Автор: Гольдштик М.А. Штерн В.Н. Яворский Н.И.
Теги: движение жидкостей гидродинамика физика механика гидромеханика
ISBN: 5-02-028637-336
Год: 1989
Текст
М.А. ГОЛЬДШТИК
В.Н. ШТЕРН
Н.И.ЯВОРСКИЙ
ВЯЗКИЕ
ТЕЧЕНИЯ
ПАРАДОКСА Л ЬН Ы МИ
СВОЙСТВАМИ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ
М. А. ГОЛЬДШТИК
В. Н. ШТЕРН
Н. И. ЯВОРСКИЙ
ВЯЗКИЕ
ТЕЧЕНИЯ
С ПАРАДОКСАЛЬНЫМИ
СВОЙСТВАМИ
Ответственный редактор
академик В. Е. Накоряков
НОВОСИБИРСК
«НАУК А»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1989
УДК 532.516
Вязкие течения с парадоксальными свойствами/Гольд-
штик М. А., Штерн В. Н., Яворский Н. И.— Новосибирск:
Наука. Сиб. отд-ние, 1989.— 336 с.
ISBN 5-02-028637-336.
В монографии обсуждается значение парадоксов в динамике-
вязкой жидкости, дается их классификация. Приводятся новые
примеры парадоксов, связанных с потерей существования реше-
решений уравнений Навье — Стокса, неединственностью стационарных
решений, спонтанным возникновением вращения, неравномер-
неравномерностью предельного перехода при устремлении к нулю вязкости,
неклассическими асимптотическими разложениями в теории вяз-
вязких струй. Парадоксы выявлены в широком классе гидродинами-
гидродинамических задач.
Издание рассчитано на специалистов в области гидромеханики.
Табл. 2. Ил. 121. Библиогр.: 263 пазв.
Рецензенты
член-корреспондент АН СССР О. Ф. Васильев,
доктор физико-математических наук С. Ф. Чекмарев
Утверждено к печати
Институтом теплофизики СО АН СССР
г 1604100000-837 .noon KH 2 © М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн,
055@2)—89 ' ' Н. И. Яворский, 1989
ISBN 5—02—028637—0
ПРЕДИСЛОВИЕ
Замысел этой монографии возник в связи с докладом
«Парадоксы вязких течений» одного из авторов на VI Всесоюзном
съезде по теоретической и прикладной механике в Ташкенте в сен-
сентябре 1986 г. Проблема парадоксов привлекла неожиданно большое
внимание даже тех специалистов, чья непосредственная профессио-
профессиональная деятельность не связана с динамикой вязкой жидкости.
Поэтому есть основания ожидать, что монография заинтересует до-
достаточно большой круг читателей.
Парадоксы занимают важное место в научном познании. Они
составляют существенный элемент при формировании научного ми-
мировоззрения, акцентируя внимание на нетривиальном характере
научных теорий и фактов. С другой стороны, возбуждая воображе-
воображение исследователей, они служат мощным импульсом для дальней-
дальнейшего развития науки. Гидродинамики не составляет в этом отно-
отношении исключения, что было показано в курсе Г. Биркгофа. И хотя
гидромеханика — классическая область знаний, в ее современном
развитии парадоксы играют по-прежнему немаловажную роль.
И, пожалуй, наиболее богата парадоксами, число которых, по-види-
по-видимому, далеко от насыщения, динамика вязкой жидкости.
Структура книги такова. В первой главе обсуждаются общие
вопросы и уже известные наиболее существенные парадоксы дина-
динамики вязкой жидкости. В последующих трех главах излагается но-
новый материал. Во второй и третьей главах показаны парадоксаль-
парадоксальные свойства автомодельных решений уравнений Навье — Стокса из
двух обширных классов — конических течений, в которых скорость
убывает с удалением от начала координат, и течений, в которых
скорость линейно растет. Последняя глава посвящена необычным
свойствам неавтомодельных струй. В пределах главы принята
-одинарная нумерация формул. Ссылки на формулы из другого
параграфа внутри той же главы имеют двойную нумерацию, а из
других глав — тройную. При ссылках на параграфы из другой гла-
главы используется двойная нумерация: первая цифра означает номер
главы.
Авторы весьма признательны Г. Ю. Степанову за предвари-
предварительные плодотворные обсуждения, которые стимулировали написа-
написание этой книги. В процессе оформления рукописи большую помощь
оказали В. Г. Косинова и Т. Л. Криштофор, которым авторы при-
приносят свою благодарность.
Глава 1
О ПАРАДОКСАХ
ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Согласно Большой Советской Энциклопедии парадоксом
называется неожиданное суждение, резко противоречащее общепри-
общепринятому мнению. Этим определением понятие «парадокс» относится
к области логики. Логические парадоксы в виде разного рода «апо-
«апорий» и «антиномий» известны с античных времен. Однако в совре-
современной «безумной» науке часто парадоксальными представляются
не только умозаключения, но и сами физические явления. Такие
неожиданные, противоречащие ортодоксальной интуиции физиче-
физические ситуации, называют эффектами. Примеры парадоксальной фи-
физики общеизвестны. Достаточно упомянуть квантовую механику,
мир элементарных частиц или современную космогонию, где на
наших глазах так называемый «здравый смысл» терпит неизмен-
неизменное фиаско и торжествуют «парадоксальные» истины. Парадоксы —
апофеоз нетривиальности нашего мира. Это понимал еще Пушкин,
написав:
«О, сколько нам открытий чудных
Готовят просвящепья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретатель...»
Однако со временем парадоксы перестают казаться таковыми.
Они входят составной частью в основы знания и деформируют сам
способ мышления. Кого ныне удивишь первым законом Ньютона?
А во времена Галилея закон инерции казался парадоксальным, так
как повседневный опыт в совокупности с авторитетом Аристотеля,
казалось бы, говорил о том, что движущееся тело, предоставленное
самому себе, обязательно тормозится. Специальная теория относи-
относительности, казавшаяся первоначально большинству физиков не бо-
более чем логическим вывертом, стала повседневным рабочим инстру-
инструментом для техники ускорителей, выработала новый релятивист-
релятивистский стиль мышления. Ныне человек, выступающий против теории
относительности (а такие хоть и редко все же находятся!) кажется
замшелым монстром.
Нас, однако, интересует гидродинамика — наука, в которой
очень много парадоксов, имеющих для нее первостепенное значе-
значение. Первым, кто обратил внимание на роль парадоксов и дал их
классификацию, был Биркгоф. Свою книгу «Гидродинамика» [12]
1. Введение
он начинает главой «Гидродинамические парадоксы», считая, что
искусство применения гидродинамических теорий можно постигнуть,
лишь изучив парадоксы. Однако под парадоксом Биркгоф понимает
такой вывод из теории, который расходится с физическими наблю-
наблюдениями, создавая кажущееся противоречие. Подобное понимание
существенно сужает предмет, но все равно охватывает огромное
число гидродинамических явлений.
Исторически первым, произведшим на современников ошелом-
ошеломляющее впечатление, был парадокс Эйлера — Даламбера, согласно
которому при потенциальном обтекании тело не испытывает силы
сопротивления. Значительно позже выяснилось, что данный пара-
парадокс связан с идеализацией схемы течения, которое в действитель-
действительности, во-первых, не обязано быть потенциальным, во-вторых, ста-
стационарным, в-третьих характеризуется вязкостью, хотя и малой,
по способной играть кардинальную роль. В сущности, данный пара-
парадокс сродни парадоксу Галилея: в идеальной жидкости, как и в
«эфире», сила нужна для создания ускорения, а пе скорости. От-
Отметим, кстати, что попытки создания теории «эфира» на основе
схемы идеальной жидкости наталкиваются на ту трудность, что в
отличие от второго закона Ньютона в гидродинамике «масса» носит
тензорный характер, так как она зависит от ориентации тела отно-
относительно направления движения.
Таким образом, парадокс Эйлера — Даламбера связан с пере-
переупрощением модели, и таких парадоксов много (см. [12]).
Со времен Л. Прандтля, создавшего теорию пограничного слоя, все-
всеобщее распространение получило мнение, что учет вязкости сни-
снимает все парадоксы. Как пишет О. А. Ладыженская [84], «матема-
«математическая модель вязкой жидкости с ее основными уравнениями
Навье — Стокса, как мальчик для битья, должна была отвечать за
все несуразности в теории идеальной жидкости (выдать подъемную
силу, лобовое сопротивление, турбулентный след и многое другое)».
Но, по мнению Ольги Александровны, «мальчик» не справился с
задачей, так как в теории вязкой жидкости появились свои парадок-
парадоксы. В этой связи представляется уместным кратко обсудить вопрос
о том, насколько надежными и безупречными представляются сами
уравнения Навье — Стокса, которые для простоты рассмотрим в
случае несжимаемой жидкости:
pd\/dt + p(\, V)v = -V^ + JxAv + /; Vv = 0. A)
Здесь р — плотность жидкости; и. — коэффициент динамической
вязкости; v — вектор скорости; р — давление; f—ускорение массо-
массовых сил.
Следует отметить, что уравнения Навье — Стокса появились
задолго до работ Прандтля *. Однако гидродинамики поначалу не
* Первая работа Навье датирована 1822 г., а работа Стокса относится к
1845 г. [242].
Гл. 1. О парадоксах вязких течений
очень доверчиво отнеслись к таким уравнениям. Это заметно в
классической монографии [85], и во многих других курсах, где тео-
теория вязкой жидкости представлена значительно меньшим объемом,
чем теория идеальной жидкости.
Сомнения вызывали не столько сами уравнения, сколько усло-
условия прилипания на твердых стенках. Эти условия являются чисто
опытными, до сих пор не имеющими твердого теоретического обос-
обоснования. Между тем не исключено, что малое скольжение, допу-
допускаемое кинетической теорией, в некоторых случаях способно вы-
вызвать, как и малая вязкость, немалые эффекты. Самое повышение
порядка уравнений, учитывающих вязкое трение, могло явиться
источником теоретической неудовлетворенности. Так, если исходить
при выводе уравнений движения из кинетической теории газов, где
уравнения Навье — Стокса получаются в качестве второго приближе-
приближения, то возникает вопрос о постановке граничных условий, напри-
например для третьего приближения — уравнений Барнета. Что же, кро-
кроме скорости, надо еще задавать и трение на стенке? Сама постанов-
постановка подобного вопроса говорит о неблагополучии ситуации.
Видимо, поэтому в основных курсах гидродинамики предпоч-
предпочтение отдается феноменологическому выводу уравнений Навье —
Стокса. Последний имеет простую логическую структуру и опирает-
опирается главным образом на две аксиомы: о короткодействии внутренних
сил, которые, следовательно, сводятся к силам поверхностным, и о
тензорном законе вязкого трения, обобщающем закон Ньютона. При
этом линейная связь между касательными напряжениями и скоро-
скоростями деформаций может рассматриваться как имеющая источник
в термодинамике необратимых процессов. В такой постановке, по
сути дела, отсутствует модельный элемент, за исключением того,
что жидкость есть подвижная сплошная среда, в которой касатель-
касательные напряжения возникают лишь при наличии скоростей деформа-
деформаций, т. е. течения.
Что касается условий прилипания, то в феноменологической
постановке они могут быть заменены некоторыми условиями про-
проскальзывания. Однако эксперимент, относящийся к обычным усло-
условиям течения, определенно говорит в пользу условий прилипания.
Исключение составляют лишь весьма разреженные газы. Но и в
кинетической теории в пределе малой длины свободного пробега
молекул в качестве граничного условия вырабатывается условие
прилипания.
Приведенные соображения говорят в пользу уравнений Навье —
Стокса с условиями прилипания, как фундаментального закона
природы. Весь имеющийся опыт физического и численного экспе-
экспериментов убеждает в правильности такого вывода. Даже неодно-
неоднократно высказанные сомнения по поводу применимости уравнений
Навье — Стокса к проблеме турбулентности теперь, по-видимому,
полностью отпали под влиянием прямых численных экспериментов
последнего времени [111, 218]. Но если это так, то как же быть с
1. Введение
парадоксами вязкой жидкости? Для ответа на этот вопрос необхо-
необходимо рассмотреть строго доказанные утверждения, относящиеся к
постановке задач гидродинамики вязкой жидкости, и тем самым
выявить роль ограничивающих условий, содержащихся в формули-
формулировках теорем, нарушение которых и приводит к возникновению
разного рода парадокса. Однако прежде чем переходить к этому
вопросу, приведем необходимые для дальнейшего известные гидро-
гидродинамические соотношения, вывод которых содержится во многих
курсах механики жидкости, например в [18].
В случае переменной кинематической вязкости v = |я/р удобно
использовать уравнения Навье — Стокса A) в тензорных обозна-
обозначениях:
dt+Ujdx.~ р дх. + дх. [дх. + дх.
J I J \ J I
Данные соотношения непосредственно пригодны для декартовой си-
системы координат с i, j' =¦ 1, 2, 3. После применения оператора rot и
введения завихренности ю уравнения A) приобретают форму
Гельмгольца
d&/dt + (y, V)o)=(«, V)v + vAft>; <o = rotv. C)
В случае плоского движения введение функции тока -ф позволяет
добиться тождественного выполнения уравнения неразрывности
vx = dty/ду; vy — —dty/дх. D)
Вектор to в этом случае имеет единственную ненулевую компоненту
дх ду
Уравнение C) приобретает форму уравнения теплопроводности и
выражает процесс конвективной диффузии завихренности
rfco (9<в да дьз . ,,>.
dt dt х дх у ду к '
Тензор напряжений ау связан с тензором скоростей деформаций
Бц = l/2(dVi/dXj+ dvj/дхг) обобщенным соотношением Ньютона
G)
В цилиндрической системе координат (г, ср, z) уравнения дви-
движения имеют вид
d < f 2 %V
dt ' т дг ' *гд(р ' "z dz ' г р
2 ду
ЙУФ , vrv<p _ 1 5/У_ .
(8)
Гл. 1. О парадоксах вязких течений
+ у( -.- дд r dv' , 5Ч ! *v*
Компоненты тензора напряжений выражаются соотношениями
v \ dv
= i* (if
; azz= -р + г^-^.
В случае осесимметричного движения, когда д/dq = 0, возможно
введение функции тока, обеспечивающей выполнение уравнения не-
неразрывности,
г г dz ' z г дг v '
В сферической системе координат (R, 9, ф) имеем
д" dV dV ^ ^ + ^ 1 ар
2
~ vl
"Ы, ¦ "r R dR ^ 9 лае ^ л sin e аф ^ л р лае
о dvo va
ф ф . ф - ф ф | ф \ R ' 0 о "у
dt dR Rdu Л sin e аф Л
1 5p . , Г л „ , 2 9vR 2 cos 9 dve
1 э К sine) 1_
Л sin 0 56. +Лэте
§ 1. Введение
, r> I -1 --ф . _^Н . VQ С*ё
Р + 4\Х\ R s.nft Лт "+¦ -д- П д-
1 5и(
_ Т^а_ „г д , 1 _^_ • о_?_
2 ^ Т ал dR + л2 e зе sm ° ае
Для осесимметричного движения при д/Зср = 0 можно ввести
функцию тока Стокса согласно соотношениям
В случае стационарного движения уравнение B) можно записать
в дивергентной форме
** = ». <»>
где введен тензор плотности потока импульса
11ц = pViVj — ais. A5)
Поток Пц должен сохраняться при переходе через поверхности раз-
разрыва, расположенные внутри жидкости. Уравнения движения в
форме A4) удобно использовать для получения интегралов сохра-
сохранения при стационарных течениях. Интегрирование A4) по объему
т, не содержащему особенностей и заключенному внутри контроль-
контрольной поверхности S путем использования формулы Гаусса — Остро-
Остроградского, позволяет получить теорему импульсов
( П;и dS = 0; f pvtvn dS=§ ain dS. A6)
- S S S
Аналогично A6) можно получить теорему моментов, которую
удобно записать в векторной форме:
f (г X v) vndS = f (r X о„) dS. A7)
S S
Умножение B) на v{ и интегрирование по области дает теорему об
изменении кинетической энергии:
Здесь правая часть представляет диссипативную функцию, опреде-
10 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
ляющую переход кинетической энергии в теплоту вязкого трения.
Ее можно записать в виде
fl = 2vJz??;-dT. A9)
т
Для описания явлений теплопереноса используется уравнение
энергии
B0)
~il —j -~)
где T — температура; cp — теплоемкость; X — теплопроводность жид-
жидкости.
В случае несжимаемой жидкости приведение уравнения A) к
безразмерной форме вырабатывает единственный .критерий подо-
подобия — число Рейнольдса Re = VL/v, где V л L — характерные ско-
скорость и масштаб течения; v — коэффициент кинематической вяз-
вязкости.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИИ НАВЬЕ — СТОКСА
И КЛАССИФИКАЦИЯ ПАРАДОКСОВ
2.1. Постановки гидродинамических задач
Задача математической физики считается поставленной
корректно, если добавочные условия, начальные и краевые, обеспе-
обеспечивают: 1) существование решения, 2) его единственность, 3) не-
непрерывную зависимость от данных задачи и параметров. С точки
зрения этого определения корректные постановки в гидродинамике
составляют небольшой класс задач, относящихся главным образом
к течениям с малыми числами Рейпольдса, когда нелинейность
уравнений A.1) не проявляется. С ростом числа Рейнольдса вклю-
включается действие нелинейности и начинают проявляться свойства,
несовместимые с определением корректности. Так, для нелинейных
уравнений хорошо известно свойство непродолжимости решения в
области значений аргумента, превышающих некоторый предел. По-
Поэтому для нестационарных задач решение за конечный промежуток
времени может перестать существовать, потерять регуляторность
или единственность. Правда, для физических задач гидродинамики
такое поведение означало бы, скорее всего, выход за границы при-
применимости модели. Для стационарных задач нелинейность может
породить неединственность решения при одних числах Рейнольдса
и его несуществование при других.
Разрешимость гидродинамической задачи существенным обра-
образом зависит от ее постановки, т. е. от начальных и главным обра-
§ 2. Классификация парадоксов 11
зом краевых условий. В гидродинамике обычно используются сле-
следующие три типа «классических» граничных условий.
A. Условия прилипания для ограниченной области, связанные
с заданием вектора скорости на границе, удовлетворяющего лишь
условию соленоидальности.
Б. Условия в бесконечной области для задачи обтекания, когда
на обтекаемой границе задаются условия прилипания, а на беско-
бесконечности постоянный вектор скорости.
B. Условия на свободных границах. Последние в данной рабо-
работе не обсуждаются.
Заметим, что в задаче обтекания постоянство вектора v, явля-
является обязательным [134] в отличие от постановок для вихревого
движения идеальной жидкости, когда на бесконечности допустимо
задание неоднородного поля скорости. Некоторый промежуточный
вариант — внутренняя задача в неограниченной области, например
задача о течении жидкости в бесконечной трубе. В этом случае
вопрос о концевых условиях далеко не тривиален, хотя для лами-
ламинарных движений естественно считать, что на концах (имеющих
разные сечения) асимптотически должны быть заданы пуазейлевы
режимы. Частным случаем задачи в бесконечной области является
проблема вязких струй, которая в обобщенной формулировке мо-
может быть поставлена следующим образом. На сфере единичного
радиуса или на другой ограниченной поверхности дано произволь-
произвольное поле вектора скорости. Требуется найти стационарное решение
вне этой сферы, сопрягающееся с покоем на бесконечности. Теории
вязких струй посвящена обширная литература [7, 26, 96]. Эта про-
проблема подробно обсуждается в настоящей монографии.
Наряду с постановками А, Б, В в принципе возможны и дру-
другие самые разнообразные постановки, из числа которых можно
упомянуть задание на фиксированной границе области нормальной
компоненты скорости и касательного напряжения. Однако послед-
последняя постановка может оказаться недостаточной или даже внутрен-
внутренне противоречивой. Примером может служить циркуляционное те-
течение вязкой жидкости в круговой области, на границе которой
даны условия непротекания и отсутствия касательных напряжений.
Очевидно, что решение такой задачи неединственио: квазитвердое
вращение с произвольной угловой скоростью удовлетворяет всем
условиям задачи. Строгие теоретические результаты, полученные
для уравнения Навье — Стокса, в основном касаются постановок А
и Б [84, 129]. В известной монографии О. А. Ладыженской [84] до-
доказано, что стационарная задача с граничными условиями А или
Б имеет, по крайней мере, одно гладкое решение при любых числах
Рейнольдса. При этом граница области и граничные условия не
обязательно должны быть гладкими. Однако требуется, грубо гово-
говоря, ограниченность заданных граничных значений вектора скорости
и в общем случае массовых сил.
Для задачи обтекания [134] доказано, что стремление вектора.
12 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
скорости к величине уте различно по разным направлениям. Сущест-
Существует параболоидальная область (след), где возмущения затухают как
1/R, а вне этой области |v — v«,| ~ 1/R2. Проблема единственности
стационарных решений решается положительно только для случая
малых чисел Рейиольдса. В противном случае имеется уверенность,
что неединственность является скорее правилом, чем исключением.
Классический пример такого рода представляет знаменитая задача
Тейлора о возникновении конвективных ячеек для течения между
двумя вращающимися цилиндрами. В данной монографии построено
много других примеров неединственности.
Особый интерес в стационарной гидродинамике представляет
предельный переход v ->- 0. Это связано с тем, что наиболее распро-
распространенные жидкости — вода и воздух — имеют весьма малые зна-
значения кинематической вязкости по сравнению с характерными вели-
величинами VL, где L — линейный масштаб течения. Асимптотическую
постановку этой проблемы дала теория пограничного слоя Праядт-
ля и ее современное расширение — теория сращиваемых асимпто-
асимптотических разложений [4, 20]. Однако классическая схема Прантдля
не всегда применима. В данной монографии будут продемонстриро-
продемонстрированы различные возможности, реализующиеся в предельном пере-
переходе v ->- 0: а) устремление к невязкому пределу, б) стремление к
другому пределу, в) отсутствие предела. Разрешимость начально-
краевых нестационарных задач доказана для всех моментов време-
времени лишь в случае двух пространственных измерений [84]. В общем
трехмерном случае разрешимость доказана для гладких начальных
данных на малом интервале времени.
Вопрос об однозначной разрешимости трехмерной задачи в «це-
«целом» для любого времени, любых гладких данных задачи и любых
размеров области течения до сих пор остается открытым. Известно
«слабое» решение Хопфа, однако, как показано в [84], класс «сла-
«слабых» решений недопустимо широк, так как в нем нарушается един-
единственность течения, что несовместимо с принципом детерминизма в
классической механике. Если допустить существование «хорошего»
решения в целом, то доказывается и его единственность. Так же
доказывается непрерывная зависимость нестационарных решений
от начальных данных и внешних сил, но только для конечных ин-
интервалов времени. Впрочем, в классе двумерных задач с пулевыми
граничными условиями это доказано для произвольного интервала,
грубо говоря, в такой формулировке: если условия нулевые, а си-
силы убывают, то и движение жидкости затухает. Для задач с не-
неоднородными условиями непрерывной зависимости решения в целом
от начальных данных, вообще говоря, нет, ибо как известно, при
больших числах Рейнольдса стационарные течения могут терять
устойчивость. Это, относится, например, к течению Пуазейля в пло-
плоском канале.
Вопросом устойчивости течений вязкой жидкости являются об-
обширным предметом самостоятельного изучения. Число работ в этой
§ 2. Классификация парадоксов _13
области поистине безгранично. Укажем лишь специальные моно-
монографии [11, 44, 53, 89, 100]. Такое внимание к проблемам гидроди-
гидродинамической устойчивости обусловлено тем, что, по-видимому, не
существует реальных течений, отличающихся от поступательного
движения и твердотельного вращения, которые сохраняли бы устой-
устойчивость при всех числах Рейнольдса, т. е. не происходило бы тур-
булизации под влиянием достаточно сильных возмущений.
Принципиально новая ситуация, касающаяся непрерывной за-
зависимости решений от параметров, возникла в связи с развитием
теории странных аттракторов [29]. Хотя теория аттракторов срав-
сравнительно далеко продвинута только для достаточно простых дина-
динамических систем [176], первоначальные сомнения в том, что она
применима в гидродинамике, были рассеяны как прямыми экспери-
экспериментальными подтверждениями [93, 198, 201], так и теоретически,
когда было обнаружено развитие хаотической динамики сразу после
потери равновесия состояния покоя при возникновении смешанной
тепловой и концентрационной конвекции [154]. В построенных при-
примерах непрерывная зависимость решений от параметров нарушает-
нарушается уже не при отдельных их значениях, а на множестве значений
параметров положительной меры.
Теория турбулентности, которая должна была бы составить
раздел теоретической гидромеханики вязкой жидкости, все еще
ожидает своего замкнутого построения, хотя этой проблеме посвя-
посвящено невероятное число работ, в том числе весьма высокого уров-
уровня, например [100]. В последние годы прогресс в области турбулент-
турбулентности связывают с экспериментальным [23] и теоретическим изуче-
изучением [126] структур.
2.2. Классификация парадоксов
Не претендуя на окончательное решение вопроса, можно
предложить следующую схему классификации гидродинамических
парадоксов (рис. 1) [40]. Все парадоксы разделяются на два обшир-
обширных класса: эффекты — необычные, парадоксальные физические яв-
явления, наблюдаемые в эксперименте, и парадоксы моделирования,
возникающие в теоретическом описании физического явления. Пер-
Первые могли бы составить предмет специальной монографии. Здесь
им посвящен лишь § 5, где изложены некоторые эффекты, встре-
встречавшиеся в экспериментальных исследованиях авторов. Вторые свя-
связаны с особенностями принятой теоретической модели и с поста-
постановкой соответствующей математической задачи. Они подразделя-
подразделяются па две группы: парадоксы физической модели и парадоксы
математической модели.
Парадоксы физической модели отражают неадекватность мо-
модели физической реальности, они выявляют неточность принятых
допущений. Некоторые из приближенных моделей входят в фунда-
фундамент современной гидродинамики, хотя и обнаруживают парадоксы.
14
Гл. 1. О парадоксах вязких течений
Парадоксы
Парадоксы моделирования
Эффекты
Парадоксы физической модели
Парадоксы математической мо-
модели
Парадоксы не-
неполноты
Парадоксы скры-
скрытых инвариантов
Асимптотические
парадоксы
Парадоксы особых то-
точек
Парадоксы неоп-
неопределенности
Парадоксы пере-
переопределенности
Парадоксы авто-
модельности
Рис. 1.
Таковы модель идеальной жидкости, модель стоксовой жидкости и
модель пограничного слоя. Наиболее знаменитыми парадоксами
этого вида являются упомянутый во введении парадокс Эйлера —
Даламбера и парадокс Стокса, рассматриваемый ниже. В рамках
этой группы, в свою очередь, можно выделить следующие семейст-
семейства парадоксов: парадоксы неполноты теоретического описания, па-
парадоксы симметрии и парадоксы скрытых инвариантов.
Парадоксы неполноты описания относятся не только к тем
случаям, когда модель не описывает существенных характеристик
течения реальной жидкости (например, отсутствие силы сопротив-
сопротивления при безотрывном обтекании тел идеальной жидкостью), по и
к ситуациям, когда, казалось бы, в условиях физически «разумной
постановки» не хватает данных для определения всех параметров
решения. Такого рода неоднозначности возникают в теории закру-
закрученных и неавтомодельных струй. Выход из положения заключается
в указании нетривиальных скрытых инвариантов, полностью опре-
определяющих главные члены асимптотики течения. Явления подобного
типа можно охарактеризовать как парадоксы скрытых инвариантов.
Парадоксы симметрии связаны с нарушением непрерывной за-
зависимости решения от данных задачи. Ввиду их большой принци-
принципиальной значимости поговорим о них подробнее в разд. 3. Пара-
Парадоксы математической модели связаны в основном с некорректной
§ 2. Классификация парадоксов 15
математической постановкой задачи и обусловлены нарушением
условий 1)—3), сформулированных в начале данного раздела.
В этой группе следует особо выделить следующие семейства пара-
парадоксов: неопределенности, переопределенности, особых точек, авто-
модельности, а также асимптотических парадоксов, связанных с
предельными переходами. Парадоксы педоопределенности связаны
с возникновением неединственности решений. Для получения одно-
однозначного ответа здесь необходима дополнительная информация, на-
например, в виде указания предыстории процесса.
Парадоксы переопределенности связаны с несуществованием
решения. Ясно, что нетрудно построить примеры задач с «лишни-
«лишними» условиями, которые приводят к неразрешимости. Более тонким
представляется явление потери существования решения, когда па-
параметры задачи, например число Рейнольдса, переходят некоторые
границы. Причины такого поведения могут быть различными, но
всегда связаны с отходом от «классической» постановки задачи.
Так, парадоксы особых точек связаны с отказом от условия
ограниченности скорости жидкости. Само существование особых то-
- чек гидродинамического поля представляется парадоксальным. Яс-
Ясно, что в окрестности такой точки исходная модель должна терять
силу и заменяться другой уточненной моделью, например, учиты-
учитывающей сжимаемость. Однако, казалось бы, такое реалистичное свой-
свойство, как вязкость, должно само по себе исключить особые точки с
их бесконечными градиентами скорости. Тем не менее этого поче-
почему-то не происходит. Поэтому приходится интерпретировать особые
точки в смысле модели течения вдали от реальных объектов. А так
как при этом реальные граничные условия заменяются требова-
требованием, чтобы рассматриваемая особенность допускалась уравпения-
жи гидродинамики, то и возникают задачи с нестандартной поста-
постановкой, когда возможны нарушения корректности.
Очень часто с особыми точками связаны автомодельные поста-
постановки задач, в которых сокращается число независимых перемен-
переменных путем их группирования в определенные комбинации. Регуля-
Регуляризация задачи при помощи введения некоторых фиктивных гра-
границ, например, окружающих особые точки, требует постановки
на этих границах нестандартных условий, совместимых с пред-
предписанной автомодельностыо, но способных породить некоррект-
некорректность задачи.
Асимптотические парадоксы будем условно классифицировать
но величине вязкости — парадоксы большой вязкости, парадоксы
средней вязкости и парадоксы малой вязкости. Парадоксы большой
вязкости относятся к необычным явлениям в модели ползущих те-
течений. Парадоксы средней вязкости возникают как нетривиальные
следствия противоборства сил диффузии и инерции. Наконец, пара-
парадоксы малой вязкости касаются обстоятельств предельного пере-
перехода v -*¦ 0 и имеют большое число различных аспектов, чему по-
посвящены многие страницы этой книги.
16 Гд. 1. О парадоксах вязких течений
Приведенная классификация парадоксов имеет, разумеется,
условный характер. Очень часто необычные гидродинамические яв-
явления связаны не с одним, а с целым букетом парадоксов. Так
обсуждаемый в § 3 знаменитый парадокс Стокса может быть ин-
интерпретирован и как парадокс неточности теоретического описания,
и как парадокс бесконечности, и как парадокс большой вязкости,
и даже как парадокс средней вязкости. Рассматриваемая в этой
книге задача о пористом вращающемся диске на воздушной подуш-
подушке также являет комплекс парадоксальных свойств. Тем не менее,
на наш взгляд, классификация парадоксов полезна, так как помо-
помогает взглянуть на предмет с более общей позиции, понять корни
парадоксов и, следовательно, глубже вникнуть в их смысл.
§ 3. ПРИМЕРЫ ИЗВЕСТНЫХ ПАРАДОКСОВ
3.1. Парадокс Стокса
Исторически первым и наиболее известным примером
вязкого парадокса является парадокс Стокса. Он касается пробле-
проблемы медленного обтекания тел. Поскольку уравнения движения A.1)
содержат наряду с линейными квадратичные члены, то, казалось
бы, всегда можно рассмотреть столь медленное или, как говорят,
ползущее движение жидкости, что квадратичные члены допустимо
отбросить и рассматривать линейную задачу
pdv/dt = -Vp + yiAy + i- VV = O. A)
Уравнения A) применяются в гидродинамике. Благодаря их ли-
линейности удается построить решения для многочисленных задач,
образующих наиболее далеко продвинутый раздел теоретической гид-
гидромеханики [136]. Однако уже задача обтекания тела однородным
потоком обнаруживает такие свойства линеаризованных уравнений
A), которые свидетельствуют о незаконности предпринятой линеа-
линеаризации даже при сколь угодно малых числах Рейнольдса. Оказы-
Оказывается, что вдали от тела отброшенные члены перестают быть ма-
малыми по сравнению с оставленными и, хотя они все исчезают на
бесконечности, эта погрешность приводит к разнообразным пара-
парадоксам, например к неразрешимости плоских задач для системы A).
С этим парадоксом столкнулся еще основоположник гидродина-
гидродинамики вязкой жидкости Дж. Стоке, который решил задачу медлен-
медленного обтекания шара единичного радиуса однородным потоком, за-
заданным скоростью на бесконечности р„, имеющей горизонтальное
направление. Для стационарного осесимметричного движения си-
систему A) при i = 0 можно записать в виде одного бигармониче-
ского уравнения для функции тока A.13) в сферической системе
координат
§ 3. Примеры известных парадоксов 17
Граничные условия прилипания на поверхности шара при R = 1
имеют вид
я|з = д^/дВ. = 0. C)
На бесконечности ставится условие
•ф = 1/2 • VcoR2 sin2 9. D)
Решение уравнения B) с условиями C) и D) нетрудно отыскать
в форме
m2Q. E)
Это знаменитое решение Стокса, подробное обсуждение которого
приводится во всех курсах гидродинамики.
Теперь рассмотрим плоскую задачу обтекания цилиндра. Для
функции тока, введенной соотношениями A.10), также получается
бигармоническое уравнение
ДДф = 0; А = д2/дг9- + Mr ¦ д/дг + 1/г2 ¦ д2/дср2.
Условия C) сохраняются, а условие D) приобретает вид
¦ф = УсоГвтср. F)
Решение уравнения, удовлетворяющее условиям C), можно за-
записать в виде
a|) = C[(l + 26)rlnr-l/2 -r+1/2 -A + ЪIг- 1/2 • &r3]sm<p,
где Ъ и С — произвольные постоянные. Непосредственно видно, что
их выбором невозможно удовлетворить условию F). Таким обра-
образом, задача обтекания цилиндра в стоксовском приближении ре-
решения пе имеет. Это и составляет содержание парадокса Стокса.
Сам Дж. Стоке [242] считал отсутствие стационарного решения
признаком увлечения движущимся цилиндром всей безграничной
массы жидкости. В определенном смысле близкое явление имеет
место при решении задачи теплопроводности.
Пусть дан шар радиуса а с температурой поверхности То', тем-
температура на бесконечности, составляет Т„. Найти температурное
поле. В рассматриваемом одномерном случае уравнение теплопро-
1 d D2dT n
водности ~F Jn" Ж= имеет решение, удовлетворяющее всем
условиям Т ==(То~ Too)alr + Т„. Аналогичная задача для круга
(или бесконечного цилиндра) описывается уравнением г~Ы/с1гХ
X(rdT/dr) = 0, решение которого Т = АЫг + В не ограничено при
г=°°, если А?=0. Таким образом, бесконечный цилиндр в отличие
от шара (или конечного цилиндра) за бесконечное время прогре-
прогревает все пространство. Этот вывод подтверждается решением не-
нестационарной задачи. Он оправдывается тем физическим соображе-
соображением, что бесконечных цилиндров не бывает.
2 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
18 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
Однако объяснение Дж. Стокса по аналогии пе является вер-
верным. Как теперь установлено [84, 134], плоская задача обтекания
цилиндра в нелинейной постановке разрешима при любых числах
Рейнольдса и это решение удовлетворяет условию F). Дефект, как
указывалось, заключается в линеаризации и проявляется при рас-
рассмотрении течений в бесконечных областях.
Любопытные разультаты получаются в плоской задаче при
расположении источников движения не на бесконечности, как в
задаче обтекания, а на конечном расстоянии от тела. Рассмотрим,
например, обтекание круга единичного радиуса потоком от вихря
интенсивности Г, расположенного в точке zo вне круга. На наш
взгляд, решение этой задачи довольно поучительно. Здесь движе-
движение описывается также бигармоническим уравнением ДДгр = 0 с
условиями прилипания. Для решения задачи воспользуемся комп-
комплексным представлением бигармонической функции [83]. Вихрь
создает движение с комплексным потенциалом Wo = (l72n?)X
Xln(z — zo). Поскольку Vq = dWo/dz, для комплексной скорости
имеем
Vo = -(TI2ni)l(z-zo), G)
где чертой сверху обозначена операция комплексного сопряжения.
Будем искать решение в виде F=Fo+Fi. Вязкая добавка к ско-
скорости Vi соответствует функции тока г|)ь Согласно [83] имеем
'(*) = "Й-+ lii = - 17у + iv* = iVi = <KZ) + Z(P'(Z) + X(z), (8)
где cp(z) и %(z)— искомые аналитические функции комплексного
переменного z = x + iy. На границе круга С, где z = l = e'e, V = 0,
поэтому Fi(?) = — Vo(l), а так как /(!) = fFi(|), то
Поскольку на единичной окружности | = 1/| и так как %(l/z) —
¦=F(z) — функция комплексного переменного аналитическая внутри
круга, то по теореме Коши вне круга имеет место равенство [83]
1 fix (I) d% f, I, . „ ,o.
—— ~rb— = u> Izl > 1. G учетом этого из (8) получаем
i Г / (ё) dg i Г ф (Е) rfg 1 Г 1чПГ)
2ni J ^ — 2 2ni J | — z 2ni,
2яг
С
Пользуясь разложением в ряд Лорана <p(z)= 2Cft/zfe, сходящимся
при |zl > 1, нетрудно доказать, что последний интеграл равен ну-
нулю, тогда как второй интеграл по формуле Коши есть cp(z) + const.
§ 3. Примеры известных парадоксов
Следовательно,
С помощью A0) можно определить граничные значения функции
<p(z), тогда с использованием (8) найдутся граничные значения
ХA). Это позволяет восстановить функцию %(z). Соответствующие
вычисления дают
T
с
Теперь, используя (9), на основании A0) и A1) нетрудно найти
где А = const и принято %(°°) = 0, что не умаляет общности. Да-
Далее имеем
'/ \ Г 1 , N Г 1
Собирая полученные результаты, для скорости V находим
V = _ Л 1 , _L ! , Л 2_ г _ .А
2ni ~z — ~z0 2jwi/z_io 2jtjA_Zo^2 2jtiz (l ~ zQzJ
Или окончательно
F = ЛГ Ш!^ + I2'2-1 1 A3)
где принято А = 0 в соответствии с условием У1с = 0. При Izl -»- °°
Г 1
из A3) получаем F«,= F(oo)=—^—г ^—. Пусть, например, zo =
— ib, тогда Foo = — Г/Bя6). Следовательно, на бесконечности выра-
вырабатывается вполне определенная скорость, направленная против
потока, порожденного циркуляцией вихря.
Найденное решение позволяет определить момент вязких сил,
действующих на окружность С. Соответствующие вычисления по-
показывают, что этот момент равен нулю. Таким образом, в рамках
теории ползущих движений нельзя объяснить вращение свободного
цилиндра в неоднородном потоке, которое наблюдается на опыте
и обсуждается в разд. 5.
Возвращаясь к классическому парадоксу Стокса, необходимо
отметить, что, хотя решение E) удовлетворяет всем условиям за-
задачи, оно не является равномерно пригодным во всей области те-
течения. Как показал Озеен [219], отношение отброшенных конвек-
20 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
тгивпых членов к вязким имеет порядок произведения Re • R и при
Л -> оо становится сколь угодно большим. Еще более серьезные
трудности возникают при попытке уточнить решение Стокса путем
его подстановки в конвективные члены и решения неоднородной
задачи. Полные уравнения Навье — Стокса A.11) с помощью опре-
определения B) можно записать в виде
Re /М а д-ф д „ . г, dty 2 5
[ + +2ct%Q
где А — оператор, определенный формулой B). Подстановка в пра-
правую часть A4) решения E) приводит к уравнению А • Дгр =
= -9/4-ReB/#2-3/i?3 + l/#5)sm2ecos6. Решение с минимальной
особенностью на бесконечности, удовлетворяющее условиям прили-
прилипания C), имеет вид
¦ф = -3/32 • Re Bi?2 - ЗД + 1 - 1/Д + 1/R2) sin2 6 cos 6.
Однако оно не удовлетворяет условию D) и, следовательно, не яв-
является решением задачи. Несуществование решения задачи Сток-
Стокса во втором приближении составляет содержание парадокса Уайт-
хеда [219].
Преодоление парадоксов Стокса и Уайтхеда на физическом
уровне осуществлено Озееном [219] и заключается в частичном
учете конвективных членов. Если положить v — V» = Яи, то ста-
стационарные уравнения A.1) примут вид
V)u = -V? + [xAu; Vu = 0.
При X -»- 0 получается линеаризация Озеена. Решения Озеепа и их
высшие приближения существуют как для пространственных за-
задач, так и для плоских. Строгое разрешение проблем, связанных
с парадоксом Стокса, получено в работах [134, 238].
Таким образом, парадокс Стокса связан с переупрощением по-
постановки задачи в бесконечной области. Уравнения Навье — Сток-
Стокса не допускают линеаризации даже для сколь угодно медленных
течений. Дело в том, что значение Re = 0 является точкой спектра
уравнения A4), в котором функция т|) в круглых скобках «замо-
«заморожена», например, в виде стоксовского приближения. В этом слу-
случае учет сколь угодно слабой нелинейности радикально меняет
ситуацию: плоская нелинейная задача обтекания становится раз-
разрешимой.
Вместе с тем проблема обтекания тел вязким потоком и в
нелинейной постановке имеет одну парадоксальную особенность.
Как показал Р. Финн [173], кинетическая энергия возмущенного
движения Т ~ 1/2'р (v — v^,J dQ оказывается бесконечной пеза-
висимо от размерности задачи. Физически такой вывод означает,
что при наличии сопротивления за бесконечное время должна на-
накопиться бесконечная кинетическая энергия Т. Этот вывод нетри-
3. Примеры известных парадоксов
21
виален, поскольку относится только к бесконечной области. Он
связан с тем, что скорость возмущений убывает лишь как ijR. При
более быстром затухании энергия Т может быть конечной, несмот-
несмотря на бесконечно большую затраченную работу. Просто она почти
вся диссипирует в тепло, которое в рамках модели A.1) па гидро-
гидродинамику не влияет. Заметим, что ситуация с Г = °° поразительно
противоположна случаю потенциального обтекания тела, когда ве-
величина Т не только оказывается конечной, но и обладает свойст-
свойством минимальности. Стоит также отметить, что учет сжимаемости
снимает парадоксы Стокса и Уайтхеда [191].
3.2. Парадокс Моффата
Если парадокс Стокса следует отнести к парадоксам
средней вязкости в том смысле, что учет ее конечности радикально
меняет свойства разрешимости, то парадокс Моффата является па-
парадоксом большой вязкости в «чистом виде», так как свойственное
ему явление сохраняется и в допредельной ситуации. В работах
[18, 207] рассмотрено плоское автомодельное течение внутри угла
величиной 2а, образованного неподвижными прямолинейными стен-
стенками, на которых поставлены условия прилипания. Движение
жидкости обусловлено некоторой причиной, действующей вдали от
вершины угла. Решению подлежит уравнение B) с условиями
•ф = дф/Зср = 0 при ф = ±а. Разыскивая автомодельное решение вида
л\ =Лг*'/(ф), для функции /(ф) нетрудно найти симметричное ре-
решение / = В соэАф + С cos (Л — 2)ф. Выполнение четырех однород-
однородных условий приводит к характеристическому уравнению для
определения параметра л,
sin2(A,-l)a = -(A,-l)sin2a. A5);
Уравнение A5), как оказывается, при а, < 73° имеет комплексные
корни с положительными и довольно большими реальными частя-
частями. Этой ситуации отвечает картина линий тока внутри угла в
20°, изображенная на рис. 2 [207].
Рис. г.
22 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
Неожиданным является возникновение бесконечной системы
вихрей, обязанных своим происхождением лишь действию вязко-
вязкости, которая в данном примере выступает в качестве организующе-
организующего фактора, хотя, конечно, она играет и свою традиционную дис-
сипативную роль. Это выражается в быстром уменьшении интен-
интенсивности вихрей при приближении к вершине угла. Достойно
удивления также исчезновение этих вихрей при а > 73°. Обычно
организующая роль вязкости проявляется в потоковых системах в,
виде образования диссипативиых структур [126]. Однако, как пра-
правило, эти эффекты характерны для «средней» или даже малой вяз-
вязкости. Пример Моффата парадоксален нетривиальным проявлением
именно большой вязкости.
3.3. Парадокс Гейзенберга — Линя
Данный парадокс относится к области гидродинамиче-
гидродинамической устойчивости. Он состоит в утверждении, что только вязкость
ответственна за неустойчивость течения в плоском канале при
больших числах Рейнольдса. Тем самым опрокидывается интуи-
интуитивное представление о том, что вязкости присуща лишь диссипа-
тивная роль, как это может показаться из вида соотношения A.18):
в случае жидкого объема с непроницаемой границей энергия дви-
движения действительно монотонно затухает из-за диссипации. Пло-
Плоский канал является проточной системой, и поверхностный инте-
интеграл в A.18) в нуль не обращается.
Рассмотрим некоторое стационарное течение с полем скорости
Uh па которое наложены возмущения v{. Подставляя в A.2) вместо
vt сумму Ut + Vi, получим уравнения для возмущений
dv- dv- dU, dv, \ Яп i dv ¦
Умножение уравнения A6) на и,- и интегрирование по области те-
течения Q в предположении, что на границе v{ = О, дают уравнение
для кинетической энергии возмущений
dt
Q Q
Первый член справа характеризует обмен энергии между возмуще-
возмущением и основным потоком, второй — вязкую диссипацию. Для не-
неустойчивости первый член должен быть положительным. Его знак
в каждой конкретной ситуации определяется детальным поведени-
поведением возмущений. Если возмущения малы (по крайней мере на на-
начальном этапе эволюции), то последний член в левой части A6)
отбрасывается и решение оставшегося линейного уравнения разы-
разыскивается в виде бегущей гармонической волны
ivx, vy, vz, р) = Real ({к, v, w, q) exp [ia(x — ct)+ i?>z],
§ 3. Примеры известных парадоксов 23
где а и [J — продольное и трансверсальное волновые числа; С —
комплексная фазовая скорость рассматриваемого возмущения С =
— Сг + iCi, Возмущение нарастает, если С{ > 0. Рассматриваемое
возмущение имеет форму бегущей волны, называемой волной Тол-
мипа — Шлихтинга. Эта волна имеет сдвиговую природу и харак-
характеризуется одной и той же по всему сечению канала скоростью
распространения Ст.
В плоском случае в силу теоремы Сквайра [44] достаточно
изучение двумерных возмущений, для которых после исключения
давления уравнение A6) приводит к уравнению Орра — Зом-
мерфельда
vly -2aV +a4v = iane[{U-C)(v" -a2v)-U"v]. A8)
Здесь штрихами обозначено дифференцирование по поперечной
координате у, от которой зависит основное плоскопараллельное
течение U<=U(y); v — комплекснозпачная амплитуда возмущения;
С — искомое собственное значение, для определения которого не-
необходимо найти нетривиальное решение уравнения A8) с одно-
однородными граничными условиями прилипания: u(±l)=i/(±l) = 0.
Для невязкого течения при Re = оо из A8) получается уравнение
Рэлея
(U-C)(v" ~a2v)-U"v = 0. A9)
Известна теорема Рэлея [44], касающаяся роли точек перегиба
на профиле U(y): для неустойчивости течения требуется смена
знака U" в некоторой внутренней точке интервала (—1, 1). Следо-
Следовательно, течение Пуазейля
С/ = 3/2-A-г/2) B0)
в невязком смысле должно быть устойчивым. Данное совершенно
правильное утверждение, казалось бы, должно компрометировать
линейную теорию устойчивости, поскольку эксперимент дает про-
противоположный результат. Представить же наблюдаемую неустойчи-
неустойчивость как следствие действия малой вязкости психологически
довольно трудно. Тем не менее эта трудность была преодолена в
работе Гейзенберга [180], который первым пришел к выводу о неус-
неустойчивости течения B0) при достаточно больших Re, но он не на-
нашел критического значения Re, за которым начинается неустойчи-
неустойчивость. Работа Гейзенберга вызвала много споров об основах теории,
и это не способствовало ее эффективному продолжению. После не-
некоторого уточнения общей теории Линь [89] проделал подробные
вычисления нейтральной кривой. Он пользовался асимптотическими
методами и получил критическое число Рейнольдса R* =3533. Со-
Современные численные методы [44] решения уравнения A8) дают
i?* = 3848.
Таким образом получаем, что именно малая вязкость ответ-
ответственна за неустойчивость течения B0). Чтобы разобраться в при-
24 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
чинах этого явления, можно с помощью соотношения A7) опре-
определить область генерации энергии в потоке B0). Для нейтральных
колебаний левая часть A7) обращается в нуль, поэтому можно
записать
1
j Ф (у) dy = 0;
о
Ф = Ъух- Re [lu'l2 + \v'\2 + а2(\и\2 + M2)]; B1)
Т = VxVy — U2V2 + UiV{.
При записи B1) интегрирование по х в A7) заменено осреднени-
осреднением возмущений за период, что и обозначено чертой в выражении
для рейнольдсовых напряжений т. Величина Ф выражает локаль-
локальный избыток генерации энергии над диссипацией. Функции t(t/)
и Ф{у) изображены на рис. 3 [43] для критических параметров
течения Пуазейля B0): Re = 3848; а =1,02; Ст =0,396; г/с = 0,86.
Здесь ус означает местоположение критического слоя, где
U
Приведенные данные иллюстрируют роль вязкости в процессе
генерации энергии. Только вязкость порождает напряжение Рей-
нольдса т, поскольку уравнение Рэлея A9) имеет чисто веществен-
вещественные решения и поэтому не может дать ненулевые значения [89].
С другой стороны, согласно B1) положительные значения Ф могут
получиться только при т > 0. Характер функции Ф(у) также ука-
указывает на двойственную роль вязкости. Вблизи стенки решающую
роль играет вязкая диссипация и Ф < 0, но ее влияние с удалением
от границы быстро убывает. Резкое поведение Ф(у) объясняется
существованием на стенке вязкого пограничного слоя для возму-
возмущений, где осуществляется сток пульсационной энергии.
Другая зона, где проявляется влияние вязкости, расположена
в окрестности критического слоя. Здесь вязкость обеспечивает над-
надлежащий сдвиг фаз («зацепление») между продольной и попереч-
поперечной компонентами пульсационной ско-
скорости, который и приводит к появле-
появлению ненулевых напряжений Рейнольд-
са. На рис. 3 видно, что т и Ф дости-
достигают своих максимальных значений
как раз в окрестности критического
слоя у = ус, который в данном случае
расположен вблизи стенки.
Ситуация, когда диссипативные
~1 ' ' силы вызывают неустойчивость движе-
движения, не является новой в механике.
В случаях, когда, например, движение
системы без трения представляет со-
рис. з. бой гармонические колебания, мы
3. Примеры известных парадоксов
25
склонны думать, опираясь на анализ известных примитивных слу-
случаев, что вследствие неучтенного трения истинное движение систе-
системы будет носить характер затухающих колебаний. Однако это
заключение в ряде случаев ошибочно — существуют механические
системы, в которых силы трения могут оказать дестабилизирую-
дестабилизирующее влияние.
Пример такого рода приведен в [105]. Другой пример проде-
продемонстрирован в [13], где показано, что под влиянием внутреннего
трения вращающийся вал может потерять устойчивость. Ясно, что
такой процесс сопровождается увеличением энергии ротора. Но
было бы ошибочным думать, что это происходит из-за положитель-
положительной работы сил трения. Работа этих сил, разумеется, отрицательна.
Но именно они создают условия для перекачки энергии от привода
к ротору. Наконец, известен пример, принадлежащий Капице [98].
Теоретически и экспериментально установлено, что в подшипнике
под влиянием вязкого трения ротор может потерять устойчивость
и приобрести сложное движение в обойме. Принципиально отлич-
отличным моментом для течения в канале является чисто гидродинами-
гидродинамический аспект явления потери устойчивости вследствие действия
диссипативного фактора.
С проблемой гидродинамической устойчивости связан ряд дру-
других парадоксальных особенностей, обусловленных, например, не-
нетривиальными чертами предельного перехода Re -»- °°. Решения
уравнения A8) отнюдь не всегда стремятся к решениям A9) при
Re -*¦ °°. Данное утверждение очевидно, например, применительно
к возмущениям, для которых ос ->- 0 при Re -»- °°, но так, что про-
произведение a Re имеет конечный предел. Для течения B0) такие
возмущения не очень интересны, поскольку являются затухающими.
Однако существуют примеры —¦ один из них приводится в гл. 3 —
когда предельный переход ведет к нейтральным возмущениям. Бо-
Более неожиданные результаты получаются, когда в предельном пе-
переходе произведение a Re -*¦ °°. Рассмотрим, например, устойчивость
струи, характеризуемой профилем
U = 1 - th2 у. B2)
Как показывает численный анализ [11, 44], диапазон неустой-
неустойчивости по волновым числам при Re ->• °° стремится к интервалу
О < а < 2, так что верхняя
ветвь нейтральной кри-
кривой имеет горизонтальную
асимптоту а = 2. Для этих
нейтральных колебаний
критический слой совпа-
совпадает с точкой перегиба на
профиле B2).
Декременты возмуще-
возмущений С{(а) при Re -*¦ °°
Рис. 4.
26 Гд. 1. О парадоксах вязких течений
нанесены на рис. 4 (кривая 1 отвечает симметричным по у возму-
возмущениям, для которых v(—y) = v(y), кривая 2— антисимметричным).
Заметим, что для течения B0) неустойчивость обнаруживают лишь
симметричные возмущения. Это приводит, как будет показано, к на-
нарушению симметрии течения в канале при рассмотрении нелиней-
нелинейных возмущений. Кривая 1 примечательна тем, что иллюстрирует
удивительное расхождение между чисто невязким и предельно не-
невязким режимами. Если для нарастающих возмущений инкременты
в обоих случаях совпадают, то при а > 2 в чисто невязком случае
Сг = 0, а в предельном С{ стремится к конечным отрицательным
значениям. Это расхождение можно математически ликвидировать,
если расширить уравнение A9) на плоскость комплексной пере-
переменной у и интегрирование производить не по вещественной оси,
а обходя критическую точку ус снизу [89]. Тогда невязкая задача
потеряет свойства симметрии, из-за которых уравнение A9) не
может иметь собственные значения только с С,- < 0, поскольку тог-
тогда должно существовать возмущение и с С,- > 0 в силу комплекс-
комплексной сопряженности возможных значений С из-за вещественности
коэффициентов уравнения A9).
При интегрировании по контуру, рекомендованному Линем [89],
становятся возможными затухающие возмущения при отсутствии
нарастающих.
Описанный парадокс сформулирован Линем в виде альтерна-
альтернативы: инкремент нарастающих возмущений в пределе вязкости,
стремящейся к нулю, совпадает с инкрементом, получаемым для
идеальной жидкости, а для затухающих возмущений такого совпа-
совпадения нет. Однако есть пример, когда предел при v ->- 0 не совпа-
совпадает с результатом при v = 0 и для нарастающих возмущений, т. е.
альтернатива Линя неприменима [89].
Рассмотрим струю с профилем скорости не в виде гладкой
функции B2), а с тангенциальными разрывами на границах, на-
например, в виде кусочно-постоянной функции
Анализ устойчивости в рамках модели идеальной жидкости, сво-
сводится к решению уравнения Рэлея A9). В этом простом случав
задача решается аналитически [11] и для нарастающих возмущений
C = (tha + iVtha)/(l + th a). В случае вязкой жидкости уравнение
Орра — Зоммерфельда A8) для профиля B3) также имеет анали-
аналитическое решение:
= ф+ = А chay
; Ky<°°; B4)
raRe(l-C); 4 = У a2 - Ux. Re С.
3. Примеры известных парадоксов
27
При у < 0 решение продолжается
симметрично. На разрыве U(y)
при у =¦ 1 должны быть выполне-
выполнены условия непрерывности возму-
возмущений скорости и потока импуль-
импульса, что дает ф+ = ф_;Ф+ = Ф—;
Ф_1_ = ф! — га Ие ф; ф_|- = ф_ +
+ iaRe<p'. Подставляя в эти со-
соотношения ф+ и ф_ из B4) и тре-
требуя нетривиальной разрешимости
системы однородных линейных
уравнений для коэффициентов Л,
°>5~
°>25~
70-з
10'
го
70*
Рис. 5.
D, Е, получим характеристическое уравнение [88]
ch a ch х — е~а — ё~~
a sh а х sh х ае
а (а + i Re) ch а (х2 + га Re) ch x — а2
а2 (а — г Re) sh а х (х2 — /а Re) sh x «V
= 0.
К сожалению, на этом аналитическая часть решения заканчи-
заканчивается. Корни характеристического уравнения находились при по-
помощи ЭВМ. Результаты приведены на рис. 5 (цифры 103, 104 озна-
означают величину числа Рейнольдса; кривая, помеченная символом
°°, соответствует предельной зависимости С4(а) при Re->-°°; кри-
кривая Н отражает результаты для идеальной жидкости). Как видим,
в этом случае и для нарастающих возмущений (С,- > 0) предел С,-
при Re -*¦ °° не совпадает с рассчитанным по уравнению Рэлея.
Невыполнение альтернативы Линя связано с наличием разрывов
в профиле скорости основного течения.
3.4. Некоторые парадоксы симметрии
Спонтанное нарушение симметрии — одна из фундамен-
фундаментальных идей современной физики. В гидродинамике классически-
классическими примерами потери симметрии в первоначально симметричном
потоке могут служить вихревая дорожка Кармана, течение в пло-
плоском диффузоре или возникновение вихрей Тейлора между двумя
вращающимися цилиндрами. Описание этих явлений можно найти
в обычном курсе гидродинамики.
В основе обычных рассуждений о симметрии, как правило,
лежит лейбницевский принцип достаточного основания [12], со-
согласно которому «симметрия причин всегда влечет за собой сим-
симметрию действий». Как указывает Биркгоф, «более глубокий под-
подход приводит к заключению, что, хотя симметричные причины
должны вызывать симметричные действия, почти симметричные
28 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
причины не необходимо вызывают почти симметричные действия».
Данное заключение, как и принцип Лейбница, страдает неопреде-
неопределенностью понятия «симметричные причины».
Рассмотрим простой, но весьма поучительный пример. Пусть
идеальная яшдкость, заполняющая плоскую область внутри эллип-
эллипса, совершает циркуляционное стационарное движение, симметрич-
симметричное относительно осей эллипса. Это течение характеризуется нену-
ненулевым моментом количества движения. В начальный момент вре-
времени в жидкости «включается» вязкость, но на непроницаемой
границе области сохраняется условие скольжения, заключающееся
в требовании отсутствия касательных напряжений. Естественно
предположить, что начальная симметрия течения сохраняется во
все моменты времени. Но тогда немедленно возникает противоре-
противоречие, поскольку, с одной стороны, полный момент сил на границе
будет равен нулю — момент сил трения по определению, а момент
нормальных сил вследствие симметрии. В этой ситуации момент
должен сохраняться, имея начальное значение. С другой стороны,
вязкая жидкость внутри эллипса совершает деформационное дви-
движение, что должно сопровождаться непрерывной диссипацией энер-
энергии и затуханием движения вплоть до полной остановки. Куда же
в таком случае девается момент?
Выявленное противоречие связано с предположением о сохра-
сохранении начальной симметрии течения, которая в действительности
сразу же нарушается. В самом деле, согласно соотношениям A.5) и
A.6) для плоского движения вязкой жидкости имеет место
уравнение
Симметрия функции г|)(х, у) относительно осей эллипса предпола-
предполагает выполнение равенств
ф(-ж, у) = $(х, у); $(х, -у) = $(х, у). B6)
Однако условия B6) не могут выполняться на решениях уравне-
уравнения B5). Поскольку операция дифференцирования изменяет тип
симметрии, превращая симметричную функцию в антисимметрич-
антисимметричную, нелинейные члены в B5), например при фиксированном х,
антисимметричны по у, тогда как остальные члены уравнения сим-
симметричны. Симметрия типа B6) допустима лишь в следующих двух
случаях: а) для ползущего движения, когда нелинейные члены
отсутствуют; б) для стационарного движения идеальной жидкости,
когда d/dt = O и v = 0. В общем случае уравнение B5) допускает
симметрию решений другого типа с антисимметричной функцией г|),
например, ty(x, — у) = — гр(ж, у). Но такое решение описывает мно-
гоячеистый режим, для которого момент количества движения
всегда равен нулю и противоречие отсутствует.
§ 3. Примеры известных парадоксов 29
Приведенный пример показывает, что в понятие «симметрич-
«симметричные причины» должна входить допустимость решений задачи с сим-
симметрией данного типа. Тем самым понятие «симметричных причин»
является далеко не тривиальным. Симметрия может оказаться весь-
весьма скрытой и проявляться в обобщенном групповом смысле. Содер-
Содержательные применения теории групп в гидрогазодинамике состав-
составляют предмет целой отрасли науки [104].
Пусть условие симметрии причин выполнено, т. е. симметрич-
симметричное решение допускается уравнениями. Тогда несимметричные ре-
решения гидродинамических уравнений при симметричных условиях
могут возникать только после потери устойчивости основного режи-
режима вследствие бифуркации. Как правило, эстафета устойчивости
передается именно несимметричному режиму, который в этом слу-
случае и реализуется в природе или опыте. При мягком характере
потери устойчивости иногда может быть прослежен целый каскад
бифуркаций, сопровождающийся последовательным уменьшением
симметрии, как это наблюдается, например, в течении Куэтта —
Тейлора. Угадать заранее без анализа устойчивости форму вторич-
вторичного режима практически невозможно. Наиболее неожиданные и
интересные физические эффекты проявляются, когда спектр линей-
линейной задачи устойчивости является кратным.
Из большого многообразия типов потери пространственной сим-
симметрии прежде всего остановимся на возникновении самовращения.
Этот вопрос представляет не только принципиальный, но и, воз-
возможно, практический интерес в связи с повседневным возникнове-
возникновением вращательных движений в природе. Однако в природе и тех-
технике «граничные условия» никогда не бывают вполне осесиммет-
ричными, и действительной «закручивающей» причиной может слу-
служить неосесимметричная затравка, примером чему служит всем
известный вихрь в ванне.
До последнего времени не было построено ни одного примера
возникновения самовращения из исходного осесимметричного тече-
течения. Отметим, что в рамках классической постановки речь не мо-
может идти о непосредственном переходе к самовращению в резуль-
результате развития осесимметричной неустойчивости, так как такой
процесс невозможен. Действительно, из системы A.8) можно по-
получить следующее уравнение для циркуляции Г при осесимметрич-
ном движении:
ОТ дТ дТ _ I а2Г 1 _дГ_ д2Т
Поскольку это квазилинейное уравнение содержит только производ-
производные от Г, для него справедлив двухсторонний принцип максимума
[80]: максимум и минимум Г достигаются на границе простран-
пространственно-временной области QT. Значит, если на границе Г = 0, то
со временем возможно лишь затухание Г. Таким образом, далее
речь пойдет о довольно топком механизме возникновения самовра-
30 _?л.- 1, О парадоксах вязких течений ^
лдения: сначала течение теряет устойчивость по отношению к h6j
осесимметричным возмущениям, а затем развивается вторичный
режим, имеющий ненулевое среднее вращение. Ситуация здесь
аналогична проблеме генерирования магнитного поля в так назы-
называемом МГД-динамо.
Теоретический анализ линейной устойчивости круглых струй
J156] показал, что наиболее опасными возмущениями являются спи-
спиральные волны, бегущие по потоку и имеющие азимутальное вол-
волновое число т = ±\. Когда линейный анализ выделяет одно наи-
наиболее растущее возмущение, то последующий учет нелинейности
позволяет определить стационарную амплитуду этой моды и ее за-
зависимость от надкритичности. Именно такую информацию обычно
получают в первую очередь, используя метод Ляпунова — Шмидта.
Однако если в линейном приближении существуют два равноправ-
равноправных возмущения с /тг = +1 и тп = — 1, и, более того, их суперпо-
суперпозиция с произвольными коэффициентами является решением, то на
нелинейном этапе эволюции выявляется, какие комбинации этих
мод формируют вторичные режимы, которых может быть несколько,
и характер устойчивости каждого из них.
Как показано в [42], устойчивый вторичный режим параллель-
параллельного течения, моделирующего начальный участок струи, включает
б себя дифференциальное стационарное вращение с ненулевым
моментом импульса. Представляет интерес вопрос, откуда берется
этот ненулевой момент импульса? Чтобы на него ответить, необ-
необходимо рассмотреть переход от исходного режима к новому. В про-
процессе роста спиральных возмущений из-за действия рейнольдсовых
напряжений появляются вращения противоположных знаков, раз-
разделенные пространственно. При этом в каждый момент времени
суммарный момент импульса возмущенного движения равен нулю.
Но за бесконечное время часть завихренности определенного знака
уносится на бесконечность, тогда в струе остается компенсирую-
компенсирующий момент импульса.
Близкий к описанному процесс происходит при обтекании кры-
крылового профиля, когда согласно механизму Жуковского — Чаплыги-
Чаплыгина на бесконечность уносится начальный вихрь, а вокруг крыла
остается компенсирующая циркуляция. Отметим, что эффект не
связан принципиально с бесконечностью области течения. При на-
наличии достаточно удаленной стенки она будет поглощать момент
и притом в течение всего переходного процесса. Математически
ситуация моделируется следующим примером. Пусть рассматрива-
рассматривается задача нестационарной теплопроводности в полупространстве
оо
Для разрешимости стационарной задачи необходимо, чтобы J / (у) dy =
§ 3. Примеры известных парадоксов 3?
е= 0, что выполняется, например, для функции /(*/) = A — y)e~v-
В силу условий имеем -т- \ Т (у) dy = О, так что существует инте-
интеграл сохранения — полная энтальпия Н = j Т dy = \ Т0(у) dy = const,
о о
Величина Я, следовательно, определяется начальным распределе-
распределением температуры. С другой стороны, существует стационарное
ОО у
решение Т = J dy j f{y)dy = (A + y)e~v), интеграл от которого оп-
v о
ределяется только видом f(y) и не обязан быть равным Н, так чтог
хотя во все моменты времени полная энтальпия сохраняет свое-
начальное значение, через бесконечное время она оказывается
другой.
Качественная перестройка из-за неустойчивости может проис-
происходить и в других течениях, для которых имеет место вырождение
собственного спектра. Так, кратность собственного значения приво-
приводит к множественности вторичных режимов и в течении Куэтта
между вращающимися цилиндрами. Судя по результатам работы
[6], при определенных зазорах и скоростях вращения цилиндров
устойчивыми оказываются тоже спиральные автоколебания. Там
они должны приводить к появлению спонтанного осевого потока
с ненулевым расходом.
В реальных условиях глухие торцы будут препятствовать это-
этому эффекту, однако если торцы свободны или цилиндры «заколь-
«закольцованы» в виде торов, препятствия осевому движению нет. В слу-
случае струи причин, запрещающих возникновение вращения, также
нет. Заметим, что теория предсказывает самовращение только для
струи с достаточно резкими границами. Для автомодельной струи
Шлихтинга устойчив вторичный режим без вращения. Поэтому
при экспериментальной реализации явления придется позаботить-
позаботиться об увеличении дальнобойности струи и консервативности ее
профиля.
Спонтанную потерю симметрии другого рода, но тоже связан-
связанную с потерей устойчивости, демонстрирует течение в плоском ка-
канале. В работе [43] для вычисления числа Рейнольдса перехода
в плоском канале рассмотрен конечно-амплитудный симметричный
триплет, ветвящийся от двумерных автоколебаний, резонирующих
со своей субгармоникой, т. е. с трехмерными возмущениями поло-
половинной частоты.
Поясним сказанное. С увеличением числа Рейнольдса среди
возмущений малой амплитуды выделяется наиболее растущая
плоская волна Толмина — Шлихтинга, которая уже при очень не-
небольших, но конечных амплитудах в свою очередь теряет устойчи-
32 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
вость по отношению к трехмерным волновым возмущениям поло-
половинной частоты, имеющим определенный период в трансверсальном
направлении. Эти волны движутся как целое вниз по течению с оп-
определенной фазовой скоростью. Рассмотрение триплетного волново-
волнового образования оправдано тем, что оно существует при гораздо
меньших числах Рейнольдса, чем двумерные автоколебания, и тем
более меньших, чем критическое число линейной потери устойчи-
устойчивости (необходимо учесть, что в канале имеет место жесткое воз-
возбуждение). Иными словами, автоколебания, взаимодействующие
с трехмерной субгармоникой, оказываются более «живучими», чем
в двумерном случае.
Существует единственный «собственный» триплет бесконечной
малой амплитуды, который состоит из трех нейтральных, но взаи-
взаимодействующих гармоник. Ему отвечают вполне определенное чис-
число Рейнольдса и волновые параметры («тройная точка») [44]. От-
Отметим, что волны, образующие этот триплет, как функции г/, анти-
антисимметричны относительно оси канала. Автоколебания основного
периода в общем случае устроены так, что амплитуды составляю-
составляющих их гармоник либо симметричны, либо антисимметричны, и по-
поэтому симметрия среднего профиля скорости сохраняется. Автоко-
Автоколебания удвоенного периода, ветвящиеся от тройной точки, таким
свойством не обладают. Как уже было сказано, при нулевой амп-
амплитуде все три волны, будучи нейтральными, антисимметричны по
продольной скорости. Легко убедиться, что нелинейные уравнения
движения такой симметрии не допускают и поэтому для конечных
амплитуд решения получаются асимметричными. Такого рода асим-
асимметрия наблюдалась экспериментально [73, 216]. Эти факты гово-
говорят о том, что асимметрия является типичным свойством вторич-
вторичной неустойчивости.
Кроме изложенных, в гл. 2 приведены новые примеры спон-
спонтанной потери симметрии течения как посредством бифуркации са-
самовращения, так и иным образом.
Рассмотренный симметричный триплет представляет стационар-
стационарное движение в системе координат, движущейся с общей фазовой
скоростью трех волн. Тем самым он демонстрирует явление потери
пространственной симметрии при сохранении временной. Ясно, что
это частный случай. Более общей является потеря не только про-
пространственной, но и временной симметрии, что типично при воз-
возникновении и развитии турбулентности.
Таким образом, в гидродинамике применение правдоподобных
аргументов, часто плодотворных при физических рассуждениях,
может привести к неверным заключениям. В числе этих аргумен-
аргументов, например, такие утверждения: «незначительные причины вы-
вызывают незначительные следствия», «симметричные причины вызы-
вызывают симметричные же следствия» или «природа стремится к сим-
симметрии».
§ 3. Примеры известных парадоксов 33
3.5. Парадоксы скрытых инвариантов
Рассмотрим ситуации со скрытыми инвариантами, воз-
возникающие в теории затопленных струй. Струйные течения, в част-
частности закрученные струи, играют не только важную практическую
роль, но и в теоретическом плане имеют столь нетривиальные осо-
особенности, которые не перестают давать пищу для ума исследова-
исследователей в течение более чем полувека. Задача о закрученной струе
впервые была сформулирована в рамках теории пограничного слоя
и приближенно решена Лойцянским в 1953 г. [90]. Решение строи-
строилось в виде асимптотического ряда по целым обратным степеням
расстояния от точечного источника струи. Заданными величинами,
характеризующими закрученную струю, считались интегралы со-
сохранения: импульс /, расход Q и момент количества движения L.
В такой постановке задача получилась неавтомодельной. Ее
решение характеризовало «слабую» закрученную струю, у которой
вращательная скорость убывала гораздо быстрее, чем осевая или
радиальная. Это не очень соответствовало опытным данным [5],
которые для достаточно сильных струй демонстрировали в приосе-
вой зоне сложные возвратные течения, тогда как теория их не
давала. Это обстоятельство послужило стимулом для наращивания
числа приближений (вплоть до седьмого!), но без особого успеха.
Причина кроется в существовании скрытого инварианта [36],
не замеченного предшествующими исследователями. Этот инва-
инвариант, о котором пойдет речь, делает задачу автомодельной, что ее
упрощает. В точной постановке задачу о струе можно рассматри-
рассматривать как частный случай истечения из сферического источника
радиуса До, на котором дано произвольное распределение скоростей
при условии покоя на бесконечности. Понимая в соотношении им-
импульсов A.16) под поверхностью интегрирования S суммарную
поверхность iSo + S, где через S обозначена поверхность сферы
произвольного радиуса R, из A.16) получаем интеграл сохранения
Ji = f Uin dS = j nin dS = const. B7)
Постоянство /, имеет смысл независимости от сферического радиу-
радиуса R, когда векторная величина Л, «выпущенная» из сферы /?о,
сохраняется во всем пространстве. Проекция соотношения B7) на
ось струи z, единственная в осесимметричном случае, определяет
поток импульса Jz, характеризующий интенсивность струи Jz =
= f nHz dS.
s
В теории затопленных вязких струй рассматривается асимпто-
асимптотическая ситуация далеких расстояний от источника или, что то
же, реальный источник заменяется точечным Ro ->- 0 при сохране-
сохранении импульса J. Кроме того, обычно рассматривается случай осе-
2 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
34 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
вой симметрии течения относительно оси z, когда <Э/дср = 0. По-
Поскольку в этих условиях из заданных параметров v и J нельзя
составить масштаб длины, из соображений размерности следует не-
необходимость автомодельного решения вида i>i = v/»(9, Re)//?, где
Re = УJVp/v — число Рейнольдса. Тем самым получается постановка
задачи об автомодельных струях, наиболее ярким представителем
которых является струя Ландау [86].
Для автомодельных решений данного класса нулевыми будут
инварианты: расход Q— J vndS и момент импульса
s
Li=\sijhUjnrkdS, B8)
s
где гт — антисимметричный тензор Леви — Чевита, так что под
знаком интеграла стоит обычное векторное произведение Hiru и rk.
Однако в случае закрученной осесимметричной струи может
быть указан еще один инвариант, который получается, если «спро-
«спроектировать» B7) на ось ф. Такая операция математически некор-
некорректна, но тот же результат можно получить, если в системе A.11)
уравнение для у„ умножить на R2 sin 9, уравнение неразрывности
умножить на i?2sin9yT, сложить и проинтегрировать по 9 от 0 до л.
Тогда получается интеграл сохранения
я
/ф = R2 *\ ПНФ sin QdQ = Rl\ URq4> sin 9 dQ = const,
о о
который с учетом A.15) и A.12) можно записать в виде
На автомодельных решениях' данного класса инвариант 7Ф имеет
конечное значение и может служить характеристикой закрученной
струи, у которой Lz = 0. Реальные струи, разумеется, могут иметь
конечные значения Lz, как и Q, но тогда они должны рассматри-
рассматриваться как неавтомодельные.
В работе [36] построено автомодельное решение с конечным
инвариантом /ф, отвечающее истечению струи из конца полубеско-
полубесконечной вихревой нити заданной циркуляции. Эта же задача рас-
рассматривалась в [222]. Следует отметить, что найденное решении,
аналитическое в области 0 ^ 9 ^ я, характеризуется логарифмиче-
логарифмически бесконечной продольной скоростью vR на полуоси 9 = я, где
расположена вихревая нить. Оно не получается предельным пере-
переходом от случая вращающейся трубки, из конца которой бьет струя.
Тем не менее предельный объект (вихревая нить), характеризуе-
характеризуемый теми же интегралами сохранения, что и реальный источник
§ 3. Примеры известных парадоксов 35
сильной закрученной струи, порождает течение, свойства ко-
которого вдали от источника вполне согласуются с наблюде-
наблюдениями [5].
Так, при достаточно интенсивном вращении струя может
«разомкнуться» с возникновением вблизи оси циркуляционной зоны
с возвратным течением. При этом, как оказывается [37], в опреде-
определенной области параметров возможна неединственность решений,
одно из которых может соответствовать сомкнутому режиму тече-
течения, а другое — разомкнутому. Замечательно, что эти свойства со-
согласуются с наблюдениями. Достаточно сильно закрученную струю
буквально мановением руки удается переводить из одного состоя-
состояния в другое и притом оба состояния относительно устойчивы!
Разумеется, в опыте речь идет о турбулентных струях, но тогда
это свидетельствует в пользу гипотезы турбулентной вязкости, ко-
которая хорошо работает для описания свободной турбулентности
[37, 144].
Следует также отметить, что вихревая нить принципиально
отличается от точечного или сферического источника тем, что
vv = оо на полуоси 0 = п. Как показано в [37], уравнение для цир-
циркуляции Г = rvv допускает лишь монотонные решения, так что
в рамках автомодельного описания невозможно выполнить условия
регулярности Г@)— Г(я) = 0. Тем самым источник автомодельной
закрученной струи не может быть точечным. Впрочем, не исключе-
исключено, что введение переменной турбулентной вязкости vr = Vr(9)
способно снять это ограничение. Попытка такого рода предпринята
в работе [255], к сожалению, оказавшейся неверной (см. гл. 2).
Тем не менее возможность выполнения условий Г@)=Г(я) = 0 за
счет подбора функции vrF) в принципе не исключается. Таким
образом, хотя реальные струи вовсе не обязательно связывать с то-
точечным или сферическим источниками, последние могут порождать
лишь неавтомодельные ламинарные закрученные струи.
Первая попытка" построения теории неавтомодельной струи без
вращения с конечным расходом принадлежит Румеру [112], кото-
который предположил, что решение может быть построено в виде раз-
разложения по целым обратным степеням сферического радиуса. Как
показано в [47], такое предположение некорректно. Решение долж-
должно строиться в виде разложения по дробным степеням i?*n, при-
причем показатели а,п должны находиться как собственные числа не-
некоторого линейного оператора. Кроме того, и это главное, правиль-
правильное разложение помимо члена — 1,/К2 должно содержать член
~(ln/?)/i?2, причем оба с произвольными константами. Еще одну
произвольную постоянную, определяемую импульсом струи, содер-
содержит «автомодельный» член ~\JR.
Таким образом, в задаче возникло три произвольных констан-
константы, тогда как в «классической» постановке заданы лишь два инте-
интеграла сохранения. Как тут быть? Оказывается, исходя из B8),
можно- построить полный аналог Lx рассмотренной величины 7Ф,
3*
36 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
который отличен от нуля в незакрученной струе. Несложные вы-
выкладки для произвольной осесимметричной струи дают
,9
B9)
Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то при
у„ = 0, как и в случае B7), было бы Lx = 0. Именно поэтому инва-
инвариант B9) оставался незамеченным в предшествующих работах,
что тем не менее не мешает ему быть полноправным интегралом
сохранения.
В случае закрученной струи инвариант B8) имеет также
проекцию на ось симметрии
я
Lz = 2яД3 j [vRvv - v (^ - ^ )] sin 9 d8.
При истечении из точечного или сферического источника, когда
/„=0, a Lz Ф О, получается неавтомодельный случай Лойцяпского.
Если, однако, отказаться от приближения теории пограничного
слоя (в которой Lx перестает быть инвариантом), а рассмотреть
задачу в полной постановке, то при достаточно больших значениях
Lz соответствующее решение описывает неавтомодельную зону
возвратных течений, имеющую конечную протяженность. Такая
возможность полностью соответствует опытным данным. Подробно
вопрос о неавтомодельных струях рассматривается в гл. 4.
В связи с обнаружением скрытых инвариантов /ф и Lx в новом
свете предстают экспериментальные результаты по осесимметрич-
ным следам, полученные под руководством Васильева [17]. Как из-
известно, автомодельный след, возникающий при обтекании тела,
в рамках теории пограничного слоя определяется только одним па-
параметром — силой гидравлического сопротивления, которая играет
роль интеграла сохранения импульса. В докторской диссертации
Букреева [16] тем не менее показано, что два разных тела, имею-
имеющих примерно одинаковое сопротивление, образуют автомодельные,
но совершенно различные следы, что демонстрирует, так сказать,
«память формы». Весьма важно, что эффект отсутствует в плоских
следах. По нашему мнению, объяснение заключается в существо-
существовании скрытого инварианта (точного или «адиабатического»), раз-
различного для разных исследованных тел.
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 37
§ 4. ПАРАДОКС ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВИХРЯ
С ПЛОСКОСТЬЮ
Рассматриваемый здесь парадокс, хотя и не принадлежит
к числу новых [32], для данной книги имеет особое значение, по-
поскольку является одним из главных стимулов ее написания, по-
поэтому опишем его подробно.
4.1. Постановка задачи
Пусть вязкая жидкость заполняет полупространство z ^ О,
снизу ограниченное твердой неподвижной плоскостью z = 0. Дви-
Движение индуцируется бесконечной вихревой нитью, помещенной на
полуоси z ~5? 0. Предполагается, что вдали от плоскости выполнены
условия течения, порожденного свободной вихревой нитью
vr = vz = 0; уф = Гр/r; р = рх — 1/2- рГр/r2; z = оо, A)
где ГР — величина, имеющая размерность кинематической вязкости
v [м2/с] и с точностью до множителя 2л; равная заданной циркуля-
циркуляции вихря 2яГр.
Взаимодействие течения типа A) с плоскостью часто встреча-
встречается в различных технических устройствах, например в вихревой
камере [37]. Эта проблема имеет отношение к таким интригующим
явлениям природы, как смерчи, «пыльные дьяволы», торнадо и т. п.
Из-за взаимодействия вихря с плоскостью в ее окрестности возни-
возникают вторичные течения, подчас имеющие очень высокую интен-
интенсивность. Это происходит по следующим причинам. Вдали от пло-
плоскости согласно A) dpjdr = pv^/r, так что градиент давления урав-
уравновешивается центробежной силой. На самой плоскости вследствие
прилипания поле центробежных сил исчезает и градиент давления
компенсируется возникновением радиального течения в направле-
направлении перепада давления, т. е. к оси вращения, которое должно иметь
скорость, обуславливающую появление на плоскости сил трения,
компенсирующих ослабление центробежных сил. Эти явления, на-
называемые торцевым эффектом, играют существенную роль в про-
процессе движения частиц в вихревой камере. Они же способствуют
подсосу к основанию смерча пыли и других предметов, которые
делают видимым это явление природы.
Начало изучения взаимодействия вихревой нити с плоскостью
положено Тейлором [247], который, исходя из обычных предполо-
предположений теории пограничного слоя, допустил, что и при наличии
плоскости соотношения A) сохраняют силу всюду, за исключением
узкой пристенной зоны, где образуется пограничный слой. Вообще
говоря, этот пограничный слой трехмерен, так как из-за вторичных
течений в потоке появляются все три компоненты скорости. Однако
Тейлор предположил, что толщины пограничных слоев по радиаль-
радиальной б и окружной Д скорости совпадают.
38 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
Решение той же задачи, свободное от указанного предположе-
предположения, дано Куком [164], откуда следует, что обе толщины нараста-
нарастают, проходят через максимум и затем постепенно убывают. Обе
толщины б и А обратно пропорциональны Re1/2 = (ГРЛ'I/2, как это
обычно имеет место в теории пограничного слоя. Таким образом,
решение Кука не выявило никаких специфических особенностей
у данной задачи.
В более общем виде задача была рассмотрена Мюллером [212],
который исходил из полных уравнений Навье — Стокса. Последние
были сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений и Мюллер попытался построить решение, пользуясь соображе-
соображениями теории пограничного слоя. В результате было получено
решение, близкое к решению Кука. Решения уравнений Навье —•
Стокса того же класса были получены в работах Лонга [199, 200],
по без учета сингулярности на оси и условий прилипания иа
плоскости.
После перечисленных работ может создаться впечатление, что
в данной задаче все обстоит благополучно и решение фактически
получено. Тем не менее основные математические трудности здесь
остались непреодоленными. Соответствующий анализ показал, что
решение задачи существует лишь при малых числах Рейнольдса
и не существует при больших [32].
Для последующего анализа существенна обязательная автомо-
дельпость данной задачи, в которой отсутствует характерный мас-
масштаб длины. При помощи заданных циркуляции ГР и кинемати-
кинематической вязкости v можно образовать лишь безразмерный комплекс
Re = Гр/v, или обратную величину fe=v/Fp, более удобную для
дальнейшего использования. Значит, в задаче масштаб длины не
только отсутствует, но и не может быть построен. В такой ситуа-
ситуации справедливо утверждение [9, 117]: если решение существует,
оно обязательно должно быть автомодельным и иметь вид
i \ B)
l R sin 6 ' ' /j2
Здесь использованы сферические координаты (R, 0, ф) и соответ-
соответствующие компоненты вектора скорости. Штрихом обозначено диф-
дифференцирование по переменной х = cos 6. Соотношения B) пред-
предполагают стационарность и осевую симметрию движения. Вид этих
соотношений таков, что уравнение неразрывности в A.11) выпол-
выполняется автоматически. Функция у(х) связана с функцией тока 'ф
меридионального сечения: ф = TpRy. Подстановка выражений B)
в уравнения A.11) после исключения давления приводит к систе-
системе уравнений
¦4/сжA-х2)г/'" = -2ГГ'- 1/2A-х2) {у2)'"; C)
кA-х2)Т" =уТ'. D)
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 39
Будем искать решение задачи, удовлетворяющее условиям при-
прилипания на плоскости (х — 0), условию отсутствия на оси (х=1)
источников или стоков жидкости, а также условию ограниченности
продольной скорости vR. Эти требования приводят к формулировке
граничных условий для системы C) — D):
= 1; 1/AI <°о. E)
С учетом условий E) уравнение C) после интегрирования приво-
приводится к виду
-ft A - х2)У" = 1 - Г2 - 1/2 • A - х2) (г/2) " -х(у2)' + у2. F)
Константа интегрирования в F) выбрана из условия обращения
в нуль правой части при ж= 1, так как иначе пришлось бы допус-
допустить, что A — х2Jу'" -*¦ const. Но в таком случае у" ~A — х2)~1 и
у' ~ 1пA — х), что противоречит последнему условию E). Для
дальнейшего упрощения проинтегрируем уравнение C) по частям,
предварительно разделив его на 1 — х2:
X
— кA — х2) у'" + 2кху" - 2ку' = — 2 f ГГ'/A - х2) dx - 1/2 (у2)" + С2.
° G)
Новое интегрирование выражения G) приводит к соотношению
ТГ!{\~xLx-ij2-{y2)' + C2x-l/2-C3.
о о
(8)
Наконец, еще одно интегрирование дает
х2)у' — 2кху= — 2 jdx \ dx J ГГ'/A — х2) dx —
о о о
— 1/2 -у2 + 1/2 -С2х2 — 1/2 -С3х + С4.
Полагая здесь х = 0, в силу условий E) получим С4 = 0. Для оп-
определения постоянной Сг сопоставим F) и G) при х = 0. При
этом следует иметь в виду, что у" @) = Сз/Bк) ограничена, как это
ясно из (8). Имеем
~ку'" @)= 1-1/2- (у2) "@); ~ку"'@)=-т-(у2)"@)+С2.
Сравнивая эти выражения, находим, что С2 = 1. Следовательно,
предыдущее уравнение можно записать в виде
XXX
2/с A — х2-) у' + Ькху — у2 = 4 j dr j" dx j" ГГ'/A — x2) da; —
0 0 0
— ж2 + С3ж = .F (x). (9)
Для определения постоянной Сз используем условие г/A) = 0, ко-
40 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
торое с учетом ограниченности у'(I) дает F(i) = Q. Следовательно,
для определения константы Сз имеем условие
1 X X
С3 = 1 - 4 J dx J dx J ГГ'/A - ж2) da;. A0)
0 0 0
Введем новую неизвестную функцию s(a:) согласно соот-
соотношению
y = 2k(l -z2)s. (И)
Тогда уравнение D) примет вид
Г" = 2вГ. A2)
Отсюда находим
Г = а ехр j 2s dx, A3)
о
где а — постоянная интегрирования. Заметим, что а = Г'@). Инте-
Интегрируя A3) еще раз, получим
X / X \
Г = a j ехр f 2s dx I &, A4)
о \ о /
причем здесь учтено условие Г@) = 0. Постоянную а найдем, удов-
удовлетворив условию ГA)=1:
а = 1/ Iff ехр j 2s da;) dr . A5)
С учетом того, что у' = 2кA — x2)s' — Akxs, уравнение (9) прини-
принимает вид
x2)]2. A6)
Согласно A4) и A5) находим
X / X \ II / X \
Г = И ехр \ 2s dx ]dx\[\ ехр f 2s dx) dx. A7)
o\o /lo\o /
Для интегродифференциальной системы A6) — A7) достаточно по-
поставить одно условие s@) = 0, которое следует из условия у@) = 0.
4.2. Анализ уравнений
Для дальнейшего особое значение имеет выяснение зна-
знака функции
XXX
F (х) = 4 j dx j dx j ГГ'/A - x2) dx — x2 + C3x. A8)
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 41
По условию функция у (х) должна быть непрерывной на сегменте
[О, 1]. Поэтому согласно A1) и A3) функции s'(х) и Г'(ж) непре-
непрерывны на интервале [0, 1). Кроме того, Г' (х) знакопостоянна. Сле-
Следовательно, функция Т(х) монотонна. Поскольку Г@) = 0, а ГA) =
= 1, то очевидно, что
Г(ж)<1, 0<ж<1. A9)
Преобразуем соотношение A8), используя формулу преобразова-
преобразования многократного интеграла в однократный *:
— ty2rF'/(l — f)dt — x2 + x — 2x j A - «2)ГГ'/A - t2) dt.
о о
Здесь для Съ использовано его выражение A0). Произведя инте-
интегрирование по частям, после некоторых преобразований получим
X 1
F (х) = х — х2 — 2 A — xf j fF/(l — t2J dt — 2x J Г2/A + tJ dt. B0)
о к
Учитывая, что два последних члена в B0) пе положительны, под-
подставим в B0) оценку A9). Тогда получим
F (х) > х — ж2 — 2 A — xf j tj(\ — t2J dt — 2x^{i + i)~2 dt =0.
О X
В последнем равенстве убеждаемся путем прямого вычисления ин-
интегралов. Итак, установлен основной факт: F(x)^0.
В дальнейшем нам неоднократно придется ссылаться на теоре-
теорему Чаплыгина [141] о дифференциальных неравенствах, которая
утверждает следующее. Пусть даны две непрерывные функции
у(х) и z(x), удовлетворяющие условиям y(a) = z(a) = m и уравне-
уравнениям y'=fi(x, у); г' = 12(х, z). Тогда из неравенства f\(x, y)^
> /2(х, у) следует, что у > z, а из неравенства fi(x, 1/)</г(ж, у),
что у < z всюду, где уиг непрерывны.
Рассмотрим уравнение z' = z2 и сравним его с уравнением
A6). Пользуясь неравенством F(x)X) и условием s@) = 0, на
основании теоремы Чаплыгина заключаем, что s^ z, где z — реше-
решение вспомогательного уравнения, удовлетворяющее условию z@) =
= 0. Такое решение есть тождественный нуль, поэтому s ~> 0, а сле-
следовательно, и у ^ 0. С учетом этого неравенства и того факта,
что Г'(х)>0, из уравнения D) заключаем, что Г"(ж)Эг0. Значит,
Г' (х) монотонно возрастает. Эти результаты позволяют установить
* Упомянутая формула имеет вид
XX X
[ dx[ dx .. A f (x) dx = l/(n — 1)! • Г (x — O™^1/ (*) dt.
•J J (n)J J
0 0 0 0
42
Гл. 1. О парадоксах вязких течений
неравенство
Г О
при 0 :
1.
B1).
В самом деле, B1) равносильно неравенству G(x) = Т(х) — х < 0.
Функция G(x) имеет непрерывную производную и обращается в
нуль в точках х = 0 и х = 1, следовательно, по теореме Ролля она
должна иметь на промежутке [0, 1], по крайней мере, один экстре-
экстремум. Условие Г"(х)^0 устанавливает, что этот экстремум может
быть только один, поскольку между двумя экстремумами должны
быть точки перегиба, что исключается условием Г" (х)^ 0. Далее,
то же условие показывает, что G(x) может иметь лишь минимум.
Итак, G (х) на концах интервала @,1) обращается в нуль, а внут-
внутри его имеет единственный минимум, следовательно, бг(а:)^О, что
и доказывает B1).
Неравенство B1) позволяет уточнить неравенство F(x)^0.
Если B1) подставить в B0), то нетрудно получить
Функция F\ (x) неудобна для вычислений, поэтому введем
F3{x)=l/2 -x(l~x2J.
B2)
Построив графики функций F\(x) и F3(x) (рис. 6), нетрудно убе-
убедиться, что на интервале 0 =^ х ^ 1 Fi(x)^ F3(x). Последнее не-
неравенство можно доказать и аналитически, но это громоздко. Итак,
имеем F(x)^ Fz{x).
0,02-
Рис 6.
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 43
Рассмотрим уравнение
x' = x2 + F3(x)/[2k{\-x2)]2 B3)
и найдем его решение, удовлетворяющее условию т@) = 0. Подста-
Подставив B2) в B3), получим х = т2 — х/(8к2). Введем функцию U
согласно соотношению т = —U'/U, тогда получим U" + (x/8k2)U =
= 0. Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию U' @) = 0,
имеет вид
U = BxU2J-U3[xs/2/Ck2i/2)]; 5 = const.
Отсюда находим
т = A/2 • к) (х/2) l/2J2/3[x3/2/Ck2»2)]/J-l/3[x3/2/Ck2i/2)].
Сопоставляя уравнения B3) и A6), в силу неравенства F(x)^
^Рз(х) на основании теоремы Чаплыгина о дифференциальных
неравенствах заключаем, что
s(x)>x(x), (Xx^l. B4)
Однако неравенство B4) не может быть выполнено при про-
произвольных значениях параметра к. В самом деле, х(х) представ-
представляет собой мероморфную функцию, имеющую полюса в точках
хп={Зк21/2апJ/\ B5)
где ап — корни уравнения /_1/з(а)=0. Так как по условию, s(x)~
непрерывная функция на интервале [0, 1], то для выполнения не-
неравенства B4) необходимо, во всяком случае, потребовать, чтобы
первый полюс функции х(х) лежал вне интервала [0, 1], т. е. что-
чтобы было х\ > 1, или
Re = k~l < 3 • 21/2а, « 8. B6)
Если же условие B6) не выполняется, то s(x) не может быть
непрерывной функцией на всем интервале [0, 1]. Таким образом,
получен результат: при числах Рейнольдса, превышающих 8, по-
поставленная задача не имеет ограниченного решения.
4.3. Теорема существования
Докажем, что если Be < 5,53, то: а) при условии s@) =
= 0 система уравнений A6) — A7) однозначно разрешима; б) при
х ->- 1 функция у (х) имеет предел, равный нулю; в) выполняются
все исходные граничные условия для функций vR, Ve, vv, p. Будем
решать систему A6), A7) методом последовательных приближе-
44 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
нии по следующей схеме:
X / X
Тп = [ exp \ 2sn_1 dx\dx\\ exp \ 2sn^t dx dx; B7)
ovo / о V о J
X 1
—x2 — 2(l — xf j *Г?/A - t2f dt~2x^ ГД/A + iJ *; B8)
о
A - x2)J] dx. B9)
о
В качестве нулевого приближения для функции s(x) примем
So = 0. Тогда из B7) следует, что Т\=х. Если в B8) подставить
Fi = х, то оно совпадет с выражением для функции F\ (x), поэтому
Л (ж) = DIn 2 — 2)ж + 2ж2 — A— жJ1пA — х) + A + жIпA + ж).
Пользуясь этим выражением, вычислим по B9) функцию
-A - х)-1 In 1/2 -A + х)+ 1/2A - х) A + ж)-11пA - а;)].
Устремив ж к 1, найдем Si(l) = (l — 1п2)/BкJ. Таким образом,
все функции первого приближения непрерывны на сегменте [0, 1].
Допустим, что тем же свойством обладают и функции sn-\,
Г„-1, Fn-\. Докажем, что при этом sn(x), Tn(x), Fn(x) также будут
непрерывными на замкнутом интервале [0, 1]. Непрерывность
Г„(х) и ее производной непосредственно следует из B7). При
утом в силу монотонности Гп(ж)< 1, а Г„(ж)^ Мп, где Мп — мак-
максимальное значение положительной функции, достигаемое при
х — 1. Из B8) имеем Fn(l) — 0. Вычислим
X
F'n (X) = i- 2x — 4 A - х) \ «ГД/A - t2f dt —
о
1
l
- 2 j Г?/A + tf dt + 2xYl (x)/(l + xf;
X
F(l) = -l + 41im(l —a:) f tTl/(l — t2J dt = — I +
ж->1 О х-*Х
X A - жJ/A - ж2J = - 1 + 4 lim xll {x)/(l + xf = _ 1 + I* A) = 0.
Найдем Fn {x). Для этого заметим, что соотношение B8)
может быть представлено в форме, аналогичной A8), где Г (ж)
X
заменено на Г„(ж), поэтому F'n(x) = 4 J Г„Г^/A — х2) dx — 2. Подста-
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 45
вив сюда полученные оценки для Тп(х) и Гп(х), приходим к нера-
неравенству
х
F"n (х) < 4М„ j A — л2) йж = 2Мп In [A + ж)/A - х)} - 2.
о
Проинтегрируем это неравенство в пределах от i до 1 с учетом
F'(l) = 0.
— К (*)<—2 М„[A + х) In A + х) + A—ж) In A-х) - 2 In 2] - 2 A - х).
Интегрируя еще раз в тех же пределах, получим
Fn(x) — Fn(l)<2ilfn{l/4-(l + жJ[21пA + х)- 1] +
Разложим функцию /(ж) = 1/4 -A + жJ [21пA + х)- 1] + 1 - 2xln2
в ряд Тейлора в окрестности точки х = 1, которая для этой функ-
функции не является особой. Имеем f(x)=f(l) + f(l)(x—1)+...;
f (х) = A + жIпA + ж) — 2 In 2, следовательно,
f (l) = 0; /"(aO = ln(l+s)+l; /ff(l)=l + ln2;
Очевидно, что все нечетные производные будут отрицательны-
отрицательными, а все нечетные положительными. Поэтому
f(x) = 1/2 ¦ A + In 2) A - хJ - 1/2 • A - хK - 1/4 ¦ A - хL - . . ..
Здесь все невыписанные члены отрицательны. Ясно, что /(x)«S
< 1/2 -A + In2) A — жJ, следовательно,
Если к правой части прибавить положительное количество A —а;J
и результат умножить па A + хJ1^1, то неравенство не нару-
нарушится, поэтому
F{x)<Mn(i~ х2J [1/2 • C + 2 In 2) — ln(l — ж)]. C0)
В силу того, что Г„(ж)<1, из B8) следует, что Fn(x)>0 (доказа-
(доказательство совпадает с выводом B1)). Следовательно, функция
Fn(x) ограничена всюду на сегменте [0, 1]. С учетом непрерывно-
непрерывности Т„(х) это означает (см. B8)), что Fn(x) непрерывна при всех
Подставив C0) в B9), получим
"-i + 1/4-Mn&~2 [1/2C + 2\n2) — ln(l — x)]}dx.
Поскольку подынтегральная функция суммируется на сегменте
46 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
[О, 1], то из данной оценки, а также из очевидного неравенства
sn(x)^0 следует, что всюду на [0, 1] sn(x) ограничена и вместе с
тем непрерывна.
Итак, методом полнот! индукции доказана непрерывность всех
последовательных приближений. Докажем их сходимость при ус-
условии Re < 4,8096. В силу того, что s0 = 0 и F1(x)>0, из B9)
следует, что
si(x)>so = 0. C1)
Покажем, что если sn(x)> sn_i(;r), то Г„+1 (х) < Г„(ж). Согласно
A2) и B7) функции Г„+1 и ГЛ удовлетворяют уравнениям
Тп+1 = 2snTn+1; Тп = 2sn_1Tn и условиям Fre+i@)= Г„@) = 0;
ГЯ+1A)=Г„A)=1. Имеем
(Г„+1 - Г„)" - 2sn (Г„+1 - Г„)' = 2 (sn - sn-i) T'n > 0.
Умножая это неравенство на интегрирующий множитель, по-
получаем
(Гп+1 - Г„)' ехр ( - J 2sn dx ) > 0. C2)
Требуется доказать, что Г„+1 < Г„. Допустим противное:
Г„+1 — Г„ 5s 0. Тогда эта разность в некоторой точке жое(О, 1)
имеет положительный максимум. Интегрируя неравенство C2) от
хо до х > х0, находим (Г„+1 — Г„)' S* 0 при х > хо. Интегрируя еще
раз от х > хо до 1, получаем Г„+1 — Г„ ^ 0, что противоречит до-
допущению. Продолжая анализ, рассмотрим разность
х
Fn+1 - Fn = 2 A - xf ] t (Tl - Г*+1)/A - if dt +
о
l
Применяя к этому соотношению неравенство Г„+1<ГИ, получим
Fn+i>Fn. C3)
Наконец, рассмотрим разность
sn+1 - Sn = j [si - sl_x + (Fn+1 - Fn)/BkA - х**)у] dx.
о
Отправляясь от C1), последовательно находим Гг^Г], F^F\ и,
следовательно, si~> s\.
Допустим, что справедливо неравенство sn ^ sn_i, тогда верно
соотношение C3) и, следовательно, разность sn+i — sn положитель-
положительна, т. е. sn+i > sn. Таким образом, методом полной индукции дока-
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью
зано, что все приближения образуют последовательности
Т1>Т2>...>Тп>...>0; C4)
0<Fis?*I2<...s?Fn<...; C5)
0«?s, <s2 «?...< sn «=.... C6)
Соотношение C4) показывает, что невозрастающая последова-
последовательность ограничена снизу. Поэтому существует предел
„D C7)
Поскольку Гп > 0, из B8) заключаем, что
Ограничение C8) означает, что неубывающая последовательность
Fn также имеет предел
F (х) = lim Fn {x). C9)
Подставив C8) в B9), получим
х
sn< [ D-1 + [16/с2 A - х)]-1} dx. D0)
о
Рассмотрим уравнение
A-х)]-'; о@) = 0. D1)
Будем решать его методом последовательных приближений,
сг0 ^0; Оп = j {а^_х + [16/с2 A - ж)]} dx. D2)
Очевидно, что при 0??жг?1; Oi^O = Oo; ог &* 0"i . .. о„ ^ о„-ь так
что 0 =^ oi =^ Ог ^ ... о„ s? .... Вычтем из неравенства D0) равенст-
равенство D2):
X
sn — о*. < J D-1 — oiLi) dx. D3)
о
Имеем so = oo = 0, поэтому si — Oi =^ 0, так что Si^Oi. Далее,
X
s2 — cr2 ^ j (s? — Oi) dx ^ 0; s2 < 02 и т. д. Если допустить, что sn_i <
о
^on.-i, то, учитывая неотрицательность sn-i(x) и an_i(x), с по-
помощью D3) получаем, что sn ^ а„.
* Последнее неравенство нетрудно доказать. Имеем жA—х)
•A + жJA — ж). Так как х ^ 1, то 1 + 2х + х2 ^ 4z, откуда A + а;J^ 0.
48
Гл. 1. О парадоксах вязких течений
-2-
-6-
Рис. 7.
Согласно теореме Пика-
ра [125] последовательность
функций ап(х) на некотором
интервале / сходится к
функции а(х), удовлетворя-
удовлетворяющей уравнению D1). По-
Поэтому на том же интервале
сходится и последователь-
последовательность функций sn, как это
следует из неравенств 0 ^?
< sn sg an- Для того чтобы
определить величину интер-
интервала /, решим уравнение
D1). Введем, как и вы-
выше, вспомогательную функ-
функцию U согласно соотноше-
соотношению a = —U'/U, тогда D1)
0. Условие о@) = 0 дает
примет вид U"+и/[Ш2A~х)] =
С/'@)=0.
Решение полученного уравнения имеет вид U = t[AJ\ (t) +
BY1(t)}, где t =
I 1/2
1Bк). Отсюда нетрудно найти, что
2*
D4)
Заметив, что при изменении х в промежутке О <J x
ни знаменателя D4), т. е. решим уравнение
Ъ, найдем кор-
корЪ). D5)
Проще всего уравнение D5) решать графически. На рис. 7 пред-
представлены графики функций Jo(t)/Y0(t) и J\(t)IY\(t). Для опреде-
определения первого корня уравнения D5) поступаем следующим обра-
образом. Берем точку t=b и находим значение J0{b)/Y0(b). Затем
проводим горизонталь, соответствующую этому значению, до пере-
пересечения с кривой Ji(t)/Yi(t). Абсцисса точки пересечения и даст
искомый корень t\.
Из рассмотрения рис. 7 нетрудно убедиться в том, что если
b < A-i, где Я] — первый корень уравнения /о(Я)=О, то корень t\
лежит вне интервала (О, Ъ). Следовательно, при
= 1/Bк)< Я, = 2,4048
D6)
уравнение D5) не имеет корней в промежутке O^x^l. Это оз-
означает, что при условии D6) функция а не имеет никаких особен-
особенностей на полуоткрытом интервале [0, 1). Исследуем поведение
этой функции в окрестности точки х = 1 (? = 0). Используя для
функций Y0(t) и Yi(t) представления У0@~ 2я~11п(^/2) и 7i~
4. Взаимодействия вихря с плоскостью
—2/(nt) при малых t, найдем, что
D7)
Таким образом, при условии D6) функция о (х) непрерывна на
интервале 0 «? а: < 1 — е, а в точке х = 1 она имеет логарифмиче-
логарифмическую особенность.
Этот результат позволяет утверждать, что интервал / сходи-
сходимости последовательных приближений о„ может быть расширен
вплоть до точки х = 1 — е, где е — сколь угодно малое положи-
положительное число. В силу того, что
0<snsSonsSa; OsSxsS 1 — е, D8)
можно утверждать, что существует предел limsn = s(x); 0 ^x^l —e.
Рассмотрим вопрос о поведении функции s(x) в окрестности
точки х=1. Из D7) находим, что отношение а(х)/[1—1пA—х)}
должно быть ограниченным всюду на сегменте [О, 1], т. е. сущест-
существует такое положительное число А, что а(х)^ А [1 — 1пA—х)].
Учитывая D8), можно написать
*„-1<Л[1-1пA-я)}, D9)
причем А не зависит от номера п. Теперь можно оцепить функ-
функцию s(x), подставив D9) и C0) в B9) и перейдя к пределу, уст-
устремив п ->¦ оо. Прежде, однако, необходимо изучить последователь-
последовательность чисел Мп, входящих в C0).
Как указывалось, Мп = maxГп (х) = Г„A), поэтому из B7)
получаем
1 1 / X \
Мп = exp J 2sn-i dx \ exp j 2sn_1 dx dx. E0)
о о \ о '
Если в знаменатель этого выражения вместо sn-\ подставить ее
нижнюю грань, то правая часть не уменьшится, поэтому
1
Мп < exp [ 2sn_! dx. E1)
о
Подставив в E1) оценку D9) найдем
E2)
Итак, последовательность чисел Мп ограничена. Докажем, что она
сходится к пределу. Для этого установим неравенство Мп+\ 5s Mn.
Поскольку на интервале [0, 1] разность Г„+! — Г„ < 0, а на концах
обращается в нуль, то в точке х = хо она имеет отрицательный
минимум, где (Г„+1 — Г„)' = 0. Интегрируя C2) от х до 1, полу-
получаем rn+i(l)> Г„A), что и нужно.
4 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
50 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
Таким образом, числа Мп образуют монотонно возрастающую
ограниченную последовательность, следовательно, существует
М — lira Мп. Подставив в B9) оценки C0) и D9), получим
П->оо
X
sn< J {А2 [1 - In A - х)}2 + 1/4-М„//са- [1/2 C + 2 In 2) -ln(l-a;)]}da:.
о
Переходя к пределу при п -*- °°, найдем
X
s < j {Л2 [1 — In A — a:)j2 + 1/4 ¦ Ж* [1/2 C + 2 In 2)-In A— x))}dx.
Согласно признаку Коши интеграл сходится при всех х, поэтому
s(x) остается ограниченной и при х=\. Итак, доказано, что про-
процесс итераций сходится, если Re s? 4,8096. Наличие оценки E2)
позволяет утверждать, что установленная сходимость равномерная.
Это означает, что s(x), F(x), Y(x) суть непрерывные функции на
всем сегменте [0, 1].
Если в системе B7) — B9) перейти к пределу при п ->- °°
(предельный переход под знаком интеграла оправдывается равно-
равномерной сходимостью), то для предельных функций получаются
соотношения, совпадающие с системой A6) — A8), так что пре-
предельные функции действительно дают решение этой системы. Кро-
Кроме того, в силу условий sn@)=0 при всех п, очевидно, что
s@)=0.
Предыдущими рассуждениями показано, что критическое чис-
число Рейнольдса Re^ лежит в промежутке 4,8096 < Re$< 8. Для его
уточнения заметим, что кризис связан с проникновением полюса
функции s(x) в область х s? 1. Однако в момент кризиса согласно
A7) имеем T(x)=Q при х<1, а ГA)=1. С учетом этого в соот-
соответствии с B0) в предельной ситуации имеем F^(x)=x — ж2. Те-
Теперь уравнение A6) сводится к следующему:
s', = sl + x/[W(l-x)(l + xn .?*@)=0. E3)
К сожалению, это уравнение, в отличие от D1), не поддается
аналитическому решению, но численный анализ, предпринятый
Серрином [236], показал, что решение задачи продолжимо до х=1,
если Re < 5,7. Под влиянием работы [177], где в качестве крити-
критического указано значение 5,53, мы провели проверочный числен-
численный анализ уравнения E3). Оно оказалось непрерывно разреши-
разрешимым на интервале [0, 1], если
Re = к-1 < 5,53. E4)
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 51
4.4. Единственность
Перейдем к доказательству единственности найденного
решения. Для этого вернемся к исходной системе дифференциаль-
дифференциальных уравнений F), D) и поставим для нее задачу Коптя
г/-г/' = Г = О; Г'=а>0; у"=С3/Bк); х = 0. E5)
В этом случае система уравнений F), D) также приводится к ви-
виду A2), A6), причем функция F(x) определяется выражением
A8), которое может быть записано в форме
х
F (х) = С3х ~ х2 + 2 \ (х — t) [A — tx) Г2/A — t2f dt. E6)
о
При этом
«@) = Г@)=0; Г'@) = а. E7)
Для произвольного значения CV условие F(l)=0, естествен-
естественно, не выполняется, даже если решение продолжимо на весь ин-
интервал [0, 1]. Рассмотрим систему уравнений A2), A6), E6) с
условиями E7) и докажем, что при фиксированном значении к
равенство F(l)=0 выполняется не более чем для одного зна-
значения Сз-
Решение задачи Коши F), D), E5) единственно. Следова-
Следовательно, наше утверждение будет справедливо, если функция F(x)
монотонно возрастает с ростом Сз. Пусть Г, s, F — решение, соот-
соответствующее значению С3 = С. Тогда Г > О, Г' > 0, как это сле-
следует из A3) и A4). Положим С3 = C + Ci; F = F + FU Г = Г + Г\;
s = s + Si, причем Ci > 0. Тогда
X
F1 > Схх + 4 J (х - t) A - tx) ПуA - t2f dt; E8)
о
s[ - 2ss1 > FL/[Ak2 A - ж2J]; E9)
Г; = Г'|ехрB f Sjda;) -1 . F0)
о
Из неравенства E8) следует существование значения хо та-
такого, что Fi(x)>0 для ie@, xo). Умножение E9) на интегриру-
интегрирующий множитель и последующее интегрирование с учетом усло-
условия si@) = 0 дает
х Г I х \ "I
sx>\Fx (х)/[2к A — ?2)]2 • exp I j 2s du 1 \dt.
Отсюда следует, что si > 0 на отрезке @, хо). Тогда из равенства
F0) и неравенства Г'^ 0 следует, что на этом же интервале
4*
52 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
I\ ^ 0. Последнее неравенство позволяет последовательными ша-
шагами расширить интервал, где F\ > 0, на всю область существова-
существования решения. Заметим, что если существует Сз, при котором
F(l)=0, то оно выражается формулой A0), а функция F(x) име-
имеет вид B0).
Доказанная монотонность зависимости функции F(x) от Сз
позволяет утверждать, что если решение системы A2), A6), B0)
с граничными условиями E7) при фиксированных значениях к и
а существует, то оно единственно. Действительно, предположим,
что существуют два решения Т\ и Гг, причем Fi Ф Г 2 и jFi A) =
= i?2(l)=0. В силу единственности решения задачи Коши F),
D), E5) им соответствуют различные значения Сз = С\ и Сз = С%
Пусть Ci>C2, тогда в силу монотонности F\ A)> ^A), что про-
противоречит предположению.
Доказательство полной теоремы единственности будет завер-
завершено, если мы установим монотонное возрастание величины
N(a)= ГA) с ростом параметра а, так как в этом случае значение
N = 1 может достигаться только при единственном значении а.
Речь все время идет, разумеется, о таком множестве значений па-
параметра а, при которых решение задачи Коши F), D), E5) про-
должимо вплоть до ж = 1. Если временно считать параметр N дан-
данным и выбрать Сз в соответствии с A0), то для системы A2),
A6), B0) получится краевая задача со следующими условиями:
s@)=r@)=0, ГA) = TV. При этом параметр а = Г'@) опреде-
определится соотношением
a = N \iexv\2sdx\dx. . F1)
/ о \ о / .
Данная краевая задача разрешима при всех N > 0, если вы-
выполнено условие E4). В самом деле, при N=1 она разрешима
при условии E4). Пусть iV>l, тогда задачу можно решить мето-
методом итераций по схеме B7)—B9), приняв за начальное прибли-
приближение функцию So(x)=s(x), соответствующую значению N = 1.
В таком случае согласно A2) функция Т\(х) возрастет пропорци-
пропорционально N, a F\ (x) уменьшится в соответствии с B0). Это приве-
приведет к уменьшению функции si(x), что по доказанному выше вызо-
вызовет увеличение Гг(а;). Следовательно, функции sn(x)^ 0 образуют
монотонно убывающую, а значит, и сходящуюся последователь-
последовательность. Если же iV<l, то последовательность sn будет возрастать,
оставаясь, однако, ограниченной сверху, если Re < 5,53.
Итак, установлено, что решение существует при всех 0 ^ N <
< оо и согласно F1) величина а пробегает все значения при изме-
изменении N от нуля до бесконечности. Покажем далее, что зависи-
зависимость a(N) является монотонной и непрерывной. Что касается
монотонности, то она фактически доказана только что приведен-
приведенными рассуждениями. Поскольку при увеличении iV функция s(x)
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 53
убывает, то согласно F1) величина а возрастает, так что функция
a(N) является монотонно возрастающей. Для доказательства не-
непрерывности a(N) рассмотрим два решения задачи, соответствую-
соответствующие значениям N тя. N\> N, причем решение si получим методом
итераций, отправляясь от функции s. Для доказательства непре-
непрерывности a(N) достаточно показать, что для любого е>0 найдет-
найдется б > О такое, что
1
JK-S|dx<e, F2)
о
как только [N\ — N\ < б. Поскольку последовательные приближе-
приближения Sin равномерно сходятся к si на любом замкнутом отрезке,
содержащемся в [0, 1], а при х ->- 1 имеют не более чем логариф-
логарифмическую особенность, то существует число т такое, что
\ \si — sum\dx<.z/2.
о
Так как число т конечно, то найдется б > 0 такое, что
1
] | si,m — sm \ dx <с 8/2, как только \N\ —N\ < б. Это видно из того,
о
что при близких значениях jV] и Л^ последовательные приближе-
приближения будут изменяться мало. В таком случае из двух последних
неравенств следует F2).
Таким образом, функция a(N) является непрерывной и моно-
монотонно возрастающей. В силу теоремы об обратных функциях та-
такими же свойствами локально обладает и зависимость N(a). По-
Поскольку каждому значению а отвечает одно значение N, двум раз-
разным а в силу монотонности соответствуют различные N и наличие
нескольких ветвей у функции a(N) исключено непрерывной про-
продолжимостью этой функции от 0 до °°, то зависимость N(a) явля-
является однозначной, непрерывной и монотонной в целом. Следова-
Следовательно, значение N — 1 достигается при единственном значении а,
что и завершает доказательство единственности решения исходной
задачи.
Итак, доказано, что при числах Рейнольдса, меньших, чем
5,53, поставленная задача имеет решение, единственное и непре-
непрерывное всюду, кроме начала координат; при числах Рейнольдса,
превышающих указанное значение, задача решения не имеет.
4.5. Медленное движение
Представляет интерес найти приближенное решение за-
задачи при малых числах Рейнольдса. Если к ->- °°, то в соответст-
соответствии с A5) A^1 и согласно A4) Т(х)->-х. Таким образом, при
весьма больших значениях к функция Т{х)~х; при этом F(x)^
54
Гл. 1. О парадоксах вязких течений
z
зо
20-
10-
10 20
Рис. 8.
30 г
~F\{x). Согласно A6) при к = <*>
s' = s2, что при условии s@) =
= 0 дает s = 0, а значит, и у = 0.
Пусть кФ оо, но настолько вели-
2
Рис
ко, что членом г/2 в уравнении
(9) можно пренебречь. Тогда (9) принимает вид
2/сA — ,г2)г/'
Решение этого уравнения при условии г/@)=0 нетрудно получить
в виде
- х) +
F3)
Таким образом, г/ ~ к~х и в левой части уравнения (9) мы прене-
пренебрегли членом О(к~2) по сравнению с членами 0A).
Используя F3), нетрудно получить, что при х < 1 цилиндри-
цилиндрические компоненты вектора скорости имеют вид
vr = — (Tl/v) B In 2-1) z/r2; vz = (T2p/v) B In 2 - 1) z2/r3. F4)
Из этих соотношений видно, что вблизи плоскости на некотором
удалении от оси вихря имеет место течение по направлению к
плоскости и к оси, причем радиальная компонента превышает осе-
осевую (vr ~ z, vz~z2). Интенсивность вторичных течений пропорци-
пропорциональна квадрату циркуляции Гр, так что с ростом последней вто-
вторичные течения быстро нарастают.
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью 55
Вычислим функцию тока меридионального сечения
v
,р = (fr/Гр) j rvz dr = A" (z2 + г2I/2 г/ = АДу,
о
¦ф = 1/2Д [я+B]п2 — 1)ж2 +1/2A — ж2IпA +
Имея в виду, что х = cos 8, где 8 — угол, отсчитанный в меридио-
меридиональной плоскости от положительного направления оси z, нетруд-
нетрудно построить линии тока, показанные па рис. 8 для равноотстоя-
равноотстоящих значений ij) = 0,l; 0,2; ...I, Пространственная картина течения
[177] схематически изображена на рис. 9. Как видим, характер вто-
вторичных течений соответствует представлениям, изложенным в на-
начале параграфа.
4.6. Обсуждение
Как уже упоминалось, при стремлении числа Рейнольд-
са к критическому значению функция Г (х) убывает всюду, за ис-
исключением ближайшей окрестности точки х — 1. Иными словами,,
вращательное движение жидкости прекращается почти во всем
полупространстве, исключая лишь очень узкий конус, содержа-
содержащий ось вихря. В остальной области остаются лишь вторичные те-
течения, наличие которых обусловлено перепадом давления на плос-
плоскости. Подобная картина течения в корне противоречит представ-
представлениям теории пограничного слоя.
По-видимому, она может быть объяснена следующим образом.
При малых числах Рейнольдса циркуляция вследствие вязкой
диффузии от вихревой нити занимает всю область течения. При
этом генерируются вторичные течения, стремящиеся осуществить
конвекцию циркуляции обратно к вихревой нити. Вторичные тече-
течения черпают свою энергию из энергии вращательного движения
жидкости. С ростом числа Рейнольдса «перекачка» энергии про-
прогрессивно нарастает. Поступление энергии из бесконечности и от
вихревой нити происходит медленнее, чем ее трансформация в
энергию вторичных течений. Эти соображения в известной мере
подтверждаются результатами решения задачи при малых Re.
В конце концов возникает ситуация, когда энергия вращения вовсе
иссякает. При Re = 5,53 происходит коллапс вращения, в то время
как во внешней части остаются вторичные течения, поддерживае-
поддерживаемые неисчезающим градиентом давления. Как видим, в данной
проблеме условия прилипания на плоскости оказывают более
сильное влияние на течение жидкости, чем условия движения на
56
Гл. 1. О парадоксах вязких течений
бесконечности, так что пограничный слой, в котором локализовано
все влияние вязкости, не возникает.
Поскольку из физических соображений величина циркуляции
вихря Гр может быть задана произвольно, то естественно возника-
возникает вопрос, что произойдет с течением, если Re = Гр/v превысит
Re*. После выхода работы [32] возможные пути преодоления па-
парадокса неоднократно обсуждались в литературе [14, 15, 31, 51, 65,
68, 74, 84, 94, 102, 107, 123, 142, 143, 157, 161-163, 177, 181,
188, 213, 222, 223, 225, 236, 255, 258]. В работах [68, 142, 177]
предпринята численная проверка теоретических результатов. Эта
проверка вполне подтвердила выводы теории. Так, в [68] числен-
численное решение удалось получить лишь до чисел Рейнольдса, не пре-
превышающих 4,75. В [142] предельное значение поднято до 5,5 и
сделано предположение о том, что критическое число Рейнольдса
лежит между 5,5 и 5,6. В работе [177] численно найдено, что при
Re = 5,53 производная становится очень большой. Семейство кри-
кривых Г@), показанное на рис. 10 [177], подтверждает вывод о том,
что при Re—^-Re.,. вращение прекращается всюду, кроме оси вихря.
Значительное число работ посвящено попыткам преодоления
парадокса. В [15] это сделано за счет замены уравнений Навье —
Стокса другими уравнениями. Вопросы потери существования ре-
решений в электровихревых течениях обсуждаются в монографиях
[14, 145]. В обширной работе Серрина [236] разрешимость' при всех
числах Рейнольдса достигается за счет отказа от условия ограни-
ограниченности осевой скорости на оси вихря. При этом, однако, в зада-
задаче появляется свободный параметр р, который нельзя определить
по данным задачи. Более того, при наличии на оси у продольной
скорости логарифмической особенности движение не затухает даже
при отсутствии циркуляции. Следовательно, включен в действие
некоторый неявный дополнительный источник движения, т. е. по
существу рассмотрена другая задача, требующая своей физической
интерпретации. За счет выбора параметра р можно управлять воз-
возникновением кризиса. Значение р = 1 отвечает рассмотренному
здесь случаю ограниченной скорости.
0,4 0,8 1,2 1,6
20 4-0 60
Рис. 10.
§ 4. Взаимодействия вихря с плоскостью
57
На рис. 11 [236] к = Re/2. Область существования подразделя-
подразделяется на три подобласти. В зоне А течение имеет опускной харак-
характер. В зоне В происходит отрыв течения вблизи стенки и возника-
возникает двухъячеистая структура. Жидкость подтекает к началу коор-
координат вдоль оси и стенки, а затем растекается вблизи некоторой
конической поверхности. С приближением к линии 1 угол раство-
раствора этого конуса стремится к нулю и в зоне С течение чисто подъ-
подъемное. Как будет показано в гл. 2, граница потери существования
решения имеет более сложный вид, чем это принято в [236]. В за-
заштрихованной области каждому набору (к, р) отвечают два реше-
решения. Штриховая кривая, указанная Серрином, отвечает слиянию
этих решений. Прямая со штриховкой соответствует потере суще-
существования из-за появления сингулярности. При р > 1 она ограни-
ограничивает область существования снизу, а при р < 1 — сверху.
Приведенные результаты объясняют трудности, с которыми
столкнулся Серрин [236], пытаясь доказать теорему единственно-
единственности: при р < 1 единственности просто нет. В то же время для слу-
случая р = 1 эта теорема доказана в разд. 4.4, что позволяет предпо-
предположить наличие единственности и при всех р => 1. Интересные
результаты получены в работе [31]. Здесь рассмотрено автомодель-
автомодельное решение уравнений Навье — Стокса, описывающее течение,
вызванное линией источников или стоков в присутствии плоскости,
перпендикулярной этой линии. Численным анализом установлено,
что задача о стоках однозначно разрешима при всех числах Рей-
нольдса. В случае источников решение существует лишь при ма-
малых числах Рейнольдса (Re < 0,848) и, что самое интересное,
в окрестности критического числа Рейнольдса найдено два реше-
Рис. 12.
58 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
ния, различающихся топологической структурой линий тока, как
это видно из рис. 12 [31]. Подробное обсуждение этой задачи будет
дано в гл. 2.
Как видим, задача о взаимодействии вихря с плоскостью де-
демонстрирует необычные парадоксальные свойства, которые, прав-
правда, могут существенно измениться за счет модификаций постанов-
постановки. Однако эти модификации не снимают главного вопроса о том,
что же' происходит с исходным течением от вихревой нити в за-
критической ситуации? Этот вопрос, длительное время интриго-
интриговавший исследователей, решается в гл. 2.
Отметим, что если заранее предположить существование реше-
решения при больших Re и использовать теорию пограничного слоя,
как это сделано Тейлором, то в такой постановке задача разреши-
разрешима и демонстрирует вполне обычные свойства пограничного слоя
[37]. Данная коллизия призывает к осторожности в части исполь-
использования приближенных методов.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПАРАДОКСЫ
В заключение этой главы обсудим некоторые экспери-
экспериментальные наблюдения, которые носят неожиданный, парадок-
парадоксальный характер. Подобные явления, как упоминалось во введе-
введении, обычно называют эффектами. В гидродинамике эффектам нет
числа и их познавательная роль необычайно велика. Достаточно
вспомнить эффект Жуковского, касающийся самовращения сво-
свободной или закрепленной на оси плоской пластинки под действием
потока с достаточно большой скоростью. Эти наблюдения навели
Жуковского на мысль объяснить подъемную силу за счет возник-
возникновения циркуляции вокруг обтекаемого крыла.
Удивительное явление демонстрирует эффект Коанда, заклю-
заключающийся в том, что тонкая струя, натекающая на цилиндр, по
отрывается от поверхности и при надлежащих условиях может
сделать вокруг цилиндра более одного оборота. Это явление нахо-
находит применение в технике. Неожиданный феномен связан с эффек-
эффектом Томса. Оказывается, что малые добавки растворимых высоко-
полимеров способны в несколько раз снизить гидравлическое со-
сопротивление в турбулентном потоке. Со снижением сопротивления
связан эффект Грея, расчеты которого показали, что дельфин,
будь он твердым макетом, был бы неспособен развить наблюдае-
наблюдаемую скорость — не хватило бы мощности!
Однако мы не будем вдаваться в подробное описание извест-
известных эффектов. Остановимся лишь па некоторых новых эффектах,
связанных с научными интересами авторов. Заметим, что эти эф-
эффекты еще не имеют исчерпывающего объяснения, так что здесь
открывается поле деятельности для теоретиков.
§ 5. Некоторые эффекты 59
5.1. «Аномальное» вращение цилиндра
на границе струи
Пусть круглый цилиндр, способный свободно вращаться
на своей оси, вносится в струю воды или в область границы воз-
воздушного потока. В некотором интервале погружений, в противопо-
противоположность упомянутому эффекту Коанда, цилиндр выталкивается
из потока и при этом вращается в направлении, обратном ожидае-
ожидаемому,— против «мельничного колеса»! Такой эффект наблюдается
только при условии двухстороннего обтекания цилиндра. Если ци-
цилиндр заглублен настолько мало, что обтекает лишь с одной сто-
стороны, он вращается «правильно». Но величина этого порогового
заглубления весьма мала. При продолжении заглубления направ-
направление вращения становится «встречным», затем достигается мак-
максимум скорости, ее падение и, наконец, полная остановка, когда
цилиндр полностью погружается в поток.
Если речь идет о тонкой струе, сравнимой по толщине с диа-
диаметром цилиндра, то при аномальном вращении струя сильно от-
отклоняется от цилиндра, который может быть далеко заглублен за
геометрическую ось невозмущенной струи. Однако в некоторый
момент струя скачком перебрасывается по другую сторону цилинд-
цилиндра, и он начинает вращаться в обратном направлении, так что
явление носит гистерезисный характер. Как выяснилось, эффект
наблюдается не только для цилиндра, но и для шара и на грани-
границе плоских и осесимметричных струй, как водяных, так и воз-
воздушных [37].
Рассматриваемое явление, благодаря сочетанию вращения и
выталкивающей силы, внешне напоминает эффект Магнуса, одна-
однако имеет совершенно иную природу. Эффект Магнуса состоит в
том, что принудительно вращающийся цилиндр или шар испыты-
испытывает со стороны набегающего потока действие поперечной силы,
связанной с принудительной циркуляцией. Если поток однороден,
то при нулевой скорости вращения поперечная сила отсутствует.
Рассматриваемые здесь эффекты аномального вращения и силово-
силового взаимодействия возникают спонтанно, под действием механизма,
обусловленного неоднородностью потока. При этом сила действует
и на неподвижное обтекаемое тело. Угловая скорость вращения
свободного цилиндра оказывается точно пропорциональной скоро-
скорости натекающего потока. Это позволяет считать обтекание прибли-
приближенно невязким, но с некоторой циркуляцией, для определения
которой необходимо обобщить постулат Жуковского — Чаплыгина
о конечности скорости на острой кромке крыла на случай гладкого
контура. Такое обобщение [37] предполагает, что вырабатываемая
циркуляция минимизирует максимум скорости на контуре обтека-
обтекаемого тела. Данный минимаксный принцип позволяет качественно
и отчасти количественно верно предсказывать направление и ве-
величину циркуляции в различных условиях обтекания.
60 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
5.2. Струйное обтекание шара
Задача о струйном обтекании шара демонстрирует мно-
многие разнообразные эффекты и еще ждет своего детального экспе-
экспериментального и теоретического исследования. Факты же таковы.
При центральном обтекании широкой струей картина мало отли-
отличается от безграничного обтекания шара как плохообтекаемого те-
тела. Однако тонкой струей шар обтекается безотрывно. Переход
между этими крайними случаями довольно резок и напоминает
скачок; вполне вероятны гистерезисные явления.
При нецентральном обтекании малый шар отталкивает струю,
а большой притягивает, демонстрируя эффект Коанда, когда тон-
тонкая струя отклоняется шаром очень сильно. Таким образом, если
шар имеет размер, превышающий диаметр струи, он ею втягива-
втягивается в центр. На этом основано известное явление устойчивого
подвешивания пингпонговского шарика в вертикальной или на-
наклонной воздушной струе.
Менее известно поведение шара, лежащего на плоскости под
падающей вертикальной струей воды. Проще всего этого сделать,
Рис. 13.
§ 5. Некоторые эффекты 61
положив пингпонговский шарик на перевернутый стакан и поме-
поместив все это в раковине под водопроводным краном. Если струйка
слабая и тонкая, шар располагается на ее оси и покоится. При
увеличении интенсивности струи в некоторый момент шар теряет
устойчивость и начинает периодически колебаться в некоторой
плоскости. Дальнейший рост силы струи приводит к вращению
этой плоскости вокруг оси струи. Далее колебания теряют регу-
регулярность и получается нечто вроде странного аттрактора: шар бе-
шенно колеблется со случайными сбоями фазы и направления вра-
вращения плоскости колебаний, но, несмотря на большую силу струи,
не выскакивает из нее!
Необычными свойствами обладает шар, подвешенный в воз-
воздушной струе, сформированной своеобразным «соплом» в виде от-
отверстия между тремя другими касающимися между собой шарами.
Вдали от такого «сопла» пробный шар висит, как и в струе из
цилиндрической трубки (рис. 13, а). Но у него есть, как это де-
демонстрирует рис. 13, б, и второе устойчивое состояние в непосред-
непосредственной близости от «сопла»! Если струя из этого «сопла» выте-
вытекает не в атмосферу, а в цилиндрическую трубу диаметра, не-
несколько превышающего размер шара, то шар может занять рав-
равновесное положение у выходного конца трубы внутри или вне ее.
Если шар толкнуть вниз, он достигает «сопла» и занимает второе
устойчивое состояние. Эти явления играют немаловажную роль
для понимания процессов в концентрированном зернистом
слое [38].
5.3. Скоростные неоднородности
за зернистым слоем
В ряде работ (см. обзор в [38]) было обращено внима-
внимание на парадоксальное явление возникновения за однородным зер-
зернистым слоем крупномасштабных скоростных неоднородностей —
так называемых «ушей», которые действительно похожи на заячьи
уши, так как характеризуются протяженным провалом эпюры ско-
скоростей в центральной части канала и интенсивными всплесками
вблизи его стенок. При этом масштаб области, где наблюдаются
всплески, определяется размером канала, а не диаметром зерна,
что было установлено специальными опытами.
Большинство исследователей появление макроскопических не-
неоднородностей объясняют неоднородностью самого слоя, связанной
с неупорядоченностью его укладки, повышенной пристенной «про-
«прозрачностью» и деформациями слоя под действием силы тяжести и
гидравлического сопротивления. Только в одной эксперименталь-
экспериментальной работе [70] эффект связывается с прогибом поддерживающей
сетки. Однако, учитывая, что в обычных условиях величина про-
прогиба весьма мала, на первый взгляд такое заключение не кажется
убедительным. Тем не менее оно оказывается верным. Об этом
62 Гл. 1. О парадоксах вязких течений
свидетельствуют целенаправленные опыты и расчеты, основанные
на модели квазиидеальной жидкости [19].
Эта модель весьма проста: к правым частям уравнений Эйле-
Эйлера добавляются фильтрационные члены, линейные по скорости
жидкости. В отличие от классической модели фильтрации здесь
учтены инерционные члены, и это оказывается принципиально
важным, однако не столько для движения внутри зернистой среды,
сколько для условий перехода через ее границу. Если инерцию не
учитывать, и сопрягать поток только по нормальной скорости, счи-
считая течение потенциальным, как вне, так и внутри зернистой сре-
среды, то возникают парадоксы типа неединственности решения даже
при условии однородности набегающего потока [101].
Детальное рассмотрение показало, что при неортогопальном
протекании через границу инерционный поток приобретает завих-
завихренность, и притом тем более интенсивную, чем ниже проницае-
проницаемость среды и чем больше угол падения потока на границу. Фи-
Физическая причина генерации завихренности, например на выходе
из слоя, заключается в том, что при высоком гидравлическом со-
сопротивлении среды даже небольшие скорости вызывают значитель-
значительные градиенты давления, которые, «просачиваясь» на границу,
вызывают в свободном пространстве интенсивное поперечное дви-
движение, что эквивалентно появлению вихря.
Расчет показывает, что уже при небольших прогибах границы
зернистого слоя этот процесс приводит к возникновению «ушей»,
имеющих масштаб размера капала. С ростом сопротивления среды
эффект поначалу усиливается, а затем происходит насыщение,
поскольку поток в среде низкой проницаемости стремится развер-
развернуться перпендикулярно поверхности слоя. Тем самым «уши»,
связанные с прогибом поддерживающей сетки, представляют собой
в значительной степени «эфемерное» явление, возникающее лишь
на выходе и, следовательно, неопасное для аппаратов с зернистым
слоем. Рассмотренный эффект относится к ситуации, когда неболь-
небольшие воздействия, хотя и не связанные непосредственно с вяз-
вязкостью, вызывают серьезную перестройку течения.
5.4. Некоторые свойства закрученных потоков
Вращающиеся потоки — это большая область гидроди-
гидродинамики, в которой нередко проявляются удивительные эффекты.
Прежде всего следует упомянуть «столбик» Тейлора — Праудмена
[50]. Эффект состоит в следующем. Пусть быстро вращающийся,
как целое, поток медленно обтекает диск, ось которого параллель-
параллельна оси вращения z. Тогда за диском возникает резкая «тень» ог-
огромной длины, где vz = 0, тогда как вне «столбика» vz = const ?=0.
Другое неожиданное явление — эффект Ранка — наблюдается
при сильном вращательном движении сжимаемого газа. Если в
вихревую камеру подводить воздух под достаточно высоким дав-
§ 5. Некоторые эффекты 63
легшем (порядка 5—10 атм), то в выходной диафрагме камеры
температура воздуха оказывается сильно переменной по радиусу,
причем приосевая зона охлаждается, а периферийная нагревается
против начальной температуры воздуха перед камерой. Это отно-
относится не только к термодинамической, но и к температуре тормо-
торможения, что говорит о перераспределении полной энергии потока.
В лучших конструкциях, предназначенных для получения холода,
температура на оси достигает ~—200 °С при исходной комнатной
температуре. Исследованию эффекта Ранка посвящено множество
работ, например монография [99]. По этому вопросу регулярно со-
созываются специальные конференции. Тем не менее природа эф-
эффекта Ранка до сих пор представляется довольно загадочной. Во
всяком случае, пока не создано адекватной бесспорной теории
явления.
Другим кругом эффектов, связанных с вращением потока, яв-
являются . наблюдаемые неоднозначности режимов и гистерезис.
Явления такого рода издавна привлекали внимание исследователей
и служили весьма чувствительным пробным камнем для соответст-
соответствующих теоретических построений. Таковы метастабильные состо-
состояния при отрывном течении в диффузоре, вихревой клапан [202]
и, вообще, вневмоника. Приведем новые примеры, связанные с не-
неоднозначностью режима течения.
Если к выходному центральному отверстию вихревой камеры
поднести плоский экран, способный отверстие полностью закрыть,
то это и происходит, т. е. па короткое время экран «прилипает»
к отверстию под действием разрежения в приосевой зоне камеры.
Однако тотчас давление в камере возрастает и экран отталкивает-
отталкивается. В итоге он около некоторого положения вблизи выходного от-
отверстия совершает правильные колебания, издавая сильный звук.
Отметим, что мощные автоколебания в вихревых камерах воз-
возникают и без экрана, причем природа этого явления выяснена не
до конца. Если, прилагая некоторое усилие, экран оттянуть от
выходного отверстия камеры, то при определенных условиях за
ним формируется струя и после удаления экрана сохраняется пря-
прямоточный режим истечения из камеры. Но если в том же режиме
экран просто сдвинуть вбок, освобождая выход потоку, то вместо
прямоточной струи возникает разомкнутый режим истечения, со-
сопровождающийся сильным подсосом в приосевой области.
Еще одним неожиданным эффектом является «противовраще-
ние» тонкого стержня, соосно вставленного в центральное выход-
выходное отверстие вихревого охладителя [135].
Глава 2
КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Конически симметричные течения вязкой жидкости со-
составляют обширный и весьма содержательный класс решений
уравнений Навье — Стокса. В этом классе скорость обратно про-
пропорциональна расстоянию от начала координат v = v/fiU(q), 8),
где R, ф, 8 — сферические координаты. Уравнения Навье — Сток-
Стокса допускают такое представление. Уравнения для U, получаемые
в результате подстановки, содержат по-прежнему как линейные,
так и нелинейные члены, поскольку как Av, так и (vV)v пропор-
пропорциональны 1/R3. Это означает, в частности, что хотя на больших
расстояниях скорость убывает до нуля, вязкий и конвективный пе-
переносы импульса остаются, вообще говоря, одного порядка. С этим
связан ряд весьма нетривиальных свойств конических течений.
Одно из них — потеря существования решения при конечных
значениях числа Рейнольдса — уже обсуждалось в гл. 1 в связи с
задачей о взаимодействии вихревой нити с плоскостью. Его анализ
будет продолжен и в этой главе с основным упором на индуциро-
индуцирование предельно сильных струйных течений, предшествующее по-
потере существования.
Другое необычное свойство — неприменимость для ряда кони-
конических течений классической схемы Прандтля, которая предпола-
предполагает, что при больших скоростях влияние вязкости существенно
лишь в тонких пограничных слоях вблизи обтекаемых твердых
поверхностей. И, как будет показано, напротив, внутренние погра-
пограничные слои могут возникать при отсутствии каких бы то ни бы-
было стенок.
Наконец, весьма нестандартно в конических течениях прояв-
проявляется такое свойство вязких потоков, как отрыв. Когда он про-
происходит, то в силу принятой симметрии имеет автомодельный
характер — точка отрыва размещается в начале координат, а раз-
разделяющая поверхность является конической. Однако возможна
ситуация, когда замедляющееся в целом течение не только не
отрывается от стенки, но, напротив ускоряется в пристенной обла-
области под действием трения. Рассматриваемый класс конических те-
течений допускает обобщение на нестационарный случай вида
у = %7Ли(ф, 8, vt/R2). Такое решение допускается уравнениями
движения и является автомодельным, так как число независимых
переменных сокращено от четырех в общем случае до трех.
§ 1. Плоская задача 65
В классе обобщенных конических течений сохраняются та-
такие свойства уравнений Навье — Стокса, как неединственность и
потеря устойчивости стационарных решений, сложные бифуркации
новых режимов, существование автоколебательных и солитонопо-
добных решений. Собственно первый пример неединственности
стационарных решений уравнений Навье — Стокса был построен
Гамелем [178] для течения в диффузоре, которое принадлежит к
подклассу плоских конических течений.
§ 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
1.1. Предварительные замечания
Пусть вектор скорости параллелен некоторой фиксиро-
фиксированной плоскости и допускает представление
vr = -1 U (ф, Т); Уф=-^У(ф, Т);
ov2 1
где г, ф — полярные координаты; р«, — давление на бесконечности.
Такая структура решения является обязательной, если постановка
задачи не содержит характерного масштаба длины. При выборе
переменной Т, играющей роль безразмерного времени, предполага-
предполагалось, что физическое время t меняется от пуля до бесконечности.
Из-за того, что в определение Т входит г, фиксация Т не означает
одновременности для всего течения и, напротив, при фиксирован-
фиксированном t комплекс Т пробегает значения от — °о до +°° при изменении
г от оо до 0. После подстановки представления A) в A.1.8) полу-
получаем систему
¦j е~2ТЬ - U (U + U) + V(U' — V) = 2P+P + U + U";
.eV-UV+ VV = -P'+ V+ V"+ 2V+ 2U'; V' = i/. B)
Здесь точка означает дифференцирование по Т, а штрих — по ф.
При стационарном течении V = 0, V = Vo = const. Тогда из
второго уравнения B) следует Р' = 217' или
P = 2U + Ch C)
и в случае Fo = 0 уравнение для U принимает вид
U" =C-W-U2, D)
где С = —2С\. Константа С, таким образом, определяет величину
давления там, где U = 0, например, на стенке. Этот класс решений
для течений вязкой жидкости был впервые указан Джеффри [186]
5 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, н. И. Яворский
66
Гл. 2. Конические течения
и детально изучен Гамелем [178].
Анализ решений D) облегчается
тем, что они выражаются через эл-
эллиптическую функцию Вейерштрасса
[49]. Он изложен подробно в курсе
[78].
Здесь, однако, будем использо-
использовать как более наглядный метод фа-
фазовой плоскости. Подстановками
Рис. 14. % =
уравнение D) приводится к виду, не содержащему параметров
у"=у-уУ2, E)
а умножение на у и интегрирование дает
/2
у -у2-г/3/з + в,
F)
где В — константа интегрирования.
Вместо того чтобы анализировать отдельные решения, изучим
характер векторного поля на фазовой плоскости [3]. Фазовый порт-
портрет рассматриваемого движения изображен на рис. 14. Параметром
служит величина В. Две стационарные точки — седло @, 0) и
центр B, 0) — соответствуют равномерному по углу <р стоку и
источнику жидкости в начале координат. Случай медленных дви-
движений, когда |СЛ<1, 1С|<1, у & 2 +С/8 + U/2, соответствует
окрестности стационарной точки B, 0). В случае, когда ограничи-
ограничивающие стенки отсутствуют, физический смысл имеют только пе-
периодические решения, отвечающие замкнутым траекториям на
рис. 14. Они расположены между стационарной точкой B, 0) и
сепаратрисой
z/c = 3/ch2(x/2). G)
При этом величина В меняется от —4/3 при у = 2 до пуля при
1.2. Течение в диффузоре
Обозначим величину угла между стенками диффузора че-
через а. Следуя [87], определим Re как отношение расхода к вяз-
вязкости:
а/ 2
Re = (?/v= f Udy = a(Uy.
—а/2
Угловыми скобками обозначено среднее по углу значение U. Для
§ 1. Плоская задача 67
анализа некоторых свойств решения удобнее пользоваться безраз-
безразмерным комплексом, в котором в качестве масштаба скорости ис-
используется ее максимальное значение vr max [18]. Поэтому опреде-
определим критерий Ва = a2fr maWDv) = cc2f/max/4.
Введем еще одну безразмерную характеристику течения
сР = а4г4р - p«>/(pv2) = аЧРУ = сс4B<?/> - С/2),
которая определяет зависимость от г среднего по углу давления.
При малых углах раствора комплексы a Re, Ba, ср являются «уни-
ъерсальными», т. е. любой из них может служить единственным
безразмерным параметром, от которого зависят свойства решения.
Действительно, заменой переменных г\ = 2ср/а, / = U/UmBX уравне-
уравнение D) после умножения на /' и однократного интегрирования
приводится к виду
/'2 = A - /) {Ba (f + /)/3 + а2/ + а},
где константа а должна быть определена из граничных условий,
например, при интегрировании от г\ = 0 с начальным значением
/@)=1 из условия /A) = 0. При а<1 вторым членом в фигурной
скобке можно пренебречь. Если комплекс Ba остается не малой
величиной (это значит, что число Рейнольдса стремится к беско-
бесконечности), то он остается единственным параметром.
Напротив, при малых числах Рейнольдса / = [cosBcp) — cos a]/
/A — cos а) и при |ф1<а/2<1 имеем / == 1 — тJ, т. е. профиль
скорости переходит в параболический, как при течении Пуазейля
в плоском канале.
Зависимость f(r\) для а =10° при различных значениях Ва
приведена (согласно [206], кроме Ва = 100) на рис. 15. Отрицатель-
Отрицательному значению Ва соответствует сходящееся течение в диффузоре.
При больших 1Ва| в ядре течения /« 1, что соответствует потен-
потенциальному течению типа стока. Вблизи стенок развиваются погра-
пограничные слои толщиной — I Ва [ ~1/2. Таким образом, сходящееся тече-
течение существует при всех Re < 0, и при j Re I >1 реализуется клас-
классическая схема Прандтля: возникают потенциальное ядро и при-
пристенные пограничные слои.
Напротив, расходящееся течение существует только до опре-
определенного значения Ва = Ва#. Если решение непрерывно про-
продолжить, сохраняя симметрию, в область Ва>Ва.,., то вблизи
стенок возникает возвратное течение. Когда Ва -»- °°, в этом тече-
течении развиваются два пристенных пограничных слоя и один внут-
внутренний (см. рис. 15, Ва = 100). При фиксированном а и Ва > 1
имеем i/max«3; C/max » 2УС + 4; УС + 4 = 2Ва/а2; % = 1Шц. Следо-
Следовательно, вблизи оси / ~ 3/[2 сЬ2(УВа г\)] — 1/2, и профиль имеет
солитоноподобный вид. Интервал между г| == — 1 и первым поло-
положительным корнем T]i функции f(r\) составляет полный период
эллиптической функции, поэтому профиль скорости в пограничном
слое около т] = — 1 повторяет профиль правее r)i. Между погранич-
5*
68
Гл. 2. Конические течения
Рис. 16.
ными слоями / « —1/2, т. е. возникает потенциальное течение типа
стока. Максимальное и минимальное значения скорости асимпто-
асимптотически удовлетворяют соотношению Umax = — 2Umln.
Если при некотором значении Вао существует симметричное
решение с обратными течениями, то при меньшем значении Bai
существует такое же асимметричное течение. Действительно, если
«переместить» стенку в положение ближайшего корня /(л)
(рис. 16), то получим течение в диффузоре с углом <х\ и тем же
значением Z7max. Раздвинем теперь этот угол до а. Полагая углы
достаточно малыми, чтобы было справедливо a2t/max = const, полу-
получим, что асимметричное течение в диффузоре с углом раствора а
существует при значении Ва = Bai, причем
Bai = Bao(«i/aJ<Bao. (8)
Описанные свойства течения в диффузоре хорошо известны
[18], однако некоторые детали до сих пор оставались невыясненны-
невыясненными. Так, в курсе [87] содержатся неточности, касающиеся последо-
последовательности возникновения симметричных и несимметричных те-
течений с обратными токами. Бэтчелор, указав на возрастание числа
решений с увеличением Ва, отметил трудность количественного
определения этой закономерности. Приведем результаты анализа
и расчетов, проливающие свет на эти и некоторые другие аспекты
задачи. Прежде всего отметим, что значение Ва = Ва.,. является
бифуркационным.
Действительно, как было показано, при Ва > Ва^ существует
симметричное решение с обратным течением и два асимметричных,
совпадающих с точностью до отражения от срединной плоскости
диффузора. С приближением Ва к Ва,,. оц ->- а и, согласно (8),
при Ва = Ва^. асимметричные решения сливаются с симметрич-
симметричным. При Ва •< Ва^ решений с обратными токами не существует.
Таким образом, при Ва = Ва^ происходит прямая бифуркация
асимметричных режимов от симметричного. Это подтверждают и
численные расчеты для а =10°, результаты которых представлены
на рис. 17 и отражают зависимость расхода от максимальной ско-
скорости.
§ 1. Плоская задача
69
Целочисленный параметр т на рис. 17 сначала примем рав-
равным единице. При Ва < Ва* существует единственное решение,
соответствующее течению в одном направлении,— втекающему G)
при Ва < 0 и вытекающему (О) при 0<Ва<!Ва*. Точка В на
рис. 17, для которой Ва = Ва*, является бифуркационной. По-
Поскольку угол достаточно мал, ее параметры близки к известным
предельным величинам <xRe* да 18,8 [87], Ва* = 10,8 [18]. При
переходе через точку В слева направо, во-первых, исходное сим-
симметричное течение перестает быть однонаправленным и переходит
в режим с возвратными течениями у обеих стенок (IOI). Во-вто-
Во-вторых, происходит ветвление двух асимметричных режимов с воз-
возвратным течением у одной из стенок A0 и 01). Поскольку и
расход, и максимальные скорости у них совпадают, оба режима со-
соответствуют одной и той же штриховой линии на рис. 17.
Покажем, что бифуркационных точек типа В счетное множе-
множество: ВA), ВB), ..., В(т), ..., где т — число участков вытекания.
Итак, имеется диффузор с углом а. Пусть угол а достаточно
мал, чтобы считать свойства решения зависящими только от комп-
комплекса Ва или a Re. Рассмотрим решение при критическом значе-
значении Ва = Ва*. Построим диффузор с углом а/т. Поскольку Ва*
не зависит от угла, то в критическом режиме течения в уменьшен-
уменьшенном диффузоре максимальная скорость будет в т2, а расход в т
раз больше, чем в исходном. Теперь соединим т уменьшенных
диффузоров вместе и уберем промежуточные стенки. Это можно
сделать, поскольку в критической ситуации не только скорость, но
и ее производная по углу и, следовательно, трение на стенках рав-
равны нулю. В результате соединения вновь получаем диффузор с
углом раствора а. Максимальная скорость при соединении остается
неизменной, а расход возрастает в т раз. Таким образом,
Re* (т) = т? Re* A); Ва* (т) = т2Ва*. A)
Описанное построение при т = 2 воспроизведено на рис. 18.
Аналогичное построение можно выполнить для асимметричных ре-
Рис 18.
70 Гл. 2. Конические течения
жимов. Поскольку профиль скорости течения типа 10 соответствует
полному периоду эллиптической функции, наличие или отсутствие
промежуточных стенок несущественно. Поэтому штриховая линия
на рис. 17 отвечает не только режиму Ю, но и (Ю)т, где индекс
означает повторение Ю т раз. При этом, конечно, следует иметь
в виду, что по осям отложены величины Ва/m2 и a Re/m2. На плос-
плоскости {Ва, Re} линии 10 и (Ю)т будут геометрически подобны, но
A0)т расположена в т2 раз дальше от начала координат.
Для симметричных режимов такого подобия нет, поскольку им
не соответствует полный перид эллиптической функции. На рис. 17
штрихпунктирными кривыми показаны результаты численного рас-
расчета при т = 2 соответствующих зависимостей для режимов 010
(слева) и 10101 (справа). При т>2 характер зависимостей
Re(Ba) сохраняется качественно таким же, но с ростом т расстоя-
расстояние между ветвями на рис. 17 убывает пропорционально 1/т и
все они в пределе приближаются к линии 10.
Таким образом, карта решений на плоскости параметров {Re,
Ва} достаточно проста. Решения расположены изолированными
группами по четыре в каждой. Решения, принадлежащие одной
группе, переходят друг в друга в бифуркационной точке В(т).
Число решений с увеличением Ва растет асимптотически по закону
N = Am = int {[Ва/Ва* A)]1/2 j -4,
где int — целая часть. С ростом Re число решений «уменьшается»,
но при любом значении Re, в том числе при Re = 0, существует
счетное их число. На каждой группе связанных решений величина
расхода ограничена сверху и достигает максимума на решении с
наибольшим числом участков втекания (точка М на рис. 17 при
т = 1).
При монотонном увеличении расхода через диффузор в момент
прохождения точки М (и аналогичных при т?=1) поле скорости
испытывает скачок, в результате которого меняется как амплитуда,
так и число колебаний профиля радиальной скорости.
Свойства устойчивости решений существенно зависят от того,
какую характеристику течения считать заданной. Ситуация наибо-
наиболее проста, если заданной величиной считать Ва. В этом случае
в силу структуры кривых на рис. 17 и общих теорем [3, 62] в каж-
каждой группе из четырех решений устойчивыми (относительно воз-
возмущений из специального автомодельного класса) являются реше-
решения с минимальным числом колебаний профиля скорости. В пер-
первой четверте это совокупность режимов /, О и 10, 01. В следую-
следующей четверке — верхняя ветвь решений типа 010 и решения
1010, 0101 и т. д.
Однако задание величины максимальной скорости с физиче-
физической точки зрения кажется искусственным. Представляется более
естественным задавать расход или градиент давления, подразуме-
подразумевая, что диффузор является идеализацией части канала, соеди-
§ 1. Плоская задача
71
-10
пяющего емкость большого давления с емкостью малого давле-
давления. В подобной конструкции с гидравлической точки зрения
наибольшее значение имеет зависимость расхода от перепада
давлений.
Для течений в диффузоре с углом раскрытия 10° зависимость
расхода от градиента давления показана па рис. 19, 20. Она имеет
на первый взгляд парадоксальный характер. Величина ср ограни-
ограничена сверху значением «11,3, достигаемым при a Re» 3,65. При
дальнейшем увеличении расхода перепад давления уменьшается,
обращается в нуль при a Re = 8,4, а затем становится отрицатель-
отрицательным. Другими словами, для обеспечения достаточно большого рас-
расхода вытекающей жидкости около вершины диффузора должно
быть создано разрежение.
Здесь проявляется коренное различие между ползущими те-
течениями вязкой жидкости, в которых для преодоления трения
Давление вниз по потоку должно падать, и течением идеальной
Жидкости, в котором в соответствии с теоремой Бернулли умень-
уменьшение скорости вниз по течению должно сопровождаться повыше-
повышением давления. Ситуация становится особенно наглядной, если
вновь рассмотреть диффузор как переходной участок между двумя
большими емкостями. Такой переходник в некотором сечении имеет
пережим и при больших скоростях давление вниз по течению
сначала падает, достигает минимального значения в горле сопла,
а затем возрастает до величины давления в приемном резервуаре.
72 Гл. 2. Конические течения
Автомодельное решение аппроксимирует течение на участке воз-
возрастания давления,
Из сказанного следует, что критерий ср характеризует лишь
величину перепада давления на диффузорной части канала, соеди-
соединяющего резервуары, в то время как расход является единой ха-
характеристикой течения как в его автомодельной части, так и на
других участках. Поэтому задаваемой извне величиной целесообраз-
целесообразно считать именно расход. В этом случае свойства устойчивости
решений будут другими. На рис. 17 устойчивым решениям для
первой четверки соответствуют сплошные линии, а неустойчивым —
штриховая.
Скачкообразное изменение поля скорости при увеличении рас-
расхода может быть связано с явлением отрыва. В переходном канале
отрыв происходит вблизи горла сопла в пеавтомоделышй области.
Если предположить, что течение и при отрыве остается ламинар-
ламинарным или становится таковым вниз по потоку, то достаточно далеко
отрывное течение должно соответствовать автомодельному решению
со знакопеременным профилем радиальной скорости. Например,
IOI отвечает симметричному отрыву у обеих стенок. Предположе-.
ние ламипарности, конечно, весьма сильное, и необходим анализ
устойчивости автомодельных решений к возмущениям более общего
характера.
Когда угол раствора диффузора не мал, качественно картина
сохраняется, хотя геометрическое подобие, использованное на
рис. 17, 20, достигается асимптотически при Re > 1 и лг>1. За-
Зависимость критических значений Re* (m) от угла а приведена на
рис. 21. Однонаправленное течение существует в области, лежащей
левее кривой для т=1, и при числах Рейнольдса, отвечающих
кривым т = 2, 3, .... При а -*¦ 2л решения, соответствующие кри-
кривым на рис. 21, переходят в решения для точечного источника на
безграничной плоскости. Стенки диффузора, сливающиеся при угле
раскрытия 2я, для критических режимов можно безболезненно
убрать. Таким образом, задача о течении в диффузоре непрерывным
образом переходит в задачу о течении от точечного источника на
плоскости.
1.3. Бифуркация решений
в задаче об источнике
Существование счетного числа зависящих от угла реше-
решений в задаче об источнике было обнаружено еще Гамелем [178].
Здесь будет показано, что все они бифурцируют от классического
потенциального решения для точечного источника (vr = Q/Bnr),
которому соответствует решение уравнения D) U = С/о = const,
С = Со = 4С/0 + U\. Зафиксируем число Рейнольдса Re = 2я?7о
и, следовательно константу Со, и линеаризуем уравнение D) вбли-
§ 1. Плоская задача 73
зи U = Uo: U =U0 + и, Ы < 1. Линеаризованное уравнение имеет
вид и" +(A + 2U0)u = 0.
Функция «(ф) должна удовлетворять условиям периодичности
по ф. Нетривиальное решение существует, когда выполнено 4 +
+ 2[/0 = т2; т=1, 2, При этом с учетом произвола выбора
начала отсчета угла ф собственная функция может быть записана
в виде и —A sin (nwp), а критические значения числа Рейнольдса
определяются формулой Re*m = jt(m2—4), m = i, 2, Существо-
Существование нетривиального решения у линеаризованного оператора яв-
является лишь необходимым условием бифуркации, поэтому чтобы
выяснить, происходит ли действительно бифуркация и каков ее
характер, воспользуемся методом разложения по амплитуде А как
по малому параметру [62].
Используя для удобства выкладок вместо числа Рейнольдса
величину С в качестве вспомогательного параметра, будем разыски-
разыскивать решение вблизи значений U = ?70*> С = Со* в виде
U = U0* + AUx(y) + АЮ2(у) +¦¦¦¦> С = С0* + АС1 + А*С, + . . .,
(9)
где Uo* = В.е%/Bп); Со* = 4?/0* + Ul* = (т* ~ 16)/4. Подставляя
ряды (9) в уравнение D) и приравнивая нулю коэффициенты при
степенях А, получим систему рекуррентных уравнений
и"г + т*иг = П(С0; ...,С;_1;?/0*, ..., U^y, i= 1,2, ....
Как показано выше, /i = О, U\ = sin(m^). Поскольку оператор ле-
левой части вырожден, для существования решения необходима орто-
ортогональность правой части к собственной функции U\. Эти условия
используются для определения коэффициентов С,-. В силу прису-
присущей задаче симметрии относительно поворота и отражения коэф-
коэффициенты С( с нечетными индексами оказываются равными нулю.
Уравнение для Uz имеет вид
Ul + m2U2 = С2 — 1/2 + 1/2 cos Bтф),
откуда U2 = \Ci — 1/2 — 1/6созBтф)]/?п2. Из уравнения для ?/3
U + т2из = - 2U1U2 = - 2/т* \(С.г - 5/12) sin (вир) - sin (ЗтаФ)/12]
следует, что условие ортогональности, которое в данном случае
эквивалентно равенству пулю коэффициента при sin(?mp), дает
6*2 = 5/12. Таким образом, U2 = — [1 + 2 совBтф)]/A2»г2), и в силу
того, что Re = ) U d(p = 2л (JJ~), имеем
о
Re = Re*m - я/42/Fт2) + О (Л4).
Тем самым установлено, что неосесимметричные решения би-
фурцируют в сторону уменьшения числа Рейпольдса. Для колеба-
74
Гл. 2. Конические течения
ний конечной амплитуды величи-
величину А удобно переопределить как
(Umax — Umln)/2. Характер измене-
изменения решения с увеличением А
можно проследить, обратившись к
рис. 14. Осесимметричное решение
отвечает у = 2, у' = 0. При Re =
= Re* из точки у = 2 рождается
цикл, т. е. замкнутая кривая на
рис. 14, причем решению с дан-
данной величиной m соответствуют тп обходов замкнутой кривой по
часовой стрелке. С ростом А размер цикла возрастает и при А -*- °о
цикл «влипает» в петлю сепаратрисы.
Асимптотическая зависимость между А и <?/> определяется
соотношениями
6 Ы/B0Т)
= 4 J #<= dX = 12/Л; А = 2я /2 (С.
где А -— период по %. В итоге имеем при А > 1
<Ш = -2/ЗЛ A - 3V3 m^-1/2/n) +0A).
Асимптотические зависимости при малых и больших амплитудах
сопрягаются на основе численных расчетов (рис. 22). При больших
амплитудах профиль радиальной скорости по углу имеет форму
цветка, число лепестков которого равно тп, ширина лепестка про-
пропорциональна Л~1/2, а максимальная скорость вытекания в два ра-
раза превосходит максимальную скорость втекания. О характере рас-
распределения скорости на одном периоде можно судить по рис. 15
(кривая для Ва = 100, на интервале — 1 «S r\ ^ гц). На фоне прак-
практически равномерного стока из особой точки истекают узкие силь-
сильные струи.
Таким образом, анализ, казалось бы, простейшей задачи об
источнике вскрывает удивительный факт — существование счетного
числа стационарных решений при всех значениях числа Рейнольд-
са и ветвление этих решений от осесимметричного режима. Это —
новое, можно сказать, парадоксальное свойство уравнений Навье —•
Стокса. Первая бифуркация происходит в режиме стока при
Re*] = — Зя, бифуркации с m > 3 происходят в режиме источника.
Наиболее поразительно, что и значение Re = 0 (пг = 2) является
бифуркационным.
Однако тот факт, что при Re = 0 существует счетное число
решений, хотя сам по себе интересен, при более детальном рас-
рассмотрении не кажется таким уж необычным. Дело в том, что
решения с т^З отвечают не малым значениям U. Хотя <?7>=0,
§ 1. Плоская задача 75
скорости на участках втекания и вытекания конечны и при т > 1
сколь угодно велики. Поэтому условие iRel < 1 отнюдь не озна-
означает медленности течений и малости нормы IIШ. Однако поскольку
значение Re = 0 является бифуркационным, в любой окрестности
11[/1!<е существуют два решения, отвечающие m = О и т = 2. Сле-
Следует, конечно, иметь в виду, что малость II [/II не означает равно-
равномерной малости всех скоростей из-за наличия особой точки в начале
координат, где при любой II [/II ^ О скорость бесконечна.
Описанное множество стационарных решений уравнений
Навье — Стокса, связанное с особой точкой г — 0, принципиально
отличается от мультиполей, являющихся решением уравнения Лап-
Лапласа, для которых угловая и радиальная зависимости согласованы
одинаковым индексом т. Для всех неосесимметричных решений
уравнений Навье — Стокса, о которых речь шла выше, радиальная
зависимость одна и та же, ~1/г. Кроме того, мультиполи могут
иметь произвольные интенсивности, в то время как для рассмотрен-
рассмотренного семейства при каждом фиксированном числе Рейнольдса
амплитуды могут принимать значения только из определенного
дискретного множества (см. рис. 22). Таким образом, для выделе-
выделения определенного стационарного течения от источника необходи-
необходимо задать не только расход, но и дискретный параметр т, Ввиду
множественности решений принципиальное значение приобретает
изучение их устойчивости.
1.4. Автомодельный анализ устойчивости
Прежде чем приступить к исследованию устойчивости,
рассмотрим один класс нестационарных решений уравнений
Навье — Стокса. Как легко убедиться, поле
vr = v/r ¦(!\t/r)mcos(тц>);
1?ф = v/r-(ТЧ'?/г) ¦ signm • sin(mq)); m = ±1 ±2, ...,
является потенциальным. Его суперпозиция с течением от вихре-
источника vr — Q/Bnr), уФ = Г/Bлг) также представляет потен-
потенциальное решение уравнений Эйлера, а при отсутствии границ и
уравнений Навье — Стокса. Это решения типа мультиполей, о ко-
которых речь шла в разд. 1.3. При т>0 они имеют сильную особен-
особенность в начале координат, а при т < 0 не убывают на бесконеч-
бесконечности. Очевидно, что переходные траектории между найденными
стационарными решениями не содержатся в этом потенциальном
классе. Около точек бифуркаций осесимметричное и неосесиммет-
ричные стационарные решения близки. Поэтому естественно пред-
предположить, что переходные траектории, т. е. возмущения, перебра-
перебрасывающие течение из одного режима в другой, будут в определен-
определенном смысле малы.
76 Гл. 2. Конические течения
Для компактности выкладок введем функцию тока Ч1": U—4?',
V=W. Тогда система B) сводится к уравнению
1/2 • е-2тФ + ЧФ' - Т'Ф - 2ЧГФ = Ф" + Ф + 4Ф + 4Ф, A0)
где Ф = гР"+"Ф\ Рассмотрим более общий, чем течение от источ-
источника, случай вихреисточника, которому соответствует осесимметрич-
ное решение A0) ? = Wo = ?/Оф + V0T с расходом Q = 2nvU0 и
циркуляцией Г = 2jivFo. Исследуем устойчивость этого решения.
Представляя решение A0) в виде 4r = vFo + ^1, получим уравнение
для возмущений:
1/2 ¦ е-2тФ + фф' - г|/Ф - 2ф'Ф = Ф + Ф" +
Поскольку Фо = 0, для возмущений Ф сохранено то же обозна-
обозначение. Уравнение для малых возмущений получим, пренебрегая
в A1) нелинейными членами в левой части,
1/2 -е-2тФ = Ф" +Ф + D+ ?/о)Ф + D + 2?/о)Ф-УоФ'. A2)
К сожалению, коэффициенты уравнения A2) зависят от Т, что не
позволяет искать возмущения в нормальной форме и сильно за-
затрудняет анализ устойчивости. Поэтому ограничимся анализом по-
поведения возмущений на начальном этапе эволюции, когда Г «С — 1,
и на заключительном этапе, когда Т "> 1.
Сначала рассмотрим начальный этап. В этом случае удобно
ввести переменную r = vtjr2. Поскольку 2" = 1/2 • In т, д/дТ =
= 2хд/дх, из A2) получим
ф, = ф " - 70Ф' - D + 2U0) Ф + 2т [2тФт + D + 2U0) Ф]х,
где индексом т обозначено дифференцирование по т. При Г<— 1
т = ехрBУ) < 1. Пренебрегая членами, имеющими т множителем,
находим Фт = Ф" — УоФ'+ D+2С/о)Ф, откуда, принимая для воз-
возмущений нормальную форму Ф = ехр(цт — imq>), получаем харак-
характеристическое уравнение |х = 2Uo + 4 — тг + imV0.
При Уо = 0 нейтральному случаю, когда и, = 0, отвечает
ио* = (т2 — 4)/2, что согласуется с формулой для Re*m, полу-
полученной в разд. 1.3. При ?/о>[/о* возмущения нарастают, а при
Uo <; t/0* затухают. Однако для анализа устойчивости решающее
значение имеет не поведение возмущений на начальном этапе, а их
асимптотическое развитие при больших временах. Полагая Т > 1,
пренебрежем членом в левой части A2). Тогда допустимо пред-
представление возмущений в нормальной форме Ф = ехр^ЯТ1 — гпкр) и
из уравнения A2) следует дисперсионное соотношение (Х + 2J +
(/ /
§ 1. Плоская задача
77
-г
У корня, отвечающего знаку минус
перед радикалом, вещественная часть %г
всегда отрицательна. У другого корня Кг
меняет знак при mV0 =±(?/о + 4) BU0 +
+ 4 — т2I/2. Это соотношение определяет
нейтральные кривые на плоскости Wo,
Fo), характер которых показан на рис. 23
(линия Vo = 0 является осью симмет-
симметрии). В критической ситуации Ki =
= — mVo/(Uo + 4). Если F0 = 0, то воз-
возмущения стационарны, a С/о* = (m2 — 4)/2,
с результатами предыдущего раздела, так
Чтобы выяснить, каково поведение возмущений вблизи ней-
нейтральных кривых, зафиксируем величину Vq и вычислим производ-
производную от К по С/о при U = С/о*:
' *(U * + 4)
0
что
и с
г 4 6
Рис. 23.
согласуется
анализом
"о
как
при
Так как С/0*Г^— 3/2, производная dKr/dUo отрицательна. Следо-
Следовательно, при С/0<С/0* (левее соответствующих кривых на
рис. 23) возмущения нарастают, а при f/0>C/0*— затухают. Та-
Таким образом, при Vo = 0 поведение возмущений на начальном этапе
(при Т < — 1) противоположно поведению на заключительном (при
JI>1). При каждом фиксированном значении г амплитуда зависит
от времени немонотонно. При Fo ?= 0 поведение возмущений каче-
качественно другое и зависит от величины С/о.
Нейтральные возмущения в случае вихреисточника имеют ко-
колебательный характер. Возмущенное течение приобретает форму
спиральных волн, положение гребня которых описывается урав-
уравнением >
<р = - 2(U°+ i)ln Ч = &T> С0=-Т7-+4'
а число рукавов равно т. Колебательный характер нейтральных
возмущений свидетельствует в пользу того, что на нейтральных
кривых происходит бифуркация автоколебательных установивших-
установившихся режимов.
1.5. Спиральные волны и солитоны
Чтобы выяснить характер ветвления и структуру авто-
автоколебательных решений, будем, учитывая результаты линейного
анализа, искать функцию тока возмущений if> в форме, свойствен-
свойственной бегущей волне. А именно предположим, что ф зависит не от
Ф и Т раздельно, а от единого комплекса % = ф — оо2\ Обратившись
78 Гл. 2, Конические точения
к системе A1), получим
Ф = A + ю2)ф", A3)
где штрихом обозначается дифференцирование по %. Поскольку
рассматриваются установившиеся колебания, будем полагать Т > 1
и пренебрежем в A1) членом с ехр(—2Т). Тогда после подстанов-
подстановки A3) в первое уравнение A1) и деления на общий множитель
1 + и2 находим
A + со2)г|з1У - [Fo + соD + Uo)] я|/" + D + 2?/0)г|/' = -2г|)>".
Интегрируя и учитывая, что должно допускаться тривиальное ре-
решение г|) = 0, получим для и = г|/
A + со2)и"-[Vo + aD + Uo)]u' + BUo + 4)u = -u2. A4)
Будем разыскивать решение A4) в виде ряда по амплитуде
и ~ Ащ + А2и2 + ...;
Uo = ?/,,* + A-U2 + . . .; со = соо + ,42ю2 +
В уравнении A4) содержатся три параметра: Fo, Z/o и со. Один
из них (Fo) считается фиксированным, второй выполняет роль
числа Рейиольдса, а третий — собственного значения. Коэффициен-
Коэффициенты при нечетных степенях А в разложении для С/о и со, согласно
общей теории бифуркации автоколебаний, равны нулю. Подставляя
разложения в уравнение A4) и приравнивая нулю коэффициенты
при степенях амплитуды, получим BUo + 4) = (l -|- сод) то2; со0 —
— — F0/(G0 + 4); mi — sin(mx) в полном соответствии с линейным;
анализом устойчивости. Далее,
A -{- со'о) (ul + m2u2) = -u\ = [cos Bmx) — l]/2,
откуда w2 = — [3 + ccs B/«х)]/[бот2 (l + а>2)]. Уравнение для и3 имеет
РИД
(l -f- ©о) (м'з + пг2и3) = — 2м2ы2 — 2соосо2М! — 2U2u1 +
+ [со2 (С/о* + 4) + соо(У2] Mi = ах sin (my) + а2 cos (my) + а3 sin (Зигх),
где а\ = [2 (со0со2?га2 - U2) + 5а3]; я2 = m fw2 (^го* + 4) + «0С/2]; | а3 =
[4 )]
[4 + ?)]
Требование ортогональности правой части к собственным функ-
функциям оператора левой части сводится к тому, что должно быть
а\ = 0 и а.2 = 0, откуда определяются со2 и G2,
1 + «о) [1 + юо^2/(^о* + 4)]).
В результате имеем <?/> = f/0» J- А2 (Ь\ + <м2» + О (А*) = С70* —
6 —— 2^ -—- + О (А*). Как и следовало
§ 1. Плоская задача 79
ожидать, при Vo = coo = 0 это совпадает с
результатами, полученными в разд. 1.3. По-
Поскольку ?70* ^ — 3/2, выражение в квадрат-
квадратных скобках положительно при любых зна-
значениях т/о и т. Таким образом, бифурка-
бифуркация автоколебательных режимов тоже про-
происходит в сторону уменьшения числа Рей-
нольдса В.е = 2я<?/>. _ о,
о у? / Рис. 24.
.заметим, что если положить ы = — Ко/
/(?7о + 4) в уравнении A4), то получится
уравнение для нелинейного консервативного осциллятора, которое
заменами
приводится к уравнению E). Поэтому колебательные неосиммет-
ричыые решения качественно ведут себя так же, как и стационар-
стационарные. При больших амплитудах формируется волновой солитонопо-
добпый режим в виде спиральной структуры, имеющей т рукавов.
Положение вершины солитона (максимума радиальной скорости)
определяется уравнением
ф1п 7 шш Wt= ехр (- »)• Aо)
как и в случае малых колебаний. Для случая со = 2, т = 2 эта
структура показана на рис. 24 в некоторый момент времени t.
С течением времени структура поворачивается вокруг начала ко-
координат, а ее линейные размеры увеличиваются пропорционально
T/vt. Это волновое движение происходит на фоне стационарного
вихрестока, причем направления азимутальных скоростей вихре-
стока и волны противоположны. Вблизи линий на рис. 24 жидкость
узкими струями истекает из начала координат, а в промежутках
между рукавами почти равномерно стекает с половинным значе-
значением радиальной скорости.
Следует подчеркнуть необычность найденных автоколебаний,
периодических по переменной Т, но не по физическому времени t.
В соответствии с A5) время одного оборота линейно возрастает со
временем, так что движение асимптотически становится квазиста-
квазистационарным. Однако если ехрDя/со)—1 < 1, то изменение периода
за один оборот мало и волна бежит с почти постоянной угловой
скоростью.
Подытоживая изложенные в этом разделе результаты, отме-
отметим, что наиболее неожиданный из них — обнаружение неустойчи-
неустойчивости классических потенциальных течений типа вихреисточника к
автомодельным возмущениям с любым азимутальным числом т,
и связанное с этой неустойчивостью ветвление неосесимметричных
режимов.
80 Гл. 2. Конические течения
Обсудим, насколько эти результаты применимы к реальпому
источнику жидкости, имеющему конечные размеры. Автомодельное
решение естественно интерпретировать как асимптотическое для
реального источника па расстояниях, много больших размера источ-
источника. Можно ожидать, что в этой ситуации детальная структура
потока, порожденного реальным источником, «забывается» и дви-
движение определяется лишь величинами, сохраняющимися вниз по
течению, т. е. интегралами сохранения. Именно такой подход при-
принят в теории струй вязкой жидкости [26, 96]. Для вязкой жидкости
интегралами сохранения служат потоки массы, импульса и момен-
момента импульса. Как известно, для плоского течения с заданным по-
потоком импульса скорость убывает медленнее, чем г, например,
в случае сильных струй, ~г~1/3 [144]. Когда поток импульса равен
нулю, например, в силу исходной симметрии источника, главными
становятся потоки массы и момента импульса. В этом случае ско-
скорость убывает как 1/г, что и реализуется в течение от стационар-
стационарного точечного вихреисточника.
Приведенные соображения показывают, что величиной, харак-
характеризующей интенсивность источника, должен быть взят именно
расход, несмотря на то, что определение числа Рейнольдса по мак-
максимуму модуля скорости, Rem = ! уг max I r/v дает более «естественную»
картину неустойчивости, поскольку при каждом фиксированном
Rem растущими являются возмущения с азимутальным числом, не
превышающим определенное значение.
Для выяснения вопроса, какие из найденных пеосесимметрич-
ных решений асимптотически реализуются вдали от конечного ис-
источника, следовало бы рассмотреть проблему устойчивости по отно-
отношению к пространственному росту возмущений вниз по течению.
Однако это представляет собой неавтомодельпую задачу, выходя-
выходящую за рамки настоящей работы. Впрочем, исследование автомо-
автомодельной нестационарной нелинейной эволюции па основе системы
B) или A0) не исчерпывается построением найденных здесь спе-
специальных решений и представляет собой нерешенную задачу, ре-
результаты которой трудно предвидеть.
Заметим, что даже при отсутствии пространственного роста
возмущений причиной несимметрии течения может быть устрой-
устройство самого источника. Например, при стоке воды в отверстие
обычно наблюдаются осцилляции по углу, имеющие при наличии
свободной поверхности, вероятнее всего, капиллярное происхожде-
происхождение. Они порождают спиральные волны на периферии течения,
асимптотическое поведение которых может соответствовать полу-
полученным здесь автомодельным решениям.
Среди других гипотетических приложений упомянем такие
известные феномены, как «пальцевую» неустойчивость расходя-
расходящихся течений и спиральную структуру галактик. При закачке во-
воды в пласт для более полного извлечения нефти наблюдается не-
нежелательный эффект. Вместо того чтобы вытеснять нефть, вода
§ 2. Осесимметричные течения
прорывается сквозь нее струями. Сама неустойчивость фронта во-
вода — нефть может быть связана с различием их свойств. Но даль-
дальний след подобной неустойчивости имеет характер, напоминающий
полученные здесь решения для стока с выбросами жидкости узки-
узкими струями.
Что касается астрофизических приложений, то схематично
представим себе галактику в виде материальной плоскости с цент-
центральным вихрестоком. Сток моделирует гравитационный захват ве-
вещества ядром галактики, а вихрь— наличие исходного момента
движения в протооблаке. Развитие описанной здесь автомодельной
неустойчивости вихрестока приводит к возникновению спиральных
полос, вдоль которых вещество движется от центра и стекает к
центру в промежутках между полосами. Со временем вещество
будет концентрироваться в спиральных рукавах. В этом смысле
решение с азимутальным числом т = 2, ветвящееся при малых
обилыюстях стока, моделирует в рамках рассмотренной схемы раз-
развитие двухрукавнои структуры галактики.
§ 2. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
2.1. Общие свойства
Весьма необычным и даже, можно сказать, отличитель-
отличительным свойством пространственных конических течений вязкой жид-
жидкости является возможная потеря существования решения при ко-
конечных числах Рейпольдса и связанное с этим формирование пре-
предельно сильных струй.
Затопленную струю в теории движения вязкой жидкости свя-
связывают с наличием источника импульса. Вязкие струи эжектируют
окружающую жидкость, порождая во внешней области вторичные
течения. Интенсивность этих течений может оставаться конечной
даже при бесконечном усилении струи, когда скорость на оси и
импульс становятся сколь угодно большими. Теперь представим
себе, что внешнее течение создается независимо соответствующими
специальными источниками движения. Тогда струя окажется вы-
вынужденной, индуцированной, и должна характеризоваться интен-
интенсивностью этих специальных источников. Однако если в такой си-
ситуации интенсивность источников будет приближаться к определен-
определенному конечному пределу, импульс индуцированной струи может
обратиться в бесконечность.
Так возникает кризис, или «гидродинамический взрыв». При
конечном числе Рейнольдса, построенном по интенсивности упомя-
упомянутого специального источника, решение теряет существование. По-
Потере существования предшествует возникновение струйных погра-
пограничных слоев. Учет этого обстоятельства и использование прибли-
приближения пограничного слоя позволяют в ряде случаев проапализи-
6 М. А. Гольдштик, В. II. Штерн, II. И. Яворский
82 Гл. 2. Конические течения
ровать околокритические и критические ситуации аналитически.
Следует отметить, что струйные пограничные слои, описывающие
необычные гидродинамические явления, сами обладают необычны-
необычными свойствами, существенно отличаясь от пограничных слоев, раз-
развивающихся вблизи поверхностей обтекаемых тел.
Классическая теория Прандтля [227, 144] для пограничного
слоя вблизи поверхности тела содержит следующие положения:
а) внешнее течение описывается в рамках модели идеальной
жидкости (и, как правило, потенциально);
б) внешнее решение удовлетворяет условию непротекания че-
через границу;
в) в пограничном слое продольная компонента скорости умень-
уменьшается до нуля, что обеспечивает выполнение условия прилипания
на поверхности;
г) толщина пограничного слоя стремится к пулю, когда число
Рейнольдса стремится к бесконечности.
Струйные пограничные слои отличаются по всем перечислен-
перечисленным пунктам:
а) внешнее течение описывается в рамках уравнений Навье —
Стокса; учет конечности вязкости, как правило, является сущест-
существенным;
б) внешнее решение пе удовлетворяет условию непротекания:
струи эжектируют окружающую жидкость;
в) в пограничном слое поперечная компонента скорости умень-
уменьшается до нуля, чтобы обеспечить отсутствие особенности типа
стока, продольная компонента при этом резко возрастает, а ее зна-
значение асимптотически стремится к бесконечности;
г) толщина пограничного слоя может обращаться в нуль, когда
число Рейнольдса, определяющее движение, стремится к конечному
значению.
Именно такой пограничный слой возникает в задаче о взаимо-
взаимодействии вихревой нити со стенкой, изложенной в гл. 1. Эта задача
моделирует течение жидкости, создаваемое вращающейся иглой, пер-
перпендикулярной плоскости. Когда число Рейпольдса, определяемое
отношением циркуляции к вязкости, приближается к конечно-
конечному критическому значению, вращение жидкости локализуется вбли-
вблизи оси и индуцируется сильная струя, бьющая вдоль оси от плос-
плоскости. Толщина возникающего при этом пограничного слоя обра-
обращается в нуль при критическом значении числа Рейнольдса.
Аналогичное явление возникает в задаче Сквайра [240], кото-
которую автор интерпретировал как модель струи, бьющей из отверстия
на плоскости. Решение, полученное Сквайром, не удовлетворяет
условию прилипания на плоскости, и в связи с этим выражались
сомнения [233—235] в том, что оно моделирует реальную струю.
Но возможна и другая интерпретация. Если вещество плоскости
стягивается в материальный сток, то вследствие увлечения этим
движением окружающей жидкости в ней развивается струйное
§ 2. Осесимметричные течения 83
течение, описываемое решением Сквайра. В таком истолковании за-
задача Сквайра может служить моделью для определенных астро-
астрофизических процессов. Когда обильность стока на плоскости, воз-
возрастая, приближается к конечному критическому значению, фор-
формируется пограничный слой вблизи оси струи. При критическом
значении числа Рейнольдса, построенного как отношение обильно-
обильности стока к вязкости, толщина пограничного слоя обращается в
нуль, а индуцированный импульс обращается в бесконечность [37].
Эта задача обобщена на случай закрученных течений в работах
[37, 258]. На конической поверхности задается движение типа вих-
рестока (или вихреисточника). При полуугле раствора конуса, рав-
равном я/2, и нулевой циркуляции задача сводится к описанной выше..
При заданных значениях угла раствора и циркуляции (в частности,,
рассмотрены полууглы я/4, я/2, Зя/4) существуют конечные зна-
значения обильности стока, при которых формируется предельная при-
осевая струя с упомянутыми свойствами.
Аналогичные эффекты возникают еще в ряде задач, физиче-
физическая интерпретация которых более затруднительна. Отметим, что>
выявление физического смысла автомодельных решений непростая
проблема. Здесь дается новая интерпретация известных и полу-
получаемых автомодельных решений на основе детального анализа их
свойств. Голубинский и Сычев [31] рассмотрели течение, вызывае-
вызываемое источниками, равномерно распределенными на полуоси z > О,.
в присутствии стенки z = 0. Ниже будет показано, что их решение
можно истолковать как предельное для случая, когда источники
бьют из конуса малого угла раствора, причем так, что трение на.
конусе обращается в нуль. В такой задаче предельная струя раз-
развивается, когда число Рейнольдса, построенное по обильности источ-
источников, стремится к нулю (!). Впрочем, эта постановка допускает
более естественную интерпретацию, которая будет дана ниже.
Другой парадоксальной особенностью задачи о взаимодействии
линейного источника с плоскостью является то, что плоскость ус-
ускоряет жидкость! Хотя на самой плоскости в силу условий прили-
прилипания жидкость, конечно, покоится, но вблизи стенки продольная
скорость имеет максимум, величина которого при определенных
обстоятельствах неограниченно растет при стремлении вязкости к
нулю. Эта индуцированная пристенная струя, как и струи, расте-
растекающиеся вдоль конических поверхностей, усиливается с увеличе-
увеличением числа Рейнольдса асимптотически в отличие от приосевых
струй, которые могут стать бесконечно сильными при конечных
числах Рейнольдса.
Поскольку предельные струйные течения реализуются на гра-
границе существования решений определенного класса, а эта граница
отвечает конечным числам Рейнольдса, естественно возникает во-
вопрос: что происходит, когда число Рейнольдса превосходит крити-
критическое значение. Представляется разумным предположение, что
еще при докритических числах Рейнольдса стационарное осесиммет-
84 Гл. 2. Конические течения
ричное течение теряет устойчивость, происходит бифуркация ре-
решений, не обладающих такой симметрией, которые наследуют свой-
свойство устойчивости.
Прямой анализ устойчивости и ветвления весьма труден, по-
поскольку исходное течение двумерно и осуществляется в бесконеч-
бесконечной области, а возмущения не допускают автомодельного пред-
представления. Однако ценой определенной схематизации можно по-
попытаться обойти эту трудность. Эксперименты свидетельствуют о
том, что в сильных струях область турбулентного движения охва-
охватывает узкую приосевую зону и наблюдается достаточно резкая
граница между турбулентной струей и внешним медленным и прак-
практически стационарным движением. В задаче о внешнем течении
толщиной турбулентной части струи можно в первом приближении
пренебречь. В этом случае на оси допустимы (если они неизбеж-
неизбежны) особенности. Из этого, собственно, исходил в своей постановке
Серрин [236] (см. также гл. 1). Но тогда остается открытым во-
вопрос о величине коэффициента при особенности. Серрин решает
его путем дополнительной гипотезы физического характера.
В нашей работе избран другой путь. Та или иная особенность,
помещаемая на оси, фактически призвана моделировать определен-
определенные интегральные характеристики некоторого реального объекта,
имеющего ненулевые размеры, например, турбулентного ядра струи.
Поэтому для разрешения ряда парадоксов здесь используется в
каком-то смысле обратный прием. Ядро струи помещается в конус
малого угла раствора, на поверхности которого ставятся подходя-
подходящие граничные условия. Затем осуществляется предельный пере-
переход, когда угол уменьшается до пуля. Результаты предельного пе-
перехода оказываются далеко не тривиальными и, вообще говоря, не
согласуются ни с предположением Серрина, ни с постановкой Го-
лубинского и Сычева [31].
Итак, рассматривается класс пространственных конических
автомодельных решений уравнений Навье — Стокса, имеющий
представление
V , , ч VI/ (х) п
2 A)
vT(z) , pv / ч
Здесь R, 9, ф — сферические координаты. Поля скорости и давления
не зависят от азимутального угла ф и стационарны. Этот класс для
случая гФ = 0 был указан Слезкиным [120], который обнаружил,
что задача может быть сведена к обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению первого порядка. Позднее аналогичный вывод сде-
сделали независимо Яцеев [151] и Сквайр [240]. Для закрученных
течений (vv?=0) порядок системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений также может быть понижен [212, 199, 32].
§ 2. Осесгшметричные течения 85
К классу A) принадлежит ряд течений с обязательной авто-
модельностью, когда характерный размер отсутствует, а движение
задается величинами, имеющими размерность кинематической вяз-
вязкости (м2/с). Таковыми могут служить, например, циркуляция ТР,
обильность Q линейного или плоского источника или стока. Сюда
же относится задача об осесимметричпой струе, характеризуемая
импульсом /, поскольку У//р как раз имеет размерность вязкоети.
Для подобных движений справедливо утверждение [117]: если ре-
решение существует, то оно автомодельно в смысле представления
A). После подстановки представления A) в уравнения Навье —
Стокса, записанные в сферической системе координат, получим
(см., например, [37])
'2; B)
A-х2)Т" =уГ; C)
x*)l D)
Таким образом, все разнообразие задач из этого автомодельного
класса сводится к решению системы B), C) при соответствующих
граничных условиях.
Функция тока Стокса if для движения в меридиональной пло-
плоскости связана с функцией у соотношением
E)
Движение в меридиональной плоскости не зависит от вращательной
скорости, если Г = const. Полезно ввести функцию F, определив ее
уравнением
F'" = 2TT'/(i-x2). F)
В этом случае уравнение B) можно трижды проинтегрировать;
A _ ^ у.„ _ 2ху" + 2у' - уу" - у* = F" - 2Сг; . G)
(i-z2)y"+2y-yy' = F' + C2-2Clx; (8)
A - х2) у' + Ъху - г/72 = F + С3 + С2х - Схх2. (9)
Уравнение C) также может быть проинтегрировано:
Г = l^V{^2S dx)dx; S = y/[2(l — x*)], A0)
причем S(x) в силу (9) удовлетворяет уравнению
S' - S2 = (F + С3 + С2х - Схх2)/ [2A - х2J]^ Ф(х) (И)
Парадоксальные свойства, встречающиеся у решений данного клас-
класса, математически обусловлены тем, что A1) при заданной функ-
функции Ф (х) является каноническим уравнением типа Рикатти и, еле*
довательно, функция S(x) может иметь полюса даже в области
непрерывной правой части [97]. Когда при изменении параметров
Гл. 2. Конические течения
полюс попадает в интервал допустимых значений х, решение рас-
рассматриваемой краевой задачи перестает существовать. Приближе-
Приближение полюса к интервалу порождает пограничные слои.
В данной работе внимание сосредоточено на критических яв-
явлениях, когда полюс проходит через границу интервала при ко-
конечных значениях числа Рейнольдса. Точнее говоря, имеется в ви-
виду ситуация, когда все величины, входящие в постановку краевой
задачи, остаются ограниченными, а решение становится неограни-
неограниченным. Покажем, что такой кризис возможен только при условии,,
что ось Ы=1 содержится в области интегрирования. Сначала
рассмотрим случай, когда на границе х = Х\ поставлено условие
непротекания, и убедимся, что полюс не может пройти через эту
границу при \х\\Ф\. Подстановкой S = —T'/T получим из урав-
уравнения A1)
Т" + Ф(х)Т = 0.
Если функция Ф (х) ограничена, то по теореме Штурма корпи
Т(х) и Т'(х) чередуются и являются простыми. Действительно,
если Т и Т' обращаются в нуль при одном и том же значении х,
то Г(ж)=0. Следовательно, нули и полюса функции у(х) обладают
теми же свойствами. Прохождение полюса через границу х = Х\,
т. е. слияние полюса и корня, возможно только в том случае, если
Ф(х) обращается в бесконечность при х=х\. Поскольку \х\\ =? 1,
в бесконечность должен обращаться числитель Ф(х) (см. A1)),
который характеризует источники движения. Случай, когда задана
величина y(xi), сводится к рассмотренному заменой переменных.
Отметим, что полюс функции S(x) не может появиться внутри
интервала, например, попав туда из комплексной области. В по-
последнем случае вновь родившийся корень функции Т (х) должен
быть кратным и снова следует Т (х) = 0. Таким образом, если источ-
источники движения, определяемые краевыми условиями, ограничены,
то ограничено и решение.
Иначе обстоит дело, если ось принадлежит области течения.
В этом случае кризис возможен при конечном числе Рейнольдса,
как это показано в гл. 1, и в чем можно убедиться на примере
известных точных аналитических решений (см. разд. 2.2). Физи-
Физически это связано с кумуляцией импульса при сходящемся к оси
течении жидкости, и в этом отношении осесимметричныи случай
радикально отличается от плоского.
Возникающие в околокритической ситуации сильные струи не
бьют из внешнего источника, а порождаются самим течением, т. е.
индуцированы. Чтобы обосновать и пояснить это утверждение, рас-
рассмотрим типичные постановки краевых задач. Наиболее общей
краевой задачей является задание граничных условий на кониче-
конических поверхностях х = Х\ и х — Х2, — 1 =S X2 < х\ < 1. Например, на
конусах xi, X2^±i может быть задан вектор скорости в рамках
ограничений A). В этом случае коэффициенты уравнений B), C)
§ 2. Осесимметричные течения 87
не имеют особенностей на интервале интегрирования. И хотя для
автомодельного класса A) общие теоремы о существовании ста-
стационарных решений [84, 129] неприменимы, разрешимость такой
задачи, по крайней мере при малых числах Рейнольдса, не вызы-
вызывает сомнений. Когда одна из полуосей принадлежит области те-
течения, коэффициенты при старших производных обращаются в нуль
при \х\ = 1. Как будет показано на примерах, это обстоятельство
может радикально повлиять па свойства краевой задачи и ее раз-
разрешимость.
В обсуждаемой ситуации существует альтернатива: либо ось
рассматривается как внутренность области течения и тогда на ней
формулируются условия аналитичности, либо ось остается грани-
границей течения, на которой расположен источник движения, и тогда
па оси помещается вполне определенная особенность.
Для дальнейшего полезно классифицировать возможные осо-
особенности на оси, придав им ясный физический смысл. Попытка
классификации была предпринята в работах [225, 222, 223]. Здесь
предпочтение отдается подходу Ландау [86, 87], основанному на
рассмотрении потока импульса
Иц = pViVj + р — Гц1, Xij = v(dvi/dxj + dvj/dxi).
Для конических течений можно ввести безразмерный тензор л,
связанный с П соотношением H=npv2IR2. Полезно выписать ком-
компоненты я в сферической системе координат:
= У2 + g — 2г/'; пт = [у у' — A — ж2) у" — 2j/]/sin 9;
x2); лвф = Г' +Bх - у)Щ1 - х2).
Физический интерес представляют такие особенности па оси, кото-
которые являются идеализацией некоторого реального источника дви-
движения, имеющего ненулевые размеры. Например, это может быть
тонкая вращающаяся игла или турбулентная приосевая струя, ко-
которая служит (благодаря эжекции) стоком для окружающей среды
и источником импульса. Поэтому поместим полуось 0 = 0 в конус
8 ^ 9о малого угла раствора, рассмотрим граничные условия на
конусе как источник движения окружающей среды, а затем осу-
осуществим предельный переход Эо ->- 0.
В силу автомоделыюсти и осевой симметрии достаточно рас-
рассмотреть часть поверхности конуса в виде кольцевой области, рас-
расположенной между сечениями R = Ro и R = Rq + dR, имеющей пло-
площадь 2лй sin QdR. Если нормальная компонента скорости г;в на
конусе отлична от нуля, то расход на единицу длины образующей
составляет Q = 2nRVe sin 8o = — 2nvy(xo). Сохраняя Q неизменным
при предельном переходе Во ->- 0 (xq^-\), получим линейный сток
с равномерно распределенной обильностью на единицу длины Q =
Гл. 2. Конические течения
Пусть теперь конус непроницаем для жидкости. Источником
ее движения могут служить касательные напряжения тяе и твф.
Первое из них порождает силу трения или, что то же самое, по-
поперечный поток осевой компоненты импульса на единицу длины:
Fz = ПделЛ sin B60) = [уу' - (l - 4) у" - 2у\ xo2npv*/R.
Переходя к пределу хо -*¦ 1 и полагая, что Q = у(хо) = 0, получим
Fz = AnApv2/R, где A =lim[(xo— l)y' (хо)] при a;0->-l. Конечность
этого предела означает, что вблизи оси у' (х) имеет представление
у' =А\пA-х)+0A).
Другими словами, продольная скорость на оси имеет логариф-
логарифмическую особенность. При этом у = — А A — жIпA — х)+ оA — х),
т. е. поперечная скорость на оси обращается в нуль, vB ~
~ A — х) 1/21пA — х). Источники импульса распределены на оси
неравномерно, обильность потока импульса па единицу длины оси
пропорциональна 1/R. Как следует из уравнения (8), две рассмот-
рассмотренные особенности несовместимы: либо есть источник массы и
тогда уA)Ф0, а у'A) ограничена, либо у' (х) имеет логарифми-
логарифмическую особенность, но тогда у = О, т. е. источник массы отсут-
отсутствует.
Рассмотрим теперь источник движения, порождаемый ненуле-
ненулевым значением те<р на конусе. В силу осевой симметрии такое пан-
ряжение не порождает силы, действующей на выделенную область
конуса, но создает осевой момент силы или, что то же самое, по-
поток осевой компоненты момента импульса на единицу длины оси,
Mt = Пеф2я (R sin 90J = 2ярл'2 [A - х20) Г + Bх0 -у)Т],
или в пределе Mz = 2яру2ГA)[2 — уA)]. В частности, при г/A)= О
Uz = 4npv2F(l). Таким образом, сохраняя поток осевой компонен-
компоненты момента импульса при предельном переходе Во -*¦ 0, получим вих-
вихревую пить с постоянной циркуляцией. Вихревая нить совместима
с источником массы на оси, но не любой обильности. Как следует
из уравнения C), если уA)Ф0, то Г' — [A + х)/A — а-)]у'A)/2.
Требование ограниченности циркуляции может быть выполнено
только при г/A)<2. При г/A)>2 ограниченным является лишь
тривиальное решение C) Г" = 0. Вихревая нить вполне совмести-
совместима и с более слабой логарифмической особенностью, т. е. с источ-
источником осевого импульса. Такая задача рассмотрена Серрином [236].
2.2. Струя Ландау и ее обобщения
Выделенный случай в классе конических течений — струя
Ландау [86]. Задача рассматривается в безграничной области и тре-
требуется выполнение условий регулярности всюду, кроме начала ко-
координат. Формально число однородных граничных условий на по-
§ 2. Осесимметричные течения
89
луосях х = ± 1 соответствует порядку системы уравнений. В этой
ситуации всегда существует тривиальное решение. Однако существу-
существует и нетривиальное решение, найденное Ландау, зависящее от сво-
свободного параметра, который однозначно связан с величиной потока
импульса из начала координат.
Таким образом, движение может определяться либо граничны-
граничными условиями, либо точечным источником. Заметим, что эти два
случая являются взаимоисключающими. При задании того и дру-
другого задача с очевидностью будет переопределенной, что находится
в некотором противоречии с интуитивными представлениями о не-
независимости и совместимости этих источников движения в реальных
струях. Действительно для струи, бьющей из отверстия в стенке,
можно независимо задать и поток импульса из отверстия и поле
скоростей на стенке, например условия прилипания. Однако оказы-
оказывается, что этого нельзя сделать в пределе бесконечно малого отвер-
отверстия, потому что, согласно теореме Седова, решение должно быть
автомодельным и принадлежать классу A), что из-за переопреде-
переопределенности задачи невозможно. Сказанное не означает, что кроме
решения Ландау не существует автомодельных течений струйного
типа. Но такие струи, вызванные движением границ, естественно
считать индуцированными.
При равной нулю вращательной компоненте скорости уравнение
(9) принимает вид
A - х2) у' + 2ху - г/72 = С3 + С2х - Cix2. A2)
Требование регулярности поля скорости на оси приводит к условию
г/A) = 0. Тогда из требования ограниченности производных получим
из A2) и(8) С3 + С2-С, = 0; С2 - 2СХ = 0. Таким образом, урав-
уравнение A2) можно переписать в виде
A - х2)у' + 2ху = г/2/2 - С,A -хJ. A3)
Решение последнего уравнения выписывается в аналитической фор-
форме [151, 240]. Подстановка у = — 2A — х2)Т'/Т приводит к уравне-
уравнению Эйлера A + хJТ" — CJ2T = 0, решения которого имеют вид
Т = АA + х)\ ^2-/\,-С,/2=0. Если Ci=0, то h = 0; Х2 = 1 и
Т = А2х + Аи Отсюда Т'/Т = 1/(х - А), где
А=— Ai/Аг, и приходим к классическому ре-
решению Ландау у = 2 • [A — х2) I (А — х)].
Чтобы па интервале — 1<ж<1 не было
особенности в виде полюса, необходимо, чтобы
\А\ > 1. Случай А > 0 соответствует струе, бью-
бьющей вдоль полуоси 0 = 0, случай А < 0 — в
противоположном направлении.
Картина линий тока при .4 = 1,1 приведе-
приведена на рис. 25 [18]. Источник импульса находит-
находится в начале координат. Штриховая линия —
геометрическое место точек, в которых линии
90 Гл. 2. Конические течения
тока максимально сближаются с осью симметрии, z = R cos 0,
л
г = R sin 9. Импульс струи / = 2л (URR cos 8 — Пке sin 8) R2 sin 9 dQ,
о
т. е. полный поток осевой компоненты импульса через сферу, окру-
окружающую начало координат, связан с константой А соотношением
4 ф ^±41
= 16npvM
- ф In
1
Импульс / монотонно возрастает от 0 до °° при изменении А
от оо до 1. При значениях А, близких к единице, А = 1 + Ь, 0< 6 <
< 1, скорость на оси становится большой—г/'A)>1. Введем ма-
малый параметр е = — 1/г/'A) = 46 и внутреннюю переменную т| =
= A — х)/е, тогда после подстановки х = 1 + гг\ в решение Ландау
и устремления е к нулю получим у* = 4г]/D + г\), что совпадает
с решением Шлихтинга [144] для осесимметричной струи в прибли-
приближении пограничного слоя. Внешнее решение соответствует 4 = 1,
у% = 2A + х). Поскольку у^ A) = 4, на оси формируется сток
с обильностью па единицу длины Q = Q.% — 8nv. Величина Q^ оп-
определяет предельную эжекцию жидкости ламинарной струей.
Естественно ожидать, что достаточно сильная струя турбули-
зируется. Эжекция турбулентной струи в отличие от ламинарной
неограниченно возрастает с увеличением импульса. Поэтому для
моделирования внешнего течения может быть рассмотрена задача,
когда на положительной полуоси равномерно размещены стоки не-
некоторой обильности Q. Такая задача рассмотрена в работе [222].
Ее решение имеет вид у =A + x)QIBnv). Если С\?=0, то точное
решение, указанное Яцеевым [151], а затем Сквайром [240] имеет вид
у = 27,A-х) [A + хУ~A + х2у]/[а-{1 + ху]; d>-l/2;
A4а)
у=A-х)/{2/1п[A+х)/A + х2)]-1}; С, = 1/2; A46)
у = 2Ci(l - х)/{1 - со ctg(ln [A +х)/A + х2)]а/2); d<- 1/2.
A4в)
Здесь Я = Ц1; у = /l + 2Сг; а = A + х2? i-±±; со = iy.
При этом y(x2)=0; y'(x2)= -Cl(l-x2)/(l + х2).
Яцеев пришел к заключению, что это решение не имеет физи-
физического смысла, поскольку у(х) при х ->- — 1 быстро осциллирует.
Можно, однако, ограничить область течения интервалом х2 ^ х *Z 1.
Так поступил Сквайр, который интерпретировал решение, в частно-
частности при х2 = 0, как струю, бьющую из отверстия на плоскости. Но
этот подход, как будет показано, не выдерживает критики. Описан-
Описанный класс точных решений уравнений Навье — Стокса допускает
следующую интерпретацию. На конусе х = х2 течение задано ис-
источником с обильностью Q = — 2nvy' (х2) у I — х\,: которое порож-
порождает в окружающей жидкости струйное движение.
§ 2. Осесимметричные течения 91
В случае Q > О жидкость подтекает извне к вершине конуса,
а затем движется вдоль его образующей. Никаких ограничений свер-
сверху на обильность нет, но с ее увеличением вблизи поверхности ко-
конуса развивается пограничный слой. Он обладает рядом свойств
классического пристенного пограничного слоя, однако есть и су-
существенное отличие. Нетрудно убедиться, что для любого х > х2
отношение квадратных скобок формулы A4а) при у ->- оо стремится
к — 1, а 2К ~> У2Ci. Следовательно, в пределе во внешней области
получаем потенциальное течение уп = — V2Ci(l — х). Однако это
внешнее решение не удовлетворяет ни только условию прилипания,
по и условию непроницаемости. Поверхность конуса служит стоком
для внешнего течения, что связано с эжекцией жидкости пристен-
1
ной струей. Толщина вытеснения 6* = A — у/Уп) dx при у ->- <»,
как нетрудно показать, выражается асимптотической формулой
g _ ?2A + х ) In 2 + х l]/v -
Естественно^ определить число Рейнольдса как Re = Q/v. Тогда
8*~1/Pei как и в классическом пограничном слое. Распреде-
Распределение скорости внутри пограничного слоя имеет вид
В случае стока (Q < 0) струя стекает с вершины конуса и дви-
движется вдоль полуоси х = 1. С увеличением обильности стока им-
импульс струи и скорость на оси возрастают и при некотором значе-
значении Q или Re = - Q/v обращаются в бесконечность. Это происхо-
происходит, когда знаменатели в формулах A4) обращаются в нуль при
х = 1. Критические значения параметров определяются уравне-
уравнениями
С1 = - 1/2; х2 = хк = 2/е2 - 1 « - 0,73;
tg (In [2/ A + х2) ]w/2} = со; ?2 > хк.
Если обильность стока превышает критическое значение, внутри
интервала интегрирования функция у(х) имеет полюс, который
с увеличением обильности движется от границы х = 1. С другой
стороны, в силу граничных условий точка х = 1 является нулем
функции у(х). Когда обильность равна критической, корень и по-
полюс сливаются в точке х = 1. В этом случае у{х) не имеет особен-
особенностей на интервале интегрирования, но принимает отличное от ну-
92 Гл, 2. Конические течения
ля значение при х = 1. В силу уравнения A3) имеем у* A) = 4.
Таким образом, получается, что в пределе на оси х = 1 располага-
располагается индуцированный сток обильности Q* = — 8лv, который и по-
порождает внешнее течение у% (х).
Отметим существенную разницу в поведении внешних течений
для случаев Q > О и Q < 0. Если в первом из них с ростом а
эжекционная способность пристенной струи неограниченно возрас-
возрастает ~ llQ, то во втором случае эжекционная способность приосе-
вой струи с ростом импульса до бесконечности имеет конечный пре-
предел Q%. Соответственно ведут себя и сами внешние течения. При
обильностях, близких к критической, около оси формируется узкая
область больших скоростей — зона сильной струи. Величина у
уменьшается от значения, близкого к 4 на границе этой зоны, до 0 на
оси, а величина у'A) принимает большие отрицательные значения.
Введем, как и ранее, малый параметр е = — 1/г/'A) и новую
независимую переменную 7]=A—х)/е. С учетом соотношения
ух = —Уц/ъ из уравнения A3) находим
- г) B - гц) у'ц + 2 A - srj) у = у2/2 - ehfC,.
Устремляя е ->- 0, получим уравнение для главного члена разло-
разложения приосевого пограничного слоя
r,*/*' = !/*(l-Z/*/4); У*@) = 0, ( 15
откуда у* =4rj/D + г)), т. е. опять приходим к решению Шлихтин-
га. Этот результат при Х2 = 0 был получен в монографии [37]. От-
Отметим, что погранслойное решение A5) не зависит от С\ и, следо-
следовательно, от угла раствора конуса х2. Поскольку для решения
Шлихтинга существенны лишь условие регулярности на оси и на-
наличие пограничного слоя, оно аппроксимирует вблизи оси широкий
класс течений струйного типа. Возвращаясь к исходным перемен-
переменным, перепишем его в виде
f[A-y'(l)(l-x)}. A6)
В соответствии с теорией сращи-
сращиваемых асимптотических разложений
внутреннее у*(ц) и внешнее у* (х) ре-
решения удовлетворяют условию у*(°°) =
= #*(!)• Однако по производным непре-
непрерывность не достигается. Действительно,
у* = 16/D + г|J, в силу чего у* —»-0
при г| ->- °°. С другой стороны, продиф-
продифференцировав один раз уравнение A3)
и подставив в него х = 1, у~ 4, полу-
Рис. 26. чим у'щ A) = 2. В случае струи Ландау
—Л
J
I
0
I
в
ж
§ 2. Осесимметричные течения
г/* н=2. Таким образом, радиальные скорости для внутреннего и
внешнего решений не только не сращиваются, но и имеют противо-
противоположные знаки: в струе vR > О, а во внешнем течении vR < 0.
На рис. 26 показано распределение радиальной скорости по уг-
углу при у'A) = — 460,5. Сплошная линия соответствует решению
Ландау, штриховая — решению Шлихтинга, штрихпунктирная —•
предельному внешнему течению для струи Ландау. Различие зна-
знаков радиальной скорости для внешнего и внутреннего решений сох-
сохраняется, в частности, для течения над плоскостью при х% = 0.
2.3. Струя, бьющая из отверстия на плоскости
Поскольку разрыв радиальной скорости неизбежен, то
можно попытаться распорядиться его величиной так, чтобы внеш-
внешнее решение удовлетворяло условию прилипания при х = х2. Это-
сделано Шнайдером [233]. Наибольший интерес представляет струй-
струйное течение над плоскостью, когда хч. = 0. Уравнение A2) с учетом
условий прилипания у* @) = у'^ @) = 0 и требования ограничен-
ограниченности у'% A) при выполнении у* A) = 4 принимает вид
A - ж2) у'* + 2ху* - yl/2 = Схх A - х). A7)
Величина С\ = 15,2894 находится, например, при интегрировании
от оси из условия, что у% @) = 0. В силу того, что у'* = Cv кон-
константа С\ определяет трение
на стенке хю — — Cxpv2/R2. Вели-
Величина радиальной скорости на
оси связана с С\ соотношением
A) = 2 + Cj/4. Сопоставление
на рис. 27 предельных реше-
решений —г/* (х), полученного Шнай-
Шнайдером A), предельного реше-
решения Сквайра C) и потенциаль-
потенциального решения у* = 4ж B) —
показывает, что они сущест-
существенно различаются по харак-
характеру распределения радиальной
скорости. Более того, влияние
стенки на течение качественно
различно. В решении Сквай-
Сквайра плоскость является источ-
источником движения, ускоряет жид-
жидкость, а в решении Шнайдера
тормозит. Потенциальное ре-
решение соответствует нулевому
трению. Рис. 27.
в
-5-
Гл. 2. Конические течения
Существенно различается и характер линий тока. Для реше-
решения Сквайра вблизи плоскости у ~ х = cos 8, поэтому линия ф =
= vRy = const эквивалентна R cos 8 = z = const, т. е. линии тока
параллельны плоскости. В случае условия прилипания у ~ х2, z =
= Д cos 8 ~ 1/ж, г = R sin 8 ~ l/х2, следовательно, z~~Vr, т. е. ли-
линии тока с увеличением г удаляются от стенки. Другими словами,
из-за трения жидкость тормозится и происходит оттеснение линий
тока от плоскости. Решение Шнайдера может быть хорошо аппрок-
аппроксимировано полиномом третьей степени г/^ «г ж2 [4-(-F—С1/4)A—х)],
коэффициенты которого определяются по известным граничным
условиям па стенке и на оси. Этот полином с графической точностью
«сливается с кривой 1 на рис. 27, построенной на основе численного
интегрирования уравнения A7).
Если задаться целью описать распределение скорости для струи,
бьющей из конечного отверстия в стенке, на расстояниях, много
больше размера отверстия, то решение Яцеева — Сквайра в силу
указанных свойств представляется малоподходящим. Модель Шнай-
Шнайдера более адекватно отражает влияние стенки. Он построил
равномерное асимптотическое представление у(х) = у* -\- у* — 4 =
= У*(х) — 16/[4 — у' A) A — х)], которое призвано аппроксимировать
реальное течение при всех углах с точностью ~ 1/1 г/'AI. Но воз-
возникает вопрос: какое течение при этом аппроксимируется? Извест-
Известно [210, 226], что автомодельного решения, удовлетворяющего усло-
условиям прилипания и регулярности на оси, не существует. В этом
легко убедиться непосредственно. Требование г/'(хг)=О приводит
к С\ = 0, т. е. к решению Ландау, но тогда у{хч)Ф 0, каково бы ни
¦было #2, за исключением x<i = — 1.
Кроме этих формальных аргументов с целью физической интер-
интерпретации полезно рассмотреть баланс потока импульса J =jHnzdS,
где Л,,- — тензор полного потока импульса. Выберем контрольный
объем в жидкости, ограниченный двумя полусферами радиуса R\
и i?2 и соответствующей кольцевой областью на плоскости z = 0.
Пусть i?2 > jRi и направление нормали к поверхности п выбрано
так, чтобы ее проекция на ось z была положительна. Тогда /г =
= ]\ + ]w, где индексы 1 и 2 соответствуют полусферам, & w — стен-
стенке. В книге [37] показано, что для решений из класса A), регуляр-
регулярных на оси z, поток импульса / через любой участок конической
поверхности х = const равен нулю. Следовательно, /, = 0 и поток
импульса через любую полусферу один и тот же. Иначе обстоит
дело с решением Шнайдера. В условиях прилипания поток им-
импульса через плоскость полностью определяется давлением. Из D)
и G) следует, что g@)= —Ch откуда
Таким образом, поток импульса / через полусферу R = const,
z > 0 не является инвариантом. С другой стороны, как уже упоми-
§ 2. Осесимметричные течения 95
налось, решение уравнений Навье — Стокса для струи, вытекающей
из отверстия конечных размеров, не является автомодельным. Од-
Однако если скорость истечения достаточно велика, то на определен-
определенном интервале изменения R возможно квазиавтомоделыюе прибли-
приближение. Поскольку поток импульса J\ может быть сколь угодно боль-
большим, тогда как величина С\ ограничена сверху значением 15,3, а ло-
логарифм — медленно растущая функция своего аргумента, то в ши-
широком интервале значений R% может быть выполнено условие
I/J «/ь
Другими словами, поток импульса / через полусферу будет
почти инвариантом. Тогда решение Шлихтинга хорошо приближа-
приближает приосевую часть течения. В результате эжекции струя формиру-
формирует практически равномерный сток на оси симметрии для внешне-
внешнего течения, поэтому решение Шнайдера также может служить его
удовлетворительной аппроксимацией. С ростом Ri импульс посте-
постепенно уменьшается. Оценим величину потери импульса. Пусть а —
радиус отверстия, a -ffr — радиус, на котором импульс / = ^Ja, гда
h — импульс на срезе сопла. Величина i?T с точностью до множите-
множителя порядка единицы оценивается соотношением R-, ~ а ехр [ A — ч) JJ
/Bnpv2Cl)].
Для сильных струй J/B,npv2)« 4/ЗуяA) -R/v. Такие струи на
практике турбулентны, причем комплекс RvR(l)v, вычисленный по
турбулентной вязкости, является постоянной величиной « 460,5
[144], Если воспользоваться верхней оценкой для С\, получим
R-jja ~ ехр [40 A — f) ]. Импульс уменьшается на 10% на расстоя-
расстоянии «27 калибров, на 20%—на расстоянии «1500 калибров,
в то время как автомоделыюсть по профилю скорости в опытах
достигается уже на 20 калибрах [256}. Это и служит основным ар-
аргументом в пользу того, что в широком диапазоне масштабов допу-
допустимо квазиавтомодельное приближение и существует как бы про-
промежуточная асимптотика. Это подтверждает прямое сопоставление
теории [235] и эксперимента па рис. 28 [263]. Справа линии тока,
рассчитанные для равномерного приближения Шнайдера при
Re = y//(pv2) = 30, а слева визуализация течения в глицерине при
Re = 32,6 *. Струя истекает из отверстия диаметром 1,1 мм в стен-
стенке, расположенной в верхней части рисунка.
В приведенных оценках величина импульса, воспринимаемого
стенкой, рассчитывалась на основе решения Шнайдера. Для боль-
больших расстояний такой подход не пригоден. Если следовать ему, то
импульс меняет знак и стремится к бесконечности при R% -»- °о. До-
Достоверность полученных оценок ограничена условием \JW\ </г- Ка-
Каково же действительное поведение импульса при i?2 -*~ °°? Если бы
импульс имел пределом конечную величину, то в силу теоремы Се-
Седова решение было бы автомодельным из класса A). Но такого
* Авторы признательны проф. Шнайдеру и д-ру Заунеру за любезно при-
присланные оригиналы фотографий.
решения, удовлетворяющего условиям прилипания, пе существует.
Отсюда с необходимостью следует, что /г -*- 0 при Дг ~^ °°- Тогда
главный член разложения определяется расходом жидкости через
отверстие Qa и имеет вид ve ~ 1/Л3, р ~ l/R3, vR = 3(?acos2 9/BяД2)
[47]. В силу этого / асимптотически убывает пропорционально i/R.
Суммарный импульс, воспринимаемый стенкой, конечен и равен
но величине импульсу струи. В опытах Вигнапского и Фидлера
[256] струя била из степки, размеры которой па два порядка пре-
превосходили диаметр сопла, и хотя скорость на оси струи убывала не-
несколько быстрее i/R, это отличие на интервале в 100 калибров бы-
было невелико.
На рис. 29 приведено сопоставление опытных данных [256]
с зависимостями J = Ja~ 0,025 In (i?/a) (линия 1) и J = Jo a/R
(кривая 2). На срезе сопла полагается, что г равен радиусу соп-
сопла а. Таким образом, экспериментальные данные свидетельствуют
в пользу того, что в определенном интервале расстояний от сопла
квазиавтомодельное приближение
вполне приемлемо.
Заметим, что эксперимент [256],
относится к турбулентным струям.
Визуализация течения в ламинарном
режиме выполнена Заунером [263].
Его результаты для Re = 7 приве-
приведены на рис. 30. Струя порождает
систему кольцевых вихрей. Положе-
Положение центра ближайшего к отверстию
и самого интенсивного вихря Rq
2. Осссимлотрпчпьто точения
Рис. 30.
совпадает с /?т при некотором значении у п пртт малых чис-
числах Репнольдса (Re<8) растет экспоненциально с увеличением
mi пульса,
Итак, за исключением струп Ландау, томные решении уравне-
уравнении Папье— Стокса класса (I) описывают индуцированные струп,
порождаемые распределенными на граничной поверхности псточпп-
iva.Mii движения. Струп, бьющие пя отверстии на поверхности, по яв-
являются' автомодельными. Весь импульс такой струп поглощается
стенкой. Сох раня км цене и величиной, определяющей асимптотиче-
асимптотическое "неведение ноля скорости на больших расстояниях от отверстия,
является расход. При :угом скорость асимптотически умывает как
1/R" тт применимо мрчплп/кеппс Стокса. Одпак'о если тюток нлшуль-
са ил отверстия' достаточно велик, то существует интервал расстоя-
расстоянии, где импульс изменяется с.та-.ю и струя: мо;кет рассмат])П!!ат.ься
и 1ч'г.а.п!1чзто.\;()де.:1Ы!.ом. нрполп'л^епип. Ширина квазпавтолтоде.тьтгого
(штершчла, измеряемая в калибрах, возрастает с увеличением им-
импульса. .По и в лто.м интервале течение не описывается автомодель-
автомодельными: решениями it целом, а лш1м> по отдельности и ripirocenoii и
iiiieunieii областях с неизбежным разрывом меж'ду ними преплде все-
всего по потоку импульси
7 М. Л. 1\)Л!.Д111ТИ1,- I!. Н. И1тс|)п, II. 11. Яиорскмм
98 Гл. 2. Конические течения
2.4. Проблема потери существования решений
Результаты анализа Шнайдера и Заунера убедительно
свидетельствуют о том, что точные решения Навье — Стокса, полу-
полученные Яцеевым и Сквайром, не описывают струю, вытекающую
из малого отверстия на твердой поверхности. Их критика Шнайде-
Шнайдером заходит настолько далеко, что при упоминании этих решений
слово «точные» заключается в кавычки [234]. Это, конечно, полеми-
полемическое преувеличение. Решения Яцеева — Сквайра ие только без
всяких кавычек являются точными, но и, как будет показано в
дальнейшем, могут иметь важные гео- и астрофизические приложе-
приложения. В качестве простейшей ситуации, для которой возможно при-
применение этих решений, рассмотрим течение типа стока в ванной.
Вода, стекающая в центральное отверстие, вовлекает в движе-
движение окружающий воздух. Сходящееся радиальное течение воздуха
вблизи отверстия порождает струю, бьющую вертикально вверх.
Для описания движения воздуха вдали от отверстия должно быть
пригодно точное решение Яцеева—Сквайра. Но решения A4) пе-
перестают существовать, когда обильность стока превышает некоторое
критическое значение. Причем это справедливо и в более общем
случае, рассмотрим его.
Решения Яцеева A4) могут быть интерпретированы следую-
следующим образом. На пористой поверхности хч — 0 даны касательная
и нормальная компоненты скорости или у(О)=уо и у' @) = у0,
т. е. осуществляется вдув или отсос жидкости под определенным
углом наклона. В этом случае Сх = уо/2 — у0 и решение име-
имеет вид
Л^+^-М В- 2^ + У°
У 2A*Ь B_(l+X)y
если 1 + 2Ci > 0, т. е.уо< A + г/о)/2, и
~ ыВ) ctg [co/2 In A + *)
>
Д —ctg[w/21n(l+a;)] ' ш '
если y'0>(i-\-yl)/2.
Кризис происходит, когда знаменатель при х = 1 обращается
в нуль, откуда 1 + у0 + у\ + A + у0) V1 + vl ~ 2Уо = (Уо + Уо) X
X ехр |/Ч + уо — 2у0 или 1 + г/0 = со ctg (со In 2/2), со =V~2y'u—l~yl-
Эта зависимость между г/о и у0, при которой решение теряет сущест-
существование, показана на рис. 31 сплошной линией, штриховая линия
соответствует у'п = (l + yl)/%, она разделяет области применимости
приведенных выше формул. Решение существует левее и ниже кри-
критической кривой. При г/о > 1 она имеет асимптоту уо= — г/0, а при
i/o> 1 «-> 2п/1п 2, а у0 « A + г/о)/2 + Bя/1п 2)\ Случай у'п = 0 со-
§ 2. Осесимметричные течения 99
ответствует вертикальному вдуву г/0* да 2,9, а при г/о = 0 получаем
решение Сквайра. Для него критическая величина обильности сто-
стока на плоскости, q* — QlBnv) = — у' @) = — 7,6727 [37].
При критических значениях параметров на оси возникает осо-
особенность в виде индуцированного стока. Поэтому естественно пред-
предположить, что если допускать на оси определенного типа особен-
особенности, призванные моделировать, например, турбулентную приосе-
вую зону, то решение может быть продолжено в закритическую об-
область. Совместимыми с уравнениями особеиостями являются источ-
источники жидкости, импульса и момента импульса. В первом и третьем
случаях скорость стремится к бесконечности обратно пропорцио-
пропорционально расстоянию до оси, а во втором — пропорционально лога-
логарифму расстояния. Поскольку особенность, связанная с источни-
источником осевого импульса, более слабая, сначала рассмотрим именно
этот случай.
Первым источник импульса на оси ввел Серрин [236] в задаче
о взаимодействии вихря с плоскостью, допустив логарифмическую
особенность на оси для продольной скорости. Закрученные течения
рассмотрены в § 3, а здесь обсудим эту модель применительно к
обобщению задачи Сквайра. Исходя из уравнений движения A2)
и учитывая граничные условия г/A) = 0; г/'@)= — q, приходим к
уравнению
A - х2)у' + 2ху - г/2/2 =A - х) [Схх - q). A8)
Присутствие логарифмической особенности на ocpi означает, что су-
существует конечный, не равный нулю предел НглA—х)у"(х)= —А.
Дифференцируя уравнение (.18) и подставляя х = 1, получим С\ =
= q + 2A. Неопределенной остается величина В, входящая в раз-
разложение у' (х) вблизи х=1, у'(х) — А In A — х) + В + 0A — х).
Значение В подбирается так, чтобы в результате интегрирования
от х = 1 до х = 0 было удовлетворено условие у @) = 0.
Как показано в разд. 2.1, величина А определяет вертикальную
силу, действующую на единицу длины оси Fz — AnApv2/R. Эта сила
может моделировать скорее не влияние на внешний поток турбу-
турбулентного приосевого ядра, а локализованные вблизи оси эффекты
плавучести, если температура ядра иная, чем у окружающей сре-
среды. При А > 0 сила действует вдоль оси вверх, а при А < 0 — вниз.
Результаты анализа поставленной выше задачи отражены на
рис. 32. На плоскости параметров {q, А) каждому квадранту отве-
отвечает различная структура течения и, в частности, если q и А име-
имеют одинаковые знаки, то реализуется двухъячеистый режим. Слу-
Случай А = 0 отвечает решению Сквайра. Если q = 0, то на плоскости
выполнены условия прилипания и движение создается только осе-
осевой силой. Такая постановка может служить, например, гидродина-
гидродинамической моделью тепловой конвекции, если архимедовы силы
практически отличны от нуля только в узкой приосевой области.
7*
100
Гл. 2. Конические течения
-10
Рис. 32.
Подобная ситуация возникает при конвекции, вызванной костром
или пожаром. Штрпхпунктирная линия на рис. 32 соответствует
симметричному относительно плоскости х — О решению, рассмотрен-
рассмотренному в работе [222]. Такие решения могут представлять интерес
как модели внешнего течения, вызванного двумя узкими приосевы-
ми струями, бьющими из начала координат в противоположных на-
направлениях. Похожая картина течения наблюдается вблизи опре-
определенных астрофизических объектов. Продолжение штрихпунктир-
ной линии выше границы существования (кривая 2) соответствует
линейному стоку в безграничном пространстве у = qx, А = д2/4. Ло-
Логарифмическая особенность в решении при этом пропадает и сменя-
сменяется стоком.
Задача с логарифмической особенностью, следовательно, имеет
решение не при всех значениях q и А. Определим границу суще-
существования. Три точки, принадлежащие этой границе на плоскости
{q, А), соответствуют решению Сквайра q = — 7,6727; А = 0, ре-
решению Шнайдера q = 0; А = Ci/2 = 7,6447 п решению [222] при
А = — q = 4. Выведем уравнение для границы в общем случае. За-
Заменой у = — 2A — х2)Т'/Т уравнение A8) приводится к виду
С х — </
A — х) Т" + -^ -, Т = 0.
2 A + х)-
Пусть Т\ и Т2 — линейно независимые решения этого уравне-
уравнения. Их можно выбрать так, чтобы в окрестности х = 1, функция
Т\ была аналитической, первые члены разложения в ряд которой
имеют вид Т{ = ц — r\2AJ8 + О (л3); т) = 1 — х, тогда функция Гг
имеет представление
Общее решение имеет вид Т = В\Т\ + ВТ^ причем поскольку функ-
функция Т определена с точностью до постоянного множителя, не теряя
§ 2. Осесймметричные течения 101
общности, можно положить В\ = 1. Тогда вблизи х = 1 функция
у(х) имеет представление
и = — •> A + X) п ^Д/4 In т) — 1 — 1)^/4 Н- О (л 1ч Л)
В + т] + 11 A — In т]) 4Д/4 -|- О (ii2 In К]) '
Если ВФО, то г/ = -Л/2 A - х2IпA - ж)+ . ..; у' = Ах\п( 1 - ж) +
+... . Кризис потери существования соответствует обращению В
в нуль, когда корень Т(х) попадает на границу интервала @, 1),
а именно ТA) = 0.
Если 5 = 0, то у = 2A+х)~A~х2)А/4+О(A-хJ); у' =
= 2 + а:^4/2 + 0A — х). Существенно, что г/A)=4, т. е. на оси фор-
формируется сток. Главный член внешнего разложения у(х) по В по-
прежнему удовлетворяет уравнению A8), но граничные условия
теперь другие: у* A) = 4; у* A) = 2 + Л/2. Интегрируя A8) с эти-
этими условиями от 1=1 до ж = 0 и требуя, чтобы г/@) = 0, найдем
связь между параметрами А и q (см. кривую 2 па рис. 32). При
q > 1 получаем |г/| > 1, тогда в левой части уравнения A8) линей-
линейными членами можно пренебречь и в ядре потока у(х) приближен-
приближенно равно у„ (х) где уп = — [2q A — х) A — х — х ¦ 2A/q) ]1/2.
Выражение в квадратных скобках должно быть положитель-
положительным. Поэтому приближение справедливо не слишком близко к оси.
Во избежание противоречия следует предположить, что 2A/q^>~0 при
q -*¦ °о. Вблизи оси возникает пограничный слой, внутри которого
приближенно у* ~ 4 — B + А/2) A-х). Приравнивая положение
нулей уп(х) и у*(х), получим А ~ qU2. Вблизи плоскости также воз-
возникает пограничный слой толщины — q~U2 из-за того, что уп(х) не
удовлетворяет условие г/@)=0. Структура течения достаточно
сложна. Вблизи плоскости от начала координат распространяется
веерная струя со скоростями порядка q. В ядре течения формпру-
¦j 1/9
ется опускной режим со скоростями ~q' , а в окрестности оси су-
существует узкая коническая область с углом раствора ~д~1/2, в ко-
которой жидкость стекает к оси. Таким образом, и па самой границе
существования структура течения остается двухъячеистой. При лю-
любом значении q > 0 есть коническая поверхность, разделяющая бас-
бассейны стока жидкости на ось и вдоль плоскости па бесконечность.
С ростом q угол раствора этой сепаратрисы стремится: к нулю про-
пропорционально q"xl2. Если q-*-—°°, то в ядре течения
yn = {~2A(l-z)[x-(l-x)q/BA)]y/2.
Теперь во избежание противоречия необходимо, чтобы А ->- — °°,
a q/A ->- 0. Однако на самой плоскости подкоренное выражение от-
отрицательно. Следовательно, вблизи плоскости существует погранич-
пограничный слой, где y~y,, = ~qx. Сопрягая зависимости ул(х) и уь(х),
получим ^4 ~ — !c/i3/2. Таким образом, вблизи плоскости в области
шириной ~]д|~1/2, формируется сходящееся течение со скоростями
~ q. В ядре восходящий режим имеет скорости ~ lgl3/4.
102 Гл. 2. Конические течения
Вблизи оси решение у„ также должно быть модифицировано,
поскольку уп не удовлетворяет условию z/(l)=4, а продольная ско-
скорость обращается в бесконечность. Ширина зоны модификации
~ \q\~3/2. Вблизи оси продольная скорость сохраняет порядок |с/|3/4.
При А < 0 бассейн стока жидкости на ось в критическом режиме
охватывает всю область течения, т. е. на границе существования в
нижней полуплоскости {q, А) двухъячеистый режим вырождается
в одноячеистый.
Во всех случаях логарифмическая особенность в распределении
радиальной скорости в пределе (извне) исчезает и вместо нее об--
разуется сток на оси. Это свойство является общим для широкого
класса задач. Действительно, рассмотрим уравнение
A - х2)у' + 2ху ~ у2/2 = 24A - x)f(x), A9)
где f(x) непрерывна, /fl)=l, a (i-x)f'(x)—ограниченная функ-
функция, обращающаяся в нуль при х = 1. Требуется найти решение,
удовлетворяющее условию z/(l)=0. Дифференцируя уравнение,
имеем
(\-х2)у" +2y-yy' = -2Af(x)+b(l-x)f'(x).
В силу принятых условий lim(l — х) у" (х) = — А. Замена у =
х-»1
= — 2A — х2)Т'/Т приводит уравнение A9) к виду A — х)Т" +
+ А{(х)Т/(\ + хJ = 0. Его независимые решения имеют представ-
представления
о{ц2); Т2 = 1 + т]A - In ц)АЦ + o(i\).
Не теряя общности, можно положить Т = Т\ + ВТ?, откуда
и-
у
Кризис возникает, когда корень Т{х) попадает в точку х = 1.
В этом случае В = 0и у = 2A +х)+оA).
В задаче Серрина, обобщающей задачу о взаимодействии вих-
вихря с плоскостью, правая часть A9) удовлетворяет перечисленным
требованиям. Поэтому на границе существования решений (см.
рис. 11) логарифмическая особенность уступает место стоку на оси.
При этом в критической ситуации циркуляция обращается в нуль
всюду внутри области течения. Тогда в правой части A9) остается
лишь квадратичный трехчлен, а с учетом граничных условий при-
прилипания f(x) — x. Уравнение границы существования имеет вид
1/2-р-гЦ = 2А = 15,2894, где Re = ГA), а р — параметр Серрина,
связанный с логарифмической особенностью.
Это соотношение определяет часть границы существования
(прямая линия со штриховкой на рис. 11). Ниже этой линии при
р < 1 есть область (заштрихована), где кроме решений, непрерыв-
непрерывно продолжаемых из верхней области, существуют решения, отве-
§ 2. Осесимметричиые течения
103
чающие двухъячеистым режимам. Штриховая кривая на рис. 11 со-
соответствует слиянию этих решений и не связана с появлением син-
сингулярности, которая возникает только на луче р = 7,645 /с~2
(ft = l/2Re), ограничивающем область существования при р Зг 1
снизу, а при р < 1 сверху (для второй ветви решений). Подчерк-
Подчеркнем, что всей прямолинейной границе существования на плоскости
{к, р] отвечает одно и то же течение, описываемое внешним раз-
разложением Шнайдера [233].
Вернемся к обобщенной задаче Сквайра и попытаемся проник-
проникнуть в закритическую область другим путем, не вводя априори ло-
логарифмическую особенность па оси. Окружим ось конусом х 3s xk
и рассмотрим течение в области 0 =? x =? хк. Уравнение движения
имеет вид
A - х2) у' + 2ху - 1/2 • у2 = С2х - Сix2 - q. B0)
Сначала поставим на конусе условия прилипания у(хк) = 0, у'(хк) =
= 0. Подставляя в уравнение х = хк, находим соотношение между
константами: Сг =C\Xh+ q/xk. При малых q решение уравнения B0)
выписывается в явном виде:
у = CixJ2 A - х2) In ф (х) /In Ф (хк) - Схх A - xxh) /2 -
-qx(i-x/xh)/2; q>(x) = A +х)/A - х);
Ci = q In ф (xh) /[In ф (xh) — 2xh].
При немалых значениях q решение находится численным ин-
интегрированием от х = хк до х = 0, а константа С\ определяется из
условия г/@) = 0. Результаты численного решения для различных
значений xh представлены на рис. 32. Кривые 4—6 соответствуют
1 —хк = 10~2, Ш~4, 10~7. Если q^q*, то в пределе хк -*¦ 1 получа-
получается решение Сквайра, а при q <C q* предел совпадает с решением,
отвечающим границе существования логарифмически особых режи-
режимов. Характер перехода к пределу функции у(х) при q = — 10 по-
показан на рис. 33. Цифры на кривых
2, 7 соответствуют числу девяток по-
после запятой в значении хК. Пределу
хк = 1 отвечает кривая L. Стремле-
Стремление к пределу очень медленное и
при численном расчете из-за малости
1 — хк приходилось прибегать к удво-
удвоенному числу разрядов.
Однако если нашей целью явля-
является моделирование турбулентного/
ядра течения, то условия у (хк) =
= у' (хк) = 0 и, главным образом, ра-
равенство пулю на поверхности конуса
продольной составляющей скорости
нельзя признать удачными. Поэтому
/ X
104 Гл. 2. Конические течения
рассмотрим еще один вариант задачи, сохранив условия непрони-
непроницаемости конуса, но заменив условие прилипания на условие сколь-
скольжения: у(хк) = 0; у" (xk)=0. Дифференцируя B0) и подставляя
х = хк, получим Сч = 2C\xh. Обратимся сразу к предельному перехо-
переходу xh -»- 1. В пределе имеем C2 = 2CS. Условие y(xh)=0 «стирается»
и Z/(l)=2/m становится конечной, отличной от нуля величиной.
Уравнение для внешнего разложения принимает вид
A - *"-) У* + 2ху* - у;/2 = 2Ах B-х)~д{\ - xf, B1)
где А = ут — $4/4.
Интегрируя B1) от i=l с начальными условиями у* A) = г/т,
J/* A) = 2 и подбирая ут так, чтобы в результате интегрирования
t/^. @) = 0, получим решение и, в частности, зависимость A(q),
нанесенную на рис. 32 штриховой линией 3. Результаты численных
расчетов, иллюстрирующие характер предельного перехода у(х)
при q = — 10, представлены на рис. 33. Кривые 3, 5 отвечают
1 — хк = 10~3, 10^5, а 5 — пределу хк = 1. Приближение к пределу
в случае условия скольжения происходит значительно быстрее, чем
для условия прилипания.
При \q\ > 1 членами в левой части уравнения B1) в. ядре по-
потока можно пренебречь и приближенно принять у « уп, где
Уп = {- 4Л [я B - х) - е A - *J]}1/2; е = ^.
Во избежание противоречия необходимо, чтобы 8 < 1. С другой
стороны, поскольку q < 0 и А < 0, то е > 0. При х = 0 подкоренное
выражение отрицательно, следовательно, вблизи плоскости форми-
формируется пограничный слой. Примем для у{х) в пограничном слое
аппроксимацию у = уь, где у\ = q%xz — А.гх3 + ААх*.
Потребовав, чтобы в некоторой точке xw совпадали у„ и уь,
а также их первые три производные, найдем xw = A2/\q\)U2, A =
= ~ q\3/2/!/i21 ym =D|g|3/3I/4. Таким образом, как и в случае при-
прилипания, около плоскости развивается пограничный слой толщиной
~ \q\~4', где жидкость течет к началу координат со скоростями
~ }q\. В ядре течения реализуется восходящий режим со скоростями
~|д|3/4. Однако около оси, поскольку уп(\)~ ут, дополнительный
пограничный слой не развивается. Это свидетельствует о хорошем
сопряжении внешнего течения уп с условием на оси, которое мо-
моделирует эжекцию турбулентной струи. Еще одним важным свойст-
свойством является зависимость обильности эжекции ут от числа Рей-
нольдса, роль которого выполняет q. В предыдущих моделях обиль-
обильность стока па оси, когда такой сток формировался, не зависела от
q и составляла Q% = 8лл>, что соответствует ламинарной струе
Шлихтинга.
Таким образом, из анализа можно заключить, что допущение
логарифмической особенности продольной скорости па оси может
§ 2. Осесимметричные течения 105
моделировать действие подъемной или опускной силы, сосредото-
сосредоточенной в приосевой области. Однако эта модель малопригодна для
приближенного описания влияния турбулентного ядра струи па
внешнее течение. В последнем случае более адекватной моделью в
рамках рассматриваемого автомодельного класса течений является
допущение иа оси стока жидкости, обильность которого определя-
определяется из условия отсутствия приосевого пограничного слоя во внеш-
внешнем течении. Такой подход качественно согласуется с другой мо-
моделью турбулентного течения, связанной с введением эффективной
вязкости, зависящей от угла, которая рассматривается в § 4.
2.5. Взаимодействие распределенного источника
жидкости с плоскостью
Будем считать плоскость твердой стенкой, т. е. па пей
выполняются условия прилипания.
Как уже упоминалось, в результате эффекта эжекции для
внешнего течения можно сформулировать задачу, когда на оси
струи размещен линейный сток жидкости. Тем самым естественно
возникает класс задач с источниками движения, расположенными
на оси. Б этом случае также формируются течения струйного типа
с весьма петривальными свойствами.
Задача о течении вязкой жидкости, вызванном линейным их
точником (стоком) в присутствии поперечной стенки, представляет
интерес в нескольких аспектах. Во-первых, она служит полезной
моделью для изучения свойств практически важных, более сложны::
течений. В случае струи, бьющей из отверстия в стенке, задача
о стоке моделирует внешнее течение, порожденное эжекцией струи
[233, 234]. Задача об источнике служит простейшей автомодельной
схемой входного участка течения в каналах и позволяет выяснит],
причины появления немонотонности в профиле скорости [145].
В случае конического источника эта задача — простейшая одномер-
одномерная иллюстрация явления оттеснения потока от поверхности по-
посредством вдува [82]. Во-вторых, этот простой пример весьма содер-
содержателей в познавательном отношении, поскольку позволяет вскрыть
новые нетривиальные свойства динамики вязкой жидкости. Оют
проявляются в принципиальном отличии как по постановке, так и
по результатам случаев отсоса и вдува.
Такой физический парадокс связан с необычными математиче-
математическими свойствами. Последние создавали определенный технический
и психологический барьер, который затруднял адекватное решение
задачи о взаимодействии линейного источника с поперечной плос-
плоскостью. Эта задача первоначально была рассмотрена в постановке,
когда продольная компонента скорости на линии источников прини-
принималась равной нулю [145]. Но, оказывается, в случае стока ограни-
ограниченных решений при этом не существует. Затем (по-видимому, со-
совершенно независимо) была сформулирована постановка, когда.
106 Гл. 2. Конические течения
треоовалась лишь ограниченность продольной скорости на оси сим-
симметрии [31]. Но этого недостаточно для выделения локально един-
единственного решения в случае вдува. Об этом в определенной степени
свидетельствуют расчеты [14], но неудачный выбор координат и чис-
численного метода не позволил решить задачу до конца.
Далее будет показано, что задача требует различной постановки
для случаев отсоса и вдува. При вдуве существуют и имеют физи-
физический смысл ограниченные, но не аналитические решения. Можно
сказать, что эта ситуация не подпадает под действие принципа ми-
минимальной особенности [20]. Но она вполне согласуется с теорией
вихревого движения идеальной жидкости.
Итак, рассмотрим осесимметричное течение вязкой несжимае-
несжимаемой жидкости около линейного источника или стока заданной
обильности (расход на единицу длины оси) в присутствии непо-
неподвижной ортогональной плоскости. Основной результат, получен-
полученный в работе [31] численными методами, по утверждению авторов,
аналогичен парадоксу с вихревой нитью [32]. Задача разрешима
лишь в определенном диапазоне чисел Рейнольдса Re = (?/Bnv),
а именно — °° < Re < 0,847, причем в области положительных чи-
чисел Рейнольдса (т. е. в случае источника) имеются два топологи-
топологически различных режима. Математически задача сводится к урав-
уравнению A2), но в силу условий прилипания на плоскости г/@)=0;
у'@)=0, константа С3 = 0, и уравнение можно переписать в виде
y2/2 = C2x-Cix2. B2)
На оси задается обильность источника z/(l) = —Re и требуется
ограниченность у'A). Тогда, полагая в B2) х = 1, получим С\ =
= С2 + 2Re + Re2/2.
Дифференцирование уравнения B2) дает
A - х2) у" + Ъу - уу' = С2 - 2Схх.
При х ->- 1 следует положить {1-х2) у" -*- 0, иначе пе будет вы-
выполнено требование ограниченности у'A). С учетом этого находим
y'(l) = -C-2~Re; С = C2/Re. B3)
Полученные соотношения для констант, казалось бы, позволяют
выделить локально единственное решение уравнения B2), удовлет-
удовлетворяющее всем граничным условиям. При этом использование B3)
позволяет осуществить численное интегрирование непосредственно
от точки х = 1, например, методом Рунге — Кутта.
В работе [14] интегрирование проводилось от значения х — 0,99,
а величина у @,99) определялась на основе разложения в ряд Тей-
Тейлора. Естественно, таким путем находится аналитическое решение.
Параметр С должен быть подобран так, чтобы удовлетворить одно-
одному из условий на конце пути интегрирования, например j/@) = 0.
Тогда второе условие (г/'@)=0) выполнится автоматически в си-
силу уравнения B2), и решение задачи тем самым будет построено.
2. Осесимметричные течения 107
Однако дело осложняется тем, что, поскольку на плоскости (х, у)
точка (х = 1, у = — Re) особая, через нее может проходить не од-
одна, а целый пучок траекторий, имеющих ограниченную производ-
производную, удовлетворяющую соотношению B3). Требование аналитич-
аналитичности решения выделяет, вообще говоря, единственную траекторию,
но в данном случае требуется лишь ограниченность производной.
Этому условию могут удовлетворять не только аналитические, но
и особые решения, если особенность проявляется лишь в более вы-
высоких производных. Покажем, что в рассматриваемой задаче реа-
реализуется именно такая ситуация.
Сделаем замену переменных: г| = 1 — х; и = у + Re, иц = — ух.
По построению вблизи оси т]<1, и<1, а иц остается немалой
величиной. После подстановки в уравнение B2), сохраняя лишь ли-
линейные по г] и и члены, получим г\иц = ки + ац, где к = 1 + Re/2;
а = — Re(C + 2 + Re)/2 = Re z/'(l)/2. Требуется построить реше-
решение, удовлетворяющее условию ц@)=0 и имеющее ограниченную
производную иц @). Дифференцируя уравнение, находим ип @) =
= а/A — к). С другой стороны, общее решение имеет вид и =
= ат]/A — к)+ Ar\h. Условия и@)=0 и | м^ @) | < оо выполняются
для всех к > 1 при произвольных значениях А, поэтому поставлен-
поставленными требованиями решение однозначно не определено. Более силь-
сильное условие — аналитичность решения — произвол устраняет (для
всех к, кроме целых), поскольку в этом случае должно быть ^4=0.
При отсосе Re < 0 и, следовательно, к < 1. Тогда условие ог-
ограниченности иц @), т. е. у' A) дает А = 0. Однако при вдуве
А > 1 и производная у'(I) ограничена при любых значениях А,
\А\ < °°, При этом в диапазоне 0 < Re < 2 особенность при х— 1
имеет у"{х). При Re > 2 величина у" A) становится ограничен-
ограниченной, а сингулярность перемещается последовательно на все более
высокие производные у(х).
То, что в задаче остается произвольный параметр Л, означает,
что в случае вдува недостаточно поставить условие ограниченно-
ограниченности у'A). Для определенности решения нужно, например, задать
саму величину у'A) или, что то же самое, продольную скорость
на оси симметрии. В случае отсоса условия ограниченности доста-
достаточно, а величина продольной скорости вырабатывается автомати-
автоматически. В этой ситуации для значений Re > 0 выражение B3) сле-
следует трактовать как условие для определения постоянной С по за-
заданным значениям Re и у'{1). При этом получаем разрешимость
поставленной задачи при всех Re > 0.
Пусть, например, г/'A) = 0, тогда С = — 2 — Re, С2 = — 2Re —
— Re2, C\ = — Re2/2, а уравнение B2) принимает вид
(l-x2)y' + 2xy = [y2~-Re2xB-x)]/2-2Rex. B4)
Любая интегральная кривая этого уравнения, в том числе выпу-
выпущенная из начала координат на плоскости (х, у), т. е. удовлетво-
108
Гл. 2. Конические течения
ряющая условиям прилипания,
проходит через точку A, —Re) и
при этом г/'A)= 0. При Re -*¦ °°
имеем асимптотическое представ-
представление решения
jrn = -ReV:cB-a:), B5)
которое, удовлетворяя условию
г/@) = 0, имеет неограниченную
° производную у'@), т. е. возникает
необычный пограничный слой:
условие прилипания стирается,
при сохранении условия непрони-
непроницаемости скорость на стенке об-
обращается в бесконечность. Числен-
Численные расчеты показали, что реше-
решение уравнения B4) действитель-
действительно стремится к B5) с ростом Re.
Кроме того, была воспроизведена построенная Голубинским и
Сычевым [31] кривая аналитичности (рис. 34,7). Линией 4 пока-
показана зависимость С = — Re — 2, соответствующая решениям задачи
с г/'A) = 0. Решения задачи с ограниченной величиной у'A) от-
отвечают каждой точке в полуплоскости Re > 0, в то время как при
Re < 0 ограниченность г/'A) достигается только па кривой сущест-
существования аналитического решения.
При малых числах Рейнольдса можно убедиться в существова-
существовании решения, отличного от решения Голубинского и Сычева, не при-
прибегая к численному анализу. Полагая у'A)= Ъ ¦ Re, получим С =
= — A + Ъ) Re — 2, и уравнение B2) примет вид
A -х2)у' + 2ху - у2/2 = Re2 [A/2 + Ъ)х2 -A + Ь)х]- 2Re x.
Используя подстановку у = и — Re ж2, приходим к уравнению для и:
A - х2) и' + Bх + Re х2) и - и2/2 =
= Re2(x2~ 1)х2/2 + A + b)Re x(x - 1).
Если | Re I < 1, то и 1и! < 1, поэтому можно пренебречь квадратич-
квадратичным членом м2/2. Линеаризованное уравнение имеет при 6 = —1
решение и = Re/2b2 - 1 +A - жI+Ке/2A + х) 1-Re/2exp(Rex)}, удов-
удовлетворяющее всем граничным условиям и имеющее в случае
Re > 0 ограниченную производную при х = 1. Если Re < 0, это ре-
решение непригодно из-за неограниченности производной. В общем
случае, когда b ?= — 1, решение линеаризованного уравнения вы-
выписывается в тсвадратурах
и(х) = A — хI+Ис/2 A + х) 1-Rc'2 Re2 exp(Re x) A (x);
\-l-Re/2 ,
4Re/2-2,
t)t*/2
¦b)t]exv(Ret)dt.
§ 2. Ососимметричныо течения 109
При Re > 0 вблизи х = 1 справедливо представление А =
= Ai(l — х)~Кг/2 + 4о + оA) и решение 1/(ж) с ограниченной г/'A)
существует при всех значениях 6. При Re < 0 функция А (х) огра-
ограничена в интервале [0, 1]. Однако для того чтобы и имела ограни-
ограниченную производную, необходимо потребовать, чтобы ЛA) = 0. Из
этого условия однозначно определяется величина Ъ.
Случай Re = 0 особый, он сводится к задаче, рассмотренной в
разд. 2.4, если величина в Ъ ¦ Re2 конечна. На оси производная име-
имеет логарифмическую особенность, кроме случая Ъ ¦ Re2 « 15,29 (см.
уравнение A7) и ниже). В силу этого кривая 1 (см. рис. 34)
асимптотически следует зависимости С = 15,29/Re — 2, При движе-
движении вдоль кривой 1 в сторону увеличения С вблизи оси возникает
лограничный слой с внутренним решением A6), поскольку условие
*/(!) = — Re при Re -»- 0 переходит в г/A) = 0, и с внешним реше-
решением у* (ж), совпадающим с решением Шнайдера. Толщина вытес-
1
нения для радиальной компоненты скорости gH = | Vr (x)/vr @) dx «
о
~ 0,262 Re + О (Re2) стремится к нулю при Re ->- 0. Величина
продольной скорости па оси асимптотически растет согласно фор-
формуле у'{\) = — 15,29/Re, поэтому уменьшение расхода Q отнюдь не
означает уменьшение интенсивности движения.
Таким образом, постановка задачи различается принципиально
для отсоса и вдува. При отсосе условие ограниченности продольной
компоненты скорости однозначно определяет ее величину, а при
вдуве значение продольной скорости на оси может быть задано по
произволу. Но, возможно, существующие в случае вдува ограничен-
ограниченные, но не аналитические решения следует отбросить, исходя из
физических соображений? В некоторых случаях, когда постановка
не обеспечивает единственности решения, пользуются так назы-
называемым принципом минимальной особенности [20]. Примерами его
весьма успешных реализаций являются постулат Жуковского —
Чаплыгина', принцип Бриллюена — Билля, он находит широкое при-
применение в технике сращивания асимптотических разложений. Часто
этот принцип интерпретируют как внешнее следствие скрытых пре-
предельных переходов. Например, в моделях идеальной жидкости та-
таким скрытым переходом может быть устремление вязкости к нулю.
Проверка корректности применения принципа в этих условиях мо-
может состоять в том, что скрытый переход заменяется реальным.
В рассматриваемой задаче идеализацией является задание ис-
источников на оси. Поэтому рассмотрим более «реальную» постановку,
когда жидкость вытекает из конуса с конечным полууглом раствора
6i, а затем исследуем, что происходит, когда Gi -+¦ 0.
Итак, область течения заключена между конусом и плоскостью,
проходящей через вершину перпендикулярно его осп. Если па каж-
каждой из границ скорость задана в согласии с A), то существует ре-
решение из конически симметричного класса. Задача при условии
llO Гл. 2. Конические течения
прилипания на плоскости сводится к уравнению B2) с краевыми
условиями i/@)= 0; у{х\)= — Re; у' (х^ = г/х. Условие г/'@) = 0
будет выполнено автоматически. Полагая в уравнении х = xi, по-
получаем соотношение (Сг = С -Re)
С2 = [Re2/2 + Re (С + 2) x, - (l - ж;) y[\/x\. B6)
Решая задачу Коши для уравнения B2) с начальным условием
г/@) = 0, распорядимся величиной параметра С так, чтобы j/(#i) =
= — Re. Тогда в силу B6) условие */'(xi) = #i будет выполнено
автоматически. Таким образом, имеется двухпараметрическии класс
решений, определенный параметрами Re, ух или согласно B6)
Re, С. В силу того, что у" @) = Re -С, при С «Si 0 и Re > 0 жидкость
растекается от оси во всей области течения, а при С > 0, Re > О
около стенки существует зона возвратного движения, в которой
жидкость течет около плоскости к началу координат. С ростом С
эта зона расширяется и в пределе охватывает всю область течения.
Вблизи конуса формируется сильная струя, которая, несмотря на
наличие источников на поверхности конуса, служит стоком для
внешнего течения.
Если на конусе поставить условие прилипания, т. е. равенства
нулю продольной компоненты скорости у'(xi) = 0, то получим одно-
параметрическое семейство решений. Результаты расчета такого
семейства для х\ = 0,99 и х\ = 0,999 представлены на рис. 34 кри-
кривыми 2 и 3. Как видим, если Re < 0, то пределом при х\ -*¦ 1 явля-
является аналитическое решение Голубинского и Сычева, а если
Re > 0 в пределе х\ -^ 1, получаем иеаналитическое решение, отве-
отвечающее линии 4. В обоих случаях предельных! переход является
неравномерным. При Re < 0 граничное условие у'(х\) = 0 в преде-
пределе «стирается», и производная на оси принимает конечные значе-
значения, равные соответствующим величинам на кривой 1. При Re > 0
по у'{х\) сходимость равномерна, но у"{х\)-*°° при х\ ->- 1,
Re<2.
Следовательно, можно заключить, что принцип минимальной
особенности работает в случае отсоса, но не работает в случае вду-
ва. Спрашивается, существуют ли такие граничные условия на ко-
конусе, при которых в пределе 0i -»¦ 0 получится аналитическое реше-
решение и при отсосе, и при вдуве? Проведенный численный экспери-
эксперимент показал, что ответ на этот вопрос положителен. Если на ко-
конусе потребовать равенства нулю касательных напряжений, дру-
другими словами, положить у" (xi) = 0, то получим другое однопара-
метрическое семейство решений и связанное с ним семейство функ-
функций Re (С). Результаты расчетов при xi = 0,99; #1=0,9 представ-
представлены на рис. 34 кривыми 5 и 6. В пределе х\ -*¦ 1 получаем при
всех значениях С аналитическое решение Голубинского и Сычева.
Предельный переход и тут неравномерный, но уже, начиная со вто-
второй производной, как для вдува, так и для отсоса. В пределе условие
§ 2. Осссимметричные течения
скольжения стирается и у" на оси принимает конечные значения.
Эти результаты допускают неоднозначную физическую интер-
интерпретацию. Во-первых, обобщая постановку Голубинского — Сычева,
можно считать, что на конусе задана скорость вдува и именно по
ней определяется число Рейнольдса, а касательная компонента ско-
скорости подбирается такой, чтобы отсутствовало трение. В рамках дан-
данной интерпретации решение задачи существует лишь при числах
Рейнольдса вдува, не превышающих некоторый предел Re.,. (а^),
причем в области 0 < Re < Re.,, решений два. На рис. 34 прямая
Re — const пересекает зависимость Re (С) в двух точках; одна из
них (при большем значении С) соответствует двухъячеистому ре-
режиму, а другая — двух- или одноячеистому режиму в зависимости
от знака С. При Re = Re* эти решения, как и в задаче [31], смыка-
смыкаются в области двухъячеистых режимов. Это классическая бифур-
бифуркация рождения — уничтожения пары стационарных решений [3].
Согласно теории, устойчивым может быть лишь одно из возникаю-
возникающих решений. Анализ устойчивости достаточно сложен, но наибо-
наиболее вероятным кандидатом в устойчивые являются решения, отве-
отвечающие нижней ветви и переходящие в медленные течения при
Re ->- 0. На верхней ветви с уменьшением С касательная компо-
компонента возрастает до бесконечности, что свидетельствует о физиче-
физической неестественности такой постановки.
Во-вторых, задачу можно формулировать совсем по-иному, счи-
считая заданной касательную скорость на конусе, а нормальную под-
подбирать из условия отсутствия трения. Такая постановка близка
к известной проблеме оттеснения потока от поверхности за счет
вдува [82]. В этой интерпретации кривая Re (С) на рис. 34 опре-
определяет критическую скорость вдува, решение существует при всех
значениях величины С, которая наряду с у'(х\) может служить но-
новым числом Рейнольдса, и никаких бифуркаций и потери устойчи-
устойчивости не происходит. Этот пример показывает, к каким радикаль-
радикальным изменениям математических свойств приводит, казалось бы, не-
небольшое изменение физической постановки задачи. То, что с ростом
касательной скорости критическая скорость вдува стремится к нулю,
объясняется тем, что имеется диффузорное течение с неблагоприят-
неблагоприятным градиентом давления. Результаты свидетельствуют о том, что
максимальная критическая скорость вдува возрастает вместе с уг-
углом раствора конуса, например, при х\ = 0,5, Re# да 7,3.
Еще один удивительный феномен в задаче о взаимодействии
линейного источника с плоскостью —это парадоксальный торцевой
эффект. В отсутствие плоскости линейный источник вызывает чис-
чисто расходящееся плоское течение vr = QlBnr), Казалось бы, нали-
наличие плоскости должно приводить к тому, что в пограничном слое
у стенки жидкость тормозится, а скорость монотонно убывает до
нуля. Более того, поскольку скорость вниз по течению падает, мож-
можно было ожидать отрыва. В действительности происходит прямо
противоположное явление. Около плоскости при больших числах
112 Гл. 2. Конические течения
Рейнольдса формируется сильная струя. Другими словами, присут-
присутствие стенки приводит к ускорению внешнего потока.
Рассмотрим этот эффект подробней, для чего обратимся к урав-
уравнению B4), описывающему ситуацию, когда на оси симметрии
Vr = у'A)= 0. После двукратного дифференцирования и подстанов-
подстановки х = 0 получим |/'"@) = Re2. Тогда в силу уравнения D) g@) =
= Re2/2.
Следовательно, давление на стенке распределено в соответствии
с формулой р = Ре + Q2/(8n2r2), в то время как вдали от плоско-
плоскости в силу потенциального характера движения р = рао — Q2/(8n2r2).
Сопоставление этих зависимостей показывает, что, во-первых,
давление в перпендикулярном к степке направлении существенно
меняется, причем разница между давлением на стенке и вдали от
нее не зависит от величины вязкости. Во-вторых, если вдали от
стенки давление вниз по течению растет в соответствии с теоремой
Бернулли, то вдоль стенки давление с удалением от начала коорди-
координат падает. Здесь опять проявляется кардинальное отличие рас-
распределения давления для замедляющихся потенциальных и пол-
ползущих течений, нетривиальное следствие которого уже отмечалось
в задаче о диффузоре (см. § 1).
Начало координат является сложной особой точкой для поля
давления — на оси симметрии давление обращается в минус беско-
бесконечность, а с приближением к началу координат вдоль стенки
растет до плюс бесконечности. Наличие на стенке благоприятного
градиента давления предотвращает отрыв. Производимая в силу ус-
условий прилипания завихренность накапливается у стенки и ускоря-
ускоряет внешнее течение. В результате развивается пристенная струя.
Изучим ее структуру подробнее.
В силу асимптотического соотношения B5) продольная ско-
скорость во внешнем течении с приближением к стенке растет по зако-
закону у'п = — Re/B Ух). С другой стороны, из уравнения B4) следует,
что у" @)= — Re2 — 2 Re. Поэтому в силу условий прилипания
вблизи стенки у' ' (х) Re2 ж; Re > 1. Эти две зависимости пере-
пересекаются в точке xw = BRe)"/3, где продольная скорость достигает
максимальной величины (-у')тю ~ Re2/3. После этих наводящих
оценок выведем уравнение пристенного пограничного слоя. Опреде-
Определив новые переменные х = Re~2/3ii; у = —Re2/3/, подставив эти вы-
выражения в уравнение B4), поделив все члены на Re4/3 и устремив
Re -*- оо; получим
/' = П-/2/2; /@) = 0. B7)
Подстановка f=—2U'IU дает U" - -J U = 0; 17@)= 1; СГ(О)=О.
Решение этой задачи Коши выражается через функцию Эйри [49]:
Непосредственно из B7) следует, что при т] Э> 1 / « l/2r\, f * 1/У2г|
2. Осесимметричиые течения ИЗ
и при г| ->¦ оо f -*¦ 0. Это, казалось бы, противоречит тому, что вне
пограничного слоя vr = Ql{2nr), т. е. у'х = — Re. Однако поскольку
ух = — Re4 3/л, то /я вне пограничного слоя имеет порядок Re~1/3
и, значит, в первом приближении при Re ->- °° равна нулю.
Зависимость/' (ц) приведена на рис. 35, где для сравнения нане-
нанесены также /' = 1/У2г| (штрихпунктирная линия) и решение B4)
при Re = 125 (штриховая). Величина /' достигает максимального
значения 1,03 при г\ = г\т = 1,5. Следовательно, горизонтальная
скорость достигает максимума vr/vToo = 1,03 Re1/3 на луче z =
= l,5Re~2/3r. На рис. 35 показано также распределение давления
в пристенной области при Re = 125, j5=(p(r|)— /ico)/(/?@)—/>«) =
= (р - Рсо)8т-2/(р<?2) = A - 2у'(z)/Re2) (I - x2)-(y/ReJ. В преде-
пределе Re -»- оо с учетом асимптотического выражения B5) получим, что
вдали от стенки р = 1 — 2х. Поскольку /5A/2) = 0, на поверхности
конуса в = 60° давление совпадает со своим значением вдали от
источника, внутри конуса существует разрежение, а вне /)>/>„.
Максимальное значение давления достигается не на самой стенке,
а в ее окрестности ~ Re~2/3, но относительная разница между мак-
максимальной величиной и давлением на стенке стремится к нулю как
Re/3.
Ситуация радикально отличается от случая стока, где при боль-
больших числах Рейнольдса развивается классический пограничный
слой. Действительно, уравнение B2) можно переписать в виде
A - х2) у' + 2ху = (у2 - Re2 х2) /2 + Re Сх A - х) - 2Re x2. B8)
Выясним асимптотическую зависимость С (Re) при Re ->- — °°..
Предположим, что при |Rei>l величина |С|>1, как это подска-
подсказывает рис. 34. Тогда, пренебрегая левой частью и последним чле-
членом в уравнении B8), получим
Уп=Ш\ {x[x-(l~xJC/Re]}1/2. B9)
Во избежание противоречия необходимо, чтобы 2C/Re < 1. Вблизи
стенки подкоренное выражение становится отрицательным, что го-
говорит о необходимости пристенного пограничного слоя. Поскольку
г/" @)= ReC, положим г/ь = Re Сх2/2 и сопряжем зависимости уп
и уь в некоторой точке х — xw.
В результате получим xw ~ lRe1~1/2, \C\ ~ lRel1/2. После замен
i/=lRelI/2/, ц = lRel1/2a;, С = — iRel1/2d получим из уравнения
B8) при |Rel^°° /'=(/2-T]2)/2 + dT); /@) = 0. Величина d опре-
определяется из условия /'(о°)=1. Результаты расчета приведены на
рис. 36,2. Величина /' (ц) стремится к своему предельному значе-
значению сравнительно медленно f'(r\) — l — 1/Brf) + О(ц~3). Значение
d близко к единице, d= 1,08641. В ядре течения согласно B9)
yn»\Re\x-(l-x)\C\.
Вертикальная скорость vz вдали от стенки (г = 0A), z>l)
определяется зависимостью vzz=v{y — жг/')=—d[\QJ2n)]1'2.
8 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
114
Гл. 2. Конические течения
0,5
1 Г1
О 1
Рис. 36.
Таким образом, и в случае стока жидкость подтекает к плоско-
плоскости, но это не вызывает образования пристенной струи. Из уравне-
уравнения B8) следует у'" @) = — Re2 — 2Re С, откуда
р = Рсо - A + Id I Reh1/2) О2р/(8л2г2).
Следовательно, при lRe|-^°° давление в перпендикулярном к
стенке направлении постоянно в соответствии с классической тео-
теорией пограничного слоя. При конечных Re на стенке давление
меньше, чем вдали от нее. Можно сказать, что стенка подсасывает
жидкость.
До сих пор исследовался торцевой эффект для случая, являю-
являющегося предельным к задаче с конечным конусом, на границе
которого касательная скорость равна нулю. Но при вдуве, как было
показано, касательная скорость может быть задана на оси по произ-
произволу. Поскольку vI(l) = v[y(l)— y'(i)]/z, условие vR(l) = y'(l) =
= 0 еще не означает, что продольная скорость на оси равна нулю.
Рассмотрим, следуя [14], задачу, когда yz(l) = 0. Тогда у'A) =
= j/(l) =-Re и, согласно B3), С = -2, C2 = -2Re, d = Re2/2
Уравнение B2) принимает вид
A _ Х2) у' + 2 Ху = г/2/2 - 2 Re x - x2Re2/2.
При Re > 1 вдали от стенки у = —Re х + 0A), откуда vr =
= — v [A — х2)у' + ху]/г « QlBnr), vz~v/z, т.е. горизонтальная ско-
скорость соответствует потенциальному источнику, а наличие верти-
вертикальной скорости вызвано вязким взаимодействием со стенкой.
Вблизи плоскости развивается пограничный слой, описываемый
уравнением f=(ri2 - /2)/2 при /@) = 0, где T) = Re1/2x; f = ~Re-V2y.
Его решение соответствует рис. 36,2. Штриховой линией показана
асимптота /'= 1. С приближением к стенке горизонтальная ско-
скорость сначала возрастает, достигая при z = 2,4 Re~1/2 r максималь-
максимального значения, в 1,45 раза превосходящего значение на бесконечно-
-сти, а затем убывает до нуля. Поскольку /" @) = 0, трение на стеы-
зш равно нулю и течение находится на грани отрыва. Но #".@) =
§ 2. Осесимметричные течения 115-
= — 2 Re, поэтому при конечных значениях числа Рейнольдса от-
отрыва не происходит. Распределение давление на стенке в силу того,,
что у'" @)= — Re2, совпадает с распределением вдали от поверх-
поверхности. Описанный торцевой эффект согласуется с наблюдаемой
немонотонностью профиля скорости в диффузорных переходных
участках между трубами разного сечения [127].
В случае безграничной области Сквайр [119] получил класс ре-
решений с распределенными по всей оси источниками массы, который
он интерпретировал как радиальные струи, т. е. струи распрост-
распространяющиеся от начала координат вдоль определенной конической
поверхности. Решение в этом случае имеет вид
и содержит два параметра, один из которых (хо) характеризуег
угол раствора конуса х = х0, вдоль которого бьет струя, а второй (Ь)
определяет интенсивность струи. Решение существует при всех зна-
значениях — 1 < хо < 1 и Ъ.
В работе [222] приведено решение задачи о течении в безгра-
безграничном пространстве, вызванном источниками жидкости, равномер-
равномерно распределенными на полуоси. Пусть, например, у(— 1)=д. За-
Задача сводится к интегрированию уравнения A3) и описывается,
решением из класса Яцеева:
, 1-д д + Л D+<?)(!+
Если q < 0, то из требования ограниченности у' (х) при х = —1
следует А = О, что соответствует решению y = q(l—x), указанно-
указанному в [222]. Однако в случае вдува, когда q > 0, константа А оста-
остается свободным параметром. За исключением случая q = 2п реше-
решение неаналитично, но имеет ограниченную производную у' (— 1) =
= —q, не зависящую от величины А и, следовательно, такую же,
как и при аналитическом решении, когда А = 0. При q = 0 указан-
указанное решение переходит в решение Ландау для точечного источника
импульса. В общем случае, когда А Ф 0, q Ф 0, течение порождается
источником импульса в начале координат и распределенным на
полуоси х = —1 источником массы. Решение существует в диапа-
диапазоне — оо<;Л-< А,,, где А% = 2~1~9/2. При А, близких к А,,, вблизи
полуоси х = 1 возникает сильная восходящая струя, а при А = А%.
на полуоси ж = 1 формируется сток: г/A) = 4. При -4< — ^/A +
+ A/q) течение становится двухъячеистым. Жидкость вдоль обеих
полуосей подтекает к началу координат и растекается на бесконеч-
бесконечность вдоль определенной конической поверхности. При А ->- — °°
область восходящих движений все более локализуется около отри-
отрицательной полуоси и в пределе на месте исходного источника фор-
формируется сток у* A) = — 4 —¦ q. Поскольку у' A) = — q/2 — А D +
+ q)/B~я/2 — 2А), параметр А характеризует интенсивность струи,
8*
116 Гл. 2. Конические течения
бьющей из начала координат. При А > 0 скорость на полуоси х =
— 1 возрастает, т. е. струя бьет вверх, а при А < 0 соответствен-
соответственно вниз.
Принципиальная разница между случаями отсоса и вдува, вы-
выявленная для линейного источника, сохраняется и для конуса ко-
конечного угла раствора. Теперь это различие проявляется при
предельном переходе Re ->- °°. При вдуве предельный переход равно-
равномерен для вектора скорости на конусе — и касательная, и нормаль-
нормальная компоненты сохраняются. При отсосе, напротив, переход
неравномерен, одно из условий «стирается»— касательная компо-
компонента скорости в пределе принимает вполне определенное значе-
значение, вообще говоря, не совпадающее с допредельной величиной. Это
находится в полном согласии с различной постановкой краевых
условий на участках втекания и вытекания в теории идеальной
жидкости и, более того, может служить обоснованием таких по-
постановок.
Известно, что решения уравнений Эйлера обладают свойством
обратимости. Смена направления скорости на противоположное
(вообще говоря, и знака времени, но здесь рассматриваются ста-
стационарные течения) не выводит пас из класса решений. Однако
граничные условия в случае вихревых течений уже не обладают
такой симметрией. Для однозначной разрешимости обычно на
участках втекания требуется дополнительно к нормальной компо-
компоненте скорости задать завихренность [147] или касательные компо-
компоненты скорости [63]. Для обращения движения в такой постановке
уже необходимо не только изменить знак скорости, но и перефор-
переформулировать краевую задачу. С формально математической точки
зрения дополнительные граничные условия могут быть поставлены
па участках как втекания, так и вытекания. Предпочтение первых
основывается на соображениях физического характера и является
по сути дополнительным постулатом в рамках теории идеальной
жидкости. Приведенный пример показывает, что этот постулат мо-
может рассматриваться как следствие предельного перехода в тече-
течении вязкой жидкости. Хотя в пределе вязкость равна нулю ее
воздействие проявляется в различии краевых условий на участках
втекания и вытекания.
В задаче о линейном источнике это различие проявляется и при
конечных числах Рейнольдса. Это связано с тем, что локальное
число Рейнольдса Rve/v на оси обращается в бесконечность.
§ 3. ЗАКРУЧЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
3.1. Разрешение парадокса в задаче о смерче
Вернемся к рассмотренной в гл. 1 задаче о взаимодейст-
взаимодействии вихревой нити с плоскостью. В этой книге она играет особую
роль. Будучи первым строго доказанным и четко осознанным при-
примером потери существования решения уравнений Иавье — Стокса,
§ 3. Закрученные течения 117
задача о смерче, а также ее истолкование и обобщение неизменно
притягивали внимание авторов и послужили одним из побудитель-
пых мотивов написания данной книги.
Здесь при помощи специальных предельных переходов будет
сделана попытка «проникнуть» в закритическую область. Напомним,
что при заданном значении циркуляции на оси Гр и условии при-
прилипания на плоскости решение перестает существовать, когда число
Рейнольдса Re = rp/Bnv) превышает критическое значение Re,, jj
= 5, 53. Далее будет изучена структура решений в окрестности
Re =Re!|. — elt 0 < ei < 1, затем рассмотрена задача, когда цирку-
циркуляция задана на конусе с конечным углом раствора. Для нулевого
угла раствора задача сводится к уравнениям
A-х*)Т"=уТг; Г@) = 0; r(l) = Re; A)'
A - х2) у' + 2ху - f/2 = x(i-x) Re2/2 - F* (x); B)
X 1
Ft (x) = A - xf j" гГ2/A - t2J dt + ж J F/(l + if dt; „
0 x w
В главе 1 показано, что при Re—>Re^. циркуляция стремит-
стремится к нулю всюду, кроме самой оси. Тогда непосредственно из C)
следует, что при х ?= 1 функция F^.(x)-^0 при Re—vRe^. Поэтому
для главного члена внешнего разложения по si в правой части B)
величиной F%(x) можно пренебречь, и уравнение B) сводится к
B.17) с переобозначением С\ = Re2/2. Отсюда следует связь ме-
между критическим числом Рейнольдса и значением константы С\
в B.17): Re* = у 2Сг « 5,53.Таким образом, внешнее разложение
сводится к меридиональному течению, вызванному стоком на оси,
п совпадает с решением Шнайдера у* (х), которое в данном слу-
случае является приближением заведомо существующего автомодель-
автомодельного течения, а не автомодельной аппроксимацией неавтомоделыюй
струи.
Что касается внутреннего разложения, то, как показано в гл. 1,
правая часть B) имеет при х = 1 нуль выше первого порядка,
поэтому и здесь при получении главных членов уравнение для
меридионального движения отщепляется. Главный член оказыва-
оказывается решением B.16) (струя Шлихтинга). Для получения погран-
слойного решения для циркуляции удобно использовать малый
параметр е = —l/z/'(l) и переменную т] ==A — х)/в. Тогда из
B.16) и A) следует Г; = - 2T'J(i + т|), ^ = А(А + г\Г\ Г =
= В — Л/D + т}) или с учетом граничных условий Г(°°)= 0; Г@) =
= Re
Г = 4 Re/D + 1]) = 4Re/[4 - у'(i) (i - х)];
Т'х=-Шу'A)№-у'A)A-х)]\ D)
Это решение было получено Зубцовым [61]. Поскольку внешнее раз-
118
Гл. 2. Конические течения
3-
уг/2 в
1-
¦/2 а
ложение для циркуляции тривиально Г* = 0, то внутреннее можно
продолжить вплоть до стенки х = 0, удовлетворяя уточненному гра-
граничному условию Г@) = 0. Тогда Г = 4Rea;/ [4- у'A) A - х)\
Малый параметр е обращается в нуль вместе с величиной
ех = Re* — Re. Действительно, при Re = Re* полюс функции у(х)
проходит точку х = 1, поэтому при малых ei положение полюса хр
приближенно определяется зависимостью xv = i+ Аг\\ А>0, от-
откуда е = 4Аг\.
На рис. 37,38 приведены результаты интегрирования уравне-
уравнений A) — C) при Re = 5,4727, близком к критическому значению,
и таком, что у'A)= — 460,5. Дано сравнение численных резуль-
результатов с аналитическими (штриховые линии). На рис. 37, кривая 1
соответствует решению Шлихтинга, 2 — решению Шнайдера у*?
а аналитическое решение 3 построено в соответствии с методом
сращиваемых асимптотических разложений уа = у* (х) +4 (а;2 — 1) +
+ F— Сх1О)х^{{ — х); С1 = Rey2. Циркуляция с удалением от
оси убывает слабее, чем в погранслойном приближении D). Это
связано с различием между у* и у вдали от оси.
Характеристикой интенсивности вращательного движения вбли-
вблизи плоскости может служить величина а э= Г'@). Зависимость a(Re)
(рис. 39,1) немонотонна. С увеличением циркуляции вихревой ни-
нити вращение вблизи плоскости сначала усиливается, а затем зату-
затухает, обращаясь в нуль при Re = Re* (расчеты свидетельствуют,
что производная dt/d Re при Re = Re* конечна и приблизительно
равна — 6,2). Отмеченная немонотонность связана с конкуренцией
двух механизмов переноса завихренности — вязкой диффузией и
конвекцией. При малых Re диффузия преобладает и поэтому уве-
увеличение циркуляции (Re) на оси приводит к возрастанию цирку-
циркуляции во всей области течения. С увеличением Re усиливаются
подтекание жидкости к оси и связанный с этим обратный перепое
3. Закрученные течения 119
завихренности за счет конвекции. При значениях Re, близких к
Re*, конвективный механизм превалирует, циркуляция концентри-
концентрируется вблизи оси, а вдали от оси падает. Наконец, при Re = Re,,.
происходит катастрофа: несмотря на наличие циркуляции на оси
жидкость вне оси не вращается. Таким образом, имеет место «кол-
«коллапс» циркуляции, но это не относится к полю давления, порож-
порожденному вихревой нитью. Разрежение на оси вызывает сток, взаи-
взаимодействие которого с плоскостью формирует предельно сильную
струю.
Парадоксальная ситуация, когда при конечном числе Рей-
нольдса перестает существовать решение уравнений Навье — Сток-
'Са, реализуется при наличии особенности на оси в виде вихревой
нити. С другой стороны, если ось не прпадлежит области течения,
то кризис невозможен. Возникает интригующий вопрос, к чему
будет стремиться течение при закритических числах Рейнольдса,
если поставить задачу для конуса конечного угла раствора при
соответствующих граничных условиях, а затем устремить этот угол
к нулю? Задача сводится к решению системы уравнений B.3),
B.6), B,9) с граничными условиями прилипания на плоскости
7/@)= г/'@)= Г@) = 0. На конусе х = Х\ ставится условие непро-
непротекания #(xi) = 0 и задается циркуляция r(;ci) = Re. Еще одно
краевое условие было поставлено в двух вариантах: прилипание
у'(х\)— 0 и скольжение у" (xi)= 0.
При численных расчетах интегрирование проводилось от стенки
к оси, причем для функции F ставились условия F@) = F'@) =
= F" @) = 0. Тогда в силу B.9) и условий прилипания на стенке
Cs = 0. Для интегрирования необходимо также задаться значения-
значениями С[, Сч и а = Г'@). Два из этих трех параметров должны быть
подобраны так, чтобы выполнить два условия на конусе. Одно из
них — условие у(х\)— 0, а второе в случае прилипания в силу B.9)
имеет вид F (хх) + С2х1 — Схх\ = 0, а в случае скольжения в силу
B.8) - вид F' (xi ) + C2- 2Сххх = 0.
Оставшийся параметр служит мерой интенсивности движения,
выполняя роль, обычно присущую числу Рейпольдса. Число Рей-
Рейнольдса при этом находится после решения задачи Re = Г(^i). Удоб-
Удобно свободным оставить такой параметр, зависимость которого от
Re монотонна. Как ясно из рис. 39, параметр а не является в этом
смысле подходящим. Годится любой из параметров С\, С2.
Выбор пал на параметр С2, который отражает величину тре-
трения на плоскости: т = — Сгр\'2/R2. На рис. 39, 40 кривые 2, 3
соответствуют результатам расчетов с условиями прилипания на
конусе х\ = 0,99 и 0,999; S2, S3 — то же, при условии скольжения,
кривые 1 — х\ = 1. Расчеты, во-первых, свидетельствуют о том, что
если угол раствора конуса конечен, то решение существует при
всех числах Рейнольдса, независимо от того, ставится ли на конусе
условие прилипания или условие скольжения. (Напомним, что в
задаче о линейном источнике различие в граничных условиях при-
120
Гл. 2. Конические течения
2-
20-
10-
10
15 Re
Рис. 39.
Рис. 40.
водило к принципиальному различию в результатах.) Во-вторых,,
и в случае конуса конкуренция диффузионного и конвективного
переноса завихренности приводит к тому, что интенсивность вра-
вращательного движения вблизи плоскости зависит от величины цир-
циркуляции на конусе немонотонно. До определенного числа Рей-
Рейнольдса вращение усиливается, а при дальнейшем увеличении Re
падает. Однако в отличие от случая вихревой нити вращение не
исчезает при конечном числе Рейнольдса, а асимптотически стре-
стремится к нулю при увеличении числа Рейнольдса до бесконечности.
Если фиксировать число Рейнольдса и уменьшить угол раство-
раствора конуса, то при Re < Re* = 5,53 в пределе получится решение,
отвечающее вихревой нити. В силу B) для вихревой нити С\ =
= С2 = Re2/2 (см. рис. 40,1). Когда Re > Re*, при х\ -*¦ 1 имеем
а ->- 0; Си C2-^Re^/2. Вне пограничного слоя вращательное дви-
движение исчезает, а меридиональное течение становится независя-
независящим от числа Рейнольдса, т. е. таким же, как при Re = Re*. Как
видно из рис. 41 (Re = 20, обозначения те же, что и па рис. 40),
при закритических числах Рейнольдса у(х) стремится к у#{х)
немонотонно. Установление предельного решения при х\ ->- 1 про-
происходит довольно медленно. Это касается и циркуляции (рис. 42,
Re = 20). Имея в виду результаты этого предельного перехода,
можно считать, что решение задачи о вихревой нити продолжимо
в область Re > Re* и для этого следует положить а — 0, С1==
= С2 = Re^/2. Однако граничное условие г/A) = 0 «стирается» и
заменяется условием г/ A) = 4. На вихревой нити, таким образом,
формируется сток, обильность которого не зависит от величины
циркуляции и равна Q* = — 8kv.
Рассмотрим, как полученные результаты соотносятся с прин-
принципом минимальной особенности и с классом решений, полученных
Серрином B36]. Серрин, как уже указывалось, обобщил задачу о
вихревой нити, допустив логифмическую особенность у' на оси..
3. Закрученные течения
121
12 в
В этом случае решение существует при всех Re, но появляется
новый параметр — коэффициент при логарифме. Можно было бы
ожидать, что при стремлении угла раствора конуса к нулю в преде-
пределе получится решение из класса Серрина, причем коэффициент при
логарифме определится в процессе предельного перехода. Но про-
происходит иное — в результате неравномерности предельного перехода
стирается граничное условие i/(l) = 0, но предельная функция
у (х) = г/% (х) имеет ограниченную производную. Это можно интер-
интерпретировать так, что «сработал» принцип минимальной особенно-
особенности в отношении функции у (х). Однако в силу соотношений A)
для поля скорости наличие стока на оси означает особенность для
компоненты i>6, более сильную, чем логарифмическая осббеиность
по vr, характерная для класса Серрина.
Как было показано, наличие логарифмической особенности оз-
означает, что на оси приложена сила Ь\ = 4nApv2/R, где А =
= lim [(хо — 1) у" (хо)\ при жо->¦ 1. В отличие от задачи от вихревой
нити в классе решений Серрина существуют двухъячеистые режи-
режимы с опускным движением на оси (см. гл. 1, рис. 12). Из сказан-
сказанного следует, что за «размыкание» струи и возникновение обрат-
обратного движения здесь ответственна не циркуляция (как в закру-
закрученных струях), а именно дополнительно приложенная сила, дей-
действующая вдоль оси вниз. Для одноячеистого восходящего режима
Серрина сила действует вверх. Случай вихревой нити, разделяю-
разделяющий эти режимы, отвечает нулевой силе.
Применительно к моделированию геофизических явлений, та-
таких как смерчи и тайфуны, осевые источники можно рассматривать
как идеализацию узкой приосевой зоны — ядра смерча, где вра-
вращательное движение близко к твердотельному. Силу в модели Сер-
Серрина можно интерпретировать как силу тяжести или плавучести,
действующую на это ядро. Если вещество ядра тяжелее окружаю-
окружающей среды, например состоит из более холодного воздуха или
122 Гл. 2. Конические течения
водяной струи, бьющей из облака, то это соответствует в модели
Серрина осевой силе, направленной вниз. На фотографии, где
запечатлен такой водяной смерч, отчетливо видна двухъячеистая
структура [236]. Если же ядро служит как бы вытяжной трубой
для приповерхностного прогретого слоя воздуха, то осевая сила,
действующая вверх, моделирует архимедову силу. Соответствую-
Соответствующие этой ситуации торнадо одноячеистые.
Физическая интерпретация разрешения парадокса в случае
вихревой нити представляется следующей. Если вращать перпен-
перпендикулярно плоскости тонкую иглу, то на расстояниях, больших по
сравнению с радиусом иглы движение будет происходить согласно'
автомодельному решению. С увеличением скорости вращения иглы
выше величины, соответствующей критическому числу Рейнольдса,
вращательное и струйное движение жидкости сосредоточится в зо-
зоне неавтомоделыюсти. В автомодельной же области движение пере-
перестанет зависеть от скорости вращения иглы и будет таким, как
если бы оно порождалось равномерно распределенным вдоль оси-
стоком обильности Q*.
В задаче о вихревой нити, рассматриваемой как простейшая
модель таких атмосферных явлений, как смерчи, меридиональное-
движение и, в частности приосевая струя, является следствием
вращения. В реальных смерчах имеется ядро, где вращательная
скорость возрастает от нуля до своего максимального значения.
Наличие этого ядра в задаче о вихревой нити игнорируется, она
претендует на описание поля скорости лишь вне ядра. Если ис-
использовать решение задачи о вихревой нити как начальное поле-
скорости и рассмотреть эволюцию в рамках нестационарных урав-
уравнений Навье — Стокса, производная от скорости по времени будет
в начальный момент равна нулю всюду кроме оси, где она будет
бесконечно большой. Ситуация здесь такая же, как в задаче о
распространении тепла после мгновенного его выделения на оси.
Далее формируется вязкое ядро, которое в отличие от задачи о
диффузии вихря будет иметь не цилиндрическую, а коническую
форму. Последняя связана с эжекционным действием струи, поро-
порождаемой взаимодействием вихревой нити с плоскостью. Подтекание
жидкости к оси замедляет диффузию, причем максимальной вели-
величины этот эффект достигает вблизи плоскости.
Хотя процесс разрушения вихря, естественно, нестационарен,
ускорение как функция 8 на начальном этапе заметно отлично от
нуля только в малой окрестности оси. Вне этой области поле ско-
скорости будет хорошо аппроксимироваться решением для вихревой
нити. Мы видим, что вихрь и линейный источник весьма нетриви-
нетривиальным образом взаимодействует с плоскостью. Естественно ожи-
ожидать, что суперпозиция этих видов движения обладает новыми нео-
неожиданными свойствами.
Особенность па оси в виде стока, возникающая при достаточ-
достаточно большой циркуляции, физически связана с эжекцией жидкости
§ 3. Закрученные течения 123
приосевой струей. Еестественно ожидать, что достаточно сильная
струя должна турбулизироваться. В этом случае ее эжекционная
способность, т. е. эффективная обильность стока на единицу дли-
длины оси, не будет фиксированной, как для ламинарного решения
Шлихтинга, а растет вместе с импульсом струи. Таким образом,
приходим к задаче, когда на оси струи независимо задаются
циркуляция и обильность источника.
3.2. Взаимодействие вихреисточника
с плоскостью
Ось симметрии считается источником жидкости (с расхо-
расходом на единицу длины оси Q) и осевого момента импульса. Это со-
соответствует граничным условиям z/(l) =—q, ГA)=Го, где д =
Q/{2nv), а Го — переобозначение числа Рейнольдса из разд. 3.1.
В данном случае эти обозначения удобнее, так как оба безразмер-
безразмерных параметра q и Го могут претендовать на роль числа Рейнольд-
Рейнольдса. На плоскости ставятся условия прилипания, что замыкает крае-
краевую задачу для уравнений B.3), B.6), B.9) в случае вихрестока.
В случае вихреисточника, как показано в § 2, необходимо еще за-
задать величину у'A), например у'(\.) — — q{vz(l) = O).
Эта задача была ранее рассмотрена в работе Чема 1163] для
частного случая q = Го. Чем решал задачу в цилиндрических коор-
координатах. Используемый численный алгоритм не позволил получить
решение при Го ^ 19. Одной из возможных причин Чем считал
потерю существования решения, как в задаче о смерче. Однако,
как будет показано далее, это не так.
Уравнение B.9) с учетом того, что Сз = 0 можно переписать
в виде
A — хг) у' + 2ху — у2/2 = С2х — Схх2 — F* (х), E)
где F%(x) определена выражением C). Заметим, что F^ A) = 0.
Действительно поскольку Т{х)—монотонная функция (см. гл.1),
X X
то j *Г2/A - t2f dt < Г* [ t/(l - t2J dt = ТЦ[2 A - x2)]; осталь-
о о
ное следует из C). Дифференцируя C), имеем
1 X
F'# = |' Г2/A + tf dt + A - х) j (Г2)'/A - t2) dt - Г2/A + x). F)
x 0
Поскольку
(,1 -) /(I — f)ar|<. 1 |max | г = I A [max-
0 0
второй член F) стремится к нулю при х ->- 1. Следовательно,
124 Гл. 2. Конические течения
F'm(l) = ~T20/2. Полагая в E) ж = 1 имеем d=C2 + 2q +qV2r
а дифференцируя E) и требуя ограниченности г/'A), получаем
qly'(l)-2) = C2~2C1 + Tl/2. G)
Отсюда следует
С г = (Го - 92)/2 - ду' A); С2 = Г*/2 - 2д - ф - qy (I). (8>
Тем самым константы явно выражены через параметры задачи.
Поскольку х = 1 — особая точка системы уравнений, при числен-
численном решении задачи можно интегрировать от оси к стенке, пред-
предварительно выяснив характер поведения решения вблизи х = 1.
Как отмечалось в § 2, из уравнения для циркуляции следует
При q<—2 функция Г'(ж) имеет в точке х=\ пеиптегри-
руемую особенность, поэтому вые оси Г = 0. Физически это означа-
означает, что циркуляция «отсасывается» достаточно сильным стоком на оси
и не проникает в жидкость. В интервале — 2 < q < 0 при интегри-
интегрировании от х = хо = 1 — е следует задаться величиной А и поло-
положить Г(аго)= Го; Г'(а;о) = А[A — хо)/A + хо)}д/2. Аналогично иа
уравнения F'l = 2ГГ'/A — ж2) следует, что F\ = 5A — zo)9/2 + 0A)..
Задаваясь пробными значениями А, В, надо проинтегрировать си-
систему до х = 0 и подобрать А, В и у'(i) так, чтобы z/@) = 0,
Г@) = 0,/^ @) = 0. Недостатком такого алгоритма является много-
многомерная пристрелка.
Есть более экономный путь. Система B.3), B.6), B.9) ин-
интегрируется от стенки с условиями у@)= Т@) = F@) = F'@) =¦
= F"@)=0; С3 = 0; Г@)=а. Один из параметров Ch C2, а дол-
должен быть подобран так, чтобы после интегрирования от х = 0 до
х = 1 выполнить условие G), где q = — J/(l), Го = ГA). Осталь-
Остальные две константы служат параметрами, определяющими значе-
значения q и Го.
Чтобы проводить расчеты «с открытыми глазами», выясним
область несуществования решения. Обозначив правую часть урав-
уравнения E) через Ф(х) и сделав подстановку у = — 2A — х2)Т'1Т,
приходим к линейному уравнению A — хJТ" + Ф(ж)/[2A +
+ хJ]Т = 0. Введя t=i — x и представив Ф(х) в виде ряда по t
Ф = Фо — Ф^ + ... , получим
12Т" + (Фо + Oif +...)/[8A - t +...)] Т = 0.
Разыскивая решение Г (it) в виде Т = f + dtx+l + ..., находим
Л2-Я + Ф0/8 = 0; Я,1 =A + У1-Фо72)/2; Х2 = 1-Л1; d = (O! —
— Ф0)/A6Х). Общее решение имеет представление T = CiT\ +
+ С2Т2 и, следовательно,
§ 3. Закрученные течения
125
О
Рис. 43.
где ч = М - ^2 = VI - Фо/2. По-
Потеря существования решения
связана с прохождением нуля
знаменателя в выражении (9)
через точку х = 1, т. е. с обра-
обращением Сг в нуль. В докрити-
ческой ситуации С2 =И= 0 и
г/ A) = 4А2 = —<?. Поскольку
Фо = — 2q — q2/2, величина Фо <
sS 2 и Фо > 0 при q < 0. В мо-
момент кризиса С2 = 0, граничное
условие уA)= — q «стирается»
и г/*{1) = ^1 = — ?*• Как
обычно, г/* (ж) — главный член
внешнего разложения у(х) по
малому параметру е, характеризующему близость к кризису. В ре-
результате кризиса на оси по-прежнему формируется сток жидкости,
но другой обильности: qt_ = — 4 — q. Как и в ранее рассмотренных
случаях, в критической ситуации функция у(х) испытывает ска-
скачок при х = 1. Но величина его не равна 4, а зависит от значения
q. В частности, при q = — 2 скачок отсутствует.
С приближением к кризису \у'A)\ возрастает до бесконечно-
бесконечности. Поскольку у(\) (г/'A)—2)+Ф]=0, возможны следующие
варианты: а) Ф1 ограничена, уA)-*-0; б) у A)^0, ограничена,
Ф1 ->- оо; с) г/A) = 0. В последнем случае г/'A) не определена ап-
априори, но при q = 0 задача о вихреисточнике вырождается в задачу
о вихре, где Ф2 = Гд/2, и решение существует при Го<;5,53 = Г^..
Карта режимов на плоскости {q, Го) изображена на рис. 43.
Левее штриховой линии q = —2 вращение отсутствует. На по-
полуоси ^ = 0; Г ^ Г^ решение не существует. С приближением к
полуоси формируется сильная восходящая струя. Между осью q =
= 0 и кривой Si (пли So) лежит область существования двухъячеи-
стых режимов. Кривая Si отвечает случаю, когда на оси vR — 0,
a So — vz = 0. Правее кривой S\ (So) — область опускных режимов с
пристенной струей. Если зафиксировать величину Го и увеличи-
увеличивать q, то в пределе q > 1 картина меридионального течения сов-
совпадает с полученной в § 2 при отсутствии вращения. Если, напро-
напротив фиксировать величину q и устремить Го к бесконечности, то
получим сильную приосевую струю, вне которой формируется пре-
предельное, не зависящее от Го течение без вращения, соответствую-
соответствующее эффективному стоку на оси обильности q# == — 4—q.
Отрыв происходит, когда у" @) меняет знак. Дифференцируя
уравнение (о) и полагая х = 0, получаем у" @) = С2—Ь\ @),
откуда в силу F), (8) находим условие отрыва
1
Т\/2 - 2q - г - ЧУ' A) - J Г*/A + xf dx = 0.
A0)
126 Гл. 2. Конические течения
Если q < 1, Го < 1 уравнение для циркуляции имеет решение
Г = Ге х, F'% @) = Г2, j х* A + х)~г dx = Г2 C/2 - 2 In 2), откуда g =
о
= Aп2 — 1/2) Г2 * 0,19 Г2. Этот результат не зависит от значения
j/'(l), поскольку величина qy'{1) в уравнении A0) пренебрежи-
1
мо мала по сравнению с 2q. Поскольку \хA + х)~2 dx = 1/2, чле-
о
ны в уравнении A0), зависящие от циркуляции, можно записать
в виде
1 1
Г2/2 - [ Г* A + х)-2 dx = T20$[l- (Г/Г0J] A + хГ2 dx.
о о
При q > 1 уравнение для циркуляции вне пограничных слоев при-
приобретает вид Г' = 0. В предотрывнои ситуации Г = Го всюду, кро-
кроме малой пристенной области. Введем переменные т| = aq^x, у =
= — aq^F, G = Г/Го. Уравнение для циркуляции в пределе q ->- °о
лринимает вид G" = — FG', а из уравнения E) следует F' =
С2 + С2РУ2, где
С2 = q-^a-3 [2q + q* + qy' A) - сс^Г2,]; а = a" j A - G2) d4.
о
В случае отрыва ?г = 0. При этом, если 1г/'AI<<7, то Го =
•= д1+т/2/)'сс. Требуя, чтобы коэффициент C?t был порядка единицы,
получаем у = 2/3, Го = <?4/3/Va. Выбирая а = а~1/4, приходим к
уравнениям пограничного слоя:
G" =-FG';
Первое уравнение интегрируется независимо, его решение найдено
в предыдущем пункте. Назначив G'@), например, С@)=1, про-
проинтегрируем уравнение G" = — FG' от г\ = 0 с условием G@)= 0:
Г] / 1\ \
= \ ехр — J F dr\ I А]. Функция G определяется как G =
о V о /
14/3
-= G(т))/(?(°°) после чего вычисляется a =
A —С2) А] . Расчет
дает a ~ 1,05.
Если на оси симметрии vz = 0, то г/'A)=— q. В этом случае
жз С2 = 0 следует Го = У2/а 5A+1:)/2. В выражении для С\ главным
становится член, содержащт! q2. Из требования Ci=O(i) вытека-
вытекает y = 1/2, Го = У2/а q3M. Таким образом, показатель степени в
§ 3. Закрученные течения
асимптотической зависимости Го(д) «обращается» и становится:
равным 3/4. Выбирая а = 1, приходим к тем же уравнен01*™ погра-
пограничного слоя, но коэффициент а = ао теперь определяйся по-дру-
по-другому: а0 = J A — G2) d-q « 1 ,03.
На рис. 43 кривая S\ соответствует отрыву в случае у A)— О,
a So —з/'A)= —д. На границе рисунка обе зависимости TQ(q)
уже графически неотличимы от асимптотических Го => fl»9S g4/ (Si)
и ro=l,4g3/4(S0). Расчеты Чема [163] были выманены на
биссектрисе То = q и возникшие у него трудное™ при
q ~ 20 связаны с техникой вычисления и незамеченном отрывом
течения.
В области отрыва при q > 1; Г > 1 линейными членами в
левой части уравнения (о) можно пренебречь. Пусть vz(l) =
= 0, у'(\) = - ?, тогда Сх = (Г* + ?2)/2, С2 = Г* - 2q Я Г*о- В при-
осевой области г/ ~ г/п, где
Выражение в фигурных скобках, как показано в гл. 1, положитель-
положительно и имеет нуль первого при х = 0. При малых х лева.! часть вы-
2 о 2
ражения A1) отрицательна, а при х, близких к единийе, Уп ^ Ч х ¦>
уп ~ — qx, что соответствует источнику.
Определим угол раствора разделяющего конуса в двухъячеи-
стом режиме по положению нуля х = х0 правой чася[ (И)- По-
Поскольку вне малой окрестности х = х0 Г' = 0, примем Г(г)= Го при
а;0<ж<1 и Г(ж) = 0 при 0 s? x < х0. Физически это соответству-
соответствует тому, что к конусу х = Хо снаружи подтекает из бе'КО11ечности
незакрученная жидкость, в то время как внутри конуса сильный
копвективный поток от источника обеспечивает постоянство цирку-
циркуляции. Тогда согласно C) F* (х0) = Т2охоA — х0) [2 A -t ^o)]' от-
откуда х0 = 1 — 2д2/Го. Эта формула не пригодна для малых зна-
значений Хо, когда предположение Т(х)=0 при 0 < х < и перестает
быть справедливым.
Результаты этого раздела показывают, что размеШение на оси
источника или стока жидкости радикальным образом устраняет
кризис потери существования решения. При сколь угодно малой
обильности источника решение существует при всех значениях
циркуляции на оси. В этом задача о вихрестоке существенно отли-
отличается от случая, рассмотренного Серрином [263], когда на оси
допускается логарифмическая особенность продольной скорости.
Если коэффициент при логарифмической особенности мал> то и
критическая циркуляция меняется незначительно. Размещение на
оси стока жидкости может быть интерпретировано о физической
точки зрения как внешнее следствие существования узкой приосе-
вой струи, эжектирующеи окружающую жидкость.
128 Гд. 2. Конические течения
3.3. Разделенные источники массы
и момента импульса
Если источник жидкости размещать вдали от оси, напри-
например па пористой плоскости, перпендикулярной к вихревой линии,
то кризис может, напротив, ужесточиться. Уравнение для функции
тока в этом случае может быть записано в виде
A - х-) у' + 2ху - fj2 = x(i- x) (rS/2) - A - xf (ql/2) - b\ (x)
A2)
и дополнено уравнениями A) и C). Здесь г/@) = до, до— безраз-
безразмерная обильность потока жидкости через кольцевую область на
плоскости радиуса R и единичной ширины. Продольная скорость на
плоскости полагается равной нулю г/'@) = 0; Г@) = 0. На оси
ставятся условия уA) = 0; |г/'A) 1 < °°; ГA)= Го.
Априори естественно предположить, что вдув жидкости через
плоскость (д° > 0) усиливает конвекцию циркуляции к оси, и по-
поэтому характерный для кризиса коллапс вращения будет происхо-
происходить при меньших значениях Го*. Чтобы решить вопрос, будет ли
Го* убывать до нуля при увеличении до до некоторого конечного
значения д0*, рассмотрим сначала задачу при Го = 0. В этом
случае уравнение A2) допускает аналитическое решение, анало-
аналогичное решению Яцеева — Сквайра:
l + ?n
У = Чо (! — х)
A3)
Функция, стоящая в числителе, положительна и ограничена
при конечных, qo. Знаменатель при go ^ 1 также положителен на
интервале 0<ж< 1, но при достаточно большом значении х ме-
меняет знак. С ростом q0 корень знаменателя приближается к х=\,
Величина 9W, при которой он достигает х — 1, определяется урав-
уравр
q'lY
нением / (q) = q'lYlW — A + q -f q*) - A + q) УТТф = 0. Оно
получено приравниванием знаменателя в A3) нулю при х = 1
и простыми тождественными преобразованиями. Функция f(q) име-
имеет единственный нуль с/0* = 2,8965. При g>g0* у (х) имеет полюс
на интервале @,1) и регулярного решения не существует. В до-
критической ситуации около оси возникает сильная струя, и у (х)
имеет приосевой пограничный слой. В критическом случае усло-
условие г/A)=0 «стирается» и г/A)=4; г/' A) == 2. Функция г/# (х)
хорошо приближается полипомом у* {х) да д0* + A0 — Зд0») хг— F —
2)*
3. Закрученные течения
129
Рис. 44.
Поскольку в критической ситуации происходит коллапс цир-
циркуляции, внешнее решение у* (х) удовлетворяет уравнению, сле-
следующему из A2) при F% (х) == 0:
A ~ *2) Ут + 2х,л - yl/2 = A-х) [xTl/2 ~A~x) да0/2]. A4)
Полагая у* A) = 4, у\ A) = 2 + Г„/8, интегрируя A4) от х = 1 до
ж = 0 и определяя Го из условия г/ @) = qo, получаем зависимость
Го*Ы (Рис- 44, -?)•
При больших отрицательных значениях qo из уравнения A4),
пренебрегая линейными членами, получим
уп^д0{A-х)[A~х)-ах]}1/2; a = T20/q20. A5)
Это решение удовлетворяет условию уп@)= qo, но оно непродолжи-
мо в область х > 1/A + а), поскольку подкоренное выражение
становится отрицательным. Это свидетельствует об отрыве, или,
точнее, возникновении, восходящего течения у оси. Оно появляется
при а < 1. Рассмотрим пограничный слой вблизи оси. Введем но-
новую переменную r\ = qo(x— 1) и обозначим Tl/Bq0) = d. После
подстановки в A4) и устремления Igol-^ °°, получим
W'={r\2-y2)lb + y + d4l2- г/@)=4; j,'@)=d/4.
При т] -*¦ оо согласно A5) у ->- — л + 0A). В отличие от асим-
асимптотического решения у'— т\ + 0A) оно неустойчиво, поэтому
найдется единственное значение d такое, что у -+¦ — т] при т] ->- °°.
Задача имеет аналитическое решение у = 4 — т), d = — 4, д0 =
= —Го*/8.С учетом следующего члена разложения асимптотическая
зависимость при Гои. ^> 1 для критической циркуляции имеет вид
Го* = ]/32 — 8^ (см. рис. 44, штриховая линия). Ширина приосе-
вой рещгркуляционной зоны определяется корнем у (х). В крити-
критической ситуации асимптотическая зависимость имеет вид r\s = 4
9 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
130 Гл. 2. Конические течения
или хв = 1 + 4/f/o. Рециркуляционная зона у оси существует при
To>TOs(q) (см. рис_ 44,2). При до « 1 ГОз = [A/2 - In 2)д0]1/2,
а при q > 1 TOs ~ У—до-
Рассмотренная в данном разделе задача решалась Нанбу [213]
в приближении пограничного слоя вблизи плоскости. Он обнару-
обнаружил, что при достаточно сильном отсосе решение существует, но
оценка Нанбу области существования —до > аУГо не согласуется
с полученным здесь результатом — д<р> Г'о/8 + 4.
Весьма своеобразный кризис происходит в задаче, где поста-
постановка, так сказать противоположна рассмотренной. Пусть на оси
расположен источник жидкости, а на плоскости задана циркуляция.
Граничные условия имеют вид
y(i)=-q; ГA)=0; Г(О)=ГО; z/@) = у'@) = 0.
В случае стока (<7<0) величина у'A) определяется из требования
ее ограниченности, а в случае источника у' A) является дополни-
дополнительным свободным параметром. Систему уравнений B.3), B.6) f
B.9), где Сз = 0, удобно интегрировать от х == 0, полагая F@) =
— F{0) — F" @) = 0; Г'@) = я, и определять константы С\ и а из
условий ГA)=0, y(l)[2 — y'(l)] = C2 — 2Ci — F'(i). При этом
Сг и Го остаются свободными параметрами, а в результате интегри-
интегрирования определяется q =— J/(l). Карта режимов приведена на.
рис. 45. Сплошная линия отвечает отрыву (Сг = О), в области, ле-
лежащей между этой кривой и осью Го, режим течения двухъ-
ячеистый.
При q = — 2 (штриховая линия) происходит кризис. Реше-
Решение, удовлетворяющее указанным граничным условиям, перестает
существовать. Причины этого кризиса уже обсуждались в § 2. 2.
Рассмотрим их более подробно. Уравнение для циркуляции можно
переписать в виде
; f(x)=\y(x)-xy(l)]/(i-x*),
откуда Г' = а A — x2)i'^ exp \ fdx\. При -2 < q < 0 функция Г' (х)
\ о /
имеет интегрируемую особенность в точке х = 1, поскольку f(x) ог-
раничепа. Поэтому, определяя Г(ж) = — ] Г' (х) dx, можно удовлет-
X
ворить условию ГA)=0. С приближением величины q к значению
¦—2 вблизи оси возникает пограничный слой в распределении цир-
циркуляции, толщина которого при q = — 2 обращается в нуль, усло-
условие ГA)=0 «стирается» и Г(х)=Го.
Если смириться с тем, что условие ГA)=0 не выполняется,,
то решение продолжается в область q < — 2 и с учетом Г(.г)= Го.
уравнение для у принимает вид B.22). Характер меридионального'
движения не зависит от Го и таков же, как в задаче о взаимодей-
взаимодействии линейного стока с плоскостью без учета вращения.
3. Закрученные течения
131
3.4. Течение, вызванное циркуляцией
на плоскости
В задаче о вихреисточнике, расположенном па оси, уда-
удается построить автомодельные решения, удовлетворяющие условиям
прилипания на плоскости. В то же время при отсутствии особен-
особенностей на оси выполнить условия прилипания не удается. Таким
образом, платой за выполнение условий прилипания в этих зада-
задачах является допущение особенностей на оси. Но, оказывается,
можно построить регулярное автомодельное решение, если цирку-
циркуляцию задать не на оси, а на плоскости, потребовав при этом вы-
выполнения условия прилипания для меридионального поля скорости.
Пусть вещество плоскости совершает движение, соответствую-
соответствующее потенциальному вихрю. Тогда в окружающей жидкости форми-
формируется движение, описываемое в рамках автомодельного класса
B.1). Уравнения B.3), B.6), B.9) с учетом требования регу-
регулярности на оси и подходящих граничных условий для F можно
переписать в виде
(i-x2)T" = г/Г; F'"
r(O) = Re;
Система имеет шестой порядок, а условий восемь. Два «лишних»
условия выполняются за счет подбора константы С\ и у'A). По-
Последняя величина является свободным параметром, поскольку х =
г
-50
2 5-
50 Re
Рис. 47,
-25
-/2
132
Гл. 2. Конические течения
Г 31/и
Рис. 48.
г cos в =1 — особая точка. При численном реше-
решении удобно использовать метод стрельбы,,
решая задачу Коши. На оси задаются
величины у, Г, F, F', F" равными нулю,,
а также пробные значения г/A), Г'A) и
С\. Два из этих трех параметров (напри-
(например, 2/'A) и С]) подбираются так, чтобы
выполнить условия г/@) = г/'@) = 0, тре-
третий параметр (Г'A)) определяет число
Рейнольдса Re = Г @). На решении
F@) = Ci. Результаты расчетов иллюст-
иллюстрируют рис. 46—48.
Зависимость интенсивности вращения
вблизи оси от величины циркуляции на
плоскости имеет немонотонный характер.
Величина Г'A) пропорциональна значению угловой скорости со на.
оси симметрии Г'A) = — 2cor2/v. С ростом числа Рейнольдса угловая
скорость сначала пропорционально растет, пока перенос завихрен-
завихренности имеет преимущественно диффузионный характер. При даль-
дальнейшем увеличении Re, когда основным становится конвективный
перенос, угловая скорость на оси уменьшается. Как и в предыду-
предыдущих задачах, источник циркуляции вызывает поток «на себя», что
приводит к самофокусировке вращательного движения. Поэтому
зависимость Г'A) от Re имеет такой же характер, что и a (Re) на
рис. 39 для случая конечных углов раствора конуса.
При больших числах Рейнольдса область течения подразделя-
подразделяется на три зоны: внешняя потенциальная область, внешний и
внутренний пристенные пограничные слои. В потенциальной зоне
вращательное движение практически отсутствует, а для меридио-
меридионального движения с хорошей точностью выполняется соотношение
(см. § 2) у « уп = — 1A + f) A — х). Интегрируя уравнение для
циркуляции от оси с граничным условием ГA) = 0, получим рас-
распределение циркуляции в потенциальной области: rn = G[(l-b
+ х)-"< — 2"]. При Re = 50 эти зависимости хорошо согласуются
с результатами численного расчета в интервале 0 < 0 < 60° (см.
рис. 47).
Во внешнем пограничном слое аналитическое представление
можно получить, пренебрегая влиянием вращения на меридиональ-
меридиональное движение и условием у' @) = 0. Тогда применима формула
B.14а) и в силу изложенного в § 2 у <=*-A +у) {l-x)thr\; ц = ^х/2.
Интегрируя уравнение циркуляции от плоскости с граничным
условием F@) = Re, приходим к зависимости
0 при
Ti = Re B - 4/jx arctg exp i\]; T[ @) = — Re у/л = Gx.
Вторая константа интегрирования выбрана из условия Г;
§ 3. Закрученные течения 133
т] -> <». Сращивая зависимости Г„(ж) и Ti(a;) при ц = 1, определим
константу G:
/2 G /
Так как на плоскости у{0) = у'@) = 0, имеем в силу уравне-
уравнения для циркуляции Г" @) = Г"" @) = 0, т. е. вблизи стенки цир-
циркуляция меняется с большой точностью линейно. Поэтому примем
аппроксимацию
A6)
-4/(ле)]}; 0 sS ж sg 2/у.
Интегрируя уравнение для F, получим
F (х) = J Г2 (t) (t — х) A — ta)/(l — t2fdt.
X
В силу условия ГA) = 0 интеграл собственный, и так как
Г (ж) заметно отличается от нуля только при ж < 1, в окрестности
стенки можно использовать приближение
1
F (ж) « \(t — x) Г2 (t) dt.
х
Подставляя в качестве Г(ж) зависимости A6), получим F@)«
« l,14Re2/"f2. Поскольку Ci « ч2/2, из равенства F@) = Ci следует
-f « 1,23VRe". A7)
Зависимость у'(l) = f + 1 от числа Рейнольдса с использованием
A7) нанесена на рис. 46 штриховой линией. Эмпирическое значе-
значение константы в A7) приблизительно равно 1,27. Дифференцируя
Г„(ж) при х=1 и подставляя полученные выражения для G п
¦у, приходим к асимптотической оценке Г'A)«—2,12 Re3/2X
X ехр(—0,85yRe). Эта зависимость нанесена штрихпунктирпой ли-
линией на рис. 46. Полученное аналитическим путем приближенное
решение для Г (ж), выражаемое соотношениями A6) при Re = 50,
с графической точностью не отличается от результатов численного
расчета, представленных на рис. 47.
Во внутреннем пристенном пограничном слое изменяется рас-
распределение у (ж) так, чтобы выполнялось условие прилипания
г/'@) = 0. Его толщину можно оцепить из условия, чтобы в урав-
уравнении для у величина ^(ж) была много меньше С\(\ — хJ. Поло-
Положим, например, F(x) = гС\{1 — хJ и найдем х. Учитывая, что х<.
<1 и разлагая F(х) в ряд, F(x) = d+F'@)х +О(х2); F'@)«
« l,24Re2/'Y, получим ж « 0,93A —_г)_/Ч- Таким образом, толщина
внешнего пограничного слоя ~l/VRe и внутреннего ~l/VRe. Их
толщины могут быть соотнесены по положению нуля и максимума
vr(Q) (см. рис. 45).
134 Гл. 2. Конические течения
Линии тока меридионального течения of = vry = const, изобра-
изображенные на рис. 48, показывают, что частицы жидкости прибли-
приближаются на первом этапе к началу координат (при этом вращение
практически отсутствует), затем после пересечения штриховой ли-
линии, разделяющей области положительных и отрицательных значе-
значений радиальной скорости, начинают удаляться от начала коорди-
координат, по-прежпему сближаясь с плоскостью. На штрихпупктирной
линии расстояние до плоскости достигает минимума, а затем воз-
возрастает асимптотически по корневому закону. В этом проявляется
качественное отличие приведенного решения от решения Сквайра,
для которого линии тока асимптотически параллельны плоскости.
3.5. Струя, индуцированная движением вещества
плоскости типа вихрестока
Как уже говорилось, в отличие от традиционной интер-
интерпретации здесь принята точка зрения, что решение Сквайра опи-
описывает движение окружающей среды, вызванное течением вещест-
вещества плоскости тина стока, а не источником импульса в начале коор-
координат. При этом концентрация импульса вблизи начала координат
трактуется как следствие, а не причина течения. Проблема выпол-
выполнения условий прилипания на плоскости в такой интерпретации
снимается: скорость внешней среды на плоскости совпадает со
скоростью вещества плоскости. Рассмотренная в предыдущем раз-
разделе задача отличается в этом смысле от решения Сквайра только
в том отношении, что вещество плоскости совершает движение не
типа стока, а типа потенциального вихря. Естественным обобще-
обобщением обеих задач является постановка, когда движение окружаю-
окружающей среды порождается течением вещества плоскости типа вихре-
вихрестока, являющегося сочетанием этих частных течений. Решения
такого класса были рассмотрены в работах [36, 37], а затем И Цзя-
шунем с соавторами [258] и в статье [223].
Рассчитаем границу па плоскости параметров, соответствую-
соответствующую «гидродинамическому взрыву»—потере существования реше-
решения, и дадим аналитическое представление решений в погранич-
пограничных слоях. Решения удовлетворяют тем же уравнением, что и в
предшествующем разделе, но граничные условия должны быть не-
несколько модифицированы. На оси по-прежнему 1/A) = ГA) =
= FA) = F'A) = F" (i) = 0, а на плоскости г/@) = 0, y'(O) = -q,
Г(О) = Го. Здесь q = rvr@)/v — обильность стока на плоскости, а
Г0 = ллр@)/\> пропорциональна циркуляции движения вещества
плоскости. Эти параметры являются независимыми и характери-
характеризуют источник, порождающий движение в среде, окружающей пло-
плоскость. При Го = 0 получаем решение Сквайра, а при q = 0 — слу-
случай, рассмотренный в разд. 3.4. Число Рейнольдса может быть
определено так: Re = у cf + Т20.
§ 3. Закрученные течения
135
10-
-to
Рис. 49.
При численном решении за-
задачи удобно ввести промежуточ-
промежуточную параметризацию и считать
данными величинами г/'A) и
Г'A). Тем самым краевая задача
сводится к задаче Коши. Входя-
Входящая в уравнение константа С\
находится из условия г/@) = 0, a q
и Го определяются в результате
интегрирования от оси до плоско-
плоскости. Алгоритм получается проще,
чем в разд. 3.4, где «пристрелива-
«пристреливались» два условия на плоскости.
Карта режимов течения изо-
изображена на рис. 49. При q = О
имеем опускное течение, описан-
описанное в разд. 3.4. Качественно таким же режим остается и при q > 0.
Если q мало и отрицательно, вблизи плоскости возникает узкая зона
возвратного течения. Далее с ростом \q\ она расширяется (штрихо-
(штриховая линия отвечает разделяющему конусу с Во = 45°) и при пере-
пересечении кривой 2 охватывает всю область течения. С приближением
точки (q, Го) на плоскости параметров к кривой 1 струя резко
усиливается, а на самой кривой радиальная скорость и импульс
струи обращаются в бесконечность. Координатная линия Го = 0 яв-
является осью симметрии. При q > 0 с увеличением числа Рейпольдса
развивается пристенный пограничный слой, вполне аналогичный
рассмотреному в разд. 3.4. И возрастание q, и увеличение Го
приводит к тому, что момент импульса концентрируется вблизи
плоскости. Поэтому вне малой окрестности стенки для у при Re > 1
применимо приближение
Хотя Г"'@) уже не пуль, но Г"@) = 0, поэтому хорошим прибли-
приближением будет модификация A6)
Т{х) = Т0A-х/х0); 0<;г^2/ч;
Г(х) = 4Г0е/я{A + х)~1 - 2~1]; 2/'ч < х < 1;
определяется из условия F@) = Ci ~ q, от-
от72/2 —
Значение параметра
куда 1,14 Гц/У
Более интересен и с точки зрения приложений и по своим
свойствам случай q < 0. Сходящееся течение вещества плоскости
вызывает кумуляцию импульса вблизи оси, и при конечных значе-
значениях q происходит «гидродинамический взрыв» — скорость на оси и
импульс струи обращаются в бесконечность. При Го = 0 критическое
значение д* = — 7,6727 (см. разд. 2.4). Если Го<1?1, то циркуля-
136 Гл. 2. Конические течения
ция может рассматриваться как пассивная «примесь», переноси-
переносимая жидкостью. Поскольку источником циркуляции является пло-
плоскость, «стоком»—ось, то в силу того, что диффузия и конвекция
переносят циркуляцию от стенки к оси, при значениях параметров,
близких к критическим, циркуляция будет почти постоянна во
всей области (заметим, что Г = const удовлетворяет уравнению для
циркуляции), кроме малой окрестности оси. Вблизи оси из-за усло-
условия ГA) = 0 формируется пограничный слой, в котором циркуля-
циркуляция меняется от нуля на оси до Го на внешней границе.
Циркуляция влияет на меридиональное течение только через
функцию F. В силу граничных условий F—F'=F"=0 при х = 1,
разложение в ряд по степеням A-х) для функции F начинается
с кубического члена, причем F'"A) = — <[Г'A)]2. Поэтому предпо-
предположим, что циркуляция не влияет на меридиональное течение в
пограничном слое, а затем проверим справедливость этого предпо-
предположения. Так как F(l) = 0, для внешнего разложения в пределе
бесконечно сильной струи по-прежнему у -*¦ 4 при х-*-\. Поэтому
остается в силе подход, изложенный в § 2. Меридиональное тече-
течение в приосевом пограничном слое удовлетворяет уравнению B.15),
решением которого является струя Шлихтинга у* = 4т]/D + т));
Ч = у'{х){х~\).
Уравнение для циркуляции в приосевом слое получено в
разд. 2, п. 3.1: Тц/Гп = —2/D + ii), но его решение из-за отли-
отличия граничных условий будет теперь другим:
Г* = Гот1/D + г,); Г*'= 4Г0/D + г,J. A8)
Уравнение для F в переменных пограничного слоя имеет вид Fn =
= —4Г^/[1/' A) D + г)J]. Поскольку !i/'(l)!->-°° при конечных зна-
значениях Го, то F^~*-0 при 8 = —1/г/'A)-*-0. В силу граничных
условий и Р(ц) имеет в пограничном слое порядок е, следователь-
следовательно, влиянием циркуляции на меридиональное течение в погранич-
пограничном слое действительно можно пренебречь.
Поскольку внешнее разложение для циркуляции тривиально
Г^.(а;) = Г0, применим погранслойное решение A8) для всей об-
области при отыскании распределения F(x) в ядре течения. Интег-
Интегрируя уравнение для F при условиях FA) = F'A) = F" A) = 0,
получим F(t|)= -2Г5/У A)-ЬD + п)+ r^/[2i/' A)] + 2Г^'A)-1п4-
- rjjii2/[%'(i)], или F{x) = - rfo'A)/1Ч1-*J-Г„A-*)/2-2Г2/
/у' A)-1н [4 - у' A) A - х)] + 2Tl In4./I/' A).
Отсюда следует, что в ядре потока и вблизи стенки F(x) стремится
к бесконечности при |г/'A) I-»-°°. Однако на плоскости имеется
соотношение -q = F@)-Cu откуда Сг = q ~ Т20у' A)/16 — Г„/2 +
+ оA), где оA) — члены, стремящиеся к нулю при |г/'A) I->-°°.
Удобно ввести функцию f(x) = F(x) — Ci(l — хJ. В пределе, когда
\у' A) I -v оо, /(.х) = (Г°/2 - q)(l - xf -Г*/2 A - х).
§ 3. Закрученные течения
137
Главный член внешнего разложения у*(х) для функции у (х)
таким образом удовлетворяет уравнению
и граничным условиям у* @) = 0, у% A) = 4. Второе условие нала-
налагает связь на параметры Го и q, определяющие границу существо-
существования решений. Поскольку х = 1 — точка особая, удобно интегри-
интегрировать именно от х=1, определив производную из требования ана-
аналитичности. Для этого достаточно продифференцировать уравнение
A9) и подставить х = 1, у% = 4. В результате получим у* A) =
= 2—ГдУ8. При больших значениях правой части A9) главным
становится нелинейный член в левой части уравнения. Отбросив
линейные члены, находим потенциальное решение уп = Го(A — х)Х
X [A + а)х — а]}1'2; ос=—2д/Го. Это решение не удовлетворяет
граничному условию на оси и непродолжимо вплоть до стенки, по-
поскольку при ж<а/A + а) подкоренное выражение отрицательно.
Поэтому в распределении у* (х) при Го > 1 можно выделить три
участка: а) приосевой пограничный слой; б) потенциальное ядро;
а) пристенный пограничный слой.
Для оценки толщины приосевого слоя б; найдем точку макси-
максимального сближения линейной зависимости у = 4 —B — Го/8) A — х)
с потенциальным решением. Это дает 6i ^ 4/Го. В пристенном слое
сопряжем линейную зависимость у = —qx с уп. Связь между q и
Го найдем из условия, чтобы в точке сопряжения xw уп = Ч- Отсю-
Отсюда q— —Г* 3/2; xw =2Г0^2/3; а = Г~2/л, Эти оценки получены с точ-
точностью до числовых коэффициентов порядка единицы.
На рис. 50, где в логарифмических масштабах нанесена функ-
функция Vo(q), определяющая соотношение параметров на кривой по-
потери существования решений, видно, что зависимость асимптотиче-
асимптотически выходит на степенную. Штрихпупктирная линия отвечает
закону Го = 1,15(—qKM. С ростом циркуляции на линии потери су-
7Ог-
10-
У
5-
0
//"
11
I/
1
1
1
1
1
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\\
Рис. SO.
0,5
Рис. 51,
1 1-х
138
Гл. 2. Конические течения
ществования сначала вырождается приосевой слой, а затем
пристенный. Сопоставление решения уравнения A9) при Re = 20
(рис. 51) п потенциального решения у„ показывает, что приосевой
и пристенный пограничные слои еще перекрываются. При 8 = я/4
отличие в у и уп составляет ~10 %.
Сравним результаты численного решения полной системы урав-
уравнений для Гиг/ (рис. 52, Го =14,4; (/ = —34,8) с аналитическими
зависимостями A8) для Г и решением Шлихтинга для у (штри-
(штриховые линии). По участку совпадения получаем представление о
толщине пограничного слоя при этих значениях параметров. По-
гранслойиое приближение для Т(х) качественно верно отражает
распределение циркуляции во всей области течения, хотя выход па
асимптотическое значение Г = Го с ростом 0 на точном решении
происходит быстрее в противоположность со случаем вихревой ни-
нити (см. рис. 38).
Для меридионального течения область можно подразделить на
четыре зоны. Внутренний приосевой пограничный слой (струя
Шлихтинга) появляется с приближением к границе существования
решений и его толщина обращается в пуль при конечных значе-
значениях Го и q. Внешний приосевой и пристенные пограничные слои
развиваются при больших значениях числа Реинольдса и связаны
с тем, что потенциальное решение, асимптотически приближающее
течение в ядре, не удовлетворяет граничным условиям на стенке
и па оси.
Помимо приосевых и пристенных пограничных слоев в случав
двухъячеистого режима при больших числах Реинольдса развива-
развивается внутренний пограничный слой па поверхности раздела (см.
схему течения на рис. 49 выше кривой 2). На этой конической
200-
0,5-
100-
Рис. 53.
-0,5
-у/0
§ 3. Закрученные течепЕЯ 139
поверхности 6 = Эо нормальная компонента скорости равна нулю
(у(хо) = О) и реализуется течение типа вихреисточника. На пло-
плоскости параметров {Го, q) кривые, отвечающие 6о = const для всех
О < 8о < я/2, с ростом числа Рейнольдса приближаются к такой же
асимптоте, что и кривая потери существования (на рис. 50 штри-
штриховая линия отражает результаты расчета для Во = 45°).
Из характера распределения скорости при Го = 40,7, g = —103,2
(рис. 53) ясна структура возникающего внутреннего пограничного
слоя. С ростом числа Рейнольдса циркуляция в области 8 < 0о
стремится к нулю, а при 8 < 80 — к постоянному значению, равно-
равному циркуляции па плоскости Го. На конусе 0 = 80 асимптотически
при Re ->• °° формируется скачок циркуляции. Внутри конуса тече-
течение описывается зависимостью B.14а) (графически неотличимо от
результатов расчета на рис. 53) и подразделяется на потенциаль-
потенциальное ядро и пограничный слой вблизи 0 = 0О.
В окрестности 0 = 0о, где сосредоточено изменение циркуляции,
зависимость у{х) можно аппроксимировать линейной:
х-хо); у'
Используя это представление в уравнении A) и интегрируя его с
учетом граничных условий, получим
Г = [1 + erf Ц Го/2; * = (*„- х)[- у' (хп)/[2 A - Х20)]}1/2.
Эта зависимость также с графической точностью совпадает с рас-
распределением циркуляции на рис. 53. Чтобы вычислить F@), со-
сохраняя лишь главный член асимптотического разложения, доста-
достаточно принять Г(ж) = 0 при х>хо и Г(ж) = Г0 при х<х0. Тогда
F{x) = Tll2{x-x0f/(i-xl); С, = q + Т\хУ[2 A - х\)\, и урав-
ыение для главного члена разложения у{х) = у% (х) + О A/q) по-
получим в виде
A - я2) у, + 2ху* - у\12 = Г%12 (ж* - 2хх0 + х2ох2)/A-х1) -q{l- xf;
У* @) = У* {х0) = 0. B0)
Это уравнение, хотя и является аналогом уравнения A9), не пере-
переходит в него непосредственно при хо ->¦ 1, поскольку х= \ —особая
точка. При больших числах Рейнольдса в решении B0) можно
выделить потенциальное ядро и два пограничных слоя — при х = хо
и вблизи плоскости. Сопрягая, как и ранее, решение в пристенном
пограничном слое с потенциальным, получим
Го~(-д)8'*[A-*2о)/^]- B1)
Таким образом, асимптота отвечает той же степенной зависи-
зависимости Го от q, что и для одноячеистого режима. Формула B1) пра-
правильно отражает увеличение коэффициента пропорциональности
при уменьшении хо, но требует корректировки для хо, близких к
единице, поскольку реальный коэффициент не равен пулю, а оста-
остается конечным и при хо = 1.
140 Гл. 2. Конические течения
3.6. Космические струи
и их простейшая гидродинамическая модель
С начала восьмидесятых годов в астрофизических изда-
изданиях стали появляться во все более возрастающем числе публика-
публикации об обнаружении на основе измерений в широком диапазоне
спектра электромагнитных волн космических течений струйного
типа. Итог наблюдений за пять лет проанализировал в своем об-
обзоре «Холодные истечения, интенсивные ветры, и загадочные струи
около молодых звездных объектов» американский астрофизик Ла-
Лада [193]. Еще более масштабную картину разнообразных струйных
течений вблизи формирующихся массивных объектов дают труды
конференции по струям от звезд и галактик, состоявшейся в То-
Торонто в июне 1985 г. [228]. Большинство специалистов склоняются
к заключению, что струйные течения являются типичным явле-
явлением на ранней стадии образования компактных массивных тел
внутри гигантских облаков молекулярного газа в результате гра-
гравитационной неустойчивости. В свою очередь, эти струи служат
источниками импульса, поддерживающими крупномасштабное тур-
турбулентное движение молекулярного галактического и межгалакти-
межгалактического газа.
Одним из первых свидетельств существования мощных двусто-
двусторонних струй, бьющих от звезд, приближающихся к главной по-
последовательности, было обнаружение допплеровского смещения как
красного, так и фиолетового, спектральных линий излучения СО.
Масштаб звездных струй иллюстрирует рис. 54 [193]. В верхней
части изображены линии равного спектрального смещения излу-
излучения СО, причем сплошные кривые соответствуют красному, а
штриховые — фиолетовому смещению. В центре виден диск, в ко-
котором окружающий газ имеет повышенную плотность. Ниже пока-
показаны последовательно увеличенные изображения центральной об-
области. На самом нижнем рисунке изображены изолинии оптически
наблюдаемого излучения со сплошным спектром. Струйное течение
регистрируется в диапазоне более чем трех порядков масштабов.
Скорости в струях достигают сотен километров в секунду, числа
Маха превышают 10. Температура вещества струй составляет де-
десятки градусов Кельвина и ниже, чем в окружающем газе (макси-
(максимальное снижение примерно в два раза). Лада [193] отмечает сле-
следующие достоверно выявленные наблюдениями свойства звездных
струй:
1) струйное течение происходит внутри облака молекуляр-
молекулярного газа;
2) градиенты скоростей в поперечном направлении весьма
велики;
3) струи имеют малый угол раскрытия и почти параллельны.
Схема типичной двусторонней космической струи изображена
на рис. 55. Черное пятно 1 обозначает формирующееся массивное
3. Закрученные течения
141
Рис. 54.
Рис. 55.
тело; 2 — диск аккреции, ве-
вещество которого под дейст-
действием гравитации движется к
телу; 3 — область больших
скоростей, напоминающая
так называемую «бочку Ма-
Маха», образующуюся при исте-
истечении сверхзвуковой струи
в разреженный газ; 4 —
окружающее облако молеку-
молекулярного газа. Малость угла
раскрытия струй свидетель-
свидетельствует о том, что враща-
вращательная компонента скоро-
скорости не может быть слишком
большой. Масса вещества в
диске аккреции порядка не-
нескольких солнечных, а общая
масса облака, содержащего
струю, составляет сотни солнечных масс. Струи чаще наблюдаются
не в оптически видимых, а в инфракрасных звездах. Это свидетель-
свидетельствует о том, что струйные течения происходят на ранней стадии
звездной эволюции, имеющей протяженность порядка 105 лет. Ха-
Характерное динамическое время L/v ~ 2000 лет, поэтому струйные
течения можно рассматривать как квазистационарные.
Аналогичные струи, но имеющие в миллион раз большие раз-
размеры, наблюдаются вблизи ядер галактик. Как отмечает Кенигл
1189], и в этом случае струи, как правило, двусторонние, почти
параллельные, дальнобойные и связаны с дисками аккреции. Ско-
Скорости в них достигают одпой десятой от скорости света, а масса
содержащей струю области ^108 звездных.
Примечательная информация о струях, наблюдаемых вблизи
нейтронных звезд, содержится в работе Фейгельзопа [172]. Изоли-
Изолированные нейтронные звезды не сопровождаются струями, но
вырожденные звезды в двойных аккреционных системах имеют
•струйные течения. Это наводит на мысль о том, что наличие ак-
аккреционного диска является обязательным условием существова-
существования струй.
142 Гл. 2. Конические точения
Наиболее трудный и пока открытый вопрос, из-за которого Ла-
Лада называет звездные струи загадочными, каков источник движения
струйных течений молекулярного газа? Характерная величина им-
импульса струй на несколько порядков превосходит импульс, который
может породить световое давление или звездный ветер, не говоря об
изотропном характере последних. По масштабам величин только
гравитационное поле может служить достаточным источником
струйного движения. Это мнение разделяет Хенриксон [228], кото-
который делает предположение о том, что струйные истечения являют-
являются парадоксальным, но, видимо, неизбежным следствием гравита-
гравитационного захвата вещества массивным объектом. Однако и он
вынужден констатировать, что природа возникновения крупномасш-
крупномасштабных газовых течений вблизи массивных объектов остается
неясной.
В обсуждавшихся моделях формирования космических струй в
качестве источника движения и параллельности струй назывались
вращение вещества диска аккреции и магнитное поле. Но сущест-
существующие данные не находятся в согласии с предположением о бы-
быстро вращающихся дисках. Оценки магнитного поля в галактиче-
галактических струях дают величину порядка 10~5—10~6 Гс [158]. Такое
поле не может заметно влиять на импульс струи, хотя может, на-
напротив, порождаться течением за счет турбулентного МГД-дина-
моэффекта [27]. Влияние магнитного поля на течение сказывается
посредством другого механизма. В отсутствие магнитного поля дли-
длина свободного пробега в галактических струях оценивается величи-
величиной порядка и больше радиуса струи, но благодаря наличию маг-
магнитного поля длина свободного пробега из-за ларморовского эф-
эффекта уменьшается и применимо гидродинамическое приближение
[158]. Характерные числа Рейнольдса для галактических струй
имеют порядок 103—104.
Сосредоточимся на основном открытом вопросе — причине фор-
формирования струйных течений — и покажем, что ответ на него
может быть получен в рамках классической теории вязкой несжимае-
несжимаемой жидкости. Для этой цели предельно схематизируем астрофизи-
астрофизические струи, сохранив лишь ключевые свойства. Основным, пожа-
пожалуй, наиболее грубым моментом в предлагаемой идеализации является
предположение о несжимаемости среды. Как уже упоминалось,
космические струи — гиперзвуковые с числом Маха порядка десяти
и более. Но это характерно лишь для наиболее легко наблюдаемого
участка струи. Очевидно, что на больших расстояниях скорость
струи уменьшается до нуля, в то время как скорость звука в окру-
окружающем облаке молекулярного газа остается конечной величиной.
Таким образом, модель несжимаемой жидкости вполне приемлема
для, так сказать, наиболее крупномасштабного анализа струйных
течений. Однако исходя из свойств реальных струй в рамках этой
модели скорости должны принимать бесконечно большие значения
в малой области, которая представляется источником струи.
§ 8. Закрученные течения 143
Итак, принимается следующая идеализация. Массивное тело
считается точечным и помещается в начало координат. Диск аккре-
аккреции заменяется материальной плоскостью, вещество которой совер-
совершает движение к началу координат типа вихрестока, моделирующее
гравитационный захват вещества массивным телом. В остальном
силы тяготения могут быть в рамках модели несжимаемой жидко-
жидкости заменены эффективной добавкой к давлению и тем самым
исключены из задачи, которая становится чисто кинематической.
Вещество плоскости посредством вязкого трения вовлекает в дви-
движение менее плотную окружающую среду. Тем самым задача свелась
к рассмотренной в предыдущем разделе. Из полученного решения
непосредственно следует, что сходящееся течение в аккреционном
диске с неизбежностью порождает бьющие в поперечном направ-
направлении струи, причем при копечной обильности стока вещества пло-
плоскости струя может стать сколь угодно сильной.
Струйные течения в веществе, окружающем диск аккреции,
являются не только следствием, по и необходимым условием обра-
образования массивных объектов. Они уносят «лишний» момент импуль-
импульса аккреционного диска, препятствующий гравитационному захвату
вещества тяготеющим центром. На основе карты режимов течения
(см. рис. 49) можно получить представление не только о крупно-
крупномасштабной структуре течения, но и об эволюции космических
струй. Наблюдаемые струи согласно оценкам являются слабо за-
закрученными, поэтому в рамках модели следует принять \q\ > Го. На
квазистационарной стадии струя соответствует точке на рис. 49 вбли-
вблизи кривой 1. Когда захват вещества прекращается, \q\ убывает и
импульс струи падает. При пересечении изображающей точкой кри-
кривой 2 циркуляция начинает преобладать, и струя раскрывается.
Наконец, когда q обращается в нуль, струя «ложится» на плоскость
и течение обращается, унося остаточную массу и момент импульса
на периферию плоскости аккреции. Может быть, с этим связан не-
необычный характер распределения момента импульса в нашей га-
галактике [128].
Если не ограничиваться объяснением самого феномена возник-
возникновения астрофизических струй, а попытаться дать их более реали-
реалистическое описание пусть даже в наиболее крупномасштабном
аспекте, то прежде всего необходимо учесть турбулентность. Конеч-
Конечно, решенную задачу можно попытаться трактовать как соответст-
соответствующую турбулентным струям в рамках гипотезы Буссипеска об
эффективной вихревой вязкости. Однако в этом случае неудовлет-
неудовлетворительным приближением является постоянство вязкости.
Эксперименты свидетельствуют о том [239], что, хотя вязкость
практически постоянна в ядре струи, с удалением от оси она су-
существенно уменьшается. Течения в среде с переменной вязкостью
рассматриваются в § 4, где, в частности, описан парадоксальный
эффект спонтанного возникновения вращения, который возможен и
в астрофизических течениях. Другой существенный вопрос относит-
144 Гл. 2. Конические течения
ся к причинам возникновения диска аккреции. Они могут быть свя-
связаны с термоконвективной неустойчивостью равновесия облаков мо-
молекулярного газа в присутствии горячего тяготеющего центра. Эта
проблема рассматривается в § 5.
§ 4. ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
С ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ
4.1. Постановка задачи
Вязкость может быть переменной в ламинарных тече-
течениях, например в поле температур, задаваемом независимо от дви-
движения жидкости. При этом легко представить себе ситуацию, когда
вязкость заметно меняется при изменении температуры, а измене-
изменением плотности можно пренебречь, как это характерно для вынуж-
вынужденной конвекции воды. Именно такой подход будет принят в этом
разделе, однако основная цель — моделирование турбулентных
течений.
Модель турбулентной вязкости, введенная Буссинеском, хоро-
хорошо себя зарекомендовала для описания свободных турбулентных
течений, например осесимметричных струй [144]. Однако если для
турбулентной струи Шлихтинга предположение о постоянстве тур-
турбулентной вязкости представляется естественным из-за узости об-
области струи, то для течения, порожденного взаимодействием вихре-
вихревой нити с плоскостью, вихревую вязкость более реально считать
переменной — нулевой на плоскости и максимальной на оси. То же
самое можно сказать, например, о течении, порожденном затоплен-
затопленной струей, вытекающей из отверстия в плоской стенке. Опытные
данные [21, 256] свидетельствуют о том, что турбулентной являет-
является лишь узкая приосевая коническая зона, тогда как во внешней
области турбулентность практически отсутствует.
Постановка задачи о конических вихревых течениях с перемен-
переменной турбулентной вязкостью vr, зависящей только от сферического
угла 6, содержится в работах Серрипа [236] и By [255]. В последней
рассматривается автомодельный турбулентный вихрь с условиями
прилипания на плоскости и регулярности на оси. В случае по-
постоянной вязкости подобное движение невозможно. Для данного
конического класса циркуляция ?2(9) удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению второго порядка, допускающему лишь моно-
монотонно изменяющиеся решения, и является монотонной функций
угла 9, так что удовлетворить краевым условиям Q@) = ?2(я/2) = О
нельзя. Помимо того, хорошо известно [210], что для струи, выте-
вытекающей из точечного источника на плоскости, автомодельного ре-
решения, удовлетворяющего условиям прилипания на плоскости и
регулярности на оси, не существует. Так, решение Сквайра [240]
§ 4. Течения жидкости с переменной вязкостью 145
условиям прилипания не удовлетворяет, хотя условие непроте знания
на плоскости выполнено.
Математически задача с условиями прилипания и аналитично-
аналитичности сводится к однородной системе обыкновенных дифференщшль-
ных уравнений с однородными краевыми условиями, число которых
соответствует порядку системы. Тем самым требуется найти шегри-
виальное решение, да еще зависящее от произвольных парашетров,
характеризующих интенсивность источника движения, ташга, как
импульс струи, и тому подобных. By [255] пришел к выводу о гом,
что в случае переменной вязкости эта задача разрешима для широ-
широкого класса функций, представляющих турбулентную вязкость. До-
Доказательство By относится к случаю, когда взаимодействие вкря
с плоскостью вызывает нисходящий поток жидкости вдоль оси к
плоскости и ее последующее радиальное растекание. Такое реше-
решение могло бы быть проинтерпретировано как турбулентная .закру-
.закрученная веерная струя, бьющая радиально вдоль неподвижной: тюр-
дой плоскости из точечного источника, расположенного на этой
плоскости.
Однако в выкладки By вкралась ошибка, и он оперировал с
неверными уравнениями. Если исходить из правильных уравнений,,
то результаты By не подтверждаются. Более того, удается дока-
доказать, что при условиях, принятых By, соответствующая однородная
задача не имеет нетривиального решения. Вместе с тем здегсь по-
показано, что введение переменной вязкости позволяет нетривиально
разрешить несколько иную однородную краевую задачу, возможно,
моделирующую некоторые астрофизические явления, о кооторых
шла речь в § 3.
Возвращаясь к струе Сквайра, напомним, что она стан-ов1тся
предельно сильной при весьма умеренном значении обильности сто-
стока Q = 7,67 v [37]. Физически перед кризисом естественно оаипать
турбулизации струи с образованием конического ядра с пов.ьшен-
ной турбулентной вязкостью. Исследование данной модели с куооч-
но-постояпной вязкостью обнаруживает неожиданное явление: би-
бифуркацию самовращения струи, но только вместе с плоскостью,
когда вращательные касательные напряжения на плоскости отсут-
отсутствуют. В математическом плане нетривиально разрешимым •оказы-
•оказывается однородное уравнение для циркуляции с переменной вяз-
вязкостью, когда поставлены однородные условия «слабого» самовра-
щения: Q@) = Q'(n/2) = 0.
Пусть рассматривается движение вязкой несжимаемой вгщко-
сти, принадлежащее классу с обязательной автомодельностью. Ины-
Иными словами, источник движения характеризуется величипой Q,
имеющей размерность кинематической вязкости v (м2/с), и задача
не содержит какого-либо характерного размера. Тогда число Рей-
нольдса определяется отношением Re = Q/v, а поле течения имеет
представление
\ = v/Ri(Q, Ф, т, Re); x = vt/R2, A)
10 м. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, II. И. Яворский
146 Гл. 2. Конические точении
тде i?, 0, ф — сферические координаты; В —угол между положитель-
положительной полуосью z и радиусом-вектором; ф — азимутальный угол, от
которого в осесимметричпом случае течение не зависит; t — время;
т — вектор скорости; i — безразмерная векторная функция безраз-
безразмерных аргументов.
Полные уравнения Навье — Стокса допускают решение вида
A), которое тем самым пригодно и для описания турбулентного
режима в задачах с обязательной автомодельностыо. Запишем урав-
уравнения Рейнольдса в виде
itjdui/dxj = l/pda^/dxj; dujdxi = О,
где Оц = — p8tj + \iDij — pv'iv'j; Da = dujdx, + дщ1дхс, щ — вектор
скорости осреднеппого турбулентного движения; \х — динамическая
вязкость; — pViVj — тензор пульсационных напряженш! Рейнольд-
Рейнольдса. Турбулентная вязкость Цт вводится соотношением Буссипеска:
— pv^j = \x,TDu. B)
Положим v =(u, + jir)/p, тогда уравнение движения может быть
записано в векторной форме
(u, V)u = -Vj0/p + vAu+ VvD. C)
В случае стационарного осесимметричпого движения представление
A) может быть записано в форме, обеспечивающей автоматическое
выполнение уравнения неразрывности:
uB = F'{x)IR- ua=F(x)/(RsmQ); 4)
n0); р = р„ + pq{x)JR\
тде х = cos G. Симметричный тензор D имеет компоненты
2 F'- п J^JLEZ/V i 2F
R' Ла V 1
2 Q
2xQ
Jl J. tt it \ J. Д^
П - 2 (F' + xF
Предполагая, что осреднение в B) устраняет зависимость рейнольд-
совых напряжений от ф и т, согласно A) и E) можно записать
(А-г = Цг(#) и, значит, v = v(a;.). В таком случае вектор Vg имеет
^единственную ненулевую компоненту: (ve)e = — У1 — xW{x)jR.
§ 4. Течения жидкости с переменной вязкостью 147"
Подстановка выписанных соотношений в C) дает следующие*
уравнения:
2д = — FF" - F'2 - p2 + Q" - v [A _ ^ ^ _ 2xF"\ -¦
1-х"
- V [(I - a?) F" + 2F]; F>
(i-z2)g' = -F^'-;r(F2 + fi2)/(l-;r2)+v(l-a:2)F'' - 2;п^; G)
v(l-a;2)Q" + FQ' + v'[(l-x2)Q' + 2xQ] = 0. (8)
Дальнейшие преобразования связаны с исключением величины q
из уравнений F) и G). Это удобно сделать не дифференцирова-
дифференцированием, а вычислением выражения [A — х2) q]' = A — z2) q — 2xg, пра-
правая часть которого, как выясняется, представляет полную производ-
производную. После соответствующих преобразований и интегрирования
имеем
{l-x2)q = xFFr -F2+vx(l-x2)F" +C.
Заметим, что это соотношение может быть непосредственно полу-
получено из рассмотрения баланса осевой компоненты импульса для ко-
конического элементарного объема.
Для определения константы интегрирования С достаточно пред-
предположить, что ось х = 1 принадлежит внутренности области тече-
течения. Тогда решение должно быть регулярным при х = 1 и притом
F(l) = 0, что следует непосредственно из D). В таком случае сразу
получается С — 0. Исключение q с использованием соотношения
F) дает уравнение
+ v'{l~x2)[{i~x2)F"
(9)
Для уравнений (8) и (9) можно ставить различные краевые усло-
условия, задавая, например, поле скорости типа вихреисточника на
плоскости 1 = 0и условия аналитичности на оси х = 1:
= 0; F'{0) = Q; F(l) = fi(l) = 0; Й@) = Я0. (Ю)
В такой постановке источником движения служат неоднородные
граничные условия при х — 0. Однако существует один выделенный
случай, когда задача ставится в безграничной области, а движение
вызывается источником импульса в начале координат. Это струя
Ландау, для которой в случае у = const и Q = 0 решение, регуляр-
регулярное при ж = ±1, выписывается аналитически и имеет вид F =
= — 2v(l — х2)/(А0-~х). Здесь Ао — постоянная интегрирования, ко-
которую можно связать с заданным импульсом струи. Таким образом,
случай струи Ландау спектральный, когда существует нетривиаль-
нетривиальное решение с однородными условиями при ж = ±1. Если аналогич-
аналогичную однородную задачу поставить в полупространстве х ~> 0, то,.
10*
148 Гл. 2. Конические течения
как уже отмечалось, при условиях прилипания на плоскости не-
нетривиального решения не существует.
Казалось бы, можно предположить, что в случае переменной
вязкости при однородных условиях A0), когда Q = Qo = 0, найдет-
найдется такое распределение v{x), для которого нетривиальное решение
существует. Функция v(x) ограничена и удовлетворяет следующим
условиям:
v(a:)>0; v'(x)>0; v'(l) = O. A1)
Заметим, что достаточно доказать нетривиальную разрешимость
уравнения (8) при однородных условиях fi@) = Q(l) = 0. Тогда
при Q#0 уравнение (9) становится неоднородным и вопрос о его
тривиальном решении отпадает. В случае v = const из (8) следует
откуда сразу же вытекает монотонность функции Q(x) и невозмож-
невозможность нетривиального решения. Но при v' Ф 0 уравнение (8) со-
содержит Q не под знаком производной и, следовательно, имеет «спек-
«спектральный» вид. Однако это обстоятельство, оказывается, не меня-
меняет дела.
4.2. Несуществование решений
при условии прилипания
Ситуацию, когда уравнение (8) при однородных гранич-
граничных условиях имеет нетривиальное решение, для краткости будем
называть самовращением. Докажем, что если F(x)^0, то при лю-
любом регулярном v(x)>0 уравнение (8) при условиях ?2@) =
= йA) =0 имеет лишь нулевое решение, т. е. самовращение не-
невозможно.
Преобразуем (8) тождественно к виду
[v(l-a:2)fi']' + 2(xvQ)/ = 2vQ-FQ/. A2)
Функция Q(x), удовлетворяющая нулевым условиям, имеет одну
или несколько экстремальных точек, где й' = 0. Рассмотрим бли-
ближайшую к правому концу точку х = хо, такую что Q' (жо) = 0. Без
потери общности можно считать, что Q (хо) > 0. В противном случае
следует заменить всюду Q на —Q, поскольку уравнения A2) и (9)
инвариантны относительно такой замены. Ясно, что в рассматривае-
рассматриваемых условиях на интервале xq ^ х < 1 функция Q(x) монотонно
убывает, оставаясь положительной. Проинтегрировав соотношение
A2) в пределах от хо до х, получим
х
v A - х2) Q' + 2vxQ = 2xQv (х0) Q (х0) + \ BvQ - FQ') dx.
§ 4. Точения жидкости с переменной вязкостью 149
Исходя из условия аналитичности Q (х), при х = 1 имеем
1
Q A) = x0Q (x0) v (хо)/х A) -f- [2v (I)]-1 f BvQ - FQ') da-. A3)
Поскольку на интервале #o < x < 1 по предположению F(x)>0,
Q'(x)<0, Q(x)>0, то правая часть A3) существенно положитель-
положительна, поэтому выполнение условия йA) = 0 невозможно. Ясно, что
данный вывод сохраняет силу и для достаточно малых по модулю
F(x)^0, в частности, для движений при малых числах Рейнольдса,
когда последний член в правой части A2), представляющий инер-
инерционные силы, отбрасывается.
По смыслу доказательства фактически установлено, что при
опускном режиме течения функция Q(x) не может иметь максиму-
максимума, что исключает не только сильное (Q@) = 0), но и «слабое»
(fi'@) = 0) самовращение. Поэтому естественно попытаться обнару-
обнаружить самовращение в подъемном режиме, порожденном струей,
бьющей из отверстия в стенке, для которой F(x)^0. При этом за-
задачу о сильном самовращении физически целесообразно ставить
лишь при условиях прилипания на плоскости F@) — F'@) = 0. Так
как самовращепие можно ожидать только при достаточно большой
интенсивности струи, то прежде всего необходимо выяснить, воз-
возможна ли в случае переменной вязкости автомодельная невращаю-
щаяся струя, удовлетворяющая условиям прилипания на плоскости.
Казалось бы, исходя из уравнения (9), при Q = О всегда мож-
можно найти функцию v(x), задав произвольное распределение F(x),
удовлетворяющее всем необходимым условиям. Здесь, однако, есть
затруднение, состоящее в том, что коэффициент при v' в уравне-
уравнении (9) обязательно обращается в нуль в некоторой внутренней
точке интервала @,1). В самом деле, квадратная скобка представ-
представляет собой полную производную:
A _ Ж2) р" + 2F = [A - х2) F' + 2xF]' = F't.
Поскольку функция F2(x) в силу условий прилипания и аналитич-
аналитичности обращается в пуль на концах, то F2 обращается в нуль
внутри интервала.
Докажем, что при условиях F(х)< 0, v(x)>0, v'(x)^O, v'@) =
= 0 уравнение (9) при Q = 0 не имеет нетривиального решения,
удовлетворяющего условиям F@) = F'@) = FA) = 0. Равенство
v'@) = 0 навеяно физическими соображениями и принято лишь для
упрощения доказательства. Введем переменную z = — A — x2)F' —
— 2xF. Тогда уравнение (9) можно записать в форме
'A - х2) (Vzf)' + 2vxz' -2vz = (l- x2) (F2) "/2 + x(F2) '-F2 + PJ. A4)
Проще всего в правильности соотношения A4) убедиться прямой
проверкой. Дифференцирование A4) по х и деление на A-х2)
150 Гл. 2. Конические точения
дает соотношение
(vz)'" ={F2)'"/2+(v'z)" +2(v'z + QQ')/(l-x2). A5)
Заметим, что уравнение A5) можно непосредственно получить
из F) и G) путем исключения q после дифференцирования F).
Поскольку уравнение (9) все равно необходимо для дальнейшего,
избранный путь является более простым. Для последующих рас-
рассуждений положим в A5) Q == 0. Проинтегрировав A5) в пределах
от 0 до х, получим
х
(vz)" = (Я)"/2 + (V'z)' + 2 j v'z/(l - х"-) dx + Cv
о
Для определения постоянной С\ следует учесть, что в силу условий
прилипания 2@) = 0; z'@) = -F" @); z" @) = -F'" @). Однако со-
согласно (9) F'"@) = 0, поскольку v @)=>0, так что z"@) = 0. От-
Отсюда следует С\ = 0. Дальнейшее интегрирование приводит к ра-
равенству
X X
(vz)' = (F2)'/2 + v'z -Ь 2 J ds J v'z/(l - ж2) di + C2.
о о
Величина Сг определяется согласно условиям для z:
C2 = -v@)F"@). A6)
Наконец, последнее интегрирование дает
XXX X
vz = Я/2 + 2 j dx J dz j v'z/(l — x*) dx + j v'zdx + C2x,
О П 0 0
Воспользовавшись формулой
XXX X
J dx f d^ J / (ж) da; = 1/2 f (x — ^J/ @ df,
0 0 0 0
окончательно получим
x
vz = F2/2 + C2x + f [(ж — ^J/ A — t2) + 1] v'zdt. A7)
о
Поскольку F{0) = F' @) = 0, для выполнения неравенства ^(ж)=^0
необходимо, чтобы F"@)<0, причем недопустимо F"@) = 0, так
как тогда согласно (9) F(x) = 0. В соответствии с A6) С2 > 0.
Последнее неравенство позволяет утверждать, что всюду г(ж)>0.
В самом деле, при 0 < х < 1, vz « С2ж > 0. Предположение о том,
что найдется хо, для которого z (ж0) = 0, противоречит равенству
A7), так как его правая часть при х = хо существенно положи-
положительна. Следовательно, z(l)>0, а это несовместимо с условием
§ 4. Течения жидкости о переменной вязкостью 151
.F(l) = 0 и требованием ограниченности F'(l), согласно которым
должно быть z(l) = 0.
Таким образом, и в случае переменной вязкости незакрученная
струя, вытекающая из отверстия в стенке, не может удовлетворить
условиям прилипания, оставаясь автомодельной. Тем самым воз-
возникновение сильного самовращения в результате бифуркации от
незакрученного режима исключено для восходящего течения. Отказ
от условий прилипания на плоскости, точнее от условия неподвиж-
неподвижности плоскости, позволяет поставить задачу о слабом самовраще-
самовращении автомодельной турбулентной струи.
4.3. Модель турбулентной автомодельной струи
Рассмотрим обобщение струи Сквайра на случай струй-
лого турбулентного течения, порожденного материальным стоком на
плоскости обильности Q. Вязкость х{х) будем считать кусочно-
постоянной:
, ч (vi, 0^х<ж/, (область 1);
v (х) =
\\\, xh<Cx^l (область 2).
Полагая течение вблизи плоскости ламинарным, примем vi=vo,
тогда как V2 = fSv0, {} > 1. В атом случае, за исключением точки хк,
во всех уравнениях движения можно положить v' =0.
Поскольку далее будут произведены конкретные расчеты, удоб-
удобно ввести наши стандартные безразмерные переменные у и Г со-
согласно соотношениям F = —vy; Q=*vF. В этих обозначениях имеем
z = v[(l — х2)у'+ 2ху]. Если ввести функцию G(x) согласно соот-
соотношению
С" = ГТ7A-ж2), A8)
то уравнение A5) можно трижды проинтегрировать. В результате
получаем
A - х2) у' + 2ху = у2/2 + 2G + Ax- Ахх2 + А2. A9)
Уравнение (8) можно переписать в форме
A-х2)Га =уГ'. B0)
Помимо A9) нам потребуется вытекающее из него уравнение
A - х2) у" + 2у = уу' + 2G' + A- 2Axx. B1)
На границе турбулентного ядра х = xh должны быть поставлены
условия непрерывности скоростей uR, Uf,, щ и компонент тензора
потока импульса Пв9, Пве, Пвф, где
Пи = рщщ + р8ц —
152 Гл. 2. Конические течения
С использованием соотношений E), F), A9), B1) получаем
Пне = -BС + А - 2А&)pv2/[R41-х2]; B2)
jf 2ч l2G - A - **)G" + Га/2 -f Ac + Л, A - 2.г2) + А,];
^)
R A — ^)
B3)
ПеФ = [A-ж2)Г' + 2жГ-^Г]р?2/[Д2A-ж2)]. B4)
Перейдем к граничным условиям, начав с х — \. Имеем уA)~—
= О, ГA) = 0. Для функции G из A8) по произволу назначим
G(l) = G'(l) = G"(l) = 0. B5)
Положив в A9) и B1) х = 1, с учетом равенства z/(l)=0 и огра-
ограниченности г/'A) найдем A=2Ai; A2 = —Ai. Следовательно, в об-
области 2 (xk<xs^l) уравнение A9) принимает вид
A - ж2) у'я + 2ху2 = у\12 + 2G- А1 A - х)\ B6)
Отметим, что при условии г/гA) = 0 величина г/г A) из соотноше-
соотношения B1) принципиально неопределима. Она наряду с А\ должна
быть задана в качестве произвольного параметра, необходимого для
интегрирования уравнения B6) из точки х = 1. При х = 0 поло-
положим у@) — 0; у'@) = Q/v — Re; Г'@) = 0. Последнее условие со-
согласно B0) приводит к тому, что всюду в области 1 @<! ж < ж*)
Г, = 0 и Г|= const. Отсюда в соответствии с A8) можно принять
Gi = 0, так что для области 1 запишем
A - ж2) у[ + 2хух = j/2/2 + Вх- Вгх* + В,. B7)
Для определения В, В\, 2?2 воспользуемся условиями сопряже-
сопряжения. В точке х = хк имеем
У\ = Р#2; y'i = P2/2; Гг = РГ2. B8)
Используя B2) — B4), с учетом B8) соответственно получаем
B-2xhB1 = 2^[Al(l-xk) + G']; B9)
?xft + Вг A - 2^) + В% = 2рМ1Жй A - xh) - Р2 [A - жй2) G" - 2G];
C0)
2^ГХ = (З2 [A - х\) Г; + 2^Г2]. C1)
Кроме того, согласно B7) имеем
Bxk - В1Ж^ + Да == A - 4) yi + 2%j/t - yt/2 ^ Го. C2)
Разрешая уравнения B9), C0) и C2), получим
-4); ^ = 2^ + г2; в2 = т,-вх,
где 2'1 = p() f
С помощью данных соотношений можно решить несколько раз-
различных задач. Однако во всех случаях для интегрирования системы
§ 4. Течения жидкости с переменной вязкостью 153
уравнений B6), B0) и A8) от точки х = 1 необходимо задать па-
параметры А\, у'(I) и Г'A). В точке х = хк из условия слабого
самовращения C1) с учетом B8) найдем параметр В:
р = 2xhTj[2xkT2 + A - 4) Г;]. C3)
На основе этой формулы можно сделать заключение о том, что
слабое самовращение с В > 1 возможно лишь при достаточно вы-
высокой интенсивности струи. В самом деле, рассмотрим знаменатель
C3), Д(ж) = A — х2) I" + 2хГ. Для того чтобы было В > 1, необхо-
необходимо иметь А >0. Находим А' =A -ж2)Г" + 2Г = уТ' + 2Г, сле-
следовательно, ДA) = Д'A) = 0. Вычислим А" = (г/' + 2) Г' + г/Г",
откуда Д" A) = [г/A) + 2]Г'A). Поскольку при Г(х)>0 величина
Г'A)<0, для того чтобы в окрестнооти точки ж = 1 было А(ж)>0,
необходимо иметь Д"A)>0, а значит, г/'A)<—2.
После вычисления величин Ви В, В2 можно проинтегрировать
уравнение B7) от x = xh до ж = 0, используя первое из условий
B8). Пусть параметр А\ определяется из требования, чтобы г/@) =
= 0. Тогда по данным г/'A), Г'A), хк можно определить величины:
Re = Z?2, В и Гь Вопрос о назначении параметров у'A), хк и 3 для
турбулентной струи требует обращения к опытным данным и фи-
физическим моделям.
Известно, что турбулентное ядро осесимметричной струи ви-
визуально располагается в довольно узком конусе с полууглом ра-
раствора Qh « 12,5°, чему соответствует значение хк = 0,976. Течение
в ядре автомоделыю и практически не зависит от способа созда-
создания струи. По данным [144], продольная скорость на оси турбу-
турбулентной струи определяется выражением ur = 3K/(8kvR), где К —
= (v/0,0161J — импульс струи. Из этих соотношений находим
.RuRh = -y'{i) = 3/[8л @,0161 J] = 460,5. Приведенные данные
у' A) = —460,5 и xh = 0,976 относятся к незакрученной струе. К то-
тому же значение xh, по-видимому, завышено, так как за счет попе-
поперечных турбулентных выбросов реальная турбулентная зона за-
заметно шире видимой.
От параметра хк можно избавиться, приняв подходящую гипо-
гипотезу о локализации турбулентного ядра. В качестве такой гипотезы
довольно естественно допустить, что граница хк совпадает с точкой
максимума функции у(х), характеризующей эжекционную способ-
способность струи. Во внешней области при х < хк имеет место нарастаю-
нарастающая эжекция окружающей жидкости, тогда как внутри конуса
х > хк поток резко разворачивается вдоль оси, что, скорее всего,
и является причиной его турбулизации. Итак, в качестве пробной
гипотезы примем у'(хк) = 0. Что касается параметра B=V2/vi, то
он может в турбулентной струе изменяться в широких пределах,
начиная от единицы в момент турбулизации. Для прямоточной
струи естественно допустить, что величина В вырабатывается из
условия автомоделыюсти z/'(l) = —460,5 независимо от Re. При на-
наличии вращения величины 3 и у'A) могут существенно изменяться.
154 Гл. 2. Конические течения
4.4. Граница существования турбулентной струи
Рассмотрим сначала незакрученную турбулентную струю,,
индуцированную сходящимся движением на плоскости. При [J = 1
имеется аналитическое решение Сквайра (см. § 2)
y = 2Re(l-z)/{Tctgfr/21n(l + a:)]-l}; f = V2Re-l,
где предполагается Re > 1/2. Решение без особенностей внутри ин-
интервала [0, 1] существует при Re<cRe.,. =7,672753. С приближением
числа Рейнольдса к критическому значению в приосевой зоне фор-
формируется сильная струя, соответствующая решению Шлихтинга.
При Re =ReH. импульс струи и скорость на оси обращаются в беско-
бесконечность. Аналогичный кризис имеет место и при [5 > 1, но он:
происходит при больших значениях числа Рейнольдса.
При Re—>¦ Re.,, ширина струи стремится к нулю, но эжекцион-
ная способность остается конечной. Для струи Шлихтинга
шах 1/2 = 4. В пределе ось становится стоком для окружающей жид-
жидкости. Внешнее асимптотическое разложение у* (х), являющееся
пределом у\ (х) при Re-^-Re* и описывающее эжектируемое струей
течение, должно удовлетворять условию у* A) = 4р. Из соотноше-
соотношений B9), C0) при ? = 0 следует Вч = —В\. Полагая в уравнении
B7) х = 0, получим i?2 = Re, а требование ограниченности J/i(l)
дает 5 = 2Si —8р(р— 1). Подставляя эти значения констант в B7),.
придем к уравнению для внешнего разложения
A - х>) у'м + 2ху* = yl/2 + Re* A - xf - 80 (Р - 1) х C4)
с условиями у* A) = 4C; yt_ @) = 0. «Лишнее» условие определяет
связь между [} и Re^. Например, при интегрировании от х = 0,
считая р данной величиной, необходимо Re* подобрать так, чтобы
у * A) = 4|3. Удобнее начинать интегрирование с особой точки урав-
уравнения х = 1. Величина у* A) находится при этом специальным
образом. Продифференцировав уравнение C4) и подставив х — 1,.
у* = 4р, получим у'^ = 2 р. Интегрируя до х = 0 и требуя г/#@) = 0,.
определим Re^.
Асимптотический характер зависимости C (Re^) можно опре-
определить аналитически. При р > 1 членами в левой части C4) мож-
можно пренебречь. В результате имеем потенциальное решение
у„ = {2Re* [Хх — A — xf}}11'2; I = 8p2/Re*.
Оно удовлетворяет условию на оси г/иA) = 4р, но непродолжимо-
вплоть до плоскости, поскольку подкоренное выражение при х = О
отрицательно. Поэтому вблизи плоскости развивается пограничный
слой. Для его расчета воспользуемся приближенным методом Поль-
гаузепа [144]. Аппроксимируем распределение у = Уь(х) в погра-
пограничном слое в виде у% = Re^x2 — Вх3 и потребуем, чтобы в не-
§ 4. Течения жидкости с переменной вязкостью
155
которой точке х = хю были выполнены условия у%, — yl', (уп) = (уь) \
'(Уп)" = (уь)'- В результате получим
C5)
Асимптотическая зависимость C5) согласуется с результатами
численных расчетов, причем при [} > 30 различие не более 1 % •
Сравним этот поверхностный пограничный слой с пограничным сло-
слоем, развивающимся на поверхности движущихся тел. Толщина по-
пограничного слоя xw зависит от числа Рейнольдса согласно класси-
классической теории Прандтля. Однако если па движущейся пластине
скорость вне пограничного слоя падает до нуля или в общем случае
не зависит от числа Рейнольдса, то здесь скорость вне погранично-
пограничного слоя пропорциональна Re3/4.
Поскольку в турбулентной струе Шлихтинга величина г/'A)
достаточно велика, то турбулентный режим рассмотренного индуци-
индуцированного струйного течения должен соответствовать окрестности
кривой существования и тем самым первое соотношение C5) дает
асимптотическое приближение для зависимости турбулентной вяз-
вязкости от числа Рейнольдса.
Задача о незакрученной турбулентной струе решалась числен-
численно с использованием следующего алгоритма. Назначались пробные
значения величин г/'A) и А\. Уравнение B6) интегрировалось
методом Рунге — Кутта с начальным условием уA) = 0 от ж = 1
до того значения х = xk, при котором величина у' обращалась в
нуль. Далее определялись константы В, В\, Вг, и уравнение B7)
с начальным условием B8) интегрировалось от х — xh до х = 0.
Значение константы А\ пристреливалось так, чтобы г/@) = 0.
По результатам интегрирования определялось число Рейнольдса
Re = j/'(O). Параметр [} оставался свободным. Результаты расчетов
для малой окрестности [$ = 1 представлены на рис. 56. Линия 1
соответствует границе существования решений, линия 3 — турбу-
турбулентной струе с г/'A) =—460,5. Можно наметить следующую по-
последовательность событий, развивающихся при увеличении числа
Рейнольдса. При Re < Re* = 7,56
(до точки Т на рис. 56) течение
всюду ламинарное. При Re = Re*,
немного не доходя до границы
существования, течение турбули-
зируется, причем турбулентная
вязкость в струе вырабатывается
такой, что г/'A) = —460,5, соглас-
согласно Шлихтингу. Пря этом с ростом
Re величина р возрастает и изо-
изображающая точка движется вдоль
линии 3.
7,5 Re.
9 Re
156 Гл. 2. Конические течения
4.5. Спонтанная закрутка турбулентной струи
Если граничные условия на плоскости не допускают вра-
вращения, то такой режим продолжим до сколь угодно больших чисел
Рейнольдса. При этом асимптотически хк = 0,905, А\ = —34 и с точ-
точностью до числового множителя «1,04 выполняется зависимость
C5). Такое течение может быть реализовано в воздухе над гори-
горизонтальной поверхностью, на которой находится слой воды, стека-
стекающей в центральное отверстие. Увлекаемый движением воды воз-
воздух образует струю, бьющую от отверстия вверх. Аналогичный
эффект будет иметь место при конвергентном течении приповерхно-
приповерхностного прогретого слоя воздуха. При этом отношение скорости на
оси к скорости на плоскости на одинаковом расстоянии от начала
координат будет убывающей функцией числа Рейнольдсаг
\vR(l)/vR@)\ =460,5?/Re«143Re-1/4.
Если же трение вращения отсутствует, то эволюция режима
с ростом числа Рейнольдса будет иной. При числах Рейнольдса,,
слегка превышающих критическое значение Re*, турбулентная
струя спонтанно закручивается. Чтобы численно рассчитать бифур-
бифуркацию вращения, надо вместе с B6) интегрировать уравнения A8),.
B0) с начальными условиями B5) и ГA) = 0, Г'A) = е, Ы<1
от точки х => 1 до х = xh, после чего величину E найти из условия;
C3). В остальном алгоритм остается прежним. Рассчитанной зави-
зависимости бифуркационного значения р" от числа Рейнольдса отве-
отвечает кривая 2 (см. рис. 56). Опа начинается из точки р = 1Г
Re = Re* и в точке S при р = 1,08, Re = 8,2 пересекает линию 3.
При этих параметрах и происходит рождение турбулентного закру-
закрученного режима. Заметим, что вдоль кривой 2 значение у'A) не
фиксировано, а растет от — °°, хотя это и не имеет физического»
смысла.
Более полная картина, отражающая и результаты расчетов приг
немалых значениях циркуляции, представлена на рис. 57, где Re =
= Re/Re*, To = T2(xh)^Ti(O)/^. Линии 1 и 2 имеют тот же-
смысл, что и на рис. 56. Незакрученным течением отвечает область
в плоскости Го = 0, расположенная левее кривой 1. На линии 2
происходит бифуркация закрученных режимов, которым отвечает
симметричная относительно плоскости Го = 0 поверхность, изобра-
изображенная на рисунке семейством кривых [5 = const (^ = 1, 3, 10, 30)
и Го = const (Го = О, 1, 2, 3). Эта поверхность ограничена кривой 4"
(,В = 1), которая отвечает кризису потери существования как само-
самозакрученных турбулентных режимов, так и закрученных ламинар-
ламинарных струй, индуцированных заданным течением типа вихрестока
на поверхности. Последним режимам отвечает область в плоскости:
C = 1 левее кривой 4.
Как зависит турбулентная вязкость от числа Рейнольдса в са-
самовращающемся режиме, неизвестно. Здесь для иллюстрации при-
принято простейшее предположение о том, что эта зависимость оста-
§ 4. Течения жидкости с переменной вязкостью
157
Рис. 57.
ется такой же, как и в незакрученном случае. Данной гипотезе
отвечает кривая 3 (см. рис. 57) и результаты, представленные на
рис. 58. С увеличением числа Рейнольдса величина Го возрастает,
стремясь к асимптотическому значению Го ~ 3,8. Область, занятая
турбулентным движением, уширяется, но не достигает стенки. Ве-
Величина хк уменьшается до асимптотического значения xh«0,33.
Распределение величины у и циркуляции Г по углу для ряда
типичных режимов приведено на рис. 59. Здесь и у и Г обезраз-
мерены по турбулентной вязкости во всей области течения. Сплош-
Сплошная линия отвечает ламинарной (у' A) = —460,5), а штриховая —
турбулентной (г/'A) =-460,5, р = 20, Re = 268) незакрученным
струям; штрихпунктирные линии — режиму самовращения (Re =
= 140, р = 12). Как следует из рисунка, даже значительная тур-
булизация слабо меняет поле скорости. Закрутка, напротив, резко
деформирует картину течения. Струя становится шире и слабее.
Характер распределения по цилиндрической радиальной коорди-
координате вертикальной скорости vz, вращательной уФ и угловой со пока-
показан на рис. 60 для параметров Re = 12,5; р = 1,6.
Поскольку бифуркация вращения является закритическоп, то
новый закрученный режим течения устойчив, а исходный незакру-
ченный теряет устойчивость [3]. Чтобы отразить это свойство, на
рис. 58 незакрученный турбулентный режим изображен штриховой
линией. Приосевого возвратного движения в турбулентных само-
-158
Гл. 2. Конические течения
-0,5
20-
Рис. 60.
закрученных струйных течениях не
возникает, что находится в соответ-
соответствии с результатами анализа
разд. 4.2. Обратный ток может воз-
возникнуть лишь как следствие прину-
принудительного вращения [37], а не са-
самовращения.
Полученные результаты пока-
показывают, что известный феномен
несуществования автомодельного решения для струи (закрученной
или нет), вытекающей из точечного отверстия в плоской стенке
с условиями прилипания на плоскости и регулярности на оси, не
может быть преодолен за счет введения переменной турбулентной
вязкости, удовлетворяющей естественным физическим требованиям.
Отказ от условий прилипания и принятие такой точки зрения,
что причиной течения жидкости является движение вещества плос-
плоскости, позволяет дать проблеме новую интерпретацию. В безгра-
безграничном пространстве, заполненном вязкой жидкостью, рассматри-
рассматривается материальная плоскость, вещество которой стремится к цент-
центру, например, под влиянием силы тяготения. Вязкая жидкость,
увлекаемая этим стоком, образует приосевую струю, интенсивность
которой становится неограниченной при конечной обильности стока.
Ясно, что, не доходя до этой критической ситуации, струя турбу-
лизируется. При этом вблизи оси образуется турбулентное кониче-
коническое ядро высокой эффективной вязкости, тогда как внешнее те-
течение, связанное с медленным движением вещества плоскости,
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 159е
остается ламинарным. Подобные струйные течения действительно-
существуют и служат довольно загадочными объектами многочис-
многочисленных астрономических наблюдений.
Установлено, что введение турбулентного ядра не только
устраняет кризис несуществования, допуская произвольные значе-
значения Q, но и порождает бифуркацию слабого самовращения струи
при условиях регулярности на оси и отсутствия касательных на-
напряжений на плоскости. Построенная бифуркационная поверхность,,
т. е. зависимость циркуляции Г от Re и турбулентной вязкости $,.
демонстрирует мягкий характер возбуждения вращения, что свиде-
свидетельствует об устойчивости нового режима с вращением и неустой-
неустойчивости исходного.
Пробное предположение о зависимости турбулентной вязкости:
от интенсивности стока Q позволяет перейти от поверхности к би-
бифуркационной кривой Г (Re) и вычислить в зависимости от числа
Рейнольдса все основные характеристики течения, такие как турбу-
турбулентная вязкость, угол раствора струи и скорость па ее оси. Н&
исключено, что обнаруженное явление самовращения возможно-
наблюдать на опыте. Для этого необходимо создать сток на свобод-
свободной поверхности жидкости и изучить вызванное им движение-
воздуха.
На основании сказанного нельзя заключить, что «сильное» са-
самовращение жидкости с условиями прилипания на плоскости в
рамках рассматриваемого класса принципиально невозможно. Одна-
Однако для этого необходимы иные условия. В частности, движение
может создаваться не импульсивным источником, а некоторыми
силами, например, плавучести *. Кроме того, течение может ли-
лишиться осевой симметрии вследствие потери устойчивости. При
определенных условиях в результате может возникнуть спонтан-
спонтанное вращение в среднем, как это имеет место в одномерной круг-
круглой струе с достаточно резким профилем скорости [42]. Подобные
возможности отнюдь не противоречат наблюдательным [103] и
опытным [249] данным, но эта трудная проблема пока еще совер-
совершенно не разработана.
§ 5. АВТОМОДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ
5.1. Конические свободиоконвективные течения
Для уравнений Буссинеска, описывающих термогравита-
термогравитационную конвекцию, точных решений практически нет. Исключение
составляет течение между параллельными вертикальными поверх-
поверхностями, имеющими различные температуры [28]. В этом случае
уравнение теплопроводности отщепляется от общей системы Бус-
сипеска, а уравнения движения линейны, поэтому решение, будучи
* См. Послесловие.
160 Гл. 2. Конические течения
слишком элементарным, не отражает нетривиальных эффектов
взаимодействия вязких, инерционных и тепловых механизмов пере-
переноса, потенциально заложенных в уравнениях конвекции.
Довольно большое число задач естественной конвекции допус-
допускают полуаналитические решения, когда они сводятся к обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнениям в рамках теории погра-
пограничного слоя [52] и теории сращиваемых асимптотических разло-
разложений [95]. Здесь приводятся автомодельные решения полных урав-
уравнений Буссинеска в классе конически симметричных полей
скорости и температуры. Такие распределения имеют особенность
в начале координат, которая может моделировать источник импуль-
импульса, как, например, в классической задаче Ландау о струе вязкой
жидкости [86], и тепла [113].
В реальных условиях, когда источники имеют конечные раз-
размеры, автомодельные решения могут претендовать па асимптоти-
асимптотическое представление полей скорости и температуры на расстоя-
расстояниях, больших по сравнению с размерами источников. При этом
ключевую роль играют интегралы сохранения импульса и тепла.
Если тепловые процессы не сказываются на движении жидкости,
как это предполагается при решении тепловой задачи для затоп-
затопленной струи в гл. 4, то определяющими асимптотическое поведе-
поведение величинами являются потоки как импульса, так и тепла.
В случае естественной конвекции архимедовы силы создают распре-
распределенный источник импульса. В этих условиях импульс, вытека-
вытекающий из особой точки, не сохраняется и единственной величиной,
определяющей поведение решения вдали от источника, остается
поток тепла.
В связи с этим, как будет показано далее, автомодельного ре-
решения полных уравнений Буссинеска, когда особая точка является
источником как импульса, так и тепла, не существует. В противо-
противовес этому в приближении пограничного слоя иногда строятся ре-
решения, когда даны оба интеграла сохранения [234]. Задача о кон-
конвекции вблизи точечного источника тепла («факел») рассматрива-
рассматривалась рядом исследователей [257, 175, 208]. Условие сохранения
потока тепла приводит к обратно пропорциональной зависимости
температуры от расстояния до источника. Скорость на оси факела
в приближении пограничного слоя не зависит от расстояния. За-
Задача, когда струя порождается точечным источником импульса и
имеет температуру, отличную от температуры окружающей среды,
не имеет автомодельного решения и в приближении пограничного
слоя. Приближенное решение находят методом возмущений, когда
эффекты плавучести считаются малыми [234].
Для существования конически симметричного решения урав-
уравнений Буссинеска необходимо, чтобы архимедова сила была обрат-
обратно пропорциональна кубу расстояния. Здесь описаны три задачи,
когда реализуется требуемая зависимость.
В первой рассматривается особенность поля температур в на-
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 161
чале координат типа квадруполя, а не источника. Это приводит
к тому, что на любой сферической поверхности поле температур
имеет знакопеременный характер. Ситуация, когда температура
вершины выше, а основания ниже температуры окружающей
среды, условно называется «вулкан», а противоположная — «лед-
«ледник». Эти названия подразумевают, что соответствующие автомо-
автомодельные решения могут служить простейшими моделями конвек-
конвекции вблизи подобных объектов. Обнаружено, что в случае вулкана
при больших числах Грасгофа конвекция имеет двухъячеистую
структуру, а с уменьшением числа Прандтля до нуля образуется
сильная приосевая струя, и решение перестает существовать.
Во второй задаче рассматривается тепловой источник, но пред-
предполагается, что зависимость плотности от температуры имеет ано-
аномальный характер. Тепловая аномалия характерна, в частности,
для воды, и такая задача моделирует конвекцию вблизи горячих
источников на дне океана, иногда называемых «черными куриль-
курильщиками».,
Наконец, в третьем случае автомодельность решения достига-
достигается за счет того, что ускорение силы тяжести принимается обрат-
обратно пропорциональным квадрату расстояния. Такая ситуация воз-
возникает вблизи горячего массивного объекта, условно называемого
«звездой», погруженного в вязкую несжимаемую среду. Здесь воз-
возможен копдуктивный режим теплообмена, когда среда покоится,
но он неустойчив, если число Рэлея превышает критическое зна-
значение. Критическая величина, характер бифуркации и асимптоти-
асимптотическое поведение определяются аналитически. Возникающие кон-
конвективные движения конечной интенсивности рассчитаны численно.
В закритической области существуют два устойчивых в малом ре-
режиме, в одном жидкость подтекает к центру вблизи экваториаль-
экваториальной плоскости и удаляется вблизи полюса, в другом режиме дви-
движение носит обратный характер.
Во всех трех задачах проявляется типичный для конически
симметричных течений вязкой жидкости эффект: когда число Грас-
Грасгофа превышает определенное критическое значение, решение пе-
перестает существовать. Кризису предшествует формирование сильной
приосевой струи, а в критической ситуации скорость на оси обра-
обращается в бесконечность. Однако это происходит лишь при нулевом
значении числа Прандтля, когда поле температур не зависит от
движения среды. Если Рг Ф О, то конвекция приводит к концентра-
концентрации тепла и, следовательно, архимедовых сил в приосевой области,
что ослабляет действие последних и предотвращает кррхзис.. Если
в первых двух задачах случай Рг = 0 мало интересен с физической
точки зрения, то вблиз» звезды может преобладать лучистый теп-
теплообмен, т. е. эффективное число Прандтля достаточно мало.
В этих условиях термическая конвекция может приводить к ин-
интенсивным восходящим течениям в полярной области и формиро-
формировать дальнобойные струйные потоки.
11 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
162 Гл. 2. Конические течения
Структура дальнейшего изложения такова. Сначала для клас-
класса конически симметричных течений проведем редукцию уравнений
Буссинеска к системе обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений, а затем сообщим результаты аналитического и численного
исследования трех перечисленных задач.
Рассматривается простейшая система уравнений, описывающая
термогравитациоцную конвекцию. Коэффициенты переноса прини-
принимаются независящими от температуры, а изменение плотности за
счет теплового расширения учитывается только через архимедову
силу F = Ар • g, где g — ускорение силы тяжести. В сферической
системе координат (R, 9, ср) эта система состоит из уравнений
A.1.11) с добавлением в правую часть силы (FR, Fe, 0) и уравне-
уравнения теплопроводности:
дт дт "вот % зт
дт
at + Vr Ш + л ае + я sin е
dT
Здесь Т — температура; % —коэффициент температуропроводности.
Предполагается, что азимутальная компонента архимедовой силы
равна нулю.
В конически симметричном классе стационарных автомодель-
автомодельных решений поля скорости, давления и архимедовых сил имеют
следующее представление:
vR = —vu{x, ф)/й; Ve =—vy(x, ф)/(Д sin6);
v, = vT(x, ф)/Д; p = p«, + pv2q(x, Ф)/й2; B)
F = PooV2f (x, (f)/R3; x = cos 8
(индекс °° соответствует значениям на бесконечности). Уравнение
теплопроводности при этом допускает решения вида
Т = Т^ + ^{х, <р)/Д», C)
где п — любое целое число. Здесь используются два значения:
п = 3 для теплового квадруполя и п = 1 для источника. Подставляя
выражения B), C) в систему A), A.1.11), обозначая штрихом
дифференцирование по х, а индексом ф — дифференцирование по ф,
получим
2q = A - х2) и" - 2хи'+ 2у' -2и~и2- у и' +
+ {ит + 2Г,,р - Ги,ф - у2 + Г2) /A - ж2) + /й;
(l-x2)q'=(i-x2)(y" -2и')-П +
+ {ym + 2xT,,-y{(i-x2)y' + xy}-T(y^ + xY)}/(l~x2); D)
?<р = A - х2) Г" - УТ' - 2и, + (Г„ - ГГ,, - 2хуя)IA - х2);
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 163
+ @,„ - Рг Г&,)/A - х2) = 0.
Здесь Рг = х/% — число Прандтля. В осесимметричном случае из
последнего уравнения D), являющегося автомодельной формой
уравнения неразрывности, следует и = у\ а у (х) связана с функ-
функцией тока Стокса т|з соотношением "ф = xRy. Тогда система D) при-
принимает более простую форму:
2? = A - *2)у'" - 2ху" -{уу')' - з,7A - х*)- /в;
A-x2)q' + A - х>)у" + j/y' + XJ/7C1-*2)+ /вA-*2I/2 = 0; E)
A - х2)#" - 2г&' + и(п - 1H = Pr(yfr' + ге%').
После исключепия давления из первых двух уравнений получим
A - z2) у™ - 4ху'" - {у"-!!)'" = /н - 2/е A - х*Г1/2 = ^'" • F)
Последнее равенство, определяющее скалярную функцию F(x),
введено, чтобы, следуя методике [37], трижды проинтегрировать
уравнение F). Принимая для F граничные условия FA)=F'A) =
= F" A) = 0 и учитывая, что в силу отсутствия особенностей на
оси г/A) = 0, имеем
х)*, G)
где С — константа интегрирования. Если архимедова сила направ-
направлена по вертикали (вдоль оси z), то fR = xfz, /е = — A — x2)U2fz и,
следовательно,
F'" = x{z + 3/z. (8)
Полезно представить решение уравнения (8) в форме квадратуры:
1
F(x) = - 1/2 Л (х- tf [tf'z (t) + 3/z (*)] dt. (9)
X
Теперь рассмотрим конкретные задачи.
5.2. Задача о вулкане
Из определения архимедовой силы F = (p — p«)g и при-
приближения Обербека — Буссинеска
р/р. = 1—^Г-Г.) A0)
следует, что для существования автомодельного решения из кони-
конически симметричного класса поле температур должно иметь пред-
представление C) с п — 3. В этом случае уравнение теплопроводности
E) при Рг = 0 имеет решение
¦&0(х) = Зх2-1; -1=5?х<1, A1)
11*
164 Гл. 2. Конические течения
отвечающее знакопеременному распределению температуры по углу
0. Суммарный поток тепла через сферу любого радиуса при этом ра-
равен нулю. Распределение симметрично относительно плоскости х = 0.
Рассмотрим полупространство х 3* 0. На поверхности х = 0 по-
потребуем выполнения условий прилипания:
y'(O) = O. A2)
Тепловой квадруполь можно представить в виде бесконечно малой
полусферы, вершина которой имеет температуру выше, чем у ок-
окружающей среды, а основание — ниже. Такая ситуация условно
будет называться «вулкан». В какой-то степени близкий случай
был экспериментально изучен Торрансом [249], когда на дне ци-
цилиндрической банки помещался в центре источник тепла, а по вы-
высоте создавалась устойчивая стратификация.
В задаче о вулкане температура на плоскости х =0 отрица-
отрицательна. Полагая для определенности ф@) = —1 (см. A1)), интен-
интенсивность квадруполя будем задавать величиной ^з в представлении
C) или величиной критерия Грасгофа Gr = ^g/v2- При этом в си-
ситуации «вулкан» "f3 и Gr положительны, а в противоположной си-
ситуации («ледник») отрицательные. Для данного случая величина
/г, входящая в формулы (8), (9), равна Gr^.
В силу граничных условий на плоскости из уравнения G) сле-
следует C — F@). Полагая в выражении (9) х = 0, имеем
F @) = — Gr/2 • J Р (№ + Щ At = — Gr/2 • ] (t3ft)' dt = — Gr в A)/2.
о о
Поэтому задача приводится к системе уравнений
A - х2)у' + 2ху - у2/2 = F{x) + Gr-0A) A - х2)/2;
F'" = Gr(r&' + Щ ; A3)
A - х2)®" - 2хЪ' + 6# = Рг(у&' + 3%')
с граничными условиями на оси j() () () ()
|г/'AI<°°; #'A) = 3#A)[1 — Рг г/'A)]. Последние два условия вы-
вытекают из требования регулярности решения. На плоскости необ-
необходимо выполнить два условия: г/@) = 0, ¦&@)=—1. При этом вто-
второе условие A2) будет удовлетворено автоматически.
Поскольку х=\ — особая точка системы уравнений A3), ве-
величины у'(I) и Ф"A) не могут быть определены непосредственно
из уравнений без дополнительных выкладок. Дифференцируя урав-
уравнение теплопроводности и полагая ж = 1, получим
а в результате двукратного дифференцирования первого из урав-
уравнений A3), имеем у" A)= у'A)[1 - y'(i)/2] - Gr #(l)/2, откуда
®"A) выражается через г/'A) и ФA). Величина у'A) остается
свободным параметром.
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 165
При численном расчете целесообразно интегрировать систему
A3) от х = 1 до х = 0, чтобы регулярно выйти из особой точки
н использовать преобладание числа граничных условий при х = 1.
Задание пробных значений т}A) ii у'A) сводит исходную краевую
задачу к задаче Копти. Величина |/'A) подбирается так, чтобы
в результате интегрирования г/@) = 0. После этого проводится пе-
перенормировка Ф(#)->- $(х)/(— т>@)) и получается решение ис-
исходной задачи.
Некоторые свойства решения могут быть изучены аналитиче-
аналитически. Рассмотрим случай, когда Рг = 0. Подставляя решение A1)
во второе уравнение A3), находим F'" = GrA5z2 —3), откуда после
трехкратного интегрирования с учетом граничных условий F =
= Gr [хA — х2J/4 — A — жJ]. Подстановка полученного выражения
в первое уравнение A3) дает
A-х2)у' + 2xy-y2/2 = Grx(l-x2J/4, A4)
или после замены переменной у = —2A — х2) U'/U
U" + Gvx/8U = 0. A5)
Функция U(x) определена с точностью до постоянного множи-
множителя. Примем ?/@)=1, кроме того, в силу условия г/@) = 0 имеем
С//@) = 0. Решение уравнения A5) при этих граничных условиях
является функцией Эйри [124], имеющей представление в вида
всюду сходящегося ряда:
сю
U = 2 «г/1; t = — Gra:3/48; a0 = 1; а„ = 2а„ _]./[« (Зге — 1)];
и=0
и =1,2, ... A6)
Для регулярности г/(ж) функция С (ж) не должна иметь нулей на
интервале (Хж<1. При Gr г? 0 функция U(x) положительна при
всех х > 0, поэтому задача о леднике разрешима при любой ин-
интенсивности квадруполя. Поскольку и V' (х) > 0 при х > 0, то во
всей области течения у(х)<0 и, как следует из представления B),
ve ^ 0. Это означает, что поток направлен вблизи оси вниз и далее
растекается на плоскости от начала координат (рис. 61, ниже
штриховой линии).
Выясним асимптотические свойства решения при IGrl > 1.
Пренебрегая в уравнении A4) линейными членами в левой части,
получим внешнее решение у* = — A — х2)(— Grx/2I/2. Величина
у* (х) обращается в бесконечность при х = 0, что соответствует
бесконечной продольной скорости на плоскости. С учетом влияния
вязкости вблизи плоскости развивается пограничный слой.
Линеаризованное относительно у уравнение A4) имеет реше-
решение г/л =A ~ х2)х2 Gr/8, которое применимо при малых числах
Грасгофа во всей области течения, а при больших — в малой ок-
окрестности стенки. Функции у* (х) и ул (х) совпадают на стенке
166
Гл. 2. Конические течения
100-
-100 -I
Рис. 62.
Рис. 61.
~ 1 GrI—1/3
величина
ж = 0 п в точке x = xw в окрестности стенки. Величина хт
дает представление о толщине пограничного слоя, а
У.-i (xw) -—- I Gr |~ 3 характеризует оценку сверху для максимального
значения продольной скорости. Отсюда следует, что с ростом моду-
модуля числа Грасгофа около плоскости формируется мощная струя.
Однако и внешнее течение, порожденное архимедовыми силами и
асимптотически не зависящее от вязкости, увеличивает свою ин-
интенсивность пропорционально корню квадратному из квадруполь-
ного момента.
При Рг > 0 и больших по модулю значениях числа Грасгофа
преобладание конвективного механизма переноса тепла приводит
к тому, что область, где температура положительна, уменьшается
до тонкого пристенного слоя ширины — 1/(Рг i Gr i). Результаты рас-
расчетов на рис. 62 для большей наглядности представлены в цилинд-
цилиндрических координатах (z, r, ф):
vr~—v/r[(l— х2)у' + ху]; r = RsinQ; z = RcosQ.
Сплошные линии соответствуют распределению по высоте горизон-
горизонтальной скорости 1>г, штриховые — распределению температуры Ф,
кривые 1 отвечают значениям Рг = 0, Gr = —200, 2 — Рг = 0,7,
Gr = —35.
Подытоживая анализ случая Gr =? 0, можно сказать, что от
«ледника» дует сильный холодный ветер вдоль поверхности. Это
вполне соответствует интуитивно ожидаемому результату на основе
физических соображений.
Задача о вулкане богаче неожиданностями. Сначала вновь рас-
рассмотрим случай Рг = 0. Поскольку теперь Gr > 0, решения урав-
уравнения A5) при положительных х знакопеременны. Если корень
V(х) находится внутри интервала 0<х< 1, то у(х) имеет полюс.
В соответствии с видом уравнения A5) и теоремой Штурма нулЕ1
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 167
U(х) п V(х) чередуются; в силу условий ?7@)= 1, ?7'@) = 0 пер-
первым с увеличением х расположен нуль U (х), и поскольку функ-
функция U(х) убывает от 1 до 0, производная отрицательна. Положение
первого нуля U можно определить, используя ряд A6): U = 1 +
Оборвем разложение на первых двух членах. В этом случае
положение корня tb = —i. Если сохранить три первых члена, то
ближайший к нулю корень tH = — E — V5)/2 = —1,382. Поскольку
при t < 0 знаки членов ряда чередуются, то полученные значения
являются нижней и верхней оценками корня U: —1,382 < t\ < —1.
Возвращаясь к переменной х, находим, что положение первого
корня х\ = (—48ii/GrI/3 при достаточно малых числах Грасгофа
находится вне интервала @,1), но достигает значения 1 при Gr^. =
= — 48^. Из полученной оценки для t\ следует 48 < Gr^ < 66,4.
Таким образом, при Gr < 48 решение заведомо существует, а при
Gr > 66,4 решения без особенностей заведомо нет. Численные рас-
расчеты дают более точное значение ti = —1,306, что соответствует
Gr* = 62,7.
Выясним, что происходит с течением при приближении Gr
к своему критическому значению. Поскольку в докритической си-
ситуации U(x)>0, a U'(x)<0 на всем интервале @,1), находим,
что у(х)>0. Это означает, что поток направлен вдоль плоскости
к началу координат и далее вдоль оси вверх (см. рис. 61, между
штриховой и штрихпунктирной линиями).
С приближением значения Gr к Gr,,. корень у(х) в точке
х = 1 и полюс х\ сближаются. При этом величина у'A)->~— °°, сле-
следовательно, растет до бесконечности продольная скорость на оси.
Таким образом, вблизи оси развивается сильная: струя. В критиче-
критической ситуации импульс струи обращается в бесконечность.
Поскольку вблизи х = х\ имеет место представление у(х) =
= — 2A — х'1) [U' (х\)+ .. .]/[U' (xi) (х — ху)+ . . .], то, когда #1 дости-
достигает единицы, у(х) — 2A + х)+ 0A — х). Следовательно, в крити-
критической ситуации величина уA) становится отличной от пуля, но
конечной: г/A) = 4. Это означает, что, хотя струя становится бес-
бесконечно сильной, ее эжектирующая способность остается конечной
и па оси формируется сток с объемным расходом на единицу дли-
длины, равным 8nv-
В околокритической ситуации можно ввести малый параметр
е = —1/г/'A) и новую переменную г) = A — х)/г. Тогда главным
членом внутреннего асимптотического разложения по е является
решение у* = 4г)/D + ц), описывающее приосевую струю и совпа-
совпадающее с решением Шлихтинга для круглой струи в приближении
пограничного слоя [144].
При Gr^Gr^. решение поставленной задачи формально пере-
перестает существовать. Чтобы восстановить существование решения,
необходимо так или иначе ослабить идеализацию. В данном слу-
случае для этого достаточно отказаться от схемы идеально теплопро-
168
Гл. 2. Конические течения
Рис. 63.
Рис. 64.
водной среды, т. е. считать Ргч^О. Если Рг>0, решение существует
при Gr^Gr*, как свидетельствуют численные расчеты, которые
проводились вплоть до значений Gr ~ 103.
Возникает вопрос, что происходит при Рг->-0. Когда Gr<Gr;i.,
решение непрерывным образом переходит в полученное при Рг = 0.
Чтобы выяснить характер предельного перехода при Gr^Gr.,., рас-
рассмотрим семейство решений, у которых величина у'A) = const.
Такому семейству отвечает некоторая кривая на плоскости {Gr, Pr}
(см. рис. 61; 2-у'A) = -460,5; 2 ~ у'(I) = -3000). С увеличе-
увеличением 1г/'A)| аналогичные кривые располагаются все ближе к оси
Рг = 0, а при у'A)-*-~°° имеют пределом полуось Gr^Gr^,
Рг = 0. При этом максимальное значение у (х) стремится к 4, по-
положение максимума к х=1, что иллюстрирует последовательность
профилей у(х) на рис. 63 (Gr = 150; I — Pr = 0; 2 — Рг = 0,04; 3 —
Рг = 0,063). Физически это означает, что с уменьшением числа
Прандтля вблизи оси снова формируется струя Шлихтинга, кото-
которая интенсифицируется и вырождается в сток, как и при Рг = 0,
Gr-^Gr*. Однако предельное распределение у(х) имеет совсем
другой характер, чем при Pr = 0, Gr = Gr#. В последнем случае
у(х)>0, а на рис. 61 предельная функция у{х) знакопеременна.
Еще более неожиданными являются результаты предельного
перехода Рг ->- 0 для профиля температуры (рис. 64). С уменьше-
уменьшением Рг распределение температуры отнюдь не стремится к до(х) =
= 3х2—1, т. е. к аналитическому решению уравнения теплопровод-
теплопроводности при Рг = 0 (кривая 1). С уменьшением Рг величина ФA)
значительно превышает 2 и возрастает, судя по данным расчета,
неограниченно.
Чтобы понять, почему так происходит, обратимся к уравнению
теплопроводности A3). Его правая часть для любого значения
х Ф 1 стремится к нулю при Рг -*¦ 0. Случай х = 1 является особым,
поскольку у'A)-»-— °°, причем у'' (х) в пределе приобретает осо-
особенность типа дельта-функции, коэффициент при которой равен 4.
Величина у'(х) имеет в уравнении A3) множитель ЗФ • Рг. Если
бы фA) в пределе оставалась ограниченной, то коэффициент при
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 169
дельта-функции обращался бы в нуль, и она не приводила бы
к отличию предельного решения от •б'о(я), но это противоречит чис-
численным результатам. Остается допустить, что дA)-»-°° при Рг -*• 0.
Выясним теперь, принадлежит ли предельное распределение О (ж)
к классу решений уравнения теплопроводности при Рг = 0, если
снять требование аналитичности. Общее решение имеет вид
& = А± {Зх2 - 1) + А \{3х2 - 1) Ini±^l _ fal. A7)
Из условия -&@) = —1 следует А\ = 1.
Коэффициент А при решении с логарифмической особенностью
подлежит определению. В результате подстановки A7) во второе
уравнение A3) и интегрирования находим
Gr A - х2)Щ.
От условия F" A) = 0 приходится отказаться, сохранив его для
аналитической части F(x). Для неаналитической части F (х) вместо
этого выполняется условие симметрии относительно точки х = 0.
Учитывая, что С = F@) = — A Gr/2 и подставляя полученные выра-
выражения в первое уравнение A3), имеем
A - х2) у; + 2хут - yl/2 = Gvx A - x*f/A +
<Ц?>!] A8)
Это уравнение нужно интегрировать при граничных условиях
г/ц. A) = 4, г/* @)=0. После однократного дифференцирования A8) и
подстановки ж = 1 находим, что !/„.(!) = 2. Интегрируя A8) от х =
= 1 до х = 0, определяем !/*()• Величину А следует подобрать
так, чтобы г/* @) = 0. Рассчитанная таким образом зависимость
^t(Gr) представлена на рис. 65. Нижняя ветвь соответствует пре-
предельным решениям при Рг-^0. Сопоставление решения A7), в ко-
котором величина А выбрана по указанному алгоритму, и допредель-
допредельного решения при Рг = 0,04, проведенного при Gr = 150, показыва-
показывает, что на рис. 64 они графически неразличимы.
На рис. 65 видно, что при достаточно больших числах Грас-
гофа (Gr > 202) не существует и решения с
логарифмической особенностью. По-видимому,
предельный переход при Рг -»- 0, Gr > 202 при-
приводит к особенности в распределении темпера-
температуры более сильной, чем логарифмическая.
Кривая, отвечающая зависимости A (Gr) на
рис. 65, ограничивает область существования
решений при Рг = 0 другой задачи, в которой
наряду с квадруполем в начале координат
априори дана логарифмическая особенность
для поля температур на оси симметрии. Ре-
170 Гл. 2. Конические течения
шения, удовлетворяющие условиям г/A) = 0, 1г/'AI<°°, сущест-
существуют в области левее кривой на рис. 65.
Каковы физические причины возникновения в задаче о квад-
руполе особенности в распределении температуры при стремлении
числа Прандтля к нулю? Казалось бы, с уменьшением Рг падает
относительное значение конвекции тепла и должен преобладать
кондуктивный теплообмен, обычно сглаживающий все особенности.
Парадоксальность ситуации в данном случае состоит в том, что
с уменьшением Рг скорости вблизи оси возрастают, и в пределе
формируется сток. Поэтому в малой окрестности оси конвекция
преобладает даже при сколь угодно малом значении" Рг. Развитие
особенности обеспечивается положительной обратной связью между
переносом импульса и тепла. Увеличение скорости струи повышает
эжекцию и связанный с ней конвективный перепое тепла к оси.
Накопление тепла у оси приводит к возрастанию там архимедовой
силы и, следовательно, скорости струи.
Еще одно интересное явление, возникающее в задаче о квад-
руполе,— отрыв течения в пристенной области при достаточно
больших числах Грасгофа. Величина трения на поверхности тю =
= — у" @)p'v2/i?2 может быть определена посредством дифференци-
дифференцирования первого уравнения A3) и подстановки х = 0. В резуль-
результате z/"(O) = F'(O).
Распределение давления на поверхности, как следует из B) и
E),выражается через третью производную: р =р«, +г/'" @)pv2/B.R2),
которая определяется так же, как из A3), у'"@) — F" @)+ Grf>(l).
При Рг = О в случае аналитического поля температур г/'"@) = 0,
у" @)= Gr/4. Другими словами, давление на плоскости постоянно
и равно давлению па бесконечности, трение, естественно, меняет
знак вместе с числом Грасгофа, но в каждой из областей Gr<0
и 0 <Gr j^Gl*.,. знакоопределешго.
В случае логарифмически особого распределения температуры,
обратившись к уравнению A8), найдем у" @) = Gr(l/4 — ^4),
у'" @) = АА Gr. При Gr>Gr:|. коэффициент А положителен (см.
рис. 63), поэтому давление па плоскости превышает давление на
бесконечности и возрастает с приближением к началу координат.
Это тормозит текущий вдоль стенки к началу координат поток и
приводит к отрыву при А > 1/4, в результате которого трение и
скорость вблизи поверхности меняют знак. Отрыв происходит при
числе Грасгофа Grs « 88.
Когда Рг Ф 0, условие для трыва еще благоприятнее. Просты-
Простыми, но громоздкими вычислениями можно показать, что г/'"@) =
= 3 PrGr2/32 + о(Рг • Gr2) в окрестности осей Gr = 0, Рг = 0. Сле-
Следовательно, неблагоприятный градиент давления для восходящего
одноячеистого решения возникает уже при сколь угодно малых
Gr > 0, причем при фиксированном значении Gr его величина рас-
растет с увеличением Рг. Поэтому следует ожидать, что число Грас-
Грасгофа Gr, при котором происходит отрыв, будет убывать с ростом
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция
Рг, что п подтверждают численные расчеты (см. штрихпунктирную
линию на рис. 61). При Рг > 1 Grs < 1, но величина Ras = Рг • Grs
в пределе Рг -»- °° остается ограниченной. Для ее определения до-
достаточно рассмотреть ползущие движения, линеаризовав по у пер-
первое уравнение A3), но сохранив конвективные^ члены в уравнении
теплопроводности. После подстановки у = Gr у становится очевид-
очевидным, что решение существенно зависит только от одного критерия
Рэлея Ra. Численные расчеты свидетельствуют, что Ras « 16.
При Gr > Grs конвективное течение становится двухъячеистым.
Поток направлен к началу координат вдоль определенной кониче-
конической поверхности, а затем разделяется па два рукава, один из ко-
которых формирует приосевую струю, а другой пристенную (см. схему
выше штрихпунктирной линии на рис. 61). Интерпретируя струк-
структуру решения при больших Gr, можно сказать, что тепло вершины
вулкана уносится вверх струей, а вдоль поверхности, как и в слу-
случае ледника, дует прохладный ветер.
5.3. Конвекция в среде с тепловой аномалией
Несмотря на предложенную физическую интерпретацию
рассмотренной задачи, определенную неудовлетворенность вызыва-
вызывает присущее квадруполю свойство равенства нулю теплового по-
потока. Более общей является ситуация, когда объекты, моделируе-
моделируемые точечной особенностью, являются источниками тепла. Здесь мы
исследуем именно такой случай, а требуемый для автомодельное™
закон убывания архимедовой силы выполним за счет введения
специальной зависимости плотности от температуры. Вообще гово-
говоря, эту зависимость можно представить рядом
р/рто = 1 + р, (Г, - Т) + р2(Г„ - ТJ + $Я(Т„ - ТK + ... .
Обычное приближение состоит в обрыве этого ряда при сохра-
сохранении первых двух членов, что приводит к зависимости A0). Од-
Однако некоторые вещества обладают так называемой тепловой ано-
аномалией, когда функция р(Т) имеет локальный максимум. В част-
частности, так ведет себя вода при атмосферном давлении. Ее плот-
плотность имеет максимум при Г = 4°С [110]. В точке максимума $] =0,
и зависимость плотности от температуры в ее окрестности квадра-
квадратична. Тепловая аномалия наблюдается в определенном интервале
значений давления. С ростом давления температура максимума по-
понижается, но при этом падает и температура замерзания, и поэтому
аномалия проявляется по-прежнему в жидкой фазе. Интервал тем-
температур, в котором р(Т) имеет аномальный характер, т. е. плот-
плотность растет с увеличением температуры, невелик. Он ограничен
положениями минимума и максимума функции р(Т).
При некотором давлении максимум и минимум совпадают.
Для воды это происходит при ^ = 220 МПа, Т = 269 К [8, 146].
172 Гл. 2. Конические точения
В этом случае [Ji = $2 = 0, и перепад плотности в окрестности такой
точки пропорционален кубу разности температур,
Далее будет использоваться именно эта зависимость для модели-
моделирования конвекции вблизи горячих источников на дне водоемов
[184]. Такие источники наблюдаются в районах рифтовых трещин
в океанах. Температура окружающей воды в придонных областях
мала и близка к области тепловой аномалии.
Однако формулу A9) можно в рамках определенных ограни-
ограничений использовать и в том случае, когда зависимость плотности
от температуры имеет обычный характер. Соотношение A9) по
сравнению с A0) обеспечивает более быстрое приближение плот-
плотности к своему значению на бесконечности с удалением от источ-
источника. Обе зависимости, как и приближение Буссинеска в целом,
непригодны и для непосредственной окрестности начала координат,
поскольку там перепады температуры становятся сколь угодно
большими. Тем не менее может существовать довольно протяжен-
протяженная область, где температуры не слишком велики, так что прием-
приемлемо приближение Буссинеска, но еще заметно отличаются от тем-
температуры окружающей среды.
Например, в термоконвективпых струях от горячих источников
на дне океана, называемых иногда «черными курильщиками», тем-
температура достигает нескольких сотен градусов Цельсия [92]. В этом
промежуточном диапазоне температур зависимость A9) может быть
использована для аппроксимации р(Т) с не меньшим успехом, чем
A0). Поэтому можно рассчитывать на то, что применение соотно-
соотношения A9) для получения автомодельного решения не приведет
к качественному искажению свойств течения и, более того, может
обеспечить приемлемое количественное приближение.
Используя представление для поля температуры
T = TQ0 + ^(x)/R B0)
и соотношение A9), находим, что f = — ^Zg/R3. Тогда из уравне-
уравнения F) следует
r), B1)
где введено вспомогательное число Грасгофа Gro = ^з"[3#Л>2.
Уравнение теплопроводности (см. E), п = {) для данного слу-
случая может быть записано в виде [A — х2)-$'}' = Рг(у&)' и один раз
проинтегрировано: A — х2)®' = Рг у&. Константа интегрирования
равна нулю в силу требования регулярности полей скорости и тем-
температуры на оси i/(l) = 0; |ФAI, |Ф'A)|, lj/'(l) I < °°. На плоско-
плоскости ставятся условия прилипания и задается температура: у@) =
'@) 0Ф@I
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 173
Правую часть уравнения B1) удобно представить в виде
Сто[хФ(х)]'", в результате чего приходим к системе уравнений
;
A-х*)Ъ' = Ргу®; Ф" =<&3.
Для регулярности у на оси следует принять ФA) = Ф'A) = 0.
Вообще говоря, правую часть первого уравнения B2) следовало
бы дополнить членом С A-хJ (см. G)), но в силу условий при-
прилипания С = 0. Тепловой поток через стенку в силу уравнения теп-
теплопроводности и условия непротекания г/@) = 0 равен нулю. По-
Поэтому тепловой поток через любую полусферу с центром в начале
координат один и тот же:
Л/2 1
Q = 2л№к ( (x^vrT — дТ/dR) dQ = 2пку j" ft A — Рту') dx.
о о
Здесь Я — коэффициент теплопроводности.
Определим число Грасгофа через величину теплового потока:
Gv = I — | -Щ-. Оно связано с Gr0 соотношением Gr = GroBngK;
q = \ 0 A — Рту') dx. При численном решении задавались пробные
о
значения г/'A) и A) и система B2) интегрировалась как задача
Коши, при этом О'A) = —Рту'AHA). Далее, как и в предыдущей
задаче, величина г/'A) подбиралась так, чтобы г/ @) = 0. При этом
г/'@) будет равно нулю в силу первого уравнения B2). Далее
проводится перенормировка, •Q(x) ->- {${х)/•&{(}); Gro ~^ Gro •¦б'(О),
вычисляется q и определяется величина Gr.
Поскольку система B2) в отличие от A3) четвертого, а не
шестого порядка, она допускает более детальное исследование ана-
аналитическими средствами, которое излагается дальше, предваряя
результаты численных расчетов. Используя подстановку z/ = —2A —
— x2)U'/U, преобразуем первое уравнение B2) к виду
U" + [Gr0хФ(х)]I[2A -х2J] U = 0. B3)'
С другой стороны, ¦& (х) выражается через у посредством квадратуры
B4)
Ц
Отсюда следует, что •в1(ж)>0, Ф(ж)^0. Не теряя общности, в силу
граничных условий для у, можно положить ?7@) = 1, С/'@) = 0.
Если Gro<0 (что соответствует не источнику, а стоку тепла), то
в силу уравнения и граничных условий U(x)>0, U'(x)>0 при
0. Следовательно, у(х)<-0 при 0<я<1. Это означает, что
174 Гл. 2. Конические течения
жидкость вблизи оси течет вниз, а затем растекается по плоскости.
Такое решение существует при всех Gro < 0, Рг > 0.
Действительно, из неравенства у < 0 вытекает (l
Ф(ж)<A-жO2; V" s?-G/[ 2]t/6
ch [хУ-Gvo/i] < exp(zY-Gro/4); In U «? zV-Gro/4: ЮТ< V-Gro/4;
()
Из общих теорем и ограниченности решения следует его суще-
существование. Продолжив оценки еще на один шаг, получим 'в'(х) ^
^ ехр(—х Рг У—Gro/2). Таким образом, с ростом Рг и IGrol вблизи
стенки возникает пограничный слой, вне которого температура прак-
практически совпадает с температурой па бесконечности. Физически это
объясняется тем, что преобладает конвективный перенос и все тепло
источника уносит пристенная веерная струя. При IGrol ^ 1, прене-
пренебрегая линейными членами в левой части первого уравнения A),
получим внешнее решение у* = Y—2(^тохФ(х). Поскольку Ф@)>
> 0, у* (х) имеет корневую особенность при х = 0. Это означает^
что радиальная скорость стремится к бесконечности с приближе-
приближением к плоскости.
В результате влияния вязкости и условий прилипания возни-
возникает пограничный слой. При Рг = 0, поскольку f) = 1, Ф =
= A — ж2)/2; у* = A — х) У— Gro:r, а линеаризованное относитель-
относительно у уравнение имеет решение г/л = Gro/2 A—z2)[ln(l + x) —
— х/A+х)], пригодное при малых IGrol во всей области, а при
больших — в окрестности стенки. Из сопряжения решений ул и у%.
вытекает, что толщина пограничного слоя ~ |Gr0l/3, а максималь-
максимальная скорость — i Gro 12/3-
Вычислив г/'"@)= —2Gr0, найдем в соответствии с E) <?@) =
= —Gr0. Таким образом, деление на стенке падает с удалением
от начала координат. Поскольку действует благоприятный гради-
градиент давления, отрыва при увеличении IGrol не происходит. Потеря
импульса за счет трения о поверхность компенсируется конвектив-
конвективным потоком импульса, создаваемого нисходящим течением холод-
холодной жидкости. При Рг ~ 1 ситуация качественно не меняется. Фи-
Физический итог этого анализа весьма просто и может быть сформу-
сформулирован так: вдоль поверхности дует сильный холодный ветер.
Однако результаты, как и в предыдущей задаче, менее тривиальны
для источника тепла.
При Gro > 0 по-прежнему ФХ); Ф(ж)ЭгО, но теперь решения
B3), вообще говоря, осциллируют при х > 0, причем нули U(x) и
U'(х) простые и чередуются. Для того чтобы решение у (х) было
неособым, V (х) не должна иметь нулей на интервале @,1). Пусть
х = х\—первый нуль U(x). Тогда в силу уравнения и граничных
условий U(x)>0; U'(x)<0 при 0 < х < Х\ и, значит, у(х)>0.
Таким образом, если решение существует, то оно соответствует
сходящемуся течению около плоскости и восходящей приосевой
струе.
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 175
Поскольку у(х)>0, из соотношения B4) следует S}(x)^ i и,
следовательно, Ф(х)>A — х2)/2. Равенство отвечает случаю Рг =
= 0. При этом уравнение B3) принимает вид
U"B + Grx/[i{i + xf]U0 = 0; *70@) = l; и'0{0) = 0. B5)
Согласно теоремам сравнения U(x)^U0(x), поэтому
>Gr0* (Pr) <^ Gr0* @) = Grm. Оценим величину Grra. Уравнение B5)
приводится к интегральному:
Uo (х) = 1 - 1/4 j (х - t) GrotU (i)/(l + tf ей. B6)
о
В критической ситуации ?/(!)= 0, кроме того, поскольку V(х) —
функция убывающая и выпуклая, 1 — х < U ^ 1. Подставляя в
уравнение B6) х = 1 и используя перечисленные свойства, полу-
получим после вычисления соответствующих интегралов
50,3 ~ 4/(In8 - 2)< Grm < 8/A6 In 2 - И) « 88,5.
Таким образом, при Gro < 50,3 и Рг = 0 решение задачи заведомо
существует, а при Gr0 > 88,5 и любом Рг регулярное решение по-
поставленной краевой задачи заведомо отсутствует. Численный рас-
расчет дает Grm = 63,56.
Выясним, что происходит с решением при приближении к гра-
границе существования. Поскольку г/'A) = 4С/'A)/С/A), ?/'(!)<—1
и ?/A)->-0 при Gro-^-Gro*, величина у'A)-+-—°°. С другой сто-
стороны, величина y(i) в пределе остается конечной. В критической
ситуации в силу U(x)=—Z7'(l)(l—z)+O((l—х2)) имеем
#A)=4. Условие i/(l)= 0, таким образом, в пределе «стирается»,
а в докритической ситуации возникает приосевой пограничный
слой. Введем малый параметр е = —1/г/'A) и внутреннюю пере-
переменную пограничного слоя т]=A— х)/е. Из уравнений B2) пос-
после простых преобразований получим главные члены внутреннего
асимптотического разложения по е:
у* = 4т]/D + л); #* = «*@)[4/D + Ti)]2Pr-
Гидродинамическая часть системы в приближении погранич-
пограничного слоя отщепляется. Ее решение — не что иное, как классиче-
классическая струя Шлихтинга. Распределение температуры в струе при
Рг = 1 совпадает с распределением продольной скорости, т. е. име-
имеет место аналогия Рейиольдса.
Поставим задачу об определении главных членов внешнего
асимптотического разложения по е. Подставляя найденное погран-
слойное решение #* в уравнение для Ф и интегрируя, получим
ф = [D + г)J-6Рг _ 2т) A — ЗРг) 41Рг - 42Рг] X
X 46Рг е2{О*@)]7 [2A - 6Рг) A - ЗРг)]. B7),
176 Гл. 2. Конические течения
Внешнее разложение для у(х) существует, если функция
GrotP (х) при е -*- 0 остается ограниченной. Если Рг > 1/6, то глав-
главным в квадратной скобке является второй член. Для существова-
существования конечного предела необходимо, чтобы выражение
4eGro [#*@)]3/FРг—1) при е ->- 0 стремилось к конечной величи-
величине С. Тогда задача для г/* принимает вид
A — х'2) у^ + 2ху% — y\J2 = Сх A — х);
»• A) = 4; z/* A) = 2 + С/4; у* @) = 0.
При интегрировании от х = 1 до а; = 0 последнее условие мо-
может быть выполнено лишь при вполне определенном значении
С = 15,289. Распределение у* (х) совпадает с распределением, по-
полученным Шнайдером [233] для предельно сильной струи, выте-
вытекающей из отверстия в стенке. Из вида функции ¦&* и требования
конечности внешнего предела при е ->- 0, вытекающего из условия
нормировки Ф@)=1, следует ф*@)~ е~2Рг. Тогда в силу ограни-
ограниченности С необходимо, чтобы Groe1Pr было конечной величиной,
следовательно, переходя к пределу е -*¦ 0, имеем Gr0* = 0. Однако
это не означает, что при Рг > 1/6 восходящих конвективных тече-
течений не существует, а является следствием несовместимости свойств
решений и принятой нормировки.
Действительно, оценим число Грасгофа Gr, определенное па
тепловому потоку Q. В условиях сильной струи
оо
q = Pr j -0* (г)) у*' (tj) dy] = ft* @) 41~2PrPr/(l + 2Pr),
о
откуда Gr ~ 1/е, т. е. при е ->• 0 Gr ->• °°. Таким образом, решении
существует при всех значениях теплового потока, но с увеличени-
увеличением Q асимптотически формируется сильная приосевая струя, кото-
которая уносит все тепло источника, а температура стенки и текущей
вблизи нее жидкости стремится к температуре на бесконечности.
Импульс струи /=—8nv2!/'(l)/3 растет пропорционально кубу
теплового потока: /= p3g/D8jt2C){(?(l + 2PrL2Pr/(XPr)}3, если
Рг>1/6.
Если Рг < 1/6, то главным является первый член в квадрат-
квадратной скобке выражения B7). Для ограниченности Ф(х) теперь
необходимо, чтобы величина А = liml'd-* @) DеJРг] была конеч-
8->0
ной. Тогда
Ф* (х) = Сх A - хJ'вРг Фо (х); Фо A) = 1;
С, = Аъ/{2 A - 6Рг) A - ЗРг)},
и для функций у*{х), ¦Qo(x), Фо(ж) из B2) следует система
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция
177"
1
50-
25-
С
Л.
*
-1
-0,5
0,1 Рг 0,2
Рис. 66.
уравнении
A _
Фо (х);
- i/j2 = Вх A - xf-*
( ) < 0 [У# - 2 A + х)]; -В =
A - х") Ф„ - 4 A - а;) A - ЗРг) Ф^ + 2 A - 6Рг) A
Интегрируя эту систему от оси с условиями г/ц, A) = 4; гу, A) =2;
ФоA)=1; Ф;A) = 0; #0A) = 1; ^A) = 0 и определяя В(Рт) из ус-
ловия г/ф @) = 0, получим, принимая Л (Pr)= l/'&o @), зависимость
Gr0» (Pr).
Результаты расчета представлены на рис. 66. Область сущест-
существования решений расположена ниже сплошной кривой, Gro« обра-
обращается в нуль при Рг = 1/6. Функции Фо(я) и ¦Q'q(x) мало отлича-
отличаются от единицы. Наибольшее отличие при Рг = 1/6 не превы-
превышает 0,3.
Предельное внешнее течение слабо зависит от числа Прандтля
(рис. 67). Переход от решения при Рг = 0 к решению Шнайдера
при Рг > 1/6 равномерен по у* (х), но производная у% A) меняется
скачком от 2 при Рг< 1/6 до «5,82 при Рг > 1/6.
Если перейти к параметрам {Gr, Рг}, то решение существует
при всех их значениях. Кривая Gr0* (Pr) соответствует бесконеч-
бесконечным значениям Gr при Рг>0, а точка {GrOH!, 0} переходит в полу-
полуось {Gr^Gr0H:, 0}.'Это значит, что если при фиксированном значе-
значении Gr > Gr0* число Прандтля устремить к нулю, то в пределе
возникает бесконечно сильная струя, при этом внешнее течение,
порожденное эжекцией струи, соответствует у* (х), приведенной
на рис. 67 для случая Рг = 0. Асимптотическая зависимость им-
импульса струи /(Gr) при Gr > 1 имеет вид
A + 2РгK22"р^° 11/(бРг) 1
я3 A — 6Рг) A — ЗРг) Pr3 J ] '
т. е. / ~ (?i/BPr) при 0 < Рг < 1/6.
12 м. А. Голпдштик, В Н. Штерн, II. II. Яво/с
178 Гл. 2. Конические течения ____
Суммируем полученные результаты. Конвективное течение,
порожденное тепловой особенностью, расположенной на плоскости,
качественно различно для стока п источника тепла. В случае сто-
стока возникает опускное течение и при больших обильностях вдоль
плоскости распространяется веерная струя. С увеличением обиль-
обильности скорость неограниченно возрастает во всей области течения.
В случае источника движение подъемное, при больших обильно-
обильностях вблизи оси возникает сильная струя, импульс которой растет
с Q по-разному при Рг < 1/6 и Рг 5^ 1/6. В пределе, ось играет
роль линейного стока, вне оси скорость течения имеет конечный
предел при Q ->- оо.
5.4. Возникновение конвекции
вблизи горячего центра гравитации
Еще одна возможность существования конически сим-
симметричных решений системы уравнений Буссииеска реализуется,
когда ускорение силы тяжести обратно пропорционально квадрату
расстояния g ~ а/Я2. Это означает, что источник тяготения, поме-
помещенный в начало координат, имеет точечный характер, т. е. его
размеры по сравнению с масштабом конвективных движений пре-
пренебрежимо малы. Подобная ситуация может возникать в астро-
астрофизике. Массивные компактные объекты, такие как звезды, ядра
галактик, черные дыры п т. п., зарождаются в силу гравитацион-
гравитационной неустойчивости внутри гигантских облаков молекулярного га-
газа. Их формирование сопровождается крупномасштабными движе-
движениями, природа которых до конца не выяснена и широко обсуж-
обсуждается специалистами [193, 228]. Как показано в § 3, 4, течения
в виде сильных струй имеют чисто гидродинамическое объяснение
в рамках модели вязкой несжимаемой жидкости [45]. Здесь же бу-
будет исследована возможность развития крупномасштабных движе-
движений за счет естественной конвекции, вызываемой тепловыделением
в центре тяготения.
Итак, принимается, что окружающая горячий центр притяже-
притяжения среда является вязкой несжимаемой жидкостью и при этом
р/р== = 1 - Ит - 2"-); 8 = aJR2; Г - Т„ = fb(x)/R.
Архимедова сила направлена радиально, fR = GO (х), где G =
= aj3y/v2 — вспомогательное число Грасгофа. Тепловой поток Q
через сферу радиуса R равен
Я/2
Q = 2nR2% f (x'^rT - дТ/dR) sin 9 dQ = in
-П/2
9=1/2 j #A — Vvy')dx.
—x
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 179
Определим число Грасгофа через тепловой поток: Gr = a$Ql
/DяАл>2). Оно связано со вспомогательным числом Грасгофа соот-
соотношением Gr = qG, и в режиме теплопроводности, когда /в1(х)=1,.
q = 1, имеем Gr = G.
Уравнение движения, как это следует из F), для данной за-
задачи имеет вид
A - х2)yIV - Аху" - (г/2/2)'" = G0', B8)
а уравнение теплопроводности сохраняет форму, приведенную в
уравнении B2) разд. 5.3,
A — х2)®'= Рту&. B9)
Чтобы разрешить систему B8), B9) относительно старших
производных, исключим •&' из первого уравнения
A - х2) yiv - Аху'" - (г/2/2)'" = Ra yft/(l - х2). C0)
Систему B9), C0) необходимо дополнить условиями регулярно-
регулярности решения при х = ±1: г/(±1) = 0, |г/'(±1) | < <х> и нормировки:
1
J тЭ1 A — Vvy')dx = 2. При численном решении удобно использовать
—1
промежуточную нормировку для температуры, например -дA)=1.
Некоторые результаты можно получить аналитически. Систе-
Система B9), C0) допускает тривиальное решение у = 0, Ф = 1, соот-
соответствующее режиму теплопроводности, когда гравитационные
силы гидростатически уравновешиваются соответствующим гра-
градиентом давления. Чтобы исследовать устойчивость состояния по-
покоя, линеаризуем систему около тривиального решения. Для этого
достаточно положить в уравнении C0) Ф = 1 и отбросить послед-
последний член в левой части:
A - х2) yIV - Аху'" = Ra у/A ~ ж2). C1)
Очевидно, что для регулярности необходимо, чтобы решение у(х)
имело представление у(х) = A — х2)и(х), где и(х) — ограниченная,
на интервале. — 1 =Sх< 1 функция. Будем разыскивать и(х) в ви-
виде полинома
п
и(х)= 2 akxh. ¦ C2)
fe=o
В силу линейности уравнения C1) без ограничения общности
можно положить ап = 1. Подставив C2) в C1) и приравняв нулю
коэффициент при хп, получим спектральные значения числа Рэлея,
когда существуют нетривиальные решения.
Ra*n = re(re+ 1)(п + 2)(п+ 3); п = 1, 2, ... . C3)
Остальные коэффициенты в представлешш C2) определяются из
12*
ISO Гл. 2. Конические точения
условия равенства нулю коэффициентов при хк, где к = 0, 1, ...
..., п — 1. Первое критическое число Рэлея Re*x= 24. Ему соот-
соответствует собственная функция z/i = х — хъ.
Линеаризуя уравнение теплопроводности, получим A — х2) ¦&[ =
= Рг у1 = Рг хA — х% ^откуда •бч = Ргж2/2 + С. Подбирая констан-
константу С из условия д = 1, что в первом приближении дает
j 1
j (®1 — Pry'1)dx = J ®1 dx = 0, найдем -бч =Рг/2(а:2- 1/3). Реше-
—1 —1
ние, естественно, определено с точностью до произвольного множи-
множителя, играющего роль амплитуды конвективного движения.
Чтобы выяснить характер бифуркации, будем искать решение
в виде ряда по амплитуде
у = Аух + А2у2 + ...; •& = 1 + A'&i + А2%2 + ...
Ra = Ra*! + A Ra1 + A2 Ra3 + ... .
Подставляя это представление в систему B9), C0), получим,
в частности, уравнение для г/2, приравнивая в C0) сумму членов
при А2 нулю:
A - .х2) у™ - kxy'l - Ra.iya/A - r>) = (y\/2f +
Оператор в левой части C4) вырожденный, поскольку Ra*x —
спектральное значение. Чтобы решение C4) существовало, необ-
необходима ортогональность правой части C4) собственной функции
сопряженного оператора. Нетрудно убедиться, что линейный опе-
оператор левой части C4) самосопряженный. Действительно, первые
два члена C4) могут быть представлены в виде второй произ-
производной
/л 9 \ Т V / '" Г / А 9\ /F \ ел 1 ft
\L ¦ X j у ЧХу — |Д1 U, J у НГ &у\ .
Имея в виду граничные условия г/(±1)=0, z(±l)=0,
получим
1 1
j" [(i _ х*)у " + 2у] "zdx = j [(I - х*) у" + 2y]]z"dx =
= j [A - х2) z" + 2г] y"dx = j [A - x2) z" + 2z}"ydx,
—i —l
откуда следует самосопряженность. Таким образом, правая часть
C4) должна быть ортогональна у\(х), т. е.
11 1
yi/(i — х ) ах = — j y± {y^z,) ax — па*! j г/^о^д! — л ) их.
1 —1 —1
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция
181
Подставляя значения Ва*ь j/i(x), fti(x), после несложных вычис-
вычислений находим
Ra, = -4/7C+ 2Рг) C5)
или Ra = 24 — А/7 А C + 2Рг) + О (А2).
Таким образом, конвекция существует как при Ra>Ra*L (при
этом А<0), так и при Ra<Ra*! (A>0), т. е. имеет двусторон-
двусторонний характер (рис. 68). Как утверждает теория [3], такая бифур-
бифуркация вырожденная, негрубая. Она реализуется по причине при-
присущей задаче симметрии. Двусторонний характер бифуркации со-
сохраняется при всех значениях числа Прандтля.
Закритический режим устойчив в малом. Структура конвек-
конвективного движения в этом случае такова. В полярной области жид-
жидкость движется к началу координат и растекается вдоль экватори-
экваториальной плоскости. Примечательно, что положение оси конвекции
произвольно, и, по-видимому, определяется характером начального
возмущения.
В докритической ситуации ответвляющееся решение соответ-
соответствует сходящемуся течению вблизи экваториальной плоскости и
восходящей струе в приполярной области. Но это решение неус-
неустойчиво и принадлежит сепаратрисе, отделяющей область притя-
притяжения исходного решения — покоя от области притяжения конвек-
конвективного движения большой амплитуды. Оба ответвляющихся ре-
режима конвекции симметричны относительно экваториальной плос-
плоскости. Такая симметрия допускается системой уравнений B9),
C0) и в случае не малых амплитуд, при этом у(х)—антисиммет-
у(х)—антисимметричная, а Ь(х)~ симметричная функции. Свойство симметрии, как
нетрудно убедиться, сохраняется для всех решений, ветвящихся
при Ra*n для нечетных п.
Однако при четных п симметрии нет, поскольку в силу C2)
выражение для у содержит четную степень х, а уравнения не до-
допускают решения с симметричной функцией у (х). Однако по-
поскольку предпочтительного направления в исходной задаче нет,
бифурцируют одновременно два асимметричных режима, различа-
различающиеся с точностью до отражения от экваториальной плоскости.
А
Рис. S8.
182 Гд. 2. Конические точения
Поэтому бифуркация при четных п имеет вилочный характер..
В качестве примера рассмотрим п = 2. Имеем
Ra*2 = 120; г/, = A - Ъх1) A - х2); О1 = Рг (За; - 5ж3)/3.
Характер конвективных течений (справа) и поля температуры
(слева) показаны на рис. 69.
Разыскивая решения в виде ряда по амплитуде
у = Ау^+ А*у2 +...;¦&= 1 + АЬг + АЧ2 + . ..;
Ra = Ra*2 + A Rax + Аг Ra2 + . . . ,
обнаружим, что из уравнения C4) в силу симметрии с необходи-
необходимостью следует Rai = 0. Это и есть условие ортогональности. Функ-
Функция У2{х) оказывается антисимметричной. Коэффициент Ra2 мож-
можно найти из условия разрешимости уравнения для г/з- Простые, н»
довольно громоздкие выкладки дают
Уз = A - х2)[(873х — 740х3 - 7(Ь5)/26 - РгA0аг + 5х3 - 25х5)/39];
Ф2 = Рг (873ж2/2 - 185ж4 - 35х6/3 - 64) /6) /26 +
+ Рг2B9ж2/2 - 265а;4/4 + 175ж6/3 + 7/12)/39;
Ra2 = 34970 - 4441Рг - ЗРг2.
Таким образом, при малых и умеренных числах Прандтляг
происходит прямая бифуркация, а при Рг ^ 8 — обратная. Впро-
Впрочем, это не имеет большого значения, поскольку при таких вели-
величинах Ra исходный режим неустойчив, и поэтому ветвящиеся ре-
решения также неустойчивы из-за того, что ветвление связано со
следующим спектральным номером.
Гораздо больший интерес представляет вопрос, какой режим
конвекции развивается в результате жесткой потери устойчивости
при Ra^Ra*!. Чтобы получить на него ответ, определим в разло-
разложении Ra(^l) коэффициент Ra2. Учитывая выражение C5) для
Rai, найдем, подставляя в C4) выражения для г/i и "fh,
A - х2) ylY - 4ху" - 24у2/A - ж2) = 12/7 E + Рг) Gх3 - Зж).
Это уравнение имеет решение г/2 = E + Рг)ж3A—ж2)/28 + Сг/i.
Константа С определяется из условия нормировки. Конкретизиру-
Конкретизируем смысл амплитудного множителя, положив, например, А — у'@).
Тогда из того, что г/1@) = 1, следует С = 0. Из уравнения
A - х2) К = Рг (г/2 + yfij находим -&2 = Рг [5х4 — 1 + Рг A35ж4 —
— 84z2 + I)/9J/112. Уравнение для г/з имеет вид
A - х2) з? - 4ху, - 24г/3/A - х*) = {yxyf +
+ [RalJ/2 + 24 (у^! + yfi%) + Raayi]/A - ж2).
Требуя ортогональности правой части функции у\, найдем в ре-
§ 5, Автомодельная тепловая конвекция 183
зультате простых, но громоздких выкладок
Ra2 = E60 + 57Pr + 244Pr2)/1176. C6)
Таким образом, в разложении Ra = 24 + Rai4 + Ra2^2 + О (А3)
величина Rai < 0, a Ra2 > 0. Если ограничиться первыми тремя
членами, то число Рэлея достигает минимума при Ат1п —
= 336C + 2Рг) /[560 + 57Рг + 224Рг2], а затем увеличивается с рос-
ростом А (см. рис. 68). Ветвь RaD), где Ra'D)>0, соответствует
устойчивым режимам конвекции. Величина АШп и диапазон гисте-
гистерезиса Ramin<; Ra< Ra*i с увеличением Рг уменьшаются. Прове-
Проведенный анализ касается свойств решения при малых значениях А.
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение при А > 1.
Для этого удобно ввести функцию Ф (х):
Ф'A) = 0; Ф'@) = 0, C7)
а уравнение B8) после трехкратного интегрирования переписать
в виде
A-х2)у' + 2ху-у212 = Ф(х). C8)
.Поскольку ^(х) выражается через квадратуру
¦8 (х) = ¦& A) ехр — j Рг у/A — х-) dx\,
она является знакоопределениой и, так как звезда является источ-
источником тепла, положительной функцией.
Когда в полярной области возникает восходящий поток, то за
счет конвективного переноса температура вблизи полюса возраста-
возрастает, что увеличивает там подъемную силу. Эта положительная об-
обратная связь приводит к развитию сильных струй в полярной
области.
Введем малый параметр е = —1/?/'A) и лриосевую перемен-
переменную T]=(l—х)/г. Как и в предыдущей задаче, функция тока и
температура в пограничном слое имеют распределения у =
= 4r]/D +ii); # = #A)[4/D +т])]2Рг. Из условия нормировки для
симметричной конвекции
1
¦с учетом Рг Ф 0 и — !/х>1 имеем в предположении, что весь поток
тепла уносится полярными струями, '&A) = A + 2Рг)/DРг). Урав-
Уравнение C7) в новых переменных принимает вид Фл =e2Gri?T). Ин-
Интегрирование его с учетом Ф @) = Фл @) = 0 дает
ф = [D + пJ-2Рг - 2т] A - РгL1~2Рг — 42-2Рг] X
X42Pre2O'(l)Gr/[2Pr(l — 2Рг) A - Рг)] - d(l - хJ. .
184 Гл. 2. Конические течения
Рассмотрим сначала случай Рг > 1/2. Тогда при г\ -»- °° глав-
главным является второй член. Переходя к пределу е -*¦ О, получим,
полагая [A + 2Pr)Gr]/[(l - 2Рг)Ргу'A)] -> 2С2,
Ф^2С2A-х)-С1A~хJ = СA-х2). C9)
Второе равенство следует из требования симметрии Ф(х). Выра-
Выражение C9) определяет распределение Ф(х) вне пограничного
слоя. Подставляя его в C8), придем к уравнению для главного
члена внешнего асимптотического разложения у по параметру е:
A _ х*) у'ш + 2ху* - yl/2 = С A - х% D0).
Функция Ух (х) должна удовлетворять условиям у% A) = 4, г/* @) = 0.
Производная при х = 1 получается посредством дифференцирования
D0): y'.(i) = 2 + С/2.
Интегрируя D0) от х = 1 до х = 0, находим г/* @). Константу
С определим из условия у* @) = 0. Эта задача имеет аналитиче-
аналитическое решение у% = 4ж, С = 4. Асимптотическая зависимость между
величиной скорости на оси и числом Грасгофа имеет вид
-j/'(l)=GrBPr+l)/[8PrBPr-1)]; Рг > 1/2. D1)
Асимптотическая структура конвекции при этом такова. Вдоль оси
от звезды бьют сильные горячие струи, а вне малых приполярных
областей среда равномерно подтекает к оси, которая для внешнего'
течения служит стоком, с обильностью на единицу длины 8л\\
В случае Рг < 1/2 главным в выражении для Ф является пер-
первый член в квадратных скобках, при этом в пределе е ->- 0 Ф* ~
~ A—хJ~2 г, поэтому при выводе уравнений для главного члена
внешнего асимптотического разложения по е сделаем замену
переменных
Ф* = A - ^J~2Рг Ф„ (х); О = Лх A - *2Г2РГ #о (*)•
После подстановки этих выражений в уравнения B9), C7), C8)
имеем
A - ж2K ф" - 12 A - Рг) х A - ж2J Ф'о — 12 A — Рг) A - ж2) X
X [1 + D Рг — 3) хг] Фо + 8 A - Рг) A — 2Рг) х [3 + DРг — 3) х2] Фо=
A - х*) у', + 2ху* - yl/2 = A - ^2J-2Рг Фо (х);
A — аг») «•„ = Рг«-0 (^ — 4а:); 0ОA)=1;
При х = 1 у% = 4; уф = 2. Последнее условие получается диффе-
дифференцированием третьего уравнения D2) и подстановкой х = 1.
Подставляя я = 1 в первое уравнение D2), находим AiGi =
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 185
= 8A — Рг) A — 2Рг)ФоA). Значение ФоA) остается искомым
параметром, который определяется из условия у* @) = 0. Значение
Фо A) определяется из требования ограниченности Фо A), исходя
из уравнений D2). Функция Фо(^) имеет неограниченную вторую
производную Ф" (ж) ~ ВA—х)~№г, но коэффициент В также мо-
может быть выражен через ФоA). Интегрируя систему D2) как за-
задачу Коши от х = 1 — б, где б -С 1, находим у* @) и подбираем
ФоA) так, чтобы у% @) = 0.
Из выражения для Ф следует, что асимптотическая зависи-
зависимость, аналогичная D1), в интервале 0 < Рг < 1/2 имеет вид
Ог = Ф0A)/4A-2Рг)A-Рг)(-г/'A)/2JРг. D3)
Случай Рг = 1/2 требует особого анализа, по не представляет боль-
большого интереса, и поэтому здесь не рассматривается. Специального
разбора заслуживает случай Рг = 0.
Уравнения конвекции при Рг = 0 принимают вид
Ф//' = Raг//(l-;r2); D4)
=i/(l) = 0; ФA)=Ф'A)=0; ф'@) = 0.
Главные члены внутреннего разложения имеют представление
у = 4Л/D + т]); Ф = е2 Ra {D + цJ [InD + х\) - 3/2] -
— 4(ln4— 1)ti — 16(ln4-3/2)+3t12/2}.
При л>1 г/ = 4 + 0(е); ,Ф = 11аA — ж)Чп[A — х)/г] + ОA). Для
главных членов внешнего разложения у* (х), Ф% (х) уравнения
D4) и граничные условия для Ф сохраняют свой вид, но для
у* (х) краевая задача меняется: у* A) = 4; у^ A) = 2; у* @) =0. Вве-
Введем вспомогательную функцию Фс = Ra {2In 2 — 1 + B In 2 + \)х2 —
— A + ж)г1пA + х) — A — жJ1пA — х)}, удовлетворяющую урав-
уравнению Фс = 4Rax/(l — ж2) и граничным условиям ФсA) = Фс A) = 0.
Симметрия относительно смены знака х также выполнена.
Будем искать решение для Ф* в виде Ф%(х) = Фс(х) + Ф0(х).
Тогда для Фо(^) получаем задачу
Ф; = Ra (^ - 4г)/A - а:2); Фо A) = Ф'о A) = Ф^ @) = 0. D5)
Функция Фо(#) имеет ограниченную третью производную Фо A) =
= Ra. Задача для у% (х) примет вид
A _ Ж2} ^ + 2хул _ yl/2 = Фс (х) + Фо (х)
^ A) = 4; У; A) = 2; ^ @) = 0.
Задавшись пробным значением Фо A), приходим к задаче Коши.
В результате интегрирования D5), D6) от х = { до z = 0 находим
186 Гд. 2. Конические течения
Фо@) и у*{0). Затем ФоA) п Ra должны быть выбраны так,,
чтобы Фо @) = у% @) = 0. Приближенные значения Ra цФоA)
можно получить аналитически. Аппроксимируем у% (х) минималь-
минимальным полиномом, удовлетворяющим краевым условиям у^таЪх— Xs.
Тогда Oo~Ra(l—ж2J/24, и полагая в уравнении D6) х = 0, на-
находим Ra« 5/B In 2 — 1 — 1/24)» 11,71 и ФоA)да Ra/З да 3,9..
Численный расчет краевой задачи D5), D6) дает Ra = Ra=c =¦
= 11,12; ФоA)-=2,89.
Таким образом, при Рг = 0 конвективный режим с восходя-
восходящим движением у полюса, который ответвляется от состояния по-
покоя при Ra = 24, с уменьшением числа Рэлея приобретает струй-
струйный характер. Когда Ra достигает значения Ra», импульс струи
обращается в бесконечность и решение перестает существовать.
Случай малых значений числа Прандтля важен с физической
точки зрения. Вблизи звезды теплообмен имеет в основном лучи-
лучистый характер и слабо зависит от движения среды. В рамках рас-
рассмотренной модели это означает, что эффективные значения числа:
Прандтля весьма малы. В такой ситуации наряду с покоем при
Ra < 24 существует устойчивый конвективный режим с сильной
восходящей полярной струей. При Ra > 24, кроме него, существу-
существует другой устойчивый конвективный режим с нисходящим поляр-
полярным течением, но скорости движения при этом существенно)
меньше.
Выясним характер поведения поля скорости при больших теп-
тепловых потоках для нисходящего полярного течения. Сначала рас-
рассмотрим случай Рг = 0. Предположим, что функция у(х) не имеет
пограничного слоя. Тогда при Ra > 1 внутри интервала \у(х)\ > 1.
В этих условиях из уравнения C8) следует Ф « —*/2/2. После за-
замены Ф = —2Ra2 if) из второго уравнения D4) получим
1|Г=Уф/A-ж2); я|)A)=г|/A)=0; г|/@)=0.
Поскольку необходимо, чтобы ф>0, V(D должна быть положи-
положительной. Но тогда в силу уравнения \\i(x) монотонно возрастает
при изменении ж от 1 до 0, и выполнить условие г|/@)=0 можно
только для тривиального решения ф = 0.
Таким образом, получено противоречие. Остается допустить,,
что существует пограничный слой вблизи экватора. Положим у —
= Ьу(^х); Ф = сФ(чх). Тогда, требуя, чтобы линейные и нелиней-
нелинейные члены, а также правая часть имели одинаковый порядок ве-
величины, из уравнений D4) находим у ~ Ъ ~ Ra1/4, с ~ Ra1/2. В по-
пограничном слое система D4) преобразуется к виду Ф1У — (Ф'"J/2 =
= Ф; у — Ф'", где производные берутся по ц = Ra1/4;r. Функции
Ф(т)) и у(ц) асимптотически при г\ -*¦ °° убывают пропорциональ-
пропорционально ехр( — г]). Таким образом, течение сосредоточено в экваториаль-
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция
187
Рис. 71.
-30 л
ной области шириной ~Ra~I/4, а скорость па оси струи растет
как Ra1/2.
При Рг Ф 0 следует обратиться к системе уравнений
A — х ) у ~т <?ху у I? — 4J, //,7\
ф'" = Ra у0/A - х2); A - х2)®' = Рг j/0.
Дополняя зависимость у и Ф в пограничном слое представ-
1
леннем Ь = аи~(Рг уж) и условием нормировки g= J ¦& A — Рг у') dx «
о
1
~ _ Рг j V da; = 1, получим у ~ 6 ~ Gr1/5, с ~ Gr2/5, a ~ Gr/5 Pr.
о
В этом случае толщина пограничного слоя ~Gr~1/5, а скорость на
оси струи ~Gr2'5.
При промежуточных значениях интенсивности конвекции не-
необходимо прибегнуть к численному расчету уравнений D7). Эта
система интегрировалась от х = 1 с начальными условиями г/A) =
= 0; y'{i)==Yv; ФA)= Ф'A) = 0; Ф"A) = Ф2, *A) = #о, причем
Ф"'A) = На УрФо/2; ¦&'A)= Рг YP. В результате интегрирования
находились у@) и Ф'@). Параметры Фг и Ra подбирались так,
чтобы у@)=0, Ф'@)=0, после чего из условия д = 1 проводи-
проводилась перенормировка О (ж) и Ra. Рассчитанные таким образом за-
зависимости 7p(Ra) представлены на рис. 70. Они вполне согласу-
согласуются с проведенным анализом при малых и больших интенсивио-
стях конвекции. Примеры распределения радиальной скорости и
температуры приведены на рис. 71 (Рг = 1; Ra = 1621), 72 (Рг =
= 0,1; Ra=14).
Рассмотренные автомодельные решения уравнений Буссинеска
описывают ряд нетривиальных свойств термогравитациошюи кон-
конвекции. Хотя все три задачи сводятся к системе обыкновенных
уравнений, они сохраняют черты, присущие нелинейным уравне-
188
Гл. 2. Конические течения
, ниям движения вязкой жидкости в целом.
-7 К ним относятся отрыв, потеря устойчи-
устойчивости и неединственность стационарных
течений и, наконец, потеря существова-
существования решения при конечных значениях
250-\ \^__ \-о,5 безразмерных комплексов, характеризую-
характеризующих силы плавучести.
Отрыв пристенного течения и возник-
возникновение двухъячеистого режима конвек-
конвекции, имеющие место в задаче о тепловом
о я/4 я/2 квадруполе, не совсем обычны. Прежде-
Рис. 72. всего это, так сказать, автомодельный
отрыв, и поэтому зона рециркуляции не-
незамкнута. Далее, отрыв происходит непривычным образом — в те-
течении вдоль плоскости к началу координат.
Во второй задаче в случае точечного источника холода, напро-
напротив, казалось бы, ожидаемый отрыв не происходит. Хотя в этом
случае поток жидкости растекается вдоль плоскости от начала
координат и, следовательно, замедляется как поток в диффузоре,
тем не менее отрыв блокируется подтоком жидкости к стенке в ус-
условиях устойчивой стратификации. В результате происходит уско-
ускорение внешнего течения и формируется сильная пристенная струя.
В задаче о конвекции вблизи звезды обнаружено счетное чис-
число стационарных решений, ветвящихся от состояния покоя. При
первом же ветвлении возникает так называемая бистабильность —
одновременное существование двух устойчивых в малом режимов,
конвекции. В режиме, когда жидкость подтекает к центру вдоль
плоскости, может происходить накопление вещества вблизи этой
плоскости и образование, подобное диску аккреции, обнаруживае-
обнаруживаемому вблизи молодых звезд и других массивных космических
объектов.
Наконец, во всех трех задачах в противовес бытующему пред-
представлению о вялости термоконвективных движений показана воз-
возможность формирования сильных восходящих струйных течений:
прогретой жидкости, импульс которых может обращаться в беско-
бесконечность при конечных числах Грасгофа или Рэлея.
Глава 3
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ* УСКОРЕНИЕМ
Рассмотрим два класса осесимметричных решений урав-
уравнений Навье — Стокса, обладающих рядом необычных свойств.
Один класс касается движений с пространственным ускорением
вдоль оси симметрии z и применяется для изучения течения в по-
пористой вращающейся трубе. Другой относится к движениям с
пространственным ускорением по г и используется для описания
течения жидкости между пористым вращающимся диском и непод-
неподвижной плоскостью. Отметим, что обе постановки имеют плоские
аналоги, которые сливаются в одну задачу о плоском течении.
между двумя пористыми параллельными пластинами.
Плоская задача здесь не рассматривается, поскольку имеет
значительно меньше парадоксальных свойств. Обзор исследований
плоских течений с пространственным ускорением содержится в мо-
монографии [58].
§ 1. СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПОРИСТОЙ ТРУБЕ
1.1. Постановка задачи
Объектом исследования в данном параграфе являются
решения уравнений движения в цилиндрической системе коорди-
координат A.1.8), которые имеют вид
; рф=У,(г). A)
Тем самым рассматривается осесимметричное движение с постоян-
постоянным пространственным ускорением вдоль оси симметрии z. Реше-
Решения класса A) допускаются уравнениями Навье — Стокса и могут:
иметь различные приложения. Сюда относятся проблемы модели-
моделирования потоков в тепловых трубах и пороховых шашках. В пер-
первом случае интерес представляют задачи как вдува, так и отсоса;
они моделируют процессы испарения и конденсации. Задача о вду-
ве в пористую вращающуюся трубу моделирует сложные течения
в приосевой зоне вихревой камеры [37]. Поэтому в математическом
плане здесь изучается задача о течении во вращающейся пористой
трубе радиуса а при наличии да боковой поверхности равномерно-
равномерного вдува или отсоса со скоростью Va, направленной радиалыю.
190 Гл. 3. Точения с пространственным ускорением
Данной постановке отвечают граничные условия
Vr(a)=Va; W(a)=0; 7ф(а)=У,а; B)
Условия C) выражают требование отсутствия особенностей на
¦оси, т. е. принадлежности оси г = 0 внутренности области течения,
что согласно [84] равносильно условию аналитичности решения в
окрестности оси. Условия на бесконечности, равно как и условия
прилипания на торце z = 0, не ставятся. Таким образом, изучает-
изучается случай, когда можно не учитывать торцевой пограничный слой
либо когда рассматривается симметричная конструкция с двумя
выходами z = ±L, в которой срединная плоскость является непро-
непроницаемой, но «абсолютно гладкой», и условия прилипания заменя-
заменяются условиями симметрии
vT(r, z)=vr(r, — z); уф(г, г)=Уф(г, —z); vz(r, z)= — vz(r, —г).
Подстановка A) в уравнения A.1.8) дает
dr г о дг * dr r dr '
.drV.
Ф
г] i drVm
= V — —¦ -¦ E)
г dr dr г dr ' к '
^" + ^ —^ + т!'^ <6>
^i + rfF = 0. G)
Из этих уравнений следует, что дР/дг = pF(r), a dP/dz = pz/(r).
Отсюда с необходимостью вытекает
dPldz = — 4p6a2z, (8)
где а — произвольная постоянная; б = ±1. Подстановка (8) в F)
дает уравнение
+"-«* + iirf. (9)
Уравнения G) и (9) образуют замкнутую систему, которая
лиожет быть решена независимо от уравнений D) и E). Послед-
Последние будут служить для определения функций Р и Vv= Vv(r) пос-
после определения VT{r). Для функций Vr и W согласно B), C) ста-
ставятся четыре краевых условия. Это позволяет в системе третьего
порядка G), (9) определить неизвестную константу а или исклю-
исключить ее посредством дифференцирования (9). Принимая за мас-
масштаб длины радиус трубы а, за масштаб скорости величину Va и
вводя Re = Faa/v, систему (9), G) можно записать в стандартной
§ i. Движение во вращающейся пористой трубе 19f
безразмерной форме
VTW + W2=k + (Rer)-1(rW')'; (rVr)' + rW = 0, A0)
где X = A8a2a2/Va. Исключение к и W позволяет записать
Уравнения A0) или A1) должны решаться при условиях
Fr@) = 0; W'@) = 0; Fr(l)=l; W(l) = 0. A2)
Вдув отвечает значениям Re < 0.
Уравнение A1) удобно для рассмотрения предельных случаев
|Rel < 1 и iRel > 1. В первом из них
Fr = 2r-r3; PF=-4(l-r2); IRel < 1. A3)
Во втором
Vr = -sin^r2; W = ~ncos^r2; |Re|>l. A4)
Выражения A3) и A4), очевидно, удовлетворяют условиям A2).
При этом соотношение A4) описывает вихревое движение идеаль-
идеальной жидкости. Согласно [2, 147], для такого движения все условия
A2) могут быть выполнены лишь на участках втекания, т. е. при
вдуве. В случае сильного отсоса выражения A4) должны быть
заменены следующими:
Vr = r; W = -2, Re>l. A5)
Потенциальное решение A5) не удовлетворяет условию прилипа-
прилипания W(l)= 0 и, следовательно, относится к ядру течения.
Для анализа и численного решения задачи удобно исходную
систему уравнений G) и (9) преобразовать с помощью замены
переменных
x = ar2/Bv): u = ~rVr/v. (Щ
Тогда уравнение G) примет вид
W = au', A7)*
где штрихом обозначено дифференцирование по х. Уравнение (9)^
с учетом A7) после несложных преобразований сводится к урав-
уравнению третьего порядка, не содержащему параметров,
2{хи")' = и'2 — ии" — 46. A8)
Уравнение E) после введения безразмерной функции Г = rVJv
приводится к виду
2хГ"+иГ'=0.
192 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Будем искать однопараметрическое свойство решений уравне-
уравнения A8), зависящее от параметра п и удовлетворяющее условиям
и@)=0; в'@)=—га; и" @) = (п2 - 46)/2. B0)
Величина п согласно A7) и B0) пропорциональна осевой скоро-
скорости на оси W@). Выполнение последнего соотношения B0) обес-
обеспечивают ограниченность и" @) и аналитичность решения урав-
уравнения A8) в некоторой окрестности точки х = 0 [60]. Если отка-
отказаться от этого условия, как сделано в работе [71], то свойство
аналитичности нарушится и решение будет иметь на оси некото-
некоторую особенность, которая вызовет течение и при отсутствии дру-
других источников движения. Следовательно, она сама является ис-
источником движения и должна в этом качестве фигурировать в
постановке задачи. В этой связи решение, приведенное в [71],
нуждается в дополнительной физической интерпретации.
Впервые автомодельные решения рассматриваемого класса,
по-видимому, изучались в работе [259], где получено уравнение
A1) и найдены его решения при малых и больших Re. Предель-
Предельные решения для вдува вида A4) при Re -*¦ —оо приведены также
в работе [209]. В работе [244] найдены точные решения уравнения
A8) для 6 = 1 при п = ±2 и п. = ±4. Значению п = А соответст-
соответствует двухъячеистый вихрь с возвратным течением у оси. Однако
возможное вращение, определяемое уравнением A9), на картину
меридионального течения не влияет. Поэтому наличие возвратных
течений не может быть связано с вращением, как это предполага-
предполагается в [244].
В работе Левеллена [197] также предполагается, что меридио-
меридиональное течение формируется под влиянием сильного вращения,
хотя, подчеркнем это еще раз, исследование меридионального тече-
течения может быть осуществлено независимо от вращения. В работе
Уайта [132] получен ряд частных решений задачи с помощью раз-
разложений в степенные ряды. Здесь в случае отсоса обнаружена не-
неединственность решений при одних числах Рейнольдса и несу-
несуществование при других. Детальное теоретическое и численное ис-
исследование задачи A9), B0) предпринято в [34, 35, 37], результа-
результаты которых излагаются в последующих разделах. Численные дан-
данные, вполне согласные с этим анализом, приведены в работе [248].
Теоретический анализ проблемы для случая отсоса содержится в
статье [130]. В дополнение к этому следует указать [67, 237], где
строгими математическими методами вновь получены результаты,
изложенные в [34, 35].
1.2. Анализ задачи Коши
Однопараметрическое семейство решений задачи A8)\
B0), зависящее от параметра п, поддается полному математиче-
математическому анализу [34]. Запишем вытекающие из A8) следующие
§ 1. Движение во вращающейся пористой трубе 193
соотношения:
2хи" + 2и" = и'2 — ии" — 48; B1а)
2xulY + Аи" = и и" — ии"; B16)
2xuv + 6uIV = и - uu1Y; B1 в)
2xuYI + 8uY = 2u" и" — u'uIY — uuY; B1r)
2xuvn + 10uVI = 2a'" 2 + u"uiy - 2w'Mv - *mVI. B1д)
Можно легко доказать, что при выполнении условий B0) решение
уравнения A8) аналитично в окрестности точки х — 0. Такое до-
доказательство приведено в [60].
Ключом дальнейшего анализа является неравенство uIY (x) 5г
Зз 0, причем если достигается равенство, то и'2 == 4. Докажем это
неравенство. Если при 6 = 1 п2 = 4, то, очевидно, и'% = 4. Пусть
и2 ?= 4, тогда и"@)=^0 и согласно соотношению B1в) miv@)>0.
В силу непрерывности функции uIY (х) она положительна и на не-
некотором интервале 0 ¦< х <; х%. Допустим, что uIY (x#) = 0. Поскольку
и1Л >0 при 0 < х <; ж^, то на этом интервале и" {х) возрастает и в
точке ж-j. имеет либо максимум, либо точку перегиба. Согласно со-
соотношению B1в) и (х%) = и (х^IBх^) ^ 0, что исключает воз-
возможность максимума и'" в точке х%.
Пусть х%—точка перегиба функции и'"(х), тогда и1 (х%) = 0,
так что в соответствии с B1в) и" (х#) = 0. В таком случае соглас-
согласно B16) имеем либо и'"(х^) = 0, либо и(х%) =—4. Если и'"(х%)= 0,
легко видеть, что в точке ж„. все высшие производные равны ну-
нулю, так что возможно лишь и' (х) =4. Если же и'" (х%)-ф 0,то, ис-
используя равенства B1), получаем в точкех = х% и" = miv = uY =
Поскольку uVI1 есть четвертая (четная) производная от и'", то
последнее неравенство показывает, что функция и"(х) имеет ми-
минимум, а это противоречит факту монотонного возрастания и'" (х)
на интервале @, х%). Полученное противоречие доказывает нера-
неравенство uIY(x)> 0, которое позволяет детально проанализировать
свойства решений задачи A8), B0) в различных случаях. Общим
свойством этих решений является то, что в соответствии с нера-
неравенством uIY(x)>0 график и" (х) есть выпуклая кривая, которая
не может иметь более двух нулей. Отсюда вытекает, что функция
и' (х) имеет не более двух стационарных точек и, следовательно,
не более трех корней. Функция и (х) имеет не более трех экстре-
экстремумов и не более четырех корней.
Покажем, что функции и(х) и и'(х) ограничены снизу. Пусть
это не так и и-*-—°°. Тогда найдется точка х%, где и(х.^)<с — 6.
В таком случае согласно B1в) при ж>жн. будет uY(x)>0 и ulY(х)
возрастает, так что и (х)^и1 (х%). Интегрируя последнее неравен-
5 3 м. Л. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
194 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
ство трижды от х% до х, находим
и' (х) ^ и' (яд + и" (х%) (х — х%) + 1/2 • и'" (х%) (х — яд2 +
+ 1/6-itIV (*,)(*-ад8.
Отсюда следует, что, поскольку wIV > О, функция и'(х) ограничена
снизу. Еще одно интегрирование дает
u(x)^U (х%) + и' (х%) (Х — Х%) + 1/2 • и" (х%) (Х — Жц.J +
+ 1/б.ц'" (**) (я-*,)" + l/24-uIV (ад (х-ад*. B2)
Неравенство B2) показывает, что и функция и(х) ограничена
снизу, если и (яд>0. Исключение составляет случай, когда
!iIY(ij.) = 0. Как было установлено, в этом случае и'2= 4 и возмож-
возможно решение и = —2х, не ограниченное снизу.
Продолжая анализ, положим, что п <—2, так что и'@)>2 а
согласно B0) и"@)>0. В соответствии с B16) имеем и'"@)>0.
Интегрируя неравенство иР1 (х) > 0 трижды от 0 до х, находим
и' {х)> и' @)+ и" {0)х + Щи" @)х2. B3)
Отсюда вытекает, что и'(х)>0 при всех х, и для значений п <
< •—2 нельзя построить решений исходной краевой задачи, кото-
которые при некотором хт должны удовлетворять условию и/(ж„,)=0.
Пусть — 2<и<2. Тогда при 6 = 1 согласно B0) и"@)<0,
и на некотором интервале 0 < г < ^ производная и (х) убывает.
Поскольку она ограничена снизу, пусть в точке ^ функция и'(х)
имеет минимум. Тогда и" (яд = 0 и и'" (яд = 0. В таком случае из
B1а) следует неравенство и'г(х%)~^>4. Значит, либо u'(ag>2, ли-
либо и'(Хц.)<С—2. Очевидно, возможен лишь второй случай, посколь-
поскольку согласно предыдущему и'@)< 2 и убывает.
Таким образом, в рассматриваемом случае функция и' (х)
имеет отрицательный минимум в точке х%. Интегрируя неравенст-
неравенство uIY > 0 трижды в пределах от я;^ до х, получаем и' \х) > и' (х%) +.
¦j-i/2-u'" (х%)(х — х%у. Так как и'" (х%) > 0, то функции и'(х) и
и{х) с ростом х стремятся к +°°. Из данного анализа непосредст-
непосредственно следует, что если 0<к'@)<2, то функция и (х) имеет два
корня, равно как и и(х). В случае —2<и'@)<0 обе функции
и' (х) и и (х) имеют по одному корню. Для значения б = — I вели-
величина ю"@)>0, поэтому при п<0 согласно неравенству B3)
и' (х) корней не имеет. При всех п > 0 и 6 = —1 функции и (я:)
и и' (х) имеют по одному корню.
Анализ ситуации при 6 = 1 и п > 2 сложнее предыдущего.
Граничному значению п = 2 соответствует решение задачи
«о = — 2х. Пусть n = 2 + s, где |е|<1. Положим и = и0 — e«i.
§ \. Движение во вращающейся пористой трубе 195
Тогда, линеаризуя по 8 уравнение B1а), получим
хих + иг = хих — 2хих; иг @) = 0. B4)
Без ограничения общности можно принять их @) = 1, тогда как
требование аналитичности решений B4) приводит к условию
ui @) = 0- Решение уравнения B4), удовлетворяющее всем этим
условиям, имеет вид щ—х — 1/6 • хъ. Следовательно, и = —2х —
-(n~2)(x — x2+i/Q -х3).
Это решение в области га, близких к 2, имеет единственный
положительнныи корень: х = 3 + У 9 ¦— 6га/(га — 2), являющийся
вещественным лишь при га < 2. При га > 2 полученное решение
лежит ниже прямой щ = —2х, но согласно предыдущему оно не
может идти в —°°, а после достижения отрицательного минимума
уходит в +°° (эти эволюции первым приближением не описыва-
описываются). Следовательно, при га > 2, но близких к 2, зависимость
и(х) имеет единственный корень. Если га = 4, то задача A8), B0)
также допускает аналитическое решение
щ = 2х — 6A — е-х). B5)
Полагая га = 4 — е; u = uo — eui; ui@) = 0; их@) = 1, для
функции и\ (х) получаем уравнение
хи{ + и[ = B - 6e~x) и'1-(х-3 + Зе:х) их - 3e~V
ш "
Поведение щ при больших х определяется уравнением хиг + иг —
= 2и[—(х — 3) иъ решение которого имеет вид щ = х — \\2 ¦ х2 +
+ 1/6 • хъ. Несложный анализ показывает, что при п > 4 функция
и(х) имеет единственный корень, а при га<4 появляется еще па-
пара вещественных корней. Следовательно, при изменении га от 2 до
4 изменяется структура решений: при 2 < га < п\ функция и(х)
имеет один корень, а и'(х)—один или два; при щ < га < 4 и(х)
и и' (х) имеют по три корня.
Численный расчет дал значение п\ = 3,782. При п = щ в точ-
точке жт = 4,65 функция и{х) имеет двукратный нуль: и(хт) —
= и'(хт)= 0. При га>4 функции и(х) и и'(х) имеют по одному
корню. Интегральные кривые, отвечающие значениям п = ±2 и
п = 4, являются в некотором смысле особыми: при стремлении к
этим значениям соответствующие кривые, хотя и приближаются к
предельным, но неравномерно. Например, каково бы ни было
е > 0, при п = 2 ± е и(х)>0, начиная с некоторого х, хотя
и — —2х при га = 2.
Отметим, что для критических значений га решение уравнения
A8) удается выписать явно в элементарных функциях [237, 244]:
и = +2х при га = +2; и = ±2х — 6A — еТХ) при га = ±4. Если вве-
ввести замену ц=пх, то A8) примет вид 2{ци")' = и — ии" — 4/га2;
13*
196
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
u@)=0; в/@)=—1; и" @)= 1/2 -A - i/n2). Для п = °° получа-
получается решение
со
и (л) = Л + Д! 2~У//!; А = 1/4- [б/ - 1 + (- l)j].
Зависимость и (и) представляет выпуклую кривую, которая имеет
минимум иB,65) = —1,206 и корень при т] = 5,7.
1.3. Численные результаты и комментарии
Установленные свойства решений вполне согласуются с
численными расчетами, результаты которых представлены на
рис. 73 и 74. Рис. 73 отвечает значению 6 = 1, рис. 74 — 8 = —1.
Расчеты выполнялись методом Рунге — Кутта с автоматическим
выбором шага. Тем самым разыскивалось аналитическое решение,
удовлетворяющее условиям B0). Значение ц"'@), необходимое
для первого шага, вычислялось с помощью B16): и'"@)=1/4-
•и'@)-в"@)-
Для решения исходной краевой задачи необходимо выполнить
условия A2). Поскольку из-за введения в A6) неизвестной ве-
величины а интервал изменения переменной х сделался неопреде-
неопределенным, этим можно воспользоваться для выполнения на его кон-
конце х = хт последнего условия A2), записанного с учетом A7)
25х
-10-
-20-
-30-
Рис. 73.
§ 1. Движение во вращающейся пористой трубе
197
в форме
и' (хп)= 0.
B6)
Итак, при заданном п необходимо интегрировать уравнение A8) с
условиями B0) до точки хт, где выполняется условие B6). Тогда
согласно A6) имеем
и(хт)=ит = —Re; a — 2vxm/a2.
B7)
Для определения скорости вращения Уф или циркуляции Г следу-
следует найти решение уравнения A9) при известной функции и(х).
В силу его линейности для уравнения A9) достаточно построить
решение задачи Коши: Г@)=0; Г'@)=1. Определив значение
Г(хга)=Г„», можно переиормировать решение Т(х), разделив его
на Гт. Построенное таким образом решение будет удовлетворять
краевым условиям по переменной г: Г@)=0; ГA)=1. При этом
размерная циркуляция Тр(г) будет определяться выражением
ГР(г) = vApF (г), где R4,= l\aa/v — вращательное число Рей-
нольдса.
Результаты проведенных численных расчетов представлены па
рис. 75 в виде зависимости Re (и). Как видим, эта зависимость но-
носит сложный неоднозначный характер и состоит из семи ветвей.
Соответствующие данные приведены в табл. 1, где приняты
следующие обозначения:^— номер ветви; NK — номер корня; NH —
число ячеек по радиусу; XT — характер течения, например, О_+_
означает, что имеет место отсос с течением вблизи стенки в на-
направлении к торцу z = 0, кольцевым прямотоком и возвратным
приосевым потоком; An — интервал изменения параметра п; щ =
-0,5-
0,72 0,85 7-°t,13 *
Рис. 74.
Рис. 75.
198
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Таблица 1
JVE
б
NK
Na
XT
An
l
1
1
1
в++
-2; 0
2
i
2
2
д+-
«ь 4
3
1
2
1
О+-
ге2; п\
4
1
1
1
О—
пг\ оо
5
j
1
1
0__
0; оо
6
1
2
2
О-+
-2; 0
1
1
1
0__
0; 2
7
1
1
1
0__
2; п2
1
2
1
<9_+_
1
3
3
щ; 4
= 3,783; «2 = 3,438. Значения к = ±2 и и = 4, являющиеся, как
было указано, особыми, представляют собой возможные асимпто-
асимптоты, при стремлении к которым Re ->- ±°°.
Рис. 75 демонстрирует основное свойство полученных реше-
решений — их неединственность. Число решений может достигать че-
четырех. Наиболее удивительной является четность числа решений
при любых значениях критерия Рейнольдса Re. Как видим (см.
рис. 75 и табл. 1), в случае вдува при всех Re < 0 существуют два
типа решений — прямоточные, их мы будем называть решениями
первого типа, и с приосевым возвратным течением — это решения
второго типа. Неединственность сохраняется даже при Re = 0. На-
Наряду с покоем значению Re = 0 отвечает движение в непроницае-
непроницаемом «стакане», вызванное приосевой струей, бьющей в дно со сто-
стороны «открытого» конца. Этому течению соответствуют значения
п = 3,78265; хт = 4,65. Минимальное значение и, которое может
быть принято за характерное число Рейнольдса, составляет umln =
= —1,927, а максимальное значение осевой скорости пропорцио-
пропорционально величине wmaX = 0,8553.
Таким образом, при Re = 0 мы имеем вполне определенное
движение второго типа, сосуществующее с покоем. Это движение
действительно можно получить в стакане конечной длины L, если
при z = L поставить определенные граничные условия, диктуемые
автомодельностью. Заметим, что для автомоделыюсти при z = L
должна быть задана не только форма профилей скорости vr(r) и
vz (г), но и их определенная численная величина. С этой точки
зрения существование решений второго типа представляется фак-
фактом случайным и негрубым, разрушающимся при малом измене-
изменении граничных условий. Заметим, что в опытах [160] оказалось не-
невозможным получить решения второго типа при вдуве в пористую
трубу. Это свидетельствует о неустойчивости подобных решений.
На первый взгляд решение второго типа весьма похоже на
движение во вращающемся стакане, где возникает циркуляцион-
циркуляционная зона. Однако ясно, что интенсивность меридионального тече-
§ 1. Движение во вращающейся пористой трубе 199
ния должна зависеть от скорости вращения стакана. Между тем,
как уже отмечалось, уравнения (9) или A8) не содержат величи-
величины Г, и тем самым вращение не может влиять на меридиональную
циркуляцию. Поэтому использование решений второго типа, отве-
отвечающих второй ветви на рис. 75, неприемлемо и для описания
ламинарного течения во вращающемся стакане. Иное дело —
турбулентное течение, в котором турбулентная вязкость
зависит от скорости вращения. Соответствующая модель обсужда-
обсуждается в § 3.
С точки зрения задачи о пористом вдуве в невращающуюся
трубу решения второго типа представляются лишними. Наличие
таких решений следовало бы отнести к парадоксам автомодельно-
сти, связанным с недостаточно жестким заданием краевых усло-
условий: если условия автомодельности при z = L (dvr/dz = 0,
d(vz/z)/dz = 0) считать однородными, то наличие решений второго
типа свидетельствует о нетривиальной разрешимости такой одно-
однородной задачи. Ясно, что обычная постановка задачи путем назна-
назначения вектора скорости на границе эту «спектральную» ситуацию
устраняет. Приведенный пример недостаточной жесткости требова-
требования автомодельности, используемого вместо обычных граничных
условий, не является исключительным, в § 4 мы снова столкнемся
с подобным явлением.
В случае отсоса Re > 0 задача имеет переменное число реше-
решений. Наряду с ветвью 5, отвечающей значению б = — 1, т. е. раз-
разрежению вблизи торца z = 0, что при отсосе естественно, на
рис. 75 представлены также ветви 3 и 4, для которых 6 = 1.
Ветвь 5 имеет при п -»- °° горизонтальную асимптотику, которой
отвечает конечное значение Re = 1,206. Отметим, что поскольку
при п -> °° хт = 2,65/ге, то параметр а, определяемый соотношени-
соотношением A6), находится в виде а = 5,3 v/(a2n). Тогда величина W@) =
= —an оказывается конечной. Этому случаю отвечает безгради-
безградиентное течение с dP/dz = 0 (см. (8)), которое непрерывно перехо-
переходит в течение с 8 = 1, соответствующее ветви 4. Последняя слива-
сливается с ветвью 3, обнаруживающей необычное поведение: вблизи
стенки, несмотря на отсос, жидкость движется в положительном
направлении оси z. В самой точке слияния (п = 3,438, Re = 2,3)
касательное напряжение на стенке обращается в нуль, т. е. насту-
наступает явление отрыва, что вполне объяснимо, так как течение, со-
соответствующее ветви 4, происходит с неблагоприятным градиентом
давления.
Процесс рождения пары решений при увеличении п можно
проследить на рис. 73 при переходе от кривой с п = 3 к кривой с
п = 3,8. В точке перегиба при п = 3,438 касательная становится
горизонтальной, т. е. в этой точке и' = и" = 0, после чего от этой
точки расходятся минимум — влево (ветвь 4) и максимум — впра-
вправо (ветвь 3), так что рождается пара решений краевой задачи.
Физически течения, соответствующие ветвям 2 и 3, определяются
200 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
двумя причинами: вдувом или отсосом и приосевой возвратной
струей весьма специального вида. Эту струю можно было бы ис-
исключить из рассмотрения, «выключив» лишний источник движе-
движения, но именно она делает возможным рождение вполне нормаль-
нормальных решений на ветви 4, соответствующих отсосу. Правда, на
ветви 4 число Рейнольдса не может превышать значения 2, 3,
но это факт того же порядка, что и ограничение Re ^ 1,206 на
ветви 5.
Весьма удивительным является отсутствие автомодельных ре-
решений на интервале 2,3 < Re < 9,1. Физически в этом интервале
отсосов решение, несомненно, существует, но оно не может быть
автомодельным. Возможно, это связано с тем, что при промежуточ-
промежуточных числах Re следует ожидать изменения знака градиента давле-
давления dP/dz при некотором z > 0. В самом деле, в области малых z
имеет место медленное течение, и для отсоса необходимо создавать
разрежение, так что в этой области должно быть OPjdz > 0. С дру-
другой стороны, при больших z скорости велики и по теореме Бернул-
ли торможение потока при уменьшении z должно приводить к рос-
росту Р, что соответствует неравенству dP/dz < 0. Однако согласно
(8) для каждого данного течения величина dP/dz должна быть
знакопостоянна.
В литературе имеются указания [66], что так и происходит в
эксперименте. Кроме того, при отсосах, соответствующих значе-
значениям Re > 6, наблюдается потеря стационарности движения с воз-
возникновением автоколебательных режимов. Существенно, что поте-
потеря существования автомодельного решения при Re > 2,3 связана с
условием прилипания W(l)=0, которое выражает условие ортого-
ортогональности поверхности пор, через которые осуществляется отсос
или вдув. Задачу можно обобщить, задав произвольный угол на-
наклона а этих пор, или, что то же, вектора скорости V«. В частно-
частности, если вместо условия прилипания потребовать выполнение ус-
условия скольжения Т^' A) = 0, например, за счет подбора угла а,
то, очевидно, при всех числах Рейнольдса будет существовать ре-
решение A.15), отвечающее осевому потоку со скоростью, не завися-
зависящей от г. Эту ситуацию можно отнести к турбулентному потоку с
постоянной турбулентной вязкостью, удовлетворяющему на грани-
границе условию скольжения (см. разд. 3).
Возвращаясь к рис. 75, заметим, что при Re ^=9,1 вновь появ-
появляется пара решений, а при Re > 20,6 — еще пара, чем полное чис-
число решений и исчерпывается. О характере этих решений можно
судить по табл. 1 и рис. 73.
Автомодельные решения, несмотря на некоторые их необыч-
необычные свойства, имеют большую познавательную, а иногда и прак-
практическую ценность, разумеется, при условии их устойчивости.
К исследованию этого вопроса для течений со вдувом мы и
переходим.
§ 2. Устойчивость течения в случае вдува 201
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ
В СЛУЧАЕ ВДУВА
Работ по исследованию устойчивости течений вида A.1)
крайне мало, видимо, в силу большой сложности этой проблемы.
Поскольку задача о пористом вдуве имеет важные приложения,
так как имитирует процессы испарения или горения на внутрен-
внутренней поверхности трубы, именно ей посвящена наша работа [41],
а также новые данные, излагаемые ниже. Исследование случаев
отсоса и вращения в настоящее время еще не завершено.
2.1. Об устойчивости
в смысле автомодельной эволюции
Проблема устойчивости в целом равносильна решению
задачи для полных уравнений Навье — Стокса. Однако существует
класс возмущений, в рамках которого возможно полное изучение
нелинейного процесса. Это возмущения вида A.1), но зависящие
еще и от времени t. Соответствующая безразмерная система
нений движения имеет вид
dt ' r dr r p dr ' Ro 5r r dr ' v ;
a^ , ^V_^?__J__?_J_^V B)
9i г <3r ~~ Re dr r dr
dw dw 2 _ ,119 9». ,on
d-^- + rw = 0. D)
Здесь, как и выше, за масштаб длины принят радиус трубы а, за
масштаб скорости величина Va. При этом Л=Х(?).
Уравнения C), D) автономны и служат для определения vr
и w, после чего функции уф и р находятся из уравнений B) и A)
при условиях уф@) = 0; 1ЛрA) = 7?Ф, где А, — вращательное число
Рейнольдса, при этом давление находится с точностью до произ-
произвольной функции времени. Исследованию на устойчивость подле-
подлежат стационарные решения системы C), D), удовлетворяющие
уравнениям A.10) с условиями A.12). Решение задачи может
быть осуществлено путем введения вспомогательного условия
W@)=Wo. Тогда для системы A.10) ставится задача Коши. Па-
Параметры Wo и К могут быть найдены, например, методом двумер-
двумерных секущих путем удовлетворения двух последних условий A.12).
Зависимости Wo (Re) и A, (Re) представлены па рис. 76. При Re -*-
-*- —оо они выходят на асимптоты Wo — —я, А, = я2, соответствую-
соответствующие невязкому решению A.14). Значение W/o(O) = — 4 отвечает ре-
решению A.13).
202
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
л-Re
-И/,
Oi~
3,0
100
-Re
Рис. 76.
Первоначальное исследование устойчивости {41] полученных
таким путем решений для возмущений вида A.1), по зависящих
от времени, может быть проведено в рамках линейного анализа.
и
Положив в системе C), D) w = W+wiekt; vr = Vr +~^еи;% = К0 +
+ Xieft(, после линеаризации получаем систему уравнений для ма-
малых амплитуд:
BW + к) wx + У г и>{ + W'ubir = — Ях + (г Re)-i {rw'J; u'x + w, = 0.
E)
Заметим, что собственный параметр к пе является инкрементом
рассматриваемых возмущений, хотя ему и пропорционален. Дело
в том, что в уравнениях A) — D) безразмерное время t связано
с физическим временем tp соотношением t — Vatp/a = Re vtpla2, где
Re = Vaalv. Следовательно, инкрементом служит величина к Re v/a2.
Опуская положительный множитель v/a2, можно считать, что ха-
характеристикой устойчивости является произведение к Re: движение
неустойчиво, если к Re > 0.
Для исключения константы %i проще всего продифференциро-
продифференцировать E), после чего получается задача на определение собствен-
собственных значений параметра к: для которых существует нетривиальное
решение задачи, удовлетворяющее однородным условиям щ @) =
= u'x @) =Ui A) = м'х A) = 0. Подробное численное исследование по-
показало, что решения первого типа устойчивы при всех числах Рей-
нольдса Re < 0. Напротив, решения второго типа оказались абсо-
абсолютно неустойчивыми при любых Re. Это лишний раз свидетель-
свидетельствует о нефизичности ламинарных решений второго типа. Достоин
удивления факт потери устойчивости решением A.15). В этом слу-
случае система E) несколько упрощается и сводится к уравнениям
и\ -f- r~x w[ = Re [(к — 4) wt + rw[
11-, = — rw
IS
§ 2. Устойчивость течения в случае вдува 203
вид которых позволяет искать решение в форме wi=Cw — \\l
/(к-А); щ= Си +1/2 -Air2/ (ft -4).
Для функций w и и получается задача Коши:
w" + r^w' -~Re[(k - 4) w + г w'] = 0; и = ~rw;
и?@)=1; к>'@) = 0; и@) = 0.
Граничные условия u>i(l) = вA) = 0 приводят к характеристиче-
характеристическому уравнению для определения параметра k = k(Re): 2u(l)+-
гН м> A) = 0. Зависимость величины к Re от Re представлена на
рис. 77. Как видим, при Re = 6 режим A.15) теряет устойчивость
(кривая 1). В случае вдува этот режим устойчив при всех Re < 0.
Если на стенке вместо прилипания поставить условие скольжения
и>1A)=0, то картина качественно не изменяется. Лишь критиче-
критическое число Рейнольдса уменьшается до Re = 4 (кривая 2). Эти ре-
результаты показывают, что если стационарный турбулентный режим
отсоса моделировать при помощи постоянной турбулентной вязко-
вязкости vT и условий скольжения на стенке, то должно быть Rer < 4,
поскольку турбулентное движение заведомо устойчиво к малым
возмущениям [44].
Возникает вопрос, к чему эволюционируют нестационарные ре-
решения в условиях неустойчивости или несуществования стационар-
стационарных? Чтобы выяснить это, Н. М. Ерш численно решала систему
C) — D) по явной схеме методом Рупге — Кутта с использованием
пространственной разностной аппроксимации второго порядка при
граничных условиях A.12). Эти четыре условия для системы тре-
тьего порядка по г позволяют определить и параметр K(t).
Начальные возмущения заключались в отклонении от стацио-
стационарного решения в ту или иную сторону. Здесь мы ограничимся
лишь качественным описанием полученных результатов. Установ-
Установлено, что при вдуве решения первого типа устойчивы при любых
числах Рейнольдса по отношению к произвольным 10 %-м вариа-
вариациям. Напротив, решения второго типа абсолютно неустойчивы к
таким вариациям. При этом возмущения, ослабляющие обратный
ток, эволюционируют так, что в результате получается стационар-
стационарное решение первого типа. Возмущения противоположного знака
обнаруживают быстрый неограниченный рост. Безусловный рост
наблюдается для всех режимов отсоса при Re > 2,3.
Такое удивительное поведение возмущений связано только с
предписанной автомоделыюстью, заменяющей граничное условие
на правом конце трубы. Требование автомодельное™ в отличие,
например, от более жесткого граничного условия прилипания не
ограничивает приток энергии возмущений со стороны правого кон-
конца, чем и обусловлена возможность неограниченного роста энергии
течения при наличии возвратного движения. Так или иначе дан-
данными расчетами проблема устойчивости решений второго типа пол-
полностью исчерпана, так что дальнейшему изучению подлежат лишь
вопросы устойчивости прямоточных решений при вдуве.
204 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
2.2. Две постановки задачи
линейной устойчивости
Стационарные решения вида A.1) не являются одномер-
одномерными, поэтому даже линеаризованная задача гидродинамической
устойчивости не допускает в качестве решений синусоидальных по
z возмущений вида е"", где а — волновое число. Чтобы все-таки
свести проблему к задаче Орра — Зоммерфельда, приходится игно-
игнорировать зависимость Vz(z), «замораживая» переменную z и рас-
рассматривая ее в качестве параметра. Такой подход, принятый в ра-
работах [58, 59], является приближенным и дает тем более точные
результаты, чем больше значение параметра а, т. е. для коротко-
коротковолновых возмущений, на длине волны которых можно пренебречь
зависимостью от z основного течения.
Указанную зависимость можно и вовсе замаскировать, если для
каждой из компонент скорости основного течения ввести свои ха-
характерные масштабы, а именно: Vr(a); F<p(a) и Vz@) = zW@), ко-
которым соответствуют три числа Рейпольдса: Re, Rv и Rz. В этих
масштабах безразмерные компоненты вектора скорости основного
течения (Vr, Ущ Vz), определяемые как стационарные решения си-
системы A) — D), будут зависеть лишь от переменной г, причем
Vz = W(r)/Wo, где Wo определяется в процессе решения задачи
A.10) —A.12).
Поле возмущенных скоростей и давления можно представить
в виде
vr = Vr + -f 9; Уф = 7Ф + у 9; vz = Vz + wQ; р = Р + g9, F)
где 9 = exp [i(az + т(р — cot)]; а, т — осевое и азимутальное волно-
волновые числа; со = сог + ьсо4; юг — частота, Ю; — инкремент возмущений,
которые нарастают при со(>0; и, v, w, q — малые комплекснознач-
ные амплитуды возмущений, зависящие только от г, для которых
путем линеаризации уравнений Навье — Стокса получается следу-
следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений (штри-
(штрихом обозначено дифференцирование по г):
и' = — i(mvfr Л-arw); v' = v\\ w' — w\;
q = ~г-Ч{п - Re (W + 2VT/r)]u - {im Re Vr + 2ЙФ7Ф) v/r - G)
— ia Re Vrrw+ imv\lr+ iarw\);
v[ = [Щ GФ + Уф/г) — 2im/r2] и + Qv + imq + (Re Vr + г) иг;
w[ = Rz V'z u/r + (Q + Re W) w + iaq + (Re VT — т-1) wx.
Здесь Q = m2/r2 + a2 + i(mRvVJr + aRzVz-a,); Re = aVr(a)/v; Rw =
_= aVq>(a)/v; Rz = aVz@)/v = J\eW(O)z. Как уже отмечалось, «за-
«замороженная» координата z входит лишь в продольное число Рей-
нольдса Rz, которое тем самым характеризует расстояние от глу-
§ 2. Устойчивость течения в случае вдува 205
хого торца до рассматриваемого сечения. Числа Re и 7?ф характе-
характеризуют интенсивность вдува и скорость вращения трубы.
Отметим, что в работах [58, 59], где рассматривался лишь слу-
случай осесимметричыых возмущений, т. е. т = 0, v = 0, использована
иная методика получения амплитудных уравнений. А именно, «за-
«замораживание» проведено после исключения давления в двумер-
двумерных уравнениях для малых возмущений, что приводит к обобщен-
обобщенному уравнению Орра — Зоммерфельда. Если в двумерной системе
G) при то = О исключить q, то получится аналогичное уравнение,
но не совпадающее с упомянутым. В случае т ?= О задача не сво-
сводится к одному уравнению 4-го порядка, поэтому исключение дав-
давления нецелесообразно. Результаты расчетов при то = О для этих
двух подходов оказываются близкими.
Основным недостатком системы G) является то обстоятель-
обстоятельство, что при то = 0 и а = 0 она не переходит в линеаризованную
систему E). Более того, при а ~> 0 величина Rz остается в систе-
системе. Это и говорит о непригодности системы G) при малых а. Дан-
Данный недостаток может быть преодолен альтернативным подходом
к проблеме устойчивости течения A.1), при котором возмущения
задаются в форме, отличной от F):
vr = Vr + ^е« + U-f- 9; v9 = Уф + Ц- ем + ^- 9;
(8)
vz = Vz + zwieht + zw2Q; p = P + 1/2 • KlZ2eht + gO.
Возмущения вида (8) будем условно называть «автомодельными»,
а вида F)—«классическими». Подставляя (8) в уравнения для
малых возмущений и приравнивая порознь члены, пропорциональ-
пропорциональные еы и 9, получим две системы амплитудных уравнений. Одна
из них совпадает с E), а вторая имеет вид (индекс 2 опущен)
и' — —imv/r — (l + iaz)rw; v' — v\; w' = W\\ (9)
q' = — r~4[Q + Re (V'r - Vr/r)] и - (im Re Vr + 2/?ф7ф) v/r —
— Re Vr A -f- iaz) rw + imvjr + A + iaz) rw\;
v[ = [ЯФ (Fv + 7ф/г) — 2im/r2] и + Qv + imq + (Re Vr + r^1) v^,
w[ = Re W'u/r + (Q + 2 Re W — liajz) w + iaq/z.
Здесь параметр Q имеет тот же смысл, что и выше (см. G)). Если
в системе (9) сделать предельный переход а -»- 0, то при конечном
z (и, следовательно, Rz) зависимость коэффициентов и решения
от z пропадает. При желании величина z, входящая в (9), может
быть выражена через параметры Re, Rz и Wo по формуле z =
~i?z/(Re Wo). В дальнейшем (см. разд. 2.5) изложим результаты
численных расчетов по обеим системам G) и (9).
206 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
2.3. Анализ предельных ситуаций
В полной постановке линейная задача гидродинамиче-
гидродинамической устойчивости содержит пять внешних параметров: Re, Rz, Лр,
а, т. Кроме того, неявным параметром служит спектральный но-
номер / собственного значения <Bj. Вследствие обилия параметров об-
общий анализ чрезвычайно трудоемок, поэтому целесообразно иссле-
исследовать наиболее простые ситуации. Прежде всего, в данной работе
рассматривается случай невращающейся трубы, когда Д, = 0. Да-
Далее, изучаются лишь нейтральные возмущения, для которых со; =
= 0. Это позволяет ограничиться расчетом единственной спектраль-
спектральной моды. В классе оставшихся параметров можно построить се-
семейство нейтральных кривых для различных Re и т = 0, 1,
Если ограничиться лишь исследованием критических условий воз-
возникновения неустойчивости, то параметры а = а* и Rz = Rz, со-
соответствующие носикам нейтральных кривых, становятся внутрен-
внутренними. Их можно определить в зависимости от Re при различных т.
Наконец, можно поставить вопрос о том, при каком наименьшем
значении Re впервые возникает неустойчивость. Естественно пред-
предположить, и это для т = 0 подтверждают расчеты [59], что перво-
первоначальное развитие неустойчивости начинается с больших Rz. Та-
Таким образом, должна быть рассмотрена предельная ситуация Rz -*¦
-*- °°. Здесь возможны два варианта: а) величина а остается огра-
ограниченной, но не равной нулю и б) остается ограниченным
произведение Rz=aRz. В случае варианта а) после введения за-
замены переменных <а = aRzC, q -*¦ Rzq: iu-+u система уравнений G)
сводится к невязкой задаче второго порядка:
, [т , \ mq
и = — —v + arw ; v = —
г "^ шш ' "~ a/vz-C)'
, (Ю)
<Xq -f- V,u/r
t = a<yz-C)u!r; v, = -—L-.
Аналогично преобразуется и система (9), однако в отличие от
A0) в ней остается параметр Re. Как показали специальные рас-
расчеты, вариант а) характеризуется отсутствием нарастающих возму-
возмущений. Это находится в противоречии с утверждением работ [58,
59], согласно которым, начиная с Re ~ 1000, нейтральные кривые
' «размыкаются», что и означает невязкую неустойчивость. Если Re
достаточно велико, например Re > 100, то функция Vz(r) с хоро-
хорошим приближением задается асимптотическим выражением Vz =
= cos(nr2/2), отвечающим вихревому движению идеальной жидко-
жидкости A.14) и не содержащим Re. Тем самым при Re > 100 решения
системы A0) практически перестают зависеть от Re, и поэтому
размыкание нейтральных кривых при Re ~ 1000 невозможно.
В случае варианта б) для системы G) вводится замена пере-
переменных Rz = aRz и й; = оси», после чего система G) приобретает
§ 2. Устойчивость течения в случае вдува 207
ВИД
и = —i{mv/r + rw); v' = Vi; w'=w\; A1)
q' = -r-H[Q - Re (W + 2Vr!r) ]u - (im Re Fr + 2R,V4) v/r -
— i Re Frra; + imvi/r + tra^);
^i = [Дф (Т^ф + ^r/г) — 2im./r2] и -\-Qv + imq -f- (Re Fr + r-1) i^;
^ = RzV'zu/r + (Q -f Re IF) u; + ia2g -f (Re Fr — r) wlf
где Й = m2lr2 + a2 + i{mRvVjr+ RZVZ — со). Система A1) по срав-
сравнению с G) обладает удивительной особенностью. Если при ко-
конечном Rz в системе A1) положить а = 0, так что Rz = 0, то, как
и в системе (9), зависимость от z пропадает. Это, разумеется, не дает
оснований считать систему A1) пригодной для малых а, но все же...
Другая особенность системы A1) проявляется при т = 0 и
а ->- 0. Если в таком предельном переходе величина q остается ог-
ограниченной, то возникает переопределенная задача, поскольку пер-
первое, третье и шестое уравнения в этом случае отщепляются и по-
получается однородная система третьего порядка, тогда как число
однородных граничных условий — четыре. Поэтому необходимо в
пределе положить ia2q = const. Эта константа исключается диф-
дифференцированием последнего уравнения (И). В случае т Ф 0 не-
неограниченный рост q при ос ->- 0 недопустим, что видно из пятого
уравнения системы A1). В этом случае в последнем уравнении
системы нужно положить a2q ->- 0. Тогда вырождения системы (И)
не происходит. Те же особенности имеет и система (9), для ко-
которой, однако, введение величины w не требуется, достаточно вве-
ввести лишь Кг.
В пределе а^0 системы A1) и (9) не сводятся к невязким,
и задача заключается в определении зависимостей /?2(Re) при раз-
различных та.
2.4. О методах решения линейных задач
Не вдаваясь в детали, отметим, что наиболее эффектив-
эффективным нам представляется алгоритм несимметричной разностной про-
прогонки с прямоугольными матрицами. Пусть т Ф 0, тогда уравнения
G) или (9) необходимо решать при условии и@)= v@)= w@) =
= 0; иA) = v(i)— w(l) = 0. Кроме того, можно считать, что по-
поставлено нормировочное условие на q@)- В соответствии с этими
условиями запишем любую из систем в матричном виде:
X' = А X + В У; У = С X + D Ух мо.
4X4 4X2 2X4 2X2 \^^1
(Uv\
где X = I I; У = I 1 \. При этом матрицы А, В, С, D легко
\Ч J
выписываются, исходя из вида системы.
208
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Запишем уравнения A2) в разностной форме, используя ап-
аппроксимацию второго порядка по шагу h:
— Хп = К
Уп+i — Уп = ij-
+ АпЛп + Bnj.\Уп + 1 + -О-
CnXn -J- Dn+1 Уп+1 ~Ь Dn
A3)
Прогоночные соотношения введем формулами
Хп == FnYn + Gn, Yn = XnYn+i "г М-п.
A4)
Подстановка A4) в A3) приводит к рекуррентным соотношениям
для величин Fn, Gn, Xn, цп. Преимущество данной прогонки по срав-
сравнению, например, с прогонкой 3X3 заключается в том, что не
приходится обращать комплексные матрицы 3X3, а матрицы
2X2 обращаются «вручную». Использование двухточечной аппрок-
аппроксимации позволяет работать с переменным шагом и полностью
снимает проблемы интерполяции, характерные для трехточечного
шаблона.
Известные затруднения связаны с особенностью в системах G)
и (9) при г = 0, что делает невозможными вычисления непосред-
непосредственно в этой точке. Поэтому решение в малой окрестности г = 0
строится аналитически при помощи разложений в ряды. В случае
т ?= 0 тройка линейно независимых решений, удовлетворяющих ус-
условиям и@)~ v@) = w@) — 0, имеет вид
- 1 \т\
4 | т\ -J-
i (|m| + 2)(m|
4 (I n \ + 1) m
i a
|т|+о
г|т| +
r\m\
-
т
1
\m\
0
о
2т(\т\
г '«I
Эти соотношения позволяют отойти от г = 0 и начать прогонку с
г = г0 < 1- Например, если удерживать лишь главные члены, для
§ 2. Устойчивость течения в случае вдува
209
Fo и Go имеем
( i
т "
0
О
— rn — .
О
О
Удовлетворение нулевых условий па стенке достигается за счет
подбора методом комплексных секущих собственного параметра а>
путем запуления определителя:
А =?2(/п/з2 — /12/31) + ёГз (/12/21 — /11/22)+ ?i (/22/31 — /21/32).
Здесь через /у и g; обозначены элементы матрицы F и вектора G.
В случае т = 0 системы G) и (9) вырождаются. Кроме того, из-
изменяются граничные условия при г = 0: и@) = и/@) = 0. В связи
с этим достаточно осуществить прогонку 2X2. Фундаментальные
решения при т = 0 также можно модифицировать:
Г2
о
о
В остальном алгоритм не изменяется.
2.5. Результаты численных расчетов
На рис. 78 показаны зависимости критических парамет-
параметров Rz и а* от Re для системы уравнений G) при m = 0 и т = 1.
Для классических возмущений, определенных соотношениями F),
самыми опасными являются неосесимметричные с т = 1 при всех
интенсивностях вдува. Влияние вдува небольшой интенсивности
на устойчивость течения качественно аналогично при т = 0 и т =
= 1. С увеличением |Re| значение Rz падает, достигает минимума
и затем начинает расти. Зависимость Rz (Re) становится близкой
к линейной для осесимметричных возмущений при |Re| > 250; для
неосесимметричных — при i Re I > 300. Критическое волновое число
а* с увеличением интенсивности вдува |Re| монотонно возрастает.
Как видно из рис. 78, уменьшение величины |Rel до значения
Remm сопровождается неограниченным ростом Rz и падением а*
до нуля, т. е. реализуется предельная ситуация, характерная для
варианта б). Произведение Rz — aRz остается ограниченной вели-
величиной и определяет наименьшее значение Re = Remln, при котором
впервые наступает неустойчивость. Отметим, что при приближении
14 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
210
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
10- \
-Re
Re к Remin возникают расчетные трудности. Поэтому само крити-
критическое значение Remln получено путем решения системы. A1). Для
классических возмущений F) найдены следующие минимальные
числа Рейнольдса вдува:
т = 1, Remln = -23,94; т = О, Remln = -50,52. A5)
На рис. 78 приведена также зависимость от Re критического
числа Струхаля Sh* = coi?2/2n Re. Для системы G) Sh* становится
почти постоянным и равным приблизительно 7,05 при |Rel>350
в случае осесимметричных возмущений. Для возмущений с т = 1
Sh*«6,6 при |Rel > 160.
Следует отметить, что несмотря на различие постановок, дан-
данные работ [58, 59], полученные для т = 0, практически совпадают
с приведенными на рис. 78. На рис. 79 показаны зависимости кри-
критических параметров В* г; а*, а также числа Струхаля Sh* от Re
для системы уравнений (9).
Для автомодельных возмущений (8) при интенсивностях вду-
вдува 1 Re i < 175 наиболее опасными являются неосесимметричные
(т = 1), а при iRel > 175, напротив, осесимметричные. Зависи-
Зависимость Rz (Re), как и в случае классических возмущений, стано-
становится близкой к линейной для осесимметричпых при |Rel>250,
§ 2. Устойчивость течения в случае вдува
211
-Re
а для неосесимметричных при | Re | > 200. Минимальные числа Рей-
нольдса вдува, при которых впервые наступает неустойчивость, для
этих возмущений следующие:
т = 1, Remln =-24,17; т = 0, Remin = -58,48. A6)
Все эти кривые на рис. 78 и 79 построены по непрерывности. Из-
Известно, что основная трудность заключается в отыскании началь-
начальной точки. В этой связи считаем полезным привести несколько ха-
характерных собственных значений для рассмотренных возмущений
(табл. 2).
Вид возмущения
Классические
Автомодельные
т
0
1
0
1
а*
3,955
¦3,634
3,748
3,569
Таб
3344,417
3200,546
4101,641
4031,133
лица 2
*
9026,537
8071,559
9693,611
9230,206
Примечание. Все значения критических параметров рас-
рассчитаны для Re = —200.
14*
212 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Сравнение рис. 78 и 79, а также данных A5) и A6) показы-
показывает, что исследование устойчивости по отношению к классическим
и автомодельным возмущениям дает близкие результаты, что апри-
априори было бы трудно ожидать. Это служит оправданием классиче-
классического подхода в области малых а и делает его практически пригод-
пригодным во всем диапазоне волновых чисел. Таким образом, дальнейшие
исследования целесообразно проводить только в рамках классиче-
классического подхода.
Наиболее важным результатом исследования является тот
факт, что в качестве самых опасных выступают неосесимметричные
возмущения с т=1. Применительно к возмущениям с т = 0 это
следует из рис. 78 и данных A5). Для то = 2 вывод подтвержда-
подтверждается специальными расчетами, согласно которым Remin — —55,88.
Установленный факт не только позволяет уточнить выводы осесим-
метричного анализа, но и содержит в себе потенциальную возмож-
возможность спонтанной закрутки потока. Этот удивительный феномен
был установлен в статье [42], которой предшествовала работа [156],
где показано, что в случае круглой струи наиболее опасными явля-
являются также возмущения с т = 1.
Выявленная неустойчивость при весьма умеренных Re свиде-
свидетельствует о том, что эти течения легко турбулизируются, что и
подтверждается опытом. Тем не менее найденные стационарные
решения могут оказаться полезными и для анализа осредненных
развитых турбулентных движений, если использовать гипотезу
Буссинеска о постоянной турбулентной вязкости.
§ 3. МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ПОТОКА
Вращающиеся турбулентные потоки, имеющие все воз-
возрастающее техническое значение, характеризуются сложной внут-
внутренней структурой. Для примера па рис. 80 показана схема осред-
непного течения воздуха в вихревой камере, сообщающейся с ат-
атмосферой. Камера имеет глухой торец z= 0, а подвод воздуха
осуществляется по всей боковой поверхности длины L через тан-
тангенциальные щели. Воздух истекает в атмосферу через диафрагму
радиуса а. Как показывают наблюдения [37], в области г > а поток
близок к одномерному вихревому стоку, во внутренней области
г < а течение значительно сложнее.
В случае истечения капельной жидкости в приосевой зоне воз-
возникает кавитациопная воронка радиуса |, определение которого яв-
является основной задачей теории центробежной форсунки, которая
в одномерной приближенной постановке дана в [1]. В рамках схе-
схемы потенциального движения идеальной жидкости решена и осе-
симметричиая задача, не требующая привлечения дополнительных
гипотез [37].
3. Модель турбулентного вращающегося потока
213
Рис. SO.
При затопленном истечении в случае достаточно интенсивного
вращения на месте воронки размещается циркуляционная зона. Те-
Течение в этой зоне оказывается сильно турбулизировапным из-за
наличия в профиле осевой скорости точек, перегиба, генетически
связанных с тангенциальным разрывом, который имел бы место в
идеальной жидкости. Развитие такого рода неустойчивости обычно
порождает свободную турбулентность, как, например, в струях,
следах, слоях смешения, которые допускают неплохое описание с
помощью модели турбулентной вязкости vT, определяемой эмпири-
эмпирически [144]. Целью дальнейшего является использование решений
второго типа, рассмотренных в § 1 для описания вращающегося
потока, наделенного турбулентной вязкостью, зависящей от состоя-
состояния движения. Турбулентная вязкость не задается, а определяется
феноменологически из некоторого вариационного принципа.
3.1. Модели эффективно вязких
турбулентных течений
Модель турбулентной вязкости, предложенная более ста
лет назад Буссинеском, является простейшей и на фоне современ-
современных полуэмпирических теорий турбулентного переноса кажется
примитивной. Тем не менее известно [37, 139, 144], что для теоре-
теоретического описания некоторых свободнотурбулентных течений мо-
модель постоянной турбулентной вязкости, являющейся эмпириче-
эмпирическим параметром, работает очень хорошо. Известны также [22, 64]
успешные применения этой модели к турбулентным отрывным те-
течениям, в которых, несмотря на наличие стенок, турбулентность
в основном носит характер свободной, так как порождается вихре-
вихревыми слоями, сходящимися в свободное пространство из точек от-
отрыва. Применительно к вращающимся потокам положительный
вывод о пригодности модели постоянной турбулентной вязкости по-
получен в [69] на основе анализа экспериментальных данных.
214 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Модель турбулентной вязкости обычно вводится для аппрок-
аппроксимации в уравнениях Рейнольдса
dU- л ар dv-V: dU-
^ 4S + A^#;^ °
реинольдсовых напряжений с помощью выражения
A)
Здесь Vt — пульсационные, ?7* — средние компоненты вектора ско-
скорости; чертой обозначено осреднение по времени. Второе слагаемое
слева в тензорном равенстве A) введено, чтобы уравнять первые
инварианты (следы). В случае двумерной турбулентности коэф-
коэффициент 1/3 должен быть заменен на 1/2. Равенство A) подробно
проанализировано в [144], где указано, что строго непротиворечи-
непротиворечивым оно может быть лишь при условии, что Vt — тензор четвертого
ранга. Отметим главный формальный недостаток равенства A):
его двукратное дифференцирование по х, и х{ ведет к противоре-
противоречию. Этот недостаток может быть преодолен, если принять другую
модель турбулентной вязкости, взяв за основу уравнения Рей-
Рейнольдса для средней завихренности:
dU.
дпх dU. д .
U> ~дГ — QJ117 = vAQi — дГ \viai — Vi(*i У ш = rot v-
Поток вихря, связанный с турбулентным переносом, моделируется
антисимметричным выражением
vw - Vi<o} = - vT ( щ- - е— J • B)
Отметим, что соотношением A) постулируются 6 равенств, тогда
как соотношением B) — только 3, а в плоском случае лишь 2:
^co = -vr —. C)
Таким образом, хотя соотношения A) и B) приводят к эквива-
эквивалентным уравнениям (Навье — Стокса и Гельмгольца), они имеют
разное физическое содержание.
Соотношения A) и B) налагают на поля пульсаций скорости
некоторые ограничения. Рассмотрим, например, одномерное среднее
течение, характеризуемое простым сдвигом с градиентом скорости
U' = dU/dy. Согласно A) имеем
1/3-г?; vJTy; vxvz \ Д); U'; О
=-vrI ?/'; 0; 0
0:
3. Модель турбулентного вращающегося потока 215
Компоненты vyvz и vzvy нулевые в силу уравнений Рейнольдса. Яс-
Ясно, что равенство D) возможно лишь при изотропности пульсаций,
когда uxUz = 0, vx = v\ = v\ = 1/3-у2. Наличие изотропности сле-
следует ожидать в условиях, когда пульсационные масштабы малы по
сравнению с масштабами всего течения. Условия свободной турбу-
турбулентности в наибольшей степени отвечают этому требованию. По-
видимому, именно этим обстоятельством объясняется успех приме-
применения гипотезы Буссинеска в теории свободной турбулентности,
в отличие от пристенной турбулентности, которая существенно пе-
изотроппа. Б простейшем случае принимается условие vT = const,
причем константа зависит от характерного размера L и скорости
течения U, так что не зависящим от режима оказывается турбу-
турбулентное число Рейнольдса RT = UL/\T.
Таким образом, гипотеза постоянной турбулентной вязкости
приводит к безразмерным уравнениям Навье — Стокса, в которых
число Рейнольдса зафиксировано для всех режимов. Следователь-
Следовательно, течение, описываемое решением этой задачи, будет обладать
свойством автомоделыюсти, т. е. при изменении расхода и размеров
системы (при сохранении геометрического подобия) относительные
поля скоростей и давления не изменяются. Таким важным свой-
свойством действительно обладают практически все развитые турбу-
турбулентные потоки, резко отличаясь в этом отношении от потоков ла-
ламинарных и приближаясь к потокам невязким. Сюда относятся не
только свободнотурбулентпые течения, но и гораздо более широкий
класс турбулентных движений, характеризующийся наличием мак-
макроскопических вихрей, например отрывные течения, а также за-
закрученные потоки. Правда, присутствие твердых стенок делает
отмеченную автомоделыгость лишь приближенной, по тем более
точной, чем выше скорость течения, так как тем меньшую роль
играют пристенные пограничные слои, связанные с действием мо-
молекулярной вязкости.
Модель эффективно вязких турбулентных течений представля-
представляет предельную ситуацию, когда молекулярная вязкость v может
быть отброшена. Движение удовлетворяет уравнениям Навье —
Стокса
а на твердых стенках вместо условия прилипания, связанного с
действием молекулярной вязкости, ставится другое условие. Каза-
Казалось бы, это условие можно получить из соотношений A) или B).
Но последние неприменимы вплоть до стенки. Поэтому условие
следует сформулировать на внешней границе турбулентного погра-
пограничного слоя. Если в пограничном слое принять логарифмическое
распределение скоростей
lny + С, F)
216 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
где их — продольная скорость, у — расстояние от стенки, v* — ди-
динамическая скорость, х и С — константы, и допустить на внешней
границе слоя при у = б гладкое сопряжение с внешним потоком,
так что их= U; их = U'\ ux = U", то из F) для плоского течения
легко выводится равенство
В силу малости б условие G) может быть заменено на условие
скольжения ?2 = 0 (непосредственно следующее из A), если его
применить для стенки). Однако если на границе имеются точеч-
точечные источники завихренности, то член dQ/dn становится главным
и G) в непосредственной окрестности источника сводится к усло-
условию «адиабатичности» стенки dQ/dn = 0, вытекающему из A.3).
Источники завихренности на стенке должны фигурировать в моде-
модели осредненных отрывных течений, иначе движение будет потен-
потенциальным! Речь идет, разумеется, не о вязких источниках, которые
всегда есть, но слабы, а об источниках завихренности в точках
отрыва, интенсивность которых должна быть определена из усло-
условия самосогласования задачи: разветвление потока в каждой точке
отрыва.
В интересующем нас случае турбулентного вращающегося по-
потока отрыв является внутренним, и поэтому на стенке ставится
условие скольжения.
3.2. Вариационный принцип
Для описания осредненных характеристик турбулентных
течений обычно составляются модельные уравнения, включающие
эмпирические постоянные [137, 138]. В то же время весьма плодо-
плодотворным является метод получения уравнений на основе вариаци-
вариационных принципов [10, 116]. Последние могут иметь то преимуще-
преимущество, что по идее способны дать не только сами уравнения, но и
вышеупомянутые постоянные путем их последующего варьирова-
варьирования до достижения минимизируемым функционалом наименьшего
возможного значения.
Проблема заключается в выборе функционала. В точной поста-
постановке эта задача чрезвычайно трудна и пока не решена. К сожа-
сожалению, не существует такого голопомного функционала, варьиро-
варьирование которого давало бы уравнения Навье — Стокса [10]. По смыс-
смыслу дела искомый вариационный принцип должен вытекать из
общей термодинамики необратимых процессов, по эта наука сейчас
находится лишь в стадии становления. Однако к поставленному
вопросу для специального частного случая эффективно вязкой мо-
модели турбулентности можно попытаться подойти приближенно.
Точный вариационный принцип должен был бы дать уравпения
и для осредненного движения, и для определения турбулентной
§ 3. Модель турбулентного вращающегося потока 217
вязкости, которая является функционалом от этого движения и, во-
вообще говоря, от внутренних переменных турбулентного потока,
таких как, например, кинетическая энергия турбулентности.
Согласно сказанному в разд. 3.1, будем считать, что для эф-
эффективно вязких турбулентных течений справедливы уравнения
движения E). Остается найти турбулентную вязкость. Для слабо
неравновесных процессов известен [30] принцип минимума произ-
производства энтропии. В условиях изотермической свободной турбулент-
турбулентности при моделировании турбулентных напряжений эффективно
вязкими производство энтропии приближенно сводится к скорости
диссипации энергии
Г /аи. d
Поскольку величина D функционально выражается через vr и
тензор осредненных скоростей деформаций, в такой приближенной
постановке внутренние степени свободы можно не учитывать,
а искать сразу среднее движение, подобно тому как для несжимае-
несжимаемой жидкости динамическая задача может изучаться независимо
от тепловой. Остается, однако, неясным вопрос, насколько развитое
турбулентное течение может считаться слабо неравновесным про-
процессом. Поэтому следует непосредственно посмотреть, к чему при-
приводит минимизация функционала (8).
Как известно, при фиксированном vT минимизация (8) путем
варьирования U, в классе солепоидальных векторных полей приво-
приводит к уравнению Стокса, которое соответствует первому уравнению
E) с нулевой левой частью. Уравнения Стокса не так уж плохи
для описания осредпенной турбулентности, во-первых, потому, что
турбулентная вязкость обычно довольно велика, во-вторых, при
отсутствии условий прилипания уравнениям Стокса удовлетворяет
даже потенциальное движение идеальной жидкости. Вместе с тем
нельзя утверждать, что в турбулентных течениях конвекция за-
завихренности не играет роли. Поэтому функционал (8) надо рас-
рассматривать как приближенный и использовать не для получения
уравнений, в качестве которых следует принять полные уравнения
Навье — Стокса, а лишь для определения vT путем вторичной ми-
минимизации функционала.
Полная реализация поставленной задачи па минимум-мшшмо-
рум заключается в минимизации по vT функционала (8) при ис-
использовании E) в качестве добавочных функциональных
условий. Однако для случая vT = const проще ограничиться
прямой минимизацией (8), используя в качестве Ui решения си-
системы E).
Рассмотрим вопрос, для каких течений следует ожидать суще-
существование минимума D(vT)- Поскольку D > 0, минимум заведомо
будет существовать, если D -+¦ °° при vT ->- °° и vr ->¦ 0. Конечно, это
218 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
требование может оказаться слишком жестким, но начать анализ
естественно с пего.
Для выполнения условия ?)(°°)=°° достаточно задать какую-
либо кинематическую характеристику потока, например скорость,
обеспечивающую поддержание деформационного ползущего движе-
движения при vt -* °°. Требовапие Z)@)=°° может быть выполнено, если
только предельное движение при vT -*¦ О будет разрывным. Но этого
еще недостаточно. Рассмотрим, например, плоский пограничный
слой, для которого
Поскольку б ~ L/yUL/v, то при фиксированных U и L D6 ~ fv и,
следовательно, D& -* О при v -*¦ О, несмотря на возникновение раз-
разрыва скорости на стенке. Поскольку пограничный слой асимптоти-
асимптотически не дает вклада в диссипацию энергии, этот результат пока-
показывает, что функционал (8) неприменим для описания пристенной
турбулентности.
Иначе обстоит дело в случае отрывных течений, например при
обтекании ступеньки высотой h. Пусть в качестве виртуального
при v = 0 рассматривается разрывное течение Гельмгольца — Кирх-
Кирхгофа с бесконечной застойной зоной. При v -> 0 диссипация будет
сосредоточена в тонком пограничном слое вблизи линии разрыва,
и соотношение (9) сохранит силу, если под L понимать длину зо-
зоны отрыва. Оценку для L можно получить, положив б = h при
х = L. Это дает L~v~1, так что согласно (9) Z?s ¦— б—1. Для вели-
величины б получается оценка б -*- const при v -*¦ 0, и тогда De, ->- const.
Но ясцо, что эта оценка весьма груба. Если все же допустить, что
6^0 при v -*¦ 0, то Dt, -*¦ °о при v -*¦ 0. В этом случае в данной мо-
модели отрывных течений найдется вязкость v = vT, при которой дис-
диссипация энергии будет минимальной. Интенсивность точечных ис-
источников завихренности должна быть выбрана из условия конечно-
конечности скорости в точках отрыва. Очевидно, что такой выбор обеспе-
обеспечит минимум D и по интенсивности источников.
Реализация дайной модели требует назначения величины б,
входящей в условие G). Но этот вопрос нуждается в самостоя-
самостоятельном изучении.
Отметим, что в [37] принцип минимума диссипации энергии
был использован для вычисления турбулентного числа Рейнольдса
круглой струи. Однако для подобных течений с особыми точками
результат зависит от способа регуляризации функционала D, по-
поэтому предпочтительнее рассматривать исходные неавтомодельные
отрывные течения. В случае вращающегося потока D -*¦ °° при
Vt -*¦ 0 из-за разрыва тангенциальной скорости С/ф на оси вращения
z, что предопределяет существование минимума D.
§ 3. Модель турбулентного вращающегося потока 219
3.3. Турбулентное течение
в пористой вращающейся трубе
Если движение в цилиндрической области радиуса а (см.
рис. 80, штриховая линия) схематизировать как течение во вра-
вращающейся трубе с глухим торцом при z = 0 и проницаемой боко-
боковой поверхностью, сквозь которую осуществляется равномерный
вдув с радиальной скоростью Va, то при vT = const уравнения
Навье — Стокса E) допускают автомодельное решение вида A.1)
Ur = UT(r)\ Ulf = Uv{r); Ut = zW{r). A0)
Осредненное движение A0) относится к бесконечной трубе с по-
пористым вдувом, в которой при z ->¦ оо разрешен не более чем ли-
линейный рост Uz при ограниченности Ur и U9. Однако опытные дан-
данные и для конечных, но не слишком коротких вихревых камер
вполне соответствуют этой картине потока [37], поэтому автомо-
автомодельное решение A0) будем использовать для камер конечной
длины L, не ставя граничного условия при z = L.
Подстановка соотношений A0) в систему E) дает уравнения,
по форме совпадающие с A.4) — A.7) с той лишь разницей, что
произведена замена обозначений Vt -*¦ U,; v ->- vT. В соответствии с
рекомендациями разд. 3.1 поставим следующие граничные условия:
C/r@) = Z7e@) = 0; Ur(a) = Va; *7Ф(а)=7фа; W'{a) = 0. (И)
Последнее соотношение представляет условие скольжения, связан-
связанное с требованием отсутствия осевого касательного напряжения
%rz на цилиидрической стенке xrz = pvT(dUzldr+ dUrldz)~ pvTzdWI
/dr. Согласно этому выражению условие скольжения на торце z = 0
выполняется автоматически. Вводя, как и в разд. 1.1, обозначения
x = ar2/BvT); и =-r{7r/vT; W = аи , A2)
вновь приходим к уравнению A.18). Однако для наших целей до-
достаточно рассмотреть случай 6 = +1, которому согласно A.8) со-
соответствует падение давления с ростом z. Тогда A.18) можно пе-
переписать в виде
2(хи")' = и'2~ии" -4. A3)
Уравнение A.19) не изменяется,
2хГ" + иГ' = 0. A4)
В этих обозначениях граничные условия A1) принимают вид
u(xm) = RT; Г(жт)=1; в@) = Г@) = и" (хт) = 0, A5)
где RT = aVJvT — радиальное турбулентное число Рейнольдса,
а xm = aa2/BvT)—искомый параметр. При использовании условий
A.20)
в@) = 0; в'@) = -га; и" @) = 0,5(м2 - 4); Г@) = 0; Г'@)=1 A6)
220 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
получается, как и в разд. 1.1, вспомогательная задача Коши. Ее
нужно интегрировать до такого значения х = хт, при котором вы-
выполняется последнее из условий A5). Тогда первое из этих условий
определяет значение RT.
Разница в сравнении с постановкой разд. 1.1 заключается в
том, что там было использовано условие прилипания и'(хт) = 0,
так как рассмотрено ламинарное течение. В случае граничных ус-
условий A5) задача, как и в разд. 1.1, имеет два решения, одно из
которых находится аналитически и соответствует потенциальному
течению со вдувом первого типа и = 2х. Это решение удовлетворяет
условиям A5), если положить хт= i/2 ¦ RT. Решение второго типа
аналитически не выражается, но при RT -*¦ °° стремится к функ-
функции A.25),
26(в~х). A7)
Решение A7) отвечает значению п = 4, а хт -*• °° по закону
хт = 3 + 1/2 • RT. A8)
Это асимптотическое решение дает картину меридионального тече-
течения, качественно близкую к изображенной на рис. 80, в частности,-
оно содержит описание циркуляционной зоны в приосевой области.
Для конечных значений RT уравнений A3) легко решается чис-
численно. Как показывают вычисления, значение RT = 0 соответствует
п — 3,901. Таким образом, когда п пробегает значения от 3,901 до
4, величина RT изменяется от 0 до °°. Узость интервала изменения
п позволяет получить приближенное аналитическое решение зада-
задачи. Обозначим, как и раньше, решение A7) через ко и будем
искать решение вида и = мо + гщ, где е=4—re<Cl. Для опреде-
определения щ получается задача
и, @) = 0; и[ @) = 1; щ @) = 4; и[ @) = 5,5.
Наибольший интерес представляет поведение решения при
больших х. Дело в том, что согласно A7) и0 =6е~х и последнее из
условий A5) выполняется лишь при ж,„=°<>; поправка и нужна,
чтобы сделать хт конечным. Пренебрегая экспоненциальными чле-
членами, нетрудно получить приближенное решение, близкое к A7),
в виде
и = 2х - 6 A - е-*) - Б] A/3 • ж3 - х1 + 2х),
где 8i — новый малый параметр. Он может быть связан с RT по-
посредством соотношений
^ . Z? о^. А (\ о хт\ _l!
хт L xm~ -
A9)
§ 3. Модель турбулентного вращающегося потока 221
При RT > 5 и хт ~> 5,5 и ei<3-10~3, так что можно пользоваться
асимптотической зависимостью A8), а для вычисления и(х) ис-
использовать A7). Отметим, что соотношение A8) неплохо работает
даже при RT = 0, которому согласно вычислениям соответствует
точное значение хт = 3,075.
Как и в ламинарном случае, существенной чертой рассматри-
рассматриваемого класса решений является независимость меридионального
течения от вращения. С этой точки зрения решения, близкие к
A7) (решения второго типа), не могут считаться физически реаль-
реальными для ламинарного режима. В случае вращающегося непрони-
непроницаемого стакана, для которого RT = 0 и п = 3,901, на опыте возни-
возникает меридиональная циркуляция с возвратным течением в при-
осевой зоне и прямотоком на периферии. Но ясно, что интенсив-
интенсивность этих движений должна зависеть от скорости вращения ста-
стакана, тогда как рассматриваемое автомодельное решение при фик-
фиксированной вязкости дает вполне определенную картину и интен-
интенсивность течения, не зависящую от наличия вращения, что пред-
представляется парадоксальным. Иначе обстоит дело в турбулентном
режиме, когда вращение может влиять на турбулентную вязкость,
а через нее на картину и интенсивность течения.
3.4. Течение с минимальной диссипацией энергии
Для рассматриваемого течения в цилиндре с радиусом а
и длиной L скорость диссипации энергии имеет выражение
L а
fdUr
Ьг
dz
B0)
При решении краевой задачи гидродинамики естественным
является задание вектора скорости на границе области. Именно так
были сформулированы условия A1), которыми задается величи-
величина Va. Однако с физической точки зрения задание поля Ur при
г = ав реальной вихревой камере представляется не таким уж есте-
естественным, да и не легким делом. Более естественно при данной
геометрии камеры задать перепад давлений на ней или расход,
т. е. некоторую интегральную характеристику. В данной частной
задаче удобнее всего считать постоянным динамический параметр
ее, определенный соотношением A.8). Имеет место связь
Va = aaRTlBxm). B1)
222 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
В переменных задачи A2) выражение B0) может быть запи-
записано в виде (неварьируемый множитель опущен)
D = A{RT) + к2 [В{RT)+ 1/4 • Л2С(Дг)]; B2);
_4_
lib "'Tib
R-T Rf Г i p \2 . 4 f „2
Xя ' ~ ж2 J l ж У ' За; J '
B3)
где /с = F<pa/IFa|; A = 2L/(fca). Поскольку неизвестная турбулент-
турбулентная вязкость vT входит в B2) и B3) только через RT, то миними-
минимизацию B2) будем осуществлять по RT.
Параметр Л — основной в теории центробежной форсунки [37],
а в теории Г. Н. Абрамовича [1] он единственный (Л — «геомет-
«геометрическая характеристика форсунки»). Величины к и Л легко мо-
могут быть выражены только через геометрические характеристики
вихревой камеры. В случае тангенциальных вводов к равно отно-
отношению площадей боковой поверхности камеры и вводов.
Графики зависимостей B3) для решений обоих типов пред-
представлены на рис. 81 (Ci = 0). Величины А, В, С имеют ясный фи-
физический смысл. Они характеризуют диссипацию энергии соответ-
соответственно в радиальном, вращательном и осевом движении. Отсюда
вытекает, что если \Ur\ ^ Uv, то для режимов второго типа пара-
параметр к несущественен для определения минимального RT = R2, ко-
которое тем самым зависит лишь от Л. Это целиком соответствует
тому, что для реальных вихревых камер с большой степенью за-
закрутки к вместо двух независимых безразмерных параметров к и
L/a играет роль только их комбинация Л.
Из рис. 81 можно заключить, что имеют место неравенства
А\>А2 и Bi>B2. Тогда из B2) следует, что при Л->-0 Di>D2.
Значит, при сильных вращениях (малые Л) режим второго типа
обладает меньшей диссипацией, чем первого. Данные на рис. 81
позволяют проанализировать все возможности. Однако наличие в
B2) двух параметров затрудняет анализ. Поэтому при рассмотре-
рассмотрении режимов второго типа ограничимся случаем больших к, что и
представляет наибольший практический интерес. В этом случае
минимальные значения i?2, определенные из условия dDldRT = 0,
и величина d% = 50D2/k2, определенная по минимальному значе-
значению Z>2, зависят только от Л, тогда как соответствующие величи-
величины i?! и d\ являются функциями только к2. Эти зависимости пред-
представлены на рис. 82.
Если зафиксировать Lfa и увеличивать /с2, то R[ ->- 0, а так
как при этом Л ->- 0, то и /?2 -*¦ 0. Таким образом, для каждого из
решений увеличение степени закрутки приводит к увеличению vr
и снижению RT, отвечающему минимуму диссипации энергии.
В области малых Л
R2 = 25Л. B4)
3. Модель турбулентного вращающегося потока
223
-Re,of= 50D/kz
t.SA
300 к?
Рис. 82.
Пусть к ->¦ оо за счет того, что Va ->- 0. Тогда Л ->¦ 0, и из послед-
последнего равенства и определения RT найдем
vT = a2VJE0L). B5)
Таким образом, в примере с вращающимся стаканом, рассмотрен-
рассмотренном в разд. 1.1, турбулентная вязкость пропорциональна скорости
вращения. Если, например, Уфа = 0, то vT = 0 и согласно A2)
Uг = 0, следовательно, меридиональное движение отсутствует, так
что в турбулентном режиме парадокс снимается. При Р7фа ^ 0 дви-
движение в стакане будет автомодельным относительно скорости вра-
вращения, поскольку функция и(х) при RT — 0 вполне определена и
не зависит от Vva. С увеличением длины стакана L итенсивность
меридиональных движений при каждом фиксированном z будет
уменьшаться. Все эти выводы, очень похожие на правду, как и
формулу B4), следовало бы проверить специальным эксперимен-
экспериментом, реализация которого не представляется сложной.
В связи с изложенным создается впечатление, что решения
второго типа «специально» предназначены для описания турбу-
турбулентных вращающихся потоков, тем более, что в плоской задаче
о вдуве в канал с пористыми стенками существуют лишь решения
первого типа, характеризующиеся чисто прямоточным режимом.
Вернемся к рис. 82. Для решения вопроса, какой из миниму-
минимумов &\ или d,2 при заданных параметрах к и Л лежит ниже, мож-
можно по заданному к2 найти d\, а затем по значению d% = d\ опреде-
определить величину Л^.. Указанная процедура проиллюстрирована на
рис. 82 стрелками. Так как с ростом Л величина d?. возрастает,
a d\ не меняется, то в случае Л>Л# будет d%> d\, и наоборот.
Иными словами, если с глубиной минимума связать вероятность
224 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
появления того или иного режима, то можно сказать, что при
Л << Л;,. более вероятным является режим 2 с циркуляционной
зоной, а при Л>Л^. — прямоточный режим 1. При Л = Л^ оба
режима равновероятны. Как показывают наблюдения, эти свойства
действительно присущи реальным течениям.
При небольших степенях закрутки действительно сосуществу-
сосуществуют оба режима, причем переход от одного из них к другому осу-
осуществляется буквально «мановением руки». С ростом Л вероят-
вероятность спонтанной реализации режима 1 возрастает.
Перейдем к количественному сопоставлению. Сначала рассмот-
рассмотрим конкретное течение в вихревой камере [24], имеющей радиус
8 см, высоту L = 20 см, радиус выходного отверстия а = 6 см и на-
направляющий аппарат, выполненный в виде 12 щелей общей пло-
площадью 16,38 см2, наклоненных под углом 45°. Величина к, опре-
определенная по параметрам потока при г —а, составляет А; = 36,1,
тогда А = 0,185. По графику рис. 82 определяем — Ri = 4,3 (фор-
(формула B4) дает —/?i = 4,6). Согласно A9) находим хт — 5,2 (фор-
(формула A8) дает жт = 5,15). Далее, согласно B1) вычисляем пара-
параметр a = {2xrnjRT) Wa\/a. В соответствии с A.8) имеем перепад
давления вдоль оси камеры Ар = 2pa2z2 = 11,52 pF2(z/aJ. Эта
величина весьма невелика. Так, при р = 1 кг/м3, — Va—i м/с для
z = a имеем /\р = 11,52 Па « 1 мм НгО. Таким образом, можно счи-
считать давление на оси практически постоянным, что вполне согла-
согласуется с данными, представленными в [24].
Согласно A0) и A2) при использовании A7) получаем
Uz = 2az(l-3e~x). B6)
В препринте [24]. значения Uz отнесены к средней расходной ско-
скорости ?/0 при z = L,
а хт / v \
U0=Ar rU-dr = — Uz dx = 2aL 1 — 3 — = 0,86ccL.
a J " xm J V xm I
0 0
При z/L = 0,5
?TZ = г/^г/о == 1,17A — 3e-*); x = xm(r/a)z. B7)
Для расчета относительной окружной скорости L\ == UJV^ доста-
достаточно проинтегрировать уравнение A4) с использованием A7) при
условиях Г@) = 0; Г'@) = 1 до значения х = хт. После этого 6ГФ
вычисляется по формуле
?/ф = (Г/Гт)а/г; Тт = Т(хт); г = аУф^. B8)
Зависимость B7) и B8) изображены на рис. 83. Крестиками
(для иг) и кружками (для С/Ф) нанесены опытные данные из [24].
Учитывая разницу между реальной вихревой камерой и пористой
вращающейся трубой, а также неизбежную погрешность экспери-
эксперимента, согласие теории с измерениями следует признать хорошим.
§ 3. Модель туриулентпого вращающегося потока
225
1
1-
0,75-
0,50-
0,25-
0 0,2 0,4- 0,6 0,3 ф1
Рис. 83.
О 0,5 1
Рис. 8'.
1.5
Отметим, что в разобранном примере турбулентная вязкость доста-
достаточно велика, поэтому окружная скорость монотонно падает в на-
направлении к оси камеры. При больших числах Рейнольдса расчет-
расчетная зависимость [/„(г) имеет максимум, который наблюдается и
в эксперименте.
К сожалению, поля скоростей в вихревых камерах не подда-
поддаются универсальному обобщению. Поэтому приходится довольство-
довольствоваться отдельными сопоставлениями. Однако для режимов второго
типа существует универсальная характеристика — относительный
радиус циркуляционной зоны |, которая определяет всю гидроди-
гидродинамику вращающегося потока. От \ зависит положение максимума
и значение максимальной окружной скорости, проходное сечение
для основного потока, гидравлическое сопротивление камеры, на-
наконец, ее акустические свойства. Зависимость |(Л) для случая
Rt > 5 может быть легко построена следующим образом. По дан-
данному Л определим значение R2 (см. рис. 82), по формуле A8) най-
найдем хт, тогда | = хо/хт, где х0 = 2,821439 — ненулевой корень функ-
функции A7). Хотя хо — это фиксированное число, величина | убывает
до нуля с ростом RT до бесконечности, что физически совершенно
естественно. При RT < 5 %(А) строится численно.
Зависимость \ (Л), найденная из условия минимума диссипа-
диссипации энергии, показана на рис. 84 в виде кривой 1. Здесь же кри-
кривой 2 нанесены значения радиуса, воронки, вычисленные для иде-
идеальной жидкости [37]. Как видим, для режимов сильного вращения
(малые Л) значения | в затопленном и кавитационном режимах
совпадают. С ростом Л появляется отличие, которое при Л =1,54
приобретает катастрофический характер, ибо | обращается в
нуль! Это означает, что циркуляционная зона схлопывается и
при Л > 1,54 может существовать лишь прямоточный режим
истечения.
15 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
226 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Заметим, что кавитационная полость в невязком потоке схлоп-
нуться не может из-за появления бесконечных скоростей, так что
расхождение кривых 1 и 2 при больших Л закономерно (удиви-
(удивительным скорее является их согласие при малых Л). Отметим так-
также, что если кривая 2 подтверждена многочисленными измерения-
измерениями, то для затопленных режимов данных почти нет. По-видимому,
это связано с трудностями измерения, как правило, малой радиаль-
радиальной скорости, по нулевому значению которой определяется вели-
величина |. Тем не менее кое-какие опытные данные имеются и они
качественно и даже количественно подтверждают вывод о неиз-
неизбежности схлопывания циркуляционной зоны.
Практически увеличение параметра Л проще всего осуще-
осуществить путем уменьшения а за счет диафрагмирования выхода из
камеры. Указание на то, что при малых а в камере возможен толь-
только прямоточный режим, содержалось еще в C3]. В работах [24, 25]
указано, что при относительном радиусе диафрагмы 0,05 зона раз-
разрежения в камере отсутствует. По имеющимся там данным (L/a =
= 50; А; = 43,3) нетрудно найти, что в этой камере было Л =2,3.
В диссертации [122] приведена эмпирическая формула для опреде-
определения радиуса зоны разрежения: i?j,/a = 0,67 — 0,27/[(УФО/С/оH'8—
— 0,1]. Согласно этой формуле Rv — 0 при Л = 1,6. Отметим, одна-
однако, что условие Rv = 0 является косвенным признаком схлопыва-
схлопывания циркуляционной зоны и зависимость |(Л) нуждается в пря-
прямой экспериментальной проверке. Отметим также, что подобный
эксперимент требует достаточной осторожности из-за слабой устой-
устойчивости метастабильного режима второго типа при больших Л.
Таким образом, предлагаемая вариационная модель, не исполь-
использующая каких-либо эмпирических констант, вполне адекватно от-
отражает особенности турбулентного вращающегося потока во всех
его нетривиальных проявлениях.
§ 4. ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПОРИСТЫМ
ВРАЩАЮЩИМСЯ ДИСКОМ И ПЛОСКОСТЬЮ
4.1. К истории вопроса
Начиная с основополагающей работы Кармана [187], где
рассмотрено автомодельное решение полных уравнений Навье —
Стокса над вращающимся диском, исследованию решений этого
класса посвящено огромное количество работ. Бэтчелор [155] ука-
указал, что автомодельному классу Кармана принадлежат течения
над вращающимся проницаемым диском с заданным вращением
жидкости на бесконечности и течения между бесконечными вра-
вращающимися дисками, на которых задан равномерный вдув или
отсос. На основе качественного анализа он сделал вывод о том, что
при больших числах Рейнольдса течение между непроницаемыми
§ 4. Течение между диском и плоскостью 227
дисками представляет собой твердотельное вращение с тонкими по-
пограничными слоями на дисках при условии, что диски вращаются
в одну сторону; если же диски вращаются в противоположные сто-
стороны, то возникает внутренний пограничный слой, отделяющий об-
области с твердотельным вращением разного знака.
Стюартсон [241] при анализе этой задачи пришел к другому вы-
выводу: вне пристенных пограничных слоев жидкость вообще не вра-
вращается. Таким образом, практически с самого начала исследований
проявились недостаточность и противоречивость существовавших
представлений. Последующие работы показали, насколько богата
гидродинамика вязкой несжимаемой жидкости необычными свой-
свойствами на примере этой очень простой автомодельной задачи. Мно-
Многие полученные результаты трудно было предвидеть заранее. В част-
частности, были найдены оба типа решения, предсказанных Бэтчелором
и Стюартсоном [194, 224, 205, 215]. В прекрасных обзорах ([221, 262]
можно найти изложение истории вопроса и характеристику совре-
современного состояния исследований задачи о кармановском автомо-
автомодельном течении между двумя непроницаемыми дисками.
Одним из наиболее важных результатов анализа является ра-
растущая с числом Рейнольдса множественность автомодельных ре-
решений уравнений Навье — Стокса. Вновь рождающиеся решения
изолированы от уже существующих и, как правило, характеризу-
характеризуются многоячеистой структурой [205], хотя неединственность обна-
обнаружена и для одноячеистых режимов. Множественность режимов
течения между непроницаемыми дисками подтверждена экспери-
экспериментами [205, 215, 166, 246], которые показали, что, хотя для опре-
определенной экспериментальной установки существует только один
режим течения, тип его может быть разным на разных установках.
Эксперименты свидетельствуют о существенном влиянии крае-
краевых эффектов, простирающихся почти до половины радиуса дисков.
В связи с этим были рассмотрены некоторые автомодельные зада-
задачи для течения между дисками конечного размера [152, 166, 159].
Численные решения показали, что в неавтомодельной постановке
наблюдается только одпо решение, причем оно неплохо согласуется
с результатами эксперимента [166], применительно к условиям ко-
которого и был произведен расчет. Отсюда можно сделать вывод о
том, что краевые условия на цилиндрической поверхности, ограни-
ограничивающей диски, являются определяющими при выборе одного из
возможных автомодельных решений. Однако вопрос о том, суще-
существуют ли такие внешние краевые условия, при которых реализу-
реализуются устойчивые многоячеистые режимы, остается открытым. Во-
Вопросы устойчивости рассматриваемых течений обсуждаются в об-
обзоре [262], укажем также работу [245].
Значительное число работ (см. [221, 262, 182, 183] и библио-
библиографию в них) посвящено численному исследованию задачи, при
этом найдено большое количество решений. Определение всего
множества решений при произвольно заданных угловых скоростях
15*
228 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
вращения дисков встречает заметные вычислительные трудности.
Они обусловлены тем, что все многоячеистые решения не возника-
возникают вследствие бифуркаций одноячеистого решения [230], а являют-
являются изолированными, что для гидродинамики, вообще говоря, не-
нетипично.
Наличие дополнительных параметров вдува или отсоса значи-
значительно усложняет задачу. Это привело к тому, что более сложные
течения между вращающимися дисками, на которых задан равно-
равномерный вдув или отсос, анализировались в основном вне связи с
проблемой неединственности решений уравнений Навье — Стокса
[243, 56, 169, 171, 170, 192, 185, 217, 214, 252, 254, 253, 168, 72,
106]. Однако наличие достаточно большого отсоса в задаче с не-
неподвижными дисками приводит к неединственности нового тина,
а именно, к бифуркации вращения, которая имеет нетривиальную
физическую интерпретацию в виде спонтанной закрутки тече-
течения '[48].
Возникает проблема описания всего множества решений для
автомодельных течений кармановского типа в зависимости от вели-
величины угловых скоростей дисков и скорости равномерного вдува
или отсоса. В определенной степени ее удается решить сведением
краевой задачи о течении между вращающимся пористым диском
и плоскостью к задаче Коши с двухпараметрическим семейством
решений [48]. Это делает проблему вполне обозримой и позволяет
с помощью несложного алгоритма в принципе определить все се-
семейство решений. Поскольку численные расчеты указывают на то,
что существует множество изолированных решений, были предпри-
предприняты многочисленные попытки строго доказать (или опровергнуть)
существование таких решений. Для задачи с непроницаемыми
дисками достаточно полное изложение соответствующих результа-
результатов можно найти в упоминавшихся ранее обзорах.
В случае задачи со вдувом или отсосом известны лишь отдель-
отдельные частные результаты. Так, Элькрат [167] доказал теорему суще-
существования и единственности для невращательного движения жид-
жидкости между неподвижными пористыми дисками при произвольных
равномерных вдувах или отсосах. Каких-либо точных результатов,
касающихся автомодельного течения между вращающимися диска-
дисками с равномерным вдувом или отсосом, нет. Тем не менее невяз-
невязкий анализ позволяет установить некоторые закономерности пове-
поведения решений и в этом случае.
В разд. 4.3 рассматривается общий вид невязкого вихревого
решения, позволяющий установить в пределе исчезающе малой вяз-
вязкости v ->¦ 0 существование не более чем конечного числа решений
при наличии вдува или отсоса, тогда как в случае непроницаемых
дисков число решений не менее, чем счетно [221]. При v > 0 невяз-
невязкий анализ дополняется численным исследованием, при помощи
которого определено существование решений различных типов на
основе специально разработанного алгоритма.
§ 4. Течение между диском и плоскостью 229
Здесь, чтобы сделать решение автомодельной задачи о течении
между двумя бесконечными пористыми дисками обозримым и до-
доступным для анализа в целом, рассмотрим только задачу о тече-
течении жидкости между вращающимся пористым диском и неподвиж-
неподвижной плоскостью. Эта задача качественно моделирует течение под
телом на воздушной подушке и поэтому может быть интересна с
практической точки зрения. Течение определяется двумя парамет-
параметрами: числом Рейнольдса Re = Vh/v, построенным по скорости
вдува или отсоса, и параметром крутки К = QhlV, где h — расстоя-
расстояние между дисками, Q — угловая скорость пористого диска. Выбор
параметра К, вместо традиционно используемого вращательного
числа Рейнольдса Reo, = Qh2/v или числа Экмана Ek = 1/Rem при-
применительно к диску на воздушной подушке с вращением, более
удобен, поскольку К характеризует только геометрию устройства,
закручивающего поток [37]. В общем случае необходимы еще два
параметра: отношение угловых скоростей дисков и отношение ско-
скоростей вдува или отсоса.
4.2. Постановка задачи
Пусть координата z = О соответствует неподвижной непро-
непроницаемой плоскости, a z = h — вращающемуся пористому диску,
через который осуществляется равномерный вдув или отсос жид-
жидкости. Уравнения Навье — Стокса для осесимметричного движения
несжимаемой жидкости запишем в форме (обозначения стандарт-
стандартные)
dt "*" Vr dr + Vz dz r ~ p dr ^ \dr r dr ^ Sz* )' ( '
B \
я \ Orum д rv^\
dt dr
drvr drv
dr dz
dvz 1 dp . /la <4 , 82vA
dz ~ p dz ^ \r dr' dr т д7? у' K >
0. D)
Автомодельное решение кармановского типа будем искать в виде
vz = vz(z, t); vv=>r(a(z,t). E)
В соответствии с B.4) имеем vr — — 1/2-rvz, где штрихом обо-
обозначено дифференцирование по z. Согласно A) dp/dr = prF(z,t),
тогда как согласно C) dp/dz = pf(z, t), так что д2р/ (дг dz) = 0.
Следовательно, F' — 0 и F = F(t). Для дальнейшего удобно поло-
положить F = —1/2 • а2б, где a = a(t) — искомая величина, 5 = ±1. Та-
230 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
ким образом, имеем
i др 1 9 s /a\
7*=-татё- F)
Подстановка полученных результатов в A) дает уравнение
^ = w"; + у i^ - vzv"z - 2оУ2 - аЧ. G)
Дифференцирование этого уравнения по z позволяет исключить
неизвестную величину а:
я "
-J- = vvlz v _ Vzvz — 4(осо'. (8)
Аналогичным путем, исходя из B), получаем уравнение
dJL = W - yzco' + ^co. (9)
Для системы уравнений (8), (9), кроме начальных, ставятся крае-
краевые условия прилипания:
М0) = 0; v'z@) = 0; <o@) = 0;
Vz(h)=:V: v'z(h) = 0; <a(h) = Q. A0)
Количество условий A0) соответствует порядку системы (8), (9).
Далее в основном изучается стационарная задача, в которой
dvzldt = 0, du)/dt = 0. После обезразмеривания в стационарном слу-
случае появляются два независимых физических параметра: число
Рейнольдса Re = Vhfv и степень закрутки потока K = QhfV.
Даже в стационарном случае нелинейная краевая задача (8) —
A0) трудна как для аналитического исследования, так и для чис-
численного решения. Для изучения всего множества возможных ре-
решений стационарную краевую задачу целесообразно свести к зада-
задаче Коши. Введем новые переменные, положив
vz= YavW(x); vr = — -^-arW (x); v9= ary(x); x = z^a/v.
A1)
В этом случае стационарные уравнения G), (9) можно записать
в форме, не содержащей параметров:
W" = WW" — 4- W'2 + 2f + б; A2)
A3)
где штрихом уже обозначено дифференцирование по х. Заметим,
что согласно F) величина а имеет размерность с, так что пере-
переменные х, W и у безразмерны. Начальные условия ставятся при
х = 0:
W = 0; JF = 0; W" =P; f = 0; f = Q. A4)
§ 4. Течение между диском и плоскостью 231
Задача содержит всего два параметра: Р и Q, что и позволяет про-
провести полное исследование отдельно для б = +1 и б = —1. Пере-
Перебирая параметры — °° < Р < оо? о ^ () < °°, можно получить все
семейство решений исходной краевой задачи со всеми допустимы-
допустимыми значениями Re и К.
Связь задачи Копш A2) — A4) с исходной краевой осуществ-
осуществляется путем интегрирования системы уравнений до такого значе-
значения х = хт, где выполнено предпоследнее условие A0), т. е.
W (хт) = 0. Величины Wm = W(xm) и чт = ч(х™) ПРИ этом опре-
определяются. С помощью A1) их можно без труда связать с исход-
исходными параметрами задачи Re и К. Предварительно определив ве-
величину а = x^v/h2, имеем
Re = Wmxm, K="imxJWm. A5);
Задача Коши A2) — A4) для каждого набора Р, Q, б имеет един-
единственное аналитическое решение, которому может соответствовать
одно, несколько или ни одного значения хт > 0, где W = 0.
Нетрудно вычислить силу взаимодействия потока со стенками,
если воспользоваться выражением для тензора плотности потока
импульса:
Исходя из C), для стационарного случая нетрудно получить
-^- = -f + v—5~-^ —2^-г2. Тогда с учетом (И) и равенства
р р oz &i q
хт = hi-a/v находим
nzz = Ро — ^г ж^б + i~- x2m [-Y — W J.
При расчете силы, действующей на диск большого радиуса R, по-
последнее слагаемое можно не учитывать. Поэтому, выбирая констан-
константу ро из условия р(Л) = 0, получаем выражение для подъемной
силы:
R
nz^ = ^(|)*^6['l + 0^jj. A6)
Для момента сил на любой из стенок имеем
R
П^гЧг = ^ R (|K (Wy - у') U0,*m. A7)
о
Намеченную программу проще всего реализовать численно, оста-
оставив аналитическое исследование лишь для предельных случаев.
232 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
4.3. Физический анализ задачи
Прежде всего заметим, что величина 6 согласно F) одно-
однозначно определяет знак радиального градиента давления. Значению
6 = 1 соответствует зона повышенного давления вблизи оси сим-
симметрии течения, значению б = — 1 — зона разрежения.
Строгий асимптотический анализ задачи представляет боль-
большие трудности и едва ли оправдан. Тем не менее для предвари-
предварительного исследования качественного поведения решения полезно
рассмотреть на физическом уровне предельные случаи v-»-» и
v -»- 0, исходя непосредственно из постановки стационарной задачи
(8) — (Ю). В случае v -*• °° после отбрасывания нелинейных членов
получаем vvz = а26, со" = 0. Решение, удовлетворяющее условиям
A0), имеет вид
Последнее соотношение показывает, что вдуву (F<0) отвечает
6 = 1, отсосу б==—1. Связь между параметрами Re, К и Р, Q име-
имеет вид
Re=--J-P46; K = GQ/P. A9)
Без ограничения общности можно считать, что Q > 0 и Q> 0.
Тогда знак Р совпадает со знаком скорости V, так что в случае
отсоса Р > 0, а вдува Р < 0. Все эти свойства вполне согласуются
со здравым смыслом: при вдуве под диском формируется зона по-
повышенного давления, при отсосе, наоборот,— зона разрежения.
Рассмотрим теперь стационарное «невязкое» решение, положив
в G) и (9) v = 0. В этом случае уравнение (9) легко интегриру-
интегрируется [165]:
со = ~ Vz; A = const. B0)
С учетом B0) уравнение G) принимает вид
vzvl-±v' + ^-vt + аЧ^О B1)
и имеет общее решение
Vz = B_ + _V?T^LsinA{z + Zol B2)
где В, zo — произвольные постоянные. Из B1) и B2) следует, что
для обращения vz в нуль необходимо иметь б = +1. При 8 = —1,
как это непосредственно видно из B1), существует особое решение
vz = const, соответствующее твердотельному вращению и2 = <х2/2.
Выражения B0) и B2) описывают четырехпараметрический
§ 4. Течение между диском и плоскостью 233
класс вихревых движений идеальной жидкости. Выбором парамет-
параметров А, В, zo, а в принципе можно удовлетворить четырем из шести
условий A0). Какие именно условия следует взять для получения
содержательного результата, выясняется из конкретной физической
постановки задачи. Одним из важных физических требований в
этом случае является отсутствие пограничных слоев на участках
втекания жидкости [147]. Однако следует иметь в виду, что в про-
процессе предельного перехода v-»-0 в результате образования погра-
пограничных слоев физические граничные условия A0) могут «стирать-
«стираться». Анализ и численные расчеты показывают, что так и происхо-
происходит, при этом могут «стираться» не только условия прилипания,
но и непроницаемости! В таком случае параметры решения долж-
должны определяться путем детального рассмотрения предельного пе-
перехода v ->- 0 в полном вязком решении.
Достаточно полный анализ задачи в случае непроницаемых
дисков изложен в упомянутых обзорах [221, 262]. В случае вра-
вращающихся пористых дисков с равномерным вдувом или отсосом
ситуация качественно меняется. Прежде всего заметим, что невяз-
невязкое решение B0), B2) способно удовлетворить пяти условиям из
шести в (Ю). В случае вдува такое решение единственно и имеет
вид
vz = VsmK^sinKB- ^)lsin*K, B3)
л. у д jj
К „ Ah Qh /o/.
© = -rz, K = Y=-r. B4)
Решение B3) из всех условий A0) не удовлетворяет лишь усло-
условию прилипания vz @) = 0, поэтому естественно допустить, что
при v->-0 в вязком решении на непроницаемой стенке z = 0 возни-
возникает классический пограничный слой. На проницаемом диске, по-
поскольку рассматривается случай втекания, пограничный слой дол-
должен отсутствовать, что обеспечивается выполнением условия
Vz (h) = 0 для решения B3).
Решение B3) является знакопостоянным лишь при К^п/2.
Замечательно, что при К = я/2 условие прилипания vz @) = 0 так-
также выполняется, так что решение B3) в этом случае заведомо
является точным пределом вязкого решения при v -*¦ 0. Отметим,
что на этом решении параметр а = 0, т. е. согласно F) др/дг = О.
Это видно из соотношения
]Z2 pfn-2 V ОЧ\
которое получается подстановкой решения B3), B4) в уравнение
B1). Если К > я/2, то решение B3) знакопеременно и описывает
многоячеистый режим. Однако аналитическое решение B3) в ок-
окрестности точки zo, такой что vz(zo) = O, не является пригодным.
234 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Это непосредственно следует из стационарного уравнения (9)
vco" = yzco' — v'za. B6)
На аналитическом решении B3) оба слагаемых правой части B6)
имеют нуль первого порядка, тогда как а" (zo)?=O. Следовательно,
в окрестности точки zo вязкий член отбрасывать нельзя. Сказанное
означает, что предельное решение при v ->¦ 0 следует строить как
составное из невязких решений, различных по разные стороны точ-
точки Zo, где возникает внутренний пограничный слой. Ситуация здесь
такая же, как и в теории гидродинамической устойчивости, когда в
результате вырождения дифференциального уравнения (vz(z0) = 0
в B1)) возникает критический слой [89]. Наиболее естественно
искомое составное решение строится из физических соображений,
если допустить, что при К > я/2 величина а = 0.
Согласно B5) увеличение К от нуля до значения я/2 приво-
приводит к падению градиента давления а2б до нуля. Дальнейшее увели-
увеличение вращения согласно B5) должно вызвать повышение давле-
давления вблизи оси, что физически представляется неприемлемым. Од-
Однако если а = 0 при К > я/2, то в зоне zo < z < h решение имеет вид
B7)
Решение B7) характеризуется тем, что при z — zQ не только vz =
= ю = 0, но и vz = 0, т. е. в этой точке жидкость покоится. В та-
таком случае и во всей зоне 0 ^ z =^ zq допустим покой. Такая воз-
возможность составного решения не является единственной. Например,
в зоне 0 ^ z < zo допустимо «собственное» движение с полем ско-
скорости
vz = С sin3 (jtz/z0); « = -%г, B8)
о
где С — произвольная постоянная.
Следует отметить, что собственное решение B8) не является
единственно возможным нетривиальным решением в области 0 ^
^ z «=: zo. Эту область можно разбить на сколь угодно большое коли-
количество подобластей так, что в каждой полученной зоне осуществля-
осуществляется «собственное» движение типа B8).
Согласно Партеру [221], решения вида B7), B8) являются пре-
предельными для вязкого решения при v -*¦ 0. Величина С в B8) мо-
может быть получена методом сращиваемых асимптотических разло-
разложений [165], который в данном случае сводится к следующему.
В уравнении B6) принимается vz = A(z — zoJ, где в рассматривае-
рассматриваемом случае вдува А < 0. Решение линейного уравнения B6) полу-
получается аналитически в виде функции Куммера U [—2/3, 2/3,
A (z — zoK/Cv)], имеющей различное асимптотическое поведение
§ 4. Течение между диском и плоскостью 235
при z -»- +°° и z ->- — °°, так что
м!,(+ ^ = - 2*. B9)
СО (— оо) v '
Разумеется, соотношение B9) справедливо лишь при условии, что
движение имеется по обе стороны границы z = z<). Из B9) видно,
что при переходе через границу z0 вращение жидкости изменяется
на противоположное. Этот анализ показывает, что у сращиваемых
решении при z = z0 непрерывны vz, vz, vz, со и ю , а более высокие
производные имеют разрыв. Разрывность функции со" в точке z0
при условии непрерывности vz предопределяет скачок константы к
в соотношении <в = kvzjh.
Пусть в области z < zq k = ki, тогда в соответствии с B9) име-
имеем kjk = —1/2. Записывая условия непрерывности в терминах со-
составного невязкого решения B7) и определенного в некоторой об-
области z\ =SJ z ^ Zo собственного решения вида
Vz = Vi sin2 к-. —~; со = -г vz; z-, = z0 — ,-г—;,¦ C0)
Л h | ft1 |
получим соотношения
k^-l/2-K, k\Vx = KW, C1)
которые ограничивают произвол в выборе подобластей с собствен-
собственными решениями. В частности, сопоставляя C0) и C1), с учетом
B7) имеем z\ — h(l — 5n/2K). Следовательно, поскольку должно
быть z\ > 0, собственная циркуляционная зона может возникнуть
лишь при К > я/2. Если я/2 < К < 5я/2, то в области z^ z0 жид-
жидкость покоится. Заметим, что и при К > 5я/2 допустимо решение с
^2 = 0 при z ^ Zo, так что имеет место неединственность предельных
режимов. Число подобных решений возрастает с ростом К. Обобщая
соотношения C1), можно записать
Vo= V<0,
где г = 1, 2, ...— порядковый номер внутреннего пограничного слоя,
отсчитываемый от вращающегося пористого диска. Нетрудно видеть,
что местоположение i + 1-го внутреннего пограничного слоя опреде-
определяется выражением
Zi = zt-i-hn/\kt\. C3)
В силу ограничения zf > 0 получаем, что количество дополнитель-
дополнительных зон с собственным движением определяется величиной К. Так,
в соответствии с C2), C3) в интервале 2лBп+1~1)Ж — л[2'>
2" — 1), п = 1, 2, 3, ..., возможно существование п дополни-
* Отметим, что в работе [165] приведенное отношение равно —1/2 по-
поскольку рассматривается случай А > 0.
236 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
тельных зон. При этом зоной покоя может быть лишь непосред-
непосредственно прилегающая к плоскости z = 0. Поэтому числа возможных
решений составляет п+, 1. Заметим, что при переходе к непрони-
непроницаемым дискам, когда К -*- °°, число решений неограниченно воз-
возрастает.
В случав отсоса (V>0) решения B7), C0) также являются
допустимыми. Однако метод сращиваемых асимптотических разло-
разложений, примененный в окрестности вращающегося пористого диска
z — h, при условии непрерывности нормальной скорости дает к0 = 0.
Действительно, пусть в малой окрестности z = h скорость имеет
компоненты: vz = V + O((h — zJ); vr = O(h — z). Из уравнения B6)
найдем
Это соотношение характеризует равновесие между диффузией вра-
вращения от торца z = h в глубь жидкости и конвекцией за счет
отсоса.
В пределе при v ->• 0 величина © ->¦ 0 для всех z<h. В этом
случае решение во внутренней области течения имеет вид
vz = V^; со = 0; 0<z<fr, C4)
h
а при z — h существует тонкий пограничный слой. Однако при на-
наличии отсоса (б = —1), как уже упоминалось, существует особое
невязкое решение vz = const. Оно не может удовлетворить условию
непротекания на плоскости, но уравнения Навье — Стокса A) — D)
допускают существование неклассического пограничного слоя, на
внешней границе которого дана нормальная скорость vz~ \. Для
такого пограничного слоя стандартным образом можно получить
оценки
60~v; у, ~l/v; y,,~l/v, a~l/v, C5)
где б„ — толщина пограничного слоя. Оценки C5) обусловливают
существование интенсивных приграничных течений с большими ка-
касательными скоростями. В частности, весь радиальный поток сосре-
сосредоточен вблизи стенок z = 0 и z = h. Эти пограничные слои совме-
совместимы с особым решением vz = const, поэтому допустим невязкий
предел
vt = const; со2 = — a28/2 = const, C6)
и наряду с решением C4) существуют решения вида
coi = а/У2; со2 = -a/V2; a ~ 1/v. C7)
Решение C6)', C7) необычно в двух отношениях. Во-первых,
оно характеризуется разрывами нормальной скорости vz на грани-
границах z = 0 и z = h. Во-вторых, внутреннее вращение становится
сколь угодно большим при V-»- 0 независимо от заданного значения
со (h) = Q, что свидетельствует о генерации вращения внутри обла-
§ 4. Течение между диском и плоскостью 237
сти течения. Но тогда можно ожидать такой генерации и при Q = G.
Если это так, то должно найтись Re, при котором подобное само-
самовращение возникает впервые, поскольку при малых Re решение A8)
единственно. Как известно, явление прямой бифуркации сопровож-
сопровождается потерей устойчивости исходного режима C]. Поэтому для
нахождения предполагаемой точки бифуркации применим энергети-
энергетический метод.
Рассмотрим задачу об отсосе через верхний покоящийся диск
при произвольных Re. Эта задача имеет единственное решение в
предположении 17Ф = 0 [167]. Умножая нестационарное уравнение (9)
для ф-компоненты скорости на со и интегрируя по z от 0 до h,
приходим к энергетическому равенству
h h h
д Г со2 , Г/5(о\2
)dz v][) dz+
где произведено интегрирование по частям с учетом граничных
условий прилипания со (t, 0) = со (t, h) = 0. Если при уменьшении v
правая часть C8) становится положительной, исходное движение
теряет устойчивость по отношению к вращению. Это заведомо про-
произойдет, если второе слагаемое положительно, а'первое обращается
в нуль при v -*- 0. Для оценки потери устойчивости достаточно огра-
ограничиться случаем малых со, когда основное течение описывается ре-
решением без вращения, которое при v -*- 0 на верхней стенке пере-
переходит в C4) с образованием обычного пограничного слоя. Поэтому
при малых вязкостях первый член в правой части C8) можно оце-
оценить, используя подход теории пограничного слоя
ь
v\|—j dz ~ v—^-8Ю ~ coo/2v1/2, C9)
о га
где би ~ (v/cooI/2 — толщина пограничного слоя по скорости ь\,
а йо — некоторая характерная угловая скорость вращения. Таким
образом, при v ->¦ 0 вклад этого интеграла пренебрежимо мал.
Используя результаты работы [167], можно показать, что реше-
решение задачи без вращения (со = 0) монотонно: для отсоса dvz/dz>0,
а для вдува dvjdz < 0 при 0 < z < h для всех значений вязкости v.
В частности, в случае отсоса невязкий предел имеет вид C4). По-
Поэтому второе слагаемое в правой части C8) положительно. Итак,
решение с отсосом без вращения при достаточно больших числах
Рейнольдса неустойчиво относительно вращательного движения.
В случае вдува из C8) следует затухание вращения при всех v.
Как уже указывалось, возникновение вращательной неустойчи-
неустойчивости с ростом числа Рейнольдса, которая имеет место при отсосе
через верхний диск, является признаком бифуркации стационарного
решения. Исходя из уравнения C8), можно оценить число Рей-
238 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
нольдса, при котором происходит такая бифуркация. Для этого ис-
используем известное неравенство Куранта [109]
h h
Щ dz > ^ j со2 dz (со @) = со (h) = 0)
" О
в виде оценки, где знак больше или равно заменен на знак равен-
равенства по порядку величины. Второй интеграл в правой части урав-
уравнения C8) оценим, учитывая, что величина dvz/dz не меняет зна-
знака, в следующем виде:
h h
±(d2dz~— со2 dz,
z h J
о о
где V — скорость отсоса через верхний диск. Отсюда найдем, что
критическое число Рейнольдса, при котором правая часть C8) обра-
обращается в нуль, имеет значение
Re* ~?^«6,5. D0)
Оказывается, что, несмотря на грубость приведенной оценки, точ-
точный расчет значения числа Рейнольдса, при котором наблюдается
бифуркация вращения, приводит к величине, очень близкой к зна-
значению D0).
Помимо полученных результатов соотношение C8) может быть
использовано для оправдания существования особых стационарных
решений C6), C7) с неклассическими пограничными слоями. Дей-
Действительно, для таких решений оба члена в правой части C8) име-
имеют одинаковый порядок при \ -*¦ 0,
что и является необходимым условием существования стационарно-
стационарного режима. Численное исследование эволюции автомодельных реше-
решений подтверждает существование устойчивых особых стационарных
решений (см. разд. 4.5).
4.4, Результаты численных расчетов
В соответствии с программой, намеченной в разд. 4.2, ре-
решению подлежит задача Коши A2) — A4). Рассмотрим характер-
характерный пример поведения интегральных кривых W (х) при фиксиро-
фиксированных значениях Р = 0,5, б = — 1 и различных Q. Данные расчета
представлены на рис. 85, где приведены четыре интегральные кри-
кривые. Для решения краевых задач необходимо искать значения хт
4. Течение между диском и плоскостью
239
W
Рис. 85.
такие, что W (хт) = 0. Рис. 85
свидетельствует в пользу того,
что в конечном счете все кри-
кривые уходят в +°°, причем это 6
происходит при конечных хх,
как это типично для нелиней-
ных уравнений. Судя по резуль-
результатам многочисленных расче-
тов, данное свойство «притяже-
«притяжения» решений к +°° имеет ме-
место при всех значениях Р, Q и
б, за исключением некоторых
специальных случаев, например
при <?„ = 0, б = 1, Р* = -1,5603
функция W (х) ограничена
при всех х > 0. Если б и Р по-
положительны, то функция W (х)
при х~>0 нулей не имеет. То же имеет место при б = — 1, Р>0 и
достаточно больших Q, как об этом свидетельствует кривая 1, по-
построенная для Q = 0,75 на рис. 85.
Уменьшение Q приводит к появлению двукратного нуля у функ-
функции W (х) (см. рис. 85,2; Q — 0,677). С дальнейшим уменьшением
Q нули разделяются (см. кривую 3; <2 = 0,32), а затем происходит
рождение новой пары корней (кривая 4; Q = 0,277). Мы видим,
что одной и той же задаче Копти с фиксированными Р и Q может
соответствовать несколько решений краевых задач с различными
значениями хт ¦= жт. и соответственно физическими параметрами
Rei и Кг. В случае Р> 0 и б = — 1 число таких «родственных» ре-
решений четно, а при Р < 0 нечетно независимо от б. С уменьшением
Q до нуля число родственных решений неограниченно возрастает.
В то же время при Q = 0 и всех значениях Р из множества {для
6 = 1 —1,5603 <Р< 0; для б = —1 Р>0} решение единственно и
не осциллирует.
Этот неравномерный предельный переход Q -> 0 имеет место и
при других допустимых значенияхР: Р -<.Р*— — 1,5603 для 6 = 1,
Р < 0 для б = — 1, при которых, если Q = 0, нет ни одного решения.
Следует подчеркнуть, что описанный процесс рождения пар род-
родственных решений, хотя непосредственно и не означает неедин-
неединственности решений исходной краевой задачи, тем не менее имеет
к этому определенное отношение, как. будет видно из дальнейшего.
Все расчеты проводились методом Рунге — Кутта — Мерсона
с автоматическим выбором шага при относительной погрешности
10~4 — 10~5. Для определения числа родственных решений или, что
то же самое, числа нулей функции W (х) для данных Р, Q расчет
проводился до тех пор, пока значение функций W(x) не превыша-
превышало 1010, что рассматривалось как свидетельство их обращения в бес-
бесконечность.
210
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
1,о-
0,5-
V
//
~——Д^Г"
л
i
. 2_
¦
9- 7
*
-^
±
i i
~~—-
) \^\
\
\
0'
"Г
л
~ш
0,5
1.0 Л.
1.5
2.0
Рис. 86.
Практически для всех рассмотренных случаев соответствующее
значение х«, не превышало 100. В процессе каждого расчета по фор-
формулам A5) определялись физические параметры Re и К. Отметим,
что в силу определения числа Re = Yh/v Re > 0 соответствует отсо-
отсосу через верхний пористый диск, a Re < 0 — вдуву, при этом при
Q > 0 приходится рассматривать все значения К от — °° до + °°,
поскольку из-за возможной знакопеременное™ со, отмеченной в
разд. 4.3, может выработаться значение К < 0. Для описания всех
решений краевых задач необходимо найти все родственные реше-
решения каждой задачи Коши.
Области существования родственных решений на плоскости
Р, Q для случая б = — 1 показаны на рис. 86, а для б = + 1 — на
рис. 87. В области выше кривых 0 ж 0' (см. рис. 86) решений, удов-
удовлетворяющих граничным условиям A0), нет. Ниже этих кривых
появляется пара родственных решений. Ниже кривых 2 и 2', вплоть
до кривых 4 и 4', имеются четыре родственных решения и т. д. Все
кривые рождения пар родственных решений пересекаются в особой
точке (Р% = 1,119, Q* — 0,459), являющейся фокусом, на кото-
который они наматываются. При стремлении к этой точке все жт{-»-оо.
Кроме того, вблизи штриховой линии и оси @ = 0 также все ?mi—>-
->оо, кроме хт . Штриховая линия разделяет область существо-
существования решения на две подобласти, свойства решений для которых
существенно отличаются. На этой кривой так же, как и на оси
Q = 0, все Re, -*• — °°, кроме значения Rei, которое остается конеч-
конечным и изменяется непрерывно. Значения Kh кроме К\, на штрихо-
штриховой линии испытывают скачок от К{ до — Kt. Тем самым правее
штриховой линии располагаются режимы со знакопеременным вра-
вращением.
§ 4. Течение между диском и плоскостью
241
2-
8 =1
1 -Р.
Рис. 87.
При Q ->• 0 величина К\ -*¦ 0, что соответствует решению зада-
задачи о равномерном отсосе без вращения. Величина К\ на некоторой
кривой {К\ = 0) непрерывным образом изменяет знак. В режимах,
отвечающих этой кривой, жидкость вращается, хотя диски непод-
неподвижны. Бифуркация такого самовращения, которое обсуждалось в
разд. 4.3, происходит в точке пересечения линий Q = 0 и К\ = 0.
За меру интенсивности вращения в этом случае удобно принять
величину Q (величина К = 0, следовательно, не может служить ха-
характеристикой вращения).
На рис. 88 представлены изолинии К = const для одпоячеис-
тых режимов на плоскости параметров Re, Q. Изолинии с К > 0
исходят из точки @, 0), а с КО из (°°, 0). С ростом Re все изо-
изолинии стремятся к асимптоте Q = Q*. Кривая К = 0 есть кривая
самовращения. Самолращение возникает при критическом значении
Re^ = 6,5, что вполне согласуется с оценкой разд. 4.3. Как вид-
видно из рис. 88, возбуждение мягкое, что свидетельствует об устойчи-
устойчивости нового режима и неустойчивости исходного [3].
Решения с б = 1 могут быть получены из решений для б = — 1
непрерывным образом. Для этого достаточно склеить плоскости
рис. 86 и 87 вдоль оси Q и соединить полуплоскости Р < 0 на бес-
бесконечности. При этом кривая 2 на рис. 86 будет непрерывно пере-
переходить (на бесконечности) в кривую 1 на рис. 87, кривая 4 —
в кривую 3 и т. д. При пересечении оси Q справа налево одно из
решений с плоскости 8 = — 1 переходит на плоскость 6 = 1, где ре-
решения существуют только при Р < 0. На плоскости 6 = 1 существу-
существует особая точка Р*= —1,5603; (/* = 0, в которой сходятся все кри-
кривые 1, 3,5,..., но в отличие от аналогичной точки на плоскости
6 = — 1 она имеет структуру не фокуса, а узла.
В области / на плоскости 6 = 1 режим одноячеистый. Бифурка-
Бифуркации вращения на линии Q = 0 в отличие от случая отсоса не проис-
происходит. На отрезке 0> Р> Р^, Q = 0 число Рейнольдса конечно, на
16
М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
242
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
к
15-
10-
5-
\
\
I
I
1
1
\
\
\
0
7
0
\
ч
V
а1
а
1
h
т-Ш
i ii i й
4.
-5
-70
-75
Рис. 88.
Рис. 89.
луче Р < Р% бесконечно. Карта режимов в физических перемен-
переменных Re и К представлена на рис. 89. В областях /, III, V и т. д.
существуют соответственно одно, три, пять и т. д. решений. Эти
решения отличаются топологически как по числу ячеек, так и по
наличию противовращения. На рисунках представлены схемы с ха-
характерным поведением скоростей vz (сплошные линии) и v9 ~ со
(штриховые линии). Сплошной рамкой обозначены решения устой-
устойчивые, а штриховой — неустойчивые относительно автомодельных
возмущений.
В области I решение устойчиво и имеет знакопостоянное враще-
вращение. Ниже штриховой кривой 1 это решение имеет одну ячейку (а),
выше ее —две ячейки (а'). Кривая 2 есть граница области ///,
в которой кроме указанного устойчивого решения имеется еще два
неустойчивых решения Ъ\ и Ъ%. Оба имеют знакопеременное враще-
вращение, но первое — одноячеистое, а второе — двухъячеистое. Допол-
Дополнительные вращения не связаны бифуркационной кривой с исход-
исходным устойчивым решением. В области V (выше кривой 3) добавля-
добавляются еще два решения, причем оба характеризуются знакопере-
знакопеременным вращением и являются неустойчивыми.
Представляет интерес сравнение результатов невязкого анализа
(см. разд. 4.3) с численными расчетами при больших числах Рей-
нольдса. Следует отметить, что практически в рамках предлагаемо-
предлагаемого метода расчета имеется возможность получать решения при боль-
больших числах Рейнольдса ~ 104 — 105 только в случае вдува. В слу-
случае отсоса с ростом Re при данном К величины (P,Q)-+-
->-(P*i @*) асимптотически, навиваясь на предельную точку, что
значительно увеличивает требования к точности расчета и при до-
§ 4. Течение между диском и плоскостью 243
ступной машинной точности не позволяет получать решения с боль-
большими значениями Re. С другой стороны, как было указано в
разд. 4.3, при отсосе возникают неклассические пограничные слои,
что отражается в указанных трудностях численного расчета.
Возможная качественная картина поведения решений при
Re ->• «з (v->- оо) в случае вдува представлена в разд. 4.3, где было
отмечено, что дополнительные решения возможны лишь при
К > 5л/2. Этому факту на первый взгляд противоречит наличие ре-
решений типа Ъ\ в области III (см. рис. 89), которые имеют максимум
скорости vz внутри области течения, чего не может быть для реше-
решения B7). Численные расчеты показывают, что при увеличении
числа Re внутреннее движение усиливается в гораздо большей сте-
степени, чем течение вблизи границы z = h, так что в пределе решение
становится близко к «собственному», соответствующему решению
B3) при#->-я.
Следовательно, решения типа Ъ конечного предела не имеют.
Возможно, именно этим объясняются затруднения при численных
расчетах таких решений. Удается достигнуть значений чисел Рей-
нольдса, не превышающих 50, тогда как число Рейнольдса, постро-
построенное по максимуму скорости, составляет в этих случаях ~ 105.
Изложенные характерные особенности течения ставят вопрос о стро-
строгом математическом анализе предельного перехода v -»- 0 при К,
больших или меньших я. Впрочем, как будет показано, все такие
решения неустойчивы и физического интереса не представляют.
Решения, возникающие в области V, имеют конечные невязкие
пределы, соответствующие составным решениям B7), C0), C1).
Это подтверждается свойствами численных решений при больших
значениях Re. Так, величина k = vz(z)/(h<u(z)) является в случае
малых вязкостей адиабатическим инвариантом, изменяющимся скач-
скачком при переходе через внутренний пограничный слой по закону
h = jki-x (F<0), совпадающему с C2). Таким бразом, ре-
результат B9), полученный методом сращиваемых асимптотических
разложений, получил численное подтверждение на полном вязком
решении.
Карта режимов для течения с отсосом представлена на рис. 90.
В области / имеется одно стационарное решение, в областях ///,
///' — три, в областях V, V — пять и т. д. решений. В рамках пред-
представлено характерное поведение скоростей vz и рф (обозначения
те же, что и на рис. 89). В области / решение устойчиво и имеет од-
одну ячейку со знакопостоянным вращением. При переходе через
штриховую кривую 1 характер течения, соответствующего этому
решению, изменяется, А-+А'. Кривые 2 и 3 являются границами
областей /// и ///' соответственно, область пересечения которых
обозначена как V—V. Граница 2 начинается в точке К = 0,
Re = Re* = 6,5, так что решения в области III своим происхож-
происхождением обязаны наличию бифуркации вращения в этой точке. Одно
16*
244
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
15-
10-
Re
Рис. 90.
из них неустойчивое, Вг — Въ другое устойчивое, 5г- Оба ре-
решения являются одноячеистыми со знакопеременным вращением.
При переходе через штриховую кривую 6 характер течения, отвеча-
отвечающего первому решению, изменяется, В1-^>~В'1. В области III име-
имеются два дополнительных неустойчивых решения С\ и Сг, но они
не связаны бифуркационной кривой с предыдущими решениями.
Оба этих решения имеют знакопеременное вращение. Решение
С\ — двухъячеистое, a Ci ¦— трехъячеистое. При переходе кривой 4
в область V характер течения изменяется так, что неустойчивое
решение С\ переходит в устойчивое С\. При переходе границы, со-
составленной из верхней части кривой 4 и штриховой кривой 5 реше-
решение Сг преобразуется в С2, оставаясь неустойчивым.
Таким образом, в области левее кривой 2 существует единст-
единственное устойчивое решение А—А', а в области правее ее существу-
существуют два метастабильных решения А — А' ж В2. В области правее кри-
кривой 4 имеется три метастабильных режима течения А', В2 и CV
Границы 2, 3 ж 4 получены проекцией на плоскость Re, К трехмер-
трехмерных тел, изображенных на рис. 91 и 92, причем устойчивый режим
течения Сх соответствует аномально большим подъемным силам. Как
было показано в разд. 4.3, в случае отсоса асимптотически возмож-
возможны только три типа решений. На рис. 90 их больше. Дело в том,
что, как и в случае вдува, не все решения имеют конечный невяз-
§ 4. Течение между диском и плоскостью
245
Рис. 91.
кий предел. Таковыми на рис. 90 являются решения типа С, хотя
следует отметить, что при конечных Re, К некоторые из них ус-
устойчивы.
Как уже указывалось, в случае вдува течение между дисками
моделирует поток под телом, подвешенным на воздушной подушке.
Интересно проследить влияние вращения пористого диска (тела)
на величину подъемной силы. На первый взгляд, вращение должно
уменьшать подъемную силу, действующую на пористый диск. Это
действительно так для одноячеистых решений. Для многоячеистых
решений ситуация резко меняется. На рис. 91 представлены семей-
семейства одноячеистых решений в виде поверхности в трехмерном про-
пространстве F, Re, К, где F — подъемная сила, определенная согласно
A6). Подъемная сила F на рис. 91 представлепа в безразмерном
246
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
виде величиной .r^S (см. A6)). Поверхность решений образована
изолиниями F = const и Re = const.
Эта поверхность имеет две несвязанные части и довольно слож-
сложный вид. На переднем плане, который соответствует течению с от-
отсосом, нетрудно заметить неединственность решений, возникающую
из-за бифуркации вращения. Эта бифуркация образует глубокую
складку на поверхности решений и приводит к появлению решений
с большими отрицательными значениями подъемной силы. Из этой
фигуры видно, что на заднем плане для другой, несвязанной части
поверхности решений, отвечающей вдуву, также существует область
значений чисел Re и К, где решение неединственно, а именно, мож-
можно найти такие Re и К, при которых реализуются решения с раз-
разными по величине подъемными силами.
Как и следовало ожидать, положительная подъемная сила воз-
возникает лишь для течений со вдувом (Re < 0) и уменьшается с рос-
F
-5-103-
-7.5-103
20 30
Рис. 92.
§ 4. Течение между диском и плоскостью
247
том параметра крутки К до нуля на штрихпунктирнои кривой. При
больших значениях К подъемная сила отрицательна. При дальней-
дальнейшем увеличении К решение становится неединственным, что про-
проявляется в неодносвязности поверхности. На плоскости Р, Q разры-
разрыву поверхности соответствует особая точка (^*i Q#) при б = — 1
(F < 0). Следует отметить, что выбор области с положительными
К не обязательно соответствует значениям ^>0, а в силу инвари-
инвариантности функции W(x) относительно замены Q на — Q или, что то
же самое, К на —К, поверхность решений преобразуется симмет-
симметрично относительно плоскости К — О, поскольку при таких заменах
«({х) меняет только знак.
Поверхность в трехмерном пространстве F, Re, К, отвечающая
решениям с двумя-тремя ячейками, представлена на рис. 92 для
случая отсоса (Re<0). На поверхности нанесены те же изолинии
F = const, Re = const. Она имеет довольно сложный вид, причем
возможны самопересечения. Интересная особенность рассматривае-
2-Ю6
10s -
-10s -
-2-10ь
Рис. 93.
248 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
мых решений заключается в том, что положительная подъемная си-
сила возникает теперь в задаче об отсосе, а ее величина более чем на
порядок превышает значение подъемной силы в задаче о вдуве с од-.
ноячеистыми решениями при тех же I Re i и \К\. Парадоксальным
оказывается поведение дополнительных решений и при вдуве
(Re<0), который приводит к очень большой топящей силе. Это про-
проиллюстрировано на рис. 93, где представлена поверхность в F, Re,
Я-пространстве, отвечающая дополнительным решениям области ///
(см. рис. 89). Если упомянутые решения с отсосом окажутся устой-
устойчивыми, то их было бы заманчиво использовать на практике для
получения высоких значений подъемной силы для тела на воздуш-
воздушной подушке. Поразительно, что для этих целей необходимо орга-
организовать отсос (!), а не вдув.
4.5. Устойчивость
Ниже проблема устойчивости рассматривается в узком
смысле автомодельной эволюции путем решения нелинейной на-
начально-краевой задачи (8) — (Ю). Уравнения (8), (9) можно запи-
записать в безразмерной форме в виде системы
— «-б _и6-4ш>;
и" = 8; —- = —- со" — иоУ + и'со,
at tie
D1)
где z^-zjh; u(z)—vz/\V\; oo(z)-> ah/\V\; J\e=\V\h/v. Граничные
условия A0) для функции u(z) приобретают вид
¦в@)«0, ц'@) = 0; иA) = ±1, в'A) = 0, D2)
где знак плюс отвечает отсосу, а минус — вдуву через пористый
диск. В терминах величины 0 два последних условия D2) можно
записать в интегральном виде
1 1
z8rfz= + l. D3)
Для величины co(z) имеем следующие граничные условия:
со@) = 0; co(l) = Z. D4)
Начальные условия для функций и, 8, со должны удовлетворять
D2) — D4), а в остальном произвольны. Расчеты проводились
по явной схеме конечно-разностным методом второго порядка точ-
точности, причем интегральные условия D3) выполнялись алгебраи-
алгебраически точно с использованием формулы трапеций. Эти условия слу-
служат для вычисления граничных значений 6@) и 8A) по внутрен-
внутренним значениям функции 8(z), что позволяет для уравнения D1) на
4. Течение между диском и плоскостью
249
1.0-
-4,0
-3.0
-2,0
-1.0
Рис. 94.
каждом временном шаге ис- у /V
пользовать граничные уело- z
вия первого рода.
Прежде всего была ис-
исследована устойчивость тече-
ния, отвечающего спонтан-
спонтанной закрутке жидкости меж-
между неподвижными дисками.
Как и следовало ожидать,
решение без вращения поте-
потеряло устойчивость при отсо-
отсосе, когда число Рейнольдса 0,5-
превысило критическое зна-
значение Re.j. = 6,5, и эволю-
эволюционировало к ранее найден-
найденному стационарному реше-
решению с вращением. При этом
до чисел Рейнольдса Re ~ 9
эволюция носила монотон-
монотонный характер, а при больших — осцилляционный. Профили ско-
скоростей vz(z), co(z) для установившегося режима при Re = 10 пред-
представлены на рис. 94 (? = 15, время установления ?s«10).
Исследование устойчивости решений в случае вдува показало,
что устойчивыми являются только одно- и двухъячеистые режимы
течения типа а (рис. 89), азимутальная скорость которых нигде
в области 0 =5 z *?i 1 знака не меняет. Эти режимы существуют при
всех значениях чисел Re и К. Все дополнительные решения, отве-
отвечающие знакопеременной функции co(z), являются неустойчивы-
неустойчивыми. Расчеты показали, что с ростом |Re| устойчивые решения стре-
стремятся к невязкому пределу B3), B4) или B7), если К>л/2.
В последнем случае реализуются решения с внутренним погранич-
пограничным слоем. Таким образом, для любых заданных Re и К в случае
вдува устойчивое решение единственно.
В случае отсоса картина течения претерпевает существенные
изменения. Первое, что необходимо отметить, это наличие несколь-
нескольких стационарных устойчивых режимов течения (см. рис. 90). Так,
кроме одноячеистых решений типа А со знакопостоянной азиму-
азимутальной скоростью существуют устойчивые одноячеистые решения
типа В2 и Сх со знакопеременной co(z). Наличие нескольких ус-
устойчивых стационарных решений тесно связано с упоминавшейся
ранее бифуркацией вращения. Кривая 2 на рис. 90, ограничиваю-
ограничивающая область существования дополнительного устойчивого решения,
начинается в точке К = 0, Re = Re.,. = 6,5. В области правее кри-
кривой 2 решения бистабильны. В зависимости от того, является ли
начальное распределение coo(z) знакопостоянным или меняет знак
внутри области течения, эволюция приводит к тому или иному ста-
стационарному решению.
250 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Отметим, что правее кривой 2 (см. рис. 90) появляются два
дополнительных стационарных решения, но только одно из них ус-
устойчиво. Выше кривой 3 появляются еще два новых неустойчивых
стационарных решения. Однако при переходе через кривую 4 одно
из решений (С\) становится устойчивым, причем его топологическая
структура несколько меняется. Это решение имеет две ячейки и
знакопеременное вращение. Оно отвечает большим подъемным си-
силам, действующим на пористый вращающийся диск.
Таким образом, решения с большой подъемной силой, о кото-
которых шла речь в предыдущем разделе, в некотором диапазоне пара-
параметров Re, К оказываются устойчивыми, а точнее,— метастабиль-
ными. Им соответствует фронтальная часть поверхности с F > 0
на рис. 90. К этим решениям, в частности, эволюционируют двух-
трехъячеистые распределения скорости vz(z) со знакопеременной
a» (z). Однако с ростом Re стационарное решение с большой подъ-
подъемной силой все же теряет устойчивость (Recr > 20) и возникает
периодическое по времени решение, т. е. рождается устойчивый пре-
предельный цикл.
На рис. 95 для случая Re = 30, К = 20 представлена зависимость
от времени безразмерного трения т™ = 0A, t)/Re и величины a(t) =
= 6'@, ?)/Re. Как видим, решение является периодическим с без-
безразмерным периодом Т = 0,4. При дальнейшем увеличении Re зави-
зависимость от времени усложняется. Такое поведение решения крае-
краевой задачи D1), D2) качественно напоминает поведение решений
динамических систем, в частности систему Лоренца. Поэтому не
исключено, что существует критическое число Рейнольдса Recr (К),
при котором притягивающее множество нестационарных решений
обретет черты странного аттрактора и решение станет стохастиче-
стохастическим. К сожалению, исследование поведения решения нестационар-
нестационарной краевой задачи D1), D2) эволюционным путем с ростом Re
становится все более затруднительным, а наличие дополнительного
параметра еще больше усложняет задачу. Поэтому возникновение
стохастичности для точных решений уравнений Навье — Стокса,
*¦ Г-0.40
15
ЮЛ
ХДАЛААЛ
№„, 15-
"WWW
-ю
1,0-
-0
Узо
Рис. 95.
Рис. 96. 0,25 0,5 0,75 z/h
§ 4. Течение между диском и плоскостью 251
каковыми являются рассматриваемые автомодельные решения, тре-
требует дополнительных аналитических и численных исследований.
Другим нетривиальным свойством решений с отсосом является
пеклассический невязкий предел при Re -*¦ °°. Как уже указыва-
указывалось в разд. 4.3, при наличии пограничного слоя на пористом диске
при 2 = 1, который реализуется лишь в случае отсоса, невязкое ре-
решение может вести себя весьма нестандартным образом (см. C6),
C7)). Для указанного решения не выполняются не только условия
прилипания, но и непротекания (!). Численные расчеты при боль-
больших Re показали, что именно невязкий предел оказывается устой-
устойчивым в смысле автомодельной эволюции.
Характерные профили скоростей vz(z), co(z) представлены на
рис. 96 при Re = 100, К = 2 в момент времени ?=13 (время уста-
установления ts« 10). Решение получено эволюцией некоторого про-
произвольного начального распределения скоростей, удовлетворяюще-
удовлетворяющего граничным условиям и (Oo(z)^O. Результатом эволюции являет-
является решение с vz = const, со = const в ядре потока и с неклассически-
неклассическими сильными пограничными слоями вблизи твердых границ течения
z = 0 ж z = h. При переходе через эти пограничные слои осуществ-
осуществляется скачок нормальной скорости vz. К этому пределу стремятся
оба устойчивых одноячеистых решения А' и Вг (см. рис. 90), при-
причем бистабильность течения сохраняется и при Re > 1, что согла-
согласуется с C7).
Проблема устойчивости решений рассмотрена лишь в классе
произвольных автомодельных возмущений, В общем случае она весь-
весьма обширна и нуждается в самостоятельном исследовании.
4.6. Обсуждение результатов
Некоторые из полученных результатов требуют дополни-
дополнительного обсуждения и интерпретации. В первоначальной постанов-
постановке задача об автомодельных решениях формулируется в бесконеч-
бесконечной области с неограниченными на бесконечности скоростями vr
и iy He этим ли обусловлены выявленные свойства полученных ре-
решений? Одним из таких свойств является неединственность. Если
рассмотреть осесимметричное течение в конечной цилиндрической
области радиуса R, то полная постановка краевой задачи включает
в себя задание поля скоростей при r = R. При этом автомодельным
решениям будут отвечать лишь специальные автомодельные гранич-
граничные условия. Поскольку разным автомодельным решениям отвечают
различные краевые условия, неединственность автомодельных реше-
решений не означает неединственности решений исходной краевой зада-
задачи. С этой точки зрения полученная неединственность формально
является фиктивной. Однако она может иметь реальное физическое
содержание, если допустить, что автомодельные решения обладают
свойством асимптотической устойчивости по отношению к вариаци-
вариациям краевых условий при г = R.
252 Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
Это означает, что при отходе от автомодельных граничных ус-
условий при г = R течение все равно стремится к автомодельному
в ядре потока, а детали распределения скоростей при r = R «забы-
«забываются» в некоторой переходной неавтомодельной зоне. Такое по-
поведение вообще характерно для диссипативных систем и не являет-
является невозможным для рассматриваемой задачи при условии устой-
устойчивости соответствующих автомодельных режимов. В данном слу-
случае пространство всевозможных краевых условий разбивается на
ряд подпространств, которые стягиваются к соответствующим авто-
автомодельным решениям. Если это так, то неединственность автомо-
автомодельных решений будет соответствовать действительной неодно-
неоднозначности предельных режимов течения в области небольших г.
При этом роль краевых условий при г = R сведется к переключению
режимов. Эксперимент, по-видимому, подтверждает это. Как уже
упоминалось, в разных экспериментальных установках при одинако-
одинаковых числах Рейнольдса наблюдались разные автомодельные режи-
режимы течения.
Обсуждаемое свойство неединственности наиболее ярко прояв-
проявляется при бифуркации вращения в случае отсоса. Спонтанное воз-
возникновение вращения в чисто осесимметричном случае на первый
взгляд кажется невозможным. Это непосредственно следует из урав-
уравнения B), представляющего квазилинейное уравнение для цирку-
циркуляции Г = п;ф. Поскольку уравнение не содержит самой величи-
величины Г, для него справедлив двухсторонний принцип максимума [80]:
максимум и минимум достигаются на границе области. Значит, если
на границе Г = 0, то произвольное начальное возмущение будет за-
затухать. Но этот, безусловно, верный вывод относится лишь к тече-
течениям, «закрепленным» на границе условием Г = 0.
Следовательно, применительно к таким случаям возникновение
самовращения возможно лишь вследствие действия довольно тон-
тонкого механизма: сначала течение теряет устойчивость по отношению
к неосесимметричным возмущениям, а затем развивается устойчи-
устойчивый вторичный режим, имеющий ненулевое среднее вращение. Имен-
Именно таким путем возникает при определенных условиях самовраще-
самовращение круглой струи [37].
Рассматриваемое в настоящей работе движение не является
«закрепленным» на своей внешней цилиндрической границе. На-
Напротив, кармановское решение E) удовлетворяет условию отсут-
отсутствия вращательного касательного напряжения
т. е. любая внешняя граница r = R может считаться «свободной»
для вращательного движения. При граничном условии D5) запрет
на возможность спонтанного возникновения вращения снимается
и в принципе оно могло бы наблюдаться на опыте. Это наверняка
§ 4. Течение между диском и плоскостью 253
бы произошло в случае однородных краевых условий
которые совместно с условием D5) допускают существование точ-
точного автомодельного решения кармановского типа во всей области
течения. Однако граничные условия D5), D6) не являются стан-
стандартными для гидродинамической задачи, и вопрос об их физиче-
физической реализации на опыте остается открытым. Ясно, что одним из
путей приближенной реализации условия D5) является задание
надлежащего внешнего вращения при r = R. Но тогда проблема би-
бифуркации вращения приобретает иной смысл и должна быть пере-
переформулирована.
Пусть дано распределение coo(z) на границе r = R. Тогда
при Re ¦< Re* = 6,5 стационарное автомодельное решение триви-
тривиально: toa(z)=0. В этих условиях следует ожидать возникновения
неавтомодельной зоны, Ro < г < R, где осуществляется быстрое па-
падение реального со (г, z) от coo(z) до co(i?o, z) « 0, так что вращение
в автомодельном ядре течения практически отсутствует. В случае
Re > Re.,. <во (z) =? 0, так что вращение должно проникать в яд-
ядро и достигать там вполне определенной величины, зависящей лишь
от значения Re, но не от too (!). При этом, если ©о> и», вновь долж-
должна возникнуть зона неавтомодельности, где со (г, z) быстро убывает
с уменьшением г. В случае же соо < <*><, в неавтомодельной зоне
должно иметь место нарастание со, что вполне совместимо со стрем-
стремлением жидкости сохранять циркуляцию Г, впрочем при соо "С саа
автомодельное вращение может и не достигаться.
С точки зрения приведенных рассуждений бифуркация враще-
вращения означает качественную перестройку потока при Re = Re*, что
допускает экспериментальную проверку. С этой целью нами были
поставлены специальные опыты. Схема экспериментальной установ-
установки представлена на рис. 97 B — подвод жидкости (дистиллирован-
(дистиллированной воды) под давлением; 2 — распределительные отверстия; 3 —
прозрачная крышка; 4 — прозрачный неподвижный диск, 5 — под-
подвод жидкости, закручивающей основной поток; 6 — неподвижный
пористый диск; 7 — исследуемая область течения (R/h = 28); 8 —
вывод жидкости; 9 — подвод красителя через тонкий капилляр для
визуализации течения).
В качестве пористого диска была использована жесткая метал-
металлическая сетка, вследствие чего условия прилипания па пористом
диске (сетке) не выполняются из-за наличия участков скольжения
между соседними проволочками. Для того чтобы результаты экспе-
экспериментов можно было сопоставить с теорией, была рассчитана за-
задача с условиями скольжения на пористом диске
dvz dvr
-и,
z=h
ф2 ~ ^ \rdq> ^ dz
= 0,, D7)
z=h
254
Гл. 3. Течения с пространственным ускорением
которые в переменных A1) имеют вид
D8)
В этом случае также имеет место бифуркация вращения одноячеис-
того решения, представленная на плоскости Re, К рис. 98. Крити-
Критическое число Рейнольдса составляет Re^ = 1,7.
В наших опытах для обнаружения бифуркации вращения на
внешней границе дисков создавалась достаточно большая постоянно
действующая закрутка течения, без которой вращение не наблюда-
наблюдалось. При помощи визуализации подкрашенными струйками было
обнаружено, что при Re < 1,7 в приосевой области течение остает-
остается незакрученным при всех доступных в опыте внешних закрутках.
При Re = 1,7 ±0,1 происходит перестройка течения с возникнове-
возникновением вращения вблизи оси, не зависящего от величины внешнего
вращения. Тем самым проведенные эксперименты подтверждают
существование бифуркации вращения и говорят об устойчивости
вращательного режима течения. Таким образом, утверждение об ус-
устойчивости вторичного режима с вращением относительно автомо-
автомодельных возмущений, полученного численно эволюционным путем
(см. разд. 4.5) оказывается верным и для любых возмущений. Это
позволяет надеяться, что решения с большой подъемной силой, ус-
устойчивые относительно автомодельных возмущений, можно реали-
реализовать экспериментально, хотя следует иметь в виду, что в усло-
условиях неединственности они могут оказаться метастабильными с не-
неизвестным «запасом» устойчивости.
§ 4. Течение между диском и плоскостью
255
10-
5-
О 5
Рис. 98.
Не
-10-
Рис. 99.
Следует иметь в виду,
что для экспериментальной
реализации двухъячеистых
течений с большими подъ-
подъемными силами типа С[
(рис. 90) граничные условия
при г = R должны соответствовать двухъячеистой структуре тече-
течения, представленной на рис. 99, где изображены линии тока (в ле-
левом верхнем углу) и профили скоростей vz (кривые 1) ш vr (кри-
(кривые 2) для решения с отсосом. Это решение получено эволюцией
при Re = 20, К = 20, t = 8 (время установления ts да 5) и норми-
нормировано на скорость отсоса. Практически это означает необходимость
сильного периферийного вдува с интенсивной закруткой. С этой
точки зрения представляется совершенно естественным возникнове-
возникновение больших подъемных сил в случае отсоса с противовращением,
что, по всей вероятности, стабилизирует течение с зоной высокого
давления под диском. Эти соображения было бы интересно под-
подвергнуть экспериментальной проверке.
Таким образом, установлена неединственность и сложная зави-
зависимость от параметров класса точных автомодельных решений урав-
уравнений Навье— Стокса для течения несжимаемой жидкости между
вращающимся пористым диском и непроницаемой неподвижной плос-
плоскостью. Наиболее ярко эта неединственность проявляется в пара-
парадоксе нарушения симметрии — бифуркации вращения для течения
между неподвижными диском и плоскостью при достаточно интен-
интенсивном отсосе.
Другим парадоксальным свойством течения является аномаль-
аномально большое возрастание подъемной силы при некоторых скоростях
вращения диска и отсоса (!) жидкости, причем реализующиеся ре-
режимы течения устойчивы в смысле автомодельной эволюции. С воз-
возрастанием скорости отсоса эти режимы становятся нестационарны-
нестационарными. При больших отсосах реализуются два устойчивых стационар-
стационарных режима течения с неклассическими пограничными слоями па
твердых границах течения. В случае вдува имеется единственное
256 Гл. 3, Течения с пространственным ускорением
устойчивое стационарное решение. Экспериментально подтвержде-
подтверждена бифуркация вращения, что позволяет надеяться получить опыт-
опытным путем режимы с отсосом и аномально большой подъемной
силой.
Разумеется, все результаты получены для ламинарных течений.
Однако, поскольку найденные решения характеризуются объемными
градиентами и внутренними пограничными слоями, можно предпо-
предположить, что турбулентность будет свободной. Тогда результаты ана-
анализа сохранят силу, если ввести постоянную турбулентную вязкость
[37]. Эти соображения дают основание для более глубокого экс-
экспериментального исследования рассматриваемого движения не
только для его изучения, по и для возможных практических при-
приложений.
Глава 4
НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ
ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ
В предыдущих главах описано большое количество раз-
различных парадоксальных свойств течений вязкой жидкости, ко-
которые в основном связаны с автомодельной постановкой задачи.
Однако было бы неправильно полагать, что парадоксы возникают
лишь благодаря определенной идеализации в постановке гидродина-
гидродинамической или тепловой задачи, каковой, в частности, является авто-
модельность течения, а в общем же случае ничего необычного в по-
поведении решений уравнений Навье — Стокса и теплопроводности не
должно быть. Имеются ситуации, когда парадоксальные свойства
обнаруживают именно «реальные» неавтомодельные решения, в то
время как идеализированное автомодельное решение ведет себя
вполне «пристойным» образом.
Одним из таких примеров являются неавтомодельные затоплен-
затопленные струи. Источником кажущегося противоречия в этом случае яв-
является груз традиционных представлений, сложившихся в резуль-
результате длительного развития гидродинамики (а может быть, и всей
классической физики), хотя и не имеющих под собой достаточного
основания. В частности, как правило, неявно предполагается, что
«физическое» решение аналитично, а если оно вдруг оказывается
неаналитическим, то это патология, связанная с некорректно по-
поставленной задачей. Однако, как это будет показано ниже, именно
неаналитическое решение в случае неавтомодельных струй, истека-
истекающих в пространство затопленное той же жидкостью, обладает не-
необходимыми с физической точки зрения свойствами. Этот и ряд
других, примыкающих к нему, парадоксов, среди которых неразре-
неразрешимость краевой задачи и наличие скрытых инвариантов играют
наиболее значимую роль, являются предметом обсуждения в дан-
данной главе.
§ 1. ТЕПЛОВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ
Прежде чем перейти к собственно гидродинамической за-
задаче, рассмотрим сначала более простую задачу о теплообмене в ав-
автомодельной струе, бьющей из точечного источника, на примере ко-
которой можно отчетливо продемонстрировать необходимость введения
17 м, А. Гопьдштик, В. Н, Штерн, Н. И. Яворский
258 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струя
неаналитических решений. Эта задача обладает и рядом других
парадоксальных свойств, имеющих нетривиальное физическое со-
содержание [47].
1.1. Постановка задачи
Рассмотрим осесимметричную краевую задачу для стацио-
стационарного уравнения теплопроводности вне некоторой сферы радиуса
Ro с учетом влияния конвективного теплонереноса и объемного ис-
источника тепла, порожденного вязкой диссипацией кинетической
энергии жидкости, если поле скорости соответствует автомодельной
затопленной струе Ландау
^ ^ A)
Ось z (9 = 0) направлена вдоль оси струи. Функция
есть решение Ландау [86], где постоянная А > 1 монотонно связана
с импульсом струи
in б} R* sin QdQ = 16npvM [l + J^—[) - -А ln?±f ]г (З)
о
sin I
причем 1г -*¦ О при А -»- °° и 1г -»- °° при 4 -> + 1. Поле скорости A),
B) является точным решением уравнений Навье — Стокса.
На сфере радиуса Ro задается произвольное осесимметричное
поле температур Го (в), на бесконечности температура принимает-
принимается равной нулю. Возможны и другие постановки граничных усло-
условий на сфере R =Ro, в частности, можно задать граничные условия
второго или третьего рода. Уравнение теплопроводности с учетом
диссипации энергии в осесимметричном случае имеет вид
йт ат \> Г /5уг>\2 / -I dvr> dv,
ОI . . 01 Am, ^ \ / I R\ 1П1А -ft i (
• 1 д r>2 д .
где % — температуропроводность; с» — удельная теплоемкость. Сле-
Следуя традиции, предположим, что решение уравнения D) является
аналитическим в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. его
§ 1. Тепловая задача для струи 259
можно представить в виде разложения по целым степеням 1/2?
E)
После подстановки A), B), E) в D) с учетом того, что диссипа-
тивная функция имеет порядок 1/R4, приходим к системе урав-
уравнений
A - z2) т* - [%с + 2 Pri^-) т4 + 1п(п - 1) + 2 Pr n X
F)
Для случая п = 2 имеем неоднородное уравнение
G)
16 РГ V2 Q
т2 = и; х — cos о;
(A-xf ^ (A-xf ^ Л-х- ^
Здесь Ф(ж) — нормированная диссипативная функция; Pr = v/x —
число Прандтля.
Поскольку ось струи (х — ±1) при R?=0 принадлежит области
течения, то от решений уравнений F), G) следует требовать огра-
ограниченности в точках х = ±1, в которых поле скоростей A) соглас-
согласно B) аналитично. Линейные уравнения F), G) принадлежат
классу Фукса [121], а поскольку в точках х = ± 1 определяющие
уравнения имеют двукратные нулевые корни, то в окрестности каж-
каждой из особых точек х = ± 1 одно из решений каждого уравнения
аналитично, а другое имеет логарифмическую особенность.
Таким образом, решения ведут себя подобно функциям Лежанд-
ра. Следовательно, требование ограниченности оказывается эквива-
эквивалентным требованию аналитичности, и для физически приемлемых
решений в граничных точках должны выполняться следующие ус-
условия:
; [^] ; (9)
=F2k'(± 1) + |2± ^Щи(± 1) + Ф(± 1) = 0, A0)
17*
260 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
При п=*\ однородная краевая задача F), (9) имеет нетривиальное
решение
I [ I it- I \у | \"^ ) Ч \ /
которое легко можно получить, интегрируя уравнение F) при
п = 1. Решение A1), получено Румером [113]. Оно соответствует точ-
точному решению уравнения теплопроводности без диссипативного теп-
тепловыделения Т = Ti (cos 8)/Д, описывающему распределение темпе-
температуры от точечного источника тепла, помещенного в начало коор-
координат, из которого бьет струя. Величина С\ > 0 определяется пол-
полным тепловым потоком
я
JQ = 2ярс„ Г (vR Т — х %\ Ri sin e^9 = 2npc»xCi X
1.2. Парадокс неразрешимости
Исследуем существует ли нетривиальное решение одно-
однородной краевой задачи F), (9) при п = 2. Если такие решения най-
найдутся, то разрешимость неоднородной краевой задачи G), A0) ста-
ставится под сомнение. Действительно, в этом случае по известной аль-
альтернативе Фредгольма правая часть G) должна быть ортогональной
решению краевой задачи, сопряженной задаче F), (9) при п = 2.
Следует заметить, что задача о нахождении нетривиального реше-
решения для однородной краевой задачи эквивалентна задаче на собст-
собственные значения, в которой число Прандтля Рг будет собственным,
если величину А > 1 считать данной. Вообще говоря, спектр в рас-
рассматриваемом случае п = 2 не обязательно должен быть сплошным,
как это имеет место при п — 1, и можно ожидать нетривиального
решения задачи F), (9) лишь при некоторых значениях Рг* (А).
К сожалению, получить аналитические результаты для общего слу-
случая трудно. Поэтому рассмотрим сначала случай струи с бесконеч-
бесконечно большой интенсивностью, устремив А ->¦ +1. Из B) имеем
BA+*), -К*<1;
откуда
/ = 2-86A-*), A3)
причем коэффициент при дельта-функции находится из условия
1 О
J у' (х) dx = Oj где учтено, что ] 6 (х) dx = у, е > 0.
— 1
§ 1. Тепловая задача для струи 261
В этом случае в области — 1 <# < 1 уравнение F) можно предста-
представить в виде
A - ж3) х'п -~2[х + Рг A + х)\ т'п + [п(п-1)-2 Рг п] хп =.~A4)
Нетрудно найти регулярное решение A4) в виде полинома от
х степени к при следующих значениях числа Рг:
рг = "-1-*> ft^O, 1,2, .... A5)
В точке х = 1 уравнение A4) не справедливо, а величина т„ может
испытывать скачок.
Уравнение F) можно представить как действие несамосопряжен-
несамосопряженного оператора
на функцию т„. По общим правилам найдем, что сопряженным к
уравнению F), Мпгп = 0, будет уравнение
1т
при естественном условии ограниченности у„(±1). Уравнение A6)
нетривиально разрешимо, если
Рг = ^, к = 0, 1,2, ... A7)
а величины у, у' даются выражениями A2), A3). Собственные зна-
значения A7) отвечают собственным функциям vnh(x) в виде полино-
полиномов степени к. В случае п = 2 имеется также непрерывный спектр
0=?Рг<°°, которому соответствует собственная функция
v{x) = c(x+ РгР1Д С = const, Рг=/=1; ,
у (х) = const, Рг = 1.
Таким образом, только в случае п = 2 имеет место нетривиальная
разрешимость уравнения A4) одновременно с сопряженным к нему
уравнением A6), причем соответствующее собственное значение
Рг = 1/2. Заметим, что при Рг=1/2 собственная функция A8) соп-
сопряженного уравнения A6) является знакоопределенной. Для того
чтобы применить известную теорему Фредгольма, достаточно рас-
рассмотреть интеграл
1
/ = \ иФ dx A9)
и выяснить, равен ли он нулю (условие ортогональности правой
части G) нетривиальному решению сопряженного уравнения). Нор-
262 Гд. 4. Неавтомодельные затопленные струи
мированная диссипативная функция Ф(х) положительно определе-
определена. Отсюда в силу знакоопределенности v (х) имеем 1?=0, и неод-
неоднородная краевая задача G), A0) неразрешима при Рг=1/2 и
А -»- + 1. Вместо параметра А удобно ввести число Рейнольдса, оп-
определенное по полному импульсу
Re = [/2/(jtv2p)]1/2, B0)
так что при А -*¦ + 1 Re -*¦ °°. При произвольных значениях Re су-
существует кривая Pr = Pr* (Re), на которой решения неоднород-
неоднородной задачи не существует. Эта кривая была рассчитана следующим
образом.
Для однородного уравнения F) при п = 2 ставились две зада-
задачи Коши «+» и «—»:
и°_ (- 1) =;i, 2<(- 1) + f2 - -S) и! (- 1) = 0.
Решение находилось методом Рунге — Кутта — Мерсона с относи-
относительной погрешностью на шаге 10~6. Интегрирование проводилось
до некоторой точки сшивки хс, лежащей в области наибольших по
абсолютной величине производных. Решение иЧ. (х), аналитическое
в окрестности точки х = —1, при х = 1, вообще говоря, становится
неограниченным. Однако если существует такой набор параметров
Re и Рг, при котором и°_(х) является аналитическим и при ж = 1,
то с точностью до постоянных множителей функции иа_ (х) и и\ (х)
совпадут всюду на интервале [—1, 1]. Чтобы это произошло для ли-
линейного однородного уравнения второго порядка F), достаточно сов-
совпадения функций и первых производных в произвольной точке
жсе(— 1,1). Эти условия в терминах функций и°-(х) и и\{х) име-
имеют вид линейной системы уравнений
с_и! (хс) = с+и% (хс); с^иа1[(хс) = с+и+ (хс),
которая имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен
нулю:
и°_(хс) и\{хс)
A (Re, Pr)= , , г
ut. (хс) и\ (хс)
0. B2)
Разрешая уравнение B2), найдем значения Рг = Pr.,. (Re),
при которых однородная краевая задача F), (9) при п = 2 имеет
нетривиальное решение. В этом случае вопрос о разрешимости не-
неоднородной задачи G), A0) рассматривается следующим образом.
Условия непрерывности функций и их производных в точке х = ха
§ 1. Тепловая задача для струи
263
имеют вид линейной неоднородной систе-
системы уравнений
c-m'L -f- м_ = с+и\ + и+;
Рис. 100.
си°1 + и-=
= хс
где и± есть частные решения неоднород-
неоднородного уравнения G), удовлетворяющие
условиям аналитичности в точках х = ±1
соответственно:
В силу сделанного выбора Re и Рг определитель неоднородной си-
системы А = 0. Поэтому задача разрешима только в случае обращения
в нуль определителя
а
0'
и+
г
— U-
— w_
Численные расчеты показали, что на кривой Рг = Pr* (Re)
рис. 100, определяемой уравнением А = 0, определитель Ai?=0.
Таким образом, неоднородная задача G), A0) для чисел Re и Рг,
принадлежащих этой кривой, неразрешима. Отметим, что при Re -»-
->- °° согласно рис. 100 Рг#->-1/2, что находится в полном соответ-
соответствии с приведенным асимптотическим анализом.
Неразрешимость краевой задачи G), A0) в рамках принятых
предположений означает неразрешимость полного уравнения кон-
конвективной теплопроводности D) с полем скорости A), B), являю-
являющимся точным решением уравнений Навье — Стокса. Отсюда мож-
можно было бы сделать выводы о том, что уравнение энергии и уравне-
уравнения гидродинамики несовместимы! Однако такой вывод является
преждевременным, поскольку наши рассуждения существенно опи-
опирались на представление поля температуры в виде разложения по
целым обратным степеням E). В этой связи естественным является
предположение о том, что парадокс неразрешимости связан с выбо-
выбором разложения в виде E), которое следует из условия аналитич-
аналитичности решений при Л = °°, тогда как для физически приемлемых
решений достаточно их регулярности [46].
1.3. Общее решение однородного уравнения
теплопроводности
Обратимся к уравнениям F), в которых случай п = 2 не
исключен. Устремив Рг-^0 или Re -»- 0 (Л-*-«>), из F) приходим
к классическим уравнениям Лежандра, имеющим нетривиальные
регулярные решения только при целочисленных значениях п, отве-
отвечающих собственным значениям Ха = пA — п). Цри малых, но ко-
264 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
нечных числах Рг или Re оператор Лежандра получает малое воз-
возмущение, соответствующее конвективному переносу тепла. Соглас-
Согласно теории возмущений спектр оператора претерпевает изменение,
пропорциональное этому возмущению. Поэтому собственные зна-
значения возмущенного оператора будут зависеть от Рг и Re. Отсюда
следует, что разложение по целым обратным степеням R при нену-
ненулевых значениях Рг и Re не будет иметь места. Разложение поля
температуры следует вести по дробным показателям степени
со,. — «„(Re, Pr), определяемым как собственные параметры одно-
однородной задачи. По аналогии с уравнением Лапласа такое разложе-
разложение решения уравнения конвективной теплопроводности по собст-
собственным функциям задачи можно назвать мультипольным разло-
разложением.
Итак, решение уравнения теплопроводности следует искать в
виде [46]
Разложение B3) справедливо для однородного уравнения тепло-
теплопроводности D). Решение неоднородного уравнения D) помимо
B3) содержит член, вид которого определяется диссипативным
источником тепла. Этот источник, пропорциональный R~*, порождает
в разложении, за некоторым исключением, о котором пойдет речь
ниже, дополнительный член вида z(x)R~2, отвечающий частному
решению неоднородного уравнения D). При отсутствии конвектив-
конвективных членов в однородном уравнении теплопроводности разложение
B3) становится классическим с и„ = п и сферическими функциями
т„. Подставляя разложение B3) в уравнение теплопроводности D)
с учетом выражения для скорости A), в случае со„!^=2 получим
A — х2) х"п — 2хг'п — Рг (ух'п + Фпу'хп) + со„ (со„ — 1) т„ = 0. B4)
Частное решение неоднородного уравнения D) удовлетворяет урав-
уравнению G), которое запишем в следующем виде:
A - х2) и" - 2хи'- Рт(уи' + 2у'и) + 2и + Ф (х) = 0;
„ 16Prv2 70с.
z = —-—и. B5)
Линейные уравнения B4) также принадлежат классу Фукса и со-
соответственно их решения в окрестности особых точек ж = ±1 ведут
себя аналогично функциям Лежандра, т. е. одно из решений каж-
каждого уравнения апалитично, а другое имеет логарифмическую осо-
особенность. Поскольку с физической точки зрения решения должны
быть регулярными, а требование регулярности в данном случае сов-
совпадает с условием аналитичности решения в особых точках, то для
уравнений B4), B5) необходимо потребовать выполнения следую-
§ 1. Тепловая задача для струи
265
щих краевых условий:
+ 2<(± 1) + К К - 1) - «п Рг у' (± 1)] хп (+ 1) = 0; B6)
±1) + [2-2Рг/(±1)]ц(±1) + Ф(±1) = 0. B7)
Заметим, что условие ограниченности производных хп (+ 1),
и'(±1) влечет за собой равенства drjdd = du/dQ\e=o,n = 0, соответ-
соответствующие осевой симметрии температурного поля. Краевую задачу
B4), B6) можно определить как задачу на собственные значения
(о„, которые, однако, входят в задачу нелинейным образом.
К сожалению, математическая теория таких спектральных за-
задач развита слабо. Известна, например, теория несамосопряженных,
операторов Лежандра [131], в которой доказывается, что спектры
этих операторов состоят из изолированных собственных значений
конечной алгебраической кратности, не имеющих конечных пре-
предельных точек. Линейная оболочка множества собственных и при-
присоединенных функций обобщенного оператора Лежандра плотна в
L2 (—1, 1) [131]. Если в уравнении B4) в последнем члене поло-
положить Я„ = со„A — (On) и считать этот множитель собственным зна-
значением, а все остальные со„ в B4), B6) — данными, то такое урав-
уравнение можно записать в виде 2?хп = %пхп, где 3? — несамосопряжен-
несамосопряженный обобщенный оператор Лежандра. Тогда все указанные свой-
свойства переносятся на полученное уравнение.
При таком подходе для рассматриваемого уравнения собствен-
собственное значение %п не обязано равняться <о„A —ю„). Однако оператор
3? является обобщенным несамосопряженным оператором Лежанд-
Лежандра при произвольных конечных ©„, в частности для таких а„, ко-
которые удовлетворяют уравнению Яге = сояA —юя). Поэтому можно
надеяться (доказать это утверждение строго пока не представляет-
представляется возможным), что свойство полноты собственных функций для
задачи B4), B6) также будет иметь место. Это заведомо так для
частных случаев Рг = 0 и Re = 0, поскольку тогда задача превра-
превращается в задачу на собственные значения для обыкновенного опе-
оператора Лежандра. Следует отметить, что первое собственное значе-
значение coi = 1 при всех значениях чисел Re и Рг, что диктуется зако-
законом сохранения теплового потока. Соответствующая собственная
функция A1) отвечает решению задачи с заданным ненулевым по-
потоком тепла на бесконечности.
Покажем, что собственные значения краевой задачи B4), B6)
действительны, если Рг < 1/2. Для этого представим собственную
функцию тп в виде т„ = X\gn. Тогда уравнение B4) принимает вид
[A - х2) xJJ = [Рг К - 1) у' + со„ A - con)] xlgn. B8)
Умножим B8) на #*, а комплексно-сопряженное уравнение B8)
на gn и проинтегрируем их от —1 до 1. Вычитая полученные интег-
266 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
ральные соотношения, получим
[A — X2) Х1 (g*g'n — gng*')l I—1 =
1
= (со„ — со*) j (Pr у' + 1 — ю„ — со*)
Поскольку функции т„, #„ аналитичны в точках ж = ±1, то, приме-
применяя к правой части полученного равенства теорему о среднем, при-
приходим к соотношению
1
(со„ — со*) [Рг у' (х0) + 1 — со„ — со*] j т1 [ gn |2 dx, B9)
—i
где хо — некоторая внутренняя точка интервала [—1, 1]. Физиче-
Физическое требование ограниченности теплового потока на бесконечности
исключает возможность появления собственных значений с Real со„ <
< 1. G другой стороны, из выражения B) для у(х) можно полу-
получить, что
^ C0)
Отсюда следует, что при Рг<(^4 + 1)/4 выражение в квадратных
скобках B9) в нуль не обращается при любых хо^(—1, 1). По-
Поскольку А > 1, то при Рг < 1/2 из B9) следует сои = соп, т. е. собст-
собственные значения действительны. Условие теоремы можно ослабить.
В частности, если выполнено неравенство
Рг < ^М [2 Real со„ (Re, Pr) - 1J, n>0t C1)
то Imcon(Re, Рг) = 0.
В общем случае функции con(Re, Pr) можно определить числен-
численно. Алгоритм, который позволяет рассчитать собственные значения
со„ при любых заданных числах Re и Рг, подобен изложенному ал-
алгоритму определения кривой неразрешимости для неоднородной за-
задачи G), A0). Ставятся две задачи Коши для т„: «+р> и «—» с
краевыми условиями вида B1). В некоторой точке сшивки хс вели-
величина со„ подбирается так, чтобы определитель А вида B2), состав-
составленный из функций т„- (хс), %п (хс), обращался в нуль. В силу этого
условия собственная функция, соответствующая полученному зна-
значению соп, будет аналитической во всей области изменения пере-
переменной х: [—1, 1]. Некоторые найденные таким способом зависимо-
зависимости con(Re, Pr) представлены на рис. 101, где для га = 1, 2, 3, 4 и
Рг = 0,5 даны зависимости соп от числа Re. При п = 2 построены
зависимости сог от Re при различных значениях числа Рг.
Отметим, что кривые co2(Re) для Рг = 0,5 и Рг = 0,6 лежат по
разные стороны от горизонтали со2 = 2. Для 0,5 < Рг < 0,6 кривые
§ 1. Тепловая задача для струи
267
4,0-
3,0-
2,0-
Рис. 101.
«>2(Re) пересекают эту горизонталь, как это показано штрихпунк-
тиром для случая Рг = 0,54. Это обстоятельство в дальнейшем игра-
играет важную роль.
Итак, однородная задача B4), B6) имеет счетное множество
решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе Li ([—1, 1]).
Полагая, что система {тп} является полной системой линейно неза-
независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что ре-
решение однородного уравнения конвективной теплопроводности D)
существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса
Ro, если на его поверхности 5о задана температура как функция
сферического угла 6. На бесконечности температура предполагает-
предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить ре-
решение и в том случае, если на поверхности So задать тепловые гра-
граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные
произвольные коэффициенты С„, содержащиеся в т„, и здесь одно-
однозначно определяются. Каждый коэффициент Сп взаимно однозначно
связан с интенсивностью 2п~'-польного теплового источника.
Для тепловой задачи в шаровом слое ряд B3) необходимо до-
дополнить членами с положительными степенями R. В этом случае
разложение поля температуры по собственным функциям задачи
имеет вид
На основе соотношения B9) и неравенства C0) нетрудно пока-
показать, что для собственных значений соп с п < 0, Real <о„ < 0 имеет
268 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
место аналогичное C1) утверждение, что собственные значения
действительны, если выполняется следующее неравенство:
Рг < ^^ [2 | Real «п (Re, Pr)| + 11, п<0. C3)
Из C1), C3) следует, что C2) представляет собой разложение по
действительным показателям степени R, по крайней мере, в обла-
области не очень больших значений Re и Рг. Заметим, что при Рг = О
или Re = 0 система функций, отвечающая положительным показа-
показателям степени при R, {%п(п<0)} также совпадает, как и при п > О,
с полной линейно независимой системой полиномов Лежандра.
Можно полагать, как и в случае с п > 0, что свойства полноты и
линейной независимости функций т„ (п < 0) сохраняются и при
Рг > 0, Re > 0. Это дает основание утверждать, что решение тепло-
тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и пред-
ставимо в виде разложения C2). Видимо, существование и единст-
единственность решения краевой задачи для однородного уравнения кон-
конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае урав-
уравнения Лапласа, и для областей более общего вида.
Несколько иначе обстоит дело для неоднородной задачи B5),
B7), в которой учитывается диссипативное тепловыделение. Как
уже было показано, эта задача, совпадающая с G), A0) с точ-
точностью до несущественных переобозначений, неразрешима при Рг =
= Рг.,. (Re). Следует отметить, что неразрешимость задачи B5),
B7) может и не означать неразрешимости исходной краевой ста-
стационарной задачи конвективной теплопроводности с вязким нагре-
нагревом D). На кривой неразрешимости Рг = Ргф (Re) показатель
степени дипольного числа в B3) w2(Re, Pr) = 2. В этом случае
решение неоднородного уравнения, пропорциональное R~2, вступает
во «взаимодействие» с решением однородного уравнения, так что
зависимость от R для однородного уравнения может измениться,
а задача B5), B7) на кривой Рг = Рг,,. (Re), где <в2 = 2, потеряет
смысл. Поясним сказанное на более простом примере.
1.4. Тепловая задача
для плоского гидродинамического стока
Эта задача, как и тепловая задача для автомодельной
затопленной струи, является одним из немногих примеров точного
решения полной системы уравнений конвективного тепломассо-
переноса.
Рассмотрим плоскую стационарную задачу конвективной тепло-
теплопроводности с полем скорости i?r = y-, vv ^ 0, отвечающим точеч-
точечному источнику жидкости обильности Q, которое одновременно яв-
является точным решением уравнений Навье — Стокса для несжима-
несжимаемой жидкости. Решение этой задачи, как для однородного, так и
§ 1. Тепловая задача для струи 269
для неоднородного уравнения теплопроводности так же, как и в
случае струи Ландау, имеет степенной характер.
Уравнение теплопроводности с учетом диссипативного тепло-
тепловыделения принимает вид
_
г дг г дг дг г2 5ф:
где Ре = —Q/Bn%) — число Пекле, q = 4vx Ро2/с„ — интенсивность
вязкого тепловыделения. Заметим, что в наших обозначениях Ре > О
соответствует гидродинамическому стоку, а Ре < 0 — источнику.
Общее решение C4) легко найти методом разделения пере-
переменных
сю
Т (г> Ф) = 9/pJ Ъ\ 1 + 2 [Q™ (r) cos ПФ + т« (r) sin
^ (re — г,) г* ¦шл
т„ (г) = г-ре/2 (спг~%п + dnrK); К = /(Ре/2J + д2;
«л, ^п, сп, й„ — произвольные постоянные, определяемые из гранич-
граничных условий. Поскольку гидродинамическая задача не имеет харак-
характерного размера, то было бы естественно поставить тепловую за-
задачу в той же области, что и гидродинамическую, т. е. во всем
пространстве с выколотой в начале координат точкой, в которой
находится гидродинамический источник. Аксиально-симметричное
решение из C5) принимает вид
Т М = 2(Ре?-2) 7 + а°Г"Ре + К C7)
Здесь ао, bo характеризуют тепловую особенность в начале коорди-
координат. Нетрудно видеть, что при Ре < 2 и г -*- 0 решение Т(г)<0,
какими бы ни были постоянные ао, bo. Это решение не имеет физи-
физического смысла, так как положительный источник тепла не может
явиться причиной понижения температуры, это противоречило бы
основным термодинамическим законам, а именно принципу темпе-
температуры [114], согласно которому, если в систему поступает тепло,
то температура должна повышаться.
При Ре > 2 решению легко придать физический смысл. В этом
случае при г ->- 0 температура определяется знаком ао, т. е. типом
теплового источника в начале координат, вклад же диссипации ки-
кинетической энергии, как и следовало ожидать, приводит к повыше-
повышению температуры. Это говорит о том, что при Ре < 2 тепловой
режим течения качественно отличается от режима при Ре > 2. При
Ре = 2 показатель степени при г решения однородной задачи срав-
сравнивается, как и в ситуации неразрешимости тепловой задачи для
270 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
струи Ландау, с показателем степени частного решения неоднород-
неоднородной задачи. В этом случае решение имеет вид
T(r)=^lAf + ^ + B, C8)
т. е. в особой ситуации Ре = 2 кроме степенной зависимости реше-
решения от г возникает секулярныи логарифмический член.
Заметим, что если тепловую задачу ставить вне круга радиуса
го, то стационарному решению уравнения теплопроводности легко
придать физический смысл при любых Ре. В частности, если на
границе круга задана температура Г(го) = То, то
Решение C8) можно получить предельным переходом Ре -*¦ 2 в
C9). Таким образом, парадокс отсутствия физически приемлемого
стационарного решения при Ре < 2 возникает лишь в условиях не-
некорректно поставленной краевой задачи, когда вместо традицион-
традиционных граничных условий для уравнения теплопроводности прихо-
приходится ставить нестандартные краевые условия, соответствующие
виду тепловой особенности в начале координат. В дальнейшем рас-
рассматривается задача в области г 5= го, для которой постановка гра-
граничных условий носит регулярный характер. Однако и в этом слу-
случае значение Ре = 2 остается выделенным по физическому содер-
содержанию теплового режима течения.
Пусть Ре -»- °°; тогда тепловая задача становится задачей кон-
конвективного переноса тепла без тепловой диффузии. Для такой за-
задачи граничные условия можно ставить только на границе втека-
втекания жидкости. В нашем случае это условие Т(°°) = Т^. При боль-
больших, но конечных числах Ре устанавливается тепловой режим с
доминирующим конвективным переносом тепла, граничное условие
при г = Го становится необходимым, хотя влияние его на участке
втекания пренебрежимо мало по сравнению с влиянием нагрева
жидкости от вязкой диссипации: член вида A(r/ro)~Fa в C9) при-
приводит к появлению теплового пограничного слоя вблизи Го, о чем,
в частности, говорит неаналитичность этого члена при Ре = °°. При
Ре < 2 влияние граничного условия на окружности г = Го становит-
становится определяющим при г -> °°, т. е. влияние краевых условий на од-
одной границе оказывается существенным вблизи другой границы,
независимо от того, являются ли они участками втекания или вы-
вытекания, а это характерно для кондуктивного переноса тепла.
Таким образом, при Ре > 2 имеет место режим преобладающего
конвективного переноса тепла, при Ре < 2 — кондуктивный режим.
Если Ре < 0 (случай гидродинамического источника), то стационар-
стационарное решение согласно C9) не ограничено на бесконечности. Это
также область конвективного переноса тепла, но физически прием-
§ 1. Тепловая задача для струи 271
лемое решение должно быть уже существенно нестационарным. Ме-
Методом преобразования Лапласа можно полностью решить такую
нестационарную задачу [149] и показать, что стационарное решение
C9) является предельным при конечных г, а область с нагретой
жидкостью при больших временах t увеличивается пропорциональ-
пропорционально it. Для произвольной неаксиально-симметричной задачи изло-
изложенные рассуждения о режимах теплообмена сохраняют свою си-
силу, поскольку для внешности круга в случае стока в C6) bn = dn =
= 0 и, следовательно, несимметричные моды не дают заметного
вклада при г -*¦ °°.
1.5. Разрешение парадокса
Возвращаясь к тепловой задаче для струи Ландау с вяз-
вязким нагревом, в соответствии с результатами, полученными в теп-
тепловой задаче для плоского гидродинамического стока, на кривой
0J (Re, Pr) = 2 частное решение неоднородного уравнения теплопро-
теплопроводности D) следует искать в виде
Tl{R,x)^ + C^l*R. D0)
Вид секулярного логарифмического члена диктуется степенной за-
зависимостью от R решения однородного уравнения теплопроводности
и объемного теплового источника. Подставляя D0) в уравнение D)
с учетом выражения для поля скорости A), получим
[A - я2) ио]'+ 2и0 - Рг Bу'и0 + уи'о) = C -Рг у') Сих - Ф (х); D1)
[A - х2) и[]' + 2их + Рг By'Ul + уи[) = 0. D2)
Граничные условия к этим уравнениям представляют собой условия
аналитичности функций щ, щ в точках х = ±1 и имеют вид
=F 2и'о (± 1) + [2 - 2 Рг у' (± 1)] щ (± 1) =
= [3-Рг»'(±1)]СИ1(±1)-Ф(±1); D3)
i ±l)]«1(±l) = 0; Ml) = l. D4)
Постоянная С выбирается из условия разрешимости неоднородного
уравнения D1). Это условие по альтернативе Фредгольма есть ус-
условие ортогональности правой части D1) к решению сопряженного
однородного уравнения, поскольку решение однородного уравнения
D1), которое совпадает с D2), нетривиально: ©2 = 2.
При численных расчетах величину С удобнее определять из
эквивалентного условия разрешимости неоднородной задачи, а имен-
именно из условия разрешимости системы линейных уравнений, полу-
полученной как следствие непрерывности решения вместе с его первой
производной в точке сшивки х0. Учитывая, что и{ (х) есть решение
272
Гл. 4. Неавтомодельные затопленные Ci
однородного уравнения D1),
это условие имеет вид
(хс) UJ (Хс) — Щ (Хс)
' (Хс) U%' (хс) — Щ' (Хс
D5)
f
где щ (х), uj (х) есть аналити-
аналитические решения соответствую-
соответствующих «±» задач Коши, удовлет-
удовлетворяющие условиям: и0 (± 1) =
= Ui:(±l)=l. Постоянная С
не зависит от точки сшивки,
Рис. 102. поскольку она однозначно оп-
определяется из указанного усло-
условия ортогональности. Характерные профили решений краевой за-
задачи D1) —D4) ио{х), ui(x) представлены на рис. 102, где поло-
положено коA) = 1. Кривые 1 соответствуют Pr = 0,56, Re = 7,08; 2—
Pr = 0,55, Re = 9,23; 3 - Рг = 0,54, Re = 12,1; 4-Рг = 0,53,
Re = 16,3.
Таким образом, математически задача разрешима при всех Re
и Рг. Заметим, что общее решение Т = То + Т\, где Го есть решение
B3) однородного уравнения теплопроводности, a fi — частное ре-
решение D0) неоднородной тепловой задачи, является полным, по-
поскольку собственные значения ап не вырождены. Если бы какие-
либо собственные значения со„ имели кратность fc>l, то в B3)
необходимо было бы добавить члены, являющиеся полиномами сте-
степени к — 1 от lni?, умноженными на R
Несмотря на то, что теперь тепловая задача поставлена кор-
корректно, наличие кривой «неразрешимости» Рг = Pr* (Re) приводит
к определенным нетривиальным физическим следствиям. Предва-
Предварительно укажем, что решение D0) неоднородной тепловой задачи
с вязким тепловыделением всегда знакопеременно, что непосредст-
непосредственно видно на рис. 102. Этот факт с физической точки зрения
представляется удивительным: нагревание жидкости за счет дис-
диссипации ее кинетической энергии приводит к возникновению отри-
отрицательных температур в некоторой области течения. Рассмотрим
в связи с этим предельные случаи Рг -> 0 и Рг -*¦ °°.
Можно показать, что при Рг = 0 неоднородная краевая задача
B5), B7) неразрешима при всех числах Рейнольдса, так как в этом
предельном случае однородное уравнение есть классическое само-
самосопряженное уравнение Лежандра, имеющее регулярное решение,
а условие ортогональности не выполнено. Действительно, решение
§ 1. Тепловая задача для струи
273
сопряженного однородного уравнения имеет вид v(x) — x,
а \ Ф [х) х dx > 0 при всех числах Re > 0, в чем можно убедиться
—1
непосредственно подстановкой Ф(х) из G) и явным вычислением
интеграла. Таким образом, кривая неразрешимости Рг = Рг* (Re)
имеет две ветви. Первая представлена на рис. 100, вторая — это
Рг = 0. Поэтому в рассматриваемом предельном случае решение не-
неоднородной тепловой задачи должно иметь вид D0). Нетривиальное
регулярное решение самосопряженной при Рг = 0 краевой задачи
D2), D4) есть щ(х) = х. Отсюда условие разрешимости неодно-
неоднородной краевой задачи D1), D3) имеет вид
1 1
j [Ф (х) — ЗСх] xdx = 0, С = j | Ф (х) х dx.
-i -1
Для достаточно больших радиусов R логарифмический член со зна-
знакопеременной щ (х) в D0) становится главным, поэтому всегда су-
существует область течения с отрицательными температурами.
В случае Рг^-оо решение краевой задачи B5), B7) сущест-
существует и единственно. Для того чтобы показать наличие областей,
в которых решение и < 0, достаточно рассмотреть окрестность точки
ж = 1. Положим ц = 2Рг/D-1)> 1, ? = 1-ж<1; тогда из B5)
получим
tu"
4-ФA) = 0(-?, A; u = u(t).
и-10
Решение этого уравнения с точностью до членов второго порядка
малости имеет вид и (t) — с A — \it) e-Mi ¦ —-. Отсюда при t = 1/ц,
имеем и < 0, следовательно, по непрерывности вблизи этой точки
существует область значений
х, где и < 0.
В случае произвольных j
Re и Рг решение уравнения
B5) можно найти числен- 2
но. Характерные профили
и(х) вблизи кривой «нераз-
«неразрешимости» приведены на
рис. 103. Параметром служит
Рг при фиксированном Re =
= 15,2. Кривая 1 соответ-
соответствует Рг = 0,525, 2-Рг =
= 0,529, 3 — Рг = 0,531, 4 —
Рг = 0,533, 5-Рг = 0,535,
6 — Рг = 0,539. Следует отме-
отметить характерное поведение Рмс. юз.
18 м. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
274 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
профиля температуры при переходе через кривую «неразрешимости»
уравнения B5). Если увеличивать Рг со стороны малых Рг, то ре-
решение растет по абсолютной величине, оставаясь положительным и
почти постоянным в большей части области изменения х и отрица-
отрицательным в небольшой окрестности точки х= 1.
При переходе через число Рг*, лежащее на кривой «неразре-
«неразрешимости», профиль температуры меняет знак через регуляризиро-
ванную бесконечность, сохраняя1 свое качественное поведение. Та-
Такую трансформацию поля температуры можно интерпретировать как
переворот теплового диполя. Зависимость объемного источника теп-
тепла от R такова (~й~4), что ближайшим по показателю степени
членом общего разложения температуры B3) к частному решению
неоднородной задачи (~й~2) является дипольный член с показате-
показателем степени co2(Re, Рг). При Рг = Рг* объемный источник тепла
вступает в резонанс с тепловым диполем, fi>2 (Re, Рг*) = 2. При Рг,
близких к Рг*, решение неоднородного уравнения имеет характер
распределения температуры для теплового диполя, так что наличие
области отрицательных температур можно качественно объяснить,
полагая, что источник тепла индуцирует этот диполь при Рг -> Рг*
вследствие указанного резонанса.
Отметим, что для постановки задачи вне шара радиуса Ro, ана-
аналогично тому, как это было в тепловой задаче для гидродинамиче-
гидродинамического стока, не возникает проблемы отрицательных температур,
поскольку в этом случае имеется ненулевой поток тепла на беско-
бесконечности, описывающийся первым членом разложения с wi = 1 в
B3). Надо сказать, что и в этом случае при Рг = Рг* происходит
качественная перестройка теплового режима течения. Действитель-
Действительно, если на границе R = Ro задать абсолютную температуру То, то
для выполнения граничного условия при Рг > Рг* необходимо
иметь достаточно большой положительный первый член с coi = 1,
чтобы компенсировать влияние значительной области отрицатель-
отрицательных температур у решения неоднородного уравнения. Этому будет
соответствовать достаточно большой тепловой поток на беско-
бесконечности.
При Рг < Рг* необходимости в такой компенсации практически
нет, поэтому следует ожидать резкого увеличения полного теплово-
теплового потока на бесконечности при переходе Рг* со стороны малых
Рг. Таким образом, область Рг > Рг* можно охарактеризовать как
область преимущественно конвективного, а Рг < Рг* — кондуктив-
пого переноса тепла. С другой стороны, в случае нулевого теплового
потока, Ti = 0, при Рг>-Рг* главным членом при R -*- °° (иг>2)
является частное решение неоднородного уравнения D) z(x)R~2,
т. е. поведение температуры на бесконечности определяется объем-
объемным диссипативным нагревом, а не краевыми условиями на сфере
R = Rq. Если же Pr<Prsl., то главным при R^-°° становится ди-
дипольный член, и влияние граничного условия простирается на бес-
бесконечность, что характерно для кондуктивной теплопроводности.
§ 2. Осесимметричные затопленные струи 275
Это также подтверждает сделанный вывод о том, что кривая «не-
«неразрешимости» Рг = Рг.,, (Re) есть кривая, отделяющая области
с конвективным (Рг > Рг.,.) и кондуктивным (Рг < Рг.,.) режимами
теплообмена. Отметим, что возможность выделения двух режимов
теплопроводности критическим образом зависит от вида распреде-
распределенного в объеме теплового источника, роль которого в данном слу-
случае играет вязкая диссипация кинетической энергии жидкости.
Резюмируя, можно сказать, что аналитичность решения в беско-
бесконечно удаленной точке, имеющая место для решения уравнения
Лапласа, является следствием наличия целочисленного спектра у
оператора Лежандра. Введение возмущающего оператора (для урав-
уравнения теплопроводности это был член (v, V)y изменяет этот спектр,
и собственные значения становятся дробными (а может быть и
комплексными) величинами. Классическое мультипольное разложе-
разложение решения уравнения Лапласа с введением возмущения изменя-
изменяется, но физический смысл его, по существу, остается прежним.
Одним из более сложных примеров применения развитых представ-
представлений является задача о неавтомодельной затопленной струе. В этом
случае «возмущение» есть нелинейный дифференциальный опера-
оператор (v, V)v, но тем не менее получается картина качественно сход-
сходная с описанной. Задача о неавтомодельной затопленной струе кро-
кроме указанных обладает рядом других нетривиальных парадоксаль-
парадоксальных свойств. Ей посвящена оставшаяся часть главы.
§ 2. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ
ЗАТОЛЛЕННЫЕ СТРУИ
Согласно асимтотической теории затопленных струй [26,
75, 91, 96], вдали от источника поведение струи определяется точ-
точными интегралами сохранения: импульсом, моментом импульса и
расходом. В приближении пограничного слоя соответствующие ре-
решения получены Шлихтингом [232], Лойцянским [90], Зубцовым [61],
а для полных уравнений Навье — Стокса — Ландау [86], Румером
[112], Цуккером [140], Гольдштиком [36]. Основу асимптотического
представления неавтомодельной осесимметричной струи составляло
разложение скорости в рамках теории пограничного слоя по целым
обратным степеням продольной координаты z или, в случае полных
уравнений Навье — Стокса, по целым обратным степеням сфериче-
сферического радиуса R, что соответствует представлению об аналитичности
поля скорости в бесконечно удаленной точке. В приближении по-
пограничного слоя было получено па основе указанного представле-
представления еще несколько членов разложения [57, 75 — 77, 96, 133]. Асимп-
Асимптотическому разложению решения задачи о затопленной струе на
основе полных уравнений Навье — Стокса посвящено крайне мало
работ [112, 140], хотя в этом случае следует ожидать, как указано
в § 1, неаналитичности поля скорости при R ¦= °°. В рамках же
18*
276 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
традиционных асимптотических разложений по целым обратным
степеням R могут возникнуть парадоксы, связанные с неразреши-
неразрешимостью, что собственно и происходит в задаче о затопленной струе
с ненулевым расходом.
2.1. Парадокс неразрешимости
для затопленной струи с ненулевым расходом
Рассматривается осесимметричное стационарное течение
несжимаемой вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности, вы-
вызванное заданным полем скоростей на сфере радиуса Во с центром
в начале сферической системы координат R, 6, ср. Движение описы-
описывается уравнениями Навье — Стокса:
(v, V)v = —-|rVp +vav, divv = 0. A)
Покажем, что поставленная задача не допускает решения в
виде разложения по целым степеням 1/R [47]. Сначала рассмотрим
случай незакрученной струи, когда у, ^ 0. Введя функцию тока г|)
согласно соотношениям
_ 1 агр _ 1 дт|)
Vr ~ я2sine "^"' щ ~ ~~ лете Ш B)
и независимую переменную х = cos 6, будем искать решение в пред-
предположении аналитичности поля скорости [112] в бесконечно удален-
удаленной точке в виде разложений
Подставив C) в систему A) и приравняв коэффициенты при оди-
одинаковых степенях 1/й, получим рекуррентную систему уравнений,
первое из которых для у\ автономное, но нелинейное, а остальные
линейны. Функция у\(х) совпадает с решением Ландау A.2),
1^ . D)
Для функции у2 получается уравнение
т ' т d /л -2\ d О1—х" d а А —1 ,г\
Ly2 = ei; L=-(l-^)_ -2-^-^ + 6^—-а. E)
Постоянная ci связана с расходом жидкости Q через сферическую
§ 2. Осесимметричные затопленные струи 277
поверхность любого радиуса
я я
Q = 2пр#2 J vR sin QdQ = — 2яр J vy[ sin QdQ = — 2лд, [i/2 A) - ya(—l)]
о о
F)
соотношением с, = —я г- <? [112].
2яр (ЗЛ -f- 1)
Краевые условия для E) заключаются в требовании регуляр-
регулярности у'2 при ж = ±1. В [112] найдено нетривиальное решение од-
однородного уравнения E)
т? / \ 4. с i \ л 3U2 — 1) , 2 (А2 — 1) /7Ч
г/го = с2^0 И; с2 = const; Fo (x) = 1 -1 -^ + -f- -f, G)
которое, однако, соответствует нулевому расходу: г/гоA) = У2о(—1).
Для существования решения с ненулевым расходом необходимо,
чтобы постоянная С\ была ортогональна собственной функции опе-
оператора, сопряженного оператору L в E). Умножение уравнения
E) на (А—хJ приводит к самосопряженному уравнению
условие разрешимости которого состоит в ортогональности G) и
правой части (8):
1
,4- #r /(nax = c, -= iA* -\—^—-.—— m —;——r \. (У)
1 J v ' ° ! [ 3 Л ^4 —• 1 J w
—l
Последнее равенство не выполняется при произвольных 1 <
< А < оо и, значит, уравнение E), вообще говоря, неразрешимо в
классе регулярных Уг{х)< (Можно показать, что равенство (9) вы-
выполняется при А = оо или Re = 0, так что в этом случае разложе-
разложение D) допустимо.)
Решение уравнения E), приведенное в [112],
'2 = Fa (x) f ач dl , j (A —
m oK ' J A-е) (A-If Р20A)х jK
r\fFQ (tj) dn,
не является регулярным, так как интеграл по | логарифмически
расходится в точке ? = —1, не говоря уже о том, что функция
Fq(x), как видно из анализа формулы G), имеет два нуля на ин-
интервале (—1, 1) (см. разд. 2.3).
278 Гл. 4. Не автомодельные затопленные струи
2.2. Собственные решения задачи
о затопленной струе
Неразрешимость уравнения E) не означает неразреши-
неразрешимости исходной задачи, а говорит лишь о непригодности разложе-
разложений D). Построим более общее разложение, полагая, что старший
член, как и в D), имеет порядок 1/R, что диктуется законом со-
сохранения импульса A.3). Тогда можно написать
(Ю)
Если vi удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса A), то для век-
вектора w имеет систему
(w, V)w + (vlt V)w + (w, V) vx = Vg + vAw; divw = 0. A1)
Теория струй интересуется асимптотическим поведением реше-
решения при R -*¦ °° . В этой области согласно A0) первый член в A1) —
малая величина высшего порядка, так что w удовлетворяет в пер-
первом приближении линейному уравнению, которое и рассмотрим сна-
сначала для случая без вращения, когда vv ^ 0. Тогда vi представляет
решение Ландау.
Линеаризованная система A1) допускает разделение перемен-
переменных и частные решения вида y(x)R'a. Будем искать общее реше-
решение в виде суперпозиции частных:
оо
п=2
A2)
- ап) уп (х) R~an; -f = v2 У gn (ж) R'^'1.
V 1 — X n 2 n2
Подстановка A2) в A1) приводит к уравнениям
[A - *2) у"п\ - 2 ^ у"п+\ап (ап - 5) + 2 (ап + 1) -~Ц-1 уп -
л х I (А — ху J
anyn - К - 2) ^—- yn + | -j— - 2an-
Уп I — О
— ¦
- 2
1 — X
Регулярные решения системы A3) возможны лишь при опре-
определенных значениях an, связанных с собственными значениями
оператора системы A3), который является обобщенным операто-
оператором Лежапдра. Такие операторы обладают хорошими спектральны-
§ 2. Осесимметричные затопленные струи 279
ми свойствами [131], однако непосредственное использование из-
известных спектральных теорем применительно к A3), как и в слу-
случае спектральной задачи для уравнения теплопроводности (см.
§ 1), невозможно из-за того, что параметр ап входит в A3) суще-
существенно нелинейным образом. Поэтому ограничимся качественными
соображениями и численным анализом. Предварительно заметим,
что случай п = 2 играет выделенную роль, так как аг = 2 при всех
А. Это связано с законом сохранения расхода F), из которого не-
непосредственно следует, что в разложении A2) для wR должен со-
содержаться член ~1/й2. Формально значение а\ = 1 также является
собственным при всех А, но оно лишнее, так как по условию A0)
вектор w не должен содержать членов <~1Лй, что и нашло отраже-
отражение в форме разложения A2).
При нулевом Re, когда А = °°, систему A3) можно свести к
уравнению
[A - х2) y"J' + [(о».—.1) К - 2) + ап (ап + 1)] у"п +
+ ап (о* - 1) (а„ - 2),-^Ц = 0. A4)
1 — х"
Если разыскивать регулярное решение уравнения A4) в виде по-
полинома степени тг+1, то для ап получается алгебраическое урав-
уравнение четвертой степени с решениями ап = п; п + 2; — га + 1;
—п—1. Условие покоя на бесконечности обеспечивается, лишь
когда в разложениях A2) все а„ > 0, поэтому два последних корня
должны быть отброшены, но две первые ветви собственных значе-
значений остаются. В рассматриваемом частном случае Re = 0 эти ветви
налагаются, так что можно считать, что A4) имеет целочисленный
двукратный спектр а„ = п и каждому а„ соответствуют две регу-
регулярные собственные функции
, A5)
где Рп(х) и Qn(x) — некоторые полиномы степени п.
Заметим, что согласно A4) ynm{i — х2) при п > 3, что и на-
нашло отражение в представлении A5). При ап — 2 уравнение A4)
наряду с решением хA— х2) допускает собственную функцию
У2=х, регулярную, но не удовлетворяющую условиям г/„(±1) = 0,
что_ согласно F) обеспечивает ненулевой расход Q. Отметим, что
это не противоречит условию отсутствия особенности we(R, ±1),
поскольку в разложении A2) для w% функции г/2 не содержится,
так как аг = 2. Общее решение A4) содержит две произвольные
постоянные
Уп = Any™ + Впу{п2\ A6)
В рассматриваемом случае Re'-+ 0 задача A1) остается линейной
не только при R ->- °°, но и при любых R. Наличие двух бесконеч-
бесконечных последовательностей WJ, {Вп} позволяет удовлетворить двум
произвольным граничным условиям на сфере R = Ro; например, мо-
280
Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
5.0-
i-,0-
гут быть произвольно заданы vR(Ro, х) и
ve(R0, x) из пространства непрерывных
функций С([— 1, 1]), что возможно в силу
хорошо известной полноты множества
полиномов в этом пространстве. Отметим,
что необычайная ситуация, связанная
с наличием в задаче двух полных на-
наборов собственных функций A5), являю-
являющихся линейно зависимыми, и обеспечи-
обеспечивает возможность выполнения двух ус-
условий.
При увеличении Re от нуля ветви
an(Re) расщепляются, а сами ап становят-
становятся нецелыми для п 5» 3 (но «2 — 2). Это
видно на рис. 104, где представлены результаты численного решения
уравнений A3) в виде зависимостей an(Re) для п — 3, 4, 5. По сути
дела расщепление множества собственных значений на две ветви
не должно в принципе изменить ситуации: каждой ветви должен
соответствовать полный набор собственных функций (уже не явля-
являющихся полиномами). Несмотря на физическую ясность, строгое
доказательство этих свойств представляет большие трудности и до
сих пор не найдено. Использованный метод расчета собственных
значений an(Re) идентичен методу расчета собственных значений
«„(Re, Pr) в спектральной задаче для уравнения теплопроводности.
По аналогии с уравнением Лапласа и тепловой задачей, рас-
рассмотренной в § 1, собственные решения линеаризованной системы
уравнений Навье — Стокса A1) можно назвать гидродинамически-
гидродинамическими мультиполями, а разложение решения задачи по ее собствен-
собственным функциям соответственно мультипольным.
2.3. Устранение парадокса неразрешимости
для неавтомодельной струи с ненулевым расходом
Линеаризованное уравнение A1) при всех числах Рей-
нольдса имеет двукратную точку спектра, соответствующую п = 2
в разложениях A2). В этом случае в соответствии с общей теори-
теорией для полноты системы базисных функций последняя должна
быть пополнена присоединенными собственными функциями. Такой
присоединенной собственной функцией является решение
wR = — \ [и (х) In R + z (х)] —ъ, Wq = / ' A7)
2
Л2 /i-*8'
р з L V ' a\~/J"
Логарифмический член, как показано в § 4.1, возникает и в тепло-
тепловой задаче. Отличие заключается в том, что здесь он должен при-
§ 2. Осесимметричные затопленные струи 281
сутствовать не при некоторых, а при всех числах Рейнольдса. За-
Заметим, что логарифмический член в выражении для vR сразу полу-
получается из уравнения неразрывности, если в разложении C) для
ve допустить член ^1/R2. Подстановка A7) в A1) после интегри-
интегрирования приводит к уравнениям
Lu' = D = const; h = -2u' + D/3; A8)
Lz' — 6z' = 3g-h- y'lU' + y[u + u' + 2yLul(\ — x2);
/(l >)\
2z" = u"
{lu - 2y[u -
Оператор L определен в E), а у\{х)— выражением D). Регу-
Регулярное решение уравнения A8), как и E), возможно лишь при
D = 0. В этом случае имеем
А (А — xf
где величина F0(x) определена соотношением G). Из A9) после
интегрирования второго уравнения с учетом выражения для у\ (х)
и и(х) получается неоднородное уравнение
Lz'=f(x),
6Л2 —2 3(Л2 —1) 8А(А2 — 1) 6 (Л2 — IJ
А(А-х) (A-xf (A-xf (A — xf
B1)
Как и в случае задачи E), однородное уравнение B1) имеет не-
нетривиальное решение G), но теперь правая часть B1) такова, что
выбором постоянных В ж С можно обеспечить разрешимость неод-
неоднородной задачи. Второе условие, связывающее В ж С, состоит в
задании расхода Q.
Умножая B1) на (А — хJ, получаем
Интегрирование B2) по х от —1 до 1 дает расход
B3)
Из условия разрешимости самосопряженного уравнения B2)
1
J / (х) (А — xJF0 (x) dx = 0 получим
Г
±jUo, B4)
282 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
Определитель системы B3), B4) отличен от нуля при всех А^1,
поэтому постоянные В и. С однозначно определяются.
Таким образом, общее решение уравнения B2) имеет вид
z'(x) = coF0(x) + F(x), B5)
где F(x) — регулярное частное решение уравнения B2). Это ре-
решение при помощи метода вариации произвольных постоянных
может быть выписано в квадратурах:
F(x)'f(
Здесь
ф © = а(?йгх)г I F°(т|){А~
Далее из G) следует
- 1 cos (~ ± fj;
(-l, 1), х3ё,[-1, 1].
Полученное выражение регулярно на замкнутом интервале
[—1, 1]. Его форма обусловлена аддитивным выделением особенно-
особенности, связанной с обращением вырожденного оператора L.
2.4. Общее решение неавтомодельной задачи
Вернемся к рассмотрению задачи при произвольных R и
Re, когда нужно учитывать нелинейность уравнения A1). В нели-
нелинейном случае разложения A2), пополненные присоединенными
функциями A7), не представляют решения A1), так как при под-
подстановке A2) в A1) нелинейность порождает нескомпенсирован-
ные члены с суммарными степенями при 1/R. Тем самым разложе-
разложение A2) не обладает свойством замкнутости.
При разложении по целым степеням 1/R линейные и нели-
нелинейные члены в A1.) также будут выражаться через некоторые
целые, степени, т. е.-целые степени обладают групповым свойством.
Для замкнутости нобходимо, чтобы таким свойством было наделе-
§ 2. Осесимметричныс затопленные струи 283
но и семейство нецелых степеней, так чтобы линейные и нелиней-
нелинейные члены давали степени из этого семейства. Исходя из приве-
приведенных соображений, замкнутое разложение следует записать в
виде
Уп (X) + 7, Ukn (X) —— R
fe=l R J
"I
— R ;
u J
+ ? hhn (ж) -— R ; B6)
u J
j = 2
где га,- — неотрицательные целые числа, выбираемые так, чтобы вы-
выполнялись неравенства ц.„<и.„+1- Функции икп(х), hhn(x) удовлет-
удовлетворяют линейным неоднородным уравнениям, которые получаются
из-за нелинейности A1). Если, например, A7) подставить в A1),
то конвективные члены породят неоднородные линейные уравнения
для функций г/5, gb', И12, А12 и игь Агь т. е. неоднородные уравнения
появляются лишь для членов достаточно высокого порядка. Правые
части для линейных неоднородных уравнений, которым удовлетво-
удовлетворяют uhn, hhn или уп, gn, отвечающие показателю степени цп, п > 2,
порождаются нелинейными членами, имеющими суммарный пока-
показатель степени \хп + 2 при 1/R. Эти показатели характеризуются
со
тем, что все они удовлетворяют условию 2 wj^2.
3=2
Заметим, что B6) в качестве подпоследовательности целиком
содержит разложение A2), члены которого удовлетворяют одно-
однородным уравнениям, чего не случилось бы при целых показателях
а». Это мультиполыюе разложение, играющее в B6) затравочную
роль, содержит двойной счетный набор произвольных постоянных
Ап и Вп, которые должны определяться граничными условиями при
R = i?o- Каждый мультиполь порождает целую последовательность
членов разложения B6), обращающуюся в нулевую последователь-
последовательность, если данный мультиполь отсутствует. В частности, диполь-
ный член порождает в B6) последовательность целых степе-
степеней 1/R.
Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид сово-
совокупности полного набора мультиполей с порожденными ими муль-
типольными последовательностями, поэтому представление решения
в виде ряда B6) естественно назвать обобщенным мультипольным
разложением. При этом в двойную сумму, содержащуюся в B6),
входит лишь одна произвольная постоянная В, определяемая урав-
уравнениями B3), B4) и пропорциональная расходу Q, что дает осно-
основание назвать ряд последовательностью расхода, характерный при-
признак которой — наличие логарифмических членов. Следует также
отметить, что, вообще говоря, не исключены такие случаи, когда
284
Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
при некоторых числах Рейнольдса какие-нибудь собственные зна-
значения ап совпадут, т. е. станут кратными. В таких случаях соб-
собственные функции пополняются присоединенными функциями при
In R-R п, 1 ^ к s? Z— 1, где I — кратность.
Полученные результаты позволяют в явном виде выписать
главные члены асимптотического разложения решения при боль-
больших R. С точностью до членов o(R~2) имеем
'у[ , .., 1пД
= — v I "й + и
¦± + — B7)
Функции г/i, и и z определены соотношениями D), B0) и
B5). Они содержат три произвольные постоянные: А, В и со (функ-
(функция у2 = c2F0 в силу произвольности Со и сг может считаться
включенной в z'), которые в соответствии с традицией классиче-
классической теории струй должны быть определены через заданные инте-
интегралы сохранения.
Во всех предыдущих работах учитывались только два интегра-
интеграла сохранения: импульс Jz и расход Q, которые, как уже указыва-
указывалось, определяют постоянные А и В. Однако существует еще один
точный интеграл сохранения для уравнений Навье — Стокса, кото-
который может быть задан независимо от Jz и Q и, следовательно, опре-
определяет постоянную с0. Это поток ж-компоненты момента количества
движения через поверхность, состоящую из полусферы радиуса R
ж кольца на плоскости у = 0 между окружностями радиусов R и
До (рис. 105),
Ун*>е-* -5-д-
R <Э6 + OR
+ v%
2v E
cose ей).
B8)
Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то
в осесимметричном случае Lx = 0. Именно поэтому интеграл сохра-
сохранения B8) оставался незамеченным в
литературе. Наличие этого интеграла
приводит к тому, что в разложении для
скорости должен присутствовать член
sol/i?2, по такой же член требуется
законом сохранения массы (расхода).
Как раз в этом кроется причина то*
го, что спектральное значение аг = 2
оказывается двукратно вырожденным
при всех числах Рейнольдса. След-
Рис. 105. ствием этого вырождения является
§ 2. Осесимметричные затопленные струи 285
наличие в разложениях B6), B7) логарифмических членов, и не-
неаналитичность решения уравнений Навье — Стокса сказывается
уже во втором члене асимптотического разложения. Таким обра-
образом, парадокс неразрешимости для струи с ненулевым расходом
обязан своим происхождением наличию дополнительного интеграла
сохранения Lx и в соответствии с общей терминологией гл. 1 его
следует называть парадоксом скрытого инварианта.
Итак, для описания струйного неавтомодельного течения при
помощи главных членов асимптотического разложения B7) необ-
необходимо задать не два, а три интеграла сохранения: Jz, Q и Lx. Дан-
Данный вывод относится к решению полных уравнений Навье — Сток-
Стокса. Между тем, большинство работ по теории струй выполнено в
приближении пограничного слоя. Сначала рассмотрим, что проис-
происходит с точным решением в ситуации, когда Re -> °°, А -»- +1 и,
следовательно, согласно A.3) Л-»-«>. Конечный результат суще-
существенно зависит от того, каким образом изменяется расход Q при
этом предельном переходе, что в свою очередь зависит от способа
увеличения Re.
Если струя выходит из трубки радиуса ао с характерной ско-
скоростью жидкости vo, то /2 ~ v^al, a Q ~ v0a20, так что Q ~ а0У/2 ~
~ ао/УА — 1, и все зависит от закона изменения ао(А). В частности,
при ао = idem, т. е. при фиксированной геометрии трубки, произ-
произведение Q(A2 —1)-*-0 и, следовательно, система B3) — B4) сво-
сводится к уравнениям С + ЗВ = О и С + ЪВ = 0, которые имеют ре-
решение С = 5 = 0. Тогда согласно B0) и = 0 и логарифмические
члены в разложении B6) пропадают. В этой ситуации разложение
C) непротиворечиво, и для асимптотического описания неавтомо-
неавтомодельной струи с точностью до членов порядка 1/R2 достаточно за-
задание лишь двух интегралов сохранения Jz и Lx, тогда как величи-
величина Q может быть любой. Значит, если необходимо учесть, что
струя имеет определенный конечный расход, то ее следует рассмат-
рассматривать при конечных, хотя, может быть, очень больших числах
Рейнольдса. Этот факт заставляет при нахождении высших членов
асимптотического разложения для затопленной струи поднять
вопрос о справедливости допущений, принятых в теории погранич-
пограничного слоя.
2.5. О применимости теории пограничного слоя
для неавтомодельной затопленной струи
Рассмотрим подробнее приближение пограничного слоя.
В цилиндрических координатах (г, <р, z) уравнения пограничного
слоя для незакрученнои осесимметричнои струи имеют вид
ди , ..ди .. (д2и , 1 <5м\ дги , дги „ ~*_ ,,, п ,Л iOQ\
dz дг I Qj? г дг j dz дг
286 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
Подобно тому, как это сделано в (90], введем переменную г\ =
= r/(zv1/2). Аналогично A2) представим функцию тока г|)(т], z)
линеаризованного уравнения Прандтля B9) в виде разложения по
собственным функциям
C0)
C1)
Т| z TJ Ро г дг
где показатели степени [}„ играют роль собственных значений со-
соответствующей спектральной задачи. Первый член разложепия
C0) есть точное автомодельное решение полной системы уравне-
уравнений B9) и соответствует функции тока задачи о затопленной струе
заданного импульса Jz.
Функция а(г\) получена Шлихтингом 1232]:
Ж <32>
Подставляя C1) в уравнение B9), линеаризованное на решении
Шлихтинга, приходим к следующей линейной задаче на собствен-
собственные значения:
«n@) = 0, a^@) = 0; а„/^-^0 при т|-> оо.
Отметим, что значение ^о — 2 является собственным. Соответ-
Соответствующая собственная функция ao(Ti) получена Лойцянским [90].
Следуя работе [90], введем переменную ? = а/4, тогда C3) прини-
принимает вид
C4)
an@) = 0; ajn^l^O при |-1. C5)
Уравнение C4) обладает иными спектральными свойствами, чем
A3): во-первых, при любом $п существует решение, ограниченное
при | = 0 и | = 1,
5,№) = ? + ^| + ^1, C6)
§ 2. Осесимметричные затопленные струи 287.
так что имеется непрерывный спектр. Во-вторых, при определен-
определенных значениях [}„ существуют решения в виде полиномов Sn(E,)
степени га. Спектральные значения рп удовлетворяют соотношению
(ге-2)[п(п + 3)-2(р„-2)] = 0, C7)
откуда видно, что кроме га = 2, отвечающего решению C6), име-
имеется дискретный целочисленный спектр
Рп=п^±^) + 2. ро = 2) pi = 4j p2==7j рз=== 11, ..., C8)
порождающий еще одно семейство ограниченных на интервале
[О, 1] решений уравнения C4), которые в комбинации с решением
C6), вообще говоря, позволяют выполнить условия C5). Однако
при р„ = 4 и 7 эти решения совпадают с C6) и приходится при-
привлекать неаналитические решения, имеющие в окрестности | = 1
вид
an(l) = An + Bn(i-l)ln(l-l)+...., C9)
которые также удовлетворяют условиям C5). Таким образом,
спектр задачи C4) — C5) есть C8). Собственные функции, отве-
отвечающие этому спектру, образуют систему мультиполей уравнений
пограничного слоя. Как и выше, в общей нелинейной постановке
задачи мультиполи порождают мультипольные последовательности,
члены которых удовлетворяют линейным неоднородным уравнени-
уравнениям. На первый взгляд полное обобщенное мультипольное разло-
разложение должно было бы совпасть с разложением по целым обрат-
обратным степеням z, но поскольку все возникающие из-за нелинейности
правые части в линейных неоднородных уравнениях соответствуют
целым показателям степени, то для разрешимости задачи согласно
развитому выше подходу решение должно быть пополнено членами,
содержащими In г в соответствующих степенях, с коэффициентами,
обеспечивающими эту разрешимость.
Сравнивая величины {}„ и ап на рис. 104, видим, что прибли-
приближение пограничного слоя несправедливо, начиная с C„ > 2. Реше-
Решение Лойцяпского ро = 2 — последний высший член разложения,
совпадающий с решением уравнений Навье — Стокса при Re -»- °°
и больших z. Все полученные к настоящему времени высшие при-
приближения в теории струй — члены одной и той же, а именно ди-
польной последовательности. Ясно, что такие приближения некор-
некорректны. Именно с этим, скорее всего, связано то парадоксальное
обстоятельство, что второе приближение лучше согласуется с опы-
опытом, чем третье [5, 76].
288 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
§ 3. НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАКРУЧЕННЫЕ СТРУИ.
ТЕПЛОВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАТОПЛЕННЫХ СТРУЙ
Предложенный здесь обобщенный мультипольный под-
подход имеет широкую область приложения, значительно перекрываю-
перекрывающую круг вопросов, рассмотренных в предыдущих параграфах.
В частности, на его основе решается задача о возникновении при-
осевых возвратных течений в закрученных струях. Подобные
течения наблюдаются экспериментально [5], но, несмотря на мно-
многочисленные попытки [57, 75, 76, 133], их не удается описать в
рамках теории пограничного слоя. Ключевую роль в рассматривае-
рассматриваемой проблеме играет интеграл сохранения, который до сих пор
выпадал из поля зрения исследователей, но который с необходи-
необходимостью обнаруживается при последовательном применении мульти-
полыюго подхода.
3.1. Общее решение неавтомодельной задачи
о закрученной струе
Рассмотрим неавтомодельную закрученную струю. Ре-
Решение для вращательной скорости vv будем искать в виде
vr (x) vT (x) ^ Тп(х) ¦ ¦
Первые два члена в A) соответствуют известным решениям [36,
140] (см. разд. 2.3), целые степени в которых диктуются законами
сохранения поперечной компоненты импульса, ответственной за
вращение струи [36], и z-компоненты момента количества движе-
движения. Характерная особенность первого члена — неограниченность
у„ при х = — 1 из-за невозможности одновременно удовлетворить ус-
условиям Fi(±l) = 0. Это решение соответствует истечению струи из
вихревой нити. Решение для yi(x), обладающее минимальной осо-
особенностью, регулярное при х = 1, в случае наличия вращения не-
аналитично: у[ (х) ~ In A + х).
Для таких решений источник вращения не может быть точеч-
точечным. Если вернуться к постановке задачи с заданным распределе-
распределением вектора скорости на сфере радиуса Rq, to для регулярности
решения при х==— 1 необходимо положить Ti(x) = 0, в результате
чего получается постановка задачи Лойцянского [90], в которой
первым является дипольный член разложения, характеризуемый
заданием z-компоненты потока момента количества движения
я
я
v (Jf - 5)] «in2 9 d0. B)
§ 3. Нсавтомодельиые закрученные струи 289
Эта задача решена сначала в рамках теории пограничного слоя в
[90], а затем и для полных уравнений Навье — Стокса в [140], где
получено
1 — хг
Г2 (х) = el-: ; d = const. C)
Постоянная d определяется моментом импульса Lz. Вычисляя ин-
интеграл в B) с учетом, что vR описывается решением Ландау A.1),
A.2), приходим к соотношению
] D)
Если A) подставить в уравнение Навье — Стокса B.1), то при
использовании для vR и ve решения Ландау также можно полу-
получить систему однородных линейных уравнений, определяющих
собственные функции Тп(х):
A _ Ж2} г; _ yiT'n + {уп_ 1} Gп_ у'х) Тп = 0 E)
Здесь г/1 (ж) сохраняется в виде B.4). Остальные уравнения будут
неоднородными, что породит в A) свою систему мультипольных
последовательностей.
Собственное значение 72 = 2 при всех числах Рейнольдса, по-
поскольку это соответствует закону сохранения момента количества
движения. Для п > 2 значения °(п оказываются дробными и зави-
зависят от числа Рейнольдса (рис. 106). При Re -*¦ 0 (А -*¦ °°) соб-
собственные значения целочисленные *fn = и, и им отвечают собствен-
собственные функции вида Tn(x) = Dn(i - x2)Tn-i{x) (n>2), где Тп(х) —
некоторые полиномы степени п, Dn = const. Нетрудно видеть, что
система {Г„} является в этом пределе полной системой функций.
Это соответствует ясному физическому условию, что на сфере ра-
радиуса Rq можно задать скорость уф любой регулярной функцией
угла 0, в частности произвольной функцией из пространства Ь%
(Ы, 1]).
Доказать полноту системы {Г„} для произвольных Re тради-
традиционными методами ввиду нелинейной зависимости собственного
значения у„ в E) не представляется возможным. (Вероятно, это
можно сделать аналитическим продол-
жением семейства {Гп} по параметру А,
фигурирующему в решении Ландау.) 4~-
Однако поскольку число собственных
функций с ростом Re не изменяет- 3_±
ся, то по непрерывности полнота долж-
должна иметь место и в некоторой окрест-
окрестности Re > 0. Следует отметить, что со- 2
гласно проведенным расчетам не су- о 25 50 Re
ществует собственных значений внутри Рис. 106.
19 м. А. Гольдштик, В. II. Штерн, Н. И. Яворский
290 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
интервала A, 2), поэтому дипольный член с п = 2 действительно
является главным в разложении A), когда Fi(a;) = O.
Таким образом, учитывая результаты § 2, получаем, что ре-
решение задачи о закрученной струе содержит три счетных набора
произвольных постоянных {BJ, {Cn}, WJ, с помощью которых
можно всегда удовлетворить граничному условию на сфере радиуса
Но в виде произвольно заданного осесимметричного вектора скоро-
скорости \v°R, Vq, Уф), соответствующего ненулевому источнику импуль-
импульса на ней (Jz?=0, A.3)). При этом главные члены асимптотического
разложения при R -*¦ °° определяются четырьмя интегралами со-
сохранения: импульсом струи /г, расходом Q и двумя компонентами
момента количества движения Lx и Ьг.
Перейдем к построению общего решения сформулированной
краевой гидродинамической задачи вне шара радиуса Rq. Для этого
разложения B.26) и A) с учетом собственных значений fj необ-
необходимо дополнить членами с такими показателями при сфериче-
сферическом радиусе R, чтобы при подстановке полученных разложений
в уравнении Навье — Стокса линейные и нелинейные члены имели
показатели степени при R из одного и того же семейства (см. §2).
Следовательно, семейство дробных показателей степени должно
быть замкнуто относительно этой подстановки. Искомое разложение
имеет вид (ср. с B.26))
1 + 2 [Щ («j — 1) + mj (yj — 1)], nh nij = 0, 1, 2, ..., G)
3 = 2
(8)
j («j - 1) + Щ (Ъ - 1)J; rai' mj = 0, 1, 2, ...
§ 3. Неавтомодельные закрученные струи 291
где rij, rrij — целые неотрицательные числа, выбираемые таким об-
образом, чтобы множества {\хл}, {?J были вполне упорядочены по
признаку |Л„ < )in+i, t,n < U+i (?n отличаются от ц,„ ограничениями
на суммы щ и т,; отметим также, что множество {цп} G) упоря-
упорядочено иначе, чем в B.26), поэтому функции уп, gn, ukn, hhn не сов-
совпадают с аналогичными функциями в B.26)).
Мультиполыюе разложение F) — A0) справедливо для реше-
решения краевой гидродинамической задачи вне шара, из которого бьет
струя. В этом случае собственные значения а, > 0, "fj > 0 и соот-
соответственно показатели степени ц.„ > 0, t,n > 0. Можно расширить
границы применимости развитого обобщенного мультипольного раз-
разложения на струйные течения в ограниченных областях, если се-
семейство собственных значений дополнить отрицательными показа-
показателями степени a,j, fj и соответственно \кп, %,*.• Такие отрицательные
собственные значения действительно существуют в некоторой об-
области небольших чисел Рейнольдса. В случае Re -> 0, как было
показано в разд. 4.2, спектральные значения, отвечающие собствен-
собственным функциям в виде полинома степени ге+1, есть ап = п, п + 2,
—га+1, —п—1. Отсюда видно, что существует двукратный цело-
целочисленный спектр отрицательных а„, аналогичный спектру положи-
положительных собственных значений, причем множество собственных
функций, соответствующих ап < 0, есть полная система полиномов,
удовлетворяющая всем необходимым условиям (г/„(±1) = 0, см.
§ 2). При увеличении числа Рейнольдса двукратные собственные
значения расщепляются на две ветви, а система собственных функ-
функций для каждой ветви остается полной по крайней мере в некото-
некоторой окрестности точки Re = 0, что позволяет удовлетворить гра-
граничным условиям для vR и vb на внешней сфере радиуса R\.
Нетрудно установить, что при Re = 0 отрицательные целочис-
целочисленные значения показателей степени "[« Для окружной скорости
vv также являются собственными, а система собственных функций
полной (при *{» — п, —п—1 имеется собственная функция в виде
полинома п-ш степени Г„(ж), Г„(±1) = 0). При увеличении числа
Re отрицательные ^п становятся дробными, а число собственных
функций не меняется, поэтому следует ожидать полноты системы
собственных функций для отрицательных fn и ПРИ Re > 0.
Таким образом, с помощью мультипольного разложения мож-
можно построить решение уравнений Навье — Стокса в шаровом слое,
на границах которого задано произвольное осесимметричное поле
скорости из Li ([—1, 1])- В этом случае разложения F) — A0) име-
имеют тот же вид, но суммирование распространяется от — °° до °о
(эти пределы указаны в скобках). Отрицательные индексы у по-
показателей степени jxn, t,n (n<0) означают, что \in, t,n < 0, причем
Общее решение уравнений Навье — Стокса F) — A0) может
быть полезным и при решении других осесимметричных краевых
задач гидродинамики. В частности, граничные поверхности в виде
19*
292 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
сфер радиусов До и R\ можно заменить непересекающимися осе-
симметричными звездными поверхностями 50 и S\ достаточной сте-
степени гладкости. Действительно, любую осесимметричную звездную
поверхность можно описать, задав однозначную функцию До (cos 9),
где До — расстояние от начала координат до рассматриваемой по-
поверхности. Подставляя функции Ro(x), Ri(x) в разложения для
vR, ve, vv, по заданному вектору скорости на So и Si определим
весь двойной троекратный счетный набор произвольных постоянных
{Вп, С„, Dn}, с помощью которого решение полностью определяется
во всей внутренней области.
До сих пор шла речь о мультипольных разложениях F) —
A0), как об общем решении уравнений Навье — Стокса. Однако
пока не доказана равномерная сходимость этих разложений, пред-
представление решения в виде F), A0) имеет лишь формальный ха-
характер.
3.2. Сходимость обобщенных
мультипольных разложений
Рассмотрим вопросы сходимости рядов F) — (Ю). Ввиду
того, что эти ряды носят характер степенных, в случае гидродина-
гидродинамической задачи для внешности шара с радиусом До ряды при
п > 0 сходятся всюду в области R > До, если они сходятся при
Д = До. Таким образом, если с помощью представлений F) — A0)
оказывается возможным удовлетворить граничным условиям на
сфере R = До, то указанные представления будут решениями урав-
уравнений Навье —- Стокса везде в рассматриваемой области. Остается
выяснить, существует ли ненулевой радиус сходимости рядов.
Пусть Д„, С„, Dn — интенсивности соответствующих мультиполей,
причем |5„|, [С„ , \Dn\ <С/па, а>1, 0<С<°°, а расход для про-
простоты положим равным нулю. Случай с ненулевым расходом, когда
присутствуют члены с 1пД, может быть рассмотрен аналогичным
образом.
Необходимо оцепить вклад членов, возникающих из-за квадра-
квадратичной нелинейности. Эти члены пропорциональны произведению
1—а; 1—а,- 1—а; 1—Yb 1~7ь
... R SR 3l ... R lpR h ... R m,
причем если сумма (сс^ — 1) + ... + (^ftm — 1) лежит в интервале
jTV, ./V+ 1], то их вклад при Л^ > 1 можно оценить сверху величиной
С<./A+Л0а, С<Са<°°, Са = const. (Справедливость этого и неко-
некоторых последующих утверждений будет установлена ниже после
общей характеристики проблемы сходимости.) Отсюда следует, что
§ 3. Неавтомодельные закрученные струи 293
интересующие нас ряды при достаточно естественных и общих
предположениях сходятся при R ^ Ло.
Следует отметить, что если рассматривается гидродинамиче-
гидродинамическая задача в шаровом слое или какой-либо аналогичной осесим-
метричной области, то сходимость рядов F) — A0) ставится под
сомнение. Однако если интенсивности мультиполей, соответствую-
соответствующих отрицательным показателям степени \iN, t,N, экспоненциально
быстро, как (R0/Ri)~ml\N\a, убывают с ростом \N\, то мы увидим,
что полные ряды сходятся и в этом случае, но стационарные осе-
симметричные решения теряют устойчивость при весьма небольших
числах Рейнольдса, поэтому представление решений в виде F) —
A0) уже при невысоких Re может потерять физический смысл.
Фактическое вычисление интеисивностей мультиполей из гра-
граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраиче-
алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего си-
системы функций уп, ик„, Г„, Qkn необходимо последовательно орто-
гонализировать. Эта процедура может оказаться весьма трудоемкой,
если для построения приближенного численного решения требу-
требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет
течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается
достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по не-
нелинейности, характерных для решений уравнений движения обыч-
обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов,
возникающих в результате итераций по нелинейности, асимптоти-
асимптотически мал при N^-°°, поэтому достаточно ограничиться решением
линейной задачи при больших N, что сильно упрощает алгебраиче-
алгебраическую систему для определения Вп, Сп, Dn.
Следует отметить, что выбор базиса в виде собственных функ-
функций не является единственно возможным для задачи в ограничен-
ограниченной области. В принципе можно рассматривать произвольные га-
леркинские приближения. Однако представляется, что базис из
собственных мультиполей наиболее удобен, поскольку имеет ясное
физическое содержание для каждого члена разложения, что нема-
немаловажно для приближенного решения задачи. В ряде случаев до-
достаточно рассмотреть один-два члена разложения, чтобы получить
физическую информацию о решении. Рассмотрим два таких
примера.
Оценим вклад членов разложения F) — A0) при показателях
степени (х„, ?„, лежащих в интервале [N, N+1) при достаточно
больших N, для задачи о струйном течении во внешности шара
R^Ro- Пусть для простоты показатели степени а„, *(п целые (ап —
= Чп = п, и>0), а расход Q равен нулю, чему соответствует отсут-
отсутствие в разложениях F) —A0) членов с lnJ?. Тогда в указанном
интервале содержится только одно значение \iN~N (если а„, ч* —
дробные, то получаемая ниже оценка не претерпевает значитель-
значительных изменений, о чем будет указано в соответствующем месте).
В этом случае разложения для полей скорости и давления прини-
294 Гл. 4. Неавтомодельпые затопленные струи
мают вид
оо со
v = 2 vn; р = 2 Рп, (И)
где члены
v« = Vn + un; ри = рп + gn;
vn = fn(cos9)i?-n; v« = i°n (cos 9) Я""; A2)
pn = gn (cos 9) i?"""; p° = g° (cos 9) i?""
удовлетворяют уравнениям (р = 1)
n —l
J/j (vfe, V) уя+1_й; div un = 0
fe=2
Координаты скорости и давления обезразмерены по их характер-
характерным значениям на сфере i? = i?o. Из A2), A3) находим
з п —1
о , "V г V 7. ,, ,¦ л о Ч /4/л
j,ft=i г=2
где интегральный оператор Lijh имеет вид
/-11 а2 \
т п —lied д А—1 О \
Liih = Re Д 6« А J
а А — обратный оператор к оператору Лапласа. Поскольку опе-
оператор Lm интегральный, то можно показать, что он ограничен на
пространстве функций ~vn из A2), где /„,*, fn, ^ L2([— 1, 1]):
i?yfti<-jRetffl<oo; i, j, k=l, 2,3; 0<Я<оо, A5)
причем норма определяется соотношениями
Из A4) с учетом A5), A6) следует
г=2
Полагая
A8)
§ 3. Неавтомодельиые закрученные струи 295
при п > 1 соотношению A7) можно придать интегральную форму
и—1
/(п)<со/?га + Же J dxf(x)f(n+ 1-х). A9)
2
Выражение A9), записанное в виде равенства может служить
уравнением для получения верхней оценки функции f{n) при
больших п, которой вполне достаточно для решения вопросов
о сходимости разложений. Действительно, усилим неравенство A9):
^+l-y), B0)
1
где
fo(x) = сх~а; со<с<°°; а>1; х> 1; ц = ХВ.е>0,
причем, по построению, f(x)>0; /(l)>0.
Пусть существует непрерывное решение g{x) уравнения
+ l-y). B1)
Нетрудно показать, что g(x)>-0. Обозначим
u(x) = f(x)-g(x). B2)
Из B0) —B2) следует
X
u(x)<p$dyu(y)[f(x+l-y) + g(x+l-y)], B3)
1
откуда иA)<0. Поскольку и{х) непрерывна, существует такое
число а>1, что и(х)<0 при 1 ^ х < а. Пусть и(а) = 0, тогда B3)
а
приводит к противоречию j dyu (у) [/ (х + 1 ~ у) + g (х + 1 — у)] > 0
при условиях u{x)<0, f(x+l-y) + g(x + l-y)>0, Кж<а. Та-
Таким образом, и(х)< 0 для всех конечных х. Итак,
f(x)<g(x) при Кх<°°. B4)
Обозначим
-l) = /o(s), B5)
тогда B1) представляется в виде
Ф
X
(ж) = Фо (*0 + Ц j */ф (г/) Ф (ж - у). B6)
296 Гл. 4. Неавтомодельныо затопленные струи
Уравнение B6) можно решить методом преобразования Лапласа
Ф (Я) = Фо (Я) + и.Ф2 (Я); Ф1]2 = ± [1 ± /1 - 4цФ0], B7)
оо оо
где Ф (Я,) = j е"^ф (х) dx, Фо (Я) = j е~^хф0 (ж) da;. Поскольку фЭ(х) =
о о
= с/A + з:)а, имеем [55]
Фо(Я)=сГA-а, W-W. B8)
Для того чтобы определить асимптотику ф (х) при х -*¦ °°, до-
достаточно исследовать решения B7) при Я -*- 0. В этом случае
Фо(Я) = сГA — а)Яа~1 + &(Я,а), а два корня B7) имеют вид
®i = 7 - фо М + О (Ф20 (Я)); Ф2 = Фо (Я) + О (Ф*
Применяя обратное преобразование Лапласа, нетрудно видеть, что
при х -*¦ °° первый корень определяется выражением
<Pi(*) = ? 8И-фо(а:) + 0(Фо(а:)), B9)
а второй
ф(ж)==фо(ж)+о(ф0(ж)). C0)
Из B9) следует, что для достаточно больших х величина ty\(x)<
< 0, что недопустимо для нормы. Таким образом, главный член
асимптотического разложения при х ->¦ °° дается C0) и не зависит
от величины ц,. Поскольку \х = X Re, можно сделать вывод, что схо-
сходимость рядов F) — A0) не зависит от значения Re. Тем не менее
следует учитывать, что интенсивности собственных мультиполей
зависят от Re и в оценке /о (N) = cN~a постоянные а, с могут, во-
вообще говоря, зависеть от Re, и не исключается, следовательно, воз-
возможность существования такого Re, при котором условия а > 1
или с < °° могут нарушиться.
С другой стороны, главный асимптотический член C0) пока-
показывает, что при больших значениях iV решение определяется вкла-
вкладом решения однородной задачи, вклад же части решения, получен-
полученной итерациями по нелинейности, пренебрежимо мал. Следователь-
Следовательно, главную роль в определении асимптотического поведения членов
разложения при 7V -*¦ °° будет играть конкретный вид граничных
условий. В случае рассматриваемой краевой задачи это вид про-
профилей скорости на сфере R = Rq. Можно полагать, что для весьма
широкого класса профилей скорости, близких к автомодельному,
рассмотренные выше оценки будут справедливы. Указанное харак-
характерное асимптотическое поведение членов разложения может сде-
сделать предлагаемый способ построения решений уравнений Навье —
Стокса удобным с практической, вычислительной, точки зрения,
хотя вопрос о том, являются ли предлагаемые разложения наилуч-
§ 3. Неавтомодельные закрученные струи 297
шими среди других возможных, остается открытым (вероятно, это
простейшие разложения, обладающие необходимыми свойствами
сходимости и полноты).
Следует отметить, что в случае задачи о струйном течении в
шаровом слое можно получить аналогичные утверждения о сходи-
сходимости рядов F) — (Ю). В частности, неравенство B0) для реше-
решения на сфере R = Ro преобразуется к виду
оо
/ (*) < fo(x) + fx J dyf(y)f(x+l- у). C1)
— оо
Нетрудно также показать, что f(x)<.g(x), где g(x) есть непре-
непрерывное решение уравнения
со
g (х) = /0 (х) + ц j dyg(y)g(x+l — y),
-—со
и при !х| ->- °° аналогичным образом можно получить f(x)<fo(x)
(Ы->-°°), если Фурье-образ F0(k) функции /о(ж) такой, что
Ро (к) -*¦ 0 при к -*¦ 0.
Для того чтобы ряды F) — A0) сходились в области Ro ^ R ^
оо
-- D Г л I \ I R \-Х Л ^ _--
^R1, достаточно сходимости интеграла ы\х)Гд~) их^са<Соо,
с (R,
В частности, если выполнены неравенства /0 (х) ^ а /2 -^
при ж<0; /о(ж)< t c^ /2 ПрИ ж>0; 0<с<°°; а> 1, то необ-
необходимые требования удовлетворяются и ряды абсолютно сходятся
везде в области [Ro, Ri]. Следует отметить более жесткое условие
на асимптотическое поведение собственных мультиполей при поло-
положительных степенях сферического радиуса (N ->- —°° или х ->-
-»- —°°), поэтому область применимости предлагаемых разложений
для струйного течения в шаровом слое может быть уже (по допу-
допустимому виду профилей скорости на сфере или Re), чем в случае
краевой задачи вне сферы.
3.3. Неавтомодельная струя
во вращающейся трубе
Одним из характерных примеров течений в ограничен-
ограниченном пространстве является неавтомодельное струйное течение во
вращающейся трубе большого диаметра. Эта задача демонстриру-
демонстрирует нетривиальное физическое содержание первых членов мульти-
польного разложения по положительным степеням сферического
радиуса R.
298
Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
Рассмотрим неавтомодельную затопленную струю, бьющую
вдоль оси вращающейся трубы, предполагая, что диаметр трубы
D много больше диаметра трубки d0, из которой истекает струя.
Граничные условия имеют вид vR = ve = 0, уфо — QDJ2, где
при D = 2R sin 8 Q — угловая скорость вращения трубы. Эти усло-
условия удовлетворяются с помощью разложения по положительным
степеням R. Для описания полей vR, ve можно ограничиться реше-
решением Ландау A.2) — A.4), которое будет удовлетворять условиям
прилипания с точностью до членов порядка do/D. Для окружной
скорости г;ф надо использовать ряд B.1). Собственные значения
^„(Re) могут быть рассчитаны методом, указанным в разд. 4.2. Не-
Некоторые зависимости Y«(Re) при п — —1, —2, —3 представлены
на рис. 107. Интересно отметить, что учет только одного члена
разложения, позволяет получить качественно верное решение, ха-
характеризуемое эжекцией циркуляции струей со стенок трубы.
С помощью F) — A0) можно построить количественное решение
данной задачи с любой наперед заданной точностью, если взять
необходимое число членов из указанного выше полного решения.
Для решения с конечным числом членов разложения п усло-
условие Vy(R, cos0)=u,po будет выполняться на некоторой поверхности
вращения Sn, касающейся цилиндра 2R sin 6 = D при 6 = я/2. Чем
больше п, тем сильнее можно приблизить Sn к цилиндру. Пара-
Параметры разложения при данном п выбираются из условия наилуч-
наилучшего приближения исследуемой области течения областью Vn с
границей Sn в нужном диапазоне изменения продольной коор-
координаты z.
Результаты численного расчета ?>ф представлены на рис. 108
для случаев Re = 5,04 (кривые 1, 3); 17,4 B, 4) и z/(D/2) =
= 2,0 A, 2); 0,5 E, 4); штриховая линия отвечает твердотельному
вращению. Здесь z — координата вдоль оси трубы, г — цилиндри-
цилиндрический радиус. Графики показывают отчетливое увеличение эжек-
ции циркуляции в приосевую область, т. е. рост угловой скорости
вращения жидкости с ростом интенсивности струи.
Интересно отметить, что вращение жидкости при наличии до-
достаточно интенсивной струи существенно отличается от твердо-
твердотельного вращения (y<p=Q-Rsin9), а при Re > 1 имеет распреде-
распредели1 Re
Рис. 107.
О 0,5
Рис. 108.
_^ § 3. Неавтомодельные закрученные струи 299
ление, характерное для вихря Рэпкииа. Рассчитанный эффект
эжекции циркуляции незакрученной струей может быть использо-
использован и в практических целях, если в каком-либо месте закрученно-
закрученного потока необходимо интенсифицировать вращательное движение
жидкости.
3.4. Общее решение тепловой задачи
для неавтомодельной затопленной струи
В | 1 было рассмотрено полное решение тепловой зада-
задачи для струи Ландау вне сферы, на которой задано произвольное
непрерывное осесимметричное поле температуры (возможны по-
постановки краевых задач второго и третьего рода). Распространим
полученное в этом параграфе мультипольное разложение темпера-
температуры A.23) на случай неавтомодельной струи в ограниченном
пространстве. Поле скорости в этом случае представим в виде
F) — A0). Собственные значения со3- спектральной задачи A.24)
принимают теперь как положительные, так и отрицательные зна-
значения. Используя метод построения общего решения для неавто-
неавтомодельной затопленной струи, можно построить решение уравне-
уравнения конвективной теплопроводности A.4) с помощью замкнутого
семейства нецелых показателей степени Я„
К = 1 + 2 [щ (а,- -1) + mj {ъ - 1) + h {щ - 1)]; C2)
2«j>0; 2то,->0; 2^->1,
Ml i?=\ j?=l
где щ, nij, lj — целые неотрицательные числа, которые выбираются
так, что множество {%„} вполне упорядочено по признаку кп<-Кп+и
причем %п > 0, если п > 0, и кп < 0, если п < 0. В случае Re = 0
или Рг = 0 собственные значения со3- целые и соответствуют собст-
собственным функциям, являющимся полиномами Лежандра. В общем
случае зависимости cOj = ft)j(Re, Pr) могут быть рассчитаны числен-
численно указанным в § 1 методом. Зави-
Зависимости отрицательных сол как ° 2? 50 Re
функций Re при заданном Рг = 0,5 рг =
и j = —1, —2, —3, представлены на
рис. 109.
Что касается полноты системы
собственных функций и сходимости
рядов C2), то все замечания, ко-
которые были сделаны для неавтомо-
неавтомодельной затопленной струи, почти
дословно переносятся и на случай Рис 109.
300
Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
тепловой задачи. В частности, кроме постановки задачи вне шара
или в шаровом слое, можно рассматривать краевые тепловые за^
дачи для затопленной струи в области, заключенной между дру-
другими двумя достаточно гладкими звездными поверхностями.
3.5. Тепловая задача для затопленной струи,
распространяющейся в нагретой трубе
Представляет интерес рассмотреть задачу о теплообме-
теплообмене затопленной струи, распространяющейся в нагретой трубе
большого диаметра D > d. Граничные условия имеют вид vR —
= ve ¦= уф = 0, Т = То при 2R sin 8=2), где То — температура тру-
трубы. Для описания поля скоростей аналогично разд. 3.3 можно ог-
ограничиться решением Ландау A.1), A.2). Поле температуры сле-
следует искать в виде разложения по положительным степеням R
C2). Как показывают зависимости a»j(Re) при Рг = 0,5 (см.
рис. 109), решение должно характеризоваться инжекцией тепло-
теплосодержания w = cvT струи в область течения, причем существует
число Рейнольдса Re« 10, при котором инжекция максимальна.
Этот факт может быть использован для организации эффективного
струйного охлаждения.
Характерные профили температур представлены на рис. 110,
111. На рис. 110 профили температур даны на расстоянии
z/(Z)/2)=l,0 от источника струи при Re = 5,04 (кривые 3, 4);
16,0 A, 2) и Рг = 0,50 A, 3); 1,0 {2, 4). На рис. 111 при Re =
= 16,0 и Рг = 1,0 приведены профили Т/То на различных расстоя-
расстояниях от источника струи z/(DJ2) — 0 (кривая 1); 2,0 B); 4,0 C).
При увеличении числа Прандтля, как это видно из рис. 110, эф-
эффект инжекции теплосодержания струей увеличивается. Если же
зафиксировать Рг и увеличивать Re, то тепловой поток на стенке,
пропорциональный dT/dR, сначала увеличивается, а затем при
Re -*¦ оо стремится к нулю. Величины максимального теплового по-
потока и числа Рейнольдса, при котором он достигается, существен-
существенно зависят от Рг. Таким образом, оптимальный режим охлаждения
0,5-
2 г/В
Рис. ПО.
2r/D
§ 3. Неавтомодельные закрученные струи
301
струей существенно зависит от выбора конкретного теплоносителя.
Число членов неавтомодельного разложения по положитель-
положительным степеням R при решении задачи выбиралось равным одному-
двум, что, конечно, не соответствует постоянной температуре тру-
трубы на всем ее протяжении. Тем не менее на расстояниях порядка
двух-трех диаметров трубы T(D/2, <p, z) зависит от продольной
координаты z достаточно слабо, что вполне удовлетворительно для
тех качественных выводов, которые были сделаны выше.
3.6. Мультипольное разложение и устойчивость
неавтомодельной затопленной струи
Как уже отмечалось выше, полное решение F) — A0)
осесимметричной гидродинамической задачи о струе в ограничен-
ограниченной области с необходимостью содержит члены с показателями
степени а3-<0 (/^0). На рис. 112 представлены зависимости
otj (Re) для нескольких первых отрицательных индексов. В § 2
было показано, что в случае Re = 0 показатели степени а,
(j?=0; 1) являются двукратными целыми собственными значения-
значениями спектральной задачи B.13), соответствующими двойному пол-
полному набору собственных функций, как для положительных, так и
для отрицательных а,-. Этот факт позволяет удовлетворить двум
произвольным граничным условиям на двух поверхностях, ограни-
ограничивающих область струйного движения. При увеличении числа
Рейнольдса положительные показатели степени расщепляются па
две непересекающиеся ветви.
Рис. 112 показывает, что в случае отрицательных показателей
степени собственные значения а,/ также расщепляются с увеличе-
увеличением Re, но при некоторых числах Re* последовательно сливают-
сливаются. При Re ^ Re* пара действительных собственных значений
превращается в комплексно-сопряженную пару. Характерное пове-
поведение первой такой пары представлено на рис. 113.
Real
Рис. 112.
Рис. ИЗ.
302 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
Наличие комплексных показателей степени приводит к появ-
появлению в общем разложении F) — A0) членов, характеризуемых
осцилляциями по сферическому радиусу R. В этом случае при до-
достаточно больших интенсивностях соответствующих мультиполей
возможно выполнение необходимого условия возникновения невяз-
невязкой гидродинамической неустойчивости, заключающегося в том,
что величина dldr(r~ldvz)/dr меняет знак на интервале [0, °°) из-
изменения цилиндрического радиуса г (у„ = 0). Указанное условие,
представляющее теорему Рэлея для осесимметричного течения,
справедливо для параллельного приближения, когда течение не
зависит на рассматриваемом участке от продольной координаты z.
В общем случае критерий гидродинамической неустойчивости те-
теряет рэлеевскую формулировку, но качественное изменение реше-
решения при Re > Re,,., связанное с появлением осцилляции по ради-
радиусу R, имеет тесную связь с устойчивостью течения, что подтвер-
подтверждается экспериментальными данными.
Таким образом, можно сказать, что при Re > Re* существуют
такие стационарные осесимметричные возмущения, обеспечиваю-
обеспечивающие необходимую интенсивность мультиполей с комплексно-сопря-
комплексно-сопряженными показателями степени, при которых течение теряет ус-
устойчивость. Такие возмущения, как это следует из условия невяз-
невязкой неустойчивости, могут быть совсем не малыми. Заметим, что
члены, порождающие неустойчивость, отвечают граничным усло-
условиям на внешней поверхности. Поэтому устойчивость также мо-
может теряться на внешней границе течения, что согласуется с экс-
экспериментальными результатами работы [195]. В работе [250] опыт-
опытным путем обнаружено, что критическое число Рейнольдса для
осесимметричной затопленной струи составляет 5,2—5,9, что не-
несколько превышает значение Re^ = 3,5. Следует отметить, что воз-
возмущения, вносимые в поток, в этой работе носили кратковремен-
кратковременный характер и не исчерпывали, таким образом, весь класс воз-
возможных возмущений. Экспериментальное значение числа Рей-
Рейнольдса, при котором наблюдается неустойчивость, соответствует
области, в которой комплексно-сопряженными оказываются две-
три пары собственных значений (см. рис. 112), т. е. в условиях,
когда интенсивности отдельных мультиполей могут быть значи-
значительно ниже. В работе [231] нарушение стационарности и осесим-
метричпости течения ламинарной затопленной струи впервые на-
наблюдалось при Re = 3,7—4,1 (в нашей работе принято определение
числа Рейнольдса, соответствующее Re = «o«o/v, где а0 — радиус
трубки, щ — скорость жидкости в трубке, из которой бьет струя),
что хорошо согласуется с результатами, полученными выше. Заме-
Заметим, что рассчитанное ранее обычными методами теории гидроди-
гидродинамической устойчивости критическое значение числа Рейнольдса
(«15) [196, 211] значительно превышает его экспериментальное
значение.
§ 3. Неавтомодельные закрученные струи 303
3.7. Приосевой обратный ток
для закрученной струи
Рассмотрим неавтомодельную закрученную струю на до-
достаточно больших расстояниях от ее источника. В этом случае
главные члены разложения имеют вид
R
i I' 111
VR = — V
~2 "Г" • • • I
C3)
где i?o много больше характерного размера источника по. Макси-
Максимальный порядок удержанных в C3) членов определяется необхо-
необходимостью учета вклада азимутальной скорости уф °° R~2 в меридио-
меридиональное течение. Согласно рис. 102 собственные значения сц, «5,
отщепляющиеся от значения ап = 3 при Re = 0, таковы, что 2 <
< «4 < 3, 3 < «5 < 4 при Re>0. Поэтому в C3) учитывается толь-
только собственное решение, отвечающее струйному квадруполю, с по-
показателем степени «4. В пределе R ->- °° интегральный инвариант
B8) с учетом C3) принимает вид
Lx=~ 2pv2 I 1/-^-_ [z'yi + у^и - A - a;8) 2" -
где функции г/i, и, г, Г2 определены в B.4), B.20), B.21), C)
соответственно. Функции г/4, #4 являются собственным решением
304 Гл. 4. Неавтомодольные затопленные струи
однородной системы уравнений B.13), отвечающим спектрально-
спектральному значению щ- Подставляя разложение C3) в уравнения
Навье — Стокса, можно найти, что оставшиеся функции ц2ь • • •, Уъ
удовлетворяют следующим линейным неоднородным уравнениям:
Ки21 — 4/г21 = 2и'2; h'21 + Ми2Х = 0; C5)
Ки12—Щ%г2=ии"—и'2+ 4м'z' +(б—2?/i)i+ \2ух Л ^Ч I U2i — 2fe2i;
C6)
' = - ^ - 2^ + B2 - -^ - 8,;) ^ + 2М'.;
5 = " - u'z' + 22'2 + ^±^ - 2и21 + C - i/O и'12 +
1 C7)
2
(о7/ 1 ?V
где Z, М — операторы, имеющие вид
В общем случае довольно сложное выражение C4) требует
весьма громоздкого анализа, поэтому сделаем некоторые упрощаю-
упрощающие предположения, соответствующие существу задачи о возник-
возникновении обратных токов за счет вращения струи.
Во-первых, необходимо поставить краевую гидродинамическую
задачу так, чтобы выделить ситуацию, когда обратные токи возни-
возникают из-за вращения жидкости, а не вследствие наличия обратных
токов в самой подводящей трубке. Приосевой обратный ток в труб-
трубке, безусловно, приведет к возникновению возвратного течения в
струе, но это не является предметом настоящего исследования.
Дифференциальный источник струи имеет квадрупольный харак-
характер, описываемый парой собственных решений (г/4, gi, ou) и
(Уб, ge, «5). Таким образом, для рассматриваемой задачи с одно-
§ 3. Неавтомодельные закрученные струи 305
родным профилем скорости на срезе сопла, в решении C3) члена-
членами с г/4, gi в первом приближении можно пренебречь.
Во-вторых, как показывает опыт [5], приосевой обратный ток
возникает лишь при достаточно сильной закрутке потока, поэтому
естественно ограничиться рассмотрением сильно закрученных
струй. В нашей неавтомодельной постановке это означает, что
члены асимптотического разложения C3), зависящие от враще-
вращения, в области возвратного течения будут доминировать. Так, в
первом приближении на расстояниях R ~ i?o можно пренебречь
членами последовательности с inR, поскольку расход задается не-
независимо от вращения и, следовательно, постановка задачи с пре-
пренебрежимо малым расходом, но сильным вращением вполне право-
правомерна. В общем же случае расход необходимо учитывать, так как
при R -»- оо выброшенные члены становятся главными по сравне-
сравнению с оставленными. Учет их принципиально не меняет рассужде-
рассуждений и может быть осуществлен, хотя значительно усложнит
анализ.
Итак, выражение C4) в рассматриваемом приближении при-
приобретает вид
1
= - 2pv*Co Г
где учтено, что в функцию zr(х) B.25) главный вклад дает ре-
решение однородного уравнения, а функция FQ(x) определена в
B.7). С принятой степенью точности функции г/5, gs удовлетворя-
удовлетворяют системе уравнений, вытекающей из C7), C8), B.25), C),
(А — х)*
Нетрудно видеть, что решение этой системы уравнений можно
представить в виде
уъ = c20w0 (х) + д?и)г (х), g-a = c20q0 (x) + d2qi (x). D1)
Уравнения для wq, qo и w\, q\ получаются из D0) подстановкой
D1) при соответствующих коэффициеитах с0 и d?
3
x)z A{A-xf\ D2)
q'o + Mw0 = 0;
20 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский
306
Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
q'i +
1-х*
(A - xf
D3)
D4)
так что функции wq, q0, w\, q\ зависят лишь от переменной х п
числа Рейнольдса, определяемого параметром А A.3).
Подставляя D1) в C9), приходим к соотношению
- = с0 k (Re) + ^ к3 (Re)
] + | к2 (Re
),
где
— x
1
— Vi^nJ = Я"
J ^ Г-
¦xf
D5)
-; D6)
D7)
D8)
к1-0,1гкг-0,01
Функции ki{Re) (i = 1, 2, 3) могут быть затабулированы. Расчеты
показывают, что /сз = 0 при всех Re. Зависимости /c;(Re) при i —
= 1, 2 представлены на рис. 114 кри-
кривыми 1 ж 2 соответственно.
Вводя безразмерные величины
компонент момента количества движе-
движения Хх = Lx/(pu20al), %z = Lz/(pw0(o0ao),
где и0, coo ¦ ао — характерные скорости
истечения и вращения жидкости вбли-
вблизи источника струи радиуса «о, и про-
производя замену с0 на безразмерную ве-
величину со/ао, с учетом сделанных при-
приближений из D5) получаем выражение
7-
Те
* A (Re) = ^х Re2 -
Puc. Л4.
D9)
где Re = uoajv = [/z/(^pv2)]1/2 — число Рейпольдса, x(Re) =
= 4я [ 1 — 2 + A In 4-Щ входит множителем в D). При
з (л l) ~"
Re » 1 х « Re2/4. Величина К = со0ао/и0 есть параметр крутки [37].
Величины %х~1, К « 1 определяются геометрией источника.
3. Неавтомодельные закрученные струи
307
Нетрудно видеть, что при достаточно больших К величина cq
всегда становится положительной (Jt2<0), что может послужить
причиной возникновения приосевых обратных токов. Важным ре-
результатом проделанного анализа является то, что за возникнове-
возникновение обратных токов ответственен второй член ^l/R2 асимптотиче-
асимптотического разложения C3) (членами с InR мы пренебрегли), хотя на
первый взгляд можно было бы сделать вывод, что вращение может
оказать влияние на поведение членов начиная с 1/й3. Принципи-
Принципиальным моментом здесь является наличие скрытого инварианта,
интеграла сохранения Lx.
Приведем некоторые оценки режима течения с обратным то-
током. Во-первых, следует заметить, что область возвратного течения
в рассматриваемой постановке задачи всегда ограничена: при
R -*- оо решение стремится к решению Ландау A.1), A.2), не име-
имеющему обратных токов. В нашем случае скорость на оси струи
имеет вид v°z = -^ I А __ 1 — А °__ ^ -~ + ...I. Таким образом, в
области R > i?o обратный ток возможен лишь при условии
co>2A-S-. E0)
о
Известно [37, 144], что для турбулентных струй, имеющих наиболь-
наибольшее практическое значение, неплохо работает гипотеза Буссинес-
ка о постоянной турбулентной вязкости, причем соответствующее
турбулентное ReT = 35. Из D9), E0) найдем, что возвратное те-
течение есть при условии
Rn
\
E1)
Соотношение E0), в котором знак неравенства заменен на знак
равенства по порядку величины, может служить оценкой размера
100-
50-
г/а.
4- 6
Рис. 115.
303 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
области с обратным током Ятш. На рис. 115 представлена зависи-
зависимость продольного размера зоны от интенсивности вращения:
Rmax{K) при Re = 35,4; Х* = А,г = 1; Ro = 1О«о. Отметим, что в этом
случае получается весьма большое значение i?max > ЗОао. Поэтому
в опытах с закрученными струями течение зачастую может быть
интерпретировано как разомкнутое во всем пространстве. На
рис. 116 изображены линии тока для случая Re = 35,4, К = 1,
Но = lOfflo, Хх = Kz = 1.
Сделанные выводы относятся в основном к закрученным стру-
струям, в которых величина собственного расхода струи не играет су-
существенной роли. В случаях, когда влияние расхода на образова-
образование области возвратного течения необходимо учитывать, условие
существования обратного тока E0) должно быть изменено. Из
качественных физических соображений ясно, что наличие ненуле-
ненулевого расхода должно препятствовать образованию зоны с обратным
током, поэтому потребуется более интенсивное вращение, большее
К, чтобы эта зона возникла.
§ 4. НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ
4.1. Собственные решения
неосесимметричной задачи о затопленной струе
Асимптотическое поведение неавтомодельных струй в
целом определяется полученными в § 2 собственными решениями
w, q уравнений Навье — Стокса, линеаризованных относительно
точного автомодельного решения A.1), A-2), полученного Ландау,
(w, V)vi+(vb V)w = — Vg + vAw, divw = 0, A)
причем собственные функции (мультиполи) имеют степенную за-
зависимость от сферического радиуса w = W(9)fl~a; q = Q(Q)R~a~l,
где R, 9, ф — сферические координаты. Показатель степени опре-
определяется как собственное значение соответствующей спектральной
задачи для W, Q, следующей из A).
Нетрудно видеть, что аналогичный мультипольный подход спра-
справедлив и для неосесимметричной задачи о неавтомодельных затоп-
затопленных струях. В этом случае решение A) представляется в виде
оо
w = 2 [Wlnm (х) cosm(f + W2nm (x) sin mq>] R~anm\
n=i,m=o
B)
4 = v 2 [Qmm (x) cos mq> + Q2nm(x) sin rru(]R-anm-i.
n—i,m=o
Пусть
w = A — ж2)™/з \и (x) cos ггкр, J(x) г.пот.ф, J_ {x) sin my] R~a;
[ Vi-x* Vi-xz J C)
q = v(l - x2)m'2 Q(x)R-«-1; x = cos 9.
§ 4. Неоеесимметричные затопленные струи 309
Для простоты в C) опущены индексы и знак суммы. Вид C)
напоминает представление присоединенных полиномов Лежандра
и диктуется видом правой части A) и требованием, чтобы функции
U(x), V (х), W(x), Q(x) были аналитическими при соответствую-
соответствующем выборе а. Подставляя C) в систему уравнений A), записан-
записанную в сферической системе координат, и исключая величину
A —x2)V" с помощью уравнения неразрывности, приходим к сле-
следующей системе уравнений:
A _ Ж2) и" = 2 (т -f 1) U' + [т (т + 1) — (а — 1) (а — 2)]U —
(а + l)y[-^-\ U + U+-^L-\ V;
A - х2) V = A - х2) B - а) U + mxV + mW;
A _ ?¦) W" = Bт + 2а -* 4) U + 2V + (У1 + 2тх) W +
+ Г(а—1)^ — ^h- + т(т - I) - а(а - l)]w - mQ;
A _ х2) Q' = а A - ж2) U' — 2mxU + (y1 + тх) V +
+ \ау[ + B — т) -^-г + т2 — а (а — 1I V — mW + mxQ;
L 1 -х J
Систему уравнений D) можно представить как результат
действия несамосопряженного обобщенного дифференциального
оператора Лежандра [131], поэтому в окрестности особых точек
х = ±1 существуют аналитические решения, а условия ограни-
ограниченности U", V, W", Q' равносильны требованию аналитичности
функций в этих точках. Условия аналитичности следуют из D),
если учесть, что yi(x) задана выражением A.2), и положить х = 1
или ж = —1. Выбором параметра а можно осуществить аналитиче-
аналитическое продолжение решения из точки х = 1 вплоть до точки х =
= —1 (или наоборот).
Как видно из D), условия аналитичности представляют собой
четыре однородных уравнения на семь неизвестных U, U', V, V
W, W', Q. Три из них могут быть заданы произвольно (удобно
выбрать U, W, Q). Этот факт вполне согласуется с физической
постановкой задачи о неавтомодельном струйном течении вне не-
некоторой сферы радиуса i?o, на которой задано произвольное непре-
непрерывное поле скорости vR, vd, vv при условии, конечно, что систе-
системы Собственных фуНКЦИЙ {t'nm}n°=li {^nra}n=li {Wnm}n = l, CO-
ответствующие собственным значениям апт, полны для каждого
азимутального числа т = 0, 1, 2. ..., °°. Последнее утверждение
можно доказать в случае Ro = 0 (А = °°).
310 Гл. 4. Неавтомоделъпые затопленные струи
Действительно, разыскивая решения D) в виде полиномов от
х; С/, Q — п-й степени, У —(га + 1)-й степени и W — (ге + 2)-й сте-
степени, найдем следующие спектральные значения а:
cxi = п + т + 2, ct2 = п + т + 2, а3 = п + т
а4 = —п — т—1, аь — —п — т — 1, «6 = — ге — /те + 1.
Собственные значения cci, аг, аз соответствуют задаче о тече-
течении вне шара, причем <ц, as, ав — внутренней задаче. С помощью
показателей cci, ..., аб можно построить решения в шаровом слое
или какой-нибудь другой двусвязпой области, ограниченной звезд-
звездными поверхностями, как это было показано в § 3 для осесимме-
тричного случая. Таким образом, при Re = 0 собственные значения
целые, а собственные функции, им соответствующие,— полиномы.
Из E) видно, что для каждого т = 0, 1, 2,... семейство собствен-
собственных функций является базисом пространства всех полиномов, чья
полнота в С [—1, 1] хорошо известна.
При Re > 0 исследование вопросов полноты собственных функ-
функций представляет значительные трудности, связанные с тем, что
собственные значения а входят в уравнения D) нелинейным об-
образом. Как было указано в § 2, строгой математической теории
таких спектральных задач пока нет, поэтому ограничимся качест-
качественными соображениями, подкрепленными соответствующими чи-
численными расчетами.
Коэффициенты системы D) и импульс JZ(A) апалитичпы по
1/А, если 0 < 1/А < 1, отсюда по аналогии с известными теоремами
о параметрической зависимости решений систем обыкновенных
дифференциальных уравнений естественно предположить непре-
непрерывную (и кусочно дифференцируемую при 0 < Re < °°) зависи-
зависимость собственных функций от Re как от параметра при 0 =?1 Re <
< °°. В этом случае число собственных функций и их линейная
независимость будут сохранены по крайней мере в некоторой
окрестности точки Re = 0, потому пет оснований полагать, что при
увеличении Re полнота систем собственных функций будет поте-
потеряна в этой окрестности. Следует отметить, что собственные значе-
значения также становятся функциями числа Рейнольдса anm(Re), при-
причем как собственные функции, так и собственные значения могут
быть комплекснозначными. Численные расчеты подтверждают не-
непрерывную (и возможно кусочно дифференцируемую) зависимость
anm(Re) вместе с соответствующими им собственными функциями
Unm(x, Re), Vnm{x, Re), Wnm(x, Re).
Расчеты проводились методом Рунге-Кутта-Мерсопа с относи-
относительной точностью 10~5 по следующей схеме. Интегрирование си-
системы уравнений шестого порядка D) ведется от особых точек-
х = ± 1. Строятся по три линейно независимых аналитических ре-
решения Щ(х), Щ{х), Щ{х), где V = [U, U', V, W, W, QV,
вплоть до некоторой точки сшивки хс, —1 < хс < 1, находящейся
в области наибольших градиентов искомой функции. Условие ана-
§ 4. Неосесимметричные затопленные струи
311
литичности решения есть
ct Vt (хс) + с? U+ (хс ) +
) = сГ Ur {хе) +
{хс )¦
(хе) +
Для того чтобы существовало нетривиальное решение сг , с2 , с3 ,
с~, с~, с^, этой системы уравнений, необходимо, чтобы опреде-
определитель шестого порядка равнялся нулю,
A (a, Re, ire) = |uf и№иГЩ"Щ-| = 0. F)
Условие F) является уравнением, определяющим спектральные
значения а„(Яе,т). Нетрудно видеть, что собственные значения
не зависят от х„ поскольку в результате сшивки решения в точке
хс получается аналитическое решение всюду в области —1 «s;
«SarsS 1.
Следует отметить, что при Re = 0 из E) вытекает, что для
каждого т спектр' есть и — т, т + 1, т + 2, ..., причем а = т —
однократно, а а = т + 2, т + 3,. ... — трехкратно вырожденные
собственные значения. В случае а = m + 1, т> 0 решение двух-
двухкратно вырождено, хотя из A.9) можно было сделать вывод, что
вырождения нет. «Дополнительное» решение — это решение вида
U = Q = 0 (V(x)—полипом нулевой, а И7(а;)—первой степени),
которое не было учтено при построении решений в виде полиномов
и выводе E). Легко видеть, что в случае а >0 других решений
нет. При Re > 0 вырождение снимается, причем некоторые собст-
собственные значения остаются действительными, а другие образуют
комплексно-сопряженные пары. На рис. 117 представлены пока-
показатели степени для случая т = 1 как функции числа Рейнольдса.
Кривые 1 (a (Re) =2) и 2 есть действительные ветви, порожден-
порожденные двукратным собственным значением а = 2 при Re = 0. Кри-
Кривая 3 представляет собой единственную действительную ветвь
трехкратно вырожденного собственного значения а = 3 при Re = 0,
две другие ветви которого образуют комплексно-сопряженную пару
Reald.
5,0
4-.0
-975
-0,5
-025
Рис. 117.
20
Рис. 118.
Re
312
Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
-10
20 30 40 Re
Рис. 120.
-0,4
-0,2
Y0.5
О 10 20 30 4-0 Re
Рис. 119.
на рис. 118. Показатель степени
a(Re), изображенный кривой 4,
имеет точки возврата а и Ъ и более
сложное происхождение (см. рис.
119). Кривая 1 на рис. 118 (m=i) представляет собой действи-
действительную, а кривая 2 — мнимую части собственного значения комп-
комплексно-сопряженной пары, соответствующей a = 3 при Re = 0. На
рис.119 (лг = 1) продемонстрированы довольно сложные метаморфо-
метаморфозы, происходящие с показателями степени при увеличении числа
Рейнольдса. Штрихпунктиром обозначено действительное собст-
собственное значение, соответствующее кривой 4 на рис. 117. Из
точки а — 4 при Re = 0 отходят одна действительная (кривая 1)
и две комплексно-сопряженных ветви (на рисунке не показаны),
аналогично из точки a = 5 при Re = 0 отходят одна действитель-
действительная (на рисунке не показана) и две комплексно-сопряженные вет-
ветви, действительная часть которых есть кривая 2, а мнимая — кри-
кривая 3. В точке а эта комплексно-сопряженная пара сливается и
рождаются два действительных показателя степени (кривые 4 и 5).
В точке Ъ два действительных показателя степени (кривые 1 ж 5)
сливаются и рождается комплексно-сопряженная пара, действи-
действительная часть которой есть кривая 6, а мнимая — кривая 7. В точ-
точке с эта комплексная пара превращается в действительную пару
показателей степени (на рисунке не показана). На рис. 120 пред-
представлены зависимости a (Re) при более высоком азимутальном
числе т = 2. Кривая 1 соответствует действительному показателю
степени, выходящему из невырожденного собственного значения
a = 2 при Re = 0. Кривые 2 ж 3 представляют собой действитель-
действительные ветви двукратного собственного значения a = 3 при Re = 0.
В точке а два действительных показателя степени сливаются (кри-
(кривые 1 и 2) и рождается комплексно-сопряженная пара, действитель-
§ 4. Неосесимметричные затопленные струи 313
ная часть которой есть кривая 4, а мнимая — кривая 5. Наличие
комплексных показателей степени при сферическом радиусе R в
разложении B) важно для понимания ряда физических эффектов,
о чем пойдет речь в конце этого параграфа.
4.2. Асимптотическое поведение
неосесимметричной затопленной струи
В точной автомодельной постановке задачи о ламииар-
ной затопленной струе профиль скорости должен иметь вид v =
= -=¦ V @, ф) [117]. Решение Ландау A.2) относится к классу тече-
течений, когда V = VF). Возникает вопрос о существовании асим-
асимптотически неосесимметричных затопленных струй, когда V =
= V(9, ф). В линейном приближении по неосесимметричности
такие решения допустимы. Действительно, в случае т — 1 из E)
следует наличие решения уравнений D) при а = 1 и Re = 0(ra =
= 0). Можно пайти точное решение D) при та = 1, т—1 и про-
произвольных Re, полагая, что функции U, V, W, Q являются полино-
полиномами относительно переменной 1/ (А — х). Искомое решение есть
U (х) = —-—^ ; V(x) = i—T ^ -^—; G)
W (A-xf V ' (A~x)z A2-l A-x' w
it/ /^ ^ ^ ^ ^^ ^
W
A2~l A-x vv I (A-xf Ai — i (A-xf
т^!; a = 1.
Можно показать, что G) непротиворечиво в том смысле, что раз-
разрешимо следующее приближерше, полученное итерацией по нели-
нелинейности. Решение Ландау A.2) соответствует случаю, когда
ось z и ось струи совпадают. Пусть ось струи но совпадает с
осью z и направлена вдоль единичного вектора т =(8т6осо8фо,
sinBo sin<po, cos 0o). Обозначим единичные орты сферической систе-
системы координат O(R, 8, ф), построенной относительно декартовой
системы координат х, у, z, через пл, пе, пф, а через пд, пе, пф —
единичные орты сферической системы координат О'(R, 6', ф'),
построенной по декартовой системе координат х', у', z', ось z' кото-
которой направлена по т, а начало координат совпадает с О. В этом
случае
Пк = пн, (пе,пе) = — cosij), (ne, пф) = sinif. (8)
Основываясь на результатах Ландау A.2) [86], получим точное
решение уравнений Навье — Стокса в системе координат O(R, 0, ф)
2v sin 9'
2v sine' • ,
Va, = 77 Г Sin $¦
314 Гл. 4. Неавтомодельные затопленные струи
Нетрудно показать, что имеют место следующие соотношения:
cos 6' = cos 0 cos 8o + sin 8 sin 6o cos (<p — <po); «.
cos 0o = cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos ijj,
с помощью которых и определяется решение (9) в системе коор-
координат 0(R, 0, <р).
В случае 60 < 1, т. е. при малой неосесимметричности, из (9),
A0) имеем
()
4v „ Л2 — 1 . а .
И 9° Та ^з Sm 9 C0S (У ~
2v Q Г А2 — 1 4 1 , ч
9 [ \ C°S (Ф " Фо);
_ 2v fl sin (ф — ф0)
гЧ - л °о л - cos G '
что совпадает с точностью до численного множителя 2 (А2 — 1) во
с решением G). Отсюда можно сделать вывод, что решение Лан-
Ландау является, по существу, единственным главным членом асимпто-
асимптотического разложения и в неосесимметричной постановке задачи.
Решение уравнений D) при а = 2, тп = 1 и всех числах Рейнольд-
са может быть получено аналогичным образом из асимптотическо-
асимптотического представления B.27), записанного в системе координат
O(R, 6, ф) при 0о->¦ 0. Таким образом, вклад неосесимметричных
добавок, как это видно из результатов расчетов показателей сте-
степени а, дается членами разложения са>2.
Итак, при R -»- °° струя приобретает осесимметричный вид,
причем асимптотическое представление решения в виде B.27)
остается справедливым и в пеосесимметричном случае.
4.3. Общее решение для неосесимметричной
затопленной струи и ее устойчивость
Представление решения в виде B) не удовлетворяет
полным уравнениям Навье — Стокса. Основываясь па разложениях
B), подобно тому, как это было сделано в § 2, можно построить
общее решение уравнений Навье — Стокса (при условии, что набор
собственных функций (w, q) обладает полнотой в С[—1, 1] @=^
<6<я), что предполагается), если ввести разложение по более
полному набору показателей степени, включающему, в частности,
степени, которые возникают при подстановке B) в нелинейные
члены. Это семейство степеней должно обладать групповым свой-
свойством, так чтобы линейные и нелинейные члены давали показатели
степени из того же семейства. Дополнительные члены разложения
возникают как решения неоднородных линейных уравнений, правая
§ 4, Неосесимметричные затопленные струи 315
часть которых определяется известными нелинейными членами.
Решение можно записать в следующем виде:
Г °°
Vnm{X) -Г ^J qiin
- — v2
n=i,m=o
где
2
-im:~ 1); 2 mj = ™, A3)
¦* 7 j=2
Bj — неотрицательные целые числа, выбираемые так, чтобы выпол-
выполнялись неравенства unm < ц„+1т. Полевые величины v, p компле-
кснозначны, а решения уравнений Навье — Стокса представляются
в виде
v = Real v + Imv; p = Real p + Imp. A4)
Фактически построение общего решения A2) — A4) ведется с по-
помощью итераций по нелинейности. В осесимметричиом случае
(т = 0) вопрос о сходимости полученных таким образом разложе-
разложений исследовался в § 3, где было показано, что при достаточно об-
общих предположениях о поведении коэффициентов решения линей-
линейного уравнения B) с ростом п, а именно с„ ~ п~а, а > 1 при п ->-
-*¦ °°, ряды абсолютно сходятся. В случае неосесимметричной зада-
задачи могут быть получены аналогичные результаты, если предполо-
предположить спт ~ {п + т)~", о > 1 при п -^ оо, либо т -*¦ °° (вывод тре-
требует значительного объема изложения, хотя, по существу, не силь-
сильно отличается от случая т = 0, приведенного в § 3).
Важной отличительной особенностью от осесимметричного слу-
случая задачи о неавтомоделыюй затопленной струе является наличие
в пеосесимметричном случае A2) комплексных показателей степе-
степени A3). Это приводит к следующим физическим следствиям. Так,
для сильно асимметричной струи на начальном участке главную
316 Гл. 4. Неавтомодельиые затопленные струи
роль будут играть члены с т Ф 0, в частности в задаче об истече-
истечении струи из прямоугольного отверстия, отношение прилежащих
сторон которого сильно отличается от единицы, это члены с т = 1.
Наличие комплексных показателей приведет в этом случае, во-
первых, к возникновению осцилляции в профиле скорости и, во-
вторых, с ростом продольной координаты ширина струи будет пе-
переменной с периодом 2я/1таь
На фоне общего расширения струйного течения это может быть
интерпретировано как периодический поворот струи вокруг своей
оси на 90°. При дальнейшем увеличении R профиль скорости будет
сглаживаться и стремиться к автомодельному. Сказанное относится
к ламинарным струям. Однако качественные выводы, сделанные
выше, могут иметь отношение и к турбулентным струям, посколь-
поскольку для них хорошо работает гипотеза Буссинеска о турбулентной
вязкости [37, 144]. Для сравнения опытных данных с полученными
результатами достаточно взять следующее из опыта турбулентное
число Рейпольдса ReT = 35 [37]. Эксперименты [190, 79] показы-
показывают неплохое качественное согласие (z/ao « 20 и более) с указан-
указанными характерными особенностями течения в случае «прямоуголь-
«прямоугольных» струй, причем из приведенной в [190] фотографии следует,
что период разворота струи порядка ширины струи в начальном
сечении, что согласуется с данными рис. 118 и 120, где Ima«l.
Другое следствие относится к проблеме гидродинамической
устойчивости струйного течения. Как уже указывалось, вклад не-
несимметричности при достаточно больших интёнсивностях ассим-
метричных мультиполей может приводить к осцилляциям в профи-
профиле скорости. Хорошо известна теорема Рэлея о невязкой гидроди-
гидродинамической неустойчивости в точках перегиба профиля скорости
для одномерных плоских течений. В пространственном случае
имеется ее аналог для осесимметричных плоскопараллельных те-
течений. В общем случае критерий гидродинамической неустойчиво-
неустойчивости теряет рэлеевскую формулировку, тем не менее смена знака
не малой по величине производной скорости и здесь может слу-
служить источником неустойчивости.
Из рис. 118 следует, что комплексные показатели степени воз-
возникают при Re = 0, и можно сделать вывод, что сильно несиммет-
несимметричные струи, как и классический слой смешения, теряют устой-
устойчивость при бесконечно малых числах Рейнольдса. Если же асим-
асимметрия «умеренная», то критическое число Рейнольдса должно зави-
зависеть от ее величины. Отметим, что при Re > 3,5 даже осесиммет-
ричные ламинарные струи неустойчивы при достаточно сильных
возмущениях (см. § 3), поэтому область применимости решения
A2) — A4) довольно ограничена (при Re > 15 струи неустойчивы
относительно бесконечно малых возмущений [211]), хотя, как уже
указывалось, предлагаемый обобщенный мультипольный подход
полезен и при исследовании развитых турбулентных струйных
течений.
§ 4. Неосесимметричные затопленные струи 317
*
* *
Подводя итоги, можно сделать следующие замечания общего
характера. Во-первых, надо отметить то важное обстоятельство,
что парадоксы, как правило, в концентрированном виде выражают
основные противоречия существующих теоретических положений,
разрешение которых позволяет значительно продвинуться вперед
в разработке гидродинамических концепций. В этом смысле пара-
парадоксы являются движущей силой научного исследования, чем и
определяется та важная роль, которую они играют в гидромеха-
гидромеханике. На примере этой главы можно было, в частности, видеть как
преодоление парадокса неразрешимости в тепловой задаче для за-
затопленной струи (см. § 1) привело к созданию обобщенного мульти-
польного подхода, который позволил построить решения гидродина-
гидродинамической и тепловой задач о струйном течении в общем виде (§ 2 —
4). Наличие скрытого инварианта Ьх позволило объяснить возник-
возникновение приосевых обратных токов для неавтомодельных закручен-
закрученных струй (§4). Во-вторых, есть основания полагать, что возможно-
возможности обобщенного мультипольного подхода далеко не исчерпаны, и
его можно будет применять и для решения других задач термогид-
термогидродинамики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная книга, конечно, далеко не исчерпывает тему,
которой она посвящена. Авторы преследовали другую цель — под-
подчеркнуть важность парадоксов для глубокого понимания дина-
динамики вязкой жидкости и их значения как мощного стимула для
развития этой дисциплины. Осознание парадокса — это своеобраз-
своеобразный вызов, который природа бросает исследователю и который
мобилизует его любознательность и интеллект. Разрешение пара-
парадокса приводит, как правило, к решению обширного круга новых
содержательных задач и созданию нового метода исследования,
область приложения которого обычно значительно шире той пробле-
проблемы, для разрешения которой он создается. Примеры тому содержат-
содержатся и в этой монографии.
Анализ парадокса потери существования решения, который
первоначально установлен был в конкретной задаче о взаимодей-
взаимодействии вихревой нити с плоскостью, привел к пониманию ряда об-
общих свойств конических течений вязкой жидкости и решению
немалого числа далеко не тривиальных задач. Преодоление пара-
парадокса в тепловой задаче для струи Ландау привело к созданию
метода обобщенных мультиполышх разложений, который позволил
решить ряд трудных задач в теории вязких струй и выявить их
весьма необычные свойства.
Хотя парадоксы играют ключевую роль, по-видимому, в любой
области знания, складывается впечатление, что в гидродинамике
и конкретно в механике вязкой жидкости их число особенно вели-
велико. Причины тому — сильно нелинейный характер уравнений и
наличие малого параметра при старших производных. С этим свя-
связан, и можно сказать, самый главный неразрешенный парадокс
вязкой гидродинамики — проблема турбулентности. Имея доста-
достаточно почтенный возраст и мощный глубоко разработанный ап-
аппарат, теоретическая гидромеханика пока адекватно описывает)
весьма ограниченный как по числу, так и по значению круг тече-
течений жидкости. И в природе, и в технике преобладает турбулентное
движение сплошной среды, а теория, опирающаяся на «первые
принципы», охватывает лишь часть ламинарных течений.
Не вызывает сомнения, что существуют парадоксальные яв-
явления, обязанные именно турбулентному характеру движения.
К ним, скорее всего, принадлежит известный эффект Ранка. Про-
Заключение 319
стой модельный пример явления, которое может реализоваться
только в турбулентном режиме течения, приведен в книге. Это
спонтанное возникновение вращения в струйном течении с турбу-
турбулентным ядром. В ламинарном режиме такое принципиально не-
невозможно. Заметим, что аналогичный запрет в виде теоремы Кау-
линга существует в теории МГД-динамо. Не исключено, что мо-
модель с турбулентным ядром, поскольку в этом случае условия тео-
теоремы не выполняются, может обнаружить возможность генерации
стационарного магнитного поля. Ряд удивительных астрофизиче-
астрофизических и геофизических феноменов для своего объяснения требует
существенного учета турбулентности.
На основании полученных в книге теоретических результатов
возникает потребность в проведении ряда физических экспе-
экспериментов.
1. Взаимодействие вращающейся «иголки» с перпендикуляр-
перпендикулярной плоскостью. Цель эксперимента — выяснить, что происходит
с течением при числах Рейнольдса порядка и больше критического
значения, при котором перестает существовать автомодельное ре-
решение. Помимо этого чисто научного интереса такой эксперимент
важен как простейшая модель для исследования торцевого эффекта
в вихревых камерах.
2. Воздушная струя, образующаяся над водой, движущейся
по закону вихрестока, т. е. восходящее течение воздуха над во-
водоворотом. Цель эксперимента — подтверждение двухъячеистой
структуры потока, анализ околокритических явлений и возможно-
возможности нарушения осевой симметрии. Прикладное значение — моде-
моделирование атмосферных образований типа торнадо и астрофизиче-
астрофизических струй.
3. Взаимодействие линейного источника с плоскостью. Цель —¦
изучение торцевого эффекта в виде пристенной струи, влияния на
пего турбулентности, моделирование м-образных распределений
скорости в диффузорах и переходных участках труб.
4. Течение в пористой вращающейся трубе. Цель — анализ по-
потери автомодельного характера течения, перехода к турбулентности,
режимов прямоточного и рециркуляционного течений, установление
зависимости турбулентной вязкости от скорости вращения. Иссле-
Исследования могут иметь приложения для понимания и расчета тече-
течений в вихревых камерах и тепловых трубах.
5. Течение между пористым вращающимся диском и плоско-
плоскостью. Цель эксперимента — проверка возможности спонтанного
возникновения вращения при неподвижном диске и аномально
высокой подъемной силы в условиях, предсказываемых теорией.
Возможны приложения в области бездорожного транспорта.
Такого рода эксперименты помимо самостоятельного интереса,
несомненно, стимулировали бы дальнейшее развитие теории.
ПОСЛЕСЛОВИЕ
За время подготовки книги к печати авторами получен
ряд новых результатов.
1. Внезапное возникновение и разрушение смерча. Интенсив-
Интенсивные атмосферные вихри типа торнадо, пыльных и огненных смер-
смерчей привлекают внимание исследователей как весьма энергонасы-
энергонасыщенные и разрушительные явления и как природные тепловые
машины, создающие локализованное высокоскоростное движение
сплошной среды. Моделирование этих явлений в рамках задачи о
взаимодействии вихревой линии с плоскостью имеет ограничение,
связанное с парадоксальным эффектом потери существования ре-
решения (§ 1.4). Этот парадокс не разрешается и в обобщенной за-
задаче Серрина (см. с. 56, 121), когда вдоль оси действует сила, ко-
которая, например, может быть связана с тепловой конвекцией в ядре
смерча. Разрешимость при любых значениях параметров достига-
достигается при замене вихревой нити конусом малого угла раствора. Та-
Такая регуляризация физически естественна, поскольку ядро смерча
имеет конечные размеры. Оказывается, при этом сохраняется не-
неединственность решений, присущая задаче Серрина [246]. Если
удельный момент импульса достаточно велик и поддерживается
постоянным, то при изменении осевой силы имеет место гистерезис,
и стационарный режим с диффузным вращением может скачком
перейти в режим с вращением, сконцентрированным вблизи оси.
При других значениях силы скачком происходит обратный пере-
переход. Эти свойства решения указывают на механизм внезапного воз-
возникновения и разрушения сильного смерча и на принципиальную
возможность управления этим процессом.
2. Бифуркация вращения при условии прилипания. Спонтанное
возникновение вращательного движения в исходном невращающем-
ся потоке в результате потери устойчивости и прямой бифуркации
было обнаружено (см. с. 156) в условиях, когда на границе отсут-
отсутствует вращательное трение*'. Оказалось, что кроме такого «сла-
«слабого» самовращения возможно и «сильное», когда на границе вы-
выполняются условия прилипания. Это происходит, когда исходное
течение имеет двухъячеистую структуру, как при тепловой конвек-
* Goldshtik M. A., Shtern V. N. Conical flows of fluids with variable visco-
viscosity / Proc. Roy. Soc. London,— 1988.— V. A419.— P. 91—106.
Послесловие 321
ции вблизи квадрупольного источника тепла**' (см. рис. 60).
И в этом случае для самовращения необходимо, чтобы течение в
приосевой области было турбулентным. Бифуркация вращательного
движения в ламинарном режиме обнаружена в МГД-течении, по-
порожденном сферически симметричным электрическим током, расте-
растекающимся из точки на поверхности проводящей жидкости. При
определенных значениях параметров происходит бифуркация по-
лоидального магнитного поля, которое, взаимодействуя с радиаль-
радиальным током, закручивает течение жидкости. Подобное явление на-
наблюдалось ранее экспериментально, но объяснялось внешними при-
причинами (магнитным полем Земли), хотя авторы [14] указывают на
то, что собственное магнитное поле превосходило внешнее на три
порядка.
3. Асимптотический след за равномерно движущимся телом.
В гл. 4 было указано на возможность развития обобщенного муль-
типольного подхода на другие виды гидродинамических течений.
Этот подход оказывается полезен при построении асимптотического
решения для задачи обтекания равномерно движущегося тела и
для затопленных струй, распространяющихся в однородном потоке
вязкой жидкости. В основу подхода здесь удобно положить инте-
интегральную форму уравнений Навье — Стокса*\ получаемую обра-
обращением оператора Озеена для линеаризованной задачи. Совершив
над этим уравнением преобразование Фурье, можно вывести ин-
интегральное уравнение в ^-пространстве, из которого получены в яв-
явном виде первые три члена асимптотического решения с помощью
разложения при к -> 0. Решение задачи об обтекании как и в случае
затопленных струй, неаналитичио в бесконечно удаленной точке
(второй член разложения содержит \\\Щ. Асимптотическое разло-
разложение можно представить в виде ряда по дробным производным
от некоторых фундаментальных тензоров. Главный член асимпто-
асимптотического разложения полностью определяется заданием полного
потока импульса и расхода. Остальные два члена разложения опре-
определяются, кроме этих интегралов движения, полным потоком мо-
момента количества движения.
Отметим, что симметрия течения изначально не предполагает-
предполагается. Это делает разложение универсальным и позволяет по характе-
характеристикам течения в окрестности тела определить главные члены
асимптотического разложения для дальнего следа и, наоборот, по
распределению скорости в следе можно получить некоторые харак-
характеристики, относящиеся к обтекаемому телу. В частности, с по-
помощью первых трех членов разложения можно получить не только
силу сопротивления тела, но и коэффициент сопротивления, что
* Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Автомодельная конвекция вблизи теп-
теплового квадруполя II Инж. Физ. Журн.^ 1988.— Т. 55, № 6 — С. 913—920.
* Finn R. On Steady-State Solutions of the Navier — Stokes Partial Diffe-
Differential Equations / Arch. Ration. Mech. Anal.— 1959.— V. 3, N 5.— P. 381—396.
21 M. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, II. И. Яворский
322 Послесловие
важно для практических приложений. Получена оценка остаточно-
остаточного члена.
На основе полных уравнений Рейнольдса для средней скорости,
записанных в соответствующей интегральной форме, исследована
возможность памяти формы обтекаемого тела асимптотическим тур-
турбулентным следом, о которой шла речь в гл. 1. Получена асимпто-
асимптотическая оценка для дефекта средней скорости в турбулентном
следе. Показано, что в области предельной асимптотики память
формы отсутствует вследствие ламинаризации течения. Таким об-
образом, наблюдаемая память формы турбулентного следа может от-
относиться только к некоторой промежуточной области следа. Анализ.
экспериментальных данных для турбулентной струи в спутном
потоке *> на основе полученных оценок турбулентного движения
свидетельствует об отсутствии памяти формы. Таким образом воз-
возникает парадокс неэквивалентности источников и стоков импульса
для автомодельного турбулентного течения, который ждет своего
разрешения.
* Турбулентное смещение газовых струй/Абрамович Г. И., Крашенинни-
Крашенинников С. Ю., Секупдов А. Н., Смирнова И. П.— М.: Наука, 1974.— 272 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика.— М.:ТИТТЛ, 1953,— 736 с.
2. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики
неоднородных жидкостей.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983.—
319 с.
3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978.— 304 с.
4. Асимптотическая теория отрывных течений/В. В. Сычев, А. И. Рубан,
B. В. Сычев, Г. Л. Королев.— М.: Наука, 1987.— 255 с.
5. Аэродинамика закрученной струи/Р. Б. Ахмедов, Т. Б. Балагула, Ф. К. Ра-
шндов, А. 10. Сакаев.— М.: Энергия, 1977.— 240 с.
6. Бабенко К. И., Афендиков А. М., Юрьев С. П. О бифуркации течения
Куэтта между вращающимися цилиндрами в случае двукратного соб-
собственного значения / Докл. АН СССР,— 1982.— Т. 266, № 1.— С. 73—78.
7. Бай Ши И. Теория струй.—М.: Физматгпз, I960.—326 с.
8. Балашов Д. В., Орлов В. П. О тепловой аномалии воды. 1. Границы обла-
области. Энтропия. Теплоемкости II Журп. фпз. химии.— 1983 — Т. 57, № 10.—
C. 2465-2468.
9. Баренблатт Г. И. Анализ размерностей.— М.: МФТИ, 1987.— 167 с.
10. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной сре-
среды.— М.: Наука, 1983.— 447 с.
11. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости.—М.:
Мир, 1971.—350 с.
12. Биркгоф Г. Гидродинамика.— М.: Изд-во иностр. лит., 1954.— 183 с.
13. Болотин В. В. Некопсервативные задачи теории упругой устойчивости —¦
М.: Наука, 1961.— 339 с.
14. Бояревич В. В., Фрейберг Я. Ж., Шилова Е. И., Щербинин Э. В. Элект-
Электровихревые течения.— Рига: Зинатне, 1985.— 315 с.
15. Бубнов В. А. Об уравнениях гидродинамики для разрывных течений Ц
Энергоперенос в каналах.— Минск: Наука и техника, 1970.— С. 161—178.
16. Букреев В. И. Экспериментальная проверка современных представлений
о турбулентном движении несжимаемой жидкости: Автореф. дне. ... докт.
физ.-мат. наук.— Новосибирск, 1984.—33 с.
17. Букреев В. И., Васильев О. Ф., Лыткин Ю. М. О влиянии формы тела на
характеристики автомодельного осесимметричпого следа / Докл АН
СССР.— 1972.— Т. 207, № 4 — С. 804—807.
18. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.— М.: Мир, 1973.— 756 с.
19. Вайсман А. М., Гольдштик М. А. Динамическая модель движения жидко-
жидкости в пористой среде // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.—¦
1978.— № 6.— С. 89—95.
20. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир
1967.— 310 с.
21. Ван Дайк М. Альбом течений жидкости и газа.— М.: Мир, 1986.— 182 с.
22. Васильев О. Ф., Будунов Н. Ф. К вопросу о расчете турбулентного тече-
течения при внезапном расширении канала / Турбулентные течения.— М.,
1974.-С. 131-135.
23. Власов Е. В., Гиневский А. С. Когерентные структуры в турбулентных
струях и следах / Итоги науки и техники. Механика жидкости п газа.—
М., 1986.—Т. 20.— С. 3—84.
21*
324 Список литературы
24. Волчков Э. П., Смульский И. И. Аэродинамика вихревой камеры со вду-
вом по боковой поверхности (экспериментальное исследование).— Новоси-
Новосибирск, 1979.— 30 с— (Препрннт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теплофизи-
теплофизики; № 38—79).
25. Волчков Э. П., Смульский И. И. Аэродинамика вихревой камеры с торце-
торцевым и боковым вдувом /I Теорет. основы хим. технологии.— 1983.— Т. 17,
№ 2.— С. 214—219.
26. Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости.— М.: Нау-
Наука, 1965.—421 с.
27. Гварамадзе В. В., Ломинадзе Дж. Г., Рузмайкин А. А. и др. Турбулентное
динамо в астрофизических струях.— М., 1987.— 20 с.— (Препринт/АН
СССР. ИКИ; № 1267).
28. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимае-
несжимаемой жидкости.— М: Наука, 1972.— 392 с.
29. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулептности/Под ред.
X. Л. Сугшни, Дж. Голлаб.— М.: Мир, 1984.-344 с.
30. Гленсдорф П., Пригожий И. Термодинамическая теория структуры, ус-
устойчивости и флуктуации.— М.: Мир, 1973.— 280 с.
31. Голубинский А. А., Сычев В. В. Об одном автомодельном решении урав-
уравнений Навье — Стокса / Учен. зап. ЦАГИ.— 1976.— Т. 7, № 6.—
С. 11-17.
32. Гольдштик М. А. Одно парадоксальное решение уравнений Навье —
Стокса II Прикл. математика и механика.— 1960.— Т. 24, вып. 4.—•
С. 610—621.
33. Гольдштик М. А. К теории эффекта Рапка (закрученный поток газа в
вихревой камере) / Изв. АН СССР. Механика и машиностроение.—
1963.—№ 1.—С. 132—137.
34. Гольдштик М. А. Некоторые вопросы гидродинамики стационарных вих-
вихревых течений: Дис. ... докт. физ.-мат. наук.— Новосибирск, 1965.—¦
168 с.
35. Гольдштик М. А. Один класс точных решений уравнений Навье— Сток-
Стокса / Журя, прикл. механики и техн. физики.— 1966.— № 2.— С. 106—109.
36. Гольдштик М. А. О закрученных струях / Изв. АН СССР. Механика
жидкости п газа.— 1979.— № 1.— С. 26—36.
37. Гольдштик М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние,
1981.—366 с.
38. Гольдштик М. А. Процессы переноса в зернистом слое.— Новосибирск:
Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1984.— 163 с.
39. Гольдштик М. А. Вариационная модель турбулентного вращающегося
потока I/ Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1985.— № 3.—•
С. 22—32.
40. Гольдштик М. А. Парадоксы вязких течений.— Новосибирск, 1986.—¦
37 с.— (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ип-т теплофизики; № 143).
41. Гольдштик М. А., Ерш Н. М. Устойчивость течения в трубе со вдувом /
Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— В печати.
42. Гольдштик М. А., Жданова Е. М., Штерн В. Н. Возникновение враща-
вращательного движения в результате гидродинамической неустойчивости //
Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1985.— № 5.— С. 50—55.
43. Гольдштик М. А., Лифшиц А. М., Штерн В. Н. Число Рейнольдса перехо-
перехода в плоском канале Ц Докл. АН СССР.— 1983.— Т. 273, № 1.— С. 75—79.
44. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и тур-
турбулентность.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-пие, 1977.— 366 с.
45. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Индуцированные струи и критические
явления в вязких течениях.— Новосибирск, 1987.— 50 с.— (Препринт/
АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теплофизики; № 159).
46. Гольдштик М. А., Яворский Н. И. Тепловая задача для затопленной
струи / Прикл. математика и механика.— 1984.— Т. 48, вып. 6.— С. 950—
956.
Список литературы 325
47. Гольдштик М. А., Яворский Н. И. О затопленных струях / Там же.—
1986,— Т. 50. вып. 4.— С. 573—583.
48. Гольдштик М. А., Яворский Н. И. Течение между пористым вращаю-
вращающимся диском и плоскостью.— Новосибирск. 1987.— 42 с— (Препринт/
АН СССР. Снб. отд-ние. Ин-т теплофизики; № 158).
49. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений.— М.: Физматгиз, 1963.— 1100 с.
50. Грипспен X. Теория вращающихся жидкостей.— Л.: Гидрометеоиздат,
1975 — 304 с.
51. Гюрджиян В. М.т Шабанов С. И. Расчет процесса горения пористого
материала при стоксовском режиме обтекания / Изв. СО АН СССР.—
1965.—№ 10.—Сер. техн. наук.—Вып. 3.—С. 97—104.
52. Джалурия Й. Естественная конвекция.— М.: Мир, 1983.— 400 с.
53. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости.— М.: Мир, 1981.— 638 с.
54. Ди Прима Р. С., Суинии X. Л. Неустойчивости и переход в течении
между концентрическими вращающимися цилиндрами // Гидродинами-
Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности.— М.: Мир, 1984.—¦
С. 169—217.
55. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчисле-
исчислению.— М.: Высш. шк., 1965.— 466 с.
56. Дорфман Л. А. Течение вязкой жидкости между неподвижным и обду-
обдуваемым вращающимися дисками // Изв. АН СССР. Механика жидкости
и газа.— 1966.— № 2.— С. 86—91.
57. Дубов В. С. Распространение свободной гакрученной струи в затоплен-
затопленном пространстве / Тр. ЛПИ. Энергомашиностроение.— 1955.— № 176.—•
С. 137-145.
58. Ерошенко В. М., Зайчик Л. И. Гидродинамика и тепломассообмен на про-
проницаемых поверхностях.— М.: Наука, 1984.— 274 с.
59. Ерошенко В. М., Зайчик Л. И., Рабовский В. Б. Расчет устойчивости в
круглой трубе со вдувом // Журн. прикл. механики и техн. физики.—
1984.—№ 3"—С. 82—86.
60. Зеленяк Т. П., Кислых В. И., Проворова О. Г. Об одной модели динамики
газа в приосевой зоне вихревых аппаратов // Динамика сплошной среды:
Сб. науч. тр.— Новосибирск, 1980.— Вып. 46.— С. 33—45.
61. Зубцов А. В. Об одном автомодельном решении для слабо закрученных
струй / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1984.— № 4.—С. 45—
50.'
62. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций.—
М.: Мир, 1983.— 302 с.
63. Кажихов А. В. Замечание к постановке задачи протекания для уравнений
идеальной несжимаемой жидкости // Прикл. математика и механика.—
1980.— Т. 44, вып. 5.— С. 947—950.
64. Канавин В. П. К расчету течений вязкой жидкости в камерах на основе
решения уравнения четвертого порядка для функции тока // Исследо-
Исследования в механике сплошных сред.— Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1983 —¦
С. 149—160.
65. Катков В. Л. Течение жидкости под действием внешнего вихря // Изв.
АН СССР. Физика атмосферы и океана.— 1973.— Т. 9, № 3.— С. 326—330.
66. Квэйл Д. П., Леви Е. К. Ламинарное течение в трубе с оттоком через по-
пористую стенку /I Тр. Амер. о-ва ппж.-мех. Теплопередача.— 1975.— № 1.—
С. 66—72.
67. Кейльмап Н. Э. О некоторых свойствах уравнений, описывающих вихре-
вихревое движение вязкой жидкости, нестационарные проблемы гидродинами-
гидродинамики / Сб. науч. трудов Ин-та гидродинамики СО АН СССР.— 1982.—¦
Вып. 58.—С. 60—72.
68. Кидд Дж., Фаррис Дж. Потенциальное вихревое течение вблизи неподвиж-
неподвижной поверхности // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Прикл. механика.— 1968.—•
Т. 35, № 2.— С. 1—8.
326 Список литературы
69. Кинни Р. Б. Универсальное подобие скоростей в полностью турбулентных
вращающихся потоках // Там же,— Т. 34, № 2.— С. 199—206.
70. Кириллов В. А., Кузьмин В. А., Пьянов В. И., Ханаев В. М. О профиле
скорости в неподвижном зернистом слое // Докл. АН СССР.— 1979.—
Т. 245, № 1.—С. 159—162.
71. Кислых В. И., Смульский И. И. Гидродинамика вихревой камеры // Инж.-
физ. жури,— 1978.— Т. 35, № 3.— С. 543—549.
72. Козельская И. В., Люмкис Е. Д. К расчету стационарной и нестационар-
нестационарной задач о движении жидкости между бесконечными вращающимися
дисками / Прикладные задачи теоретической п математической физики.—¦
Рига: Зинатне, 1980.—С. 11 — 19.
73. Козлов В. В., Рамазанов М. П. Образование трехмерных структур в тече-
течении Пуазейля при резонансном взаимодействии / Изв. АН СССР. Меха-
Механика жидкости и газа.— 1983.— № 1.— С. 43—47.
74. Колесников А. В. Характеристики пограничного слоя на конусе во вра-
вращающейся жидкости II Пром. аэродинамика.— 1966.— Вып. 28.— С. 86—
97.
75. Коробко В. И. Теория неавтомодельпых струй вязкой жидкости.— Сара-
Саратов: Сарат. уп-т, 1977.— 220 с.
76. Коробко В. И., Фалькович С. В. Развитие закручеппой струи в безгра-
безграничном пространстве Ц Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.—¦
1969.— № 3.— С. 56—63.
77. Коровкин В. П., Соковишин Ю. А. Некоторые задачи теории вязких
струй / Жури, прикл. механики и техн. физики.— 1984.— № 2.— С. 27—34.
78. Кочин II. В., Кибель И. А. и Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.—•
М.: Физматгиз, 1963.—Ч. 2.-727 с.
79. Кузов К., Медиков А., Лозанова М. Макроструктура свободной турбулент-
турбулентной струи с прямоугольным начальным сечепием / V Национален конг-
конгресс по теоретична п приложна механика, Варна, 23—30 септ.— Варна,
1985,—Т. 2.—С. 657—662.
80. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.— М.; Л.: Гостех-
издат, 1951.—Т. 2.—544 с.
81. Курочкииа Е. П. Смена режима в плоской струе со ступенчатым профи-
профилем скорости I/ Жури, прикл. механики и техн. физики.— 1984.— Л» 6.—
С. 43—47.
82. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулент-
турбулентном пограничном слое.— М.: Энергия, 197,2.— 342 с.
83. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пе-
переменного.—М.: Наука, 1973.—736 с.
84. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимае-
несжимаемой жидкости.— М.: Наука, 1970.— 205 с.
85. Ламб Г. Гидродинамика.— М.: Гостехиздат, 1947.— 928 с.
86. Ландау Л. Д. Об одном точном решении уравнений Навье — Стокса //
Докл. АН СССР.— 1944.—Т. 43, № 7.—С. 299—301.
87. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика.— М.: Наука, 1986.— 733 с.
88. Левин В. Б., Штери В. II. Устойчивость струйных МГД-течешш между
непроводящими плоскостями в поперечном поле / Магнит, гидродинами-
гидродинамика.— 1985,— № 2.— С. 23—28.
89. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости.— М.: Изд-во
иностр. лит., 1958.— 194 с.
90. Лойцянский Л. Г. Распространение закрученной струп в безграничном
пространстве, затопленном той же жидкостью / Прикл. математика и ме-
механика.—1953.—Т. 17, вып. 1.—С. 3—16.
91. Лойцяпский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука, 1987.—840 с.
92. Лосев К. История с палеографией / Знание — сила.— 1987.— № 5.— С. 38—
43.
93. Львов В. С, Предтеченский А. А., Черных А. И. Бифуркации и хаос в си-
системе вихрей Тэйлора: натурный п численный эксперимент // Жури, экс-
перим. и теорет. физики.— 1981.—Т. 80, № 3.—С. 1099—1121.
Список литературы 327
94. Лыков А. В., Берковский Б. М. Конвекция н тепловые волны.— М.: Энер-
Энергия, 1974.-335 с.
95. Мартыненко О. Г., Березовский А. А., Соковишин Ю. А. Асимптотические
методы в теории свободно-конвективного теплообмена.— Минск: Наука и
техника, 1979.— 168 с.
96. Мартыненко О. Г., Коровкин В. IL, Соковишин Ю. А. Теория ламинарных
вялких струй.— Минск: Наука и техника, 1985.— 286 с.
97. Матвеев II. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений.— М.: Высш. шк., 1967.— 409 с.
98. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения.— М.: Наука,
1976.—319 с,
99. Меркулов А. П. Вихревой эффект и его применение в технике.— М.: Ма-
Машиностроение, 1969.— 183 с.
100. Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Механика тур-
турбулентности.—М.: Наука, 1965.—Ч. 1.—639 с; 1967.—Ч. 2.—720 с.
101. Мясников В. П., Котелкин В. Д. Гидродинамическая модель химического
реактора с неподвижным слоем катализатора Ц Аэромеханика.— М.: Нау-
Наука, 1976.— С. 307—315.
102. Назаров Г. И., Янко А. К. Автомодельное решение для трехкомпонентного
осесимметричпого движения вязкой жидкости Ц Гидромеханика.— 1971.—¦
Вып. 19.—С. 62—65.
103. Наливкин Д. В. Смерчи.— М.: Наука, 1984,— 110 с.
104. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.— Но-
Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1962.— 238 с.
105. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Наука,
1985.— 287 с.
106. Петровская II. В. Влияние поперечного вдува на стационарное течение
жидкости между вращающимся и неподвижным пористым диском /
Жури, прикл. механики и техн. физики.— 1982.— № 5.— С. 58—61.
107. Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье — Стокса, опи-
описывающие движения со свободной границей / Докл. АН СССР.— 1972.—•
Т. 202, № 2.— С. 302—305.
108. Пухначев В. В. Задачи со свободной границей для уравнений Навье —
Стокса: Дис. ... докт. физ.-мат. наук.— Новосибирск, 1974.— 294 с.
109. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике.—
М.: Мир, 1985.— 589 с.
110. Рнвкин С. Л., Александров А. А., Кременевская Е. А. Термодинамические
производные для воды и водяного пара.— М.: Энергия, 1977.— 263 с.
111. Рождественский Б. П., Симакин И. II. Двумерные и трехмерные вторичные
течения в плоском канале, их связь и сравнение с турбулентными тече-
течениями II Докл. АН СССР.— 1983.— Т. 233, № 3.—С. 553—558.
112. Румер Ю. Б. Задача о затопленной струе / Прикл. математика и меха-
механика,— 1952.— Т. 16, вып. 2.— С. 255—256.
113. Румер Ю. Б. Конвективная диффузия в затопленной струе / Там же.—
1953.— Т. 17, вып. 6,— С. 743—744.
114. Румер Ю. Б., Рывкии М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и
кинетика.— М.: Наука, 1977.— 552 с.
115. Русинов Б. В. Медленное неустановившееся обтекание кругового ци-
цилиндра вязкой жидкостью / Докл. АН СССР.— 1953.— Т. 89, № 6.—
С. 983—986.
116. Седов Л. И. Механика сплошной среды.— М.: Наука, 1973.— Т. 1.— 536 с.
117. Седов Л. И. Методы размерности и подобия в механике.— М.: Наука,
1977.-438 с.
118. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости.—
М.: Изд-во иностр. лит., 1963.— 256 с.
119. Сквайр Г. Б. Радиальные струи // Проблема пограничного слоя и вопро-
вопросы теплопередачи/Под ред. Г. Гертлера, В. Толлмина.— М.: Госэнергоиз-
дат, I960.— С. 49—56.
328 Список литературы
120. Слезкин Н. А. Об одном случае интегрируемости полных дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости Ц Учен. зап. МГУ.— 1934.—
Вып. 2,— С. 89—90.
121. Смирнов В. И. Курс высшей математики.—М.; Л.: Гостехиздат, 1953.—
Т. 3, ч. 2.— 676 с.
122. Смульский И. И. Исследование гидродинамики вихревых камер: Автореф.
дисс. ... канд. техн. наук.— Новосибирск, 1979.— 20 с.
123. Смыслов Ю. Н., Щербинин Э. В. Нелинейная магнитогидродинамическая
модель смерча / Вопросы математической физики.— Л.: Наука, 1976.—•
С. 271—282.
124. Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовича, И. Сти-
гана.— М.: Наука, 1979.— 830 с.
125. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— М.: Физматгиз,
1959.—468 с.
126. Структурная турбулептность/Под ред. М. А. Гольдштика.— Новосибирск:
Наука. Сиб. отд-пие, 1982.— 166 с.
127. Таианаев А. В. Течения в каналах МГД-устройств.— М.: Атомпздат, 1979.—
368 с.
128. Тейлер Р. Дж. Галактики. Строение и эволюция.— М.: Мир, 1981.— 224 с.
129. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса.— М.: Мир, 1981.— 408 с.
130. Темкина В. С, Щербина Г. В. Ламинарное течение вязкой несжимаемой
жидкости в пористой трубе с равномерным отсосом // Вопросы гидроди-
гидродинамики и теплообмена в криогенных системах.— Харьков: Физико-техн.
ип-т низких температур, 1970.— С. 127—138.
131. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, диффе-
дифференциальные операторы.— М.: Мир, 1980.— 664 с.
132. Уайт Ф. М. Ламинарный поток в трубе с однородной пористостью Ц Тр.
Амер. о-ва инж.-мех. Прпкл. механика.— 1962.— Т. 29, № 1.— С. 225—228.
133. Фалькович С. В. Распространение закрученной струи в безграничном про-
пространстве, затопленном той же жидкостью Ц Прикл. математика и меха-
механика.— 1967.— Т. 31, вып. 2.— С. 282—288.
134. Финн Р. Стационарные решения уравнений Навье — Стокса.— Новоси-
Новосибирск: Изд-во Новоспб. ун-та, 1967.— 53 с.
135. Финько В. Е. Особенности охлаждения it снижения газа в вихревом по-
потоке II Журн. техн. физики.— 1983.— Т. 53, № 9,— С. 1770—1776.
136. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольд-
са.— М.: Мир, 1976.— 630 с.
137. Харша П. Модели переноса кинетической энергии/Турбулентность, прин-
принципы п применения.—М.: Мир, 1980.—С. 207—261.
138. Харша П. Турбулентные сдвиговые течения.— М.: Машиностроение, 1982.—
432 с.
139. Хинце М. О. Турбулентность.— М.: Физматгиз, 1963,— 680 с.
140. Цуккер М. С. Закрученная струя, распространяющаяся в пространстве,
затопленном той же жидкостью / Прикл. математика и механика.—
1955.— Т. 19, вып. 4.— С. 500—503.
141. Чаплыгин С. А. Собрание сочинений.— М.: Наука, 1964.—Т. 3.—С. 66—67.
142. Швидерски Е. Индуцируемое вихрем осесимметричпое течение над пло-
плоской поверхностью Ц Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Прикл. механика.— 1969.—
Т. 36, № 3.—С. 248—253.
143. Шилова Е. И., Щербинин Э. В. Вихревое МГД-течение в конусе / Маг-
Магнит, гидродинамика.—1971.—№ 2.—С. 33—38.
144. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1974.— 711 с.
145. Щербинин Э. В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.—
Рига: Зипатпе, 1973.— 303 с.
146. Эйзенберг Д., Кауцман В. Структура и свойства воды.—Л.: Гидрометео-
издат, 1975.— 280 с.
147. Юдович В. И. О задаче протекания идеальной песжимаемой жидкости че-
через заданную область / Докл. АН СССР.—1962.—Т. 146, № 3.—С. 561—
564.
Список литературы 329
148. Юдович В. И. Нестационарные течения идеальных несжимаемых жидко-
жидкостей / Журн. вычпсл. математики и мат. физики.— 1963.— № 3.— С. 1032—
1066.
149. Яворский II. И. Нестационарная тепловая задача для плоского гидротер-
гидротермального источника с вязким нагревом Ц Тепломассообмен в одно- и двух-
двухфазных системах.— Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1983.—
С. 5—10.
150. Яворский Н. И. Неосесимметричные затопленные струи / Прикл. мате-
математика и механика. — 1988.—Т. 52, №5. —С. 760 — 776.
151. Яцеев В. И. Об одном классе точных решений уравнений движения вяз-
вязкой жидкости И Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1950.— Т. 20,
вып. 11.—С. 1031—1034.
152. Adams M. L., Szeri A. Z. Incompressible flow between finite disks // Trans.
ASME. J. Appl. Mech.—1982,—V. 49.— P. 1—14.
153. Ames W. F. Nonlinear partial differential equations in engineering.— New.
York.; London: Acad. Press, 1965.— 511 p.
154. Arneodo A., Coullet P. H., Spiegel E. A., Tresser С Asymptotic chaos // Phy-
sica D,— 1985.— V. 14, N 3.— P. 327—347.
155. Batchelor G. K. Note on class of solutions of the Navier-Stokes equations
representing steady rotationally-symmetric flow // Q. J. Mech. Appl.
Math,— 1951.— V. 4.— P. 29—41.
156. Batchelor G. K., Gill A. E. Analysis of the stability of axisymmetric jets//
J. Fluid Mech.— 1962.— V. 14, N 4.— P. 529—551.
157. Belcher R. J., Burggraf O. R., Stewartson K. On generalized vortex boun-
boundary layers // Ibid.— 1972.— V. 52. N 4,— P. 753—780.
158. Blandford R. D., Ress M. J. Extended and compact extragalactic radio sour-
sources: interpretation and theory // Physica Scripta.— 1978.— V. 17.—•
P. 265-274.
159. Brady J. F., Durlofsky L. On rotating disk flow: similarity solution versus
finite disks // J. Fluid Mech.— 1986.— V. 175.— P. 363—394.
160. Bundy R. D., Weissberg H. L. Experimental study of fully developed lami-
laminar flow in a pipe with wall injection // Phys. Fluids,— 1970.— V. 13.
N 10.— P. 2613—2615.
161. Burggraf O. R., Stewartson K., Belcher R. Boundary layer induced by a po-
potential vortex // Ibid.— 1971,— V. 14, N 9.— P. 1821—1833.
162. Burggraf O. R., Stewartson K., Belcher R. The ladder structure of the ge-
generalized vortex // Z. angew. Math. Phys.— 1975.— V. 26.— P. 549—559.
163. Cham T. S. The laminar boundary layer of a source and vortex flow.// Aero-
Aeronaut, Q.— 1971.— V. 22, N 2.— P. 196—206.
164. Cooke J. C. On Pohlgausen's method with application to a swirl problem
of Taylor // J. Aerospace Sci.— 1952.— V. 19.— P. 486—490.
165. Dijkstra D. On the relation between adjacent inviscid cell type solutions
to'the rotating-disk equations // J. Eng. Math.— 1980.— V. 14.— P. 133 —
154.
166. Dijkstra D., van HeijstG. J. F. The flow between finite rotating disks enclo-
enclosed by a cylinder // J. Fluid Mech.— 1983,— V. 128.— P. 123—154.
167. Elcrat A. R. On the Radial Flow of a Viscous Fluid between Porous Disks.//
Arch. Ration. Mech. Anal.— 1976.— V. 61.— P. 91.
168. Elcrat A. R. On the flow between a rotating disk and porous disk // Ibid.—¦
1980.— V. 73, N 1.— P. 63—68.
169. Elkouh A. F. Laminar flow between rotating porous disks // J. ASCE Eng.
Mech. Div.— 1968.— V. 94.— P. 919—929.
170. Elkouh A. F. Laminar flow between rotating porous disks with equal suction
and injection // J. Mec— 1970.— V. 9, N 3.— P. 429—441.
171. Evans D. J. The rotationally symmetric flow of a viscous fluid in the pre-
presence of an infinite rotating disk with uniform suction // Q. J. Mech. Appl.
Math.— 1969.— V. 22.— P. 467.
172. Feigelson E. D. Do neutron stars produce jets // Can. J. Phys.— 1986.—
V. 64, N 3.— P. 474—478.
330 Список литературы
173. Finn R. An energy theorem for viscous fluid motions // Arch. Ration. Mech.
Anal.— I960.— N 6.— P. 371 — 381.
174. Fox H., Sinha R., Weinberger Z. An implicit finite difference solution for
jet and wake problem // Astronaut. Acta.— 1972.— V. 17.— P. 265—278.
175. Fujii T. Theory of steady laminar natural convection above a horizontal line
heat source II Intern. J. Heat Mass Transfer.— 1963,— V. 6.— P. 597—606.
176. Guckenheimer J., Holmes P. J. Nonlinear oscillations, dynamical systems,
and bifurcations on vector fields.— N. Y.: Springer-Verlag. 1983.— 452 p.
177. Guilloud J. C, Arnault J., Dicerescenzo C. Etude d'une nouvelle famille
de solutions des equations de Navler — Stokes // J. Mec— 1973.— V. 12,
N 1.— P. 47—74.
178. Hamel G. Spiralformige Bewegungen Zgher Flussigkeiten // Jahr. Dent.
Math.— Berlin, 1916.— Bd 25, H 1/3.— S. 34—60.
179. Hastings S. P. On existence theorems for some problems from boundary layer
theory II Arch. Ration. Mech. Anal,— 1970.— V. 38.— P. 308—316.
180. Heisenberg W. Uber Stabilitat und Turbulenz von Fliisigkpitsstromen //
Ann. Phys.— 1924.— Bd 74, N 7.— S. 577—627.
181. Hoffman J. A. Similarity solution for the interaction of a potential vortex
with free stream sink flow and a stationary surface // Trans. ASME. Basic
Engeneering.—1974.—V. 96, N 1.— P. 49—54.
182. Holodniok M., Kubicek M., Hlavacek V. Computation of the flow between
rotating coaxial disks // J. Fluid Mech.— 1977.— V. 81.— P. 680—699.
183. Holodniok M., Kubfcek M., Hlavacek V. Computation of the flow between
rotating coaxial disks: multiplicity of steady-state solutions // Ibid.— 1981.—
V. 108.— P. 227—240.
184. Home R. A. Marine Chemistry.— N. Y.: Wiley-Interscience, 1969.— 568 p.
185. Jawa M. S. A numerical study of axially symmetric flow between two rota-
rotating infinite porous disks // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech.— 1971.—
V. 38, N 3.— P. 100—104.
186. Jeffery С. В. Two-Dimension Steady Motion of a Viscous Fluid // Phil. Mag.
Ser. 6.— 1915.— V. 29, N 172.— P. 455—465.
187. Karman T. Uber laminare und turbulente Reibung // Z. angew. Math. Mech.—
1921.— B. 1.— S. 232—252.
188. King W. S., Lewellen W. S. Boundary layer similarity solutions for rotating
flows with and without magnetic interaction // Phys. Fluids.— 1964.—
V. 7, N 10.— P. 1674—1680.
189. Konigl A. Stellar and galactic jets: theoretical issues // Can. J. Phys.—
1986.— V. 64, N 3.— P. 362—368.
190. Krothapalli A., Baganoff D., Karamcheti K. On the mixing of a rectangular
jet // J. Fluid Mech.— 1981.— V. 107.— P. 201—220.
191. Krzywicki a. Sur le mouvement plan d'un liquide visqueux compressible //
Stir). Math.— 1957.— V. 16.— P. 48—55.
192. Kuiken H. K. The effect of normal blowing on the flow near a rotating disk
of infinite extent II J. Fluid Mech.— 1971.— V. 47.— P. 789.
193. Lada С J. Cold outflows, energetic winds, and enigmatic jets around young
stellar objects II Ann. Rev. Astron. Astrophys.— 1985.— V. 13.— P. 267—
317.
194. Lance G. N., Rogers M. H. Axially Symmetric Flow of a Viscous Fluid bet-
between Two Infinite Rotating Disks // Proc. Roy. Soc. Lond,— 1962.—
V. A226.— P. 109—121.
195. Laufer S., Zhang J. X. Unsteady aspects of a low Mach number // Phys.
Fluids.— 1983,— V. 26, N 7.— P. 1740—1750.
196. Lessen M., Singh P. J. The stability of symmetric free shear layers // J. Fluid
Mech.— 1973.— V. 60, N 3.— P. 433—457.
197. Lewellen W. S. A Solution for three dimensional vortex flows with strong
circulation II Ibid.— 1962.— V. 14, N 3.— P. 420—432.
198. Libchaber A., Laroche C, Fauve S. Period doubling cascade in mercury,
a quantitative measurement // J. Phys. Lett.— 1982.— V. 43, N 7.—
P. 211—216.
Список литературы 331
199. Long R. R. Vortex motion in a viscous fluid // J. Meteor.— 1958.— V. 15.—
P. 108—112.
200. Long R. R. A vortex in an infinite viscous fluid // J. Fluid Mech.— 1961.—
V. 11, N 4.— P. 611—624.
201. Malraison В., Atten P., Berge P., Dubois M. Dimension of strange attractors:
an experimental determination for the chaotic regime of two convective sys-
systems // J. Phys. Lett,— 1983.— V. 44,— P. L—897.
202. Mayer E. A. Large-signal vortex value analysis // Advances in fluidics.—
ASME, 1967.— P. 233—250.
203. McLeod J. B. Von Karman Swirling Flow Problem // Arch. Ration. Mech.
Anal.— 1969.— V. 32, N 2.— P. 91 — 102.
204. McLeod J. В., Parter S. V. On the flow between two counterrotating infinite
plane disks // Arch. Ration. Mech. Anal.— 1974.— V. 54.— P. 301—327.
205. Mellor G. Z., Chappie P. J., Stokes V. K. On the flow between a rotating
and stationary disk // J. Fluid Mech.— 1968,— V. 31, N 1 — P. 95—112.
206. Millsaps K., Pohlhausen K. Thermal distributions in Jeffery-Hamel flows
between nonparallel plane walls // J. Aero Sci.— 1953.— V. 20, N 3.—
P. 187—196.
207. Moffatt H. K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid
Mech.— 1964.— V. 18, pt, 1.— P. 1—18.
208. Mollendorf J. C, Gebhart B. Thermal buoyancy in round laminar vertical
jets II Int. J. Heat Mass Transfer.— 1973.— V. 16.— P. 735—745.
209. Morduchow M. On laminar flow through a channel or tube with injection:
Application of method of averages // Quart. Appl. Math.— 1957.— V. 14,
N 4.— P. 361—368.
210. Morgan A. J. A. On a class of laminar viscous flows within one or two boun-
bounding cones // Aeronaut. Q.— 1956.— V. 7.— P. 225—239.
211. Morris P. J. The spatial viscous instability of axisymmetric jets // J. Fluid
Mech.— 1976.— V. 77, N 3.— P. 511—529.
212. Muller K. N. Zur Theorie des Wirbelstrahles // Z. angew. Math. Mech.—
1958.— Bd 38, H. 5/6.— S. 170—187.
213. Nanbu K. Vortex flow over a flat surface with suction // AIAA J.— 1971.—
V. 9, N 8.— P. 1642—1645.
214. Narayana C. L., Rudraiah N. On the steady flow between a rotating and
stationary disk with a uniform suction at the stationary disk // Z. angew.
Math. Phis,— 1972.— V. 23, N 1.— P. 98—104.
215. Nguyen N. D., Ribault J. P., Florent P. Multiple solutions for flow between
coaxial disks // J. Fluid Mech.— 1975.— V. 68, N 2.— P. 369—388.
216. Nishioka M., Tida S., Icbikawa Y. An experimental investigation of the sta-
stability of plane Poiseuille flow // Ibid.— 1975.— V. 72, N 4.— P. 731—752.
217. Ockendon H. An asymptotic solution for steady flow above an infinite ro-
rotating disk with suction // Q. J. Mech. Appl. Math.— 1972.— V. 25.—
P. 291—298.
218. Orszag S. A., Patera A. T. Secondary instability of wallbounded shear flows //
J. Fluid Mech.— 1983.— V. 128.— P. 347—385.
219. Oseen C. W. Neuere Methoden und Ergebnisse in dor Hydrodynamik.— Leip-
Leipzig, 1927.— 462 p.
220. Pai S. I., Hsien T. Numerical solution of laminar jet'mixing with and without
free stream // Appl. Sci. Res.— 1972.— V. 27.— P. 39—62.
221. Parter S. V. On the swirling flow between rotating coaxial disks: A sur-
survey // Lecture Notes in Mathematics,— Berlin: Springer-Verlag, 1982.—
V. 942.— P. 258—280.
222. Paull R., Pillow A. F. Conically similar viscous flows. Part 2. One parame-
parameter swirl-free flows // J. Fluid Mech.— 1985.— V. 155.— P. 343—358.
223. Paull R., Pillow A. F. Conically similar viscous flows. Part 3. Characteri-
Characterization of axial causes in swirling flow and one-parameter flow generated
by an uniform halfline source of kinematic swirl angular momentum // Ibid.—
1985.— V. 155.— P. 359—380.
332 Список литературы
224. Pearson С. Е. Numerical solutions for the time-dependent viscous flow bet-
between two rotating coaxial disks//Ibid.— 1965.— V. 21, N 4.— P. 623—633.
225. Pillow A. F., Paull R. Conically similar viscous flows. Part 1. Basic conser-
conservation pronciples and characterization of axial causes in swirl-free flow //
J. Fluid Mech.— 1985.— V. 155,— P. 327—342.
226. Potsch K. Laminare Freistrahlen in Kegelraum // Z. Flugwiss. Weltraum-
forsch,— 1980.— Bd 5.— S. 44—52.
227. Prandtl L. Uber Fliissigkeitsbcwegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlg.
Ill Intern. Math. Kongr. Heidelberg, 1904.— P. 484—491.
228. Proceedings of the conference on jets from stars and galaxies (Toronto, June
24—27, 1985)/Ed. by K. H. Henricsen // Can. J. Phys.— 1986.— V. 64, N 3.
229. Rasmussen H. Steady viscous Flow between Two Porous Disks // Z. angew.
Math. Phis.— 1970.— B. 2, N 2.— S. 187.
230. Rasmussen H. A Note on the Nonunique Solutions for the Flow between Two
Infinite Rotating Disks /7 Ibid.— 1973,— Bd 53.— S. 273.
231. Reynolds A. J. Observation of liquid-into-liquid jet // J. Fluid Mech.—
1962,— V. 14, N 4.— P. 552—556.
232. Schlichting H. Laminare Strahlausbreitung // Z. angew. Math. Mech.—
1933.— Bd 13.— S. 260—263.
233. Schneider W. Flow induced by jets and plumes // J. Fluid Mech.— 1981.—
V. 108,- P. 55-65.
234. Schneider W. Asymptotic analysis of jet flows // Fluid Dyn. Trans. War-
shawa.— 1985.— V. 12.— P. 113—156.
235. Schneider W. Decay of momentum flux in submerged jets // J. Fluid Mech.—
1985.— V. 154.— P. 91—110.
236. Serrin J. The swirling vortex // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A.—
1972.—V. 271, № 1214.—P. 327—360.
237. Skalak F. M., Chang-Ji Wang. On the nonunique solutions of laminar flow
through a porous tube or channel // SI AM J. Appl. Math.— 1978.— V. 34,
N 3.— P. 535—544.
238. Smith D. R. Estimates at infinity for stationary solutions, of the Navier —•
Stokes equations in two dimensions // Arch. Ration. Mech. Anal.— 1965.—
V. 20,- P. 341-372.
239. So R. M. С On similarity solutions for turbulent and heated round jets //
J. Appl. Math. Phys. (ZAMP).— 1986.— V. 37.— P. 624—631.
240. Squire H. B. Some viscous fluid flow problems. I. Jet emerging from a hole
in a plane wall // Philos. Mag.— 1952.— V. 43, N 7.— P. 942—945.
241. Stewartson K. On the flow between two rotating coaxial disks // Proc. Cam-
Cambridge Philos. Soc— 1953.— V. 3.— P. 333—341.
242. Stokes G. G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of
pendulums // Trans. Cambridge Philos. Soc— 1851.— V. 9, pt. 2.—
P. 8—106.
243. Stuart J. T. On the effects of uniform suction on the steady flow due to a ro-
rotating disc II Q. J. Mech. Appl. Math.— 1954.— V. 7.— P. 466.
244. Sullivan R. D. A two-cell solution of the Navier — Stokes equations // J. Ae-
Aerospace Sci.— 1959.— V. 26, N 11.— P. 163—164.
245. Szeri A. Z., Giron A., Schneider S. J., Kaufman H. N. Flow between rotating
disks. Part 2. Stability // J. Fluid Mech.- 1983.- V. 134.- P. 133-154.
246. Szeri A. L., Schneider S. J., Labbe F., Kaufman H. N. Flow between rota-
rotating disks. Part 1. Basic flow // Ibid,— 1983.— V. 134.— P. 103—131.
247. Taylor G. I. The boundary layer in the converging nozzle of a swirl atomi-
atomizer // Q. J. Mech. Appl. Math.— 1950.— V. 3.— P. 129—130.
248. Terrill R. M., Thomas P. W. On laminar flow through a uniformly porous
pipe // Appl. Sci. Res.— 1969.— V. 21, N 1.— P. 37—67.
249. Torrance К. Е. Natural convection in thermally stratified enclosures with
localized heating from below // J. Fluid Mech.— 1979.— V. 95, N 3.—
p. 477_495_
250. Viilu A. On experimental determination of the minimum Reynolds number
for instability in a free jet// Trans. ASME. J. Appl. Mech.— 1962.— V. 29.—
P. 506—508.
Список литературы 333
251. Wang С. Y. Effect of spreading of material of the surface of a fluid // Int.
J. Non-Linear Mech.— 1971.— V. 6, N 2.— P. 255—262.
252. Wang C. Y. Symmetric viscous flow between rotating porous disks-moderate
rotation // Q. J. Mech. Appl. Math,— 1976.— V. 29.— P. 29—38.
253. Wang C. Y., Watson L. T. Viscous flow between rotating discs with injection
on the porous disk // Z. angew. Math. Phys.— 1979.— V. 30, N 5.—
P. 773—787.
254. Wilson L. 0., Schryer N. L. Flow between a stationary and rotating disk
with suction II' J. Fluid Mech.— 1978.— V. 85, N 3.— P. 479—496.
255. Wu J. Z. Conical turbulent swirling vortex with variable eddy viscosity //
Proc. R. Soc. London. Ser. A.— 1986.— N 403.— P. 235—268.
256. Wygnanski I., Fiedler H. Some measurements in the self preserved jet // J.
Fluid Mech.— 1969.— V. 38, N 3.— P. 577—612.
257. Yih C.-S. Free convection due to a point source of heat // Proc. 1-st. v. s.
Nat. Congr. Appl. Mech.— N. Y., 1951.— P. 941—947.
258. Yih C.-S., Wu F., Garg A. K., Leibovich S. Conical vortices: a class of exact
solutions of the Navier — Stokes equations // Phys. Fluids.— 1982.— V. 25,
N 12,— P. 2147—2158.
259. Yuan S. W., Finkelstein A. Laminar pipe flow with injection and suction
through a porous wall // Trans. ASME. Basic Engeneering.— 1956.—
V. 78.— P. 719—724.
260. Zandbergen P. J., Dijkstra D. Non-unique solutions of the Navier •— Stokes
equation for Karman swirling flow // J. Eng. Math.— 1977.— V. 11.—•
P. 176—188.
261. Zandbergen P. J. New Solutions of the Karman Problem for Rotating Flows //
Lecture Notes in Mathematics.— Berlin, 1980.— V. 771.— P. 563—581.
262. Zandbergen P. J., Dijkstra D. Von Karman swirling flows // Annual Rev.
Fluid Mech.— 1987.— V. 19,— P. 465—491.
263. Zauner E. Visualization of the viscous flow induced by a round jet // J. Fluid
Mech.— 1985.— V. 154.— P. 111—120.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ».,. 3
Глава 1. О парадоксах вязких течений 4
§ 1. Введение —
§ 2. Основные свойства решений уравнений Навье — Стокса и
классификация парадоксов 10
2.1. Постановки гидродинамических задач —¦
2.2. Классификация парадоксов 13
§ 3. Примеры известных парадоксов 16
3.1. Парадокс Стокса . —
3.2. Парадокс Моффата 21
3.3. Парадокс Гейзенберга — Линя 22
3.4. Некоторые парадоксы симметрии 27
3.5. Парадоксы скрытых инвариантов 33
§ 4. Парадокс взаимодействия вихря с плоскостью .... 37
4.1. Постановка задачи —
4.2. Анализ уравнений 40
4.3. Теорема существования 43
4.4. Единственность 51
4.5. Медленное движение 53
4.6. Обсуждение 55
§ 5. Некоторые экспериментальные парадоксы 58
5.1. «Аномальное» вращение цилиндра на границе струи 59
5.2. Струйное обтекание шара 60
5.3. Скоростные неоднородности за зернистым слоем . 61
5.4. Некоторые свойства закрученных потоков ... 62
Глава 2. Конические течения 64
§ 1. Плоская задача 65
1.1. Предварительные замечания —
1.2. Течение в диффузоре 66
1.3. Бифуркация решений в задаче об источнике . . 72
1.4. Автомодельный анализ устойчивости 75
1.5. Спиральные волны и солитоны 77
§ 2. Осеспмметричные течения 81
2.1. Общие свойства —
2.2. Струя Ландау и ее обобщения 88
2.3. Струя, бьющая пз отверстия на плоскости ... 93
2.4. Проблема потери существования решений ... 98
2.5. Взаимодействие распределенного источника жидкости
с плоскостью 105
§ 3. Закрученные течения 116
3.1. Разрешение парадокса в задаче о смерче ... —
3.2. Взаимодействие вихреисточипка с плоскостью . . 123
3.3. Разделенные источники массы та момента импульса 12S
3.4. Течение, вызванное циркуляцией на плоскости . . 131
3.5. Струя, индуцированная движением вещества плоско-
плоскости типа впхрестока 134
3.6. Космические струи и их простейшая гидродинамиче-
гидродинамическая модель 140
§ 4. Течения жидкости с переменной вязкостью ¦ 144
4.1. Постановка задачи —
4.2. Несуществование решений при условии прилипания 148
4.3. Модель турбулентной автомодельной струн . . . 151
4.4. Граница существования турбулентной струи . . 154
4.5. Спонтанная закрутка турбулентной струи . . . 156
§ 5. Автомодельная тепловая конвекция 159
5.1. Конические свободно-конвективные течения ... —
5.2. Задача о вулкане 163
5.3. Конвекция в среде с тепловой аномалией . . . 171
5.4. Возникновение конвекции вблизи горячего центра
гравитации .178
Глава 3. Автомодельные течения с пространственным ускорением . 189
§ 1. Стационарное движение во вращающейся пористой трубе , —
1.1. Постановка задачи —
1.2. Анализ задачи Коши 192
1.3. Численные результаты и комментарии .... 196
§ 2. Устойчивость течения в случае вдува , 201
2.1. Об устойчивости в смысле автомодельной эволюции —
2.2. Две постановки задачи линейной устойчивости . . 204
2.3. Анализ предельных ситуаций 206
2.4. О методах решения линейных задач 207
2.5. Результаты численных расчетов 209
§ 3. Модель турбулентного вращающегося потока 212
3.1. Модели эффективно вязких турбулентных течений 213
3.2. Вариационный принцип 216
3.3. Турбулентное течение в пористой вращающейся трубе 219
3.4. Течение с минимальной диссипацией энергии . . 221
§ 4. Течение между пористым вращающимся диском и плоскостью 226
4.1. К истории вопроса —
4.2. Постановка задачи 229
4.3. Физический анализ задачи 232
4.4. Результаты численных расчетов ...... 238
4.5. Устойчивость 248
4.6. Обсуждение результатов 251
Глава 4. Неавтомодельные затопленные струи ....... 257
§ 1. Тепловая задача для автомодельной затопленной струи . . —
1.1. Постановка задачи 258
1.2. Парадокс неразрешимости 260
1.3. Общее решение однородного уравнения теплопровод-
теплопроводности 263
1.4. Тепловая задача для плоского гидродинамического
стока 268
1.5. Разрешение парадокса 271
§ 2. Осесимметричные неавтомодельные затопленные струи . . 275
2.1. Парадокс неразрешимости для затопленной струн с
ненулевым расходом 276
2.2. Собственные решения задачи о затопленной струе 278
2.3. Устранение парадокса неразрешимости для пеавтомо-
дельной струи с ненулевым расходом .... 280
2.4. Общее решение неавтомоделыюй задачи . 282
2.5. О применимости теории пограничного слоя для не-
неавтомодельной затопленной струи 285
§ 3. Неавтомодельные закрученные струи. Тепловая задача для
неавтомодельных затопленных струй 288
3.1. Общее решение пеавтомодельной задачи о закручен-
закрученной струе
3.2. Сходимость обобщенных мультнпольных разложений 292
3.3. Неавтомодельная струя во вращающейся трубе 297
3.4. Общее решение тепловой задачи для неавтомодель-
ной затопленной струи 299
3.5. Тепловая задача для затопленной струи, распрост-
распространяющейся в нагретой трубе 300
3.6. Мультппольное разложение п устойчивость неавто-
неавтомодельной затопленной струн 301
3.7. Прпосевой обратный ток для закручепной струи . 303
§ 4. Неосеспмметричные затопленные струи 308
4.1. Собственные решения неосесшшетричной задачи о
затопленной струе —.
4.2. Асимптотическое поведение пеосесимметричной затоп-
затопленной струи 313
4.3. Общее решение для неосеснмметричной затопленной
струя и ее устойчивость 314
Заключение „ , 318
Послесловие ..,,..,,. , 320
Список литературы 323
Научное издание
Гольдштик Михаил Александрович
Штерн Владимир Николаевич
Яворский Николай Иванович
ВЯЗКИЕ ТЕЧЕНИЯ
С ПАРАДОКСАЛЬНЫМИ
СВОЙСТВАМИ
Редакторы издательства М. X. Праввина, Л. В. Нонкиня
Художник И. М. Меньшикова
Художественный редактор М. Ф. Гяазырина
Технический редактор Н. Ы. Бурлачепко
Корректоры Е. 11. Зимина, В. В. Борисова
ИБ № 34442
Сдано в набор 13.10.88. Подписано в печать 27.10.89. МН-01121. Формат 60x90'/ie. Бума-
Бумага книжно-журнальная. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 21.
Усл. кр.-отт. 21. Уч.-изд. л. 22,5. Тираж 1700 экз. Заказ Н 421. Цена 3 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»,
Сибирское отделение. 630099 Новосибирск, ул. Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077 Новосибирск,
ул. Станиславского, 25.