А.С.Кельзон
Ю.Н. Журавлев. Н. В. Ян варев
РАСЧЕТ
И КОНСТРУИРОВАНИЕ РОТОРНЫХ МАШИН
А. С/Кельзон,
Ю. Н. Журавлев, Н. В. Январев
РАСЧЕТ
И КОНСТРУИРОВАНИЕ РОТОРНЫХ МАШИН
Под редакцией доктора технических наук профессора А. С. Кельзона
Ленинград «Машиностроение» Ленинградское отделение 1977
УДК 621.81.001.24 (083.96)
Рецензент докт. техн, наук В. Л. ВЕЙЦ
Кельзон А. С., Журавлев Ю. Н., Ян варев Н. В.
Расчет и конструирование роторных машин. Л., «Машиностроение» (Ленинград, отд-ние), 1977.
288 с. с ил.
В книге рассмотрены вопросы динамического расчета роторов (турбин, компрессоров, генераторов, электрошпинделей, центрифуг, гироскопов, веретеи и др.). Приведены результаты инженерных расчетов, натурных и модельных испытаний по определению основных причин вибраций роторных машин и их влияния на уровни вибронагрузок на динамически нагружен-ные опоры. Исследованы пути снижения виброактивностп роторов. Разработаны рекомендации по повышению долговечности высокооборотных подшипников качения. Рассмотрены конструкции упругих подшипников, упругих опор и методика их расчета. Приведена методика исследования поперечных колебаний роторов различного типа с помощью физических моделей. Книга предназначена для ннженерно-техннческнх работников, занимающихся вопросами расчета, конструирования и эксплуатации высокооборотных роторных машин в различных отраслях машиностроения. Она может быть использована также студентами вузов соответствующих специальностей.
31301 — 152
К 038(01) —77
152 — 77
© Издательство «Машиностроение», 1977 г.
Ml '
ilfvr ' ,b»a,
f	ПРЕДИСЛОВИЕ
i
i.
Перед конструктором современной роторной машины (турбины, компрессора, центрифуги, электрошпинделя скоростного шлифовального станка, нагнетателя, прядильной или крутильной машины и т. д.) стоят сложные задачи — увеличить производительность машины, снизить ее массу и повысить ресурс. Одновременное выполнение этих условий приводит к созданию машин, роторы которых вращаются выше первой, а часто и выше второй критической скорости. Виброактивность таких роторных машин, если не принять специальных мер, приводит к преждевременному выходу из строя подшипниковых узлов.
Использование пути, который был впервые предложен Лавалем, — конструирование гибкого вала, вращающегося в жестких опорах качения или скольжения, по ряду причин, которые будут подробно рассмотрены ниже, весьма ограничено и не получило широкого применения.
В то же время нерационален и путь конструирования машин с ротором, частота вращения которого ниже первой критической скорости, так как это приводит к значительному увеличению массы вращающихся частей и ограничивает частоту вращения ротора.
Самым рациональным решением при конструировании роторных машин является создание машинке жестким ротором, вращающимся в упругих опорах.
Виброактивность роторов, в особенности в зоне критических скоростей, может быть уменьшена ужесточением допусков на изготовление и балансировку роторов. Однако на передовых машиностроительных заводах этот путь практически исчерпан и дальнейшее уменьшение допусков ведет к экономически и технически неоправданным издержкам. Между тем, конструируя машину с жестким ротором, установленным в упругие опоры, можно обеспечить легкий переход через критические скорости и уменьшить давление ротора на опоры за счет эффекта самоцентрирования.
Обоснование этого пути, разработанные методы расчета и конструирования даны б этой книге.
Авторы приносят глубокую благодарность коллективу отрасле-вой^научно-исследовательской лаборатории упругих подшипников Минстанкопрома при Ленинградском ордена Октябрьской революции высшем инженерном морском училище им. адмирала С. О. Макарова, с участием которого разработанные методы расчета и конструирования внедрены в различных областях машиностроения.
1*	3
ВВЕДЕНИЕ
Вал, вращающийся в опорах, — один из самых ответственных узлов роторной машины. Ресурс машины, предупреждение аварий, производительность, точность технологических операций, совершаемых роторной машиной, зависят прежде всего от уровня колебаний ротора и давлений между ротором и опорами. Для повышения производительности и удовлетворения высоких требований к точности при создании новых роторных машин используют различные пути: а) увеличение мощности одного агрегата без изменения номинальной скорости вращения вала (например, в стационарном турбогенераторостроении), б) увеличение скоростей вращения ротора (например, газотурбинные транспортные двигатели, шлифовальные станки, турбонагнетатели, веретена, центрифуги). Одновременно стремятся уменьшить габариты роторной машины и снизить массу вращающихся вадов.
Эти тенденции при конструировании роторных машин привели к проблеме борьбы с виброактивностью. Можно сказать без преувеличения, что низкая виброактивность роторной машины — свидетельство правильного расчета и конструирования.
Если раньше при расчете машины можно было ограничиться определением критических скоростей вращения ротора и вести расчет при упрощающих предположениях об абсолютной жесткости опор, то в настоящее время такой подход не может привести к цели. Необходимо рассматривать динамическую систему ротор— податливые опоры—корпус машины—фундамент в целом. Специфические свойства смазочного слоя подшипников скольжения или особенности подшипников качения должны быть учтены при расчете. Влияние ряда малоизученных факторов, например двоякая жесткость роторов, овальность шипа в подшипнике скольжения, температурная асимметрия роторов машин, остаточная неуравновешенность и разбалансировка ротора в процессе эксплуатации, должно быть включено в расчет машины.
В заводской практике известны случаи, когда опытные экземпляры роторных машин не могли выйти на номинальную скорость вращения, и попытки преодоления порога путем ужесточения допусков, подбора сортов смазки и т. п. не приводили к желаемым результатам. Причины следовало искать в неправильном конструировании и динамическом расчете машины.
Из трех видов колебаний роторов — поперечных, крутильных и продольных — в данной книге рассматриваются только поперечные колебания. В роторных машинах именно эти колебания имеют решающее значение. В тех случаях, когда в динамической роторной системе действуют факторы, вызывающие периодическую не- ' равномерность вращения (например, периодическое изменение 11НГ11111СЙ нагрузки), и возникают крутильные колебания, для их псслглопания можно рекомендовать книгу В. П. Терских [991. , 4
Следует отметить, что наряду с детерминированными характеристиками роторной машины (размеры, массовые инерционные параметры, скорость вращения и т. п.) имеются факторы со случайными характеристиками (например, распределение неуравновешенности по длине и в радиальных плоскостях). Для расчета критических скоростей роторной машины, не зависящих практически от случайных факторов, целесообразно применение современных ЭВМ. Остальная информация о виброактивности — амплитуды колебаний, давления между ротором и опорами, давления, передаваемые на фундамент, — существенно зависят от случайных факторов и во многих случаях достаточно приближенно оценить их значения исходя из упрощенных математических моделей. В этих случаях необходимо применить к расчету вероятностный подход.
В литературе по расчетам роторных машин1 в основном уделяется внимание определению амплитуд колебаний роторов, тогда как наибольший практический интерес представляют динамические нагрузки между ротором и опорами, а также давления, пере-даваемые на фундамент машины. Хотя амплитуды колебаний и динамические нагрузки взаимосвязаны, их нельзя отождествлять,
В связи с этим возникает проблема оптимального проектирования роторных машин. В зависимости от назначения машины и предъявляемых к ней требований могут быть сформулированы различные критерии качества. Так можно минимизировать давления между ротором и опорами, что увеличивает ресурс и одновре- -менно уменьшает шум, излучаемый машиной. Можно критерием качества избрать минимальный вес, что особенно важно, например для авиационных газотурбинных двигателей, В других случаях существенным является высокая скорость вращения ротора, например в электрошпинделях высокооборотных шлифовальных станков. В некоторых случаях важным, является ресурс машины, в частности длительность межремонтных эксплуатационных периодов,
Проблема оптимального проектирования роторных машин может быть более сложной в случае векторной оптимизации нескольких критериев одновременно.
При создании крупногабаритных, трудоемких машин целесообразно на стадии проектирования и испытания пользоваться методом физического моделирования. Конструирование модели по законам подобия и ее испытание позволяют определить влияние различных факторов на виброактивность роторной машины, прежде чем перейти к изготовлению опытного полноразмерного образца машины. Опыт передовых машиностроительных заводов подтверждает полезность создания и испытания таких моделей, в особенности, когда проектируется машина, не имеющая близкого прототипа.
1 В дальнейшем не делается различия между ротором и вращающимся валом,
5
В современных роторных машинах рабочая частота вращения располагается выше первой, а часто и выше второй критической скорости. В связи с этим при конструировании и расчете необходимо обеспечить переход через зоны критических скоростей'с малыми резонансными амплитудами и виброперегрузками. Уровень вибрации зависит от следующих факторов: а) близость к критическим скоростям; б) распределение масс ротора; в) упругие характеристики системы; г) рассеяние энергии в системе; д) неуравновешенность ротора.
Никакое внутреннее рассеяние энергии в самом роторе не связано с ограничением резонансных амплитуд, поскольку форма изгиба ротора при прецессии не меняется. Основным источником рассеяния энергии служат радиальные подшипники и гидродинамические уплотнения. Без этих источников демпфирования переход через критические скорости оказался бы сильно затрудненным.
Однако ошибочным следует считать путь искусственного увеличения демпфирования для перехода через зоны критических скоростей. На рабочих скоростях увеличение демпфирования не сказывается на уменьшении амплитуд вибрации, но уменьшает к. п. д. машины. Нелинейные демпферы могут явиться причиной возникновения новых зон повышенных вибраций. Более прогрессивным является другой метод снижения амплитуд при переходе через критические скорости. Оставляя ротор без изменений, делают опоры упругими. Тем самым снижается жесткость системы и вместе с ней резонансные амплитуды. Если податливость опор значительно больше податливости ротора, то последний можно рассматривать как жесткий до подхода к третьей критической скорости. Такой подход к конструированию роторных машин позволяет создать машины, роторы которых проходят зоны первой и второй критических скоростей с малыми амплитудами и виброперегрузками, без изгибных колебаний. Рабочие скорости при этом располагаются выше второй критической скорости в зоне самоцентрирования [42, 43]. Использование упругих опор не получило до сих пор широкого распространения. Это объясняется отсутствием в распоряжении проектировщиков стандартных упругих подшипников различных типоразмеров. Упругие опоры в настоящее время изготовляются отдельно для каждой машины, тогда как изготовление их вместе с подшипниками качения или в виде упругих подшипников скольжения на специализированных заводах позволило бы быстро внедрить их в машиностроение.
В некоторых случаях существенное значение имеют переходные режимы (пуск, останов и перемена режима вращения роторной машины). В частности, при источниках энергии ограниченной мощности могут возникнуть нежелательные явления, исследованные в работах [60, 21, 221
Целью книги является внедрение в конструирование роторных машин современных способов борьбы с виброактивностью, что позволит увеличить ресурс й создать работоспособные машины»
ГЛАВА 1
ВИБРОАКТИВНОСТЬ РОТОРОВ МАШИН
1. Влияние погрешноотей
* исходных данных на погрешнооть раочета критичеоких скоростей
Настоящая глава посвящена анализу причин, обусловливающих виброактивность роторов. Основное внимание при этом уделяется определению уровней вибронагрузок на опоры. Учитывая, что уровень вибронагрузок существенно зависит от точности расчета критических скоростей проектируемой роторной системы, первый параграф главы посвящен изучению влияния погрешностей исходных данных на величины расчетных критических скоростей.
При выполнении расчетов некоторые исходные данные могут быть определены лишь приближенно.
Прежде всего это относится к таким параметрам системы, как обобщенные массы и коэффициенты жесткости опорных конструкций, коэффициенты жесткости масляной пленки подшипников скольжения, моменты инерции роторов сложной конфигурации и т. д. Другие параметры, такие как жесткость вала, несущего насаженные с натягом детали, или полярный момент инерции гибких дисков, не являются постоянными, а изменяются под действием центробежных сил инерции [37, 107]. Отклонения, некоторых параметров от их расчетных значений также могут иметь место в процессе монтажа и эксплуатации машин.
Погрешности исходных данных могут вызвать большое несоответствие между расчетными и действительными значениями критических скоростей роторов. На практике отмечен ряд случаев, когда по этой причине роторы оказывались работающими в зоне критических скоростей вращения [38, 66, 121 ],.
В связи с этим возникает задача определения границ возможных значений критических скоростей в зависимости от точности исходных данных.
Вначале рассмотрим аналогичную задачу о собственных частотах линейной консервативной колебательной системы с п степенями свободы, дифференциальные уравнения движения которой около устойчивого положения равновесия имеют вид
п	
1j	= 0 (i= 1, 2, . . п),	(1.1)
7=1
7
где q}-—обобщенные координаты; az/, ci}-—обобщенные, коэффициенты инерции и жесткости.
Коэффициенты Сц, ai}- образуют две, симметрические матрицы: матрицу жесткости С = ||cz/|| и . матрицу инерции А = |Jaz/|| и являются функциями жесткостных Ks и инерционных Jг параметров системы:
СЧ=	(s = 1, 2,	/);	п
az/= ф// (Л) (г = i> 2> •••» т)-
Здесь и в дальнейшем под Ks понимаются значения коэффициен-тов жесткости упругих элементов системы в направлении координатных осей, а под Jr—массы, осевые и центробежные моменты инерции элементов системы.
Зависимости С// выражают пространственное расположение и ориентацию упругих элементов системы и являются линейными по отношению к параметрам Ks; функции также являются линейными по отношению к параметрам Jr, причем некоторые из них могут представляться тождествами.
Собственные частоты pk (k = 1, 2, . . ., п) системы находятся из уравнения частот:
Си — р2ап с12 — р2ап — р2а1п
_ ^21 Р ^21 ^22 Р @22 • • • ^2n	Р ___ q 1	(3)
Р	Сп2	Р ^п2 • • • ^пп Р &пп
или в сокращенной форме записи
D = \cii — РЧ/I = 0 (/, / =' 1,2,.. ., п).	(1.4)
На основании теорем о влиянии масс и жесткостей на собственные частоты [8] можно сделать следующие качественные оценки:
1) увеличение любого из жесткостных параметров Ks приводит к увеличению функции Релея, поэтому частоты системы увеличиваются или по крайней мере не уменьшаются;
2) увеличение любого из инерционных параметров Jr приводит к уменьшению функции Релея, поэтому частоты системы убывают или по крайней мере не возрастают.
Пусть все жесткостные параметры Ks (s = 1, 2, . . I) изменились на одинаковую относительную величину при неизменных параметрах *7Г, т. е. стали равными
К* ™К2(1+₽с).	(1.5)
Здесь и в дальнейшем К?, J aQif, pk — исходные значения; К*, J*, с*}-, а*ц, pt—новые значения соответствующих величин.
В силу линейности зависимостей (1.2) выражению (1.5) соответствует изменение всех коэффициентов жесткости также на одинаковую относительную величину т. е. c*j = с?, (1 + рс).
8
Уравнение частот (1.4) для измененной системы можно преобразов ать следующим обр азом:
I? = |с?7 —	| =	(1 + рс) — р2а?у ] =
откуда с учетом тождества — р!а?/| = 0 находим, что все собственные частоты изменились на одинаковую относительную
величину аси стали равными
рл = рД1+ас), (1.7) где
ас = /Г+К-1. (1.8)
Аналогичным образом получаем, что при изменении всех инерционных параметров Jr на относительную величину ра спектр собственных частот сместится на величину аа, определяемую по формуле
Рис. 1.1. Графики изменения собственных частот вследствие изменения параметров системы:
Графики зависимостей (1.8) и (1.9) приведены на рис. 1.1. При малых и ра имеем:
ас^рс/2; аа^-ра/2.(1.10)
/ — жесткостных параметров: ас —	1 +	—
— 1; 2 — инерционных параметров: ' а“ = rrW “1
На основании вышеприведенных качественных оценок можно показать, что при изменении какого-либо одного параметра или некоторой совокупности одноименных параметров системы на относительную величину Р изменение собственных частот не будет больше значения, определяемого по выражению (1.8) или (1.9).
Если параметры Ks и Jr изменились на относительные величины рс и Ра, то, применив поочередно формулы (1.8) и (1.9), найдем, что собственные частоты в этом случае примут значения
p: = pftK(i+pc)/(i+₽«)•
(1.Ц)
Пусть ±Р6, и ±ра — наибольшие погрешности параметров /Cs и Jr, т. е. имеют место неравенства:
л: (1 - рс) Ks < Л* (1 + ре); j*r (1 - Ра) С Jr Jr (1 + Ра),
где K.s, Jr —действительные значения; К.*, J* —расчетные значения параметров.
9
Тогда, как следует из формулы (1.11), положение действительных собственных частот pk при известных значениях расчетных частот pk будет определяться неравенствами
р!Г(1 - Ю/О+Ра) Pk Pk Г(1 +Рс)/(1 - Ра)
(k= 1, 2, . .	л).	(1.12)
Если все параметры системы определены с одинаковой погрешностью ±р, причем | Р |	1> то' с точностью до величин порядка
малости р2 имеем
р£(1 — Р) (1 -Ь Р),	(М3)
т. е. погрешность определения собственных частот приближенно равна погрешности определения параметров системы.
Перейдем к определению
*	погрешностей при расчете
У^ ^—^гиР	критических скоростей ро-
<\	торов-
Отличительными особен-ностями динамической систе-
-ЬЙх	мы ротор — опоры от рас-
смотренной выше являются Рис. 1.2. Действие	гироскопического мо	наличие участков вала с рас-
мента в случае прямой	прецессии	вала	ПределенноЙ массой И дейст-
вие на систему гироскопических сил.
Первое отличие не является принципиальным, поскольку путем разбиения системы на достаточно большое число участков можно получить колебательную систему с конечным числом степеней свободы, совпадающую по динамическим свойствам с исходной системой с любой степенью точности.
Второе отличие заключается в следующем [30, 1031. Пусть диск, имеющий момент инерции относительно оси вращения А и экваториальный момент инерции В, вращается вместе с валом с угловой скоростью со (рис. 1.2). Под действием центробежных сил инерции, вызванных неизбежным дисбалансом центра масс диска, вал прогнется. Плоскость, в которой лежит изогнутая ось вала, будет совершать прецессионное вращение вокруг оси х также с угловой скоростью со. Если направление прецессии совпадает с направлением вращения вала, то такая прецессия называется прямой, если не совпадает — обратной.
Предположим, что в результате прогиба вала плоскость диска получает малое угловое отклонение ф. Тогда в случае прямой прецессии со стороны диска на вал будет действовать гироскопический момент [103]
Мгир - (Л — В) фсо2,	(1.14)
который стремится сделать вал более жестким. Критическая скорость прямой прецессии такого ротора будет больше, чем частота 10
свободных колебаний при со = 0. В случае обратной прецессий, наоборот, гироскопический момент стремится сделать вал более гибким, и критическая скорость уменьшается по сравнению с собственной частотой н евр задающегося вала.
В математическом плане, в случае произвольной роторной системы, учет гироскопического эффекта дисков приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения членов, содержащих первые производные от обобщенных координат по времени. Это приводит к структурному различию уравнения (1.3) и частотного уравнения роторной системы, так что к последнему не может быть применено преобразование (1.6).
Решение задачи по определению погрешностей может быть легко осуществлено, если использовать одно из свойств роторной системы, доказанное В. К. Дондошанским [33, с. 2231. Суть его заключается в следующем.
Критические скорости прямой и обратной прецессий ротора с учетом гироскопического эффекта дисков равны собственным частотам поперечных колебаний двух фиктивных неврзадающихся роторов, имеющих те же жесткостные и инерционные параметры, за исключением экваториальных моментов инерции дисков. Величины последних вычисляются по формулам:
для прямой прецессии Вфикт == В — А; 1
для обратной прецессии ВфИкт = В + A, J '
гдё А — момент инерции того же диска относительно оси вращения; В — его экваториальный момент инерции.
Очевидно, что поперечные колебания невращающегося ротора, представляющего собой обычную колебательную систему, могут быть описаны системой дифференциальных уравнений вида (1.1). Отсюда следует, что после замены действительных значений экваториальных моментов инерции дисков фиктивными по формуле (1.15) все полученные выше выражения по определению влияния погрешностей исходных данных на погрешности расчета собственных частот справедливы также и для критических скоростей роторов. Отличие состоит лишь в том, что предельная погрешность экваториальных моментов инерции дисков фиктивного ротора АВфикт вычисляется по формуле -
АВфикт - АВ + ДА,
где АВ и ДА — предельные погрешности действительных моментов инерции.
Соответствующая относительная погрешность
= (АВ + ДА)/ВфНкт.	(1.16)
Таким образом, погрешность определения критических скоростей роторных систем, вносимая неточностью исходных данных, может быть определена с помощью выражения (1.12). Учитывая
приближенную формулу (1.13), можно заключить, что эта погрет- ’ ность приблизительно равна погрешности определения жестко-стных и инерционных параметров рассмотренной выше фиктивной роторной системы.	1
2. Виброактивность
роторов двоякой жесткости
Одной из причин, вызывающих динамические нагрузки в опорах роторных машин с частотой, равной удвоенной частоте вращения, является наличие вала с неодинаковыми главными моментами инерции площади поперечного сечения.	i
Такие валы являются неравножесткими в различных плоско-  стях изгиба, т. е. обладают анизотропией жесткости. Так как
Рис. 1.3. Примеры поперечных сечений валов двоякой^жесткости
в двух главных направлениях имеют место максимальная и минимальная жесткости, такие валы принято называть валами (роторами) двоякой жесткости.
Двоякая жесткость вала вызывается главным образом различного рода продольными вырезами: шпоночными канавками (рис. 1.3, а, б), срезами (рис. 1.3, в), пазами в цельнокованых роторах двухполюсных электрических генераторов (рис. 1.3, а) и. т. д.
Колебания роторов двоякой жесткости исследованы во многих работах. Наиболее подробно данный вопрос с обзором литературы по нему освещен в работах Ф. М. Диментберга [30], А. Тондла [100], А. Л. Цырлина [108]. В этих книгах исследуются различные проблемы, связанные с колебаниями роторов двоякой жесткости. В то же время в них отсутствуют данные по оценке уровня динамических нагрузок на опоры таких роторов.
В настоящем параграфе вначале приводятся основные качественные результаты, полученные в перечисленных работах, а затем исследуется вопрос о динамических нагрузках. В качестве теоретической модели рассматривается ротор с одним диском, закрепленным посередине невесомого горизонтального вала. Определение уровня динамических нагрузок производится как для случая абсолютно жестких шарнирных опор, так и для случая опирания вала на подшипники скольжения.
12
Предположим, что исследуемый ротор представляет собой невесомый горизонтальный вал двоякой жесткости, несущий посередине диск массой т. Вал опирается на абсолютно жесткие шарнирные опоры; расстояние между опорами равно L (рис. 1.4, а).
Обозначим через 1Г и /2 главные моменты инерции площади поперечного сечения вала, причем /2 > 1г. Соответствующие главные коэффициенты жесткости вала на изгиб:
q - 48EA/L3; с2 = 48E/2/L3.
Введем подвижную систему координат вращающуюся вместе с валом относительно неподвижной системы координат ху
Рис. 1.4. Теоретическая модель ротора двоякой жесткости
с угловой скоростью со, причем оси £ и г] направим вдоль главных осей инерции сечения (рис. 1.4,6). Пусть ег и е2— смещения центра масс диска относительно центра вала по осям £ й rj; S — центр вала; С — центр тяжести диска; т — масса диска.
Дифференциальные уравнения движения центра тяжести диска во вращающейся системе координат получим, если кроме действующих на него силы упругости вала и силы тяжести приложим переносную и кориолисову силы инерции.
Проекции соответствующих сил на оси £ и т] составляют: силы упругости вала
Р^ = — Рц = — СгП! силы тяжести
Qfc ~ тё cos Qi) ~ —тё s*n переносной силы инерции
Jel = mw2(£ + ех), = mco2 (т| + е2); кориолисовой силы инерции]
Jc^ = 2m(ori, = —2mco£.
13
Составив уравнения равновесия данной системы сил, изображенной на рис. 1,5, получим дифференциальные уравнения вида:
т [| — 2сот] — со2 (| + ^1)1 +	— mg cos со/ = 0;
т [ц + 2cog — cd2(t] 4- е2)1 + с2т| 4- mg sin со/ = 0.
> (1.17) J
Разделив уравнения (1.17) на т и введя обозначения cjm = (о2; с2/т = со|,
получим следующие дифференциальные уравнения движения:
| — 2(от) + (со! — со2) £ — £ico2 + g cos со/; 1
т| + 2(о£ + (со2 — со2) т] = в!®2 — g sin со/, j
Общее решение уравнений (1.18) состоит из суммы трех решений: 1) общего решения однородной системы (1.18), описывающего свободные колебания; 2) частного решения неоднородной системы при гх=£0, е2^0 и mg = 0, соответствующего вын у жден н ым колебаниям под действием эксцентриситета центра тяжести (случай вертикального ротора); 3) частного решения неоднородной системы при ег =	= 0 и mg 0,
описывающего вынужденные колебания под действием силы тяжести диска.
Анализ общего решения однородной системы уравнений (1.18) показывает, что исследуемый фо-тор имеет две критические скорости, которые соответственно
иых уравнений движения ротора равны (0х и (02.
двоякой жесткости	Зона частот вращения, лежа-
щая между двумя критическими скоростями (0 1 и со2, является единственной областью неустойчивости, Следует отметить, что данная зона частот является областью параметрического резонанса, т. е. состояние неустойчивости возникает вследствие периодического изменения . жесткости системы в неподвижной системе координат.
Эксцентричное расположение центра тяжести диска вызывает круговое движение центра вала с частотой со и радиусом
Ъ =
К4 (coj — со2)2 + el (со? — со2)2 | (со2 — со2) (со| — СО2) I

При (л> —> G)! И (О'—* (02 величина Се —♦
14
Остановимся подробнее на колебаниях системы под действием силы тяжести диска. Исходные дифференциальные уравнения получаются из. (1.18) при ex = е2 = 0 и имеют вид:
— 2 сот] + (со? — со2) £ = g cos со t;
1] + 2со£ 4- (col — со2) т] = — g sin со/. ,
(1-19)
l'
Частное решение неоднородной системы (1.19) отыскиваем в виде:
| =. a cos со/; т] = b sin со/.	(1.20)
Подставив (1.20) в (1.19), получим следующие алгебраические уравнения относительно неизвестных а и Ь:
(со? — 2со2) а — 2со2Ь = g; —2со2а + (со? — 2со2) b = —g.
(1.21)
Решая (1.21), находим:
„________g (й>2 — 4<»2)	, g(4co2 —со?)	/< 99,
а~ со?©2 — 2<о2 (ш? 4“ со?) ’	©?©? — 2соа(со?+со?) ‘
Введем комплексную величину
£ = £ + /г] = a cos со/ + ib sin со/,
которая может быть представлена в виде
С = w ехр /со/ + v ехр (—/со/),
где
1	,	. ,.	1	©? — cof
и — 2" \а + °> - "2 ® со?со! — 2©2 (со? 4- со?) ’
1 .	,	1 СО? 4- со? — 8со2
v = 2	" I g — 2<о2 (а>1 + а>|) *
(1.23)
(1.24)
В неподвижной системе координат формула (1.23) принимает вид
z = £ ехр tat = и ехр 2i<dt + v	(1.25)
или
х = и cos 2соt + v; у = и sin 2coi.	(1.26)
Из формул (1.26) следует, что под действием веса диска центр вала движется по окружности радиуса и с частотой, равной удвоенной частоте вращения вала, а центр окружности смещен по вертикали на величину V.
Неограниченное возрастание амплитуды колебаний и имеет место при угловой скорости
». “  (L27>
которую принято называть критическом скоростью второго рода.
15
На рис. 1.6 показан характер зависимостей ^ииот угловой скорости со.
Внешнее демпфирование в рассматриваемой системе снижает амплитуды вынужденных колебаний и а также несколько сужает интервал неустойчивости, который, как было показано выше, без учета демпфирования имеет границы сох и со2.
Динамические нагрузки на опоры. Вычисление динамических нагрузок на опоры, вызванных фактором двоякой жесткости вала, произведем в предположении, что зона рабочих скоростей
Рис. 1.6. Графики амплитуд вынужденных колебаний центра вала двоякой жесткости: ------— под действием эксцентриситета центра тяжести диска;-----------под действием
веса диска
тора динамической нагрузки,
вызванной
на подвижные оси координат Н и т] составляют:
ротора не содержит интервала неустойчивости. В этом случае наибольший интерес представляют колебания под действием силы тяжести диска, поскольку колебания под действием неуравновешенности принципиально не отличаются от случая системы с круглым валом. Иными словами, двоякую жесткость вала и неуравновешенность массы диска можно рассматривать как два независимых друг от друга фактора.
Для случая абсолютно жестких опор проекции век-силой тяжести диска,
= 0,5сх£ = 0,5сха cos cof; Rv — 0,5с2т] = 0,5с2Ь sin соЛ
Введем комплексную величину
7? = R% + iR^ = U exp iat + V exp (—ico/),	(1.28)
где
U = 0,25 (cxa + V = 0,25 (сга — c^b).	(1.29)
В неподвижной системе координат выражение (1.28) имеет вид
R ~ U exp 2zcof + 7, или
Rx = t/xos 2со^ + V; Ry = U sin 2соЛ
Таким образом, нагрузка на опору складывается из вектора динамической нагрузки, вращающегося с частотой 2со ш имеющего модуль U, и вектора дополнительной статической нагрузки, действующего в вертикальном направлении и имеющего величину V.
Введем следующие безразмерные величины:
Р = со/со2 — относительная скорость вращения вала; а = = (с2 — Ci)/(c2 + 61) = (а>2 — <of)/(co2 + ^i) — параметр, характе-16
ризующий анизотропию жесткости вала; /?' =	— дина-
мическая нагрузка на опору, отнесенная к статической, нагрузке.
Тогда для величины Rf с учетом (1.22), (1.29) и введенных обозначений .имеем следующее выражение:
п/ _______2со2 (<л>2 со2)_____ _____4|3/1 qq\
Л “ I - 2(D24((D2 + (Di) I - | (1 — а) — 4Р2 |j *	1
В реальных конструкциях, как правило, а 1. В этом случае формула (1.30) принимает вид
|Т-4^| а- О-31)
Зависимость 7?7а = / (Р) графически изображена на рис. 1.7. Из формулы (1.30) следует, что 7?' —► оо, если со —> со*. При малых а величина со* О,5со2. С увеличением со величина R' стремится не к нулю, как, например, амплитуда колебаний центра вала и (рис. 1.6), а к асимптоте
(1.32)
Рис. 1.7. Динамические нагрузки на опоры ротора двоякой жесткости под действием собственного веса:
— _ _ — абсолютно жесткие шарнирные опоры; —------с учетом масляной ^пленки под-
шипников скольжения
Формула (1.32) может быть использована для приближенной оценки уровня нагрузок на опоры, а именно: на закритических скоростях вращения (со > со2) динамическая нагрузка на опору, отнесенная к статической, примерно равна параметру а, характеризующему анизотропию жесткости вала.
В предыдущих исследованиях не учитывались силы внешнего сопротивления, которые всегда имеют место в реальных роторных машинах. Их влияние рассмотрим на примере масляной пленки подшипников скольжения, которая, как известно, обладает достаточно хорошими демпфирующими свойствами.
Предположим, что опорами рассматриваемого выше ротора служат подшипники скольжения, масляная пленка которых имеет изотропную жесткость и демпфирование с коэффициентами с0 и х0 соответственно.
Для вывода уравнений движения совместим начало систем координат ху и Sr] с соответствующей для данной угловой скорости точкой кривой подвижного равновесия центра цапфы в подшипнике скольжения.
Через х, у, g, г] обозначим координаты центра тяжести диска; через х0, yQt £0, т)0—координаты центра цапфы.
2	А. С. Кельзон и др..	17
Тогда со стороны масляной пленки на безмассовую цапфу будут действовать две силы: сила упругости масляной пленки с проекциями на подвижные оси координат —с0£0; —^оЯо и сила сопротивления с проекциями —х0(£0 — сот]0); —хо(По + юВо)-
Со стороны вала на цапфу действует одна сила, имеющая про--екции O,5ci(g— £0); 0,5с2(п — т]0).
С учетом изложенного дифференциальные уравнения движения системы при ех = е2 = О будут иметь следующий вид:
т а — 2о)Г| — со21) + Сх (В — Ео) = mg cos cat;
т (и + 2co g — <oan) + c2(j] — Ho) = ~rng sin co/;
2colo —Ci (£“ So) + 2*o(to— “Ho) = 0;
2сот)о—c2(t] — t)o) + 2x0(t]0 + cogo) = 0.
Введением безразмерных величин
В' = В/б; п' = п/б; s; = ?0/6; По = По/б; а = (с2 — cj)/(c2 + cj;
у = 2с0/(т®г) = 2со/с2; v = 2х0/(тсо2); F = g7(6coi);
Р = со/со 2; т = со2/; q = (1 — а)/(1 + а),
где б — радиальный зазор подшипника, уравнения (1.33) приводятся к безразмерному виду:
1 — 2Рн + (q — р2) | — ql0 = F cos рт;
П + 2р( 4- (1 — р2) и — Но = — sin рт;	л
(1.34)
—ql + (Т + <7) Io — vPHo + v Io = 0;
—н + vPSo + (1 + т) По + VT]O = 0.
В уравнениях (1.34) и в дальнейшем точки обозначают дифференцирование по безразмерному времени т, штрихи для простоты записи опущены.
Частное решение системы неоднородных уравнений (1.34) отыскивается в виде:
| = ах cos рт + sin рт; ’ П = а 2 cos рт + &2 sin рт; = а3 cos рт -j- b3 sin Рт;	(1.35)
По = а4 cos рт + Ь4 sin рт. ,	
Подставив (1.35) в (1.34) и приравняв соответствующие коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях уравнений, получим систему из восьми алгебраических уравнений относительно и bj (j = 1, 2, 3, 4), которая из-за громоздкости здесь не приводится.
18
Пользуясь комплексным представлением векторов, можно записать:
С = | + И = и ехР фт + v ехр (—фт);
Со = Со + Йо = ио ехр фт + О0 ехр (— фт),	(1.36)
где и, и, и0, v0—комплексные числа вида:
"I | £ q у q 0	' J-' £ q 2 ?
v = Pi + iv2; vQ = vQ1 + iu02;
В неподвижной системе координат векторы перемещений имеют вид:
z = С ехр фт = и ехр 2фт + и;
20 = Со ехР Фг = ио ехР 2фт + Ро-
(1.38)
Таким образом, векторы перемещений центров диска и цапфы имеют динамические составляющие удвоенной частоты с комплексными амплитудами и и и0, и статические составляющие v и р0.
Комплексная динамическая составляющая реакции масляного слоя равна
 R = с0г0д 4- х0	= (с0 + 2i(ox0) 6u0 ехр 2iat, (1.39)
где гОд = 6u0 ехр 2zcoZ— динамическая составляющая перемещения центра цапфы.
Введением безразмерной величины
R' - 27?/(mg)
выражение (1.39), с учетом прежних обозначений и упрощений в записи, приводится к безразмерному виду
R = -у (у + 2фу) ехр 2фт.	(1.40)
Модуль вектора динамической нагрузки на подшипник скольжения
| Я | = 4 V («01 + «02) (у2 + 4PV),
(1-41)
где величины и01 й и02 определяются по формулам (1.37).
В соответствии с приведенными выше формулами были произведены расчеты динамических нагрузок на опору в широких диапазонах изменения параметров a, F и р. При расчетах использовался подшипник с дугой охватаJ80° и l/D = 1, динамические 2*	19
характеристики масляного слоя мулам:
г „ т .
со — -фз- J n
которого определялись по фор-
(1-42)
где ц — динамическая вязкость масла; ф = 28/D — относительный радиальный зазор; /, D — длина и диаметр цапфы; J J2‘— безразмерные коэффициенты, выражаемые через коэффициенты z Л—h работы [95] по формулам:
/1 = 0,5 (Л + /4);/2 - 0,5 (Л + /8).
Значения коэффициентов 11У /4, /5, /8 в зависимости от коэффициента нагруженности подшипника £, определяемого по формуле
£ = (т£ф2)/(2/7)рло),
приведены в приложении 3.
Безразмерные коэффициенты у и v с учетом формулы (1.42) имеют вид:
Fp г	F т
7 ~ 2g2 711 V “ 2ga Ji'
где £2 =	— коэффициент нагруженности при со = со2.
Анализ результатов расчетов показывает, что влияние масляной пленки сказывается в значительном снижении амплитуды колебаний и динамических нагрузок лишь при частотах вращения, равных или близких к критической частоте второго рода со#, которая для малых значений параметра а примерно.равна О,5со2. На всех других частотах вращения заметного влияния масляной пленки на колебательный процесс не обнаружилось.
С увеличением нагруженности подшипников £2 или с уменьшением параметра F относительные динамические нагрузки на опоры несколько уменьшаются. Однако для достаточно широкого класса роторов двоякой жесткости, опирающихся на подшипники скольжения и имеющих а < 0,1, динамические нагрузки на опоры могут быть определены с помощью графической зависимости, представленной на рис/1.7.
Пример 1.1. Требуется определить уровень динамических нагрузок на опоры ротора турбогенератора, вызванных фактором двоякой жесткости. Расчетная схема ротора приведена на рис. 1.8.
Известно, что рабочая частота вращения ротора равна 50 Гц, а его критическая частота, измеренная экспериментально, составляет 63 Гц. Основные размеры ротора: 1Г — 12 = Z3 = 90 см; = d3 = 22 см; " 52 см; ~ 28 см. Бочка ротора имеет 16 продольных пазов.
Произведем расчет анизотропии жесткости ротора.
20
Главные моменты инерции площади сечения бочки ротора с учетом симметрии сечения относительно координатных осей £ и т] определяются выражениями:
'6= 64	16 fe=l	nDf 64	4 — 4 2 /&; k=i
_ лГ^ 64	16 Zj ~ k=l	nDl 64	4 4 Zj k=l
(1-43)
где /gfe, — моменты инерции площади паза с номером k относительно соответствующих осей.
Рис. 1.8. Расчетная схема ротора генератора двоякой жесткости
С учетом формул £ = г cos ф, ц = г sin ф, dS = г dr d<p выражения для И меют следующий вид:
— | гр dS = j j r3 sin2 ф dtp dr =
(sk)	Rt (plk
—	1 Г/	\	1 /  о . о J .
L у [ Ш — <Pife) — у (SIn 2(P2fe — sin 2ф1А.) ;
— j £2 dS = j j r3 cos2 ф dф dr = (sk)
 (1.44)
Rl—'Ri 1
4	2
(фз/г — Ф1й) +~'(sin 2ф2^—sin 2ф1й) ,
где Rt = Dj/2; /?2 =	Ф1& и фгй — угловые координаты сторон &-го паза
(рис. 1.9).
В соответствии с выражениями (1.43) и (1.44) находим:
—°,153(/?| —7?1) ^29,5-Ю4 см4;
4
_ 0,370	— 7?4) = 20,4-104 см4.
Пусть Ilf /2 и /3— моменты инерции площадей сечений участков ротора, имеющих длины llf 12 и Z3 соответственно (см. рис. 1.8). Тогда жесткость посере- .
2Т
дине ротора, вычисленная с помощью интеграла Максвелла—Мора для случая 71 “ G ~	~ выражается формулой
48£
(1*45)
Значения максимального с2 и минимального Ci коэффициентов жесткости ротора найдем, если в выражение (1.45) вместо /2 подставим соответственно величины 1% и 1^. При Е — 2-106 кгс/см2, I — 90 см, I± = /3 = 11 500 см4 находим: с2 — 17,4 • 104 кгс/см, — 16,7 • 104 кгс/см.
Рис. 1.9. К определению моментов инерции площади поперечного сечения /г-го паза
Рис. 1.10. Форма сечения вала, обеспечивающая выравнивание жесткости ротора
Параметр, характеризующий
анизотропию жесткости ротора,
а =
С2 — С1
С2 +ci
0,021.
Учитывая, что р = со/со2 — 0,8, по формуле (1.31) или с помощью рис. 1.7 находим:	= 1,64а = 0,0345.
Таким образом, в данном примере двоякая жесткость ротора вызывает динамические нагрузки на опоры с частотой 100 Гц и с амплитудой, равной 3,45% от статической нагрузки на опору.
Рассмотрим задачу о выравнивании коэффициента жесткости ротора.
Очевидно, что если сечения участков вала, поддерживающих бочку ротора, будут иметь неравные главные моменты инерции площади, причем эллипсы инерции последних будут ориентированы малой полуосью по направлению большой полуоси эллипса инерции сечения бочки ротора и наоборот, то при определенных условиях может произойти выравнивание коэффициента жесткости ротора.
Пусть /i — Zs — J;Z2=?=Z. Тогда, как следует из выражения (1.45), выравнивание жесткости произойдет, если будет выполняться следующее равенство:
8 ,19 _8_ , 22
. или
__ 19 1%, Л]
(1.46)
22
Подставив в (1.46) найденные ранее значения 7g и 7^, получим
(Al —	= 3,6 • 10“в см-4.	(1.47)
Предположим, что с целью выравнивания жесткости ротора, участки вала имеют постоянную по всей длине форму сечения, изображенную на рис. 1.10.
Соответствующие главные моменты инерции площади сечения вала определяются формулами [97]:
J*. = 64 I" 29 + ~2~ Sin 40 J ’
d4
4- — sin3 Ocos 0.
Построив зависимость — ^)/(^Jn) от 0, увидим, что условие (1.47) выполняется при 0 = 16°.
По формуле h = d cos 0 — 22 cos 16° — 21,2 см. Таким образом, для выравнивания жесткости ротора необходимо выполнить по всей длине участков вала двусторонние продольные срезы на глубину 0,4 см. Можно предположить, что такая глубина среза не окажет значительного влияния на прочностные свойства ротора.
3. Виброактивность подшипников скольжения вследствие некруглости цапф
При .расчетах динамических нагрузок в подшипниках скольжения роторных машин обычно принимается, что цапфа (шип) имеет правильную цилиндрическую форму. В действительности же реальная форма цапф имеет отклонения от цилиндрической как в продольном сечении — конусность, корсетность, так и в поперечном — некруглость.
Совершенно очевидно, что динамические возмущения в подшипнике скольжения могут вызывать лишь такие виды отклонений формы цапфы, которые приводят к изменению толщины масляного слоя в процессе вращения цапфы с постоянной угловой скоростью. Из перечисленных видов к таким отклонениям относится только некруглость цапфы.
Отметим, что по этой же причине любые отклонения формы вкладыша подшипника от цилиндрической не могут быть причиной динамических возмущений.
Основными факторами, приводящими к некруглости цапф, являются: некруглость или изогнутость заготовок, изменение положения оси шпинделя в процессе обработки, нестабильные физико-химические свойства материала заготовок, односторонний износ в процессе эксплуатации и др. [102].
Опыт эксплуатации роторных машин показывает, что некруглость цапф может быть причиной значительных вибраций подшипников скольжения. Так, например, при разности между наибольшим и наименьшим значениями диаметра цапфы 20 мкм и более роторы мощных паровых турбин подлежат выбраковке [93].
23
Рассмотрим влияние некруглости цапф на характер и величину
динамических нагрузок в подшипниках скольжения.
Аналитические выражения профиля поперечного сечения цапфы. Предположим, что профиль поперечного сечения цапфы имеет произвольную форму (рис. 1.11). Для аналитического пред
ставления текущего размера профиля введем полярную систему координат, полюс которой совместим с центром тяжести площади поперечного сечения. Проведем в произвольном направлении полярную ось OrL. Тогда в данной системе координат положение произвольной точки М контура по-
Рис. 1.11. Поперечное сечение некруглой цапфы
перечного сечения цапфы будет определяться полярным радиусом г и по.-лярным углом ф.
Построим зависимость г — г (ф) и представим ее в виде конечного усечения ряда Фурье
tn
Г (ф) = го + 2 (flftCOS kq> +
t=2
+ bk sinfop), (1.48)
где т—наибольший порядковый номер гармоники. Гармоники порядка т + 1 и более характеризуют .микрогеометрию (шероховатость) поверхности цапфы.
Коэффициенты разложения (1.48) определяются известными формулами:
2л
г0 = fг (ф) й;
О

2л
J г (ф) Cos &ф dq>;
bk =
2л
г (ф) sin kq> dq>..
Выражение (1.48) можно также записать в виде
Г (ф) = ГО + х rkSin (&р + ak),	(1.49)
fe=2
где r0 — радиус средней окружности; rk = ]/"+ й! — амплитуда fc-й гармоники; &k — arctg ak!bk — фаза &-й гармоники.
Для фиксированного значения k из выражения (1.49) получаем уравнение контура поперечного сечения цапфы, имеющей элементарный вид некруглости,
гк (ф) = Г о + rk sin (Аф + аА) (k = 2, 3, . . ., m).	(1.50)
Так, при k = 2 слагаемое правой части (1.50) выражает овальность (рис. 1.12, а), при k = 3— огранку с трехвершинным про-24
филем (рис. 1.12, б), при k = 4— огранку с четырехвершинным профилем (рис. 1.12, в) и т. д. [102].
Отсутствие в' выражениях (1.48)—(1.50) первой гармоники (k = 1) объясняется соответствующим выбором расположения полюса Oi полярной системы координат. Действительно, совмещение полюса с центром тяжести площади сечения требует, чтобы для каждого элементарного вида некруглости rk (ф) = г0 + + ^sin (/гф + ccft) (/5=1,2, . . т) выполнялось условие отсут-
Рис. 1.12. Элементарные виды некруглости цапфы: а — овальность; б — огранка с трехвершинным профилем; в — огранка с четырехвершинным профилем; г — огранка с многовершинным профилем
ствия смещения центра тяжести, которое в полярной системе координат выражается известной формулой
2л rk «Р)	2л rk (ф)
J j р2 cos ф dp dq> = j -j р2э1Пф^р^ф = 0.	(1.51).
0	0	0	0
Нетрудно убедиться, что условие (1.51) выполняется для всех гармоник, за исключением первой. Интегрирование показывает, что присутствие, первой гармоники вызывает смещение центра тяжести площади сечения по отношению к началу координат, с точностью до величин порядка малости (ri/r0)2, на величину
Отметим также, что совмещение полюса Ot с центром тяжести площади сечения необходимо, так как только в этом случае уравнение контура идеально круглого поперечного сечения будет иметь вид г (ф) = г0.
Исходные уравнения и граничные условия. Рассмотрим задачу о движении масляного слоя между вращающейся с постоянной скоростью co некруглой цапфой, несущей статическую нагрузку Q, и цилиндрическим вкладышем длиной I и радиусом/? (диаметром/)). В продольном сечении, имеющем криволинейную координату х — CClt толщина слоя равна h (рис. 1.13).
Основные допущения:
1) форма поперечного сечения цапфы не зависит от продольной координаты г; 2) смазка несжимаема; 3) силы инерции не учитываются; 4) вязкость постоянная; 5) толщина слоя мала; 6) масло прилипает к цапфе.
25
При сделанных допущениях задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений Рейнольдса, которая в общепринятых обозначениях имеет следующий вид [79]:
dp __ д*их . др __ др _ d2vz , дх ~ ду2 ’ ду “dz " ду2 ’
= о
дх ' ду ' dz
(1-52)
Последнее уравнение в этой системе является уравнением сплошности.
Рис. 1.13. Схема подшипника скольжения с некруглой цапфой
Граничные условия для скоростей:
Vx = Vy = vt = 0 при у = 0; -
л	/I	(1 • 53)
= Ux. Vy = Uy. vz = 0 при у = п.	
Найдем входящие в выражение (1.53) величины h. их и иу с учетом некруглости цапфы.
Пусть контур поперечного сечения цапфы описывается выражением (1.49). Введем следующие обозначения: г* = шах (г2, г3, . . ., rm); 6 = 7? — г0 — средний радиальный зазор; е = = г^/6 — относительная некруглость цапфы. Тогда выражение (1.49) можно представить в виде
г (ф) = Го + еб/(ф),	(1.54)
где
т
2 "Гsln -
k—2 *
(1.55)
известная функция периода 2л.
26
Поместим начало координат Ет] в точку О2 равновесия центра круглой цапфы, соответствующую заданной угловой скорости со и радиусу г0 (рис. 1.14). Ось т] направим к центру вкладыша О. Положение точки О2 определяется эксцентриситетом е = ОО2 и углом 7 между линией действия статической нагрузки Q и линией О2О. Зависимость у = у (е) считается известной [62].
Положение цапфы в системе координат определяется координатами £ и т| центра тяжести цапфы и углом р = со/,
образованным координатной осью т] и зафиксированной на цапфе полярной осью OiL. Л
Считая перемещения g и т, малыми по сравнению с h и е, из рис. 1.14 следует, что с точностью до малых величин порядка 6/7?
Ф = 0_ р = 0— со/,	(1.56)
где 0 = x/R — текущая угловая координата.
Толщина масляного слоя без учета перемещения центра цапфы (| = т] = 0) находится из рис. 1.13 и составляет
h = Сг = ОСГ — (КМ — КО) — R — [г (ф) cos # — е cos 0 ], или с точностью до малых величин порядка (6/г0)2
h = R — г (ф) + е cos 0 — 6 + е cos 0 — еб/ (ф).	(1.57)
При е = 0 из последнего выражения получаем хорошо известную формулу для толщины слоя в случае круглой цапфы: h = 6 + е cos 0.
Изменение толщины масляного слоя вследствие перемещения центра цапфы определяется по формуле
h* = | cos (Е, у) + т| cos (т], у) = | sin 0 — т] cos 0. (1.58)
27
Искомая толщина масляного слоя получается в результате суммирования выражений (1.57) и (1.58) и с учетом (1.56) принимает следующий вцд:
h = h0 + he + h„	(1.59)
где обозначено
h0 = 6 + е cos 6;	(1.60)
й8 = — ебЦ0, 0;	(1-61)
f(e, У sin [6(0- (й/)+аА].	(1.62)
Вектор скорости и точки М на поверхности цапфы, совершающей плоское движение, складывается из вектора скорости и0 центра цапфы Ох и вектора скорости их точки М во вращательном движении ее вокруг полюса Ох или ц = u0 + их.
Проекции вектора и0 на оси х и у составляют:
ийх — | cos (х, £) + т) cos (х, т]) = — | cos 0 — >] sin 0;
' Щу = I COS (у, I) + T] cos (y, n) = t Sin 0 — T] cos 0 =	’63)
-	C/4
Вектор Ui имеет модуль = cor (x, t) и направлен по касательной к окружности радиуса г0, проведенной из смещенного положения центра шипа Угол v между вектором иг и осью х мал и составляет
(fto + M = -yslnO + -|-cos0 + Tsin0) ’ поэтому с точностью до малых величин порядка 6/7? проекции вектора их на оси х и у определяются выражениями:
ulx = Wicos v cor (х, /);
«is, = «1 sin v аг (х, t) ~ (h0 + h*),	(1.64)
где г (х, Z) определяется по формуле (1.54) при <р = (х/7?) —
Из выражений (1.63) и (1.64) получаем искомые величины:
^Ох + 1х ® Г 0»
Uy = Щу + и1и иг (х, t) (ho 4- h^) +	'	<b65)
Вывод уравнения для динамических нагрузок. Независимость давления от координаты у позволяет проинтегрировать первое и третье уравнения (1.52):
= Hyx + /i(x, z, t)y + f2(x, z, t);
др и2	’	(1.66)
~dF 2 =	+Ф1 ^Х’ г' + г, 0-
28
Используя граничные условия (1.53) и (1.65), из выражений (1.66) находим*
=	+ T<*г(х’ ^-^te-yty-V- (L67>
Уравнение неразрывности запишем в интегральной форме h	h	h
^d«+\^dV + \^d« = 0-	<1M)
ООО
Учитывая равенства h , h /	д Г j f dvx i . dh
/ IT J Vxdy ~~ J ~дх~^У + Ux ~dx ’ oo
h	h	h
f ди и	j \h	д f	i	f dvz	<
J ~dtT 0	dz J	&У	J dz
0	0	0
уравнению (1.68) придадим следующий вид: h	h
4Р,Л/ + 4ргЛ/-№(*. ')^+^ = 0- (1-69) о	о
Подставив (1.67) в (1.69) и проинтегрировав, получим дифференциальное уравнение относительно полного гидродинамического давления в масляном слое вида:
i (h3¥)+4 (Л34)=6^4 -
- 12цйг-~. + 12И	.	(1.70)
Уравнение (1.70) представляет собой уравнение Рейнольдса для случая подшипника с некруглой цапфой. При Ле = 0 оно совпадает с известным уравнением для случая круглой цапфы [79].
Давление р представим в виде суммы р р0 + Р* + Ре, где р0— стационарное давление при /ie = h* = 0; р*— дополнительное давление, вызванное перемещениями центра цапфы при Ле = 0; рг — дополнительное давление, вызванное некруглостью цапфы.
Считая параметр s малым, разложим давление ре в ряд по степеням в. Ограничившись первым приближением, получим: ре = = epv Полное давление при этом примет вид:
P = Po + P# + spi.	(1.71)
29
Проекции дополнительной силы Р, действующей со стороны масляного слоя на цапфу вследствие ее некруглости, на оси £ и т| равны:
I Xi	I х2
= е j J prsin0dxdz; = — ej f cos0dxdz, (1.72) 0 xt	0 Xt
где x19 x2— координаты начала и конца смазочного слоя.
Из всех существующих гипотез о границах масляного слоя для полного подшипника примем следующую:
*i = 0; х2 = nR.	(1-73)
Введем безразмерные величины:
р' = /л|)2/(р,®); Р' = P/Q; х' = x/R = 0; z' = z//;
а = (Р//)2; h' = Л/6;	= |/6; < = т)/6; = 6/Р; (1.74)
% = е/6; £== Qip2/(/Dpw); т = at.
Выражения (1.72) с учетом (1.73) и (1.74) принимают вид:
1 Л	1л
Pj = j J pi sin я' dx dz\	j J pi cos x dx dz'. (1.75)
b 0 0	0 0
В дальнейшем штрихи в обозначениях безразмерных величин для простоты записи опускаются.
Подставим в уравнение (1.70) вместо h значение из (1.59), а вместо р величину из (1.71). Перейдя к безразмерным величинам (1.74) и учтя предположение о малости перемещений, получим три дифференциальных уравнения, являющихся исходными для определения р0, р* и рг.
Уравнение для определения стационарного давления р0 имеет вид:
дх \ 0 дх ) dz \ 0 dz ) дх '
Это уравнение в литературе хорошо известно и исследовано. Из него, в частности, получаются все статические характеристики подшипников .скольжения 162, 83J.
Уравнение для определения дополнительного давления р*, возникающего вследствие малых перемещений центра шипа, имеет вид:
=-3^[^(£sinx-ncosx)^
— За -Я- Г ho (£ sin х — т) cos х)	1	6 (g cos х -j- т] sin х) 4-
oz I	1
+ 12 (I sin х — т] cos x).
Данное уравнение является исходным для вычисления динамических характеристик подшипников скольжения, т. е. упругих 30
и демпфирующих свойств масляной пленки. Оно было впервые получено и исследовано Э. Л. Позняком в работе [83].
Уравнение для определения дополнительного безразмерного давления plt обусловленного малой некруглостью цапфы, получается из (1.70) путем группирования членов, содержащих параметр s, и имеет следующий вид:
~дх дх ) "^ а~дг (^0 dz ) = (Х> Z’ т)>	(1-76)
где
(х, z, т) = 6 df {х’ т) + 3-^- [h20f (х, Т) 1 +
+ 3a-^[h*f(x, т)^-];	(1.77)
hQ = 1 + %cosx.	,	, (1.78)
Граничные условия: рг 0 при х = 0, х — я, z — 0, z = 1.
(1.79)
Входящая в правую часть уравнения (1.76) функция f (х, т) описывает характер некруглости цапфы. В общем случае она представляет собой полигармонический ряд (1.62). Линейность уравнения (1.76) позволяет использовать принцип суперпозиции и производить расчеты отдельно для каждой гармоники с номером k. Функция f (х, т) при этом будет иметь вид:
fk (х, т) = sin [kx — (kx — ak) ] (& = 2, 3, . . ., /и).	(1.80)
В качестве р0(х, z) возьмем функцию распределения стационарного давления следующего вида [85, 61]:
п _ 6% sin х (2 + % cos х)__________5 (г - г2)	н ftn
Pq{ '	(2 +х2)(1 +/COSX)2 [1 + (2,43-2,31 %) (Z)//)2]’ U'01'
С учетом (1.80) и (1.81) выражение (1.77) имеет вид
(х, г, т) — ckcos (kx — осА) + d^sin (kx — ak), (1.82) где
ck = 6A cos kx 4- b (z — z) ----v1 4-
.	1 v }	1 + X cos x	1
+ (1+Vcos x) " J - 2ab (2 + X C0S Sin x Sin kx’ dk = 6k Sin kx + b (Z - Z2) p._sin^[3x + (2 + x2)cosx] _ K	i \	I + % cos x
2 (ya—1) sin xcosx ) . o . /o .	. . t
-----(1 4-XCOSa:)2----J + 2ab <2 + X cos *) sin x cos kx’
t _	90%
(^ + %a)[l + (2,43 -2,31x1 (D/l)*] •
31
Таким образом, динамические нагрузки на подшипник определяются по выражениям (1.75). Входящее в них давление рг находится из уравнения (1.76) с правой частью (1.82) при граничных условиях (1.79).
Расчет нагрузок и анализ результатов. Краевую задачу (1.76)— (1.79) решаем по методу Б. Г. Галеркина. В соответствии с ним n-е'приближение решения ищем в виде [131:
п	j
Pin (х, z, т) = 2j ч (т) ф9 (х, Z),	(1.83)	,
<7=1
где (т) — искомые функции времени; срф2, . . ., ф„ — первые п координатных функций последовательности |ф^ (х, ?)}, • ; удовлетворяющих граничным условиям (1.79). ,
Функции \ (т) определяются как решение системы уравнений : п
=	(<7= 1, 2,...,«),	(1.84)
S— I
где	|
.0 0.
1л
= j J ф (х, г, т) dx dz.	(1.86)
0 0
Выбор координатных фуйкций произведем из последовательности функций, образующих двойной ряд Фурье, которая после подчинения граничным условиям (1.79) имеет вид sin ixsin / лг (i, / = 1 f 2, 3, . . ). Подстановка данных функций вместо рг в (1.75) и последующее интегрирование показывают, что в после- i довательности используются только члены с индексами г= 1, 2, 4, 6, . . .; / = 1, 3, 5, ... Ограничившись членами с первыми двумя из перечисленных индексов, получим:
Ф = sin х sin лг; ф2 = sin 2х sin лг;	1
Ф3 = sin х sin Злг; ф4 = sin 2х sin Злг.	7
Подставив (1.87) в (1.85) и произведя интегрирование, получим:
Ai=-[tV(4 + 9%2) + ^(4 + 3%2)];
А2 = -(2 + Зх2)(^+^-);	. '	.
.	7	.	(1.88)
Л12 = Л21= — 2Й-(3 + х*) + ^(6 + х2) ;	j
Аз=-[^(4 + 9х2) + ^(4 + 3х2)];
32
34	^43 —
4
л	9а л3
Т+ 8
। 9ал3х ф 16
Аз — А4 — ^23 — ^24 —
Коэффициенты Bq зависят от номера гармоники k функции (1.80). Вычисления коэффициентов Bqk, так же как функций Kqk и проекций нагрузок P^k и проводились численными методами на ЭВМ. При этом выражения для проекций нагрузок могут быть представлены в виде:
= е [Mi* cos (kx — а*) + Nlk sin (kx ~ a*)]; J =/e [M2* cos (kx — a*) + sin (kx — a*)], J
где Mik, Nik (7 = 1, 2; /г = 2, 3, .m) — некоторые коэффициенты, зависящие от параметров %, l/D, k.
Выражение (1.89) определяет изменение вектора динамической нагрузки Pk по эллипсу с частотой kw и начальной фазой аА. При полигармоническом характере некруглости цапфы (1.62), как было показано выше, нагрузка Р будет также полигармонй-ческой. Здесь следует подчеркнуть, что вследствие отсутствия первой гармоники в разложении (1.49), некруглость цапфы не может быть причиной динамических нагрузок и вибраций подшипников с частотой вращения со.
Для количественной оценки вычислялись величины большой (Р^)тах и малой (Pk)min полуосей эллипса k-н гармоники, а также ориентация этих осей.
Все приведенные ниже результаты расчетов получены для полных подшипников с относительной длиной IID == 0,5; 1,0; 2,0; сю.
Рассматривался один элементарный вид некруглости цапфы — овальность (k = 2), представляющий наибольший практический интерес.	.
Значения коэффициента нагруженности £, входящего в формулу (1.75), заимствованы из работы [62] и приведены на рис. 1.15.
На рис. 1.16 построены зависимости большой полуоси эллипса нагрузке Q длины 1/D построены полуосями
динамической нагрузки Pmax, отнесенной к статической и параметру некруглости цапфы s, от относительной и эксцентриситета %. Для некоторых точек кривых эллипсы нагрузок с соблюдением соотношений между и с соответствующей ориентацией осей.
Наряду с расчетами нагрузок производилась оценка сходимости решения (1.89) путем сравнения относительной погрешности решения в зависимости от числа членов в последовательности координатных функций (1.87). Вычисления показали, что относительная разница между четвертым (п = 4) и вторым (п = 2) приближениями не превышает 2% во всем диапазоне изменения параметров задачи,
3 А. с. Кельзон и др.
33
Результаты расчетов показывают, что динамические нагрузки на подшипник, вызванные овальностью цапфы, растут с уменьшением эксцентриситета % и уменьшением относительной длины 1/D. Отношение большой полуоси эллипса нагрузки к малой растет с увеличением % и находится в пределах 3—10. Эллипсы преимущественно ориентированы большой полуосью в направлении статической нагрузки Q.
При проектировании подшипника нагрузка на опору Q, частота вращения цапфы со и диаметр D считаются известными из
Рис. 1.16. Динамические нагрузки на полный подшипник, вызванные овальностью цапфы
Рис. 1.15. Коэффициент нагруженности полного подшипника (по данным М. В. Коровчинского [62])
расчета вала. Для обеспечения минимальной толщины смазочного слоя, при которой подшипник работает в режиме жидкостного трения, при расчетах обычно варьируют три величины: относительный зазор ф, относительную длину UD и вязкость масла р, [62].
Из характера кривых на рис. 1.16 следует, что для снижения вибронагрузок, вызванных овальностью цапф, необходимо стремиться к увеличению эксцентриситета % и длины 1/D. Эксцентриситет % полезно увеличивать за счет увеличения зазора ф, так как при этом одновременно уменьшается относительная некруглость цапфы е. Покажем это на примере.
Пример L2. Пусть в первом варианте подшипник имеет: D± — 150 мм; = 75 мм; (l/D)1 = 0,5;	~ 75 мм; фх = 1 • 10-3; 6Х = ф^! = 0,075 мм;
Xj. = 0,6. Из графика на рис. 1.15 находим — 0,35. Разницу между максимальным и минимальным значениями диаметра цапфы примем равной Z)max — 5тщ ~ 0,01 мм.
Считая, что некруглость цапфы содержит только вторую гармонику, т. е. является овальностью, находим ее амплитуду: г2 == (^тах — 6тщ)/4 = 0,0025 мм. Относительная некруглость цапфы составляет: 8t =	0,033. Из графика
на рис. 1.16 находим: Ртах =-8x3,6 = 0,12, или 12% от статической нагрузки, 34
что превышает в некоторых случаях допустимый уровень динамических нагрузок на подшипник.
Во втором варианте при той же овальности цапфы увеличим относительную длину подшипника и радиальный зазор с сохранением прежнего относительного эксцентриситета и вязкости масла. Параметры подшипника будут при этом следующими: Z)2 = 150 мм; 7^2 — ^5 мм; 1/D = 1,0; /2 = 150 мм; £2 = 1,2.
Для сохранения эксцентриситета %2 “ Xi = 0,6 необходимо выполнение равенства
При |х2 = Hi находим: ф2 = фх К6,8 = 2,6* 10-3;62 = 0,195 мм; е2 = г2/62— = 0,0128; Ртах = 822>5 = 0,032, или 3,2% от статической нагрузки.
Таким образом, во втором варианте подшипника при той же величине овальности цапфы уровень вибронагрузок в 3,75 раза меньше, чем в первом. Основная доля снижения уровня нагрузок (в 2,58 раза) получена при этом за счет уменьшения относительной некруглости цапфы е вследствие увеличения радиального зазора.	\	\
4. Влияние несоосностей роторов на их виброактивность
Рис. 1.17. Виды расцентровок роторов перед соединением полумуфт: а — радиальная (осевая); б — торцовая (угловая)
Вибрационное состояние агрегата, состоящего из нескольких роторнььх машин, во многом определяется точностью выполнения монтажных операций по соединению роторов. Правильность соединения проверяется и нормируется по расхождениям кромок полумуфт перед затяжкой соединительных болтов, характеризующих расцентровку роторов (рис. 1.17, а, б).
В зависимости от направления смещения различают два вида расцентровок: а) радиальную (осевую), характеризующуюся радиальным смещением осей р; б) торцовую (угловую), характеризующуюся углом раскрытия полумуфт <р= ^(a—b)/D.
Если величину а— b выразить в мм, a D — в м, то получится наиболее распространен-
ная в практике единица измерения излома осей — мм/м.
Как видно из табл. 1.1, в настоящее время в литературе нет единого мнения по вопросу норм допусков на расцентровки. Объясняется это главным образом тем, что р и ф, замеренные перед соединением полумуфт (термин — расцентровка), лишь косвенно показывают вероятное динамическое состояние агрегата, так как последнее зависит от того, какими будут р и ф после соединения полумуфт (термин—несоосность).
Очевидно, что отсутствие расцентровок является необходимой предпосылкой отсутствия несоосностей, но недостаточной. Об 3*	35
этом свидетельствует хотя бы тот факт, что у некоторых турбоагрегатов, имевших в процессе эксплуатации удовлетворительное вибрационное состояние, после разъединения полумуфт при ремонте фиксировались расцентровки, в несколько'раз превышающие допустимые по техническим условиям на монтаж. В то же время в практике монтажа турбоагрегатов встречаются случаи, когда даже после тщательной центровки по полумуфтам устранение биений
Таблица 1.1. Монтажные допуски иа центровку ротонов турбоагрегатов по полумуфтам при п = 3000 об/мин по данным различных авторов
. Тип муфты	Допуск отклонений осей, ММ				
	[18]	[93]	[ПО]	[9]	[35]
Жесткая	0,02	0,02	0,04	0,02	0,06
	0,05	0,01	0,03	0,02	0,05
Гибкая	0,05	0,04	0,06	0,04	0,08
	0,10	0,02	0,05	0,04	0,06
Примечание. В знаменателе указан излом осей, мм/м.
водит к значительным динамическим При соосности же роторов смещения
роторов достигается многократными затяжками и освобождениями болтов полумуфт.
Одним из первых на данное обстоятельство обратил внимание С. Я- Куриц [64]. Он пришел к выводу, что для спокойной работы агрегата необходимо, чтобы оси его роторов, а не оси подшипников, были отцентрированы с максимальной точностью.
Справедливость этого вывода в случае использования жесткой муфты оче-в идна: даже небол ьшая несоосность роторов при-нагрузкам на подшипники, опор вызовут лишь пере
распределение статических нагрузок на подшипники.
В случае использования гибкой муфты смещения опор кроме дополнительных статических нагрузок неизбежно вызовут и появление несоосностей роторов.
Следует отметить, что в большинстве работ по прочностным
расчетам роторных машин рассматриваются и нормируются рас
центровки роторов лишь по тем статическим усилиям, которые дополнительно возникают в опорных конструкциях после соединения полумуфт. В связи с этим представляют интерес расчеты динамических нагрузок на опоры несоосных роторов, соединенных как жесткой, так и гибкой муфтой.
Радиальная несоосность. Рассмотрим два ротора, соединенные жесткой муфтой с радиальной несоосностью р (рис. 1.18, а). Для большей наглядности вначале исследуем случай безмассовых роторов, т. е. без учета сил инерции.
Рассматриваемая схема является статически неопределимой, поэтому для решения задачи используем условие совместности деформаций валов в плоскости сочленения полумуфт.
Пусть для каждого из валов 1 и 2 связь между прогибом v и углом поворота сечения v' в точках Ог и О2> и силой Р и моментом
36
М, приложенными в тех же точках, имеет вид:
Vi=^aiP~\~biM‘, Vi^giP-^hiM.	(1.90)
где а£, bh gh hL (t — 1» 2)— коэффициенты податливостей, равные соответствующим деформациям концевых сечений валов после приложения к ним соответствующих единичных сил или моментов.
Рис. 1.18. Радиальная несоосность валов: а — расчетная схема; б — к определению соотношений между координатами центров полумуфт; в — схема  действия нагрузок в плоскости сочленения полумуфт
В случае абсолютно жестких шарнирных опор коэффициенты податливостей определяются по следующим формулам [109]:
^ = /?/(3£Лм) + /?Д7(3£Л); 1
bi = gi = /?/(2£/,м) + liLil^EIiY,
(1-91)
hi — It! {El/M) + Li/(3E 11),
где /£, /£м — моменты инерции площади сечения соответствующих участков валов; остальные обозначения ясны из рис. 1.18, а.
Для определения положения полумуфт введем неподвижную систему координат Oxtjz. Ось z совместим с линией опор 1—2, а ось х—с линией несоосности О±О2 в положении равновесия системы (рис. 1.18, б). Через х£, yt обозначим координаты точек Oit через ф£, Р/, 0 — углы поворота полумуфт и концевых сечений
37
валов вокруг осей х, у и z соответственно. Между координатами имеют место следующие соотношения:
Х2 « Xi + Р cos 0; уъ »» z/i + р sin 0;
Ф2 == ipi; p2™Pi*	(1 92)
Разъединив мысленно полумуфты и заменив действие одного вала йа другой соответствующими нагрузками (рис. 1.18, в), можно записать:
У1 = ctiPy— ЬгМх;
У 2 = — а^Ру— Ь2МХ; фа = — g^P у— h2Mx,
Решая систему уравнений (1.93) с учетом (1.92), получаем:
Рх = —Ар (cos 0	1); Мх = —Bp sin 0;
Ру = —Ар sin 0; Му = Bp (cos 0 ~ 1), j
где
Л __ ________^1 + ^2_______ . п _ _________---- Ь%_______ , . с
(A1 + M^i + ^)~(^i+^)2’	(/и + М(«1 + «2)-(^™М2’ (
Предположим, что роторы вращаются с постоянной угловой скоростью со. Как следует из выражений (1.94), при 0 = со / величины Рх и Му имеют две составляющие — динамическую и статическую. Для динамических составляющих справедливы следующие выражения:
В? = — Ар cos coZ; Мх = — Bp sin со/;
Л	Л	(1.96)
Ру = — Ар sin cot; Мр~ В pcosoL
Таким образом, радиальная несоосность приводит к генерированию в плоскости сочленения полумуфт векторов возмущающей силы и момента, вращающихся с угловой скоростью со по направлению вращения вала. Введя комплексные величины Р — Рх + + 1Ру и М = Мх + iMy, выражения (1.96) можно записать в виде:
Рр — Ар ехр i (со/ + я); Мр — Bp ехр i (tot + я/2). (1.97)
Из (1.97) следует, что вектор Мр отстает по фазе на угол я/2 от вектора Рр-
Кроме того, векторы реакций валов образуют в плоскости сочленения полумуфт пару сил с плечом р, которая вызывает синусоидальное возмущение приложенного крутящего момента с амплитудой Me = Ар2-
38	.
Зная действующие на вал нагрузки, нетрудно найти амплитуды динамических реакций опор агрегата. Положив для определенности bt > b2, находим:
= - Ар + Вр М = Лр(1 +А)_ВрА; /?§=== —Лр(1 +£) — Вр--; 7?? = ЛрА + ВрJ_.
Динамически наиболее нагруженными являются опоры 2 и 3, несущие консольные части валов.
Угловая несоосность (рис. 1.19). Систему координат Oxyz расположим так, чтобы ось z совпадала с линией опор 1—2,
а ось х лежала в плоскости несоосности, образованной осями валов в недеформированном состоянии. Как и прежде, xt и (t — 1,2) — координаты точек С\; fjz, 0 — углы поворота концевых сечений валов вокруг осей х, у, z соответственно.
Между координатами имеют место следующие соотношения:
х2	У2 ™ У!\
- Фа = Фх ф sin 0; р2 =	+ ф cos 0.	(1.99)
Уравнения, связывающие в данном случае перемещения концевых сечений валов и приложенные к ним нагрузки, легко получаются из уравнений (1.93), если в них положить р — 0, а вместо р2 записать р2 — ф.
Выражения для динамических составляющих нагрузок, действующих на концах валов, выводятся аналогично предыдущему и имеют вид:
Рх — Вф cos ш/; - Л!? = Сф sin со/;
Ру = Вф sin со/; Му — —Сф cos со /;
Р^ — Вф ехр /со= Сф ехр i ((&t — тс/2),
• (1.100)
39
(1.102)
где
С = (fti + М (<h+~22)-(&х - &2)« *	(1Л01)
Векторы Рч> и ТИФ вращаются по направлению вращения вала, причем ТИФ отстает по фазе от Рч> на угол л/2.
Угловая несоосность, как и радиальная, кроме динамических нагрузок Рф и АР генерирует также синусоидальный возмущающий крутящий момент с амплитудой = Сф2.
г Выражения для модулей векторов динамических реакций опор агрегата имеют вид:
R? =Вц>-^—Сф-£-; R% = — Вф(1 + ^-)+Сф^-;
я3ф=в<р(1 + Л\ + с<рТ-; вф-Й—СфТ--
Как и прежде, динамически наиболее нагруженными являются опоры 2 и 5.
Анализ выражений (1.98) и (1.102) показывает, что при фиксированной суммарной длине консолей + /2 = I, имеющих обычно одинаковые моменты инерции сечений /1м = /2м — I, динамические реакции опор вызванные угловой несоосностью, зависят от соотношения между 1г и /2 и имеют минимум при
/	P/(2EI) + lL2/(3EI2)	(]
11	3£-1 (Li/А + L2//2)+ //(£/) 	’
Выражение (1.103) вытекает из условия Ьх— Ъ% = О, при выполнении которого В = 0.
Динамические ракции опор 7?*, вызванные радиальной несоосностью, от соотношения между величинами 1Х и Z2 не зависят.
На рис. 1.20 в качестве примера представлена графическая зависимость 7?? от соотношения IJI для схемы, имеющей следующие данные: Z = 50 см; d — 15 см; Ьг = Ь2 = 200 см; dt = 22 см; d2 = 30 см. Минимальное значение функция имеет при 1гИ — = 0,42.
Смешанная несоосность. Предложим, что роторы имеют оба вида несоосности. Оси координат xyz направим так же, как в случае радиальной несоосности (см. рис. 1.18).
Пусть осевая плоскость, в которой находится угловая несоосность, образует с плоскостью радиальной несоосности, в которой лежит ось х, угол а.
Как было показано выше, в плоскости сочленения полумуфт действуют силы и моменты, выражения для которых в данном случае можно представить в виде:
Рр ~ Лр exp i + л); 7ИР = Bp exp i + л/2);
*
Рф — В<р exp i (at + а); Л4Ф = Сф exp i (at — л/2 + а.).,
(1.104)
40
Взаимное расположение векторов на фазовой плоскости изображено на рис. 1.21.
Совершенно очевидно, что суммарные силы и моменты от обоих видов несоосности имеют минимальные значения при сс === О, а максимальные— при а ~ л.
Динамическая реакция j-й опоры при произвольном значении а определяется по формуле
—Я? cos а,	(1.105)
где и Pf находятся из выражений (1.98) и (1.102).
Влияние сил инерции. Рассмотрим систему из двух шенных однодисковых
уравнове-роторов
Рис. 1.20. Зависимость динамической реакции опоры от расположения муфты при угловой несоосности валов
Рис. 1.21. Фазовые соотношения между векторами нагрузок при смешанной несоосности .
массами /пх и /п2, имеющих радиальную несоосность р (рис. 1.22). Массами валов и полумуфт, а также гироскопическим эффектом дисков пренебрегаем.
Мысленно разъединив валы и дополнительно нагрузив их силами инерции, получим:
Х1 = ъРх 4 ЬгМу + tn-^х^^	х2 — Р — — а2Рх +
4" Ь2Му 4"
Уг — ^Ру — ЬгМх -р	- f/2 — у
b2Mx -J-	м2» ц 106)
фх = — giPу 4"	rfyYiTmi*»	Фа “	g%Pу h2Mx
— ^2Ym2;
Pi — gi?x “F thMy 4-	pa “ g2Px h2My
т2Х2Тм2»
41
^1	1^11) ^2 — ^2м^х	---
Уг ж S1MPy + 71МЛ1Х — т^бц; y2 = 62lAPy 4- у2мМх —
ZZl2lZ2622,
где Xif. Yi (i =4, 2) — координаты центров тяжести . дисков;
(h / = 1, 2, м)— коэффициенты влияния, равные перемещению i-й точки вала при приложении в /-й точке единичной силы; 4ij — коэффициенты влияния, равные углу поворота сечения
Рис. 1.22. Схема нагрузок в случае несоосных роторов с учетом сил инерции масс
вала в f-й точке при приложении в /-й точке единичной силы (или то же, что равные перемещению вала в г-й точке при приложении в /-й точке единичного момента); м — индекс муфты.
Из уравнений (1.106), с помощью соотношений (1.92), исключаем неизвестные xz, yh pz. Оставшиеся восемь уравнений введением комплексных переменных £ = X + iY\ £ —	+
+ iPy', Л = ,МХ + iMy приводятся к виду:
т18ц*£1 + 21 +	== 0;
2^ 2 2^5 2 “h 2 2 2м 2	ty 2мЛ —
^1Тм121 + m2yM222 + (gi — g2) £ — i (hx + й2) Т) = 0;
mi^Mi2i — m2^M222 + (&i + &г) 2— i (bi— Ь2) Л = = — p exp
(1.107)
Частное решение системы уравнений (1.107) отыскиваем в виде:
21 = Zi ехр Сг = ^2 ехр ico/;
| = Р ехр iat; Tj == Ш ехр i&t,	(1.108)
42
Подставив (1.108) в (1.107) и произведя преобразования, получим систему алгебраических уравнений относительно модулей комплексных переменных вида:
(1 _	Zt + 61мР + у1мМ = 0;
(1 — /и2со2622) Zt — 82мР 4- у2мЛ1 =.0;
— /П1Ю2Ум121 — "г2со2ум272 +
+ (£i — gj Р + (Лх + h2) М = 0;
— m1w26M1Z1 + ma(oa6M2Z2 + (ах + Р +
+ (bi — b2) М = — р.
Искомые амплитуды находятся из (1.109) по формулам q = Д?/Д (q = Zi, Z2, Р, М),
где Д — определитель системы; Д^ — определитель, получающийся из Д заменой столбца, составленного из коэффициентов при q, столбцом, составленным из свободных членов.
Уравнение Д = 0 есть частотное уравнение, из которого находятся собственные частоты (критические скорости системы и ®2).
Динамические реакции опор определяются по формулам:
Я? = А- Р + 2- М —	m^Zi;
= — (1 +'А\ р _ 1 м - A mA, V	1J  1  (1.111)
pg = (1 + АЛ р _ 1 м — 4- т2А,
Динамические реакции опор Рр вызванные угловой несоос-цостью ф с учетом сил инерции, находятся по аналогичной методике и определяются по формулам (1.111), где Р, Л4, Z± и Z2 находятся из следующей системы алгебраических уравнений:
(1 -	Zx + б1мР + ?1мМ - 0;
(1 — m2<o2§22) Z2 — б2мР + у2м/И = 0;
— ^i^YmiZi — m2(o2yM2Z2 + (gi — g2) P +
+ (hi + h2) M = — <p;	H1112)
— m1(o26M1Zi + m2®26M2Z2 +
+ (ar 4- a2) P + (&! — b2) M = 0.
Пример 1.3. Вычислим максимальные динамические нагрузки на опоры - агрегата, состоящего из двух одинаковых одно дисковых роторов. Роторы соединены жесткой муфтой с радиальной несоосностыо р (см. рис. 1.22).
43
Исходные дайные: Мг= tn2 — Ъб кгс-с^/см; L± — L2 = 200 см; /х = /2. =± — 25 см; = d2~ 22 см; d1M — d2M = 15 см; Е — 2-106 кгс/см2. Обозначения размеров соответствуют схеме на рис. 1.18.
Вычисления производим в такой последовательности.
Моменты инерции площади сечений участков валов:
Лм = -gj- = 2490 см4; /х = 16 300 см4.
Коэффициенты влияния по формулам (1.91):
ai — а2 == 2,85-10"6 см/кгс; bx = b2 = gt = g2 = 13,5* 10“9 1/кгс;
Лх = h2 — ^7,9-10“9 1/кгс‘см.
Рис. 1.23. К определению коэффициентов влияния вала ротора
• 10 < 1/кгс;
(1.113)
Остальные коэффициенты влияния, входящие в (1.106), находим с помощью схемы, изображенной на рис. 1.23:
L?	L2
6ц = б22 = 48£/1 = 7,2-10'6 см/кгс; ум1 = ум2 =	= 1,
бм1 == бм2 = Tmi/i = 2,7- Ю-6 см/кгс.
Записываем систему уравнений (1.109):
(10е— 1О,8<о2) Zi + 2.7Р+ 0,1Ш = 0; ' (106 — 10,8а>2) Z2 — 2,7Р + 0,1 Ш = 0; — 16,ба»2^ — 16,5a»2Za + 1.58М = 0;	’
— 4,O5<o2Z14- 4,O5o»2Z2+ 4,7Р = — р10«.
i
Составляем определитель системы (1.109):
108 —1О,8со2	0	2,7 °»11
0	106 —1О,8со2 „ 9 7 0,11
— 16,5со2	— 16,5со2 о *,58
— 4,О5со2	4,05<о2	4,7 0
Приравняв определитель (1.114) нулю, получим уравнение частот, из которого найдем критические частоты системы:
(1.П4)
сох = 340 с"1; со а = 408 с"1.
Амплитуду колебаний первого диска находим по формуле At/A,
44
где Aj — определитель, пбЛуЧенный из А путем замены его первого столбца столбцом свободных членов уравнений (1.113).
Аналогичным образом определяем остальные амплитуды, причем после соответствующих преобразований получаем:
_	2,7-106р
1 “ 21,8<о2 + 4,7 (10« — 10,80?) ’
(10е—10,8со2) 106р	(1.115)
-	21.8<и2 + 4,7 (10е — 10,8<в2) ’	
М = 0; Za = —
Анализ формул (1.115) показывает, что имеются значительные различия между вынужденными, колебаниями, вызванными несоосностью валов, и вынужденными колебаниями вследствие неуравновешенности дисков.
Рис. 1.24. Собственные формы колебаний связанных роторов: а — первая; б — вторая :
. •
Во-первых, несмотря наТ'то, чтоТсистема имеет две критические скорости (собственные частоты), амплитуда колебаний диска Zr и амплитуда возмущающей силы Р неограниченно возрастают лишь при второй критической скорости со = со2, оставаясь ограниченными при первой критической скорости со = сог
Причина этого явления заключается в том, что при свободных колебаниях с первой собственной частотой отклонения дисков находятся в фазе, а со второй собственной частотой — в противофазах (рис. 1.24, а, б). Как следует из (1.115), форма вынужденных колебаний дисков определяется по формуле Z2 = —Zlt т. е. совпадает с формой свободных колебаний со второй собственной частотой.
Во-вторых, амплитуда Р становится равной нулю при частоте вращения, равной парциальной собственной частоте со* каждого ротора до их соединения. Величина со* определяется из уравнения 106—10,8со2 = 0 и составляет со* = = 304 1/с.
Объясняется это следующим. Величина Р уменьшается с увеличением податливости валов в точках их соединения. При возрастании со от нуля -до со* динамическая податливость валов за счет сил инерции увеличивается и без учета сил сопротивления неограниченно возрастает при со > со*. Амплитуда Р при этом уменьшается до нуля.
45
Подставив (1.115) в (1.111), получим формулы для вычисления динамических, реакций опор. Результаты вычислений реакции R% наиболее нагруженной второй опоры представлены в виде графика на рис. Г.25.
Из рисунка видно, что силы инерции снижают динамические реакции на опоры в зоне частот вращения до второй критической скорости со2. При со -> со2 реакция опоры значительно увеличивается. При дальнейшем увеличении со величина R% уменьшается и асимптотически стремится к пределу, примерно равному удвоенному значению реакции при со '= 0.
Количественную оценку произведем в предположении, что рабочая угловая скорость агрегата равна 50 Гц, или со ~ 314 1/с. Зная, что каждый ротор имеет
Рис. 1.25. График динамической нагрузки на вторую опору вследствие радиальной несоосности
массу 1470 кг, вычислим р, при котором динамическая нагрузка на опору, отнесенная к половине веса ротора, составляет 1%, или 7,3 кгс.
Из графика на рис. 1.25 находим, что при со = 314 1/с
“ Ю-104р кгс/см.
Искомая величина составляет р = 0,73 мкм.
Трехопорная конструкция (рис. 1.26, а, б). При радиальной несоосности р ось второго ротора будет совершать коническую прецессию вокруг линии опор 0х03, что эквивалентно появлению эксцентриситета центра тяжести ротора 0,5р.
Максимальная динамическая нагрузка на среднюю опору
-Г^/п2р<о2,	(1.116)
где k — коэффициент динамичности системы.
Угловая несоосности роторов <р вызовет появление на стыке валов динамического момента МФ и силы РФ:
Мф == L ж;-/; ехР Рф =	\ ехР (1.117)
«1+^2	^2 (Л1 + М	*	7
46
где
= lr/(EI1M) + Lr/tfEhy, h2 = L2/(3EZ2).
Динамические нагрузки на опоры определяются по формулам:
(1.118) ‘
Рис. 1.26. Несоосности в случае трехопорной конструкции агрегата: а — радиальная; б — угловая
Несоосность в случае гибкой муфты. Методика расчета динамических реакций опор в случае гибкой муфты принципиально не отличается от рассмотренного выше случая жесткой муфты,
если гибкий элемент целиком отнести к левой полумуфте (рис. 1.27).
Разница заключается лишь в том, что коэффициенты влияния blt gi и fti, входящие в выражение (1.90), должны быть вычислены с учетом радиальной и угловой податливостей гибкого элемента. Это же относится и к коэффициентам 6М1 и
Рис. 1.27. Расчетная схема гибкой муфты
ум1, входящим в уравнения , (1.106). Все остальные формулы переносятся без изменений.
Податливость гибкого элемента муфты увеличивает указанные
коэффициенты влияния. Это приводит к тому, что знаменатель в выражениях (1.95) и (1.101) растет быстрее, чем числитель.
\	‘	47
Тем самым нагрузки Р и М и динамические реакции опор уменьшаются.
Следует отметить, что недостатком гибкой муфты является возможность появления несоосностей роторов в результате перемещения осей опор.
5. Влияние температурной асимметрии роторов машин на их виброактивность
Рабочие процессы, происходящие во многих роторных машинах, вызывают неравномерное распределение температуры по объему ротора. Возникающие при этом термоупругие деформации могут быть причиной искривления продольной оси и появления температурного эксцентриситета центра масс ротора.
Теория температурных прогибов балок достаточно полно изложена в работе Б. Боли и Д. Уэйнера [19]. Здесь приведем лишь основные положения этой теории без доказательств. Затем рассмотрим основные закономерности появления температурных прогибов тел вращения на примере сплошного цилиндра. Далее полученные результаты перенесем на конкретные роторные конструкции.
Основные положения теории температурных прогибов балок. При расчетах температурных напряжений и прогибов балок используется гипотеза Бернулли—Эйлера, согласно которой сечения, плоские и перпендикулярные к осевой линии до температурного нагружения, остаются плоскими и перпендикулярными и после нагружения, и влиянием поперечной деформации можно пренебречь.
Предполагается также, что балка статически определима и свободна от внешних нагрузок; поперечное сечение имеет произвольную форму и не является постоянным; распределение температуры произвольное.
Введем следующие обозначения: х — осевая координата балки; у, z —г центральные оси в плоскостях поперечных сечений; S (х) — площадь поперечного сечения балки; Iz—моменты инерции площади поперечного сечения относительно соответствующих осей;, 1уг — центробежный момент инерции; Е — модуль упругости материала балки; а — коэффициент линейного расширения; Т (х, г/, г) — температура балки; о, w— прогибы оси балки в направлениях у и г соответственно.
Тогда дифференциальные уравнения изогнутой оси балки под действием температурного поля Т (х, у, z) имеют следующий вид [191:
d2U ______1 / 1уМтг — 1у2Мту\ .
~  Е V 1у!г—1уг Г
_____1 / 1гМту ~~ IyzMrz\
dx*	lylz-Iyz /’ .
(1.119)
48
где
МТу = ^aETzdS; MTz~ j aETydS. (1.120) (S)	(S)
В частном, случае главных осей (1у2 = 0) уравнения (1.119) упрощаются и принимают вид:
— SL	{rzdS
dx2	“	El	I	J 1 Z UO*
ax	c.iy	iy
Температурные прогибы v и w находятся путем интегрирования уравнений (1.119) или (1.121) при заданных граничных условиях.
Условие отсутствия температурных прогибов имеет вид:
J TydS - J TzdS = Q.	(1.122)
. (S)	(S)
Так как координатные оси центральные, то
[ ydS = [ zdS ~ 0,
(S)	(S)
и из выражения (1.122) следует, что температурное поле вида 7 ~ То + 7\ (х) прогибов не вызывает.
Необходимо отметить, что приведенные здесь формулы дают прогибы балки, свободной от внешних нагрузок. При таких нагрузках их влияние можно вычислить отдельно и затем соответствующий результат наложить на полученные здесь решения.
Решения для статически неопределимых балок можно получить также путем наложения решений, найденных для раздельно действующих нагревания и реакций опор.
Температурные прогибы цилиндра. Рассматривается цилиндр радиусом г (диаметром d), длиной7 и имеющий заданную- температуру поверхности.
Будем считать, что длина цилиндра значительно больше его диаметра. Такое предположение позволяет пренебречь влиянием торцового теплообмена и свести задачу определения температуры в цилиндре конечной длины к более простой задаче для неограниченного цилиндра.
Распределение температуры в цилиндре определяется решением уравнения Лапласа, которое в цилиндрической системе координат р, 9, х имеет вид:
д*Т 1 дГ ! 1 д2Т д*Т др* ' р др р2 дО2 "г дх2
Граничные условия:
Т — 7\ (0, х) при р = г.
4 А. С. Кельзон и др.
(1.123)
(1.124)
49
Разложим функцию 7\ (9, х) в ряд Фурье
©о
х) = {cpn(x)coSft0 4-t|)ra(x)sin/i9},	(1.125)
п —О
где 2л	2л
Фо (х) = J Л (9> х) d0; ф„ (х) = -Г- J Т\ (0, х)cos п& J0; о	о
2л
фп (*) = — [ Т\ (0, я) sin nQ dQ. ЭХ J о
Дальнейший вывод решения можно найти, например, в работе, [41]; здесь приведем лишь окончательный результат:
оо со	со
7(р,-0, х) =-----гЕХтГ?
Г	^n(ras)
п=0 s=l n V 5/
---00
+ ф„(0)81пи0}е~а»|₽~х| dp,	(1.126)
где Jn (z) — функция Бесселя n-го порядка 1-го рода; as (s — = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения Jn (га) — 0.
Для получения обозримых результатов рассмотрим два частных случая распределения температуры поверхности цилиндра, представляющие наибольший интерес.
Температура поверхности зависит от угловой координаты 0 и является линейной функцией продольной координаты х. Пусть
Т - 7\ (9) + хТ2 (0/ при р - г, (1.127)
где 7\ (0) и Т2 (0) — произвольные функции угла 9, разложения которых в ряд Фурье имеют следующий вид:
7\(0) = (ancosft0-|-knsintt9);
Т°	.	(1.128)
Т2(0)= 2 (Ап cos «0 Вп sin п 0).
п=0
Тогда, сравнив формулы (1.125) и'(1.128), получим: •
ф„ (х) = ап + АПХ\ tyn(x) = bn + Bnx (п = 0, 1, 2,...). (1.129)
Использовав приведенное в работе [41] равенство
2 у Jn (pas) _ г Й “s4('-«5)
(п = 0, 1, 2,,...),
50
а такж0, учтя, что оо
С ре-<1 &~х 1 $ = —х, J	. as ’
— оо
после подстановки (1.129) в (1.126) получим '	ОО
п—0
Температура поверхности зависит только от угла 0. Пусть Т = Т1(6) при р = г,	(Ь131)
где 7\ (0)— функция, имеющая разложение в ряд Фурье вида (1.128).
Искомое распределение температуры получается из выражения (1.130) при Ап= Вп = 0 и имеет следующий вид:
оо
(1.132)
n=0
Перейдем теперь к определению прогибов оси цилиндра под действием температурных полей (1.130) и (1.132). При расчетах примем, что цилиндр свободен от внешних нагрузок и концы его шарнирно оперты.
Пусть в цилиндре установилось температурное поле (1.131)— (1.132), (рис. 1.28, а).
Тогда,
учитывая формулы:
у — р cos 0; z = р sin 0; dS = р dp d0, интегралы (1.120):
2jt г
J Ту dS = J J T (p, 0) p2 cos 0 dp d0 —
(S)	о 0
r oo
вычисляем
2П j cos 9 о
г
ЛЯ]/3 ~г~
О
п—0 2л г
TzdS = j j T(p, 0) p2sinOdpM .
(S)	00.	4
Подставив найденные значения интегралов в (1.121), получим дифференциальные уравнения изогнутой оси цилиндра:
	 oc&i dx2	г ’_г
Граничные условия имеют вид:
у ~ w = 0 при х = 0 и х = /.
(1.134)
51
4*
Интегрируя уравнения (1.133) при граничных условиях (1.134), получаем:
Из последних уравнений видно, что температурные прогибы цилиндра вызываются только первой гармоникой разложения температуры поверхности в ряд Фурье. Физически данный факт очевиден. Действительно, гармоники с номерами п > 1 обладают симметрией, т. е. для каждой из них точки поверхности цилиндра
Рис. 1.28. К определению температурного эксцентриситета цилиндра: а — распределение температуры поверхности; б — температурный прогиб цилиндра
с одинаковой температурой повторяются через равные интервалы 2л/п. Первая же гармоника определяет температурную асимметрию цилиндра, так как вызывает больший нагрев одной половины цилиндра по сравнению с другой.
Так как отношение v/w не зависит от х, то изгиб цилиндра происходит в одной плоскости. Для большего удобства совместим плоскость изгиба с одной из координатных плоскостей, например с ху. Угол 8, на который необходимо повернуть цилиндр вокруг оси х до совмещения плоскостей, определяется из выражения для первой гармоники
Т}!) = ai cos 9 + bi sin 0 = cos (0 — в), где	— амплитуда первой гармоники разложения
температуры поверхности в ряд Фурье; в = arctg — начальная фаза.
После совмещения плоскостей кривая полного прогиба, лежащего в плоскости ху, определяется параболической зависимостью вида:
52
Температурный прогиб при этом направлен в сторону образующей цилиндра (рис. 1.28, б), температура точек которой, создаваемая первой гармоникой, максимальна и равна (+'&1).
Максимальный прогиб имеет место в сечении х = 1/2 и равен
ЦпаХ =	'	(1.137)
Температурный эксцентриситет центра масс цилиндра находится по формуле
z
8Г — _L f m(x)v (х) dx,	(1.138)
fn J
о
где т (х) — погонная масса цилиндра; иг — суммарная масса.
При равномерном распределении массы по длине т (х) = т/1 и и^ формулы (1.138), с учетом (1.136), получаем
8Г = (а^Н/бб/.	(1.139)
В случае, когда распределение температуры описывается выражением (1.130), температурные прогибы определяются аналогичным способом и составляют:	. '	
v (х) = х (/ — х) [Зах + Л1 (/ 4- х)];
(х) = -^ X (/ — х) [3&! + Вх (/ + х)].
(1.140)
Изогнутая ось цилиндра, описываемая выражением (1.140), представляет собой пространственную линию, так как отношение v/w зависит от х.
Температурные прогибы роторов. Очевидно, что при стационарной работе машины температурная асимметрия может появиться только у роторов с внутренними источниками тепла. К данному типу роторов относятся главным образом роторы электрических машин.
Можно отметить следующие основные причины возникновения температурной асимметрии роторов данного типа:
1)	неодинаковые условия теплообмена в одном или нескольких несимметрично расположенных пазах;
2)	неодинаковые размеры поперечного сечения (или засорение) вентиляционных каналов;
3)	неодинаковые условия теплопередачи между железом и валом ротора по угловой координате, которые вызываются некруглостью вала, отверстиями в железе, наличием на валу шпоночной канавки и т. д.
В последнем случае, вследствие неизбежных зазоров между контактными поверхностями шпонки, вала  и железа ротора, условия теплопередачи на шпоночном участке сечения вала ухудшаются и температура его по сравнению с другими участками понижается. Температурная асимметрия в данном случае может
53
быть устранена применением не одной,, а нескольких симметрично расположенных шпоночных креплений.
Определение температурных прогибов роторов при известном распределении температуры в них может быть произведено с помощью формул (1.119)—(1.121). В силу случайности перечисленных выше причин температурной асимметрии роторов, ограничимся приближенным анализом с использованием результатов,
полученных для цилиндра.
Предположим, что бочка ротора (или участок вала, несущий железо ротора) имеет форму цилиндра радиусом г (диаметром d) и длиной I (рис. 1.29). Температура поверхности цилиндра опре-
Рис. 1.29. Расчетная схема ротора электрической машины
деляется выражением (1.131), в цилиндре установилось температурное поле, определяемое формулой (1.132). Крайние участки вала между бочкой ротора и опорами имеют одинаковую длину /1. Общая длина ротора L = 2/г + I.
Предположим также, что на ротор не действуют внешние
нагрузки, в том числе и сила тяжести. Справедливость такого предположения следует из отмеченной выше возможности наложения решений. '
Дифференциальное уравнение изогнутой оси ротора при совпадении плоскости изгиба с координатной плоскостью ху определяется выражениями:
-- = 0 при 0 < х < 1Ъ (h 4-I) < х Ц
*	a0i , п , л ' О^41)
=------- при < х < (Z, 4-1).
Решение уравнений (1.141) при граничных условиях v (0) = = v (L) = 0 имеет вид:
'V =-—х при 0 < X < 1^
у ==-^ [Lx — ZZX] при4х с х < (Zx 4-Z); . • (1.142)
V — {к — х) при (/* + 0 < х С L.
Следует отметить, что крайние участки вала сохраняют прямолинейную форму, так как они свободны от нагрузок.
Пренебрегая массами крайних участков вала и считая, что масса бочки ротора распределена равномерно, из формул (1.138) и (1.142) находим
А Sr = a^Z2 [1 4- 6	,	(1.143)
54
Для оценки влияния длины крайних участков вала на' температурный эксцентриситет центра масс предположим; что длина бочки ротора равна одной трети междуопорного расстояния, т. е. I = l± = -i-L. Из формулы (1.143) получим tj
'	= (7a<M2)/6d.	(1.144)
1 / к	Г	-	.
При 1г ~ 0 та же формула примет вид (1.139).
Следовательно, в рассматриваемом случае за счет поворотной деформации крайних участков вала эксцентриситет центра масс ротора в семь раз больше, чем без этих участков.
На практике электрические машины являются, как правило, частью машинного агрегата^ имеющего три, четыре и больше опор.
Рассмотрим вначале трехопорный турбогенератор, ротор которого представляет собой статически неопределимую балку (рис. 1.30, а). Прогиб в этом случае можно определить путем наложения решений (х) и (х), найденных для раздельно действующих нагревания и реакций опор. Первая часть решения (х) определяется ж уравнений (1.141) и удовлетворяет* граничным условиям v(0) = = v(lr) = 0.	- '
В последней точке про-
гиб (рис. 1.30,6)	Рис. 1.30. Температурный прогиб ротора трех-
. опорного турбогенератора: a — расчетная схе-=	(1.145) ма;. б — прогиб от нагревания; в — прогиб
v '	d	' от реакций опор; г — суммарный прогиб
Следовательно, вторая часть решения v2 (х)' представляет собой решение, соответствующее балке, не подверженной температурной нагрузке, шарнирно-закрепленной в точках А и В (рис. 1.30» -в) и удовлетворяющей при х = L следующим условиям:
1 , d2U2 Л	/1 1
= —=	(1Л46)
55
Искомый прогиб у (х) будет равен сумме (х) + v2 (х) (рис. 1.30, г). Эксцентриситеты центров масс роторов генератора и турбины определяются по формуле (1.138).
Реакция опоры Rc находится как произведение v2 (L) на жесткость балки на изгиб в сечении х == L, а реакции опор 7?л и RB—из уравнений равновесия.
Таким образом, в трехопорном агрегате температурный эксцентриситет центра масс ротора генератора несколько уменьшается по сравнению с двухопорной конструкцией. В то же время появляются эксцентриситет центра масс ротора турбины и дополни-
Рис. 1.31. Пример температурного возмущения ротора электрической машины
ситеты центров масс роторов
тельные динамические нагрузки на опоры Ra, Rb, Rc, векторы которых расположены в плоскости температурного изгиба и вращаются вместе с ротором. Эксцентриситеты центров масс роторов генератора и турбины находятся в противофазах.
Определение температурных прогибов роторов и реакций опор в случае четырехопорной конструкции агрегата производится таким же методом, что и в случае трехопорной конструкции. Различие состоит в том, что эксцентри-будут находиться в одной фазе.
Пример 1,4, Предположим, что температурное возмущение ротора электрической машины может быть описано функцией, имеющей вид треугольника с высотой ft и основанием ф = 30° на окружности, проходящей по дну пазов (рис. 1.31).
Требуется найти ft, при которой температурный эксцентриситет центра масс ротора равен 1 мкм. Материал ротора имеет коэффициент линейного расширения а = 1,2*10~5 1/°С.
Задаемся расчетной схемой, в которой бочка ротора приближенно заменена цилиндром, имеющим диаметр, равный диаметру окружности, проходящей по дну пазов.
Вычисления- производим для ротора, имеющего следующие размеры (рис. 1.29): L ~ 270 см; / = /х = 90 см; d ~ 28 см.
Из формулы (1.144) находим амплитуду первой гармоники
= 0,025° С.
Зависимость О х от ft находим по формуле для коэффициента тригонометрического ряда (1.128), имеющей вид
Ф/2
а 2 f . /,	2	4ft (. ф \
— — I ft ( 1--------0 )cos 0 dO -=---( I — cos ,
эт j \ Ф/	л:ф\	2 J
0
отсюда
h =	o,3° c.
4(1 — cos
Как видно из примера, относительно небольшое температурное возмущение может вызвать ощутимый эксцентриситет центра масс ротора.
56
6.	Другие факторы, влияющие на виброактивность роторов
• Неуравновешенность роторов. Известно, что вращающееся тело не оказывает никакого возмущающего действия на опоры, если ось вращения совпадает с одной из главных центральных осей инерции тела.
В процессе изготовления ротора невозможно точно удовлетворить этому условию вследствие нарушений геометрических размеров, неоднородности материала и некоторых нарушений симметрии в распределении масс. В связи с этим роторы подвергают уравновешиванию, или балансировке.
Уравновешивание жесткого ротора обычно производится путем прикрепления к ротору грузов в двух произвольно выбранных сечениях (чаще всего на двух торцевых поверхностях). Задача заключается только в определении положения и величины балансировочных грузов, что не вызывает затруднений, так как для этой цели разработано достаточное число надежных методов, измерительной аппаратуры и балансировочных машин [31].
Уравновешивание гибкого ротора значительно сложнее, чем жесткого. Это объясняется тем, что положение центров тяжести сечений ротора зависит от упругого прогиба вала. При изменении частоты вращения изменяется упругий прогиб вала, что приводит к разбалансировке ротора. Уравновешивание гибкого ротора обычно производят путем поочередного устранения каждой составляющей разложения функции распределения дисбаланса по формам свободных колебаний ротора [31, 104].
Поскольку в реальных машинах полностью устранить неуравновешенность невозможно, а можно лишь уменьшить ее до некоторой величины, возникает вопрос о назначении допусков на остаточную неуравновешенность. Стремление иметь возможно меньшие остаточные неуравновешенности не всегда оправдано. Повышение точности уравновешивания связано с большими затратами времени и ограничивается точностью и чувствительностью балансировочных станков.
Для характеристики неуравновешенного состояния ротора на практике применяется понятие удельной или условной неуравновешенности, которая равна отношению дисбаланса ротора в гс-см к весу ротора в кгс и выражается в микронах.
При статической неуравновешенности жесткого ротора условная неуравновешенность численно равна смещению центра тяжести ротора с оси вращения. При динамической и смешанной неуравновешенностях, а также в случае гибкого ротора, такой прямой связи со смещением центра тяжести нет. Однако условная связь может быть установлена по динамическим нагрузкам на опоры.	,
Допустимые величины этих нагрузок зависят от назначения и сферы применения машины, поэтому в каждой отрасли машино-
57
строения существуют отраслевые нормали на условную остаточную неуравновешенность [18].
Другим фактором, вызывающим неуравновешенность роторов, является их разбалансировка , в рабочих условиях. Разбалансировка наблюдается в роторах любой конструкции, однако осо-л бенно значительна она у составных роторов. В ряде работ, например в [92 и 63], отмечаются случаи значительного (стократного) увеличения неуравновешенности роторов в результате их разбалансировки по сравнению с остаточной неуравновешенностью. Столь большая разбалансировка является следствием ряда причин, в том числе динамического прогиба оси ротора, упругих смещений деталей ротора, остаточных (Неупругих) деформаций, износа и т. д.
Уменьшение разбалансировки роторов в рабочих' условиях достигается балансировкой каждой составной части ротора в отдельности и балансировкой роторов на собственных подшипниках.
Погнутость вала. Искривление вала условимся называть упругим, если после снятия усилий, вызвавших его искривление, вал вновь окажется прямолинейным. Так, упругими являются искривления валов под действием силы тяжести ротора и, в случае многоопорной конструкции—под действием деформаций опорных конструкций. Академик Ю. А. Шиманский [109] показал, что такой вид криволинейности вала не может быть причиной вибраций.
Основным признаком неупругого искривления валов является отклонение их осей от прямолинейной формы при отсутствии в валах упругих напряжений. Примером такого вида искривления являются- рассмотренные выше температурные прогибы роторов. 4
Если искривление вала остается и после снятия вызвавшей его причины, то оно называется погнутостью. Погнутость вала вызывается, как правило, дефектами монтажа и ремонта машины. Нередки также случаи искривления валов вследствие возникновения во время работы машины больших механических усилий. Так, например, резкое торможение ротора в аварийных случаях или резкий наброс нагрузки может вызвать напряжения, превышающие предел упругости металла, и вал погнется.
Погнутость определяется путем замера биений вала и насаженных на него деталей в ряде сечений по его длине. Вопросы дефектации и ремонта погнутых валов достаточно полно освещены в работе Н. Н. Северова [93].
Силы электромагнитного происхождения. К данному Виду сил относятся главным образом силы магнитного притяжения и силы, вызванные неравномерностью воздушного зазора электрических машин.
Известно, что между полюсами ротора и железом статора возникают силы магнитного притяжения, которые пропорциональны квадрату магнитной индукции в зазоре [28, 112], 58
Если считать статор абсолютно жестким телом, то при равномерном воздушном зазоре равнодействующая сил магнитного притяжения будет равна нулю и. колебаний статора как твердого тела не будет.
В действительности же кольцо статора обладает некоторой податливостью и под действием сил магнитного притяжения будет определенным образом деформироваться. Так, при вращении двухполюсного ротора усилия притяжения, перемещаясь вместе с ротором по расточке статора, стремятся деформировать ее и придать ей форму эллипса. При этом с продольной осью полюсов совпадает малая ось эллипса, а с поперечной — большая. За один оборот ротора каждая точка статора, в том числе и точки крепления его к фундаменту, испытывает дважды переменные усилия, что вызывает вибрацию фундамента удвоенной частоты вращения (двойной частоты сети).
Учитывая опасность совпадения частоты возмущающего усилия и частоты собственных колебаний статора, определение последней является составной частью расчета электрической машины [28].
Следует отметить, что так как равнодействующая сил магнитного притяжения, действующих со стороны статора на ротор, равна нулю, данный фактор динамических нагрузок на подшипники практически не вызывает.
Если имеется неравномерность воздушных зазоров по окружности статора, то одно и то же расположение системы полюсов повторяется при повороте ротора на одно полюсное деление. Это приводит к колебаниям ротора и генерированию динамических нагрузок на подшипники с удвоенной частотой сети. На практике установлено, что если неравномерность зазоров не превышает установленных допусков, то данный вид вибрации практически отсутствует [26, 36].
Автоколебания роторов. Можно указать две основные причины потери устойчивости и возникновения автоколебаний ротора в закритической области вращения: действие смазочного слоя в подшипниках скольжения и силы внутреннего трения в роторе. Оба вида автоколебаний являются крайне нежелательными, так как они сопровождаются значительными амплитудами и приводят к быстрому выходу из строя подшипниковых узлов.
Самовозбуждающиеся колебания роторов на масляной пленке подшипников скольжения рассматриваются в очень большом количестве теоретических и экспериментальных работ. Историю развития данного вопроса можно найти, например, в работе [100].
Здесь лишь отметим, что данную проблему все еще нельзя считать решенной, так как до сих пор отсутствует совпадение теоретических и экспериментальных результатов как при определении границ возникновения автоколебаний, так и при определении амплитуд установившихся автоколебаний. Объясняется это большей сложностью проблемы вследствие существенно
59
нелинейной и весьма сложной зависимости сил, действующих со стороны масляного слоя на вал.
Экспериментально достоверным фактором при этом является то, что частота автоколебаний жесткого ротора всегда примерно равна половине частоты вращения ротора, а гибкого ротора — половине первой критической скорости.
Как справедливо отмечает Э. Л. Позняк [78], правильным направлением при конструировании высокоскоростных роторов должна быть не надежда на достоверность теоретических границ и отстройка от этих границ, а курс на создание заведомо устойчивых роторных систем с многократным запасом устойчивости.
В современном машиностроении наметились два способа подавления автоколебаний роторов.
Первый способ основан на применении виброустойчивых конструкций подшипников [100]: эллиптических, многоклино-вых, с упругими элементами, с плавающей втулкой и т. д.
Второй способ заключается в применении упругих опор, в которые устанавливаются подшипники скольжения обычной цилиндрической конструкции. Результаты работ [56, 57] в этом направлении показывают, что при надлежащем выборе параметров системы установка роторов в упругие опоры приводит к полному подавлению автоколебаний, имевших место при жестком креплении подшипников скольжения. Эффективность упругих опор исключительно высока и возрастает с уменьшением их жесткости.
Влияние внутреннего трения на устойчивость движения ротора изучалось теоретически и опытным путем многими авторами. Исторический обзор данной проблемы приведен в работах [65, 100]. Отметим основные положения этих работ.
Внутреннее трение в роторе создается двумя основными составляющими: гистерезисом материала вала и сухим трением между валом и насаженными на него деталями.
Силы внутреннего трения могут вызвать автоколебания ротора при скорости вращения выше первой критической скорости. Частота автоколебаний примерно равна критической частоте вращения.
При определенном отношении коэффициента внешнего и внутреннего трений автоколебания ротора могут и не возникнуть.
Опасность самовозбуждения колебаний, быстро уменьшается по мере увеличения диаметра вала и практически отсутствует в роторах средних и крупных машин.
В заключение отметим, что из-за отсутствия достоверных данных как по определению сил трения, так и сил, действующих со стороны масляного слоя на вал, теоретические расчеты обоих видов автоколебаний роторов пока не дают удовлетворительных результатов. Наиболее надежным с этой точки зрения следует признать метод физического моделирования роторных систем (см. гл. IV).
ГЛАВА 2
ВИБРОАКТИВНОСТЬ РОТОРОВ СКОРОСТНЫХ МАШИН, ВРАЩАЮЩИХСЯ В ПОДШИПНИКАХ КАЧЕНИЯ
1. Кинематические и силовые параметры подшипников качения
Динамика ротора, вращающегося в подшипниках качения, в значительной степени зависит.от характеристики подшипников, в частности от их осевой и радиальной жесткостей. В связи с увеличением частоты вращения роторов и повышенными требованиями к точности вращения, в настоящее время нельзя пренебрегать упругими свойствами Подшипников качения.
В прошлом подшипник качения, как правило, рассматривался как модель абсолютно жесткой опоры—шарнирной, если применялся однорядный шарикоподшипник, и защемленной, если в каждой опоре устанавливалась пара сдвоенных подшипников качения.
Однако такой подход в настоящее время слишком упрощает инженерную задачу и не дает достаточно точного ответа. В многочисленных работах, опубликованных за последние годы, в качестве математической модели подшипника качения выбираются модели, значительно полнее отражающие особенности подшипников качения; погрешности геометрии, влияние зазоров, а также их изменение в процессе эксплуатации; нелинейные жесткостные свойства; влияние центробежных сил тел качения; взаимное смещение и перекос колец подшипников; гироскопические явления; влияние сил трения в смазочном слое и факторы, определяющие толщину смазочного слоя в месте контакта колец и тел качения.
При расчете и конструировании высокооборотных роторов требуется произвести сравнительную оценку перечисленных факторов, учесть действие наиболее существенных из них и пренебречь менее важными, с тем, чтобы сделать задачу обозримой и разрешимой.
С этих позиций важно определить их влияние на виброактивность подшипниковых опор и, как следствие,— на динамику системы ротор—подшипники—корпус машины.
Наибольшее распространение в роторных машинах получили шариковые радиальные и радиально-упорные подшипники, роликовые и шариковые подшипники с трех- и четырехточечным контактом и совмещенные опоры. В разных типах высокооборот-
61

ТабЛиЦа* 2.4. Классификация подшипников
Подшипники	Скоростной параметр [dn], мм (мм-об/мии)	
	mi п	max
Скоростные Высокоскоростные Сверхскоростные	600 000 1 200 000 2 000 000	1 200 000 2 000 000 3 000 000
ных роторных машин находят применение и разные типы подшипников. Для авиационных газотурбинных двигателей наиболее часто применяются шариковые подшипники с многоточечным контактом и роликовые подшипники с короткими цилиндрическими роликами; в высокооборотных электродвигателях, в частности в шлифовальных головках, устанавливают шариковые радиальные и радиально-упорные подшипники прецизионных классов с малыми моментами трения, легкими текстолитовыми сепараторами. В гироскопических приборах, некоторых типах газотурбонагне-тателей применяются высокоскоростные совмещенные опоры, позволяющие повысить точность и жесткость подшипниковых .узлов.
Рекордные частоты вращения, достигнутые на шарикоподшипниках при кратковременном режиме работы, составляют 250—300 тыс. об/мин. Однако конструкторов новых машин интересует, как правило, не кратковременно получаемые максимальные частоты вращения, а реальная долговечность при заданной большой - частоте /вращения.
Параметром, определяющим быстроходность подшипников, является произведение диаметра отверстия подшипника на частоту вращения вала в минуту dn (мм* об/мин).
Согласно методике [96] Всесоюзного научно-исследовательского института подшипниковой промышленности (ВНИИПП) все подшипники по скоростному параметру можно разделить на несколько типов (табл. 2.1).
Допустимое значение параметра dn изменяется в зависимости от конструкции подшипника, материала, способа смазки, класса точности.
Различают кратковременные значения dn, при которых подшипник работает от нескольких минут до нескольких часов, и dn ресурсное, при котором обеспечивается длительная эксплуатация подшипника. Ресурсные значения параметра dn приводятся в справочниках и каталогах подшипников. Следует иметь в виду, что предельная быстроходность роликовых подшипников ниже, так как в этих типах подшипников более резко выражено трение скольжения. Роликовые подшипники часто применяются в сочетании с шариковыми, которые ставятся для воспринятая осевых усилий.
Для расчета центробежных сил тел качения необходимо установить соотношение между угловой скоростью вращающегося вала и скоростью центров тел качения. Если обозначить диаметры 62	,
по дну желоба наружного и внутреннего Колец через и d± соответственно, а угловые скорости вала и сепаратора через со и фс, то упомянутое соотношение, выводимое из плана скоростей (рис. 2.1), будет иметь вид:
0Ш+1)(ос = (о.	(2.1)
Это же соотношение можно выразить через диаметр тела качения dm и диаметр Do по центрам тел жачения:
юс = ю/2(1 — 4/D0)-	(2.2)
Для радиально-упорных шарикоподшипников в выражение (2.2) войдет функция угла контакта fJ0 шариков с кольцами {981
= J“-(l-^-Cosp0). (2.3)
Здесь следует заметить, что при вращении вала угол контакта меняется-, причем с увеличением частоты вращения угол контакта с наруж
Рис. 2.1. Кинематическая схема шарикоподшипника с неподвижным наружным кольцом (сон =^= 0)
ным кольцом уменьшается, а с внутренним .увеличивается. В дальнейшем в ^случае необходимости это будет учитываться, а для оценки центробежной силы шариков достаточ-
но в выражении (2.3) иметь величину начального угла контакта
Относительная угловая скорость шарика (скорость его вращения относительно собственной оси) определяется по формуле [981
Da / dm	1 \
24Г Df C0S Р° “ J’
(2.4)
Последних два выражения распространяются и на роликовые подшипники, если положить |30 = 0.
Геометрические параметры подшипников выбираются при их конструировании исходя из ряда требований,, предъявляемых к тому или иному типу подшипника. На рис.2.2 показано поперечное сечение радиально-упорного подшипника. Важными параметрами являются радиальный б и осевой S зазоры, определяющие возможность относительного перемещения колец в ра-, диальном и осевом направлениях. Зазоры в подшипнике изменяются при монтаже и в процессе эксплуатации, поэтому различают начальный, или комплектовочный зазор, монтажный и рабочий. Изменения зазоров зависят от выбранной посадки колец подшипника на вал и в корпус, от температуры подшипника, геометрической формы и размеров колец и тел качения. Методика расчета рабочего зазора по заданному монтажному, приводимому
63
в отраслевых нормалях, достаточно полно изложена в специальной литературе [96, 98].
Смещение внутреннего кольца ненагруженного подшипника по отношению к наружному вызывает появление угла контакта (3, причем осевой зазор будет определяться величиной этого угла:
з = (Гж - 4/2) Sin 0,	(2.5)
где гж — радиус желоба наружного и внутреннего колец. Радиус желоба нормальных подшипников гж = 0,515^. С увеличением
Рис. 2.2. Поперечное сечение радиально-упорного подшипника: а — поперечное сечение радиально-упорного шарикоподшипника; б — монтажные зазоры в шарикоподшипнике
частоты вращения у подшипников с таким развалом желоба возрастают потери на трение, поэтому в высокоскоростных подшипниках гж = 0,54б/ш. При гш > 0,54^ возрастают контактные напряжения.
Между осевым и радиальным зазорами существует следующая зависимость [98 ]:
5 = Г26 (гж - 4/2) - 62-	(2.6)
Приведенное выражение не учитывает упругих деформаций материала и справедливо для ненагруженных подшипников.
Для радиальных однорядных подшипников существует и так называемый угловой зазор — угловое смещение а одного кольца относительно другого. Предельно допустимое угловое смещение определяется из условия отсутствия заклинивания подшипника [98]:
Это существенно, так как перемещение оси ротора, вращающегося в шарикоподшипниках, складывается из прецессионного 64
движения в пределах радиального зазора, проседания ротора между телами качения и угловых перемещений вследствие взаимного перекоса колец. Взаимный перекос колец имеет место и при монтаже подшипника, что также сказывается на характере колебаний ротора и появлении дополнительных зон вибраций.
Радиально-упорные высокоскоростные шарикоподшипники используются нескольких легких серий: сверхлегкой, особолегкой и легкой. При выборе угла контакта радиально-упорного подшипника исходят из отношения осевой А и радиальной 7? нагрузок: при A/R < 0,35 применяются однорядные радиальные подшипники, при A/R > 0,35 — радиально-упорные с углами контакта Ро = 12, 26, 36°. Рост угла |30 связан с увеличением гироскопических эффектов в подшипнике и с падением допустимой радиальной нагрузки, поэтому подшипники с углом |30 = 36° используются редко.
В большинстве роторных машин на вал действуют комбинированные нагрузки. Обычно помимо радиальной на вал действуют еще и осевые нагрузки, поэтому в одной из опор применяют радиально-упорный подшипник. > В высокоскоростных прецизионных машинах осевую нагрузку вводят в подшипниковый узел \для уничтожения зазоров в подшипнике и погашения гироскопического момента шариков. Осевые усилия в подшипнике перераспределяют нагрузку на отдельные шарики и их деформацию.
Считается, что суммарная нагрузка должна восприниматься всеми шариками для достижения нормальной работы подшипника [98]. Осевое усилие, действующее на подшипник, должно при этом удовлетворять условию
А > 1,677? tgp0.	(2.8)
При равенстве правой и левой частей выражения (2.8) будут нагружены все шарики, кроме наименее нагруженного, деформация которого будет равна нулю. Нарушение равновесия в пользу правой части означает потерю контакта наименее нагруженного шарика с наружным кольцом и появление радиального зазора в подшипнике. Соответственно с этим изменяются жесткостные свойства подшипника и меняются уровни низкочастотных вибраций. Изменение соотношения между радиальной и осевой нагрузками определяется рядом факторов, действующих как в самом подшипнике, так и вне его, со стороны вращающегося ротора.
Известно, что центробежные силы шариков дают осевую составляющую, уменьшающую предварительно приложенную к наружному кольцу подшипника осевую нагрузку. При определенной частоте вращения суммарная осевая составляющая центробежных сил шариков полностью уравновесит внешнюю осевую нагрузку, поэтому предварительную осевую нагрузку при расчетах определяют из условия обеспечения ее на всем рабочем диапазоне скоростей вращения ротора.
5 Д. С. Кельзон и др.	65
Рис. 2.3. Суммарное осевое усилие от центробежных сил шариков для подшипников:
1 — 36204Е; 2 — 36204ЕО; 3 — 600019Е с диаметрами шариков 7,94; 7,144; 3,97 мм
Центробежная сила ДЛЯ одного Шарика при вращающемся внутреннем кольце определяется (в кгс) по формуле [96]
= 2,92 • 1О~9Яо£>от4п2.	(2.9)
Здесь Ко представляет собой, конструктивный параметр подшипника
/<о = О,5(1—-g-cospj.
На рис. 2.3 представлены зависимости суммарного осевого усилия, развиваемого шариками, от частоты вращения ротора для нескольких типов высокооборотных радиально-упорных шарикоподшипников.
Минимальная {предварительная осевая нагрузка, прикладываемая к наружному кольцу подшипника, выбирается исходя из выражения [96 ]
А = 1,677? tg р.+ Л', (2.10) где первое слагаемое определяет нагрузку, необходимую для распределения радиальных усилий по отдельным шарикам, а А' представляет собой наибольшую из осевых нагрузок: либо нагрузку, равную осевой составляющей центробежных сил шариков, либо осевую нагрузку Лг, необходимую для погашения гироскопического верчения шариков.
Последняя при вращающемся внутреннем кольце равна (в кгс) для подшипника с i шариками [96] /	,2	\
лг = 5,75- Ю_12б/3шп2ОоЦ1 — cos2 P]sin2p. (2.11)
На распределение осевой и радиальной нагрузок в зависимости от угловой скорости ротора влияет и динамическая нагрузка со стороны ротора, имеющего всегда некоторую остаточную неуравновешенность (статическую и динамическую). Это обстоятельство существенно сказывается на радиальной жесткости подшипникового узла, работающего с осевой нагрузкой. На примере подшипника с осевой нагрузкой, создаваемой предварительно сжатой осевой пружиной (с предварительным натягом), рассмотрим механизм перераспределения нагрузок под действием динамической радиальной нагрузки. Схема подобного узла с предварительным натягом, создаваемым цилиндрической пружиной, дана на рис. 2.4. Шарики нагружены со стороны наружного кольца усилием Np 66
направленным по нормали к поперечному сечению дорожки качения. Вектор силы N; раскладывается,на две составляющих — радиальную и осевую. Осевая составляющая F;- есть часть усилия предварительного сжатия пружины Fo, приходящаяся на один шарик. Радиальные составляющие Ру обжимают внутреннее кольцо подшипника, фиксируя вал в положении статического равновесия. Равнодействующая радиальных с,оставляющих Р для
Рис. 2.4. Подшипниковый узел с предварительным осевым натягом: а — схема шарикоподшипникового узла с осевым предварительным натягом; б — усилия, действующие на шарик от предварительного натяга
невращающегося ротора равна по величине весовой нагрузке ротора G, приходящейся на данный подшипник,
Р	£р;= — G,
/-1
где i — число шариков.
Давление на каждый шарик при отсутствии осевого усилия, а следовательно, и эпюра распределения нагрузок на внутреннее кольцо подшипника определяются по формуле Штрибека [98]
Г/= 4,37 X-cos3/2	(2.12)
Здесь уу — угол между вертикальной осью и осью данного /-го шарика, направленной к центру подшипника. При осевдй нагрузке F и радиальном усилии со стороны шипа Р реакция каждого шарика, ориентированного под углом <р к вектору радиальной нагрузки,
Л/Ф = ^о,	(2.13)
где Л/о — реакция наиболее нагруженного шарика (<р = 0) [981,
N. =	+ q .	(2.14)
0 I Sin р 1 Ч t cos р	Х '
5 *
67
Безразмерные коэффициенты q4 и q выбираются в зависимости от параметра q$ — ctg р согласно методике, изложенной в [12].	2,95
При вращении ротора, обладающего статической и динамической неуравновешенностями, на подшипник помимо веса ротора будет действовать динамическая нагрузка Р/, определяемая величинами неуравновешенностей и скоростью вращения ротора. В результате произойдет перераспределение реакций шариков, определяемых по выражениям (2.13) и (2.14). Равнодействующая
Рис. 2.5. Перераспределение нагрузки на внутреннее кольцо радиальноупорного подшипника с преднатягом при увеличении частоты вращения неуравновешенного ротора: а — q„ = оо; б — q„ = 5,3; «—<?„= 1,0 р	р	р
радиальных составляющих шариков для горизонтального ротора будет меняться периодически с каждым оборотом ротора
р= ЕР/ —(6 + РЛ
Распределение нагрузки, действующей на внутреннее кольцо подшипника со стороны шариков в подшипнике с осевым натягом, дано на рис. 2.5. Показано перераспределение нагрузки при увеличении вектора Р7 (вес ротора не учтен) для трех значений параметра : q$ — сю (ротор не вращается и радиальная нагрузка Pj = 0); 7(з = 5,30 и 7р = 1. Последнее значение соответствует частоте вращения ротора, при которой осевая составляющая усилия Ру станет равной усилию предварительного натяга Fo осевой пружины. Распределение нагрузки на рис. 2.5 дано в относительной величине = Ру/Р0, где Ро — наибольшее усилие действующее на шарик, находящийся под вектором Ру.
J При 9(з	'1 в подшипнике появляется радиальный зазор,
так как контакт шариков с внутренним и наружным кольцами нарушается. Этот зазор определяется перемещением наружного кольца подшипника в осевом направлении и деформацией тел 68
качения и материала внутреннего кольца в точках контакта. В значительной степени относительные осевые перемещения колец подшипника будут зависеть от жесткости осевой пружины, размеров шариков и профиля дорожек качения. Углы контакта шариков с дорожками будут уменьшаться за счет перекатывания шариков по профилю дорожек. При этом и радиальная жесткость подшипникового узла будет изменяться.
2. Упругие свойотва подшипников качения
Радиальная и осевая жесткость подшипников качения. Радиальная податливость подшипников качения возникает за счет деформаций тел качения и дорожек качения в местах контакта. Уравнения статического равновесия подшипника составляются в соответствии с теорией Герца [96]. Согласно этой теории относительное сближение внутреннего и наружного колец подшипника в направлении вектора радиальной нагрузки
(2.15)
Показатель степени п принимается для шариковых подшипников равным 2/3 и для роликовых подшипников 9/10 [88] (в некоторых работах показатель п для роликовых подшипников берут равным единице). Коэффициент пропорциональности К зависит от материала и формы поверхностей, контактирующих друг с другом в подшипнике. Рабочие формулы для определения сближения ' двух контактирующих тел выведены [98] для стали с модулем упругости Е — 2,12-Ю0 кгс/см2 и коэффициентом Пуассона v = = 0,3. Сближение при точечном контакте
6 = l,28-10-4-~-F£pP2.	(2.16)
/
Коэффициент 2/С/лц зависит от вспомогательной величины
cos Т = Еа --Р1» ±PjlziPM
2j р
(2.17)
и находится с помощью таблиц в справочниках по подшипникам качения. Сумма главных кривизн соприкасающихся тел в местах их контакта определяется как
S Р — Р11 + Р12 "Ь р21	р22»
(2.18)
где Pn, р12, Р21 и р22 — кривизны двух соприкасающихся тел в двух перпендикулярных друг другу главных плоскостях. Для
69
радиально-упорного подшипника (рис. 2.6):
1
(Z?B/cos Р) — гв ’
1__________.
(^?h/cos Р) ~h гн 5
1/Гв+ (Ян/COS ₽) — ГВ .
\л	>
2j рв
(2-19)
COS тн =
Л
(Ян/cos Р) + гн 2jPh
где индекс в относится к внутреннему, а индекс н — к наружному кольцам.
Для роликовых подшипников применима эмпирическая формула [98]
6 = 0,462-10"4(2.20) 1yd
где d и I —'диаметр ji длина ролика, см/
Рис. 2.7. Схема нагруженного шарикоподшипника
Рис. 2.6. Радиусы кривизны в ра диально-упорном шарикоподшипнике
Выражение (2.15) дает зависимость между радиальной нагрузкой, приведенной к максимально нагруженному шарику, и радиальным сближением внутреннего и наружного колец подшипника при статическом нагружении. Результирующая восстанавливающая сила всего подшипника находится как векторная сумма упругих восстанавливающих сил всех i тел качения. Рассмотрим схему нагруженного шарикоподшипника (рис. 2.7). Предположим, что дорожки качения и тела качения в геометрическом отношении идеальны, а материал однороден по механиче-70
ским свойствам. Тогда деформация в направлении /‘-го шарика запишется в виде
8; = 60 + х cos р cos Yy + у cos р sin Yy + z sin р, (2.21)
где 60 — деформация от предварительного натяга; Y/ = у0 + Отт	2л
+ -р(/—1) + <ос/; — = у; х, у, z— перемещения центра внутреннего кольца в направлении неподвижных координат X, У, Z, определяемые в результате решения задачи о движении ротора, вращающегося в подшипниках качения. Записанное выражение справедливо при условии малости перемещений центра внутреннего кольца подшипника. Тогда восстанавливающая сила всего подшипника запишется так:
Рх = X (60 + х cos р cos у,- 4- У cos р siny;- 4-j=i
4- z sin P)3/2 cos p cos y7-;
py = X 2 (So + x cos p cos у/ 4~ У cos p sin y; 4-
+ z sin $)3/2 cos P sin yz;
i
Рг = К X (60 + x cos p cos Yy -|- у cos p sin y, + /—1
4- z sin P)3/2 sin p.
(2.22)
Полученные выражения могут быть использованы в уравнениях движения ротора и дают возможность оценить характер изменения жесткости подшипника. Для случая подшипника с тремя шариками на рис. 2.8 представлена зависимость радиальной жесткости сг = дР!дх от смещения подвижного кольца при различных значениях 60 и К — 1 (согласно [7]). Здесь отрицательное значение 60 соответствует радиальному зазору в подшипнике.
Для ориентировочной оценки коэффициентов осевой и радиальной жесткостей шарикоподшипника можно воспользоваться формулами, полученными в [74] в предположении, что смещения х, у и z в процессе колебаний ротора малы по сравнению со смещением z0 от предварительного натяга.
Радиальная жесткость
Осевая жесткость
_ ~ 3
° г — г0 2 г0
(2.23)
71
Рис. 2.8. Зависимость радиальной жесткости шарикоподшипника от радиального смещения внутреннего кольца подшипника с тремя шариками
Здесь Fo — усилие осевого натяга и — ( Fa \2/3 ~ к »№in6/2p J ’
Как видно из (2.23), са = сг 2 tg2 [3, т. е. осевая и радиальная жесткости связаны между собой, зависят от геометрических характеристик подшипника и материала колец и шариков.
Для шарикоподшипников серии 200 коэффициент пропорциональности в формуле Герца К = 0,409-106. Если принять Fo — = 1 кгс, I = 9 и р0= 12°, то расчеты по формулам (2.23) дают сг = 28,8- 103 кгс/см и осевую са = = 2,61 • 103 кгс/см. '
Более углубленный анализ выражений (2.22) для восстанавливающей силы в подшипнике качения приводит к выводу о пульсации жесткости подшипника из-за поперечного смещения вращающегося кольца при прохождении, тел качения под вектором нагрузки. Поперечные смещения уменьшаются при увеличении числа тел качения и усилия преднатяга [88]. Пульсация жесткости зависит от четности количества тел качения. Подробно этот вопрос освещен в работах [88, 20, 75].
Радиальная жесткость подшипника с предварительным осевым натягом
(геометрическая концепция). Выше рассматривалась жесткость подшипника качения, определяемая деформацией материала тел качения и колец при нагружении подшипника с постоянным углом контакта. Однако в процессе работы шарикового) радиально-упорного подшипника углы контакта в подшипнике-изменяются, меняется и распределение нагрузок на подшипник.
В п. 1 данной главы рассматривалось перераспределение усилий в подшипниковом узле с предварительным осевым натягом при вращении ротора, имеющего остаточную неуравновешенность. Отмечалось, что при этом изменяется радиальная жесткость узла. Исследованию влияния предварительного осевого натяга на жесткость подшипникового узла посвящены работы А. С. Саверского [90, 91 ], в которых автор отмечает влияние недостаточного натяга на уровни вибрации подшипника и увеличение жесткости подшипникового узла с увеличением предварительного осевого натяга. В зоне малого натяга отмечается резкое изменение жесткости.
Чаще всего усилие натяга прикладывается к наружному кольцу подшипника и осуществляется при помощи прокладок или подшлифовкой торцов. В таких случаях жесткость радиально-упорного подшипника описывается так же, как и жесткость радиального 72
подшипника в рамках закона Герца. Однако одной из самых распространенных схем является схема нагружения наружного кольца с помощью цилиндрической или тарельчатой пружины (см. рис. 2.4). При этом наружное кольцо подшипника на одном из концов вала имеет возможность смещаться относительно корпуса и внутреннего кольца в осевом направлении, так как в корпусе наружное кольцо высокооборотных подшипников имеет посадку с гарантированным зазором [96, 98].
Возникающая при вращении неуравновешенного ротора динамическая нагрузка на подшипник даст осевую составляющую,
компенсирующую осевой натяг. Дальнейшее увеличение динамической нагрузки вызовет перекатывание шариков по профилю дорожки качения, причем углы контакта с верхним и нГижним кольцами будут уменьшаться. В работе такого узла можно, следовательно, различать две фазы: а) до компенсации усилия натяга жесткость подшипника определяется законом Герца; б) после компенсации и при дальнейшем увеличении скорости жесткость
Рис. 2.9. Изменение углов контакта при росте динамической нагрузки со стороны ротора в шарикоподшипнике с преднатягом
подшипника определяется жесткостью осевой пружины и контактными деформациями материала.
Выведем аналитическую зависимость между жесткостью осевой пружины caf создающей предварительный осевой натяг, и радиальной жесткостью подшипника сг при перекатывании шарика по профилю дорожки качения. Рассмотрим радиально-упорный однорядный шарикоподшипник с начальным углом контакта р0, создаваемым за счет усилия натяга. Радиусы желобов дорожек положим равными гж у наружного и внутреннего колец.
На рис. 2.9 представлена схема изменения углов контакта при росте динамического усилия со стороны ротора в узле с пружинным предварительным осевым натягом. Дуга LM — траектория центра максимально нагруженного шарика при перемещении шарика по профилю дорожки качения наружного кольца (угол у0 между центром шарика и вектором динамической нагрузки со стороны ротора полагаем равным нулю). Для выяснения характера зависимости между жесткостью осевой пружины са и радиальной жесткостью подшипника сг не будем принимать во внимание контактную деформацию материала деталей подшипника.
Выберем систему координат с началом в точке Ло> соответствующей положению центра шарика при полностью выбранных
73
осевом и радиальном зазорах и максимальном угле контакта р0. Ось х направлена параллельно оси ротора, опирающегося на подшипники. Радиальные перемещения центра. шарика z по отношению к наружному кольцу подшипника вдвое меньше соответствующего радиального перемещения шипа г, так как относительно внутреннего кольца шарик в силу принятых допущений перемещается по тому же закону, что и относительно наружного кольца: г = 2z. На основании выражения (2.6) можно записать зависимость между осевым и радиальным смещениями центра шара
(S —х) = У 2 (гж -(6 - ?) - (6 - z)a. (2.24)
Для высокоскоростных подшипников ОД = гж — dm/2 = = 0,015dm, хотя этот параметр может и меняться в пределах 0,010—0,020 в зависимости от требований, предъявляемых к подшипникам (больше грузоподъемность или меньше потери в подшипнике).
Из треугольника сил, действующих на шарик, определится соотношение между осевым усилием пружины предварительного натяга F = сах и радиальным усилием Р = с/, являющимся восстанавливающей силой в системе ротор—опора,
сгг = сах ctg р
6 — 2
ж—
или с учетом cos р
и выражения (2.10)
Здесь k (2гж — dm — 26) — константа, характеризующая геометрические параметры данного типа подшипника.
В п. 1 этой главы рассматривалось перераспределение нагрузки по телам качения при разгоне ротора. Было показано, что наружное кольцо подшипника начнет перемещаться в осевом направлении после того, как осевая составляющая динамической нагрузки от неуравновешенного ротора превысит усилие предварительного натяга осевой пружины. Следовательно, зависимость (2.25) будет выполняться после этого. При этом жесткость опоры резко уменьшится из-за перекатывания шариков по профилю дорожки качения. Наружное кольцо подшипника с увеличением скорости ротора будет перемещаться в осевом направлении до того момента, пока угол контакта шариков с наружным кольцом не станет равным нулю.
Если не принимать во внимание уменьшение усилия предварительного* осевого ^натяга центробежными силами шариков, то радиальная жесткостная характеристика однорядного радиально-74
упорного подшипника с предварительным осевым натягом, обусловленная наличием осевой пружины, будет иметь вид
+ Л,, (2.26)
где Ро = Fo ctg р0.
Теоретическая упругая характеристика, соответствующая формуле (2.26), рассчитана для шарикоподшипника 204 с диаметром внутреннего кольца 20 мм и диаметром шариков 7,144 мм. Мини-
мальный радиальный люфт по ОН 2—66 46-5.10*3 мм для данного размерного ряда.
Следует отметить, что в выпускаемых подшипниках радиальный люфт значительно превышает нормы по минимальному зазору, установленные отраслевой нормалью. При контрольном замере партии подшипников типа С00019Е, произведенном на 4ГПЗ, оказалось, что радиальный люфт лежит в пределах (10ч-16) 10"3 мм при наименьшем зазоре 2-10’3 мм, установленном отраслевой нормалью. Поэтому для
Рис. 2.10. Радиальная жесткость подшипника: а — типовая упругая характеристика шарикоподшипников с пружинным осевым натягом; б — расчетная жесткостная характеристика для шарикоподшипника серии 204 при усилии натяга 2,5 кгс и жесткости осевой пружины 10 кгс/мм
рассчитываемого подшип-
ника принято 6 = 2,5*10“3 мм. Полагая усилие осевого натяга Fq — 2,5 кгс, жесткость осевой пружины са = 10 кгс/мм, получим расчетную характеристику радиальной жесткости подшипника 36204
Р(г) = 5 (0,175 + г) Г	— 11 + 7,2.
К ~ Кз,6 (5 — г-103) — (5 — г-103)2 J
Рассчитанная по этому выражению характеристика представлена на рис. 2.10. Теоретическая характеристика несимметрична, поэтому под г понимается абсолютная величина радиального смещения шипа. Если представить перемещение шипа происходящим вдоль неподвижной координатной оси z как в положительном, так и в отрицательном направлении оси, то следует принять р (—z) = Р (|г|). Подобная характеристика представлена на рис. 2.10, а как типовая упругая характеристика шарикоподшипников с предварительным натягом.
75
Жесткость подшипникового узла при установке подшипника в опору с линейной жесткостью. Жесткостные характеристики подшипников качения, как видно из предыдущего, имеют сугубо нелинейный характер. Установка подшипника в опору с линейной жесткостью создает конструктивную систему с сочетанием . линейных и нелинейных жесткостей.
Пусть радиальный шарикоподшипник установлен в опору с линейной жесткостью сг. Подобную систему можно рассматривать как две последовательно соединенные пружины, а жесткость с узла в целом определится из соотношения
1 _ 1 1
С	‘ сг
(2.27)
Расчетная схема подобного подшипникового узла представлена на рис. 2.11, а, на рис. 2,11,6 — модель этой системы в виде
Рис. 2.11. Расчетная схема подшипникового узла: а — расчетная схема подшипникового узла в упругом линейном поле; б—динамическая модель ротора с упругим шарикоподшипниковым узлом
приведенной массы ротора и внутреннего кольца подшипника и двух последовательно соединенных пружин. Координаты хг и х2 соответствуют радиальным перемещениям внутреннего и наружного колец подшипника.
Если исходя из (2.15) представить относительное сближение колец шарикоподшипника как
Лх = 4-Р2/3, Л
где Р — нагрузка на подшипник, то радиальная жесткость собственно подшипника
c, = f (Ах) = -£- = №/2 Ах1/2.	(2.28)
76
С другой стороны, Р = С±х^ тогда можно Выразить радиальную жесткость сг подшипника в функции от перемещения наружного кольца
= f (х2) = К^х^/з.	(2.29)
Возвращаясь к (2,27) и учитывая (2.29), получим жесткость
опоры в функции от радиального перемещения наружного кольца
подшипника в упругой опоре
. (2.30)
(с^	t
--к--- х2 + 1
Графики функций = f (х2) даны на рис. 2.12 для трех значений параметра d = (^i)2/3//C, возра-стающего с увеличением жесткости упругой опоры. Если для подшипников типа 200 и 206 коэффициент К соответственно равен 0,409 • 106 и 0,746 • 106 кгс/см3/2 , то' при сг == ~500ч- 1000 кгс/см параметр d будет лежать в пределах (1,0ч- 5) 10“3см““1/3-
Из графика на рис. 2.12 видно, что в зоне малых перемещений жесткость опоры является нелинейной-Уменьшение жесткости упругой опоры уменьшает степень нелинейности
Рис. 2.12. Изменение радиальной жесткости шарикоподшипника в упругой опоре в функции от радиальногр перемещения наружного кольца подшипника (для различных значений жесткости упругой опоры)
жесткости всего узла, причем суммарная жесткость узла с меньше жесткости упругой опоры сг. Этот факт необходимо учитывать при расчете критических скоростей машины.
Аппроксимация нелинейной жесткостной характеристики подшипника степенным рядом. Восстанавливающая сила радиального шарикоподшипника определяется по выражению (2.22). В некоторых случаях, например при исследовании субгармонических колебаний в системах с шарикоподшипниками, можно для подшипника с нулевым предварительным натягом пользоваться для восстанавливающей силы более простым выражением, принимая за х абсолютную величину сближения колец подшипника,
Р (х) = Кх3/2,
(2.31)
которое все-таки неудобно для подстановки в уравнения движения ротора. Выражение (2.31) для приведения к более подходящему виду можно аппроксимировать степенным рядом
Р* (х) = ах + Ьх3 + ...	(2.32)
Так как функция Р(х) должна быть симметрична относительно х, в (2.32) отсутствуют члены с четными степенями х. Ограничимся членом, содержащим х в третьей степени. Коэффициенты а
77
и b выбираются Из условия, минимизации квадратичного уклонения между Р (х) и аппроксимирующей функцией Р* (х) на заданном интервале изменения х от х0 до хх:
Ц [Р(х)-.Р*(х)]Мх=0;
2	(2-33)
J [Р (х) - Р* (х)]Мх = 0.
*0
Вычисляя интегралы (2.33) в пределах от 0 дбД, и далее частные производные, найдем:
а = 0,584ДД1/2; b
Рис. 2.14. Зависимость коэффициентов аппроксимирующей функции от амплитуды радиального перемещения внутреннего кольца подшипника
Рис. 2.13. Аппроксимация нелинейной жесткостной характеристики шарикоподшипника:
1 — исходная Р —	2 — аппрокси-
мирующая Р = /< (0,584х 4- 0,455х3)
Если ожидаемый предел изменения х принять равным А = 1, то аппроксимирующая функция примет вид
Р* (х) = 0,584/Сх + 0,455/<х3.	(2.35)
На рис. 2.13 сравниваются жесткостные характеристики (2.32) и (2.35) на интервале изменения х от 0 до 1. Коэффициенты а и Ь, вычисленные для различных пределов изменения х, характеризуют преобладание линейного или кубического члена в аппроксимирующей функции, а следовательно, и стейень нелинейности системы. На рис. 2.14 показано изменение коэффициентов а и b с изменением амплитуды перемещений А. В области малых перемещений жесткостной параметр b при третьей степени хзначительно превышает параметр а. В области очень больших амплитуд параметр b можно считать малым, а систему — квазилинейной. 78
3. Динамика вала в подшипниках качения
Динамическая модель и уравнения движения ротора. Задача о движении ротора в подшипниках качения в совокупности всех факторов, влияющих на радиальную и осевую жесткость подшипника, сложна и требует решения на ЭВМ. Для аналитического исследования влияния наиболее существенных характеристик жесткости подшипника на динамику ротора примем ряд допущений, упрощающих расчетную схему.
Рассмотрим динамическую модель жесткого двухопорного ротора с центром тяжести, расположенным посередине ротора
Рис. 2.15. Расчетная схема ротора в подшипнике с пружинным осевым предварительным натягом
(ротор симметричен). Одну из опор представим в виде жесткого шарнира, допускающего только угловые перемещения ротора, а вторую — в виде радиально-упорного шарикоподшипника с системой, обеспечивающей осевой предварительный натяг (рис. 2.15). При выводе уравнений движения ротора не будем учитывать периодических изменений жесткости подшипника, вызываемых прохождением шариков относительно вектора радиальной нагрузки на подшипник. Мощность источника вращения считается неограниченной.
Исходя из этого аналитическое исследование радиальных перемещений ротора проводится в настоящем параграфе в предположении, что жесткость подшипника функционально зависит только от относительных смещений колец подшипника. Принятое условие жесткости ротора означает, что при вращении ротора в абсолютно жестких опорах на всем диапазоне рабочих скоростей критическая скорость ротора лежит значительно выше рабочей зоны.
Будем учитывать при выводе уравнений только статическую неуравновешенность ротора, предполагая, что главная центральная ось инерции ротора параллельна его геометрической оси. Центр тяжести ротора смещен от геометрической оси на величину
79
Рис. <8.16. Положение шипа в шарикоподшипнике
эксцентриситета е. Положение шипа в подшипнике показано на рис. 2.16. Здесь О — геометрический центр опор; 0х — положение геометрической оси ротора и О' — положение центра масс ротора с приложенной к нему силой инерции ротора Pj Л1еоа, где М — масса ротора.
Выберем неподвижные оси координат xyz с началом в точке О и подвижные оси с началом в точке О'. Выражение кинетиче-скойрнергии ротора, вращающегося вокруг неподвижной точки,
к кТ = ~2~
Йий	(2.36)
Здесь J £, 7^,	— главные мо-
менты инерции ротора-;
Обозначим	B эква-
ториальный момент инерции и = А полярный момент инерции ротора вместе с подвижными частями подшипника; со^, со-, й)я — проекции вектора угловой скорости ротора со на подвижные оси координат. Вычислим эти проекции с точностью до величин первого порядка малости, тогда:
— у; сол =	+ Р sin у. ,(2.37)
= Р cos у р; ==
В формулах (2.37) Р и у — углы между геометрической осью ротора и плоскостями xOz и хОу, Считая р и у малыми, можно положить Р = уИ и у = zll, где I — расстояние между опорами. Учитывая (2.37), найдем окончательно выражение для кинетической энергии ротора
Т = 4 [S (? + ?) + А (со2/2'+ 2со^)] 4 •	(2-38)
Учтем в подшипнике сопротивление, пропорциональное первой степени скорости колебательного движения. Тогда диссипативная функция	’
W = 4«(22 + ?).	(2.39)
При принятых допущениях радиальное упругое поле подшипника можно считать изотропным. Тогда проекции нелинейной восстало
навливающей Р (z) и Р (у).
силы Р (г) на оси координат можно записать как В результате для обобщенных сил имеем:
Qz = Р (z) + Ну- ^с°2 sin со?; £
Qy = P (y) + “I- л^с°2 cos <&t.
(2.40)
Используя уравнение Лагранжа и считая А В, приходим к дифференциальным уравнениям движения:
.«	л/2 •	/2	/2
z + ~~ z + -д- Р (г) = Me со2 sin at',
..	л/2 *	/2	/2
У + У + -у р (у) = -Me-jg со2 cos at.
(2.41)
Введем новые обозначения:
/2	/2	/2
= D; Ме±- = Н-, ±-P(z) = p(zy, -^-Р(у) = р(у). J	и	и
Окончательно получим уравнения вынужденных колебаний жесткого ротора с учетом линейных демпфирующих сил в подшипнике:
z + Dz + р (z) = Hat2, sin о?;
У + Dy + р (у) == Н(й2 COS CD?. j
(2.42)
Уравнения (2.42) не связаны между собой и их решения можно искать независимо друг от друга. В дальнейшем будем использовать для решения одно верхнее уравнение.
Ротор в подшипнике с нулевым предварительным натягом и зазором. При нулевом предварительном натяге и нулевом зазоре радиальную жесткостную характеристику подшипника можно представить в виде формулы (2.31). Для придания более удобного для подстановки в уравнения движения вида воспользуемся методом аппроксимации. Коэффициенты полинома (2.34) в интервале А от 0 до 2 будут: a = 0,827 К и b 0,322 К.
Подставив в уравнения движения (2.42) выражение для восстанавливающей силы в виде (2.32), получим
'z + Dz+ qz + bz* — //cd2 sin cd?.	(2.43)
Введем безразмерную частоту и безразмерное время:
Т= У^-t- v> У
6 А. С. Келрзон и др. .	81
Тогда уравнение (2.43) примет вид d2z . dz ,	, о 2 •
~dt* + 11 ~ЗГ + Z +	= ev Sm vr’
(2.44)
где

c3 = b/a.
Будем искать решение с частотой возмущающей силы, полагая, что в районе резонанса преобладает основная гармоника
Рис. 2.17. Амплитудно-частотная характеристика для ротора в шарикоподшипнике с нулевым предна-
z = А! sin vt + А а cos vt, где A2 + Al = г2 — амплитуда ра-диального перемещения ротора в подшипнике.
Подставив это выражение в исходное уравнение (2.44) и приравняв нулю коэффициенты при sin vt и cos vt, придем к уравнению	।
( 1 — va	-j- T]2V2 г2—
= e2v4.
(2.45)
С помощью соотношения (2.45) получим амплитудно-частотные характеристики рассматриваемой системы. На рис. 2.17 предста-характеристики для т] = 0 и
Неустойчивые части
тягом
влены амплитудно-частотные
различных величин возмущающей силы.
амплитудно-частотных кривых показаны тонкими линиями.
Более полный и строгий анализ колебаний ротора с учетом нелинейных свойств подшипника и нелинейного демпфирования дан в работах Э. Л. Позняка [82]. Задача ставится для вертикального ротора и горизонтального статически нагруженного. В постановке задачи учитывается радиальный зазор в подшипнике, но не рассматриваются безотрывные движения ротора. Восстанавливающая сила задается согласно закону Герца для шарикового подшипника и проектируется на координатные оси. Для вертикального ротора система уравнений движения записывается следующим образом:
Мх + 2FX = Me со2 cos оt\ Му + 2Fy = Me®2 sin со/, (2.46)
где Fx и Fy — проекции восстанавливающей силы и сил нелинейного демпфирования. Решение ищется методом гармонической 82'
линеаризации. При этом форма движения ротора задается в виде круговой прецессии:
х = A cos (of + ср); у = A sin (о/ 4- ф).	(2.47)
Решение показывает, что для жесткого вертикального ротора амплитудно-частотные кривые носят резонансный характер, т. е. из-за податливости подшипников существует резонансный режим движения ротора, а сами амплитудно-частотные кривые имеют явно выраженный нелинейный вид, соответствующий системам с «жесткой» характеристикой.
Для горизонтального гибкого ротора с жестко закрепленными
подшипниками решение ищется в виде суммы постоянных составляющих и гармоник основной частоты, так как в правой части уравнений движения имеются постоянные составляющие, появление которых, вызвано статической весовой нагрузкой, поэтому решение нельзя сводить к круговой прецессии. Исходные уравнения движения в этом случае имеют вид:
Л4ххг + сх (хх — ха) = Мxeoa cos со/;
Мгу\ + сх (yt — Уг) = Л1хей)2 sin G)t — A4xg-;
М2х2 -J—g" сх (ха — Xi) 4~ Fx = 0;
(2.48)
^2^2 4“ ~2~	(#2 — У1) “h Fy = — M2g.
> (2.49)
Здесь /Hi — масса диска; Л4а — масса подшипников и приведенные к подшипникам массы частей вала; сх — жесткость вала; Fx и Fy определяются по формулам:
Fx — К “Ь У2	а**2 a2x2x2’
Fy = (рГж2 + У1 — б)3/2	+ “1^2 + °W2>
где 6 — зазор в подшипнике; ах и аа — коэффициенты линейного и нелинейного демпфирования. Схема ротора, положение ротора в подшипниках показано на рис. 2.18.
Неизвестные амплитуды ищутся методом ортогонализации [81]. В результате показано, что резонансные скорости зависят от величины неуравновешенности и статической нагрузки. При этом критические скорости могут быть существенно меньше собственной частоты ротора на абсолютно жестких опорах. Увеличение зазора в подшипнике приводит к раздваиванию пика резонанса в горизонтальном и вертикальном направлениях; резонансы в горизонтальном направлении имеют место при меньших скоростях ротора, чем в вертикальном.
По сравнению с вертикальным ротором нелинейность системы со статически нагруженным горизонтальным ротором выражена 6*	83

в амплитудно-частотных характеристиках значительно слабее, а срывы и затягивания амплитуд имеют место лишь для гибких и сильно нагруженных роторов.
Снижение критической скорости ротора на подшипниках качения объясняется влиянием податливости собственно подшипника. Квазистатическая жесткость одного подшипника ищется из зависимости Р = Кг3/2 при дифференцировании по г
с0=4^=47(2/3 р1/3-	(2-5°)
Рис. 2.18. Схема расположения ротора в подшипниках: а — расчетная схема гибкого ротора в шарикоподшипниках; б — положение центра диска, центра масс и оси ротора относительно центра опоры
Если не учитывать массу Л12, то Р = OjSAljg' и первая критическая частота Qo найдется из выражения
а.
С1/Л41	1	_3/'27	’
~т+у теv a
(251)
где v = Кё^/с^ a =
' В качестве примера сравниваются расчетные и экспериментальные данные для установки с ротором весом 700 кгс, опирающимся на радиальные шарикоподшипники 320 с числом шаров i = 8,	= 36,5 мм и радиальным зазором 66—102 мкм. Вычис-
ленная по формуле (2.50) квазистатическая жесткость при нагрузке, равной 1/2 веса ротора, = 0,24 106 кгс/см. Собственная частота ротора в жестких подшипниках составляет Qoo = = 2130 1/с (20 300 об/мин). Расчетная же частота в опорах с коэффициентом жесткости cQ оказалась равной й0 = 760 1/с (7240 об/мин). Для подшипника 320 коэффициент пропорциональности в формуле Герца К = 3,2-106 кгс/см~3/2, v 0,5, а 0,1 и отношение статической деформации в подшипнике к эксцентриситету rQ/e = 2,64-4,0. Распределенная по длине неуравновешенность оценивалась в пределах е — 25 мкм. Жесткость ротора определялась как	= 3,15-106 кгс/см. Эксперимент
84
показал, что несмотря на различия в экспериментальном роторе и расчетной схеме, снижение критической частоты системы до п0 7500 об/мин действительно имело место. Также наблюдалось и некоторое раздваивание критических частот по вертикали и горизонтали.
Ротор в подшипнике с предварительным осевым натягом. Рассмотрим случай вращения ротора в подшипнике с предварительным осевым натягом и с радиальной жесткостной характеристикой, описываемой выражением (2.12). Уравнение вынужденных колебаний ротора можно записать следующим образом:
Z + Dz 4- 0)2 (k 4- z)
+ 70sin (of — e) ~ #o2sinof.	(2.52)
Здесь Од = -------собственная частота колебаний системы ро-
тор—осевая пружина; qQ = Р QP/B — относительное усилие предварительного осевого натяга.
Чтобы найти периодическое решение нелинейного уравнения (2.52), воспользуемся методом гармонического баланса [17].
Введем в исходное уравнение (2.52) новую «переменную и будем искать решение в виде
г — Д sin ср.	(2.53)
Тогда подстановка решения (2.53) в уравнение (2.52) приведет к следующим зависимостям:
— До2 = Яо2 cos е; /а = Яо2 sin е.	(2.54)
В выражении (2.54) 1\ и I* определяются интегралами:
Л = — f Р (Д sin ф) sin ф сйр;
ЗТ J о
2л
/2 = — f f (До cos ф) cos ф dtp ~ АоД.
л J о
(2.55)
В этих интегралах функция Р (A sin ф) получена после подстановки в выражение (2.26) для восстанавливающей силы решения z = A sin ф, а функция f (До cos ф) — ЯоД cos ф. Интеграл It при зычислении распадается на три интеграла:
2Л
2S— л
о
____________(6 + Л sin <р) sin <р__________________ . .
I’m —	(2в — Л sin ф) — (26 — Л sin ф)2
Z
85
2 2jt
(£Г f
— (k-\- A sin ф) sin ф t/ф = ФдЛ;
J L J
0
z 2л
-J- [ sin2 q> dtp = q0. J L J
0
Для отыскания первого интеграла подынтегральную функцию разложим в биноминальный ряд, сходящийся при А < 26:
а
2S
 Л
2Л	2
Г	(1И
f (A sin <р) sin ф dtp = 2S—
J	л
2л
a±k j sin ф б!ф + о
2л	2л
+ (ах -ф а2&) A J sin2 ф dtp -ф- (а2 4- а3£) A2 J sin3 ф dtp ф-о	о
2Л *	/	2л '	"
+ (а3 ф- а4&) Л8 J sin4 ф dtp (а4 ф- а5&) Л4 f sin5 ф dtp о	о	_
Здесь ах, а2, а3, а4 и а6 — коэффициенты разложения, определяющиеся по формулам:
25^ +^ = 2 [ (^=	+ 11;
2S(g I ah)- 2 Г1 I 3(Х~1)2 I 5	(2’56)
s + «4«)	4§2 (2%_ 1)8 I1 + d 2Х—1 +b(2X— 1)3J '
В уравнения (2.56) введен безразмерный параметр f d-Ш. \ I гж---------------------------- 1
---- 2/
характеризующий соотношение между радиальным зазором и геометрическими константами подшипника. С учетом полученных решений можно записать
h = ta2a2S (а! + a2fe) Д ф- 4 4- s (аз + а^)	~ ^А + q0. - (2.57)
В результате имеем систему уравнений, связывающих амплитуду и фазовый угол с частотой возмущающего усилия,
42S (ОС! 4- О2/г) Д + 4 4- S (Оз + а4/г) Д3 — иаА +
+ <7о — Да2 = На? cos е;
(2.58)
Da>A = На? sin 8.
86
Приведем уравнения (2.58) к более простому виду, решив их относительно е, для чего преобразуем исходные уравнения:
h	На1 - tg 8 = Z2/(/i - Ав2).	(2.59)
Коэффициентам при А и. Л3 для сокращения записи присвоим новые обозначения:
(0--Ll) = 2S(ai + a^); %-^ = 4~S(a3 + a^)- <2-60)
Параметры 0 и % постоянны и определяются геометрическими соотношениями в подшипнике. Введем безразмерные величины:
— о/(йа — безразмерная частота; % = А/26 — безразмерная амплитуда; v0 =	= Р0/(&са) — безразмерный натяг; т] =
= D/($a — безразмерный коэффициент демпфирования и h — = ///26 — безразмерный дисбаланс. Учитывая соотношения (2.60), приведем уравнения (2.59) к окончательному виду:
$ = 0 W +	- У	402 “ ^а:
(2.61)

Анализ решений нелинейных уравнений движения ротора в подшипниках с предварительным осевым натягом. Для идеально сбалансированного ротора h = 0 и без учета демпфирования решение (2.61) будет
Й« = 0 + ХВ2 + *О4
(2.62)
Последнее выражение представляет собой уравнение скелетной кривой. Ряд подобных кривых для трех значений безразмерного натяга (v0 = 0; 0,5; 5,0) при постоянном значении параметра X = 18 представлен на рис. 2.19. Параметр X рассчитан для подшипника 204 с радиальным зазором 6 = 2,5-10 3 мм. После вычисления постоянных 0 и % имеем
= 17 + 8,6£2 + v0/|.
Согласно этому выражению и построены скелетные кривые на рис. 2.19. Без учета уменьшения натяга центробежными силами шариков значение безразмерного натяга в радиально-упорных подшипниках может в десятки раз превосходить значение параметра X. Например, для подшипника 204 при PQ = 7,2 кгс натяг v0 = 280. Скелетные кривые для больших величин относительного натяга (v0,= 100; 50 при X = 1 и 18) построены на рис. 2.20. Как видно из рис. 2.19 и 2.20, при увеличении безразмерного натяга происходит смещение зоны безразмерных резонансных
частот в сторону их повышения. Однако безразмерная частота Qa “ («/«а)2 = 2Bo2/(/2ca). Следовательно, зона резонансных частот реального ротора зависит от его геометрических и массовых характеристик, а также от жесткости осевой пружины. Изменения X, а значит и радиального зазора в подшипнике незначительно влияют на характер процесса, изменяя крутизну скелетной кривой.
Определим максимально возможные величины амплитуд при наличии демпфирования. Так как выражение под корнем в правой части первого уравнения системы (2.61) не может быть отрицательным, необходимо ^выполнение неравенства	\
Рис. 2.20. Скелетные кривые ротора в‘шарикоподшипнике с большими усилиями предварительного осевого натяга: 1 _ v0 = 50; X = 1; 2 — Vo = 50;
X = 18; 3 — Vq ~ 103; X = 1
Рис. 2.19. Скелетные кривые ротора в шарикоподшипнике серии 204 с радиальным зазором 6—2,5-ИГ3 мм
Jt
Отсюда получим выражение, определяющее условие существования резонансного режима в системе с возмущающим усилием, пропорциональным квадрату частоты,
В (QJ < /гад.	- (2.63)
Точка пересечения скелетной жривой и линии (2.63) определит максимально возможную амплитуду при данной безразмерной неуравновешенности ротора h и демпфировании ф. На рис. 2.21 представлены амплитудно-частотные характеристики для К = 1, v0 = 50 и трех значений h = 0,1; 0,2; 0,3. Точки Лх, А2 и Л3 определяют максимальные амплитуды при h/x] = 0,10; 0,05 и 0,033.
Рассмотрим устойчивость ветвей амплитудно-частотных характеристик, для чего воспользуемся методом бифуркаций, изложенным в [41.
Зависимость (2.61),' представленная без учета демпфирования в виде
/(В, fifl) = 0 + x52 + ^--'4Q«-Q«=0’ 6	§
88
Описывает положение равновесия На плоскости параметров | и йа. Практически эти положения реализуются лишь в случае их устойчивости. Каждому положению равновесия консервативной системы соответствует определенное состояние равновесия на фазовой плоскости, поэтому устойчивость равновесных положений зависит от характера особых точек, меняющегося при переходе через так называемые точки бифуркации. В точках би-
Рис. 2.21. Амплитудно-частотные характеристики ротора в шарикоподшипнике с предварительным осевым натягом (X — 1, v0 = 50):
Лх — ft/T| = 0,1; А2 — 0,05; А3 — 0,033
амплитудно-частотной характеристики. На этой диаграмме точками бифуркации являются точки /И и Р. Точки, где (|, £2а) = = 0 и fd (|, Qa) = 0, также являются бифуркационными, но в них происходит изменение числа состояний равновесия (точка К). Кривая равновесных положений f _(£, £2а) делит плоскость на области, в которых f (£, Йа) < 0, и на зону, где f (|, £2а) > 0. На участке ОК положения равновесия устойчивы, так как на этом участке усилие предварительного натяга осевой пружины превышает осевые усилия, передающиеся через шарики со стороны ротора, и ротор не совершает гармонических движений, а амплитуда его колебаний равна нулю (в пределах принятых допущений об идеальности геометрии подшипника). В точке К ветвь ОК сливается с ветвью МК, а так как при изменении параметра Qa состояния равновесия на фазовой плоскости исчезают и появляются только парами, то ветвь КМ является неустойчивой. В этом случае на ветви ОК производная f'% (|, Йа) > 0, значит
89
в зойе, лежащей над Ветвью ОК и ограниченной кривыми КК' и LL', функция f (|, Qa) > 0. На рисунке эта зона заштрихована. Точки участков кривых, лежащих над заштрихованной областью, соответствуют устойчивым движениям ротора (выделены жирной линией). Точки участков кривых, лежащих под этой областью, соответствуют неустойчивым движениям ротора (тонкая линия).
Исходя из произведенного анализа можно сделать вывод, что ветви амплитудно-частотной характеристики, лежащие ниже скелетной кривой (см. рис. 2.21), являются неустойчивыми и при
Рис. 2.22. Бифуркационная диаграмма устойчивости для ротора в шарикоподшипнике с преднатягом
разгоне ротора должен произойти скачок амплитуды на верхнюю устойчивую ветвь. Возвращаясь к рис. 2.17 (подшипник с нулевым натягом), отметим, что здесь скачок амплитуды будет не при разгоне, а при выбеге ротора. При разгоне же будет наблюдаться «затягивание» амплитуды в зону высоких частот.
Можно воспользоваться нелинейными свойствами шарикоподшипника с предварительным осевым натягом и, подобрав необходимый натяг, проходить зону резонанса без значительного увеличения амплитуды колебаний ротора. Подшипник в данном случае будет играть роль регулятора колебаний (аналогично демпферу сухого трения). При расчете натяга, необходимого для перехода через зону резонанса, следует учитывать уменьшение натяга центробежными силами шариков.
Уравнение скелетных кривых (2.62) с учетом центробежных сил шариков
= е + № + (v0 - <^) 4 •	(2.64)
о
Здесь сг — безразмерный параметр, определяемый конструктивными параметрами подшипника,
/2	1	Л	-
а ” ~в У ?Ро’ •
90
а центробежная сила для одного шарика Рц подсчитывается по формуле (2.9).
На рис. 2.23 построены скелетные кривые с учетом центробежных сил шариков для подшипника с параметрами 0 = 17,0, % — 8,6, п = 1 и ряда значений .безразмерного натяга v0. Скелетная кривая, построенная для v0 = —5, характеризует работу вала в подшипнике с отрицательным натягом (зазором). Сравнивая кривые на рис. 2.21 и 2.23, можно заметить, что центробежные силы шариков уменьшают зону неустойчивости под скелетной кривой, а в случае малых натягов эта зона отсутствует вовсе.
Рис. 2.23. Скелетные кривые ротора в шарикоподшипнике с преднатягом с учетом центробежных сил шариков (штриховая линия объединяет точки с вертикальными касательными)
Следовательно, для перехода через резонансную зону потребуется больший натяг, причем для каждого безразмерного дисбаланса h потребуется своя минимальная величина v0, при которой такой переход возможен. Аналитически условие, при выполнении которого осуществим^ переход через резонанс, выразится формулой
(а + h) (9 + %) 1 — 2/i
(2.65)
Задаваясь типом подшипника, характеристиками ротора, его дисбалансом, можно, пользуясь выражением (2.65), найти необходимые усилия предварительного осевого натяга, при которых будет обеспечен минимальный уровень вибрации основной частоты. Но в то же время анализ показывает, что даже относительно малые изменения в осевом поджатии могут привести к значительным изменениям в общем уровне вибраций машины, что подтверждается часто на практике.
4. Субгармонические колебания ротора в подшипниках качения
Колебательные явления, возникающие при вращении вала в подшипниках качения, не сводятся только к колебаниям основной частоты —.частоты вращения вала. При вращении вала в подшипниках качения возникают субгармонические колебания,
91
параметрические, комбинационного типа, зависящие от большого числа факторов — скорости, нагрузки, геометрии дорожек и тел качения, чистоты контактирующих поверхностей, радиального зазора и нелинейности радиальной и осевой жесткостей подшипника. Все это вызывает значительные трудности в точном математическом описании движения ротора, приводит к необходимости упрощать задачи. В результате мы имеем лишь приближенные решения, правда удовлетворяющие в той или иной мере требованиям, предъявляемым практической стороной дела.
Как было показано в п. 2, нелинейная жесткая характеристика шарикового радиального подшипника, описываемая законом Герца, может быть представлена в виде аппроксимирующей функции f (у) = ay + by3, и уравнение движения ротора по одной из координат записывается в виде
У + ay + by3 = //w2 cos со/.	(2.66)
Уравнение (2.66) относится х классу уравнений Дуффинга. Теоретически и экспериментально доказано, что в нелинейных системах, подчиняющихся уравнениям Дуффинга, существуют колебания, частота которых меньше частоты возмущающей силы в два или три раза. Такие колебания называются субгармоническими порядка 1/2 и 1/3 (в отличие от ультрагармонических, частота которых выше частоты возмущающей силы). Субгармонические колебания появляются в нелинейной системе в виде субгармонического резонанса, когда частота возмущающей силы кратна собственной частоте линейной системы [75 L Уравнения, описывающие движение ротора в подшипниках качения, существенно нелинейны, а податливость самих шарикоподшипников приводит к значительному снижению резонансных скоростей, поэтому и субгармонические колебания валов на шарикоподшипниках могут возникать в рабочем диапазоне скоростей. Дак как в уравнении (2.66) коэффициент при нелинейном члене того же порядка величины, что и при линейном, то для решения этого уравнения обычные асимптотические методы, используемые при исследовании квазилинейных систем, здесь не применимы. Воспользуемся методом изображающей функции, изложенным в монографии О. Блакьера [17]. Этот метод относится к частотным методам анализа и распространяет на нелинейные системы понятие передаточной функции, называемой в этом случае изображающей функцией.
Субгармонические колебания ротора в жестких подшипниках. Предположим наличие в исследуемой системе вязкого линейного трения. Уравнение (2.66) после введения демпфирования примет вид
У +'ПУ + аУ + by3 = Я(о2 cos (о/.	(2.67)
92
Будем полагать, что в системе, описываемой уравнением (2.67), существуют субгармонические колебания порядка 1/2. В этом случае решение уравнения (2.67) будем искать в виде
у = A cos (at— 8i) + В cos 1 — e2\ •	(2.68)
Подставим (2.68) в левую часть уравнения (2.67) и, обращаясь к методу изображающей функции, запишем:
U — у	+ ay Jr by3 = —До2 cos (at— ----~а2 X
fa, \ я . / ±	\ В .fa, \.
X cos ( -s-1 — е2) — т]Дсо sin (at — ej — rj о sin (	1 — е2) —j-
\ Z	j	£	\	j
4-«Л cos (со/— e1)+aBcos —е2) 4“ b~B(2Az-j-
4~B2)cosf-yf—е2) +	Л(Л2 + 2В2)со8(<о/— ei) 4*
4- b4-^2^c°s (4	— 28x+ е2) -j- b -^т- cos — зА +
+ b АВ2 cos (282 — ej) 4-.	(2.69)
Согласно определению изображающей функции допустимо применение комплексной записи для у (f) и U (/):
y(t) =	+y2(t) = Aexp[i(at — ej)]4-Bexp if^t—82);(2.70)
U (0 = У + ЪУ 4- аУ + Ь Г тв (2А* + fi2) exP (— ^2) L
/. co • Л .
V T 7 +
exp
+ &Г|Л(424-2В2)ехр(-1-81)
exp (iat) +
/. 3	,\ .
v -2 ®Q+
4- b AB2 exp [— i (8i — 2e2)] 4~  • • .
(2.71)
Перегруппировав одночастотные слагаемые, можно выражение (2-71) разделить на три части:
С7 (/) = 1/х (о 4-1/2 (о 4-д (о = й + Wi + «Ух 4-ь +
С <й/ — 2ех \
3,0
А Г 3 44
В2
В2 Г / 3	V
+ -4-ехр [Z —482J
93
В результате получим двухчастотную изображающую функцию:
(2.73)
, Л,в)= —^+[а + &|(2Ла + В2)] + г--|т1- (2.74)
При этом необходимо потребовать, чтобы Д (f) = 0, т. е.
ЗД2ехр
г . / 3 , л ехр i (-x-at — 4е2
ЗЛВехр [i(e2— ех.)] = 0.
(2-75)
Представляя §озмущающее усилие в виде Я<в2 ехр (iat), получаем два уравнения:
£2 (со, Л, В) = ехр (i61); В2 (-J, Л, в) = 0.	(2.76)
Приступая к определению неизвестных амплитуд и фазовых углов, разделим вещественную и мнимую части в первом уравнении системы ,(2.76):
(йДт) = //со2 sin ех;
— <в2Л + Л Га + b у (Л2 + 2В2)
= Я СО2 COS 61.
(2.77) -
Далее положим »] = 0 и = 0, л. Тогда из (2.77) найдем
4Яо2
4 (а — а>2)+36(42 + 2В2) *
(2.78)
При b = 0 уравнение (2.78) дает значение амплитуды А для линейной системы с собственной частотой <о0 — У а. Из второго уравнения системы (2.76) получим
Л2 _ 0)2 — 4а	В2
А ” Ы	2 ’
(2.79)
Подставив (2.79) в уравнение (2.78), найдем окончательно выражение для амплитуды основной частоты
8Я(о2
4а —7со2+9B2Z? *
(2.80)
Дополнительное уравнение для определения соотношения между амплитудами А и В найдем из условия Д (?) = 0. Полагая ех = 0, выделим вещественную часть из этого уравнения
ЗД2 cos ~ ast 4- В2 cos (~ со/ — 4е2^ === — ЗДВ cos е2. (2.81) л	\	/
(3	\
— 4е2) и приравняем коэффициенты при
94
л
sin у со Л Получим 5^sin4e2=:0, откуда следует, *гго на некотором установившемся режиме 4е3 = л. Предположим, что при этом В > А, тогда будем иметь
1/* 9	Q
А =—~ В cos j at.	(2.82)
Смысл выражения (2.82) будет ясен, если учесть, что А — амплитуда колебаний ротора, происходящих с частотой, равной частоте вращения ротора. Движение ротора в этом случае представляет собой круговую синхронную прецессию. Так как при субгармо-
нических колебаниях на основные колебания накладывается еще одна частота, то прецессия ротора не будет круговой и центр шипа ротора опишет три полных колебания около положения статического равновесия за два оборота ротора, т. е. частота прецессии ротора равна 3/2о.
Из полученных для амплитуд зависимостей видно, что-характер движения ротора в подшипнике зависит от соотношения между жесткостными коэффициентами а и Ь, которые, в свою очередь, являются функциями от начальных условий, от ^области; .изменения координаты у. Решив уравнение (2.80) относительно В, получим
д2 _ 8Ясо2 + (7со2 — 4а) А .
b “	ЪЬА
Рис. 2.24, Границы возникновения субгармонических колебаний порядка 1/2 для двухопорного ротора с жестко установленными шарикоподшипниками
(2.83)
Отсюда вытекает условие возникновения и существования субгармонических колебаний порядка 1/2 для рассматриваемой системы
#<й2^~(4а—7<в2).
О	'
Если положить со?—собственная частота линеаризованной системы ротор—подшипники, то, введя безразмерную частоту £2 = cd/cd о и безразмерную амплитуду = Д/26, где 2S — радиальный зазор в подшипнике, получим уравнение, определяющее нижнюю границу возникновения субгармонических колебаний при жесткой установке подшипников в корпусе
_	4
* 7 + (8/1/Ы *
(2.84)
На рис. 2.24 представлены границы возможного появления субгармонических колебаний порядка 1/2 на плоскости пара-95
метров Q и для нескольких значений относительной неуравновешенности h. Как следует из выражения (2.84), даже при идеальной балансировке ротора возможно появление субгармонических колебаний при Q > 0,755. Определение верхней границы для случая жесткой установки подшипников не представляется возможным. Однако в системах с нелинейными жесткостными характеристиками, аппроксимируемыми полийомом типа f (у) = = ay + by3. кроме колебаний порядка 1/2 возможны и колебания порядка 1/3. Следовательно, в системах с жесткими подшипниками качения можно ожидать перехода колебаний одного из указанных типов в другой. Понижение же границы возникновения субгармоник порядка 1/2 (рис. 2.24) при малых амплитудах основной частоты важно для высокоскоростных прецизионных роторных машин, например шлифовальных шпинделей. Роторы подобных машин являются жесткими. Они работают на докри-тических скоростях, имея значительный запас скорости до критического числа оборотов (не менее 25%). В процессе эксплуатации электрошпинделей нередки случаи, когда тщательно сбалансированный ротор в новых подшипниках качения не дает требуемой точности вращения, что объясняется возникновением дополни-. тельных гармоник вибрации, так как даже незначительная разбалансировка или появление зазора в подшипнике из-за устранения усилия предварительного натяга силами инерции шариков (при недостаточной величине этого усилия) резко снизит границу субгармонических колебаний вплоть до зоны рабочих оборотов.
Субгармонический резонанс. Рассмотрим субгармонические колебания в системе ротор—упругий подшипник качения, для чего обратимся к общей динамической модели, принятой в гл. 2 (см. рис. 2.11). Характеристика жесткости собственно подшипника принималась в виде Р (XJ = жесткостная характеристика ч внешнего упругого поля принималась линейной с коэффициентом жесткости с±. Было показано, что влияние нелинейной жесткости подшипника при установке его в линейное упругое поле, коэффициент жесткости которого на несколько порядков меньше, коэффициента К в формуле Герца, становится незначительным. Упругую характеристику всей опоры в этом случае можно представить в виде
Р (Х1) = С1Х! + С*Х1,
где с* — cjK — величина малая. Пренебрегая колеблющейся массой опоры т2, запишем уравнение колебаний системы
miXi + £i*i +	— Н cos со/.	(2.85)
Возмущающее усилие И пропорционально квадрату угловой скорости: Н = Месо2, где Me—неуравновешенность ротора.
Введем новые переменные: хх/6 = | (6 — радиальный зазор в подшипнике); Н/пъЬ = /i;	— у; cilnti =
96
Уравнение (2.85) в безразмерных величинах запишется
. |	+ у £3 = h cos со/.	(2.86)
Здесь со0— собственная частота линейной системы с жесткостью упругого поля q; • у — малый параметр.
Рассмотрим возможность возбуждения в системе (2.86) субгармоники порядка 1/2. Предположим, что основная частота субгармонических колебаний в системе со слабой нелинейностью близка к собственной частоте системы о0. Так как рассматриваются колебания порядка 1/2, то возмущающее усилие (частота вращения ротора) должно быть в два раза выше частоты субгармоники.
Решение уравнения (2.86) будем искать в виде:
1= 1о(/)+т11(О; <0? -	(Xi; ^).	(2.87)
Подставляя (2.87) в (2.86) и пренебрегая членами, содержащими у в степени выше первой, получим
to + Т 1*1 + <*1 lo + Y“i 11 — У&11о + У 1о = h cos 2<В1/. (2.88)
Порождающее решение найдем из уравнения
’£0 + (йЦо h cos 2(Bi/.	(2.89)
Предположим, что это решение содержит составляющую с частотой 0J и частотой субгармоники 2<йь т. е.
Io = cos 2о)1/ + Х2 cos Ох/.	(2.90)
В решении (2.90) Х2 — амплитуда субгармонической составляющей, а амплитуду составляющей основной частоты (частоты возмущающей силы) получим после подстановки решения (2.90) в уравнение (2.89) и приравняв коэффициенты при со5 2(ох/:
= —/г/(3(й1).	(2.91)
Порождающее решение (2.90) соответствует линейной консервативной системе, описываемой уравнением (2.86) при у = 0. Первое слагаемое описывает при этом вынужденные колебания, а второе — свободные незатухающие при условии | = 0 и при /0 = 0. В линейной системе справедлив принцип суперпозиции и нет никакого соотношения между частотами обеих колебаний. В нелинейной системе при у =£ 0 на частоты колебаний и их амплитуды налагаются определенные соотношения. Поправочный член к решению получим из уравнения (2.88), выделив члены с малым параметром у,
11 + Olli = ь Ло — 13.	(2.92)
7 А. С. Кельзон и др.	х	97
Это уравнение после подстановки в правую часть порождающего решения примет вид:
Il +	= (bl —	X?) Х2 COS (Hit +
(bi---j Xi—X|) Xi cos 2(oi? — (-т-M — -г XI'j X2C0S Зон/
— 4 XiX| — 4 ХД1 cos 4<bi£ — 4- XiX2 cos 5wi^ — 4^4*	4
— 1X? cos 6<B!/.	(2.93)
Решение уравнения (2.93) из-за наличия в правой части этого уравнения слагаемого с собственной частотой системы имеет вековой член. Однако бесконечный ряд по степеням у, в который разложено решение | (/), представляет собой ограниченную функцию (ищется нерезонансное решение). Поэтому необходимо исключить вековой член, потребовав, чтобы
bl = 4 (2Х! + Xi).	(2.94)
Подставив (2.94) в выражение (2.87), получим
<Й5 = М§+|?(2Х? + Х1).
Подставим сюда значение Xj
йЛ—соЫ = 4 V (^ h2 + ХМ) .	(2.95)
Уравнение (2.95) дает искомую зависимость между амплитудой субгармонического колебания и его частотой. Возмущающая сила пропорциональна квадрату угловой скорости, т. е. h —	=
= £ о2 = е4(о|. Учитывая это, получим из уравнения (2.95) выражение для амплитуды субгармонической составляющей
=“• V (вд-'-тмЖ ’	<2-96)
где = (Di/coo—относительная частота субгармонических колебаний.
Отсюда найдем минимальную частоту, при которой существуют субгармонические колебания порядка 1/2
+	(2’97)
98
i
Из формулы’(2.97) следует, что возможные значения частоты субгармонических колебаний в случае с упругим подшипником немного больше собственной частоты линейной системы и зависят
от относительной неуравновешенности ротора е. Зависимость амплитуды субгармонических колебаний Х2 от относительной
частоты представлена на рис. 2.25, амплитудно-частотная характеристика построена для е = 1 и %	~ “ Ю. Здесь же
построена для сравнения амплитуда основной частоты. Субгармонические колебания в рассматриваемой системе с упругим
подшипником носят резонансный характер. При этом частота возникновения субгармоники почти совпадает с удвоенной собственной частотой системы ротор— опоры. Так же как и в случае основного резонанса, рост амплитуды при субгармоническом резонансе ограничивается демпфированием, а при достаточно большом сопротивлении субгармонические колебания вообще не могут существовать [40].
Как следует из уравнения
7
6
5
4 J
2
1
0
0	1,0	2.0 3.0 ЬО 5.0 а0
Рис. 2.25. Амплитудно-частотная характеристика субгармонических колебаний порядка 1/2 ротора в упругих шарикоподшипниках
(2.93), при вычислении поправки
первого порядка появляются добавочные составляющие, в том числе постоянная составляющая, составляющие с частотами Зфх,
4(1^, 5а»! и 6<йх. При решении эти составляющие были отброшены, поэтому форма колебаний ротора может включать и некоторые из этих частот. Еще одним вероятным режимом колебаний может быть режим, сопровождающийся субгармоникой порядка 1/3. Зона возбуждения этой субгармоники соответствует скорости вращения со = Зсоо [40]. При скоростях вращения, равных двойной и тройной собственной частоте ротора в упругих подшипниках, возможно появление субгармонических резонансов. При этом прецессия ротора не является круговой, что особенно важно для установок, требующих прецизионности вращения, у которых зона рабочих оборотов не должна совпадать с указанными частотами (шпиндели шлифовальных станков).
Субгармонические колебания порядка 1/2 были обнаружены
при решении задачи о движении вертикального статически и динамически неуравновешенного ротора в упругих подшипниках качения на аналоговой вычислительной машине. За исходную динамическую модель принималась система с радиальным зазором в подшипнике. Жест кости а я характеристика представляла собой кусочнонепрерывную функцию радиального перемещения ротора по типу характеристик, рассчитанных для упругого шарикоподшипника (см. рис. 2.12). Субгармонические колебания
у*
99
наблюдались и при моделировании системы с предварительным осевым натягом, причем зона существования субгармоник располагалась за второй критической скоростью как в случае пред-натяга, так и в случае зазора (моделировался ротор с двумя упругими опорами). Область существования субгармонических
Рис. 2.26. Субгармонические колебания порядка 1/2 ротора в двух упругих шарикоподшипниках (решение на аналоговой вычислительной машине): а — неустановившийся режим колебаний; б—-установившийся режим;
1 — траектория движения шипа; 2 — осциллограмма колебаний tio двум координатам; 3 — фазовая траектория движения шипа
колебаний распространялась до со — 1,8со£, где со£—первая критическая скорость ротора. Можно выделить два типа этих колебаний — установившиеся и неустановившиеся. Пример не-установившихся колебаний дан на рис. 2.26, а для со == l,65cOi. На этом рисунке представлены: траектория движения шипа ротора, полученная на плоскости координат у и г, осциллограмма колебаний того же шипа по двум координатным осям у и г, фазовая траектория движения этого же шипа в координатах у и у, снятые с экрана осциллографа при решении на аналоговой машине. На рис. 2.26, б даны те же характеристики на установившемся режиме колебаний при со = 1,69сох. Отличие установившегося режима колебаний от неустановившегося заключается в том, что 100
на неустановившемся режиме в решении присутствует некоторая переменная составляющая с малой частотой изменения. Решение показало, что частота прецессионного движения ротора равна 3/2со. Следовательно, центр шипа описывает траекторию, подобную представленным на рисунке, за два оборота ротора. Здесь следует обратиться к выражению (2.82), дающему соотношение между амплитудой колебаний основной частоты и амплитудой субгармоники как функцию косинуса с частотой 3/2со: теоретическая частота изменения радиуса прецессии и полученная в результате решения на АВМ совпадают.
Фазовый портрет системы аналогичен фазовому портрету, полученному аналитически Т. Хаяси [106], для системы, описываемой уравнением Дуффинга, как на установившемся, так и на* неустановившемся режимах. Т. Хаяси в своей работе отмечает, что подобная фазовая траектория проходится системой за удвоенный период возмущающей силы, т. е. за два оборота ротора в нашем случае.
При опоре вращающегося вала на подшипники качения кроме субгармонических могут возникать и так называемые комбинационные колебания [114], природа которых также связана с нелинейной жесткостью подшипника. Комбинационные колебания состоят из двух движений с частотами, соответствующими собственным частотам системы (Oi р/ и со2 р2, причем абсолютная величина суммы или разности этих частот равна частоте вращения вала со, которая является также и частотой возмущающей силы, обусловленной статической и динамической неуравновешенностями ротора. Максимумы амплитуд этих колебаний возникают при угловой скорости ротора со |(0j	со2|.
Колебания ротора при этом представляют собой сумму кли разность двух движений с частотами Pi и р2. Если оба движения, имеющие место при комбинационных колебаниях, представляют собой прямую прецессию или оба обратную, то возникают только колебания суммарного типа.
В системах с упругими подшипниками качения отстройка от субгармонических и комбинационных колебаний состоит в перераспределении зон возможного возникновения указанных режимов колебаний относительно рабочей частоты вращения путем изменения жесткости упругого поля подшипника.
ГЛАВА 3
СНИЖЕНИЕ ВИБРОАКТИВНОСТИ РОТОРОВ МАШИН
1.	Повышение точнооти изготовления, балансировки и монтажа роторов
В предыдущих главах было установлено, что динамические нагрузки (вибронагрузки) на опоры роторых машин вызываются следующими факторами, или источниками виброактивности:
1)	остаточной неуравновешенностью ротора после балансировки;
2)	неуравновешенностью ротора в результате разбалансировки в процессе эксплуатации;
3)	температурным эксцентриситетом ротора;
4)	погнутостью вала;
5)	радиальной несоосностью валов;
6)	угловой несоосностью валов;
7)	анизотропией жесткости ротора;
8)	овальностью цапф в подшипниках скольжения;
9)	дефектами деталей подшипников качения;
10)	неравномерностью воздушного зазора в электрических машинах;
И) факторами, вызывающими автоколебания роторов (силы внутреннего трения в материале ротора и позиционные силы, действующие со стороны смазочного слоя на цапфу);
12) прочими факторами, носящими нерегулярный характер (задевание ротора о статор, дефекты приводных устройств и т. п.)*
Уровень динамических нагрузок на опоры, вызванных отдельным фактором, зависит как от численной величины данного фактора, так и от упруго-инерционных и демпфирующих характеристик роторной системы. Последние определяют функциональную зависимость нагрузки от фактора.
Снижение уровня динамических нагрузок на опоры может осуществляться при этом как путем уменьшения численных величин перечисленных факторов за счет повышения точности изготовления, балансировки и монтажа роторов, так и путем направленного изменения функциональных зависимостей нагрузок от факторов за счет оптимального выбора упруго-инерционных и демпфирующих характеристик роторной системы.
В зависимости от, конструкции и условий эксплуатации роторной машины некоторые из перечисленных выше факторов могут заведомо отсутствовать. В целях конкретизации предположим, 102
что уровень нагрузок на опоры рассматриваемого типа роторных машин зависит от т факторов qt (i = 1, 2, ..., tri).
В реальных машинах любой фактор, за исключением анизотропии жесткости, является случайной величиной, которая может принимать значения в интервале от нуля до верхней границы поля допусков Q*. Анизотропию жесткости ротора можно считать детерминированной величиной.
Векторы динамических нагрузок на опору R,, вызванные факторами qh являются вращающимися случайными векторами
Рис. 3.1. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б) закона Релея
щения вектора Rz зависит от природы qt и может быть равна со или кратна ей.
Известно, что погрешности геометрической формы деталей, ошибки взаимного расположения поверхностей и некоторые другие технологические неточности являются причинами факторов qt и подчиняются распределению Релея [23]. Кроме того, модуль случайного вектора, начальная фаза которого распределена равномерно, также подчиняется распределению Релея.
Распределение Релея определяется одним параметром ог0 — радиальным средним квадратическим отклонением исходного двумерного нормального распределения, или круговым рассеиванием.
Пл отн ость вер оятн ост и	распределения	Релея	определяется
по формуле . 0	при х < 0, П*)= х — е 0 при х > 0, _ ао где х—возможные значения случайной величины			(3.1)
Функция распределения * F (х) =  1 1	имеет вид 0	при х X* ~2ао —е 0 при к	<0, >0.	(3-2)
103
Графики плотйостй вероятности (3-1) и функций распределений (3.2) в зависимости от переменной x/aQ показаны на рис. 3.1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны:
М [X] - 1,253о0; о [X] = О,655о0. ..	(3.3)
Если известно предельное максимальное значение хтах, которое может принимать случайная величина X, то числовые характеристики (3.3) легко могут быть определены с помощью правила «трех сигм». Согласно этому правилу, все практически возможные значения (точнее 98,89%), которые может принимать случайная величина X, находятся в пределах 0 х Зо0. Отсюда имеем лтах Зо0, или
~з ^тах*	(3-4)
Подставив (3.3) в (3.4), получим:
М [X] ~ 0,42хтах; в [Х]^ 0,22%тах.	(3.5)
Аналогичным образом можно определить числовые характеристики случайных величин 7?(-. Задавшись для каждого фактора qt верхней границей поля допусков q* и вычислив соответствующие им максимальные динамические нагрузки 7?*, по аналогии с (3.5) можно записать:
М [7?z] « 0,427??; о [7? J 0,22/??.	(3.6)
Суммирование вращающихся случайных векторов одной частоты целесообразно производить в системе координат, вращающейся с этой же частотой, так что векторы по отношению к ней будут неподвижны.
Для суммы статистически независимых векториальных случайных величин (случайных векторов с нулевым математическим ожиданием) справедливо следующее равенство [1 ]:
т
а2 = X al	(3.7)
где о — среднее квадратическое отклонение модуля суммарного случайного вектора; о£ — то же f-го случайного вектора.
Тогда, из формул (3.6) и (3.7) получим:
М [/?] ^ 0,427?с*к; о [7?] ^ 0,227?*к,	(3.8)
где R — модуль суммарного случайного вектора; 7?*к — среднее 1	квадратическое значение модулей максимальных динамических
t	нагрузок 7?*, определяемое выражением
Гт,	> '
Яс*к = у X (Я*)2-	.(3.9)
104
Плотность вероятности и функция распределения модуля описываются формулами (3.1) и (3.2) с параметром
(3.10) О
Теперь рассмотрим случай суммирования вектора V, имеющего постоянный модуль V и равновероятное распределение начальной фазы, с вектором W, имеющим распределение Релея. Предполагается, что вектор V вызван детерминированным фактором, например анизотропией жесткости ротора. Требуется найти закон распределения и числовые характеристики вектора z - V + W.
Проекции вектора V на декартовы оси координат ху подчиняются распределению арксинуса [1]. Плотность вероятности равна
О при vx^z — V;
О при vx > V.
Математическое ожидание М [Vx] = 0; среднее квадратическое отклонение о [Ух1 — 0,707V.
Проекции вектора W имеют нормальный закон распределения с плотностью вероятности
Ф (wx) = —— exp (— wx/2ox),	(3.12)
у Л/ТЮjc
где gx — круговое рассеивание модуля W.
Числовые характеристики: М ~ 0; о [Wx] — вх.
Композиция законов распределения (3.11) и (3.12) имеет весьма сложный вид, поэтому ограничимся приближенным суммированием. При этом закон распределения величины Zx = Vx + Wx аппроксимируем нормальным распределением, имеющим следующие числовые характеристики:
М IZJ = М IVJ + М = 0;
о2 [Zj = о2 [Vxf+a2 [IVJ - 0,5V2 + а‘1.
Плотность вероятности
f Ы	- г-'2 <«S1/’ + ’ЭЬ	<3-13>
|/ у 0,5г2 + а2
Аналогичное выражение можно записать и для f (<гу). Исходному двухмерному нормальному распределению соответствует распределение модуля Z по закону Релея с круговым рассеиванием
. Оо = / a* -j_ 0,5V2.	(3.14)
105
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение модуля суммарного вектора равны:
М [Z] 0,427?сК; <Т [Z] 0,22/?с*к; RL 3 v ai + 0,5V5. (3.15)
Очевидно, что точность формуд (3.13)—(3.15) уменьшается с возрастанием отношения V/cx.
Если вектор W, в свою очередь, является суммой векторов Rz, то в формулах (3.15) вместо ах нужно подставить величину 1/37?*к> определяемую выражением (3.9).
Снижение уровня динамических нагрузок на опоры может z быть достигнуто двумя путями:
1) уменьшением числовых характеристик случайных факторов д*, что соответствует повышению класса технологической точности;
2) при тех же q*, но направленным изменением функциональной зависимости между Rt и qh что соответствует изменению упруго-инерционных характеристик роторной системы.
В том и другом случае для оценки эффективности мероприятий по снижению уровня нагрузок на опоры необходимо:
1)	выявить все факторы qi9 вызывающие нагрузки R; одной частоты;
2)	установить функциональные зависимости между qt и R[ до и после внедрения мероприятий;
3)	назначить верхние границы поля допусков q* и вычислить соответствующие им нагрузки R* до и после внедрения мероприятий;
4)	произвести суммирование случайных векторов на каждой частоте и определить их числовые характеристики;
5)	вычислить снижение уровня нагрузок на каждой частоте как отношение математических ожиданий суммарных нагрузок до и после внедрения мероприятий.
Приведенная методика позволяет производить приближенную теоретическую оценку эффективности внедрения того или иного мероприятия.
Теперь рассмотрим некоторые вопросы, связанные с обработкой экспериментального статистического материала.
Предположим, что имеются результаты измерений уровней динамических нагрузок на опоры п роторных машин. Обработку статистического материала целесообразно проводить применительно к решению следующих двух основных задач:
а)	проверки правдоподобности имеющихся теоретических результатов;
б)	нахождения оценок и доверительных интервалов числовых характеристик ожидаемых динамических нагрузок.
Для решения первой задачи можно воспользоваться методом А. Н. Колмогорова [25]. Суть его заключается в следующем.
Строятся статистическая Ф (R) и предполагаемая теоретическая F (R) функции распределения нагрузок на каждой частоте^ 106
Находится D — максимум модуля разности между функциями. Далее определяется величина X = D V п и по таблице (приложение 1) находится Р (X) — вероятность того, что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение Ф (7?) и F (R) будет не меньше, чем фактически наблюденное. Если вероятность Р (X) велика (более 0,1), то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F (R) с опытным Ф (R) не опровергается, если же Р (X) мала, то расхождение между ними следует признать не случайным и гипотезу отвергнуть.
Вторая задача вызвана тем, что при небольшом числе испытаний экспериментальный материал содержит значительный элемент случайности, поэтому случайными оказываются и все числовые характеристики, вычисленные на основе этих данных. В таких условиях может быть поставлена задача лишь об определении оценок и доверительных интервалов искомых числовых характеристик [25].
Оценка математического ожидания определяется равенством
1 Д
R =	(3.16)
п Z=1
Предполагая, что имеет место закон распределения Релея, оценка кругового рассеивания находится по формуле
а0 = ~з-Я~°,8Я.	(3.17)
Доверительный интервал кругового рассеивания является несимметричным и определяется формулой
. Р {ViOo < о0 гС 2а0} = р,	(3.18)
где р — доверительная вероятность, т. е. вероятность того, что интервал со случайными концами (У1О0, у2ог0) накроет неизвестную величину сг0; 71» у 2—коэффициенты, определяемые по таблице (приложение 2).
Доверительный интервал математического ожидания определяется выражением
P^R^M [R]^v2R\ = р.	(3.19)
Используя правило трех сигм, заключаем, что с вероятностью р все практически возможные значения, которые сможет принимать находятся в пределах
(3.20)
Если результаты измерений нагрузок получены в децибеллах, то для статистической обработки их нужно перевести ь килограммы, так как величина L ~ lg R имеет распределение, отличающееся от распределения Релея.
107
Пример 3.1. Применим вышеизложенную методику к вероятностной оценке уровней динамических нагрузок на опору 2 ротора турбогенератора общепромышленного применения, изображенного на рис. 3.2.
Исходные данные: п = 3000 об/мин; = 2500 кгс; Gt = 1800 кгс; = = d2 = 22 см; — 52 см; = 393 с"1; роторы^соединены жесткой муфтой и
Рис. 3.2. Расчетная схема ротора турбогенератора
опираются на подшипники скольжения с % — 0,6; ротор генератора имеет анизотропию жесткости с коэффициентом а 2,1% ; обмотки ротора генератора имеют водяное охлаждение и, вследствие неодинаковости поперечных сечений каналов, температурное возмущение паза может составлять 1,5° С. Кроме того, имеются результаты измерений уровней вибронагрузок на данную опору десяти серийных
Таблица 3.1. Результаты измерений вибронагрузок на вторую опору турбогенератора
Номер агрегата	Вибронагрузки на вторую опору (кгс) на частоте	
	50 Гц	100 Гц
1	196	38
2	89	62
3	38	124
4	120	31
5	95	50
6	390	55
7	275	98
8	52	44
9	155	28
10	- 210	156
турбогенераторов (табл. 3.1).
Требуется: а) определить теоретически ожидаемый уровень динамических нагрузок как для имеющегося класса технологической точности, так и для случая предъявления повышенных требований по уровню нагрузок на опоры; б) произвести обработку экспериментального материала с целью проверки правдоподобности теоретических результатов; в) найти оценки и доверительные интервалы экспериментальных числовых характеристик.
В табл. 3.2 приведены: а) основные факторы qi, определяющие уровень нагрузок на опоры данного типа роторной машины; б) предельные максимальные значения факторов q* для обоих видов исполнения машины; в) предельные максимальные нагрузки на опору 2, соответствующие факторам q* и вычисленные на основе выявленных в гл. 1 функциональных зависимостей.
Динамическая нагрузка определялась по формуле
R* &-L k е*(й*,	(3.21)
2g
Г	/ 10 \
где k 1 — ( — ) L	\ ©1 / _
при .©/©! = 0,8.
Величины	и	находились по формулам, аналогичным (3.21).
Остальные величины	определялись по аналогии с примерами, разобран-
ными в соответствующих разделах гл. L 108ч
-1
— коэффициент динамичности системы, равный 2,8
Таблица 3.2. Вибронагрузки на вторую опору турбогенератора, вызванные различными факторами
Наименование фактора q;	Обозначение	Единица измерения д^	1 Частота, Гц 1	Общепромышленные требования		Повышенные требования	
				•е»	* «г кгс	*	* кгс
Остаточная неуравновешенность	е	МКМ	50	а	105.	1	35
Разбалансировка	Е	»	50	6	210	3	105
Погнутость	А	»	50	3	105	1	35
Температурный эксцентриситет	6г	»	50	5	175	2	70
Радиальная несоос-ность '	Р	ММ	50	0,02	200	0,01	100
Угловая несоосность	, Ф	мм/м	50	0,05	150	0,02	60
Анизотропия жесткости	а	%	100	2,1	43	0,5	10
Овальность цапф-	(Г^щах ^min)	мкм ,	100	10 ‘	150	5	75
Модули всех векторов имеющих частоту 50 Гц, подчиняются закону распределения Релея и их сложение производится по формулам (3.8)—(3.9).
Сложение векторов, имеющих частоту 100 Гц, производится по формулам (3.15).
Результаты сложения векторов представлены в табл. 3.3.
Таким образом, среднеожидаемые нагрузки на опору 2 у машин, изготовленных с повышенными требованиями, составляют 76 кгс на частоте 50 Гц и 34 кгс на частоте 100 Гц. Учитывая, что статическая нагрузка на опору составляет 1250 кгс, соответствующие относительные величины равны 6,1 и 2,7%. Максимальные ожидаемые относительные величины при этом составляют Г4,5 и 6,5% соответственно.
Эффективность повышения требований к точности изготовления, балансировки и монтажа роторов вычисляется как отношение соответствующих математических ожиданий и составляет 2,2 раза на частоте 50 Гц и 2,1 раза иа частоте 100 Гц.	-
Таблица 3.3. Результаты сложения случайных векторов вибронагрузок иа вторую опору турбогенератора
Ч астота, Гц	Числовые характеристики суммарных векторов, кгс							
	Общепромышленные требования				Повышенные требования			
	* *ск	а0 [/?]	м [/?]	а {/?]	* ^ск	Оо	м (я 1	а [*]
50	400	133 •	168	88	180	60	76	40
100	175	58	73	38	81	27	34	18
109
Если принять за допустимый уровень максимальных относительных нагрузок 2% для частоты 50 Гц и 1% для частоты 100 Гц, то, как видно из результатов рас-
четов, достигнутый уровень после повышения технологической точности превы-
Рис. 3.3. Экспериментальная Ф (jR) и теоретическая F (R) функции распределения нагрузок на опору 2 на частоте 50 Гц
шает требуемый в 6—7 раз.
Сравнение экспериментальных (табл. 3.1) и теоретических (табл. 3.3) результатов произведем^ по методу А. Н. Колмогорова.
< i На рис. 3.3 построены статистическая Ф (У?) и теоретическая F (R) функции распределения нагрузок, имеющих частоту 50 Гц. Функция F (R) определяется формулой (3.2) при значении а0 = 133 кгс. Как видно из рисунка^ D = 0,16. Определив величину % ~ D /п = = 0,16 /10 = 0,505, по таблице (приложение 1) находим Р (X)—0,96.
Для частоты 100 Гц аналогичным образом находим D = 0,24; К= 0,76; Р (X) = 0,61.
Так как Р (X) для обеих частот
достаточно велика, то можно счи-
тать, что гипотеза о согласии опытных данных с теоретическими не опровергается. Оценки математического ожидания и кругового рассеивания на частоте 50 Гц,
вычисленные с помощью табл. 3.1 а0 = 130 кгс.
Коэффициенты и у2, входящие в формулы (3.18)—(3.19) и определяемые по таблице (приложение 2), при доверительной вероятности р = 0,95 составляют = 0,688; у2 = 1,826.
Истинные значения кругового рассеивания и математического ожидания находятся в пределах:
90<о0^238; 112^ MLR]
-с 297.
Границу практически возможных значений R находим по формуле (3.20)
Яшах = Зу2о0 — 710 кгс.
и формул (3.16)—(3.17), равны R = 162 кс;
Таблица 3.4. Результаты вычислений оценок и доверительных интервалов HL числовых характеристик вибронагрузок на вторую опору турбогенератора
Частота, Гц	Оценки, кгс		Доверительные интервалы, кгс		Верхняя гр ан иц а, кгс
	R		М [fl]	СГо	^шах
50	162	130	(112; 297)	(90; 238)	710
100	68	54	(47; 124)	(37; 98)'	294
Аналогичные вычисления производим для нагрузок на частоте 100 Гц. Результаты вычислений приведены в табл. 3.4.
2. Влияние податливости опор на уровни вибронагрузок, вызванных анизотропией жесткости ротора, овальностью цапф и неооосностью роторов
Анизотропия жесткости ротора. В качестве теоретической модели рассматривается ротор с одним диском массой т, закрепленным посередине невесомого горизонтального вала ПО
с жесткостями с3 и с2. Вал опирается на упругие невесомые подшипники, имеющие изотропную жесткость с коэффициентом с0> (рис. 3.4).
Так же как и в п. 2 гл. 1, движение системы рассматривается во вращающихся координатах В1!- Пусть В и iq — координаты центра диска; Во и г|0 — координаты центров подшипников;^ и е2 — эксцентриситеты центра масс диска в направлении осей В и т] соответственно.
Рис. 3.4. Схема ротора двоякой жесткости на упругих опорах
Дифференциальные уравнения движения системы выводятся аналогично уравнениям (1.33) и имеют следующий вид:4
т (В — 2сот> — со3В) + сг (В — Во) ~ mer&z 4- mg cos со/;
т (т|* + 2® В -г со2г]) +с2 (т] — г]0) = me2co3 — mg sin со/;
2Мо-МВ- 1о) = 0;
2СоПо — с2 (И — По) = 0.
Исключив из уравнений (3.22) величины Во и Но, получим:
т (В — 2сой — со2В) + с01В = пгег(йй + mg cos со/;
т + 2со( — а>3т]) + с02т| = те2^ — mg sin со/,
где
__ , 2c0Ci .
Со1~ 2c0 + q ’
С02 —
'о + с2
(3.23)
Окончательно получим:
— 2corj + (cooi — co2) g = eico2 + g cos cot\ t]’ + 2co| + (co§2 — co2) t| = e2co2 — g sin co/, где
2 __ ___ ___________ C0| t 2 __ 2CqC2_______________ __	C0|
ог ~ m (2c0 4- cx) — 1 4~ ci/2c$ 1	02 m (2c0 + c3) “ 1 + c2/2cQ
(3.24)
111
Уравнения (3.24) имеют точно такой же вид, что и уравнения (1.18)г полученные для случая абсолютно жестких опор. Разница состоит лишь в критических скоростях сох и со2. Поэтому для динамических нагрузок, по аналогии с (1.31), можно сразу записать
Ro ~ 11	1 <*«>	(3-25)
где
Ro -
Й2 — Й1	,
Й2 *4“ СО1 1 I С2 ’
2с0	[.	(3.26)
₽о ~	~ /1 + с2/2с0.
Ш02
Здесь и в дальнейшем индекс «О» означает принадлежность к системе с упругими опорами.
Нагрузку Rq можно также найти с помощью графика на рис. 1.7. Для этого достаточно лишь параметры а и со2 заменить наа0 и соО2-
Для приближенной оценки влияния податливости опор на нагрузки на опоры предположим, что жесткость опор е0 меньше жесткости вала с2 в k раз, т. е. с2/с0 = 6.
Учитывая, что на закритических скоростях вращения Rf а и 7?6	«о, из формул (3.26) получим
а/ао (1 + 6/2).	(3.27)
Пример 3.2. Требуется вычислить динамические нагрузки на опоры ротора генератора, рассмотренного в примере 1.1, если его подшипники установлены в упругие опоры с коэффициентом жесткости с0 = 17 000 кгс/см.
В случае жестких опор (из примера 1.1) имеем: с2 = 17,4*104 кгс/см; сг — 16,7-104 кгс/см; а — 0,021; р = 0,8; R' — 1,64 а = 0,0345, или 3,45%.
Учитывая, что k~	10, с помощью приведенных выше формул находим:	/
Ро = р К1 +0,5Л= 1,96; а0 =
а
1 + 0,5/г
= 0,0035;
4 Вл
7?о = I .	। «о = 0.0037, или 0,37%; R'/Rо = 9,8.
I 1 ^Ро I
Таким образом, за счет податливости опор нагрузки уменьшились в 9,8 раза. Формула (3.27) в данном случае- дает заниженную величину, так как ротор на жестких опорах работает в докритической зоне частот (Р = 0,8).
Овальность цапф. Рассмотрим жесткий ротор массой 2m, опирающийся на подшипники скольжения. Цапфы ротора имеют одинаково ориентированные овальности профиля Z)max—Dmin. Подшипники соединяются с фундаментом через упругое изотропное поле с коэффициентом жесткости cQ.
| Для приближенной оценки влияния податливости опоры на уровень вибронагрузок ограничимся рассмотрением колебаний 112
системы в одной плоскости. При этом сделаем следующие предположения: масляная пленка подшипников обладает изотропной жесткостью ем; демпфированием пленки и массой подшипников пренебрегаем; между овальной цапфой и подшипником действует возмущающая сила Р (t) = Р sin 2соЛ Величина Р находится по методике, изложенной в гл. 1.
Расчетная схема системы показана на рис. 3.5.
Пусть х — координата центра цапфы; х0 — координата центра подшипника. Тогда дифференциальные уравнения движения системы имеют следующий вид:
тх + ем (х — х0) ~ Р sin 2со
— см (х — х0) + CqXq = —Р sin 2 со/. J
Исключая х0 и преобразуя, получим Р	т
* + сом&х = k— sin2co/,
(3.29) т
где обозначено:
0>м = £м/м;	Рис. 3.5. Динамическая модель упругого
Y	подшипника скольжения, несущего овальную
k = Со/(Со + См). (3.30)	цапфу
Частное решение уравнения (3.29) имеет вид: kP
х ~	----—z— sin 2(dt.
т [/гео* — 4w2J
Динамическая нагрузка на подшипник
/?0 = cQXg = — тх =
4/гю2Р . о , -<—5-----sin 2соЛ
/гео2 — 4со2 м
(3.31)
Учитывая распространенную в литературе [100] приближенную формулу
(3.32)
для коэффициента жесткости масляной пленки можно записать следующее выражение:
cM^mg/b.	(3.33)
Здесь 6 — радиальный зазор подшипника.
Из формул (3.30)—(3.33) получим выражение для модуля динамической нагрузки следующего вида:
R.=
kP
I kg
I we
8 Ат С. Кельзоп ц др.
Из последней формулы следует, что в случае жестких опор (с0 —> оо, k —* 1) при со = О,5сом модуль 7? сю. Однако известно, что вследствие сильных демпфирующих свойств масляной пленки, на графике вынужденных колебаний жесткого ротора на собственной частоте сом резонансный пик практически отсутствует. Коэффициент передачи при этом равен единице в широком диапазоне частот и
С уменьшением жесткости опор уменьшается параметр k\ собственная частота системы, равная &сом, также снижается.
Рис. 3.6. Схема несоосных роторов, установленных в упругие опоры
При малых значениях k демпфирующие свойства масляной пленки проявляются только на резонансной частоте, поэтому точность формулы (3.34) возрастает. Уменьшение нагрузки Ro на зарезонансных частотах определяется по формуле
р _	g______L	_ s	_ /1 I \
Ro ~	4Л	k 4<о26	\ т-	с06 )
(3.35)
Пример 3.3. Требуется определить снижение уровня вибронагрузок на подшипник, рассмотренный в примере 1.2 (вариант 1), после установки его в упругие опоры с коэффициентом жесткости с0 — 1,5* 104 кгс/см.
Система имеет следующие исходные данные: 6 = 7,5 • 10“3 см; /)тах — ^тт = = 0,001 см; со = 314 с"1; относительная нагрузка на подшипник Pf = 12%. Пусть вес ротора G = 2250 кгс. Тогда 2m = 2,3 кгс-с2/см.
Подставив исходные величины в (3.35), находим
Р _ Р' Но
-10, 7.
Таким образом, уровень вибронагрузок на подшипники после установки их в упругие опоры снизился в 10,7 раза и стал составлять Р'о 1,1% от статической нагрузки.
Несоосность роторов. Предположим, что соединяемые роторы установлены в упругие опоры с коэффициентами жесткости г0/ ' (или с коэффициентами податливости 60;— 1Лс0/), где / = 1, 2, 3,4— номер опоры (рис. 3.6).
Очевидно, что все выражения, полученные в п-. 4 гл. 1 при исследовании динамики несоосных роторов на жестких опорах, переносятся без изменений и на случай податливых опор. Исключение 114
Рис. 3.7. К определению увеличения коэффициента податливости ах за счет податливости опор
составляют лишь коэффициенты, связывающие деформации и нагрузки, т. е. коэффициенты податливости системы ait bit gt hit 8{i, §zM» где i = 1,2 — номер вала.
Учет податливостей опор может быть произведен путем прибавления соответствующих слагаемых к значениям перечисленных коэффициентов, полученных для случая жестких опор.
Покажем это на примере коэффициента аъ связывающего в формуле (1.90) перемещение концевого сечения первого вала с приложенной в том же сечении силой Р, т. е.^ = - агР.
Обозначим через увеличение коэффициента за счет податливостей опор б01 и 602- Тогда численно будет равна перемещению концевого сечения абсолютно жесткого вала после приложения в том же сечении
Вычислив реакции опор:	R2 = 1 + и учи-
тывая, что v01 = 601А, и02 = б02^2» получим
единичной силы (рис. 3.7).
= Soi (/i/^i)2 + §02 И + (№)]2.
(3.36)
Изменения остальных коэффициентов за счет податливостей опор находятся по аналогичной методике и определяются следующими выражениями:
8*
115
А$2м ~ у ®°з (1 + “77') у $04 77 ’
A Yim = (®oi	^02) "2/7. *
А?2М ~ (^03	^01) ~2L~ *
*^2
Увеличение коэффициентов податливости системы в данном случае, так же как и в случае применения гибкой муфты, приводит к снижению нагрузок Р, М и динамических реакций опор.
Следует отметить, что возможны также одновременное применение упругих опор и гибкой муфты, а также другие сочетания. Однако одним из преимуществ сочетания упругие опоры — жесткая муфта по сравнению с сочетанием жесткие опоры — гибкая муфта является то, что деформации опорных конструкций практически не вызывают появления несоосностей роторов.
Пример ЗА. Требуется определить динамические нагрузки на опору 2 агрегата, рассмотренного в примере 1.3, после установки роторов в упругие опоры с одинаковым коэффициентом жесткости с0 — 14 000 кгс/см (коэффициент податливости 60 = 1/с0 = 71,5-10"в см/кгс). Валы соединены жесткой муфтой с радиальной несоосностью р; угловая скорость 314 рад/с.
В соответствие с формулами (3.36)—(3.37) находим:
Aotj = Да2 = 91,5-10~6 см/кгс;
АЬХ = ДЬ2 = 45 * 10“8 кгс'1;
Д/ц = ДЬ2 = 3,6-10“9 1/кгС’См;
Д6и = Д622“ 35,7*10“6 см/кгс;
Д61м — Д62М = 45*10“6 см/кгс;
Аугм = Ау2М — 0.
Прибавляя полученные величины к соответствующим коэффициентам в примере 1.3 и подставляя их в систему уравнений (1.109), получаем:
(10е — 64(о2) Zj + 47,7Р + 0,11Л4 = 0; '
(106 — 64(о2) Z2 — 47,7Р+ 0,11Л4 = 0;
—16,5co2Zx — 16,5w2Z2 + 2,ЗЛ4 = 0;
—72w2Z1+ 72w2Z2 + 188Р = —рЮ6.
Из полученной системы уравнений при со = 314 с-1 находим:
Р = 16,3- 103р; М = 0; Zr = 0,147р; Za= —Zv
Подставив найденные величины в формулы (1.111), получим
= 2,8’1б4р.
Поскольку в случае жестких опор 7?Р = 10 - 104р, динамические нагрузки на опору уменьшились примерно в 4 раза.
116
3. Динамика жесткого вала, вращающегооя в одной шарнирной и второй упругой опорах
Конструирование и расчет роторов прошли ряд этапов.. До второй половины XIX в. роторы вращались, как правило, со скоростями, значительно меньшими первой критической скорости. Реакции опор были при этом близки к статическим реакциям. Расчет на прочность производился в связи с этим без учета динамики вала, т. е. вал рассматривался как балка, покоящаяся на неподвижных опорах с учетом характера заделки опоры.
С ростом скоростей вращения, уменьшением габаритов машин и со снижением их массы вращающиеся валы стали эксплуатироваться при скоростях, близких к первой критической скорости, и вскоре возникла проблема перехода через зону критической скорости. Резкое увеличение амплитуд колебаний и давлений между вращающимся валом и опорами при приближении частоты вращения к первой критической препятствовало нормальной эксплуатации роторных машин.
Шведский инженер Лаваль, столкнувшийся с этими проблемами при создании паровой турбины, рабочая частота вращения которой равнялась 30 000 об/мин, впервые в 1884 г. создал конструкцию вала, которая позволила перейти через зону первой критической скорости. Испытывая различные варианты конструкций турбины, Лаваль экспериментально обнаружил парадоксальное явление. Увеличение толщины вращающегося вала практически не уменьшало уровня вибрации. Турбина при этом не могла выйти на рабочие скорости 30 000 об/мин из-за недопустимого уровня амплитуды колебаний. Уменьшив значительно толщину вала, он насадил колесо турбины на тонкий, гибкий вал в палец толщиной. При разгоне, набирая скорость, турбина Лаваля легко переходила через критические скорости и на рабочей скорости вращалась практически без вибраций. Явление самоцентрирования, открытое Лавалем, нашло теоретическое объяснение в работах немецкого ученого Феппля [120] в 1895—1896 гг. Советский ученый-механик Николаи [73] распространил теорию Феппля на более общий случай неуравновешенного диска, насаженного асимметрично на безмассовый упругий вал. В работах Николаи учитывался гироскопический эффект, так как ось вращения диска меняет свое направление в пространстве в процессе движения.
В этих работах было установлено свойство гибкого вала с насаженным на него Диском — самоцентрироваться после перехода через одну или две критические скорости.
| Статически и динамически неуравновешенный диск на гибком вале при неограниченном возрастании частоты вращения совмещает главную центральную ось инерции с геометрической осью вращения — это явление и называется самоцентрированием.
117
Однако второе явление, обнаруженное экспериментально Лавалем и представляющее большой практический интерес,— легкий переход через критические скорости при сравнительно небольших резонансных амплитудах — не нашло объяснения в упомянутых работах Феппля и Николаи. Так как в этих работах сопротивлением пренебрегали, то при критических частотах вращения амплитуды теоретически неограниченно возрастали и указанное явление не могло быть объяснено. Следует отметить, что при
Рис. 3.8. Амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний материальной точки. Уровень резонансных амплитуд зависит от отношения n/k
проведении эксперимента Лаваль никакого искусственного демпфирования не вводил, он только уменьшал толщину вала, снижая тем самым жесткость системы, и достиг удовлетворительных для практики результатов.
Между тем для объяснения этого явления достаточно рассмотреть амплитудно - частотную характеристику вынужденных колебаний материальной точки, дифференциальное уравнение которых имеет вид
х 4-2 nx + k2x — = h sin (pt 4- 6),
где п — приведенный коэффициент сопротив-приведенная амплитуда
ления; k — собственная частота; h —
возмущающей силы; р — частота возмущающей силы.
Амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний представлена на рис. 3.8, где по оси абсцисс отложен коэф^ фициент расстройки p/k, а по оси ординат — коэффициент динамичности AIAq (А — амплитуда вынужденных колебаний; Ао — — й/^2 — отклонение точки от положения равновесия под действием постоянной силы, равной максимальному значению возмущающей силы).
На рис. 3.8 [67] показано, цто с увеличением приведенного коэффициента сопротивления п амплитуда колебаний при резонансе значительно уменьшается. При увеличении от п ~ 0,1& до п ~ 0,25& амплитуда при разгоне уменьшается в 2,5 раза. Дальнейшее развитие инженерной мысли пошло по этому пути. Для уменьшения амплитуд колебаний стремились увеличить
118
коэффициент сопротивления. Широкое распространение .получило демпфирование колебаний путем введения в систему вал— опоры искусственных демпферов [95]. При этом не учитывалось отрицательное влияние увеличения демпфирования п, в особенности отрицательное воздействие нелинейных искусственных демпферов.'
1.	Увеличение линейного сопротивления уменьшает амплитуду колебаний только в зоне резонанса, т. е. в зоне критических скоростей вращения, не оказывая какого-либо существенного влияния на уровень вибрации на рабочих режимах;
2.	Увеличение линейного сопротивления приводит к уменьшению к. п. д., так, для простейшего случая вынужденных колебаний материальной точки, вызванных синусоидальной возмущающей силой, средняя отдаваемая мощность определяется по формуле [68]
N = пр*А*т>	(3.38)
где п — приведенный коэффициент сопротивления; р — частота возмущающей силы; А — амплитуда вынужденных колебаний; т — колеблющаяся масса.
Таким образом, на рабочих режимах с увеличением коэффициента сопротивления отдаваемая мощность растет пропорционально, тогда как амплитуда вынужденных колебаний вдали от резонанса остается практически неизменной, она почти не зависит от коэффициента сопротивления.
3.	Нелинейные искусственные демпферы, которые конструировались с целью резкого увеличения коэффициента сопротивления, являлись причиной возникновения новых зон повышенной вибрации и, в частности, причиной возбуждения стойких автоколебаний.
Вернемся к амплитудно-частотной характеристике, представленной на рис. 3.8. Каждая кривая соответствует определенному значению п, выраженному в долях k — собственной частоты системы. Следовательно, каждая кривая соответствует определенному отношению (правая часть рисунка)
nlk = const.	(3.39)
Следовательно, для увеличения этой постоянной и уменьшения амплитуды при резонансе имеются два пути: увеличение коэффициента сопротивления и уменьшение собственной частоты системы. Первый путь и его недостатки были обсуждены выше, второй путь был впервые использован Лавалем. Уменьшая диаметр вала, Лаваль уменьшал его жесткость и, следовательно, собственную частоту. Однако он не получил широкого распространения по ряду причин.
1.	Созданию достаточно тонких валов часто препятствовали несовместимость с условиями прочности и невозможность обеспе
119
чить конструктивные и технологические требования к роторным машинам. Так, например, современный компрессор высокооборотного газотурбинного двигателя по конструкции и прочностным требованиям не может быть выполнен в виде гибкого вала.
2.	При вращении гибкого тонкого вала в зоне, расположенной выше критической скорости, внутреннее трение в материале вала, возникающее при изгибных колебаниях вала, превращается в отрицательное трение, раскачивающее вал.
3.	При вращении гибкого вала, установленного, в подшипниках скольжения, на скоростях, превышающих первую критическую скорость в два раза и более, возникают стойкие автоколебания большой амплитуды, препятствующие нормальной эксплуатации роторных машин.
В начале 50-х годов [53, 42] был теоретически развит и практически применен другой путь конструирования высокооборотных роторов. Не накладывая никаких ограничений на конструкцию и размеры ротора, сохраняя без изменения все его параметры, выбранные из оптимальных. условий эксплуатации, технологии изготовления иг прочности, легкий переход через критические скорости достигался установкой ротора в упругие, податливые опоры. Жесткость системы в связи с этим уменьшалась, отношение ntk, определяющее уровень резонансных амплитуд, резко увеличивалось за счет уменьшения собственной частоты k, и переход через зоны критических скоростей происходил при весьма малых амплитудах.
Сопротивление движению при этом было минимальным. Его можно назвать естественным, так как никаких искусственных мер для его увеличения не принималось.
Динамика вала, вращающегося в упругих опорах, рассматривалась и ранее. Однако в этих исследованиях основное внимание было обращено на вычисление критических скоростей системы. Было установлено, что применение упругих опор снижает критические скорости.
Влияние податливости опор на уровень резонансных амплитуд и, следовательно, на переход через зоны критических скоростей, влияние упругих опор на давления между валом и подшипниками до этого не рассматривались. Между тем именно эти свойства роторной системы и представляют наибольший практический интерес, так же как и явление самоцентрирования.
Рассмотрим два способа применения упругих опор: а) вал, вращающийся в шарнирной и упругой опорах; б) вал, вращающийся в двух упругих опорах.
Динамика жесткого вала, вращающегося в одной шарнирной и второй упругой опорах. Рассмотрим горизонтальный вал, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии (рис. 3.9). Левая опора — шарнирно-закрепленный самоуста-навлцвающийся подшипник, который может свободно поворачиваться вокруг центра 0. Правая опора — цилиндрический под-120
шипник, упруго закрепленный в корпусе. Центр тяжести вала— точка С.
Проекции кинетического момента вала на неподвижные декартовы оси координат, проходящие через центр инерции вала, вычисленные с точностью до величин первого порядка малости включительно, равны [10]:
Кх = Дсо; Ку = Дыр — Ву; Кг — Дсоу Д- Вр, (3.40)
где А, В —• главные центральные моменты инерции вала относительно оси симметрии и относительно оси, перпендикулярной оси симметрии; малые углы Р, у даны на рис. 3.10.
Рис. 3.9. Схема жесткого вала, вращающегося в шарнирной и упругой опорах
Рис. 3.10. Параметры, определяющие положения вала при колеба-. ниях
Обозначая координаты правой опоры у, г, запишем с точностью до малых величин первого порядка малости:
р = у/ц у = г! I.	(3.41)
Координаты центра тяжести вала:
Ус = ylJl', zc = zl-Jl. ~	(3.42)
Пользуясь теоремой об изменении кинетического момента в проекциях на неподвижные декартовы оси координат, получим дифференциальные уравнения свободных малых колебаний [10] относительно осей, проходящих через левую шарнирную опору,
(В + МП) z — Any + cl2z - 0; 1
(В +Ш) у + X(oz +cl2y = 0, „
(3.43}
где М — масса вала; с — коэффициент жесткости упругого поля правой опоры; кососимметричные члены —Аыу и ~\-A(x)Z учитывают действие гироскопических сил. Чем больше произведение А со, тем сильнее влияние этих сил.
При расчете роторных машин существенное значение имеют вынужденные колебания вала, вызванные статической и динамической неуравновешенностями.
121
Статическая неуравновешенность, вызванная неточностью изготовления и балансировки вала, задана смещением центра тяжести на малое расстояние е—эксцентриситета от геометрической оси вращения.
Динамическая неуравновешенность, возникающая по тем же причинам, определяется малым углом 6 между главной центральной осью инерции и геометрической осью вращения.
Тогда, при смещении упругой опоры координаты центра инерции определяются формулами, отличными от (3.42),
Ус = y~Y + cos zc = z~- sin to/.
(3.44)
Углы, образованные главной центральной осью инерции с координатными плоскостями xz и ху, с учетом (3.41) определяются по формулам:
Pi — ₽ + S cos (to/ —в) ==	4" 6 cos (to/— e);
z
Yi = Y 4“ S Sin (to/ —: £) = -y- 4- 6 Sin (to/-£).
(3.45)
В этих формулах 0, у — углы, образованные геометрической осью вращения с плоскостями хг и ху, а угол со/—е образован плоскостью, проходящей через ось вращения и главную центральную ось инерции, с плоскостью ху. Проекции кинетического момента на оси координат равны:
Key = Лсо₽! — Вуь Ксг = Лшу! + В0\.
(3.46)
Воспользовавшись теоремами о движении центра инерции и об изменении кинетического момента, составим дифференциальные уравнения малых колебаний вала:
М.ус — су 4- A topi Byi — czl% 4~
Mze = —сг + 7?lz;	+ В0\ = —cyl2 — Rlyllt ,
(3-47)
где yc. zc — координаты центра инерции вала; Rly, — проекции реакции шарнирной опоры. В эти уравнения входят проекции реакции шарнирной опоры. Исключив эти проекции из системы четырех дифференциальных уравнений, получим окончательно:
(В 4- Л4/1) z — Аыу 4- cZ2z = Me(o2hl sin w/ 4-
+ (В — Д) Zto26 sin (со/ — £);
(В 4- Ml2) у 4- A(dz 4- cl2y = Merflil cos to/ 4-
4- (B — A) Zto26 cos (to/ — £).
 (3.48)
Полное решение данной системы обыкновенных неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами складывается из общего решения однородной системы 122
п частного решения неоднородной системы. Сопротивление, которое в уравнениях (3.48) не учитывалось, приводит к быстрому затуханию членов, соответствующих общему решению однородной системы, поэтому свободные колебания, определяемые общим решением однородной системы, могут иметь существенное значение только при изучении переходных режимов: пуск, остановка машины и переход от одного режима к другому.
Вынужденные колебания вала определяются частным решением системы (3.48). Это частное решение имеет вид:
у = г cos (со/ — а); г = г sin (соt — а),	(3.49)
где
r = Va1+b1\ a = arctg-^-;
«1
__ Mea^lxl + (В — Л) Zco26 cos е в
G1 — cl2 — (В + Mil — Л) СО2 ’ 	
. ____ (В — Л) /со2 6 sin е
bl ~ cP — (В + Mil — Л) со2 *
(3.50)
Таким образом, при вынужденных колебаниях вала его ось описывает круговой конус с вершиной в точке О, вращаясь с угловой скоростью © в направлении собственного вращения вала. Это движение называется прямой синхронной прецессией.
В инженерной практике наиболее существенное значение имеют амплитуда вынужденных колебаний и давление между валом и опорами. Для подавляющего большинства роторных машин модуль амплитуды колебаний регламентирован ГОСТом или другими техническими условиями. Давления между валом и опорами определяют в основном ресурс подшипников.
Если приравнять нулю определитель системы алгебраических уравнений, полученных в результате подстановки частного решения в дифференциальные уравнения (3.48), то найдутся критические скорости вала:
Z К” с	I У/~ с	/ п с 1 \
(Oi =	 ——-;	со2 = г — ~~ •	(3.51)
^B + Mll — А	Ув+Mll + A
Однако, как следует из (3.50), при вынужденных колебаниях вала, вызванных статической и динамической неуравновешенностями, существует только одна критическая скорость ©i. Чтобы в этом убедиться, достаточно приравнять в (3.50) знаменатель нул^р.
Как показано в работе [10], обе критические скорости существуют при действии на вал синусоидальной возмущающей силы постоянного направления, однако в инженерной практике этот случай маловероятен.
Амплитудно-частотные характеристики жесткого вала при вынужденных колебаниях, вызванных неуравновешенностью,
123
представлены на рис. 3.11. В подавляющем большинстве роторных машин В 4- МЦ > А и, следовательно, амплитудно-частотная кривая имеет вид, представленный на рис. 3.11, а.
При дальнейшем увеличении частоты вращения вала начнет сказываться упругость вала и второй критической скорости (для случая, представленного на рис. 3.11, а) будет соответствовать форма колебаний изогнутого вала. При большой жесткости вала на изгиб амплитуды резонансных колебаний будут велики, так же как и виброускорения, поэтому зона рабочих скоростей машин, у которых жесткий вал вращается в упругой и шарнирной опорах,
Рис. 3.11. Амплитудно-частотные характеристики вынужденных колебаний вала, вращающегося в шарнирной н упругой опорах: а — В + М1[^> А; б — В + + Л4/12<А
ограничена, она должна располагаться ниже второй критической скорости.
Переходим к определению динамических составляющих реакций опор. Составим для этого дифференциальные уравнения движения упругой опоры, отбросив мысленно вал и заменив его действие искомой реакцией
ту = —+ Riy\ mz = —cz +	(3.52)
Здесь т — масса той части опоры (подшипника), которая не вращается вместе с валом, но колеблется вместе с ним.
Внеся в уравнения (3.52) найденные ранее значения координат у, z (3.49) и их производные, после простых преобразований найдем
Ш(02) г.	(3.53)
Из этой формулы следует, что реакция упругой опоры или, точнее, ее динамическая составляющая обращается в нуль при наличии статической и динамической неуравновешенностей вала, если масса удовлетворяет равенству
т ~ с/©2.	(3.54)
Таким образом, если рабочая скорость вала известна, а коэффициент жесткости опоры выбран (он выбирается чаще всего из соображений оптимального расположения критической скорости 124
вала), то можно выбором массы невращающихся частей опоры обратить в нуль динамическую составляющую реакции.
Если у вала имеется некоторый заданный диапазон рабочих скоростей, то, подбирая массу опоры согласно (3.54) для некоторой средней рабочей скорости, можно значительно уменьшить реакцию опоры по сравнению с ее величиной, соответствующей жесткому креплению опоры. На рис. 3.12 приведен пример конкретного сравнительного расчета реакций для упругого и жесткого
креплений опоры в корпусе. Следует отметить, что удовлетворить равенству (3.54) не всегда возможно по условиям конструирования и прочности. И в этих случаях применение упругих опор приводит к значительному уменьшению реакций.
Для определения динамической составляющей реакции шарнирной опоры освободим мысленно вал от шарнирной опоры, заменив ее действие искомой реакцией Т?2. Запишем теорему о движении центра инерции вала в проекциях на неподвижные декартовы оси:
Мус — — +
Mzc=—cz + Riz. (3.55)
Рис. 3.1,2. Зависимость давления между жестким валом и подшипником от частоты вращения (рабочая частота вращения 60 000 об/мин): / — при жестких опорах; <2 — при упругих опорах
Подставив в эти уравнения найденные значения ус, zc, у, z, согласно (3.44) и (3.49) находим модуль реакции шарнирной опоры
R2 = у (с—Мсоа -у-)2 г2 ~Ь Л42со4е2-—2Л4со2е (с—'Л4о?	г cos а.
(3.56)
При увеличении угловой скорости вала реакция шарнирной опоры неограниченно возрастает.
В работе [87] проведено сравнительное исследование давлений на опоры: а) при установке жесткого ротора в упругую и шарнирную опоры, б) при установке податливого ротора в двух жестких опорах. В результате этого исследования следует рекомендовать установку ротора в упругую и шарнирную опору при консольном расположении центра инерции вращающейся системы. В этом случае динамические давления на упругую и шарнирную опоры существенно снижаются. Если же центр инерции располагается между опорами, то снижения давлений можно добиться только
125
при полном отсутствии динамической неуравновешенности, что на практике недостижимо.	—
Из двух опор наиболее нагруженной, как правило, является
шарнирная, которая воспринимает основные усилия, вызванные динамической неуравновешенностью. Поэтому для таких роторных машин особо тщательно следует проводить динамическую балансировку.
Для уменьшения давлений на опоры и снижения амплитуды колебаний рабочие скорости роторов с одной упругой и второй шарнирной опорами следует располагать так, чтобы они превы-
Рис. 3.13. Схема жесткого вала, вращающегося в шарнирной и упругой опорах, с учетом вязкого трения
шали первую критическую скорость более чем в три раза, но не доходили до второй критической скорости, связанной с изгибом вала.
Влияние различных факторов на динамику вала, вращающегося в шарнирной и упругой опорах. Однопролетные роторные системы, . имеющие упругую и шарнирную опоры, широко применяются во многих областях машипо-
строения. Центрифуги и веретена в текстильном машиностроении, сепараторы в химическом машиностроении, центрифуги сти
ральных машин и многие другие роторные машины конструируются часто по этой схеме, поэтому дополним анализ, проведенный выше, исследованием влияния ряда факторов на динамику вала. Это позволит дать ответ на ряд вопросов,' которые возникают у конструкторов таких роторных машин. Дифференциальные уравнения движения (3.48) дополним членами, учитывающими влияние вязкого трения [51], рис. 3.13:
BqZ — Аыу + /2az. + clzz = МеыЧг1 sin at + + (В — Д) Z<jo26 sin (to/ — в);
Воу + A(oz + l^y -f- cl2y = Memzlrl cos w/ Д-4~ (B ’— Д) /to26 cos (to/ — e), где для краткости обозначено Во = В + Ml*.
Введем комплексную, подстановку
0 = z + iy.
(3.57)
(3.58)
Обозначим:
2п = а/а/В0; Л*а = cZa/B0; d = A!BQ\ h^MelJIB^ (3.59) h2 = (В — Л)6//В^
126
Тогда, умножая второе уравнение на i и складывая с первым уравнением системы (3.57), находим
6 — d об/ + 2nd 4- k2d = hsG)2 exp i©/,	(3.60)
где
Л3 = hx -|- ^2 exP (—£0-
(3.61)
Вынужденные колебания описываются уравнения, имеющим вид
0 — a exp i(dt
где комплексная амплитуда колебаний точки оси вала, лежащей в плоскости упругой опоры, равна
а = -А2---,9 - • (3-62)
k2 — (О2 (1 — d) + 2/2(04	4	7
Перейдем к относительным величинам:
у == <d/k\ v = n!k\ X = a/h3. (3.63)
В этих обозначениях относительная амплитуда вынужденных колебаний
частным решением этого
Рис. 3.14. Амплитудно-частотные характеристики в зависимости от различных величин v
у2
К[1 —V2 (1 —d)]a +4v2y2
(3.64)
Резонанс в системе (критическая угловая скорость) наступает при обращении в нуль знаменателя в (3.64).
При пренебрежимо малом вязком трении критическая угловая скорость определяется соотношением
V* =	= К1/(1 — d)^ 1 + 0,5d,	(3.65)
поскольку d, учитывающий гироскопический эффект, для подав-ляющего большинства роторов мал.
На рис. 3.14 представлены амплитудно-частотные характеристики, построенные по формуле (3.64). Резонанс в этих характеристиках смещен в сторону большей угловой скорости по сравнению с амплитудно-частотными кривыми, построенными без учета действия гироскопических сил.
Комплексная координата центра инерции
0^ '= (atjl 4- е) ехр ш/.	(3.66)
Подставив значение а из (3.62), получим
0С = Г -Тд о—~	ехР	(3.67)
с L k2 — со2 (1 — а) 4- 2/КО4 J г	'
127
Отсюда радиус вращения центра инерций
Г с — I I —
(/1/Z) Л3
^2/w2------	_ (/) _|_ 2/Zt/(O
и при неограниченном возрастании угловой скорости ротора предельное значение радиуса вращения центра инерции будет
• lira гс =--(3.68)
(0->оо	1 а
Рассмотрим частные случаи.
1. Ротор имеет только статическую неуравновешенность,. Тогда согласно (3.67) находим
limre =
1гЦ) Melrl .	В-А
BQ(\-d)	е 50-Л '
(3.69)
Отсюда следует, что при наличии только статической неуравновешенности самоцентрирование ротора может иметь место лишь при В = Д. Во всех других случаях центр инерции при неограниченном возрастании скорости вращения окажется не на оси вращения ротора, а на расстоянии в (В— Д)/(В0— А) раз меньшем эксцентриситета.
Из (3.69) видно также, что центр инерции ротора в зависимости от абсолютных величин В и А при неограниченном возрастании частоты вращения лежит на прямой, проходящей через ось вращения в покое и ось вращения в движении. Центр инерции лежит дальше оси вращения в движении при В > Д, что имеет место в большинстве роторных машин, или между осями в покое и в движении в случае В < Л. Это следует из (3.69). Если ротор вытянут вдоль оси и В > А, то гс совпадает по знаку с эксцентриситетом е. Если же ротор развит в радиальном направлении и В < Д, то гс будет иметь знак, противоположный е.
2. Ротор имеет только динамическую неуравновешенность. При неограниченном возрастании угловой скорости радиус вращения центра инерции ротора (т. е. амплитуда его колебаний)
lim rc = 6ZX 4^4 •	(3.70)
CO^-OQ
При неограниченном росте частоты вращения амплитуда колебаний точки, лежащей на оси ротора в сечении упругой опоры, Стремится к предельному значению
lim а = /г3/(1 ~ d)	(3.71)
(0 —ОО
и не зависит от вязкого трения в демпфере упругой опоры и жесткости опоры.
128
Расчеты показывают, что при прохождении первой резонансной зоны давления ротора на опоры являются небольшими по сравнению с давлениями на шарнирную опору при рабочих режимах, выбранных вдали от этой зоны.
Основным затруднением при прохождении зоны резонанса являются большие амплитуды колебаний ротора. Из (3.59) и (3.61) при первой критической скорости амплитуда колебаний упругой опоры
п — М2 _	+ (B — A)S ехр (— is) УТ
* 2исо	[<5^ —,4	а	( • )
Отсюда следует, что вибрации при прохождении зоны первой критической скорости будут уменьшаться не только при увеличении вязкого трения (а), но и при уменьшении жесткости упругой опоры (с), т. е. при снижении первой критической скорости. Следовательно, даже при малой величине вязкого трения (например, при естественном демпфировании), выбрав достаточно малую жесткость упругой опоры и, следовательно, расположив первую критическую скорость на малых оборотах, можно добиться небольших амплитуд колебаний ротора при прохождении зоны первой критической скорости. Это подтверждается многочисленными экспериментами и длительной эксплуатацией многих роторных машин с такой динамической схемой.
Давления ротора на упругую опору. Отбросив мысленно вал и заменив его действие на упругую опору искомой реакцией запишем дифференциальные уравнения движения опоры:
ту = г-ау — су + Rly\ mz = —az — cz +	(3.73)
Применив комплексную подстановку (3.58), получим
= г9 + a9 + m9.
Использовав (3.59), (3.61), (3.63), найдем относительное давление на упругую опору
(1 —Ру2 — 2yvt) у2	,	/о
<71 тЛ = 1-----ал •	। ехР	(3.74)
1цс 1—y2(1—d)~\-2yvt н r >	\	/
откуда
= h3cqt.	(3.75)
Здесь введено обозначение
₽ = тГЧВ^	(3.76)
которое учитывает действие инерционных сил упругой опоры. Из (3.74) находим
1^1 “ [1 — (1 — </) ?2]2 + V2 (2?)2 ’
Известно, что в системах, подобных рассматриваемой, имеющих один демпфер с линейным законом сопротивления, существуют
9 А С. Кельзоч и др.	129
скорости, называемые инвариантными, при которых давление не зависит от демпфирования. Это имеет место при той скорости, при которой [84]
(1 — ру2) у2   2vy3 1 — (1 — d) у2 ~ “ 2vy
Пренебрегая в последней формуле величиной р, которая весьма мала для реальных роторов по сравнению с единицей, получим для рассматриваемой системы у2 _________________________ 2vy3
1 — (1—d) у2 “ 2vy
Из этого равенства находим (знак плюс в последнем выражении отбрасывается, так как он приводит к противоречию)
V =(3-78)
Следовательно, инвариантная скорость вращения вала с учетом гироскопического эффекта, также и при невращающемся вале или вале, ось которого перемещается поступательно (цилиндрическая прецессия), сдвинута в сторону высоких частот в /2 раз от критической.
Графики давлений на опоры построены в двух различных масштабах. Давления на упругую опору (рис. 3.15) построены в масштабе Mek2, а давления на шарнирную опору (рис. 3.16) — в масштабе Л4есоа. Ординаты в масштабе Мею2 показывают, во сколько раз давления на опоры отличаются от возмущающего воздействия Месо2. Таким образом, ординаты этих графиков по смыслу напоминают коэффициенты динамичности из теории вынужденных колебаний.
Графики в масштабе Mek2 позволяют показать характер развития давлений в зависимости от частоты вращения вала.
Для того чтобы графики в масштабе Mek2 перевести в масштаб Мею2, необходимо их ординаты разделить на у2. .При обратном переходе нужно ординаты умножить на у2.
Покажем, как воспользоваться данными графиками, если у вала имеется только динамическая неуравновешенность. В этом случае (3.59)
h2 = (g ~ Л)-^ .	(3.79)
£>0
Динамическая неуравновешенность создает пару сил с моментом (В — А) 6<о2 = Ме^Ч,	(3.80)
которую можно заменить моментом относительно шарнирной опоры фиктивной силы инерции Л!^©2, приложенной от шарнирной опоры на произвольном расстоянии, например I. Для сокра-130
Рис. 3.15. Зависимость реакции упругой опоры от скорости вращения вала при различных величинах v
Рис. 3.16. Зависимость реакции шарнирной опоры от частоты вращения вала: а — центр тяжести расположен посередине между опорами; б — центр тяжести расположен консольно
9*
131
щения будем в дальнейшем силу инерции, заменяющую действие / динамической неуравновешенности, называть эквивалентной силой инерции. Из последнего соотношения находим фиктивный эксцентриситет ,
с помощью которого производится перерасчет эффекта действия динамической неуравновешенности вала в принятый масштаб построения графиков.
Рассмотрим случай, когда вал имеет обе неуравновешенности. Величина Л3 (3.61) в этом случае будет принимать значение
Лз — hi + hl + 2/ii/i2 Cos 8.	(3.82)
Отсюда следует, что h3, а следовательно, вибрации и давления на упругую опору, вызываемые суммарной неуравновешенностью, имеют экстремальные значения:
максимальное /1* = hi + h% при е = 0;
<	(3.83)
минимальное = hi — Л2 при 8 = л.	v '
Таким образом, экстремальные воздействия статической и динамической неуравновешенностей имеют место в случае, когда центр инерции вала лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и главную ось инерции. Экстремальные значения h3 могут быть записаны следующим образом:
/1з=Л1±/12=-з—±А—^-2_ = -g-(G±&),	(3.84)
где для краткости обозначено
&=(Т'	(3-85)
Отношение
h -	6(02
Ме&
можно рассматривать как плечо пары сил, составляющие которой равны Меа2. В связи с этим для определения экстремальных значений вибраций вала и его давлений на упругую опору при известных статической и динамической неуравновешенностях, действие обеих неуравновешенностей можно заменить эквивалентной силой инерции, смещенной от центра инерции вала на b в направлении от шарнирной опоры при определении максимума и в направлении к шарнирной опоре при нахождении минимума.
В дальнейшем, при наличии у вала статической и динамической неуравновешенностей будут рассматриваться лишь их экс-132
тремальные значения. Во всех остальных возможных случаях взаимного расположения неуравновешенностей вибрации вала и его давления на опоры окажутся в зоне, расположенной между найденными экстремальными значениями.
На рис. 3.14 и 3.15 приведены амплитудно-частотные характеристики и давления вала на упругую опору при приложении эквивалентной силы инерции на расстоянии I от шарнирной опоры. При построении всех кривых давлений пренебрегали величиной р, составляющей у большинства реально выполненных валов сотые доли единицы.
Согласно (3.64) и (3.75), вибрации вала и его давления на упругую опору пропорциональны величине h3 и явно не зависят от расположения центра инерции. Вследствие этого для определения вибраций и давлений при других расположениях эквивалентной силы инерции необходимо ординаты графиков умножить на величину f = (Zx zt Ь)/1. Таким образом, определение вибраций вала и его давлений на упругую опору при известных статической и динамической неуравновешенностях не представляет особого труда.
При большом значении у и небольшом вязком трении в демпфере упругой опоры всеми слагаемыми в знаменателе (3.74), кроме у2 (1 — d), можно пренебречь. Тогда формула для давления на упругую опору (3.75) примет следующий вид:
lim = qjup =  J—Й+Jryy	(3.86)
(Й->со	1 а
Учитывая (3.71), получим
lim = (1 — Ру2 + 2yvi) ас.	(3.87)
CD со	1
Давление на упругую опору в масштабе А4ео)2 можно записать в виде (при неограниченном возрастании скорости вращения вала)
lim = 1 ~Py2 + 2Г£ ±+Ь__L ф <3.88) AW	1 — d I у2
При малой приведенной массе (Р 0) и незначительном вязком трении (v 0) давление на упругую опору будет возрастать пропорционально увеличению жесткости упругой опоры (3.86)4 (3.87). Следовательно, для снижения давлений на опору, вызванных упругими силами при рабочих режимах, расположенных в зарезонансной области, необходимо снижать жесткость упругой опоры.
При малой приведенной массе (Р & 0) давление на упругую опору возрастает с увеличением коэффициента демпфирования. Это давление возрастает также в зарезонансной зоне пропорционально увеличению частоты вращения вала. Эти тенденции в изме- * нении давлений на упругую опору хорошо видны на рис. 3.15.
133
Заметим, что рост давлений с увеличением частоты вращения не наблюдается при весьма малом коэффициенте демпфирования. Отсюда следует, что ставить демпферные устройства на упругие опоры не следует. Естественного демпфирования достаточно для снижения резонансных амплитуд при малых значениях собственной частоты колебаний. Из (3.64) и кривых на рис. 3.14 и 3.15 видно, что увеличение коэффициента v приводит к существенному снижению амплитуд только в зоне резонанса. Динамические давления на упругую опору с увеличением коэффициента v до прохождения инвариантной скорости вращения уменьшаются, а после ее прохождения увеличиваются. Заметим при этом, что увеличение коэффициента v может быть достигнуто уменьшением собственной частоты k, т. е. уменьшением жесткости системы.
Давление вала на шарнирную опору. Применяя к валу теорему о движении центра инерции, находим
=	(3.89)
Примем приближенно, ввиду того, что для большинства роторных машин В < AlZi,
Во = В + Mil Mil	(3.90)
Тогда для относительного давления на шарнирную опору получим следующее выражение:
. . Лко2 г (/i/О со2______________, е ] ,
Л3с	с [ k2 — со2 (1 — d) 4- 2/z (Di ' h3 J
/
/ I С1 + W —р?2) у2	/о о 1 \
‘ 1 —у2(1 — d) +2vyi
ИЛИ
— У4///1 + (1 +	— ру2) у2	у2/
1у2 (1—d)4-2vyi , . В — А .
ехр (-si)
Давление на шарнирную опору
R а —
(3.93)
Из (3.91) следует, что в отличие от давления на упругую опору (3.74) относительное давление на шарнирную опору явно зависит от относительного расположения центра инерции вала Zx/Z и величины й3.	'
Относительное давление на шарнирную опору для экстремальных случаев действия статической и динамической неуравновешенностей имеет вид
*'
?2 =
(— Z/Zi) у2 4~ 1 + 2vy/ — ру2 1 — у2 (1 — d) + 2vyi
(3.94)
. 134
В пределе при неограниченном возрастании частоты вращения ' <3-95)
Следовательно, вдали от критической скорости относительное давление на шарнирную опору возрастает с увеличением частоты вращения пропорционально квадрату у и не зависит от вязкого трения в упругой опоре.
На рис. 3.16, а, б представлены кривые изменения давлений на шарнирную опору при d = 0,1 и v = 0,1 и двух положениях центра вала: IJI = 0,5 — центр инерции расположен посередине между опорами и 1х/1 = 1,25 — центр инерции расположен консольно. Давления на шарнирную опору в зарезонансной зоне мало зависят от вязкого трения в демпфере упругой опоры, поэтому на рис. 3.16, а, б представлены кривые для одного значения коэффициента трения v = 0,1. Кривые давлений при v = 0,6 и v = 10“5 в рассматриваемой области практически сливаются с данными кривыми.	‘
Рассмотрим полученные кривые. При отсутствии динамической неуравновешенности (Ь = 0) эквивалентная сила инерции вала приложена в его центре инерции
f = (Zj. b)/l = 1ЛП.	,	(3.96)
Штриховые кривые f = 0,5 (рис. 3.16, а) и f = 1,25 (рис. 3.16, б) характеризуют изменения давлений на шарнирную опору, вызванные только действием статической неуравновешенности вала. Как видно из графиков, давление на шарнирную опору при этом является минимальным.
Кривые f = 0,75 и f = 0,25 на рис. 3.16 представляют собой кривые давлений на шарнирную опору, найденные при экстремальных значениях h3 и при таком соотношении между статической и динамической неуравновешенностями вала, при котором точка приложения эквивалентной силы инерции вала смещена па 0,25/ от центра инерции, расположенного посередине между опорами.
Давления на шарнирную опору при консольном расположений центра инерции вала приведены на рис. 3.16, б. Сравнивая эти графики с графиками рис. 3.16, а, замечаем, что при консольном расположении центра инерции давления на шарнирную опору существенно снижаются. Такая схема выгодна для роторных машин с консольным расположением центра инерции.
Рассмотрим случай, когда статическая неуравновешенность отсутствует. Для этого в уравнении (3.91) положим е = 0. Приложим эквивалентную силу инерции в центре инерции вала (для рис. 3.16, af~ 0,5, для рис. 3.16, 6f= 1,25). Так как рассматривается случай динамической неуравновешенности, то это значит, что на вал действует пара сил, плечо которой равно 135
расстоянию от центра инерции до шарнирной опоры, а составляющие силы равны эквивалентной силе инерции.
Кривые давлений для данного случая приведены на рис. 3.16, а, б в виде штриховых линий. Динамическая неуравновешенность резко увеличивает давления на шарнирную опору, в особенности при консольном расположении центра инерции.
Найдем предельные значения безразмерного давления на шарнирную опору	при неограниченном возрастании
частоты вращения вала.
У вала есть только статическая неуравновешенность^— 0)
lim	.	(3.9-7)
_ /Иесо2 1 — d	\	/
У вала есть только динамическая неуравновешенность (е = 0).
Прилагая эквивалентную силу инерции в центре инерции вала, находим	
lim =1±ДЕ.	(3.98)
Mejco2 1—4	v 7
Ct) со А
Ротор имеет статическую и динамическую неуравновешенности
lim =±jA + l- + P<W±M)l. (399)
В последней формуле надо брать знак плюс при удалении точки приложения эквивалентной силы инерции от центра инерции вала в направлении от шарнирной опоры и знак минус при ее приближении к шарнирной опоре. Рассмотрим вначале случай безмассовой упругой опоры р = 0.
Из выражений (3.62), (3.86), (3.97)—(3.99) и кривых на рис. 3.14—3.16, а, б можно оценить влияние статической и динамической неуравновешенностей на развитие вибраций вала и его давлений на опоры.
Вибрации вала и его давления на упругую опору пропорциональны величине h3 в (3.62), (3.75), поэтому при равных величинах статической и эквивалентной динамической неуравновешенностей вибрации вала и его давления на упругую опору будут одинаковыми.
Иная картина наблюдается для давлений на шарнирную опору. Из (3.97) и (3.98) и рис. 3.16, а, б видно, что эквивалентная динамическая неуравновешенность, равная по величине статической, при d <g 1 вызывает давления на шарнирную опору, во много раз превышающие давления от статической неуравновешенности. Поэтому можно утверждать, что если эквивалентная динамическая неуравновешенность будет соизмерима со статической, то 136
в зарезонансной зоне давления на шарнирную опору будут вызваны в основном действием динамической неуравновешенности. Между тем действие динамической неуравновешенности пропорционально разности между центральными экваториальным В и полярным А моментами инерции (3.59). Отсюда следует, что для снижения вибраций и давлений на обе опоры вала, и особенно на шарнирную, полезно при конструировании уменьшать разность В — А.
Из (3.97) и (3.98) следует, что при больших скоростях вращения вала влияние статической неуравновешенности на увеличение' давлений на шарнирную опору пропорционально величине d, учитывающей действие гироскопических сил. Влияние динамической неуравновешенности на давления в шарнирной опоре при малых d практически не зависит от гироскопических сил при больших частотах вращения.
Из рис. 3.16, а, бу а также зависимости (3.99) видно, что при заданных статической и динамической, неуравновешенностях вала давления на наиболее нагруженную шарнирную опору уменьшаются при удалении центра инерции вала от шарнирной опоры (увеличение /г), а зона, в которой могут располагаться давления на эту опору, сужается.
Рассмотрим влияние приведенной массы невращающихся деталей, совершающих колебания вместе с упругой опорой, на изменение давления на шарнирную и упругую опоры. Из (3.97)—(3.99) видно, что увеличение (3 = mt4B при наличии у вала любого типа неуравновешенностей будет увеличивать давление на шарнирную опору. Из (3.74) следует, что при малом вязком трении на данной частоте вращения давления на упругую опору можно сделать малыми, если подобрать параметры упругой опоры таким образом, чтобы 1 — Ру2 = 0. Однако этот путь снижения давлений на упругую опору применим для рассматриваемой схемы вала, вращающегося в шарнирной и упругой опорах, только в случае, если он не ведет к увеличению приведенной массы упругой опоры. В противном случае некоторые уменьшения давлений на сравнительно менее нагруженную опору будут сопровождаться возрастанием давления на шарнирную опору, которая обычно значительно сильнее нагружена, чем упругая.
Полученные формулы позволяют провести детальный анализ влияния приведенной массы упругой опоры на давления вала на шарнирную и упругую опоры для конкретной роторной машины и выбрать ее оптимальное значение.
Сопоставление предельных значений давлений на шарнирную опору (3.97)—(3.99) с представленными на рис. 3.16, а, б кривыми показывает, что уже при у 4 давления в масштабе Л4гсо2 лишь на несколько процентов превыЩают их предельные значения при неограниченном возрастании частоты вращения вала. Следовательно, при проведении ориентировочных расчетов давлений на опоры вала при заданных статической и динамической неуравно-137
вешенностях можно пользоваться выражениями (3.88), (3.97)— (3.99).
Сравнение кривых на рис. 3.15 и 3.16, а, б, пересчитанных к одному масштабу, показывает, что в зарезонансной области, где выгодно использовать вал с одной упругой опорой по сравнению с валом, имеющим две жесткие опоры, давления на шарнирную опору в несколько раз превышают давления на упругую опору, причем с возрастанием частоты вращения эта разница растет.
Кривые на рис. 3.14—3.16, а, б показывают также, что если рабочие скорости в три-четыре раза выше критической, то дальнейшее снижение жесткости упругой опоры не дает заметного снижения вибраций и давления на шарнирную опору.
Подведем итог теоретических исследований динамики вала с одной упругой опорой.
1.	Для уменьшения вибраций вала и его давлений на опоры рабочие скорости при наличии одной упругой опоры надо располагать в зоне, превышающей более чем в три-четыре раза первую критическую скорость, но далекой от второй критической скорости, форма колебаний при которой связана с изгибом вала.
2.	Уменьшение жесткости упругой опоры приводит к уменьшению давлений на эту опору при рабочих скоростях, расположенных вдали от резонансной зоны, и к снижению вибраций вала при прохождении зоны критической скорости.
3.	При вращении в зарезонансной зоне из двух опор наиболее нагруженной оказывается шарнирная. Давление на эту опору возрастает пропорционально квадрату частоты вращения вала и почти не зависит от вязкого трения в демпфере и жесткости упругой опоры.
4.	Давления на шарнирную опору уменьшаются при удалении центра инерции вала от шарнирной опоры.
5.	Динамическая неуравновешенность в несколько раз интенсивнее, чем статическая, увеличивает давления на шарнирную опору. Поэтому для увеличения ресурса таких роторных машин должна особо тщательно выполняться динамическая балансировка.
6.	Давления на упругую опору имеют инвариантную частоту вращения, при которой они не зависят от вязкого трения. Эта скорость в раз выше первой критической.
7.	Динамические давления на упругую опору до прохождения инвариантной угловой скорости уменьшаются, а после ее прохождения быстро возрастают с увеличением вязкого трения.
8.	При отсутствии вязкого трения давления на упругую опору при удалении рабочих скоростей от первой критической скорости остаются постоянными. При наличии вязкого трения давления на упругую опору возрастают в этой зоне почти пропорционально возрастанию частоты вращения вала.
138
4. Динамика жесткого вала, вращающегооя в двух упругих опорах. Самоцентрирование
Вал, вращающийся в шарнирной и упругой опорах, можно рассматривать как жесткий только при частоте вращения, меньшей второй критической скорости. Переход через вторую критическую скорость для такого вала затруднен. Такой вал, рассматриваемый как жесткое тело, не самоцентрируется. Существенно снизить давления можно только между валом и упругой опорой. Эти недостатки устраняются при установке вала в две
Рис. 3.18. Параметры, определяющие положение вала при колебаниях
Рис. 3.17. Схема жесткого вала, вращающегося в двух упругих опорах
Рассмотрим [42, 431 динамику горизонтального жесткого вала массой Л4, вращающегося в двух упругих опорах (рис. 3.17). Коэффициенты жесткости упругого поля левой опоры правой с2. Центр инерции вала вместе с подшипниками находится в точке С, расположенной на расстоянии 1Г от левой и /2 от правой опоры. Вал вращается с постоянной угловой скоростью со. Главные центральные моменты инерции равны А относительно оси симметрии вала и В относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии (при вычислении момента инерции В учитывается масса вала и подшипников, колеблющихся вместе с валом). Расстояние между опорами /. Вал не уравновешен. Статическая неуравновешенность задана эксцентриситетом е,,динамическая — углом 6, образованным главной осью инерции и геометрической осью вращения. Плоскости, проведенные через геометрическую ось и центр тяжести, а также через геометрическую ось и главную ось инерции, образуют двугранный угол в. Для составления дифференциальных уравнений движения вала рассмотрим его смещенное положение (рис. 3.18). Тогда на основании теоремы о движении центра инерции и теоремы об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру инерции можно записать:
Мус = — с1у1 — с2у2, M.zc =—c-iZr — c2z^
Л® (31 — JSy i — с 2l 2z 2
Лшу, + B'p’j =	— c2l2y2.
(3.100)
139
Здесь yct zc — координаты центра инерции; у^ и z/2, ?2 — координаты левой и правой опор; и — малые углы между проекцией главной центральной оси инерции на плоскость xz и осью х и между проекцией главной центральной оси инерции на плоскость ху и осью х. Тогда, учитывая статическую и динамическую неуравновешенности, составим равенства:
Ус = Уг + У2 + е cos со/; zc =	-f- z2 ~ + e sin co/;
Pi =	g cos (co/ — e);	= 22 ~ 21 -j- 6 sin (co/ — e).
I	I
(3.101)
Подставив эти значения переменных в систему уравнений (3.100), получим окончательно: ....
М + 1$) + cjt/x + са/г/а = Mel®2 cos со/;
Л1 (Zxza + Zazx)'+ c1lz1 + caZza = Mel®2 sin co/;
Дсо (ya — г/х) — В (га — гх) — Ca/a/za +	=
— (В — Л) Zco26 sin (со/ — e);
Дсо (za — гх) + В (у2 — у) + c2l2ly2 + c^ly^ =
= (В — Д) /со26 cos (со/ — е).
Эта система обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений -с постоянными коэффициентами описывает малые колебания, вызванные статической и динамической неуравновешенностями. Решение этой системы складывается из общего решения однородной системы и частного решения полной системы. Общее решение однородной системы описывает свободные колебания ротора; При учете сил сопротивления эти члены быстро затухают, поэтому могут иметь значение только в переходных режимах, при пуске и останове машины, а также при переходе с одного режима на другой. Частное решение описывает вынужденные колебания. Эти колебания не затухают и при учете сил сопротивления. Вынужденные колебания представляют наибольший интерес с инженерной точки зрения, так как определяют ресурс роторной машины, уровень вибрации и давления между валом и опорами на рабочих режимах.
Частное решение полной системы имеет вид:
у± — ar cos со/ + Ьг sin со/; z1 = ar sin©/ — br cos о/; у % — аз cos со/ + b3 sin ©/; z2 — cz3 sin со/ — b3 cos со/, 140
(3.103)
где
Й1 =	{Ме.1ш~ [(В - Д) со2 - с2/2/]
— (M/jCo2 — c2Z) (В — Д) Ш cos е};
«з = -j— (Melrf [(В — Д) <в2 — c^t] + + (Л4/2(о2 — С11) (В - A) Ito* cos е);
t	(MZlft>2 - c2Z) (В — Д) Z6w2 sin е;
b3 = -j-— (М12ц? - Cjl) (В - Д) Z6w2 sin е
(3.104)
при условии, .что
fz (®) — ИВ — А) ®2 — c2l2ll (cj — М/2а>2) —
— [(В — Д) со2 — Crllr 1 (MZito2 — с21) ч- о..	(3.105)
*	V
При f2 (со) = 0 наступает резонанс, амплитуды колебаний согласно (3.104) неограниченно возрастают, а корни этого уравне-. ния определяют критические скорости. Они равны
ю1, 2
VNI — 4Л4 (В,— Д) схс2/2 2М (В — Д)
(3.106)
где
N\ = (ci Д- с2) (В - Д) + М (сг!2! 4- c2Zl).
При проектировании горизонтальных роторов полезно удо-
влетворять равенству
(3.107)
^1^2
При этом условии ротор в положении статического равновесия горизонтален, а частотное уравнение принимает более простой вид
[(В — А) со2 — c^l] (cj — М12ы2) (1 + lrU2) = 0. (3.108)
Корни этого уравнения, определяющие "критические скорости, будут:
(Oi - Vclhl!{B — Л);	(3.109)
со2 - Кс1//(Л1/2).	(3.110)
В зависимости от конкретных параметров ротора, одна из этих критических скоростей будет больше другой.
В случае, когда критическая скорость определяется равенством (3.109), резонансные амплитуды зависят только от динами
141
ческой неуравновешенности ротора и форма резонансных колебаний имеет вид конуса с вершиной в точке, соответствующей центру тяжести (рис. 3.19). Если же критическая скорость определяется по формуле (3.110), то ось ротора описывает цилиндрическую поверхность (рис. 3.20). При этом резонансные колебания зависят только от эксцентриситета ротора, динамическая неуравновешенность ротора на них не влияет.
В обоих резонансных случаях имеет место прямая синхронная прецессия (рис. 3.19, 3.20), в первом случае коническая, во втором — цилиндрическая [15].
I2
Рис. 3. 19. Коническая прецессия ро- Рис. 3.20. Цилиндрическая прецессия тора	ротора
Рассматриваемая роторная система имеет четыре колебательные степени свободы и, следовательно, должна иметь четыре критические скорости. Две из них определены равенствами (3.106). Две другие могут быть найдены как корни другого частотного уравнения
fi (<о) = 0,	(3.111)
отличающегося от (3.105) тем, что разность моментов инерции (В — Д) заменяется их суммой (В + Л). Однако критические скорости, являющиеся корнями частотного уравнения (3.111), не проявляются, как это видно из (3.104), если вынужденные колебания вызываются статической и динамической неуравновешенностями. Как и в ранее рассмотренном случае вала, вращающегося в шарнирной и упругой опорах, эти критические скорости могут проявиться, если возмущающая сила является синусоидальной силой постоянного направления. Однако такие возмущающие силы на практике, как правило, не встречаются.
Эффект самоцентрирования. Найдем предельные значения постоянных а19 a3l b19 Ь39 определяемых равенствами (3.104), при неограниченном возрастании угловой скорости вала:
lim аг — 1г6 cos е — е;
0)->оо
lim = Zx6 sin в;
(D->oo
lim а3 = — Z2S cos e — e; '
(0->oo
lim bs — /26 sin 8.
(0-> oo	j
(3.112)
142
Внеся найденные предельные значения постоянных в уравнении (3.103), получим значения координат при неограниченном возрастании угловой скорости вала:
lim уг = —е cos со/ + /j6 cos (со/ — в); СО оо
lim Zi = —е sin a>t + /х6 sin (w/ — е);
\	1 X I i ?	(3-113)
lim уz = —е cos &t — l2o cos (wr — e);
(0 -> oo
lim z2 = —e sin co/ — l28 sin (co/ — e).
(3.114)
Чтобы определить предельные значения координат центра тяжести вала и угла отклонения его главной центральной оси инерции от геометрической оси вращения, подставим предельные значения координат (3.113) в уравнения (3.101). В результате получим:
lim ус = 0; lim = 0;
0)>со	(0->оо
lim гс = 0; lim yj = 0.
С0->оо	(0->оо
Следовательно, при неограниченном возрастании угловой скорости вращения вал, статически и динамически неуравновешенный, сдвигается, совместив ось вращения с главной центральной осью инерции.
При неограниченном увеличении частоты вращения жесткий ротор, вращающийся в двух упругих опорах, располагается так, что устраняется его статическая и динамическая неуравновешенности.
Ротор с четырьмя степенями свободы (не считая вращения вокруг оси) обладает замечательным свойством самоцентрирования [42, 43]. Это свойство находит широкое применение при конструировании современных высокооборотных роторных машин.
Динамика жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах, рассматривалась В. Блессом [118] и Б. Дизиоглу [119]. ' В работе В. Блесса вынужденные колебания статически и динамически уравновешенного ротора вызываются двумя малыми массами, присоединенными к ротору эксцентрично в двух параллельных радиальных плоскостях. В работе Б. Дизиоглу исследовались вынужденные колебания вертикального ротора, вызванные одной массой, эксцентрично присоединенной к ротору.
В обоих случаях не учитывалось влияние присоединенных масс на изменение моментов инерции ротора, и неуравновешенность задавалась весьма частным образом, поэтому в этих работах не мог быть обнаружен эффект самоцентрирования жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах. Б. Дизиоглу, специально исследовавший этот вопрос, приходит к ошибочному
143
выводу об отсутствии самоцентрирования при неограниченном возрастании частоты вращения.
Заметим, что влияние вязкого трения на вынужденные колебания жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах, не нарушает эффекта самоцентрирования [14].
Давления между ротором и подшипниками. Давления на корпус. Для нахождения давлений между ротором и упруго закрепленным в корпусе машины подшипником преобразуем уравнения вынужденных колебаний (3.103), введя новые постоянные гх, Xf Ф, связанные с прежними постоянными соотношениями:
a1=r1cos%; = rr sin x; «з = ra cos ip; b3 = r2 sin ip.
(3.115)
В новых величинах уравнения вынужденных колебаний ротора примут простой вид:
У1 = гг cos — х); Zj = sin («/ — х); 1 у2 == G cos (wf — ф); z2 = r2 sin (со/ — ф). J
Согласно этим уравнениям движения заключаем, что вынужденные колебания ротора, вызванные его статической и динамической неуравновешенностями, являются прямой синхронной прецессией. Таким образом, и в этом случае статическая и динамическая неуравновешенности не могут вызвать вынужденных колебаний, соответствующих обратной прецессии ротора. Это объясняется тем, что возмущающая сила, вызванная неуравновешенностью, вращается вместе с ротором синхронно.
Перейдем к определению добавочных динамических составляющих давлений, возникающих между ротором и подшипниками, зажатыми в упругой среде, при вынужденных колебаниях, вызванных статической и динамической неуравновешенностями ротора (рис. 3.21).
Для определения давлений отбросим мысленно ротор, заменив его действие на опоры искомыми реакциями. Для левого подшипника (рис. 3.21) дифференциальные уравнения движения будут:
ПЧУ! = —СгУг + 7?^;	- — с^ + 7?u.	(3.117)
Соответственно для правого подшипника дифференциальные уравнения движения запишутся в виде:
^2^2 = —С2У2 + 7?2^ ^2Z2 = —C2Z2 + R2z. (3.118)
В этих уравнениях mlt т2 — массы левого и правого подшипников, причем под массой подшипника следует понимать массу его частей, колеблющихся, но не участвующих во вращательном движении вместе с ротором; 7?х и 7?3 — искомые реакции.
144
Внеся в уравнения (3.117) и (3.118) значения координат уъ гх, f/2, ^2 согласно (3.116), после несложных преобразований, найдем:
= (Сд — т^2) rx; R2 (с2 — т2а2) г2.	(3.119)
Из этих уравнений следует, если между массами подшипников, коэффициентами жесткости упругого поля опор и угловой скоростью будут существовать зависимости:
mi = с^со2; т2 = с2/<о2,	(3.120)
то радиальные давления между ротором и подшипниками обратятся в нуль. Следовательно, если рабочая частота вращения ро-
тора постоянна, то можно определить массу опоры и коэффициент жесткости упругого поля так, чтобы на заданной частоте вращения динамические давления между ротором и опорой обращались в нуль. На рис. 3.12 представлены зависимости давления от частоты вращения, рассчитанные для конкретного ротора в двух случаях: при жестких и при упругих опорах. Если рабочая скорость машины изменяется в некоторых пределах (для рис. 3.12, например, от 50-103 до 70-103 об/мин)
| z
Рис. 3.21. Упругая опора
то, располагая нулевое значение
реакции посередине, можно получить незначительные величины реакций во всем диапазоне рабочих частот вращения.
Следует, однако, иметь в виду, что коэффициенты жесткости упругих опор выбираются прежде всего из условий правильного расположения второй критической скорости, поэтому не всегда удается в точности удовлетворить равенствам (3.120). Однако и в этом случае реакции при упругом креплении опор будут значительно меньше, чем при жестких опорах, так как из (3.119) следует, что они пропорциональны амплитудам колебаний, кото
рые у ротора, вращающегося в упругих опорах в зоне самоцентрирования, несравнимо меньше, чем у ротора, вращающегося в жестких опорах. В конструкциях роторных машин встречаются случай, когда оба подшипника запрессованы в общей втулке, колеблющейся вместе с ротором. В этом случае [42, 43] условия равенства нулю динамических реакций между ротором и подшипниками даются равенствами:
Л; М =	1с-'; J = (C1 —22-<1<2-,	(3.121)
с2 h	<i)2	co2	v ’
где Zx, l2 — расстояния от центров левого и правого подшипников до центра инерции втулки (с подшипниками); М — масса втулки
10 А. С. Кельзон и др.	14б
с подшипниками; J — момент инерции втулки относительно центральной оси, перпендикулярной к оси ротора.
Следует заметить, что для большинства высокооборотных роторных машин запрессовка подшипников в общую втулку, колеблющуюся вместе с ротором, нецелесообразна, так как минимизация реакций упругих опор обычно приводит к необходимости уменьшать их массу до пределов, допускаемых требованиями прочности.
Давления вращающегося вала через подшипники и упругое поле передаются на неподвижный корпус машины. Для их расчета могут быть полезны следующие соображения. При самоцентрировании исчезает статическая неуравновешенность, упругое поле при этом сжимается на величину эксцентриситета. Модуль давления на корпус в этом случае
D = е.	(3.122)
Одновременно при самоцентрировании исчезает динамическая неуравновешенность. Вал поворачивается на угол S, сжимая упругое поле. Модуль момента пары сил, действующей на корпус, может быть подсчитан по формуле
М, = б/2 С1+Са .	(3.123)
Сила D и пара сил Мг вращаются вместе с ротором, являясь возмущающими факторами, приложенными к корпусу машины, и передаются через корпус на фундамент. Эти факторы при упругом креплении опор существенно уменьшаются по сравнению с их значениями при жестком креплении опор. Формулы (3.122) и (3.123) подтверждают необходимость возможно более точной статической и динамической балансировок роторов.
Формы колебаний. До начала 50-х годов в динамике вращающихся валов в основном разрабатывались методы определения критических скоростей и теория балансировки роторов. В этом плане, влияние упругих опор сказывалось на снижении всего спектра критических скоростей вала. Этим обычно и ограничивались познания в этом вопросе. Между тем сейчас очевидно, что это свойство упругих опор отнюдь не является главным. Для увеличения ресурса роторных машин важным является уменьшение резонансных амплитуд колебаний вала и связанный с этим легкий переход через критические скорости, а также эффект самоцентрирования и снижение давлений в опорах. Если в прошлом основная задача инженера при конструировании заключалась в том, чтобы отодвинуть в сторону больших частот вращения первую критическую скорость и освободить от нее зону рабочих скоростей, то в настоящее время прогрессивными методами в конструировании является создание жестких роторов, вращающихся в упругих 146
опорах в зоне самоцентрирования, т. е. в зоне, расположенной выше второй критической скорости.
При этом снижаются амплитуды колебаний, реакции в опорах, уменьшаются габариты и масса роторных машин.
Существенным преимуществом этого способа конструирования является отсутствие изгибных колебаний ротора во всем диапазоне скоростей.
Действительно, рассмотрим формы колебаний вращающегося вала^при различных способах крепления опор. На рис. 3.22 слева показаны формы колебаний при бесконечно податливых опорах;
Рис. 3.22. Влияние податливости подшипников на форму колебаний ротора:
1 — первая форма: 2 — вторая; 3 — третья; 4 — четвертая
посередине —• при опорах конечной жесткости; справа — при бесконечно жестких опорах. При жестких опорах первой критической скорости соответствует изогнутая форма колебаний вала. При достаточно податливых опорах (по сравнению с валом) рал проходит первую и вторую критические скорости как жесткий, образуя цилиндрическую и коническую прецессии.
Таким образом, к такому валу применять широко распространенный термин — изгибные колебания — было бы неверно. Правильнее называть колебания такого вала поперечными.
Устарело и не может применяться широко распространенное деление вращающихся валов на жесткие (вращающиеся ниже первой критической скорости) и гибкие (вращающиеся выше первой критической скорости). Действительно, вал, установленный в достаточно податливые опоры, остается жестким до подхода / к третьей критической скорости, поэтому точнее делить враща-; ющиеся валы на докритические и закритические, не связывая эти понятия с изгибом вала.
Линеаризация динамической роторной системы. Самоцентрирование неуравновешенного ротора, вращающегося в двух упругих опорах, наступает после перехода через зону второй критической скорости при дальнейшем неограниченном возрастании угловой скорости, причем вал рассматривается абсолютно жестким. Но вал можно считать абсолютно жестким только в определенных 10*	147
границах частот вращения. Даже если опоры очень податливы, третья критическая скорость связана с изгибом вала. В связи с этим представляет интерес динамика вала, установленного в упругие опоры в зоне резонансов третьего и более высоких порядков. Так как частота вращения роторных машин непрерывно растет, то эта проблема становится актуальной при создании новых высокооборотных изделий. Теоретически этот вопрос наиболее полно исследован М. Ф. Зейтманом [34], который определил для ряда роторов различных применяемых конструкций расположение первых трех критических скоростей. При этом он пришел к выводу об ограничении зоны рабочих скоростей вала, установленного в две' упругие опоры, третьей критической скоростью. Однако в этой работе не учитывалось естественное демпфирование, всегда существующее у реальных валов. С другой стороны, можно предполагать, что эффект самоцентрирования до подхода к третьей критической скорости будет достаточным, чтобы практически исчезли возмущающие силы, вызванные неуравновешенностью вала, вследствие чего при переходе через зону третьей критической скорости не возникнут амплитуды колебаний большой величины [3].
Ответ на этот существенно важный вопрос можно было получить экспериментально. Для этого на специальном стенде испытывался горизонтальный вал с насаженным посередине диском. Для передачи вращения испытуемому валу была применена муфта «двойной кардан», которая обеспечивала надежную передачу вращающего момента и вместе с тем относительную свободу перемещения вала в радиальном направлении (жесткость муфты в радиальном направлении ничтожна по сравнению с жесткостью упругих опор). Конструкция подшипниковых опор позволяла производить как жесткое, так и упругое крепление подшипников. В последнем случае подшипник крепился к трем симметрично расположенным пружинам равной жесткости сг. Упругое поле такой системы при малых колебаниях можно считать однородным с результирующей радиальной жесткостью с.
При измерении колебаний вала чувствительными элементами являлись индуктивные датчики, которые жестко крепились к станине. Сигналы, снимаемые с датчиков, усиливались восьмиканальной тензостанцией 8АНЧ и далее поступали на двенадцатиканальный шлейфовый осциллограф К-105, где они регистрировались на движущуюся с постоянной скоростью пленку. Рассматривались колебания вала как в вертикальной, так и горизонтальной плоскостях в различных точках вала. Визуальное сравнение на экране осциллографа сигналов, поступающих от датчиков, установленных в различных точках, позволяло судить о форме колебаний вала и, следовательно, о порядке проходимых критических скоростей. Для подсчета частоты вращения испытуемого вала на фотопленку записывался сигнал от датчика оборотов вала и сигнал стандартной частоты 50 Гц.
148
Испытывался вал длиной 770 мм и массой 1850 г, установлен
ный в двух одинаковых подшипниках скольжения, с диском массой 2760 г, установленным посередине вала. Длина вала между центрами подшипников 650 мм, диаметр цапф 20 мм, длина подшипников 20 мм, зазор 0,02 мм. Коэффициент жесткости упругого
поля опор с = 18 кгс/см. Масса подшипника с присоединенными колеблющимися, по не вращающимися частями 360 г, масса муфты 487 г.
Подшипники цилиндрические, стальные, с впрессованным бронзовым вкладышем. Смазка подшипников производилась от маслостанции турбинным маслом под давлением 2 кгс/см2, которое поддерживалось постоянным на
Рис. 3.23. Амплитудно-частотная характеристика ротора в упругих (Л) и жестких (В) опорах
входе подшипников.
Частота вращения вала изменялась ступенчато от 400 до 18 000 об/мин через каждые 200 об/мин. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений критических скоростей дано в табл. 3.5.
Результаты обработки осциллограмм представлены амплитудно-частотной характеристикой А на рис. 3.23. Уровень вибрации
Таблица 3.5. Критические скорости вала (об/мин)
Номер критической скорости	Расчет		Эксперимент
	без учета податливости вала	с учетом податливости вала	
1	802	807	800
2	1750	1680	1800
3-	—-	6050 •	5900
вала при переходе через критическую скорость 3 равен 0,3 мм, что значительно ниже уровня вибраций на первой (0,48 мм) и второй (0,58 мм) критических скоростях. Ротор, установленный в упругие опоры, легко переходит не только через первую и вторую критические скорости, но и через третью критическую скорость. За третьей критической скоростью расположена вторая зона самоцентрирования (от 7000 до пре-в эксперименте, 18 000 об/мин,
дельной скорости, достигнутой где уровень вибрации равен 0,1 мм и не превышает уровня вибрации в первой зоне самоцентрирования (2200—5000 об/мин).
Все эти критические скорости, измеренные экспериментально, хорошо совпадают с их расчетными значениями.
Таким образом, опасения [34] об ограничении третьей критической скоростью зоны рабочих скоростей вала, вращающегося в двух упругих опорах, экспериментом не подтверждаются, поскольку при упругих опорах снижается общая жесткость
149
системы и вследствие этого уменьшается собственная частота. Отношение коэффициента естественного демпфирования к собственной частоте, определяющее уровень вибрации при прохождении через резонансные зоны, в связи с этим резко возрастает. Это отношение становится вполне достаточным для снижения резонансных амплитуд, включая третью критическую скорость, до допустимого уровня, поэтому нет необходимости в установке искусственных демпферов, вносящих, как правило, новую нелинейность и добавочные зоны повышенной вибрации.	J
Для сопоставления были проведены испытания того же ротора при жестком креплении подшипников к корпусу стенда.
Амплитудно-частотная характеристика, полученная в результате обработки снятых осциллограмм, представлена на рис. 3.23, кривая В. Вследствие увеличения общей жесткости системы ротор—подшипники первая критическая скорость приходится на более высокие частоты вращения (3000 об/мин). С 5000 об/мин начинается резкий подъем уровня вибрации, который к 7000 об/мин । достигает величины — 1,2 мм, не допустимой при эксплуатации; j этот уровень колебаний остается неизменным в диапазоне 7000— | 18 000 об/мин, т. е. до предела частоты вращения, достигнутого | в эксперименте.	,	|
При упругом креплении опор (кривая А) на всем диапазоне | скоростей вращения, включая критические скорости, частота | колебаний совпадает с частотой вращения вала. Следовательно, система совершает вынужденные колебания, вызванные неуравновешенностью.	*
Совсем иная картина колебаний при жестком креплении опор ротора. До 6000 об/мин частота колебаний совпадает с частотой вращения вала; начиная с 7000 об/мин возникают колебания с частотой, равной собственной частоте, соответствующей первой -критической скорости (3000 об/мин). Колебания с этой частотой продолжаются непрерывно от 7000 до 18 000 об/мин. Таким образом, в этой широкой зоне, где должны располагаться рабочие режимы, развиваются стойкие автоколебания большой ампли- . туды [3, 57], вызванные нелинейными силами смазочного слоя. . Сопоставляя эти эксперименты, заключаем: применение упругих опор линеаризует динамическую систему ротор—подшипники скольжения. Автоколебания — явление, вызванное нелинейностью гидродинамических сил смазки, — при упругом креплении , опор полностью исчезают, и динамическая система идентична линейной.
5. Самоцентрирование и уравновешивание высокооборотного компрессора
Разработанная выше теория самоцентрирования жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах, нашла практическое воплощение в высокооборотном компрессоре транспортного газотурбинного двигателя [54].
150
При конструировании современных высокооборотных газотурбинных двигателей, для нормальной эксплуатации необходимо получить широкую область рабочих частот вращения, свободную от критических режимов и иных зон усиленной вибрации.
Необходимо обеспечить в процессе запуска и на рабочих режимах малые перемещения ротора, чтобы выдержать допустимые радиальные зазоры между ротором и статором. Для надежности конструкции и достаточного ресурса необходимо, чтобы виброперегрузки в опорах на рабочих скоростях и при прохождении критических скоростей были достаточно малы.
Рис. 3.24. Схема экспериментальной установки газотурбинного двигателя
Точная первоначальная балансировка роторов двигателя необходима, но она дает только частичный эффект, так как остающаяся статическая и динамическая неуравновешенности при прохождении критических скоростей может создать большие виброперегрузки и недопустимые амплитуды колебаний ротора. Кроме того, в процессе эксплуатации роторов сложной конфигурации можно ожидать разбалансировку ротора из-за взаимного смещения деталей. В этом отношении из трех роторов, образующих рассматриваемый газотурбинный двигатель — компрессор, турбина компрессора, свободная турбина, — наибольшую вероятность разбалансировки представлял восьмиступенчатый компрессор (рис. 3.24). Чтобы избежать в зоне рабочих скоростей роста амплитуд колебаний и обеспечить работоспособность подшипников, можно избрать при конструировании высокооборотных роторов два пути: ранее применявшееся использование эффекта гибкого вала [73] или новый путь, конструируя жесткий ротор в двух упругих опорах, самоцентрирующийся после перехода через первые две критические скорости [42].
Первый путь не может быть использован по двум причинам. Во-первых, для пустотелых высокооборотных роторов сравни-151
тельно большого диаметра трудно совместить прочностные требования и переход через первую и вторую критические скорости при условии, что вторая критическая скорость должна быть расположена ниже начала зоны рабочих скоростей компрессора. Во-вторых, как известно [29, 30], одной из причин потери устойчивости вращающихся валов в закритической области является внутреннее трение, возникающее при изгибных колебаниях гибкого вала, поэтому при конструировании компрессора газотурбинного двигателя (рис. 3.24), зона рабочих частей вращения которого лежит в пределах 25 000—45 000 об/мин, за основной был выбран второй путь. Этот путь позволяет понизить до необходимого значения первую и вторую критические скорости, увеличивая податливость упругих опор, но не уменьшая прочности ротора. Если зона рабочих скоростей не доходит до третьей критической скорости, то ротор колеблется как твердое тело, при этом напряжения вызванные изгибом, отсутствуют.
Рассмотрим восьмиступенчатый компрессор, соединенный гибкой рессорой с турбиной компрессора (рис. 3.24), как жесткий горизонтальный вал, вращающийся в двух упругих опорах, центр тяжести которого расположен между опорами.
Дифференциальные уравнения малых колебаний такого ротора, вызванные статической и динамической неуравновешенностями, определяются по формуле (3.102). -Вынужденные колебания ротора компрессора находятся согласно (3.103) и (3.104), а критические скорости — из (3.106). При неограниченном увеличении угловой скорости ротора компрессора ось вращения совпадает с главной центральной Осью инерции; д. е. ротор компрессора самоцентрируется.
Однако для использования эффекта самоцентрирования в инженерной практике необходимо установить, как скоро после перехода угловой скорости через вторую критическую скорость наступает самоцентрирование, ибо рабочая скорость компрессора, как и любой машины, конечна, и самоцентрирование при неограниченном возрастании угловой скорости представляет только теоретический интерес. Решение этой последней задачи может быть получено быстрее всего экспериментально.
Таким образом, при расчете и конструировании высокооборотного компрессора в соответствии с развитой теорией были^по-ставлены следующие цели:
1)'расположить первую и вторую критические частоты вращения компрессора ниже 25 000 об/мин, т. е. до начала рабочих оборотов;
2)	использовать в зоне рабочих скоростей, предусмотренных техническим заданием, эффект самоцентрирования от 25 000 ^до 45 000 об/мин; >
3)	сконструировать ротор компрессора, который на всем диапазоне скоростей от нуля до 45 000 об/мин ведет себя как жесткий ротор и не испытывает изгибных колебаний;
152
Рис. 3.25. Расчетная схема гибкого ротора
4)	рассчитать Достаточную податливость упругих опор с тем, чтобы обеспечить переход через первую и вторую критические скорости при допустимых виброперегрузках в опорах и малых амплитудах перемещений ротора компрессора, не прибегая к искусственному увеличению демпфирования.
При конструировании компрессора основные его параметры были определены исходя из технического задания и расчета на прочность, поэтому для обеспечения динамики компрессора мог быть использован только выбор надлежащей жесткости обеих опор. Основные данные для расчета критических скоростей были следующими: / = 39,9 см; 1г = = 21 см; Z2 = 18,9 см; М — == 7,55*10“3 кгс*с2*см-1; А = = 0,1223 - кгс*см*с2; В — = 0,9898 кгс*см*с2.
Выбрав значения коэффициентов жесткости опор — = 0,326* 104 кгс* см”1, с2 — == 1,093*1О4 кгс-см”1, находим согласно (3.106) значения первой и второй критических скоростей: пг = 13 200 об/мин;
= 27 800 об/мин.
При этом вторая критическая скорость лежит немного выше нижней границы зоны рабочих скоростей.
Учет податливости ротора. Рассмотренная выше динамика жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах, не учитывает гибкости самого ротора. Для проверки допустимости такого подхода рассмотрим динамику ротора с учетом упругости опор и гибкости самого ротора. Для расчета критических оборотов ротора воспользуемся методом динамических податливостей [30].
Под динамической податливостью упругой системы в сечении i понимается отношение амплитудного значения перемещения At Z-ro сечения к амплитуде гармонической силы, приложенной в сечении j и вызвавшей это перемещение.
Если точка приложения усилия и точка, в которой рассматри-, вается перемещение, совпадают, то динамическую податливость назовем основной, в противном случае — смешанной.
Рассмотрим ротор pq (рис. 3.25) на двух упругих опорах, податливости которых 8Р и Отбрасывая упругие опоры, заменяем их действие неизвестными амплитудными значениями усилий хр и xq. Так как в действительности при колебаниях ротора на опорах перемещения концов ротора и пружин совпадают, то можно записать уравнения:
Хр^рр Т Xq^pq Хр®р>
Xp^qp “F Xq^qq %q$q
(3.124)
(3.125)
153
Здесь etj — динамические податливости свободного ротора, зависящие от угловой скорости со, причем
&pq = вдр*	(3.126)
Полученная система линейных уравнений относительно неизвестных амплитуд усилий будет однородной, так как при определении собственных частот внешние нагрузки отсутствуют. Условием нетривиального решения системы, что должно иметь место, так
Рис. 3.26. Выбор знаков перемещения, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы
как [ротор совершает колебания, будет равенство нулю ее определителя
(брр + М + 6,) - вр, = 0.
(3.127)
Решая это уравнение графически, находим собственные частоты вращения ротора.
Для определения динамиче-• ских податливостей ротор делится на соответственно выбранное число участков. При наличии сосредоточенных масс в точках ч их приложения проводятся границы участков:
распределенная масса каждого участка делится на две половины, которые сосредоточиваются по концам участка. Таким образом, участок оказывается невесомым между каждыми двумя сече-• ниями, а в самом сечении сосредоточенная масса (которая в частном случае может быть и нулевой) увеличивается на полусумму масс двух прилегающих к этому сечению участков. Сечение проводится непосредственно слева от сосредоточенной массы т£\ в частном случае может быть участок нулевой длины, но имеющий отличную от нуля массу.
В каждом i сечении имеем четыре величины: перемещение До’ угол поворота vh изгибающий момент М£ и перерезывающую силу Qt. Выбор знаков этих величин показан на рис. 3.26. Для участка длиной 1£ при различных значениях со можно написать
четыре уравнения:
Qi+i - Qi +'т^А£-, х	(3.128)
- Mi + liQi+i - Wvr,	(3.129)
A-u - At + 1^ +	- 6QZ+1;	(3.130)
V/+1 - Vt +	— PQZ+1,	(3.131)
где первых два представляют собой уравнения равновесия. Два других являются уравнениями деформации участка, рассматриваемого как консоль, заделанная на левом конце под соответств.ую-154
щим углом V[ и деформирующаяся под действием приложенных на правом конце силы QM и момента Mz+i*
Величина
Л = J3i (1 - Jpilhik)	(3.132)
учитывает влияние гироскопического эффекта.
Здесь Jpi—полярный момент инерции г-й массы; J3i—диаме-тральный момент инерции t-и массы; k =	, где со — круговая
частота собственных колебаний; соп — угловая частота вращения ротора.
В случае прямой синхронной прецессии со = со^.
В систему (3.128)—(3.131) входят коэффициенты влияния Xz, 6£, характеризующие податливости t-ro участка и имеющие простой физический смысл — это перемещение свободного конца участка при заделке на другом: — угловое перемещение, вызванное единичным моментом; pz — поперечное перемещение от единичного момента; 6Z — поперечное перемещение, вызванное единичной силой.
Зная коэффициенты влияния на каждом участке, переходим к определению динамических податливостей ротора в точках р и q. Приложим в точке р единичную силу. Тогда динамические податливости системы ерр и eqp будут совпадать с перемещениями точек р и q, т. е. с Ар и Aq. В первом сечении принимаем А1р = = vlp =	— 0;	= I. Далее, пользуясь уравнением
(3.132), находим Л2, v^M по которым определяем все величины в третьем сечении и т. д. В каждом сечении получаем значения перемещений и усилий как функции начальных неизвестных Лх и vx:
Qi — <4'% + di^vi + h[l);
Mi=c^ Ai+
A{ = c^Ai + №vi + h^-, vi — '/li + dPtfi +	.
(3.133)
На правом свободном конце ротора изгибающий момент и перерезывающая сила должны быть равны нулю:
Qn =	+ h[n) = 0;	(3.134)
Мп = 4Л)А + d^vi + № = 0.	(3.135)
Решая эту систему, находим”Лх и с помощью которых можем найти податливость в любом сечении: eip == Л4*.
Таким образом, ерр = Ар = Аг и epq ~ Ад.
Затем прикладываем единичную силу в точке 7. Тогда, в первом сечении Aiq — А\\	= vl; Mi ~ 0; Q = 0.
155
Переходя от участка к участку по (3.128)—(3.131), в каждом сечении получим систему, аналогичную (3.133), причем коэффициенты c'j и d] будут совпадать с соответствующими коэффициентами и dj в (3.133), а свободные члены равны нулю. Наконец, в системе (3.134)—(3.135) будет hz(n) = 0, h'i(n) = 1.
Определив из второй системы А{ — epq и находим
^<7 = &qp*
Значение А{ должно совпадать с полученным в первом случае значением Aq, таккаке^ = eqp, что служит для проверки расчета.
Расчет ротора по данной методике произведен на ЭВМ. Критические частоты вращения ротора с учетом его гибкости оказались равными:.
= 11 600 об/мин; п2 = 23 900 об/мин.
Сопоставляя значения первых и вторых критических частот вращения ротора, вычисленных без учета его гибкости и с учетом последней, заключаем, что отклонения в значениях критических частот вращения незначительны. Они лежат в пределах точности обоих методов расчета. Ротор можно рассматривать как жесткий.
Заметим, что о допустимости рассмотрения ротора как жёсткого, можно судить и другим путем, сравнивая податливость ротора как свободно опертой балки.
Для рассматриваемого компрессора податливости опор равны: первой опоры — 307,0-10“б см-кгс”1; второй опоры — 91,5 X X 10“6 см - кгс”1.
Податливость ротора в центре тяжести, если его рассматривать как балку, свободно опертую на жестких опорах, равна 30,0-10“6 см-кгсА
Таким образом, вал жестче опор: первой в десять раз и второй в три раза.
Кроме того, необходимо определить вышеприведенным методом динамических податливостей собственную частоту изгибных колебаний свободно плавающего ротора компрессора. Значение этой частоты близко к третьей критической скорости компрессора, форма колебаний которой связана с изгибом вала. Для рассматриваемого компрессора собственная частота свободно плавающего ротора превышает более чем в два раза частоту, равную максимальной рабочей частоте вращений. Таким образом, ротор компрессора при частоте вращения, равной 45 000 об/мин, находится далеко от третьей критической скорости и, следовательно, при найденных соотношениях податливости ротора и опор может рассматриваться как твердое тело во всемЗдиапазоне скоростей от нуля до 45 000 об/мин.
Экспериментальные исследования. Для экспериментального определения амплитудно-частотных характеристик, виброперегрузок и эффекта самоцентрирования ротора компрессора была 156
создана специальная установка. На рис. 3.24 представлена схема жспериментальной установки, представляющей собой часть полноразмерного газотурбинного двигателя, состоящего из восьмиступенчатого компрессора, соединительной гибкой рессоры и турбины компрессора. Соединение двух роторов посредством гибкой
рессоры позволяет рассматривать ротор компрессора и ротор турбины при изучении поперечных колебаний независимо друг от друга, так как гибкая рессора передает вращающий момент, по практически исключает взаимное влияние роторов на попереч-
ные колебания ввиду весьма малой жесткости в поперечном направлении.
Места установки внутренних датчиков для измерения виброперегрузок в опорах обозначены цифрой /, места установки акселерометров для измерения виброперегрузок (в креплениях опор к корпусу летательного аппарата) отмечены цифрой 2 и места установки прогибомеров для измерения перемещений компрессора — цифрой 3. Установка приводи-
Таблица 3.6. Податливость опор (см*кгс"1)
Номер варианта	Первая опора	Вторая	опора
1	6=307-10-8	0	i
2	6=307-10-’	6=91,5	• 10-®
3	6= 307-10-®	a) = 135-	10-®;
		б) 62 =286-	ю- •
лась во вращение сжатым воз-
духом от стационарного компрессора. Диапазон скоростей вращения установки — от 5000 до 50 000 об/мин. Предусмотрена возможность ступенчатого изменения угловой скорости через 500 или 1000 об/мин. Для уменьшения потребной мощности на раскрутку установки лопатки компрессора были заменены грузами с эквивалентными массами. Балансировка компрессора, соблюдение соосности опор и зазоры в подшипниках были та
кими же, как и на полноразмерном изделии.
Зоны критических скоростей определялись, с одной стороны, по показаниям пьезоэлектрических акселерометров, которые измеряли уровень вибраций опор компрессора, с другой — по показаниям прогибомеров, которые измеряли перемещения ротора компрессора. Акселерометры и прогибомеры устанавливались в двух взаимно перпендикулярных плоскостях — вертикальной и горизонтальной.
Опыты проводились при трех вариантах опор компрессора. Первая опора (табл. 3.6) имела во всех экспериментах одинаковый упругий элемент, создававший однородное упругое поле с податливостью 6 = 307• 10“6 см-кгс-1. Вторая опора менялась как по величине податливости, так и по конструктивному выполнению. В первом варианте вторая опора была жесткой, во втором '— имела масляный демпфер; податливость упругого элемента демпфера равнялась 6 = 91,5-10"6 см-кгс4, которая была одновременно
157
заложена в теоретические расчеты. Упругий элемент (рис. 3.27) выполнен в виде втулки с аксиальными прорезями и отделен тонким масляным слоем от статора. В третьем варианте вторая опора была чисто упругой (рис. 3.28), причем податливость упругого радиального поля выбиралась двояко: бх = 135-10”6 см-кгс'1; 62 = 286-1О“6 см-кгс"1, что достигалось изменением толщины упругого элемента: 0,9 и 0,7 мм.
Результаты эксперимента в первом варианте представлены на рис. 3.29^ по первой опоре и на рис. 3.30 по второй. По оси абсцисс даны частоты вращения компрессора в оборотах в минуту,
Рис. 3.27. Схема упругого элемента с масляным демпфером
Рис. 3.28. Упругая опора
а по оси ординат — виброперегрузки — отношение измеренного ускорения к ускорению силы тяжести. На рис. 3.29—3.39 сплошной линией обозначены показания вертикального датчика, штриховой — горизонтального.
Зона первой критической скорости расположена в районе 13 000—15 000 об/мин. Как видно из рис. 3.29, благодаря упругости первой опоры, эта критическая скорость проходится с небольшой перегрузкой, не более 9g на первой опоре.
В зоне второй критической скорости, расположенной вблизи 30 000 об/мин, перегрузка на первой упругой опоре резко возрастает, достигая 125g. Далее, после спада, перегрузка вновь возрастает, достигая на 40 000 и 45 000, об/мин 30g. Как видно из рис. 3.30, на второй жесткой опоре происходит монотонное возрастание перегрузки до 39g в зоне второй критической скорости. Далее, после небольшого спада, на частотах вращения 40 000— 45 000 об/мин перегрузка вновь возрастает до 36g. Замерить в этом эксперименте зависимость перемещений компрессора от частоты вращения не удалось, так как из-за большой амплитуды колебаний прогибомеры вышли из строя.
Результаты эксперимента объясняются следующими соображениями. Симметричный, ротор в одной упругой и второй шарнирной жесткой опоре проходит первую критическую скорость как жесткий вал, описывая вокруг оси, проходящей через шарнир, коническую круговую поверхность, поэтому переход через 158
Рис. 3.29. Зависимость виброперегрузок на первой опоре от частоты вращения компрессора (внутренние датчики): первая опора упругая с кольцом h ~ 0,5 мм; вторая опора жесткая
Рис. 3.30. Зависимость виброперегрузок от скорости вращения компрессора на второй опоре (внутренние датчики)
Рис. 3.31. Зависимость виброперегрузок на первой опоре от частоты вращения компрессора: первая опора упругая с кольцом h = 0,5 мм; вторая опора демпферная
159
первую критическую скорость происходит при небольших виброперегрузках. Форма колебаний ротора при прохождении второй кри- * тической скорости определяется изгибом, а так как ротор ком-прессора по условиям прочности сконструирован весьма жестким на изгиб, то возникают весьма большие, недопустимые при эксплуатации виброперегрузки.-
Таким образом, ротор, вращающийся в одной упругой и второй шарнирной опоре, может быть использован только в зоне рабочих . скоростей, расположенных ниже второй критической скорости, в данном случае — не выше 20 000 об/мин.
я
20-
5000	15000	25000	35000 П,о5/нин
Рис. 3.32. Зависимость виброперегрузок от частоты вращения компрессора для второй опоры
* Результаты эксперимента при втором варианте опор представлены на рис. 3.31—3.33. По первой опоре (рис. 3.31) происходит возрастание виброперегрузки с увеличением частоты вращения. При этом в зоне рабочих скоростей от 25 000 до 45 000 об/мин перегрузки возрастают от 20g до 37g, достигая недопустимых при эксплуатации величин. По второй демпферной опоре (рис. 3.32) перегрузка медленно, но неуклонно возрастет до 9g на 37 000 об/мин. Далее перегрузка растет быстрее, достигая 20g на 45 000 об/мин. Зависимость перемещений ротора компрессора от частоты вращения (рис. 3.33) показывает, что первая критическая скорость не проявляется, однако вторая критическая скорость дает скачок амплитуды колебаний. На частоте вращения, равной 22 000 об/мин, перемещения компрессора достигают 0,04 мм. Далее в зоне рабочих скоростей перемещения компрессора не снижаются ниже 9,01 мм. Таким образом, хотя по сравнению со второй жесткой опорой переход к демпферной опоре несколько снизил виброперегрузки и амплитуды колебаний, эти вибрационные характеристики все еще недопустимо высоки, и компрессор не пригоден к эксплуатации.
Результаты эксперимента при третьем варианте опор [случай а] представлен на рис. 3.34—3.36. На первой опоре (рис. 3.34) виброперегрузки на всем диапазоне частот вращения от 5000 до 45 000 об/мин не.превышают 10g. На второй опоре (рис. 3.35) виброперегрузки на том же диапазоне скоростей не превосходят 15g.
160
Рис. 3.33. Зависимость перемещений ротора компрессора от частоты вращения
/Г
Ю		"" II Uie		——————		/ /		 Ш 4/^
5000	15000	25000	55000	п>о5/мин								
Рис. 3.34. Зависимость виброперегрузок на первой опоре от частоты вращения компрессора. Обе опоры упругие. Податливость второй опоры
= 135-Ю’6 см-кгс’1
Рис. 3.36. Зависимость перемещений ротора компрессора от частоты вращения
11 А. С. Кельзон и др.	161
На графике (рис. ,3.36) дана зависимость перемещений компрессора от частоты вращения. Четко видна первая критическая скорость, расположенная вблизи 10 000 об/мин и вторая — около 23 000 об/мин, что хорошо совпадает с рассчитанными значениями. Некоторое снижение экспериментальных данных объясняется тем, что при расчете жесткость второй опоры была взята несколько большей, чем в эксперименте.
Максимальные перемещения компрессора на первой критической скорости не превышают 0,017 мм, на второй — перемещения еще меньше, они равны 0,012 мм. Эти перемещения в 2,5— 3,0 раза меньше, чем в случае второй демпферной опоры (второй вариант). В зоне рабочих частот вращения от 25 000 до 45 000 об/мин перемещения компрессора уменьшаются до 0,005 мм, т. е. лежат ниже уровня чувствительности прогибомеров.
Эксперимент подтверждает эффект самоцентрирования компрессора после перехода через первую и вторую критические скорости. Как видно из рис. 3.36, эффект самоцентрирования наступает при частоте вращения, равной 26 000 об/мин, т. е. через 3000 об/мин после прохождения второй критической скорости.
Рассмотрим далее результаты, полученные при испытаниях третьего варианта опор [случай б], когда податливость второй опоры была увеличена примерно в два раза:	= 286 X
X 10~6 см кгс’1. Виброперегрузки на первой опоре в этом случае не превышают 10g (горизонтальный датчик) и 5g (вертикальный датчик), а на второй опоре, монотонно возрастая, достигают на 45 000 об/мин величины 13g (вертикальный датчик). Перемещения компрессора (рис. 3.39) не превышают 0,017 мм на первой критической скорости, равной 11 000 об/мин. Они снижаются до 0,008 мм на второй критической скорости, расположенной вблизи 22 000 об/мин. На рабочих скоростях от 25 000 до 45 000 об/мин наступает самоцентрирование и перемещения уменьшаются до 0,003 мм.
Рассмотренная динамика высокооборотного ротора компрессора позволяет сделать следующие выводы.
1.	Высокооборотные роторы * следует конструировать в двух упругих опорах, выбирая податливость опор не менее чем на порядок больше, чем податливость ротора в его центре тяжести. Ротор рассматривается как балка, свободно лежащая на жестких шарнирных опорах.
2.	Первую и вторую критические скорости жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах, следует располагать ниже начала зоны рабочих частот вращения, так, чтобы вторая критическая скорость находилась несколько ниже начала рабочей частоты вращения.
3.	В зоне рабочих частот вращения следует при этом использовать эффект самоцентрирования жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах.
162
Рис. 3.37. Зависимость виброперегрузок на первой опоре от частоты вращения компрессора. Обе опоры упругие. Податливость второй опоры
— 286-10"6 см-кгс"1
Рис. 3.39. Зависимость перемещений ротора компрессора от частоты вращения
11*
163
4.	Нет необходимости вводить искусственные демпферы, так как последние не улучшают динамику ротора по сравнению с чисто упругими опорами. Естественное демпфирование, всегда присутствующее в роторных системах, достаточно для снижения амплитуд на критических скоростях. Искусственные демпферы обычно нелинейны и вносят в динамику новые зоны повышенной вибрации.
5.	Разработанный способ конструирования и расчета позволяет создать высокооборотные роторы, не испытывающие во всем диапазоне скоростей (расположенных ниже третьей критической скорости) изгибных колебаний. Во всем диапазоне частот вращения ротор ведет себя как жесткий.
6.	Применение двух упругих опор обеспечивает переход через первую и вторую критические скорости с малыми виброперегрузками и небольшими амплитудами колебаний.
7.	Эффект самоцентрирования на рабочих частотах вращения приводит к значительному снижению давлений между ротором и подшипниками. Ресурс подшипников возрастает.
Газотурбинный двигатель после приведенных выше испытаний выпускается серийно свыше десяти лет.
6. Линеаризация системы вал—подшипник введением линейной податливости в опору Уравнения движения ротора в упругом шарикоподшипнике с предварительным осевым натягом. Нелинейные жест-костные характеристики подшипников качения в значительной степени влияют на работоспособность всего механизма в целом. Появление субгармонических колебаний ротора, повышение общего уровня вибраций, трудности в расчете критических частот вращения — все это следствие нелинейности упругого поля подшипников. Применение упругих опор, линейных в пределах виброперемещений, допустимых в условиях эксплуатации, вносит определенные коррективы в нелинейные особенности системы ротор—опоры.
В гл. 2 было показано, что введение в опору линейного упругого поля приводит к тому, что нелинейность, обусловленная деформацией контактирующих в процессе работы деталей подшипника, существенно снижается и жесткостная характеристика опоры стремится к линейной. Рассмотрим влияние линейного упругого поля на динамику ротора в подшипнике с осевым пружинным натягом на примере системы, представляющей собой симметричный ротор, опирающийся на одну шарнирную опору и одну упругую, расположенные по концам ротора. Упруго установленный шарикоподшипник имеет пружинный осевой предварительный натяг. Будем полагать, что упругое поле опоры, образуемое пружинами 1 (рис. 3.40, а), однородно, линейно и характеризуется коэффициентом жесткости сг. Упругое поле собственно предварительно натянутого шарикоподшипника будем полагать однородным, но имеющим нелинейную жесткостную характери-164
стику, определяемую выражением (2.26), где под г будем понимать относительное сближение внутреннего и наружного колец подшипника. Воспользуемся уравнением движения ротора в виде (2.42) для ротора в шарнирной и упругой опорах. В этих уравнениях под Р (z) и Р (у) понимаем проекции на оси координат восстанавливающей силы, характер которой зависит от режима, в котором работает предварительно натянутый подшипник. В свете изложенного в гл. 2 следует считать, что упруго
установленный радиально-упорный шарикоподшипник с осевым пружинным натягом может работать в двух режимах:
1) в режиме линейной упругой опоры при невыбранном усилии осевого предварительного натяга;
Рис. 3.40. Модель подшипника с предварительным натягом: а — схема подшипникового узла с предварительным натягом в упругом линейном поле; б — динамическая двухмассовая модель системы ротор—опора
2) в режиме упругого подшипника с нелинейной жесткостной характеристикой после нейтрализации усилия натяга динамическими нагрузками со стороны ротора, имеющего остаточную неуравновешенность. _	. '
Для анализа динамики реальной системы ротор—опоры заменим ее простейшей динамической двухмассовой моделью (рис. 3.40, б). Так как принято допущение об изотропности упругого поля опоры и гироскопические силы не учитываются, то, следуя А. Тондлю [100], можно в первом приближении исследовать движение в вертикальной и горизонтальной плоскостях независимо друг от друга. Обе массы последовательно соединены с корпусом, причем верхняя масса т1 = ВИ2 представляет собой массу ротора, приведенную к шарнирной опоре, а нижняя масса — масса колеблющихся частей опоры, включая массу наружного кольца подшипника и массу колеблющихся частей упругой подвески.
Нижняя пружина модели заменяет упругое поле опоры с линейной жесткостью clf верхняя пружина заменяет нелинейное упругое поле шарикоподшипника с преднатягом. Возмущающее 165
усилие задается статической неуравновешенностью ротора. Реакцию верхней пружины обозначим Р (хх — х2) = Р (Ах), определяя ее согласно выражению (2.26), где положим г «= Ах. Так как . переменная г есть абсолютная величина относительного смещения внутреннего и наружного колец подшипника, то в дальнейшем будем полагать Ах > 0, считая, что Ах — абсолютная величина относительного смещения масс tnt и ш2. Так как учет сил демпфирования в уравнениях движения в значительной степени усложняет решение задачи для двухмассовой системы в нелинейной постановке, то запишем уравнения движения системы в виде:
хх + Р\ (Ах) = есо2 sin со/;
х2 + Х2 — Р2 (Ах) = 0.
(3.136)
Здесь Рг (Ах) и Р2 (Ах) — нелинейная функция, определяемая согласно выражению (2.26) и отнесенная к т1 для Рх (Ах) и к т2 для Р2 (Ах).
Егли принять, что начальная фаза колебаний равна нулю, то частное решение системы (3.136) можно искать в виде:
хх = a sin со/; х2 = b sin со/;	(3.137)
Воспользуемся методом Б. Г. Галеркина, допускающим поиск решения для систем с двумя степенями свободы. Основные уравнения для определения параметров а и b запишутся в виде:
J [— o)2a sin со/ + Рх (a, b, со, t) — о
— гео2 sin о)/] sin со/ dt — 0; т
| — о)2& sin со/ + — b sin со/ —
J L	т?.
о
— Р2 (а, b, со, t) sin со/ dt = 0,
где Т = 2зт/й) — период колебаний.
Вычисляя интегралы и обозначив
т
j Pr (a, b, со, f) sin at dt = /х; о
Р2(а, &, со, I) sin dt = /2,
получим два нелинейных алгебраических уравнения, ющих параметры а и Ь:
(а 4“ £) — Л» ””
со2^ ь = /2.
(3.138)
(3.139)
связыва-
(3.140)
166

ИнтёгрйлЫ тййа (3.139) вычислены путем разложения Нелинейной функции в ряд по степеням переменной. Производя преобразования в системе (3.140) и переходя к безразмерным величинам, получим два уравнения:
• Д£ =ф Д£ +-g-ф Д£»
(1 — pQ2) AS = Si [(1 —	—
(3.141)
Здесь обозначено:	гДе Si = и £2 = Ь/28 —
амплитуды перемещений масс пгг и /п2, отнесенные к радиальному зазору в подшипнике; Й =?= а>/а>0—безразмерная угловая скорость; (оо = У c-Jm^—угловая скорость ротора, соответствующая собственной частоте колебаний системы, состоящей из массы nix и пружины с жесткостью р = т21тх—массовое число, равное отношению массы опоры к массе ротора; % и 0 — конструктивные параметры, зависящие от геометрических соотношений в шарикоподшипнике; v0 ~ Р0/(28сх) — безразмерная величина усилия предварительного осевого натяга; /1=-^-—без-размерная неуравновешенность ротора; Ф vQg(i —	----функ-
ция угловой скорости.
Если обозначить

то первое уравнение системы (3.141) можно разрешить относительно L(AS), а второе—.относительно Sv
L(AS)= Q'(11Sg^/t) ;	(3.142)
t _ (1	Н^2)	^2	/о 1до\
[(1 — pQ2) — Q2] ’
Анализ решений без учета массы опоры. Анализ периодических решений, полученных для нелинейной системы (3.136), являющейся идеализацией системы ротор—-опора, начнем с выяснения характера скелетных кривых, уравнения которых можно получить, положив в (3.141) h = 0. Если не учитывать массу подшипника, т. е. принять р — 0, то получим для скелетных кривых:
_ Л(Д|) . . _ дв
1 +Д(Д£) ’	1 — Q2 *
(3.144)
Задаваясь Д£, можно подсчитать й2 = f (Д%) и построить скелетные кривые как = f (й2). Следует отметить, что функция
167
L (A£), определенная для данного типа подшипника параметрами 0 и х, включает в себя безразмерный натяг v0 и жесткостный параметр с* = ca/(2ci), поэтому характер скелетных кривых в значительной степени зависит от этих двух величин. На рис. 3.41 построен ряд скелетных кривых на плоскости (Q2; А£) для подшипника с параметрами х = 8,6 и 0 = 17 (подшипник 204) при значениях безразмерного натяга v0 = 0,01; 0,3 и 0,5. Все три графика отличаются друг от друга параметром жесткости с*, причем этот параметр увеличивается при уменьшении радиальной жесткости опоры (при са = const).
Рис. 3.41. Скелетные кривые колебаний ротора в упругом подшипнике с преднатягом для трех значений жесткостного параметра: а — с* = 0,005;
б — с* = 0,01; в — с* = 0,1
Вид скелетных кривых соответствует системам с мягкой характеристикой. По величине отклонения каждой скелетной линии от вертикальной прямой Qo = Г, характеризующей линейную систему, можно судить о степени нелинейности динамической системы ротор—опора. Как видно из приведенных графиков, это отклонение тем меньше, чем меньше жесткость упругого поля Можно утверждать, что чем меньше радиальная жесткость опоры, тем меньше степень нелинейности опоры, меньше влияние собственно подшипника и его параметров на динамические характеристики системы ротор—опоры. По виду кривых можно заключить, что нелинейность рассматриваемого типа резко снижает зону резонансных частот. Количественно оценить влияние жесткости опоры на степень ее нелинейности можно, определив координаты точек скелетной кривой с вертикальной касательной. Из условия минимакса dtl/d^ — 0 найдем разность (Qo—Qb) 168
между координатой QB точки скелетной кривой, имеющей вертикальную касательную, и собственной частотой линейной системы
__________2]/ес* __________
3v0 + 2	+ 2 (0С*)3/2’ *
(3.145)
Предел этой разности для гипотетического случая, когда жесткость опоры стремится к нулю, а жесткостный параметр с* —> оо, равен нулю. Следовательно, при уменьшении жесткости опоры
Рис. 3.42. Номограмма для решения уравнения L (Д£) — f (Й2), выражающего зависимость между относительным сближением колец упругого подшипника Д£ и относительной скоростью ротора Q
влияние нелинейности подшипника на динамику ротора в районе главного резонанса сводится к нулю, а диапазон резонансных частот сужается (рис. 3.42).
Так как введение линейного упругого поля в систему ротор— подшипник качения снижает степень нелинейности этой системы, то можно говорить о линеаризации динамической системы ротор— опоры. Подобная линеаризация достигается введением в опору упругих элементов с линейной жесткости ой характеристикой. Следует отличать конструктивную линеаризацию динамической системы от математической линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, позволяющей найти приближенное аналитическое решение для нелинейной системы.
Линеаризующее влияние упругой установки подшипника рассматривалось на примере нелинейности шарикового подшипника, вызываемой наличием предварительного осевого натяга.
169
Поскольку линейная упругость линеаризует систему со столь значительной нелинейностью, то вывод о конструктивной динамической линеаризации можно распространить на все другие виды нелинейностей, встречающиеся в жесткостных характеристиках опор качения.
Анализ амплитудно-частотных характеристик. Мы показали, что линейное упругое поле линеаризует систему ротор—опоры. Однако при вращении ротора на закритических скоростях остается открытым вопрос о прохождении критических частот вращения в смысле ограничения резонансных амплитуд. Возможно применение специальных упруго-демпферных цельнометаллических опор, демпферов вязкого трения, требующих настройки и довольно громоздких в конструктивном исполнении. Известно решение вопроса о демпфировании вынужденных изгибных колебаний гибких роторов силами сухого трения [80]. Отмечается в работе [80], что сухое трение само по себе не ограничивает амплитуды, но является регулятором колебаний, изменяя жесткостные свойства системы. Дается параметр, определяющий оптимальное демпфирование. Известно применение демпферов сухого трения в авиационных двигателях. В этом же плане рассматривается применение нелинейных демпферов и в работе [27], где для уничтожения критических режимов роторов, имеющих широкий диапазон рабочих оборотов, предлагается использовать упругие элементы с предварительным натягом (зоной нечувствительности). Однако подобные опоры конструктивно весьма сложны и значительно увеличивают габариты машины.
Рассмотрим возможность подавления главного резонанса в системе ротор—опоры при использовании нелинейных свойств шарикоподшипника с осевым предварительным натягом, который изменяет свою жесткость с увеличением частоты вращения ротора. Так как жесткость радиального упругого поля шарикоподшипника начинает изменяться по нелинейной характеристике после уничтожения усилия предварительного натяга силами инерции ротора, то до этого момента система уравнений (2.42) будет оставаться линейной (будет работать только линейное внешнее упругое поле).
Если перейти к упрощенной двухмассовой модели (рис. 3.40), то частное решение уравнения (3.136), описывающего движение массы тъ при невыбранном усилии натяга будет
Х1 = sin	(3.146)
Выражение (3.146) описывает вынужденные колебания ротора вместе с подшипником в упругом поле жесткости q. Если перейти к безразмерным величинам, то амплитуда в этом случае будет описываться выражением (с учетом колеблющейся массы опоры)
1г = 1_^(Г+И) •	(3-147)
170
Для построения амплитудно-частотной характеристики необходимо определить амплитуду колебаний ротора в упругой опоре, при которой произойдет уничтожение усилия предварительного натяга. Возвращаясь к исходной системе ротор—опоры, составим дифференциальные уравнения движения .колеблющейся массы т2 упругой опоры, включающей в себя и наружную обойму подшипника. При этом отбрасывается ротор, а его действие заменяется реакцией Р:
т^ = -с1У2 + Ру- |	(3.148)
/n2Z2 ~	+ Pz-
Здесь у2 и z2— проекции перемещения центра наружной обоймы подшипника на неподвижные координатные оси. Вводя комплексную подстановку
г =	+ у = А ехр (iwi),
приведем систему уравнений (3.148) к комплексному виду m2r — qr + (Pyi + Р2), или
(Pz + Pyi) = m2r + qr = (— m2o)2X + qX) exp (ico/).
Отсюда следует, что амплитудное значение реакции упругой опоры для случая круговой прецессии ротора .
Р = VPI + Р* - (q - m2«2) X..	(3.149)
Последнее выражение можно привести к безразмерному виду, если ввести обозначение: р = P/(6q) — относительная величина амплитуды реакции опоры.
В результате будем иметь
р=^(1 — рй2).	(3.150)
Если решить (3.150) относительно безразмерной амплитуды перемещения наружного кольца и подставить выражение (3.147) вместо то получим значение безразмерной угловой скорости й, при которой усилие предварительного натяга полностью уравновесится осевой составляющей динамической реакции со стороны вращающегося ротора и опора начнет работать как нелинейная. При этом реакция опоры равна радиальному усилию натяга: Р “ v0, где v0 =	• Пренебрегая массой опоры, поло-
жим р = 0. Тогда моменту уничтожения натяга и переключения системы на нелинейную характеристику на плоскости параметров (£х; й2) будет соответствовать точка с координатами:
S1 = Vo И Ц-.	(3.151)
Н- —
Vo
171
Теоретические амплитудно-частотные характеристики колебаний шипа ротора в упругом шарикоподшипнике с предварительным натягом представлены на рис. 3.43. Характеристики рассчитаны для подшипника с параметрами х = 8,6 и 0 = 17 при безразмерном натяге v0 = 0,1 и 0,5; параметр жесткости принят с* = 0,005 и безразмерный дисбаланс h = 0,15; 0,3 и 0,45. Для h = 0 построена скелетная кривая (штриховая линия). На этих же графиках построены ветви амплитудно-частотных характеристик
Рис. 3.43. Амплитудно-частотные характеристики ротора в упругом подшипнике с пружинным предварительным натягом (параметр жесткости 1
= 0,005) для величин относительного натяга: а — v0= 0,1; б— v0 = 0,5
линейной системы (штрих-пунктирные линии). В диапазоне частот 0 < Q < характеристики строятся как линейные. В точках; координаты которых определяются выражениями (3.151), система начинает функционировать как нелинейная. При этом происходит скачок амплитуды на верхнюю устойчивую ветвь нелинейной характеристики. При наличии демпфирования в реальной системе скачок будет иметь вид резонансного всплеска амплитуды. Дальнейший переход через резонанс пойдет по верхней устойчивой ветви характеристики, причем амплитуда колебаний будет ограниченной и убывающей. Неустойчивость нижних ветвей нелинейных характеристик доказана в гл. 2 при помощи метода бифуркаций. Характеристики рассчитаны согласно выражениям (3.142) и (3.143). Найденное решение достаточно хорошо описывает переходный процесс в области реально возможных амплитуд. Из амплитудно-частотных кривых на рис. 3.43 следует, 172
что переход через резонанс может происходить при незначительном всплеске амплитуды, если параметры системы правильно подобраны и выдерживаются определенные соотношения между неуравновешенностью, жесткостью и усилием натяга. Значительное увеличение усилия осевого натяга ухудшает динамику переходного режима, приближая резонанс к линейному и увеличивая амплитуду колебаний. Условием для развития процесса по верхг ней нисходящей ветви амплитудно-частотной характеристики после скачка амплитуды является требование йв < т. е. угловая скорость йв, соответствующая точке с вертикальной касательной на верхней ветви амплитудно-частотной характеристики, должна быть меньше скорости соответствующей моменту перехода системы с линейного режима на нелинейный. Скорость QB находим из условия	= О
4 / с* \ %
где — \^v/ — коэффициент, связывающий параметры подшипника, жесткость радиального упругого поля и усилия пр^д-натяга. Из условия < йх получим зависимость между относительным дисбалансом и прочими параметрами системы, выполнение которой обеспечит ограничение амплитуды при переходе системы ротор—опора через резонансную зону
(3.153)
Как видно из выражения (3.153), ограничение амплитуды возможно только для роторов с относительным дисбалансом не более единицы. Возможность скачка с нижней ветви характеристики на верхнюю определяется отношением параметров жесткости и натяга. При уменьшении жесткости опоры убывает вероятность подбора параметров таким образом, чтобы реализовалось условие (3.153), так как сказывается линеаризующее влияние упругой опоры на переходный процесс при малых жесткостях опоры.
В результате проведенного анализа динамики системы ротор— опора для принятой схемы ротора в упругой и шарнирной опорах при наличии в упруго установленном шарикоподшипнике нелинейности, вызываемой осевым предварительным натягом, можно сделать следующие выводы.
1.	Из анализа теоретически полученных зависимостей и скелетных кривых следует, что после уничтожения осевого предварительного натяга колебания системы соответствуют колебаниям систем с мягкой жесткостной характеристикой.
173
2.	Отклонение скелетных кривых от резонанса в линейной системе тем больше, чем меньше отношение жесткости осевой пружины к жесткости опоры, т. е. чем больше жесткость радиального упругого поля опоры, тем более нелинейна система. '
3.	Так как введение линейной податливости в систему ротор— подшипник качения снижает степень нелинейности этой системы, можно говорить о динамической линеаризации системы ротор— опоры. О степени линеаризации можно судить по величине отклонения скелетной кривой от резонанса линейной системы при данной жесткости упругих элементов. При уменьшении жесткости опоры эта величина стремится к нулю. Для рассматриваемого типа нелинейности (осевой предварительный натяг в шарикоподшипнике) аналогичный результат может быть достигнут за счет увеличения усилия осевого предварительного натяга, что ведет, однако, к повышенным нагрузкам на подшипник и уменьшению его долговечности.
4.	Увеличение колеблющейся массы опоры оказывает дополнительный линеаризующий эффект, сужая резонансную зону для нелинейной системы.
5.	Предварительный натяг у шариковых радиально-упорных подшипников, создаваемый осевой пружиной, может играть роль регулятора колебаний, позволяя изменить жесткость опоры в зависимости от скорости ротора и его неуравновешенности. При этом подшипник будет работать наподобие демпфера сухого трения, ограничивая амплитуды колебаний жесткого ротора в резонансной зоне.
6.	Анализ теоретических амплитудно-частотных характеристик показал, что ограничение амплитуды колебаний в зоне резонанса связано со скачком амплитуды в нелинейной системе с нижней неустойчивой на верхнюю устойчивую нисходящую ветвь амплитудно-частотной зависимости. Увеличение безразмерного натяга при одном и том же параметре жесткости ухудшает качество переходного процесса. Дисбаланс, для которого подобный переход возможен, определяется в зависимости от отношения параметра жесткости к осевому натягу.
7.	Для получения указанного эффекта саморегулирования следует прибегать к уменьшению жесткости осевых пружин до величины, на два порядка меньшей, чем жесткость упругой опоры.
7. Расчет долговечности подшипников качения
Над разработкой конструкций подшипников качения, обладающих высокими скоростными параметрами и достаточной долговечностью, работают и зарубежные фирмы, и отечественные научно-исследовательские институты. Долговечность подшипника определяет очень часто межремонтный срок службы роторной машины. Ресурс подшипников высокоскоростных внутришлифо-вальных шпинделей, например, может колебаться от нескольких 174
часов до нескольких, суток. Подшипники турбокомпрессоров с рабочими частотами вращений до 15 000 об/мин при жесткой установке в корпусе машины работают в пределах 3000—5000 ч, а при упругой установке их моторесурс достигает 16 000 ч.
При расчете долговечности подшипника учитываются многочисленные конструктивные факторы, влияющие на его работоспособность путем введения эмпирических коэффициентов в расчетные зависимости.
Методика расчета. В настоящее время принята новая методика расчета грузоподъемности и долговечности подшипников качения, разработанная ВНИИПП на основе методики, принятой странами СЭВ [89].
Расчет долговечности L радиальных и радиально-упорных подшипников ведется исходя из динамической грузоподъемности подшипника с'и эквивалентной нагрузки Р. Под динамической грузоподъемностью подшипника здесь понимается постоянная радиальная нагрузка, которую каждый из группы идентичных подшипников сможет воспринимать в течение 1 млн. оборотов внутреннего кольца.
Динамическая грузоподъемность для каждого типоразмера подшипника рассчитывается по формуле [89]
с = fc (i cos Р)0'7zDXw
(3.154)
где fc— коэффициент, зависящий от геометрии, точности изготовления и материала; i — число тел качения в подшипнике; z— число тел качения в одном ряду; р — начальный угол контакта; Dw— диаметр тел качения.
Динамическая грузоподъемность, выраженная в кгс, приводится в каталогах подшипников, так же как и предельная частота вращения, и учитывает конструкцию подшипника и усталостную выносливость материала колец и тел качения.
Расчетная долговечность определяется как L = (с/Р)амлн. обо-
Показатель степени ос принят для шарикоподшипников равным 3,0 и для роликоподшипников 3,33.
Следовательно, динамическая грузоподъемность не включает в себя параметры, характеризующие динамические свойства системы ротор—подшипник. Учет динамики системы ротор—опоры следует производить при расчете эквивалентной нагрузки подшипника.
Эквивалентная нагрузка. Под эквивалентной нагрузкой пони-, мается постоянная нагрузка, которая обеспечивает ту же долговечность подшипника, что и при действительных условиях нагружения и вращения:
Р - (XV Fr + YFa) К6КТ.
(3.155)
175
При вращении внутреннего кольца V = 1, при вращении наружного V = 1,2. В дальнейшем все рассуждения будут вестись для подшипников с вращающимся внутренним кольцом. В выражение для эквивалентной нагрузки входят коэффициенты: Кб — коэффициент безопасности и Кт—температурный коэффициент, а также X и Y — коэффициенты радиальной и осевой нагрузок. Коэффициенты X и Y для радиально-упорных подшипников с начальным углом контакта больше 15° выбираются в зависимости от отношения осевой и радиальной нагрузок и от угла контакта. Эти коэффициенты приведены в каталоге для каждого типа подшипников.
Коэффициент безопасности или динамический коэффициент Кб учитывает характер нагрузки на подшипник, кратковременные динамические перегрузки и лежит в пределах 1,0—3,0. Согласно [96], коэффициент безопасности для роторных машин с точной балансировкой (электрошпиндели, гиромоторы, пневмотурбины, электродвигатели и вентиляторы) равен 1,0—1,2; для машин с несбалансированными роторами (электродвигатели) Кб = 1,3-=-1,5 и для машин, работающих с умеренной вибрацией (центрифуги и сепараторы), Кб = 1,5-И,8.
Выбор коэффициента безопасности не охватывает полностью конструктивные варианты исполнения той или иной роторной машины. Ясно, что завышение этого коэффициента повлечет за собой выбор подшипника более тяжелой серии, что отрицательно скажется на скоростных параметрах подшипникового узла, по- ; этому при выборе подшипников для высокоскоростных роторов следует исходить из расчета радиальной динамической нагрузки, зависящей от жесткости ротора, опор, а также амплитуд вибраций ротора в опорах конкретной конструкции.
, Радиальная нагрузка на наружное кольцо подшипника складывается из статической радиальной нагрузки Рг (часть веса ротора, приходящаяся на один подшипник, в машинах с горизонтальным ротором), динамической радиальной нагрузки со стороны ротора Pj, центробежной силы тела качения Рц
Рг-Рг + Р7 + Рц.	(3.156)
Сила Ff не постоянна по величине и направлению, так как вектор Pj вращается вместе с ротором, т. е. нагрузка на наружное кольцо подшипника носит циклический характер. Однако при расчете подшипника следует ориентироваться на максимальную амплитуду нагрузки, вычисляемую как сумма (3.156).
Определение динамической нагрузки Pj зависит от конструктивной схемы системы ротор—опоры.
Гибкий ротор. Двухопорный ротор с жесткой установкой подшипников может работать в двух вариантах: до критической скорости (жесткий ротор) и за критической скоростью (гибкий 176
.	(3.157)
£о___।
о
ротор). Из условия равновесия центробежной силы и реакции изогнутого ротора [103] можно получить прогиб ротора
-+- б х = м '
Здесь М — масса диска; е — эксцентриситет диска; k = 48£7//3— коэффициент жесткости вала при постоянном его сечении при условии, что диск расположен посередине между опорами. При вращении ротора на закритическом режиме е < 0, так как фазовый угол между возмущающей силой и прогибом изменится при переходе через критическую скорость на 180°. Центробежная сила, приложенная к ротору и воспринимаемая подшипниками, будет определена как
Pj = м (х ± е) (О2.	(3.158)
Знак плюс в выражении (3.158) справедлив на докритическом режиме работы.
Пример расчета радиальной нагрузки. Симметричный ротор гироскопа весом 0,720 кгс вращается со скоростью 30 000 об/мин в двух радиально-упорных подшипниках серии 6000 с диаметром шариков с1ш — 3,175 мм и диаметром по центрам шариков Dq = 10,7 мм. Начальный статический дисбаланс ротора е = = 0,08 гс-см увеличивается к концу гарантийного срока службы до0,40гс-см. Критическая угловая скорость ротора (о0~ 1880 1/с.
Прогиб вала на рабочей скорости (примем е = 0,24 гс-см)
0,24
__ 18802 \
31402 )
Центробежная сила ротора
= 0,52.10-3 см.
О 720
(0,52 — 0,33) IO’3-31402 = 1,380 кгс. 981
Центробежная сила одного шарика для данного типа подшипника, вычисленная по формуле (2.9), Рц = 0,085 кгс. Тогда суммарная радиальная нагрузка, воспринимаемая каждым подшипником, составит 1,115 кгс, т. е. превысит вес ротора почти в два раза. Расчет по коэффициенту безопасности в данном случае оказался бы неудовлетворительным, так как = 1,2 для гироприборов.
Ротор в упругих подшипниках. Для рассмотренной в гл. II схемы ротора в упругой и шарнирной опорах можно вычислить реакцию упругой опоры в виде
р = (С1_ т2щ2) А,	(3.159)
где —-жесткость радиального упругого поля опоры; т2— масса колеблющихся частей опоры и подшипника. Выражение (3.159) можно привести к безразмерному виду, обозначив безразмерную величину реакции опоры как р = Р/8съ где б — радиальный зазор в подшипнике качения. Тогда (3.159) преобразуется к виду
р=£(1 —(3.160)
12 A. Q. Кельзон и др.
Через % обозначено относительное перемещение наружного кольца подшипника и через р — отношение массы опоры к массе ротора. Амплитуда перемещений ротора в упругом подшипнике (без учета упругих свойств собственно подшипника) определяется как
л ЯО)2
(3.161)
или в относительных величинах
t _
ь ~~ 1 - Q2(l •
(3.162)
Подставив (3.162) в (3.160), найдем отношение динамической нагрузки для ротора в упругом подшипнике и динамической нагрузки для ротора, работающего в жестких опорах. Последнее определяется без учета прогиба ротора как центробежная сила Мео)2, приложенная к центру тяжести ротора (в относительных величинах Ай2):
р ___	1 — рйа
MP" 1 — Q2(l + р) ’
(3.163)
Выражение (3.163) описывает относительное изменение динамической реакции подшипника, установленного в упругих опорах с учетом массы опоры. Если масса колеблющейся части опоры равна нулю, то lim = 0» т. е. при росте частоты вращения ротора в закритической зоне динамическая нагрузка на упругом подшипнике убывает, стремясь к нулю. Выигрыш в нагрузке для упруго установленного подшипника по сравнению с вариантом с жесткими опорами начинается при й > ^2 для безмассовой опоры. Увеличение массы опоры вместе со снижением критической угловой скорости системы дает и некоторое повышение динамической нагрузки. Однако и в этом случае нагрузка на упругом подшипнике будет ниже, чем на опорах жестко установленного ротора, так как
lim
Q-> со
__ 1
(i/р) +1:
(3.164)
Все изложенное проиллюстрировано на рис. 3.44, где показано изменение отношения р/АЙ2 в зависимости от относительной угловой скорости й для р = 0 и р = 0,5 без учета демпфирования. Известно, что даже весьма малое демпфирование ограничивает амплитуду на резонансных скоростях, поэтому при удовлетворительной балансировке ротора зона критических скоростей будет проходиться без особого увеличения нагрузок на подшипнике.
Пример расчета нагрузки для ротора в упругих опорах. Расчет нагрузок для ротора в двух упругих опорах проведем на примере 178
двухопорного ротора турбокомпрессора транспортного двигателя. Ротор представляет собой пустотелую сварную конструкцию с наружным диаметром в средней части 90 мм при длине между опорами I = 469 мм. Расстояние от левой опоры до центра тяжести ротора = 241 мм, вес ротора -в сборе G = 18,36 кгс, осевой момент инерции А . = 0,4475 кгс-см-с2, момент инерции относительно оси, перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр тяжести Вс = 2,612 кгс-см-с2. Критическая частота вращения при условии • абсолютной жесткости опор и
Рис. 3.44. Относительная динамическая нагрузка на упругий подшипник двухопорного ротора в зависимости от относительной угловой скорости ротора
с учетом ужесточающего влияния места посадки турбинного диска составляет и0 = 36 900 об/мин. По техническим условиям при изготовлении ротор подвергается динамической балансировке, остаточный дисбаланс — не более 2 гс-см в каждой из двух плоскостей коррекции. Расчет реакций следует производить для рабочей частоты вращения ротора п = 40 000 об/мин. Подшипники ротора установлены в упругих опорах с жесткостью = = 5300 кгс/см. При этом первая критическая частота вращения будет. пх = 7 060 об/мин и вторая критическая частота п2 = = 14 000 об/мин. Третья критическая частота равна 51 300 об/мин и лежит выше рабочей зоны частот вращения.
Реакции упругих опор можно определить, пользуясь выражением (3.159), в которое входит амплитуда колебаний ротора в опоре. Для расчета амплитуд перемещений решаются дифференциальные уравнения движения ротора в линейных упругих опорах. Приводя силы инерции неуравновешенных масс, расположенных в плоскостях коррекции, к центру инерции ротора, получим главный вектор сил инерции Ft/ и главный момент сил инерции Шу = тх + ш2 Здесь ni1 ™	и т2 = Л12г2&(о2,
12*	179
где М1ё1 и М2е2— дисбалансы в каждой из плоскостей коррек ции: а и b — расстояния от центра инерции ротора до плоскостей коррекции. В технических условиях нет норм на взаимное расположение неуравновешенных масс и на угол между главной осью инерции и геометрической осью ротора. Поэтому будем полагать, что обе неуравновешенные массы лежат по одну сторону от геометрической оси и расположены в одной плоскости с ней. В таком случае выражение для амплитуды перемещения подшипника в упругой опоре будет (для левой опоры — с индексом 2) [68]
(Л1 --j-	[(^с *—г Л) — QZ1Z] -|~ ( — £2^2 —с
г = /2®2-------г--------------------------------1-------------:.
_ Л)/2®< - -^-Уг + ^с-^) q/®2 +
(3.165)
Амплитуда перемещений второй опоры, рассчитанная по формуле (3.165), для со = 4180 1/с и с± = 5300 кгс/см равна 4,56 X X 10"3 см. Считая колеблющуюся массу опоры т2 = 0,20 х X 10“3 кгс-с2/см, получим динамическую реакцию опоры Р2 = = (5300 — 0,20.17472,4) 4,56-10“3 - 8,42 кгс.
Для сравнения проведем расчет опорных реакций для того же ротора, но в жестко установленных подшипниках и с учетом упругого изгиба ротора на расчетном режиме. Так как ротор имеет переменные сечения, то для определения его изгибной жесткости в сечении, проходящем через центр инерции, воспользуемся приближенным методом. Зная расчетную критическую скорость, из ©о = kg!G, найдем k = 38702-0,01869 = 0,28-106 кгс/см.
Прогиб оси ротора в центре инерции согласно (3.157) для 6) = 4180 1/с (в зарезонансной зоне) будет rc = 1,538-Ю"3 см. Тогда сила инерции ротора, уравновешиваемая упругим усилием,
Pj = — (re — е) со2 = (0,01869 -1,538 -10-3 — ё
— 0,0041 -10“3) 41802 - 430,5 кгс.
Динамическая составляющая радиальной нагрузки, приходящаяся на ту же опору, что и в предыдущем случае, Р2 ~ — 233,3 кгс. Следовательно, при установке ротора в жесткие подшипники динамические составляющие радиальной нагрузки оказываются значительно выше статических. На этом примере видно, насколько условным оказывается применение коэффициента безопасности при расчете подшипника, ориентировка на который допустима только при упругой установке подшипников в корпусе машины. В этом случае коэффициент k6 ~ 1,0-4-1,4 перекрывает то повышение радиальной нагрузки, которое дают динамические реакции на опорах. По мнению некоторых авторов 180
[96, 98], расчет на долговечность подшипников при частотах вращения свыше 30 000 об/мин производить не следует. В то же время необходимо производить расчет на долговечность с учетом инерционных нагрузок, развиваемых телами качения особо быстроходных подшипников.
8. Экспериментальное исследование динамики ротора в подшипниках качения
Большинство до сих пор строившихся высокоскоростных роторных машин с подшипниками качения конструировалось с жесткой установкой подшипников.
Конструкторы шли по пути ужесточения опор, так как именно в этом направлении искались пути увеличения долговечности
Рис. 3.45. Конструкция упругой опоры электрошпинделя с пружинным осевым натягом. Отдельно показано упругое кольцо «
опор с подшипниками качения. Однако в последние годы все большее признание получают и упруго-демпферные опоры самых разнообразных конструкций. Упругие опоры начинают внедряться и в такие машины, как высокоскоростные электродвигатели и шпиндели шлифовальных станков, где широко применяется осевой предварительный натяг, создаваемый осевыми пружинами. На рис. 3.45 представлена конструкция упругой опоры с радиально-упорным шарикоподшипником с предварительным осевым натягом. Это подшипниковый узел высокоскоростного опытного внутришлифовального электрошпинделя Э-96-72—60, выпущенного Ленинградским станкостроительным объединением им. Я* М. Свердлова. Номинальная рабочая частота вращения ротора шпинделя — 96 000 об/мин.
181
Радиальйо-упорный шарикоподшипник 4 фиксируется на роторе 5 гайкой 6. Наружное кольцо подшипника по плотной посадке устанавливается в прокладке 3, на которую надето кольцо 8, создающее упругое поле опоры. Упругое кольцо устанавливается непосредственно в корпусе 2 по скользящей посадке. Усилие осевого натяга создается цилиндрическими пружинами /, установленными в обойме 10, фиксируемой в осевом направлении накладкой 11, поджимаемой к корпусу болтами 7.
Упругое кольцо имеет выступы, расположенные в шахматном порядке на внутреннем и наружном диаметрах, между которыми
Рис. 3.46. Конструктивная схема электрошпинделя
образуются упругие элементы. Передача осевого усилия от нажимной шайбы 9 к подшипнику осуществляется через осевые выступы на упругом кольце таким образом, чтобы исключить относительное перемещение деталей в местах сопряжения при радиальных перемещениях ротора.
Для выяснения особенностей динамики электрошпинделя с упругими опорами проводилась запись колебаний ротора как в осевом, так и в радиальном направлениях с помощью индуктивных датчиков. Конструктивная схема шпинделя дана на рис. 3.46. Ротор 4 с напрессованной короткозамкнутой обмоткой вращается в двух радиально-упорных шарикоподшипниках 2 типа С600019Е с текстолитовым сепаратором. Ротор приводится во вращение высокочастотным электромагнитным полем, создаваемым обмоткой статора 5, по принципу асинхронного двигателя. Регулировка частоты вращения ротора производится изменением частоты электромагнитного поля статора в пределах 10 000—96 000 об/мин. В осевом направлении подшипники фиксируются гайками 7 и устанавливаются в упругом поле, схематически изображенном в виде пружин 3. В одной из опор предусмотрена система предварительного натяга, создаваемого комплектом осевых цилиндрических пружин 6. Измерение вибрации ротора производилось датчиками 1, установленными у левой опоры, как показано на рисунке.
182
Ротор отбалансирован динамически, остаточный дисбаланс в плоскостях коррекции А и Б равен 0,01 г-см. Введение добавочной неуравновешенности в процессе исследований осуществлялось установкой на роторе добавочных колец с известной величиной дисбаланса.
Ниже приведены основные массовые характеристики ротора и опор:
Масса ротора, кгс*с2/см ......... Л1 — 187’10"8
Масса подшипника вместе с прокладкой
и колеблющейся частью упругого кольца, кгс*с2/см.......................... т2	— 37,8* 10"6
Момент инерции ротора относительно
центральных осей, кгс-см’С2 .... А = 83*10“®;
Вс = 1235-IO"»
То же с учетом колеблющихся масс обеих опор, кгс-см-с2	............. . . . В* = 2698* 10“8
Расстояние между опорами, см ... .	I = 8,85
Отношение расстояний от опор до центра тяжести................................l-Jl2	= 4,3/4,55 = 0,946
Упругие кольца выполнялись трех типоразмеров, что обеспечивало три коэффициента жесткости опор. Жесткость упругого поля кольца с тремя упругими элементами можно приближенно рассчитать по формуле b ft3
с = 14,635—^ 10е. (3.166)
Здесь, ширина кольца Ьк — = 0,78 см; средний диаметр кольца DK = 3,25 см.
Толщина упругого элемента для каждого типоразмера равнялась йк = 0,12; 0,14; 0,17 см. Коэффициент жесткости опоры, подсчитанный по формуле (3.166), довольно хорошо согласуется с тем же коэффициен
та б л и ц а 3.7. Коэффициенты жесткости упругих опор
* Типоразмер кольца	Толщина упругого элемент-та, мм	Коэффициент жесткости опоры, кгс/см	
		Расчет	Эксперимент
1	1,2	580	650—740
2	1,4	915	850—913
3	1.7	1630	1510—1640
том, полученным эксперимен-
тально при статическом нагружении упругого кольца. Результаты расчета и эксперимента сведены в табл. 3.7.
Некоторый разброс жесткости в экспериментальных данных связан с неоднородностью упругого поля кольца, обусловленной конструкцией последнего. Жесткость пружин осевого натяга определялась экспериментально и составила 8 кгс/см для каждой пружины. Регулирование предварительного осевого натяга осуществлялось изменением числа осевых пружин.
Измерение перемещений ротора у левого подшипника производилось в вертикальной и горизонтальной плоскостях индуктивными датчиками, включенными по мостовой схеме с тензо-станцией УТ4-1 с питанием моста переменным напряжением 6 В.
183
Диапазон измеряемых частот для тензостанции УТ4-1 составляет 0—2000 Гц.
Во время эксперимента вся установка жестко крепилась к неподвижному фундаменту. Смазка подшипников и охлаждение ротора осуществлялись масляным туманом.
Как следует из теоретических исследований, радиальная жесткость шарикоподшипника с предварительным осевым натягом является функцией радиального перемещения шипа ротора и осевого смещения наружного кольца подшипника. Подтверждением принятой гипотезы явилось бы осевое смещение наружного кольца подшипника или самого ротора, поэтому был установлен датчик осевого смещения S ротора (в системе с жесткими подшипниками) или внешней обоймы подшипника (в системе с упругими опорами).
Для проведения испытаний в жестко установленных подшипниках вместо упругих колец в расточку корпуса вставлялись жесткие стаканы, в которых устанавливались подшипники качения.
Ротор в жестко установленных подшипниках. При испытаниях в жестко установленных подшипниках ротор имел две неуравновешенных массы, установленных в плоскостях А и Б под углом 90° друг к другу. Суммарный статический дисбаланс, создаваемый этими массами, составлял 0,183 гем. Система испытывалась при следующих величинах усилия осевого предварительного натяга Fq = 1,6; 4,0; 5,6 кгс. Угловая скорость ротора, при которой будет выбрано усилие предварительного натяга, можно определить по формуле
_ 1//о Cig	(3.167)
0 У Me 4-о ’
где <у — параметр, учитывающий влияние центробежных сил шариков подшипника, подсчитываемый согласно выражению (2.64) для подшипника 600019 с начальным углом контакта — 12°. Соответственно для каждого из значений осевого натяга эта частота вращения составит для заданной величины статического дисбаланса п0 = 44 700; 70 700; 83 700 об/мин.
Анализ полученных осциллограмм показал, что в пределах скоростного диапазона, ограниченного угловой скоростью, соответствующей моменту выбора усилия натяга, регистрируются синусоидальные колебания с амплитудой, не превосходящей статический эксцентриситет ротора в месте расположения датчиков. На этом диапазоне скоростей осевых перемещений ротора не отмечено.
Увеличение амплитуды колебаний зарегистрировано при появлении осевого смещения ротора от статического положения. При этом изменяется и характер колебаний: появляются субгармонические составляющие, сопровождающиеся модулированием амплитуды.
184
В системе с натягом FQ = 1,6 кгс осевое смещение ротора, возможное только после выбора предварительного натяга, наблюдалось на участке 60—72 тыс. об/мин и сопровождалось переходом гармонических колебаний в колебания, модулированные по амплитуде. Почти периодические колебания порождают субгармонику порядка 1/4 на частоте вращения 96 000 об/мин. Осевое смещение ротора от статического положения составило AS =. = 26 • 10“3 мм.
В системе с натягом Fo = 4,0 кгс некоторое осевое перемещение наблюдалось начиная с 90 000 об/мин, при этом колебания ротора носили почти периодический характер, субгармонические явления не развивались. При осевом усилии Fo — 5,6 кгс ротор смещается в осевом направлении на AS = 8,3-10"3 мм в диапазоне частот вращения 72 — 96 тыс. об/мин, при этом амплитуда колебаний увеличивается в 2,04 раза, а сами колебания приобретают явно выраженный субгармонический характер. Частота субгармоники равна 1/3 частоты возмущающей силы.
Дальнейшее увеличение осевого натяга (Fo = 8,0 кгс) не устраняет субгармонические явления, хотя осевое смещение ротора не наблюдается.
Следовательно, появление субгармонических колебаний, развивающихся из почти периодических движений ротора, при малых осевых предварительных натягах связывается с появлением осевого смещения ротора, подтверждающего теоретическое предположение о появлении нелинейного упругого поля у предварительно натянутого шарикоподшипника, возникающего из-за перекатывания шариков по профилю дорожки качения после выбора натяга. При этом нелинейные явления развиваются с увеличением частоты вращения ротора.
Как показали опыты, повышение осевой нагрузки не устраняет субгармонические явления, а только сдвигает границу их появления в зону более высоких частот вращения ротора. Амплитуды здесь практически не отличаются от статического боя ротора в плоскости замера, не наблюдается и осевых смещений ротора. Нарушение гармонического характера колебаний в этом случае можно объяснить нелинейными характеристиками подшипника качения согласно закону Герца.
Ротор в одном упругоустановленном подшипнике. Производится измерение колебаний упруго опертого конца ротора и осевого смещения стакана, в котором установлен жесткий подтип? ник с предварительным осевым натягом. Статический дисбаланс, создаваемый неуравновешенными массами, составлял в первой серии испытаний 0,183 г-см и 0,257 г-см во второй серии. Приводя статический дисбаланс к безразмерной величине, согласно выражениям (3.141) получим для первой серии безразмерную величину дисбаланса h± = 1,53 и для второй серии h2 = 2,15. Экваториальный момент инерции ротора с учетом колеблющихся
185
f
масс упругой опоры относительно оси, проходящей через шарнирную опору, определялся по формуле
В = Вс +	+ ти2/2	(3.168)
и составил В = 7,805 -10"3 кгс-см-с2.
Принятые величины безразмерного дисбаланса не удовлетворяют условию (3.153) перехода через резонанс с ограничением резонансных амплитуд при использовании эффекта скачка в момент выбора преднатяга. Следует ожидать проявления нелинейных свойств опоры с предварительным натягом в снижении резонансных частот вращения ротора. Необходимо отметить, что в исследуемой системе при величинах дисбаланса, меньших 0,183 гем, резонансных явлений не наблюдалось на всем диапазоне скоростей.
Критическая угловая скорость в линейной системе с одной упругой и одной шарнирной опорами подсчитывается по известной формуле [44]
/]/с/(В-Л).	(3.169)
Теоретически относительную величину отклонения резонансной скорости в нелинейной системе можно подсчитать с помощью выражения (3.152) как относительную координату точки скелетной кривой, имеющей вертикальную касательную,
-----------Ц—:------.	(3.170)
1 + ”—3-----TTZZZ
Ос* + J Vo У 2Хс*
Выражение (3.170) справедливо для системы, в которой упруго установлен подшипник с натягом. Экспериментально удалось исследовать систему, в которой предварительно натянутый подшипник был установлен жестко, а линейное упругое поле имел подшипник без предварительного натяга. В экспериментальной системе влияние нелинейных свойств подшипника с натягом может быть больше, и отклонение QB будет иметь большую величину, чем расчетная.
Конструктивные параметры, подсчитанные для подшипника 600019 при величине полного радиального люфта 46 = 12 • 10"3 мм, будут: 9 = 19,85 и % = 4,361. Начальный угол контакта шариков с дорожками качения принимается р0 = 16° (для рассматриваемого типа подшипников этот угол может колебаться в пределах 12—18°). Расчетные значения йв для различных осевых предварительных натягов, а также расчетные критические угловые скорости ротора в линейной системе, сведены в табл. 3.8. При вычислении собственной частоты жесткость опоры принималась для каждого типоразмера кольца как минимальная из экспериментальных данных (см. табл. 3.7).
186
Таблица 3.8. Относительное снижение критических угловых скоростей ротора с одним упругоустановленным подшипником
Типоразмер кольца	Расчетная критическая частота линейной системы п, об/мин	Относительное снижение критической скорости (расчетное)		Экспериментальное снижение критической скорости		
		Fo == ’= 1,6 кгс	Fo = — 4,0 кгс	Fo = — 1,6 кгс	= = 2,4 кгс	Fo = = 3,2 кгс
1	27 600	0,955	0,985	0,706	0,935	1,0
2	29 050	0,938	0,980	0,706	- —	—
3	37 500	0,880	0,956	0,680	—	—
Кроме того, в табл. 3.8 указаны экспериментально полученные относительные величины снижения собственной частоты системы. Как видно из расчетных данных, при больших величинах натяга систему практически можно считать линейной в зоне главного резонанса, что подтверждается экспериментально.
Демпфирование, присутствие которого выражалось в подавлении амплитуд на резонансе, не позволило выявить нелинейные особенности системы при дисбалансе h±. Введенная неуравновешенность оказалась недостаточной для развития резонансных амплитуд, хотя и превышала неуравновешенность, регламентируемую для подобного типа роторов отраслевым стандартом более чем в десять раз.
Можно отметить следующие факты, замеченные во время испытаний ротора с дисбалансом h±. Значительное нарастание амплитуды радиальных колебаний связано с появлением осевого перемещения у наружного кольца предварительно натянутого подшипника. Повышение натяга ведет к снижению максимальных амплитуд колебаний, причем в значительной степени колебания песинусоидальные, они носят неустойчивый характер.
Осевые перемещения наружного кольца подшипника представляют собой колебания относительно некоторого положения равновесия, причем осевые колебания кольца подшипника модулируют колебания радиальные у ротора. Кроме того, осевые перемещения наружного кольца подшипника имеют ярко выраженные резонансы при частоте вращения ротора 10 500 и 21 000 об/мин с частотой осевых колебаний 375 Гц при Fo = 4,0 кгс. Вообще частота осевых колебаний наружного кольца подшипника на резонансе зависит от числа пружин осевого натяга. Так, комплект из семи пружин вызывает колебания частотой fA = = 425 Гц, комплекту из пяти пружин соответствует fA ~ 375 Гц, из четырех — fA = 350 Гц, из двух — fA = 250 Гц. Отношение этих частот пропорционально корню квадратному из отношения числа осевых пружин. Следовательно, осевые резонансы массы
187
наружного кольца и сопряженных с ним частей в первую очередь определяются жесткостью комплекта осевых пружин.
Введение большего дисбаланса /г2 позволило получить резонансную зону радиальных колебаний ротора как на разбеге, так и на выбеге. В системе с малым натягом (FQ = 1,6 кгс) резко снижен резонанс по сравнению с расчетом для линейной системы (табл. 3.8, кольцо /). На рис. 3.47 приведены амплитудные кривые на разбеге и выбеге ротора для предварительного натяга
Рис.* 3.47. Амплитудно-частотная характеристика разбега и выбега для натяга F0 ~ 1,6 кгс. Зона 2 — зона субгармонических колебаний порядка 1/2:
•---— — разбег; —•—*—* — выбег
Fo = 1,6 кгс. Здесь же дан график осевого смещения S наружного кольца упругого подшипника. Явно выражен резонансный пик и зона субгармонических колебаний порядка 1/2.
Дальнейшее увеличение предварительного осевого натяга (рис. 3.48, Fo = 2,4 кгс) вносит значительные изменения в переходный процесс: резко снижает резонансную амплитуду, резонансная зона теряет ярко выраженный максимум амплитуд, приобретая характер неустойчивого движения (разброс амплитуд заштрихован). Однако максимальные амплитуды сдвинулись в сторону более высоких частот вращения.
Наконец, при Fo = 3,2 кгс зона максимума амплитуд почти совпадает с расчетной резонансной зоной в линейной системе, амплитуды возрастают по сравнению с предыдущим вариантом.
Резонансные амплитуды при FQ = 2,4 кгс не увеличиваются даже на стационарных режимах, оставаясь в пределах, показанных на рис. 3.48. Существенного затягивания колебаний в зону низких частот на выбеге не наблюдалось. Тот факт, что резонансные амплитуды имеют при вполне определенном натяге минимум по сравнению с резонансными амплитудами при других натягах, 188
подтверждает теоретические предположения о влиянии нелинейных свойств предварительно натянутого подшипника на резонансный процесс.
Если бы столь резкое уменьшение резонансной амплитуды при Fq — 2,4 кгс объяснялось только дополнительным демпфированием, вводимым с увеличением натяга, то при FQ = 3,2 кгс следовало бы ожидать дальнейшего уменьшения резонансных амплитуд, но экспериментальные данные говорят об обратном.
Здесь следует напомнить, что условие (3.153) ограничения резонансных амплитуд при эффекте скачка в нелинейной системе выведено для системы, динамическая схема которой отличается
Рис. 3.48. Разбег и выбег ротора в одном упругом подшипнике с усилием натяга Fo = 2,4 кгс:
1 — зона резонанса; 2 — зона субгармонических колебаний порядка 1/2
от экспериментируемой различным конструктивным сочетанием линейной упругости и нелинейного подшипника с предварительным осевым натягом. Как уже говорилось, здесь возможно усиление влияния нелинейности на переходный процесс. Этим можно объяснить и более значительное снижение резонансных скоростей по сравнению с расчетом по формуле (3.170).
Эксперимент подтверждает теоретические положения о влиянии нелинейности преднатянутого шарикоподшипника на характер переходного процесса. Как видно из табл. 3.8, повышение жесткости опоры увеличивает влияние нелинейности— зона критической частоты вращения снижается в еще большей степени.
То, что все эти эффекты вызываются именно предварительным осевым натягом, подтверждается анализом осевых перемещений наружного кольца подшипника с предварительным натягом (кривая S на амплитудных характеристиках). Начало резонансной зоны сопровождается резким осевым скачком, а максимальные амплитуды вызывают пиковую зону осевого перемещения наружного кольца в направлении сжатия осевых пружин, что соответствует моменту уравновешивания усилия натяга осевыми составляющими сил инерции неуравновешенного ротора.
189
После прохождения зоны резонанса происходит постепенное осевое перемещение кольца до положения, соответствующего полностью выбранному натягу. Это смещение можно объяснить преобладающим действием центробежных сил шариков, причем, как видно из рисунков, максимальное осевое смещение наружного кольца достигается тем раньше, чем меньше усилие осевого натяга.
На всех графиках прослеживается повторный значительный всплеск амплитуд. В системах с предварительным натягом это возрастание амплитуды совпадает с плавным осевым смещением наружного кольца за резонансом, т. е. соответствует сугубо нелинейной характеристике предварительно натянутого подшипника.
Колебания ротора носят в этой зоне характер субгармонических порядка 1/2 и аналогичны полученным в результате моделирования системы на аналоговой машине. Частота колебаний в зоне 2 вдвое ниже основной частоты и изменяется с изменением частоты вращения ротора. Основная гармоника накладывается на субгармоническую составляющую. Это явление наблюдается на частотах, несколько меньших удвоенной собственной частоты системы, и прослеживается на разбеге й выбеге без признаков затягивания. В системе с зазором и малым натягом прослеживается подобное явление на частотах, меньших утроенной собственной частоты, но субгармоническая составляющая имеет здесь порядок 1/3.
Все эти экспериментальные данные полностью согласуются с теоретическим обоснованием возможности субгармонических колебаний в роторных системах с подшипниками качения. Кроме того, подтверждается важный вывод, что при введении линейной упругости в опору, субгармонические явления приобретают резонансный характер.
Увеличение усилия осевого натяга в рассматриваемой системе не устраняет субгармонический резонанс, но несколько сглаживает максимум субгармонической амплитуды, расширяя область этих колебаний.
При усилии натяга Fo > 2,4 кгс на резонансных и зарезонансных частотах радиальные колебания носят неустойчивый, негармонический характер, распространяющийся с увеличением натяга на более высокие скорости ротора (заштрихованные области на рис. 3.48). Субгармонические колебания при больших натягах приобретают вид биений.
При усилии натяга Fo < 2,4 кгс радиальные колебания ротора на зарезонансных частотах после прохождения зоны субгармоник приобретают синусоидальный, гармонический характер. Однако при малых натягах возможны интенсивные осевые коле-, бания.
Ротор в двух упругих подшипниках. Весьма существенным обстоятельством является то, что при той же статической и динамической неуравновешенности в системе с двумя упругими опорами резонансные зоны почти не проявляются или проявляются 190
крайне слабо, сливаясь в одну, даже при очень малых натягах. Следовательно, при тех же параметрах системы резонансы у ротора с двумя упругими опорами гораздо менее энергоемки, чем у ротора с одной упругой опорой.
Значительное влияние оказывает и взаимное расположение неуравновешенных масс, т. е. соотношение между статическим и динамическим дисбалансами.
Проводились испытания с ротором, имевшим в двух плоскостях коррекции неуравновешенности 0,215 и 0,279 г-см при неуравновешенных масс в 45, 0
Таблица 3.9. Снижение критических угловых скоростей в системе с двумя упруго установленными подшипниками
относительном расположен и 180°. В первом случае суммарная статическая. неуравновешенность составила 0,457 г-см, во втором — 0,494 г - см и в третьем — 0,064 г «см. Динамическая неуравновешенность оценивается труднее, однако ясно, что при 0° она минимальная, а при 180° максимальная.
Критические угловые скорости для симметричного ротора в двух упругих опорах определяются по формулам 1151:
Qi — у 2с/ М\
сог = Ус12/2 (В - А),
Типоразмер кольца	Расчетная критическая частота линейной системы, об/мин	Экспериментальное снижение критической скорости		
		Fq 1,6 кгс	Fo = 2,4 кгс	о м о хР 1! О
1	пх = 20 300 <= 29 000	0,80 0,77	0,98 0,83	0,98 0,79
3	п1=32 800 и2 = 46 600 а	0,73 0,68	0,75 0,710	—
где с — жесткость упругой
опоры; В — момент инерции ротора вместе с колеблющимися частями опор относительно оси, проходящей через центр тяжести ротора.
Расчетные и экспериментальные критические частоты вращения сведены в табл. 3.9. Экспериментальные критические частоты вращения даны в отношении к соответствующим скоростям в линейной системе.
Судя по этим данным, отклонение резонансов в сторону низких частот сохраняется и в системе с двумя упругими опорами, однако эти отклонения меньше, чем в системе с одной упругой опорой (для первой критической скорости). Следовательно, система с двумя упругими опорами более линейна в динамическом смысле, чем система с одной упругой опорой. С увеличением жесткости опор отклонение резонансных зон от расчетных, значений увеличивается, что говорит о возрастании степени динамической нелинейности.	.
191
Увеличение натяга довольно быстро приближает первую критическую зону к расчетной, но натяг почти не влияет на вторую критическую скорость (рис. 3.49). При больших натягах первая и вторая критические скорости сливаются, образуя один максимум амплитуд (рис. 3.50 и 3.51). Максимальные значения резонансных амплитуд убывают с повышением натяга, но резкого уменьшения при каком-либо определенном значении натяга не отмечалось. Это также говорит о том, что в системе с двумя упругими опорами нелинейность подшипника значительно меньше влияет на динамику ротора, чем в системе с одной упругой опорой.
Наконец, следует отметить, что взаимное расположение неуравновешенных масс, т. е. соотношение между статическим и динамическим дисбалансами, в значительной степени влияет на амплитуды в зоне первого и второго резонансов. Так, при угле между неуравновешенными массами 0? (преобладает статический дисбаланс) преимущественно выделяется первый резонанс, амплитуда второго почти в два раза ниже (рис. 3.50). Если угол между неуравновешенными массами, равен 180° (преобладает динамический дисбаланс), то на переходном процессе выделяется вторая критическая угловая скорость.
В этой серии опытов также можно отметить присутствие субгармонических явлений порядка 1/2, принимающих здесь чисто резонансный характер. Амплитуды колебаний на субгармоническом режиме достигают амплитуды на основном резонансе. Расположение этих зон, как следует из анализа полученных осциллограмм, связано с удвоенными критическими скоростями.
На рис. 3.50 сравниваются процессы разгона ротора с различным расположением дисбалансов в системе с упругими кольцами 3 (с максимальным коэффициентом жесткости). При преобладающем статическом дисбалансе (угол между неуравновешенными массами 0°) имеем две зоны субгармонических колебаний: при со = 1,84(ох и со = 1,80ю2., Изменив угол между неуравновешенными массами на 180°, получили одну субгармоническую зону при со — 1,75со2* В дальнейших экспериментах с увеличенным натягом при том же угле 180° (рис. 3.51) зона субгармоник располагается на (о = 1,80(о2.	,
Субгармонические резонансы имеют место и при меньшей жесткости опор (кольца /, рис. 3.49), располагаясь на со 1,6О(о2. Исключение составил выбег системы с натягом FQ = 1,6 кгс, когда зона субгармоник располагалась на (о = 1,9со2. Величина усилия предварительного осевого натяга практически не влияет на положение субгармонического резонанса, но уменьшает амплитуды субгармоник, что можно объяснить увеличением демпфирующих свойств опор.
На основании проведенных экспериментов и теоретических соображений, можно составить спектр опасных в резонансном отношении частот для роторов, работающих в упругих подшипниках качения. На рис. 3.52 построен подобный спектр для си-192
Рис. 3.49. Разбег ротора в двух упругих подшипниках с усилием натяга Fo = 1,6 и 4,0 кгс. Зона 1 — первая критическая скорость; зона 2 — субгармонический резонанс порядка 1/2:
—------Fo — 1,6 кгс;--------— Fo — 4,0 кгс
Рис. 3.50. Амплитудно-частотная характеристика для ротора в двух упругих опорах с различным расположением неуравновешенных масс; усилие натяга Fo = 1,2 кгс. Зона 2— зона субгармонических колебаний порядка 1/2:
—------0°;-------—180°
Рис. 3.51. Разбег ротора в двух упругих опорах с натягом Fq ~ 2,4 и 5,6 кгс. Зона 1 — зона критической скорости; зона 2 — субгармонический резонанс:
—------Fo — 2,4 кгс;--------— Fo = 5,6 кгС
13
А. С. Кельзон н др.
193
Стёмы с одной (рис. 3.52, ti) и двумя (рис. 3.52, б) упругими опорами. Порядок колебаний по отношению к скорости вращения ротора указан в каждой зоне. Спектр резонансных частот для ротора в двух упругих опорах определяется соотношением между первой и второй критическими угловыми скоростями.
Для экспериментального ротора это отношение ' = 1,42. Частотный спектр на рис. 3.52 построен с учетом этой цифры. Зона субгармоник порядка 1/3 на этом рисунке не выделена, так как во время экспериментов в системе с двумя упругими опорами подобные колебания не возбуждались.
Рис. 3.52. Спектр резонансных частот (основных и субгармонических): а — для ротора в одной упругой опоре; б — для ротора в двух упругих опорах
Итак, в результате экспериментов на элёктрошлифовальном шпинделе с упругими опорами можно сделать следующие выводы.
1.	Теоретические положенияуо динамической линеаризации роторной системы с упругими подшипниками качения подтверждаются. Влияние нелинейных свойств подшипника с предварительным осевым натягом тем меньше, чем ниже жесткость линейного упругого поля опор.
2.	Роторная система с двумя упругими опорами линеаризуется в большей степени, чем система с одной упругой и одной шарнирной опорами.
3.	Наблюдаемое экспериментально снижение критических угловых скоростей полностью можно отнести за счет нелинейных свойств предварительно натянутого шарикоподшипника, что подтверждается анализом осевых перемещений наружного кольца подшипника и сопрягающихся с ним деталей.
4.	Резонансы в системе с двумя упругими опорами значительно менее энергоемки, чем в системе с одной шарнирной опорой. При наличии в системе даже малого естественного демпфирования и отбалансированном роторе критические угловые скорости проходят без значительного увеличения амплитуд колебаний.
5.	Подтверждено существование субгармонических колебаний как в системе с жесткими опорами, так и в системе с упругими опорами. В системе с жесткими опорами эти колебания не исче-194
зают с увеличением частоты вращения ротора и после возникновения распространяются по всей области рабочих частот вращения, переходя из одного вида в другой.
6.	В системе с упругими опорами субгармонические колебания имеют ярко выраженный резонансный характер. Верхняя их граница располагается не далее удвоенной критической угловой скорости.
7.	Вид и характер субгармонических колебаний порядка 1/2, а также траектория движения центра шипа ротора на субгармоническом режиме, аналогичны тем, что были получены при исследованиях на аналоговой машине и совпадают с теоретическим решением.
13*
ГЛАВА 4
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ РОТОРНЫХ СИСТЕМ
I. Основные положения теории подобия и моделирования
Обобщенно моделирование определяется как метод познания, при котором изучаемый объект (оригинал) находится в некотором соответствии с другим объектом (моделью), причем объект — модель способен в том или ином отношении заменить оригинал.
Обширная информация о происходящих явлениях при изучении их методами моделирования должна быть упорядочена. Это осуществляется с помощью теории подобия, позволяющей по заданным характеристикам одного явления судить о больших группах явлений, являющихся в том или ином смысле подобными первому явлению.
Подобие явлений означает, что данные о протекании процессов, полученные при изучении одного явления, можно распространить на все явления, подобные данному. Характеристики любого явления в группе подобных явлений можно получить простым пересчетом характеристик или изменением масштабов.
Все выводы теории подобия базируются на анализе размерностей физических величин Ч
Элементы теории размерностей. Измерить какую-либо физическую величину А — это значит сравнить ее с другой величиной [аг 1 той же физической природы.
В результате сравнения получается отвлеченное число {Л^, выражающее отношение рассматриваемой величины к величине [аг I, называемой единицей измерения, т. е.
т£г=и>1.
Измерив ту же величину А единицей [a2I = N fail, получим
1 Исторический обзор развития теории подобия и моделирования и обширную библиографию работ, посвященных ее применению в различных. технических приложениях, можно найти, например, в работе [2]. Из литературы учебного характера кроме названной работы следует отметить'[94, 24] как обладающие несомненными методическими достоинствами. При изложении данного материала использованы основные результаты этих работ.
196
откуда имеем {ДД = N {ЛД- Это означает, что при уменьшении или увеличении единицы измерения данной величины в N раз, во столько же раз увеличится или уменьшится число, которым эта величина выражается.
Единицы измерения могут быть основными, т. е. с произвольным выбором размера, и производными. Совокупность основных единиц и производных, образованных по определенным правилам, составляют систему единиц..
Число основных единиц вполне произвольно и может быть как увеличено, так и уменьшено путем увеличения или уменьшения числа дополнительных размерных физических постоянных [2].
Для большей наглядности будем иметь в виду только механические системы с тремя основными единицами измерения: массы [М], длины [Lj и времени [Т].
Формула, указывающая зависимость производной единицы от основной, называется размерностью величины. Размерность любой величины представляет собой произведение возведенных в степень размерностей основных единиц. Например, для силы имеем
[F] - 1М]ЧЬ]ЧТ}-\
При переходе к другой системе, в которой основными единицами будут:
[MJ = Р Ш1;
ILJ = Q[Z,I;
1ТХ1 = Р1Т],
единица производной величины также изменится, а именно
[FJ = PQP~2[F] == 7V[F],.	(4.1)
Согласно правилу Фурье все члены физического уравнения
Ф1 + Фз + ... + фв = 0	(4.2)
имеют одинаковую размерность. Тогда, учитывая (4.1), следует отметить независимость вида физических уравнений от выбора системы единиц, поскольку числовые коэффициенты N в (4.2) можно сократить.
Покажем, что в качестве основных единиц вместо [М], [LI, [TI можно выбрать три иные: [ur I, [и2Ги [и3]. Пусть
[uj = [М]“‘ [L]₽‘ [Тр;
[«а1 = [МТ UIP* [ТР;
[u3l = [MP [Lp [ТР.
Прологарифмировав эти выражения, получим систему из трех линейных алгебраических уравнений. Она будет иметь
197
решение, и притом единственное, если определитель, составленный из коэффициентов системы, бтличен от нуля:
ai	Pi	Vi
D =	р2	Т‘2	=^=\0.
аз	Рз	Тз
(4.3)
Условие (4.3) указывает также на независимость величин 1, [п2] и [п3], так как через них можно единственным образом выразить величины [Д41, [A], [TJ.
Например, основными величинами могут быть длина, модуль упругости и ускорение, поскольку соответствующий определитель D — —2. Но для длины, ускорения и времени D = 0, поэтому они не являются независимыми и их размерности не могут быть использованы в качестве основных единиц.
Подобие явлений и его признаки. При протекании физического процесса меняются величины, характеризующие состояние системы. Эти величины будем далее называть параметрами процесса (например, силы, скорости, ускорения и т. п.).
Система, в которой происходят процессы, состоит из элементов, которые характеризуются своими параметрами, или параметрами системы (например, массы тел, коэффициенты жесткости и т. п.).
Для подобия двух явлений требуется, чтобы во все сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства параметры процессов и элементов одной системы были пропорциональны соответствующим параметрам другой системы, т. е.
Pi/Ri =
(4-4)
где Piy Pi — сходственные параметры процессов и элементов систем Р и Я; trti — коэффициенты подобия, или масштабы сходственных параметров.
В зависимости от характера пространственного соответствия различают геометрическое подобие — если тх = ту = т2 — т, и афинное подобие — если тх =Р ту 4=
С точки зрения соответствия физической природы подобных явлений различают два "вида подобия: 1) физическое подобие, которое осуществляется при одинаковой физической природе подобных явлений; 2) математическое подобие, которое требует только одинаковой формы уравнений, описывающих физически разнородные явления,'
В технических задачах иногда выделяют более частные виды физического подобия: а) кинематическое — подобие скоростей и ускорений; б) динамическое — подобие сил; в) тепловое — подобие температур и т. д.
Условия, которым должны удовлетворять системы, чтобы они были подобны, а также правила перехода от натурной системы к модели и обратно, устанавливаются с помощью трех основных 198
теорем о подобии. Первая и вторая (л) теоремы получены для заранее подобных явлений; третья теорема дает необходимые п достаточные условия для подобия явлений. Приведем эти теоремы без-строгих доказательств1.
Первая теорема подобия: у подобных явлений можно найти определенные сочетания параметров, называемые критериями
подобия, имеющие одинаковые значения.
Пусть имеются два подобных процесса: п
Ф1 Фа + * ’ ’ + Ф« ~ Ф/ “ О‘> i==1
Ф1 “г Ф21 • • • “Ь* Ф« ~ Ф/ = 0.
Так как <р„ и Ф„ не равны нулю, то уравнения (4.5) переписать в виде:
(4.5)
можно
(4.6)
(4.7)
Пусть фу = фу (Рп Р2, ..., Рт), Фу = Ф; (/?!,	..., Рт) —
функции, имеющие ненулевую размерность; Pz, (i = 1, 2, ... ..., т) — сходственные параметры процессов.
Так как процессы подобны, то, учитывая (4.4), имеем: Pz = - niiRi, откуда ф;- = Л^-Фу, причем Nx = Nz = ... = Nn = N. Подставив последнее равенство в (4.6) и сократив получим, что уравнения (4.6) и (4.7) тождественны, т. е.
Фх/Ф» = Ф1/Фп; Фг/Фп =	• • •; Фп-1/Фп = Фп-1/Фц
или
Ф//(р„ = idem,	5(4.8)
где idem означает «соответственно одинаково для всех подобных процессов», или критерий подобия.
Очевидно, что если уравнения (4.6) и (4.7) содержат функции, имеющие нулевую размерность, и при этом подобие процессов существует, то аргументы этих функций должны быть равны, являясь в этом случае также критериями подобия. Например, если фу = sin at, то со/ = idem.
Критерии подобия принято обозначать л/е, где k — номер критерия.	*
Критерии подобия могут преобразовываться в критерии другой формы, получаемые за счет операции умножения или деления
1 Строгие доказательства теорем можно найти, например, в цитированной выше работе [24].
199
ранее найденных критериев друг на друга или на какой-либо из них. Так, еслил* = idem, Л; = idem, толилу — idem, л^л”1 = = idem, л^1 = idem, и т. д.
Таким образом, для определения основных критериев подобия из уравнения/; содержащего л членов, необходимо произвести деление членов уравнения на какой-либо из них, отбросив затем символы дифференцирования и интегрирования, а также функции нулевой размерности. К полученным в результате этих операций п — 1 основным критериям необходимо присовокупить а дополнительных критериев — аргументов входящих_в члены уравнений функций нулевой размерности. Данный способ называется способом интегральных аналогов [24].
Общее число критериев, найденных данным способом, равно (п — 1) + а.,
Способ интегральных аналогов, обладая достаточной простотой, может быть применен только при известных уравнениях физического процесса.
Правило перехода от- натуры к модели при известных критериях подобия выясним на примере прямолинейного движения материальной точки массы Мо под действием силы F:
Применив метод интегральных аналогов, получим
лх = MoX/(Ft2) = idem.
Вместо лх, с учетом (4.4), можно записать равносильное ему выражение, называемое индикатором подобия
тм,тх/(трт1) = 1.
Последнее выражение является исходным для перехода от натуры к модели и обратно.
Вторая теорема подобия (л-теорема): всякое полное уравнение физического процесса может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия составленных из входящих в уравнение параметров.
Запишем первое из уравнений (4.5) в виде
f(Pi,Pz,...,Pm)=0.	(4.9)
Входящие в (4.9) параметры можно выразить в долях от некоторых характерных величин Р01) Роа, ..., РОт, имеющих такие же единицы измерения. При этом (4.9) можно записать следующим образом:
Р1	Ру Рщ \ __
Р01	Pqz ’ ’Рот /
(4-Ю)
200
Так как число основных единиц равно трем, то из пг величин Р9 можно выбрать произвольно только три независимые между собой величины; остальные т — 3 единиц будут являться их функциями вида
POs = PWW (4 s т).	(4.11)
Показатели степеней yt (i = 1, 2, 3) определяются по формуле
yi^D^/D,	(4.12)
где D — определитель, составленный аналогично определителю (4.3) для величин Ро1, Роа, Ро3; Dis — определитель, получав’ мый из D посредством замены f-й его строки на строку, составленную из, показателей степени в формуле размерностей величины POs-	.
Три независимые величины можно выбрать произвольно и принять, например: PQ1 = Pt\ Роа = Ра; Р0з — Рз- При этом уравнение (4.10) примет вид
Рт ^=0.	(4.13)
\	р
111 _____л____ —
’	’	’ Р*'Р**Р*» * • * *’ pzipzspzs
1 Z О	1^0
Так как единицы измерения числителей и знаменателей в (4.13) равны, исходное уравнение (4.9) можно представить в виде
1, 1, л1э ..., л^з) - 0.	(4.14)
Выражение (4.14) можно записать в виде
*^1	•••> 'ГС/п-з)»	(4*15)
т. е. имеется tn — 4 независимых критериев, при соблюдении которых зависимый критерий выполняется автоматически.
Примечание. Согласно первой теореме подобия, критериями подобия процессов могут быть безразмерные соотношения членов уравнения, при этом число критериев на единицу меньше числа членов уравнения. Покажем, что это не противоречит выводам второй iтеоремы о наличии т — 3 критериев. Действительно, из (4.6), (4.9) и (4.14) следует
-J/- = F(P1....Рт) = F(nlt . . лт_3) = Л),
т. е. критерии подобия, полученные способом интегральных аналогов, являются степенными^ комбинациями критериев, полученных на основе л-теоремы. '
Необходимо отметить, что применение л-теоремы является единственным способом установления критериев подобия процессов, уравнения которых еще неизвестны, но известны’величины, участвующие в процессе»
201
Третья теорема подобия: необходимыми и достаточными условиями создания подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.
Условия однозначности — это условия, выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление. К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления факторы и условия: геометрические свойства’ системы; начальные условия; граничные или краевые условия.
Иными словами, согласно л-теореме, равенства т—4 критериев вполне достаточно для обеспечения подобия процессов. Эта возможность реализуется, когда, задав условия однозначности, мы выделяем из бесконечного множества процессов, которым соответствует данное дифференциальное уравнение, те конкретные процессы, подобие которых необходимо обеспечить.
Очевидно, что некоторые условия однозначности находятся в прямой зависимости от цели исследования. Так, например, при исследовании установившихся процессов пропорциональностью начальных условий можно не задаваться.
Пример 4.1. Рассмотрим оба способа определения критериев подобия на примере колебательной системы
Мцу + су = Q sin со/,	(4.16)
или
f(MQ, Q, со, у, с, t)= 0.	(4.17)
Матрица размерностей для параметров (4.17) в системе единиц СИ имеет вид
(4.18)
Рассматривая определители третьего порядка матрицы (4.18), можно выбрать все независимые комбинации величин, определители которых отличны от нуля. Легко убедиться, например, что величины Af0, с, t зависимы между собой, так как
1 О
1 0
О О
о
202
величины Л40, Q, (й — Независимы» поскольку
1
1
О
О о
1 —2
О —1
(4.19)
Для вывода критериев подобия возьмем именно,эту комбинацию, хотя с таким же успехом можно было бы взять любую другую независимую комбинацию.
Выразим теперь оставшиеся три величины у, с, / через независимые Л10, Q, со. В качестве примера более подробно остановимся на выражении для у.
Пусть ~ /И^О*8©*8. Тогда, в соответствии с (4.12), имеем:
Y —	—	1 .	Г ~	--- 1 •	V —	_	О
‘	1 ’	Х2 —	р — Ь	Л3 —	&	—	Z,
где Diy — определитель, получаемый из (4.19) путем замены его первой строки на строку размерностей у [матрица (4.18)],
D2y, ®зу — определители, получающиеся аналогичной заменой второй и третьей строк:
Итак, у = Aljf 1Q1co~“2. Совершенно аналогично находим:
с = AlJQ0a>2; / = AlgQOco-1.
Из полученных соотношений, с учетом (4.13) и (4.14), получим следующие критерии подобия:
42,=^; ^2> =	яз2)=дЛг,	(4-20)
Л40хQcd 2
где индекс в скобках указывает номер теоремы, с помощью которой получен критерий.
Применив первую теорему подобия к уравнению (4.16), получим следующие критерии подобия:
=	(4.21)
Легко проверить, что критерии (4.21) могут быть получены через Крите рии (4.20), а именно
(М2))~2; 4г) = ^2М2)-
2. Подобие и моделирование гибких роторов
Постановка задачи. В зависимости от конструкции, колебания системы ротор—опоры могут описываться дифференциальными' уравнениями различного вида. Будем называть ротор гибким, если в уравнениях движения учитываются его из-гибные колебания, в противном случае — жестким.
Ротор и опоры образуют две независимые системы, которые соединяются друг с другом через третью систему — подшипники.
,	203
На оснований положения о подобии сложных Систем [241 можно утверждать, что подобие системы в целом будет обеспечено при одновременном подобии независимых подсистем (ротор, опоры) и подсистемы, их соединяющей (подшипники), т. е. при одинаковых масштабах общих сходственных параметров подсистем. Это позволяет рассматривать подобие названных составных систем по отдельности.
Под масштабом любого параметра % условимся понимать отношение его модельного значения к натурному, т. е. тк = ^М/Хн.
Впервые вопрос о динамическом подобии валов переменного сечения, по совету академика А. Н. Крылова, был рассмотрен Е. Б. Лунцем [69], который показал а невозможность создания модели вала обычным применением теорем о подобии, т. е. путем анализа размерностей физических величин.
Действительно, применив к уравнению упругой линии вала (в общепринятых обозначениях)
Е1^ = -М*
первую теорему подобия, получим критерий подобия
ЕЕ/ Я1 М*х2 ’
который с учетом размерностей
[I] = ид* - [х]4; [у\ - [х];	- [Сх] - [ух4]
преобразуется в критерий вида
= Е/ух,
где у —: удельный вес материала вала; G — сила тяжести.
Из полученного выражения следует, что при тв = ту = 1 должен быть /пх = 1, т. е. размеры модели равны размерам оригинала, и моделирование невозможно.
Объясняется это тем, что при тЕ = 1 масштаб сил, исходя из размерности £, равен квадрату масштаба длин. С другой стороны, при = 1 масштаб сил равен кубу масштаба длин, что несовместимо с предыдущим.
Е. Б. Лунц разрешил это противоречие путем применения независимых единиц измерения для длин и диаметров. В результате он нашел оптимальную с точки зрения динамического подобия модель, характеризующуюся соотношениями: та = тх— для вала; = тх, тЕ =	— для сплошных дисков.
Здесь d и х — диаметры и длины вала; D и L — то же дисков.
Подобие роторов с учетом подшипников скольжения было рассмотрено В. Я. Кальменсом [39]. Он установил, что для подобия подшипников скольжения при = 1 радиальные зазоры 6 модели и оригинала должны быть одинаковы, а масштаб длины 204
подшипника tnL (и его Диаметра) и масштаб длины вала тх свй-
1,25	2
заны соотношением tnL == тх при тд = пгх.
Учет упругости и массы опор при моделировании гибких роторов произвел М. И. Лаппа [66]. Полученные им критерии подобия для однодискового ротора частично включают критерии, полученные в работе [39].
Однако в перечисленных работах не нашел отражения тот факт, что при соотношении тд = тх углы прогибов вала модели увеличиваются в т~1 раз, что может существенно повлиять, особенно у достаточно гибких роторов,' на динамику смазочного слоя подшипников. Кроме того, в них отсутствуют рекомендации по моделированию таких элементов, как дисков с посадочным отверстием, жестких роторов на упругих опорах, подшипников качения. В связи с этим имеет смысл рассмотреть другие возможные варианты моделей роторов и подшипников.
Вывод критериев подобия. Пусть ротор представляет собой вал переменного диаметра, несущий ряд дисков. Введем следующие обозначения: т (х) — погонная масса ротора; а (х) —- момент инерции погонной массы дисков относительно оси вращения (моментом инерции вала пренебрегаем); е (х) — кривая дисбалансов; у — комплексный прогиб вала; р (х) — тесо2 — интенсивность сил неуравновешенности ротора.
Тогда колебания ротора могут быть описаны комплексным дифференциальным уравнением вида (см. [30], стр. 98]:
' а /£+ дх2 \ дх2 ) дх2 \ dt2 / ' дх2 \ dt / 1
4-/П-Й- = p(x)eiat.	(4.22)
Для более полного описания динамического состояния ротора к уравнению (4.22) следует добавить еще выражения для углов наклона упругой линии вала а и нормальных напряжений а, а именно:
a = dy/dx;	(4.23)
где М* — изгибающий момент; W — момент сопротивления сечения.
В соответствии с третьей теоремой подобия к уравнениям связи (4.22) и (4.23) необходимо добавить еще условия однозначности. Совершенно очевидно, что в данной задаче выполнение условий однозначности означает сохранение краевых условий, что, в Свою очередь, приводит к подобию сил, действующих со стороны подшипников и опор на ротор. Будем считать, что эти условия выполнены.	-•
205
Применив к выражениям (4.22) и (4.23) метод интегральных аналогов, получим следующие критерии подобия:
лх _ о/; л2 = ЕН2/(тх*)\ л3 — а/(тх2); л4 — pt2!tny\
л5 =	ле = ах/#; л7 = о1Г/Л1*.
(4.24)
Для большего удобства введем в рассмотрение следющие величины: G — силу тяжести; А — момент инерции массы; у — удельный вес материала вала; g — ускорение силы тяжести.
Тогда, в силу очевидных соотношений между размерностями величин
И! - [со”1]; [/1 = МЧ; [G] - [у^х];
Im] = [G^x"1]; [al = [Ах-1]; [р 1 = [Gx-1]; [MJ - [Gx]; [IF] - [d3],
выражения (4.24) могут быть преобразованы к виду:
лх = со/; л2 = Ed2g/(yx4co2); л3 ~ Ag/(yd2x3); л4 = g/(#co2); л5 = е/У\ яб = <**/#; л7. = ad/(ух2).
 (4.25)
(4.26)
Критерии подобия (4.26) являются исходными при моделировании гибких роторов.
Подобие валов. В качестве независимых величин выбираем те, которые можно практически изменять независимо друг от друга при конструировании модели, а именно: Е, у, d, х. Масштабы изменения остальных величин найдем из индикаторов подобия, соответствующих критериям (4.26). Учитывая, что = 1, получим
tnG = m^mdmx\ ты = mdltnx I тв/гп^ 1
те = ту = 1//Пщ = т?/Швтх/т^;	?	(4.27)
та = myjtnx = mvlmEm2xlm2d\ т0 = tn^m2lmd, J
-	(4.28)
Если модельный и натурный валы выполнены из одинакового материала, а именно этот случай является наиболее рациональным, имеем:
гпе^ ту = 1; mG — mdtnx\ = mdm~x\ те = ту^ tndtnx\ та = т~атх\ md = rndtn*x.
Подобие дисков. Поскольку упругие свойства дисков не имеют значения, а важны только их веса и моменты инерции, будем полагать, что материал дисков и вала модели, а также их продольные и поперечные масштабы различны. Тогда из числа независимых величин выпадает модуль упругости Е. Форму натурного и модельного дисков принимаем цилиндрической (рис. 4.1). 206
Пусть mr — отношение удельных весов модельных и натурных дисков; тх и tnD — масштабы их продольных и поперечных размеров, причем mD = D1MID1H.
Требуется выразить тх и mD через тх и таким образом, чтобы сохранилось подобие весов и моментов инерции дисков.
Учитывая, что для дисков:
Н)
после несложных преобразований
GM	- mdk2
та =	= тТтх —t	-
получаем
Рис. 4. Г. Схема
где k = D2JDln = dJDln — отношение внутрен- диска него к наружному диаметру натурного диска.
Поскольку необходимо, чтобы веса дисков изменялись так же,
как и участков вала, имеем
да2 - «2 й2 m-ftridtrix = mFmx —f
(4.29)
Определим условие подобия моментов инерции дисков. Из выражений (4.26) для л3 имеем
тя = тут%тх.	(4.30)
С другой стороны, учитывая, что
имеем
'	/доп
тА = тгтх——-	(4.51)
Из выражений (4.30) и (4.31) получаем следующее уравнение:
= matrix
mD —
1 — F
(4.32)
Решая совместно уравнения (4.29) и (4.32), окончательно находим:
__	т т (j___^)
= r^(l+fe2)-zn>2; tnx = mr[4(l+^)-2«2Xi • (4-33)
207
В случае диска без посадочного отверстия (k == 0) получаем:
mD — тх\
mvmd тТтх

что совпадает с результатами работы [691.
Теперь рассмотрим случай, когда натурный диск не является цилиндрическим, но известны его вес GH и момент инерции Ан. Модельный диск предполагается цилиндрическим с известными внутренним диаметром dM и удельным весом ум. Требуется найти наружный диаметр модельного диска D1M и его ширину Хм.
1 Для сохранения подобия требуется, чтобы выполнялись следующие соотношения:
— mvm^mxGH;
Ам —
32g
(Dim ^м) Хм =
из которых находим:
Di„ = У 8gml
'4mvm>xGH
"YM (гётх4г — Мм]
\	1;н	/
(4.34)
Как следует из формул (4.33) и (4.34), вид материала, из которого выполнены модельные диски, влияет только на их ширину. Для того чтобы диски не получились слишком тонкими, их нужно выполнять из более легкого материала.
Подобие упруго-массовых опор. Пусть опора имеет массу Мо и жесткость с. Со стороны ротора на опору действует гармоническая возмущающая сила с амплитудой Q. Тогда уравнение движения опоры имеет вид
М^у + ОУ = Q sin со/.
Критерии подобия данной колебательной системы получены в примере 4.1. Для большего удобства представим их в виде:
со/; л2 = r/Moco2/Q; л3 = <?/Л4осо2 = р2/со2,	(4.35)
где р — частота свободных колебаний опоры.
206
Критерии (4.35) дают следующие масштабные соотношения: ту = mQ/(mMom^).
Исходя из требования равенства масштабов сил, действующих в системе «ротор» и в системе «опоры», и учитывая формулы (4.27), получаем
тмо =	= rnymdtnx\ тс = mEmd/mx.	(4.36)
Сравнение вариантов модели. Исходным пунктом расчета параметров модели системы ротор—опоры является задание либо масштаба веса либо масштаба длины вала тх. Затем, варьируя соотношения между масштабами tnd и тх, можно получить большое количество вариантов модели, однако не все они имеют одинаковую практическую ценность.
Из масштабных соотношений (4.28) следует, что ограничением в сторону увеличения отношения md!mx является увеличение масштаба скоростей тю, а в сторону уменьшения этого отношения — увеличение масштаба напряжений
В качестве иллюстрации этого в табл. 4.1 приведены три возможных рарианта модели системы ротор—опоры.
Модель 1 — геометрически подобная (md — tnx). Большим ее недостатком является увеличение угловой скорости в /тг™1 раз, а также малое снижение жесткости опор.
Наиболее интересной с точки зрения динамического подобия является модель 3 (md= тх), у которой сохраняются абсолютные натурные значения скоростей, прогибов, дисбалансов и нормальных напряжений. Ее недостаток — увеличение углов наклона упругой линии вала в т-1 раз, что иногда является нежелательным при испытании модели на подшипниках скольжения.
Сохранение углов наклона выполняется на модели 2 (md — — но это происходит за счет увеличения скорости в m~Q>5 раз.
Выбор оптимального варианта модели в конечной счете определяется целью и характером испытаний, а также возможностями испытательного стенда.
Следует отметить, что изложенная методика перехода от натурного ротора к модели применима также при расчетах динамики роторов на ЭВМ. Так, при расчетах крупных реальных роторов возможно переполнение порядков ячеек, что приводит к автоматической остановке ЭВМ. В связи с этим целесообразно осуществлять переход к модели, у которой диаметр начального участка равен 1 см. Переход к модели и обратно осуществляется по приведенным выше формулам и позволяет производить расчеты роторов любого размера.
14 Д. С. Кельзон и др .	209
to
gajI	I Элементы
Таблица 4.1. Масштабы параметров вариантов моделей системы ротор—опоры
Параметры	Обозначение	Исходные формулы	Модель 1	= тх}		Модель 2 (fil'd mx'5)		Модель 3 (тп-d “ тх)‘	
			Материал натурного н модельного валов					
			неодинаковый	одинаковый	неодинаковый	одинаковый	неодинаковый	одинаковый
Сила	mG	mymxmd	3 тутх	э X со	4		5 тутх	m5r X
Угловая • скорость	тв>	md j Г тЕ У ту Л	1 1fтЕ тх г ту	** 1 тх	1	1/ тЕ	1	1 /~ тЕ г ту	1
					К тх г ту 1	V™x		
Дисбалансы	те	тх ту . m2d тЕ	2 т? mY —— х тЕ	О) Н £	ту  тх^- тЕ 1г	тх	ту тЕ	1
Прогибы	ту							
Углы наклона упругой линии вала	та	™х ту т2 тЕ а	Шу тх —-тЕ	mx	ту тЕ	1	1 ту тх тЕ	1
								

	Нормальные на пр яжения		тх 	ту md V	тхту,	тх	Ут^Пу		— ту	1 1
Диски	1	-Понере1;ны€ь— размеры			тх				-	
			К «хО + ^2)— tn2k2					тху 1 -f-й2 (1 — ^2)	
						тх V 1 4- k2 (1 — тх)			
	Продольные размеры	тх	mym2dmx( \ — mrlmx (l +k2)~ —Mfe2]	ту тх — тр		1 4~ £2 (1 — %тх) т-р г		тх 0	^2)	ту ,14-й2(1 — 2т2') «г	
Опоры	Коэффициенты жесткости	тс	Л* тЕ mY Л	5 тхтЕ	тх	тхтЕ	ffl3 X	5 ттР X £	/и3
Пример 4.2. Пусть Натурный ротбр, изображенный на рис. 4.2, имеет следующие исходные данные (табл. 4.2).
Требуется рассчитать модель ротора при = 1, те = 0,01 и одинаковом материале натурного и модельного валов. Диски предполагается выполнить из дюралюминия (у = 2,7*10~3 кгс/см3), поэтому тг = ум/? = 0,346.
Таблица 4.2. Исходные данные натурного ротора
Параметры	Обозначение	Номер участка вала			Номер диска		Опоры
		1	2	3	1	2	
Удельный вес, кгс/см3	Ун	7,8-10"		3	7,8-	10-3	—
Диаметр участков вала, см		25	30	25	—	—	—
Внутренний диаметр дисков, см	^2Н	—	—	—	25	30	—
Наружный диаметр дисков, см		—		—•	71	100	—
Продольный размер, см		40	70	40	20	40	—
Параметр дисков	k	—	—	—	0,352	0,30	—
Вес, кгс	Оц	153	384	153	540	2230	1000
Жесткость, кгс/см	Ch	—	—	1		—	—	ю5
В соответствии с табл. 4.1, данному случаю (т® = 1) отвечает модель ротора 5, имеющая md = т^. Дальнейший расчет производим с помощью этой же таблицы: масштаб длины вала у/Иго = 1^0,01 = 0,398; масштаб диаметров вала md “ тх ~ 0,158; масштаб поперечных размеров первого диска mD =	,
+ #2 (1 — т2) ~ 0,418; масштаб продольных размеров первого диска
ШХ — [1 + fe2 (1 —2m2)] mr ~
масштабы размеров второго диска: mD = 0,414; тх — Ю,156; масштаб жесткости опор тс= т^-~- 0,01.	!
212
Таблица 4.3. Параметры модельного ротора
Параметры Модельного ротора, вычисленные умножением параметров Натурного ротора на соответствующие масштабные коэффициенты, сведены в табл. 4.3.
Пар аметры	Обозначение	Номер участка вала			Номер диска		Опоры
		1	2	3	1	2	
Удельный вес, кгс/см3	Ум		7,8 ДО'	3	2,7-	IO'8	
Диаметр участков вала, см		3,95	4,74	3,95		—	——
Внутренний диаметр дисков, см	^2М	' -'	—	—	3,95	4,74	
Наружный диаметр дисков, см	/Дм	—	.—	—	29,6	41,4	—
Продольный размер, см	Хм, ^м	15,9	27,8	15,9	2,94	6,24	—
Вес, кгс	6м	1,53	3,84	1,53	5,4	22,3	. 10
Жесткость, кгс/см	См		!	—	—	—	——	103
3. Подобие и моделирование жестких роторов в упругих опорах
Как было отмечено выше, одним из эффективных способов снижения вибронагрузок является установка роторов в упругих опорах. В тех случаях, когда жесткости опор в не
сколько раз меньше изгибной
жесткости ротора, упругими деформациями ротора можно пренебречь и рассматривать его как абсолютно твердое тело, имеющее четыре степени свободы.
Для вывода критериев подобия рассмотрим жесткий двухопорный ротор, имеющий массу Л4, осевой момент инерции А и экваториальный
Рис. 4.3. Схема жесткого ротора в упругих опорах
с коэффициентами жесткости сг
момент инерции В относительно осей, проходящих через центр тяжести ротора С. Ротор опирается на две безмассовые упругие опоры
и сг. Центр тяжести ротора расположен на расстоянии Ц от левой
опоры; расстояние между опорами I (рис. 4.3),
213
>	(4.39)
Дифференциальные уравнения движения ротора под действием статической и динамической неуравновешенностей имеют вид (3.102).
Выбрав в качестве независимых величин М, I, со и применив к уравнениям (3.102) л-теорему, получим следующие критерии подобия:
б; в; со/; Z±/Z; /а//; y!l\ z!l\ е/1;	(4.37)
фИсо2), Л/(Л1/2); В/(Л4/2).	(4.38)
/
Перечисленные критерии, с учетом очевидного равенства тм ~ где G — вес ротора, дают следующие масштабные соотношения:
= те = 1; mt — mf; ту = tnz = те\ тс = твт2^ тд= тв = твт2.
Исходя из требований простоты изготовления модели и удобства ее испытаний будем полагать, что модельный ротор выполнен из цельного куска. Поскольку упругие свойства ротора здесь не играют роли, модель можно выполнить из другого материала.	4
Способ определения характеристик модели зависит от конструкции натурного ротора. Положим, что ротор образован вращением некоторой весомой с заданным распределением плотности фигуры вокруг оси х, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее. Условимся называть ротор сплошным, если его фигура вращения сплошная и нижняя граница ее совпадает с осью х. При несоблюдении хотя бы одного из этих условий ротор будет несплошным. Кроме того, если фигура вращения имеет постоянную плотность по всей площади, то ротор будет однородным, при переменной плотности — неоднородным. В соответствии с приведенной классификацией модель во всех случаях будет сплошным однородным ротором.
Нетрудно убедиться, что для сплошных однородных роторов произвольной формы модельный ротор геометрически подобен натурному. Это положение вытекает из рассмотрения выражений для весов и моментов инерции натурного и модельного роторов с условием выполнения соотношения (4.39) для тА и tnB.
Если фигура вращения натурного ротора несплошная или неоднородная (рис. 4.4, а), определение формы вращения модели варьированием масштабов длины и радиусов неосуществимо. В самом общем виде задача состоит в следующем. Пусть известны GH, Лн, Вн, L, натурного ротора. При заданных масштабах mG, mz и известной плотности материала модели. ум можно определить См, Лм, Вм, /, модельного ротора. Требуется найти такую форму вращения у = у (х) (рис. 4.4, б), чтобы соответствующий ей ротор обладал перечисленными параметрами.
214
Для удобства введем системы координат Оху и ОХУ, имеющие начало на левом конце оси симметрии роторов. Из перечисленных параметров в новых системах координат претерпят изменение только экваториальные моменты инерции Вн и новые значения которых легко определяются по формуле Штейнера. Нетрудно убедиться, что если модельный ротор подобен натурному, то подобие сохраняется и в новых системах координат. В дальнейшем под Вн и Вм будем понимать экваториальные моменты инерции относительно осей OY и Оу соответственно.
Рис. 4.4. Фигуры вращения: а — несплошиого натурного ротора, имеющего переменную плотность; б — модельного ротора
Выражения для параметров модели можно записать в виде:
I	I	~
“ J г/4 dx Д- J у2х2 dx о	о < -
(4.40)
g
м
Кроме того, требование расположения центра тяжести модели на расстоянии от начала координат дает следующее соотношение:
/х J г/2 dx = j ху2 dx. о	о
(4.41)
Основной задачей является определение такой функции у — = у (x)t чтобы она удовлетворяла соотношениям (4.40) и (4.41). С целью упрощения вычислений будем искать решение не для самой функции у (х), а для ее квадрата, т. е. для функции ср (х) = = у2 (х).
Введем безразмерную координату г = xll. С учетом обозначений:
Zo = /х//; а = 6м/(лум/); 0 = 2Aag/(ayul)\ у = Вм£/(лум/); '
П = (Т ~ О.250)//2	/
Г
(4.42)
215
исходные соотношения (4.40) и (4.41) сводятся к системе из трех интегральных условий:
1	1	I
j Ф (z) dz = a; j ф2 (z) dz — р; J ?2ф (z) dz — ц (4.43) ООО
и условию, выражающему ортогональность искомой функции ф (г) и^двучлена z0—z на промежутке (0; 1)
1
j (z0 — z) ф (z) dz = 0.	(4.44)
• о
Ищем решение в виде линейной комбинации трех линейно независимых взаимно ортогональных на промежутке (0; 1) многочленов^ (z) (i = 1, 2, 3)
Ф (z) = Х1Ф1 4“ Х2Ф2 “Ь ^з'Фз»	(4.45)
где
'Фт = ^0 + aiz> Ф2 = bQ + bxz + b2Z2}	(4r46)
фз = Со + cxz + с*? + c3z3;
hi — неизвестные постоянные.
Условие взаимной ортогональности многочленов имеет вид ill
J dz = j фхфз dz = j ф2фз dz ~ 0.	(4.47)
0	0	0
Подстановка функции (4.45) в выражения (4.44) и (4.47) приводит к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов	Ьо, с3:
216
Решение системы (4.48) при а0 — Ьо = с0 — 1 приводит многочлены (4.46) к виду:
фх = I + ахг; фз — 1 — 6z + 6г2;	(4.49)
= 1 — 12г + 30z2 — 20z3, где
o1 = 3(2z0-l)/(2-3z0).	(4.50)
Система уравнений (4.43) после подстановки в нее выражения (4.45) для <р (z) с учетом (4.49) имеет следующее решение относительно неизвестных постоянных Л,:
= 2а (2 — 3z0); Л2 = ЗО^ — 5а (6z0 — 1); Х3 =
= ]/7[р-4а2(Зг§-Зго+1)-4-^].	(4.51)
Итак, при известных и ф(- выражение для радиуса модели имеет вид
У (z) = У	-|- ^-зФз-	(4.52)
Возможность построения модели при наперед заданных масштабах та и /П/ определяется знаком подкоренных выражений Х3 и у (z). Вполне очевидно, что эта возможность реализуется лишь для определенных соотношений масштабов та и tnh определение которых и является искомой задачей. С этой целью потребуем одновременного равенства нулю и Х3, что означает выполнение следующих соотношений:
6т] = a (6z0 — 1), р = 4а2 (3z§ — 3z0 + 1).	(4.53)
Решив выражение (4.53) с учетом (4.42) и (4.39) относительно длины модели I и приравняв правые части, получим выражение для масштаба длины т* = f (тс), при котором ='%3 = 0:
4G® (6г0— 1) (3?д — Зг0 4- 1)2Ид 3n2g3T^l (2SH - Дн)
1/6
(4.54)
Выражение для радиуса модели в этом случае имеет вид
(г) = У 2а [3z(2z0—1) + (2 —3z^.	(4.55)
Очевидно, что соотношения (4.54) и (4.55) справедливы не при любом расположении центра тяжести ротора, а лишь при 1/6 < z0 < 2/3.
Модельный ротор имеет цилиндрическую форму при mi = гщ и zQ = 0,5, т. е. при расположении центра тяжести ротора посередине, при этом выражения (4.54) и (4.55) имеют вид:
*
tni =
-1/6
. WvPR2B^47)_
g>g
У (г) = У а.
(4.56)
(4.57)
217
Проверим достоверность выражения (4.54) на примере пустотелого цилиндрического ротора с внутренним радиусом 7?а, наружным 7?! и длиной L.
Модель такого ротора может быть рассчитана непосредственно из анализа формул параметров роторов. Выражение масштаба его длины с учетом обозначения k ~ 7? a/7?t имеет вид
=• (4-58)
Подставив в формулу (4.54) выражения параметров GH, Лн, Вн для данного ротора с учетом, что z0 = 0,5, после соответствующих преобразований приходим к соотношению (4.58), что и требовалось доказать.
Таким образом, конструирование модели при известных параметрах натурной роторной системы начинается с назначения либо масштаба веса, либо масштаба длин и материала модели. Расчет формы модели производится с помощью выражений (4.54) и (4.55). Масштаб угловой скорости и частот колебаний выбирается в зависимости от возможностей испытательного стенда. Очевидно, что наиболее рациональным вариантом является = 1. В соответствии с соотношениями (4.39) масштаб коэффициентов жесткости упругих опор при известных mG и определяется по формуле тс •= mem®, а масштаб эксцентриситета центра тяжести ротора равен масштабу длин, т. е. те = mz. Тогда при равенстве у модельного и натурного роторов углов 6 и е, характеризующих динамическую неуравновешенность, масштабы амплитуд колебаний центров опор Ох и Оа будут равны масштабу длины, т. е. ту = tnz —
Пример 4.3, Ротор центрифуги, имеющей L ~ 150 см; бн = 107 кгс; = = 41,14 кгс-с2-см; Вн~ 630,6 кгс-с2-см; г0 — 0,415, установлен в двух упругих опорах жесткостью сн — 2000 кгс/см. Требуется рассчитать динамическую модель центрифуги для mG — 0,1 и ум —- 2,7-10~3 кгс/см3 (дюралюминий).
По формуле (4.54) находим т'1 = 0,23, откуда имеем: I = 34,5 см; = ~ 10,7 кгс; Ам — 0,22 кгс-с2-см; — 3,33 кгс-с2-см. В соответствии с (4.55) находим -Выражение для радиуса модели:
у* (?) = /55,16 — 37,16г
ИЛИ
у* (х) — К55,16 — 1,08х-
Для удобства изготовления модели функция у* (х) аппроксимировалась двумя прямыми:
у? (х) = 7,43 — 0,08х при 0 < х 17,25;
у* (х) = 7,85 — 0,10х при 17,25 х 34,5.
По формулам (4.40) и (4.41) для аппроксимированной функции у* (х) были найдены следующие значения параметров модели: бм = 10,6 кгс; Ам — 218'
= 0,212 кгс-с2-см; Вм = 3,27 кгс-с2-см. Сравнение полученных величин с ранее найденными из условий подобия показывает, что максимальная погрешность, вносимая аппроксимацией, составляет 2%, что вполне допустимо.
Для масштаба угловых скоростей т® ~ 1 в соответствии с формулой (4.39) коэффициент жесткости упругих опор см = 200 кгс/см.
4. Подобие и моделирование подшипниковых узлов
Как отмечалось выше, масляная пленка подшипников скольжения при определенных условиях может быть причиной интенсивных автоколебаний роторов. Несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию этого явления, в научной литературе до сих пор отсутствует единое мнение о количественной оценке некоторых важных его сторон [79].
В связи с этим метод физического моделирования может оказаться полезным как при экспериментальном исследовании масляных вибраций, так и при изучении динамики проектируемых роторных систем, имеющих подшипники скольжения.
Динамика роторов с учетом упругих и демпфирующих свойств подшипников качения даже в простейшем случае вертикального ненагруженного вала описывается сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений [82]. Исследование динамики реальных горизонтальных роторов еще более усложняется, поскольку упругое поле нагруженного статической нагрузкой подшипника качения обладает круговой нелинейной анизотропией. В связи с этим представляет интерес изучение колебаний роторов в подшипниках качения на моделях.
Подобие подшипников скольжения. Как показано М. В. Ко-ровчинским [62], полное подобие подшипников скольжения будет иметь место при обеспечении следующих частных видов подобия: геометрического, кинематического, динамического, теплового, а также подобия нормальных и касательных^усилий в масляном слое.
Однако практически достичь полного подобия нельзя, так как не все критерии, даже необходимые, могут быть реализованы в процессе моделирования. В связи с этим будем рассматривать динамическое подобие подшипников, характеризующееся подобием сил, действующих со стороны масляного слоя на цапфу и оказывающих влияние на динамику ротора. Тепловое подобие при этом будем рассматривать лишь с точки зрения влияния температуры масла H# его ^вязкость.
Критерии динамического подобия подшипников скольжения получим из дифференциальных уравнений возмущенного движения цапфы на смазочном слое, которые имеют вид:
Alt + 2Р% — Месо2 cos со/;
Л1т) + 2РП —’'Меса2 sin со/,
'-1
где М — масса ротора; е — эксцентриситет центра масс ротора;
219 '
Pfr Рц — проекции гидродинамических сил при поступательных перемещениях цапфы на оси ц [83 J:
Л =	+ ЛЯ) +	МЛ - е/10) а + '
+ (/в + е/9) л] + (hl + Z10n);
Ръ =	+ /я) +	КЛ - ШI + ’	(4‘60)
4- (4 + еЛ) л] + р^- (hit + Лл)-
Здесь е = 62co/v — безразмерный параметр, учитывающий инерцию смазочного слоя; Ik = Ik (С; UD; AJ (k = 1, 2,	12) —
безразмерные коэффициенты, зависящие от коэффициента нагружен ности подшипника С, относительной длины UD и параметров Az (i = 1, 2,	п), характеризующих геометрию масляного
слоя (приложение 3); остальные обозначения соответствуют принятым в гл. 1, п. 3.
Применив к уравнениям (4.59) метод интегральных аналогов, с учетом (4.60) и соотношения 2р,/со/(Мф®) = g/(2£6) получим следующие критерии подобия:
лх = п/В; ла = л3 = со/; п4 = gZ2/|; ' л5 = //£>; пв = g/(6co2); л7 = 62<o/v;
л8 = G62/(ZD®pco); л8+1- = Д;.
(4-61)
Здесь G — нагрузка на подшипник.
Динамические критерии (4.61) идентичны критериям, полученным В. Я. Кальменсом [39 ] из уравнений Навье—Стокса.
Будем считать смазку в натурном и модельном подшипниках одинаковой, поскольку именно этот случай имеет наибольшую практическую ценность.
Тогда, при m(l = тр = mv = 1 из критериев пх—п5 получим:
пи = mD; тю = mi; тц = т% = те = тй2. (4.62)
Одновременное равенство критериев пв и п7 при mg = mv = 1 возможно, если -
тй = тш = 1.	(4.63)
Тогда," из критерия п8 с учетом (4.62) и (4.63) получим rmD = mi = m</4.	(4.64)
Равенство критериев п8+/ требует сохранения геометрии зазора, т. е.
/Ид = 1.	(4.65)
220
Если смазка в подшипник подается под избыточным давление^ р, то исходя из формулы размерности [р] = IGI~1D~1] получим
тр =	(4.66)
г
.и
Выполнение масштабных соотношений (4.62)—(4.66) при усло-< вии равенства температур масла на входе в натурный и модельный подшипники обеспечивает их динамическое подобие.
Следует отметить, что выполнение условия ть = 1 приводит к различию относительных зазоров ф натурного и модельного подшипников, т. е. к неполному геометрическому подобию. Однако, как показано М. В. Коровчинским [62], это равносильно тому, что в уравнениях движения смазки пренебрегают вязкими членами порядка малости ф3.
Перейдем теперь к сравнению возможных вариантов модели системы гибкий ротор—подшипники скольжения.
Модель 3 (табл. 4.1) имеет = 1, те = где тх — масштаб длины вала. Тогда, с учетом (4.64) имеем
mi = tnD = тх25.	(4.67)
Как указывалось выше, недостатком системы является увеличение углов прогиба вала в т~1 раз.
Модель 2 имеет ротор, у которого tna = 1, те = mXi т& = тГ1/2• Для данного случая из критериев лв и лв последовательно находим:
— тх\ mi = mD = тх .	(4.68)
В то же время, варьирование масштаба скорости вызывает несоблюдение идентичности критерия л7, учитывающего подобие сил инерции смазки, что является определенным недостатком данной модели.
В связи с этим модель 3 может быть рекомендована как основная, и только для систем с довольно гибкими роторами и длинными подшипниками можно рекомендовать модель 2.
Пример '4.4. Пусть натурный подшипник скольжения характеризуется следующими данными: форма расточки вкладыша — цилиндрическая; угол рабочей зоны масляного слоя 120°; смазка маслом турбинным 22 при температуре 50° С; нагрузка на цапфу (?н = 2000 кгс; диаметр цапфы = 20 см; длина цапфы 1И — 16 см; радиальный зазор 6Н = 0,02 см; давление масла на входе рн = 2 атм.
Требуется рассчитать динамическую модель данного подшипника при то = = 0,01 и — 1.
В соответствии с формулами (4.62)—(4.66) находим:
tnD — tnt = mJ/4 — 0,316; DM = mDDR — 5 см; /м = 6,3 см;
= 1; 6М — 6Н — 0,02 см;	= 20 кгс; tnp = те = 0,1;
Рм = трра == 0,2 атм.
221
Кроме того, модель должна иметь одинаковые с натурой форму расточки вкладыша, угол рабочей зоны масляного слоя, сорт и температуру смазки и угловую скорость цапфы.
Подобие подшипников качения1. Вывод критериев подобия произведем на основе анализа сил, действующих в подшипниках.
Для стандартных шариковых подшипников зависимость между приложенной статической нагрузкой G и деформацией контактных поверхностей 6 имеет вид [11]
G = сб3/2,	(4.69)
где
с = kidx^ cos 0.	(4.70)
Здесь k — коэффициент пропорциональности; i — число тел качения; d — диаметр шариков, см; 0 — угол контакта тел качения с кольцом подшипника, рад.
При нагружении подшипника внешней статической нагрузкой будет наблюдаться неравномерная загрузка шариков и неравномерная по окружности деформация контактных поверхностей. На распределение нагрузки и деформаций оказывает также существенное влияние радиальный зазор А, который уменьшает угол нагруженной зоны и увеличивает давление на наиболее нагруженный шарик. Под действием сил неуравновешенности центр шипа будет совершать колебания вокруг точки статического равновесия, причем между силой упругости Р и вектором смещения центра шипа из положения равновесия р будет иметь место соотношение
Р = _ с (S, <р) ppV2.	(4.71)
Здесь с (S, <р) выражает зависимость жесткости упругого поля подшипника от статической деформации 6 и полярного угла ф.
При больших частотах вращения центробежные силы шариков создают значительные нагрузки на наружные кольца подшипников и тем самым вследствие нелинейной зависимости (4.69) оказывают влияние на жесткость упругого поля подшипника. Суммарная центробежная сила F, действующая на кольцо со стороны шариков [11],
^=4й>3’	<4-72)
б
где
а = dDi. '	(4.73)
Здесь D — диаметр по центрам тел качения, см.
1 Во избежание многоярусных индексов в обозначениях масштабов величин,
обозначения, принятые в данном параграфе, отличаются от обозначений соот-
ветствующих величин в гл. 2 и 3.
222
Подобие сил демпфирования F* в подшипниках качения будет рассмотрено условно из-за отсутствия достоверных данных по их количественной оценке. Следуя Э. Л. Позняку [82], запишем выражение для сил демпфирования в виде
F*- — Ьр — <7РР2,	(4.74)
где b — коэффициент вязкого трения, кгс-с-см"1; q — коэффициент нелинейного трения, кгс-с-см"3.
В качестве внешних сил Q принимаем силы неуравновешенности, вызываемые эксцентриситетом центра тяжести шипа е.
Для стандартных роликовых подшипников зависимость между приложенной статической нагрузкой G и деформацией 8 может быть принята линейной и выражена приближенной формулой вида [77]:
G = с8,	(4.75)
где	.
 .	с = kid1/2l.	(4.76)
Здесь d — диаметр роликов, см; I — длина роликов, см.
В данном случае между силой упругости Р и вектором смещения центра шипа из положения статического равновесия р имеет место соотношение
Р= — ср.	/	(4.77)
Суммарная	центробежная сила, действующая	на	наружное
кольцо со стороны роликов, имеет вид (4.72), где
а = ф nyd2lDi.	(4.78)
Выражения	для	сил	демпфирования F*	и внешних сил	Q при-
нимаем 'аналогичными предыдущему.
Поскольку для применения л-теоремы достаточно знать лишь те параметры, которыми характеризуется исследуемый процесс, а составление дифференциальных уравнений связи необязательно, запишем уравнение динамики шипа в подшипнике качения в виде общей функциональной зависимости от перечисленных выше параметров;
f (G, Р, F, F*> Q, 6, р, е, A, g, с, a, b, q, со, t) = 0. (4.79)
Выбрав в качестве независимых величин G, 8, со, путем анализа размерностей остальных параметров получим критерии подобия шариковых подшипников:
= РЮ - FIG = FJG = Q/G;
я 2 — p/S = e/8 — Д/8;
л3 — g/(8co2); л4= c/(G8“3/2); л5 = cz/(G8);	(4.80)
л6 = ^/(GS"1^"1); л7 = (//(GS"3^"1); л8 = со/.
223
Сохранений величийы ускорения свободного падения требует выполнения следующего масштабного соотношения, вытекающего из л3:
= тр = те =	= т-2.	(4.81)
Из остальных критериев подобия получаем:
тс ~ татб'3/Ь	(4.82)
/па = тст6-,	(4.83)
ть =	(4.84)
тч — тат^т^.	(4.85)
Здесь я в дальнейшем под масштабом любой величины понимается отношение ее модельного значения к натурному. Поскольку между та и т$ существует функциональная зависимость (4.81), число независимых величин уменьшается на единицу. Покажем, что оставшиеся две величины, например G и 6, также не являются независимыми, а выражаются через конструктивные параметры подшипников I, d, D, cos 0. Действительно, учитывая (4.70) и (4.73), можно записать:
= т^та mcos	(4.86)
ma = mim3dmD.	(4.87)
Подставив (4.86) и (4.87) в (4.82) и (4.83), найдем:
та = т^т^т2^ р;
trices p,
tn — m~^2tn~-^5tn^5 — mj mD ^cos p*
«Г —v—..... 7..
Выражения (4.88) являются основными при расчете динамических моделей быстроходных шариковых подшипников.
Если моделирование производить без учета центробежных сил шариков, то зт5 = 0 и, кроме того, число независимых величин возрастает на единицу. В качестве последней можно выбрать любую из G, б, со. Так, в случае независимой G имеем:
777^ —	777^ TTIcqs p, 772 qj — Т72д 772^* 772^ TTZ^qs p. ^Ч.оУ^)
Соотношения масштабов для двух других случаев можно легко вывести из (4.88) 224
Критерии подобия (4.80), выведенные для шариковых подшипников, можно распространить и на роликовые подшипники, за исключением л4, который в данном случае имеет вид
л
(G6-1) ’	(4.90)
откуда
тс = тат^.	(4.91)
По аналогии с вышеизложенным, учитывая соотношения (4.76) и (4.78), находим:
та = т^4 тй = nfflm}?', та = m^trin14. (4.92)
Без учета центробежных сил роликов и при независимой величине G выражения (4.92) имеют вид:
пц ----- татТ'т^тГ1',
т —	(4.93)
-- fitQ ГГЦ Wlrf tTl i
Пример 4.5. Рассчитать динамическую модель шарикоподшипника 324, имеющего i — 8; d = 4,286 см; D = 19 см; cos В = 1 и несущего шип весом 2000 кгс.
Предполагаемая нагрузка модельного подшипника (?м = 30 кгс. Задавшись по каталогу типом модели, например подшипником 304, имеющим i = 7; d = — 0,953 см; D = 3,6 см; cos р = 1, находим следующие значения масштабных коэффициентов: mi — 0,87;	= 0,222; mp = 0,19; mcosp == 1.
По формулам (4.88) определяем: та ~ 0,0157; т§= 0,11;	= 3,0; откуда
GM == 31 кгс.
Поскольку найденный вес модельного шипа близок к предполагаемому, можно остановиться на выбранном типе подшипника, для которого, как следует из (4.81),	= Шр = те = тд = 0,11.
15 а. С. Кельзон и др.
ГЛАВАМ
РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ УПРУГИХ ПОДШИПНИКОВЫХ УЗЛОВ
Упругое крепление подшипников к корпусу машины может быть осуществлено различными конструктивными путями. В настоящее время широкое применение получили упругие опоры, выполненные в виде отдельной детали (или нескольких деталей), устанавливаемой между подшипником и корпусом машины. Упругие опоры изготовляются из тех марок стали, которые после соответствующей термической обработки обладают пружинными свойствами. В случае, когда подшипник вместе с упругой опорой подвергается действию высокой температуры или устанавливается в химически активной среде, сталь для изготовления упругих опор должна кроме пружинных свойств обладать соответствующими качествами, например жаропрочностью или стойкостью против химических воздействий. Применение упругих опор из резины для роторных машин ответственного назначения не может быть рекомендовано. Упругие свойства резины нелинейны, трудно поддаются расчету и меняют параметры в процессе эксплуатации: резина подвергается старению, разъедается маслом и теряет свои упругие свойства.
Ранее упругие опоры конструировались, как правило,, с применением витых пружин. Расчет витых пружин и технология их изготовления хорошо разработаны. Однако существенным недостатком в этом случае является резкое увеличение габаритов подшипникового узла.
Наиболее перспективными следует признать такие конструкции подшипниковых узлов, где подшипник скольжения или качения и упругая опора являются одной деталью. Примеры таких конструкций будут показаны ниже. Для подшипников качения, у которых внешнее или внутреннее кольцо является упругим, необходимо обеспечить различную твердость дорожки качения и упругого элемента, что требует разработки специальных режимов термической обработки, для подшипников скольжения в этом нет необходимости.
К настоящему времени разработано довольно много вариантов конструктивных схем упругих опор. Рассмотрим некоторые из них.
1. Упругая опора о витыми пружинами
На рис. 5.1 в вертикальном разрезе изображено центрифугальное веретено х. Шпиндель 1 установлен внутри неподвижного корпуса 5. Он вращается в двух подшипниках качения:
1 Авт. свид. № 101474.
226
нижняя опора — сферический самоустанавливающийся шарикоподшипник 4, верхняя опора выполнена в виде обоймы 7 с запрессованным в нее радиально-упорным шарикоподшипником 10, Обойма своей нижней опорной сферической поверхностью лежит
на неподвижной опорной сферической чпайбе 6, соединенной с корпусом. Шпиндель веретена подвешен, таким образом, на опорной сферической шайбе 6, Кривизна сферической поверхности соприкосновения шайбы и обоймы характеризуется величиной радиуса, проведенного из центра 2 сферической поверхности обоймы шарикоподшипника нижней опоры. На нижнем конце шпиндель несет
15*
227
блочок 5, от которого шпиндель вместе с насаженной на него кружкой 11 получает вращение.
Верхняя опора поджата в радиальной плоскости с трех сторон пружинами 8 и 9 и является упругой.
Таким образом, центрифугальное веретено можно рассматривать как жесткий ротор, вращающийся в шарнирной и упругой опорах. Его следует рассчитывать по формулам, приведенным в гл. 3, п. 3.
Зона рабочих скоростей центрифугального веретена лежит выше первой критической скорости и ниже второй. Этими центрифугами оснащены прядильно-центрифугальные машины ПЦ-132-ПД, изготовленные Орловским заводом текстильного машиностроения и установленные на Харьковском канатном заводе. В зоне рабочих скоростей центрифуги вращаются устойчиво с весьма малой амплитудой колебаний.
При малых перемещениях обобщенный коэффициент жесткости упругого поля вычисляется по формуле (для случая п пружин, лежащих в одной радиальной плоскости, присоединенных к точке и направленных под углами аг- к перемещению)
п
сх = Sczcosa0	(5.1)
где Ci — коэффициент жесткости i-й пружины; ось х — направление перемещения. При углах аг- точка находится под действием пружин в равновесном положении.
При последовательном соединении п пружин, действующих в одном направлении, обобщенный коэффициент жесткости находится по формуле
с =	(5.2)
При конструировании упругих опор с витыми пружинами обычно необходимо получить упругое поле, однородное в любом радиальном направлении.
Если материальная точка находится под действием п радиально расположенных пружин, лежащих в одной плоскости и образующих соответственно углы аг с некоторой осью и имеющих коэффициенты жесткости сг-, то при малых колебаниях упругое радиальное поле будет однородным при выполнении двух условий:
У Ci cos 2af = 0; X ctsin = 0*	(5.3)
i=l	i=l
Пользуясь этими условиями, можно показать, что три, четыре, шесть и т. д. радиальных пружин одинаковой жесткости, расположенных симметрично, образуют при малых перемещениях однородное упругое поле.
Доказательство и примеры применения этих формул можно найти в [101, 228
.й*
2. Упругое кольцо с выступами
Широкое применение в промышленности нашла упругая опора в виде упругого кольца, снабженного радиальными равномерно чередующимися наружными и внутренними выступами (рис. 5.2). Внутренние выступы воспринимают давление от обоймы подшипника, а наружные передают это давление на жесткий корпус. При конструировании на внешнее кольцо подшипника надевается стопорная прокладка (рис. 5.3), входящая своими торцовыми выступами в корпус машины. Эта прокладка служит для предотвращения проворота упругого кольца под действием
Рис. 5.3. Стопорная прокладка
момента сил трения как по отношению к корпусу, так и по отношению к внешнему кольцу подшипника (если бы стопорная прокладка отсутствовала).
Вращение упругого кольца недопустимо, так как оно ведет к быстрому износу выступов кольца, высота которых над кольцом измеряется часто десятыми долями миллиметра.
Достоинство этих опор состоит в надежности, а также в том, что при сравнительно небольших габаритах они позволяют получить упругие опоры требуемой жесткости.
Несмотря на широкое распространение подобных опор, методика их расчета на жесткость и прочность до сих пор не является установившейся.
В работах [5, 6] приведены приближенные расчеты колец с большим числом выступов, причем отрезки кольца между наружными выступами рассматриваются как прямые балки. Однако эти формулы не дают достаточно точного соответствия с результатами натурных испытаний. Кроме того, расчеты неприменимы, для колец с малым числом выступов, поэтому приведем два метода расчета таких колец. Первый метод разработан А. П. Зобниным для колец с малым числом выступов — метод точный в рамках допущений, принятых в сопротивлении материалов, учитывает предварительное напряженное состояние узла и возможность отрыва выступов, что иногда наблюдалось на практике. Этот метод может .быть распространен на кольца с большим числом выступов
229
без снижения точности. Второй метод расчета использует приближенные формулы для расчета жесткости и максимальных напряжений в упругих кольцах. Эти формулы проверены на боль
шом числе изготовленных и испытанных в эксплуатации упругих колец. Их применение для колец с большим числом выступов
приводит к удовлетворительным результатам.
Первый метод расчета. Рассмотрим упругое кольцо с шестью
выступами, изображенное на кольца dr и d2. Размеры упругой части кольца b и Л, средний радиус г. Ширину выступа будем характеризовать центральным
рис. 5.4. Посадочные диаметры
Рис. 5.5. Модель упругого кольца
Рис. 5.4. Упругое кольцо с тремя внешними и тремя внутренними выступами
углом а. Вначале будем полагать угол а малым (а 0), т.^е. считать, что усилия под выступами сосредоточены в точке. В конечных же выражениях укорочение упругой линии кольца за счет ширины выступов учтем с помощью соответствующего коэффициента.	- t
Предположим, что кольцо посажено с натягом на втулку, имеющую наружный диаметр d4, и также с натягом — в отверстие в корпусе диаметром d3. Корпус и втулку будем считать абсолютно твердыми.
Деформация упругой линии кольца в месте расположения наружных и внутренних выступов при этом составит соответственно;
61 - (dt — d3)/2] 62 - (d4 - J2)/2;	(5.4)
Предположим теперь, что кольцо нагружено, силой Р, проходящей через внутренний выступ (рис. 5.5). Вследствие симметричности схемы, перемещение Д точки О будет совпадать по направлению с силой Р. При этом произойдет перераспределение деформаций кольца в точках А—F. Деформации составят:
= 6D = 6/? == 6j; 6л == 63 + Д; ]	(5 5)
6с = 6Я = 6 2 — Д cos 60° = 6 а — 0,5Д.
230
Считая, что при действии нагрузки Р вначале не образовался зазор ни под одним из выступов, а также пренебрегая трением о выступы, поставим задачу об определении усилий, действующих на кольцо со стороны каждого из шести выступов, а также просадки центра О под действием силы Р,
Составим уравнения статики.
Из условий равновесия вала (рис. 5.6) следует:
Р4 - Ро; Рб = Р4 + Р-	(5.6)
Из условий равновесия вала совместно с кольцом (рис. 5.7) следует:
Р2-Р3? Л-Р^р.	(5 7)
В уравнениях (5.6) и (5.7) количество лишних неизвестных равно двум. Третьим лишним неизвестным является просадка вала А под действием силы Р. Схема нагружения кольца с учетом (5.6) и (5.7) показана на рис. 5.8. Разрежем кольцо в точке А (рис. 5.9). Симметрия кольца и нагрузки относительно оси 1—/, проходящей через сечение Л, позволяет заключить, что поперечная сила в сечении А равна нулю. Изгибающий момент в сечении х2 и продоль
Рис. 5.6. Расчетная схема для составления уравнений равновесия вала
Рис. 5.7. Расчетная схема для составления уравнений равновесия вала совместно с кольцом
ная сила хх статически неопределимы. Для определения xt и х2 составим выражения расхождения кольца и угла поворота в сечении А в канонической форме:
8ю + 8ц*i + 812*2 = 0;	(5 8)
8.20 4" 821*1 + 822*2 = 0».
где 6Х0 — взаимное расхождение в сечении от действия заданной нагрузки; 6 ц — расхождение от действия единичных продольных сил = 1; 612 — расхождение от действия единичных моментов х2 — 1; 6 20 — суммарный поворот в сечении А от заданной нагрузки; 6 21 — поворот от действия единичных продольных сил = 1; 622 — поворот от действия единичных моментов х2 = 1.
231
При нагружении основной системы (рис. 5.9) только заданными силами уравнения изгибающих моментов на участке кольца О < ф < л следующие:
Л4о (<р) = 0,5 (Р4 -|- Р) г sin <р; 0 < ф с -£•;
О
Л!” (ф) = 0,5 (Р4 Р) г sin ф — A г sin ( ф------------;
\ /
При составлении выражений (5.9) и в дальнейшем принято следующее правило знаков: момент считается положительным, если он уменьшает кривизну кольца, и наоборот.
Рис. 5.8. Результирующая схема нагру- Рис. 5.9. К раскрытию статической жения упругого кольца	неопределимости
При нагружении основной системы только единичными продольными силами (рис. 5.10) и только единичными моментами (рис. 5.11) уравнения изгибающих моментов будут иметь вид:
Л41 (ф) = г (1 — cos щ);	(5.10)
Ма(ф) = 1.
(5.И)
232
Тогда главные перемещения канонических уравнений будут:
2л
с	1 Г л,г2 j
Оц = gj J -^1 Г	gj
О
2Л
622 = [Mlrdfp^^. Ltd J	L/d
о
(5-12)
(5.13)
Рис. 5.10. Упругое кольцо, нагруженное в месте сечения единичными продольными силами
Рнс. 5.11. Упругое кольцо, нагруженное в месте сеч ен ия еди -ничными моментами
Свободные члены канонических уравнений будут иметь значения:
Л/З	2Л/3	Л
610 = _2 [ MlMird(f Н-А-	+	( MJonMird<p =
c«/j *1 jl	*1	J
0 J	Л/З	2Л/3
л/3	2Л/3
820 = -Д- f Mjw <*<P + -ir f MoW a<p + LjJ J	CJ J
О	Л/3
л
+ ~ST f Mj"M2rd<P= -g-[2P + 3(P4-P2)].	(5.15)
2Л/3
Перекрестные перемещения
2л
512'= 621 =	J MrM.	(5.16)
о
233
Подставив значения перемещений согласно формулам (5.12)— (5.16) в канонические уравнения (5.8) и решив их относительно хг и найдем:
Х1 = (2Ра -
. (5.17)
Составим выражение изгибающего момента от всех силовых факторов
М (ф) = 7И0 (<р) + i (ф) + х2М2 (ф),
где Мо (ф) — изгибающий момент от действия только заданной нагрузки.
Перепишем последнее выражение с учетом (5.17) иначе:
М (ф) — sin ф +<z2 cos ф + а3,	(5.18)
где
а} = 4 (Л + P)r,	(2Р2 - Р4)г;
I 3	/	Г") \	(\
аз =	- Л) г-----— = а3; 0 < ф <-у; .
а}1 = i	«21 =-’у-(Л + Р4) г;
а” = а3;
а?" = 4 (Р - Р^ £
TII „ • с*з — а3>
аГ = 4(р2-р)г:
«3V = а3;
= 4 (Р* -Pi- P)r,	(Р2 + Ра) г,
V	4л	5л
а3 = а3;	-у- с <р < -у-;
аГ = - 4 (Р + r' “271 = 1Г - 2?2)г’
а^1 = а3; С <р < 2л.
п
“3
«2
2л
Т"
3 ’
^-(Р2-2Р4)г;
(5.19)
6 ’
4л
аГ
234
Таким образом, задача расчета статически неопределимого кольца (см. рис. 5.8) сведена к задаче расчета статически определимого кольца (см. рис. 5.9). В этой задаче подлежат определению три неизвестные величины: усилия Р2 и ^4 и просадки Д под действием силы Р.
Составим три уравнения для определения этих неизвестных.
Групповое перемещение в точках Ли/). Приложим к основной системе (см. рис. 5.9) в точках А и D единичные силы, как показано на рис. 5.12. Уравнение изгибающего момента на участке кольца 0 < ф с л
(ф) — —0,5г sin ф. (5.20)
Искомое групповое перемещение точек А и D, учитывая симметрию системы относительно прямой AD,
л/з
zM
О
нию групповых перемещений кольца в точках А и D
2л/3	Л
4г [ dtp 4- 4т ( MniMiVd<p.
Л/3	2л/3
Воспользовавшись выражениями (5.18)—(5.20) и произведя интегрирование, получим
«л-,^=-4[(т-4)р+
Групповое перемещение в точках С и F. Приложим к основной системе в точках С и F единичные силы, как показано на рис. 5.13. Изгибающий момент от единичной нагрузки отличен от нуля лишь на участке кольца 2л/3 с ф < 5л/3, где он равен
•	= —rsin(<p--^y	(5.22)
\	о /
Искомое групповое перемещение в точках С и F равно
л
6С + 6F = 4т (	+
£ J J
4Л/3	5л/3
— f MlvM™rd<p + f AfvAl"rd<p. EJ J	cJ J
Л	4n/3
235
> Подставив в Последнее выражение значения Момента от основной нагрузки (5.18) и момента от единичной нагрузки (5.22), подучим, учитывая (5.19), второе уравнение
(5.23)
Групповое перемещение в точках Л, D и F. Приложим в точках В, D и F к основной системе (см. рис. 5.9) единичные силы
Рис. 5.13. К определению групповых перемещений кольца в точках С и F
Рис. 5.14. К определению групповых перемещений кольца в точках В, D и F
(рис. 5.14). Изгибающий момент от единичной нагрузки на участке кольца 0 < ср л/3 равен нулю, а на участке кольца л/3 < ф < л имеет значение
M1V =-rsin(<p--^y	(5.24)
\ о /
Искомое групповое перемещение системы в точках В, D и В, учитывая симметрию кольца и нагрузки относительно вертикальной оси, 2л/3	’ft
бв + 6D + 6F = -Д- ( MnM[vrd<p +-Д- ( A4niM}vrdq>.
LjJ J	CJ J
ft/3	2Л/3
Воспользовавшись соотношениями (5.18), (5.19), (5.24), будем иметь
л Кз 9
6	‘	8 + 4
л /З 9
12 '4
4л I 4
236
Заметим, что, если в выражении (5.25) положить Р = Р2 = О, а затем Р = Р4 = О, то полученные формулы будут совпадать с приведенными в книге [86].
Запишем уравнения (5.21), (5.23), (5.25) в виде одной системы уравнений:
л	J/” 3 . 3 \ D ( л /з 3\р
9	12" ' "2л"/ 2 W + “6	1л"/ 7 4
(5-27)
Из рис. 5.8 имеем
Sc Н- &F ~ — ^2 Н---п~ А; Н- SD “Ь ~ 36х;
“ ^1	^2 А •
Вычтя из второго уравнения системы уравнений (5.26) первое и учтя (5.27), найдем
Д \ 36	6 / EJ ~~ О»1477 ej '	(5.28)
Из (5.28) можно получить значение жесткости упругого кольца^ в направлении силы Р при отсутствии зазоров под всеми выступами
С1 = ±- = 6)7724-^-.	(5.29)
Как и следовало ожидать, вследствие линейности рассматриваемой задачи и малости величин и 62, жесткость кольца не зависит от предварительных натягов.
Из системы уравнений (5.26), учитывая (5.27) и (5.28), можно-получить силы Р2 и выраженные через предварительные натяги 6Х и 62, а также через внешнюю нагрузку Р. Выражая коэффициенты в численном виде, находим:
EJ
Р3- ~ (314,00061 — 280,88262) + 0,3334Р;	(5.30)
/’4 = -7г(314,00062-280,88281)-0,3334Р.	(5.31)
237
Уравнения (5.30) и (5.31) позволяют рассчитать кольцо на отсутствие зазоров при действии на него заданной нагрузки Р. Как показывает опыт использования кольца (см. рис. 5.4) в качестве упругой опоры для горизонтальных роторов, зазоры под выступами оказывают пагубное влияние на динамику ротора, приводя к повышению вибрации ротора и всей машины в целом.
Условием отсутствия зазора под наружным выступом D является (см. рис. 5.8) Р2 > Р. Условием отсутствия зазоров под верхними внутренними выступами Е и С является Р4 > 0. Запишем эти два условия, используя (5.30) и (5.31):
~ (314,0006! - 280,88262) - 0,6666Р > 0;
(314,00062 —280,8826^ — 0,3334Р > 0.
(5.32)
В случае, если известны сила Р и один из натягов, например 6Х, второй натяг должен определяться из условия, следующего из (5.32),
0,8946x4- 1,062-10’3	<62 < 1,1186х- 2,373-10-34£. (5.33)
Если предположить, что натяги одинаковы (6Х = 62 = 6), то неравенства (5.32) можно преобразовать к виду:
Р < 49,682 ~; Р < 99,334 —3-.
Первое из этих неравенств более сильное, поэтому условием отсутствия зазоров под всеми выступами кольца будет
Р <49,682
Перепишем последнее условие иначе:
6 > 0,020128 -§J-.
(5.34)
(5.35)
Из (5.35) можно определить минимальное значение натяга 6 = — 6Х = 6 2 из условия отсутствия зазоров под всеми выступами при заданной нагрузке Р, вектор которой проходит через внутренний выступ.
Определим жесткость упругого кольца в случае образования зазора под верхним внешним выступом D (рис. 5.4). В этом случае система уравнений (5.26) остается справедливой, если положить в ней Р2 = Р. Схема нагружения кольца при этом приобретает вид рис. 5.15. Последних два уравнения системы уравнений (5.27) перестают быть справедливыми, так как теперь уже 6^ =£= бг 238	'
4^
Величина 6D становится- неизвестной. Избавляясь от нее в уравнениях (5.26), получим два уравнения для определения Д и •Р^.
(5.36)
жения кольца после от-рыв а выступов С, D и Е
жения кольца после отрыва выступа D
Из рис. 5.8 имеем:
б/j 6/? — 6д ~ 26х + 62 А;
6с + 6/? = 6г — 62 + 0,5А.
Учитывая (5.37), найдем из (5.36):
Р4 = — 0,9297? + 62,74062-^
(5.37)
(5.38)
Р = -^-(13,1666!- 13,094б2 + 6.5830Д).	(5.39)
Из выражения (5.39) можно получить жесткость кольца
с', = ~ = 6,5830	.	(5.40)
Подсчитаем жесткость кольца после отрыва верхних внутренних выступов Е и С. Схема нагружения кольца в этом случ&епредставлена на рис. 5.16. Положив в первом уравнении системы уравнений (5.36)	= 0 и воспользовавшись первым уравнением (5.37),
а	239
получим соотношение, связывающее между собой силу Р и деформацию кольца для этого случая,
261 + ^ + Д_-(±2-4+4-)-^.	(5.41)
Отсюда найдем
Р = 5,1751 (26х + ба + А)^-.	(5.42)
Жесткость кольца в этом случае
Ъ =	= Ы751^.	(5.43)
Сравнивая жесткости кольца, определяемые формулами (5.29), (5.40) и (5.43), видим, что исследуемое упругое кольцо обладает кусочно-линейной жесткостной характеристикой, однако нелинейность характеристики выражена слабо [жесткость по формуле (5.43) отличается от жесткости по формуле (5.29) лишь на 23,6% 1.
Можно показать аналогично, что при замене направления, силы Р на рис. 5.5 на противоположное выражения для усилий под выступами, условия отрыва выступов, а также жесткости кольца не изменятся (при этом вначале будет отрываться внутренний выступ Л, а затем наружные выступы В и F).
У реальных колец ширина выступов, характеризуемая углом а (рис. 5.4), соизмерима с длиной упругого элемента. Учтем этот факт, как рекомендуется в работе [52], с помощью коэффициента
т| = (120° — а°)/120°.	(5.44)
С учетом коэффициента ц перепишем формулы (5.29), (5.40) и (5.43):
<4 = 6,7724 Дг; <4 = 6,5830,-^4-; <4 = 5,1751™.	(5.45)
Построение графических зависимостей сил Р9 Р1—Рв от просадки кольца А для случая одинаковых натягов 6 = 6! = б2. При отсутствии зазоров на основании (5.29) имеем
— р з	_
Р =	= 6,7724Д.
oEJ
Усилия под выступами находим по формулам (5.30), (5.31), (5,6), (5,7):
Pt = 33,118 — 4,508А; Р2 = ~Р3 = 33,118 4- 2,254А;
РА = Рв = 33,118 — 2.254А; Ръ = 33,118 4- 4.508А. Здесь А = = Д/6.
240
После отрыва в точке D (при А = 7,355) по формулам (5.38), (5.39) находим:
Рис. 5.17. Зависимости безразмерных усилий под выступами и внешней нагрузки от просадки вала
Р4 - Р6 = 62,673— 6,120А; Р5 = 64,074 4- 0,463А.
После отрыва в точках Е и С (при А = 9,873) по формуле (5.41) получаем Рг = Р4 — Р6; Р% —	~ Р i — Р\ Р 5,175 (3 4- А).
По полученным выражениям на рис. 5.17 построены зависимости усилий под выступами от просадки кольца А.
Расчет прочности упругого кольца. Основным режимом работы упругого кольца должен считаться режим, при котором отсутствуют зазоры под всеми выступами. Произведем расчет прочности кольца для этого случая.
Предположим, что первоначальные натяги одинаковы 6 =	— S2.
Учитывая формулы (5.19), (5.30) и (5.31), сгруппируем слагаемые, зависящие от предварительного напряжения кольца и от внешней нагрузки. Тогда
выражение изгибающего момента (5.18) запишем в виде
(5.46)
где
Мх (ф) = (16,56 sin ф — 9,57 cos ф)
Л)х(ф)- 19,14-^- cos ф
г2
ftp?
Mi (ф) = — (16,56 sin ф Ц- 9,57 cos ф)
л
3~ “
2л
3
* .
3 ’
2л
(5.47)
М2 (ф) = (0,333 sin ф — 0,289 cos ф) Рг
Л42 (ф) = 0,167 sin фРг
/И2 (ф) = (0,333 sin ф 4- 0,289 cos ф) Рг
л
3 ‘
2л
л
2л
~3~
 (5.48)
16 д. с. Кельзон и др.
241
На рис. 5.18 построены эпюры изгибающих моментов Му (ф) и М2 (ф). Из рисунка следует, что абсолютная величина изгибающего момента максимальна в сечении А кольца при ф — 0. Здесь момент равен
= — 9,57 ——- — 0,289Рл
(5.49)
Определим продольную силу N. Из рис. 5.9 находим:
N (ф) = 0,5 (Р4 Р)sin Ф — Xi cos ф, 0 < ф <
N (ф) = 0,5 (Р4 + Р) sin ф — Xi cos ф — Р2 sin (<Р------------) >
\	о /
N (ф) = 0,5 (Р4 4-' Р) sin ф — %! cos ф — Р2 sin
Рис. 5.18. Эпюры изгибающих моментов и продольных сил: а — от предварительного напряженного состояния; б — от действия внешней нагрузки
Подставляя в полученные выражения значение хг по формуле (5.17), а также значения сил Р2 и Р4 по (5.30) и (5.31), положив в них 6 =	= 62, выделяя слагаемые, зависящие от пред-
варительного напряжения кольца и от внешней нагрузки, найдем
У (Ф) - JVj (ф) + ЛГг (ф),
242
где
М1(ф) == (16,56 sin ф — 9,57 cos ф) - Л\(ф)= 19,14-^COSq) (ф) == — (16,56 sin <р 4- 9,57 cos ф)	-ft 0 < ф < ~з~; я ;	2я — <ф<—; -^2- < ф < О	(5.50)
N2 (ф) ~ (0,333 sin ф — 0,289 cos ф) Р	л	Я о < ф О	
N2 (ф) = 0,167Р sin ф,	я	2я — <ф<—•,	(5.51)
Na (ф) = (0,333 sin ф -f- 0,289 cos ф) Р	С ф С Я. и	
Сравнивая выражения (5.50) и (5.51) с выражениями (5.47) и (5.48), видим, что для любого сечения кольца справедливо равенство N — М/г и, таким образом, эпюра N получается из эпюры М делением на радиус кольца. Абсолютная величина продольной силы максимальна в сечении А кольца, где она является сжимающей и имеет значение
Wmax = - 9,57	- 0.289А	(5.52)
11шЛ	f	7	\	л
Максимальное нормальное напряжение сжатия в точке А на внутренней поверхности кольца
о _ ^тах । Мпах
°тах	Г р '
возникает 
(5.53)
Пример числового расчета и сравнение с результатами экспериментального исследования. Проведем расчет упругого кольца, экспериментальное исследование которого описано в работе [471.
Данные для расчета: г ~ 12 см; h — 1,5 см; b = 4 см; а = - 20°.
По формуле (5.45) находим:
жесткость упругого кольца при отсутствии зазоров
сг = 1,53-104 кгс/см;
жесткость упругого кольца после образования зазора под верхним внешним выступом
Ci — 1,49-104 кгс/см;
жесткость упругого кольца после образования зазоров под верхними внутренними выступами
Ci = 1,18-104 кгс/см.
16*
243
По полученным данным построена кривая на рис. 5.19. На этом же рисунке штриховой линией показана характеристика, полученная экспериментально. Отклонение результатов расчета от результатов эксперимента составляет в зоне больших нагрузок 33%. Эта разница может быть объяснена отсутствием учета
в проделанном выводе сил трения кольца о выступы и моментов
от распределенных по поверхностям выступов сил реакции, препятствующих повороту сечений кольца в местах расположения выступов. Указанные факторы увеличивают жесткость кольца. Можно отметить, что примененная в работе методика расчета до-
Рис. 5.19. Зависимость жесткости упругого кольца от внешней нагрузки
пускает учет этих факторов.
В упомянутой работе на основании данных тензоме-трирования рекомендуется формула для подсчета максимальных напряжений в кольце . от действия заданной внешней нагрузки Р. При малой ширине выступов (т] = 1) она имеет вид
Если не учитывать напряжений от действия продольной силы /V, то на основании (5.53) и (5.49) имеем максимальное напряжение от действия внешней силы
Огаах - 0,289	.	(5.54)
FT
Формула (5.54) дает завышенное значение максимальных напряжений. Причина этого расхождения уже указывалась.
Подсчитаем максимальные напряжения в рассматриваемом кольце при действии на него силы Р — 500 кгс. Предположим, что ' натяг составляет 6 = 150 мкм (это соответствует прессовой посадке кольца в корпус и на втулку).
Согласно формуле (5.34) отрыв верхнего выступа произойдет при нагрузке
Р = 49,68	= 975 кгс,
превышающей заданную.
, Напряжение от действия изгибающего момента, вызванного предварительным натягом,
Птах = 9,57	= 1500 кгс/см2.
Напряжение от действия изгибающего момента, вызванного внешней нагрузкой,
Птах «= 0,289/V/U/ — 1150 КГ6/СМ2.
244
Напряжение от действия продольной силы, вызванной предварительным натягом,
o^’x = 9,576£J/Fr3==31 кгс/см2.
Напряжение от действия продольной силы, вызванной внешней нагрузкой,
Отах = 0,289P/F = 25 кгс/см2.
Поскольку все подсчитанные напряжения являются сжимающими, они складываются арифметически
Ота» = 27 000 кгс/см2.
ШаЛ
Рис. 5.20. К расчету упругого кольца вторым методом
Второй метод расчета. При расчете колец с большим числом выступов может быть применен следующий приближенный метод. Часть кольца, состоящую из одного выступа и упругого соединения с ним двух половинок соседних выступов, назовем упругим элементом кольца (рис. 5.20, а). Обозначим через с0 жесткость всей кольцевой опоры, а через сэ жесткость его отдельного упругого элемента.
Применим к расчету принцип возможных перемещений. Обозначая возможное вертикальное перемещение центра вала через А, получим для силы значение £0Д. Работа упругой силы на возможном перемещении будет 26Л = с0А2.
При перемещении подшипника по вертикали на величину А каждый соседний выступ упругого элемента получит возможное перемещение по радиусу, равное (рис. 5.20, б) A cos a£t где i =» = 1, 2, 3 ... в зависимости от числа выступов в кольце. Допустим, что нагрузка, приходящаяся на кольцо, воспринимается его
245
йижней половиной и упругие реакций возникают только в элементах этой половины кольца (рис. 5.20, б).
Упругая реакция элемента равна с3 A cos а£, а работа реакции на возможном перемещении 26Л£- = сэ A2 cos2az. .
Приравнивая работу, совершаемую упругой силой всего кольца, сумме работ реакций всех его упругих элементов, получим
п
с0Д2 = У сэЛ2 cos2 а,-1=1
откуда
п
с0№ = сэД2 У cos2ar.
Сдедовательно,
п
— = У cos2az.
сэ i=l
Обозначим буквой / прогиб отдельного элемента, вызванный действием единичной силы Р = 1 (рис. 5.20, в) (это податливость упругого элемента — величина, обратная его жесткости).
Рассмотрим далее упругий элемент как балку переменного сечения, заделанную на концах, под действием силы Р = 1 кгс, приложенной в середине балки (рис. 5.20, в). Балку считаем прямолинейной. При большом числе выступов это приближение вполне допустимо. Учет кривизны тем меньше влияет на результат, чем больше число выступов.
Прогиб упругого элемента под действием единичной силы, приложенной в середине, определяется формулой
г__ 1 /а3	. I3— а3 \	1 / a2 r Z2— а2 \2 I / а I — а\
' EJ2 ) !	Е1Г Г
где Е — модуль Юнга; J\ = bhi/12 и Л = бЛг/12—моменты инерции поперечных сечений кольца на выступе и между выступами; b — ширина кольца; а — половина длины выступа; h2 — толщина кольца между выступами; hr — толщина кольца на выступе; I — половина расстояния между смежными краями соседних выступов, направленных в одну сторону; I = lt — а. если выступы наружные и внутренние одинаковой длины, 1Г ~ = ftDJz — расстояние между серединами соседних выступов, на-направленных в противоположные стороны; z — общее число выступов на кольце.
: Соотношения между жесткостью одного упругого элемента и жесткостью всей упругой опоры для колец с различным числом упругих элементов приведены ниже.
Число выступов............... 6	8	12	16	24
Число упругих элементов	....	3	4	6	8	12
£ cos2 az..............1/2	1	3/2	2	3
246
Этот метод расчета позволяет определить жесткость упругого кольца с точностью до 30%. Этого вполне достаточно для того, чтобы расположить вторую критическую скорость в заданном диапазоне скоростей. Следует иметь в виду, что критические скорости, грубо говоря, пропорциональны корню квадратному из коэффициента жесткости.
Таким образом, ошибка в определении коэффициента жесткости уменьшится при определении критической скорости.
Усовершенствованное упругое кольцо. При эксплуатации подшипниковых узлов с упругими кольцами стандартной конструкции (см. рис. 5.2) осевую силу может воспринимать подшипник или упругое кольцо. Если ширина кольца меньше ширины обоймы подшипника качения, то осевую силу воспринимает подшипник. Если же ширина кольца больше ширины обоймы подшипника, то осевую силу воспринимает упругое кольцо. Заметим, что рекомендуется в этих случаях назначать ширину кольца меньше ширины обоймы подшипника, чтобы не искажать упругие характеристики кольца.
Однако в обоих случаях при действии осевой силы между соприкасающимися поверхностями подшипникового узла и корпуса возникает сухое трение, которое оказывает вредное влияние на динамику ротора в упругих опорах. Даже в наиболее благоприятном случае, когда осевое усилие передается через невращаю-щуюся обойму подшипника качения, возникающие при этом силы сухого трения могут быть причиной колебаний большой амплитуды.
Это объясняется тем, что во всех этих случаях осевое давление передается от вибрирующей детали к неподвижному корпусу. Для устранения этого недостатка предложено видоизменить конструкцию упругого кольца Ч
Новое кольцо (рис. 5.21, а) отличается от ранее применявшихся тем, что оно снабжено равномерно чередующимися торцовыми выступами 10 для воспринятия осевых усилий. Покажем на примере электрошпинделя шлифовального станка (рис. 5.21, б), как конструируется ротор с таким упругим кольцом. На рис. 5.21, а изображено описываемое упругое кольцо.
Два подшипника^качения 1 и 6 ротора 4 установлены в корпусе 2 электрошпинделя 8 посредством упругих колец 7 и 11 одинаковой конструкции.
Кольцо, изображенное на рис. 5.21, а, выполнено с тремя внутренними и тремя наружными равномерно чередующимися выступами 13. Для исключения вредного влияния сухого трения, возникающего при взаимном смещении деталей, и воспринятия технологических и предварительных создаваемых (рис. 5.21, б) комплектом пружин 5 нагрузок кольца снабжены (рис. 5.21, а) торцовыми выступами 12. Кольцо 11 упирается торцовыми высту-
1 Авт. свид. № 358556.
247
пами, совмещенными с наружными радиальными выступами, в крышку 3, а торцовыми выступами, совмещенными с внутренними радиальными, — в бурт стопорной прокладки 10. Вторым буртом последняя упирается в наружное кольцо подшипника 1. Чтобы избежать вращения упругого кольца под действием мо-
Рис. 5.21. Схема электрошпинделя с упругими опорами: а — упругое кольцо с торцовыми выступами для воспринятия осевых усилий; б — пример установки ротора , с подшипниками качения в упругие кольца с торцовыми выступами
мента сил трения в подшипнике /, прокладку изготовляют с торцовым выступом, входящим в радиальный паз крышки 9. Вращение упругого кольца приводит к быстрому истиранию его выступов.
Конструкция левого опорного узла обеспечивает нормальную работу упругих элементов кольца 11 и одновременно позволяет воспринимать осевое усилие, направленное вправо. Правый опор-248

ный узел, выполненный аналогично, воспринимает осевую силу, направленную влево.
Усилие комплекта пружин 5 выбрано таким, что его величина всегда больше максимального технологического осевого усилия.
При вращении ротора упругие кольца 7 к 11 деформируются через подшипники 1 и 6. При этом создается однородное упругое восстанавливающее поле, в котором ротор 4 получает возможность самоцентрироваться в зоне рабочих скоростей, расположенных выше второй критической скорости.
Таким образом, установка подшипников ротора в упругих кольцах снижает резко жесткость системы и без какого-либо искусственного увеличения демпфирования позволяет обеспечить легкий переход ротора через зону первой и второй критических скоростей (с малыми амплитудами и виброперегрузками) и получить эффект самоцентрирования ротора в зоне рабочих скоростей, несмотря на наличие остаточной статической и динамической неуравновешенностей. Так, при сравнительных испытаниях высокооборотных электрошпинделей виброперегрузки в опорах упруго-опертых роторов были в три-четыре раза меньше по сравнению с теми же роторами, установленными в жесткие опоры. В результате существенно повышаются класс чистоты, точность формы поверхности обрабатываемого изделия и срок службы подшипников ротора.
Подбор параметров упругого кольца. Из динамического расчета роторной машины (см. гл. 3) определяется податливость упругого кольца. Затем выбираются наружный и внутренний диаметры кольца. Внутренний диаметр кольца определяется диаметром наружной обоймы подшипника и толщиной стопорной прокладки, устанавливаемой между подшипником и упругим кольцом. Высота и количество выступов подбираются исходя из допустимого уровня напряжений в кольце при заданных податливости и ходе упругого кольца. При этом следует руководствоваться следующими нормами. При максимальном ходе кольца напряжение не должно превышать 50 кгс/мм2. Податливость кольца не должна превышать 800-10"6 мм/кгс.
В качестве материала для упругих колец применяют: сталь марки 60С2А-Ш (ГОСТ 14959—69); сталь марки 40ХНМА (ЧМТУ 1—950—70).
Кольца из стали 60С2А-Ш подвергают термообработке до твердости HRC 42—48. Кольца из стали 40ХНМА подвергают термообработке до твердости HRC 30—>36.
3. Расчет и конструкция упругой оперы
Упругая опора (рис. 5.22) состоит из двух жестких колец 1 и 2, связанных между собой криволинейными упругими элементами 3, образованными сквозными пазами 6, выполненными по двум концентрическим окружностям. Упругие элементы присоединяются к жестким частям перемычками 4 и 5.
249
Упругая опора может быть сделана более податливой не только путем уменьшения толщины упругого элемента /, но и путем увеличения длины каждого упругого элемента (рис. 5.23). В этом случае длина каждого упругого элемента может быть увеличена за счет перехода на концентрическую окружность другого диаметра с помощью перемычек.
Рис. 5.22. Упругая опора (авт. свид. № 406048)
Рис. 5.23. Увеличение податливости упругой опоры путем удлинения упругого элемента
В тех случаях, когда рабочая скорость ротора невелика и податливость упругих опор должна быть сравнительно большой, рассматриваемая опора может удовлетворить эксплуатационным и прочностным требованиям. Она может быть также применена в случае высокооборотных, но слабо нагруженных роторов.
Рис. 5.24. Расчетная схема упругой опоры
Статический расчет опоры. Методика расчета. Методика расчета этой опоры подробно освещена в работе [48]. Опора трактуется состоящей из двух бесконечно жестких частей — внутренней и наружной, связанных между собой тремя криволинейными упругими элементами (рис. 5.24, а). Такая система является шесть раз статически неопределимой. Ее расчет целесообразно провести для двух вариантов действия силы Р, а именно вертикальной Рг (рис. 5.24, б) и горизонтальной Ра (рис. 5.24, в), что позволит уста-250
%
новить напряженно-деформированное состояние опоры и при любом другом центральном расположении внешней нагрузки. Основная система определения лишних неизвестных методом сил показана на рис. 5.25. Угол фх, определяющий дуговую длину упругих элементов, является при решении задачи варьируемым параметром.
Рис. 5.25. Основная система действия сил и моментов в упругой опоре
Канонические уравнения для определения лишних неизвестных xh одинаковые при обоих случаях загружения опоры, будут следующими:
+ -^6^66 + Авру — О*
251
Коэффициенты влияния уравнений (5.55) выражаются соответствующими интегралами Мора, которые при пренебрежении взаимным влиянием нормальных и поперечных сил на деформацию имеют следующий вид:
R _______	1 V Г "лл ~лл л...
где Mi>n и Mkill — изгибающие моменты в произвольном сечении соответствующего участка от единичных лишних неизвестных xt = 1 и xk = 1; МР п — изгибающий момент в том же сечении от силы Рг (j — 1) или Р2 (/ = 2); EJ — жесткость упругих элементов на изгиб.
Изгибающие моменты в произвольном сечении, определяемом переменным углом <р, имеют следующие значения.
Д л я у частка 1
= 1;
Л4а, i = R [sin (80° — <рх) 4- cos (<рх — 50° — ф) 1;
Л48,1 = R [sin (<р — фх 4- 50°) — cos (80° — ф)[;
_	M4,i = -1;
M51i = R [cos (фх — 20°) — sin (фх — 50° — ф) 1;
Л4в, i = sin (фх — 20°) — cos (фх — 50° — ф) ]; = P±R sin (фх — 50° — ф);
.Мрд = —P2R sin (140° — фх 4- ф).
Дл я у частк а 2
Мх.а=1;
М2, 2 = R [sin (80° — фх 4- ф) — sin (80° — Фх) 1;
М3,2 = R [cos (80° — фх) — cos (80° — фх 4- ф)1;
ЛГ41 2 = М5,2 = Мв, 2 — Mpt2 = Мр,2 = 0.
Для у частка3
Л41, з == з = Мз, з = Mpl3 — Mpts — 0; м4,з = 1;
ЛГв, з = R [sin (110° — фх 4~ ф) — sin (110° — фх) I;
Мв,3 — R [з!п'(фх — 20°) — sin (фх — 20° — ф)1,
где R — средний радиус упругих элементов. 252
Совокупность выражений (5.55)—(5.59) позволяет после проведения соответствующих вычислений определить искомые лишние неизвестные. Значения этих неизвестных для углов <рг = 95, 110, 200 и 220°, найденные при помощи ЭВМ, приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1. Определение лишних неизвестных
Относительные значения	Угол <рх							
	95°		100°		200°		220°	
лишних иеиэвест-				Направление силы				
иых	Pi	Рг	Pi	Рг	Pi	Р2	Pi	Рз
xJtPjR) Х$!Р 1 ^3 /р 1 X4/(PfR) Xt/Pj Xt/Pj	одоз	— 0,092	0,14$	— 1,104	0,416	0,016	0,441	0,087
	— 0/274	0,205	— 0,224	0,145	0,130	0,177	0,154	0,244
	0,461	— 0,275	0,521	— 0,224	' 0,480	0,131	0,422	0,154
	-0,131	— 0,043	-0,162	— 0,073	-0,195	— 0,368	— 0,146	— 0,425
	0,507	0,248	0,433	0,275	— 0,141	0,070	0,154	0
	— 0,248	— 0,160	— 0,275	— 0,233	— 0,696	— 0,525	0	— 0,511
Углы epi - 95 и 110° соответствуют возможным вариантам конструкции опоры, изображенной на рис. 5.22, углы = 200 и 220° конструкции, показанной на рис. 5.23.
Определение силовых факторов в упругих элементах опоры. Суммарные изгибающие моменты и продольные силы в сечениях упругих элементов опоры определятся после нахождения лишних неизвестных на основе принципа суперпозиции. Расчетные формулы для суммарных изгибающих моментов при загружении опоры силой Р- (Рг или Р2) будут иметь следующий вид:
дляучастка/	?
Alx, 1 = xiAfi, 1 + Х2М2, 1 4“ хзА4з, 1 +	1	Х5М5, 1 +
4- %бЖ 1 4~	(5.60)
дляучасткаЗ
Als, 2 —	2 4“ XqM?, 2 4~ ^зА4з, 2»	(5.61)
дляучасткаЗ
A4s, з = X4/W4, з 4~ з 4- з> '	(5.62)
где — лишние неизвестные, соответствующие силе Р;.
Расчетные формулы для суммарных продольных сил получим проектированием сил Рг и Р2 и соответствующих лишних неизвестных xt на нормаль к сечению, определяемому переменным углом ф (рис. 5.25).
253
Тогда для участка 1 при загружении опоры силой Рг имеем:
Nx' 1 (Pi — х3 — х5) sin (ср — ф/ + 50°) +
+ (хв — ха) cos (ф — Ф1 + 50°); '	(5.63)
Nz, 1 = (Р2 + хб — ха) cos (ф — Ф1 + 50°) —
— (х3 + хб) sin (ф — Ф1 + 50°).	(5.64)
Для участков 2 и 3 при обоих вариантах загружения опоры расчетные формулы для вычисления суммарных продольных сил примут следующий вид:
N%t 2 = cos (80° — Ф1 + ф) — ха sin (80° — Ф1 + ф); (5.65)
Ns, з — sin (Ф1 — Ф — 20°) — х5 cos (фх — ф — 20°). (5.66)
В качестве примера на рис. 5.26 приведены относительные значения Л12 и Ns, построенные по данным вычислений, проведенных с помощью ЭВМ, для фх =
Таблица 5.2. Определение безразмерных коэффициентов				= 95° и вертикального направления силы Р.
	pi	.	2 max kl= P:R J	b _ Ns *2	p /	Из этих эпюр видно, что М^^ОДЗГР^, (5.67)
95	Рг Р2	0,131 0,137	0,371 _ 0,428	причем продольная сила, в том сечении, где изгибающий момент достигает макси-
НО	Р1 Р2	0,172 0,177	0,311 0,360	мума, Nx = 0,371?!. (5.68)
200	Р1 Р2	0,416 0,412	0,043 0,114	хВ общем случае расчетные формулы для вычисления Л12 и	можно представить в следующем обобщенном
220	Р1 Р2	0,441 0,425	0,296 0,175	виде: MSmax =	(5.69) = kzP,;	(5.70)
где fej и й2 — безразмерные коэффициенты, зависящие от направления нагрузки, действующей на опору, и от величины угла фъ определяющего угловую длину упругого элемента.
Численно значения этих коэффициентов, установленные по данным проведенных вычислений для углов фх = 95, ПО, 200 и 220°, приведены в табл. 5.2.
Из данных этой таблицы видно, что оба варианта загружения кольца внешней нагрузкой (направления Рг и Ра) в смысле возникновения наибольших нормальных напряжений мало _ 254
0350
s


255
отличаются друг от друга, так как максимальные значения в обоих случаях довольно близки друг другу.
Определение коэффициента жесткости опоры. Перемещения центра опоры в вертикальном и горизонтальном направлениях, необходимые для вычисления соответствующих коэффициентов жесткости, могут быть найдены по методу Мора после определения лишних неизвестных. Загрузив последовательно основную си-. стему единичными силами Р^ 1 (/ = 1) и Р2 = 1 (/ = 2), придем
Таблица 5.3. Значения коэффициентов, определяющих жесткость опоры
	Pi	Л „ EJ PjPj 8 PfR3	fe4 = —L_ EJ
95	Pi Pi	0,01 0,01	100 100
по	Pi Pi	0,0199 0,0199	50,2 - 50,2
200	Pi Pi	• 0,249 0,249	4,02 4,02
220	Pi Pi	0,347 0,347	2,89 2,89
к следующему выражению для искомых перемещений:
&р-р-	, cis,
EJ J	S. 1	*
(5.71) где.2И„ , — изгибающий мо-мент на первом участке при действии на основную систему единичной силы Р; = = 1 [см. выражение (5.57)1;
1 — суммарный изгибающий момент на этом же участке, вычисляемый по формуле (5.60).
Исходя из структуры выражения (5.71) его можно представить в следующем обобщенном виде:
. piP3
^Pjpj “ ~~ej ’ (5.72)
где fe3 — некоторый безразмерный коэффициент, зависящий, как и коэффициенты kx и от направления силы Р и угла (рг.
Расчетная формула для коэффициента жесткости опоры может быть записана следующим образом:
=	(5.73)
где &4 = 1/&3.
Численные значения этих коэффициентов, установленные путем проведения соответствующих вычислений, приведены в табл. 5.3.
Из данных этой таблицы следует, что коэффициенты k3 и для вертикального и горизонтального направлений силы Р при одном и том же угле (рг полностью совпадают. Это говорит об изотропности упругого поля рассматриваемой опоры.
Влияние параметров опоры и R на ее грузоподъемность. Для оценки влияния параметра (рг на грузоподъемность опоры 256
Таблица 5.4. Влияние угла фх на грузоподъемность опоры
	k 4 EJ	. __	шах PH	Относительные величины	
			tlHx	az/ai
95	100	0,137	1,0	1,0
ПО	50,2	0,177	1,26	0,812
200	4,02	0,416	2,91	0,359
220	2,89	0,441	3,26	0,292
в табл. 5.4 приведены Данные о соотношении между толщинами t упругих элементов^ опор, обеспечивающем одинаковую жесткость опор при различных значениях угла фх и неизменной величине ширины опоры и расчетного радиуса R.
Здесь же указано соотношение между наибольшими напряжениями в упругих элементах опор для рассматриваемого случая при одинаковой нагрузке на опору/
За единицу сопоставления приняты соответствующие величины для опоры с фг = 95°.
Все вычисления проведены по расчетным формулам (5.69), (5.72) и (5.73).
Анализируя данные табл. 5.4, видим, что увеличение угла фх, т. е. увеличение длины упругих элементов при сохранении неизменных жесткости и нагрузки приводит к снижению в них напряжений. Таким образом, опоры с большим углом фг при одной и той же жесткости
имеют большую грузоподъемность, чем опора с меньшей величиной этого угла. Грузоподъемность опоры при неизменном угле фг может быть повышена как за счет увеличения ширины упругого элемента &, так и за счет увеличения расчетного радиуса упругих элементов У?.
Руководствуясь выражениями (5.69) и (5.73), нетрудно показать, что при увеличении ширины опоры в т раз для обеспечения неизменной жесткости необходимо уменьшить толщину упругого элемента в т1/3 раза, при этом момент сопротивления увеличится тоже в т1/3 раза, что и приведет к снижению напряжений при неизменной нагрузке в т1/3 раза.
Из выражений (5.69), (5.73) следует, что при увеличении радиуса 7? в п раз для сохранения неизменной жесткости необходимо увеличить и толщину упругого элемента в п раз, но такое увеличение толщины при неизменной нагрузке приведет к снижению максимальных напряжений тоже в п раз. Поэтому при одинаковой жесткости опоры с большей шириной & и с большим радиусом упругих элементов R обладают большей грузоподъемностью, чем опоры с меньшими & и У?.
Подбор поперечного сечения упругих элементов. Размеры поперечного сечения упругих элементов должны обеспечить заданную жесткость с упругой опоры и удовлетворять условию прочности. Кроме того, конструкция опоры должна быть по возможности компактной.
17 Д. С. Кельзон и др.
257
При выводе расчетных зависимостей для подбора размеров поперечного сечения упругих элементов будем пользоваться следующими обозначениями (см. рис. 5.22 и 5.23):
D — наружный диаметр внутренней жесткой части опоры; t — толщина упругого элемента; b — его ширина/ tn — радиальный размер паза; Р — нагрузка на опору.
Задачу подбора можно решать двумя путями, а именно:
1. Задаться размерами D, b и tn из конструктивных соображений, а толщину t определить из условия обеспечения необходимой жесткости опоры с, после чего провести проверку прочности. J
Если условие прочности не будет удовлетворено, то необходимо задаться такими новыми параметрами опоры (Ь, R и <р7), которые 5 обеспечили бы необходимые изменения максимальных напряжений в упругих элементах опоры.
2. Задаться только размерами D и tn, а толщину t и ширину b упругого элемента определить из совместного решения условий прочности и жесткости.
При первом варианте решения задачи для определения t имеем следующую зависимость, вытекающую из выражения (5.73),
Отсюда находим, что
t = R/A,	(5.75)
где з
Л = ]/^Ь£/12с.	(5.76)
/
Далее учтем, что для опоры, изображенной на рис. 5.22,
R - 0,57) + tn + 0,5/.	(5.77)
Решая затем совместно уравнения (5.75) и (5.77), получим расчетную формулу для определения величины
/ = (7) + 2/л)/(2Л-1).	(5.78)
В случае варианта опоры, изображенной на рис. 5.23, за расчетный радиус R можно принимать радиус, равный полусумме осевых радиусов наружной и внутренней частей упругого элемента. Величина этого радиуса определится следующим выражением:
R - 0,57) + 1,5/л + /.	(5.79)
Решив совместно выражения (5.75) и (5.79), получим, что
• . (О + 3/„)	(5.80)
(2А-1) •	.	• 
258
Расчет опоры по первому варианту необходимо закончить проверкой ее прочности. Условие прочности в соответствии с выражениями (5.71) и (5.72) будет иметь вид
= т +	(5.81)
ч
где
W = Ы2/6 и F = bt.
В том случае, когда условие прочности окажется неудовлетворенным, необходимо провести повторный расчет, задавшись новыми параметрами опоры (b, R и фг) таким образом, чтобы обеспечить соответствующее снижение максимальных напряжений.
При втором пути решения задачи следует воспользоваться выражениями (5.78) и (5.81) или (5.80) и решить их совместно.
При варианте опоры, изображенной на рис. 5.22, имеем:
У k^bE
V 12с
^гпах
Из второго уравнения системы (5.82) получим, что
__ 1 / Q^PR k2P \ [о] V *а . t /
(5.82)
(5.83)
Подставив это значение b в первое уравнение системы (5.83), найдем то значение t, при котором будет одновременно удовлетворено условие прочности и обеспечена заданная жесткость опоры. Тогда получим, что
t = —™р +	,	(5.84)
--7 k.E ( bkjPR k2P\
V 12с [а] \ /а + t )
где
R = 0,5Г> + tn + 0,5/.
После определения t определяют по выражению (5.83) необходимую ширину Ь.
Для варианта опоры, изображенной на рис. 5.23, выражение (5.83) сохранится неизменным, а выражение (5.84) примет вид .
_____________D + 3tn_________ 1/ k4E	/ SkjPR ' k2P \	.
V 12c [a] \	t )
(5.85)
причем
- 0,5L> + l,5/„ + /.
17*
259
Если зависимости (5.83)—(5.85) изобразить графически в функции от [о] для заданных величин с и Р при неизменном значении параметра фх, то полученные таким образом графики могут быть использованы для установления конструктивно приемлемых размеров t и b упругих элементов опоры.
Для примера на рис. 5.27 приведены такие графики для опор с параметрами фг = 125, 155 и 185° при с = 7000 кгс/см; Р = = 600 кгс; D = 210 мм и tn = 5 мм.
При построении этих графиков коэффициенты k19 k% и для рассматриваемых углов фх определены интерполированием исходя.
из данных табл. 5.2 и 5.3. В качестве примера использования таких графиков рассмотрим задачу об определении размеров t и b упругого элемента опоры, в которой при жесткости с = = 7000 кгс/см и нагрузке в 600 кгс не должно возникать максимальных напряжений выше 3000 кгс/сма.
Ширина опоры при этом не должна превышать 45 мм. Как видно из рис. 5.27, в опоре с параметром ф! = 125° напряжения ниже 3000 кгс/см2 возникнут лишь в том случае, если ширина упругого элемента b будет значительно большей, чем 45 мм. Поэтому такая опора не может быть использована в рассматриваемом случае. Для опоры с параметром фх = 155° размеры t и b должны быть приняты соответственно равными 11 и 45 мм (точки_А и .В на рис. 5.27, б).
Для опоры с параметром фх = 185° возможно принять ряд значений t и 6, соответствующих различным вертикалям, расположенным между вертикалями АгВг и АВ (рис. 5.27, в). При этом наибольшей грузоподъемностью будет обладать опора с t — 15 мм и b = 45 мм, т. е. опора> характеризуемая точками Ах и Вх.
4. Расчет и конструкция торцового упругого кольца
Торцовое упругое кольцо (рис. 5.28, а, б) состоит из тонкого упругого кольца с выступами, расположенными в шахматном порядке, но ориентировка выступов по отношению к плоскости кольца здесь иная, чем у упругого кольца, изображенного на рис. 5.2. Это вызвано тем обстоятельством, что торцовое упругое кольцо предназначено для воспринятая нагрузок, перпенди-260
кулярных к плоскости кольца (рис. 5.28, б), тогда как упругие опоры, рассмотренные ранее, воспринимают нагрузки, расположенные в плоскости, содержащей оси упругих элементов этих опор.
Такого рода упругая опора может быть рекомендована для вертикальных роторных машин, в особенности в тех случаях,
Рис. 5.28. Торцовое упругое кольцо
когда по эксплуатационным причинам нельзя поставить вторую
упругую опору в нижней части ротора. Такие конструкции встре
чаются, например, в химическом машиностроении.
Статический расчет торцового упругого кольца. Методика расчета. Методика расчета этой опоры предложена И. А. Биргером [16]. Опора трактуется
как тонкое кольцо, загруженное системой сосредо-, точенных сил, перпендикулярных к его плоскости. Кольцо имеет п опор, размещенных равномерно по окружности его оси, и загружается силами Р/п (Р — общая нагрузка, дей-ствующая’на кольцо), приложенными на равном расстоянии от каждой опоры (рис. 5.29, а). Размеры поперечного сечения кольца t и b (рис. 5.29, б) предполагаются малыми
Рис. 5.29. Расчетная схема торцового упругого кольца
по сравнению с осевым
радиусом Р.
По условию симметрии достаточно рассмотреть часть кольца,
расположенного между двумя опорами, с центральным углом а = = Выделим такую часть кольца двумя радиальными сечениями, проходящими через точки А и С (рис. 5.30, а). Из условия
261
симметрии следует, что в этих сечениях крутящие моменты обращаются в нуль, но возникают одинаковые по величине изгибающие моменты, плоскость действия которых перпендикулярна соответствующим радиусам, и поперечные силы, перпендикулярные оси у. Изгибающие моменты и поперечные силы определяются из условия равновесия отсеченной части кольца.
Рис. 5.30. Определение изгибающих моментов в опорных сечениях
Составив сумму моментов всех сил, действующих на эту часть, относительно оси т|, проходящей через точки А и С, найдем, что
Мид = ЛГиС=	(5.86)
Составив сумму проекций на ось у, получим, что
Qa = Qc=^-	(5.87)
Определение силовых факторов в произвольном сечении опоры. Произвольное сечение кольца будем характеризовать переменным углом ср, отсчитываемым от начального радиуса ОА (рис. 5.30, б). Тогда изгибающий и крутящий моменты в этом сечении определятся следующими выражениями:
<,(<р) =	— Mlk4cos(p;	(5.88)
Мк(ф) =	Я(1 — t°s<p) — 7ИиЛ51Пср.	(5.89)
Подставив в выражения (5.88) и (5.89) значение МиА из равенства (5.86) и выполнив простейшие тригонометрические преобразования, найдем, что
Ми(ф)- 2^ (sin ф — tg МК(<Р)= 2п (2sin2 2 tg	р cos ф) ;	(5.90) i~sinT).	(5.91) 1
262
Эпюры изгибающих и крутящих моментов вдоль дуги АВС изображены на рис. 5.31. Наибольшие изгибающие — в тех сечениях, где приложены силы Р!п, а наибольшие крутящие моменты — в сечениях, определяемых углами ср = 0,25а и ср = = 0,75а, причем в этих сечениях изгибающие моменты обращаются в нуль.
Определение осадки опоры. Для определения осадки кольца достаточно вычислить перемещение Д точки В упругого элемента относительно неподвижных точек опоры А и С.
Рис. 5.31. Эпюры изгибающих (а) и крутящих моментов (б)
Это перемещение может быть найдено по методу Мора. Загрузив упругий элемент опоры АВС единичной силой k ~ 1, приложенной в точке В, найдем, что
***'
Д,5а
, ( Ми (ср) Ма (ср) R d<pt +
LjJ J
о
0,5а
+ U- f Мк (ip) Мк (ф) R dtp К
(5.92)
Здесь Ми (ср) и Мк (ср) — изгибающий и крутящий моменты в произвольном сечении упругого элемента при действии на него силы k = 1; Л4И (ср) и (ср) — изгибающий и крутящий моменты в этом же сечении при действии на упругий элемент силы Pin [см. выражения (5.90) и (5.91)1; EJ — жесткость поперечного сечения упругого элемента на изгиб; GJK — жесткость поперечного сечения упругого элемента на кручение.
В соответствии с выражениями (5.90) и (5.91) имеем:
7Ии (ср) = 0,57? (sin ср — tg-^- cos ср");	(5.93)
\	А	/
Л4К (ф) = 0,5/? (2 sin2 -?- — tg * sin ip') 	(5.94)
\	Л	*	/
263
После проведения соответствующих вычислений получим
4-“ TST (4г [ °’25“ (1 + lg’ т) - °’25 sln “ (1 - *8’ т) -
- 'g 1 si"’4 ] + «И °'25а (3+«’ т) +
+ 0,25 slna (1 - tg2 + ~ 2 sin + + tg ~ х
(2 cos + — sin2 — 2 \ . &
(5.95)
Определение расчетных значений силовых факторов, осадки опоры и величины коэффициента жесткости при a = 120° (п — 3). Рассмотрим кольцо, опирающееся на три точки (п = 3). В этом 2л случае расчетный угол a = — = 120°.
Используя выражение (5.90) при ф — 0°, найдем, что
Мп шах - 0,0962Р/?.	(5.96)
Из выражения (5.91) при ф — 0,25, a = 30° имеем
Л4ктах - 0,0258Р7?.	(5.97)
Используя выражение (5.95) при a — 120° и п = 3, получим
А =(0,121 4-0,013(5.98) OJlS </ у	C/v j
Поэтому коэффициент жесткости опоры с= ------------------------™	(5.99)
( 0,121 +0,013 R3
или, в более компактном виде, с = 6£7/(Л7?3), '	(5.100)
где
А = 0,121 4- 0,013-+-.	(5.101)
OJK
Для прямоугольного поперечного сечения упругого элемента, расположенного так, что его большие стороны параллельны плоскости опоры (рис. 5.29, б), имеем:
J = Ш12;	(5.102)
(5.103)
где a — безразмерный коэффициент, зависящйй от соотношения сторон прямоугольника т = bit.	-
264
. Значения этого коэффициента приводятся в курсах сопротивления материалов и теории упругости. С учетом выражений (5.102) и (5.103) коэффициент А для прямоугольного сечения может быть представлен следующим образом:
А = 0,121 + 0,013	.	(5.104)
4 1	12aG	х }
Численные значения этого коэффициента при Е = 2 -10е кгс/см2, G = 8-Ю5 кгс/см2 и при различном соотношении сторон прямоугольника приведены ниже.
т^ЬЦ................’ 2,0 3,0 4,0	6,0 8,0 10,0
А = 0,121 + 0,013#^, . . 0,133 0,132 0,131 0,130 0,130 0,130 12аО
Подбор размеров поперечного сечения упругих элементов опоры. При подборе размеров поперечного сечения упругих элементов обычно задают из конструктивных соображений размеры осевого радиуса опоры 7? и отношение т = &//, после чего находят размеры сечения из условия обеспечения необходимой жесткости опоры.
Тогда из равенства (5.100) имеем
j = bt3H2 - m?/12 = cAR3/6E, поэтому
t = / 2Дс/?3/(т£).	(5.105)
Установив размеры поперечного сечения опоры из условия жесткости, далее следует проверить ее прочность, для чего необходимо выявить положение наиболее опасного сечения.
Максимальные нормальные напряжения возникнут в тех сечениях, где изгибающий момент достигнет наибольшего значения, т. е. при ф = 0; 05а и а. Так как в этих сечениях крутящие моменты обращаются в нуль, условие прочности здесь принимает вид
Птах = 0,0962??/W < [ol,	(5.106)
причем
W - М2/6 - т^/6.	(5.107)
Максимальные касательные напряжения возникнут при ф = — 0,25а и 0,75а в тех сечениях, где крутящие моменты достигают наибольших значений. Но в этих сечениях нормальные напряжения изгиба обращаются в нуль, поэтому здесь условие прочности будет иметь вид
- 0,0258??/WK < [т].	(5.108)
Здесь IFK = р/3, где р — безразмерный коэффициент, зависящий, как и коэффициент а, от соотношения размеров сечения b и L
265
Приняв на основе энергетической гипотезы прочности, что W = 0,6 [а], придем к выводу, что при ттах < 0,6отах опасными будут сечения с максимальными нормальными напряжениями, а при ттах > 0,6отах опасными будут те сечения, где касательные напряжения достигают максимума.
Соотношение ттах/атах для различных значений приведено
ниже. m~blt . . . ................... 2,0	3,0	4,0	6,0	8,0	10,0
Ч ~ Тщах/Птах............ 0,183 0,168 0,156 0,151 0,147 0,144
Из этих данных видно, что при всех т максимальные значения касательных напряжений ттах < 0,6отах, поэтому проверку прочности опоры следует проводить лишь по формуле (5.107).
Если условие прочности не
Таблица 5.5. Влияние будет удовлетворено, ТО необ-
параметра т на грузоподъемность опоры
Номер опоры	т— bl i		max^i max
1	2,0	1	1,0
2	3,0	0,902	0,913
3	4,0	0,837	0,853 •
4	6,0	0,757	0,770
6	8,0	0,707	0,713
8	10,0	0,668	. 0,672
с параметром т — 2, если эти
ходимо задаться новыми параметрами опоры (/? и т) так, чтобы обеспечить соответствующее снижение максимальных напряжений, руководствуясь при этом излагаемыми ниже соображениями.
Влияние параметров опоры т и /? на грузоподъемность. Для оценки влияния изменения параметра опоры т на ее грузоподъемность приведены данные о соотношении между максимальными напряжениями в опо-
рах с произвольным т и опоре опоры имеют одинаковую жест-
кость и загружены, одинаковыми силами.
Эти соотношения указаны в табл. 5.5, здесь же приведены данные о соотношениях между толщинами упругих элементов, обеспечивающих одинаковую жесткость опор. Расчетные радиусы R этих опор будем считать неизменными.
Анализируя данные этой таблицы, видим, что увеличение параметра т, т. е. относительное увеличение ширины упругого элемента b при сохранении неизменной жесткости, приводит при неизменной нагрузке к снижению максимальных напряжений. Таким образом, опоры с большим параметром т при одной^и той же жесткости имеют большую грузоподъемность, чем опоры с меньшим параметром.
Грузоподъемность опоры также увеличивается при увеличении расчетного радиуса R. Руководствуясь выражениями (5.105), (5.106), нетрудно показать, что при увеличении радиуса R опоры в п раз для сохранения неизменной жесткости высоту упругого элемента нужно увеличить в п3/4 раз, что при неизменной нагрузке приведет к снижению напряжений в опоре в п5/4 раза,
266
5. Упругие подшипники качения и скольжения
Упругие опоры, устанавливаемые между подшипником и корпусом роторной машины, достаточно сложны в изготовлении. Выполненные отдельно от подшипника, они увеличивают габариты подшипникового узла. Поэтому нецелесообразно изготовлять на
каждом машиностроительном заводе, выпускающем роторные машины, отдельные упругие опоры, а эффективней изготовлять их
централизованно, на специализированном заводе, выпускающем
подшипники. Приведем некоторые конструкции упругих подшипников скольжения и качения.
На рис. 5.32 показан подшипник скольжения \ в корпусе 1 которого находится втулка 2, имеющая наружные опорные выступы 3 с радиальными отверстиями. В корпусе подшипника установлены также штифты 4, входящие в радиальные отверстия выступов втулки и препятствующие проворачиванию втулки относительно корпуса. Подшипник может быть изготовлен разъемным и неразъ-
Рис. 5.32. Подшипник скольжения
емным. Податливость упругого
подшипника скольжения определяется толщиной и длиной упру-
гих элементов, расположенных между опорными выступами,
а также их числом.	.
На рис. 5.33 изображен упругий подшипник качения2. Наружное кольцо 2 выполнено упругим. Оно имеет выступы 4, которыми подшипник опирается на корпус роторной машины, и сквозные пазы 3 под выступами. Шарики 1 расположены между внутренним кольцом 5 и наружным упругим кольцом.
На рис. 5.34 показан подшипник с концентричными рядами пазов3/, расположенных в шахматном порядке. Эти пазы делят наружное кольцо на три концентрично расположенные части: 4 — внутреннюю, 3 — среднюю и 2 •— наружную. Средняя часть наружного кольца, ограниченная пазами, имеет жесткость на порядок ниже жесткости крайних его частей. •Таким образом, она и является упругим элементом подшипника. Ее жесткость определяет жесткость всего подшипника. При вращении вала деформируется только средняя часть кольца.
На рис.' 5.35 изображен вертикальный разрез подшипника качения с внутренним упругим кольцом4.
1 Авт. свид. № 182968.			
2 Авт.	свид.	№	224965.
3 Авт.	свид.	№	283736.
4 Авт.	свид.	№	314009.
267
Так как вал вращаемся с внутренним упругим кольцом как одно целое, то вектор статической и динамической неуравновешенностей сохраняет по отношению к упругому кольцу неизменное положение. Вследствие этого деформация упругого кольца является статической, а не циклической, как в тех подшипниках, где упругое поле неподвижно. Однако, как показано в работе [46], вращающееся упругое поле влияет на динамику вращающегося
Рис. 5.33. Упругий подшипник качения
Рис. 5.34. Упругий подшипник качения с пазами в шахматном порядке
вала аналогично внутреннему трению. Это легко объяснимо, так как в обоих случаях имеет место действие силы, вращающейся вместе с валом.
Внутреннее кольцо подшипника выполнено цельным и состоит из пяти последовательных концентричных колец 2—5, Кольца соединены между собой перемычками, расположенными в шахматном порядке. Два крайних кольца 2 и 3 посажены на вал и могут вместе с ним перемещаться в осевом и радиальном направлениях. Вибрации, возникающие при вращении вала, воспринимаются промежуточными кольцами 1 и 4, являющимися вместе с перемычками упругой связью между средним кольцом 5, выполненным с дорожкой качения, и кольцами 2 и 3.
268
Промежуточные кольца имеют жесткость на порядок ниже остальных, и поэтому определяют как радиальную, так и осевую жесткость всего подшипникового узла. Радиальная и осевая жесткости подшипника могут при этом легко изменяться независимо друг от друга путем изменения размеров промежуточных упругих так и по оси.
На рис. 5.36 показан трех-л е ч н ч е н и тела
колец 1 и 4 как по радиусу
ы и подшипник я \ отличающийся тем, качения
расположены
4
5
Рис. 5.35. Двурядный подшипник качения с промежуточным упругим кольцом
Рис. 5.36. Подшипник качения с внутренним упругим кольцом

в шахматном порядке, а сепараторы жестко, соединены между собой. Подшипник содержит внутреннее 1 и наружное 3 кольца, между которыми расположены два ряда тел качения — внутренний 5 и наружный 6, разделенные промежуточным кольцом 2 и заключенные в общий сепаратор 4. Гнезда в сепараторе под тела качения расположены в шахматном порядке. При вращении вала такое расположение тел качения остается фиксированным. В результате между двумя соседними телами качения каждого ряда
1 Авт. свид. № 288459.
269
образуется участок промежуточного кольца, представляющий собой упругую балку, жесткость которой при малых прогибах ли-♦нейна и может быть рассчитана по известным формулам сопротивления материалов.
Наружные и внутренние ряды тел качения вращаются с одинаковой переносной угловой скоростью в сторону, противоположную направлению вращения вала. При этом окружная скорость тел качения наружного ряда уменьшается по сравнению, с двухколенным подшипником в 1,5 раза.
Для серийного выпуска упругих подшипников качения необходимо решить две задачи: во-первых, надо определить оптимальный коэффициент жесткости для каждого подшипника серии в зависимости от внутреннего диаметра и, во-вторых, разработать технологию, позволяющую получить большую твердость для дорожки качения и одновременно меньшую твердость для упругих элементов кольца. Обе эти задачи несомненно будут решены в ближайшее время.
6. Порядок расчета роторной машины
Динамический расчет роторов на стадии проектирования роторных машин сводится к получению следующей информ мации: а) расположение критических скоростей; б) амплитуд колебаний ротора и опор; в) динамических нагрузок в опорах и напряжений в роторе; г) давлений на фундамент (или корпус машины); д) реакций на внешние возмущения.
Для получения этой информации должен быть привлечен весь арсенал современных средств исследования и расчета.
Первой стадией расчета является выбор математической модели, описывающей динамику исследуемого ротора. При. этом важно из всего многообразия факторов, действующих на ротор, выбрать наиболее существенные, чтобы . получить обозримые ‘ результаты.
С другой стороны, если раньше роторные системы описывались линейными дифференциальными уравнениями и даже при этом упрощенном математическом подходе многие факторы отбрасывались, то в настоящее время предпочтительно вводить в рассмотрение все, что существенно влияет на динамику роторной машины, и не избегать искусственно нелинейностей, если они существенны. Так, например, внутреннее трение в материале ротора играет существенную роль для сравнительно тонких и длинных роторов, у которых оно может являться причиной потери устойчивости в закритической зоне. Для роторов большего диаметра (или меньшей длины) можно заведомо пренебречь влиянием внутреннего трения, так как оно не проявится в зоне частот вращения ротора.
Вся информация, которая должна быть получена из расчета, определяет виброактивность роторов. Измеряется виброактив-270
ность динамическими нагрузками на опоры, а они непосредственно зависят от амплитуд колебаний.
Для снижения виброактивности, как было показано выше, есть два пути: а) уменьшение абсолютных, значений факторов, являющихся причинами виброактивности, т. е. повышение точности изготовления, балансировки и монтажа; б) применение специальных конструктивных мероприятий — изменение размеров ротора, применение подшипников^ скольжения^ нецилиндрической формы, использование упругих опор. Следует отметить, что первый путь на современных заводах высокой технической культуры практически исчерпан. Дальнейшее повышение точности приводит к значительному увеличению стоимости без существенных сдвигов в сторону уменьшения виброактивности.
Приведем схему последовательного динамического расчета роторной машины (схема 1).
Исходными данными являются распределения масс и жесткости ротора, зависящие от его размеров, насаженных на вал деталей и выбранного материала.
Вторыми исходными данными являются подшипники, их жесткост-ные, демпфирующие свойства и динамиче-
ские характеристики. В некоторых случаях в расчет необходимо вводить и корпус машины или фундамент. Примером такой роторной системы являются судовые и авиационные турбины, устанавливаемые в корпусе судна или самолета, жесткость которого соизмерима с жесткостью подшипниковых опор-и самого ротора.
Заметим, что в недалеком прошлом при проектировании судовых турбин податливость корпуса не учитывалась. Ошибки в определении критических скоростей, вызванные этим обстоятельством, а также пренебрежением податливостью подшипников скольже-
Техническое задание
СХЕМА 1
—................ * .........."""".....
X арантеристина ротора ---------------------। ..............; — г-*| Выбор конструкции ротора
|	——...  I .	 I  IHI — ..» 	-X — .	, ' —
Размеры, вес, моменты инерции ротора
I  ~	.
Жесткость ротора '	]
*	[выбортипов радиального и радиально-упорного/1одш'илнинов~\
I * —...—------------------ 4................... ,	. '	-
Определение размеров подшипников исходя из стационарных условий
i—•* Выбор
I
и расчет упругих опор
Г'*~ Вычисление критических скоростей
Построение амплитудно-частотной характеристики
Исследование устойчивости системы ротор-подшипники - упругие опоры
I
Определение остаточной статической и динамической неуравновешенностей. Допуски на балансировку
I . -	4	.
\-*-\ Динамические нагрузки на подшипники
।	—-------------- . J------------
| Динамические нагрузки на корпус машины
I .	I .2=
<	___ ._____- : я ..--..г...м     „ .
Определение напряжений в упругих Опорах, в роторе, в подшипниках
Исследование влияния злектромагнитных.азродинамичесних сип, тепло дых факторов, виброакустичесние рас четы
----....	. _______i - 1-------------- Оптимизация системы ротор- подшипники  упругие опоры - фундамент
- . ..........--_____- * .........-
Окончательный вариант
271
ния, достигали 100%, критические скорости оказывались в действительности в ряде случаев в два раза ниже расчетных. Таким образом, роторы этих судовых турбин вращались при номинальной скорости значительно выше первой критической скорости, хотя существующими Правилами Морского Регистра СССР это запрещено. Однако самым неожиданным оказалось то, что эти турбины эксплуатировались без каких-либо аварий в течение длительного времени. Это объясняется тем, что податливость корпуса и подшипников скольжения значительно снижала жесткость системы ротор—подшипники—фундамент, благодаря чему резонанс
СХЕМА 2
|	Техническое задание	
	4
	Конструкция роторной машины в жестких опорах
	
	Определение амплитуд колебаний и динамических реакций подшипников при жестких опорах
	4
Г-*	Выбор и расчет упругих опор
		i			
—*| Вычисление критических скоростей	]	
	
	Построение амплитудно-частотной характеристики
	
	Г Исследование устойчивости системы ротор-
	подшипники- упругие опоры
	1
~~	Динамические нагрузки на подшипники
	Г'	*
I—	Динамические нагрузки на корпус машины
	4
	Определение напряжений в упругих опорах
			.	i
	Исследование влияния электромагнитных, аэродинамических
	сип, тепловых гранторов, виброакустические расчеты
	__	i	-		
	Оптимизация системы ротор - подшипники  упругие
	опоры - фундамент
				 1 —		
	Окончательный вариант	|
ные амплитуды уменьшались до величин, позволявших осуществить многократный переход через критическую скорость и не препятствующих вращению вала в зоне критической скорости.
В практике конструирования роторных машин часто приходится встречаться с необходимостью улучшить динамику уже спроектированной или даже изготовленной машины. В этих случаях процесс расчета несколько изменяется . Схема такого расчета приведена в схеме 2. Итогом расчета должно быть сопоставление параметров виброактивности при старом
и новом вариантах конструкции машины.
Как и в случае проектирования новой машины (см. схему 1), расчет заканчивается оптимизацией системы ротор—подшипники— упругие опоры—фундамент. Что же следует понимать под оптимизацией такой системы? Оптимизировать можно различные факторы. Так, в практике встречаются случаи, когда наиболее важным яв
ляется уменьшение динамических нагрузок, передаваемых на корпус машины или на фундамент. В этом случае можно минимизировать сумму квадратов реакций опор. Для многоопорного вала процесс минимизации заключается обычно в подборе податливостей опор, минимизирующих указанную сумму. Поиск осуществляется на ЭВМ.
272
Можно решать задачу о повышении ресурса подшипниковых узлов при неизменной рабочей частоте вращения или задачу о сохранении достигнутого ранее ресурса подшипников при одновременном увеличении рабочей частоты вращения. Это достигается, как правило, переходом от жесткой установки подшипников к упругой при одновременном поиске их оптимальной податливости.
В некоторых случаях в качестве фактора, подлежащего оптимизации, выбирается* масса и габариты роторной машины. Такого рода задачи обычно приходится решать конструкторам авиационных газотурбинных двигателей. При заданной мощности двигателя задача сводится к резкому увеличению рабочей скорости всех роторных машин, входящих в состав двигателя.
Газотурбинный двигатель, состоящий из компрессора, турбины компрессора и свободной турбины (см. гл. 3) при весе ротора компрессора 7 кгс развивал мощность 350 л. с. Для этого пришлось увеличить частоту вращения свободной турбины до 25 000 об/мин, а компрессор и турбина компрессора имели зону рабочих скоростей 25 000—45 000 об/мин. Естественно, что с увеличением частоты вращения уменьшается ресурс машины.
Помимо технических аспектов оптимизации роторных машин, часто существенными факторами, подлежащими оптимизации, являются стоимость машины, ее рентабельность и другие экономические показатели.
При расчете роторных систем могут быть использованы некоторые динамические критерии:
1)	амплитудный критерий, учитывающий амплитуды колебаний i-й массы на участке частот < ю <
2)	силовой критерий, характеризующий усилия, действующие на звено (i, i + 1) машины; в рассматриваемом случае, например, — на подшипник;
3)	частотный критерий для регулирования спектра собственных частот системы.
Эти динамические критерии приводятся здесь как примерные. Очевидно, что в каждом конкретном случае должен быть выбран один или несколько динамических критериев.
Для роторных машин принято устанавливать допуски на остаточный дисбаланс и на амплитуды колебаний. Следует отметить, что оба эти показателя не противоречат друг другу и должны применяться совместно. На стадии проектирования, изготовления и балансировки роторной машины превалирующее значение имеют допуски на остаточный дисбаланс. При испытаниях опытных образцов машины и контроле при ее эксплуатации существенное значение приобретают допуски на амплитуды колебаний. Этот кон*> троль при длительной эксплуатации особенно важен, так как отлично отбалансированная машины с течением времени может разбалансироваться: из-за смещения деталей под действием цен
18 А. С. Кельзон и др.	273
тробежных сил, из-за релаксации материала, эрозии, отложений, коррозии и многих других причин. Так, например, в центрифугах основная доля дисбаланса падает на обрабатываемый продукт.
Теоретический расчет роторных'машин в настоящее время хорошо разработан и дает удовлетворительное совпадение с практикой в части амплитудно-частотных характеристик, критических скоростей и зон устойчивости. В необходимых случаях при отработке конструкций, идущих в серию, теоретические расчеты должны быть дополнены модельными испытаниями (если роторная машина больших габаритов) и испытаниями головного образца полноразмерной машины.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Вероятности Р (X) критерия согласия Колмогорова
Л	0	5	Л	0	5
0,3	г 0,9999	0,9997	1.1	0,1777	0,1419
0,4	0,9972	0,9874	1,2	0,1122	0,0878 -
0,5	.0,9639	0,9228	1,3	0,0681	0,0522
0,6	0,8643	0,7920	1,4	0,0397	0,0298
0,7	0,7112	0,6272	1,5	0,0222	0,0164
0,8	0,5441	0,4653	1,6	0,0119	0,0086
0,9 '	1,0	0,3927 0,2700	0,3275 0,2202"	1,7	0,0062	0,0044
При Х< 0,3 Р (Х) = 1. В крайнем левом столбце указаны целые и десятые доли величины X, а в верхней строке — ее сотые доли.					
Приложение 2. Нижняя и верхняя границы интервала для среднего квадратического отклонения о в зависимости от доверительной вероятности 0 и числа испытаний п
	Р =	0,90	3 =	0,95		3=0,90		Р=0,95	
п~ 1	V1		V1		п-Л	Vi	Y2	Vi	V2
1	0,510	15,9	0,446	31,9	11	0,748	1,550	0,708	1,698
2	0,578	4,40	0,521	6,28	12	0,755	1,515	0,717	1,651
3	0,620	2,92	0,566	3,73	13	0,762	1,485	0,725	1,611
4	0,649	2,37	0,599	2,87	14	0,769	1,460	0,732	1,577
5	0,672	2,09	0,624	2,45	15	0,775	1,437	0,739	1,548
6	0,690	1,916	0,644	2,202	20	0,798	1,358	0,765	1,444
7	0,705	1,797	0,661	2,035	30	0,828	1,274	0,799	1,337
8	0,718	1,711	0,675	1,916	60	0,871	1,179	0,849	1,217
9	0,729	1,645	0,688	1,826	120	0,925	1,106	0,912	1,110
10	0,739	1,593	0,699	1,755					
18*
275
Приложение 3. Динамические коэффициенты масляной пленки подшипников скольжения
При малых смещениях центра цапфы из положения статического равновесия со стороны масляного слоя на цапфу действуют гидродинамические силы, проекции равнодействующей которых на горизонтальную ось g и вертикальную ось т] без учета сил инерции смазки, по данным Э. Л. Позняка [83], могут быть записаны в виде: ‘
РЕ = — СЕЕ? — W —	— «ЕН1!;
=	х1Тп'П- J
Коэффициенты при смещениях (коэффициенты жесткости масляной пленки) и коэффициенты при скоростях (коэффициенты демпфирования масляной пленки) называются динамическими коэффициентами масляной пленки и определяются по формулам:
_	г .	_	, 4	Lid)/
— <фз	“ фз у2;	'з;
Ц<о/  и/ -	и/ .
“ фЗ ;4*>	— “фГ ;5»	— “фГ Ар
р/ -	__ |х/
фЗ хпп —^фз";8*
Здесь приняты следующие обозначения: р — динамическая вязкость масла; со — угловая скорость цапфы; I — длина цапфы; ф = б//? — относительный радиальный зазор (отношение радиального зазора б подшипника к радиусу цапфы /?); /х — /8 — безразмерные коэффициенты, зависящие от типа подшипника и угловой скорости цапфы.	*
Коэффициенты 1г—/8, вычисленные для половинного цилиндрического подшипника в предположении отсутствия истечения смазки через торцы подшипника, заимствованы из работы [83] и приведены в таблице.
Таблица. Безразмерные коэффициенты —/8 для половинного цилиндрического подшипника без учета торцового истечения смазки
X	0,0	ОД	0,2	0,3	0,4
£	0,000	0,460	0,883	1,309	1,790
/1	0,000	1,166	2,387	3,820	5,765
^2	W 1 3 | 00	1,782	1,971	2,270	2,653
7»	—Зл	—9,258	—9,751	—10,900	—12,990
л	0,000	0,694	1,543	2,657	4,303
	ОО | к СО	3,794	4,556	5,835	7,880
^6	0,000	—1,180	—2,566	—4,335	—6,852
h	0,000	—1,272	—2,647	—4,433	—7,022
I 8	6л	19,520	21,620	24,900	29,700
276
Продолжение табл.
X	0,5	0,6 '	0,7	0,8	0,9
Д	2,391	3,228	4,581	7,336	16,06
/1	7,520	10,200	15,870	29,490	115,10
^2 ,	1,686	—0,196	—4,041	—15,970	—102,60
	—16,320	—20,880	—35,670	—66,540	—330,60
К	7,966	15,660	31,960	80,140	429,40
к	8,342	9,044	11,360	16,470	47,21
	—8,063	—9,815	—14,180	—24,630 -	—90,67
h	—9,370	—10,780	—18,290	—29,430	— 126,20
1 8	35,730	43,350	65,730	109,900	398,60
В таблицу также входят относительный эксцентриситет % и коэффициент нагруженности подшипника Последний определяется по формуле
г = ОФ2
где Q — статическая нагрузка на цапфу.
Приложение 4. Пример расчета коэффициента жесткости упругих опор двух конструкций
Упругие опоры, выполненные в виде кольца с выступами (см. рис. 5.2), расположенными по наружной и внутренней поверхности кольца в шахматном порядке, имеют ряд положительных свойств. Их можно применять в опорах со стандартными подшипниками качения или скольжения. Увеличением числа выступов можно получить достаточно изотропное радиальное упругое поле. К положительным свойствам следует отнести легкость обеспечения прочности опоры. Для этого не требуется знать максимально возможную радиальную нагрузку на опору. Прочность может быть обеспечена при выполнении условия непревышения максимально допустимых напряжений от радиальной силы, вызывающей полную выборку радиального зазора упругой опоры.
Благодаря указанным положительным свойствам эта конструкция нашла широкое применение при проектировании роторных машин с подшипниками на упругих опорах.
Основным недостатком рассматриваемой конструкции являются технологические трудности при их изготовлении. Вызвано это большой чувствительностью коэффициента жесткости упругих элементов от их радиального размера. Это может быть пояснено следующим примером.
Коэффициент жесткости упругой опоры с (кгс/мм), выполненной в виде кольца с радиальными выступами, может быть определен по следующей эмпирической зависимости:
_______________________0,1296£W______________________
С ~ (Рср - О.з^п3) [1 - (1 - s3/s3) (1,45А - 0,9А2 + 0.2А3)] ’
где £)сР — (/J2 + £>х)/2; £)2 — наружный диаметр кольца, мм; D± — внутренний диаметр кольца мм.
277
Однако технологические возможности повысить точность изготовления резко снижает наличие выступов на наружной и внутренней поверхностях упругих элементов (см. рис. 5.2).
Для устранения этого недостатка разработана конструкция упругой опоры с составными элементами, в которой упругий элемент выполнен гладкостенным в виде внутреннего кольца. Это позволяет повысить технологические требования к точности и качеству изготовления. Выступы же выполнены на отдельных кольцах (внутреннем и наружном), фиксация колец от поворота относительно упругого элемента обеспечивается дополнительными торцовыми выступами на упругом элементе и соответствующими выемками на наружном и внутреннем кольцах.
Приближенно коэффициент жесткости упругой опоры и максимальные напряжения в упругих элементах могут быть определены по вышеприведенным зависимостям при следующих уточнениях. В силу того, что радиальные выступы выполнены не на упругих элементах, имеем следующее равенство s ~ sB. Исходя из этого формула для определения коэффициента жесткости принимает вид
_	0,129W?n4s3
С - (Dcp - О.ЗМ3 '
Соответственно зависимость для максимальных напряжений при полной выборке радиального зазора принимает вид
ст- 1,1^S (n/Dcp)2 б.
• Из приведенных формул следует, что размеры упругих элементов и максимальные напряжения зависят от числа выступов.
Зависимость толщины упругого элемента s и напряжений ст от числа выступов п может быть проиллюстрирована следующим примером: b — ширина кольца, мм; s — толщина кольца, мм; s — [(Z)2 — D^/2] — 26; б — ход кольца (высота выступа), мм; $в — толщина выступа; sB ~ s 4- б; Е — 20 000 кге/мм2 — модуль упругости; п — число выступов; А— коэффициент пропорциональности; А = (Ьг + Кйб) n/Dcp; d — диаметр инструмента, мм; bY — ширина выступа на кольце, мм.
При этом максимальные напряжения (при полной выборке радиального зазора) могут быть определены по зависимости ст — l,l£sB (n/Dcp)2 6.
Рассмотрим упругое кольцо при следующих данных: D% — 60 мм; b = 5 мм; 6 — 0,1; Ьг — 10°, п — 4, d = 40 мм.
По вышеприведенной формуле имеем следующую зависимость коэффициента жесткости упругого кольца от толщины упругого элемента:
с, кгс/см	....	1000	1100	1200	1300	1400
s, мм............. 1,445	1,492	1,536	1,577-	1,616
Из приведенных данных следует, что изменение толщины упругого элемента существенно сказывается на коэффициенте жесткости упругого кольца. Кроме большой точности при изготовлении упругого кольца, требуется также высокая
чистота поверхности для предотвращения появления концентраторов напря-
жения:
п..........................
s, мм . . . ...............
ст, кгс/см2................
4	6	8
2,006	1,084	0,669
1613	1985	2267
Зависимость вычислена при следующих исходных данных: с = 5000 кгс/см; Z)2 — 70 мм; б — 0,1 мм; b — 15 мм; — 10°.
Из приведенного примера следует, что увеличение числа выступов п существенно снижает толщину упругого элемента s, а также повышает напряжения, поэтому на практике частот приходится снижать число выступов. Вызывается это двумя причинами: чем больше толщина упругого элемента, тем он становится более технологичным в изготовлении. Снижение числа выступов приводит к повышению прочности опоры.
278
Приложение 5. Собственные частоты радиальных колебаний внешних колец однорядных шариковых подшипников (две формы колебаний)	*
Тип подшипника	Наружный диаметр кольца D, мм	Собственные частоты, кГц		Тип подшипника	Наружный ди аметр кольца D, мм	Собственные частоты, кГц	
		/1	/2			/1	fz
Легкая серия подшипников				Средняя серия подшипников			
200	30	з,з	20	300	35	—	—
201	32	8,2	20	301	37'	7,7 .	—
202	35	6,4	18,0	302	42	6,6	18,3
203	40	5,8	16,2	303	47	5,1	14,3
204	47	5,1	14,3	304	52	4,7	13,3
205	52	3,6	И,1	305	62	3,9	11,9
206	62	3,1	9,3	306	72	3,0	8,4
207 ,	72	2,6	7,2	307	80	2,8	7,8
208	80	2,5	6,9	308	90	2,5	6,8
209	85	2,1	5,8	. 309	100	2,0	5,6
210	90	1,8	5,1				
Формула для расчета собственных частот радиальных колебаний наружного кольца подшипника (кГц)
=0,4Ь103
\ D
D2
(т+ 1) [(m+ I)2— 1] /(/п+ 1)2+ 1
где Ь — ширина подшипникового кольца, мм; D — наружный диаметр кольца, мм; Н — внутренний диаметр приведенного сечения кольца (прямоугольник ЬН, площадь которого равна площади поперечного сечения кольца); т = = 1,2,...
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Абезгауз Г. Г., Тронь А. Г., Копенкин Ю. Н. Справочник по вероятностным расчетам. М., Воениздат, 1970. 536 с.
2.	Алабужев П. М., Геронимус В. Б., Минкевич Л. М. Теория подобия и размерностей. Моделирование. М., «Высшая школа», 1968. 206 с.
3.	Алексеева Н. И., Зобнин А. П., Кельзои А. С. О линеаризации динамической роторной системы. ДАН СССР, 1972. Т. 205, № 1, с. 44—47.
4.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физмат -гиз, 1959. 915 с.
5.	Артемов Е. А. Расчет податливости упругих опор турбомашин.— Известия вузов. Машиностроение. МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1968, № 7, с. 48—54.
6.	Артемов Е. А. Экспериментальное и расчетное определение податливости упругих опор турбомашин. — Известия вузов. Авиационная техника. Изд-во Казанского авиационного института, 1965, № 2, с. 48—55.
7.	Атступенас В. В., Атступене Р. П., Рагульскис К* М. Гармонические колебания жесткого ротора в упругом шарикоподшипнике. — «Вибротехника», 1971, № 3 (12), с. 63—72.
8.	Бабаков И. М. Теория колебаний. М., «Наука», 1968. 560 с.
9.	Бадашков Н. К* Эксплуатация паровых .турбин. М.—Л., Госэнергоиздат, 1955. 264 с.
10.	Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзои А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 3. М., «Наука», 1973. 487 с.
11.	Бейзельман Р. Д., Цыпкин Б. В., Трель Л. Я. Подшипники качения. М., «Машиностроение», 1967. 563 с.
12.	Белянчиков М. П. Теория расчета подшипников качения. — В кн.: Подшипники качения. Справочное пособие. М., Машгиз, 1961, с. 273—292.
13.	Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2, ГИФМЛ, 1962 . 620 с.
14.	Бергер Е. Г., Кельзон А. С. Влияние вязкого трения на самоцентрирование жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах. — Известия вузов,-Машиностроение, 1963, № 5, с. 60—67.
15.	Бергер Е. Г., Кельзои А. С. Резонансные колебания горизонтального жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах.—«Машиностроение», Братислава, Изд-во Чехословацкой АН, 1969. Т. 20, вып. 4, с. 376—384.
16.	Биргер И. А. Расчет кольцевых изгибных пружин. — В кн.: Расчеты на прочность. Вып. 7, М., Машгиз, 1961, с. 110—122.
17.	Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М., «Мир», 1969. 400 с.
18.	Блинов И. С. Справочник технолога механосборочного цеха судоремонтного завода. М., «Транспорт», 1969. 678 с.
19.	Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М., «Мир», 1964. 517 с.
280
20.	Вальдман А. П., Томашунс Й. А. О параметрическом резонансе ротора на роликовых подшипниках. — Известия АН Латв.ССР. Серия физических и технических наук. 1966, № 3, с. 86—92.
21.	Вейц В. Л., Кочура А. Е. Теория активных виброзащитных систем. — Труды Иркутского политехнического института. 1974, с. 37—41.
22.	Вейц В. Л., Кочура А. Е. Эффект органического возбуждения в силовых установках с двигателями внутреннего сгорания. — «Вибротехника», 1973, № 2 (19), с. 317—322.
23.	Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969. 576 с.
24.	Веников В. А. Теория подобия и моделирования. М., «Высшая школа», 1966. 487 с.
25.	Володин Б. Г., Ганин М. П., Динер И. Я. Руководство для инженеров по решению задач теории вероятностен. Л., Судпромгиз, 1962. 424 с.
26.	Гемке Р. Г. Неисправности электрических машин. М.—Л., Госэиерго-издат, 1960. 254 с.
27.	Григорьев Н. В. Нелинейные колебания элементов машин и сооружений. М., Машгиз, 1961. 256 с.
28.	Детинко Ф. М., Загородная Г. А., Фастовский В. М. Прочность и колебания электрических машин. Л., «Энергия», 1969. 440 с.
29.	Днментберг Ф. М. Об устойчивости гибкого вала с неуравновешенным диском при действии внешнего и внутреннего трения. — Известия АН СССР, ОТН, 1954, № 10, с. 150—154.
30.	Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. Изд-во АН СССР, 1959. 247 с.
31.	Диментберг Ф. М., Шаталов К* Т., Гусаров А. А. Колебания машин. М., «Машиностроение», 1964. 307 с.
32.	Динамика гибких роторов.—Сб. статей. Отв. ред. докт. техн, наук проф. Ф. М. Диментберг. М., «Наука», 1972. 133 с.
33.	Дондошанский В. К* Расчет колебаний упругих систем на электронных вычислительных машинах. М.—Л., «Машиностроение», 1965. 367 с.
34.	Зентман М. Ф. О применении упругих опор в гибких роторах. — «Машиноведение», 1967, № 1, с. 57—67.
35.	Жирицкий Г. С. Конструкция и расчет на прочность деталей паровых турбин. М.—Л., Госэнергоиздат, 1955. 520'с.
36.	Исакович И. М., Клейман Л. И., Перчанок Б. X. Устранение вибраций электрических машин. Л., «Энергия», 1969. 215 с.
37,	Кальмеис В. Я* Влияние посадки дисков и втулок на изгиб и критическую скорость турбинного ротора. — «Энергомашиностроение», 1964, № 4, с. 28—30.
38.	Кальменс В. Я. Расчет критических скоростей многопролетного ротора с учетом податливостей опор н масляной пленки. — «Энергомашиностроение», 1959, № 5, с. 8—13.
39.	Кальменс В. Я* Динамическое моделирование самовозбужденной вибрации роторов крупных турбомашин на масляной пленке подшипников скольжения. — Труды ЦКТИ им. И. И. Ползунова, 1964, № 44, с. 120—133.
40.	Каннингхем В. Введение в теорию нелинейных систем. М.— Л., Госэнергоиздат, 1962. 465 с.
41.	Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.—Л., «Наука», 1964. 487 с.
42.	Кельзои А. С. Самоцентрирование и уравновешивание жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах. ДАН СССР, 1956. Т. ПО, вып. 1, с. ,31—33.
43.	Кельзои А. С. Динамика жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах. — «Ученые записки Ленинградского высшего инженерного морского училища им. адмирала С. О. Макарова», 1958, вып. 10, с. 41—60.
281
44.	Кельзон А. С., Бергер Е. Г. Динамика жесткого вала, вращающегося в шарнирной и упругой опорах. — Известия Политехнического института в Яссах, 1968. Т. 14, вып. 3—4, с. 527—532.
45.	Кельзон А. С., Журавлев Ю. Н. К количественной оценке влияния параметров колебательных систем на собственные частоты. — Известия Политехнического института в Яссах, 1972. Т. 18(22), вып. 3—4, секция IV, с. 59—68.
46.	Кельзон А. С., Клочков Б. Ф. Влияние вращающегося упругого поля на устойчивость движения и колебания ротора. ДАН СССР. 1975. Т. 223, вып. 4, с. 806—809.
47.	Кельзон А. С., Зобнин А. П. О влиянии неоднородности упругого поля опор на динамику жесткого ротора. — Вибротехника. Научные труды высших учебных заведений Лит.ССР, Каунас, 1973, № 3 (20), с. 341—349.
48.	Кельзон А. С., Клочков Б. Ф., Фигурнов Н. М. Теоретическое и экспериментальное исследование упругой опоры нового типа. Судовые силовые установки. Научно-технический сборник. Управление учебными заведениями Министерства морского флота СССР, 1976, вып. 18, с. 27—33.
49.	Кельзои А. С., Мушина Н. И. Колебания самоцентрирующейся центрифуги. — Известия АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1961, № 3, с. 98—101.
50.	Кельзон А. С., Прядилов В. И. Устранение опасных колебаний вертикальных роторов. — Известия АН СССР. Механика, 1965, № 6, с. 42—48.
51.	Кельзон А. С., Прядилов В. И. Колебания и давления на опоры жесткого ротора, одна из которых выполнена упругой, а другая шарнирной. Румынская АН. Прикладная механика. Бухарест, 1974. Т. 19, № 2, с. 231—246.
52.	Кельзон А. С., Прядилов В. И., Фигурнов Н. М. Экспериментальное исследование упругих опор вращающихся валов. Научно-технический сборник. Судовые силовые установки. М., «Транспорт», 1970, № 9, с. 210—224.
53.	Кельзон А. С., Семенов В. И. Динамика быстроходных веретен. — Сборник ЛОНИТОмаша, 1952, с. 7—13. .
54.	Кельзон А. С., Троицкая 3. В. Самоцентрирование и уравновешивание высокооборотного компрессора. — Известия АН СССР. Механика и машиностроение, 1963, № 3, с. 51—57.
55.	Кельзон А. С., Циманский Ю. П. О колебаниях вала, вращающегося в подшипниках качения. — «Машиноведение», Братислава, Изд-во Чехословацкой АН, 1974. Т. 25, № 1, с. 45—63.
56.	Кельзон А. С., Яковлев В. И. Сужение зоны автоколебаний нагруженного вала, вращающегося в подшипниках скольжения. — Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1971, № 5, с. 36—43.
57.	Кельзон А. С., Яковлев В. И. Экспериментальное исследование автоколебаний высокооборотных роторов. — «Машиноведение», АН СССР. 1974, № 5, с. 21—28.
58.	Кельзон А. С., Январев Н. В. Динамика жесткого ротора, вращающегося в подшипниках качения с предварительным осевым натягом. ДАН СССР, 1970. Т. 194, № 3, с. 536—539.
59.	Кельзон А. С., Яиварев Н. В. Динамика ротора турбонагнетателя транспортного двигателя внутреннего сгорания. Доклады научно-технической конференции «Наука — производству», Владивосток, Дальрыбвтуз, 1971, с. 163—173.
60.	Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М., «Наука», 1964. 254 с.
61.	Коднир Д. С. Расчет грузоподъемности подшипников скольжения. — Труды ЦНИИТмаша. М., Машгиз, 1948, кн. 23, с. 216—263.
62.	Коровчинский М. В. Теоретические основы работы подшипников скольжения. М., Машгиз, 1959. 403 с.
63.	Кудряшов Л. Н. Об эффективности балансировки роторов турбомашин. — Уравновешивание машин и приборов. М., «Машиностроение», 1965, с. 222—232. 282
64.	Куриц С. Я. Повышение эффективности монтажа паровых и газовых турбин. М., «Энергия», 1967. 240 с.
65.	Кушуль М. Я. Автоколебания роторов. М., Изд-во АН СССР, 1963. 168 с.
66.	Лаппа М. И. Гибкие роторы судовых турбин. Л., «Судостроение», 1969. 158 с.
67.	Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. 2, изд. 5, М., Гостехиздат, 1955. 596 с.
68.	Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Теоретическая механика. Ч. 3, М.—Л., Гостехиздат, 1934. 624 с.
69.	Лунц Е. Б. Определение критических скоростей валов методом динамического подобия. — Труды ВВИА им. Н. Е. Жуковского. 1948, вып. 296. 69 с.
70.	Мушинска А. Вынужденные колебания в некоторой механической системе с двумя степенями свободы. — Проблемы нелинейных колебаний. Варшава, Польское научное изд-во, 1968, № 8, с. 241—247.
71.	Мушииска А. О некоторых моделях движения вращающегося ротора. — Проблемы нелинейных колебаний. Варшава, Польское научное изд-во, 1968, № 9, с. 249—266.
72.	Мушинска А. О синхронной и асинхронной прецессии ротора в упругомассовых опорах. — Труды пятой Международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев, «Наукова думка», 1969, с. 498—505.
73.	Николаи Е. Л. Теория гироскопов. М., Гостехиздат, 1948. 172 с.
74.	Новиков Л. 3. Определение собственных частот колебаний электродвигателя, связанных с нелинейной упругостью шарикоподшипников. — Известия АН СССР. Механика и машиностроение, 1961, № 6, с. 84—90.
75.	Новиков Л. 3. Статика радиально-упорного шарикового подшипника. — Известия АН СССР. Механика и машиностроение, 1963, № 5, с. 17—28.
76.	Паиовко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М., «Машиностроение», 1967. 316 с.	•
77.	Подшипники качения. Справочное пособие. М., Машгиз, 1961. с. 828.
78.	Позняк Э. Л. Динамические свойства масляной пленки в подшипниках скольжения. — Известия АН СССР. Механика и машиностроение, 1961, № 6, с. 52—68.
79.	Позняк Э. Л. Влияние масляного слоя в подшипниках скольжения на устойчивость и критические скорости высокооборотных роторов.— В кн.: Колебания валов на масляной пленке. М., «Наука», 1968, с. 10—37.
80.	Позияк Э. Л. Демпфирование вынужденных колебаний гибких роторов силами сухого трения. — В кн.: Динамика машин. М., «Машиностроение», 1969, с. 286—296.
81.	Позняк Э. Л. Нелинейные колебания роторов на подшипниках скольжения. — В кн.: Динамика гибких роторов. М., «Наука», 1972, с. 3—27.
82.	Позняк Э. Л. Нелинейные колебания неуравновешенных вертикальных роторов на подшипниках качения.—«Машиноведение», 1971, № 1, с. 23—31.
83.	Позняк Э. Л. Исследование устойчивости движения роторов на подшипниках скольжения. — Известия АН СССР. Механика и машиностроение, 1963, № 2, с. 102—120.
84.	Позняк Э. Л., Космачев А. Н., Рохлина Б. Б. Демпфирование вынужденных изгибных колебаний гибких роторов. — В кн.: Колебания и прочность при . переменных напряжениях. М., «Наука», 1965, с. 53—79.
85.	Полецкий А. Т. Распределение гидродинамического давления в смазочном слое подшипника конечной длины. — В кн.: Расчет и конструирование машин. ЧПИ. 1955, № 5, с. 81—94.
86.	Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К- К* Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 1, М., Машгиз, 1956, с. 602—655.
283
87.	Прядилов В. И. Некоторые вопросы динамики жесткого ротора, одна из опор которого выполнена шарнирной, вторая — упругой. — Известия , вузов. Машиностроение, 1973, № 2, с. 31—37.
88.	Рагульскис К* М., Юркаускас А. Ю., Атступенас В. В. Вибрации подшипников. Вильнюс, «Минтис», 1974. 392 с.
89.	Расчет и выбор подшипников качения. Справочник. М., «Машиностроение», 1974. 57 с.
90.	Саверский А. С. Расчет преднатяга подшипников качения высокоскоростных шпинделей для внутреннего шлифования. — Труды ВНИИПП, 1960, № 3, с. 49—60.
91.	Саверский А. С., Юснм С. Я. Некоторые особенности работы радиально-упорного шарикоподшипника в условиях относительного перекоса колец. — Труды ВНИИПП, 1970, № 2 (62), с. 3—11.
92.	Самаров Н. Г. Особенности уравновешивания роторов быстроходных турбомашин. — В кн.: Уравновешивание роторов энергетических машин. М., ЦИНТИЭП, 1962, с. 112—120.
93.	Северов Н. Н. Ремонт роторов паровых турбин. М.—Л., Госэнергоиздат, 1959. 372 с.
94.	Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М,, «Наука», 1965. 386 с.
95.	Сергеев С. И. Демпфирование механических колебаний. М., Физматгиз, 1959. 408 с.	
96.	Спицын Н. А. Опоры осей и валов машин и приборов. М., «Машиностроение», 1970. 520 с.
97.	Справочник машиностроителя. Под ред. С. В. Серенсена. Т. 3. М., Маш-гиз, 1962. 651 с.
98.	Спришевский А..И; Подшипники качения. М., «Машиностроение», 1969. 632 с.
99.	Терских В. П. Крутильные колебания валопровода силовых установок. Т. 1—4, приложение. Л., «Судостроение», 1969—1971. 206, 271, 275, 307 с.
100.	Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. Л., «Энергия», 1971. 387 с.
101.	ТонДл А. Нелинейные колебания механических систем. М., «Мир», 1973. 334 с.
102.	Точность производства в машиностроении и приборостроении. Под ред. А. Н. Гаврилова. М., «Машиностроение», 1973. 567 с.
103.	Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959. 439 с. '
104.	Фридман В. М. Уравновешивание гибких роторов по формам свободных колебаний. — В кн.: Уравновешивание роторов энергетических машин. М., ЦИНТИ электропромышленности и приборостроения. 1962, с. 42—53.
105.	Фролов К- В. Вибрация и шум подшипников качения. —«Машиноведение», 1966, № 2, с. 36—45.
106.	Хаясн Т. Нелинейные колебания в физических системах. М., «Мир», 1968, 432 с.
107.	Хронин Д. В. Расчет критических чисел оборотов валов турбомашин с учетом деформации дисков н лопаток. — Труды МАИ, 1961, № 136, с. 40—57.
108.	Цырлин А. Л. Динамика роторов двоякой жесткости. — В кн.: Динамика гибких роторов. М., «Наука», 1972, с. 27—44.
109.	Шиманский Ю. А. Динамический расчет судовых конструкций. Л., Судпромгиз, 1963. 444 с.
НО. Шостакович Б. В. Методика центровки паровых турбин. М.—Л., Госэнергоиздат, 1950. 132 с.	...
284
111.	Штернлихт Б., Льюис П. Проблемы вибрации высокооборотных турбомашин. — Труды Американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения. Серия В. Т. 90, русский перевод, 1968, № 3, с. 130—144.
112.	Шубов И. Г. Шум и вибрация электрических машин. Л., «Энергия», 1973. 200 с.
113.	Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теории колебаний. Изд. 3-е. М., «Высшая школа», 1975. 248 с.
114.	Ямомото Т. О субгармонических и суммарных и разностных гармонических колебаниях вращающегося вала. Сб. переводов.— «Механика», 1963, №4, с. 61—73.
115.	Bishop R. Е. D., Parkinson A. G. Vibration and Balancing of Flexible Shafts, Appl. Meeh., Revs, 21, 1968, No. 5, p. 439—451.
116.	Bishop R. E. D. The matrix analysis of vibration. Cambridge, Univ, press, 1965, X. 404 p.
117.	Bishop R. E. D., Johnson D. C. The mechanics of vibration. Cambridge, Univ, press, 1960, XII. 592 p.
118.	Blass V. Ober die massenausgleich raschumlaiifender Korper.—«Zeit-schrift fur angewandte Mathematik und Mechanik», 1926, Band 6, Heft 6, S. 429-449.
119.	Dizioglu B. Schwingungserschei nungen an Spindeln.—«Faserforschung und Textil technik», 1951', No. 11, No. 12, S. 425—440, 484—492.
120.	Foppl A. 1. Das Problems der Lavalschen Turbinenwelle.— «Der Civil ingenieur», 1895, S. 333—342.
121.	Vereinfachte Darstellung'meiner Theorie der Lavalschen Turbinenwelle.— «Der Civilingenieur», 1896, S. 249—252.
122.	Linn^F., ProhLM. Effect of Flexibility Support upon the Critical Speed.of High—SpeecLRotors. — «Trans. SNAME», 1951, vol. 59, p. 237—243.
ОГЛАВЛ Е НИЕ
Предисловие ...................................................... 3
Введение. Д-р техн, наук А. С. Кельзон............................ 4
Глава 1. Виброактивность роторов машин. Канд. техн, наук Ю. Н. Жу-	*
равлев ................................................ 7
1.	Влияние погрешностей исходных данных на погрешность расчета критических скоростей....................... ’.—
2.	Виброактивность роторов двоякой жесткости........... 12	?
3.	Виброактивность подшипников скольжения вследствие некруглости цапф ...................................... 23
4.	Влияние несоосностей роторов на их виброактивность 35
5.	Влияние температурной асимметрии роторов машин на их	'
виброактивность . . . ............................... 48	"
6.	Другие факторы, влияющие на виброактивность роторов 57
Глава 2. Виброактивность роторов скоростных машин, вращающихся в подшипниках качения. КанД. техн, наук Н. В. Январев 61
1.	Кинематические и силовые параметры подшипников качения .................................................... —
2.	Упругие свойства подшипников качения .............. 69
3.	Динамика вала в подшипниках качения ............... 79
4.	Субгармонические колебания ротора в подшипниках качения ................................................  91
Глава 3. Снижение виброактивности роторов машин................. 102
1. Повышение точности изготовления, балансировки и монтажа роторов. Канд. техн, наук Ю. Н. Журавлев . . .
2. Влияние податливости опор на уровни вибронагрузок, вызванных анизотропией жесткости ротора, овальностью цапф и несоосностью роторов. Канд. техн, наук Ю. Н. Жу-
равлев .............................................. ПО
3.	Динамика жесткого вала, вращающегося в одной шарнирной и второй упругой опорах. Д-р техн, наук А. С. Кель-зон................................................'	.	117
4.	Динамика жесткого вала, вращающегося в двух упругих опорах. Самоцентрирование. Д-р техн, наук А. С. Кель-зон................................................... 139
5.	Самоцентрирование и уравновешивание высокооборотного компрессора. Д-р техн, наук А. С. Кельзон............. 150
6.	Линеаризация системы вал—подшипник введением линейной податливости в опору. Канд. техи. иаук Н. В. Ян-варев .........................................    .	164
7.	Расчет долговечности подшипников качения. Канд. техн, наук //. В. Январев .................................. 174
286
8. Экспериментальное исследование динамики ротора в подшипниках качения. Канд. техн, наук Н. В. Январев 181
Глава 4. Динамическое подобие и моделирование колебаний роторных
систем. Канд. техн, наук ZO. /У. Журавлев......... 195
1.	Основные положения теории подобия и моделирования —
2.	Подобие и моделирование гибких роторов......... 203
3.	Подобие и моделирование жестких роторов в упругих опорах............................................	213
4.	Подобие и моделирование подшипниковых узлов . . .	219
Глава 5. Расчет и конструирование упругих подшипниковых узлов.
Д-р техн, наук Л. С. Келъзон...................... 226
1.	Упругая опора с витыми пружинами................. —
2.	Упругое кольцо с выступами..................... 229
3.	Расчет и конструкция упругой	опоры............. 249
4.	Расчет и конструкция торцового упругого кольца . . .	260
5.	Упругие подшипники качения и скольжения . . . . .	267
6.	Порядок расчета роторной машины................ 270
Приложения................................................... 275
Список	литературы......................................... 280
ИБ Хе 49
Анатолий Саулович КЕЛЬЗОН
Юрий Николаевич ЖУРАВЛЕВ
Николай Владимирович ЯНВАРЕЙ
РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ РОТОРНЫХ МАШИН
Редактор издательства В. П. Васильева
Переплет художника Н. И. Абрамова Технический редактор Л. В. Щетинина Корректор Л. А. Курдюкова
Сдано в производство 14/IX 1976 г.
Подписано к печати 4/III 1977 г. М-12120,
Формат бумаги 60Х 90*/ав.
Бумага типографская № 3.
Печ, л, 18,0. Уч.-изд. л. 17,8. Тираж 7 000 экз.
Заказ Ха 1215. Цеиа 1 р. 25 к,
Ленинградское отделение издательства «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержинского, 10
Ленинградская типография № 6
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и кинжной торговли
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10