Н. Я. ВИЛЕНКИН, К. А. БОХАН,
И. А. МАРОН, И. В. МАТВЕЕВ,
М. Л. СМОЛЯНСКИЙ, А. Т. ЦВЕТКОВ
ЗАДАЧНИК
ПО КУРСУ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ II
Под редакцией
И. Я. Виленкина
Допущен Министерством просвещения СССР в качестве
учебного пособия для студентов заочных отделений
физико-математических факультетов пединститутов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИ
МОСКВА 1971

517.2
3-15
3-15 Задачник по курсу математического анализа*
ч. II. Под ред. Н. Я Виленкина
Учебн. пособие для студентов заоч. отд-ний
физ-мат. фак. пединститутов. М., «Просвещение»,
1971.
336 с. Перед загл. авт. Н. Я. Виленкин, К. А. Бохан,
И. А. Марон и др.
Данная часть задачника содержит задачи и примеры по следую-
следующим разделам математического анализа: ряды, дифференциальное
и интегральное исчисления функций нескольких переменных, диффе-
дифференциальные уравнения, ряды Фурье и некоторые уравнения мате-
матической физики.
Пособие предназначено для студентов пединститутов.
2-2-3
18—71
517.2

Раздел 4
РЯДЫ
Глава I.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пример 1. Написать одну из возможных формул для общего члена ряда,
зная его первые 4 члена:
JL 1 А И
2 + 6 + 18 + 54 + "' '
Решение. Рассмотрим сначала последовательность числителей 2, 5, 8, 11.
Мы видим, что они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой
равен 2, а разность равна 3. Поэтому в качестве общего выражения для числителя
можно взять выражение общего члена арифметической прогрессии 2 +3 (п—1)=
= Зл — 1. Знаменатели 2, 6, 18, 54 образуют геометрическую прогрессию с пер-
первым членом 2 и знаменателем 3. Поэтому в качестве их общего выражения можно
взять 2 • 3я". Тогда общий член ряда принимает вид:
Зп — 1
Замечание. По нескольким первым членам ряда нельзя однозначно вос-
восстановить формулу общего члена. Например, для ряда
JL JL JL И
2 + б + 18 + 54 + "•
можно положить и
Зл — 1 Зл — 1
ап = ——ггт и а„=
3«-i 2 • 3*-i + (л-1) (л - 2) (л - 3) (л - 4)
Поэтому в нижеследующих задачах мы ищем лишь одну из возможных формул,
соответствующую данным членам ряда, стараясь выбрать ее наиболее простой.
Пример 2. Написать одну из возможных формул для общего члена ряда,
зная его первые 4 члена:
1 1.3 1.3.5 1-3-5.7
2 2-5 2*5.8 2.5.8.11+'"#
Решение. Этот ряд является знакочередующимся, и потому каждый его
член содержит множитель (— 1)л~1. Числители являются произведениями членов
арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 2. Знаменатели —
произведения членов арифметической прогрессии с первым членом 2 и разностью 3.

Применяя формулу общего члена арифметической прогрессии, получаем, что
а в(-П«-1 ЬЗб..,[1+2(я1)] в Ь3.5...,.Bд-1)
п К } 2 • 5 • 8 ..... [2 + 3 (п — 1)] V ' 2 • 5 • 8 - ... • (Зд — 1) '
Пример 3. Найти sn — сумму п первых членов ряда
4 4 4 4
1 . 3 + 3 • 5 + 5 • 7 +"* + Bя— 1) Bд + 1) + '" '
Пользуясь непосредственно определением суммы ряда, показать, что этот ряд схо-
сходится, и найти его сумму s. Вычислить R10.
Решение. Первый способ. Составим последовательность час-
частичных сумм заданного ряда:
4_ ?
4 4 8
4 ? 412
Мы видим, что первые частичные суммы представляют собой дроби, числители
которых равны учетверенному индексу (номеру) частичной суммы, а знаме-
знаменатели — удвоенному индексу, сложенному с единицей. Поэтому можем пред-
предположить, что
An
$п в2мЛ '
Методом полной математической индукции легко доказать, что эта формула вер-
верна для всех п.
Переходя к пределу при п -> оо, получим:
An
s = lim sn = lim —~- = 2.
Следовательно, сумма данного ряда существует и равна 2, т. е. ряд сходится.
Теперь находим
_ __Ап 2_
^10"" 2 . 10 + 1 ~ 21 *
Следовательно, если бы мы в качестве приближенного значения суммы ряда
2
взяли сумму его первых десяти членов, то имели бы погрешность, равную — .
Второй способ. Представим общий член ряда в виде суммы двух
дробей, т. е. разложим Дробь на простейшие, пользуясь методом неопределенных
коэффициентов:
4 А В
Bл— 1) Bп + 1) ~" 2я — 1 + 2я + Г
Определим значения для А и В: А = 2, В = —2. Таким образом,
4 2_ 2
Bд — 1) Bд+ 1) = 2п — 1 "" 2/1 + 1 #

Представляя теперь каждый член данного ряда в виде суммы двух слагаемых, мы
получим следующее выражение для n-й частичной суммы:
4 4 4 4 _2 J2_
S/l = П + 3^5 + 5 . 7 + "' + Bя — 1) Bп+ 1) ^ ~ 3 + 3
_2_ _2 2 2__ 2 2__
~~ 5 + 5 ~~ '" ~~ 2п — 1 + 2п - 1 "" 2я + 1 = "" 2п + 1 *
Все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожились.
Теперь легко находим сумму заданного ряда:
При вычислении конечных сумм часто оказывается полезным следующее ут-
утверждение: если существует такая функция F (*), что f (п) = F (п+ 1) — F (п),
то
f(l)+... + f(n) = F{n+l)-F A).
Пример 4. Найти выражение для конечной суммы
*л= 1 + 22+32+... + п\
Решение. Напишем следующие равенства:
(п + IK — п3 = Зяа + Зп + 1, (I)
(Л + IJ — п2 = 2я-Ь1, B)
(л+ 1) — я = 1. C)
Умножим равенство A) на Л, равенство B) на В, равенство C) на С и сложим;
[Л («+ 1K+Я(я+ 1J+С(п+ 1)] - [Лп3+ Вп*+Сп]^
= ЗЛп2 + (ЗЛ + 2J5) я + (Л + В + С).
Подберем коэффициенты Л, Л, С так, чтобы правая часть равнялась яа;
ЗЛл2 + (ЗЛ + 25) л + (Л + В + С) = п\ (*)
Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях (*), получаем систему
уравнений:
ЗЛ = 1,
ЗЛ + 2Д - О,
Л + В + С = 0.
Из нее находим Л — — , В—— — , С = — . Значит,
n*=F{n + l) — F{n),
где
Но тогда
я (я + 1) Bп + 1)
з„ = I2 + 2*
Во многих случаях удается установить расходимость ряда, использовав необ-
необходимый признак сходимости. Для этого достаточно установить, что общий член
ряда не стремится к нулю*

Пример б. Исследовать сходимость ряда
1 + 1 + 1 + 1+...+-»-+....
Т 4 7 11 3/1-2 ^
Решение. Находим предел общего члена ап ряда при п -»ооэ
я .. 1 1
3
lim an = lim = lim
П -* оо Л -+ oe Otl 2 П -*¦ оо
3—-
Так как в данном случае ал не стремится к нулю при л-»оо, то заданный ряд
не удовлетворяет необходимому признаку сходимости и, следовательно, рас-
расходится.
В задачах 1.4 —6.4 написать одну из возможных формул для
л-го члена ряда по указанным его первым членам:
1.4. 1 + - + - + - + ....
5 9 13
2.4. 1 -
16 25
3.4. !_± + ±_1 + ±_±
2 6 12 20 30 42
4.4. i_L^ L±AJJ
+
1.4^1-4.7
5.4.
+
1-2 1-2.3
64 I2'4.2'4'6
1.31-3.5
1 .4-7- 10
—^
1.2-3-4
1-3-5.7
В задачах 7.4—10.4 написать 5 первых членов ряда по извест-
известной формуле для общего члена:
7.4. а = Зп ~^2
8.4. дя=П<- ')"<"- '> .
п 2Л+3
9.4. а = 2 + <- Ц*
1
Bп —1
10.4. ап =
Bп - 1) Bл+ 1)
при л = 2Л— 1,
11.4. Написать а3,
при л =
)» а15» а16> еСЛИ
E — /гJ при 1 < п < 4,
при 5 < п < 15,
(л - 4J
п— 15
л2 — 8л
при п> 16.

12.4. Пусть
Написать ал+1, а2п> а3л-1» апг •
п V ' 1 . 5 • 9 ..... Dл — 3)
Написать ал+2, ая+ж, ат„, ая, . Найти 2«±i
«я
14.4. Пусть
Вычислить (ап)\ {ап)в+1, YlTn.
В задачах 15.4—23.4 получить для следующих конечных сумм
выражения, не требующие сложения п слагаемых;
15.4. I3 + 23 + З3 + ... + п\
16.4. I3 + З3 + 53 + ... + Bл — I)8.
17.4. I3 + 53 + 93 + ... + Dл — ЗK.
18.4.
п
19.4. ^ k*(n — k + IJ.
20.4. 1 з _ 23 -f 3s —... + (— I)" n3.
21.4. 1* — 24 + 34 — ... + (— I)" n*.
22 4 1 _i_ _j_ _i_ *
1-33-5 B/t— 1) Bn + 1)"
23.4. f 4\ t ^ -| l—
1
(c+n-l)(c+n)(c+n+l)'
24.4. Вычислить сумму 2j 'n (^ — ьгI
fe=2
V i кЪ — 1
25.4. Вычислить сумму 2j ln ^TTT-
Указание. Принять во внимание тождество
(k + II - {k + 1) + 1 = k% + k + 1.

26.4. Вычислить сумму 2* ln y~ k(k +
п
27 А. Доказать, что ? ln cos 55 ^ ln sinх ~~ п ln 2 ~ ln sin Tn •
28.4. Найти сумму 2* Г? tg —,
29.4. Доказать тождество arctg arctg—— =
а + л — 1 a -f- /i
= arctg
с2 + (а -f л) (а + л — 1) '
30.4. Найти конечные суммы:
а) arc tg I + arctg 1 + arctg 1 + ... + arctg -L.
б) arctg [- arc tg—[-... -f arc tg — .
Указание. Воспользоваться результатом задачи 29.4, подобрав в ней
значения а и с.
31.4. Исходя из равенства
определить сумму
х 2х2
Указание. Прологарифмировать и продифференцировать равенство (*).
32.4. Получить выражения для sn, s, /?л:
^ Г7 4^7 "* (Зп —2)(Зл+1) '" '
} 12 . 22 22 • З2 '" л2 (л + IJ ""'
.23 /1 + 1
в) 12.32 22-42 п2(п + 2)* "i"-'
9 9 9
г\ Z I L _L I f I
7 1 • 2 • 3 2 • 3 • 4 л (n + 1) (n + 2)

A' 1 . 4 . 7 2 . 5 • S n (n + 3) (n + 6)
е) arctg 1 + arc tg~ + ... + arctS^ + -
(см. пример 30.4);
ж) arctg I + arctg I + ... + arctg у|Я+1у| + 1 + ...;
(см. пример 30.4);
з) arc tg 1^1 + arctg ^ +... + arctg "^3 -f ...;
' * 2 ^ s 2. 2.3 2n Bn -1) ^ '
и) 2 (V«T2 - 2 K«Tl + /л ).
С помощью необходимого признака сходимости ряда устано-
установить, какие из указанных рядов заведомо расходятся:
33.4. 1 — 1 + 1 — 1 +... + (_ l)i-i +
^
34.4. 0,001 + УЩП + ^^01+ ... + v^^OOT -f ... .
37>4' ут
38.4. - + - + 1+... +-
3927 ^3"
39.4. L + A + L +
+ + + .- Н
1001 2001 3001 lOOOn +1
40,4. Доказать, что если HmSn = S, то
П -+ со П
41.4. Доказать, что если рл > 0, п = 1, 2, ,.. и Нт рп
rt -» ее
р>0, то
Нт VpiPz-Pn = Р-
Л -* оо
42.4. Вычислить предел Нт т/ 5!1.
Указание. рл=

43.4. Пусть Ь„>0, п = \, 2, ... и ряд 6, + Ьг + ... +Ь„
расходится. Доказать, что если lim — = s, то
П -* оо Ь± + ... +
44.4. Вычислить предел
45.4. Вычислить предел
Ит
«а а
46.4. Доказать, что если рл>0, л= 1, 2, ... и
Ит——^——— = 0,
Л- « Pl + Л+ ••• + Р*
то из существования lim srt = s вытекает, что
П - во
lim s.
Я -* « Pi + Р2 + - + Ря
§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Пример 1. Установить сходимость или расходимость ряда с помощью тео-
теорем о сравнении рядов
—+ — +— 4- А- 1 4-
1п 2 ^ In 3 ^ In 4 ^ •" ^ in (л + 1) ^ '" '
Решение. Сравнивая данный ряд с рядом
+ + + + п
видим, что при всех значениях п
1 1
1п(я + 1) > п+\
(проверьте справедливость этого неравенства).
А так как ряд (*) отличается от гармонического ряда лишь на одно слагаемое
A) и потому расходится, то и заданный ряд также расходится.
Пример 2. С помощью теорем о сравнении рядов установить сходимость
или расходимость ряда:
Y + ?+l2+' ' >/2(п + 1) '*' '
Решение. Сравним члены заданного ряда с членами сходящегося ряда
1 • 3 + 3-5 + *'" + Bл — 1) Bл +1) + '" '
(см. пример 3, § 1).
10

Имеем:
1 ;
п (п + 1) B/1 — 1]
«о
Так как ряд У ~ -——— сходится, то и данный ряд сходится, посколь-
ш V-n — 1) BП + 1)
п=\
ку его члены меньше соответствующих членов сходящегося ряда.
Пример 3. С помощью теорем о сравнении рядов исследовать, сходится
или расходится ряд:
1 22 3^ пп
3 У2 52 УЪ 7* У! " ' Bя + 1)п Уп + Х '
Решение. Оценим общий член ап заданного ряда. Имеем:
пп пп
Bл + 1)п
при всех п. Таким образом, члены заданного ряда меньше членов сходящегося ря-
оо
да j^ ~ » представляющего собой бесконечно убывающую геометрическую про-
прогрессию со знаменателем ~; следовательно, данный ряд сходится.
Пример 4. Исследовать вопрос о сходимости ряда
1 1 1
In2 3 + ' " + \пп (п
с помощью признака Коши.
Решение. Находим:
ап = lim Л/ —-Ц_ = lim , / , 1Ч = 0< 1.
п •
Так как lim у/ ап < 1 , то ряд сходится.
П -*¦ оо
Пример 5. Установить с помощью признака Далзмбера, сходится или
расходится ряд:
2. JL JL 2п —1
2 + 4!! + 61! + ''' Bл) И + "" *
Решение. Находим:
ап+1 _ . Г 2/г+ 1 2я—П _
л^оо ап =пТ~ [Bл + 2)!! : Bл) I! ] ^
_ . Bл) 11 Bл + 1) 2л+ 1
в л1!- Bл+2) 11 Bл—1) ""Л"!* Bл + 2) Bл -1) ~~ < '
Так как
lim •^!±L < 1,
л -+ со ап
то ряд сходится.
II

Пример 6. С помощью признака Даламбера установить, сходится или рас-
расходится ряд:
Решение. Находим:
3 • (я
К)"
Так как
Iim -^ > 1,
л - «i ая
то ряд расходится.
Пример 7. С помощью интегрального признака исследовать сходимость
ряда:
2 In3 2 + 3 In3 3 + ' ' * + (л+1Iп3(л+1)
Решение. Функция при х > 1
(х+ 1Iп3(х+1)
положительна, непрерывна и монотонно убывает, поэтому для исследования дан-
данного ряда на сходимость можно воспользоваться интегральным признаком. На-
Находим:
dx f d\n(x + 1) . 1
2 In2 (x
N - «.. L 21n2 (N + 1)
1 1 1
I —
2 In2 2 J 2 In2 2 '
Таким образом, соответствующий несобственный интеграл сходится, значит,
данный ряд также сходится.
Для оценки остатка ряда с положительными членами удобно пользоваться
интегральным признаком сходимости. Если этот признак применим к ряду
00
Zif (п), то имеет место оценка
[ [(х) dx < Rn< J / (jc) dx.
я+l n
Пример 8. Сколько членов ряда
нужно взять, чтобы получить значение суммы ряда с точностью до 0,001?
Г2

Решение. В данном случае имеем / (х) — — и
во
п
Найдем такое значение я, чтобы выполнялось неравенство — < 0,001. Решая
п
это неравенство, получаем, что п > 1000. Поэтому /?1001 < 0,001. Итак, для по-
получения указанной выше точности надо взять 1001 член ряда.
Иногда для оценки остатка положительного ряда можно использовать метод
сравнения остатка с остатком сходящегося ряда, члены которого больше членов
данного ряда.
Пример 9. Сколько членов ряда
нужно взять, чтобы получить значение суммы с точностью до 0,0001?
Решение. Мы имеем:
1 +
(n+l)!L ' л + 2 ' (я + 2)(я + 3)
Так как
...].
^ ^п + 2^ (п + 2)« ^ _ 1 ~я + 1'
~ п+2
то
п + 2
" < (я + 1)! (я + 1) '
Поэтому нам нужно выбрать такое значение п, чтобы выполнялось неравенство
10000'
Решая это неравенство, получаем, что п > 7. Поэтому достаточно взять 8
членов ряда.
Пример 10. Доказать, что
100я
Jim =0.
П - оо П\
Решение. Рассмотрим ряд 7^^~7~ с общим членом ап~ . Так кан
тт п\ п\
13
ап+1 100л^ 100 я „ 100
-^ = lim :—= lim —— = 0,
ал Л-*ов(д + 1I л! д^о^л+1

то по признаку Даламбера этот ряд сходится. Следовательно, его общий член стре-
100"
мится к нулю: lim = 0.
Установить сходимость или расходимость указанных рядов с
помощью теорем сравнения:
47.4. JL + — + —+• -Н i + ••' •
1001 2001 3001 1000 л -И
48.4. L + 1 + 1 + ... + -Л— + ....
2 5^ 10 ^ ^ я* +1
49.4.
+ +
1 . 4 4- 9 9- 16
50.4. i L l
/2 \ 3 /4 /л 4- 1
-. 4 . « . sin2 2а . sin2 За , , sin2 л а ,
51.4. sin2a Н Ь •.. Н
^827^ л*
52.4. 1 + J- + --L- + ...Н 5 + ....
58.4. 1 + ^ + 15+...+ *± + ....
2 ^ 12 56 ^ 2" Brt — 1)
55.4. ±+± + -L + ...
2 6 10
+ + + ... +
2 6 10 4я-2
Установить сходимость или расходимость указанных рядов с
помощью признака Коши:
3\4
58.4.
60.4. arcsin I -f- arcsin2 —!-••• + arcsin^ (-••••
2 /г
61.4. |/2"+ У~2 — У~2'+ У 2 —
г
/ г
У 2-^2+1/2
+ ... .
14

Указание. У 2 = 2 cos — .
4
62.4./2 + I/2 —]/з +
V2—
63.4.
Установить сходимость или расходимость указанных рядов о
помощью признака Даламбера:
+¦•¦•
66.4. gi+2tgf+ 3tei + ...
67.4. 2 + 1+1 + ... + ^-+...,
«ЯЛ I _1_ 2! J_ 3! J_ . "' _L
68.4. Ц--+- + ... + _+...
69.4. а) У -^1; б)
Bл)!
п=\ п=\
Установить сходимость или расходимость указанных рядов о
помощью интегрального признака:
70.4. —!_ + _!_+ ... + JL. + ....
2 In 2 3 In 3 nlnn
71.4. 1 1 ! h... l
21n 2 In In 2 ^ 3 In 3 In In3
21n21nln2 31n31nln3 (л+1) 1п(л+1Iп In (л + 1)
no л Гп 2 . In 3 . In 4 . . In (л + 1) .
73.4. '
л л —
74.4.
15

75.4. ?
!
п У~п + 1
7g4 * In(n -b 1) — Inn
In2 л
77.4. Доказать, что при любом х выполняется неравенство
2
78.4. Доказать, что
л=1
79.4. Доказать, что
п
Установить сходимость или расходимость рядов, выбрав само-
самостоятельно для исследования в каждой задаче подходящий признак
сходимости (расходимости) ряда:
81.4. +
+ + + ... |
Ь4 4-7 7 • 10 (Зп— 2)(Зп+1)
82.4.+ + + ...+
3 9 19 ^ 2п2 +1
83.4. ! L J
+ + + ... +
з2 32 • 42 42 • 52 (я + 1)а (я
—. 87.4.
(п—1)!
16

88.4. JT Ь44^з'|;Л1- 89.4. ? i^.
90 4 T 100° ' 1Q02 ' 1QQ4* '" '(998 + 2n) 914 У {
' ** 1 • 4 . 7 • ... • (Зл — 2) ' ' ' ** К(л~=Т) л '
/1=1 я=2
92.4. X^L. 93.4. f4-^!.
«=1 /t=l
94.4. ?2i±i. 95.4. X-
^^ Л3 ^^A
*n • 2n
96.4. ? (уТ+7 - /Я"). 97.4. ^ (К^ТТ-2 /п + Kn^
4 f l-5.9.....Dn
Л> -^ Dя-2)Н
1
100.4.1-—^—. ЮМ.
I
n
102.4. X 2* ) ' 103-^ У?'~ y^ '
/1=1 /1=2 ^ ^
104.4. Исследовать сходимость числовых рядов, обищп член
которых имеет вид:
) — 1 - 3. 5. .... Bл —1) 1
^ п "" 2 • 4 • 6 ..... 2л /л~ ?
б) ия = B — }/F)B — ffe) - ... • B — Уе)\
В) «я = 1 — COS — ;
л
105.4. Пусть ut = 1, а2 = 2, и„+2 = ая+1 + ип, /1 = 1,2, ... .
Доказать сходимость ряда —h ... + —Ь ... .
106.4. Доказать, что ряд ^

а) сходится при произвольном q, если р>1, и при #>1,
если р = 1;
б) расходится при произвольном #> если р < 1, и при <7 <^ Ь
если р = 1.
107.4. Доказать признак сходимости Ермакова: если члены
со
ряда 2d un положительны и монотонно убывают и если
ton i^l = L,
то при L < 1 ряд сходится, а при L > 1 расходится.
108.4. Примените признак Ермакова к исследованию сходимо-
сходимости ряда
п log2 n lloga log2 n]a '
00
109.4. Доказать, что если ряд 2 ал (ап > 0) сходится, то ряд
^л2 также сходится. Обратное утверждение неверно: привести
примеры.
110.4. Доказать, что ряд чисел, обратных членам арифметиче-
арифметической прогрессии, расходится.
111.4. Пусть даны два сходящихся ряда
с неотрицательными членами. Что можно сказать о сходимости ря-
рядов:
2 in (ая, Ьп)х и 2 max (a«» fcJ?
/1=1 П=1
112.4. Можно ли что-нибудь сказать о сходимости последних
двух рядов предыдущей задачи, если ряд^^ сходится, а ряд^ Ьп
расходится?
113.4. Докажите, что если ряды с положительными членами
00 ОО ОО
2 ап и 2 Ьп сходятся, то сходится и ряд 2 а/А»
\ 1
п=\
1 Запись min (a, b) означает, что из двух данных чисел а и Ь выбирается мень-
меньшее, a max [а, Ь) означает, что из чисел а и Ь выбирается большее.
18

114.4. Докажите, что если сходятся ряды ^а2Л, 2 &*я» TO
сходится и ряд 2 anbn.
115.4. Показать, что ряд
сходится, хотя
lim
116.4. Показать, что ряд
а + Р2 + а3 + р4 + ... (О < а < р < 1)
сходится, хотя
117.4. Определить, сколько членов ряда нужно взять, чтобы
получить значение суммы ряда с точностью до 0,0001:
п=\ п=\ V
1 V* 1
(Ai+l)ln2(" + 1) ' ' . B")!! '
ОО
118.4. Доказать каждое из соотношений с помощью ряда, об-
общим членом которого является данное выражение:
ап п\
a) lim — = 0; б) lim — == 0;
7 я -> оо ft! Я ^ *. Г1Я
в) lim -^1 - 0; г) lim — = 0.
л^о. Bя)! «->. (ft!J
119.4. Пусть даны два расходящихся ряда 2 ап и 2 bn c не"
отрицательными членами.
19

Что можно сказать о сходимости рядов:
a) 2,min («n; К); б) 2i max (an> ья)?
n=l /i=l
§ 3. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ С ЧЛЕНАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗНАКА
Пример 1. Исследовать сходимость знакопеременного ряда:
1111 л+il
2 ~~ 4 6 ~~ 8 2л '*
Решение. Члены заданного знакопеременного ряда по абсолютной ве-
величине убывают и, кроме того,
lim cn = lim —- = 0.
П ¦* оо П -*¦ оо 2/1
Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится.
Выясним теперь, как сходится данный ряд: абсолютно или условно (неабсо-
(неабсолютно). Для этого исследуем на сходимость соответствующий ему знакоположи-
знакоположительный ряд:
1111 1
I + 7 + 7 + 7 + - +? + -• п
Ряд (*) получается из гармонического ряда
1 1 1
в результате умножения всех его членов на —. Так как гармонический ряд рас-
расходится, то и ряд (*) также расходится.
Таким образом, данный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных
величин его членов, расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно
(неабсолютно).
Пример 2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда:
+
17+13~~-+ 6п-5 +"••
Решение. Покажем, чт.о члены этого ряда по абсолютной
величине монотонно убывают. В самом деле, неравенство
6/г — 5 > 6 (/г 4- 1) — 5
при п > 1 эквивалентно неравенству 6/г2 + п > бдг2 + п — 5, которое вы-
выполняется при всех значениях п > 1. Однако
lim с„= lim = — Ф 0.
П-*оо п -+ оо Vfl О О
20

Следовательно, данный ряд расходится (ряд не удовлетворяет необходимому при-
признаку сходимости).
Пример 3. Исследовать сходимость знакопеременного ряда;
Решение. Исследуем, сходится ли заданный ряд абсолютно, т. е. иссле-
исследуем на сходимость ряд:
1 8 27 я3
По признаку Даламбера имеем:
Так как предел отношения последующего члена к предыдущему меньше единицы,
то ряд (*) сходится. Отсюда вытекает, что данный ряд также сходится, и притом
абсолютно.
Пример 4. Сколько нужно взять членов ряда
111 (— I)"
1 + + + + (*>
чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01 , до 0,001?
Решение. Ряд (*) знакочередующийся и члены его монотонно убывают
по абсолютной величине (ряд лейбницевского типа). Поэтому его остаток по аб-
абсолютной величине меньше абсолютной величины первого отброшенного члена,
т. е. | Rn | < ап+1 .
В нашем примере Rn< — .
Для вычисления суммы ряда (*) с точностью до 0,01 надо потребовать, чтобы
\ Rn\ < 0,01, или
<0,01.
(п + IJ
Из последнего неравенства получаем, что при п > 10 остаток ряда будет
меньше 0,01. Значит, чтобы вычислить сумму ряда с точностью до 0,01, нужно взять
10 членов ряда.
Для вычисления суммы ряда (*) с точностью до 0,001 необходимо взять 31
член ряда. Мы видим, что ряды лейбницевского типа удобнее для вычислений,
чем знакоположительные ряды. Чтобы найти сумму ряда
1+ + + А+
с точностью до 0,001, надо взять 1001 член ряда (см. стр. 13), а чтобы найти с той
же'точностью сумму ряда (*) достаточно взять 31 член ряда.
Пример 5. Зная, что сумма ряда

равна In 2, найти сумму ряда
2 4^3 6 8^5 10 12^ "' '
полученного из данного в результате перестановки членов.
Решение. Сумма первых Зт членов ряда (**) равна
^зт ==: ( 1— ^Г — "Т 1 "м Т — Т* — 1Г +•••+ ~ г — ~  — 7" I ==
\ 2 4 / \ 3 6 8/ \2т— 1 4т— 2 4т)
/1 1\ / 1 1 \ / 1 1
Чт-т + т-т +••• +
2 4/'\6 8/ ' ' \ 4/n-2 4m
1/111 1 1
1 + + +
2 \ 2 3 4 2m — 1 2m
Выражение в скобках является 2 т-й частичной суммой ряда (*). Таким об-
образом, S3m = — #2m, где Нп — п-я частичная сумма ряда (*). Пере-
Переходя к пределу при п-> сю, получаем S = — 1п 2.
Zt
Рассмотренный пример показывает, что при перестановке членов условно
сходящегося ряда его сумма может измениться.
Пример 6. Показать, что ряд
сходится, а ряд
5 7 10 26 п2 + \ п8 —1
полученный из ряда (*) опусканием скобок, расходится.
Решение. Общий член заданного ряда имеет вид:
п2 + 1 /г3 — 1 п+\
п п2 /г3 Ф
Так как при любом п > 1 имеем:
Ф п2 Ф
а ряд с общим ч леном — при а > 1 сходится (см. пример 106.4), то и задан-
заданный ряд сходится. В то же время общий член ряда (**) не стремится к нулю при
п -> сю, а потому ряд (**) расходится.
Пример 7. Выяснить, сходится ли произведение рядов
1 . 2 2 • 3 '" ^ п (п + 1)
и
11 1
1 • 3 ' 3 • 5 ' ' Bл — 1)
и найти его сумму.
22
(**)

Решение. Так как ряды (*) и (**) знакоположительны и сходятся, то
сходится и произведение этих рядов. При этом, так как
-L + JL. . L_. =1
1-2^2.3 л (я+ 1) Л~'"
а кроме того,
1 1 1 Р
+ + + +
1 . 3 + 3 • 5 + '" + B/г — 1)Bя + 1) + '" = 2 '
то сумма ряда, полученного при перемножении рядов (*) и (**), равна -— .
_¦
Члены произведения рядов (*) и (**) можно расположить в любом порядке.
Обычно их располагают так:
1 1 Г 1 I 1 i 1
—— —— | 1 _______ ________ | ______ _____] i^
1 . 2 ' 1 . 3 "^ [l . 2 * 3 • 5 "*" 2 • 3 * 1 . 3J "*" '"
+ +
"' + [Т~2 Bп—1) Bл+1) + '" + п(п + 1) ьз] + '" #
Пример 8. Доказать, что ряд, получаемый при возведении в квадрат ус-
условно сходящегося ряда
расходится (при обычном расположении членов).
Решение. Располагая в обычном порядке члены, получающиеся после
раскрытия скобок в произведении
х
/il
1)" \
получаем ряд:
Но при 0 < k < л имеем:
< __,
и потому
1 1 1 1
2
я+1
1 В этом можно убедиться с помощью тех же рассуждений, которые были при-
приведены в примере 3, § 1.
23

Так как lim ¦ = 2, то члены ряда (*) не стремятся к нулю, и этот ряд
п -* с* п + 1
расходится.
Этот пример показывает, что условно сходящиеся ряды нельзя перемножать
так, как перемножаются конечные суммы.
Выяснить, какие из данных знакопеременных рядов сходятся
абсолютно, какие условно, какие расходятся:
120.4. 1 i1 Н-^ ...+ (—l)^1—L- +....
2/Т 3/3 пуп
121.4. 3— 1 + ... + (— l)"+i^±_? + ....
2 п
122.4. 1— - + ... + (— 1)*+1 ! + ... .
З9 V 7 B/2 — IK
123.4. _1 + 3±._ !+... + (_!).»
/2/3 //2
+ 1
/1=2
\0К А У i \\П-1 ^ !—'-
/2=1
Z1 . 4- 7. ... . (Зя —2)
(-1)"-1 7.9-11.....BП + 5) •
127.4.
(— 1)" cos •
/2
(— \)п sin ~
128.4. ^ п
/1=1
129.4. 1+1_1 + 1 + 1_1+1 + 1_1
^2 345 678 9
131.4. Доказать, что если
и lim
24

где | ct0 | < 1, то числовой ряд
их + и2
абсолютно сходится.
132.4. Доказать тождество
1± + !±+ +
2 3 4 2/г— 1 2п п +1 п + 2 ^ 2/г'
и, исходя из него, найти сумму ряда
Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к дан
ным знакопеременным рядам. Выяснить, какие из них расходятся,
какие сходятся условно, какие абсолютно:
!14-
L
+ +
3» + "¦¦ + 2*-»
,35.4. l_i + i_l+l_l
33 325 33
+ + + ...+
33 325 33 ^ 2k-\ 3*
,36.4. l_l+i_i+i_l
3 7 511 9
l+++... + + ....
3 7 511 9 4Лг — 1 4^ — 3
Указание. В задачах 133.4 и 136.4 сгруппировать все члены по два,
не меняя порядка следования членов ряда, и исследовать на сходимость полученные
знакоположительные ряды. В задачах 134.4 и 135.4 исследовать отдельно ряд, сос-
составленный из положительных членов и ряд, составленный из отрицательных чле-
членов.
137.4. При каких значениях а сходятся следующие ряды:
a) l 2* + 3 4« + 5 6« + 7 "• *
' ^ За 2а 5а 7a 4a
138.4. Доказать, что ряд 2a« является сходящимся, если вы-
полнены условия: а) общий член этого ряда ап стремится к нулю
со
при п -> ос; б) ряд ^ ^л» полученный в результате группировки
членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; число
слагаемых а,., входящих вчленЛ„, ограничено.
25

Показать, что заданные ряды сходятся. Исследовать сходимость
рядов, получаемых из данных, если опустить скобки:
141.4. V2 + C — J/7) +
-*—~— равна — , найти сум-
/г2 12
мы рядов:
/ "+" за 22 52 72 42 92 11* б2 ""
б) i + i + i_i + i+±_l + ...,
7 З2 52 22 72 92 42
полученных из данного в результате перестановки его членов.
143.4. Дан условно сходящийся ряд. Изменится ли сумма ряда,
если первые 1000 членов его переставить, а порядок следования
остальных членов оставить без изменения?
144.4. Составить почленную разность расходящихся рядов
2L
—\ и Z-o—П и исследовать ее сходимость.
ы1 — 1 ^~ 2П -f- L
п~=^\ /1=1
145.4. Сходится ли ряд, образованный почленным вычитанием
Z1 V ! -Ч
^—[ из ряда 2* ~ •
146.4. Пусть даны два ряда
оо о»
ап и (В) 2&„
/1=1
с неотрицательными членами. Что можно сказать о сходимости
ряда
2 (««- ю-
а) если и ряд (А) и ряд (В) расходятся;
б) если ряд (А) расходится, а ряд (В) сходится;
в) если и ряд (А) и ряд (В) сходятся?

147.4. Возвести в квадрат ряд
Сходится ли получающийся ряд?
148.4. Показать, что
/ °° 1 V
1 ^ 7Г ) *"" я!
149.4. Показать, что
150.4. Показать, что
со оо «о
151.4. Сходится ли ряд, получаемый возведением в квадрат
условно сходящегося ряда
, La-— —л. *~ип
у 2 уЪ у 4 /л
152.4.
153.4.
Показать,
"" 2Г
Показать,
Г 2Г
что
л3 4-
3'
что
5!
4!
— ...
+
— 1)!
Bп — 2)!
Bл-2)!
3! 5! ~ "' Bл—1I
154.4. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
2* п| суммой его первых я членов. Оценить точность такого
приближения при п — 10.
155.4. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
Z(— \)n
п2 суммой его первых п членов. В частности, оценить точ-
ность такого приближения при п = 1000.
27

Z(— 1)" 2n
(An 4-1). 5я НУЖНО взять,
чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
(—1)л-г нужно взять, чтобы
п=1
вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
158.4. Пусть функция у = / (х) положительна и монотонно
убывает на луче [1; оо). Доказать, что существует предел
ГС
im [/ A) + .,.+/ (п) - f / (х) dx\ - Л,
lim
п
и потому / A) + ... + f (n)= \ f (x) dx + Л +гп, где lime^^ 0.
I П -> оо
159.4. Доказать, что
1 +!+...+ --1пп + С+е
Вывести из этого равенства соотношение
1 + + + + 111^4
1 + + + ... + 111^4 С+ вя, л0.
3 5 2л — 1 2 п п
160.4. Найти суммы рядов:
; 3 257 4
б) 1-1_1+1_1_1 + 1_... ;
7 2 4 3 6 8 5
В) 1_±_±_± + ±_1_±_± + 1+ ... ,
7 2 4 6 3 8 10 12 5
1111
получаемых из ряда 1 1 h — — перестановкой членов.
2 о 4 о
161.4. Используя результат задачи A59.4) и разложение
JL-l_±4-i. — I-l
4 3 + 5 7 +""
доказать, что
28

162.4. Найти суммы рядов:
l _JL + ±_±_JL + I_ ,
7 7^5 11 15 ^ 9 '"'
б)
+ + +...,
5 3 9 ^ 13 7 ^
получаемых из ряда (*) задачи 161.4 перестановкой членов.
163.4. В ряде In 2 = 1 —1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ... члены пе-
Zi о 4 о О
реставляются так, что отношение числа положительных членов к
числу отрицательных в первых п числах ряда равно а2. Доказать,
что сумма ряда после перестановки членов будет равна In 2a.
Глава 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§4. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ
Пример 1. Определить область сходимости (абсолютной и условной) функ-
функционального ряда
"*" 3
1 + х * 3 \1
2п - 1 \1 + дс
1 \ 1
(*)
Решение. По признаку Даламбера ряд (*) будет абсолютно сходиться
при тех значениях х, для которых будет выполняться неравенство
В нашем примере
lim
П -+ ее
1
+ 1
1—
1+дс
1— х
1—*
г 2П-1
lim -——
п -* «*> 2п + 1
1 —
1+дс
Неравенство
<1 выполняется при х > 0.
Таким образом, ряд (*) абсолютно сходится при х > 0.
При х < 0 мы имеем
>1 , а потому по признаку Даламбера ряд
расходится. Осталось исследовать ряд при х = 0. Подставляя * = 0 в ряд
(*), получаем числовой ряд
_1 + 1_1 + <<<_|
который сходится по признаку Лейбница.
Г*)

Так как ряд
расходится, то ряд (**) сходится лишь условно.
Итак, областью сходимости ряда (*) является полуось 0 < х < оо , причем
на открытой полуоси О < х < сю он сходитея абсолютно.
Пример 2. Найти область сходимости ряда
1т
ХП
Решение. Применим к ряду (*) признак Даламбера. Мы имеем:
lim
"п+1 (X)
ип(х)
= lim
П -*¦ оо
ytl+1
Если | х | < 1, то lim xn = 0, значит,
fl "*¦ оо
Нт
П - о*
x(l
1+Jt2"
а потому ряд абсолютно сходится.
Если | х | > 1, то
lim
: lim
П -*• оо
= lim
П ¦* 09
х A + *2*)
и ряд снова абсолютно сходится. В точках же х = ± 1 ряд имеет вид
и расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Поэтому область схо-
сходимости ряда состоит из лучей — оо<* <—1, 1< х < + оо и промежутка
—1 < х < 1.
Определить области сходимости (абсолютной и условной) дан-
данных функциональных рядов:
164.4. -L+— + .2.
о»
-Х' б)
4+ -.
Inn
30

1D/.4.
169.4.
170.4.
171.4.
172.4.
173.4.
174.4.
17S.4.
Li
n=\
00
/^
n=\
i
/1=1
oo
\r^
cc
s
s
fi=l
i:
00
V
1-х»'
1-3..... B«
2- 4- ... •
Гх(х + п)у
[ rt J '
x«»
A+^)A +Д
A+Л)A+д
rt!
(^ +1)...(^
2n sin« ^
n2
— 1) / 2x \n
xn
?){\+x*) ...(\+x*n-x)
2).- A + хл)
176.4. sin x + 2 sin ~ + 4 sin - + ...+ 2л'Чт -?- -f ... .
о У
177 4 sin^ , sin3^ , t sin Bn — \)x ,
l / / «ft» ^——~— —i— ——— —i— —j— _———_—— —i—
ia ^ 32 ^ ^ Bn—l)a
178.4. Функция
F (г) = A — ^г)A — 92г)A — ^Зг) ...
разлагается в степенной ряд
F (z) =A0 + A,z + A2z* + ... + Anz« + ... .
Определить коэффициенты этого разложения из функционального
уравнения F(z) = A —qz) F(qz) и показать, что
An= .
« (y_l)(^_i)...(?»_l)
31

179.4. Пусть
Доказать, что
180.4. Пусть ал>0 при всех п и ряд — + ... + ~- + ... рас-
ах ап
ходится. Доказать, что ряд
а\ _|_ ai . а2 . «1 ш а2 . ^ ,
а2 -\- х а2+ х а3 + х а2 + х а3 + х а4 + х
при х > 0 сходится к — .
X
181.4. Найти сумму ряда
182.4. Найти сумму ряда
^ 3
1+2*
183.4. Найти сумму ряда
1а . B1J , C1J
"^ (а:2+ 22) (х2+ За) ^ (д:2 + 22) (л:2 + З2) (jc2 + 42)
184.4. Положим
ф (у) =
Доказать, что lim Ф (у) = ~.
у-4-е. 2
185.4. Исследовать сходимость рядов
sin дс
/1=1
32

§ 5. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
Напомним, что последовательность функций
их (*), ... , ип (х)
называется равномерно сходящейся к функции и(х) на множестве М, если для лю-
любого е > О найдется такое /V, что при п > N неравенство \ ип (х) — и (х) \ < 8
выполняется для всех х из М.
Это определение можно сформулировать иначе, введя понятие расстояния
между функциями.
Пусть функции и(х) и v(x) ограничены на множестве М. Расстоянием между
функциями и (х) и v (х) на М (по Чебышеву) называют числа
лгем
Если множество М фиксировано, мы будем для краткости писать р (и\ v) вместо
Рм («'» v).
Пример 1. Найти расстояние между функциями j/ = л:3 и у = Зл; +4
на отрезке [0; 2].
Решение. Так как функции у = х3 и у = Зл: •+- 4 непрерывны на от-
отрезке [0; 2], то среди значений непрерывной функции | х3 — (Зл: + 4) | на этом
отрезке есть наибольшее. Оно и равно расстоянию между функциями у = #3 и
у = Зл: + 4 на [0; 2]. Найдем сначала максимум функции
ф (д) = х3 — За: — 4.
Производная этой функции равна
Ф' (а:) = За:2 — 3.
Приравнивая эту производную нулю, получаем уравнение Зл:2 — 3 = 0, корнями
которого являются числа хх = —1, х2 = 1. Из них лишь х2 = 1 лежит на отрез-
отрезке [0; 2]. Мы имеем ф A) = I3—3—4=—6. Кроме того, найдем значения функции
у = х3 — Зл: — 4 на концах отрезка [0; 2]; имеем: ф @) = —4, ф B) = —2.
Сравнивая значения | Ф A) | = 6, [ф @)| = 4, | ф B) | = 2, получаем, что наиболь-
наибольшим из них является | ф A) | == 6. Итак,
Р[0; 2] ^3» 3^ + 4) = 6.
Пример 2. Найти расстояние на отрезке [0; 1 ] между функциями
и (х) = л^ и
!0, если х < 1,
1, если х = 1.
Решение. Функция ф (я) = | и(х) — v (x) \ определяется формулой
4, если 0 < х < 1,
, если х = 1.
Когда х пробегает промежуток 0 < х < 1, то х* пробегает тот же промежуток,
Поэтому sup Ф (а:) == 1. Итак, р (и\ v) = 1.
<<1
Мы будем говорить, что последовательность функций
«1 W, -м Un (X), ...
равномерно сходится к функции и (х) на множестве Л4, если имеет место равен-
равенство lim рм (ип\ и) = 0, где рм (ип; и) — расстояние между функциями ип (х)
П "*¦ оо
и и {х) на множестве /И. Нетрудно проверить, что это определение равносильно
приведенному выше.
33

Пример 3. Доказать, что последовательность функций
равномерно сходится к функции и (х )= 1 на отрезке [0; 1 ]. Будет ли сходимость
равномерной на всей числовой оси?
Решение. Найдем расстояние между функциями ип (х) и и(х) на
отрезке [0; 1]. Составим разность
пх
Так как /' (х) = — —, то экстремальные значения функция / (х) прини-
(х -j- п )
мает в точках х = ± п. Если п > 1, то эти точки не принадлежат отрезку
[0; 1 ]. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах
отрезка. Так как
-2L.
то наибольшее значение f(x) на [0; 1] равно -и ргп. и(ип\ и) = sup |/(лс)|
1 +л2 LUt 1J o<v<i
. Ho
= . Ho iim r== Q.
1 + П2 n-* - 1 + П2
Значит, последовательность функций {ил (v)} равномерно сходится к и (х) =
= 1 на отрезке [0; 1 ]. На всей числовой оси сходимость не является равномерной,
п2 1 1
так как / (п) = = -- , / (— п) =— — , и потому р(-оо Л } (ая; «) ==
= sup | / (х) | = —¦. Следовательно,
— оо <л:< оо 2
Пример 4. Доказать, что последовательность
ия (х) = пхп(\— х)
в каждой точке отрезка [0; 1 ] сходится к нулю. Проверить, является ли эта схо-
сходимость равномерной. Доказать, что если 0 < а < 1, то на отрезке [0; а] сходи-
сходимость равномерна.
Доказательство. Если 0 < х < 1, то имеем:
Iim ип (х) = Iim пхп A — х) = 0.
П ~* оо п -* оо
При х = 1 имеем ип A) = 0, и потому Iim ип A) == 0. Значит, последователь-
П -> со
ность функций ип (х) в каждой точке отрезка [0; 1 ] сходится к нулю.
Проверим теперь, равномерна ли эта сходимость. Для этого найдем экстре-
экстремумы функции ип (х) . Имеем:
и'п {х) == п2хп~1 A — х) — пхп = п2 Xй-1 — п (п + \)хп.
34

Корнями уравнения п2 хп~1 —¦ п (я + 1) хп= 0 являются числа *i= 0, х2=>
= -^—. Но
я + 1
ая@)=0, ия[—— -я —— U—ГТ1 в(пТ *
Так как ип(\) == 0, то sup | ип(х) •*• и (х) \ достигается в точке х = —~- и ра-
0<jc<! Я "И
(Я \Л+1
1 . Поэтому расстояние от функции ип {х) до функции и (х) = О
равно —— • Поскольку
\п + 1/
\П+1
Нт ' '
то сходимость последовательности мЛ(дг) на отрезке [0; 1 ] к нулю неравномерна.
Пусть теперь 0 <а< 1. Найдется N, такое, что при п > N имеем =>
л + 1
е=1 — >а. Поэтому при п>Л^ наибольшее значение функции \ип (х)— и (х)\
п+1
достигается в точке х = а и равно лаЛA — а). Таким образом, pm-.a] (wn» ") =а
= пап A — а). Так как 0 < а < I, то Нт рг0.а, («л; а) = Пт лаЛA —а) = 0,
и потому на отрезке [0; а] сходимость равномерна.
Пример 5. Доказать, что последовательность функций
равномерно сходится к нулю на числовой оси, но последовательность производ-
производных этих функций не сходится к нулю.
Решение. Так как \ sin пх\ < 1, то
sin nx
п
1
и потому р (мя; и)< — . Поскольку Нт — = 0, то последовательность функций
И П -* ьо п
ип(х) равномерно сходится к нулю*
Продифференцировав функции последовательности {*), получаем последо-
последовательность функций
и'п (х) =я cos яде.
Так как и'п@) == cos 0 = 1, то эта последовательность не сходится к нулю.
Ряд
h м + /, w +... + и w +...
называется равномерно сходящимся на множестве М к функции S (х), если последо-
последовательность его частичных сумм Si(x)t.>*fSn(x) равномерно сходится tcS(x) на мно-
множестве М.
35

Для проверки равномерной сходимости ряда часто применяют признак Вей-
ерштрасса:
Ряд
h М + -. + h (х) + ... (•)
равномерно и абсолютно сходится на множестве М, если существует такой число-
числовой ряд
flfc+... + *„+... (**)
с положительными членами, что:
а) ряд (**) сходится',
б) для всех х из М выполняется неравенство \fn (х) \ < ап.
Ряд (**) называют мажорантой ряда (*).
Пример 6. Доказать, что ряд
sin х sin 2x sin nx
+ + + + <*>
равномерно сходится на всей числовой оси.
Решение. Так как |sin nx |< 1, то для всех х выполняется неравенство
sin nx
Значит, сходящийся числовой ряд
является мажорантой ряда (*), а потому ряд (*) равномерно сходится на всей чис-
числовой оси.
Пример 7. Доказать, что ряд
п -\- х
равномерно сходится на полуоси 0 < х < со.
Решение. Признак Вейерштрасса к этому ряду неприменим, так как
оо
ряд (*) сходится лишь условно: при любом х>0 ряд J^ расходится. Чтобы
доказать равномерную сходимость ряда (*), используем теорему Лейбница. Ряд
(*) знакочередующийся и при х>0 его члены монотонно убывают по абсолютной
величине и стремятся к нулю, когда п -> оо. Поэтому ряд сходится на полуоси
[0; + оо], и остаток ряда не превышает по абсолютной величине первого отбро-
отброшенного члена:
При х > 0 имеем | тп (х) | < —- , и потому р[0 ;oq }(Sn M; 5 (*))< ^—
Так как lim = 0, то ряд сходится равномерно.
П ¦* оо П -f-1
36

Пример 8, Найти область определения функции
п=\
и исследовать ее на непрерывность.
Решение. Найдем область сходимости функционального ряда (*) с по-
помощью признака Коши. Мы имеем:
lim V [*? + -X = Н
n t
Поэтому ряд (*) сходится в области, где х% < 1 и расходится в области, где х2 > 1.
Иными словами, ряд сходится на промежутке (—1; 1). В точках х = ± 1 он рас-
/ 1 \п
ходится, поскольку при х = ± 1 общий член ряда равен 1 + — , а
\ п I
I 1 Y
lim 1+— ==в ^0
Л - оа \ П )
(не выполнен необходимый признак сходимости ряда).
Исследуем теперь функцию / (х) на непрерывность. Для этого докажем, что
ряд (*) равномерно сходится на любом отрезке [—а; а], где 0 < а < 1. Выберем
число Ь, лежащее между аи1,0<а<6<1. Найдется такое /V, что при п > N
имеем а + т=- < Ь. Но тогда при п > N и \х\ < а выполняется неравенство
У п
\2л
X*
Это неравенство показывает, что сходящийся числовой ряд
(геометрическая прогрессия со знаменателем Ь2 < 1) является мажорантой для
ряда (*) на отрезке [—а; а], а потому ряд (*) равномерно сходится на этом отрез-
отрезке. Следовательно, функция / (х) непрерывна на отрезке [—а; а]. В силу произ-
произвольности а, 0 < а < 1, функция / (х) непрерывна на всем промежутке (—1; 1).
Пример 9. Показать, что на луче 0 < х < оо функциональный ряд
1 1 1
+ + + +
+ '" + Зп У\-\-Bп— 1)х + '"
равномерно сходится. Начиная с какого номера п остаток ряда гп (х) (независимо
от значения х) удовлетворяет неравенству | rn (x) \ < 0,01?
Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Так как при х > 0
имеем }^1'+ Bп—1) х > 1, то члены данного ряда в заданном интервале не боль-
больше соответствующих членов ряда
1 1 1
представляющего собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со
знаменателем -— и, следовательно, сходящегося. Поэтому данный ряд сходится
равномерно.
37

Для оценки остатка гп (х) функционального ряда подсчитаем остаток число-
числового ряда (*). Имеем:
{1Г .
1 2 . 3Л
~~ 3
Остаток гп (х) данного функционального ряда будет не больше остатка числового
ряда (*), поэтому
1
'« (х) < 2зп .
Найдем теперь, при каком значении п будет выполняться неравенство гп (х) <
< 0,01. Для этого решаем неравенство
< 0,01 или 3Л > 50.
на отрезке
2- 3"
Откуда п > 4.
186.4. Найти расстояние между функциями у = х*ну = 2х2 —5
на отрезке [— 2; 2 ].
187.4. Найти расстояние между функциями у = 2)/гх и у =
= — х на отрезке [0; 41.
188.4. Найти расстояние между функциями); = sin 2х и у = X
189.4. Найти расстояние между функциями у = 0 и у ^
-= 2n2jce-^2 на отрезке [0; 11.
190.4. Доказать, что расстояние рм (и, у) обладает следующи-
следующими свойствами:
а) Рм(^1 и) > 0> причем рм(а; г;) = 0 лишь в случае, когда на
множестве М функции и (х) и v (x) совпадают;
б) рм (и; v) = рм (у; и);
в) для любых трех ограниченных на множестве М функций
имеем:
рм (и; о) < рм(«; «О + Рм (^; и)
(неравенство треугольника).
191.4. Доказать, что если Л14 — часть множества М, то
рЖ1 (и; v) < рм (а; у).
192.4. Доказать, что последовательность функций ип (х) =>
= х^Ллг равномерно сходится к нулю на луче [0; + оо).
193.4. При каких значениях а последовательность функций
ип (х) = naxe~hx равномерно сходится к нулю на луче [0; +сю]?
194.4. Показать, что нижеследующие последовательности схо-
сходятся на отрезке 0 < х < я, но не равномерно:
а) ип{х) = У sin x\
38

б) ип(х) = sinnx;
в) ип (х) = уОс sin л:;
г) ал(*)=1/(*)Г> где
д) ип(х) =ул/(х) , где Да;) имеет тот же смысл, что и выше.
195.4. Показать, что ряд хг + х4 -f .,. + хгп + ... равно-
равномерно сходится на отрезке — q < х < G, где q — любое положи-
положительное число, меньшее 1. Интегрированием данного ряда найти
сумму ряда
+ + ...
3 5
196.4. Исходя из равенства
!+* + *{...+* + ¦.¦ Ц (| л ( < 1),
1 — х3
найти сумму ряда Зх2 + 6л:5 + ... + Зпх*п~~1 + ... .
197.4. Определить при 0 < х < 1 сумму и остаток функцио-
функционального ряда
х + х(\ — х) +хA — х)*+ ... +jcA — jc)"-1 + ...
и показать, что он сходатся равномерно на отрезке — < х < I.
При каком значении п остаток данного ряда удовлетворяет нера-
неравенству | гп (х) | < 0,01 независимо от значения х на этом отрезке?
198.4. Показать, что функциональный ряд
равномерно сходится к функции для всех х>0. При ка-
2 (а: + 1)
ком значении п остаток ряда удовлетворяет неравенству | rn(x)\ <Z
< 0,01 для любого х > 0?
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную схо-
сходимость в указанных промежутках следующих функциональных
рядов:
199.4. a) 2j i , .... , 0<x<oo

200.4. T -4L (х" — х-"), - < X < 2.
201.4. ^ х2е~пх, 0<х<оо.
0 < а < Ъ.
203.4. Доказать, что если ряд jT | /„(я) | сходится равномер-
но на 1а; Ь\ то ряд ^fn(x) также равномерно сходится на [а; Ь].
204.4. Доказать, что ряд
у *
*- [(п - 1)« + 1] (пх + 1)
неравномерно сходится на отрезке [0; 1 ]. Найти частичные суммы
и сумму ряда. Исследовать, будет ли сумма непрерывной при
х = 0.
205.4. Доказать, что ряд
A -\-П2Х2)[1 +(П + 1J*2]
неравномерно сходится на отрезке [— 1; II, но, несмотря на это»
его сумма непрерывна на [— 1;1 ].
206.4. Доказать, что ряд
равномерно сходится на луче [0; оо). Сколько членов ряда нужно
взять, чтобы его остаток на всем луче [0; +сю) не превосходил
0,01?
207.4. Показать, что ряд
У 2п sin -L
/1=1
абсолютно сходится при х Ф 0, но не является равномерно сходя-
сходящимся на полуоси 0 < х < + оо.
40

208.4. Доказать, что ряд
А-" A + *2)п
равномерно сходится на всей числовой прямой, а ряд из модулей
его членов
X2
A + Х2)п
хотя веюду сходится, но неравномерно.
оо
209.4. Доказать, что если ряд 2 an сходится, то ряд Ди-
Дирихле
оо
пх
сходится равномерно при х > 0.
210,4. Доказать, что если ряд Лорана I] ап хп сходится
при х = Xi и при х = х2 (| Xi\ < | х21), то этот ряд сходится также
при | Xi | < | # | <С | дг2|«
Определить область существования функций и исследовать
их на непрерывность:
211.4. f(x)=Y
212.4.
A+-
213.4. Показать, что ряд х2 + хе + ... + х*Л + ... равно-
равномерно сходится на отрезке — q < х < <?> где ^ — любое положи-
положительное число, меньшее 1. Интегрированием данного ряда найти
сумму ряда
? 7 4tr
214.4. Исходя из формулы для суммы бесконечной геометри-
геометрической прогрессии
1 + X + X* + ... + X» + ... ==—— (|Х|<1),
1 —л:
41

найти сумму ряда:
а) \ +2х + Зх2 + ... + (я + 1) хп + ... ;
б) I ¦ 2 + 2 • Зх + 3 • 4х2 + ... + (п + I) (п + 2) хп + ... .
215.4. Доказать равенство:
1
+ ... =1
2
5 9 4л — 3 2 * ^4 1 — j
216.4. Убедиться, что ряд
sin 2кх , sin 4кх . , sin 2пкх .
равномерно сходится на всей числовой оси. Показать, что этот
ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каком промежутке.
217.4. Доказать, что ряд
равномерно сходится на отрезке [0;1 ] и допускает на этом отрезке
дифференцирование любого порядка.
218.4. Исходя из равенства
определить сумму
Затем найти сумму ряда
219.4. Исходя из равенства
ххх х sin дс
COS — COS — COS — ... COS — =
2 4 8 2n x
2n sin —
2"
определить сумму
Затем найти суммы рядов:
1?'^ «2,
Л=1 П = 1
42

§ 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Пример 1. Найти промежуток сходимости ряда
+ + + ... + + ....
10 ^ 200 ^ 3000 ^ ^ л • 10"
Решение. Радиус сходимости ряда находим по формуле
\ап\
/?= lim
П -*¦ оо
В нашей задаче
Поэтому
ап =
/?= lim
1
п • 10" '
л- 10"
Значит, данный ряд сходится при значениях х, удовлетворяющих неравенству
| х | < 10 или —10 < х < 10.
Исследуем теперь поведение ряда на концах промежутка. Подставляя в дан-
данный ряд вместо х число 10, получим гармонический расходящийся ряд:
Следовательно, при х = 10 данный степенной ряд расходится. При х——10 по-
получим числовой знакопеременный ряд
который условно сходится.
Таким образом, данный степенной ряд сходится при всех значениях х, удовле-
удовлетворяющих неравенствам —10< х < 10, и его промежуток сходимости представ-
представляет собой полузамкнутый промежуток [— 10; 10).
Пример 2. Найти промежуток сходимости ряда
22 +з2 " 2 +42 ' 22
(*)
и исследовать его поведение на концах промежутка.
Решение. Здесь мы не вправе применить формулу A) для отыскания ра-
радиуса сходимости ряда (*), так как он не содержит нечетных степеней х.
Для отыскания промежутка сходимости ряда (*) применим непосредственно
признак Даламбера. Мы имеем:
I П2 х2П+2 д2 xi
D = lim
П -*¦ оо
ип(х)
= lim
П -*¦ оо
п + 2J 2Я+Х
(п + IL х*
2 „¦;« я« (л+ 1)» ~ 2
(л+1J
= -Г Пт
Следовательно, ряд сходится, если х2 < 2, и расходится, если х2 > 2. Радиус^
сходимости ряда (*) равен R± = ]/i Выясним, сходится ли он при х = ± 1^2.
43

Подставляя в ряд (*) х = ± У 2 , получаем ряд
ь (п +1J >
который расходится, так как его общий член не стремится к нулю при п ->оо:
Итак, промежуток сходимости ряда (*) определяется неравенством — К 2 <
<x<V~2.
П р и м е р 3. Найти промежуток сходимости ряда
() +^ + +п
и исследовать его поведение на концах промежутка.
Решение. Находим радиус сходимости ряда:
= lim V „; = lim 1 + —) =е.
Следовательно, данный ряд сходится при всех значениях, удовлетворяющих
неравенству | х —1 | < г или неравенствам —е < х — 1 < е. Прибавляя ко всем
частям неравенств по 1, будем иметь:
1 — в < х < 1 + г.
Исследуем теперь поведение ряда на концах промежутка.
При х = 1 +е, получим числовой ряд:
2! е2 п\ еп
Чтобы выяснить поведение этого ряда, воспользуемся признаком Даламбера (без
предельного перехода!):
ап+1 (п + 1)! en+i пп (п + 1) е • пп е • пп е
ап = (rt _f. i)«+! л! вл "* (Я + 2I1+1 = (Л + !)л ^ ' ^ - > '
/ , I \
так как 1+ — < е при любых конечных значениях п. Это неравенство показы-
\ л/
вает, что члены полученного числового ряда с возрастанием номера члена возрас-
возрастают, следовательно, не выполняется необходимый признак сходимости ряда,
и ряд расходится1.
1 Этот пример показывает, что в ряде случаев выгоднее воспользоваться обыч-
обычной, а не предельной формой признака Даламбера. В самом деле, попытка восполь-
воспользоваться здесь предельной формой признака Даламбера не дала бы никаких ре-
результатов, так как lim -^ = 1.
п -*¦ оа ап
44

При х = 1 — е получим такой же, только знакопеременный ряд, и так как
его члены не убывают по модулю, то он расходится.
Итак, промежутком сходимости данного степенного ряда является B «е\
2 + е).
Найти промежуток сходимости степенного ряда и исследовать
поведение ряда на концах промежутка:
у v-2
220.4. — + — + ...
1324
+ + ... Н
1-32-4 п (п + 2)
221.4. *2** + 1^
222.4. х
CO
Zy2«-1
oo oo
4 a) 7 ~—¦—'— , 6) 7 / \\n — —.
2254 а) У(_пп-х^-2J", б) У <х+1
п=1 п=1
226.4. ZA + 7) Х"' 231А 2 с/"л"Л' с>0
( )
227.4. У "~^^л. 232.4.
*¦' Bп)!
сю ео уЛ
( 9п117 ? - 234.4. Z *_±J
/1=1 /1=1
/2=0

235.4. При каких значениях а, Р, у, х сходится ряд
F(a; ft Y; х) = I + ^±х +
а(а + 1)(а +
^ ?
Y(V+ 0G+2)-31 Г"' '
236.4. Обозначим через Г(р) следующий предел:
lim A — xyil"-1 + 2p-1x+ ... +П-Р-1 х"-1 + ...)•
дг -1—0
Доказать, что если lim a" ¦ = а, то
п - ~ пР-1
lim (I - л)р (а, + ог л; + ... + ая х"'1 + ...)= аГ (/>).
к -+ 1—0
§ 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пример 1. С помощью формулы Тейлора разложить многочлен
р (х) = х9 + Зх2 — 2л: + 4
по степеням двучлена я + 1. Найти с точностью до 0,001 р (—1,002) и р ( —0,997).
Решение. Воспользуемся формулой Тейлора для многочлена. В данном
случае точка аго== 1. Вычислим значения функции и ее производных в этой точке:
Р < -1) = 8,
р' (х) = 3x2 + 6* - 2, р' ( -1) - -5,
р" (х) = 6jc +¦ 6, рАГ ( —1) = 0,
рт (х) == б, р'" (- 1) = 6.
Подставляя полученные значения в формулу Тейлора для многочлена, найдем:
р (х) = 8-5 (* + 1) + (х + 1) 3.
Мы имеем:
р (—1,002) = 8 — 5 ( —1,002 + 1) + ( —1,002 + IK «
» 8 + 5 . 0,002 = 8,010 и р ( —0,997) = 8 — 5 ( —0,997 + 1) + (—0,997 +
+ 1K*8 — 5 • 0,003= 7,985.
Пример 2. С помощью формулы Тейлора разложить на отрезке [0; 1 ]
по степеням х функцию / (л:) = In (I + x). Оценить погрешность, допускаемую
при отбрасывании дополнительного члена после девяти первых членов.
Решение. В данном случае следует воспользоваться частным видом
формулы Тейлора (так называемой формулой Маклорена), когда х0— 0. Найдем
в точке хо~ 0 значения функции и ее производных до 10-го порядка включитель-
включительно. Формула для вычисления производных любого порядка от функции / (а:) =
= In A + х) имеет вид:
46

Следовательно, / @)=0, /'@)=1 @! принято считать равным 1), /" @)=—1,
Г @) =21, /D) @) =(—1) • 3!..., /О0)@) =(—1) • 9! Подставляя найденные зна-
значения в формулу Тейлора, получим:
In A+%)=*- j+ J—.» + j' + b(x)f
где дополнительный член г$ (х) в формуле Лагранжа запишется в виде
/(Ю) (с) х10
r^xle it0<c<*
Для оценки погрешности, допускаемой при отбрасывании дополнительного чле-
члена, оценим величину последнего на отрезке [0; 1J:
у!0
10 (с + II0
(так как х > 0 и с > 0). Если х заменить наибольшим его возможным значением,
ас — наименьшим возможным значением, то получим следующую оценку сверху:
х™ I10 _1_
10(с + 1I0 < 10@ + 1I0 =10"
Таким образом, допускаемая погрешность не превосходит 10%.
Пример 3. Указать промежуток значений х, на котором приближенная
формула
cos х « — 2| + —
имеет место с точностью до 0,00005.
Решение. Правая часть приближенного равенства составляет шесть пер-
первых членов в формуле Тейлора для функции cos х (члены 2-й, 4-й и 6-й рав-
равны нулю). Следовательно, должна иметь место следующая оценка дополнитель-
дополнительного члена:
Чтобы погрешность была меньше 0,00005, достаточно потребовать выполнения не-
неравенства
I х\*
L-L< 0,00005.
6!
Решая это неравенство, получим \х\ < 0,84. Оказалось, что указанная точность
приближения обеспечивается значениями, удовлетворяющими неравенству
—0,84 < х < 0,84.
Замечание. Так как использованная нами оценка дополнительного
члена дана «с запасом», то мы получили не наибольший промежуток, в котором
обеспечивается требуемая точность нашей приближенной формулы для cos x.
Эта точность может быть достигнута и в несколько более широком промежутке.
237.4. Разложить функцию/ (#) =xz — 2х + 1 по степеням дву-
двучлена х — 1.
238.4. Разложить функцию / (х) = х4 + 2*3 — 8л:2 + 4х + 4 по
степеням двучлена х + 1.
239.4. Разложить функцию / (х) = х6 по степеням двучлена
х + 2.
47

240.4. Разложить по степеням х функцию / (х) = In A + 2л:),
заданную на отрезке | 0; — . Оценить погрешность, получаемую
при отбрасывании дополнительного члена в формуле Тейлора после
пяти первых членов.
241.4. Разложить функцию / (х) = Ух по степеням двучле-
двучлена х — 4. Ограничиться четырьмя членами.
242.4. Разложить функцию / (х) = sin2 x по степеням х. Оце-
Оценить ri0 (х) на [0;1 ].
243.4. Выяснить происхождение приближенного равенства
sin х ?^ х
6
и оценить погрешность для 0 < х < — .
244.4. Определить значения х, для которых приближенное
равенство
cos х « 1
выполняется с точностью до 0,0001.
245.4. Вычислить значение tg 46°, взяв три первых члена раз-
разложения функции / (х) = tg х по формуле Тейлора. Результат
сравнить с табличным.
246.4. Вычислить значение cos 32° с точностью до 0,0001, поль-
пользуясь разложением функции / (х) = cos x по формуле Тейлора.
Результат сравнить с табличным.
247.7. С помощью формулы Тейлора написать разложение функ-
функции / (х) = У\ — 2х + х3 — ]/ — Зх + х2 по степеням х до
члена с х3 включительно.
248,4. Оценить абсолютную погрешность приближенной фор-
формулы
3«l+
на промежутке [0; 1 ].
249.4. Разложить функцию / {х) = л;5 — 5*3 + х по степеням
двучлена х — 2. Вычислить приближенное значение /B,1), взяв
первые три члена разложения. Вычислить точное значение / B,1).
Найти абсолютную и относительную погрешности, допущенные
при приближенном вычислении / B,1).
250.4. Указать промежуток значений х, при которых прибли-
приближенная формула
sin2 х ^
2! 4!
имеет место с точностью до 0,01.
48

251.4. Сколько нужно взять членов в формуле Тейлора для
функции / (х) = cos х, чтобы получить многочлен, представляю-
представляющий эту функцию с точностью до 0,0001 на отрезке 0; — ?
§ 8. РЯД ТЕЙЛОРА
Основные разложения. При разложении в степен-
степенной ряд многих элементарных функций можно пользоваться из-
известными разложениями в ряд по степеням х (ряд Маклорена)
функций ех, sin ху cos x, In (I + х)9 A + х )ту а именно:
а) ex=l +^ + ^ + ... + |! + ...(_oo<x<oo); A)
б) в!п^=л:—^+-^—...+(—1)--^^+... (—оо<д:<с:ос); B)
в) cosx-l_^+^_...+(_l)--^=!L + ... (-сх><,с<оо); C)
г) 1пA+х)^--^ + ^-...+(-1)^1-+...(-Кх<1); D)
(-1<х<1). "" E)
Частным случаем разложения (д) является разложение (гео-
(геометрическая прогрессия):
± . E')
Эти формулы рекомендуем запомнить.
Обращаем внимание читателя на то, что ряды для ех, sin x
и cos х сходятся к соответствующим функциям при всех значениях
х, а радиус сходимости рядов для In A + х) и A + х)т равен 1.
ял:
Пример 1. Разложить функцию у = sin — в ряд Тейлора в окрест-
окрестности точки л:= 2.
Решение A-й способ). Напишем, пока формально, ряд Тейлора для
данной функции / (х) = sin —. Для этого находим производные:
зх пх п
L (х) = ~7~cos "~7~ == ~"Г s
4 4 4
л2 . ш я4 . / пх
49

я3 их п*
/'"W = FcosT = Fs
Методом математической индукции легко доказать, что
Найдем значения производных при х = 2:
/-«-¦$*(¦*+-*=)-*
Подставляя вычисленные значения производных в формулу ряда Тейлора, полу-
получим:
sinf ~1-^(*^
Так как
то производные функции / (х) ограничены в совокупности на всей числовой оси.
Поэтому ряд Тейлора сходится к / (х) на всей оси. И значит, разложение в ряд
sin T =1 - 1TJ *- 2>2 + iTT <- 2L--+ ()Л 
справедливо при всех значениях х.
Решение B-й способ). Произведем над заданной функцией тождест-
тождественные преобразования, такие, чтобы под знаком функции получить выражение
(х-2I
50

п п Г я я! я
sin— * = sin — (x —2+ 2) = sin — (x — 2)+ — ==cos — (x —2).
4 4 L 4 2 J 4
Теперь воспользуемся разложением C) (см. стр. 49), в котором на место х
поставим — (х — 2), получим:
4
Л — я2 (х — 2J я4 (х — 2)*
cos 4 (х — — — ^ 2{ + 44 в 4| — ...
... +(-1)"
42ft Bfe)!
Полученный ряд сходится к заданной функции при
— оо <-—(*--2) <оо,
т. е. при —оо < х < оо
Таким образом,
я я2(* — 2J
при — оо < дс < оо.
Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию: у = In ¦ .
Решение. Имеем:
In j-i-^ - In A + х) — In A — x)\
пользуясь формулой D), можем записать:
x) = x--^ + -^-... + (-l)«^-+...f
д:2 х9 хп
Отсюда находим:
JL JO.
x- 2~3 ~-~ )
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делан приведение подобных чле-
членов, получим:
1 4- х 2л:3
ln ln(l+)ln(l) 2 + +
51

Очевидно, что полученный ряд сходится при —1 < х < 1.
Разложения некоторых функций получаются с помощью почленного интег-
интегрирования уже известных разложений.
Пример 3. Разложить в степенной ряд функцию у = arc tg х.
Решение. Так как
(arctgx)'
1 -f- х
и arc tg 0 = 0, то при | * | < 1 имеем:
X
I
Пример 4. Разложить функцию I dt в ряд Маклорена.
и *
О
Решение. Как известно, этот интеграл нельзя выразить через элементар-
элементарные функции. Для отыскания разложения данного интеграла в ряд Маклорена
разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем почленно проин-
проинтегрируем (степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внут-
внутри промежутка сходимости, поэтому его можно интегрировать почленно),
sin/
Разлагаем функцию в степенной ряд. Воспользовавшись разложе-
разложением B), получим:
/3 /б /2fc-l
3!
J
о
r v ; BЛ — 1)! BЛ—1)
Промежуток сходимости полученного ряда будет таким же, что и промежуток
сходимости ряда для подынтегральной функции. Поэтому полученная формула
верна при всех значениях х, т. е. при — оо <х < оо.
X
Функцию \ dt называют интегральным синусом и обозначают si x. Та-
о
ким образом, мы получили разложение в ряд Маклорена функции si x.
52

Пример 5. Найти
2 (tg x — sin х) — л:3
lim ,
ь
пользуясь разложением функций в ряд Маклорена.
Решение. Преобразуем данное выражение:
2 (tg л: — sin х) — хъ 2 sin л: — 2 sin л: cos л; — хъ cos x
ХЬ КЬ COS X
2 sin л: — sin 2x — л? cos x
хь cos х
Используя формулы B) и C), пишем разложение числителя в степенной ряд
в окрестности точки х — 0:
2 sin л; — sin 2х — хъ cos х = I 2 х — — 4-
32*» 128 х1 \ / з _х& х?_ _z__ .
120 ~~ 5040 ""•'• 1""'х ~~ - +-- "" — —». I =
УЬ yi I
~4 60 *+-•
Далее, cos я = 1— ...
Таким образом,
2 (tg х — sin jc) — х3 4 60
lim ¦ = lim
X -*¦ О ^C^ ¦ у n j^5 __
4 "~60^ +'" 1
= lim
1~... 4
Пример 6. Принимая равенства1
1? + ?—. + A) + ...
за определение функций sin x и cos x, доказать, что
sin х • cos л; = — sin 2x.
Решение. Ч^обы вывести указанную в задаче формулу, необходимо пе-
перемножить ряды функций sin х и cos х. Для этого составляем бесконечную пря-
прямоугольную таблицу парных произведений:
1 Всякую аналитическую функцию (т. е. функцию, которую можно пред-
представать в виде суммы стейенного ряда) можно определить через ее степенной ряд
и, исходя из этого определения, вывести все свойства функции. Этот способ опре-
определения функции употребляется при задании функций в комплексной области.

х- 1
X2
~~*' 2!
'¦i
Х2п
l) X BяI
уЗ у2
3! 2!
х*х*
( ' 3! Bл)! (
If1-
л6 а;2
"" 5! 2! ""
л;5 %4
!) 5! Bл)! •"
Выписываем парные произведения по диагоналям:
(— fL\ l^L
~\Ъ\ +2IJ + U
[y2/Z-l у2Л-1 r2/I-l «2Я-1 П
_J5 +_^ + _? + ... + +. .
Bл — 1)! ^ Bn — 3)! 2! ^ Bл —5) 4! ^ ^ 1! Bn — 2)! J ^ *
Произведем тождественные преобразования над общим членом этого ряда:
Bл —1)! + Bл - 3)! 2! + Bл — 5)! 4! + '" + 1!Bл — 2I J ^
' Bл — 1)! L 2!
Bл — 4) Bл — 3) Bл — 2) Bл — 1)
+ 4!
J
у2Л-1 О2Л-1 (Ъу\2П-1 1
1 ; Bл —1)! 2 v ; Bл —1)! 2
Таким образом,
1 1 Bxf I BxM
т. е. 1
sin x • cos л: = —• sin 2л:.
1 Напомним, что сумма биномиальных коэффициентов
В нашем примере в квадратных скобках выписаны биномиальные коэффициенты
вида Сая--1» а так как сУмма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных
местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах,
22Я-1
то сумма, стоящая в скобках, будет равна .
54

252.4. Разложить функцию у = 2х в ряд Тейлора в окрестно-
окрестности точки х = 1.
Пользуясь формулами разложения A) — E), разложить задан-
заданные функции в ряд по степеням х (в ряд Маклорена):
253.4. у = у14=р.
254.4. а) у = cos2 х\ б) у = cos3 (х + а).
1 + cos 2х
Указание. Воспользуйтесь формулой cosz х = .
255.4. у = sin3*.
256.4. у = sinex.
257.4, y = * + ln(l-*\
у 2
258.4. у = y~^ .
Указание. Разложите данную дробь на простейшие.
259.4. у = In A + х + хг + х3).
260.4. у = _!±*
Применяя дифференцирование, разложить заданные функции
в ряд по степеням х.
261.4. у = A + jc) In A + х). 265.4. у = arc sin x\
262.4. y-arctg^
263.4. у = In (it + ^ 1 + х2). F x
264.4. у = arc sin x. 267.4. у= arcsin2^.
Применяя различные методы, найти разложение в ряд по сте-
степеням х следующих функций:
268.4. у = х arc tg x — In V" 1 + ^2-
269.4. у = arc cos A — 2л:2).
270.4. у = i- In^if + - arc tgx.
271.4. Разложить в ряд по степеням (х +2)
jc2 + 4х -\~ 7
272.4. Разложить е* в ряд по степеням (х + 2).
273.4. Разложить \^хв ряд по степеням (х — 4).
274.4. Функцию у = In
J y 2 + 2х + *2
разложить по степеням бинома ( х + 1).
Производя соответствующие действия со степенными рядами,
получить разложение в ряды по степеням х следующих функций:
275.4. у = ех cos x.
276.4. у = е* sin л.
55

277.4. Вывести формулы:
in(i+*) / lU2
' l+x [ 2)
2 1 + *2 2-4 \ 1+
„ (\x\<\).
2-4.6
Чему равна сумма ряда в), если | х | > 1?
278.4. Доказать формулы:
а) ln(x + 2) = 21n(x+ 1) — 2 In (л: — 1) + In (x — 2) +
б) In (х + 5) = In (а: + 4) + In (х + 3) — 2 In x +
+ ln(x — 3) + ln(jc — 4) — ln(x — 5) —
о Г 72 1 / 72 \» 1
L л4 — 25а:2 + 72 3 \ л:4 — 25х2 + 72 ) "]'
27%А. Определить промежуток сходимости разложения в сте-
степенной ряд функции
х
X2 __ Ьх + 6
а) по степеням х; б) по степеням бинома (х — 5), не производя
самого разложения.
Указание. Радиус сходимости степенного ряда равен расстоянию от
точки, в окрестности которой производится разложение, до ближайшей особой
точки функции.
00
280.4. Если ряд V ап хп имеет радиус сходимости Ri9
/1=0
а ряд *Sbnxn —радиус сходимости #2<#i> то какой радиус сходи-
л=0
мости R имеют ряды:
а) 2 К + Ъп) х*; б) 2 *А Xя ?
56

В задачах 281.4—284.4 найти данные интегралы путем разло-
разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена.
fe-''Л. 282.4. j-
281.4. \е-г*<И. 282.4. ) B~ #.
о о
f
283.4. [™!&*-dx. 284A f J~l dL
J * J '
о о
285.4. Пользуясь разложением функции в ряд по степеням
1п A +х + л:2) + 1пA — х + х2)
х, вычислить lim—*—¦ !——— !—'.
х->о х(ех—\)
X2 Хп
286.4. Пусть / (х) = 1 + х Н 1- ... Н \- ».; доказать непос-
непосредственно, что
/(*)•/(У) =/(^ + У).
287.4. Разложить в степенной ряд функцию у = A + ^)~р .
Пользуясь полученным разложением и тождеством
A + ху A + х)-*-1 = A + х)^,
доказать, что
288.4. Из тождества
A — х)'т(\— х)-*-1 = (\
выведите, что
чгч s^m pq рр—т
^_л ^ps ^q—s — W++
s=0
289.4. Из тождества
A +х)п = (\ —х
выведите, что
^(— 1У Cn+h -2s
290.4. Из тождества
A — х2)-?-1 - A +х)-р-1(\
выведите, что
8=0
57

§ 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Пример 1. Вычислить \ 130 с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся биномиальным рядом:
^^f...+ « + ...,
который, как известно, сходится при —1 < х < 1. Представим теперь данный
корень в виде:
Для функции A + xf получим следующее разложение:
1 1 -2 , 1 -2-5 . 1-2.5-8 л
— 1 _j_ — х х2 4- х9 х4 4-
^3 За • 2! ^ 3» • 31 3* • 4! ^ "••
Подставляя вместо х число —, получим числовой ряд:
2о
'1+±F=,+:' 2 ¦ 2-5 >¦*-
I = 1 4 4 4
25/ ^ 3 • 52 З2 . 2! ¦ 54 ^ З3 . 3! -5е 3* • 4! -58 ^ '" #
Мы здесь имеем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница.
Поэтому если возьмем в качестве приближенного значения суммы этого ряда сум-
сумму п первых его членов, то будем иметь абсолютную погрешность, меньшую, чем
первый отброшенный член. Так как мы должны вычислить значение корня с точ-
точностью до 0,0001, то для подсчета нужно взять первые три члена ряда. В самом
деле, уже четвертый член, умноженный на пять, будет
З3 . 3! 5е 27 . 1 . 2 • 3 . 54 81-625
0,0001.
Производим вычисления (умножаем каждый член ряда на 5);
5,00000 + 0,06667 — 0,00089 = 5,06578.
Таким образом, ^130 » 5,0658 (с точностью до 0,0001).
Замечание. Бином, для которого справедлива формула разложения E),
состоит из единицы и второго слагаемого, которое должно быть меньше 1, поэтому
подкоренное число мы разбили на 2 слагаемых: первое 125 — из него легко из-
извлекается кубический корень, и второе слагаемое 5. Здесь нельзя было число 130
58

разбить, например, на такие два слагаемых, как 64 + 66; хотя из 64 и извлекает-
извлекается корень 3-й степени, но второе слагаемое, деленное на 64, было бы больше еди-
единицы, и формула разложения для бинома была бы неприменима. Число 130 мож-
можно было бы представить и так:
130 = 216 — 86,
тогда
Как легко проверить, такое представление числа i/ 130 было бы менее удачным,
86 5
так как— > — и числовой ряд сходился бы медленнее; для вычислений
216 1 -25
с нужной нам точностью пришлось бы взять больше членов, кроме того, мы полу-
получили бы знакопостоянный числовой ряд, для которого оценка погрешности произ-
производится сложнее.
Пример 2. Вычислить приближенно значение интеграла
взяв 3 члена разложения в ряд подынтегральной функции; указать допущенную
при этом погрешность.
Решение. Разложив подынтегральную функцию в степенной ряд,
получим:
„ х4 х*
значит
.I J.
1
= I 3 +2!- 5~3!.7+ '"Jo ~" 4 ~43. 3
4б-2!.5 4'-3! 7
Так как полученный ряд знакопеременный, то для приближенного значения ин-
интеграла, взяв первые три члена ряда, мы будем иметь абсолютную погрешность
меньшую, чем первый отброшенный член, т. е. меньше, чем ——-—<0,0001.
Поэтому, производя вычисления с точностью до 0,00001, будем иметь:
0,250000 — 0,005208 + 0,000098 = 0,244890.
Таким образом,
1
?е~х*с1х « 0,24489 (с точностью до 0,00001).
о
J.
9 _
П ример 3. Вычислить Г Y* * e*dx с точностью до 0,001.

Решение. По формуле A) § 5 имеем:
„-,+,+§.+...+-+.„.
Умножив все члены ряда на Ух, получим функциональный ряд:
УГе*= У7+ х V7+ t^L + ... + *У1 + .... О.
Члены полученного функционального ряда при 0 < х < а не больше членов чис-
числового ряда
lp: ^... , а>0,
который сходится (это легко установить, использовав признак Да ламбера). Сле-
Следовательно, по признаку Вейерштрасса функциональный ряд (*) сходится равно-
равномерно на любом отрезке [0; а].
Из равномерной сходимости функционального ряда вытекает, что его можно
почленно интегрировать. Поэтому
о
[
2! ' ' n\
о
'2xV~x 2хъУх~ 2хъУх 2хп'1Ух
3 + 5 + ~2*7 + - + п\ Bл+3) "»" - Jo
2_ 2 2 2 _
= 3 . З3 + 5 . З5 + 2! . 7 • З7 + '" + п\ Bп + 3) 32"+3 + '" ("~" ' ' ' "'^#
Выясним, сколько членов числового ряда необходимо взять для вычисления
интеграла с точностью до 0,001. Для этого сначала оценим остаточный член:
2 2
Rn = 4- 4- ... <:
п\
1
< п\ Bл+3). 32Л+3 [1+ л . З2
2 1
л! Bл+3). 32Л+3 1 (я — 1)! Bл + 3) . Зал+1. C2л — 1)
п.З2
Очевидно, что для вычисления интеграла с точностью до 0,001 достаточно
взять два члена полученного числового ряда. В самом деле,
6 • ЮЛ
'* " 7 • З5 • 17
Производя вычисления с точностью до 0,0001, будем иметь:
0,0242 + 0,0016 = 0,0258.
1 Мы здесь в квадратных скобках уменьшили знаменатели слагаемых, заме-
заменяя (п + k)\ на п\ - nk, а 2л + 3 + 2k на 2л-|-3, от этого величина в квадратных
скобках только увеличилась и, следовательно, усилилась оценка Rn.
60

Таким образом,
9
0,026
с точностью до 0,001.
С помощью рядов можно упрощать многие
формулы, если некоторые входящие в них вели-
величины малы по сравнению с другими.
Пример 4. Тяжелая нить (провод, цепь)
под влиянием собственного веса провисает по
цепной линии
Рис. 1.4.
У = 7Г +е -ach
H
причем a = — , где H — горизонтальное натяжение нити, a q — вес единицы дли-
длины. Какой более простой линией может быть заменена цепная линия, если х мало
сравнительно с а?
Решение. Так как
1 / х \»
то с точностью до — имеем:
х2
Н qx2
Таким образом, при малых по сравнению с а значениях х цепная линия может
быть заменена параболой.
П р и м е р 5. Найти приближенную формулу для площади р сегмента ЛВС
(круга радиуса г), отвечающего малому центральному углу -? ЛОС = 26.
Решение. Обозначим через d хорду АС, через s дугу АС и через h стре-
стрелу BD. Из рисунка 1.4 имем
— — sin 20 1. Разлагая в ряд sin 26, получаем:
р ру р уу р р
: s= 2г 6 и /? = -— sr — -— г2 sin 26 = г2 f в —
С другой стороны,
03

откуда (перемножая ряды как многочлены) имеем:
) п
Сравнивая полученную формулу (**) с формулой (*), убеждаемся, что с точ-
точностью до в6 имеем:
2
р « — d • Л.
291.4. Вычислить у^250^ с точностью до 0,001.
292.4. Вычислить sin 18* с точностью до 0,001.
Указание. 18q соответствует — радиан; ¦— » 0,3142.
293,4. Вычислить In 1,2 с точностью до 0,0001.
294.4. Вычислить In 3 с точностью до 0,0001.
Указание. Воспользоваться разложением в степенной ряд функции
1 -f- х
In (см. стр. 51).
1 — X
295.4. Доказать, что:
In 2 = la + 5b + Зс,
In 3 = На + 8b + 5c,
In 5 = 16а -Ь 126 + 7с,
где а = 1п^, b =ln~f с = ln-.
15 24 80
С помощью этих равенств вычислить In 2, In 3, In 5, In 10 с точ-
точностью до 0,0001.
296.4. Доказать, что
С помощью этого тождества вычислить я с точностью до 0,00001.
297.4. Выяснить происхождение приближенной формулы
VeP+x^za + — (а>0), вычислить с ее помощью 1^23, положив
а = 5, и оценить допущенную при этом ошибку.
298.4. При каких значениях х приближенная формула
cos х « 1 - |
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001?
299.4. При каких значениях х приближенная формула
sin х с^ х
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001?

300.4. Сколько нужно взять членов ряда
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
В задачах 301.4—302.4 вычислить приближенное значение оп-
определенных интегралов, взяв указанное число членов разложения
в ряд подынтегральной функции. Указать допущенные при этом
погрешности,
j
301.4. С dx
С dx
\ —3ZZZZ- (два члена).
о
V?
з
302.4. I х3 arc tg х dx (два члена),
303.4. Вычислить J j/'x cos x dx с точностью до 0,001.
о
оо
С dx
304.4. Вычислить с точностью до 0,001 ] « , •
2
305.4. Найти приближенные выражения для х и у через длину
s дуги ОМ окружности радиуса г, О (г; 0), Л1 (х; у) (см. пример 5).
Обратно, выразить s через л: и у.
306.4. Пусть г— внутренний радиус цилиндрического паропро-
паропровода, р — давление пара, а — допустимое напряжение материала
стенок. Тогда для толщины стенок 6 есть две формулы
( L
Показать, что если р значительно меньше а, то обе формулы при-
приводят к одной и той же приближенной формуле.
307.4. Получить для площади р кругового сегмента более точ-
точную формулу
p
справедливую с точностью до в7 (см. пример 5).
308.4. Какое значение коэффициента А надо выбрать в формуле
н з ^ а'
чтобы эта формула была наиболее точной?
ез

309.4. Установить, что приближенная формула
(см. пример 5) верна с точностью до 05.
310.4. Обозначим через б хорду, соответствующую половине
дуги s (см. пример 5). Подобрать коэффициенты А и В так, чтобы
формула s = Ad + Вд была наиболее точной.
311.4. Выразить длину I эллипса
х = a cos t,
в виде интеграла. Получить приближенное выражение для /, счи-
считая эксцентриситет е = — эллипса малым.
а
312.4. Оценить точность приближенных формул для длины
эллипса:
1) 1жп(а+_Ь)\
2) / » 2я УаЬ\
3) /^я/2(а2 + 62).
313.4. Доказать, что формула для длины эллипса
верна с точностью е5.
314.4. Обосновать следующий способ приближенного спрямле-
спрямления дуги окружности: хорду Л5, стягивающую данную дугу,
продолжают в сторону точки А на половину ее длины, и из полу-
полученной точки D как из центра радиусом DB проводят дугу ВС до
пересечения с касательной, проведенной в точке Л. Отрезок АС
приближенно равен дуге АВ.
§ 10. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Пример 1. Последовательность {хп} задана рекуррентным соотноше-
соотношением
1 -f- cos хп
*л+1== 10 ' ( }
Доказать, что при любом выборе первого члена xt последовательности { хл } она
сходится к единственному корню уравнения
Решение. Выберем любое х± и образуем ряд
где а:2, аг3, ... , хп определены формулой B). Мы имеем:
1 -j- CQS *п 1 + cos xn-i
xn+i'
10 10
10
64

По теореме Лагранжа
| cos хп — cos хп^ | = | sin
и потому
хп+1 — %п
хп хп^1
—
sing
10
1
Следовательно, по признаку Даламбера ряд C) сходится. Так как частичны-
частичными суммами этого ряда являются числа хп:
V —4— IV - V 1 —I— ¦¦it— / V т. -щ у \ — «^ у
•*1 I \Л2 Л1/ ~ ••• ^^ \л/г л/г-1/ л/2»
то существует предел lim *rt = С. Перейдем в соотношении A) к пределу
П -* а»
при л -* оо. Мы получим, что
1 4 cosх„ 1 +cosC
С = hm xrt+1 = lim ~
п -*¦ о» гг -¦ оо
10
10
Значит, С —~> корень уравнения B).
Покажем в заключение, что уравнение B) не имеет других корней. Пусть
1 + cos С* „
= ± # Тогда имеем:
IC-CJ =
откуда следует, что С = Cv
Пример 2. Последовательность {хп} задана рекуррентным соотношением
1 + cos С
10
sin г|
10
(С
1
+ cos Сх
10
cos С
10 f
— cos Ct
10
Доказать, что если х1 принадлежит отрезку [0; 4], то последовательность {хп}
сходится к корню уравнения
1
1 —
лежащему на отрезке [0; 4].
Решение. Производная функции f (х) =» 1 -*
х + 2
равна
Г W =
При х Ф—2 она положительная, а потому функция f (x) монотонно возрастает
на [0; 4]. При этом f @) = ¦— и f D) = -~. Следовательно, отображение x-+f(x)
2> и
переводит отрезок [0; 4] в его часть — — . Поэтому если 0< л:1<4, то
и для всех п имеет место неравенство 0 < хп < 4.
Но на отрезке [0; 4] имеем:
I/'WI
0с
1 1
< — = — .
22 4

Повторяя рассуждения, проведенные при решении примера 1, убеждаемся, что
ряд
Х1 "Т" (Х2 Xl) "Г ••• 1 (ХП Xn-l) Н"~ •••
сходится, причем сумма С = lim xn этого ряда является единственным решением
П -* со
уравнения (*), лежащим на отрезке [0; 4].
ПримерЗ. Решить по способу последовательных приближений уравнение
1 -j- cos х
*=—ir~
с точностью до 0,001.
Решение. Положим хх = 0. Тогда
1+COSO по
10
1 + cos 0,2
10
1 + cos 0,198
10
=0,198,
= 0,198.
Это равенство показывает, что с точностью до 0,001 число 0,198 является кор-
корнем уравнения.
Пример 4. Решить по способу последовательных приближений уравнение
Решение. Рассмотрим функцию
/ (х) = х — х3 + 2.
Мы имеем / A) = 2, / B) == — 4. Поэтому на отрезке [1; 2] функция / (*) об-
обращается в нуль, т. е. уравнение (*) имеет корень, лежащий на этом отрезке. Од-
Однако его нельзя искать, применяя способ последовательных приближений к урав-
уравнению (*). В самом деле, производная функции ф (х) = х3 — 2 равна Зл2, и на, от-
отрезке [1; 2] имеем | ц>'{х) | > 3. Поэтому
1 Ф (хп) ~ Ф (*n-i) I > 3 | хп — хп^ | ,
и ряд
v —L (y v \ —I— -4- (у . v ^ -1~
где хп = ф (a:^j), расходится.
Чтобы решить уравнение (*), перепишем его в виде
Полагая теперь Х\ = 1, получаем:
х2 =^3 = 1,442, хэ= /3,442 =1,510,
хА == 1,520, хь= 1,521, *в= 1,521.
Отсюда следует, что с точностью до 0,001 корень уравнения (*) равен 1,521.
Пример 5. Решить по способу последовательных приближений систему
уравнений:
2 4
=1+ 20
66

Решение. Положим х1 = 0, yl=O и образуем последовательности {хп},
{Уп)> где
_О I **П + Уп
20
Упп
*п-
20
Мы имеем:
*2=2, у2=1, ^з=3|2,31, уз =1,18,
*4 = 2,33, у4 == 1,18, хь = 2,33, у5 == 1,18.
Значит, о точностью до 0,01 получаем х = 2,33, у = 1,18.
315.4. Доказать, что при любом значении Xi последовательность
{хп}> где
сходится к единственному корню с уравнения
Решить по способу последовательных приближений следующие
уравнения (с точностью до 0,001).
316.4. х=* 1 -b — arctg*.
317.4. х = (х+ IK.
318.4. *2 = sin л:.
319.4. х = arc sin ^±-1.
320.4. ^2 = in (* + 1).
321.4. а;2 = ех + 2.
322.4. lg* = 0,l х.
323.4. tg лг = lg jc.
Решить с точностью до 0,001 по способу последовательных при-
приближений следующие системы уравнений:
324.4.
325.4.
х = -i sin (л: + у) + 0,336,
4
у =_ 1 sin (х — у) + 0,362.
— 0,710,

Раздел 5
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 1. Описать геометрически множество точек плоскости, коорди-
координаты которых удовлетворяют неравенству
(*+ 3J + (у-4J < 36. A)
Решение. Так как (х — аJ + (у — ЬJ — квадрат расстояния точки
М (х, у) от точки N (а, Ь)у то неравенству A) удовлетворяют координаты точек,
лежащих внутри окружности (х-\-&J -f (у — 4J = 36. Центром этой окружности
является точка М (—3, 4), радиус ее равен 6. Точки самой окружности не принад-
принадлежат множеству (см. рис. 1.5).
Рис. 1.5
Рис. 2.5.
B)
Пример 2. Описать геометрически множество точек плоскости, коорди-
координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
| (х - 4J + (у + 2J < 25,
\ х — 2у — 3 < 0.
Решение. В данном случае неравенству (* — 4J+ (у + 2J < 25 удов-
удовлетворяют координаты точек, лежащих как на окружности (*—4J+(у + 2J =
= 25, так и внутри этой окружности. Неравенство х — 2у — 3< 0 перепишем
1 3
в виде у > — * — — •
1 3
Ему удовлетворяют координаты точек, лежащих на прямой у=—х——-
и выше этой прямой. Поэтому системе неравенств B) удовлетворяют координаты
точек кругового сегмента АМВ (см. рис. 2.5).
63

Чтобы найти координаты точек А и ?, надо решить систему уравнений
/ (х — 4J + (у + 2)а = 25,
\ х — 2у — 3 = 0.
Решив эту систему, получим: А ( —1; —2), В G; 2).
П р и м е р 3. Описать геометрически множество (М f) N) \ Я, где коорди-
координаты точек множества М удовлетворяют неравенству х2 -\- у2 < 49, координаты
точек множества N — неравенству у > х2, а координаты точек множества Р —
уравнению у = 2*.
Решение. Множество М (] N ограничено окружностью х 2 -f- у2 = 49
и параболой у = л:2 (рис. 3.5). Из этого множества выбрасываются точки прямой
у = 2х (см. рис. 3.5), так как по определению множество (М f| N) \ Р есть сово-
Рис. 3.5
Рис. 4.5
купность точек, принадлежащих множеству М f| M и не принадлежащих множест-
множеству Р.
Пример 4. Задать множество точек круга с центром в точке М B; 3) и
радиусом 5 системой неравенств вида:
/ а < х < 6, ,оч
\ ф(дг) <J> <¦(*). W
Решение. Очевидно, что абсциссы точек круга изменяются от — 3 до
7. Запишем уравнение окружности (х — 2J +{у — ЗJ = 25 в виде у = 3 ±
± V 21 + 4л: — л:2. Уравнение у =3— ]/21 + 4х — х2 задает
а у = 3 -f 1^21 +4
нижнюю полу-
полух2 — верхнюю полуокружность. Поэтому
[3 7]
окружность, у f 1 + р уру у
при заданном значении х, лежащем на отрезке [—3; 7], значения у изменяются
от 3 — У 21 + 4х —л:2 до 3+ >А21 + 4* — х2. Таким образом, множество то-
точек круга задается системой неравенств
— 3 < х < 7,
3—
П р и м е р 5. Множество точек плоскости М задано системой неравенств
{ у > х\
\ хг + у% < 20. D)
69

Задать его системой неравенств
( а < х < Ь,
\ Ф (*) < У < №)-
Решение. Сначала изобразим множество М. Неравенство у > х2 задает
множество точек, ограниченное параболой у = х2 и лежащих выше нее, а нера-
неравенство х2 -f- у2 < 20 — множество точек, лежащих внутри окружности х2 +
+ у2 = 20. Поэтому система неравенств D) задает множество, изображенное на
рисунке 4.5 (граница в множество не входит). Чтобы найти координаты точек Л
и В, решаем систему уравнений
f У=х\
\ Х2 + у2 = 20.
Из нее находим, что А ( —2; 4), В B; 4). Значит, л: меняется от —2 до 2. Если за-
задано л:, то у изменяется от точки на параболе до точки на окружности (см. рис. 4.5).
Ордината точки параболы равна х2, а ордината точки окружности равна
• —х2. Поэтому множество М задается системой неравенств
— 2 < х < 2,
х2 < у < V20 — х2.
Пример 6. Описать геометрически множество точек трехмерного прост-
пространства, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
\ х2 + у2 + 22 > 36,
\ 2х — Зу + 2 — 2 > 0. E)
Решение. Неравенству я2 + j'2 + 22 > 36 удовлетворяют координаты
точек, лежащих на сфере х2 + у2 + 22 = 36 и вне этой сферы, а неравенству 2х —
—Зу + 2 — 2 > 0 — координаты точек, лежащих на плоскости 2 = 2 — 2х + Зу
и выше этой плоскости. Поэтому данной системе неравенств удовлетворяют коор-
координаты полупространства г > 2 — 2х + Зу, из которого удален шаровой сегмент —
пересечение этого полупространства с шаром х2 + у2 + 22 < 36 (сферическая
часть поверхности сегмента принадлежит множеству).
Пример 7. Задать системой неравенств вида:
а < х < Ь,
Ф (*) < У < * (х),
(х, у)< г < Y (*, .у) F)
область в пространстве, ограниченную координатными плоскостями, плоскостями
х = 4У у = 6 и плоскостью Зх + 12у — 82 — 24 = 0.
Решение. Сначала найдем фигуру, ограниченную на плоскости 2=0
линиями пересечения этой плоскости с плоскостями х = 4, у = 6, Зл: + 12у —
—82 —24 = 0. Полагая в уравнениях этих плоскостей 2=0, напишем уравне-
уравнения прямых, лежащих в плоскости х = 4, у == 6, Зх + 12у — 24 = 0.
Мы получили трапецию, определяемую неравенствами:
0 < х < 4,
2— —*<у<6.
4
Пуеть М (х, у) — точка трапеции. На вертикальной прямой, проходящей через
точку М, пространственной области принадлежит отрезок, начинающийся на
плоскости 2= 0 и кончающийся на плоскости Зх + 12у —8г — 24 = 0. По-
Поэтому данная область задается системой неравенств:
0 <х < 4,
70

Пример 8. Задать неравенствами вида F) область, ограниченную эллип-
эллипсоидом
Решение. Из уравнения эллипсоида находим, что
Поэтому г определено лишь в области, где выполняется неравенство 1 —
— — — — > 0. Эта область ограничена эллипсом — + ¦— = 1. Из уравнения
25 16 25 16
эллипса находим, что у=± 4 1/ 1 — —. Отсюда ясно, что х меняется от
— 5 до 5, а при заданном значении х переменная у меняется от —4 1/ 1—^
до 4 I/ 1—t- (от точки на нижней половине эллипса до точки на верхней
г 25
половине). Если точка М лежит внутри эллипса, то на вертикальной прямой,
проходящей через эту точку, эллипсоиду принадлежит отрезок с концами
V 25 16 V 25 16
Итак, эллипсоид задается неравенствами:
— 5 < х < 5,
Отметим, что его можно задать аналогичными неравенствами, получающимися
путем различных перестановок координат, например
— 4 <у < 4,
/¦
-1/.-Й«.<
1.5. Описать геометрически множества точек, задаваемые
следующими неравенствами:
а) у < 2х + 4; д) / х2 + у2 > 9,
б) у2 > 6х; \х2 + у2 < 16;
в) (х — 4J + (у + бJ < 25; е) / 0 < х2 + у2 < 25,
\ у > 2х2\
г) х2 + 6х + у2 — 2у — 26 > 0; ж) х < у < х2.
2.5. Множество А задается неравенством х2 + у2 > 1, мно-
множество В — неравенством х2 + У2 < 4, множество С — неравен-
неравенством у > х2, множество D — неравенством у < 8 — х2. Описать
геометрически следующие множества:
71

a) (Л U В) П (С U D)\ б) (Л Г) В) U (С Г) D)-
в) (Л U В U Q Г) О; г) (Л П В Г) Q U D\
д) (Л U В U Q\D.
3.5. Задать системой неравенств множество точек кругового
сегмента, ограниченного окружностью х2 — Ах + у2 + 6у = 0 и
отрезком прямой х + 2у + 1 =0.
4.5. Задать системой неравенств множество точек четырех-
четырехугольника ABCD с вершинами Л(—1;2), fiC;7), CF;4), D@;—2).
5.5. Задать системой неравенств множество точек паралле-
параллелограмма A BCD с вершинами Л (—3;1),В B;4), С F;2), D A;— 1).
6.5. Задать системой неравенств множество точек сегмента,
отсекаемого от параболы у = я2 — 6 прямой у = 2* + 1.
7.5. Задать системой неравенств множество точек плоскости
М (х\ у), таких, что эти точки лежат выше прямой х — Зу + 4 = 0
и вне круга радиуса 10 с центром в точке Л B; — 1).
8.5. Задать системой неравенств множество точек М плос-
плоскости, таких, что расстояние от точки М (х\ у) до точки Л B;3)
меньше удвоенного расстояния от точки В (— 3;4) и больше рас-
расстояния от прямой Зх — 4у + 5 = 0. Задать это множество систе-
системой неравенств вида:
\ а<х < ft,
9.5. Задать системой неравенств общую часть трех множеств:
X2 V2
множества точек, лежащих на эллипсе —h ~ =1 и внутри
этого эллипса, множества точек треугольника с вершинами
Л (Q;5), В (—3;6), С C;0) и множества точек, лежащих выше па-
параболы у = х2.
10.5. Прямая, проходящая через точки Л D;5) и В (— 2; — 1),
и круг радиуса 10 с центром в точке С (—4; 2) разбивают плос-
плоскость на четыре части. Задать эти части системами неравенств.
11.5. Описать одной или несколькими системами неравенств
вида
а < х < ft,
Ф (х) < у < яр (*)
следующие области:
а) параллелограмм со сторонами: * = 3, х = 5, Зх — 2у + 4 =
- 0, 6х — 4у + 2 - 0;
б) область, заданную системой неравенств: дг > 0, у > 0, л2 +
+ у2 < 4;
в) внутренность эллипса — + — < 1;
Ао 10
г) параллелограмм со сторонами: у — х, у = л: + 3, у —
- —2х+ 1, у = — 2х + 5;
72

д) область, ограниченную параболами: у = х2, у = У' х\
е) область, ограниченную параболой у2 ¦=¦= 6х и прямой х = 2;
ж) область, ограниченную прямыми линиями х = 2, у = ж и
гиперболой ху = 1; ___
з) область, заданную неравенствами 0 < у < 1, у < я <|/у;
и) область, заданную неравенствами
0<у<2, у<л:
12.5. Круговое кольцо ограничено двумя окружностями с цент-
центром в точке А B;4) и радиусами 4 и 7 соответственно. Задать это
кольцо системой неравенств.
13.5. Задать системой неравенств область, ограниченную дуга-
дугами окружностей: х2 — 6х + у2 — 8у ¦= 0, х2 — 2х + у2 + 4у —
— 35 - 0.
14.5. Четырехугольник ABCD с вершинами А (— 1; 3), В D;8),
С E;6), D @;1) разбить на части, каждая из которых задается си-
системой неравенств вида:
с < у < d,
<р(у) <* <*(у).
Разбить его же на части, каждая из которых задается системой
неравенств вида C).
15.5. Написать уравнение, которому удовлетворяли бы толь-
только координаты точек А (— 1;3), В A;4), С G;1).
16.5. Написать уравнение, которому удовлетворяли бы только
координаты точек А (т; п), где т и п — целые числа.
17.5. Написать уравнение, которому удовлетворяли бы толь-
только координаты точек прямых х = т и у = п, где тип — целые
числа,
18.5. Описать множества точек пространства, задаваемые нера-
неравенствами или системами неравенств:
а) ( х > 0, ж) ( z — х2 — у2 > 0,
у > 0, \х2 + у2 — г > 9;
I г>0;
б) хуг > 0; з) / х2 + у2 — 4 < 0,
1 х + у — 2г>0;
в) х2 + у2 + г2 < 9; и) (х + у) (х + z + 2) > 0;
г) 4 < х2 + у2 + г2 < 16; к) (х2 + У2 — 4) (х2+ г2 — 4) > 0;
д) 4 < х2 + г2 < 16; л) f z>x2 — у2,
1 *2 + у2 + z2 < 16.
е) / х2 + у2 + z2 < 25,
( х2 + у2 < 3;
19.5. Описать множество М = (А (] В) [} (С (] D), если А —
множество точек, для которых jc2 + у2 + z2 <C 100, В — множе-
множество точек, для которых х2 + у2 + г2 > 1, С — множество точек,
73

для которых z > х2 + у2 и D — множество точек, для которых
г<9.
20.5. Через точку А D; 1; 5) пространства проведена плоскость
параллельно плоскости 2х + 6у + Зг — 12 = 0. Описать си-
системой неравенств область, отсекаемую этой плоскостью от пара-
параболоида вращения г = х2 + У2-
21.5. Описать системой неравенств общую часть эллипсоида с
полуосями 5, 4, 3, главные оси которого направлены по осям ко-
ордияат, и двуполостного гиперболоида, получаемого при враще-
вращении гиперболы z2 — х2 = 4 вокруг оси Oz.
22,5. Описать системой неравенств общую часть конуса, вер-
вершина которого находится в начале координат, а направляющей
служит линия
( х2 + у2 = 25,
\ z = 3
и шара радиуса 6 с центром в точке А @; 1; — 1).
23.5. Описать системой неравенств часть первого октанта,
получающуюся при выбрасывании пересечения этого октанта и
шара радиуса 5 с центром в начале координат.
24.5. Написать уравнение, которому удовлетворяли бы толь-
только координаты точек пространства, все координаты которых—целые
числа.
25.5. Написать уравнение, которому удовлетворяли бы только
координаты точек пространства, хотя бы одна координата кото-
которых — целое число.
26.5. Задать системой неравенств вида
а < х < 6,
Ф (*) < У <^ (х),
Ф(х,у) < г<? (х, у):
а) область, ограниченную поверхностью
25 ^ 16 ^ 9
б) область, ограниченную поверхностью
в) область, ограниченную плоскостями: к = 0, у = 0, z — 0,
х = 2, у = 4, x + y + z=8;
г) область, ограниченную параболоидом 2аг = х2 + У2 и ша-
шаром х2 + у2 + г2 = За2; _ _
д) область, ограниченную поверхностями: у = j/"jc, у = 2Yx~,
г = 0, х + г = 6 (у>0);
е) область, ограниченную шаром *2 + у2 + г2 = /?2 и кону-
конусом к2 = у2 + г2 (л: > 0).
74

§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
Пример 1. Докажите, что в любой окрестности точки А (а; Ь), задаваемой
неравенством (а: — аJ + (у — ЬJ < е2, есть окрестность, задаваемая неравен-
неравенствами \ х —¦ а | < б, \ у — b \ < 6, б > 0.
Решение. Выберем такое б> 0, что 262< е2. Тогда из | х — а | < б,
\У — Ь\ < б вытекает, что (а: — аJ + (у — ЬJ = | х — а\2 + \у — 6|2<262<е2.
Пример 2. Множество М состоит из точек плоскости, обе координаты
которых рациональны. Доказать, что любая точка А (а; Ь) плоскости является
предельной для этого множества.
Решение. Выберем любую окрестность точки А (а\ Ь), задаваемую не-
неравенствами | х — а\ < б, \у — Ь | < 6. Найдется рациональное число гъ отлич-
отличное от числа а, и такое, что | гг— а | < 6. Кроме того, найдется рациональное чис-
число г2, такое, что \ г2 — Ь\ < б. Точка В(гг\ г2) принадлежит множеству М, лежит
в выбранной окрестности точки А (а; Ь) и отлична от А. Итак, в любой окрестнос-
окрестности точки А есть отличные от А точки из М, Значит, А — предельная точка для
множества М.
Пример 3. Множество М состоит из всех точек плоскости, для которых
х2 + у2 < 25. Доказать, что точка А C; 4) является предельной для множества М.
Решение. Выберем любую окрестность точки А C; 4), задаваемую нера-
неравенствами \х — 3| < 6, \у — 4| < 6, где 0 < 6 < 1. Точка В I 3 — — ; 4 — — j
\ 2 2 /
принадлежит этой окрестности, причем
KI
6 \2 / б
+ И—j
Значит, В принадлежит множеству М. Отсюда вытекает, что Л —предельная точ-
точка для множества М.
Пример 4. Доказать, что множество М точек плоскости, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству у > л:2, замкнуто.
Решение. Замкнутое множество — это множество, которое содержит
все свои предельные точки. Поэтому, чтобы доказать замкнутость множества М,
достаточно показать, что любая точка А (а; Ь), не принадлежащая М, не может
быть предельной для М. Пусть точка А (а; Ь) не принадлежит М. Тогда мы имеем
8
неравенство b < а2. Положим г = а2 — b > 0. Найдется такое б < -— , что из
неравенства \х — а \ < б вытекает | х2 — а2 \ < -— . Тогда из неравенств \х— а\ <
< б, \у — b | < б вытекает, что
х2 -у = (а2 — Ь) + (Ь -у) + (х2 - а2) > (а2 - Ъ) - | b - у | —
Значит, все точки б — окрестности точки А не принадлежат множеству М. Сле-
Следовательно, А не является предельной точкой этого множества. Значит, множест-
множество М замкнуто.
Граничными точками плоского множества М называются точки, в любой ок-
окрестности которых есть как точки из множества М, так и точки, не принадлежа-
принадлежащие этому множеству.
Пример 5. Найти граничные точки множества М, заданного неравенст-
неравенством х2 + у2 < 100.
Решение. Дашюе множество состоит из точек, лежащих внутри екруж-
ности радиуса 10 с центром в начале коорданат (точки самой окружности не нр«-
надлежат множеству). Геометрически очевидно, что его границей является окруж-
75

ность х2 + у2 = 100. Докажем это утверждение аналитически. Легко проверить,
что неравенства х2 + у2 < 100 и х2 + у2 > 100 задают открытые множества.
Поэтому ни точки множества х2 + у2 < 100, ни точки множества х% + .У2 > 100
не являются граничными для множества М. Рассмотрим теперь точки окружности
Х2 _[_ у2 _ ЮО. Пусть Л (а; 6) лежит на этой окружности. Возьмем любую окрест-
окрестность точки Л. В ней есть как точки В (х; у), для которых | х\ <| а\, \у |<| b |,
так и точки, для которых \х\ >\а\, \у\>\ b \. Для первых точек имеем х2 + у2 <
< a2 -f- б2 = 100, а для вторых х2 -\~ у2 > 100. Значит, Л (а; 6) — граничная
точка для М.
Множество всех граничных точек данного множества называется его границей.
27.5. Множество М состоит из всех точек плоскости, обе ко-
координаты которых — иррациональные числа. Доказать, что любая
точка плоскости является предельной для множества М.
28.5. Множество М состоит из всех точек плоскости, абсцисса
которых рациональна, а ордината иррациональна. Доказать, что
любая точка плоскости является предельной для множества М.
29.5. Множество М состоит из всех точек плоскости вида
М~\ "\ гДе т> я= 1, 2, 3, ... . Найти предельные точки мно-
\т п}
жества М. Является ли начало координат предельной точкой для М?
30.5. Построить хотя бы одно множество, для которого пре-
предельным были бы точки ЛC; 4) и В (— 1; 2), и только эти точки.
31.5. Построить множество, предельными точками для которо-
которого являются все точки вида А @; /г), где п — целое число, и только
такие точки.
32.5. Доказать, что сумма двух открытых множеств является
открытым множеством.
33.5. Доказать, что пересечение двух замкнутых множеств —
замкнутое множество.
34.5. Доказать, что сумма двух замкнутых множеств — замк-
замкнутое множество.
35.5. Доказать, что дополнение замкнутого множества откры-
открыто, а дополнение открытого множества замкнуто.
36.5. Доказать, что множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют системе неравенств:
5 + у2< 100,
открыто.
37.5. Доказать, что множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют системе неравенств:
а:>0,
У>0,
;2 + у2 > 25,
открыто.
38.5. Доказать, что множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют неравенствам:
76

f x + у > 5,
\ *2 + y2< 100,
замкнуто.
39.5. Доказать замкнутость множества (А (] В) (J (С {] D),
где А задается неравенством у > х2, В — неравенством х2 + у2 <
< 49, С — неравенством л: + у > 3 и/) — неравенством (х — 4J +
+ (у-1J<81.
40.5. Множество М задается системой неравенств:
у>*2+1,
х2 + у2 < 49.
Доказать, что оно не является ни открытым, ни замкнутым. Какие
предельные точки не принадлежат этому множеству? Какие точки
принадлежат множеству М, но не являются для него внутренними?
41.5. Множество М состоит из точек, обе координаты которых
рациональны. Доказать, что любая точка плоскости является гра-
граничной для этого множества.
42.5. Найти границу множества А точек квадрата 0 <*< 1,
0 < у < 1, обе координаты которых рациональны. Имеет ли это
множество внутренние точки?
43.5. Множество А состоит из точек круга х2 + у2 < 4, имею-
имеющих рациональную абсциссу. Найти границу этого множества.
Имеет ли это множество внутренние точки?
44.5. Множество А состоит из точек М (х; у), таких, что х2 +
+ у2 — рациональное число, меньшее 1. Имеет ли это множество
внутренние точки? Найти границу этого множества.
45.5. Построить подмножество А квадрата 0<х<1,0<у<
< 1, содержащее не более одной точки на каждой горизонтальной и
каждой вертикальной прямой, но имеющее своей границей весь
квадрат.
Указание. Достаточно добиться, чтобы Л содержало точки каждой
четверти квадрата, каждой шестнадцатой части квадрата и т. д.
46.5. Перенумеруем точки М (х\ у) квадрата А: 0 < х < 1,
0 < у < 1, обе координаты которых рациональны (Mif M2> ...,
Мп, ...). Обозначим через Вп множество точек открытого круга
радиуса —— с центром Мп и через В множество (J (Bn f| A).
Показать, что границей множества В служит А — В.
47.5. Множество М называется областью, если оно открыто и
любые две его точки можно соединить ломаной линией, целиком
лежащей в множестве.
Какие из нижеследующих множеств являются областями:
а) множество точек, удовлетворяющих неравенству
4 < х2 + у2 < 25;
77

б) множество точек, удовлетворяющих системе неравенств
<х2 + у2< 10,
в) множество А [) В, где А — состоит из точек, для которых
х2 + у2 < 100, а В — из точек, для которых (х — 2J + (у + ЗJ <
< 144;
г) множество, состоящее из двух открытых кругов радиуса 6
с центрами в точках А @; 0) и В A2;0) соответственно;
д) множество, состоящее из тех же кругов и точки С F; 0)?
48.5. Множество М состоит из таких точек А (х\ у; г), что коор-
координаты jc, у, z рациональны и хг + у2 + г1 < 4. Найти множество
предельных точек для М.
49.5О Найти границу множества, задаваемого системой нера-
неравенств:
/ (х — 3J + (у — 4J + z2< 16,
\ (х-3J + (у-4J<4.
50.5. Построить множество, для которого предельными точ-
точками были бы точки ЛA; 4; —1), В G; 5; 6), С(— 3; 0; 8), и
только эти точки.
51.5. Доказать, что множество, задаваемое системой неравенств
/ х2 + у2 + г2 > 25,
\х +3у — 2г > 6,
открыто.
52.5. Доказать, что множество, задаваемое системой неравенств
/ #2 + у2 + г2 > 25,
\ х + Зу — 2г < 6,
замкнуто.
53.5. Доказать, что множество М, задаваемое системой нера-
неравенств
*2 + у2 + г2 > 25,
х + Зу — 2г > 6,
не является ни открытым, ни замкнутым. Найти предельные точки
множества М, не принадлежащие этому множеству. Найти точки
множества УИ, не являющиеся внутренними.
§ 3. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Множество А точек М некоторого /г-мерного евклидова пространства Еп, на
котором определена функция и — f (M), называется областью определения (су-
(существования) этой функции. Если для функции, заданной аналитически (форму-
(формулой), не указана область ее определения, то под последней понимают множество
всех тех точек М ? Еп, в которых функция (т. е. ее аналитическое выражение)
имеет определенный числовой смысл.
Пример 1. Найти область определения функции г= х2 у + 4х — у.
Решение. В данном примере выражение, стоящее справа, имеет число-
числовой смысл при любых значениях х и у. Следовательно, функция определена (су-
(существует) на всей плоскости.
78

Пример 2. Найти область определения функции
Решение. Выражение, стоящее справа, теряет смысл лишь при тех зна-
значениях х и у, при которых знаменатель обращается в нуль. Отсюда областью оп-
определения нашей функции является вся плоскость, из которой выброшена прямая
у = 2х (рис. 5.5).
Пример 3. Найти область определения функции
Рис. 5.5
Решение. Для того чтобы квадратный корень имел вещественные значе-
значения, его подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решая неравен-
неравенство (х — 1) (у + 2) > 0, находим, что
1 > 0, мЛ% f х - 1 < О,
либо
У + 2 > О,
либо
у + 2 < 0.
Решением первой системы неравенств является х >1, у>—2. Решением второй—
х < 1, _у < —2. Чтобы получить изображение искомой области на координатной
плоскости, достаточно провести две прямые х = 1 и у =—2. Полученные решения
показывают, что область состоит из двух квадрантов с общей вершиной, в точке
A; —2) (рис. 6.5).
Пример 4. Найти область определения функции г= \п х — \пу.
Решение. Данная функция может быть рассматриваема как разность
двух функций: 1я х и 1п у. Первая из них не зависит от у и определена ддя веех
значений х > 0. Следовательно, областью определения первой функции являет-
является правая полуплоскость с исключенными точками оси ординат. Вторая функция
не зависит от х и определена для всех значений у > 0. Следовательно, областью
ее определения является верхняя полуплоскость без точек оси абсцисс. Областью
определения данной функции является общая часть найденных областей опреде-
определения слагаемых, т. е. первая четверть координатной плоскости без точек полу-
полуосей (см. рис 7.5).
П р и м е р 4. Найти о&яаегь определения функции г
In —
79

Решение. Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно
х
быть положительным, то задача сводится к решению неравенства —> 0. Из пос-
у
леднего следует: либо х > 0 и у > 0, либо х < 0 и у< 0. Имеем область, со-
состоящую из первой и третьей четвертей координатной плоскости без точек коорди-
координатных осей. Сравнивая эту область с областью определения функции z = In x —
— In у, рассмотренной в предыдущем примере, заключаем, что только в первой
четверти имеет место равенство
х
In х — In у = In — ,
У
Рис. 7.5
Рис. 8.5
Пример 5. Найти область определения функции
Z = уТ— л:2 — у2 —If '
Решение. Отыскание области определения функции трех переменных вы-
выполняется точно так же, как в случае функций двух переменных. В данном примере
искомая область определится из условия 4 — х2 — у2 — z2 > 0, т. е. условия
х2 + у2 + z2 < 4.
Это — открытый шар с центром в начале координат радиуса 2.
Пример 6. Найти область определения функции
z -- у—1 — х2—у* (sin2
Решение. Множитель У—1
¦ х2— у2 при любых вещественных значе-
значениях х и у является мнимым числом. Поэтому функция определена лишь в точ-
точках, где множитель sin 2ш-\- sin2 л; у обращается в нуль. Уравнению
sin2 я* + sin2ny = 0
удовлетворяют лишь числа х, у, для которых sin2 яле = 0 и sin2jxj; =0, т. е. це-
целые числа. Итак, функция определена на множестве точек вида А (т\ л), где т
ил — целые числа.
Пример 7. Написать хотя бы одно аналитическое выражение, областью
определения которого является часть плоскости, заключенная между параболами
у = х2 и у = Ух, включая границы области.
Решение. Искомая область определяется неравенствами у — х% > 0
и х—у*>0. Функция z = У у — х2 определена в области у — х2> 0, а функ-
функция z= Ух — у2 — в области х—у2 > 0. Поэтому областью определения
функции
80

является заданная область. Разумеется, ту же область определения имеют и иные
функции, например,
и т. д.
Пример 8. Выразить длину хорды окружности:
а) как функцию радиуса и центрального угла;
б) как функцию радиуса и расстояния хорды до центра окружности.
Найти области определения этих функций.
Решение, а) Пусть г — радиус окружности, / — длина хорды, d — рас-
расстояние от хорды до центра окружности, ф —центральный угол (рис. 8.5). Тогда,
как видно из рисунка 8.5,
Ф
/=2rsin—, 0 < г <оо, 0 < ф < я.
б) Если расстояние хорды от центра равно dy то
/ = 2 /г2 — d2, 0<r<oo, 0 < d < г.
Пример 9. Построить семейство линий уровня для функции z =? ху.
Решение. Линией уровня функции f (х\ у) называется множество точек
(х; у), в которых функция принимает одинаковые значения. В соответствии с этим,
давая z различные числовые значения, будем получать уравнения линий уровня.
При z = 1, 2, ..., я,... получаем семейство гипербол ху = 1, ху = 2, ..., ху~п, ...,
расположенных в первой и третьей четвертях. При z= —1, —2, —3, ..., —п,...
получим семейство гипербол ху =—1, ху = —2, ... , ху =—я, ... , расположенных
во второй и четвертой четвертях. При г = 0 получаем уравнение ху = 0, выра-
выражающее две прямые х = 0 и у = 0.
Пример 10.5. Найти поверхности уровня функции
х2 + у2
Решение. Поверхностью уровня функции / (х\ у\ г) называется множест-
множество точек (а:; у; z), в которых функция принимает одинаковые значения. Дадим и
3
несколько значений: их ~ 1, и2 = —- , и3 = 3 и и%——5. Получим уравнения
соответствующих поверхностей уровня: z = х2 + у2, — z = х2-\- у2, Зг = х2 +
+ _у2 и 5г = —*2 —у2. Это будут параболоиды вращения.
х^у -\~ ху^
Пример 11. Доказать, что функция / (х\ у) = х2у — #3 H •
является однородной функцией. Найти степень однородности данной функции.
Решение. Заменяя х на tx и у на /у, получим:
+ у
Следовательно, данная функция является однородной функцией третьей стенени.
Пример 12. Доказать, что при х > 0, у > 0, я2 + yz < 1 имеет место
тождество
arc sin x + arc sin у = arc sin (л; У 1 —у2 -\-у }^1 —л;2). (*)
81

Решение. Положим
arc sin x = a, arc sin у = p, arc sin (x У 1 —у2 + у ]/ 1 —- x2) = у.
Тогда sin a = х, sin C = у, cos a = J^l — я2, cos |3 = УI — у2, и потому
sin (а + Р) = sin а cos р + cos а sin |3 = х У \ —у2 + у У\ — л:2.
С другой стороны, sin v =xYl — у2 + у У\ —*2« Таким образом, sin (a+P)=
тс тс тс
= sin у. Но — — < v < —"• С Другой стороны, из неравенств < а <
А А А
< — , — — < р < — , х = sin а > 0, у = sin р > 0, л;2 + у2 = sin2 а +
4- sin2 р < 1 вытекает, что sin а < У\ — sin2 р == cos P = sin I — — Р L и
потому а < — — р, т. е. а + Р< ~-. Итак, sin (а + Р) = sin у, — —- < у ^
< — , 0 < а + р < — . Поэтому а + Р = у. Равенство (*) доказано.
Пример 13. Выразить функцию
через переменные и = х + у и t>= xj/.
Решение. Мы имеем: (х + _уJ = х2 + 2д:у + у2.
Поэтому х2 + у2 = и2 —• 2о. Значит, х4 + 2х2у2 + у4 = (а2 — 2vJ = и* — 4u2v +
+ 4 у2, и потому х4 + у4= и4 — 4и2у + 2 а2. Кроме того, #3 + у3 = (х + у) (л:2 —
— *у + У2) ~ и (^2 — Зи). Следовательно,
г = (а4 —
В задачах 54.5 — 78.5 найти области определения функций.
Сделать соответствующие чертежи:
54.5. z = -J— 55.5. г = ^
^ + У *
56.5. г = ху.
58.5. г = ]/3— х2 — у*.
60.5. г= iXi ?! ^!.
У 9 4
57.5.
59.5.
61.5.
§3.5.
г =
2=
Z=
г—
Ух
Ух''
Ух
" _ г—
+
+
К
У-
у2-
Vv.
=-+
•4.
У
_ / : '
гх + у
64.5. г = arc cos
66.5. 2= У^= л»—-
69.5. г = In /- -.^ — 1). 70.5. « = In (луг).
\9 4 /
71.5. ц=)/гB — г) + 1пD — х2) — Зу.
72.5. и=У8 — х2 — 2уг — 4л2.
82.

73.5. u= ~ + 4= + 4= • 74'5- u = ln W* (г — У2)-
/л: /у Уг
75.5. и = arc sin — + arcsin— + arcsin —.
a b с
76.5. z =
77.5. 2=l/?±^±Z. 78.5. z = arcsin--barcsin(l — y).
79.5. Подобрать аналитические выражения, областями опреде-
определения которых были бы следующие множества:
а) плоскость с выброшенной точкой А (—3;1);
б) плоскость с выброшенной окружностью х2 + у2 = 25;
в) плоскость, из которой выброшены парабола у2 = Ах и ок-
окружность х2 + у2 = 8;
г) плоскость, из которой выброшены точки вида А (т; п), где
тип — целые числа;
д) полукруг х2 + у2 < 100, х > 0;
е) полукруг х2 + у2 < 100, х > 0;
ж) часть параболы у2 = 4х, отсеченная прямой х — у — 4 =0;
з) внешняя часть круга радиуса 4 и с центром А E;1);
и) область, ограниченная параболами у2 = х и у2 = 4х и ги-
гиперболами ху = 4 и л;у = 8.
80.5. Пусть
/г (Х у\ ^ Ф W Ф (У) — ^ W Ф (У)
Найти F (а; д), если ф2 (а) +гр2 (а) ^ 0.
81.5. Подобрать такие функции ф (д:) игр (я), чтобы имели место
тождества:
а) Ф (* + У) = Ф (х)ф (У) +¦ (х) ф (у);
б) Ф (х + у) = ф (х) ф (у) — г|> (х) ¦ (у);
я) ф(л: + у)=
г) ф(д: + у) =Ф(*)ф(у).
82.5. а) Выразить площадь треугольника как функцию его трех
сторон. Найти область определения этой функции.
б) Выразить объем конуса как функцию его высоты и образую-
образующей. Найти область определения этой функции.
83.5. Вершины прямоугольного треугольника лежат строго
внутри данного круга радиуса R. Площадь треугольника является
функцией от длины его катетов х и у, 5 = ф (дс, у). Каковы: а) об-
область определения функции ф (лс, у); б) область определенности
соответствующего аналитического выражения.
84.5. В шар радиуса R вписана пирамида с прямоугольным ос-
основанием со сторонами х и у, вершина которой ортогонально проек-
проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Является ли
83

объем V пирамиды однозначно определенной функцией от х и у?
Пусть известно еще, что центр шара лежит внутри пирамиды. Со-
Составить аналитическое выражение для V. Найти область определе-
определения функции и область определенности соответствующего анали-
аналитического выражения.
85.5. Квадратная доска состоит из 4 квадратных клеток, по-
попеременно черных и белых; сторона каждой из них равна единице
длины. Рассмотрим прямоугольник со сторонами, параллельными
сторонам доски, один из углов которого совпадает с черным уг-
углом доски. Площадь черной части этого прямоугольника является
функцией от длин его сторон х и у. Записать эту функцию анали-
аналитически.
86.5. Плоскость разбита прямыми на квадраты со стороной
единица, закрашенные попеременно в черный и белый цвета, при-
причем квадрат с вершинами А @; 0), В@; 1), С A; 1), D A; 0) чер-
черный. Обозначим через Мх,у прямоугольник, стороны которого па-
параллельны осям координат, имеющий вершины А @; 0), В{ @;у),
Ct (х; y),Di (x\ 0). Выразить площадь черной части прямоугольника
как функцию от х и у.
87.5. Выразить объем прямоугольного параллелепипеда, вписан-
вписанного в шар радиуса /?, как функцию двух его измерений х и у.
Найти область определения этой функции.
88.5. Выразить объем конуса как функцию его полной поверх-
поверхности S и длины образующей /.
89.5. Выразить площадь равнобочной трапеции как функцию
от длин ее сторон.
90.5. Выразить объем конуса как функцию от угла осевого
сечения конуса а и от радиуса г шара, вписанного в конус.
91.5. Выразить объем прямоугольного параллелепипеда как
функцию от длины диагонали lif длины диагонали основания /2
и угла ф между диагональю основания и одной из сторон.
92,5. Выразить давление газа как функцию объема V и абсолют-
абсолютной температуры Г. Найти область определения аналитического
выражения этой функции. Какие значения аргументов имеют физи-
физический смысл?
93.5. Выразить ток в электрической цепи как функцию электро-
электродвижущей силы V и сопротивления R. Какие значения аргументов
имеют физический смысл?
94.5. Сколько функций получается из выражения
при различных комбинациях знаков?
95.5. Сколько функций получается из выражения
при различных комбинациях знаков?
84

96.5. Описать поверхности, являющиеся графиками заданных
функций:
a) z = х + у — 1; г) z = х2 — у2;
б) г = j/l—л;2—у2; д) г = К*2 + у2;
в) г - л:2 + у2; е) г = ху.
97.5. Найти семейства линий уровня для каждой из заданных
функций и начертить их графики:
a) z = «х + у; д) г = *
2x2 + Зу2
б) z =^x2 + y2; e) z = x* (х>0);
в) z - х2 — у2; ж) г = °
У2
98.5. Найти поверхности уровня заданных функций:
а) и = х + У + z; г) и - (г + УJ + *2;
б) и = х2 + У2 + г2; д) а = г
х2 —у2
в) и - *2 + у2 - г2;
99.5. Исследовать методом сечений график функции
г __ Х2 у2#
Что представляют собой сечения плоскостями х = const, у ==
= const, z = const?
100.5. Исследовать методом сечений график функции z ~ ху.
Что представляют собой сечения плоскостями х = const, у =»
= const, z = const?
101.5. Исследовать методом сечений график функции
z = ху2.
Что представляют собой сечения плоскостями х = const, у =*
= const, z = const?
102.5. Исследовать на однородность заданные функции и опре-
определить степень их однородности:
в) /(л;;у;г) = 1
85

г) / (*; У; г) = х2у + z2 + у*.
103.5. Доказать, что если ф (х) — функция одного переменного,
то функция двух переменных
f(x\ у) = \х \Ч
является однородной функцией степени Л.
104.5. Показать, что любую четную однородную функцию пе-
переменных х, у степени X можно представить в виде:
(функция двух переменных называется четной, если / (— х\ — у) =*
= / (х\ у), и нечетной, если /(—*;— у) =—/(*; у)).
105.5. Показать, что любую нечетную однородную функцию пе-
переменных х, у степени X можно представить в виде
106.5. Доказать, что функция
%т (У . г
f /у. 4,. у\ _ | у
Г {х, у, г) — | х | ф
четная, однородная, степени I.
107.5. Доказать, что любую нечетную однородную функцию
степени X от трех переменных х, у, z можно представить в виде
108.5. Доказать, что:
а) arc sin x + arc sin у =п — arc sin (#)Л — у2 + у ]/1 — #2
если л: > 0, у > 0, хг + у2 > 1;
б) arc sin jc+arc sin y=—я—arc sin (лг|/ — у2 + У J^l —#2
если л: < 0, у < 0 и х2 + у2 > 1.
109.5. Доказать, что
arc cos (j/l —x2 V\— у2 — ху), если
«* > 0, у > О,
arcsiny =
— arccos(|/l —л2
110.5. Доказать, что
g^-i^-, если ху< 1,
arctgx+arctgy =
я + arctg x+-v., если л:>0, ^у> 1,
1 — ху
— л + arc tg x+y , если ^ < 0, ху >1 •
1 — *у

111.5. С течением времени в электрической цепи меняются
электродвижущая сила и сопротивление. Описать с помощью по-
понятия суперпозиции функций зависимость тока в цепи от времени.
112.5. Привести физический пример на суперпозицию функций
по закону
2 = F(w; v), u=q>(x), v =i|) (x).
113-5. Привести физический пример на суперпозицию функций
по закону
г = F (и; v), и = ф (х; у), v =\|> (*; у).
114.5. Выразить функцию
( а 3 2 6)
через переменные а = л;2 + у2, v = а:2 — у2.
115.5. Представить функцию
г/ = sin3 (* + 4у) + cos3 (Зл:у)
в виде суперпозиции функций одного переменного и функций вида:
г = х + у, z = ху, 2 = —.
116.5. Показать, что функция F (х\ у) — In x In у удовлетво-
удовлетворяет функциональному уравнению
F (xy\ uv) - F (х\ и) +F (х\ V) +F (у; и) + F (у; у).
117.5. Показать, что функция F (х; у) =еху удовлетворяет
функциональному уравнению
F (х + у; и + v) = F (x\ u)F {x\ v) F (у; и) F (у, и).
118.5. Выразить функцию
через переменные ut vy если х = w2 + t;2, у = а2 — у2.
119.5. Выразить функцию г = (х2 + У2L In arctg -^ через пе-
ременные ut v, если л; = и cos у, у = и sin у.
120.5. Пусть
Выразить г непосредственно через л; и у.
121.5. Пусть 2 = uw + wuArV, где а = х + у, с; = х — у,
ш = ху. Выразить z непосредственно в виде функции от х и у.
122.5. Пусть и = A+цJ — Ъ3 — хK, где
О) , Ш О) ф
?__?_±?_ я= е~е ¦
5 2 ' Ц 2 '
87

о) - In (x2 + у2 + г2), ф - 21п (х + у + г).
Выразить и непосредственно в виде функции от х, у и г.
123.5. Функцию
г = (х2+ху+у2УУ х2 2
U2 - ху + у2)
представить в виде функции от переменных и = х2 + у2 и v
124.5. Представить функцию
и
V(* +УJ+ (^+гJ+(у+гJ 1 - хуг
(l-xyzf
.
в виде функции от двух переменных, каждая из которых рацио-
рационально зависит от х, у, г.
125.5. Пусть w = arc sin (и + v), и = 2х — Зу, v = х + у.
Укажите область определения функции w = f (x; у).
126.6. Пусть w = Vl —u2—v2t u = x + y, v = x + y.
В к^кой области определена функция w = / (х\ у)?
§ 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 1. Доказать, что функция
не ишет предела в точке О @; 0).
Решение. Перейдем к полярным координатам х = г cos ф, у —г sin <
Тогда функция / (х\ у) примет вид:
г2 Cos2 ф — г2 sin2 ф
Если бы существовал предел
lim / (х; у) = с,
х ->о
у ->о
то для любого 8 > 0 нашлось бы такое б > 0, что из неравенства 0 < г < б вы-
вытекало бы | / (х\ у) — с \ < е. Но функция (*) не зависит от г, и в любой сколь
угодно малой окрестности точки О @; 0) есть как точки, где / {г cos ф; г sin ф) =
я \
= 0 (например, при ф = — 1, так и точки, где / (г cos ф; г sin ф )= 1 (например,
при ф = 0). Значит, lim / (x\ у) не существует.
у -о
Замечание. Переход к полярным координатам с центром в точке А (а; Ь)
тасто облегчает вычисление предела
lim / (x; у).
X ~* О
88

Мы полагаем х= а-\- г cos ф, у = Ь + г sin ф и переходим от функции г
= / (я; у) к функции
F (г, ф) = / (а + r cos ф; 6 + г sin ф).
Равенство
Нт / (х\ у) == с
равносильно тому, что равномерно по ф выполняется соотношение lim F (г; ф))=с.
Иными словами, для любого е > 0 должно существовать такое о > 0, независящее
от ф, что из 0 < г < б вытекает \F (г, ф)— с \ < е. Это имеет место, во всяком
случае, если F (п ф) имеет вид:
F (г; ф) = с + гл гр (г; <р),
где X > 0 и функция гр (г; ф) ограничена в области 0 < v < а, 0 < ср <2я.
П р и м е р 2. Вычислить предел
lim
Решение. Полагаем х = г cos ф, у = г sin ф. Тогда
= г cos2 ф sin ф.
Так как функция cos 2 ф sin ф ограничена, то
jt2 v
lim = lim r cos2 <p sin ср = 0.
о*2+у2 o v ^
Отметим, что из выполнения равенства lim F (г; ф) = с при любом значении
Ф, 0 < ф < 2я, еще не вытекает, что
lim / (х\ у) = с.
Иными словами, из того, что lim / (х\ у) = с, когда точка М (л;; у) приближается
к точке Л (а\ Ь), двигаясь по любой прямой, еще не вытекает, что с— предел функ-
функции / (х; у) при х -> а, у -> Ь.
Пример 3. Существует ли предел функции
{0, если (*; у) = @; 0),
когда х -> 0, у -> 0?
Решение. Если положить х=а /, у = b t,io при любых аи &=^ 0 имеем:
lim/(а/; 6/) = lim-———== 0.
/ -, о /->оа4/ + ^2
Если же Ь = 0, то у = 0 и / (х\ у) = 0. Поэтому предел функции / (х\ у), когда
М (х; у) стремится к точке О @; 0) по любой прямой, равен нулю.
89

В то же время мы имеем при любом i > 0:
Таким образом, в сколь угодно малой окрестности точки О @; 0) есть точки, где
/ (**» у)= —» и потому нуль не может быть пределом функции / (х\ у)
при (*; у) -> @; 0).
Рассмотрим теперь предел функции z = / (х\ у), когда хну стремятся к бес-
бесконечности.
Мы говорим, что
lim l(x\ у) =с,
X -* оо
У - °°
если для любого 8 > 0 найдется такое N, что из | х \ > N, \ у | > N вытекает
неравенство | / (г, у) — с \ < 8.
Пример 4. Вычислить предел
lim
X -*¦ »» "
2х2
Решение. Мы имеем:
х + У + 2*2 + 2у2
Если | л; | > N и | у | > N, то
х2-\-у2
Отсюда ясно, что
hm
1
У - О»
х2 + у2
Пример 5. Доказать, что функция
не имеет предела, когда х ->> оо, у -> оо .
Решение. Положим сначала я = /, у = /4. Тогда при
ем: дс -> оо, у -> оо и
оо име-
имеt -*•
С другой стороны, имеем:
ts
90

Поскольку мы получили различные ответы, предела
lim — —
у - «»
не существует.
В некоторых случаях при вычислении предела бывает полезно разложить чис-
числитель на множители.
Пример 6. Найти
lim I (x\ у),
х -*2
У~>2
где
/ (х;у) = ( *-ъ?+?+х-.у ' еСЛИ * +У>
{ 4 , если х— у.
Решение. При х ==у = 2 числитель и знаменатель дроби обращаются в
нуль. Мы имеем при х ф У
Их.у) = (*-У)(х+У) = х + У
(х-у)(х-у
Х->2
У~>2
Поскольку по условию при х = у также имеем / (#; у) = 4, то
lim/(*;y) = 4.
л: -*2
У-2
Пример 7. Найти lim / (л:; у), где
х -*0
(sin (д:2^)
—^-^О
3 , если jc = 0.
sin (х2 у)
Решение. При х = 0, у = 3 числитель и знаменатель дроби ¦
обращаются в нуль. Положим х2у = а.
Тогда при х -* 0 и у -v 3 будет а -> 0, и потому
sin (х2 у) sin х2 у sina
lim = lim —-—— у = lim у = 1 • 3 = 3.
х~>0 X2 л:-0ДС2у а-оа
у~>ъ у-+з у-+г
Если же х = 0, то / (*; у) = 3, и предел / (х\ у) при у -»¦ 3 равен 3.
Повторными пределами функции / (дс; у) при х ->¦ а, у -+ b называют выра-
выражения
lim Г lim / (г, у) 1 и lim Г lim / (х\ уI.
у~+Ьух-+а J х -»а \у -+ b \
Пример 8. Вычислить повторные пределы для функции
, если х = — у,
при х -> 0, у -> 0.
91

Рещение. Мы имеем при у ф О
х — у -f- X2 +У2 —У + V2
х; v) = lim ——TJL- = У = — 1
lim Г lim / (х; у)] = lim (— 1 + у) = —1.
г/ -*О [* ->0 j */ -*0
С другой стороны, при х Ф 0
lim /; (х; у) = lim -— — = = 1 + х
у -0 ' 0-0 * + У ^
и
lim Him / (х; уI = lim A + х) = 1.
л; ->0[^ -0 J лг ->0
Таким образом, в данном случае
lim [lim f (х\ у)Л ф ГипГНт / (х; уI.
х -+Оуу -+0 J г/ »0[д; -> О j
Этот пример наглядно показывает, что порядок предельных переходов, вообще
говоря, менять нельзя.
Пример 9. Доказать, что функция
(*)
w = i
1 + sin4 (л;2 + 3 ху
непрерывна при всех значениях х и у..
Решение. Функции х2 — у2 и х2 + Зху + у2 непрерывны при всех зна-
значениях л; и у как многочлены от х и у. По теореме о непрерывности суперпозиции
непрерывных функций вытекает, что е*2—У2 и 1 + sin4 (х2 + Зл;у -f у2) также
непрерывны. При этом 1 + sin4 (х2 + Зху + у2) Ф 0, а потому и функция (*)
непрерывна при всех значениях л; и у.
Пример 10. Найти точки разрыва функции
х2 -\-у2
w = — . С)
Решение. Ясно, что функция может иметь разрыв лишь в точках, где зна-
знаменатель (х2 — у) (х + Зу) обращается в нуль. Решая уравнение
(х2 - у) (х + Зу) = 0
х
относительно у, получаем у = х2, у— ——. Значит, функция (*) имеет раз-
«3
х
рывы на прямой у — — — и параболе у = х2.
3
Пример 11. Построить хотя бы одну функцию, имеющую разрывы на ли-
линиях х2-{-у2 — 1 ил;2 — у2 = 1.
Решение. Такой функцией будет, например,
1
w = ,
(х*+у2 — 1) (л;2 —у2 — 1)
Пример 12. Найти точки разрыва функции
1
w = .
sin2 я х + sin2 я у
Решение. Приравнивая знаменатель нулю, получаем уравнение
sin2 nx + sin2ny = 0.
92

Но сумма квадратов может равняться нулю лишь в случае, когда равны нулю
все слагаемые. Поэтому имеем систему уравнений:
| sin пх = О,
\ sin пу = 0.
Из нее находим, что хну — целые числа. Итак, функция разрывна во всех точках
вида М (т\ п), где тип — целые числа.
Пример 13. Доопределить функцию
л4 -}- v4
г = ^У • (*)
при х = 0, у = 0 так, чтобы она была непрерывна в точке F @; 0).
Решение. Чтобы функция z была непрерывна в точке @; 0), надо, чтобы
/@;0) Пт44.
х - 0 х2 + у2
Чтобы найти предел, перейдем к полярным координатам х = г cos ф, у = t sin ф.
Мы получим, что
г4 (cos4 ф + sin4 ф)
/ (г cos Ф; г sin Ф) = ,2(cos2q) + sin2)})) = /* («я* 9 + sin^ Ф).
Ясно, что если г -> 0, то и / (г cos ф; г sin ф ) -> 0.
Поэтому
Итак, чтобы функция (*) была непрерывной при х = 0, у = 0, надо положить
/@; 0) = 0.
Пример 14. Доказать, что система уравнений:
+ у* = 25,
+ з/3 + х2у — 6= 0 (¦*)
имеет хотя Оы два решения.
Решение. Функция / (х\ у) == хд + у3 + х2у — 6 непрерывна. В точке
Л E; 0) окружности х2 -f- У2 — 25 она равна 119, а в точке Б (—5; 0) той же ок-
окружности она равна — 131. Поэтому на окружности найдутся хотя бы две точки
М и N, в которых эта функция равна нулю (одна — на дуге АСВ, а вторая— на
дуге ADB). Значит, система уравнений (**) имеет хотя бы два решения.
Пример 15. Доказать, что среди значений функции / (*; у) = *4+ у* на
множестве, определяемом системой неравенств
х + у > 3,
х2 + у2 < 16,
есть наибольшее и наименьшее значения.
Решение. Множество М замкнуто и ограничено. Так как функция
/ (х\ у) = я4 + У4 непрерывна, то среди ее значений на множестве М есть наи-
наименьшее и наибольшее.
Пример 16. Существует ли наибольшее значение функции / (я; у) =
— (х2 + у2) на множестве точек, для которых х2 + у2 < 1.
Решение. Функция принимает значения, сколь угодно близкие к 1 (на~
пример, в точках вида @; 1 — 6), где б > 0 достаточно мало). В то же время зна-
значения 1 эта функция не принимает. Отметим, что множество М не является замк-
замкнутым.
127.5. Вычислить lim/(x; у), где
о
93

, если х2у = 0.
128.5. Вычислить
129.5. Вычислить
130.5. Вычислить
131.5. Вычислить
132.5. Вычислить:
lim
х -0
у-о
lim 1
x+O x* + f
a) lim A + х2 у2)х*+ Уг\ б) lim A + х2 + у2)х*+ у\
х -0 лг -*0
133.5. Вычислить
lim
»->
+
134.5. Вычислить
135:5. Вычислить Нт/(л:; у), где
х2 + 2ху — Зу*
f(x;y)
136.5. Доказать, что функция
О
не имеет предела в точке О @;0).
94

137.5. Доказать, что функция
*tx. уч = A, если 0<у<л;2,
\ 0 в остальных точках
не имеет предела в точке О @; 0) и что ее предел, когда М (х; у)
стремится к О @; 0) по любой прямой, равен нулю.
138.5. Существуют ли следующие пределы:
lim (х—у), lim ху, lim —, lim —,
X -» + оо х->0 ЛГ-ОУ Х-> оо У
у -». -j- ов У -+ оо У -+Q #->оо
lim xy, lim ху, lim ху?
х->1 х > 0 * -¦> ов
i/-oo I/-+0 1/-*0
139.5. Существуют ли пределы
lim —, lim — ?
х -. оо X2 + у2 л: ~> -о X2
У -+ <м У -* оо
140.5. Доказать, что предел
lim
аг^оо л:4
не существует.
141.5. Доказать, что функция
х2 у
, если х + у = О,
не имеет предела, когда я -> оо, у -> оо.
142.5. Найти
если точка Af (х; у) движется по кривой у = х2.
143.5. Найти
если точка М(х;у) движется по кривой у = х2.
144.5. Исследовать на непрерывность функцию
fix у) = |1/16-л-2-у2, если х2+У2 < 16,
10 , если
Исследовать функции на непрерывность и определить точки
разрыва, если таковые имеются:
145.5. г = ^=^. 146.5. г = 2jc" .
х +у х2 +у2 — 4
95

147.5. z =
149.5. г =
151.5. 2 = In (9 — .
153.5. г = .
148.5. г =? (-2-
у2).
X2—J
155.5. г = sin-
150.5. г = Л~?-.
a:3 — y3
152.5. г = -т^—-.
%2 -f y2
154.5. z = _
l
157.5. г = -.
xy
159.5. 2 = — .
lyl
156.5. г = cos
158.5. г =—J
Т^л;2
160.5.
—9
• ya —4
1
161.5. и =
163.5. ш = -
165.5. ш =
1
— х2 — 2у2 — 4г2
1
sin я я-f-sin я у -f-sin
162.5. ro = i±^±i.
1
у2 _г2 _
164.5. w =
166.5. w =
—2
1
167.5. Следующие функции доопределить в точках, где они не
определены, так, чтобы они оказались непрерывными в этих точ-
точках:
б) 2 =
в)г = (
с -1J
- IL (J^ -
168.5. Существуют ли повторные пределы при х -> 0, у -> 0
функции
х2 sin — + у
Г / . - . ^ А X
и совпадают ли они друг с другом?
169.5. Решите тот же вопрос для функции
. х sin -, у -+ 0,
96

170.5. Существуют ли повторные пределы для функции
(л: + у) sin — sin —, если х Ф 0 и у Ф О,
О, если х = О или у = О?
Существует ли для этой функции
\unf(x; у) ?
171.5. Найти в случае существования двойные и повторные
пределы при х -+ О, у -± 0 для функций:
а)
-
О,
, если
если
= 0;
б)
о,
- если \х\ ф\у\,
если | а: | = | у |.
172.5. Докажите, что если z = / (jc; у) — непрерывная функ-
функция, то множество М таких точек, что / (х\ у) < с, где с — задан-
заданное число, замкнуто.
173.5. Докажите, что если z = f (x\ у) — непрерывная функ-
функция, то множество М точек, где / (х\ у) <С с, открыто.
174.5. Докажите, что множество М точек, координаты которых
удовлетворяют системе неравенств
( х2 + у2 < 25,
1 х + у < 3,
замкнуто.
175.5. Докажите, что множество М (] N, где М задается си-
системой нер авенств:
100,
х+ 2у < 10,
а. N — системой неравенств:
sin (х2 + у1) < -,
открыто.

176.5. Докажите, что множество точек пространства, задавае-
задаваемое системой неравенств
cos (х2 + у2 + г) > -^-,
2
х4 +у — 3z3 <1,
открыто.
177.5. Докажите, что следующие системы уравнений имеют
хотя бы одно решение:
а) f ^-ЬУ4 = 81, ^ )у^ + ^ = 5,
. f x2cosy + y2cos.* = 4, f у3-f-у arc tg л; -f л:2 =2,
В) < Г) <
178.5. Доказать, что если функция / (х\ у) непрерывна в не-
некоторой точке (хо\ у о), то она непрерывна в этой точке и по каждой
из переменных х и у в отдельности.
179.5. Доказать, что функция
при х Ф 0 и у Ф О,
О при х = О и у = О
имеет разрыв в точке @; 0), хотя и непрерывна в ней по каждой из
переменных в отдельности.
180.5. Доказать, что функция
_ j 1, если у > jc4 или у < 0,
I 0, если 0<у<х4,
разрывна в точке О @; 0), но функция ф (/) = / (at; bt) при лю-
любых а и b непрерывна в точке t = 0 (т. е. / (х\ у) непрерывна, если
точка М (х; у) стремится к точке О @; 0) по любой прямой). Ука-
Укажите кривую, вдоль которой lim/ (М) Ф f @; 0).
181.5. Доказать, что функция
У А — х2 при у = 0,
]/4 —у2 при х = 0,
0 при хФ0 и уфО
разрывна в точке @; 0), хотя и непрерывна в этой точке по каждой
из координат. Построить график этой функции.
182.5. То же самое по отношению к функции
0, если ху ф 0,
1, если ху = 0.
Построить график этой функции.
98

183.5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции и =
= 1^16 — хг — у2 — z2- Принимает ли эта функция значение,
равное 3?
184.5. Функция / (х; у) = хг + у2 задана в области 1 <л: < 4,
2 < у <С 6. Имеет ли она наименьшее и наибольшее значения в
этой области?
185.5. Доказать, что для любого незамкнутого множества А
на плоскости найдется функция f (х; у), заданная на множестве А,
непрерывная на нем, но неограниченная.
186.5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
г = (а:2 + У2) еху при 1 < х2 + у2 < 4. Принимает ли она зна-
значение, равное еУ г ?
187.5. Может ли поверхность пересекаться с плоскостью в од-
одной точке? Приведите пример поверхности, пересекающейся с
плоскостью XOY только в начале координат.
188.5. Доказать, что функция
I О, если х иррационально,
1 у, если х рационально,
разрывна на всей плоскости, за исключением точек оси абсцисс,
а по аргументу у непрерывна всюду.
189.5. Непрерывна ли функция
__( О, если х =? у,
\ х, если х = у,
в точке @; 0)? В каких точках она разрывна?
190.5. Доказать, что, как бы ни определять функцию / (х\ у) =
= 2- в точке @; 0), она будет разрывна в этой точке.
191.5. Найти множество точек разрыва функции
\х sin 1 при у ^ 0,
10 при у = 0.
192.5. Доказать, что функция f (х\ у) является непрерывной,
если она непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельнос-
отдельности и монотонна по одной из них.
193.5. Является ли функция
±
/(*у)
ху
равномерно непрерывной в области ее определения?
194.5. Является ли функция / (х\ у) = |/~4 — хг — у2 рав-
равномерно непрерывной в области ее определения?
195.5. Функция / (х; у) непрерывна на всей плоскости. Будет
ли она равномерно непрерывна на всей плоскости?
99

196.5. Обозначим через Е (х) целую часть числа х. Исследо-
Исследовать характер разрывов следующих функций:
a) z - Е{х- у); б) г = Е (V^Tf);
в) * = *(¦*•); г) 2 =
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 1. Прогиб и колеблющейся струны в точке М, находящейся на
расстоянии х от начала струны, в момент времени t является функцией от х и t,
и = и (х; t). Какой физический (или геометрический) смысл имеют частные произ-
ди ди
водные — и — ? Какой физический смысл имеет частная производная
дх dt
второго порядка ——?
dt2
Решение. В фиксированный момент времени / == t0 колеблющаяся стру-
ди
на располагается по кривой и = и (х; tQ). Частная производная — при / = ^0
ох
дает угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке х. В фиксирован-
ной точке х0 функция и (xQ\ t) показывает отклонение соответствующей точки
ди
струны от положения равновесия. Частная производная —— равна мгновенной
dt
скорости движения точки струны с координатой х0 в момент времени t. Частная
д2и
же производная — равна ускорению этой точки.
dt2
П р и м е р 2. Дана функция z = Зх2у-\- х2 — у3. Найти следующие частные
производные z'x , г'ц , г"ху.
Решение. Частные производные функций нескольких переменных нахо-
находятся по формулам и правилам дифференцирования функций одной переменной.
Чтобы найти, например, частную производную г'х функции двух переменных
г = / (г, у), нужно в выражении / (я; у) второй аргумент у принять за постоянную
и дифференцировать / (х; у) как функцию одной переменной х. В нашем примере
будем иметь: гх = бху -\-2х == б1ху + —).
При дифференцировании по у за постоянную принимается х:
z'y = за:2 — Зу2 = 3 (*2 — у2).
Пример 3. Найти частные производные и полные дифференциалы перво-
первого порядка от функции
/(*; y)=-arctg~-
в точке A; 2).
Решение. Найдем сначала все частные производные и полные дифферен-
дифференциалы заданной функции в произвольной точке М (х\ у):
1J у
100

у
Подставляя в полученные выражения х = 1 и у = 2, найдем: /^ A; 2)==
Здесь мы сначала нашли частные производные функции, а потом ее полный
дифференциал. Во многих случаях удобнее обратный порядок действий: сначала
находит полный дифференциал, пользуясь правилами вычисления дифференциала
суммы, произведения, частного и элементарных функций, а потом отделяют коэф-
коэффициенты при dx и при dy. Коэффициент при dx дает ~, а коэффициент при dy
df
дает г-.
ду
Пример 4. Найти частные производные функции
*3 + y3'
Решение. Мы имеем dz = d sin и = cos a d«, где
_ *2 + У2
Пользуясь правилом вычисления дифференциала дроби, получаем:
du-d -
X3 + У3 (*3 + у3J
Но d(x2+ у2)= 2xdx+2y dy, d (x3 + у3) = Зл;2 dx-\- Зу8 dy, и потому
*+у
= cos udu ~ cos X
л;3 -(-у
(*3 + У3) Bjc dx + 2у dy) — (х2 + У2) (З*2 dx + Зу2 dy)
Х C + 3J
+ у ( у + 2ху3) dx + Bл;3у — 3x2y2 — у4) dy
= cos ¦ ~—¦
JC3 + y3 (X3 + y3J
Отделяя друг от друга коэффициенты при dx и dy, получаем:
., ч — х* — Зх3 у2 + 2ху3 х2 + у2
4 (*; У) = . з ¦ зч2 cos
(х3 + у3J
. з ¦ зч2cos ¦» . з '
(х3 + у3J дг* -f- У
, 2х3 у — Зх2у2 — у* х2 + у2
fy (х; у) « . 3 , 3.2— cos ч , ч '•
(х3 + у3J х3 + у3
Аналогично ищутся частные производные функций от большего числа перемен-
переменных.
Пример 5. Найти точки, где не существуют частные производные функции
О
101

Решение. Мы имеем:
f'x (*; у) ¦
L <*; у) •
j/x2 + у2
Эти формулы теряют смысл при х = 0, у = 0. Покажем, что в точке О @; 0) функ-
функция (*) не имеет частных производных.
В самом деле,
х2 4- О2 I х
X + =lim Щ
; )
*-о а; *-о х
I ^ |
Функция — не имеет предела при х -> 0. Аналогично доказывается несущест-
х
вование fy @; 0).
Примерб. Доказать, что функция
г =
0 , если х = 0, _у = О,
всюду имеет обе частные производные, но что эти производные разрывны при х -
= 0, у = 0.
Решение. Мы имеем при' х2 + у2 Ф 0
2ху (х2 + у2) —
tx (*; у) = г
3,2J
(-у2 + У2) ^2 — *2У - 2у
:4 —
* (*2 + У2J (х2 + У2J
Значит, функция / (х\ у) имеет частные производные, если (х\ у) Ф @; 0).
Если х = 0 или.у = 0, то / (*; у) = 0. Поэтому f'x @; 0) = /^ @; 0) = 0.
Итак, функция / (л:; у) всюду имеет частные производные. Покажем, что они
разрывны в точке О @; 0). В самом деле,
_ 2л:4 1
\Х ~j~ X у ?
и потому
х\ х) ф f @; 0).
^*о
Точно так же
lim fy (x; 0) = 1 Ф fy @; 0).
Отметим, что функция / (л:; у) недифференцируема в точке О @; 0). В самом
деле, dt @; 0) = f'x @; 0) dx + f'y @; 0) dy = 0 и
Но разность
Ах2 А V
) У
= г cos2 ф sin ф, где г = |/ А л2 + А у2 ,
102

?(* У) =
не является малой высшего порядка по сравнению с г. Значит, / (х; у) недифферен-
цируема, хотя и имеет частные производные; при х = 0, у = 0 эти частные
производные разрывны.
Пример 7. Доказать, что частные производные функции
х2 sin — + у2 sin —, если ху Ф О,
х у
a:2'sin —, если х Ф О, у = О,
х
1
у2 sin —, если у ф О, х = О,
О, если х = у = О,
разрывны при х = 0, у — О, но эта функция дифференцируема в точке О @; 0).
Решение. Мы имеем:
Bх sin — — cos — , если х ф 0,
х х
0 , если х = О,
j 2y sin — — cos — , если у Ф 0,
, если у = 0.
*; у) = \ у у
Так как
lim 12x sin — — cos — 1
л:-.0\ X X]
не существует, частная производная /^ (дс; у) разрывна при х = 0. Точно так же
частная производная /'у (х\ у) разрывна при у = 0. Но тогда в точке О @; 0)
разрывны обе частные производные.
В то же время мы имеем:
д/ @; 0) = / (А*; Ду) — / @; 0) = A*2 sin Ь Ay2 sin — ,
а выражение
Д/ — df = Ал;2 sin f- Ay2 sin —
kx Ay
является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с г = У Ах* + Ау2.
Пример 8. Доказать, что если функция f (x\ у) имеет частную производ-
производную f'x (х, у) в некоторой окрестности точки М (а; Ь), причем существует предел
lim fx (a + ft; b) = с,
h -о
то этот предел равен f'x(a\ b).
Решение. По теореме Лагранжа имеем:
k±b)r--f(a- b)
ft
Но
lim f'x (a + Oft; b) = lim /' (a + h\ b) = c,
h -+Q h ->0
и потому /x (a; b) = c.
103
/;(a;«=lim . = Hm/; (a + 8/t; 6), гдеО<9<1.

Пример 9. Найти частные производные второго порядка и полный диф-
дифференциал второго порядка для функции
. х
г = arc tg — .
У
Решение. Мы уже вычислили (см. пример 3)
Г У
' У *2+ у2 "
Отсюда получаем:
/ У Y 2*-^
^ (Г' ^ ^ U2+y2L = ~ (л:2 + у2J f
x2 v2
, y) = /,. dx2 + 2/Л4, dx dy j,
— 2xydx2 + 2 (x2 — y2) dxdy + 2 xy
Мы видим, что если # =^ 0, у Ф 0, то/_ = fyxy т. е. что смешанная производ-
производная не зависит от порядка дифференцирования по х и по у. Следующий пример по-
показывает, что это не всегда имеет место.
Пример 10. Найти смешанные частные производные функции
х2 arc tg — — у2 arctg — , если х Ф 0 и у Ф 0,
Х У
0 , если х =0 или у = 0.
Решение. Если х ф 0, у Ф 0, то
2л:2 л;2—у2
х2+у
.2 '
2^2 л:2—у2
:2+y2~x2+j>2
V) У' -.2 | -.2 Y2_l i»2 '
Таким образом, если х ф 0 и у Ф 0, то f'x'y (x\ у) = fyX (x\ у). Пусть теперь х =
= 0, у ^ 0. Так как / @; у) = 0, то
V X X
х2 arctg — — v2 arctg — arctg —
, xv V у
f @; у) = lim — = lim xarc tg — — у2 lim ~ .
x-*Q X x-*Q X x^0 X

Так как
то
arc tg ¦
< — при х -> 0 и arc tg — ~ —
->* j =— у.
Точно так же получаем, что fy (х\ 0) = х и f'x @; 0) = fy @; 0)= 0. Но тогда имеем.
0; 0) = lim
х - 0
Таким образом, /^ @; 0) ф f'y'x @; 0). Дело в том, что частные производные
f'xy(x'>y) и fyX (r» У) Разрывны в точке О @; 0).
Пример 11. Найти частные производные второго порядка функции
2
Решение. Мы имеем:
d (x2+ у2) 2х dx + 2y dy
~~ х2+у2
d Tin (х* + у2)]
При повторном дифференцировании надо иметь в виду, что dx и dy — постоян-
постоянные величины, так как они являются дифференциалами независимых переменных
х и у. Поэтому d2x = d2y — 0. Отсюда имеем:
[2х dx + 2у dyl (*2+ у2) d Bxdx+ 2ydy)-Bxdx+ 2ydyf
d2[\n(x2+y2)] = d\ 2 , 2 j =
— Bx dx+ 2y dyJ
(x2 + y2J
— л:2) д?л:2 — 8л:у rfx dy + 2 (л:2 — у2) dy2
( + у)
Так как лB / = /^ dx2 + 2/^ с/х Jy + fyt dy2, то
/*2
/jc* (л:2 + у2J '
(x +У )
При вычислении дифференциалов высшего порядка функций двух перемен-
переменных бывает полезна символическая формула
д \п
(см. Фихтенгольц, I, п. 148).
Ш5

Пример 12. Показать, что функция и = 1/ ху + JL удовлетворяет
соотношению
Решение. Преобразуем левую часть, вычислив предварительно частные
производные:
ди У+7у2 + 1
ду
Подставляя полученные значения в соотношение (**), имеем:
+ У
Пример 13. Найти для функции z = 5л:2 — яу + Зу2 + 5л: + 2у — 1,
полное приращение и полный дифференциал в точке A; 2) при Ал: = 0,1 и Ау =
= 0,2. Оценить абсолютную и относительную погрешности, допускаемые при за-
замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение:
Az = 5 (л: + А л:J - (л: + Ах) (у + Ау) + 3 (у + АуJ + 5 (л: + Ал:) +
+ 2 (у +- Ау) — 1 — 5jc2 + л:у — Зу2 — 5л: — 2у + 1 = 10* Ал: + 5 Ал:2—
— л:Ау — уАл: — Ал: Ау + буАу + ЗАу2 + 5Ал: + 2Ау,
dz = — dx + — dy =s (Юл: — у + 5) dx + Fу — х + 2) dy.
Подставляя в выражение для Az и dz значения л: = 1, у == 2, Ал: = dx == 0,1,
Ay = dy = 0,2, получим:
Az= 10 . 1 . 0,1 + 5 • 0,12 — 1 . 0,2 —2 • 0,1 — 0,1 • 0,2 + 6 • 2 . 0,2 +
+ 3 • 0,22 + 5 • 0,1 + 2 . 0,2 = 4,05,
dz = A0 . 0,1 — 2 + 5) • 0,1 + F . 2 + 1) • 0,2 = 3.
Абсолютная погрешность | Az — dz \ = 4,05 — 3 = 1,05.
г — dz
Относительная погрешность
Пример 14. Найти производную
(9 . 1]
функции z = In (л: + у) в точке
n
по направлению 1, образующему угол— с положительным направ-
направлением оси абсцисс.
100

Решение. Воспользуемся формулой производной по направлению
дг
—~ = fx (xo> У о) cos a + fu (Ч\ Уо) C<)SP»
а/ у
где cos а и cos {3—направляющие косинусы направления /.
1) По условию а = р = — , и потому cos а = cosP = i_- .
(9 9
1__ , 1_
Они оказались равными в любой точке (я; у). В частности,
1 4
' 2} 9 9 27
Подставляя в формулу производной по направлению найденные значения частных
производных и направляющих косинусов, получим:
, _i
" 27
df 27 "У1 27 2 27
197.5. Прогиб а колеблющейся прямоугольной пластинки в
точке М (х\ у) в момент времени t является функцией от коорди-
координат х, у точки М и от /, и = и (х\ у; /)• Указать физический и гео-
геометрический смысл частных производных
ди ди ди
7х* ду' ft*
198.5. Температура Т точки остывающего стержня является
функцией от двух переменных — расстояния точки х от начала
стержня и момента времени /. Указать физический смысл частных
дТ дТ
производных — и — .
дх dt
199.5. Температура Т воздуха в некоторой точке земной по-
поверхности является функцией от трех переменных: долготы точки л,
ее широты 0 и момента времени /. Указать физический смысл част-
дт зт дТ
ных производных —, —, —.
200.5. Длина стороны а треугольника выражается через про-
противолежащий угол А и длины двух других сторон Ь, с по формуле
а = У Ь2 + с2 — 2 be cos A.
Какой смысл имеют частные производные — -~, ~, ?
db дс о А
107

201.5. Площадь треугольника выражается через длину стороны
а и величины прилегающих к ней углов В, С по формуле:
о a2 sin В sin С
~~ 2 sin (В + С) '
Какой смысл имеют частные производные —,—,—?
^ да' дВ* дС
Найти все частные производные и полные дифференциалы
первого и второго порядков от заданных ниже функций:
202.5. z = х2у — ху2 + 3.
203.5. z = ху — -? .
х
204.5. z - (х2 + у2K.
205.6. z = (sin x)cos у.
206.5. z — х — 3 sin у,
207.5. 2 = In (x2 + у).
208.5. z = In 1/а-2+У2.
213.5.2 =
х у
214.5. л: = рсо5ф.
215.5. у= h / sin a.
а
216.5. г = агс
217.5. z =
210.5. г-
211.5. г= lntg^-
218.5. и = у^
219.5. u=)/*2 + у2
220.5. и = arc sin —
221.5. и =-хУг .
222.5. f(x; у) = в
; 0).
223.5. f(x; у)-у
; 1).
224.5. f(x; у) = —
л; — у
225.5. Пусть
Вычислить определитель
Найти ^(l; 0),
Найти ^A; 1),
. Найти d2/B; 1).
Г х = г2 cos ф,
I у = г2 sin ф.
A; 0),
A; 1),
A; 0),
A; 1),
дх
дг
ду
дг
дх
<?Ф
а_у
дф
108

226.5. Пусть х = г cos a cos р, у = г cos а sin P, z = r sin а.
Вычислить определитель
дх дх дх
дг да <?р
ay ду ду
дг да ар
дг
дг дг
221.Ъ. Пусть pv =
аг аа с
'/? — постоянная). Доказать, что
d_p_dv дТ _____ .
dv дТ др~~
228.5. Пусть функции v (х\ у; z) и v{ (х\ у; г) таковы, что Av =
= Avi = 0, где
А ^2у , а2у , d2v
дх2 ду2 дг2'
Доказать, что функция и (х; у; г) = у (л:; у; г) + (х2 + у2 +•
+ г2) у4 (х\ у; г) удовлетворяет уравнению
А (Аи) = 0.
229.5. Показать, что функция г = |/|л:у| непрерывна в точ-
точке О @; 0), имеет в этой точке обе частные производные fx @; 0),
f'y @; 0), однако не является дифференцируемой в точке О @; 0).
230.5. Доказать то же самое для функции
ху , если х2 + у2 ф О,
О , если х = 0, у = 0.
; у) =
231.5. Пусть g (x; у)>—непрерывная функция, заданная на
окружности х2 + у2 == 1, и такая, что g @;1) = g A;0) -= О,
«(— *; —У) = — gfe У).
Положим
V*2 + y2g(|/-^_2 ,^|^) • если (Л''У)^(°'°)'
О , если (х; у) = @;0).
а) Показать, что для любых х и у функция h (t) = f (tx\ ty)
дифференцируема по /.
б) Показать, что если функция g (x\ у) не равна тождественно
нулю, то функция / (х; у) не дифференцируема в точке О @; 0).
232.5. Показать,что функция
109

при (х; у) ф @; 0),
при (х; у) = @; 0)
не дифференцируема в точке О @; 0).
233.5. Доказать, что если функция / (х\ ,у) удовлетворяет не-
неравенству |/ (а:; у) | <С хг + У2, то она дифференцируема в точке
О@; 0).
234.5. Построить пример дифференцируемой функции / (х; у),
для которой функция | / (х; у) | не дифференцируема на окружности
235.5. Найти значение — в точке М A;2), если
ду
f (*; У) = ххУ + (In х) • [arc tg4 (arc tg (sin xy))— In3 (x + y)].
236.5. Доказать, что если ~ = 0, то функция / (х; у) не
зависит от у [т. е. / (хи Уд = / \Хи Уг) для всех х{ и любых уь у2].
Доказать, что если ~ = ~ == 0, то функция / (х\ у) посто-
постоял; ду
янна.
237.5. Пусть А — множество точек плоскости (х; у), для кото-
которых либо х < 0, либо х > 0 и у ^= 0 (т. е. плоскость с выброшен-
выброшенным положительным лучом оси абсцисс).
а) Доказать, что если функция / (х\ у) определена на множест-
множестве Л и — = — =3 0, то / (х\ у) постоянная.
дх ду
б) Построить такую функцию f(x; у) на множестве Л, что ~ =~
= 0, но / (а:; у) не является независимой от у.
238.5. Показать, что функция
1{х + уJsin l , если х2 -{-у2 ф 0,
0 , если х = у = 0,
обладает в окрестности точки О@; 0) частными производными,
которые разрывны в точке О @; 0). Тем не менее эта функция диф-
дифференцируема при х = 0, у = 0.
239.5. Доказать то же самое для функции
(х2 + у2) sin —— , если л-2 + у2 Ф 0,
0 , если л: = у = 0.
Показать, что частные производные этой функции не ограничены
в любой окрестности точки О @; 0).
НО

240.5. Доказать, что функция
;, если л*6 + У2 ^ 0,
О , если х = у = О,
разрывна при х = у = О, но имеет частные производные в точке
О @; 0).
241.5. Проверить, что для функции
ху{?~у22) , еслил* + у**0,
0 , если х = у = 0,
имеем/^ @; 0) =7^/^@; 0).
242.5. Доказать, что если М (а\ Ь) — изолированная точка
разрыва для f'x'y (x\ у), то
/
243.5. Вычислить в точке О @; 0; 0) смешанные частные производ-
производные второго порядка функции
f(x; у; z) = (x + z^arc tg y~z - (у - zf arc
у —г
244.5. Доказать, что функция г = хуух удовлетворяет соотно-
соотношению
245.5. Доказать, что функция и = ?—-?- + —— удовлетворяет
г — t у — z
соотношению
ди ,ди , ди ,ды __ ^
ол: оу дг ot
246.5. Доказать, что функция и = In (е* + е^ + ^г) удовлет-
удовлетворяет соотношению
^f 4- ^м _L ^м — 1
дх ду дг
247.5. Доказать, что функция z = / (г, у) (л:2 — у2), где / —
произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет соот-
соотношению
ш

248.5. Доказать, что сумма произведений частных производ-
производных однородной функции k-n степени однородности (см. конец па-
параграфа второго этой главы) на соответствующие переменные рав-
равна произведению самой функции на степень однородности, т. е.
х Гх (*; У; г) + уГу(х; у; г) + г// (*; у; г) - kf(x; у; г)
(формула Эйлера). Проверить это утверждение для функции:
б) / (х; у; г) = х*у + у*г + хуг;
249.5. Найти скорости изменений функции z = х3 + у2 в точке
A,1) в зависимости от изменения каждой из переменных х и у.
250.5. В треугольнике измерена сторона с = 25,6 см ± 0,2 см
и прилегающие к ней углы а - 42°62' ± V и р = 38°12' ± 2'.
Найти остальные стороны треугольника, угол у и площадь тре-
треугольника и оценить погрешность найденных величин.
251.5. В треугольнике измерены стороны а = 31,4 см ± 0,15 см,
b -- 26,2 см ± 0,1 еж, с = 42,3 еж ± 0,3 см. Найти углы и пло-
площадь треугольника и оценить погрешность найденных величин.
252.5. Объем усеченного конуса V = —- nh (R2 + г2 + Rr)
о
(h — высота, R и г — радиусы оснований) меняется в зависимости
о г изменения одного из радиусов, например R. Определить приб-
приближенно изменение при этом объема: а) в общем виде; б) при R =
== 10 см, г = 4 см, h = 5 см, AR = 0,1 см.
253.5. Показать, что при вычислении периода Т колебания
маятника по формуле Т = я 1/— (/ — длина маятника, g — ус-
f 8
корение силы тяжести) относительная погрешность не превосхо-
превосходит полусуммы относительных погрешностей, допущенных при
определении величин / и g (все погрешности предполагаются до-
достаточно малыми).
254.5. При измерении радиуса основания г и высоты h цилинд-
цилиндра были получены следующие результаты:
г = 3 м ± 0,1 м,
й=5 м ± 0,2 м.
С какой абсолютной и относительной погрешностью может быть
вычислен объем цилиндра?
255.5. Центральный угол сектора а = 60° увеличился на Да =
= 1°. На сколько следует уменьшить первоначальный радиус
сектора R = 20 см, чтобы площадь сектора не изменилась?
112

256.5. Заменяя приращение функции дифференциалом» при-
приближенно вычислить:
а) |/,982+ Г,012; б) sin 59° tg 46°;
в) 0,971'05; г) 2,0032 • 3,9983 • 1,0022.
257.5. Найти производную функции
z = З*4 — ху + у3
в точке A; 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол а —
-60°.
258.3. Показать, что производные по любому направлению
функции
z = х3 + З*2 + 4ху + у2
/2 4\
в точке —; равны нулю.
259.5. Найти точки, в которых производные функции
г = х2 — 2ху + у2
по любому направлению равны нулю.
260.5. Найти производную функции
г = х2у — 2у2 + 1
в точке C;2) в направлении, идущем от этой точки к началу коор-
координат. Возрастает или убывает функция в этом направлении?
261.5. Найти производную функции
z = arc tg xy
в точке A;1) в направлении биссектрисы первого координатного
угла.
§ 6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Продифференцировать суперпозицию функций
и = x2y3z, где х = /, у = /2, г = sin /.
Решение. Так как а является функцией одной независимой переменной
du
tf то речь идет о вычислении обыкновенной производной —- . Выполняя дейст-
действия в соответствии с формулой
du du dx du dy du dz_
dt ^дх dt + ду dt dz dt '
получим:
~ = 2 xfz • 1 + 3*2y2z • 2( + ху cos t.
dt

Остается вместо х, у и г подставить их выражения через t:
du
— = 2t • /б sin / + З/2/4 sin t • 2/ + ДО cos / = f (8 sin / +1 cos 0-
d/
Подобные примеры можно решать и другим способом, основанным на инвариант-
инвариантности формы первого дифференциала.
1) Найдем полный дифференциал du no промежуточным переменным х, у
и г:
du = ~dx+~dy-\-~ dz = 2xydz dx + Ъх2уЧ dy + x2y3 dz.
ox oy dz
2) Найдем дифференциалы dx, dy и dz по независимой переменной:
d* = dt, dy = 2/ dt, dz = cos / dt.
3) Подставляя эти дифференциалы в выражение для du, получим:
du = 2*у3 z dt + Zx2y2z 2/ dt + х2у* cost di= B/7 sin / + Ы1 sin / +
+ t8 cos i)dt=P (8 slnt + t cos /) dt.
Отсюда следует, что производная равна
du
-- = f(8 sin t + t cos f).
dt
Пример 2. Найти частные производные и полный дифференциал сложной
функции, заданной в виде:
г = х* - у2,
где х = и cos t;, у = и sin у.
Решение. Мы имеем:
dz dz дх dz dy
¦— = -— —- + •— -г- = 2л: cos v — 2у sin v = 2а cos2 и — 2u sin2 v =2u cos 2i>,
^w dx du dy du
dz dz dx dz dy
— = -J- =—. 2x a sin и — 2y и cos v =
dv dx dv dy dv
=— 2u2 sin v cos v — 2w2sin v cos v =— 2w2 sin 2u.
Полный дифференциал представится в виде:
dz = -r du + — dv = 2u cos 2u dw — 2«2 sin 2i> dy = 2a (cos 2v du — и sin 2i> du).
Можно решать эту задачу, начиная с вычисления полного дифференциала.
Так как
dz = 2х dx — 2у dy,
dx = cos v du — и sin v dv,
dy = sin v du + и cos у dy,
то
dz = 2 и cos у (cos у du — «sin v dv) — 2u sin у (sin у da + и cos у dy) =»
= 2u (cos2 у — sin2 y) du — 2u2 (cos у sin у + sin у cos y) dy = 2a cos 2у da —
— 2a2 sin 2у dv.
Отсюда следует, что
•^ = 2a cos 2y, -^ =— 2a2 sin 2y.
du dv
114

Разобранные выше примеры можно было бы решить и не прибегая к формуле диф-
дифференцирования суперпозиции функций. Однако если в выражение функции вхо-
входит произвольная функция, т. е. если функция задана в виде
и т. д., то для нахождения ее частных производных уже требуется эта формула
(при этом, разумеется, в ответ входят частные производные произвольных
функций).
Пример 3. Найти частные производные и полный дифференциал функции
г=/(л:2у; хУ).
Решение. Данную функцию можно представить в виде: г = f (и; v\, где
и = х2у, v = хУ. Таким образом, г является функцией двух переменных и и vt
аи к v являются функциями от двух переменных хну. Для нахождения частных
дг дг
производных — иг воспользуемся формулами:
дх ду
дг дг ди дг dv дг Л дг
— = — — 4- — — = — • 2jcv -4- — v • хУ~*
дх ди dx^dv дх ди } ^dvy
* = ??? *f . * * =д1 Х2 + ^.ху lnXt
ду ди ду dv ду ди до
Полный дифференциал функции представится в виде:
d* == ~ Же + ^ dy == ~ Bxy dx + x2dy) + Ц(ухУ'1 dx + хУ Inxdy).
дх ду ди dv
Пример 4. Продифференцировать функцию и = / (г), где г — ф (х\ у).
Решение. Здесь одна промежуточная переменная z, но и является функ-
функцией двух переменных х и у. Имеем:
d
Отсюда
Прим
du
е р 5.
dufdz
Z==dz\dx
ди du
dx = Tz '
Преобразовать
дг
дг
дх*
\ du
ди du
ду dz
выражение
дг
— dx -
дх
дг
' ду*
du дг
dz ду
дх) ' \ду!
к полярным координатам.
Решение. Имеем некоторую функцию г = f (х\ у). При переходе к поляр-
полярным координатам по формуле х = р cos 9, у = р sin 9 придем *к функции г =
= /(pcos9, p sin 9) = F (p, G). Мы имеем:
дг дг дх дг ду дг дг
— = — . — + — . — = — cos 9 + — sin 9,
dp дх dp ду dp дх dy
dz дг дх дг ду дг Л дг
ди дх
дг dz
дх ду
115

Задача сводится к выражению частных производных г по х и у через частные про-
производные г по р и 9. Для этого нужно решить систему уравнений
дг дг . дг
COS G + Sin 9 ass —,
дх ду ф
дг . а . дг I дг
— — sin 6 + — cos 6 = ~
дх ду р dv
дг дг D
относительно — и — • В данном случае, как легко видеть, можно сра-
дх ду
(дг \а . /dz\» _
зу получить — I + [ — I . Достаточно уравнения системы возвести в квадрат
\дх I \ду]
и сложить почленно. Получим:
(дг \2
ft
Пример 6. Найти частные производные и полные дифференциалы перво-
первого и второго порядков функции
г = ф (и, v), где и = х2 + у2у v = ху.
Решение. Решим эту задачу двумя способами.
Первый способ решения.
1) Найдем частные производные и полный дифференциал первого порядка.
Мы имеем:
дг дг ди дг dv дг дг
дг дг ди дг
ду ди ду dv
до
_____
ду
дг
_ _____
ди
Тогда
~
~
дг
. I ____ у
до '
^ (ydx + xdy),
2) Найдем частные производные и полный дифференциал второго порядка.
д2г дг дг дг
Для получения — нужно дифференцировать по х выражение — = — 2х +т~ у.
дх2 дх ди до
дг дг
При этом нужно иметь в виду, что — и ~- также зависят от х через посредство и
ди dv
и их снова нужно дифференцировать по х как суперпозиции функции
- дх [дх
дх2
+ 2'
~ дх [ди * + dv У) ~~ дх \ди) *
4
ди ^ дх
у+ 0
D/ У^ до
дг I д2г
ди \dvdu
ди2
д2г
\
' '
)
^-^ v
дидо У)
Так как смешанные производные равны между собой, то
д2г дЧ д*г д2г пдг
116

Аналогично
ay2 dy [dyj dy [du '2y + dvXJ 2y dy \du) +
11 . % __ f2v\ I у —— I r. § I ___ ___ /y\ ,, o^i / ____» o<t t n ______ у \ 11
.2у+ + 0 = 4/
\доди У^№ J^да у ди*
Смешанная производная имеет вид:
а2г а /аг\ а /аг а2 \ а /а«\ аг а
= [)=Гу[Уи2Х + to У) =2Х Fy[F) + '
аг
—0-
т. e.
дЧ_ аг
a^2 a^
Полный дифференциал представится в виде:
. г,
Второй способ решения. Будем непосредственно вычислять
полные дифференциалы Первого и второго порядков. Пользуясь свойством инва-
инвариантности формы первого дифференциала, можем записать:
dz = ~ du + ~ dv = J- . 2(лгЛс +^у) + J(ydx + Jed». (***)
Ш OX) OU ОХ)
Получили выражение, совпадающее с (*). Найдем дифференциал второго по-
порядка:
<Рг = d(dz) = d Г— • 2 (х dx + у dy) + / (у dx + х dy)\ =
[ди dv J
-?+ 2-p d(xdx+ydy) +
du ou
dz dz
(y dx + xdy)d — + T" d(ydx + x dy) =
ay ay

(при нахождении d — и d — пользуемся результатом (***), где вместо г будет
du ov
дг дг\
стоять — и —
ди dvf
[д2г д2г
— . 2(хdx + у dy) +-— (у dx +
оий ouov
М дг Г д2г
+ Xdy^ + 2-{dX* + dy*) + (ydx + xdy)[—-2{xdx +
+У dy) +-jr.(ydx + xdy)] + j- 2dx dy.
Таким образом,
д2г
^ -4(ATdx +ydy)* + 4
+ Jf (У dx + * dy? + f • 2 (dt»+dy») + J • 2dx dy.
СУ OU OU
Группируя выражения, стоящие при dx2, dxdy и ofy2, получим:
Правильность решения подтверждается совпадением с (**). Выражения, стоящие
в скобках, являются, очевидно, частными производными
дЧ dh_ дЧ
дх2' дхду И ду2'
Пример 7. Доказать, что функция г = у • ф (х2 — у2) удовлетворяет
соотношению
1 ^ 1 ??_!
a; 5jc у ду у3
Решение. Найдем частные производные
Подставляя их в левую часть соотношения, получим:
У У У
262.5. г = л;2 + л:у + у2, где х = sin /, у = cos /. Найти —
и й
118

263.5. г = cos {2t + 4л;2 — у), где х = - , У = —. Найти
t \nt
* *dz.
dt
264.5. г = x2y — jo/2, где x = p cos го, у = p sin ф. Найти ~ ,
dp
& и Л.
265.5. г = ^ In (х + у), где х = *3, у = 1 — /3. Найти ~
и я!г.
266.5. г = arctg^ti, Где у = tfd +*>\ Найти - и Л.
у dx
267.5. а = у2 + /хгН —, где х = / + с/, у = -, г = / . v.
cos г v
Найти ^, ^ и rftt.
268.5. Найти выражения для частных производных следующих
функций:
а) /Ч*; У)=] g(t)dt;
a
У
б) F (х; у) = j g (t) dt\
X
ху
в) F (x; у) = J g (t) dt\
r) F (x; y) - / [g (x) к (у); g W + * (У) 1;
е) Z7 (x; y; z) = / (x*; уг; гх);
ж) F (x; у) - / [x; g (x); / (x; y) ].
269.5. Найти полные дифференциалы функций, пользуясь свой-
свойством инвариантности их формы:
а) z = ху arctg ху, где х == /2 + 1, у = /3;
б) г = х* + у*, где х = и2 + v\ у == w2 — у2;
в) г = л: sin у + у cos *, где х = ~, у = а
с
г) а = / (х2у324), где х == arc sin —f у = yv2 — и2, г =
с;
^=1пс;;
Д) а - / (х + у + 2; х2 + у2 + 22);
е) z = / (х; у), где х = и sin о, у = и2.
270.5. 2 = / Bх2 — Зу). Найти частные производные первого
и второго порядков.
271.5. Вычислить — + —f если и = 1п]/х2 + У2.
дх% ду%
119

272.5. и = / (In г), где г = л:2 + у2. Найти
273.5. и = ф (а; р; у), где а = ал:, Р — йу и у = сг (а, 6 и с —
постоянные). Найти da и d2u.
274.5. г = /(* + у; * — у).
Найти частные производные и полный дифференциал второго по-
порядка:
275.5. и = / (/), где / = л:2у3. Найти du и d2w.
276.5. и = /(/*2 + У2)- Найти da и d2u.
277.5. и =//-; ^). Найти du и d2*/.
278.5. г = хф /—V Найти йг и d2z.
279.5. а = / (ах + by + сг). Найти dnu.
280.5. м = / (ах\ by; сг). Найти dnu.
281.5. Доказать, что
+ ЦУ+^ = ambn fm+n (а
ал:^ ay1
где / = ах + by + с.
282.5. Доказать, что
d" (eax f (У)) = ^а^ If (У) dy + a dx\\ (*)
где в правой части после раскрытия скобок надо заменить/* (g)
на f<k> (у) [в частности, /° (у) на / (уI.
283.5. Пользуясь равенством (*) из § 5, вычислить
dn (eax cos by).
284.5. Доказать, если z = f lx + ф (у) J, то
дг д*г дг д2г
дх дхду ду дх2 *
285.5. Вычислить а-" + - + -,
дх2 ду2 дг*
где и = / (г), а г - ]/л:2 + у2 + z2.
286.5. Доказать, что функция z ~ xf (уг — х2) удовлетворяет
соотношению
0 дг . 5г
х2 Ь л:у — = уг.
287.5. Доказать, что функция а = / (х — ау) + <р (х + ау) удов-
удовлетворяет соотношению
&и __± дЧ
дх2 ~ а2 ду2'
288.5. Доказать, что функция г = #ф(~) +уф(-^-) удовлетво-
\ X J \ X j
ряет соотношению
дх2 * дхду у ау2
120

289.5. Доказать, что функция z = arc tg —, где и = х + у,
v = х — у удовлетворяет соотношению
а7 ay ~"
290.5. Преобразовать к полярным координатам уравнение
dy ^х + У
dx х —у
291.5. Преобразовать уравнение
ду2 ду х
к новым переменным u=~uv = x — у.
292.5. Преобразовать к полярным координатам выражение
дх2 ду2'
293.5. Доказать, что функция
г
где г = Y(x — аJ + (У — ЬJ + (г — сJ при г Ф 0, удовлетворяет
уравнению Лапласа
294.5. Доказать, что если функция и = / (х; у; г) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 293.5), то функция
1 (Ь^х /s2v k2z\
где h — постоянная и r =j/x2 + у2 + г2, также удовлетворяет
этому уравнению.
295.5. Доказать, что если г = хп<р(—) + У~Л/ф(—) , то
Х2±? + 2ху — + у2— + ^ - +У~ = «22.
296.5. Доказать, что если х = / (и\ v), у = q> (u; у), причем
а/ а<р а/ аф
а« dv dv ди
a 2 = F(A-;y), то
у [\
ди} [ J \
1-21

Глава 2.
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Из уравнения (х2 + y2Jj= 2а2 (х2 — у2) явно выразить у
через х. Сколько функций на отрезке [0; a У 2] определяет это уравнение? Сколь-
Сколько непрерывных функций определяется этим уравнением?
Решение. Положим у2 = г. Мы получим квадратное уравнение (х2 +
+ гJ = 2а2х2 — 2a2z, или
г2 + 2(х2 + а2)г + х* - 2а2х2 = 0.
Отсюда получаем:
у2 = z = — х2 — а2 ± У(х2 + а2J — jc4 + 2аЧ2 =
= — х2 — а2 ± а У а2 + 4л;2.
Так как у2 > 0, то перед корнем выбираем знак «плюс». Мы имеем:
у = ± }/— х2 — а2 + а У а2 + 4х2. ("»)
Подкоренное выражение не отрицательно, если я2 < 2а2.
Равенство (*) определяет бесконечно много различных функций на отрезке
@; а У2). Например, можно положить
f V — jc2— a2 + а Уа2 + 4л:2, если 0 < х < а,
1 — V— х2 — а2 + а Уа2 + 4х2, если а < х < а У%
или
__ | У— л:2 — а2+а V а2 -\- 4х2, если л: рационально,
1 — у— х2 — а2 + а \ а2 + 4х2 , если а: иррационально,
и т. д.
Однако если наложить добавочное требование непрерывности, то получим
две различные функции на отрезке [0; а /2]:
ух = У — х2 — а2 + а У а2 + 4а;2 и у2 = — V — х2 — а2 + а У а2 + 4л;2.
Пример 2. Сколько непрерывных функций определяет уравнение (л;2+у2J=
= 2а2 (х2 — у2) на отрезке [— а У% а У2]}
Решение. Мы видели в примере 1, что
у = ± У— х2 — а2+а У а2 +1?.
Отсюда получаем 4 непрерывные функции на отрезке [—а У% аУ2\\
ух = V— л;2 —а2+аУа2 + 4x2t
у2= —V— jc2 — а2 + а У а2 + 4х\
^ ] У — х2 — а2 + аУа2-{- 4х2 ,если — a y2 < x < О,
I — V— x2 — a2 +a У а2 + 4х2, если 0 < л; < а /5",
y = } — У— л;2 — а^+д/а2 + 4x2, если — а уТ< ^ < О,
[ ]/— а:2 _ а2 ^_ а уа2 _|_ 4л:2 § если О < х < а |/^
Проверьте, что эти функции непрерывны в точке х = 0.
122

Пример 3. Определяет ли уравнение
у2 _ 2*3у + ХЬ _ *4 -|_ Х2 -a Q (*)
у как однозначную непрерывную функцию от л: в окрестности точки М @; 0), ле-
лежащей на кривой (*).
Решение. Мы имеем Fy=2y — 2л;3.
Так как F'y @; 0) = 0, то не выполняются условия теоремы существования
и непрерывности неявной функции. Проверка показывает, что действительно в ок"
рестности точки М @; 0) уравнение (*) не определяет у как функцию от х. Именно,
решая уравнение (*), получаем: у = х3 ± х Ух2 — 1. Эти функции определены
при | х | > 1 и при х = 0. Таким образом, в окрестности точки М @; 0) нет дру-
других точек кривой (*), кроме самой точки М. Как говорят, М @; 0) — изолирован-
изолированная точка кривой (*).
Пример 4. Исследовать, определяет ли уравнение
уех — л; In у— 1 = 0 (**)
непрерывную функцию у = ф (я) в окрестности точки х = 0.
Выяснить, имеет ли эта функция производную, и если имеет, вычислить ее.
Решение. Положим в уравнении (**) х = 0. Мы получим у = 1. Прове-
рим, выполняются ли для функции F (х\ у) = уе*— a: In у — 1 в окрестности точ-
точки @; 1) условия теоремы о существовании и непрерывности неявной функции
(см., например, Фихтенгольц, II, п. 315).
1) Функция уех— х\пу — 1 существует в полуплоскости у > 0. Ее частные
/ t X
производные Fx = уех — In у и Fy=ex — — в этой области существуют и не-
непрерывны.
2) F @; 1) = в° - - = 1 ф 0.
У
Следовательно, на основании теоремы можно утверждать, что в некоторой окрест-
окрестности точки @; 1) уравнение (**) определяет непрерывную неявную функцию у =*
= у (а:), имеющую непрерывную производную у' (а:). При этом
1 у ех — —
У
Как видим, в выражении производной неявно заданной функций может содержать-
содержаться вместе с аргументом х и сама функция у.
Из-за этого формула, определяющая у', может быть записана в разных видах.
уех — 1
Например, из уравнения (**) получаем, что In у = . Подставляя это
выражение в формулу (*%), получаем другое выражение для у':
у = —,
уех — х
Разумеется, если х и у удовлетворяют уравнению (**), оба выражения имеют од-
одно и то же значение.
Производную у'{х) можно найти, не пользуясь готовой формулой yf =a
F'
с= — —f_ . Будем считать уравнение
F'y
уех— х\п у — 1 = 0
тождеством, где у — функция от х, уже подставленная в это уравнение, ах-*
123

аргумент. Тогда левая часть будет сложной функцией одной переменной х. Диф-
Дифференцируя по х, получим:
у'е*+ у (ехУх - In у • х' - х (In у)'х = О,
т. е.
у'еМ- угх — In у — х • — уг = 0.
Решая это уравнение относительно у' , найдем:
In у — уех
У ='
пХ __
У
Пример 5. Найти первую и вторую производные неявной функции у (х),
заданной уравнением xev + угх = 2, и найти их значения при х = 0.
Решение. Продифференцируем данное равенство два раза по х, рассмат-
рассматривая его как тождество относительно х (у —функция от х):
а) еУ + хеУ у' + у'гх + уех = 0;
б) еУу+ еУу'+ хгУу'у'+ хеУу"+ у" ^ + у'ех+ у 'ех+ уех = 0.
Получим из (а):
у хеУ + ех ' w
Из (б):
Если в (**) вместо ^' подставить его выражение (*), то получим выражение у"
только через хну, как и при первом способе решения.
Чтобы найти значения у' @) и Х'@), поступим следующим образом:
1) Подставим в данное уравнение значение х = 0 и найдем соответствующее
значение у:
0 . еУ + уе° = 2, j> @) = 2.
2) Подставляя л:=0иу = 2в (*), найдем искомое значение у' @):
3) Подставляя х = 0, j/ = 2 в у' = — е2 — 2 в (**), найдем искомое значение
Г @):
у"@) = — [2е2 (— е2 — 2) +2 (—е2 — 2) + 2] = 2е* + бе2 + 4.
Пример 6. Написать уравнение касательной и нормали к параболе
V~y+V7=V^ (a>0)
в точке М ( —; —).
И 4/ _____
Решение. Полагая F (х\ у) = "|/^лг + |/у — "l^a, найдем Fx и Z7'^
в данной точке:
L
У~ 2VJ' у U ' 4
124

Уравнение касательной к кривой F (х\ у) = 0, проведенной в точке
М (х91 Уо)> шеет ВИД:
F'x Uo5 Уо) (х — лг0) + F'y (хо;уо) (у -у0) = 0.
Подставляя в это уравнение найденные значения Fx и^, а также координа-
координаты точки М, получаем уравнение касательной:
Уравнение нормали имеет вид:
F'y (хо\ Уо) (х — х0) — F'x (х0; уо) (у — у0) = 0.
В нашем случае получаем:
а
Пример 7. Написать явное выражение функции z (x; у), заданной неявно
соотношением
Решение. Из уравнения (*) находим:
xz2 + 2yz = In (x2 + у2).
Решая это квадратное уравнение, получаем:
Мы получили две ветви функции z (x\ у), непрерывные в окрестности любой точ-
точки М (х; у), где определена функция z:
-У~ /У2 + х In (х2 + у2)
г2= - .
Пример 8. Найти частные производные неявной функции, заданной урав-
уравнением
х2у — у22 + zx = 0. (*)
Решение. 1) Неявное задание функции легко преобразуется к явному
х1у
и вопрос о существовании и дифференцируем ости данной функции становится
ясным без проверки условий теоремы существования. Ее частные производные
могут быть вычислены по обычному правилу дифференцирования дроби:
— (У2 — х) - 2ху — х1у (—1) ху Bуа — х)
дх "" (у2 — *J ~~ (у2 —л:J '
dz (у2 — х) х2 — х2у • 2у __ х2(х-\-у2)
ду - (у*-хJ ~-"~ (у2-хJ '
125

2) Частные производные -— и — можно найти и по формулам дифферен-
дифференцирования неявной функции:
дг ?х 2ху +г 2дгу + г
дх f — У2 + х у2 — х *
дг__ ]ji___ х2 — 2уг х2 — 2уг
ду f — у2 + х у2 — х
3) Можно, наконец, найти частные производные непосредственным диффе-
дифференцированием уравнения (*) по х и по у.
Дифференцируя по х, считаем у постоянной, а г функцией от х и у:
Отсюда
дг 2ху+г
дх у2 — х
При дифференцировании по у считаем х постоянной:
*_2yt_y.fL+ * a
ду ду
Отсюда
дг х* — 2уг
ду — уа — д:
#2у
Ответы в решениях 2) и 3) совпадают. Если в них подставить значение г = —,
уа — х
то получим совпадение и с решением 1) (предлагаем убедиться в этом самим).
П р и м е р 9. Найти частные производные первого и второго порядка
неявной функции г (х\ у), заданной уравнением:
гЧ — х2у + у2г + 2х — у = 0 {*)
в точке @; 1).
Решение. 1) Находим значение функции г в точке @; 1):
2.0—0.1 + 1-2 —2.0 —1 = 0, z=l.
б) Будем дифференцировать по х и по у равенство (*), рассматривая его-
как тождество (т. е. понимая под г неявную функцию двух переменных, опреде-
определенную этим уравнением).
Дифференцируем равенство (*) по х:
г2 + 2г . гх • х — 2ху + у3 . гх + 2 = 0. @
Теперь дифференцируем равенство A) по х:
2г . гх + 2 . гх- х + 2г • гх% х + 2г • гх — 2у + у2 г^в= 0. B)
Дифференцируем равенство (*) по у:
2гх- гу-х* + 2уг + у* . ^-1 = 0. C)
Дифференцируем равенство C) по у:
2jc^ + 2гхгу% + 2z + 2yzy + 2уг^ + у2^е= 0. D)
126

Дифференцируем равенство A) по у:
2г . гу + 2zy г'х >x+2z -zxyx - 2х + 2уг + у*гху = 0. E)
3) Подставляя в A) значения я = 0, у= г— 1, получим:
1 + 2-1 . г'х- 0 — 2 • 0 - j; Ч- 1 • гх + 2 = 0, откуда z^ = — 3.
2 . (-3) + 2 . 9 . 0 + 2 • 42 • 0 + 2 (-3) - 2 4- 4а?, = 0, *', = --.
Подставляя в B) значения х= 0, у = z— I, z^ = —3, получим:
Подставляя в C) значения х = 0, j/ = z = 1, найдем zy :
2-0. г; -0+2+ *;- 1 = 0, zy = -1.
Подставляя в D) значения х = 0, у =z=l г' == — 1, найдем ги%:
г ¦ 0 • 1+ 2 • О • г^ + 2 + 4 • (- 1) + zyi - 0, г^ = 2.
Наконец, подставляя в E) значения дс=О, у = г = 1, г'х = —3, г^, *= —1,
получим искомое значение смешанной производной
2 • (-1) + 2 • (-1) • (-3) • 0 + 2г"ху ¦ 0 - 2 . 0 + 2 (-3) + гяу == 0,
Пример 10. Найти полный дифференциал неявной функции z (x; у),
заданной уравнением г3 + Ъх2у + xz + y2z2 + у — 2х = 0.
Решение. Рассматривая это уравнение как тождество, берем полный диф-
дифференциал от левой и правой частей. Получим:
3z2dx +6*y dx + 3x2dy + zdx + *dz + 2y . z2dy + 2у2г rfz — 2dx+ dy =0,
или
Fjcy + 2 — 2) dx + (Зл;2 + 2yz2 + \)dy + (З22 + x + 2y2z) ciz = 0.
Решая полученное уравнение относительно dz, будем иметь:
^ 26хуг _ 3x + 2yz + l
2 2г2 + х + 2у2г Х Зг2+^ + 2/г У#
Дроби, стоящие при dx и <2у, являются частными производными соответствен-
dz dz
но — и — .
дх ду
Пример 11. Найти полные дифференциалы первого и второго порядка
неявной функции z (x\ у), заданной уравнением
х2 v2 г2
2 ^ 6 ^ 8
Решение. Находим сначала полный дифференциал первого порядка, дей-
действуя, как и в примере 10:
Отсюда
4х
127

Находим снова полный дифференциал от левой и правой частей, имея в виду,
это dx и dy — постоянные, a dz — полный дифференциал функции. Имеем:
zdx — х dz f 4 z dy — у dz
(Pz=_4 - d*__ _ dy>
ИЛИ
d2z=— 4[ — dx% — ~ dxdz+ — df —-^- dy dz) , (**)
\ Z Z <jZ <jZ У
Чтобы получить выражение d2z только через х, у, z, dx и dy, достаточно в
(**) подставить значение dz из (*). Предлагаем выполнить это самостоятельно.
Пример 12. Из соотношений
/ X + У + Z = О!,
I jc2 + _у2 + г2 = 6
выразить у и z как функции от х.
Решение. Из первого уравнения получаем z— а — х — у. Подставим
это выражение во второе уравнение:
х2 + У2 + (а — х — уJ = Ь,
т. е.
2у2 + 2.У (* — а) + х2 + (а — хJ — 6 = 0.
Решая получившееся квадратное уравнение, находим, что
Так как
пр
нении
2= а —
и м е р 13.
xt_a—x± V*
у
х — у, то
у_а-хт Vе!
Неявные функции
( г+ у
\ 3z2-
b — 2x2
2
b — 2jc2
2
у{х) и
3 Х2 -
2у + ^
— (а — л:J
— (а — jcJ
z (x) опре^
= —з,
:=0.
(*)
Найти /B), у" B), г' B) и z" B), если при х = 2 функции _у и z принимают
значения у = 1, z = 0г.
Решение. Вычислим дифференциалы первого и второго порядков от обеих
частей равенств (*):
/ dz + Зу2 dy — 2 xdx = 0, т
\ 3zdz — Ыу + dx = 0, и;
буф/2 + ЪуЧ2у — 2^2 = 0, п п
3d2 + 3d2 -^ 2d2y = 0. A!)
Подставляя в эти системы значения лг == 2, у == 1, z=0, найдем?
dz + Ыу — 4dx = 0, /T,v f d2z + 6dy2 + 3i2^ — 2dx2 = 0,
—2dy + dx = 0, ^ } \ 3ciz2 — 2cPy = 0.
1 5 1
Из (Г) получаем dy = — rfx, с(г = — dx. Следовательно, у' = —- , г' =
= — . Подставляя значения dy и rfz в AГ), получим:
1 Значения уB) и zB) можно получить, решая систему (*) при х = 2. Но
поскольку система имеет не одно решение, то для определенности одно из решений
задается в условии задачи.
128

&Ч + — dx2 + 3d*y — 2dx2 = О,
75
•jdjt2 — 2d2y =0,
или
1
= 2
75
ОС л (»
Отсюда d2y = 9--dxa, <Рг =— 27—dx2. Следовательно, у" =9—, г" =—27 —
8 8 8 8
Вместо вычисления дифференциалов мы могли дифференцировать обе части
равенств (*) по х, учитывая, что у и г — функции от х. (Это привело бы к тому же
результату.)
Пример 14. Неявные функции и (х\ у) и с; (х;у) определены системой урав-
уравнений:
!ху + и v = 1,
JC0 —JJM = 3.
Найти частные производные и полные дифференциалы первого и второго порядка,
если при х = 1 и у = —1 функции и и v принимают значения: и = 1, о = 2.
Решение. Дифференцируем данную систему дважды:
(у dx -\- х dy -{• и dv -{• v du = 0,
х dv -\- v dx — у du — и dy = 0,
Г 2 d* dy + 2 da dy + ud2v + vd2u = 0,
\ 2dx dv — 2du dv + xd2v — yd2 и = 0.
Подставляя в (I) значения х = 1, у = —1, a = 1 и у = 2, получим:
f —dx -\- dy -\- dv -\- 2du ==0, j du = 3d*; — 2d_y,
\ 2dx — dy + dv + da == 0, и \ do = — 5dx + 3dy.
(I)
(H)
du du
Следовательно, —=3, —=-
dx ay
-
dy
Подставляя в (II) значения х— 1, у = —l, и == 1, у = 2, а также получен-
полученные выражения для du и dv, будем иметь:
— 2dcdy — 2 (З^л; — 2dy) Cdy — 5dx),
u= 2dy Cdx — 2dy) — 2dx (Sdy — 5dx).
Отсюда
д2и
сРи = 4 Edx2 — y f y)
cpv = 10 (— dx2 + \dxdy — 2dy2).
a2 d2 a2
+ 4dy2),
/ — 2dv4
Следовательно, — = 20, ——
ox2 oxdy
— 20, —
ay2
16, — = — 10, —- = 20,
ox2 дхду
Пример 15. Доказать, что неявная функций z = z (x\ у), определяемая
(х у \
—; — 1 = 0,
dz dz
удовлетворяет уравнению х— 4* У — = г-
dx dy
I х у \
Решение. Левую часть F — ; — 1 можно представить в виде F (и; v),
х у
где и = — , v — —. Дифференцируя по х по правилу дифференцирования
129

сложной функции и имея в виду, что z — функция от х и у, получим:
•» у ' •- V г*)дх
Аналогично дифференцируя по у, имеем:
дг
г2
Отсюда
К • - 4W/C
dx-f'F'' ty-yV? ' f'J
1 &
Подставляя полученные выражения для частных производных в левую часть урав-
уравнения, получаем:
дг дг г2
297.5. Из следующих уравнений выразить у как функцию от х:
а) у4 — 4х2у2 + sin x = 0;
б) ех2+у2-х* -5 = 0;
в) sin (х2у + у2) + Зх = 1;
г) х2/ — Зу3 + бл^у2 — Зу + х2 = 0.
298.5. Из следующих систем уравнений выразить у и г как
функции от х:
а) ( y2 — yz + z2 = 6*;
уг = х4,
у + г +х(у2 + г2) =3х— 1.
299.5. Из следующих систем уравнений выразить и и v как
функции от л: и у:
а) (и + v= х,
t3 _jL уЗ = д. (й -|_ ^2^
г2 + у2 = u + г; + у.
300.5. Определяет ли уравнение F (х\ у) = 0 неявную функ-
функцию у = / (х) в окрестности точки Л1 (#0; Уо), если:
а) F(x; у) =х3 +у3 — 3аху, х0 = а >/Т, у0 = а/2\
б) F (л;; у) =х (х2 + у2) - а (х2 - у2), л*0 = у0 = 0.
301.5. Найти первые и вторые производные неявных функций:
а) хе2* — у In х — 8 = 0;
б) еУ + ах2 е~У — 2Ьх = 0;
в) 1
^ZZ arctg;
г) х2 In у — у2 In х --= 0;
д) 1 + ху — In (е*У + е~*у) = 0.
УЗО

302.5. Найти частные производные и полные дифференциалы
неявных функций z (х; у), заданных уравнениями:
а) г3 + Зх2г = 2ху;
б) х2 — 2у2 + г2 — 4х + 2г -. 5 - 0;
в) cos2 х + cos2 у + cos2 г = 1;
г) а: + у <++>
д)
е) г = * + УФ (г).
303.5. Найти частные производные и полные дифференциалы
первого и второго порядка неявных функций г (х, у), определяемых
уравнениями:
а) х2 + у2 + z2 - 2z;
б) г3 — Зхуг = а3;
В) 1 = 1п^;
г у
г) 5 (а:2 + у2 + г2) — 2 (ху + уг + хг) = 72.
304.5. Найти у' и у" для функции у (х), определяемой уравне-
уравнением
ху - у*.
305.5. Найти у', у'7 и у'7' для функции у (jc), определяемой
уравнением
х2 + ху + у2 = 0.
306.5. Доказать, что неявная функция z (x; у), определяемая
уравнением
х — а /у — Ь\
= Ф
г—с \г—с)
(где ф — произвольная дважды дифференцируемая функция), удов-
удовлетворяет соотношению
дх* ' ду* [дхду/ ~~
307.5. Доказать, что неявная функция z (x; у), определенная
./г\
уравнением г=у[ {— , удовлетворяет соотношению
\х I
дх ду
308.5. Найти у"' при х = 0 для неявной функции у (л:), опре-
определенной уравнением х3у2 — ху5 + 5х + у = 0.
309.5. Найти у', у" и у'" для неявной функции у (х)9 заданной
уравнением х2 — ху + 2у2 + х — у = 1 при х = 0, если
У @) = 1.
310.5. Найти й2г в точке A;0) для неявной функции z (x\ у),
определяемой уравнением xz5 + y3z ~— х3 = 0, если г A; 0) = 1.
311.5. Найти й2г в точке A;2) для неявной функции г (х; у),
определяемой уравнением х — уг + е* = 0, если г A; 2) = 0.
131

312.5. Неявная функция z (х\ у) определена уравнением хг +
+ у2 + z2 = 3xyz. Найти d2z в точке A; 1; 1).
313.5. Неявные функции у (х) и z (x) определяются системой
уравнений
| 8х2 — z* — Зу4 = О,
\ хъ — z2 + 5у = — 3,
причем у A) = 0, г A) = 2. Найти у' A), у" A), z'(I) и г"A).
314.5. Неявные функции у (х) и г (jc) определены системой
уравнений
/ х + у + г - О,
\х3 + у3 + г3 = 10,
причем у A) = 1, z A) - — 2. Найти у' A), у" A), z' A) и /'A).
315.5. Неявные функции и (х\ у) и v (x\ у) определены систе-
системой уравнений
f и + v = л: + у,
\ у sin и — х sin у = 0.
Найти частные производные и полные дифференциалы первого и
второго порядка.
316.5. Неявные функции и (х\ у) и v (x\ у) определены системой
уравнений
| хи + yv = 4,
\ ум — и = 0.
Найти частные производные и полные дифференциалы первого и
второго порядка, если при х = 1, у = — 1 функции а и у прини-
принимают значения: и A; — 1) =2, и A; — 1) = — 2.
317.5. Функция и (х\ у) определяется из уравнения/ (х; у; г; а) =
= 0, где функция z (х\ у) удовлетворяет уравнению <р (х\ у; z) = 0.
Найти da.
318.5. Доказать, что
Ф<*)
где w = / (г), а г — функция от х и #, определяемая из уравнения
z - х + У • Ф (z).
31&.5. Доказать, что неявная функция у (х), заданная уравне-
уравнением
arc c
удовлетворяет уравнению
132

320.5. Доказать, что если
х + у = и,
•*¦ = *.
X
то уравнение
преобразуется к виду
321.5. Пусть даны уравнения / (jc; у; г) = 0 и ф (х; у) *=* 0,
причем обе функции / и ф дифференцируемы. Если -$ ф 0,
ду
то второе уравнение определяет у как функцию от х, и если, кроме
того, — =^= 0, то первое уравнение определяет г как функцию
от л; и у. Найти при этих условиях ~ .
dx
Указание. Воспользоваться соотношениями: fx dx + fy dy + f'z dz=
= 0 и ф^ dx + ф^ dy = 0, исключив из них dy.
§ 8. ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ПЛОСКОСТЬ
Пример 1. При инверсии относительно окружности с центром в точке
О @; 0) и радиусом R точка М переходит в точку N, лежащую на луче ОМ, и
такую, что ОМ • ON = JR2. Написать аналитические формулы, задающие это
отображение.
Решение. Так как точки О @; 0), М (х\ у) и N (w, v) лежат на одном лу-
луче, то и = kxy v= ky, где к > 0. При этом
ОМ2 = х2 + у2, ОМ2 = а2 + v2 = fc2 (x2 + у2).
Чтобы найти значение fc, подставим выражения для ОМ2 и ON2 в соотношение
ОМ2 • ON2 = #4. Мы получим
k2 (х2 + у2) 2 = Я4.
Так как fe > 0, то
и потому
JC2-f у2
Пример 2. Написать отображение, обратное отображению
133

Решение. Возводя уравнения (*) в квадрат и складывая, получаем*
R4
Х2+ у2
т. е.
х2+у2"~ R2 '
Отсюда вытекает, что
у (и*
и потому
R2u R2v
*** U2+ V2 ' У ~
Пример З. Даны два отображения
U = Х2 _
v = 2ху I '
, V
р = arc tg — ,
Составить суперпозицию этих отображений.
Решение. Подставляя выражения (*) в (**), получаем:
р = arc tg J^-z , ^= Y ln [(; " y2f + 4^2] = ln (J
Пример 4. Найти однородное линейное отображение
если известно, что точка Ах A; 1) при этом отображении переходит в точку
Вх B; 3), а точка А2 B; 6) в точку В2 @; 14).
Решение. Так как точка Ах A; 1) переходит в точку Вх B; 3), то имеют
место соотношения
I ах+Ьх=2,
1 а2 + Ъ2 = 3.
Точно так же находим, что
( 2ах + 6ЬХ = 0,
\ 2п2 + 662 = 14.
Решая полученные уравнения относительно неизвестных аъ blt a2, b2t полу-
получаем: ах = 3, Ьх == —1, а2 = 1, 62 = 2. Поэтому искомое отображение имеет вид:
Г а = 3* - у,
Пример 5. Найти образ параболы у = х2 при отображении
( и = х2 — у2, /*ч
| t; = 2л:у. ^ '
134

Решение. Подставляем в уравнение (*) вместо у значение я2. Мы полу-
получим параметрические уравнения образа нашей дуги
% = 2л:3.
Чтобы получить уравнения в явном виде, исключим из соотношений х. Мы
имеем х = 1/— ,
Пример 6. Найти образ координатной сетки при отображении
и = х% __ у2>
Решение. Прямая х — с переходит при отображении (*) в линию, имею-
имеющую параметрические уравнения:
<и = с*-у\
\v= 2су.
Исключая из этих уравнений у, получаем уравнение параболы
• ф
и == с 77»
ось которой параллельна оси а, а фокус находится в начале координат. Точно так
же прямая у — с переходит в параболу
фокус которой также находится в начале координат.
Итак, при отображении (*) координатная сетка плоскости (х\ у) переходит в
сетку, состоящую из двух семейств софокусных парабол.
Пример 8. Найти главную линейную часть отображения
и = х3 + лгу2, /*ч
v = In (л:2 + у2) U
в точке М A; —1).
Решение. Главной линейной частью отображения
u = F(x; у),
v = Ф (дс; у)
в точке М (хо\ у0) является отображение
и = F'x (*о; у0) (дс — х0) + Ffy (xoyQ) (у — у0) + F (лу, ув),
v == Ф'х (хо\ у0) (х — х0) + Ф'у (х0; у0) (у —у0) + Ф (дг#; ув).
В нашем случае
^о) = 2» Ф(*о; Уо) =1п2,
3^2 i „2 .
2хп
^о +Уо 4 +Уо
Поэтому главная линейная часть отображения (*) в точке М A; —1) имеет вид:
w = 4 (л: — 1) — 2 (у + 1) + 2 = 4а: — 2у — 4,
у=лг — 1 — (у — 1) + 1п2=а: — у + 1п2.
135

Пример 8. Найти точки, в которых вырождается отображение
г"
(+ у)+ ,
(х - уJ + 4.
Решение. Искомыми являются точки, где якобиан
ди ди
С)
Мы имеем:
дх
dv
ду
dv
ди
-
dv
dx dy
равен нулю.
ди _
дх"
и пртому
2(х+у)
2 (х-у) —2(х—у)
Значит, отображение (*) вырождается на линии у2 — х2 = 0, т. е. на прямых у •
= х и у = —х.
П р и м е р 9. Является ли отображение
и = ^ cos yf
«to
= 8 (у2—х2).
( и =
| у =
взаимно однозначным на прямоугольнике с вершинами А @; 0), В A; 0), С A; л),
JD @; я). Найти образ прямоугольника ABCD при этом отображении.
Решение. Выясним, при каком условии точки Мх (хх\ ух) и М2 (х2\ уг)
переходят в одну и ту же точку N. Это имеет место, если
(**)
eXl cos j/a = е*2 cos j;2,
е*1 sin yx = е*2 sin y2.
Возведем эти равенства в квадрат и сложим. Мы получим е2*1 = е2*2, откуда jt]==
= х%. Но тогда из равенств (**) получаем cos yx = cos j>2, sin yx = sin y2. От-
Отсюда вытекает, что ух и у2 отличаются на кратное 2л. Таким образом, в одну точку
N могут перейти точки вида Мх (х\ у), М2 {х\ у + 2/гл). Но в прямоугольнике
ABCD нет точек, ординаты которых отличаются друг от друга на кратное 2л. По-
Поэтому отображение взаимно однозначно. Его якобиан равен:
e^cos у — е* sin у
?*sin у е* cos у
и потому отличен от нуля на всем прямоугольнике ABCD.
Чтобы найти образ прямоугольника при отображении (**), найдем образ его
границы. На отрезке АВ имеем у = 0, 0 < х < 1. Подставляя значение у = О
в соотношения (**), получаем: и = е*> v= 0, причем 0 < х < 1, и потому 1 <
<и<е. Таким образом, отрезок А В переходит в отрезок А'В', А'(\; 0), В'(е; 0).
Найдем теперь образ отрезка ВС. На этом отрезке имеем: х = 1, 0 < у < л.
Подставляя значение х == 1 в соотношения (**), получаем:
( и — е cosy, /***\
| v = e sin у. * '
Уравнения (***) являются параметрическими уравнениями окружности радиуса
е с центром в начале координат. При этом, поскольку у меняется от 0 до л, мы по-
получаем лишь верхнюю полуокружность.
Точно так же устанавливаем, что отрезок CD переходит в отрезок CD' с
концами С'{—е; 0), D'{—1; 0), а отрезок DA — в верхнюю полуокружность ра-
136

диуса 1 с центром з начале координат. Поэтому контур прямоугольника ABCD
переходит при отображении (*) в фигуру, ограниченную Двумя отрезками А'В'У
CD' и двумя полуокружностями В'С, D'A\ где А' A; 0), В'{е\ 0), С'(—е\ 0),
D'(—1; 0).
Прямоугольник ABCD может перейти или во внутреннюю область, ограни-
ограниченную контуром A'B'C'D', либо во внешнюю область с той же границей. Чтобы
выяснить, какой случай имеет место, возьмем любую точку прямоугольника, на-
/ 1 * \ г-
пример М\ —; —I. Она переходит в точку М'@; у ё), принадлежащую внутрен-
внутренней области. Значит, и весь прямоугольник переходит во внутреннюю область.
322.5. Плоскость поворачивается вокруг точки А ( —3;1) на
угол — в положительном направлении, после чего выполняется
4
гомотетия относительно точки ВA;5) с коэффициентом 4. При
этом точка М (х\ у) переходит в точку N (и\ v). Выразить и и v
через х и у.
323.5. Плоскость z = 2х — у проектируется на плоскость г =
= х + 2у из точки А E; 3). При этом точка М (х\ у; z) переходит
в точку N (и; v\ w). Выразить и и v через х и у.
324.5. Плоскость хОу проектируется на сферу х2 + у2 + г2
из северного полюса А @; 0; 1) этой сферы, после чего сфера проек-
проектируется на плоскость хОу из точки В @; 0; — 1). При этом точ-
точка М (х\ у) переходит в точку N (и\ v). Выразить и и v через х и у.
325.5. Написать отображения, обратные отображениям:
б) ( и = х2 — у2,
[ v = 2*у;
г) (и = х + у,
\v = (х _ уJ#
Исследовать, являются ли отображения а) — г) взаимно однознач-
однозначными на всей плоскости.
326.5. Построить суперпозиции отображений:
а) | и = х3 — у3, j р = и + v,
\ v = Зху2 —
а)
в)
!"
N
("
= е*
= Z
cos
sin
У,
у;
Зх2у, \ ? = " — я\
б) ( и = х + у, ( р = и3 — v3,
\ v = х — у, 1 <7 = ~ ~
в) { м = ^sin у, | р = и2 + у2,
\ » = ex cos у, \ q = и2 — v2.
327.5. Найти неоднородное линейное отображение
U = fl! #
v = а2х
137

если известно, что при этом отображении точка Ai(l; 1) переходит
в точку 5?@; 6), точка Аг @; 2)—в точку В2C; 7), а точка А3B; —1)
—в точку Bz( — 7; 2).
328. Найти дробно-линейное преобразование
V =
а2х
если известно, что при этом преобразовании точка At @; 0) пере-
переходит в точку В{ (—1; —2), точка Аг A; 1)—в точку В2D\ 5), точка
Л3B; 0)—в точку В3C; 6) и точка Л4B; 1)—в точку В4 (-;—)•
329.5. Найти образ отрезка [1; 4] оси абсцисс при отображении
и =
330.5. Найти образ дуги гиперболы у = — , 1 < х < 2, при
отображении
J и = х2 + у2,
331.5. Найти образ дуги параболы у = х\ 0 < х < 4, при
отображении
f а = х% + у,
N = х« - у.
332.5. Найти главную линейную часть отображения
( и = ех cos у,
\ о = #* sin у
В точках А A;0) и В ^2; — \.
333.5. Найти главную линейную часть отображения
и =
в точках Л A;2) и 5 B;1).
138

334.5. Найти главную линейную часть отображения
10*
и =
в точке А A;1).
335.5. Найти образ координатной сетки при следующих отоб-
отображениях:
4х
аН
в)
и —
V = ——
и =
у = e^siny;
и = (х + уJ,
V = (X - УJ.
336.5. Под каким углом пересекаются образы кривых у =
и у = |/х при отображении
и = х2 — у2,
г/ = 2ху.
337.5. Доказать, что при отображении
прямая, отличная от2х + у + 11 = 0, переходит в прямую.
338.5. Доказать, что при инверсии
(*)
любая прямая, проходящая через начало координат, переходит в
прямую, проходящую через начало координат, а любая прямая, не
проходящая через начало координат, переходит в окружность.
339.5. Доказать, что при отображении (*) любая окружность,
не проходящая через начало координат, переходит в окружность,
не проходящую через начало координат, а любая окружность,
проходящая через начало координат, — в прямую, не проходя-
проходящую через начало координат.
340.5. Найти точки, в которых вырождаются следующие отоб-
отображения:
139

и = х2 — у2,
б) (и=х2-
э) / и = (х + уK,
1 v = (x-yJ;
("=3^-1)у2~3(у-.1)Л
341.5. Пусть
и =х2 +у2 + z\
до = лгу + уг + xz.
Доказать, что якобиан этого отображения тождественно равен
нулю. Найти зависимость между переменными и, vy до.
342. Найти якобианы отображений
а) ( и = х cos у cos z,
V = X COS у Sin 2,
L до == jc sin у;
и =
V =
>/ 1 — л:2 — у3
У
У\ — х2 —у2
343.5. Найти образ прямоугольника ABCD, А A;0), В A;2),
С B;2), Z? B;0) при отображении
и =
V =
2"
Является ли отображение взаимно однозначным на этом прямо-
прямоугольнике?
344.5. Найти образ полукруга, ограниченного осью абсцисс
и полуокружностью х2 + у2 = 16, у > 0, при отображении
а = arc tg — ,
._!,
(*)
+y2).
345.5. Найти при том же отображении образ полукруга, огра-
ограниченного осью ординат и полуокружностью х2 -Ь у2 = 16, х > 0.
Найти образ при отображении (*) кругового полукольца.
346.5. Найти образ при отображении
/ и = х2 — у2,
\ v = 2
квадрата, ограниченного прямыми л: = 0, л: = 1, у == 0, у = 1.
140

Глава 3
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 1. Написать формулу Тейлора для функции / (х; у) = хУ в окрест-
окрестности точки A; 1) при п = 3.
Решение. В данном случае формула Тейлора принимает следующий об-
общий вид:
^^ ^ + *, о
1) Найдем все частные производные функции до 3-го порядка включительно:
/> ухУ-\ /;Г = у (у - 1) (у - 2) хУ-\
f'y = хУ In х, f'j'y = Bу - \)хУ-*+ у (у- 1) хУ-Чп х,
С = У (У - 1) хУ-*, Q = 2*У-1 In х + ухУ-* (In x)\
t'x'y = я"'1 + У*' 1п *. Гу' = ^ <1п ^K-
/^=лрУ (In*J,
2) Вычислим значения функции и ее частных производных в точке A; 1):
/0; i)=i. /здО; i)=i, Q
0,
3) Составим дифференциалы функции, участвующие в формуле (*):
df(i; 1)-/;<1; 1) Д^+ /;<!; 1)Д^=Д*,
^/0; 1) = /^A; 1) Д*2+2/;;A; 1) Дж Ду +/;; A; 1) Ду2
=ЗДдс2Ау. Подставляя в (*), получим:
При достаточно малых значениях Але и Ау эта формула может быть исполь^
зована для приближенного вычисления значений функции в окрестности точки
A; 1). Если, например, надо найти приближенно значение функции в точке
A,1;1,02), то, полагая Д*=0,1, Av=0,02, получим: A,1I|02« 1+0,1+0,002-f
+ 0,0001= 1,1021.
Пример 2. Неявная функция z (х; у) определена уравнением г3 — 2хг -+•
+ у — 0, причем г A; 1) = 1. Написать первые три члена разложения этой функ-
функции по степеням (х — 1) и (у + 1).
Решение. В данном случае
г(х; у) = г A; 1) + dz A; 1) + ^ dh A; 1) + ... ¦ (*)
141

1) Находим все частные производные до 2-го порядка включительно:
; 0,
6г- гх + 3г2- zx\ — 4гх — 2x • zx, = 0,
-Зг2г^ — 2ла?=0, zu* =
гх:
zxt
1
f
4zx о
"" Зг2-
1
-Зг2 '
lx 9
г*
-2х *
ft f
6г- гу • ги + Зг2- zru —2ztJ —2xzYIJ = 0, гг{. = * —.
х у ' ху у ху ' лу 9^ о^а
zx — ог
2) Вычисляем значения производных и дифференциалов в данной точке:
Zj^(l; 1)= 2, гу{\\ 1)= —1, г^A; 1) =—16, zxy A; 1)== 10, г^8A;1)= —6
и
dz A; 1) = 2Дя — 1 • Ау,
^яг A; 1) = — 16Ал:2 + 20AjtAj/ — 6Ay2.
Подставляя найденные значения в (*), получим:
г (х\ у) = 1 + BAx — А_у) — (8Ал:2 — ЮАхАу + ЗАу2) + ... .
Так как по условию А# = х — 1, &у — у + 1, то
г (х; у)=\+ [2(х — 1) — (у + 1)] — [8 (д: — IJ _ Ю (* - 1) (у + 1) -
~3(у+ 1J]+ ... .
347.5. Разложить функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки @^0) до членов третьего
порядка включительно.
348.5. Дана функция / (дс; у) = ех sin у. Разложить функцию
/ (х + Л; у + k) по степеням h и k> ограничиваясь членами 3-го
порядка относительно h и k. Использовать результат для вычис-
вычисления ^olsin 0,49я.
349.5. Получить формулу для приближенного вычисления функ-
функции
в окрестности @;0) с точностью до членов 2-го порядка включи-
включительно.
350.5. Разложить функцию / (х; у) = sin x sin у по формуле
Тейлора по степеням (х — —) и (у — — ] , ограничиваясь члена-
ми второго порядка включительно.
142

351.5. Разложить данные функции по формуле Тейлора, огра-
ограничиваясь членами второго порядка включительно:
а) / \Х\ У) — ;
х- У
б)
в) /(*; у) = 1п(*-2у);
г) f(x; у)=е*+У-
А) / (х\ у) = arc cos —.
352.5. Разложить функцию
/ (х\ у; г) = *3 + уз + г3 — Зхуг
по формуле Тейлора в окрестности точки A; 1; 1).
Замечание. Формула Тейлора, записанная в дифференциальной форме,
верпа для функций любого числа переменных.
353.5. Разложить / (х + h\ у -f- k\ z + 0 по целым положитель-
положительным степеням h, k и /, если
/ (х\ у; г) = Ах2 + By2 + Cz* + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz.
§ 10. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к по-
поверхности гиперболического параболоида z = х2 —у2 в точке B; 1; 3). Определить
направляющие косинусы нормали.
Решение. 1) Находим z'x и г'у в точке B; 1):
z'x= 2x, A = zx{2\ 1)= 4,
а?=-2у, В=гу&; 1) =-2.
2) Подставляя найденные значения и координаты данной точки в уравнение
касательной плоскости и нормали, соответственно получим:
4 (х — 2) — 2(у — 1) — (г — 3) = 0 — уравнение касательной плоскости,
* —2 J/—1 г—3
__ _. — уравнение нормали.
3) Направляющие косинусы нормали равны:
cosq = y1+44-2)a =УШ' C0S^Wr cosy=71t-
Пример 2. К поверхности х2 + 2у2+ г2 = 1 провести касательную плос-
плоскость, параллельную плоскости х — у + 2а = 0,
Решение. В данной задаче точка касания не задана, ее также нужно
найти. Пусть ею будет точка (*0; у0; г0). Тогда, полагая
F(x\ у; z) = x2+ 2y2 + *2-l,
можем определить Л, В и С.
?х = 2дс, А = Fx (х0; уь; г0) = 2х0,
143

Fy = 4yt B = Fy (x0; y0; zQ) = 4yQ,
F; = 22, C = F,(*o; y0; го)=2го.
В общем виде искомая плоскость представится так:
2*о (х — х0) + 4у0 (у — у0) -f 2z0 (г — г0) = 0,
или
*о (* — *о) + 2у0 (у — уо) + z0 (г — г0) = 0.
Из условия параллельности плоскостей получаем:
1—12'
Отсюда д:0 = fe, у0 = —— k, zo=2k. Чтобы определить k, подставим значения
% Уо и zo B уравнение данной поверхности:
1 *2 1 fe
Поскольку fe имеет два значения, то искомых точек тоже две:
Теперь можем написать уравнения искомых касательных плоскостей:
или
- Vlk+Vlh
ИЛИ
Пример 3. Найти геометрическое место точек на цилиндре (х + г)г +
4- (у — гJ = 18, в которых нормаль параллельна плоскости хОу.
Решение. Положим F {х; у; г) = (х + zJ + (у — гJ — 18. Тогда
m - F;~ 2 (х + z), n = Ffy= 2 (у - z), p = ^= 2 [(др + z) - (у - *)]
будут угловыми коэффициентами нормали к данной поверхности в точке (х; у; г).
Плоскость хОу имеет уравнение z = 0, т. е. Л == 5 = 0, С = 1. Из условия па-
параллельности прямой и плоскости
Am + Вп •+ Ср = 0
получаем, что р = 0, т. е. (я + z) — (у — г) = 0, или л: + г == у — z. По урав-
уравнению цилиндра заключаем, что искомое геометрическое место точек определяет-
определяется уравнениями:
*4-г=у — г=±3.
144

354.5. Составить уравнения касательных плоскостей и норма-
нормалей к заданным поверхностям в указанных точках:
а) z = ху в точке A; 1; 1);
б) х3 + у3 + г3 + xyz — 6 в точке A; 2; —1);
в) ху2 + z3 - 12 в точке A; 2; 2);
г) х" + уп + zn = ал в точке A; 1; 0);
д) *2у2 + 2х + z3 = 16 в точке B; 1; 2);
е) ^ ? ~ ^ = 1 в точке (х0; у0; zo)j
б2 с2
а2
ж) г = sin — в точке A; я; 0).
355.5. Доказать, что поверхности
Аг + 2у-~1пг + 4=0ил:2 — лгу — 8х + z + 5 = 0
касаются друг друга в точке B; —3; 1) (т. е. имеют общую каса-
касательную плоскость в этой точке). _____
356.5. Имеет ли поверхность z = Ух2 -+• у2 касательную плос-
плоскость в точке @; 0)?
357.5. К поверхности
ху + г2 + xz = 1
провести касательную плоскость, параллельную плоскости х — у -f-
+ 2г-0.
358.5. Доказать, что касательная плоскость к поверхности xyz =з
«= а3 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр
постоянного объема. Найти этот объем.
359.5. Доказать, что касательные плоскости к поверхности
проведенные в любой точке, отсекают на координатных осях от-
отрезки, сумма которых равна а.
360.5. К сфере х2 + у2 + г2 — 2х провести касательную плос-
плоскость, перпендикулярную плоскостям х — у — г = 2 и х — у —
-1 = 2.
2
361.5. Провести к эллипсоиду
X2 V2 Z2
? + у + 1
касательную плоскость, отсекающую на осях координат равные
отрезки.
362.5. Найти линии, по которым поверхность ху — аг пере-
пересекается с касательной плоскостью в точке (лг0; у о; ^о) на поверх-
поверхности.
363.5. Почему нельзя определить касательную плоскость к по-
поверхности по аналогии с определением касательной к кривой как
предельное положение плоскости, проходящей через данную точку
и две другие точки, достаточно близкие к данной?
145

364,5. Функция / (х\ у) дифференцируема в точке (х0; у0). Имеет
ли поверхность г = / {х\ у) касательную плоскость в точке
(*о\ Уо» го)? Справедливо ли обратное утверждение?
§ 11. ЭКСТРЕМУМЫ. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию z = х2 + ху + у2 —¦
— 2х — Зу.
Решение. 1) Находим стационарные точки, то есть точки, в которых вы-
выполняется необходимое условие Экстремума. Для этого вычисляем частные произ-
производные, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений:
H:
2у - 3 = 0.
искомая ста-
1 4 г> / 1 4 \
Решением является х = -— , у = -г . Следовательно, I — ; — 1—
3 3 \ 3 3 /
ционарная точка.
2) Проверим выполнение достаточных условий экстремума:
Л=г;2=2, д=г^=1, С=*^=2.
/1 4 \
Так как АС *¦* В2 = 3> 0 и Л>0, то в точке ( — ; — I данная функция имеет
\ 3 3 /
минимум.
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию / (х\ у)= sin * + sin y+
+ cos (x + у), где 0 < х < — , 0 < у < — .
Решение. Находим стационарные точки
f'x = cos x — sin (x + ^)f
/^ = cosy —sin (x +у).
Решаем систему уравнений
J cos х — sin (x + у) = 0,
\ cos j/ — sin (я + у) = 0.
3
Из этой системы получаем, что cos х = cos у, и поскольку 0<х< —я,0<у<
о
< -— я, то либо j> = х, либо у = 2я — х.
Если у = je, то из первого уравнения получаем cos х — sin 2х = 0, т. е
cos х A — 2 sin х) =аа о. Отсюда либо хх = ух = — , либо ха=у2 — ~. либо
3
х8= jj^ —я. Точно так же, если у = 2я — х, получаем, что cos х = 0 и либо
я 3 3 я
х4 = — , у4 = ¦— я, либо Xg = ¦—¦ я, j/6= —. Всего имеем в заданной области
5 стационарных точек:
_,/я я\ /я я \ / 3 3 \
146

Проверим выполнение достаточных условий экстремума в каждой точке:
f"x* = — sin jc — cos {x + у), fxy = —cos (x + у),
fyz = — sinj; — cos (x -h y).
Для точки Mt I —; — I имеем:
3
Так как AC —- В2 = —¦ > 0 и А < 0, то в точке Мх — максимум. Значение функ-
1113
ции в этой точке /(MJ ^y + Y^Y^T*
I — ; —
Для точки М2 I — ; —) имеем:
C=f^ (M2)=-1+1 = 0.
Так как АС — В2 =—1 < 0, то экстремума в этой точке нет.
I -т- ; — I:
\ 2 2 /
Исследуем точку
>» = fx, (^з)= 1+1 = 2, В = fxy (Мг) •=- 1,
С = ?, (Л1з) =1 + 1 = 2.
Так как АС — В2 = 3 > 0 и Л > 0, то в точке М,— минимум.
В точке мА — ; — я j имеем:
?• (М|> = -2, /^ (М^) = -1, fyl (M^ = 0.
Поэтому АС — Я2= —1 < 0 — экстремума нет. В точке М8 (-—; —)
\ 2 2 /
экстремума, так как
?. (Afi)-0, fxy (Мб)=-1, /;2(Af5) =-2 и АС-В*= -1 <0.
также нет
y ;
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию г (х\ у), неявно заданную
уравнением 2 (*2+ г2) + 3 Bуа + 1) + 8 (xz — у) — 4х = 0.
Решение. Найдем частные производные гх и гу , пользуясь формулой
для вычисления производных неявных функций:
—4 1— 2г — л:
+ "" г + 2х *
, _ 12у — 8 2 —3j/
г^~"" 4г + 8л: "" 2 + 2л:
Для отыскания стационарных точек решим систему уравнений
1 — 2z — х = 0,
2 — Зу = 0,
+ г2) + 3 Bу2 + 1) + 8 (лгг —у) — 4* = 0.
147

Получаем точки: At, (~ 1±VL ; ?; ±±?1) н М> (j^JL ; f;
4-/6 \
6 /'
Найдем частные производные второго порядка:
, (г + 2х)(—2гх—1)-(\—2г-х)(г'х
(г + 2xf
. (Н- 2х) (- 3) - B - Зу) ги
Учитывая, что в стационарных точках z x и г равны нулю, получим:
Зг-2 . 3
Найдем значения этих производных в точках Мх и Ма:
1 *
= 0, С, =
6 3
3-6
2/6 —
6 "Г 3
= 0, С2 = zy2 (MJ = — -^г = — /6*.
Так как Л^ — ?j =2 > 0 и Лх > 0, то в точке М% минимум г = g
4 /б"
Так как Л2Са — В\ == 2 > 0 и Л2 < 0, то в точке М2 максимум z = jt- .
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию / (х\ у) = (у — дсJ И
+ (У + 2K.
Решение.
Из системы уравнений
получаем, что точка (—2; —2) является стационарной.
148

Проверим достаточные условия экстремума в этой точке:
2,
—2,
у
2, ЛС — Я2 = 0.
В этом случае для выяснения вопроса об экстремуме функции нужно исследова-
исследование продолжить. Поскольку / (—2; —2) = 0, то достаточно исследовать знак функ-
функции в некоторой окрестности точки (—2; —2).
Исследуем знак функции вдоль какой-нибудь прямой, проходящей через
точку (—2; —2). Поскольку в выражении функции имеется слагаемое (у — хK,
то естественно взять прямую у = х, так
как на ней первое слагаемое равно нулю у
и знак функции зависит только от знака
второго слагаемого (у + 2K. Очевидно,
если у < —2, то (у + 2K < 0; если
у > —2, то (у + 2K > 0.
Следовательно, в любой окрестности
точки (—2; —2) есть как положительные,
так и отрицательные значения функции.
В точке (—2; —2) экстремума нет.
Пример 5. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции г = х2 +
+ 2ху — Зу2 + у в замкнутой области,
заданной неравенствами 0 < х < 1, 0 <
<у < 1, 0 < х+ у < 1.
Решение. Область задания функ-
функции представляет собой треугольник,
ограниченный координатными осями и
прямой х + у — 1 (рис. 9.5).
1) Н
Рис. 9.5
+ у (р )
1) Находим стационарные точки внутри области задания функции
гх = 2х + 2у = 2 (х + у), гу = 2х — 6у + 1,
6у
= 0,
8'
Получили точку I — ¦—; —-). Других стационарных точек нет. Так как точка
\ 8 8/
не принадлежит рассматриваемой области, то значение функции в ней
~i: в)
не учитываем.
2) Исследуем функцию на границе области. Поскольку граница состоит
из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, то приходится иссле-
исследовать функцию на каждом участке отдельно.
а) Исследуем функцию на участке О А, где ЛA;0). Уравнением связи является
у=0. С учетом его функция представится в виде: z=x2. Из уравнения сразу видно,
что функция возрастает на О А от 0 до 1. Следовательно, наименьшее значение фун-
функции будет при х =0, т. е. в начале координат, г ь@; 0) == 0, а наибольшее —при
х = 1, т. е. в точке Л, г2 A; 0) = 1.
б) Исследуем функцию на участке ОВ, где 5@; 1). Уравнением связи является
*=0. С учетом его функция принимает вид: z=-^3ya+y. Тогда г*——6y-fl,
—6у -Ь 1 = 0, у = — . Стационарная точка — @; —). Значение функции в ней
6 \ 6 /
в) Исследуем функцию вдоль участка прямой *+ у = 1. Подставляя у
= 1 —а: в выражение для функции, получим:
2х A — х) — 3 A — х)% + A — х),
г =
149

или
z = — 4х2 + 7х — 2.
Тогда
и значение функции в точке zJ — ; — j = — 41 — J + 7 . — — 2 = 1 —.
Из поля зрения выпала вершина В @;1). Вычислим значение функции и в ней
3) Сравнивая значения гг = О, г2 = 1, z3= —-. Z4 == 1 77 и гь = —2, заклю-
12 16
чаем, что 1 -— — наибольшее значение функции, достигаемое в точке! — ; —J, a
16 \$ & J
*-2 — наименьшее значение, достигаемое в точке @; 1). Как выяснилось, внутри
Области функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Пример 6. Исследовать на экстремум функцию
при условии, что jc + у = 1.
Решение. Эта задача на условный экстремум,
Данную задачу можно решить следующим способом. Из уравнения связи
х + у = 1 выражаем одну из переменных, например у, через другую и подстав-
подставляем в выражение для функции г.
Получили функцию одной переменной jc. Исследуем ее на экстремум. Тем
самым решится вопрос об условном экстремуме функции г = е*У, так как условие
х -jl у = 1 уЖе автоматически учтено. Имеем:
г' = ех~*г A — 2дг),
г' = 0 при 1 — 2х = 0, или х = -г-,
г" = ех-*2 A — 2а:J — 2ех~х% = е*~** [A — 2хJ — 2],
'Ш—*<*
Следовательно, в точке х = —¦ функция г (#) имеет максимум. Но тогда
данная функция г (х\ у) имеет в соответствующей точке (-—; — 1 условный мак-
максимум. Значение функции в этой точке г = е4 .
Не веегда просто разрешить уравнение связи относительно какой-нибудь из
переменных. А иногда это и вовсе невозможно. Поэтому часто применяют другой
способ исследования функций на условный экстремум — метод Лагранжа.
Пример 7. На поверхности трехосного эллипсоида
jc2 у2 z2
найти точки, наиболее близкие к центру и наиболее удаленные от него.
150

Решение. Пусть точка (г, у; г) лежит на поверхности эллипсоида. Тог-
Тогда ее расстояние от центра определится по формуле d = Y& + У2 + *2- Оче-
Очевидно, максимальное значение подкоренного выражения даст наибольшее, а ми-
минимальное—наименьшее расстояние d. Следователь но, задача сводится к исследо-
исследованию на экстремум функции трех переменных
/ (г, у\ г) = х% + у2 + г2
Х2 у2 г2
при уравнении связи — + — + — = 1.
Составим вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)
Ф (х; у; г) = ;
(число X называется множителем Лагранжа) и решим систему уравнений:
\ (*'» У» г) = 0>
Фу (г, у; z) = О,
ф>; у; г)-о,
(*; у; г) = О,
где ф {х\ у; г) = 0 — уравнение связи. В нашем случае имеем:
X
— jf =0,
А'1-о.
2г+ 2— г
с2
0,
или
-S -о.
Из последнего уравнения системы следует, что я, у и г не могут одновременно
равняться нулю. Поэтому один из сомножителей
должен равняться нулю. Пусть 1 + — = 0, т. е. X = — а2. Тогда 1 -f — Ф 0
и 1 +~ Ф 0 (так как а > b >с), и, следовательно, J/ = 0, г = 0. Из
третьего уравнения системы получаем дс= ±а. Таким образом, положив
1 Н г = 0, нашли две точки (а; 0; 0) и (—а; 0; 0). Аналогично рассуждая,
а2
при 1 Н := 0 получим вторую пару точек @; Ь\ 0) и @; —Ь; 0), при 1 +
б2
=0—третью пару @; 0; с) и @; 0;—с). Полученные точки являются конца-
концами трех главных осей эллипсоида. Так как а > Ь > с, то можем утверждать,
что максимум в точках (а; 0; 0) и (—а; 0; 0), минимум в точках @; 0; с)
и @; 0; —с). Что же касается точек @; Ь\ 0) и @; —Ь\ 0), то в них экстремума нет.
Исследовать на экстремум заданные функции двух переменных:
365.5. z = хву*F — х~у).
366.5. z = ху A — х — у).
151

367.5, г = x3 + у3 — Эху + 27.
368.5. z = х3 + у3 — Заху.
369.5. г = х3 + ху2 + Заху.
370.5. z = х4 + у4 + 2х2у2 — 8х + 8у.
371.5. г = 2х2 + бху + 5у2 — х + 4у — 5.
372.5. 2 = х2 + ху + у2 —- тх — пу.
373.5. z = х4 + у4 — 2л2 + 4ху — 2у2.
374.5. z = ^(а — х) (а — у) (х + у — а).
375.5. г = х2 + ху + у2 + — + — .
376.5. г = х2 + ху + у2 —4 In л: — 10 In у.
377.5. г - ху In (х2 + У2).
378.5. z = sin х + sin у + -sin (х + у), где 0 < jc < —, 0 < у <
f
379.5. z = sin x-sin у-sin (x+y), где 0<х<я, 0<у < я.
380.5. z = cos а cos х + sin а sin x cos (у — Р).
381.5. г = х • вУ+^1пУ.
382.5. z = х2 — 2ху + у4 — у5.
383.5. г - 2 + (х — уJ + (у — IL.
384.5. z = е-*2-»2 (ах2 + by2).
385.5. Доказать, что функция / (х; у) = (у — х2) (у — 2х2) не
имеет минимума в точке А @; 0), хотя при любых а и b функция
Ф @ ^ / (я? bf) имеет минимум при / = 0.
386.5. Доказать то же самое для функции / (х; у) — у6 —
387.5. Исследовать на экстремум функции, заданные неявно
уравнениями:
а) -? + 2 у2— г2 х + г = 0;
о
б) х2 + у2 + 4хг + 4 + ^-^ = 0;
в) г2 + хуг — ху2 — х3 - 0;
г) х2 + у2 + г2 — 2х + 2у — 4г — 10 = 0.
Исследовать заданные функции на условный экстремум при
данных уравнениях связи:
388.5. г = е*У при х + У = 1.
389.5. г = ~ + — при х + у — 2а (а > 0).
х у
390.5. г = ху при х2 + у2 = 1.
391.5. и = x2yV при 2л: + Зу +4г = 0.
392.5. ^=х + у + гпри~+ А + -^ = 1 (х>0, у>0,
г>0).
393.5. w = cos # cos у cos г прп х + у + г = я.
152

Найти наибольшее и наименьшее значения заданных функций
в указанных областях:
394.5. z = х — 2у — 3 в области 0<*<1, 0 < у < 1, 0 <
<х + у < 1.
395.5. г = х2 + Зу2 — * + 18у — 4 в квадрате [0,1; 0,1].
396.5. г = х2 + Зу2 — х + 18у — 4 в области 0 < jc < у < 4.
397.5. z = х2 + у2т эллипсе — + ^— = 1 @ < й < я).
398.5. г = е-*2-^2 Bх2 + Зу2) в области, где х2 + у2 < 4.
^ 1
399.5. г = ^ — -^ — -^1 в области *> О, у>0,~+-2~< 1.
2 6 8 3 4
400.5. z = (х — У2)У^(х-~ IJ в области у2 < х < 2.
401.5. 2 = ]/1 — х2 —у2 в круге х2 + у2 < 1.
402.5. и = * + у + г в области х2 + у2 < г < 1.
403.5. Доказать, что произведение трех неотрицательных чисел,
имеющих заданную сумму, будет наибольшим тогда и только
тогда, когда все эти числа равны друг другу. Обобщить это утверж-
утверждение на п сомножителей.
404.5. Доказать, что среднее геометрическое нескольких поло-
положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е.
405.5. Сумма нескольких положительных чисел, имеющих дан-
данное произведение, оказывается наименьшей тогда и только тогда,
когда все эти числа равны между собой. Доказать.
406.5. В данный прямой круговой конус вписать прямоуголь-
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
407.5. Найти кратчайшее расстояние между параболой у = х2
и прямой х — у — 2 = 0.
408.5: Из всех треугольников с одинаковым основанием и од-
одним и тем же углом при вершине найти наибольший по площади.
409.5. Даны три точки А D; 0; 4), В D; 4; 4) и С D; 4; 0).
Найти на поверхности шара х2 + у2 + г2 = 4 такую точку 5,
чтобы объем пирамиды SABC был: а) наибольшим; б) наименьшим.
Проверить ответ геометрическим путем.
410.5. Положительное число а разложить на 3 положитель-
положительных слагаемых х, у, z так, чтобы хтупгр имело наибольшее значе-
значение (m, n, p — данные положительные числа).
411.5. При каких размерах прямоугольного открытого ящика
с заданным объемом v = 32 м3 его поверхность будет наименьшей?
412.5. В шар радиуса г вписать прямоугольный параллелепи-
параллелепипед наибольшего объема.
413.5. Шатер имеет форму цилиндра, завершенного сверху
прямым круговым конусом.
а) При данной полной поверхности шатра определить его из-
измерения так, чтобы объем был наибольшим.
153

б) При данном объеме шатра определить его измерения так,
чтобы полная его поверхность была наименьшей.
414.5. Определить размеры конуса наименьшей боковой повер-
поверхности при условии, что его объем равен V.
415.5. Определить наружные размеры котла цилиндрической
формы с заданной толщиной стенок d и емкостью V так, чтобы на
его изготовление пошло наименьшее количество материала.
416.5. Нужно построить конический шатер наибольшего объема
из данного количества материала S. Каковы должны быть его раз-
размеры?
417.5. На плоскости Зх — 2г = О найти точку, сумма квадра-
квадратов расстояний которой от точек А A; 1; 1) и В B; 3; 4) наимень-
наименьшая.
418.5. Из всех эллипсов, у которых сумма осей постоянна и
равна 2L, найти наибольший по площади.
419.5. Найти кратчайшее расстояние от точки А A;0) до эл-
эллипса 4х2 + 9у2 - 36.
420.5. Площадь треугольного участка земли уменьшена заго-
загородками при вершинах; каждая загородка круговая и имеет центр
в ближайшей вершине. Найти, как можно сохранить наиболь-
наибольшую площадь участка при заданной общей длине трех загородок.
421.5. Найти треугольник данного периметра 2р, который
при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наиболь-
наибольшего объема.
422.5. На эллипсе х2 + 4у2 = 4 даны две точки А (—-1^3; —)
и В f 1;^-?г")- Найти на этом же эллипсе третью точку С, такую,
чтобы треугольник ABC имел наибольшую площадь.
Указание. Воспользоваться известной из аналитической геометрии фор-
формулой площади треугольника, выраженной через координаты его вершин.
423.5. Найти длины полуосей эллипса Збх2 + 24л;у + 29у2 =*
= 180.
Указание. Исследовать экстремумы расстояния любой точки эллипса
от его центра.
424.5. Среди всех треугольников, вписанных в круг радиуса /?,
найти треугольник наибольшей площади.
425.5. Среди всех треугольников данного периметра 2р найти
треугольник наибольшей площади.
426.5. Среди всех пирамид, основанием которых служит дан-
данный треугольник со сторонами a, ft, с, а высота равна Л, найти пи-
пирамиду с наименьшей боковой поверхностью.
427.5. Найти точку плоскости, сумма квадратов расстояний
которой от трех данных точек Ai(Xi\ уО, А2 (х2\ у2), Л3(лг3; у3)
наименьшая.
428.5. Среди всех четырехугольников, вписанных в данную
окружность, найти четырехугольник максимальной площади.
154

Раздел 6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 1
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пример 1. Составить интегральные суммы для двойного интеграла
где область (Р) ограничена прямыми * = 0, у = 0, х + у = 1.
Разбить эту область на четыре равных треугольника прямыми х = — , у =¦
= •—, х+ у = -— и за точки Mk (?Л; r\k) взять:
а) вершины прямых углов частичных треугольников;
б) центры тяжести частичных треугольников.
Решение, а) Возьмем за точки М^ (?$; r)ft) вершины прямых углов
частичных треугольников. Тогда значения функции в этих точках будут равны!
:/@;0) ~ -~ ' - - - 1
Поскольку частичные треугольники равны, то Р/ = — Р = — •-— == —кв. ед.
4 4 2 8
Подставляя найденные числовые значения в приближенное равенство
п
J | / (*; у) ^ ^ » X / Fа; Па) ^а» 0)
получим:
-dy»
(Р)
б) Возьмем в качестве точек М^ь* Па) точки пересечения медиан в каждом
из частичных треугольников.
В треугольнике (Pj) получаем:
1 \
155

В треугольнике (Ра) получаем:
2 J_
3 6
В треугольнике (Рй) имеем:
В треугольнике (Р^ имеем:
Значения функции в найденных точках равны:
Пользуясь приближенным равенством A), получим:
8.2,449
В дальнейшем будет вычислено точное значение этого интеграла. Оно равно
0,4. Сравнивая с ним полученные нами приближенные значения, видим, что выбор
точек (?/*, т]/) второй раз оказался более удачным, чем первый раз. Абсолютная
погрешность приближения равна всего 0,002 кв. ед., а относительная погрешность
0,002 1
— = -(т.е. 0,5 о/о).
Пример 2. Записать двойной интеграл \ \ / (х; у) dx dy в виде повторных
(Р)
интегралов (двумя способами), если область (Р) ограничена прямыми х = 1, х =
= 2, у = 0, у = 4.
Решение. Построив на чертеже прямые, ограничивающие область интег-
интегрирования, видим, что (Р) представляет собой прямоугольник, стороны которого
параллельны координатным осям (рис. 1.6). В этом случае обе переменные хну
изменяются в постоянных пределах 1 < д: < 2, 0 < у < 4, а формулы для вы-
вычисления двойного интеграла принимают соответственно вид:
2 4
j J f (х; у) dx dy = J dx J /(*; у) dy,
(P) I 0
4 2
f dy f /(дг1иу)Лс.
о l
(Р) 1 О
4 2
156

Пример 3. Записать двойной интеграл ( 1 / (х; у) dx dy в виде пов-
(h
торных интегралов двумя способами, если (Р)—фигура, ограниченная линиями
х = о, у = 0, х2 + у2 = г2, причем х > 0.
Решение. Изобразим область интегрирования (Р) на чертеже (рис. 2.6).
Возьмем сначала постоянные пределы по переменной х. Ими будут числа 0 и г.
Для каждого значения х из [0; f] у принимает значения от — Уг2*—х2 до
У г2—х2. Получим: ( i / (*; у) dx dy = i dx I / (x\ y) dy.
(P)
1 Z
Рис. 1.6
Рис. 2.6
от
Если постоянные пределы взять noj>, — г < у < г, то х принимает значения
0 до У г2 —у2. Получим:
I(x;y)dx.
(P)
Вообще при определении переменных пределов интегрирования полезно поль-
пользоваться следующим правилом: пусть х изменяется в постоянных пределах, а <
<*<&.(рис.3.6). Чтобы получить пределы интегрирования по у, пересечем область
(Р) лучом, параллельным и одинаково направленным с осью Оу. Граница области,
которую луч пересечет при входе в область, будет нижней границей этой области,
а ее уравнение, решенное относительно у, служит для установления нижнего пре-
предела интегрирования по у [у = ух (х)]. Граница области, которую луч пересекает,
выходя из области, будет верхней границей этой области, а ее уравнение, решен-
решенное относительно у, служит для установления верхнего предела интегрирований
по у \у= у2(х)).
Аналогичным образом при постоянных пределах по .у определяются перемен-
переменные пределы по х.
Пример 4. Записать двойной интеграл II f (х; у) dx dy в виде повтор-
повторен)
157

ных интегралов (двумя способами), если (Р) — квадрат, ограниченный прямыми
Х-\- у = \t х — у = lt у — *= 1, лг +j/= — 1.
Решение, Строим на чертеже область интегрирования (Р) (рис. 4.6). Пусть
постоянны пределы интегрирования по х. Ими будут —1 и +1. Проведем луч,
параллельный и одинаково направленный с осью Оу, через область (Р).
Как нижняя, так и верхняя границы области состоит из двух отрезков,
пересекающихся соответственно в точках @; —1) и @; 1). Поэтому разобьем об-
область (Р) на две части прямой х — 0. Тогда получим:
о
f(x-ty)dxdy=ijdx
dx J l(x',y)dy.
лг — I
Рис. 3.6
Рис. 4.6
Аналогично при выборе постоянных пределов по у получим:
0 у+\ 1 -|/-И
\\f(x\y)dxdy= § dy j f(X]y)dx+ f dy J ft*:
(P) -l —y—l 6 y —i
Пример 5. В повторном интеграле
Ъ 2~zx
f(x;y)dy
цеременить порядок интегрирования.
Решение. Решение данной задачи состоит из двух частей:
а) сначала нужно восстановить область интегрирования (Р) по известным
пределам данного повторного интеграла;
б) потом нужно записать повторный интеграл с постоянными пределами по у
и переменными по х.
Так как внутренний интеграл взят по у, то, следовательно, пределы внутрен-
внутреннего интеграла получены из уравнений у — 2х и _у= 2 — х. Это — уравнения
прямых, которые составляют какую-то часть границы области интегрирования (Р).
Изобразим прямые на чертеже (рис. 5.6). Решая совместно уравнения у = 2х
/2 4 \
и у==2—х, найдем точку пересечения этих прямых —; — . Так как дано, что аб-
\ 3 3 /
153

сцисса к точек области (Р) изменяется в пределах от 0 до -—, то можем заключить,
о
что искомой областью (Р) является фигура, ограниченная линиями х = О, у =э
= 2х, у = 2 — х.
Расставляя теперь внешние пределы интегрирования по у, а внутренние по
х, получаем:
L 1
3 2
\dy j l{x-ty)dx.
4_
3
Пример 6. Переменить порядок интегрирования в интеграле
1 х 3 1
f dx\Ux\y)dy+ [dx \l(x\y)dy.
© x* 1 >
Рис. 5.6
Рис. 6.6
Решение, а) Восстановим область интегрирования (Р). Рассматривая
оба слагаемых одновременно, заключаем, что нижний предел внутреннего йнтег-
х*
рала на участках 0<дс <1и1<дс<3 выражается через х одинаково: у = —
(парабола). Верхним же пределом на участке 0 < х < 1 является прямая у = х,
а на участке 1 < х < 3 — прямая у = 1. Этого достаточно, чтобы построить об-
область (Р) (рис. 6.6).
б) Из чертежа (см. рис. 6.6) видно, что постоянными пределами по у являют-
являются числа 0 и 1. Нижним пределом изменения х будет jc=^, а верхним —х=3 У~у.
Корень берем с положительным знаком потому, что все точки области (Р) имеют
неотрицательные абсциссы. Искомый повторный интеграл представите» в виде:
1 з Vy~
j
Пример 7. Оценить интеграл
где (Р) — круг х 2 +у2 < 9.
159

Решение. Воспользуемся свойством двойного интеграла, выраженным
следующим неравенством:
тР < (* f f(x\ у) dx dy < MPt
(Р)
где Р — площадь области (Р), т и М — нижняя и верхняя границы функции
f (х\ у) в области (Р).
В данном примере Р = пг2 = 9я. Поскольку при любом t справедливо соот-
соотношение — 1 < sin t < 1, то в качестве границ подынтегральной функции мож-
можно взять т = —1, М = 1. Тогда наш интеграл оценится следующим образом:
— 9 я < Г f sin x ,""" У "^ dx dy < 9 я.
Пример 8. Оценить интеграл
я
(х2 —-у2) dx dy,
где (Р) — область, ограниченная окружностью х2 + у2 — 2х = 0.
Решение. Преобразуем уравнение окружности к виду (х — IJ + у2 =а
= 1. Из него сразу видно, что радиус окружности г = 1 и, следовательно, пло-
площадь области интегрирования (Р) равна я.
Так как подынтегральная функция / (х; у) == л:2 — у2 непрерывна в (Р), то
за m и М можно взять наименьшее и наибольшее значения, которые достигаются
функцией в (Р).
Исследуем / (х\ у) на экстремум. Имеем:
f'x(r.y) = 2xf fy(x- у) =*-2у.
Стационарной является точка @; 0), лежащая на данной окружности. Для иссле-
исследования функции на условный экстремум вдоль окружности представим уравне-
уравнение окружности в параметрической форме
У =
Тогда г = хъ —у2 = A + cos tJ — sin2 t = 1+2 cos /+cos 2t. Стационарными
точками функции
ф (t) = 1 + 2 cos t + cos %
являются корни уравнения
Ф' if) = — 2 sin t — 2 sin 2* = 0,
2я 4я Л
а именно /i =0, t2=t —, tz = n и г4 = —. В этих точках имеем:
3 3
' I 3 / 2* '13/ 2*
Следовательно, т = — — , М = 4. Используя данные значения /пиМ, получим
следующую оценку данного интеграла:
160

(знак строгого неравенства ставим потому, что равенство было бы при / (х;
или при f (х\ у) ~ М, что в нашем случае невозможно).
Пример 9. Вычислить двойной интеграл
'-я
(Р)
где область (Р) ограничена прямыми л; = О, у — 0, х + у = \.
Решение. Область (Р) изображена на рисунке 9.5. Возьмем постоянные
пределы по переменной х, О < х < 1. Тогда по у нижним пределом будет-у = О,
а верхним — у = 1 — х. Получим:
1 I — л: 1 3
11
0 0
2 Г 2 Г!1
Пример 10. Найти среднее значение функции / (я; у) = ху2 в прямо-
прямоугольнике [0 < х < 2, 1 < у < 4].
Решение. Для нахождения среднего значения функции на области ее
определения достаточно вычислить двойной интеграл по области и площадь са-
самой области.
В данной задаче, зная размеры прямоугольника 2 и 3, получаем Р = 2 • 3 = 6
и
Следовательно, среднее значение функции на данном прямоугольнике
1.6. Составить интегральную сумму для двойного интеграла
(Р)
где Р— область, ограниченная осями координат и прямыми х = 1,
у = 1. Область разбить на 4 квадрата прямыми х= — и у = —, за
точки Mk выбрать центры частичных квадратов.
В задачах 2.6—12.6 записать двойные интегралы от функций
f {x\ у) по указанным областям (Р) в виде повторных интегралов
двумя способами. Сделать чертежи областей интегрирования.
2.6. Область (Р) ограничена линиями:
х = — а, х = а, у = — 6, у = &.
3.6. Область (Р) ограничена линиями
у = 0, у = х, х —5.
161

4.6. Область (Р) есть треугольник с вершинами в точках
(-1;-1), A;3) B; -4).
Указание. Предварительно составить уравнение сторон треугольника как
прямых, проходящих через две точки.
5.6. Область (Р) есть параллелограмм с вершинами в точках
6.6. Область (Р) ограничена линиями:
х = О, у = 0, х2 + у2 = г2,
причем х > 0, у > 0.
7.6. Область (Р) ограничена кривой
*2 _J- y2 = Г2
8.6. Область (Р) ограничена кривой
JC2 V2
— 4-— — 1
9.6. Область (Р) задана неравенством
(х - 2J + (у - ЗJ < 4.
10.6. Область (Р) ограничена линиями:
у = х2, х = у2.
11.6. Область (Р) задана неравенствами:
у — 2х < 0, 2у — л: > 0, лгу < 2.
12.6. Область (Р) ограничена линиями:
у = *», * + у = 10, * — у = 4, у - 0.
В задачах 13.6—22.6 переменить порядок интегрирования в
повторных интегралах.
1 Ч
13.6. f dy \ f(x,y)dx.
6 6
4 /I
14.6. f dy f / (x,y) dy.
о Ъ
2
I5.6.|dyf/C
2 6 —л
16.6. fdx J f(r9
J
17.6. Jdy
—6 _
4
162

3 3-у
18.6. jdy f f(x;y)dx.
1 2 —v
19.6. J6fy J f(x;y)dx.
о у
20.6. JrfxJf(x;y)rfy + Jdxj/(
-3 —* 0 л;
VT
21.6. j dy $Vf(x;y)dx+ J dy $}(x;y)dx.
0 у f% —V
2
2 x% 4 10 —j
22.6.
J
0
0 0 2
7 10— X
* —4
23.6. При неаккуратном стирании с доски на ней осталось от
1 Ъх
решенной задачи только 1 J . По какой переменной вычислялся
внутренний интеграл? Восстановить область интегрирования (Р).
YJT
24.6. После стирания с доски осталось нестертым f. Какой
—у
это интеграл: внутренний или внешний? По какой переменной он
взят? Что можно сказать об области интегрирования (Р)?
В данных задачах оценить интегралы:
25.6. Г f D + cos xy\ dx dy, где (Р) — круг хг + у2 < 4.
26.6. J J A + х + у) dx dy, где (Р) — прямоугольник 0 <
<*<1,0<у<2.
27.6. Jj (*2 + V2 — 4* — 4у + 10) dxdy,
где (Р) — область, ограниченная эллипсом
хг + 4уа — 2х — 16у +13=0.
163

Вычислить данные повторные и двойные интегралы:
28.6. Г
J
3
J J
3 1
a 2Vax
29.6. fd* Г (л:2+У2)^У.
2я а
.6. Г ^ф Г
О а s
2я
30.6. Г ^ф Г г dr.
sin(p
1 /f^
31.6. [dx f y\ — x* — y*dy.
о oJ
32.6. f f (# — у) йл: dy, где область (Р) ограничена прямыми
J J
у = 0, у = х, х + у = 2.
33.6. и — d* dy, где область (Р) ограничена линиями х = 2,
у = лг, л:у = 1.
34.6. !Je^ dxdy, где область (Р) ограничена линиями х = у2,
(Я)
х = 0, у=1.
35.6. J J cos (x + у) dxdy, где область (Р) ограничена пря-
мыми jc -- 0, у = я, у = х.
С С dx йУ
36 6 \\ , у где область (Р) ограничена линиями х = 0,
у2 ^= а2 — ах.
37.6. J j dxdy, где область (Р) ограничена линиями у— 2 —х,
(Р)
у2 = 4Х + 4.
Указание. Рассмотреть оба способа сведения двойного интеграла к пов-
повторному и сравнить в смысле рациональности решения.
38.6. Вычислить повторный интеграл
Ь d
если известно, что
/(*; у) =Fxyte у)-
IG4

Найти средние значения заданных функций в указанных облас-
областях:
39.6. / (х; у) = sin2 х sin2 у в квадрате [0 < л; < л, 0 < у < я ].
40.6. / (х; у) — х2 + ху + 2у2 в треугольнике, ограниченном
осями координат и прямой х + у ¦= 1.
41.6. / (л:; у) = cos (л; + у) в области, ограниченной прямыми
х = 0, у = я, у = л:.
42.6. / (л:; у) = *у в области, ограниченной осью Ох и верх-
верхней полуокружностью (х — 2J + У2 = 1.
43.6. / (х\ у) = 1/г2 — х2 — у2 в круге х2 + у2 < г2,
44.6. Найти среднее значение квадрата расстояния точки М (х\ у)
круга (х — 2J + у2 < 9 от начала координат.
45.6. В квадратной пластинке плотность пропорциональна рас-
расстоянию от одной из ее вершин. Найти среднее значение плотности
пластинки, если сторона пластинки равна 3, а в точке, удаленной
от указанной вершины на 2J/^2, плотность равна 5.
Указание. Предварительно выразить плотность через х и у. Значение
плотности в данной точке использовать для определения коэффициента пропор-
пропорциональности.
46.6. На примере функции / (х\ у) = ~ , рассмат-
(у2 + л:2J
риваемой на квадрате [0<л;<1,0<у<1], показать, что тео-
теорема о перемене порядка интегрирования, выражаемая формулой
Ь уг(х) d хг{у)
\dx j f(x; y)dy = Jdy \ f(x; y)dx,
a yt(x) с х[(у)
может оказаться несправедливой. Чем это объясняется?
47.6. Доказать равенство
ъ d
) f / (х) Ф (У) dx dy = j / (х) dx J ф(у) dy,
(P) а с
где (Р) — прямоугольник а < x < bt ?<y<d.
48.6. Пусть функция / (х) непрерывна на отрезке [а; Ь]. До-
Доказать неравенство
где знак равенства имеет место лишь при / (л:) = const.
165

Указание. Рассмотреть интеграл J dx J [/ (х) •—- f (у) ]2 dy,
ь ь
J
а а
49.6. Пусть функция / (г, у) задана на квадрате 0 < х < 1,
О < у < 1 условиями
О, если х иррационально,
О, если х рационально,
f(x;y)=- У иррационально,
2. ; если х рационально,
ц у— несократимая дробь.
Показать, что / (х\ у) интегрируема и
1 1
/(*; y)dxdy = 0.
50.6. Функция / (х; у) задана на квадрате 0<л;<1,0<у<1
условиями
r- v\ - J 1> ±
'У) ""\0, если (х;у) Z А,
где А — множество, построенное в задаче 45.5.
Показать, что функция / (х\ у) неинтегрируема.
§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Пример 1. Вычислить интеграл j J Bx —- y)dx dy, где (Я) — параллело-
(Р)
грамм, ограниченный прямыми:
у=\,
Рис. 7.6
Рис. 8.6
166

Решение. Изобразим область (Р) на рисунке 7.6. Из рисунка видно, что
для вычисления данного интеграла область (Р) следует разбить на три части, как
показано штриховыми линиями. Задача, таким образом, сводится к вычислению
трех двойных интегралов. Однако можно избежать такого громоздкого способа
решения, если ввести новые переменные, положив:
х + у=и, 2x—y = v. (*)
Тогда прямые я + у = 1 и х + у = 2 в системе координат хОу преобразуют-
преобразуются в прямые и = 1 и и = 2 в системе координат UOv (рис. 8.6), а прямые 2х —
— у = 1 и 2jc — у == 3 — в прямые v = 1 и v = 3. Параллелограмм (Р) преоб-
преобразуется в прямоугольник (Q) со сторонами, параллельными координатным осям.
При преобразовании интеграла к новым переменным нужно сначала получить
выражения х и у через и и v из равенств (*):
и + у 2м — и
Вычислим якобиан данного, преобразования:
J(u, и)
Так как якобиан отличен от нуля, то выбранное преобразование области (Р) в об-
область (Q) будет взаимно однозначным. Кроме того, как функция f(x\ y)= 2х — у,
и + и 2« — у
так и функции и вместе со своими частными производными
3 о
являются непрерывными. Следовательно, имеем:
2 з
Bх —у) dxdy=\\—vdu dv=^\ du ]
v dv ¦
(P)
(P)
Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегриро-
интегрирования содержат сумму х2 + у2, то в большинстве случаев упрощение интеграла
достигается преобразованием его к полярным координатам. Это объясняется тем,
что данная сумма в полярных координатах получает весьма простое выражение
(р cos фJ + (о sin фJ = р2.
Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области
интегрирования входит сумма вида ах2 + by2; а > О, Ь > 0, то пользуются
«обобщенной» полярной системой координат:
Тогда
/ р \2 / Р \ъ
ах% -{-by2 = а —;= cos ф -\~Ь —г==- sin ф = ра,
р
а якобиан преобразования в этом случае / (р, ф) =—p=i.
167

Пример 2. Вычислить двойной интеграл
Я/F
(P)
где (Р) — верхний полукруг х2 + у2 < 1.
Решение. Преобразуем интеграл к полярным координатам:
х = р cos ф, у = р sin ф. Тогда
и данный интеграл примет вид:
(Я)
У
х
:pdpt
л
Вычисляя интеграл, получаем:
Рассмотрим область интегрирова-
интегрирования (Р) (рис. 9.6). Уравнение ее гра-
границы в полярных координатах примет
вид: р2 cos2 ф + р2 sin2 ф == 1, т. е.
р2 == 1, или р= 1 (предполагается,
что полярная ось совпадает с положи-
положительным направлением оси абсцисс).
В пределах данной области (Р) поляр-
полярный угол ф изменяется от0 дол;, а по-
полярный радиус р изменяется в преде-
пределах от 0 до 1 (луч, исходящий из по-
полюса и пересекающий область, входит
в область при р = 0, выходит из нее
при р = 1). Следовательно,
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
/= 11. dxdy.
-Я;
где область (Р) ограничена окружностями х2 + у2 = 4х, х2 -\- у2 = 8х и прямы-
прямыми у = х, у — 2х.
Решение. Область (Р) изображена на рисунке 10.6. Перейдем к поляр-
полярным координатам х = pcos ф, у = р sin ф. Тогда подынтегральная функция
/ (х',у)= ~ — = Р. Криволинейные участки границы области задаются
уравнениями:
р;2 cos2 Ф -+¦ р2 sin2 ф = 4 р cos ф, или р = 4 cos ф,
р2 cos2 ф + р2 sin2 ф = 8 р cos Ф, или р — 8 cos ф,
168

Рис. 10.6
а прямолинейные участки уравнениями:
р sin ф = р cos ф,
р sin ф = 2 р cos ф,
или tg ф =' 1, откуда ф = — ,
4
или tg ф = 2г откуда ф = arc tg 2.
Итак, угол ф изменяется в постоянных пределах от — до arc tg 2. Чтобы найти
4
пределы изменения р, пересечем область (Р) лучом, исходящим из полюса. При
входе в область он пересечет границу р = 4 cos ф, при выходе — границу
р = 8 cos ф. Следовательно, 4 cos ф — нижняя граница интегрирования, а
8 cos Ф — верхняя граница,
Имея в виду, что при данном преобразовании якобиан J (р; ф) = р, можем
представить двойной интеграл в новых координатах следующим образом:
urctg2 8со$ф
g
'- J * J
4СО8Ф
arctg2 8cos ф
J J p3 '
4 cos
этот интеграл, полу-
полуВычисляя
чаем / = —.
128
Пример 4. При какой замене
переменных криволинейный четырех-
четырехугольник (Р), ограниченный линиями
*у= 1, ху = 2, * — у+ 1 = 0,
х —у — 1 = 0 (х > 0, у > 0), пе-
Рис. ПД
169

v\
о
-f
ж
рейдет в прямоугольник (Q), стороны которого
параллельны координатным осям?
Решение. Криволинейный четырехуголь-
четырехугольник (Р) изображен на рисунке 11.6. Обозна-
Обозначим новые переменные через о и. В системе
координат uOv по условию задачи прямоуголь-
прямоугольник (Q) должен быть ограничен некоторыми пря-
прямыми, параллельными координатным осям,
Рис. 12.6
и— иъ и — и2, u — vL,
заданных линий
ху = 2,
v = v2. Из уравнений
х — у = —1,
х-у=\
видно, что при ху = и, х — у = v получится требуемое преобразование. Прямо-
Прямоугольник (Q) будет ограничен прямыми и = 1, и == 2, v= —1, v = 1 (рис. 12. 6).
В данных задачах перейти к полярным координатам и расста-
расставить пределы интегрирования.
51.6. J J / (х; у) dx dy, где область (Р) — круг х2 + у2 <
ах.
52.6. ) J / (х; у) dx dy, где область (Р) является общей частью
(Р)
двух кругов х2 + у2* < ах и х2 + У2 < Ьу.
53.6. JJ / (х; у) dx dy, где (Р) — треугольник, ограниченный
прямыми у = х, у = — х, у = 1.
z
.6. [
54
55.6.
YR'-x'
j f(x; y)dy.
Vr~
56.,
Произвести указанную замену переменных и расставить пределы:
Ь Pjc
57.6. Jdx j f(x; y)dy @<:a<b, 0<
если w = x, t> =^ — .
:; y) dy, если w=
v = x — y.
179

59.6. JJ f(x; y)dxdy, где (Р)—область, ограниченная кривой
(Р)
I 1 \2 г
(х2 + — у2 = х2у, если х = р cos ф, у = У 3 р sin ф.
60.6. )\ dx dy, где область (Р) ограничена параболами у =»
= ах2, у = Ьх2 и гиперболами ху = р, ху = ^, если у = t^c2,
ху = о @<a<fc, 0<p<G).
61.6. ) j / (х; у) dx dy, где область (Р) ограничена линиями jc=
= 0, у - 0, Ух + )/у - Va (а > 0), если х = и cos Ч у =»
= a sin *v.
а пх
62.6. Г dx Г / (х; у) rfy, где а > 0, 0 < m < п, если а =*
0 тх
= х + у, uv = у.
Вычислить данные интегралы с помощью перехода к полярным
координатам:
63.6. \^yrr2—x2—y2dxdy, где (Р) — круг х2 + у2 < /х
(Р)
64.6. jjydxdy, где (Р) — верхний полукруг радиуса а с
(Р)
центром в точке (а; 0).
65.6. f J (х2 + у2) rfx dy, где (Р) — круг х2 + (у + 2J < 4.
66.6. ff arctg ^-dxdy, где (Р) — часть круга я2 + У2< *t ле-
лежащая в первом квадранте.
67.6. JJ dx dy, где область (Р) ограничена лемнискатой (х2 +
+ У2)» JP2a2xy:
2а V2ax— x2
68.6. [dx [ dy.
69.6. Преобразовать с помощью подстановки х == а р cos ф,
у = ft p sin ф интеграл
где (Р) — лежащая в первом квадранте часть эллиптического
кольца, ограниченного эллипсами
у2 V2 v2 V2
т

70.6. Вычислить двойной интеграл от функции Ух2 + у2 по
области (Q), ограниченной кардиоидой х2 + у2=а (Ух2+у2+х)
и окружностью х2Н-у2— а2 (берется область, не содержащая нача-
начала координат).
Вычислить интегралы с помощью замены переменных указанны-
указанными способами:
71.6. j j (х2 + у2) dxdy, где (Р) — область, ограниченная
(Р)
окружностями х2 + у2 + 2х — 1 = 0 и х2 + у2 + 2х = 0.
Указание. Положить х -\- 1 = р cos ф, у = р sin ф.
72.6. ^ху dx dy, где область (Р) ограничена линиями ху =
Указание. Положить л: + у = и, ху = v.
73.6. 11 ^ dxdy, где область (Р) определяется неравенст-
(Р)
вами х > 0, у > 0, х + у < 1.
Указание. Положить я = и — И0, у ~uv.
74.6. ] j dx dy, где область (Р) ограничена параболами у2 =
р= 2а:, у2 = Зх и гиперболами ху =» 1, ху — 2.
у2
Указание. Положить ху =и, — =w.
л;
75.6. J J x2 у dx dy, где область (Р) ограничена гиперболами
ху = р, ху = <7 @ < Р < Фу прямыми у =з ах, у =* Ьх @ < а[ < Ь)
и расположена в первом квадранте.
Указание. Положить х = 1/ iL , у = "^ио.
76.6. ff _=
где область (Р) ограничена эллипсом — + у— = 1 (а > 6).
Указание. Перейти к полярным координатам.
172

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первом квадранте,
ограниченной окружностью х2 + у2 = 2ах, параболой у2 = 2ах и прямой х =
= 2а.
Решение. Прежде всего необходимо данную фигуру изобразить на ри-
рисунке (рис. 13.6). Для вычисления площади воспользуемся формулой:
Р = jj dx dy.
(Р)
Из рисунка видно, что внешние
пределы интегрирования удобнее
выбрать по х, так как в противном
случае фигуру пришлось бы разби-
разбивать на три части и соответственно
вычислять три интеграла. Постоян-
Постоянными пределами будут 0 и 2а. Снизу
фигура ограничена верхней полу-
полуокружностью, уравнение которой
у — У2ах — х2. Следовательно,
Y2ax — х2 — нижний предел ин-
интегрирования. Сверху фигура огра-
ограничена верхней ветвью параболы,
уравнение которой у = }/г2ах. Сле-
Следовательно, \г2ах —- верхний пре-
предел интегрирования.
Таким образом, получим:
2а Y2ax
Рис. 13.6
2а Y2ax 2«
Р=jJ dxdy = j dx ) dy = J (V2ax — /2a*— x2) dx
8a2 ка2
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
(х2 + у2)з = 2х\ (*),
Решение. В данном случае,-
для того чтобы представить на рисунке
(рис. 14.6) данную плоскую фигуру,
нужно предварительно провести иссле-
исследование ее контура по заданному ура-
уравнению. Контур задан уравнением ше-
шестой степени относительно х и у.
В первую очередь отметим, что
уравнение не меняется при замене у
на —у, и потому кривая симметрична
относительно оси абсцисс. Кроме того,
из уравнения видно, что х > 0, и по-
потому кривая расположена справа от
оси ординат.
Рис. 14.6 Дальнейшее исследование метода-
методами дифференциального исчисления в
данном случае ьесьма затруднительно, поэтому перейдем к полярным координа-
координатам, положив х — р cos ф, у = р sin <p. Подставляя в (*), получим:
рв — 2рб cos6 Ф, или р — 2 cos6 ф.
173

По этому уравнению видно, что каждому значению
чение радиуса р. Кроме того, наибольшее значение р =
гла ф следует одно зна-
знадостигается при Ф = О,
к п
наименьшее—р = 0 при ф= ~-, т. е. при изменении ф от 0 до — величина р мо-
нотонно убывает от значения 2 до 0. Это дает возможность установить форму
части кривой, расположенной в первой четверти. В силу симметричности кривой
выясняется тем самым форма и всей кривой (*) (см. рис. 14.6).
После того как выяснена форма заданной плоской фигуры и сделан чертеж,
можно приступить к нахождению площади фигуры. Симметричность фигуры от-
относительно оси Ох позволяет ограничиться вычислением площади ее части, лежа-
лежащей в первой четверти. Получим:
(P)
2cos» ф
j
2cos* ф
9!! * 63
— . -=—к.
Пример 3. Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченно-
ограниченного параболой
и осью Ох.
Рис. 15.6
и
J(u, *) =
дх
да
ду
да
дх
fa
ду
dv
' b
Решение. Введем новые
координаты, положив
х у х у
а Ь а о
Тогда в системе координат uOv
уравнение параболы примет обыч-
обычный вид: и2 = v (рис. 15.6). Оси
абсцисс (у = 0) в старой системе
координат будет соответствовать в
новой системе координат прямая
и = v.
Найдем якобиан преобразова-
преобразования:
a
2
b
I
a
~*
b
~~ 2
a
ab
4
ab
4
b
У= 2
ab
2 •
174

При вычислении интеграла возьмем постоянные пределы по и @ < и <1).
Тогда переменными пределами по v будут: и2— нижний, и — верхний. Таким
образом, получим:
1 и 1
— dv =~
(P) 0 и2
1 1
«6 С ab /и2 и?
2 Jl ; 2 \2 3
1
/и2 и?\ аЬ / 1 1 \ а&
— — — ) =—— — — ) = —.
\2 3J0 2 \2 3/ 12
Найти площади плоских фигур, ограниченных заданными ниже
кривыми:
77.6. ху = 4, * + у — 5 = 0.
78.6. -х =* у, л: - 2у, л: + у = а, л: + Зу = а (а > 0).
79.6. ху = а2, ху = Ь2, у = т, у = п.
80.6. у = *, у = 5*, * = 1.
81.6. Yx'+Yy^ У а, х + у = а.
82.6. Эллипсом — + ? = 1.
а2 #>
83.6. у2 - Юх + 25, у2 - — 6х + 9.
84.6. Построить области, площади которых выражены следую-
следующими интегралами:
2 х+2 я 1-f-cosjr 3 у2
a) \dx j dy; б) f dx J dy; в) j dy j dx.
— 1 jt» 0 0 1 ^_2
4
Вычислить эти интегралы.
Вычислить площади плоских фигур, ограниченных заданными
кривыми, с помощью преобразования к полярным координатам:
85.6. (х2 + у2J = 2а2 (х2 — у2).
86.6. (х2 + 2у2K = ху4.
(v2 V2\2
(
88.6. (х2 + у2J- а (х3 — Зху2) (а > 0).
89.6. (х + уK = ху (х > 0, у > 0).
90.6. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ог-
ограниченного дугами парабол х2 = ау, х2 = by, у2 = сх, у2 = dx
@ < а < ft, 0 < с < d).
Указание. Ввести ловые переменные а и у, положив
2 2
91.6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
где параметры Л и А положительные.
?+JLe^_g (x>0,y>0),
a b h2 k2
175

Указание. Ввести обобщенные полярные координаты х = ар cosv
у = рр sinv ф, подобрав соответствующим образом а, Р и у.
92.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
Указание. См. указание к задаче 91.6.
93.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
ху
Указание. См. указание к задаче 91.6.
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
Пример 1. Вычислить объем
прямого бруса, ограниченного сверху
параболоидом z = 4 — х2 — у2 и
имеющего основанием квадрат, огра-
ограниченный в плоскости хОу прямыми
х= ± 1, у = ± 1.
Решение. Прежде всего делаем
рабочий чертеж (рис. 16.6). В дан-
данном случае подынтегральной функ-
функцией будет / (х; у) = 4 — х2 — у2. Она
всюду положительна на указанном
квадрате. Так как основанием бруса
служит прямоугольник со сторонами,
параллельными координатным осям Ох
и Оу, то пределы интегрирования по
обеим переменным постоянны. По
формуле
V=
A)
получим:
1
*; y)dxdy
~1
Замечание. Задачу вычисления интеграла можно было облегчить, ис-
использовав симметричность бруса относительно координатных плоскостей хОг
и уОг, т. е. записав
Рис. 16.6
1 i
V = ( dx Г D ¦
1
4 f
о
1
Г D — *2 —
о
у2) dy.
176

Пример 2. Вычислить объем шара, ограниченного сферой
х2 + у2 + г2 = Я2.
Решение. В силу симметричности данного шара относительно координат-
координатных плоскостей, очевидно, достаточно ограничиться вычислением объема его вось-
мдй части, расположенной в первой октанте (рис. 17.6).
Подынтегральной функцией
будет z = YR* —х2 — у2 (ко-
(корень берем с положительным
знаком потому, что рассматри-
рассматриваемая часть шара расположена
над плоскостью хОу). Чтобы
установить пределы интегриро-
интегрирования в формуле A), необходи-
необходимо сначала установить область
интегрирования. Она ограниче-
ограничена пересечением плоскости хОу
с поверхностью шара. Чтобы
получить это пересечение, поло-
положим в уравнении поверхности
шара z=0. Полученная ок-
окружность х2 + у2 = R2 и будет
контуром области задания функ-
функции г = YR2 — х2 — у2. При
нашем упрощении задачи об-
областью интегрирования будет рис ^ q
часть круга, расположенная
в первой четверти плоскости
хОу. Взяв постоянные пределы интегрирования по х @ < х < R), получим
пределы по у: 0— нижний, YR2 —*2— верхний. По формуле A) будем иметь:
— a:2-
- у2 dy.
Для вычисления внутреннего интеграла сделаем подстановку
у = YR2—x2 sin t. Тогда dy = Y^—x2 cos t dt и
I
n
~2
_ *a _ y2 dy= С (R2 — x2) cos21 dt = — (i?2 _ x2)
о
(пока x постоянная!). Следовательно
1 ТС Г Ж#*
8 4 J &
откуда
Замечание. Можно было воспользоваться и преобразованием интеграла
к Полярным координатам.
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного снизу плоскостью хОу,
сверху плоскостью 2 — х — у — 2z=0, с боков цилиндрической поверхностью
у = дс2 и плоскостью у = х.
177

Рис. 18.6
Решение. Данное тело изображено на рисунке 18.6. Подынтегральная
функция / (х; у) = -— B — х — у). Область интегрирования (Р) ограничена пря-
прямой у = х и параболой у = х2. При определении пределов интегрирования поль-
у р у р р
зуемся уже известным приемом. Получим
и по формуле A)
р рр
0 < х < 1, х2 < у < ху
— B — * —y)dy= —
о **
у- дсу - ?
2 L 6 ^ 4 ^ lojo
6
10/ 120
Рис. 19.6
Пример 4. Оси двух
круговых цилиндров с одинако-
одинаковыми поперечными сечениями
пересекаются под прямым уг-
углом. Вычислить объем общей
части этих цилиндров.
Решение. Обозначим
радиус поперечного сечения
каждого из цилиндров через г.
Выберем прямоугольную систе-
систему координат в пространстве
таким образом, чтобы оси ци-
цилиндров совпадали с осями Оу
и Ог. Тогда уравнения цилин-
цилиндрических поверхностей будут
иметь вид:
178

x% + г2 = г2 — цилиндрическая поверхность с осью симметрия Oyt
xz -f- у2 = г2 — цилиндрическая поверхность с осью симметрии 0г.
На рисунке 19.6 отмечена одна восьмая часть тела, получаемого указанным се-
сечением двух цилиндрических тел. Подынтегральной функцией будет, очевидно,
разрешенное относительно у уравнение поверхности цилиндра с осью симметрии
Оу, т. е.
/ (Х; у) = У г2— хг.
Проектируя ее часть, отрезанную второй поверхностью и содержащуюся в
первом октанте, получим область интегрирования при вычислении объема выде-
выделенной на рисунке части тела. Ею будет часть круга хг + у2 < г2, расположенная
в первой четверти плоскости хОу. Если по х взять постоянные пределы @<#<г),
то по у будут пределами: 0 — нижний предел, а УV2 — х2 — верхний.
Тогда
i
2
2 16
Следовательно, V == 8- -— г3 = —- г3.
«3 о
Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
x* + у* = 4л;, г =
Решение. Поверхность х2 + у2 =
= 4* есть круговой цилиндр, ось кото-
которого совпадает с осью Oz, a z= x и
г = 2# — плоскости, проходящие через
ось Оу под разными углами наклона к
плоскости хОу. Эти плоскости, пересекая
цилиндр, вырезают из него клинообраз-
клинообразный слой (рис. 20.6), объем которого
и нужно вычислить. Сам слой не является
цилиндрическим брусом, и потому его
объем не может быть вычислен непосред-
непосредственно по формуле A). Однако его можно
рассматривать как разность двух ци-
цилиндрических брусов, срезанных сверху
плоскостями z = 2x [f (х\ у) = 2х] и z =
= х [/(#; у) = х]> Пределы изменения для
л; и у находим из уравнения контура
области интегрирования х2 + у2 — 4#.
Здесь удобнее взять постоянные пределы
по л: @ < х < 4). Тогда по у будут: 0 —
нижний предел, У~4х — хъ — верхний
тела представится в виде:
2х.
Рис. 20.6
предел, и искомая половина объема
4 V \Х—К* \
Yix-K*
dx
Следовательно, V= 8я.
179

94.6. Изобразить на чертеже тело, объем которого выражается
интегралом
о о
и вычислить этот объем.
95,6. Изобразить на чертеже тело, объем которого выражается
интегралом
\dx J D~x-y)dy,
О 2-х
и вычислить этот объем.
96.6. Изобразить на чертеже тело, объем которого выражается
интегралом
а у &— х*
^x J Va*-x*-y2dy.
о
Из геометрических соображений определить величину этого интег-
интеграла.
97.6. Вычислить объем тела, ограниченного координатными
плоскостями, плоскостями х = 4, у = 4 и параболоидом вращения
г = х2 + У2+ I.
98.6. Вычислить объем тела, ограниченного координатными
плоскостями и плоскостью — + — + — = 1 (пирамида).
a b с
99.6. Вычислить объем тела, ограниченного координатными
va
плоскостями, плоскостью 2х + Зу — 12 = 0 и цилиндром z — — .
100;6. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами z =
~ 4 — у2, у = — и плоскостью 2 = 0.
101.6. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами х* +
+ у2 = г2, г = — и плоскостью 2 = 0 B > 0).
а2
102.6. Вычислить объем тела, расположенного в первом октан-
октанте и ограниченного гиперболическим параболоидом z --= — , ци-
цилиндром х2 + у2 = ах и плоскостью 2=0.
103.6. Найти объем тела, вырезанного цилиндром х2 + у2 =*
= гх из сферы х2 + У2 + z2 = г2.
104.6. Найти объем тела, вырезанного параболоидом вращения
х2 + у2 = 2 B > 0) из цилиндра х2 + у2 = х.
105.6. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
z = — (а2 — я2 — 4у2) и плоскостью 2 = 0.
а
180

106.6. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами у =
= V*> У = %VX и плоскостями z = 0, х +¦ г = 6.
107.6. Вычислить объем частей, на которые эллипсоид —f-
а2
v2 z2 л:2 v2 22
ц- L. -|— = 1 рассекается конусом \- у— = —.
^ б2 с2 V У а? Ь* с2
108.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
г = х + у, *у =*= 1, ху = 2, у — д:, у = 2ху z = 0 (л: > 0, у > 0).
Указание. Заменить переменные ху = и, — =v.
109.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
г = х2 + у2, х = х2 + у2, 2х - х2 + у2, г =0.
Указание. Перейти к полярным координатам.
110.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z = х2 + у2, ху ¦==- а2, ху = 2а2, у = —, у = 2х.
111.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
х2 + у2 = а2, х2 + у2 — z2 =—а2.
Указание. Воспользоваться обобщенными полярными координатами.
112.6. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью z = 0,
цилиндром х2 + у2 = 2ах и поверхностью прямого кругового ко-
конуса, вершина которого расположена в начале координат, ось
совпадает с осью Oz и угол осевого сечения при вершине равен 90э.
113.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
шара радиуса а и поверхностью прямого кругового цилиндра,
радиус поперечного сечения которого равен — и одна из образую-
образующих которого проходит через центр шара.
114.6. Найти объем тела, заключенного между параболоидом
вращения х2 + z2 = az, цилиндром х2 + у2 = ау и плоскостью
z = 0.
115.6. Вычислить объем тела, которое снизу ограничено пло-
площадью лемнискаты р2 = a2 cos 2<p, расположенной в плоскости
хОу, сверху поверхностью шара х2 + у2 + z2 = а2, а с боков
цилиндрической поверхностью, направляющей для которой слу-
служит лемниската.
116.6». Найти объем тела, ограниченного поверхностями
х2 + у2 + z2 = 2г, х2 + у2 - г.
Указание. Перейти к полярным координатам.
181

117.6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
+у+ 1, +у+1.
9 У 4 ' 9 ^ 4
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам.
118.6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Х2+У1^± х + ± = 2.
4 3 3
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам.
119.6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
2аг = х2 + у2, х2 + у2 + г2 = За2.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам.
120.6. Найти объем тела, Ограниченного поверхностями
х2 + У2 + г2 = а2, *2 + у2 = а2 (л:2 — у2).
Указание. Перейти к полярным координатам.
121.6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
a2 b2 с ас
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пример 1. Вычислить площадь той части плоскости 6 х + Зу + 2* =
12, которая заключена в первом октанте (рис. 21.6).
Решение. Имеет место формула
S = И у 1 + (—) + (—) dx dy. A)
\р) ^ х' ^ у'
Мы имеем: г = 6 — Зх ——у, z^ =
С = 1/1+9+1 =
7_
~2*
Проекцией данной плоскости на пло-
плоскость хОу является треугольник, огра-
ограниченный координатными осями Ох, Оу и
прямой 6* + Зу = 12 (последняя полу-
получается из уравнения данной плоскости при
г = 0). Получим:
182

2 4—2x
s =
Лс = - \D-2x)dx =
7 2 7
= — [ix — x%\ = -- • 4 = 14 (кв. ед.).
Пример 2. Вычислить пло-
площадь части поверхности парабо-
параболоида 2г == х2 + у2, вырезанной
цилиндром (л:2 + у2J = хг — уа.
Решение. Контуром про-
проекции вырезанной части на пло-
плоскость хОу является лемниската
(рис. 22.6). Цилиндр вырезает из
параболоида два равных куска по-
поверхности. Чтобы вычислить их
общую площадь, воспользуемся
формулой A). Для нее из уравне-
уравнеуг)
ния параболоида г — — (х% +
получим подынтегральную функцию.
Следовательно,
S= j J
P
j J
(P)
Рис. 22.6
Преобразуем интеграл к полярным координатам х = р cos q>, у = () sin q>.
Подынтегральная функция запишется в виде
а уравнение лемнискаты — в виде
(р2 cos2 ф + р2 sin2 фJ = р2 cos2 ф — р2 sin2 q>,
или
р* = pa Cos 2ф, р = ± }^cos 2ф.
Так как параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей XOZ
и yOZ, то достаточно вычислить интеграл по одной четвертой части лемнискаты,
расположенной в первой четверти плоскости хОу. Следовательно, пределами ин-
интегрирования будут: 0 < ф < — , 0<р< jAcos 2q>". Получим:
4
Усоа 2<р
183

откуда
122.6. Вычислить площадь той части поверхности г2 = 2яу, ко-
которая находится над прямоугольником, лежащим в плоскости хОу и
ограниченным прямыми х = 0, х = 3, у = О, у = 6.
123.6. Найти площадь части плоскости — + ~ + ¦— = 1> за-
а Ь с
ключенную между координатными плоскостями.
124.6. Найти площадь части поверхности шара х2 + у2 + z2 =
= 100, заключенной между плоскостями х = — 8 и х = 6.
125.6. Вычислить площадь части поверхности конуса г2 —
= х2 + у2, лежащей над плоскостью хОу и отрезанной плоскостью
126.6. Вычислить полную поверхность тела, ограниченного
сферой х2 + у2 + z2 = За2 и параболоидом х2 + у2 = 2az (z > 0).
127.6. Вычислить площадь части поверхности параболоида
2г -= х2 + у2, вырезанной цилиндром х2 + у2 = 1.
128.6. Вычислить площадь части поверхности параболоида
у2 -f z2 = 4ах, вырезанной цилиндром у2=ах и плоскостью х = За.
129.6. Вычислить площадь поверхности части параболоида
—|_ L. = 2г, вырезанной поверхностью 1- — = с2.
130.6. Вычислить площадь части сферы х2 + у2 + г2 = а2,
X2 V2
заключенной внутри цилиндра —\- — =1 (Ь < а).
а2 Ъ2
131.6. Вычислить площадь части поверхности гиперболичес-
гиперболического параболоида z = — (^2_у2)? вырезанной плоскостями х —
— У = ± 1, х + у=±1.
132.6. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 +
+ у2 ~ 2ах, содержащуюся между плоскостью X0Y и конусом
д-2 _i_ у2 -^ г2 и расположенную в первом октанте.
133.6. Вычислить площадь части поверхности параболоида
z2 = 2рх, вырезанной параболоидом у2 = 2qx и плоскостью х = а.
134.6. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 +
-f у2 =^ а2, вырезанной плоскостями х+ z = 0, х — г = 0 (х > 0,
У>0).
135.6. Центр сферы радиуса г находится на поверхности пря-
прямою цилиндра, радиус основания которого ~. Вычислить:
а) площадь части поверхности цилиндра, вырезанной сферой;
б) площадь части поверхности сферы, вырезанной цилиндром.
136.6. Вычислить площадь части поверхности конуса у2 + г2 =
*= х2, расположенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
184

137.6. Вычислить площадь части поверхности того же конуса,
вырезанной цилиндром х2 = ау.
138.6. Вычислить площадь части поверхности конуса х2 — у2 =*
= г2, расположенной в первом октанте и ограниченной плоскостью
у + z = a.
139.6. Вычислить площадь части поверхности г = arc tg — ,
X
проекция которой на плоскость хОу дает первый виток спирали
Архимеда р = ф.
140.6. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности
2_ 2_ 2_
у3 + 23 = а3, вырезанной поверхностью, проектирующейся на плос-
?_ L L
кость хОу в виде кривой хъ + у3 = а .
141.6. Вычислить площадь части поверхности х2 + у2 = 2azt
заключенной внутри цилиндра (х2 + у2J = 2а2ху.
142.6. Вычислить площадь части земной поверхности (считая
ее сферической, при радиусе R = 6400 км), заключенной между
меридианами ф = 30°, ф = 60° и параллелями в = 45° и в= 60°.
143.6. Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами,
диаметры оснований которых равны радиусу шара и которые ка-
касаются друг друга вдоль одного из диаметров шара. Вычислить
площадь поверхности оставшейся части шара.
144.6. Доказать, что площади частей поверхностей параболоидов
х2 + у2 ¦= 2аг и х2 — у2 = 2аг,
вырезанных цилиндром х2 + у2 = R2, равны.
145.6. Оси двух равных прямых круговых цилиндров, у кото-
которых поперечные сечения имеют радиус г, пересекаются под прямым
углом. Найти площадь части поверхности одного цилиндра, вы-
вырезаемой другим.
§ б. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ К МЕХАНИКЕ
Пример 1. Найти массу квадрат-
квадратной пластинки со стороной 2а, если плот-
плотность материала пластинки пропорцио-
пропорциональна квадрату расстояния от точки пе-
пересечения диагоналей и на углах квадра-
квадрата равна единице.
Решение. Пластинку естественно
расположить в прямоугольной системе
координат таким образом, чтобы точка
пересечения диагоналей совпадала с на-
началом координат, а стороны были парал-
параллельны координатным осям (рис. 23.6).
После этого можно составить функцию
плотности р(х; у) материала пластинки
по условиям задачи. Пусть М (х\ у) —
произвольная точка квадрата (|*| < а,
\у\ < а). Тогда квадрат расстояния ог Рис. 23.6
V85

точки пересечения диагоналей (начала координат) будет равен х%-\-у2. Следова-
Следовательно, плотность в точке М представится в виде
Р (Af) = p(r, у) = k (*2 + у\
где k — коэффициент пропорциональности. Чтобы найти числовое значение этого
коэффициента k, используем известное значение плотности на углах квадрата.
Возьмем, например, вершину угла (а\ а). Тогда получим:
1 = k (а2 + а2),
откуда4
2a2
Подставляя* найденное значение k в выражение функции плотности, окон-
окончательно получим:
Р(*; y) = r2a"tt'
2а*
Теперь остается только вычислить двойной интеграл
(Р)
Учитывая, что подынтегральная функция четная относительно л: и у (т. е. плот-
плотность симметрична относительно начала координат), можем ограничиться вычис-
вычислением интеграла только по одной четвертой части области (Р), расположенной
в первой четверти
а а
=| f U+l] dx=
0 0
a*x
2 2a4
о
a
Рис. 24.6
Пример 2. Найти статические мо-
моменты относительно осей координат сег-
х* f
мента эллипса — + — = I, ограничен-
ограничений Ьг
ного прямой Ьх + ay = a& (рис. 24.6).
Решение. В данной задаче о плот-
плотности ничего не упоминается. Следова-
Следовательно, она предполагается постоянной и
равной единице и масса фигуры числен-
численно равна ее площади. Отсюда полу-
получаем:
j ydy=—
-<*-*>

171
У ^ \\ x dx dy -
(P)
аЧ
a
Пример З. Найти центр тяже-
тяжести фигуры, ограниченной двумя пара-
параболами у2 = х и х2 = у.
Решение. Для нахождения
координат центра тяжести (|; т]) доста-
достаточно вычислить по заданной области
три интеграла, определяющие массу и
статические моменты этой области
(рис. 25.6):
т =
1
Я
IP)
Рис. 25.6
Я
(Р)
тх
(Р) б
|; t] центра тяжести равны:
mv 20 9
20'
т
20
20#
Следовательно,
9_
='2О
Пример 4. Найти момент инерции круга радиуса R относительно точки,
лежащей на окружности.

Решение. Составим уравнение окружности, проходящей через начало
координат, хг + у2 = 2гх и вычислим момент инерции /0 . Получим:
/. =
= Я (
+ у2) dxdy.
Вычислим интеграл i0 в полярных координатах.
В полярной системе координат уравнение данной окружности представится
в виде р = %r cos ф. Получим:
п
а
2rcosq>
о
2
х у
Пример 5. Вычислить iv площади эллипса — + — = 1.
у а2 Ь2
Решение.
= Г Г хЧх dy = 4 Г хМл; f dy = —
(Р) О О
(Р)
Пример 6. Вычислить момент инерции площади, ограниченной параболой
у% — ах и прямой х = а относительно прямой у = —а.
Решение. Как видно из чертежа (рис. 26.6), расстояние любой точки
(г, у) фигуры (Р) до оси &хг будет равно у 4- а, а квадрат расстояния (у + аJ.
Следовательно,
146.6. Найти массу круга, плотность которого в каждой точке
пропорциональна расстоянию от этой точки до контура круга.
147.6. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими
окружностями, радиусы кото-
которых г и R (г < /?). Найти массу
кольца, если известно, что пло-
плотность материала обратно про-
пропорциональна расстоянию от
центра окружностей и плотность
на окружности внутреннего кру-
круга равна единице.
148.6. На фигуре, ограничен-
НОЙ
У \
0
j
/
\
-а
а
Л
X'
эллипсом —
а2
b2
Рис. 26.6
пределена масса так, что плот-
плотность ее пропорциональна рас-
расстоянию от оси абсцисс, причем
при у = 1 она равна у. Найти
массу всей фигуры.
149.6. Найти массу прямо-

угольной фигуры, ограниченной прямыми х = О, х = 2, у = О,
у = 3, если плотность в каждой точке равна кубу абсциссы,
умноженному на квадрат ординаты этой точки.
150.6. Найти статические моменты относительно координатных
осей четверти круга радиуса R.
151.6. Найти статические моменты относительно координат-
координатных осей части плоскости, ограниченной линиями
у = х2, у + х = 2, у = 0.
152.6. Найти статический момент полукруга относительно его
диаметра.
153.6. Найти статический момент круга относительно его каса-
касательной.
154.6. Доказать, что статический момент треугольника с ос-
основанием а относительно этого основания зависит только от высоты
треугольника.
В задачах 155.6—163.6 найти координаты центров тяжести ука-
указанных однородных плоских фигур:
155.6. Полукруга радиуса R.
156.6. Фигуры, ограниченной кривыми у = 2х? и у2 — 2х.
157.6. Фигуры, ограниченной параболой у = 2х — Ъх1 и
осью Ох.
158.6. Сектора архимедовой спирали р = асо, получаемого при
изменении о) от 0 до - .
2
159.6. Кругового сектора с радиусом г и углом при вершине 2а,
симметричного относительно оси Ох.
160.6. Фигуры, ограниченной синусоидой у = sin x и прямой
тс
X = — .
4
161.6. Фигуры, ограниченной кардиоидой р = а A +cosq>).
162.6. Фигуры, ограниченной замкнутой кривой у2 = х2 — х*
(х>0).
163.6. Фигуры, Ограниченной кривой, заданной параметричес-
параметрическими уравнениями х = а (/ — sin /), у = а A — cos f) @ < / <2я)
и осью Ох,
164.6. Вычислить момент инерции прямоугольника со сторона-
сторонами а и Ъ относительно его сторон.
165.6. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а от-
относительно одной из вершин.
166.6. Вычислить момент инерции треугольника, ограничен-
ограниченного прямыми х + у = 2, х = 2, у = 2 относительно оси Ох.
167.6. Вычислить момент инерции полукруга относительно
его диаметра.
168.6. Вычислить момент инерции круга относительно его
центра.
189

169.6. Вычислить момент инерции круга относительно касатель-
касательной.
170.6. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кри-
кривой (х2 + у2J = а2 (х2 — у2) относительно начала координат.
Указание. Перейти к полярным координатам.
171.6. Доказать, что момент инерции кругового кольца от-
относительно центра в два раза больше момента инерции относитель-
относительно любой оси, проходящей через центр кольца (лежащей в его плос-
плоскости).
172.6. Доказать, что момент инерции плоской фигуры относи-
относительно какой-нибудь оси равен
Aid2 + /„
где М — масса, распределенная на фигуре, d — расстояние от оси
до центра тяжести фигуры, а 1С — момент инерции относительно
оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести фи-
фигуры (теорема Штейнера).
§ 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пример 1. Вычислить тройной интеграл
dx dy dz
(V)
где область (V) ограничена поверхностями дс + у + г = 1, * = 0, >> = 0.
Решение. Уравнение х + у -f z = 1 представляет собой плоскость, от-
отсекающую на осях отрезки, равные 1; х = 0, у == 0— координатные плоскости.
Область (V) есть пирамида (р~ис. 27.6). Из чертежа сразу видно, что по любой из
переменных можно с одинаковым ус-
успехом брать постоянные пределы и
они равны 0 и 1. Возьмем, например,
постоянные пределы по х @<х<1).
Проекцией пирамиды на плоскость
хОу является треугольник, ограничен-
ограниченный прямыми а:=0, у=0 их+у=1.
Отсюда определяем пределы интег-
интегрирования по у @ < у < 1 — х).
Для переменной z нижним пределом
будет, очевидно, z = 0 (плоскость
хОу), а верхним — значение z,
полученное из уравнения плоскости
х+у+ 2=1, т. е. 2=1 — х —у.
Определив пределы интегриро-
интегрирования по каждой из переменных,
можем представить данный тройной
интеграл через повторный и выпол-
выполнить вычисление, последовательно
вычисляя соответствующие опреде-
определенные интегралы.
Рис. 27.6
№

Получим:
0 0
1-я 1-х-у
у
dxdydz С С Г dx
JJJ(+4y + ) J J )
(V) 0 0 0
1 1-* \-x-y 1 1-*
I|[]i| I (
xy
Пример 2. Вычислить интеграл
2я
Решение.
Г Жр f prfp f dz.
? О R
7? О L 3 -*°
Расставить пределы интегрирования, если интегрирование про-
производить в последовательности: а) х, у, г; б) у, х, г; в) г, х, у,
173.6. fff/C*; у; г) dxdydz, где область (V) ограничена по-
(V)
верхностями х2 + у2 = 1, z = 0, г = 1 (х > О, у > 0).
174.6. ffG(*;y; z) dx dy dz, где область (V) ограничена
(V)
я8 v2 i2
поверхностью \- у-—|— = 1.
а2 Ь2 с2
175.6. f[[/(^; У; z) dxdydz, где область (V) ограничена шгое-
(V)
костями — + — + — = 1, х = 0, у = 0, г = 0(а>0, Ь>0,
0 0).
176.6. { dx ^ dy {f(x; у; z)dx.
0 0 0
Указание. В этом и последующих примерах сначала восстановить обласи*
интегрирования.
191

1 1 ж2 + у'
177.6. \dx[dy f /(дг; у; z)dz.
0 0 0
Заменить тройные интегралы однократными, изменив порядок интег-
интегрирования:
X t U
178.6.
О I О
1 1 х + у
179 ^^ j
+ у
.6. ^dx^dy j f(z)dz.
0 0 О
180.6. Вычислить интеграл в постоянных пределах
ABC
j dx j dy j / (x; y; z) dz,
b
j j j
a b с
если/ (х; у; г) = F'x'yZ(x; у, z).
Вычислить данные тройные интегралы в указанных областях:
181.6. f f f (х+У+ z) dx dy dz, где 0< x<a, 0<y <b, 0 < z <c.
182.6. [((рзшейрйфйе, гдеО<ф<-, 0<p<2, 0<9<
J 2
<f
183.6. №{ xdx dy dz, где (К) ограничена плоскостями х *= О,
(V)
у = о, г = 0, у = Л, л: + г = а.
184.6. f ГГ лу2г3 dxdydz, где (К) ограничена поверхностями
'(V)
z = ху, у = л:, jc = 1, г = 0.
185.6. 1 ( ( | — + -—h — i dxdydz, где (К) ограничена эллипсои-
JJJ \р2 ^2 ^2/
л:2 , у2 , г2 f
ДОМ — 4- i = 1.
а2 ^ б2 ^ с2
§ 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пример 1. Найти объем тела, ограниченного эллипсоидом
? + ?- + - = 1
а2 б2 с2
Решение. Задача сводится к вычислению тройного интеграла по
области, ограниченной эллипсоидом. Учитывая, что область симметрична отно-
относительно координатных плоскостей, можем записать;
192

= f f f d^dydz = 8 f dx f
(V) 6o
a* b*
(V) 6o b
i
0
о о
Вычисляя двойной интеграл, получаем
4
V— — я abc (куб. ед.).
о
В частности, если полуоси эллипсоида равны а = b = с = л, то получаем
шар радиуса л, и его объем выразится известной из элементарной геометрии фор-
4
мулой V— —яг3.
о
Пример 2. Найти массу прямоугольного параллелепипеда 0 < х < а,
0<y<b, 0<z<c, если плотность в точке (x; y\ z) пропорциональна сумме
координат этой точки.
Решение. В данном случае р (х\ у; z) = k (x + у + z). Следовательно,
получим:
abc
С С С kabc
т = k j dx \ dy \(x + y +z)dz = — (
ооо
Пример 3. Определить массу шара радиуса R = 3, плотность которого
пропорциональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы
от центра плотность равна двум.
Решение. Поместим полюс сферической системы координат в центр шара,
Тогда уравнением сферы будет р = 3. Во избежание путаницы будем в этой задаче
обозначать плотность через \х. Из условия задачи следует, что плотность есть функ-
функция только полярного радиуса р [/ (р)], причем ^ = &р, где k — коэффициент
пропорциональности. Для определения значения k составляем по условию задачи
равенство 2=/г«1. Из него следует, что k = 2 и плотность [х= / (р) = 2 р. По-
Получим:
т=Г(Т2р.
(для сферических координат якобиан / (р; ф; 9) = р2 sin 0)
2л я 3 2я я 3
m = 2j dq>j sin QdQ J p8 dp =2 f dy j sinGrfG . f psdp =
oo о bo о
[12л г 1яГр4!3 З4
Ф — cos ф — = 2 • 2л - 2 . — = 162л.
J о L Jo L 4 Jo 4
Вычислить с помощью тройного интеграла объемы тел, ограни-
ограниченных указанными поверхностями:
186.6. х2 + у2 + 4г2 = 1.
187.6. z = х2 + у2, z = 2х2 + 2у2, у = *, у = л:2.
188.6. аг = х2 + у2, г = }Лс2 + у2 (а > 0).
193

189.6. х + у + г = а,х + у + г = 2а,х + у = г, х + у = 2г.
190.6. у2 = 4а2 — Зах, у2 = ах, z = ± Л.
191.6.^ + ^ = 2^, * = а
б2 с2 а
192.6. Из октанта шара х2 + у2 + г2 < г2 (л; > 0, у > 0, г > 0)
вырезано тело, ограниченное координатными плоскостями и плос-
плоскостью — + ~ — 1 (я < cf b < с). Найти массу этого тела, если
а Ь
плотность его в каждой точке (х\ у; г) пропорциональна аппликате
этой точки.
193.6. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями
х + у + г = а, х = 0, у = 0, г = 0, если плотность в каждой
ее точке пропорциональна аппликате этой точки.
194.6. Определить массу тела, ограниченного поверхностями
z = h и х2 + у2 — z2 = 0, если плотность в каждой точке пропор-
пропорциональна аппликате этой точки.
195.6. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым
цилиндром радиуса R, высоты Я, если его плотность в любой точке
пропорциональна квадрату расстояния этой точки от центра
основания цилиндра.
196.6. Определить массу сферического слоя между поверхно-
поверхностями х2 + у2 + z2 = а2 и х2 + у2 + г2 = 4а2, если плотность
в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки
от начала координат.
Глава 2
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО ТИПА
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
где (L) — дуга параболы у * = 2х, лежащая между точками A; }^2) и B; 2).
Решение. Находим дифференциал длины дуги
¦dx
(корень взяли со знаком плюс потому, что все точки дуги имеют положитель-
положительные ординаты). Мы имеем:
194

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
^ 5/5-3/3).
6
где (L) — арка циклоиды, х — a{t — sin 0, у = дA — cos t) @ < / <
Решение. Мы имеем:
2 dt = УШ"-
= а V 2 К 1 — cos / Л,
и потому
I y4s = \ а2A — cos /J а / 2 }Л— cos/ Л = — а3,
(i) о
ПримерЗ. Вычислить площадь части боковой поверхности и круглого
цилиндра x2-\-y2=R%, срезанного снизу плоскостью хОу, а сверху — поверх-
х*
ностыо г = R +"Г~-
Решение. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла от
х^
функции / (а;; у) = R + — по окружности хъ -\- у2 = #2. Так как срезающая
А
сверху поверхность симметрична относительно плоскостей хОг и уОг, то
можно ограничиться вычислением интеграла только по дуге одной четвертой ча-
части окружности, расположенной в первой четверти плоскости хОу. Получим;
у*
Пример 4. Найти массу четверти эллипса х = a cos f, у = 6 sin /, рас-
расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой точке кривой
пропорциональна ординате этой точки.
Решение. Плотность р (t) = k b sin t,
xt = —a sin t, yt =b cos ^ ds = у а2 sin2 / + 62 cos2 / rf/,
F
m = \ p (jc; y) ds = fe \ 6 sin t I a2 sin2 ? + 62 cos21 dt =*
(L) 0

kb2 kab
]V— b2
где e =5 — эксцентриситет эллипса.
a
Пример 5. Найти с помощью криволинейного интеграла длину астроиды
х = a cos3 /, у = a sin3 t.
Решение. Воспользуемся формулой L = f ds. В нашем случае
(I)
л^ = — 3a cos2 / sin /,
yt= За sin2 / cos /, ds = ]/9a2 cos4 / sin2 /+9a2 sin4 / cos21 dt = — sin 2/ d/.
Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то
л
Г ?L
/• f За Г cos 2/12
L = \ ds = 4 I -- sin 2tdt = 6а — -— = 6а.
(D о °
Вычислить данные криволинейные интегралы первого типа:
С ds
197.6. \ , где (L) — отрезок прямой у = х + 2, соединяю-
J х+У
щий точки B; 4) и A; 3).
198.6. Г ——, где (L) — отрезок прямой у == — — 2, соединяю-
(L)X
щий точки @; —2) и D; 0).
199.6. f yds, где (L) — дуга параболы у2 = 2х от точки @; 0)
до точки A; ]/2).
200.6, Г f x2ds, где (L) — верхняя половина окружности х2 +
ш
+ у2 = а2.
201.6. f l/x2 + у2 ds, где (L) — кривая х = a (cos / + / sin /),
ш
у = a (sin t — tcost) @< f < 2д).
202.6. f xyds, где (L) — прямоугольник, ограниченный пря-
мыми л: = 0, х = 4, у = 0, у = 2.
203.6. 1 — s где (L) — отрезок прямой у = ~ — 2, соеди-
jV 2
няющий точки @; —2) и D; 0).
196

204.6. [xds} где (L) — отрезок прямой, соединяющий точки
(D
0) и A; 2).
205.6. Г ds где (L) то же, что и в задаче 204.6.
Ш Х У
206.6. Г (л; + у) ds, где (L) — правый лепесток лемнискаты
(L)
= а2 cos 2ф.
207.6. Г Ух2 + У2 ds> гДе (?) — окружность х2 + у2 = ая.
Вычислить с помощью криволинейных интегралов площади
данных цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плос-
плоскостью хОу, а сверху указанными поверхностями вида z = / (х\ у):
208.6. у2 = 2*, z = У2х — 4л:2.
209.6. х2 + у2 = /?2, г = ^.
210.6. у2 = — (х — 1 K, г = 2 — ]/^.
211.6. Найти площадь боковой поверхности параболического
цилиндра у = — х2, ограниченного плоскостями z = О, х = 0,
8
г = *, у = 6.
212.6. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности
у = х2 A < л: < 2) над плоскостью хОуу срезанной сверху по-
поверхностью г = дс + у.
213.6. Найти массу дуги эллипса х = a cos ?, у == Ь sin <
@ < t < 2я), если линейная плотность ее в точке {х\ у) равна
р(*; у) = |у|.
JC2
214.6. Найти массу дуги параболы у= —, лежащей между точ-
точками A; — J и B; 2), если линейная плотность р (х\ у)
215.6. Вычислить массу кривой х = In A + t2), у = 2arctg ^ —I
на участке от t = 0 до f = 1, если линейная плотность ее р(х; у)=»
216.6. Вычислить массу четвертой части эллипса — + ~ =19
а2 б2
лежащей в первом квадранте, если линейная плотность р(х; у)=ху.
197

/ X Xy
217.6. Вычислить массу всей цепной линии у = ~\еа +e
если линейная плотность ее р (я; у)=~.
Вычислить с помощью криволинейного интеграла длины задан-
заданных дуг:
218.6 ау2 = х3, 0<х<5а.
(X X \
е° + е а I @<л:<л:0).
220.6. р = a sin3 ¦$-.
221.6. x = iy2 = -i-lny @<y<e).
4 2
222.6. у = 1 — In cos x
Вычислить с помощью криволинейного интеграла координаты
центров тяжести заданных кривых:
223.6. л; = а(* — sin0,_У = а{\ — cost) @</<л).
224.6. Ух +Уу =УЪ @<х < а).
225.6. у2 = ал:3 — х\
226.6. у=—1еа+е "I (— а<х<а).
227.6. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а при
центральном угле 2ф.
2 2 2
228.6. Найти центр тяжести дуги астроиды х3 + у э = аъ, рас-
расположенной над осью Ох.
$ 10. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО ТИПА
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
(L)
где (I) — дуга параболы у =* 2х2 от точки @; 0) до точки A; 2).
Решение. Примем за параметр переменную х @< # < 1) и преобразу-
преобразуем наш интеграл в определенный интеграл. Из уравнения параболы находим dy =>
= 4 xdx. Поэтому
108

Пример 2, Вычислить криволинейный интеграл
[ у2 dx -f х2 dy,
Ш
где (L) — верхняя половина эллипса х = a cos /, у = 6 sin ?. Интегрировать
в направлении против хода часовой стрелки.
Решение. Воспользуемся формулами вычисления интеграла
dx = —a sin t dt, dy = b cos ? ?#.
Так как началу дуги (L) — точке (а; 0) — соответствует значение ^=0, а концу —•
точке (—а; 0) — значение / = я, то пределами по t будут 0 и п. Получим:
я
\ у2 dx + х2 dy = j [62 sin*f(—asm 0 + a2 cos21 • 6 cos t] dt = — ~-«^2.
(X) 0
Рекомендуем читателю вычислить этот интеграл в противоположном направ-
направлении (по ходу часовой стрелки).
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
Г
(ABGA)
+ у) dx + (х - 2у2) dy,
где (Л ВС Л) — периметр треугольника с вер-
вершинами Л @; 0), В A; 0) и С @; 1).
Решение. Контур интегрирования
изображен на рисунке 28.6. Направление
интегрирования определено последователь-
последовательностью букв, являющихся точками контура.
Для решения задачи вычислим интеграл по
каждой из сторон треугольника, сохраняя
направление, и сложим результаты.
1) Сторона треугольника ЛВ имеет урав-
уравнение у — 0. Тогда dy = 0, и подынтеграль-
подынтегральное выражение вдоль этой стороны имеет вид
ЗлМл\ Точке А соответствует значение я=0,
а точке В — значение лс=1. Следова-
Следовательно,
J
(АВ)
Рис. 28.6
0
2) Сторона треугольника ВС имеет уравнение х ¦+¦ У ~ 1. Преобразуем ин-
интеграл по стороне 5С в определенный интеграл относительно переменной х. Для
этого из уравнения х + у = 1 находим: у = 1 — х, dy = — dx. Точке В соот-
соответствует значение х = 1, точке С — значение х = 0. Следовательно,
и
J -J1
(во i
+ A — х) — х + 2 A — j
*—Г
3) Сторона СЛ имеет уравнение х = 0. Тогда dx = 0 и подынтегральное
выражение вдоль этой стороны имеет вид —2y2dy. Пределы интегрирования будут
от точки С (у = 1) до точки Л (у = 0). Имеем:
199

1—
(CA)
Тжяи обрезом, получим, что
¦¦-М
(ЛБСД)
Этот ответ можно было получить и не вычисляя интегра ла. Так как подынтеграль-
подынтегральное выражение
Pdx + Qdy
удовлетворяет условию
dP__dQ/dP__ dQ_
ду дх \ду ' дх
причем функции Р и Q непрерывны вместе с частными производными первого по-
порядка, то интеграл по замкнутому контуру равен нулю.
Пример 4. Показать, что криволинейный интеграл
СО; 1)
не зависит от пути интегрирования и вычислить его.
Решение. Функции Р (х; у) = х + у и Q (х; у) = х — у вместе со своими
частными производными — = 1 и — = 1 непрерывны на всей плоскости, при-
дР dQ \
чем —- = — . Следовательно, данный интеграл не зависит от пути интегрирова-
интегрирования, и для вычисления интеграла мы можем выбирать любой путь, соединяющий
точки Л @; 1) и В B; 3). Поскольку удобнее всего вычислять криволинейный ин-
интеграл по отрезкам, параллельным осям координат, то выберем путь в ви-
виде ломаной, состоящей из двух звеньев, параллельных координатным осям
(рис. 29.6). За вершину возьмем точку С B; 1). Тогда
С2;3; B;\) B',Z)
(x+y)dx + (x—y)dy =
СО;'U СОГи С2Г1)
Точки Л @; 1) и С B; 1) соединяет прямая
у = 1. Следовательно, dy = 0 и
B\\) 2
= ( (х + 1) dx = 4.
D; I) 0
Точки С B; 1) и В B; 3) соединяет прямая
х — 2. Следовательно, dx = 0 и
B, 3) 3
У
3
1)
0
B,3)
BJ)
г х
Рис. 29.6
200
( )
1-У
B; 1) 1

иеколш-й интеграл
B; 3)
j
Таким образом,
j
@; U
Этот пример показывает, что если перед вычислением интеграла установле-
установлена независимость его от пути интегрирования, то его вычисление можно значитель-
значительно упростить, выбирая соответствующим образом путь интегрирования. В случае
же замкнутого контура в этом случае можно без вычисления сказать, что он равен
нулю.
Пример 5. Проверить, является ли выражение
полным дифференциалом некоторой функции двух переменных F (х; у), и, если это
так, найти F (х\ у).
Решение. В данном выражении
V3
р (х] у) = 2>х2у — —, Q (х\ у) = xz — ху2.
дР dQ
Частные производные -— = 3jc2 — у2, — = Зх2 — у2 равны между собой и
ду ох
непрерывны. Следовательно, выражение (*) является полным дифференциалом
dF (jc; у). Для отыскания функции F (х; у) воспользуемся формулой
F (x; у) = j Pdx + Qdy,
где Л (x0; v0) — некоторая фиксированная точка, а В (г, _у)—переменная точка,
ЭР dQ
взятые из области непрерывности функций Я, Q, — и —.
ду дх
В данном случае за точку Л (хо\ у0) удобнее взять точку О @; 0).
Учитывая, что криволинейный интеграл
(х\ у)
У 1
@;
не зависит от пути интегрирования, выберем
путь от точки О @; 0) до точки В (г, у) в виде
ломаной линии, состоящей из двух звеньев,
параллельных осям координат. Для этого
достаточно за вершину взять точку С (х\ 0)
[или точку D @; у)] (рис. 30.6). Тогда одно
звено ломаной будет совпадать с координат-
координатной осью. Получим:
(xi у)
F(x;y) =
@; о;
Рис. 30.6
(х, 0) (х\ у)
(о,
о;
Таким образом, искомая функция имеет вид:
ху3
F (х; у) = х3у — —.
201

Все первообразные для выражения (*) могут быть представлены в виде:
Ф(г, у)ху
О
Пример 6. Проверить, является ли выражение
полным дифференциалом некоторой функции F (г, у)\ если да, то найти эту функ-
функцию.
Решение. Для данного выражения
Р (х; у) = №у + -, Q (г, у) = х3 - -f.
дР dQ 1 дР
Частные производные — = — = Зх2 — —. Непрерывность функций Р, Q,
ду ах у2 ду
dQ
и — имеет место на всей плоскости, за исключением точек оси Ох. Следова-
дх
тельно, криволинейный интеграл
не зависит от пути интегрирования и его можно вычислять по любому пути от точ-
точки (х0; у0) до точки (х\ у). Однако как сам путь интегрирования, так и точки
(*о» Уо) и (х'> У) следует выбирать так, чтобы они находились в области непрерыв-
дР dQ
ности функций Р, Q, — и —. Поэтому в качестве точки Л (х0; у0) здесь уже
ду ох
нельзя брать точку О @; 0), так как в ней указанные функции имеют разрыв.
Выберем путь интегрирования, как показано на рисунке 31.6. Тогда
(*; и) @; у) (х-* у)
@; \) @; l) @; у)
x
Следовательно, F (х\ у) = х?у + — и общий вид всех первообразных
х
) = х*у + — + с:
у
@,у)
Рис. 31.6 интегралу
202
Пример 7. Вычислить с помощью
формулы Грина — Остроградского криволи-
— (х и) нейный интеграл
/ = f xy2dy — хгу dx
ш
по окружности х2 -f у2 = /?2 в направлении
против хода часовой стрелки.
*-* Решение. 1) Преобразуем данный
л криволинейный интеграл с помощью форму-
формулы Грина — Остроградского к двойному

*; у) = -
ду ' дх
. Q(x\ y) =
dQ dP
Следовательно,
/= fjV + y2)
(P)
где (P) — круг x2 + у2 < tf2.
2) Вычислим полученный нами двойной интеграл, преобразовав его к поляр-
полярным координатам х = р cos ф, у = р sin ф. Тогда х2 + у2 = р2 и
2л R
г*
/ =
Пример 8. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь
фигуры, ограниченной астроидой х = a cos3 t, у = a sin3 ^ @ < * < 2я).
Решение. Площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутым контуром
(L), может быть вычислена по формуле
=| ^(xdy-ydx).
В условиях данной задачи dx= — За cos2 t sin idt, dy = 3asin2 t cos tdi я
2л
S = - I (a cos3 /-За sin2 f cos / + a sin3 / . Za cos2 / sin /) dt == —.
8
Пример 9. В каждой точке силового поля сила
имеет направление отрицательной полуоси ординат и
равна квадрату абсциссы точки приложения. Най-
Найти работу поля при перемещении единичной массы
по параболе 1 — х = у2 от точки A; 0) до точки
@; I) (рис. 32.6).
Решение. По условию задачи в каждой точке
(х\ у) проекции силы на координатные оси будут:
Р = рх = о, Q = Fy = — х2.
По формуле для вычисления работы силового
поля
= f
(L)
P dx + Qdy
имеем:
— f
x2dy.
Из уравнения параболы получаем: у = у 1 — х,
о
р x2dx 8
1
203

Вычислить данные криволинейные интегралы второго типа:
229.6. f xydx, где (L) — дуга синусоиды у = sin х от х = О
ДО JC = Я.
230.6. Г xdy, где (L) — отрезок прямой — -f- — = 1 от точ-
J a b
ки (а; 0) до точки @; Ь).
231.6. f (х2 — у2) dx, где (L) — дуга параболы у = х2 от
гЪ
точки @; 0) до точки B; 4).
232.6. Г (х2 + У2) dy, где (L) — контур прямоугольника, об-
разованного прямыми jc = 1, х = 3, у = 1, у = 5 в положитель-
положительном направлении (т. е. направлении против движения часовой
стрелки).
233.6. Г (х2 — у2) dx + (х2 + у2) dy в положительном направле-
(L)
X2 V2
нии по эллипсу Ь — = 1 •
а2 б2
234.6. f 4 я sin2 у dx + у cos2 2xdy вдоль прямой линии от
1.6. f 4 л; si
точки @; 0) до точки C;6).
235.6. Г xdy, где (L) — контур треугольника, образованного
(I)
осями координат и прямой — + — = 1 в положительном направ-
направлении.
236.6. f у dx + xdyy где (L) — четверть окружности х = г cos t,
(L)
у = г sin t от t = 0 до ^ = ^-.
237.6. Г 2ху dx + *2dy вдоль кривых: а) у = х\ б) у = л:2;
@; о)
в) у = х3; г) у2 - х.
238.6. | Bа — у) dx + xdy, где (L) — арка циклоиды х = a {t—
— sin t), у — а A — cos /) @ < * < 2я).
239.6. ( у х — х У п0 окружности x = acos^, y = asin/ в по-
J *2+У2
ложительном направлении.
240.6. I ХУ х~~х У) Вд0ЛЬ правого лепестка лемнискаты р2 =
J х2 + У2
(L)
= a2 cos 2ф в положительном направлении.
204

Вычислить данные интегралы, предварительно убедившись,
что они не зависят от пути интегрирования:
B-3)
241.6. \ xdy + ydx.
(-1; 2)
242.6.
, „ С 2xdx
•и. \
@; I)
A; 2)
243.6. f
J
B;
C; 0)
244.6.
Г (л:4 + 4ху3) dx + Fл:2у2 — 5у4) dy.
Г-2; -1)
B; п)
245.6. Г (l — ^-cos-^
J \ х л
(U л)
Проверить, являются ли данные выражения полными диффе-
дифференциалами функций двух переменных, и если да, то найти эти
функции:
246.6. (х2 + 2ху — у2) dx + (х2 — 2ху — у2) dy.
247.6. C*2 — 2*у + у2) dx — (х2 — 2ху + Зу2) dy.
248.6. (е2У — 5уЗех) dx + {2хе2У — 15yV) dy.
249.6. A2х2у + —) dx + [ахъ — ~) dy.
\ У2 J \ У3 I
250.6. Ux+dy
A + X2) 2 1 + X2 ^
25, 6 (хг + 2ху + 5у2) dx + (х2 -
252.6.
253.6. I 24x2 sin 2y + 4 ^ + f ] dx + \ 16л3 cos 2y —
L (i+*J J L
lOv] dy.
у1 J
Преобразовать с помощью Грина—Остроградского данные кри»
волинейные интегралы к двойным интегралам:
254.6. f Vx2 + у2 dx + у [-ху + In (а: + К> + у2)] dy.
(V
203

255.6. Г — уЧх + (л;*In у + In2 x) dy.
(Q
256.6. Г -| у2 {х2 — 2) dx + у A + ^У) <fy.
Вычислить заданные криволинейные интегралы с помощью
формулы Грина — Остроградского. Проверить результат непос-
непосредственным вычислением криволинейных интегралов:
257.6. f (х + уJ dx — (х2 + у2) dy,
7.6. [ (х
(I)
где (L) — контур треугольника с вершинами А A;1), В C;2),
С B;5) в положительном направлении.
258.6. f е*[A — cos у) dx — (у — sin у) dy], где (L) — про-
бегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий
область 0 < х < я, 0 < у < sin x.
259.6. f (У — я2) dx + (х + у2) dy, где контур (L) ограничива-
ограничиваем
ет круговой сектор радиуса R с углом ф@<ф< —).
В задачах 260.6.—264.6. вычислить с помощью криволинейного ин-
интеграла площади плоских фигур, ограниченных следующими кривыми:
260.6. Эллипсом х = a cos t, у = Ь sin t.
261.6. Кардиоидой х = а B cos t — cos 2t), у = а B sin ^ —
— sin 20.
262.6. Петлей декартова листа хъ + у3 =. Зоху (а>0).
Указание. Положить у = (х.
263.6. Лемнискатой (х2 + у2J - а2 (х2 — у2).
Указание. Положить у = х
264.6. Параболой (х + уJ = ал: (а > 0) и осью О*.
265.6. Силовое поле образовано силой F {х\ у), равной расстоя-
расстоянию точки ее приложения от начала координат и направленной в
начало координат. Найти работу силы поля, затраченную на пере-
перемещение материальной точки единичной массы по дуге параболы
у2 = 8л: от точки B; 4) до точки D; 4 У~2).
266.6. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину
F и направление положительной полуоси Ох. Найти работу поля,
затраченную на передвижение материальной точки единичной мас-
массы по ходу часовой стрелки вдоль четверти окружности хг + у2 =
= R2, лежащей в первом квадранте.
267.6. Поле образовано силой, направленной в начало коор-
координат и равной расстоянию точки приложения ее до начала коор-
206

динат. Найти работу поля при перемещении массы т из положения
А в положение В.
268.6. Поле образовано силой F = —, направление которой
составляет угол — с направлением радиус-вектора г точки ее
приложения. Найти работу поля при перемещении материальной
точки массы т по дуге окружности х2 + у2 = а2 из точки (а; 0)
в точку @; а).
269.6. Поле образовано силой F, проекции которой на коор-
п , у2 sin х п х2 — 2у cos х ,-,
динатные оси равны г х = ху + —-— и гу = - . Пока-
зать, что работа при перемещении материальной точки в этом по-
поле не зависит от пути перемещения.
270.6. В каждой точке плоскости действует сила F, проекции
которой на координатные оси равны Fx = ху, Fv = х + У-
Вычислить работу силы при перемещении точки с массой, равной
единице, из начала координат в точку A;1): а) по прямой у = х\
б) по параболе у = х2.
271.6. В каждой точке окружности х = a cos t, у = a sin t
приложена сила F, проекциями которой на оси координат являются
Fx = х + у, Fy = х. Определить работу силы F при перемещении
материальной точки т по окружности. Почему здесь работа равна
нулю?
272.6. Проекции силы F на координатные oqh равны Fх =
= 2ху, Fy = х2. Показать, что силовое поле потенциальное, и вы-
вычислить работу поля при перемещении точки с массой, равной
единице, из точки A;0) в точку @;3).
273.6. Найти работу упругой силы, направленной к началу
координат, величина которой пропорциональна удалению точки от
начала координат, если точка приложения силы описывает против
часовой стрелки четверть эллипса — +— = 1, лежащую в
первом квадранте.

Раздел 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 1
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. ОБЩЕЕ И ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЯ
Пример 1. Проверить, что функция у = Сх2, где С — произвольная
постоянная, является решением дифференциального уравнения
ху' - 2у = 0. (*)
Найти частное решение, соответствующее начальному условию у A) = 3.
Решение. Находим производную от функции у = Сх2:
у' = 2Сх.
Затем подставляем в данное уравнение значения у и у':
х . 2Сх — 2Сх2 = 0.
Таким образом, функция у = Сх2 после подстановки ее "в дифференциальное
уравнение обратила его в тождество. Поэтому она является решением данного диф-
дифференциального уравнения. Уравнение у = Сх2 определяет семейство парабол
(рис. 1.7). Это семейство является семейством интегральных кривых уравне-
уравнения (*).
Чтобы найти частное решение, подставим в равенство у — Сх2 значения хо=
= 1, у0 = 3. Мы получим, что 3 = С. Поэтому частное решение имеет вид: у =3х2.
Пример 2. Доказать, что функция, заданная параметрически уравне-
уравнениями
1 у = Ь cos t, u>
является решением дифференциального уравнения
Решение. Найдем производную
' —bsint b
у — — =
х
acost a
Подставив значение х, у и ух в уравнение B), получим тождество:
b b2^ a sint
a a2 b cos t
А это значит, что функция A) является решением дифференциального уравне-
уравнения B).
208

Рис. 1.7
Пример 3. Доказать, что функция, неявно задаваемая формулой
удовлетворяет дифференциальному уравнению
,_*(! + У)
Р е ш е н и е. По правилу дифференцирования неявной функции имеем:
2A + у3) • Зу2 • у' = 3 A + jc2J • 2jc,
и потому
'__ *A +jc2J
У "У2A+У3)'
Подставляя это выражение в уравнение (б), получаем равенство:
(а)
(б)
A + У3)
т. е.
Оно тождественно выполняется, поскольку у удовлетворяет соотношению (а). Это
и показывает, что равенство (а) определяет неявную функцию, удовлетворяющую
уравнению (б).
209

Пример 4. Пусть у — f (x) — интегральная кривая дифференциального
уравнения
у' = у sin х + у2, (*)
проходящая через точку Л|—; 2|. Найти значение /"(—).
\ 2 / \ 2 /
Р е ш е н и е. Во всех точках кривой у = / (х) выполняется соотношение (*).
Поэтому
Продифференцируем обе части соотношения {*) по х, учитывая, что у — функ-
функция от х. Мы получим, что
у" = yf sin х + у cos х + 2уу'.
()
+ 2. 2-6=30.
Пример 5. Пусть у = / (х) — интегральная кривая дифференциального
уравнения
y' = Xy+eXf (**)
проходящая через точку М @; 1). Найти значение / @) и / @),
Решение. По формуле Лейбница имеем при любом k > 1:
Подставляя значение а: = 0, выводим отсюда, что справедливо соотношение
f(h)@)=(k-l)fh-2)@)+l.
Но тогда, поскольку в точке х = 0 функция / @) = 1, то
Г @) = / @) + 1 = 2,
/Г4; @) - 3/" @) + 1 = 7,
/6> @) = 5/D) @) + 1 = 36,
f(B) @) = 7/Гб; @) + 1 = 253.
Подставим в уравнение (**) значение х = 0. Мы получим, что /' @) =?= 1. А тогда
/w @) - 2/' @) + 1 = 3,
/5^ @) = 4/'" @) + 1 - 13,
f<7) @) = 6/<5> @) + 1 = 79,
/9) (О) = в/7) @) + 1 = 633.
Пример 6. Найти геометрическое место стационарных точек для интег-
интегральных кривых дифференциального уравнения
у' = х — 4у2 + 6.
Решение. В стационарных точках производная равна нулю. Так как в каж-
каждой точке интегральной кривой существует касательная, то стационарные точки
лежат на кривой, где у' = 0, т. е. на параболе
4у2 = х + 6.
210

Пример 7. Найти геометрическое место точек перегиба интегральных
кривых дифференциального уравнения
у' = **у. (*)
Решение. Точки перегиба определяются из условия у"=* 0 (если при
этом у"' Ф 0). Продифференцируем обе части данного уравнения. Учитывая» что
у — функция от х, получим:
у" = 2ху + х2у\
Подставляя вместо у' его значение из равенства (Л), получаем, что вдоль ин-
интегральных кривых справедливо равенство
у" = 2ху + х*у = ху B + х3).
Поэтому точками перегиба могут быть точки, где х = 0, или х = — |/, или у =»
=0. Прямая у=0 является интегральной линией уравнения (Л) и не имеет точек
перегиба. Поэтому остаются прямые х — 0 и х= — ^/. Но не все точки этих
прямых являются точками перегиба проходящих через них интегральных линий—
условие, что вторая производная равна нулю или не существует, лишь необходимо,
но недостаточно. В точках, где и У"=0, перегиба может не быть. Дифференцируя
равенство (*), получаем:
у" = 2ху + х2у' = 2ху + х1у
и
т __ 2у -|_ 2ху' + 4х3у + х*у' =
= Bу + 4л:3у) + Bх + х*)у' = 2у + 6х3у + х*у.
Отсюда вытекает, что на прямой х = 0 у'" обращается в нуль в точке М @; 0), на
прямой х = — \г~2 — в точке W (—]/ 2\ 0). Проверьте, что точки М и N дейст-
действительно не являются точками перегиба интегральных кривых.
Проверить, являются ли для заданных дифференциальных урав-
уравнений следующие функции их решениями (С, С4, С2 — произволь-
произвольные постоянные):
1.7. у/ =х, у - V*2 + С.
2.7. уз _ д.2 _ 2л:уу' = о, x2-f у2 — 2Сх = 0.
3.7. у"
у == е~рх {Ci cos qx + C2 sin qx).
4.7. A + xy) y' + y2 = 0, /x = te'f
ly = e-'.
I y = /2[2ln^ + 1].
6.7. /-
7.7. xy' = у tg In у, у = earcsln 4
fill

X
c - , , . Г sin / j,
8.7. xy = у + x sin x, у = x \ — dt.
0
x
9.7. a) y' — у = ex+x\ y = ex{ ei2 dt + Cex;
о
6) xy' — у = хеху у = x (\ —
с
10.7. у' — tgx-y = 0, y=
cos*
11.7. (x — y + 1)/ = 1, у = x +
12.7. y' = ? , x =
x(lnx—lny)
Зная общие решения дифференциальных уравнений, найти их
частные решения у = у (х), удовлетворяющие заданным началь-
начальным условиям:
13.7. у = Сх2, ух=2 = 3.
14.7. х2 + 2у2 = С, ух== _i = 5.
15.7. у (С4 + С2х) ^, уЛ=о=о, У^о = 1.
16.7. у = е* {Сх cos х + С2 sin х), ух=0 = 0, yUo = 10.
17.7. Пусть у = / (х) — интегральная кривая дифференциаль-
дифференциального уравнения
у'= у cos (х — 1) + In jc,
проходящая через точку М A; 3). Найти в этой точке значения пер-
первых трех производных функции / (х).
18.7. Пусть у = / (х) — интегральная кривая дифференциаль-
дифференциального уравнения
у' = х3 у + е2х ,
проходящая через точку М @;1). Найти /D) @).
19.7. Найти геометрические места стационарных точек для ин-
интегральных кривых следующих дифференциальных уравнений:
а) у' = х2 у + у — 9; б) у' = у2 е2х — 4; в) у' = у3 sin6 х — 1.
20.7. Найти точки, являющиеся стационарными для проходя-
проходящих через них интегральных кривых дифференциальных уравнений:
у' = Ах + 4у — Ъху и У - х + у + х2 + у2 — 26.
21.7. Найти геометрическое место точек перегиба интегральных
кривых следующих дифференциальных уравнений:
а) у = еУ — х\ б) у' = хг + у2; в) у' = хг + у.

22.7. Найти геометрическое место точек, в которых кривизна1
интегральных кривых дифференциального уравнения у' -----уе2х+4
равна 1.
23.7. Найти геометрическое место точек, в которых кривизна
интегральных кривых дифференциального уравнения у' = х3у + 1
принимает стационарные значения.
Указание. Вычислить у" и у'" , выразить к' через х и у и, прирав-
приравняв полученное выражение нулю, получить уравнение искомого геометричес-
геометрического места точек.
тей:
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства окружнос-
Решение. Все окружности, входящие в данное семейство, имеют радиус,
равный единице, а центры их расположены на оси Ох. Они изображены на рисун-
рисунке
У
Рис. 2.7
2.7. Составляем дифференциальное уравнение семейства; для этого находим про-
производную
2(х — С) + 2уу' = О,
отсюда
х — С
Исключаем теперь произвольную постоянную С из уравнений (*) и (**). Для
этого из уравнения (**) находим:
1Кривизна плоской кривой выражается формулой
г
к = ¦
з •
11 + (уП2
213

и подставляем в уравнение (*). Окончательно, получим:
у2/1
Это и есть искомое дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых,
зависящего от двух параметров Сг и С2:
Решение. Так как для исключения двух параметров Сх и С2 надо иметь
три уравнения, то продифференцируем уравнение (*) два раза:
( у' = 2СЛ е2Х + ЗС? езх,
\ у" = АСХ е*х + 9С2 ё*х.
Решая полученную систему уравнений относительно Сх и С2, получим:
3/ -у" У -2у'
Подставив найденные значения Сх и С2 в уравнение (*), получим:
у" _ By' + 6у = 0.
Это и есть искомое дифференциальное уравнение двупараметрического семей-
семейства кривых (*).
Составить дифференциальные уравнения семейств линий:
24.7. у - Сх.
25.7. у = sin ax.
26.7. х2 — у2 = Сх.
27.7. у- С* + С2.
28.7. у2 + — = 2 + Се 2 .
X
29.7. у - С>2* + С2 е"х .
ЗОЛ. (jc — аJ + (У — ЬJ = г2.
У2 ч,2
31.7. — + -^=1.
С2 4
32.7. In — = 1 + ay (a — параметр).
33.7. у = С4 cos 2х + С2 sin 2x.
34.7. (х2 + у2J = а2 (х2 — уJ.
35.7. у = ш?.
36.7. у = As\n{x -{- а).
37.7. у = е* (Ах + В).
38.7. Доказать, что дифференциальное уравнение всех парабол
Ах2 + Вху + Су2 ¦$• Dx + Еу + F = 0, В2 — ААС = 0 имеет вид:
Г JLV
[(у") 3 J « о, или 5у'" — Зу" yIV = 0.
214

Глава 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
у A — х2) dy —хA — у2) dx = 0.
Решение. Разделим левую и правую части уравнения на произведение
A —х2) A —у2). Тогда
1 — ^ 1 — х2
Переменные разделились. Интегрируя, получим:
xdx
C
— ^ In [ 1 — у2| + -- In | 1 — ^| = С.
Для удобства записи положим
—2С = In Съ или Ct = е~*о (где Ct > 0).
Тогда будем иметь:
In | 1 —у 2 | = In | 1 — х2 | + In Cl,Cl>0.
Потенцируя, получим:
H_yi|=,Cl|l-*«|.
Освобождаемся от знака модуля:
1 _ f = ± Cl A - к\
ИЛИ
1 _ у1 = С A - **), (**)
где С может принимать любые отличные от нуля значения, как положительные,
так и отрицательные.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. При делении на произведе-
произведение A — хъ) A — у2) мы могли потерять (и действительно потеряли) решения, об-
обращающие в нуль это произведение, т. е. значения у = ±1 и х = ± 1.
Функции у = ± 1 удовлетворяют данному уравнению. Рассмотрим теперь
соотношение х = ± 1. Из него находим dx — 0. Подставляя эти значения в урав-
уравнение (*), получаем тождество 0=0. Значит, х = ± 1 также является решением
уравнения (*). Отметим, что здесь мы получили решение, не имеющее вида у —
= / (х). Дело в том, что уравнение (*) является соотношением между дифферен-
дифференциалами dx, dy и переменными х и _у, а не между производной у' и этими же пе-
переменными. Если бы мы записали уравнение (*) в виде
_
dx y(\ —х2) '
то х = ± 1 уже не были бы его решениями. А если бы мы записали это уравнение
в виде
215

dx y(\—x2)
dy~x(l-y*) 9
то ер© решениями не были бы функции у = ± 1.
Пример 2. Решить уравнение у' — — [cos (х — у) — cos (х + у)].
Решение. Здесь надо сначала преобразовать правую часть данного урав-
уравнения:
yf = sin х sin у. (**)
После разделения переменных и интегрирования получаем общее решение:
In
Отсюда следует^ что
, _ cos x + In С (С > 0).
у = 2 [arc tg (Сг e-cosJC)+nn,
где Ci — любое постоянное, отличное от нуля.
Поскольку мы делили обе части уравнения (**) на sin у, то могли потерять
решения, при которых sin у = 0, т. е. у = /гл, где k — целое число. Подстанов-
Подстановка в уравнение показывает, что у = /гл действительно являются решениями урав-
уравнения (**).
Иногда для разделения переменных надо сначала сделать замену перемен-
переменных.
Пример 3. Решить уравнение:
dy
dx'
Решение. Сделаем замену переменных, вводя новую искомую функцию
г= х + у. Дифференцируя это равенство, получим: -- = \ _|_ -^ , Тогда урав-
dx dx
нение примет следующий вид:
dz dz
— = 1 + cos г, или — = dx,
dx 1 -f cos г
откуда
¦=\dx+C,
i
Г
J
1 + cos г
dz
= 2 [arc tg (x + Q + nn].
При решении уравнения мы делим обе части на 1 + cos г. Поэтому надо еще
проверить, не являются ли решениями корни уравнения 1 + cos z = 0, т. е. z =
= Bя + 1)я, где п — целое число. Подстановка показывает, что действительно
г= Bл + 1)л являются корнями данного уравнения.
Возвращаясь к прежним переменным, получим:
у = — х + 2 arc tg (x + С) + 2л я
и
у= -дс + Bп+ 1)я.
216

Пример 4. Найти решение интегрального уравнения
X
у=[е-У dx (х > 0). AJ
1
Решение. Продифференцируем обе части уравнения A) по х. Так кан
производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной
функции при соответствующем значении аргумента, то получаем из уравнения (I)
дифференциальное уравнение
у' = <гУ. B)
I
Кроме того, полагая в обеих частях уравнения л= 1 и учитывая, что J е~УсЬс= 0,
получаем начальное условие у A) = 0.
Итак, нам надо решить дифференциальное уравнение B) с начальным условием
у A) = 0. Сначала находим методом разделения переменных общее решение
еУ=х+С.
Полагая х = 1, у = 0, находим, что С = 0. Значит, решением нашего интеграль-
интегрального уравнения является функция
еУ = х, или у = In *.
Найти все решения дифференциальных уравнений:
39.7. A + у2) dx = A + х2) dy.
40.7. у' = ех+У.
41.7. у — ху' = аA + x2yf).
42.7. Зех tg у dx + A — ех) cos~2 у dy = 0.
43.7. *-*A — х) dx + еУ • sin у dy = tgydy.
44.7. (у2 + *у2) у' + х2 — ул'2 - 0.
45.7. еУ A + х2) dy — 2л: A + ^ ) dx = 0.
46.7. ye2* rfx — A + е2х) dy ¦= 0.
з_
47.7. A + У2) dx — Bу + 1/ТТут) A + xf dy - 0.
48.7. у A + х2) у' - 1 + у2.
49.7. y' + sin±±2 = sin?^.
^2 2
50.7.y/ = l^f.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указан-
указанным начальным условиям:
51.7. A + ех) уу' = ех , у \ х=0 -= 1,
52.7. у' sin х — у In у, у | я = 1 и если у | я = е.
Х 2
53.7. A + ех) уу' =ех\ выделить интегральную кривую, про-
проходящую через точку М A;1).
54.7. у' = 2УУ1п*, У|,=, -1.
55.7. у' = Bу + 1) ctgx, у | J
гл 2
217

56.7. ху' = г
57.7. у' tg х — у = 1,
58.7. ху dx + (\ + у2)
59.7. A + ех) у у' =
60.7. sin у cos Ыу = cos у sin x dxy у \ *=o = —.
61.7. у' sin х =у Iny, y| _„ = 1.
62.7. — == — ctgxsinydy, у\п =я.
cos2 х cos у Х~Т
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену пе-
переменной:
63.7. у' = sin (х — у).
64.7. у' = ах + by + с (а, Ь, с — const).
65.7. у' = (jc + УJ.
66.7. Bлг + Зу — 1) dx + Djc + 6y — 5) dy = 0.
67.7. у' - (х — уJ + 1.
68.7. у' - (ах + by + сJ.
69.7. (* + УJУ' ^а\
70.7. у']/-|-л: + у=А: + у— 1.
71.7. Применяя подстановку ху — i/, решить следующие урав-
уравнения:
а) 2у' -f- у2 Н = 0;
б) лу* (дсу' + У) - а2.
72.7. Решить уравнение
применив подстановку х — tg а, у == tg у.
73.7. Решить уравнение
У
переходя к полярным координатам.
Найти решения интегральных уравнений:
-/»*+'•
о
X
76.7 у = 2+f\
75.7. у = 2 f у у dx.
о
218

§ 4. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Решить уравнение ху' = У^х а — у2 + у.
Решение. Разрешим уравнение относительно у'\
у
Правая часть уравнения зависит от — . Уравнение однородное, поэтому произво-
производим замену
и = — , или у = хи,
х
тогда
у' = хи' + и.
Подставив в уравнение выражения для у и у', получим:
хи! = У 1 — и2.
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные
и интегрируем:
du Cdx
arc sin и = In | x | + In С, (С > 0)
arc sin u== In С | x |.
Возвращаясь к искомой функции у, будем иметь:
arc sin —= In С [л: | (| In С | х | | < -~, т. е. е ^ < С\х\ < е^),
X Лл
или
у = * sin In С | х |, С > 0. (*)
В ходе решения мы делили обе части уравнения на произведение х У\—и2,
поэтому могли потерять решения. Непосредственно видно, что х = 0 не является
решением уравнения. Множитель же У~\ — и2 = 0 дает решения и = ± 1, т. е.
У = ± х (в том, что у — ± х являются решениями, можно убедиться непосред-
непосредственной проверкой).
Таким образом, к решениям, выражаемым формулой (*), надо добавить ре-
решение у = ± х.
Пример 2. Решить уравнение (х + у) dx + (х — у) dy = 0.
Решение. Любое уравнение вида
Р(х; y)dx + Q (г, у) dy = 0,
где Р (х\ у) и Q (х\ у) — однородные функции одного и того же измерения, яв-
является однородным. Данное уравнение, следовательно, будет однородным, так
219

как коэффициенты при dx и dy — однородные функции первого измерения. По-
Полагаем
у = xut dy = x du -\- udx.
Отсюда
(х + xu)dx + (х — хи) (х du + udx) = 0,
или после очевидных сокращений
A — и) xdu + A + 2а — м2) dx = 0.
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
Разделив переменные и интегрируя, будем иметь:
A-и)<*и d*
1 + 2а — w2 "*" х
~- In | 2 + 2а — и2 | + In | х | = In С,
или
л:2 A + 2а — а2) = Сь
где Сг ~ ± С2. Подставляя вместо и его значение, получим общий интеграл
х2 + 2ху - f = Сх. (•)
В процессе решения дифференциального уравнения мы делили обе его части
на 1 + 2а — а2. Поэтому надо еще проверить, не являются ли решениями данно-
данного уравнения корни уравнения 1 + 2а — а2 = 0, т. е. числа и — 1 ± Y%- Под-
Подстановка показывает, что эти числа действительно являются решениями нашего
уравнения. Так как и= — , то мы получаем еще два решения * у = A + У) х,
у = A — У~Щ х дифференциального уравнения. В данном случае эти решения
получаются из формулы (*) при ?^=0.
Геометрически обдий интеграл (*) представляет собой семейство гипербол,
включая их асимптоты у == A ± У%) х-
Некоторые дифференциальные уравнения сводятся к однородным с помощью
подстановки.
Пример 3. Решить уравнение
У — 2х — 5J+ 4 "
Решение. Сделаем подстановку х = и -\- h, у = v + k. Мы имеем dx =
«== du, dy — dv. Поэтому после перехода к новым переменным уравнение примет
вид:
dv _ и — 2р + (h — 2fe + 5)
du 2a — v + Bh — k + 4)" ^
Чтобы это уравнение было однородным, выберем h и k так, чтобы выполнялись
равенства
— 2k + 5 = 0,
2h — k + 4 = 0.
Отсюда находим h— —1, k = 2. При h — —1, k — 2 уравнение (*) принимает
вид:
dv __ и — 2v
du 2u — v'
220

Решая это однородное уравнение подстановкой v = uz, получаем уравнение
H du~~ 2-г'
решением которого является
г—1
(г + IK
= Си\С Ф 0).
Подставляя значение г = — , получаем:
и
.с.
(v + и?
Так как « = * + 1, v= у — 2, то имеем отсюда
у — х — 3
(у+х
= С. (***)
При разделении переменных мы делили на выражение г2 — 1. Из уравнения
г2 — 1 = 0 получаем потерянные решения 2= ±1 уравнения (**). Выражая
г через х и у, получаем решения у=х-\-Зпу— — х — 1 (решение у = х + 3
получается из (***), если положить С = 0, а решение у = — х — 1 — если запи-
(•у -J-X+ IK
сать (***) в виде = С и положить Сг == 0).
у — х — 3
Решить следующие дифференциальные уравнения:
77.7. у dx + {2\/^y — x)dy = 0.
78.7. ху' cos ~ = у cos — — х.
X X.
79.7. (У + V*2 + y2)dx — xdy = 0.
80.7. y' = ^ln-^.
х л:
81.7. (jc2 + 2ху — у2) dx + (у2 + 2ху — х2) dy = 0.
Найти интегральную кривую, проходящую через точку М A; 1):
82.7. ху dy — у2 dx = (х + уJ е dx.
83.7. ху' =xsin^+y .
84.7. (у4 — 2х3у) dx + (х4 — 2ху3) dy - 0.
85.7. (х2 + ху) у' = х Ух2 — у2 + ху +у2.
86.7. х2 —у2 + 2хуу' = 0.
87.7. у dx + B Уху — х) dy = 0.
88.7. <b =_^_.
Х2_ Ху _|_ у2 2у2 —- Ху
89.7. у' = — + ~; найти интегральную кривую, проходящую
через точку A;1).
221

90.7. A + ey) dx + e y A — —\ dy = 0. Найти интегральную
кривую, проходящую через точку @;2).
Решить дифференциальные уравнения:
91.7. у2 — 4ху + 4х2у' = 0.
92.7. (х + у — 2) dx + (х — у + 4) dy = 0.
93.7. Bл; — у + 1) dx + Bу — х — 1) dy = 0.
94.7. (х + у + 1) dx + Bх + 2у — 1) dy = 0.
95.7. у' = * '
4х + 2у + 5
96.7. Dу — Зх — 5) у' + 7х — Зу + 2 - 0.
97.7. Bл: + 8) djc + (Зу — 5х — 11) dy = 0.
98.7. (а: — 2у + 5) dx -f Bл; — у + 4) dy - 0.
99.7. Доказать, что интегральные кривые уравнения (ах +
+ by + с) dx + (ay — bx + d) dy = 0 есть логарифмические спи-
спирали.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУ Л ЛИ
Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения
у' + у cos х = sin х cos ху (*)
удовлетворяющее начальному условию у |лг=о — 0.
Решение. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка,
так как искомая функция у и ее производная у' содержатся в этом уравнении в
первой степени. Областью его решений является область непрерывности его коэф-
коэффициентов
cos л: и -— sin 2x,
т. е. вся числовая ось. Линейное уравнение можно интегрировать способам
вариации произвольной постоянной. Найдем сначала об-
общее решение линейного однородного уравнения, соответствующего данному неод-
неоднородному:
у' + у cos х = 0.
В этом уравнении переменные разделяются:
Интегрируя, получим;
— =— cos х dx.
У
In у == —sin x + In С,
или
у = Се-*{пХ. (**)
Общее решение заданного неоднородного уравнения будем искать в том же
виде (**), только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х,
т. е. будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде:
222

у = С (х) e~sinx.
Дифференцируя левую и правую части, получим:
у' = С (х) e-sinx — С (х) е~*'тх cos x.
Подставив полученные значения у и у' в заданное уравнение (*), будем иметы
С (х) e-s[nx — С (х) e~s'mx cos x + С (х) е'*тх cos х = sin x cos x.
Отсюда получаем:
С' (х) = esmX sin х cos х.
Выполняя интегрирование, получим:
С (х) = f esinX sin x cos x dx =sin x eslnx — esinJr + Cx.
Таким образом, общим решением данного уравнения является
у = [esinx (sin х — 1) + Су] e-*'inx = sin х — 1 + Сх е'&'тХ.
Найдем теперь искомое частное решение. Подставляя в полученное общее решение
начальные условия у = 0 при х = 0, имеем:
О = sin 0 — 1 + Сг <rsin о,
или Сх = 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
у = sin х — 1 + e~smx.
Пример 2. Найти общий интеграл уравнения
(у2 - 6х) / + 2у = 0. (*)
Решение. Это уравнение не является линейным, если считать искомой
функцией у, но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией х,
а аргументом у. В самом деле, уравнение (*) эквивалентно уравнению
или
2уХ'у-е>х =-у*. (")
Для решения уравнения (**) воспользуемся способом подстановки. Положим
#= uv. Тогда будем иметь: х' —u'v -f- v'u. Подставляя эти выражения в урав-
уравнение (**), получим:
2уы' v + 2yv'u — 6wu = — у2,
или
2yu'v + и Bус/ — 6») = — у2. (***)
Теперь потребуем, чтобы в уравнении (***) выражение в скобках обратилось в
нуль, т. е. чтобы 2yv' — 6 v =0, откуда
Л dv dv ndy
dy v у
или
In v = 3 In у и v = у3.
Подставляя найденное значение v в (***), найдем:
223

Ho x — и v, поэтому
Это и есть общее решение дифференциального уравнения.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение ху' + у = у2 In x.
Решение. Это уравнение Бернулли (левая часть у него такая же, как и
у линейного уравнения, а в правой части стоит выражение ут f (л:), где т — пос-
постоянное число, в нашем примере у2 In x).
Для интегрирования этого уравнения воспользуемся подстановкой1;
у = uv, у' — и' v + v'u.
Подставляем эти значения у и у' в заданное уравнение:
xu'v + xv'u + uv = u2v2 In x,
или
xu'v + и (xv'-\- v) — u2v2\n x. (*)
Потребуем, чтобы xv' + о = 0. Тогда
xdv dv dx
— = — v, или — == — — ,
dx v x
In t; = — \nx, v = — .
л:
Подставляем найденное значение v в уравнение (*), получим:
о In л; dtt Inxdx
и = иг , или —=
х2 м2 л:2
Выполняя интегрирование, получаем:
1 1 х
— = — (In X + 1 +СХ), ИЛИ U = ; •
их In х + 1 +Сх
Так как у — uv, то окончательно имеем:
Эго и есть общий интеграл заданного уравнения Бернулли. Кроме того, наше
уравнение имеет еще очевидное решение у — 0.
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
100.7. ху' + 2у = х2.
101.7. (х3 + у) dx — xdy = 0.
102.7. у' + 2ху = 2хе~*.
1 При решении этого уравнения можно было воспользоваться подстановкой
2 = у1"т1 которая приводит данное уравнение к линейному. В нашем примере дос-
1 , У'
таточно положить z = — , z= — ¦*— , и заданное уравнение становится ли-
у у2
нейным:
xz' — г = In х.
224

103.7. у' + Ц^у = 1.
X
X
104.7. у' + у = cos jc.
105.7. у' =
106.7. у' =
2у In у + у — х
1
л: cos у + sin 2у
107.7. е?у' + Чху ех* = л: sin x.
Ю8.7. у' ^±^—y = cosx— 2л: + 1 sin л:,
Ю9.7. у' — ~у = g*(*~-2).
х л;
110.7. A +у2) dx = (Kl + У2 siny — ху
111.7. у'—i
112.7. у'— -^- =е*(х+ \)п.
113.7. A +y2)rfx = (arctgy — x)dy.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным началь-
начальным условиям, следующих дифференциальных уравнений:
П4.7. /-ytg*= —i-, y|*=o= 1.
115.7. jCy/--fT = A:> yU=o=l.
X -f- 1
116.7. у' + л;2у = *2, yU=2 = 1.
117.7. y'-ytgx = —L_ , у|,=о = О.
COSJC
118.7. yf l- у = 1 sin x,
sin x cos л: sin x
119.7. ^_
( + ), |,=0 .
+ 1
120.7. A — x*) у' + ху - 1, у | ,=o = 1.
121.7. у' + у cos x = sin x cos x, у |Л==0 = 1.
122.7. у' +х*у = х\ у U=2- 1.
123.7. Решить следующие уравнения, линейные относительно
переменной х:
а) у =!
х cosy + sin2y
225

б) (х — 2ху — у2)у' +У2 = О,-
в) у' = 1 .
2у In у + у — л:
124.7. Найти у из уравнения
X X
Л Л
л I у пХ = \Х -J- 1) \ лу ал.
J J
О О
Решить дифференциальные уравнения:
125.7. (х — 2ху — у2) у' + у2 = 0.
126.7. у' + 2ху = 2х3у\
127.7. dy + (ху — ху3) dx = 0.
128.7. A — х2) У — ху — оку2 = 0.
129.7. у'(л:2у3 + ху) = 1.
130.7. (у In a: — 2) у d* = A:dy.
131.7. у — y'cos x =-¦ у2 cos л: A — sin x).
132.7. Пусть yi и у2 — два различных решения уравнения
У + Р (х) у = Q (х).
а) Доказать, что у = у{ + С (у2 — уО является общим реше-
решением того же уравнения (С — const).
б) При каком соотношении между постоянными а и Р линейная
комбинация ayt + Py2 будет решением данного уравнения?
в) Доказать, что если у3 — третье частное решение, отличное
от у! и у2, то отношение
У 2 —Ух
Уз — Ух
постоянное.
133.7. Найти общее решение уравнения у' + р (х) у — 0, где
р (х) непрерывна в интервале (а; Ь), если известно ненулевое част-
частное решение у4 этого уравнения.
134.7. Показать, что решение линейного уравнения у' +
+ р (х) у == q (х) с начальными данными х0, у0 может быть запи-
записано в виде
X X
-\p(t)dt _ Г р (t) dt
135.7. Общее решение линейного дифференциального уравне-
уравнения имеет вид:
у-Сф (х) +ф (х),
где С — произвольное постоянное, ф и if — определенные функции^
от х. Доказать, что дифференциальное уравнение всякого семей-
семейства кривых этого вида есть линейное уравнение.
226

136.7. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение
У' + Р (х) у = Q (х)
сохраняет свой вид при следующих преобразованиях переменных:
а) любое преобразование независимого переменного х = <р (t),
где ф (t) — дифференцируемая функция;
б) любое линейное преобразование зависимого переменного
у =а (х) z +р (х), где а(л;) и |3 (х) — произвольные дифференциру-
дифференцируемые функции, а (х) ф О в рассматриваемом промежутке.
§ 6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
A +х ух*+у*) dx + (— 1 + V^+ У2) У dy = 0.
Решение. Покалим, что данное уравнение относится к классу уравнений
в полных дифференциалах. Действительно,
Р (х\ у) = 1 + */*2 + У2>
Q (х\ у) = (— 1 + /х2+ у2) у.
Отсюда находим:
дР ху dQ xy
ду ~~ У"х2-Ь У2 ' ^У ~~ Ул:2+у2 '
ая aQ ху
Так как — = — и функция г непрерывна во всей плоскости, то дан-
ду дх ^У Ух*+ у2 Р Р
ное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общее ре-
решение можно записать в виде криволинейного интеграла
(х; у)
J [Р (х- y)dx + Q (х; у) dy] = С.
u0; у о)
Выбирая путь интегрирования в виде ломаной MKN, где М (хо\ у0), К (х; у0),
N (х\ у), имеем:
JP (х; у0) dx+^Q (x\ у) dy = С.
В нашем случае, выбирая М @, 1), имеем:
Р (Х; 0) = 1 + х yV-j-1,
а потому общий интеграл принимает вид:
Выполняя интегрирование, получаем ответ в виде
1 *
+ (
227

Если бы мы выбрали в качестве точки М другую точку плоскости, то получи-
получили бы ответ, отличающийся лишь видом произвольной постоянной.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах могут быть решены
и другим методом. Проиллюстрируем этот метод на следующем примере.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
(Зх2 + 6xy2)dx + Fх2у + 4у3) dy = 0.
Решение. Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.
В самом деле, обозначая Зх2 + бху2 через Р (х; у), а 6л:2у + 4у3 через Q (х\ у),
мы легко убеждаемся в том, что
дР dQ
ду дх
а это и есть необходимое и достаточное условие того, что выражение
Р (х\ у) dx+ Q (х; у) dy
дР
является полным дифференциалом некоторой функции и (х\ у). При этом — и
ду
— — непрерывные функции.
дх
Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравне-
уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального
уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет и (х; у),
тогда
Интегрируя левую и правую части по х, получим:
и (Х; у) = Г (Зх2 + бху2) dx = х3 + Зх2у2 + ф (у).
Здесь мы произвели интегрирование, считая у постоянной, а в качестве произволь-
произвольной постоянной интегрирования взяли функцию от z/, так как при дифференциро-
дифференцировании по х мы считаем у постоянной и производная по х от выражения, в которое
не входит х, равна нулю.
Таким образом, мы нашли функцию и (х; у) с точностью до слагаемого, содер-
содержащего только у, а именно:
и (х; у) = х3 + Зх2у2 + ф (у). {¦)
Чтобы найти ф (у), используем тот факт, что
ди (х; у)
= 6х2у + 4у?.
ду
ди
Находим —; используя (*), получим:
ду
ди
- = 6*2у + Ф' (у).
ди
Сравнивая эти два выражения для—, получаем:
ду
6х2у + Ф' (у) = 6х2_у + 4у3,
откуда
Ф' (У) = 4У3
и
Ф (У) = J4y3 dy = у*.
Подставляя найденное значение ф (у) в (*), окончательно получим
функцию и (х; у):
228

и (х\ у) = х3 ¦+¦ Зх2у2 + у4,
которая определена с точностью до произвольной постоянной (мы произвольную
слагаемую интегрирования положили равной нулю).
Общим интегралом данного дифференциального уравнения будет*
и (х- у) = С,
в нашей задаче
х3 + Зх2у2 + у4 = С.
Решить следующие дифференциальные уравнения:
137.7. х Bх2 + у2) + у (х2 + 2у2) у' = 0.
138.7.
]/"х2
,V*2+y2 у у*
139.7. Зх2 еУ dx + (хг еУ — 1) dy - 0.
140.7. (Sx sin у + 1) dx = |— л:2 cos у + З^у; выделить интег-
интегральные кривые, проходящие через точки М A;1) и N @;1).
141.7. (sin xy +- jcy cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0.
+ л: ) dx + (у — 51fU? j ^ = o.
+) + y
у / V У
143.7. е-У dx + (l— хе-У) dy = 0.
144.7. (л; cos 2y+\)dx — xi sin 2y dy = 0.
145.7 ухУ-1 dx + ху In x dy = 0.
146.7.
lrfr + f
147 7
148.7. A+3^X
U2 x*)
149.7. ( ^ + 2xy — ^) dx + (J/TT^+ ^2— ln *) dV =
V
cos-2 лгу \ cos^ .ку
151.7. uX -j- • dy = 0.
Выделить интегральные кривые, проходящие через заданные точки:
152.7. —-— dy = I у- 1) dx через точку Ml; 1).
229

153.7. ^^ +-y2~3*2 dy = О через точку М A; 1).
У3 У4
154.7. 3*%*+ (х3еУ— 1) */' = 0 через точку М @; 1).
155.7. Ц dx +y^=^ dy = O через точку М A; 1).
156.7. l* + 2y)**+ydy _0 м A 0)
157.7. Из семейства интегральных кривых дифференциального
уравнения
2х cos2 у dx + Bу — л:2 sin 2y) dy = 0
выбрать ту, которая проходит через начало координат.
158.7. Проинтегрировать уравнение yd* + xdy — 0 (л; > 0,
у>0) как уравнение в полных дифференциалах и как уравнение
с разделяющимися переменными (не потенцируя). Найти зависи-
зависимость между полученными общими интегралами и = С и Ui = С4,
т. е. зависимость между интегралами «и«1(
159.7. Доказать, что если Pdx + Q dy = 0 — однородное урав-
уравнение, а выражение Pdx + Q dy — полный дифференциал, то об-
общий интеграл данного уравнения имеет вид: Рх + Qy = С, если
степени Р я Q отличны от —1.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
{у2 _ 1} + {2ху + Зу) у' = 0.
Решение. Нам дано уравнение с разделяющимися переменными. Приве*
дем его к виду:
, У*У 0
У*-1
Остается проинтегрировать это уравнение и учесть потери решений при деле-
делении на выражения, содержащие неизвестные.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
Bх + у) dx + (х — Ay) dy = 0.
Решение. Это уравнение не относится к дифференциальным уравнениям
с разделяющимися переменными.
Коэффициенты при dx и dy являются однородными функциями одного и того
же измерения, а именно первого. Следовательно, дифференциальное уравнение —*
однородное. Решается подстановкой у = хи. Но это уравнение является также
дР dQ л
и уравнением в полных дифференциалах, так как — = — = 1, причем функции
ду ох
дР dQ
Р, Q, —, — непрерывны во всей плоскости.
ду дх
Общий интеграл уравнения:
230

у) dx + J @ — 4у) dy — С.
о о
Имеем:
х* + Ху — 2у2 = С.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
У 2ху + 3'
Решение. Уравнение
У2
не является ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным, ни
линейным. Но если переписать его в виде
dx 2ху + 3 __ 2х _3
dy= у" ~ у у*
то получим линейное уравнение относительно х. Решая его, получим:
х = Су2- —.
У
Пример 4. Решить уравнение
e2Jf_eJf+y A + у') = 0.
Решение. Перепишем это уравнение в таком виде:
dx __ gjf+У rfy = С.
Теперь легко заметить, что это уравнение не относится ни к дифференциальным
уравнениям с разделяющимися переменными, ни к линейным, ни к однородным.
Проверим условие полного дифференциала:
ду ' дх
дР dQ Л дР dQ
т. е. — = —, кроме того, функции Р, Q, —, — непрерывны во всей плоскос-
ду дх ду дх
ти. Общий интеграл этого уравнения запишется так:
х у
(е?х — ex~hy) dx -f- I — e°+y <iy = C;
о о
2 e 6
Пример 5. Решить уравнение
/ cos у = __ a + 1 + x
231

Решение. Применим подстановку г — sin г. Тогда данное уравнение
превращается в линейное относительно г. Действительно, г' = cos у • у', и потому
имеем:
Решая это уравнение, получаем:
1 f7+~x
г = — (arc sin л:+ ^/1 — *2 + С) 1п Л/ .
2 f 1 — л:
Так как г = cos у, то получаем:
cos у == — (arc sin x + * )Л — х2 + С) In "l/ ^.
^ f 1 х
Определить тип, к которому принадлежит соответствующее ура-
уравнение, и проинтегрировать его:
160.7. у2 + гУ =
161.7. у' — ytgx= . Дополнительно найти интегральную
COS X
кривую, проходящую через точку М @; 0).
162.7. (х + у) dx + (х — у) dy = 0..
7
+ у2
164.7. xy-yln A
165.7. ху' + у — ех = 0.
166.7. у' = 1-3*-3у.
1+х + у
167.7. у' = * + 2 + 1
2д:
4у + 3
168.7. A + у2) dx == (J/ + У2 sin у — жу) dy.
169.7. у2 dx — Bху + 3) dy = 0.
170.7. ^ + у- =-ху2.
dx л:
171.7. 3dy = (l— Зу2) у sin x dx
172.7. у' = 2х^у + у3.
173.7 (х2 + 2ху + 2у2) dy + xy dx = (х2 + У2) <^^
174.7. у' = *2 + 2жу~у2.
^+у2
175.7. у = ?±1±1.
дг-у + 1
232

176.7.
177.7. у' = е2* — е*у.
178.7. х [In х — In у] dy — у dx = 0.
179.7. у' + 2* = «2Z.
Jf COS2*
180.7. (х + 1) у' — «у = <# (х+ 1) "+1.
181.7. у — y'cosx = y2cosx(l — sinx).
182.7. Sln^tgA
183.7. (^ + In у) dx + (l + ~ + sin y^j dy = 0.
184.7. Убедиться в том, что интегральными кривыми уравне-
уравнения A—х2) у' + ху = ах являются эллипсы и гиперболы с цент-
центрами в точке @; а) и осями, параллельными координатным осям,
причем каждая кривая имеет одну постоянную ось, равную 2.
185.7. ху' + у = у2 In х.
186.7. УУ' +\ У2 = sin х.
187.7. (х — л:3) У + Bх2 — 1) у — ахъ = 0.
188.7.
189.7. хуеУ dx — [х2еУ + (х + уJ} dy = xy& dx —
190.7
191.7.
192.7.
193.7.
194.7.
195.7.
196.7.
(xe>
dy
У'
A -
*2y
X/
У
> + ех)У+еУ + уе* = 0.
—- ег* dx + у dx — xdy = ху dx.
= —A + In у — \nx).
X
-f- y2) dx = (]/" 1 -\-y2 sin у — лгу) <
2y' J^. уЗд. __ J
+ y = lnx+l.
У
2y In у + У — x
197.7. y'+y Ф' {х) — Ф {х) Ф' {x) = 0, где Ф (х) — заданная
функция.
233

198.7. у' = 2
9
199.7. Привести уравнение у' = — + Ф (— ] к квадратуре. Ка-
/ N ^ '
/ Jb« \
кова должна быть функция ф — , чтобы общим решением дан-
данного уравнения была функция у = —-—?
In I LiX\
8. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей:
1) составления дифференциального уравнения;
2) решения этого уравнения;
3) исследования решения.
При решении геометрических задач полезно пользоваться следующей по-
последовательностью действий:
1) сделать чертеж и ввести обозначения. Например, у = f (х) — уравнение ис-
искомой линии и т. п.;
2) отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомого геомет-
геометрического места, от условий, имеющих место лишь в отдельных фиксирован-
фиксированных точках. Другими словами, выделить начальные условия. Их в начале, при
составлении дифференциального уравнения, не учитывать;
3) выразить все упомянутые в задаче величины через х, у и у', учитывая
при этом геометрический смысл производной;
4) на основании условия, задачи составить дифференциальное уравнение се-
семейства искомых кривых;
5) найти общее решение полученного дифференциального уравнения, а за-
затем по начальным условиям найти конкретную интегральную кривую.
Пример 1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку РA; 2), для
которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится попо-
пополам в точке пересечения с осью Оу.
У J ^^ Решение. Пусть М (х; у)
— произвольная точка искомой кри-
кривой, AM—касательная к кривой,
А — точка пересечения касательной
с осью Ох, В—точка пересечения ее
с осью Оу, С — проекция точки М
на ось Ох (рис 3.7).
Обозначив через а угол, об-
образованный касательной с положи-
положительным направлением оси Ох, бу-
будем иметь
tga = /.
С другой стороны, из чертежа сле-
следует, что
СМ
l
Рис. 3.7
Выразим последнее отношение через
текущие координаты точки М. Так
234

как МС\\ВО, то — =—, но ОС =± х, АВ = ЯМ, поэтому ЛО = х и ЛС = ЛО +
ОС ВМ
-\-0С = 2х. Кроме того, СМ—у. Таким образом,
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
менными. Разделяем переменные и интегрируем:
пере-
Мы получаем:
J У
dy__ С dx
У """ J 2л:*
{ 1пС>
или
2 In у = In Ок, у2 = Ок.
Таким образом, общее решение полученного дифференциального уравнения
имеет вид: у2 = Сх. Оно определяет семейство парабол, проходящих через на-
начало координат, с осью симметрии Ох.
Из полученного семейства интегральных кривых выделим теперь искомую
кривую, удовлетворяющую начальному условию, т. е. проходящую через точ-
точку РA; 2).
Подставляя значения х = 1, у = 2 в общее решение у2 = Сх, получим С =
= 4. Таким образом, уравнение ис-
искомой кривой имеет вид:
у2 = 4х.
Пример 2. По какой поверхно-
поверхности вращения следует отшлифовать
зеркало прожектора, чтобы все лучи,
выходящие из источника света, поме-
помещенного в точке О на оси вращения,
отражались бы зеркалом параллельно
этой оси (рис. 4.7)?
Решение. Возьмем меридиан-
меридианное сечение поверхности вращения.
Выберем начало координат в точке О,
ось Ох направим по оси вращения.
Обозначим угол, образованный осью
Ох и касательной AT в произволь-
произвольной точке сечения М (х\ у), через а.
Тогда по условию задачи /1SMT =а.
Но <L OMN = /L SMN (угол падения
равен углу отражения), поэтому Z ОМА = Z SMT ~ а. Таким обра-
образом, треугольник ОАМ равнобедренный и АО—ОМ. Отрезок АО— АР—ОР—
Рис. 4.7
= У ctga — х, но ctga =
1
и мы получаем дифференциальное уравнение:
1 у
¦ = -т, поэтому АО =—, — х, ОМ = Vx2+y2>
tga у' у1
или в дифференциалах:
у dx — (х + ~fx2 + у2) dy = 0.
235

Это однородное уравнение. Подстановкой х = уи и соответственно dx = udy ¦+¦
+ ydw приводим его к уравнению с разделяющимися переменными1:
у (udy -f ydu) — (иу -\- У и2у2 ~\- у2) dyt
которое преобразуется к виду:
du dy
v^n ~ у'
Отсюда находим:
In {и + Уи2+ 1) = In у — In С,
или
Упростим полученное уравнение меридианного сечения, уничтожив иррациональ-
иррациональность:
У^_2уи
С2 С
Заменяем переменную а через ее значение —:
у2 - 2Су - = С*,
или окончательно:
Мы получили семейство парабол с осью симметрии, совпадающей с осью Ох с па-
С
раметром р — С и вершиной, лежащей на расстоянии — влево от начала коор-
координат. Следовательно, искомая поверхность вращения — параболоид вращения.
При решении задач с физическим содержанием, так же как в случае решения
геометрических задач, можно рекомендовать следующую последовательность дей-
действий:
1. Установить, какому закону подчиняется рассматриваемый процесс.
2. Решить, что выбрать за независимое переменное, например время t, и что—
за искомую функцию, например 5 = / (t).
3. Исходя из условий задачи, определить начальные условия. Например, 50 =
= t do)-
4. Выразить все фигурирующие в задаче величины через t, S, S', используя
при этом физический смысл производной как скорость изменения переменной 5
в изучаемом процессе.
5. Исходя из условия задачи и на основании физического закона, которому
подчиняется данный процесс, составить дифференциальное уравнение.
6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
7. По начальным условиям найти частное решение.
хДля упрощения дальнейших выкладок здесь за искомую функцию взята
переменная х, а за аргумент у (в этой задаче переменные л: и у по существу равно-
равноправны).
236

Пример 3. Сосуд объемом 40 л содержит воздух (80% азота и 20 % кис-
кислорода). В сосуд втекает каждую секунду 0,2 л азота, который непрерывно разме-
размешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде бу-
будет 99% азота?
Решение. Выберем в качестве аргумента время / и обозначим через x(t)
количество литров азота в сосуде через t сек после начала опыта.
Рассмотрим промежуток времени At и найдем изменение количества а.зота
в сосуде за этот промежуток времени. Если в одну секунду втекает 0,2 л азота, то
за At сек втечет 0,2 At л азота. Чтобы подсчитать, сколько азота вытечет за это
время, заметим, что количество азота в сосуде не остается постоянным. В момент t
х (t)
в 40-литровом сосуде содержится х (t) л азота, значит, в 1 л смеси содержится —— а
азота, и если бы в течение этого времени количество азота в сосуде x(f) не меня-
менялось, то в вытекающем за время At количестве смеси @,2А? л) содержалось бы
х (t)
—- . 0,2 Д t л азота.
40
Изменение количества азота за время от t до t + A ty т. е. х (t + At) — x (t),
равно разности количества поступившего и вытекшего азота:
х (t)
x(t + At) — x(t) « 0,2 А г?— -—¦ .0,2 А *.
40
Отсюда следует, что
^«0,2-А
At ' 40
Л, т. Ах dx
причем это равенство тем точнее, чем ближе A t к нулю. Так как lim = —,
д^о А * dt
то получаем дифференциальное уравнение
** = 0,2-4
dt 40
Решая это уравнение , получаем:
х = 40 + С е 200 . (*)
Используя начальные условия
х @) = 40 . 0,8 = 32,
находим значение произвольной постоянной С. Имеем:
32 = 40 + С • е°; С = —8.
Подставляя С = —8 в равенство (*), найдем закон, по которому определяется
содержание азота в воздухе в любой момент времени:
t__
jt=:40 — Se 200 . (¦*)
Пользуясь равенством (**), найдем, через какое время сосуд будет содержать 99%
азота, т. е. 39,6 л. Имеем:
I t_ jt__
39,6= 40- 8е 20° , е 200 =0,05, еш -20,
t = 200 In 20 w 200 . 2,9957 « 600 сек.
237

А. Геометрические задачи
200.7. Найти кривую, проходящую черезточку (—1;1), если
угловой коэффициент касательной к ней в любой точке кривой ра-
равен квадрату ординаты точки касания.
201.7. Найти кривую, для которой площадь Q, ограниченная
кривой, осью Ох и двумя ординатами в точках 0 и х, является дан-
данной функцией от у:
Q = a2 In К
а
202.7. Найти кривую, у которой площадь, ограниченная самой
кривой, осями координат и переменной ординатой, пропорциональ-
пропорциональна длине дуги, ограничивающей эту площадь сверху.
203.7. Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке
которых есть среднее арифметическое координат точки касания.
204.7. Составить уравнение кривой, проходящей через начало
координат, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки
кривой до оси Ох находится на параболе у2 = ах.
205,7 Найти кривую, проходящую через точку Мо C;3) и об-
обладающую следующим свойством: если через любую точку кривой
провести две прямые, со-
соответственно параллель-
параллельные координатным осям,
до пересечения с послед-
последними, то полученный при
этом прямоугольник делит-
делится кривой на две части, из
которых одна (примыкаю-
(примыкающая к оси Ох) по площади
вдвое больше другой (рис.
5.7).
206.7. Найти семейство
кривых, для которых пло-
площадь треугольника, обра-
Рис 5.7 зованного осью Ох, каса-
касательной и радиус-вектором
точки касания, постоянна.
207.7. Доказать, что только прямые у = kx и гиперболы ху =
= т обладают следующим свойством: длина радиус-вектора любой
их точки равна длине касательной, проведенной в этой точке.
208.7. Используя полярные координаты, найти кривые, для
которых длина дуги пропорциональна площади сектора, ограни-
ограниченного этой дугой и двумя радиус-векторами.
209.7. Найти линию, для которой абсцисса центра тяжести
площади криволинейной трапеции, образованной осями коорди-
238

нат, дугой и отрезком, соединяющим любую точку кривой с ее
проекцией на ось Ох, равна утроенной абсциссе этой точки.
210.7. Найти кривую, проходящую через точку (=— 1;1), если
угловой коэффициент касательной к ней в любой точке кривой ра-
равен квадрату ординаты точки касания.
211.7. Найти кривую, проходящую через точку (— 1; —2), если
поднормаль ее в каждой точке равна 2.
212.7. Найти уравнение кривой, пересекающей ось абсцисс в
тбчке х = 1 и обладающей таким свойством: длина поднормали в
каждой точке кривой равна среднему арифметическому координат
этой точки кривой.
213.7. Найти кривую, для которой радиус-вектор равен длине
отрезка касательной между точкой касания и осью Ох.
214.7. Найти кривую, для которой площадь, ограниченная
дугой кривой, осью абсцисс и двумя ординатами, пропор-
пропорциональна отношению абсциссы к ординате концевой точки дуги
кривой.
215.7. Найти кривую, у которой подкасательная в k раз боль-
больше абсциссы точки касания. Рассмотреть частные случаи при k =
- 1 _1 9 1 А
216.7. Найти кривую, если площадь, ограниченная осями коор-
координат, этой линией и произвольной ее ординатой, равна — пло-
«3
щади прямоугольника, построенного на координатах конечной
точки.
217.7. Радиус-вектор каждой точки кривой равен длине отрез-
отрезка нормали в этой точке. Кривая проходит через точку E;1). Со-
Составить уравнение кривой.
218.7. Найти в полярных координатах уравнение такой кри-
кривой, в каждой точке которой тангенс угла между радиус-вектором и
касательной равен обратной величине радиус-вектора, взятой с
обратным знаком.
219.7. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой,
в каждой точке которой тангенс угла, образуемого радиус-вектором
с касательной, равен квадрату радиус-вектора.
220.7. Доказать, что кривая, обладающая тем свойством,
что все ее нормали проходят через постоянную точку, есть ок-
окружность.
221.7. Найти кривую, если касательная к ней отсекает на оси
Оу отрезок, равный—й части суммы координат точки касания.
п
222.7. Найти кривую, у которой средняя ордината на отрезке
1 х
[О; х]9 т. е. величина — Г у dx, пропорциональна ординате в кон-
х{
цевой точке х.
239

Б. Физические задачи
223.7. Во сколько времени тело, нагретое до 100°, охладится
до 25° в комнате с температурой 20°, если до 60° оно охлаждается
за 10 мин. (По закону Ньютона скорость охлаждения пропорцио-
пропорциональна разности температур.)
224.7. Пуля входит в доску толщиной h = 10 см со скоростью
vо = 200 м/сек, а вылетает из доски со скоростью Vi = 80 м/сек.
Считая, что сила сопротивления движению пули в доске пропор-
пропорциональна квадрату скорости, найти время движения пули через
доску.
225.7. Сила тока в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L
и напряжением U (t) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению
L + Ri
Решить это уравнение, считая R и L постоянными, a U = kt\
начальные условия i @) = 0.
226.7. В резервуар, содержащий 10 кг соли на 100 л смеси, каж-
каждую минуту поступает 30 л воды и вытекает 20 л смеси. Определить,
какое количество соли останется в резервуаре через t мин, пред-
предполагая, что смесь мгновенно перемешивается.
227.7. За какое время вода, заполняющая полусферическую
чашу диаметра d = 2 м, вытечет через круглое отверстие в дне
чаши диаметром d = 0,2 м?
228.7. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если
известно, что это давление равно 1 кГ на 1 см2 на уровне моря и
0,92 кГ на 1 см2 на высоте 500 м.
229.7. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти
зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что
диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении 1 мин
вращался со скоростью 60 об/мин.
230.7. Закон распада радия состоит в том, что скорость распада
пропорциональна наличному количеству радия. Известно, что
половина его первоначального запаса распадается по истечении
1600 лет. Определить количество нераспавшегося радия по истече-
истечении 100 лет, если первоначальное его количество равно 1 кг.
231.7. Известно, что изолированный проводник вследствие не-
несовершенства изоляции теряет сообщенный ему заряд, причем
скорость потери заряда пропорциональна наличному заряду в
данный момент. В начальный момент проводнику сообщен заряд
2000 CGSE. За первые две минуты проводник теряет 150 CGSE.
Определить, через сколько минут заряд проводника станет равным
половине начального.
232,7. Цилиндрический резервуар с горизонтальной осью имеет
240

длину б м и диаметр 4 м. Во сколько времени вода, заполняющая
резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиуса -=- м,
сделанное в дне резервуара? Скорость истечения жидкости из от-
отверстия в сосуде вычисляется по формуле v = с ]^2ghy где h —
высота столба воды от уровня свободной поверхности до отвер-
отверстия, с — коэффициент, зависящий от вязкости жидкости, формы
сосуда и пр. Для воды в обычных условиях приближенно можно
принять с = 0,6.
233.7. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоро-
скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек
после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить
скорость лодки через 2 мин после остановки мотора, считая, что
сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
234.7. Материальная точка массы т движется по прямолиней-
mk2
ному пути к центру, притягивающему ее с силой —^-, где г— рас-
расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя
при г =а. Найти время, по истечении которого точка достигнет
центра.
235.7. Материальная точка массы т отталкивается от прямой
силой, пропорциональной расстоянию от этой прямой с коэффи-
коэффициентом пропорциональности mk2. В начальный момент расстоя-
расстояние от точки до прямой равно а. Начальная скорость параллельна
прямой и равна v0. Написать уравнение траектории.
236.7. Поезд, вес которого вместе с паровозом равен Р, дви-
движется по прямолинейному пути (горизонтально). Сила тяги паро-
паровоза постоянна и равна F. Сила W сопротивления при движении
задается как линейная функция от скорости поезда. Определить
закон движения, если в начальный момент скорость и путь равны
нулю.
237.7. Круглый цилиндрический бак с вертикальной осью,
диаметром D и высотой Н наполнен водой. Определить время опо-
опорожнения бака через круглое отверстие диаметром а в дне бака.
238.7. Найти зависимость между температурой охлаждающего-
охлаждающегося по закону Ньютона тела и временем, если коэффициент внеш-
внешней теплопроводности является линейной функцией от времени
k — k0 (I + at), где k0 и а постоянны. Начальная температура
тела То, температура среды постоянна и равна Т{.
239.7. Количество света, поглощаемого при прохождении через
тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света
и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м
поглощается половина первоначального количества света, то ка-
какая часть этого количества дойдет до глубины 30 м?
240.7. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся
около вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму па-
параболоида вращения.
241

241.7. В цепи поддерживается напряжение Е = 300 в. Со-
Сопротивление цепи R = 150 ом. Коэффициент самоиндукции
L = 30 гн. За какое время с момента замыкания цепи возникаю-
возникающий в ней ток i достигнет 99% своей предельной величины?
242.7. Конденсатор емкостью С включается в цепь с напряже-
напряжением Е и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в
момент t после включения.
243.7. Найти закон изменения силы тока в цепи с самоиндук-
самоиндукцией, если / = /0 при t = 0 и v = A sin cotf.
§ 9. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Пример 1. Найти два последовательных приближения к решению урав-
уравнения у'= у2 + 2х—1 с начальным условием у\Х-о== !• Оценить, на каком отрез-
отрезке обеспечено существование решения и сходимость к нему последовательных
приближений.
Решение. Условия теоремы Коши выполнены во всей плоскости. Найдем
последовательные приближения по формулам:
Уо (х) = Уо, Ук+г (х) = у0 + J / [t\ yk(t)] dt, n= 0, 1, 2
По условию задачи х0 = 0, у0 = 1, следовательно,
у1 = 1+|A+2/
о
Чтобы определить отрезок, на котором обеспечено существование решения и схо-
сходимость к нему последовательных приближений, выделим прямоугольник с цент-
центром в точке @; 1) и со сторонами 2а и 2Ь.
Так как функция f(x; у) = у2 + 2х — 1 непрерывна во всей плоскости, то
за а и b могут быть взяты любые положительные числа. Возьмем, например, а =
= — ,6=1. Найдем в этом прямоугольнике верхнюю грань М значений функции
I / (х; у) 11
М= max |
—0,5«л<0,5
0 < у < 2
Согласно теореме Пикара существование решения и сходимость приближений обес-
обеспечены на отрезке | х — х0 | < /г, где
В нашем случае h = min j—; —I = —¦. Итак, на отрезке — — ; — I процесс
последовательных приближений заведомо сходится.
242

Само собою разумеется, что решение может существовать и на большем отрезке.
Пример 2. Используя метод последовательных приближений, найти ре-
решение дифференциального уравнения у' = у, удовлетворяющее начальному усло-
условию у\х=о = 1.
Решение. Находим последовательные приближения по формулам:
Уо М = Уо> Ун+i (х) = У0 + J / № У* @ 1 Л, Дс= 0, 1, 2, ... .
В нашем случае х0 = О, у0 = 1, следовательно,
Уо« = 1.
л;
У1 = 1 И- j dt = 1 + л:,
о
л:2 л:3 хп
Легко заметить, что последовательность решений yk (k = 0, 1, 2,...) представляет
собой последовательность частичных сумм ряда
Этот ряд сходится на промежутке (— оо, оо) к функции у = ех.
Таким образом, на основании теоремы существования и единствен кости мы
заключаем, что единственным частным решением заданного дифференциального
уравнения, удовлетворяющим данному начальному условию, является функция
Пример 3. Доказать, что через любую точку плоскости проходит един-
единственная интегральная кривая уравнения у' = —2л;у.
Решение. Правая часть уравнения / (х, у) = —2ху и ее частная произ-
производная .— = — 2х непрерывны по л: и по у во всех точках плоскости хОу. В силу
ду
теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение
имеет единственное решение, является вся плоскость хОу.
В этом же легко убедиться, рассмотрев общее решение уравнения
у = Се~х2. (*)
Покажем, что через каждую точку М (х0; у0 ) плоскости проходит только
одни интегральная кривая. Подставляя значения х =¦ х0, у = у0 в уравнение (*),
2 2
получаем: у0 = Св"хо , откуда находим С =уов-г о- Мы получили однозначно оп-
определенное значение С, соответствующее выбранной точке М.
Пример 4. Найти область, в которой уравнение
имеет единственное решение.
243

Решение. Правая часть уравнения / (л:; у) = 3 >/у2 определена и не-
непрерывна во всех точках плоскости хОу. Но частная производная по у, равная
2
Y^Zt не существует при у = 0. Следовательно, в точках, лежащих на оси Ох,
угу
возможно нарушение единственности. Таким образом, областью единствен-
единственности решения является вся плоскость без точек оси Ох. Легко проверить,
что функция у = (а: +СK является решением данного уравнения. Интегральны-
Интегральными кривыми являются кубические параболы (рис. 6.7). Но очевидно, что у в 0
Рис. 6.7
есть также решение данного уравнения. Интегральной кривой этого решения яв-
является ось абсцисс, Итак, оказывается, что через каждую точку оси абсцисс
проходят по крайней мере две интегральные кривые: кубическая парабола и ось
абсцисс, а через всякую точку плоскости, разрезанной вдоль оси абсцисс, проходит
только одна интегральная кривая — кубическая парабола.
Заметим, что на самом деле через всякую точку (xQ; 0) оси абсцисс проходит
бесчисленное множество интегральных кривых. Действительно, выберем проме-
промежуток (хг; х2), содержащий xQt и присоединим к левому концу хх дугу кубической
параболы, лежащую ниже оси абсцисс, а к правому концу х2 дугу, лежащую вы-
выше оси Ох. Полученная кривая является также интегральной кривой. Но так как
промежуток (*]/, х2) произвольный, то очевидно, что через всякую точку оси Ох
проходит бесчисленное множество интегральных кривых.
244

244.7. Найти несколько последовательных приближений к
решению уравнения у' = х — у2 с начальным условием у @) = 0
и оценить величину отрезка, на котором решение существует и по-
последовательные приближения сходятся к нему.
245.7. Найти три последовательных приближения решений
следующих дифференциальных уравнений:
а) у' = хг + у2, у @) = 0;
б) / = ху, у @) = 1.
246.7. у' = у2 + ху + х2. Найти по методу последовательных
приближений второе приближение для решения, удовлетворяю-
удовлетворяющего начальному условию у\х=а -- 1.
247.7. у' = ху3— 1. Найти значение при х = 1 того решения
данного уравнения, которое удовлетворяет начальному условию
У|*=о = 0- Ограничиться третьим приближением по методу
последовательных приближений. Вычисления вести с двумя деся-
десятичными знаками.
248.7. Пользуясь теоремой существования и единственности,
выделить области, в которых данные уравнения имеют единствен-
единственное решение:
а) у'=л;8 + уа; б) у'-у + Зу^зП
§ 10. ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ, МЕТОД ИЗОКЛИН
Пример 1. Определить угол между направлениями поля
х2 —у2
в точках МгC\ 1) и М2B;4).
Решение. Находим направление в точке Мх C; 1). Оно определяется
соотношением
З2— I2
^08
Точно так же находим направление в точке М2:
22— 42
Тангенс угла между направлениями в точках М± и М2 определяется по формуле
tga^-tga. д 0,8 + 0,6 _ЗБ
5Y l+tg^tgaa 1—0,8-0,6 13
Пример 2. В каких точках формула
*2+y2 + 2* + 2y-23
5 ^2+у2+л:^—19
не задает направления поля?
Решение. Формула (*) не задает направления в точках, где выполняются
равенства
245

/ + у + +у, „
\ x2 + y2 + xy — 19 = 0. ( '
Решая систему уравнений (**), находим точки М1 (—5; 2), М2 B; —5), Мв B; 3),
М4C: 2). Эти точки называются особыми для поля направлений (*).
Отметим, что в точках, где х2 + у2 + яу — 19=0, но х2 + у2 + 2х +
+ 2у — 23 =? 0, формула (*) определяет направление, параллельное оси ординат.
Пример 3. Найти множество точек плоскости, в которых поле направ-
направлений
tga=(* — IJ + (У + 4J (•)
п
образует угол — с положительным направлением оси абсцисс.
4
Решение. Так как tg — = 1, то искомым множеством является линия
4
(х — IJ + (у + 4J = 1, т. е. окружность радиуса 1 с центром в точке Л A; —4).
Линии с уравнением / (х; у) = к называются изоклинами для поля направ-
направлений tga = / (х\ у) — во всех точках этих линий поле имеет одно и то же нап-
направление, определяемое формулой tga= k.
С дифференциальным уравнением первого порядка
/ = / (г, У) A)
связано поле направлений
tga= f(x\ у).
Интегральные кривые уравнения A) в каждой точке' М (г, у) касаются поля
направлений в этой точке. Особые точки поля направлений A) называются осо-
особыми точками дифференциального уравнения.
Пример 4. Построить поле направлений для уравнения
у dy— xdx=0 (х2 + у2 ф0).
Построить изоклины у' = kt где k = 0, ± — , ± 1, ± 2. Провести интеграль-
ные кривые через точки @; 2) и D; 2).
Решение. Разрешим уравнение относительно у':
Находим изоклины. При у' = 0 данное дифференциальное уравнение принимает
вид:
— = 0, или х =0, у ф0.
У
Это уравнение оси Оу с исключенной точкой @; 0). Следовательно, если интеграль-
интегральная кривая пересекает ось Оу, то в точках пересечения с этой осью она имеет ка-
касательную, параллельную оси Ох (рис. 7.7).
Полагая у = — , получим изоклину:
х 1
— = -— , или у = 2а:, у Ф 0.
Это прямая с исключенной точкой О @; 0). Интегральные кривые в точках пере-
пересечения с этой прямой имеют касательные с угловым коэффициентом, равным —.
246

Рис. 7.7
Аналогично находим изоклины для значений производных у'=——, ± 1,
± 2. Ими будут соответственно прямые с исключенной точкой О @; 0):
у = — 2х, у=±х, у=±-~х.
Следует обратить внимание на то, что прямая у = 0 (без точки О @; 0)) также яв-
является изоклиной, в точках которой касательные к интегральным кривым будут
параллельны оси Оу.
В самом деле, будем считать в данном уравнении переменную х искомой функ-
функцией, а у аргументом; разрешая это уравнение относительно х\ будем иметь:
При х' = 0 получим изоклину у — 0 (хФ 0), что и доказывает наше утверждение.
На каждой изоклине укажем теперь стрелочками направление касательных
к интегральным кривым (см. рис. 7.7). Таким образом, мы построили поле направ-
направлений. Теперь приближенно проведем через точку @; 2) интегральную кривую.
х
Такая кривая существует, так как / (я; у) = — непрерывна в окрестности точки
@; 2); эта кривая будет единственной, так как в окрестности этой точки частная
производная
247

ду у2
также непрерывна. Аналогично проводим интегральную кривую через точку
D; 2).
Рассматривая поле направлений, можно сделать вывод, что прямые у~х и
у = _ х [с исключенной точкой О @, 0) ] являются интегральными кривыми,
а остальные интегральные кривые не будут пересекать этих прямых, они будут
к ним асимптотически приближаться,
Найти особые точки следующих дифференциальных уравнений:
249.7. /= * + 3У5
: — 2у
250.7. у'= *2 + *2
— 6
252.7. f=
253.7. у' =
д;2 _
254.7. /= ^-
255.7. у'= Х+У+Уху— И
Х2 _|_ у2 _|_ д^у _ 84 '
Методом изоклин приближенно построить интегральные кри-
кривые заданных дифференциальных уравнений:
256.7. у' = х2 + у2.
257.7. у' = cos (* — у).
258.7. / = у — *2.
259.7. у' = *2 + 2л; — у.
260.7. у'= -
261.7. ^ = —?=11.
262.7. / = 1 + у2.
263.7. Применяя метод ломаных Эйлера, найти на отрезку
[0; 1 ] приближенное решение уравнения у' = 2х — у, удовлетво-
удовлетворяющее начальному условию у|х=0= я. Отрезок [0; 1] разделить на
10 равных частей и сравнить приближенные значения решения в
точках деления со значениями точного решения у = 2х — 2 + е~* в
этих точках.
248

§ 11. ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
Пример 1. Найти особое решение уравнения, если оно существует
Решение. Правая часть уравнения всюду непрерывна, но f'y(x\ У) =
2
— —з~Ш не ограничена в окрестности точки (х0; 0), следовательно, возможно
существование особого решения у = 0. Но у = 0, очевидно, не есть решение
уравнения. Следовательно, данное дифференциальное уравнение особого решения
не имеет.
Пример 2. Найти особое решение уравнения
Решение. Правая часть уравнения всюду непрерывна, но частная про-
изводная по у
df 2
обращается в бесконечность в точках на прямой у = 2х. Непосредственной про-
проверкой легко установить, что эта прямая — интегральная. Остается проверить,
что решение у = 2х является особым решением. Для этого решаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение.
Применив подстановку у — 2х = 2, получим:
dz Ъг-^r dz
3
г
Отсюда
х + С = 3 У Г.
Или, возвращаясь к старым переменным, получим:
27 (у — 2х) = (х + СK.
Легко заметить, что кривые этого семейства касаются прямой у=2х при xQ=—G.
Таким образом, в каждой точке интегральной кривой у = 2л: нарушается единст-
единственность. Следовател ьно, решение у — 2х — особое решение.
Пример 3. По общему решению
некоторого дифференциального уравнения первого порядка найти особое реше-
решение того же уравнения.
Решение. С-дискриминантную кривую найдем из системы уравнений:
— х — 2С = 0
(второе уравнение получается из первого дифференцированием по С). Исключив
параметр С, получим:
249

X2 X f *\» ft X2
y= — -I x— — — = 0, у — — = 0.
У 2 ^ 2 V 2/ ^ 4
Эта кривая будет огибающей, так как на ней выполнены условия теоремы об оги-
огибающей. Действительно, если
Ф (*; у; С) = у - ~ - Сх - С\
то
дФ дФ
-=-(, + 0, -=1.
Эти частные производные ограничены и одновременно не обращаются в нуль. Сле-
х2
довательно, решение у = — есть особое решение.
Пример 4. По общему решению
(У - СJ = (х - СK
некоторого дифференциального уравнения найти его особое решение.
Решение. С-дискриминантная кривая определится из системы уравнений
i (у - су -(х- СK = О,
1 2 (у - С) - 3(х - СJ = 0.
Исключив параметр С, получим две ветви С-дискриминантной кривой:
4
у = х и у = *-;^-
Первая кривая не является огибающей, так как на ней нарушено второе условие
теоремы об огибающей, поскольку х — у == С,
дФ_дФ_ Q
дл; ду
Она является геометрическим местом точек возврата. Вторая кривая является
огибающей, так как на ней выполнены все условия теоремы об огибающей. Сле-
4
довательно, решение у = х — — есть особое решение.
Замечание. В некоторых случаях можно найти особый интеграл и не
прибегая к указанным выше правилам. В процессе интегрирования уравнения
иногда приходится производить действия, которые могут нарушить равносиль-
равносильность уравнения (например, деление на выражения, содержащие переменные).
В таких случаях следует каждый раз проверять, не произойдет ли при этом потери
решений, которые могут оказаться особыми.
Найти особые решения дифференциальных уравнений по их
общим решениям:
264.7. (у' + IK - 27 (х + уJ, х + у = (х + СK.
265.7. у'2 = 4у3A— у), у -Ьу(х — СJ = 1.
266.7. у = ху' + — (а> 0,) у - Сх+ -^, С Ф 0.
2у' 2С
267.7. 2уу' =х(у'* + 4), у = Сх2 + 1.
G
250

268.7. у = ху' — у'2 , у = Сх — С2.
269.7. у = ху' + VI— у'2 , у = Сх+ ]/1—С2.
Установить, имеют ли следующие уравнения особые решения:
270.7. у' = у"* — 5y + 2.
271.7. у = 5ху' — у'2-
Найти общие и особые решения следующих уравнений:
272.7. у = ху' + - .
У'
273.7. у'2 B — ЗуJ = 4 A — у).
274.7. уу'2 = 1.
275.7. ху'2 — 2уу' + Ах = 0.
276.7. уу'2 — (ху + 1) у' + х = 0.
277.7. у'2—^у' +1 =0.
278.7. л;у'2 + 2л;/ — У - 0.
279.7. у2/2 — 2хуу' + 2у2 — х
280.7. у'2 — уу' +е* = 0.
281.7. у2 (у'— 1) - B —у'J.
282.7. у = л;у' — у
283.7. (ху' + уJ - у2 у'.
284.7. у2 — 2xyy7 + A + л:2) у/2 = 1.
285.7. у = ху' + у' In у'.
286.7. у = ху' + ]/"— а/.
287.7. Площадь треугольника, образованного касательной к
искомой кривой и осями координат, есть величина постоянная.
Найти кривую.
288.7. Найти кривую, касательные к которой образуют на осях
координат отрезки, составляющие в сумме 2а.
Глава 3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
§ 12. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства парабол,
у которых оси симметрии параллельны оси Оу. Выделить интегральную кривую,
удовлетворяющую начальным условиям:
251

Решение. В общем виде уравнение такого семейства запишется так:
у = ах2 + Ьх + с. (*)
Так как уравнение содержит три параметра а, Ь и с, то продифференцируем (*)
последовательно три раза. Получим у'" = 0. Это и есть искомое дифференциальное
уравнение семейства парабол (*). Чтобы выделить конкретную интегральную кри-
кривую по заданным начальным условиям, надо определить параметры а, Ь, с.
Имеем: у = ах2 + Ьх + с; подставив х = 0 и у = 2, получим 2 = с. Далее,
найдя у', подставив х=** 0, у' = ¦—1, будем иметь:
у' = 2а + Ь, —1 = 6
и
3
у" = 2а, 3= 2а, а = — ¦
Таким образом, искомая интегральная кривая
3
у= — х2 — х
Пример 2. Доказать, что функция
является общим решением дифференциального уравнения второго порядка
Решение. Прежде всего докажем, что функция (*) , содержащая две кон-
константы С i и С2, удовлетворяет дифференциальному уравнению, т. е. является его
решением. Имеем:
у = С^* -f С^х
у' = 2 Сх&х + 3 С2е*х
у" = 4 С^2* + 9 С2езх
6
—5
1
У" — 5/ +6у= е2Х (б d — 10 d + 4 d) + е3* F С2 — 15 С2 + 9 С2) = 0.
Пусть теперь заданы произвольные начальные условия:
Покажем, что постоянные d и Q можно подобрать так, что функция (*) будет
удовлетворять этим начальным условиям. Имеем:
у = Сге2х + С2езх, у' = 2Сге2Х + ЗС3евх.
Подставим начальные условия, получим систему уравнений для определения пос-
постоянных d и Q:
{уп =zC,e2x0
!
Решив ее, найдем:
Соответствующее решение запишется так:
У = (Зуо - уУ{х"Хо) + (у'о - 2у0) е3(
252

Легко заметить, что при х = х0, у (х0) = у0 и у' (х0) = у'о, т. в. это решение
удовлетворяет заданным начальным условиям. Следовательно, функция (*) яв-
является общим решением дифференциального уравнения (**).
Пример 3. Проверить, выполняются ли условия теоремы существования
й единственности для дифференциального уравнения
2ху'
f = т5; ylx = Xo==z Уо; у'^*= х°=Уо'
Решение. Так как функция
/(*; у; у')=
х* + 1
рассматриваемая как функция трех независимых переменных х, у и /, н е п р е-
р ы в н а всюду, а
всюду ограничены, то любые начальные условия определяют единственное
решение, т. е. выполняются условия теоремы существования и единственности.
Пример 4. В каких точках нарушаются условия теоремы существования
и единственности для дифференциального уравнения
A +х2)у
D — х2) у" + 2ху' + К У = ех?
х -— о
Решение. Решим дифференциальное уравнение относительно у"\
п 2х 1+х* , еХ
v = v -4- v Ч- .
* х2 — 4 у (х2 — 4) (х — 3) * 4 — х2
Коэффициенты
2х 1 +^2 ех
х2—4* (х2 — 4) (х — 3) ' 4 — х2
разрывны в точках х — ± 2, х =3. Значит, в любой точке прямых х = ± 2 и л: =
= 3, параллельных оси абсцисс, нарушаются условия теоремы существования и
единственности.
Показать, что данные ниже функции являются общими решени-
решениями соответствующих уравнений:
289.7. у = Ci sin x + С2 cos х, у" + у = 0.
290.7. у = Ci е'х + С2 е2х, у" — у' — 2у - 0.
291.7. y = Cix + С2х2, у" — 2 у- + 2 -^ = 0.
292.7. у = С4л;2 + С2, 2ху" = у'.
293.7. у = С4 х + С2 In х, х2 A — In х) у" + ху' — у = 0.
а;
294.7. у = С4д: + С2л: — dt, yf/x sin л* — у'х cos л: + ycos x =0.
о
253

295.7. у = J- (Ci** + C^"*), *y" + 2y' — xy = О.
296.7. Даны дифференциальное уравнение yw — 2у" — у' +
+ 2y = 0 и его общее решение у = Ctex + С2е"х + С3 е2*. Тре-
Требуется: а) проверить, что данное решение является общим; б) най-
найти частное решение, если при х = 0 имеем у = 1, у' = 0, у7 = — 1.
297.7. Даны дифференциальное уравнение у" = —- и его общее
з
решение у = ± — (я + CtJ -f C2. Требуется: а) проверить,
о
что решение общее; б) найти интегральную кривую, проходящую
через точку A; 2), если касательная в этой точке составляет с по-
положительным направлением оси Ох угол 45°.
Найти начальные условия, при которых для нижеследующих
уравнений нарушаются условия теоремы существования и единст-
единственности:
298.7. E-2х)Г
299.7. у'" =§
У
300.7. у" - /(у'J.
§ 13. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Пример 1. Решить уравнение
ут = х + sin *.
Решение. Это дифференциальное уравнение вида yw = f (x). Его общее
решение находим последовательным трехкратным интегрированием. Имеем:
С х2
у" = \ (x + s\nx)dx = — — cos х
—¦ — cos х + Сх dx = — — sin x + Сгх
2 /6
^: - + cos x+ -^ x2 + C2x + C3.
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 2. Решить уравнение:
254

Решение. В уравнение не входят у, у', у", поэтому полагаем у"' = г.
Тогда уD) = г' и уравнение примет вид:
АГ2Г' — 2 = 0.
Отсюда
г ~~ х
Решая, получим г = Сл\ Следовательно, у'" = Cx. Интегрируя последова-
последовательно три раза, найдем:
у = d** + С2*2 + С3л: + С4.
Пример 3. Решить уравнение
у/'-/2=о.
Решение. В уравнение не входит явно х. Полагаем у' = г (у). Тогда
dx dx ~~ c(y rfx rfy
Уравнение примет вид:
уг ~ — z2 = 0.
Решая его, получим г = Сху. Следовательно, у' — Сху,
~=С1^> 1п|у| = Схл: + In | С2 I, y= C2eG^.
Решая уравнение, мы делили его на у и на г, поэтому могли потерять решения
у = 0 и г = 0, т. е. у1 = 0, у == С. Но эти решения могут быть включены в общее
решение у = С2ес±х, если считать, что Сх и Са могут принимать значение 0.
Пример 4. Найти все плоские кривые, имеющие постоянный радиус кри-
кривизны, равный R.
Решение. По условию задачи
Полагая у' == г и у№ = г—- , получим:
У
Следовательно,
* — R
2SS

dt
Сделав подстановку г = tg t, dz = —, находим:
x = R j cos t dt + Cx = R sin * + Cu
у = R § sin t dt + C2= — R cost + C2.
Мы получили общее решение в параметрическом виде. Исключая параметр t,
получим:
(х - СхJ + (у - С2J = R2.
Искомые интегральные кривые — окружности радиуса R, и только они, как и сле-
следовало ожидать.
Пример 5. Материальная точка массы т падает на землю с высоты к.
Найти закон движения точки, если сопротивление воздуха пропорционально квад-
квадрату скорости.
Решение. Выберем начало координат в начальном положении материаль-
материальной точки и направим ось Оу вертикально вниз. Дифференциальное уравнение
d2y
составляем, используя второй закон Ньютона та= F, где т — масса, а— — —
dt2
ускорение движения, a F — действующая сила. В данном случае на материаль-
материальную точку действует сила тяжести mg и действующая в противоположном направ-
направлении сила сопротивления среды, равная kv2, k — коэффициент пропорциональ-
пропорциональности. Так как v= Л, то мы получаем уравнение
dt
d2y fdy
dt2 \dt
Уравнение (*) является дифференциальным уравнением второго порядка, н«
содержащим в явном виде искомой функции. Оно допускает понижение порядка
при помощи подстановки
dy d2y dv
dt * dt2 dt
Тогда вместо равенства (*) приходим к уравнению
mv' = mg — k v2.
k
Разделив на т и обозначив — = Ь2, приведем его к виду:
mg
Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
b b + v
— In—I- =
2g b-v
Так как при t = 0, v = 0, то Сх = 0, поэтому
Ь b + v b+v 2gt
— In = t, или In = — g
2g b— v b—v b
b + v l
b-v=e
Из последнего равенства находим:
256

Для получения закона движения достаточно проинтегрировать промежуточный
dy
интеграл (**). Так как v =—, то
dt
у =ь \ th-y dt.
Проинтегрировав, получим:
b2 gt
y=-\nch-f +C2.
В выбранной системе координат у — 0 при t = 0, поэтому
Ь2
О = — In ch 0 + С2. Откуда С2 = 0.
8
Тогда уравнение движения будет иметь вид:
у= — In ch —.
8 b
Решить дифференциальные уравнения:
301.7. A + х2) у" + у'2 + 1 = 0.
302.7. у'" A + у'2) — Зу'у = 0.
303.7. 2уу" + у + у'4 = 0.
304.7. хуу" + у'2 — уу' - 0.
305.7. уу" + у'2 = У2 In у.
306.7. уу" = у2 у' + У'2-
307.7. ху" = 1 + х2.
308.7. л-у" = у' In y-.
309.7. у" + -^- у'2 = 0.
310.7. у'" = у-
311.7. ху" — у' = е* л;2.
312.7. у" tgy = 2 (у'J-
257

313.7. A + x2) у" + 2*y' = xs.
314.7. у"' sin4 x = sin 2x.
315.7. y'" = x + cos x.
316.7. y" + y' tg * = sin 2x.
317.7. y" x In x = y\
318.7. y'y" — V\+y'2 - 0.
319.7. y" + (y'J +1=0.
320.7. y" = - .
321.7. у" - <и?у.
322.7. у" A + yy') - у' A + у'2)-
Найти частные решения следующих дифференциальных урав-
уравнений при указанных начальных условиях:
323.7. 1 + у'2 = 2уу", yx=i - у;=1 = 1.
324.7. у/ + у'2 - у/3, у^0 - yUo = 1, У^о - 0.
325.7. Выделить частное решение, удовлетворяющее следую-
следующим начальным условиям: х = 0, у = — 1, у' = 0.
а) ху" — у' = х2 ех ;
б) У//-(У'J + (У/K = О;
в) у/7 + у' tg л: = sin 2x.
326.7. Из общего интеграла дифференциального уравнения
у'2 + 2уу" = 0 выделить интегральную кривую, проходящую
через точку A;1) и касающуюся прямой у = х.
327.7. Из общего интеграла уравнения уу" + у/2 = 1 выде-
выделить интегральную кривую, проходящую через точку @;1) и каса-
касающуюся прямой х + у = 1.
328.7. В точке A; —2) касательная к кривой параллельна оси
Ох. В любой точке этой кривой радиус кривизны R равен квадрату
абсциссы этой точки. Составить уравнение кривой.
329.7. Радиус кривизны в любой точке кривой равен кубу
длины отрезка нормали в этой точке. Составить уравнение кригвой,
зная, что она проходит через точку @;1) и в этой точке касатель-
касательная к кривой параллельна оси Ох.
330.7. Определить кривые, у которых радиус кривизны равен
длине нормали.
331.7. Найти кривые, у которых радиус кривизны пропорцио-
пропорционален длине нормали. Принять коэффициент пропорциональности
* = —1, + 1,2.
258

332.7. В промежутке (— —; —) определить кривую, касаю-
касающуюся оси Ох в начале координат, если кривизна ее в любой точке
k = cos х.
333.7. Если тело не слишком быстро погружается в жидкость,
то сопротивление приблизительно пропорционально скорости. Най-
Найти закон движения тяжелой материальной точки, погружающейся
в жидкость без начальной скорости.
334.7. В теории сопротивления материалов доказывается, что
дифференциальное уравнение упругой линии консоли с постоян-
постоянным поперечным сечением и сосредоточенной на свободном конце
силой Р имеет вид:
Ж? ==~~~ U'
где w — прогиб консоли в сечении с абсциссой х> а El — постоян-
постоянная величина, так называемая жесткость на изгиб сечения балки.
Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным ус-
условиям: w (/) = 0, w' (/) = 0.
335.7. Определить кривую изгиба горизонтальной балки, один
конец в которой наглухо заделан, а на другой действует сосредото-
сосредоточенная сила Р (весом балки пренебречь и считать изгиб настолько
малым, что 1 + у'2 х 1).
336.7. Вагоновожатый трамвая, включая постепенно реостат,
увеличивает мощность вагонного двигателя таким образом, что
сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увели-
увеличиваясь на 120 кг в течение каждой секунды. Найти закон движе-
движения вагона при следующих данных: 1) вес вагона Р —- 10 г;
2) сопротивление трения постоянно и равно 200 кГ\ 3) началь-
начальная скорость равна нулю.
337.7. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по нак-
наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона ра-
равен а, а коэффициент трения fx.
338.7. Моторная лодка весом 300 кГ движется прямолинейно
с начальной скоростью 66 — . Сопротивление воды пропорцио-
сек
нально скорости и равно 10 кГ при скорости 1 — . Через сколько
сек
времени скорость будет равна 8 — ?
сек
339.7. Материальная точка массы т движется по прямой под
действием силы ньютоновского притяжения к массе УИ, помещен-
помещенной в начале координат. В начале движения она находилась в точ-
точке А(х0) и ее начальная скорость равнялась v0. Какой должна
быть начальная скорость, чтобы расстояние от движущейся точки
до начала координат могло неограниченно увеличиваться (вторая
250

космическая скорость)? Выразить вторую космическую скорость
через х0 и а — ускорение силы тяготения в точке А (х0).
340.7. Материальная точка массы т движется по прямой под
действием двух сил: восстанавливающей силы Ft = — kx, направ-
направленной к началу координат и пропорциональной отклонению точки
от начала координат, и силы сопротивления среды F2 = ± kiV2}
пропорциональной квадрату скорости точки и направленной в
сторону, противоположную скорости. Найти закон движения точ-
точки, если она первоначально находилась в точке А (х0), х0 > 0, и ее
начальная скорость равнялась =— K2m& + 4kkixo.
341.7. Материальная точка массы т падает под действием силы
тяжести. Найти закон движения точки, если сопротивление возду-
воздуха падению пропорционально квадрату скорости. Точка первона-
первоначально находилась в А (х0) и ее начальная скорость равнялась
нулю.
Глава 4
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ /7-го ПОРЯДКА
§ 14. ЛИН?ЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ
ФУНКЦИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО
Пример 1. Даны функции уг = —- sin2 х, у2 = —• 3 cos2 x, у3 = 2,
у4= х на промежутке (—оо; оо). Выяснить, будут ли они линейно зависимыми или
линейно независимыми.
Решение. Составим равенство:
ах ( — sin2 х) + сс2 (— 3 cos2 х) + а3 • 2 + сс4 х = 0. (*)
Если положить ах = 2, а2 = — — , а3 = — — , а4= 0, то равенство (*) ста-
о 2
нет тождеством. Действительно, мы будем иметь:
/ 1 \1 1
2 — sin2* — — (— 3 cos2 x)— — . 2 + 0 • х = sin2 * + cos2 x — 1 = 0.
\ 2 / 3 2
Итак, нашлись числа аь а2, а3 и а4, не все равные нулю и такие, что равен-
равенство (*) выполняется тождественно. Следовательно, данные функции уъ у2, у3, ул
линейно зависимы.
Пример 2. Даны функции ух = х, у2 = 2х + 3, у3 = Зл: + 5. Выяснить,
будут ли они линейно зависимыми или нет.
Решение. Составим равенство:
агх + а2 Bх + 3) + а3 C* + 5) = 0, (*)
или
(ах + 2а2 + 3 ос3) х + (За2 + 5ад) = 0.
260

Это многочлен первой степени, он тождественно равен нулю тогда и только тогда,
когда его коэффициенты равны нулю, т. е.
! + 2а2+ За3= О,
3 а2 + 5 а3 = 0.
Это однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Как из-
известно, такая система имеет бесчисленное множество решений, в том числе и не-
ненулевые. Следовательно, функции уъ у2, у3 линейно зависимые.
Пример 3. Найти определитель Вронского для системы функций уг = 2;
у2 = cos xt уд = cos 2х.
Решение.
У.,
2 cos х cos 2x
0 — sin х — 2 sin 2x
0 — cos х — 4 cos 2x
= 8 sin x cos 2x —»
sin x 2 sin 2x
cos x 4 cos 2x
\ sin 2x cos x = — 8 sin3 #.
Замечание. Известно, что если система функций уъ у2, ..., уп ли-
линейно зависима на отрезке [а; Ь), то определитель Вронского этих функций тож-
тождественно равен нулю на этом отрезке. Обратное утверждение неверно, т. е. оп-
определитель Вронского может обращаться в нуль и в том случае, когда данные функ-
функции линейно независимы на некотором промежутке.
Пример 4. Две функции уг (х) и у2 (х) заданы следующим образом:
если 0 < х < 1,
если 1 < х < 2,
если 0 < х < 1,
если 1 < х < 2.
Доказать, что эти функции на отрезке [0; 2] линейно независимы, а определитель
Вронского W [ух; у2] = 0 на этом отрезке.
Р е ш е н и е. На отрезке [0; 2] функции уг и у2 линейно независимы, так как
нельзя найти такого постоянного числа С, чтобы на всем отрезке [0; 2] выполня-
выполнялось равенство у2— Су или равенство ух — Су2. Вычислим теперь W [уг\ у2]
для функций ух и у2. Если 0 < х < 1, то
= 0.
= 0,
Если 1 < х < 2, то
I /j? J\2 Q
& IX —— if U
т. e. W [yx; y2] = 0 на всем отрезке [0; 2].
Исходя из определения, доказать, что данные ниже системы
функций линейно независимы:
342.7. yt = х, у2 = х2, Уз = х3.
343.7. у? = е2х sin Зх, у2 = е2* cos Зх.
344.7. у4 = ех , у2 = е2* , уч = еЪх.
Исследовать, являются ли следующие функции линейно зави-
зависимыми или нет:
345.7. yt = а, у2 == cos2 х, у3 = sin2 x.
346.7. yt = ех, у2 = хех , у3 = х2 ех.
347.7. yi = х, у2 = 2х, уя = х2.
Уз
348.7. у! = sin *, у2 = sin /л: + -j\ У3 = sin ^л: — -~
261

349.7. yt =*x9 y2 = aIoga * (x > 0).
350.7. yt = 1, y2 = arc sin x, y3 = arc cos jc.
351.7. y4 = 2л, y2 = arc tg -|-, y3 = arc ctg ~ .
Найти определитель Вронского для заданных систем функций:
352.7. е*> 2ех, е~х.
353.7. 1 , eF.
а:
354.7. х, х2, а:3.
355.7. 1, sin 2л:, (sin л: — cos*J.
356.7. е~ъх sin 2x9 e-3^cos2x.
357.7. я, arc sin л:, arc cos x.
358.7. sinx, sin(x + —), sinfjc ——).
Показать, что данные ниже функции линейно независимы, а
соответствующие определители Вронского тождественно равны
нулю. Построить графики этих функций:
359.7.
@, если 0 < х < -и-,
— ) 1
~~ W I \2 1
(л: ь если — <л:< 1,
2 / 2
О, если -?- < л:< 1.
360.7.
v = f х2, если — 1 < х < 0,
У1 { О, если 0<л;< 1,
v = { О, если — 1 < л: < О,
У2 U2, если 0<л;< 1.
§ 15. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Доказать, что функции
У1 =*х, у2 = лг2, уз = хь (*)
образуют фундаментальную систему решений для уравнения
х*ут — Зх*у№ + 6*у' — бу = 0.
Решение. Система функции (*) линейно независима, так как тождество
<х1х + а2х*+ а3*3 = О
может иметь место только в том случае, если at = а2 == а8 = 0. Кроме того,
непосредственной подстановкой легко показать, чтоу1? у2, у3 являются решениями
262

заданного дифференциального уравнения. Следовательно, согласно определению
функции (*) образуют фундаментальную систему решений для этого уравнения.
Определитель Вронского для функций *, х2, х3 равен
X X2 X*
W (х; х2; *3) = 1 2х Ъх2 = 2*3.
О 2 6х
Он обращается в нуль при х = 0. При этом значении для уравнения (*) нарушает-
нарушается теорема существования и единственности, поскольку коэффициенты уравнения
3 6
— — v" H v'
х У х*У
= 0
разрывны в точке х = 0.
Пример 2. Показать, что функции х, х3, ех образуют фундаментальную
систему решений некоторого линейного однородного дифференциального уравне-
уравнения третьего порядка. Написать это уравнение и найти его особые точки как не-
непосредственно, так и с помощью определителя Вронского.
Решение. Покажем сначала, что функции xf x3, ех линейно независимы.
Предположим, что при некоторых ait a2, а3 выполняется тождество
<*! х + а2 л;3 + а3ех = 0.
Продифференцируем это тождество четыре раза. Мы получим, что а3 е*= 0, а по-
потому а3 = 0. Но тогда имеем:
ах х + а2л;3 = 0.
Это равенство может тождественно выполняться лишь, если ах=а2 = 0. Значит,
функции х, х3, е* линейно независимы.
Общее решение искомого уравнения имеет вид:
\f — Г v 4- С v3 4- С о*
у — L-i X Т^ С«2 X 7~ С3егЧ
Продифференцировав его трижды, получим:
- = 6Садс-+С3** (*•)
'< = 6С2 + С3 ех.
Решив систему (**) относительно Clt C2, С3 и подставив их значения в (*), полу-
получим искомое дифференциальное уравнение:
у'" [2*3 — 6л;2 + 6л;] + у" [—2л;3 + 6л; — 6] + у'(б*2 — 6л:) + уF — 6х) = 0.
Особой точкой этого уравнения является х = 0. К тому же выводу можно прий-
прийти, если составить определитель Вронского для функций
W (х; х3\ е*) ==
0 6л; ех
= хё< Bjc2 — 6л: + 6).
Он обращается в нуль при х = 0.
Составить дифференциальное уравнение по заданной фунда-
фундаментальной системе решений:
361.7. х, cosx, sin*. 364.7. cos2 jc, sin2 x.
362.7. 2x, x — 2, ex. 365.7. e*, xex .
363.7. x, x2, x3. 366.7. e*, exsinx, <r*cosx.
367.7. Зная фундаментальную систему решений линейного одно-
однородного дифференциального уравнения у{= х} у2 = х2> У3 = *3>
263

найти его частное решение у, удовлетворяющее начальным услови-
условиям: у|,=1 = 0, у'|Л=1 =- 1, у" | ,=1 = 2.
368.7. Показать, что функции ех и х2ех образуют фундамен-
фундаментальную систему решений некоторого однородного линейного диф-
дифференциального уравнения 2-го порядка. Составить это уравне-
уравнение и найти его особые точки.
Показать, что заданные системы решений являются фундамен-
фундаментальными для указанных уравнений, и записать соответствующее
общее решение этих уравнений.
369.7. е2Х, е'ъх, у" + у' — бу = 0.
370.7. х, cos х, sin х9 ху"' — у" + ху' — у = 0.
Составить однородное линейное дифференциальное уравнение,
если задана фундаментальная система решений:
371.7. у, =е-х, уг = ех.
372.7. yt =е-2*, у2 = хе-**.
373.7. yt = ех , у2 = х^ , Уз = х2 ех .
374.7. у! = sin 3%, у2 = cos Зх.
375.7. yt = 1, у2 = ^~^sin х, у3 = ^""^cos x.
Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 16. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Пример 1. Найти общее решение уравнений:
а) уп _ з/ + 2у = 0;
б) у" - 2/+ у = 0;
В) у "_ 2у' + 2у = 0.
Решение, а) Составляем характеристическое уравнение, заменяя у"
на k2, у' на k , а у на 1, получаем:
?2 _ з? + 2 = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим, что /гх = 1 r fe2 = 2. Корни харак-
характеристического уравнения — вещественные и не равные между собой. Этим кор-
корням соответствуют частные линейно-независимые решения: ух = е*, у2 = е2Х.
Они образуют фундаментальную систему решений, поэтому общее решение запи-
запишется так:
y=Ciex+C2 ё\
б) Соответствующее характеристическое уравнение
?2 _ 2k + 1 = 0.
Корни уравнения &1>2 = 1 — числа вещественные, но равные между собой. Этим
корням соответствуют частные решения: ух — ех , у2 = хех. Они образуют фун-
фундаментальную систему, поэтому общее решение запишется так:
у= Схех + С2 xz*.
264

в) Соответствующее характеристическое уравнение
к2 — 2k + 2 = 0.
Его корни kx = 1 + i, k2— 1 — i — сопряженные комплексные числа. Этим кор-
корням соответствуют частные решения ух = ех cos х, у2 = ех sin x. Они образуют
фундаментальную систему решений. Поэтому общее решение запишется так:
у — С1ех cos х + С2 ех sin х = ех (Сх cos х + С2 sin #).
Пример 2. Найти общее решение уравнений:
а) у _/ = <);
б) у<4) + 2ут — 2у'— у = 0.
Решение, а) Составляем характеристическое уравнение
Решая, получаем корни: кх = 0, к2 = 1, fc3 = — 1- Этим корням соответствуют
частные решения ух = 1, у2 = е-*, Уг=е~х. Они образуют фундаментальную сис-
систему решений, поэтому общее решение запишется так:
y=Cx + Cte*+Ct e-x.
б) Соответствующее характеристическое уравнение будет
?4 _|_ 2/гЗ — 2? — 1 = 0,
но
tf + 2k* — 2/г — 1 = (Л* — 1) + 2Л (^2 — 1) = (ife2 — 1) (Л + О2.
Отсюда корни: кх = 1, k2— k3— k^— —1.
Корни характеристического уравнения вещественные, но корень — 1 крат-
кратный. Фундаментальная система решений имеет вид:
Уг = е*, У2 = е~х, Уз = ^^"^» У4 = ^2 ^х»
и общее решение уравнения запишется так:
у = схе* + (С2 + С3х + С^) е~х.
Пример 3. Даны корни характеристического уравнения некоторого диф-
дифференциального уравнения: кх 2 = 2 ± i, k3 4 5 б 18 — ~1 ±3г, т. е. /г3 4 5 =
= - 1 + 3/, /г6>7>8 = — 1 — 3t.
Составить общее решение этого дифференциального уравнения.
Решение. Корням kl2 — 2 ± i соответствуют частные решения урав-
уравнения:
ух = е2Х cos х и у2 = е2Х sin x.
Корням k3if...8 соответствуют частные решения:
Уз = е~х cos 3#, у4 = ^~х cos Зл:, уъ = х2е~х cos Зл;,
Уб = е~х sin Зх, у7 — ^"х sin 3*, у8 = Л"^ sin Зл:.
Решения ylt у2, ..., Ув образуют фундаментальную систему решений уравнение,
поэтому общее решение запишется так:
у = е2Х (Cj cos jc+C2 sin jc) + e~x cos Зл: (C3+ C4jc + C5a:2) + e-x sin 3* (Ce+
+ C7 др + С8 л:2).
Пример 4. Найти частное решение уравнения у'" -f- y'r — 5у' -f- Зу =
= 0, удовлетворяющее начальным условиям: у @) = 0, / @) = 1, у"@) = —2.
Решение. Составим характеристическое уравнение
?3 _|_ ^2 _ 5k _j_ з = 0.
Подбором получаем один очевидный корень /гх = 1. Деля левую часть характе-
характеристического уравнения на бином к — 1, получим:
fc2 + 2k — 3 = 0,
отсюда &2 = —3, &з = 1.
265

Общее решение запишется так:
у=С1ех+С2хех+С3
(*)
Теперь остается по заданным начальным условиям определить произвольные пос-
постоянные Съ С2, С3. Для этого продифференцируем равенство (*) два раза:
у' = d ех+ С%е* + С&е* - ЗС3 е-™,
у» = Cle* + 2С2е*+ С%хе* + 9С3 <г™.
Подставив начальные условия, получим систему уравнений:
Q + С3 = О,
С1 + С2 — ЗС9 = 1,
Сх + 2С2+ 9С3= -2,
Рис. 8.7
откуда Сх = —, Са = 0, Сз = —4, и искомое частное
4
решение будет:
У- 4 4 *~~ '
Пример 5. Груз веса Р подвешен на вертикаль-
вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состо-
состоянии равна /. Найти закон движения груза, пренебре-
пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
Решение. Примем за ось Оу ось, проходящую
через точку подвеса груза, направленную вертикально
вверх, а за начало координат — точку О положения
равновесия груза, т. е. такую точку, в которой вес гру-
груза уравновешивается силой реакции пружины (рис. 8.7).
Пусть X означает удлинение пружины в момент
времени /, а Хст— статическое удлинение пружины, т. е.
расстояние от конца нерастянутой пружины до положе-
положения равновесия. Тогда
X = Хст — у, или Хст — X = у.
Дифференциальное уравнение получится из второго закона Ньютона F — та,
Р d2y
где т = — — масса груза, а а = -— — ускорение движения, F — дейст-
действующая сила. В данном случае действующая на груз сила слагается из силы
натяжения пружины и силы тяжести. По закону Гука сила натяжения пружины
пропорциональна ее удлинению, т. е. равна с X, где с — постоянный коэффици-
коэффициент жесткости. Сила натяжения пружины направлена вертикально вверх, а
сила тяжести Р действует в отрицательном направлении, поэтому уравнение дви-
движения будет иметь вид:
-
2
—*-
Так как в положении равновесия сила натяжения пружины уравновешивается ве-
весом, то Р = с Хст, поэтому
d2y
-^ — сЯ, —Лст.
Так как Хст — % = у, то
сРу
—
= -су.
266

Обозначив — = со2, окончательно будем иметь:
tu
Полученное уравнение (*) является уравнением свободных колебаний и представ-
представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение
?2 + ^2 = 0
имеет корни: kL 2 = ± ко, им соответствуют линейно независимые частные
решения:
yt = cos со t, y%~ sin со /.
Таким образом, общим решением уравнения (*) будет:
у = Сх cos со t + Ca sin со t. (**)
Для выяснения физического смысла решения удобнее друсая форма записи, к ко-
которой легко перейти, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разде-
разделив (**) на l/ С\ + С|, получим:
у = \Г С\+С \[ Cl COSCO/+ С% sinco/
\Ус\ + с\ Ус\+с\
Теперь положим:
1
_______
С? + Cl = A, 1 = sin ф, 2 =cos ф
тогда решение запишется в виде:
у = A (sin ф cos со t + cos ф sin со /),
или
у = A sin (со t + ф).
Величина Л называется амплитудой колебаний, аргумент Ш + ф — фазой ко-
колебания, значение фазы при t = 0, т. е. величина ф, — начальной фазой, величи-
на со — I/ — — частотой колебания.
Составить линейные однородные уравнения, зная их характери-
характеристические уравнения:
376.7. ft2 + 3ft + 2 = 0.
377.7. k (k + 1) (k + 2) - 0.
378.7. k3 - 0. 379.7. ft5 — 5ft4 + 12ft3— 16ft2 f 12ft —4 - 0.
Зная корни характеристического уравнения, написать общее
решение однородного уравнения:
380.7. ftt =3, ft2 = 0, ft3 4 = 5.
381.7. ftt - 3 — 2it ft2 - 3 + 2*.
332.7. ft li2 = 2 ± i, ft3t4 = — 1 ± 3/.
267

Решить следующие дифференциальные уравнения:
383.7. у" — у' — у = 0.
384.7. Зу" + ? — 8у = 0.
385.7. у" + Зу' — 2у = 0.
386.7. 9у" — / _ 2у = 0.
387.7. 4у" + 4/ + у - 0.
388.7. у" — 2/ + у - 0.
389.7. у" + у' — 2у - 0.
390.7. у" + 6у' + 13у = 0.
391.7. у" + 3/ = 0.
392.7. у" + (о2у = 0.
393.7. 4у" —8у' + 5у = 0.
394.7. у7 — Зу' + 2у - 0.
395.7. у" — 4у' +4у - 0.
396.7. у" + 16у = 0.
397.7. у11 — 4у' + 13у = 0.
398.7 у'" + Зу" + Зу' + у - 0.
399.7. ут — 2у" + 9/ — 18у = 0.
400.7. у'" + 8у = 0.
401.7. у'" — \Ъу" + 12/ - 0.
402.7. уD)_5у" + 4у - 0.
403.7. уD> — 6у"+ 9у - 0.
404.7. у<7>+ Зу<6> + Зу<5> + У4) = 0.
Найти частные решения следующих дифференциальных уравне-
уравнений:
405.7. у" — 4у' + 4у = 0 при у @) =3, у' @) - — 1.
406.7. у" + 4у' - 0 при у @) - 7, / @) = 8.
407.7. у" _ 5у' + 4у = 0 при у @) - 1, у' @) = 1.
408.7. у" + 4/ + 29у - 0 при у @) - 0, у' @) - 15.
409.7. у' + 4у - 0 при у @) = 0, у' @) - 2.
4Ю.7. у" + у = 0 при у(^= 1, у' (у) = 0.
^ ()
411.7. 4у" + 4/ + у - 0 при у @) - 2, у' @) - 0.
412.7. у"— 6у' + 9у - 0 при у @) - 0, у '@) = 2.
413.7. Найти интегральную кривую дифференциального уравне-
уравнения у" — 4у' + Зу = 0, проходящую через точку @;2) и касаю-
касающуюся в этой точке прямой у = х + 2.
414.7. Найти интегральную кривую уравнения у'" — у11 —
— 2у' = 0, проходящую через точку @; —3), имеющую в этой точ-
точке касательную, наклоненную под углом arc tg 6 к оси Ох, и кри-
кривизну, равную 0.
415.7. Дано частное решение некоторого линейного однород-
однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
yi ~ етХ. Дискриминант соответствующего характеристического
уравнения равен нулю. Найти частное решение этого дифферен-
дифференциального уравнения, обращающееся вместе со своей производной
в единицу при х = 0.
268

416.7. Найти решение уравнения у7 + 2/iy' + п2у = 0, удов-
удовлетворяющее условиям y|x=ro = а> У' \х=й = с-
417.7. Материальная точка массы т движется по прямой, при-
притягиваемая к неподвижному центру силой, прямо пропорциональ-
пропорциональной расстоянию точки от центра притяжения. Сопротивление среды
отсутствует. Определить закон движения точки, если в начальный
момент движения t = 0, х = х0, v = v0.
418.7. Определить уравнение колебаний маятника, состоящего
из массы /л, подвешенной на нити длиной I (сопротивлением пре-
пренебречь и положить, что при малом угле а отклонения sin а ^ а).
Найти период колебания.
419.7. Материальная точка массы т движется по прямой,
притягиваемая к неподвижному центру силой F, прямо пропор-
пропорциональной расстоянию точки от центра притяжения. Сила сопро-
сопротивления среды / прямо пропорциональна первой степени скоро-
скорости. Начальные условия: в начальный момент движения /= О,
х @) = xOi v @) = v0.
420.7. Локомотив движется по горизонтальному участку пути
со скоростью 72 км/ч. Во сколько времени и на каком расстоянии
он будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после
начала торможения равно 0,2 его веса.
421.7. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна уве-
увеличению ее длины и равна 1 кг, когда длина увеличивается на 1 см.
К пружине подвешен груз весом 2 кг. Найти период колебательного
движения, которое получит этот груз, если его слегка оттянуть
книзу и затем отпустить.
422.7. Сила пропорциональна смещению и равна 2 кг при сме-
смещении в 1 м. Сопротивление среды пропорционально скорости.
Амплитуда после трех колебаний уменьшается в 10 раз. Найти
период колебания.
423.7. Материальная точка с массой т притягивается каждым
из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Множи-
Множитель пропорциональности k. Расстояние между центрами 2Ь. В на-
начальный момент точка находится на линии центров на расстоянии с
от ее середины. Начальная скорость равна нулю. Найти закон дви-
движения.
424.7. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Под
действием одного груза пружина удлиняется на а см. Определить
движение первого груза, если второй оборвется. (Сопротивлением
пренебречь.) Определить период колебания.
425.7. Горизонтальная трубка вращается около вертикальной
оси с постоянной угловой скоростью со. Шар, помещенный внутри
трубки, скользит по ней без трения. Найти закон движения шара,
если в начальный момент он находится на оси вращения и имеет
скорость v0 (вдоль трубки).
269

§ 17 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Для подбора частного решения неоднородного уравнения по виду правой ча-
части / (х) и корней характеристического уравнения удобно пользоваться следую-
следующей таблицей:
Правая часть дифференциаль-
дифференциального уравнения
f (х) = Рт (х), где
Рт (к) — многочлен степе-
степени т.
f (*) = «"* Pm(x),
а — вещественное число
/W=P«WcosPx +
-f Qm (x) sin f>x, где
Рт (*) и Qm (x) — много-
многочлены степени не выше т
и хоть один из них имеет
степень т
t(x)=r-eax[Pm(x)cos$x+
+ Qm(x)sinM
Корни характеристического
уравнения
а) Число 0 не явля-
является корнем характерис-
характеристического уравнения
б) Число 0 является
корнем характеристи-
характеристического уравнения крат-
кратности /
а) Число а не является
корнем характеристическо-
характеристического уравнения
б) Число а является кор-
корнем характеристического
уравнения кратности /
а) Число pi не является
корнем характеристическо-
характеристического уравнения
б)Число pt является кор-
корнем характеристического
уравнения кратности /
а) Число а + ф не яв-
является корнем характерис-
характеристического уравнения
б) Число а + 1 Р явля-
является корнем характеристи-
характеристического уравнения крат-
кратности /
Вид частного решения
Qm(x)t где Qm D — мно-
многочлен степени не выше т
*lQm(x)
Qm(x)eax
xlQm(x)eax
ит(х) cos Р*-Ит (x)sin P*,
где um (x) и vm (x) — мно-
многочлены степени не выше т
Xх [ит (х) cos их +
+ vm (х) sin Р х]
eax[urn(x)cos$x +
+ vm (x) sin p*l
xle(XX[um(x)cos?>x +
+ vm (x) sin P x]
I. Правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения —
многочлен.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
/" + /'=12*». {•)
270

Решение. Находим общее решение уодн соответствующего однородного
уравнения. Так как kz + k2 = 0, k2 (k+ 1) = 0, /?! = —1, k2 = kz— О, то
Уодн = Cj + С2* + С3 г*.
Определим вид частного решения Кчастн. В нашем случае 0 — есть двукрат-
двукратный корень характеристического уравнения, то есть / = 2. Учитывая, что пра-
правая часть дифференциального уравнения есть многочлен второй степени, част-
частное решение УчаСтн следует искать в таком виде:
Гчастн = (Ах2 + Вх + С) х2 = Л*Ч- Вх* + Сх2. (*)
Остается найти неопределенные коэффициенты Л, В, С; для этого находим произ-
производные:
у = 4 Ах* + ЗЯ*2 + 2Сх,
Y» = \2Ах*+ 6Вх+ 2С,
У" = 24 Ах + 6 В,
и подставляем найденные, производные в дифференциальное уравнение (*):
24 Ах + 65 + 12 Ах2 + 6?* + 2С = 12 ^а,
12 Ах2 + х B4 Л + 6В) + 6В + 2С s 12 jc2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях
равенства, получим:
12 А =12, 24Л + 6?=0, 6 В + 2 С = О,
откуда
Л = 1, В = —— = — 4, С = —ЗВ = 12.
6
Следовательно, Кчастн== x*—4xs + 12jc2, а общее решение данного неоднородного
уравнения A) будет:
У = ^частн+ Уодн= ^ - 4х» + Ш2 + Ct + С2^ + С3 Г*.
II. Правая часть уравнения L (у) == / (д:) есть произведение многочлена на по-
показательную функцию.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
у'" — 5/' + 8/ — 4у = е2Х. A)
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения. Характерис-
Характеристическое уравнение:
& — 5/г2 + 8k — 4 = 0.
Находим корни этого уравнения: kx = k2 = 2t k3 = 1.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Уодн = <а е* + (С, + С3^) ?«.
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде:
^частн — ™ ^ >
так как число а = 2 является двукратным корнем характеристического урав-
уравнения (/ = 2).
Находим Л:
271
у = Л^ Bjc + 2*2),
Y" = Ле2^ B + 8х + 4л:2),
Г//= Ле2^A2+ 24л: + 8л:2).

Подставляя значения производных в уравнение A), получаем:
2Ле2Х = e2Xt Л = —.
Отсюда
1 части — л *
Общий интеграл уравнения запишется так:
у = схе* + (С, + С3 х) е*х + ^х* е*х.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
у" _ з/ + 2у = (х2 + х ) е*х.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
&2 _ Ък + 2 = 0.
Его корни: & ! = 1, k2 = 2.
Общим решением соответствующего однородного уравнения будет:
Уодн = Схе* + С2 е**.
Так как правая часть неоднородного уравнения содержит произведение мно-
многочлена второй степени х2 + х не е?х, то частное решение Кчастн также надо ис-
искать в виде произведения многочлена второй степени на е?х, а именно:
^частп = (Ах*+Вх+С)е?х. (•)
(В нашем случае а = 3 не является корнем характеристического уравнения.)
Чтобы найти коэффициенты Л, В, С, дважды дифференцируем выражение (*)
и подставлгем значения К, V, Y" в дифференциальное уравнение.
После сокращения на езх и приведения подобных членов получим:
2Лх2 + FЛ + 2В) х + BЛ + ЗВ + 2С) = х2 + х.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем:
2Л = 1, 6Л + 2В = 1, 2Л + 35 + 2С = 0.
Отсюда: Л = -г- , 5 = — 1, С = 1.
Таким образом, искомое частное решение будет:
Общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения будет
Иметь вид:
У = Уодн + Кчаст„ = С, в* +С2е« + (j*-x + l\<**.
III. Правая часть дифференциального уравнения L (у) = f (x) имеет eudi
f (x) = Рт(х) cosP х + Qm (x) sinp x.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
у" + Зу' + 2у = 4 sin Зх + 2 cos Зх.
Решение. Корни характеристического уравнения
В + 3k + 2 = 0
272

будут: kx = —2, &2 = — 1. Следовательно, общее решение однородного уравне-
уравнения
У = Г р-*х -4- С р~х
г одн — Цс -f U2 б .
Число р* = 3/ не является корнем характеристического уравнения, поэтому
частное решение неоднородного дифференциального уравнения Участн будем
искать в виде:
^частн == A- sin Зл + В cos Зл\
Найдем коэффициенты Л, 5. Имеем:
К' = ЗЛ cos Зх — 3 В sin Зл;,
у = — g Л sin Зл: — 9 5 cos 3*.
Подставив в дифференциальное уравнение, получим:
— 9 Л sin Зл — 9 5 cos Зл-+ 9 Л cos Зл — 9 5 sin 3* + 2 Л sin 3* +
+2 5 cos Ъх = 4 sin Зл + 2 cos Зл;,
или
sin 3 л: (—7Л — 9В) + cos Зл: (9Л — ТВ) = 4 sin Зл + 2 cos Зл;.
Приравнивая коэффициенты при sin Зл: и cos Зл;, получим систему уравнений:
— ТА — 9В = 4, 9Л — 75 = 2,
откуда
^4
Следовательно,
1 5
^частн = — — sin Зх — — cos Ъх.
Общее решение неоднородного уравнения будет:
у = Сх е-* + С2 б-2^ — - sin Зл; - — cos Зл;.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение
у" + 9у = 6 cos Зл\
Решение. Решая характеристическое уравнение
&2 _(. 9 = о,
находим корни: kl2 = ± Ъ1, kx = 3i, k2— — Si. Следовательно,
Уодн = ^i cos 3* + С2 sin Ъх.
Число pt = Ъ1 является простым корнем характеристического уравнения
(/ = 1); поэтому частное решение КчасТн будем искать в виде:
^частн== (A sin Ъх + В cos Ъх) х,
У = Л sin Ъх+ В cos Ъх+ х (ЪЛ cos Ъх — 3 В sin Ъх),
У" = 6 Л cos Зл — б В sin Ъх + х (—9 Л sin Зл: —9 В cos Зл:).
Подставляя в уравнение, получим следующее тождество:
6Л cos Зл; — 6В sin Зл: = 6 cos Зл;,
откуда, приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, получим:
6Л = 6, 6Я = О, Л = 1, В = 0.
Таким образом,
^частн = X Sin Зл\
а общее решение будет:
у = Сг cos Зл + С2 sin Зл + л sin Зл\
273

Замечание. Не следует думать, что если в правой части уравнения от-
отсутствует член с sin fix, то в частном решении Кчастн будет также отсутствовать
член с sin fix, ибо отсутствие в правой части / (я) выражения sin fix означает лишь,
что у многочлена Q (х) коэффициенты равны нулю, из этого вовсе не следует, что
и многочлен v (x) должен также иметь лишь нулевые коэффициенты.
IV. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения представляет
сумму двух функций специального вида.
Пример 6. Решить дифференциальное уравнение
у" — 2у' + у = sin х + е~х.
Решение. Корни характеристического уравнения
& _ 2k + 1 = О,
будут: kx = k2 = 1.
Следовательно, общее решение однородного уравнения будет:
Уодн = Ci ex + С2 хе*.
Так как правая часть уравнения / (х) состоит из суммы двух функций sin я
и е~х , то частное решение Кчастн будем искать в виде:
*частн == *1 1" У2>
где У± — частное решение уравнения у" — 2/ + у = sin х, У2 — часшое
решение уравнения у" — 2/ + у — е~х. Найдем Ух\
у" — 2/ + у = sin х.
Число fii = i не является корнем характеристического уравнения, поэтому част-
частное решение Ух будем искать в таком виде:
Zi = Л sin х + В cos х.
Подставляя Ylt У\ > У\ в уравнение A) и сравнивая коэффициенты при sin я
и cos х в левой и правой частях тождества, будем иметь:
—2А = 0, 2В= 1,
отсюда Л = 0, В — — . Следовательно,
2,
Теперь найдем частное решение У2 для уравнения
у_-2уЧ-у= г*
Его будем искать в таком виде:
у2 =
Подставляя У2, У'2 ,У\ъ уравнение (*), получим А = -— •
Следовательно,
4
Таким образом, частное решение заданного дифференциального уравнения
будет:
^частн = УХ + У2 = ~ COS X + -j егх,
а его общее решение будет:
+
У = ^частн + Уоан = С1ех-\- С2хе* + у cos х + — егх.
274

Замечание. Частное решение данного дифференциального уравнения
можно было сразу искать в виде:
Кчастн = Л sin х -f- В cos х + Сегх.
Пример 7. По данным корням характеристического уравнения и данной
правой части f (x) указать вид частного решения Кчастн неоднородного уравне-
уравнения:
а) k12 = 0, k34=2 ± 3*\ / (х) = 2л:2;
б) kx\ = О, k3 \ = 2 ± 3/, / (х) = «г* A - я»);
в) V= 1. ^!в= ~3, / М = ^'(!— *) cos 3*-
г) felf2= I ± 2i\ /г3 = 5, / (*) = ^(cos 2х — 3 sin 2x);
Д) ^1,2,з,4 = 2 ± ^ *, *в = - 1, /(*) = е3* [(*3 - 1) cos -| + х sin -|1;
1
e) k± 2 = 2 ± 3t, k2 о = 3, f (x) = — e2X л: sin Зл: — 2еъх.
1 ' 2
Решение, а) Имеем: а = 0, p = О. В правой части — многочлен 2-й
степени. Число a +§i является двукратным корнем характеристического урав-
уравнения (/ = 2). Поэтому
у __ У2 (л У2 J- Ry -\~ Г\
4QCTH 1*1 Л | LJА/ ^\ Kj) •
б) Имеем а— —1, Р = 0. Число а +р/ = —1 не является корнем
характеристического уравнения (/ = 0). Поэтому
^частн = егх (Ах3 + Вх2 + Cx + D).
в) В нашем случае а = 1, р =3. Кроме того, имеем:
р (Х) = 1 -_ Xf Q (Х) = 0,
т. е. многочлены не выше первой степени (т — 1). Число а -\- Pt = 1 + 3/ не
является корнем характеристического уравнения (/=0). Поэтому частное реше-
решение Кчастн надо искать в виде:
^частн = ** 1(Ах + 5 ) cos За: + (Сх+ D) sin За:].
г) В нашем случае а •== 1,р =2. Число a + Pi является однократным кор-
корнем характеристического уравнения (/ = 1):
— многочлены нулевой степени. Следовательно, частное решение Кчастн надо ис-
искать в виде:
Кчастн = хе* (Acos 2x + В sin 2x).
д) Здесь а = 2, Р = -— . Число a -f- Pi == 2 + — /
является корнем характеристического уравнения кратности / == 2. Оба много-
многочлена Р (х) = х3— 1 и Q (х) = х имеют степень не выше 3, т = 3. Следова-
Следовательно,
[х хЛ
(Ах3 + Вх2 + Сх + D) cos — + (Ex3 + Fx*+ Gx + tf) sin — .
2 2 J
е) Здесь / (x) = fx (x) + /2 (x), где /x (x) =~e™x sin 3x, /2 (x) = - 2^.
275

Следовательно, частное решение Кчастн будем искать в виде суммы двух слагаемых:
^ЧССТН = ' 1 Т * 2>
где Y± — частное решение уравнения с правой частью /х (х), Y2 — частное ре-
решение уравнения с правой частью /2 (х).
Для /х (а:) имеем: а = 2, Р = 3. Число а + fii = 2 + Ы является однократ-
однократным корнем характеристического уравнения (/ = 1). Следовательно,
дх + в) cos Зх + (Сх + D) sin 3*].
Для /2 (х) имеем: а = 3, C =0. Число а+Р* = 3 является двукратным
корнем характеристического уравнения (/ = 2). Следовательно,
Y2 = Ex2 е?х.
Таким образом,
^частн = Ух + У2 = б2^ [И* + В) cos За: + (Сх + D) sin 3x]+ ?jc2 &x.
426.7. Как изменится вид частного решения в примере 7, если
заменить корни характеристического уравнения следующим образом:
а) корень kif2 = 0 на kiy2 = 1;
б) корень kiy2 = 0 на &Ь2 = — 1;
в) корень &2'3 = — 3 на ?2,3 = 1 ± 3/;
г) корни fe1>2' = 1 ± 21 на fe1J — 2±i;
д) корни ^,2,з,4 = 2±1 f на fcM =- ± 2t;
е) fti,2 = 2 + 3/ на ft1>2 = ± 2L
Решить дифференциальные уравнения:
427.7. у" + Ау'+ 5/ - 5х — 32л: + 5.
428.7. у" — 2/ + 5у = e*sin 2jc.
429.7. У" + у" +у' + у = jc2 + sin2 л:.
430.7, yD>_2yw—у"=**.
431.7. Найти частное решение дифференциального уравнения:
а) у"' — 2у" + у' — 4 (sin x + cos x), удовлетворяющее началь-
начальным условиям у @) = 1, у' @) = 0, у" @) = — 1;
б) у"' + 2у" + 2у' + У = х, удовлетворяющее начальным ус-
условиям у @) = у' @) = у" @) = 0.
Указать вид частных решений Y следующих дифференциальных
уравнений:
432.7. у"+ 2у' + у = л:%- ^cos jc.
433.7. уD>+ 2у" + у = х sin x.
434.7. уD> — у = х2 е* + е** .
435.7. /"+ / = 1 + cos х.
Определить вид частного решения линейного неоднородного урав-
уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и
правая часть:
436.7. kt= — \, k2 = 1, / (х) - е-х (ах+ Ь).
437.7. ki = — 1, Л2 = — 1, / (jc) - е-* (ох + 6).
438.7. ki = 2/, fe2 = — 2i, / (jc) - Л sin 2jc + В cos 2jc.
439.7. jfe4 = — 1 — U h - — 1 + i, f (x) = e~x (A sin x +
+ В cos a:).
276

440.7. kt = k2 = ?3= 0; / (jc) = ax2 + bx + с
441.7. ki = i, k2 = — i, kz = 1, / (л:) = sin * + cos x.
442.7. йц = 3 — 2/, fe2 = 3 + 2*, *3 = ?4 = 0, / (jc) =
c= еЪх (sin 2a: + cos 2x).
443.7. ftt = k2 = 3 — 2/, k3 = kk = 3 + 2/, / (x) =
в= ?3* (sin 2л: + cos 2x).
444.7. ft? = — 1, k2 = 1, *3 = 2, / (jc) - or- * + te*.
445.7. kt = k2 = k3= \y f (jc) = ое-* + te* .
Решить данные дифференциальные уравнения:
446.7. у" — 2у' = х2 — х.
447.7. у" + у' — 6у = — х2 — -.
448.7. у" + 7/ + 12у - 24х2 + 16л: —.15.
449.7. 4у" — у = х3 — 24jc.
450.7. у" — Зу' + 2у - е* .
451.7. у" —2у = хе~*.
452.7. у" — 6у' + 13у - е* (х2 — 5х + 2).
453.7. у" + 5у' — 14у - е2* Bjc2 — 3jc — 1).
454.7. f — 3/ + 2у = е Зх (х2 + х).
455.7. у"—а2у = еЬх при b =? а и b = a.
456.7. у" — Зу' — 10у - sin х + 3 cos x.
457.7. у" — 8у' + 12у - — 65 cos 4x.
458.7. у" + 16у = — 24 sin 4*.
459.7. у" + 2?у' + 2 fe2 у - 5 k2 sin fejc.
460.7. у" + 2у' + 5у = 4 sin jc + 22 cos x.
461.7. у" + 4у = 3 sin 2jc.
462.7. у" + 4у - sin 2x.
463.7. у" — 2у' + 2 у= ^ B cos х — 4 jc sin jc).
464.7. у" — 2у' + Зу = е- х cos x.
465.7. у" + у = a: cos x.
466.7. у" — 4у' + 5у = D* + 22) sin Зх — B8* + 84) cos 3*.
467.7. у" — 4у « е* [(— 4jc + 4) cos jc — Bх + 6) sin jc].
468.7. у" — 2y' + 5y = jcg^ cos 2л: — *2e*sin 2л:.
469.7. у" + у = Cjc + 2) sin 2x + (x2 + x + 2) cos 2x.
470.7. y" + 2y' + у = е-* cos x + xe~x.
471.7. y"+ у = 2 sin л: sin 2л:.
472.7. y" + 4y = x sin2 л:.
473.7. у" + у' = cos2 л: + e* + л:2.
474.7. у" — 2у' + у = sin x + sh л:.
475.7. у" + 2/ — Зу = 2л*?-3* + (х + 1) ех .
476.7. у'" + у = е2* (л:2 + х + 1).
477.7. у'" — Зу" + Зу' — у = 2ех .
478.7. у'" — у" + 4у' — 4у = Зе2х — 4 sin 2x.
Найти частные решения дифференциальных уравнений, удов-
удовлетворяющие заданным начальным условиям:
479.7. у" — 2у' = ех {х2 + х — 3), у @) = у' @) = 2.
277

480.7. у" + у = — sin 2xt у (я) = у' (л) = 1.
481.7. у" — 4/ + 5у - 2х2ех , у @) - 2, у' @) = 3.
482.7. у" — 2/ + 2у = 4ех cos х, у (я) = лея , у' (я) = ert.
483.7. у'" — 2у" + / = 4 (sin х + cos jc), у @) - 1, у' @) =>
= 0, у" @) = — 1.
484.7. у"' — 3/ = 3 B — *2), у@) - у' @) = у" @) - 1.
§ 18. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
Пример 1. Решить уравнение
у" -> 4/ + 5у = —. (*)
cos л:
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения. Имеем: k2 —
— 4/г + 5 = 0, /г = 2 ± /. Следовательно,
у = d e2^ cos * + C2e2*sin л;. (**)
Так как правая часть / (л:) = не принадлежит к функциям «специального»
cosx
вида, рассмотренным в предыдущем параграфе, и подобрать вид частного реше-
решения по виду правой части и корням характеристического уравнения в данном слу-
случае нельзя, то применим метод вариации произвольных постоянных. Этот метод
является более общим и применим к уравнениям с любой непрерывной частью / (х).
Согласно методу вариации будем искать общий интеграл неоднородного урав-
уравнения (*) в виде (**), где С1 и С2 не постоянные, а некоторые функции от х:
Ci(x) и С2 (х). Производные этих функций С[ (х) и С'2 (х) определяются из следую-
следующей системы уравнений:
{ [С
где уг и у2 — частные решения однородного уравнения (*). В нашем случае ух =
== е2Х cos х и у2 = е2Х sin x. Продифференцировав и подставив в указанную сис-
систему, после сокращения на ё** будем иметь:
С\ (х) cos х + С'2 (х) sin х = 0,
С\ (х) B cos х — sin x) + С2 (х) B sin x+ cos х) = .
COS X
Отсюда
С[ (х) = - tg х,
С'2(х)=1,
откуда
f dx = In | cos x | + a,
Подставив найденные функции Ct (x) и С2 (х), получим общее решение:
у— [In | cos. x | +a]e2*cos*+ (x+p)e2*sin x.
Здесь ее ир — произвольные постоянные.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям у @) = 1, у' @) = 2.
278

Решение. Общее решение однородного уравнения имеет вид:
ех.
Положим Сх = С± (х) и С2 = С2 (х). Для определения производных С\ (х)
С2 (х) имеем следующую систему уравнений:
Решая эту систему уравнений, получим:
Интегрируя, получим:
Сг(х)= -х + In A + е*) + а,
C2W= -e-x-x+ln A + **)+р.
Следовательно, общее решение запишется так:
у= —х+\п(\+ех) + е* [ — ё~ х — л: + In A + ех) +Р ] + а.
Остается найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным началь-
начальным условиям.
Положив х = 0, у = 1, получим: 1 = 21п 2 — 1 +Р +а. Найдя у' и
положив х = 0, / = 2, получим: 2 = —1 +Р + In 2. Отсюда Р = 3 — In 2,
а= —In 2 — 1.
Подставив найденные значения аир, получим искомое частное решение:
у = — A + In 2 + х) + In (I + ех) + ех[—е~ х — х + In A 4- е*) + 3 — In 2J =:
= A + е*) In A + ех) + ех C — In 2 — *) — B + In 2 + jc).
Решить дифференциальные уравнения:
485.7. /' + у = 1
cos 2 x У cos 2x
486.7. у" + у = —.
cos л;
487.7. у" + 4/ + 4у - e~2* In x.
488.7. у" — / = ^2a:cos e* .
489.7, у" — 4у' + 5у = -^-.
cos л:
490.7. у" + у - tg2 х.
491.7. у" — 2у =4х3ех\
492.7. у^_ 2у/ + У= ^ —.
493.7. у" + 4у' + 4у = е~ .
494.7. у" + у = 1—т.
(cos 2*)
2
495.7. у" + 2/ + 2у = ——.
Vх sin х
279

496.7. у" — 2у' + у = х~*ех.
497.7. у" — Зу' + 2у=-
498.7. у" + у = tg х.
499.7. у'" — 2у" — у' + 2
500.7. Тяжелое тело скользит по шероховатой наклонной плос-
плоскости, причем угол наклона равен а, а коэффициент трения \i.
Найти закон движения, если начальная скорость равна нулю.
501.7. Груз весом Р = 4 кг подвешен на пружине и увеличивает
ее длину на 1 см. Найти закон движения груза, если верхний конец
пружины совершает вертикальное гармоническое колебание у =
= sin 30? (сопротивлением среды пренебрегаем).
502.7. Цепь длиной в / м расположена так, что часть ее лежит
на гладком горизонтальном столе, а конец ее длиной вам свисает
над краем стола. Из этого положения цепь начинает скользить
вниз. Ускорение при этом пропорционально длине свисающей ча-
части. Во сколько времени цепь соскользнет со стола?

Раздел 8
РЯДЫ ФУРЬЕ И НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава 1
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию у — sgn (sin x). Пользуясь
разложением, вычислить сумму ряда:
У
1
О
/ /
/ /
г
л л л
18 9 6
<~
/
*ч
я
^ *
'X
л
2
« =
ч \
ч \
N \
/?ЛЗЛ
/ j if
\
\
\
5Л л\
п Зх
-(S'mxt-
к Гл /
\ \
\ \
\ \
Sin Зх /
х —
/
ч
т
-*> 1
/ 1
/ /
• /
Рис. 1.8
Написать формулу Парсеваля. Нарисовать графики функции и первых двух час-
частичных сумм ее ряда Фурье.
Решение. Функция нечетная и имеет период 2я. На отрезке [—я; я]
функция непрерывна всюду, кроме трех точек: х = —я, х = 0, х = я, в которых
имеет разрывы первого рода. Производная функции существует во всех точках
отрезка [—я; я], кроме х= —я, х = 0, х = я, и эта производная ограничена.
Значит, ряд Фурье функции sgn (sin л:) сходится к ней во всех точках х (в точках
непрерывности функции сумма ряда равна значению функции в этих точках, а
в точках х— —я, х = 0, * = я она равна среднему арифметическому предель-
предельных значений функции слева и справа, которое и совпадает со значением функции
в этих точках). Подсчитаем теперь коэффициенты Фурье:
ап = \) (n = U, 1, 2, ...),
281

2 с
b„ = — \ 1 • si
я J
2
sin пх dx — — — cos n x
Так как cos n x = (— \)n, то
Отсюда видно, что при четном п коэффициенты Ьп равны нулю, а при нечетном п
4
равны — Следовательно, для всех значений х
пп.
sgn (sin x) — —
sin B/i -- 1)
2п —1
Полагая
—, получим:
я
/_n«+i
2n— 1 ' 4
Так как [sgn (sin л:)]2 = 1 при х i= 0, то формула Парсеваля
л п 2
я
«=1
Принимает вид:
Отсюда следует, что
1 ?
я J
1 _ Х1
х
п=1
Bл -1J
Я2
2
— IJ 8
Графики первых двух частичных сумм ряда Фурье изображены на рисун-
рисунке 1,8.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию у = | cos x [. Пользуясь этим
разложением^ вычислить суммы рядов:
Рис. 2.8

Решение. Эта функция имеет период я (рис. 2.8) и четная. Функция не-
Г п я~|
прерывна на отрезке — —; — и имеет непрерывную ограниченную производную
в промежутке I — —; ¦—); поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. Так как
функция четная, то ее коэффициенты Фурье вычисляют по формулам:
6„=0 (/2 = 1,2,...),
о " л ~2
2 с я пх . 4 {*
а„ = — 1 cos х cos ах \ cos x cos "lax dx =
л J я л J
— О — О
2 2
2
sin B/г~-1) y sin B/2 + 1) -~
¦ + ¦
2/2—1 2/2+1
__ 2 -2 ^4 (_l)*+i =_4 (-
я v ; 4я2 — 1 я 4п2 — Г л л 4/22 — 1 *
4
В частности, а0 = —. Так как функция непрерывна на основном проме-
л
Г л л] / я\ /л\
жутке — —; —- и периодична, примем /I — —- I = /1 -— I, то для всех значе-
значений х справедливо равенство:
2 4 V"! (— 1)л+1
| cos х | = — + — у — cos 2nx.
л л ^J 4я2 — 1
Полагая х =— и л: = 0 соответственно, получим:
4/г2 — 1 ' 4 ^ V ' 4/г2 - 1
ПримерЗ. 1) Разложить в ряд Фурье функцию
2) Написать формулу Парсеваля,
3) Нарисовать график функции у — {х} и графики первых трех частичных
сумм ее ряда Фурье.
Решение. 1) Период функции 2/ = 1. В самом деле,
Значит, / (# + I) = f (х). Вычислим коэффициенты Фурье. На промежутке [0; 1),
/ {х) = х. Поскольку 2/ = 11/ = — J, получаем:
1
, =2 f *?* = 1,
2S3

1 2/ nn l
an = -— \ f (x) cos —— dx = 2 л: cos 2шг л: d* = 0
I J I J
о о
с i
6Л = 2 l л: sin 2nnx dx = — —.
J я/г
о
A,1)
Рис. 3.8
В каждой точке непрерывности функции имеем:
1 1 VI sin2nnx
м=1
2) Формула Парсеваля для {х} имеет вид:
i
2 f x2 dx = 4-
J 3
Из этого равенства получаем:
1
3) Графики функции {#} и первых трех частичных сумм ее ряда Фурье изоб-
изображены на рисунке 3.8.
284

Пример 4. Разложить в ряд Фурье на отрезке —я < х < я функцию
— х при —я < х < О,
2
/ М =
— при 0 < х < я,
я
имеющую период 2я. График функции изображен на рисунке 4.8.
\
\
\
-Зтг
-2тг
-хг
о
Рис. 4.8
2тг
Зд к
Решение. Функция непрерывна на [—я; я]. Производная функции оп-
определена и непрерывна при всех значениях х, кроме xk = я/г (k — О, ± 1, ±2,...),
причем в своей области существования производная ограничена. Значит, ряд Фурье
функции / (л:) сходится к ней во всех точках х. Вычислим коэффициенты Фурье:
я 0 я я
If If I Cx2 5 If
а0 = — \ / (#) dx = — I (— л:) dx + — \ —dx = —я, ап=— \ / (я) cos nxdx =
я J яJ л J л 6 я J
—я —
/ °
\— я
О я \
Сх2 \ :
- х cos ял^л: + \ — cos nx dx = •
J я /
Для Ьп имеем:
я /0 я
If 1 / f f
n = — \ f (x) sin плг^л: = — \ — л: sin nxdx + \
я J я J J
— я \— я О
ЯП*
*2 •
— sin ял^л; =
я
0, если п четное,
4
— —r~z, если /г нечетное.
я2я3
Следовательно, разложение нашей функции в ряд Фурье имеет вид:
3 (- 1)" - 1
cos пх —
¦ sin Bл — 1) х
Полагая в этом разложении х = я, получим:
5 ^
+
7 v<
3 — (— l)rt
/1 = 1
n= 1
285

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию / (*), заданную на («2; 2)
выражением
— х при 0 < ^ < 2,
имеющую период 21 = 4.
О
Рис. 5.8
Решение. Изобразим график функции (рис. 5.8). Как сама функция, так
и ее первая производная кусочно-непрерывны на (—2; 2). Значит, функцию мож-
можно разложить в ряд Фурье вида:
n = 1
/ ппх лпх \
a«cos— -|-^sin—I,
1 С ыпх
an = у J / M cos — di (л = 0, 1, 2, ... ),
Ьп = у J / W sin ^djc (я = 1, 2, ..
В нашем случае / = 2.
Подсчитаем коэффициенты Фурье:
1)
j
— 2
2
:-\—xdx = j;
ч = - f
ППХ
\ С X ППХ
j
О
— Q Q, если п нечетное,
О при п четном;
2
-2
. ял* 1 р х . ппх 1 /— 4(— 1)л \
О
о
Я Л

Итак, в каждой точке непрерывности функции имеем:
«= 1
1
В точках разрыва функции ряд сходится к значению — — среднему ариф-
арифметическому лредельных значений функции слева и справа.
В ряды Фурье раскладывают и непериодические
функции. Пусть функция / (х) задана в произвольном промежутке (а; Ь).
Под разложением функции в ряд Фурье в этом промежутке понимают разложение
в ряд Фурье периодической функции с периодом 2/ = b — а, которая на проме-
промежутке (а; Ь) совпадает с заданной функцией / (#). Рассмотрим пример.
Пример 6. Разложить функцию у=х в промежутке C; 5) в ряд Фурье
(рис. 6.8).
-1 О
1 в
Рис. 6.8
Решение. Продолжим функцию у = х, 3 < х < 5, на всю числовую ось
как периодическую функцию с периодом 2. Получим кусочно-непрерывную функ-
функцию с кусочно-непрерывной производной. При вычислении коэффициентов Фурье
будем использовать промежуток C; 5), на котором аналитическое выражение функ-
функции проще всего. В нашем случае 2/ — 5 — 3=2, и потому / = 1. Значит,
3
= 8,
ап = \ х cos_n nxdx = О (п = 1, 2, ... ),
Ьп = \ х si
Arsin л nxdx =
2 (_
я п
(л = 1, 2, ... ).
Следовательно, в любой точке х непрерывности функции справедливо разложение
/ (дс) = 4 + 7. — (—1)л+1 sin я пх.
л= 1
Часто задачу о разложении функции в ряд Фурье ставят так:
237

1) Разложить функцию f (х) на промежутке @; I) в ряд по косинусам.
Смысл так поставленной задачи заключается в том, что надо разложить в ряд
Фурье четную периодическую функцию с периодом 2/, которая на промежутке
@; /) совпадает с данной функцией / (х).
2) Разложить функцию f (х) на промежутке @; /) в ряд по синусам.
Это означает, что надо разложить в ряд Фурье нечетную периодическую функ-
функцию с периодом 2/, которая совпадает с данной функцией на промежутке @; /).
Рассмотрим примеры.
Пример 7. Разложить в ряд по косинусам функцию у = х на [0; я].
Решение. Продолжим функцию у == х, заданную на отрезке [0; я) чет-
четным образом на отрезок [—я; я], затем с отрезка [—я; я] продолжим периодичес-
периодически с периодом 2я (рис. 7.8). Для полученной функции имеем:
6„=0 (п = \, 2, ... ),
x cos nxdx = [ (— \)n — 1].
я n2
\
\
\
\
Другими словами:
/\
\
-2ж -л 0
\ /
Л 27Г
Рис. 7.8
0, если п четное,
о0 = J — 4
I -, если п нечетное (п = 1, 2, ... ).
{я /г4
Вычислим aQ:
п
2 Г
д0 = — \ xdx = я.
я J
Следовательно, разложение функции у = х на отрезке [0; я] по косинусам имеет
вид:
Полагая, в частности, х = 0, получим:
у
8 ~ *" Bп — IJ '
1
Пример 8. Разложить в ряд по синусам функцию у = х на промежутке
[0; я).
288

Решение. Продолжим функцию у = дс, заданную на промежутке [0; я)
нечетным образом, на промежуток (—я; 0]. Затем с промежутка (—я; я) продол-
продолжаем периодически с периодом 2я (рис. 8.8).
Для полученной функции имеем:
2 f 2
(л=0, 1, 2, ... ), bn= — \ х sin nxdx = — — (—1
я.) п
(Л, Л)
ьп=-(-
/-2л
л /2л Зл
Рис. 8.8
Следовательно, разложение функции у = х в промежутке [0; я) по синусам имеет
вид:
sin
1.8. Разложить в ряд Фурье функцию у — | sin x\ .
2.8. Разложить в ряд Фурье функцию / (х) = х2 в промежут-
промежутке [—я; я]. С помощью полученного ряда показать,
я2 111
ЧТО — = 1 — — 4- — — — 4- .
12 22 ^З2 42 ^
3.8. Разложить в ряд Фурье функцию / (х) — х2 в промежутке
@; 2я). Нарисовать график функции и график первых трех частич-
частичных сумм ряда Фурье. Написать формулу Парсеваля.
4.8. Разложить функцию / (х) = х2 в промежутке [0; я) в
ряд по синусам. Написать формулу Парсеваля. Начертить график
функции и графики первых трех частичных сумм ряда Фурье.
5.8. Разложить в ряд Фурье функцию
^ / 0 для — я < х < 0,
х для 0<х<я.
6.8. Разложить в ряд Фурье функцию
f /х\ = { х, если — я < х < 0,
' к ' { я, если 0 < х < я.
289

7.8. Разложить в ряд Фурье функцию
f/r\ __ | 1 для —
пх)~ \х для
8.8. Разложить в ряд Фурье функцию / (х) = sin ax (а
нецелое) в промежутке — я < х < я.
9.8. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию / (х) = cos x
в промежутке @; я).
10.8. 1) Разложить в ряд Фурье функцию
0 при — 2<л:<0,
2 при 0<х<2.
2) Написать формулу Парсеваля.
3) Нарисовать графики первых трех частичных сумм ряда и
функции / (х).
11.8. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
/(*) =
х при 0<х<—,
I — х при — < х < I.
Написать формулу Парсеваля.
12.8. Не выписывая ряда Фурье функции
IX
— при 0<х<я,
я
— 1 при я<х<2я,
= 0, х2 = я, х3 = 2я,
найти значения суммы этого ряда в точках
xk - Зя.
13.8. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
О при 0 < х < —,
14.8. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
л: — 1 при -
-J- — х при 0 < х < —
О при ~ < х < /.
15.8. 1) Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию / (х) -
= — в промежутке 0 < х < 2. 2) Написать формулу Парсеваля.
290

Глава 2
НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 2. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения в част-
частных производных
д2и(х; у) =()^
дх2
рде и (х\ у) — неизвестная функция двух независимых переменных.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
дх\дх
не зависи
равна нулю. Поэтому
ди
Отсюда видно, что —¦ не зависит от х, так как частная производная от нее по х
дх
где Ci(y) — произвольная функция от у. В уравнении — = Сг (у) частная
ди
производная —¦ берется по х, г у считается постоянной. Взяв интеграл от левой
ох
и правой частей, получим решение поставленной задачи:
и (х; у) = j Сг (у) dx= xCx (у) + С2 (у),
где Gt (у) и С2 (у) — произвольные функции от у. Если найденную функцию
д2и
и(х;у) два раза продифференцировать по х, то получим-—" = 0, и, следовательно,
ох
найденная функция является решением данного уравнения.
д2и
Пример 2. -—— = х2 — у.
дх ду
Решение. Переписав уравнение в виде:
д (ди\
и интегрируя левую и правую часть по у (считая в это время х постоянным), полу-
получим:
ди С У2
-=J (x*-y)dy = x2y-l. + C1(x).
Интегрируя теперь по х полученное уравнение (считая в это время у постоян-
постоянным), получим:
у
Здесь мы обозначили:

Таким образом, общим решением рассматриваемого уравнения будет функция:
х3у у2х ,
«(*•» У) = — ~ "у + Ci М +С2(У)>
где С* (я) и С2 (у) — произвольные функции, причем С* (х) дифференцируема.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение в частных производных
д2и ди
дхду дх'
Решение. Переписав уравнение в виде:
1(ди ,
и интегрируя левую и правую части по ху получим:
да
В этом уравнении — можно рассматривать как обычную производную по у
а х при этом считать параметром. Тогда уравнение перепишется в виде:
Мы получили неоднородное линейное уравнение первого порядка. Решая его,
получаем:
и (х; у) = J Uy (с2 (х) + ^С, (у) Г J Uy dy^j = С2 (х) е*У + С\ (у).
Таким образом,
и(х; y)=Ci(x)*y + (ft{y)9
где С2 (а:) и С* (у) — произвольные функции.
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений
с частными производными:
16.8. _ffL = 0. 17.8. ^L
д д
0. 17.8.
дх ду дх ду
18.8. — =л:2+у. 19.8. ^
д* *
df
20.8. -?fL + 1 ^ = 0. 21.8. -^ 2y^f.
дх ду х ду дх ду дх
22.8. ^L=5^. 23.8. ^- = 2.
д# ду ду дх2
24.8. ^ ^^
2х. 25.8...
дх ду ду2 ду
26.8. J*L=x + y. 27.8. ^iL = &c
а2 ^ а2
292

§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Метод Фурье иначе называют методом разделения переменных или методом
собственных функций.
Пример 1. Струна длины / закреплена на концах. В начальный момент
времени она оттянута в точке х = ~ на расстояние —, а затем отпущена без
толчка. Методом Фурье определить отклонение и {х\ t) точек струны в любой мо-
момент времени.
Решение. В поставленной задаче мы имеем дело со свободными колеба-
колебаниями струны, закрепленной на обоих концах. Ее решение сводится к решению
следующей математической задачи.
Требуется определить решение уравнения
д2и д2и
Itt^^lte2
Т
— , где Г —натяжение струны, ар — плотность струны), удовлет-
(здесь а2 =
воряющее следующим начальным и граничным условиям;
1) Начальные условия:
ix I
—-при 0 <х < —,
1 /
- -— (х — I) при —- < х < / (рис. 9.8);
о 2
ди (х; 0)
б) = ф (х) = 0 (струна была отпущена без толчка, значит, началь-
ot
ная скорость ее точек была равна нулю).
2) Граничные условия: и @; f) = 0, и (/; t) — 0. Физически они означают, что
в точках х = 0 и х = / струна закреплена (рис. 9.8).
Согласно общей теории решение задачи дается рядом
u(x;t) =2* К
, cos
я ant
л ant\ n пх
+ Ьп sin —-— I sin —-,
где
ап = ~г
о
2
я па
^ydc, Г)
x. (***)
В рассматриваемой задаче ф (#) =
= 0. Значит, Ьп = 0 (п =1, 2,...).
Вычисляя ап, получим:
an = J f(x)sin—dx =y j\ xsin — dx+ (/ — x)sin — dx\
о
4 /2
293

Таким образом,
Al n n
Заметим, что при четных п имеем: ап = 0, так как
пп
sin —
2
При нечетных я = 2k — 1 имеем:
пп 2 nk
sin — — sin = 0.
2 2
sin^ = sin A) (fe = 1,2)..
Окончательно для коэффициентов ап получим формулу:
а^=(-Х)П-\пЧ2п-Х? (« = '.2--)
а2п = 0.
Решение поставленной задачи записывается в виде ряда:
V1 я ап ппх
и (*; 0 = 2j а« cos ~7" ' sin ~ ^
4/ Y^/ n/11 l пап ппх
2(-1) ^^?C05~tsmT'
2j ^?
28.8. Струна длины /, закрепленная на концах, изогнута так,
л ел . ЯХ „
что она приняла форму синусоиды и = 2 sin — , и отпущена без
начальной скорости. Найти закон колебания струны.
29.8. Струна с закрепленными концами х = 0 и х = I оттянута
в точке х = — /на малое расстояние h от положения равновесия
и затем отпущена без сообщения ее точкам начальной скорости.
Найти отклонение и (х; t) точек струны.
30.8. Струна с закрепленными концами # = 0ил; = /в на-
начальный момент времени имеет форму, определяемую уравнением
a(;c;0) = 2sin —.
Начальные скорости точек струны определяются формулой
ди(х>0)
3sin
dt I
Найти смещение и (х; t) точек струны.
31.8. Методом Фурье найти решением (л:; f) уравнения
dt* ~~ д&%
294

удовлетворяющее граничным условиям и @;0 — и (/; t) = 0 и
начальным условиям
и(х;0) =0,^^=1
dt
32.8. Методом Фурье найти решение и (г, f) уравнения
дЧ =/[ д2и
удовлетворяющее граничным условиям и @; f) = 0, и C; /) =0 и
начальным условиям
33.8. По струне длины /, закрепленной на концах и находив-
находившейся в состоянии покоя, ударили молоточком. В результате уда-
удара точки струны, расположенные на отрезке [с — h, с + h], полу-
получили начальную скорость v0. Найти закон колебаний струны.
§ 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
П р и м е р 1. Найти решение уравнения теплопроводности
ди д2и
— = а
Ы дх2
при граничных условиях и @; 0 = 0, и (/; t) = 0
и начальном условии
и (х; 0) =
х, если 0 < х < — ,
/ — х, если -—<*</.
Решение. Решение определяется формулой
n=l
где Сп вычисляется по формулам
2 /
2 Г р ппх ^ р ппх 1
Cn=-—\\xsin —-— ах + \ A-х)sin —--dx .
Вычисляя интегралы, получим:
2
f Я/Dt /2 ЗХ П Р ПП
\ х sin —— dx =— -— cos —— + —- sin —¦,
J / 2яя 2 я2л2 2
295

С nnx I2 nn I2 nn
\ A-х) sin —-~ dx = -— cos —- + —7-sin —
J v } I 2nn 2 ^ nn2 2 •
Складывая вычисленные интегралы, найдем, что
nn
c,=i^
Так как sin я п == 0, то и С2Л = 0.
Далее имеем:
4/ (-l)«-i
Решение задачи запишется так:
nW Brt-lJ n Bл-1)
/ sin
Пример 2. Найти распределение температуры в стержне длины /, если
на левом конце температура равна Л, а на правом равна В, т. е. и @; /) = А,
и (/, 0 == В (Л, Б постоянные), и если начальное распределение температуры в
стержне равно / (х), т. е. и (х\ 0) = / (х) .
Решение. Задача заключается в нахождении решения дифференциального
уравнения
dJL— 2 ^Л
dt :==п дх*'
удовлетворяющего граничным условиям
и @; t) = Л, и (/; /) = В
и начальному условию
и (х) 0) = / (х).
Эта задача сводится к задаче, в которой граничные условия имеют вид: p@;f)=
= v (/; /) = 0. С этой целью введем новую функцию v (x; t), связанную с ис-
искомой функцией и (х\ t) равенством
Б— А
v (х; t) = и (х\ t) — —-— х — А
Функция v (x\ t) удовлетворяет уравнению
dv___ ^dhj_
dt = й2 дх2
I dv ди дЧ д2и\
[так как— — —, а—" = т~^ и нулевым (однородным) граничным условиям:
v @; t) = и @; /) — А = 0, v (/; t) = и (/; f) — ~ / — А = 0.
Начальное условие теперь имеет вид:
296
= - Л = / (л:) - —^л:-Л = g (л:).

Таким образом, поставленная задача свелась к нахождению решения уравнения
dv „ d2v
удовлетворяющего граничным условиям:
v @; t) = v (/; /) = 0
и начальному условию
В—А
v (х- 0) = / (х) - ——л;-Л,
т. е. к задаче, которую мы умеем решать.
Пример 3. Один конец стержня х = 0 теплоизолирован, а другой х = I
поддерживается при температуре и (/; /) = 0. В начальный момент времени
t — 0 температура всех точек стержня равна и0. Найти распределение темпе-
температуры при t > 0.
^ ди
Решение. Задача сводится к нахождению решения уравнения — =»
ot
= а2-—-, удовлетворяющего начальному условию
и(х\ 0) = и0
и граничным условиям
их @; t) = 0, и (/; t) = 0.
(Условие теплоизолированности конца #=0 математически означает, что и' I =я
= их @; /) = 0.) Применяя метод Фурье, найдем, что уравнение
ди л д2и
2
имеет решение вида:
и i
Из граничных условий получим:
ди л ди
— = а2 —
dt дх2
и (х; t) = e~a (Сг cos X х + С2 sin Xx).
и'х \Xz=0 = е аг%Н (— X Сх sin X х + X С2 cos Xх) \ х=0 = е ^^ X С2 = О,
— а2А,2/
м| х-0 = б (Cr cos XI + С2 sin л/) =0.
Из первого уравнения следует, что С2 = 0. Так как Сх Ф 0 (иначе мы имели бы
нулевое решение), то из второго уравнения следует, что cos X I = 0. Решая это
уравнение, получим:
В результате получим бесконечное множество решений
п2а2 Bп — lJt
ип (*; 0 = Ся Г 4/2 cos 2/ (я = 1,2,3,...),
удовлетворяющих граничным условиям.
Решение задачи будем искать в виде ряда
пBп —
( )
и (*; 0 = V Сп е cos
п = 1
297

Из начального условия получим:
VI Л п B/г — 1) л:
и (х; 0) = uQ = Л Сп cos .
&та формула позволяет определить коэффициенты Сп. Для этого разложим в ряд
Фурье четную функцию, имеющую период 4/ и равную и0 при — / < х < /
и — а0 при / < х < 31. Мы находим:
I 21
n==2l}C°S 2/ ^^^TJ °0S 2/ х==("" ) ЯBд_1) *
о /
Окончательное решение задачи имеет вид:
2я —1
cos-
34.8. Дан тонкий однородный стержень длины /, на концах
которого поддерживается постоянная температура, равная нулю.
Начальная температура стержня определяется уравнением
и (х; 0) = 3 sin 2 sin,
Определить температуру стержня при t > 0.
35.8. Концы стержня длиной / = 100 см поддерживаются при
температуре, равной нулю. Определить температуру и (х; f) в точ-
точках стержня для любого момента времени t, если известно началь-
начальное распределение температуры
| — х, если 0 < х < 2,5,
Ч 5
)если 25<л:< 100.
15 15
36.8. Концы стержня длиной / поддерживаются при температу-
температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой
. лч - . зх х ~ . 3 кх
и (х; 0) = 5 sin 2 sin .
Определить температуру стержня для любого момента времени.
37.8. Найти распределение температуры в стержне длиной I,
если на концах его поддерживается температура, равная нулю,
а начальная температура равна единице вдоль всего стержня.
38.8. Найти решение и {х\ у) уравнения
ду ~~ дх*'
удовлетворяющее граничным условиям и @; у) = и (я; у) = 0 и
начальному условию и (х; 0) = 3 sin 2x.
298

39.8. Конец стержня х = 0 имеет температуру и @; /) = О,
а на конце х = / поддерживается температура и (/; 0 = 100°.
Вычислить распределение температуры и (х\ t) в точках стержня
для любого момента времени tt если известно распределение ее в
начальный момент
и (х; 0) = .
200
х, если 0 < х < —,
2'
100, если — <* < Z.
Замечание. Данную задачу целесообразно свести к задаче с нулевыми
граничными условиями (см. пример 2).
§ 5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
Пример 1. Показать, что функция и (х\ у) = а (х2 —у2) + b xy, где
а и Ь — произвольные постоянные, есть гармоническая функция.
Решение. По определению функция и (х\ у) называется гармонической
в некоторой области, если в каждой точке этой области она удовлетворяет урав-
уравнению Лапласа:
дх2 + ду2 ~" '
Найдем производные ихх и аут Имеем: их = 2 ах, ихх= 2а, иу = -* 2ayf
иУу— —2а. Значит, ихх + иуу = 2а — 2а = 0. Следовательно, функция
и (х\ у) гармоническая.
Пример 2. Доказать, что функции (х + iy)n и (х + iy)n являются гар-
гармоническими.
Решение. Мы имеем:
д2 (х ± iy)n
дх2 =n(n-l)(x±ty)"'*
ду
Поэтому
д2 (х + iv)n
2 = Я (Я - 1) (± iJ (X + iy)"-* = - П (П - 1) (X + ty)*-*.
а2 (х ± iy)n д2(х± iy)n _
дх2 + ду2 "" f
(х ± iy)n — однородные гармонические многочлены /2-й степени.
Отметим, что .если х + iy = r (cos ф + i sin ф), то
(х ± iy)n = гп (cos п ф ± i sin n ф).
Поэтому функции rn cos /гф и /*л sin лф также гармонические.
Пример 3. Найти значение гармонической функции и (х; у) в центре кру«
га х2 + у2 < R2 у если на его границе
Решение. Так как значение гармонической функции в центре круга рав-
равно среднему арифметическому ее значений на границе этого круга, то
«@;0)=—— \ u(x;y)ds.
299

Переходя к полярным координатам х = R cos ф, у = R вшф, получим?
1) и 2 = Кф),
2) ds — Rdq>t
и, следовательно,
л 2Л
В нашем примере / (ф) = /? cos ф • R sin ф + # cos ф — 1.
Поэтому
1 /-»
и @; 0) = —- \ (R2 cos ф sin ф + R cos ф — 1) d ф
2л J
\ [ R2
= ^ Г" Т cos 2Ф + R sin Ф ""
Пример 4. На окружности круга х2 + у2 < #2 температура распреде-
распределяется по закону:
Найти распределение температуры внутри круга, предполагая, что оно стацио-
стационарно.
Решение. Поставленная задача — задача Дирихле для круга: требует-
требуется найти функцию, гармоническую внутри круга и принимающую на границе кру-
круга заданные значения
и (/?, ф) = R2 cos2 ф — R2 sfn2 ф + — R втф = R2 соз2ф + — R sin ф.
Из теории уравнения Лапласа известно, что если значения гармонической
функции а (г, ф) на окружности радиуса R имеют разложение в ряд^ Фурье вида:
оо
«(#; ф) = / (ф) = 2 R" (Л«cos ft<P + s"sin пф)- W
то внутри круга имеем:
и (г; ф) = > гя (Ап cos яф + Вя sin яф).
При этом
1 at
1 С
—я
at t n
ц f (Ф) sin
—я —я
Из граничного условия получим:
1
w (#; ф) = i?2 cos 2ф + -~ ^ sin ф = V (/?« Лл cos Пф + i?rt Вл sin лф).
300

Откуда, сравнивая коэффициенты при cos 2ф и sin ф, получим: R2 = R2 Аь
—R = R • Вг. Следовательно, А2 = 1, В1 = —. Остальные коэффициенты бу-
будут равны нулю. Подставляя найденные коэффициенты в (*), получим решение
задачи:
и (г; ф) = г2 cos 2ф + — г sin q> = r2 (cos2 ф — sin2 ф) +
+ у г sin ф = х2 — У2 + ~, т. е. tt
= х2--у2 + у у.
Являются ли следующие функции гармоническими:
40.8. и = In —, где г - /х2 + у2.
41.8. и = A (xz — Злу2) + В (Зх2 — у3) (Л и В — произволь-
произвольные постоянные).
42.8. Найти однородные гармонические полиномы четвертой
и пятой степеней.
43.8. Найти значения гармонической функции и (х; у) в цент-
центре круга х2 + у2 < R2, если на границе круга она принимает
значения:
а) и(х\у) = ^j;
— ф);
|
б) и(х\ у) = R + x\
г) и (х\ у) - 2 + Зу;
в) и (R\ ф) =
Д) и(х\ у)=
44.8. Найти функцию и (х\ у), гармоническую внутри круга
х2 + у2 < 1 и принимающую на его границе значения и У+у*=\ =*
45.8. Решить задачу Дирихле для круга радиуса R с центром
в начале координат, если заданы следующие граничные условия:
= 3-5у;
а) и
в) и
Д) и
= - • б) и
r R ' }
= 2х2 — 4л;у — 6у2; г) и
(A sin ф, 0 < ф < л,
— ф);
= 1
- Л sin3 ф, л
2я.
46.8. Найти функцию, гармоническую внутри круга х2 + У2 <
< л: + у и принимающую на границе круга значения, определяе-
определяемые формулой

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Раздел IV. РЯДЫ
1 (— I)"-1 (— l)n-i
;. 2.4. ап - +—[ . 3.4. ап = \ [ „. 4.4. ап -
Bя —
я* " я (я + 1) '
¦. 5.4. ап = —. 6.4. ап = (— l)"-1 ^ П' '—. 7.4. 1 +
.1 + li + b+if+7!e.4. J-_nlL + _L__L + ..^7 !i- + i +
^ 13 ^ 20 ^ 29 32 64 ^ 128 256^ 5^8^
^ 13 ^ 20 ^ 29 ' "• ' 3 ^ 4 ^ 35 ^ 16 ^ 99 '
— од' б — 1О1' 6 — 1OQ- IZ#4# a«+l ~
6*
128
2п
\6n-l)
и., K^
b5.9.....Dn»-3)'
r
2п- \)
л 18.4. 5Л=2л4—я2. 17.4. Sn=nBn—1) • (8п2~
- 4/г ~ 3). 18.4.5^ == -г л (я + 1) (л + 2)- 19-4. 5л =
о
30
20.4. Sw =
24.4. 5Л=1:
—-Y 23.4. 5Л = —-i-
2л Зя (я -f- 1) Зя
а: я j^_ . 1
* 2п • х
?
.«.4.
1 2п
. 31.4. ?„ =
1
" 3 (Зя + 1) f
1 1 3 1 Г 1 1 
б) 5Л = 1— ———, 5=1, /?л= 2; в) 5Я ==— — Ч 2 + 2 ,
s==l R _" Г 1 , 1 "I r)S =i___L_!_ S = I /? =
8' rt 4 [(я + IJ (я + 2JJ' л 2 (я-|-1)(я-|-2)' 2' л
302

f6)}S== 1080' Ra"
e) Sn = arc tg
73
n+6
1
1_ /_J_
~ 18 U+l
n+3
1
n+2 ' ^+3
n+5
= arctg _g_;
1 +4rt
1
rT+2 + /я + 1
33.4. Расходится. 34.4. Расходится. 35.4. Расходится.
36.4. Расходится. 37.4.Необходимый признак ответа не дает. 38.4. Необходимый
признак ответа не дает.39.4. Расходится. 42.4. е. 44.4. or1. 45.4. — 47.4. Рас-
Расходится. 48.4. Расходится. 49.4. Сходится. 50.4. Расходится. 51.4. Сходится-
52.4. Сходится. 53.4. Расходится. 54.4. Расходится. 55.4. Расходится. 56.4. Схо-
Сходится. 57.4. Сходится. 58.4. Сходится. 59.4. Сходится. 60.4. Сходится. 61.4. Схо-
Сходится. 62.4. Сходится.63.4. Сводится. 64.4. Сходится. 65.4. Расходится. 66.4.
Сходится. 67.4. Расходится. 8^,4. Сходится. 69.4. а) Сходится; б) расходится. 70.4.
Расходится. 71.4. Расходится. 72.4. Сходится. 73.4. Сходится. 74.4. Сходится. 75.4.
Сходится. 76.4. Сходится. 80.4. Сходится. 81.4. Сходится. 82.4. Расходится.
83.4. Сходится» 84.4. Сходится. 85.4. Сходится. 86.4. Сходится. 87.4. Сходится.
83.4. Расходится. 89.4. Расходится. 90.4. Сходится. 91.4. Расходится. 92.4. Схо-
Сходится. 93.4. Расходится. 94.4. Расходится. 95.4. Расходится. 96.4. Сходятся.
97.4. Сходится. 98.4. Расходится. 99.4. Расходится. 100.4. Сходится. 101.4. Рас-
Расходится. 102.4. Сходится. 103.4, Расходится. 104.4. а) Расходится; б) расхо-
расходится; в) сходится; г) сходится. 108.4. Сходится при а > 1. 111. 4. Сходятся.
112.4. Первый ряд сходится, второй расходится. 117.4. а) N > 71; б) Л^ > 6;
в) N > eloooo+ 1; г) W > 5; д) W > 5; е) N > 5. 119.4. а) Может сходиться, может
расходиться;б) расходится. 120.4.Сходится абсолютно. 121.4.Расходится. 122.4.Схо-
дится абсолютно. 123.4. Сходится условно. 124.4. Сходится условно. 125.4. Схо-
Сходится абсолютно. 126.4. Расходится. 127.4. Сходится условно. 128.4. Сходится абсо-
абсолютно. 129.4. Расходится. 130.4. Сходится условно. 132.4. In 2. 133.4. Расхо-
Расходится. 134.4. Сходится абсолютно. 135.4. Расходится. 136.4. Сходится условно.
137.4. а) Сходится условно при а= 1; б) сходится абсолютно при а > 1, схо-
сходится условно при а=1. 139.4. Расходится. 140.4. Сходится абсолютно. 141.4. Рас-
3 1
ходится. 142.4. а)—1п2; б)—1п12. 143.4. Не изменится. 144.4. Ряд сходится.
145.4. Расходится. 146.4. а) Может сходиться, может расходиться; б) расходится;
в) сходится. 147.4. Сходится. 151.4. Расходится. 154.4. Rn < ~, Rl0 <
< 2,5 • 10-8. 155.4. Rn
1
(п
- 1б6-4-
И- 157-4- ЧетЫж
ре, шесть. 160.4. а) — In 2; б) — In 2; в) 1п 2 — — 1п 3. 162.4. а) — — "jln 2;

164.4. Сходится абсолютно при | х\ > 1. 165.4. При х > 1 сходятся абсолют-
абсолютно. 166.4. Сходится абсолютно при х > — —-и при х < — 1. 167.4. Сходится
абсолютно при \х\ < 1. 168.4. Сходится абсолютно при | х \ ф 1 и сходится ус-
условно при х— —1. 169.4. Сходится абсолютно при | л: | < 1. 170.4. Сходится
абсолютно при \х\ < 1. 171.4. Сходится абсолютно при х ф — 1. 172.4. Схо-
Сходится абсолютно при х ф — 1. 173.4. Сходится абсолютно при х > 1.
174.4. Сходится абсолютно при \х—я/г|<—(k = 0, ± 1, ± 2,...). 175.4. Сходится
6
я я
абсолютно при \х —я/г | < —, сходится условно при х = — \- я/г (/г =
4 4
= 0, ± 1, ± 2, ...). 176.4. Сходится абсолютно везде. 177.4. Сходится абсолют-
абсолютно везде. 181.4. —. 182.4. —. 183.4. —Г1 — "*(* + ' 1 185.4. Сходятся
х х х2\_ sh я х J
при а > — и расходятся при а < —. 186.4. 13. 187.4. 8. 188.4. 1—- + — .
2 2 2 и
189.4. п l/—. 193.4. При а < 1. 195.4. —In —— — х ( | а: | < 1).
A — л:)п при 0 < а: < 1,
0 при х == 0. На отрезке ¦— < а: < 1, гп (х) < 0,01 при п > 1.
198.4 | гп (х) 1<0,01 при п>25. 204.4. S-(jc)= . S (х) = .
х + 1 лл: + 1 л: + 1
206.4.л >9999. 211.4. Существует и непрерывна при | х | <оо. 212.4. Существует при
Ijc^O, разрывна при х=0. 213.4. —In — — arctg*. 214.4. а) ;
4 1 —х 2 A —хJ
Sil)(x) ==—-—ctgjc, 5B)(л:)=—--——. 220.4. —1<л:<1. 221.4. — К л:<1. 222.4.
х sin2* х2
223.4.—1<*<1. 224.4. — 6<л:<0, —оо<л:<оо. 225.4. 0
1 < х < 3. 226.4. — — < х < —. 227.4. — 4 < л; < 4. 228.4. — 1 < х < L
229.4.-2 < х < 0. 230.4. 3 < л; <7. 231.4. — 1 < х <1 при с < 1,— 1 <*<1.
— < х < I при с > 1. 232.4. —1< х <1 при с < ег1, —\<х<\ при е <
< с < 1, — 1 < л; < 1 при с > 1. 233.4. — 1 < х < 1 при с < 1, — с <
< л: < сприс > 1. 234.4. — 1 < х < 1. 235.4. — 1 < х < 1 при у —а—р <
< — 1, — 1 < х < 1 при — 1 < у —а —р < 0, — 1 < х < 1 при у —а —.
—Р > 0. 237.4. 2 + (х — 1) + 3 (х — IJ + (* — IK. 238.4. — 9 + 22 (х + 1)—
— 8 (х + IJ — 2(* + IK + (х + IL. 239.4. 64 — 192 (х + 2) + 240 (* + 2J —
2V
— 160 (* + 2K + 60 (х + 2L — 12 (х + 2M + (х + 2N, 240.4. 2* — +
304

о (х 4K vi 22л~1л;2л
/2=1
244.4. x < 0,21. 247.4. — — — x2 + x3 + .... 248.4. r3 < —. 249.4. — 6 +
+ 21 (x — 2) + 50 (* — 2J + 35 (* — 2K + 10 (x — 2L + (* -^» 2M, f BД) * —
— 3,4, / B,1) = 3,36399, A = 0,03601, 6 » 0,01. 250.4. | x | < 0,58.
22 (x ——1)^ 1пл2
—i 1 э— oo < x < oo. 253.4, jc2 +
л!
oo oo
+ / i—^ #2/1-2 ... i < д; <1. 254.4. 1 + V(— l)n -r—-л:2Л, —oo < x <oo.
^-J 2лл! ^ Bл)!
я=1 /г=1
ORR Л -2- \ ^ 1 \Л+1 П— v2/I+l тшш го ^ у ^ Г4П 9Sfi 4 1
^оэ.4. -J-?j{—i; ми 1 —oo <; х < oo. ^оо.ч. ^ ^
2C2^1) (З4 — 1)
3!5!
со
259.4.У;(-1)/г+1+[1+(-1)ПК-1)Г+1^, -1<,<1. 260.4.
^J л
Vi а:'14'1
— 1 < х < 1. 261.4. х + Tj(— 1)л+! ^ , |v> -1<К1. 262.4. arctg 2 +
п=1
+ ^J 2в-1 '4
1
Т 26зл
W-i^+ir' -!<r<L 265-4-
tt=l
ZBn —1)!! jc6/2+3 vi 2a/I+l(n!)a (л + 1)
S2w+l (n!J V^
^rkx^ -l<x<L ША- 2(-
n=l
1. 269.4. 2Ul|l+2j Bп)П ^jTjj при0<х<1и—
/1
—у, -1 <х<1. 271.4. 2jH
(X -I- 2^2Л
4я +
305

_ г *-^ (х 4- 2)nl
< х < — 2 + /3. 272.4. в2 1 + 2j j1 > — ею < л: < ею. 273.4. 2
п—1
ZB/i —3)!! (* — 4)"
(~ ° р^Г- 2^' 0 < , < оо. 274.4.
22 iT
л=1
л=1
— 5iH
2 C0ST
S22 C0ST vi Г /
¦ хп — ею < х < ею. 278.4. У (— 1)Я-Ч 1 +
п=^ rt=5Si
~ + .» + —) х" I — 1 < х < 1. 279.4. а) — 2 < * < 2; б) 3 < х < 7.
оо
(-1)" ... . n I
л! Bл + 1)
l
/2=2
x2n+1
0,6931;
< 0,69,
членов.
0,119.
, , ,
Г / 1 \2 /1 • 3\2 е4 1
= 2яд 1~(— е2 —I- 1 ——.... 316.4. 1,486.
0877 3194 0342 3204 0747 32141492
1,492.
1,000,
<*<1. 285.4. 1. 291.4. 3,017. 292.4. 0,309. 293.4. 0,1823. 294.4. 1,0986. 295.4.
1,0986; 1,6094; 2,3026. 296.4. 3,14159. 297.4. 4,8; A < 0,005. 298.4. |*|
|x| < 0,39, | x | < 0,22. 299.4. \x\ < 0,39, | x | < 0,18. 300.4. Восемь
301.4. 0,4971; A < 0,0001. 302.4. 0,012; A < 0,001. 303.4. 0,608. 304.4
32 - "
308.4. A = — ~. 311.4.
317.4. —2, 325. 318.4. 0,877." 319.4. 0,342. 320.4. 0,747. 321.4.
322.4. 10 и 1,372. 323.4. 6,984. 324.4. x = 0,520, у = 0,310. 325.4. x
у = 2,000.
Раздел V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.5. а) Точки, лежащие на прямой у = 2х + 4 или ниже этой прямой;
б) точки, лежащие на параболе у2 = 6х или во внешней области для этой парабо-
параболы; в) точки, лежащие на окружности с центром А D; — 6) и радиусом 5 или
внутри этой окружности; г) точки, лежащие вне окружности с центром А (— 3; 1)
и радиусом 6; д) точки, лежащие между двумя концентрическими окружностями
с центром вначале координат и радиусами 3 и 4; е) точки, лежащие внутри окруж-
окружности с центром в начале координат и радиусом 5, и в то же время расположен-
расположенные выше параболы у = 2л:2; ж) сегмент, ограниченный отрезком прямой у = х
и дугой параболы у = х2. Эти линии пересекаются в точках О@; 0) и А A,1).
| а: < — 2у — 1
-
4.5.
13
7'
)i<— х+ 10,
у > х — 2,
7 х
13
7'
306

> x8 —6* — 4,
7-S-b>T
/ 3jc2 + Зуа + 28л: — 38y + 113 > 0,
L5' \ 16a:2 + 48xy + 9y2 - 130a: - 110y + 300 > 0.
100.
i x*
У > x+ I,
У > x+1,
У<--Т*+5>
О
5
.У < ~ J х -f • 5,
_. go > О,
i -(- y2— 8* + 4y — 80 > 0:
11.5. a) \\<x<f' ^ 2 6) J
1,
80 < 0,
fy<x-.
,, \x*+y* — 8x +4y — 80 <0.
0 < x < 2
0 < у < У 4-х2;
(а:<у<л:4-3, ( а: < у < — 2л: + 5;
/01 12 Г
у4, ( у
0<л:<1, A<a:<2,
0 L
,
3)
;
0 < х < 1,
2
(r<x<2r,
JO <y <r + Yr2 — jc2.
13.5.
l
х
12.5. 16 < (* — 2J
0 < а: < г,
+ 4J < 49.
' — 4 < x <y — 1,
6 < у < 8,
у—4 <а:< 8-
— 1 < у < 3,
( + i)
или
— 1 < x < 0,
Г
15'5' [ (х
> |4<а:<5,
1 а: + 1 < J/ < х + 4, 1 х + 1 < у < - 2а: + 16.
Х[ (х — IJ + (у — 4J] [ (х — 7J + (у — IJ] = 0. 16.5. sin2nA: + sin2 Jty =
= 0. 17.5. sin ял: sin яу = 0. 18.5. а) Точки первого октанта (без ко-
координатных плоскостей); б) точки первого, третьего, шестого и вось-
восьмого октантов (без координатных плоскостей); в) точки шара радиуса 3 с центром
в начале координат; г) область, ограниченная двумя концентрическими сферами
с радиусами 2 и 4 (включая эти сферы), д) область, ограниченная двумя круговы-
круговыми цилиндрами, осью которых является Оу, а радиусы равны 2 и 4 (включая
цилиндры); е) область, ограниченная сферой радиуса 5 с центром в начале коор-
координат и цилиндром радиуса 3 с осью Ог (без граничных областей); ж) область,
ограниченная двумя соосными параболоидами вращения; з) область, ограничен-
ограниченная цилиндром радиуса 2 с осью Ог и лежащая выше плоскости г= — (х — у).
307

Точки плоскости исключаются; и) два противоположных двугранных угла, ог-
ограниченных плоскостями х+у=0 и х + z -\- 2 == 0; к) область состоит из
двух частей. Одна является пересечением внутренних областей двух цилиндров
с радиусами 2 и осями Oz и Оу и вторая лежит вне обоих цилиндров; л) область
лежит выше гиперболического параболоида z = х2—у2 и внутри сферы
радиуса 4 с центром в начале координат (точки сферы принадлежат
множеству, а параболоида — нет). 20.5. х2 + у2 < z < 2х + 6у + Зг — 29.
«2 ,2 ( 3
v2 _l- tv _ П2 -f (г + 1J < 36.
21.5.
23.5.
25 ^ 16 "*" 9
22.5.
г > /4 -j- *2 + у2. У х&
х>
y>o,
z > 0,
x2+y2+22>25. 24. S.sin2 nx-\-sin2ny+sirytjiz^O. 25.5. sinnx sin тсуу sintfi2=
0. 26 5. a) f — 5 <x< 5,
б)
в)
А)
и)
— а< х < а,
а а
0 < х < 2,
0 < у < 4,
0<г<8 — #—-у;
г)
< г < с
— a < x < a,
— yV-- x2 < у < /a2— *2,
-- (л;2 + у2) < г «
2a
0 < x < 6, e)
Ух~< у<2У7у
0 < г < 6 — x\
0 < x < e-
2 '
2— у2;
мно-
мно— yR2 — x2 — у2 < г < V R2 — x2 — y2. 29.5. Предельными для М явля-
являются Есе точки вида (—; 0), [0; —) и начало координат. 30.5. Например, мно
\т J \ n J
жество точек Ап[Ъ-\ ; 4| и В Л— 1 -\ ; 2), п — 1,2, ... . 31.5. Например,
\ п J \ п ]
множество точек Атп[—; п\ 47.5. а) Область; б) не область; в) область; г) не
\т j
)(х 3J-4- (у 4J = 4
-~y\2<z<y\2
и I (х ZIЗJ 4- (v —- 4J < 4 ~~ ' ^"^" ^ся плоскость' кРоме точек прямой у =
308

=x. 55.5. Вся плоскость, кроме точек оси ординат. 56.5. Вся плоскость. 57.5. Верх-
Верхняя полуплоскость относительно прямой у=— ху включая и точки самой прямой.
58.5, Круг радиуса 1^3 с центром в начале координат. 59.5. Все точки, лежащие на
окружности радиуса 2 с центром в начале координат и вне ее. 60.5. Все точки, ле-
х2 у2
жащие на эллипсе — -J-— = 1 и внутри его. 61.5. Первая координатная четверть
9 4
вместе с примыкающими полуосями. 62.5. Вторая четверть вместе с примыкающими
полуосями. 63.5. Внутренняя часть правого вертикального угла, образован-
образованного биссектрисами координатных углов. 64.5. Круг радиуса 3 с центром в на-
начале координат. 65.5. Если у > 0, то 2kn < х < Bk + 1)я, если у < 0, то
B/г + 1) л < х < Bk + 2) я (k — 0, ± 1, ± 2, ...). 66.5. Часть плоскости, за-
заключенная между окружностями х2 + у2 = R2 и х2 + у2 = г2, включая точки
внешней и исключая точки внутренней. 67.5. х > 0, у > 0, х > У~у.
68.5. Часть плоскости, лежащая внутри параболы у2=4* между параболой и ок-
окружностью х2 + у2 = 1, включая дугу параболы и исключая дугу окружности.
х2 у2
69.5. Часть плоскости, лежащая между ветвями гиперболы,— — — = 1, исключая
9 4
последние. 70.5. Совокупность четырех октантов пространства: а) х > 0, у > 0,
z > 0; б) х < 0, у < 0, z > 0; в) х > 0, у < 0, г < 0; г) х < 0, у > 0, z < 0.
71.5. | х I < 2, 0 < 2 < 2. 72.5. Часть пространства, ограниченного эллипсои-
х2 у2 г2
дом (- +—=1, включая точки эллипсоида. 73.5. Первый октант. 74.5. Часть
пространства, ограниченного цилиндрической поверхностью z=y2, содержащая по-
положительную полуось OZ, без точек указанной поверхности. 75.5. [ х \ < а,
11 г | < z.
76.5. Только точки окружности х2 + у2 = 9. 77.5. Часть плоскости, лежащей
вне окружностей радиусов, равных единице, с центрами в точках (— 1; 0) и A; 0).
Точки первой окружности принадлежат области, второй — не принадлежат об-
области. 78.5. Криволинейный треугольник, ограниченный параболами у2 = xt
у2 = — х и прямой у = 2, вместе с точками контура, кроме точки @; 0).
?9'5' а) (х + 3J + (у--1J; б) ^ +
1 . ТЛ00--х2-у2
sin2tt* + sin2tty
80,5. 0. 82.5. a) S = j /(* + _у + г) (* +.у — г) (* + г — у) (у + г — х),
О < х < оо, я
О < у < оо, б) V = —¦ h (I2 — /i2), 0 < h < /. 83.5. а) 0 < *2 +
Iv" „„.. \i J <^ ,7 <? Y I Л/ *^
•/V ^ | S * ^^ Л, J— ^у .
1 г
f у2 < 4/г2; б) —оо<а:<оо, —оо<у<оо. 84.5. К == — ху у 4.R2—jc2—ya0
Г 0 < л: < 2/г,
Ооласть определена: | т/4^ г Область определенности аналитичес-
_Л<у<
кого выражения:
-. у 4^2— а:2 < у -
85.5. (ху, если 0 < * < 1, 0 < у < 1,
х, если 0<*<1, 1<j/<2>
у, если 1 <*<2, 0 <у < 1,
1 + (х — 1) (у — 1), если 1 < х < 2, 1 < у < 2.
309

86.5.
2km + xy — mx — ky,
если 2k < x < 2k + 1, 2m < у < 2m -f 1;
(m + 1) (x — 2k) + ky,
если 2k < x < 2k -f 1, 2m + 1 < у < 2m + 2;
(fc + l)(y2m) + mx,
если 2k + 1 < x < 2fe + 2, 2m < у < 2m + 1;
2 (fem + /г + m + 1) + *y — (m + 1) * — (k -f 1) y,
если 2fe + 1 < x < 2/г+2, 2m + 1 < у < 2m + 2.
87.6. V = *y l/^i?2— x2—y2, 0<*<tf, 0<.y< V4R2—x2. 88.5.
a — b
> ——. 90.5. V = —. 91.5. V = l\ sin ф cos ф V l\ - l\
2 _ . oc „ cc '
4
3 sin - cos2 —
/?T
92.5. P = . Физический смысл имеют значения Г > 0, V > 0. 93.5. / =
(У
— —# Физический смысл имеют значения V > 0, /? > 0. 94.5. 4. 95.5. 8.
114.5. г = i/2'5" +о1 >5v + 3 sin3 Bц - у + 6), 115.5. и= v+wt v=t\
/ a4 _ у4 \ 3
ау = s8, t = sin a, s = cos a, a = x + 2, 2 = 4y. 118.5. г =» —
\ 2(a4+y4) /.
( + )jr:y + ( + )уЛ'
л я
„9.5. , - «a In „,--<„<-. ,20.5. , =
121.5. z= (x+ у)*У + (^Jjf. 122.5. и = (x2 + у2 + г2J — (*2 + у2 + г2K+
+ ~(х2 + У2+ г2) l(x* + у2 + г2J - (x + у + гL]. 123.5. г = {^J
124.5. м = т^=1пу+/3э/=1~^у2, s=(>:+yJ+(A:+zJ+(y+2J. 125.5. -1 <
у s t
<Ъх—2у<\. 126.5. x*+ У2<—. 127.5. 2. 128.5. 0. 129.5. 0. 130.5. 0. 131.5. 0.
132.5. a) 1; 6) e. 133.5. 0. 134.5. 1. 135.5. —.142.5. e. 143.5. —.144.5. Непрерывна на
о 2
всей плоскости. 145.5. у— —х. 146.5. х2 + у2 = 4. 147.5. у2 = —я.
148.5. Разрывы по линиям у == пх(п—0, ± 1, ± 2, ...) 149.5. Vх2 + у2 — п линии
разрыва — окружности радиуса п. 150.5. Линия разрыва у = х. 151.5. Непре-
Непрерывна в области существования, разрыв по окружности х2 + у2 = 9.
152.5. Разрыв в точке @;0). 153.5. Разрыв вдоль осей координат. 154.5. Линия раз-
разрыва #2+у2=4, у2 = 4х. 155.5. Линия разрыва х=0 и у=0. 156.5. Линия разрыва
х2 -f у2 = 9. 157.5. Линии разрыва у = ху у = — х. 158.5. Непрерывна в об-
области существования. Разрыв по окружности х2 -j- у2 — 4. 159.5. Разрыв
по прямой у = 0. 160.5. Разрыв вдоль прямых х = т, у = п и z — р, где т /г, и
р — целые числа. 161.5. Разрыв по поверхности эллипсоида х2+ 2у2 + 4г2 = 8.
162.5. Поверхность разрыва z = ху. 163.5. Поверхность разрыва — конус z2 =
= х2 + у2. 164.5. Поверхность разрыва — сфера х2 + у2 + г2 = 16.
165.5. Поверхность разрыва — гиперболоид х2 + у2 — г2 — 1. 166.5. Поверхность
разрыва — гиперболоид х2 + у2—22 = —1. 167.5. а) При х = 0, у = 0 полага-
полагаем z=0; б) при х = 0, у = 0 полагаем 2=1; в) при # = 1, у = 2 полагаем
310

г= 1. 168.5. Hm lim f{x\ у) = 0, lim lim / (x\ y) = 1. 169.5. lim lim
OyO OO x -0 y-0
не li li f( ) 6 1705 li li l( ) li \i
не
JKOyO Sf y
существует, lim lim f,(x; y) = 6. 170.5. lim lim l(x\ у) и lim \imf(x; y)
y-*0x~+0 x-+0y-+6 y-0x-*Q
существуют, lim l(x\ y)—0. 171.5. a) lim lim /(*; y)—1, lim lim/ (л:; у)=
* -+0 jc -*0 ^ -0 ^0jc-»0
У-0
= — 1; 6) lim Hm f {x\ y)=\im lim/; (*; j/) = lim f(x;_y)=0. 183.5. Ои/б.Значе-
* -*0 ly -0 у -+0 x-+0 х-уО
y-yQ
ние 3 функция не принимает. 184.5. Наименьшее значение функции рав-
равно 5, наибольшего не достигает. 186.5. У~е, 4в2, да. 187.5. Да, например
коническая поверхность х2 + у2 — г2 = 0. 189.5. Да. На прямой у = х
в остальных точках разрывна. 193.5. Нет. 194.5. Да. 195.5. Нет. 196.5. а) Ли-
Линии разрыва — прямые у = х + /г; б) линии разрыва — окружности х2 + у2 =
= /г2; в) линии разрыва — прямые у = пх\ г) линии разрыва — гипербо-
гиперболы х2 — у2 = п2. 202.5. d2 = Bху — у2) Же + (х2 — 2ху) dy, d2z = 2?2 +
( \ ( \
у (у у) ( у) y,
4 (х — у) dxdy — 2xdy2. 203.5. dz = (у + -^-\ dx+(x— —\ dy, <Рг =
^^ -^Wy. 204.5. dz=6(A:2+y2J(A:^+ydy), йBг=б(л:2+у2)[Eл:2+
+yVjc2+4xydA:(iv-f(A:2+5y2)dy2].205.5. Воспользоваться формулой diu^^v-u0'1^
Xdu-\-uv-lnudv,dz=(smx)c°sy[cosyctgxdx—sinylnsinA:c(y],i2z=cosy(sinx)cos>'[(cosy—
— 1) ctg2x — 1 ] dx2— 2sinyctgA:(sinA:)cos>'(l+cosylnsinA:) dxdy+lnsinx (sinxH0^ X
X(ln sin x sin у — cos y) dy2. 206.5. dz = dx — 3 cos у dyt d2z = 3 shry<i2y.
2xdx { dy ^ 2y - 2jc2 , 4x dy2
4- —, d2z = — dx2 — dxdy — —-—-
*2sin ~ x sin —
x x
/ 2У 2y\ / 2y 2y\
2y ( 2x sin — — у cos — 4x ( 2y cos — — xsin —
V * x) \ x x
jf4 sin2 — jc4 sin2 —
X X
4 C0S Г / i v / i ч т
x Г/1\ x [ \ \ \
—— dy%. 212.5. dz = e**] I — + jc j dx -4— — I jc — — My L Л =
v Lvy ; y\y)i
^~у+у2)у^ 213.5. Л-
(У) d2r (JC_ )з
214.5. cfx = cos ф d p — p sin ф d ф, d2x = "— 2 sin ф d p d ф — p cos ф d ф2.
311

/1 \ / t\ / 1 \
215.5. dy = — + sin a }dt + / cos a — — da; ^у=2 cos a — —- dtda
Г 216.5.
— 1
X
лгу A+xy)
X (ydx — xdy), d>2« =
4 A + xy) V xy
. 217.5. du =
¦==- x
+ ХУ ""J (x2+y2)yx2_y2
'— у4) д?х2+ x (x4— 2y3— y4>
-x
218.5. du~
+
219.5. du =
z yz
Bz + x In y) dz2 + 2 ¦
+ У^У + ^
_ „
(—xydx-\-dy—yzdz).
221.5. du =
\nx \nydz, d2u = u
— \+ уЧ In x) In xdy2 + yz A + уг1п jt) In x- In2 ydz2 + 2
A -f
x) dxdy +
A + уг1п x) dxdz + 2y^ln x [1 + z\n у A +уг1п х) \dydz).
y. 224.5.
222.5. /;<1; 0)=0, /^ A; 0) = 1, ^ A; 0) = 1, d/ A; 0) = - dy. 223.5. ^(l; 1) =
= 2^jc2 — 6rfxcfy + 4dy2. 249.5. Скорость изменения по х равна 3, по у равна 2.
252.5. а)А^-й BR + г) . А^; б) Д V = 4л « 12,5 (еж3). 253.5. АГ =
о
- j
AT
1
1
Д/ Ag
I
g
. 254.5. Абсолют-
ная погрешность « \Ъм3, относительная ^11%. 255.5. R уменьшить на « \,7 мм.
в) ,0,97; г)
: 9,664.
257.5.
— =5 + iiX?
^/2
38
. 259.5. Точки прямой у = x. 260.5. — = ——=,функ-
ция убывает. 261.5. Y2l, 262.5. dz =
d/
. 263.5. d* = — в
"/13'
—
Т^)G)
+ (cos2- ф — sin 2ф sin ф] ф + р3 1(со82ф — 81
/d+^Jn _2A+хJ
265.5. dz = 0. 266.5. dz = l
312
sin
/2/ 1
dx. 267.5. du = т + — X
2/

2
+ Г ^ 4 ^
- —j dv. 269.5. a) <fc=p I/3arc tg (/5+^3)+1 + (/7 3 |+3/2[ (/2+l) arctg (/»+
+ /3) + (^4!!)l])?tf; 6) dZ = 2u [ {u2 ~ y2) ( + p8)"'* +(«a-^)tt4vt X
- v*\
mil* —02)+ (w2 -4- y2) In («i2-(-ir)-j-(w'J+y / (u2—u2) 'c
ow24-n2__n /sinwy , и u\
B y2\« T^ j j jy g\ ^ _ u sin _|_ u cos wu _|_ v cog
\ V V V )
, / . « M • ,  , " ^ , ч i ( t'x
+ — sin — — — sin uv + — cos uv -\- и cos — ufy; r) du =
К ^
fy WyV Adu + (fy **?*> ^Jll2xfz^ /; . 4,уг ^ ^_
УРФ I \ Vv2—u2 vVv2—u2 v
du ди \ fdu ди \ (du du \ dz dz
¦ + — • 2x } dx + I — + ~ • 2y ay + — + — • 2г \dz\ e) — = — sin v4-
dv j \dt dv J \dt dv ) du dx
дг n dz dz d2z d2z d2z d2z d2z
¦ T ' 2u> T = T ' u ' cos v> T~o = T~9 sm y + "TT" 4u sin v + T~o 4w2' ¦
аг . n аг аг аг a2 аг
= — м • sin v- cos и -j- 2 -r~—- w2 cos о + — cos vt — = — a2cos2y — — и • sin v.
dx2 dxdy dx dv2 dx2 dx
dz dz d2z d2z
270.5. - = /'.4*, r-=-3/'; — = Г . \6 x2 + /' . 4, ——- = - \2xf\
dx dy dx2 dxdy
d2z 2
-=9-/". 27U5. 0. 272.5. In г = /, ^ = -?__ [ Bд(8/;, _
- *a/; + У2 /i) Л2 + Dдсу /J, - 4дсу/;) dxdy + (*»/; -У2/; + 2y2/;2) dy»].
273.5. du = a<f'a dx+ Ьфр dy + сф^, d2, d2« = a2(p^2 dx2 + 62фр2 dy2 +
+ ^ф^, d22 + 2 ((p^p afcdxdy + фрт bcdydz + ф^ acd xd2). 274.5. (x -\- у = и,
+ Q dy2- 275-5- d" = /iB^8d* +3x2y2dy), d2u = (
ft> + ft) 12xy2dxdy + Cx*y% + 2/)) 3x2ydy2. 276.5.
, xdx+ydy _ „ /^
du~ft VW+f' ft\
27,5. (! f
— xdyJ „ (ydx—xdy) {zdy—ydz^ . (zdy — ydzf n?.ydx— xdy
278.5. dz=(cp+ — 4))dx
У
279.5. d"w == /(rt) (ax + by ¦+ €г) (adx + bdy -f- с^/г)". 280.5. d"a = (a — dx +
д д у
-f- ^ — dy + с— dz I / (a, P, v), где a = ал^, P = ^y, v == cz. 283.5. dnz =
ap dy J
313

I 2 ;
cos by
2915
еах sin
. 285.5. /" (Г) + ~/'(')• 290.5. — = л
т d(D
^2г 4- 2и дН -4- V дЧ — 2U (U ~ Х)
4 2и 4
дг
v ди dv
uv
. 292.5. — + — —¦ + - —. 297.5. а)у = ± V^ ± V№- sin x;
dp2 р2 d(f p dp
б) У =
In (л:б + 5); в) у = - —¦ ± |/^! + arcsin A — Зх);
у а-
16 ,
8.5. а)
±
JJ
ред /1 +5х« знак «минус». 299.5. а)
\\; в) и = -
2у — х J 2
и = — \х± ]/"^(^— 2уI v, = ±
2 1 Г 2y-^J 2L
-Ьз-2л:± УC-2г)«+12у1. В = ^=^ [3—2ж± V C - 2х)> + 12у ] + у.
300.5. а) Нет; б) нет. 301.6. а) у' = ?_ ; б) у' =
\пх—2хе*У
2Ь ~~ 2ах1'У
» х + У / У
в) b-jErj г) У,=;а
Bу — 6xz) dx + 2xdy
у , у
f =Д) yx=-Lx- 302.5. а)
B—x)dx+2ydy
+ г) In(x -I- г)+г» + лгу {х + г)
2 2 1
sin 2xdx+ sin 2ydy
— ;
, 303.5. аМг =
(^7
2г (г4 — 2л:уга —
~> 2x*yzdy% ^
в) "г=
(
;г)"г==~
х—у—гL*+Eу—х—
^-у-г) (Ъгх -1)- E- г^) Eг —х - у)
314

(
+2
+гу)фг-х-у)+Eг -1)Eх-у-г)
' ^
— 1) ФУ — х — z) — E —г') Eг — х — у) у2 1 — 1пл
^=# df-304-5- у = 7 * Т^Г
Х
у" =—
У
.305.5. у =
. 308.5. у'" = 0. 309.5. у'
(x + 2yf ' У (x + 2yf
 2
=O,j;//=y'//=—— . 310.5. d2z=— dx2. 311.5. d2z =—dx2+2dxdy. 312.5. dh=*
c=l(H 2 2 1 5 '- — ' - — ' - — ' - -i
^ 15' ^ 45* * 3 ' *2 9
814.5. yl =—1, у'» =——, zY = 0, z''2= —. 315.5. dw=
5
— (sin и — л: cos v) dy
L-J-
i dv
(у cos u — sin v) dx + (sin и + у cos w)
—
X COS У + у COS U X COS V -f- у COS W
Bd x cos и + x dv sin у) dy — Bdy cos и — у du sin u) <
X COS У + У COS M
- 2dy, d2y == — dx2 + 2dxdy + 2dy2,
316.5. dv = dx, du= — d
2df. 317.5. du=
321.5. y= ^ У ^f -.322.5. u=2Y2(x — у + 4) — 3, К = 2 >T(x -f y+
+ 2)-15. 323.5. Il
x— Зу + U
> ll(y-3) UB,-y)
jt Зу + И л
324.5. «=
6) \ x=
\ y=
2+ 3,
, v =
. 325.5. a)
r)
6) | p =
328.5.
у = arctg — ;
u
X = i Sign ?/ I/ — ;
У =± signw
326.5. a) f p = (x — j
, в)
\ д^—еР*
327.5.
cos 2y.
—5,
329.5. — < и < 1, v = 0. 330.5. u2 — t;2 = 4, 2 <
4
315

1 и = С (и2 + с/2),
< и < 4 — , о > 0. 331,5. О < и < 32, о=0. 332.5. а) _ г 2 2
v ~ ' у = и + 4С2 — 4С УпГ. ' ' *
углом —; в точке и — 0, у = 2 под углом arctg—. 334.5. В точке А: \
2 4 ( v = еу.
1 2 L 4 J (ц г=2х -4- v 2
В точке ?: { __ 335.5. В точке А: ' 7
f «=x + 2j/ — 2, ( и=— 5у + 10,
В точке В: | 111 336.5. | =—5x4-10
| у =— 4 х+ у у+ — .
340.5. а) у = — х и у = х, 6)x = j/ = 0. 341.5. у2 = u+2w. 342.5. а) /=>
= х2 cos у; б) i = - i~z===\ • 343.5. Образ ограничен отрезком — < а<1,
у 1 х у z
р=0и дугами окружностей и2— и + у2 = 0, и2 Ь у2== 0, u2-f v2 =
= 0. Отображение взаимно однозначно. 2 2
{тс г тс тс
О < и < у , 345.5. Полоса I ~~ ~2 < " < ~2 ' 346-5- Область,
— оо<у<1п4. I—оо<и<1п4.
ограниченная отрезком —1<и<1, у=0 и дугами парабол и= — — 1, и =1 — —.
1 и и
347.5. /(х,у)^1—— (Ах2+Ау2). 348.5. /(х+/г, у+/г)^/(х; yJ+^tsin^+Zi sin y+
+ к cos у + ~ (/i2 sin у + 2 Л jfe cos у — /г2 sin у) Л (h3 sin у + З/i2 /г cos у —
- ЪН к2 sin у — къ cos у)] + ...,/ @,1; 0,49л) к 1,1051. 349.5. / (х, у)^ 1 +
- 7L-1
+ 2Дх • Ду + Ду2 Дл; — 2Ду Дх2—4Дл- Лу + 4Дуа
Г +^В)Аг = -П^Г- 2(х-2уJ
8(x+yf
(\х + AyJ У Ал; — х Ау
е^ ^—у-^ +/?я; д) Аг = — р
(\х + Ay)
г) Аг = *>*+>'( А*+ Ду). е^ ^—у-^ +/?я; д) Аг = — р
у (у2 - х2J
з52>5>/(^ у; ^ _ 3 [(*-!)•+(у-
- IJ + (г - IJ - (х - 1) (у - 1) - (х - 1) (г - 1) - (у - 1) (г - 1) ] + (х-
- IK + (У - IK + B - IK - 3 (х - 1) (у - 1) (г - 1). 353.5. / (х + Л; у +
+ fe г +/) = / (х; у; г) + 2[А (Ах + Dy + Е) + k (Dx + By + F) + / (?х +
(А; /г; *). 354.5. а)
316

б) х
1 1
z — 2 a2 b2 c2
—; e)—(x — x0)— —(y — y0)— — (*—*o) = 0,
О XQ y0 Zo
* "H. = Zzp ^ i. u 356#5e Нет таи
-n 1 1
как функция ]Лс2+ у2 не дифференцируема в точке @; 0). 357.5. у — х—2z fc
_ 358.5. и=—а3. 360.5. х+у=\ ±1^2. 361.5. х+У+г="^а2+62+с2. 362.5
"" 2 2
Прямые] ~~ 0> оУ "" '363.5. Так как предельное положение не существует,
в качестве предельного положения может быть любая секущая плоскость, прохо-
проходящая через данную точку. 365.5. Максимум C; 2). 366.5. Максимум — ; -~ ).
\ 3 о J
367.5. Минимум C;3). 368.5. Минимум (а; а) при а>0, максимум (а\ а)приа^0.
369.5. Минимум (аТ3 ,; — — ], максимум I— а '.3 ; — —). 370.5. Минимум
\2 2/ \ 2 2/
/17 11\ /2m— n 2п— т\
A; —1). 371.5. Минимум —; — — . 372.5. Минимум — ; — .
\22/ \3 3/
373.5. Минимум A^2; — У2) и (— }^2; У 2). 374.5. Максимум @; 0). 375.5. Ми-
Минимум | fp= ; sT=\ 376.5. Минимум A; 2). 377.5. Минимум ( ± <-= ; ± ~^щ J
/ ^ 1 1 \ /ти тс\
максимум 1± —г=. ; Т 7^7/ 378*5' Максимум! — ; —1. 379.5. Минимум
(—; — ), максимум I —; — ]. 380.5. Максимум (а; Р). 381.5. Экстремума
\ 3 3 / \33/
нет. 382.5. В точке @;0) сомнительный случай. Экстремума нет. 383.5. В точке
A;1) сомнительный случай. Минимум. 384.5. Минимум @;0) и при а < Ь в
@; ±1), максимум (± 1;0) при а> Ь. 387.5. а) Максимум |— 1/ z~\ 0 j; б) минимум
A fi \
— ; 0 J; в) минимум (— 6; 6 j/З); г) в точке A; —1) макси-
максимум z = 6 и минимум z = — 2. 388.5. Максимум I — ; — j. 389.5. Минимум
A/2 \/Г2~\ I 1^2"
± !_-; ± I J , минимум I ± v , ;
391.5. Минимум @; 0; 0). 392.5. Минимум (d YH\ d Yb\d У~ё), где d = У а +
+ Yb -f- ]/сУ 393.5. Максимум I —; —;—-). 394.5. Наибольшее z——2, наи-
\ о о о J
меньшее z =—5. 395.5. Наибольшее 2=17 в @;1) и A;1), наименьшее z—— —
4
в(—•; 0|. 396.5. Наибольшее г= 128 в D;4), наименьшее 2= —4 в @;0).
397.5. Наибольшее z— а2 в (±о; 0), наименьшее z=b2 в @;±Ь). 399.5. Наибольшее
2 / 4\
г= -г- в A; •—-I , наименьшее z == 0 на всей границе. 400,5. Наибольшее 2=2
317

в B;0) наименьшее г — 0 во всех точках хорды л: = 1 и на параболе у2 = х,
составляющей часть контура области. 406.5. Высота параллелепипеда равна —
о
высоты конуса. 407.5. d— —j=- . 408.5. Равнобедренный. 409.5. а) (—* 2; 0; 0);
б) B; 0, 0). 411.5. 4X4X2. 412.5. Куб. 413.5. Угол наклона образующей ко-
9 ЪГ"—
нуса к его основанию равен arc sin — . 414.5. h — г J^2. 415.5. /•= a-f- "I/ iL j
_. * __ У 2к
h = 2a -f 2 1/ ?.. 416.5. Радиус основания R = l/i.. 417.5. (—; 2; —) ,
r 2k ? tcs \13 26/
4 3
418.5. Круг. 419.5. "T=-• 420.5. Все радиусы равны. 421.5. a — b~—pt c=
-? . 422.5. с I±HL ; -^^ ). 423.5. a = 3, 6 = 2.
л \ 2 2 J
Раздел VI. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
a b b а 5 х 5 5 1 2*-f-l
2.6. J rfjc I fdy^ j dy j fdx. 3.6. $dx$fdy=$dyj fdx. 4.6. J d* j /d
—a —6 —6 —a 0 0 0 у —1 —-jt—2
2 —j^^iO 4 3 r Tr*—xz r Yr*^x*
+ \dx I" fdy. 5.6. f dy Г fdx. 6.6. f djc f fdy. 7.6. f ^ Г fd
I -*-i i s/i4 Jo oJ i At-V»
_T_ -vr-x
о J^ л J J J
4 3-h/i^=F 5 2-f V6yr v*-5 1 /Г 1 /iT
^ [_Jdy^\ dy j' fdy. 10.6. \dx J /dy = Jdy j /л.
К4*г—хг \ 2— /6^— i/8—5 0 ** 0 у*
0 3—
11.6. fd*J/dy+fd*j7rfy. 12.6. UyU dx +)dy J /^ 13.6.fdyf/d*. 14.6.
5 * l i 0 i- 3 3/- ё у
I х 3 y-f* 8
)y
0 i- 3 3/- ё у
4 2 6 6-j, 0
j J
» * 1 * 4 2 6 6-j, 0 ^ fl+,
f dy f fdx. 15.6. f ^ f fdy. 16.6. f dy j fdx + )dy J fdx. 17.6. i dx J /dy-f-
i V 0 i8 00 4 0 Ji -2/ГЦ
* &—* 3 3—л; 1 * 2 2—* 3 ^
+ ldx[ fdy. 18.6. f<fc Г fdy. 19.6. j dA; J fdy+\ dx J /dy. 20.6. fdy Г fdx. 21.6.
• -IVW* 9 0 Q 0 1 0 1 Л
f d^ Г fdy + J dx j fdy. 22.6. J dy s\jdx+\ dy Jfdx. 23.6. Интеграл j
0 -? _ /F - /Г=^ о / 1/ з у у 2х
2
вычисляется по у. Так как пределы интегрирования переменные, то этот интеграл
318

является внутренним. Область (9) ограничена снизу прямой у — 2х, сверху
прямой у = Злг, с боков прямыми х = 0 и х= 1. 24.6. Интеграл внутренний.
Вычислялся по х. Область интегрирования (9) ограничена слева прямой х =
= — у, справа параболой х2 = у. О нижней и верхней границах ничего сказать
нельзя. 25.6. 12л </< 20л. 26.6. 2 < /< 8. 27.6. 4л < / < 22л. 28.6. —.
>.6. — а4. 30.6. — . 31.6. ~ . 32.6. —. 33.6. ~ . 34.6. — . 35.6. - 2.
105 2 6 3 4 2
64 I
1.6. 4а. 37.6. — . 38.6. / = F (b, d) -^ F( b\ с) — F (а; d)+ F (а, с). 39.6. —.
3 4
7 4 4 2г 1 3
>.6. — . 41.6. — — . 42.6. — . 43.6. — . 44.6. 8 — . 45.6. 3—. 46.6. / (х, у)
12 к2 Зтс 3 2 4
29
36
40
2 cos ф
разрывна в точке @; 0) области интегрирования. 51.6. j dy J I (pcosqp;
я а
а я
b b sir^ 2 cos ф
p sin ф) р ф. 52.6. J dq> J / (p cos ф; р sin ф) р ф+ J dq> J /(p cos «p;
0 0 _a о
Зя 1 з 2
4 б1пф 4 cos Ф
p sin ф) рф. 53.6. J й(ф f f (p cos ф; p sin ф) рф. 54.6. j d<p j / (p) рф.
? 0 0 0
T
я
2 R 2 srctg p i> E
55.6. J ^ф|/ (p cos ф; p sin ф)рф. 56.6. — J f(tg ф) dcp. 57.6. J udu |/(и; uv)do.
ft П ^ ft л Jv.
ll
69.6. /3" J ^Ф j fip cos f; /3"p sin <p) рф. 60.6, — J 7Г J ^
0 © 3 a *
EL л g
2 a 1-frt 1—i/
61.6. 4 I sin3» . cos3 v dv \ f (u cos4 a; и sin41>) ada. 62.6. I dv \ t \u (I — v);
t) 0 m 9
uv] udu. 63.6. ~ (к— 4) • 64.6. 7-. 65.6. 24те. 66.6. —. 67.6. a2. 68.§. —- .
3 \ 3 / 12 16 +
Ък 37 1 13 2
71.6. — . 72.6. 1 —— In 2. 73.6. — (/*— 1). 74.6. — to —. 75.6. -7 X
2 1 ^o 2/ь о 2 о
X / ~~V п ¦ (Vqb — Kp6 ). 76.6. TClnii_t 77.6. — — 8ln2. 78.6. — .
Vab a — b 2 120
319

79,6. (a2—?2)ln — . 80.6. 2. 81.6. — . 82.6. nab. 83.6. — V15 84.6 а) 4 — •
n 3 __ 3 2'
6) ic; в) ~. 85.6. 2a\ 86.6. 7* ^ . 87.6. 27k. 88.6. —. 89.6. - .
1 a4 6& (afc + 2bh) ab
90.6. -ф-aW-O- «.б LdlJ^
1 8 тса3 2 afc 4
94.6. — . 95.6. — . 96.6. — 97.6. 186 — . 98.6. . 99.6. 16. 100.6. 12—.
6 ?* (?!
106.6. 48^6 . 107.6. — nabcB— /2) и 2 ^2 icafo. 108.6. YJL B /2" — 1).
109.6. ^. И0.6. ^. Ш.6. 4™3B/2-l). 112.6. ^a». 113.6. — (Зя-4).
oZ Z о У 9
115.6. ^(Зл: + 20— 16 K2). П6.6. ^. 117.6. -. 118.6.—.
И9.6. F ]/3"— 5) — 120.6. ~-*a3—-- D /2 — 5) a3. 121.6. ~ nabc.
3 ЗУ 32
122.6. 36. 123.6. — Y&&+ a*c*+ аЧ*. 124.6. 280тс. 125.6. 8л. 126.6. - ка\
2 о
о
127.6, - (/8-1). 128.6. ^ па\ 129.6. ^- [A-Ьс2)Г- 1]. Указание. Пе-
3 у о
Ь о l/^o"
рейти к обобщенным полярным координатам. 130.6. 8a2 arc sin — .131.6. ?
21
+ \ In з) + 4 arc tg ^- . 132.6. 4^. 133.6. - VI. [(р+ 2аJ -р2"].
4 / о 2 о f p
134.6.2а2. 136.6. 2жа\ 137.6 -= . 138.6. LLa2. 139.6. ~(^3+ 2)+ тс In Bк + и)—
— ~, где «=/4л:2+1. 140.6. —а2. 141.6. ~ B0 — Зге). 142.6. — (/З"—
Z Ос/ 1 ^
о
3,42. Ю8 /cjw2. 143.6. —а2 и 8а2. 144.6. — теа2 [Yl+ -\Г— l] .
9 3 L\ a2/ J
тса3 4
145.6. 8г2. 146.6. — . 147.6. 2кг (R — г). 148.6. — yab*. 149.6. 36. 150.6. шх=,
о о
= ту=^. 151.6. ЛЬ-=Д , my=J^. 152.6. -|/?3. 153.6. ^3. 155.6. | = 0,
ч-!
159.6. 1=^^-, Л=0. 160.6. g=(l-^)(/2+l), л=а1(|—l) B +
320
. 161.6. 1=-^ , r\=Q. 162.6. 1= ^, ti = 0. 163.6. %=па, t] =
о 16

5 аъЬ 2 а4 ш* кг*
= — а. 164.6. —. 165.6. —. 166.6. /л=4. 167.6. —. 168.6. —-.
6 3 3 8 2
Ьжгл яа4 1 ^{~х2 l l У\-Уг 1
169.6. — . 170.6. —. 173.6. \dx J dy§fdz = Jdy J dx^fdz.
4 8 -i -/I=F ° -1 -vT=^ °
—/а2— л:2 —^ /a262—&2*2—a2*/2
174.6. Jd* J rfy j /dz =
J J
~"a — —/а2— л:2 — ~ Y a2b2—b2x2—a2y2
a ab
/c^z2 У a4
6 (!_?.) «(!_?._») ft(,_L)
a ^ a / >-a b / с
175.6. f Же Г ^y f /dz= f ^г j^y
0 0 0 0 0
1 i x 1-х 1 1—л: 1 1 (z \—y 1 1—# \
176.6. Uxl Jdz j /dy+Jdz J /dy = J Л { J dy j fdx+ § dy j /dx
0 I 0 0 0 z—x j 0 l_0 z—y z 0 J
177.6. )dx\]dz]fdy+]ldz ifdy\ = \dz\Yt dy J №+ $dy)fdx\
о lo о г2 y^i J о I 0J Y7=T2 Y7 о J
y^ 0 YT Y7
+ |^г J dy \ fdx. 178.6. |- ^(x-v)f(v)dv. 179.6. -- JB-г2) / (г) ^г+
i Yjzr\ yjzjp о о
2
+ — Г B — гJ f (г) dz. 180.6. F (ЛВС) — F (Л5с) — F (AbC) — F(a, В, С) +
+ FD, 6, c) + F(a, B, c) + F(a, ft, C) — F(a, b, c). 181.6. —
a3/i 1 4nabc(a2 b2 c2
+ abc2). 182.6.71. 183.6. —.184.6. —.185.6 —— - + T + T
b oo4 lo \рл ^ r /
2tc 3 тса3 49a3 32
186.6. —. 187.6. — 188.6. — . 189.6. . 190.6. — a2h. 191.6. каЬс.
3 35 6 864 9
192.6. ~(^2— a2 — ft2). 193.6. ^- . 194.6. — . 195.6. ^r^ C/?2 + 2//2),
24 z4 4 о
V~2~
196.6. 6kna2, где k — коэффициент пропорциональности. 197.6. L— In 2.
_ 1 — тса3 a2 —-
198.6. Vb in 2. 199.6. — C /3—1). 200.6. — . 201.6. —[A + 4тс2J — 1].
о 2 о
202.6. 24. 203.6. In 3 ^5 + 17 . 204.6. J^L. 205.6. In ^+ 3 . 206.6. —
n 11 16 r—
— 1). 207.6. 2a2. 208.6. —. 209.6. R\ 210.6. — . 211.6. — (lO/lO—l).
23 / arc sin e \ Va2— b2
212.6. — . 213.6. 2^lft-|-a , где 8= I _— эксцентриситет эл-
л„псаЛн.6. ШтЯ.8215.6. ^-^.216.6. °H* + ab + Ь*)
6 16 2 3(a + ft)
321

к 335 а —- — •— Ч /2 I 1
217.6. — . 218.6. —а. 219.6. — (/" — / ° ). 220.6. — ха. 221.6. ^-i—.
222.6. ln(l+/2j. 223.6. ( |; |). 224.6. ( f » ? ) • 225.6. ( ^, о) .
/ /4 _|_ 4/2 — 1 \
226.6. 0; а — 1 . 227.6. Его расстояние от центра окружности рав-
\ 4* (' — А; /
sin ф / 2а\ аЬ 56
но а — . 228.6. 0; — . 229.6. тс. 230.6. — . 231.6. — —. 232.6. 32.
9 \ 5/ 2 15
233.6. тс (а2 — Ь\ 234.6. 18. 235.6. 3. 236.6. 0. 237.6. Во всех четырех случа-
случаях интеграл равен единице. 238.6. — 2тса2. 239.6. +2к. 240.6. 0. 241.6. 8.
5 Э х3
242.6. — . 243.6. — — 244.6. 64. 245.6. к + \я 246.6. Ф (*; у) = — + х2у —
8 2 3
У3
_ *у2_ ?- + ? 247.6. Ф (*; у) = JC3- — х2у + ху2 — у3 + С. 248.6. Ф (*; у) =
3
-. хе*У — 5yV + С. 249.6. Ф (г, у) = 4jc3y+ ~2 + С. 250.6. Ф (г, у)=: ^-^ +
у 1-{-х
2у2
+ С. 251.6. Ф (х; у) = In (л: + у)— ¦ ' + С. 252.6. Не является полным
\х~гУГ
дифференциалом. 253.6. Ф (л:; у) = 8л;3 sin2 у— 4^ [+у* — 5у2 -f С.
1 -\- х
1 2
254.6. ffy2d;tdy. 255.6. —§\x\nydxdy. 256.6. ^ (х + у) dx dy. 257.6. —46—
(>) 2(Р) (Р) 3'
1 2 3
258.6. — — (л —1). 259.6. — . 260.6. каЬ. 261.6. бтш2. 262.6. —а2. 263.6. а2.
5 3 2
1 /л / о о ч 4
264.6. —а2. 265.6. —14. 266.6. FR. 267.6. — ( г2в— г2А). 268.6. Лж. 270.6. а) —;
3 2 3
17 „, ^д- ^у /г
6) — . 271.6. Так как выполняется условие — = —. 272.6. 0. 273.6.—(а2—
12 ду дх 2
— &2), где k — коэффициент пропорциональности.
Раздел VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
g
13.7. у = — х2. 14.7. х2 + 2у2 = 51. 15.7. у = хе2х. 16.7. у = 10е* sin л.
17.7. у' A) = 3, у" A) = 4, у7// A) = 0. 18.7. /D) @) = 14. 19.7. а) *2у + 3^-
-9 «05 б)у*=4е-**; в)у=-т4~. 20.7. Л, B; 4), Л2D; 2), Ав (-1Э+/377.
sin х v о
- у ^ -13-/377 . -13+УШ у
+ 1) — In 2; б) *2у + х + у3 = 0; в) у =— *3 — З^2, х ф 0.
3
22.7. у (е4^ + 2е*х) + 4е*х = (у V + вуе2* + 17J . 23.7. (*» у + 9л^ у+
+ 6лу+ Jt«+ 6л:2) (л:ву2 + 2х3у + 2) = З*4 (jcey + 1) (х*у + Зу + х)\
у
24.7. у == ху'. 25.7. у' = ^ * "" у arc sin у. 26.7. х2 + у2 — 2л:уу' = 0.
322

27.7. у = у'х + (/J, 28.7. луу' (лгу2 + 1) =J. 29.7. у" — у' — 2у = 0.
30.7. Зу'у — A + у'2) у'н = 0. 31.7. — *у/+ у2 = 4. 32.7. у = лсу' In —
33,7. у"+ 4у = 0. 34.7. уу'2 + у2 = 1. 35.7. у'= у In у'. 36.7. y"-f- у= 0.
37.7. у" — 2/ + у = 0. 39.7. у = "^ * . 40.7. у = — In (С — е*).
1— GV
41.7. y= a +
+ 2 In
• 42.7. tg у= СA — е*K, *= 0. 44.7. {* + у) (х—у —2)+
1-у
1 +ax
= С 45.7.
ey = с A + x2). 46.7. y= С
l
47.7. In [A + у2) (у + /1 + у2)] + 2 A + х) 2 + С. 48.7. A + х*) A
+ у2) = Сх\ 49.7. In
tg — = С — 2 sin - . 50.7. у = >/" С + Зх — '6х\
51.7.
2
tff-
). 52.7. у = 1, у = e l . 53.7. y2 — 1 = 21n
1
е+1
54.7. УГ7== xln jc — jc + 1. 55.7. у ==sin2 х — — J у = — *. 56.7. у
In а:. 57.7. у= 2 sin л: — 1. 58.7. 2^1 + *2 + In у2 + у2 = 7. 59.7. (?=>
Vе A + г^). 60.7. cos х =Y2 cos у. 61.7. у = 1. 62.7. sec2 x — 3 = cos2 у.
63.7. х+ C=ctg
64.7.
(ах
= Cebx - а.
65.7. arctg (a: + y) = x + C. 66.7. x + 2y + 3 In | 2x + 3y — 7 | = C. 67.7. у =
= л: — . 68.7. ax + by + С = l/iL tg (C+ jc /об). 69.7. л: + у =»
ДС-р С Y Ъ
= a tg (С 4- —) . 70.7. * + с = 2и + — In | и — 1 | — — In | и + 2 |, где
\ a J 3 3
а = /Ц-лг+у. 71.7. а) (С -^ In а:) A — л;у) = 2; б) 2л:3у3 = 3aV + С.
С
72.7.
С. 73.7. р =
I—
или у2
74.7.у = е*. 75.7. у = *2, jc > 0, у = 0. 76.7. у = У2х. 77.7. l/-! +1п \у\ ==»
= С. 78.7. sin — + In ^ = С. 79.7. у = —(х* — С2), С > 0. 80.7. у = Jte1"^.
х 2\j
J
81.7. *2 + у2 = х + у. 82.7. (jc + у) In Сх = х& . 83.7. у = 2х arqtg Сл:.
84.7. х* + у3 = С ху (интегральные кривые — декартовы листы). 85.7. 1па: +
+ С = arc sin — —' х ~~У . 86.7. х2-^ 2Сх+ у2— 0 (семейство окружностей).
87.7. j/"— + In у = С. 88.7. у (у — 2л:K = С (х — уJ. 89.7. у2 = 2л:2 In x +
+ х2. 90.7. х + уе" =2. 91.7. у =
= С. 93.7.
— лгу + у2 -\-х— у= С. 94.7. л:+2у -
+ у — 2) = С.
323

95.7. Юу — 5*+ 7 In A0* + by + 9) = C. 96.7. 2y2— 3xy + — x2 + 2x — 5y=
= C. 97.7. CCy — 2x + I)8 (y — Je — l)a = 0. 98.7. (x + у — IK = С (х —
— у — 3). 100.7. у = — + — . 101.7. y = ^+ Cx. 102.7. у = (x2 + C) e~x\
103.7. у = СхУ + л:2. 104.7. у = Ce-*+ —(cos x+sin x). 105.7. * = у \п\у\ +
С
H . 106.7. x = Ce8^ — 2 sin у — 2. 107.7. у = Се""* + (sin x —
— x cos x) i-*2. 108.7. y= C(x2+ x+ 1) + sin x. 109.7. у = Cx2 + 6х.
110.7. xj/l + y2+cos у = С. 111.7. 7y = ch* (arctg ex+ C). 112.7. y=(
X(ex+C). 113.7. x= arctg у—l+Ce-^ctg^. Ц4.7. у =—^-+ 1. 115.7. He
COS X
существует решения, удовлетворяющего указанным начальным условиям.
116.7. у = 1. 117.7. у = —— . 118.7. у = tg х + cos x. 119.7. х = гЩ +
cos лс
+ 1)п. 120.7. у= д:+ /1 — х2. 121.7. у= 2e-sinJf+ sin x — 1. 122.7. у =
= 1. 123.7. а) *= Cesin>'-~2siny ~ 2; б) х=у2A + С^); в) х =
С Се~"х
= у In |у | + ~ . 124.7. х2у' + (Зл: — 1) у = 0; у = —— . 125.7. jr =
= у2 A + Сеу ). 126.7. 2 = Су2 е2х2 + 2х2у2 + у2. 127.7. у2 (Се*2 + 1) = 1.
128.7. (Cfl —х2 — а)у= 1. 129.7. х [ B — у2) е2 + С]= е2 . 130.7. у(Сх+
ts х —I— sec x
+ lnx+l)=l. 131.7. у = -=;—! —. 132.7. б)а+р = 1. 133.7. у =
sin х —у~ с#
= Cyv 137.7. х4 + х2з/2 + у4 = С. 138.7. Ух2 + у2 + In | ху Ц = С.
sin2 jc
139.7.х3^— у= С. 140.7. x2cos2y + у2 = С. 141.7. xsin ху=С. 142.7. \-
+ ^i^ = С. 143.7. у + ле-У = С. 144.7. ^l2l + х = С. 145.7. хУ =
= С. 146.7. In ^ — -^- = С. 147.7. In (х + у) — —^- = С. 148.7. *2+
л: х —у х + у
+ у2= Сл3. 149.7. у ^1 + х2 + *2у —у In | х | = С. 150.7. tg ху — cos х —
еу — 1 х тс
— cos у = С. 151.7. ; == С. 152.7. х — arctg — = 2 — — (использовать
1 + х2 у 4
1 \
1 к\
формулу arctga + arctg — = —-1. 153.7. у = х. 154.7. х3^ — у =— 1.
а 2 /
155.7. у = х. 156.7. In | х + у | = —^- . 157.7. 2у2 + х2 cos 2y +
х + у
У_
+ х2 = 0. 160.7. ех = Су. 161.7. у = . 162.7. х2 — у2 + 2ху = С.
COSX
163.7. Ух2 + у2 + ~ = С. 164.7. у = х^^1. 165.7. у= * . 166.7. Зх +
324

+ у -f 21n (x + у — 1) = С. 167.7. In Da: + 8y + 5) + 8y — 4x = C.
168.7. jc^I — y2 + cos у = С. 169.7. jc = Су2 . 170.7. у (x2 + Cx) = I.
171.7. y3C + Cecos x) = 1. 177.7. у = Or* -f e* — 1. 178.7. x == ey^.
179.7. у = -f tg x. 180.7. у = (С + ex) A + x)rt. 181.7. у =
x
tg x 4- sec x у x2
— 182.7. sin ~=Cx. 183.7. (- x In у + у — cos у = С.
sinx + C x 2 ^ / /
185.7. y = . 186.7. y2 = sin x — cos x + Or*. 187.7. у = ax +
7 lnx+ 1+Cx y *
x
+ Cx УГ^х~2. 188.7. x2 + y2 — 2 arctg — = C. 189.7. y# = (x -f
+ У) In (yC). 190.7. хеУ +- y^ = С 191.7. C<rx — g"^ In (x — 1). 192.7. ~ =
= ePx. 193.7. x/1 + y2 + cos у = 6. 194.7. у3 = — + ~- . 195.7. у = In x+
2x x3
H . 196.7. x = у In у + — . 197.7. Се""ф(А:)+ Ф (x) — 1. 198.7. Cx = ф (—).
x у \ x /
у С du /1\ /у\У2
199.7. Если — = а, то In x = \ • Ф "" I =— > или ф — =— — .
x J il\ \uj \x)x*
а2 С - k2 --
200.7. xy = — 1. 201.7. у = (гипербола). 202.7. у = — еГ + — e k ,
где /г — коэффициент пропорциональности. 203.7. (х-— уJ = Су. 204,7. у2 =
х__ 2
= 4ах + 4а2 <1 — еа ). 205.7. х = — . 206.7. ху = Су2 + а2, 208.7. Семей-
о
ство прямых р cos (ф — фо) = к. 209.7. у = Сх2. 210.7. ху =— 1. 211.7. у2 =
= 4 (х + 2). 212.7. (у — хJ (х + 2у) = 1. 213.7. у = Cxt у = — 214.7. у2 =
=Сх2(у2—k2), ^ — коэффициент пропорциональности. 215.7. yk = Сх; 1) при
к =1 прямая у = Сх; 2) при к =— 1 гипербола лгу = -— ; 3) при к = 2 пара-
С
2 -
бола у2 = Сх; 4) при к = — полукубическая парабола у = Сх2 ; 5) при к =>
о
з !
= — кривая у== Схг . 216.7. у = Сх2. 217.7. х2 — у2 = 24, х2+ у2 = 26.
218.7. р(в-т-С)=1. 219.7. p2=2(O-fC). 221.7. у^Сх" — х. 222.7. у = Сх k .
5 In 10 Ы kL ~kr t
223.7. 40 ж. 224.7. / =— -сек. 225.7. / = — + — (е L — 1). 226.7. х=
In 0,8 R i\
= *00° 2. 227.7. 35,2 се/с. 228.7. р=е~ °'000167Л. 229.7. со = 100 (—)^
230.7. 0,958. 231.7. t = -^— « 18 жсш. 232.7. Т = — — « 550
325

аг
233.7. v ^0,32 м/сек. 234.7. t = -• (/г > 0). 235.7. Уравнение движения точки
в параметрической форме х = vot, у = — (ел/ -)- е"л/). В декартовых координатах
fox р Ь р —• ^ *
уравнение движения y = ach — . 236.7. л; = /—— (F — b)(\— е р ).
__ v0 k gk2
2D2VH
237.7. T = —zr , где -у — коэффициент расхода. 238.7. Т = Тг + (Го —
2 /2
f). 239.7. 4. f=-W. в-в. A)К 241.7..==
Г QQ L
= — In 100 =— In 100 ^0,92 се/с. 242.7. ^ == С? A—е CR). 243.7. / =
/? 150
R R
— -г t A (R sin со/ — coL cos со/) Л1со — у
= 'е + WT^B +?Т^е
245.7.
4- 5- 8 10- 16- 25 '
л:3 л:^ 2л;11 л;15
х2 х* хв
__^7. 247.7.-1,28.
ух = 8, л:а =8, у2 = 2. 264.7. у = — х. 265.7. у = 0, у = 1
. 267.7. у = ± 2х, 268.7. у = — . 269.7. у2 — х2 = 1 (у> 0)
4
266.7. у = 2ах. 267.7. у = ± 2х, 268.7. у = . 269.7. у х 1 (у> 0).
4
270.7. Не имеет. 271.7. Не имеет. 272.7. у— Сх-\ (семейство прямых), осо-
бое решение — парабола у2 = Ах. 273.7.у2 A — у) = (х — СJ, особое решение
[3 12
— (х — С) . Прямая у = 0— геометрическое место осо-
/х2
был точек. 275.7» х2 = 2С (у —- 2С); особые решения: у = ± 2х. 276.7. I— —
\ / у2 \
— у +С1 (jt— — +С\ =0. Особого решения нет. 277.7. (*2С2 + 1 —
— 2Су) (х2 + С2 —¦ 2Су) = 0. Особое решение х2 — у2 = 0. _ 278.7. (у —
>_ СJ = 4Сх, у + д: = 0 — особое решение. 279.7. (* + С /2J + у2 = С2,
у = ± х (х Ф 0) — особые решения. 280.7. у = Cek + — , у = ± 2е2 —.
С
особые решения. 281.7. у = х — С — . Особого решения нет. 282.7. у =
== Сх — а У\ + С2 — общее решение; х2 + у2 = а2 -—- особое решение.
326

283.7. у (С — х) = С2 —¦ общее решение. у= 4х — особое решение. 284.7. у =>
=Сх ±Vl — С2—общее решение. хг—у2 = 1—особое решение. 285.7. у =»
= Сх + С In С, у = <Г"и+1). 286.7. у = С* + У'^^аС, У = ~ • 287.7. Равно-
бочная гипербола 4ху = ± а2. Кроме того, любая прямая семейства у = Сх ±
— 2аС
± а у С. 288.7. у = Сх — . (у -— * — 2аJ = Sax — особое решение.
1— С
296.7. у = — (9е* + <г* + 4е2* ). 297.7. у = — /*3 + ^ . 298.7. Если
6 3 о
5
х0 = — , или х0 = 1, или х = — 1, или у0 = х0 , или у0 = —xQ.
299.7. Если *g +у2, = 16. 300.7. Если у^= 0. 301.7. y=(\+C\)\n(x+Cl)-Clx+
+ С2. 302.7. х2 + у2 + Ctjc + С2у+ С3 = 0, у = С2* + С3 . 303.7. 2
— IJ =3ClX+ С2. 304.7. у = Сх /^2 + С2. 305.7. In у = С
+Сге-*. 306.7. у= 1 ' '* , у = const ф 0. 307.7. у= ^ + х In л:+ C^
1 — cew* b
. 308.7. у = (C^ + С]) е^ + + С2. 309.7. у= ^±-^ . 310.7. у => - (Сх -
— 2jcJ + С2х + С8. 311.7. у = ех (х — 1) + С^2 + С4. 312.7. ctg y = C2 — Схх.
313.7. у = %— — — + Сх arc tg л: + С. 314.7. у = In sin jc + CtJC2 + C3jc + C$.
1^ 4
315.7. у = — — sin x + CxJt2 + C2* + C3. 316.7. у =— x— S-^-^ + Ctsinx -f
^4 ?
. 317.7. у =ClJC(ln x -1) +Ca. 318.7. y=
c —qK-^!] + C2. 319.7. в-У = Cl sec (x + C2). 320.7. (Ctx + Ct)*
= C.y* — a. 321.7. jc + Сг == -^ In V ct+M —Jl?l. . 322.7. Ct + C2 In (y
-C?) + inСУ-Ct Vy^+l-C\). 323.7. у =
. 324.7.
= л; + 1. 325.7. а) у = е* (дс — 1); б) у = — 1; в) у = 2 sin х — — sin 2* —
.2
! t
— (л: + 1). 326.7. у = г-^: Cjc — IK . 327.7. у + * = 1. 328.7. Зу = Bл —
у 4
L *z? к~~ь
— 1)Г(д; — 2) — 5. 329.7. у2 — х% = 1. 330.7. у = ch ^^ = ~ (е а +е а ),
ь л
где а и 6— произвольные постоянные. 331.7. Если /г = 1, то у =
=> — ес^х- с*)+е~ С1(Л:-С^ — цепная линия. Если k == — 1, то (х + С2)а +
2СХ
+ у2 = С\ — окружность. Если /г = 2, то (д; + С2J = 4СХ (у — Ct) — пара-
2 „*.
2 „. /
бола. 332.7. у= — In cos x. 333.7. s= ~j (e m — 1)+—^, где т—масса
х к
327

точки, g — ускорение силы тяжести, k — коэффициент сопротивлениям
Р 1 хъ \ Р13
334.7. о =— —- I — — 12х) — —- . Это уравнение упругой линии консоли.
Эта линия — кубическая парабола. 335.7. Дифференциальное уравнение зада-
Р
чи у" = — (/ — х), начальные условия: при х = 0, у = 0, у' = 0, у =¦
Р ( хъ\
= 11х2 —— — уравнение кривой изгиба. Здесь Е — модуль упругости
2Ы \ 3 /
балки; / — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.
р d?x
336.7. Дифференциальное уравнение движения вагона — —= 120/— 200,
g dt2
\20g / 5\3 / 5\3 d?$
х=—- I / — — =0,01962 I/ — — . 337.7. Уравнение движения — =
gt2
= g (sin a —- \i cos а) • s = — (sin а—\i cos а). Указание. Сила трения рав-
300
на \iN, где N — сила реакции плоскости. 338.7. Уравнение движения — х" =
S
=— 10 v\ t= 6,45 сек. 339.7. ио> 1/ 2^ = /2а^, где у — гравитацион-
V Xq
ная постоянная. 340.7. Дифференциальное уравнение движения тх"— /г1(^/J+
4- Лис = 0. Уравнение движения при 0 < / < У2тк + 4fefeixo , д; = — /а _
- -5-|/2mfe + 4feVo + ^o- 341.7. х = х0 + ? In f I - cos l/"^ Л .
2kx Ik \ Y m J
345.7. Линейно зависимы. 346.7. Линейно независимы. 347.7. Линейно зависи-
зависимы. 348.8. Линейно зависимы. 349.7. Линейно зависимы. 350.7. Линейно незави-
симы. 351.7. Линейно зависимы. 352.7. 0. 353.7. —— е* (х ф 0). 354.7. 0.
355.7.0. 356.7. — 2бГ«-*. 357.7.0. 358.7.0. 361.7. ху'" — у" + */ — у = 0.
363.7. у'" = — у" + — у' — — у = 0. 364.7. у" — 2 ctg 2д:у' = 0, — <
XXX 2i
< х < (k + 1) — . 365.7. у" — 2/ + у = 0. 366.7. у'"— Зу"+ 4у'— 2у = 0.
367.7. у = дх — Ъх2 + 2х3. 368.7. xf—Bx + 1) /+(JC+l)y = 0. 369.7. у =
«= С^ + C2e-3Jf. 370.7. у =Ct ^^ + С2 — . 371.7. у" — у = 0.
372.7. у" — 4/ + 4у = 0. 373.7. у'" — 4у" + 5/ — 2у = 0. 374.7. у" +
+ 9 0 3757 " + у" — 2у = 0. 3767 '+З^О 3777 7" + Ъв +
у / у у у / у у
9у = 0. 375.7. у" + у" — 2у = 0. 376.7. у'+Зу^у^О. 377.7. у7" + Ъув +
+у;=0. 378.7. yw=0. 379.7. y(V) — 5yAV) + 12yw — 16y" + 12/ — 4y = 0.
380.7. у = C^x + Ся + C3e6jf + C4x e6-. 381.7. у = e3X (Cx cos 2jc -f C2 sin 2jc).
382.7. у = ^ (Ct cosjc + C2 sinx) + e~x (Ct cos Зл: + C2 sin 3x). 383.7. у = (Q +
+ C2 a: + C3 x2) ^. 384.7. у - e2-* (C, cos x + C2 sin *) + e^ cos 3x (C3+C^ x +
+ C5 x2) + e--* . sin Ъх (C6 + C7 jc + C8 x2). 385.7, у = Cx e2x + C2 e~2x.
X
386.7. у = Cxe'2X + C2e 2 . 387.7. а) у" + Ъу' + 2y = 0; 6) y'" + 3y" +
+ 2y' = 0; в) yiv + 2y" + у = 0; г) у'" = 0. 389.7. у = Схех +
390,7. у = е~*х (СхС05 2х + С2 sin 2х). 391.7. у = Сх +
Jt X \
392.7. у = Сх cos со ^ -f С2 sin @^. 393.7. у = ех(Сх cos — + С2 sin — 1.
328

398.7. у =* tr* (Cj + C2x + C3 x2). 399.7. у = (V2* + C2 cos 3*_+-
+ C3sin3x. 400.7. у = С,*?-2* + e* (Ca cos /3* + C3sin]/3^).
401.7. у = Ci +_C2e* + С36>12*. _402.7. у = C^ + C2* + C* + Cr
V V
у i _2 _ ^
403.7. у = Г VZx(Cx + C2x) + eVdx(C3 + C4x). 404.7. у = Сх + С2 л +
+ C3 л:2 + C4 *3 + ?>"* [C6 + Ce * + C7x2 ]. 405.7. у = e™ C - 7x).
406.7. у = 9 — 2e~4*. 407.7. у = e*. 408.7. у = 3<r2* sin 5*. 409.7. у =*
-- 5 1
sin2*. 410.7. y=sinx. 411.7. y=e 2 . 412.7. 2хё*х. Ш.7. y= --ex—- e3*.
414.7. у =—4e-x + e2x, 415.7. у = [1 + A — m) x] emx. 416.7. у
= ^'л^ (a cos /n2— /i2jt+-p==- sin /n2—/г2 х) при Л < л, у = e'hx \{c
при Л=л, у= , e {n yn n)X —
2 / /i2—/г2
417Л> Дифференциальное
2—л»)
уравнение — + ^2л: =^> л: = л:0 cos fe/ + Tsin &• 418.7. Отклонение х
ш2 к
= asin I/ A (^__ /oj , период Т— 2п у — 419.7. Дифференциальное уравне-
уравнение tl + 2/1 — + Ь*х = 0, л: = e~ht (л:0 cos со/ + V° + ^ sin со/), где /г2— **=»
d/2 с// со
d2s
=—. со2. 420.7. Дифференциальное уравнение — =--0,2g. При /==0, s==0;
— = 72 км/ч\ /^ 10,2 сек, s^ 102 ж. 421.7. Дифференциальное уравнение— -(-
dt Qi
+ 50^л: = 0, если х отсчитывается от точки, где находится груз в состоянии
2тс к -ш /~~2
покоя. Период колебания Т= ,— = — I/ — сек. 422.7. Дифференциальное
У 50g 5 г ^
уравнение - ^ +/г -j+ 2* .= 0, Г = ~l/A/F7rJ + In2 10. 423.7. Диффе-
ц dt dt о f g
ренциальное уравнение m — = k (b — л:) — k F + л;), х = С cos I/ _ f.
424.7. л: = a tos Л/ !Ltt период Г = 2те 1/ — . 425.7. Дифференциальное урав-
r a r g
r r g
нение — = со2г. Начальные данные г\ л= 0, —;
o 2со
426.7. а) участн = Л*2 + Вх + С; б) участн = е~хх2 (Ах* + Вл* + Сх + D);
в) Участн = х*х [(А* + В) cos Зл: -)- (Сл: + D) sin Зл:]; г) учаСтн = ех (A cos 2л: +
+ В sin 2л:); д) участн = ех [(Ах* + Вл:2 + Cx + D) cos -| + (?х3 +
+ Я) sin ~ ; е) участн = е*х \(Ах + в) cos Зл: + (Cjc + D) sin Зл:]
427.7. у = е-2л> (Cx cos л: + C2 sin x) + x2 — Sx + 7. 428.7. у = ^ (Cr cos 2л: +
+ C2 sin 2л:) — — ex cos 2jt. 429.7. у = Сге~* + C2 cos л + C3 sin x + x2 — 2x 4-
329

+ \ + Tl(cos 2x~~2 sin 2x)' 430*7' y^ci + c*x +e* (сз + c* *)+ 7
431.7. у = 4 + Cjc — 5) e* 4-2 (cos x + sin jc). 432.7. у = л*г*[(Лл:2 + Вл: +
+ С) cos x + (Atx2 + B^x + CJ sin x]. 433.7. у = jc2 [(Лл: + В) sin x + (Cx +
+ D)cosjc]. 434.7. y = x (Ax2 + Bx + С) е* + De™. 435.7. y=Ax +
+x(B cos x + С sin jc). 436.7. у = (Лл;2 + В*) *-¦*. 437.7. у = (Ах9 + Вх*) егх.
438.7. у = а: (Л sin х + В cos *). 439.7. у= л: (Л sin л; + 5 cos х)г'. 440.7. у=
•= Лл-5+Вл:4+Сл:3. 441.7. y=(i4sin х+ В cos jc)jc. 442.7. у =*Dsin 2л:+В cos2x)e8X.
443.7. у= х\А sin 2л:+В cos 2х)ё*х. 444.7. у=х(Ле-'г+ Be*). 445.7. у == Лг"* +
+ ВхV. 446.7. у = Сх + С2е*х — — Xs. 447.7. у = С^2Л + С^г** + — х* +
6 6
+ —*+—. 448.7. у = С^-8-* + С2е~*х + 2jc2 — х — 1. 449.7. у =-
18 3
-= Сх? +_СЯГ Г— Л 450.7. у = С^ + (С2 — jc) е*. 451.7. у =
«= С^ /2 + C2e~xV2 —(х — 2) е~х. 452.7. у = е*х (Сг cos 2х + Са sin 2jc)+
- ^ *¦ - 287
= Ct cos ал: + С2 sin ал; - Х C°S пХ (Ь
&2— а2 2а
~л). 456.7. y=C1eejf+Cae-ajf—^-sinjc— — cosjc. 457.7. y=
13 39
Н cos4^. 458.7. у ^C^in 4jc + C2cos 4jc+ Зл: cos 4x. 459.7. y= e'kx(Clcoskx+
+ C2 sin foe) + sin kx — 2 cos foe. 460.7. у = er* (Сг cos 2jc + C2 sin 2jc) +
+ 3 sin x + 4 cos x. 461.7. у = С, cos 2* + C2 sin 2x — — л; cos 2jc. 462.7. y=:
4
— Ct cos 2л: + C2 sin 2л: — — x cos 2л:. 463.7. у = e30 (Ct cos jc + C2 sin jt) +
4
cos др. 464.7. у = e^ (Ct cos /2 x + Ca sin /2 jc) + — E cos x -^
— 4 sin x). 465.7. у = С, cos x + C2 sin x + -7 jc cos jc + т ^ sin *•
4 4
466.7. у = еъх (С* cos л: + Ca sin x) + Bx + 6) sin Зл: + (x + 5) cos 3*.
467.7. у = Ct e*x-\- Ctf-™ + e* (x cos x + sin jc). 468.7. у = xex[(Ax% + Bjc +
+ C) cos 2jc + (Dx2 + Ejc + F) sin 2jcJ. 469.7. у = Ct cos jc + C% sin jc +
(ilL7O'L y==
= е-* (С,, + C2 л:) — er* cos jc + ~ <?-*. 471.7. у = Cx sin jc + C2 cos jc +
6
H jc sin jc + -5- cos 3jc. 472.7. у = Ct cos 2jc + Ca sin 2л;+ — jc jccos 2x~-
2 о 8 32
— \ jc2 sin 2jc. 473.7. y=Ct + C2e~x + f ^
16 \ 3
+ - sin 2* — - cos 2л:. 474.7. у = Cx + C2 e"^+ - ^ + - B cos 2x -
33d

-sin 2*). 475.7. у =CJe'9X+C^x^ ~ Bx2+x) e-«+ 1B^+Зх)е*. 476.7.
8 16
Y
n pnQ КЗ
.2cos _
477.7. у = (Cx + C2 x + C3x2) ^ + — x3 e*. 478.7. у = C2 e* + C2 cos 2x +
о
3 1 2
+ C3 sin 2л: + ~" e2x — ~~ x cos 2x + ~ ^ sin 2x. 479.7. у = e^ (ex —.
8 5 5
— jca — jc -+- 1). 480.7. у = — cos-* — — sinx + ¦— sin 2x. 481.7. у =
«3 «3
= e2X (cos д: — 2 sin x) + (x + IJ e*. 482.7. у = xe^ (sin x — cos x). 483.7. y^
= 4 + Cx — 5) <* + 2 (cos x + sin x). 484.7. у = ex + xK 485.7. y =
= Cx cos x + C2 sin x — |/Acos 2x. 486,7. у = Cx cos x + C2 sin x + x sin x -f
+ cos^x In cos x, у = — x + e* (C2 — x)+ A + ex) In A + 6х) + Cv 487.7. y=*
-^ + Сх + С2х "j e-*x. 488.7. у = - cos ex + C2 ex + Cv
489.7. у = ёх [(In | cos x | + Cx) cos x + (x + C2) sin x]. 490.7._ у =
= — 2 + Cx cos x + C2 sin x + sin x In tg ( ^- + — J. 491.7. у = C^ 2 ^ -f
2
+ C2e~ Y2 X + ex2. 492.7. у = f Cx+ /4^2+A:arcsin — +C2x\ ex. 493.7. у
e
J[ . 494.7. у = Cxcos x+ C2 sin x — /cos 2x. 495.7. у =а
= (Ci — a:) e-* cos x + (C2 + In sin *)*-¦*" sin л:. 496.7. у =(C1— In x + C2 х)Л
497.7. у = (Cj. — In
+ (Ca + arctg ex)eLx. 498.7. у = Tin tg (—
-^ j — sin x + cJ cosx+ (—cos x+C2)sinx. 499.7. у = — + Cxex +
2 / J x
500.7. Дифференциальное уравнение — = g(sina — |Л cos a),
s =s — ^ (sin a — p, cos a) /2. Дифференциальное уравнение тх" = k (b — x)—
— *(& + *), * = c ' cos l/— /. 501.7. x = 1 — 0,12 sin A0
г /и
+ 0,01 cos A0 ]/~g~t)+ 0,12 sm 30 /. Указание. Если х отсчитывать от
положения покоя груза, то — х" = 4 — fc (х0 -\- х — у — /), где х0 — рас-
g
стояние точки покоя груза от начальной точки подвеса пружины; / — длина пру-
4 сРх
жины в состоянии покоя, поэтому k (xQ — /) = 4. Следовательно, =
_ g c№
= — к (х — у), где к = 4. 502.7. / = ]/1 In * + VI2—& Дифференциаль-
г ^ a
d2s g g
ное уравнение —- — — s= — a, где s — длина пути, пройденного свисающим
at2 I I
концом цепи за время / с начала движения. Искомое время t определится, если
найти значение /, соответствующее значению s = / — а.
331

Раздел VII1. РЯДЫ ФУРЬЕ И НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2 4 v^ cos 2nx тс2 v^ cos nx 4*c2
n=l n=\
\ч cos nx V1 sin мл: ^n» (— \)n+1 8 \ч sinBrc+ l)x
+4 / . —r~ — 4tc > . . 4.8. 2tu 7 sin мл: — — > .
^-J rc2 ^^ x *"* n ж *-* Bn + 1)
7u 2 ^ cosBn—1)л: (—I)" 3 1 \-i 2
o.o. —
2 V л
X cos тс Bм — 1) x+ sin nnx. 8.8. — sin атс 7 (— 1)л ~ ; sin мл:.
тс *• a2— rc2
n=i
16/г V1 4 B/г —1) тел:
^ 12.8.
2
1
/ 2/ V1 sin /гтс тсмл: 1 V 1 ^rc*
S(,4)=0. 13.8. T + -S(-l)«— cos T. 14.8. -Ij-^T-
az=1
21 X* 1 Bm—\)kx 1 4 vi
16.8. и (л:; у) = С, (л:) + С2 (у). 17.8. « (л:; у) = ^ + ^ + Сх (х) + С2 (у).
18.8. и(х; У) = \-2+У-^Г + xCiW + С*(У)- 19-8- м(^. У) =/Ж+У +
+ уСх(л:) + Са(л). 20.8. и(х; у) = Сх(х) + — С2 (у). 21.8. и(х;
у) = Сх(л:)^ + С2(у). 22.8. и (х; у) = Сх(х) + Ся (у)/**. 23.8. «(л:;
у) = г2 _j_ Cl (у) • л; + С2 (у). 24.8. и (х; у) = л:2у + Сх (у) + С2 (л:). 25.8. а (х;
у) = Сх (х) 1У + С2 (х). 26.8. и (х; у) = ~^ + j + у Сх (х) + С2 (х).
27.8. и (х; у) = х3 + xQ (у) + С2 (у). 28.8. и (х; 0 = 2cos у- sin у .
9/i ЧР 1 пк ипа ппх
29.8. и (х\ t) = — 7, -т sin — . cos — f - sin — . 30.8. a (x; /) =
тс2 ^^ я2 3 / /
«=i
3/ 4ка1 Акх Swat Ьжх 21 V
332

2л — 1 Bя—1)тс Snt 4nx
X sin not • sin x. 32.8. и(x\ t) = cos — sin— . 33.8. u(x; 0=*
oo n2a4
AlvQ\y 1 . *nc . ял/i . ъпх . тема/ /Г" . nx
*= —- > , — sin — sin — sin —~ sin —— . 34.8. и (x; t) = 3/ sin — —
rc2a *-* n2 I I I I I
JfL Ых l60v 1 ™ -T
-2/ ' sin—. 35.8. u(x;t)=—\ -sin-/ ' si
/ 6%z *"* n 4
36.8. u (x\ t) = 5/ /2 sin — — 21 l2 sin — . 37.8. и (х\ f) =
- У / /2 sin -^:!:l- tcjc. 38.8. и (x\ t) =
тс AJ 2л — 1 /
sin
100* 400 чр —wi Bп — \)кх 3
39.8. и (х\ t) = +-7 л! ' sin . 40.8. и (х; t)= — +
/ к2 ** I 4
/г=1
+ у — — х2 + — у2. 41.8. а) Да; б) нет, если В ф 0. 43.8. а) и @; 0) = — ;
2 2 2
4 4R
б) и @; 0) = R; в) — тс2^; г) и @; 0) = 2; д) и @; 0) = — . 44.8. и (г; ф)=
о "к
3 1 3 3jc
= — г cos ф + ~~ гд cos Зф. 45.8. а) и (г; ф) = —- г cos ф = — ; б) w = 3 —5у—
4 4 R R
= 3 — 5г • sin ф; в) и = Ar2 cos 2ф — 2г2 sin 2ф — 2tf2 = 4х2 — 4ху — 4у2 — 2i?2;
г) «(г; ф) = 2тс2 /? — 12 2j ^^ глсо8Яф; д) u(rt у) = А — sin
п=1
"" Т^1 Wy 4n2 —9 •
/2=1

СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ 4
РЯДЫ
Глава 1. Числовые ряды
§ 1. Основные понятия , 3
| 2. Сходимость рядов с положительными членами 10
§ 3. Сходимость рядов с членами произвольного знака 20
Глава 2. Функциональные ряды
§ 4. Область сходимости 29
§ 5. Равномерная сходимость , 33
§ 6. Степенные ряды 43
§ 7. Формула Тейлора 46
§ 8. Ряд Тейлора 49
§ 9. Приближенные вычисления с помощью рядов 58
§ 10. Метод последовательных приближений 64
РАЗДЕЛ 5
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких пере-
переменных
§ 1. Точечные множества на плоскости и в пространстве 68
§ 2. Предельные точки точечных множеств. Открытые и замкнутые мно-
множества 75
§ 3. Область определения функции нескольких переменных 78
§ 4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 88
§ 5. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных . 100
§ 6. Дифференцирование суперпозиции функций 113
Глава 2. Неявные функции
$ 7. Дифференцирование неявных функций 122
§ 8. Отображение плоскости на плоскость 133
Глава 3. Приложения дифференциального исчисления функций не-
нескольких переменных
§ 9. Формула Тейлора для функций двух переменных 141
§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 143
§ И. Экстремумы. Наибольшие и наименьшие значения функции ... 146
334

РАЗДЕЛ б
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 1. Кратные интегралы
§ 1. Вычисление двойных интегралов 155
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле 166
§ 3. Вычисление площадей плоских фигур 173
§ 4. Вычисление объемов тел >,..., 176
§ 5. Вычисление площадей поверхностей 182
§ 6. Некоторые приложения двойных интегралов к механике 185
§ 7. Вычисление тройных интегралов 190
§ 8. Приложения тройных интегралов 192
Глава 2. Криволинейные интегралы
§ 9. Вычисление криволинейных интегралов первого типа 194
§ 10. Вычисление криволинейных интегралов второго типа ..... 198
РАЗДЕЛ 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 1. Общие понятия
§ 1. Общее и частное решения 208
§ 2. Дифференциальные уравнения семейства кривых 213
Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 215
§ 4. Однородные уравнения 219
§ 5. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли 222
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах 227
§ 7. Определение типа дифференциального уравнения первого порядка 230
§ 8. Составление дифференциальных уравнений 234
§ 9. Метод последовательных приближений. Единственность решений 242
§ 10. Поле направлений, метод изоклин 245
§ 11. Особые решения 249
Глава 3. Дифференциальные уравнения порядка выше первого
§ 12. Общие понятия. Теоремы существования и единственности • • . . 251
§ 13. Уравнения, допускающие понижение порядка 254
Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения /1-го порядка
§14. Линейная зависимость и линейная независимость функций. Опреде-
Определитель Вронского 260
§ 15. Линейные однородные дифференциальные уравнения 262
Глава 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
§ 16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами 264
§ 17.' Интегрирование неоднородного линейного уравнения с постоянными
коэффициентами 270
§ 18. Метод вариации произвольных постоянных 278
335

РАЗДЕЛ 8
РЯДЫ ФУРЬЕ И НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава 1. Ряды Фурье
§ 1. Разложение функций в ряды Фурье • . 281
Глава 2. Некоторые уравнения математической физики
§ 2. Решение простейших уравнений в частных производных второго
порядка 291
§ 3. Решение уравнений колебания струны методом Фурье 293
§ 4, Решение уравнения теплопроводности методом Фурье ...... 295
§ 5. Гармонические функции и задача Дирихле 299
Ответы и указания 302
Наум Яковлевич Виленкнн, Константин Алексеевич Бохан,
Исаак Абрамович Марон, Иван Васильевич Матвеев,
Марк Львович Смэлянский, Анатолий Тихонович Цветков
ЗАДАЧНИК ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Редактор В Г. Долгополое. Художественный редактор Е. Н. Карасик. Технический ре-
редактор Л. Я. Медведев. Корректор Р. Б. Штутман
Сдано в набор 26/VI 1970 г. Подписано к печати 7/VI 1971 г. 60X90l/ie
№ 2. Печ. л. 21,0. Уч.-изд. л. 20,52. Тираж 85 тыс. экз. (Пл 1971 ^
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с готовых матриц типографией им Смиркоза Смол
по печати, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2. Заказ № 5950.
Цена без переплета 57 к., переплет 10 к.