1) заряды на пластинах конденсатора остаются
постоянными; 2) разность потенциалов V между пластинами остается
постоянной. Расстояние d между пластинами конденсатора остается
все время малым по сравнению с линейными размерами пластин.
3) Что изменится, если пластины конденсатора будут сближаться, а не
раздвигаться?
616. По длинному идеально проводящему соленоиду длины /0,
отключенному от источника напряжения, течет постоянный ток /0. Как
будет меняться ток / в соленоиде при его растяжениях и сжатиях?
617. Пространство между обкладками длинного цилиндрического
конденсатора заполнено однородным диэлектриком со слабой проводи-
проводимостью. Когда конденсатор заряжен, в диэлектрике от одной обкладки
к другой течет электрический ток. Пренебрегая краевыми эффектами,
найти напряженность магнитного поля между обкладками.
618. Заряженный и отключенный от источника электричества плос-
плоский конденсатор медленно разряжается объемными токами проводимо-
проводимости, возникающими в диэлектрике между обкладками из-за наличия
слабой проводимости. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить
напряженность магнитного поля внутри конденсатора.
619. Заряженный и отключенный от источника электричества плос-
плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков радиуса R,
пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд
квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вычислить
мгновенное значение напряженности магнитного поля внутри конден-
конденсатора (в зависимости от расстояния г до его оси), если сила тока
в электрической искре в рассматриваемый момент времени равна /.
620. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металли-
металлических дисков, пространство между которыми заполнено однородным
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е. Расстояние между
внутренними поверхностями дисков равно d. Между обкладками кон-
конденсатора поддерживается переменное напряжение V = Vosmout. Пре-
Пренебрегая краевыми эффектами, найти магнитное поле в пространстве
между обкладками конденсатора.
621. Плоский воздушный конденсатор, обкладками которого явля-
являются два одинаковых диска, заряжен до высокой разности потенциалов
и затем отключен от источника напряжения. В центре конденсатора
происходит пробой (проскакивает электрическая искра), в результате
чего конденсатор разряжается. Считая разряд квазистационарным и
пренебрегая неоднородностью поля на краях конденсатора, определить
полный поток электромагнитной энергии, вытекающий из пространства
между обкладками. Обсудить явление с точки зрения сохранения и
превращения энергии.
622. Плоскому конденсатору емкости С, обкладками которого яв-
являются два одинаковых диска, сообщен заряд Q. Затем конденсатор
102
Задачи
был отключен от источника электричества. После этого пластины были
соединены длинным цилиндрическим проводом, проходящим вне кон-
конденсатора, и конденсатор разрядился. Пренебрегая неоднородностью
поля на краях конденсатора, показать непосредственным расчетом, что
полный поток электромагнитной энергии из конденсатора равен пол-
полному потоку электромагнитной энергии, втекающему внутрь провода.
Проанализировать явление с точки зрения представления о движении,
превращении и сохранении энергии.
623. Плоский воздушный конденсатор, состоящий из двух одина-
одинаковых дисков, заряжен электричеством и помещен внутри соленоида,
создающего однородное постоянное магнитное поле с индукцией В =
= 1000 Гс. Магнитное поле создается батареей, посылающей посто-
постоянный ток в обмотку электромагнита. Напряженность электрического
поля между пластинами конденсатора равна Е = 10000 В/см. Объем
воздушного пространства между пластинами конденсатора равен V =
= 100см3. Конденсатор пробивается электрической искрой вдоль его
оси и в результате этого разряжается. Как изменится механический
импульс системы после пробоя? Обсудить результат с точки зрения
закона сохранения импульса.
624. В предыдущей задаче конденсатор не пробивается, а разры-
разрывается цепь батареи, питающей соленоид. Как в результате изменится
механический импульс системы?
§ 7. Электрический ток в жидкостях
625. Над северным полюсом сильного электромагнита помеще-
помещена цилиндрическая электролитическая ванна, содержащая раствор
медного купороса между медными электродами в форме цилиндров
(рис. 197), присоединенных к полюсам
батареи. Как будет двигаться электро-
электролит в этих условиях?
626. Ток силы 1А проходит через
электролит. Предполагая для простоты,
что подвижность ионов одинакова, мож-
можно считать, что ежесекундно положи-
положительные ионы переносят в одну сторону
положительный заряд 0,5 Кл, а отри-
отрицательные ионы — отрицательный заряд
0,5 Кл в другую сторону. Чему в та-
таком случае соответствует количество от-
отложившегося вещества на электродах:
Рис. 197 0,5 Кл на аноде и 0,5 Кл на катоде или
1 Кл на аноде и 1 Кл на катоде?
627. Сколько нужно израсходовать ампер-часов, чтобы отложить на
электроде гальванического элемента грамм-эквивалент какого-нибудь
вещества?
§7. Электрический ток в жидкостях 103
628. На основании законов электролиза определить отношение за-
заряда к массе водородного иона е/ган. Число Фарадея F = 2,8926СГСЭ.
629. Пользуясь законами электролиза и числом Авогадро, опреде-
определить массу водородного иона тц и заряд электрона е. Число Авогадро
равно ж 6,02 • 1023 моль.
630. Батарея гальванических элементов (ЭДС & = 0,9 В, внутрен-
внутреннее сопротивление г = 0,6 Ом) состоит из 30 элементов, соединенных
в три одинаковые параллельные группы. Какое количество меди Q
выделится на катоде за 5 мин работы батареи, включенной на нагрузку,
сопротивление которой равно 205 Ом? Относительная атомная масса
меди равна 63,57.
631. При прохождении тока через вольтаметр с подкисленной водой
в течение 3 мин образовалось 150 см3 гремучего газа, и уровень воды
в вольтаметре понизился на 12 см. Атмосферное давление во время
опыта было равно 750 мм рт. ст., а плотность подкисленной воды была
1,13 г/см3. Найти силу тока /.
632. Батарею аккумуляторов замыкают на банку с подкисленной
водой. При разрядке батареи получается такое количество гремучего
газа, что при его сгорании получают 35% энергии, затраченной на
зарядку аккумуляторной батареи. Если вместо одной банки с подкис-
подкисленной водой включить последовательно несколько банок, то, конеч-
конечно, потребуется больше времени, чтобы протекло то же количество
электричества, как и в случае одной банки. Но количество отложив-
отложившегося вещества зависит, по закону Фарадея, только от количества
электричества, протекшего через электролит. Поэтому хоть и через
большой промежуток времени, но в каждой банке выделится такое же
количество гремучего газа, как и в случае включения только одной
банки с подкисленной водой. Тогда при сгорании всего количества
гремучего газа, выделившегося во всех банках, энергии получится го-
гораздо больше, чем было затрачено на зарядку аккумуляторной батареи.
Иначе говоря, будет нарушен закон сохранения энергии. Разъяснить
недоразумение.
633. Найти ЭДС Ш элемента Даниэля, если известно, что при со-
соединении одного грамм-эквивалента цинка с серной кислотой освобож-
освобождается 124 000 кал тепла, а для выделения одного грамм-эквивалента
меди из CuSO4 требуется приблизительно 99 700 кал.
634. Подвижности ионов электролита равны и (для катиона) и v
(для аниона). Какие количества заряда перенесены ионами каждого
типа через электролит, если всего прошло Q единиц количества элек-
электричества?
635. Электролитическая ванна, содержащая раствор CuSO4, со-
соединена последовательно с серебряным вольтаметром, в котором при
прохождении тока выделился 1 г серебра. За то же время раствор
CuSO4, окружающий катод, потерял в результате электролиза 0,21 г
меди. Во сколько раз анион SO4 движется быстрее катиона Си?
104 Задачи
636. При электролизе раствора серной кислоты катион Н движется
в 5,4 раза быстрее аниона SO4. Найти числа переноса.
637. В электролитической ванне находится четырехпроцентный
раствор азотно-серебряной соли (А^ЫОз) при 18,4 °С. При прохож-
прохождении тока через электролит на катоде выделилось 0,3208 г серебра,
а у катода, как выяснилось путем измерения концентрации серебра
в растворе после электролиза, из раствора исчезло только 0,1691 г
серебра. Чему равно число переноса к серебра?
638. Через электролитическую ванну, в которой находится слабый
раствор хлористого калия (КС1), в течение 10 мин пропускался ток
силой 0,43 А, после чего из измерений концентраций оказалось, что из
раствора у анода ушло 0,09964 г КС1. Найти число переноса к калия.
Относительная молекулярная масса КС1 равна 74,6.
639. Для концентрированного раствора Cdl2 в воде были получены
следующие числа переноса: для аниона п = 1,258, а для катиона
1 — п = —0,258, т. е. из катодной части электролита исчезло больше
кадмия, чем выделилось на катоде. Чем это можно объяснить?
640. Концентрации катионов у электродов равны с\ и с^. Какая
работа А совершается при изменении концентрации катионов вслед-
вследствие перехода их от анода к катоду при постоянной температуре Т
электролита, если подвижности аниона и катиона — и и v — и через
электролит прошло Q единиц количества электричества?
641. Разность потенциалов на полюсах концентрационного элемен-
элемента выражается формулой Гельмгольца
лг лг v — и RT п с\
V\-V2 = —¦ In-!-,
v + и nF С2
где R — газовая постоянная; v, и — подвижности ионов; п — валент-
валентность; F — число Фарадея. Получить эту формулу, исходя из закона
сохранения энергии.
642. Найти соотношение между коэффициентом диффузии к и
подвижностью и соответствующего иона.
643. Известно, что при зарядке кислотного аккумулятора плот-
плотность электролита увеличивается. (Обычно зарядку прекращают, ко-
когда плотность электролита достигает 1,3 г/см3 вместо первоначальной
1,1 г/см3.) В чем причина возрастания плотности электролита при
заряде?
644. Зная число Фарадея F = 96 500Кл/г-экв, вычислить электро-
электрохимический эквивалент К серебра, т. е. количество серебра, выделя-
выделяемое при электролизе одним кулоном электричества. Относительная
атомная масса серебра А = 108.
645. Зная электрохимический эквивалент серебра, вычислить элек-
электрохимический эквивалент меди. Относительная атомная масса меди
А = 63,5.
646. Подвижности ионов Na+ и С1~ в водном растворе равны
соответственно 6+ = 4,5 • 10~2 см2/(с • В) и Ь~ = 6,77 • 10~2 см2/(с • В).
§8. Термоэлектричество 105
Пользуясь этими данными, вычислить эквивалентную проводимость
Лоо бесконечно разбавленного раствора поваренной соли NaCl при
18 °С.
647. Удельное сопротивление десятипроцентного раствора поварен-
поваренной соли NaCl (m = 0,lr соли на 1см3 раствора) при комнатной
температуре равно р = 8,35 0м • см. Вычислить эквивалентную концен-
концентрацию rj, эквивалентную проводимость Л и степень диссоциации а
этого раствора. Относительные атомные массы натрия и хлора равны
соответственно А^& = 23, Aq\ = 35,5.
648. Самая чистая вода при температуре 18 °С имеет удельную
проводимость Л = 3,8 • 10~2 См/см. Считая, что проводимость воды
связана с диссоциацией молекулы Н2О на ионы Н+ и (ОН)", найти
степень диссоциации воды при этой температуре. Подвижности ионов
Н+ и (ОН)" равны соответственно Ъ+ = 3,26- 10~3 см2/(с • В) и Ъ~ =
= 1,80- 10-3см2/(с-В).
§ 8. Термоэлектричество
649. Термопара висмут-железо с постоянной С = 92 • 10~6 В/°С и
сопротивлением г = 5 0м присоединена к гальванометру с внутренним
сопротивлением R = ПО Ом. Какой ток покажет гальванометр, если
один спай термопары погрузить в пар кипящей под нормальным давле-
давлением воды, а другой — в тающий лед?
650. Какова постоянная С термопары висмут-теллур, если при
подключении ее к гальванометру с внутренним сопротивлением R =
= 100 Ом и чувствительностью на одно деление 10~5 А минимальная
разность температур, которую можно измерить, AT = 2 • 10~3 °С? Со-
Сопротивлением термопары пренебречь.
651. Для определения температуры печи в нее вставлена термопара
никель-нихром с постоянной С = 0,5 • 10~6 В/°С, присоединенная к
гальванометру с внутренним сопротивлением R = 2000 0м и с чув-
чувствительностью на одно деление 10~5 А. При температуре второго спая
Т% = +15 °С гальванометр дает отклонение Ь = 25 делений. Чему равна
температура Т\ печи?
652. 1) Два различных металла находятся в соприкосновении.
Давление электронного газа в первом металле Р\ и работа выхода
электрона из этого металла А\\ давление электронного газа во втором
металле Р^ и работа выхода электрона из него А%. Найти контактную
разность потенциалов, если температура обоих металлов Т. 2) Из ука-
указанных металлов составлена термопара с двумя спаями, находящимися
при температурах Т\ и Т^. Найти термоэлектродвижущую силу.
Указание. Давление Р электронного газа в металле связано с
концентрацией п электронов и температурой Т металла соотношением
Р = пкТ, где к — постоянная Больцмана.
106
Задачи
В
->/
В
7
§ 9. Электроника
653. Какой скоростью v обладает электрон, прошедший разность
потенциалов V = 100 В?
654. Найти среднюю скорость v упорядоченного движения элек-
электронов вдоль медного проводника, по которому течет постоянный ток
плотностью 1 А/см2, если счи-
считать, что на каждый атом ме-
меди в металле приходится один
электрон проводимости.
655. В однородное магнит-
магнитное поле, индукция которо-
которого В, помещена тонкая ме-
металлическая лента шириной d
(рис. 198) и толщиной а
так, что плоскость ленты пер-
перпендикулярна к индукции В.
По ленте пропускают ток си-
Рис 198 лои I- Найти разность потен-
потенциалов V, возникающую меж-
между краями ленты (т.е. на расстоянии d), если концентрация свободных
электронов в металле ленты равна п (частный случай явления Холла).
656. Для определения работы выхода электрона из металла можно
поступить так. Испытуемый металл в виде нити натягивают по оси
цилиндра и все устройство помещают в вакуум. Когда по нити идет
ток силой /н, нить накаливается до температуры Т и при этом имеет
сопротивление R. Затем накладывают на цилиндр достаточно большой
положительный потенциал, чтобы получить ток насыщения /. При
этом температура нити падает. Для того чтобы восстановить прежнюю
температуру нити, увеличивают силу тока накала на А/н. Вычислить
работу выхода (рвых в вольтах, полагая известными /н, Т, R, А/н.
Влиянием температуры цилиндра на температуру Т нити накала можно
пренебречь.
657. Вольфрамовая нить кенотрона накаливается током / = 10 А
до температуры Tq. Приложенное к ней напряжение накала VH = 8 В,
а анодное напряжение равно нулю. В момент включения анодного
напряжения температура нити изменяется, что можно заметить по
изменению ее свечения. Какое требуется напряжение накала, чтобы
в установившемся режиме при анодном напряжении Va = 5000 В темпе-
температура нити снова стала равной То? При этом известно, что мощность,
рассеиваемая на аноде при температуре нити То и напряжении Va =
= 5000 В, составляет N = 1,2 кВт. Работа выхода электрона (рвых для
вольфрама равна 4,5 В.
658. На рис. 199 изображена электронная лампа непосредственного
накала со всеми поданными на нее напряжениями. С какой скоростью
(выраженной в вольтах) электроны будут достигать анода лампы?
§9. Электроника
107
60 В
4В
Рис. 199
659. Будет ли скорость электронов, достигающих анода лампы,
иной, если сетка лампы будет соединена не с нитью накала, как
показано на рис. 199, а с анодом лампы?
660. С каким ускорением движется элек-
электрон, находящийся в полости внутри однород-
однородного металла, покоящегося в поле тяжести?
Полость имеет форму узкого, очень длинно-
длинного цилиндра, направленного вертикально, а
электрон помещается на оси этого цилиндра.
Как изменится ускорение, если электрон заме-
заменить позитроном? Возникает ли в полости (при
отсутствии в ней электрона или позитрона)
электрическое поле? Если да, то найти его
величину. Искажение решетки под действием
силы тяжести не учитывать. Возникнут ли
в металле объемные заряды?
661. Внутри однородного металла, движущегося с ускорением а =
= 10 м/с2, в отсутствие поля тяготения имеется узкая, очень длинная
цилиндрическая полость, направление оси которой совпадает с направле-
направлением ускорения а. С каким ускорением будет двигаться в такой полости
электрон, помещенный на ее оси? Как изменится ускорение, если элек-
электрон заменить позитроном? Возникает ли в полости (при отсутствии
в ней электрона или позитрона) электрическое поле? Если да, то найти
его величину. Искажение решетки, вызванное ускоренным движением
металла, не учитывать. Возникнут ли в металле объемные заряды?
662. Электрон, вышедший из накаленного катода К с достаточно
малой скоростью, приобретает скорость в поле анода А, находящегося
под потенциалом V, и, пройдя между пластинами конденсатора дли-
длины /, попадает на флуоресцирующий экран В (рис. 200), помещенный
А
К
Рис. 200
на расстоянии L от конденсатора. Когда в конденсаторе появляется
электрическое поле, пятно на экране смещается на расстояние d. Чему
равна напряженность поля Е в конденсаторе?
663. Показать, что, какой бы скоростью v ни обладал электрон,
влетающий в однородное магнитное поле напряженности Н, и какой
бы угол а ф 0 ни образовывало направление v с направлением Н,
электрон опишет виток винтовой линии за одно и то же время Т.
108 Задачи
664. Электрон, обладающий скоростью v, попадает в однородное
магнитное поле, напряженность которого Н направлена перпендику-
перпендикулярно к v. Окружность какого радиуса будет описывать электрон?
665. Электрон движется в постоянном однородном магнитном поле
напряженности Н. Чему равна работа силы, действующей на электрон?
666. Электрон влетает в постоянное однородное магнитное поле
напряженности Н (рис. 201) и в этот момент находится в точке А,
обладая скоростью v, образующей с
направлением поля угол а. Описав
один виток винтовой линии, он ока-
окажется в точке В. Чему равно АВ?
667. Для моделирования траекто-
траектории атомной частицы с зарядом е и
импульсом р, движущейся в постоян-
ном магнитном поле, часто пользуют-
пользуются тем обстоятельством, что очень легкий (невесомый) гибкий прово-
проводящий шнур с током /, находящийся под постоянным механическим
натяжением Т, занимает в том же магнитном поле положение, совпада-
совпадающее с траекторией частицы. (Предполагается, что вне магнитного по-
поля участки шнура прямолинейны и расположены вдоль соответствую-
соответствующих прямолинейных же участков траектории.) Обосновать этот метод.
Найти связь между /, е, р, Т. Величина индукции магнитного поля В
может меняться в пространстве, но ее направление должно оставаться
неизменным. Частица движется перпендикулярно к магнитному полю.
668. Труба, свернутая в кольцо, заполнена жидкостью и находится
в поле тяжести Земли. При повороте кольца вокруг его диаметра
жидкость приходит в движение вдоль оси трубы. Это движение анало-
аналогично индукционному току, возникающему при движении проводника
в магнитном поле. Роль силы Лоренца играет сила инерции Кориолиса,
вызванная вращением Земли вокруг своей оси. Опыт может служить
для доказательства вращения Земли и измерения угловой скорости
этого вращения. На основе аналогии описанного явления с электро-
электромагнитной индукцией дать количественную теорию его, предполагая,
что жидкость несжимаемая и не обладает вязкостью, а площадь попе-
поперечного сечения трубы всюду одинакова.
669. Шарик массы т = 1 г с зарядом q = 1 СГСЭ помещен внутри
соленоида на гладкой горизонтальной плоскости, по которой он может
скользить без трения. Ось соленоида вертикальна. Сначала тока в об-
обмотке соленоида нет. Затем включается ток, и в соленоиде устанавли-
устанавливается постоянное однородное магнитное поле с индукцией В = 100 Гс.
Во время нарастания магнитного поля возникает электрическое поле,
приводящее шарик в движение. Нарастание тока происходило на-
настолько быстро, что за время установления поля шарик не успевает
сместиться на заметное расстояние. Определить радиус г круговой
траектории, по которой будет двигаться шарик после установления
магнитного поля, а также период обращения Т его по этой траектории,
§9. Электроника 109
если в начальный момент шарик находился на расстоянии R от оси
соленоида. Проанализировав числовые результаты, ответьте на вопрос,
можно ли практически наблюдать эффект с макроскопическими ша-
шариками. В чем трудности постановки опыта с заряженными макро-
макрочастицами?
670. Каким магнитным моментом DJI обладает частица с зарядом е и
массой т, движущаяся с произвольной скоростью v < с в однородном и
постоянном магнитном поле Я? Скорость v перпендикулярна полю Н.
671. Нить накала магнетрона имеет диаметр d, а цилиндр анода D.
Между нитью накала и анодом приложена разность потенциалов V.
На колбу магнетрона навита проволока, которая образует соленоид так,
что его ось совпадает с нитью накала. Число витков на единицу длины
соленоида п. Какой наименьшей силы ток нужно пустить по соленоиду,
чтобы ни один электрон, вышедший из нити без начальной скорости,
не долетел до анода?
672. Найти отношение силы кулоновского отталкивания к силе
амперова притяжения двух параллельных пучков, состоящих из элек-
электронов, прошедших ускоряющий потенциал V = 10 кВ.
673. Серпуховской ускоритель протонов ускоряет эти частицы до
энергии & = 76ГэВ = 7,6- 1010эВ. Если отвлечься от наличия уско-
ускоряющих промежутков, то можно считать, что ускоренные протоны
движутся по окружности радиуса R = 236 м и удерживаются на ней
магнитным полем, перпендикулярным к плоскости орбиты. Найти необ-
необходимое для этого магнитное поле.
674. Легкий шарик массы т = 0,5 г и радиуса г = 1 см подвешен
на длинной нити и вращается по горизонтальной окружности, радиус
которой очень мал по сравнению с длиной нити (конический маятник).
Найти изменение угловой скорости вращения шарика Да; = uj — ujq
после того, как он был заряжен до потенциала V = 3000 В и помещен
в вертикальное магнитное поле Н = 3000 Э. В каком случае угловая
скорость увеличится и в каком уменьшится?
Примечание. Окончательную формулу для изменения угловой
скорости упростить, использовав соотношение -— <С л/—, где е —
тс V /
заряд шарика, I — длина нити, g — ускоре-
ускорение свободного падения.
675. Масс-спектрометр, т.е. прибор, пред-
предназначенный для разделения атомных ча-
частиц разных масс, состоит из цилиндриче-
цилиндрического конденсатора с внутренним радиусом
П = 2,4см и внешним г^ = Зсм (рис. 202).
Ионные лучи попадают в спектрометр через
узкую щель S, расположенную посередине
между обкладками. Параллельно оси кон-
конденсатора (т. е. перпендикулярно к плоско-
плоскости чертежа) приложено однородное магнит- Рис- 202
ПО Задачи
ное поле с индукцией В = 2000 Гс. Какую по величине и знаку раз-
разность потенциалов надо приложить к пластинам конденсатора, чтобы
однократно заряженный положительный ион Li7 прошел по средней
линии конденсатора, т.е. по окружности радиуса г = 2,7см? Найти
напряженность электрического поля на этой окружности. Энергия иона
$ = ЮООэВ. Масса атома водорода 1,67 • 10~24 г. Насколько надо
изменить эту разность потенциалов, чтобы по той же линии через
спектрометр могли пройти ионы Li6?
676. Между двумя параллельными пластинами, из которых одна
является катодом, а другая анодом, создано перпендикулярное к пла-
пластинам однородное электрическое поле напряженности Е и однородное
магнитное поле, параллельное пластинам, напряженности Н. 1) Найти
траекторию движения электрона, покидающего поверхность катода без
начальной скорости. 2) При каком условии электрон вернется обратно
на катод и в каком месте тогда он упадет?
677. Как должна быть направлена начальная скорость электрона
в предыдущей задаче и какова должна быть ее величина, чтобы элек-
электрон описывал окружность? Чему равен радиус г этой окружности?
Чему равен период Т обращения электрона по окружности?
678. Две щели S\ и #2 шириной d = 0,1 см каждая (рис. 203),
установленные в эвакуированном сосуде, выделяют плоский пучок
электронов с энергией <? = 400 эВ. На каком расстоянии х от щели
Рис. 203
$2 ширина электронного пучка удвоится из-за кулоновского расталки-
расталкивания электронов, если электронный ток, приходящийся на единицу
длины щели (за щелью S2), равен г = 10~4 А/см? При расчетах щели
считать бесконечно длинными.
679. В установке для разделения изото-
изотопов U235 и U238 пучок однократно ионизо-
ионизованных ускоренных ионов урана с энерги-
энергией $ = 5 кэВ попадает от источника через
щель S (рис. 203а) в однородное магнитное
Рис 203а поле, перпендикулярное к плоскости рисун-
рисунка. В магнитном поле ионы разных масс
движутся по различным окружностям и, совершив полуоборот, попа-
попадают в приемники. Конструкция последних должна быть такова, чтобы
расстояние между пучками U235 и U238 на выходе было не меньше
? = 5мм. Каково должно быть магнитное поле В, удовлетворяющее
§ 9. Электроника 111
этому условию? Найти также время t, необходимое для полного раз-
разделения М = 1 кг природного урана, если ионный ток, создаваемый
источником, 1 = 5 мА. Массы протона и нейтрона считать одинаковы-
одинаковыми и равными 1,67 • 10~24 г.
680. Электрон, обладающий скоростью v, движется в однородном
и постоянном магнитном поле напряженности Н, перпендикулярном к
его скорости. Найти величину магнитного момента Ш эквивалентного
тока.
681. Электрон, обладающий скоростью v, движется в однородном и
постоянном магнитном поле, перпендикулярном к его скорости. Найти
величину момента количества движения М электрона.
682. Пусть масса медленно движущегося электрона, рассматривае-
рассматриваемого как шар радиуса г с зарядом е, распределенным по поверхности,
2 е2 ^ „ ,
равна - —«. Экспериментально найдено, что для электрона е/т =
3 гс1
= 1,77 • 107 СГСМ. Определить радиус г электрона.
683. Электрон, обладающий скоростью v, попадает в однородные
и постоянные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное
поля, напряженности которых равны соответственно Е и Н. Ско-
Скорость v перпендикулярна к обоим полям. Найти траекторию движения
электрона.
684. При каком условии электрон предыдущей задачи будет дви-
двигаться прямолинейно и равномерно?
685. В вакуумной трубке электроны, эмиттированные катодом К
(рис. 204), ускоряются электрическим полем анода А, находящегося
при потенциале V относительно
катода. Пройдя через отверстие ^ А
в аноде, электроны пролетают I
через конденсатор С\, отвер- °~)
стие в диафрагме D\ и второй о__)
конденсатор С% и попадают на
экран D%. К конденсаторам С\
и Съ приложено одно и то же
^ т
Q
Рис 204
переменное напряжение угловой
частоты uj. Эту частоту подбирают так, чтобы пятно, создаваемое
на экране электронным пучком, не размывалось. Определить е/т
для электрона, если расстояние между конденсаторами С\ и С^ равно /.
686. Модель атома водорода можно предста-
Е вить в виде ядра с зарядом +е, вокруг которого
по круговой орбите радиуса а движется равно-
равномерно электрон —е. Если такой атом поместить
в электрическое поле напряженности Е, то орбита
электрона сместится (рис. 205) и атом приобретет
электрический дипольный момент. Найти величи-
величину среднего электрического момента р, пренебре-
Рис. 205 гая изменением расстояния между зарядами.
112 Задачи
687. Определить частоту колебаний электрического поля в цикло-
циклотроне, предназначенном для разгона дейтонов, если индукция магнит-
магнитного поля в зазоре магнитов циклотрона равна 14 000Гс.
688. Найти закон, по которому происходит увеличение радиуса
кругов, описываемых дейтонами в циклотроне, если известно, что дей-
тоны проходят зазор между дуантами циклотрона при максимальном
напряжении на них.
689. В газоразрядной трубке между плоскими электродами (S =
= 10см2), отстоящими друг от друга на расстоянии d = 10см, ток
насыщения /нас = 10~6А. Ионы в трубке возникают под действием по-
постороннего ионизатора (несамостоятельный разряд). Какое количество
q элементарных зарядов того и другого знака создается ежесекундно
в 1 см3?
690. Между двумя пластинами площадью S каждая, находящими-
находящимися на расстоянии d и образующими плоский конденсатор в вакууме,
приложена разность потенциалов V. При освещении катода ультрафио-
ультрафиолетовыми лучами между пластинами идет ток силы /, который дости-
достигает своего значения насыщения /нас при V = Vo- Найти подвижность
электронов и.
691. Некоторый ионизатор (например, рентгеновы лучи) создает
в единице объема газа в единицу времени q пар однозарядных ионов
разных знаков. Коэффициент рекомбинации ионов равен а. Определить
концентрацию п пар ионов в момент времени t, если ионизатор был
включен в момент t = 0, а концентрация ионов в этот момент была
равна нулю.
692. В момент времени t = 0 начинает действовать ионизатор,
создающий в единице объема газа в единицу времени q пар положи-
положительных и отрицательных ионов. Предполагая, что q = const, найти
выражение для концентрации пар ионов во все последующие моменты
времени.
693. В начальный момент в газе была создана ионизация с на-
начальной концентрацией по пар ионов в единице объема. Как будет
меняться во времени t концентрация п тех же пар, если коэффициент
рекомбинации равен а.
694. Между плоскими электродами площадью S = 100 см2 каждый,
находящимися на расстоянии / = 5см друг от друга, создана ионизация
воздуха рентгеновыми лучами и наблюдается ток насыщения /нас =
= 10~7А. Определить число пар ионов q, создаваемых ионизатором
в 1 см3 в течение одной секунды, а также концентрацию этих пар п
в установившемся состоянии. Коэффициент рекомбинации для воздуха
а= 1,67- Ю-6 см3/с.
695. В атмосферном воздухе у поверхности Земли из-за радиоак-
радиоактивности почвы и ионизации космическими лучами в среднем образу-
образуется q = 5 ионов в 1 см3 в одну секунду. Определить ток насыщения,
текущий благодаря этой естественной ионизации в плоском воздушном
§9. Электроника
113
конденсаторе с площадью каждой обкладки S = 100 см2 и расстоянием
между обкладками / = 5см.
696. Определить время разрядки конденсатора в условиях преды-
предыдущей задачи, если первоначально он был заряжен до разности потен-
потенциалов V = 300 В.
697. Через какое время г после выключения ионизатора число
ионов в камере, наполненной воздухом, уменьшится: 1) в 2 раза;
2) в 4 раза? Начальная концентрация пар ионов по = 107см~3. Коэф-
Коэффициент рекомбинации для воздуха а = 1,67 • 10~6 см3/с.
698. Определить эффективное сечение а рекомбинации положи-
положительного молекулярного иона воздуха с отрицательным при комнатной
температуре, если коэффициент рекомбинации для воздуха а = 1,67х
х 10-6см3/с.
699. Решить ту же задачу для рекомбинации положительного иона
с электроном.
700. В стеклянном сосуде, содержащем газ, помещен плоский кон-
конденсатор С, пластины которого А и В находятся на расстоянии d друг
от друга. В центре пластины А (рис. 206) расположена пластинка из
платины, подогреваемая током и вызывающая образование ионов газа.
В середине другой пластины В имеется вырез, закрытый алюминиевой
пластинкой, одно ребро которой
закреплено на натянутой тонкой
вертикальной проволоке. К пла-
пластинам конденсатора приложена
разность потенциалов, создающая
между пластинами ток силой /.
Вследствие наличия сопротивления
среды ионы газа движутся рав-
равномерно. Алюминиевая пластинка,
укрепленная на проволоке, откло-
отклоняется на малый угол 0. Коэф-
Коэффициент жесткости проволоки при
кручении с, ширина пластинки /. рис 206
Найти подвижность и ионов.
701. В трубку с газом введены два плоских, параллельных друг
другу электрода, к которым приложена постоянная разность потен-
потенциалов. Катод освещают мощным источником света, вследствие че-
чего ежесекундно на поверхности катода выделяется по электронов.
Электроны, двигаясь в электрическом поле, ионизуют молекулы газа,
причем каждый электрон на пути 1 см создает а новых электронов и
ионов. Пренебрегая ионизацией молекул газа образующимися ионами,
вычислить плотность тока j. Расстояние между электродами d.
702. Газ между плоскими и расположенными параллельно на рас-
расстоянии d друг от друга электродами ионизуется рентгеновыми лучами,
причем ежесекундно в единице объема создается по электронов. Элек-
Электроны, двигаясь в электрическом поле между электродами, ионизуют
114 Задачи
молекулы газа, причем коэффициент ионизации равен а. Чему равна
плотность тока j? Ионизацией ионами пренебречь.
703. Потенциал ионизации атома ртути равен (р = 10,4 В. Какой
наименьшей скоростью v должен обладать электрон, чтобы ионизовать
атом ртути при ударе?
704. В газоразрядной трубке наблюдается тлеющий разряд между
плоскими электродами. Как будет изменяться картина разряда, если
сближать анод с катодом?
705. Чем объясняется форма эквипотенциальных поверхностей
в положительном столбе газоразрядной трубки (рис. 207)?
706. Почему катодные лучи пред-
представляют собой прямолинейный пу-
пучок независимо от того, лежит ли
анод на пути пучка или смещен в сто-
сторону?
рис 207 ТОТ. Два однозарядных иона про-
противоположных знаков вращаются во-
вокруг их общего центра масс. Размеры ионов очень малы по сравнению
с расстоянием между ними. Эта пара ионов находится в термическом
равновесии с одноатомным газом, температура которого Т = 3000 К.
Чему равен средний электрический момент этой пары ионов?
§ 10. Электромагнитные волны
708. Найти закон распределения амплитуд токов 1Х и напряжений
Vx для собственных колебаний в двухпроводной линии длиной /, кон-
концы которой разомкнуты. Найти частоты v этих колебаний. Потерями
в линии можно пренебречь.
709. Найти закон распределения амплитуд токов 1Х и напряжений
Vx для собственных колебаний в двухпроводной линии длиной /, концы
которой замкнуты накоротко. Найти частоты v этих колебаний. Поте-
Потерями в линии можно пренебречь.
710. Найти закон распределения амплитуд токов 1Х и напряжений
Vx для собственных колебаний в двухпроводной линии длиной /, один
конец которой разомкнут, а другой замкнут накоротко. Найти часто-
частоты v этих колебаний. Потерями в линии можно пренебречь.
711. Найти волновое сопротивление р двухпроводной линии без
потерь, провода которой имеют диаметр 2т = 4 мм и расположены на
расстоянии d = 10 см друг от друга.
Указание. Волновым сопротивлением двухпроводной линии на-
называется отношение амплитуды напряжения между проводами к ам-
амплитуде тока в одном из них, когда волна в линии является бегущей.
712. Найти волновое сопротивление р воздушной концентрической
линии без потерь, внешний цилиндр которой имеет внутренний диа-
диаметр 2R = 40 мм, а внутренняя жила — диаметр 2г = 8 мм.
У к а з а н и е . См. указание к предыдущей задаче.
§ 10. Электромагнитные волны 115
713. Найти скорость v распространения электромагнитных волн
в концентрическом кабеле, в котором пространство между внешним
и внутренним проводами заполнено диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью е = 4,5. Потерями в кабеле можно пренебречь.
714. Найти периоды собственных колебаний Тк двухпроводной
линии длиной 1\, разомкнутой на обоих концах и погруженной в воду.
Потерями в линии пренебречь.
715. Найти наименьшую частоту щ, при которой наступит резонанс
в концентрическом кабеле длиной I = 12 км, описанном в задаче 713,
если к одному концу кабеля присоединен источник переменной ЭДС,
внутренним сопротивлением которого можно пренебречь, а другой ко-
конец кабеля разомкнут.
716. Найти волновое сопротивление р концентрического кабеля,
внешняя жила которого имеет внутренний диаметр 2R = 12 мм, а
внутренняя жила — диаметр 2г = 2 мм. Все пространство между внеш-
внешней и внутренней жилами заполнено диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью е = 2,4. Потерями в кабеле можно пренебречь.
717. Найти входное сопротивление двухпроводной линии без по-
потерь на частоте v = 5 • 107Гц, если линия образована проводами с
диаметром 2R = 2 мм, расположенными на расстоянии d = 12 мм друг
от друга, и конец линии разомкнут, а длина линии равна: 1) 1\ = 2 м;
2) /2 = 3 м; 3) /з = 3,5 м; 4) Ц = 7,5 м. Определить, каков характер
входного сопротивления — емкостный или индуктивный.
Указание. Входным сопротивлением линии для данной частоты
называется отношение между амплитудами напряжения и силы тока,
устанавливающимися на входе линии, питаемой переменной ЭДС дан-
данной частоты.
718. На провода линии, описанной в предыдущей задаче, положен
металлический мостик, замыкающий линию накоротко. Мостик может
передвигаться вдоль линии. Найти входное сопротивление линии ZBX
как функцию расстояния х от начала линии до мостика. Определить,
как изменяется характер сопротивления при изменении положения
мостика.
719. Отрезок двухпроводной линии без потерь длиной / = 5 м
замкнут на конце на конденсатор емкостью С = 20 пФ. Расстояние
между проводами линии d = 4 см и диаметр проводов 2г = 4 мм. Найти
входное сопротивление линии ZBX на частоте v = 75 • 106 Гц.
Указание. В случае, когда к концу линии присоединена реак-
реактивная нагрузка (емкость или индуктивность), для расчетов можно
заменить эту нагрузку отрезком линии с теми же параметрами, как и
у линии, и длиной, выбранной таким образом, чтобы входное сопро-
сопротивление этого отрезка линии было равно реактивному сопротивлению
нагрузки и имело тот же характер (соответственно емкостный или
индуктивный), т.е. задачу можно свести к эквивалентной линии без
нагрузки на конце, но имеющей другую длину.
116 Задачи
720. Отрезок концентрического кабеля длиной 20 м с внутренним
диаметром внешней жилы 8 мм и диаметром внутренней жилы 2 мм,
заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е =
= 3,2, замкнут на катушку с индуктивностью L = 10 мкГ. Найти
входное сопротивление этого отрезка кабеля на частоте v = 15 • 106 Гц.
Указание. См. указание к предыдущей задаче.
721. Двухпроводная линия длиной Z = 5 м образована проводами
диаметром 2т = Змм, расположенными на расстоянии d = 6 см друг
от друга. Найти входное сопротивление этой линии для частоты v =
= 75 • 106Гц, если оба провода линии вместе для этой частоты имеют
погонное омическое сопротивление R\ = 0,2Ом/м и второй конец ли-
линии: 1) замкнут накоротко; 2) разомкнут.
Указание. В случае, когда на длине линии укладывается целое
число четвертей волны, линия ведет себя подобно последовательному
или параллельному резонансному контуру (в зависимости от того,
пучность или узел тока лежит у входа линии). Этой аналогией и можно
воспользоваться для определения входного сопротивления линии. При
этом нужно учитывать, что сила тока в разных точках линии различна.
Поскольку омическое сопротивление линии мало, распределение тока
в ней можно считать синусоидальным.
722. Двухпроводная линия длиной / = 18 м замкнута на активное
сопротивление г = 80 Ом. Волновое сопротивление линии р = 400 Ом.
Потерями в линии можно пренебречь. Найти входное сопротивление
этой линии для волн: 1) Л = 8 м и 2) Л = 9 м.
Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче о
том, что при целом числе четвертей волны, укладывающихся в линии,
она ведет себя как последовательный или параллельный резонансный
контур.
723. Найти входное сопротивление линии, описанной в предыду-
предыдущей задаче, если она включена на активное сопротивление г = 400 Ом.
724. Пользуясь теоремой Умова-Пойнтинга, подсчитать электро-
электромагнитную энергию, которую несет с собой бегущая электромагнитная
волна, распространяющаяся вдоль воздушного концентрического кабе-
кабеля без потерь. Показать, что энергия, протекающая за единицу време-
времени через сечение кабеля, равна мощности, которую отдает источник,
питающий кабель.
Указание. Электрическое и магнитное поля между внешней и
внутренней жилами кабеля нужно выразить через напряжение и силу
тока в нем.
725. Найти распределение амплитуд токов 1Х, частоты v^ и длины
волн А& собственных колебаний тонкого провода длиной / = 6 м, если
этот провод: 1) расположен далеко от земли; 2) расположен вертикаль-
вертикально над землей и нижний конец заземлен.
Указание. Для тонкого провода можно считать, что собственные
колебания дают такое же распределение токов, как и в двухпроводной
линии при тех же условиях.
§ 10. Электромагнитные волны
117
К индукционной
катушке
726. Для получения очень коротких электромагнитных волн
П. Н. Лебедев пользовался вибратором (рис. 208), состоящим из двух
тонких платиновых проволочек П\ и П^
длиной 1,3 мм каждая, впаянных в стек-
стеклянные трубки Т\ и Т% и разделенных
малым искровым промежутком в 0,4 мм.
Заряжался вибратор от индукционной ка-
катушки через большие искровые проме-
промежутки между соединительными провода-
проводами и проводами вибратора. Таким образом
П. Н. Лебедев в 1895 г. получил наиболее
короткие электромагнитные волны. Какую
длину волны Л давал вибратор П. Н. Лебе-
Лебедева?
727. Напряженности электрического
и магнитного полей в электромагнитной
волне, создаваемой малым по сравнению с
длиной волны элементом тока, меняющего-
меняющегося по синусоидальному закону («вибратор
Герца»), на расстояниях от вибратора, намного превышающих длину
волны, даются выражениями
Рис. 208
Е = 30 sin (p sin uj it - - ,
cr \ c/
tt 1 CJ/J . . Л Г\
H = sin (p sin uj [t — - ,
4тг cr \ c/
где ^ — напряженность электрического поля в В/м, Я —напряжен-
—напряженность магнитного поля в А/м, uj — угловая частота тока в вибраторе,
/ — амплитуда тока в амперах, / — длина вибратора, г — расстояние от
вибратора до рассматриваемой точки в метрах, (р — угол между осью
вибратора и направлением на рассматриваемую точку. Направления
Е и Н в каждой точке перпендикулярны друг к другу и к радиусу-
вектору г. Найти полную мощность N, излучаемую вибратором Герца.
Указание. Нужно найти среднее значение вектора Умова-
Пойнтинга за период колебаний и проинтегрировать это значение по
какой-либо сферической поверхности, центр которой совпадает с виб-
вибратором (радиус сферы может быть любым, но должен значительно
превышать длину волны, чтобы были справедливы приведенные выра-
выражения для Е и Н).
728. Найти сопротивление излучения ЯИ симметричного полувол-
полуволнового вибратора.
Указание. Сопротивлением излучения вибратора называется от-
отношение полной мощности, излучаемой вибратором, к квадрату эф-
эффективного значения силы тока в пучности вибратора. Для подсчета
полной мощности, излучаемой вибратором, нужно воспользоваться тем
же методом, что и в предыдущей задаче, учитывая, однако, что сила
118 Задачи
тока в разных участках вибратора различна. Поэтому нужно разбить
вибратор на отдельные малые элементы и подсчитать напряженности
Е и Н, суммируя поля от отдельных элементов тока. Приближенно
можно считать, что поля, создаваемые отдельными элементами тока,
приходят в данную точку пространства в одинаковой фазе.
729. При тех же упрощающих предположениях, что и в преды-
предыдущей задаче, найти сопротивление излучения ЛИ четвертьволнового
заземленного вибратора.
730. В двух одинаковых полуволновых вибраторах, расположенных
параллельно друг другу на расстоянии, малом по сравнению с длиной
волны, возбуждаются токи одной и той же амплитуды и фазы. Каково
сопротивление излучения каждого из вибраторов Я!И? Сопротивление
излучения уединенного полуволнового вибратора ЯИ = 72 0м.
731. Сопротивление излучения волнового вибратора (т.е. вибра-
вибратора, на длине которого укладывается одна волна) составляет около
200 Ом. Объяснить, почему сопротивление излучения такого вибра-
вибратора больше, чем сумма сопротивлений излучения двух уединенных
полуволновых вибраторов, и меньше, чем сумма сопротивлений излуче-
излучения двух расположенных рядом полуволновых вибраторов, описанных
в предыдущей задаче.
732. Найти эффективную напряженность электрического поля ЕЭф,
создаваемого полуволновым вибратором в точке, расположенной в эк-
экваториальной плоскости вибратора на расстоянии г = 10км от него,
если известно, что полная мощность, излучаемая вибратором, N =
= 10 Вт.
Указание. Воспользоваться указаниями и результатами задач
727 и 728.
733. Найти мощность излучения N', падающую на параболиче-
параболический рефлектор диаметром D = 2 м, если рефлектор направлен на
полуволновой вибратор, мощность излучения которого N = 1 кВт, и
расположен в экваториальной плоскости этого вибратора на расстоянии
г = 2 км от него.
Указание. Воспользоваться указаниями и результатами задач
727 и 728.
734. Какую наибольшую мощность iVMaKC может отдать приемнику
присоединенный к нему полуволновый вибратор длиной / = 3 м, если
этот вибратор расположен параллельно направлению электрического
вектора приходящей электромагнитной волны и эффективное значение
напряженности электрического поля этой волны ЕЭф = 2 мкВ/м.
Указание. Нужно найти мощность, развиваемую электрическим
полем приходящей волны в каждом элементе вибратора, подсчитать
мощность, развиваемую во всем вибраторе, и найти ту часть этой
мощности, которая при оптимальных условиях передачи мощности
может быть передана приемнику.
§ 10. Электромагнитные волны 119
735. Построить полярную диаграмму направленности вибратора
Герца (см. задачу 727) в плоскости, проходящей через ось вибратора,
и в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
Указание. Полярной диаграммой направленности (по напряжен-
напряженности поля или по мощности) называется кривая, отсекающая на
радиусе-векторе, проведенном от вибратора в некотором направлении,
отрезок, изображающий в определенном масштабе напряженность поля
(или плотность потока энергии соответственно), создаваемого вибра-
вибратором в этом направлении на фиксированном (одинаковом для всех
направлений) расстоянии от вибратора.
736. Указать качественно, как будет изменяться характеристика
направленности вибратора по мере увеличения его длины при переходе
от вибратора Герца к полуволновому вибратору.
737. Определить качественно вид полярной диаграммы направлен-
направленности в экваториальной плоскости для антенны, состоящей из двух
полуволновых вибраторов, расположенных параллельно друг другу на
расстоянии половины длины волны и питаемых токами одинаковой
амплитуды и частоты, причем токи в обоих вибраторах: 1) совпадают
по фазе; 2) противоположны по фазе.
738. Определить качественно вид полярной диаграммы направлен-
направленности в экваториальной плоскости для антенны, состоящей из двух
полуволновых вибраторов, расположенных параллельно друг другу на
расстоянии длины волны и питаемых токами одинаковой амплитуды и
частоты, причем токи в обоих вибраторах противоположны по фазе.
739. Определить качественно вид полярной диаграммы направлен-
направленности в экваториальной плоскости для антенны, состоящей из двух
полуволновых вибраторов, расположенных параллельно друг другу на
расстоянии 1/4 длины волны и питаемых токами одинаковой амплиту-
амплитуды и частоты, сдвинутых по фазе на тг/2.
740. Определить качественно вид полярной диаграммы направлен-
направленности в экваториальной плоскости для антенны, состоящей из восьми
параллельных друг другу полуволновых вибраторов, расположенных на
одной прямой на расстоянии 1/2 длины волны друг от друга и пита-
питаемых токами одинаковой амплитуды, частоты и фазы. Найти угловой
раствор главного лепестка диаграммы (т. е. лепестка, в котором напря-
напряженность поля достигает наибольшей величины) и оценить отношение
напряженностей поля в главном и первом побочном максимуме.
741. Определить качественно вид полярной диаграммы направ-
направленности расположенного над землей горизонтального полуволнового
вибратора в экваториальной (т. е. вертикальной) плоскости, если землю
можно считать идеально проводящей и высота h вибратора над землей
равна: 1) четверти длины волны; 2) половине длины волны. Найти в эк-
экваториальной плоскости направления максимумов <^макс и минимумов
(нулей) (рМИН излучения этого вибратора в общем случае, когда высота
его над землей h = пХ, где Л — длина волны.
120 Задачи
Указание. Поскольку земля считается идеально проводящей,
можно так же, как и в задачах электростатики, применить метод
зеркального изображения.
742. Определить качественно вид полярной диаграммы направ-
направленности в вертикальной плоскости вертикального четвертьволнового
вибратора, нижний конец которого заземлен. Землю считать идеально
проводящей.
743. Найти в вертикальной плоскости направления максимумов
и минимумов излучения для вертикального полуволнового вибратора
в случае, когда высота вибратора над землей (считая от середины
вибратора) h = пХ, где Л — длина волны.
Указание. См. указание к задаче 741.
744. Плоская квадратная рамка со стороной d = 50 см обмотана по
периметру проводом, причем число витков провода п = 10. По обмотке
рамки протекает переменный ток, эффективная сила которого /Эф = 5 А
и угловая частота uj = 5 • 106с~1. Найти эффективную напряженность
ЕЭф электрического поля, создаваемого этим током в направлении,
перпендикулярном к стороне рамки и лежащем в плоскости рамки
на расстоянии г = 1 км от нее, и сравнить ее с напряженностью
поля в экваториальной плоскости вибратора Герца, имеющего размер
стороны рамки и питаемого таким же током.
Указание. Поскольку длина провода рамки мала по сравнению
с длиной волны, можно считать, что сила тока во всех сечениях рамки
одинакова, и для расчета напряженности поля пользоваться выражени-
выражением поля для вибратора Герца (см. задачу 727).
745. Для плоской прямоугольной рамки, размеры которой малы
по сравнению с длиной волны, построить диаграмму направленности
в плоскости, перпендикулярной к плоскости рамки.
746. Плоская квадратная рамка, размеры которой приведены в за-
задаче 744, находится в поле электромагнитной волны, причем направле-
направление распространения волны лежит в плоскости рамки, а электрическое
поле волны параллельно одной из сторон рамки. Напряженность элек-
электрического поля приходящей волны Е = 50 мкВ/м и угловая частота
и) = 5 • 106 с. Найти ЭДС, создаваемую приходящей волной в рамке,
и сравнить с той ЭДС, которую создает эта волна в отрезке провода,
служащем одной из сторон витка рамки.
747. Определить скорость v распространения гармонической элек-
электромагнитной волны в однородном слое ионосферы, если угловая часто-
частота волны uj = 8 • 107 с и концентрация свободных электронов в этом
слое N = 1 • 106см-3.
Указание. Влияние свободных электронов на скорость распро-
распространения волны можно определить, рассматривая смещения элек-
электронов под действием электрического поля приходящей волны как
«поляризацию» ионосферы, вследствие чего электрическая индукция
в ионосфере оказывается отличной от напряженности электрического
§11. Релятивистская электродинамика 121
поля. Отношение этих величин представляет собой диэлектрическую
проницаемость ионосферы для полей высокой частоты.
748. Преломление радиоволн в ионосфере (в результате чего они
снова возвращаются к Земле) упрощенно можно рассматривать как
полное внутреннее отражение от резкой границы ионосферы. Исходя
из этого упрощенного представления, определить наиболее короткую
волну Амин, которая еще возвратится к Земле, если угол ее падения на
границу ионосферы (угол с нормалью к границе) (р = 45°, а концентра-
концентрация электронов в ионосфере N = 1 • 106см~3.
Указание. Воспользоваться результатами решения предыдущей
задачи.
§11. Релятивистская электродинамика О
749. В релятивистской электродинамике плотность заряда р и
плотность тока j образуют 4-вектор плотности тока s(jx,jy,jz,icp).
Правила преобразования величин, образующих 4-вектор s, при пере-
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой — это правила
преобразования компонент любого 4-вектора (см. формулы A3), A4)).
Применить эти правила для решения следующих задач:
1) В системе К' распределен с плотностью р' неподвижный элек-
электрический заряд. Найти плотность заряда р и плотность тока j в любой
другой системе отсчета К. Показать, что величина заряда в заданном
объеме является инвариантом.
2) В системе К1 плотность тока, идущего по проводнику, рав-
равна j', объемная плотность заряда в проводнике р' равна нулю. Найти
плотность тока j и плотность заряда р в любой другой системе от-
отсчета К.
750. Воспользовавшись результатом п. 1 задачи 749 для преоб-
преобразования плотности заряда, записать 4-вектор плотности тока че-
через 4-скорость A8) и плотность заряда р в собственной системе за-
заряда.
751. В релятивистской электродинамике трехмерные электромаг-
электромагнитные потенциалы — скалярный <р и векторный А — объединяются
/ л \
в 4-вектор потенциала Ф (А, - <р). Используя определения 4-радиу-
са-вектора R (см. G)) и 4-потенциала Ф (см. B8)), показать, что
две трехмерные формулы, определяющие электромагнитное поле через
трехмерные потенциалы А, <р:
В = rot A, E = - grad (p — А,
О В этом параграфе всюду использована система СИ. В качестве систем
отсчета используются исключительно инерциальные системы отсчета. Как
в условиях, так и в решениях задач данного параграфа приводятся ссылки на
формулы приложения III.
122 Задачи
сливаются в одну четырехмерную формулу:
¦л (дФк дФъ\ /. 7 1 о о А\
Fik = с( -— - -—1 (г,/с = 1,2,3,4).
V OXi OXk /
Обратите внимание на то, что F^ = —F^.
752. Расположить величины F^, полученные в задаче 751 и выра-
выраженные через векторы поля, в виде квадратной таблицы, считая у F^
первый индекс номером строки, а второй — номером столбца. Получен-
Полученная таблица определяет компоненты тензора электромагнитного поля
в данной системе отсчета.
753. Тензорный (и векторный) характер величин определяется пра-
правилом преобразования этих величин при преобразованиях координат.
В СТО такими преобразованиями являются преобразования Лоренца.
Найти правила преобразования величин Fik, исходя из преобразований
Лоренца и определения F^ как разности производных компонент 4-
вектора Ф по координатам. Полученные преобразования определяют
правила преобразования компонент тензора C3), C4).
754. Воспользовавшись правилом преобразования компонент тензо-
тензора, полученным в предыдущей задаче, найти правила преобразования
компонент Ех, Еу, Ez, Bx, By, Bz векторов поля, имея в виду, что
Ех = iFu/c, Bz = Fn/c и т.д.
755. Разбив векторы поля Е и В на составляющие вдоль направле-
направления относительного движения систем отсчета и перпендикулярно ему,
выписать формулы преобразования векторов Е и В в векторной форме.
Выписать формулы обратного перехода, т. е. от системы отсчета К
к К'.
756. Записать формулы преобразования векторов поля Е и В при
переходе от системы К к системе Kf, движущейся с произвольно
направленной скоростью V.
757. Используя результат, полученный в задаче 755, выписать
формулы преобразования для векторов Е и В для случая, когда отно-
относительная скорость систем отсчета нерелятивистская, т.е. V/c <C 1.
758. Найти взаимное расположение векторов Е и В в произвольной
инерциальной системе отсчета, если известно, что в системе К1 либо
Е' = 0, либо В' = 0.
759. С помощью формул, полученных в задаче 754, показать, что
выражения с2В2 — Е2 = 1\ и ЕВ = 1^ представляют собой инварианты
преобразований Лоренца.
760. Используя инварианты электромагнитного поля, найти усло-
условия, когда выбором системы отсчета можно получить либо чисто элек-
электрическое, либо чисто магнитное поле, если исходные электрическое и
магнитное поля однородны.
761. Если в некоторой системе отсчета К' поля Е' и В; взаимно
перпендикулярны (см. задачу 760), то можно подобрать систему от-
отсчета К, в которой одно из полей исчезает. Найти скорость системы
§11. Релятивистская электродинамика 123
отсчета К, в которой одно из полей Е и В исчезает (в системе К'
выполняется условие Е'В' = 0).
762. В системе К' электрическое и магнитное поля Е' и В' одно-
однородны, но произвольно направлены. Найти скорость системы отсчета
К, в которой поля Е и В окажутся параллельными.
763. 1) Проверить, что компоненты плотности силы Лоренца f есть
три первые компоненты плотности 4-силы f , которые определяются
тензорным соотношением
U = - FikSk (суммирование по к),
с
где Fik — компоненты тензора электромагнитного поля C2), a s^ —
компоненты 4-плотности тока B7). Найти четвертую компоненту плот-
плотности 4-силы f .
2) Проверить, что тензорное соотношение
Si = -Fikuk,
с
где ик — компоненты 4-скорости тела (среды), является релятивистской
инвариантной записью дифференциального закона Ома j = сгЕ. Запи-
Записать четвертую компоненту этого уравнения и выяснить ее физический
смысл.
764. Найти электрическое и магнитное поля равномерно и прямо-
прямолинейно движущегося заряда е, производя преобразование полей от
системы отсчета К', в которой заряд покоится. Убедиться в том, что
силовые линии магнитного поля, создаваемого движущимся зарядом, —
окружности с центром на траектории заряда, плоскость которых нор-
нормальна к этой траектории.
765. Найти электромагнитные потенциалы (р, А точечного заряда е,
движущегося равномерно и прямолинейно со скоростью V, совершив
преобразования Лоренца для потенциалов от системы отсчета К', где
заряд покоится.
766. Найти индукцию магнитного поля В равномерно движуще-
движущегося точечного заряда е, если скорость заряда нерелятивистская, т. е.
F/c< 1.
767. Два заряда е\ и е^ движутся параллельно друг другу с одина-
одинаковыми скоростями V. Определить силу взаимодействия между ними
в системе К, относительно которой они движутся.
Указание. Пусть заряды находятся в системе К', причем заряд
е\ находится в начале отсчета О', а заряд е^ — на оси Y, так что рассто-
расстояние между зарядами равно у. Найдите проекции силы взаимодействия
на оси X и Y в этом случае из общей формулы.
768. Электрический диполь с моментом ро (в собственной системе)
движется равномерно и прямолинейно со скоростью V. Найти созда-
создаваемое им электромагнитное поле Е, В, вычислив электромагнитные
потенциалы <р, А.
124
Задачи
Указание. Исходить из потенциалов в собственной системе от-
отсчета, применить преобразования Лоренца к этим потенциалам.
769. Дать качественное объяснение опыту Вильсона. Полый ци-
цилиндр из диэлектрика находится в магнитном поле, направленном
вдоль оси цилиндра. Цилиндр вращается вокруг своей оси. При этом
обнаруживается поляризация цилиндра в радиальном направлении.
Что изменится, если цилиндр обладает проводимостью? Можно ли
воспользоваться таким цилиндром как источником тока?
770. Дать качественное объяснение опыту Рентгена-Эйхенвальда.
Круглый эбонитовый диск вращается вокруг своей оси, сверху и снизу
к диску плотно прижаты металлические кольца с разрезом (рис. 208 а).
Кольца соединены с полюсами источника ЭДС, так что этот «конден-
«конденсатор» заряжен до некоторой разности потен-
потенциалов. Диск вместе с кольцами приводят во
вращение. При этом вблизи вращающегося
диска с помощью магнитной стрелки можно
обнаружить магнитное поле.
Рис. 208а
Рис. 2086
771. Дать качественное объяснение явлению униполярной индук-
индукции. Цилиндрическое проводящее тело, намагниченное вдоль оси ци-
цилиндра, вращается около своей оси (рис. 208 6). Если расположить
скользящие контакты на оси и поверхности цилиндра и замкнуть цепь,
возникает электрический ток.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 1. Электростатика
1. F &Ш кгс.
2. F « 23 • 10 дин.
З.д = 2786 СГСЭ.
4. Равновесие будет неустойчивым.
Решение. Рассмотрим случай, когда заряд, находящийся посередине, про-
противоположен по знаку двум другим зарядам. Если этот заряд немного отклонился
от положения равновесия в направлении линии, на которой лежат все заряды, си-
сила притяжения, действующая со стороны более близкого заряда, увеличится, а
со стороны более далекого — уменьшится, вследствие чего заряд будет дальше
уходить от положения равновесия. Значит, положение равновесия неустойчиво.
Если заряд, находящийся посередине, того же знака, что и два других, то
при отклонении его вдоль линии, соединяющей все заряды, возникнут силы,
которые будут возвращать средний заряд в положение равновесия. Однако
если средний заряд отклонится в направлении, перпендикулярном к линии,
соединяющей заряды, то равнодействующая сил отталкивания уже не будет
равна нулю и будет направлена в ту же сторону, куда сместился заряд.
Вследствие этого заряд будет еще дальше уходить от положения равновесия.
Значит, равновесие неустойчиво.
Вывод, полученный нами для простейшего случая, справедлив всегда. Если в
системе свободных электрических зарядов действуют только кулоновы силы взаи-
взаимодействия, то равновесие всегда оказывается неустойчивым (теорема Ирншоу).
/ 2J
5. Т = 2тгсЦ/ , где q\ и 02 — заряды шарика и кружка, a J — момент
V 0102*
инерции стрелки.
_ Fe е2 Г 1,24 • 1036 для протонов,
О. = = \ АП
Fg Gme у 4,17-10 для электронов,
где G — гравитационная постоянная.
7. 1) п = <рг/е « 2 • 10ю электронов; 2) AM = теп « 2 • 107 г.
10. Q = q/V3
11. Так как сумма зарядов во всей системе не равна нулю и проводник А
не охватывает со всех сторон заряд q, то часть силовых линий заряда q
уйдет в бесконечность (или окончится на других проводниках) и только часть
силовых линий, исходящих из заряда q, оканчивается на индуцированном
заряде. Значит, индуцированный заряд меньше q.
1) Рассуждениями, аналогичными тем, которые приведены в задаче 4, легко
убедиться, что положение равновесия и в этом случае будет неустойчивым.
126
Ответы и решения
12. Решение. При поднесении проводника к пластинке общий заряд
в определенном отношении распределяется между этими телами. При первом
поднесении проводник получает заряд q\,
на пластинке остается Q — q\. Если опе-
операция зарядки повторена многократно, то
при последующих прикосновениях про-
проводника к пластинке его заряд практиче-
практически уже меняться не будет. Заряд пла-
пластинки также не будет меняться и будет
равен Q, поскольку пластинка заряжается
от электрофора. Искомый заряд q опреде-
определится из пропорции
я_ _ q\
Q ~
X
: -2npd ]
\Ч\\\\\\\1
Q-qi
13. Поле перпендикулярно к поверх-
Рис 209 ности слоя и направлено, как указано на
рис. 209 а. Вне слоя Е = ±2тгрс/, внутри
слоя Е = 4тгрж. Ось X перпендикулярна к поверхности слоя, х = 0 в середине
слоя. Изменение напряженности поля Е в зависимости от х изображено на
рис. 209 6.
14. q = тЩа = 9 СГСЭ.
dr 9 ^ ^ _ / dr
15. 1) F =
16. 1) А =
17. 1) <т
Я
4тг(г + dJ
18. Е =
(d2 - г2J
2) F =
d2-r2'
2)A =
2) if
r3q2
2d2(d2-r2)'
= h 3)
(ТВ =
4тг(г - dJ
1 + -
r
crc =
1 - -
d2 + Ah2'
19. E = 2тгсг (\ -
= сгп, где п — телесный угол, под которым
виден диск из данной точки.
20. Решение. Плоскость симметрии между двумя точечными зарядами
-\-q и — q есть плоскость нулевого потенциала. Поэтому если в эту плоскость
поместить бесконечную проводящую плоскость, то картина поля не изменится.
Следовательно, поле, созданное зарядом -\-q и зарядами, индуцированными на
плоскости, будет тождественно с упомянутым полем двух точечных зарядов -\-q
и — q (рассматриваемым, конечно, по одну сторону от плоскости симметрии).
Поэтому силы, действующие на заряд -\-q, в обоих случаях должны быть
одинаковыми.
21. F = —- ( л/2 1. Сила F направлена к вершине двугранного угла О.
2d \ 2/
22. Решение. Нетрудно убедиться, что электрическим изображением
заряда q относительно поверхности АОВ будет совокупность пяти зарядов: q\,
Q2, Яз, Q4, qb- Поле этих зарядов и заряда q в точке О равно нулю. Результат
не изменится, если заряд q будет неточечным.
§ 1. Электростатика
127
23. Решение. Введем электрические изображения в сфере и плоскости,
как указано на рис. 6. Сгруппируем заряды попарно: 1) q с —q, 2) q с — q .
Каждая пара в плоскости ACDB создает нулевой потенциал. Сгруппируем
теперь те же заряды по-другому: 1) q с q , 2) — q с —q. При такой группировке
каждая пара будет создавать нулевой потенциал на сфере CMDN. Ясно
поэтому, что потенциал четырех зарядов q, —q, q , — q обращается в нуль на
поверхности ACMDB. Следовательно, поле этих зарядов в верхнем полупро-
полупространстве будет тождественно с полем, которое требуется рассчитать.
3^2 Р2 / 1 1 \
24. F = ——; А\2 = — [ -г о 1. Обратим внимание, что перемещение
84 8 \d\ (Ц J
; А\2 = [ -г
8а4 8 \d\ Ц J
диполя сопровождается смещением индуцированных им зарядов. Однако это
смещение происходит перпендикулярно к силовым линиям и поэтому не сопро-
сопровождается дополнительной работой.
25. Е = -i- ^26 - 2^5 .
од
Указание. Поле, создаваемое зарядами, индуцированными на прово-
проводящей поверхности, можно рассматривать как поле точечного заряда —q,
находящегося на расстоянии h за плос-
плоскостью симметрично основному заряду
+q (см. решение задачи 20).
26. V = 2ircrd.
27. В точках А и В напряженность
поля возрастет в три раза, в точках С
и D обратится в нуль.
28. См. рис. 210. Рисунок представ-
представляет собой распределение линий поля
в плоскости, проходящей через данные
заряды. Сплошные линии — силовые
линии, штриховые линии — эквипотен-
эквипотенциальные линии. Жирная линия, про-
проходящая через точку А, отделяет сило-
силовые линии заряда -\-q от силовых линий
заряда -\-Aq. Точка А находится на рас-
Рис. 210
стоянии 2/зс1 от заряда Aq. В точках В
и С потенциал поля равен потенциалу
поля в точке А: срл = тг, Ь -п— = —. Расстояние d\ от заряда Aq до точки С
kd lkd d
Aq q 2V10 -2
можно определить из равенства ipc = — + = <рл, или d\ = d.
d\ d-\- d\ 9
Аналогично найдется расстояние
от заряда q до точки В: d^ = d.
На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные линии должны
быть близки к кругам.
П2 — 1
Указание. Взять за начало координат точку, в которой находится мень-
меньший заряд, направить ось X в сторону большего заряда и написать потенциал
в точке (х, у) плоскости, проходящей через линию соединения зарядов, а затем
приравнять его нулю.
128 Ответы и решения
30. F = 2qp/d3. Диполь будет притягиваться к заряду, если он обращен
к нему противоположно заряженным концом, а отталкиваться в противном
случае.
31. F = 6p\p2/d4. Диполи притягиваются, если они обращены друг к другу
противоположно заряженными концами, и отталкиваются в противном случае.
32. Решение. Разложим вектор р
(рис. 211) на составляющую рц вдоль ра-
радиуса г и составляющую р^, к нему пер-
перпендикулярную. Соответствующие им поля
в точке наблюдения А будут
Я,, =2рц/г3, Е± = -р±/г3.
Угол C между радиусом г и электрической
силовой линией определится формулой
tg/З = Е±/Ец =р±/Bрц) = 72tg0.
Проекция бесконечно малого участка си-
Рис. 211 ловой линии на направление вектора р^
может быть, с одной стороны, представлена
как drtgf3 = (dr/2)tgв\ с другой стороны, — как rtgO. Поэтому (dr/2)tgв =
= г dO. Интегрируя это уравнение, получаем искомое уравнение электрической
силовой линии: г = rosin2#. Постоянная го имеет смысл длины радиуса-
вектора г в экваториальной плоскости, т. е. при в = тг/2.
33. Да, возможны, и притом на любом расстоянии заряда от диполя.
Плоскость круговой орбиты заряда перпендикулярна к оси диполя. Угол а
между направлением дипольного момента и радиусом-вектором, проведенным
от диполя к движущемуся заряду, определяется выражением cos a = =р^/1/3,
где минус относится к положительному заряду, а плюс — к отрицательному.
м
Решение. Потенциал точки О равен
q ^ dQi Я. i Q
Потенциал шара будет иметь то же значение.
Q q
Ь -, если d > г,
g dq
^ + -|, если d^R.
-tt it
Решение. Если заряд находится вне шара, то <р = 1— (см. решение
предыдущей задачи). Если заряд находится внутри шара, то поле снаружи
будет сферически симметричным и <р = .
R
36. Рассмотрим картину поля в плоскости, перпендикулярной к проводам
(рис. 212). Для произвольной точки плоскости М потенциал поля сложится из
потенциалов поля каждого провода. Потенциал поля левого провода, если г —
расстояние точки от провода, равен
Г 2сг ,
= }Tdr =
+C\.
§ 1. Электростатика
129
Потенциал поля правого провода, аналогично, есть
V2 = — — dr = —2сг In Г2 + С2.
Потенциал поля обоих проводов будет
У = Vi + V2 = 2crln - + Сх + С2.
Г2
C6.1)
Так как при удалении в бесконечность V —> О и 1п(п/г2) —>- 0, то из C6.1)
следует V = 2сг1п(п/г2). Если п/гг = ^ — величина постоянная, то и V
постоянно.
Возьмем след левого провода на плоскости за начало координат, прямую,
проходящую через следы обоих проводов, за ось X. Тогда эквипотенциальные
линии определятся из соотношения (рис. 212)
п , 1 1
откуда
х2 + у2 ' ^/(d-xJ+y2 '
ч 2
к2 - 1
Это — уравнение окружности радиуса R =
k2d2
(к2 - \J'
kd
\к2 -
с центром в точке О, абс-
абсцисса которой равна а =
к2-\
ОАОВ = (-a)(-a
. Так как в данном случае
k2d2
= RZ = ОМ\
{к2 -IJ
то ОМ можно рассматривать как длину отрезка касательной к окружности,
проходящей через точки А, М, В. Центр ее лежит на прямой, проходящей
через середину АВ перпендикулярно к АВ. Таким образом, обе окружно-
окружности в точках их пересечения взаимно ортогональны. Через любую точку М
окружности АМВ можно про-
провести единственную эквипо-
эквипотенциальную линию, поэтому
окружность АМВ будет сило-
силовой линией.
X
'Силовая линия
Эквипотенциальная линия
Рис. 212
Рис. 213
37. Рисунок 213 показывает картину поля в произвольной плоскости,
проходящей через данные заряды. Все силовые линии, расположенные в об-
5 Под ред. И. А. Яковлева
130 Ответы и решения
ласти, ограниченной жирной линией, проходящей через точку А, в которой
напряженность поля равна нулю, идут от заряда -\-q к заряду — Aq, а остальные
приходят из бесконечности. Расстояние от точки А до заряда -\-q равно d.
Потенциал в точке В равен нулю, поэтому через нее проходит сферическая
эквипотенциальная поверхность, радиус которой равен 4/i5^, а центр лежит на
расстоянии V15C? от заряда -\-q (см. задачу 28).
38. Q = q/2.
Решение. Поверхность металлического шара имеет потенциал, равный
нулю (так как шар заземлен). Такую же поверхность нулевого потенциала и
такое же поле вне ее мы получим, если вместо шара (удалив его) поместим
заряд Q = q/2 в точке, находящейся на прямой, соединяющей заряд с центром
шара, на расстоянии R/2 от центра шара (см. задачу 29).
39. Q = qal~{l~*2/, где а = r/d.
A — az)z
Решение. Поляризованный шар в условиях этой задачи может быть
заменен парой зарядов: q' = —qr/d на расстоянии Ъ = r2/d от центра и Q' =
= Q — q' в центре (Q — полный заряд шара). Сила взаимодействия будет
тл qq' qQ' 2 dr 2 r ^ 1
F = + = q + q+qQ
Из условия F = 0 имеем
r dA - {d2 - r2J 1-A-a2J
Q = ql ~~FJ2 2^T~ = Уа~П 2\2~'
d (d2 — rz)d A — a2J
где а = r/d.
40. F = -^ . Q2.2, где а = r/d.
d2 (q-a2J
Решение. Поле наведенного на шаре заряда по методу отражений можно
заменить полем точечного заряда q , помещенного на расстоянии Ъ от центра
(см. рис. 12). Величину q и отрезок Ъ следует выбрать так, чтобы поверхность
шара совпала с поверхностью нулевого потенциала зарядов q и q (см. зада-
задачу 29). Из этого условия получим: q = —qr/d, b = г2/d. Сила взаимодействия
заряда с шаром равна силе притяжения зарядов q и q:
F _ qq/ _ (r/d)q2 _ q2 a
d2 (d-r2/dJ d2 A -a2J'
где a = r/d. Знак «—» означает притяжение зарядов.
41. q = -qr/d.
Решение. Шар нулевого потенциала должен обладать зарядом q =
— —qr/d (см. предыдущую задачу); следовательно, именно такой заряд проте-
протечет при заземлении шара.
Решение. Поле снаружи шара совпадает с полем пары зарядов q и q
(см. задачу 2). С другой стороны, поверхностная плотность заряда на шаре
связана с полем вблизи его поверхности: а = — Е. В окрестности точки М2
имеем п
^ + где q=~q^
§ 1. Электростатика 131
отсюда , 1
d 1
R~
Аналогично, в окрестности точки М\
43. Е = 2тпт.
Решение. Пусть а — поверхностная плотность заряда на сфере. Тогда
поле вблизи наружной ее поверхности будет Е = 4тпт; внутри сферы Е = 0.
То же самое поле может быть представлено как сумма поля малого диска с
поверхностной плотностью а, вырезанного из сферы, и поля остальной части
поверхности. Поле вблизи центра диска будет, как известно, равно Е = ±2тгсг
(знак зависит от стороны диска). Следовательно, поле остальной части сферы
составляет 2тпт.
44. Распределение потенциала во всех плоскостях, перпендикулярных к
заряженной линии, одинаково. Эквипотенциальные поверхности — коаксиаль-
коаксиальные цилиндры, ось которых — заряженная линия. Разность потенциалов между
цилиндрами радиусов г и R (R > г) равна 2>c\n(R/r). Но в бесконечности
потенциал не имеет конечного значения, так как работа сил поля по удалению
положительного единичного заряда из данной точки (г) в бесконечность не
имеет конечного значения. Конечное значение имеет только разность потенциа-
потенциалов между двумя точками поля. Результат этот обусловлен тем, что мы считаем
проводник бесконечным, и, значит, нельзя говорить о точках, бесконечно
удаленных от проводника, так как «бесконечно удаленная точка» физически
означает точку, удаленную на расстояние, большее по сравнению с размерами
проводника.
При рассмотрении реальных полей таких затруднений не возникает, так
как размеры проводников конечны. Всякий заряженный проводник на доста-
достаточно большом расстоянии от него можно рассматривать как точку. Следо-
Следовательно, пользуясь условным представлением реальных проводников в виде
бесконечных, можно рассчитывать поле только вблизи конечного проводника
(на расстояниях, малых по сравнению с длиной проводника).
45. V = 4ircrR\n(d/R).
Указание. Напряженность поля в точке, находящейся от оси цилиндра
на расстоянии х, большем г, равна Е = Аттга/х.
47. Поле параллельно оси X и напряженность его Е = ах. Такое поле
будет существовать внутри слоя, ограниченного бесконечными плоскостями,
перпендикулярными к оси X, и заряженного равномерно с объемной плотно-
плотностью р = а/Атт (см. задачу 13).
48. Решение. Вычислим поле внутри шара. Ввиду шаровой симметрии
или, в координатной форме,
Ех = Е(г) -, Еу = Е{г) V-, Ez = E(r) -.
Г Г Г
Дифференцируя Ех и учитывая, что дг/дх = х/r (последнее получается диф-
дифференцированием равенства г2 = х2 + у2 + z2), находим
дЕх _ d? ^2 _ Е_ 2 Е_
дх dr г2 г3 г
5*
132 Ответы и решения
Написав аналогичные соотношения для производных дЕу/ду, dEz/dz и сло-
сложив, получим
.. _ dE 2E 1 d /2nv
divE = — + — = — — (rE).
dr r r2 dr
Внутри шара
откуда
4тг С
Постоянная С должна равняться нулю, так как напряженность поля Е в центре
шара конечна, как это ясно из физических соображений.
Вне шара на расстоянии г от центра
Аналогично вычисляется поле внутри пластинки.
49. Е = — рг, где г = ОО'. Поле однородно.
о
52. Поверхностная плотность электричества на эллипсоиде
Anabc \a4 ЪА с4
где q — общий заряд эллипсоида.
—V2
55. Q = 5,92 • 105 Кл; <р = 2,7 • 106 СГСЭ = 8,2 • 108 В.
56. t = « 106 с « 10 сут (Д —радиус Земли, е — заряд протона;
числовой ответ получен при &/е ~ 109 В). В действительности потенциал
Земли не может достигать такого значения, так как, наряду с приходом
протонов, существует обратный процесс, в котором земная атмосфера теряет
положительные заряды в виде протонов и положительных ионов, уходящих
в космическое пространство под действием возникшего электрического поля.
57. 1) Е = 2q/d2; 2) Е = 8q/9d2.
Указание. См. задачу 20.
58. F = ; сила F направлена в сторону возрастания поля Е.
59. F~ l/d5.
60. Е = —— —; поле Е перпендикулярно к плоскости и направлено к ней.
5v 5 ct
61. 1) Нет. 2) Внутри будет, снаружи нет.
62. Е = тпт.
Решение. Напряженность поля, создаваемая в центре сферы радиуса R
зарядами, находящимися на кольце шириной Rd6, вырезанном из полусферы,
несущей заряд плотности а, будет вследствие симметрии перпендикулярна
к плоскости этого кольца (рис. 214). Поэтому при расчете напряженности
поля зарядов каждого элемента кольца мы будем учитывать только нормаль-
нормальную составляющую к плоскости кольца. Эта составляющая, очевидно, равна
crR2 sin 0 cos OdO , _.
dtp. Интегрируя по ip от 0 до 2тг, получаем напряженность,
§ 1. Электростатика
133
создаваемую зарядами, находящимися на кольце: 27rcrsin#cos#cZ#. Интегрируя
по углу в от 0 до тг/2, получаем, что напряженность поля, создаваемая
зарядами первой половины сферы, равна Е = тпт.
\ Л sine
Вид кольца по
направлению Е
Кольцо сбоку
Рис. 214
Поле, создаваемое зарядами второй половины сферы, будет иметь проти-
противоположное направление и величину 2тгсг. Следовательно, результирующая на-
напряженность поля в центре сферы равна тгсг и направление ее противоположно
направлению Е, указанному на рис. 214.
63. Вне оболочки не изменится, внутри уменьшится в е раз.
64. Поле, вообще говоря, изменится не только внутри, но и вне оболочки,
особенно заметно вблизи «неровной» границы диалектрика. «Неровность» гра-
границы следует оценивать по отношению к сферической границе диэлектрика.
65. Увеличится, так как поверхностная плотность заряда на металлической
пластинке против диэлектрика возрастет.
66. Решение. В окрестности точки А поле должно стремиться к бес-
бесконечности, как кулоново поле точечного заряда q. Поэтому поле в первом
диэлектрике должно содержать слагаемое qr/(s\r3). К нему надо добавить
поле поляризационных зарядов, возникших на границе раздела диэлектриков.
Введем предположение, оправдываемое последующими вычислениями, что поле
поляризационных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю какого-то
точечного заряда qf, помещенного в точке А', зеркально симметричной с А
относительно границы раздела. Тогда для поля в первом диэлектрике можно
написать
?1Г3 ?1Г/3
где г и г' — радиусы-векторы, проведенные из зарядов q и q' в рассматриваемую
точку. Введем второе предположение, также оправдываемое последующими
вычислениями, что поле во втором диэлектрике представляется выражением
Е2
Г,
причем второй (фиктивный) заряд q" совмещен пространственно с зарядом q
(на рис. 15 он не изображен).
Теперь необходимо выражения для Ei и Е2 «сшить», чтобы на границе
раздела диэлектриков удовлетворялись граничные условия: непрерывность
касательных компонент вектора Е и нормальных компонент вектора D. Первое
134 Ответы и решения
условие имеет вид
q q' q"
— sin ip -\ sin if = — sin (p,
Sx ?x &2
а второе
q cos cp — q cos ip = q" cos tp.
Существенно, что угол (р выпадает из обоих уравнений. Поэтому, если q и
q" определить из этих уравнений, граничные условия будут удовлетворены во
всех точках границы раздела. Таким путем находим
exr6 ex sx
67. F = —, где d — расстояние заряда от границы раздела.
4ei ?2 + s\ az
Заряд притягивается к плоскости, если е2 >?ь и отталкивается, если ?2 < еь
68. Q = ЕВ2 = 22 500 СГСЭ.
DтгЯ2J
Указание. Пусть а — поверхностная плотность зарядов на сфере. На-
Напряженность поля снаружи у поверхности сферы равна 4тгсг, а внутри равна
нулю. Выделим мысленно элемент поверхности dS. Поле у поверхности можно
рассматривать как результат наложения двух полей: 1) поля зарядов, находя-
находящихся на элементе dS и создающих напряженность 2тпт снаружи и внутри, и
2) поля всех остальных зарядов; следовательно, поле остальных зарядов равно
2тпт и направлено наружу. Отсюда сила, действующая изнутри на элемент dS,
равна 27TcradS. Поэтому давление будет 2тпт .
70. На единицу поверхности незаряженного мыльного пузыря действуют:
1) сила давления, обратно пропорциональная объему пузыря, т.е. пропорцио-
пропорциональная 1/R3, и направленная наружу, и 2) сила поверхностного натяжения,
пропорциональная \/R и направленная внутрь пузыря. При определенном
радиусе R эти силы уравновешивают друг друга:
где постоянные а и с зависят от конкретных условий опыта. Сообщив мыль-
мыльному пузырю заряд, мы добавим к силе, действующей наружу, еще силу
электростатического отталкивания зарядов (см. задачу 69), пропорциональную
1/R4. Для равновесия необходимо, чтобы
Ц + ~Щ ~ дГ ~
Отсюда можно получить связь между изменением сил, действующих на еди-
единицу поверхности пузыря, и изменением /\Rx радиуса:
\нх н\ 2
Величина, стоящая в скобках, положительна, поэтому равновесие будет устой-
устойчивым. Увеличение Rx вызовет большее уменьшение сил, действующих нару-
наружу, а потому результирующая сила будет уменьшать радиус, т. е. возвращать
его к равновесному значению Rx. Наоборот, уменьшение радиуса вызовет
большее увеличение тех же сил и равнодействующая сила будет увеличивать
радиус.
§ 1. Электростатика
135
71. Q2 = 16тгг3A2сг + 7Рг). Если_
л-5
г > а/Р = 5-10 u см, как это имеет
место в условии задачи, то Q = 4г2л/7тгР = 1,87 • 104 СГСЭ = 6,2 • 10~6 Кл.
В этом случае заряд Q практически не зависит от поверхностного натяжения.
В противоположном случае, когда г <С сг/Р = 5 • 10~5 см, Q = 8л/3тптг3.
72. Поле внутри сферы равно нулю, а поэтому потенциал (р имеет посто-
постоянное значение и равен значению потенциала самой сферы, т. е. (р = AnRa, a
вне сферы потенциал равен ip = A7rR2a/d (тонкая линия на рис. 215). Внутри
сферы Е равно нулю, а вне — Е = A7vR2a/d2 (жирная линия на рис. 215).
73. ^макс =
74. Поле будет иметь вид, показанный на рис. 216. Потенциал внешнего
шара — Q/Rs, а потенциал внутреннего — Q ( 1 ). Если внешний
у R\ R2 R3)
шар заземлить, то его потенциал будет равен нулю, а потенциал внутреннего
mapa-QCR2-
г, см
Рис. 216
75. См. рис. 217а и б. Ео = 0,1 СГСЭ, ^0 = 1,5 СГСЭ = 450 В.
76. Часть силовых линий, идущих от заряда +2q, будет оканчиваться на
внутренней стороне замкнутой оболочки, значит, потенциал ее будет ниже
потенциала проводника, имеющего заряд +2д.
77. Заряд противоположного знака, равный половине заряда пузыря (см.
задачу 69).
78. Решение. На единицу поверхности сферы действует выталкива-
выталкивающая сила / = Q2n/(87rR2). Отсюда интегрированием легко получить F =
= Q2/(8R2).
79.F = Q(Q + 2q)/(8R2).
80. F = x2/(irR).
81. F =
136
Ответы и решения
82. Е = 2V5 тпт (рис. 218).
83. Эквипотенциальные поверхности поля — плоскости, наклоненные к
заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда а под углом
а, определяемым соотношением tga = 2. Потенциал (р линейно изменя-
изменяется с расстоянием от линии пересечения поверхностей. Для поверхности
с плотностью заряда 2а: ip = —2тгах + с. Для поверхности с плотностью
заряда a: ip = —Anaz + с.
84. а = 0,00265 СГСЭ.
85. Электрическое поле радиально и определяется
выражениями
2тш
Е= <
X
Рис. 218
О
при г < R\ или Дз < г < оо,
~9 ПРИ
О
— при R2 < г <
при г > Rs,
где г — расстояние от центра сфер.
86. R = 1 м.
87. Внутри цилиндра поле такое же, как и в задаче 82. Вне цилиндра,
если ось его направить по оси Y, первую заряженную плоскость совместить с
координатной плоскостью YOZ, а вто-
вторую — с координатной плоскостью XOY
(рис. 219), компоненты напряженности
поля в произвольной точке А(х, у, z) бу-
будут
2тгсг 1 -
2тгсг 2 -
6Rx
(х2 + z2)
о
6Rz
по оси X,
по оси Y,
по оси Z.
88. Если начало координат взять в
центре сферы и ось Z направить пер-
перпендикулярно к плоскости (рис. 220), то
компоненты напряженности поля в точке A(x,y,
A(x,y,z)
2тгсг
A(x,y,z)
Рис. 219
, лежащей вне сферы, будут
4nR2ax
(Ж2 + у2 + Z2)
(Я2 + у2 + Z2)
по оси X,
по оси Y,
по оси Z.
/у
Рис. 220
В точке, лежащей внутри сферы, поле
направлено вдоль оси Z и равно 2тпт.
89. р= 1,3- 10~3 СГСЭ.
§ 1. Электростатика
137
90. а\ = -<т2 = - (q\ - q2), <т[ = <т2 = - I
«0; е =
91. 1) По 40 В. 2) Нуль между пластинками / и 2 и 40 В между
пластинками 2 и 3.
92. 40 В.
93. Ех = Vx/d2; E2 = V(x + d)/d2.
94. Напряженность поля в направлении из точки / в точку 2 равна Е\2 =
= (<pi — (р2)/а, где а —длина ребра кубика. Аналогично, Е\з = (<pi — (рз)/а
и Ец = (y?i — щ)/а. Векторная сумма Ei2, E13, Ен определит приближенно
напряженность поля в окрестности точек /, 2, 3, 4.
95. Vi2 « 0,25 СГСЭ; У23 « 0,75 СГСЭ.
96. Уменьшится в два раза.
97. Решение. Потенциалы проводников являются линейными однород-
однородными функциями их зарядов: <^ = J2Aikqk- В силу симметрии все коэффици-
коэффициенты Aik с одинаковыми индексами равны между собой. Точно так же равны
все коэффициенты с разными индексами. Обозначая эти коэффициенты через
А и В соответственно, можем написать ip\ = Aq\ + B(q2 + g3) и аналогично
для остальных проводников. При зарядке первого шара он получает потенциал
ipx = Aq\. При зарядке остальных двух шаров потенциал первого шара меня-
меняется, но его значения для решения не нужны. При зарядке второго шара его
потенциал становится равным также ip\ = Aq2 + Bq\. Аналогично, для третьего
шара ipi = Aqs + B(q\ + q2). Таким образом, Aq\ = Aq2 + Bq\ = Aq% + B(q\ +
+ q2). Отсюда q3 = q\/q\.
98. q% = q2/q\\ ЯА = Q2/Qi-
99. V « 189 B.
100. На расстоянии d (в сантиметрах) от общей оси цилиндров Е « 39/с/
СГСЭ.
102. A = pq/d2.
103. Нет, так как такое поле не будет потенциальным. Действительно,
работа при передвижении заряда по прямоугольному замкнутому контуру, две
стороны которого параллельны полю, а две
перпендикулярны к нему (рис. 221), будет от-
отлична от нуля.
Рис. 221
Рис. 222
104. Потенциал проводника уменьшится.
105. Уменьшится.
106. V = 2irqd/S.
107. См. рис. 222. Е = 6irq/S.
138 Ответы и решения
108. V = Q(R,2 — Rx) / (RxRi) = 750 В. Напряженность поля внутри первой
сферы равна нулю, между сферами Q/r2, вне второй сферы 2Q/r2, где г —
расстояние рассматриваемой точки от центра сфер.
109. 1) (р = 9 • 108 В. 2) Заряд не удержится, так как напряженность поля
у поверхности шара будет Е = 90 кВ/мм.
110. Е = 2тгсг ( / h + d = - / h } , см. задачу 19. Если d < h,
V y/(h + dJ + R2 Vh2 + R2 J
2naR2d
111. Q« 265 СГСЭ.
112. Увеличится в полтора раза.
113. Увеличится на 200 пФ. Положение листа на результат не влияет в том
случае, когда он остается параллельным обкладкам.
114. С = 35 см.
115. Решение. Поле большого шара в его полости однородно и равно
4тгрг/Cг), где г = ОС —вектор, проведенный от центра большого шара О к
центру малого шара С. Умножив это поле на заряд малого шара, найдем F =
= (A7rpJR3r/(9s).
116. C = R/2.
Указание. Если R <C d, где d — расстояние между шарами, то ем-
емкость одного шара относительно плоскости симметрии приближенно равна
R. Поэтому емкость между шарами можно рассматривать как емкость двух
конденсаторов, включенных последовательно.
-с^а-к ~г Оа-с^с-к ~г Ос-к^а-к
117. С
11» г _
Но. Оа-к —
^ —Cx + C2 + C3 Ci + C2 — C3
119. 1) Емкость батареи, включенной по схеме а), больше. 2) С\ =
2 -, Сз может быть любой.
Сх + С2 г
120. Для цилиндрического конденсатора С = —-—-. Если .R2 = R\ +
2\n{R/R)
+ АД, то 1п(Д2/Д1) = ln(l + AR/Rx) « АД/Дь Тогда С =
= -—-—, где S — боковая поверхность цилиндра. Для сферического конденса-
4тгАгг
тора доказательство аналогичное.
121. /г = const, где / — длина трубки, г — ее радиус. Конденсаторные
клеммы применяются для более равномерного падения потенциала в изоляции,
а следовательно, и уменьшения максимального значения напряженности поля
в изоляторе. Если изолирующая трубка будет иметь толщину порядка радиуса
провода, то напряженность у провода будет примерно в два раза больше, чем
у поверхности трубки, а в конденсаторной клемме с очень тонкими слоями
напряженность будет всюду почти одинаковой.
122. Увеличится примерно вдвое.
123. Увеличится примерно в три раза по сравнению с емкостью конденса-
конденсатора без коробки.
124. Vx = и V2 = , где Vx — напряжение на конденсаторе
Сх + С2 Сх + С2
Сх и V2 — на конденсаторе
§ 1. Электростатика
139
125. Vi = 3 В; V2 = 1,5 В; V3 = 3 В; V4 = 1,5 В.
126. Vi = 3,6 В; V2 = 1,8 В; V3 = 3,6 В; V4 = 1,8 В.
127. Vi =
V2 =
C\ + C2 Ci+C2
Указание. Заряды на обкладках конденсаторов связаны равенством
Qx — Q2 = С\Ш\, как это следует из закона сохранения заряда.
128. При последовательном. V = 1125 В; С = 0,8 мкФ.
129. Его электроемкость должна быть значительно меньше электроемкости
проводника, чтобы при присоединении электроскопа потенциал проводника не
менялся.
130. V = 1413 В.
131. 1) Е{ = 6,28 СГСЭ; 2) Е2 = 3,14 СГСЭ;
3) сила отталкивания F = 12,6 дин.
132. Пользуясь значениями Vi, V2 и Со, опре-
определяем электроемкость относительно земли заря-
заряженного тела и электрометра (рис. 223). Эта элек-
у2
троемкость выражается так: Сх = Со . Заряд
V\ — V2
равен Q = CXV\. Точность определения заряда за-
зависит от точности определения величин V\ и V2 и,
кроме того, от разности V\ — V2. Чем больше V\ —
— V2, тем точнее определение заряда.
133. V = 17,25 кВ.
134. С = ?l?2S . Рис.223
Внутри пластинки Е =
135. В воздушном зазоре Е = D =
2) С2 =
С2 > Сь так как
- e2)
136. 1) Сх =
(s\ + e2J всегда больше 2е
137. С =
138. С =
Указание. Так как диэлектрическая проницаемость между обкладками
меняется по закону е = е\ -\— х, где х — расстояние от первой пластины,
то разность потенциалов между обкладками можно записать так:
d d
V =
о о
где Е — напряженность поля, D = 4тгсг — электрическая индукция.
139. Увеличится на V(e - 1)/Dтгс?).
140. Е = ,, ?Х . , « 1750 В/см.
(d - h)e -
141. С =
142. Е =
-п2е2
2(R2-Ri)
4ttQ
= 120 см.
1
R\R2
R2-R\'
+е2п2 r2
—, где г — расстояние от центра шара. С =
140
Ответы и решения
143. Е
?1У>1 + ^2^2
Q
—, где г — расстояние от оси конденсатора. С =
4тг1п(Я2/Я1
144. В точке на расстоянии г от центра шара (R\ < г < R2) напряженность
Е= 1000/г2СГСЭ.
145. Е' = (е — \)Е/3. Если поляризованность диэлектрической среды &,
то (е — \)Е = 4тг^. Напряженность поля в центре сферической полости Е' =
= 4тг^/3. В самом деле (рис. 224),
¦=w
Е' =
• R2 sin в dip
146. Образующуюся при заземлении внутренней сферы систему можно
рассматривать как параллельно соединенные сферический конденсатор и внеш-
внешнюю сферу, имеющую емкость R2 относительно бесконечно удаленной сферы.
147. E = V/(d]n2).
148. Не изменится.
149. р = -ро/Bтг<12).
Решение. Если х — расстоя-
расстояние от пластины с потенциалом (ро,
то напряженность поля по теоре-
теореме Гаусса определяется уравнени-
уравнением дЕ/дх = 4тгр. Так как потен-
потенциал (р связан с напряженностью
поля Е равенством Е = —d(p/dx,
то d2(p/dx2 = —4тгр. Общее решение
последнего уравнения
Рис. 224
= -2тгрх
Учитывая условия задачи, находим константы С и С\ и получаем ответ.
150. В точке на расстоянии г от оси цилиндров потенциал
1 г
lnR~
\n(R2/Rl)
Решение. По теореме Гаусса для кольцевого слоя радиуса г толщины dr
Е • 2тгг -
- — dr} 2тг(г - dr) = Атгр • 2тгг dr,
dr J
где Е — напряженность поля. Отсюда 1— Е = 4тгр, или для потенциала
dr r
dr2 r dr
Частное решение этого уравнения ip\ = —тгрг2. Решение соответствуюшего
72 1 Л
однородного уравнения —- -\ =0 имеет вид ^ = С In r + С\. Таким
dr1 r dr
образом, общее решение неоднородного уравнения
= <р\ + <р2 = С In г + С\ — прг .
§ 1. Электростатика 141
Подставляя сюда заданные в условии задачи значения потенциала, находим С
и С\ и получаем ответ.
151. Только растягивающие, нормальные к пластинке.
153. Сила притяжения не изменится.
?] — \ 2
154. h= х
155. F =
•1*2
_5_ ( Vs
8^
157. A = —!— (do — d). За счет энергии электрического поля конденсатора.
158. W = q2/BR).
159. W = 3q2/ER).
160. М = (е — \)R2V2/A6тгсГ). Момент сил М стремится втянуть диэлек-
диэлектрическую пластину внутрь конденсатора.
162. р = Е/Bтгг).
163. а = —^ cos^. Вне сферы — поле точечного диполя с дипольным
моментом р = R3~E.
164. Потребляемая мощность меняется обратно пропорционально квадрату
dW SV2 dx
расстояния: = —, где S — площадь пластин конденсатора, х — рас-
dt отгж dt
стояние между ними, V — разность потенциалов и t — время.
При раздвижении пластин затрачивается механическая работа и умень-
уменьшается электрическая энергия конденсатора, так как она равна CV /2, а
С уменьшается. Но при этом заряды стекают с пластин конденсатора, т. е.
движутся против ЭДС батареи. На продвижение этих зарядов и идет механи-
механическая работа и освободившаяся энергия конденсатора. Таким образом, в этом
случае как механическая, так и электростатическая энергии или переходят
в химическую энергию батареи, или расходуются на нагревание ее.
165. 1) С = — . 2) Е = — -; напряженность поля одинакова
отга аA + е)
в воздухе и в жидкости. 3) В воздухе а = -—— -; в жидкости <т' =
Z7ra(l + s)
. 4) AW = . За счет энергии AW совершена работа при
8nd s+ 1 Н н н н
=;. 4) AW =
2nd(\ +e) 8nd s+
подъеме жидкости между пластинами конденсатора. Уровень жидкости между
пластинами будет выше, чем в сосуде. 2
166. Изменение энергии конденсатора: 1) AW\ = ^ ~ —318 эрг;
2) AW2 = — —^- ~ +1590 эрг. Работа, совершаемая при удалении стеклян-
стеклянной пластины: А\ = +318 эрг; А^ = +1590 эрг.
Решение. В обоих случаях не только изменяется энергия конденсато-
конденсатора, но и затрачивается работа на удаление пластины. Эта работа во втором
случае больше, так как по мере выдвижения пластины напряженность поля
в конденсаторе увеличивается, в то время как в первом случае она остается
неизменной. В первом случае при удалении пластины из конденсатора не
142 Ответы и решения
только совершается механическая работа, но уменьшается энергия конденса-
конденсатора и увеличивается энергия батареи (см. задачу 164). Работа, совершенная
против ЭДС батареи, А = AQ • V, где AQ — изменение заряда конденсатора
после удаления пластины. Так как AQ = (е — 1)CV, то А = (е — l)CV2 и
при удалении пластины совершается механическая работа А\ = А + AW\ =
= (s — \)CV /2 = +318 эрг. Во втором случае при удалении пластины совер-
совершается механическая работа, равная увеличению энергии конденсатора: А^ =
= AW2 = +1590 эрг.
167. М = ?^Yl ~ 510 дин • см.
Решение. При повороте подвижных пластин конденсатора на угол АО
заряд на них увеличится на AQ. Источник ЭДС совершит работу VAQ.
Эта работа пойдет на увеличение электростатической энергии конденсатора
AQV/2 и на работу сил притяжения МАО. Поэтому VAQ = МАО + AQV/2,
или AQV
МА0=^-. A67.1)
Увеличение заряда AQ = ACV, а изменение емкости АС = пВ2АО/(8тгсГ).
Подставляя эти выражения в A67.1) и сокращая на АО, получаем ответ.
168. а «6,5- 10~8 СГСЭ.
169. Решение. Искомая зависимость находится в точности так же,
как и зависимость упругости насыщенного пара от кривизны поверхности
жидкости (формула Томсона). Надо только учесть влияние электрического
поля на высоту поднятия жидкости в капилляре. Электрическое поле должно
быть перпендикулярно к поверхности мениска жидкости в капилляре. Влияние
такого поля эквивалентно уменьшению поверхностного натяжения жидкости а.
Из капиллярного давления 2а/г надо вычесть максвелловское натяжение
8ti
где D — электрическая индукция, е — диэлектрическая проницаемость капли,
а г — ее радиус. Для проводящей капли в этой формуле следует положить е =
= оо. То же можно делать для воды ввиду большого значения диэлектрической
проницаемости последней (s = 81). В результате вместо формулы Томсона
получится
При г = 0 и г = оо эта формула дает соответственно Р = ОиР = Ро. В про-
промежутке между этими значениями упругость насыщенного пара Р достигает
максимума. Дифференцируя A69.1) по г и полагая dP/dr = 0, находим, что
это происходит при
г = го= уд2/(Атга0). A69.2)
Применим полученные результаты для капли воды, полагая q равным
элементарному заряду е, находящемуся в центре капли. При 20 °С для воды
а = 73 дин/см. По формуле A69.2) находим го = 6,3 • 10~8 см. При таких
малых размерах капель макроскопические формулы, как точные количествен-
количественные соотношения, становятся сомнительными. Тем не менее мы воспользуемся
ими, рассчитывая, что грубо качественно результаты получатся правильными.
Мы не будем также смущаться тем обстоятельством, что в реальных условиях
осаждающиеся ионы не попадают в центр капли, а могут находиться в ней
§ 1. Электростатика
143
в любом месте. Зависимость упругости насыщенного пара над заряженной
каплей от ее радиуса представлена на рис. 225. Та же зависимость для неза-
незаряженной капли представляется штриховой кривой. Заряд капли уменьшает
упругость насыщенного пара, причем при г < го упругость пара растет с уве-
увеличением радиуса капли. Этим и объ-
объясняется конденсация пара на ионах.
170. Решение. Введем прямоу-
гольную систему координат, как указа-
указано на рис. 37 (ось Z перпендикулярна
к плоскости рисунка и параллельна
длинным сторонам пластин). Искомое
поле потенциально и удовлетворяет
уравнению Лапласа
дх2 ду2
г
о
5 г/т
Рис. 225
На проводнике АС (т. е. при у = 0)
потенциал должен обращаться в по-
постоянную, которую мы примем равной
нулю. Искомое решение будет (р = аху + /Зу, где а и C — постоянные. В силу
симметрии потенциал (р не должен меняться при замене у на — у, а потому
/3 = 0. Для напряженности поля получаем
дх у ду
Постоянная а найдется по разности потенциалов между точками А и В (или
между точками С и D). Потенциалы точек В и С равны соответственно
(рв = +V/2, (рс = —V 12. Напряженность поля Еу на поверхности пластины
АВ (т.е. при х = -d/2) будет Еу = -V/Bh) = ad/2, откуда а = -V/[hd).
Окончательно
?ж = Vy/(hd), Еу = Уж/(Ы).
Уравнение силовой линии dx/Ex =
= dy/Ey имеет вид
dx dy
У х
откуда у2 — х2 = С, т. е. силовыми лини-
линиями являются равносторонние гиперболы.
При С > 0 оси гипербол совпадают с осью
Y, при С < 0 — с осью X. Для выяснения
смысла постоянной С обозначим через а
расстояние от вершины гиперболы до на-
наРис. 226
чала координат. При С > 0 координатами вершины гиперболы будут @, а). Они
должны удовлетворять уравнению а2 — О2 = С, откуда С = а2. Аналогично, для
второго случая (С < 0) С = —а2. Таким образом, получаются два семейства
гипербол:
2 2 2
и х — у = а
асимптотами которых являются биссектрисы соответствующих координатных
углов (рис. 226). Гиперболические силовые линии первого семейства лег-
144 Ответы и решения
ко воспроизводятся экспериментально обычным демонстрационным методом.
Силовые линии второго семейства экспериментально получить трудно из-за
малости составляющей поля Ех.
171. q = — (— - —"] = 78 СГСЭ = 2,6 • 1(Г8 Кл.
4тг \\2 \\ )
172. а = Л ez
4тг d
173. Решение. Работа, которую надо совершить над диэлектриком, что-
чтобы квазистатически увеличить его индукцию на (Ю, определяется выражением
6А = —EdD. Подставляя это выражение в термодинамическое соотношение
dU = TdS + SA, получим
dU = TdS+— EdD.
4тг
Отсюда легко получаются все остальные соотношения.
174. Решение. При Т = const с?Ф = — Е dD, или, в силу соотношения
4тг
D = еЕ, d^ = —EdE. Отсюда
4тг
Ф = -f- Е2 + Фо = ^- Я?> + Фо,
О7Г О7Г
где Ф зависит только от температуры и плотности диэлектрика, но не зависит
от напряженности электрического поля.
175. Решение.
D2 D2 д (\\ ТТ Е2 ( де
{)+U { + T
Производная де/дТ должна вычисляться при постоянной плотности диэлек-
диэлектрика. Величина Uq зависит только от температуры и плотности диэлектрика.
176. Результат следует из независимости е от температуры для таких
диэлектриков.
177. Решение. Для таких диэлектриков е — 1 ~ 1/Т. Отсюда следует:
Ф = А?2, U=-E2.
8тг 8тг
11О „ „ Т (дЕ\ (dD\ Т Е2 (де\2 „
178. Сп - СЕ = - ^—jD ^—\ =-^~ [^) ¦ Надо нагревать
диэлектрик в плоском конденсаторе. Если конденсатор отсоединен от ис-
источника напряжения, то D = const. Если же он присоединен к источнику,
поддерживающему разность потенциалов между обкладками неизменной, то
Е = const.
179. Решение. При квазистатическом адиабатическом процессе энтро-
энтропия диэлектрика S остается постоянной. Рассматривая ее как функцию Е
и Т (плотность диэлектрика поддерживается постоянной), можно написать для
бесконечно малого процесса
§ I. Электростатика 145
Подставив сюда
0S\ _ CE fdS\_\ fdD\ _ Е де
где Се — теплоемкость единицы объема диэлектрика при постоянной напря-
напряженности электрического поля Е, получим
лт ТЕ д? йт?
Изменение Т для конечных квазистатических адиабатических процессов мож-
можно найти отсюда интегрированием по Е.
Аналогично, рассматривая S как функцию D и Т, можно получить
дТ
180. Решение. Для газов с полярными молекулами при постоянной
плотности (е — \)Т = const. Отсюда де/дТ = — (е — 1)/Т, и, следовательно,
Пренебрегая зависимостью Се и е от температуры и интегрируя от Е до О,
получаем _ 1
?2
Пренебрежем зависимостью Се от напряженности электрического поля. Тогда
Се будет теплоемкостью единицы объема газа при постоянном значении этого
объема. Выразим ее через молярную теплоемкость Суол по формуле
_ сур
Е~
где Р = пкТ — давление газа. Используя известные формулы Су
= R/(j - 1), (е - 1)/4тг = пр2/(ЗкТ), найдем
RT '
известные формулы Суо
Таким образом, при адиабатическом выключении электрического поля диэлек-
диэлектрик охлаждается.
181. Решение. Из формулы с1Ф = —SdT DdE получаем
Правая часть этого равенства при Т = О обращается в нуль в силу теоремы
Нернста. Кроме того,
дТ )
Индекс Е у производной ds/дТ опущен, так как е от Е не зависит. Отсюда и
получается требуемый результат.
146
Ответы и решения
182. Решение. Пусть внешнее электрическое поле направлено вдоль
оси X и в направлении осей X и Y действуют механические напряжения тх
и Ту. Если V = Ibh — объем пластинки, то элементарная работа, которую надо
затратить на ее поляризацию при квазистатическом процессе, будет VEdP =
= VExdPx. Элементарная работа сил натяжения равна Ытх dh + hbry dl. Из
термодинамического соотношения dU = Т dS + ЗА после деления на объем V
получим
где и и s — удельные значения внутренней энергии и энтропии. Перепишем это
соотношение так:
du = Tds + ExdPx +Txd\nh + Tyd\nl,
и введем функцию g = и — Ts — ЕХРХ — тх \nh — ту In/. Тогда
dg = —sdT — Рх dEx — In h • drx — In / • dry.
Так как dg — полный дифференциал, то
'дРх
'т
дт
_ /din/Л _ \_
~ v дЕх )r ~ h
'У /т
dh
dl
Если есть прямой эффект, то производные слева отличны от нуля. Значит,
(dh/dEx)T ф 0, (д1/дЕх)т ф 0, откуда и следует существование обратного
эффекта. Второе утверждение доказывается так же. Доказательство проведено
для изотермических процессов. Но его легко распространить и на адиабатиче-
адиабатические процессы.
183. Д =
184. Мя
185. Т =
186. R «
187. ?>^
ИТ
188. —
dt
Vi
189.
190.
191.
н
1
R
§ 2. Законы постоянного тока
0,17Ом.
39,5 Вт.
2200 °С.
14,4 Ом; а = 4,5 • 1(Г3 °С.
5,6мм.
Л/2
= 0,24 / , оч— = 0,0079 °С/с.
pDl/7rD2)mc
72/п В; V2 = 36/п В; V3 = 24/п В.
%
См. рис. 227. /=
Рис. 227
Рис. 228
§2. Законы постоянного тока
147
192. См. рис. 228. V = &й/(Д + г); tga = (f/r.
193. g«34,3 В; г^ 1,43 0м.
194. гзв = 1000 Ом; п5В = 50000м; п5Ов = 500000м.
195.
т. е. точность измерения тем меньше, чем
А/ Ш
больше Rx. Эта формула определяет точность измерения сопротивления обыч-
обычными омметрами.
196. 1) Сопротивление шунта гш « 8,1 кОм вычисляется по формуле — =
1 / ? \ 1 Гш
= - ( Ь ) , где V = 0,125 В — падение напряжения на измерительном
а \ V I r
приборе, 6=1+ R\/R2, a = bRo + i?i.
2) ^ « 1,28 В; эту величину мож-
можно определить по формуле, указан-
указанной в п. 1), при гш = 22кОм.
25Г-100
10
3) Rx
-
)<Эм.
Более
общее соотношение: Rx = (it4 + R)x
Х
Л I - _L
)' R ~ R
ЮО/л-1
25 50 75
Шкала прибора
100 и
R R2
— = - Н . Сравнение шкал изме-
рительного прибора и омметра дано
на рис. 229.
4) ARX « 1250/n2 Ом-ошибка
в определении сопротивления Rx, со-
соответствующая ошибке в полделе-
полделения шкалы измерительного прибора
в том случае, когда стрелка прибо-
прибора показывает п делений. Минималь-
Минимальная ошибка: при п = 100 ARX «
« 0,125 Ом; при п = 5 ARX « 50 Ом.
5) #i = 10Ом; Д = 240Ом (см. п. 3); R2 « 325 0м.
197. /i//2 = 4 (если струны сделаны из одного материала и температуры
струн в рабочих условиях одинаковы).
198 R = R\ [VR2 - I(rR2 + гД3 + Ri Д3)]
ж ~ УЯз + /(гЯ2 + гЯз + R1R3
199. R = 7/5r.
200. Относительная погрешность
225 75 35 25 12,5 6 2,5 О R, Ом
Шкала омметра
Рис. 229
Rx R2RX V '
где У — напряжение на мостике и AF — разность потенциалов на зажимах
гальванометра при изменении Rx на Rx + АДЖ. В состоянии равновесия
Rx/R3 = R\/R2 = b, поэтому множитель при AV/V будет равен A + bJ/b; он
имеет минимум при 6=1.
201. Необходимое для равновесия мостика соотношение плеч в одном слу-
случае обеспечивает равновесие и в другом случае. Но чувствительность схемы
мостика зависит от соотношений между сопротивлением плеч и внутренним
сопротивлением гальванометра и источника тока. Поэтому чувствительность
мостика может измениться (см., например, ответ предыдущей задачи).
148
Ответы и решения
10"
: Ом, где и =
202. См. рис. 230. Абсолютная погрешность ARX =
A -иI
= x/L, х — расстояние ползунка А от левого края. Относительная погрешность
10"
Рис. 230
; при и = 1/2 она имеет минимум, равный 4
Rx и(\-и)
ная погрешность растет до сю при и
сопротивления.
203. См. рис. 231.7=
10~3. Абсолют-
1, т.е. при увеличении измеряемого
204. гш = 16,7 Ом.
205. g =
206.
1 +
Рис. 231
207. F = 1000 B.
208. 1) V « 2,93 B; 2) F = 2,4 B.
209. / = (г — l)eo— ^Ь, гДе ^~ ширина пластины.
Решение. Заряд, приходящий на пластины за время dt\
dq = avb dt,
где
— поверхностная плотность поляризационных зарядов на диэлектрике. Отсюда
§2. Законы постоянного тока 149
Ъ Р2
210. N = &I = (е — 1)ео , где г; — мгновенная скорость диэлектрика,
Ъ — ширина пластин. Работа батареи расходуется на увеличение электрической
энергии конденсатора и кинетической энергии диэлектрика поровну.
Решение.
Ndt = %dq = dW + 6A, C = Co + (e- 1)ео-х,
h
(СШ2\ (f2 (f2
dW = d I ^y- ) = у dC, 5A=—dC, dW = 6A,
Ndt = 2dW = 2^-dC = tie- l)?o-vdt.
2 h
211. Сопротивление цепи 13000м, внутреннее сопротивление источника
325 0м, сопротивление второго вольтметра 13 2600м.
212. Ток максимален, если R = mr/n, т.е. когда внешнее сопротивление
цепи равно внутреннему сопротивлению батареи. Для соблюдения этого усло-
условия необходимо, чтобы Nr ^ г. Сила максимального тока /макс = m&/BR).
(9 1 ~\~ (9 0 ~\~ С91
213. l)V = п 2 3. 2) V = 0.
Г\ + Г2 + Гз
214. /i « 1,05 А (по направлению ЭДС); 1% ~ 0,87 А (против направления
ЭДС); V ^ 1,8 В.
215. Io(r + R) в вольтах.
216. Для вольтметра необходимо дополнительное сопро-
сопротивление 105 Ом. Для амперметра необходимо включить шунт
сопротивлением « 0,1 Ом.
217 1) / — <^№ + Дг) 2) / — ^^
3) 7- = D / ! D v + 1; если г < Ru то /f/Zi = п + 1, где
1\ П2{Г + Н\)
П = r/R<2.
218. Можно. Для этого нужно собрать схему, показанную
на рис. 232, и взять сопротивления R% ~ 12,2 0м и R\ «
Р61Ж ' ^ , Рис.232
0<1
219. / = 0,75 А. Вольтметр покажет нуль, так как падение напряжения
внутри каждого элемента равно ЭДС элемента.
220. 0,75 В (при условии, что сопротивление вольтметра достаточно ве-
велико).
221. Нуль (см. ответ задачи 219).
Шо Ш
222. — < —^—.
r2 r\ + R
223. Либо при г <С R и г <С Rx, либо при Rx > R (внутреннее сопротив-
сопротивление источника играет, очевидно, ту же роль, что и г).
224. / = 10 мА.
ZZO. G>2 [it -\~ ±t\ J = (9\±ъ.
226. V2 = 3 В; h = 1 A.
227. R2 = 3 Ом; i?i и RA — любые.
228. V = -r, г—— -, где х — расстояние ползунка от конца реохорда,
yl xjx -ГС I
I2 г
к которому подключен вольтметр.
150
Ответы и решения
229. g =
и r2 / 0.
230. g =
Г2 + Г\
[ r\r2 ^
-; r = . Если
7*2 H~ Г1
g2, то (fi > g > g2 при n / 0
231. g =
R3R4)
232. /1 = 1,64 A; I2 = 2,36 А; /3 = 1,82 А; /4 = 2,54 А; /5 = 0,18 А.
233. g = 7,75 В.
234. Решение. Допустим, что вначале ключ К был замкнут. Тогда
h + h + /5 = 0, /2 + U + /5 = О,
Если разомкнуть ключ К, то /б обратится в нуль, что приведет к изменению
остальных токов. Однако ток /5 по условию должен остаться неизменным. Обо-
Обозначая новые значения токов штрихами, придем к прежней системе уравнений,
в которой все штрихованные токи заменены нештрихованными, причем 1'ъ = /5.
Сравнивая эти две системы уравнений, получаем
/i + /3 = /{ + /3, h + /4 = /2 + Ii
I\R\ -\- I2R2 = I\R\ H~ I^R^i
I3R3
Переписав эту систему уравнений в виде
/l - /{ = /3 - /З, /2-/2=4- /4,
почленным делением первых двух уравнений находим искомое условие:
235. R2/R§ = R5/R3. Для получения ответа не требуется новых вычис-
вычислений, если заметить, что обе схемы топологически эквивалентны, т. е. одна
может быть получена из другой непрерывной деформа-
деформацией. В этом проще всего убедиться, если перейти к
пространственной схеме мостика Уитстона, в которой
провода изображаются ребрами правильного тетраэдра
(рис. 233).
оос j-v V2\ (R\R2 + R1R3 Н~ R2R3)
ZSb. H4 = —^ ^ T Tr /r% , . •
- R3)
Рис. 233
237. r = Ri -R2.
238 С =
n[(Ri + R2)(RX - .
« 0,0165 мкФ.
239. Введя обозначения: / — длина первого участка
от источника ЭДС до места заземления, L — длина
§2. Законы постоянного тока 151
всей линии, р — сопротивление единицы длины линии, г — сопротивление за-
заземления, 1\ — ток через первый участок линии, h — ток через приемный
прибор, 1Г — ток заземления, Ш — ЭДС в начале линии, по законам Кирхгофа
составляем уравнения
Irr, Irr = (L-
Отсюда ф
h =
Чтобы /2 было минимально, нужно, чтобы l(L — I) было максимально, а это
будет, когда I = L — I, т.е. I = L/2.
240. См. рис. 234, где Л —лампа, А — один конец коридора, Б —другой
конец коридора.
Рис. 234
Решение. Напряженность поля Е и плотность тока j связаны условием
Е = pj. Если на единице длины цилиндра находится заряд а, то напряженность
поля около цилиндра Е = 2а/г. Отсюда разность потенциалов между стенками
цилиндра V = 2(rhi(r2/ri). По определению сопротивление R = V/I, где I —
ток, идущий от стенки к стенке цилиндра. Ток / можно записать следующим
образом: / = 2irr\lj\; подставляя сюда j\ = 2a/pr\, находим / = Атг1а/р и,
вычисляя отношение V/I, получаем ответ.
242. R = f-
4ТГ \Г2 7*1
243. Представим себе электростатическое поле между проводниками А
и В, находящимися под определенной разностью потенциалов V, причем
пространство между ними ничем не заполнено. Сравним это поле с полем
электрических сил, когда пространство между этими проводниками заполнено
однородной проводящей средой (удельное сопротивление р) и к ним прило-
приложена та же разность потенциалов V. Так как среда однородна и поверхности
проводников являются эквипотенциальными поверхностями, то напряженность
поля Е в обоих случаях одинакова. В случае электростатического поля CV =
= Q = J adS, где а — поверхностная плотность заряда на элементе dS по-
поверхности и интеграл берется по поверхности одного из проводников. Так как
Е = 4тпт, то
CV =h\EdS' B43.1)
В случае постоянного тока
где j — плотность тока и интеграл берется по поверхности того же проводника.
152
Ответы и решения
Для всех точек пространства закон Ома дает Е = jp. Следовательно,
B43.2)
Сравнивая B43.1) и B43.2), получаем R = р/DтгС).
244. R = р/Bтгг).
Указание. Для решения нужно применить результаты предыдущей за-
задачи и задачи 116.
246. V\ « 95 В, У2 « 100 В; N\ « 45 Вт, 7V2 « 0,1Вт. При увеличении
внешнего сопротивления вдвое в случае 1) / и N упадут почти вдвое; в случае
2) / почти не изменится, а N воз-
N, Вт \ растет вдвое.
247. Vi = ПО В, У2 « 67 В;
N\ = 605 Вт, 7V2 и 222 Вт. При
уменьшении внешнего сопротив-
сопротивления в два раза V\ не изменится,
V2 упадет до 50 В, N\ возрас-
возрастет в два раза, 7V2 увеличится до
250 Вт.
248. См. рис. 235.
10 20
Рис. 235
30 R, Ом
250. Повысить напряжение на р/2%.
251. D = 3,3 см.
252. S
253. В
« 2plN/(%2n) = 8,5 мм2;
100+ п
раз.
D « 0,33 см.
10A+п)
254. 1) т/то = 3/8, где т — масса проводов системы а), то — масса
проводов эквивалентной системы б).
Указание. Условие одинаковой мощности дает &Iq = 2&I, или /о = 21,
где I = 1\ = /2. Из условия одинаковости потребляемой мощности получаем
R = 2Ro, где R = R\ = R2. Равенство потерь с учетом предыдущего условия
дает г = 4го, где г — сопротивление одного провода в системе а), го — то же
для системы б). Учитывая, что в системе а) три провода, а в системе б) —два,
приходим к ответу.
2) — = ——^ г-^—-, где iVo — потери мощности в обычной сети б), а
N 4A + а2 — о)
7V — потери в системе Доливо-Добровольского. При а = 1 отношение потерь
имеет минимум, поэтому небольшое рассогласование практически не вызывает
увеличения потерь в эквивалентной системе б).
Указание. Условие одинаковости мощности генераторов &Iq = &(I\ +
+ /2) и соотношение сопротивлений проводов, полученное в п. 1), дают все
необходимое для ответа.
255. См. рис. 236.
256. Мощность, потребляемая первой лампочкой, уменьшится на 1,4 Вт, а
второй — на 2,1 Вт.
§ 3. Постоянные магниты
153
257. См. рис. 237. R = Ro/V2.
2nrlk
259. Т
kSR0 - V2a '
x exp I —
met
kS(\ -<
где Т\ = V2/(kSRo) и & —коэффициент в законе охлаждения Ньютона.
-)]}¦
50 Вт
Рис. 236
Рис. 237
261. Решение. При заполнении пространства проводящей жидкостью
электрическое поле между телами не изменится. Количество же ежесекундно
выделяющегося тепла определится выражением Q = ^2h<Pk- Ток, текущий с
поверхности к-го проводника,
h =
где N — наружная нормаль к этой поверхности. Заряд на поверхности к-го
проводника
qk = — ф Dn dS = — ф En dS.
В результате находим
Q=4-f
С1С2
263. R > At/C « 108 Ом; QAm = x
§ 3. Постоянные магниты
264. Стрелки располагаются параллельно противоположным сторонам тре-
треугольника (рис. 238 а) —это положение устойчивого равновесия. Равновесие
имеет место и в том случае, когда стрелки располагаются перпендикулярно
к противоположным сторонам (рис. 238 6), однако это положение равновесия
неустойчиво.
265. V = -^г^; Н = ^ y/l+3cos>y, в = aretgO/
154 Ответы и решения
Решение. Пусть Ш = ml, где I — расстояние между двумя магнитными
массами га. Тогда потенциал в точке А (рис. 239) будет
т т т ml cos ю Ж
I/ == _|_ ?^ == COS (?2
A*(rf — V^ cos у?) /x(d + xl^l cos y?) /xd2 fid2
при условии Z <C d. Угол a « I sin ip/d, поэтому нормальная к радиусу-вектору
составляющая напряженности поля будет
т Ж .
H
с точностью до величины порядка l/d. Составляющая вдоль радиуса-вектора с
той же точностью определится из выражения
11 ^ 7
7 [{d-l/2l cos у?J
Поле iJ и угол # найдутся по формулам Н = \ Н\_ + -Н"м и tg^ = Н±/Н\\.
Рис. 238
266. %и0Т = -ШН cos 6.
m2
~ (n-1J/2 + (n+1J/2
= ЯЯ// — магнитная масса.
ш
269. Так как момент возвращающей силы вследствие увеличения плеча
этой силы возрастет, то период колебаний уменьшится.
270. Н = ^^ « 450 Э; Т = 2тг/А/- ^- . Направление Н проти-
8Ш у 3mgl — 6ШН
воположно 9Л.
271. Т = тг/^
272. Стержень образует с плоскостью магнитного меридиана угол а, опре-
определяемый соотношением С (а — ао) = WIH sin а, где ао — угол, при котором
§ 3. Постоянные магниты
155
нить не закручена (отсчитывается от плоскости магнитного меридиана), а
С — коэффициент упругости нити при скручивании. С вертикалью стержень
образует угол f3, определяемый соотношением tg/3 = (mgR + Hr9R) / (9ЯНВ).
273. Но = 0,8 Э.
274. Поле Я создается поверхностными магнитными зарядами, плотностью
а = у, (рис. 240 а). Поле В представлено на рис. 2406. Внешние поля В и Я
совпадают. Внутреннее поле В = — Я + 4тг|^ и направлено по у,.
ПолеН
275. Ш =
Рис. 240
тг2т12
>> 24 СГСМ.
ЗТ2Н
276. Я = 6260 Э; а = 550 СГСМ.
Указание. Сила F = 2тпт25', а поле в зазоре Я = 4тпт.
277. Возможны два положения равновесия:
1) ТТ ТТ — неустойчивое; 2) —^—^ —>>—» — устойчивое.
279. Ш=Ц
281. Ф = — ЯБ = — Я2
Я2 + и0, где
с/о зависят только от температуры и плотности магнетика.
282. Результат следует из независимости /i от температуры для диамагне-
тиков.
283. Ф = f-.
О7Г
284.
т я2
Надо нагревать магнетик в соленоиде и поддерживать постоянной силу тока
в обмотке последнего. Труднее осуществить нагревание при В = const. Это
было бы легко сделать, если бы магнетик был идеально проводящим. Тогда при
любых изменениях тока в соленоиде магнитный поток Ф, ас ним и индукция В
в магнетике оставались бы неизменными.
156 Ответы и решения
где к = (/i — 1)/4тг — магнитная восприимчивость, Ся — теплоемкость пара-
парамагнетика при постоянном Н, а Св — при постоянном В.
286. dT = (x/C)HdH; AT = -(хЯ2/2Сн). При обратимом адиабатиче-
адиабатическом размагничивании парамагнетик охлаждается.
2
287. AT = Т « —0,007 К, где / — число степеней свободы молекулы
по классической теории теплоемкости. Для двухатомной молекулы, какой
является молекула кислорода, / = 5.
288. Вблизи абсолютного нуля теплоемкости всех тел стремятся к нулю.
290. Решение. Электронный газ в металлах находится в состоянии
вырождения. Это значит, что для него обычные температуры, при которых
металлы существуют в твердом состоянии, являются близкими к абсолютному
нулю. К такому газу можно применить теорему Нернста и воспользоваться
результатами задачи 289.
291. Решение. Поступая, как при решении задачи 181, найдем
) =0.
Отсюда получится требуемый результат, если принять во внимание, что В =
= Н + Anf.
292. Решение. В классической теории вблизи абсолютного нуля (где
х -> оо) / 1
% = пЖ 1 - -
Теорема Нернста не выполняется, так как
кдТ)н дх \дТ)н Н '
Невыполнимость теоремы Нернста видна уже из того, что в классической тео-
теории Ланжевена допускаются всевозможные ориентации магнитных моментов.
В таком случае на каждую вращательную степень свободы молекулы прихо-
приходится средняя кинетическая энергия кТ/2 и теплоемкость к/2. В квантовой
теории допускаются только две ориентации магнитного момента: по полю и
против поля Н. Поэтому вращательные степени не возбуждены, теплоемкость
вблизи абсолютного нуля стремится к нулю, а намагниченность |^ — к по-
постоянному значению J^ = пШ. Таким образом, (д^/дТ)н = 0 в согласии с
теоремой Нернста.
§ 4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле О
293. Увеличится в четыре раза.
294. Перпендикулярно к плоскости контура: в точке А — к читателю, а
в точке В — от читателя.
О Если в формулах этого и всех последующих параграфов стоит множи-
множитель с или 1/с, то имеется в виду гауссова система единиц. Если же этого
множителя нет, то система СГСМ.
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 157
295. Внутри трубы Н = О, вне трубы Н = 21/г, где г — расстояние от оси.
296. Внутри проводника Н = 2Ir/R2, вне проводника Н = 21/г.
297.
2Ip2r . D
при г ^ R\,
Н =
сА
2I[Px{r2 - R\) + P2R2}
cAr
при i?i ^ г ^ R2,
при г ^ R2,
298. Магнитные силовые линии в трубке имеют форму коаксиальных дуг
окружностей, центры которых расположены на оси щели. Н = Id/GrcRr). На
оси трубки (при г = R) Н = Id/(ncR2) «0,1 Э.
299. Н = 2-n-jd = 3140Э. Поле Б перпендикулярно к линии АВ и направ-
направлено вверх.
300. Н = —i[sd], где s — единичный вектор, направленный вдоль тока, а
вектор d проведен от оси провода к оси цилиндрической полости.
2/2
301. F = 2 — с/. Сила направлена от оси цилиндра к оси стержня.
21
302. Н = — A +cosa), где г — расстояние от точки А; направление Н
Т
перпендикулярно к проводнику с током 21.
303. Н = - д/6 + 4(cos a + cos/3) + 2 cos(a + /3), где г — расстояние от
sina-sin/5
с плоскостью,
точки Л. Вектор Н образует угол ю = arctg
перпендикулярной к проводнику с током 21.
304. Вектор магнитного поля лежит в плоскости симметрии. Поле по линии
АО перпендикулярно к этой линии и равно Н = 2(-\/2 — 1I/г; по линии АО'
оно равно Н = 2(л/2 + 1I/г; по линии, перпендикулярной к плоскости токов
и проходящей через точку А, Н = л/2 //г, где г — расстояние от точки А.
Линии магнитного поля будут наиболее
сгущены левее точки А и наиболее раз-
разрежены правее этой точки. Примерный
ход линий показан на рис. 241.
305. Н = 0.
8/
306. Н= — Va2 + Ъ2.
аЪ
307. Н= Ш/а.
308. Н = 0.
309. Н = 0.
310. Напряженность Н =
О
R
7,73тг/
R
Рис. 241
направлена за плоскость чертежа и образует с плоскостью первого витка угол
а = 15° (отсчет углов производится по часовой стрелке, если смотреть сверху).
311. Напряженность
H =
sin - + sin —
158
Ответы и решения
образует с плоскостью витка АВ угол 22°30/ (отсчет углов производится
против часовой стрелки).
312. Внутри сферы поле соответствует полю прямого бесконечно длинного
проводника с током /, а вне сферы поле равно нулю.
Указание. Ввиду осевой симметрии и замкнутости силовых линий си-
силовые линии могут быть только кругами, лежащими в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к АВ. Учитывая это и применяя закон
получаем ответ.
313. H =
\Т А . 2 7ГП 1 /AT , 1 \
Указание. ? sin — = - (JV+1).
п=\ ZiV z
314. Я = 0.
. Я=- farcsm-
316. Я =
-R2
Указание. Поле dH, создаваемое элементом тока /dt, равно /d(p/r, где
R1-R2
г — расстояние элемента тока от центра спирали: г = R% -\
2nN
(р.
317. Н =
(cosf3 - cosa).
318. Н « 12,56; 12,56; 12,56; 12,44; 6,28; 0,25Э. См. рис. 242.
Н
60 50
Конец
соленоида
2тг/
40
30 20
Рис. 242
10
0 х
319. Я = —, где р = а(\- ег).
Р
320. Я = 2ttIR2{[R2 + (Д + жJ]-3/2 + [Д2
стояние от центра симметрии. См. рис. 243, где
R 1-
25\/5 ) '
: - RJ] 3/2}, где ж — рас-
2,2тг/ тг/л/2
с =
Указание. При определении a = R — s выражение для производной
следует разлагать в ряд по малой величине s/R.
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 159
321.
(Вектор г проведен из центра шарика.)
Решение. Рассмотрим, например, случай 1). Возьмем на поверхно-
поверхности шарика бесконечно узкий поясок, заключенный между углами в и в +
+ dO (рис. 243а). Вращаясь с угловой скоростью о?, такой поясок эк-
эквивалентен круговому току dl = uqsinOс/#/Dтг)
с магнитным моментом
(Ж =
Sdl 7rR2quj sin3 в
4тгс
Интегрируя по в, находим магнитный момент все-
всего шарика: 9Л = qR2uj/Cc). Отсюда и получается
результат, приведенный в ответе.
о
с
^ i
i
i
i
а -*ч
f
X
322. х =
Рис. 243
n2N2D2I2
Рис. 243а
к 2ксЧ2 '
323. Н ~ 2Qu/c. Магнитное поле направлено параллельно оси цилиндра.
V = (ujR/cJQ. Центробежной силой можно пренебречь при условии тс? <С
<С 2eQ, где е — заряд, т — масса электрона.
324. Решение. Объемная плотность связанных зарядов
Рсвяз —
= -fcdivr = -к
дх_
~дх
?•=-*•
т. е. постоянна во всем объеме цилиндра. Вращаясь с угловой скоростью и,
связанные заряды создают токи с объемной плотностью
j = игрсвяз = -2киг.
Магнитное поле в точке г создают только внешние кольцевые токи, т. е.
такие токи, которые текут на расстояниях, больших г. Сила таких токов,
приходящаяся на единицу длины цилиндра, равна
и
Г 2 2
j dr = —2kuj r dr = kcj(r — R
На поверхности поляризованного цилиндра возникают поверхностные свя-
связанные заряды с поверхностной плотностью <тСВяз = $Р = kR. Кольцевой ток,
создаваемый на единице длины цилиндра этими поверхностными зарядами,
160
Ответы и решения
равен kuR2. Сложив его с кольцевым током объемных зарядов, найдем полный
внешний кольцевой ток, приходящийся на единицу длины цилиндра: / = киг2.
Такой ток создает внутри цилиндра магнитное поле
4тг/ 4тг 2
Н = = — киг ,
с с
направленное параллельно оси цилиндра.
326. Перпендикулярно к оси тока. Сила
H Зтг2>ггт/2
1,1 • КГ7 дин,
где Н — напряженность магнитного поля, а х — расстояние от центра круга.
Указание. Магнитный момент стерженька 9Л = тН; сила, дейст-
действующая на намагниченное тело в неоднородном поле, F = —<$RdH/dx.
6
328. Сопротивление в цепи конденсатор-тангенс-буссоль, пока оно неве-
невелико, на отклонение стрелки не влияет, так как количество электричества,
которое протекает ежесекундно, не зависит от величины сопротивления. Од-
Однако если сопротивление будет велико, то конденсатор может не успевать
разряжаться полностью, и отклонения будут меньше.
tga2 -
Указание. Силы, действующие в обоих случаях на конец стрелки, пока-
показаны отрезками (ЭВ и О А на рис. 244, где ОО' —
О плоскость тока; поле Земли направлено по ОС.
дс — СП и ПС Т — СП Ь
331. Меньше двух ампер, так как / = 2sin#
ампер.
332. 1) /' = ^(ctff0-ctff0;).
333. / =
334. / =
335. /п = /
HRR'
2n(RctgO- Rf)'
МО
HSn cos в'
fipN2S I2
kl 2 '
Решение. Закон сохранения энергии в данном случае следует записать
так:
c/WM — изменение энергии магнитного поля катушки, ЗА — элементарная ра-
работа, SQ = RI dt — энергия, рассеянная в форме тепла. Переписывая закон
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 161
сохранения энергии в виде (& — RI) dq = dWM + SA и учитывая, что & — RI =
= d$/dt, получим
Левую часть можно преобразовать следующим образом:
Отсюда элементарная механическая работа в цепи с индуктивностью 8А =
= — dL = SiWM. Полагая инду]
сопряженную с координатой I:
= — dL = SiWM. Полагая индуктивность равной L = —— S, определяем силу,
Знак «—» указывает на то, что осевая сила стягивает катушку. Приравнивая
F3 силе упругости .РуПр = k(lo — I), получаем приведенный ответ.
336. Точность около 1%.
337. Момент пары сил М = 49}To»S7 и направлен по диагонали АС.
338. 1) Проводник притягивается к магниту с силой F = —^—° 2.3/2;
2) проводник растягивается по радиусам с силой / = — —3/2 на кажДУю
единицу длины.
339. А = 4- \0-8HSIn [Дж].
340. 1) М = mlB - л/2); 2) х = /(л/2 - 1).
Q/ii я ^ Л Г з*Л\ . , я2/2 1П_9
341. и= — —- 1 -ехр<^ П, где fe = a+ —— • 10 у.
20 Rk \ { т J J AR
{ т J J
342. 1) а « 12°15'. 2) / = 4,7 • 10 А.
343. Положение равновесия — плоскость рамки перпендикулярна к на-
направлению внешнего поля. Когда направление магнитного поля, создаваемого
током, совпадает с направлением внешнего поля — равновесие устойчиво; когда
эти направления противоположны — неустойчиво.
344. 1) По часовой стрелке, если смотреть в направлении поля. 2) Т =
345. Ф = 0,Wa2iiI/D = 32000 Мкс.
346. Ф = O^W й 24000 Мкс
?>+ (l- \)d
347. M=7ff'/j) + 1=315.
348. При параллельном соединении катушек (соединить концы 1-3 и 2-4)
подъемная сила в четыре раза больше.
349. F « 5 кгс.
350. / « 6,5 А.
351. / =
б Под ред. И. А. Яковлева
162 Ответы и решения
352. Значительное укорочение длинной катушки приведет к уменьшению
груза га, так как напряженность магнитного поля катушки при сокращении ее
длины будет уменьшаться.
353. Силу переменного тока можно измерять при условии, что период тока
много меньше периода колебаний весов. Прибор будет показывать эффектив-
эффективную силу тока.
354. Прибор будет измерять мощность, если длинную катушку с большим
числом витков включить параллельно нагрузке, а короткую катушку с малым
числом витков — последовательно с нагрузкой. Момент сил, действующих на
коромысло, будет пропорционален произведению сил токов, текущих в катуш-
катушках, т. е. пропорционален мощности, подводимой к нагрузке.
355. P = 2tt/V.
Решение. Сила, действующая на элемент тока Idl, находящийся в маг-
магнитном поле, равна IdlH, где i7 — «действующее» магнитное поле. Под дей-
действующим полем понимают в данном случае магнитное поле, создаваемое
в данной точке всеми элементами обтекаемого током соленоида, кроме самого
рассматриваемого элемента. Действующее поле может быть найдено из следу-
следующих соображений. Внутри длинного соленоида поле вблизи элемента тока
Idl складывается из поля Н, создаваемого всеми элементами тока соленоида,
кроме данного элемента тока, и поля Н', создаваемого данным элементом тока.
Сумма этих двух полей одинакового направления равна 4тгп/, т. е. Н + Н' =
= 4тгп/. Вне длинного соленоида сумма этих полей вблизи рассматриваемого
элемента тока, как известно, равна нулю вследствие того, что поле Н' меняет
свое направление на обратное, т. е. Н — Н' = 0. Из написанных двух уравнений
находим Н = 2тгп/, откуда сила, действующая на элемент тока, равна 2?ri ndl,
а искомое давление Р = 2тг/2п2.
356. В проводниках, обтекаемых током, объемный электрический заряд
равен нулю, так как число электронов и число положительных ионов одина-
одинаково. Электрические заряды могут быть только на поверхности проводников,
но при не очень больших разностях их потенциалов они невелики и силы вза-
взаимодействия между ними ничтожны. Поэтому преобладают магнитные силы,
т. е. силы взаимодействия между движущимися зарядами, и при одинаковом
направлении токов они создают притяжение. В катодных пучках объемный
электрический заряд не равен нулю (так как присутствуют только электроны),
и из сил взаимодействия преобладают силы отталкивания между одноименны-
одноименными зарядами; магнитные же поля катодных пучков слабы.
357. См. рис. 245. Электрические силовые линии — штриховые линии.
Магнитные силовые линии — сплошные линии. По левому проводу ток идет
от наблюдателя за чертеж. По правому проводу — от чертежа к наблюдателю.
Для построения графика учесть ответ задачи 36.
358. Электрическое поле отсутствует, так как между проводами в соответ-
соответствующих точках нет разности потенциалов. Магнитное поле изображено на
рис. 246. В точке А магнитное поле равно нулю, а вдали от точки А поле имеет
цилиндрическую симметрию и соответствует полю прямого тока удвоенной
силы.
359. Положение равновесия будет на расстоянии d = 0,02Iil/mg, но оно
неустойчиво, и провод либо упадет, либо притянется к шине.
360. 1) Сила взаимного притяжения между шиной и проводом при рассто-
„ 0,02/г 7 _
янии х равна F = I. Равнодействующая силы тяжести и сил упругости
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 163
пружин направлена вниз и равна / = 2k(h — х). В положении равновесия F =
= /. Поэтому
h [h? 0,01 HI , „ ч
x\ = —h у (устойчивое равновесие),
h h2 0,01/г/
/с
(неустойчивое равновесие).
Если h2/4 <С 0,0lIil/k или & < O,OAIil/h2, провод притянется к шине.
Рис. 245
Рис. 246
2) Провод отталкивается и будет находиться на расстоянии
_ h fh2 0,01/г/
в устойчивом равновесии.
164 Ответы и решения
361. Установится разность уровней жидкости в вертикальных трубках;
в правой трубке (если смотреть со стороны северного полюса) жидкость будет
стоять выше.
362. / = hdrg/B. Чувствительность пропорциональна В и обратно про-
пропорциональна d и т.
363. Объемная плотность пондеромоторных сил равна - [JB]. Поэтому, по
аналогии с законом Архимеда, можно утверждать, что выталкивающая сила
равна — [jB]. Однако из-за неоднородности тока вблизи тела в общем случае
возникает течение жидкости, уменьшающее выталкивающую силу.
364. Опустится на h = H2>c/{2rg), если ж < О, и поднимается на h, если
х > 0.
365. Ah = -— = 0,6 см.
acrg
366. Решение. Сила, действующая на столб ртути в трубе, F ~ IDB/c.
Такая сила эквивалентна разности давлений на концах трубы: Р^ — Р\ =
= AF/GtD ). Подставляя эту разность в гидродинамическую формулу Пуазей-
ля, получим
/ « 32r]d/(BD3) = 1,8 • 1012 СГСЭ = 600 А.
368. / = В2/(8тг) (давление, направленное к центру цилиндра).
369. / = cttR2B/L = 9,4 • 10ю СГСЭ = 31 А.
370. г = Ih/Grr2), где г — расстояние между проводом и точкой наблю-
наблюдения. Сверхпроводящий ток параллелен току / и течет в противоположном
направлении.
371. / ^ c^mgh/B7rR) = 8,4 • 10ю СГСЭ = 25 А.
1 /тт2\1/4
372. h=- [ — ) «2,1 см.
2 \rngj
373. Решение. Введем предположение, оправдываемое последующим
расчетом, что вне шара на однородное поле Во накладывается поле точечного
диполя с магнитным моментом ШТ, помещенного в центре шара (рис. 247).
Тогда
3(ШГр) Ж
Момент Ш определится из условия, чтобы нормальная составляющая вектора
В на поверхности шара обращалась в нуль:
2ЭДТ
Вг = Во cos 0 + — cos 6 = 0.
Этому условию при любых значениях угла 0 удовлетворяет
На экваторе, т.е. при г = R, 0 = 90°, получаем В = %Во. Поверхностный
ток сверхпроводимости течет вдоль параллелей 0 = const, причем по теореме о
циркуляции
г = — Во sin#.
О7Г
§4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в магнитном поле 165
374. В = Во . ° г -\—- Во, где г — радиус-вектор, перпенди-
кулярныи к оси цилиндра, проведенный от оси к точке наблюдения. Поле
на поверхности цилиндра максимально при 0 = 90° и
равно В = 2В0 (см. рис. 247). Поверхностный ток течет
параллельно оси цилиндра, причем
Q
г = — Во sin.6.
Z7T
375. Решение. Пользуясь результатом решения за-
задачи 373, легко показать, что потенциальная энергия
в центре соленоида равна УгЯТШ = 1/aB2R3. Применяя
далее уравнение энергии, находим v ^ Бд/3/Dтгт) «
« 170 см/с.
376. Решение. Пренебрегаем краевыми эффекта- рис 247
ми. Ток в обмотке аппроксимируем током с постоянной
объемной плотностью, что при оценках допустимо. Применяя теорему о цир-
циркуляции, находим магнитное поле В на различных расстояниях г от оси
соленоида:
{Бо при г ^ R\,
B°]?fi при л'^д2.
После этого легко находится магнитная энергия W системы:
W = l-^-[Ri(Ri + R2) - R2(R2 - Ri)] ~ 1,17- 1011 эрг « 2,8 • 103 кал.
48
Количество испарившегося гелия: W/q « 4 • 103 см3 %4л.
377. Решение. Сила, действующая на проводник:
F=-[IHR F=-IH.
с с
Сообщенный проводнику импульс:
t i
р= lFdl= -Н \ldt= -Hq.
о о
Электрическое поле в конденсаторе:
Ь 4тг
Подставим значение заряда q в выражение для импульса:
p=-Hq=—EH = V— EH,
с 4тгс 4тгс
где V — объем конденсатора. На основании закона сохранения импульса нахо-
находим плотность импульса поля:
166 Ответы и решения
§ 5. Электромагнитная индукция
378. При движении мостика возникает ЭДС & и ток /ив единицу времени
совершается работа &I. Эта работа совершается внешней силой F, и, следо-
следовательно, &I = Fv, где v — скорость движения мостика. С другой стороны,
сила, действующая на мостик вследствие наличия тока 1\ в магнитном поле,
индукция которого В, равна F\ = BI\l, где I — длина мостика. Если 1\ = /, то,
по принципу Ленца, F\ = —F. Поэтому & = —Blv. Так как изменение потока
индукции Ф, пронизывающего контур, при перемещении dx мостика есть с/Ф =
= Bl dx, то Blv = d^/dt. Окончательно получаем & = —d^/dt, а это и есть
закон индукции.
379. Во всех случаях 1 мВ.
380. Будет, так как: 1) контур, сквозь который меняется поток индукции,
лежит частью в вертикальной плоскости (колеса и скат); 2) непрямолинейный
путь должен быть одновременно и наклонным к горизонту.
381. Решение. При удалении магнита через цепь проходит количество
электричества Q = АФ/R, где АФ — изменение магнитного потока через
кольцо, a R — сопротивление цепи (включая сопротивление гальванометра).
Для вычисления АФ предположим сначала, что кольцо состоит только из
одного витка. Магнитное поле вдали от магнита В = 9Л/г3. Вблизи и внутри
магнита это выражение несправедливо. Однако полный магнитный поток через
бесконечную плоскость, в которой расположен виток, равен нулю. Поэтому при
вычислении АФ можно взять бесконечную плоскость вне витка, где указанное
выражение применимо. Иначе говоря, интегрирование можно произвести в пре-
пределах от г = а до г = сю. Это дает АФ = 2тгШТ/а. Для кольца из N витков это
выражение надо увеличить в N раз, т. е. в этом случае АФ = 2тгМШ/а. Таким
образом,
RQ = 2nNm/a.
Измерив Q, отсюда можно найти 9Л.
382. & = 21аЪ— -, где х — расстояние между рамкой и проводом. Если
провод вертикален и ток в нем идет снизу вверх, то в рамке, удаляющейся от
провода, возникает ток, идущий по часовой стрелке.
383. Нет, так как поле вокруг рамки неоднородно.
384. & = НоаЬ[и sinuot cos(ou't — (p) + u/ cos uot sin(cj/t — <p)].
1) & = Hoabu sin 2uot при <р = 0;
2) & = Hoabujcos2ujt при ip = —тг/2.
385. & = Habuo sin \uo0 [t -
k J)
386. a = vB/(Attc) = 0,3 СГСЭ = 100 Кл/см2. Отрицательное электри-
электричество сместится в направлении вектора [vB]; положительное — в противопо-
противоположном направлении.
387. а = ооВг/Bтгс) = б • 1(Г7 СГСЭ = 2 • 106 Кл/см2. Поверхностные
заряды положительны.
388. Решение. Так как в стационарном состоянии ток внутри шара
должен отсутствовать, то электрическое поле Е^ должно компенсироваться
силой - [vB]. Это дает для электрического поля внутри шара
Ew
§5. Электромагнитная индукция 167
Объемных зарядов внутри шара не будет, так как divE^ = 0. Касательная со-
составляющая поля Е^, а следовательно, и внешнего поля Е^, на поверхности
шара будет Ев = Е^ sin 0, где в — угол между направлением вектора Е^ и
радиусом г, проведенным из центра шара. Внешнее поле Е^ ищем как поле
диполя с дипольным моментом р, помещенного в центре шара:
E(e)=3(pr)r P
Г5 Г3
Вектор р легко найти по значению касательной составляющей Еб>. Таким путем
получаем 3 3
E(e) = ^([vB]r)r-^[vB].
Поверхностная плотность зарядов а определится по скачку нормальных
составляющих электрического поля. Она равна
,= JL([vB]n),
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности шара.
389. г =--/-= 0,7 А.
г R
390. >с= &l ~f2 « 13- Ю-5.
391. 1) / « 1,2 А. 2) Ток возрос бы до 240 А и обмотка якоря перегоре-
перегорела бы.
392. / = 0,314 А.
393. Сила тока останется прежней: 0,314 А.
394. Е = ^- Фо sincjt.
2тгсг
395. Решение. 1) На заряд е, вращающийся вместе с цилиндром,
действует сила Лоренца
F = - [vB] = - [[wr]B] = - (о;В)г.
Она вызывает такую же поляризацию диэлектрика, как электрическое поле
с напряженностью - (о;В)г, т. е.
Р = - (ыВ)г = ?^
с
(ыВ)г
с 4тгс
Отсюда (так как divr = 1 = 2 )
V дх ду )
ду
Рсвяз = -divP = -—— (wB).
Z7TC
2) q = /рсвяз-iF = -е-^- («B)(r| - г?).
3) Поверхностная плотность связанных зарядов на внутренней и внешней
поверхностях цилиндра:
сПсвяз = (о?В)п, сг2связ = (u?B)r2.
4) Полный заряд цилиндра остается равным нулю.
396. R = AirnNuS.
168
Ответы и решения
397. Надо с помощью флюксметра, размеры которого малы по сравнению
с радиусом цилиндра, измерить магнитное поле в центре одного из оснований
цилиндра. Поле внутри соленоида будет в два раза
больше.
398. 1) N « 1 об/с. 2) Нужно увеличить ее
в рж/рм раз, т. е. в 5,06 раза.
399. Если ось стержня принять за ось Z, то элек-
электрические силовые линии лежат в плоскостях, перпен-
перпендикулярных к оси Z, и представляют собой концен-
концентрические окружности с центрами на оси Z (рис. 248).
Напряженность поля Е обратно пропорциональна рас-
расстоянию от оси Z.
d<& /dt
400. 1) Постоянный ток силой / = —,
г? '
где Ф — поток индукции в стержне. 2) Если поток
в стержне направлен сверху вниз, то ток в витке идет
против часовой стрелки, если смотреть сверху.
401. Будет описывать вокруг стержня раскручива-
раскручивающуюся спираль со все возрастающей скоростью.
402. 1) L = 0,25 Г. 2) N = 250.
403. Нужно измерить силу тока / и напряжен-
напряженность Н магнитного поля внутри катушки, определить
площадь поперечного сечения S и число витков N.
Тогда магнитный поток через катушку Ф = HSN =
= Ы, откуда L = HSN/I.
Рис. 248 4q4# ?"= 02А . 1О-67Г
Указание. Напряженность магнитного поля внутри трубки на рассто-
расстоянии г от оси равна Н = 21 /г (краевыми эффектами пренебрегаем). Вне
трубки магнитного поля нет. Поэтому поток через радиальную перегородку
—, где / — длина трубки, го — радиус провода, г\ — внутренний
радиус трубки. На единицу длины будем иметь L = 21п(п/го).
405. L « 41n(d/r) « 9,2 • 10~9 Г.
406. м = л/ип = о,б г.
407. 1) L близка к 0; 2) L = 0,2 Г; 3) L = 0,05 Г.
4O8.d=Ll{L°-Lldl=3MM.
409. L = 26iVln(l +a/r).
410. M = L = 26iVln(l + air).
411. Ф21 = AirNnSI/l = 105 Мкс = Ю В6.
412. Ф21 = 27Vn6/ln(l +a/r) = 105 Мкс = 10 B6.
413. W = 2nN2SI2/l
414. 1) 8In2 [эрг]. 2) Увеличится на 8In2 [эрг].
415. Так как провода отталкиваются друг от друга, то, по принципу Ленца,
при удалении проводов в них должны возникать ЭДС индукции, направленные
навстречу текущим токам. Следовательно, чтобы поддержать неизменными
токи в проводах, в них на время движения должны быть включены добавочные
§5. Электромагнитная индукция 169
ЭДС, направленные в ту же сторону, куда текут токи. Работа этих ЭДС и идет
на совершение механической работы и увеличение магнитной энергии системы.
Если же не включать добавочных ЭДС, то сила тока в проводах в течение
времени At, пока происходит их движение, будет меньше, чем когда провода
неподвижны. Соответственно уменьшается и работа ЭДС &IAt, поддерживаю-
поддерживающих токи в проводах. Однако еще значительнее уменьшится количество тепла
RI2At, выделяющееся в проводах. За счет этой «экономии» в джоулевом тепле
и происходит механическая работа и увеличение магнитной энергии системы.
&
416. /о = — t, где t — время, прошедшее с момента включения. Но когда
сила тока заметно возрастает, даже малое омическое сопротивление цепи
будет играть уже принципиальную роль. Вследствие наличия сопротивления
нарастание тока замедлится, а потом прекратится.
417. Т4акс/% = r/R. Чем меньше г, тем меньше Т4акс- Однако слишком
малым г брать не следует во избежание больших нагрузок на источник тока.
Достаточно, чтобы Т4акс не превышало Vo, т. е. г должно быть меньше или
порядка R.
418.1) а =—=L; 2I =
т + СНЧ2 ' } т + СНЧ2 '
mgL , ч _Н7
419. ж = —— A - coscjt), где ио =
Hzl VmL
420. Скорость будет расти, пока сила взаимодействия между индуци-
индуцированным током и магнитным полем не достигнет величины, равной весу
проводника. Это наступит при значении г>уст = PR/(H2l2).
421. Координата нового положения равновесия
. Л mgL , _st ,ч mgL
*w = Ae COSUJt)^;
s (BlJ Bl JZ
6 = -——; uj = , Координата х отсчитывается вниз от исходного положе-
mR VmL
ния перемычки.
Решение.
тх = mg + Bl(Ii — Ir),
LIL = -Blx, RIR = Blx.
После подстановки в уравнение динамики значений токов 1ь и Ir получим
J (BlJ
отсюда после интегрирования при нулевых начальных условиях получаем
422. ^уст =
Решение. Уравнение динамики: т— = mg + ВП. Уравнение для элек-
электрической цепи: L \- RI = —Blv. Исключая из этой системы уравнений ток
at
•• R • (Bl)
индукции /, получим для скорости движения перемычки v -\ v + -—— v =
L mL
R
170
Ответы и решения
Полагая v = v = 0, для установившейся скорости найдем
_ mgR
423. Логарифмический декремент увеличится в
(k + H2l*/AR)J^ -
(
g_ fk + H2l3/AR\
1 ~ I 2m~l J
раз.
424. Логарифмический декремент и период увеличатся в
т +
H2l2
раз.
AmL \2mlJ
425. Логарифмический декремент уменьшится в
СНЧ2
Am
1 - (—)
I \2mlJ
раз,
а период увеличится в
1 +
СН212
Am
2ml
СНЧ2
Am
раз.
426. 1) Логарифмический декремент увеличится в
— раз.
-H2S2/RJ
Здесь к — коэффициент трения, S — площадь кольца, J — момент инерции
кольца, С — коэффициент кручения нити.
2) Затухание будет таким же, как и в отсутствие магнитного поля.
AT T2S2H2
427. Период уменьшится на AT, причем = о 9т т , если считать AT
малым по сравнению с Т.
428. Декремент затухания кольца уменьшится в
8n2LJ
1 +
AH2S2J
L(AJC - к2)
раз.
429. Q = — = S/bh[(d + a)/(d-a);
(а + Ь)р
§5. Электромагнитная индукция 171
430. Не изменится, так как ток в рамке до и после поворота равен нулю.
В самом деле, по закону Кирхгофа = RI + L —. Отсюда АФ = R ГI dt+
dt dt q
+ L(IK — /н), но /K = /H = 0. Следовательно, АФ = RQ.
431. Будет. В самом деле, полный магнитный поток через контур иде-
идеального проводника остается неизменным. Он слагается из потока внешнего
магнитного поля Ф и потока Ы, создаваемого индукционными токами самого
проводника, а потому Ф + Ы = Фо = const. Количество электричества, про-
прошедшего за время dt, будет dQ = / dt = Ida/u, где da — угол поворота за то
же время, a uj — угловая скорость. За полоборота протечет электричество
7Г 7Г
Q = - \lda= -1-
О О
а эта величина обратно пропорциональна и, так как интеграл от скорости
вращения не зависит.
432. АФ = 2000 Мкс.
433. Время, за которое пластинку удаляют, должно быть очень мало по
сравнению с периодом гальванометра.
434. Постоянная времени цепи т = L/R должна быть много меньше
периода гальванометра.
435. M = QR{R2/&.
Решение. Уравнение вторичного контура: L2—- + R2h = M—-; здесь
dt dt
I\ — ток в первичной обмотке. Проинтегрируем это уравнение по времени от О
до сю: L2
+ R2Q = MIi . Очевидно, что /2@) = /2@0) = 0 и /i@) = О,
Ji(oo) = %/Ri. Поэтому R2Q = M%/Ru откуда М = RiR2Q/%.
436. Q= L&
Решение. Так как сопротивление гальванометра мало, то (рл ~ Фв\
поэтому токи через равные верхние плечи моста будут также равны. Обозначим
каждый из них через /о. Тогда
dlXj
J-G ~~ -'О — ¦*¦ L 1 Z-LQ ~~ ¦*L 1~ ^г) J-v Т ~~ ¦*¦ L Т ~\ J-J >
dt
L dIL
из последнего уравнения имеем: Ir = IL -\ , что дает
г dt
L dIL L dIL
r dt 2r dt '
Выразив отсюда II и подставив в уравнение для /<-, получим
т = L dIL
G 2r dt '
Проинтегрируем это равенство по времени от 0 до оо. Получим
, Il(O) = o, ^М=д^7-
Поэтому Q =
172
Ответы и решения
SNH sin 30° с
437. 7 = —; ч— = 5 делении.
(R + r)q
438. / = тгг -B/L, где L — индуктивность кольца.
439. 1) Нуль. 2) Н = 2ir2rB/L. 3) См. рис. 249.
Центр кольца
Рис. 249
440. Н = 0; 1=0.
441. Л = тг2г4В2/2Ь.
442. Б = B0(R/rJ = 5 • 106 Гс; Р = В2/(8тг)
443. M = CRiR2.
Решение. Применяя закон Кирхгофа к контуру, содержащему гальвано-
гальванометр G, можем написать М1\ = R2I2 + rl, где 1\ — ток в цепи источника ЭДС
& до ее размыкания, 12 — разрядный ток, проходящий через R2, / — ток через
гальванометр (г — сопротивление гальванометра). Отсюда
1012 дин/см2 = 106 атм.
Mix dt =
rldt.
Ho jlidt = /i, JR2I2dt = R2Q = R2RiIiC, $ rl dt = 0. Поэтому MIX =
= R2R\I\C и, следовательно, М = R2R\C.
444. M =
! 6,85 ккал.
445. Q = 0,24
446. Q = 0,24
эф
:35 ккал.
их
X
1018.2ptf2
447. Решение. Рассмотрим внутри пластинки контур, параллельный
боковой поверхности пластинки (рис. 250). Магнит-
Магнитный поток сквозь этот контур
Ф = BNS = /i • Annlo cos out • bx.
ЭДС индукции в этом контуре & = /i • A7rnloujsmujtx
1 х bx. Сопротивление этого контура Rx = р (пре-
Рис. 250 . ldx „ „
небрегаем сторонами ж вследствие их чрезвычайной
малости по сравнению со сторонами Ь). Количество тепла, выделившееся
в этом контуре за время dt,
dQ = 0,24^ dt = 0,24 (
R
p • 2b
bdxdt.
§5. Электромагнитная индукция 173
Отсюда количество тепла, выделяющееся ежесекундно в пластинке,
= 0..4«™цфучТ 2dx = О24/^ЛЧ = Обкал
2рЪ J Зр
2pb J ' 3p
о
лло Wx \2a2b2
448. -
(a + 6Jd2
449. 1) / = — sinfW + (f), где +""/л — ^ •
V = fNSH"C°SИ + У) . 2) LO,2 = 1. 3) Q = 0,24^^ = 4,8х
л/AЬС^2J + Я2^2С2 2Я-1016
х 106ккал.
Указание. Уравнения Кирхгофа для цепи катушки имеют вид
7^ + ДС^ + V = NSHuj smuot.
at1 at
Стационарные значения / и V находятся как частные решения этих уравнений.
450. l)V= NS^ expj- —|. 2) Q = 0,24^p^^ = 12- 10-10ккал.
О
451. IR = Iruj—z-.
R2p
Решение. ЭДС во внешнем контуре будет Ш = — М—-; следовательно,
at
iR= s
2nRp ~ 2nRp'
Остается найти М. С этой целью обратим задачу: пусть ток / течет по
внешнему контуру. Тогда вблизи его центра будет
*=»=?•
Следовательно,
где р должно быть выражено в единицах СГСМ. Если р выражено в Ом/см,
то в ответе появляется множитель 10~9.
452. Магнитная стрелка совершает гармоническое колебание относительно
своего положения равновесия по магнитному меридиану. Когда снизу подводят
диск из меди, расположенный горизонтально, то в нем возникают токи Фуко,
которые тормозят колебания стрелки. В этих условиях дифференциальное
уравнение движения стрелки будет
Ja = -НШа - rja,
где Н — горизонтальная слагающая магнитного поля Земли, а ц — коэффици-
коэффициент пропорциональности тормозящей силы. Уравнение можно переписать так:
Ja + rja + НШа = 0.
174
Ответы и решения
Апериодическое движение стрелки будет при rj2 = AJHVR, или при ц =
= 2л/ЗНУЛ. Поэтому медный диск, вращающийся с угловой скоростью ио,
будет действовать на стрелку с моментом М = 2\/jWlH и. 1) Следователь-
Следовательно, если на стрелку действовать с таким же моментом, но направленным
в противоположную сторону, то она не будет двигаться. 2) Так как стрелка
не будет двигаться, то действие на нее диска выразится в выделении теп-
тепла. Мощность выделения тепла N = Ми = 2VУшН и2. 3) Если стрелку
освободить, то в начальный момент будет справедливо уравнение Juj = М.
Отсюда ш = 2^/дЯН/ J ио. 4) Дальше на стрелку будет действовать и момент,
создаваемый магнитным полем Земли. Если этот момент будет соизмерим с
моментом М, то стрелка будет колебаться вокруг нового положения равнове-
равновесия, определяемого соотноше-
/¦
нием sin a = 2^/j/(dRH) ш.
453. См. рис. 251.
454. Потому что при замы-
замыкании первичной цепи ток на-
нарастает гораздо медленнее, чем
спадает при размыкании цепи
(см. задачу 452).
В
-к
В =asm&t
я Ш
су1
¦ постоянные
величины
Рис. 251
О RClnl 2RCU2 t
Рис. 252
CV2
455. W = ^- ехр
456. t « 7 • 1(Г4 с.
2t
lie
; см. рис. 252 a.
457* N= -R 0 -eXP{-^}NXP{-^}; CM- РИС- 2526'
458. 1) Q= \I2Rdt =
J z, z, z,
О
459. Полученный при решении предыдущей задачи результат, что ток
мгновенно возрастает от нуля до /о, объясняется пренебрежением индуктив-
индуктивностью цепи. В каждой реальной цепи есть хотя бы малая индуктивность,
вследствие чего возрастание тока до /о = &/R не будет мгновенным. Если ин-
индуктивность достаточно мала, то нарастание тока будет протекать так быстро,
что во многих случаях его можно рассматривать как мгновенный скачок.
§5. Электромагнитная индукция
175
460. Уравнение цепи (по Кирхгофу) будет
dt
¦ V или
<PQ
dQ Q
где Q — заряд на конденсаторе. При R = AL/C характеристическое уравнение
имеет кратный корень, а потому решение
надо искать в форме /<
eR
где а и Ъ — произвольные постоянные,
определяющиеся из начальных условий
Qt=o = 0 и (dQ/dt)t=o = 0. Поэтому:
& Г R 1
1) / = -texp<-—t>; см. рис. 253;
L [ 2L )
2L_
R
2) t=
2L
; 3) 1ШКС = ^-; 4) V =
eR
Рис. 253
5) г] = 1/2 (е —основание натуральных логарифмов).
461. QR = 0, Ql =CVo.
Решение. После замыкания цепи
Интегрируем это равенство по времени от 0 до оо, получим QrR = LIl\q° = 0,
так как /ь@) = /х,(оо) = 0. Следовательно, Qr = 0, Ql
462 О =
QR2
О =
QRl
R1+R2
Решение. После замыкания ключа
Ь1^
at
Интегрируя это равенство от 0 до оо по времени, получим
RxQx + L1/1 |о°° = R2Q2 + ^/slo00.
Так как /i@) = /2@) = /i(oo) = /2(оо) = 0, то .RiQi = R2Q2, Q\ + Q2 = Q-
Отсюда
R\ + R2 R\ + -R2
463. Примем за начало отсчета времени момент, когда лампа погасла. На-
Напряжение на конденсаторе в этот начальный момент V@) = VT. До зажигания
лампы процесс в цепи определяется уравнением
Ш = V + RC
dV
~dtJ
D63.1)
где V — напряжение на конденсаторе в момент времени t. Решение уравнения
D63.1) будет
{^} D63.2)
176
Ответы и решения
В момент времени t = t\ неоновая лампа зажигается (рис. 254). Следовательно,
V{t) = V3. Тогда из уравнения D63.2) получим
D63.3)
После зажигания лампы ток, текущий через лампу (вследствие линейности ее
характеристики) можно записать так: 1\ = (V — Vo)/R\, где Vo — напряжение,
при котором продолжение характе-
v\
Уз
Vr
ристики пересекает ось V, a R\ =
= (V^ — Vo)//r — «эквивалентное со-
сопротивление» лампы. Тогда полный
ток в цепи будет
_ _ „dV V-Vo „dV
I = I^c = + c
Рис. 254
D63.4)
Когда лампа горит и через нее идет ток,
уравнение цепи будет & = RI + V.
Подставляя сюда значение / из D63.4), получаем
Общим решением этого уравнения будет
Теперь за начало отсчета времени принимаем момент зажигания лампы,
тогда V@) = Vo. Определяем из этого условия постоянную А и подставляем
в D63.6). Наконец, подставляем в полученное решение Vfa) = Vr и находим
вторую часть периода:
RRi
2 R + R
R + Ri R(Vr-V0)-Ri(E-Vr)'
Весь период Т = t\ + t^.
464. 1) Вспыхивает при а = — A =р V3/V), гаснет при а = — A =р ^
2) Кин = F3.
465. После замыкания ключа уравнение процесса в цепи будет
где / — общий ток в цепи. В начальный момент /о = &/R, а поэтому решение
уравнения D65.1) запишется в виде
Rrt
Напряжение между точками А и В будет
Rr p( R
Rrt
' L(R + i
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 177
Оно не может быть больше ЭДС батареи. Подставляя числовые данные, полу-
получаем
Узамык = 24A-0,99е-2'4*) В.
После размыкания ключа уравнение процесса в цепи будет
% = L—+RI. D65.2)
at
Теперь в начальный момент /о = &(R + r)/(Rr). Решением уравнения D65.2)
будет
а напряжение между точками А и В
( R
^размык = IR = % ( 1 Н ех
может быть значительно больше ЭДС батареи, если R^> г. Подставляя число-
числовые данные, получаем
В начальный момент напряжение будет 2400 В.
Настоящая задача позволяет уяснить процессы, происходящие при замы-
замыкании и размыкании цепи постоянного тока, обладающей сопротивлением и
индуктивностью.
466. Уравнение процесса в цепи после размыкания ключа будет
% = L-+V. D66.1)
Но / = CdV/dt. Начальные условия таковы: Vo = &, /о = %/г. Поэтому
решение уравнения D66.1) будет
/ • \
-\ — sin . .
г У с Vlc J
Подставляя числовые данные, получим для максимального значения напряже-
напряжения Т4акс = (лАО • 100 + 24) В. Увеличение емкости С ведет к снижению УМакс-
467. / < RV^/r « 22 мА.
§ 6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
468. Для зарядки аккумулятора существенно среднее значение силы то-
тока /ср, а электродинамический амперметр показывает ее эффективное зна-
о /о
чение /Эф. Так как /ср = /Эф ~ 0,91Эф, то продолжительность зарядки
будет 8/0,9 = 8,8 ч.
469. /ср^ 0,127 А.
470. 1) « 3,2 А; 2) 5 А.
471. 1) 314 В; 2) 157 В.
472. Лампы пропускают ток попеременно через 1/2 периода. При этом
конденсаторы заряжаются так, что разности потенциалов на них складываются.
178
Ответы и решения
Если сопротивление нагрузки велико, то почти весь ток за полпериода идет на за-
зарядку конденсатора. Поэтому К
-НОВ
-60
481.
= arctg -
Рис. 255
Когда плоскость
iL-{\/wC)
2Vo, где Vo — амплитуда напряжения на CD.
473. 14,2 А.
474. II « 2900.
475. См. рис. 255.
476. Ток опережает по фазе напря-
напряжение на (р = 88°.
477. R = 54,4 0м; С « 100 мкФ.
478. tg(p = uCR.
479. а = a,Tctg{Lu/R}.
480. Когда плоскость рамки перпен-
перпендикулярна к полю.
рамки составляет с направлением поля угол (р =
R
483. /макс « 1,2 А; ср « 43°; N « 76 Вт.
484. 7V = (V2 - V{2 - V22)/2R.
485. N ={I2 -l\- l!)R/2.
486. TV « 40 мкВт.
487. 1) /i =
2) /2 =
токи противоположного на-
( ) (
правления.
488. В этом случае нельзя пренебрегать индуктивностью кольца L и сила
тока определяется из соотношения — L dl/dt = &. В зависимости от размеров
и удельного сопротивления материала кольца и частоты питающей ЭДС нужно
учитывать только омическое или только индуктивное сопротивление кольца
или и то, и другое.
489. г = Д/Vl
490. L = CR2.
¦ ^2C2cj2 .
491. g=g0Q,r= —
Решение. Найдем ЭДС
источника. В отсутствие нагрузки
\/{1шС) _
IujRC
= 0,
\/(IwC)
так как при резонансе IujL + \/{1шС) = 0. Поскольку фазу колебаний экви-
эквивалентного источника определять не требуется, положим
где Q — добротность контура.
Найдем ток короткого замыкания цепи. Если закоротить выход, то ток
в перемычке будет /к.3 = ~ . Внутреннее сопротивление эквива-
IujL -\- R IujL
Vc L
лентного источника будет г = —- = .
/к.з RC
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
179
492. Сдвиг фазы между токами <р = aictg[\/(ojR\C)], т. е. от R2 не зависит.
С изменением сопротивления R\ от нуля до оо сдвиг фазы изменяется от тг/2
до нуля, причем ток через R2 отстает по фазе от тока через R\.
493.
=/о
VI + R2C2uj2
/i =
/0Л/1 + R2C2oo2
uj2LC
cos(ujt + ip)\ tg y? =
494. г
л/Я2
максимальное значение гм
Ь uj2R2C2 '
достигается при ио = l/y/LC.
495. Потому что при любом заряде на пластинах конденсатора разность
потенциалов между ними равна нулю. В соответствии с этим в случае цепи
переменного тока при коротком замыкании конденсатора его емкостное сопро-
сопротивление Хс = 1/иоС = 0, т. е. С = оо.
496. Увых^ [10sinC00t- 132o) + 3sinF00? + 207°)] [В].
497. g« 150cosF00?-78°) [В].
498. Уравнения для цепей трансформатора в комплексной форме:
= juoL\I\ + juMI2, 0 = j
+ juoL2h + Rh-
D98.1)
Для трансформатора без рассеяния взаимная индуктивность М = y/L\L2
и отношение L2/L\ = п2. Поэтому из уравнений D98.1) получаем & =
jujL\R
— -1\ = ZI\. Комплексное же сопротивление эквивалентной цепи
! + Я
(см. рис. I48 6) есть Z =
JluLi + R/n2 '
499. 1) Нуль; 2) ток через сопротивление отстает по фазе на 90°; 3) сдвиг
ш(Ь + СУЯ)
фазы ср = arctg -
500.
+ R(\ -uj2CL)
, напряжение опережает ЭДС.
501. См. рис. 256.
502. ия 3,16- Ю6^1; 6» = 0,25; /0 « 1,6 А.
503. С « 50 мкФ; Умакс « 628 В.
504. С рз 20 мкФ. Решим задачу в векторной форме. На рис. 257 О А —
потеря напряжения на омическом сопротивлении A0 В), ОБ — потеря напря-
напряжения на катушке F2,8 В), ОС —все напряжение A00 В), OD « ОС, ОЕ-
потеря напряжения на конденсаторе A63 В).
Отсюда
С = — « 20 мкФ.
4LI0
Т
у
f
t
—
В
о
в
с
Рис. 256
Рис. 257
180
Ответы и решения
505. С « 0,32 мкФ.
506. В комплексной форме уравнения Кирхгофа обеих цепей будут:
1
+ I'jLJ ( М -
uj2C
0 = 1 М-
о2С
uj2C
где / и Г — токи в ветвях А и В соответственно. Из последнего уравнения
следует: 1) если из = 1/у/МС, то /' = 0; 2) если из = l/y/LC, то / = 0.
Примечание. Такой случай оказался возможным только потому, что
мы пренебрегли сопротивлением в цепи В.
507. 1) /0 « 0,8 A; 7V « 32 Вт. 2) /q = 2 A; TV' = 0.
508. 1) TV = ^°Д 2) С = \/из2Ь; АГмакс = gg/Д.
Я2 + [o;L — A/о;С)]2
509.
Г] =
R
R + Ro
Примечание. Как видим, г\ не зависит от индуктивности цепи, но
мощность, которую может дать источник при заданном напряжении &, умень-
уменьшается с увеличением L и Lq.
510.
N =
Arr =
гу =
2[(г + ЯJ + а2г2}'
R
где а =
Примечание. В отличие от предыдущей задачи, в данном случае с
увеличением а понижается и мощность N, отдаваемая источником, и КПД
установки г].
511. Амплитуда ЭДС источника &0 = УЗ • 120 В; ц = 1/3; т/ = 1/2.
512. Амплитуда ЭДС источника сро ~
« 140 В.
513. Схема приведена на рис. 258. С =
= — Ф, где / — в амперах, V — в вольтах,
cj — угловая частота питающего тока.
514. С ^6,3 мкФ.
515. Сопротивление утечки конденсатора
должно быть значительно больше, чем его ем-
емкостное сопротивление для 50-периодного тока.
Рис. 258
516. Вначале определить сопротивление утечки R с помощью измерения
на постоянном токе, а затем общее сопротивление Z на переменном токе. Z =
= R/y/l +oj2R2C2 . Зная R и Z, находим С.
517. Сх/С\ = AD/DB. Можно.
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
181
518. Можно, если и? = \/{C\L\) = ХЦС^Ь^). В самом деле, если прибор G
остается на нуле, то напряжения в точках А и В соответственно равны
V
VjloL\
V
\/(jujCi)+jujL2 1-
и, значит,
UJ C1L2 =
Отсюда получаем ответ.
или uj C1C2L1L2 = 1-
2)<p = ±тг/2.
- R2C2uj2 '
520. С « 15 мкФ.
521. L = 2,3 Г; первый конденсатор не влияет на отношение амплитуд на
выходе и на входе.
522. Трансформатор потребляет заметную мощность только в то время, ко-
когда нажата кнопка. Когда кнопка не нажата, в первичной цепи трансформатора
течет малый ток «холостого хода»
&
7хх" VW-
где 8" — подводимое напряжение, R — сопротивление первичной обмотки, L —
ее индуктивность и uj — круговая частота тока. Но при uoL > R трансформатор
при токе «холостого хода» почти не погребляет энергии («безваттный ток»).
Кнопку включают во вторичную цепь, чтобы не подводить к ней высокого
напряжения.
523. L = 7 Г.
524. Первичная — 200 витков, вторичная — 6600 витков.
Указание. ЭДС, индуцируемая в одном витке, одинакова во всех обмот-
обмотках трансформатора.
525. 1) L « 0,3 Г; 2) V « 3760 В.
526. — = = 13,1, где iVb — мощность при разомкнутой, а
iVo 1 + 4тг2
7V — при замкнутой цепи.
527. tg 6 = щ
от напряжения.
528. /
1
+ 712)
. При п\ = П2 = 10 5 = —3°. Ток отстает по фазе
Ъ'
529. <?макс =
531. ujL =
smut.
1
я_
в'
= 3.
_ е-5Т/2
I; \VBX/VBUX
532. С = 320 пФ.
533. С = 0,1 мкФ.
534. 1) R « 6370 Ом; 2) Д « 3185 0м или
Д^ 127400м.
535. 4/3 радиуса. °
536. 1) Вычерчивают координатные оси рис 259
на экране трубки (рис. 259). Для этого вна-
вначале включают только 1\ и отмечают величину и положение оси а — а , затем
включают только /2 и отмечают величину и положение оси Ъ — Ъ'. Вычерчивают
¦/ °
d
с
У
182
Ответы и решения
прямоугольник и, включив оба тока 1\ и 12, наносят эллипс, описываемый
пятном на экране. (Все это можно сфотографировать.) Тогда Ос/Оа = cos<? и
Od/ОЪ' = sin<?, где <р (или 180° — <р) — сдвиг фазы.
2) Нельзя.
537. cos (f = - tg 2а (a/b — b/a), где а — угол наклона большой оси эллип-
эллипса, а и Ъ — большая и малая полуоси эллипса.
538. Необходимо знать: 1) чувствительность катодного осциллографа (от-
(отклонение луча в зависимости от напряжения); 2) величину сопротивления R.
Замыкая К\, измеряем подводимое напряжение. Замыкая только К2, измеряем
падение напряжения на известном сопротивлении R и находим силу тока.
Затем, включая оба ключа, получим эллипс, по параметрам которого легко
установить сдвиг фазы. Зная подводимое напряжение, силу тока в цепи и сдвиг
фазы между ними, находим мощность.
539.
Ri =
П2ПЗ
+ T*i3 + ^23
2^*23
Г12 + 7*13 + Г23
2 + Г13
540. V =
541. т& 17 г.
щ smcjt, где ш — масса, е — заряд электрона.
542. 120° или 240°.
543. 1) Не изменятся; 2) закручивание происходит в другую сторону.
3) Нельзя.
544. / = F - 5е~50*) А.
4-10"
Рис. 260
,-5
8-КГ5*,
545. / =
рис. 260.
546. / =
= B/7) • 104 с-
547. V = 5
Ш
548.7=-
т = L2/R.
549. V « б,
+ 10e
——
-2-10
А; см.
В.
Lx - L2
L2
B.
550. q =
1 — ( cosuj\t -\
где S = r/DL),
1
~LC ~
551. /
552. V
16L2
1
5
20 cos 20тг? - cos
1
-2000tsinB000? + 45°)| A.
100
35
mB.
553. / = - A — cos 100тг?) А. Как видно, ток в цепи будет не перемен-
переменный, а пульсирующий. Этот результат объясняется тем, что мы пренебрег-
пренебрегли омическим сопротивлением цепи и специально выбрали начальную фазу
включения ЭДС. Постоянная составляющая тока, возникающая в начальный
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 183
момент, не затухает, а будет циркулировать все время и сложится с переменной
составляющей. В реальной схеме, обладающей сопротивлением, постоянная
составляющая будет отсутствовать и установившийся ток будет переменным.
Для выяснения роли сопротивления полезно разобрать включение данной
в условии ЭДС на катушку с сопротивлением R и, получив ответ, перейти к
пределу R = 0 (см. задачу 564).
554. V = &\l-e-^ (cosojt+^ smut)], где 7 = г и а; =
I
I /Д\
= \ LC — (-— ) . Минимальное напряжение, на которое должен быть
V V2L/
рассчитан конденсатор, не меньше 2ср.
555. I = — 1 — e~7t ( cos Lot-\— sin ujt) . Обозначения такие же, что и
в задаче 554.
556. 1) /эф = У— = 0,028 СГСМ = 0,28 А.
Атгь>а\п(а/Ъ-\- 1)
2) Напряжение на лампочке уменьшится в
557. V{t) = Vbe~7t coscj?+ ( + - J smut , где J1 = cjq - 72, cjq =
| ycjiiC 00 J J
00
558. Частота увеличится в л/2 раз. Амплитуда колебаний и энергия
возрастут вдвое.
559. /= ——°-j^ [R cos(ut + 8)+ujL sin(cjt + 5)-
560. Амплитуды на входе и выходе одинаковы. Сдвиг фазы выходного
2uoRL
напряжения относительно входного определяется формулой tgo = 2 2 ^-.
561. Решение. При выполнении условия квази-
квазистационарности (рис. 261)
L— + У = 0, Q = C1/, Q = /-/', У = Л//.
Исключая Q, I и Г, отсюда находим
Рис. 261
562. F = — г—^- —. Сила — отталкивающая. Если uoL > R, то F «
Я2 + c<;2L2 /7
6тг4г8/2 1 „ 6тг4^2Ьг8/2 1
« -у В другом предельном случае cjL « Л и F й —.
563. / = O,5cos2007rt А, V « 104(cos^0 • lOOOt - cos2007rt) В.
Таким образом, собственные колебания напряжения на конденсаторе, воз-
возникающие после включения, не затухают, несмотря на наличие сопротивле-
сопротивления R, и не влияют никак на силу тока через R, так как внутреннее со-
184 Ответы и решения
противление источника предположено равным нулю. Следовательно, источник
«замыкает накоротко» сопротивление, напряжение на котором будет всегда
равно ЭДС источника. В реальной схеме, в которой источник всегда обладает
внутренним сопротивлением, собственные колебания затухают и остаются од-
одни вынужденные колебания.
564. V = ^ cos (lOOTrt - J) - 50е-зш [В].
о ш 57? 1 I
565. R= --* L = 137 0м, L= —J\6Rj-(Ri + Д2J = 1,16 [Г],
2 1x2 — R\ zTTi^ V
где R\ = ПО Ом и R2 = 275 0м — сопротивления первой и второй лампочек
соответственно.
566. Решение. Пусть параметры цепочки таковы, что при наложении
синусоидального напряжения в ней устанавливается синусоидальный ток; при
этом можно пользоваться понятием импеданса. Если удалить первые два звена
цепочки Z\ и Z2, то останется такая же бесконечная цепочка. Ее можно
заменить одним звеном с импедансом Z. Тогда получится схема, изображенная
на рис. 262. Импедансы Z и Z2 соединены параллельно, их результирующий
Рис. 262 Рис. 263
импеданс ZZ2/(Z + Z2) соединен последовательно с импедансом Z\. В резуль-
результате должен получиться импеданс Z', т. е.
^ = ^i + ^V> откуда
Знак плюс перед квадратным корнем означает, что из двух значений корня
следует брать то, которое имеет положительную вещественную часть. Дей-
Действительно, квадратный корень есть не что иное, как импеданс Z1 бесконечной
цепочки, изображенной на рис. 263, а во всякой реальной системе активная
часть комплексного сопротивления должна быть положительной.
567. Решение. Полагая в предыдущей задаче Z\ = iX\, Z2 = гХ2,
получаем
\
Z = \ {гХх ± ^/-
Если АХ\Х2 + Х\ < 0, т.е. подкоренное выражение положительно, то
импеданс Z будет содержать вещественную часть, а потому цепь будет потреб-
потреблять или отдавать энергию в зависимости от знака этой вещественной части.
Стационарное состояние в этом случае невозможно, а решение, полученное
в предыдущей задаче, неприменимо. Для решения необходимо использовать
начальные условия.
Синусоидальный ток в цепочке возможен только при выполнении условия
\Х\Х2 + Хх ^0. Только тогда можно пользоваться понятием импеданса и
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 185
решением предыдущей задачи. Вопрос сводится к выбору знака перед квад-
квадратным корнем. Для этого предположим, что импеданс Z\ содержит малое
омическое сопротивление R\, и перейдем к пределу R\ —>> 0. Полагая Z\ =
= гХ\ + R\, Z2 = гХ2, из решения предыдущей задачи получаем
Z' =Х- ^-{АХХХ2 + Х\) + 2iRx(Xx + 2Х2),
где Zf = Z — Z\ /2 — импеданс бесконечной цепочки, изображенной на
рис. 263. При извлечении квадратного корня пренебрежем квадратами R\.
В этом приближении
Знак надо выбрать так, чтобы вещественная часть этого выражения была
положительна. Так как R\ > 0, то в случае Х\ + 2Х2 > 0 надо взять знак плюс,
а в случае Х\ + 2Х2 < 0 — минус. Полагая R\ = 0, окончательно находим
[ x x] при Хх + 2Х2 > 0,
z= { 2 v
г- [Хх - ^JAXXX2 + Х\ ] при Хх + 2Х2 < 0.
Например, если цепочка составлена только из катушек индуктивности, то
Х\ > 0, Х2 > 0 и перед корнем надо взять знак плюс. В этом случае ток
отстает по фазе от напряжения на тг/2. Если же цепочка состоит только из
конденсаторов, то Х\ < О, Х2 < 0, так что годится только знак минус. В этом
случае фаза тока опережает фазу напряжения на тг/2.
568. Z = Zx + ^Jz\ + ZXZ2.
569. Решение. Электрическая энергия (в гауссовой системе):
_ с?_ _ 2dll sin2 tot
е ~ 2С ~ slu2R2 '
Магнитное поле внутри конденсатора создается током смещения. На расстоя-
расстоянии г от оси конденсатора оно найдется из соотношения
с с \R
откуда
2г 2г
Магнитная энергия, локализованная в конденсаторе:
'cut
Отношение максимальных энергий:
2С
186 Ответы и решения
570.
2тг2 iiR2N2 2 2 , w
Wm = W, J-0 COS UJt, We =
W™ 2 \ 2с
571. 1) Увеличится в 5/3 раза. 2) Уменьшится в три раза.
572. Но = -^-. Для воздушного конденсатора Но = 5 • 10~5 Э. Для
с zd
конденсатора, заполненного средой, Яо = е#овак = 5-10 Э. Д) = М#о =
= 5 • Ю-2 Гс.
573. 1) Концентрические окружности с центрами, расположенными на оси
соленоида. 2) Е = ^^ I = ^ — « 10~8 СГСЭ « 3 • 10~4 В/м. 3) Е не
rcz с с
изменится, a D возрастет в е = 2 раза.
574. / = ^ sin B507Г* --) + - е~2Ш А.
4\/2 V 4/8
CV
575. Qi = -^-A +coscjt) на том конденсаторе, который был заряжен.
CV
Q2 = —рг- A — cosojt) на втором; cj = ^/2/LC.
с.
580. /о = Vo/л/Ь/С; величина л/L/C носит название «характеристиче-
«характеристического» или «волнового сопротивления» контура.
581. /^5000 с.
582.
576. L к
577. Г?
578. Л а
579. С p
й 1 Г.
^58-
^ 126
а ПО
ю-6
км.
пФ.
583. — = 1 , — = 1 при параллельном включении; R = R\ +
R R\ R2 L L\ L/2
+ R2, L = L\ + L2 при последовательном включении.
584. Конденсатор включается для того, чтобы исключить возможность воз-
возникновения заметного тока от сети через цепи приемника на землю. Емкость
такого конденсатора должна быть приблизительно равна нормальной емкости
антенны B00-300 см), чтобы включение этого конденсатора не изменило су-
существенно диапазона волн, на которые можно настроить радиоприемник.
585. R ^40 Ом.
586. Приблизительно через 12 периодов.
587. Коэффициент затухания характеризует время, за которое амплитуда
колебаний в контуре уменьшится в е раз. Логарифмический декремент контура
характеризует число периодов, за которое амплитуда колебаний уменьшится
в е раз.
588. /о = nl'o.
589. / = °Ш \Т" 1—- sincjt; /мин = 0 при J1 = 1/(LC), /макс = оо при
J = 1/BLC).
§6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания 187
Фп 1
591./= -^
592. R = Vo/Io = 10 Ом; г = 2L/R = 0,2 с.
593. Энергия уменьшится в два раза; г = 1/BttAz/) = 1/2тг = 0,16 с.
594. cjpe3 = l/y/(L\ — М2/Ь2)С. Резонанс недостижим, если М2 = Ь\Ь2.
595. Решение. По закону Ома /= &/(R + r). До включения батареи
магнитный поток через сверхпроводящий контур был равен нулю. Он сохра-
сохранится таковым и после включения тока, т.е. L\I\ — L2I2 = 0, откуда Ii/h =
= L2/L1. Присоединив сюда уравнение 1\ +12 = /, найдем токи 1\ и 12.
596. AL/R = 2 • 10~5 с.
597. 2400 мкГ; 400 мкГ.
598. Соединить катушки последовательно и измерить их индуктив-
индуктивность L\, затем переменить концы у одной катушки и снова измерить индук-
индуктивность L2. Тогда М = (Li — Z,2)/4.
599. При малых частотах напряжение на индуктивности близко к нулю, на
емкости почти равно ЭДС; при больших частотах наоборот.
cnn T %RCuo + R
600. / = . ^=; tg(^ = .
601. Сила тока останется без изменения. Резонансная частота возрастает
в л/2 раз.
602. При резонансе мощность, расходуемая источником ЭДС, равна N =
<&2R
Если Lcj > Д, то с увеличением L вдвое мощность упадет
Lzoo -\- R
в четыре раза.
603. Указание. Преобразовать обычную формулу для амплитуды силы
тока в контуре / = . ^=, подставив в нее /о = &/R, иоо =
Л/Я2 + [^-A/^С)]2 и / , и
= 2тг/о = 1/VLC и частоту внешней силы cj = 2тг(/о + А/). Пренебречь
квадратами и более высокими степенями А///о.
604. Декремент и коэффициент затухания возрастут в два раза, сила тока
в контуре не изменится, а напряжение на конденсаторе уменьшится вдвое.
605-Q = 2^ и 5а
606. Q = 30.
г»лт л /г UJ2S2LHq COS (р г п
607. М = 9~~9\ [Ноп]. Возможны два положения равновесия:
ZyR -\- uj Lz)
1) плоскость кольца перпендикулярна к магнитному полю (неустойчивое рав-
равновесие); 2) плоскость кольца параллельна магнитному полю (устойчивое
равновесие). При ujL > R
H2S2
М = М\ « —-— sin ip cos (f.
При ujL < Л
u;2H2S2L . /^L\2
M = M2 = —^— sin <p cos y? = Mi ^—J .
Во втором случае вращающий момент меньше.
608. — = 4^7 sin2 а = 1,78 • 107 СГСМ.
m d2B2
609. Добротность контура должна быть Q > 100, т.е. логарифмический
декремент контура менее 3%.
610. Примерно 0,2%.
188 Ответы и решения
611. См. рис. 264 (а —линия без потерь; б — линия с конечным сопротив-
сопротивлением проводов). При наличии сопротивления проводов существует падение
напряжения вдоль проводов, а значит, на поверхности проводов и в простран-
пространстве между проводами существует тангенциальная составляющая вектора Е,
Рис. 264
вследствие чего вектор Умова-Пойнтинга отклонен в сторону проводов. Часть
энергии течет к нагрузке, а часть — к проводам, превращаясь в тепло.
612. Так как Е и Н одновременно меняют свое направление, то вектор S
не изменяет направления.
613. Так как моменты изменения направлений векторов Е и Н на обратные
сдвинуты между собой на четверть периода, то вектор S каждые четверть
периода меняет свое направление на обратное. Действительно, в этом случае
т т
—— dt = \ -— Ео sin ut • Но cos uot dt = 0.
4тг J 4тг
0
Энергия колеблется в отдельных участках провода, но не течет в одном
направлении (стоячие волны).
614. 1) См. рис. 265; 2) S • 2тгг/ = — ЕН • 2тгг/ = — - — . 2тгг1 = VI.
4тг An I r
А 615> l) Jm = ^d-i = °'2)*« =
А
1 —> 1 dD 1 Vu Q4 ..
' ш { I = -A 7г- = — -A гг- З) Изменится
#HУ 4тг dt 4тг d2 J
знак тока смещения.
616. / = IqI/Iq, где / — мгновенная
Рис. 265 длина соленоида.
617. Я = 0.
618. Решение. Если а — поверхностная плотность электричества на
положительной обкладке, то D = 4тпт и, следовательно, jCM = — D = а. По
закону сохранения электрического заряда j = &. Следовательно, jn0JlH = j +
+ jCM = 0. Магнитное поле в конденсаторе равно нулю.
619. Решение. В силу симметрии магнитные силовые линии будут ко-
коаксиальными окружностями с общей осью, совпадающей с осью конденсатора.
Поле Я найдется по формуле
§7. Электрический ток в жидкостях 189
где /см = Ir2/R2 — ток смещения, пронизывающий круг радиуса г. В результате
получим
SLOT
620. Н = -— Vocoscjt, где г — расстояние от оси конденсатора. Магнит-
zcd
ные силовые линии имеют форму коаксиальных окружностей с общей осью,
совпадающей с осью конденсатора.
621. Поток энергии равен нулю (см. задачу 619).
622. Поток электрической энергии вытекает из конденсатора через его
края, втекает внутрь провода и там превращается во внутреннюю (тепловую)
энергию.
623. Решение. Ввиду осевой симметрии полный электромагнитный им-
импульс поля равен нулю. В результате разрядки конденсатора он измениться
не может. Поэтому не может измениться и полный механический импульс
системы. Но в результате разрядки электромагнитный импульс, локализован-
у
ный в конденсаторе, уменьшается на [ЕН], а электромагнитный импульс
4тгс
поля вне конденсатора увеличивается на такую же величину. В соответствии
с этим конденсатор приобретает механический импульс [ЕН], равный
~ 10~4г-см/с. Соленоид получит такой же, но противоположно направленный
импульс. Искру можно рассматривать как ток проводимости. Если бы все
электрическое поле конденсатора было локализовано только внутри него, то
магнитное поле искры вне конденсатора было бы полностью компенсировано
магнитным полем тока смещения (см. задачу 619). На самом деле часть
тока смещения проходит вне конденсатора и создает там магнитное поле. Это
магнитное поле действует на токи, текущие в соленоиде, и меняет импульс
последнего.
624. Так же, как в предыдущей задаче.
§ 7. Электрический ток в жидкостях
625. Будет двигаться против часовой стрелки, если смотреть сверху.
626. Количество отложившихся веществ соответствует 1 Кл на аноде и 1 Кл
на катоде, так как за 1 с к катоду не только подходят положительные ионы
с зарядом 0,5 Кл, но от него уходят отрицательные ионы с зарядом 0,5 Кл, и,
следовательно, у катода освобождается еще столько же положительных ионов,
заряд которых равен 0,5 Кл.
627. ^26,8 А-ч.
628. е/тн = 2,870 • 1014 СГСЭ.
629. шн = 1,67 • Ю-24 г; е = 4,80 • 10~10 СГСЭ.
630. Q « 4 мг.
631. / = 4,5 А.
632. В рассуждениях упущено следующее принципиальное обстоятель-
обстоятельство. При выделении вещества на электродах электролитической ванны возни-
возникает поляризация электродов, в результате которой появляется обратная ЭДС.
(Это явление аналогично явлению возникновения ЭДС в аккумуляторах при их
зарядке.) При последовательном включении нескольких банок с подкисленной
водой обратная ЭДС, складываясь, достигает в конце концов значения ЭДС
190 Ответы и решения
аккумуляторной батареи раньше, чем от нее будет взято количество электри-
электричества, которое она может отдать, и ток прекратится.
633. g« 1,06 В.
634. Анионом перенесено Q единиц количества электричества, ка-
v u + v
тионом — Q .
и + v
635. Приблизительно в 2,5 раза.
636. 0,844 и 0,156.
637. к « 0,473.
638. к « 0,497.
639. Взаимодействием катиона с электролитом, в результате чего образует-
образуется соединение, содержащее вещество катиона и являющееся в растворе анио-
анионом. В данном случае при электролизе СсЩ ионами будут УгСс! и V2(Cdl2 + h)-
640. А = Q-—-— In —, где F — число Фарадея, п — валентность.
(и + v)nF С2
641. Путь решения вытекает из предыдущей задачи.
642. к = — и, где F — число Фарадея, R — газовая постоянная, п — число
грамм-эквивалентов иона в единице объема, или валентность иона.
643. Процессы, происходящие при зарядке и разрядке кислотного аккуму-
аккумулятора, могут быть представлены следующей химической формулой:
разрядка
РЬО2 + Pb + 2H2SO4 <± 2PbSO4 + 2Н2О.
зарядка
Отсюда следует, что плотность электролита возрастает за счет H2SO4.
644. К = A/F = 1,18 • 10~8 г/Кл.
645. КСи = ^ — KAs = i ^ KAs = 0,328 • 10~8 г/Кл, где v - валент-
гуСи AAg ё 2 AAg ё
ность.
646. Лоо = F(b+ + Ъ~) = 109 см2/(Ом • г-экв).
647. 77 = = 1,71 • Ю-3 г/(г-экв-см3); Л = \Hfyq) =
ANa + АС\
= 70 см2/(Ом • г-экв); а = Л/Лоо = 0,64.
648. Решение. Эквивалентная проводимость воды при стопроцентной
диссоциации Лоо = F(b+ + b~) = 488 см2/(Ом • г-экв). Эквивалентная кон-
концентрация г] = т/М, где т = 1 г — масса кубического сантиметра воды,
М — относительная молекулярная масса воды. Эквивалентная проводимость
реальной воды Л = X/rj = 6,8 • 10~7 см2(Ом • г-экв). Степень диссоциации а =
= Л/Лоо = 1,4 • 10~9. Столь ничтожная степень диссоциации не позволяет
осуществить разложение чистой воды путем электролиза. Для этого воду
надо предварительно сделать проводящей, добавив к ней, например, серную
кислоту.
§ 8. Термоэлектричество
649. 8 • Ю-5 А.
650. С = 5 • 10~5 В/°С.
651. Тх = 1015 °С.
652. l)V= ^^ + ^ In ^. 2) Vi - V2 = fe(Tl~T2) In ^.
e e P2 e P2
§ 9. Электроника 191
§9. Электроника
653. v « 59,5 • 107 см/с.
654. v « 0,7 • 10 см/с.
655. V = IB/(can), где с —скорость света.
656. (^Вых =
300
V / е )
Решение. Если Т — температура накала нити лампы, по сравнению
с которой можно пренебречь температурой провода, по которому электроны
возвращаются к нити, то средняя кинетическая энергия эмиттированного элек-
электрона (по Ричардсону), которая теряется нитью, равна 2кТ, где к — постоянная
Больцмана. Кроме того, нить теряет энергию, расходуемую на совершение
работы выхода, т. е. — ^выхв, где (рвых — работа выхода, выраженная в вольтах,
а е — заряд электрона. Если / — эмиссионный ток, то за секунду вылетает
1/е электронов, а потому нить теряет в секунду количество энергии, равное
^7 Н ) • Вследствие потери этой энергии приходится ток накала /н
у 300 е J
увеличить на А/н, чтобы не снизилась температура нити. Повышение тока
накала нити на А/н выделит дополнительно энергию 2ШНА1Н, где R — сопро-
сопротивление нити накала. Эта дополнительная энергия компенсирует все потери
энергии нити, а потому имеем уравнение
Отсюда получается ответ.
657. V = VH + ^- <?ВЬ1Х = 8,108 В.
658. Со скоростью от 56 до 60 В вследствие неэквипотенциальности нити
лампы, вдоль которой есть падение напряжения 4 В. Такое распределение
скоростей будет иметь место, если анодный ток мал по сравнению с током
накала, что обычно имеет место.
659. Конечная скорость электронов у анода лампы останется той же, так
как электроны в обоих случаях пройдут одну и ту же разность потенциалов.
Однако значения скоростей электронов в промежуточных точках их пути меж-
между катодом и анодом будут в обоих случаях различными, так как переключение
сетки вызовет изменение распределения потенциалов в электрическом поле
внутри лампы.
660. Решение. Под действием силы тяжести свободные электроны
в металле будут опускаться вниз. Вследствие этого верхняя поверхность те-
тела зарядится положительно, а нижняя — отрицательно. В металле возникнет
электрическое поле Е, направленное вниз, т. е. препятствующее дальнейшему
опусканию электронов. Опускание прекратится, когда rag + еЕ = 0, т. е. когда
электрическое поле уравновесит силу тяжести (га — масса, е — заряд электро-
электрона). Так как поле Е однородно, то объемных зарядов в металле не возникнет,
как это следует из уравнения divE = Аттр. Если пренебречь деформацией
решетки под действием силы тяжести, то следует пренебречь и изменением
скачка потенциала вдоль поверхности металла на границе с полостью. Тогда
тангенциальные составляющие вектора Е на границе с полостью будут непре-
непрерывны и в полости установится такое же равновесное электрическое поле, как
и в металле, т. е. Е = —mg/e. Так как е < 0, то это поле будет направлено вниз
192 Ответы и решения
и равно Е = 1,9 • 10 15 СГСЭ = 5,7 • 10 п В/м. В полости поле Е уравновесит
силу тяжести, действующую на электрон, и ускорение последнего будет равно
нулю. Если на место электрона в полость поместить позитрон, то на него будет
действовать сила mg — еЕ = 2mg и эта частица получит ускорение а = 2g,
направленное вниз.
661. Решение. Задача сводится к предыдущей, если перейти к неинер-
циальной системе отсчета, движущейся с ускорением а. В неинерциальной
системе отсчета появится сила инерции — та., действие которой эквивалентно
действию силы тяжести той же величины и направления. Поэтому, используя
решение предыдущей задачи, найдем, что в полости возникнет электрическое
поле Е = та/е « 5,7 • 10~13 В/см. Относительное ускорение а0Тн электрона
будет нуль, а позитрона —2а. Абсолютное ускорение найдется по формуле
аабс = а + а0Тн- Для электрона аабС = а, для позитрона аабС = —а. Таким обра-
образом, абсолютные ускорения электрона и позитрона будут равны по величине,
но противоположны по направлению. Объемных зарядов в металле не воз-
возникнет.
663. Т = 2тгга/Не, т. е. не зависит ни от v, ни от а.
664. г = mv/He.
665. Нулю, так как сила, действующая на электрон, все время перпенди-
перпендикулярна к его перемещению.
666. АВ = 27r™SQ.
Не
667. Решение. Радиус кривизны траектории частицы в магнитном поле
р = ср/(еВ). На единицу длины натянутого шнура действует нормально упру-
упругая сила Т/р\, которая уравновешивается силой Ампера IB /с. Это дает для
радиуса кривизны шнура р\ = Тс/(IB). При выполнении условия р\ = р, т.е.
1р = Те, форма траектории будет совпадать с формой шнура.
668. Решение. Ускорение жидкости относительно системы отсчета,
связанной с вращающейся Землей, определяется выражением
где ft — угловая скорость осевого вращения Земли, v = v0TH — скорость жид-
жидкости относительно Земли, а! — ускорение, вызванное всеми потенциальными
силами. Потенциальный вектор а' можно исключить, взяв циркуляцию вектора
а по замкнутому контуру. В качестве такового выберем геометрическую ось
кольцевой трубы. Тогда
где fie = 2[vll] — сила Кориолиса, действующая на единицу массы жидкости.
Так как жидкость несжимаемая, а площадь поперечного сечения трубы всюду
одна и та же, то осевая составляющая ускорения as будет также всюду
одинакова. Вынося ее из-под знака интеграла, получим as = ^/s, где s —
длина трубы, а & означает интеграл & = <j>fK<is. Эта формула аналогична
закону Ома. Роль силы тока, сопротивления и электродвижущей силы играют
величины as, s и &. Аналогом магнитного поля В служит удвоенная угловая
скорость вращения Земли 2Г2. Поэтому на основании закона электромагнитной
индукции можно написать & = —d<&/dt, где Ф — поток вектора 2ft,
§9. Электроника 193
пронизывающий контур s. Таким образом,
dV 1 d<5> ЛГ 1 А ,
as = —- = --—-, откуда У = --АФ.
dt s dt s
Через V обозначена осевая составляющая скорости жидкости.
Допустим, что кольцо имеет форму круга радиуса R и в начальный момент
расположено горизонтально. Пусть S — вектор площади кольца в этом положе-
положении. Повернем кольцо на 180° вокруг горизонтальной оси. Тогда
Фн = 2(nS), Фк = -2(nS),
АФ = -4(nS) = -4fiSsin0.
Здесь О — географическая широта места, где производится опыт. Учитывая, что
S = 7tR2, s = 2тгД, и предполагая, что в начальный момент жидкость была
неподвижна, получим V = 2QRsinO. Пусть в конечном положении кольцо
находится в покое. Тогда жидкость будет двигаться в нем со скоростью V =
= 2QRsinO. На полюсе О = 90°, V = 2QR. Этот результат легко получить
также, относя все движения к «неподвижной» системе отсчета. На экваторе
V = 0.
669. г = Д/2; Т = 2irmc/(qB) « 60 лет.
670. Магнитный момент
_ -\e\rnv /н\ mv2H v2<&
2с Vя/ 2H2^\-v2/c2 2с2н Vя
так как частота обращения частицы в магнитном поле
е\Н тс2
LOH =
тс & тс
радиус орбиты заряда щ = v/ujh и v — скорость частицы (выше & =
17102 - /^w e г Л
— полная энергия частицы; ее магнитный момент Ж = — [rv] 1.
D 2Vm
' 7rn(D2 - d2)
672. FKyjl/Faun = mc2/BeV) и 25.
673. Б = &/(Re) = F/.R = 1,07 • 107 Гс (ускоряющее напряжение, соответ-
соответствующее энергии g, равно V = 7,6- 10ю В = 2,53 • 108 СГСЭ).
Указание. Протоны считать ультрарелятивистскимн. Их скорость на-
настолько близка к скорости света, что энергия покоя протона пренебрежимо
мала по сравнению с кинетической энергией. При таких условиях кинетиче-
кинетическую энергию можно вычислить по формуле & = тс2, где т — релятивистская
масса протона.
674. uj — ujq = ±-— = ±— « 1СГ6 с. Частота uj возрастет, если век-
2тс 2тс
торы Ниш направлены противоположно, и уменьшится, если они направлены
в одну сторону.
675. Для Li7 V = Er\n(r2/n) « E(r2 - п) « 245 В, Е = 408 В/см. Для
Li6 F = 229 В, ? = 381 В/см.
676. 1) Если взять начало координат в точке выхода электрона и направить
ось X перпендикулярно к пластинам против направления электрического поля,
а ось Y — параллельно пластинам и перпендикулярно к магнитному полю, то
7 Под ред. И. А. Яковлева
194 Ответы и решения
траектория электрона будет определяться уравнениями
Етс2 Л Не \ Етс2 (Не .Не
х = —-— 1 — cos — t , у = —-— — t — sin — t
Hze \ me J Hze \mc me
2) 2Emc2/(H2e) < d, у = тгте2Е/(H2e), где d — расстояние между пла-
пластинами, e —заряд электрона, т — масса электрона, с —скорость света.
677. Компоненты начальной скорости вдоль пластины катода (vyo) и пер-
перпендикулярно к ней (vxo) должны быть vyo = —E/H, vxo = 0; г = Ет/(Н2е)х
хТ = 2тгт/(Не).
678. Решение. Электрическое поле Е можно найти, пренебрегая рас-
расширением пучка. На границе и вне пучка Е = 2тгсг, где а = i/e — заряд,
приходящийся на единицу площади пучка. Частицы, находящиеся на границе
пучка, в поперечном направлении будут двигаться равноускоренно и за время
t сместятся на
Ay = eEt2/Bm) = eEx2/Bmv2).
Искомое расстояние х определится из требования Ay = d/2, которое дает
х = Jmv2d/Biri), v =
Отсюда х = 13 см.
679. В ^ ^^ J— « 4000 Гс, t = -^— « 2,5 года, где т- масса
о у AmpI
атома урана, Am — разность масс атомов U238 и U235, А = 238 — относительная
атомная масса U238, тр — масса протона.
680. Ж = mv2/2H.
681. M = m2v2/eH.
682. г « 1,9- 103 см.
__. / еН \ сЕ . еН + me f cE
683. х = г 1 — cos — t , у = — ? + г sin — ?, где г = — г>
у тс J Н тс еН \ Н
ось X параллельна электрическому полю, ось Y перпендикулярна к обоим
полям.
684. v = с[ЕН]/Я2
2/2
685. — = ^ -g, где п — целое число.
m 2тг2УB?г — IJ
686. р = Еа3.
687. cj= -Б ^25- 10ю с.
m
688. гм '• г\ = у/п, где п —число полукругов, сделанных дейтоном после
вылета.
689. q = Imc/(eSd) « 0,6 • 10ю см~3 • с.
690. Между пластинами конденсатора имеется пространственный заряд,
плотность которого на расстоянии х от катода равна р(х). Поэтому
d2V
^ . F90.1)
dxz
Если подвижность электрона и, то плотность тока
г/Т/
j = -р(х)иЕ = -р(х)и Ц-. F90.2)
ах
§9. Электроника
195
Из F90.1) и F90.2) получаем
dV SV _ A
dx dx2
d
или —
dx
dV
dx
F90.3)
Когда ток достигает значения насыщения, то при х = 0 и j = juac будем иметь
(dV/dx)x=o = 0. Поэтому, интегрируя F90.3), получаем
Дальнейшее интегрирование дает
691. п
327Г
откуда и= —
la th(t/r), где г = y/\/(qa).
i - (y/q - пОл
693.
n n0
694. g = IHac/(Sle) = 1,25 • 109 см~3 • с; п =
695. /нас = qSle = 4 • 10~16 A.
696. t = —— « 1,3 • 106 с « 15 сут.
4//
= 2,7 • 107 см
4тг//Нас
697. 1) г = l/(noa) = 0,06 с; 2) т = 3/(noa) = 0,18 с.
698. Решение. Среднее число столкновений положительных ионов с
отрицательными в единице объема в единицу времени, сопровождающихся
рекомбинацией, определяется выражением v = л/2 n2crv, где v — средняя ско-
скорость теплового движения молекулы. В стационарном состоянии это число
должно равняться числу вновь образующихся пар ионов q = ап2 в том же
/ Я T-iT
объеме за то же время, т. е. л/2 crv = а. Подставляя сюда v = \/ , где R —
V 7Г М
универсальная газовая постоянная, а М — относительная молекулярная масса
воздуха (М « 28,8), получим
aei ae
CTei = -3— =
699. Если пренебречь массой электрона по сравнению с массой иона, то
vei = n2creiVe, где ve — средняя тепловая скорость электрона. Рассуждая, как
в предыдущей задаче, получим
/9,71
¦ А I
4
где к — постоянная Больцмана, те — масса электрона, a aei — коэффициент
рекомбинации электрона с положительным ионом. Величины vei и aei также
снабжены двумя индексами, чтобы явно отметить, что речь идет о столкнове-
столкновениях электронов с ионами.
700. и = Ы1/2сО.
701. j = noe(exp{ad}), где е — заряд электрона.
702. j = noe(exp{ad} — \)/а, где е — заряд электрона.
196
Ответы и решения
703. v = лДёфп = 1920 км/с.
704. Положительный столб укорачивается.
705. Кроме продольного градиента потенциала, имеется поперечный гра-
градиент вследствие диффузии зарядов к стенкам трубки.
706. Вследствие того, что электрическое поле у поверхности катода пер-
перпендикулярно к этой поверхности и значительно сильнее, чем в остальном
пространстве трубки (катодное падение).
707. Решение. Если масса иона т, его расстояние от общего центра
масс п, а частота обращения и, то общая кинетическая энергия вращения
ионов равна
7П\Г{и0 1712 [а — Т\) LJ
2 + 2 '
где d — расстояние между ионами. Согласно закону равномерного распределе-
распределения кинетической энергии по степеням свободы эта энергия равна кТ. С другой
стороны, на каждый ион действует центростремительная сила, равная силе
взаимодействия между ионами. Следовательно,
2
m\uj r\ = ni2UJ (d — п) = —z.
Из этих уравнений находим
d2 d2 d'
Отсюда d = e2/2kT, и, следовательно, искомый электрический момент
= de=
2кТ
1,4- 106 СГСЭ.
§ 10. Электромагнитные волны
708. Vx = Vocos
Ix = /о sin
где Vo — амплитуда напряжения
, Ix /о sin
в пучности напряжения, /о — амплитуда тока в пучности тока, х — расстояние
от начала линии, к — номер гармоники (к = 1,2,3,...). г/к = кс/B1), где с —
скорость распространения волн вдоль линии (для воздушной линии с « 300000
км/с). Распределение амплитуд для одного из собственных колебаний (третьей
гармоники) приведено на рис. 266.
Рис. 266
§ 10. Электромагнитные волны
197
ivTT'T*
709. 14 = Vbsin , Ix = /о cos
, Ix /о cos, zyfc = —. Обозначения те же, что
и в ответе к предыдущей задаче. Распределение амплитуд для одного из
собственных колебаний (четвертой гармоники) приведено на рис. 267.
Xft ГА\ А
- \ 1
2
\ /' i
V
2
V ¦ - ¦ 1
V
X
2
V 7 /
Рис. 267
_._ т_ т_ /2й+1тгаЛ . /2/с+1тгаЛ 2/c+lc
710. Vx = Vo cos I — I, Ix = /o sin I — j, vk = —-— -, где
x — расстояние от разомкнутого конца линии, к = 0, 1, 2, 3,... Bк + 1 — номер
гармоники). Распределение амплитуд для одного из собственных колебаний
(пятой гармоники) приведено на рис. 268.
Рис. 268
711. р = 1201n(d/r) « 468 0м.
Решение. Выделив элемент линии длиной dx (рис. 269), можем напи-
написать два уравнения Кирхгофа для этого элемента:
dV dl dV
dx) — I(x) = C\dx^—, или ¦— = Ci^—; G11.1)
ut их ot
dx) — V(x) = L\ dx —, или — = L\—, G11.2)
dt dx dt
где С\ и L\ — емкость и индуктивность на единицу длины линии. Дифферен-
Дифференцируя одно из уравнений по х, а другое по t и исключая одно из неизвестных,
198
Ответы и решения
получаем уравнения для тока и напряжения:
— -LC— °2У - L С °2У
дх2 ~ 1 1 dt2 ' дх2 ~ 1 1 dt2 '
G11.3)
Если напряжения и токи в каждой точке линии меняются со временем по
гармоническому закону с угловой частотой и, то решения уравнений G11.3)
имеют вид f х\ ( х\
I = /о sin ио it j, V = Vo sin и It J ,
где v = \/y/L\C\ —скорость распространения волн вдоль линии. Подставляя
эти решения в уравнение G11.1), получаем отношение амплитуд напряжения
и тока, т. е. волновое сопротивление линии:
Р =
причем р получится в омах, если L\ и С\ взяты в практических единицах. Так
как для воздушной линии всегда v рз 3 • 1010 см/с, то обычно пользуются фор-
формулой р = 1/vCi, причем погонная емкость должна быть взята на сантиметр
Qdx =i=:
-dx-
Ctdx ==",= : V(x + dx)
Рис. 269
длины, если скорость выражена в см/с. Если выражать емкость в единицах
30
СГСЭ (т.е. в сантиметрах), то р = Ом. Подставляя значение вза-
С\ (см/см)
имной емкости двух параллельных проводов, приходящееся на сантиметр их
длины, С\ = . . . , получаем приведенное в ответе выражение.
41n(d/r)
712. p = 60\n(R/r) ^97Ом.
Решение. Так как внутри коаксиальной линии находится воздух, то для
нее пригодно то же выражение для волнового сопротивления, которое получено
в предыдущей задаче. Подставляя в это выражение емкость, приходящуюся на
1 см концентрической линии, С\ =
1
получаем выражение, приведен-
21п(Д/г)'
ное в ответе.
713. v = cl^fl « 1,43 • 10ю см/с.
714. Тк = 2l/kv, где к — номер гармоники и v = с/у/е = 3,3 • 109 см/с —
скорость распространения электромагнитных волн в воде (диэлектрическая
проницаемость воды е ~ 80).
§ 10. Электромагнитные волны
199
715. i/i =v/4/«3000 Гц.
716. р =
601п(Д/г)
;68Ом.
Решение. Волновое сопротивление р = \/(vC\), и так как v ъ у/е раз
меньше, чем в вакууме, a Ci — в е раз больше, то волновое сопротивление
в у/е раз меньше, чем для такого же кабеля с воздухом в качестве диэлектрика
(см. решения задач 711, 712).
717. ZBX = pctg — . Поэтому, если длина волны Л = c/v = б м, то ZBX
равно:
1) индуктивное —|216ctgB/3Tr)| ~ 130Ом;
2) параллельный резонанс— |216ctgтг| = оо;
3) емкостное— |216ctgG/67r)| « 3740м;
4) последовательный резонанс — |216ctgE/27r)| = 0.
Решение. Если конец линии разомкнут, то амплитуды напряжения и
тока вдоль линии распределяются по закону
Vx = Vq cos
2тгж
Ix = /о sin
2тгж
где х — расстояние от разомкнутого конца линии, a Vo и /о — амплитуды
в соответствующих пучностях. Поэтому в начале линии (х = I)
Vo \ '
Так как Vq/Iq = р, где р — волновое сопротивление, то
2тг/
pctg-
Характер входного сопротивления можно определить по тому, как оно зависит
от частоты: если растет с ростом частоты (уменьшением длины волн), то сопро-
сопротивление носит индуктивный характер; если уменьшается с ростом частоты —
емкостный. В случае 1) с увеличением аргумента ctg растет (второй квадрант)
и сопротивление носит индуктивный характер. В случае 3) с увеличением ар-
аргумента ctg уменьшается (третий квадрант) и сопротивление носит емкостный
характер. В случае 2) на всей линии укладывается одна полуволна, у входа
линии и у ее конца лежит узел тока, т. е. амплитуда тока у входа /вх = 0. Это —
случай, аналогичный случаю параллельного резонанса в контуре без потерь.
В случае 4) на всей линии укладывается %А и у входа линии лежит пучность
тока, следовательно, при конечном значении амплитуды напряжения у входа
VBX оказывается /вх = оо. Это — случай, аналогичный последовательному резо-
резонансу в контуре без потерь.
718. ZBX =
Ptg-
2тгж
216tg-
Входное сопротивление является ин-
индуктивным, пока расстояние до мостика меньше Л/4, т.е. х < 1,5 м. При
х = 1,5 м ZBX = сю (параллельный резонанс). При 1,5 м < ж < 3 м входное
сопротивление носит емкостный характер. При х = 3 м ZBX = 0 (последователь-
(последовательный резонанс). При 3 м < х < 4,5 м входное сопротивление снова приобретает
индуктивный характер, и так далее.
200
Ответы и решения
Решение. Так как конец линии замкнут накоротко, то амплитуды на-
напряжения и тока вдоль линии распределяются по закону
Vx = Vosin——,
А
1Х = /0 cos——,
А
где Vo и /о — амплитуды в соответствующих пучностях, х — расстояние от
конца линии (мостика). И так как Vq/Iq = p, то
2тгж
Ptg—
Характер нагрузки определяется с помощью соображений, приведенных в
решении задачи 717.
2тгE + О,82) м
719. ZBX =
360 ctg :
4 м
12200м, причем сопротивление носит
индуктивный характер.
Решение. Емкость С, включенную в конце линии, можно заменить
отрезком разомкнутой линии, длина которого /Экв определяется из условия,
что емкостное сопротивление Хс =
pctg
. Так как отрезок линии должен
заменить емкостную нагрузку, то его длина /Экв должна быть меньше Л/4.
Подставляя значения из условий задачи, находим
Л Хс 4 106
/экв = -z- arcctg = — arcctg — « 0,82 м.
Z7T р Z7T ODL)
Далее задача сводится к отысканию входного сопротивления разомкнутой
линии длиной I + /Экв = 5,82 м (см. задачу 615).
2тгB0 + 2,44) м
720. ZBX =
47 ctg :
183 0м, причем входное сопротивле-
11,2 м
ние носит емкостный характер.
Решение. Аналогично предыдущей задаче, заменяем индуктивность от-
отрезком разомкнутой линии, длина которого определяется из условия, что
2тг/Экв
индуктивное сопротивление Хь =
pctg
Из условий задачи находим
/экв = 2,44 м. Далее задача сводится к отысканию входного сопротивления
разомкнутой линии.
721. 1)
: 2600000м; 2) ZBX = -^ = 0,5 Ом.
Rxl/2
Решение. 1) На длине линии укладывается %Л, и в случае замкнутой
линии у входа линии будет узел тока (так как на замкнутом конце пучность
тока). Поэтому этот случай аналогичен параллельному резонансу. Но при па-
параллельном резонансе эквивалентное сопротивление контура Z3KB = X22/R, где
Х\,2 — реактивное сопротивление любой из цепей (так как для обеих цепей при
резонансе оно одинаково). Далее, так как Х2 = ujL, a cj = l/VLC, то Z3KB =
= L/(CB) = р2/R, где р = y/L/C — «волновое сопротивление» параллельного
контура. Аналогично этому для параллельного резонанса в линии ZBX = p2/RA,
где RA — «действующее» активное сопротивление в линии, определяемое из
условия
§ 10. Электромагнитные волны
201
(/о — амплитуда тока в пучности). Иначе говоря, RA — это такое сопротивле-
сопротивление, которое, будучи включено в пучность тока, вызовет те же потери, что и
активное сопротивление, распределенное вдоль линии (так как распределение
тока синусоидально, то «действующее сопротивление» оказывается равным
половине активного). Поэтому в рассматриваемом случае ZBX = р2 /(R\l/2).
2) При разомкнутом конце у входа линии расположится пучность тока, что
соответствует последовательному резонансу. При последовательном резонансе
входное сопротивление линии равно «действующему» активному сопротивлению
(аналогично случаю последовательного резонанса в контуре), т.е. ZBX = R\l/2.
722. 1) ZBX = p2r = 20000м; 2) ZBX = г = 80 Ом.
723. Zbx = 400Om.
Решение. Если линия замкнута на активное сопротивление, равное
волновому, то отражения волн на конце линии не происходит. Следовательно,
в линии распространяется только бегущая волна и отношение между ампли-
амплитудами напряжения и тока во всех точках линии, и в частности у входа,
одинаково и равно р.
724. Характер электрического и магнитного полей в концентрическом
кабеле изображен на рис. 270 а. Электрическое поле напряженности Е на-
направлено по радиусам, магнитное поле напряженности Н — по касательным
Рис. 270
к окружностям. При этом Е = 2q/r = 2C\V/r и Н = 21/г, где С\ —емкость
на единицу длины кабеля, г — расстояние от оси кабеля, q — заряд на единицу
длины кабеля, / — ток в кабеле.
По теореме Умова-Пойнтинга поток энергии, протекающей за элемент
времени dt через поверхность S, равен
dWs = [т1- [[EH] ds\ dt.
s
В рассматриваемом случае через поперечное сечение кабеля за элемент време-
времени dt протекает поток энергии (рис. 2706)
1 Г ACxVI
dS\dt=\^-
4тг
dt= \2CiVI\ - dt =
= 2CiV I In-dt.
202 Ответы и решения
И так как С\ = -—-—;—-, то dW = VI dt. Но так же выражается и работа,
2\п[Г2/Г\)
совершаемая источником за элемент времени dt. Так как в случае бегущей
волны амплитуды напряжения и тока в любом сечении кабеля такие же, как у
зажимов источника ЭДС, то при интегрировании за единицу времени энергия,
протекающая через сечение кабеля, окажется равной мощности, отдаваемой
источником.
725. 1) 1Х = /о sin ——, где /о — амплитуда тока в середине провода (в пуч-
пучности тока) и х — расстояние от начала провода;
»к = ^ = к • 25 • 106 Гц, Хк = — = ^ м,
21 ик к
где к= 1,2,3,...;
2) 1Х = /0 cos — , где /о — амплитуда тока у заземления (в пучности
тока) и х — расстояние от заземления;
^ = »±1Н = B*+1). 12,5-Ю6 Гц, Л, = ^ = ^тм,
где к= 1,2,3,...
726. Л = б мм.
727. N = 20 2~^ = 80тг2^-/эф, где /Эф — эффективное значение тока
в диполе.
728. Яи = 80 Ом.
Решение. Поле, создаваемое каждым элементом тока, пропорционально
силе тока в этом элементе. Если считать, что поля от всех элементов тока
приходят в одинаковой фазе, то амплитуда общей напряженности поля будет
i
пропорциональна J I(x)dx, где / — длина вибратора. Так как ток в вибраторе
о
распределен по закону 1Х = /osin —-, то
i
Г 21
I(x) dx = — /о-
При равномерном распределении тока мы получили бы величину /о. Иначе
говоря, полуволновый вибратор длины / создает такую же напряженность поля,
какую создавал бы вибратор с равномерным распределением тока, равного
току в пучности полуволнового вибратора, и длиной 1\ = — / A\ называется
7Г
«действующей длиной» для «действующей высоты» полуволнового вибратора).
Поэтому для подсчета мощности, излучаемой полуволновым диполем, доста-
2
точно в ответ предыдущей задачи вместо / подставить — /. Получим N =
7Г
= 80— /^ = 80/дф (так как / = А/2). Следовательно, ЯИ = 80Ом.
А
Мы произвели подсчет, полагая, что поля, приходящие от всех элементов
тока, совпадают по фазе. Это, однако, не совсем верно: расстояния от отдель-
отдельных элементов вибратора до рассматриваемой точки несколько различны, и
поэтому несколько различны и фазы полей. Более точный подсчет с учетом
§ 10. Электромагнитные волны 203
этого обстоятельства дает для сопротивления излучения полуволнового вибра-
вибратора значение Ли = 72 0м.
729. Ли = 40 Ом.
Решение. Заземленный четвертьволновый вибратор создает над Зем-
Землей такое же поле, какое создавал бы вдвое более длинный полуволновый
вибратор при том же токе в пучности, если бы Земля отсутствовала, иначе
говоря, четвертьволновый вибратор создает только «верхнюю половину» того
поля, какое создавал бы соответствующий полуволновый вибратор, и, значит,
излучает только половину мощности. Следовательно, сопротивление излучения
заземленного четвертьволнового вибратора вдвое меньше, чем полуволнового,
т.е. Ли = 40Ом.
730. Ли = 140 Ом.
Решение. Так как вибраторы расположены близко, то поля их приходят
в каждую точку в одинаковой фазе, и оба вибратора создают поле вдвое
большее, чем каждый в отдельности. Значит, они излучают вместе вчетверо
большую мощность, а каждый излучает вдвое большую мощность, чем в от-
отсутствие другого. Следовательно, каждый вибратор обладает вдвое большим
сопротивлением излучения, чем то, которое он имеет в отсутствие другого
вибратора.
731. Волновый вибратор можно рассматривать как два полуволновых виб-
вибратора, расположенных на одной прямой. Но поля от этих вибраторов приходят
в каждую точку, вообще говоря, с некоторым сдвигом фазы. Следовательно,
излучаемая ими мощность будет меньше, чем излучаемая двумя вибраторами,
расположенными параллельно и близко друг к другу (рассмотренными в преды-
предыдущей задаче). Поэтому и сопротивление излучения волнового вибратора будет
меньше, чем сумма сопротивлений излучения двух вибраторов предыдущей
задачи. С другой стороны, в случае двух уединенных, т. е. находящихся да-
далеко друг от друга, вибраторов можно считать, что они вообще излучают
независимо, между тем как для волнового вибратора поля в большей части
пространства совпадают по фазе и, значит, складываются. Поэтому излучаемая
мощность, а следовательно, и сопротивление излучения волнового вибратора
больше, чем сумма излучаемых мощностей, а значит, и сопротивлений излуче-
излучения двух уединенных полуволновых вибраторов.
732. Е « 2,2 мВ/м.
Решение. Эффективная напряженность электрического поля полуволно-
полуволнового диполя в экваториальной плоскости (см. задачу 727)
Е 30--^=60^,
А 7Г Г Г
где /Эф — эффективная сила тока вибратора в пучности. Так как, с другой сто-
стороны, /Эф = л/N/Ru , где Ли — сопротивление излучения, то ЕЭф = ———-—-.
Для полуволнового диполя Ли = 72 0м и ЕЭф ~ В/м.
г
733. N' « —— « 8 • 10~6 Вт, где Ли — сопротивление излучения
8тН ЛИг2 г
вибратора, равное 72 0м.
734. Решение. Электродвижущая сила, создаваемая приходящей вол-
волной в приемном вибраторе, в каждом элементе вибратора dx может развивать
наибольшую мощность dN = 1Эф(х)ЕЭфс1х, где /Эф — эффективная сила тока
в данном элементе вибратора, а ЕЭф — эффективная напряженность поля при-
204
Ответы и решения
ходящей волны. Во всем полуволновом вибраторе приходящая волна может
развивать наибольшую мощность
i
N = /0 Эф sin -^ ЕЭф ds = — /0 эф^эф,
о
где /о Эф — эффективная сила тока в пучности. Следовательно, приемный виб-
21
ратор можно рассматривать как источник ЭДС &Эф = — _ЕЭф (поэтому 2//тг
7Г
называют «действующей длиной» полуволнового приемного вибратора) с неко-
некоторым внутренним сопротивлением г. Это внутреннее сопротивление во всяком
случае не может быть меньше сопротивления излучения вибратора RH (кото-
(которым он обладает, помимо омического сопротивления). Наибольшую мощность
вибратор будет отдавать приемнику, если входное сопротивление приемника
RBX = RH, Тогда полное сопротивление цепи будет равно 2RH и полная мощ-
мощность, выделяемая в цепи, N = &^/2Rvl. При равенстве внешнего и внутрен-
внутреннего сопротивлений половина этой мощности будет выделяться в приемнике,
и, следовательно, наибольшая мощность, которую может получить приемник,
лт _ ®эф _ ЕэфУ21/^) _ Ьэф/
4_RH 4i?H тг Rn
735. В плоскости, проходящей через ось вибратора, — рис. 271а; в эквато-
экваториальной плоскости, перпендикулярной к оси, — рис. 2716.
Рис. 271
736. По мере увеличения длины вибратора будет становиться заметной
разность фаз полей, пришедших в какую-либо точку от разных элементов
вибратора (рис. 272 а). Эта разность фаз будет тем больше, чем больше
Рис. 272
§ 10. Электромагнитные волны
205
угол <р. Поэтому амплитуда поля вибратора при больших углах <р уже не будет
равна сумме амплитуд от отдельных элементов вибратора, а будет меньше
этой величины. Это приведет к тому, что характеристика направленности
в плоскости, проходящей через ось вибратора, будет сплющиваться (рис. 272 6).
В плоскости, перпендикулярной к оси вибратора, характеристика по-прежнему
останется окружностью.
737. 1) См. рис. 273 а; 2) см. рис. 273 6.
Рис. 273
738. См. рис. 274 а.
Решение. Так как между токами в вибраторах сдвиг фазы равен тг,
поля обоих вибраторов окажутся в фазе в тех направлениях, для которых
разность хода d = Л/2. А так как d = Asinc^ (рис. 274 6), то этим направлениям
соответствует угол ip = 30° с прямой, перпендикулярной к линии, соединяющей
вибраторы. Во всех четырех направлениях, удовлетворяющих этому условию,
напряженность поля будет наибольшей. В направлении линии, соединяющей
вибраторы, излучение будет отсутствовать.
Рис. 274
739. См. рис. 275.
Решение. Второй вибратор, отстоящий на расстоянии Л/4 от первого
и питаемый током, запаздывающим по фазе на тг/2 относительно первого,
устраняет излучение в направлении линии, проведенной от второго вибратора
к первому (так как в этом направлении сдвиг фазы между полями обоих
вибраторов равен тг). Наоборот, в направлении от первого вибратора ко второму
206
Ответы и решения
разность хода компенсирует сдвиг фазы, оба поля оказываются в фазе и в этом
направлении излучение оказывается наибольшим. Если второй вибратор не
питают непосредственно током, а подбирают
его настройку (длину) так, чтобы ток перво-
первого вибратора создавал в нем ток, сдвинутый
по фазе относительно первого на тг/2, то он
действует так же, как в рассмотренном случае.
Такие «пассивные» вибраторы называются ре-
рефлекторами.
740. См. рис. 276.
Решение. Максимум главного лепестка
(рис. 276 а) соответствует направлению, в ко-
котором поля всех вибраторов совпадают по фазе.
Если изображать поля всех диполей в виде
одинаковых векторов, то направлению главного
максимума соответствует расположение векто-
векторов, указанное на рис. 276 6. В направлени-
направлениях, отличных от главного максимума, существует сдвиг фазы между полями
отдельных вибраторов, чему соответствует поворот векторов на некоторый
угол относительно друг друга. Когда векторы образуют замкнутую фигуру
(рис. 276 в), результирующее поле будет равно нулю. Это произойдет в первый
раз, когда векторы повернуты на угол тг/4 относительно друг друга и образуют
восьмиугольник. Соответственно разность хода d = Л/8 (рис. 276г),
Рис. 275
Рис. 276
т.е. sin<? = 1/4, или (р « 14°3(У. Под этим углом в обе стороны от главного
максимума будут лежать оба минимума, т. е. полный угол раствора главного ле-
лепестка равен 2ср = 29°. Максимум первого бокового лепестка получится, когда
векторы сделают полтора оборота; тогда их замыкающая, т. е. результирующее
поле, достигнет снова максимума. Для оценки величины этого максимума
заменим ломаную, образуемую векторами, дугой окружности. Так как полтора
оборота этой дуги должны иметь длину, равную сумме длин всех векторов,
то диаметр окружности (рис. 276 д) должен быть в Зтг/2 раз меньше длины
прямой (рис. 276 6). Следовательно, амплитуда максимума в первом побочном
лепестке в Зтг/2 « 5 раз меньше амплитуды в главном максимуме, а энергия
§ 10. Электромагнитные волны 207
в 25 раз меньше. При большом числе диполей это отношение не зависит от
числа диполей.
741. 1) Верхняя часть рис. 273 6; 2) верхняя часть рис. 274 а. Направле-
Направления, в которых на диаграмме лежат максимумы и минимумы, определяются
условиями
?MaKc = Bk + 1) -, nsin^MHH = k -,
где ер — угол над горизонтом, к — целое число.
Решение. Так как в методе зеркальных изображений должны быть
взяты «зеркальные заряды» противоположно-
противоположного знака, то «зеркальный диполь» под поверх-
поверхностью земли нужно считать колеблющим-
колеблющимся в фазе, противоположной фазе колебаний
диполя над землей. Поэтому рассматривае-
рассматриваемые случаи соответствуют изображенным на
рис. 273 6 и 274 а. Рис. 277
742. См. рис. 277.
743. Направления, для которых на диаграмме лежат максимумы и мини-
минимумы, определяются из условий
к . 2к + 1
где (р — угол над горизонтом, к — целое число.
Решение. Для вертикального вибратора при противоположных знаках
«зеркальных зарядов» направление тока в «зеркальном вибраторе» совпадает с
направлением тока в вибраторе над землей. Поэтому оба вибратора колеблются
в фазе, вследствие чего направления максимумов и минимумов меняются ме-
местами по сравнению со случаем горизонтального вибратора (см. ответ к задаче
741).
744. Для рамки
Еэф = ЗОоо2пA21Эф/(с2г) « 1 • 10~4 В/м.
Для вибратора Герца длины d, питаемого током /Эф,
Еэф = ЗОоо(ИЭф/(сг) ^ 1,25 • 10~3 В/м,
т. е. поле отдельного проводника больше, чем всей рамки в целом.
Решение. Каждый отдельный провод рамки создает поле такое же,
как вибратор Герца, но токи в противоположных сторонах рамки направлены
Рис. 278
навстречу, поэтому и создаваемые ими поля направлены навстречу. Вследствие
этого в плоскости рамки (рис. 278) результирующее поле выразится так:
30oondlo . ( r\\ 30ujndI0 . ( r2 \
Е = sin о; it sin о; (t =
cr V с / сг \ с J
30ujndI0 r\ -r2 . ( r\ + r2 \
= 2 sin uo sin uj [t .
cr с V zc /
208 Ответы и решения
-г 11^ „. cud cud
Так как п — г% = d, ud <С с, то 2 sin —- « — и
2с с
Е = rm_pi^ sinw * - — , Яэф =
(t — j ,
c2r
Таким образом, рамка создает такое же поле, какое создавал бы вибратор Герца
длиной /д = und2/с = 2irnd2/А. Поэтому эта величина называется «действую-
«действующей высотой» рамки. Поле рамки оказывается меньше, чем поле, создаваемое
всеми проводниками, образующими одну из сторон
рамки, в отношении 2тгс?/А (вследствие того, что поля
противоположных сторон рамки почти противополож-
противоположны по фазе).
745. См. рис. 279.
746. & = Euond2/c « 2 мкВ.
Рис 279 Решение. Так как электрическое поле приходя-
приходящей волны в противоположных сторонах рамки созда-
создает ЭДС, направленные навстречу, то для поля приходящей волны получаются
соотношения, аналогичные соотношениям для поля, излучаемого рамкой, в за-
задаче 744. Поэтому для «действующей высоты» приемной рамки получается
та же величина, как и для «действующей высоты», передающей рамки: /д =
= umd /с (для рассматриваемой рамки /д = 4 см). ЭДС, индуцируемая в рамке,
& = Е1А. Соотношение для ЭДС в вибраторе Герца то же, что и в предыдущей
задаче.
747. v = — , где с — скорость света в вакууме, е и т — заряд и
/ AnN e2
9
масса электрона.
Решение. Смещение х свободного электрона под действием электриче-
электрического поля Eosinojt определяется уравнением т—- = Eoesmut, откуда х =
е dt
= —^о о sincjt. Величина вектора электрической поляризации
muj2
Ne2
ЗР= Nex = — Eq smut,
mujz
а вектора электрической индукции
/ AnNe2 \
D = Eq sin cjt + Att^ = Eq 1 — sin uot.
\ mujz J
Диэлектрическая проницаемость ионосферы
D . 4тгЛГе2
s = = 1 —
Eq sin ujt moo2
Так как скорость распространения гармонической волны («фазовая ско-
скорость») v = с/у/Е, то, подставляя найденное выражение для е, получаем ответ.
748. Амин = с cos (рл/nm/Ne2 рз 23 м, где с —скорость света в вакууме, е
и т — заряд и масса электрона.
Решение. Условие возникновения полного внутреннего отражения вол-
волны, распространяющейся в среде с коэффициентом преломления п\ при паде-
падении под углом (р на границу среды, обладающей коэффициентом преломления
П2, имеет вид sinc^ > п^/пх. В случае волны, распространяющейся от Земли
§11. Релятивистская электродинамика 209
к границе ионосферы, щ « 1, а коэффициент преломления ионосферы (см.
решение предыдущей задачи)
, Л AirNe2
V arm
Для предельного случая, когда еще возможно полное внутреннее отра-
Г AnNe2
жение от границы ионосферы, sin (р = W 1 , откуда и получается
V ^макс771
приведенное выше выражение для наиболее короткой волны:
2irc
§11. Релятивистская электродинамика
>рмул A4) преобразования компонент 4-вектор
s\ = r(s'i — zBs4), S2 = s2, S3 = S3, S4 = F(s4 + iBs[),
1 В = V/c.
p/0, p'=0, s*@,0,0, гср')-
749. Из формул A4) преобразования компонент 4-вектора находим для
плотности тока
гдеГ = A -В2)-1/2, а В = V/c.
1) В системе К'
В системе К
Sl = Г(-гВгср') = TVp, s2 = s3 = 0, s4 = Ticp .
Поскольку S4 = icp, получаем формулу преобразования плотности заряда:
р = Тр'= , Р' .
л/1 - V2/c2
Изменение плотности заряда имеет простое истолкование. Если в системе
К' рассматриваемый объем имеет величину dY, то в системе К его величина
равна dT= dlf1 ^/\ — V2/с2. По определению р = de/dY, р = de/dT. Отсюда
следует инвариантность выражения
р dY1 = p dY.
Заряд в заданном объеме остается неизменным в любой системе отсчета.
Поскольку si = jx, имеем
jx = TVp = , P'V = pV, jy = jz = 0.
J P yj\ - V2'/c2 H JV J
Плотность тока jx — это плотность конвекционного тока, появление которого
связано с тем, что заряды р движутся вместе с системой К1 относительно
системы К.
2) В системе К1
Р =0, j (jx,jy,jz), s (jx,jy,jz,O).
В системе К (см. формулу A4))
si = Tj'x, s2 = j'y, s3 = j'z, s4 =
210 Ответы и решения
Поскольку si = jx, S2 = jy, S3 = jz, первые три равенства определят плотность
тока в К. Из последней формулы (s4 = гср) получим плотность заряда р
в проводнике в системе К:
_ГУ_ •/ _ У/с2 .,
Замкнутый нейтральный проводник, по которому идет ток, оказывается непо-
ляризованным только в одной системе отсчета.
750. Пусть имеется заряженная среда, каждой точке которой в системе К
соответствуют трехмерная скорость v и плотность заряда р. Для небольшого
элемента среды v = const. В сопутствующей данному элементу среды системе
отсчета К0 плотность заряда равна ро, а скорость равна нулю. В системе К
Р = 7Ро, j = pv = 7Pov,
т. е. можно написать
it = po~it.
Здесь мы ввели множитель j = A — v2/c2I^2 и 4-скорость (элемента)
~гх GV, icy).
751. Из B8) и G) имеем
f}, t{
Ау, Az, -<р J I x, у, z, ict
o „ dAz 3Ay
Перепишем компоненту Вх = в виде
ду az
Вх=В[ =
и аналогично Ву, Bz. Перепишем компоненту Ех = Ах в виде
их
Ех = Ех = —- ic = ic ( ) ,
i ox\ 0x4 \ ux\ 0x4 J
и аналогично Ey, Ez. Мы получим, что все компоненты Ех, Еу, Ez, Вх, Ву,
Bz могут быть представлены в виде одной формулы, приведенной в условии
задачи.
752.
Fik =
753. Найдем сначала правила преобразования дФк/dxi. Преобразования
Лоренца — это преобразования компонент 4-радиуса-вектора. Они могут быть
записаны в виде (см. A1), A2))
Xi = akiXk, Xi = aikx'k (г =1,2,3,4),
F2X
F31
Fax
F{2
F22
F32
Fa2
F13
F23
F33
F43
Fxa
F2A
FM
Faa
0
-cBz
cBy
iEx
cBz
0
-cBx
iEy
-cBy
cBx
0
iEz
-iEx
-iEy
-iEz
0
§11. Релятивистская электродинамика 211
где aik — матрица Лоренца (с постоянными элементами):
г
0
0
гВГ
0
1
0
0
0
0
1
0
-гВГ \
0
о •
г /
р
в =
1
л/Г^В2"
V
с '
а по & ведется суммирование от 1 до 4 (по двум одинаковым индексам в одной
части равенства всегда ведется суммирование от 1 до 4). В точности такие
формулы преобразования справедливы и для 4-вектора Ф :
Фг = ЩтФ'гп, Ф- = атгФщ-
Поскольку х\ = аыХк (суммирование по к), дх\/дхк = сх-ы- Теперь уже легко
найти нужный закон преобразования для дФг/дхк\
oxk дх'г oxk дх'г oxk дх'г
Мы получили правило преобразования производной компоненты 4-вектора Ф
по одной из 4-координат. Это правило — правило преобразования компоненты
тензора. Поскольку
дФк дФ'т дФ\
oxi дх\ дх'т
(мы просто поменяли «немые» индексы суммирования т на / и наоборот), то
дФк дФг
очевидно, что комбинация преобразуется по закону
дх{ дхк
дФк дФг ( дФ\ дФ'т\
-т. т.— = опросы —f- - —^ или Fik = aimakiFml.
dxi дхк \дх'т дх\ )
Это и есть правило преобразования компонент тензора второго ранга (по т и
/ — суммирование).
754.
= Г
; - г^ (iE'y) J = Г (cB'z
Здесь при двойном суммировании по т и / учтено, что аи = Г, аи = снз =
= 0, аи = гВГ, a2i = с*23 = «24 = 0, «23 = 1 (см. A0)). Находя аналогично
остальные компоненты, получим
Ех = Е'х, Еу = Т(Е'У + VBfz), Ez = T(E'Z - VBfy),
BX=B'X, Ву =
755. Мы пользуемся следующим расположением координатных осей: оси
Y, Z параллельны осям Y' и Z', оси X и X' совпадают, а относительная
скорость систем отсчета направлена вдоль общей оси X, X'. Тогда Ец = Ех\,
212
Ответы и решения
F,± = Eyj + Ezk. Вектор скорости V системы отсчета К' относительно К
имеет компоненты V(V,0,0). С учетом этого имеем
[VB'l =
1
V
в'х
J
0
к
к
0
К
= V(-}B'Z + kB'y), [VE'] = V(-jE'z + kE'y).
Если иметь еще в виду, что для любого вектора [УА]ц = 0, a [VA]j_ совпадает
просто с векторным произведением, то формулы преобразования, полученные
в предыдущей задаче, можно записать так:
Ем = Ем, F,± -
В± = Г (в' + 1 [УЕ'Л .
Формулы обратного перехода получаются заменой штрихованных величин
на нештрихованные (и наоборот) и изменением знака скорости:
Е'±=Г(Е+[УВ])х,
= Г (В - 1 [VE]
(| - Ец,
756. В векторной записи необходимо различать преобразование векторов,
параллельных направлению относительной скорости, и перпендикулярных к
ней. Если даны два вектора а и b то слагающими вектора а, параллельными
и перпендикулярными вектору Ь, будут векторы
_ b (ab) _^/ьч __ _ _ b. / u\
о о о о
Поэтому, например, для вектора В запишем
В = В,, + В± = В!. + Г [В'± + -^ Е'
^ Е' +
Аналогично для вектора Е получим
Е = Г(Е' - [VB']) + A - Г)^ (VE').
TV 1
757. Е = Е' - [VB'l, В = В' + — Е' .
758. В любой инерциальной системе отсчета поля Е и В оказываются
взаимно перпендикулярными. Пусть, например, в К' поле Вг = 0. Тогда,
согласно формулам, полученным в задаче 755,
В = Вц + ВХ = I [VE'] = J [V, E'J = I [V, ГЕ'±] = 1 [VE],
поскольку [V, Ем] = 0.
§11. Релятивистская электродинамика 213
759. Проще всего убедиться в соблюдении равенств
с2В12 - Е'2 = с2В2 - Е2, ЕВ = Е'В'
непосредственной подстановкой в правую или левую части соответствующих
формул преобразования.
760. Пусть Е' = 0, тогда
с2В2 - Е2 = с2В'2 > О, ЕВ = 0.
Если В' = 0, то
с2В2 - Е2 = -Е'2 < О, ЕВ = 0.
Таким образом, в исходной системе поля Е и В должны быть взаимно
перпендикулярны. Какое именно из полей может быть уничтожено переходом
к другой системе отсчета, зависит от знака инварианта 1\ = с?В2 — Е2.
761. Пусть с?В'2 — Е'2 < 0. Тогда можно добиться выполнения условия
В = 0. Из результата задачи 756 следует, что VB' = 0. Рассмотрим частный
случай, потребовав, чтобы также VE' = 0. Условие В = 0 приводит к уравне-
уравнению
В' + -2 [VE'] = 0.
Умножим векторно обе части этого равенства на Ег. Находим
[Е'В7] + 1 VE/2 = О,
откуда,
у= с2[Е'В'1
Е'2
В новой системе отсчета
Е'
Е = - у/Е* - с*В>*.
В любой системе отсчета, движущейся вдоль Е с произвольной скоростью
V < с, магнитного поля тоже не будет. Поэтому общий случай получается
переходом к одной из таких систем отсчета.
В случае с2В'2 — Е'2 > 0 скорость V перпендикулярна Е', а в частном слу-
случае, когда она также перпендикулярна В', аналогично предыдущему получаем
ЕВ „ В
= ?_ ^/С2В,2 _ Е,2 .
В
v> В
Вz В
762. Всегда можно найти такую инерциальную систему отсчета К, в ко-
которой электрическое и магнитное поля в данной точке станут параллельными
друг другу, если в исходной системе отсчета они направлены под углом друг
к другу. То же относится к однородному полю в целом. Очевидно, что если
известна одна такая система, то существует бесчисленное множество систем,
обладающих этим свойством. Действительно, в любой инерциальной системе
отсчета К', движущейся равномерно и прямолинейно относительно К по
направлению, совпадающему с общим направлением Е и В, поля Е' и В'
останутся параллельными, потому что компоненты полей, направленные вдоль
движения, не изменяются.
214 Ответы и решения
Чтобы найти одну из систем, в которой поля параллельны, поступим
следующим образом. Допустим, что в системе К поля параллельны, т.е.
[ЕВ] = 0. Направим скорость системы К' (в которой поля Е' и В' уже не
будут параллельными) перпендикулярно полям Е и В; направление скоро-
скорости V примем за ось XX'. Тогда Ех = Вх = 0 и равенство нулю векторного
произведения эквивалентно равенству EyBz — EzBy = 0. Подставляя в это
равенство значения компонент Е и В, выраженные через компоненты Е' и В'
(см. задачу 754), мы получим уравнение
Г(Е'у + VB'Z)V (b'z + 5 4) = W, - VBy)V (bv - J E
Из этого уравнения можно определить по заданным полям Е' и В' ско-
скорость системы V. Если принять во внимание, что Е'х = В'х = 0, мы можем
найти и направление скорости V относительно Е' и В'. Действительно,
V/c2
[Е'В'] = i[E'yB'z - E'zB'y], a V = yi, и поэтому можно записать '-—— =
= —2~^2— /2' ^ем самым по векторам Е' и В' в системе К' можно найти
систему К, в которой Е и В будут параллельны. Направление скорости этой
системы совпадает с направлением [Е'В7], а величина скорости является одним
из корней полученного выше уравнения. Из двух корней выбирается тот, для
которого V < с.
Случай Е'В' = 0 разобран в задаче 758; перейти к параллельным полям
здесь уже нельзя, зато можно перейти либо к чисто магнитному, либо к чисто
электрическому полю.
Можно решать эту задачу также, подставив векторные значения полей,
полученные в задаче 755, в условие параллельности полей в системе К, т. е.
в условие [ЕВ] = 0.
763. 1) Найдем, например, значение ft:
ft = fx = - Flksk = - (Fl2s2 + Fl3s3 + F14S4) = s2^ + s3 (- — ) +
с с с \ с J
-^7) гЕы = pvyBz - pvzBy + pEx = {pE + p[vB]},.
В этих равенствах учтено, что
p=-~S4, pcy = S2, pVz = S3,
С
Bz = ^, Bv = -?f, Fn=0.
Аналогичные выражения получаются для f2 = fy и f% = fz.
Найдем четвертую составляющую:
U = - FAksk = - (F41S1 + F42s2 + F43S3) = — (vE).
с с с
Величина p(vE) имеет простой смысл, который сразу раскрывается, если обе
части равенства f = р{Е + [vB]} умножить скалярно на v. Принимая во
внимание, что [vB]v = 0, получим (fv) = p(vE). Левая часть последнего ра-
равенства представляет собой мощность силы Лоренца в единице объема (силы,
§11. Релятивистская электродинамика 215
действующие со стороны магнитного поля, работы не совершают). С учетом
этого имеем
с
Таким образом, мы пришли к 4-вектору плотности силы, компоненты которого
мы запишем вместе:
Разделение сил, действующих на заряд со стороны электрического и маг-
магнитного полей, на части рЕ и p[vB] относительно. Обе эти силы составляют
единое целое и, естественно, сливаются в одно четырехмерное выражение.
2) Начнем со случая покоящейся среды. Пусть в сопутствующей системе
К' (там, где среда покоится) задана плотность тока, а плотность заряда равна
нулю, т.е. s(j[,j2,j'3,O). 4-скорость среды в системе К' есть и @,0,0, гс).
Найдем компоненты s^:
^i = ~~ F\kuk = — F\AuA = — (—iEx)ic = сгЕх,
с с с
т. е. jx = сгЕх. Аналогично jy = aE'y, j'z = <tEz. Четвертая компонента:
4 = - F'Aku'k = О (sA = icp = 0, Fit = 0).
Следовательно, в сопутствующей среде системе отсчета К' просто получается
дифференциальный закон Ома.
В системе отсчета К, относительно которой среда движется, имеем
s\ = - FXkuk = - (FX2U2 + Fi3u3 + FuuA) = - (-iEx)icY = аГЕх,
се с
S2 = - F2kuk = - (F2\U\ + F2AuA) =
с с
= - (-cByTV + (-iEy)icT) = aT{Ey + [VB]y},
s3 = aV{Ez + \VB]Z}.
Окончательно:
j = crr(E+[VB]).
Плотность тока в среде с проводимостью а обусловлена величиной электриче-
электрического поля в этой среде.
Четвертое соотношение определяет плотность заряда, связанную с током
проводимости:
G G jV JV
S4 = icp = - FAkuk = - (zTEV) = гТ —, или р = Г^^,
с ее с2
в полном согласии с результатами п. 2) задачи 749.
764. Пусть в системе К' имеется точечный заряд, расположенный в начале
отсчета. Тогда в системе К1
В' — П ТГ7 — Г
или, в проекциях на оси координат,
В'х =0, By = 0, B'z = 0,
, _ е х' , _ е у' , _ е z'
X л /Q У У л /Q У Z л /Q У
4ns r'6 4ns r16 4ns г'6
216 Ответы и решения
где г' = \fx'2 + у'2 + z'2. В системе К (см. задачу 754)
Ех = Е'х, Еу = ТЕ'у, Ez = ТЕ1,,
Так как Вх = 0, то магнитное поле в системе К лежит в плоскостях, перпенди-
перпендикулярных оси X, т. е. в плоскостях, перпендикулярных направлению движения
заряда. Уравнения силовых линий магнитного поля в системе К имеют вид
dy dz dy By By E' z' z
— = —, или — = —^, откуда —- = j = —- = —, поскольку при
преобразовании Лоренца z' = z и у' = у. Следовательно, дифференциальное
dy z
уравнение силовых линии имеет вид — = —.В качестве первого интеграла
dz у
мы имеем уравнение окружности у2 + z2 = const. Следовательно, силовые
линии являются окружностями с центром на оси тока.
Выразим г' через координаты заряда в системе К. Согласно преобразова-
преобразованиям Лоренца (8)
x' = r(x-Vt), y=y, z=z
и выражение для г'2 запишется в виде
г'2 = х'2 + у'2 + z'2 = Г2(х - VtJ + y2 + z2 =
Тогда
Е = е(х - Vt) Е = еу Е
765. В системе К' скалярный и векторный потенциалы равны
(р' = -!-± = 1ф'4, А'=0.
4тг? г' г
Если в системе К' 4-потенциал Ф имеет компоненты (А',-^'), то в систе
с
ме К
( , v Л , , ( , v A
Ф[=Г Ф[- г— Фл ) , Фг = Фг> Фз = Фз> $4 = Г Фа + г— Ф1
Vе/ Vе/
Подставляя значения компонент 4-потенциала Ф' в системе К', получим
Таким образом,
(р = Г(р', А= —Гр = —р.
Выразим теперь скалярный ip и векторный А потенциалы через 9^ (см.
задачу 764):
= r, = r_L^ = _L_^ A=v i ev
^ ^ Airs r' Airs 91' с2 ^ Airs c29\'
§11. Релятивистская электродинамика 217
766. В системе К' индукция магнитного поля В' = 0. В системе К для
индукции поля В найдем (см. задачу 758)
В = 1 [VE].
Если скорость заряда мала, то приближенно в вакууме
1 e[VR] _ /хо [eVR]
4тг?0с2 Я3 4тг Я3 '
Последнее выражение представляет собой закон Био-Савара.
767. Найдем силу Fi, действующую на заряд е\. Со стороны заряда е2 на
е\ действуют электрическое Е2 и магнитное В2 поля, поэтому
Fi = ei{E2 + [VB2]} = eiE2 + % [V[VE2]] =
= eiE2 + ^ V(VE2) - ^ V2E2 = ex (\ - ^) E2 + ^ V(VE2).
Мы воспользовались результатами предыдущей задачи для В2.
Для Е воспользуемся выражением, полученным в задаче 764, где
?Н2 = В2 М - ^ sin2 Oj и R = (х - Vt)\ + ш + zk,
(рис. 280) есть радиус-вектор, проведенный от заряда е2 к заряду е\, а в —
угол между R и V. Тогда
_, eie2 A-У2/с2JК e
t1 +
-тг sin2 0 I Anec2R2 I 1 — —=- sin"
c2 \ c2
eie2
AneR2 V2 9
1 — sin I
cz
откуда для составляющей по направлению движения имеем
р _ eie2 A -V2/с2) cos в
v2 ч3/2'
1 -2
1 — sin I
с2
а для составляющей, перпендикулярной движению, —
_ eie2 (I -y2/c2Jsin6>
AneR2 / V2 \3/2'
1 - -^- sin2 0 ]
cz
Если два заряда расположены на прямой, параллельной оси у, v = тг/2, и
218
Ответы и решения
формулы для Fx и Fy упрощаются:
Fx=0, Fy =
Aney2
Эти формулы можно получить преобразованием силы, действующей между
покоящимися зарядами в системе К', к силе в системе К согласно формулам
тр _ тр' тр _ тр' /1 _
ГХ — -FX> ГУ — Гуу 1
непосредственно следующим из законов преобразования 4-силы (см. приложе-
приложение IV).
j
0.
Л |
К.'
1
1
1 , ^
xo = F« /О'
-У-— х ¦
ух.г
Рис. 280
768.
в= \-.
Е =
(см. решения задач 765 и 766).
769. В системе отсчета, связанной с вращающимся цилиндром, существует
электрическое поле
Е = [VB]
(это выражение записано для элемента цилиндра, для которого скорость V
можно считать на всем его протяжении постоянной). Это поле и вызывает
радиально направленную поляризацию цилиндра. Если проводимость цилиндра
отлична от нуля, то между внутренней и внешней поверхностями цилиндра
появится разность потенциалов. Если же эти поверхности с помощью скользя-
скользящих контактов соединить проводником, то в этой цепи пойдет ток.
770. При движении поляризованного диэлектрика (рис. 208а) возникает
такое же магнитное поле, которое было бы в том случае, если бы диэлектрик
обладал намагниченностью
где @Р — поляризованность вещества в собственной системе отсчета. Поэтому
вращающийся электрически поляризованный эбонит оказывается с точки зре-
зрения лабораторной системы отсчета намагниченным в радиальном направлении.
На внешней поверхности диска будет северный (магнитный) полюс, на внут-
внутренней — южный. Пропуская ток через неподвижную установку, можно найти
эквивалентный магнитный момент, создаваемый током. Объяснить это явление
можно также, рассматривая конвекционный ток связанных и свободных заря-
зарядов, имеющихся на границах эбонит-металл и на металлических кольцах.
§11. Релятивистская электродинамика
219
771. Когда элемент намагниченного вещества, обладающего намагниченно-
намагниченностью J^° в собственной системе отсчета, движется относительно лабораторной
системы отсчета со скоростью V, лабораторный наблюдатель обнаружит поля-
ризованность вещества
Рассмотрим для простоты поступательное движение намагниченной среды
(рис. 281). Из рисунка видно, как направлена поляризация вещества. Если на-
намагниченная среда обладает проводимостью, возникает разность потенциалов;
/V -/¦ ¦/¦ ¦/¦ ¦/¦
с
+ + + + + +jf!?+ + + +
У
Рис. 281
если замкнуть цепь, пойдет ток. Поляризация небольшого элемента цилиндра
(см. рис. 2086) подобна поляризации поступательно движущегося параллеле-
параллелепипеда, изображенного на рис. 281.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Таблица перевода выражений и формул
из гауссовой системы в систему СИ и обратно
Величина
Скорость света
Напряженность электрического
поля, потенциал
Электрическая индукция
Заряд, плотность заряда, ток,
плотность тока, поляризо-
ванность
Магнитная индукция, магнит-
магнитный поток
Напряженность магнитного
поля
Магнитный момент, намагни-
намагниченность
Электрическая проницаемость,
магнитная проницаемость
(относительные)
Электрическая поляризуемость,
магнитная восприимчивость
Удельная электрическая прово-
проводимость
Сопротивление
Емкость
Индуктивность
Гауссова система
с
Е, <р
D
q, р, /, j, &
В, Ф
н
S, \1
а, к
X
R
С
L
Система СИ
(еоцо)~1/2
^/Ш~о (Е, ф)
1 ( ^
/т \~/' Pi -L ' J ' *^ )
л/Атг/fio (В, Ф)
^Атт/io Н
^0/Dтг) (M,f)
S, fl
— (а, к)
А/Dтг?0)
AttsoR
C/(Attso)
Dn/»0)L
Приложение II
221
II. Единицы и размерности физических величин в СИ О
Величина
наименова-
наименование
Длина
Площадь
Объем
Плоский
угол
Телесный
угол
Время
размер-
размерность
L
L2
L3
Т
Единица
наименование
метр
Астрономи-
Астрономическая едини-
единица длины
°световой год
°парсек
квадратный
метр
°гектар
кубический
метр
°литр
радиан
°градус
°минута
°секунда
стерадиан
секунда
°минута
°час
°сутки
обозна-
обозначение
м
а.е.
св. год
ПК
м2
га
м3
л
рад
о
II
ср
с
мин
ч
сут
связь с основными единицами
СИ
Основная единица
Метр представляет собой рас-
расстояние, проходимое в вакуу-
вакууме плоской электромагнитной
волной за 1/299 792 458 долю
секунды
1 а.е. = 1,49598- 10пм
1 св. год = 9,4605- 1015 м
1 пк = 3,0857- 1016 м
1 га = 104 м2
1 л = Ю-3 м3
Дополнительная единица
Радиан равен углу между
двумя радиусами окружности,
длины дуги между которыми
равна радиусу
1° = (тг/180) рад
1' = (тг/10800) рад
1" = (тг/64800) рад
Дополнительная единица
Стерадиан равен телесному
углу с вершиной в цен-
центре сферы, вырезающему на
поверхности сферы площадь,
равную площади квадрата
со стороной, равной радиусу
сферы
Основная единица
Секунда равна 9 192 631 770
периодов излучения, соответ-
соответствующего переходу между
двумя сверхтонкими уровня-
уровнями основного состояния атома
цезия-133
1 мин = 60 с
1 ч = 3600 с
1 сут = 86400 с
) Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены
полужирным шрифтом) и дополнительных единиц СИ. Внесистемные единицы, допусти-
допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком.
222
Приложения
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Скорость
Ускорение
Угловая
скорость
Угловое
ускорение
Частота пе-
риодическо-
риодического процесса
Частота
вращения
Масса
Плотность
Удельный
объем
Сила
Давление
Жесткость
Напряжение
(механичес-
(механическое)
Поверхност-
Поверхностное
натяжение
Импульс
Момент
силы
размер-
размерность
LT-1
LT-2
т-1
т-2
T-i
T-i
М
L-3M
L3M-X
LMT-2
L-iMT-2
мт-2
L^MT^2
мт-2
LMT-1
L2MT-2
Единица
наименование
метр в
секунду
метр на
секунду в
квадрате
радиан в
секунду
радиан на
секунду в
квадрате
герц
секунда в
минус первой
степени
килограмм
°тонна
°атомная
единица
массы
килограмм на
кубический
метр
кубический
метр на
килограмм
ньютон
паскаль
ньютон на
метр
паскаль
ньютон на
метр
килограмм-
метр в
секунду
ньютон-метр
обозна-
обозначение
м/с
м/с2
рад/с
рад/с2
Гц
с-1
кг
т
а.е.м.
кг/м3
м3/кг
Н
Па
Н/м
Па
Н/м
кг-м/с
Н-м
связь с основными единицами
СИ
1 рад/с = 1 с
1 рад/с2 = 1 с
1 Гц = 1 с
Основная единица
Килограмм равен массе меж-
международного прототипа кило-
килограмма
1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1,6605655- \0~27
кг
1 Н = 1 кг-м-с~2
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м-^кг-с-2
1 Н/м = 1 кг-с~2
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м^-кг-с
1 Н/м = 1 кг-с-2
1 Н-м = 1 м2-кг-с~2
Приложение II
223
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Момент
импульса
Момент
инерции
Работа,
энергия
Мощность,
поток
энергии
Температу-
Температура (термо-
динамичес-
динамическая)
Температур-
Температурный коэффи-
коэффициент
Количество
вещества
Молярная
масса
Молярный
объем
Количество
теплоты
(теплота)
Удельная
теплота
Молярная
теплота
Теплоем-
Теплоемкость
размерность
L2MT-X
L2M
L2MT-2
L2MT-3
0
е-1
N
MN-1
L3N-X
L2MT-2
L2T-2
L2MT-2N-1
L2MT-20-x
Единица
наименова-
наименование
килограмм-
метр в
квадрате в
секунду
килограмм-
метр в
квадрате
джоуль
ватт
кельвин
°градус
Цельсия
кельвин в
минус первой
степени
моль
килограмм
на моль
кубический
метр на моль
джоуль
джоуль на
килограмм
джоуль на
моль
джоуль на
кельвин
обозна-
обозначение
кг-м2/с
кг-м2
Дж
Вт
К
°с
моль
кг/моль
м3/моль
Дж
Дж/кг
Дж/моль
Дж/К
связь с основными единицами
СИ
1 Дж = 1 Н-м = 1 м2-кг-с~2
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2-кг-с~3
Основная единица
Кельвин равен 1/273,16 ча-
части термодинамической тем-
температуры тройной точки воды
t/°C = Т/К -273, 15
Основная единица
Моль равен количеству ве-
вещества системы, содержащей
столько же структурных эле-
элементов, сколько содержится
атомов в углероде-12 массой
0,012 кг 1).
1 Дж = 1 Н-м = 1 м2-кг-с-2
1 Дж/кг = 1 м2-с~2
1 Дж/моль=1 м2кг-с~2 моль
1 Дж/К = 1 м2-кг-с-2 К~х
х) При применении моля структурные элементы должны быть специфицированны
и могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами или
специфицированными группами частиц.
224
Приложения
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Удельная
теплоемкость
Молярная
теплоемкость
Тепловой
поток
Плотность
теплового
потока
Концентра-
Концентрация (плот-
(плотность числа
единиц)
Сила элек-
электрического
тока
Плотность
электриче-
электрического тока
Количество
электри-
электричества (элек-
(электрический
заряд)
Поверхност-
Поверхностная плот-
плотность элек-
трическо-
трического заряда
Простран-
Пространственная
плотность
электриче-
электрического заряда
размер-
размерность
L2T-26-l
L2MT-2 x
х g^n-1
L2MT-3
мт-3
L-3
I
L-2I
TI
L-2TI
L-3TI
Единица
наименова-
наименование
джоуль на
килограмм-
кельвин
джоуль на
кельвин
ватт
ватт на
квадратный
метр
метр в
минус
третьей
степени
ампер
ампер на
квадратный
метр
кулон
кулон на
квадратный
метр
кулон на
кубический
метр
обозна-
обозначение
Дж
кг-К
Дж
моль • К
Вт
Вт/м2
м-3
А
А/м2
Кл
Кл/м2
Кл/м3
связь с основными единицами
СИ
1 Дж/(кг-К) - 1 м2-с~2 К~х
1 Дж/(моль-К) =
= 1 М2-КГ-С 2 • К *-МОЛЬ 1
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2-кг-с~3
1 Вт/м2 = кг-с~3
Основная единица
Ампер равен силе неизменя-
неизменяющегося тока, который при
прохождении по двум парал-
параллельным проводникам беско-
бесконечной длины и ничтожно
малой площади кругового по-
поперечного сечения, располо-
расположенным в вакууме на рас-
расстоянии 1 м друг от друга,
вызвал бы на каждом участ-
участке проводника длиной 1 м си-
силу взаимодействия, равную
2- Ю-7 Н
1 Кл = 1 с-А
1 Кл/м2 = 1 м-2-с-А
1 Кл/м3 = 1 м-3-с-А
Приложение II
225
Продолжение
Величина
наименование
Электрическое
напряжение,
электрический
потенциал,
разность
электрических
потенциалов,
электродви-
электродвижущая сила
Напряжен-
Напряженность электри-
электрического поля
Электриче-
Электрическое сопро-
сопротивление
Удельное
электриче-
электрическое сопро-
сопротивление
Электриче-
Электрическая проводи-
проводимость
Удельная
электриче-
электрическая проводи-
проводимость
Электриче-
Электрическая емкость
Электрическая
постоянная,
абсолютная
диэлектриче-
диэлектрическая прони-
проницаемость
Магнитный
поток (поток
магнитной
индукции)
Магнитная
индукция
(плотность
магнитного
потока)
Индуктив-
Индуктивность
размерность
I^MT-3!-1
LMT-3!-1
L2MT-3I-2
L3MT-3I-2
L-2M-iT3l2
L-3M-iT3l2
L-2M-lT4j2
L-3M-lT4j2
L2MT-2j-l
MT-2I-1
Ь2МТ-2Г2
Единица
наиме-
наименование
вольт
вольт на
метр
ом
ом-метр
сименс
сименс
на метр
фарад
фарад
на метр
вебер
тесла
генри
обозна-
обозначение
В
В/м
Ом
Ом-метр
См
См/м
Ф
Ф/м
Вб
Тл
Гн
связь с основными единицами
СИ
1 В= 1 Вт/А = 1 м^кг-с-З-А-1
1 В/м = 1 Вт/(А-м) =
= 1 м-кг-с^З-А
1 Ом = 1 В/А = 1 м2-кг-с-З.А-2
1 Ом-метр = 1 м3-кг-с~З.А~2
1 См=1 Ом-^1 м-^кг-^сЗ-А2
1 См/м = 1 Ом^-м =
= 1 м~3.кг-1.с3.д2
1 Ф=1 Кл/В=1 м-2-кг-1-с4-А2
1 ф/м = 1 м-3.Кг-1-с4-А2
1 Вб = 1 В-с = 1 Тл-м2 =
1 9 9 л 1
= 1 м -кг-с -А
1 Тл = 1 В-с/м2 = 1 Вб/м2 =
= 1 кг-с-2-А-1
1 Гн = 1 м2-кг-с~2-А~2
Под ред. И. А. Яковлева
226
Приложения
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Магнитная
постоянная,
абсолютная
магнитная
проницае-
проницаемость
Напряжен-
Напряженность маг-
магнитного поля
Энергия
излучения
Мощность
излучения
(поток
излучения)
Интенсив-
Интенсивность излу-
излучения (плот-
(плотность потока
излучения)
Сила света
Световой
поток
Световая
энергия
Светимость
Освещен-
Освещенность
Яркость
Оптическая
сила
Энергетиче-
Энергетическая сила
света (сила
излучения)
размер-
размерность
LMT-2I-2
L-XI
L2MT-2
L2MT-3
мт-3
J
J
TJ
L-2J
L-2J
L-2J
L-1
L2MT-3
Единица
наиме-
наименование
генри на
метр
ампер на
метр
джоуль
ватт
ватт на
квадрат-
квадратный
метр
кандела
люмен
люмен-
секунда
люмен на
квадрат-
квадратный метр
люкс
кандела на
квадрат-
квадратный метр
°диоптрия
ватт на
стерадиан
обозна-
обозначение
Гн/м
А/м
Дж
Вт
Вт/м2
кд
лм
лм-с
лм/м
лк
кд/м2
дптр
Вт/ср
связь с основными единицами
СИ
1 Гн/м = 1 м-кг-с~2-А~2
1 Дж = 1 м2-кг-с~2
1 Вт = 1Дж/с = 1 м2-кг-с~3
1 Вт/м2 = 1 кг-с-3
Основная единица
Кандела равна силе света
в заданном направлении ис-
источника, испускающего мо-
монохроматическое излучение
частотой 540 • 1012 Гц, энер-
энергетическая сила света кото-
которого в этом направлении со-
составляет 1/683 Вт/ср
1 лм = 1 кд-ср
1 лм-с = 1 с-кд-ср
1 лм/м2 = 1 м~2-кд-ср
1 лк = 1 лм/м2 = 1 м~2-кд-ср
1 дптр = 1 м
1 Вт/ср = 1 м2-кг-с~3-ср
Приложение III
227
III. Таблица перевода числовых значений физических величин
Наименование
Длина
Масса
Время
Сила
Работа, энергия
Мощность
Давление
Сила электрического
тока
Электрический заряд
Напряженность элек-
электрического поля
Электрический потен-
потенциал
Поляризованность
Электрическая индук-
индукция (электрическое
смещение)
Электрическая
емкость
Электрическое сопро-
сопротивление
Удельное электриче-
электрическое сопротивление
Электрическая прово-
проводимость
Удельная электриче-
электрическая проводимость
(удельная электро-
электропроводимость)
Магнитный поток
Магнитная индукция
Напряженность маг-
магнитного поля
Обозначение
1
т
t
F
Д &
N
Р
I
Q
Е
&
D
С
R
Р
А= 1/R
X
Ф
В
н
Гауссова
система
102 см
103 г
1 с
105 дин
107 эрг
107 эрг/с
10 дин/см2
3-109
3-109
I. ю-
3- 105
12тг- 105
9- 1011 см
i.lO-nc.CM-1
i • Ю-9 с
9- 1011 см-с1
108 Мкс
104 Гс
4тг- 10"8 Э
Система СИ
1 м
1 кг
1 с
1 Н
1 Дж
1 Вт
1 Па
1 А
1 Кл
1 В/м
1 В
1 Кл/м2
1 Кл/м2
1 Ф
1 Ом
1 Ом • м
1 См
1 См/м
1 Вб
1 Т
1 А/м
228
Приложения
Продолжение
Наименование
Обозначение
Гауссова
система
Система СИ
Намагниченность
Индуктивность
— • 104 Гс
4тг
109 см
1 А/м
1 Г
Примечание. Множители 3 (кроме входящих в показатели степени) при точ-
точных расчетах следует заменить на 2,99792458 в соответствии с точным значением
скорости света. Например, в строке «электрическая индукция» вместо 12тг • 105
при точных расчетах следует брать 2,99792458 • 4тг • 105. В тех случаях, когда для
гауссовых единиц существует общепринятое наименование, оно приведно в таблице.
В остальных случаях приведено только число таких единиц.
Для перевода формулы электродинамики из гауссовой системы в систему
СИ следует все величины в этой формуле умножить на коэффициент, приведен-
приведенный в последнем столбце таблицы. Все чисто механические величины при этом
не преобразуются (коэффициенты равны единице). Исключение составляет
скорость света в вакууме с, которая заменяется на l/^/eoj^o •
Пример. В гауссовой системе напряженность магнитного поля бесконеч-
бесконечного прямого провода определяется формулой
Для перевода в систему СИ умножим согласно таблице Н на д/4тгмо, / на
1/л/4тгго, с заменяем на l/^/eoMo, г оставляем без изменения. Получаем
2/ , 1
или после сокращения
Н =
2тгг'
Для выполнения обратного преобразования из системы СИ в гауссову надо
пользоваться обратными значениями «коэффициентов перехода».
Пример. В системе СИ
Умножая на соответствующие коэффициенты, получим
V 4тг у л/4тг^о V А^о /
После сокращения получаем формулу гауссовой системы
В = Н + <
Приложение IV 229
IV. Некоторые сведения по специальной теории относительности
В специальной теории относительности (СТО) под событием понимают все
то, что происходит в данной точке пространства в данный момент времени.
В СТО рассматриваются только инерциальные системы отсчета, которые опре-
определяются как системы отсчета, в которых справедлив закон инерции Ньютона.
Инерциальные системы отсчета отличаются друг от друга тем, что движутся
друг относительно друга равномерно и поступательно (с различными отно-
относительными скоростями). Будем предполагать, что во всех системах отсчета
оси Y, Y' и Z, Z' соответственно параллельны друг другу, а относительная
скорость любых двух систем отсчета направлена по общей оси X, X'. Ско-
Скорость системы К' относительно К обозначим через V, а скорость системы К
относительно К' через —V. Система отсчета всегда определена относительно
материальных тел и движется по отношению к ним и другим системам отсчета
со скоростью, меньшей скорости света.
В каждой системе отсчета можно определить координаты любого события
(в «координаты» включается также и время наступления события). Преобра-
Преобразования Лоренца — это преобразования координат события при переходе от
одной системы к другой. Эти преобразования при переходе от К к К' и от К'
к К имеют следующий вид:
/ v \
х =T(x-Vt), у' = у, z=z, tf = rlt-—x\ A)
х = Г(х +Vt'), y = y, z = z, t = r(t' + ^x), B)
где введены обозначения:
Г= / 1 , В = -. C)
В C) входит постоянная скорость относительного движения двух систем
отсчета V, поэтому В и Г — постоянные величины. В задачах и решениях
используются также обозначения:
где v — скорость частицы, которая может быть переменной.
Релятивистское уравнение движения частицы имеет вид
| (-7V) = Р, D)
причем v = v(t) — скорость частицы, a F — сила. Полная энергия свободной
частицы в релятивистской механике определяется соотношением
g = тс 7 = Гл -г • E)
Кинетическая энергия в релятивистской механике Тг определяется как
разность
Tr = &-&o = mc2(j-l), F)
230 Приложения
где &о = тс2 — энергия покоя частицы. В формулах D)-(б) через т обозна-
обозначена масса покоя частицы.
Очень плодотворной оказалась четырехмерная интерпретация теории отно-
относительности. В ^пространстве-времени («Мир Минковского») в каждой точке
с координатами (х, у, z, t) может наступать событие. Существенное упрощение
в выкладках достигается введением четвертой мнимой координаты l) id и
симметризацией обозначений: х\ = х, Х2 = у, х3 = z, x\ = id. Таким образом,
вводится 4-радиус-вектор К D-векторы обозначаются стрелочкой над буквой)
с компонентами
\ = (r,ict). G)
у, z, ict / V } К J
Преобразования Лоренца — это преобразования компонент 4-радиуса-век-
тора R:
х\ = Г(ж1 + гВж4), х'2 = Х2, х'3 = хз, х\ = Г(ж4 — zBxi), (8)
х\ = Т(х\ — гВж4), Х2 = xf2, х% = х$, х\ = Т{х\ + i~Bx[). (9)
Эти преобразования могут быть записаны с помощью матрицы Лоренца
г о о -шг
0 0 1 0
ШГ 0 0 Г
в виде
Xi = akiXk, A2)
где по двум одинаковым индексам в одной части равенства подразумевается
суммирование от 1 до 4. Нетрудно проверить, что формулы (8), (9), A1) и A2)
совпадают с A) и B).
Компоненты всех 4-векторов преобразуются по правилам преобразо-
преобразования компонент 4-радиуса-вектора. Если заданы компоненты 4-вектора,
А(А\,А2, А3, Аа) в системе К, то компоненты этого же вектора в К' найдутся
по формулам (мы приводим также и формулы обратного перехода)
А[ =Г(А + гВЛ4), Af2 = A2, Af3 = А3, А\ = Г(А4 - iBA{), A3)
Ах = Г(А[ - iBA'A), А2 = А'2, А3 = А'3, АА = Г(А'А + iBA[) A4)
или, в сокращенной форме,
Ai = aikAfk, A5)
Afi = akiAk. A6)
О Необходимо подчеркнуть, что появление мнимой координаты связано ис-
исключительно с тем, что мы хотим сохранить тот вид основных геометрических
формул, к которому мы привыкли в трехмерном евклидовом пространстве.
Можно избежать введения мнимой координаты, но тогда появляется необхо-
необходимость введения метрического тензора и разделения ко- и контравариантных
компонент; введение этих понятий едва ли оправдано в курсе общей физики.
Приложение IV 231
Квадрат модуля 4-вектора является инвариантом и определяется по формуле
I2 = А\ + А\ + А\ + А24 = А? + А? + Af + A'l A7)
В механике СТО вводят следующие 4-векторы:
а) 4-скорость
и = —,
dr
где dr = dt/j — собственное время частицы, с компонентами (приводим обыч-
обычные и симметричные обозначения в фигурных скобках, а также сокращенное
обозначение с использованием трехмерных векторных величин)
lib Щ, Щ, U\ Л . . ч /1г>\
> = GV, гс7); A8)
yvx, 7^1/' ^i^zi icy I
A9)
B0)
B1)
^ — релятивистская энергия частицы E), т — инвариантная масса покоя
частицы;
в) 4-сила Минковского 5 с компонентами
#2> Зз> #4 1 . • ч
it it * ^ ^(tF,-7(Fv)), B2)
с '
где F — обычная трехмерная сила.
Четырехмерное уравнение движения
б)
4-импульс
с компонентами
где р
Г Р1'
и <
— релятивистский
Р2>
ж, myvy
импульс
= mlt
РЗ» Р4
17^^, i — I
с ^
частицы:
Р =
= 7717V,
. ^
г —
с
можно переписать в компонентах (первые три компоненты сведены в одно
трехмерное векторное уравнение):
| (myv) = F, B4)
^ (тс2-/) = Fv. B5)
at
Из определения релятивистской энергии частицы и релятивистского им-
импульса следует полезное соотношение:
тс7 & /О^ч
—тг- v = — v. B6)
232
Приложения
В релятивистской электродинамике вводят следующие 4-векторы:
а) 4-плотность тока ~? с компонентами
¦t
51, 52, 5з, 54
jx, jy, jz, icp
B7)
где j — плотность тока (j = pv), p — плотность заряда;
б) 4-потенциал Ф с компонентами
Ф2,
Ф4
Ax, Ay, Az, i- (
с
B8)
где А — векторный, (р — скалярный потенциалы электромагнитного поля.
В трехмерной электродинамике поля Е и В связаны с потенциалами А и
следующими формулами:
Е = -
В = rot A =
-A,
i J k
д д д
дх ду dz
¦А-Х А-у J\Z
= g г + ^ j + ^ Л.
B9)
C0)
В релятивистской электродинамике связь полей Е и В с компонентами 4-
потенциала дается соотношением
(i,k= 1,2,3,4).
Величины Fik образуют тензор электромагнитного поля:
Fik =
0
-cBz
сВу
гех
cBz -сВу -ъЕх
-гВх
сВх
0
iE,
-гЕ
-iE
0
Правила преобразования компонент тензора:
F'ik = QL
C1)
C2)
C3)
C4)
где справа подразумевается двойное суммирование по т и /; индексы г, к
независимо принимают все значения от 1 до 4; коэффициенты aim — элементы
матрицы Лоренца A0).