Текст
И.И. ВОРОВИЧ Л.П. ЛЕБЕДЕВ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
В МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Москва
Вузовская книга
2000
ББК 22.18
Воронин И.И., Лебедев Л.П.
Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной
среды. Учебное пособие. — М.: Вузовская книга, 2000. - 320 с.
ISBN 5-89522-089-4
В данном учебном пособии рассматриваются различные вопрос^
механики сплошной среды, применяя методы функционального анализа
Книга предназначена для студентов-механиков механико-математи-
ческих факультетов, студентов машиностроительных факультетов техни-
ческих университетов с углубленным изучением математики, а также
специалистов-механиков и математиков.
КОЛОХЗА
I НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2XS ДВ?
ISBN 5-89522-089-4 © И.И.Ворович, Л.ПЛебедев, 2000.
© «Вузовская книга», оформление, 2000.
ВВЕДЕНИЕ
Материал данного учебного пособия основывается на курсах
лекций по функциональному анализу и его приложениям, прочи-
танных авторами для студентов-механиков третьего и четвертого
курса механико-математического факультета Ростовского госуни-
верситета на протяжении многих лет. Такой специализированный
курс функционального анализа впервые был прочитан И.И. Воро-
вичем студентам и сотрудникам мехмата РГУ в 1971 г. В даль-
нейшем лекции по функциональному анализу давались различ-
ным категориям слушателей, как студентам, так и специалистам-
механикам.
Рукопись данной книги подготовлена при поддержке Федераль-
ной Целевой Программы «Интеграция», per. N974.
В этой книге мы рассматриваем различные вопросы механики
сплошной среды, применяя методы функционального анализа.
Для основных понятий функционального анализа приводятся соот-
ветствующие механические интерпретации или объяснения. Ос-
новные идеи курса функционального анализа излагаются таким
образом, чтобы студент-механик мог сразу увидеть связь абстракт-
ных понятий функционального анализа с понятиями механики,
мог бы сразу пользоваться инструментарием функционального
анализа в своих исследованиях. Мы считаем, что знание функци-
онального анализа с таких позиций дает углубленное понимание и
функционального анализа, и механики.
Данное учебное пособие предназначено для студентов-механи-
ков механико-математических факультетов, а также студентов ма-
шиностроительных факультетов технических университетов с уг-
лубленным изучением математики. Для понимания книги
требуется знание стандартного курса высшей математики для тех-
нических вузов. Знание основ механики, в том числе элементов
сопротивления материалов, является желательным, но не обяза-
тельным. Весь необходимый теоретический материал дается пол-
ностью, без пропусков в доказательствах, а потому не требует
привлечения каких-либо других книг по функциональному анали-
зу. В то же время ограниченность объема книги и безграничность
самого предмета вынудила нас ограничить подробное изложение
материала лишь темами, непосредственно используемыми в рас-
сматриваемых нами приложениях. Однако основы курса функцио-
нального анализа представлены в книге достаточно полно и прак-
тически без сокращений.
Хотя нашей основной целью является создание учебного посо-
бия по приложениям функционального анализа для студентов-ме-
хаников, но мы ожидаем, что он будет полезен инженерам и спе-
циалистам-механикам, желающим освоить язык современной
математики. Книга будет также полезна специалистам-математи-
кам, желающим уяснить возможности применения абстрактных
теорем функционального анализа в приложениях.
В течение долгого периода традиционными областями прило-
жения математики являлись механика и физика, которые вызвали
появление многих ветвей чистой математики. Сейчас невозможно
найти такую область естественных наук, где не применялась бы
математика. Во многом это случилось благодаря фантастическим
возможностям компьютеров. Однако применение мощных компь-
ютеров для решения конкретных задач не означает медленного
умирания чистой теории. Компьютеризация науки вызывает воз-
никновение новых областей математики, где абстрактные знания в
комбинации с численным экспериментом дают наилучшие резуль-
таты. В свою очередь, это приводит к необходимости для специа-
листов-математиков более углубленно изучать прикладные методы
математики.
Внутренние тенденции математики привели к созданию общих
концепций и методов, которые позволяют рассматривать факты и
методы частных наук с единой точки зрения. Это утверждение от-
носится и к ветви математики, называемой «функциональный
анализ», где краевые задачи физики, механики и других областей
естествознания рассматриваются с единых позиций, позволяя луч-
ше осознать взаимосвязи в природе.
Рассмотрим некоторые примеры того, как из частных задач
математики возникали общие идеи и методы функционального
анализа.
1. Во многих случаях линейную систему алгебраических уравнений
X, =
(О
1=1
можно решать, используя метод последовательных приближений.
Начальное приближение в методе выбирается произвольно
а следующие приближения находятся по формулам
Чтобы установить область применимости данной схемы вычис-
лений, рассмотрим разность
Отсюда выводим следующее неравенство
max
из которого непосредственно следует, что
max
X i ' - .
где
q - max У
Как хорошо известно, сходимость данного итерационного ме-
тода обеспечена, если выполнено условие q < 1. В этом случае су-
ществует предел Zi = ton x)k' для каждого i = l,...,n, причем вектор
*-*»
(?i> •••3») есть решение системы A).
Применим теперь схему последовательных приближений к ре-
шению линейной системы интегральных уравнений
j
У-Ю
где Cj(t) и <i(y(/,5) — заданные функции, непрерывные на областях
[О; 1] и [0,1] х [0; 1] соответственно.
Схема метода последовательных приближений в этом случае
описывается формулами
Для разности между двумя последовательными приближениями
решения мы имеем
ds,
и, следовательно,
Отсюда непосредственно вытекает неравенство
ff i *
max
яш
Потребуем, чтобы выполнялось следующее условие
я 1
;=lo
Тогда для каждого i = \,...,n, последовательность |хр(/)| явля-
ется равномерно сходящейся на отрезке [0;1], а именно, гаранти-
рована сходимость последовательности со скоростью не меньшей,
чем скорость сходимости геометрической прогрессии с показате-
лем q. Следовательно, для каждого i=l,...,n, существует непре-
рывная на [0; 1] функция z({t) - lim xjjk\l), причем вектор-функ-
ция (^(/), ¦,zn(t)) является решением системы B).
6
Читатель заметил сходство в аргументации относительно приме-
нимости метода итераций к решению уравнений A) и B). Это
наводит на мысль о существовании общего подхода к данной
проблеме. Позднее мы увидим, как можно реализовать эту идею.
2. В дальнейшем мы будем, в основном, иметь дело с про-
странствами элементов, имеющими бесконечную размерность.
Посмотрим, как бесконечномерные пространства возникают есте-
ственным образом. Рассмотрим, к примеру, волновое уравнение
д2и д2и , ч (х\
которое описывает колебания натянутой струны. Пусть концы
струны закреплены:
Естественно разыскивать такие решения данной задачи, для кото-
рых конечны как потенциальная, так и кинетическая энергия
струны, т.е.
Например можно искать решение в виде разложения в ряд Фурье
и{х, t) - ? akm sin knx sin mnt.
к,т
Читатель видит, что решение такого вида описывается беско-
нечным, набором параметров акт, т. е. что оно поставлено во- вза-
имно однозначное соответствие с некоторым «вектором» с беско-
нечным числом координат. Множество таких векторов, очевид-
но, образует бесконечномерное пространство.
Свойства бесконечномерных и конечномерных пространств су-
щественно различаются. Например, в бесконечномерном про-
странстве становится несправедливой теорема Больцано—Вейершт-
расса, гласящая в конечномерном случае, что каждая ограничен-
ная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
3. Упомянем еще одну общую проблему, которая будет под-
робно рассмотрена в дальнейшем. Это проблема обобщенных ре-
шений задач математической физики.
Рассмотрим задачу изгиба стержня переменного сечения
под нагрузкой q(x). Пусть концы стержня жестко закреплены.
Соответствующая краевая задача имеет вид:
(В(х)у"{х)) -q{x) = 0, д-0) = /@) = д7) = /(/) = 0, D)
где / - длина стержня, а В(х) его жесткость. Такая формулировка
краевой задачи предполагает, что решение у(х) имеет производ-
ные до четвертого порядка включительно.
Эту же самую краевую задачу можно сформулировать, исполь-
зуя вариационные принципы механики. Пусть / = 1. Хорошо из-
вестно, что функционал /, определенный формулой
принимает минимальное значение, когда у(х) есть точка
равновесия стержня, т.е. является решением задачи D). При этом
к сравнению допускаются только функции, удовлетворяющие
краевым условиям, сформулированным в D). Вариация этого
функционала / дается формулой
5/ = Д/?(х)гМф"(*) - q{xMx)] <** ¦
о
Она равна нулю для любой функции <p(jt), удовлетворяющей
краевым условиям из D), если у{х) есть решение задачи D).
Следует обратить внимание, что в выражении первой вариации
присутствуют лишь вторые производные функции у(х).
Введем определение. Функция у(х) называется обобщенным
решением задачи D), если уравнение
относительно функции у[х) такой, что ^0)=,у'@)=0, y(l)=y^ij= О,
выполняется для любой функции ф(х), удовлетворяющей краевым
условиям <р(О)=ф'(О)=О, <рA)=<р'A)=О.
Итак обобщенное решение данной задачи удовлетворяет уравне-
ниям равновесия в том смысле, что мы требуем, чтобы для этого
решения выполнялся принцип Лафанжа. Для динамических систем
мы можем ввести понятие обобщенного решения подобным
образом. При этом должен использоваться вариационный принцип
Гамильтона.
Так как ограничения на гладкость решений в такой постановке
значительно слабее, то тем самым мы можем рассматривать задачи
с более широкими классами нагрузок, которые встречаются в
приложениях. Другим существенным преимуществом данного
подхода является то, что такой подход возникает естественным пу-
тем при исследовании сходимости метода конечного элемента, од-
ного из наиболее мощных средств математической физики для ре-
шения практических задач.
Мы непосредственно приступаем к рассмотрению основных
понятий функционального анализа.
ГЛАВА I
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
1.1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Мы введем и проиллюстрируем основные понятия теории мет-
рических пространств, используя хорошо известный любому сту-
денту-механику объект: множество Ph / = 1, ...,л, состоящее из л
материальных точек (на данном этапе неважно, являются ли точки
материальными или нет). Для указания местоположения точек в
пространстве введем декартову систему координат. Пусть коорди-
наты точки Pj есть (?,•,%,?,•). Отождествляя последова-
тельно координаты -(?|,1Ц>?|) точки Рх с (х,,х2,х3), координаты
(^2'Л2>^2) точки Р2 с [х4,х5,х6) и так далее, мы получаем вектор
х, который можно рассматривать как вектор евклидова прост-
ранства R3" с координатами (х{,х2, ...,х3я). Такой вектор опреде-
ляет положение всех материальных точек Pt одновременно. Итак,
для описания положения данной системы материальных точек бу-
дем использовать вектор х, дающий полную информацию о конфи-
гурации системы. Следовательно, поведение системы л точек опи-
сывается с помощью векторов Зл-мерного пространства R3".
Введем характеристику взаимного расположения системы л ма-
териальных точек в двух положениях х и у, которую можно;
назвать расстоянием между положениями х =(х,,х2,..., х3я) и
У— I v, v-. v-> V
\s I»' 2' ••"' sin I • • , ,„
(in ,
М«.у) = B(*-лJу
Этой формулой мы ввели евклидову метрику в пространстве R3". \
Взаимное расположение точек в тех же состояниях х и у может
характеризоваться и другим неотрицательным числом, получаю- •
щимся следующим образом
ds(x,y) = max {|х, -у{\, \х2 -у2\, ... , \х3п -у3„\] .
Эта характеристика взаиморасположения точек отлична Not
евклидовой. Легко проверить, что и ds(x,y), и dE{x,y), рас-
сматриваемые как функции аргументов х и у, имеют следующие j
свойства:
10
Ml. d(x,y
M2. d[x,y
M3 d\
= 0 тогда и только тогда, когда х = у;
МЗ. d{x,y)
M4.d(x,y)<d(xtzj-
для любой третьей точки г = (г(,..., г3л) ¦
Эти общие свойства (Ml—M4) кладутся в основу определения
понятия метрики.
Определение 1.1.1. Функция d{x,y), принимающая действи-
тельные значения и определенная для любых х,уеЛ3л, которая
удовлетворяет системе предположений Ml—M4, называется метри-
кой пространства R3". Свойства Ml—M4 носят название аксиом
метрики, а само пространство R3" с заданной метрикой называет-
ся метрическим.
Отметим, что аксиома Ml называется аксиомой положительно-
сти метрики, аксиома МЗ - аксиомой симметричности метрики, а
неравенство М4 — неравенством треугольника, поскольку в обыч-
ной геометрии на плоскости неравенство М4 выражает тот факт,
что сторона любого треугольника не больше суммы длин двух дру-
гих его сторон.
Задача 1.1.1. Доказать, что функция d[x,y) с действительны-
ми значениями, определенная для любых аргументов х,у е R" и
удовлетворяющая аксиомам М2, МЗ и М4, удовлетворяет одно-
временно аксиоме Ml.
Замечание. Формулировка Задачи 1.1.1, показывает, что мож-
но было бы ограничиться лишь аксиомами М2-М4 при введении
понятия метрики.
С помощью метрики вводится понятие сходимости последова-
тельности в пространстве R3". В курсе математического анализа .
это традиционно проделывается с использованием евклидовой
метрики.
Далее, легко видеть, что существуют две положительные кон-
станты /я, и т2 такие, что для любой пары элементов х и у из
Rin выполнены неравенства
О < ПЦ < . г- < /Й2 < °° • A.I.1)
11
Мы будем говорить о метриках dE(x,y) и ds(x,y) как об эквивалент-
ных, поскольку они удовлетворяют данным неравенствам. Покажем
к какому фундаментальному следствию приводят неравенства A.1.1.
Предположим, что некоторая последовательность элементе?
{хк} еЛ3" сходится к элементу х е R3", т. е. lim d?(xk,x) = 0 h-
неравенств A.1.1) следует, что имеет место также i
lim ds(xk,x) = 0. Из этих же неравенств A.1.1) следует, что ра-
к —юо
венство lim ds(xk,x) = 0 влечет за собой равенстве
к—юо
limdE(xk,x) = 0 .
Таким образом, понятие сходимости последовательности в Р3'
не зависит от того, какую из метрик, dE(x,y) или ds(x,y), ис-
пользовать при его введении, т. е. для этой цели обе метрики ока-
зываются эквивалентными.
Эквивалентность двух данных метрик для определения сходимо-
сти последовательностей показывает, что обе метрики равноправ-
ны в смысле свойства сходимости последовательностей в данном
пространстве. Как известно, в пространстве R3" можно ввести и
другие функции, для которых выполнены все аксиомы метрики.
Например, такими функциями являются
4Х' У) = ? \Xi ~ У if При /J = Const > 1
или
in у 2
Докажите самостоятельно следующее утверждение.
Задача 1.1.2. Любые указанные выше метрики </|(х,у) и
*/|(х,у), заданные на пространстве R", являются эквивалентны-
ми, то есть имеет место
оо . A.1.2)
Отметим, что здесь и всюду далее, если не оговорено против-
ное, т,тх,т2, ... обозначают некоторые положительные посто-
янные. В случае, когда величина постоянных /и,- не имеет значе-
ния, мы будем употреблять одно и то же обозначение т.
12
Понятие метрики обобщает понятие расстояния в пространстве
Л3. Понятие метрики можно применить не только для характерис-
тики разности двух положений некоторой системы материальных
точек, но и для характеристики различия скоростей точек той же
системы, их ускорений. Это же понятие можно применить для
описания различия в распределении масс в системах п материаль-
ных точек, сил, действующих на систему и т.п. -
Посмотрим, как можно распространить идею расстояния на
системы, состоящие из бесконечного числа точек. Рассмотрим, к
примеру, натянутую струну длины 2л с закрепленными концами.
Для описания перемещения u(s) точек струны в нормальном к
струне направлении мы можем использовать разложение u(s) в ряд
Фурье:
00
u(s) = ?х*яп ks
*=i
Произвольное отклонение 11E) струны теперь может быть отожде-
ствлено с вектором х, имеющим бесконечное число координат
хк, к = 1,2,... . Очевидно, что размерность множества5 всех таких
векторов х не может быть конечной. Так мы пришли к бесконеч-
номерному векторному пространству. Мы можем модифицировать
метрики, введенные выше в конечномерном пространстве /?3л,
на случай такого бесконечномерного пространства. Изменения
очевидны. Например, одна из возможных метрик, это
Еще одной возможной метрикой является
</2(x,y) =
Мы привели два варианта метрики, заданной на множестве S.
Выполнение всех аксиом метрики в обоих случаях очевидно. Та-
ким образом, мы получаем, что множество (линейное простран-
ство!) S является бесконечномерным аналогом пространства R".
Однако легко обнаруживается весьма существенная разница. Ис-
пользуя эти две метрики, вычислим расстояние от точки х с коор-
динатами хк = I/к до нуля 0 = @,0,...).
13
Имеем
d\ (х'«) - ? * и ^(х,0) = sup {|х,. - Oj} =
1=1' '
Так как ряд ?",1/' является расходящимся, то соотношение
эквивалентности A.1.2) для данных метрик на множестве 5 уже не
выполняется. Итак, мы обнаружили две неэквивалентные метри-
ки, заданные на S. Более того, поскольку мы хотели бы характе-
ризовать с помощью метрики соответствие между любыми элемен-
тами множества, то мы вынуждены сообщить, что каждая из этих
метрик определена на своем подмножестве из S, что означает,
что в случае векторов с бесконечномерным числом компонент мы
вынуждены рассматривать различные пространства, в которых по-
нятия сходимости последовательности также различны.
Введем следующее определение.
Определение 1.1.1. Множество X называется метрическим про-
странством, если каждой паре точек х и у из множества X постав-
лено в соответствие некоторое неотрицательное конечное число
d{x,y) так, что для d(x,y) выполнены всё аксиомы метрики
Ml—M4-, при этом d(x,y) называется метрикой пространства X.
Таким образом, множество с заданной для всех его пар, эле-
ментов метрикой называется метрическим пространством. Заме-
тим, что в определении метрического пространства нет требова-
ния, чтобы для элементов этого пространства была введена
операция сложения элементов и умножения элемента на число.
То есть метрическое пространство не является линейным в общем
случае. Поэтому здесь нельзя говорить о размерности простран-
ства. Если мы все-таки говорим о его бесконечномерности, то
подразумеваем, что имеется в виду частный случай линейного
метрического пространства.
Отметим дополнительно, что мы не будем различать метричес-
кие пространства состоящие из одних и тех же элементов, метрики
которых эквивалентны. Однако пространства, содержащие одно и
то же множество элементов, но имеющие неэквивалентные мет-
рики, для нас различны. В таких пространствах понятия предела
различаются: последовательность может быть сходящейся в одном
пространстве и не. иметь этого свойства в другом.
В данном определении метрического пространства природа
элементов образующего множества для метрического пространства
14
не играет никакой роли. Элементами могут быть как абстрактные
объекты, так и вполне конкретные существующие предметы оби-
хода, лишь бы для любой пары элементов было определено «рас-
стояние» между ними, удовлетворяющее аксиомам метрики. Од-
нако в приложениях в математической физике в основном
используются метрические пространства функций. Это простран-
ства, которым должны принадлежать решения-некоторых уравне-
ний или некоторые заданные функции. При тщательной поста-
новке краевых задач всегда оговаривают свойства отыскиваемого
решения и всех входящих в уравнения и краевые условия
функций. Это связано не только с «причудами» математиков,
желающих формализовать каждый шаг, но и с тем обстоятель-
ством, что некоторые задачи имеют несколько решений, часть ко-
торых противоречит нашим представлениям о явлениях, описыва-
емых данными уравнениями. Дополнительные условия, которые
базируются на физической природе задачи, позволяют отобрать
физически осмысленные решения. Таким образом, выбор метри-
ческого пространства функций, в котором разыскивается решение
некоторой задачи, может существенно повлиять на получаемый
результат, В зависимости от этого выбора решение может суще-
ствовать или не существовать, быть единственным или неедин-
ственным и т. п. Правильный выбор пространства, в котором ра-
зыскивается решение, может решающим образом повлиять на
окончательный результат. Метрические пространства, с которыми
приходится иметь дело в задачах математической физики, большей
частью являются линейными и бесконечномерными.
Исследование задач механики требует привлечения разнообраз-
ных метрических Пространств. Введем некоторые из них. Начнем
с пространств бесконечных последовательностей или, что то же
самое, векторов, имеющих бесконечное число координат. Про-
странства последовательностей являются линейными, т. е. для них
введены естественным образом операции («покоординатного»)
сложения элементов и умножения на действительные или мнимые
числа. Для элементов этих пространств мы будем использовать
следующие эквивалентные обозначения:
1. Метрическое пространство т состоит из всех ограниченных
последовательностей х = {хи хг, xv ...). Метрика в этом простран-
стве задается следующим образом:
15
d(x,y) = sup {|*, - л( (у = (уи у2, у3, ...)). A.1.3)
2. Метрическое пространство /' при р ? 1 состоит из всех после-
довательностей х s (ос,, х2, х3,...) таких, что 5^,1 *|Г* <0°- Метри-
ка в этом пространстве задается следующим образом:
3. Метрическое нространство с является подпространством про-
странства т (что означает, что все его элементы принадлежат т,
и, кроме того, сохраняется метрика пространства т). Элемен-
тами пространства с являются такие последовательности
х ш (х„ х2, х3,...) из т, у которых существует конечный предел
\\тхк
В сбою очередь, подпространством пространства с, а, следова-
тельно, и пространства /и, является следующее метрическое про-
странство с0.
4. Метрическое нространство с0 состоит из последовательностей
х ж (jcp jc2, jc3, ...) из с, предел которых равен нулю lim хк = 0.
Метрика в этих пространствах выбиралась по аналогии с
известными метриками конечномерного евклидова пространства.
Напомним, что эти метрики, в отличие от конечномерного слу-
чая, не являются эквивалентными.
5. Рассмотрим теперь другой класс метрических пространств, мет
рика которых связана с выражением энергии некоторых объектов
механики.
Известно, что внутренняя энергия деформированной струны,
закрепленной на концах, пропорциональна следующему интегралу:
где использовано разложение Л ряд Фурье нормального перемеще-
ния струны и($) = V",дсЛsin?s. Используя правую часть выраже-
ния интеграла энергии, мы можем ввести «энергетическую» мет-
рику на пространстве, элементами которого являются функции
16
u(s), или, что то же самое, совокупности их коэффициентов Фу-
рье х s (jC|, x2, *3, ...):
|/2
Таким образом, энергетическим пространством для задачи о
равновесии струны в терминах, коэффициентов разложения Фурье
является множество всех последовательностей {хк} таких, что
V* ,к2х? < да Метрика в этом пространстве дана формулой A.1.5).
Мы не проверяли, что введенные выше метрики действительно
удовлетворяют аксиомам метрики, хотя это и необходимо проделы-
вать каждый раз, вводя новое пространство. В данном случае мы
оставляем это читателю в качестве самостоятельного упражнения.
Задача 1.1.3. Показать, что формулы A.1.3-5) действительно
удовлетворяют всем аксиомам метрики на соответствующем мно-
жестве последовательностей.
Итак, мы ввели в рассмотрение первое из энергетических про-
странств. Позднее мы увидим преимущества введения подобных
пространств при исследовании конкретных задач механики.
6. Пространство прямых на плоскости. Приведем пример того, что
элементами метрических пространств могут быть объекты, природа
которых отлична от векторов. Рассмотрим множество М всех пря-
мых линий на плоскости, не проходящих через начало координат.
Уравнение прямой линии дается формулой xcosa.+ .ysina-/» = ().
Введем метрику (заметьте, что пока что мы только называем эту
функцию метрикой, что вовсе не означает, что она действительно
является метрикой, т. е. удовлетворяет аксиомам метрик^:
Покажем, что М с данной метрикой действительно является
метрическим пространством.
Проверим выполнение всех аксиом метрики. Легко видеть,
что аксиомы М1 и МЗ в данном случае выполнены.
Перейдем к проверке выполнение аксиомы М2.
Если /| = /2,то */(/,,/2)=0. Обратно, пусть d(l{,/2)=0. Тогда /?, = />2
и sin(a, -a2)/2 = 0. Из последнего равенства следует, что
17
<X| -a2 =2яй, где л = ±1,±2,.... Отсюда непосредственно вытека-
ет, что эти прямые совпадают, т. е. /( =/2. Следовательно, аксиома
М2 выполнена.
Аксиома М4 (неравенство треугольника). Так как
4sur—J——- =(sina, -sina2) + (cosa,-cosa2)
то имеем
)
+(sina, -sina2J +(cosa, -cosa2J)
Будем рассматривать тройки чисел (/>,, sin a,-, cos a,), / = 1,2,3 ,
соответствующих трем прямым из М, как координаты некоторых
точек А: в трехмерном евклидовом пространстве. Тогда
() Ц есть расстояние между точками Л, и А
где
/
(/,,) Цу , jj р у , /
в к. Следовательно, неравенство треугольника выполнено и для
метрики </(/),/2).
Таким образом, множество всех прямых М с введенной метри-
кой является метрическим пространством. Заметьте, что это про-
странство не является линейным.
1.2. НЕКОТОРЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ
Для описания изменения состояния материального тела в про-
странстве и времени используются функции одной или нескольких
переменных. Перемещения, скорости, нагрузки, температуры —
все это некоторые функции координат, связанных с телом. Мы
должны научиться сравнивать различные состояния тела. Оруди-
ем, с помощью которого можно проделать такое сравнение, по-
прежнему является понятие метрики.
Классическая механика сплошной среды, как правило, имеет
дело с непрерывными или дифференцируемыми функциями, при-
нимающими действительные значения.
Пусть С1 есть некоторое ограниченное замкнутое множество в
R". Естественной мерой «расстояния» между двумя непрерывными
функциями /(х) и g(x), заданными на С1, может служить следую-
щая мера их разности:
= max|/(x)-?(x)|. A.2.1)
18
Очевидно, что d(f,g) удовлетворяет аксиомам метрики
М1-МЗ. Проверим выполнение аксиомы М4. Так как
|/(х) - g(x)| есть непрерывная на Q функция, то существует неко-
торая точка х0 еО такая, что
d(f, g) = max|/(x) - g(x)\ = |/(x0) - g(xo)\ .
Для любой непрерывной на Q функции А(х) имеем
d{f, g) = |/(х0) - g{xo)\< |/(х0) - А(хо)|+ |А(х0) - g(xQ)\< d{/, h) + d{h,g).
Следовательно, d(f,g) действительно является Метрикой.
Определение 1.2.1. Множество всех непрерывных на компакте
Q е/Г функций, снабженное метрикой d(f,g)> заданной форму-
лой A.2.1), назовём пространством C(q)
Чтобы учесть свойства дифференцируемости функций, мы
должны использовать другой вид метрики. Одна из них дается
формулой
d{f,g) = I тах|яа/(х)- Dag{x)\, A.2.2)
Н**
где введены следующие, часто используемые в дальнейшем, обо-
значения:
Daf = ELi__ 1а| = а,+а2+...а
Задача 1.2.1. Проверить выполнение аксиом метрики для
d{/,g), заданной формулой A.2.2) на множестве O*'(fl) непре-
рывных, имеющих все непрерывные на С1 производные до поряд-
ка к включительно, где С1 - ограниченное замкнутое множество
конечной связности в Л".
Результатом решения Задачи 1.2.1 является утверждение, что
множество С*к'(п) с заданной на нем метрикой A.2.2) является
метрическим пространством.
На том же самом множестве непрерывных на П функций ввег
дем другую меру «расстояния» между двумя функциями с помо*-
Щыо интеграла
1р
' где ^1<1-2-3>
Этой формулой мы также ввели некоторую метрику. Един-
ственная аксиома метрики, проверка которой не является триви-
альной, есть М4. Выполнение этой аксиомы следует из известного
интегрального неравенства Минковского для интегралов:
(\Vp ( \Vp
ЛЛ(ж)-/2(ж)|'Л
п . /
справедливого при любом р>\. Действительно, положим
/,(х) = /(х)-А(х) и /2(x) = A(x)-g(x). Тогда неравенство A.2.4)
превращается в неравенство треугольника для метрики A.2.3)
d(f,g)<d(f,h) + d(h,g).
Таким образом, множество всех непрерывных на Q функций с
метрикой A.2.3) также является метрическим пространством. Од-
нако это пространство не совпадает с пространством C(Q),
поскольку метрики A.2.1) и A.2.3) не являются эквивалентными.
Действительно, неравенство
У"
хорошо известно. Однако невозможно указать такую конечную
постоянную т, что для всех непрерывных на Q функций было бы
выполнено неравенство
(докажите это, построив контрпример). Итак данные метрики не
являются эквивалентными, а следовательно, и построенное мет-
рическое пространство отличается от С(о).
Стоит, однако, отметить, что при 0 < р < 1 функционал d(f,g)
из A.2.3) не является метрикой. Мы здесь употребили термин
«функционал», который будет использоваться далее регулярно. По-
нятие функционала является обобщением понятия функции. Будем
называть функционалом на множестве S правило, согласно которому
каждому элементу из S поставлено в соответствие не более одного
20
числа. В случае если элементам сопоставляются только действи-
тельные числа, функционал называется действительным, если чис-
ла комплексные — то комплексным функционалом. В данном слу-
чае функционал d определен на парах элементов (дс, у).
Здесь же уместно отметить и другое интегральное неравенство,
которое мы приведем без доказательства и которым будем часто
пользоваться. Это неравенство называется неравенством Гельдера:
при 1/р.+ l/q=l, p>\. A.2.5)
Задача 1.2.2. Показать, что функционал
не является метрикой на множестве непрерывных на отрезке [0; 1]
функций. Как изменить множество функций (какое нужно нало-
жить условие на класс функций?), чтобы на новом множестве
данный функционал удовлетворял аксиомам метрики?
1.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТРИКИ
Мы уже вводили одно энергетическое пространство, возника-
ющее при исследовании равновесия струны. Рассмотрим другие
примеры. В дальнейшем изложении мы считаем, что все пере-
менные, участвующие в формулировке механических задач, бе-
рутся в безразмерном виде. Впрочем, единственное изменение,
которое повлечет за собой предположение, что такие переменные
являются размерными, это появление в различных неравенствах
размерных констант.
Изгиб стержня. Линейная задача изгиба стержня под рас-
пределенной нормальной нагрузкой q(x) описывается следующим
уравнением
(В(х)у"{х)) -д(х) = 0, A.3.1а)
где В(х) — жесткость стержня на изгиб, которая предполагается стро-
го положительной заданной функцией, а у(х) -функция прогиба.
21
Потенциальная энергия стержня при изгибе дается выражением
у")г<Ь. A.3.1b)
Предположим, что концы стержня жестко зажаты:
На множестве S2 всех дважды непрерывно дифференцируемых
на отрезке [0;/] функций, удовлетворяющих условиям A.3.1с),
введем функционал
У/2
Посмотрим, выполнены ли для него на множестве функций S2
аксиомы метрики. Выполнение аксиом Ml и МЗ очевидно. Акси-
ома треугольника М4 выполняется, поскольку под интегралом в
выражении для d[yuy2) стоит положительная квадратичная форма
по переменным У\,у2. При проверке выполнения аксиомы М2
необходимо лишь установить, что из равенства d(y,z) = 0 вытека-
ет, что у = z поскольку обратное утверждение очевидно. Итак,
и
пусть d(y,z) = Q. Тогда имеем (y(x)-z(x)) =0, что означает, что
у(х) - z(x) = ах + b с некоторыми постоянными а и Ь. Из условия
A.3.1с) мы получаем, что а = Ь = 0. Таким образом, функцио-
нал %d(yity2) действительно является метрикой на множестве S2.
Назовем эту метрику энергетической, поскольку она связана с
энергией стержня.
Отметим дополнительно, что, пытаясь решать данную краевую
задачу в классическом смысле, мы вынуждены требовать суще-
ствование вторых производных от функции В(х) на всем отрезке
[0;/]. В определении же метрики A.3.1Ь) участвует лишь сама
функция В(х), относительно которой достаточно потребовать,
чтобы она была кусочно непрерывной. Задачи сопротивления
материалов с кусочно постоянной функцией В(х) являются стан-
дартными.
Упругая мембрана. Изменение потенциальной энергии мембра-
ны, занимающей область П, под действием нормальной нагрузки
пропорционально следующему интефалу (функционалу):
22
По аналогии с вышесказанным мы можем попробовать на роль
меры разности двух состояний мембраны, описываемых функция-
ми отклонения мембраны от плоского состояния и=и(х,у) и
v=v(x,y), следующий функционал
d(U,v)=(E2(U-v)f. A-3.2)
Рассмотрим сначала задачу для мембраны с закрепленным краем:
«1ап=°> 0.3.3)
где дС1 - граница области С1 на плоскости R2.
На подмножестве Ct0 множества всех функций из ()
удовлетворяющих условию A.3.3), проверим выполнение аксиом
метрики для функционала A.3.2). Выполнение аксиом Ml и МЗ
очевидно и на этот раз. Краевое условие A.3.3) обеспечивает,
как легко видеть, выполнение аксиомы М2. Наконец, из одно-
родности и положительности квадратичной формы под знаком ин-
теграла в выражении энергии следует выполнение аксиомы М4.
Итак, выражение A.3.2) действительно задает метрику на множе-
стве функций С|0, которое, будучи снабженным данной мет-
рикой, становится метрическим пространством. Эту метрику мы
также назовем энергетической.
Соответствующая краевая задача для мембраны (задача
Дирихле) имеет вид:
Для того же уравнения Лапласа можно поставить другую крае-
вую задачу, так называемую задачу Неймана, когда на границе
мембраны задаются значения нормальной производной для функ-
ции отклонения. Например,
= 0 <"-4>
Из курса вариационного исчисления известно, что условие
A.3.4) относится к классу естественных граничных условий, кото-
рые возникают при вариационной формулировке задачи. Это
23
означает, что при вариационной формулировке соответствующей
задачи нет необходимости налагать это условие дополнительно нг
класс функций, в котором разыскивается решение. Задача о на-
хождении минимума функционала
без дополнительных фаничных условий влечет за собой выполне-
ние уравнения Лапласа Ди = -/ и граничного условия A.3.4).
Саму вариационную задачу для задачи Неймана можно поста-
вить следующим образом.
Задача 1.3.1. Пусть задана функция f(x,y) еС(П). Найти та-
кую функцию и(х,у) еС^(П) такую, чтобы она минимизировала
функционал 3(и) из A.3.5).
Повторяем, что строя соответствующее энергетическое про-
странство для исследования решения задачи Неймана, мы не тре-
буем дополнительного выполнения граничных условий для элемен-
тов энергетического пространства.
В принципе, мы можем попробовать на роль энергетической
метрики для пространства, где будет исследоваться задача Нейма-
на, все тот же функционал d(u,v) (формула A.3.2)). Однако мы
видим, что здесь одна из аксиом, а именно, аксиома М2, для
d{u,v)ne выполняется. Действительно, из равенства d(u,v) = 0
следует лишь, что и[х, у) - v[x, у) = const.
В данном случае ситуация исправима. Сделать это можно дву-
мя путями. Один из способов состоит в том, чтобы переопреде-
лить понятие элемента множества. Для этого надо воспользоваться
тем, что в задаче Неймана перемещение определяется с точностью
до произвольной постоянной, которая играет роль «жесткого» пе-
ремещения, т. е. параллельного переноса всей мембраны как жест-
кого целого. Теперь все функции, отличающие по величине на
постоянную, объединяются в единый класс и рассматриваются как
один элемент. При таком подходе принимаются во внимание де-
формации мембраны, но не ее жесткие перемещения.
Другой способ, которым можно «исключить» из рассмотрения
жесткие перемещения мембраны, состоит в том, что выбирается
такое подмножество С,, функций из С^'(п), для которых выпол-
нено условие
24
ju(x,y)dxdy = O .
a
Это равенство означает, что мы некоторым образом «закрепи-
ли» мембрану. Сама форма связи для исключения жестких переме-
щений может меняться, существенным является лишь то обстоя-
тельством что на С,, функционал d{u,v) из -A.3.2) становится
действительно метрикой.
Второй подход более обычен в математической теории задачи
Неймана. Однако первый подход имеет более глубокие механичес-
кие корни. Мы это увидим, когда будем рассматривать обобщен-
ную постановку задачи Неймана.
Пластина. Из линейной теории изгиба пластины известно вы-
ражение для потенциальной энергии пластины, находящейся под
действием нормальной нагрузки:
где D —жесткость пластины на изгиб, v— коэффициент Пуассо-
на, w=w(x, у) — нормальное к срединной поверхности Я пласти-
ны перемещение точки пластины с координатами (х,у)е&. Если
края пластины жестко зажаты, то это соответствует следующим
краевым условиям:
По аналогии с предыдущим пунктом возьмем в качестве характе-
ристики разности двух состояний пластины функционал
f2. A.3.8)
Очевидно, что все аксиомы метрики для этого функционала
на подмножестве С20 всех функций из пространства С* '(Q),
удовлетворяющих условию A.3.7), выполнены. Например, для
проверки самой «коварной» аксиомы М2 необходимо показать,
что из равенства E3(w) = 0 вытекает, что w = 0. Из вида функци-
онала Е3 тогда следует, что все вторые производные w равны
нулю, а, следовательно, w = а + Ьх + су г Краевое условие A.3.7)
влечет за собой необходимое равенство w = 0.
25
Таким образом, формула A.3.8) действительно определяет
энергетическую метрику на множестве функций С20.
Если край пластины свободен от закрепления геометрической!
природы, то в этом случае ситуация подобна той, которая возник-
ла в задаче Неймана для мембраны: при введении метрического
пространства появляются ненулевые функции, расстояние от кото-
рых до нуля равно нулю. Это — перемещения пластины как жест-
кого целого (функции вида w = а + Ьх + су). Появление множе-
ства «жестких» перемещений пластины можно обойти примерна
тем же способом, что и для мембраны. Позднее мы обсудим это
более подробно.
Линейная теория упругости.Рассмотрим упругое тело, занимаю-
щее ограниченную область П трехмерного пространства с декарто-
выми координатами (хих2,х3). Функционал потенциальной энер-
гии упругого тела есть
^jOkln, A.3.9)
где ciJki — компоненты тензора упругих констант, а компоненты
тензора малых деформаций вычисляются через компоненты векто-
ра перемещений u = {ubu2,uz} посредством соотношений
дщ д
Здесь и всюду далее мы используем правило суммирования по по-
вторяющимся индексам.
Из теории упругости известно, что упругие модули ciJki долж-
ны удовлетворять следующим требованиям:
(а) тензор tfJkl имеет следующие свойства симметрии
A.3.10)
(Ь) тензор dJkl является положительно определенным, что озна-
чает, что для любого симметричного тензора 1еЛ, т. е. такого
что е,у = tp, имеет место неравенство
Ч# A.3.11).
с некоторой положительной постоянной с0, не зависящей от (еЛ.
26
Теперь, как и выше, в качестве метрики мы можем ввести
функционал
'/2 A.3.12)
который определен на парах непрерывно дифференцируемых на П
вектор-функций и(х) и v(x). Как всегда, начнем с проверки
аксиомы метрики М2. Если d(u,\) = 0, то всюду в П все
(u(x)- v(x)) = 0 (/,/ = 1,2,3). Как известно из общего курса теории
упругости, отсюда следует, что вектор u(x)-v(x) равен некоторо-
му вектору перемещения тела как жесткого целого, то есть имеет
вид:
u(x)-v(x) = a + xxb, A.3.13)
где а и b - некоторые векторные константы.
Если мы ограничим множество С10 произвольных непрерывно
дифференцируемых вектор-функций и(х) условием
4q-0 A.3.14)
(жестко закрепленный край; данное условие соответствует второй
основной задаче теории упругости), то мы получаем, что разность
u(x) - v(x) равна нулю.
Проверка выполнения остальных аксиом метрики на множестве
С,о для функционала d(u,\), определенного формулой A.3.12),
не представляет особого труда (при этом, конечно, следует учесть
требования, наложенные на упругие постоянные!). Таким обра-
зом, мы ввели энергетическую метрику для упругого тела с жестко
зажатой границей.
Позднее мы рассмотрим, как ввести энергетическую метрику в
случае краевых условий другого типа.
Отметим, что пока что мы не вводили термин «энергетическое
пространство», оставляя его для пространств функций с той же
метрикой, но с другими свойствами гладкости. Введенные выше
пространства являются лишь базой для введения «настоящих»
энергетических пространств. Для их введения нам потребуется вве-
сти такие понятия, как понятия интеграла Лебега и обобщенной
производной.
27
1.4. МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
По аналогии с множествами, определенными в евклидовом
пространстве, в метрическом пространстве X мы можем ввести
множества различного типа, которые будут широко использовать
ся в дальнейшем. Элементы пространства X обозначаются х Эле-
менты х будут также называться точками.
Определение 1.4.1. Открытым (замкнутым) шаром с центром i
точке Xq и радиуса R называется множество всех точек X, удовлет-
воряющих неравенству d(xo,x) < /?(< R).
Отметим, что это определение практически совпадает с опреде-
лением шара в элементарной геометрии. Однако даже в элементар-
ной геометрии при использовании данного определения и неевкли-
довой метрики в качестве «шара» мы получим фигуры, отличные от
обычного шара. Например, в пространстве Я? с метрикой
d{\,y) = sup^Xj -у^ «шаром» в смысле Определения 1.4.1 явля
ется куб. '
По аналогии с определением шара в метрическом пространстве
можно ввести любую «фигуру», в определении которой участвует
лишь понятие расстояния, например, эллипсоид.
Определение 1.4.2. Множество 5 точек метрического простран-
ства Л" называется открытым если множество 5 вместе с каждой сво-
ей точкой х содержит некоторый открытый шар ненулевого радиуса.
До сих пор мы не требовали, чтобы метрическое пространст-
во было линейным, т. е. чтобы были введены операция сложения
элементов пространства х + у и операция умножения элемента на
число а, которые отвечали бы аксиомам линейного пространства
В этой главе мы, в основном, представляем те из результатов
теории метрических пространств, которые не требуют линейносп
пространства. Однако отметим, что в линейном метрическом
пространстве мы можем ввести определение отрезка с концами ху
и х2 как множества всех точек вида txl +A-фг2, ' е[Ф ']• Поду-
майте, как ввести понятие прямой в линейном метрическом про-
странстве.
В дальнейшем мы будем использовать такие термины, как пря-
мая, подпространство и т.п.
Пользуясь определением отрезка, мы можем ввести определе-
ние выпуклого множества в линейном пространстве X.
28
Определение 1.4.3. Множество в X называется выпуклым, если
вместе с каждыми двумя его точками данное множество целиком
содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.
Определение 1.4.4. Множество в метрическом пространстве на-
зывается ограниченным если существует некоторый шар конечного
радиуса из этого пространства, содержащий все точки данного
множества.
1.5. СХОДИМОСТЬ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Конечно, построение различных множеств в абстрактном мет-
рическом пространстве - интересное занятие, однако нас больше
интересует другой аспект теории, связанный не с геометрией про-
странства, но более с математическим анализом преобразований,
определенных на метрическом пространстве. Первым шагом тако-
го анализа является введение понятие предела последовательности,
являющееся полной копией соответствующего понятия из матема-
тического анализа.
Определение 1.5.1. Будем говорить, что бесконечная последо-
вательность {*,-} е.Х имеет предел х в метрическом пространстве X,
если limdfxi.x) = 0. Последнее что означает, что по любому на-
перед заданному числу е > 0 найдется такой номер N, что для лю-
бого номера п> N выполнено неравенство d(xn,x)< e. В этом
случае мы будем писать х = lim х„ и говорить, что последователь-
I \ ¦> Я-f СО
ность |х,-] является сходящейся к элементу х
В дальнейшем мы будем использовать без особых пояснений и
другие термины относительно сходимости, известные в математи-
ческом анализе, такие как «предельная точка» и др.
Свойства сходящихся последовательностей, известные в мате-
матическом анализе, имеют место и в Метрическом пространстве.
Часть из них имеет смысл только для линейных метрических
пространств.
Свойство 1.Сходящаяся последовательность не может иметь бо-
лее одной предельной точки.
Доказательство. Пусть Xх и х2- две различные предельные точки
последовательности {*,}. Это означает, что <1\х\хг\ = а >0.
29
Выберем е = а/3. По определению предела последовательности су-
ществует такой номер N, что при любом п> N одновременно вы-
полняются два неравенства:
d(xn,xl)<a/3 и d(xn,x2)<a/3
Однако одновременное выполнение этих неравенств приводит
к противоречию, поскольку тогда
- + - = ^a, ч.т.д.
Читатель заметил, что доказательство полностью копирует соот-
ветствующее доказательство классического математического анали-
за. Аналогично проводится проверка выполнения других свойств
сходящихся последовательностей, например, выполнение следую-
щего свойства.
Свойство 2. Сходящаяся в метрическом пространстве последо-
вательность является ограниченной т. е. существует шар конечного
радиуса из данного пространства, содержащий все точки данной
последовательности.
Видимая лёгкость, с которой подобные результаты можно пере-
носить результаты классического математического анализа в теорию
метрических пространств, может побудить нас попробовать перене-
сти сюда и другие классические .теоремы. Например, теорему Боль-
цано-Вейерштрасса. Однако в последнем случае мы обнаружим,
что трансформировать классическое доказательство — не такая ущ
простая задача. Более того, можно показать, что в общем метри-
ческом пространстве эта теорема перестает быть справедливой.
Попробуем посмотреть, что произойдет с другим фундаменталь-
ным результатом классического математического анализа при по-
пытке перенести его на общий случай метрического пространства.
В математическом анализе известно, что любая сходящаяся после-
довательность является фундаментальной, а любая фундаментальная
последовательность (последовательность Коши) имеет предел. По
аналогии с классическим определением последовательность {х„} в
метрическом пространстве называется фундаментальной, если для
любого положительного числа е > 0 найдется такой номер N, что
для всех лит больших, чем N, имеет место d(xu,xm) < е. Оказыва-
ется, что не всякая фундаментальная в метрическом пространстве
30
последовательность имеет предел. Следующая задача, решение ко-
торой мы оставляем читателю, демонстрирует это утверждение.
Задача 1.5.1. Построить такую последовательность непрерывных
на отрезке [0; 1] функций, {/„(*)} которая
1) является фундаментальной в пространстве непрерывных функ-
ций с метрикой t
d{f,g) = ]\f{x)-g{x)\dx, '
о
2) в каждой точке отрезка [0; 1] имеет предел,
однако
3) предельная функция для последовательности {/„(*)} не является
непрерывной.
Эта задача показывает, что мы должны рассмотреть понятие
фундаментальной последовательности более тщательно. Эта задача
приводит нас к введению понятия полноты метрического про-
странства.
1.6. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Введем определение.
Определение 1.6.1. Метрическое пространство X называется
полным, если всякая фундаментальная последовательность из этого
пространства имеет предел, принадлежащий этому же пространству.
Пространство действительных чисел с метрикой d(x, у) = \х - у\
дает нам пример полного метрического пространства. Множество
рациональных чисел с той же метрикой является неполным метри-
ческим пространством: предел фундаментальной последовательно-
сти с рациональными членами может быть иррациональным чис-
лом, не принадлежащим данному множеству.
Нетривиальным примером, полного метрического пространства
является пространство непрерывных на компакте Q функций, обо-
значенное ранее как С(П). Теорема Вейерштрасса утверждает,
что предел равномерно сходящейся на П последовательности не-
прерывных функций есть непрерывная функция. Сходимость по
метрике С(П) и есть равномерная сходимость. Следовательно,
предел любой фундаментальной последовательности принадлежит
C(fi), а значит пространство C(Cl) является полным.
31
Задача 1.5.1 демонстрирует, что в зависимости от того, какаг
метрика введена на множестве, метрическое пространство может
оказаться как полным, так и неполным. Например, утверждение
Задачи 1.5.1 можно переформулировать следующим образом: мно
жество непрерывных на [0; 1] функций с метрикой
d(f,g) = \\f(x)-g(x)\dx
о
является неполным метрическим пространством.
Отметим, что все введенные выше пространства непрерывно
дифференцируемых функций с энергетическими метриками явля-
ются неполными.
Определение 1.6.2. Множество S метрического пространства /
называется замкнутым в X, если каждая его фундаментальная пос-
ледовательность, лежащая в S, имеет предел, принадлежащий S.
Справедливость следующей теоремы очевидна.
Теорема 1.6.1. Подмножество S метрического пространства X,
снабженное метрикой X, является полным метрическим простран-
ством тогда и только тогда, когда S является замкнутым в X.
Определение 1.6.3. Множество А, принадлежащее метрическо-
му пространству X, называется плотным в X, если для любого эле-
мента х € X любой шар ненулевого радиуса с центром в точке л
содержит по меньшей мере один элемент из А.
Хорошо известная теорема Вейерштрасса о приближении не-
прерывной функций на компакте многочленами может быть пере-
формулирована следующим образом: множество всех многочленоЕ
является плотным в пространстве С(Г2), где Q - компакт в R".
Заметим, что свойство полноты пространства является важным
при анализе многих задач, где необходимо обосновывать различ
ные предельные переходы. В частности, это свойство чрезвычай
но существенно при обосновании сходимости приближенных ме
тодов решения задач, а также при решении вопроса разрешимости
краевых задач.
Мы ввели весьма удобные для Исследования задач энергетичес-
кие метрики, однако соответствующие пространства непрерывно
дифференцируемых функций с этими нормами являются неполны*
ми. Возникает вопрос: можно ли исправить ситуацию? Ответом на
него является следующая теорема. >
32
1.7. ТЕОРЕМА О ПОПОЛНЕНИИ
МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Данная теорема имеет следующую формулировку.
Теорема 1.7.1. Пусть U — метрическое пространство. Суще-
ствует такое полное метрическое пространство U и такое его под-
множество U*, всюду плотное в U, что между U и U* имеется
взаимно однозначное изометрическое (т.е. сохраняющее расстоя-
ние между любыми двумя элементами) соответствие. Если U есть
линейное пространство, то и U является линейным, а соответ-
ствие между U и U* сохраняет операции сложения элементов и
умножения их на числа.
Замечание. Отметим, что элементы пространств U и U* име-
ют различную природу, но поскольку в метрическом пространстве
для нас существенна единственная характеристика — расстояние
между элементами пространств, то далее в обозначениях мы будем
отождествлять элементы множеств U и U%
Введем определение.
Определение 1.7.1. Две последовательности {х„} и {у„} из мет-
рического пространства U называются эквивалентными, если
{)
Доказательство Теоремы 1.7.1. Доказательство является конст-
руктивным и состоит из двух частей: сначала показывается, как
построить элементы пространства 0 и его метрику, а затем прове-
ряется выполнение всех аксиом для построенной на О метрики.
Рассмотрим некоторую фундаментальную последовательность
из пространства U. Множество всех эквивалентных ей фундамен-
тальных последовательностей объединим в один элемент и назовем
его классом эквивалентности. Любая из последовательностей, вхо-
дящая в класс эквивалентности X, носит название представителя
класса X (или представШЛельной последовательности). Элементу
х е U поставим в соответствие класс эквивалентности X, содержа-
щий стационарную последовательность (х,х,х,...); такой класс эк-
вивалентности мы будем часто называть просто х.
Множество всех классов эквивалентности и есть то множество,
которое образует пространство 0. Его подмножество стационарных
последовательностей, т.е. последовательностей вида (х,х,х,...),
КОЯОХЗА
НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2XS ДВЕ
33
назовем U*. Это и*и есть то подмножество, которое ставится во
взаимно однозначное соответствие с пространством U. Остается
ввести на 0 метрику и провести обоснование всех утверждений
теоремы.
Метрика на множестве элементов 0 вводится равенством
d(X,Y)=lmd(xH,yH), A.7.1)
где последовательности {х„} и [у„] являются представительными
последовательностями классов эквивалентности. X и У соответ-
ственно.
Сначала мы должны показать корректность данного определе-
ния. А именно, необходимо показать, что предел в A.7.1)
существует и не зависит от выбора представительных последова-
тельностей {*„} и {у„}. Затем надо продемонстрировать, что
функционал d(X,Y) действительно является метрикой, т.е. удов-
летворяет всем требованиям аксиом метрики.
Итак, проверим корректность определения. Испольуя неравен-
ство треугольника, записанное для метрики пространства U, имеем
<*{хп-У*) * d{xn,xM) + d(xm,ym) + d{ym,yn) ,
откуда
dix*>yn) ~d{xM,yM) <. d{xn,xM) + d{ym,yH) .
Меняя индексы пит местами, также получаем, что
*{**>Ут) ~ 4{хп>У„) * d{xM,xn)
Таким образом,
Так как последовательности [х„\ и [уп\ являются фундаменталь-
ными, то d(xn,xm) + d{yn,ym)-+ 0 при п.т-Ь'ю. Итак, мы полу-
чили, что числовая последовательность {</(*„,.)>„)] также является
фундаментальной, то есть предел в правой части равенства A.7.1)
существует.
Подобным же образом показывается, что данный предел не
зависит от выбора представительных последовательностей. Мы ос-
тавляем проверку этого утверждения читателю.
Теперь докажем, что для введенного функционала d(X,Y) на
множестве 0 выполнены аксиомы метрики. .
34
Аксиома Ml. d(X, Y) = lim d(xn,yn) ? 0 .
Аксиома М2. Очевидно, что если X = Y, то d(X, К) = 0. На-
оборот, если d[X, К) = 0, то X и Y содержат одно и то же множе-
ство фундаментальных последовательностей по определению. Сле-
довательно, аксиома М2 тоже выполняется.
Аксиома МЗ. d{X, Y) = lim d(xn,yn) = lim dly.,xn) = d(Y,X).
x ' Л-КЮ v ' Л-ЮО v " ' x '
Аксиома М4. Для любых фундаментальных последовательностей
{*«}» {л} > {zn} из пространства U имеет место неравенство треу-
гольника
Переход к пределу при п-+<» приводит к неравенству треугольника
для функционала d{X, Y):
d(X,Y)?d(X,Z) + d(Z,Y).
Для завершения доказательства теоремы о пополнении остается
доказать, что метрическое пространство 0 является полным и
множество U* является в нем всюду плотным.
Сначала покажем, что всякая фундаментальная последователь-
ность IX' \, принадлежащая U, имеет предел X = lim X'', также
принадлежащий U. Для доказательства выберем из каждого из
классов эквивалентности X' какую-либо представительную после-
довательность, обозначенную W'|- Затем из последовательнос-
ти jjcj'l выберем такой элемент xit что dlxf-xy J<1// для всех
j > i (последнее возможно, так как последовательность \xj') яв-
ляется фундаментальной).
Покажем, что последовательность {х,} является фундаменталь-
ной. Обозначим через X, тот класс эквивалентности, в который
входит стационарная последовательность (xhxhxh..). Тогда
d(Xi,Xj) = d(xi,XJ) S tfx,,X') + d(Xi,
\ + d(x,X) + .+Q, если i,j-?*>t
что и означает, что последовательность {*,} фундаментальна.
35
Обозначим через X тот класс эквивалентности, который
содержит последовательность {*,•}. Очевидно, что \тХ'=Х
Действительно, '"*°°
d(x\Х)< d(x\X,) + d(XhХ)й\ + d(XhX) =
= - + lim d(xh X/) -» 0. при i -*¦ 0 ,
так как {*,-} является фундаментальной последовательностью. Та-
ким образом, элемент X, принадлежащий 0, и есть предел пос-
{}
ледовательности {}
Теперь остается показать, что множество U*, состоящее из
элементов, содержащих в качестве представительных стационар-
ные последовательности, является плотным в пространстве U и
что соответствие между U и U сохраняет расстояния при алгебраи-
ческих операциях. Эти факты почти очевидны. Действительно,
пусть X - произвольный класс эквивалентности. Пусть {х„} - его
представительная последовательность. Обозначая снова через Х„
тот класс эквивалентности, который содержит стационарную пос-
ледовательность (дся,дся,дс„,.;.), имеем
d{Xn, X) = lim d{xH,xm) -> 0 при п -*¦ <*>,
так как последовательность {х„} является фундаментальной.
Наконец, d[X, У) = d{x, у), если X, Y являются классами экви-
валентности из U*, соответствующими произвольным элементам
х, у из U.
Пусть U - линейное пространство. То, что соответствие, вве
денное между U и U*, сохраняет операции сложения элементов и
их умножения на число достаточно очевидно. Таким образом,
теорема доказана полностью.
Теорема о пополнении имеет чрезвычайно большое значение
для дальнейшего изложения. Далее мы будем вводить энергетичес-
кие пространства, пользуясь данной теоремой.
Условимся о терминологии. Иногда мы можем установить не-
которое свойство для предела представительной последовательнос-
ти, которое не зависит от выбора этой последовательности. В та-
ком случае мы будем говорить, что весь класс эквивалентности
обладает этим свойством. Эта ситуация типична для энергетичес-
ких и соболевских пространств.
В последующих параграфах мы дадим примеры применения
теоремы о пополнении.
36
1.8. ПРОСТРАНСТВО L'(Cl)
В §1.6 мы установили, что множество всех непрерывных на
ограниченном замкнутом множестве О. функций с метрикой
( У"
d(f(x),g(xj) = J\/(к)-gixfdCl] , р2- 1 , Л1 = dxx...dxn ,A.8.1)
является неполным метрическим пространством.
Применим теорему о пополнении в данном случае. Соответ-
ствующее пространство классов эквивалентности обозначим
Lp(Cl). Элементом пространства LP(Q) является множество всех
эквивалентных фундаментальных в метрике A.8.1) последователь-
ностей функций, которые непрерывны на ft. Напомним, что в
данном случае последовательность функций {/„(*)} является фун-
даментальной, если
JIAW - ЛЮТ* -> 0 при л, /и->«>.
а две фундаментальные последовательности {/„(х)} и {^я(х)| явля-
ются эквивалентными, если
j\fn(x)-gn{xfdn-^O при л-юо.
п
Замечание 1.8Г1. В классической теории функций действитель-
ного переменного показано, что любому классу эквивалентности
пространства L^{Qt) можно поставить во взаимно однозначное со*
ответствие некоторую функцию (более точно, класс эквивалент-
ных почти всюду функций), которая в некотором смысле является
пределом представительной последовательности из данного класса.
На множестве таких функций определено понятие интеграла Лебе-
га. Способ, которым здесь вводятся пространство Lp(d) и интег-
рал Лебега, эквивалентен построениям классической теории. Мы
не будем рассматривать этот вопрос более подробно. Исходя из
указанной эквивалентности, мы иногда будем называть классы эк-
вивалентности функциями. Это же замечание относится и к эле-
ментам соболевских пространств, которые будут введены позднее.
Замечание 1.8.2. В соответствии с теоремой Вейерштрасса лю-
бая непрерывная на компакте С1 функция может быть приближена
многочленом с любой степенью точности в метрике пространства
C(Q), а, следовательно, и в метрике пространства Lp{fi). Отсюда
37
вытекает, что любой класс эквивалентности в Lp(Cl) содержит фун-
даментальную последовательность, членами которой являются мно-
гочлены, т. е. бесконечно дифференцируемые на ft функции. Сле-
довательно, мы могли бы получить то же самое пространства
Lp(Cl), выбирая в качестве основы множество бесконечно диффе-
ренцируемых на ft функций или даже множество многочленов.
Замечание 1.8.3. В формуле A.8.1) используется обычный ин-
теграл по Риману. При этом мы исключили неявно различные
«экзотичные» области ft, которые были бы возможны в класси-
ческой теории интегрирования по Лебегу. Можно было бы
приложить не слишком большие усилия, чтобы добиться той же
степени общности и в данном подходе к построению интеграла
Лебега, однако механические приложения, которые будут рас-
сматриваться ниже, не требуют такой общности. Поэтому мы ос-,
тавляем на долю заинтересованного читателя заполнение данного
пробела в теории интеграла Лебега. Имеет смысл отметить, что
ограниченность области ft не является необходимым требованием
в данной теории.
Интеграл Лебега. Будем обозначать элемент пространства LP(Q),
т.е. некоторый класс эквивалентности, через F(x). Чтобы ввести
понятие интеграла Лебега в рамках данной теории, мы используем
обычный интеграл Римана.
Рассмотрим, сначала, как определить интеграл вида
f |F(x)|**l. Возьмем для этого некоторую представительную фун-
даментальную последовательность {/„(*)} из класса f(x) и рас-
смотрим числовую последовательность \.,.
Она является фундаментальной числовой последовательностью.
Действительно, имеет место
38
при п,т-юо. Примененное здесь неравенство является следстви-
ем неравенства Минковского для интегралов. Отсюда заключаем,
что существует /¦ \Vp
Чтобы завершить построение, мы должны показать, что число К
не зависит от выбора представительной последовательности (Л(хI
из класса /"(ж). Мы оставляем эту проверку читателю как легкое
упражнение по применению неравенства Минковского.
Число Кр назовем интегралом Лебега от функции \F{x^p по
области С1:
n n
Прежде, чем продолжить построение интефала Лебега для
класса F(х) $ LP(Q), покажем, что для ограниченной области Q
класс F(х) € ?>Г(Л) при всех \<, г < р.
Действительно, пусть /(х) - непрерывная на Q функция.
Применяя к произведению 1 • |/(х)| неравенство Гельдера, имеем
= (mes
п J ^п у Vh J
где l/q +г/р-1. Отсюда при любом г, \<г<р, получаем
что и доказывает, что фундаментальная в метрике Lp(Ci) последо-
вательность непрерывных функций является фундаментальной и в
метрике пространства Lr(&). Подобным образом можно пока-
зать, что две фундаментальные последовательности, являющиеся
эквивалентными в метрике LP{Q), остаются эквивалентными и в
метрике пространства ?'(&)• Таким образом, любой элемент
пространства Lp(fl) принадлежит пространству ?'(&), и мы мо-
жем сказать, что множество элементов Lp(n) является подмноже-
ством в Lr(u). Отметим, что для неограниченной области П этот
факт не имеет места.
Итак, для F(x)eLp(Q) мы можем однозначно определить
интеграл
J|/"(x)|rdn при всех I <, г ? р.
о . ,
39
Предельный переход в установленном выше неравенстве пока-
зывает, что
j\F(xfdn\ <(m,snf-l"'\j\F(xfdn\ . A.8.2)
Теперь мы можем ввести интеграл Лебега для самого
элемента F(х) € LP(Q), р й 1. Возьмем некоторую представитель-
ную последовательность {/„(х)| из класса F(x). Фундаменталь-
ность числовой последовательности |J/n(x)rfn| является следстви-
ем неравенства! /(х)Л^|<| |/(х)|<?2 для непрерывных функций.
Итеграл Лебега Г F(x)dn для класса F(x) определяется однознач-
но равенством
JF{x)dn=VmJfn{x)d[i.
а п
Отметим, что для интеграла Лебега имеет место неравенство:
|и*)<*>
Итак, мы ввели понятие интеграла Лебега Г F(x)dd для эле-
ментов пространства F(x)eLp(n) при pzl. Заметим, что по по-
строению значение интеграла Римана для непрерывкой на Q фун-
кции совпадает со значением интеграла Лебега для класса,
поставленного теоремой о пополнении в соответствие данной
функции.
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с интегралами
вида jQF(x)G(x)dn. Например, такой, вид имеет функционал,
выражающий значение работы внешних сия на перемещениях.
Покажем, как определить значение такого интеграла, если
F(x) e L"(n), G(x) € L9(U) и \jq + l/p « 1. r.
Рассмотрим числовую последовательность 1„ = f /„(x)gn(x)dn
где {/я(х)| и {gHM} являются представительными последователь-
ностями классов F(x) и G(x) соответственно.
40
Тогда
при я,/и-+ОО, так как {/„(х)] и (зДх)] являются фундаменталь-
ными последовательностями в соответствующих метриках и, кроме
того, для больших п имеют место очевидные неравенства
an a si
Итак, существует предел / = lim 1„, который мы и определяем
как интеграл Лебега | F{\)G[x)dn .
Задача. Покажите самостоятельно, что / не зависит от выбора
представительных последовательностей.
Отметим дополнительно, что переход к пределу в неравенстве
Гельдера, написанном для членов представительных последова-
тельностей,
показывает, что неравенство Гельдера для классов эквивалентных
последовательностей F(x)e ЩП) и G(x)eL9(Q), \/q + \/p «1,
имеет ту же самую форму, что и для интегралов Римана от непре-
рывных функций:
'() \
41
Отметим дополнительно, что для положительных элементов
F(x) и G(x) равенство в A.8.4) имеет место тогда и только тогда,'
когда существует константа X такая, что F(x) = XG(x).
Замечание. Неравенство Гельдера остается справедливым и в
случае, неограниченной области Q. Однако вытекающее из него
для случая ограниченной области Q свойством, что каждый элемент
из Lp\p) принадлежит Lr(Cl) при \ й г й р > перестает быть спра-
ведливым для неограниченной области.
Подводя итоги, мы можем сказать, что полученные свойства
классов из Lp(Q) и их интегралов позволяют нам обращаться с
ними практически как с обычными функциями, что мы и будем
далее делать.
1.9. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
... Почти все рассматриваемые выше пространства имеют структуру
линейного пространства. Это означает, что для каждой пары эле-
ментов хну пространства Л* однозначно определены операции сло-
жения элементов х+у и умножения элементов на числа (действи-
тельные или комплексные), которые Обладают следующими
свойствами:
A)
. B) ( ) ( )
C) существует нейтральный элемент ВвХ , такой, что х+в=х;
D) () ()
E) \х = х,
F) х + (-\х) = в;
G) Х(х + у) = Хх + Ху',
(8) (X + ц)х = Хх + ц*.
Здесь X и ц — действительные (комплексные) числа. В дальней-
шем мы будем использовать символ 0 для обозначения нейтраль-
ного элемента (нуля) в в пространстве X. '
Если в пространстве введено умножение элементов только на
действительные числа X, то пространство Называется действитель-
ным, если допускается умножение ,на комплексные числа, то
комплексным пространством.
Мы могли бы продолжить изучение общих свойств метрических
пространств в терминах метрики, однако метрики всех введенных
выше пространств векторов и функций имеют некоторые дополни-
42
тельные свойства. Используя эти свойства, мы можем несколько
упростить дальнейшие рассуждения и выкладки.
Определение 1.9.1. Пусть X - линейное пространство элемен-
тов х. Функционал ||х|, принимающий неотрицательные конеч-
ные значения на любом элементе X, называется нормой в
пространстве X, если он имеет следующие свойства:
N1. |х|| s 0, причем ||х|= 0 тогда и только тогда, когда х = О;
N2. M-NH;
N3. Ix + jIsH + И- . ¦
Свойства N1-N3 называются аксиомами нормы.
Определение 1.9.2. Линейное пространство X называется нор-
мированным пространством, если для каждого элемента х е X оп-
ределена конечная норма |х|, то есть ||дс|| удовлетворяет аксиомам
нормы N1—N3.
Покажите самостоятельно, что функционал
удовлетворяет всем аксиомам метрики и, следовательно, норми-
рованное пространство является метрическим пространством.
Одним из следствий аксиом нормы является неравенство
v
Докажите его самостоятельно.
Итак, нормированное пространство является метрическим.
Однако произвольное метрическое пространство не является нор-
мированным в общем случае, хотя бы потому, что метрическое
пространство не обязано быть линейным.,Но и в случае, если оно
линейно, в нем не всегда возможно ввести норму, эквивалентную
метрике.
Поскольку нормированное пространство является метричес-
ким, то мы будем использовать для него терминологию,; введен-
ную для метрического пространства. Например, мы будем гово-
рить, что две нормы называются эквивалентными на X, если
существуют положительные константы /я,, что
для всех х € X.
В частности, введем понятие полноты.
43
Определение 1.9.3. Полное нормированное пространство назы-
вается банаховым или В-пространством.
Название дано в честь выдающегося польского математика Сте-
фана Банаха, которому принадлежит значительная часть результа-
тов теории банаховых пространств. -
Приведем примеры банаховых пространств.
Очевидно, что пространство непрерывных на компакте QcJf"
функций С(п) является линейным. Оно становится нормирован-
ным, если мы введем норму
= max|/(xj.
Действительно, все аксиомы нормы здесь выполнены. Более
того;, С(п) является полным пространством, а, следовательно,
оно является банаховым пространством.
В качестве упражнения мы оставляем читателю показать, что
пространство LP(Q) с нормой
Ж-
является банаховым пространством, как Я пространства т, с, 1Р.
Рассмотрим другой пример банахова пространства, а именно,
пространства всех непрерывных на компакте ClcR" функций,
имеющих все до порядка к включительно непрерывные на Q про-
изводные. Это пространство обозначается С^(п). Норма в
^) определяется равенством
Мы оставляем читателю рутинную, но необходимую работу по
проверке выполнения аксиом нормы NJ-N3. Покажем лишь, что
пространство с'*'(п) является полным.
Пусть последовательность |/«(х)| является фундаментальной в
пространстве О*'(п). По определению нормы в С^*'(п) это означа-
et, что и последовательность {/(х)}, и последовательности ее про-
изводных |0а/{(х)| при |а| <к являются! фундаментальными в про-
странстве C(Q). Будучи равномерно сходящейся на компакте Q,
каждая из этих последовательностей имеет в качестве предела неко-
торую функцию,
44
I-+00 I-+00
являющуюся непрерывной на Д. Для завершения доказательства
нам достаточно показать, что Z)a/(x) = /a(x). Мы продемонстри-
руем это равенство лишь для одной частной производной 5//йе,
(для остальных производных проверка проводится аналогично).
Итак, пусть
Рассмотрим разность
Д = f(xux2,...,xtt)- f{a,x2,...,xn)-\f\t,x2,...,xn) Л.
Имеем "
A = {f{x\, -,xn)-fi{xu...,xn)} -[{f(a,x2,.. .,х„)-Ь(а,х2,...,х„)} -
Каждая разность, стоящая в фигурных скобках, сходится к нулю
равномерно при /-юо. Следовательно, не зависящая от / величина
Л равна нулю, т.е.
f(xltx2,...,xn)-f(a,x2,...,xtt) = \f\t,x2,...,xn)A.
а
Из этого равенства следует непосредственно, что
(Э/(х)/йс, = /'(х), что и заканчивает доказательство.
Введем еще один тип пространств, элементами которого слу-
жат те функции из с"'(п), для которых следующая норма имеет
конечное значение:
Если Q есть компакт в R", то соответствующее нормированное
пространство, называемое пространством Гельдера Н (й), явля-
ется банаховым.
45
В евклидовом пространстве важную роль играет операция ска-
лярного произведения. В некоторых абстрактных пространствах
также может быть введено скалярное произведение.
Определение 1.9.4. Пусть Н — комплексное линейное простран-
ство. Скалярным произведением в пространстве Н назовем
однозначно определенный для любой пары элементов х,уеН
функционал, обозначенный через (х,у), если он обладает следу-
ющими свойствами, называемыми аксиомами скалярного
произведения:
Р1. (х,х)>0; равенство (*,*) = 0 справедливо тогда и только
тогда, когда х = 0;
Р2. (х,у) = (у,х);
РЗ. [Хх + \iy, z) = Х(х, z) + v(y, z), где X, ц - комплексные числа
Пространство Н со скалярным произведением называется унитар-
ным (оно также называется пространством со скалярным произве-
дением, или предгильбертовым пространством).
Это определение дано для комплексного пространства. В слу-
чае действительного линейного пространства аксиома Р2 заменяет-
ся следующей:
Р2'. (х,у) = (у,х)
Рассмотрим свойства скалярного произведения в унитарном
пространстве. Каждому элементу х е Н поставим в соответствие
неотрицательное число |х|, задаваемое формулой
\x\ = {x,xf\ :
Покажем, что тем самым мы ввели норму на пространстве Н.
Иными словами, пространство Н является нормированным. Мы
будем говорить, что указанная выше норма индуцирована скаляр-
ным произведением.
Докажем предварительно так называемое неравенство Шварца.
Теорема 1.9.1. Для любых элементов х,у&Н имеет место
неравенство
причем при х *¦ 0 и у ф 0 знак равенства в A.9.2) имеет место тог-
да и только тогда, когда существует такое число Я., что х = Ху.
46
Доказательство. Очевидно, что неравенство Шварца справед-
ливо, если один из сомножителей равен., нулю. Поэтому рассмот-
рим случай, когда х * 0 и у * 0. Пусть Я. — некоторое комплекс-
ное число. По свойству Р1 имеем: (х + Ху, х + Ху) > О , причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда х = -Ху. Далее
получаем, что
(х + Ху,х + Ху) = (х, х) + Х (у, х) + Цх, у) + ХХ(у, у).
Положим Я. = -) ' {. Тогда имеем
(У* У)
" м! и4
Неравенство A.9.2) (и примечание к нему) есть прямое следствие
данного неравенства, ч.т.д.
Теперь мы в состоянии приступить к проверке аксиом нормы
для функционала |х|| = (х,х) .
Аксиома N1 есть прямое следствие аксиомы Р1.
Аксиома N2. Ее выполнение следует из цепочки равенств:
\Хх\ = {Xx.Xxf = (xxf(x,xf2 = Щ \\x\\.
Аксиома N3 также выполнена. Это вытекает из следующей цепоч-
ки преобразований:
Итак, мы доказали, что унитарное пространство является нор-
мированным.
Определение 1.9.5. Полное унитарное пространство называется
гильбертовым или пространством Гильберта.
По аналогии с терминологией евклидова пространства будем
говорить, что элемент х еН ортогонален элементу у еН, если
(х, у) = 0. Также будем говорить, что эти элементы взаимно орто-
гональны.
47
Задача 1.9.1. Доказать, что для любой пары элементов х и у
унитарного пространства выполняется равенство параллелограмма:
Рассмотрим теперь некоторые примеры гильбертовых
пространств.
Пространство I2. Для бесконечных последовательностей эле^
ментов комплексного пространства /\ обозначаемых х и у, ска-
лярное произведение определяется равенством
М = ?***• A.9.4)"
Пространство /2 является «предшественником» всех гильберто-
вых пространств, существенно повлиявшим на появление функцио-
нального анализа как особой ветви математики. Это пространств^
было введено Гильбертом в работе, посвященной обосновании:
принципа Дирихле в теории функций комплексного переменного.
Иногда мы будем использовать действительное пространство
I2. Здесь скалярное произведение вводится равенством ?
Пространство L2(Q). Скалярное произведение в L2(&) задает-
ся равенством
а
Подумайте, как изменить это определение, если 12(П) — действи-
тельное пространство.
Проверка, что скалярные произведения A.9.5) и A.9.6) удов-
летворяют аксиомам Р1-РЗ, является элементарной.
Задача 1.9.2. Записать неравенство Щварца и равенство .парал-
лелограмма в терминах пространств /2 и L2(d).
Наиболее важным для нас является то обстоятельство, что все
введенные выше пространства с энергетической метрикой являют-
ся унитарными. Используя теорему о пополнении, мы образуем
из этих пространств гильбертовы пространства, которые и будут
называться энергетическими пространствами.
48
1.10. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Изгиб стержне. Мы ввели энергетическую метрику на множестве S
дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [0;/] функций,
которые описывают нормальные перемещения точек нейтральной
оси стержня, закрепленного по концам
ДО) = /@) = у{1) = /(/) = 0 . A.10.1)
Данная метрика,
ft i . У
A.10.2)
характеризует разность состояний у(х) и z(x) стержня. Она есте-
ственным образом порождает следующее скалярное произведение
на ?
fa)= \ J В(х)У"{х)*"{х) <& > A.10.3)
а также норму
A.10.3а)
которая, очевидно, удовлетворяет равенству d(y, z) = \\y - г||. Про-
верка, что соотношением A.10.3) действительно введено скаляр-
ное произведение на множестве S, не представляет труда и предо-
ставляется читателю.
Так введенное пространство S является унитарным, но не
гильбертовым, так как существуют фундаментальные последова-
тельности функций из множества S, которые сходятся по норме
A.10.3а) к функции, не являющейся дважды непрерывно диффе-
ренцируемой на [0;1]. Чтобы на базе множества S построить пол-
ное пространство, мы применяем Теорему 1.7.1 о пополнении.
Назовем действительное пространство, полученное в результате
пополнения множества функций S в метрике A.10.2), энергетичес-
ким пространством для задачи изгиба упругого стержня и обозначим
его через Ес. В данном пространстве имеют смысл не только мет-
рика A.10.2), но и скалярное произведение A.10.3). Поэтому про-
странство Ес является гильбертовым.
49
Итак, мы ввели энергетическое гильбертово пространство, по-
лученное в результате пополнения по норме A.10.3а), в котором i
выражение скалярного произведения входят вторые производные
Возникает вопрос, каков смысл этих производных в пополненной
пространстве? Позднее мы увидим, что мы ввели так называемые
обобщенные производные в смысле СЛ. Соболева.
Рассмотрим некоторые свойства элементов пространства Ес
Предварительно потребуем, чтобы жесткость стержня В(х) был-
достаточно гладкой функцией, и удовлетворяла следующему нера
венству:
0 < щ ? Д(дг) й т2.
Пусть Y(x) есть произвольный элемент?с. Норма в этом про
странстве имеет тот же самый вид, что и норма на множестве) ?
Что можно сказать о свойствах элемента Y(x) ?
Пусть \уп (х)} - некоторая представительная последовательност
произвольного элемента Y(x) e Ес. Легко видеть, что выполняет
ся следующее неравенство
*(*Ых) -
которое, с учетом фундаментальности последовательности
(т. е. вследствие выполнения соотношения
о
при я,/п->оо), влечет за собой факт, что последовательност
(^n(JC)} является фундаментальной в норме пространства 12@;/)
Таким образом, вторая производная элемента Ес оказывается при-
надлежащей пространству 12@;/).
Рассмотрим теперь последовательность, состоящую из первы>
производных той же самой представительной последовательности
|^я(дс)|. В силу краевых условий для любой функции y(x)eS
имеем
)
50
Используя это равенство, а также неравенство Гельдера с показа-
телем 2, выводим следующую цепочку неравенств:
. A-10.4)
Мы получили, что последовательность непрерывных функций
|у'(х)| сходится равномерно на отрезке [0;/]. Следовательно, она
сходится к некоторой непрерывной на отрезке [0;/] функции z(x).
Покажите самостоятельно, что эта предельная функция z(x) не
зависит от выбора представительной последовательности |.Уя(х)}
элемента Ес.
Аналогичное рассуждение можно провести и относительно пос-
ледовательности самих функций {.Уя(х)}: это также равномерно схо-
дящаяся на [0;/] последовательность непрерывных функций, кото-
рая также имеет своим пределом некоторую непрерывную функцию
у[х). Более того, имеет место равенство y'(x) = z{x), которое с
использованием A.10.4) доказывается по той же схеме, применен-
ной при доказательстве дифференцируемости элементов простран-
ства С*'(п) в предыдущем параграфе. Отметим дополнительно,
что для функции у(х) выполнены краевые условия A.10.1).
Из неравенства A.10.4) и подобного неравенства, полученного
из рассмотрения последовательности 1.Уя(*)} > мы получаем, что
для предельной функции у[х), являющейся непрерывно диффе-
ренцируемой на [О;/], выполнено неравенство
<1Л0-5>
с постоянной т, не зависящей от У(х).
Итак, каждый элемент Y(x) e Ес поставлен во взаимно однознач-
ное соответствие с некоторой непрерывно дифференцируемой
функцией у(х) eC^'(fl), которая удовлетворяет краевым условиям
A.10.1). В этом смысле мы отождествляем элемент У(х) с данной
Функцией у(х). Начиная с этого момента, и именно в этом смысле,
мы будем говорить, что любой элемент пространства Ес является
51
непрерывно дифференцируемой функцией, которая удовлетворяет гра*
нийным условиям A.10.1). Более того, далее мы будем отождествлять
элемент К(дс) с у(х), называя Y{x) «именем» у(х). Следует отме-
тить, что функция у\х) в общем случае не имеет непрерывной вто-
рой производной, однако вторая производная определяется как эле-
мент пространства Х2@;/), как это показано выше. Назовем такую
производную обобщенной. Это первый, но не последний в данной
книге пример обобщенных производных. Они называются обоб-
щенными производными в' смысле Соболева. Отметим дополни-
тельно, что далеко не любая непрерывно дифференцируемая функ-
ция имеет вторую обобщенную производную. Установленные
свойства гладкости элементов пространства Ес называют теоремам*
вложения.
Примечание. Здесь (а также при введении других энергетически;
пространств) мы используем для элементов пространства Ес специ-
альное обозначение У(х), чтобы подчеркнуть различие в природе
последовательностей, образующих класс эквивалентности при по-
полнении, и функциями. Однако в дальнейшем исследование
конкретных краевых задач мы не будем различать их в обозначениях;
При изучении задачи изгиба стержня помимо функционала по-
тенциальной энергии возникает функционал работы внешней по-
перечной нагрузки F{x) на перемещении Y[x). Данный функцжк
нал имеет вид: /
А = j F(x)Y(x) dx.
о
В силу полученных выше соотношений интеграл в правой части
имеет смысл, если F(x) eL}@;l). Поскольку У(дс| является непре*
рывно дифференцируемой функцией, то из соотношений A.10.5I
следует, что в работу внешних сил можно включить и члены сле-
дующей формы:
которые можно интерпретировать как работу сосредоточенных в
точках хк сил Fk и моментов Мк. Таким образом, в данном обоб-
щенном подходе к изучению задачи изгиба стержня возможно рас-
смотрение конкретных задач с действующими сосредоточенными*
силами и моментами. Такие задачи широко распространены в со-
противлении материалов.
52
Замечание 1.10.1. Определяя пространство Ес, мы могли бы
взять вместо начального подмножества дважды непрерывно диф-
ференцируемых функций, удовлетворяющих краевым условиям
A.10.5), подмножество более гладких функций, например, четы-
режды непрерывно дифференцируемых или даже бесконечно диф-
ференцируемых на [0;/] функций. Результирующее пространство
Ес в этом случае получилось бы тем же самым (происходит это
вследствие того, что каждый класс эквивалентности Y(x) е ?с со-
держит хотя бы одну представительную последовательность, состо-
ящую из бесконечно дифференцируемых функций). Иногда такое
определение пространства Ес оказывается более удобным.
Замечание 1.10.2. (для тех, кто уже знает, что такое обобщен-
ная постановка краевых задач). При введении обобщенной поста-
новки краевых задач в западной литературе принято не вводить
энергетические пространства, а рассматривать соответствующие
дифференциальные операторы, действующие в Соболевских про-
странствах. Мы же предпочитаем иметь дело непосредственно с
энергетическими пространствами, изучая сначала свойства самих
пространств, а затем уже дифференциальных операторов. Безус-
ловно, эти способы эквивалентны, но мы стоим на точке зрения,
что механическая (или, более широко, физическая) сущность за-
дач должна играть важную роль при исследовании задач: в таком
случае техника исследования задач, имеющая натуральные корни,
становится проще и яснее. Почему в западных работах, посвя-
щенных изучению проблем механики в обобщенной постановке, в
основном, рассматривается случай жестко закрепленного (непод-
вижного) края? Иногда это действительно принципиально, но
большей частью являются следствием используемой техники. Мы
полагаем, что успех в исследовании краевых задач механики явля-
ется следствием комбинации математической техники со знанием
механической стороны задачи.
Замечание 1.10.3. При определении энергетического простран-
ства Ес мы оставили в стороне вопрос о гладкости функции жест-
кости В(х), сказав лишь, что она является достаточно гладкой.
В сопротивлении материалов часто рассматриваются составные
стержни, где функция В{х) является кусочно непрерывной. Все
установленные выше свойства элементов пространства Ес остаются
справедливыми и в этом случае. «Чистые» математики обычно
идут дальше и начинают рассматривать значительно менее гладкие
53
коэффициенты В(х) (измеримые ограниченные функции). Это
допустимо с точки зрения математики, но не имеет никакого от-
ношения к механике, поскольку гипотезы, положенные в основу
линейной теории изгиба стержней, будут нарушаться для стержней
с подобными «экзотическими» свойствами. Инженеры подобный
анализ обычно считают совершенно бесполезным, однако это не
совсем так, поскольку изучение таких задач позволяет анализиро-
вать механические гипотезы с новой стороны, что полезно и для
приложений.
В данной книге, чтобы не загромождать изложение чисто ма
тематическими подробностями, мы будем требовать от всех меха*
нических и геометрических характеристик рассматриваемых объек
тов достаточную гладкость.
Мембрана (жестко закрепленный край). Подмножество Sl0 непре
рывно дифференцируемых на двумерном компакте О функций
и(х,у) еС1' '(о) (см. §1.3), удовлетворяющих краевому условию
«М„«0, A10.6)
с метрикой
является метрическим пространством, которое не обладает свой-
ством полноты. Вводя скалярное произведение (проверьте, чт<.
оно действительно является скалярным произведением на это\
множестве функций!)
t dv ди <
получаем унитарное пространство, вид скалярного произведения
которого определен видом метрики. Пополнение множества S]0 в
метрике A.10.7) называется энергетическим пространством для
мембраны с защемленным краем. Обозначим его ?м0. Простран-
ство Ем0 является гильбертовым.
Что можно сказать об элементах U{x,y) энергетического про-
странства ?м0? Из вида соответствующей нормы, индуцированной
скалярным произведением A.10.8) (или, что то же самое в данном,
случае, метрикой A.10.7)), следует, что последовательности первых
54
производных {ди„(х,у)/дх} и'{ди„(х,у)/ду} любой представительной
последовательности |ы„(х,,у)}, принадлежащей классу эквивалент-
ности U(x,y), являются фундаментальными по норме пространства
L2(Cl). Таким образом, первые производные элементов простран-
ства ?м0 можно считать принадлежащими пространству L2(d). Что
й й |()|?
можно сказать о свойствах самой последовательности
Выясним это вопрос.
Продолжим каждую функцию из представительной последова-
тельности |uR(x,^)| нулем вне компакта П. Без потери общности
можно считать, что О лежит целиком в первом квадранте плоско-
сти переменных (х,у), более того, пусть О, лежит в полосе
О их йа . Имеет место равенство:
Начиная с этого момента, в данном параграфе мы будем записывать
интеграл по области О в виде jj(•••) dx dy. Возводя обе части после-
днего равенства в квадрат и интегрируя затем по области С1, имеем:
n
Данная цепочка неравенств означает, что если последовательность
\дин\х,у)/дх} является фундаментальной в норме пространства
L2(d), то и последовательность |ия(дг,^)| также Является фунда-
ментальной по этой же норме. Следовательно, можно утверж-
дать, что любой элемент 1/(х,у)еЕм0 таков, что сам элемент
У(х,у) и его первые производные dU(x,y)/dx и dU(x,y)/dy при-
надлежат пространству L2{Q). В следующем параграфе мы пока-
жем, как можно интерпретировать производные элемента U{x,y).
Отметим дополнительно, что следствием последней получен-
ной цепочки неравенств является неравенство, которое носит на-
звание неравенства Фридрихса:
55
Оно справедливо для всех элементов пространства Ен0 с одной и
той же постоянной т.
Мембрана (свободный край, задача Неймана). Мы уже говорили,
что естественно вводить характеристику разности двух состояний
мембраны, используя функционал энергии A.10.7). Однако для
использования этого функционала в качестве метрики для задач»
равновесия свободной от закрепления мембраны здесь возникает
препятствие: мы не можем различить двух состояний мембраны,
если соответствующие перемещения отличаются на постоянную ве-
личину и2(х,у) -щ(х,у) = с = const. Эта разность представляет со-
бой так называемое «жесткое» перемещение (перемещение мембра-
ны как жесткого целого).
Сначала мы покажем, что других жестких перемещений в тео-
рии мембраны не возникает. Доказательство есть прямое следствие
неравенства Пуанкаре, ¦
ШП *¦
где постоянная т не зависит от выбора и(х,у). Мы сейчас дока
жем это неравенство для произвольной функции и{х,у) = с'''(П)
когда область О есть квадрат [0;а] х [0;а].
Замечание. В случае произвольного компакта С1 неравенстве
Пуанкаре также справедливо (и мы будем это использовать далее)
однако предлагаемая здесь техника доказательства требует, 4To6bt
произвольная функция была бы продолжена за пределы области Г
с определенными свойствами. Такое построение громоздко, и мь
его не приводим. В § 1.26 мы докажем один из вариантов этогс
неравенства в общем случае. '
Доказательство справедливости неравенства Пуанкаре начнем с
очевидного тождества :
. „.шло,:
Возводя обе его части в квадрат, а затем интегрируя дважды по Я
сначала по переменным (х,,^), а затем по переменным (х2,^2)»
получаем
56
Сравнивая начало и конец этой цепочки неравенств и принимая
во внимание, что в первой строке стоит выражение
a2jju2(x,y)dxdy-ijju(x,y)dxdy\ +а2\Ци2{х,у) dxdy] ,
мы видим, что
Следовательно, мы вывели необходимое неравенство Пуанкаре с
постоянной т - maxla2,l/a2\, ч.т.д.
Вернемся снова к задаче о мембране, свободной от закрепле-
ния. Если два различных состояния мембраны таковы, что соот-
ветствующие перемещения точек мембраны отличаются на
постоянную величину, и2(х,у)-щ(х,у) = с = const, то напряжен-
ное состояние мембраны в обоих случаях одно и то же. Это дает
основание собрать все перемещения, отличающиеся друг от друга
лишь на постоянную величину, в один класс. Такой класс можно
обозначить через и'(х,у). Имеется единственный представитель
этого класса, обозначаемый через иь(х,у), который удовлетворяет
равенству:
57
jjub(x,y)dxdy = O. A.10.11)
n
Назовем функции, удовлетворяющие A.10.11), сбалансированными.
Для такого представителя неравенство Пуанкаре принимает форму:
^)*^))**- <u0i2>
По форме данное неравенство не отличается от неравенства Фрид-
рихса для мембраны с закрепленным краем. Оно показывает, что,
исключив «жесткое» перемещение и(х, у) = с, мы получаем ситуа-
цию, когда из равенства нулю энергетической нормы функции,
индуцированной скалярным произведением A.10.8), мы получаем,
что сама функция равна нулю. Это означает, что других жестких
перемещений, кроме и(х,у) = с, мембрана иметь не может.
Обозначим множество всех непрерывно дифференцируемых на
Q функций, удовлетворяющих условию A.10.11), через 5А.
Множество Sb является линейным пространством. Производя по-
полнение множества Sb по метрике A.10.7), получаем энергетичес-..
кое пространство для свободной от геометрических связей мембра-
ны, обозначаемое EMi.
Условие A.10.11), используемое при введении пространства
?Mi, описывает некий способ «закрепления» мембраны. В дей-
ствительности мембрана такого закрепления не имеет. В классе тех
непрерывно дифференцируемых на О, функций, которые удовлет-
воряют уравнению A.10.11), «жесткие» перемещения отсутствуют,
но они имеются в первоначальной задаче. Исследуя задачу равно-
весия свободной мембраны, мы должны учитывать это обстоятель-
ство. Поясним, в чем состоит проблема. Предположим, что рас-
сматривается функционал работы внешних сил
A = fJF(x,y)u(x,y)dxdy.
п
Если мы рассматриваем работу внешних сил на перемещениях из
пространства Ем1, то он имеет смысл, если внешние силы берутся
из класса F(x,y) eL2(Cl) без каких-либо дополнительных условий.
Это гарантируется применением неравенства Шварца в L (Cl). Так
как смещение мембраны как жесткого целого не должно приводить
к изменению её внутренней энергии, то работа сил на жестких
58
перемещениях должна равняться нулю. Поэтому мы вынуждены
потребовать, чтобы
() O. A.10.13)
п
С математической точки зрения это условие необходимо, чтобы
обеспечить однозначную определенность функционала работы А на
перемещениях вида и(х,у) = с при любых с. Условие A.10.13) ме-
ханически означает, что нагрузка, действующая на мембрану, яв-
ляется самоуравновешенной. Привычное в теоретической механи-
ке условие самоуравновешенности моментов всех сил здесь не воз-
никает вследствие того, что модель мембраны является
приближенной, а потому для нее не выполняются определенные
фундаментальные требования механики. Тем не менее, в области
выполнения гипотез, при которых данная модель была построена,
она выполняет свои описательные функции вполне успешно. По-
зднее мы увидим, что подобная ситуация типична и для других
приближенных моделей, например, для модели свободной от гео-
метрических связей пластины: требование самоуравновешенности
нагрузки выполняется не в полной мере. Однако уже в линейной
теории упругости тела, свободного от закрепления геометрическо-
го характера (т.е. когда задаются перемещения, а не силовые фак-
торы), аналогом условия A.10.13) является требование самоурав-
новешенности нагрузки в смысле классической механики.
Сейчас рассмотрим другой вариант конструкции энергетическо-
го пространства для свободной мембраны, когда элементами про-
странства служат классы эквивалентности и'{х,у), введенные
выше. Нулем этого множества элементов служит элемент, состоя-
щий из всех функций-констант, т.е. функций, принимающих по-
стоянное значение на всём С1. Тогда пополнение множества всех
таких классов эквивалентности в метрике A.10.7) называется энер-
гетическим пространством. Каждый элемент такого энергетическо-
го пространства определяется также с точностью до постоянной.
Подобные пространства носят название фактор-пространств, но
мы не будем использовать эту терминологию далее. Каждый эле-
мент такого энергетического пространства может быть поставлен во
взаимно однозначное соответствие с некоторым элементом из ?м|,
введенным выше. Данное соответствие сохраняет алгебраические
операции, метрику, норму и скалярное произведение. В этом
смысле данные пространства ничем не отличаются друг от друга.
59
В силу данного обстоятельства мы будем и для нового энергетичес-
кого пространства использовать то же самое обозначение EMi.
Отметим, что при таком способе введения энергетического
пространства условие A.10.13) возникает как следствие требова-
ния, чтобы функционал работы внешних сил был однозначно оп-
ределен на элементах данного пространства.
Напомним, что задача для свободной мембраны в математичес-
кой физике называется задачей Неймана. В задаче Неймана на
границе области задается значение нормальной производной <рE).
В общей теории показано, что для разрешимости задачи необхо-
димо потребовать выполнение условия -:.
ds = 0 .
Если дополнительно задана нагрузка F(x,y), то последнее усло-
вие разрешимости перестает быть необходимым. Вместо него еле*
дует потребовать выполнение другого условия
JJ F(x, у) dxdy+ j><p(s)ds = 0 . с
n en /
которое означает механически, что полная нормальная нагрузка
на мембрану является самоуравновешенной. У нас еще не готов
математический аппарат, чтобы включить задание ненулевой нор-»
мальной производной для перемещения в формулировку задачи
для свободной мембраны. Это будет сделано позже.
Наконец, отметим, что уравнение Лапласа, описывающее пове-
дение мембраны, на самом деле описывает поведение многих
объектов другой природы. Оно возникает в теории электричества иг
магнетизма, гидродинамике, математической биологи и многих
других областях естествознания. Ясно, что математические резуль-
таты, полученные для мембраны, будут сохраняться и в других об-
ластях, однако их интерпретация может весьма отличаться от нашей.
На основе полученного опыта с введением энергетических
пространств для стержня и мембраны мы можем попытаться сфор-
мулировать общую методику введения подобных пространств.
Энергетические пространства получаются как пополнение в энер-
гетической метрике некоторых линейных пространств достаточно
гладких (некоторое число раз непрерывно дифференцируемых
функций), удовлетворяющих однородным краевым условиям, со-
60
ответствующим закреплению края объекта, которое имеет геомет-
рическую природу. Далее возникает необходимость определения
свойств элементов полученного пополненного метрического (как
правило, гильбертова) пространства. В линейной теории соответ-
ствующая метрика содержит все члены, входящие в выражение
для внутренней энергии системы. Например, в случае, если мы
рассматриваем мембрану, нормальному перемещению края кото-
рой «сопротивляется» некое упругое зажимное устройство, то име-
ет смысл включить члены, описывающие внутреннюю энергию
устройства, в общее выражение энергетической метрики.
Изгиб пластины. Начнем обсуждение задачи изгиба пластины,
выписывая функционал работы внутренних сил в пластине (соот-
ветствующих перемещению w^x,y)) на «возможном» перемеще-
нии w2(x,y): >
К*)* 'В^ыЫ РтбЫ dxdy, A.10.14)
а
где Рар(и) обозначают: /
М, д2и , \ д2и , \ д2и
a Z)aPY8 - компоненты тензора упругих констант пластины, удов-
летворяющих соотношениям
/)«РУ8 _ дуба? = дРауб A.10.15)
Тензор /)°Рг6 является положительно определенным, т.е. суще-
ствует такая константа шо>О, что для всякого симметричного тен-
зора рор выполнено неравенство
о,р=1
Здесь мы предполагаем, что все DP*^ являются постоянными,
однако результат сохранится, если предположить, что Z)oPy8 явля-
ются кусочно непрерывными на Q функциями, удовлетворяющи-
ми условиям A.10.15) и A.10.16);
Замечание. Здесь и далее в задачах, связанных с теорией пластин
и оболочек, если не оговорено противное, мы будем придержи-
ваться следующего правила для индексов: индексы, обозначенные
буквами греческого алфавита, принимают значения 1 и 2, а буквами
латинского алфавита обозначены индексы, принимающие значения
61
1, 2 и 3. Кроме того, систематически используется правило суммиро-
вания по повторяющимся верхнему и нижнему индексу. Например,
1
а.р-1
Сначала рассмотрим пластину с жестко зажатым краем:
'«1
=0. A.10.17)!
Мы выделяем подмножество S4 тех функций из c'4'(ft), которые
удовлетворяют условию A.10.17), и вводим на S4 скалярное произ-
ведение A.10.14). Проверим выполнение всех аксиом скалярного
произведения для A.10.14). ,
Начнем с проверки Аксиомы Р1:
К")* - Я^'М") М") Л rfv > /яьЯ t pip(w) dx ау =
а а Р1
Если w = 0, то (w, w) = 0. Наоборот, если (w, w) = 0, то на Q
имеем
О d w - О
Отсюда следует, что w(x;y) = al +а2х + а^у, где о,— постоянные.
С учетом краевого условия A.10.14) заключаем, что w(x,y) = 0.
Аксиома Р2. Из соотношения A.10.15) видно, что
(wl,w2)E =(w2,W|)? . Выполнение Аксиомы РЗ также очевидно. *
Таким образом, линейное множество S4 со скалярным пронзи
ведением A.10.14) является унитарным пространством. Произве-
дем пополнение данного пространства по соответствующей метри-
ке. Таким способом мы ввели энергетическое пространство,,,
обозначаемое ?"п0, для пластины с жестко зажатым краем.
Установим свойства элементов пространства ?"п0. Нами было
доказано неравенство A.10.18). Из этого неравенства, а также из
62
неравенства Фридрихса, записанного для первых производных
функции w(x, y)eS4, получаем
Ц„2(х,у)
дхду
def
w) pap(w) dx dy =
dxdy<
A.10.19)
Это неравенство (его начало и конец) означает, что если
|и'я(х,.у)| 6-^4 есть фундаментальная в Еп0 последовательность, то
следующие последовательности являются фундаментальными в
{dwH(x,y)/dy},
,y)/dx2}, [d2wH{x,y)/dx ду}, {^я(х,уIду2}.
Таким образом, мы можем сказать, что сам элемент W{x,y)
пополненного пространства Е„о и все его производные первого и
второго порядка принадлежат пространству L2(Cl).
Покажем, что элемент W(x,y)eEtia имеер дополнительные
свойства гладкости по сравнению с только что установленными
выше. Для этого сначала выведем одно неравенство для
произвольной функции w(x,y)eS4. Продолжим функцию w(x,y)
нулем вне области С1. Без потери общности предположим, что об-
ласть О, целиком лежит в первом углу координатной плоскости.
Тогда имеет место представление
d2w(s,t)
dsdt
dsdt.
00
Используя неравенство Гельдера, получаем
х у
00
d2w(s,t)
dsdt
dsdtu
1/2
Zm4(w,w)E l/2. A.10.20)
63
Из данного неравенства следует, что фундаментальная в метрике
Е„о последовательность ^„(х,^, члены которой принадлежат S#
сходится равномерно на С1. Отсюда мы заключаем, что существует
предельная функция
щ{х,у)=1т>*г„(х,у),
являющаяся непрерывной на компакте Q. Как уже стало обычным,
можно показать, что для любой другой фундаментальной представи-
тельной последовательности из того же класса эквивалентности
W{x,y) существует та же самая предельная функция wo(x,y), кото-
рую можно идентифицировать с классом эквивалентности W{x,y)
Именно в этом смысле мы будем говорить, что элементь
W{x,y) е?„о являются непрерывными функциями. Более того, по-
зднее мы будем говорить, что пространство Епй непрерывно вложе;
но в пространство С(Д), что является следствием неравенств»
A.10.20).
Рассмотрим теперь функционал работы внешних сил
A = \\F{x,y)W{x,y)dxdy.
п .
Поскольку W(x,y) есть непрерывная на компакте С1 функция, тг
мы можем заключить, что данный функционал имеет смысл н"
всем пространстве, если F(x,y) e Ll(Cl). Более того, в выражение
для работы А можно включить члены, описывающие работу сосре-
доточенных сил (сейчас мы выписываем эти члены в термина^
предельной функции щ(х,у), соответствующей W{x,y), далее мь|
будем в подобных случаях употреблять W(x,y) вместо щ(х,у):
к
а также работу нагрузки F(x,y), действующей вдоль границы у
jf(x,y)wo(x,y)ds.
В современных книгах по теории уравнений в частных производ-
ных можно найти, что необходимым и достаточным условием, что-
бы функционал работы внешних сил имел смысл, является условие
принадлежности функции F(x,y) негативному пространству
Н~2(р), что другими словами можно было бы сказать, что функция
F(x,y) такова, что функционал А является; непрерывным на про-
64
странстве ?п0. Это действительно полная характеристика внешних
сил в данном случае, однако это требование, которое трудно прове-
рить. Поэтому желательно формулировать соответствующие доста-
точные условия, проверяемые практически, как это сделано выше.
Рассмотрим теперь пластину со свободным краем.
Изгиб пластины (свободный край). Здесь снова мы хотим использо-
вать выражение A.10.14) для скалярного произведения в энергети-
ческом пространстве для описания поведения пластины со свобод-
ным краем. Однако, как и в случае с мембраной со свободным
краем, аксиома Р1 здесь не выполняется: мы видели, что Из ра-
венства (w, w)_ =0 следует, что
w(x, у) - а{ + агх + аъу A.10.21)
с произвольными постоянными Л,. Множество таких функций
описывает перемещения пластины как твердого целого. Отметим,
что они по-прежнему отличны от «жестких» перемещений пласти-
ны как трехмерного твердого тела.
Произведем все-таки пополнение множества функций из О*'(&)
в метрике, индуцированной скалярным произведением A.10.14), с
тем, чтобы ввести энергетическое пространство. Покажем с помо-
щью неравенства Пуанкаре A.10.9), что ноль получившегося попол-
ненного пространства есть объединение всех функций вида A.10.21).
Данный факт доказывается путем построения другой эквивалентной
формы энергетического пространства для свободной пластины ана-
логично тому, как это было проделано для свободной от закрепле-
ния мембраны. Для этого запишем неравенство A.10.9) для произ-
водной dw/dx:
Аналогичное неравенство записывается для производной dw/dy.
Из этих неравенств выводим, что
2 , ч2
65
Отсюда и из A.10.18) следует неравенство
A.10.22)
a
Для любрй функции w(x,y) eC*4'(Q) можно выбрать такие по-
стоянные ah что для функции z
w(x, у) = wb(x, у) + щ + а2х + а3у A.10.23)
выполнены условия ¦*
Я*ь{х,у) dxdy = 0 , U-^-dxdy = 0, {{-^tixdy = 0 . A.10.24)*
п а ол a vy
Как и для мембраны со свободным краем, сначала рассмотри*
подмножество SAb всех Тех функций из пространства С1' '(О), ко-
торые удовлетворяют условиям A.10.24). Снова будем называть та
кие функции сбалансированными, хотя условия баланса здес
иные, чем для мембраны. Построим энергетическое пространстве
классов эквивалентности для свободной пластины, пополняя мж>
жество S4b в метрике, связанной со скалярным произведение»
A.10.24). Данное энергетическое пространство обозначим ?п1. %
С помощью рассуждений, аналогичных проведенных выше, и?
соотношений A.10.24), A.10.22) и A.10.18) мы выводим, что дл
любого элемента W(x,y) из ?п, сам элемент W(x,y) и все его первы
и вторые «производные» являются элементами пространства L (д)
Можно показать, что для любой представительной последовательное
ти {w4n} элемента W(х, у) е ?п1 существует предельная функция
щ(х,у), к которой последовательность {щ„} сходится равномерна
Следовательно, wo(x,y) еС(д). Более того, эта функция не зави
сит от выбора представительной последовательности. Таким обра-
зом, и в этом случае элемент W{x,y) взаимно однозначно сопос
тавляется с некоторой непрерывной на О функцией, которая такж
удовлетворяет соотношениям A.10.24). Мы будем отождествлять
данную функцию с соответствующим элементом W(х,у).
66
Отметим, что соотношения A.10.24) не являются единственно
возможными ограничениями для того, чтобы элементы простран-
ства ?п1 Определялись однозначно. Той же цели могли бы послу-
жить следующие условия
JJ w(x,y) dxdy = 0, jjx w(x,y) dxdy = 0, jjy w(x,y) dxdy = O,
a a a
которые также исключают движение пластины как жесткого целого
(отметим, что это вытекает также из общего результата СЛ. Собо-
лева об эквивалентной нормировке в соболевских пространствах).
Заметим теперь, что соотношения A.10.24) представляют со-
бой геометрические связи, наложенные на пластину, которых нет
в первоначальной постановке. Этого забывать не следует. Поэто-
му в полной постановке задачи равновесия свободной пластины
необходимо вводить требование самоуравновешенности нагрузки:
\\-F(x,y) dxdy = 0, ft x F(x,y) dxdy = 0, \\y F(x,y) dxdy = 0.
A.10.25)
Данные соотношения означают, что главный вектор внешних
сил и их главный момент равны нулю.
Задача 1.10.2. Какова форма условий A.10.25), если внешняя
нагрузка содержит сосредоточенные силы и нагрузку вдоль края
пластины?
Возвратимся к первоначальному варианту введения энергетичес-
кого пространства для свободной пластины, когда никакие дополни-
тельные ограничения на функции не формулируются. Чтобы сохра-
нить функционал A.10.14) в качестве скалярного произведения на
множестве гладких функций, мы вынуждены в качестве нулевого эле-
мента пространства ввести совокупность всех линейных многочленов
а] +агх + агу. Таким способом мы приходим к новому линейному
пространству, элемент которого состоит из всех функций из C^(Q),
разность между которыми равна а, + о2дс + аъу. Это пространство
обозначим 54ж. Оно может быть поставлено во взаимно однозначное
соответствие с пространством SAb. Пополнение 54ж в энергетической
метрике приводит к энергетическому пространству классов эквива-
лентности. В силу указанного вышеотождествления между 54А и 5^
имеет место соответствующее отождествление между элементами
67
нового энергетического пространства и пространства Еп1, построен-1
ного выше. Данное отождествление сохраняет нормы и алгебраичес-
кие операции над элементами, а потому мы сохраняем за новым
энергетическим пространством то же самое обозначение Еп1. :
Мы рекомендуем читателю повторить полностью рассуждения
относительно двух способов введения энергетических пространств,
подобные тем, что были проведены для свободной от закреплени;
мембраны. Для проверки, насколько понятны эти рассуждения
попробуйте ввести энергетическое пространство для пластины, зак^
репленной лишь вдоль прямого края. Каковы будут изменения
требованиях A.10.24)? Как изменится A.10.25) для. того, чтобь
функционал работы внешних сил имел смысл в пространстве, где
допустимы жесткие перемещения?
Линейная теория упругости. Перейдем теперь к задачам линей
ной теории упругости, которые уже рассматривались в § 1.3. Буде*
считать, что упругие модули тела являются кусочно непрерывным!
на С1 функциями, удовлетворяющими условиям A.3.10) и A.3.11)
Эти условиям гарантируют выполнение всех аксиом скалярног'
произведения для функционала
Л„(и)е,(у)<*5 A.10.26;
на множестве вектор-функций с дважды непрерывно дифференци
руемыми на О компонентами в евклидовом базисе u = (uuu2,Uj)
исключение составляет вторая часть аксиомы Р1: из равенств!
(и, и) = 0 следует, что и = а + b х х с векторными константами а I
Ь. Заметьте, что данное скалярное произведение (u, v) согласован
с метрикой A.3.12), которую мы ввели раньше.
Сначала рассмотрим краевые условия, соответствующие жест
кому закреплению границы упругого тела:
=o- <uo-27:
Обозначим множество всех вектор-функций и = (иии2,и3), удов
летворяющих краевому условию A.10.27) и таких, что щ еО '(О)
через S2. Тогда на S2 функционал (и,\)Е из A.10.26) действ»
тельно становится скалярным произведением, а само пространств*
S2 — унитарным. Пополнение множества ?2 в метрике, связанно!
со скалярным произведением A.10.26), приводит нас к энергети
ческому пространству для упругого тела с неподвижной границей*
Обозначим данное энергетическое пространство через Еу0. t
68
Для описания свойств элементов энергетического пространства
Еу0 установим следующее неравенство, называемое неравенством
Корна A.10.28).
Лемма 1.10.1. Для любой вектор-функции u(x) eS2 имеет мес-
то следующее неравенство
?w2 + i {jf
с постоянной т, не зависящей от выбора и = и(х).
Доказательство. Вследствие соотношений A.3.11) и неравен-
ства Фридрихса достаточно показать лишь, что
Рассмотрим правую часть последнего неравенства
Раскрывая скобки под знаком второго интеграла, получаем
>2 '-- \2
П
dXi
dCl.
Интефируя по частям в последнем из подынтегральных членов
данной формулы, имеем
2'Ql%ax.Jaxl 21 fa ax, axj
Здесь интефалы по фанице области равны нулю в силу условия
A.10.27). Используя элементарное неравенство \аЬ\ < (а2 +Ь2\/2,
выводим оценку
69
Учитывая это неравенство, окончательно получаем, что
Это и есть необходимая оценка, завершающая доказательстве
леммы.
Пользуясь неравенством Корна, мы заключаем, что каждая ком
понента Ц вектора Ue?y0 принадлежит одновременно энер
гетическому пространству ?м0, т. е.6/,и их первые производные при
надл ежат пространству lf*\ci).
Заметим, что способ построения энергетического пространств!
в случае, когда закреплена неподвижно лишь часть границы dd
упругого тела,
остается тем же самым, если краевое условие «устраняет» свобод*
ные жесткие перемещения тела. Неравенства Корна сохраняется Щ
в этом случае, однако его доказательство значительно сложне
Мы его не приводим, отсылая к [10].
Если мы рассмотрим теперь упругое тело со свободной от зак*
репления границей, то столкнёмся с теми же трудностями, которы
возникают в теории свободной мембраны или свободной пластины
Здесь необходимо «обойти» проблему существования ненулевых эле
ментов u = a + bxx для которых скалярное произведение A.10.26-
равно нулю: (u,v)? =0. Заметим, что путь построения энергети,
ческого пространства здесь тот же самый: сначала мы «ограничива-
ем» множество всех векторов перемещений с дважды непрерывна
дифференцируемыми компонентами теми векторами, для которых
выполняются следующие условия:
n n
Эти условия обеспечивают выполнение аксиомы Р1 на множеству
дифференцируемых векторов, удовлетворяющих этим условиям"
Более того, это условие обеспечивает выполнение и неравенства
Корна на данном множестве вектор-функций [10]. Применяя за-
тем процедуру пополнения данного множества в энергетической'
метрике, соответствующей скалярному произведению A.10.26),
получаем энергетическое пространство, обозначенное ?у(. Как'
70 i
и ранее, мы можем сконструировать другое энергетическое
пространство классов, в котором «нулем» служит совокупность
всех элементов вида а + b x x. Последнее пространство также бу-
дет называться ?^,, так как можно установить взаимно однознач-
ное соответствие с сохранением величины скалярного произведе-
ния между элементами нового и старого пространств Е^{, которое
сохраняет все алгебраические операции над. элементами про-
странств, а также величину нормы, метрики и скалярного произ-
ведения.
Чтобы функционал работы внешних сил F(x) имел бы смысл
на любом перемещении U(x) e ?у, и сохранял свою величину при
указанном выше соответствии между элементами эквивалентных
пространств, необходимо потребовать, чтобы внешняя нагрузка
была самоуравновешенной:.
<*} = 0, JxxF(x)<*}'=0.
а
Мы не будем это обсуждать подробно, оставляя доказательство чи-
тателю в качестве полезного упражнения.
1.11. СОБОЛЕВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В своей монографии «Некоторые применения функционального
анализа в математической физике» (ЛГУ, 1951) академик СЛ. Со-
болев ввел нормированные пространства, которые сейчас называ-
ются пространствами Соболева или Соболевскими пространствами.
Они обозначаются И/Я1/>(?2). Отметим, что в книге С Л. Соболева
они обозначены как И^т'(п). Норма для функции и(х) в простран-
стве tVm-p{Q) вводится следующим образом:
где т есть целое положительное число, 1 < р < оо, П - компакт в
R". Напомним обозначения;
щх1,...,хп\
1 " "; И
ax,e'...ae;-
71
Видно, что A.11.1) действительно вводит норму на множестве
функций С*т'(О), так как выполнение аксиом нормы N1 и N2 для
функционала A.11.1) очевидно, а выполнение аксиомы N3 есть
прямое следствие неравенства Минковского для интегралов A.2.4).
Пополнение множества функций C^(fi) в норме A.11.1) и
есть банахово пространство lVm'p(Cl).
Любопытно отметить, что в случае, когда Q есть отрезок пря-
мой,'пространства Wmp(ci) были впервые введены в докторской
диссертации Стефана Банаха.
Наш интерес к построениям С.Л. Соболева вполне понятен,
поскольку все введенные выше энергетические пространства со*
стоят из элементов некоторых Соболевских пространств Wm2{fi). :
Элементы пространств W"p{Cl) имеют производные в некото-
ром смысле. Они определены иначе, чем в классическом матема^
тическом анализе. Стоит отметить, что способом весьма похожа
на то, как это было проделано выше при построении энергетичес-
ких пространств, К.О. Friedrichs [17] ввел понятие сильной произ-
водной для функции u(x)eLp(Q). По его определению функци*
v(x) € Lp(Cl) является сильной производной Dau(x) порядка а,
если существует такая последовательность бесконечно дифферен
цируемых на Q функций (ф„(х)|, фя(х)еС^(й), что
Л5^0 и j\v{x)-Da^H(xfd[1^0 при п-юо.
а а
Так как множество функций С*°°'(О) является плотным в любом
пространстве C^*'(Q), то любой элемент пространства Wmp(fl) a№
томатически имеет все сильные производные до порядка т включи
тельно, принадлежащие пространству Lp(Cl).
С.Л. Соболев [14] предложил другой подход к определению
обобщенной производной, который для элементов Соболеве ки.*
пространств эквивалентен подходу Фридрихса. Для этого он ис-
пользовал формулу интегрирования по частям и основную лемм>
классического вариационного исчисления, утверждающую, что
если и(х) есть непрерывная на О функция и выполнено равенство,
а
для любой бесконечно дифференцируемой функции ср(х), обраща-
ющейся в нуль вместе со всеми своими производными на границе
области Q, то и(х) = 0.
72
По определению С J1. Соболева функция v(x) e Lp(il) есть сла-
бая производная порядка а от функции и(х) е Lp(p), обозначае-
мая /?аи(х), если для любой бесконечно дифференцируемой на П
функции ф(х), обращающейся в нуль вместе со всеми своими
производными на границе области О, выполнено равенство
J и{х) /?acp(x) da = (- 1)Н J v(x) ф(х) Ж1. A.11.2)
п а
СЛ. Соболевым было показано, что в пространстве ffm*/>(n)
оба определения обобщенных производных являются эквивалент-
ными. Мы не будем доказывать это, как и некоторые другие ут-
верждения общей теории соболевских пространств, поскольку дан-
ные доказательства громоздки и могут быть найдены в других
учебниках и книгах, например, в [14].
Сейчас мы приведем некоторые результаты относительно
свойств элементов пространств W'p{Gl). Первые результаты тако-
вы типа были установлены СЛ. Соболевым, который их назвал
теоремами вложения.
Мы уже встречались с частной теоремой вложения для элемен-
тов W, принадлежащих ?п0, энергетическому пространству для
пластины с зажатым краем. Мы установили существование непре-
рывной на компакте О функции w, являющейся пределом для соот-
ветствующих фундаментальных последовательностей, определяю-
щих класс W. Эта функция ставится во взаимно однозначное
соответствие с элементом W и, более того, отождествляется с ним.
Данное соответствие является оператором и носит название опера-
тора вложения пространства Еп0 в С(п).
Для гладких функций мы установили неравенство
которое по непрерывности остается справедливым для всех эле-
ментов W. Более того, забегая несколько вперед, скажем, что это
неравенство свидетельствует, что оператор вложения пространства
?п0 в С(П) является непрерывным. Этот результат является част-
ным случаем так называемой теоремы вложения Соболева.
От частного примера перейдем к общему определению. Пусть
для каждого элемента X некоторого банахова пространства X уста-
новлено однозначное линейное соответствие с некоторым эле-
ментом Y другого нормированного пространства К Мы можем
73
рассматривать это соответствие как отождествление элемента х с
элементом у. Данное соответствие носит название оператора ело.
жения пространства X в пространство Y. Говорят, что оператор
вложения из Л" в К является непрерывным, если для любого х еХ
выполнено неравенство
<UL3>'
с одной и той же постоянной т, не зависящей от х. Здесь у — эле
мент Y, поставленный в указанное выше соответствие элементу х.
Общие свойства пространств с нормировкой, содержаще!
производные в некоторой степени под знаком интеграла традици
онно называют теоремами вложения. '
Теоремы, устанавливающие идентификацию элементов про-"
странств Wm'p{p) и их производных с элементами пространств ?*
С*Л> или #*'\ называются теоремами вложения Соболева. Теоремь
вложения Соболева установлены в случае, когда ограниченная об
ласть С1 удовлетворяет так называемому свойству конуса: к любо
точке фаницы компакта QeR" можно прикоснуться вершиной од"
ного и того же прямого кругового конуса ненулевого раствора
целиком лежащего внутри С1. Сформулируем без доказательств!
теорему вложения Соболева для общего случая. Смысл второй ча*
сти данной теоремы относительно полной непрерывности операто
ра вложения будет раскрыт позднее. -
Теорема 1.11.1. Пусть О есть компакт в R" с границей, удов
летворяющей условию конуса. Оператор вложения пространств!
W"'p(p.) в пространство L4(Cl) является непрерывным, если вы-*
полнено одно из двух следующих условий:
A) л > тр, г> п - тр и q <. рг/(п - тр); i
B) л = тр, q является конечным действительным числом, qi.\^
В случае л < тр оператор вложения пространства W"p(Cl) дей-5
ствует непрерывно в пространство Гёльдера Яа(о), где константа
а<(тр- а)/р.
Оператор вложения пространства Wmp(fi) в пространству
L4(Q) является вполне непрерывным, что означает, что он пере-
водит каждое офаниченное множество из Жж''(р) в предкомпакт-
ное множество из Lq(Cl), если выполнено одно из двух следующих
условий:
(Г) л > тр, г > л - тр, q < pr/(n - тр)
B') л = тр, и q является конечным действительным числом, qZ 1.
74
В случае п < тр оператор вложения пространства Wm'p{(i\ дей-
ствует вполне непрерывно в пространство Гёльдера НаШ\, где
константа а< (тр —нур.
Отметим, что данная теорема вложения Соболева, вторая часть
которой обычно называется теоремой Соболева—Кондрашева, ин-
дуктивно определяет не только свойства самих элементов Соболевс-
ких пространств, но и их производных.
Известны аналогичные теоремы, в которых формулируются
свойства оператора вложения соболевского пространства в простран-
ства функций, заданных на подмножествах Q, имеющих размерность
меньшую, чем С1. Эти теоремы носят общее название теорем о следах
функций. Они важны, поскольку с их помощью мы можем опреде-
лить, в каком смысле принимаются граничные значения решениями
различных задач математической физики. Мы не формулируем такую
теорему о следах в общем виде, а приводим лишь используемые в
дальнейшем ее частные случаи.
Теорема 1.1,1.2. Пусть Q есть компакт в Л2 и у - кусочно глад-
кий контур, лежащий в О. Операторы вложения пространства
Wи2(п) в пространства Lp(Cl) и Lp(y) являются непрерывными
(и, более того, вполне непрерывными) для любого конечного р,
1 </><», т.е. выполнено неравенство
max{NL>(n)'HL>(Y)} * mMw"(a) <UM)
с постоянной т, не зависящей от выбора и.
В задачах теории пластин и оболочек используется следующий
вариант теорем вложения Соболева.
Теорема 1.11.3.Пусть Q есть компакт в Л2 и у - кусочно глад-
кий контур, лежащий в области Q. Оператор вложения W2'2(о) в
пространство Гёльдера Яа(о), где константа а < 1, является не-
прерывным. Если а < 1, то оператор вложения является вполне
непрерывным. Первые производные .элементов W22{fi) принадле-
жат пространствам Lp(fl) и IS (у) при любом р<*х>, причем соот-
ветствующий оператор вложения является вполне непрерывным.
Наконец, в трехмерных пространственных задачах используется
следующий вариант теорем вложения. *
Теорема 1.11.4. Пусть К есть компакт в Л3 и S— некоторая ку-
сочно гладкая поверхность, лежащая в V. Операторы вложения
75
пространства Wl'2(V) в пространства L4(V) и LP[S) являются не-
прерывными, если \<q<,6 и \<р<4 соответственно. Если
I < <7 < 6 и I < /? < 4, то соответствующие операторы вложения яв-
ляются вполне непрерывными.
Мы лишь конспективно укажем путь доказательства теорем вло-
жения. В классических исследованиях СЛ. Соболева доказательства
теорем дается на базе специального интегрального представлений
произвольной гладкой функции, заданной на компакте Q, который
является звездным относительно шара В (последнее означает, что
шар В целиком лежит внутри Q, и любой луч с началом в шаре В
пересекает границу Q ровно один раз) '
«(х) = ?*р...Jfr JKa(y)u(y)dCl + J—l^ XKa(x,y)D«u(y)dCl,.
\a\im-l в П|Х-У| Н=«. С
Здесь ядра ?„(у) и Ка(х,у) являются непрерывными функциями.;
Основная часть доказательства теорем вложения заключается в полу-4
чении некоторых оценок специальных интегралов, возникающих^
при записи норм функции м(х) в соответствующих пространствах сг
использованием интефального неравенства Гёльдера. Результаты
СЛ. Соболева формулировались для областей, являющихся объеди
нениями звездных областей. Позднее они были распространены на
случай областей более общего вида многими авторами.
Другой путь доказательства теорем вложения связан с использо-
ванием преобразования Фурье. В случае Wm'2{n) при этом необ-^
ходимо продолжить функции из пространства Оя'(п), в область
вне П таким образом, чтобы они принадлежали бы пространству
С^МЛ"! и W^Hr"} одновременно. Затем используется преобра-
зование Фурье
Для преобразования Фурье известны, во-первых, равенство
Парсеваля
во-вторых, соотношение для частных производных
76
Благодаря этим соотношениям для продолжения функции и(х)
можно записать
После чего свойства элементов пространства Wl"'2(/?"j, а, следо-
вательно, и W""'2(q), определяются путем получения оценок в не-
которых весовых пространствах lHr"\. Техника оценивания для
образов Фурье функций значительно проще, чем техника, ис-
пользованная С.Л. Соболевым. Из оценок для Фурье-образов фун-
кций следуют оценки для оригиналов.
Отметим дополнительно, что нормировку A.11.6) в терминах
образов Фурье можно формально рассмотреть в случае, когда по-
казатели а, являются дробными. Тогда конечность правой части
A.11.6) трактуется как наличие у функции и{\) производной дроб-
ного порядка. Именно этот случай получается с помощью оце-
нок, когда рассматривается, какому классу принадлежат функции
из пространства Wnf2{p) на границе области. Мы не будем обсуж-
дать здесь этот вопрос более подробно, отсылая читателя к специ-
альной литературе по теории Соболевских пространств.
1.12. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ОПЕРАТОРОВ
Мы уже использовали термины «оператор» и «функционал»,
считая, что читатель слышал эти термины многократно в курсах
вариационного исчисления, физики или механики. Введём стро-
гое определение этих терминов. Оно является обобщением опре-
деления понятия «функция» на случай метрических пространств.
Определение 1.12.1. Пусть X и Y — метрические пространства.
Соответствие между множествами D(A) q X и R(A) ? Y называет-
ся оператором, если каждому элементу х е D(A) соответствует не
более одного элемента у е R(A). При этом множество D(A) на-
зывается областью определения оператора A, a R(A) — его областью
значений. В частном случае, когда R{A) принадлежит множеству
действительных (комплексных) чисел, оператор А называется дей-
ствительным (комплексным) функционалом.
77
В случае, когда область значений оператора принадлежи'
тому же пространству X, что и его область определения, будем
говорить, что оператор действует в пространстве X.
По аналогии с классическим определением непрерывности
функции будем говорить, что оператор А является непрерывным <
точке Xq еХ, если для любого сколь угодно малого числа е >(?
найдется такое положительное число S, зависящее от с, что ка|
только d{x,xo)<8, так d^A[x\Л(*о))<?• Оператор называете.5
непрерывным в открытой области М метрического пространства Л
если А является непрерывным в каждой точке множества М.
Важным частным классом операторов является класс линейны,
операторов. Пусть метрические пространства Л7 и ^являются линей
ными. Будем говорить, что оператор А, действующий из л и ней ног
метрического пространства X в линейное метрическое пространств
во Y является линейным, если для любых хх,х2 е D{A)ci X выпол-
нено равенство
где >., и Х2 ~ произвольные (действительные или комплексные,
зависимости от типа пространства X) числа.
Для линейного оператора А{х) его значение в точке х обычне
обозначается без скобок: Ах.
Начиная с этого места в данном параграфе, мы будем рас
сматривать лишь линейные операторы, действующие в нормиро
ванных пространствах X н У. Переформулируйте определение не*
прерывности оператора в нормированном пространстве самостоя4:
тельно и докажите справедливость следующего почти очевидного
утверждения. .
Задача 1.12.1.Линейный оператор А, действующий из норм и-'
рованного пространства X в нормированное пространство Y явля
ется непрерывным в каждой точке пространства X, если он непре^
рывен в точке х = 0.
Результат Задачи 1.12.] позволяет сформулировать следующую
теорему. >
Теорема 1.12.1. Линейный оператор А, действующий из нор-
мированного пространства X в нормированное пространство У,
78
является непрерывным в каждой точке пространства X тогда и
только тогда, когда для любого х е X выполняется неравенство
HI s ИИ <II2I>
с постоянной с, не зависящей от х.
Точная нижняя грань всех констант с из неравенства A.12.1)
называется нормой оператора А. Она обозначается ||Л||. Таким об-
разом, для нормы |И1 имеет место неравенство
для всех х е X, причем для любого сколь угодно малого числа
г > 0 найдется такой элемент хе, не равный нулю, что
Доказательство теоремы 1.12.1.Вследствие результата, сформу-
лированного в Задаче 1.12.1, нам достаточно проверить эквивалент-
ность условий теоремы лишь в точке х = О. Достаточность условия
A.12.1) очевидна, поскольку из неравенства A.12.1), выполненного
для всех х, сразу вытекает непрерывность оператора А в точке х = 0.
Докажем необходимость выполнения условий теоремы. Пусть
оператор А непрерывен в точке х = 0. Возьмем с = 1. По Опреде-
лению 1.12.1 найдется такое число 5>0, что из неравенства
1-зс - 0| = |х|| < 8 вытекает, что \Ах - АЩ = \Ах\ < 1. Для любого не
равного нулю элемента х е X норма элемента jc* = 8хД2||дс||) есть
х =
и, следовательно,
Поскольку оператор А является линейным, то отсюда получаем
79
или, что то же самое,
Последнее неравенство и есть неравенство A.12.1) с постоянно
с = 2/8, что и завершает доказательство теоремы.
Линейный оператор А, удовлетворяющий для всех х е X нера*
венству A.12.1) с одной и той же постоянной с, называется огра
ничейным. По определению непрерывности и Теореме 1.12.1 огр
ничейный линейный оператор является непрерывным.
Рассмотрим некоторые примеры операторов.
Оператор дифференцирования /fa- Ясно, что этот оператор яв
ляется ограниченным, действуя из пространства С^(-<»,со)
пространство С(-<»,со) (найдите самостоятельно, чему равр
норма оператора дифференцирования). Однако он не являет^
офаниченным, действуя из пространства С(-«>,со) в С(-<х>,<х
(т.е. действуя в пространстве С(-оо,оо)). .
Дифференциальный оператор Аи = ]Г. . аа0аШ\)) с постоя»
ными коэффициентами аа является ограниченным (и, конечн'
непрерывным), действуя из пространства С^'|п] в С(о), а такж
из пространства Wm-2{ci) в /,2(о). Приведите пример пар
странств, когда этот оператор является неограниченным.
Интегральный оператор определяется формулой
о
Очевидно, что этот оператор является ограниченным, если oi
действует в пространстве С@,1). Является ли этот оператор ограни;
ченным, действуя из пространства С@;1) в пространство С^'*@;1)?
В заключение заметим, что вместо термина «оператор» част*
употребляются термины «отображение» и «функция».
1.13. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Сейчас мы рассмотрим принцип сжатых отображений, имею,
щий многочисленные приложения. Во введении уже рассматрива-
лись примеры обоснования решения задач методом итераций*.
Вследствие относительной простоты алгоритма и гарантированной
80
сходимости при выполнении некоторых достаточно легко проверя-
емых условий метод последовательных приближений нашел широ--
кое применение в практике вычислений. Сформулируем общие
условия сходимости метода последовательных приближений.
Многие задачи механики и других разделов естествознания мо-
гут быть записаны в форме
х = А(х) - A.13.1)
где нелинейный оператор А действует в полном метрическом про-
странстве X. Решение этого уравнения называется неподвижной
точкой оператора Л. Во введении мы рассмотрели две разные за-
дачи такого вида, способ решения которых был, однако, весьма
похож. Введем важный класс операторов, включающий в себя
операторы задач, рассмотренных во введении.
Определение 1.13.1. Оператор А, действующий в метрическом
пространстве X называется оператором сжатия в пространстве X,
если существует такое положительное число q < 1, что для любых
двух элементов хну, принадлежащих X, выполнено неравенство
d(A(x),A{y))<qd{x,y). A.13.2)
Обоснование итерационного метода решения уравнения
A.13.1), когда А является оператором сжатия, имеет общую при-
роду. Соответствующая теорема носит название принципа сжатых
отображений или теоремы Банаха о сжатых отображениях.
Теорема \ЛЪЛ(Принцип Банаха). Пусть А -оператор сжатия с
постоянной сжатия q < 1, действующий в полном метрическом
пространстве X.
Тогда
A) оператор А имеет единственную неподвижную точку х, еХ ;
B) последовательные приближения хк, определяемые формулой
к-0,1,2 A.13.3)
сходятся к точке х,, являющейся решением уравнения A.13.1),
независимо от выбора начального приближения х0 еХ, причем
скорость сходимости оценивается следующим неравенством
f,). A.13.4)
81
Замечание 1.13.1. Заметим, что в условии теоремы не требует'
ся, чтобы пространство X было линейным. Это означает, чт
принцип Банаха можно применять в ситуации, когда X являете
замкнутым подмножеством некоторого метрического пространен
таким, что А{Х) с Л' и оператор А является оператором сжати
только на X.
Доказательство Теоремы 1.13.1. Докажем сначала единствен
ность неподвижной точки оператора А. Пусть существуют две pa-
личные неподвижные точки оператора, т.е. выполнены равенств*
xi=A(xl) и х2=А(х2). ;
Учитывая эти равенства, имеем *
d{xux2) = d(A(x]),Л(х2)) <: q d{xy,x2) ,
что влечет за собой, что d(x\,x2) = 0, т.к. постоянная q < 1. Слс
довательно, jc, =x2.
Возьмем теперь произвольный элемент х$ е X и построим пос
ледовательность приближений {*„}, заданную формулой (I.I3."
Для расстояния между двумя произвольными элементами х„ и х
этой последовательности получаем следующие неравенства
d{xH,xH+m) = d(A(xH_i),A(xn+m.l)) <, q d(xH_i,xn+m.i) =
= qd(A(x,_2),A(xll+m_2))uq2d(xn_2,xn+m_2)u...$q"d(x(),xm).
Для расстояния между элементами Xq и хт соответственно имеем
d{xo,xm) й d(xo,xl) + d{xx, x2) + d(x2,x3)+.. .+d(xm^,xm)
й d(x0, х,) + qd(x0, x,) + q2d(Xo, x,)+.. .+qm~{ d(x0, x,) =
Объединяя все эти неравенства, выводим
{)?@,X]). A.13.5)
\-q
82
Так как q < 1, то отсюда непосредственно следует, что последо-
вательность {х„} является фундаментальной. Поскольку простран-
ство X — полное, то эта последовательность имеет предел
х, = Шп х„ .
Л-ЮО
По определению последовательности {*„} этот же предел имеет и
последовательность |>4{хя_|)}:
х, = lim А[хя_Л .
Я—><Ю v
Оценим расстояние между элементами х, и А(х,):
d(x., А\х.)) ± d(x,, х„) + d(xn, А\х.)) = d(x., х„) + d(A{xn_x), А(х.)) -> О
при /1-х». Таким образом, получаем, что точки х, и Л(х.) со-
впадают, а, следовательно, точка х, есть неподвижная точка опе-
ратора А:х, =А(х.). Оценка A.13.4) вытекает непосредственно из
A.13.5) путем перехода к пределу в последней оценке при т -* » .
Теорема доказана полностью.
Введем обозначение
Следствие. Пусть для некоторого целого положительного числа
N оператор AN является оператором сжатия в полном метрическом
пространстве X. Тогда оператор А имеет единственную неподвиж-
ную точку х, е X, к которой последовательность приближений
A.13.3) сходится со скоростью, оцениваемой неравенством
A.13.6.)
Доказательство. Оператор AN удовлетворяет всем условиям
принципа сжатых отображений. Поэтому уравнение
x = AN(x)
имеет единственное решение, которое мы обозначим х,: х.^^х.).
Применим к обеим частям последнего уравнения оператор А. Имеем
83
Это означает, что элемент А[х,) также является решением уравне-
ния x = AN(x). Но в силу единственности .решения последнего
уравнения это значит, что
х. ~ A(xt)
Таким образом, уравнение A.13.1) является разрешимым, а эле:
мент х, есть его решение. Замечая, что любая неподвижная точк$
оператора А является одновременно неподвижной точкой и опера-,
тора А , получаем, что уравнение A.13.1) имеет единственно'
решение. Наконец, для каждой из Л' последовательностей >
{xo,AN(xo),A2N(xo),...} , ;
{
справедлива оценка A.13.4). Мы имеем
I
Заменяя в первом неравенстве kN на /, во втором kN+ 1 на / it
т.д. и вспомним, что хк =>4*(jc0), получаем
-i/N
d{xhx.) <, i— d(xo,xN) (i = kN),
откуда и следует необходимая оценка A.13.6.), ч.т.д.
84
Применим принцип Банаха к бесконечной системе алгебраи-
ческих уравнений общего вида:
00
*/ = Ев#*/+с/-- A.13.7)
Обозначим х = (х|,х2,...). Соответствующий оператор В покоор-
динатно определен формулами
00
Dх)), =-л = 2>#*у+с" у=(лл-) •
Итак, оператор Л определяется бесконечной матрицей коэффи-
циентов A=[a}jj° и заданным вектором с = (х,,х2,...).
Система уравнений A.13.7) приведена к операторной форме
необходимого вида х = В(х), где В(х) = Ах +с.
Пусть данная бесконечная алгебраическая система решается ме-
тодом итераций, то есть последовательные приближения \к нахо-
дятся рекуррентно с использованием формулы хк+1 =В(хк). Кон-
кретные достаточные условия сходимости этого метода,
определенные принципом Банаха, зависят от выбора простран-
ства, в котором разыскивается решение системы уравнений.
Возьмем в качестве пространства решений множество т всех
ограниченных последовательностей с метрикой
Тогда оператор В есть оператор сжатия в пространстве т, если
A.13.8)
и сет. Таким образом, мы нашли достаточные условия, когда
решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
можно найти методом итераций, сходящихся в пространстве т со
скоростью бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Другого типа ограничение на матрицу А появляется, если ре-
шение данной системы разыскивается в классе последовательнос-
тей 1Р, р > 1. Здесь необходимо оценить сверху метрику
85
Применяя неравенство Гёльдера, получаем
d(B(*),B(j))< ± f>,r
rf(x,y), где - + -
Итак, оператор В является оператором сжатия в пространстве Ж
при р > 1, если вектор с е/' и 1
где
A.13.9)
При этом по принципу сжатых отображений систему уравнений*
A.13.7) можно решать методом последовательных приближений i
пространстве /'. С
Задача 1.13.1. Выведите условие, при котором оператор А яв-
ляется оператором сжатия в пространстве /суммируемых последе
вательностей.
Аналогично проделанному выше для алгебраических систем;
уравнений можно распространить результаты из введения для сис4
темы уравнений B) на общий случай систем интегральных уравне-
ний в различных пространствах. Мы оставляем это читателю в ка-
честве полезного упражнения. •
В последующем мы рассмотрим другие приложения принципа!
Банаха в механике сплошной среды, в частности в теории плао
тичности. Принцип Банаха является удобным и полезным орудием
исследования многих задач механики.
Сделаем общее замечание относительно применения принципат
сжатых отображений в теории численных методов. Преимущества
метода последовательных приближений для численного решения,
задач в случае, когда соответствующий оператор является операто-
ром сжатия, хорошо известны. В частности, при решении систем
уравнений этим методом не происходит накопление ошибки. Од-
нако практическое использование итерационной схемы является
весьма ограниченным в применении к решению сложных систем
86
уравнений, если константа сжатия д близка к единице. В после-
днем случае простую схему итерации стараются трансформировать
так, чтобы ускорить сходимость метода.
1.14. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В задачах механики часто возникает необходимость их решения
в условиях, когда классическое решение, т.е. решение, обладаю-
щее всеми непрерывными производными, входящими в постанов-
ку краевой задачи, не существует. Так появилась потребность вве-
дения обобщенной постановки задачи. Впоследствии оказалось,
что обобщенная постановка задач механики полезна и при других
обстоятельствах, например, когда изучаются вопросы сходимости
различных численных методов.
Рассмотрим некоторые способы введения обобщенных реше-
ний в задачах математической физики. Начнем обсуждение с
обобщенной постановки задач для уравнения Пуассона
- Аи(х,у) = F(x,y) , (х,у) еП , A.14.1)
которое мы трактуем как уравнение равновесия мембраны. Здесь
и(х,у) — нормальное перемещение мембраны в точке с координа-
тами (х, у), функция F(x, у) - нормальная нагрузка, действующая
на мембрану, Q - ограниченная область в/?2. Рассмотрим снача-
ла задачу Дирихле, когда край мембраны дО. жестко зажат:
«1ао=°- A.14.2)
Пусть и(х,у) - классическое решение задачи Дирихле, то есть
что данная функция принадлежит пространству С^(п) и удовлетво-
ряет уравнениям A.14.1) и A.14.2). Возьмем произвольную беско-
нечно дифференцируемую финитную в И функцию у(х,у). Напом-
ним, что финитность функции ф в ii означает, что замыкание
множества точек М = {(х,у) еЯ: <р(х, J>) * 0| целиком лежит внутри
П. Умножая обе части уравнения A.14.1) на у(х,у) и интегрируя
получившееся равенство по области ft, получаем
{)^) A.14.3)
а а
Пусть некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция
и{х>у) удовлетворяет уравнению A.14.3) для любой бесконечно
87
дифференцируемой и финитной в Q функции <(>(х,у). Как извести
но из курса вариационного исчисления, функция и(х,у) необхо-
димо является классическим решением уравнения Пуассона.
Пользуясь уравнением A.14.3), мы можем поставить задачу ре-
шения задачи Дирихле в обобщенном смысле, не прибегая к са-
мому уравнению Пуассона A.14.1). А именно, мы можем назвап
функцию и(х,у) обобщенным решением задачи Дирихле, если он:
удовлетворяет краевому условию A.14.2) и уравнению A.14.3) i
том смысле, что A.14.3) превращается в верное равенство npi
любой бесконечно дифференцируемой и финитной в Q функци»
<р(х,у). При этом требование непрерывности для вторых произ-.
водных обобщенного решения и(х,у) становится несуществен»,
ным. Например, если F(x,y) е?л(П), то естественно потребо'
вать, чтобы вторые производные и{х,у) принадлежали бы лиш!
пространству Lp(Cl). Это - одно из возможных обобщений поня*
тия решения задачи Дирихле.
Введем другой тип обобщенного решения. Для этого проведем I
левой части равенства A.14.3) интегрирование по частям. С учетом
что функция ф(х, у) равна нулю на границе области Q, получаем
В этом случае мы можем наложить более слабые ограничения н!
функцию и(х,у) для того, чтобы назвать ее обобщенным решение!
задачи. А именно, назовем и(х,у) обобщенным решением задачи
Дирихле, если и(х,у) е Ем0 и удовлетворяет уравнению A.14.4) дл-.
любой бесконечно дифференцируемой и финитной в Q функцш
<р(х,у). Напомним, что Ем0 есть энергетическое пространство дл!
Мембраны с жестко зажатым краем (§1.10). Мы можем еще боле
«обобщить» понятие обобщенного решения, проведя еще одно ин*
тегрирование по частям в левой части уравнения A.14.4).
При этом получаем следующее уравнение
- $ и(х, у) Дср(х, у) дх dy = \ F{x, у) ц{х, y)dxdy. A.14.5)'
а а
В такой постановке от решения и(х,у) можно требовать лишь при-
надлежности пространству L(Cl). Функция нагрузки может также
принадлежать лишь 1(п). Однако на этом пути возникает «непри^
88
ятность», состоящая в том, что для такого обобщенного решения
краевое условие A.14.2) практически теряет смысл.
В «чистой» математике рассматривают все эти классы обоб-
щенных решений. На этом пути вводят даже более широкие клас-
сы обобщенных решений, являющиеся обобщенными функциями
(распределениями). Мы не будем обсуждать все эти возможности,
поскольку они выходят за рамки данной книги. Отметим, что
среди всех возможных обобщенных постановок лишь одна, соот-
ветствующая уравнению A.14.4) имеет четкий механический
смысл. Именно эту постановку задачи в несколько трансформиро-
ванном виде мы и берем в качестве объекта дальнейшего исследо-
вания. Подойдем к той же самой постановке задачи A.14.4) с
другой стороны.
Рассмотрим удвоенный функционал полной энергии мембраны
Как и
и(х.у),
Как известно из курса вариационного исчисления, функция
( минимизирующая этот функционал на подмножестве
] всех функций, удовлетворяющих краевому условию
A.14.2), является классическим решением соответствующей задачи
Дирихле для уравнения A.14.1). Однако мы можем рассмотреть
проблему минимизации функционала на более широком множе-
стве, а именно, на множестве элементов из пространства ?м0.
Если окажется, что задача минимизации данного функционала на
пространстве Ем0 разрешима однозначно, то естественно объявить
элемент, минимизирующий функционал /(и) обобщенным реше-
нием задачи равновесия мембраны.
Рассмотрим проблему минимизации функционала /(и) на Ем
подробно. Покажем сначала, что все члены функционала /(и) име-
ют смысл, если и(х, у) е Ем0 и F{x, у) е LP(Q). Очевидно,
что, используя выражение для нормы пространства ?м0, первый ин-
тегральный член функционала /(и) можно записать в форме
г(х'<уIг • Поэтому данный член хорошо определен на простран-
стве E^f). Рассмотрим второй член функционала /(и), обозначенный
<i{u) = -JF(x,y)U{x,y)dxdy.
89
Очевидно, что это линейный функционал относительно u{x,y)i
Покажем, что он является непрерывным функционалом по пере*
менной и(х,у)еЕм0 при условии, что F(x,y\eLp{fl) при р > 1.
Действительно, применим к функционалу ф(и) неравенство Гёль-
дера с показателями р и q ={р- \)/р ¦ Имеем
\Fudxdy\<, \\\F\pdxdy\ \\Щ
Используем эквивалентность нормировок в пространстве ?м0 (не-*
равенство Фридрихса в §1.10). По Теореме 1.11.2 вложения Собо*
лева для пространства IV12 (п) имеем «
JFudxdy
Следовательно, по Теореме 1.12.1 функционал ф(ы) является не-
прерывным в пространстве ?м0. ¦*
Итак, мы получили, что в пространстве Ем функционал /(и^
имеет следующую форму у;
A.14.8))
где ф(ы) есть непрерывный линейный функционал. Пусти
ио(х,у) е ?м0 минимизирует функционал 1[и) на пространстве ?м0^
т.е. . t
/(«„)</(«) для всех и(х,^)е?м0. A.14.9I
Используем далее орудия классического вариационного исчис<#
ления. Возьмем элемент вида u=uo+tv, где v -произвольный-
элемент пространства ?м0, а е - действительная переменна
Имеем >
+ ev, и0 + ev)fM + 2Ф(и0 + ev)
90
Из неравенства A.14.9) получаем, что
Так как здесь е - произвольное число (положительное или отрица-
тельное), то такое неравенство справедливо только тогда, когда в
данном выражении коэффициент при первой степени е равен
нулю. Итак, имеем
(йо,у)?м+Ф(у) = О. A.14.10)
Выпишем это выражение в явном виде
Данное равенство выполнено для всех v e Ем0, Равенство
A.14.11) является уравнением, определяющим минимизирующий
элемент ио(х, у) е Ем0.
Заметим, что по форме данное уравнение A.14.11) практичес-
ки совпадает с уравнением A.14.4), дающим одну из форм обоб-
щенного решения для задачи Дирихле с очевидным соответствием
vo<p. Конечно, имеется существенная разница в классе допусти-
мых функций, которые следует испробовать при проверке, являет-
ся ли ио(х,у) е ?м0 обобщенным решением задачи: v есть произ-
вольный элемент ?м0, а множество функций <р - это множество
всех бесконечно дифференцируемых и финитных в Q функций.
Далее мы будем придерживаться новой формы определения
обобщенного решения.
Определение 1.14.1. Обобщенным решением задачи Дирихле
для уравнения Лапласа назовем такой элемент ио(х,у) е?м0, ко-
торый удовлетворяет уравнению A.14.11) при любом элементе
v(x,y)eEM0.
Поясним дополнительно, почему Определение 1.14.1 нам
кажется более логичным с точки зрения механики. Уравнение
A.14.11) можно трактовать как математическую форму принципа
виртуальных перемещений (или виртуальных работ). Действитель-
но, первый интегральный член равенства A.14.11) равен работе
91
внутренних сил на возможном (виртуальном) перемещении v, «
второй интефал <D(v), равен работе внешних сил на том же са*
мом возможном перемещении v. Поскольку решение, в принци-
пе, должно иметь одинаковую степень «гладкости» с возможным»
перемещениями, то естественно допустить к сравнению вс
v(x,y) еЕм0, что и обосновывает наше Определение 1.14.1.
Далеко не все задачи механики могут сведены к проблеме ми-
нимизации функционала энергии. Например, задачи со следяще!
нагрузкой, когда нагрузка зависит от перемещений, как правило*
не могут быть сведены к вариационным. Тем не менее, и в это!
случае принцип виртуальных перемещений остается справедливым
Таким образом, с помощью принципа виртуальных перемещени
можно выписать уравнения обобщенной постановки статический
задач, минуя этап варьирования функционала энергии. Эти!
замечанием мы и воспользуемся непосредственно при постановк
других задач механики.
Сейчас самое время отметить, что форма, которую мы полу|
чили для функционала энергии /(и) будет сохраняться во всех лщ
нейных задачах статики
7(и) = |Н|2+2Ф(и), A.14.121
а потому имеет смысл сформулировать полученный выше резулша
относительно решения задачи минимизации этого функционала I
общем виде. / -j
Теорема 1.14.1.Пусть элемент Щ минимизирует в гильбертово!
пространстве Н квадратичный функционал /(и) = \\uf + 2Ф(й), гл
Ф(ы) — непрерывный линейный функционал. Тогда элемент
удовлетворяет уравнению
(ио,у) + Ф(у) = О A.14.12а).
для любого элемента v e H.
Отметим, что то же самое уравнение для щ формально можнс
получить путем дифференцирования
92
Объяснение этой формуле основывается на факте, что при фикси-
рованных элементах щ и v из пространства Н функционал
/(uo+?v) является обычной функцией переменной е, принимаю-
щей минимальное значение при е = 0. Такая производная функ-
ционала имеет специальное название производной по Гато функци-
онала /(и) в точке «о по направлению v. Она служит обобщением
понятия производной по направлению для функции.
Задача Дирихле для зажатой по краю мембраны является проб-
ным камнем для всех статических проблем механики. Подобным
использованному выше способом мы сейчас введем понятие обоб-
щенного решения и для других ранее рассматривавшихся линей-
ных задач механики. Как уже было сказано, они могут быть пред-
ставлены как задачи о минимуме функционала энергии, имеюще-
го форму A.14.11) в энергетическом пространстве. Отметим, что
для свободной мембраны этот функционал сохраняет не только
форму A.14.12), но и конкретное выражение A.14.7). Естествен-
но, что в обобщенной постановке задачи пространство ?м0 долж-
но быть заменено пространством Ем] для свободной мембраны, а
условие относительно нагрузки должно дополнительно включать в
себя условие ее самоуравновешенности, которое в данном случае
имеет вид
]F(x,y)dxdy = 0.
а
Конкретизируем уравнение A.14.12), выражающее принцип
виртуальных перемещений, для нескольких задач.
Задача о равновесии пластины. Определение обобщенного ре-
шение дается с помощью равенства, выражающего принцип воз-
можных перемещений для пластины: в положении равновесия ра-
бота внутренних сил на возможном перемещении w(x,y) равна
работе внешних сил на том же перемещении:
JF{x,y)w{x,y)dxdy + ?
n a *=i
+ jf(x,y)w(x,y)ds A.14.13)
У *
(см. обозначения в §1.10). Рассмотрим сначала пластину конеч-
ных размеров с жестко защемленным краем.
93
Определение 1.14.2. Функция wo(x,y)eEnO является обобщен:
ным решением задачи о равновесии пластины, если уравнен»
A.14.13) выполнено при любой функции w(x,y) е?п0.
Отметим, что следствием теорем вложения для пространств;
W2>2(Q) (того факта, что любой элемент пространства Еп0 отожде|
ствляется с некоторой непрерывной функцией) служит возможное!
включить в рассмотрение сосредоточенные силы Fk, действующие
точках (хк,ук) , а также рассмотреть нагрузку, когда F(x,у) е L(Ct
и / е Цу), где у — конечная совокупность некоторых кусочно глад
ких кривых в области Q. При этих условиях функционал работы вне,
шних сил <D(v), выражение в правой части уравнения A.14.13) я%
ляется непрерывным и линейным в пространстве Еп0. ¦
В предположении, что пластина не закреплена, а может сво<
бодно перемещаться, для корректности задачи необходимо допол
нительно потребовать выполнение условий самоуравновешенност
нагрузки
JF(x,y) w,(x,y) dxdy + f^F^x^y^ + jfix^y) w,(x,y) ds = 0, ,
a *=i y
/ = 1,2,3, ' A.14.14
где три функции wt(x,y) - жесткие перемещения wl(x,y) = l
w2(x,y) = x, w3{x,y) = у. Эту задачу следует поставить в энергет»
ческом пространстве ?п).Отметим, что на этом пути можно рас
смотреть и смешанные краевые задачи для пластины.
Задача линейной теории упругости. Здесь обобщенное решение
а е ?у задачи определено уравнением
/Л^и)^)^ = j?(x,y,z)y{x,y,z) dn + jf(x,y,z)y{x,y,z) dSj
а о г ;
A.14.1S
которое должно быть справедливо для каждой вектор функци»
v е ?у. Мы здесь не указали краевых условий. Если рассматривает
ся задача равновесия для ограниченного тела с закрепленной грани-
цей, то в качестве пространства ?у следует указать пространство ^
Для незакрепленного упругого тела в качестве Еу берется ?у,.
Для корректности этого определения обобщенного решени!
необходимо наложить дополнительные ограничения на внешнюю
нагрузку. По теореме вложения Соболева 1.11.4 достаточными яв-
94
ляются следующие условия непрерывности функционала работы
внешних сил на пространствах Еу\
f,{x,y,z) е /Я(г), i = 1,2,3,
которые для задачи равновесия незакрепленного тела должны со-
провождаться условиями самоуравновешенности -нагрузки:
а г
jxx?(x) dd + jxxf(x)dS =0. A.14.16)
п г
Отметим, что для данной задачи условия самоуравновешенности
нагрузки полностью совпадают с условиями самоуравновешеннос-
ти сил в классической механике: здесь равны нулю главный вектор
и главный момент всех приложенных сил.
Для полного обоснования введенного понятия обобщенного
решения всех рассмотренных задач нам необходимо дополнительно
установить их однозначную разрешимость. Прежде, чем перейти к
этому вопросу, рассмотрим некоторые общие понятия теории мет-
рических пространств.
1.15. СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ
Важным свойством многих метрических пространств, встреча-
ющихся в приложениях, является их сепарабельность. Предвари-
тельно введем некоторые понятия теории множеств.
Будем говорить, что два множества имеют одинаковую мощ-
ность (являются равномощными), если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие.Из множеств, име-
ющих бесконечное число элементов, наименьшую мощность име-
ет множество всех целых положительных чисел.
Определение 1.15.1. Множество, равномощное с множеством
всех целых положительных чисел, называется счетным.
Грубо говоря, это означает, что элементы счетного множества
можно перенумеровать.
Теорема 1.15.1.Объединение счетного множества счетных мно-
жеств является также счетным множеством.
95
a/a
a'^a
аУа
/
У
У
af3, с
/
/
2".
id, ...
/
V"
Доказательство. Достаточно указал*
лишь способ нумерации элементе!
объединенного множества. Обозначив
1-ый элемент у-го множества через а$
Способ нумерации элементов виден и»
следующей диаграммы: первым элемен
том назначается элемент а,„ следуюц
щим берется элемент а12, потом, пор
диагональной стрелке диаграммы, идет элемент а21, затем нумеру-
ются последовательно элементы а,3, а22, ait, далее, а,4, а23, аш
а41 и т. д. Итак, любой элемент диаграммы (элемент объединени
множеств) оказывается занумерованным, что и заканчивает дока-
зательство.
Следствие. Множество всех рациональных чисел является
счетным.
Доказательство. По определению рациональное число предста-
вимо в форме i/j, где / и у — целые числа. Обозначая Ay = i/j"
получаем двойную последовательность, удовлетворяющую услови
ям Теоремы 1.15.1.
Докажите самостоятельно следующее утверждение.
Задача 1.15.1. Множество всех многочленов с рациональным!
коэффициентами является счетным. ~
Георг Кантор A845-1918) доказал следующую теорему.
Теорема 1.15.2. Множество всех действительных чисел, распо-
ложенных на отрезке [0;1], не является счетным.
Доказательство может быть найдено в любой книге по теория
множеств или по теории функций действительного переменного.
Таким образом, мощность множества точек отрезка [0; 1] отлич
на от мощности счетного множества. Говорят, что множество име
ет мощность континуума, если его элементы могут быть поставленt
во взаимно однозначное соответствие с точками отрезка [О; 1].
На этом мы завершаем краткий экскурс в теорию множеств
Сейчас наши интересы лежат в области применения понятия счет-
«ости множества в теории метрических пространств.
Современная механика сплошной среды связана с компьютер»
ным решением задач. В компьютерах используется лишь конечное
множество чисел. Однако исследователь ожидает, что компьютера
96
в состоянии найти приблизительно решение задачи с заранее за-
данной точностью, используя лишь этот конечный набор чисел.
Ясно, что для этого необходимо, чтобы компьютер принципиаль-
но мог представить любое потенциальное решение задачи с доста-
точной степенью точности. Почти очевидно, что существуют про-
странства, имеющие бесконечное число элементов, все элементы
которых нельзя описать с заранее заданной точностью, пользуясь
лишь конечным числом параметров, принимающих конечное чис-
ло значений. В связи с этим возникает вопрос, когда это можно
сделать хотя бы с помощью счетного набора параметров со счет-
ным множеством значений. На этом пути и возникает понятие се-
парабельности метрического пространства.
Определение 1.15.2. Метрическое пространство X называется
сепарабельным, если в X существует счетное всюду плотное под-
множество.
Иными словами, сепарабельное метрическое пространство X
содержит такое счетное множество М, что для любого элемента
х е X найдется некоторая последовательность {/я,-}, принадлежа-
щая множеству М, такая, что </(/й,-,х)-»0 при /-»0.
Простым примером сепарабельного метрического пространства
является множество всех действительных чисел отрезка [а',Ь].
Здесь счетным всюду плотным подмножеством является множество
всех рациональных чисел, принадлежащих данному отрезку.
Приведем другие примеры сепарабельных метрических
пространств.
Множество всех многочленов конечной степени, заданных на
компакте п, которое снабжено нормой пространства Ц^), явля-
ется сепарабельным метрическим пространством. Всюду плотным
счетным множеством в нем является множество всех многочленов с
рациональными коэффициентами, которое мы обозначим через Рг.
Действительно, аппроксимируя коэффициенты аа любого много-
<1
члена Yn flax<1 рациональными числами аа, всегда можно достиг-
нуть выполнения неравенства
>a2>a <e
I 01
с любой наперед заданной точностью е > 0.
97
Классическую теорему Вейерштрасса о приближении непре-
рывной функции многочленами на компакте Q можно перефрази-
ровать следующим образом.
Теорема 1.15.3. Пусть Q - компакт вЯ". Пространство ()
является сепарабельным. Счетным всюду плотным в С(п) под-
множеством является множество всех многочленов с рациональ-
ными коэффициентами.
- Приведем теперь пример несепарабельного метрического про-
странства.
Лемма 1.15.1. Множество М всех ограниченных на отрезке
[0,1] функций, снабженное нормой
j
не является сепарабельным метрическим пространством.
Доказательство. Достаточно показать, что множество Л/содер-
жит некоторое подмножество, которое не может быть аппрокси-
мировано каким-либо счетным набором функций. Построим та-
кое подмножество. Пусть а — произвольное число из отрезка
[0,1]. Определим функцию /а(х) следующим равенством
l, если xio
0, еслих<а.
Множество всех таких функций /а{х) и составляет искомое под-
множество. Действительно, расстояние между любыми двумя
функциями данного множества равно единице:
Ш-М4 = $Ш-М4 -* ; если а ^р .
Очевидно, что множество всех таких функций /а(х) имеет мощ- ~
ность континуума, т.е. не является счетным. Построим шар Ва~
радиуса 1/3 с центром в точке fa(x). Очевидно, что при а*р
шары Ва и Вр не пересекаются. Если бы в М существовало бы
счетное всюду плотное подмножество, то каждый такой шар дол-
жен содержать по меньшей мере один элемент из этого подмноже-
ства, что невозможно, т.к. мощность множества построенных ша- -
ров есть континуум, ч.т.д.
98
Сейчас мы займемся доказательством, что за исключением
пространства М все введенные выше метрические пространства, в
том числе и энергетические, являются сепарабельными. Начнем с
пространства суммируемых на С1 функций.
Теорема 1.15.4 Пространство If(Cl), где р<\, П есть ком-
пакт в R", является сепарабельным.
Доказательство. Достаточно доказать, что Рп множество всех
многочленов с рациональными коэффициентами, всюду плотно в
If(fl). JVIbi уже видели (Теорема 1.15.3), что множество Рг плот-
но в С(Ы. Но тогда Рг является плотным и на множестве всех не-
прерывных на Ul) функций, снабженном нормой пространства
Lp(fl). Действительно, если /(х)еС(р), то для любого заданно-
го е > 0 мы можем найти многочлен 0Дх) е Рг такой, что
Но тогда
1 а
Пусть теперь F(x) - произвольный элемент/-''(Q), a {/„(x)j -
некоторая его представительная последовательность. Так как /л(х)
есть непрерывная функция, то каждую из функций /л(х) мы при-
ближаем некоторым многочленом из Рг с точностью до 1/л :
Легко видеть, что в этом случае последовательность (бя(х)} является
одной из фундаментальных последовательностей, входящих в класс
F(x). Наконец, тот факт, что множество всех фундаментальных
последовательностей, образованных элементами Рп является счет-
ным (по Теореме 1.15.1), завершает доказательство теоремы.
Последнее доказательство легко обобщается. Заменяя про-
странство Lp(fl) на некоторое метрическое пространство X, а Рг —
на некоторое счетное всюду плотное в X множество, непосред-
ственно получаем следующую теорему.
99
Теорема 1.15.5. Пополнение сепарабельного метрического про-
странства есть пространство сепарабельное.
Данная теорема позволяет доказать сепарабельность всех энер-;
гетических пространств, если мы докажем следующую теорему.
Теорема 1.15.6. Пространство (?k)(ci\, где Q есть компакт с
R", является сепарабельным.
Доказательство теоремы дается здесь схематично. Любая функ
ция /(х) eCk(Ci} может быть приближена по норме С^ЧЫ jC
любой степенью точности бесконечно дифференцируемой в Q
функцией /i(x), что можно проделать с использованием техники
усреднения. Рассматривая производную ——%——j— как эле-*
мент пространства Сим, аппроксимируем её многочленом Qkn из
Рг Затем с помощью Qkn строится многочлен с рациональным»
коэффициентами, который аппроксимирует функцию /(х) вместе,
со всеми ее производными до порядка к включительно с любо?
наперед заданной точностью. Для этого в О выбирается некотора;
точка с рациональными коэффициентами х0 =(х,0,х2о,...хд0), «,
затем выбираются рациональные числа аа, которые аппроксими
руют значения /)а/,(х0) с некоторой наперед заданной точнос-
тью. Используя эти числа в качестве начальных данных, мы по-
следовательно интегрируем многократно многочлен Qkn:
Окп-\{х\,хг,...,х„) = ак_1к к + \Qkn(s,x1,...,xH)ds , .
Окп-г{х\,хг,...,х„) = ак_2,к к
и т.д. На каждом шаге интефирования получается многочлен с ра-
циональными коэффициентами, который приближает некоторую;
из производных функции /i(x) с любой степенью точности на П.
Следовательно, этот же многочлен приближает и функцию /(х) а
норме C^fo). Детали доказательства мы оставляем читателю. "
В дальнейшем нам понадобится следующий простой результат. „
Теорема 1.15.7. Любое подмножество М сепарабельного метри-
ческого пространства X является сепарабельным.
Доказательство. Необходимо построить счетное всюду плотное,
в М множество, принадлежащее М. Пусть счетное множества
100
точек (х,,х2,... *„,...) является всюду плотным в X. Пусть Вк1 -
шар радиуса 1/к с центром в точке х,. По Теореме 1.15.1 множе-
ство всех шаров Bki является счетным.
При любом фиксированном к объединение U, Ви покрывает
множество X, а, следовательно, и множество М. Выберем из
каждого шара Bki элемент, принадлежащий М (если такой элемент
существует). Обозначим этот элемент bki. Произвольный элемент
т е М обязательно принадлежит некоторому шару Bki. Но тогда
расстояние d(m, Ьь¦) й 2/к. Таким образом, множество всех эле-
ментов bki принадлежит М, является счетным и всюду плотным в
Л/, что и заканчивает доказательство.
Как мы увидим далее, эта теорема имеет большое значение. У
нас не так уж велик запас счетных наборов функций, с помощью
которых можно было бы приближать элементы различных про-
странств. Как правило, с их помощью трудно произвести аппрок-
симацию функций и одновременно удовлетворить некоторым крае-
вым условиям, наложенным на класс аппроксимируемых
функций, как это происходит в энергетических пространствах.
Поэтому для доказательства сепарабельности соответствующих про-
странств для функций с наложенными краевыми условиями
мы будем доказывать сепарабельность более широких пространств
функций, где краевые условия не налагаются. Тогда сепарабель-
ность исследуемого пространства будет получаться как следствие
Теоремы 1.15.7.
Частным следствием Теорем 1.15.5 и 1.15.6 является следующая
лемма.
Лемма 1.15.2. Все Соболевские пространства 1Утр(П),р>1,
являются сепарабельными.
Как уже было сказано, все введенные выше энергетические >
пространства являются подпространствами того или иного про-
странства Соболева. Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 1.15.8. Все введенные выше энергетические простран-
ства, а именно, Ем, Е„, Еу, являются сепарабельными.
В дальнейшем мы будем вводить и другие энергетические про-
странства. Все они являются подпространствами некоторых.
Соболевских пространств, и, следовательно, будут сепарабельными
пространствами.
101
1.16. КОМПАКТНОСТЬ; КРИТЕРИЙ ХАУСДОРФА
Классическая теорема Больцано математического анализа ут-
верждает, что из любой ограниченной последовательности в R
можно выбрать фундаментальную подпоследовательность. Посмот
рим, сохраняется ли это свойство, если ограниченная последова
тельность принадлежит бесконечномерному пространству. Пока
жем, что в общем случае это не так.
Рассмотрим, например, следующую ограниченную последова
тельность элементов из пространства последовательностей L2: \
¦*
х, =A,0,0,0,0,...), х2 =@,1,0,0,0,...), х3 =@,0,1,0,0,...), ... . *
.X
Очевидно, что jjjc,-1| = 1, причем для любой пары различных эле
ментов этой последовательности имеем Jx,,-jrj = V2 при /*/
что означает, что данная последовательность не имеет ни одно
фундаментальной подпоследовательности. л
Итак, теорема Больцано в бесконечномерном пространстве 1
общем случае не. выполняется. Однако имеет смысл выделить спет
циальные подмножества, где она остается справедливой.
Определение 1.16.1. Множество М в метрическом простра»
стве называется компактным, если каждая его последовательное?!
содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу этот
множества. Множество называется предкомпактным (или относи*
тельно компактным), если каждая его бесконечная последователь
ность содержит фундаментальную подпоследовательность. :
По определению компактное множество является замкнутым'
Предкомпактное замкнутое множество является компактным., <¦
В новых терминах теорема Больцано может быть переформули
рована следующим образом. ..
Ограниченное множество в R" является предкомпактным. Зам-t
кнутое ограниченное множество в R" является компактным (и на,
зывается компактом).
Отметим, что все пространство R" с евклидовой метрикой Hi
является компактным.
Задача 1.16.1. Существует ли такая метрика на множеству
точек R", с которой все метрическое пространство является ком-1
пактным (предкомпактным)? ~
102 •;
Существует эффективный критерий, с помощью которого
можно установить, является ли множество метрического про-
странства предком пактным. Введем определение.
Определение 1.16.2. Конечное множество Е элементов метри-
ческого пространства X называется конечной е-сетью множества
М с X , если для любого элемента х е М найдется некоторый
элемент е еЕ такой, что d(x,e)<e.
Геометрически данное определение означает, что Е является
е-сетью множества Л/, если любой элемент множества М попадает
внутрь одного из шаров радиуса е с центром в точке, принадлежа-
щей множеству Е.
Теорема 1.16.1 (Хаусдорф). Множество метрического простран-
ства является предком пактным тогда и только тогда, когда для лю-
бого е > 0 существует конечная е-сеть данного множества.
Доказательство. Необходимость. Пусть М есть предкомпактное
множество метрического пространства X. Допустим от противного,
что для некоторого е0 > 0 не существует конечной ео-сети множе-
ства М. Это означает, что никакое объединение конечного числа
шаров радиуса % не может содержать всех элементов М. Покажем,
что это влечет за собой существование последовательности из М, не
содержащей ни единой фундаментальной подпоследовательности,
то есть что М не является предкомпактным множеством. Действи-
тельно, возьмем какой-либо элемент Х\ е М и шар Вх с центром в
точке д:, и радиуса sq. Вне шара найдется обязательно элемент х2
множества М (иначе элемент х, и* был бы «д-сетью множества М).
Построим теперь шар В2 с центром х2 и радиуса % Вне объединения
шаров Вх и В2 обязательно найдется некоторый элемент х3 е М,
иначе Х| и хг образовывали бы конечную ео-сеть в М. Этот процесс
можно продолжать до бесконечности. В итоге получаем последова-
тельность элементов |хл| <= М , любые два элемента которой нахо-
дятся на расстоянии большем, чем % друг от друга. А это и означа-
ет, что данная последовательность не может содержать фундамен-
тальной подпоследовательности, что противоречит определению
предкомпактности множества М.
Достаточность. Пусть для любого е > 0 существует конечная
е-сеть множества М. Требуется доказать, что М — предкомпактное
множество. Пусть {*„} — произвольная последовательность, лежа-
щая в М. Для доказательства достаточности условия теоремы
ЮЗ
покажем, что из последовательности {¦*„} можно выбрать фунда-
ментальную подпоследовательность. Возьмем е( = ЬС и построим.
конечную е,-сеть множества М. Один из шаров, например,
шар Вх радиуса е, с центром в одном из элементов данной
е,-сети, обязательно содержит бесконечное число членов данной
последовательности \х„). Возьмем один из этих членов и обозна-
чим его х(|. Затем построим конечную е2-сеть множества М с,
е2 = V-2 • Один из шаров радиуса е2 с центром в точке е2-сети,
обозначенный В^, содержит бесконечное число элементов после-
довательности {х„}, которые одновременно принадлежат и шару
Вх. Выберем из этих элементов, принадлежащих шарам Вх и В\'.
одновременно, элемент с номером, который больше, чем /,, и
обозначим его х(г. На следующем шаге мы строим е3-сеть с
е3 = 1^з и шаР ^з> который содержит бесконечное число точек
последовательности {х„}, лежащих одновременно в шарах Вх и
Вг. После чего выбираем элемент *<, с номером /3 > i2, который
принадлежит одновременно шарам BXi Вг и В}, и т.д. Продолжая
этот процесс до бесконечности, получаем последовательность |х,4 J
и последовательность шаров Вк радиуса ?к - //[, причем последо*
вательность jxit} является подпоследовательностью подпоследова-_
тельности [х„] и расстояние между двумя последовательными эле-:
ментами xik и х/(+| меньше, чем Xt-i • Тогда по неравенству
треугольника для метрики имеем:
t
' *4 J
1 1 1 1
k~2'
Это означает, что последовательность {дс; ) является фундамен-
тальной, что и заканчивает доказательство.
Следствие. Предкомпактное множество метрического простран-
ства является ограниченным.
. Доказательство вытекает из того факта, что для предкомпакт-
ного множества можно построить конечную 1-сеть. Соответствую-
щие единичные шары с центрами в точках этой сети включают в
104
себя все точки предкомпактного множества. Наконец, конечное
число шаров единичного радиуса всегда можно поместить в неко-
торый шар конечного радиуса.
Напомним, что замкнутое предкомпактное множество является
компактным. Сформулируйте самостоятельно, как выглядит кри-
терий компактности Хаусдорфа для компактности множества мет-
рического пространства.
Теорема 1,16.2. Предкомпактное метрическое пространство X
является сепарабельным.
Доказательство. Мы построим счетное всюду плотное множе-
ство в предкомпактном пространстве, используя критерий пред-
компактности Хаусдорфа. Возьмем последовательность чисел
?к=У/с- Пусть элементы (xt|,xtl,...,xtjv| образуют конечную
еА-сеть пространства. Совокупность М всех элементов хк> является
счетным множеством и, кроме того, является всюду плотным в.
данном пространстве, поскольку в любой шаровой окрестности
любого элемента из JT обязательно содержатся элементы из М.
Нас интересует вопрос, каким должно быть пространство,
чтобы в нем выполнялась теорема Больцано. Ограничимся сейчас
случаем банаховых пространств.
Теорема 1.16.3. Банахово пространство X обладает тем свой-
ством, что любое его ограниченное подмножество является пред-
компактным, тогда и только тогда, когда размерность X конечна.
Напомним, что размерность линейного пространства конечна,
если существует конечное число элементов этого пространства
таких, что любой его элемент представим в виде линейной комби-
нации данных элементов.
Необходимость условия Теоремы 1.16.3 и есть теорема Больца-
но, а потому оно опускается. Доказательство достаточности дан-
ного условия базируется на следующей лемме.
Лемма 1.16.1 (Рисе). Пусть М — замкнутое подмножество нор-
мированного пространства X и М * X. Тогда для любого числа е
такого, что 0 < е < 1, найдется такой элемент х?, что
хс *. М, ||хе|| = 1 и inf \у - хс\\ к 1 - е .
У ?/ст
Доказательство. Так как М * X, то найдется хотя бы один эле-
мент х0 еХ, не принадлежащий М. Обозначим d = infix)-.dl.
105
Покажем сначала, что d>0. Предположим, от противного, чц
d = О. Тогда существует последовательность {%} > Уt e M » такая
что ||дг0 - ук | -> О при А; -> да, что означает, что lim yk = дг0 • По
скольку множество Л/ замкнутое, то элемент х$ оказывается при над
лежащим множеству М, что противоречит предположению. №ai
d > О. Согласно определению точной нижней грани по любом
е > 0 найдется элемент ус еМ такой, что d < |х0 - >»?|| < <//A - ef
Тогда указанный в формулировке теоремы элемент определяете
формулой
Действительно, имеем равенство ||хс| = 1 и, кроме того, для лк
бого у е М ^
Здесь использовано, что >»? + ||дг0 -уе\у еМ ; ч.т.д.
Доказательство достаточностм Теоремы 1.16.3. Очевидн!
достаточно показать, что замкнутый шар единичного радиуса м
жет быть компактным только в банаховом пространстве X коне!
ной размерности.
Возьмем произвольный элемент ух такой, что ||^i|| = l, и о&.
значим его линейную оболочку через Ех. Напомним, что линей»
оболочкой элементов хх,хъ...,хп называется множество вс*
элементов вида Xl«ia*xA > где a* ~ действительные (или ком
лексные для комплексного пространства) числа. Если Ех * X, и
по Лемме 1.16.1 существует элемент у2 eEt такой, что \у2\ = 1
||>»2->»,|> 1/2. Обозначим линейную оболочку элементов ух и у
т.е. множество всех линейных комбинаций a^i + а2у2, через Е
Если Е2 *Х, то по той же Лемме 1.16.1 мы можем найти эл
мент уг со следующими свойствами:
Построим подпространство ?3» являющееся линейной оболочко
элементов ух,у2,у3. Подпространство Е3 не может совпасть с Л
106 '
если X имеет бесконечную размерность. Продолжая строить
элементы yh мы получаем последовательность {>»,•} такую, что
расстояние между любыми двумя ее элементами больше 1/2. Но
такая последовательность не может содержать фундаментальную
подпоследовательность, что противоречит предположению теоре-
мы. Следовательно, процесс построения подпространств ?, дол-
жен прерваться на каком-то шаге, и номер этого шага есть конеч-
ная размерность пространства X, ч.т.д.
В следующем параграфе мы докажем одну теорему о компакт-
ности множества функций, которая широко используется в раз-
личных приложениях.
1.17. ТЕОРЕМА АРЦЕЛА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Теорема 1.17.1 (Арцела). Пусть Q - компакт в Л". Множество
Л/ непрерывных на Q. функций из C(Q) является предкомпактным
в C(Q) тогда и только тогда, когда М удовлетворяет одновременно
двум следующим условиям:
A) множествоМ является ограниченным в С(о);
B) множество функций из М является равностепенно непре-
рывным на Q.
Поясним эти два условия. Ограниченность множества М в
C(Q) означает, что существует такая постоянная т, что для всех
функций /(х) из М выполняется неравенство |/(x)|^ffi.
Семейство функций М называется равностепенно непрерывным
на Q, если по любому наперед заданному числу е > 0 найдется
такое число 5 > 0, что для любой функции из М выполнено нера-
венство |/(х) - /(у)| < е как только |х - у| < 5, |х, у| е П.
Доказательство. Необходимость. Пусть М — предкомпактное
множество в C(q) . По критерию Хаусдорфа существует конечная
1-сеть множества М. Это означает, что существует конечное число
непрерывных на компакте Q функций ?,(х), i = \,...,k, таких,
что для любой функции f{x) e M можно найти такую функцию
gr(x), принадлежащую 1-сети, что
Так как все функции gjlx) непрерывны на Q, то найдется такая
постоянная с, что все [^-(х^с, и, следовательно, выполнено
107
неравенство |/(x)j ? с +1 для всех функций /(х) из А/. Т.е. уело-»*
вие A) необходимо выполнено.
Докажем выполнение условия B). Пусть е - произвольное по?
ложительное число. Необходимо установить существование такого,
числа 5 > 0, чтобы для любой функции /(х) из М было выполне-
но неравенство |/(х)-/(у)| < е, как только |х-у|<5, |х,у|еП.
Так как М является предкомпактным множеством, то суще-
ствует конечная е/3-сеть, элементы которой обозначим ?,(х);
/ = 1,2,...,т . Число этих функций конечно, а каждая из них рав-
номерно непрерывна на О, поэтому можно найти такое числа
5 > 0, что
Уъ ПРИ Iх - У| < 5
Для произвольной функции /(х) из М найдется такая функция
gr(x) из е/3-сети, что
|/(х) - gr(x)| < Уъ для всех х е П .
Пусть х,у eQ и |х -у| < 5. Тогда г
Таким образом, условие B) оказывается выполненным. ^
Достаточность. Пусть семейство функций М удовлетворяет уо
ловиям A) и B) теоремы. Для доказательства достаточности эти*
условий следует показать, что из любой последовательности функ
ций из М можно выбрать подпоследовательность, которая равно*
мерно сходится на О.
Так как П является компактом в R", то для любого 8 > 0 суще*
ствует конечная 8-сеть области О, например, "кубическая" сетки
Возьмем последовательность Ък = у^ и для каждого к = 1,2,3, ..!¦"
построим бд-сеть области Q. Перенумеруем все узлы получившихся
сеток области Q последовательно: сначала перенумеруем узль
5|-сети, затем нумеруются узлы 52-сети и т.д. В результате мь.
получаем счетное множество точек {хя}, которое является плот-
ным в О.
Пусть |Л(Х)} ~ произвольная последовательность функций и
М. Рассмотрим значения этой последовательности в точке х = х( &
108
Числовая последовательность {/t(xi)} является ограниченной, а
потому из нее можно выбрать некоторую сходящуюся подпоследо-
вательность (Д(Х|)кА: = 1.2, .... Рассмотрим значения этой под-
последовательности |Д(х)] в точке х2. Числовая последователь-
ность |Д(х2)| является ограниченной, а потому из нее можно
снова выбрать сходящуюся подпоследовательность {Д(хг)}- Та же
самая процедура выбора может быть проделана'последовательно в
точках х3, х4 и т.д. На /-ом шаге этой процедуры мы получаем не-
которую подпоследовательность |Д(Х,)|, которая является сходя-
щейся, но, кроме того, последовательность (Д(х)} оказывается
сходящейся при всех х = Xj,j = 1,2,...,/. Рассмотрим теперь под-
последовательность, состоящую из «диагональных» элементов под-
последовательностей, т.е. тех функций, чей номер в подпоследо-
вательности я-го шага был равен я: |Д,(Х)]. По построению
числовая последовательность |/л«(хт) является сходящейся При
я„ -> да при всех фиксированных т= ,2,3, ....
Покажем, что последовательность Л„(х)} является равномерно
сходящейся на Q. Во-первых, вследствие равностепенной непре-
рывности функций семейства А/, для любого е > 0 мы можем най-
ти такое 8 > 0, что для любой пары точек х,у eQ, удовлетворяю-
щей неравенству |х - у| < 8 , получаем для всех л:
Выберем одну из построенных выше 5,-сетей компакта Q при
8, <8 и обозначим ее узлы через z,, i = 1,2,...,г. Так как число г
является конечным, то для любого е > 0 мы можем найти номер
N такой, что для всех п > N и т > N имеем
Пусть х — произвольная точка Q и гк ~ ближайшая к х точка
8,-сети, т.е. |х -zk\ <6t. Для всех п> N и т> N имеем
Итак, последовательность {/я,,(х)} является равномерно сходящей-
ся на Q, что и заканчивает доказательство теоремы.
109
Следствие. Пусть О есть компакт в R". Ограниченное множе-
ство функций из С1 (о) является предкомпактным в С(п). Если
это множество замкнуто, то оно является компактным.
Доказательство. Множество, ограниченное в C'(Q), является
ограниченным в С(о), т.е. условие A) теоремы выполнено. Вы-
полнение условия B) вытекает из следующего элементарного не-
равенства:
Одним из наиболее известных приложений теоремы Арцела яв->
ляется локальная теорема разрешимости задачи Коши для системы'
обыкновенных дифференциальных уравнений (теорема Пеано)
которую мы сейчас и докажем.
Рассмотрим следующую задачу Коши для вектор-функци1§
) Л"
() М)Ь () A17.1)
Обозначим
Q(t0, а, Ь) = {(г, у)| Го ? t < t0 + а, |у - уо| < Ь, у е
Теорема 1.17.2 (Пеано). Пусть /(/, у) является непрерывно*
вектор-функцией на Q(to,a,b), пусть на Q(to,a,b) имеет место не»
равенство |/(г, у| < Л/ . Обозначим а = min(a, b/M). Тогда на сег
менте f/o,'o+a| существует непрерывное решение задачи Кош!
A.17.1).
Доказательство. Определим на отрезке [/0 —1;/0] функций
У = У?(') равенством '%
Определим продолжение этой функции на отрезок ['о,'о+а] пос«
ледовательно с помощью равенства
s. A.17.2)
Сначала рассматриваем эту формулу как определяющую значений
у?(г) на отрезке [/0;/0+а,], где а, =min(a,e), затем с помощью?
той же самой формулы продолжаем её на отрезок [^ + а(;/0 +2аД
и т.д., пока не дойдем до конца отрезка [?0;/0 +а].
ПО
Далее производим переход к пределу при е -> 0. Предполо-
жим, что е < Ь/М . На отрезке [/0 -?'о] имеет место оценка
yt(t)-y0\ub.
Из условий теоремы и построения, проведенного выше, вытекает,
что эта оценка остается справедливой и на отрезке [tr,;to + <*]• Более
того, на отрезке [/0;/0 +«] выполнено неравенство [Уе(/)| ^ М . Та-
ким образом, множество всех непрерывных (непрерывно диффе-
ренцируемых) вектор-функций {ус(/)|, рассматриваемых на отрез-
ке [/о;'о+а]> удовлетворяет условиям Следствия из теоремы
Арцела. Т.е. при е < Ь/.М множество всех функций у?(/) является
пред компактным в С[го;/О +а], что означает, что существует такая
последовательность {ек), что ек -*¦ О при к -*¦«, и последователь-
ность ! у S<(/)J равномерно сходится на [/0;f0 +a]:
Вследствие равномерной непрерывности функции /(/, у) после-
довательность функций {/('>УеЛ'))| равномерно сходится к функ-
ции /(/, у(/)) на [^oUo+«]. Следовательно, в уравнении A.17.2)
можно произвести переход к пределу при ек -*¦ 0, который приво-
дит к равенству
t
f, /e[/0;/0+<4 A-17.3)
Но это уравнение эквивалентно полной постановке задачи Коши
A.17.1). Таким образом, теорема доказана полностью.
Следующий пример, демонстрирующий применение теоремы
Арцела, - это обоснование применения конечноразностного мето-
да к численному решению задачи A.17.1). При выполнении усло-
вий Теоремы 1.17.2 рассмотрим простейший вариант конечнораз-
ностного метода, а именно, метод Эйлера.
Пусть Д - шаг конечноразностного метода Эйлера. Аппрокси-
мируя производную по / в A.17.1) конечными разностями, имеем
следующую систему соотношений:
*=0, 1, ..., 1о=Уо,A-17.4)
где гк — значение функции у в узле t = t0 + kA . Значения гк нахо-
дятся последовательно по этим формулам при любом конечном А.
ш
С помощью линейной интерполяции между узлами гк по
строим новую функцию, обозначенную Уд(')- На отрезк
Г/о +kA;t0 + (? + 1)д], к<а/А, функция уд(/) дается формулой
На каждом отрезке Г/о + кА; /0 + [к + 1)д], где к<а/А, имеем ч
откуда вытекает, что на этом отрезке справедливо неравенство i
\гк - zo| = \гк - уо| < кАМ < <хЛ/ < b
при всех к<а/А. Следовательно, A.17.5) выполнено для вс
/ е[го;/о +а] за исключением узлов, где оно выполнено для одн
сторонних производных и, кроме того, '.
|Ул(')-УоИ* ПРИ всех/б[/0;/0+а].
ч Таким образом, мы получили множество функций |уд(/)
А^а, которое является предкомпактным в С[/0,/0+а], т.к. о
условия теоремы Арцела оказались выполненными. Следовател
но, можно указать такую последовательность А* -*¦ 0, что поел
довательность (Уд, (')} является равномерно сходящейся. Име
место следующая теорема.
Теорема 1.17.3. Предположим, что выполнены все услов
Теоремы 1.17.2 и задача Коши A.17.1) имеет единственное реш
ние у = у(/) в Q[tQ,a,b\. Тогда последовательность |уД4(/)| рав»
мерно сходится к у = у(/) при Д^ -» 0 .
Доказательство. Поскольку решение задачи Коши A.17.1) э
вивалентно решению интегрального уравнения A.17.3), то дост
точно показать, что для любого е > 0 имеется лишь конечное ч\
ло функций Уд,, не удовлетворяющих неравенству
A.17.
Предположим от противного, что имеется бесконечно много фун!
ций из последовательности {Уд4@1 > которые не удовлетворяют м
равенству A.17.6) для некоторого фиксированного е>0. Испол!
112
зуя стандартную технику математического анализа, мы можем тогда
найти точку /, и подпоследовательность Д^ -*¦ О такую, что
||
Однако последовательность |Уд^(')} является сходящейся при
/ =/|, как и при любом фиксированном значении / е[/0;/0+<х].
Следовательно, ее предел, обозначенный z(/),.должен быть не
равен вектор-функции y(t), являющейся решением задачи Коши,
Покажем, что этого не может быть. Переписывая A.17.4) в виде
0,5,Д
и интегрируя данное равенство с учетом A.17.4), получаем
У4 (')-Уо = а?/('о + &.Ул('о +&)) + sf(t0 + *Д,уЛ(/0 + *Д)) , A.17.8)
где t = t0 + кЬ + 5, 0 ? s < Д.
Выражение в правой части равенства A.17.8) есть конечная
сумма Римана для некоторого интеграла. Последовательность этих
сумм Римана при данных условиях сходится к интегралу
J /E,2E)) ds,
'о / \
при Д4) -»0, а, следовательно, функция i{s) удовлетворяет
уравнению
}
h
которое эквивалентно задаче Коши A.17.1). Мы пришли к проти-
воречию с тем, что решение данной задачи единственно, что и
заканчивает доказательство.
Дополнительно можно отметить, что последовательность (пра-
вых) первых производных |у^ (/,)} также является сходящейся.
Метод Эйлера не используется при практическом численном
решении дифференциальных уравнений. На его примере мы лишь
увидели, каковы трудности, встречающиеся при обосновании ре-
шения задачи Коши конечноразностными методами, и наметили
путь, которым можно провести его обоснование.
113
В заключение сформулируем без доказательства критерий ком*
пактности в пространстве LP(W). i
Теорема 1.17.4. Множество М элементов пространства Lp(Cl),
1 < р< да, является предкомпактным в Lp(fl) тогда и только тог-,
да, когда элементы множества Л/ удовлетворяют следующим двущ,
условиям:
A) Л/является ограниченным в lf(Cl), т.е. имеется такая постоян-
ная т, что для каждой функции /(х) е М выполняется неравенство*
т > ' I
B) Л/ является равностепенно непрерывным в смысле Lp(Cl), т.е.
по любому числу е > 0 найдется такое число 6 > 0, что как только
|Д| < 5, так для любой функции /(х) из Л/ выполнено неравенство ч
¦ #
с
где все функции /(х) продолжаются нулем вне Д. 1
1.18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ В
НОРМИНОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В дальнейшем мы рассмотрим несколько важных задач о мини-
мизации функционала. Как правило, это будут функционалы энер-'
гии для частных упругих систем. Сейчас мы изучим внешне наибо-
лее простую задачу минимизации функционала, которую можнФ
назвать общей задачей теории аппроксимации в нормированное
пространстве. Данная задача формулируется следующим образом. *
Задача 1.18.1. Пусть заданы элемент х е X и набор элементов!
?|'?2>->?л' также принадлежащих нормированному пространству
X. Необходимо найти такой набор чисел (действительных или-
комплексных, в зависимости от того, является ли пространство X
действительным или комплексным), чтобы функция ф от л пере-
менных Х,Д ¦>,... Д„ ''
принимала бы наименьшее значение.
114
Будем записывать эту и подобные ей задачи в следующей форме:
<p(X|A2>¦•¦>*./,)-> min ,
что означает: минимизировать функцию ф(Х|Л2>—А») на множе-
стве всех возможных значений переменных Х1,Х2,---,Х„.
Такую форму имеют классические задачи о наилучшей аппрок-
симации функции полиномами л-го порядка, тригонометрически-
ми полиномами или специальными функциями. Заметим, что ре-
шение этих задач существенно зависит от того, в каком
нормированном пространстве функций ставится задача.
Мы будем предполагать, что элементы ?|,?г>•••>?* являются ли-
нейно независимыми. Напомним, что это означает, что уравнение
+Kgn -О-
относительно неизвестных переменных ХХ,Х2,...,Х„ имеет един-
ственное решение
X., =Х2 =...= *.„ «О .
Обозначим линейную оболочку множества элемен-
тов g{,g2, ¦,gni T-e- множество всех элементов вида
+K8*> через Х„.
Теорема 1.18.1. Для любого х е X существует такой элемент
х*, зависящий от х, что х* = ?"=| Х*& и
|х-х*|- inf L-?x,J. A.18.1)
Доказательство. Рассмотрим (р[ХьХ2,...,\„) = Ьс-^"=|Я.^/ как
функцию от л переменных Я.,, Х2,..., Я.„. Данная функция являет-
ся непрерывной по совокупности переменных Д.|Д2,...Д„, что
вытекает из следующей цепочки неравенств:
+Д,Д2+Д2»-- -Л.
/=i
us
где Aj есть приращение переменной Я.,-. При выводе этой оценки
использовалось следствие неравенства треугольника для нормы,
которое рекомендуется доказать самостоятельно. Итак, функция <р"
оказалась непрерывной в пространстве R" (или С, если X— комп-
лексное пространство). Точно так же доказывается, что и функция
Е ;
является непрерывной по X,. Будучи непрерывной, функция»
\|г(Я.|Д2,.>.Дл) принимает минимальное значение на единичной;:
сфере X,"Jxii2=1 внекоторойточке(я.*,Д2,...д;),где 2"=||*-*| =1 :
Так как множество элементов g\,gi,-,&n является линейно незави-,
симым, то минимум функции \|г(Я.,Д2,..Дл) на единичной сфере
пространства коэффициентов X,- не равен нулю: *
d>0.
11'=!
По неравенству A.18.2) имеем
Это означает, что на области, характеризуемой неравенством
1/2
7=1
получаем, что
Так как <р(О,О,...,О) = ||дс||, то заключаем, что функция
(Я|Д2,...ДП^ принимает, минимальное значение в точке
•!А*2>"'Ав] лежащей внутри шара коэффициентов Xh опреде-
ленного неравенством
Z
1/2
Зй
ч.т.д.
116
Итак, Теорема 1.18.1 показывает, что общая задача теории ап-
проксимации в нормированном пространстве всегда имеет реше-
ние. Что можно сказать относительно единственности этого реше-
ния? Оказывается, в общем случае решение данной задачи не
является единственным. Однако существует достаточно широкий
класс нормированных пространств, в которых данная задача ре-
шается однозначно. Это пространства, которые-вводятся в следу-
ющем определении.
Определение 1.18.1. Нормированное пространство X называет-
ся строго нормированным, если для любых элементов х,у еХ из
равенства
вытекает, что у = Хх и число X ? О.
Заметим без доказательства, что пространства Lp,Lp{Cl),
Wk'p(ci) при 1 < р < да являются строго нормированными. Это вы-
текает из неравенств Минковского.
Мы установим теорему единственности наилучшей аппрокси-
мации в строго нормированном пространстве при условиях даже
менее ограничительных, чем в Теореме 1.18.1 о существования та-
кого элемента. Введем следующее определение.
Определение 1.18.2. Множество называется выпуклым, если
вместе с каждой парой его точек хну оно содержит весь отрезок,
соединяющий эти точки, то есть множество всех точек вида
Хх + A г- Х)у, где 0?Л<1.
Теорема 1.18.2. Для любого фиксированного элемента jc строго
нормированного пространства X существует не более одного эле-
мента у из замкнутого выпуклого множества М с X , минимизи-
рующего функционал F(y) = \\х - yf.
Доказательство. Предположим от противного, что существуют
два элемента у{ и у2, минимизирующие функционал F[y):
y\\^d. . A.18.3)
Если х е М, то, очевидно, что х - ух = у2 ¦
Пусть теперь х € М. Тогда d > 0. Так как М — выпуклое мно-
жество, то элемент yt + у2/2 е М . Это означает, что
У\±У2\
2
117
С другой стороны, имеем
Следовательно,
Я+У2Г.Д*-У||.1*-
Так как пространство л7 является строго нормированным, то имеем,
что «
x-yi=X(x-y2)
с некоторым XZ0. Отсюда вытекает, что х-ух ~Х(х-у2). Ра-
венство A.18.3) показывает, что Х=\, а, следовательно,
ух » у2, ч.т.д.
Лемма 1.18.1. Предгильбертово (или унитарное) пространство
является строго нормированным. •
Доказательство. Пусть |* + >| = |И1 + М> **0- Тогда ¦
Это равенство может быть переписано (в комплексном случае)
следующим образом
И2 + 2Rc(x,y) + И2 = И2 + 2М И +1И2- (Ы8.4)¦
Отсюда заключаем, что ''.
Используя неравенство Шварца, мы выводим, что последнее ра-
венство возможно лишь если
а, следовательно,
M-MW
118
По Теореме 1.9.1 заключаем, что у = \х. Наконец, подставляя
у = кх в равенство (х,у) = flxfl |>|, выводим, что А.^0, ч.т.д.
Для гильбертова пространства Теорема 1.18.1 в комбинации с
Теоремой 1.18.2 приводит к следующей теореме.
Теорема 1.18.3. Пусть М есть замкнутое выпуклое множество
гильбертова пространства Н. Для любого фиксированного элемента
х е Н существует единственный элемент у0, который реализует
минимум функционала F(y) = \\х-у\ по переменной у еМ.
Доказательство. Единственность элемента, минимизирующего
функционал F[y) на множестве М, следует из Теоремы 1.18.2.
Покажем существование такого элемента. Пусть последо-
вательность {ук}, лежащая в М, минимизирует функционал
^(у) ~ Vе ~ Л на М (ЭТУ и подобные последовательности будем
кратко называть минимизирующими), т.е.
По определению точной нижней грани минимизирующая последо-
вательность в М существует. Так как М является замкнутым, то
для завершения доказательства достаточно показать, что последо-
вательность {ук} является фундаментальной. Для доказательства
последнего утверждения выпишем равенство параллелограмма
A.9.3) для пары элементов (х - yt) и \х- у^
Отсюда получаем, что
Так как У - у12 = d1 + е.» где еу -> 0 при j -»<х>, то из A.18.5)
вытекает, что
\у, -yjf*7(d2 +e,- +d2 +tj)-4d2 =e,. +tj ->
при i,j -> оо, что и завершает доказательство теоремы.
119
1.19. ТЕОРЕМА ОБ ОРТОГОНАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ
ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА; ТЕОРЕМА РИССА О
ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНОГО ЛИНЕЙНОГО
ФУНКЦИОНАЛА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
f
Пусть jc есть элемент гильбертова пространства Н и М -замкнутое
линейное подпространство Н. Наконец, пусть т — единственный
минимизирующий элемент функционала F(y) = \\х - у|| | на А/, т.е. .
В предыдущем параграфе мы доказали, что для любого элемент*
х вН такой элемент т еЛ/ существует. Назовем элемент т ортт.
гональной проекцией элемента jc на подпространство Л/. >. -г
Посмотрим, почему мы назвали этот элемент т ортогонально!
проекцией на М. Возьмем произвольный элемент v, принадлежа*
щий Л/, и рассмотрим функцию /(а) = \х - т - ctv||2 действитель*
ного переменного а, которая имеет действительные значения
Данная функция непрерывно дифференцируема по а и принимав!
минимальное значение при а = 0, а потому г
о ¦ '*
1а=0 'к
Простые вычисления дают у
d(x-m-av,x-m-av, „_ , ч
- -* '- - -2Щх-т, v) = i
а=0
а=0
Заменяя v на /v, аналогично получаем, что и Im(jc-от, v) = 0. А;
следовательно,
(jc-m,v) = 0. A.19.1)
Это, равенство означает, что элемент jc - от ортогонален любому
элементу v из А/.
Определение 1.19.1. Будем говорить, что элемент п гильберто-
ва пространства Н ортогонален подпространству А/ этого же гиль*
бертова пространства Н, если п ортогонален каждому элемент)
т е А/ , то есть («,/я) = 0. Два подпространства А/ и N гильбертов*
пространства Н называются взаимно ортогональными, если любой
элемент подпространства А/ ортогонален любому элементу подпро-
120
странства N. Будем говорить, что пространство Я разлагается в
ортогональную сумму подпространств М и N, если подпространства
М vi N взаимно ортогональны и любой элемент х е Я имеет одно-
значное представление
теМ, neN. A.19.2)
Этот факт обозначается Н = М + N.
Теперь мы можем сформулировать так называемую теорему об
ортогональном разложении гильбертова пространства.
Теорема 1.19.1. Пусть М есть замкнутое подпространство гиль-
бертова пространства Я. Тогда существует однозначно определен-
ное замкнутое подпространство N пространства Я такое, что про-
странство Я разлагается в ортогональную сумму подпространств
Доказательство. Предположим, что М не совпадает с Я Обозна-
чим через N множество всех тех элементов Я, которые ортогональны
подпространству М. Из сказанного в начале этого параграфа относи-
тельно ортогональной проекции произвольного элемента на подпро-
странство М вытекает, что подмножество N не пусто.
Покажем, что множество N является линейным подпростран-
ством пространства Я. Действительно, для любых nx,n2&N и
т еМ выполнены равенства
и, следовательно, выполнено равенство {к^ +Х2п2,т) = О для
любых чисел X, и Х2 и любого т е М, что и доказывает линей-
ность "множества N.
Подпространство N является замкнутым. Действительно, если
последовательность {пк}с N является фундаментальной, то ее
предельный элемент у = lim nk существует и принадлежит N, так
как *-х
(у, т) = lim (л* ,т) = 0 для любого от е М.
В начале этого параграфа было показано, как для любого эле-
мента х € Я построить его ортогональную проекцию т на М. При
этом элемент п = х-т оказывается ортогональным М. Таким об-
разом, возможность разложения A.19.2) произвольного элемента
из Я доказана.
121
Остается показать единственность такого разложения. Предпо-
ложим, что для некоторого х е Н существуют два такие пред-
ставления
х = Ш| + я, и х = т2 + п2,
где /и, еЛ/ , а я, eN. Тогда ';
/И| + Я| = W
Следовательно с
Умножая скалярно обе части последнего равенства на /и, -
получаем
2
Аналогичная операция умножения того же равенства на л, - пг
дает равенство 4
что и заканчивает доказательство теоремы. ;
Следующая теорема, называемая теоремой Рисса о представлен
нии непрерывного линейного функционала в гильбертово»
пространстве, она имеет самые широкие приложения в наше||
изложении. ••
Теорема 1.19.2 (Рисе). Пусть F(x) - непрерывный линейны
функционал, заданный на гильбертовом пространстве Н. Сущ©
ствует однозначно определенный элемент / е Н такой, что ?
F(x) = (xJ) для всех хеН. A.19.4?
Более того, И = |/|.
Доказательство. Рассмотрим ядро М функционала F(x), т.е^
множество всех элементов Н, удовлетворяющих уравнению ¦
F(x) = 0. ' d-».5)y
Так как функционал ^(дсУявляется линейным, то любая конеч*
ная линейная комбинация Х/=Л|/И| ^вмв108 Щ>щ,--,тг ядра Hi
также принадлежит М. Функционал F(x) является непрерывным^
Если последовательность 1/яЛсЛ/ является фундаментальной, т&
122
ее предел т = jim/я, также удовлетворяет уравнению A.19.4), т.е.
т е А/. Итак, мы получили, что М является замкнутым подпрост-
ранством пространства Н.
По Теореме 1.19.1 существует замкнутое подпространство N
пространства Н такое, что оно ортогонально Л/ и любой элемент
хеН однозначно представим в виде х = гц+п, где теМ,
п еN и (/я,я) = 0.
Покажем, что подпространство N является одномерным. Пос-
леднее означает, что любой его элемент я можно представить в
форме <хЛ|, где я, * 0 — некоторый фиксированный элемент N.
Действительно, зафиксируем какой-либо элемент я, * О, я, е N
и возьмем произвольный элемент я2 eN. Очевидно, что элемент
пу = F{n\)ri2 - F{n2)n\ также принадлежит N. Вычислим значение
/•(из):
Это означает, что л3 принадлежит также и подпространству М.
Отсюда следует, что я3 = 0. То есть я2 = <хя,. Итак, одномер-
ность подпространства JV доказана.
Возьмем произвольный элемент я eN и определим новый эле-
мент п0 равенством:
н
По только что доказанному любой элемент х е Н однозначно
представим в форме
х = т + <Щ) , т е М,
причем <х-(дс,Ло). Вычислим значение F(x):
F(x) = F(m + ало) = F(m) +
Обозначая / = F(n0)n0, мы получаем необходимое представление
для F(x) в форме A.19.4).
Пусть имеются два представляющих элемента fx и f2 для функ-
ционала F[x), то есть
Тогда
123
Полагая здесь х = /, -/2, получаем, что |/, -/2|| =0. Таким об
разом, мы показали единственность такого представления функшн
онала F(x). Наконец, равенство Ц^Ц = |/|| вытекает непосред-я
ственно из определения нормы функционала и неравенств*
Шварца, примененного к представлению A.19.4). Доказательству
теоремы закончено. '
Данное доказательство было проведено для комплексного гиль-
бертова пространства, но оно сохраняется и для действительного
пространства.
Смысл этой теоремы заключается в том, что произвольный нц.
прерывный функционал, заданный на гильбертовом простран.
стве, может быть идентифицирован с единственным элементе*
того же самого пространства. Поскольку для любого фиксировав
ного элемента /пространства Я скалярное произведение (x,f) ест
также непрерывный линейный функционал по х на Н, то теорем.
Рисса устанавливает взаимно однозначное соответствие между эле
ментами Н и элементами пространства всех непрерывных линейны,
функционалов, заданных на Н. Множество всех непрерывных ли
нейных функционалов, заданных на Н, называется простран"
ством, сопряженным к Н. Оно обозначается Н'.' "
В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые приложе
ния теоремы Рисса. \
1.20. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ¦
Напомним, что в §1.14 мы ввели обобщенную постановку не
скольких задач механики и свели их решение к задаче нахождение
решения абстрактного уравнения
(«,v) + o(v) = 0 A.20.1I
(уравнение A.14.10)) на энергетическом гильбертовом простраш
стве Н. В каждой из постановок были указаны достаточные усле
вия, при выполнении которых функционал Ф(у) является непре-
рывным линейным функционалом на Н. -t
Следующая теорема устанавливает разрешимость данной обще!
задачи, чья полная постановка имеет следующий вид. :
Задача 1.20.1. Найти элемент и е Н , удовлетворяющий урав;,
нению A.20.1) при любом veH. .
124
Теорема 1.20.1. Пусть <D(v) есть непрерывный линейный функ-
ционал, заданный на действительном гильбертовом пространстве
Н. Существует единственный элемент и е Н такой, что уравнение
A.20.1) выполняется при любом v eH.
Доказательство. По теореме Рисса существует такой единствен-
ный элемент и0 еН, что функционал ф(у) представим в форме
Таким образом, уравнение A.20.1) можно записать в форме
(«,v) + («o,v) = O. A.20.2)
Нам необходимо найти элемент иеН, удовлетворяющий A.20.2)
при любом v e H. Перепишем последнее уравнение в форме
Мы видим, что его единственным решением является элемент
и = -Ид е Н, ч.т.д.
Задача 1.20.2. Сформулируйте и докажите Теорему 1.20.1 для
случая комплексного гильбертова пространства.
Как уже было сказано выше, данная теорема решает вопрос
об однозначной разрешимости задач из §1.14 в классе обобщенных
решений. Продемонстрируем, как переформулируется данная тео-
рема для двух задач из §1.14.
Теорема 1.20.2. Предположим, что
F(x,y)eL(n) и /(*)el(y),
где fi есть компакт в Л2, а у есть кусочно гладкий контур, лежа-
щий в О. Тогда задача равновесия пластины с жестко защемлен-
ным краем имеет единственное обобщенное решение, а именно,
существует единственный элемент и>0 еЕм, который удовлетво-
ряет уравнению A.14.13) для любых w е?п0.
Изменения, которые необходимо внести в формулировку соот-
ветствующей теоремы разрешимости для свободной пластины,
очевидны: необходимо добавить условие самоуравновешенности
нагрузки и заменить пространство Еп0 на ?),,.
125
Теорема 1.20.3. Пусть П есть компакт в R3 и S есть кусочно^
гладкая поверхность, лежащая в П. Предположим, что декартовы!
компоненты вектора внешних объемных сил F(x) принадлежа*
А^5(П), а компоненты вектора поверхностных сил f(x), действу*
ющих на S, — пространству L4^3(S). Тогда задача равновесия уп-*
ругого тела с неподвижной границей, занимающего область Q|
имеет единственное обобщенное решение u(x,y,z) е?уо, удовлет"
воряющее уравнению A.14.15) при любой вектор функции
y(x,y,z)eEy0.
Напомним еще раз, что все условия на нагрузки в обеих теоре
мах являются лишь достаточными. Они обеспечивают непреры»
ность функционала Ф(у) в соответствующем энергетическом про»
странстве.
Задача 1.20.3.Сформулируйте теоремы существования для все*
остал ьн ых задач из § 1.14. !
Рассмотрим еще одно приложение теоремы Рисса.
Задача о свободных колебаниях мембраны. Данная задача опи
сывается уравнением
Ди = -Хи.
Для мембраны с жестко зажатым краем уравнение для обобщен;
ной постановки задачи свободных колебаний мембраны може
быть записано в следующей форме:
)*^!,,,**, (,.20.Г
^Удхдх дуду) Ь ;.
а сама обобщенная постановка данной задачи может быть сформую
лирована следующим образом.
Задача 1.20.4.Найти элемент ы(*,ы)*0, принадлежащий про
странству ?"„0, и ему соответствующее значение параметра X. (coCl
ственное значение), которые удовлетворяют уравнению A.20.5
при любом v e Ем.
При формулировке этой задачи мы фактически учли, что вс
собственные значения и Собственные функции данной задачи яв
ляются действительными, что будет показано позднее.
126 i
Сначала переформулируем Задачу 1.20.4 о собственных значе-
ниях в виде операторного уравнения
и = ХКи
в пространстве Еы0. Для этого при фиксированном и е Ем рас-
смотрим член
F(v) = juvdxdy - A.20.4)
п
как функционал от v e Ем. Очевидно, что F(y) есть линейный
функционал. Применяя неравенство Шварца, получаем для F(v)
оценку:
Используя теперь неравенство Фридрихса, имеем
." A-20.5)
Итак, функционал F(v) есть непрерывный линейный
функционал, действующий на гильбертовом пространстве Ем. По
теореме Рисса он однозначно представим в виде скалярного про-
изведения в Ем:
()EM (v,/)?m. A.20.6)
n
Итак, что же мы получили? Для каждого элемента и е Ем, ра-
венством A.20.6) однозначно определен некоторый элемент
/ е Ем. Следовательно, соответствие между элементами и и / яв-
ляется оператором, который мы обозначим через К, т.е.
/ = К(и). Оператор К действует из пространства Еи0 в Ем0.
Таким образом, можно записать /
. A.20.7)
Установим некоторые свойства оператора К{и). В первую
очередь покажем, что это линейный оператор. Пусть
127
По определению оператора К имеем
(\lUl + X2u2),v) .
м
а
С другой стороны, получаем
X2u2)vdxdy-X]ju]vdxdy
п п
Сравнивая левые и правые части этих равенств, заключаем, что .
(К{Ххщ + Х2и2), v)?m = (Xt K(ut) + Х2К(и2), v)?m .
Так как v — произвольный элемент Еы0, то, следовательно,
Итак, линейность оператора К показана.
Покажем теперь, что оператор К является непрерывным. Пе ®
репйшем неравенство A.20.5) с учетом A.20.7) и неравенств!
Фридрихса:
Положим в этом неравенстве v = К{и). Тогда имеем
Отсюда следует, что
Данное неравенство означает, что оператор К является непрерыв*
ным. Позднее мы увидим, что оператор К имеет и другие полез-
ные свойства, а именно, он является самосопряженным и вполн
непрерывным. Понятия полной непрерывности и самосопряжен-
ности оператора будут введены позднее. с
Итак, мы можем переписать уравнение A.20.3) в следующей
форме:
128 ;
Учитывая произвольность элемента v e Ем, получаем, что
последнее равенство эквивалентно операторному уравнению
и « ХК(и).
Попробуем применить к этому операторному уравнению прин-
цип сжатых отображений Банаха. Сначала из A.20.8) выводим
оценку
\\ХК(и) - хЩ\?м - \Х\ Щи - v|?m < |Х| т \\и - ^.
Если \Х\т < 1, то оператор ХК является оператором сжатия на По-
следовательно, по принципу сжатых отображений существует
единственная неподвижная точка оператора ХК. Поскольку рас-
сматриваемое однородное уравнение всегда имеет решение и - 0,
то других ненулевых решений при выполнении неравенства |Х|/л< 1
нет. Итак, мы получили, что область значений параметра Щ < \/т
не содержит действительных (на самом деле, и комплексных) соб-
ственных значений задачи. Позднее мы увидим, и это хорошо из-
вестный в механике факт, что данная задача имеет только дей-
ствительные собственные значения. (Задача: как поставить эту же
задачу в комплексном пространстве?) Полученный по принципу
Банаха результат имеет ясный механический смысл: нижняя соб-
ственная частота колебаний жестко закрепленной по краю мембра-
ны строго положительна.
Подобным образом мы можем поставить задачи на собствен-
ные значения для пластин и конечных упругих тел. Для постанов-
ки этих задач необходимо лишь поменять пространство Ем на
энергетические пространства соответствующих задач. Мы оставля-
ем это читателю в качестве упражнения, тем более что позднее мы
рассмотрим эти задачи детально.
Сейчас мы продемонстрируем еще раз применение теоремы
Рисса для перехода к операторному уравнению в одной важной за-
даче теории пластичности.
129
1.21. ЗАДАЧА УПРУГО-ПЛАСТИЧНОСГИ ПРИ МАЛЫХ
ДЕФОРМАЦИЯХ
Следуя работе [3], опубликованной без доказательств, рассмот-
рим один вариант теории упруго-пластичности [6J и проведем обо-
снование применимости так называемого метода упругих реше-
ний, применяемого при решении задач в рамках данной теории.
Система уравнений в частных производных, описывающая по-
ведение упруго-пластичного материала, занимающего ограничен*
ный объем П, имеет вид
_|e#*L2;«2,te;^-+-u--o, A.21. i&
где и=(М|,м2,и3) — искомый вектор перемещений точек тела*
v - коэффициент Пуассона, G — модуль сдвига, F -(/^Aj,^) "^
вектор объемных сил, в>=ю(е/). Компоненты линейного тензора
деформаций заданы формулами
Здесь введены обозначения:
.^[[(вц-е J+(eil-e J+(e -e
112
•
efe
dxs Ъ) е,
если *=
+ т-Ч-?=—» если Л*s.
Функция (о(е,) от переменной е, , определяющая пластические
свойства материала с упрочнением, должна удовлетворять следую-
щим условиям:
130
A.21.2)
t
При w(ef) = 0 уравнения A.21.1) превращаются в обычные урав-
нения линейной теории упругости для изотропного тела. Если вели-
чина <о(е,) является «малой» по сравнению с величиной eh то дан-
ные уравнения «мало отличаются» от уравнений-теорий упругости.
Это наводит на мысль отыскивать решение соответствующих краевых
задач упруго-пластичности методом последовательных итераций,
выделив слева в качестве основного оператора часть уравнений,
описывающих линейно упругое тело и «отправив» все нелинейные
члены, связанные с пластичностью, в правую часть. В дальнейшем
итерационном процессе справа стоят члены, определяемые на пре-
дыдущем шаге приближения. Таким образом, каждый следующий
шаг заключается в решении некоторой задачи линейной теории уп-
ругости с известной фиктивной внешней нагрузкой. Этот метод
широко применялся в практике вычислений. Он получил название
метода упругих решений. По форме метод упругих решений напоми-
нает процедуру, используемую в принципе сжатых отображений, а
потому естественно возникает идея использовать данный принцип
для обоснования применимости метода упругих решений. К реали-
зации этой идеи мы и приступаем.
Для постановки краевой задачи необходимо уравнения допол-
нить краевыми условиями. Рассмотрим смешанную краевую зада-
чу. Пусть часть Sq границы dQ тела жестко закреплена:
u|Jo=O A.21.3)
а на остальной ее части St = dCl/S0 задана поверхностная нагрузка
f(x) = (/i, /2, /з) ¦ Мы не будем формулировать вид статического кра-
евого условия в перемещениях явно. Оно может быть выведено из
принципа возможных перемещений, уравнение которого положено
в основу определения обобщенного решения для данной задачи.
Предварительно введем некоторые обозначения. Пусть
(е22(и) -
A.21.4)
131
Мы можем рассматривать члены, стоящие в правой части A.21.4),
как координаты двух шестимерных векторов » = (а],а2,...,аь) н
b = (А,, Ь2,...,Ь6), заданных соотношениями
о, = c,(u) , А, « с,(v) , / - 1,2,...,6 ,
где
cH(e(w)eH eW-
Ф) = -уМ*)-езз(*)) . c4(w) = -j= e,2(w) ,
Теперь видно, что билинейная форма (u,v) есть скалярное произве}
дение векторов я и b в пространстве R6
причем /=i х-
(«,«) = 1с2(«) = ,/(»). A.21.6^
Используя неравенство Шварца для скалярного произведения
получаем:
м-
•#(*#(*)•¦
Введем скалярное произведение на множестве С2 вектор-функ«
ций и = (и|,и2,«з) с компонентами, принадлежащими О VqL
которые удовлетворяют краевому условию A.21.3):
2, A.21.8);
где К - объемный модуль материала. Это скалярное произведение!
совпадает с энергетическим скалярным произведением (изотроп-
ный случай), введенном для линейной теории упругости (§1.10).
Для того, чтобы это выражение действительно стало скалярным;
произведением, предположим, что краевое условие A.21.3) обес-
печивает, чтобы из равенства
132
вытекало бы, что в = 0.
Пополнение множества элементов С2 по последней норме, ин-
дуцированной, скалярным произведение A.21.8), является энерге-
тическим пространством смешанной задачи линейной теории упру-
гости. Обозначим его Еу3. Напомним, что норма этого
пространства (см. §1.10) на Еу3 эквивалентна обычной норме
пространства 1V^{fl) х И^|>2)(п) х >И|>2)(П) .
Уравнение принципа возможных перемещений можно записать
в виде:
о 3 3
(b,v)? - - G$ &{е, (в))(вл)Л1 - Y, J рр№ - Z J №№ = °" <! -2! -9)
?fi 2 a '=Iq i=i5
Исходя из уравнений A.21.1) и краевых условий рассматривае-
мой задачи, данное уравнение можно также получить непосред-
ственно путем умножения уравнений равновесия на соответствую-
щие компоненты вектор-функции v, интегрирования по области и
дальнейшего интегрирования по частям. Справедливо и обратное.
В предположении, что все компоненты вектор-функции в явля-
ются дважды непрерывно дифференцируемыми в области П, из
уравнения A.21.9), справедливого для всех гладких вектор-функ-
ций v, удовлетворяющих краевому условию A.21.3), традиционным
для вариационного исчисления методом можно вывести как урав-
нение A.21.1), так и статическое краевое условие, которое в тер-
минологии вариационного исчисления называется - естественным
краевым условием. Таким образом, уравнение A.21.9) можно ис-
пользовать для введения определения обобщенного решения сме-
шанной задачи теории упруго-пластичности.
Определение 1.21.1. Вектор-функция в е Еу3 называется обоб-
щенным решением смешанной задачи упруго-пластичности, если
она удовлетворяет уравнению A.21.9) для любой вектор-функции
Чтобы обеспечить корректность данного определения, необхо-
димо наложить некоторые ограничения на внешние силы, дей-
ствующие на тело. Очевидно, что эти ограничения должны совпа-
дать с ограничениями, требуемыми в линейной теории упругости.
КОЛОХЗА
\
НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В
ОДНИ РУШН И 2ХВДВЕ
133
Итак, предположим, что
/>(х„х2,Хз)€1*5(П), ffa^xJelPp), / = 1,2,3.A.21.10):
Перейдем от интегро-дифференциальной постановки задачи
A.21.9) к ее операторной постановке. Используем для этого тео-
рему Рисса. Рассмотрим следующий функционал
]1(Х J j
1 a '=in '=15
при фиксированном п € ?у3 как линейный функционал относи-
тельно v € ?у3. Благодаря условиям A.21.10) «нафузочные чле-
ны» являются непрерывными линейными функционалами в Еуу,
Вследствие неравенств A.21.2) и A.21.4) получаем
п
zX^i
откуда следует, что функционал #[n,v] является непрерывным not
v в пространстве ?у3. ,
Теперь мы можем применить теорему о представлении непре-
рывного линейного функционала в гильбертовом пространстве и
записать, что ¦
где в правой части стоит скалярное произведение в пространстве
?у3, определенное формулой A.21.8). Данное представление Рисса
однозначно определяет соответствие между каждым элементом
и б?уз и geEyi, то есть nt->g. Тем самым мы ввели оператор
А, действующий в пространстве ?у3 по формуле g = /l(n). Тогда,
уравнение A.21.9) превращается в следующее:
Так как v есть произвольный элемент ?у3, то получаем оператор'
ное уравнение . ¦
и = ^(и), A.21.12)-*
которое является подходящим для применения итерационной
процедуры.
Видно, что оператор А является нелинейным. Сейчас мы по-
кажем, что в условиях, наложенных на определяющие соотноше-
134
ния, этот оператор является оператором сжатия в пространстве
?у3. Возьмем для этого три произвольных элемента a, v,w, при-
надлежащих пространству ?у3, и рассмотрим выражение
Пусть сначала элементы и, v, w являются гладкими вектор-функци-
ями из С2. В произвольной точке области Q оценим подынтег-
ральное выражение из A.21.13), предварительно переписав его в
терминах компонент шестимерных векторов, введенных выше
*/
/=| /
Введем теперь функцию /(/) действительного переменного t, при-
нимающую действительные значения
Видно, что выражение Int может быть представлено в форме
Так как функция /(/) является непрерывно дифференцируемой по
t, то по классической теореме математического анализа получаем,
что существует некоторое значение ? е[0;1] такое, что
Используя данное соотношение, мы можем записать выражение
для Int в форме
135
При выводе мы использовали то обстоятельство, что функции
с,(а) линейны по а, и, следовательно, по t.
Рассмотрим сначала член, обозначенный через Т.
-
V/2
Применяя теперь неравенство Шварца, получаем
(ь v/2f6 v/2
V/2
/2r<* • V2
При выводе была использована формула A.21.6).
Совершенно аналогично выводим
136
Комбинируя эти две оценки и учитывая условия A.21.2), получаем
-{o»(e,(rt+(l-/)*)) +
de,
«/(»-*)«/(*)
Учитывая условие упрочнения материала A.21.2), мы теперь выво-
дим оценку
/№?*,«,(¦-Ў)?,(*), A.21.14)
справедливую в каждой точке П.
Возвращаясь к равенству A.21.13), отсюда заключаем, что
Л{ш)-А{у\ w)?
n
Вспоминая теперь выражение для нормы в ?у3, выводим
Наконец, полагая здесь w = Л(и) - Л(v), мы получаем неравенство
l . A.21.15)
Это и есть необходимая оценка оператора А, которая показывает,
что оператор А является оператором сжатия, когда элементы
n,v eC2 и выполнено условие A.21.2). Поскольку оператор А яв-
ляется непрерывным, что следует из того же неравенства
A.21.15), то переходом к пределу получаем, что оценка A.21.15)
остается справедливой и для элементов пополненного пространства
?у3. Это доказывает, что при выполнении условия A.21.2) опера-
тор А есть оператор сжатия в пространстве ЕуУ
137
Установив, что оператор А есть оператор сжатия в пространству
EyZ, мы можем применить к операторному уравнению A.21.12)
принцип сжатых отображений Банаха, который утверждает, чтс
данное уравнение имеет единственное решение, а также что дан-
ное решение может быть найдено методом последовательных при-
ближений
при любом начальном приближении и0 € Eyi. Когда и0 = 0, тс
эта схема носит название метода упругих решений, так как на каж
дом шаге итераций необходимо решать задачу линейной теории уп-
ругости. Заметим, что в абстрактной форме этот метод выгляди'
очень просто, но практическая его реализация не так уж проста*
Отметим далее, что метод упругих решений дает тем лучший ре*
зультат, чем меньше константа X из условия упрочнения A.21.2)
т.е. чем меньше влияние пластичности. t
Итак, мы вывели теорему
Теорема 1.21.1. Предположим, что часть Sq границы, где теле
неподвижно закреплено, имеет ненулевую площадь и выполнены
условия A.21.2) и A.21.10). Тогда смешанная задача теории упру
го-пластичности имеет единственное обобщенное решение п € Еу
в смысле Определения 1.21.1. Последовательность приближений
определенных формулой A.21.15), сходится к данному обобщен-
ному решению п в пространстве ?^3> причем скорость сходимост»
оценивается формулой '
Если граница тела не закреплена, то для разрешимости задач)
необходимо добавить условия самоуравновешенности нагрузки,
которые имеют тот же вид, что и в линейной теории упругости: :;
xFdC2+Jx xf<tf = 0.A.21.17)-
a en a an
Формулировка обобщенной постановки задачи в случае сво-
бодной от закрепления границы практически совпадает с Опредеп
лением 1.21.1, в котором необходимо заменить пространство ?у5
на Еу\. Читателю рекомендуется провести самостоятельно доказав
тельство теоремы о применимости метода упругих решений в дан-
ном случае. - /-
138 ;
Нам бы хотелось еще раз привлечь внимание читателя к тому,
каким способом было доказано, что оператор А является операто-
ром сжатия. Сначала это было проделано на гладких элементах, а
затем путем предельного перехода соответствующее неравенство
было перенесено на общий случай. Этот путь типичен для рассуж-
дений в нелинейных задачах.
1.22. БАЗИСЫ И ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ
В конечномерном евклидовом пространстве всегда существует
такой набор элементов е],е2,...,е„, называемый базисом, что лю-
бой элемент у из этого пространства можно представить единствен-
ным образом в виде линейной комбинации данных элементов
где ак — некоторые постоянные.
Определение 1.22.1. Система элементов e{,e2,...en,... норми-
рованного пространства X называется базисом пространства X,
если любой элемент х е X представим однозначно в виде сходя-
щегося ряда
*=|
где коэффициенты а*- действительные (в случае комплексного
пространства — комплексные) числа.
Очевидно, что базис ex,e2,-en,... является линейно независи-
мой системой элементов, поскольку по определению базиса из од-
нозначности представления любого элемента вытекает, в частно-
сти, что из равенства
следует, что все {J* =0.
Не во всяком нормированном пространстве существует базис.
Если в нормированном пространстве существует базис, то это
пространство является сепарабельным: счетным всюду плотным в
этом пространстве множеством является множество всех линейных
комбинаций ХГ=|С*е* с рациональными коэффициентами ск (про-
верить самостоятельно!).
139
Из курса математического анализа нам известны системы:
функций в некоторых бесконечномерных пространствах, являющие-'
ся базисами. Например, это система функций |е'**| в пространстве
непрерывно дифференцируемых на отрезке [0*,2я| функций. Чуть
позднее мы рассмотрим эту важную систему функций подробнее.
Рассмотрим сейчас систему моночленов |х*|,к = 0,1,2,..., как
элементов пространства С@; 1). Мы знаем, что любая непрерывная
на отрезке [0; 1] функция может быть приближена в норме простран-
ства С@; 1) с любой степенью точности некоторым многочленом;!
что означает, что система моночленов {** | могла бы претендовать
на роль базиса этого пространства. Если бы она действительно быль
базисом пространства С@; 1), то по определению базиса любая фун*
кция f(x) е С@; 1) могла быть представлена в виде равномерно схо|
дящегося на [0; 1] ряда С
f[x).±akx*.
*=i
Однако такое представление означает, что f(x) есть аналитически
на [0; 1] функция, чего нет в общем случае. Следовательно, систем!
|jf*J не является базисом пространства С@;1). Тем не менее, т
свойство, что с помощью данной системы можно приближать эле'
менты пространства с любой степенью точности, является очень not
лезным. Введем определение. \„
Определение 1.22.2. Счетная система элементов ?|,ft,¦ ••,&¦>••
нормированного пространства X называется полной в X, если п*
любому наперед заданному е > 0 и для любого элемента х е X
найдется такая конечная линейная комбинация элементе!
ai8i что выполнено неравенство
По Определению 1.22.2 система моночленов {**>,к =0,1,2,...,$
является полнбй в пространстве C(O;lJ. Так как множество эле-
ментов С@;1) является плотным в /,'@;1), то эта же система яв-
ляется полной и в пространстве Z/"@;l). Задача: является ли он
полной в пространстве Wkp@;l)?
Если в нормированном пространстве существует полная счет*
ная система элементов, то такое пространство необходимо являет»
ся сепарабельным. ' ?
140
Проблема построения базисов и полных систем для конкретных
нормированных пространств функций является важной и довольно
сложной. В случае сепарабельного гильбертова пространства эта
проблема принципиально решена полностью. Построение базиса в
сепарабельном гильбертовом пространстве точно копирует все
шаги построения ряда Фурье из классического анализа.
Сейчас мы займемся построением ортонормированного базиса
в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и изучением неко-
торых его свойств. Начнем с определения.
Определение 1.22.3. Система элементов {**} элементов гиль-
бертова пространства Н называется ортонормированной, если для
любых пар индексов лит выполняется
( \_s _Л' если т*п
\х"'х'>~ 6ш~\0, если т*п.
Мы знаем, что использование ортонормированных систем в R"
в различных вычислениях дает значительные преимущества. Мы
ожидаем того же и в гильбертовых пространствах.
Пусть у нас имеется линейно независимая система /j,/г,-..,/„
элементов гильбертова пространства Н. Обозначим подпростран-
ство Н, являющееся линейной оболочкой этой системы, через Н„.
Покажем, как на основе этой системы элементов /J, /2,..., /„ пост-
роить ортонормированный базис g\,g2,-,gn пространства Н„.
Соответствующая процедура называется процессом ортонормиро-
вания системы элементов по Шмидту. Она выполняется следующим
образом.
A) Первый элемент ортонормированного базиса есть
Ясно, что ||g,f = 1.
B) Второй элемент g2 получается последовательно по формулам
«2=/г~{fi,g\)g\ » gi = jjA •
Ir2||
Легко видеть, что (gi,g2) = ° и Ы1 = 1 •
C) Для получения третьего элемента g3 сначала строится элемент
«з = /з -(/
141
для которого (e3,g,) = 0 и (e3,g2) = 0, причем е3 * О, так как систе-
ма элементов /,,/2,...,/л является линейно независимой. Третий
элемент есть
(О Сначала строится элемент
е, = // -{fi>g\)g\-• ¦ •-(/" &-i )ft-i , »':
который ортогонален всем элементам gk при к = 0,1,2,...,/-1, т.е.
(ehgk) = 0. Сам элемент базиса есть
-_1L
, т. к. et, * 0 .
Этот процесс ортогонализации можно продолжать до бесконечное
ти, т. к. на каждом шаге получается, что ек *0. Равенство нулю
какого-либо из элементов е, означало бы, что первоначальная сие-*
тема элементов /j,/2,...,/„ является линейно зависимой. -.*
Итак, используя элементы любой линейно независимой систем^
гильбертова пространства, можно построить ортонормированнук
систему элементов той же мощности. Хотя процедура Шмидта весь:
ма привлекательна теоретически, однако для практического числен*'
ного получения ортонормированной системы элементов при боль!
шой ее размерности данная процедура не слишком хороша, пот,
скольку при вычислениях происходит быстрое накоплени
погрешностей. >
Из курса линейной алгебры известно, что система элемента
/i>/2>•••»//! в евклидовом пространстве является линейно незави*
симой тогда и только тогда, когда так называемый определители
Грамма отличен от нуля:
(/.,/.) (/i,/2) - {/и/Л I
(Л./|) (Л./2) ••• (Л.Л)
Для гильбертова пространства это утверждение также остается вер*
ным (докажите!). Для ортонормированной системы определители
142
Грамма всегда равен +1. Таким образом, ортонормированная сис-
тема является линейно независимой.
Задача 1.22.1. Докажите линейную независимость любой орто-
нормированной системы в гильбертовом пространстве без непос-
редственного использования определителя Грамма.
Пусть g\,g2,gj--- - некоторая ортонормированная система в
комплексном гильбертовом пространстве К Для произвольного
элемента / е Н определим числа ак = (/,?*), к = 1,2,.... Числа ак
называются коэффициентами Фурье элемента/
Докажем следующую теорему.
Теорема 1.22.1. Полная ортонормированная система элемен-
тов g[,g2>8j--- гильбертова пространства Я есть ортонормирован-
ный базис пространства Н. Любой элемент / е Н имеет однознач-
но определенное представление «
/5> .._ A.22.1)
где ак =(f,gk) являются коэффициентами Фурье элемента/
Доказательство. В §1.18 мы рассматривали проблему наилучшей
аппроксимации некоторого элемента гильбертова пространства.
Сейчас мы покажем, что при аппроксимации элемента / гильбер-
това пространства конечными суммами Y!k-iC/lgk наилучшее при-
ближение достигается, когда коэффициенты ск есть коэффициен-
ты Фурье элемента / Действительно, рассмотрим величину
/~2]*.1С*?*1 -Применяя очевидные элементарные преобразова-
ния, имеем
У
1
Учитывая, что ак =(/,g*), получаем
2 я я
1 E
N
143
Теперь вполне очевидно, что наименьшее значение выражена.
1/~2]*=1С*?*1 принимается, когда величина 2^_,|с* -а*| явля-
ется наименьшей. Это происходит, если ск =ак . •
Итак, мы показали, что ,
|/-1а*л|| -mfa|/-t«*f*| =I/||2-I|at|2> 0.A.224
II *=i II С| HI *=i II *=i ¦ *
Как побочный продукт, отсюда следует так называемое нерп
венство Бесселя: -
Обозначим через fn частичную сумму ряда Фурье элемента /
/» = ?(/.**)** = ?<**** • ""
Сейчас мы покажем, что в условиях теоремы последовательное^
частичных сумм {/„} ряда Фурье для произвольного элемента
сходится к самому элементу / Сначала покажем, что последовг
тельность {/„} является фундаментальной в Н. Действительно, и
неравенства Бесселя A.22.3) следует, что
22
а, следовательно,
n+m
2
n+m
k\ -> 0 , когда n -> » .
Таким образом, фундаментальность системы {/„} в Я доказана
По определению полноты системы элементов g\,g2,g^-.. Яимее*
что по любому наперед заданному числу е > 0 найдется такое конеч
ное целое число Nu такой набор коэффициентов ск(е), что
N II2
К
*=1 II
Используя неравенство A.22.2), имеем
II ы и 2 11 и и 2
<e .
144
Итак, последовательность {/„} действительно сходится к элементу/
A.22.5)
что и заканчивает доказательство теоремы.
Отметим, что из соотношения A.22.5) непосредственно следу-
ет так называемое равенство Парсеваля:
A.22.6)
*=1
которое справедливо, когда система элементов ?|,?2»?з— является
полной ортонормированной системой в Н.
Действительно, из A.22.2) следует, что
ч.т.д.
Введем определение.
Определение 1.22.4. Система элементов еиег,ег... называется
замкнутой в гильбертовом пространстве Н, если из системы
равенств
(/»**) = 0' для всех к = 1,2,3,...,
следует, что / = О,
Очевидно, что полная ортонормированная система элементов
является одновременно замкнутой в Н. Однако справедливо и об-
ратное утверждение. Сформулируем оба эти утверждения в одной
теореме.
Теорема 1.22.2. Для того чтобы ортонормированная в гильбер-
товом пространстве Я система элементов g\,gi,gy-- была полной
в пространстве Н, необходимо и достаточно, чтобы она была
замкнутой.
Доказательство достаточности. Доказывая предыдущую теорему,
мы показали, что последовательность частичных сумм ряда Фурье
/„ = ]?t=ia*?* для любого элемента / еН является фундаменталь-
ной, что в силу полноты пространства Н означает, что существует
145
предел /* = lim /„. Для завершения доказательства теоремы нам
Я-ЮО
остается показать, что / = /*. Рассмотрим выражение
По Определению 1.22.4 замкнутости системы элементов отсюда
следует, что / = /*, а, следовательно, система элементов
?|>&2'?з-- является полной, ч.т.д.
Свойство замкнутости системы в конкретных случаях обычно
проверяется проще, чем свойство полноты. . :
В начале этого параграфа мы уже видели, что любая система'
линейно независимых элементов Н может быть трансформирована
в эквивалентную ей ортонормированную систему. Следовательно,,
мы можем заключить, что справедлива следующая теорема.
Теорема 1.22.3. Полная в гильбертовом пространстве Н систе-
ма элементов ?|,#2>?з--- является замкнутой системой в Н. На-?
оборот, замкнутая в Н система элементов является полной.
Мы уже говорили выше, что существование счетного базиса ш
гильбертовом пространстве гарантирует сепарабельность этого npo-j
странства. Однако справедливо и обратное утверждение.
Теорема 1.22.4. Гильбертово пространство Н имеет счетный
ортонормированный базис тогда и только тогда, когда Н есть се-а
парабельное пространство.
Доказательство непосредственно вытекает из предыдущей тедо
ремы. Действительно, выделяя в пространстве Н счетное всюду*
плотное множество, а затем ортонормируя его с помощью проце-f*
дуры Шмидта и отбрасывая линейно зависимые элементы, если
они встречаются, получаем из всюду плотной, а, следовательно,;
и полной, системы элементов ортонормированный базис данного,
пространства. ¦ '
В заключение рассмотрим вопрос о базисности системы функ-
ций |е/ят/л/2л:| в комплексном гильбертовом пространстве,
L2@-,2k). Из курса математического анализа нам известно, что
данная система функций является ортонормированной в 12@;2я).
Далее, мы знаем, что по теореме Вейерштрасса о приближении'1
146 ;
непрерывной на [0;2л] функции тригонометрическими многочле-
нами множество конечных линейных комбинаций ^ akelia явля-
ется плотным в комплексном пространстве С@;2я). Но множе-
ство функций, образующих пространство С@,2я), является
основой при построении пространства 12@; 2я), а потому сово-
купность тех же конечных линейных комбинаций ^каке'пх есть
всюду плотное подмножество в 12@;2я), что и показывает, что
система [е"42п\ есть ортонормированный базис пространства
1.23. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Известно, что в пространстве R" можно ввести различные
нормы, но все они оказываются эквивалентными. Поэтому при
изменении нормировки в пространстве факт сходимости любой
последовательности не зависит от выбора нормировки простран-
ства. В частности, если для некоторой последовательности векто-
ров {х„} сходятся все последовательности координат этих векто-
ров, то последовательность \х„) является сходящейся по
евклидовой норме пространства К".
В гильбертовом пространстве Н набор коэффициентов Фурье
(/»?*) элемента /еЯ, где g\,g2,-- ~ ортонормированный
базис Я; играет такую же роль, что и координаты вектора в R".
Что можно сказать о сходимости самой последовательности {/„},
если для каждого фиксированного номера к числовая последова-
тельность {(/„,?*)] является сходящейся, то есть имеет место поко-
ординатная сходимость последовательности?
Рассмотрим, к примеру, последовательность, состоящую из
векторов ортонормированного базиса {gk}. Очевидно, что для
всякого фиксированного к
что означает, что покоординатно эта последовательность сходится
к нулю. Однако эта последовательность не является сходящейся,
так как \gn-gj = S при п*т.
Итак, покоординатная последовательность в гильбертовом
пространстве не является эквивалентной обычной сходимости
147
последовательности в этом пространстве. Мы видим, что в гиль-
бертовом пространстве помимо основного существует еще суще-
ственно другой тип сходимости.
Определение 1.23.1. Последовательность {хк} элементов, при-
надлежащих гильбертову пространству Н, называется слабо сходя~
щейся к элементу х0 е Н , если для любого непрерывного линей-
ного функционала, заданного на Н, имеет место
(k)
Если каждая из численных последовательностей {^(я*)} является
фундаментальной, то последовательность {хк} называется слабо
фундаментальной.
Чтобы различать два типа сходимости последовательности,
сильную и слабую, начиная с этого момента, мы будем употреб-
лять для обозначения слабой сходимости стрелку вида -> и писать
и>-Ит (от weak limit), в то время как для обычного сильного пре-
дела будет далее использоваться стрелка => и знак s-lim (от strong
limit).
Определение 1.23.1 дано в такой форме, что, с очевидными
изменениями, оно остается тем же самым и в случае линейного
метрического пространства.
В гильбертовом пространстве определению слабой сходимости'
можно придать другую форму, из которой непосредственно вид-,
но, почему мы говорим, что слабая сходимость последовательнос-
ти является аналогом покоординатной сходимости последователь'
ности векторов в конечномерном евклидовом пространстве. По
теореме Рисса о представлении непрерывного линейного функцио-
нала в гильбертовом пространстве, произвольный непрерывный
линейный функционал принимает форму скалярного произведе-
ния F(x) = (xj), где/- некоторый элемент пространства Н. Та-
ким образом, Определение 1.23.1 можно переписать в следующей
форме. ;
Определение 1.23.2. Последовательность [хк}, хк е Н , назы-
вается слабо сходящейся к элементу х0 е И в гильбертовом про-
странстве Н, если для любого элемента f еН имеет место
равенство
(
148
Если каждая из численных последовательностей {*„/} является
фундаментальной, то и последовательность {*„} называется слабо
фундаментальной.
Очевидно, что сильно сходящаяся последовательность в гиль-
бертовом пространстве является слабо сходящейся. Однако мы
уже видели, что в гильбертовом пространстве существуют слабо
сходящиеся последовательности, которые не являются сильно
сходящимися.
Сформулируем простую, но полезную теорему, с помощью
которой можно показать сильную сходимость некоторой последова-
тельности в гильбертовом пространстве, если известно, что после-
довательность является слабо сходящейся.
Теорема 1.23.1. Пусть |дсл}есть слабо сходящаяся в гильберто-
вом пространстве Н последовательность со слабым пределом х$ и
пусть lim|jtj = |хо||. Тогда последовательность 1х„\ сильно сходит-
ся к Xq, т.е. s - lim х„ = д:0
Доказательство? Рассмотрим норму |jcn - jco[[ . Имеем
Uji2 / \ и ii2 / \ / \ и и 2
лп л0\\ — \хп -*0»-*я х0) — \\хп\\ \хп>х0) ^-*0>Лп/ + ||-*0|| •
По определению 1.22.2 слабой сходимости получаем
что означает, что
~*о| =0, *•«•*
Как мы увидим далее, слабая сходимость приближений к точ-
ному решению для многих численных методов решения краевых
задач показывается относительно просто. Последняя теорема дает
удобный путь доказательства сильной сходимости той же последо-
вательности приближений, если удается показать сходимость норм
последовательности к норме решения, что тоже часто является от-
носительно простой задачей. Это — дополнительный аргумент для
изучения понятия слабой сходимости.
Установим некоторые свойства слабо сходящихся последова-
тельностей.
149
Теорема 1.23.2. Слабо сходящаяся в гильбертовом простран-
стве Н последовательность является ограниченной в Н.
Доказательство. Предположим от противного, что имеется не-
которая слабо сходящаяся последовательность [хп\ в гильбертовом
пространстве Н, которая является неограниченной. Итак, пусть
|дгя| —»оо при л-too. Получим противоречие. Во-первых отме-
тим, что для любой последовательности, для которой |хл|-»а>,
числовое множество U, состоящее из чисел вида (х„,у), где у
пробегает все точки открытого шара В(ув,е) произвольного радиу-
са е > 0 с центром в произвольной точке у0 еН, является
неограниченным сверху. Действительно, элементы вида'
у„ =у0 +едг„Д2|дсп|)), очевидно, принадлежат этому шару, так как
Далее, имеем
00
так как числовая последовательность |(х,мУо)} является ограничен-
ной, поскольку она является сходящейся, что и доказывает выска-
занное утверждение относительно неограниченности множества V.
Чтобы установить необходимое противоречие, произведем сле-
дующие построения. Возьмем шар А(уо,е,} радиуса е, = I с цент-
ром в какой-нибудь фиксированной точке у& По доказан-
ному выше свойству мы можем найти такие элементы хщ и
У, €^0,8,), ЧТО
Вследствие «епрерывности скалярного произведения по обеим пе-
ременным мы можем найти такой шар B(yf,s2) радиуса с2, что
B[y],z2)cz B(yo,z}), причем неравенство A.23.1) выполняется не
только для уи но и для всех у е В{уьг2):
Затем аналогично мы найдем элемент х„г с номером щ>щ и
элемент у2, принадлежащий открытому шару В(у],е2), такие, что
150
После этого находится шар В[у2,ез)с В{У1>е2) такой, что для всех
точек у еВ(у2,е3) выполнено неравенство
(хЯ2,у)>2.
Продолжая этот процесс, мы получаем последовательность вло-
женных шаров Д(дъ,е*+1): B(yo,ef)z> B(yl,e2)z> В(у2,е3) =>•••» а
также подпоследовательность х„ с возрастающими номерами
пк+\ > пк такую, что для всех у е В\ук,гк+\) выполнено неравенство
Так как пространство Я является гильбертовым, то существует эле-
мент у', принадлежащий одновременно всем шарам B(yk,zk+i),
а, следовательно,
Итак, мы построили непрерывный линейный функционал
F*(x) = ix,y*\, для которого числовая последовательность |/"(х^ j>
является расходящейся. Таким образом, последовательность {хп} не
является слабо фундаментальной, что противоречит условию,
ч.т.д.
Сформулируем промежуточный результат, полученный при до-
казательстве последней теоремы, в виде отдельной леммы.
Лемма 1.23.1. Пусть задана неограниченная последовательность
элементов [хк] гильбертова пространства Й, т.е. JjcJ-»°o. Тогда
существует такой элемент у* еН и такая подпоследовательность
jjc^ | данной последовательности, что (х^, у*) -> » при пк -> ».
Данная лемма используется при доказательстве важной теоремы
функционального анализа, называемой' Принципом равномерной
ограниченности. Для случая гильбертова пространства Принцип
равномерной ограниченности имеет следующий вид.
Теорема 1.23.3. Пусть на гильбертовом пространстве Н задано
семейство непрерывных линейных функционалов ^*(*)>
к = 1,2,.... Если supjl/j(jcjjj <ад в каждой точке хеН, то и
/8 C t\ к
Доказательство. По теореме Рисса о представлении непре-
рывного линейного функционала, заданного на гильбертовом
. 151
пространстве, каждый из функционалов семейства Fk(x) одно-
значно представляется в виде
где элемент fk e H и \fk\ = \Fk\.
Условие теоремы можно переписать теперь в форме
supKjc,/t)j<Qo для любого хё Н. A.23.2)
По Лемме 1.23.1 предположение, что sup|||/t ||J = », влечет за со-
бой в качестве следствия существование
такой подпоследовательности {/*), что
бой в качестве следствия существование такого элемента jc0 e Я и
> °° при к -> оо,
а это противоречит A.23.2), ч.т.д.
Следствие. Пусть {Fk} — некоторая последовательность непре-
рывных линейных функционалов, заданных на гильбертовом про-
странстве Н, такая, что для любого фиксированного элемента
х € Н числовая последовательность {/^(х)} является фундамен-
тальной. Тогда существует непрерывный линейный функционал
F{x) такой, что
F(x)=\imFk{x) для любого хеН A.23.3)
Доказательство. Существующий по условию предел выражения
в правой части A.23.3) определяет некоторый функционал, кото-'
рый, очевидно, является линейным. Так как условие Теоремы"
1.23.3 сейчас выполнено, то, следовательно,
Далее, из цепочки соотношений
152
вытекает, что функционал F(x) является непрерывным. Более
того,
что и завершает доказательство данного следствия.
Следующая теорема предоставляет нам эквивалентное, но бо-
лее удобное для проверки определение слабой сходимости.
Теорема 1.23.4. Последовательность {х„\ является слабо фунда-
ментальной в гильбертовом пространстве И тогда и только тогда,
когда одновременно выполняется следующая пара условий:
A) последовательность {х„} является ограниченной, т.е. сущест-
вует такая постоянная М, что \\х„\й М;
B) для каждого фиксированного элемента fa из полной в Н
системы элементов {/а} числовая последовательность (х„,/а)
является фундаментальной.
Доказательство. Необходимость выполнения условий теоремы
следует непосредственно из определения слабо фундаментальной
последовательности.
Докажем додтатонность выполнения условий теоремы. Пусть
условия A) и B) выполнены. Возьмем произвольный линейный
функционал, который по теореме Рисса определяется некоторым
элементом / е Н , и рассмотрим числовую последовательность
*¦.*(*„./)-(*«,/)•
Так как система элементов /а является полной в Н, то по лю-
бому положительному е>0 найдется такая линейная комбинация
fc =YHc-\Ckfk > ЧТО
Тогда
153
По условию B) данной теоремы каждая из последовательностей
{(¦*<»>/*)} при фиксированном k = l,...,N является фундаменталь-
ной. Поэтому можно указать такой номер R, что
N
2 К | - при n,m>R,
а потому *=|
ДЛЯ ЛЮбЫХ П,Ш>Я.
Последнее означает, что последовательность {(•*„,/)} является
фундаментальной, ч.т.д.
Задача 1.23.1. Показать, что последовательность {х„} является
слабо сходящейся к ^ в гильбертовом пространстве Я тогда й„
только тогда, когда одновременно выполняется следующая пара
условий:
A) последовательность {хп} является ограниченной, т.е. суще-;
ствует такая постоянная М, что |дг„| < М;
B) для каждого фиксированного элемента /а из Полной в Н систе-
мы элементов {/„} имеет место равенство \\m[xn,fa) = (jc0,/,) ..
Так как слабая сходимость существенно отличается от сходимо-
сти сильной, то возникает вопрос,, является ли гильбертово про-,
странство слабо замкнутым (или слабо полным)? Ответ на него да-
ется в следующей теореме.
Теорема 1.233. Любая слабо фундаментальная последователь-,
ность [хп] в гильбертовом пространстве Я слабо сходится к неко-
торому элементу этого пространства.
Доказательство. По определению слабой фундаментальности
последовательности {*„} для любого фиксированного элемента
уеН существует предел УГЫ= Нт^дс.). Тем самым на всем
пространстве Я введен функционал F{y), являющийся, очевидно,-
линейным. Будучи слабо сходящейся, последовательность |хл) яв-
ляется ограниченной: |дс„|< Л/. Следовательно, имеет место нера- .
венство
которое в терминах функционала F(y) обозначает, что
154
То есть функционал F[y) является ограниченным, а его норма
оценивается сверху константой Л/: \F\<. M.
Итак, мы получили, что F(y) есть непрерывный линейный
функционал. Используя теорему Рисса, имеем следующее пред-
ставление
где /еН и Щ = Щ<М.
Но это означает, что элемент / е Н есть слабый предел последо-
вательности {*„}, ч.т.д.
Из последнего доказательства следует лемма.
Лемма 1.23.2. Если последовательность {*„} слабо сходится к
элементу Xq в гильбертовом пространстве Н, причем |д:„| < Л/ для
всех л, то J*o| <. М.
Лемму 1.23.2 можно перефразировать теперь следующим обра-
зом: сильно замкнутый шар с центром в нуле гильбертова про-
странства Н является слабо замкнутым.
.Любое выпуклое замкнутое подпространство гильбертова про-
странства также является слабо замкнутым. Это является следствие
теоремы Мазура, приводимой без доказательства.
Теорема 1.23.6 (Мазур). Предположим, что последовательность
[х„] слабо сходится кл^в гильбертовом пространстве Н. Тогда су-
ществует такая подпоследовательность {*„,] данной последователь-
ности, что ее среднеарифметические значения Xt=,(*n )JN сходят-
ся сильно к элементу Xq.
Перейдем теперь к изучению свойств слабо компактных мно-
жеств в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.23.7. Ограниченная последовательность {*„} в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве содержит слабо фундамен-
тальную подпоследовательность.
Другими словами, данная теорема гласит, что ограниченное
множество гильбертова пространства является слабо пред-
компактным.
Доказательство. В сепарабельном гильбертовом пространстве
Н существует счетный ортонормнрованный базис. Пусть это будет
множество элементов gbg2,-- По Теореме 1.23.4 для доказатель-
ства данной теоремы нам достаточно показать существование такой
155
подпоследовательности {х„к} что для каждого фиксированного gm
числовая последовательность {(*»t.?«)} является фундаментальной.
Возьмем элемент gt. Будучи ограниченной, числовая после-
довательность {(хл,?|)} содержит сходящуюся подпоследователь-
ность !(*B|>?i)j. Рассматривая теперь числовую последовательность
!(¦*/!,> ?2)}, аналогично предыдущему выделяем сходящуюся число-
вую подпоследовательность {(-^.Яг)} • Продолжая этот процесс, на
к-ом шаге мы выделяем подпоследовательность элементов {*„4} та-
кую, что при фиксированном gk числовая последовательность
{(¦*»t>?*)} является сходящейся.
Выбирая теперь "диагональную" подпоследовательность
{х„л}, мы завершаем доказательство, поскольку для любого
фиксированного элемента gm получаем сходящуюся числовую пос-
ледовательность {(*»,,>?«)[, ч.т,д.
Данная теорема имеет важные применения в приложениях,
например, при обосновании численных методов для тех задач ме-"
ханики, где можно получить априорную оценку всех приближен-
ных решений.
Продемонстрируем применение данной теоремы на относи- *
тельно простом примере следующей задачи о наилучшей аппрокси-
мации в гильбертовом пространстве:
Задача 1.23.2. Пусть М есть замкнутое подпространство дей-
ствительного гильбертова пространства Н при фиксированном
х0 еМ. Найти элемент х еМ, который минимизирует функцио- ¦
нал F[x)-bc~xof.
В §1.18 мы уже установили существование единственного эле-
мента х, решающего данную задачу. Рассмотрим эту же проблему
существования с другой стороны, временно «забыв», что суще- .
ствование ее решения х уже установлено. "
Мы рассматриваем эту весьма простую задачу со всеми подроб-
ностями, потому что путь ее решения содержит все принципиаль-
ные шаги, которые встречаются при исследовании более сложных
задач, где они «вуалируются» трудностями технического характе-
ра. Исследование решения данной задачи состоит из следующих
156 •¦¦
шагов: A) построение приближенного метода решения задачи;
B) получение априорной оценки приближенных решений задачи;
C) доказательство существования решения задачи; D) доказатель-
ство сходимости последовательности приближений к решению за-
дачи и исследование характера сходимости. Итак, приступим к
реализации данного плана.
Шаг 1. Формулировка метода Ритца для задачи минимизации
функционала.
Будем решать задачу о наилучшей аппроксимации элемента Xq,
используя классический приближенный метод Ритца.
Пусть {gk} — полная система элементов в М такая, что любая
ее конечная подсистема является линейно независимой. Рассмот-
рим подпространство М„, являющееся линейной оболочкой пер-
вых я элементов этой системы (#|,•¦¦,?„), и найдем элемент,
обозначенный х„, который минимизирует функционал F(x) на
подпространстве М„. Это и есть л-ое приближение по методу Рит-
ца данной задачи. Выведем уравнения метода Ритца для данной
задачи.
Очевидно, что функция /(/) = F(xn +tgk) переменной /, при-
нимающая наименьшее значение на М„ при / = 0, имеет в данной
точке производную, равную нулю:
= 0 .
1=0
Последнее равенство можно переписать в следующем виде
1=0
! =
1/=0
Это означает, что элемент х„ - х0 является ортогональным к каж-
дому из элементов gk, k = \,2,...,n.
Подставляя теперь в последнее соотношение х„ =^k_lckngk
мы получаем линейную систему п алгебраических уравнений отно-
сительно п неизвестных ск„:
{«) = {xo,g«), m = \,...,n. A.23.4)
157
Данная система носит название систему уравнений п-го приближе-
ния метода Ршпца.
Основной определитель последней системы уравнений A.23.4)
есть определитель Грамма, составленный из элементов (gt,...,g,,).
В силу линейной независимости этих элементов мы выводим, что
данный определитель отличен от нуля, а потому линейная система
A.23.4) имеет единственное решение. В силу единственности ее
решения заключаем, что данный элемент хп действительно мини-
мизирует функционал F(x).
Шаг 2. Априорная оценка приближений.
Оценка решения задачи называется априорной, если она полу-
чена для данного решения лишь в предположении, что данное ре-
шение существует, однако ни само решение не дано явно,
ни даже неизвестен сам факт его существования. Априорные
оценки решений краевых задач играют важную роль при доказа-
тельстве разрешимости различных краевых задач. Как правило,
это наиболее трудная часть доказательства теоремы разрешимости.
Однако в данном конкретном случае априорная оценка приближе-
ний получается весьма просто.
По определению элемента х„ имеем неравенство
К -xof * II* - М2 для всех х € Л/я.
Так как х = 0 принадлежит подпространству М„, то
Отсюда сразу вытекает, что
K!2<2fl*J||*0||.
Следовательно,
|Ы A-23-5)
Это и есть искомая априорная оценка. Мы не находили элемента
хп непосредственно, однако получили, что, если он существует,
то для него справедливо неравенство A.23.S). Мы могли бы полу-
чить и более точную оценку |х„| s |xo|, однако здесь и в подобных
вопросах нам не требуется вывод точных оценок.
158
Шаг 3. Переход к слабому пределу. Доказательство существова-
ния решения задачи.
Неравенство A.23.5) утверждает, что последовательность {*„}
является ограниченной. Следовательно, по Теореме 1.23.5 она со-
держит слабо сходящуюся подпоследовательность ух^}, чей сла-
бый предел щ необходимо принадлежит подпространству М, по-
скольку оно является замкнутым (и слабо замкнутым!).
Для любого фиксированного элемента gm при nkzm имеет ме-
сто равенство
в котором можно перейти к пределу при пк -+ », получая
Данный предельный переход возможен, поскольку (x,gm) есть не-
прерывный линейный функционал по х
Рассмотрим теперь выражение (х* -xo,h\, когда к есть произ-
вольный элемент М. Поскольку система элементов {gk} полна в
Л/, то по любому е > 0 найдется такая конечная линейная комби-
нация Ас =Z»=ic*^' чго
Тогда
Следовательно, при любом к е М мы имеем
у (х*-Хо,*) = О. A.23.6)
Наконец, рассматривая значения функционала /"(jc) = |x-jc0J2
на элементах вида х = х'+к, где кеМ, получаем, что вслед-
ствие A.23.6) имеет место
Это означает, что х* есть действительно решение данной задачи.
159
Таким образом, мы доказали, что 1) решение данной задачи
существует; 2) из последовательности приближений по Ритцу мож-
но выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к данному
решению.
Шаг 4. Сходимость последовательности приближенных решений.
По Теореме 1.18.3 элемент, минимизирующий функционал F(x)
на Л/, является однозначно определенным. Это приводит нас к зак-
лючению, что вся последовательность приближений [х„] сходится
слабо к х*. Действительно, предположим от противного, что пос-
ледовательность {х„} не сходится слабо к х*. Это означает, что су-
ществует некоторый элемент / € Н такой, что условие
'(*„,/)->(**,/) при л-юо. A.23.8)
не выполняется. Это означает, что для некоторого положительно-
го числа е>0 найдется такая бесконечная последовательность ин-
дексов пк, что
Цд^,/)-(**,/)|* е. A.23.9)
Ограниченность числовой последовательности {(*«*»/)} влечет за
собой наличие такой последовательности индексов пк, что после-
довательность K^./jJ имеет предел. Однако для данной подпос-
ледовательности \хпк] можно полностью повторить рассуждения
Шага 3 и получить, что подпоследовательность \х„к J содержит не-
которую подпоследовательность, сходящуюся слабо к решению за- :
дачи. Так как решение данной задачи является единственным, то
это противоречит неравенству A.23.9).
Итак, мы доказали, что вся последовательность \х„} сходится
слабо к решению задачи. Покажем, что на самом деле вся после-
довательность сходится сильно к этому решению.
Умножая .обе части равенства A.23.4) на коэффициент с„т, а
затем, суммируя все получившиеся равенства, мы получаем
(х„,х„) = (хо,х„).
Попробуем перейти здесь к пределу при п ->«. Выражение *
(хо,х„) имеет предел при л-хю. Поэтому
Ит(дс„,х„) = Пт{хо,х„) = (хо,х'\.
160
Из соотношения A.23.6) при h = x* имеем
Объединяя два последних равенства, имеем
2
По Теореме 1.23.1 получаем, что последовательность {х„} сходится
сильно к х*, что и Завершает доказательство.
Итак, мы продемонстрировали, как проводится обоснование
применения метода Ритца к решению задачи минимизации функ-
ционалов. Этот путь является общим для весьма различных задач,
в том числе и нелинейных задач. Для нелинейных краевых задач
получение априорных оценок решения является, как правило,
наиболее трудным шагом.
1.24. МЕТОДЫ РИТЦА И БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Рассмотрим еще раз задачу A.14.8) о минимуме квадратичного
функционала
I(x) = fxf + 2Ф(х) -> min A.24.1)
в действительном гильбертовом пространстве Н. Предположим,
что Ф(дс) есть непрерывный линейный функционал. Тогда по тео-
реме Рисса мы можем представить Ф(дс) в виде
Ф(х) = (х-хо),
где xQ есть элемент Я, определенный однозначно функционалом
Ф(дс). При этом функционал 1(х) принимает форму
Так как |хо|| есть фиксированное число, то задача A.24.1) экви-
валентна следующей задаче:
найти элемент, минимизирующий функционал F(x),
f
(x) \\xof^m ,
на пространстве Н.
Решение этой задачи единственно. Совершенно очевидно, что
х = х0. Интересно отметить, что данная задача является весьма
частным случаем задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе.
161
Это случай, когда М = Н. Поэтому применение метода Ритца к ре-
шению задачи A.24.1) уже полностью обосновано. Необходимо
лишь переформулировать результаты предыдущего параграфа в тер-
минах новой поставленной задачи.
Итак, пусть [gk} - полная система элементов в Ятакая, что лю-
бая ее конечная подсистема является линейно независимой. При-
ближение по Ритцу л-ого шага имеет вид х„ = ^k=%ckngk • Систем*
уравнений для определения приближения л-го шага имеет вид
Z>*U*.ft.) = -«(ft,) , т = 1.....Л • A-24.2)
Сформулируем соответствующий результат для задачи A.24.1) в
виде теоремы. -
Теорема 1.24.1. Пусть ф(х) — непрерывный линейный функци-,
онал, заданный на гильбертовом пространстве Н. Тогда:
A) при любом п>\ система A.24.2) л-го приближения метода'
- Ритца относительно коэффициентов ciH,...,cm имеет един-
ственное решение; •
B) последовательностьх„ = Х"=,с*„?* приближений по методу
Ритца, определенная уравнениями A.24.2), сходится сильно;
к единственному элементу, который минимизирует квадра-,
тичный функционал \\x\\2 + 2Ф(дс).
Мы настоятельно рекомендуем читателю выписать систему
уравнений л-го приближения метода Ритца для каждой из введен-
ных ранее задач и выяснить, что для каждой из задач означает
фраза о сильной сходимости приближений к решению задачи о -
минимуме функционала 1{х).
Отметим дополнительно, что в случае, когда система элемен-
тов {gk} образует ортонормированный базис пространства Н, то
получающиеся из решения системы A.24.2) коэффициенты скп яв-
ляются одновременно коэффициентами Фурье для решения задачи
в пространстве Н. ¦ ~
Относительно истории метода Бубнова-Галеркина заметим, что
первое его упоминание появилось в рецензии А.С. Бубнова на ста-
тью СП. Тимошенко, в которой Бубнов отметил, что систему ме-
тода Ритца можно получить другим путем, а именно, путем умно-
жения уравнения, в котором неизвестная функция берется в виде :
162
1 ckngk , на базисную функцию gm с дальнейшим интегри-
рованием по области. В наших терминах это система вида
Так как эта система совпадает с системой A.24.2), то Теорема 1.24.1
обосновывает и применение метода Бубнова к данной задаче.
Галеркин был первым, кто предложил заменить систему элемен-
тов, на которые должны умножаться уравнения, на другую систе-
му, элементы которой обозначаются через /т. Соответствующая си-
стема уравнений метода Галерки на в наших обозначениях есть
Обсуждения этой модификации метода можно найти в книге [12].
Наконец, отметим, что метод конечного элемента во многих
его модификациях является частным случаем метода Бубнова-Га-
лерки на, а потому результаты данного параграфа дают также обо-
снование применению и этого метода.
1.25. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ;
НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Мы уже рассматривали некоторые задачи механики, используя
декартову систему координат в области, занимаемой телом. Прак-
тически во всех книгах и статьях теория подобных задач рассматри-
вается только в декартовых координатах.-Исключением является
теория оболочек и криволинейных стержней, где невозможно
обойтись только декартовой системой координат. Однако на прак-
тике при решении задач часто используются и другие координат-
ные системы. В таких случаях возникает вопрос, есть ли необхо-
димость исследовать заново соответствующие краевые задачи или
можно непосредственно переформулировать результаты, получен-
ные в декартовых координатах? Для обобщенных постановок задач
механики в энергетических классах решений ответ прост: ключом к
подобной трансформации результатов служит простая замена коор-
динат. Она позволяет переформулировать теоремы вложения в
энергетических пространствах, установить требования к классам
нагрузки и т.д. Отметим, что непосредственное получение подоб-
ных результатов в области, где координатная система имеет осо-
бые точки, была бы весьма сложной.
163
Покажем на примере круглой мембраны с жестко закрепленным
краем (задача Дирихле) как перенести результаты, полученные для
декартовой системы координат, на случай криволинейных коорди-
нат. В декартовой системе координат для функций соответствую-
щего энергетического пространства ?м0 выполняется неравенство
р*\, A.25.1)
справедливое для любого элемента и &W |>2(П)а ?м0, удовлетво- \
ряющего краевому условию \
И1ао=0- A.25.2) j
\
Предположим, что П есть круг радиуса R с полярными коорди- |
натами (r,<p). Беря функцию и еС^'(П), удовлетворяющую крае-
вому условию A.25.2), в обеих частях неравенства A.25.1) мы мо-
жем перейти к интегралам, записанным в полярной системе
координат
f) ¦ ?(?)) г* *) (,.25.3,
Это же неравенство продолжает сохраняться и для любого элемен- '
та и е Еы0, который в полярных координатах может и не иметь
первой производной ди/дг, суммируемой с квадратом. Предель-
ный переход для фундаментальной последовательности демонсдри- {
рует сохранение неравенства A.25.3) для элементов и е?м0, рас-
сматриваемых в полярной системе координат. Неравенство
A.25.3) определяет теорему вложения для энергетического про-
странства для круглой мембраны. А именно, правая его часть по-
казывает, каким пространствам принадлежат первые производные
функции (так называемым весовым пространствам L2(n)), а ле-
вая часть определяет «весовое» пространство U{p), которому
принадлежит сама функция.
Энергетическая норма ?м0 в полярных координатах имеет вид
A.25.4) *•
\'о K4OTV r~ VCTPy ) ) |
164 \
в то время как скалярное произведение есть
h + r*rfr A.25.5)
Для разрешимости данной задачи в декартовой системе координат
мы наложили условие на внешнюю нагрузку, которое в полярной
системе координат выглядит следующим образом
JJ|ffrrf<p <//•<«>, q>\.
о о
Таким образом, мы определили как свойства элементов Ем0
в криволинейных координатах, так и требования к внешней
нагрузке. Отметим, что вывод теорем вложения в подобных абст-
рактных весовых пространствах функций с произвольными весами
- не простое дело* Однако для конкретных задач такие теоремы
получаются достаточно просто.
Для более сложных задач, таких, как задачи линейной теории
упругости в криволинейных координатах, мы можем использовать
тот же самый путь для постановки задач и формулировки ограниче-
ний на допустимые нагрузки, достаточных для их разрешимости.
Отметим, что здесь необходимо менять не только независимые про-
странственные переменные, но необходимо вводить и криволиней-
ные координаты для векторов перемещений и внешних сил. В ос-
тальном никаких существенных изменений по сравнению с задачей
равновесия мембраны здесь в исследование не привносится. .
Сейчас мы обсудим, что делать с задачами с заданными нео-.
днородными геометрическими краевыми условиями. Рассмотрим,
например, следующую задачу:
-Av = f, A.25.6)
vU=<P- 0-25.7)
Мы покажем, как можно изучать такую задачу, пользуясь стандарт-
ными средствами математической физики. Пусть существует функ-
ция v0, принадлежащая пространству Wl2(d) и удовлетворяющая
условию
volan " * •
165
Будем разыскивать функцию v(x) = и(х) + vo(x), где новая неизвес-
тная функция и{х) удовлетворяет уже однородному условию
«U-0. A.25.8)
При такой замене искомой переменной интегро-дифференци-
альное уравнение равновесия мембраны принимает вид
дх дуду) >п{дх дх дуду) ?
Здесь виртуальные перемещения у должны удовлетворять однород-
ным краевым условиям A.25.8):
Обобщенная постановка задачи в данном случае формулирует-
ся следующим образом:
найти элемент ие?"м0, удовлетворяющий уравнению (К25.9) при
любом \|/ е Ем0.
Рассматривая член
C/Kq С7Ч/ Urn U1V ь^%
J ^ йх дх ду ду)
мы видим, что по переменной у это есть непрерывный линейный
функционал в Еи0, если производные dvo/dx и dvo/dy принадле-
жат пространству L2(d). Предполагая, что F e Lp(Cl) при некото-
ром р > 1, мы можем практически повторить рассуждения, ис-
пользованные при доказательстве теоремы об однозначной разре-
шимости задачи равновесия мембраны с неподвижным краем и
заключить, что существует единственное обобщенное решение за-
дачи, т.е. существует элемент и е ?м0, удовлетворяющий уравне-
нию A.25.9) при любом Ц1 е?м0.
Мы здесь просто предположили, что существует элемент из про-
странства ^'^(Q), удовлетворяющий краевому условию A.25.7). В
более обстоятельных книгах по теории уравнений в частных произ-
водных можно найти, какова должна быть заданная граничная фун-
кция ф для того, чтобы существовала указанная выше функция v0.
Соответствующий набор теорем называется теоремами о следе фун-
кции из соболевского пространства. Проблема следа функций, при-
надлежащих соболевским пространствам, выходит за рамки наших
рассмотрений.
166
Наконец заметим, что обычно в математическом анализе ис-
пользуются безразмерные величины, функции, константы и т.п.
Мы также неявно предполагали, что все рассматриваемые величины
берутся в безразмерном виде. Однако введение размерности в урав-
нения и неравенства ничего не меняет принципиально. Следует
лишь учесть, что все константы и параметры являются размерными,
а потому при изменении единиц размерности в соответствующих ме-
стах уравнений появятся множители, соответствующие преобразова-
нию одних единиц измерения в другие.
1.26. ЛЕММА БРЭМБЛА-ГИЛЬБЕРТА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Сейчас мы получим одну оценку для функционалов со специ-
альными свойствами, заданных в соболевских пространствах. Этот
результат носит название леммы Брэмбла-Гильберта [16]. Он по-
зволяет устанавливать оценку скорости сходимости метода конеч-
ного элемента в различных задачах.
Здесь хотелось бы отметить пользу чтения классических книг.
Читатель, как и авторы вышеупомянутой леммы, прочитав книгу
С.Л. Соболева «Некоторые применения функционального ана-
лиза ...», узнал бы, что данная лемма является очень простым
следствием результатов СЛ. Соболева по эквивалентным норми-
ровкам пространства 1V1'p(q)
Напомним сначала неравенство Пуанкаре A.10.9)
J
u2dS <, m
s
которое было выведено в случае, когда S есть квадрат [О, о] ж [0; в].
Доказательство неравенства Пуанкаре A.26.1) легко распрост-
раняется на случай, когда область интегрирования есть л-мерный
куб. Обсудим, как распространить данное неравенство на случай
ограниченной области Q, которая является звездной относительно
квадрата S (напомним, что это означает, что любой луч с нача-
лом в квадрате S пересекает границу области Q ровно один раз).
Мы установим следующее неравенство, которое будет также
называться неравенством Пуанкаре:
167
Перепишем данное неравенство в полярной системе координат с
началом в центре симметрии квадрата ?.
Учитывая неравенство A.26.1) видим, что для доказательства
справедливости оценки A.26.2) достаточно показать справедли-
вость следующей оценки:
2ж%) 2ж«/2 2ж%) /~ ч2
J ju2rdnkpum3j ju^dnkp + m^j Ы —I Лч*р A.26.3)
2*0/2 2я%)
U Г df «p + Iffy I I Г
О а/2 0 а/4 0 а/4
с постоянными ш3 и т4, не зависящими от выбора и е О '(Q).
(Заметьте, что C^'(Q) определено в декартовых координатах!) До-
кажем последнее неравенство.
Отправной точкой доказательства является следующее представ-
ление для произвольной функции и
, а/4 < г, < о/2 , а/Л < r2<
Возводя обе части данного равенства в квадрат и проводя элемен-
тарные преобразования, получаем
1 1
jr — | dr, ms =
• а/4 Ч
где Rq- максимальная величина /?(ф). Умножая все члены данной
цепочки неравенств на гхгъ интегрируя по г2 в пределах от в/2 до •
/?(ф), а затем интегрируя по г, в пределах от а/А до а/2, получаем °
168
e/2 %) a/2 %)
J Ъ ju2{r2,<f>) r2 dr2 drx й 2 /и2(г,,ф)г, drx jr2 dr2
e/4 e/2 e/4 e/2
rx r2 drx dr2 \r\-—\ dr,
e/4 e/2 e/4 4C7V
откуда
rdr
e/2 e/4 OT
Интефируя данное неравенство по ф в пределах от 0 до 2л и со-
кращая полученное неравенство на 32ДЗо2|, завершаем доказа-
тельство неравенства A.26.3), а, следовательно, и неравенства
A.26.2).
Неравенство A.26.2) можно непосредственно распространить
на случай многосвязной области Q, являющейся объединением
звездных областей в пространстве R" при л > 2. Для односвязной
области это неравенство имеет вид:
\ |] П' A-26.4)
где Сесть гиперкуб в Q, относительно которого Q является звездной.
Заметим, что мы можем применить неравенство A.26.4) к лю-
бой частной производной Dau при |а| < к от функции и. Комбини-
руя последовательно оценки для производных, мы можем заклю-
чить, что справедливо следующее неравенство, которое необходи-
мо длялальнейшего доказательства леммы Брэмбла-Гильберта:
.A.26.5)
Правая часть этого неравенства, заключенная в фигурные
скобки, может быть принята за квадрат нормы, которая эквива-
лентна стандартной норме Соболевского пространства Wkl{p).
Напоминаем, что хотя данное неравенство доказано для функций
класса С*(о), но после применения процедуры пополнения оно
остается справедливым и для элементов пространства iVk'2{Cl).
169
Теперь мы сформулируем лемму Брэмбла-Гильберта.
Лемма 1.26.1 [16]. Предположим, что F[u) есть такой непре-
рывный линейный функционал, заданный на Wk-2{pi), что для
любого полинома Рг(х), чья степень меньше, чем к, имеем ра-
венство
F(Pr(x)) = 0. A.26.6)
Тогда существует такая постоянная т*, зависящая только от вида
области Q, что
/ у/2
МФ-vud i jmH ¦ A-267)
Доказательство. Учитывая, что функционал F(u) непрерывен
на ^*-2(Q), из неравенства A.26.5) получаем, что
'/2
\F{ul<m\\F\w,>J I UD*ucKl\ + ? JHW -(Ь26-8)
;|0?|a|<*Vc / |o|=*Q J
Принимая во внимание линейность функционала F{u), а также
условие A.26.6), заключаем, что
где /\_|(х) — произвольный многочлен степени к-\. Фиксируя
элемент и(х), мы всегда можем подобрать такой многочлен
/>;_,(х), что
j Da(u(x) + /?_, (х)) йП = О для всех 0 й |о| < * - 1 .
С-
Подставляя функцию м(х) + /\*_,(х) в A.26.8) и учитывая, что
/W/y_i(x)) = 0 при |a| = /fc, мы и получаем необходимое неравен-
ство A.26.7), ч.т.д.
Рассмотрим теперь некоторые приложения леммы Брэмбла-
Гильберта.
Предположим, что мы ищем численное значение интеграла
]u(x)dx
о
от функции и(х) eW2i2@;l), используя правило трапеций. Полу-
чим оценку погрешности вычислений.
170
Сначала мы найдем «локальную» погрешность вычислений,
возникающую на малом участке длины А вследствие аппроксима-
ции интеграла конечной суммой, а затем уже оценим полную
ошибку метода.
Итак, оценим ошибку вычисления, возникающую на одном
шаге применения правила трапеций. Рассмотрим разность между
точным и приближенным значением части интеграла, соответству-
ющей одному шагу метода трапеций:
хк +* >
j
Ясно, что Fk(u) является линейным и непрерывным функциона-
лом в W2'2ipr, lj. Производя под знаком интеграла замену пере-
менной х = хк + А§, получаем
!
О
Используя элементарное неравенство
A.26.9)
доказательство которого мы оставляем читателю в качестве упраж-
нения, из неравенства A.26.$) мы выводим, что
Так как Fk(a + bx) = 0 при любых постоянных а и Ь, то, как легко
видеть, />(") есть функционал, удовлетворяющий условиям лем-
мы Брэмбла-Гильберта. Применение данной леммы приводит нас
к неравенству
У/2 (ч*ь V/2
1 J (u"(x)fdx\ .
Это и есть искомая оценка ошибки для одного шага метода.
171
Найдем теперь оценку полной ошибки приближения, когда отре-
зок [0,1] разбивается на N одинаковых частей. Вводим функционал
ошибки метода
F(u) » )и(х) dx-\ "?(и(хк) + и(хк+1)) , хк = kh,
о *=о
который является линейным и непрерывным в W2-2(Q;\). Имеем
Так как А = 1/N , то отсюда получаем, что полная оценка погреш-
ности метода есть
V/2
Отметим, что улучшение свойств гладкости функции м(х) не
приводит к улучшению оценки погрешности метода. Далее, если
функция у(дс) е^|>2@;1), то оценка «ухудшается» (имеет меньший
порядок по И):
V/2
Мы оставляем читателю возможность доказать данную оценку са-
мостоятельно.
Другим 'примером применения леммы Брэмбла-Гильберта явля-
ется следующая оценка локальной погрешности аппроксимации,
которую мы формулируем как задачу.
Задача 1.26.1. Показать, что локальная погрешность прибли-
жения в нуле первых производных функции и(дс,,х2) e>P3>2(Q),
где Q с R2, симметричными разностными отношениями оцени-
вается формулой
172
/(«)
если 0
•
ди(о,о)
ах,
Ц^,О)-и(-^,О)
+
№ 1
Я~И»'3-2(П)'
^ С2 < оо .
дх2
Указание, учесть, что /(/2(*i,x2))
второй степени.
0 если P2(xt,x2) есть многочлен
173
ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И
ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
2.1. ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Сначала введем некоторые понятия теории линейных операто-
ров, действующих в нормированных пространствах. Как всегда,
мы подробно рассматриваем лишь те вопросы теории, которые бу-
дут использоваться нами в дальнейших приложениях.
Пусть А — линейный оператор, действующий из нормированно-
го пространства X в нормированное пространство Y. Напомним,
что область определения оператора А обозначается D[A), а область
его значений R(A).
Мы установили (§1.12), что линейный оператор А, определен-
ный на нормированном пространстве X, является непрерывным
тогда и только тогда, когда существует такая постоянная с, что для
любого х е X выполнено неравенство
НИМ-
Точная нижняя грань всех таких констант с называется нормой опе-
ратора А и обозначается \А\. *
Обозначим множество всех непрерывных линейных операторов,
действующих из пространства X в пространство Y, через L(X; У),
Очевидно, что L[X; Y) есть линейное пространство. ?
Лемма 2.1.1. Пространство L(X;Y) есть нормированное про-
странство. :
Доказательство. Мы уже ввели норму для произвольного ли-
нейного оператора. Доказательство данной леммы заключается в
проверке для этой нормы выполнения всех аксиом нормы.
Аксиома N1. По определению имеем |И|^0. Если И| = 0, то
||| 0 для всех хеХ, следовательно, А = 0. Обратно, если"
/1 = 0, то и И = 0.
Аксиома N2. Выполнение данной аксиомы очевидно.
Аксиома N3. Для любого х е X получаем
\\ЩЦ4ЫПЩ\\4=НПЧ)И
174
Отсюда непосредственно имеем, что
что означает, что и третья аксиома нормы, неравенство треуголь-
ника, также выполнена. Доказательство леммы окончено.
Как и в любом нормированном пространстве в ДА'; К) можно
ввести понятие сходимости последовательности его элементов. Бу-
дем говорить, что последовательность непрерывных линейных опе-
раторов {А„) с l\X; Y) называется сходящейся к оператору А, если
\А„ - А\ -» 0 при п -*¦ оо. В этом случае мы также будем говорить,
что данная последовательность {А„} сходится равномерно к А.
Теорема 2.1.1. Если X есть нормированное пространство, a Y
является банаховым пространством, то пространство l\X\ Y) явля-
ется банаховым.
Доказательство. Возьмем произвольную фундаментальную пос-
ледовательность {Лл}из L(X; Y), т.е.
- 4.Ц -» 0 при л -> оо и /я > 0 .
Нам надо показать, что существует оператор А = lim A. e L(X; Y).
.я-х» v
Для любого элемента х из А" последовательность \А„х] является
фундаментальной, так как
К+и*- Лпх\ < \Ап+т - А„\Щ -> О при п -> оо и т > 0 . B.1.1)
Поскольку Y есть банахово пространство, то существует элемент
у е Y такой, что у = lim А„х.
Я->оо
Таким образом, каждому элементу х мы поставили в соответ-
ствие единственный элемент у= ИтА„х, то есть мы определили
некоторый оператор А равенством у = Ах.
Следствием линейности операторов Д, является линейность вве-
денного оператора А. Нам остается лишь показать, что оператор А
есть непрерывный оператор, действительно являющийся пределом
для последовательности операторов {А„)в смысле сходимости в
пространстве L{X;Y). В самом деле, так как последовательность
{Л} фундаментальна в ЦХ; Y), то последовательность норм {|Л„||}
необходимо является ограниченной, то есть ||ЛЯ|| < т.
175
Далее,
INI = j
Таким образом, мы доказали, что \А\ < т. Итак, оператор А яв-
ляется непрерывным.
В силу B.1.1) для любого е>0 найдется такой номер N, что
для всех х, лежащих в единичном шаре \\x\\ <, 1, выполнено нера-
венство
114.+** - 4,*|| * К+я, - 4,11 NN е при я > JV и /я > 0 .
Перейдем в данном неравенстве к пределу при т -> » . Имеем
|/4дс - /4„дс| < е при всех п> N и |х|| < 1.
Это означает, что
\А - А„\ = $ир||/4дс - >4ядс|| < е при всех п > N,
то есть А = lim А. в смысле сходимости в пространстве L(X; Y),
чж.д.
На основе определения сходимости последовательности в про-
странстве операторов L[X\Y) можно ввести понятие сходящегося
ряда, члены которого являются операторами А„ eL(X;Y). Сумма
данного ряда определяется как А = lim У А.. Будем говорить,
что операторный ряд ?"=1 /4Я является равномерно сходящимся, если
числовой ряд ?"=,|Ki|| является сходящимся.
Задача 2.1.1. Пусть А„ eL(X;Y) и ряд ?Г=|4| является равно-
мерно сходящимся. Доказать, что данный ряд является сходящимся.
Будем обозначать пространство операторов L(X;X) через
L(X). В пространстве L{X) можно ввести произведение операто-
ров формулой
АВх = А(Вх).
Произведение операторов обладает свойствами обычного чис- .
лового произведения за исключением свойства коммутативности.:
А именно, имеют место равенства: ¦
176
(АВ)С ш (АВ)С;
Тождественный оператор обозначим через /:
IА ш AI ш А .
Если А и В принадлежат пространству ЦХ), то и их произведение
принадлежит L(X). Действительно,
\1авцщ\\\щца\\\\щ\\4.
Следовательно,
И1НИН-
Задача 2.1.2. Пусть А - lim А„ и В = lim В„, где А„ и В„ при-
Л-Юо Я-ЮО
надлежат ЦХ). Доказать, что АВ = Ит(А„Вя).
Итак, мы ввели операцию произведения в ЦХ). Множество
ЦХ) с двумя введенными для его элементов операциями, а имен-
но, операциями сложения и умножения, становится некоммута-
тивным кольцом.
Используя аналогию с аналитическими разложениями различ-
ных функций, в пространстве ЦХ) можно вводить функции опера-
торного аргумента. Например, по аналогии с преставлением ФУН"
00 „Л
кции у = ех = 1 + ? -Tj' опеРатоРная экспонента определяется
следующим образом:
Определите самостоятельно операторные функции sinA и cosA.
Как и во всяком нормированном пространстве, в пространстве
линейных непрерывных операторов можно ввести и другие типы
сходимости. Сейчас мы этим займемся.
Рассмотрим одну специальную последовательность операторов,
операторов ортогонального проектирования в гильбертовом про-
странстве. Пусть gltg2,g3,••• ~ некоторый ортонормированный
базис гильбертова пространства Н. Пользуясь разложением в ряд
177
Фурье произвольного элемента х е X,
00
' где с* = (*•&)•
определим линейный оператор Р„, называемый оператором ортого-
нального проектирования на Н„, являющимся подпространством Я,
натянутым на первые п элементов данного базиса. Оператор Р„ за-^
дается формулой
оо
По неравенству Бесселя имеем
Это означает, что ||Р„||<1, а так как |^i|| = fl^i||' то» следователь-
но> ИЛИ = i - . , , ¦
Покажем, что операторная последовательность [Р„] не являет»
ся сходящейся. Действительно, Pngn+\ = 0, а, следовательно, ¦
1 = 8п+\ при любом m > 0 .
Поэтому
откуда |РЯ+Я( - /*„! ^ 1 для любого m > 1. Последнее означает, что "",
последовательность [Р„] не может равномерно сходиться. Однако
при любом х е Н имеем
х = lim Р„х.
Я-ЮО ,
Это равенство означает, что имеется сходимость последовательнос-
ти {Р„} в каком-то более слабом смысле. Данное рассуждение
подводит нас к введению следующего определения. ¦
Определение2.1.1. Последовательность операторов Л„ eL(X;Y),
называется сильно сходящеися'к оператору А е L{X; Y), если для л ю-"
бого х е X выполняется .
\\А„х - Ах\ -> 0 при п -> х .
178
Если последовательность операторов А„ eL(X;Y) равномерно
сходится к оператору А е ЦХ\ Y), то эта последовательность явля-
ется сильно сходящейся к А. Действительно,
||/1ядс-/1дс||<||/1я-/1|||дс|^О при п -юо.
Мы уже видели, что сильная сходимость последовательности
операторов не влечет за собой равномерную сходимость этих же
операторов.
Сильная сходимость последовательности операторов иногда на-
зывается поточечной сходимостью.
2.2. ПРИНЦИП БАНАХА-ШТЕЙНГАУЗА
Пусть Л - линейный оператор, действующий из нормированно-
го пространства X в банахово пространство Y. Пусть D(A), область
определения оператора А, является плотной в X. Предположим,
что на области D(A) оператор А является ограниченным, т.е.
] < Л/|дс| для всех х е D(A) .
Подобная ситуация для операторов нам уже встречалась при дока-
зательстве теорем вложения. Обозначим нижнюю грань всех таких
постоянных М через \\A\\.
Теорема 2.2.1. При указанных выше условиях существует такое
продолжение оператора А, обозначаемое Ас, что:
A) Асх = Ах для любого х е D(A);
B) AeeL(X;Y);
<з)К1-И-
Доказательство. Построим оператор Ас следующим образом.
Если х € D{A), то Асх = Ах. Нам необходимо указать значения
оператора Ас в остальных точках пространства X, т.е. когда
х гЩ.
Пусть Xq не принадлежит D(A). Так как D(A) плотно в Л", то
найдется последовательность {xH}czD(A) такая, что ||дсл-дсо|->О
при п-юо. Последовательность значений {Ах„} является фунда-
ментальной в Y, так как
-хт1^0 при л,т-кх>.
Поскольку Y есть полное пространство, то существует предел
lim Ах„, который не зависит от выбора последовательности {дг.},
я-»»
сходящейся к д^. Определим значение оператора Ас в точке д^ как
Аех0 = lim Ах„. Теперь для оператора Ас остается доказать свой-
ство C), которое одновременно обосновывает и справедливость
свойства B).
Имеем
Переходя в этом неравенстве к пределу при х„=>х0, получаем, что
Поскольку последнее неравенство справедливо при любом Xq, to
отсюда следует, что ||Д.|<|Л||. Но тогда получаем, что ||Д. || = \\A\\,
ч.т.д.
Докажем теперь принцип Банаха-Штейнгауза, который дается
следующей теоремой.
Теорема 2.2.2. Пусть {А„} — некоторая последовательность не-
прерывных линейных операторов из L(X; Y), где X - нормирован-
ное пространство, a Y — банахово пространство. Пусть X* есть
подпространство пространства X, которое всюду плотно в X. .
Пусть, далее, выполнены:
A) ||ЛЛ||< М для всех л;
B) существует lim А„х для любого элемента х е X*.
Тогда последовательность операторов |/4„} сходится сильно к неко-
торому непрерывному линейному оператору А, т.е. для каждого ~
х е X имеет место
||Д,дг - Ах\ -> 0 при п -> да .
Доказательство. На подпространстве X* оператор А определя-
ется равенством
Ах = lim А„х , х еХ*.
Л-+0О
По условию A) теоремы данный оператор А является ограничен-
ным на X*, так как
JAx\\ = lim|4,4* м\\4 , хеХ\
Л—>оо
По Теореме 2.2.1 мы можем продолжить этот оператор на все
пространство с сохранением нормы. Оставляя за продолжением
180
оператора то же самое обозначение А, мы покажем, что
lim Д,дсо== Ах0 для любого дс0 е X . Действительно, возьмем произ-
вольную последовательность {дг„} <= X* такую, что
\\хи ~ хо\\ ~* 0 ПрИ И -> 00 .
Тогда, с одной стороны, AxQ = lim A.xQ. С * другой стороны,
Я-ЮО
имеем
IE A V — Л У II ^ If Л V Ж V -L Л У _ Л V -L Л V
[|/*ЛЛ "^Я ПII 11^^ 0 "^ ?Л *^ Я1 *^Я Я1 *^Я Я1
< |/1дсо - /4^| + Ц^дс^ - Д,хя| + |Д,хя - /1ядс0| <
Возьмем Произвольно малое е > 0 и выберем такой номер /и,, что
и ' с
Зафиксируем это значение" тх. Далее, используя условие B) тео-
ремы, мы можем найти такой номер »,, чтобы при и > и, было вы-
полнено неравенство
Собирая последние неравенства вместе при m = т, , мы получа-
ем, что
||Лдс0 - /4лдс0| < е при всех и > и, ,
что и заканчивает доказательство теоремы.
Следующая теорема, примыкающая к Теореме 2.2.2, обычно
называется принципом равномерной ограниченности.
Теорема 2.2.3. Пусть {А„} — некоторая последовательность не-
прерывных линейных операторов из L(X; Y), где X — нормирован-
ное пространство, а У — банахово пространство. Если для любого
элемента х е X множество значений {Аях} ограничено, то ограни-
чено и множество норм {||Д,||).
Доказательство может быть найдено в любом учебнике по функ-
циональному анализу.
181
2.3. ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР
Рассмотрим проблему решения уравнения общего вида
Ах = у,
где А - линейный оператор, действующий из нормированного
пространства X в нормированное пространство Y. Необходимо
найти элемент х е X, если задан элемент у е Y .
Мы уже рассматривали подобные задачи механики, сводя их к
тривиальному уравнению х = у в энергетическом пространстве.
Сейчас мы рассмотрим общий случай. Введем понятие обратного
оператора.
Если для любого у е Y существует не более одного решения
х е X уравнения Ах = у, то соответствие между элементами про-
странств Y и Л'определяет некоторый оператор. Назовем этот опе-
ратор обратным и' будем обозначать его А'1. Очевидно,
что ЦА7х ) = R(A) и Л(Л-' )=Щ-
В качестве легкого упражнения читателю предлагается доказать
следующую теорему.
Теорема 2.3.1. Пусть А - линейный оператор из Хъ Y. Обрат-
ный оператор А'1 существует тогда и только тогда, когда уравне-
ние у4дс = 0 имеет единственное решение х = 0; оператор А'1 явля-
ется линейным.
Обычно нас интересует не только вопрос разрешимости урав-
нения, но и вопрос непрерывной зависимости решения от правой
части уравнения. Сформулируем один результат такого рода.
Теорема 2.3.2. Пусть А - линейный оператор из X в Y. Опера-
тор А~1 ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда существует
положительная такая постоянная с, не зависящая от х е D(A), что
\\Ax\\ > фс|| для всех х е D(A) . B.3.1)
Доказательство. Необходимость. Пусть обратный оператор А~к
существует и ограничен на R(A). Тогда существует такая постоян-
ная т, что M'VNHM- Обозначая у = Ах и с = \/т, получаем
неравенство B.3.1).
Достаточность. Из B.3.1) следует, что уравнение Ax=Q име-
ет единственное решение х = 0, откуда вытекает существование
обратного оператора А'1. Полагая в B.3.1) х=А~у, получаем
182 '
неравенство ||л 'j| й 1/с\\у\\ для всех у еЛ(А), что и завершает до-
казательство теоремы.
Пусть А'1 еЦ?;Х). В этом случае будем говорить, что опера-
тор А является непрерывно обратимым.
Из Теоремы 2.3.2 непосредственно вытекает следующая теорема.
Теорема 2.3.3. Линейный оператор А является непрерывно об-
ратимым тогда и только тогда, когда выполнены следующие два
условия:
A) Я(А) = У;
B) неравенство B.3.1) выполнено с некоторой постоянной с.
Рассмотрим некоторые примеры. Начнем с уравнения Фред-
гольма второго рода с параметром Я,:
\{}{H) ) B.3.2)
с вырожденным ядром 2^=^*(')v*(*)- Предположим, что все
функции Ф*('),\р*(?) и Л') принадлежат пространству С{а;Ъ),
т.е. они являются непрерывными на отрезке [о',Ь]. Что можно
сказать относительно оператора А}1, обратного оператору
Фред гол ьма
{AFu)(t) = «(/)-/ ±n(t)vk(s)u(s)ds,
действующему в пространстве С{а\b)? •-
Если уравнение B.3.2) имеет решение, то это решение необхо-
димо имеет вид „
Подставляя данную функцию в B.3.2), получаем
К (/w) * - до-
Предполагая, что система функций ф|(/)> <?г{(\ ¦••¦> Фл@ линейно
независима, из последнего уравнения мы получаем линейную ал-
гебраическую систему уравнений относительно коэффициентов ск
п Ь Ь
Ч -*?<*/»,¦(*)?*(*) ds = Xj/(i)VtE) ds , к = 1, ..., я ,
/=1 а а
183
решение которой можно найти по правилу Крамера:
Таким образом, решение уравнения B.3.2) есть
B3.3)
Данное решение существует, если основной определитель системы
D(\)*0. Из B.3.3) видно, что
\{^ ()\
[а-Ь] [а;Ь]
Последнее неравенство может быть переписано в терминах нормы
пространства С(а; Ь) следующим образом
Данное неравенство означает, что AFl еЦС(а;Ь)}, если
Г)(кH, и, кроме того,
Предположим теперь, что D(\) = 0. Так как D(k) есть много-
член от Л, степени т, то он имеет не более п различных корней Л,,,
iun, то есть /)(Л,Л = О. Если Х, = Х,у, то имеется нетривиальное
решение с}1', ..., су системы уравнений
Ч ~hHcjj^As)**(*) * =¦ 0 , к = 1,...,л.
Таким образом, уравнение AFu\ =0 имеет нетривиальное реше-
ние. Последнее означает, что оператор А}' не существует. Зна-
чение X = Xj называется собственным значением оператора Фред голь-
ма. Совокупность всех собственных значений {А.,] называется
спектром оператора Фредгольма.
В качестве следующего примера рассмотрим краевую задачу
когда Д/)€С@;1).
184
В терминах теории операторов мы имеем оператор, обозначае-
мый В, чья область определения есть С^@;1), а область значений
лежит в пространстве, состоящем из «векторов», одним «компо-
нентом» которых служат функции /(/) из С@; 1), а двумя другими
являются краевые значения щ1л щ.
Решение данной краевой задачи дается формулой
«(') = Ц/ЫЛ1 ds + Uo+L -«o-jj/fa) A, ds) t, B.3.4)
0 0 V. 0 0 /
что означает, что оператор В'1 существует. Из вида решения
B.3.4) непосредственно следует, что оператор В'1 ограничен.
Сформулируем одну простую, но полезную теорему.
Теорема 2.3.4. Предположим, что непрерывный линейный
оператор А, действующий из банахова пространства X в банахово
пространство Y, является непрерывно обратимым. Пусть, далее,
оператор BeL(X;Y) и \\B\\ <Ы~'| . Тогда оператор (А + В) явля-
ется непрерывно обратимым, т.е. (А + В)~1 eL(X;Y), причем
фТИГ B-3.5)
Доказательство. Уравнение
(А + В)х = у B.3.6)
«умножением» слева на оператор А~1 приводится к уравнению
х-Сх = х0, где С = -А~]В и хо = А'ху.
Теперь наше уравнение сведено к форме, в которой принципиаль-
но возможно применение принципа сжатых отображений. Более
того, Неравенство ||С| < Ы~1 ПЩ < 1 гарантирует, что данный прин-
цип действительно применим к этому уравнению. Следовательно,
мы получаем, что уравнение B.3.6) имеет единственное решение
при любом у е У . При этом последовательные приближения
хк + \ = Схк +Х0 '
где
хк =
сходятся к этому решению. Существование однозначно определен-
ного решения уравнения B.3.6) означает, что оператор (Л + В)
185
имеет обратный оператор, причем область определения обратного
оператора есть всё пространство У.
Установим теперь неравенство B.3.5). Из тождества
х = А~1(Ах) получаем, что
а, следовательно,
Из B.3.6) при произвольном у е Y выводим
\\y\\ - 1л + вЦ > \\ax\\ -1^1 > |^-'||-'и -
откуда непосредственно и вытекает оценка B.3.5), завершающая
доказательство теоремы
2.4. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В данном параграфе мы введем один широкий класс линей-
ных операторов, включающий в себя непрерывные операторы.
Это так называемые замкнутые операторы. Как мы увидим далее,
к этому классу относятся операторы дифференцирования.
Определение 2.4.1. Линейный оператор А, действующий из ба-
нахова пространства X в банахово пространство Y, называется замк-
нутым, если А обладает следующим свойством. Пусть для любой
последовательности {*„}, принадлежащей области определения
D(A) оператора А и такой, что одновременно существуют пределы
последовательностей {*„} и {Ахп}, а именно, существуют
s- lim х„ = х и s- lim Ах„ = у , следует, что элемент х принадле-
жит ЩА), причем имеет место равенство у = Ах.
Из данного определения следует, что непрерывный линейный
оператор с областью определения X является замкнутым. Однако
существуют замкнутые линейные операторы с областью определе-
ния, плотной в X, которые не являются ограниченными. Сейчас
мы приведем пример такого оператора. -
Оператор дифференцирования %,, действующий из С@;1) в
С@;1) является замкнутым, если область определения опера-
тора дифференцирования есть С^'@;1). Действительно, пусть
186
*„(/)=>*(/) в ^)вА1),т.е. **{')=>*(') и xn(t)=>y(t) схо-
дятся равномерно на [0;l] (или, что то же самое, сходятся в про-
странстве С@;1)). По хорошо известной теореме математического
анализа отсюда следует, что предельные функции x(t) и y(t) явля-
ются непрерывными на [0;1] и x'(t) = y{f), т.е. Определение 2.4.1
для оператора %, выполнено. Неограниченность данного операто-
ра на пространстве С@;1) видна непосредственно: достаточно рас-
смотреть его значения на последовательности {/"}, лежащей в еди-
ничном шаре пространства X = С@; 1).
Подобным образом может быть показано, что линейный опе-
ратор А, заданный равенством А/(х) = ?, . nca(x)Da f(x) на про-
странстве С(П) с коэффициентами ca(jt) еС(П), является замкну-
тым, если его область определения есть С^"'(П). Здесь П есть
компакт в пространстве Лт.
Множество всех упорядоченных пар {х, у], х е X , у еУ , где X
и Y есть банаховы пространства, обозначим символом X х Y.
Множество упорядоченных пар X х У есть линейное пространство
с операциями, определенными следующим образом:
а{х,у} = {ах,ау} ,
где a - произвольное число (комплексное или действительное).
Пространство X х Y также называют прямой суммой пространств X
и У. Вводя на X х У норму формулой
получаем, что X х У есть банахово пространство. Прямая сумма
гильбертовых пространств есть также гильбертово пространство.
Сформулируем определение.
Определение 2.4.2. Пусть оператор А действует из банахова
пространства X в банахово пространство У. Множество всех пар
{дс, Ах], х е D(A), лежащих в пространстве X х У , называется
графиком оператора А. График оператора А обозначается G(A).
Следующее определение эквивалентно определению 2.4.1.
187
Определение 2.4.3. Линейный оператор А, действующий из
D(A) с X в У, называется замкнутым, если его график есть замк-
нутое линейное подпространство пространства X х У.
Будем говорить, что линейный оператор А, действующий из
D(A) с: Л' в К, допускает замкнутое расширение, если замыкание
его графика G{A} в X х К есть график некоторого линейного опера-
тора В, действующего из D(B) с X в У.
Лемма 2.4.1. Оператор А, действующий из банахова простран-
ства X в банахово пространство У, допускает замкнутое расшире-
ние тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: для
произвольной последовательности {х„} с D(A), стремящейся к
нулю, то есть Нпфс JI = 0, из равенства 1ип|/4л:„ - у\\ = 0, вытека-
ет, что у = 0. "-*00
Доказательство. Необходимость условия следует непосредствен-
но из определения замкнутого оператора.
Достаточность. При выполнении условия теоремы мы постро-
им оператор В, который называется наименьшим замкнутым расши-
рением оператора А.
Оператор В, наименьшее замкнутое расширение оператора А,
определяется следующим образом: элемент х принадлежит D(B)
тогда и только тогда, когда существует последовательность
{xH)<zD(A) такая, что limlbc. - jdl = 0 и существует сильный
* я-уо" . "
предел последовательности \Ахп); при этом мы определяем, что
Bx=s-
Покажем, что так определенный оператор В действительно яв-
ляется замкнутым расширением оператора А. Условием теоремы
значение оператора В в точке х определено однозначно. Линей-
ность оператора В очевидна. Теперь нужно доказать, что В есть
замкнутый оператор. Пусть последовательность {«„} с D(B) сходит-
ся сильно к элементу и, и сильный предел s- lim Ви„ = v. Пока-
жем, что имеет место равенство Bu=v. Действительно, по опре-
делению оператора В существует последовательность {х„} с D(A)
такая, что |х„ - и„\\ < е„ и \Ах„ -Ви„\\ < е„, где е„ -> 0 при п -> оо.
Итак, имеем
\тхн=и и 1ипЛл:в = v.
Я-кю Я-»оо
Но тогда по определению оператора В элемент и принадлежит
D[B) и Bu = v, что и заканчивает доказательство.
188
В качестве приложения последней леммы рассмотрим пробле-
му замкнутого расширения дифференциального оператора
с коэффициентами са(х) eO*'(?i), где Q — некоторый компакт в
R". Оператор К рассматривается действующим в пространстве
L2(q). Определим область определения оператора К как множе-
ство функций из L2(Q)f\C^k'(n), то есть область определения опе-
ратора К лежит в пространстве 1?(п). Проверим выполнение ус-
ловий последней леммы, чтобы показать, что оператор К имеет
замкнутое расширение.
Возьмем произвольную последовательность {«„(х)} е D(K) та-
кую, что КМЦо)->°" и 1*"»(х)-уМЦо)->0 ПРИ «"»••
Умножим Аи„(х) на произвольную пробную функцию
ср{х) еС^(П), т. е. такую функцию, что ее носитель лежит внутри
области Q и у которой все производные до порядка к включительно
непрерывны в области П. Проинтегрируем полученное произведе-
ние по области О. Интегрирование по частям дает
J<p(x) Ки„(х)<&1 = J«e(x) ?(- if Я°(са(х)ф(х)) &1.
а а |ф*
Здесь интегралы вдоль границы исчезают, так как функция <р(х) и
ее производные равны нулю на границе области Q. Учитывая свой-
ства пространства L2(q) , переходим в последнем равенстве к пре-
делу. Имеем
=JO- S
а |о|<:*
Так как множество функций cik4u) плотно в пространстве L2(Cl),
то отсюда вытекает, что v[xj = 0 как элемент L \Сц, что и обосно-
вывает существование замкнутого расширения дифференциального
оператора G.
Отметим, что на этом пути возникает другой подход к введе-
нию обобщенных производных. Он эквивалентен подходу, ис-
пользованному С.Л. Соболевым.
189
Теорема 2.4.1. Если замкнутый линейный оператор А обладает
обратным оператором А'1, то Л также является замкнутым.
Доказательство. График оператора А'1 может быть получен из
графика оператора А путем "перестановки" [х, Ах] н» [Ах, х}. По-
нятно, что тогда множество Ш является плотным в УХ,
ч.т.д.
В приложениях часто бывает полезной следующая теорема.
Теорема 2.4.2. Пусть замкнутый линейный оператор А действу-
ет из банахова пространства X в банахово пространство Y. Предпо-
ложим, что на некотором множестве McD(A), которое плотно
в X, оператор А является ограниченным, т. е. существует такая по-
стоянная с, что
\\Ax\\ < с\\х\\ при всех х е М.
Тогда оператор А является непрерывным на X.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент хйъХ. Так*
как множество М плотно в X, то существует такая последователь-
ность {х„} с М , что
К-*о||<--
Используя условие теоремы, получаем
! - Ах„\\ < с \\хп+т - х„\\ < с (|хя+т - *0| + ||дс„ - хо|) < -^ -> О
при П -> оо .
Отсюда заключаем, что {Ах„} есть фундаментальная в К последова-
тельность, которая вследствие полноты пространства Y имеет пре-
дел lim Ах„ = у . Так как А — замкнутый оператор, то Ах0 = у. С
другой стороны,
\\Ахо\\=
что и завершает доказательство теоремы.
Сформулируем теперь теорему Банаха, называемую теоремой о
замкнутом графике.
Теорема 2.4.3. Пусть область определения замкнутого линейно-
го оператора А, действующего из банахова пространства X в бана-
190
хово пространство У, совпадает с X. Тогда оператор А является
непрерывным на X.
Для доказательства данной теоремы требуются некоторые поня-
тия, которых мы не касаемся в этой книге. Доказательство может
быть найдено в любом учебнике по функциональному анализу.
Следствием теоремы Банаха является следующая теорема.
Теорема 2.4.4. Если замкнутый линейный оператор А отобра-
жает банахово пространство X на все банахово пространство У
(т. е, R(A) = У) взаимно однозначно, то оператор А~1 является
непрерывным на У.
Доказательство. По Теореме 2.4.1, оператор А'1 является замкну-
тым, а по Теореме 2.4.3 оператор Л тогда является непрерывным.
Задача 2.4.1. Используя Теорему 2.4.3, докажите следующее
утверждение.
Пусть на линейном пространстве X заданы две нормы ЦхЦ, и ||х|2,
причем пространство X с каждой из этих норм является банахо-
вым. Если для любого х е X имеет место неравенство
с постоянной сь не зависящей от х, то существует такая постоян-
ная с2, что
то есть нормы |х|, и |х||2 эквивалентны на X.
2.5. ПОНЯТИЕ СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
В данном параграфе мы введем понятие сопряженного опера-
тора для оператора, действующего в гильбертовом пространстве.
Итак, пусть А есть непрерывный линейный оператор, действу-
ющий в гильбертовом пространстве Н.
Рассмотрим скалярное произведение (Ах, у) как функционал от-
носительно переменной х е Н при фиксированном значении
у е Я. Благодаря линейности оператора А данный функционал
является линейным по переменной х. Он является ограниченным,
так как
191
По теореме Рисса о представлении непрерывного линейного функ-
ционала, заданного на гильбертовом пространстве, функционал
(Ах, у) при фиксированном значении у е Н может быть представ-
лен в виде
(Ax,y) = (x,z),
где элемент z однозначно определен элементом у и оператором А.
Итак, соответствие уиг определяет некий оператор, обозначен-¦'¦
ный через А*, а именно, z = А* у. Назовем данный оператор А*
сопряженным к оператору А. Если А = А*, то оператор А называет-
ся самосопряженным.
Рассмотрим некоторые свойства оператора А*.
Лемма 2.5.1. Оператор А*, сопряженный линейному операто-
ру А, есть линейный оператор.
Доказательство. По определению А* для любых двух элементов
уиу2еХ и произвольных фиксированных комплексных чисел
а,,а2 мы имеем равенства
А*уху (Ах,у2) = (х,А*
(Ах,ахух + агу2) = (*, А'{
С другой стороны,
(Ах,а{у{ + а2у2) = ах(Ах, у{) + а2{Ах, у2).
С учетом вышесказанного имеем
(х, Л*(а, yi + а2.и2)) = Цх, А*ух) + Цх, А*у2) = (х,М>
Так как элемент х произволен, то отсюда вытекает, что
i +a2A*y2 .
Таким образом, линейность оператора А* доказана.
Лемма 2.5.2. Пусть А и В -непрерывные линейные операто-
ры. Имеют место следующие свойства:
A) (А + В)* =А* + В'\
B) (АВУ = В'А*.
Доказательство. Свойство A) очевидно. Свойство B) получа-
ется из сравнения двух следующих соотношений:
192
Лемма 2.5.3. Оператор А', сопряженный к непрерывному ли-
нейному оператору, действующему на гильбертовом пространстве,
является непрерывным. Более того, |/4*| = ||Л||.
Доказательство. Используя неравенство Шварца, получаем
I|~.|I|L,II *\, ll~.ll It.Ji " Я II
По определению оператора Л* имеем (Ах,у) = 1х,А*у\, поэтому М
можно записать также в виде
ИИ
Положим в правой части данного равенства х - А*у. Тогда
Uy\
\\A-
= sup
7и
Очевидно, что М{<, М. Отсюда следует, что оператор А* являет-
ся ограниченным. Более того,
М, = |Л*| й М <, \\A\\.
Итак, мы получили, что |л*|< ||Л||. Обратное неравенство,
||у4|< |л*|, вытекает непосредственно из нижеследующего утверж-
дения, которое мы сформулируем в виде Леммы 2.5.4. Поэтому
Лемму 2.5.3 можно считать доказанной.
Лемма 2.5.4. Пусть А - непрерывный линейный оператор на
гильбертовом пространстве Н. Тогда' (а*\ = А .
Доказательство. Из доказательства Леммы 2.5.3 следует, что А'
является непрерывным оператором. Поэтому мы можем ввести
второй сопряженный оператор (а'У , который также является не-
прерывным. Оператор (/4*)* удовлетворяет тождеству
)
С другой стороны,
193
Сравнивая тождества, заключаем, что имеет место равенство
для всех х,уеН и, следовательно, \А*\ у = Ау, т. е. \А*\ =А,
ч.т.д.
Мы ввели понятие оператора, сопряженного к непрерывному
оператору на гильбертовом пространстве Н. Если оператор А явля-
ется неограниченным, то мы все равно может попытаться приме-
нить ту же самую процедуру для введения сопряженного операто-
ра, пользуясь равенством
Данное равенство определяется элемент А*у однозначно только в
случае, когда область определения D(A) является плотным множе-
ством в пространстве Н. Читателю предоставляется самому ознако-
миться со свойствами сопряженного оператора в этом случае по
любому учебнику функционального анализа. В дальнейшем мы не
используем понятие оператора, сопряженного к неограниченному
оператору.
Здесь можно сделать общее замечание. Введение энергетичес-
ких пространств позволило нам рассмотреть все прикладные задачи
механики для ограниченных областей, имея дело лишь с ограни-
ченными операторами. Более традиционный подход, когда диффе-1
ренциальный оператор рассматривается действующим на простран-
стве ?2(п), приводит к задачам с неограниченными операторами.
Мы предпочитаем не пользоваться этим подходом там, где нет
особой необходимости. '
Рассмотрим некоторые примеры сопряженных операторов.
1. Матричный оператор в I2. Этот оператор рассматривался в
§1.13. Компоненты его значений даются соотношением '„
I J'1
По A.13.9) норма матричного оператора в пространстве /2 огра-
ничена сверху: , yvi
. и*\tt\4\
Предполагая, что правая часть последнего неравенства есть конеч-
ное число (в таком случае оператор А является непрерывным в про-;
194 \
странстве /2), заключаем, что сопряженный оператор А* также яв-
ляется ограниченным. В данном случае сопряженный оператор А*
определяется следующим образом:
(Ах,у) = X ZaUxjyt = Z XJ Z°ЦУ1 = \х> А*У)>
поэтому /-ая координата значения А*у имеет вид
Если выполнено равенство ву = пц , то матричный оператор А яв-
ляется самосопряженным.
2. Интегральный оператор. Рассмотрим интегральный оператор
вида
действующий в пространстве ?2@;l). Если предположить, что его
ядро К(х, у) е ?2([0; l] x [0; 1]), то этот оператор является ограничен-
ным. Действительно,
ах
Используя неравенство Шварца для внутреннего интеграла, полу-
чаем '
^/2
О
Таким образом,
fxft . \\V2
195
Введем сопряженный оператор В* в случае, когда
К(х, у) е ?2([0; 1] х [0; 1]). Для этого рассмотрим равенство
,*) = \\к(х,у)/(у)ау8(х)ах = \f{y)l K{x,y)g(x)dx dy = (/, B'g)
do о о ^
Из этого равенства вытекает, что
о
Итак, сопряженный оператор В* является также интегральным
оператором. Если К(х,у) = К(х,у), то оператор оказывается само-
сопряженным: В*= В.
3. Уравнение устойчивости тонкой пластики Линеаризованное
интегро-дифференциальное уравнение устойчивости сжатой плас-
тины может быть записано в форме
(и>,ф)?-С(и>,ф) = 0, B.5.1)
где функционал C(w, q>) определен равенством
C(W,v)[(Tx + Tj+) + Ty
к ' JI х дх дх ху\ду дх дх ду) у ду ду
а скалярное произведение (w,<p)? есть
Для определенности будем рассматривать задачу в пространстве Еп0
при известных напряжениях Т^ Т„, Тг принадлежащих простран-
ству L2(fi).
Рассматриваемая задача устойчивости тонкой пластины состой'
в нахождении наименьшей внешней сжимающей нагрузки, т.е.
TjpTjcyjTy, при ее пропорциональном увеличении, при которой су-
ществует нетривиальное решение H-e?n0, удовлетворяющее урав-
нению B.5.1) при любом фб ?п0.
Обычно при постановке данной задачи считается, что пластина
сжимается силами, величина которых возрастает пропорциональна
некоторому параметру X, т.е. вместо набора функций Tx,Tv,Ty
196
задается набор Х.7^, Х.7^,, ХТу. Поэтому мы записываем уравнение
задачи в следующей форме:
Тогда данная задача сводится к нахождению наименьшего положи-
тельного значения параметра X, при котором задача имеет нетри-
виальное решение и- € ?п0.
Придадим последнему уравнению операторную форму. Для
этого рассмотрим сначала выражение С(н-, ср). Применяя неравен-
ство Гельдера к одному из его членов /?(w,q>)= [ Тх—— -^-
1 'О. дх ох
получаем, что
'/V 4 V'V 4 V^4
Применяя теорему вложения в пространстве ?п0, заключаем, что
|*M*HMkHV B-5-2)
Подобным способом оцениваются и остальные составляющие
C(w, ф). Отсюда имеем, что
Линейность функционала С(н-, ср) по обеим переменным и- и <р оче-
видна.
Зафиксируем теперь произвольный элемент уе^. Из нера-
венства B.5.2) следует, что функционал С(м>,ф) является непре-
рывным и линейным по отношению к переменной ф е Ем. По
теореме Рисса он представим в форме
Так как каждому.элементу и- €?„0 поставлен в соответствие един-
ственный элемент v еЕп0, то тем самым введен некоторый опера-
тор G: v = Gw. Линейность оператора G очевидна. Из неравенства
B.5.2) следует, что
Полагая в последнем неравенстве <p=Gw, получаем
197
откуда
Следовательно, оператор G является непрерывным.
Так как функционал С(и>, ср) является симметричным по обеим
переменным, то имеем
(Ф, Gw)^ = C(w, Ф) = С(Ф, w) = (w, Сф)^ для всех w, Ф е Ем,
что означает, что оператор G является самосопряженным.
Итак, мы свели уравнение устойчивости пластины (уравнение
Эйлера) к операторной форме
w = XGw,
которая является обычной для задач на собственные значения опе-
ратора. Оператор G здесь является линейным, непрерывным и са-
мосопряженным.
4. Оператор дифференцирования Рассмотрим один пример с нео-
граниченным оператором. Это оператор дифференцирования
В,=/^, действующий в комплексном пространстве Z,2@;l).
Пусть его областью определения будет пространство ^|>2@;1), т.е.
множество таких функций /(х), что сама функция f{x) и ее пер-
вая производная принадлежат пространству L2(Q;\) и, кроме того,
ДО) = /(!) = О-
Найдем оператор, сопряженный к D,:
*
Последняя формула справедлива, когда g(t) еС^\0;\). Переход к
пределу показывает, что она остается справедливой и для любого
элемента g eWu@;l).
Таким образом, сопряженный оператор D* ='%, имеет ту же
форму, что и оператор /),, однако его область определения, а имен-
но, ^|>2@; 1), шире, чем у оператора Dt, а потому D, * Dr Опера-
торы с подобным свойством называются симметричными.
Сейчас мы установим две простых, но полезных леммы.
Лемма 2.5.5. Если линейный оператор является непрерывным
на гильбертовом пространстве Н, то он является и слабо непрерыв-
198
ным, т.е. переводит всякую слабо сходящуюся последовательность
в слабо сходящуюся.
Доказательство. Пусть х„ -> х0 слабо в Н. Так как произволь-
ный линейный функционал в гильбертовом пространстве имеет
вид F(x) = (х, /), где / е Н , то мы должны показать, что
{Ах„ - Axq, /) -> 0 при л -> «к
Для непрерывного оператора А имеем
а, следовательно,
{Ахя-Ах0,/) = ((х„-х0),АУ).
Но 1(х„ - х0), А*/)-+0 при л-*», так как последовательность
|дси} сходится слабо к элементу х$, ч.т.д.
Результат данной леммы имеет общую природу: непрерывный
линейный оператор А, действующий из нормированного простран-
ства X в нормированное пространство Y, является слабо непрерыв-
ным, поскольку после применения к нему произвольного непрерыв-
ного линейного функционала F получаем непрерывный линейный
функционал Ф(дс) = F[Ax), действующий на пространстве X.
Лемма 2.5.6. Предположим, что А является непрерывным ли-
нейным оператором, действующим в гильбертовом пространстве
Я, последовательность {*„} сходится к элементу Хц слабо, а после-
довательность {у„} сходится к элементу у0 сильно. Тогда
(Ах„,у„)-+(Ахо,уо) при л-»оо.
Доказательстве. Так как (Ах,у) = (х,А'у), то мы получаем
Я» = {Ах„, у„) - (Ахо, у0) = (хя, А*у„) ~ (дсо, vO
Преобразуя это выражение, выводим
- {xQ, A*yQ) + (х„, А'уо) ~ {х„, А*у0) =
= (*„> А*{У„ ~Уо))
Замечая, что (х„ -xQ,A*yA-+0 при и->оо, так как последова-
тельность {*„} сходится слабо к элементу Xq в Н, и что
lxH,A-(yn-yo)l<\\xnl\A-\\$yn-y4-+0 при п
• оо,
199
так как последовательность {хи} является ограниченной, получаем,
что /?„ -> 0 при и -> оо, что и завершает доказательство леммы.
Докажите самостоятельно простой, но важный для дальнейше-
го изложения результат.
Задача 2.5.1. Пусть Е означает одно из введенных ранее энер-
гетических пространств Ем, Е„ или Еу. Пусть, далее, оператор К
определяется с использованием теоремы Рисса
п
в пространстве Е, где р(х) — некоторая кусочно непрерывная огра-
ниченная функция плотности. Покажите, что К является непрерыв-
ным самосопряженным линейным оператором в пространстве Е.
(Для задач со свободным краем необходимо рассматривать соответ-
ствующие пространства «сбалансированных» функций.)
Для самосопряженного оператора норма может быть определена
другим способом.
Теорема 2.5.1. Для самосопряженного непрерывного линейно-
го оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Я,
норма ||Л|| равна
И-«уЖМ- B.5.3)
И*1
Доказательство. Обозначим sup|(/ljc,;c)| = у. Используя нера-
венство Шварца, получаем
Теперь покажем, что справедливо обратное неравенство \А\ й у.
Действительно, по определению у имеем
гИ2- <2-5-4)
Полагая х{ = у + Xz и х2 = у - Xz, где X. — действительное число,
a y,ztH, получаем
200
С другой стороны,
с < Цлщ.ф^ъ) * у(|Ы2 +|М2) = 2у(м2 +>?\\42).
а потому
для всех действительных чисел X. Полагая здесь z = Ay, мы
получаем
Беря, наконец,
заключаем, что
откуда
1Ау\\ й у\\у\\ для всех у е Я.
Итак, ||Л|| < у , что и завершает доказательство теоремы.
2.6. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Теория линейных операторов, действующих в бесконечномерных
пространствах, более многообразна, чем соответствующая теория
операторов в конечномерных пространствах. Однако в бесконечно-
мерных пространствах имеется специальный класс операторов, об-
ладающих свойствами, весьма близкими к свойствам конечномер-
ных операторов. Это класс так называемых вполне непрерывных
операторов, который играет важную роль в прикладных задачах.
В данном параграфе мы будем рассматривать линейные опера-
торы, действующие из нормированного пространства X в банахово
пространство Y.
Определение 2.6.1. Линейный оператор А называется вполне не-
прерывным, если он переводит любое ограниченное множество нор-
мированного пространства А'в предкомпактное множество из Y.
201
Вполне непрерывный линейный оператор часто называют ком-
пактным.
Теорема 2.6.1. Вполне непрерывный линейный оператор А яв-
ляется ограниченным.
Доказательство. Предположим от противного, что оператор А
не является ограниченным. Это означает, что существует ограни-
ченная последовательность {*„} с: X такая, что |Лдг„|->оо при
л -> оо. Но тогда последовательность \Ах„} не содержит фунда-
ментальной подпоследовательности, что противоречит определе-
нию полной непрерывности оператора, ч.т.д.
Итак, любой вполне непрерывный оператор является непре-
рывным. Обратное утверждение в общем случае неверно. Напри-
мер, тождественный оператор в банаховом пространстве является
непрерывным, но не является вполне непрерывным, если про-
странство X - бесконечномерное, т. к. единичный шар компакте*
только в конечномерных пространствах.
Рассмотрим пример вполне непрерывного линейного операто-
ра. Пусть ядро АГ(/,5)еС([0,1]х[0,1])- Пусть
о
есть интегральный оператор, действующий в пространстве С@;1).
Покажем, что оператор В —вполне непрерывный. По определе-
нию вполне непрерывного оператора необходимо показать, что
оператор В переводит единичный шар пространства С@; 1) во мно-
жество S, которое является пред компактным в С@;1). Ограничен-
ность множества S очевидна. По теореме Ариела достаточно теперь
показать, что множество функций, принадлежащих 5, является
равностепенно непрерывным. Это вытекает из следующих сообра-
жений. Функция K(t,s), продолженная по непрерывности на об-
ласть [0; 1 + 50] х [0; 1], 50 > 0 , является равномерно непрерывной
на этом множестве, а потому по любому е > 0 можно найти такое
8>0, что|K(t + 8,s)-K(t,s\ <e при любых (t,s) e[0;l]x [0;l]. По-
этому
} K(
> + 5, s) f(s) ds-\ K{t, s) f(s) ds
о
l
< Oiax|/(s)| J | K(t + 8, s) - K(t, 5)| ds < e,
[o;., 0
202
что и означает равностепенную непрерывность множества функ-
ций S. Таким образом, мы показали, что оператор Фредгольма В
с непрерывным ядром является вполне непрерывным.
Задача 2.6.1. Показать, что оператор Фредгольма В с непре-
рывным ядром, действующий в пространстве Ь2((У,\), является
вполне непрерывным. -
В дальнейшем мы ослабим требования к ядру интегрального
оператора, при которых он остается вполне непрерывным в про-,
странстве ?2@;1).
Замечательным свойством множества всех вполне непрерывных
операторов, действующих из А' в Y, является его замкнутость.
- Теорема 2.6.2. Пусть последовательность вполне непрерывнее!
линейных операторов {А„}с L(X;Y) сходится сильно (по
пространства L(X;Y)) к оператору А. Тогда А есть вполне нег
рывный оператор.
Доказательство. Итак, [А„] есть последовательность вполне не
прерывных операторов, сходящаяся к оператору А, то
\\А„ - А\ -> 0 при и -» оо. Возьмем произвольную ограничеь
последовательность {х„} с X. Нам следует показать, что суще%
ствует такая ее подпоследовательность {х„к\, что последователь|Ш
ность ЫхНк } является фундаментальной в Y. Т1риступим к п^^
нию этой подпоследовательности.
Вследствие полной непрерывности оператора Ах мы можем
делить.из последовательности [хп] такую подпоследовательность
\х„\, что последовательностьЫл,} является фундаментальной.
Далее, из последовательности 1х„\ мы можем выделить подпосле-
довательность |дсЯ2| такую, что последовательность Ыг-^Л являет,
ся фундаментальной. Повторяя эту процедуру, мы получаем на
к-ом шаге подпоследовательность \х„ J такую, что при фиксиро-
ванном Ак последовательность Ы**„4] является фундаментальной.
Выберем диагональную подпоследовательность |*„л}. Обозначим
1я=хПщ. Имеем
\\Azn+m - Azn\ = %Azn+m - AkzH+m) + {Akzn+m - AkzH)+(Akzll - A
что и завершает доказательство. ,.:,.fCi:''
*ч.
Теперь мы в состоянии ослабить условия, наложенные на ядро
интегрального оператора, при выполнении которых этот оператор
является вполне непрерывным в пространстве Z2@; 1). Предполо-
жим, что K(t,s) е ?2Ц0; 1] х [0;l]). Покажем полную непрерывность
оператора Фредгольма в этом случае. Заметим, что по определе-
нию элементов пространства L2(fl) для данного ядра имеется пос-
ледовательность ядер {/Г (/,$)] с: СцО; l] x [0; 1]) такая, что
i i ,
. ll\K(t,s)-K,,(t,s] dsdt->Q при л->оо.
00
Каждое из этих ядер Kn(t,s) определяет оператор Фредгольма
о
который по доказанному выше является вполне непрерывным в
2()
Далее, из неравенства
.. I2
получаем, что норма оператора Фредгольма в пространстве Z.2@;l)
оценивается следующим образом:
0 • ' /
Из последней оценки непосредственно вытекает, что
\А„ - А\\ -> 0 при л -> оо .
По Теореме 2.6.2 отсюда следует, что оператор А является вполне
непрерывным, ч.т.д.
Теорема 2.6.3. Вполне непрерывный оператор А е L[X\ Y) пе-
реводит всякую слабо фундаментальную в пространстве X последо-
вательность [хп | в сильно фундаментальную в пространстве Y пос-
ледовательность {Лдс„}.
Доказательспо. Слабо фундаментальная последовательность |дгл}
офаничена в X. По определению полной непрерывности оператора Л
мы можем найти такую ее подпоследовательность 1х„ \, что
204
последовательность М*,,,} является фундаментальной. Вследствие
того, что пространство У есть банахово, существует предел подпос-
ледовательности |у4дгЯ||, обозначенный у. По Лемме 2.5.4 последо-
вательность {Ах„} сходится слабо в пространстве Y, и, кроме того,
ее подпоследовательность \Ах„х \ сходится сильно к у. Следователь-
но, вся последовательность {Ах„} сходится слабо -к элементу у в Y.
Покажем теперь, что вся последовательность {Ахп} сходится
сильно к у в пространстве Y. Предположим от противного, что
имеется подпоследовательность Ых„2|, которая не сходится силь-
но к элементу у, то есть что существует такое е > 0, что
в2 -у\> е Д"я всех и2 > 0 . B.6.1)
Аналогично вышесказанному из последовательности {^-^n,) мы мо-
жем выбрать подпоследовательность {Л*Пз), которая является
сильно фундаментальной в пространстве Y, и, следовательно,
имеет сильную (и слабую) предельную точку, обозначаемую
У\ еY, где У\*у. Но мы показали, что эта же подпоследова-
тельность необходимо сходится слабо к элементу у. В силу един-
ственности слабого предела получаем равенство ух = у, которое
противоречит неравенству B.6.1), ч.т.д.
В §1.11 мы сформулировали некоторые теоремы вложения в со-
болевских пространствах. Сейчас мы можем точно указать, какой
смысл вкладывался в термин "вполне непрерывный оператор вло-
жения" в соответствующих леммах. Это такой оператор, который
переводит каждую слабо сходящуюся в Wk'p(p) последовательность
в последовательность, которая сильно сходится в пространстве,
указанном условиями соответствующей леммы.
В частности, в любом пространстве lVk'2(fl) при к > 1 оператор
вложения в пространство L2(p) является вполне непрерывным.
Так как все введенные выше энергетические пространства явля-
ются замкнутыми подпространствами пространства И^-^П) при
к= 1 или 2, то мы можем установить важные свойства оператора К,
определенного в §2.5 по теореме Рисса о представлении непрерыв-
ного линейного функционала в гильбертовом пространстве следую-
щей формулой
205
Соберем все установленные ранее свойства данного оператора К в
следующей лемме.
Лемм* 2.6.1. Пусть П — компакт в Л2 (соответственно, Л3) и
р(х) ограниченная кусочно непрерывная функция на П. Тогда опе-
ратор К есть вполне непрерывный самосопряженный линейный
оператор в каждом из энергетических пространств Ем, Е„ или Еу.
(Напоминаем, что для задач со свободной границей необходимо
здесь рассматривать пространства «сбалансированных» функций.)
Доказательство. Нам остается показать лишь полную непрерыв-
ность оператора К. Начнем с неравенств, вытекающих из неравен-
ства Шварца и теорем вложения в соответствующих пространствах:
n
B.6.2)
где Е обозначает любое из пространств ?"„, Еп или Еу.
Пусть {«„} - ограниченная последовательность в энергетичес-
ком пространстве Е. Данная последовательность необходимо со-
держит слабо сходящуюся подпоследовательность, которую снова
обозначим через {«„}. В силу свойств оператора вложения про-
странства Е в пространство L2(fl) данная подпоследовательность
фундаментальна в пространстве L2(&). Полагая в неравенстве
B.6.2) и = и„+т -и„ и ф = К(и„+т - ии), получаем
откуда следует, что
\\Ки„+т - Ки„\\Е < т\\и„+т - un\\Ll(n) -> 0 при л -> оо .
Но это и означает, что данный оператор является вполне непре-
рывным, ч.т.д.
Определение 2.6.4. Оператор Ап действующий из Л7 в К, назы-
вается конечномерным (r-мерным), если он представим в виде
ип+а
*i
где Фк(х) ~ некоторые функционалы на X, а ук е Y.
206
Если Ф*(*) являются непрерывными линейными функциона-
лами, то оператор Аг есть непрерывный линейный оператор на X.
Имеет место теорема.
Теорема 2.6.4. Непрерывный конечномерный линейный опе-
ратор Аг является вполне непрерывным.
Доказательство. Пусть S - произвольное ограниченное множе-
ство в X. Вследствие ограниченности линейных функционалов
Ф*(х) числовое множество (ф*(*)} при всех х eSn любом номере
к является ограниченным. Возьмем какую-либо последовательность
|х„} eS. Так как числовая последовательность |ф](х„)| является
ограниченной, то из нее можно выбрать сходящуюся подпоследо-
вательность [ф^ж-П. Рассматривая далее числовую последова-
тельность |Ф2(хЯ|}|, мы можем и из этой последовательности выб-
рать сходящуюся подпоследовательность |ф2(х„2 I - Продолжая
этот процесс, на г-ом шаге мы выбираем такую подпоследователь-
ность {¦хи,}> что числовые последовательности |Ф,(хи JJ являются
сходящимися при каждом / = 1,2,...г. Тогда последовательность
ЫгхлЛ необходимо получается фундаментальной в Y, что и тре-
бовалось доказать.
Сейчас мы рассмотрим приложение данной теоремы в теории
матричного оператора, действующего в пространстве Г:
у = Ах, х =(х|,х2,х3,...)
где компоненты вектора у =-(у\,Уг,»-) есть
у* = !>*/*/' * = 1дз,....
Мы уже показывали, что в пространстве /2 норма этого оператора
может быть оценена сверху:
г - - ,V/2
IHI^ZSWJ •
Рассмотрим теперь оператор Ап, определенный следующим образом:
У aklx,, если кип
ы\
О, если к> п .
207
Видно, что А„ есть" конечномерный оператор. Следовательно, при
выполнении условия
00 «
XSK'I <с0 B.6.3)
он является вполне непрерывным. Имеем
Итак, по Теореме 2.6.2 оператор/! является вполне непрерывным,
если выполнено условие B.6.3).
Задача 2.6.2. Предположим, что П есть компакт в У?" и
К(х,у) eZ,2(fixfi). Показать, что интегральный оператор
а
является вполне непрерывным в L2(n).
Задача 2.6.3. Используя теорему Рисса о представлении непре-
рывного линейного функционала, ввести нелинейный оператор
К{, действующий в пространстве ?"м0, пользуясь равенством
а
где р(х) кусочно непрерывная на компакте fici?2 функция. По-
казать, что при любом натуральном л оператор К{ переводит каж-
дую слабо сходящуюся в Еи0 последовательность {и„} в последова-
тельность |ЛГ,(ит)}, которая сильно сходится в ?м0. (Отметим,
что нелинейные операторы, обладающие таким свойством, назы-
ваются усиленно непрерывными.)
2.7. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В гильбертовом пространстве утверждения Теорем 2.6.3 и 2.6.4
могут быть усилены.
Теорема 2.7.1. Оператор А, действующий в гильбертовом про-
странстве Я, является вполне непрерывным тогда и только тогда,
когда он переводит каждую слабо сходящуюся в пространстве Я пос-
ледовательность {*„} в сильно сходящуюся последовательность {Ахп}.
208
Доказательство. Необходимость выполнения условия теоремы
уже доказана в Теореме 2.6.3. Покажем достаточность выполнения
этого условия. Пусть М — ограниченное множество в Я и AM — его
образ при отображении А. Нам надо показать, что множество AM
является предкомпактным. Возьмем последовательность {у„}, ле-
жащую в AM и рассмотрим соответствующую последовательность
{*„} прообразов {у„}, т.е. такиххя, что Ах„ =у„. Последователь-
ность {х„} является ограниченной, а потому мы можем выделить
из нее подпоследовательность 1х„к \ , которая слабо фундаменталь-
на в Н. По условию теоремы последовательность {Л-*^} является
сильно фундаментальной в Н, а, следовательно, множество AM
является предкомпактным, что и показывает, что оператор А явля-
ется вполне непрерывным, ч.т.д.
Теорема 2.7.2. Пусть А — вполне непрерывный линейный опе-
ратор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве
Н. Тогда существует последовательность конечномерных линейных
операторов [А„], сходящаяся к оператору А по норме:
||>4 — ^4„| —> 0 при п -> да . *
Доказательство. Пусть {#„} — ортонормированный базис в Я,
который существует вследствие сепарабельности Н. Любой эле-
мент / е Н может быть разложен в ряд Фурье по данному базису
00
Так как А — непрерывный оператор, то
Обозначим через А„ следующий линейный конечномерный оператор
4,/=?(/.**
Обозначим также /?„ = А - А„.
Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что
а» = \\RA = sup||*/i/| -» 0 при л -> * .
209
Покажем сначала, что существует элемент /„*, такой, что
|/„*| < 1 и а„ =|/?„/и* . Действительно, пусть последовательность,.
fk) , \fk\ < 1, является максимизирующей для функционала |/?„/§
на единичном шаре, т.е. ||Л„Л| ¦-> а„ при к ->оо. Из этой последо--
вательности \fk} выберем слабо сходящуюся подпоследовательность
[Л,} и обозначим ее слабый предел как /„*. Вследствие Леммы
1.23.2 получаем, что /„* < 1. Так как Rn есть вполне непрерывный'
линейный оператор, то по предыдущей теореме последователь-
ность {Л,/*,} сходится сильно к /?„/„*• Итак, а„ =|л„/и*| .
С другой стороны,
k=n+l
поэтому а„ = \\А<р„\\, где <р„ = ХГ=и+|(/«• 8k)gk- :
Покажем теперь, что последовательность {<р„} с: Н сходится
слабо к нулю. Действительно, для произвольного непрерывного
линейного функционала, представленного в виде скалярного про-
изведения с помощью некоторого элемента / = У°° (f,gm)gm r
имеем
при л -> оо,
|||
Так как последовательность |ф„} слабо сходится к нулю, а
оператор А является вполне непрерывным, то получаем, что'
|Лфя|| = ая->0 при л->а>, что и завершает доказательство
теоремы.
Теоремы 2.7.1 и 2.7.2 утверждают, что в энергетических пр*
странствах, введенных выше, которые являются сепарабельными
гильбертовыми пространствами, мы можем использовать еще два
210
эквивалентных определения полной непрерывности линейного опе-
ратора. По первому определению линейный оператор является
вполне непрерывным, если он переводит любую слабо сходящуюся
последовательность в сильно сходящуюся, а по второму определе-
нию линейный оператор является вполне непрерывным тогда и
только тогда, когда он может быть приближен непрерывным ко-
нечномерным линейным оператором с любой 'заранее заданной
степенью точности.
Докажем еще одну теорему.
Теорема 2.7.3. Оператор А*, сопряженный вполне непрерыв-
ному линейному оператору, действующему в гильбертовом про-
странстве, также является вполне непрерывным.
Доказательство. Возьмем произвольную слабо сходящуюся пос-
ледовательность {Л}, и пусть ее предел есть/ Достаточно пока-
зать, что последовательность Ы*/„) сильно сходится к А*/о.
Проведем для этого оценки:
Л - A'fof = (/Г/„ - A'fo, A*f« ~ Л7о) = (Л " /о. ЛЛУ„ - /„)) <
>0 при я->«.
На последнем шаге используется тот факт, что оператор АА* яв-
ляется вполне непрерывным как произведение вполне непрерыв-
ного оператора А на непрерывный оператор А*. Итак, теорема
доказана.
2.8. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В БАНАХОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Сейчас мы рассмотрим понятие функции со значениями, лежа-
щими в банаховом пространстве. По введенному выше определению
оператора эту функцию следовало бы называть оператором, однако
теория таких объектов настолько схожа с теорией функций из клас-
сического математического анализа, что, как и в остальных книгах
по функциональному анализу, мы оставляем за отображениями из
пространства R" в банахово пространство Y название «функция».
Это понятие весьма полезно во многих проблемах механики.
Итак, соответствие между точками пространства R" и банахова
пространства Y, при котором каждой точке R" ставится в соответ-
ствие не более одного элемента из пространства Y, называется
211
функцией со значениями в банаховом пространстве Y. Будем обозна-
чать такую функцию через у = /(*), у е Y. Большинство определе-
ний классического математического анализа переносится на случай
функции со значениями в банаховом пространстве практически без
изменений. D[f) будет обозначать область определения функции
у = f{x), а /?(/) - ее область значений. Введем некоторые основ-
ные понятия теории функций со значениями в банаховом простран-
стве. Формально все изменения в соответствующих определениях
делаются путем замены знака абсолютной величины значения функ-
ции на знак нормы. Итак, первое определение — это определение
непрерывности функции в точке.
Определеппе 2.8.1. Функция у = f(x) со значениями в банахо-
вом пространстве Y называется непрерывной в точке х0 е R", если
для любого сколь угодно малого положительного числа е>0 най-
дется такое число 5 = 5(е) > 0, что как только \х - хо\ < 5 , так
|/(х)-/(хо)||<е- Если функция f(x) непрерывна в каждой точ-
ке некоторой открытой области fie R", то говорят, что она не-
прерывна на П.
Будем обозначать множество всех непрерывных на компакте
V с R" функций со значениями в банаховом пространстве Y через
C(V;Y). Пространство C(V;Y) является банаховым, норма в нем
определяется следующим образом
Для функции у = f{t) действительного переменного t e (о; Ь) со
значениями в банаховом пространстве Y производная в точке t = t0
вводится следующим образом
lin|
dt t-n,, t - t0
Производные высшего порядка вводятся индуктивно как производ-
ные от производных порядка на единицу меньше. Подобно тому,
как это делалось с обычными функциями, здесь можно ввести ба-
нахово пространство функций, имеющих на отрезке [а;Ь] все не-
прерывные производные до порядка к включительно. Обозначим
его C^k'(a,b;Y). Выпишите самостоятельно вид нормы в этом про-
странстве.
212
Наконец, можно повторить все шаги построения интеграла Ри-
мана для функций со значениями в банаховом пространстве Y.
Будем по-прежнему обозначать интеграл Римана как
/АО* •
а
Для данного интеграла нет аналога теоремы о среднем значе-
нии, как его нет и для любой векторнозначной функции, однако
имеется очевидное неравенство
|/А0ф/1А4*^«й5,И«(*-«). « *<*-
которое получается предельным переходом в соответствующих не-
равенствах для частичных римановых сумм.
Используя теорему о пополнении метрического пространства,
можно строить теорию интеграла Лебега для функций со значения-
ми в банаховом пространстве совершенно аналогично тому, как
это делалось для обычных функций с действительными значениями
в §1.8.
Пусть функция у = f{t) принимает свои значения в некотором
гильбертовом пространстве Н. Введем гильбертово пространство
L2 (о, b; H) со скалярным произведением
путем пополнения в соответствующей норме
множества функций из С{а,Ь,Н).
В частном случае пространства l}ia,b;L2{fm таким путем по-
лучается, например, пространство ?2Цо,?]хП).
Рассматривая энергетические пространства, мы уже встречались
с ситуацией, когда помимо основного скалярного произведения на
множестве элементов энергетического пространства имелось другое
скалярное произведение, а именно, скалярное произведение из
L2(o), с которым данное множество перестает быть полным.
Обозначим подобное дополнительное скалярное произведение
КО/7.ОХЗА У I ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ
Л
НЕ БОЛЕЕ 1И КИНГИ В
213
символом (у). Предположим, что для произвольного элемента
/ е Я имеет место неравенство
Hll/llo2
н
B.8.1)
с постоянной т, не зависящей от выбора элемента /
По аналогии с соболевским пространством Wu2{a\b) для функ-
ций со значениями в гильбертовом пространстве Н введем гильбер-
тово пространство \У*(а;Ь) со скалярным произведением
Пространство lVl(a;b) есть пополнение множества функций из
Ol'(a,b;Y) в норме, индуцированной скалярным произведением
B.8.*).
Как следствие из неравенства B.8.1) мы получаем, что
\{f(t)J{t))dt < m\(f{t)J{t))Hdt
Установим некоторые свойства элементов пространства
W*(a;b). Примем во внимание тождество
B.8.3)
справедливое для непрерывно дифференцируемой на [а; Ь] функ-
ции у - f(t). Используя его, имеем
dt\
с+с с+с
dt
- {2ЯА) :
где |/|0 =(/,/) и а<с<Ь. Переход к пределу показывает, что
данное неравенство остается справедливым и для элементов
Wl(a\b), что означает, что элементы пространства Wx(a;b) явля-
214
ются непрерывными по / на отрезке [а;Ь] функциями по отноше-
нию к норме |/||0. Это и есть одна из теорем вложения в про-
странстве W' (а; Ь).
Сейчас рассмотрим кратко проблему аналитичности функций
со значениями в банаховом пространстве.
Функция /(Я.), заданная на открытой области G комплексной
плоскости, называется голоморфной в G, если для любой точки
к0 eG существует некоторая ее окрестность D(X0) с G, в которой
имеет место разложение в ряд
)
*=1
сходящийся равномерно на /)(Я.О).
Голоморфная функция со значениями в банаховом пространстве
имеет свойства, аналогичные свойствам скалярнозначных голомор-
фных функций. Например, если функция /(X) является голоморф-
ной в круге |Х - Хо| < R и, кроме того, |/(х| ? М для всех X из этого
круга, то при всех X из этого круга функция /(X) является бесконеч-
но дифференцируемой по Я. и имеет место разложение
Кроме того, имеет место оценка
Пусть /(X) - голоморфная на области G функция со значения-
ми в банаховом пространстве. Пусть, далее, С есть простой замк-
нутый спрямляемый контур, лежащий в G. Тогда
с
Кроме того, имеет место представление Коши,
которое справедливо для любого X, лежащего внутри контура С.
Обоснование этих и подобных результатов можно найти в [7].
215
2.9. СПЕКТР ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА ,
В механике сплошной среды часто встречаются задачи о вы-
нужденных и свободных колебаниях тел, где приходится находить
собственные элементы и собственные значения некоторых линей-
ных операторов. Уравнения вынужденных периодических колеба-
ний, рассматриваемые, как правило, в банаховом пространстве,
имеют форму Ai \ r /ioi\
х-А(ц)х = /, B.91)
где А{у) есть линейный оператор, зависящий от действительного
или комплексного параметра ц. Типичным примером являются
уравнения установившихся колебаний упругих тел, которые имеют
форму ,
Xx-Ax = f, Х = - .
Ц
В частности, собственные колебания натянутой струны находятся
путем решения краевой задачи
= O, jc(O) = jcA) = 0 .
Другим примером уравнений типа B.9.1) является уравнение с
операторным пучком
появляющееся, например, в задачах о колебаниях бесконечной уп- j
ругой полосы. Такие уравнения исследованы значительно хуже, |
чем уравнение Хх - Ах = f. \
Введем некоторые определения. j
Определение 2.9.1. Значение Хо называется регулярной точкой ',
оператора А, если существует ограниченный оператор (Х01-А)~ j
с областью определения, которая плотна в банаховом пространстве ¦'
X. В противном случае будем говорить, что Хо является точкой
спектра оператора А. Множество всех регулярных точек оператора
А называется резольвентным множеством оператора А. Резольвент-
ное множество оператора А будем обозначать р(А). Оператор
R(X;A) = (X/ - А)~ называется резольвентой. Те же цамые термины
мы будем использовать и для оператора А(\Л, участвующего в
уравнении B.9.1): ц есть его регулярная точка, если существу-
ет оператор (/ - Л(ц)) с плотной в X областью определения, в
противном случае ш называется точкой спектра оператора Л(ц).
216
Обсудим, что могут представлять собой точки спектра операто-
ра. Условие регулярности может нарушаться по нескольким при-
чинам. В соответствии с этими причинами множество точек спек-
тра оператора подразделяется на три части.
1. Дискретный (или точечный) спектр. Данной части спектра
принадлежат такие точки комплексной плоскости X, для
которых оператор XI -А не имеет обратного. В этом случае
уравнение (А.о/- А)х = 0 имеет нетривиальное решение х*0,
которое называется собственным элементом оператора А. Соот-
ветствующее значение X называется собственным значением
оператора А.
2. Непрерывный спектр. Это множество тех точек комплексной
плоскости X, для которых резольвента R(X; А) = (XI - А)~х суще-
ствует, ее область определения D(R(X; А)) плотна в простран-
стве X, но оператор (XI - АI не является ограниченным.
3. Остаточный спектр. Это множество тех значений X комплекс
ной области, для которых существует обратный оператор
(XI - А)~ , у которого область определения не является всюду
плотной в X.
Рассмотрим конкретные примеры.
1. Матричный оператор, действующий в п-мерном евклидовом про-
странстве. Все точки спектра этого оператора относятся к диск-
ретному спектру. Хорошо известно, что соответствующая матрица
имеет не более л собственных значений и не более л линейно не-
зависимых собственных векторов.
2. Оператор дифференцирования %( в С(а;Ь). Любая точка ком-
плексной плоскости является точкой его дискретного спектра, по-
скольку для любого I уравнение "л/ - Xf = 0 имеет нетривиаль-
ное решение f(t) = ceXt. Таким образом, резольвентное
множество этого оператора пусто.
Рассмотрите самостоятельно, что произойдет, если оператор
дифференцирования рассматривается на подмножестве функций,
обращающихся в ноль при / = 0 ?
3. Краевая задача
Оператор действует на пространстве L2(n).
217
Заметьте, что хотя уравнение и не имеет формы ku-Au = f,
но мы сохраняем терминологию классификации спектра и для
этой задачи относительно параметра к.
Разложение в ряд Фурье функции f(x,,y) из L2(?l) есть
00 00
f{x,y) =¦ X fmn sinmxsinny, где ? \fmn\ < oo.
Пусть Х. — произвольная точка комплексной плоскости, которая не
лежит на отрицательной части действительной оси. Тогда решение
задачи B.9.2) дается формулой
00 Г
и(х,у)= Y, 2 2 sinfflXSin/»y .
ди,я=1 т +Хп
Если Л. = Х| +1Х2 при Х.2 *0 или если Х.2=0 и .Д.! 20, то
т2 + Хп2 > 5 > 0 для всех целых т, п ? 1.
Следовательно,
m,it=l
т2 +кп2
48J
ля.л-1
откуда вытекает, что
Из этого неравенства непосредственно следует, что для вышеука-
занных значений А. рассматриваемый оператор имеет ограничен-
ный обратный на всем пространстве L2(fl), что в свою очередь оз-
начает, что все точки, лежащие вне отрицательной полуоси,
принадлежат резольвентному множеству данного оператора.
Рассмотрим теперь точки X, лежащие на отрицательной части
действительной оси. Начнем с тех значений X, которые имеют фор-
му X = - p2/q2, где р, q — натуральные числа. Для X = - p2fq2 со-
ответствующая краевая задача не может быть разрешима при всех
f(x,y)eL2(Q). Действительно, возьмем правую часть уравнения
f(x,y) = sin pxsin qy. Легко видеть, что если бы существовало реше-
ние краевой задачи, то оно имело бы вид и(х,у) = с sin pxs'm qy, где
с — некоторая постоянная. Тогда для значения X = Хо = - р2/q2 не-
218
обходимо должно выполняться соотношение Ар1 + XQq2) - -1, вы-
полнение которого, очевидно, невозможно. Более того, функция
и(х, у) = sin px sin qy является решением однородного уравнения
B.9.2) при X = Хо Поэтому все точки Х = - p2/q с целыми р и q яв-
ляются точками дискретного спектра рассматриваемой задачи.
Рассмотрим оставшуюся часть отрицательной полуоси, обозна-
ченную Л/, т.е. рассмотрим множество всех действительных чисел
X - Re X < О таких, которые не могут быть представлены в форме
X = - p2/q2 с целыми р и q. Для X е М будем искать решение в
виде
00 f
и(х,у) = У .Jmn - sin /яд: sin яу .
л»,я=1 т + ^л
Множество всех функций /(*, у), имеющих форму
f{x, у) = 2^ X /ия S'n WJC S'n пУ является плотным в пространстве
Z- (fi). Решения уравнения B.9.2), соответствующие таким пра-
вым частям f(x,y), также принадлежат пространству L2(fl) и оп-
ределяются однозначно. Это означает, что обратный оператор оп-
ределен на подмножестве, плотном в L2(n).
Покажем, что для любого значения X е М обратный оператор
задачи не может быть ограниченным. Действительно, множество
всех точек вида I-p2/q2) является плотным в М. Для произволь-
ного фиксированного значения ХеМ существует последователь-
ность Х„ =- pn2/qn2 -*Х при л-»оо. Возьмем в качестве правой
части уравнения функцию /„(х,у) = sinpnxsinqny. Каждой из та-
ких функций соответствует решение уравнения B.9.2)
Рп +М?
причем нормы решения и правой части связаны соотношением
114 №
| 2 2
\Рн ¦•¦ КЧп
где 2 X2 0
р„2 + Xqn2 -> 0 при п -> да .
Итак, оператор, обратный к оператору V 1 + ^/2 с рас-
/ дх / ду с,
сматриваемыми краевыми условиями, является неограниченным
219
при к е М, а, следовательно, множество М принадлежит непре-
рывному спектру оператора рассматриваемой краевой задачи.
4. Оператор координаты
задан в пространстве С(а; Ь). Данный оператор не имеет собствен-
ных значений. Если X е[а;6], то данное значение X принадлежит
резольвентному множеству, т. к. уравнение
имеет в пространстве С(а; Ь) единственное решение
Пусть теперь А. е [а; ?]. Тогда обратный оператор существует и
определен той же самой формулой u(t) = f(t)/(X -1). Очевидно,
что область определения обратного оператора в этом случае состоит
из тех функций, которые представимы в виде f(t) = (А, - t)z(t), где
z(t) еС[а\Ь). Область определения обратного оператора не являет-
ся плотной в пространстве С(а;Ь), а потому все точки отрезка
[a; ?l принадлежат остаточному спектру.
Формулировка следующей задачи показывает, что тип спект-
ральных точек существенно зависит от того, на каком пространстве
рассматривается оператор. :
Задача 2.9.1. Пусть оператор координаты действует в простран-
стве L2(a;b). Показать, что все точки сегмента [а; Ь] являются
точками непрерывного спектра данного оператора.
2.10. РЕЗОЛЬВЕНТНОЕ МНОЖЕСТВО ЗАМКНУТОГО
ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Теорема 2.10.1. Пусть А — замкнутый линейный оператор,
действующий в комплексном банаховом пространстве. Для любого
значения Хд, принадлежащего резольвентному множеству операто-,
ра А, резольвента R{X0;A) = (X0/ -А)'1 является непрерывным ли-
нейным оператором, заданным на всем пространстве X.
220
Доказательство. По определению резольвентного множества
область определения оператора R(X0;A) является плотной в X, и,
кроме того, существует константа т такая, что
(Х01 - A)x\\z т§х\\, для всех х eD(A). B.10.1)
Возьмем произвольный элемент у е X. По определению резоль-
венты существует такая последовательность {х„} ,'что сильный пре-
дел s-limCknl - А)х„ =у. Тогда из неравенства B.10.1) вытекает,
что последовательность {х„\ тоже имеет сильный предел s- limxB = jc
и, более того, \Х01 - Л)х = у, так как оператор А является замкну-
тым. Следовательно, область определения оператора (XI - А}~ есть
все пространство X, что и завершает доказательство.
Теорема 2.10.2. Пусть А -замкнутый линейный оператор, дей-
ствующий в комплексном банаховом пространстве X. Тогда резоль-
вентное множество р(Л) является открытым подмножеством комп-
лексной плоскости, а сама резольвента является голоморфной
оператор-функцией параметра 1 в области р(Л).
Доказательство. Как было показано выше, для любого X е р(Л)
резольвента R(k;A) является непрерывным линейным оператором
на X. Поэтому, очевидно, операторный ряд
R(X0;A)
является сходящимся внутри круга |Х.-Х.0| < 1/||Л(Х.0;^)| комплекс-
ной плоскости. Следовательно, этот ряд определяет голоморфную
оператор-функцию параметра X внутри данного круга. Итак,
мы указали круговую окрестность точки Xq, которая принад-
лежит резольвентному множеству, а потому множество р(Л) дей-
ствительно является открытым. Действуя оператором
XI -А = {Х-Х0I +(Х01 -А) на данный ряд слева, мы получаем
тождественный оператор /, что означает, что данный ряд пред-
ставляет собой оператор, обратный оператору XI - А, что и завер-
шает доказательство теоремы.
Теорема 2.10.3. Пусть выполнены условия Теоремы 2.10.2. Для
любых значений Х,ц ер(Л) имеет место тождество Гильберта
R(X; А) - Л(ц; А) = (ц - X) R(X; А) Л(ц; А).
221
Доказательство. Проведем тождественные преобразования:
R(X; A) = R(X; А)(ц1 - А) Л(ц; А) = % А) {(ц - X.)/ + (X/ - А)} Л(ц;
Перенося член Л(ц; /1) в левую часть, мы получаем искомое тожде-
ство, ч.т.д.
Пусть В — ограниченный линейный оператор в X. Очевидно,
что операторный ряд ХГ1 / + ?*•"?" сходится по операторной
норме, если \к\ > \\B\\. Действуя оператором (X/ - В) на данный
ряд, мы снова получаем тождественный оператор. Это означает,
что в области |Х.| > Щ резольвента R(k\ В) имеет представление
Щ>\\В\\
Лемма 2.10.1. Разложение
и=|
имеет место в области |Х.|>го(#), где величина га(В), называемая
спектральным радиусом оператора В, определена формулой
Доказательство. Сначала докажем существование предела
га(В). Обозначим ro(B)= infjl^"! и покажем, что /•„(В) = г0.
По определению точной нижней грани для любого положитель-
ного числа ? мы можем указать такой номер N, что
Возьмем целое число п> N. Имеет место представление
n = kN + 1, где к и / - целые положительные числа, причем
I < N . Для этих л имеем
\ВТ* ИТКГ* К1ГИ1/И* (*+'П*Г **+е+?. w
222
где ?j(«) -> 0 при л -> оо. Совместно с неравенством |/И| ? r0 это
доказывает, что предел га{В) действительно существует и равен г0.
Остальная часть доказательства тривиальна.
Задача 2.10.1. Пусть А(р) - непрерывная оператор функция на
X, являющаяся голоморфной по параметру ц. Показать, что ре-
зольвентное множество р(Л(ц)) является открытым множеством
комплексной плоскости параметра ц и оператор (/ - Л(ц)) являет-
ся голоморфной оператор-функцией параметра ш на области
2.11. СПЕКТР ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Для одного важного класса операторов, а именно, для класса
вполне непрерывных операторов, мы можем дать полное описание
спектрального множества. Первые результаты в описании спект-
ральных свойств вполне непрерывных операторов были получены И.
Фред гол ьмом при изучении интегральных уравнений. Они получи-
ли название альтернативы Фредгольма. Затем теория Фредгольма
была распространена на случай вполне непрерывных операторов,
действующих в банаховом пространстве (F. Riesz, J. Shauder).
В этом параграфе мы представляем спектральную теорию вполне
непрерывных операторов, действующих в гильбертовом простран-
стве., Данная теория описывает собственные колебания ограничен-
ных упругих тел, а потому представляет существенный интерес для
приложений.
Приступим к изложению спектральной теории. Пусть А — впол-
не непрерывный оператор, действующий в комплексном гильбер-
товом пространстве Н. Одним из основных результатов теории
Фредгольма является факт, который мы строго установим позже,
что вполне непрерывный оператор имеет только точки дискретно-
го спектра. С изучения свойств дискретного спектра оператора А
мы и начинаем изложение.
Итак, займемся нахождением собственных векторов и соб-
ственных значений данного оператора А, т.е. будем разыскивать
нетривиальные решения уравнения
(I-iiA)x = 0. B.11.1)
Напомним, что нетривиальные решения х*0 данного уравне-
ния называются собственными элементами (или собственными
223
векторами) оператора А, а им соответствующие значения ц назы-
ваются собственными значениями оператора А. Обычно собственным
значением называют величину X = 1/ц, но мы используем этот тер-:
мин по отношению как к X, так и к ц, употребляя соответствую-
щие обозначения X или ц, по которым можно определить, что
именно имеется в виду.
Теория Фредгольма-Рисса-Шаудера будет представлена в виде
набора лемм и теорем. Следует особо указать, что все результаты о
свойствах собственных векторов, соответствующих фиксированно-
му собственному значению вполне непрерывного оператора А, ос-
таются теми же самыми и для вполне непрерывного оператора
А(и\, зависимость которого от ц имеет общую форму.
Итак, пусть цо - собственное значение оператора А, т.е.
(/ - Цо^)* = 0. Так как оператор А является линейным и непрерыв-
ным, то множество всех собственных векторов Xq, соответствую-
щих tn0, является замкнутым подпространством пространства Н,
Введем для этого подпространства обозначение //(ц0).
Лемма 2.11.1. Подпространство Я(ио) является конечно-
мерным.
Доказательство. Для любого хе#(ц0) выполнено равенство
х = \iqAx . Так как оператор А является вполне непрерывным, то из
любой ограниченной последовательности \хк}, принадлежащей
подпространству #(цо)> можно выбрать фундаментальную подпос-
ледовательность. Это означает, что любое ограниченное множество
пространства //(ц0) является предкомпактным и по Теореме 1.16.3
подпространство //(ц0) является конечномерным, ч.т.д.
Предположим, что элемент jc принадлежит одновременно под-
пространствам #(ц*) и //(ц„), где щ * ц„ . Тогда х= цкАх и-
х= \1„Ах. Отсюда следует, что ркх= \х„х. Поэтому jc = O. Итак»
мы получили, что
Я(ц,)П//(ця)={0}, если ц**ц„
Имеет место следующее более сильное утверждение.
Лемма 2.11.2. Пусть \х\'',ху,...,ху есть линейно независимая'
система из подпространства Я(ц;) для любого целого /. Тогда объе-
динение элементов |х|'\...,х^|, ..., Ы*),...,л^*М является линейно
независимой системой в пространстве Я(ц,)+ ... + Н[\хк). Если
224
каждая из систем |x}'',xj',...,xj''| образует базис соответствующего
подпространства п(ц,), то их объединение образует базис подпрос-
транства //(ц|)+ ... + //(ц*).
Доказательство. Достаточно показать лишь первое утверждение
о линейной независимости объединенной системы собственных
векторов. Перенумеруем все собственные вектора и собственные
значения последовательно хи...,хг. При этом некоторые соб-
ственные значения могут быть равными между собой. Проведем
доказательство линейной независимости этой системы методом
полной математической индукции. Предположим, что система
векторов X,, ..., хп является линейно независимой. Добавим еще
один вектор хп+], соответствующий собственному значению ця+1 ,
и рассмотрим уравнение
я+1
относительно коэффициентов ск. Необходимо показать, что оно
имеет единственное решение с, =... = сд+) = 0. Применяя к обеим
частям данного уравнения оператор А, имеем равенство
^* .скАхк = 0. Так как Ахк = хк / цк , то последнее уравнение
можно представить в виде
и+1 -
iw.Z^-**«°-
Вычитая данное равенство почленно из равенства ^"к.скхк =0,
получаем
Так как система векторов х,,..., х„ является линейно независи-
мой, то для всех к, для которых \ik = ци+1 , получаем, что ск = 0.
Для остальных векторов, которые соответствуют собственному
значению ци+) , т.е. векторов хя_5,...,хи+), имеем тогда равенство
я+1
k=n-s
Но все эти вектора хи_^,...,;ся+| являются линейно независи-
мыми в //(ц„+|), а потому и коэффициенты ск = 0 при
к = n-st...,n + \, что и завершает доказательство леммы.
225
"Лемма 2.11.3. Множество собственных значений цк вполне не-
прерывного линейного оператора А, действующего в гильбертовом
пространстве, не имеет конечных предельных точек в комплексной
плоскости изменения параметра ц. ;
Доказательство. Предположим от противного, что существует
последовательность несовпадающих собственных значений ця, схо-
дящаяся к конечной точке i^ комплексной плоскости. Для каждо-
го из собственных значений ця выберем один собственный вектор
х„. Подпространство, натянутое на вектора xh ..., х„, обозначим'
через Н„. Очевидно, что Н„ с Hn+i. По Лемме 2.11.2 Н„ * Н„+1.
Из того, что Н„ * Яя+|, вытекает существование такого элемента1
е Нн+1, что элемент yn+i ортогонален пространству Н„ и
1ЫН ¦ л
Очевидно, что последовательность элементов {ця^я} офаниче-
на в Н. Так как оператор А является вполне непрерывным, то пос-
ледовательность Ы(|д„^„)] должна содержать фундаментальную
подпоследовательность. Мы покажем, что это невозможно. Дей-
ствительно, рассмотрим разность
^„*тУ„*т)- А{\1„У„) = у„+„ -{у„+т - »„+тАу„+„ + \1„Ау„). B.11.2)
Выражение в скобках в правой части равенства B.11.2) принадле-
жит пространству Н„+т_1. В самом деле, элемент у„+„ имеет
п+т
представление у„+т = ^скхк • Далее,
t
~ V-n+тАУп+т = Z
Так как \а„Ау„ е Н„ с Н„+т_х, то и всё вышеуказанное выражение ъ
скобках в правой части равенства B.11.2) принадлежит Н„+„_].
Следовательно, элементы у„+т и (у„+„ - \х„+тАу„+„ +\х„Ау„) явля-
ются взаимно ортогональными. Поэтому
что противоречит факту, что последовательность |Л(ця.уя)] содер-
жит фундаментальную подпоследовательность, ч.т.д. ¦
226
Комбинируя последние три леммы, мы можем сформулировать
следующую теорему.
Теорема 2.11.1. Вполне непрерывный линейный оператор А,
действующий в гильбертовом пространстве, имеет не более чем
счетное множество собственных значений ц*. Множество всех соб-
ственных значений {ц*} оператора/4 не имеет конечных предельных
точек. Подпространство собственных элементов #(|д*), соответ-
ствующее собственному значению \хк, является конечномерным,
причем #(ц*)П #(ц„) = {0}, если ц* * ц„ .
Теорема 2.11.2. Все точки спектра вполне непрерывного опе-
ратора А, действующего в гильбертовом пространстве, относятся к
точечному (дискретному) спектру.
Доказательство этой теоремы вытекает непосредственно из ни-
жеследующей Теоремы 2.11.3 и Леммы 2.11.4.
Для подпространства, являющегося ортогональным дополне-
нием к пространству Я(ц0) в пространстве Н, введем обозначение
"М- B.11.3)
Лемма 2.11.4. Существуют такие константы /я, > 0 и т2 > 0,
что для всех х е Л/(ц0) выполнено неравенство
Доказательство. Правое из неравенств B.11.3) выполнено в
силу того, что А есть непрерывный оператор. Докажем выполне-
ние левого неравенства из B.11.3). Предположим от противного,
что для всех х е Л/(ц0) такой константы тх > О не существует. Это
означает, что существует такая последовательность {*„} е Л/(ц0),
что |хи|| = 1 и \х„ - Ц(И*и| -> 0 при я -> да. Так как оператор А яв-
ляется вполне непрерывным, то последовательность [Ахп} необхо-
димо содержит фундаментальную подпоследовательность [Ах„к}.
Но в силу тождества
) (т- к. \\х„ - ц0Лх„|| -> 0)
тем же свойством тогда обладает и сама последовательность [х„к |.
Переобозначим эту фундаментальную подпоследовательность снова
через {х„}. Пусть ее предел есть х0 еЛ/(ц0), Xq *0. Предел х^
существует, так как Л/(ц0) есть замкнутое подпространство полно-
го пространства Н. Так как Ах„ => Axq сильно при л -*¦ <*>,
то х0 = ц0Ах0, а, следовательно, Xq есть собственный элемент
227
оператора А, то есть принадлежит подпространству Я(ц0). Но это
противоречит факту, что х0 еЛ/(ц0) и х0 *0, ч.т.д.
Неравенства B.11.3), в частности, утверждают, что на под-
пространстве Д/(ц0) мы можем ввести норму ЦхЦ, =||х-цО/4х| и
соответствующее скалярное произведение, причем на М(\х0) эта
норма эквивалентна норме пространства Н.
Теперь мы перейдем к детальному исследованию проблемы раз-
решимости уравнения •
х- [iAx = f.
Чтобы упростить выкладки, а также сразу включить в рассмотрение
более общее уравнение х - \хАх = / , обозначим В = \iA (соответ-
ственно, В - А(у)) и будем рассматривать уравнение
x-Bx = f B.11.4)
с вполне непрерывным оператором В, действующим в гильберто-
вом пространстве.
Обозначим через N подпространство всех собственных векторов
оператора В, соответствующих собственному значению ц = Г, т.е.
это множество всех решений однородного уравнения
х = Вх.
Далее, пусть М есть ортогональное дополнение к подпространству N
в Н. Введем сопряженный к В оператор В*. По Теореме 2.7.3 опера-
тор В* также является вполне непрерывным. Обозначим подпрост-
ранство всех собственных векторов оператора В', соответствующих
значению ц = 1, через jV * (напомним, что это множество всех ре-
шений уравнения х = В*х), а через М* — ортогональное дополне-
ние к N* вН.
Леммгё.11.5. Уравнение
x-B*x = f B.11.5)
имеет решение тогда и только тогда, когда f еМ .
Доказательство. Необходимость. Пусть уравнение B.11.5) имеет
решение х$. Тогда для произвольного элемента у е N имеем
(f,y) = (*0 - В'хо,у) = (хо,у - By) = (хо,О) = 0,
то есть элемент/действительно принадлежит М.
228
Достаточность. Пусть / е М . При доказательстве Леммы 2.11.4
мы показали что функционал ||х|, = \\х - Вх\\ представляет собой эк-
вивалентную норму на подпространстве М. По той же причине и
скалярное произведение (x,y)t = {х- Вх,у- By) есть «эквивалент-
ное» скалярное произведение в М.
Рассмотрим функционал (х, /). По переменной х он является
непрерывным и линейным в пространстве Я, а," следовательно, и
на подпространстве М. С помощью теоремы Рисса, сформулиро-
ванной в терминах скалярного произведения (у), запишем его в
виде
(х,/) = (х,Г\=(х-Вх,Г-ВГ), хеМ.
Данное равенство с однозначно определенным элементом /*еЛ/
справедливо для всех х е М . Покажем, что это равенство сохраня-
ется для всех х е Н. Действительно, возьмем произвольный эле-
мент х е Н и представим его в виде суммы - х = Х\ + х2, где
*1 е Н и х2 е М. Имеем
х - Вх = *| - Вхх + х2- Вх2 = х2 - Вх2 .
Здесь использовано, что *| - Вх\ =0. Следовательно, для любого
х е Н справедливо
так как (х,, /) = 0.
Обозначим теперь g = /* - Bf* ¦ Тогда
(х - Bx,g) = (х,/) для всех х е Н .
Из этого равенства непосредственно следует, что
[x,g- B'g} = (x,f) для всех х еН .
Следовательно, элемент g есть решение уравнения B.11.5), что и
завершает доказательство леммы.
Так как операторы В и В* являются взаимно сопряженными,
то из последней теоремы вытекает следствие.
Следствие 1. Уравнение
x-Bx = f B.11.6)
разрешимо тогда и только тогда, когда / е М*.
Далее, неравенство B.11.3) влечет за собой другое следствие.
229
Следствие 2. Существует такая положительная постоянная т,
не зависящая от / € М*, что для решения х уравнения B.11.6)
выполнено неравенство
И* «И-
Лемма 2.11.5 и ее Следствие 1 могут быть переформулированы
в других терминах следующим образом:
r(i-b) = m\ *(/-*•) = л/,
где через R(S) обозначена область значений оператора S.
Лемма 2.11.6. Пусть Nn есть подпространство всех решений
уравнения (/ - В)"х = 0 (подпространство Nn также будет называть-
ся ядром оператора (/ - В)"). Тогда
A) А^есть конечномерное подпространство пространства Н\
B) для всех л = 1,2,... имеет место вложение Nn q Nn+i;
C) существует такое конечное целое значение к, что для всех
п> к подпространство Nn совпадает с Nk.
Доказательство. Так как (/ - В)" = / -пВ+..., то опера-
тор (/ - В)" имеет структуру / - Blt где Я, есть вполне непрерыв-
ный линейный оператор. Поэтому утверждение A) выполнено.
Выполнение утверждения B) леммы очевидно.
Для доказательства утверждения C) отметим, что достаточно
установить существование такого числа к, что Nk+i - Nk . В этом
случае Nk+m = Nk для всех т = 2,3,.... Действительно, пусть
^*+i = Nk при некотором к, Беря х0 е Nk+2» получаем
т. е. элемент (/ - В)х0 е Nk+i. Но тогда по предположению это оз-
начает, что (/ - В)х0 е Nk или, что то же самое, что
(/ - В) * х0 - 0. Поэтому х0 eNk+] = Nk, а, следовательно,
Nk+2 = Nk- Данное рассуждение можно повторить для любого
т > 2, получая последовательно Nk+m - Nk при т - 3,4,... .
Чтобы завершить доказательство леммы, предположим от про-
тивного, что не существует такого целого числа к, что Nk+X - Nk .
В этом случае найдется последовательность элементов [х„} со еле-
дующими свойствами: х„ eNn, |*и|| = 1 и элемент х„ ортогонален
подпространству Nn_v Рассмотрим последовательность {?*„}•
Вследствие того, что В есть вполне непрерывный линейный опера-
230
тор, данная последовательность должна содержать фундаменталь-
ную подпоследовательность. Покажем, что существование такой
подпоследовательности влечет за собой противоречие. Действи-
тельно, имеем
Вхп+т - Вх„ = (х„+„ - Вх„+т + Вх„),
где х„+т € Nn+m Видно, что (хя+я - Вх„+т + Вхп) €#и+я_, при
т > О, так как
(/ - *)"—'(*.„, - вхп+т) = (/ - /?ГЧ+Я =0
Следовательно, элемент х„+т ортогонален элементу
(*и+« - Вх„+т + Вх„), а потому
\Вх - BxHf = |^я+я|2 + |^я+я - Вхи+Я + Bxnf z 1,
что означает, что последовательность {Вх„} не может содержать
фундаментальной подпоследовательности, ч.т.д.
Теорема 2.11.3. Область значений R(I - В)= Н тогда и только
тогда, когда N - {0}.
Доказательство. Необходимость. Пусть R(I - В)= Н. Предпо-
ложим от противного, что N ф Щ. Возьмем какой-либо элемент
х е N, х0 it 0. Так как область значений оператора (/ - В) совпа-
дает со всем Н, мы можем последовательно решить следующую
бесконечную систему уравнений
(/ - В)хх = х0; (/ - В)х2 =*,;...; (/ - В)х„+1 = х„;...
Последовательность решений этой системы имеет следующее
свойство:
{1-В)пхЙ =х„*0.
С другой стороны,
A-В)п+1х„ =(/-%„= 0
Последние два равенства вместе означают, что нет такого конечно-
го номера к, что Nk+i - Nk Однако это противоречит утвержде-
нию C) Леммы 2.11.6.
231
Достаточность. Данное доказательство очень хорошо приспо-
соблено для получения его с помощью компьютерной программы
доказательства: это последовательность прямых импликаций.
Итак, пусть N = {0}. Тогда М = Н. Поэтому по Лемме 2.11.5
имеем R.(l - В*\= М = Н . По только что доказанному это необхо-
димо влечет за собой, что N* = {0}, а, следовательно, М* = Н .
Наконец, используя Следствие 1 Леммы 2.11.5, мы выводим, что
(-#) = Л/* = Н , что и заканчивает доказательство. \
Следствие 1. Если R(I-B)=H, то обратный оператор
(/ - В)~ является непрерывным.
Данное утверждение следует непосредственно из неравенства
B.11.3), написанного в терминах оператора В.
Напомним, что другим следствием Теоремы 2.11.3 является
сформулированная выше Теорема 2.11.2.
Теорема 2.11.4. Размерности пространств N ч N' совпадают.
Доказательство. Пусть размерности пространств N и N* есть л
и т соответственно. Предположим, что л < т. В каждом из этих
подпространств выберем ортонормированные базисы (х|,...,хи) в N
и (у\, ¦¦¦, Ут) в N*. Введем вспомогательный оператор б соотно-
шением
Qx = (/ - В)х + ?(*,*,>,=(/ -С)х,
/=i
где С, очевидно, является вполне непрерывным линейным
оператором.
Покажем сначала, что ядро оператора Q не содержит ненулевых
элементов. Действительно, если Qx0 = 0, то
<t=i
Так как множество /?(/ - В) = М* является ортогональным про-
странству N*, то все члены, стоящие под знаком суммы в левой
части последнего равенства являются ортогональными элементу
(/ - В)х0 и, кроме того, взаимно ортогональными. Поэтому каж-
дый член данной суммы должен равняться нулю: .
(I-B)xo = 0] {xo,xk)yk=O, k±\,...,n.
Из равенства (/ - В)х0 = 0 вытекает, что х0 е N . Остальные ра-
венства означают, что элемент д^ ортогонален всем элементам ба-
зиса пространства N. Следовательно, х0 = 0.
232
По Теореме 2.11.3 область значений оператора Q в этом случае
совпадает со всем пространством Я, а потому уравнение Qx = yn+i
имеет некоторое решение, обозначенное Xq. Но тогда мы последо-
вательно получаем, что
Данное противоречие показывает, что т<п. Но, с другой сторо-
ны, оператор В является сопряженным к В*, а потому по только
что доказанному имеет место неравенство п<т. Следовательно,
л = т , ч.т.д.
Замечание 1. При доказательстве последней леммы мы ввели
оператор Q, который был непрерывно обратим на пространстве Я.
То же самое свойство будет иметь и оператор Qt, определенный
равенством
при любом сколь угодно малом е * 0. Он имеет непрерывный об-
ратный оператор и, более того,
Таким образом, оператор Qe аппроксимирует оператор I - В. Мы
можем теперь решить уравнение Qex - f при любом / е Я , в то
время как первоначальное уравнение (/ - В)х = f может быть не-
разрешимо при некоторых f еН . Такие операторы Qc называются
регуляризаторами. Они часто используются в приложениях при ре-
шении некорректных задач.
Замечание 2. Результаты данного параграфа, собранные вое-
дино, известны под названием «альтернатива Фредгольма».
2.12. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОЛЬВЕНТЫ
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Мы уже знаем, что резольвента (/ - \хА)~1 является голоморфной
оператор-функцией во всех точках ц, не принадлежащих спектраль-
ному множеству. Однако какова аналитическая природа этой функ-
233
ции в окрестности точек спектра? На этот вопрос можно полностью
ответить в случае, когда А есть вполне непрерывный линейный опе-
ратор, действующий в гильбертовом пространстве Н.
Начнем с изучения структуры резольвенты конечномерного не-
прерывного линейного оператора, действующего в гильбертовом
пространстве. Общая форма такого оператора есть
где ak,хк eff. Система элементов хь ..., х„ предполагается ли-
нейно независимой в пространстве Н.
Рассмотрим уравнение
Его решение необходимо имеет форму
я
Подставим это выражение в B.12.1). Тогда получим
/ + Zc*** -»* Z /+Tcjxj к к = /•
* = 1 к = \\\ >=1 ) )
Приводя подобные члены, имеем равенство
я ( и ^ я
Сь - U > I
к=\
Так как система элементов хи ..., х„ является линейно независи
мой, то, приравнивая коэффициенты при каждом хк, мы получа-
ем алгебраическую систему уравнений относительно коэффициен-
тов су. -у
¦ «
П '"¦-
Ck-V-T,(xrak)c] = v{f>ak)> * = 1,...,я. B.12.2),
По правилу Крамера решение этой алгебраической системы есть
234
Следовательно, решение уравнения B.12.1) имеет вид
Щ
Итак, коэффициенты в представлении решения уравнение
B.12.1) являются отношением некоторых полиномов не более чем
л-ой степени по переменной ц. Для всех значений ц, которые не
являются собственными значениями оператора А„, резольвента
должна быть голоморфной функцией, поэтому такие значения ц не
могут быть корнями полинома 1)(ц) (здесь предполагается, что
дробь, представляющая х, является несократимой; проверьте, что
изменится в дальнейших рассуждениях, если данную дробь можно
сократить). Если же щ есть собственное значение оператора А„, то
необходимо выполнено равенство /)(цо) = 0. Если бы это было не
так, то уравнение B.12.1) имело бы решение для любого / еН,
но тогда \iq не было бы собственным значением. Итак, множество
всех собственных значений оператора А„ лежит среди корней поли-
нома Р(\х). Из представления решения уравнения B.12.1) видно,
что каждое собственное значение оператора А„ является полюсом
конечной кратности резольвенты (/ - цА„)~1.
Основным результатом данного параграфа является следующая
теорема.
Теорема 2.12.1. Каждое собственное значение m вполне не-
прерывного линейного оператора, действующего в гильбертовом
пространстве, является полюсом конечной кратности резольвенты
(/-МГ1.
Доказательство. Ранее мы показали (Теорема 2.7.2), что любой
вполне непрерывный линейный оператор может быть представлен в
виде суммы
А = А„ + 4.,
где At есть вполне непрерывный линейный оператор со сколь угод-
но малой нормой, ||Д.|<е, а оператор Ап есть конечномерный не-
прерывный оператор. В этих условиях уравнение x-\nAx-f.
принимает вид:
х-ц(А„ + Ае)х = /. B.12.3)
235
Рассмотрим оператор (/-цД.). Внутри круга |ц| < 1/е он может
быть представлен в форме
Действительно, данный ряд мажорируется сходящимся числовым
1
рядом 1 + ХГ=1^*Н1 ' те- является сходящимся. Факт, что сум-
ма данного ряда есть действительно оператор, являющийся обрат-
ным оператору (/-цЛс), проверяется в этом случае непосред-
ственно. Итак, в круге |ц| < 1/е оператор (/ — цу4с)~' является
голоморфной оператор-функцией параметра ц.
Применим данный оператор (/ - \iAz)~ к обеим частям уравне-
ния B.12.3):
где А„х имеет представление
Я
к-\
Введем обозначения
Тогда рассматриваемое уравнение принимает вид
Последнее уравнение имеет ту же форму, что и уравнение B.12.1I
Разница заключается лишь в том, что члены хк и /* являются го^
ломорфными функциями параметра ц в круге |ц| < 1/е. При всех
значениях ц изданного круга система элементов х',..., х* являете!
линейно независимой, так как первоначальная система хх, ..., х„
является линейно независимой, а оператор (/ - цД.) - непрерывн
обратим. Итак, по аналогии с уравнением B.12.1) мы можем ска**,
зать, что в круге |ц| < 1/е решение уравнения B.12.3) имеет форму?
B.12.4I
где все нули знаменателя /)(ц) имеют кратность не выше, чем п.
236
Если но не является собственным значением оператора А, то
решение B.12.4) есть голоморфная функция параметра ц в некото-
рой окрестности но, а потому ?>(ио) * О. Если же но есть собствен-
ное значение оператора А, то я(цо) = 0, так как в противном слу-
чае уравнение B.12.3) было бы разрешимо при ц = цо для любой
правой части, что невозможно.
Итак, множество всех собственных значений оператора А,
принадлежащих кругу |ц| < 1/е, радиус которого может быть сделан
сколь угодно большим, принадлежит множеству нулей функции
0(ц) , которые лежат в этом круге, что и заканчивает доказатель-
ство теоремы.
2.13. СПЕКТР ГОЛОМОРФНОЙ ВПОЛНЕ
НЕПРЕРЫВНОЙ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ
Мы уже установили дискретность спектра оператора /-Л(ц),
действующего в гильбертовом пространстве, где А(р.) — голоморф-
ная вполне непрерывная оператор-функция, значение которой при
каждом ц есть вполне непрерывный линейный оператор. Следуя
монографии [S], изучим распределение спектра такого оператора.
Итак, пусть >4(ц) есть оператор-функция параметра ц, заданная
на некоторой открытой области G комплексной плоскости. Значе-
ние Л(ц) при каждом ц еС есть вполне непрерывный линейный
оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н. Мы пред-
полагаем, что Л(ц) является голоморфной функцией параметра ц в
области G.
Лемма 2.13.1. Для любого значения ц0 еб найдется такое
число е > 0, что для всех ц из области 0 < |ц - цо| < е уравнение
A-А(ц))х = 0 B.13.1)
имеет одно и то же число линейно независимых решений.
Доказательство. Если точка ^ принадлежит резольвентному
множеству оператора Л(ц), то утверждение леммы следует из
того, что резольвентное множество оператора является открытым.
Мы установили, что вполне непрерывный линейный оператор
имеет лишь точечный спектр. Итак, пусть ц = ц0 есть точка спект-
ра уравнения B.13.1), которой соответствует конечномерное под-
пространство собственных векторов оператора А(ц0). Пусть
хь ... ,х„ есть ортонормированный базис этого подпространства.
237
По Теореме 2.11.4 существует ортонормированный базис ух,..., у„
пространства решений операторного уравнения (-/ - Л*(ц)|* = 0.
При доказательстве Теоремы 2.11.4 показано, что оператор
является непрерывно обратимым. Так как оператор-функция Л
зависит от ц непрерывно, найдется круговая окрестность точки
|ц - цо| < р, в которой оператор (?(ц) также непрерывно обратим. >
Уравнение B.13.1) эквивалентно следующему уравнению:
к*\
В указанной1 окрестности |ц - цо| < р, где оператор Q(\i) обратим,
последнее уравнение эквивалентно следующей системе уравнений
(ц)л. |и-ио|<р. х
.$к ={х,хк), к = \,...,п. г
Подстановкой х из первого уравнения в остальные п уравнений
последняя система сводится к системе алгебраических уравнений
относительно коэффициентов 1,к. .
= °. к = \,...,п. B.13.2К
Число линейно независимых решений данной системы совпадает с
числом линейно независимых решений уравнения B.13.1) в круге
|ц-цо|<Р- В этой области все коэффициенты уравнений B.13.2|
являются голоморфными функциями параметра ц. То же относится
и к основному определителю данной системы.
Если все элементы основного определителя системы B.13.2*
оказываются равными нулю тождественно, то система B.13.2
имеет ровно п линейно независимых решений в круге |ц - цо| < pi
Для этого случая лемма доказана. \
Предположим теперь, что имеются ненулевые элементы основ
ного определителя. Пусть Л,,(ц) есть минор наивысшего порядк
р, который отличен от нуля в некоторой точке круга |ц - цо| < р|
Данный минор А^(ц) есть голоморфная функция, а потому он of
личен от нуля во всех точках данного круга, за исключением, быт)
238
может, конечного числа точек. Это означает, что в данном круге
|ц - цо| < р везде, кроме, быть может, упомянутых точек, число
линейно независимых решений B.13.2) равно л -р. Следователь-
но, мы можем указать такой круг |ц - цо| < е, что для всех его
внутренних точек, за исключением, быть может, точки ц = Цо>
система B.13.2), а поэтому и уравнение B.13.1), имеет одно и то
же число п-р линейно независимых решений, ч.т.д.
Теорема 2.13.1. Пусть Л(ц) есть оператор-функция со значени-
ями, которые при любом ц еС являются вполне непрерывными
линейными операторами, действующими в гильбертовом про-
странстве, причем Л(ц) является голоморфной на открытой связ-
ной области G комплексной плоскости параметра т. Тогда а(ц),
число линейно независимых решений уравнения B.13.1), равное
некоторому л, сохраняется во всех точках области G, за исключе-
нием некоторого числа изолированных точек из G, в которых
а(ц)>и. В частности, если существует такое значение ц0 eG,
что »(цо) = 0 , то весь спектр оператора Л(ц) состоит лишь из изо-
лирован йых точек области G.
Отметим, что последнее утверждение теоремы выполнено,
если в G имеется точка цо, где Л(ц0) = 0.
Доказательство. Рассмотрим значения функции а(ц) и предпо-
ложим, что наименьшее значение функции <х(ц) в области G есть
п. Пусть это значение принимается в точке но, т.е. а(цо) = «-
Пусть, далее, ц, есть точка, в которой а(ц,)>«. Покажем, что
данная точка является изолированной и, кроме того, продемонст-
рируем, что существует такое число е>б, что для всех ц*Ц|,
|ц-Ц||<е значение а(ц) = и. Построим гладкую кривую в G, со-
единяющую точки но и Ц|. По Лемме 2.13.1 для любого значения
ц* еG существует такое положительное число е(ц*1, что для лю-
бого цеG, лежащего в круге с выколотым центром
0<
ния
ц-ц*| < е(ц*), число линейно независимых решений уравне-
B.13.1) является постоянным. Все такие круги образуют по-
крытие области G. Из данного покрытия мы можем выбрать конеч-
ное подпокрытие, которое покрывает данную кривую. Поскольку
соседние круги, покрывающие данную кривую, взаимно пересека-
ются по открытым областям, то число линейно независимых реше-
ний уравнения B.13.1) является постоянным и равным л на этом
подпокрытии везде, кроме, быть может, центров кругов подпок-
рытия, ч.т.д.
239
2.14. СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ВПОЛНЕ
НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА, ДЕЙСТВУЮЩЕГО
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
До сих пор Мы не затрагивали вопроса существования спект-
ральных точек у произвольного оператора. Пример нулевого опера-
тора демонстрирует, что существуют вполне непрерывные операто-
ры, вообще не имеющие точек спектра. Однако имеется
чрезвычайно важный класс нетривиальных операторов, которые
обязательно имеют некоторое число собственных значений. Это
операторы, указанные в заголовке данного параграфа.
Лемма 2.14.1. Все собственные значения самосопряженного
линейного оператора А, действующего в гильбертовом простран-
стве Н, являются действительными. Также действительными явля-
ются значения квадратичного функционала (Ах,х). Собственные
векторы xh х2 оператора А, соответствующие различным собствен-
ным значениям ц, и ц2 оператора А являются взаимно ортогональ-
ными. Кроме того, (у4Х|,х2) = 0.
Доказательство. Квадратичный функционал (Ах,х) имеет дей-
ствительные значения, так как
[Ах, х) = (х, Ах) = (Ах, х).
Если х,=Ц|Лх,, то (X|,X|) = ni(v4X|,X|), откуда следует, что ц,
есть действительное число.
Далее, рассмотрим равенства
X, = [1\АХ\ И Х2 =
V
для собственных векторов х, и х2, соответствующих различным
собственным значениям щ и ц2. Умножим скалярно члены первого"
равенства почленно на х2 справа, а члены второго умножим скат
лярно на Х\ слева. Имеем
Во втором равенстве мы использовали самосопряженность операто-
ра А. Умножая теперь все члены первого равенства "на ц2, а второгс^
на Ц] и вычитая получившиеся равенства почленно, получаем *
что означает ортогональность элементов хх и х2, так как ц2 * ц,.
240
Возвращаясь теперь к равенству (xl,x2) = \il(Axl,x2), получаем,
что (ЛХ|,х2) = 0 . Лемма доказана.
В теории упругости равенство (Ах1,х2) = 0 для конкретных за-
дач обычно называется соотношением обобщенной ортогональнос-
ти собственных функций оператора упругости.
Определение 2.14.1. Функционал F(x), заданный на гильбер-
товом пространстве, называется слабо непрерывным в точке % если
для любой слабо сходящейся последовательности {*„}, имеющей
пределом Xq, выполнено равенство lim F(xn) = F(x0). Функцио-
нал F[x), заданный на гильбертоволм>сопространстве, называется
слабо непрерывным, если он слабо непрерывен в каждой точке этого
пространства.
Отметим, что непрерывный линейный функционал одновре-
менно является слабо непрерывным. ч
Лемма 2.14.2. Слабо непрерывный функционал/"(х) с дей-
ствительными значениями, заданный на гильбертовом простран-
стве, принимает на замкнутом шаре ЦдсЦ < а свое наибольшее и
наименьшее значения.
Доказательство. Пусть sup F[x) = M. Тогда существует некото-
рая последовательность {хя| из шара ||;с|| й а такая, что F(xn) -> М
при я -> оо. Из ограниченной последовательности {*„} можно выб-
рать подпоследовательность {яг„А |, которая является слабо фунда-
ментальной в Н. Пусть ее слабый предел есть х$. Мы знаем, что
Ьсо|?а.- По Определению 2.14.1 lim Fix. ) = F(xo)=M. Доказа-
тельство относительно существования минимальной точки прово-
дится аналогично. Лемма доказана.
Лемма 2.14.3. Пусть А - вполне непрерывный самосопряжен-
ный линейный оператор, действующий в гильбертовом простран-
стве Я. Тогда квадратичный функционал {Ах,х) принимает только
действительные значения и является слабо непрерывным функцио-
налом на пространстве Н.
Доказательство. По Лемме 2.14.1 функционал (Ах,х) принима-
ет только действительные значения. Пусть |хл] есть слабо сходя-
щаяся к Xq последовательность. Тогда
= {Axk - AxQ,xk) + (Ax0,xk -jCq)->0 при ifc-»oo,
241
i ¦ :
так как в силу полной непрерывности оператора А имеет место
стремление \\Ахк - Ахо\\ -> О при к -> да, а стремление к нулю чле-
на (Ахо,хк-хо) есть следствие того факта, что функционал
(х,Ах0) является непрерывным линейным функционалом по х
в Н. Доказательство леммы завершено.
Введем обозначения
X. = sup(Ax,x), X_ = Ш(Ах,х).
И*1 М*1 '
Теорема 2.14.1. ПустьЛ*0 есть самосопряженный вполне не-
прерывный линейный оператор, действующий в гильбертовом про-
странстве. Существует по меньшей мере одно собственное
значение оператора А. Если оба значения 1+ и 1_ отличны от нуля,
то существуют два собственных значения оператора А, а именно,
ц, = 1/Х+ и ц2 = 1/Х._ .
Доказательство. Так как Щ= sup)lAx,x)i, то хотя бы одно из
значений Л.+ или >._ отлично от нуля. Без потери общности пред-
положим, что к+*0. Используя Леммы 2.14.2 и 2.14.3, получа-
ем, что функционал (Ах,х) принимает свое наибольшее значение
в некоторой точке Xq единичного шара: (Лхо,дго)= Х+. Так как
функционал (Ах,х) по х является однородным, то заключаем, что
Рассмотрим теперь функционал
-¦ «-Й-
Очевидно, что область значений функционала Ф(^) совпадает с об-
ластью значений функционала (Ах,х), рассматриваемого для зна-
чений х, принадлежащих сфере |х|| = 1. Тогда
sup Ф(х) = sup(^x, х) = (Ах0, х0) = Ф(дс0 ).
И-1 "
Покажем теперь, что данный элемент Xq является собственным
вектором оператора А. Действительно, рассмотрим функционал *
ф(хо + а у), где у — произвольный, но фиксированный элемент
пространства Я, а а — действительная переменная. Функционал;
Ф(х0 + а у) может теперь рассматриваться как функция действитель-
242 1
ной переменной а. Функция /(а) = Ф(х0 + ау) является диффе-
ренцируемой и принимает в точке а = 0 максимальное значение.
Поэтому
d<b(xo+ay)
da
а=0
= 0.
Вычисляя производную в левой части этого уравнения, получаем
равенство
ы
Последнее равенство можно записать в виде
Re{(Axo,y)-k+(xo,y)}=O.
Заменяя здесь у на iy, получаем, что
1т{(Ах0, у) - к+(дг0, у)} = 0.
Поэтому
(Ахо,у)-\+(хо,у) = О. B.14.1)
Поскольку элемент у произволен, то отсюда заключаем, что
«> Ах0 - Х+х0 = 0
или .Л
х0 - ц,у4х0 =0, где ц, = 1/Х.+ .
Таким образом, элемент Xq действительно есть собственный
вектор оператора А, а ц, — ему соответствующее собственное зна-
чение. Если и к_ * 0, то совершенно аналогично показывается,
что ц2 = 'А- есть также собственное значение оператора А, ч.т.д.
Определение 2.14.2. Самосопряженный вполне непрерывный
линейный оператор А называется строя) положительным, если
(Ах,х)>0 для всех хеН, причем равенство [Ах,х) = 0 выполня-
ется тогда и только тогда, когда х = 0.
В формулировке Леммы 2.14.1 говорится, что любые два соб-
ственных вектора, соответствующие различным собственным
значениям самосопряженного оператора А, являются взаимно
ортогональными. Пользуясь процедурой Грамма-Шмидта, мы мо-
жем ортонормировать каждую из систем линейно независимых
243
собственных векторов оператора А, соответствующих одному и
тому же собственному значению. На этом пути мы получаем орто-
нормированный базис множества всех собственных векторов само-
сопряженного оператора А. Данное обстоятельство и способ дока-
зательства Теоремы 2.14.1 позволяют нам доказать следующую
полезную теорему.
Теорема 2.14.2. Предположим, что А - строго положительный
самосопряженный вполне непрерывный линейный оператор, дей-
ствующий в сепарабельном гильбертовом пространстве. Тогда:
A) существует счетное множество собственных значений
Ц|,ц2>Цз>--- оператора/4, которое не имеет конечных предель-
ных точек;
B) существует система собственных векторов X|,jc2,jc3,... оператора
А, соответствующих системе собственных значений ц,,ц2,ц3»•••»
которая является ортонормированным базисом пространства Я;
C) оператор А имеет представление
j
Доказательство. Докажем выполнение свойства A) данной тео-
ремы. Пусть jc|,jc2,...,jcn - ортонормированная система собствен-
ных векторов оператора А, соответствующая собственным
значениям Ц|,ц2,...,ц„. Покажем, как построить следующие соб-
ственный вектор и собственное значение оператора А. Обозначим
через Я„ ортогональное дополнение в Як подпространству, натяну-
тому на собственные векторы х],х2,...,х„. Рассматривая оператор А
действующим только на подпространстве Н„, мы полностью повто-
рим доказательство Теоремы 2.14.1. А именно, обозначим
*-я+1 = SUP Ых,х) и ця+| = 1Д..| . Как и при доказательстве
Теоремы 2.14.1 мы устанавливаем существование вектора х„+] еЯя
такого, что Xn+i = {Axn+i,xn+i) и ||дгя+|| = 1, причем вектор'хя+| удов-
летворяет уравнению •'*
(Л*я+|, У) - *.„+¦ (*„+¦, У) = 0 для всех у еН„.
Покажем, что последнее равенство справедливо для всех у е Я.
Действительно, если у = хк при к = 1,2, ...,я, то
244
так как (*„+!,**) = 0. Поэтому
Л*/|+1 - ^л+1-f/l + l = 0,
и, следовательно, хп+х есть собственный элемент оператора А, а
ця+1 = 1Дя+1 - соответствующее ему собственное значение.
Расширяя систему собственных векторов, мы можем последова-
тельно получать новые собственные векторы и собственные значе-
ния оператора А. Анализируя этот процесс построения системы
собственных векторов, мы видим, что данный процесс может обо-
рваться только в случае, когда для некоторого значения л имеет
место равенство
sup (Ax,x) = 0
1Я
Но это возможно только в случае, когда пространство Н является
конечномерным. Справедливость оставшихся утверждений в A)
очевидна.
Покажем теперь выполнение свойства B) теоремы. Пусть у есть
произвольный элемент пространства Н. Рассмотрим элемент
*1
где множество {**}, к-\,...,п, — ортонормированное множество
собственных векторов, построенных при доказательстве свойства
A) теоремы. Очевидно, что у„ е#„. При построении разложе-
ния в ряд Фурье (см. §1.22; заметьте, что у„ есть остаток ряда Фу-
рье для элемента у) было показано, что последовательность {у„}
является фундаментальной. Предположим, что ее сильный предел
Уо *0. Покажем, что это предположение приводит к противоре-
чию. Действительно, у„еН„. Поэтому имеем
Однако последовательность Хп+1 -> 0 при п -> оо, так как множе-
ство всех собственных значений {ц„} бесконечно и не имеет конеч-
ных предельных точек. Следовательно, переход к пределу дает
W2
245
Так как оператор А — строго положительный, то у0 = 0, что и за-
вершает доказательство пункта B).
Доказательство утверждения C) теоремы. При доказательстве
Теоремы 2.7.2 мы показали, что вполне непрерывный линейный:
оператор А является равномерным пределом последовательности
конечномерных операторов
где g\,gi,-.. — любой ортонормированный базис пространства Я.
Возьмем в качестве этого базиса ортонормированное множество
собственных векторов, построенных в ходе доказательства пункта
A). Тогда
Следовательно,
что и заканчивает доказательство теоремы.
В условиях Теоремы 2.14.2, учитывая равенство Парсеваля,
получаем следующее равенство
которое справедливо для любого элемента х е Н.
Пусть самосопряженный оператор А является строго положи-
тельным. Заметим, что можно ввести новую норму |дг|^ =(Ах,х)
и соответствующее ей скалярное произведение. Гильбертово про-*
странство Н с такой нормой может оказаться неполным. Попол-8
нение Н по норме |дг||^ = {Ах, х) обычно обозначается НА. .."
На основе множества собственных векторов, построенных в пун-4
кте A) Теоремы 2.14.2, введем теперь другие векторы^ = ^/ц7**. (,
Лемма 2.14.4. В условиях теоремы 2.14.2 множество векторов,
У к - \\Чсхк ,к = 1,2, ..., образует ортонормированный базис про-^
странства НА.
246
Доказательство. Система векторов {Ук} = |лА****} ортонорми-
рована в пространстве Нл. Действительно,
1, если к = п
О, если к*п'
Для любого элементах е Н имеет место равенство Парсеваля,
записанное в терминах пространства Нл. Действительно,
(jc,jc) . =(y<jt,jt) =
И| Z
*-1 *=1 *=1 *=1
Последнее равенство означает, что система векторов У|,У2>^з>--
есть ортонормированный «базис» для всех элементов хеН, рас-
сматриваемых как подмножество пространства Нл. Но по построе-
нию данное подмножество Н является плотным в пространстве Нл,
что и завершает доказательство леммы.
Пример 2.14.1. Рассмотрим проблему собственных значений
краевой задачи
Хорошо известно, что собственными функциями данной краевой
задачи является множество функций U2/nsm^jr>, k = 1,2,... .
Посмотрим, что можно получить на основе предыдущих резуль-
татов относительно данной системы собственных функций. Пусть
W обозначает гильбертово пространство элементов у(х) е W{>2(O,n)
со скалярным произведением
{y,z)w=\y'{x)z'{x)dx.
о
Мы можем поставить вышеуказанную краевую задачу следующим
образом: найти нетривиальные элементы у(х) е fVl'2@;n), удов-
летворяющие уравнению
247
где
о
Как уже было показано ранее, оператор удовлетворяет всем услови-
ям Теоремы 2.14.2. Поэтому система U2/jtsin*jtj, к = 1,2,... явля-
ется ортонормированным базисом пространства /,2@;тс), которое в
данном случае и представляет собой пространство Нл, рассматривае-
мое в Лемме 2.14.4. В то же время система U2/7C sinifcjtj, к = 1,2,... ,
является ортогональным базисом пространства W'^O; тс).
2.15. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ
1. Сначала мы напомним некоторые факты относительно спектра
различных задач для упругих тел, которые мы уже рассматривали.
Это задачи для мембран, пластин и ограниченных упругих тел в
двух- и трехмерной постановке. Уравнения, описывающие колеба-
ния этих объектов, имеют общую форму
(u,v)? = MJp(x)«(x)v(x)dQ. B.15.1)
n
Здесь Е - энергетическое пространство для соответствующей моде-
ли, а функция и(х) описывает перемещения в задачах о колебаниях
тела, занимающего ограниченную область С1. (Мы вводим действи-
тельные пространства Е. Здесь мы рассматриваем их комплексную:
версию. В этой версии в скалярном произведении под знаком ин-
теграла второй сомножитель v берется в комплексно-сопряженной'
форме). Мы ввели оператор К, используя теорему Рисса о представ-
лении непрерывного линейного функционала (§1.20, §2.6),
(Ku,v)E = JP(x)«(x)v(x)dn.
n
Напоминаем, что для задач со свободной границей следует выби-~
рать вариант энергетических пространств «сбалансированных» фун-
кций. Показано (Лемма 2.6.1), что оператор К является линей-,
ным, самосопряженным и вполне непрерывным в соответствую-
щем энергетическом пространстве Е. Более того, если
О < ро < р(х)< р|, где Ро и pi — положительные константы, то К
есть строго положительный оператор. Действительно,
248 '
n n
Если (Ku,u)E - 0, то и(х) = 0 в смысле пространства ?2(П) (почти
всюду).
Итак, для любой из рассмотренных ранее моделей ограничен-
ных упругих тел (мембрана, пластина, линейная теория упругос-
ти), как следствие общих результатов, мы получаем следующую
теорему.
Теорема 2.15.1. В рамках обобщенной постановки всех основ-
ных задач (задачи Дирихле, задачи Неймана и смешанной задачи)
на собственные значения для ограниченных мембран, пластин и
тел, описываемых линейной теорией упругости, имеют место сле-
дующие утверждения:
A) спектр каждой из данных задач состоит лишь из изолированных
собственных значений ц*;
B) все собственные значения ц* являются строго положительными,
ц* ? ц0 > 0;
C) множество всех щ счетное и не содержит конечных предельных
точек; '
D) каждому собственному значению цк соответствует не более ко-
нечного числа линейно независимых собственных векторов
и*(х); множество всех линейно независимых собственных век-
торов j«t(x)}, будучи ортонормированным, является ортонор-
мированным базисом в соответствующем энергетическом про-
странстве, а множество всех элементов вида Т^/^и* (х)| обра-
зует ортонормированный базис в пространстве ?2(п) со ска-
лярным произведением
2. В §2.5 была рассмотрена задача устойчивости тонкой упругой
пластины, которая в обобщенной постановке сводится к уравне-
нию
(и>,ф)? =(Cw,9)fn, B.15.2)
где '
. . (\т &W ^Ф т I ^*** ^Ф ^^ ^Ф I т ^^ ^Ф
[Cw, ф! _ = I i Гх 1-1Ху\ 1" ~ + Т„
249
при заданных функциях усилий 7^,7^,7^ е/,2(П). Предположим,
что внешняя сжимающая нагрузка изменяется пропорционально
некоторому параметру ц, т.е. заданные функции усилий имеют
вид рТх,рТф,рТу. Учитывая произвольность элемента <р, а также
зависимость от параметра ц, получаем из уравнения B.1S.2) задачу
на собственные значения:
Для жестко зажатой по краю пластины показано, что оператор
С является самосопряженным и вполне непрерывным. Так как
о
оператор вложения пространства И/Г2'2(п)= ?п0 в пространство
WiA(Q) является вполне непрерывным, то из неравенства
\da\
(
dw
дх
4
+ .
dw
а*
дх
ду
,1/4
\da\
мы заключаем, что оператор С является еще и вполне непрерывным.
Наконец, предположим, что внешняя тангенциальная нагрузка =
является в целом сжимающей, что выражается следующим нера-
венством
7>,2 + 2Txywtw2 + Tyw22 >
которое справедливо с некоторой положительной константой с0
для всех действительных значений переменных w, и w2 и всех
хеО. При выполнении условия B.15.3) оператор С является
строго положительным в энергетическом пространстве, а потому •
¦мы можем заключить, что данная спектральная задача входит в
класс задач, для которых сформулирована Теорема 2.15.1. Следо-
вательно, Теорема 2.15.1 описывает свойства спектра задачи об ус-
тойчивости пластины.
3. Как уже говорилось, спектральная теория линейных вполне не-
прерывных операторов имеет своей прародительницей теорию ин-
тегральных уравнений Фредгольма второго рода. Мы сформулиро-
вали достаточные условия, когда интегральный оператор
Фредгольма является вполне непрерывным в пространстве 12(п).
250
Таким условием служит требование, чтобы ядро интегрального
оператора принадлежало пространству Л2(ПхП). Переформули-
руйте самостоятельно Теорему 2.1S.1 для уравнения Фредгольма
второго рода с ядром из L (Q х п). Как выглядят условия соответ-
ствующей теоремы в терминах ядра оператора?
Сейчас мы рассмотрим другой важный класс интегральных
операторов, операторов с так называемыми слабо сингулярными
ядрами. Это ядра, имеющие представление
К(х,у) = . * ' ', /- = |х-у|, х,уеПс/?л,
где а < я и /?(х, у) е С(П х П).
Лемма 2.15.1. Линейный интегральный оператор со слабо син-
гулярным ядром, действующий в пространстве L2{fl), где П - ог-
раниченная область R" с достаточно гладкой границей, является
вполне непрерывным.
Доказательство. Сначала покажем, что данный оператор явля-
ется ограниченным в L2(Cl). Действительно,
dfi.
Так как при всех х е П имеет место оценка |J l/radCly < М, то
получаем неравенство, показывающее непрерывность данного ин-
тегрального оператора:
НЦпJ =
nn ' п
Чтобы доказать, что данный оператор является вполне непре-
рывным, введем вспомогательный интегральный оператор с ядром
где
Так как ядро Кс(х,у) является непрерывным по совокупности пере-
менных на П х п, то соответствующий интегральный оператор, обо-
значенный Д., является вполне непрерывным в пространстве
251
Теперь для завершения доказательства полной непрерывности
оператора со слабо сингулярным ядром достаточно показать, что
|/4-Д.|->0 при е->0. Обозначим через В(х) шар радиуса е с
центром в точке х. Следующая цепочка оценок показывает необ-
ходимое свойство:
( Л
И- - л4т - J J *(х, у) Мг - -У «(у) dn,
*ч\ J ?¦
Здесь использовано неравенство Гельдера с показателем 2. Так как
ТО
а, следовательно, ||Л-Лс||->0 при е->0, что и завершает дока-
зательство.
Отметим, что интегралы со слабо сингулярными ядрами появ-,
ляются в теории соболевских пространств. В частности, такие ин-
тегралы участвуют в интегральном представлении функций, кото-
рое было положено Соболевым в основу доказательства его
знаменитых теорем вложения.
Мы оставляем читателю сформулировать самому результаты от-*
носительно спектра интегрального оператора Фредгольма со слаба;
сингулярным ядром.
252
2.16. МИНИМАКСИМАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП КУРАНТА
Р. Курант предложил способ определения л-ого собственного
значения строго положительного самосопряженного вполне непре-
рывного линейного оператора А, которым данное собственное зна-
чение определяется независимо от остальных собственных значений
данного оператора. При этом получаются весьма интересные с
точки зрения приложений результаты.
В §2.14 мы показали, как последовательно находить собствен-
ные значения ця = 1/Х„ , О < ц, < ц2 ^ Из ^-- .используя формулу
X. = sup (Ах,х).
Так как при этом получается ортонормированная система собствен-
ных векторов хих2,Х},..., которая является базисом пространства
Н, то произвольный элемент дгеЯ можно разложить в ряд Фурье по
элементам дГ|,дг2,дг3,...
2 °° 2
причем
Следовательно,
Возьмем теперь л произвольных элементов уи...,у„ простран-
ства Н и обозначим через QH подпространство, натянутое на эти
элементы, а через SH— его ортогональное! дополнение в Н:
Следующая теорема является формулировкой так называемого
минимаксимального принципа Куранта.
Теорема 2.16.1. Собственное значение ця+, строго положи-
тельного самосопряженного вполне непрерывного линейного опе-
ратора А равно
г—, где а.и+, =inf sup {Ax,x).
^i ft M*iV
Кроме того, Я.и+1 = sup (Ах,х), где Я„ есть ортогональное до-
Щ,„
полнение к подпространству Н, натянутое на л первых собствен-
ных элементов оператора А.
253
Доказательство. Во-первых, отметим, что мы уже показали в
§2.14, что Х„+1, найденное по формуле Х„+1 = sup (Ах,х), дает
собственное значение цЛ+1 = 1ДЛ+1 оператора/!.
Обозначим теперь через (?„ подпространство, натянутое на л
первых собственных элементов дг,,...,дгя оператора А, найденных в
§2.14. Еще раз напомним, что его ортогональное дополнение в Н
обозначено как Н„.
Итдк, SH есть ортогональное дополнение подпространства Qn в
пространстве Н, где Qn*Qn. Тогда, очевидно, имеется такой
элемент дг0 = Х*-1С*** с единичной нормой |дго| = 1, принадлежа-
щий Qn, который принадлежит одновременно Sn. При этом
|
Напомним, что величины Х„ расположены в порядке убывания, а
. Поэтому для любого множества Sn имеем
sup (Ах,х)>Х„+х,
с°к
что и заканчивает доказательство теоремы.
Как мы уже говорили, имеются весьма важные последствия
данного минимаксимального принципа для задач механики.
Теорема 2.16.2. Если на ограниченное упругое тело (мембра-
ну, пластину или упругое тело, описываемое по двумерной или
трехмерной линейной теории упругости) наложить дополнитель-
ные геометрические связи (закрепить неподвижно дополнительно
некоторые линии, поверхности или части тела), то все собствен-
ные значения ц„ могут лишь увеличиться. При освобождении от
связей геометрического характера, наложенных на тело, собствен-
ные значения ц„ не могут увеличиться.
Доказательство. Предположим, что дополнительные связи
имеют форму, например,
и|у =0 или и|г = 0, ,; г
где у есть некоторая линия, а Г - поверхность, принадлежащая;
телу. Данные у и Г не обязаны принадлежать границе области П„;
254
занимаемой телом. Такие связи лишь исключают некоторые эле-
менты из пространства Я. Величина sup (Ax,x), естественно,
не изменилась. Однако множество всех возможных подпространств
Qn при наложении дополнительных связей сократилось, что может
повлечь за собой лишь возрастание величины inf sup (Ax,x),
& \x\SlxzS, ,
что и заканчивает доказательство теоремы.
Замечание. В энергетических пространствах для мембраны и
упругих двух- и трехмерных тел закрепление в какой-либо одной
точке Р области П не имеет значения (элементы соответствующих
энергетических пространств определены на линиях или поверхнос-
тях, но не в каждой точке). Поэтому закрепление в нескольких
точках не может вызвать увеличения собственных частот этих
объектов. Однако для пластин или оболочек закрепление точек в
направлении нормального перемещения может вызывать рост соб-
ственных частот объекта.
255
ГЛАВА 3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
Нелинейные задачи механики много сложнее соответствующих
линейных задач, как с точки зрения их численного решения, так и
с точки зрения их теоретического исследования. Решение конкрет-
ных задач механики способствовало возникновению многих поня-
тий и даже ветвей чистой математики. Большая часть математичес-
ких проблем нелинейной механики остаётся открытой. К таковым
проблемам относится проблема разрешимости задачи равновесия в
нелинейной теории упругости в общей постановке (на самом деле
таких задач много, свой класс задач для каждой модели материала,
однако глобальная теорема существования не получена ни для од-
ной из многомерных моделей). Список нерешенных математичес-
ких проблем нелинейной механики слишком велик, чтобы обсуж-
дать его сейчас. Однако некоторые важные задачи механики были
изучены достаточно подробно. В этой главе мы рассмотрим не-
сколько таких задачах. Как обычно, мы приведем элементы общей
теории, необходимые для понимания дальнейшего.
3.1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО ФРЕШЕ И ГАТО
Начнем изучение общих понятий нелинейного функционально-
го анализа с определения операций дифференцирования. Пусть
F(x) есть нелинейный оператор, действующий из своей области
определения D(F) с А' в область значений R(F) с Y , где А" к. Y~
банаховы пространства. Предположим, что множество D[F) явля-
ется открытым.
Определение 3.1.1. Оператор F(x) называется дифференцируе-
мым по Фреше в точке х0 eD[F), если существует такой ограни-
ченный линейный оператор, обозначаемый F'(x0), что
F(x0 + h) - F(x0) = F'(xo)h + &(xo,h) для всех Щ < е
с некоторым е < 0, где
Ш при М"*0"
256
Оператор F'(x0) называется производной Фреше оператора F(x) в
точке xq, a dF(xo,h)*F'(xo)h - его дифференциалом Фреше. Опе-
ратор F(x) называется дифференцируемым по Фреше в открытой
области D с D(F), если он дифференцируем по Фреше в каждой
точке D.
Очевидно, что производная по Фреше непрерывного линейно-
го оператора есть тот же самый оператор.
Задача 3.1.1. Предположим, что у = f(x) есть вектор-функ-
ция, действующая из Л* в Л" и f(x) elc® (O)J . Показать, что
ее производная по Фреше в точке Xq e Q есть матрица Якоби
В приведенном способе конструирования производной по Фре-
ше читатель может увидеть общие черты, заимствованные из спо-
соба построения уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала в
курсе вариационного исчисления. Следующее понятие производ-
ной оператора по Гато имеет еще больше общего с понятием пер-
вой вариации функционала.
Определение 3.1.2. Предположим, что для любого элемента
А € D(F) в точке х0 е D[F) существует
д.
«*)-*<»>).
где DF(xo,h) есть линейный оператор по переменной А. Тогда
DF(xo,n) называется дифференциалом Гато оператора F(x), а сам
оператор F(x) называется дифференцируемым по Гато в точке xq.
Оператор является дифференцируемым по Гато в некоторой откры-
той области S, если он дифференцируем в каждой точке х этой
области.
Очевидно, что оба введенных определения для производной
оператора имеют смысл и для функционалов. Для функционала,
заданного на гильбертовом пространстве, можно ввести еще одно
понятие, а именно, понятие градиента функционала.
Пусть Ф(дг) есть функционал, дифференцируемый по Гато в
точке xq, и пусть функционал /)Ф(дсо,А) является ограниченным по
257
А. По теореме Рисса о представлении непрерывного линейного
функционала функционал /)Ф(хо,А) может быть представлен в виде
скалярного произведения. Обозначим элемент, соответствующий
линейному функционалу /)Ф(хо,й) через grad<I>(jc0). Тогда
Точке Xq ставится в соответствие элемент grad<D(x0). Тем самым
определен оператор, называемый градиентом функционала Ф(х) в
точке Xq.
Теорема 3.1.1. Если оператор F(x), действующий из банахова
пространства X в банахово пространство Y, дифференцируем по
Фреше в точке х0 е D(F), то F(x) дифференцируем в этой точке
по Гато, причем его производная по Гато совпадает в данной точке
с производной по Фреше.
Доказательство. Подставим в Определении 3.1.1 вместо А про-;
изведение th с действительным г.
F(x0 + th) - F(x0) = F'(xo)th + <o(x0,th).
Отсюда следует, что
так как по определению |ш(хо,АА)||/|/А|->О при t->0. Это озна-
чает, что F(xo) есть производная по Гато оператора F(x) в точке
Xq, ч.т.д. ¦ .
Дифференцируемость оператора по Гато не влечет за собой диф-*
ференцируемости по Фреше. Однако имеет место следующее утвер-
ждение, которое мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Задача 3.1.2. Пусть в некоторой окрестности точки xq суще-,
ствует производная Гато оператора F(x), которая является непре-
рывной в точке х^ по норме L(X; Y). Тогда существует производ-
ная Фреше в данной точке Xq, которая равна производной Гато в*
этой же точке. г-
Рассмотрим теперь операторное уравнение относительно пере-
менной х еХ с параметром ц, принадлежащим действительному!
банахову пространству М,
258
Здесь область значений оператора F(x, ц) лежит в У, где X и У —
банаховы пространства. Обычно в задачах механики параметр ц
характеризует внешние нафузки или другие параметры системы.
Теорема о неявной функции имеет много абстрактных анало-
гов. Приведем два из них. Обозначим
N(x0,г; ц0, р) = {х е X, ц е М: \\х - хо\\ < г, ||ц- цо|| < р}.
Теорема 3.1.2. Предположим, что
A) /'jxo,no) = O;
B) F{xo,\ij непрерывно зависит от ц в некотором шаре
C) существуют такие числа гх > О, Pl > 0 , а также непрерывный
линейный оператор А, действующий из Л" в У и непрерывно
обратимый, такой, что в ^(^o>ri>^O'Pi) имеет место
неравенство
где rlimja(r,р)||^"'| = q < 1.
Тогда существуют такие действительные значения г0 > 0, р0 > 0,
что в окрестности #(х0)го;цо,ро) уравнение
имеет единственное решение x = x(\i), причем это решение непре-
рывно зависит от ц: s-\\mx(n) = дг(ц0) ПРИ Ц => Цо
Доказательство. Основная идея доказательства теоремы состоит
в том, что уравнение C.1.1) приводится к виду, пригодному для
применения принципа сжатых отображений. После этого следует
применение самого принципа, из которого и вытекает необходи-
мый результат.
Запишем рассматриваемое уравнение C.1.1) в виде
х = К(х,ц), где K(x,ii) = x-A-lF(x,n).
Данное уравнение эквивалентно уравнению C.1.1), так как опера-
тор А является непрерывно обратимым. Покажем, что К(х,ц) яв-
ляется оператором сжатия по переменной х в некоторой окрестнос-
ти точки (jto,no). Действительно,
\\К(х, ц) - К(у, 4 = |х - У ~ A-l(F(x, ц) - F{y, ц)| * C.1.2)
259
По условию C) теоремы существует такое е > 0, что q + е < 1,
если г и р достаточно малы и г < г,, р < р,. Далее, существуют та^
кие значения г0 и р0, что оператор К(х, ц) переводит шар
||х - хо\\ < г0 в самого себя, если ||ц - цо| < р0. Действительно,
Щх, ц) - *ь| * Щх,и) - К{х0, ^ + |АГ(ло, ц) -
Так как /"(дсо,ц)^> ^(дсо,ц0) при ц=>ц0, пользуясь произволом
при выборе Р2 < Pi > мы можем заставить второе слагаемое подчи-
ниться следующему неравенству
(l-^-e)r,, если |ц-Цо||<Р2-
Следовательно, для любых г0 < гь и ро < р2, оператор К{х, ц) дей-
ствительно переводит шар \\х - хо\\ < г0 в себя, если |ц - цо|| ^ Ро ¦
Теперь заключаем, что по принципу сжатых отображений суще-
ствует единственное решение дс = дс(ц) уравнения C.1.1) в окрест-
ности Л^(дс0,г0;ц0,р0). Непрерывность х(ц) в точке цц следует из
оценки:
которая является следствием все того же принципа сжатых отобра-
жений, ч.т.д. ~—
Установим некоторые свойства производной по Фреше.
Лемма 3.1.1. Пусть оператор F(x), действующий из банахов*
пространства X в банахово пространство Y, имеет производную по
Фреше в точке х = х0, а оператор х = S(z), действующий из дей-*
ствительного банахова пространства Z в X, также имеет производ-
ную по Фреше 5"(Zo)> причем х0 =S(zo)- Тогда оператор /'(•Sfc)^
также имеет производную по Фреше в точке з>, причек
)){o) {o){o)
оказательство. Подставляя выражение для х, полученное из
равенства
х - х0 = S(z) - Sfa) = S'(ZoXz - Z0) + <t>i(zo,Z - Z0),
260
в равенство
F(x) - F(x0) = F'(xo)(x ~xo) + a>(xo,x- x0),
получаем, что
F(x) - F(xo) = F'(x0)S'(zo)[z -Zo) + F'ixofa^z- *) +
+ a>(x0,S(z)-S(zo)).
Данное равенство и завершает доказательство леммы, поскольку
последние два члена суммы справа имеют порядок ov\z -*oL)-
Результат следующей леммы называется тождествам Лагранжа.
Лемма 3.1.2. Пусть оператор F{x), действующий из банахова
пространства X в банахово пространство Y, является дифференци-
руемым по Фреше в некоторой окрестности W точки Xq. Тогда для
любого элементах € Q имеет место равенство ..,•••..
= JF'{xo+Q{x-xo))dB(x-xo).
Доказательство. По Лемме 3.1.1 композиция Fffity}, где
5(в) = Xq + 9(х - х0), имеет производную Фреше
так, как 5'(в) = х - х0. Интефируя равенство для производной по
Фреше вдоль отрезка [0; 1] и учитывая непрерывность оператора
(f, мы и завершаем доказательство. ,
Теперь мы можем представить вариант теоремы о неявной
функции, близкий к традиционному варианту этой теоремы из
курса математического анализа. Предварительно укажем, что мы
определяем частную производную Фреше Fx(x,\i) оператора ^(л»ц)
по х как производную Фреше по х, взятую при фиксированном
значении ц. Аналогично" определяется частная производная
/""„(*, ц) оператора F(x, ц) по параметру ц. ;;"
Теорема 3.1.3. Предположим, что ,
{) :;
{) ;
B) при некоторых значениях г>0,р>0 оператор F(jc,ц) я
непрерывным на области jV(jc0,г,цо,р); • ,,
C) частная производная Fx(x, ц) является непрерывной в ,точке
(*о»Цо);
D) оператор Рх(хо,Ро) непрерывно обратим.
261
Тогда существуют такие значения величин г0 > 0, р0 > 0, что урав-
нение F(x, ц) = О имеет единственное решение х = *(ц) в шаре
|дс - дсо| ? г0, если |ц - цо|| ^ Ро • Если дополнительно оператор
/^(х,ц) является непрерывным в точке (хо,цо), то функция
х = дг(ц) имеет производную по Фреше в точке ц = ц0 и имеет мес-
то равенство
Доказательство. Проверим, что оператор А = Fx(x0,\i0), част-
ная производная /*(*,ц) по х, удовлетворяет условию C) Теоремы
3.1.2. Рассмотрим функционал
4>(х, у, ц) = \\F(x, ц) - F(y, ц) - Fx(x0, цоХ^г - у) •
По Лемме 3.1.2 имеем
1
F(x, ц) - F(y, ц) = f Fx(y + 9(х - ^о), v)dQ {х-у),
о
и, следовательно,
5 JIM* + е(^ - У)**)- bib,top* h - У\\ * «(r,p)||x - j;|,
0
где функция
ot(r, p) = siqi|/^(x, ц) - Fx(x0, |io)| на области N(x0> r\ ц0, p)
ДГ.Ц
такова, что a(r, p) -> 0 при r -> 0 и p -> 0 , так как производная
Fx(x,\i) непрерывна в точке (xo,[io). Остальные условия Теоремы
3.1.2 также легко проверяются. Следовательно, решение х = дс(ц)
действительно существует и единственно. Мы оставляем вторую
часть теоремы о его дифференцируемое™ без доказательства.
, Используя теорему о неявной функции, мы можем определять,
действительно ли решение некоторой задачи зависит однозначно и
непрерывно от некоторых параметров.
Мы рассмотрели несколько линейных задач механики с посто-
янными параметрами. Читатель теперь легко может проверить, что
малые возмущения упругих модулей или, скажем, толщины плас-
262
тины привносят малые возмущения в перемещения (конечно, ма-
лые в смысле энергетической нормы). Заметим, впрочем, что для
линейных задач это было бы проще получить прямо, используя
принцип сжатых отображений.
3.2. МЕТОД ЛЯПУНОВА-ШМИДТА
Будем говорить, что точка (хо,цо) является регулярной точкой
уравнения F(x,\t) = 0, если существует такая окрестность
N(xo,r,\io,p), г>0, р>0, в которой существует единственное ре-
шение х = х(ц) данного уравнения.
Теорема о неявной функции дает достаточные условия регуляр-
ности точки (jco,ho). В механике, однако, большой интерес
представляет случай, когда точка не является регулярной. Обычно
такое нарушение регулярности связано с качественными изменени-
ями свойств механической системы, изменением типа ее поведе-
ния или типа устойчивости системы. Сейчас мы рассмотрим важ-
ный тип нерегулярных точек оператора, так называемые точки
ветвления (или точки бифуркации).
Определение 3.2.1. Точка (хо,цо) называется точкой ветвления
уравнения F(x, ц) = 0, если для любых г > 0 и р > 0 в шаре
||ц - цо|| > р найдется такое значение параметра ц, что в шаре ради-
уса г переменной х, |х - хо|| < г, существуют по меньшей мере два
решения данного уравнения, соответствующие этому значению па-
раметра ц.
Многие задачи механики, например, задачи нелинейной тео-
рии оболочек, таковы, что в энергетическом пространстве частная
производная Fx(x0,\i0) оператора задачи может быть представлена в
виде / - В, где В = В(хо,ро) есть вполне непрерывный самосопря-
женный линейный оператор. Поэтому к уравнениям с таким опе-
ратором В применима теория Фредгольма-Рисса-Шаудера, рас-
смотренная выше. В этом случае, в частности, оператор / - В не
является непрерывно обратимым тогда й только тогда, когда име-
ется нетривиальное решение уравнения (/ - В)х = О. В последнем
случае теорема о неявной функции не может быть приложима к
первоначальной задаче. Именно этот случай мы и рассмотрим
ниже.
Без потери общности предположим, что точка х0 = О, ц0 = О
есть решение уравнения F(x,\i) = 0, т.е. F[0,0) = О (мы всегда
263
можем произвести замену х ь-> х0 + х, ц н-> ц0 + ц). Итак, пусть
оператор F{x, ц) действует из пространства Н х М в Я, где Я есть
действительное гильбертово пространство и Л/ есть действительное
банахово пространство. Мы предполагаем, что /^@,0) имеет вид
где Во - вполне непрерывный самосопряженный линейный опера-
тор в Я.
Уравнение F(x, ц) = 0 может быть переписано в следующей форме
или, что то же самое, в виде уравнения
A-В0)х = Я(х^), C.2.1)
где
Л(*. ц) = -/•(*,,*)+ (/-*„)* •
Сейчас мы продемонстрируем, как применяется метод Ляпуно-
ва-Шмидта для определения зависимости решения системы C.2.1)
от параметра ц, когда норма ||ц| мала, причем уравнение
(/ - В0)х = 0 имеет нетривиальное решение.
Как и в §2.11 обозначим через ЛГ множество всех нетривиальных
решений уравнения (I - Во)х = 0, и пусть хи...,х„ есть ортонор-
мированный базис конечномерного пространства N.
При доказательстве Теоремы 2.11.4 мы показали, что оператор
л
Qox = (I - В0)х + %акхк , где а* = (х,хк),
является непрерывно обратимым.
Перепишем уравнение C.2.1) в терминах оператора Qo:
л
Qox = R(x, ц) + X акхк , где а* = (х, хк ) C.2.2)
*=i
и рассмотрим его как уравнение, определяющее х как функцию
параметров ц, а„...,а„.
Проведем сначала для произвольного элемента х ортогональное
разложение
264
м* где
Здесь и принадлежит подпространству М, являющемуся ортого-
нальным дополнением к N в Н. Так как (x,xk)-ak , то последнее
разложение необходимо имеет вид х - и + ]Г^=1 akxk . При этом
уравнение C.2.2) принимает форму
C.2.3)
Теперь это уравнение определяет элемент и € М как функцию па-
раметров ц, а[,...,ая. Так как Лх@,0) = -Fx@,0) + (I-В0)=0, то
получаем, что частная производная по и
Qou-JQu+J^akxk,ii.\\
где Qq— непрерывно обратимый оператор. Следовательно, все ус-
ловия теоремы о неявной функции выполнены, а потому уравне-
ние C.2.3) имеет единственное решение и при любых достаточно
"малых" значениях параметров ц и аи...,а„:
u = u(\i,au...,an).
Для определения числовых параметров а,,...,ал необходимо ре-
шить следующую систему уравнений
которая носит название уравнений разветвления Ляпунова—Шмидта.
Каждое малое решение последней системы уравнений предоставля-
ет нам малое решение x-u + ^k^xakxk уравнения C.2.1).
3.3. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИОНАЛА
Далее мы везде рассматриваем лишь функционалы и операто-
ры, заданные на действительном гильбертовом пространстве.
Итак, пусть Ф(х) есть некоторый функционал на действительном
гильбертовом пространстве Н.
Определешк 3.3.1. Элемент х0 еН называется точкой локаль-
ного минимума (соответственно, максимума) функционала Ф(*),
265
если существует такой шар В = |х:||х-хо1|?е} радиуса е>0, что
для всех х е В выполнено неравенство ф(х) ? Ф(*о) (соответствен-
но, Ф(х) йФ(х0)). Если Ф(х)?Ф(х0) для всех хеН, то точка Xq
называется точкой абсолютного минимума функционала Ф(х). Точ-
ки минимума и максимума функционала называются точками эк-
стремума функционала Ф(х).
Теорема 3.3.1. Предположим, что
A) Ф(х) задан на открытом множестве S с Н;
B) в точке х = х0 еSсуществует градиент функционала gradФ(x);
C) Xq есть точка экстремума функционала Ф(х).
Тогда имеет место равенство
grad Ф(х0) = 0 .
Доказательство. Пусть h — произвольный фиксированный эле-
мент гильбертова пространства И. Будучи дифференцируемой фун-
кцией действительного переменного /, принимающей экстремаль-
ное значение при / = 0, функция Ф(хо+/Л) имеет нулевую
производную по / при t = 0:
или, что то же самое,
O. C.3.1)
Вследствие произвольности элемента Л получаем, что
grad Ф(х0 ) = 0, ч.т.д.
Назовем точку Xq критической точкой функционала ф(х) , если
выполняется уравнение ?гаёФ(хо) = О. Точки экстремума функци-
онала являются его критическими точками, но не наоборот.
Мы уже использовали неявно данную Теорему 3.3.1 для линей-
ных задач, когда функционал Ф(х) был квадратичным функциона-
лом полной энергии для различных упругих тел. Уравнение C.3.1)
при этом являлось базовым для определения обобщенного решения
соответствующих краевых задач. Подобное построение будет про-
ведено далее для некоторых нелинейных задач.
Напомним, что функционал Ф(х) называется слабо непрерывным
при х = х0, если для любой слабо сходящейся в И последовательно-
266
ста {*„}, соответствующая числовая последовательность (я)}
является сходящейся к Ф(х0) при к -> да. Функционал Ф(х) называ-
ется слабо непрерывным на некотором открытом множестве
S с Н, если он слабо непрерывен в каждой точке этого множества.
Это и подобные ему определения копируют определения из
классического математического анализа с соответствующими изме-
нениями.
Определение-3.3.2. Заданный на действительном гильбертовом
пространстве Я функционал Ф(х) называется растущим, если вы-
полнено условие
inf Ф(х) -> оо при R -> оо .
В Теореме 3.3.1 мы сформулировали необходимое условие су-
ществования точки экстремума дифференцируемое функционала.
Теперь мы установим некоторые достаточные условия, которые
имеют важные приложения в нелинейных задачах механики.
Лемма 3.3.1. Слабо непрерывный на действительном гильбер-
товом пространстве Н функционал Ф(х) ограничен на 'слабо замк-
нутом ограниченном множестве Q с Н и принимает на Q свое
наибольшее и наименьшее значение.
Отметим, что формулировка данной леммы напоминает форму-
лировку теоремы о наибольшем и наименьшем значении непрерыв-
ной функции, заданной на компакте пространства R". Ниже мы
увидим, что и доказательство этой леммы также весьма схоже с
классическим.
Доказательство. Покажем сначала, что функционал Ф(х) огра-
ничен на Q. Предположим от противного, что функционал Ф(х)
неограничен на Q, например, сверху. Это значит, что существует
такая последовательность {х,}сб, что Ф(х„)->оо при я-к».
Поскольку последовательность {х„} является ограниченной в гиль-
бертовом пространств, то она содержит подпоследовательность
\хп\, слабо сходящуюся к некоторому элементу д^, который не-
обходимо принадлежит множеству Q. Поэтому
MxHlj I -> Ф(х0) < оо при пк -> да,
что противоречит предположению.
267
Итак, ограниченность функционала Ф(х) сверху мы установи-
ли. Аналогично устанавливается ограниченность снизу. (Задача:
как установить ограниченность функционала снизу, не прибегая к
повторению рассуждений?)
Пусть теперь d = inf Ф(х) на Q. Покажем,, что существует неко-
торая точка Zo множества Q, в которой Ф(х) принимает значение d.
По определению точной нижней грани существует последователь-
ность |г„} с Q такая, что Ф(г„) -> d при я -> да. Из этой последо-
вательности \zn) выбираем слабо сходящуюся подпоследователь-
ность, чей предел Zq необходимо принадлежит Q. В силу слабой
непрерывности функционала Ф(х) имеем, что ф(*л<) -> ф(^о) и, од-
новременно, ф(гл< )-></, что означает, что Ф(го) = </, ч.т.д.
Заметим, что замкнутый шар B[R) = 1х:Щ\< R\ с центром в
нуле, как мы уже установили ранее, является слабо замкнутым и
Офаниченным множеством гильбертова пространства. Таким обра-
зом, слабо непрерывный функционал принимает на B(R) свои
наибольшее и наименьшее значения.
Отметим, что многие статические задачи механики в обобщен- '
ной постановке могут быть сведены к задаче нахождения критичес-
ких точек функционала
со слабо непрерывным функционалом Ф(х). Сам функционал
ф(х) не является слабо непрерывным, поскольку имеется квадра- "
тичный член |х||2 , а потому Лемма 3.3.1 не может быть применена
к данному функционалу непосредственно. Однако имеет место
следующая теорема.
Теорема 3.3.2. Пусть Ф(х) есть слабо непрерывный функцио-
нал. В шаре B(R) = (х:||дг| < /tj функционал ?(х) = ||х|2 + Ф(х) при-
нимает свое наименьшее значение. ;
Доказательство. По Лемме 3.3.1 функционал Ф(х) является ог- .
ранйченным снизу на B(R). Следовательно, и функционал Y(xV
является Офаниченным снизу на B{R). Пусть d = infi'(x) на B(R) .
и пусть, далееАх„} есть последовательность, минимизирующая i
функционал Ч'(х) на B(R), т.е. Ч?(х„)-> d при «-><». Без Офа-
ничения общности мы можем считать, что эта последовательность ~
сходится слабо к некоторой точке х0 е B(R). Из этой последова- ,
тельности (хл| мы можем выбрать такую подпоследовательность
[х„к J , что Хх„к 1 -> а, где а < R. Переобозначим данную подпосле-
довательность через {хя}.
268
Покажем сначала, что ||хо||<д. Действительно, из слабой схо-
димости последовательности {*„} к Хо заключаем, что
2
о
Следовательно,
2
хо||2 = Нт1(хл,х0)|<; \mjxn\\\\x0\\ = a§x0\\:
Поэтому ||хо||:?а.
Так как Ф(х) - слабо непрерывный функционал, то получаем,
что ф(х„)->ф(х0) при и->оо и, одновременно, x?(xn)->d=a2+<b(x0).
Так как х0 е B(R), то
*Ы = Ml2 + Ч*о) * ДЛ)*(Х) = * -fl2
Поэтому Цхо|| > а. Совместно с доказанным выше неравенством
|хо| < а это влечет за собой равенство |хо| = а, а потому точка д^ и
есть та точка внутри шара, в которой функционал принимает свое
минимальное значение d.
Замечание. Подпоследовательность |х„ ) из доказательства лем-
мы сходится слабо к точке Xq, и показано, что последовательность
ее норм сходится сильно к норме элемента д^. Поэтому подпосле-
довательность \х„к | сходится к элементу л^ сильно.
Определение 3.3.3. Предположим, что inf Ф(х) = d >-ао на Н.
Последовательность {хл} называется последовательностью, мини-
мизирующей функционал Ф(х), если Ф(х„)-></ при л->оо.
При доказательстве Теоремы 3.3.2 мы установили, что в усло-
виях теоремы всякая минимизирующая функционал *F(x) последо-
вательность содержит подпоследовательность, сильно сходящуюся
к элементу, реализующему минимум этого функционала.
Теорема 3.3.3. Пусть на гильбертовом пространстве Н задан ра-
стущий функционал *Р(х) = ||дг||2 + Ф(х) такой, что Ф(х) является
слабо непрерывным функционалом на Н.
Тогда
Сосуществует такой элемент хоеН, на котором функционал
?(х) принимает свое минимальное значение;
B) любая последовательность, минимизирующая функционал
ф(х), содержит некоторую подпоследовательность, которая
сходится сильно к элементу х& более того, любая слабо
269
сходящаяся минимизирующая последовательность сходится
сильно к элементу, который минимизирует функционал ?(х);
C) если точка минимума Хд функционала 4>(х) единственная, то
любая минимизирующая последовательность сходится к х$
сильно;
D) Если в точке минимума х$ существует grado(x), то в этой точке
2х0 + grad Ф(х0) = 0.
Доказательство. По Теореме 3.3.3 на любом замкнутом шаре
||дс|| < R функционал ?(х) принимает свое минимальное значение.
Так как функционал ч(х) является растущим, то всегда можно
указать такой достаточно большой радиус R, что минимальное зна-
чение Щх) необходимо принимается в некоторой точке х$ внутри
сферы радиуса R, т.е. что ||дго||<Л. Утверждения A)
и B) теоремы следуют непосредственно из формулировки Теоремы
3.3.3 и замечания к последней. Утверждение D) следует из
Теоремы 3.3.1. Доказательство утверждения C) проводится точно
по той же схеме, которая использовалась в начале рассуждений на
шаге 4 из §1.23, а потому оставляется читателю для самостоятель-
ной работы. Таким образом, доказательство теоремы завершено.
Для практического решения задачи минимизации функционала
часто применяется метод Ритца. Посмотрим, что можно сказать об
этом приближенном методе решения задачи на основании Теоремы
3.3.3. Приведем сначала уравнения метода Ритца.
Пусть g\,g2,gi,-- ~ система элементов, являющаяся полной в
Н, такая, что любая ее конечная подсистема является линейно
независимой. Обозначим через Н„ подпространство И, натянутое
на я первых элементов системы g\,...,gn.
Задача приближенной минимизации функционала ?(х) мето-
дом Ритца формулируется следующим образом.
Задача 3.3.1. Найти элемент хп, минимизирующий функцио-
нал ч(х) на подпространстве #„.
Если функционал *F(jc) имеет градиент grad Ч*(х), то уравнения
метода Ритца на л-ом шаге имеют вид:
Теорема 3.3.4. В условиях Теоремы 3.3.3 справедливы следую-
щие утверждения:
270
A) для любого целого положительного я существует решение
системы х„ ? Н„ метода Ритца я-го шага для нахождения
минимальной точки функционала Ч'(х);
B) последовательность приближенных решений метода Ритца
является минимизирующей последовательностью функционала
у(х);
C) последовательность {*„} содержит по меньшей'мере одну слабо
сходящуюся подпоследовательность, слабый предел которой
минимизирует функционал т(х);
D) каждая слабо сходящаяся подпоследовательность из
последовательности {*„} сходится сильно к некоторому
элементу, минимизирующиму функционал ?(х); Если
минимизирующий элемент является единственным, то
вся последовательность приближений {*„} сходится сильно в И.
Доказательство. Утверждение G). Разрешимость системы урав-
нений метода Ритца на каждом шаге следует из Теоремы 3.3.3.
Утверждение B). Пусть х„ решение системы уравнений метода
Ритца я-го приближения. Пусть Xq - решение основной задачи, т.е.
4>(хо) = d=inf ?(х).
Так как система14элементов g\,gi,gi,--- является полной, то су-
ществует такая последовательность элементов дМ 6 Нп, что
п,
к, - х("ч = 5„-> 0 при «-><».
Так как Ч?(х) - непрерывный функционал, то получаем, что
е„ -> 0 при я -> оо .
Однако элемент х„ минимизирует функционал Ч*(х) на #„, что оз-
начает, что
d = ^
Следовательно, заключаем, что
|ч'(хя)-Ч'(х0)|<ея->0 при я -> оо,
а потому последовательность {х„} является минимизирующей для
функционала Y(x). Два других утверждения теоремы непосред-
ственно следуют из утверждений Теоремы 3.3.3, что и завершает
доказательство теоремы.
271
Отметим дополнительно, что Теорема 3.3.4 имеет применение
как к линейным, так и к нелинейным задачам механики.
3.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАРМАНА
ДЛЯ ПЛАСТИНЫ
Попробуем применить Теорему 3.3.4 к нелинейной краевой за-
даче равновесия пластины, описываемой уравнениями Кармана в
области ?1 с R2:
2 [] + q, C.4.1)
C.4.2)
где w(x, у) есть нормальное перемещение точек срединной плоско-
сти О пластины, q нормальная внешняя нагрузка на пластину,
f(x, у) есть функция напряжений Эйри и
г , д2и B2v 82u 82v . д2и 82v
11/ у I — _____ л. _ _ , _.
1 ' J дх2 дх2 ду2 ду2 ВхдудхВу
Дополним данные уравнения граничными условиями Дирихле для
искомых функций w и/
8w = 0, C.4.3)
Рассмотрим теперь систему интегро-дифференциальных урав-
нений
a(w, Ф) = B(f, w, Ф) + J </ф сШ , C.4.5)
я(/,л)=-%,и\л), C.4.6)
где
a(u,v) =
^ Лд2и(д2у | у d2v\ t ^ v 82и д2у ^ д2и (д2у
1\дх2 {дх2 + V 8у2) + ^ "дхду дхду + ду2 {ду2
d2fdw
и v есть коэффициент Пуассона, 0 < v < ^.
272
Отметим, что с точностью до постоянного множителя квадра-
тичная форма a{u,v) есть скалярное произведение A.10.4) в энерге-
тическом пространстве для изотропной пластины. Мы будем ис-
пользовать этот факт далее.
Предположим, что функции w и / удовлетворяющие краевым
условиям C.4.3) и C.4.4), принадлежат пространству С™/я} и
удовлетворяют уравнениям C.4.5) и C.4.6) при любых функциях <р и
х\ из С^(п), также подчиняющихся краевому условию C.4.3).
Обычные методы вариационного исчисления приводят нас к заклю-
чению, что пара функций (и>, /) есть классическое решение уравне-
ний Кармана C.4.1), C.4.2) с соответствующими краевыми услови-
ями C.4.3), C.4.4). Это означает, что мы можем использовать
уравнения C.4.5), C.4.6) для введения обобщенного решения дан-
ной задачи. Отметим, что уравнение C.4.5) выражает принцип
возможных перемещений для пластины, в то время как уравнение
C.4.6) есть уравнение совместности. Итак, мы вводим определе-
ние.
Определение 3.4.1. Пара элементов (w,f), где w,f еЕп0, на-
зывается обобщенным решением задачи C.4.1—4), если данные
элементы удовлетворяют интегро-дифференциальным уравнениям
C.4.5), C.4.6) при любых <р, tj e Еп0.
Для корректности данного определения нагрузка q = д(х,у) дол-
жна быть такой, чтобы член \qydCl имел бы смысл в энергети-
ческом пространстве Еа0 (в данном случае это означает, чтобы он
был непрерывным линейным функционалом в Е^). Для этого дос-
таточно предположить, скажем, что q = д[х, у) е L(Cl) (см. §1.14).
В рамках определения 3.4.1 все члены уравнений C.4.5) и
C.4.6) имеют смысл, поскольку все первые производные входящих
в них функций принадлежат Lp(Ct) при любом /><». Действи-
тельно, типовой нелинейный член уравнений, который отсутству-
ет в соответствующей линейной задаче, является ограниченным,
как это следует из неравенств:
8хг ду ду
f
ex2
8w
ду
?l\
дф
~ду~
. C.4.7)
Мы могли бы привести здесь функционал (потенциал), для
которого левая часть уравнений C.4.5) и C.4.6) является
273
градиентом. К сожалению, этот функционал не удовлетворяет
всем условиям Теоремы 3.3.4. Поэтому мы переформулируем зада-
чу относительно единственной неизвестной функции м>. При этом
задача нахождения обобщенного решения сводится к задаче нахож-
дения критических точек некоторого функционала, который доста-
точно легко поддается исследованию посредством Теоремы 3.3.4.
Приступим к реализации этого плана и исключим переменную/
из обобщенной формулировки задачи. Итак, пусть w - произволь-
ный фиксированный элемент из Еа0. Рассмотрим выражение
B(w, w, ti) как функционал относительно переменной х\ в простран-
стве Ejfi. Очевидно, что этот функционал линеен по ц. С учетом
теорем вложения в Еп0 из неравенства C.4.7), выписанного для ти- ¦
пового члена этого функционала, имеем:
т. е. данный функционал является непрерывным по г| при любом
фиксированном w е Еп0. Поэтому мы можем применить теорему
Рисса о представлении непрерывного линейного функционала, по-
лучая
- B(w, w, ц) = (с, ч)?п = а(с, х\) .
Будучи определенным единственным образом элементом wgE^,
элемент с е Еп0 может рассматриваться как значение некоторого
нелинейного оператора с = C(w), а потому имеем равенство
-B{wr\). C.4.8)
Сначала исследуем свойства оператора С. Введем определение.
Определение 3.4.2. Оператор А, отображающий из банахова
пространства X в банахово пространство Y, называется компакт-
ным, если он является непрерывным в X и отображает каждое огра-
ниченное множество в предкомпактное. Оператор называется уси-
ленно непрерывным, если он отображает каждую слабо сходящуюся
в X к произвольному элементу Хд последовательность {*„} в после-
довательность Ы(хл)}, сильно сходящуюся к Л(*о).
Отметим, что для линейного оператора оба определения, а
именно, компактного и усиленно непрерывного оператора, экви-
валентны определению вполне непрерывного оператора.
274
Лемма 3.4.1. Усиленно непрерывный оператор F, действую-
щий из гильбертова пространства Н в банахово пространство Y,
является вполне непрерывным.
Доказательство. Оператор F является непрерывным, поскольку
сильно сходящаяся последовательность является одновременно и
слабо сходящейся. Возьмем произвольное ограниченное множе-
ство S в Н. Пусть [х„] — произвольная последовательность из S.
Так как S — ограниченное множество, то мы можем выбрать из
{*„} подпоследовательность \х„\, которая слабо сходится к неко-
торому элементу х0 е Н. По определению усиленной непрерыв-
ности оператора получаем, что последовательность Шх^Ц схо-
дится сильно к F[x0). Это означает, что множество F(S)
является предкомпактным, ч.т.д.
Известно, что в гильбертовом пространстве существуют нели-
нейные компактные операторы, которые не являются усиленно не-
прерывными.
Следствие 3.4.1. Если F - усиленно непрерывный оператор,
то Ц/^Хо)! есть слабо непрерывный функционал в Н.
Доказательство. Очевидно. .
Теперь мы можем доказать следующую лемму.
Лемма 3.4.2. Оператор C{w), определенный соотношением
C.4.8), является усиленно непрерывным.
Доказательство. Начнем с вывода одного интегрального тожде-
ства. Для достаточно гладких функций u,v,w, принадлежащих од-
новременно пространству ?„0, интегрированием по частям элемен-
тарно выводятся равенства:
В(и, v, w) = B(v, и, w) = B(v, w, и) = B(w, и, v). C.4.9)
Предельный переход в этих равенствах показывает, что они спра-
ведливы и для .произвольных элементов u,v,w, принадлежащих
?„0. Следовательно, имеет место равенство
j ду2 \ду) дх2 дхдудхду]
Далее, возьмем произвольную последовательность {wn} из
слабо сходящуюся к некоторому элементу w0 в Ем, и рассмотрим
разность
275
\a(C(wn) - С(и-о), л)| = \B{wn, wn, ц) - B(w0, w0, n)\.
Используя неравенство Гельдера, оценим типовой член правой ча-
сти данного равенства следующим образом:
дх дх ){ дх дх ) ду2
Y"H dwJ
дх дх
U4(n)\
дх
дщ
дх
Вследствие теорем вложения, справедливых для элементов про-
странства Еп0, которое есть подпространство пространства
И'2-2(о), получаем, что
dw.
дх дх
(к!к+ЫкI
Благодаря ограниченности слабо сходящейся последовательности
отсюда имеем:
dn < m2\wn -
где тк — некоторые постоянные.
Собирая все эти оценки вместе, получаем, что
Полагая в последнем неравенстве r\ = C(wn)-C(w0), мы, нако-
нец, выводим, что
0 при л -> оо,
так как оператор вложения H^i2(Q) в H^I>4(Q) является усиленно
непрерывным. Таким образом, мы показали, что оператор С яв-
ляется усиленно непрерывным, ч.т.д.
276-
Пользуясь данной леммой, мы можем рассмотреть уравнение
C.4.6) с произвольным элементом к> е ?п0. Оно, очевидно, име-
ет единственное решение
f = C{w). C.4.10)
Если последовательность {wn} сходится слабо к w0 в ?^>, то по
Лемме 3.4.2 заключаем, что последовательность {/„} = {С(и>„)| схо-
дится сильно к элементу /0 = C(w0).
С этого момента мы считаем, что элемент / выражен однознач-
но через элемент w посредством равенства C.4.10). Более того, мы
будем говорить о функции w как о решении задачи, подразумевая,
что по функции w однозначно определена пара [w, /), где
/ = С(и»), которая и есть обобщенное решение задачи.
Подставим значение / = C(w) в уравнение C.4.5).
Вследствие оценок типа C.4.7) при фиксированном w e Еп0
заключаем, что функционал
B(f,w,<p) + lq<pda, f = C(w)
n
является непрерывным и линейным по переменной <р в простран-
стве ?„(). Применяя теперь теорему Рисса о представлении непре-
рывного линейного функционала в гильбертовом пространстве, мы
можем записать
B(C(w), w, Ф) + J q Ф da = a(G, q>),
п
где элемент G е ?п0 определен однозначно элементом w e Еп0. Та-
ким образом, мы ввели некоторый оператор, который мы обозна-
чим как G[w), действующий в Еп0. Он задан равенством:
() QAM)
n
Практически тем же способом, что и в Лемме 3.4.2, доказыва-
ется следующая лемма.
Лемма 3.4.3. Оператор G является усиленно непрерывным в Еп0.
Доказательство мы оставляем читателю.
Теперь становится очевидной справедливость следующей леммы.
277
Лемма 3.4.4. Система уравнений C.4.5), C.4.6), определяю-
щая обобщенное решение задачи, эквивалентна операторному
уравнению
w = G(w) C.4.12)
с усиленно непрерывным оператором G, действующим в Е^.
Введем функционал
1 * п
где элемент/определяется соотношением C.4.8) через и\
Ключевым моментом рассуждений данного параграфа является
следующая лемма.
Лемма 3.4.5. При любом w e Еп0 имеет место равенство
gradJ(w) = w-G(w). (ЗА 13)
Доказательство. В соответствии с определением градиента
функционала рассмотрим производную
df(w + /<р)
dt /=o " ч~" ' »=o n
где / = C(w + /ф). Очевидно, что
Используя определение C.4.8) оператора С и учитывая равенство
B(w,y,t))= B(<p,w,r\), являющееся частным случаем C.4.9), мы мо-
жем непосредственно получить, что
' l/=0
Следовательно,
a]
и* " j
/=0
Последнее равенство есть следствие равенств C.4.9).
278
Отсюда получаем, что
dJ(w + Лр)
dt ,=о
Вследствие C.4.11) имеем
' = a[w, ф) - a(G(w), <р) = a(w - G(w),
dt
что по определению градиента функционала и означает, что равен-
ство C.4.13) выполняется, ч.т.д.
Комбинируя Леммы 3.4.4 и 3.4.5, получаем лемму.
Лемма 3.4.6. Любая критическая точка функционала J(w),
точнее, пара (w, С(и»)), где w есть критическая точка функционала
J(w), является обобщенным решением задачи равновесия пласти-
ны в смысле Определения 3.4.1.
Итак, мы свели задачу нахождения обобщенного решения (Оп-
ределение 3.4.1) к проблеме нахождения критических точек функ-
ционала J(w). В частности, существование решения задачи ми-
нимизации функционала J(w) будет означать существование
обобщенного решения данной задачи.
Чтобы применить теперь Теорему 3.3.3, остается только прове-
рить выполнение ее условий.
Лемма 3.4.7. Функционал 2J{w) является растущим и имеет сле-
дующую структуру \\wf?^ +<bl(w) где Ф,(w) = -a(f,f)- 2JnqwdCl
есть слабо непрерывный функционал и / определено соотношением
C.4.10).
Доказательство. Имеем оценку
Поскольку нагрузка q такова, что ]aqwdn есть непрерывный ли-
нейный функционал в Е^, то
Это показывает, что функционал 2J(w) является растущим.
279
Слабая непрерывность функционала Ф^и») вытекает из След- \
ствия 3.4.1 и Леммы 3.4.2 для формы о(/,/) = |<7(w)| , а также
из того факта, что линейный непрерывный функционал является
слабо непрерывным по определению, н.т.д. \
Итак, теперь мы можем переформулировать Теорему 3.3.3 для ;
данной задачи следующим образом. ¦
Теорема 3.4.1. Предположим, что нормальная нагрузка ¦
q € Цр). Тогда существует точка минимума и»0 растущего функци-^
онала J(w), которая является обобщенным решением задачи рав-
новесия нелинейной пластины в смысле Определения 3.4.1. Любая :
последовательность, минимизирующая функционал /(и») содержит
подпоследовательность, сильно сходящуюся к некоторой точке ми-
нимума данного функционала, которая является обобщенным ре-
шением данной задачи.
Мы предоставляем читателю возможность переформулировать са<-
мостоятельно Теорему 3.3.4 для данной задачи, показав сходимость
метода Ритца. Отметим, что в данной модификации метода необхо-
димо решать уравнение C.4.6) точно относительно функции / на
каждом шаге. На самом деле это вовсе необязательно. Не слишком
сложной задачей является обоснование модификации метода Ритца,
когда и уравнение C.4.6) решается приближенно методом Ритца на
каждом шаге приближений. Мы не будем доказывать этот факт, ос-
тавляя читателю возможность проверить свои силы.
3.5. ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ
Займемся теперь некоторыми прикладными вопросами. А
именно, рассмотрим проблему выпучивания тонкой пологой обо-
лочки, описываемой уравнениями типа Кармана. Приведенные
результаты были получены И.И. Воровичем в докторской диссерта-
ции в 1957 г.
Будем рассматривать проблему устойчивости так называемого
безмоментного состояния оболочки. С учетом того, что край обо-
лочки жестко зажат, это означает, что для безмоментного решения
выполнено w = 0. Предположим внешнюю нагрузку изменяющейся
пропорционально числовому параметру X. Мы видим, что при лю-
бом значении параметра X существует безмоментное напряженное
состояние оболочки. Выпишем уравнения равновесия оболочки:
280
d2w -_ d2w _ dw P dw
2TFF
C.5.10)
А2/= -B[г, *] + [*,*]). C-5.1*)
Задача рассматривается при краевых условиях Дирихле
dw
дп
-А
еп
Ё1
дп
= 0. C.5.2)
Здесь z = z(x,y) еС*3чп\ - уравнение срединной поверхности обо-
лочки. Предполагается, что тангенциальные напряжения ТиТ2,Т12
определяются независимо внешней нагрузкой, а потому они счита-
ются заданными и принадлежащими 12(п). Кроме того, они,
как это предполагается во время вывода уравнений равновесия,
удовлетворяют уравнениям плоской теории упругости при некото-
рых заданных тангенциальных внешних силах (/), F2). Здесь мы
используем обозначения двух последних параграфов.
Уравнения для обобщённой постановки данной задачи имеют
вид: f , \\
I \ , П т 8w dm _, dw dm _ I dw dm dw dm jl , ,
о(и',ф) = Я. Г,—- -г- + Тг—^- + Т\2\-т- -г- +-Г- ~r- \\dxdy +
v т; }п{ ' dx dx l dy dy u{dx dy dy dxj)
+ B(f,w + z,m), C.5.3)
a(f,4) = -2B(Z, w, ц) - B(w, w, ц). C,5.4)
Используя стандартные средства вариационного исчисления,
мы можем из двух данных соотношений, выписанных при произ-
вольных ф и т), вывести уравнения C.5.1), если предположить дос-
таточную гладкость решений. Обратно, данные уравнения C.5.3),
C.5.4) можно также получить из уравнений C.5.1) достаточно тра-
диционными методами. Сформулируем определение.
Определение 3.5.1. Пара элементов w е?п0,/ еЕп0 называется
обобщенным решением задачи C.5.1), C.5.2), если она удовлетво-
ряет уравнениям C.5.3), C.5.4) при любых ф е?п0 и г\ еЕп0.
Рассматриваемая задача всегда имеет тривиальное решение
w = 0, / = 0. Нас интересуют нетривиальные решения данной за-
дачи, т.е. мы хотим изучить данную нелинейную задачу как задачу
на собственные значения.
281
Преобразуем уравнения задачи. Как и в предыдущем парагра-
фе, решая уравнение C.S.4) при фиксированном w мы исключим
из уравнений функцию напряжений / Очевидно, что имеет место
представление
/ = /,+/2, C-5.5)
где элементы f. определяются следующими уравнениями
Используя вновь теорему Рисса о представлении непрерывного ли-
нейного функционала в гильбертовом пространстве, мы можем
найти из двух последних соотношений, что
/,=/,*; /2=C(w).
В §3.4 было показано, что оператор С является усиленно не-
прерывным оператором. Оператор L также является вполне непре-
рывным, мы оставляем читателю возможность доказать это само-
стоятельно.
В §3.5 мы ввели самосопряженный оператор С, который сей-
час мы переобозначим через К. В обозначениях данного параграфа
он определяется следующим образом.
_/р- \ t(r dw да _ dw да _, (dw да dw даХ) , ,
a(Kw,a)= Т, — + Т7 — + Т,7\ — + — \\dxdy.
V ' \У дх дх 2 ду ду l\dx ду ду дх)) у
Как это следует из теорем вложения в пространстве ?п0, оператор
К является вполне непрерывным.
Применяя теорему Рисса о представлении непрерывного линей- *
ного функционала в гильбертовом пространстве к уравнению
C.5.3), в котором элемент / определен посредством соотношения а
C.5.5), мы выводим операторное уравнение для обобщенного ре- .
шения задачи о выпучивании оболочки:
) = 0. C.5.6)
Достаточно традиционно для данной книги доказывается, что опе-
ратор G(X, w) по переменной w € ?п0 является усиленно непрерыв-
ным. Это также оставляется читателю для самостоятельной работы.
Следующим шагом в данном параграфе мы вводим функцио-
нал, чьи критические точки определяются уравнением C.5.6).
282
Этот функционал имеет вид:
где
Отметим, что функционал 3(Х, и») является функционалом полной
энергии системы «оболочка—нагрузка».
Лемма 3.5.1. Для любого w e Еп0 имеет место
grad 3(X, w) = и; - G(\, w). C.5.7)
Доказательство данной леммы совершенно аналогично доказа-
тельству Леммы 3.4.4, а потому оставляется читателю.
Теперь рассмотрим функционал о(/,/), где/введено посред-
ством C.S.S). Имеет место представление
где
A3(w) = 2a(fl,f2) = -4B(z,w,f2), Mw) = a{f2>f2) = {Ц/к »,»>)¦
Здесь функционалы Ak(w) являются однородными функционалами
порядка к, т.е. имеет место равенство
Мы снова'предоставляем читателю возможность самостоятельно до-
казать, что функционал a{f,f) и все его составляющие части, яв-
ляются слабо непрерывными функционалами на Ем (смотри также
Следствие 3.4.1).
Очевидно, что и У(Х, w) является слабо непрерывным функцио-
налом по w на Еп0. Таким образом, справедлива следующая лемма.
Лемма 3.5.2. Для любого действительного числа 1 функционал
3(Х,и>) имеет вид
где функционал ?(>., w) является слабо непрерывным.
283
Теперь мы введем предположение.
Предположение 3.5.1.
/(и»)>0 для любого w € ?п0, и»*0. C.5.8)
Физически данное предположение означает, что напряженное со-
стояние почти во всех точках оболочки является сжимающим.
Со времен Эйлера для изучения устойчивости невыпученного
(безмоментного) напряженного состояния, упругой конструкции
решается задача, которая получается в результате линеаризации
нелинейных уравнений относительно основного состояния. В
данном случае такое уравнение имеет вид:
a(w, и-) + i o(/, ,/,)]= X grad J(w). C.5.9)
Наименьшее собственное значение данной задачи, обозначенное
ХЕ и называемое нижней критической эйлеровой нагрузкой, обычно
рассматривается как значение нагрузки, при которой основная
форма равновесия оболочки теряет устойчивость. Мы проанализи-
руем применимость данного метода для оболочки.
Начнем наш анализ с задачи на собственные значения C.5.9).
Лемма 3.5.3. Уравнение C.5.9), рассматриваемое как задача на
собственные значения в пространстве ?п0, имеет счетное множе-
ство собственных значений Хк > 0.
Доказательство. Заметим сначала, что новое скалярное произ-
ведение j
(w, <р) = a(w, <р) + - a(Lw, Lf)
индуцирует на Еп0 норму, которая эквивалентна норме простран-
ства Ем, так как
a(w, w) < (и», w) < m a(w, w).
Используя данное скалярное произведение в ?п0, мы можем
переписать уравнение C.5.9) в новой форме
где оператор Кх вводится формулой
lv \ t(>rdwdif> т Sw 5Ф т (dw dtp dw dcpYl , ,
{K,w,a>)= T, + Г,—' —+ 7i2 ~ + -\\dxdy.
x ' v/ \^хдхдх 2 dy dy i2{dx dy dy dxj) y
284
Как легко видеть, оператор А",, как и оператор К, является строго
положительным в силу сделанного выше Предположения 3.5.1. Та-
ким образом, для данного оператора выполнены все предположе-
ния Теоремы 2.14.2, которая относительно данного оператора дела-
ет даже более сильные утверждения, чем формулируемые в
доказываемой лемме, ч.т.д.
Теперь заметим, что для тривиального решения w = / = 0 пол-
ная энергия 3(Х, и») = 0, а для безмоментного напряженного состо-
яния оболочки 3(Х,и»)>0. Как известно; состояние оболочки,
когда 3(Х, w) принимает минимальное значение, является устойчи-
вым. Поэтому мы сейчас интересуемся, главным образом, той об-
ластью нагрузки, то есть областью значений параметра X, где фун-
кционал полной энергии 3(Х, и») может принимать отрицательные
значения. Сформулируем теорему.
Теорема 3.5.1. Предположим, что 7|,7]2,Г2 е/.2(о), выполне-
но условие C.5.8) и wE есть собственная функция линеаризованной
краевой задачи C.5.9), соответствующая эйлерову критическому
значению ХЕ. Тогда для любого значения X такого, что
. d>f AUwe)
> X* = ХЕ - лл,\, C.5.10)
AA{w)J{w)
существует еще одно нетривиальное решение нелинейной краевой
задачи C.5.6), которому соответствует отрицательное значение
полной энергии 3(Х, w).
Доказательство данной теоремы является следствием трех пос-
ледующих лемм. Первая из них является вспомогательной.
Лемма 3.5.4. Предположим, что w е Еп0 удовлетворяет урав-
нению
^-И'=. C.5.П)
дх2 ду2 Кдхду)
почти всюду в С1, что означает, что левая часть уравнения равна
нулю как элемент пространства L(n). Тогда w = 0.
Доказательство. Если и'еС'^(о), то уравнение C.5.11) озна-
чает, что гауссова кривизна поверхности z = и»(х, у) равна нулю, то
есть данная поверхность является развертывающейся. Благодаря
краевому условию C.5.2) отсюда следует, что w = 0.
28S
Пусть теперь w не принадлежит c'2'(fi). Используем другой
путь доказательства в этом случае. Непосредственным интегриро-
ванием по частям следующее тождество легко проверяется для
гладких функций (из C^\ci)) таких, что w еЕп0 и F еИ/'2>2(п):
d2F dw d2F dw\ 8w ( ( 82F dw d2F dw\ dw)
d ду ду2 дх) 8х +{дх8у дх дх2 ду) 8у
Ja[dx2 ду2 Кдхду)
Затем предельным переходом это тождество распространяется на
произвольные пары элементов weEn0 и Feff2'2(n). Полагая в
данном тождестве
мы получаем для элемента w, удовлетворяющего уравнению
C.5.11), равенство
которое совместно с краевыми условиями для элемента w е Еп0 и
завершает доказательство леммы.
Лемма 3.5.5. При любом положительном значении X функцио-
нал 3(Х, w) является растущим, т. е. Щк, w) -*¦ <ю, если |м^|? ->«.
Доказательство. На единичной сфере S = iw. a(w, w) = l| дро-
странства Еп0 рассмотрим подмножество
a(w,w)XJ(w)>.
которое обозначим через 5,. На образе множества 5,, определен-
ном центральной проекцией элемента w на сферу радиуса R (то есть
при отображении w н> Rw), получаем
C-5.13O
так как J(Rw) = R2J(w). \
286
Рассмотрим теперь функционал 3(А.,/?и>) на множестве
w € 52 = S \ 5[. Здесь имеет место неравенство
ta(w,w)-XJ(w)zt _ C.5.14)
Сначала введем слабое замыкание множества S2 в. Еп0 и обозначим
его 52.
Покажем, что множество 52 не содержит нуля. Предположим от
противного, что S2 содержит нуль пространства Еп0. Тогда суще-
ствует такая последовательность {wH} с S2, что a(wn,wn) = 1 и пос-
ледовательность {и>„} сходится слабо к нулю в Е^ (или, что то же
самое, в W2'2(fl)). По теореме вложения в fV2'2[Cl) заключаем, что
последовательность первых производных от |wn} сходится сильно в
пространстве Lp(d) при любом р< оо, а, следовательно, J(wn) -> О
при л -> оо. Но это противоречит неравенству C.5.14), так как
2" 2 v "' "' 4
Следующим шагом мы покажем, что для всех элементов w е 52
имеет место неравенство
4,(w)^c0 C.5.15)
с положительной постоянной с^, не зависящей от выбора w e 52.
Предположим от противного, что такой постоянной не существу-
ет. Тогда найдется такая последовательность {wn}<zS2, что
jU(wn) -* 0 при л -> оо. Данная последовательность содержит неко-
торую подпоследовательность, слабо_ сходящуюся к некоторому
элементу wQ. Поскольку множество 52 является слабо замкнутым,
то элемент w0 принадлежит 52. Так как A4(w) есть слабо непре-
рывный функционал, то имеем равенство
Последнее означает, что
Возвращаясь теперь к определению /2, а именно, к уравнению
(/n) = -*(w»w.n)» получаем, что
287
или, что то же самое, что
ду2 (дхду) )
для произвольного элемента ц е ?п0. Так как множество элемен-
тов ?j,o плотно в L2(Cl), то имеем равенство
d2w0 д2щ ( d2w0>\
дх2 ду2 (дхду)
которое справедливо почти всюду в области Q. Отсюда по
Лемме 3.5.4 следует, что wo(x,y) = O. Последнее противоречит
факту, что wQ принадлежит множеству S2, которое не содержит
нуля.
Так как на S функционал A3(w) является ограниченным,
[w)| ? сх, то вследствие неравенства C.5.15) имеем оценку
3(k,Rw)*c0RA -0-R2 +c{R:
при всех w € S2 ¦ Поэтому при достаточно больших значениях пара-
метра R и всех w eS с учетом C.5.13) получаем, что
Последнее неравенство означает, что функционал 3(k,w) является
растущим, ч.т.д.
Используя Теорему 3.3.3, заключаем, что для произвольного
положительного значения к функционал 3(x.,w) принимает свое
минимальное значение на ?"п0. Однако w = 0 есть также критичес-
кая точка данного функционала. Чтобы завершить доказательство "
Теоремы 3.5.1, достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 3.5.6. При условиях Теоремы 3.5.1 минимальное значе-
ние функционала полной энергии 3(А., w) является отрицательным,
если к удовлетворяет неравенству C.5.10).
Доказательство. Рассмотрим значения функционала 3(A.,cw),
где с — некоторая положительная константа, определенная ниже.
Очевидно, что ¦
3(Х., cwE) = с2 — a(wE, wE) + — a(LwE, LwE) - kJ(wE) + c3A3{wE) + c*A^^
288
Здесь учтено, что'/i = LwE. Из C.5.9) следует, что
-a[wE, wE) + -a(LwE,LwE) = XEJ(wE).
Поэтому
= c*{(X? - k)J(wE)
/2
{ j
Минимум величины 3(X,cwE)/c2, рассматриваемой как функция
переменной с, принимается при значении с, которое равно
е._ 1 МЫ
2
Это минимальное значение3(X,cw?)/c2 равно
Итак, при значениях X, удовлетворяющих неравенству C.5.10),
получаем
Следовательно, при тех же X и элементе wQ, минимизирующим
3(X,w), и подавно имеем
3(X,w0)<0,
что и завершает доказательство Леммы 3.5.6, а, следовательно, и
Теоремы 3.5.1.
Имебт место важное следствие Теоремы 3.5.1..
Следствие 3.5.1. Предположим, что существует такой соб-
ственный элемент wE (см. уравнение C.5.9)), соответствующий
эйлеровой критической нагрузке ХЕ, что
Тогда имеет место строгое неравенство
X* < Х?.
Данный факт является фундаментальным в теории устойчивости
пологих оболочек. Из него вытекает, что если -43(w?) * 0, то про-
блему устойчивости оболочки нельзя решать методом линеаризации
289
в окрестности безмоментного напряженного состояния, то есть тем
методом, который использовался Эйлером при изучении устойчиво-
сти бруса. Если A3(wE) * О, то проблема устойчивости пологой обо-
лочки должна решаться в полной нелинейной формулировке.
Теорема 3.5.2. Пусть выполнены условия Теоремы 3.5.1. Су-
ществует такое значение параметра Xt й X*, что при X <Х, нели-
нейная задача C.5.6) имеет единственное решение w = О .
Доказательство. Предположим, что w есть решение уравнения
C.5.6). Напомним, что это означает, что пара элементов w е Еп0
и f = Lw + C(w) удовлетворяет уравнениям C.5.3) и C.5.4) при
произвольных ф, х] е Еп0. Полагая в уравнениях C.5.3) и C.5.4)
Ф = w и л = /» получаем
a(w, w) = 2X J(w) + B(f, w, w) + B{f, z, w),
a(f, f) = -2B(z, w, f) - B(w, w, f).
Суммируя последние два равенства почленно, получаем тождество
a(w,w) + a(f,f)=2XJ(w)-B(z,f,w). C.5.16)
Используя элементарное неравенство (о*) < a2+-J-A2, получаем
оценку
4^4
дх2 ду2 ду2
а
+ -
дх2) [дуЧ +\дхду
dxdy
\8хду)
Интефирование по частям показывает, что
Следовательно, из C.5.16) вытекает, что
>w2dxdy.
dxdy.
290
Теперь мы нуждаемся в следующей вспомогательной лемме, ко-
торая будет доказана позднее.
Лемма 3.5.7. На поверхности Z = |iv| J(w) = l] пространства
?„0 функционал
W = 0(M-iJ R + гт + 2ЬгН \wdxdy
v ' K ' 4i \\dx2J Kdv2J Удхду)
ограничен снизу и принимает свое минимальное значение. Обо-
значим это значение как 2\".
Продолжим доказательство Теоремы 3.5.2. Из формулировки
Леммы 3.5.7 вытекает, что
так как оба функционала I(w) и J(w) являются однородными функ-
ционалами второй степени. Таким образом, из C.5.17) получаем,
что
а из этого неравенства уже непосредственно следует, что при
Данное неравенство возможно лишь при w = 0 , что и заканчивает
доказательство теоремы.
Доказательство Леммы 3.5.7. Пусть [wn] с Z- минимизирую-
щая последовательность для функционала I{w) на Z Предположим
от противного, что минимальное значение функционала I(w) не
достигается, т. е. что существует такая последовательность
{wn} с Z, что I(wn) -^ -оо при п -*¦ оо. Достаточно очевидно, что
при этом 1п„1Е -> °°.
Обозначим V* = wn/\\wn\\E Без ограничения общности мы мо-
жем считать последовательность lw*\ слабо сходящейся к элементу
w* € ?„0. Имеем
291
а потому
:-^г--»° ПРИ «->»•
1
Так как функционал У является слабо непрерывным, то последнее
соотношение означает, что j(wq) = 0. Следовательно, по Предпо-
ложению 3.5.1 имеем wq=0. Таким образом, последовательность
н>* | сходится к нулю слабо.
По теореме вложения для пространства Ем имеем
sup
п
а потому
ah-2
а
Отсюда получаем, что
(w*\ dxdy -? О при л -> oo
— ат > = +оо.
Однако это противоречит предположению, что /(wn)->-oo. Те же
рассуждения показывают, что минимизирующая функционал /
последовательность {и>„} является ограниченной. Тогда некоторая
ее подпоследовательность слабо сходится к элементу w_, который
принадлежит поверхности Z, так как функционал J(wj является
слабо непрерывным. Структура функционала / гарантирует, что
/(и>0) = к" . Доказательство леммы завершено.
В качестве следствия Теоремы 3.5.2 мы получаем следующую
цепочку неравенств:
-«хк" <Х, <Х* <ХЕ <оо. C.5.18)
Из утверждения Леммы 3.5.7 следует, что значение параметра
нагрузки X" может быть определено как наименьшее собственное
значение следующей краевой задачи
grad I(w) = 2bgrad J(w). C.5.19)
Рассмотрим теперь частный случай данной задачи, а именно, за-
дачу устойчивости пластины Кармана. Здесь z(x,y) = 0, а потому
уравнение C.5.19) принимает вид
292 :
grad(o(M>, и>)) = 2k grad J(w).
Однако теперь уравнение C.5.9), определяющее значение эйлеровой
нагрузки к? для пластины, просто совпадает с последним уравнени-
ем, поскольку /| = Lw = 0. Следовательно, кЕ = к**- Поэтому не-
равенства C.5.18) показывают, что для пластины Кармана к, = кЕ.
Сформулируем этот факт как отдельную важную теорему.
Теорема 3.5.3.' При условиях Теоремы 3.5.1 для пластины Карма-
на (фс,у) = О) имеет место равенство к, = кЕ. Другими словами:
1) при k<kt существует единственное тривиальное решение
данной, задачи w = О;
2) при любом к>кЕ существует по меньшей мере еще одно
решение задачи, для которого значение функционала полной
энергии строго отрицательно.
Таким образом, последняя теорема констатирует, что проблему
устойчивости для пластины Кармана можно решать, используя
классический метод линеаризации Эйлера.
Отметим, что имеется большое число работ, посвященных тео-
рии пластины Кармана и нелинейной теории пологих оболочек.
Уравнения Кармана, имея сравнительно простую нелинейную
структуру, привлекали внимание многих исследователей, приме-
няющих методы нелинейного функционального анализа. Они яв-
ляются пробным камнем для проверки полезности многих теорем
функционального анализа.
3.6. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ ТЕОРИИ
УПРУГИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрим простейший вариант нелинейной теории пологих
оболочек, когда геометрия срединной поверхности оболочки отож-
дествляется с геометрией плоскости. Данный вариант теории до-
вольно широко распространен в практике вычислений. Нелиней-
ная теория пологих оболочек в криволинейных координатах была
подробно рассмотрена в книге [2].
Выпишем уравнения, определяющие поведение оболочки, в
обычных для данного варианта теории пологих оболочек обозначени-
ях. А именно, пусть jc, jобозначают координаты на срединной по-
верхности, которая отождествляется с с плоскостью, и, .v —танген-
циальные перемещения, w - нормальное перемещение срединной
293
поверхности, нижние индексы х, у означают соответствующие час-
тные производные по х и у. Уравнения равновесия имеют вид:
*, - Wxx) + N2(k2 - wyy) -2Nl2wyy - F = 0, C.6.1)
2/A - n){(*iw), + vn + »{k2w)x + ц wyWxy} +
wywxy + wxwyy =0, C.6.2o)
2/A - n){(*2w),
+ *y"j, + #1»")^ + ц
+ WfWxy + WyWjx = 0. C.6.24)
где Е, ц, D - упругие постоянные, 0 < ц < |. Рассматривается за-
дача равновесия оболочки под действием нормальной нагрузки F.
Компоненты тензора тангенциальных деформаций есть:
wx2, е2 = vy
?|2 = Uy + Vx + WxWy. C.6.3)
Сформулируем теперь условия, при которых будет получена до-
казательство сходимости метода Ритца, то есть и метода конечных
элементов одновременно, а также теоремы о разрешимости задачи.
Относительно области (I, занимаемой оболочкой, будем пред-
полагать выполненными те же условия, что и ранее. Пусть оболоч-
ка закреплена в направлении нормального перемещения в трех точ-
ках (х1,у/), / = 1,2,3, не лежащих на одной прямой:
»{x,,yi) = 0. C.6.4)
Можно также предположить наличие части границы области Г, (но
это необязательное условие), где выполнено
НГ|=°- C.6.5)
Обозначим через С4 множество функций w, принадлежащих
() и удовлетворяющих условиям C.6.4) и C.6.5).
ля тангенциальных перемещений u,v минимально необходи-
мыми в нашем рассмотрении условиями будут такие, чтобы при их
выполнении было справедливо неравенство Корна, имеющее для
плоской теории упругости следующий вид [10]:
294
j(u2 + v2 + ux2 + uy2 + vx2 + vy2)dxdy^mj\ux2 + {uy + vx) + vy2\dxdy.
a a C.6.6)
Одним из условий, гарантирующих выполнение неравенства
C.6.6) с одной и той же константой т для всех вектор-функций,
служит следующее краевое условие:
где Г2 - некоторая часть граничного контура области С1. ©
Введем множество вектор-функций а>¦= (и,v), каждая компо-
нента которых принадлежит пространству С^(С1), и таких что вы-
полнено условие C.6.7). Обозначим это множество С2.
Можно также предположить, что часть фаницы оболочки уп-
руго оперта (соответствующую энергию опоры следует включить в
функционал полной энергии и в выражение для энергетической
нормы) либо что на некоторой части границы задана внешняя
нормальная нагрузка. В последнем случае в функционал энергии
включается интефальный член (интеграл вдоль фаницы области),
равный работе внешних сил на границе. Мы не будем выписывать
эти условия в дифференциальной форме, они хорошо известны и
Получаются стандартным путем из вариационной постановки зада-
чи. Наличие этих краевых условий на ход рассуждений практичес-
ки не влияет. *
Введем теперь энергетические пространства. Пусть Е( — под-
пространство Ж4'2(п)х 1Vl'2{pt\, полученное замыканием множе-
ства С2 в норме пространства Wu((l)xlV|<2(о). Неравенство Кор-
на C.6.6) гарантирует, что на Е, имеется эквивалентная норма
где
е, = их, е2 * v^, el2 -uy + vx.
Пространство Е2 есть подпространство IV2i2(Q), полученное
путем замыкания в норме W21(ci) множества функций С4. На про-
странстве Б2 определена эквивалентная норма (это уже знакомая
нам энергетическая норма для задачи изгиба пластины):
295
Нормы в пространствах Е, индуцируют скалярные произведе-
ния, которые обозначаются с использованием названий про-
странств. Пространство Е| х Е2 обозначим Е.
Определите 3.6.1. Назовем обобщенным решением задачи рав-
новесия пологой оболочки вектор-функцию u e E, удовлетворяю-
щую интегро-дифференциальному уравнению
|(Л/,5к, + Л/25к2 + 2Л/,25х + Л^бе, + N25e2 + 2NnbzX2)dxdy =
j/Swds, C.6.8)
п
где п
Л/, =D(k1 +цк2), Мг =/)(к2+цк,), Л/,2 =
дг ЕЛ / \ ,, ЕЛ / \ XI ЕЛ
jV, = j—t(e,+це2), ^ =у—т(Е2+це,), ^,2=^-— е,2,
к, = -»я, к2 = -W^, х = -»ху,
вектор-функция 5u = E«,5v,5w) еЕ и произвольна,/- внешние
силы, приложенные по торцам оболочки.
Отметим дополнительно, что на части границы, где перемеще-
ние 5и> равно нулю, задание соответствующей нагрузки / излиш-
не. Однако мы не будем выделять в записи линейного интеграла
соответствующие части. Будем считать, что функция /в таких точ-
ках границы доопределена нулем.
Легко видеть, что все стационарные точки функционала
п a en
C.6.9)
являются решениями уравнения C.6.8), поскольку, перенося все
члены C.6.8) в левую часть, получим в левой части выражение для
первой вариации функционала 3(и).
Отметим, что для корректности определения обобщенного ре-
шения необходимо ввести дополнительно требование, чтобы члены
JF8wdxdy+ j/Swds
en
имели бы смысл, когда 5н»еЕ2. Множество всех нагрузок этого
класса назовем Е*. Согласно теоремам вложения Соболева доста-
2%
точными условиями того, чтобы нагрузки принадлежали бы классу
Е*, являются следующие требования:
где Fo e/.(n), а компонент Fy представляет собой конечную сумму
5-функций (сосредоточенных нормальных сил);
где /о е ЦдО), a/j представляет собой конечную сумму 5-функций
на границе (сосредоточенных нормальных сил). При выполнении
этих условий функционал
JF8wdxdy+ jfSwds
a xi
является линейным и непрерывным в пространстве Е2.
Далее, по теореме Рисса существует единственный эле-
менту бЕ2 такой, что
JF5wdxdy+ jf5wds^(g,5w)^. C.6.10)
П XI
Теперь мы можем представить функционал 3(и) в более ком-
пактной форме:
3(") = IMIe22 +U(NlEl+^2E2+2Nl2En)dxay-(g,w)?2. C.6.11)
а
Выразим компоненты тангенциальных перемещений и,, и2 че-
рез w. Для этого рассмотрим уравнение
J(yV,5e, + N2&e2 +2Nl25El2)dxdy = 0
n
в пространстве Е,. Рассуждениями, которыми мы уже пользова-
лись неоднократно, легко показывается, что это уравнение
однозначно разрешимо относительно в=(«,,«2) в пространстве
Е,, Причем решение имеет вид
где оператор G является вполне непрерывным. Подставим это
значение ш в выражение для 3(и). После этой подстановки данный
функционал 3(и) будет обозначаться через X(w). Стандартными рас-
суждениями можно показать, что критические точки функционала
N(w) есть обобщенные решения рассматриваемой задачи.
297
Функционал V(w) имеет структуру, необходимую для примене-
ния Теоремы 3.3.4. для обоснования применимости метода Ритца в
рассматриваемой задаче достаточно лишь убедиться, что функцио-
нал N(w) является растущим. Покажем этот факт.
Лемма 3.6.1. Пусть нагрузка принадлежит классу Е*. Тогда
функционал N(w) является растущим, т. е.
Ц*)-х», если NEi->oo.
Доказательство. Доказательство теоремы вытекает практически
немедленно из рассмотрения вида функционала Ци>). Действи-
тельно, при сделанных предположениях относительно упругих кон-
стант материала, имеем
Далее,
Таким образом,
откуда и следует необходимое свойство.
Итак, имеет место теорема.
Теорема 3.6.1. Пусть выполнены все условия леммы 3.6.1.
В этом случае
1) существует по меньшей мере одно обобщенное решение задачи
равновесия оболочки, принадлежащее Е2, которое доставляет
минимум функционалу энергии Ци>);
2) любая минимизирующая функционал Цн>) последовательность
{»„} содержит подпоследовательность, которая сильно сходится
в Е2 к обобщенному решению задачи;
3) система уравнений приближенного решения задачи методом
Ритца (а тем самым, и методом Бубнова-Галеркина и, одновре-
менно, любым конформным вариантом метода конечного
элемента) разрешима на каждом шаге и содержит подпоследова-
тельность, сильно сходящуюся к обобщенному решению задачи
в Е2; более того, любая слабо сходящаяся подпоследовательность
приближений, определенная по методу Ритца, сходится сильно
к некоторому обобщенному решению задачи.
298
3.7. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
Здесь мы приведем лишь краткий набросок ^теории степени ото-
бражения, применение которой будет продемонстрировано в сле-
дующем параграфе. Начнем с иллюстрирующего примера.
Пусть /(г) - функция, голоморфная на замкнутой области D
комплексной плоскости, граница области обозначается 3D. Данная
граница считается гладкой и не содержащей нулей функции f{z) ¦
Из теории функций комплексного переменного известно, что с
учетом кратности число '
-ИВ*
равно числу нулей функции f(z), имеющихся внутри области D.
Широкое обобщение этого результата на общие классы отобра-
жений в топологических пространствах называется теорией степени
отображения. Полное представление теории может быть найдено
во многих источниках. Отметим, что М.А. Красносельский [81 из-
ложил и развил теорию степени отображения в несколько изме-
ненной форме, назвав соответствующую характеристику вращени-
ем векторного поля.
Понятие степени отображения конечномерного векторного поля
Ф(х): R" ?-> R" было введено Брауэром. Оно определяется следую-
щим образом. Пусть вектор-функция Ф(х) = (Ф,(х),...,Фл(х)) явля-
ется непрерывно дифференцируемой на открытой области Da R" .
Граница области D обозначается D. Предположим, что точка ре/?"
не принадлежит D и прообраз точки р, обозначенный Ф~'(р), явля-
ется дискретным множеством точек, причем в каждой точке
х еФ~'(р) якобиан /ф(х) = де^5Ф,/5дсу) отображения Ф(х) неравен
нулю. Тогда степень отображения Ф относительно значения р и об-
ласти Dравна
X
где сумма берется по всем точкам х, принадлежащим D и таким, что
Ф(х) = р. Выражение Уф (х) под знаком суммы в каждой точке х рав-
но +1 или -1.
Если deg(p^, D) ¦* 0, то видно, что уравнение Ф(х) = р имеет
по меньшей мере одно решение в области D. Если р не принадле-
жит образу Ф(?), то deg(p,Q>,D) = 0. Таким образом, степень
299
отображения deg(p,<P, D) определяет некоторым образом числом
решений уравнения Ф(х) = р, лежащих в D.
Возможна, однако, ситуация, когда в некоторой точке х, для
которой Ф(х) = р, якобиан обращается в нуль: /ф(х) = 0 . Тогда
степень отображения вводится с помощью предельного перехода. А
именно, мы всегда можем взять последовательность точек р* -* р
такую, что /ф(х)*0 ни при каком х еФ~'(р4). В этом случае
степень отображения определена соотношением
deg(p, Ф, D) = Jim deg(p *, Ф, D).
В общей теории показано, что так получившееся число
ёе§(р,Ф, D) не зависит от выбора последовательности {р*} и что
данное число также характеризует число решений уравнения
Ф(х) = р в области D.
Следующим шагом построения теории степени конечномерного
отображения является случай, когда каждая из компонент вектор-
функции Ф(х) принадлежит c(d\ , т. е. не является непрерывно
дифференцируемым. В этом случае степень отображения снова оп-
ределяется с использованием предельного перехода. А именно,
строится последовательность отображений |ф^(х)|, сходящихся к
Ф(х) равномерно на Ъ и таких, что Ф*(х) eO''(/)J. Для каждого из
этих отображений находится значение де%(р,Фк, D), после чего сте-
пень первоначального отображения определяется как
Доказано, что это число не зависит от, выбора аппроксимирующей
последовательности |фА(х)|. Оно и определяет степень отображе-
ния Ф(х) в данном случае.
Если имеется взаимно однозначное соответствие между R" и
некоторым л-мерным действительным банаховым пространством,
то понятие степени отображения в евклидовом пространстве есте-
ственным образом переходит в такое же понятие для непрерывного
отображения в конечномерном банаховом пространстве. Тем же
путем как и выше, используя взаимно однозначное соответствие
между банаховым пространством и л-мерным евклидовым про-
странством, можно ввести понятие степени для непрерывных опе-
раторов, действующих в конечномерном банаховом пространстве.
зоо
В случае операторов, действующих в бесконечномерном дей-
ствительном банаховом пространстве, понятие степени отображе-
ния было перенесено Лереем и Шаудером [19] на операторы, име-
ющие представление / + F, где F — вполне непрерывный опера-
тор. Чтобы здесь ввести понятие степени, в [19] был построен
Конечномерный аппроксимирующий оператор. Опишем кратко
процесс построения.
Пусть D - открытая ограниченная область в банаховом про-
странстве X, чья граница обозначена dD. Если F есть вполне не-
прерывный оператор, то f(d\, образ D, есть компакт. По крите-
рию компактности Хаусдорфа имеется конечная Е-сеть
Для любого х еЪ су-
у р |(L| Наконец, аппрокси-
мирующий оператор Fe(x) определяется следующей формулой
Nc = lxk: хк е /Щ; к = 1,...,л] такая» что
ществует такой номер к, что |/(х)-.х4|<е.
F()
где
[О, если \\F(x)~xk\\>s
*1«-И*)-**|. если Щх)-хк1*Е.
Оператор Ft называется шаудеровым проектором.
Легко видеть, что область значений оператора Fc является
конечномерным подпространством, натянутым на элементы хк
базиса, оператор Ft является непрерывным и Ц^дг)- Fc(x|< e при
всех х е D.
Сначала вводится понятие степени отображения для оператора
/ + Fc относительно точки р и области, Dn = D(~\ Х„, если р не при-
надлежит образу границы [I + Fc\dDn). В [8] показано, что, на-
чиная с некоторого достаточно малого е > 0, степень отображения
deg(/>, / + Fc,Dn) становится неизменяемой величиной. Последнее
число и определяется как степень отображения оператора / + F от-
носительно р и области D.
Степень отображения оператора / + F с вполне непрерывным
оператором F имеет следующие свойства:
A) если х + F(x) * р в D, то deg(/», / + F, D) = 0;
B) если deg(/>, / + F, D) * 0, то в области D существует по
меньшей мере одно решение уравнения х + F(x) = р ;
301
C) deg(/>,I,D) = +1, если p*D\
D) если D = UA, гае Д - конечное семейство взаимно непересе-
кающихся областей Д, чьи границы 5Д образуют границу 3D,
то deg(/>, / + f,D) = X, deg(/>, / + F, Д)
E) величина deg(/>, I + F,D), будучи целочисленной, непрерывно
зависит от р uF (напомним, что р edD).
Имеется.чрезвычайно важное свойство инвариантности степени
отображения при гомотопии, которое и используется, в основ-
ном, в приложениях. Сформулируем это свойство.
Пусть имеется семейство операторов ф(х,/) = x + 4?(x,t). Пред-
полагается, что оператор Ч/(х,/) является вполне непрерывным по
х в области D при любом / е[д.*] и равномерно непрерывным по
параметру /e[a,Z>] относительно xeD. В этом случае мы гово-
рим, что операторы х?а(х) = Ч*(х,в) и Ч/4(дс) = Ч?(х,Ь) являются ком-
пактно гомотопными.
Итак, пусть Ч*в(х) и *Р«(.х) - компактно гомотопные операто-
ры. Пусть для любого х edD и / e[a;Z>] выполнено условие, что
p*4>(x,t). Тогда
deg(A / + Ча, D) = teg(p, I + %,/)).
Сформулируем частный случай этого утверждения для уравнения
x + F(x) = 0 C.7.1)
Учтем свойство C), сформулированное выше.
Лемма ЗЛ.Шусть F(x) - вполне непрерывный оператор, дей-
ствующий в банаховом пространстве X. Пусть, далее, уравнение
х + tF(x) = 0 не имеет решений на сфере ||х|| = R при всех t е [0; 1].
Тогда в шаре В = \х; |[х| < R) существует по меньшей мере одно ре-
шение уравнения C.7.1). Степень отображения оператора I + F
относительно точки 0 и В, т. е. deg@,/ + F,B), равна +1.
В следующем параграфе мы продемонстрируем применение
этой леммы.
302
3.8. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Следуя работе [4], рассмотрим задачу об установившемся тече-
нии вязкой несжимаемой жидкости, описываемой уравнениями
Навье-Стокса
r vAv = (v-V)v + V/> + f, C.8.1)
Vv = 0, C.8.2)
Пусть v > 0. Рассмотрим данную задачу при условиях Дирихле
io-a. . C.8.3)
Сделаем следующие Предположения:
A) ft есть ограниченна область в R2 или Л3 с границей дП,
состоящей из г замкнутых кривых (в трехмерном случае -
поверхностей) Sk, k = l,...,r, с непрерывной кривизной;
B) имеется непрерывно дифференцируемая _вектор-функция
а(х) = (о,(х),О2(х),Оз(х)) такая, что ак(х) eC(l'(fi) и
V» = 0 в П и «|ап =а;
C) на каждом из контуров Sk, к = l,...,r, имеет место равенство
0, C.8.4)
где в — внешняя нормаль в точке Sk.
Отметим дополнительно, что условие
является необходимым условием разрешимости задачи.
Введем теперь пространство Я (ft), которое есть замыкание
множества S°(Cl) всех гладких соленоидальных вектор-функций
в(х) (т.е. таких, что V • a = 0), удовлетворяющих однородному
краевому условию w\gQ = 0, в норме, индуцированной скалярным
произведением
Jrota
a
303
Таким образом, декартовы компоненты вектора u(x) е H(fi) при-
надлежат пространству ffl>2(n). Поэтому по теоремам вложения в
соболевском пространстве в трехмерном случае оператор вложения
пространства Н(р) является непрерывным, действуя в простран-
ство (Lp(Cl)) при 1?р<6. Он является вполне непрерывным,
если 1 й р < 6. В двумерном случае этот оператор является вполне
непрерывным, действуя в пространство IZ/(qI при любом
1 й р <<ю.
Предположим также, что
D) /^.(х) е Z/(q) , р>\ и произвольно для плоской задачи
{к = 1,2)
р^% и произвольно для трехмерной задачи
(к = 1,2,3).
Определение 3.8.1. Вектор-функция v(x) = а(х) + и(х) называет-
ся обобщенным решением задачи C.8.1-3), если u(x)e#(n) и
удовлетворяет следующему интегро-дифференциальному урав-
нению:
(и,Ф)я(п) =
п
Ф}Л} . C.8.5)
}
для любой вектор-функции Ф е Щп).
Прямой проверкой можно показать, что если вектор-функции
а(х) и и(х) принадлежат пространству С'2Мп|, то v(x) есть класси-
ческое решение задачи C.8.1)—C.8.3).
Если существует хотя бы один вектор »(х), удовлетворяющий
условию B), то существует бесконечно много таких векторов,
удовлетворяющих условию B). Однако множество всех обобщен-
ных решений задачи не зависит от выбора »(х).
Чтобы применить к данной задаче Лемму 3.7.1, сведем уравне-
ние C.8.5) к операторному уравнению вида и + /"(и) = 0, опреде-
ляя оператор F(u) при помощи теоремы Рисса о представлении не-
прерывного линейного функционала в гильбертовом пространстве
из следующего равенства
•Ф}А>. C.8.6)
304
Неравенства, которые необходимы для доказательства, что правая
часть C.8.6) есть непрерывный функционал по переменной Ф в
пространстве #(п), получаются путем традиционного последова-
тельного применения неравенства Гельдера. Сейчас мы установим
более сильный результат.
Лемма 3.8.1. Оператор /'является усиленно непрерывным опе-
ратором в пространстве Я(п).
Доказательство. Отметим, что любая слабо сходящаяся в Я(п)
последовательность (чя(х)} сходится сильно в (?4(П)) , где к = 2
или 3 в зависимости от размерности задачи. Из равенства C.8.6)
получаем, что справедливо неравенство
J {(к -¦.
+ (К - ..) • v)a • Ф + (. • vX«m .- а,) • Ф) dn| < М |ш. - »ЯЦП)НЯ(П)
с постоянной Л/, которая не зависит от т, п и Ф. Полагая в этом
неравенстве Ф = F(um)~ F(u,,), мы получаем, что
при /я,л-><». Это и означает, что оператор F является усиленно
непрерывным, ч.т.д.
Из определения 3.8.1 непосредственно вытекает следующая
лемма.
Лемма 3.8.2. Обобщенное решение задачи об установившемся
течении вязкой несжимаемой жидкости в смысле Определения
3.8.1 удовлетворяет операторному уравнению
u + F(u) = 0. C.8.7)
Наоборот, решение уравнения C.8.7) есть обобщенное решение
рассматриваемой задачи.
По Лемме 3.7.1 для доказательства существования решения дан-
ной задачи теперь достаточно показать, что при любых значениях
/ е[0;1] все решения уравнения u + /F(u) = 0 лежат внутри некото-
рого шара Н|Я/П) ^ R радиуса R < «.
305
Сначала покажем разрешимость задачи для более простого слу-
чая однородных условий C.8.3). Здесь о = 0 и, следовательно,
Теорема 3.8.1. Задача C.8.1)—C.8.3) при а = 0 имеет по мень-
шей мере одно обобщенное решение в смысле Определения 3.8.1.
Все возможные обобщенные решения задачи лежат, в шаре неко-
торого конечного радиуса R < оо, при этом степень оператора I+F
относительно точки 0 и данного шара есть +1.
Доказательство. Как уже было сказано, в данном случае доста-
точно установить априорную оценку для решения уравнения
u + tF(a) = 0 при всех значениях параметра /е[0;1]. Для произ-
вольного решения этого уравнения справедливо равенство
или, что то же самое,
п п
Так как V • о = 0, то интегрирование по частям показывает, что
J() jE^()
" ' ° , C.8.8)
а, следовательно, для решения мы получаем оценку
или, что то же самое, что
с некоторой постоянной т, что и заканчивает доказательство.
Рассмотрим теперь более сложный случай неоднородных крае-
вых условий C.8.3). Установим предварительно справедливость не-
которых вспомогательных утверждений. _
Пусть <о? — некоторая граничная область в П, состоящая из то-
чек, покрываемых всеми внутренними нормалями к границе, име-
ющими длину е и проведенными в точках границы Qtii внутрь об-
ласти. Для достаточно малого значения е > 0 эти нормали не
пересекаются, и, следовательно, в данной области мы можем ис-
пользовать следующую координатную систему. Через точку х е ю?
306
проходит некоторая нормаль к границе <ЭП. Обозначаем точку гра-
ницы ал, из которой выходит нормаль, через Q. Данная точка Q
есть вторая "координата" точки х, а первой будет расстояние s
вдоль нормали от точки Q до рассматриваемой точки. Для произ-
вольной функции g(x), рассматриваемой на сос, будем отмечать
ее зависимость от новых координат как g(s, (?).
Лемма 3.8.3. Существует такая соленоидальная вектор-функция
a?(x)e[C^(flH , (к=2 или 3), что ас(х) = 0 в области П\е>с,
причем
' " ^ в П C.8.9)
с некоторой константой Mv не зависящей от величины е>0.
Доказательство. Введем следующую функцию ?(х):
q{s,Q) =
если 0 й s <. е
О , если 5>е
Пусть а(х) — некоторая соленоидальная функция, удовлетворяю-
щая предположению B) данного этого параграфа. При сделанных
предположениях существует такая вектор-функция р(х), что
a(x)=rotp(x).
Очевидно, что вектор-функция вида ас(х) = rot(^p) удовлетворяет
условию леммы. «
Заметим, что в плоской задаче (к = 2) необходимому требова-
нию отвечает вектор (ОД^Ч*), где Ч*(х,,х2) — функция тока для
а(х). Лемма доказана полностью.
Лемма 3.8.4. Для любого u е #(л) выполнено неравенство
2
to . C.8.10)
8XJ
с постоянной М2, не зависящей от и и е > 0.
Доказательство, Достаточно доказать неравенство C.8.10) для
гладкой вектор-функции и. Предельный переход завершит доказа-
тельство общего случая. Итак, для произвольной точки области сос
имеем
307
Возводя данное равенство в квадрат, интегрируя полученное ра-
венство и затем применяя неравенство Коши, получаем
оо
dn(t,Q)
dt
2 е
dtds<%-\
dv{UQ)
dt
dt.
Очевидно, что при наложенных ограничениях на фаницу области
Q для произвольной функции #(х) имеет место неравенство
w,J jg2{s,Q)dsdS< \g1aXl<m2) \g2(s,Q)dsdSx
о an (»t oen '
из которого, в частности, вытекает, что
< m2 f ]\u(s,QfdsdS < /я2 f yj
eno
an о
dt
dtdSu
Щ
что и требовалось доказать.
Чтобы применить теорию степени отображения к рассматривае-
мой задаче, остается установить справедливость следующей леммы.
Лемма 3.8.5. Для всех t e[0;l] все решения уравнения
u + /F(u) = 0 C.8.11)
находятся внутри шара с центром в нуле пространства Н(п), ра-
диус которого зависит только от f, <ЭП и v.
Доказательство. Предположим, что множество всех решений
уравнения C.8Л1) является неограниченным. Это означает, что
существует такая последовательность {tk} с [0,1] и ей соответствую-
щая последовательность элементов {и*}, что и* +tkF(uk) = O и
C.8.12)
308
Без потери общности мы можем считать последовательность
\tk} сходящейся к некоторому значению /0 € [0; 1], а последова-
тельность {и*}, где u* = u*/|K||w<n\ , слабо сходящейся к неко-
торому элементу u0 € H(fl).
Рассмотрим тождество
В терминах интегралов оно имеет вид
• v)ac uk + vrotac rotut + f-uk}dCi. C.8.13)
n
Данное тождество справедливо вследствие равенства C.8.8) и по-
добного ему равенства
Так как первый интеграл в правой части C.8.13) является слабо
непрерывным функционалом относительно и*, а для второго из
интегралов верно неравенство
J{(«
(яс -via,. -ик + vrot». -rotui +f ¦
n
с постоянной Л/3, не зависящей от ак, то, переходя к пределу в
C.8.13), получаем, что
C.8.14)
Отметим, что это равенство верно при любом сколь угодно малом
значении е, меньшем фиксированного значения е0 > 0 такого, что
возможно описанное выше построение координатной сетки множе-
ства в>Со. Действительно, фиксируем некоторое значение е = е0 > О
и покажем, что данное равенство справедливо при любом
е = т\ < е0. Для этого возьмем
=¦*+•„-.•„
и рассмотрим тождество
309
которое в интегральной форме выглядит следующим образом:
Поделим обе части данного неравенства на ||а*1#гп\- С учетом, что
последовательность
сходится слабо к
Kiitf(n)
1 при к -> оо, мы и выводим нужное свойство.
Теперь покажем, что предел при е -» 0 интеграла в правой час-
ти C.8.14) есть ноль. Вследствие соотношений C.8.9) и C.8.10)
мы получаем, что
J(ac-V)a0-a0<*2
<М{М2 J|rotu0|2<fo-»0
при г->0. Так как постоянная v > 0, то мы приходим к противо-
речию, которое и завершает доказательство.
Сформулируем окончательную теорему.
Теорема 3.8,2. В рамках предположений A)-D), сформулиро-
ванных выше, существует по меньшей мере одно обобщенное ре-
шение задачи C.8.1)—C.8.3) в смысле Определения 3.8.1. Все обоб-
щенные решения задачи лежат в некотором шаре энергетического
пространства Я(п). Степень отображения оператора I + F отно-
сительно нуля и шара достаточно большого радиуса с центром в
нуле равна +1.
Задача 3.8.1. Найдите, какое из предположений A)-D) не
является необходимым в доказательстве Теоремы 3.8.1.
зю
ЛИТЕРАТУРА
1. Ворович И.И. Некоторые задачи нелинейной теории оболочек. - Док-
торская диссертация. - ЛГУ, 1957
2. Ворович И.И. Математические методы нелинейной теории пологих
оболочек. - М.: Наука, 1989
3. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений. - Докла-
ды Академии наук СССР, 1959, т. 126, № 4, с.с. 740-743
4. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарное течение вязкой несжимае-
мой жидкости. - Мат. сборник, 1961, т.53 (95), вып. 4
5. Гохберг И.Ц., Крейи М.Г. Введение в теорию линейных несамосопря-
женных операторов. - М.: Наука, 1965
6. Ильюшин А.Л. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948
7. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967
8. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных
интегральных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1956
9. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжи-
маемой жидкости. - М.: Наука, 1970
10. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. -
М.: ПТИ, 1951
11. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -
М.: Наука, 1970
12. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -
М., Наука, 1966
13. Самарский А.С., Лазарев РД., Макаров В.Л. Разностные схемы для
дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. -
М.: Высш.школа, 1987
14. Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в
математической физике. - Л.: ЛГУ, 1951
15. Треногий В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980
16. Bramble J.H., Hilbert S.R. Bounds for a class of linear functional with
applications to Hermite interpolation. - Numer. Math., 1971, 16, 362-369.
17. Friedhchs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential
operators. - Trans. Amer. Math. Soc., 1944, v. 55, 132-151
18. Lebedev L.P., Vorovich I.I., Gladwell G.M.L Functional Analysis. Appli-
cations in mechanics and inverse problems. - Kluwer Academic Publi-
shers, 19%
19. Leray /, Schauder J. Topologie et equations fonctionnelles. -Ann. E.N.S.,
1934, 45-78
311
УКАЗАТЕЛЬ
базис 135
Банах 80
выпуклое множество 28
голоморфная функция 210
градиент функционала 25 3
Грамм 138
дифференциал Гато 253
дифференциал Фреше 252
дифференцируемрсть по Фреше 251
замкнутая система элементов 141
интеграл Лебега 37
компактно гомотопные
операторы 297
конечная е-сеть 100
конечномерный линейный
оператор 228
коэффициент Фурье 139
Лагранж 259
лемма Брэмбла- Гильберта 165
линейная оболочка ЮЗ
Мазур 151
метод упругих решений 127
метрика 11
аксиомы метрики 11
эквивалентная 12
эквивалентные метрики 12
метрическое пространство 14
полное 31
множество
выпуклое 114
замкнутое 28
компактное 99
открытое 28
плотное 32
предкомпактное 99
счетное 93
мощность континуума 94
мощность множеств 93
неравенство
Бесселя 140
Гёльдера 99
Корна 68
Минковского 20
Пуанкаре 55
Фридрихса 55
нижняя критическая эйлерова
нагрузка 279
норма 42
аксиомы 42
ограниченное множество 73
оператор 76
вложения 73
вполне непрерывный 196
график 182
замкнутое расширение 183
замкнутый 181
компактный 211
конечномерный 201
линейный 77
наименьшее замкнутое
расширение 183
неподвижная точка
оператора 79
непрерывно обратимый 178
непрерывность в точке 76
норма 77
область значений 76
область определения 76'
обратный 177
ограниченный 78
регулярная точка 211
самосопряженный 187
сжатия 79
собственное значение 212
собственный элемент 212
сопряженный 187
спектр 211
усиленно непрерывный 269
оператор ортогонального
проектирования 173
ортогональная проекция 116
ортогональная сумма 117
ортогональность 117
ортогональные элементы 47
312
Парсеваль 141
полная система элементов 152
последовательность
Коши 30
ограниченная 30
слабо сходящаяся 144
слабо фундаментальная 144
сходящаяся 30
фундаментальная 30
поточечная сходимость
последовательности
операторов 174
предел 29
принцип Банаха-Штейнгауза 175
принцип равномерной
ограниченности 147, 176
принцип сжатых отображений 80
производная Фреше 252
пространство
с 16
С(П) 19
&*>(П) 19
Cq 16
4з 128
/ГХП) 45
ЦХ) 171
/' 16
ЩО) 16
X*Y 182
ЦХ 169
банахово 43
гильбертово 47
нормированное 43
сепарабельное 94
сопряженное 120
строго нормированное 114
унитарное 46
энергетическое Е^ 53
энергетическое ?Mj 57
энергетическое Е^ 61
энергетическое ?^ 65
энергетическое Ё# 67
энергетическое Eyi 69
энергетическое ?^ 49
прямая сумма пространств 182
равенство параллелограмма 47
равенство Парсеваля 141
равностепенно непрерывное
семейство 104
регулярная точка 258
резольвента 211
резольвентное множество 211
Рисе 119
скалярное произведение
аксиомы 45
слабо фундаментальная
последовательность 145
спектр
дискретный
(или точечный) 212
непрерывный 212
остаточный 212
спектральный радиус217
теорема
Арцела 104
Пеано 107
Рисса о представлении
непрерывного линейного
функционала 119
Хаусдорфа 100
теорема о замкнутом графике 185
точка 27
точка ветвления 258
уравнения разветвления Ляпунова-
Шмидта 260
Фреше 251
функционал 20
действительный 21
комплексный 21
критическая точка 260
слабо непрерывный 235
точка минимума 260
точка экстремума 261
ядро 119
функция со значениями
в банаховом пространстве У 207
шар 28
Шмидт 137
313
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА 10
1.1. Метрические пространства 10
1.2. Некоторые метрические пространства функций 18
1.3. Энергетические метрики 21
1.4. Множества в метрическом пространстве 28
1.5. Сходимость в метрическом пространстве.... 29
1.6. Полные метрические пространства 31
1.7. Теорема о пополнении метрического пространства 33
1.8. Пространство ЩП) . 37
1.9. Банаховы и гильбертовы пространства 42
1.10. Энергетические пространства функций
для некоторых задач механики 49
1.11. Соболевские пространства 71
1.12. Первоначальные сведения из теории операторов 77
1.13. Принцип сжатых отображений 80
1.14. Обобщенные решения задач механики
сплошной среды 87
1.15. Сепарабельность 95
1.16. Компактность; критерий Хаусдорфа 102
1.17. Теорема Ариела и её приложения 107
1.18. Элементы теории аппроксимации в
нормированных пространствах 114
1.19. Теорема об ортогональном разложении
гильбертова пространства; теорема Рисса
о представлении непрерывного линейного
функционала в гильбертовом пространстве 120
1.20. Существование обобщенного решения
некоторых задач механики 124
1.21. Задача упруго-пластичности при малых деформациях 130
1.22. Базисы и полные системы элементов 139
1.23. Слабая сходимость последовательности
в гильбертовом пространстве 147
314
1.24. Методы Ритца и Бубнова-Галеркина
для решения линейных задач механики 161
1.25. Криволинейные координаты; неоднородные
краевые условия 163
1.26. Лемма Брэмбла-Гильберта и ее приложения 1TS7
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ
ОПЕРАТОРОВ И ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
МЕХАНИКИ 174
2.1. Пространства линейных операторов 174
2.2. Принцип Банаха-Штейнгауза 179
2.3. Обратный оператор 182
2.4. Замкнутые операторы 186
2.5. Понятие сопряженного оператора 191
2.6. Вполне непрерывные операторы 201
2.7. Вполне непрерывные операторы
в гильбертовом пространстве 208
2.8. Функции со значениями в банаховом пространстве 211
2.9. Спектр линейного оператора 216
2.10. Резольвентное множество замкнутого линейного оператора.. 220
2.11. Спектр вполне непрерывного оператора
в гильбертовом пространстве 223
2.12. Аналитическая природа резольвенты
вполне непрерывного линейного оператора 233
2.13. Спектр голоморфной вполне непрерывной
оператор-функции 237
2.14. Спектр самосопряженного вполне
непрерывного оператора, действующего
в гильбертовом пространстве 240
2.15. Некоторые приложения спектральной теории
операторов 248
2.16. Минимаксимальный принцип Куранта 253
ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ 256
3.1. Производные по Фреше и Гато 256
3.2. Метод Ляпунова-Шмидта 263
3.3. Критические точки функционала 265
3.4. Нелинейные уравнения Кармана для пластины 272
3.5. Выпучивание тонкой упругой оболочки 280
315
3.6. Нелинейная задача статики теории
упругих пологих оболочек 293
3.7. Степень отображения 299
3.8. Установившееся течение вязкой жидкости 303
ЛИТЕРАТУРА 311
УКАЗАТЕЛЬ : 312
316
—„_^
Убедительная просьба
Иа всёмъ члающннъ и развматриваю
щннь ннлги, эстампы фотиграфш к т д.
1) Ниигк^яъ годрисевон-ь. раскраши-
вали и oTrt-Ьтйкъ не д*лать;
2] при перелистывали страница naftt-
ц,ы отнюдь не мочйТь;
35 перелистывать медленно и аккуратно,
чтобы нечгяипо углы сгрэницъ и пакле-
ениыхъ рисунковь пе Загнуть пне смять,
а. т&кже проклэвну и?"ь нйпирскноН bywa-
ги мешду рисункапи не испортить,
4} при ра>;матривал1и зстгадпОБЪ., фо-
Torpaipifi и рисунчОЬьвъннигах-ьненури"^
h табач^ымъ дымол-ь цхъ пе обАавать,-
5) лерел"ь ^ачипомъ pascMarpttBanis и
чтент руин тщатйяьнО мь;ть: ротными
рунами также огчюдь НС брать;
6) къ Се,«.Ому рисунку на эста^лахъ фо
га.'раф^я^ъи т.д. пйлъцали не прикскаться/
ОСгожку иги лереглетъ книги пе-
4Tfihien* обертызать въ Сулагу:
листы ННКГИ Дли лаляти не
Э) въ карманахъ ннигЪ п« н
же употребляв при атомъ особою
чтобы пниги h
ВОРОВИЧ ИОСИФ ИЗРАИЛЕВИЧ,
ЛЕБЕДЕВ ЛЕОНИД ПЕТРОВИЧ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
В МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Книга наймется в авторской редакции
Компьютерная верстка: П.С. Корсунская
Лицензия на издательскую деятельность ЛР J* 071370 от 30.12.1996 г.
Сдано в набор 17.06.99. Подписано в печать 14.02.2000.
Печать офсетная. Формат 60x84/16. Печ. л. 20. Зак. 1009 Тираж 1000.
Отпечатано с готовых оригинал-макетов в Мытищинской межрайонной типографии
141009, г. Мытищи, ул. Колонцов», д. 17/2 Тел. 586-30-90
Издательство «Вузовская книга»
125871, Москва, Волоколамское шоссе, д. 4
Т/ф 158-02-35
E-mail: vbook О пал. го