А. С. КОНДРАТЬЕВ
В. П. РОМАНОВ
Задачи
по
статистической
физике
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей вузов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 9 2
ББК 22.31
К64
УДК530.145(075.8)
Рецензенты:
кафедра теоретической физики Ленинградского института точной механики
и оптики (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор
В. П. С мирное)',
доктор физико-математических наук В. П. Силин
КОНДРАТЬЕВ А.С., РОМАНОВ В.П. Задачи по статистической физике:
Учеб, пособие для вузов.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.—152 с.—
ISBN 5-02-014682-Х
Представлено около ста оригинальных задач с решениями по статистической
физике и термодинамике, которые отражают все основные направления совре-
менной статистической физики и используемые в ней методы. Задачи подобраны
таким образом, чтобы их решение способствовало развитию навыков самостоя-
тельной исследовательской работы у студентов. Решение некоторых задач под-
разумевает активное использование вычислительной техники.
Для студентов, аспирантов и преподавателей физических специальностей уни-
верситетов, педагогических институтов и вузов с углубленным изучением физики
Ил. 2
Учебное издание
КОНДРАТЬЕВ Александр Сергеевич, РОМАНОВ Вадим Петрович
ЗАДАЧИ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Компьютерный набор выполнен в редакции
литературы по общей и прикладной физике
Заведующий редакцией Л. И. Гладнева. Редактор Л. П. Русакова
Редактор-организатор В. А. Кузнецова. Художественный редактор Г. М. Коровина
Корректор Л. С. Сомова
ИБ №41314
Подписано в печать с оригинал-макета 26.12.91. Формат
60x90/16. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,5. Усл. кр.-отт. 10,15.
Уч.-изд. л. 10,10. Тираж 59РО экз. Заказ 2G90. С~021.
Издательско-производственное
и книготорговое объединение «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано во Второй типографии ИПКО «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
„1604030000 —021
К 053(02)-92
86-91
ISBN 5-02-014682-Х
© «Наука». Физматлит, 1992
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	4
Список обозначений	7
1.	Феноменологическая термодинамика
1.1.	Термодинамика	простых	систем	9
1.2.	Термодинамика	диэлектриков	и магнетиков	11
Задачи	13
2.	Равновесная статистика классических и квантовых систем
2.1.	Статистические	суммы	31
2.2.	Функция распределения	33
Задачи	34
3.	Равновесная квантовая статистическая механика
3.1.	Ферми-газы и бозе-газы	53
3.2.	Смешанное представление в квантовой статистической	механике	55
Задачи	56
4	Теория флуктуаций
4.1.	Гауссова квазитермодинамическая теория флуктуаций	73
4.2.	Статистическая теория флуктуаций	74
4.3.	Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами	75
Задачи	77
5.	Фазовые переходы
5.1.	Фазовые переходы I и	II рода	92
5.2.	Численные методы при	рассмотрении	фазовых переходов	93
Задачи	93
6.	Динамический подход к теории неравновесных явлений
6.1.	Уравнения Лиувилля и	Неймана	109
6.2.	Приближение самосогласованного	поля	ПО
Задачи	111
7.	Описание неравновесных явлений
с помощью управляющих уравнений
7.1.	Кинетическое уравнение Больцмана	131
7.2.	Уравнение	кинетического баланса	Паули	132
7.3.	Уравнение	Фоккера-Планка	132
Задачи	133
Список литературы
151
При изучении наук примеры полезнее правил.
И. Ньютон
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная задача совершенствования системы образования —
повышение качества знаний, развитие способностей к самостоя-
тельной работе и умение применять полученные знания на прак-
тике. Уверенное владение методами современной статистической
физики составляет неотъемлемую часть полноценного физическо-
го образования. В последние годы статистическая физика пере-
живает как бы второе рождение—с одной стороны, совершенст-
вуясь в плане идейного содержания и, с другой стороны, все
активнее вторгаясь в самые разнообразные разделы современной
науки, не только в физике, но и в химии, биологии, социоло-
гии и т.д.
Изложение статистической физики в университетах, педагс
гических институтах и технических вузах с углубленным изуче-
нием теоретической физики осуществляется на завершающем
этапе обучения—как правило, на IV курсе. Практические заня-
тия по решению задач проводятся в течение одного семестра.
Перед студентом стоит весьма сложная проблема—за короткий
промежуток времени овладеть современными методами решения
конкретных задач по весьма широкому кругу вопросов. Имеющие
ся к настоящему времени многочисленные учебные пособия
(«Термодинамика» и «Статистическая механика» Р. Кубо, «Сбор
ник задач по статистической физике» под ред. П.Ландсберга и
др.) не могут обеспечить решение проблемы, ибо не удовлетво-
ряют главному принципу— отбору относительно небольшого коли-
чества материала, на котором можно уверенно отработать необ
ходимые навыки использования наиболее важных из существующих
методов. Кроме того, за время, прошедшее с момента выхода
этих пособий, содержащийся в них материал в некоторой степе-
ни устарел.
4
Настоящее пособие подготовлено на основе многолетнего
опыта чтения лекций по статистической физике и проведения
семинарских занятий на физическом факультете Ленинградского
университета. Тщательно отобран сравнительно небольшой по
объему материал (около ста задач, большинство из них ориги-
нальные), овладение которым возможно примерно за 32 учебных
часа, отводимых на семинарские занятия по статистической
физике и термодинамике. Пособие составлено таким образом,
чтобы решение задач не только способствовало развитию навы-
ков самостоятельной работы студентов, но и являлось источни-
ком новых знаний. В пособии отобран материал, овладение ко-
торым является обязательным для всех студентов-физиков неза-
висимо от узкой специализации. По мнению авторов, этот мате-
риал должен составлять основу того общего языка (тот
«ринг»), на котором возможно общение между теоретиками и
экспериментаторами. В то же время для теоретиков этот мате-
риал представляет фундамент, на котором основывается их
дальнейшее специальное образование, а для экспериментато-
ров—минимум представлений современной теоретической физики
систем многих частиц, без которого невозможно понимание сути
физических процессов.
Пособие состоит из семи разделов. Раздел 1 посвящен фено-
менологической термодинамике. В отличие от обычного подхода,
когда последовательно решаются задачи на использование пер-
вого и второго законов термодинамики, в настоящем пособии
решение задач основывается на использовании всей совокупно-
сти термодинамических законов. Особое внимание уделяется
технике наиболее рациональных и компактных термодинамических
преобразований. Рассматриваются также такие задачи, в кото
рых методы термодинамики применяются для описания слабоне-
равновесных процессов типа распространения звука в среде.
Разделы 2 и 3 посвящены основам равновесной статистиче-
ской механики классических и квантовых систем. В разделе 2
рассматривается вычисление статистических сумм и использова
ние функций распределения. В разделе 3 рассматривается кван-
товая статистика ферми- и бозе-газов. Особое внимание уделя-
ется свойствам систем в квантующих магнитных полях и смешан-
ному (вигнеровскому) представлению в квантовой статистике,
5
которое в последнее время становится все более и более попу-
лярным в научной литературе.
Раздел 4 посвящен теории флуктуаций. Рассматривается как
квазитермодинамическая (гауссова) теория флуктуаций, так и
статистический подход к расчету флуктуаций в рамках разных
ансамблей статистической физики. Завершается этот раздел
рассмотрением свойств динамических систем с флуктуирующими
параметрами.
Наиболее компактным по объему, но весьма трудоемким явля-
ется раздел 5, посвященный описанию фазовых переходов. Наря-
ду с традиционными задачами, основанными на аналитических
преобразованиях с использованием эффективного гамильтониана,
в нем предусмотрено решение задач с использованием электрон-
но-вычислительной техники на основе двух современных подхо
дов —метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики.
Эффективность использования подобных задач в учебном процес-
се в значительной степени определяется уровнем соответствую
щей подготовки студентов и наличием материальной базы.
Последние два раздела (разделы 6 и 7) посвящены современ-
ным подходам к теории неравновесных явлений. В разделе 6
рассматривается динамическое описание неравновесных явлений,
основанное на использовании уравнений Лиувилля и Неймана.
Особое внимание уделяется приближению самосогласованного
поля, позволяющему эффективно учитывать коллективные эффекты
при описании системы с помощью одночастичной функции распре-
деления. В разделе 7 рассматриваются задачи на использование
широко употребляемых при описании неравновесных свойств
кинетических уравнений Больцмана, Паули и Фоккера-Планка.
Каждый раздел заканчивается задачами, условно называемыми
задачами для самостоятельного решения, которые решаются ме-
тодами, разобранными в соответствующем разделе. Они могут
служить средством эффективного контроля степени усвоения
материала.
В пособии не затрагивается диаграммная техника для расче
та равновесных и неравновесных свойств систем многих частиц.
Изложение этих вопросов проводится в рамках специальных кур-
сов и семинаров для студентов, специализирующихся по теоре-
тической физике.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ *)
UЕ — внутренняя энергия
S — энтропия
V — объем
р— давление
fJL — химический потенциал
Л/ —число частиц
Т — температура
f— свободная энергия Гельмгольца
U7 — тепловая функция (энтальпия)
ф—термодинамический потенциал (свободная энергия Гиббса)
£2 — большой термодинамический потенциал
и — внутренняя энергия единицы объема (« = U/V)
$— энтропия единицы объема (у = S/V)
р — плотность (р = Nm/V)
— химический потенциал единицы массы
m — масса частицы
Е — вектор напряженности электрического поля
D — вектор электрической индукции
Р — вектор поляризации
Н — вектор напряженности магнитного поля
В — вектор магнитной индукции
1 rav
М — вектор намагниченности
— коэффициент теплового расширения (изотермический)
С —теплоемкость при постоянном давлении
Р
Су—теплоемкость при постоянном объеме-
OQ — количество теплоты
) Обозначения величин, встречающихся только один раз, приведены в соот-
ветствующих задачах.
v — скорость движения
— изотермический
модуль всестороннего сжатия
яг
и—скорость распространения продольного звука
с —теплоемкость единицы объема (с
р
объема при
объема при
г- —теплоемкость
Е
_ —теплоемкость
единицы
единицы
= с/п
постоянном Е
постоянном D
С—диэлектрическая проницаемость
f— свободная энергия единицы объема (f = F/V)
М — масса системы
С_—теплоемкость системы при постоянном Е
— изотермическая сжимаемость
k — постоянная Больцмана
Е —энергия системы в состоянии с квантовым числом п
Q—статистическая сумма канонического ансамбля
Qu — статистическая сумма канонического ансамбля, системы из 7V частиц
//(<?,р)—функция Гамильтона
Л—постоянная Планка (ft = h/2Tl)
X— статистическая сумма большого канонического ансамбля
£ д,—энергия системы М частиц, находящейся в квантовом состоянии л
р(£)—плотность состояний
Н—оператор Гамильтона
Р—статистический оператор
ьу —квантовая функция распределения
w(E) —функция распределения в
У(г)—потенциальная энергия
п(г) —функция распределения по
Z — конфигурационный интеграл
f(p)—функция распределения по
энергетическом представлении
координатам
импульсам
с — скорость света
с(р) —энергия частицы как функция импульса
О'— спиновый оператор Паули
О'— спиновое квантовое число
(1 — магнетон Бора
О'—матрица Паули
Л\—число заполнения квантового состояния Л
F.(Tl) — интеграл Ферми—Дирака
гь
, Ср— энергия Ферми
7) — параметр порядка
1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
1.1. Термодинамика простых систем
Термодинамика устанавливает точные соотношения между раз-
личными макроскопическими параметрами системы, т.е. различ-
ными экспериментально измеряемыми характеристиками. Для
вычисления таких характеристик необходимо привлекать уравне-
ние состояния, получаемое на основе статистического подхода
или данных эксперимента.
Получение термодинамических тождеств основано на исполь
зовании фундаментального равенства Гиббса, которое имеет вид
dU = TdS - pdV + pdN.
(1.1)
Внутренняя энергия U, рассматриваемая как функция 5, V и N,
называется термодинамическим потенциалом. При этом говорят,
что она задана
например,
дЧ/
в своих естественных переменных. Поскольку,
то из (1.1) следует
бывает удобно перейти
(1.2)
На практике
к термодинамическим
_ d2U
- 3FF3’
потенциалам с другими естественными переменными. Они получа-
ются с помощью преобразований Лежандра
F(TtV,N) = U-TS,
W(S,p,N) = U + pV,
(1.3)
Ф(Т, p,N) = U + pV- TS,
О(Г,Кц) = U-TS-pN.
9
Можно построить и другие потенциалы, например Л = U -
однако практически они не используются. Из определений (1.3)
с учетом (1.1) следуют равенства
dF = -SdT - pdV + pdN,
dW = Vdp + TdS + pdN,
б/Ф = Vdp~SdT + pdN,
(1-4)
d£l = -SdT - pdV - Ndp.
Из равенств (1.4) следуют аналоги равенств (1.2); напри
мер, из первого равенства (1.4) имеем
Практически переход от одних термодинамических переменных
к другим удобно проводить, используя определители—якобианы
перехода
ди ди
dv dv
Вх By
С их помощью частные производные записываются в виде

у
(1-6)
(1.7)
а переход от одних переменных к другим осуществляется следу-
ющим образом:
Если три величины х, у и г связаны функциональной зависи-
мостью f(x,y,z) = 0, то удобно использовать следующее
тождество:
(1.9)
Поскольку часто рассматриваются
числом частиц, то соотношения
учетом этого факта. Например,
системы с фиксированным
(1.1)-(1.5) переписывают с
dU = TdS - pdV,
дТ
(1.10)
10
1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
При наличии электрического поля Е выражение для дифферен
циала внутренней энергии единицы объема системы и записыва-
ется в виде
du = Tds + ^dp + ^EdD,	(1.11)
где £ = р/т — химический потенциал, отнесенный к единице
массы, т — масса частицы, р = Nm/V, D —индукция электрическо-
го поля.
Плотность энергии и в (1.11)—это полная плотность энер-
гий системы, изменение которой определяется теплопередачей,
изменением числа частиц и изменением электрического заряда.
Наряду с и можно рассматривать функцию
«, = и - |nED,	(1.12)
которая получается из и преобразованием Лежандра по перемен-
ным Е и D. Поэтому
du} = Tds + C,dp - |jjDdE.	(1.13)
Можно в явном виде выделить из и плотность энергии электри-
ческого поля
н9 = и - Е2/(8я).	(114)
Тогда, учитывая, что D = Е + 4пР, где Р —поляризация, имеем
с помощью (1.11)
du = Tds + ^dp + EdP.	(1.15)
Наконец, преобразуя и~ по Лежандру в отношении переменных
Е и Р, имеем
wq=u„-PE.	(1.16)
Соответственно
du3 = Tds + C,dp - PdE.	(1.17)
Остальные термодинамические потенциалы получаются с по-
мощью равенств	на основе общих соотношений
(1.3).
Функциям и% и и можно дать наглядную интерпретацию в
соответствии с характером описываемой ими части плотности
полной энергии системы и. Например, и~ описывает плотность
энергии системы за вычетом плотности энергии электрического
И
поля. Использование функции и. вместо и соответствует ситуа-
ции, когда полный электрический заряд системы остается неиз-
менным, а изменяются электрические потенциалы.
Выбор функций и, и., и2 и и3 определяется тем, какая
часть энергии электрически заряженной системы рассматривает-
ся в конкретной задаче.
Термодинамические соотношения для магнетиков весьма сход-
ны с аналогичными соотношениями для диэлектриков. Выражение
для дифференциала внутренней энергии единицы объема имеет
вид
du = Tds + Qdp +	(1.18)
Наряду с и рассматривается также термодинамический потенциал
= и- НВ/(4я).	(1.19)
Тогда
du} = Tds + £dp -	(1.20)
Можно выделить в явном виде плотность энергии магнитного
поля в отсутствие магнетика:
= и - Н2/(8п).	(1.21)
Тогда, учитывая соотношение
В = Н + 4пМ,
где Н— напряженность магнитного поля, имеем
du - Tds + C,dp + HdM.	(1.22)
Преобразуем u9 по Лежандру в отношении переменных М и Н:
и„ = и9 - МН	(1.23)
о Л	 f
Теперь для du~ имеем
О
du^ = Tds + Qdp - MrfH.	(1.24)
Иногда в явном виде выделяют плотность энергии магнитного
поля при наличии магнетика
и'2 = и - В2/(8и).	(1.25)
В этом случае для дифференциала и' имеем
du'2 = Tds + C,dp - MdB.	(1-26)
12
ЗАДАЧИ
1.	Вычислить значение выражения
Решение. Легко заметить, что приведенное в условии
задачи выражение можно записать в виде определителя
Теперь, пользуясь указанным свойством якобианов (1.8), имеем
d(T.s) d(T.s}d(D,T) rasi ГЭУ1
Но из d$ = -SdT + Vdp следует равенство
а VI
ras
Поэтому исходное выражение равно единице.
2.	Выяснить, как меняется энтропия однородной системы при
ее квазистатическом расширении при постоянном давлении. За-
висит ли характер изменения энтропии от коэффициента тепло-
1	17^
вого расширения а = тт ?
4 р
Решение. Нас интересует знак производной
ras
Выразим
эту величину через коэффициент теплового расширения
а. Имеем с помощью метода якобианов
га si _ a(s,p) _ a(s,p) а(7»
[avjn = atKpf -	=
rasi ran
TVa
(127)
так как
p
Использованное
справа мы хотим
a
р
в (1-27) преобразование очевидно, поскольку
га VI
получить Производную ду
воды от О
Теплоемкость при постоянном давлении неотрицательна, по-
этому знак левой части (1.27) определяется знаком а. Энтро-
пия возрастает, если а положительно, и убывает, если а отри-
цательно. Например, при изобарическом расширении
до 4 С энтропия убывает.
3.	Найти разность С - Су теплоемкостей при
давлении и при постоянном объеме для системы с
постоянном
неизменным
числом частиц.
13
Решение. Используя фундаментальное равенство
Гиб-
бса
6Q = Tds = dU + pdV,
(1.28)
имеем непосредственно
ГаГЛ
Считая в (1.28) внутреннюю энергию U функцией температуры и
объема, можем записать
(1.29)
Для выражения в квадратных скобках с помощью (1.28) имеем
[dU
BV
3S1
Из соотношения dF = -SdT - pdV следует
Поэтому
fam „
Теперь с помощью соотношения (1.29) получаем
Р V
аю
ВТ •
Используя соотношение (1.9), можно представить
dV
ВТ
д VI
(1.30)
разность
(1.31)
или
р
р
(1.32)
4.	Выяснить, у каких систем теплоемкость при постоянном
объеме Су не зависит от объема системы.
Решение. Нас интересует случай,
когда обращается в
нуль производная dCy/dV.
Поскольку
то необходимо исследовать величину
dCV ~ д2 U _ d2U
BV~ ~ BVBT ~ BTBV-
(1.33)
14
Так как dU = TdS-pdV,
то
dU
BV
(dS
- р . Но из
dF =
= -SdT - pdV следует
at/
BV
-P-
Дифференцируя это равенство
находим
по температуре, с учетом
(1.33)
dC
дУ
Итак, теплоемкость С..
iarjv
зависит от объема,
ние—линейная функция температуры. В этом случае
ас
BV
не
если
давле-
О’ = О
ат2
при
5. Выяснить, у каких
давлении не зависит от давления.
Решение. Задача аналогична предыдущей.
лстем
постоянном
Учитывая,
что
dW = TdS + Vdp,
(1-34)
имеем
a si
ВТ
faun
ВТ
Составляем производную
ас
а р - Вр~вт
d2W
8 dW
Поскольку из (1.34) следует
гаил
a si
?pj
то с помощью соотношения
di = -SdT + Vdp
находим
зип
3V]
ВТ
Р
Теперь для
дС /др получаем
Р ас я г
Р О ir
дУ
ВТ
2
Видно, что
пая функция температуры.
не зависит от р, если
объем системы
У — линей-
15
6. Найти уравнение состояния системы, для которой выпол-
няются условия ду
to
Решение. Из уравнений,
= о,
dW
Яр
= о.
полученных в двух предыду-
щих задачах
[dU
3V
= т
dW
Яр.
дУ
ЪТ
р
в рассматриваемом случае
ran
следуют равенства
т ran т
' V '	** р
Отсюда получаем для дифференциала температуры
дТ
ЦП dV = ^dp + pv,
Уv J „	г *
dT =
или
dT _ dp dV
Т~ ~ р Ю
Интегрируя, находим
pV = СТ,
где С— произвольная постоянная, которую нельзя определить
термодинамически.
7.	Доказать тождество
гаю _ гаю т гаю2
l^pJs (дэ J г гг; [дт J р
Решение. Способ I. Подобные равенства удобно до-
казывать, рассматривая стоящую слева функцию V(p,S) как
сложную функцию переменных р и S, от которых зависят пере-
менные V и Т, фигурирующие в правой части тождества
V(p.S) = V(p.r(Stp)).
Теперь, пользуясь правилами дифференцирования сложных функ-
ций, получим
гаю
Яр.
гэю .
lspjr +
гаю ran
l^Jpl^Js
(1.35)
Раскрывая производную (дТ/др) :
О
ran _ d(Tts) _ d(T,S) д(р,т) _ га si fan
J s d(p, s) a(p, T) 3(p, S) [a p J T [as J *
с учетом выражений С? = T(dS/dT)p и d$ = -SdT + Vdp
(дТ/др) находим
для
fan т ran
16
Подставляя это выражение в (1.35), получаем требуемое равен-
ство.
Способ II. Задачу можно решить непосредственно, записы-
вая левую часть с помощью якобиана
Ые" atpTsj
о
Теперь, учитывая, что в правой части интересующего нас тож-
дества фигурируют переменные р и Г, имеем
Записывая определитель в явном виде, получаем
Раскрывая квадратные скобки и учитывая приведенные выражения
для С? и б/Ф, получаем требуемое равенство
8.	Доказать тождество
Решение. Задача аналогична предыдущей. Используя,
например, способ II, имеем
Учитывая соотношение dF = -SdT - pdV, приходим к интересую-
щему нас равенству.
9.	Используя уравнение неразрывности
+ div(pv) = 0 .	(1.36)
и уравнение движения идеальной жидкости
выразить в линейном по возмущениям приближении скорость
звука в такой системе через изотермический модуль всесторон
него сжатия Кт - р(др/др)^ .
Решение. Использование линейного по возмущениям
приближения означает, что во всех выражениях следует прене
бречь членами, содержащими квадраты и более высокие степени
переменных величин др и др. Сюда же следует отнести и ско
17
рость движения жидкости и, ибо в термодинамическом равнове-
сии v = 0. Поэтому уравнения (1.36) и (1.37) следует перепи-
сать в виде
|y3p + p0divv = 0,	(1.38)
= ~V5?’ <139)
где pQ — равновесная плотность жидкости. Дифференцируя урав-
нение (1.38) по времени и беря дивергенцию от уравнения
(1.39), приходим к равенству
^Зр - V23p = 0.	(1.40)
дГ
Теперь необходимо связать между собой величины др и др.
При распространении низкочастотного звука система находится
в состоянии локального термодинамического равновесия, поэто
му, выбирая в качестве независимых переменных р и S, имеем
В идеальной жидкости диссипация отсутствует, поэтому
все происходящие процессы являются обратимыми. Это означает,
что энтропия системы не меняется, т.е. 5S = 0. Поэтому соот
ношение (1.41) принимает вид
SP = [зр] зр	(142)
S
Подставляя (1-42) в (1.40), приходим к волновому уравнению
2
Цбр - 1^1 V23p = ° ,	(1.43)
о
в котором производная (др/др'К равна квадрату скорости и
О
распространения возмущений продольного звука. Теперь остает-
ся преобразовать адиабатическую производную (др/др)„ в изо-
О
термическую производную (др/др)? . Используя метод якобиа
нов, имеем
Учитывая, что
д(р, S) д(р,Т) д(р,Т)
- atptrf фл atpTsj 
rasi _ rasi _ cv
l^J v = kJ = T-
окончательно получаем
18
10.	Связать изменение температуры при изменении плотности
жидкости в звуковой волне со скоростью распространения
звука.
Решение. Изменение температуры приводит к необра-
тимому характеру процессов, протекающих в звуковой волне,
поскольку в системе возникает тепловой поток. Однако ско-
рость передачи теплоты в реальной системе много меньше ско-
рости распространения звука, поэтому в первом приближении
можно считать, что процессы происходят обратимо, т.е.
5S = 0.
Итак, искомая величина —это производная (дТ/др)$ . Преоб-
разуя ее с помощью метода якобианов, сразу выделим квадрат
скорости звука и = (др/др)„ :
о
С помощью соотношения
dW = TdS + Vdp
находим
Поэтому для искомой производной имеем
(1.44)
изобарический коэффициент теплового расширения
Имеем
явном виде
гаю _ а<у,р) _ агюр) а(т\п)
гаю ran
v p jp
p
В результате выражение (1.44) для производной (дТ/др}~
О
принимает вид
ran
aVT п2
*** ’
Отношение теплоемкости системы при постоянном давлении С
к ее объему V есть теплоемкость единицы объема с . Поэтому
окончательно результат можно записать следующим образом.
аТи2
19
И. Термодинамическая система расширяется таким образом,
что ее энергия U остается постоянной. Как изменяется при
этом температура системы? Будет ли такой процесс обратимым?
Решение. Необходимо определить, от чего зависит
значение производной (dT/dV)^ . Для этого удобно перейти к
естественным переменным функций4 U - V и S, поскольку при
этом возникают непосредственно измеримые на опыте термодина-
мические параметры:
dU = TdS - pdV.
(1.45)
Поэтому преобразуем (dT/dV)u следующим образом:
ran d(T,U) d(T,U) d(V,S) _ 1 d(T,U)
- diyjj) “ dlv's^lv'u) * Td[vts)
Раскрывая определитель, находим
Остается вычислить производную (dT/dV)„ . Учитывая соот-
о
ношение (1.45), переходим к переменным Г, V, чтобы выделить
в явном виде теплоемкость Су :
(1.47)
Теперь формула (1.46) принимает вид
(1.48)
Искомая производная выражена через теплоемкость системы при
постоянном объеме Су , давление р, температуру Т и изохори
ческий температурный коэффициент давления (др/дТ)у . Знак
изменения температуры определяется соотношением между сла-
гаемыми в квадратных скобках в формуле (1.48).
Чтобы выяснить, будет ли описанный процесс обратимым, не
обходимо рассмотреть производную (dS/dV)^ . Из соотношения
(1.11) при dU = 0 имеем
Итак, происходящий с системой процесс всегда необратим неза-
висимо от того, как конкретно он реализуется: система расши-
ряется в пустоту, не совершая работы и не получая или не
20
отдавая теплоты, или система совершает работу при расшире-
нии, но к ней подводится теплота для обеспечивания постоян-
ства ее энергии.
Аналогично можно исследовать вопрос, как будет изменяться
давление в системе. Для этого достаточно рассмотреть произ-
водную (dp/dV)y . Опять переходя к естественным переменным
функции U, имеем
Входящую сюда производную (dp/dS)y заменяем в соответствии с
формулой (1.47), а производную (dp/dV)s вычисляем, выделяя в
явном виде теплоемкость :
Теперь выражение (1.49) переписывается следующим
образом:
(1.50)
Используя тождество
rapl ravi ran
1<1 т \зт J р [a?] v = -
можно придать формуле (1.50) более удобный вид, вводя изо-
термический модуль упругости К? = ~V(dp/dV)T > 0:
= гсДр[1т]р-сР]	(151)
Видно, что характер изменения давления определяется соотно-
шением между слагаемыми в квадратных скобках.
Замечание. Обратим внимание на то, что у идеального газа
tpV/RT) температура при рассмотренном процессе не меняется,
а давление падает, в чем легко убедиться прямым вычислением
по формулам (148) и (1.51).
12.	Для единицы объема диэлектрика с постоянной плотно
стью найти разность с£ - cD между теплоемкостями однородного
изотропного диэлектрика при постоянной напряженности элект
рического поля Е и индукции D.
Решение. Задачу удобно решать, используя опрсдсле
ние теплоемкости через энтропию. В рассматриваемом случае
имеем
21
Преобразуем выражение для с£ с помощью метода якобианов:
„	т d(s,E)	Td(s,E) д(Т,Р)	Г1	г9ч
СЕ -	1 3(7',Е)	=	7 3(7, Й) 8(7’3')	‘
Раскрывая первый	якобиан	в	правой части	(1.52) и учитывая,
что в изотропном диэлектрике D = сЕ, имеем
_	Тс'ГГд’Н	1	гаЕ] 1	И
се =	Ге LlarJD€	- [атJD[edJrJ	•	11	Е3)
Используя выражение для дифференциала свободной энергии
единицы объема
df = -sdT + J^EdD,
убеждаемся в справедливости соотношения
(1 54)
Подставляя равенство (1.54) в выражение (1.53), получаем
СЕ = CD + Й [1т] 0
Теперь осталось вычислить производную
Подставляя это соотношение в (1.55), находим окончательно
. _ . _ ТЕ2 ГОе]2
Е и ГЙ£|ЗТ|П
Поскольку е > 0, то правая часть этого выражения всегда по
ложительна при Т > 0. Поэтому с£ >
13.	Для единицы объема магнетика с постоянной плотностью
найти разность сн~см межДУ теплоемкостями однородного
изотропного магнетика при постоянной напряженности магнитно
го поля И и магнитного момента М.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей
Используя соотношения
преобразуем выражение для :
г - Т	- т d(s,H) д(Т.М) т_, a(s. Н)
сн -1 tffjT) ~ 1 зогуздЖ = '^зюир
поскольку магнитный момент М связан с напряженностью поля Н
соотношением М = Раскрывая определитель, получаем
_ _	1 _ га 5] гаю 1 г га $ 1 гаю м
22
Производную (ds/dM)T вычисляем с помощью соотношения,
справедливого для изотропных магнетиков:
df0 = ~sdT + HdM.
Знак плюс относится к пара- и ферромагнетикам, где М II Н;
знак минус —к диамагнетикам, где М и Н направлены в проти-
воположные стороны. Отсюда имеем
[д $] _ - Гб Я]
Н =
Подставляя это соотношение в (1.56), получаем
с - с + 7^] 2
сн ~ см~ /Ч?7’1 •
v м
Поскольку для пара- и ферромагнетиков х > 0, а для диамагне-
тиков % < 0, то во всех случаях больше .
14.	Найти выражение для плотности внутренней энергии и
однородного изотропного диэлектрика.
Решение. В рассматриваемом случае D - гЕ и выраже
ние (1.11) записывается в виде
du = Tds + C^dp +
Интегрировать непосредственно это равенство нельзя: диэлект-
рическая проницаемость е не остается неизменной при фиксиро-
ванных р и s, поскольку в ходе такого процесса изменяется
температура системы. Но в общем случае е = е(Т). Поэтому
исходить следует из выражения для дифференциала плотности
свободной энергии f:
df = - sdt + C,dp + ^DdD.	(1.57)
Интегрируя выражение (1.57) при постоянных Тир (диэлектри-
ческая проницаемость е в линейной электродинамике при этом
остается постоянной), находим
f = f0(Tp) + g^D2,	(1.58)
где Iq(T,p) —плотность свободной
рического поля. Учитывая, что
(1 58) получаем
энергии в отсутствие элекг
5 - -(df/дТ) & . с помощью
(1 59)
23
Здесь $0(Г,р) —плотность энтропии в отсутствие электрическо
го поля. Теперь можно воспользоваться соотношением и - f +
+ Ts. Учитывая, что f0+TsQ есть плотность внутренней экер
гии системы uQ в отсутствие электрического поля, получаем
/7 о2 Г. Т rael 1
“ = и0(Т’Р) + ^ё 1 ё[эт] _ •
U L JP,DJ
Второе слагаемое в квадратных скобках даег существенный
вклад в плотность энергии при сильной зависимости диэлектри-
ческой проницаемости от температуры.
15.	В теории молекулярного рассеяния света фигурируют
термодинамические производные от диэлектрической проницаемо
сти e(w) на оптической частоте w по энтропии и давлению:
(дг/дЗ) . (дс/др)^ . В линейной электродинамике значения
этих производных берутся в предельном случае обращения в
нуль электромагнитного поля волны. Однако зависимость е^со)
от энтропии S не может быть установлена экспериментально На
опыте может быть выявлена только зависимость от температуры.
Выразить перечисленные производные через измеримые на опыте
величины
Решение. Преобразуем производную (де/дЗ)? с по
мощью метода якобианов, переходя к переменным Тир:
Производную (дг/др)„ можно выразить
2
Учитывая, что и = (др/др)„ , имеем
о
через скорость
звука.
(1.60)
Входящую
переходя к
в (1.60) производную (де/др)^ можно преобразовать,
переменным р и Т:
Раскрывая первый якобиан в правой части (1.61), имеем
Подставляя это выражение в (1.61), находим
(1.62)
24
Поскольку масса системы М постоянна, то производную (dT/dS)
можно записать следующим образом:
Р
(1.63)
где Су —удельная теплоемкость при
водную (dS/dp)T можно преобразовать
rasi г as 1	1 fa(i/v)]-i
= |3Wnlr = M гЦ“|
постоянном объеме. Произ-
следующим образом:
Подставляя соотношения (1.63) и (1.64) в (1.62), имеем
2	2	2
Здесь учтено, что р - М /V .
Теперь остается только подставить выражение
формулу (1.60):
(1 64)
(1.65)
(1.65) в
16.	Изменение внутренней энергии обратимого гальваниче-
ского элемента в результате прохождения через него заряда е
при изотермическом процессе дается выражением
ЦТ,е) = (7(Т)-еш(Т),
где w(T) — уменьшение энергии элемента при прохождении через
него единичного заряда. Найти уравнение, связывающее элект-
родвижущую силу источника £ и энергию w.
Решение. Работа dR, совершаемая элементом при про
хождении через него заряда de, равна
dR = Sde.	(1.66)
При малых токах джоулево тепло, пропорциональное квадрату
силы тока, есть величина второго порядка малости. Поэтому
процесс протекания тока в элементе можно считать термодина-
мически обратимым, если, конечно, изменение направления про-
текающего через элемент тока вызывает химические реакции,
противоположные тем, которые происходят в элементе при нор-
мальном направлении тока. Тогда при учете соотношения (1.66)
фундаментальное равенство Гиббса можно записать в виде
dU = TdS - Sde.
(1.67)
25
Вычисляя производную (dU/de)T с помощью заданного в ус-
ловии задачи соотношения и с помощью (1.67), приходим к
равенству
(1.68)
Входящую в (1.68) производную (dS/de)T можно выразить с
помощью формулы для дифференциала свободной энергии Гельм-
гольца F:
dF = -SdT - Sde.
(1.69)
Действительно,
из (1.69) следует равенство
(1.70)
Подставляя (dS/de)T из (1.70) в равенство (1,68), приходим к
уравнению, которое называется уравнением Гельмгольца:
Отметим, что в отсутствие теплообмена между, гальваниче-
ским элементом и окружающей средой естественно было бы ожи-
дать, что £ = w. Однако слагаемое Т(дё/дТ)е в (1.71) описы-
вает эффект, связанный с поглощением (или выделением) тепло-
ты элементом из окружающей среды во время протекания элект-
рического тока. Если, например, ЭДС элемента с повышением
температуры увеличивается ((д£/дТ)е >0), то, согласно
(1.71), гальванический элемент совершает работу не только за
счет уменьшения внутренней энергии при химической реакции,
но и за счет теплоты, получаемой из окружающей среды. Рабо-
тая адиабатически, такой элемент будет охлаждаться.
17.	Конденсатор, заполненный диэлектриком с проницае-
мостью е, подсоединен к источнику питания с постоянной ЭДС.
Как изменится теплоемкость единицы объема диэлектрика после
отсоединения конденсатора от источника питания? Выразить
начальную и конечную теплоемкости через диэлектрическую
проницаемость. Изменением объема диэлектрика пренебречь
Решение. При замкнутой цепи напряжение на конден
саторе неизменно и равно ЭДС источника. Следовательно, оста
ется неизменной напряженность электрического поля между его
обкладками. Поэтому в первом случае теплоемкость системы
есть . При разомкнутой цепи неизменным остается электриче
ский заряд на обкладках конденсатора. Это соответствует не-
26
изменной индукции
лоемкости системы
имеем
электрического поля. Итак, изменение теп
есть св ~С£  Используя формулу (1.56),
CD СЕ ~
TP2- fael2
4tT£3^J op
Для вычисления cF и сп удобно воспользоваться формулой
Z-*	jLx
(1.59).
9	9	9
Поскольку 7) /е = Е , то для с£ немедленно имеем
СЕ С^Т)
где с0(Т)—теплоемкость
Аналогично для
TD2
8пе2
D,pJ£,p
(1-72)
незаряженного конденсатора.
получаем
CD С(/Т)
D? ГЭеj 2
4пе3 1°Od,p
TD2
8 tie2
ar2
(1 73)
He представляет труда убедиться в том, что последние сла-
гаемые в правых частях (1.72) и (1.73) одинаковы. Действи-
тельно, в рамках линейной электродинамики диэлектрическая
проницаемость среды определяется ее равновесными свойствами
в отсутствие электрического поля. Поэтому производные от ди
электрической проницаемости по температуре при постоянной
индукции поля и при постоянной напряженности поля одинаковы
и совпадают с производной по температуре в отсутствие поля.
Составляя разность выражений (1.72) и (1.71), получаем при-
веденный выше результат для CD~C£ •
18.	В рамках термодинамики можно построить феноменологи
ческую теорию релаксационных процессов. Основная идея заклю-
чается в превращении неравенства для энтропии dS > 8Q/T,
справедливого для необратимых процессов, в равенство путем
добавления дополнительного слагаемого:
dS =	+
(1.74)
где последний член в правой части связан с необратимыми
процессами внутри системы. Теперь фундаментальное равенство
Гиббса записывается в виде
dU = TdS - pdV - 0d£,
(1.75)
причем при обратимых процессах ф - 0. Предположив, что
скорость изменения параметра £ пропорциональна ф:
ё = И».	(1-76)
27
показать, что 6 > О, и найти в линейном по возмущению при-
ближении закон изменения параметра £ при внезапном изменении
давления и температуры в системе на др и дТ.
Решение. Поскольку энтропия системы при релаксации
к равновесию может только возрастать, то, как видно из
(1.74),	> 0. Умножив (176) почленно на ф, видим, что
b > 0, поскольку ф вещественно.
В линейном по возмущению приближении для ф справедливо
равенство
Используя (1.76) и (1.77), легко убедиться, что для обрати-
мых процессов, когда £ = 0, для 5£е — равновесного изменения
параметра £—справедливо выражение
5?е = “(а^аор>г[[эр]лС5Р+ /г]'	(178)
Теперь уравнение (1.76) принимает вид
= -1[а£-3£е],
(179)
где через т обозначено т
-Ь(дф/д& .
г ’ 1
Выражение для дифференциала термодинамического
потенциала
Ф, как следует из (1.75), имеет вид
= Vdp - SdT - фd£.
(1.80)
Отсюда видно, что
поскольку в состоянии равновесия Ф имеет минимум. Слсдова
тельно, т > 0.
Решение уравнения (1.79) при выбранных начальных условиях
5/7 = 0,	дТ = 0 при t < 0,
др = cv	дТ - при t 0
может быть записано следующим образом:
й£(1) = 3£е[1 - е“//т .
(1.81)
Из (1.81) следует, что величина £ релаксирует к равновес
ному значению с характерным временем т.
28
19. Используя результаты предыдущей задачи, выяснить, как
изменяются со временем изотермическая сжимаемость (3
---------	1 ГдУ
теплового расширения а = р
- - р и коэффициент
внезапном изменении давления и температуры в системе.
Решение. Развитый в предыдущей задаче подход
при
для
р
описания эволюции во времени величины £ подразумевает суще-
ствование в системе по крайней мере двух сильно различающих
ся характерных временных масштабов изменения «медленных» и
«быстрых» величин. Очевидно, что рассматриваемые в условии
задачи параметры а и . изменение которых определяется
временем релаксации координаты, являются в этом смысле мед
ленными величинами по сравнению с давлением и температурой,
скорость изменения которых определяется временем релаксации
импульса. Поэтому описание временной эволюции этих величин
допустимо вести в рамках изложенной схемы.
Рассмотрим изменение объема 5V системы. Аналогично (1.77)
имеем
(1.82)
где под £ понимается некая медленная характеристика системы
(например, это может быть концентрация одного из компонентов
смеси реагирующих веществ). Используя выражение (1.81) для
5£ и (1.78) для 5£е, получаем
5V =
ЗЮ
8V
ВТ
(dV/df-) (дф/др) е.
Pi*	* 1ч 
Л), ~
Pi 1
<av/a?) (ао/аг) ef
(ni'/DQ. T I
Ji %	Pi*
1-е
1-е
(1.83)
др т
57.
Формула (1.83) позволяет написать явные
зависящих от времени величин а(/)
а(/) имеем
выражения для
и	В частности, для
(av/a?) 7 х .
аю
~ v [ат
е
(1.84)
Совершенно аналогично может быть написано и выражение для
/3^7). При этом следует учесть, что в силу соотношения
(1.80) справедливо равенство
гаю гам
29
В результате для р^/) получим
1 rain	-,/Til
'V'1 - _г[Ыг5'wa?£rl,"e ]]	<185>
Отметим, что второе слагаемое в квадратных скобках в
(1.85), описывающее запаздывающую часть сжимаемости, положи-
тельно, так как термодинамический потенциал Ф в состоянии
равновесия минимален. Нетрудно видеть, что этот результат
находится в соответствии с принципом Ле Шателье. Обратим
внимание на то, что к a(t) приведенные соображения неприме-
нимы.
ЗАДАЧИ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.	Вычислить скорость звука в идеальном газе и газе Ван-
дер-Ваальса, исходя из его термодинамического определения
и = /(Зр/ар) .
2.	Газ продавливается через пористую перегородку таким
образом, что давления по обе стороны перегородки постоянны и
равны и соответственно (процесс Джоуля-Томсона). Пока
зать, что для идеального газа температура в таком процессе
не меняется.
Как будет меняться температура в газе Ван дер Ваальса?
3.	Найти разность С - Су для газа Ван дер Ваальса.
2.	РАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИКА
КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
2.1.	Статистические суммы
В равновесной статистической механике вычисляется стати
стическая сумма рассматриваемой системы в каком-либо ансам-
бле. Информация о свойствах системы извлекается из статисти
ческой суммы с помощью термодинамики. Наиболее широко ис
пользуются два ансамбля—канонический и большой канониче
ский.
В каноническом ансамбле статистическая сумма для кван-
товой системы из М частиц имеет вид
Q - Qn = Еехр(-|ЗЕп),	(2.1)
п
где Р = 1/(£Т) — параметр распределения Гиббса, —энергия
системы в квантовом состоянии, задаваемом набором квантовых
чисел п.
Для классической системы из N тождественных частиц стати
стическая сумма дается выражением
= /91гй1ЗЛ,Л71	(2 2)
где Е(р,^)—функция Гамильтона системы, а интегрирование
проводится по всему фазовому объему системы. Множитель
1/(2пЕ)ЗЛ? связан с соотношением неопределенности Гейзенберга
и имеет смысл элементарного объема в фазовом пространстве,
при перемещении внутри которого изображающей систему точки
не появляется нового микроскопического состояния. Множитель
1/М связан с квантовой неразличимостью тождественных час-
тиц. Он обеспечивает правильную зависимость термодинамиче-
ских характеристик от числа частиц W в системе (см. зада-
чу 1). Свободная энергия F связана со статистической суммой
О., канонического ансамбля соотношением
F = -kTlnQ.	(2.3)
31
В большом каноническом ансамбле статистическая сумма
определяется выражением
* - ? Еехр[Р(^-Е )],	(2.4)
Л^Оп
где /1 —химический потенциал, а —энергия системы из N
частиц, находящейся в квантовом состоянии, задаваемом набо-
ром квантовых чисел п. Со статистической суммой £ связан
термодинамический потенциал Q:
(2.5)
Статистические суммы в разных ансамблях связаны между
собой преобразованием Лапласа-Меллина. Например, плотность
состояний р(Е), которая является статистической суммой в
микроканоническом ансамбле, связана со статистической суммой
соотношением, следующим непосредственно из (2.1):
00
Q = J р(Е) ехр(-|ЗЕ) dE.	(2.6)
0
Теперь очевидно, что
р(Е) = Ж Г<2(₽) ехр(|3£) d/3.	(2.7)
a-iO0
Далее формулу (2.4) можно записать в виде
= £exp(ft£V)Q	(2 8)
W=0
Соотношение (28) можно рассматривать как дискретное преоб-
разование Лапласа.
При решении задач следует избегать непосредственного вы-
числения искомой средней характеристики системы путем усред
нения ее микроскопического аналога. Необходимо помнить, что
вся информация о макроскопических свойствах системы содер
жится в ее статистической сумме, и извлекать ее из выражений
(2.3) и (2.5) следует методами термодинамики.
Для некоторых макроскопических характеристик можно запи
сать формулы, непосредственно выражающие их через соответст-
вующие статистические суммы. В частности, для внутренней
энергии U справедливо выражение
Для среднего числа частиц <N> в большом каноническом ансамб
ле имеем
N> =	.
W Jv,|3
(2 10)
32
2.2.	Функция распределения
В каноническом ансамбле квантовая функция распределения
(оператор плотности) определяется соотношением
р =	(2.11)
где Н —оператор Гамильтона системы, a Q — ее статистическая
сумма:^ Q = Sp exp(-H/kT). Среднее значение физической вели-
чины А дается формулой
<Л> = Бр(рЛ) (Spp = 1).	(2.12)
Часто функция распределения задается в каком либо конкретном
представлении. Например, в энергетическом представлении со-
отношения (2.11) и (2.12) принимают вид
1 г Е 1
wn = £ехр|-Нт]'	(2-13)
1	г Е 1
<Л> = A^EJexp -	,	(2.14)
где А(Еп) —диагональный матричный элемент оператора А в
энергетическом	представлении. Классические	аналоги	формул
(2.13)	и (2.14) записываются следующим образом:
ш(£) = ^ехрГ-jJ,	(2.15)
<Л> = JdE р(Е) w(E) А(Е),	(2.16)
где р(Е) —плотность состояний в энергетическом представле-
нии.
В классических системах часто используются функции рас-
пределения по координатам и импульсам. Написав для функции
Гамильтона выражение
Л/ р
" Н(г.Р) - Е]2^.Цг),
где потенциальная энергия U(r) зависит топько от координат
частиц, можно представить распределение (2.11) в виде
р(г,р) = (2пЙ)ЗЛ/п(г)П Яр.)
Z =1
Здесь функция распределения по координатам
а / — конфигурационный интеграл:
z = mJ drexp
2.	А С Кондратьев, В П.Романов
33
Одночастичная функция распределен л по импульсам определена
равенством
mkT ‘
Др) = --------Т/"2еХР
(2nmW)3/ 2
Функция f(p) распадается на произведение трех функций:
р2
Г X
mk
Др) = f(px) KpJ Крг),
л У
Кр,) = -------й"2ехРг
(2itmkTy 2 L
С помощью введенных функций средние значения физических ве-
личин, зависящих только от координат или только от импуль
сов, даются формулами
<Л> = р/г п(г) Л(г),
<В> = Jdp f(p) в(р).
(2.17)
(2.18)
Интеграл в (2.17) вычисляется по координатам всех частиц
системы. Интегрирование по р в (2.18) проводится по импульс
ной переменной одной частицы.
Если под U понимается только энергия взаимодействия час-
тиц системы с внешним полем
z=l 1
то функция и(г) аналогично функции распределения по импуль
сам распадается на произведение функций распределения от-
дельных частиц:
«(<•)= П п(г)’
i=1	'
нормированных условием
J* dr п(г) = 1.
При этом интеграл по г в (2.17) распадается на произведение
интегралов по координатам каждой частицы системы.
Использование функций распределения бывает удобным, когда
требуется найти среднее значение микроскопической величины,
которая не является термодинамической .переменной.
ЗАДАЧИ
1.	Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и тепло
емкость классического идеального одноатомного газа, рассмат
ривая его статистическую сумму в каноническом ансамбле.
34
Р е ш е н и е. Функция Гамильтона для одноатомного иде-
ального газа из У частиц имеет вид
N р2
H(q.p) = Е 2^-
/=1
Интеграл по фазовому объему системы распадается на произве-
дение интегралов по пространственным и импульсным перемен
ным. Интеграл по координатам каждой частицы дает объем V
системы. Интеграл по импульсам распадается на произведение
3N интегралов гауссова вида
со
J exp(-rxx2) dx = Vn/a.
-со
Поэтому выражение для статистической суммы принимает вид
Qn = 7^{2nmkT)3NI2-
Свободная энергия F системы определяется соотношением (2.3).
Используя формулу Стирлинга
1пМ = Winy,
находим
F = -kTN fln-^ + |lnT+ const .
В константу объединены члены, не зависящие от N, V и Т.
Теперь с помощью термодинамического соотношения
dF = -SdT - pdV
находим
kTN
1	1 _ kTN
VJN FT ~
kN + £-lnT + const
+ i^kN.
Теплоемкость можно найти по формуле
cv - '[Ir], 
Внутренняя энергия U может быть найдена с помощью любого из
соотношений
или непосредственно с помощью формулы (2.9).
2.	Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и тепло
емкость для ультрарелятивистского газа с законом дисперсии
35
Е(р) - с]р|, где с —скорость света, рассматривая его стати-
стическую сумму в каноническом ансамбле.
Решение. Поскольку функция Гамильтона • Н системы
складывается из энергий отдельных частиц е(р), то выражение
(2.2) для статистической суммы можно сразу записать в виде
- Г Г dp dp dp exp [- --J 61
h3NN\ L J x У z I kT J
-co
Переходя
ординат,
в интеграле по импульсам к сферической системе ко
получаем
00
co
-co
0
Получившийся интеграл можно вычислить двукратным интегриро
ванием по частям или с использованием интегрального пред-
ставления для Г-функции
Г(г) = J4 dz	Re z > 0.
о
В результате находим
Свободная энергия F, определяемая с помощью (2.19), равна
F =	+ 31 nF + const .
Внутренняя энергия U дается формулой
и = -т2 (ят т! = 3NkT
L ' Jv
или вычисляется с помощью формулы (2.9). Отсюда для С имеем
Су - 3Nk.
Уравнение состояния имеет такой же вид, как и для классиче-
ского нерелятивистского газа:
п ГдП NkT
Р = “3V =
3.	Найти внутреннюю и свободную энергии и теплоемкость Су
при постоянном объеме столба одноатомного идеального газа из
N молекул в трубе высотой и площадью сечения S, находяще
гося в однородном поле тяжести напряженностью g. Определить
Су в предельных случаях mgh^kT) « 1 и mgh^kT) » 1.
36
Решение. В рассматриваемом случае функция Гамиль-
тона имеет вид
N р 2 Af
Н = Ё 2m + £ mgzi ’	(2-20)
1=1	Z=1
где z.—высота,
таком виде функции Гамильтона формула (2.2) содержит произ-
ведение интегралов по динамическим переменным каждой части-
цы. Поэтому
на которой находится г я молекула газа. При
2 ,1Л'
и
• s
О
-00
Интегралы в (2.21) легко вычисляются. В результате имеем
пЛ/г
1 - ехр -
N(2nmkT)3NI 2
Q =
h3NN\
Выражение для свободной энергии получается с помощью
и имеет вид
mg
F = -kT InQ - -NkT In
1-exp(-/ng/i0//eT)
77
In? + const .
(2.23)
В константу объединены члены, не зависящие от /V, Т и
Внутренняя энергия U равна
Я *	Nmghn
! =~Т [зт Я,  iNtT - ёхр№-Л0Л?)-1 -	'2 2,1
Теплоемкость Су в данном случае удобно найти с помощью
женин для внутренней энергии (2.24):
dU
ВТ
fgm 5.,l N^mShG/T)2^(mgh /kT)
L J%	[exp(mghQ/kT) - 1]2£
вы pa
(2 25)
С помощью соотношения (2.25) определяем Су в указанных в
условии задачи предельных случаях:
при rngh^kT) «1	Cv - Nk ,
при rngh^(kT) » 1	Cv = J- Nk .
Интересно отметить, что предельные значения Су можно оп-
ределить, не вычисляя статистической суммы При mgh^ kT) «
« 1 поле тяжести не влияет на движение частип системы, кото-
рая может рассматриваться как идеальный газ в отсутствие
поля тяжести. При mgh^(kT) » 1 для ответа на поставленный
37
вопрос можно воспользоваться теоремой вириала:
2<Е.> = п<Е >,
k	п
где « — показатель однородности потенциальной энергии как
функции координат. В рассматриваемом случае потенциальная
энергия представляет собой однородную функцию первого поряд
ка координаты z. Тогда
2<£,> = <Е > ,	<£> = <£> = 2^- = NkT.
k Z	П Z	п	п Z	£
Поэтому
С.. = лт[<£-> + <£>] = %Nk .
V 01 [ k nJ 2
Кстати, почему не следует использовать теорему вириала при
mgh^kT) « 1?
4.	Вычислить электрический дипольный момент идеального
газа, состоящего из линейных молекул с неизменным дипольным
моментом Ь, при помещении его в однородное электрическое
поле напряженностью
Решение. Функция Гамильтона рассматриваемой систе-
мы имеет вид
jV pt	W
н = Е —+ Е Е/М) - Е (ЬД).
z-12т z=l '	z-1 1 1
Здесь первое слагаемое в правой части соответствует поступа
тельному движению молекул, а е.(М) — классическое выражение
для кинетической энергии вращения как функции момента враще-
ния М. Последнее слагаемое описывает потенциальную энергию
дипольных молекул в электрическом поле.
Выражение для статистической суммы имеет вид
3W
bgcos0'|]yv
'~FT~
в. Интегрирование по т означает
В последнем интеграле
по
Здесь 0—угол между b и
интегрирование по угловым переменным,
удобно перейти к сферической системе координат,
лярную ось по направлению электрического поля
Поскольку электрический момент определяется
от свободной энергии по напряженности поля
a F - -kT\nQ, то для определения Р достаточно
явном виде только интеграл по углу 0.
производной
вычислить в
38
Итак, выражение для Q достаточно представить в виде
п	N
Q =	J80 sin0 exp(d£cos0/£T)} ,	(2.27)
О
где а— коэффициент, не зависящий от напряженности электриче-
ского поля £. Интеграл в (2.27) легко вычисляется и дает
L h
(2.28)
Теперь для
свободной энергии справедливо выражение
F = Fq - NkT Ing + In [sh^l
(2.29)
С помощью (2.29) соотношение (2.26) дает
Полученное выражение называется формулой Ланжевена
5.	Доказать, что классическая система не может обладать
магнитными свойствами (теорема Бора-ван Левен).
Решение. П£и наличии магнитного поля, индукция В
которого определяется формулой В = rot А, где А —векторный
потенциал, функция Гамильтона имеет вид
г е п2
P(.-^A(r.) +U,
в	в
где U — потенциальная энергия взаимодействия частиц
Записав выражение для статистической суммы в виде
системы.
Q =	ехр
h™N\]
Н ]
1гт''
убеждаемся, что интеграл по фазовому пространству системы
можно записать следующим образом:
-оо
Теперь видно, что благодаря бесконечным пределам в интегра

лах по импульсам можно сделать замену переменной
р.- “А(г.) = р'.
ri с 'г ri
В результате Q оказывается не зависящей от векторного потен
циала А. Следовательно, статистическая сумма Q имеет такой
же вид, как и в отсутствие внешнего магнитного поля. Но это
и означает, что классическая система не проявляет магнитных
свойств.
39
6.	Вычислить классическую и квантовую статистические сум
мы системы из W одинаковых одномерных невзаимодействующих
осцилляторов с собственной частотой ь). Найти внутреннюю
энергию и теплоемкость такой системы.
Решение. Функция Гамильтона Н одномерного класси-
ческого осциллятора имеет вид
2	2 2
. mb) х
т +—2~
Поэтому классическая статистическая сумма одного осциллятора
записывается следующим образом:
со
со
н
кл
п J г
-со
Интегралы легко вычисляются и в
<2кл= kT/(hu), где
-00
результате находим
h = h/2n .
mb) х '
~*2kT
(2.30)
Для квантового осциллятора
статистическая сумма дается
формулой
QK,=
Это выражение представляет собой бесконечную убывающую гео-
метрическую прогрессию со знаменателем exp[~hb)/kT). Поэтому
QKB = ехр[’ 1-ехр(-Йа>Д7’) = 2sh(/iL/W) •	(2 31)
Отметим, что при hb)/(kT) « 1 гиперболический синус можно
разложить в ряд и ограничиться первым членом разложения
sh х ~ х. Тогда формула (1.31) переходит в классическое вы
ражение для статистической суммы (2.30).
Очевидно, что статистическая сумма системы из N независи-
мых одинаковых осцилляторов связана со статистической суммой
одного осциллятора соотношением
Q = QN = fesh гггт
rv	ZR1
к	* J
(2.32)
Внутреннюю энергию системы U можно найти с помощью формулы
и =	1п(?лг
Дифференцируя соотношение (2.32), находим
U = ^(1Д7') ln [sh&] = 7V[cth2^r]'r) = N
hw
ёхр(йыД7')-1.
В классическом пределе fiL)/(kT) « 1 отсюда получаем
U = NkT.
кл
(2.34)
40
Теплоемкость системы можно найти, дифференцируя по темпера-
туре выражение для внутренней энергии (2.33):
h<d\2
га U
ВТ
= Nk exp(faW)
[ехр(йо)//гГ)-1]
В классическом пределе hu)/(kT) « 1 отсюда находим С - Nk,
что совпадает с результатом, полученным непосредственно с
помощью (2.34).
7.	Пользуясь соотношением (2.7), получить выражение для
плотности состояний р(Е):
р(Е) = Г «(£-£.).
I
Решение. Подставим в формулу (2.7)
для статистической суммы Q = Jexp(-|3E.):
I
СГ+ zoo
Р(О - Е f exptftf-E'W
1	O'- ZСО
(2.35)
выражение (2.1)
Совершаем замену переменной /3 = ix:
-
Р(Е) = Ek J exp[tx(E-E,)]dx.
1	- fCT-oo
Учитывая, что подынтегральная функция не имеет особенностей
в нижней полуплоскости комплексной переменной х, и используя
интегральное представление для «3-функции, приходим к выраже-
нию (2.35) для р(Е).
8.	Вычислить плотность состояний для нерелятивистского
одноатомного ферм и-бозе газа с законом дисперсии е =
= Р2/(2т).
Решение. Воспользуемся соотношением (2 35) преды-
дущей задачи:
р(Е) = £3(е-е.).
i
Квантовые числа, характеризующие состояние частицы в рас
сматриваемом случае, — это проекции импульса р*, р , р? и
спиновое квантовое число о* :
Г н21
Р(Е) = Е Зе-Й-.	(2.36)
р ,р ,р ,(Т	J
хгу гг
Суммирование по (Г дает множитель g = 2s +1, где s —значение
спина. Например, для электронов s - 1/2 и g = 2 Суммиров?
пие по проекциям импульсов можно заменить интегрированием по
41
правилу
со
?Х	-00
где L —линейный размер системы по оси х. Переходя теперь в
(2.36) к сферической системе координат и выполняя интегриро
вание по углам,
р(е) =
находим
(2яй)3
2
Совершая замену переменной р /(2т) = х,
V = LLL.
X у Z
имеем
Р(Е) = g
2,7W
(2.37)

о
9.	Вычислить плотность состояний для нерелятивистского
электронного газа в квантующем магнитном поле В, пренебрегая
спиновым расщеплением энергетических уровней.
Решение. Закон дисперсии в указанном приближении
при условии, что магнитное поле направлено вдоль оси г,
имеет вид
р2
£ л* =	+	,
2 т с 2J
где о = еВ/(тс) —циклотронная частота, п = 0, 1, 2, ... —
номер осциллятора Ландау. Энергетический спектр электрона
вырожден по квантовому числу характеризующему положения
центра осциллятора Ландау:
- Ру/(тис
Используя обычное выражение
(2.35), имеем
для плотности
состоянии
Р2
+ hb)
лт с

- е
'ггУ
Суммирование по спиновой
переменной
дает множитель 2. Пере-
ходя от суммирования по pz и к интегрированию, следует
аккуратно выбрать пределы интегрирования. Очевидно, что
интеграл по р берется в бесконечных пределах. При рассмот
рении объемных свойств пространственно однородной системы
естественно предположить, что центр осциллятора Ландау лежит
внутри образца:
0 < х ± L ,
С X
42
где L* —линейный размер системы вдоль оси х. Это приводит к
условию, накладываемому на р :
У
О - D mW L .
У с х
Итак, для р(е) с помощью (2.38) имеем
Интеграл по вычисляется элементарно. Так как подынтег
ральное выражение есть четная функция то
VmG) оо °? r р2 г пз
р(е) = 2------^-2 J] \dp 8	.
(2 ИЙ)2 n=oJ0 z I lm c>-
где V = L L L . В интеграле по
x у Z	r
9
ременной py(2m) = x.
В результате получим
Pz удобно сделать замену
п с
Ут3^2й)	1
Р(е) =--------Г z --------------	(2.39)
2 1 /2я2й2 п £-hb)c(n+l/2)
В этой формуле суммирование проводится по таким значениям
п = 0, 1, 2, при которых под корнем стоит неотрицатель-
ное число.
Легко убедиться, что выражение (2.39) переходит
для плотности состояний в отсутствие магнитного
<а)с 0. Действительно, при ь>с 0 суммирование по
заменяется интегрированием
Р(£) = ----------—	Г
2 1 7 W	о
)т1/2
_________dx_______
y/r~€-h(j)c( х+1/2)
Элементарное вычисление этого интеграла приводит
(2.37) задачи 8.
в формулу
поля при
п в (2.39)
к формуле
10.	Определить среднее число столкновений молекул одно
атомного максвелловского газа с единичной площадью поверхно-
сти сосуда, в котором он находится, в единицу времени.
Решение. Пусть ось х перпендикулярна поверхности
стенки, с которой рассматривается столкновение молекул газа
Рассмотрим молекулы, проекции импульса которых на ось х
лежат в интервале р^ р*+ dp . Очевидно, чго в единицу вре
мени столкнутся со стенкой те из молекул, скорости которых
43
v направлены к стенке и которые успевают достичь стенки за
единицу времени. Очевидно, что число таких молекул равно
(pym)exp ( -p^mkTjdp “
dv = П------------тггх----
(2umkT)
2 2
Р g +Рг
2mkT
(2.40)
00
где п— средняя концентрация молекул. Действительно, в равно-
весном газе отсутствуют выделенные направления, поэтому дви-
жение молекул в направлении, перпендикулярном оси х, не
влияет на столкновения молекул со стенкой, которые определя-
ются только движением вдоль оси х.
Чтобы найти полное число столкновений в единицу времени,
следует проинтегрировать выражение (2.40) по р* в пределах
от 0 до со:
00	р 00	р 2 +р2
Р =	= (2w/n^)3/2 J dPx ™ еХ₽ [’ J dPydPz ехр [“
(2.41)
Выполняя интегрирование, находим
v = (l/4)/w,
(2.42)
где и—среднее значение модуля скорости в равновесном газе.
v = /вАТДпт) .	(2.43)
11.	Определить среднюю энергию молекул максвелловского
газа в веерообразном пучке, который выходит через небольшое
отверстие в стенке сосуда в вакуум, и среднее значение коси-
нуса угла между направлением скорости вылетающих молекул и
нормалью к стенке сосуда.
Решение. Среднюю энергию <е> молекул в пучке можно
найти, поделив выносимую пучком в единицу времени энергию Е
на число вылетающих молекул, равное, очевидно, V. Подсчитать
значение Е можно, сообразив, что по формуле (2 41) предыду-
щей задачи определяется именно число вылетающих частиц. Если
о
умножить подынтегральное выражение на р /(2т), то эта форму-
ла будет подсчитывать уже выносимую пучком энергию:
со	200	22222
„ г Р С Р Л г	Г Р +Р -\Р +Р ~Р
Е = №р* ™ехр ["
(2 44)
Интегрирование в (2.44) проще всего выполнить, перейдя к
сферической системе координат в пространстве импульсов,
44
направив полярную ось вдоль х. Тогда
2п п/2	со
=	№sine cos9p₽ р5ехр ( ™
(2 45)
Интеграл по модулю импульса вычисляется с помощью интеграль-
ного представления Г-функции. В результате получаем
Е = 2kTv,
где v определяется формулами (2.42) и (2.43) предыдущей
задачи. Поэтому
<е> = E/v = 2kT.
Доля «быстрых» частиц в пучке выше, чем в равновесном газе.
Аналогично можно получить ответ и на второй вопрос в
условии задачи. Для этого нужно в выражении (2.41) предыду-
щей задачи перейти к сферической системе координат с поляр-
ной осью вдоль х и умножить подынтегральное выражение на
cos 0. Полученное значение интеграла следует разделить на v
После несложных преобразований найдем
<cos0> = 2/3.
Отметим, что приведенное решение имеет смысл только в том
случае, когда выходящий пучок не нарушает теплового равнове-
сия газа в сосуде, т.е. когда число вылетающих молекул много
меньше полного числа частиц в сосуде.
12.	Определить среднее значение высоты молекул одноатом-
ного идеального газа, рассмотренного в задаче 3.
Решение. Поскольку координата молекулы z не явля-
ется термодинамической переменной, то ее среднее значение
удобно находить с помощью функции распределения. Выражение
для функции Гамильтона системы имеет вид (2.20), поэтому
функция распределения по координатам распадается на произве-
дение функций распределения отдельных молекул. В результате
для среднего значения координаты z оказывается справедливым
выражение
г°	Гг°	11
= J dz zexp(-mgz/kT) J dz exp(~mgz/kT) .
(2.46)
0	0
Элементарное вычисление интегралов, входящих в
(2 46), приводит к формуле
выражение
kT _____ h0
mg exp(mgft0/fc7 )-l •
45
Легко убедиться, что полученное выражение дает правильные
результаты в рассмотренных в задаче 3 предельных случаях:
<г> -» h^/2
<z> -> О
при
при
mghQ/(kT) « 1,
mgh^/ikT) » 1.
13.	Показать, что в координатном представлении оператор
плотности р для системы с гамильтонианом //(г,р) может быть
записан в виде
<г |ехрГ-0//[гЛ|-|'||г > = ехрГ-Ря[гЛ|-115(г-г ).	(2.47)
Решение. Будем исходить из выражения для оператора
плотности в координатном представлении
<г |ехр[-|3я[г4|-]1|г> = Еехр(-₽Е (гЛ^Чг ),	(2.48)
L k	n
где собственные функции 0^(г) и собственные значения опера-
тора энергии определяются уравнением Шредингера для ста
ционарных состояний
^[г’7Н?] W =	<2-49)
Используя понятие функции от оператора дэ(Л) как операто
ра, у которого собственные функции 0 совпадают с собствен-
ными функциями оператора Л, а собственные значения равны
значениям функции ^)(Л^) от собственных значений Л^ оператора
Л, имеем
0п(г) = ехр(-ЗЕп) фп(г).
(2.50)
С помощью (2.50) выражение (2.48) можно переписать в виде
<r1|exp[-₽w[r1^|?]]|r2> = exp^A/fr,.^ ]] S0n(r )0*(r ).
Используя свойство полноты системы собственных функций one
ратора Н
WrM(r2) = 5(Г, г2),
п
приходим к формуле (2.47).
Обратим внимание на то, что формула (2.47) определяет не
нормированный оператор плотности.
14.	Построить оператор плотности одномерного гармониче
ского осциллятора в координатном представлении.
Решение. Как и в предыдущей задаче, будем рассмат
ривать ненормированный оператор плотности Аналогично (2.48)
46
имеем
<х I exp(-/3tf(x)) Iх > = £ ехр(-ЗЕ ) 0 (х ) ф (х ).
*	’ > < • 1 г • л*
п
(2-51)
Для гармонического осциллятора собственные функции 0п(х) и
значения энергии Еп даются формулами
0n(*) = [S] 1 4<2"л! )’1/2 еХР [- Й НМ Еп = ЧП4] ’
(2.52)
где //^(7)—полиномы Эрмита, q - (m(d/hf2x, п - 0, 1, 2,...,
fin(q) = (-l)nexP<72^]nexp(-v2)-	(2 53)
Для вычисления по формуле (2.51) удобно воспользоваться
интегральным представлением полиномов Эрмита
2 00
Нn(q) = п ^2eq §du (~2iu)n exp(-u2+2iqu) .	(2.54)
-00
Теперь соотношение (2.51) пе/епишет^>1 с^ед>ющим образом:
2 со
п
<х1|ехр(-|ЗЯ(х))|х2> =
mb)
5г ехР
х exp -fifth) п+
-00
2.0- ..	.2
(2.55)
Под знаком суммы по и в (2.55) стоят слагаемые, соответству-
ющие разложению exp[-2jwexp(~Pte)] в ряд Тейлора,
выражение (2.55) можно переписать в виде
^2^ 2 со
яехР 2 J
-со
х ехр -и2 + 2iq^u - v2 + 2iq^v - 2uv exp(-fifth)) .	(2.56)
в (2 56) можно воспользоваться
Поэтому
<х1|ехр(-|3//(х))|х2> =
тел
ПЙ
fifth)"
Для вычисления интегралов
формулой
00
п
п
-оо

п

b:b, ,
где
матрица. В рассматриваемом случае
|а., | —определитель
IR
матрицы
i k 1
(ц.ь
v lk
(а ) —обратная
trv
а
I aik । = 4Е1 “ ехр(-2/3/га>)],
1
exp(-fihb))
47
а обратная матрица
(а*) 1 =
1_________
2[ 1ехр(~2/3/гсо) ]
-exp(-3ftw)
-exp(-(3fto))'
1
Теперь получаем
1/9
<х |exp(-|3tf(x))|x> =	---exp(-ftto/2)
’	2 innj [ 1ехр(—2/ЗЛсо]1/2
2+ 2
х ехр{Чг^ ~l-exp(-2Pto)[^-2^2 ехр(-ЗМ+^]} •
Используя сотношения
(2-57)
РЛса ch(P/iG))-l _ sh(/3/zca)
2 "	” Т+сЬЩо) ’
можно привести (2 57) к виду
<х1|ехр(-3//(х))|х2> = 2nfish<(l3^Q>)_ х
х ехр{- (x1+x2)2th^ + (xrx2)2cth^ ) .	(2.58)
Не представляет труда вычислить нормированный оператор
плотности. Полагая в (2.58) х = находим
00
Sp ехр(-/3//) = J dx <х|ехр(-/3//) |х> = 2sh((3hG)) th
-со

В результате получаем
<х1|ехр(-|3//( х)) |х2>
₽(дТх2) = Sp ехр(-/3/У)
1/9
-	exp{-^[(Vx2)2tb^*(VA2)2ctb^]}
15.	Спиновый гамильтониан электрона в магнитном поле
Н =	(2.59)
где ц —магнетон Бора, а~ спиновый оператор Паули, В — индук-
ция магнитного поля. Считая ось г направленной вдоль магнит
ного поля, найти среднее значение а в ансамбле с фиксиро-
ванной температурой.
Решение. При указанном направлении магнитного поля
гамильтониан (2.59) переписывается так:
Л	Л [1 О'
Н = -цВе	а =
г 2 [О -1J
Используя понятие функции от оператора, запишем схр( |3/7) в
виде
ехр(—/37/) =
ехр(|3/1В)
0	'
ехр(
48
Видно, что нормированный оператор плотности можно записать:
Л 1
р - 2ch('3gB)
exp(3g) О
О ехр(-|3/1В)
Теперь для среднего значения а? имеем
«т > = Sp(pcr ) = th(0gB).
Ответ можно получить, не находя явного выражения для опе-
ратора плотности. Поскольку сг^ = /, то справедливо равенство
exp(3gB<r ) = £ -тОЗцВс )" =
*	f\ Ч
п=0
= (W * X PWT		<2.60)
В правой части выражения (2.60) стоят разложения в ряды
Тейлора гиперболических синуса и косинуса:
ехр(ррВсг ) = ch(3ptB) • / + sh(PptB) • а
Теперь легко видеть, что
Spexp(3gB<r) = 2ch(3gB), Sp [о-exp(3gBo- )] = 2sh(3gB).
Из последних выражений следует, что
A, Sp [cr expfPgBc- )]
<(Г > = -----£-------=
Sp exp(3gBa2)
16.	Исходя из соображений механического подобия, опреде-
лить характер зависимости от температуры и объема свободной
энергии одноатомного классического неидеального газа, у
которого потенциальная энергия межчастичного взаимодействия
есть однородная функция п-го порядка от координат молекул.
Решение. Исходим из соотношения (2.2) для статис-
тической суммы системы из N частиц в каноническом ансамбле,
которое в рассматриваемом случае записывается в виде
Qn =	СХ₽{~	,?о	+	'
(2.61)
где U(q) —потенциальная энергия межчастичного взаимодейст-
вия, удовлетворяющая условию
U(Xq) = *nU(q).	(2.62)
В выражении (2.61) можно выполнить интегрирование по им-
пульсным переменным:
л =	/о 63)
/z3AfV* "	(--оо)
49
Здесь конфигурационный интеграл
Z
= J [dq] ехр{- ^}.
(2.64)
Если в подынтегральном выражении произвести замены q -> Л7,
Т -> ЛПГ, то вследствие свойства (2.62) подынтегральное выра-
жение не изменится. За счет преобразования [г/7] интеграл
умножится на	а пределы интегрирования по координатам
изменятся в Л * раз. Такое изменение пределов интегрирования
сводится к подобному изменению объема рассматриваемой систе
мы в Л 3 раз. Действительно, потенциальная энергия U(q)
зависит от разностей координат различных молекул. Поэтому
при выполнении интегрирования по координатам в выражении
(2.64) возникает множитель, равный объему системы
Чтобы оставить пределы интегрирования прежними, нужно,
очевидно, подобным образом изменить объем системы в Л раз.
При этом интеграл примет прежний ‘ вид. Итак, проделанное
преобразование эквивалентно переходу
ZN -
причем в левой части соответствует исходной физической
системе, взятой при температуре Т и объеме V, а имеющий тот
же функциональный вид конфигурационный интеграл в правой
™	3
части соответствует той же системе, взятой в объеме XV при
температуре ХпТ.
С помощью соотношения (2.63) видим, что при таком перехо-
де статистическая сумма преобразуется следующим образом.
если V -> X3V, Т -> ХпТ, то QN -> Лзл,(1+п/2^л, .
Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что обла-
дающую таким свойством функцию можно записать в виде
Qn = T'3iV(1/2+1/n) <p(VT~3/n),	(2.65)
где (р(х) —произвольная функция переменной х. Теперь с по
мощью выражений (2.3) и (2.65) находим
F = -^7’(зЛ^[Х+411п7'+1пф[уГ3/п1
(2.66)
Г - -К, -JO/V -г -J
Учитывая, что свободная энергия есть аддитивная функция от
числа W частиц в системе, можно переписать (2 66) в виде
ГУ г з/пП
п
_о /
где ф — произвольная функция комбинации (V/Af)T
50
17.	Показать, что среднее значение экспоненты <схр<р(х)>,
где угловые скобки означают усреднение по различным значени-
ям величины х, не меньше значения экспоненты от среднего
значения <<р(дс)>:
<ехр ф(х)> £ ехр <<р(х)>.
(2 67)
Решение. Рассмотрим
<р(х). Тогда, очевидно,
f'(t) =
f(t) = In <ехр(ф/)>,
<фехр(<р? )>
<ехр(ф/)> ’
9	о
[„у} = <Ф ехр(ф/)> <ехр(ф/)>- <уехр(0)>
<ехр(ф/)>2
Обозначим F = exp(grt/2) и Ф = exp(<pt/2) и
неравенством Шварца-Буняковского
[J
а
b	b
J F2(x) dx J Ф2(х) dx.
а	а
Имеем
<<рехр(0)>2	<р2ехр(<р/)><ехр(<pt)>
С учетом этого неравенства из (2.68) следует,
Для функции f(t) при t = 1 справедливо
f(D = f(0) + f'(0) + (l/2)f"(£),
где 0 s 1. Из (2.69) теперь следует, что
f(l) * f(0) + f'(0).
Но это эквивалентно неравенству
ln<expg)(x)> £ <Ф(х)>, или
где (р =
(2.68)
воспользуемся
что /"(О < О
<ехр^)(х)>	ехр<«р(х)>.
(2.69)
18. Используя неравенство (2.67), доказать вариационную
теорему Боголюбова: при разделении функции Гамильтона систе-
мы на две части
Н = /70 +
свободная энергия F удовлетворяет условию
F < F + <Н >
О 10’
где /^ — свободная энергия системы с функцией Гамильтона Н{),
а < ... >0 означает среднее значение соответствующей величи
ны по ансамблю с функцией Гамильтона Н® .
51
Решение. Запишем
ческой суммы системы,
(h3NN'. )-1:
очевидное равенство для статисти-
опуская для краткости множитель
х
JdT ехр
ехр уу
Видно, что это равенство можно записать следующим образом:
(2.70)
Из (2.67) следует, что
Поэтому (2.70) можно заменить таким неравенством:
Q £ Q^exp	,
kT 0
откуда
InQ £ lnQ(°)-или F = -^TlnQ F0 + </71>0.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.	Используя выражение для функции распределения по коор
динатам, найти среднее значение квадрата дипольного момента
единицы объема газа, рассмотренного в задаче 2.4.
2.	Определить плотность состояний электронного газа в
квантующем магнитном поле, учитывая спиновое расщепление
энергетических уровней.
3.	Используя выражение для максвелловской функции распре-
деления классического идеального газа, определить среднее
значение п й степени модуля скорости молекул.
4.	С помошью ЭВМ построить графики зависимости плотности
состояний электронного газа в квантующем магнитном поле без
учета и при учете спинового расщепления энергетических уров
ней.
3.	РАВНОВЕСНАЯ КВАНТОВАЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
3.1.	Ферми-газы и бозе-газы
При рассмотрении квантовых систем, в которых определены
одночастичные состояния, удобно с самого начала учесть сим-
метрию волновой функции системы: частицы с полуцелым спином
(фермионы) описываются антисимметричными волновыми функция-
ми, частицы с целым спином (бозоны)—симметричными. Для фер-
мионов справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоя-
нии может находиться не более одной частицы. Для бозонов
числа заполнения квантовых состояний произвольны.
Функции распределения для фермионов и бозонов легко полу-
чить в рамках большого канонического ансамбля, выбрав в
Выражение для термодинамического потен-
вид
качестве подсистемы совокупность всех частиц, находящихся в
данном квантовом состоянии А. Энергия системы в этом состоя-
нии есть Е^ =
циала имеет
Для фермионов
= -ferinS ехр[(р-ЕА)^/(^)] 
- 0, 1; поэтому
Для бозонов - 0, 1, 2, ... Находя сумму бесконечной гео-
метрической прогрессии, получаем
= kT In fl - ехр[(м-еА)/(ЛГ)]1 .	(3.2)
V	-
причем |1 < 0. Средние числа заполнения (или функции распре-
деления) получаются с помощью термодинамического равенства
Поэтому с помощью (3.1) и (3.2) имеем
«ех) = ёЯр[(€А-и)/(^7')П Т 
(3.3)
53
Знак плюс относится к фермионам, знак минус — к бозонам. Хи
мический потенциал р определяется из условия нормировки
функций распределения:
JexpL(eA-g)/(^)JTT = N’	(3'4)
где N — полное число частиц в системе. Вводя плотность состо
яний р(е), можно переписать равенство (3.4) в виде
= рер(е) f(e).	(3.5)
Термодинамический потенциал всей системы £2 дается форму
лой
£2 = jq А= + kT £1п{1 ± ехр[(р-еА)/(ЛТ)]},	(3.6)
которую аналогично (3.5) можно записать так:
Я = +Wpte Р(Е) 1п{1 ± ехр[(ц-Е)/(«)]}.	(3.7)
Термодинамические характеристики системы определяются с
помощью £2 по обычным формулам термодинамики.
Статистические свойства фермионов и бозонов резко разли-
чаются при низких температурах. При расчете низко температур
ных свойств фермионов используются асимптотические разложе-
ния интегралов
о°	Р	2
КхрЦе-дЖ)! . 1 -	..	(3 8)
о	о
При произвольных температурах удобно использовать интегралы
Ферми-Дирака:
00	/г	00
= iwnj 1.	г<г>  р' 1	(3.9)
о	о
Интегралы Ферми-Дирака обладают удобным свойством
Fk^ = М7*	(310>
При рассмотрении свойств бозе систем при температурах,
меньших точки бозе эйнштейновской конденсации, удобно
использовать соотношение
оо
= ГОКО) (г > 1).
о е 1
где Г(г)—гамма функция, a £(z)—дзета-функция Римана
СО) = Е п *.
П=1
54
3.2.	Смешанное представление
в квантовой статистической механике
Переход к смешанному представлению осуществляется следую-
щим образом. В матрице плотности, взятой в координатном
представлении, совершается переход к новым пространственным
переменным, равным полусумме и разности старых переменных.
Для одночастичной матрицы плотности такому переходу соответ-
ствуют соотношения:
R = (1/2)(г1+г2^’ г=гГг2’
<г1,(г1|р|г2,(г2> —> <R+r/2,<r1|p|R-r/2,<r2>.
Здесь и сг2—спиновые переменные. Далее совершается преоб
разование Фурье по переменной г:
faff (P’R) = prexp(-|pr)<R+2,<r1|p|R-^,cr2>.	(3.11)
1
Функция f (p,R) называется равновесной квантовой функцией
12
распределения Вигнера. Формула обратного преобразования име
ет вид
<г1,о-1|р|г2,<т2> =	ехр[^р(Г1-г2)]
В общем случае квантовая функция распределения Вигнера не
является положительно определенной и поэтому не может рас-
сматриваться как вероятность реализации определенных состо
яний. Однако проинтегрированная по импульсной переменной
функция распределения Вигнера дает распределение по прост
ранственным координатам. Проинтегрированная по пространст
венной переменной она дает распределение по импульсу.
Функция распределения Вигнера позволяет записать основные
соотношения квантовой статистической механики в виде, фор
мально аналогичном соотношениям классической статистики. Это
не относится к спиновым переменным, для которых нет класси
ческого аналога.
Все фигурирующие величины в смешанном представлении оста-
ются матрицами в спиновом пространстве. Спиновые индексы при
использовании функции распределения Вигнера обычно в явном
виде не выписываются.
55
ЗАДАЧИ
1.	Найти термодинамический потенциал Q для
ского ферми-газа при произвольной температуре и
через интеграл Ферми-Дирака.
Решение. Используя формулу (3.7) для
и выражение (2.37) для плотности состояний
р(с) = V-2V2m3/2eV2/(ltih3),
получим
17.9 1/2 ™3/2
ЬТ * т
я п
оо
Jde
о
с172
In 1 + ехр
£2 =
нерелятивист-
выразить его
ферми-систем
Совершая замену переменной и интегрируя по частям,
приходим
к следующему соотношению:
о - trV'23/2m3/W/2 ” dx х3/2
3п2ft3	J ехр1(х-м)/(И)] + 1 ’
Используя определение интеграла Ферми-Дирака (3.9), этому
выражению можно придать вид
й  -21/^?/2з<*г>5/2'?з/2(ёт] -	<312>
Уравнение для определения химического потенциала g с
помощью (3.12) записывается следующим образом:

2.	Найти теплоемкость Cv при постоянном объеме нереляти
*	9
вистского ферми-газа с законом дисперсии е = р /(2m) при
низких температурах.
Решение. Искомую теплоемкость можно определять с
помощью соотношения
cv  [lr]v	<3 13>
Выражение для энергии Е системы можно записать в виде
со
Е = JcfE ер(€) f(E).
о
Используя низкотемпературное разложение (3.8), можно на
писать с точностью до квадратичных по температуре членов
Е = Jde ср(е) + | (kT)2 [р(м) + рр' (ц)].	(3.14)
о
56
В выражении (3.14) химический потенциал g зависит от темпе
ратуры, поэтому при вычислении теплоемкости по формуле
(3.13) необходимо учесть эту зависимость. Проще всего это
сделать следующим образом. Запишем первое слагаемое в правой
части (3.14) так:
Jde ер(е) = J de ер(е) + (g-M0)P0 Pd^),
о	о
где — энергия Ферми. Второе слагаемое в правой части этого
выражения представляет собой зависящую от температуры по
правку; поэтому значение подынтегральной функции ер(с) можно
взять в крайней точке промежутка (gQ,g). Теперь все вы раже
ние (3.14) запишется так:
^0	2 о
Е = ] de ср(с) + (g-g0)M0 Р(М0) + £ (ЬГ)2 [p(M0)+M0Pz (M0)J
о
(3.15)
Запишем выражение для среднего числа W частиц системы и
преобразуем его аналогичным образом:
“	Мо	2
W = Jdep(£)f(€) = J de р(с) + (р-^) р(р0) + (kT)2 р'(р0).
о	о
Первое слагаемое в правой части равно N, ибо оно представля
ет собой выражение для числа частиц N системы при нулевой
температуре. Поэтому
(|Х-р0) р(р0) + | (kT)2 р' (м0) = 0.	(3 16)
С учетом (3.16) равенство (3.15) переписывается в виде
Е = J°dE ЕР(Е) + f (kT)2 р(р0).	(3 17)
о
Теперь для теплоемкости Су получаем
Cv = р2р(М0)Т.	(3 18)
Видно, что значение теплоемкости определяется плотностью со
стояний на уровне Ферми.
3.	Используя известное соотношение квантовой статистиче-
ской механики Q = -(2/3)Е, можно провести вычисление тепло
емкости Су ферми газа при постоянном объеме таким образом.
Найдем энтропию системы S, для которой справедливо равенство
57
С помощью приближения (3.17) для энергии Е, найденного в
предыдущей задаче, получим для S выражение
S = у2 k2p(ti0)T.
Теперь для теплоемкости Су находим
Cv = Т ЗТ = I f ^plu^T.
Как согласовать этот результат с формулой (3.18) предыду-
щей задачи?
Решение. Формула для энтропии S = ~д£1/дТ предпола-
гает выполнение дифференцирования при фиксированном химиче
ском потенциале системы (1:
s = _ rani
loT'Jg
Поэтому, используя результаты предыдущей задачи, следует
дифференцировать не выражение (3.17), а выражение (3.14),
содержащее химический потенциал р при конечной температуре
7, а не при 7 = 0. Тогда получим
Для нерелятивистского газа плотность состояний
циональна е1//2:
р(£) = Аг^2.
(3.19)
р(г) пропор-
Поэтому справедливо равенство
Р(М) + РР#(М) = |р(М)
Подставляя это соотношение в (3.19) и учитывая, что р можно
положить равным энергии Ферми pQf приходим с помощью выраже-
ния для теплоемкости Су = TdS/dT к правильному результату:
cv = р2р(р0)Т.
4.	В зонной теории собственных полупроводников и полуме
таллов термодинамический потенциал Q электронной системы
дается выражением
00
П = J de р{е) 1п(1+ехр^£),	(3.20)
i -со
где суммирование производится по электронным зонам. Расс мат
ривая приближение двух зон — валентной зоны v и зоны проводи
мости с, выяснить, как запишется термодинамический потенциал
Q после перехода к «дырочному» представлению, когда вместо
58
электронов в валентной зоне рассматриваются положительно
заряженные дырки.
Решение. Рассмотрим для определенности случай соб
ственного полуметалла, зонная схема которого показана на
рис. 1. Энергию отсчитываем от дна зоны проводимости; пере-
крытие зон равно А. В случае полупроводника А < 0—это шири-
на запрещенной зоны. Будем считать валентную зону ограничен-
ной снизу значением энергии с = -5, хотя в приближении толь-
ко двух зон в конечных результатах следует положить <3 ^ со.
Рис. 1. Зонная схема полуметалла
Вводим число состояний Л^е)
превосходящей е, так что
в гй зоне с энергией, не
р/е) = dN .(E)/d£	(/ = и, с).
Тогда, интегрируя (3.20) по частям, получаем
“fife N (Е) ArfE У (£)
Q - Г________С _ Г__________Vх 7
o1+exP^ -а1+ехр|т^
Вводим величину
JV" = ЛГ - ./V (е),
/1	Vх п
kTN (е) 1п 1техр
V
где N — число электронов в целиком заполненной
(3.21)
А
.	(3.22)
5
(3 23)
валентной
зоне, равное полному числу электронов в собственном полуме-
талле в модели двух зон: 7У^(А) = N Последнее слагаемое в
(3.22) на нижнем пределе интегрирования обращается в нуль;
поэтому с учетом (3.23) выражение (3.22) записывается следу
59
ющим образом'
de N (е)
_____сv 7
<_____ей
^(е)
51+ехр|^
А
- АГ J
-5
de
1+ехр|^
- NkT In 1-r
(3.24)
Переходим к дырочному представлению. Делаем замену е' =
= Д-е, вводим = Д-g и определяем число дырочных состояний
с энергией, меньшей е: Л^(е) - ^(Д-£). Тогда второе слагае
мое в (3.24) принимает вид
Lrde Nvk(e)
Г hv 7
^+$de jV,(c)
Г hx '
Учитывая равенство
г g.-e.-l Г ^/П’1
11+exp—J = 1 - ll+exp-g?--] ,
используя (3.25) и вычисляя интеграл в третьем слагаемом в
(3.24), перепишем (3.24) следующим образом:
Д+6
1+ехр
Д+г5</Е yV.(E)
Г _______h х 7
J С-Ц
о 1 + е х р—— о
Третье слагаемое в этом выражении является
величиной и может быть отброшено. Учитывая
предельного перехода 6 -> оо в модели двух зон,
сать последнее слагаемое в (3.26) в виде
+61 . д,,..
NkT\n 1 + exp
Слагаемое 7V6,
отбросить. Теперь видно,
мического потенциала Q
ретает структуру
постоянной
необходимость
можно перепи-
являющееся постоянной величиной, можно
что выражение (3.26) для термодина-
электронной системы кристалла приоб-
где Пе и Qh, определяемые первым и вторым слагаемыми в
(3.26), имеют смысл потенциалов электронов проводимости и
дырок соответственно. Соотношение (3.27) удовлетворяет уело
вию сохранения полного числа электронов в системе. Действи-
тельно, определяя число электронов N в системе по обычной
формуле N = dQ/dfi и учитывая, что д/дц - -д/дц^ , получаем
из (3.27) выражение
= iVe-jvh+/V,	(3.28)
J Уи-е *
о 1 + е х р——
7^ * (*)
йе + Qh - gtf,
60
где N и 7Vh— числа электронов в зоне проводимости и дырок в
валентной зоне. Например, дифференцируя по g первое слагае-
мое в (3.26), имеем
со
-J* W as [i
О
Интегрируя теперь
/
+ ехр
оо
-1
В собственном
о
по частям и учитывая (3.21), получаем
00 _!
= Jde рс(е) [1 + expf^J = N* .
о
полуметалле N? = Л^в соответствии с форму-
1 + ех
лой (3.28). Вычисление других термодинамических характерис-
тик производится дифференцированием термодинамического по-
тенциала Й при фиксированном значении химического потенциала
g, так что последнее слагаемое в (3.27) не будет давать
вклада. Итак, если при расчетах явно учитывать условие
W =	, то последнее слагаемое в (3.27) можно отбросить и
записать термодинамический потенциал в виде
аа 8Й
П = Яе + Йь, причем
5.	Найти термодинамический потенциал Й для нерелятивист
ского электронного газа в квантующем магнитном поле при
произвольной температуре. Получить выражения для энтропии
системы S, магнитного момента М и среднего числа частиц М.
Решение. Используя общее выражение (3.7) для тер
модинамического потенциала ферми-системы и формулу (2.39)
для плотности состояний р(е) в квантующем магнитном поле
1 1
Р(*) = t. 1 / 2	.. .....>
2	71 " п /с_^(л+1/2)	n/e~toc( и+1/2)
получим
00
Я = -kTA Jefe Е 1 ----------In fl + exp^' .
0 n V £-йа>с(п+1/2)
Суммирование проводится по таким значениям п = 0, 1, 2, ....
при которых подынтегральное выражение вещественно. Меняя
порядок интегрирования и суммирования и выполняя интсгриро-
вание по частям, приведем это выражение к виду
00
00	-----------
Й = 2/1 J fife v е ftw^(n+ly/2) I 1 + expF	(3.29)
n=0W (n+1/2)
61
Здесь суммирование по п, как легко убедиться, осуществляется
в указанных пределах. Совершая замену переменных с ~ het х
х (п+1/2) - kTx, переписываем (3.29) следующим образом:
3/2оо “	/ г г ц-hb) (п+1 /2)-]
й = -2A(kT)	£ pxx1/2h + exp х--------------
^°о IL	J
Используя определение (3.9) интеграла Ферми-Дирака и под-
ставляя значение Л, получим
Vm3/2w.(W)3/2 ш
2,/2п3/2й2 n?0Fl/2
1/2)
FT------
(3 30)
С помощью термодинамического равенства
dfi = -SdT - Ndji-MdB
находим
с _	3 й Д(ттЬ\^^ 1 V F
s _ - ? т - л(пй) -,72 £ в ]/2
/	п-0
(n+l/2k
-------------[М- tib)c( п+1/2)],
М = -
Q й д С tlf „ цгг\^ 2
Тпс
ц-hb) (п+1 /2)
hr
N = A(ltkT)
r^to,(n+l/2R
FT-----
п-0
Теперь, используя полученные формулы,
(3.31)
можно убедиться в
справедливости равенства
(5/2)Й + TS + nN + МВ = 0.	(3 32)
Это соотношение является аналогом хорошо известного ра-
венства квантовой статистической механики
й = -(2/3)Е,
справедливого в отсутствие внешних полей. Действительно, за-
пишем энергию системы Е как сумму энергии магнитного момента
в поле, равной -МВ, и оставшейся части Ё, которая, очевидно,
представляет собой энергию хаотического движения частиц при
наличии магнитного поля:
Е = 'Ё - Лв.	(3 33)
Используя термодинамическое определение потенциала Q:
£2 = E-TS- nN	(3.34)
и равенство (3.33), с помощью формулы (3.32) получаем
й = -(2/3)£.
62
Подчеркнем, что при наличии внешнего магнитного поля
средняя энергия хаотического движения зависит от магнитного
поля. Отметим, что соотношение (3.32) остается справедливым
и при учете спинового расщепления энергетических уровней в
магнитном поле.
6.	Показать, что средняя энергия £ хаотического движения
частиц в квантующем магнитном поле делится поровну между
тремя поступательными степенями свободы.
Решение. Вычислим средние значения энергии попе
речного и продольного движения в магнитном поле:
Е1 = <^ыс(«+1/2)>. £ц = <Р^/(2т)>.
Выражение для можно записать непосредственно с помощью
соотношения (3.4):
Г р% A2m)+h(i) (n+l/2)“g] 1
= Е toc(n+l/2)Jl+exp—------------------------к (3.34)
,р	I	J
у £
Действуя так же, как и в задаче 2.9, посвященной вычислению
плотности состояний в квантующем магнитном поле, приведем
это выражение к виду
Vmb)2 оо	“Г	p2/(2m)+fUP
F = JJ(n+l/2)Jdp -1+ехр—--------------------------- .
п Й П-0	[
Совершая замену переменной р = 2mkTx и учитывая опреде-
ление интегралов Ферми—Дирака (3.9), получим
Vm3/2w2	1/9 со
Е1 =	1/2 3/2 <kT>	1/2
1	21/2П3/2Й	п-0 1/2
ц-йы (м+1/2).
(п+1/2).
Выражение для энергии продольного движения F.. можно запи-
сать в виде
О'.п.р ,р
У *
* г
2т
p/(2m)+hw(n+l/2)-i£
1 + exp
И
2
Преобразуем это соотношение аналогично (3.35). Получим
Уй) оо °°
с гч Г
m)+hu (n+l/2)-g
С
----ТГ----------
0
V//i3/2CJ	/ И
^2-3/ф^)	S/1/2
z 71 п п-о
д-Йи.(га+1/2),
1гТ
63
Используя полученные выражения для Е^ и Ец и выражение
(3.31) для магнитного момента Л4 в квантующем магнитном поле,
убеждаемся в справедливости равенства
МВ = 2Ец - Ег	(3.36)
Но это равенство как раз и означает, что средняя энергия
хаотического движения £ поделена поровну между всеми тремя
поступательными степенями свободы. Действительно, энергию
системы Е можно представить в двух видах:
Е =	+ /Ги = £ - МВ.
Но равенство (3.36) можно получить отсюда только при выпол
нении условия
£ = ЗЕц.
7.	Показать, что термодинамический потенциал Q электрон
ного газа в квантующем магнитном поле, даваемый формулой
(3.30), переходит в обычное выражение в отсутствие магнитно
го поля при -» 0.
Решение. Записав выражение для термодинамического
потенциала Q в квантующем магнитном поле в виде
Vm3/2w (АТ)3/2 «	(n+1/2)-,
й =	91/2 3/2.2	^/l/2 ET J’ (3.37)
Z Я ft n=0 L	J
перейдем от суммирования по и к интегрированию по непрерыв-
ной переменной х. Прибавляемая к п величина 1/2 меньше само
го и, и поэтому она выбрасывается при переходе от суммирова-
ния к интегрированию. Учитывая свойство интегралов Ферми-Ди
рака (3.10), получаем
со
1/2
ц-Лис(п+1/2)л
со
kT
со
п-0
kT
Е7
0
X
ц-ftw X
0
На верхнем пределе это выражение в силу определения (3.9)
обращается в нуль. Действительно,
00	Л	00
~ Г(£+1) Jl+exp(x~7)) т^со Щ+TJ е х -	0.
о	о
Подставляя значение функции (3.38) в соотношение (3.37),
приходим к выражению для Й:

64
8.	Показать, что магнитный момент М системы в квантующем
магнитном поле (3.31) пропадает при выключении магнитного
поля.
Решение. Прежде всего отметим, что первое слагае-
мое в правой части формулы (3.31) при -> 0 расходится как
1/ы,, поскольку термодинамический потенциал Q, как было
выяснено в предыдущей задаче, стремится при ш -> 0 к конеч-
ному пределу:
е о	. е W'>
тс о тс Ь)
е	с
Очевидно, что второе слагаемое в правой части выражения
(3.31) должно стремиться к такому же пределу, взятому с про-
тивоположным знаком. Убедимся, что именно так и происходит:
1/9 00
1/2 Е (^V2) Р
п=0
Vm3/2u в “	„ fi(w=0)
91/ 2 „3/2. 7^kT> JdX -1/2 I	= “W “ •
/ Я fl	J	c
Итак, мы показали, что М 0.
с
9.	Найти зависимость от температуры химического потенциа-
ла бозе-газа.
г pt-to (/г+1 /2)
1/2 Чт
1 /2*
Решение. Химический потенциал бозе-газа обращается
в нуль при температуре бозе-эйнштейновской конденсации Т&
определяемой условием, которое следует из (3.5) (k = 1):
N (rnT )3/2 “ d 1/2	3/2°° .	Л/2
V = g- iT-2 9- ч f	= АТ п I - ,		(3.39)
v 21/2п2Й 3 I е г-\	ое1
Ниже этой температуры химический потенциал тождественно
равен нулю вплоть до абсолютного нуля температуры. При тем-
пературах Т Го химический потенциал отрицателен и мал по
модулю Выше TQ выражение для концентрации N/V можно запи-
сать в виде
v = ат3/21 ИрСТ-мЛН •	(3 4°)
о
Прибавляя к (3.40) и вычитая из него такое, же выражение при
pt = 0, получаем
со	со
N = АТ372	71/2 Г 1	_	1 1 ж лт37? Г Л? z1/2l
У	J [exp(z-pt/f)-l expz-1 J J expz-1 ’
o	0
(3.41)
3. A C Кондратьев, В.П.Романов
65
Последнее слагаемое в правой лети (3.41) равно, как еле
дует из (3.39), (N/V)(T/TA В первом слагаемом в правой
части (3.41) основной вклад в интеграл дают малые значения
z — 0. Поэтому экспоненты можно разложить в ряды, ограничи-
ваясь линейными членами. После этого выражение (3.41) прини
мает вид
к Г1 - [Я3/2] = - ЛIМITV2f 1/2 dz
v L L/0J -*	J z'/2(z+|ц|Д)
Интеграл в (3.42) легко вычисляется:
(3-42)
г dz___________
{ z1/2(z+ 1м|Л)
- т .
ж.
1/2
Подставляя это выражение в (3.42), получаем
формулу для
химического потенциала бозе-газа при температуре Т -
„ _	(Л'/У)2Гг1/2 Го/21г
10. Получить формулу для нахождения средних значений с
помощью квантовой функции распределения Вигнера.
Решение. Среднее значение любого одночастичного
оператора А дается формулой (2 12). Запишем ее в координат-
ном представлении:
<Д> = Spr Jdr,dr/,<rz |р|г//Хг,/|Л|г,>,
(3.43)
где Sp^. означает взятие шпура по спиновым переменным
Используя выражение для матричного элемента оператора
плотности через квантовую функцию распределения
(3.11), найдем
<г'|р|г"> = П;^^ех4йр(г,_гЯ Ф’Нг- •
JJ (2яй)л V1 J I z J
Совершаем замену переменных
R = (1/2)(г'+г"), г = г'-г".
Вигнера
(344)
Теперь выражение (3.43) принимает вид
<А> = s₽ J	е*Р fed Лр. R) < R-г I л | R+£> •
(2uft)d J	z z
Вводя определение
Л(р,И) = Jdr exp

(3.45)
(3.46)
переписываем соотношение (3 45) следующим образом:
<Д> = Sp [rfR rfP f(p,RM(p,R).
aj (2nft)4
13.47)
п
66
Соотношение (3.46) называется преобразованием Вейля кванто-
вомеханического оператора А. Формула (3 47) определяет ыра
вило вычисления средних значений в смешанном представлении.
11.	Найти явный вид преобразования Вейля для произвольной
функции оператора импульса $(р).
Решение. Исходим из выражения (3.46). Имеем
V>(p,R) = Jdr exp^prj<R~2l^(P)|R+2>-	(3.48)
Используя дираковские обозначения для векторов состояния и
учитывая свойство
f^P1IP1><P1l = t
можно переписать (3.48) в виде
Ф(Р. R) = [drdpjdpjexp £рг
<R'7lP1> <Pt |Ф(Р) |Р2>
<P2IR+2>
(3.49)
Величина <R-r/2|p1> представляет собой собственную функ
цию оператора импульса в координатном представлении:
<R-£|P1>
Г9пМЗ/2 еХР[й Pl[R’fl] '
(3.50)
Величина <p2(R+r/2> представляет собой комплексно сопряжен-
ную собственную функцию оператора импульса. С учетом (3.50)
выражение (3.49) переписывается следующим образом:
<p(p.R) =
dp. dp dr
ft	V
(2nft)3
[r+j )<p1l^(p)lp2>-
(3 51)
Поскольку оператор в собственном представлении диагоналей.
р|р> = р|р>. то <р1|р|р2> = р15(р1-р2),
и для <| <р(р) | р2> справедливо равенство
<Р111Р(Р)|Р2> = Ф(Р|)5'Р1-р2'.	(3 52)
Подставляя (3.52) в (3.51) и учитывая интегральное пред-
ставление для 6 функции
1 Г	Г i
S(p) = ------dr exp э-pr ,
(2nft)3 J Lft J
получаем
<p(p.R) = ф(р).
те. преобразование Вейля любой функции оператора импульса
равно классическому значению этой функции от импульсной
переменной.
67
12.	Построить квантовую функцию распределения Вигнера для
свободных частиц со спином 1/2.
Решение. Исходим из выражения, задающего вид мат
рицы плотности в координатном представлении:
<гг(г1|р|г2,(г2> = £Р^/ггар0*4г2,<г2),	(3.53)
где 0^г,(т) —волновая функция в состоянии, задаваемом набо-
ром квантовых чисел {/}. Для свободных частиц {О = р*, р ,
5, где 5—спиновое квантовое число. Считая, что частица
помещена в <ящик» объемом V, запишем 0 (г,о*) в виде
ps
Ф-Лг.а) =	7= exp(ipr) X (<т),	(3 54)
Р
где Xs(о*) —двухкомпонентный спинор. В рассматриваемом случае
энергия не зависит от спина, все состояния двукратно вырож-
дены по спиновой переменной, а матрица плотности диагональна
в спиновом пространстве.
Вероятность Р. реализации чистого состояния i определяет
ся фермиевской функцией распределения. Найти ее явный вид
можно с помощью условия нормировки
Spp = Spa рг<г,сг|р|г,(Г> = 1.
Переходя в (3.53) от суммирования по дискретным
числам р. к интегрированию по обычному правилу
г -> -*Црр
Р (2nft)
и учитывая, что
£ Xs(c) Г(<г') = 8^,,
получаем
Pi
где N —число частиц системы.
Теперь (3 53) записывается в виде
V (Г	г
<гго-1|р|г2,(г2> = -4^2/(р) exp^р(ггг2)
I fl ft J
квантовым
(3.55)
(3 56)
Используя формулу (3.11), получаем с помощью (3.51)
^T1(T</P’R)
I Jb
drdp
= —ТУ- -------з К Pl)
2/v J(2nft)J 1
+ pi[RT]]}
ТУ
Др).
*	* Г
x exp< - 4 ;
68
Итак, диагональный матричный элемент функции распределения
Вигнера для свободных частиц с точностью до множителя 1/(27V)
совпадает с функцией Ферми—Дирака.
13. Построить равновесную квантовую функцию распределения
Вигнера для электронов, находящихся в однородном квантующем
магнитном поле, учитывая спиновое расщепление энергетических
уровней.
Решение. Исходим из выражения (3.53) для матрично
го элемента одночастичного оператора плотности в координат
ном представлении, явно указывая спиновые переменные:
<r1,<r1|p|r„,<r9> = EP,Wr,,<T1)0’(r,.(ro).	(3.57)
Выберем векторный потенциал А однородного магнитного поля
в виде А(г) = (-Bi/,0,0). Набор квантовых чисел, определяющих
состояние электрона, есть {i} - k*, п, О', где о* означает
z-компоненту спина и принимает значения О' = ±1/2, а волновая
функция представляет собой двухкомпонентный спинор. Коорди-
натная часть ф волновой функции ф имеет вид (ft = 1)
rmCi) ^1/4
с
п
2пп! L L
Px' Pz
(3.58)
—полином Эрмита порядка и; L*,
2	2
где s = fncjJ^+k*(rnCi)c)] ,
—линейные размеры образца по осям х и z. Вероятность Р
определяется функцией распределения Ферми-Дирака. В принятом
приближении, когда учитывается спиновое расщепление
тических уровней, имеем
Г	£.2
энерге
kг/(2т)+Ь)с( п+1 /2+(r)-g
-1
(3.59)
где N — число частиц в системе. С помощью (3.57) и (3.59)
имеем, переходя к новым переменным R - (1/2)(г1+г2), г =
= г^-г2» следующее выражение для матричного элемента функции
распределения Вигнера в спиновом пространстве:
п,СГ, k ,k
: U7(n.O-,fe)x
f ,k	г
X z
Ч’О'Оо
z	J
Переходим от суммирования no £и k
мощью обычного правила
oo
-^2 Г
(2я) 2_i
(3.60)
z к интегрированию с по-
2
69
Используя формулу (3.58) для волновой функции электрона и
интегральное представление для ^функции
со
5(х) = §dk exp(rtx),
-оо
приводим после выполнения интегрирования по х и г и суммиро
вания по сг выражение (3.60) к виду
m(j) ^1/2
с
f<r О- (P-R)
Г 2
<2пп\
^dydkdkz W(n,a,kz) expi-ip^y)
п, О*
X
X 8(p-k )8(p -k ) exp- -
211
2
w2 = mwjY + k	t'2 = m(dcy^/4.
(3.61)
Отметим, что в отличие от вычисления плотности состояний
в квантующем магнитном поле (задача 2.9), где интегрирование
по проекции импульса, характеризующей положение центра ос-
циллятора Ландау, проводилось в конечных пределах, здесь
интегрирование по k* проводится от -со до +со. Это связано с
тем, что вигнеровская функция распределения определена при
всех значениях импульса. Напомним, что квантовая функция
распределения Вигнера не может рассматриваться как вероят
ность реализации определенных состояний, и поэтому данное
обстоятельство не приводит к каким либо недоразумениям.
Для интегрирования по у воспользуемся соотношением
со
ехр(2«р2и) Hn(p^+v) Hn(PfV) =
-оо
Ру = (mVV2 + 7^\
CJ
L —полином Лагерра порядка
я 1/2
= (mwj г//2 и вычисления
= (~l)n-2n/i! u1/2exp(-u,2)Z. (2w\
Py	2	2	2
v c'
n. После замены переменной v =
интеграла no v выражение (3.61)
записывается следующим образом:
L (P.R) = 2 £ (~l)n W(n,a,p ) exp(-w2) /(2ш2).	(3.62)
V 4 К/ Л	—J I
12	n, CT
Формула (3.62) дает функцию f(p,R), явно зависящую от R,
хотя очевидно, что в однородном магнитном поле рассматривав
мая система является пространственно однородной. Причина
этого заключается в использовании канонического импульса р.
Если перейти к кинетическому импульсу Р - р ~(e/c)A(R), то в
70
силу выбранной калибровки векторного потенциала имеем
Р = р +	Р = р , Р = р .
х	с	у у 2*2
9	2	2
Теперь w = (Р* +Ри функция распределения Вигнера
/(P,R) оказывается не зависящей от пространственных коорди-
нат: f - f(P).
14. Выполнить переход к классической статистике в выраже-
нии для квантовой функции распределения Вигнера для электро-
на в квантующем магнитном поле:
ДР) = 2 £ (-1)п^(л,0-,Р )exp(V)L (2^2),
п=0	2	п
1 Г	Р%/(2т)+Ь) (п+о*+1/2)~/Г|_1	о
W(n,а, Рг) = | 11 + exp	, w2
Решение. При	переходе к классической
(3.63)
mb)
с
статистике
следует прежде всего отбросить единицу в знаменателе выраже
ния для функции распределения Ферми-Дирака. При этом появля-
ется возможность в явном виде выполнить суммирование
ПО
спиновой переменной о* - ±1/2. В результате получаем
с
со
[н)лх
п=0
г P/(2m)+w (n+l/2)-g-i
х ехр--------------?----------
2
2
(3.64)
Теперь можно выполнить суммирование по и, воспользовав-
шись выражением для производящей функции полиномов Лагерра
00
XZ	t .	4
а	п=0
где L —присоединенный полином Лагерра. В результате формула
□ .64) переписывается следующим образом:
г Р/(2т)^/2-ц-.
--------------- х
(j)
HP) =
x
-2w exp(-w_/T)
После
элементарных преобразований
это' дает
’ 2 +Р2 й) з
-^th2T 	(3 65>
С	J
Соотношение (3.65) можно переписать в несколько иной форме,
если воспользоваться условием нормировки квантовой функции
распределения:
зДР.Ю = 1.
71
Вычисление интеграла в (3.66) после подстановки f(P), давае-
мой формулой (3.65), приводит к результату
ехР Т - тйГ th27 2n(2nm7) V ’
С
после чего формула (3.64) переписывается в виде
/л	р 2 р2
12ГГ2п"|з/2а1 c.Dvnf 2 х У cl
№ = V (Г [mJ th 27 ехР - ТтГ - th27J •	(3-67>
Формула (3.67) показывает, что равновесная функция рас-
пределения электронов в квантующем магнитном поле в пределе
классической статистики является «двухтемпературной», ибо ее
можно записать в следующем виде:	о о о
3/2 1	„„Г	" Р»1
т т1/2 ехр Г 27Н77~ ~7тГ
'1'11	11	1
где «продольная» температура Гц —это обычная температура Г,
а «поперечная» температура Г± определяется соотношением
7± = ^/2111(^/27).
Таким образом, существование двух температур для системы
электронов в квантующем магнитном поле в пределе классиче-
ской статистики может быть объяснено проявлением квантовых
свойств при высоких температурах, когда статистика уже ста-
новится классической.
«р) = V Hi
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.	Показать, что соотношение (3.32) остается справедливым
при учете спинового расщепления энергетических уровней в
квантующем магнитном поле.
2.	Используя выражение для энтропии в квантующем магнит
ном поле (первая из формул (3.31)), найти выражение для теп-
лоемкости электронного газа и исследовать характер осцилля-
ций при изменении магнитного поля.
3.	Показать, что в двумерном бозе-газе бозе эйнштейнов
ская конденсация отсутствует.
4.	Используя формулы (3.31), построить графики зависимо-
сти энтропии и магнитного момента от магнитного поля при
разных значениях температуры. Продумайте, как рациональнее
организовать вычисление интегралов Ферми—Дирака с помощью
ЭВМ.
4.	ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ
4.1.	Гауссова квазитермодинамическая
теория флуктуаций
Флуктуациями называются отклонения термодинамических ве-
личин от их средних значений, обусловленные тепловым движе-
нием частиц системы. Различают термодинамические и квантовые
флуктуации физических величин. Условием того, что флуктуация
параметра х имеет термодинамический характер, является нера-
венство
kT » h/т,	(4.1)
где т— характерное время изменения параметра х. В этом слу-
чае плотность вероятности отклонения величины х от своего
среднего значения, полагаемого равным нулю, имеет вид
w(x) - Уа/2п ехр(-ах2/2).	(4.2)
Распределение вида (4.2) называется гауссовым; оно нормиро
вано на единицу:
со
-оо
а средний квадрат флуктуаций <х > равен
со
(4-3)
-оо
При рассмотрении одновременного отклонения от равновесных
значений нескольких термодинамических величин
выражение для плотности вероятности имеет вид
п.
п
;) = (^nf^2eXp("W//2)’	<4 4>
составленный из элементов симметричной
ak. . Распределение (4.4) также нормировано на
где а —определитель,
матрицы a.k
единицу:
00
-оо
73
Для средних значений флуктуаций справедливо равенство
где а „ — элемент матрицы, обратный а.. .
Распределения Гаусса (4.2) и (4.4) получены
(4-5)
при учете
только квадратичных членов в разложении энтропии в ряд Тей-
лора около равновесного значения. Коэффициенты а., имеют
смысл вторых производных от энтропии по х. и х. . Эти форму-
1 ]
лы позволяют вычислять только квадратичные по отклонениям
термодинамических величин комбинации, например <(ДГ)2>,
<AV АГ> и т.д.
Рассмотрим флуктуации в системе, которая может обмени-
ваться с термостатом энергией в форме теплопередачи и совер
шения работы (в статистической физике она описывается изо
термо-изобарическим ансамблем). В этом случае средние значе-
ния давления р и температуры Т определяются термостатом. В
гауссовом приближении формула для плотности вероятности в
отсутствие внешних полей в системе с фиксированным числом
частиц N может быть записана следующим образом:
w ~ ехр	---•	(4.6)
При расчетах с помощью выражения (4.6) необходимо приводить
экспоненту к гауссовой форме, содержащей любую пару термоди-
намических переменных, например V и Т или р и S и т.д.
Общая формула для вероятности флуктуаций неизолированной
системы, контакт которой с термостатом может быть произволь-
ным (термическим, материальным и т.д.), имеет вид
,Я) Ovn АрДУ - ATAS - bpAN	(Л
w ~ ехр	.	(4.7)
В гауссовой теории флуктуаций выбор переменных состояния
системы, как и обычно в термодинамике, произволен, предпола
гается только малость относительных флуктуаций. В случае,
когда относительные флуктуации не малы (например, в окрест
ности точек фазовых переходов II рода), гауссово приближение
становится неприменимым.
4.2.	Статистическая теория флуктуаций
В статистической теории флуктуаций средние значения квад
ратов флуктуаций, как и любые средние значения физических
величин, можно вычислять непосредственно с помощью статисти
74
ческих сумм или функций распределения. Например, в канониче
ском ансамбле удобно вычислять среднее значение квадрата
флуктуации энергии системы. Используя формулу для статисти
ческой суммы Q
Q =	.
I
получаем в соответствии с правилом вычисления средних
Теперь для <(Л£) > = <Е > - <Е> имеем

(4.8)
Аналогично изложенному в рамках большого канонического ан-
самбля удобно вычислять средний квадрат флуктуации числа
9
частиц <(ДД/) >:
<(Д#)2> = <№>-<W>2 =	(4.9)
В изотерме изобарическом ансамбле удобно находить средний
квадрат флуктуации объема:
<(ДЮ2> = -£££>.	(4.10)
Статистический ансамбль определяется набором параметров,
зависящих от физических условий, в которых находится систе-
ма. Эти параметры при заданных условиях по определению флук-
туировать не могут, поэтому флуктуирующие параметры нельзя
выбирать произвольно. В результате в некоторых случаях гаус
сова теория флуктуаций приводит к расхождению со статистиче
ской теорией.
4.3.	Описание динамических систем
с флуктуирующими параметрами
При рассмотрении броуновского движения взвешенной частицы
используется метод Ланжевена, в котором проекция уравнения
движения на некоторое направление записывается в виде
или	= - & + F(0,	(4.11)
dt	U Ul	Ul D
где m — масса броуновской частицы, v/B — сила трения, пропор-
циональная скорости, F{t) — случайная (стохастическая) сила,
75
обладающая свойствами
<F(t)> = 0,	(4.12)
<F(f+T)F(O> = Сд(т).	(4.13)
Здесь угловыми скобками обозначено усреднение по ансамблю
реализаций функций F. Функция <F(t+T) F(t)> определяет сте-
пень статистической независимости величин F(t+i:) и F(J) и
называется корреляционной функцией. Ее можно представить
также в виде
<F(t+x) F(t)> = 1 i m i f F(t+x) F(t) dt.	(414)
e	0
Соотношение (4.13) соответствует простейшему приближению для
корреляционной функции (так называемый белый шум), когда
F(t) и F(t+T) статистически независимы при т * 0. При этом
С = 2kT/B.	(4.15)
Стохастическую величину F(t) можно представить в виде интег
рала Фурье	ю
/•(/) = J F(a>) е~ы.	(4 16)
-оо
При этом формула для обратного преобразования, определяющая
спектральную плотность величины F, имеет вид
оо
F(w) = J dt F(t) е™ .
-со
В силу вещественности физической величины F(t) справедливо
F(co) = F*(-w).	(4.17)
Для однородного во времени стационарного процесса
<F(9 F(t2)> =
При этом функция D(t), соответствующая физически осмысленно
му поведению корреляционной функции случайного процесса,
имеет вид
D(t) = D(0)	1'1 (у > 0).	(4.18)
Для стационарного случайного процесса справедливо
<F(co) F(w1)> = 2n/(w) 5(w + сор.
В этом случае спектральная плотность /(со), даваемая формулой
00
D(t) = J^/(w)^,u'I	(4.19)
СО
76
есть	2
/(w) = /(О)-^Ц, где /(0) =	(4.20)
Из (4.20) видно, что при увеличении времени корреляции
(у 0) в спектральной плотности /(to) остается одна линия
G) = 0:
/(w) у _ -> 2я£>(0) 5(G)).	(4.21)
В противоположном случае у -> со спектральная плотность для
конечного интервала частот Ag) « у превращается в константу:
7(G)) « 7(0).
(4.22)
ЗАДАЧИ
1. Вычислить флуктуации термодинамических величин
<(ДГ)2>, <(AV)2>, <(ДЗ)2>, <(Др)2>, <ДУДТ>, <Д7'Др>, <ДКДр>,
<&p&S>, <ASAV>, и <ASAT>, считая независимыми переменными
параметры V и Т.
Решение. Выразим в формуле (4.6) величины AS и Ар
через флуктуации независимых переменных V и Т:
(dS/dV)
С помощью равенства dF = -SdT - pdV имеем
= (dp/dT)v . Далее, (dS/dT)v = Су/Т. Подставляя эти значения
в (4.23), имеем
АТ.
Теперь выражение для плотности
подстановки найденных выражений для AS и Ар
сов вид в переменных V и Т:
(ДТ)2 +	(ДГ)2‘
вероятности (4.6) после
принимает гаус
w ~ ехр -
(4.24)
Из (4.24) видно, что плотность вероятности
произведение множителей, зависящих только от
означает, что флуктуации температуры и объема статистически
независимы:
распалась на
АТ и AV. Это
<АРА7> - 0.
Сравнивая (4.24) с соотношением (4 3), находим
(4.27)
77
Для вычисления средних значений комбинаций, содержащих
одну из выбранных независимых переменных, удобно выразить
флуктуации второй величины через ДУ и ДТ. Тогда получим, на
пример, для <&Т&р>
<АТ&р> =
Подставляя
сюда соотношения (4.25) и (4.26), найдем
<LTtp> = ДЕК
Аналогично
<ДУДТ> .
Подставляя
(4.25) и (4.27), имеем
<ДУДр> = -kT.
Далее,
<ASAV> =
dS
as
<ДУД7> = -kT
гаю
' у	' 1 " у	р
(4.30)
9	о
Для вычисления флуктуаций <(Д5) >, <(Др) > и <ДрД5> можно
выразить их через ДУ и ДТ. Например,
//А еч2
CV I2
ДУ + ^У^Т
Раскрывая квадрат суммы и учитывая
найдем
формулы
Учитывая соотношение
р
окончательно получаем
<(AS)2> = kC
Аналогично
С помощью (4.31) имеем
kT +
2
V kT
kT2
(4.33)
Р_ У
Подставим это выражение в (4.33) и приведем подобные члены:
<(4р)2> 	.
(4-34)
= kT
2
v
2
v
dV

78
Наконец,
• [^]Ж<(41,’2> фй,<ж)!>
Подставляя сюда (4.26) и (4.27), приходим к равенству
<Др Д5> = 0.
9	а
2. Вычислить флуктуации <(Др) >, <(^5) > и
тая независимыми переменными параметрами р и S.
Решение. Выразим в (4.6)
флуктуации независимых переменных
ГЙС1 AS, АГ =
величины ДУ
<Др Д5>, счи-
и ДТ чеоез
к
ДУ =
Гб Г
дТ
AS .
р
соотношения dH = TdS + Vdo имеем
Далее, (дТ/д8)? = Т/С . Поэтому второе
С помощью
= -(dT/8p)s .
ство из (4.36) перепишется в виде
дУ
(3V/dS)p =
равен-
ДГ =
Ер + jj~ES.
р Р
Подстановка полученных выражений в (4.6) дает
Г 1 Г6У1 /*^2	1 ,асч21
w ~ ехр
Из (4.37) следуют равенства
<АЗ Ар> = 0,	<(Ар)2
3. Вычислить флуктуации <(ДУ)2>, <(Д5)2> и <ДУДЗ>,
независимыми переменными У и S.
Решение. Как и раньше, выразим в (4.6) величины Др
и ДГ через флуктуации независимых переменных У и S:
дТ
считая
ДУ +
ДТ =
ДУ +
Д5.
Используя фундаментальное равенство Гиббса dE = TdS~pdV и
соотношение (dT/dS)y - Т/С^, перепишем выражение для ДТ в
виде
Д7 =
AV + J-AS.
V GV
Теперь для w с помощью (4.6) получаем
w
ехР [2ГГ (AV)2 +
О
(4.38)
79
В отличие от предыдущих задач выражение для w в данном слу
чае не распадается на произведение множителей, зависящих
только от AV и AS, поскольку показатель экспоненты содержит
слагаемое, пропорциональное AS AV, Это означает,
туации <AS А7> не равны нулю. В соответствии
(4.5) в данном случае необходимо обратить матрицу
что флук-
формулой
~ът
Обычное вычисление дает для обратной матрицы
-1

{<} = -(kT)
JVJ
(4.39)
И
Используя (4.39), в соответствии с (4 5) имеем
V
<(&S)2>
VJ
(4 40)
<AS AV>
kT
VJ
Видно, что «неудачный» выбор независимых переменных при
водит к довольно громоздким выражениям, которые, естествен-
но, приводятся к (4 27), (4.32) и (4.30) тождественными тер-
модинамическими преобразованиями. Прежде всего обратим вни-
мание на то, что знаменатель в этих формулах может быть
записан в виде якобиана
в чем легко убедиться, раскрывая это равенство справа налево
и учитывая, что (бТ/ЗУ)^ = -(dp/dS), Теперь, например, для
<(ДУ)2>, получаем выражение, совпадающее с (4.27):
— Гт jj> К) р)"I /эТ^—	ЬТ
<(AV) > -	kT - - d(1Tp)/3(TtV) -
Совершенно аналогично преобразуются и остальные два выраже
ния (4.40)
4. Одной из основных причин молекулярного рассеяния света
являются флуктуации плотности. В спектре рассеянного света
80
наблюдается триплет, центральная компонента которого обус-
ловлена флуктуациями энтропии, а боковые (дублет Мандельшта-
ма-Бриллюэна), связанные с доплеровским смещением в звуковой
волне— флуктуациями давления. Флуктуации энтропии при посто
янном давлении не распространяются в нормальной (не сверхте-
кучей) среде и затухают лишь благодаря теплопроводности,
Найти отношение интенсивности центральной компоненты к ин-
тенсивности компонент дублета.
Решение. Интенсивность рассеянного света в рас-
сматриваемом случае пропорциональна среднему квадрату флук-
туаций плотности:
I ~ <(Др)2> .
Для выполнения расчетов удобно выразить ее через флуктуацию
объема. Поскольку
Др = -^ЦДУ, то I ~ (ДУ)2>.
V2
Выразим флуктуацию объема через флуктуации и давления:
ду =
AS +
р
Возводя все члены равенства в
<&S&p> - 0, получаем для среднего
ции объема выражение
<(ДУ)2> =
квадрат и учитывая, что
значения квадрата флуктуа-
dV
В соответствии со сказанным в условии задачи имеем для отно-
шения интенсивностей
сти компонент дублета
д
Для <(AS)2> и <(Др)2>
центральной компоненты / к интенсивно
/ выражение
(dV/dS)2 <(Д£)2>
(av/ap)2 <(Др)2>
(4.41)
Производную (5V/3S)
г
в задаче 1 получены выражения
kCD.	<(Др)2> = -щар/ау)
р	°
удобно преобразовать следующим образом.
5(КР)
а(5,р)
гаю т
вт тг-
р р
аю
ц
2
р
Аналогично для (dV/dp)„ имеем
гаю а(У,5)	8(У,5) а(У,п а<р,п
Ы -	" 3(кт) stptT) atpttj -
о
снаю т
81
Подставляя приведенные
чаем
выражения в соотношения (4.41),
полу-
н
т (дУ/дТ)2р
--c^3V73pTT-
д
Входящее в (4.42) отношение производных, как следует
дачи 1.3, выражается через разность теплоемкостей С -
(дУ/дТ)2
cP~cv = -T^av73pfT-
Поэтому для отношения интенсивностей /ц//д окончательно по
лучаем
из за-
ц _ Р V
Т~ ~	•
д V
называется формулой Ландау—Плачека.
средний квадрат флуктуации энергии в рамках
флуктуаций и сравнить полученный результат
Это соотношение
5. Вычислить
гауссовой теории
с формулой (4.8).
Решение. Выберем в качестве независимых переменных
V и Т. Тогда для ДЕ имеем
ДГ.
V
Возводя это выражение в квадрат и учитывая, что флуктуации
объема и температуры независимы (<ДУД7> = 0), получаем
|£Л(ЛЮ2> -
. J т
Учитывая, что <(ДУ)2> = -kT(dV/др)
используя соотношения
l^Jv
9
получаем для <(ДЕ) >
<(ДЕ)2> =
ЬЕ =
ДУ +
ЕТ
V ’
<(ДЕ)2> = -kT^
-12
2
(4-43)
<(Д7У> = kTz/Cv , и
Jv
v ‘
-р
V
Перепишем формулу (4.8) тождественно следующим
2 г-
(4.44)
образом:
<(ДЕ)2> = kT2%
(4.45)
поскольку производная по 3 в
ванном объеме в соответствии
ансамбля.
Видно, что формула (4.44)
сравнению с формулой (4.45).
(4.8) вычисляется
с определением
при фиксиро
канонического
содержит лишнее
Дело в том, что
слагаемое по
соотношение
82
(4.43) определяет флуктуацию энергии системы в результате
как флуктуации температуры, так и объема. В формуле (4.45)
флуктуации объема не фигурируют вследствии того, что в кано-
ническом ансамбле объем системы фиксирован. Чтобы в рамках
такого подхода прийти к формуле (4.44), следует использовать
изотермо-изобарический ансамбль.
Полученный в задаче результат имеет общий характер. Флук-
туации, вычисляемые в рамках определенного ансамбля стати
стической физики, соответствуют условиям, в которых находит
ся рассматриваемая система в данном ансамбле. В этом смысле
формула (4.6) соответствует изотермо-изобарическому ансамб-
лю, так как в ней не учитываются только флуктуации числа
частиц в системе.
6.	Получить соотношение (4.44) для флуктуации энергии,
используя изотермо-изобарический ансамбль.
Решение. В рамках изотермо-изобарического ансамбля
выражение для <Е> дается формулой
<Е> = E.e~^Et+pV\	(4.46)
l,V
где статистическая сумма Т есть
= £ e-3(£(+pV\
/,v
Дифференцирование выражения (4.46) для <Е> по /3 и р приводит
к соотношениям
Э<£> = _ <Е^ _ p<EV> + <е>2+ p<E><v> = _<(Д£)2> _ р<ДЕДУ>,
a<F>	(4.47)
= - ₽<£V> + ₽<Е> <V> = - p<LEEV>.
Умножая второе из уравнений (4.47) на р/£ и вычитая получен
ное произведение из первого уравнения, получаем
д<Е>,рд<Е>
<(LE) > =
Вводя обозначение <Е> = Е и переходя к Т - 1/(/3&), получаем
<(ДЕ)2> =	+	•	(4.48)
I Jp I Pjp
Используя фундаментальное равенство Гиббса для системы с
постоянным числом частиц dE = TdS-pdV, перепишем (4.48) в
виде
<(А£)2>
ьт2п (sri	. тз ras] ьт„2гаю .т2 fas!
= -kT р ^.J+ ш -kTp + kT р Вр
v Jp v Jp	L rjT
(4.49)
83
Воспользуемся формулой С? = Т(д8/дТ)? и соотношением (4.31)
между С? и Су и учтем равенство (dS/dp)T = -(дУ/дТ)? , сле-
дующее из соотношения = ~SdT + Vdp. Тогда (4.49) перепи-
шется следующим образом:
<(ДЕ) > = kT\TCv-T
- 2Тр .
С JpJ
В последнем слагаемом в правой части производную (дУ/дТ)
ГД 17"^	ГД Т 7*1 ГД
записываем в виде
.37
флуктуации энергии имеем
<(ДЕ)2> = kT2Cv - kT [If
Р
результате для
-.2
P
p
V
в этой теории гауссов ин-
квадратичных отклонений
значения. Поэтому вычис
функции распределения в
что совпадает с формулой (4.44).
7. Вычислить среднее значение <(ДЕ) >.
Решение. Прежде всего отметим, что искомую величи-
ну нельзя находить в рамках квазитермодинамической теории
флуктуаций, поскольку фигурирующий
теграл соответствует учету только
энтропии системы от ее равновесного
ление следует проводить с помощью
подходящем ансамбле равновесной статистической физики.
Каким же ансамблем воспользоваться? Проще всего вычисле-
ния будут выглядеть в каноническом ансамбле: в микроканони-
ческом ансамбле флуктуации энергии отсутствуют, а во всех
остальных ансамблях флуктуирует большее число параметров,
чем в каноническом ансамбле. Итак, нас интересует величина
з
<(Е-<£>)>, которая в каноническом ансамбле вычисляется
следующим образом. Перепишем формулу (4.8) в виде

2
e
и продифференцируем это выражение по /3. Учитывая, что полу-
чающиеся выражения соответствуют средним значениям разных
степеней энергии, можно записать результат так:
d-jE> = <£3> - <Е2ХЕ> - 2<Е><Е2> + 2<Е>3.
аз2
Легко видеть, что правая часть этого выражения равна
3
<(£ - <£>) > Поэтому можно написать
<(Е - <Е>)3> =	.
аз2
84
Q
Разумеется, при вычислении <(ДЕ) > в различных ансамблях
будут получаться разные результаты.
8. Показать с помощью уравнения Ланжевена (4.11), что
т1 = Вт есть время, в течение которого средняя скорость
частиц	уменьшается в е раз по сравнению с начальной
9
скоростью Найти <и (t)> и показать справедливость форму-
лы (4.15) при выполнении условий (4.12) и (4.13).
Решение. Интегрируя уравнение (4.11) при начальном
условии v(0) = t>0, имеем
и(0 = и е-</т1 + е//771 -U е“/т1 F(u) du .	(4.50)
V»	fllj
о
Производим усреднение по ансамблю реализаций случайных сил
F(t). Учитывая свойство (4.12), находим
t
<v(t)> = vne~t/Tl +	^-f е“/т1 <F(u)> du = vne~i/T1 .
V*	f I I J	V
0
(4-51)
Из выражения (4.51) следует приведенное в условии задачи
утверждение о величине т. = Вт.
Теперь рассмотрим <v (/)>. Возведем (4.50) в квадрат;
тогда, снова учитывая свойство (4.12), получаем
<v2(0> = vy2t/\ + e~2t/T\^[dudv e^/rl<F(u)F(v)>.
m о
(4.52)
Фигурирующий в (4.52) двойной интеграл легко вычисляется при
использовании свойства (4.13) корреляционной функции:
C\dudv е(“+и)/т1 6(« - v) = ^[е2//т1 - 1] .
о
2
Теперь для <v (t)> имеем
<Л0> = ^е’2//Т1 + ^4 fl - е"2</т11 •
U	и 2 I
2 т L
(4.53)
При достаточно большом времени (t -> со) влияние начальных ус
2
ловий сглаживается. При этом <v (/)> принимает равновесное
значение, равное kT/т. Поэтому с помощью (4.53) находим
<v2(0>	«?> = ст^/2т2 = kT/т.
Отсюда получаем
С = 2kTm/x^ = 2kT/B.
85
Подставляя найденное значение С в соотношение (4.53), имеем
Z..2/AS	„2-2Г/Т, k Т Г, -2//Т.1	,, г<>
'V	1 +	— в 1	(4. 54)
Из этого выражения следует, что равновесное значение средне
го квадрата скорости броуновской частицы установится лишь по
прошествии времени, значительно превышающего : t » т1 .
9.	Пользуясь уравнением Ланжевена (4.11), определить ха-
рактер зависимости координаты броуновской частицы от вре
мени.
Решение. Воспользуемся соотношением (4 50) для
скорости броуновской частицы, получаемом при итерировании
уравнения (4.11). Интегрируя выражение (4.50) для и(/) по
времени при условии х(0) - 0, получаем
t
x(t) - J v(u) du.
0
Возведя это равенство в квадрат и усреднив по ансамблю реа
лизаций случайных сил F(t), найдем
t
<х2(/)> = fduds <v(u)> <(s)>.	(4.55)
0
Выражение для корреляционной функции скоростей получается с
помощью (4.50). Учитывая свойство (4.12), получаем
<v(u)v(s)> = v^e (u+s)/Ti +e~(u+y)/Tix
и S

(4.56)
Учитывая (4.13) и (4.15),
переписываем (4.56)в виде
<v(u)v(s)> = Л-(“+^/Т1
V*	/ / ► I	н
(4.57)
При получении (4.57) мы перешли к новым переменным

(1/2)(ео - ₽,
(4.58)
так что d^d^ = dad(3. Подставляем (4.57) в (4.51) и делаем
замену переменных типа (4.58) при вычислении интеграла,
содержащего ехр(- | и - $ |/тр. Для этого интеграла получаем
t	t /3
(duds е~1 us I/Т1 = AI[d/3 [da e-1a।/T1 =
f f I J	I I I J
0	0-0
86
Остальные два интеграла вычисляются элементарно. В результа
те находим
/	2^2 G	~2t/xA .супы/
<%(/)> = l/qTj 1 - e 1 +	-3 + 4e	1-e	1
(4.59)
Интересно проанализировать эту формулу в случае больших
(t » тр и малых (t < тр времен. В первом случае из (4.59)
получаем
<?(/)> = 2BkTt,
что соответствует стохастическому движению броуновской час-
тицы. Во втором случае система обнаруживает динамическое по-
ведение.
Разлагая в (4.59) экспоненту в ряд Тейлора и удерживая
квадратичные по t члены, получаем
<Х2(0> = V^t2.
10.	Определить, как изменится спектральная плотность /(ш)
случайного стационарного процесса x(t), если показание при-
бора, измеряющего значение хизм(0» соответствует среднему
значению этой величины за время каждого измерения т:
t+x/2
х(0 =lf	(4.60)
t-T/2
Решение. Подставим в формулу (4.60) спектральное
представление (4.16) для величины x(t):
t+T/2 оо
*изм(0 = 72п f	(4.61)
f-T/2 -w
Меняя в (4.61) порядок интегрирования и вычисляя интеграл по
t' приходим к соотношению
W<>  к	(4.62)
-со
С другой стороны, непосредственно применяя к х (t) формулу
изм
(4 16), имеем
Хизм(0 = 2п № хизьЯ е~™	<4-63)
-оо
Сравнивая (4.62) и (4 63), получаем
\3m<W> =	<4-64)
87
Так как процесс x(t) и, следовательно, хизм(0 стационар
ный, то вследствие (4.19)
<х (w) х (о1)> = / (о))	+ wJ*2п.
ИЗМХ 7 W3NT V	ИЗМК 7	' I7
Поэтому
/(w) и / (со) связаны соотношением
ИЗМ
/	(О)) =
изм' 7
(4.65)
Таким образом, прибор, усредняющий показания по интервалу
т. обрезает частоты |й)| > 2п/т в спектральной плотности ис
ходного случайного процесса, т.е. обладает определенной
«полосой пропускания». Если ширина спектральной плотности
/(w) исходного процесса x(t) намного превышает 2п/т, то в
формуле (4 65) можно произвести замену /(со) -» /(0). При этом
структура J	определяется только параметрами прибора.
От исходного случайного процесса остается только /(0); вся
остальная информация теряется.
Прибор, усредняющий показания по интервалу т, дает «пра-
вильные» значения измеряемой величины и в случае достаточно
большого времени корреляции, когда у -» 0: 1/^ » т.
И. Какую среднюю тепловую скорость броуновской частицы
мы обнаружим при визуальном измерении за промежуток времени
—12
т = 0,1 с? Масса частицы гм ~ 10 г, линейный размер
R ~ 10~4 см, температура среды Т ~ 3-10~12К, вязкость среды
г) ~ 10~2 г/(см*с).
Решение. В соответствии (4.19) и (4.65) для сред
него измеряемого квадрата скорости > имеем
<4? = k	Pin^)] 2-	(4- 66)
-00
Подставляя в (4.66) выражение (4.20) для спектральной плот-
ности До)
Ды) = ДО) э'2/(о2+^2)
и вводя обозначения и - cjt, s - ут, получаем
00
<t/2 > = 2 /£01 rrf 1-CQSX......52	,4б7)
изм 2П Т Jax 2	2	2'
«Д? о
—со
Интеграл в (4.67) вычисляется.
В результате, учитывая, что <v2(t)> - kT/m - ДО)зг/2, по-
лучаем
<г’изм>/<и2(/)> = (W)[l - (l-e’*T)/(rr)] .	(4.68)
88
Отметим, что при заданных в условии задачи значениях па-
раметров время релаксации составляет 1/у = = m/(6ni)/?) ~
~ 5*107с. Поэтому %т = т/т1 ~ 2-106, и в формуле (4.66)
сразу можно заменить /(w) на /(0) = (kT/m) (2/у). Опуская в
(4.68) второе слагаемое в скобках, находим
Чзм^Л''2 = 2АТ ~ 10 6
Итак, измеряемое значение тепловой скорости броуновской
частицы оказывается в 103 раз меньше истинного равновесного
значения.
12. Рассмотреть тепловые флуктуации в замкнутой цепи, со-
стоящей из сопротивления R и индуктивности L, помещенной в
термостат с температурой Г. Определить спектральную плот-
ность теплового шума ЭДС £ и тока / в цепи. Найти выражение
для корреляционной функции </(/+т)
Решение. Закон Ома для рассмотренной цепи можно
записать в виде
LI + IR = S.	(4.69)
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение для одно
мерного броуновского движения (4.11). Поэтому, предполагая,
что флуктуации ЭДС £ имеют характер белого шума, можно с
помощью соотношений (4.15) непосредственно написать
<£(/+т)£(/)> = 2kTRd(x).
(4.70)
Согласно определению (4.19) имеем
(®2)ы = 2kTR$dt eiUt 8(f) = 2kTR,	(4 71)
2	ю
где (£ ) определяется соотношением
<g(w)g(w1)> = 2n(g2)u SfoHtap.	(4.72)
Уравнение (4.69) в представлении Фурье может быть записа-
но в виде
(-/w£+/?)/(q)) = £(о>).
Теперь с помощью формулы (4.72) можно написать
.
Используя (4 71), перепишем это соотношение следующим об-
разом:
(/2)w = 2kTR/(R2+L2(S).	(4.73)
89
Для вычисления корреляционной функции </(/+т) I(t)>
пользуемся формулой (4.19) и соотношением (4.73). Имеем
</(/+Т)/(/)> = — pH 2
2п i R2+L2tf
-00
Вычисляя интеграл по теории вычетов, находим
</(Z+T)/(0> = ^ехр(-^т).
ВОС*
13. Получить функцию распределения по флуктуациям энергии
в гауссовом приближении, исходя из классической функции рас
пределения в каноническом ансамбле.
Решение. С помощью соотношений (2.11) и (2 3) вы-
ражение для классической функции распределения записывается
в виде
p{q,p) = ехр	.	(4.74)
Для перехода к функции распределения по энергии необходимо
выполнить суммирование по тем элементам объема фазового про-
странства системы, которые реализуют состояние с заданным
значением энергии Е. Такое суммирование можно выполнить,
домножив (4.74) на б Z?-//(<7,/?) I и проинтегрировав по фазовому
.	J
пространству:
р(Е) = —1—expf~tfU’P) .
A3jV№ J I	J	Ki
Благодаря наличию d-функции множитель, содержащий экспо-
ненту, можно
на Е:
вынести за знак интеграла, заменив в нем
р(Е) =
exp^y^JdT 3 Ге- H(q,p

Оставшийся интеграл соответствует статистической сумме сис-
темы в микроканоническом ансамбле и равен полному числу
состояний с энергией Е. Учитывая, что безразмерная энтропия
определяется как логарифм числа состояний, перепишем послед-
нее равенство в виде
р(Е) = ехр^Дехр^^.
Далее, учитывая термодинамическое определение свободной
энергии F = E-TS(E), где Е — среднее значение энергии сис
темы в каноническом ансамбле, и раскладывая S(E) в ряд Тей
лора около значения Е:
S(E) = 5(Ё) + ||(Е-Ё)4Й<£-Ё) + ...,
90
получаем для р(Е) в квадратичном по ЛЕ приближении следующее
выражение:
р(£) = ехр
При получении (4.75) учтены
' (А£)2]
I- 2kCvT^
соотношения
(4-75)
dS _ 1
ЕЕ ” Г ’
Формула (4.75) представляет собой искомую функцию распре-
деления по флуктуациям энергии в гауссовом приближении. Об-
ратим внимание на то, что эту функцию необходимо заново нор
мировать,
ния была
S(E):
поскольку нормировка исходной функции распределе-
нарушена при обрыве тейлоровского разложения для
р(Е) = А ехр
JdEp(E) = 1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.	Для системы с фиксированным объемом
о
ции термодинамических величин <(ДЕ) >,
<(AjV)2>, <Д№ДГ>, <ДТДц>, <ДМц>, <ДцД5>,
вычислить
<(W>.
<ASAN> и
флуктуа-
<(ДЛ2>,
<Д5ДГ>,
используя функцию распределения (4.7).
2.	Вычислить флуктуацию энергии <(ДЕ)2>, используя функ
цию распределения (4.7) при фиксированном объеме.
3.	Вычислить флуктуацию энергии <(ДЕ)2> в большом канони-
ческом ансамбле и сравнить ответ с результатом, полученным в
предыдущей задаче.
5. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
5.1. Фазовые переходы I и II рода
Превращение, при котором первые производные от химическо-
го потенциала по давлению и температуре испытывают скачок,
называется фазовым переходом I рода. Условия фазового пере
хода I рода имеют вид
Ml - М2 = О,
(5.1)
где р и — химические потенциалы разных фаз, и
эм, дц2	agj dii2
ЯГ * ЯГ'	Ър * 3F '
Условиями фазового перехода II рода являются
Ml - М2 = О,
3^1 _ дц2	_ ag2
а/’ ~ ат ’	Зр"_ Зр ’
что касается производных второго порядка, то они в разных
фазах различны.
Для количественного описания поведения системы вблизи
точки фазового перехода II рода вводится дополнительная ве
личина ?) — параметр порядка, среднее значение которого равно
нулю в симметричной фазе (обычно при температурах Т > > Тс,
где /^ — критическая температура) и отлично от нуля в несим-
метричной, низкотемпературной фазе. Зависимость термодинами
ческого потенциала от 1) имеет вид
ФСр.Г.Т!) = Ф0(р, Т) + a(p)tn2 + В(р, ТУп\	(5.2)
где а(р) и В(р,Т)— слабо зависящие от давления и температуры
положительные функции t = Т - Т .
Эта формула позволяет вычислить среднее значение парамет-
ра порядка, рассчитать скачки теплоемкости, сжимаемости и
т.д. Аналогичного вида разложения используются также для
описания фазовых переходов I рода, если теплота перехода
очень мала.
92
В подобных случаях в разложении термодинамического потен-
циала по степеням параметра порядка, кроме членов, содержа-
щих четные степени т), возникают члены с нечетными степенями
В частности, вводят кубический член, коэффициент при котором
остается конечным в точке фазового перехода.
При более детальном описании фазовых переходов вводится
плотность термодинамического потенциала Ф(г) так, что полный
термодинамический потенциал имеет вид
Фп = фо + fdV [a(p)ti)2(r) + b(p,Tyr)\r) + q(VTXr))2],	(5.3)
где последний член в прямых скобках учитывает вклад в Ф за
счет градиентов параметра порядка. С помощью этой формулы
можно, в частности, вычислять флуктуации параметра порядка,
учитывая, что вероятность флуктуации при заданных р и Т про
порциональна ехр[-(Фп~Ф0)/6Г]> находить корреляционную функ-
цию, вычислять флуктуационные вклады в теплоемкость и т.д.
5.2. Численные методы
при рассмотрении фазовых переходов
Интенсивное развитие электронно-вычислительной техники
позволило широко использовать численные методы при рассмот-
рении фазовых переходов. Существует два основных подхода ~
метод Монте Карло и метод молекулярной динамики. Первый в
основном используется при исследовании равновесных свойств,
а второй —как для изучения равновесных свойств, так и для
исследования кинетики. Описание обоих методов дается в соот-
ветствующих задачах.
ЗАДАЧИ
1. Определить температурное поведение равновесного значе-
ния параметра порядка 7) в несимметричной фазе в модели, где
зависимость термодинамического потенциала Ф от параметра по-
рядка имеет вид (5.2).
Решение. Равновесное значение 7) параметра порядка
7) определяется из условия минимума термодинамического потен-
циала Ф, задаваемого формулой (5.2). Таким образом, Т) нахо-
дится из уравнения
= 2а(Т-Тс)Г) + 4 Вт)3 = 0.	(5.4)
93
Это уравнение имеет три решения:
4=0,	-Г) = ±[а(Т-Т)/2В]'/2 .	(5.5)
Первое решение (Т) = 0) относится к симметричной фазе, а вто
рое и третье —к несимметричной. Отсюда получаем, дифференци-
руя (5.5) по температуре:
3? = * 1[2Я(Т -7)	(5О
Температурная зависимость равновесного значения параметра
порядка 7)(Т) определяет характер приближения системы к точке
фазового перехода. Обратим внимание на то, что вследствие
(5.6) производная от 7) по температуре имеет разрыв второго
рода в точке перехода, в то время как сама Т) непрерывна.
2. Пусть разложение термодинамического потенциала в ряд
по степеням параметра порядка имеет вид
Ф(р,Г,Т7) = Ф0(р,7) + а(Т-Г)т)2 - Сп3 + ВтД	(5.7)
где а, С и В — положительные константы. Найти равновесное
значение параметра порядка; показать, что в такой системе
имеет место фазовый переход I рода, определить температуру
фазового перехода.
Решение. Условие минимума термодинамического ПО'
тенциала по переменной ц (6Ф/5т) = 0) дает
2Лт) - ЗСт)2 + 4Вт)3 = 0,	(5 8)
где А = а(Г-Г*).
Уравнение (5.8) имеет три решения:
7) = °.	Т)± = g g [1 ± [1 - ^|4у]1/2] .	(5.9)
Обратим внимание, что решение со знаком минус перед квадрат
ным корнем не соответствует условию минимума термодинамиче
ского потенциала, поскольку в этом случае вторая производная
от Ф оказывается отрицательной, в чем можно убедиться под
становкой этого корня в выражение
а2Ф/Зт)2 = 2а(Г-Г*) - 6Ст) + 12Bq2
Решение т) = 0 соответствует симметричной фазе, а Т) * 0 —
несимметричной фазе.
Существование отличного от нуля коэффициента при т}3 в
(5.7) допускает возможность равенства термодинамических но
94
тенциалов обеих фаз при некоторой температуре Г т.е.
а(Т - Ст? + Вт)4 = 0,	(5 10)
V	V	V	V
где значение 1) =
Поскольку 7) * 0,
7)+ _ _ определяется формулой (5.9):
1-32аВ
то вместо (5.10) имеем
а(Т-Г) - Спс + Вц2 = 0.
(5-И)
(5.12)
Сравнивая уравнения (5.8) и (5.12) при 7) = 7) , имеем
С
2а(Т-Г) = Cvc -
Отсюда, подставляя выражение (5.11) для т) , получаем урав
пение для определения температуры фазового перехода
г Т -Т*	->2	Т -Т*
Х&аВ - 1	= 1 - 32аВ .
<- ЗС2 J	9С2
Решая это уравнение, получаем
тс = + iJh •
Таким образом, температура фазового перехода I рода ока
зывается выше Г*.
3. Вычислить теплоту фазового перехода в модели, где за
висимость термодинамического потенциала Ф от параметра по-
рядка 7) имеет вид (5.7).
Решение. Теплота Q фазового перехода определяется
изменением энтропии системы S при переходе:
Q = Т AS.
с
(5.13)
В симметричной фазе энтропия системы S = -дФ/дТ при учете
(5 7) равна
\ <5 »>
В несимметричной фазе аналогично имеем
S = - ОФп/ЗГ - ат?.
несим	СИ	1
(5.15)
Для изменения энтропии AS
на основе (5 14) и (5.15) получаем
AS - S
сим
- S
несим
(5.16)
Т -Т\\/2
-ы
2
= ат).
Теперь с помощью (5.13) имеем
Q = Тсат]2.
(5.17)
95
Для окончательного определения Q в (5-17) необходимо подста-
вить значение 7) в точке фазового перехода	• Для этого
можно воспользоваться формулой (5.17) предыдущей задачи. В
результате находим
4. Показать, что в модели, принятой в задачах 2 и 3, сим-
метричная фаза абсолютно неустойчива при температурах
Т < 7*. Найти температуру 7**, при которой теряет устойчи-
вость несимметричная фаза.
Решение. Симметричная фаза становится неустойчивой
при таких температурах, когда вторая производная от термоди-
намического потенциала Ф по параметру порядка 7) отрицатель
на. Граничная температура Т возникновения неустойчивости со
ответствует равенству нулю второй производной. Поскольку в
симметричной фазе 7) = 0, то температура 7, соответствующая
потере устойчивости, согласно (5.7) определяется равенством
а2Ф/ат)2 = 2а(Т-Г) = 0.
(5.18)
Отсюда следует, что потеря устойчивости симметричной фазы
происходит при 7 = 7*.
Для определения температуры 7**, при которой теряет ус-
тойчивость несимметричная фаза, следует таким же образом ис-
следовать выражение для д Ф/81) при Т) * 0. Однако результат
можно получить и проще, если использовать полученное в зада-
че 2 явное выражение для равновесного значения параметра по-
рядка X) в несимметричной фазе (5.9). Поскольку т? веществен-
но, то подкоренное выражение в (5.9) должно быть неотрица-
тельно. Отсюда немедленно получаем
1 - 32(Т-Т‘)аВ/9С2	0.
(5.19)
Предельное значение температуры, удовлетворяющее соотношению
(5.19), есть
Г“ = Г + 9С2/(32аВ).
(5.20)
5. В системах, размеры которых сравнимы с радиусом корре-
ляции, при больших флуктуациях нельзя пренебречь членом по
рядка Т)4 в разложении (5.3) для термодинамического потенциа
ла. Вычислить среднее значение квадрата флуктуации параметра
порядка <т) > в симметричной фазе для таких систем.
96
Решение. Прежде всего отметим, что в выражении
(5.3) можно пренебречь градиентным членом, поскольку харак-
терный размер области однородности системы, определяемый ра-
диусом корреляции, в данном случае оказывается одного поряд
ка с линейными размерами системы. Поэтому вероятность флук-
туации параметра порядка 7) записывается в виде
w ~ ехр[(-атт)2~Вт)4)/(5Т)].
Записав условие нормировки плотности вероятности в виде
со
А = JjT) ехр[(-атт)2-йт)4)/(£7')] = 1,
"°0	2
получим следующее выражение для <1) >:
9	4	°°	9	4
<Т)2> = JWexp[-	]/ J di) ехр [-	.
-со	-сю
Интегралы легко вычисляются с помощью формулы
00 4 2
Jjx х171 exp(-gx2-yx) = (2/3)-Р//2Г(р) exp^ D v ,
о
(5.21)
(5.22)
где D —функция параболического цилиндра. В результате
<^2> - 1	/57
2v^ D }/2(ат/^ТЕ^Т) '
6. При постоянном объеме и температуре вероятность флук-
туации может быть записана следующим образом:
w ~ exp(-AF/5F),
где AF —изменение свободной энергии, связанное с флуктуация-
ми. Пусть
KF = fdV [ат)2(г) + fe(ViXr))2].	(5.23)
Вычислить среднеквадратичные флуктуации фурье-компонент Т)
величины тХг) в разложении
тХг) = £1) exp(zqr).	(5.24)
ч 4
Решение. Коэффициенты т) в разложении (5,24) опре-
деляются соотношением
\ = V’J'dVTXr) ехР(-'Чг) •	(5.25)
Подставляя разложение (5.24) для тХг) в (5.23), получаем для
изменения свободной энергии выражение
Д/7 = £ JW (u-bqq ) т} n exp[z(q+q )г].	(5.26)
Ч,Ч,	4 Ч1
4 А С Кондратьев, В.П.Романов
97
Интегрирование соотношения (5.26) по объему приводит к ра-
венству
fdV exp[i(q+qpr] = V<3
где —символ Кронекера.
Теперь для AF имеем
ДГ = VE(a + ty2)|Dl2,
q
где для | т) |2 = т) I)* справедливо равенство
q q q
|Т) I2 = Г) 7) -
1 q‘ q -q
Так как тХг) вещественно, то в силу (5.25) т) = 'П*- Записав
V в виде суммы вещественной и мнимой частей: 7) = т/ + П)",
q	q q q
получим
Id I2 = D'2 + D''2	(5.27)
4	Hi
Вероятность флуктуации w окончательно определяется формулой
w ~ exp[-V £(а+6р2) |1)|2/(ЛТ)].	(5.28)
q
Видно, что в соответствии с (5.27) она распадается на произ-
ведение вероятностей флуктуаций для вещественной и мнимой
частей каждой фурье-компоненты
где для w(xi )
q
(5.28) дважды
^=11 h
q
с учетом того, что 17) |
(+q и -q), имеем
w(7)q) ~ ехр -	) (Bq2
2 входит в сумму
по q в
//2\
ч >1
Флуктуации 7)' и 7)" вычисляются независимо, и в соответствии
с формулой (4.3) находим
<|Dq|2> = <Т)'2> + <Т)"2> = kT/[2V(a+bq2)] 
7. Существуют системы, в которых линия фазовых переходов
II рода (на диаграммах р,Г) переходит в линию фазовых пере
ходов I рода. Точка перехода одной кривой в другую называет-
ся трикритической (Т). Вблизи трикритической точки разло
жение термодинамического потенциала по степеням параметра
порядка имеет вид
Ф(р,Г,В) = Ф0(р,Г) + Д(Р,Г)7)2 + В(р.Т)т)4 + £>(р.Г)7)6.	(5.29)
где функция D(p,T) больше нуля и считается постоянной Линия
фазовых переходов II рода определяется условиями А(Тс(р)) =
98
= О, В > О. На линии переходов I рода В < 0, так что в три
критической точке А = О, В = 0.
На линии фазовых переходов I рода Тс( найти среднее зна
чение параметра порядка в несимметричной фазе и определить
связь между коэффициентами Л, В и D.
Решение. Как мы знаем, на линии фазовых переходов
I рода находятся в равновесии симметричная и несимметричная
фазы, т.е. выполняется условие
Л(р,7'с1) + В(р,Тс1)-г? + Dr? = 0.	(5 30)
Поскольку в несимметричной фазе 7) * 0, мы произвели сокраще-
ние на 7) . Второе условие состоит в том, что в равновесии
термодинамический потенциал минимален. Дифференцируя (5.29):
Л(р,Тс1) + 2В(р,Тс1)1)2 + 3DT)4 = 0,	(5.31)
и вычитая (5.31) из (5.30), получаем
п2 = -B(p,Tcl)/D.	(5.32)
Подставляя это выражение в условие фазового равновесия
(5.30), находим
4Л(р,Тс|)О = В2(р,7-с|).	(5.33)
Соотношение (5.33) представляет собой уравнение линии пере
ходов I рода.
8. В гауссовом приближении вычислить флуктуации параметра
порядка в симметричной и несимметричной фазах на линии фазо
вого перехода I рода.
Решение. При фиксированных р и Т вероятность флук-
туации определяется фактором
ехр(-ДФДТ').	(5.34)
В гауссовом приближении в симметричной и несимметричной
фазах
ДФ = А дт)2
сим	1
ЛФ М = л51>2 +	+ 30£>т)46т)2.	(5.35)
Подставляя сюда значение т)2 из формулы (5.32), получаем
ДФ
несим
или с учетом уравнения линии
фазового равновесия (5.33)
ДФ
несим
7Л5т)2.
99
Вычисляя флуктуации в соответствии с правилами, изложенными
в разд. 4, получаем
<(^)2>еиМ =	<<51})2>несим = ^/(ПЛ).
Видно, что в симметричной фазе флуктуации параметра порядка
в семь раз больше.
ет
9. При фазовом переходе
скачок. В низшем по, т)
II рода теплоемкость С? испытыва
приближении найти величину скачка
и исследовать, как она меняется при приближении к трикрити
ческой точке.
Решение. Прежде всего вычислим изменение энтропии
при фазовом переходе II рода. В несимметричной фазе с по
мощью (5.29) имеем
S = -(ЗФ/ЗТ) = So - ат}2 * - и4,	(5.36)
где а - (дА/дТ)?, b - (дВ/дТ)?, —энтропия в симметрич-
ной фазе.
Равновесное значение параметра порядка можно найти из
требования минимума термодинамического потенциала дФ/дт} ~ 0.
С помощью (5.29) получаем
А + 2йт)2 + 30т)4 = 0.
(5.37)
Решая это
2
уравнение относительно ц , находим равновесное
значение
по = 375 -В + У В2-ЗЛ£)1 .	(5.38)
Подставляя (5.38) в (5.36) и дифференцируя по Г, получаем
для
АС
р
скачка теплоемкости
= -Т[а + ЯД Г-В+/ В2-ЗЛТ) 11	[-3 + 25^~3аО ' .
/ В2-ЗЛТ)
При вычислении (5.39) пренебрегается температурной
(5.39)
зависи-
мостью коэффициентов а и b по сравнению с более сильной за-
висимостью величин А и В, входящих в выражение для
Поскольку вычисляется скачок теплоемкости, то все величи-
ны надо брать на линии фазового перехода II рода, где А = 0.
При этом из (5.39) следует
АС = Та2/(2 В).
100
По мере приближения к трикритической точке со стороны фазо
вых переходов II рода положительный коэффициент В убывает,
причем Я(^Кр) = Следовательно, скачок теплоемкости в три-
критической точке обращается в бесконечность.
10. В теории фазовых переходов, основанной на модели эф
фективного гамильтониана, оказывается удобным представление
термодинамического потенциала системы fi в виде
оо
£2 = -kT\n ph) ехр [- ^1] ,
-00
где —термодинамический потенциал системы,
(5.40)
представляю-
щий собой функционал от параметра порядка Т), взятый при фик
сированном значении этого параметра. Опираясь на обычное оп-
ределение термодинамического потенциала (2.4),	(2 5), пока-
зать возможность представления его в виде (5.40).
Решение. В рассматриваемом случае формулы (2.4),
(2.5) позволяют записать выражение для термодинамического
потенциала в виде
(5.41)
= -----ЧтГ-
N (2nft)3,V/V!
Интегрирование по фазовому пространству системы можно прове
сти в два этапа: сначала перебрать все возможные состояния
при фиксированном значении параметра порядка ту а затем вы-
полнить интегрирование по ту
рт? £
—оо
ехр -
1гГ Г
(5.42)
где	| ri(q,p)) —гамильтониан при фиксированном значении
ту в котором допустимы только те значения динамических пере
менных q и р, которые реализуют заданное значение порядка ту
Технически такое двухэтапное вычисление термодинамического
потенциала удобно осуществить, введя дополнительное интегри-
рование с б функцией вида 5(т}-тХр,р)):
00
г г 00 Л/
fi =	рт? £ ехрУу рГ д(ту-тХ?,р)) ехр
I J №0 J
-оо
# дА'/.РШР))-]
ЪТ
(5.43)
101
Введя обозначение
ф)] = -kT Inf £ ехР^т Г«Л'Л/ 5(тьтХ<7.Р)) ехр
4V=0 Kl J N
H N(q,piXq,T))y,
FT
(5.44)
видим, что выражение (5.43) приводится к формуле (5.40).
При рассмотрении конкретных физических систем на основе
соотношения (5.40) для fifi)] обычно используется какое-либо
модельное выражение.
И. Вычислить термодинамический потенциал системы, для
которой
+ gTT)2 + Gt)4,
где g и G — константы,
т = (Т-Т )/Т , Йп — слагаемое,
' с7 с 0
не за
висящее от параметра порядка.
Решение. Используя формулу (5 40) предыдущей зада
чи, имеем для термодинамического потенциала
оо
П = По -kT In [ р7) ехр [- £тт^Ст? ]’ .
-со
Входящий в соотношение (5.49) интеграл выражается
(5 45)
через
функцию параболического цилиндра аналогично тому, как это
было сделано в задаче 5. Используя соотношение (5 22),
водим выражение (5 45) к виду
при-
12. Вычислить термодинамический потенциал системы, в ко-
торой функционал от параметра порядка 0[т)] имеет вид
П[7)] = Jdr [атт)2(г) + 6(ViXr))2].
(5.46)
Решение. Для вычисления Q воспользуемся формулой
(5.40), учитывая, что интегрирование по параметру порядка Т]
удобно выполнить с помощью фурье-разложения
= Е \ exp(zqr)	(5.47)
ч 4
Поступая так же, как в задаче 6, приходим к соотношению
ф] =	(ат+^2)|т)|2	(5.48)
q	4
Теперь выражение для Q (5 40) принимает вид
Q = -kT In П Jcty'ехр[-У(атт/?^2)(т)'2+т)"2)/А:7'].
(5.49)
102
При получении (5.49) использовано соотношение (5.27) и
учтено, что интегрирование по 1) в (5.40) в рассматриваемом
случае должно пониматься как интегрирование по всем незави-
симым фурье-компонентам параметра порядка. Действительно, в
отличие от формулы (5.40) здесь необходимо перебрать всевоз
можные пространственные конфигурации распределения параметра
порядка, что после перехода к фурье-представлению соответст
вует интегрированию по всем фурье-компонентам. После выпол-
нения интегрирования по Т)' и т)" выражение (5.49) принимает
ВИД	2
Q =	.	(5.50)
ч
Суммирование по q следует проводить, введя так называемый
параметр обрезания—некоторое значение q^, малое по сравне-
нию с обратным атомным размером, поскольку говорить о пара-
метре порядка имеет смысл только на расстояниях, где еще
применимо понятие о макроскопических свойствах вещества. Пе
реходя от суммирования к интегрированию в (5.50) и вычисляя
интеграл в сферической системе координат, находим
п ^2nV г°л„ „2 i„V(aT+bq2)	kTV(1 „3 ^Vb , 1 Г„з 1и (ат, „21
Q = dqq ln = lrW+ я Го1п |з-+<70] -
2	2ат<7	Гдт13/2 Г /7П11
Обратим внимание, что интегрирование производится только
пополовине q пространства, поскольку т) и 7) независимы.
13. Исследовать методом Монте Карло температурную зависи-
мость намагниченности, восприимчивости и теплоемкости в
двумерной квадратной решетке Изинга в окрестности точки фа-
зового перехода II рода В этой модели гамильтониан системы
записывается в виде
Н = ^Ц.Ц.,	(5.51)
Л /	'
где 11. и ц. принимают только два значения: +1 и -1, а сумми
рование проводится по ближайшим соседям выделенного узла.
Решение. Описанная модель может быть достаточно
просто рассчитана и проанализирована на ЭВМ. Задается квад-
ратная плоская решетка с числом узлов W - Lx L. Можно рас
сматривать либо конечную решетку, либо решетку с периодиче-
скими граничными условиями, чтобы устранить влияние границ
103
Второй способ предпочтительнее, поскольку при этом результа-
ты значительно точнее. При периодических граничных условиях
считается, что решетка окружена точно такими же копиями сис-
темы. Поэтому, если каждый спин задавать парой индексов х и
у (ц ), где 1 < х < L, 1 < у < L, то
У
Спины, находящиеся на границе, взаимодействуют с соседями
основной решетки и с окружающими копиями.
Процедура, проводимая на машине, состоит в следующем.
Произвольно задастся начальная конфигурация спинов. Можно
либо считать все р. равными +1 или -1, либо использовать под-
программу случайных чисел (для машины серии ЕС это подпро-
грамма RANDU), когда величина £ меняется случайным образом
на промежутке [0, 1]. Нетрудно для каждого узла реализовать
программу типа бросания монеты:
при £ s 0,5 у = 1, при £ > 0,5 ц = -1.
Далее полезно напечатать начальное состояние, чтобы иметь
возможность следить за его эволюцией. Параметрами, которые
вычисляются для такой системы, будут: намагниченность М =
= ЕМ- (полезно также иметь модуль этой величины |М ' =
i
- ISmJ), энергия системы, рассчитываемая по формуле (5.29)
i
(ее удобно вычислять в единицах kT). Для этого вводится па
раметр К = 1/(kT) или К ^«безразмерная температура». При
вычислениях следует иметь в виду, что при / > 0 система фер
ромагнитная, а при / < 0 антиферромагнитная. Восприимчивость
X определяется из формулы для флуктуации намагниченности
х = К(<М2> - <М>2).
И наконец, зная энергию как функцию температуры, можно вы-
числить теплоемкость С - dE/dT.
Обратим внимание, что в точке фазового перехода при вы-
числении на ЭВМ х и С должны иметь максимумы, а <М> — обра
щаться в нуль, если двигаться со стороны низких температур
Вычисление средних значений проводится методом Монте Кар
ло. Он позволяет построить марковскую цепь так, чтобы конфи-
гурации появлялись с весом е	Как альтернативный ва-
ант можно было бы осуществить перебор всех возможных конфи
104
гураций (их будет 2^). Но при больших N такая процедура не-
рациональна
Аппарат марковской цепи позволяет организовать последова-
тельную процедуру перебора конфигураций с выбранными специ
альным образом переходными вероятностями от одной конфигура
ции к другой так» чтобы конфигурации после некоторого на-
чального участка уже имели вероятности е
Итак, у нас есть основная плоская ячейка размером L х L.
Прежде всего, с вероятностью 1/L для каждой из двух коорди-
нат (х,у} выбираем узел. Координаты каждого узла выбираем по
формуле
р - и+1,
где округляется до меньшего из двух целых чисел А <	<
< А + 1. Пусть номер этого узла равен N^x,y). Совершаем
пробный переворот спина этого узла, т.е. заменяем р^ на
-р^ . Подсчитываем изменение энергии при таком перевороте:
ДС/(ц ->-д ) = Щ-ц ) ~	.
о о	о о
При вычислении изменения энергии, естественно, принимаются
во внимание только ближайшие соседи. Если А(/	0, то перево-
рот осуществляется, и мы приходим к новой конфигурации. Если
&U > 0, то переворот осуществляется с вероятностью
е &U/(kT), которая лежит в интервале 0 < e~^^kT^ < 1. Для
этого берется случайное число 0 < £ < 1 и сравнивается с
-А(7/(Н)	- е -&U/(kT)
е v Если с, < е v то переворот осуществляется;
если £ > е	т0 перехода нет, и система остается в
прежнем состоянии. Но это состояние учитывается фактически
еще раз в счетчике числа конфигураций, и оно принимается во
внимание при вычислении средних значений
<*> =
где G — полное число конфигураций.
Поскольку начальное состояние задается произвольно, то с
вероятностью, близкой к единице, оно сильно неравновесно
Для того чтобы его не учитывать, а также не рассматривать
переходный процесс, надо задать определенное число шагов от-
секания, когда процедура выполняется, но ничего не заносится
в сумматор.
105
На каждом шаге вычислений определяются значения момента,
квадрата момента и энергии. При анализе окрестности точки
фазового перехода следует задать начальную температуру и за-
тем двигаться с определенным шагом. В качестве опорной точки
можно использовать критическую температуру Т , которая из-
вестна из точного решения Онзагера
2th2^ = 1.
С
Даже для систем порядка 6x6 или 10 х 10 «машинное» ре
шение уже близко к точному, особенно если применять описан-
ные выше периодические граничные условия.
Составьте программу в соответствии с описанной процедурой
расчета и проведите вычисления на ЭВМ.
14. Методом молекулярной динамики исследовать свойства
системы из N частиц, взаимодействующих между собой посрсдст
вом потенциала Леннарда—Джонса, помещенных в куб с ребром L,
проверить установление в системе максвелловского распределе
ния по скоростям, вычислить корреляционную функцию скорости
<v(0)v(/)>, рассчитать радиальную функцию распределения, вы-
числить энергию и теплоемкость Су и исследовать поведение
теплоемкости вблизи критической точки.
Решение. Для системы из N	частиц записываются
уравнения движения
/иг’. = F.,	/ = 1, 2..N.	(5.52)
F = -Е V$(|r.-r |)
/
есть сила, действующая на /частицу со стороны остальных
частиц. Для устранения влияния стенок на систему накладыва-
ются периодические граничные условия, согласно которым счи
тается, что куб находится в центре системы, состоящей из
точно таких же кубов с тем же распределением частиц. При
этом, если частица уходит из исследуемого куба, необходимо
учесть, что из соседнего куба в него войдет частица. При вы-
числении сил F*. необходимо учитывать только несколько бли-
жайших соседей, т.е учитывать взаимодействие в области с
фиксированным радиусом /?. Потенциал межмолекулярного взаимо-
действия в форме Леннарда—Джонса имеет вид
Ф(г) = 4e[(a/rf2 - (а/г)6 .
106
В начальный момент положения частиц задаются произвольно.
Скорости выбираются таким образом, чтобы средняя кинетиче
ская энергия соответствовала определенной температуре и
£v. = 0, т.е. отсутствовали направленные потоки. Параметры
(=1 '
интересующей системы можно найти по справочникам. Например,
для жидкого аргона при температуре Т = 95 К и плотности р =
з
= 1,374 г/см они равны
= 1,26, rNV3
1/2	и 1
= 4,65-10й с-1.
е
Численное интегрирование системы (5.52) проводится следу
ющим образом. После / го шага по времени известны совокупно
сти координат {//Ь, скоростей {v^/h и ускорений {aVb.
Тогда скорости и координаты, спустя промежуток времени
v<'+1> = v(') + а«ДЛ
Ш	I	I
zO	i0 2	[ Ю z
Этот результат обычно уточняется следующим образом. По зна
чениям	находятся новые ускорения fa^/+1h. Затем
скорости и координаты снова пересчитываются в предположении,
что ускорение изменилось на этом шаге линейно:
vV+1) = Л М') + а<'+%,
I	I Z [ I I J ’
ГМ = Г('+М [а(/+1) - aW W
I	zO о [ z г J 7
Число частиц выбирается равным 10 20, интервал времени
^13
Д/ ~ 10 с. Максвелловское распределение по скоростям,
которое должно установиться через некоторое число шагов,
проверяется по известным значениям моментов максвелловской
функции распределения
п = 4, 5.
Если значения, полученные на /м шаге, совпадают с точно
вычисляемыми с помощью функции распределения Максвелла с
погрешностью порядка 10 % , то распределение по скоростям
можно считать установившимся Необходимо также проверить,
выполняется ли закон сохранения энергии. Если он начинает
заметно нарушаться, то надо уменьшить временной шаг А/.
Автокорреляционная функция скоростей <v(0)v(/)> вычисля-
ется путем усреднения по всем частицам с начальным моментом
107
с последующим усреднением по разным начальным моментам
/01, <02. •••. tQp-
<v(O)vW> - t
Г 4=1 4=1
Радиальная функция распределения g(r), которая имеет фи
зический смысл плотности вероятности нахождения частицы на
расстоянии г от данной, вычисляется следующим образом. Во-
круг каждой частицы проводятся шаровые слои толщиной пример-
но 0,1-0,2 диаметра частицы g ~ ст. Измеряется среднее число
частиц в каждом слое. Функция g(r) определяется как отноше-
ние этого числа частиц к числу частиц при средней плотности
о
7V/L . Таким образом, при больших г величина g(r) стремится к
единице.
Энергия системы вычисляется по формуле
Е = ^ЕФ(|г.-г
Ь/	i
Для вычисления теплоемкости необходимо выполнить расчеты
энергии при разных температурах.
Для исследования окрестности критической точки необходимо
задать в системе критическую плотность и выполнить расчеты
при температурах, близких к критической, но несколько пре-
восходящих ее. Составьте программу в соответствии с описан-
ной процедурой и проведите расчеты на ЭВМ.
Нарисуйге графики зависимости автокорреляционной функции
скоростей от времени, радиальной функции распределения от
расстояния и теплоемкости Су от температуры.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Сравните результаты, полученные в задаче 7, с точным
решением Онзагера для двумерной решетки Изинга (см : Лан-
дау Л. Д. и Лифшиц Е.М. Статистическая физика. -М.: Наука,
1976. —С.541). Насколько отличается получившееся поведение
теплоемкости от логарифмического закона С ~ |ln|7" Т | |? Со-
гласуется ли температурная зависимость магнитного момента с
1 / О
выражением 7) = const * (Т -Т)	?
2. При расчетах методом молекулярной динамики (задача 8)
определить число шагов, через которое устанавливается макс-
велловское распределение по скоростям.
6. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
6.1. Уравнения Лиувилля и Неймана
Основу динамического подхода к описанию статистических
свойств систем многих частиц составляют уравнения Лиувилля и
Неймана для классических и квантовых систем соответственяо.
Уравнение Лиувилля, которому удовлетворяет п частичная функ
ция распределения p(rr...,r^, pp...,pn, t) имеет вид
f?4W.p] = o,	(6 1)
где //—функция Гамильтона, а [//,р]— классические скобки
Пуассона:
I it „-j y1 [др дН Эр д Н 1	-п п\
[^’Р] = S ЭГЭК’ЭрТсГЕТ 	^-2)
I Г I	L
Уравнение (6 1) удобно записывать в виде
gf + ZLp = O,	(6.3)
где L = -ф/У,] —самосопряженный оператор Лиувилля: L = L+.
Основу описания свойств квантовых систем составляет урав
нение Неймана
|Р + ^//,р] = 0,	(6 4)
где р—оператор (матрица) плотности системы п частиц, // —
оператор Гамильтона, а [//,р] - Нр - pH — коммутатор операто-
ров Н и р.
Уравнения Лиувилля и Неймана соответствуют полному стати
стическому ансамблю, они обратимы во времени и обеспечивают
стационарность энтропии системы S = -Sp(plnp):
dS/dt = О
Переход к сокращенному описанию приводит, вообще говоря,
к появлению макроскопической необратимости во времени. Оно
осуществляется редуцированной функцией распределения р^
(оператором плотности), которая соответствует неполному ан-
109
самблю. Основная проблема неравновесной статистической меха-
ники —получение и решение управляющих уравнений, т.е. замк-
нутых уравнений для р^/). Уравнения для редуцированных
функций распределения часто называются кинетическими уравне-
ниями.
6.2. Приближение самосогласованного поля
Простейшее приближение для n-частичной функции распреде-
ления—это мультипликативное приближение
р(гг...,гп, рг...,рп> 0 = /(FjPj/) f(r2p20 ... f(rnPnt), (6.5)
которое приводит к приближению самосогласованного поля, ког-
да каждая частица с «стемы движется в поле, создаваемом час-
тицами системы и приложенным внешним полем. Уравнение, кото
рому удовлетворяет одночастичная функция распределения
ЦгрО частиц сорта а, называется уравнением Власова
ЭТ -	7г X	Цго-гд) 1М) - 0.	(6.6)
О
Здесь —энергия взаимодействия частиц сорта а и Ь.
Уравнение Власова обратимо во времени. Иногда в правой
части уравнения (6.6) оставляют «след» интеграла столкнове-
ний в приближении времени релаксации и записывают ее в виде
-е	где € -> +0, а /^ — равновесная функция распре
деления.
В случае системы заряженных частиц уравнение Власова за-
писывается в виде
а/ df г 1	.а/
+ v3r“ + еа [E+ctvBlJ др1 = °-	<6-7)
Здесь р = mN — кинетический импульс, а Е и В определяются из
системы уравнений Максвелла
divE = 4тгрэл,	divB ~ 0,
rntF _ 16В	rntR _ 4п. 1 ЗЕ	(68>
rotE~-c37, rotB-—j+??7.
Плотность заряда Рэл и плотность тока j выражаются через од-
ночастичные функции распределения:
Рэл(г-0 = Цгр/)’ = УЦГРД (6.9)
а	а
Приближение самосогласованного поля особенно удобно для
определения спектра коллективных возбуждений в системе. Он
110
находится из дисперсионного уравнения, получаемого с помощью
уравнения Власова и системы уравнений Максвелла после пере
хода к фурье-представлению (~ exp(zkr-zwZ)) и имеющего вид
A(k,Q) = 0.	(6.10)
Здесь Q = й)+/у, причем « 1. Закон дисперсии колебаний
w(k) находится из уравнения
ReA(k,o>) = 0,	(6.11)
а величина у, соответствующая затуханию колебаний при у < 0
и нарастанию при у * 0» определяется соотношением
У =
Определяемое из
затуханием Ландау.
Im Д(к,ц)
SfoRe A(k,w)
й>= w(k)
уравнения Власова затухание 2
(6.12)
называется
Оно соответствует взаимодействию волна-
частица типа взаимодействия Вавилова-Черенкова и не приводит
к необратимой диссипации энергии волны.
ЗАДАЧ И
1.	Среди полного набора динамических переменных системы
можно выделить группу переменных	Хп и Ур ..., У ,
характерные временные масштабы изменения которых резко раз-
личаются («медленные» и «быстрые» переменные). Обосновать
возможность перехода к сокращенному описанию такой системы и
получению управляющих уравнений, описывающих эволюцию во
времени медленных переменных.
Решение Для полного набора динамических перемен
ных системы существует замкнутая система уравнении (напри-
мер, уравнения гамильтонова типа)
$ = f(X,Y,t),	% = g(X,Y,t),	(6.13)
где X и У —векторы с компонентами Х„ .... X и У.,..., У
г п	1т
соответственно, f и g — векторные функции с компонентами
fv ..., fn и gp ..., gm. Медленность изменения величин X
по сравнению с изменением величин У позволяет решать вторую
группу уравнений (6.13) для У, рассматривая в них X как
фиксированные параметры. Такое положение оправданно, напри
мер, в случаях, когда время изменения величин У оказывается
существенно меньше времени изменения величин А, которые в
111
этом случае являются квазиинтегралами движения по отношению
к переменным Y. При этом получаем
Y = G(X,f).	(6-14)
Подставляя выражения (6.14) в первую группу уравнений
(6.13), получаем замкнутую систему уравнений для величин X:
$ = f(X, G(X,f), t) = <p(X,t).	(6 15)
Система уравнений (6.15)—это и есть управляющие уравне
ния, определяющие медленную эволюцию системы. Фактическое
использование выражений (6.14) требует знания начальных ус-
ловий для величин У, которые, разумеется, взять неоткуда
Поэтому для величин У берутся квазиравновесные значения, со
ответствующие решениям уравнений (6.14) при t -» со: величины
У успевают релаксировать и прийти в квазиравновесное состоя-
ние, не зависящее от начальных условий, при фиксированных
значениях величин X. Для величин X это означает переход к
новому огрубленному масштабу времени. Поэтому фактически
систему (6.15) следует понимать в смысле
Е7 =	(6.16)
где Л/ макроскопически мало, но все таки много больше харак
терного времени «забывания» исходных значений У. Величина М
и играет в рассматриваемом случае роль времени корреляции Z
в иерархии временных масштабов Боголюбова. Для применимости
управляющих уравнений (6.15) необходимо, чтобы время релак
сации т величин X было много больше времени корреляции t .
Таким образом, проблема получения управляющих уравнений в
рамках динамического подхода заключается в нахождении квази-
интегралов движения в рассматриваемой системе, которые и
играют роль медленно изменяющихся во времени величин X.
2.	Получить уравнение для редуцированной функции распре
деления p^t) = ?p(t), где Т — некоторый оператор проектиро
вания, с помощью точного уравнения Лиувилля для полной функ
ции распределения р и обсудить возможность перехода к управ
ляющему уравнению, замкнутому относительно p^(t)
Решение. Введем функцию р2(/) = (1-?) p(t) и полу-
чим уравнения для р^ и р2, действуя операторами Т и (1-?) на
уравнение Лиувилля
3? + г7-Р = 0.
(617)
112
Имеем
'ЗТ1 = Wj+P2).	i^- = (1-7>)МР1+Р2>-	(6.18)
Запишем второе уравнение из (6.17) в виде
ЗК = Мр2 + <p(t),	(6.19)
где использованы обозначения
М = (1-7>)£,	ф(0 = (1-T)LP1(/).
Ищем решение уравнения (6.18) в виде
р (0 = е~аМ Щ).	(6.20)
Подставляя это выражение в уравнение (6.19), получаем
= -ie‘tM<p(t), где ф(0) = Р2(0).
Интегрируя по времени в пределах от нуля до /, находим
t
ф(1) = 0(0) - i рт е'™ ф(т).	(6.21)
о
Подставляя (6 21) в (6 20) и совершая замену переменной
s = t - т, приходим к следующему выражению для р (/):
t	2
p„(t) = е ltM р_(0) - if ds e~lsM <p(t-s),
w	Лл	J)
0
или после подстановки выражений для М и <р
t
p2(t) = ехр[-^(l ^Ljp^O)-/Jdsexp[-/5(l-93)L](l-7))Lp1(f-5).
0
Подставляем найденное значение Р2(0 в первое уравнение
из (6.18) для py(t). Имеем
дрЛП
= TLp^t) + ?Lexp[4f(l-?>)£] р2(0)-
t
- zp/s ?L exp[-zs(l-?)Z,] (!-?)£ p^f-s).	(6.22)
о
Уравнение (6.22)—это точное уравнение, ибо при его выво-
де на основе использования уравнения Лиувилля (6.17) не де-
лалось никаких приближений. В отличие от уравнения (6.17)
уравнение (6 22) для р^/) имеет нелокальный во времени ха-
рактер, те. обладает памятью Стоящее под знаком интеграла
перед функцией p^Z-s) ядро называется функцией памяти.
Для получения управляющего уравнения в уравнении (6.22)
необходимо исключить (или задать в явном виде) р2(0) и обра
/2 5 А С Кондратьев, В П Романов
тить в нуль функцию памяти за то время s, за которое функция
p^Z-s) не меняется существенно. Физической основой замыка-
ния уравнения эволюции на уровне сокращенного описания явля
ется иерархия временных масштабов Боголюбова, позволяющая
ввести для новую огрубленную временную шкалу, в кото
рой указанные выше условия выполняются в каждый момент вре
мени. Другими словами, система успевает «забыть» о начальном
распределении быстро меняющихся параметров за время, малое
по сравнению с характерным временем изменения функции р^/).
Из приведенного рассуждения видно, что основная трудность в
получении управляющих уравнений на основе динамического под
хода —выбор проектирующего оператора У.
3.	В приближении самосогласованного поля функция Гамиль
тона для системы заряженных частиц записывается в виде
V 1 Г ei 19 N
/ = 1 I	J Z-- 1
(6.23)
где (А, (р) —четырехмерный потенциал самосогласованного элект-
ромагнитного поля, с помощью которого определяются напряжен-
ность Е электрического поля и индукция В магнитного поля:
В = rotA,	(6.24)
р — канонический импульс i й частицы системы с зарядом е. и
массой т. . В представлении канонического импульса уравнение
Лиувилля имеет обычный вид:
37+ Д аг зт~ ~ ар: ат = °-	<6 25>
Записать уравнение Лиувилля в представлении кинетического
импульса
е.
Р, = P, -F АМ-
(6.26)
вводя в него в явном виде векторы Е и В.
Решение. Вычислим входящие в (6.25) производные от
функции Гамильтона (6.23) по г и р, выразив результат через
определяемый формулой (6.26) кинетический импульс Р . Имеем
= Мр--4'аМ =
I	I	-*	I
Для вычисления производной по г воспользуемся формулой
векторного анализа
5p(ab) = (a|^)b + (bj^)a + [a,rotb] + [b.rotaj
114
Получим
5/7	1 Гп i 5 "1 f л/*-
ггг.= ~т. АМ АМ~
l	I vJ lJ
_L
m.
i
учетом второй формулы из (6.24) это выражение можно пере
писать в виде
[р.£-1а(г./) -	В(г./)1 + е.%-<р(г . t) .
or. т.е for. v i 7 т .с z’ v i ' iov*x i 7
i	i	i u	J	i
(6.28)
Теперь нужно преобразовать производные от функции распре-
деления р по г. и / в (6.25), вычисляемые при фиксированных
р., в производные, вычисляемые при фиксированных Р . Для
этого запишем р в виде
Р(р.,Г.,0
Г е -
- Р Р. + ~ А(г. /). г.
IС v I I
Прежде всего видно, что
L	I
Далее,
[а?]	* [з?]р - С'этА<г..	<6 29>
k 'р . ,Г. v J Р ,Г.	Z-1	I
rl I	I I
так как, дифферениируя р по t при фиксированных Р , мы
учитываем и зависимость от времени и величины A(r J), кото
рая отсутствует в левой части равенства при вычислении про
изводной по t при
фиксированных р . Аналогично
”5р1 еi г 5р д А ,
„ S ^ЗгЛа,гг
Ос=х1 y,z iOt i
t, Р
k
k
С помощью приведенных равенств (6.27)Д6.30) переписываем
уравнение (6.25) следующим образом:
Л/ £ . д _ с я л	Л/е.	г	т "ч Л/ о о
• Е, йр.3г AC,'lа£. РГ	й  °-
Z - 1 Z Z V	Z - 1 I Z L	J J I -1	z z
Здесь все производные no t и г. вычисляются при фиксирован
ных Р. Второе и последнее слагаемые в правой части объеди
пяются и выделяют напряженность электрического ноля в соот-
ветствии с первой формулой из (6 24). Четвертое и пятое
слагаемые, как нетрудно видеть, различаются только знаком.
115
Поэтому окончательно имеем
Это уравнение Лиувилля для системы заряженных частиц,
рассматриваемой в приближении самосогласованного поля и за
писанное в представлении кинетического импульса. Выбрав р в
мультипликативном виде (6.5), с помощью (6.31) легко прийти
к уравнению Власова (6.7).
4. Определить электрическое поле покоящегося точечного
заряда q в однородной равновесной плазме в приближении само
согласованного поля.
Решение. Потенциал поля неподвижного заряда в рав
новесной плазме дает система уравнений, состоящая из кинети
ческого уравнения в приближении самосогласованного поля, в
котором обращен в нуль член с производной по времени:
и уравнения Пуассона, которому удовлетворяет скалярный по-
тенциал ц> самосогласованного поля:
Дф(г) = -4п£<7а Jdp/а(г,р) -	3(г).
а
(6.33)
В этих уравнениях f — функция распределения частиц сорта а,
да~зарял частицы сорта а. Равновесная плазма в целом элект-
ронейтральна в отсутствие внешнего заряда, который помещает-
ся в точку с г = 0.
Решением уравнения (6.32), как можно убедиться непосред
ственной подстановкой, является выражение
МГ'Р) = Fa[hr	(634)
где Fa — произвольная функция указанного аргумента. Учитывая,
что при г = со потенциал электрического поля равен нулю, а
равновесная функция распределения—это максвелловская функ-
ция, зависящая только от импульса, найдем
п	г 1 г п 2	11
fa(r'P) = (2irm J ?/2 еХР[-	>	(6-35)
где па~ концентрация, а ^—температура сорта а. Поскольку
плазма в отсутствие внешнего заряда электронейтральна, то
Е qana = 0.	(6.36)
а
116
Подставляя выражение (6.35) в уравнение (6.33), получаем
г q ф-ч
L<p = - 4п £ Чапа ехР I" кТ-1” 4я<? 5(г).	(6 37)
На больших расстояниях |<7а0| « Поэтому, разлагая экспо
ненту в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами, нахо
дим при учете условия (6 36) выражение
Дф - (1Ад ) Ф = - 4^ 5(г).	(6.38)
где радиус экранирования кулоновского взаимодействия оп
ределен соотношением	9
г 4nq2п -4-1/2
Уравнение (6.38) можно решать разложением в интеграл Фурье:
Ф(г) = Г—3 Ф(к) еАг	(6.39)
J(2n)3
В этом случае имеем вместо (6.38) имеем
(-/г2-1/г2) <р(к) = -4п<7, откуда ф(к) =  24ш?	.
Л +1/го
С помощью (6.39) получаем для потенциала <р(г) формулу <р(г) =
= (4/r)exp(r/rD).
5. Рассмотреть возможность существования продольных коле-
баний в электрон-ионной системе классической двухкомпонент-
ной плазмы. Определить собственные частоты колебаний и их
затухание
Решение. Запишем кинетические уравнения Власова
для электронной и ионной компонент плазмы в линейном по воз
мущению приближении, удерживая «след* интеграла столкновений
в приближении времени релаксации
, ф,<«),	- -cS/«.	(6 40)
Здесь е 4 0, Е и В—соответственно напряженность электриче-
ского поля и индукция магнитного поля, создаваемых частицами
системы. Если равновесная функция распределения являет
ся изотропной функцией импульса, то магнитное поле выпадает
из уравнения (6.40).
Действительно, в этом случае
6 f(a)= a^f(a)	f64n
Эр'о Зе(р) 'о ’
и смешанное произведение [vB]v обращается в нуль вследствие
ортогональности векторов, фигурирующих в скалярном произве
117
дении. В силу линейности уравнения (6.40) по возмущению до-
статочно рассмотреть только одну фурье-компон£нту. Поэтому,
подставляя в уравнения (6.40) возмущения всех величин в виде
Е(г/) = E(kw) elkr-1'“
перепишем их следующим образом:
(w +	- kv) kw) = -ie& E(kw)	f <“)(р) .	(6 42)
Продольные колебания в плазме соответствуют потенциально-
му полю: Е = Потенциал (р удовлетворяет уравнению Пуас
сона, которое в (к,^ представлении имеет вид
£2ф(кй>) = 4пр(ко)).	(6 43)
Плотность заряда p(kw) выражается через функции распределе
ния частиц:
p(kw) = X eafdp 8f(a\p, ко).	(6.44)
ОС
Выражая из уравнения (6.41)	и учитывая потенциаль-
ный характер электрического поля, получаем с помощью (6.43)
и (6.44) дисперсионное уравнение для спектра продольных ко
лебаний
двухкомпонентнои плазмы, состоящей
и однозарядных ионов (е. = е):
каЯе>/Зр л„о
* 0 ' г 4пе
GHiE-kv ,2
из электронов
4пе
= 0
(6 45)
е
Взяв в качестве равновесных функций распределения максвел
ловские функции
^0	= (2ят к/ )3/2 ехр[ 2т₽к7'
lAf LA.	LA-
и использовав формулу (6.41), можно записать дисперсионное
уравнение (6.45) в таком виде:
1 4пе2 И Гм 0 ку 1 р , о kv ] n
1 [г JJpw77£q^ + TjcfP(^i£q^J - °-	<ь46>
к к 4 е	I	J
Рассмотрим высокочастотные колебания, фазовая скорость
которых много больше характерных значений тепловых скоростей
электронов и ионов, существенно представленных в системе
<t'e>,	<v> « G)/k. В этом случае, удерживая вещественную
часть в (6 46), вычисляем интегралы следующим образом
,<»> ,	.£] kv . ljrfp (kv)^>(p)
J й)
118
Вводим сферическую систему координат в пространстве им
пульсов с полярной осью, направленной вдоль вектора к Ин-
теграл по модулю импульса приводит к Г(5/2), и в результате
находим
.	(6 47)
ы та
Теперь с помощью (6.46) получаем уравнение для частоты коле-
баний:	2	9
1 _ 4пл с2 _ 4л пе _ п
1	2	2	и’
й) т fj) т .
е	i
откуда с учетом неравенства тe/rni « 1 имеем
О)2 = о2 ,	О)2 = 4ппе2/те.	(6.48)
Очевидно, что такой же результат получится в модели одноком-
понентной электронной плазмы, электронейтральность которой
обеспечивается однородным положительно заряженным фоном. В
двухкомпонентной плазме есть еще одна ветвь продольных коле-
баний, причем фазовая скорость волны b)/k лежит в промежутке
между характерными тепловыми скоростями электронов и ионов:
<V.> « b)/k « <v > .
i z	e
Для
(6.47), а для
можно по-прежнему воспользоваться соотношением
имеем
,w =	'Л, =
Теперь дисперсионное уравнение принимает вид
< 4ппе2 L 4ппе2 п
1	9--- “ U’
ъгт . k2KT
i	е
откуда
^2 = 4ппе2_______1________
‘ mi 1+4пле2/(Л2кГе ) '
2	2	2
При о) « G) - 4ппе /т. формула (6.49) дает
1
w2 = О2, О2 = (кТ)k2
(6 49)
(6 50)
Это так называемый ионный звук. Акустический закон дисперсии
обусловлен динамическим экранированием электронами кулонов
ского взаимодействия ионов. При k > 1/r^ = V кТ /(4nNe2) из
е
(6 49) имеем
На малых расстояниях, когда длина волны Л ~ Х/k возмущения
меньше дебаевского радиуса экранирования, экранировка отсут-
ствует и ионы совершают плазменные колебания с частотой .
Для определения затухания найденных ветвей колебаний еле
дует воспользоваться формулой Сохоцкого
ад
при вычислении интегралов в (6.46). Тогда, используя формулу
Ландау (6.12), найдем для ветви колебаний (6.48)
<	1/2 W	Г ооП
У = 7 2	~(2k2rD ) 1 •
e
Для ветви акустических колебаний указанная процедура приво
дит к результату
у = Щтгт)^2.
6. Получить уравнение для одночастичной квантовой функции
распределения Вигнера f(r,p,f), используя уравнение Неймана
для одночастичной матрицы плотности р
ff+^[//,p] = О,	(6.51)
где // — одночастичный оператор энергии.
Решение. Раскрывая в явном виде коммутатор [Н,р] =
= Нр~рН, запишем (6.51) в координатном представлении:
g-?<r|p|r'>+^(<г|//р|г'>-<г|р//|г'>) = 0.	(6.52)
Учитывая полноту базиса разложения
fdr" |rzzXrzz| = 1,
где | г"> —дираковский вектор состояния, перепишем (6.52) в
виде
l/rlplr^ +	f<r|//|r"Xr"|p|r'> -<г|р|г"Хг"|Я|г'>
= 0.
(6.53)
В силу эрмитовости оператора энергии <rzz|A7|rz> = <rz |//* | г">,
где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. В собст-
венном представлении любой оператор диагоналей. Поэтому
справедливо равенство
<г\Н\г'> = tf(r)6(r-rz).
Теперь уравнение (6.53) переписывается следующим образом:
pfiL-//(r) + //*(r,)]<r|p|r'> = 0.	(6.54)
I	t	|
120
В подробной записи имеем
/ftH7 + 2^v2-V?)-^r) + ^r,)]<rlPlr/> = °-
где £/ —оператор потенциальной энергии (например, потенциал
самосогласованного поля). Подставляя сюда выражение для
<г|р|г'> через квантовую функцию распределения Вигнера:
<г|р|г'> = Jdp'expf ^р'(г-г') f
совершая замену переменных г-г' = й?, (г+г')/2 = R и учиты-
2	2
вая равенство V - V1 = 2V^V^/ft , получим
Jdp' + AVrV? - U [R+^] + U e‘P'^ f(R,p',t) = 0.
ИЛИ
Jdp' [/Тг^ + ^VR- £/[r4t] + ^|)Чг]] f(R,p',t) = 0.
Умножая это уравнение на exp(-Zp:?)/(2n)3 и интегрируя по
найдем
+ HR. P.O = 7й Г rf:?dp'fc/[R+jph - ^[R~5г11 x
lor m Rj	tnj (2k)3L I J I 2 JJ
X	(6.55)
Уравнение (6.55)—это квантовое кинетическое уравнение в
приближении одночастичного гамильтониана (например, в при-
ближении самосогласованного поля). Это квантовый аналог
уравнения Власова. Уравнение (6.55) особенно удобно для по-
лучения разложений по степеням Й. В низшем приближении, ог-
раничиваясь линейными по йт членами в разложении потенциаль
ной энергии U в ряд Тейлора, приходим к классическому урав-
нению Власова.
Действительно, в этом случае правая часть уравнения
{6.55) равна
 -?р' тегр«<р-р')№.р'.о -
Уравнение (6.55) принимает вид
[I? + т VR “ ЭК Ip) KR’P1/) = °’
7. Используя линеаризованное по возмущению квантовое ки-
нетическое уравнение для функции распределения Вигнера в
6 А С.Кондратьев. В.П. Романов
121
приближении самосогласованного поля
ЭТ * S, ’J ^(R. р. О - 7J J	'о<Р') х
х [%[R+r-']
(6.56)
где
^(R.O = [^/rfP v(R-R9df(R\p,O,	(6.57)
эф J (2uhr
v — потенциал межчастичного взаимодействия, рассмотреть
спектр коллективных возбуждений в вырожденной ферми системе.
Сравнить результаты для кулоновской системы, когда u(R) =
о
- е /R, и системы нейтральных частиц, взаимодействующих по
средством короткодействующего потенциала.
Решение. Для определения спектра коллективных воз-
буждений системы необходимо с помощью (6.56) и (6.57) полу-
чить дисперсионное уравнение. Отметим, что в случае системы
нейтральных частиц это будут продольные колебания, характер-
ные для пространственно однородной системы. Для системы за
ряженных частиц это также будут продольные колебания, по-
скольку соотношение (6.57) при подстановке в него выражения
y(R) = е /R превращается в решение уравнения Пуассона
В силу линейности уравнений каждую фурье-компоненту воз
мущения можно рассматривать независимо. Поэтому выберем воз-
мущение в виде
3f(R,p,0 = 5Лр,к,о>)еад
Уравнение (6.56)
теперь переписывается следующим образом'
— 1HL ftkl
т	ft 'О к 2 'О и 2
X-	•/	L. X.	.7	Ч.
В выражении (6 57) стоит свертка по R7 величин u(R-R') и
df(R'), которая приводит к произведению их фурье-образов:
и (kw) = и(к)Г—^-3 5/(p,ku>).	(6.59)
эф	J (2и/г)
Выражаем df(p,kw) из (6.58) и подставляем в соотношение
(6.59). Приходим к дисперсионному уравнению
1 - u(k) P(kw) = О,
где поляризационный оператор Р(к,й)) определен выражением
РГЬй = 1Г dp /o(p-ftk/2)-/0(P^k/2)
(2пй)^
(6.60)
(6.61)
122
Для вырожденной ферми-системы равновесная функция распре
деления—это фермиевская ступенька. При этом
9 п
f ft, _ _f fD + /*] а a [g—_ IF 1
' О (5 2J 'О [Р TJ т [27и J '
Интеграл в (6.61) легко вычисляется. Для w =	/е, где
е -» +0, получаем
P(kw) =
mb)
In
kp^-mb)
kp^+ть)
+ iuG(kpp-rnb)) k
(6.62)
где Pp —импульс Ферми, a 0(x)—ступенчатая функция:
е(д
i.
о,
х > О,
х < 0.
Для исследования дисперсионного уравнения (6.60) удобно
ввести безразмерные переменные
х = kpp/(mb)), q = трр/(я2й2).
Теперь вещественная часть уравнения (6.60) записывается
следующим образом:
2* йД  ЧД- <6-63)
Уравнение (6.63) удобно представить графически. График лога-
рифма выходит из нуля с тангенсом угла наклона касательной,
равным двум, а тангенс угла наклона прямой [2 + 2/(v(k)q)] х
при v(k) > 0 (что соответствует отталкиванию частиц друг от
друга) больше двух и становится равным двум при v(k) -> оо.
Как видно из рис. 2, уравнение (6.63) имеет три корня. Ко-
рень х = 0 физического смысла не имеет. Корень, обозначенный
Рис. 2. Графическое решение уравнения (6.63)
123
точкой 2, соответствует затухающим по Ландау колебаниям, ибо
при х > 1 в уравнении (6.60) отлична от нуля и не мала мни
мая часть. Корень, обозначенный точкой /, соответствует нс
затухающим по Ландау колебаниям в системе. Рассмотрим его
поведение в зависимости от вида потенциала взаимодействия
v(k). Если v(k) стремится к положительной константе при
& -> 0 (короткодействующий потенциал) и v(k) q - 1, то пере
сечение графиков логарифма и прямой происходит в непосредст-
венной близости х = 1.
Из уравнения (6.63) в этом случае находим для частоты
колебаний
k р
“ =(бб4)
Эта ветвь спектра коллективных возбуждений вырожденной
ферми-системы нейтральных частиц представляет собой нулевой
звук Ландау, который существует в системах с отталкиватель-
ным взаимодействием между частицами. Подчеркнем, что исход-
ное уравнение соответствует приближению шт » 1 (т —время
релаксации), когда столкновения не играют существенной роли
в процессе распространения колебаний, в то время как в обыч
ном звуке (при шт « 1) столкновения успевают устанавливать
термодинамическое равновесие в каждом малом по сравнению с
длиной волны А элементе объема жидкости. В случае кулонов-
ского потенциала v(k) = 4пе /k со при k 0. Точка 1 при
этом смещается в область х £ 0. Проводя в (6.63) разложение
логарифма, получаем
2 о 2
..2 4пе 3 ^F ,2
W =-JH~ + 5-^2k ’	<6 65>
где р? - h *3я п. Формула (6.65) определяет квадрат частоты
плазменных колебаний, главное значение которой оказывается
таким же, как и у классической системы. С ростом k точка
пересечения поднимается вверх. Исследование уравнения (6.63)
показывает, что при выполнении условия
4/ие2/(пЛрр )р^2 « k/p^ « 1
в системе возможны колебания с практически линейным по вол
новому числу законом дисперсии
L 4mep)D
г г
124
Таким образом, плазменные колебания в системе заряженных
частиц соответствуют нуль-звуковой моде колебаний в нейт-
ральных системах. При k -> 0 линейный спектр, характерный для
нейтральных систем, заменяется практически постоянной часто
той. Математически это различие обусловлено сингулярным
характером кулоновского потенциала.
8. Используя уравнение (6.4) для одночастичной матрицы
плотности в координатном представлении, получить квантовое
кинетическое уравнение для функции распределения Вигнера для
электронной системы металлических пленок в условиях кванто
вого размерного эффекта, когда движение электронов поперек
пленки квантуется размерами образца.
Решение. В рассматриваемом случае система не явля-
ется пространственно однородной в направлении поперек плен-
ки, поэтому определенная обычным образом функция Вигнера бу
дет зависеть от поперечной координаты даже в равновесии.
Представим оператор потенциальной энергии электрона в пленке
в виде суммы двух частей:
U(rf) = U(z) + dU(rt),
(6.66)
где U(z) —эффективное поле, действующее на электрон в равно
весном состоянии, складывающееся из кристаллического пленоч-
ного потенциала и самосогласованного равновесного поля элек
трона, a dU — неравновесная добавка к эффективному полю.
Уравнение для одночастичной матрицы плотности <г|р|г/> в
координатном представлении (6.4) теперь можно представить в
виде
-V; -£/(?) + U(z')-SU(rt) + 8U(r't) <r|p|rz> = 0.
(6.67)
В равновесии движение электронов поперек пленки списыва
ется уравнением Шрёдингера с потенциалом U(z):
й А * ад] цг} -
(6.68)
R = ^(г + г'),
Вводим новые двумерные переменные в плоскости пленки:
R = 1(г + г'), hi = г-г',
где г = (r,z). Представим матричный элемент <г|р|г'> в виде
интеграла Фурье по переменным, лежащим в плоскости пленки, и
125
двойного ряда Фурье по функциям из (6.68):
<r|p|r/> = £ 0s(z) 0'(z')jdp' ехр^рЧг-г')!
S,t	V	J К.	J
(6.69)
Здесь pz —двумерный вектор импульса, параллельного плоскости
пленки. Подставляем выражение (6.69) в (6.67). Умножаем по-
лучившееся соотношение на 0*(z) Фп(г') ехр(-ф:?)/(2п)2 и
интегрируем по z и z*. С учетом уравнения (6.68) получаем
+ -Р- V + Яс -с )] f (R о Л = 1т Г e*(p,~p)^ x
[37 m VR n'J	TftJ (2и)2
x £ f5t/JR+	-Ur-p'-0 5^n[R-
V.	J
(6.70)
где	r
8Uln(R,t) = pz^(z)3t/(R,z,O0„(z).	(6 71)
Рассмотрим уравнение, получающееся из (6.70) при линеари-
зации по отклонению от равновесия:
fln(R,p,t) = fln(p) + 8f(n(R,p,t).
В нулевом приближении из (6.70) имеем
(£.-£ ) f. (р) = 0.
v I nf ' /nvr/
откуда
/,„(Р) = f/p) 5,n.	(6.72)
В линейном по возмущению приближении из (6.70) с учетом ра-
венства (6.72) имеем
fl? + т VR + ‘(еГеп)] 5UR> Р’0 = Th J ^4 еХ₽/ ’Р)? х
х Цр') - Мр') 5MR_sr,z)] • (6-73)
Рассматривая одну фурье-компоненту возмущения
8Ulh(R,t) = 8Uln(k,u)
что соответствует плоской волне в направлении вдоль пленки и
произвольной зависимости от поперечной координаты, получим с
помощью уравнения (6.73)
[w_XP_e/ + eJ5fzn(p>kw) = [fn[p-^]-fz[p + ^]]6t/;n(k,0)).
(6.74)
В приближении самосогласованного поля величина dt/^(k,w)
при кулоновском потенциале межчастичного взаимодействия
представляет собой решение уравнения Пуассона. Поэтому ана-
126
логично (6.57) и (6.59) в выбранном здесь представлении ее
можно записать в следующем виде:
Л“) = Е	(6-75)
г, s	(27ГЙ)
где Blnrs(k) —матричный элемент двумерного фурье-образа ку
лоновского потенциала межчастичного взаимодействия v( | z |, к):
В
lnrsW = fdZ dZ\ ^2> ^n(2) 1 2“211 ’k) ^/2? ^(2p'
If о	J	1 I r I	1	f J о 1
(6.76)
Двумерный фурье образ потенциала взаимодействия определен
равенством
2
р(|г|,к) = jdRe-zk%(|z|,R) = pRe~*R е ,
J	J (z2+/T)1/2
Система уравнений (6.74) вместе с равенствами
(6.77)
(6.75)-
(6.77) может служить основой для описания неравновесных яв
лений в тонких пленках, в частности для определения ветвей
продольных колебаний спектра коллективных возбуждений сис-
темы.
9. Определить спектр продольных колебаний электрон-ионной
системы (ионный звук) размерно-квантованной металлической
пленки.
Решение. Для получения дисперсионного уравнения
воспользуемся квантовым кинетическим уравнением (6.74). При
учете ионной системы кристалла действующее на электроны эф-
фективное поле состоит из двух вкладов—электронного и ион-
ного. Поэтому для 5t//n(k,w) имеем
5Uln(k,o) = 3t/”(k,«) + 3t/"°H(k,w).	(6.78)
Разумеется, движение ионов не квантуется даже в самых тонких
пленках. Однако для единообразия выкладок при изучении двух
компонентной системы удобно рассматривать электроны и ионы в
одинаковом представлении. В этом случае, считая ионы для оп
ределенности однозарядными, будем иметь формулы типа (6.74)-
(6.77) как для электронных, так и для ионных характеристик
системы.
Дисперсионное уравнение для определения спектра продоль-
ных колебаний в системе получается с помощью соотношений
(6.74)-(6.77) и соответствующих выражений для ионов в виде
условия существования нетривиальных решений у бесконечной
127
однородной системы линейных алгебраических уравнений
8Unr(k,^ = Е [s-/к) П3» + В™ (к) П^ксо)] б^к.и).
(6.79)
где, например, выражение для электронного поляризационного
оператора TT3JI(kco) имеет вид
. dp fr(p-ftk/2)-fn(p+ftk/2)
(2nfi)2 w - кР/тэл - en + ег'
(6.80)
Пэл(кш) =
nr '
Решение дисперсионного уравнения в общем виде сводится к
исследованию определителя бесконечного порядка и представля-
ет собой сложную задачу. Эта задача существенно упрощается в
длинноволновом приближении, когда kL « 1, где / — толщина
пленки.
Вычислим прежде всего двумерный фурье-образ кулоновского
потенциала межчастичного взаимодействия, определяемый форму-
лой (6.77). Фигурирующий там интеграл вычисляется с помощью
интегрального представлен?
/ (а)
и формулы преобразования
со
' dxx IQ(xy)
, 2	2.1/2 =
J X + С )
о
В результате имеем
v( | г |, к
1 функций Бесселя I (а):
2п	п
:	e~iasin<p-in<p
о
Ганкеля первого порядка
Р~СУ
——, Re с > 0, у > 0.
2пе2 -л | г |
(6.81)
При kL « 1 экспоненту в формуле (6.81) можно заменить едини
цей. Тогда при любом выборе равновесного потенциала в пленке
U(z) (и, следовательно, волновых функций 0j(z)) имеем, на-
пример, с помощью (6.76)
вэл ,к) = 2яе25 s
nrst' 7 R nr st
Теперь бесконечная система уравнений (6.79) приводит к
дисперсионному уравнению
Гпзл(к0) + Пион(кы)
(6 82)
Фазовая скорость ионного звука ы/k лежит в промежутке ме-
жду характерными скоростями движения электронов и ионов
р/т « u/k « р/т
Г/ ИОН 7 г/ эл
128
При вычислении ионного поляризационного оператора ТТ“°н(ко))
раскладываем равновесные ионные функции распределения f в
ряд Тейлора по степеням k и учитываем, что средняя равновес-
ная концентрация электронов , находящихся на 5-м пленоч-
ном уровне, равна
n
s
T2 MP)’
(2nft)2
При выполнении условия kp/(m w) « 1 получаем
(6 84)
Zr°H(kG>) = -^-2 Л2,
s	т о
ио н
где п — концентрация заряженных частиц, одинаковая для элект-
ронов и ионов
Вычисление электронного поляризационного оператора при
условии	» 1 приводит с учетом равенства (6.83) к
следующему результату:
ЕП^(ки) = -L
'дгГ
где ц —химический потенциал системы электронов. Концентрация
электронов п при абсолютном нуле температуры определяется
соотношением, следующим из (6.83) после вычисления интеграла
по импульсной переменной-
т Пр
и = ---Г (Ц-е ),	(6.86)
nLh п=1 п
где Пр —число заполненных энергетических уровней в планке.
Поэтому с помощью (6.85) получаем
L^(to) = -m3nv/(nLh2).	(6 87)
Закон дисперсии ионно звуковых колебаний, получаемый при
подстановке выражений (6.84) и (6.87) в дисперсионное урав-
нение (6 82) имеет вид
to2 = uh2nL/(m т пс )1 &2.	(6.88)
'v эл ион F 'J	v }
Скорость распространения таких колебаний в условиях размер-
ного квантования движения носителей оказывается, как видно
из (6.88), осциллирующей функцией толщины пленки. Действи-
тельно, с ростом L скачками увеличивается число заполненных
при абсолютном нуле температуры пленочных энергетических
уровней Пр .
129
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.	Показать более аккуратным вычислением поляризационного
оператора (6.61), что спектр нульзвуковых колебаний в фер
ми-системе нейтральных частиц лежит выше верхней энергетиче-
ской границы спектра квазичастичных возбуждений
w - kpF/m + hk?/(2m)
и дается выражением
ь) = Г ? — +	1 /1 + 2 е <р Г-2 [1+~г1\ 11 ►.
2.	Рассмотреть двухкомпонентную электронейтральную в це-
лом вырожденную ферми-систему (например, электронно-дырочный
газ в полупроводнике) и показать, что при hk pk в системе
существует ветвь колебаний с акустическим законом дисперсии.
Убедиться, что происхождение этой ветви колебаний связано с
динамическим экранированием кулоновского взаимодействия тя-
желых частиц в системе, что делает ее похожей на ферми сис-
тему частиц, взаимодействующих посредством короткодействую
щего потенциала.
3.	Найти закон дисперсии для плазменных колебаний элект-
ронов в размерно квантованной пленке.
7.	ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ УПРАВЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
7.1.	Кинетическое уравнение Больцмана
В кинетическом уравнении Больцмана учитываются только
столкновения двух частиц друг с другом и пренебрегается
влиянием на такое соударение остальных частиц газа:
df df
1 а . ,,	1 а , р 1 а
3F+Va^+ha3p- -
а	г а
(df 1
а I
Э7|
Индекс а указывает сорт частиц газа, Ед —внешняя сила, дей-
ствующая на частицы а, /д(р, г,/)—одночастичная функция
распределения. Интеграл столкновений Больцмана (^/п/^0ст в
случае упругих соударений частиц записывается в виде
tr] 	<7-2>
СТ О u J о
где &гаЬ~дифференциальное сечение рассеяния частиц сорта а
и b\ —	их относительной скорости; f' и f'—функции
распределения частиц а и Ь, зависящие от импульсов р^ и р'
после соударения: f' = Цр'),	= f6(p'); fa и ^-функции
импульсов рд и р^ до соударения. Координаты частиц при
столкновениях не меняются.
Интеграл столкновений Больцмана применим в случае корот-
кодействующих потенциалов взаимодействия. Для кулоновского
потенциала полное сечение рассеяния оказывается расходящим-
ся. При применении уравнения Больцмана к газу заряженных
частиц от этой расходимости избавляются путем учета экрани-
рования кулоновского взаимодействия.
Уравнение Больцмана (7.1)—это уравнение баланса. Описы-
ваемые им переходы идут с соблюдением микроскопической об-
ратимости и законов сохранения числа частиц, импульса и
энергии. Это нелинейное интегродифференциальное уравнение
марковского типа.
131
7.2.	Уравнение кинетического баланса Паули
Уравнение Паули, называемое часто уравнением кинетическо-
го баланса или master equation, имеет вид
dw.
,73)
Здесь w, — вероятность нахождения системы в состоянии, харак
теризуемом набором квантовых чисел £,	—вероятность пере-
хода в единицу времени из состояния j в состояние i:
Р.	0. Микроскопическая обратимость переходов в замкнутой
системе выражается соотношением
Величины w могут трактоваться как диагональные элементы
редуцированного статистического оператора в представлении,
диагонализующем этот оператор:
w. = <Z | р | z> , или р = 2 |Z>t^.<Z| .
I
Уравнение Паули сохраняет нормировку распределения веро-
ятностей, обеспечивает монотонный рост энтропии системы и
является уравнением релаксационного типа.
7.3.	Уравнение Фоккера-Планка
Уравнение Фоккера-Планка используется для статистического
описания динамических систем с флуктуирующими параметрами
(например, броуновского движения). Рассматривается нелиней-
ная динамическая система, описываемая величиной f~(t) =
=	£П(Ф» удовлетворяющей системе динамических
уравнений
С/0 =	(7-5)
Здесь V,—определенные (заданные) функции, a fслучайные
функции со свойствами <fj(r,/)> = 0, где угловыми скобками
обозначено усреднение по ансамблю реализаций функций f. .
Статистические характеристики	определяются заданием
корреляционного тензора
В (г/;г'/') = <//г,/Щг',/')> .	(7.6)
В теорий, основанной на уравнении Фоккера-Планка, разли
чаются два характерных временных параметра: т0~ радиус кор
реляции случайных сил f по временной переменной и Г —время
корреляции величин £ . Для большого класса физических сис-
132
тем Т » TQ и существует малый безразмерный параметр т0/Г,
который может быть использован для построения приближенного
решения. В простейшем приближении = 0 и
выбирается в виде
величина В..
ч
B..(rt;r't') = 23(M')F..(r,r',/).	(7.7)
Такое Приближение называется приближением диффузионного
случайного процесса. Оно приводит к уравнению Фоккера-Планка
для плотности вероятности Pt(r) реализации решения ^(t) сис-
темы уравнений (7.5):
Р/г) = <3(г -?(/))> ,	(7.8)
где £(/) — решение системы (7.5) для какой-либо определенной
реализации случайных сил fj(r,0:
k я L L	J J k, I k I *-	J
(7.9)
Уравнение (7.9) решается с начальным условием P0(r) -
- 5(г-^0) или с условием более общего вида ^(г) = 1Г0(г),
где соответствует определенным значениям переменной
в начальный момент времени.
Если поле случайных сил стационарно, то и не зави-
сят от времени. Если к тому же f однородны и изотропны по
всем пространственным координатам, то Fbl = const, а А, = 0.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что интеграл столкновений Больцмана обладает
свойством
?Рд (% + а1₽а + Va) И =0’
a	v J ст
где а. - а^г,/)—произвольные функции г и t.
Решение. Возьмем интеграл столкновений
17 21 fit ,
-'ст о
Больцмана
и рассмотрим интеграл
1 = ?Ра (ЗГ =
J ст
£ рр/Р6^аЬ %^(Pa)(f 'аГь~ W-
о
(7.11)
133
где ф(р) — произвольная функция импульсов. Модуль отпоситель
ной скорости vab и сечение рассеяния ^аЬ одинаковы для пря-
мых и обратных соударений, а фазовый объем при столкновении
сохраняется:
dp dp, = dp' dp' .
ra rb ra rb
Чтобы убедиться в справедливости этого соотношения, перейдем
к новым переменным: Р = (pfl + pfe)/2, Р = Ра ” Р^
Элементарным вычислением якобиана преобразования убежда
емся в том, что
<*Р6 = dP dp
Аналогично можно записать выражение
dp'adp'b = dP' dp',
причем Р = Р', так как импульс при столкновениях сохраняет-
ся. Таким образом, дело сводится к доказательству соотноше-
ния dp = dp'. Вследствие закона сохранения энергии при упру-
гих соударениях справедливо | р | = |р' | и связь между р и р'
осуществляется обычным преобразованием поворота в простран
стве. Отсюда следует, что dp' = dp.
В силу указанных свойств выражение (7.И) можно перепи
сать в симметризованном виде:
1 =
(7.12)
Выберем <р в виде
<р = а + а}р + а2р2.	(7.13)
Поскольку при соударении двух частиц выполняются законы со-
хранения импульса и кинетической энергии:
р2 P2b Р'2 Р'ь2
Ра + Р6 = Р; + ₽;’	2^~ + 27Й7 = 2^~ + 27Н7 ’
а b	а о
ТО
ф(ра) + <р(рь) = <р(р'а) + <р(р'ь) •
Таким образом, выражение (7.12) при выборе <р в виде
(7.13) одновременно и симметрично, и антисимметрично по от-
ношению к замене рд -> р^, pfc р'. Значит, оно равно нулю,
что и доказывает соотношение (7.10).
2.	Исходя из уравнения Больцмана получить систему уравне-
ний гидродинамики для плотности р(г,/):
Р(г.О =	njr.0 = ррЦр.г,/),	(7.14)
134
и гидродинамической скорости и(г,/):
u(r.O = ^E%mo<va> ,
г а
<v > = [dp v f (p.r.O.
a nJ г а 1 <гг '
а
(7-15)
Решение. Проинтегрируем уравнение Больцмана
по
импульсу. Учитывая определения (7.14), (7.15) и свойство
(7.10) интеграла столкновений Больцмана, получаем
дм д
gT£+3?("a<Va>) = °’
(7-16)
поскольку f (р) - 0 при |р| = оо . Удобно ввести скорость ло-
Д
кального теплового движения V (р,г,/):
Д
V (р,г,0 = v -u(r,/).
С»	с»
(7 17)
Тогда <V >
а
(P’r’Z)
и справедливо равенство
а
Упт<У>=Упт<ч>-иУпт ~ 0.
а а а *-* а а а	а а
а	а	а
Подставляя в (7.16) соотношение <v > = u + <V >,
ем его в виде
дп
д—г— + div (п и+п <V >) = 0.
и t	v а а а '
Умножая (7.19) на та и суммируя по сортам частиц,
учетом определений (7.14) и (7.15) и свойства (7.18)
+ div (pu) = 0.
(7.18]
переписыва
(7-19)
получаем с
(7.20)
Соотношение (7.20) представляет собой уравнение непрерывно
сти гидродинамического потока газа.
*
Для получения уравнения движения газа умножим кинетиче
ское уравнение (7.1) на тсУа ~ т (v -u)» проинтегрируем по
импульсам и просуммируем по сортам частиц. Учитывая свойство
(7.10), результат можно записать в виде
тп<У> + д~Утп<и .V > -
а а а ОТa a at а
a	i а
г дУ	дУ л
- т <д-га'> + т <v .д~а > + F - 0.	(7.21)
а а и t a at О Г . a	к
a k	J
Рассмотрим отдельные слагаемые в соотношении (7.21). Вво
дим тензор давлений Р.,(г,/):
Р..(М) = п <V У > .
ikx	a a at ak
а
(7.22)
В силу свойства (7.18) это выражение можно записать и так'
Р..(г,/) = п <v V , >
f	a a ai ak
а
135
Далее, используя (7.17), находим
3V
£-Л<<и“> = -Е "Л = - $	Р 23)
а	а
Наконец, снова учитывая (7.17), имеем
6V я»	я
п <v . jr-a> = -	п <v > = - ри.	(7 24)
*-* a a at о Г . or. a a ai к idr	'	'
a	i	i a	i
Подставляя соотношения (7.22)47.24) в (7.21) и учитывая
свойство (7.18), получаем уравнение движения газа в гидроди
намическом приближении:
3.	Используя кинетическое уравнение Больцмана, получить
уравнение баланса энергии, вводя локальную температуру Т(г/)
с помощью равенства
2«кГ = гЕ"»а%<^>.	(7-25)
а
где Va определяется формулой (7.17), а п =	.
а
Решение. Умножим кинетическое уравнение (7.1) на
проинтегрируем по импульсам и просуммируем по всем
сортам частиц. Учитывая свойство (7.10) интеграла столкнове-
ний Больцмана, запишем результат в виде
т <у2> +d 1 т <v уЧу _
ot z a a a or 2 а а а а
а	а
тепловой
Преобразуем отдельные слагаемые в (7.26). Вводим
поток q относительно гидродинамического течения:
q = £q„ = т <V2V >.
2 а а а а
а	а
где
<V2V > = ipfp V2V f (p.r.n.
a a nJ r a a1 aVK 7
a
Тогда в силу (7.25) и (7 27) имеем
2 Е nama<VaVl> = ?Е rlama<^+V= Ч + и-^ПКГ
а	а
Далее с учетом (7.17) и (7.18) имеем
1	dvn	av	а
= -arS"om»<v? • °-
аа	а
(7.27)
(7.28)
(7.29)
136
Аналогично, учитывая (7.22) для тензора давлений, найдем
4	дУ2	ди.	ди.
/и <v д—-> =	т <v Y ? ~ ~ 7Г~-Р ь- (7.30)
2	а а а О г	О Г. и a a ak ал О Г ,tk	х 7
a	k a	k
И наконец, вследствие (7.17) и соотношения р = т v , имеем
'	' о	га а а
<	дУ2
т F <^> = F <V > .	(7.31)
z *-* a a a Op	a a a	v 7
а	г а
Подставляя соотношения (7.28)-{7.31) в (7.26) и учитывая оп-
ределение (7.25), получаем уравнение баланса энергии в гид-
родинамическом приближении:
|Г|ЛК7’ + div{q+U-|nKD + ^TPik-^naVa<Na> = °'	(732)
k а
Учитывая, что вследствие (7.16) и (7.17) справедливо
v а
можно переписать уравнение (7.32) в виде
(дТ . дТ
ПК
= -divq - д—Р., + Г п F <У
k а	'-а
4. Показать, что кинетическое уравнение Больцмана
дит к возрастанию плотности энтропии системы
s = -Zfdp/Jnf
а
при любом неравновесном начальном распределении.
Решение. Запишем уравнение Больцмана в виде
df df df
а Л- Ж/ а 4. Р а
ЯГ + V3F“ + Fa?p~
gKTdiv SVv?
приво
1 а
ъг
V.
ст
а
Вычислим производную по времени от выражения
гт =
а
Подставляя сюда выражение для dfa/dt из (7.34), получаем
Д £	Д Г	д г
]	(7 35)
a	u	J стJ
Рассмотрим отдельные слагаемые в правой части этого соот-
ношения. Непосредственной проверкой легко убедиться в спра-
ведливости равенств
5 f
pp(i+infa)V3?a = ppv^ajnfj.
df	я	(7-36)
FapP (1+lnU Зра = Fapp|p(/alnfa) = 0.
137
так как f = 0 при |р| = оо. Как мы видели ранее, интеграл
столкновений Больцмана обладает свойством
(7.37)
Вводим величину Дет, называемую производством энтропии:
ДО- = -Е Jrfp Inf &1 .	(7.38)
а	J ст
С учетом соотношений (7.36)-(7.38) выражение (7.35) для
dS/dt переписывается следующим образом:
If = div Epp vafalnfa + ДО-.	(7.39)
а
Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет
собой плотность потока энтропии Т.
Т = -Eppvffllnfo .	(7.40)
а
Теперь соотношение (7.39) переписывается в виде
gy+divT = Acr.	(7.41)
Уравнение (7.41) представляет собой уравнение баланса энтро
пии. При равной нулю правой части соотношение (7.41) имеет
форму закона сохранения. Нетрудно показать, что производство
энтропии А(Г 0 для интеграла столкновений Больцмана равно
37^1 = Е .V Af'f' - f f ).
01	7* J 1 b ab abxl a1 b 'a1 b'
J ст	b
Действительно, для До* имеем
До* = - 2 [r/p dp do v ,lnfr (f'f' К) 
*~l. J ra rb ab ab ' a" a' b f a1 b'
ab	J
Это выражение можно переписать в симметричном виде по отно
шекию к сортам частиц а и b и импульсам частиц до соударения
(нештрихованным) и после соударения (штрихованным) вследст
вие одинаковости относительной скорости vab и сечения рас
сеяния	для прямых и обратных соударений и равенства
>'dp':
а Ь	i г /
До- = 1е Rp dp.do- . v Af'f' - f f.) in Л4 .
4".J ra rb ab abxl a* b 1 a'b' /	/.
ab	' a 'b
Знак правой части этого выражения определяется знаком

функции
(х-у))п^ г 0,
причем знак равенства достигается при х = у Итак,
Дет > 0,
(7 42)
138
и из соотношения (7.41) с учетом (7.42) следует, что
|| + divT г 0.
Наконец, для пространственно однородной системы divT = 0
и, следовательно, справедливо неравенство
> 0.
5. Показать, что уравнение кинетического баланса Паули
(7.3) сохраняет нормировку вероятности
Е w. = 1. 	(7.43)
I
Решение. Рассмотрим производную по времени от вы
ражения от суммы вероятностей (7.43):
Подставляя сюда производную dw^/dt из уравнения Паули,
получаем
- У.(Р..ю. ~ P..w.) = 0
d г 1 if 4 7 }l 1
вследствие свойства Р„ - Р... Поэтому = const, и при
выполнении условия нормировки (7.43) в начальный момент вре-
мени оно остается справедливым и в последующие времена.
6.	Показать, что уравнение Паули (7.3) приводит к возра
станию энтропии системы при любом неравновесном начальном
распределении.
Решение. Энтропия системы
S = -<lnw> = -Ttfl.lnw..
i	,ti
i
Вычислим производную по времени от S:
^7 = ~Sl^wiinwi = "EG +		(7 44)
i	i
В силу сохранения условия нормировки (7.43) Е^./d/ ~ 0.
I 1
Поэтому, используя (7.44) и уравнение Паули, имеем
. о	dw.
-ту = Е	~ “Е(7)..^. ~ P.w ) Inw. = Г P..(w -w.) 1пш..
Симметризуем это выражение по индексам I и /:
139
Полученное выражение неотрицательно, поэтому dS/dt £ 0.
Знак равенства имеет место при w, - w для любых i и /. Этот
случай соответствует равновесному состоянию в микроканониче-
ском ансамбле, описывающем замкнутую систему. Итак, при лю-
бом начальном неравновесном распределении, когда w. * w ,
имеем
dS/dt > 0.
7.	Показать, что при любом начальном распределении веро-
ятностей ш{0) уравнение Паули (7.3) является уравнением ре-
лаксационного типа.
Решение. Введем вектор состояния W с компонентами
w. и запишем уравнение Паули в матричном виде
3Y = АГ,	(7.45)
где Л —матрица перехода с элементами
Л<7 = рц ~8а pik-	<7 46>
Ч	I] 4/ & IK
Из вещественности вероятностей переходов Р.. и микроско-
пической обратимости следует, что матрица Л эрмитова:
Л+ = Л.
Это свойство позволяет утверждать, что собственные значения
матрицы Л вещественны, а собственные векторы ортогональны:
где Ф^ —вектор с компонентами Ф^п\ Записав формальное реше-
ние уравнения (7.45) в виде
W(t) = ethW(0),
где 11/(0) — начальный вектор состояния, можно разложить 11/(0)
по собственным векторам матрицы Л:
117(0) = £С Ф , или aw.(O) = УС ф[Ч
' ' п п	k' ' П k
п	п
Теперь вектор W(t) можно представить в следующем виде:
W) = Е СФп et8n , или w At) = Е С ф'"’ etKn .	(7.47)
* •  I	гС	t I гС
п	п
Покажем, что все < 0 и Ад = 0. Для собственных функций
Ф^ и спектра справедливы равенства
(Ф ,Ф ) = 5 , Л = (Ф ,ЛФ ),
' п т' пт п ' п п'
140
где символом (А, В) обозначено скалярное произведение А и В,
определенное равенством
(Л, В) = ЕЛ-.6..
i
Найдем знак выражения (Ф,АФ), где Ф — произвольный вектор:
Ф = {Ф^). Имеем
(Ф.ЛФ) = ЕФ*(Р ф - в Ф.) = =
i	j 11	1
2	- Е Рцк-СФ.-Ф,-) + Ф*(ФГФ,)1 = - 2 Е Рг. I I * 0. (7.48)
i / 1	1	1 J	ij	1
Знак равенства имеет место при Ф. = Ф. . Этот случай со
ответствует собственному значению AQ = 0 и собственному век-
тору Ф Все при п * 0 в силу (7.48) отрицательны. Теперь
имеем вместо (7.47) выражение
№(/) = СПФП+ Е С Ф	(7.49)
' '	0 0 n n	v 7
п*0
где t = А^ —спектр времен релаксации системы. Видно, что с
течением времени система необратимо релаксирует к не завися-
щему от времени равновесному состоянию:
ГЙ софо-
8.	Решить уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для
двухуровневой системы с начальным условием ш^О) = 1,
^2(0) = 0.
Решение. Обозначим вероятность перехода через
Р12 - Р21 = р Матрица перехода Л в рассматриваемом случае с
учетом соотношения (7.46) записывается в виде
IP ~Р J
Для нахождения собственных значений матрицы Л приравнива-
ем нулю определитель:
-р -Л р
р р -Л
раскрывая который находим AQ = 0, Л1 = -2р.
Нормированный собственный вектор Фо матрицы Л, принадле-
жащий собственному значению AQ = 0, есть
ф -
0 IimJ’
141
а собственный
равен
вектор Ф^, принадлежащий значению = -2р,
ф - [
1 I-1/^.
Начальный вектор U7(0) распределения вероятностей по условию
равен
Г(0) =
Раскладывая вектор UZ(O) по собственным векторам матрицы пе
рехода Л:
R0) = С0Ф0 + С,Ф,,
находим CQ - С1 - 1//Г
Итак, в соответствии с формулой (7.49) вероятность запол-
нения состояний в произвольный момент времени t определяется
выражением
W(t) = С0Ф0 + С<^е‘\ ,
или
wAt) = -(1 + е 2?‘), wJt) = -(1 - е~2р<).
I	Хг
Видно, что предельные значения вероятностей при t -> со одина
ковы:
йУ/оо) = W2(a>) = j.
9.	Решить уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для
п уровневой системы с начальным распределением вероятностей
ш/0) = 1,	wk(0) = 0 (k = 2, 3, .... n),
считая для просто-
ты, что все вероятности
переходов между различными состоя-
ниями одинаковы: Р.. -	. Считать,
ч г ч
произведение пр конечно.
Решение. Матрица перехода Л
(7.46) имеет вид
-(п-1)р р р ..
А = Р -(rt-l)p р . .
что п » 1, однако
в соответствии с
Р
р	р р ...	-(n-l)p
Симметрия матрицы позволяет легко найти ее собственные зна-
чения:
Aq = 0, Afe = -пр, k = 1, 2, .... п-1.
Таким образом, есть одно невырожденное собственное значе
ние Aq = 0 и (л~1)-кратно вырожденное собственное значение
142
Л1 = -пр. Нормированный собственный вектор Фо есть
Г 1/vTF ]
ф =
*0
Собственные векторы, соответствующие (п-1) кратно вырожден
ному собственному значению Л1
- —пр, можно записать
в виде
[п(п-1)]~1/2
-[(п-1)/п]’/2
[и(п-1)]1/2
[п(и-1)]“,/2
[Г( п-1)]4/2
-[(п-1)/п],/2
. [«(«-!)]1/2
. [n(n-l)]-1/2_
’ [п(и-1)]"1/2
[п(п-1)]-,/2
.-[(п-1)/п]’1/2
Эти векторы нормированы на единицу, ортогональны вектору Фо
и ортогональны друг другу с точностью до членов порядка
l/v^TF. В соответствии с формулой (7.47), учитывая вырождение
к. (I * 0), можно записать выражения для w(t) в виде
wkW = со
»,(') - С L . с,
vn
П~1 е~пР*
Vn(п-1)
Vn L Vn( п-1)
e~npt
k = 2, 3, п
или, вычисляя выражение в квадратных скобках,
о i- + С, —Ь— е~пР\	k = 2
k
Коэффициенты CQ и С находятся
С0 С](п-1)
из начальных условии
= - -7—4- = 0-
п Vn(n-l)
Решая эту систему, находим
С = --
0 г-
п -1
п
Итак,
wAt) = 41-e“np/), k = 2, 3...........п.
•	• *	ГЬ	f С
(7.50)
143
При п » 1 отсюда находим
®,(0 = р	= 2, 3 ,..., и
Эту задачу можно, разумеется, решить, непосредственно об
ращаясь к уравнению (7.3). Поскольку все w. равны w при
/,/ * 1, то это уравнение преобразуется к виду
^(0 =	wk(t) = p(w}-wk), k = 2, 3, n
(7 51)
Ищем решение в форме
шД) = c}eat, wk(t) = C2eat, k = 2, 3, .... n.
Подстановка этих выражений в уравнения (7.52) приходит к
следующему условию существования нетривиальных решений
а + р(п-1)
= 0,
а - р
Р
откуда а1 = 0, а2 “ ~пР‘ Найденные значения а позволяют за
писать выражения для вероятностей w^t) в виде
W](t) = В, + В2е~"Д wk(t) = В, - ^Те’пр'.	(7 52)
Использование начальных условий дает следующие значения
В( и В2:
В. = 1/п, В = 1 -1/п,
1
и выражения (7.52) совпадают с (7.50).
10. Записать уравнение Фоккера-Планка для маятника с од-
ной степенью свободы, помещенного в термостат, состоящий из
молекул газа, непрерывно бомбардирующих маятник.
Решение. Уравнение движения маятника имеет вид
+ Кф + mgl sin^p = N +	(7 53)
где / — момент инерции, m — масса маятника, / — расстояние от
точки подвеса до центра масс. Угол характеризует отклоне
ние маятника от вертикали, к описывает сопротивление движе-
нию маятника, пропорциональное скорости, N и Л^(/) —соответ-
ственно заданный момент внешних сил и момент случайных сил,
действующих со стороны молекул.
Корреляционная функция случайных сил аналогично (7.7)
записывается следующим образом:
(7 54)
1	If
144
Вводим обозначения
w2 = mgl/J, 1/т = к//.
Теперь уравнение (7.53) переписывается в виде
ф +	+ to2sinp = i(N + NAt)) .	(7.55)
Перейдем от (7.55) к системе уравнений первого порядка
Вводим момент импульса L как производную от кинетической
энергии по угловой скорости движения ф:
L = дЕ^дф = J<p.
Теперь вместо (7.55) имеем
Ф = 4, L = - 4 - /Лозф + N + NJt).	(7.56)
J	V	]
Если ввести функцию Гамильтона
/2
Н = Ek+ - тр] - rngl cos<p - N<p,	(7 57)
то системе уравнений (7.56) можно придать вид системы урав-
нений Гамильтона:
* = 'L = -&rk+NiW-	С-58)
Соответствующее системе (7.58) уравнение Фоккера-Планка,
согласно (7.57), записывается в виде
И. Рассмотреть броуновское движение маятника, описывае-
мое уравнением (7.59), в отсутствие внешних сил (Е =
= const). Считать, что в начальный момент имеется равномер-
ное распределение по углу PQ(L,^) = Pq(L)
Решение. Уравнение Фоккера-Планка (7.59) в рас-
сматриваемом случае принимает вид
вР,ЬвР, 1„ LSP<
5Т ТсПр irt т ЭТ
JkT" rt
т- dL2
(7.60)
Из уравнения (7.60) видно, что равномерное распределение
по углу $ сохранится и во все последующие
Pt(L,<p) = Pt(L) Теперь имеем вместо (7 60)
времена:
(7.61)
145
Тепловое движение молекул в конце концов приведет к уста
новлению максвелловского распределения по скоростям. Поэтому
ищем решение уравнения (7.61) в виде
Р (£) = ехр f-a2(/)L2l -	(7.62)
v5r	J
Предэкспоненциальный множитель в (7.62) выбран таким об
разом, чтобы в любой момент времени было выполнено условие
нормировки плотности вероятности P1L):
оо	со
Подставляя выражение (7.62) для Pt(L) в (7.61), получаем
уравнение для a (/):
a"f +	~ °-	<7-63)
Стационарное (a = 0) решение уравнения (7.63)	a(a>) =
= l/V2nJkT дает равновесное максвелловское распределение по
моменту импульса L:
(7М>
Нестационарное решение уравнения (7.63) следует искать с
учетом вида начального распределения Pq(L). Если, например,
PAL) = §(L), то уравнение (7.63), как видно из (7.62), нуж
и	—1
но решить с начальным условием a (/) - 0 при t - 0. Такое
решение имеет вид
= 2JkT [1 - е 2'/т] .
a2(O L J
Действительно, переписав уравнение (7.63) в виде
a_________________________1 + 2JkT _ о
убеждаемся, что оно эквивалентно уравнению
где 0 = -1/а2, причем 0(0) = 0. Уравнение (7.66)
ется; в результате приходим к выражению (7.65).
(7.65)
(7.66)
легко реша-
При подста-
новке выражения (7.65) в (7.61) получившееся решение описы-
вает установление максвелловского распределения. Характерное
время установления такого распределения составляет т/2
12. Рассмотреть броуновское движение маятника, описывас
мое уравнением (7.59), считая, что при t = 0 имеется равно
146
веское максвелловское распределение по моменту импульса L,
но неравновесное распределение по углу Р$(Ь,(р) = Pm(L) х
х д(<р). Внешние силы отсутствуют.
Решение. В рассматриваемом случае уравнение Фокке-
ра-Планка имеет вид (7.60). Ищем его решение в виде
~ М) ехр{-32(0 [(₽ - уТ у(о]}.	(7.67)
Такое выражение выбирается для выполнения условия сохранения
нормировки плотности вероятности Pt(L,(p) в любой момент вре-
мени, так как для входящего в (7.67) множителя, зависящего
от (р, справедливо равенство
-со
Выражение в квадратных скобках в показателе экспоненты
соответствует тепловому развитию d-образного начального рас
пределения по углу за счет движения молекул термостата. Оче
видно, что при t = 0 должно быть выполнено условие эг(О) = 0,
1/13(0) = 0.
Подставляем (7.67) в уравнение (7.59). После несложных
алгебраических преобразований получим
j +	[1 - 232 [у-	2] + 2Р2|[ф- ^ту](ту+у-1) = 0.
Отсюда следует, что (3 и у удовлетворяют уравнениям
/3/03 = - (2тАТ/7)у2 ,	(7 68)
Г+ у/т = 1/т.
(7.69)
Соответствующее начальному условию Э"(0) = 0 решение урав-
нения (7.69) записывается в виде
= 1 - e~t/x.	(7.70)
Подставляя (7.70) в (7 68) и выполняя интегрирование по t
от нуля до /, получаем при учете начального условия 1/(3 - 0:
1	„ 4тЛТП т Го A^-t/т . „-2г/тП	z-7
— = — t _ j - 4е +- е	(7.71)
/3(0 J L	JJ
С помощью выражения (7.67) можно найти среднее значение
квадрата угла поворота маятника из положения р = 0, сущест-
вовавшего при t = 0, к моменту времени Л
со	00
147
Интеграл по ф вычисляется после замены переменной ф' =
= ф - (£//)т У(0- После этого легко вычисляется интеграл ио
L. В результате, подставляя выражение (7.70) для эг(/), имеем
<ф2> = 2тИ)	(7 72)
При малых временах /, когда t « т, поведение системы имеет
динамический характер. Действительно, в этом случае из
(7.72), раскладывая экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь
квадратичными по t членами, имеем
<ф2>
М^2
При больших временах, когда t » т, средний квадрат углового
смещения пропорционален первой степени времени, что харак
терно для случайных блужданий.
13. Рассмотреть броуновское движение маятника, описывае-
мое уравнением (7.60), считая, что начальное распределение
плотности вероятности имеет вид
P0(L,<p) = 8(L) 3(ф),	(7.73)
что соответствует неподвижным, вертикально расположенным ма-
ятникам.
Решение. Будем
искать решение уравнения Фоккера-
Планка (7.60) в виде
Pt(L,<p) = ^a(t) е-а2^
₽(t) ехр< -З2
причем вследствие начального условия (7.73) при t - 0
обращаться в нуль 1/а(0), 1/3(0) и у(0). Подставляя
(7.74)
должны
выраже-
ние (7.74) в (7.60), получаем после несложных алгебраических
преобразований
“ - i(l-2/Wa2)](l-2a2L2) + [ | +	] Г1 - 2р2 [у £ту
х 2р2И<р- jTy
ту - (l-4a2/^T)y - 1
Отсюда следуют уравнения для функций а, 3 и
v	v
(7.75)
| + ^у^32у2 = 0,	(7.76)
ту + (4/fc7a2-l)y - 1 = 0.	(7.77)
Уравнение (7.75) совпадает с уравнением (7.63) Его реше
ние, соответствующее начальному условию (7.73), имеет вид
148
(7.65). Таким образом, и в этом случае за время т/2 происхо-
дит установление равновесного максвелловского распределения
по моменту импульса. Это распределение устанавливается неза-
висимо от характера начального распределения по углу <р. Под-
ставляя a(f) из (7.65) в (7.77), получаем следующее уравне-
ние для у(/):
ту + ycth(//T) - 1 = 0.	(7.78)
Его решение, удовлетворяющее условию у(0) = 0, записывается
следующим образом:
зг(/) = ctw/т) -	.
(7.79)
Отметим, что у(/) -» 1 при t » т. Используя выражение (7.79),
легко проинтегрировать уравнение (7.76) для /3(/):
1 = 4тИТ_ 2ту(/)1 •
32(О J L J
(7.80)
Соотношения (7.79) и (7.80) соответствуют медленной диффузии
в координатном пространстве.
14. Показать, что при произвольной потенциальной энергии
Е*п(^) броуновское движение маятника приводит к установлению
стационарного распределения по моменту импульса независимо
от вида начальных условий.
Решение. Будем искать установившееся при I -> со
стационарное решение	уравнения Фоккера-Планка (7.59)
в факторизованном виде:
Pm(L^) = P(L) сг(<р).	(7.81)
Подставляя выражение (7.81) в уравнение (7.59) и интегри-
руя по углу <р, получаем, считая функции P(L) и ег(ср) нормиро-
ванными:
JkT^ P(L) + (L-Lo) + P(L) = 0,	(7.82)
d L
co
Lo =	= -T	(7-83)
-co
представляет собой усредненный по углу ф момент импульса,
соответствующий «дрейфу» под действием момента силы
Непосредственной подстановкой в уравнение (7.82) можно убе-
диться, что решением (7.82), ограниченным при L ±со, явля
ется функция
1 Г (^п) )
,,_ехР “ 2JkT ’	(7-84)
149
Это распределение максвелловского вида, центрированное около
значения L - определяемого дрейфом в поле внешних сил.
Очевидно, что стационарное среднее значение L равно L'
со
<L> = \dLP(L)L = Lo.
-00
Таким образом, для нахождения среднего значения момента
импульса (или среднего значения $ = L/J) необходимо знать
стационарное распределение по углу <г(ф). Напротив, средний
квадрат флуктуации момента импульса L можно определить, не
решая уравнения для <т(ф). С помощью (7.84) находим
00 (L-L )2
<(L-'-")2> " 77^77	«'•Л?2 
» £ II J К1	_
—00
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Пользуясь уравнением Больцмана, получить равновесную
функцию распределения для системы, находящейся в постоянном
во времени внешнем поле.
2. Показать, что уравнение Больцмана необратимо, т.е. ес-
ли f(x,/) — решение, то f(-x,-Z) не обязано быть таковым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической
физики. — М.: Наука, 1977.—367с.
2.	Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Термодинамика
и статистическая физика. Теория равновесных систем.—
М_: Изд-во МГУ, 1986.-310с.
3.	Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая
механика Т.1. — М.: Мир, 1978.—405 с.; Т.2. М.: Мир,
1978. -399с.
4.	Боголюбов Н.Н. Избранные труды по статистической физи-
ке. — М.: МГУ, 1979.—342с.
5.	Гуров К.ГГ Основания кинетической теории. — М.: Наука,
1966. -351с.
6.	Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинами-
ка. — М.: Наука, 1971. —415с.
7.	Исихара А. Статистическая физика. —М.: Мир, 1973. —471с.
8	Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика.
Теория неравновесных систем. —М.: Изд во МГУ, 1987,—
559с.
9.	Хуанг Керзон. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.
5z0c.
10.	Киттель Ч.	Статистическая термодинамика— М.:	Наука,
1977. -336с.
И. Климонтович	Ю.Л. Статистическая физика. — М.:	Наука,
1982. -608с.
12.	Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. — М.:
Наука, 1981. —351с.
13.	Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая
физика.—М.: Наука, 1983.—416с.
14.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. —
М.: Наука, 1976.-584с.
15.	Лифшиц Е.М., Питаевский Л И. Физическая кинетика. — М.:
Наука, 1979 —528с.
16.	Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов.—М.
Наука, 1977.-331с.
17.	Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции но статистической механи-
ке. — М.: Мир, 1965. -307с.
18.	Фейнман Р. Статистическая механика. —М.: Мир, 1975-
407с.
FIZMATLIT. NAUKA PUBLISHERS
15 Leninski prospekt, Moscow 117071 USSR
A.S. KONDRATYEV, V.P. ROMANOV
PROBLEMS IN STATISTICAL PHYSICS
1992, 152 pages, ISBN 5-02-014682 X
Readership: Students of universities, pedagogical institutes
and high schools with advanced courses on physics, postgra-
duate students, high school teachers and scientific workers.
The book: The book consists of more than one hundred prob
lems. The most part of them is original. The problems reflect
ail main directions in statistical thermodynamics and the
methods used. The solving of these problems will provide the
development of an active usage of the statistical thermodyna
mics methods. The main attention is paid to the maximal con
nection with the modern scientific problems.
Contents: Part 1 of the book is devoted to the phenomenology
cal thermodynamics. The properties of simple systems, dielec-
trics and magnetics are investigated. The following two parts
deal with the equilibrium properties of classical and quantum
systems. Statistical integrals, distribution functions, pro
perties of Fermi and Bose gases and mixtured representation
in quantum statistics are revealed, Part 4 is devofed to the
fluctuation theory. Quasi thermodynamical and statistical
fluctuation theories, the foundations of the theory of
dynamical systems with fluctuating parameters are presented
Part 5 deals with phase transitions. The modern approach to
the theory of phase transitions of the first and second order
and the numerical methods (Monte-Carlo and molecular dyna
mics) ‘ \“re considered. The last two parts are devoted to the
поп-equilibrium statistical mechanics. The equations exposed
are Liouville and Neumann equations, the self consisted field
approximation and kinetic equations of Boltzmann, Pauli and
Fokker-Planck.
The authors: A. S. Kondratyev, Professor of Leningrad State
University and Pedagogical Institute, a specialist in quantum
theory of many-body systems, author of fwo monographs «The
Electron Liquid of Normal Metals» and «The Electron Liquid of
Magnetoordered Metals» and the textbook «Physics in Examples
ana Problems». V P. Romanov, Professor of Leningrad Slate
Uni versify,a specialist in the theory of condensed matter,
the author of a large number of works published in Soviet
Physics — JETP.