В.П.Маслов
КОМПЛЕКСНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ И КОНТИНУАЛЬНЫЙ
ИНТЕГРАЛ ФЕЙНМАНА
В книге вводится понятие Г-отображения, обобщающее понятие Г-
произведения и фейнмановского операторного континуального интеграла на
нелинейный случай; оно может служить удобным аппаратом для
полуклассического описания взаимодействия квантованных и неквантованных
частиц в квантовой теории поля. Показывается, что обобщение формул
«выпутывания» Фейнмана на Г-отображение приводит к построению
квазиклассической асимптотики для нелинейных уравнений квантовой механики.
Развивается дискретная аппроксимация фейнмановских траекторий и на основе
развитого аппарата строится комплексная мера фейнмановского интеграла.
Книга рассчитана на специалистов в области функционального анализа и
теоретической физики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 9
Глава I. Г-отображения для уравнений Власова 13
§ 1. Г-отображения 14
§ 2. Интегро-дифференциальные квазилинейные уравнения первого 19
порядка
§ 3. Общие интегро-дифференциальные уравнения первого порядка 30
Глава П. Квазиклассическая асимптотика матрицы плотности и 42
квантование уравнения Власова
§ 1. Операторы с унитарной нелинейностью 46
§ 2. Асимптотика матрицы плотности 53
§ 3. Квантование кинетических уравнений 62
Глава Ш. Г-отображение для операторов с унитарной нелинейностью 72
§ 1. Теорема существования Г-отображения 72
§ 2. Формулы выпутывания на примере квазилинейного интегро- 78
дифференциального уравнения первого порядка
§ 3. Выпутывание в Г-отображении с унитарной нелинейностью 82
Глава IV. Квазиклассическая асимптотика для нелинейных 87
уравнений квантовой механики
§ 1. Постановка задачи 87
§ 2. Построение асимптотики в малом с помощью формул выпутывания 89
§ 3. Асимптотика в целом 93
§ 4. Вычисление средних 95
§ 5. Решение уравнений с применением операторных методов 99
Глава V. Квазиклассическая асимптотика для систем уравнений с 104
унитарной нелинейностью
§ 1. Уравнения Хартри 104
§ 2. Температурные уравнения Хартри 109

§ 3. Квазиклассическая асимптотика решений системы уравнений 116
нелинейной квантовой механики
Глава VI. Континуально-интегральные уравнения 130
§ 1. Континуально-интегральное уравнение, отвечающее Г-отображению 132
§ 2. Континуально-интегральное уравнение для функции плотности 134
§ 3. Асимптотика решения континуально-интегрального уравнения 136
Глава VII. Аппроксимация ломаными траекторий интеграла 142
Фейнмана и ее вероятностная модель
§ 1. Эвристические соображения 142
§ 2. Определение комплексной марковской цепи 150
§ 3. Марковские свойства комплексных цепей 152
§ 4. Лагранжиан КМ-цепи 156
§ 5. Виртуальные события 160
Глава VTIT. Комплексные нелинейные цепи 168
§ 1. Неаддитивная амплитуда 168
§ 2. Комплексные нелинейные цепи 168
§ 3. КН-цепь для нелинейного уравнения квантовой механики 173
§ 4. Статистический ансамбль квазичастиц 178
§ 5. Амплитуда трубки траекторий в фазовом пространстве 182
Глава IX. Комплексная мера в интеграле Фейнмана 184
§ 1. Комплексная мера в интеграле Фейнмана 184
§ 2. Преобразование Фурье комплексной меры 188
Литература 190

памяти
Сергея Васильевича
ФОМИНА
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уравнения классической механики получаются, как
известно, из соответствующих квантованных уравнений
(в гейзенберговском представлении) путем предельного
перехода по малому параметру. Аналогичную процеду-
процедуру можно проделать для вторично квантованных уравне-
уравнений квантовой электродинамики. Именно, записывая эти
уравнения в предельном случае большого числа частиц,
когда коммутатор (антикоммутатор *) между оператора-
операторами рождения и уничтоженияможно считать равным нулю,
мы получим некоторые, нелинейные, вообще говоря,
уравнения, которые будем называть нелинейными урав-
уравнениями квантовой механики.
Получение решений этих нелинейных уравнений не-
необходимо для изучения асимптотического поведения ре-
решений уравнений квантовой электродинамики, квантовой
теории поля и вторично квантованных уравнений для
большого числа частиц. Все известные линейные уравне-
уравнения квантовой механики получаются из этих нелинейных
в пределе для малых по норме начальных данных.
Указанные нелинейные уравнения широко исполь-
используются в физической литературе, однако поскольку для
них не выполнен один из основных принципов квантовой
механики 20-х годов — принцип суперпозиции — в учеб-
учебниках по квантовой механике они пока не содержатся.
Эти уравнения имеют весьма сложный вид, и поэтому
обычно рассматриваются различные упрощенные их моде-
модели. Между тем оказывается, что сами эти уравнения (а не
их упрощенные модели) обладают рядом замечательных
*) См. замечание 1 введения.

свойств и на них могут быть перенесены важнейшие ме-
методы решения линейных уравнений.
Оказывается также, что остальные основные принципы
старой квантовой механики (например, принцип унитарной
эквивалентности) сохраняются для таких уравнений.
В настоящей книге мы определим класс нелинейных
уравнений, для решения которых выполняются эти
принципы. К этому классу относятся также уравнения
Хартри — Фока, температурные уравнения Хартри, не-
нелинейные уравнения оптики с пространственной диспер-
дисперсией и временной релаксацией и уравнения, описывающие
взаимодействие (многих) классических и квантовых ча-
частиц. Книга призвана так модифицировать различные
методы приближенных решений линейных уравнений,
чтобы эти методы переносились на решения данного клас-
класса нелинейных уравнений.
В частности, на эти нелинейные уравнения без труда
переносится теория разностных схем. В настоящей книге
решения разностных схем понимаются как матрицы, ап-
аппроксимирующие континуальный интеграл, подобно тому
как цепи Маркова аппроксимируют марковский процесс.
На примере такого комплексного аналога марковских це-
цепей лучше всего прослеживается вероятностная трактов-
трактовка квантовой механики и основные законы вычисления
амплитуд вероятности.
Отметим, что дискретная аппроксимация континуаль-
континуальных интегралов, развитая в гл. VII, VIII, лучше всего
позволяет заметить комплексную меру в континуаль-
континуальном интеграле в р-представлении, так как на дискретном
случае (так называемых комплексных марковских цепях)
могут быть проверены формулы замены переменных и
интегрирования по частям для предельного фейнманов-
ского интеграла.
Важнейшим моментом линейной квантовой механики
является ее связь с соответствующими нелинейными
уравнениями классической механики. Имеет место соот-
соответствие уравнения Шредингера и классического уравне-
уравнения Лиувилля (или эквивалентной ему системы уравне-
уравнений Гамильтона):
уравнение Шредингера <-> уравнение Лиувилля.
Это соответствие взаимно в том смысле, что известная
процедура квантования уравнений классической механи-
механики приводит к уравнению Шредингера, а асимптотика

решения уравнения Шредингера при h -*¦ 0 приводит
в свою очередь к уравнению классической механики.
Оказывается, что аналогичное явление имеет место и в
нелинейной квантовой механике, причем роль уравнения
Лиувилля играет фундаментальное уравнение теории
плазмы — уравнение Власова:
уравнение нелинейной
<-> уравнение Власова,
квантовой механики
В этой связи в гл. I изучаются уравнение Власова и ана-
аналог уравнения Гамильтона — Якоби, отвечающий уравне-
уравнению Власова. В гл. II вводится естественная процедура
квантования уравнений Власова, которая приводит к урав-
уравнениям нелинейной квантовой механики. Асимптотиче-
Асимптотическое решение этих уравнений в нулевом приближении
удовлетворяет уравнению Власова. В гл. III строится
нелинейный аналог ^-произведения для уравнений кван-
квантовой механики и формулы выпутывания для него.
В гл. IV и V строится глобальная *) квазиклассическая
асимптотика нелинейных квантовых уравнений без спина
и со спином, а также системы уравнений Хартри. Полу-
Получено уравнение вращения спина и поляризации в клас-
классическом пределе. В гл. VI строится нелинейный аналог
фейнмановского континуального интеграла, точнее —
нелинейное континуально-интегральное уравнение для
решения нелинейных уравнений квантовой механики.
Для этого интеграла приводится аналог метода стацио-
стационарной фазы, в частности доказывается, что формальные
асимптотические решения глав IV, V являются асимпто-
асимптотиками точных решений нелинейных квантовых урав-
уравнений.
В гл. VII, дается аппроксимация путей в континуаль-
континуальном интеграле с помощью ломаных и аппроксимация са-
самого континуального интеграла конечной суммой по
этим ломаным. Делается попытка дать вероятностную
интерпретацию суммам по путям. В гл. VIII эти'резуль-
эти'результаты обобщаются на нелинейный случай.
В гл. IX (результаты которой получены совместно
с А. М. Чеботаревым) рассматривается аппроксимация
*) То есть включающая окрестности фокальных точек и точек
поворота

фейнмановского интеграла в импульсном представлении.
Пути в этом интеграле аппроксимируются уже ступенча-
ступенчатыми кривыми, поскольку ломаной траектории в коорди-
координатном пространстве отвечает ступенчатая траектория
в импульсном пространстве. В результате получается
комплексная мера в континуальном интеграле, сосредо-
сосредоточенная на ступенчатых траекториях. Доказывается, что
континуальный интеграл Фейнмана можно представить
как интеграл по этой мере и что он удовлетворяет уравне-
уравнению Шредингера в ^-представлении. Это позволяет на ос-
основе предыдущей вероятностной трактовки комплексных
марковских цепей дать новый аксиоматический подход
к квантовой механике.
Отметим, что первоначально последние главы были
расположены в начале, причем роль Г-отображения игра-
играло континуально-интегральное (по комплексной мере)
уравнение, вместо формул выпутывания приводились фор-
формулы замены переменных. Однако в процессе редактиро-
редактирования решено было вынести все приложения в начало,
доказав их с помощью техники Г-отображений.
Настоящий текст написан так, чтобы развитый аппа-
аппарат мог быть применен к нелинейным полуклассичес-
полуклассическим уравнениям теории поля (например, при вза-
взаимодействии поля материи с гравитационным полем).
Однако, поскольку в этой ситуации не удается построить
строгую математическую теорию, мы избрали в качестве
модели нелинейные уравнения квантовой механики, не-
несмотря на то, что построения квазиклассической асимп-
асимптотики их решений можно было бы провести в рамках
уже развитого формализма [13, 16].
В заключение автор выражает благодарность А. М. Са-
Самарскому за плодотворные беседы. Автор глубоко при-
признателен также М. В. Карасеву, А. М. Чеботареву и
В. П. Белавкину, оказавшим огромную помощь в работе
над книгой.
В. П. Маслов

ВВЕДЕНИЕ
Основной результат настоящей книги заключается
в получении глобальных асимптотических разложений
по степеням h для решений целого класса нелинейных
уравнений, включающего нелинейные уравнения кван-
квантовой механики. Доказательство этого результата рас-
рассредоточено по всей первой части книги: в гл. I к нему
относится представление решений уравнений Власова
через решение соответствующих уравнений характери-
характеристик, в гл. II — квазиклассическая асимптотика матрицы
плотности, в гл. IV и V — получение формальных асим-
асимптотических решений. Наконец, в гл. VI получены оцен-
оценки разности между точным решением и формальным асим-
асимптотическим рядом.
Нелинейные уравнения, рассмотренные в книге, де-
делятся на три типа:
1) Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения
первого порядка, включающие уравнения Власова
(гл. I, И).
2) Уравнения с унитарной нелинейностью, включаю-
включающие нелинейные уравнения квантовой механики, уравне-
уравнения Хартри и др. (гл. II, VI, VIII).
3) Уравнения, получаемые с помощью «разностного
квантования» (§4 гл. II), включающие уравнения для
матрицы плотности, отвечающей уравнению Хартри.
Методическая задача заключается в перенесении опе-
операторного метода Фейпмана и метода континуального
интеграла на нелинейный случай, причем последнего
в той мере, в которой он приводит к построению диаграмм
Фейнмана, а для этого, как выяснено в [2], можно огра-
ограничиться установлением аппроксимируемости интеграла
комплексными марковскими цепями.
Предложенный в § 4 гл. II метод частичного квантова-
квантования может быть применен при квантовании нелинейных

Уравнений теории поля в случае, когда из физических
соображений следует, что для части частиц можно
коммутатор (антикоммутатор) между операторами рож-
рождения и уничтожения считать равным нулю.
В квантовой теории поля проводится аналогичное
частичное квантование [26], когда считают, что частица
в каком-то естественном смысле классична. Например,
в полуклассической теории взаимодействия поля материи
с гравитационным полем в правую часть классического
уравнения Эйнштейна ставят вакуумное ожидание тен-
тензора энергии-импульса квантованного поля материи. Пе-
Перенесение аппарата Фейнмана, в особенности формул вы-
выпутывания, на нелинейный случай должно быть полезно
в этой связи.
В настоящей книге мы в основном не будем рассмат-
рассматривать конкретных уравнений нелинейной квантовой
механики — нам удобнее рассматривать целый класс
уравнений, к которому они относятся. (Хотя бы по той
причине, что к этому классу относятся и нелинейные
уравнения оптики, учитывающие пространственную дис-
дисперсию [25].) Поэтому мы приведем ниже те конкретные
уравнения со всеми физическими константами, к которым
применимы полученные в книге результаты.
Приведем вначале простейшее вторично квантованное уравне-
уравнение для бозе-частиц с парным взаимодействием в гейзенберговском
представлении:
. _ v., t) h* [ *
+ T* (x, t) \ dyV* (y, t)V{x — y) Y (y, t), B)
где x, у e R3, h — постоянная Планка, т — масса бозе-частицы/
V (x — у) = V (у — х) — потенциал парного взаимодействия;
?* (х, t), W (x, t) — операторы рождения и уничтожения в коорди-
координатном представлении.
В случае, когда коммутатор [Ч (х, t), ?* (у, t)] равен нулю, мы
получаем нелинейное уравнение квантовой механики вида
dtyjx, t) h?_ \ г
где г)з (х, t) — комплекснозначная функция. (Асимптотика решения
уравнения C) строится в гл. IV).
10

В теории квантованных полей гейзенберговские уравнения для
операторов взаимодействующих бозе- и ферми-частиц имеют вид
пЛ^ц—^-ГФ-Mel) V(x, f) = 0, D)
i--f ТФ + Mcl) = 0, E)
^- <-/, F)
f:=1FV. G)
Здесь ТиФ — гейзенберговские операторы ферми- и бозе-поля,
Л/ — масса ферми-частиц, е — константа взаимодействия, h —
постоянная Планка, с — скорость света в вакууме, уп (п = 0, 1,
2, 3) — матрицы Дирака, / — единичная матрица.
Для квантовой электродинамики Г = {уп}> Ф = {Ап (х> ')}»
где {Ап} — 4-потенциал электромагнитного поля.*
Пусть G — функция Грина уравнения F). Тогда, выражая опе-
операторы бозе-поля Ф через спинорный ток /
ф = G о — еТГТ, (8)
подставляя (8) в D) и E), и полагая, что Т и Т уже не операторы,
а комплекснозначные функции, получаем систему уравнений нелиней-
нелинейной квантовой механики
ih J^i - ^- [ Г ^ G {х, t; у, х) у (у, т) Гор (у, г) dy it] -
— МсП ф(г, *) = 0, (9)
Э 4яе (" _
й^ ~ 1г" г }, G (ж- *; V, т) г|) (у, т) Гг|з (?/, т) dj/dt + McI)X
Замечание 1. Мы рассматриваем уравнения D), E), по-
полагая, что г|5 п Ф — комплекснозначные функции, в то время как
для ферми-частиц нужно полагать антикоммутатор равным нулю, и
следовательно, г|) должно быть функцией со значениями на грассма-
новой алгебре [3]. Но, как известно, переход от комплекснозначных
функций к функциям на грассмановой алгебре не представляет'тру-
да [31.
Замечание 2. Функции V (х — %) в уравнении C) и
функция G в уравнении (9) имеют особенности.
Мы будем в дальнейшем рассматривать регуляризо-
ванные ядра в интегральных членах нелинейных уравне-
уравнений, т. е. предполагать, что эти ядра не имеют особенно-
особенностей. Это существенное ограничение не сказывается, вооб-
вообще 'говоря, на основных результатах книги, в частности
наплавном члене квазиклассической асимптотики в це-
целом для уравнений C), (9). Однако в следующих членах
11

разложения по h особенности функции G будут сказы-
сказываться. Учет этих поправок может быть произведен
в рамках предложенного здесь метода, хотя это и пред-
представляет, по мнению автора, большие технические труд-
трудности. Грубо говоря, если разложить интеграл в правой
части уравнения C) на гладкую и быстро осциллирующую
части по параметру h, то, когда эта быстро осциллирую-
осциллирующая часть не попадает в резонанс с собственными колеба-
колебаниями волнового уравнения (т. е. в общей ситуации),
она дает вклад порядка О (h2); если попадает, то ее вклад
имеет порядок О (К). Весьма громоздкий аппарат, кото-
который позволил бы учесть поправки, вносимые этими чле-
членами, имело бы смысл развить, если бы было ясно, что
эти поправки приводят к некоторым физическим эффек-
эффектам. Во всяком случае здесь мы этого вопроса касаться
не будем.
Важный результат книги состоит в конструкции меры
для континуального интеграла Фейнмана, которая прово-
проводится во второй части книги. В гл. VII проводится боль-
большая подготовительная работа, связанная с вероятностной
трактовкой суммы по путям. Окончательная теорема дока-
доказана в гл. IX. Эта теорема опирается на § 1 гл. III о су-
существовании ^-отображения и на некоторые определения
из гл. VI.
При изложении мы пользовались некоторыми терми-
терминами, взятыми из физической литературы — они всегда
заключаются в кавычки. Отметим также, что для согласо-
согласования с обозначениями физиков мы понимаем ниже под
1 2 clef 1 2
Ф (р, х) = ф (—ihd/dx, x) функцию от упорядоченных опе-
1
раторов, в которой р — — ihd/dx есть оператор диффе-
дифференцирования, умноженный на —I и на вещественный па-
12 1
раметр h, в отличие от / (р, ih д/др), где под р понимается —
оператор умножения на р, действующий первым.

ГЛАВА I
ЗГ-ОТОБРАЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА
Самосогласованные уравнения плазмы без учета столк-
столкновений описывают взаимодействие частицы с усреднен-
усредненными полями других частиц. Эти нелинейные уравнения
обычно содержат производные первого порядка, а их
коэффициенты зависят от свертки неизвестной функции
и (х, t) с некоторыми заданными потенциалами. Из фи-
физических соображений следует, что коэффициенты зави-
зависят от значения неизвестной функции в некоторый пред-
предшествующий момент: и (х, t — г) (эффект запаздывания
или релаксации). Однако параметр е настолько мал, что
в уравнении мы им пренебрегаем. Но при составлении
разностной схемы для таких уравнений этот факт по су-
существу учитывается, поскольку значения коэффициентов
берутся на предыдущем шаге по сравнению с решением.
Мы введем специальное понятие ^-отображения, в ко-
котором па самом деле отражается факт запаздывания коэф-
коэффициентов уравнения и которое дает метод построения
решения нелинейного уравнения шагами по t. В этом
смысле ^-отображение иногда стоит ближе к реальным
физическим процессам, чем само уравнение. С другой
стороны, как будет показано ниже, метод ^-отображений
обобщает метод ломаных Эйлера. Таким образом, метод
Г-отображений может служить конструктивным методом
доказательства ^существования [решений. Кроме того,
Г-отображения~тесно связаны с понятием нелинейного'кон-
тинуального интеграла (см. гл. VI) и с нашей точки зре-
зрения естественно решения «характеристических уравне-
уравнений» для континуального интеграла записывать в виде
Г-отображения, поскольку континуальный интеграл 'мо-
'может быть также интерпретирован как метод построения
решения шагами по t.
13

^-отображения, ассоциированные с нелинейными урав-
уравнениями квантовой механики (гл. II, III), являются есте-
естественным обобщением ^-произведений, причем в этом
случае формулы выпутывания Фейнмана переносятся на
Г-отображения. Именно это фундаментальное обстоя-
обстоятельство позволяет построить квазиклассическую
асимптотику нелинейных уравнений квантовой меха-
механики и нелинейный континуальный интеграл, отвечаю-
отвечающий им.
Уравнение Власова, как уже говорилось, играет
в наших построениях такую же роль, как уравнение
Лиувилля классической механики для фейнмановского
континуального интеграла. Но в фейнмановском конти-
континуальном интеграле непосредственно участвует не реше-
решение уравнения Лиувилля, а действие, т. е. решение экви-
эквивалентного уравнения Гамильтона — Якоби.
В настоящей главе вводится нелинейное интегро-диф-
ференциалыюе уравнение, которое относится к уравне-
уравнению Власова так же, как уравнение Гамильтона — Якоби
относится к уравнению Лиувилля. Решения интегро-
дифференциальных уравнений строятся с помощью Т-ото-
бражений. Эти решения понадобятся нам в дальнейшем
как для построения квазиклассической асимптотики,
так и для построения нелинейного континуального ин-
интеграла.
§ 1. Т-отображения
Многие уравнения математической физики и, в част-
частности, квантовой механики являются эволюционными
уравнениями вида
где г]з (t) — функция со значениями в гильбертовом про-
пространстве Н, Н (t) — заданный линейный неограничен-
неограниченный самосопряженный оператор в этом же пространстве.
Формально решение такого уравнения записывают в виде
^-произведения следующим образом:
{-i $ # (т)
14

Под этим понимается следующий предел «хронологиче-
«хронологического» произведения:
¦ф (t) = lim exp {— iAtx^H (tN^)}...
-iAfo#(*o)}i|>('o), A.1)
где to < tx < . . . <C ttf = t — некоторое разбиение от-
отрезка [to, t] на N интервалов длины Atj = tj+l — tj,
a 6jv = max Atj.
Таким образом, для получения функции тр в «момент
времени» t -j- dt нужно применить «инфинитезимальный»
оператор ехр { — i dtH (t)} к функции ip в «момент вре-
времени» t:
1|э (* + dt) = ехр { — i dtH(t)} 1]) (t).
Предел A.1) мы иногда будем обозначать
Пусть теперь В — некоторое банахово пространство
функций, а Н — нелинейный непрерывный оператор в нем:
ij> -»- Я [Мр].
Рассмотрим эволюционное уравнение
i^? = (#№)!>, A.2)
где Я ty] = (Н [г|з]) (х, р).
Решение эволюционного уравнения A.2) будем фор-
формально представлять в виде
где ¦флг определяется из следующей рекуррентной системы
равенств:
или, в дифференциальной форме,
гр (/ + dt) = ехр {- i dtH Ьр (*)]} г|) (t).
15

Такое представление функции гр (t) мы будем записы-
записывать в виде
t
Ч> (9 - Г П ехР (- idxHW (т)]}1 ф (*„). A.4)
Таким образом, значение функции яр в момент t -\- dt
может быть получено применением инфинитезимального
оператора ехр {— i dtH [я|э (t)]} к функции я|э (t).
Отображение яр (to) -> я|э (i), построенное по формулам
A.3), мы назовем Т-отображением по аналогии с терми-
термином «^-произведение», которым обычно обозначают муль-
мультипликативный интеграл AЛ). Таким образом, Г-произ-
ведение есть частный случай Г-отображения, когда опе-
оператор II линеен.
1. Рассмотрим некоторое банахово пространство В и
обозначим через С ([О, t], В) банахово пространство не-
непрерывных функций яр = 1|з (t) на [0, (JcR со значе-
значениями в В, наделенное нормой
Пространство С ([0, 0], В) отождествим с В.
Пусть *;>?'. Каждой функции греС([0, *], Б) сопо-
сопоставим ее сужение на [0, t'\; получим [новую функцию
яр' ЕС ([0, ?'], 5). В дальнейшем мы будем опускать знак
штриха и обозначать через \р как саму исходную функ-
функцию, так и все ее сужения на меньшие отрезки.
Пусть заданы ео j> 0, То ^> 0 и при любых t, г таких,
что 0 -^ t -^ То, (— t) <; е <^ ео, определено некоторое
двупараметрическое семейство отображений
St,t-:C([0,t],B)-^B A.5)
такое, что при любом deC ([0, t], В) и любом t e [0, То]
элемент St,t [v] непрерывно зависит от е, и если е <^ 0,/
то St,t lv] = v (t).
Рассмотрим разбиение An отрезка [0, То]:
AN = {0 = to < tx < . . . < tN = Го}.
Пусть А^ = f;+1 — tj и 5jy = max A^-. Для каждого
vo (принадлежащего В) определим последовательность
функций
vj+1 (t) = 5(.,,_,. [^1 @ < t < *ж),
16

где '/ = О, 1, . . ., N — 1. Обозначим
^iV = StN_v Atff^ ° ¦ ¦ ¦ ° Stt, Д(,[У0]-
Вообще говоря, предел lira vN по норме простран-
ства С ([0, То], В) существует не при всех v0 GE В. Пусть
D — подмножество в В, на котором этот предел существует.
Определение 1.1. Пусть vo ?E D и v = lim vN.
Отображение vo -> у назовем Т-отображением с образую-
образующей Sit с и обозначим
т=0
Рассмотрим частный случай Г-отображения, ассоцииро-
ассоциированного с нелинейным эволюционным уравнением.
Пусть В1 CZ В% — два банаховых пространства с нор-
нормами || • Hi > || • ||2. Рассмотрим пространства С;- (t) =
= С([0, t], Bj) непрерывных отображений [0, t] —*¦ Bj, j =
= 1, 2. Тогда С1 (i) d C2 @- Пусть при каждом
t ? [0, Го] задан нелинейный непрерывный оператор
Rt: Сг (t) ->- В2,
причем] для любого »6Ci (t) Rt (v) есть непрерывная
функция аргумента t 6E [0, Го].
Задачей Ноши для оператора Rt с начальным условием
ipo ЕЕ .#1 называется система уравнений для функции
причем производная берется в норме Вг:
Пусть задана образующая Г-отображения:
St, е : Ct (t) -+ Вг.
Определение 1.2. Если при любом t ?= [О, Го]
образующая 5{,е удовлетворяет условию
S, , [v] — » (t)
а
17

локально равномерно по v ЕЕ С\ (t), то Stl e называется
инфинитезималъным разрешающим оператором для за-
задачи Копти A.6).
2. Лемма 1.1. Пусть St<€ — инфинитезималъный
разрешающий оператор для задачи Коши A.6) и для
t
i|>o ЕЕ #1 определено Т-отображение ty (t) = ( Г1 5T(dT) [фоЬ
¦ф ЕЕ Сх (То). Тогда функция ij) является решением зада-
задачи A.6).
Доказательство. Пусть Л^ — некоторое раз-
разбиение [0, Го] и
¦флг = Яглг-р д^_2 о ... о Sto, At0 [tyo] ¦
Тогда, если ^-+1 > i > fy, то
Поэтому в силу A.7) найдется No такое, что
Iibnj- It- + Д() —-ibw (t.)
-JL-2 д| — Rtjl^N] =0
равномерно по TV >¦ iVo.
Зафиксируем точку t GE [0, Го) и выберем последова-
последовательность разбиений {Ajv} так, чтобы при каждом N один
из узлов tj совпадал с t.
Тогда в силу того, что Bt непрерывен и Г-отображе-
ние с образующей Stit сходится,
Лемма доказана. /
В дальнейшем нас будет интересовать случай, когда
нелинейный оператор Rt в задаче Коши A.6) имеет спе-
специальный вид
где At (я|з) при каждом у ЕЕ Сг (t) есть линейный непре-
непрерывный оператор из Вг в В2, являющийся инфинитези-
мальной образующей для однопараметрической полугруп-
пы e'AtW.
18

Инфинитезимальный разрешающий оператор задачи
^(t) = At(m(t), ^@) = ^0 A-8)
будем искать в виде
SUt[v) = e*A*(v)v(t). A.9)
^-отображение, отвечающее такой образующей, может
быть записано следующим образом:
0. A.10)
В случае, когда показатель экспоненты не зависит от ip,
это ^-отображение обычно называют Т-произведением.
Отметим, что в дальнейшем под ^-отображением мы будем
понимать случай специальной интегральной зависимости
At от ip.
§ 2. Интегро-дифференциальныс квазилинейные
уравнения первого порядка
1. Рассмотрим некоторое отображение (функцию)
/:Rnx Rx C@)(RnX R)-^C,
которая каждой точке х ЕЕ R", каждому «моменту вре-
времени» IER и каждой функции F ?5 С1'0' (RJJ X R()
ставит в соответствие комплексное число / (х, t; [F]).
Определение 2.1. Будем говорить, что функция
/ = / (х, t; [F]) интегрально зависит от F, если / являет-
является гладкой *) функцией от х, t и от конечного числа ин-
интегралов вида
ъ ..., ym;F(yu t),..., F(ym, t))dyu..., dym,
, t;yu..., ym, tu . .., rm; F (yu tj),...
¦•¦,F{yn,Tm))dy1, ...,dym,
*) To есть функция класса С°°; ниже мы нигде не касаемся воп-
вопроса о минимально необходимой гладкости тех или иных функций и
всегда предполагаем существование у них достаточного числа про-
производных.
19

где рх (х, t; г/1; . . ., ут; zx, . . ., zm) и р2 (х, t; ух, . . .
. . ., ут; zlt . . ., zm) — гладкие функции, носитель ко-
которых по переменным уг, . . ., ут содержится в фиксиро-
фиксированной ограниченной области Кт d Rmn, не зависящей
от остальных аргументов х, t, z.
Интегралы такого вида в дальнейшем будем обозна-
обозначать
t
Рассмотрим функции av . . ., ап, Ъ, интегрально за-
зависящие от F.
Определение 2.2. Квазилинейным интегро-диф-
ференциалъным уравнением назовем нелинейное уравнение
вида
п
Ц^ + 2 <к (х, t, [F]) д^ + Ь(х, \t, [F]) F = 0.
г=1 i
Обозначим
SdF< dF . .
a,i -g^- = a -g?- , a = («!, . . ., an).
2. Рассмотрим задачу Кодш
~ + a(x, t, [F]) ^- + b(x, t, [F])F = 0,
^1^0 = ^, BЛ)
где Fo — гладкая финитная функция на Rn, a} (/ =
= 1, . . ., п) — вещественнозначные функции. Рассмот-
Рассмотрим двупараметрическое семейство нелинейных операт
торов /
Gt,t iv] = exp {— eb (x, t, [v])} X
2 1
X exp {— ea (x, t, [v]) д/дх} v (x, t) =
= exp {— eb (x, t, [v])} v (x — га (х, t, [v]), t), B.2)
где v e C<°) (R7^1).
Пусть Вг = C& (Rn), B2 = C<°> (Rn).
Лемма 2.1. Оператор Gt,t lv] является инфините-
зималъным разрешающим оператором {для задачи B.1)
в паре банаховых пространств Вх CZ В^.
20

Доказательство. Оператор задачи B.1) име-
имеет вид
B-t(v) = —a(x, t, [v])-^ — Ъ(х, t, [и])v.
Поэтому
Очевидно, правая часть по норме Вг == CW (Rn)
сходится к нулю при е -*- + 0 локально равномерно по
»ЕС ([0, *], В,).
3. Докажем, что ^-отображение с образующей Gtft
сходится к решению задачи Коши B.1).
Теорема 2.1. Пусть М — любой компакт, содер-
содержащий К и supp Fo. Тогда существует число То ^> О
такое, что в норме С ([0, То], С@) (М)) сходится Т-ото-
Т-отображение с образующей Gt<€, определенной в B.2):
F0], B.3)
причем функция F : М X [0, То] ->- С является гладким
решением задачи Коши B.1).
Доказательство. 1) Коэффициенты а {х, t,
[F]), Ъ (х, t, [F]) по условию интегрально зависят от F,
т. е. являются гладкими функциями от интегралов вида
§> t, z, \x, F(z, \i))dz.
о
Сделаем в этих интегралах замену z = X (у, ц) и обоз-
обозначим
дХг {у, V)
•> ку, f; = ue" —-j^—
Получим
р (х, t, X (у, [х), (х, fi (у, |i)) | / (у, ii) | dy. B.4)
21

После такого преобразования коэффициенты а, Ъ будут
интегрально зависеть от X, F, \ J |. Обозначим их через
а (х, t; [X, F, Л), Ь (х, t; [X, F, Л).
2) Выпишем систему характеристик для задачи B.1):
дХ%'f) = S (X (у, t), t; [X, F, J]), X (у, 0) = у;
Щ^>- + Ъ (X (у, t), t; [X, F, /]) F = 0,
fi(y,0) = F0(y); B.5)
д1{Ц;1) = div5(X(t/, t), t; [X, F, J])J(y, t),
J(y,O)=l.
Здесь div a (x, т; [X, F, Л) = S 1Г-(Х> r' tX' F> JV-
Если решение этой системы существует, то отображе-
отображение gt: у -*¦ X (у, t) есть локальный гомеоморфизм, так
как его якобиан отличен от нуля:
,T),T; [X, F, J])dx] >0. B.6)
3) Рассмотрим разбиение AN отрезка [0, То] точками
0 = to ¦< tx < . . . < tN = То. Определим функцию
№ (у, t) следующим образом:
{ ¦ ]
при tj < t < tJ+1, j = 0, 1,. . ., TV — 1. Здесь /СО (у, t)y=
= det —^—¦— , а функция F№ {y, t) определяется
системой уравнений
) = Fo(y), B.8)
F}N)(y, t) = w w ^ w
При <;< «< tJ+1, / = 0, 1, . . ., TV- 1.
Систему B.7), B.8) решаем следующим образом. Вна-
Вначале решим B.7) при / = 0, затем B.8) при / = 0, затем
опять B.7) при / = 1 и т. д. Легко видеть, что XW (у, t),
22

а значит и F№ (у, t) являются гладкими функциями от у,
причем их производные локально ограничены равно-
равно[0 ]
р р
мерно по N = 1, 2, . . . и t G [0, Jo].
4) Рассмотрим уравнение
(у,
B.9)
и найдем его решение у =
при */< *< tJ+1:
x-(t- tj) a (х, tj) =
Здесь опущены аргументы
Отсюда
(а: - (< - *;) й (а:,
(х, t). В силу B.7) имеем
, 0) = х.
, JW] у функции й.
B.10)
Решая последовательно при / = 0, 1, . . ., iV — 1 урав-
уравнения B.10), найдем функцию у = Y(N\ удовлетворяю-
удовлетворяющую B.9).
Подставим у = У(^ (#, i) в B.8) и обозначим
FW (x, t) = JFW (УС0 (x, t),t). B.11)
Получим, учитывая B.10),
ж, 0) = Fo (ж),
) (x, t) =
= /W {х- (t - t}) a (x, tj), tj) eHt-'f)Hx' 'й B.12)
при tj < * < tj+1, j = 0, 1, . . ., JV - 1.
Но в силу B.11) и B.9) имеем
i?W (у, t) = FW (XW (г/, 0, <)•
Поэтому, согласно определению а, Ъ (см. 1)), из B.12)
получим следующую систему уравнений для функ-
функции W
iN)]
w
Fw (x, t) = exp {- (t - t,) b (x, tfi [FiN)])} X
X
23

при tj <; t <J tj+1. Таким образом, FW (x, t) является
аппроксимацией Г-отображения B.3) с образующей
Gue (см. B.2)).
5) В силу B.11) для доказательства теоремы нам не-
необходимо установить, что существует
lim F(N)(x, t) = lim Fm (Ym (x, t), t) B.13)
в норме С ([О, Го], В), где В = С (М). Для этого доста-
достаточно доказать существование в указанной норме пре-
пределов
lim ft(N\ lim Ym. B.14)
b 5
Ho YW = [ZWJ (cm. B.9)). Поэтому можно доказы-
доказывать сходимость JW.
6) Выпишем теперь уравнения для якобиана
/W (у, t). Из формулы B.7) получим (при tj ^ t ^ ^+1)
JiN) (У, t) =
= -1 a- J(N){y'tj) Г • <2Л5)
, - (t - tj) -^ (ZW (у, t), t{, [X("\ JW, jW])
dot в, - (t - tj) -^ (ZW (у, t), t{, [X("
/W (у, 0) = 1.
7) Рассмотрим систему уравнений B.7), B.8), B.15).
Обозначим
Таким образом, /W (i) — непрерывная функция со зна-
значениями в пространстве непрерывных (п + 2)-мерных
вектор-функций В'.
Введем отображение QUI : С ([0, Го], В') -> В' fio
формуле
Qt.s t/(N)] = {Xw (-,*) + ей (Zw (• ,t + e), 0,
где у а, Ъ опущены аргументы JW, FW, J(N\ от которых
а, Ь зависят интегрально.
24

Кроме того, пусть
diva (X(N)(.,0, *)>.
Тогда уравнения B.7), B.8), B.15) можно записать в виде
@) = /о, B.16)
при tj < f < fJ+1, / = 0, . . ., TV - 1, /о (у) = {г/, Fo (y),i}-
Используя вместо Qtit образующую Qtji, построим
систему
@) = /о, B.17)
(t) = ^-f,-[f^]
при !!7- < t < fy+1.
Система B.17) есть система ломаных Эйлера для за-
задачи
4т = ^МЯ, /(О)=/о- B-18)
Существование предела / = lim f W доказывается, как
5
и в классическом случае [16, 18]. Оказывается, что этот
предел существует в норме С ([0, Го], В') при достаточно
малом То ^> 0 и удовлетворяет задаче B.18). С другой
стороны, образующая QUi отличается от Qf^ на О (е2).
Поэтому на [0, То] существует lim /W = /.
Итак, доказана сходимость схемы B.7), B.8). Теорема
доказана.
Замечание. Задача Коши B.18), аппроксима-
аппроксимацией которой являются схемы B.16) и B.17), совпадает
с системой уравнений характеристик B.5).
Следствие. Решение F (x, t) задачи Коши B.1)
существует на том отрезке [0, Т], на котором существует
решение (X, F, /) системы характеристик B.5), и за-
задается формулой
F (x, t) = F (Y (x, t), t),
где Y (x, t) есть решение уравнения
х = X (у, t).
25

4. Обобщенное уравнение Власова. Пусть веществен
ная функция Н (q, p, t; [/]) интегрально зависит ог.
/ и q, р (ЕЕ R", t !> 0. Рассмотрим частный случай урав
нения B.1):
-%-(q. P, t; imjL-n^iq, p, t; [/])/ = 0, B.19
/ (q, p, 0) = /o (q, p) G С (R2"),
где обозначено
Это квазилинейное интегро-дифференциальное урав
нение назовем обобщенным уравнением Власова.
Функция Н по условию гладко зависит от интеграло]
вида
dx ^ p (q, p, t; q', р', т; / (q', p', т)) dq' dp',
где р €Е С°° — финитная функция от (^г', р').
В каждом таком интеграле сделаем замену перемен
ных
q' -> <? (z, со, т), р' -> Р (z, ©, z), B.20;
где Q, Р — неизвестные функции, причем
D «?, -Р) 1 . -,-„»
Li?(,,«o) =1' (Z'ffl'eR'
Тогда функция Н (q, p, t; [/]) перейдет в
Я («?, р, t; [Q, P, f]), B.21;
где f (z, ©, т) = / ((? (z, (о, т), Р (z, (о, т), т), причем В
гладко зависит от интегралов
5 Р (^' PifiQ (z> «. т)> -f (z> ». f); f (z, со, т)) dz d o. B.22
о
26

функции Q, Р определим из следующей системы ураи-
нений:
¦Ц. (z, со, т) = 2L(Q (z, со, т), Р (z, со, т), t; [с?, Р, ./„]),
-~ (z, со, т) = — -^- (с? (z, со, т), Р (z, со, т), т; [<?, Р, /0]),
X (z, со, 0) = z, P (г, со, 0) = со, B.23)
где /о (#, р) — начальное условие в B.19).
Из теоремы 2.1 вытекает следующая
Теорема 2. 2. Существует То ^> 0 такое, что при
t GE [0, Tq] система уравнений B.23) имеет единственное
решение Q, Р ЕЕ С°° (supp /0 X [0, То]), и тогда:
1) Отображение gt: (z, со) -*- (Q (z, со, t), P (я, со, f))
является каноническим; в частности,
D(Q,P)
1J{Z, СО)
= 1.
2) Решение задачи Коши B.19) при tEE [0, То] суще-
существует, единственно и задается Т-отображением:
t
/ (?, Р, 0 = exp |- ^ [^^i (g, p, т; [/]) -^- -
3) Система B.23) является системой уравнений харак-
характеристик для задачи B.19), т. е.
f(Q (г, со, *), Р(г, со, t), t) =/0 (z, со).
Иными словами, решение задачи Коши B.19) получает-
получается с помощью сдвига начальной функции /0 по траекториям
системы B.23).
Замечание. Всюду в дальнейшем на гамильтониан
Но мы будем налагать дополнительное условие вида
дх
+
дНо
дР
где Сг и С2 — константы.
При этом ограничении, как это следует из теоремы 8.4
гл. I [16], система B.23)разрешима на любом отрезке вре-
времени [0, Т].
27

Если же это условие не выполнено, то все результаты
гл. IV—VI имеют место лишь на том отрезке времени [О,
То], на котором решение системы 2.23 существует.
Определим теперь действие и энтропию на лагранжевом
многообразии, отвечающем уравнению Власова. Пусть
Л-о — некоторое лангранжево многообразие [13, 16]
в R2n = R" X Rp относительно формы их /\ dp, х0 —
гладкая вещественная финитная функция на Л^, da —
мера на Лц, индуцированная мерой dx dp на R2'\
Рассмотрим уравнение Власова с начальным условием,
сосредоточенным на Л^:
д? , dF дН . , rni. dF дН ,
B.24)
F (х, р, 0) = Fo (x, р),
supp Fo d Л™, где обобщенная функция Fo действует по
формуле
<^о, Ф> =
а — координата на Лц = {х = х (ос), р =р (а)}, ф е*С^° (R2n).
Рассмотрим характеристики X (z, со, t), P (z, со, t)
этой задачи Коши. Обозначим X (a, t) = X (х (а),
р (а), t), Р (а, t) = Р (х (а), р (а), t); сдвиг Л?
по этим характеристикам есть лагражево многообразие Л(:
ЛГ = {х = X (a, t), р = Р (a, t), a e Ло}.
Пусть So — действие на Л^ (см. [13, 16]). Определим дей-
действие на Л" формулой
- Н (X (а, т), Р (а, t), т; [X; />])
Энтропией Но (t) на Л? — будем называть действие
*5 (ос, t), усредненное по функции х0:
Но (t)= J S (&, 0 х0 (а) da.
28

Таким образом, энтропия полностью определяется на-
начальными данными задачи B.24).
Пусть, например, многообразие Л? задано уравнением
dSa (ж)
P
где So ЕЕ С" (R"). Переменные х = {хх, . . ., хп) являют-
являются глобальными координатами на Л^. На многообразии
Лд рассмотрим некоторую гладкую вещественную функ-
функцию х0. Пусть F (х, р, t) — решение задачи Коши урав-
уравнения Власова (—) с начальным условием
сосредоточенным на Aq. Пусть X (z, t), P (z, t) — соот-
соответствующие этой задаче Коши характеристики, выпущен-
выпущенные из Ло:
(X (г, 0), Р (z, 0)) ЕЕ К,
a S (z, t) — действие на Л™ = {х = X (z, t), p =
= Р(z, г)}. Рассмотрим энтропию H0(t)= \S (z, ^) к0 (z) dz
на AJ1. Легко доказать, что на том отрезке [0, То], на
котором DX (z, t)IDz ^> 0, энтропию можно вычислить
по следующей формуле:
#о (t) = Ц 5 (ж, 0 i? (Ж, р, f) d^ dp, B.25)
где 5 (я, t) — решение уравнения Гамильтона — Якоби
5. Система обобщенных уравнений Власова. Рассмот-
Рассмотим следующую систему квазилинейных уравнений:
+ 'ZhJ(q,p,t;[f])fj = O, B.26)
3=1
А- (?, Р, 0) = /0(? (?, р), /с = 1,. . ., г.
29

Здесь вещественная функция Гамильтона Н и коэффициен-
коэффициенты Ъ1} интегрально зависят от компонент вектор-функции
/ = (Д, . . ., jr). После замены переменных вида B.20)
функции Я, btj перейдут в H(q, p, t; [Q, Р, f]) и в Ъа (q,
р, t; [Q, Р, fl) по формулам B.21), B.22).
Система уравнений характеристик для задачи B.26)
имеет следующий вид:
-|f (z, и), t) --~{Q{z, со, t), P(z, со, t), f, [Q, P, /]),
-|f (г, со, t) = - —- (<? (г, со, t), P (z, со, t), t- [Q, P, f ]),
at +
Г
+ 2 5« ((>(*, ©, 0. ^B, to, 0; [<?. ^. f])/i(^,«, t) = o,
3=1
(9 (z, со, 0) = z, P (z, со, 0) = со, ffc (z, со, 0) = /ofc (z, со),
fc = l,. . ., r.
Для задачи Коши B.26) остаются справедливыми все
утверждения теоремы 2.2 (с заменой системы характерис-
характеристик B.23) на B.27)).
§ 3. Общие иитегро-дифференциальные
уравнения первого порядка
1. Определение 3.1. Интегро-дифференциаль-
ным уравнением первого порядка называется следующее не-
нелинейное уравнение относительно функции Ф (х):
=О, \3.1)
где R (x, p, s; [Р, Ф]) интегрально зависит от Р, Ф и яв-
является гладкой функцией х, р ?= Rm, sER.
В этом параграфе будет рассмотрен случай, когда
в уравнении C.1) одна из переменных (обозначаемая t)
выделена по отношению к остальным. Кроме того, без
уменьшения общности можно считать, что символ R
в уравнении C.1) зависит лишь от производных неизвест-
неизвестной функции.
30

Рассмотрим следующую задачу Коши для интегро-диф-
ференциального уравнения первого порядка:
t,?.(z,ty, [?.])= О, C.2)
S (х, 0) = So (x),
где L (х, t, р; [Р]) — вещественная функция, гладкая по
х, р ЕЕ Rn, t ЕЕ R, и интегрально зависящая от Р (х, t).
Таким образом, нелинейных! член в C.2) есть гладкая
функция от интегралов вида
t
1 =\dt\p (х, t, -g- (х, t); i/, T, -|f (У, т)) dy, C.3)
о Rn
где р ЕЕ С°°, причем носитель supp p (x, t, р;у, т, ?) содержит-
v
ся в ограниченном множестве К, не зависящем от осталь-
остальных переменных (х, t, p, т, ?).
В этом параграфе будет получена теорема существо-
существования решения задачи C.2); предъявлен метод сведения
задачи C.2) к квазилинейному интегро-дифференциаль-
ному уравнению, исследованному в § 2; получена основ-
основная формула для решения задачи C.2) через решения соот-
соответствующей системы характеристик. (Формулировки
теорем приведены в п. 6).
В п. 8 рассматривается специальный класс интегро-
дифференциальных уравнений второго порядка, также до-
допускающих решение методом характеристик.
2. Построим функцию Гамильтона, отвечающую зада-
задаче C.2). Сделаем формальную замену
dS . ..
~^(x,t) = P,
C.4)
у = X (г, т), -|1 (X (z, т),ат) = Р (г, т),
S (X (z, т), т) = S (z, т).
Пусть, кроме того,
Jii = dXJdz}, J = I Jij ||.
После замены C.4) интеграл C.3) перейдет в интеграл
7 = ^ dx § p(x,t,p; X (z, т), т, Р (z, т)) | det / (z, x)\dz. C.5)
О R«
31

Подставим в L (х, t, p, [dS/dx]) вместо каждого интеграла
/ вида C.3) интеграл Г из C.5). Получим функцию
Н (х, t, р; [X, Р, /]), C.6)
которая гладко зависит от х, рЕ R71, (ERh интеграль-
интегрально от X, Р, J. Функцию C.6) назовем функцией Гамиль-
Гамильтона, отвечающей задаче C.2).
3. Введем единые обозначения для всех функций X,
Р, J, от которых зависит функция Гамильтона C.6).
Введем якобиан /у = dPjdZj. Пусть
J 1 = All ¦ • ч У П — ^П1
У Т1+1 = "li • • •! У 2П = "ш
У 2ГС+1 = •'111 • • •! ^ ЗП = •/1«5
C.7)
Jf n(n+l)+l == •'nil • • ч У п(п+2) — i/nm
' n«+2rt+l == J Hi • • ¦! У пЧЗп == ^lm
¦* 2n2+n+l — * пЪ • • ч ¦* 21г!+2п —¦ ^тгп'
Всего получаем т = 2и2 -)- 2п функций Yt (z, т),. .., Ym (z, x).
Пусть, кроме того,
= (Гь . . ., У„),
\ V V
\ -* n'+n+li •••)-' ?i2+2'i /
fv v
-f ?i2+2n+li ..•)¦* п'+зп
V V
ч 1 2n»+i+l> •••>-' 2ПЧ2П/
Функция Гамильтона Я из C.6) в этих обозначениях при-
примет вид Н (х, t, р; [У<«, У<2), УC)]).
4. Выпишем систему характеристик для задачи C.2):
) (z, о, *, ^(г) (я, 0.
ЭУ<2) (г, f) _ _ дН_ C.8)

Ж ^Тр-дТ1 ^V^-Jp-aT1 V>lh C.8)
at ~" дхдр
где у функции H т& ее производных опущены аргументы,
выписанные в первой строке C.8); через „ обозначена
II ЭН Ц дН дЧ1
п X тг-матрица \ы—з— и аналогично „ - , ¦- 3 ,
I dpfiXj | За; <?/; ' Эх дх '
это матрицы из вторых производных функции Н.
Начальные данные для C.8) определяются из формул
C.7), C.4) и начальных данных C.2):
дх v ''
C-9)
Ниже будет доказано, что система C.8), C.9) является
системой уравнений характеристик для задачи Коши
C.2). Пусть
Yo (z) = (УМ (z, 0),. . ., У(« (z, 0)). C.10)
Перепишем систему C.8), C.9) в компактном виде:
dY?l) =a(Y(z,t),t; [У]), y(z,O) = yo(z). C.11)
Здесь вектор-функция а (у, t; Y) интегрально зависит от
У и задается формулами (см. C.8))
а = (а«, . . ., аD)), у =
C.12)
дхдр у дхдх у '
2 В. П. Маслов 33

где у функции Н и ее производных опущены аргументы,
выписанные во второй строке.
5. Как уже отмечалось, функция L в уравнении C.2)
гладко зависит от интегралов вида C.3). Каждый такой
интеграл / после замены C.4) переходит в Т (см. C.5)).
Сопоставим теперь каждому интегралу 7 функцию
\ p(x,t,p; yV-\r,yV>)\d<&y®\F(y, x)dy. C.13)
0 r"»
Здесь F — неизвестная функция
dy = dyu . . ., dym, у = (yW, . . ., !/(*>),
2/A) = (Л, • • •, Уп), УB) = (Уп+i, ¦ ¦ ¦, Угп),
(Уъп+ъ • • •> //зп
m = 2п2 + 2п.
Подставим в функцию L (x, t, p; [dSldx]) вместо каждого
интеграла / вида C.3) интеграл / из C.13). Получим
функцию
Ж (х, t, p; IF}), C.14)
интегрально зависящую от F.
Используя функцию Ж, по формулам, аналогичным
C.12), построим вектор-функцию а — (aW, . . ., а^)\:
L
дх
дрдх J ' дрдр " '
уD) _ 7/
у дхдх и
д() = у() _
дхдр у дхдх
Функция а (у, t; [F]) интегрально зависит от F.
34

6. Сформулируем теперь основные результаты о раз-
разрешимости задачи Коши C.2). Напомним, что, по пред-
предположению, носители функций р (х, t, р, у, т, ?) по пере-
переменной у в интегралах C.3), от которых зависит функция
L (х, t, p; [dS/dx]), содержатся в фиксированном компакт-
компактном множестве К CI Rn.
Рассмотрим банахово пространство Вм непрерывных
функций на компакте М СГ R™ со значениями в Rm,
т — 2п2. Пусть М ZJ К и ID snpp So. Уравнение
C.11) будем рассматривать как обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение для функции со значениями в В у
(см. § 2):
^- = a{Y,t; [Y\).
Здесь Y (-, t) ?E BM,Y(z, t) = (X (t, z), P (t, z), Jt} (t, z),
Itj (t, z)). Задача Коши для этого уравнения с начальными
условиями Y (z, 0) = Yo (z) из C.9) разрешима на неко-
некотором отрезке времени [0, Тм]. Пусть для всех t (ЕЕ [0,
Тм\ справедливо включение
К а {х\х = X (t, z), z<= М}.
Решение У (z, t) задачи Коши C.11) бесконечно диф-
дифференцируемо. Кроме того, легко доказать следующее ут-
утверждение.
Лемма 3.1. Для любого компакта GcR" такого,
что G ZD К, G ZJ supp So, существует число То ^> 0 и
гладкая функция z = z (x, t) на G X [0, То] со значениями
в R™ такие, что
х = X (z (x, t), t),
det Ц Jtj (z (x, t), 01 >0, C.16)
P(z(x,t),t)=JLS(z(x,t),t),
где °
t
о
-H(X(z, т), т, P(z, т); [X, P, /]}dt. C.17)
При помощи этой леммы непосредственным вычисле-
вычислением доказывается следующая
2* 35

Теорема 3.1. Функция S : (G X [О, То\) -> R, за-
задаваемая формулой
S (x, t) = S(z (x, t), t),
где S определено в C.17), является гладким решением зада-
задачи Коши C.2).
Эта теорема сводит решение задачи Коши C.2) к ре-
решению системы характеристик C.11). Можно также све-
свести задачу Коши C.2) к квазилинейному интегро-дифферен-
циальному уравнению, изученному в § 2.
Теорема 3.2. Пусть функция F удовлетворяет
задаче Коши для квазилинейного интегро-дифференциаль-
ного уравнения:
т
дР (У, 0 . V д ,
1=1 ; C.i8)
3=2
где т = 2я2 + 2п, а функции a,, Yq определены в C.15),
C.9), C.10), C.13'). Пусть S (x, t) —решение следующей
задачи Коши для уравнения Гамильтона — Якоби:
'. тег; ^])=о,
S(z,0) = S0(:r). (ЗЛ9)
Тогда функция S удовлетворяет задаче C.2).
Доказательство. Рассмотрим систему из т
обыкновенных дифференциальных уравнений
¦^- = о (У, t; [F]), Y |t=0 = u6Rffl. \ C.20)
Пусть Y (и, t) —• ее решение. Тогда
В(Ущи)!)) = ехрЦS(Y(u, х), т; [F]) dx] . C.21)
о
Рассмотрим функцию
Р (и, t) = F(Y (и, t), t).
36

В силу C.18), C.20) она удовлетворяет следующей задаче
Коши:
dFf'l) + F (и, t) divva (Г (и, t), t, [F]) = 0,
dt 4 C.22)
1=2
Здесь использовано представление вектора и €Е Rm в виде
и = (и^ , . . ., аD>), где и^\ ц<2) 6Е R", а компоненты
uC), и<4) суть п X n-матрицы (ср. C.13'))-
Решение задачи C.22) выписывается явно:
4
У, (и, t) = ii о (и — х о (и )) X
1=2
X exp{-5divya(y(u,T), т; [F])dt}. C.23)
Сделаем теперь в каждом интеграле / вида C.13) за-
замену переменных у = Y (и, т). Получим
du.
О R"i
X | det УC) (м, x)\f{u, т)
Воспользуемся формулами C.21), C.23). Тогда интеграл
/ после интегрирования по и^ , . . ., и^ будет иметь вид
^ t ^ м
/ = S Л \ р(х, *, р; fA) (z, г), г, ГB) (г, т)) | det Y%, x)\dz,
0 ят
C.24)
где
f(z, т) =Y(Y0(z), т). C.25)
Формула C.24) и определение функций а, а (см. C.15),
C.12)) показывают, что
а (у, t; IF]) = а (у, t; \Y\). C.26)
37

Воспользуемся теперь уравнением C.20). Положим и =
= Yo (z). Тогда из C.20), C.25), C.26) получим
dl?H=a(Y(Z,t),t;[Yl), f (z, 0) = Y0(z).
Эта задача Коши совпадает с системой характеристик
C.11) и в силу единственности ее решения мы имеем
Y(z, t) = Y(z, t).
Из C.7), C.24) вытекает, что интеграл / совпадает с / (см.
C.5)). Следовательно,
Ж (х, t, p, [F]) = Н (х, t, р, [X, Р, Л).
Из этой формулы, а также в силу теоремы 3.3 и опре-
определения C.6) функции Н получим
Таким образом, решение задачи C.19) удовлетворяет также
задаче C.2). Теорема доказана.
7. В заключение рассмотрим задачу Коши для интег-
ро-дифференциального уравнения, содержащего вторые
производные неизвестной функции. Эти производные вхо-
входят в уравнения таким образом, что удается написать
систему уравнений характеристик и с ее помощью решить
исходную задачу.
Пусть L[S] (x, t, p) — гладкая вещественная функция,
зависящая от х, р ЕЕ Rn, t ЕЕ R и от конечного числа ин-
интегралов вида
f(x, t, р; у, со, т; ^(у, со, т), ^-(у, со, т)У х
doady, C.27)
где / — гладкая функция, носитель которой по у и ©
содержится в фиксированном компакте К.
Рассмотрим задачу Коши
dS (х, со, t) . т I . dS , .. \ „
—K-^-l + L[S] [х, t, -g- (х, со, t)\ =0,
S {х, со, 0) = жсо.
38

Требуется найти ее решение на некотором отрезке време-
времени [О, Го], на котором
det
-3 т (Х, СО, t)
дх. д(й, ч ' ' '
~г"~]
>е>0. C.29)
При условии C.29) подынтегральное выражение в C.27)
конечно.
Выпишем^функцию Гамильтона, отвечающую задаче
C.28). Пусть X (z, со, t), Р (х, со, t) — некоторые гладкие
вещественные функции со значениями в Rn. Пусть
f(x, t, p; X (z, со, т), со, т; z, P(z, со, x))d(adz.
C.30)
О
Заменим в функции ?[S] (x, t, p) каждый интеграл /х ви-
вида C.27) (от которого она зависит) на интеграл 1± из C.30).
Получим функцию Гамильтона
Н(х, t, р; IX; Р]), C.31)
интегрально зависящую от X, Р.
Рассмотрим систему характеристик задачи C.28):
дХ (;- "¦ °4
dt ~~ дх '
X (z, (о, 0) = z, P (z, со, 0) = со, (z, со) е ДГ,
где у функций X, Р и их производных опущены аргумен-
аргументы (z, со, <), а у функции Н и ее производных опущены аргу-
аргументы, выписанные в первой строке C.32); М — компакт
в R2n.
Все утверждения п. 6 этого параграфа остаются спра-
справедливыми для задачи C.28) и ее системьгхарактеристик
(з.з2). т ~
Для любого компакта М Ц) К существует^Гм ]> 0 та-
такое, что при t GE [0, Тм\ решение^ {X (•, •, t), Р (•, •, t)}
системы C.32), рассматриваемой как задача Коши в ба-
банаховом пространстве С (М, R2ra+1), существует, причем
для любого t GE [0, Тм\ справедливо включение
К С {(*, «о) | х = X (z, со, t), (z, со) е М}.
39

Следствие. Преобразование
(z, ft)) -> (X (z, ю, t), P (z, ©, t))
при любом t ЕЕ [0, Тм\ является каноническим относи-
относительно формы dz Д dm.
Определим функцию S: М X [0, Тм\ -> R формулой
t
iS (Z, @, t) = ZCO + \ \Р (Z, О, Т) -^- (Z, (О, Т) —
о
— Н (X (z, со, т), хР (z, (о, т); [X; Р})\ dr. C.33)
Лемма 3. 2. Пусть G — любой компакт в R2", со-
содержащий К. Существует число То^> 0 и гладкая функ-
функция z — z (х, (Л, t), определенная на G X [О, То] и принимаю-
принимающая значения в Rn такие, что
х = X (z (х, ©, t), о, t),
det DX
/ (а:, со, t) = -^ (z (ж, со, *), ©, *) > 0.
Рассмотрим теперь функцию S (х, о, t) = S (z (я, ft),
?), со, <). Из классической теории уравнений первого поряд-
порядка известно, что функция S удовлетворяет задаче
r + H(x,t,-lr;[X;P])=0, C.35)
S (x, ft), 0) =
Кроме того, справедливы тождества ,
, .V dS ix, a, t)
Р (z (х, (о, 0, со, 0 = а<у(у>^ , C.36)
Сделаем в интеграле Тг из C.30) замену переменных
у = X (z, ©, t). Тогда в силу C.34), C.36) интеграл Тх
40

совпадает с Ix (см. C.27)). Следовательно,
Н (х, t, р; [X; Р]) = Lw (х, t, p).
Сравнивая это тождество с C.35), получим, что функция
S удовлетворяет задаче C.28).
Таким образом, доказана следующая
Теорема 3.3. Функция S: G X [О, То] -»- R, за-
задаваемая равенством
S (x, t) — S (z (x, ©, t), ©, t),
где S (z, со, t) и z (x, со, t) определены соответственно в
C.33) и C.34), является гладким решением задачи Коши
C.28).

ГЛАВА II
КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ
ПЛОТНОСТИ И КВАНТОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ
ВЛАСОВА
Квантованием обычно называют некоторый формаль-
формальный способ сопоставления величинам классической меха-
механики некоммутирующих операторов в гильбертовом про-
пространстве. В настоящее время проблема квантования по-
потеряла свою остроту. В 20-е годы нашего столетия после
открытия квантований Гейзенберга и Шредингера и ус-
установления Дираком их эквивалентности эта проблема
была очень актуальна.
Напомним кратко схему квантования Гейзенберга,
Шредингера и Фейнмана.
1. Квантование Гейзенберга. Пусть х (t), p (t) — реше-
решение уравнений Ньютона
удовлетворяющее некоторым начальным данным х @) =
= х°, р @) = р°. Рассмотрим те же уравнения A), но
с операторнозначными начальными данными i°, р°, ком-
коммутатор которых Ы°, р°] равен ih, где h — постоянная
Планка. Нетрудно видеть, что решение X(t), P (t) урав-
уравнений A) с такими начальными данными существует,
причем соотношение коммутации сохраняется во време-
времени:
IX (t), Р (*)] = ih.
Соответствие
(х (о, р @) -* (х (t), Р (*»
называют квантованием Гейзенберга.
42

2. Квантование Шредингера. Сопоставим координат-
координатным функциям х = (хи. . ., хп), р = (pi,. . ., рп) в фа-
фазовом пространстве R2n = R" X Rp следующие операто-
операторы в L2 (Rn):
Xj -*- х;- — оператор умножения на Xj,
pi-^pi = — ih— (/=1, ..., га).
Функции Гамильтона if (х, р) = р2/2 + F (ж), отвечаю-
отвечающей уравнениям A), при этом будет сопоставлен опера-
оператор Н = р2/2 + V (х). Напишем уравнение Шредингера
для гамильтониана Н:
-ih^ + Щ^О. B)
Квантование Шредингера — это переход от уравнений
Ньютона A) к уравнению Шредингера.
Нетрудно видеть, что операторы Гейзенберга X (t),
Р (t), построенные в п. 1, имеют вид
3. Квантование Фейнмана. Рассмотрим оператор
в L2 (R'1), действующий по формуле
Тыи (х) = Ц exp j-i- [p (ж — у) —
Положим
1(з (х, «) =
Этот предел может быть интерпретирован как континуаль-
континуальный интеграл по траекториям:
- A^- + F (? (т))) dt} -фо (? @))
Можно показать, что г|з (х, t) удовлетворяет уравнению
Шредингера B) и начальному условию г|з (х, 0) = г|з0 (х).
43

Таким образом, мы видим, что все эти способы кван-
квантования эквивалентны. Однако в случае более общей
функции Гамильтона Н (ж, р) такой, что д2 Н/др дх Ф О,
эти способы зависят от действия операторов р и ? в урав-
уравнениях A) или B) (см. 14, 16]).
Например, релятивистскому уравнению для функции
Гамильтона
(Я - еФ (ж)J = {р-еА (ж)J + тс\ C)
Ф (х), А (х) ЕЕ С°°, е, т, с = const,
отвечает квантовое уравнение Клейна — Гордона
t). D)
С другой стороны, можно найти из уравнения C) функцию
Н явно:
Н = еф (х) ± у(р — еА (ж)J + тс2,
и сопоставить ей квантовые уравнения
V Vh-h
еА
Квантование в этом случае не единственно (с точностью
до О (А2)) и выбор уравнения D) (а не E)) диктуется допол-
дополнительными соображениями релятивистской инвариант-
инвариантности.
В квазиклассическом приближении автором бьщ пред-
предложен способ квантования не уравнений или гамильто-
гамильтониана, а поверхностей в фазовом пространстве, назван-
названных автором лагранжевыми [13, 32]. Тот факт, что урав-
уравнения характеристик, отвечающие уравнению Власова,
сохраняют лагранжевость поверхностей, позволяет при-
применить этот способ для квантования решений уравнения
Власова.
В настоящей главе будет обобщен формализм кванто-
квантования на уравнения Власова и получены уравнения нели-
нелинейной квантовой механики, как квантованные уравне-
уравнения Власова. Будет установлено соответствие между
44

(классическим) уравнением Власова и (квантовым) урав-
уравнением для матрицы плотности, отвечающей уравнению
Хартри. В одну сторону это соответствие формализует-
формализуется с помощью разностного квантования (§§ 1,4). Переход
при h —*• 0 от матрицы плотности к решению уравнения
Власова (§ 2) обосновывает это соответствие в другую сто-
сторону.
В главе приводится также способ квантования части
классических частиц. Например, пусть имеются две ча-
частицы с координатами х = (хг, хг, х3) и у = (у1г у2, у3),
и пусть V (х, у) — потенциал взаимодействия между ни-
ними, так что классический лагранжиан равен
L (?, у, х, у) = 4г + -у- — V (х, у).
Если первая частица — квантовая, а вторая — класси-
классическая, то уравнения Ньютона, проквантованные по пер-
первой частице и классические по второй, имеют вид
_ ih _??JEiiL _ ]*. Дф + у {х> у (уо) yoj tt т) ц = о, (б)
Эти уравнения также входят в класс уравнений с уни-
унитарной нелинейностью, рассмотренных в этой книге. Если
задана функция распределения классических частиц р (у0,
у0) в начальный момент, то в уравнении F) последний
член нужно проинтегрировать по у0 и у0 с весом р (у0,
у0). Система уравнений F) G), так же как и нелинейные
уравнения квантовой механики, относится к единому
классу операторов с унитарной нелинейностью, введен-
введенных в § 1.
Уравнения типа F) G) в последнее время используют-
используются в полуклассической теории взаимодействия квантовых
и классических частиц в квантовой теории поля (например,
при взаимодействии с гравитационным полем). Отметим
еще раз, что методы, развитые здесь для операторов с уни-
унитарной нелинейностью, изложены с таким расчетом, что-
чтобы их можно было применить (на нестрогом уровне) к по-
подобным уравнениям квантовой теории поля.
45

§ 1. Операторы с унитарной нелинейностью
В этом параграфе вводится класс нелинейных псевдо-
псевдодифференциальных операторов, исследованию которых
будет посвящена остальная часть данной главы, а также
главы III—VI.
Предварительно напомним определение гладкого ото-
отображения*) банахова пространства В± в банахово прост-
пространство Вг. Обозначим через Сх = Нот (Въ В2) банахово
пространство линейных ограниченных отображений из
Z?x в В2. Пусть
С*+1 = Нот (Вг, Сн) при к = 1,2,. . .
Отображение г: Вх -> В2 называется гладким, если оно
амо и все его дифференциалы
D* г. Bx-+Ck, к = 1,2,. . .
ограничены, т. е. для любого М > О
sup \\(Dkr)[v]\\ck<oc.
Пример 1.1. Пусть L = L2 (R'1, m) — гильберто-
гильбертово пространство функций на Rfe со значениями в множе-
множестве т X тте-матриц с комплексными коэффициентами,
наделенное скалярным произведением
te./Wm)= \ tr [g(x)f(xy]dx,
где звездочкой обозначена эрмитово-сопряженная мат-
матрица, а через tr обозначен след матрицы.
Пусть р (х, у) — некоторая лг X тте-матрица, коэф-
коэффициенты которой гладко зависят от х, у 6Е Rfe и (финит-
(финитны. Кроме того, пусть М (х, z) — полином по z с коэффи-
коэффициентами из L2. Отображение из I? (Rft, m) в себя, задан-
заданное формулой
является гладким.
*) Общее определение оператора с унитарной нелинейностью
можно пропустить при первом чтении. В приложениях использует-
ея оператор, определенный в замечании 2.
46

Напомним теперь некоторые определения теории ли-
линейных псевдодифференциальных операторов. Пусть
Ьг'т (W) —гильбертово пространство вектор-функций
•ф = (ярA) , . . ., \j)(m)) со скалярным произведением
(*. <P)l*.*(r», =
Пусть 0 < Л < 1. Обозначим через i|) (р) преобразование
Фурье вектор-функции \|з (ж):
ф№ (р) = Bяй)-"/г
Формула
г \ L
^J ^ *" A.1)
задает линейный 1/Л-псевдодифференциальный оператор
2 1
/ = / (ж, — гТг З/Зж) в ?2>m (R") для любого гладкого фи-
финитного символа /EL2 (R2n, m). Сопряженный оператор
Л ^Ч УЧ 1 2
/+ дается формулой /+ = /* (х, — ihdldx). Кроме того,
справедливо тождество
где через tr обозначен след оператора в L2>m (Rn). Из A.2)
следует, что соответствие ц: /->-/ расширяется до изо-
изометрического отображения пространства 1? (R2n, m) на
пространство Я2 (?2'm (Rn)) операторов Гильберта —
Шмидта, действующих в L2'm (R,n). Обратное отображение
jT1 : Я2 (L2. m(Rn)) -> L2 (R2n, m)
сопоставляет каждому оператору Гильберта — Шмидта /
его символ / = smb /. Таким образом,
Будем в дальнейшем сокращенно обозначать: L?™ (R")
через L2.m и L% (R2n, m) через Ьг (т). Каждой век-
вектор-функции if S L2»m сопоставим матрицу плотности
47

L* (т), (/, к)-й, элемент которой задается формулой
Т A.3)
Определим теперь псевдодифференциальный оператор
с унитарной нелинейностью в пространстве '.L2>m.
Определение 1.1. Пусть Н — гладкое отобра-
отображение L2 (т) в себя: g (х, р) —> И [g] (х, р). Оператором
с унитарной нелинейностью назовем отображение Н
пространства L2'm в себя, определенное формулой
Функцию Н [#(фI (х, р) назовем линейным символом опе-
оператора Н в состоянии г|з.
Рассмотрим свойство операторов с унитарной нелиней-
нелинейностью.
Пусть V — линейный унитарный оператор в L?>m. Оп-
Определим оператор Adv в пространстве Я2 (Z.2>m) операторов
Гильберта — Шмидта:
Л def „
Adv (/) = VfV-1.
Лемма 1.1. Для оператора Я с унитарной нелиней-
нелинейностью справедлива формула
V-1 о Н о V = Йи, Ни = U-1 о Я о U,
где U — линейный унитарный оператор в L2 (т), задан-
заданный равенством
U = [i^-AdvU. A.4)
Утверждение леммы следует из определения. /
Если g (х) и / (х, р) — некоторые т X тп-матрицы, то
2 1 2 1
обозначим через / (х, р) g (х) и g (x) f (x, р) матрицы, у ко-
которых (г, ;')-й элемент равен соответственно
т
2 1 _^ 2 1
(/ (ж, Р) g {х))ц = 2j /ife (ж. Р) Skj (ж).
2 1 ™ 2 1
(g (ж) / (х, р))ц = 2j /«(ж- Р) Si* (*

Рассмотрим задачу Коши для оператора с унитарной не-
нелинейностью:
-л-
xp(x,t, h) |i=0 = ч>0 (x, h), % (•, h) e L2'm. ( )
Лемма 1.2. Матрица плотности
gw(x, p, t, h) = (#<f> (x, t, h)^k)(p, t, h)e
отвечающая решению ty задачи Коши A.5), удовлетворяет
уравнению
-ih -§?- + н (
= 0. A.6)
Доказательство. Выпишем уравнения для
г|з (х, t, h) и гр (р, t, h):
т i 1 \
^j H [g(<t,)] \х, — ih-%z ' ^ J.,1!3^ = 0>
г=1 ^
(/, 4 = 1, ..., т).
Умножив первое из Этих уравнений на BлА)~п/2 X
г _ i
X г|г (р, t, h)e h , а второе на г|>№ (х, t, h)e h
использовав формулу
_ j_
е h о
и сложив оба уравнения, получим A.6). Лемма доказана.
Лемма 1.3. Матрица плотности g^, определен-
определенная ^для каждого г|з ЕЕ L2>m формулой A.3), обладает сле-
следующими свойствами:
а) Для любого символа f ЕЕ L2 (т) справедлива формула
/)f(m). A.7)
49

б) Оператор g^ самосопряжен в Ьг>т, имеет норму
II ?(Ф) II L2-m-*i^m ~~" Bяй)"п1'Ф1112,т и действует по формуле
gmv = Bnh)~n (v, ^)ьг, И>, v <= Ьг* т;
при дополнительном условии | г|э | Ь2,т = Bnh)n^2 этот опе-
оператор является ортогональным проектором на одномер-
одномерное подпространство в L2<m, порожденное элементом ij>.
в) Норма g{^ как элемента пространства L2 (т)
равна
f<m. A.8)
Эта лемма непосредственно вытекает из определений и
формулы A.2).
Теперь рассмотрим норму матрицы плотности, отвеча-
отвечающей решению задачи Коши. Пусть при 0<^Д<;1,
(Е R, задано семейство гладких отображений Hn,t про-
2
странства L%m в себя такое, что оператор Hn,t [#(фI (х,
—ihdldx) самосопряжен при любом гр ?Е L2>m. Пусть
¦ф = г|з (х, t, h) — решение задачи Коши A.5), с оператором
Н = Hn.t, а ?(ф) {х, р, t, h) — отвечающая г(з матрица
плотности.
Лемма 1.4. Нормы
, t,h)\h.
(m)
не зависят от «времени» t.
Доказательство. Сохранение со временем
нормы гр есть прямое следствие самосопряженности опе-
2 1
ратора Hh,i 1#(ФI {х, —ihdldx), а сохранение нормы g^
следует из A.8).
Замечание 1. Согласно определению 1.1 линей-
линейный символ оператора Н с унитарной нелинейностью есть
функция из пространства Z2-m (Rn). Легко обобщить эту
ситуацию и допустить рост символа Н lg^)] (xt p) по пе-
2 1
ременной р ? R™. Оператор Н lg^)] (х, —ihdldx) при
этом станет неограниченным в L2<m.
Кроме того, часто бывает недостаточно рассматривать
оператор Н в пространстве Ьг<т и требуется определить
Н на обобщенных функциях. Этого можно достигнуть,
если нелинейное отображение Н определить на некотором
50

классе SCg обобщенных функций:
Н: Й^-^°°(К2П),
затем найти класс обобщенных функций SC^ С S' (Rn)
такой, что
^ е Й7Ф =4- go» e #„
и задать оператор с унитарной нелинейностью в «5Г^ той
же формулой, что и в определении 1.1:
Замечание 2. Везде ниже мы будем для нагляд-
наглядности рассматривать операторы с унитарной нелинейно-
нелинейностью следующего частного вида.
Пусть Sx (Rk) — пространство гладких комплексных
функций / на R'1, растущих со всеми производными на
бесконечности не быстрее некоторой степени к = к (/)
своего аргумента. Через S (Rk, m) обозначим класс т X т-
матриц, элементы которых принадлежат S°° (R'1)- Пусть
Н (х, р, t, h, |д,) — некоторый символ класса S°° (R? X
X Rp X R( X R), X R[x ; m), ограниченный со всеми про-
производными при h -> 0 и вещественный при h = 0.
Рассмотрим также М X т? X s символов класса S°°:
Liji..-isis (x, P, t; у, I), где к = 1, . . ., М; г1; . . ., /s =
= 1, . . ., т; у, 1ЕЕ Rns, причем у = (у®, . . ., г/<5>),
I = (gW, . . ., гИ), где г/(*>, V® е Rn. Пусть носители
supp Zy|, j (a;, p, t; у, |, Л) заключены в фиксированное
v, г s
ограниченное множество, не зависящее от х, р, t, h. Обо-
., д I ., а ., а
значим — г«-5— = ( — ш—-^ , .... — m
\ у y )
Пусть г|з (х, t) — некоторая m-мерная вектор-функция.
Построим интегралы
х 1%и iJe [x,P;j; у, -ih?, h)$M ...^V. A.9)
51

Будем упрощенно записывать это равенство в виде
a{x,p,t; Щ) =
jjf )), A.10)
где а = (а«, . . ., а<М)).
Введем теперь матричнозначный символ
def
Ж{х\ р, t, k; [1C]) — Н{х, р, t, h, a(x, p, t; [1C])).
Используя символ Ж, определение оператора с унитар-
унитарной нелинейностью можно сформулировать следующим
образом.
Определение 1.2. Оператором с унитарной не-
нелинейностью в L2'm (Rn) назовем оператор, действующий
по формуле
2
Й ft?] (х, 1)^Ж [х, —ihw, t, h; Щ j 1C(х, t).
Функцию Ж (х, р, t, h; bp]) назовем линейным символом
оператора Н в состоянии 1(з. Ниже мы будем в основном
пользоваться именно этим частным определением опера-
оператора с унитарной нелинейностью. Введем ряд обозначений.
Перейдем в формуле A.10) от функции 1|э к матрице
плотности ?(ф) (х, р, t):
а (х, р, t; [gw]) = ЭД gw(y, I, t) L (x, p, t; y, \, h)* dy d\.
A.11)
Аналогично будем обозначать
Ж(х, р, t, h; [g]) = H (x, p, t, h, a(x,p, t; [g])). A.12)
Сделаем в каждом интеграле A.11) замену переменных у =
= X (z, ©, t), % = Р (z, ©, t) с единичным якобианом, а
функцию ^(ф) (X (z, со, t), Р (z, со, t), t) заменим на gQ (z,
со). Каждый интеграл A.11) при этом перейдет в следую-
следующий интеграл:
а (х, р, t; [X, Р, g0]) =
= II #0 (z> ©) L (^. P. f; x (z. w- <). P (z> w> *), h) * dz dco.
Будем обозначать
Ж (x, p, t, h; IX, P, g0]) =
= Я (x, p, t, h, a (x, p, t; [X, P, g0])). A.13)
52

§ 2. Асимптотика матрицы плотности
1. Случай общего оператора с унитарной нелинейно-
2 1
стью. Пусть Н Ьр] = Н [#(фI (х, — ihdldx) if> — оператор
с унитарной нелинейностью на некотором пространстве
скалярных (т — 1) функций i|) = i|) (х), х ЕЕ R". Матри-
Матрицу плотности #(ф> (х, р), отвечающую г|з, в скалярном слу-
случае будем называть функцией плотности.
Рассмотрим уравнение A.6) для функции g = gh (x,
р, t):
- ih^- + Н Ы (х, -ih-^ +
„ = 0. B.1)
Пусть Н [gh] (x, p) — гладкая вещественная функция.
В первом приближении при h -*¦ О получим уравнение
дх
Мы покажем ниже, что понимаемый в некотором обоб-
обобщенном смысле предел
#о (z, p, t) = lim gh (x, p, t)
h—o
удовлетворяет предельному уравнению
где
Это утверждение будет ниже доказано без ограничения
общности для операторов с унитарной нелинейностью
частного вида. Уравнение B.2) назовем обобщенным урав-
уравнением Власова.
Характеристики X (х, р, t), P (x, p, t) для уравнения
B.2) задают отображение
Г,: (х, р) -> (X (х, р, t), P (х, р, t))
53

области фазового пространства R« X R" и соответству-
соответствующее отображение гладких функций на этой области:
(ГУ)(х, p)=f(X (х, р, О, Р (х, р, 0),
удовлетворяющее уравнениям
4-(т',п = г; {я [(г;)-%(х, р, о)], /}, г;/=/, ад
где {ft, /} означает скобку Пуассона
хЛ> // — ар 9Ж fo; а^ '
Взяв в качестве функции / в B.3) координатные функ-
функции х = (хх, . . ., хп) или р = (рх, . . ., рп), получим си-
систему уравнений
d . __ дН\(Т^Вф,р,0)]. .
~Ш L tXi Щ v1 tX' L {Р>'
d аякг
= х, Tip = р.
Пусть существует решение
Г,*х = X (х, р, t), Т*р = Р (х, р, t)
этой системы. Отображение Г,, очевидно, является кано-
ническим относительно формы 2 dxj /\ dp$, а отображение
i=i
Г; унитарно относительно скалярного произведения в
L2 (R2n).
Унитарное отображение Г( есть предел при [h -*¦ 0
унитарного отображения UUh, удовлетворяющего системе
уравнений
4fUt,h(Xp) =Ut,h{H[U?hgh(x, р,0)], (*)} B.5)
(всего здесь содержится 2п уравнений, отвечающих ком-
компонентам вектор-столбца I J).
Отметим, что каноническое отображение Г< сохраняет
скобку Пуассона, а отображение t/(>h сохраняет скобку
54

{к, /},,, индуцированную на пространстве символов опе-
операцией коммутирования в пространстве операторов:
В пределе при й —>- 0 скобка {•, • };, переходит в скобку
Пуассона.
2. Оператор с унитарной нелинейностью специального
вида. В этом пункте мы установим сходимость решения
gh уравнения для функции плотности B.1) к решению
g0 обобщенного уравнения Власова в случае оператора
с унитарной нелинейностью специального вида (см. опре-
определение 1.2):
2 1
ЯЩ=Ж (х, — ihd/дх, t, h;
Рассмотрим задачу Коши
^T + Ah (gh, t) gh = 0, gh (x, p, t) | (=0 = pft (x, p), B.6)
где
К (g, *) = x ^
-Ж (х- ihd/др, р, t, h; [g])]), B.7)
а функция Ж (х, р, t, h; [g]) определена в A.12). Пред-
Предположим, что функция рЛ сходится в пространстве
Соболева W^, s>0 к финитной обобщенной функции р0.
Выберем эту предельную функцию в качестве начальных
данных для обобщенного уравнения Власова:
д-§ + Л, (go, t) g0 = 0, ^0 (х, р, 0) = Ро (х, р). B.8)
Рассмотрим систему характеристик для B.8) (см. § 2 гл. I):
дХ
~ (z, со, t) = М (X (z, со, *), Р (г, со, t), t, 0; [X, Р, р0]),
B.9)
4г<*.«. 0 = --^(^<г-«. 0. ^(«.«. 0.'. 0; IX, р, Ро}),
X (z, (о, 0) = z, P (z, со, 0) = со,
где (z, ®)^ К, К — компакт в R2" (ср. A.13)).
55

Компакт К выберем так, чтобы он содержал носитель
функции р0 и носители supp L (х, р, t; у, %, h) всех функ-
ций L, от которых зависят интегралы в A.10).
Пусть решение системы характеристик B.9) сущест-
существует на некотором отрезке <Е [0, Тг]. На том же отрезке
существует решение g0 (х, р, t) задачи Коши B.8); это
решение задается формулой
lUo (*. Р. *) Ф fa p)dxdp =
= ЯРо (Z> <°) Ф (Х (zi <°> 0. Р (Z- W' 0) ^ С?Ш,
Теорема 2.1. Пусть символ Ж (х, р, t, h; [g])
со всеми производными растет при | р | —> оо we быстрее
С A + | р |)т, оператор
Ж (х, -ihdldx, t, h; [g])
самосопряжен в II (Rn) иначалъные данные задачиB.&) схо-
сходятся в W?(R2n):
Рл ~^" Ро пРи h -*• 0.
Пусть решение
gh(., -, ое
задачи B.6) существует на некотором отрезке t ЕЕ [0, Г01 d
С [0, rj u
sup sup || gh (•, •, *) I _ < const, s > 0.
этого; условиях функция плотности gh (•, •, <)
равномерно сходится в W%r (R2n) ка отрезке t G [0, Го]
к решению g0 (•, •, <) задачи Коши B.8) для обобщенного
уравнения Власова; здесь г >s -J- те + 1. /
Доказательство. Вычтем B.8) из B.6):'
. 0 г* - л0 (л, *) gB - о.
После тождественных преобразований получим урав-
уравнение
d(gh~eo) + Ло {g0, t) (gh - g0) +
+ (Мв*,«) - Ah(g0, 0) ffft + (Лл (go, 0 - Ло (g0, t))gh = 0.
B.10)
56

Теперь заметим, что
(Лл(go, t)- Ло(g0, t))gh = (- ih) |A-т)Лх
0
n Г /» !
4, v I &#e 12 ., a ¦ . , r ,. <
X ^j ^t—q— \x, p — inx-r- , t, h; [go])g;
2 2
B \ 1
d |l
x — ihx -r—, p, t, h; [gn] igj, ( •
dp " ° ' I )
B.11)
Преобразуем также третье слагаемое в формуле B.10):
1 1 та Af
0 0 3=1 «==1 "¦
ж, р - ihx -^, «; [gh]j + A - ц) X
X а (^, р - ihx-^, t; [g0] j) | ^(ghB/, E, t)-go(y, 1, *)) x
-|х)о(я!— ihx-j^,i,t; [go]J
x
l
^- fcl p, t; y, |) dy dl\ ±gh (x, p, t)] . B.12)
Введем более простые обозначения:
а = (*, р), V* (а) = (^ (а, *), ^ (а, *))•
Подставляя в B.10) формулы B.11), B.12), получим
¦й" (*ft-*o)(Tf («).«) +
+ 5 Qh (а, а', 0 (gh - g0) (т' («'), *) da' + (- Л) ^h (а, *) = 0,
B.13)
57

где
Qh(a,a',t) =
Fh (a, t) = [M (t, h\gh (r, 0 W (а). BЛ4)
а операторы L и М имеют вид
1 1
я = (лц . . ., я2п) — мультииндекс, ?„, Л/я — некоторые
гладкие функции; функция Ln (у', у, б, t) финитна по у'
(явный вид Lt! и Мп может быть легко найден из B.11),
B.12)).
В результате интегрирования B.13) получаем
t
(gh - g0) W («), 0 = exp {- J Qh (x) dx} (ph - p0) (a) +
о
t t
+ ih\exp {— ^ Qh(t)dtlF (a,
о L p '
где через (?л (т) обозначен интегральный оператор в B.13)
с ядром Qh{a, a',x). Отсюда для любой (pEC(R8")
получим
) (gh — go) (z, P. t) Ф (x, p) dx dp =
= S (Ph — Po) («) *L(a, *, Л) Ja + ft J фм (a, t, h) da, B.15)
где
qu (a, *, Л) = J ф?/1 (a, ц) (М (ц);Ф (Т'-^ (a))) +
oo' i ( г,
+ 2(-1)*$ф5^к...$ dt^^n) X
X (M(ц)>, (Г-1" (a), t!,..., tft, t, Л)),
^(a, f, A) = 1 + 2 (- l)k$dtk J dVi- • •
fr=i о о
...J dt!cpft(rTl(a). fj,..., tft, i,A).
о
58

Здесь
Ф*(Т. Ti V *. Щ = $ • • • 5^(ах, tO • • .gh(*v tt) X
X Фл (Лц • • •, afc, tlt..., tk," т,*, h) dat... daH, B.16)
причем
Фц («i,. .., ak, tlt..., tfc, т, t,h) = L (т, Tx, fe)a, X
X O*_i(<Xj,..., ab ta,..., tk, rT^Tl («a), *, Л) (A = 2, 3,...),
Фх(ах, tx, у, t, h) = L(t, tb /^(Г^'Ы, «, Л).
Из этой рекуррентной формулы для Ф^ получаем оценку
где С — некоторая константа, I = (№, ...,№>) и |т|,
^)| = 0, 1, ..., s при /= 1, . ... Аг.
Кроме того, по условию
Таким образом, если ф ? М^2Г (R2"), то из B.16)
получаем оценки
sup sup IC^ / t
p
<; const,
^—) ib. (a, t, h) ^ const, I ml = 0,1, 2,...,s.
... _ "'
Теперь утверждение теоремы следует из B.15) и схо-
сходимости ph -> р0.
Утвернедение теоремы 2.1 можно обобщить следующим
образом. Предположим, что начальные данные допускают
разложение по степеням h в асимптотический ряд
JV-1
Р,, (х, р) = р0 (х, р) + 2 (— Щк9к (х, Р) +
+ (-ihfpN(x, p,h), B.17)
где р0, рх, . . ., pjv —некоторые обобщенные функции из
(R2n).
59

Если получать решение лишь с точностью до О {hN),
то в качестве начальных данных задачи B.6) естественно
взять лишь первые N членов разложения B.17), отбросив
остаток (—ih)Npn.
Предположим, что мы нашли асимптотическое решение
Tn (x, p, t, h) «укороченной» задачи Коши B.6), т. е. за-
задачи
drN I 2 д \
~ ih~дГ + ж[х,р- ih -g^,t,h; [rN]) rN -
2
— 2i(x — ihj-,p,t,h;lrN])rN=(— ih)NQN (x, p, t, h),
B.18)
iV-l
rN(x, p, 0, h) = 2 (— ЩкР1с(.х' P)>
где Qn — некоторый остаток.
Подставим функцию г^ в символ Ж (х, р, t, h; [gh])
вместо функции плотности gh. Возникает вопрос, насколь-
насколько символ Ж (х, р, t, h; [r#]) отличается от линейного сим-
символа оператора Н в состоянии г|з, если г|з — решение за-
задачи A.5), удовлетворяющее условию g^., h» = р^.
Можно этот вопрос поставить иначе. Пусть, зная сим-
символ Ж(х, р, t, h; [г^]),мы построили асимптотическое ре-
2 1
шение (линейной) задачи Коши для оператора Ж (х, р,
t, h; [rjy]), т. е. нашли такую функцию 1|э# (х, t, h), что
— ih—gf- + Ж (х, р, t, h; [rN]) tyN = (— ih)NJ%N (x, t, h),
B.19)
ipw {x, 0, h) = if0 (x, h),
где Ms — некоторый остаток. Функция г|з# будет также
асимптотическим решением исходной нелинейной задачи
Коши A.5).
Лемма 2.1. Пусть Qn (x, p, t, h),
pN (x, p, h),
def
fN (X, p, t, h) = [Яя (X, t, h) % 0>. l• h) +
+ % (х, t, h) MN (p, t, h)] e h Bnh)
60

ограничены в W? (R4") при h-+0. Тогда
— ih -j?- + H [tyN] = (— ihf SPn {x, p, t, h) tyN,
tyN (x, 0, h) = i|>0 (x, h), B.20)
где символ невязки SPn (x, p, t, h) является гладкой функ-
функцией степенного роста при р -*¦ оо.
Доказательство. Очевидно, функция i|)jv
удовлетворяет уравнению
З^лг 2 1 2 1
— ih -~- + Н (х, р, t, h; a (x, p, t; [г|>^]) —
где
bff (х, р, t, h) =
= ЦqN (У, I, t, h)ЬШ(х, p,t;y,\)dyd\, k = 1,..., M,
а функция <7# является решением задачи
1
^v (x, p, 0, h) = Pn (ж, p, h).
Решение этой (линейной) задачи ограничено в W^r
при h -> 0. Это доказывается аналогично теореме 2.1.
Поэтому из B.21) следует утверждение леммы.
Замечание. Способ построения асимптотических
решений B.18) и B.19) будет подробно рассмотрен в сле-
следующих главах. Укажем здесь лишь на то, что решение
rjv ищется в виде регулярного ряда по степеням h:
N-l
rN (x, p, t,h)= 2 (- tt)*rw (х, р, t),
а решение г|з# — в виде аналогичного ряда, умноженного
на осциллирующую экспоненту:
h {X''
{х, t, h) = e h {'2 (- Щ*<9т (si 0-
61

По этой причине для оценки остатка в B.20) существен
рост символа ## по аргументу р -*¦ оо. Если
?L(x,p,t;a) <C(i+\p\)k(i + \a\I,
(lt)
sup [ L(lt) (x, p,t;y,l)\<C(l
у, Ъ.
то
]3iN (X, Р, t, К) |< С A +
Следовательно, остаток в B.20) имеет оценку
Поэтому, если порядок асимптотики Лг достаточно велик,
правая часть B.20) достаточно мала при h —>- 0.
Таким образом, для асимптотического решения нели-
нелинейной задачи Коши A.5), начальные данные i|H (х, h)
которой порождают асимптотическое разложение B.17)
функции
Рк (*, Р) = ^о («. Л) Фо (Р. Л) е h XP Bnh) 2,
достаточно решить регулярную задачу B.18) и линейную
задачу B.19).
В гл. IV, V этот прием будет использован в конкрет-
конкретных задачах.
§ 3. Квантование кинетических уравнений
1. Квантование Гейзенберга. В предыдущем парагра-
параграфе было показано, что кинетическое уравнение Власова
является классическим пределом (h -*- 0) нелинейного кван-
квантового уравнения для матрицы плотности B.6). ^Оказы-
вается, что и обратно — процедура квантования Гейзен-
Гейзенберга позволяет получить из кинетического уравнения
квантовые нелинейные уравнения.
Рассмотрим задачу Коши для кинетического уравнения
Власова:
^ + f (*. р, *; [,„])?• -^(*, р, *; [goDjf = 0, (зл)
go {x, р, 0) = ро(х, р),
где р0 — вещественная функция, Ж (х, р, t; [g0]) — глад-
62

кая вещественная функция Гамильтона, интегрально
зависящая от g0. Это означает, что Ж есть гладкая функция
от интегралов вида
i dlx... § dym dlmV (x, p, t; уъ .. .
¦¦¦У'тпЛъ---, Im) g0 (Уъ li, t)...gQ (ym, |m, t),
которые мы будем кратко записывать
(x,p,t;y,l)go(y^,t). C.2)
Здесь функция V (х, р, t; у, ?) вещественна и финитна по
(у, ?). Предположим, кроме того, что все производные по
(х, р) функции Ж (х, р, t; [g0]) входят в I? (R^ X Rp).
Сделаем в каждом интеграле C.2) замену переменных
у = X (z, со, t), I = Р (z, со, t)
с якобианом, равным единице, и заменим функцию g0
на р0 (z, «). В результате интеграл C.2) примет вид
Ц dz dwV (x, p, t; X (z, со, t), P (z, со, t)) p0 (z, со). C.3)
Обозначим через Ж (х, р, t; [X, Р, р0]) функцию, получив-
получившуюся после замены каждого интеграла C.2), входящего
в Ж (х, р, t; [g0]), на интеграл C.3).
Система характеристик для задачи C.1) имеет вид
-? = Щ(Х, Р, Ц [X, Р, р0]), X (z, со, 0) = z,
ЭР дж C-4)
2? = --§{Х, Р, t; [X, Р, Ро]), P(z, со, 0) = со.
Квантованием Гейзенберга (уравнений C.4) или C.1))
назовем следующие правила сопоставления классическим
величинам квантовых операторов, зависящих от парамет-
параметра h е @, 1). г-
I. Классическим характеристикам Х& (z, со, t).
(z, со, t), j = 1 , . . ., п, сопоставим^семейства самосопря-
самосопряженных операторов Xh (t), Ph (t) в 1} (Rn) с коммута-
ционными^соотношениями
1хЧ} (t), if (oi = [РР (t), P№ (m = о. C.5)
П. Каждой вещественной функции /e=L2(R2"),
/ = f (x, p) сопоставим самосопряженный оператор
63

Гильберта — Шмидта
f(X(t),P(t),h),
где
/(», р, h) - exp
III. Начальной функции р0 C.1) сопоставим некоторый
самосопряженный оператор Гильберта — Шмидта ph
в I? (Rn), а каждому интегралу вида C.3) — скалярное
произведение в пространстве Шмидта Н% (L2):
IV(X, Р) Ро -*Bnh)ntr [V(ih, Л, h) ph]. C.6)
Преобразуем каждый интеграл C.3), входящий в функ-
функцию Ж (х, р, t; [X, Р, р0]) по правилу C.6). Получим не-
некоторую новую функцию Ж (z, p, t; [Xh, Ph, ph]). Обо-
Обозначим
ж, р, t; &h, Ph,9h]).
Классическая система характеристик C.4) после кван-
квантования I, II, III перейдет в систему операторных урав-
уравнений Гейзенберга
±W_ = °*L(ih(t), Ph(t), t,h; IXh, Ph, pj),
/О П\
Пусть найдено решение уравнений C.7) с начальными
данными, удовлетворяющими соотношениям коммутации
C.5) (при t = 0). Тогда соотношения C.5) остаются спра-
справедливыми при всех t.
По теореме Неймана существует унитарный оператор
Ut в L2 (R™) такой, что
xh(t) = mxxut, Ph(t) = u?{- a±) ut.
Можно выбрать Ut так, чтобы было справедливо уравне-
уравнение
64

Пусть
def
gh (X, p, t) =
Тогда
Bnh)n tr [V(Xh, Ph, h) p,J = \ V (y, I, h) gh (y, I, t) dy dl.
Отсюда и из леммы 1.1 получим ряд простых следствий,
которые мы сформулируем в виде двух лемм.
Лемма 3.1. Функция gh удовлетворяет уравнению
для функции плотности:
-1Кд-^--\-Ж [х, p-ih-j^,t, h; [gh\)
-3e(x-ih±,p,t,h;[gn])gh=:0. C.8)
Предположим теперь, что начальные данные системы
C.7) имеют вид Xh @) = х, Ph @) = —ihdldx, а опера-
оператор ph в III действует по формуле
phv = Bnh)~n (v, i|jo)l4o'
где -ф0 = i|H (о, h) ЕЕ L2 (R2n). В этом случае из опреде-
определения функции gh (x, p, t) получим следующее утвержде-
утверждение.
Лемма 3.2. Функция gh имеет вид функции плот-
плотности
г
gn(x, p, t) - Bnhyn/2 y(x,t,h)$ (p, t,h)e h XP, C.9)
где функция if является решением задачи Коши для опера-
оператора с унитарной нелинейностью
С' дх ' ' '^/^ ' C.10)
•ф (х, 0, К) = -ф0 (х, К).
Здесь символ Ж (ж, р, t, h; h\>]) получается из функции
ехр \—?- a a \ Ж (х, р, t; [g9]) заменой каждого интег-
интеграла вида C.2) на интеграл
J * (У, t, h) у (X) Pf t. \_ ih Q/dyt щ у (у, tf h) dyj
3 В. П. Маслов gg

где
V(х, р, f; у, I, h) = ехр\=^-?w\V(ж- Р>
Таким образом, от уравнения Власова C.1) и системы
уравнений характеристик для него C.4) мы перешли
с помощью правил квантования I—III к квантовым урав-
уравнениям:
— системе Гейзенберга C.7),
— уравнению для функции плотности C.8),
— уравнению Шредингера для гамильтониана с уни-
унитарной нелинейностью B.10).
2. Разностное квантование. Отметим еще один способ
перехода от обобщенного уравнения Власова к уравнению
для функции плотности.
Пусть Н —некоторое отображение I? (R2") в 5°° (R2").
причем для любой функции ф ЕЕ С^° (R2n) отображение
g-*-q>H [g] является гладким в L2 (R2n). Напомним (см.
§ 2), что обобщенным уравнением Власова мы называем
следующее уравнение:
dg0 , дН [g0] (х, р) dga дН Ы (х, р) dg0
dt ' dp дх Эх dp
Пусть Ф (z) — аналитическая функция двух комплекс-
комплексных переменных zx, z2, растущая на вещественной пло-
плоскости Im Zj = Im z2 = 0 не быстрее степени. Обозначим
х = i д/др, р — —i д/дх, и пусть
и (х, у, р, I; [g]) = Ф Цх, ур) Н [g] (x, р).
Рассмотрим следующее обобщение уравнения C.11):
dJ? + K(x,x, Р,р; [go])go = O. C.12)
В случае Ф (zl7 z2) = zt — z2 уравнение C.12) совпадает
с C.11).
т В общем случае символ Ф назовем производящим сим-
символом уравнения C.12). Разностным квантованием на-
назовем следующее преобразование производящего символа:
66

Здесь h — некоторый вещественный параметр. Очевидно,
ПтФк(г) = Ф(г).
Разностное квантование Ф -*¦ Oh переводит уравнение
C.12) в уравнение
h / " л г т\ а /о л о\
где
кн (х, у, р, g; lg\) = Фк E5, г/р) Я[^] (х, р).
В случае производящего символа Ф (z) = гг — z2 кван-
квантованное уравнение C.13) имеет вид
Таким образом, разностное квантование переводит урав-
уравнение Власова C.11) в уравнение для функции плотности.
Интересным свойством разностного квантования яв-
является возможность его вторичного применения. Пусть
9 еще один вещественный параметр. Рассмотрим «вторич-
«вторичное» разностное квантование:
def
Фк B) -> ФЛ, е (*) = ФЛ
Пусть
И/..9 (х, у, р, |; [g]) = Фл,е Цх, ур) Н [g] (x, р).
«Вторично разностно квантованное» уравнение имеет вид
Qgh 1
-^- + хд. е (х, х, р, р- [gh< e]) gK e = 0.
Указанный метод квантования может быть применен мно-
многократно.
3. Частичное квантование. В качестве примера исполь-
использования методов квантования из п. 1 получим уравнения
для системы, состоящей из двух частиц — легкой (кван-
(квантовой) и тяжелой (классической).
3* 67

Рассмотрим уравнения Ньютона
х'=^-?-(х'^ *U = *o, 4=о = Л,- C14)
Ч = - Jf (ж- «)' Ч Uo = «с в Lo = ^
где xQ, pQ e R", q0, %0 (= RK.
Проквантуем эту систему по первой группе перемен-
переменных х. Для этого выпишем систему уравнений Власова,
отвечающую C.14):
f+^-жШ(*''q) ^{х''р'' *>dx> dpl=°-
go (я, P, 0) = б (ж — х0) б (р — р0),
/о (г/, S, 0) = б (г - д0) 8 (g - |0). (d-iy
Проквантуем отдельно первое уравнение системы C.15)
по правилам п. 1. Получим
d )
(^)к = 0, C.16)
где
Я (х, р, i) = L|^ + Ц V («, д') /о (д', Е,'О d?' ^'.
Для того чтобы решение gh системы C.16) слабо сходилось
к g0 при h-*~0, нужно потребовать, чтобы в начальный
момент функция gh (х, р, 0) слабо сходилась к б (х — х0)-
•б (р — Ро)-
Уравнения C.16) являются искомыми частично кван-
квантованными уравнениями. Можно переписать их в виде
уравнений Шредингера и Ньютона:
(х, q (*)) = 0,
68

причем
i
lim Bnhyn/\(x, 0)$h{p,0)e~~T*P = б(x — x0) б(p — p0),
? @) = ?o. 4 (°) = So-
При этом функция gh из C.16) является функцией плот-
плотности, отвечающей Mph.
Рассмотрим теперь более общую систему уравнений
Власова
, дН_ df± _ dth_ dFj_ _ dU_ С api_ . ?ч
¦ dp дх дх dp dp J Эж ^' »' ё^ X
? = O, C.18)
X 1<\ (х, р, t) dxdp = 0
где х, р ?Е Rn, !/,??= Rm, а Я15 Я2, р1; р2 — заданные
вещественные функции. Поставим некоторые начальные
условия
Ft (х, Р. 0) = ^о (*, Р), ^2 (У, I, 0) = F20 (у, I).
Проквантуем первое уравнение системы C.18). Анало-
Аналогично предыдущему примеру получим уравнение Шре-
дингера
J Pi (^; У. S) ^2 B/, S, t) dy dl = 0, C.19)
причем начальные данные tyh (x, 0) удовлетворяют следу-
следующему условию:
_ri_ __?_
lim Bnh) 2 e h tyh (x, 0) г|)Л (р, 0) = F10 (x, р)
(предел берется в некотором пространстве Соболева W%s).
Второе уравнение системы C.18) после такого кван-
квантования перейдет в следующее:
д! 2 , дНг дН
dt + Э^ ду дц

Система, состоящая из уравнения Шредингера C.19)
и уравнения Власова C.20), является результатом час-
частичного квантования системы C.18).
Можно также переписать уравнение C.19), введя
характеристики уравнения C.20). В результате мы при-
придем к следующей системе:
) ^1 (х; Yh(y,l, t),
~(Yh,Eh,t), Yh(y,l,0)=y,
)Uh(x,t) x
x 4rj (У/'; ж> ~ih
Пример З.1. Частичное квантование электрона
в классической системе электрон — осцилляторы поля.
Рассмотрим классическое движение электрона в элек-
электромагнитном поле с учетом самодействия. Пусть (q (t),
р (t)) — координата и импульс электрона, удовлетворяю-
удовлетворяющие системе Гамильтона
дН . ЭН - ,п О/|ч
?S1F' P = ~W C>21)
где
Я (?, р) = Ф (?, О + | р + A (q, t) | 2,
ф, А = (Ах, А2, А3) — скалярный и векторный потен-
потенциалы электромагнитного поля. Имеет место разложение
Ф = Ф' + Ф", А = А' + А",
где (ф', А') — потенциалы внешнего поля, (ф", А") — по-
потенциалы собственного поля электрона. Уравнения для
потенциалов ф (х, t), A (x, t) имеют вид
? ф = аб (х - q @), П А = ?>8 (х - q (<)), C.22)
где Ц = -jp- — с2А — оператор Даламбера, с — скорость
света, а — некоторая константа, E = aq.
70

Уравнения C.22) будем рассматривать как бесконеч-
бесконечномерную гамильтонову систему с функцией Гамильтона
з
+ { S (Иг |2 + С2 | V^ |») - Мб (X - 9 (t))\dx.
Гамильтоново представление уравнений C.22) имеет
вид
Ф=^, A = . C.23)
Проквантуем частично первую пару уравнений C.21)
в системе C.21), C.23). Получим квантовое уравнение для
электрона
^ "I'yiUl") T(l VI ) "/ Г ¦"" ~5~ Г -1* \4l v) X
) = O C.24)
и уравнения поля
Используя явный вид функции Ж, уравнения поля
перепишем в следующем виде:
?Л = — Re 2iha Щк (х, t) V \ph (x,t). C.25)
Полученная система C.24), C.25) является нелиней-
нелинейным уравнением квантовой механики (см. введение).
Таким образом, нелинейные уравнения квантовой меха-
механики могут быть интерпретированы также, как частично
квантованные. Стало быть, чтобы получить уравнение
квантовой электродинамики D)—G) из системы C.21),
C.23), нужно сначала частично проквантовать уравне-
уравнение C.21) (для электрона), и только потом провести пол-
полное вторичное квантование частично проквантованных
уравнений.

ГЛАВА HI
Т-ОТОБРАЖЕНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
С УНИТАРНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
В теории фейнмановского операторного исчисления
существенную роль играет так называемый процесс выпу-
выпутывания для У-произведений. Формулы выпутывания Фейн-
мана в настоящей главе обобщаются на широкий класс
У-отображений, в том числе и тех, которые отвечают всем
рассматриваемым в этой книге уравнениям.
§ 1. Теорема существования 27-отображения
Рассмотрим задачу Коши для следующего уравнения
с унитарной нелинейностью:
т
1=1
пг
+ 2 i:i(х>0\p{Pi(xiy)\'$j{y,tyfdy = о,
г|5(( (х, 0) = i|)o/c {x), к = 1, . . ., т.
Здесь ip0 = (i|j01, . . ., Tj)Om) e L2-m (Rn), а функции
Ffc;, p/j] непрерывны, ограничены и симметричны:
^/ (ж) = "Кг, (х), рй' (х, ?/) = рЯ (ж, г/).
Напомним, что Z2'm (R") — пространство m-мерных век-
вектор-функций с нормой
72

Аналогично определяется пространство Соболева
Wz'm{W) с нормой
Введем следующие сокращенные обозначения. Пусть
г|э (t) — функция на R со значениями в L2'm (R™)
Пусть г? ЕЕ L2'm (Rn). Рассмотрим непрерывную матрич-
нозначную функцию с матричными элементами вида
которую мы обозначим через Л Ы. Обозначим через ^4 Ы
ограниченный линейный оператор в L2>m (Rn), действую-
действующий по формуле
m
(A [v] и)г = 2 -4 [yJijMj- (i = 1,..., m),
где м ЕЕ L2>m (Rn). Используя введенные обозначения,
черепишем задачу A.1) в виде
- i ±^(t) - A^(t) + A[^(t)]^(t) = 0, A.2)
г|з @) = i)v
Докажем, что решение г)) (t) ?= Z2'm (Rn) этой задачи
Коши существует и задается Г-отображением
= (П G<*x
с образующей
& [v] = exp {ieA} exp {iel [»]}, г; ЕЕ ?V" (Rn),
где А — оператор Лапласа.
Пусть б = tIN, N = 1, 2, ... Рассмотрим последова-
последовательность функций
¦флг.о = ^о»
ipN.k+l = #5 l^N.kl ^N,R, & = 0, 1, . . ., TV — 1.
73

Обозначим tyN (t) = ^>n,n- Докажем существование Г-ото-
бражения г|з0 -> lim tyN (t).
N-*ao
T e о р е м a *) i.l [17] Пусть % ?E Wf m (Rn). Тогда
в норме L?'m (Rn) равномерно на любом отрезке t GE [0,
То] существует предел if> (t) = HmipN (t), удовлетворяю-
N»oo
щий задаче Коши A.2).
Доказательство. 1) Прежде всего заметим,
что последовательность {i|5jv,r} ограничена равномерно
по N и к. Действительно, имеют место равенства
||ехр{18Л[г;]}|| = 1, Цехр (геД}| = 1
(нормы всех операторов — это обычные операторные нор-
нормы /Лт -> Z2.m). Поэтому
||^,И1 = 1Ы|. A-3)
2) Докажем формулу
v, k = exp
jr) . A.4)
i=o
Заметим, что последовательность операторов Л [г?]
равномерно ограничена на любом шаре |j v | ^ г, т. е.
существует константа Сг такая, что
МИ1<СГ. A.5)
Поэтому (см. A.3))
ехр {Ш [qNi,]} = 1 + tiA [^v.i] +OA/N>).
Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу
ДЛЯ Урм.к'-
¦флг, к ==
= ехр {?бД}г|5лг, ^ + i6 ехр {1ЩА [ipN, к^} -флг.к-п. + О (
A-6)
*) Идея доказательства содержится в работе [30], посвященной
линейному случаю.
После того, как книга была сдана в печать, автор познако-
познакомился с работой [29], в которой доказана теорема существования для
более широкого, чем A.2), класса нелинейных уравнений.
74

где остаток О A/iV2) имеет оценку || О A/iV2) [| < C/N2,
причем С не зависит от к = 1, . . ., N. Из A.6) элементар-
элементарными вычислениями получим A.4).
3) Докажем неравенство
|| 4>w, м - Цм, 11 < Сое^ {кб + || ехр {ША} -ф0 - г|>0 ||), A.7)
где С0, Сг — некоторые постоянные, I + к ^ N. Из
формулы A.4) следует, что
^n, i+к — $n, i = ехр {iZSA} (ехр {iA;6A> tJH — %) +
/c-l
+ i& 2 ехр {i6 (Л + I - / - 1) A} A [i^jv, ,] i|?w,, +
3=0
+ i8 2 exP {iS (i — / — 1) A} ( Л [ipN, j+fe] ifjv, j-bft —
3=0
Отсюда и из A.5) получаем систему неравенств
а0 <; Се,
где
а? = I ¦флг, з-+й: — фл?, з Ц. в = 1 % — ехр
Из этих неравенств следует оценка A.7).
4) Докажем, что последовательность {4];jv @} Фунда-
Фундаментальна. Зафиксируем, помимо N, еще одно целое число
М > 1. Отметим, что
где через [//ЛЯ обозначена целая часть рационального
числа /Ш". Поэтому из A.7) получим
1|>MN,3 = I'AtW, At[3/At] + О ( "/у") ' A-8)
где I С» A/ЛО ||< (б + || ^о - ехр {ib (j/M - [j/М]) А} г|>0||) <
< б Но II W2,m (Rn) • Обозначим yN = б || % || ^2)СТ (RB).
Итак, мы имеем два разбиения отрезка [0, t\: первое —
на отрезки длины t/N, а второе — на отрезки длины
75

tl(MN). Ясно, что узлы первого разбиения содержатся
в множестве узлов второго разбиения. При этом узлы пер-
первого разбиения выделяются среди узлов второго разбие-
разбиения тем, что их номер кратен М. Формула A.8) означает,
что для любого узла второго разбиения с номером / Ег
?= {1, . . ., MN) найдется узел первого разбиения с но-
номером /0 = М [jlM] такой, что функции ^mn,j и ^mn,j0
отличаются друг от друга по норме Z2'm (Rn) на величину
порядка О (y,v) равномерно по /.
Запишем формулу A.4), заменяя N на MN для номера
к0 = Ml, кратного М, причем в правой части все функции
в узлах второго разбиения аппроксимируем функциями
в узлах первого разбиения, используя A.8). В результате
получим
, .иг = exp {H6A} ^п+ ^б2 ехР {'8(? — / — 1) Д} X
У. A [t.v/.Y, Mil Уму, mj + О (и), A.9)
Обозначим
Вычитая равенство A.4) из A.9) и оценивая норму левой
части получившейся разности, придем к следующей систе-
системе оценок:
i-i
fcj < «лг + сб 2 bi, * = 1 АГ-
3=0
где ajv <^ CiYjv- Отсюда получим равномерную по I оценку
В частности, при I = N имеем
|[ ^n (t) - ^nm (t) I <? C,e^ I ^0 \)W2, m(Rn>.
Тем самым доказана равномерная сходимость последо-
последовательности {i|)jv (t)} на любом отрезке [0, То] к некоторой
функции г}) = гр (t) со значениями в Z2>m (Rn).
5) Поскольку каждая функция ¦»{># непрерывна на [0,
То], то if непрерывна на [0, Тд].
75

Из A.10) следует, что при т <ги ——I > т последова-
последовательность функций (i|3iv,ji:(N)} сходится к т]з (т). Следователь-
но, римановы суммы
2 -^ exp \t ± (N - к - 1) A} A (tv, fc) fcy, *
fc=0
сходятся при JV —> оо в норме Z2>m (R") к интегралу от
непрерывной функции со значениями в банаховом про-
пространстве:
t
Перейдем к пределу при N -> оо в равенстве A.4). Полу-
Получим интегральное уравнение для функции if (t)
t
г|) (t) = exp {«Д} -ф0 + i ^ dx exp {i (« — т) А} А (г|) (т)) г|з (т).
A.11)
Отсюда следует, что функция ip (t) удовлетворяет за-
задаче A.2). Теорема доказана.
Замечание 1.1. Предположим, что коэффициен-
коэффициенты Vkt и р$ уравнения A.1) являются гладкими функ-
функциями, ограниченными со всеми своими производными.
В этом случае теорема 1.1 допускает следующее уточнение.
Пусть г|з0 6= И^2+а>т (Rn), где к — некоторое вещест-
вещественное число. Тогда Г-отображение т|H ->i|j (t) = lim ^n (t)
существует в Wl'm (Rn), причем сходимость i|;jv (t) —»
—>-гр (t) равномерна на любом отрезке tG [0, То], а пре-
предельная функция имеет оценку
,. . <Г II ih. II .. pCI
Для матрицы плотности (см. § 1 гл. II) g(t)jk =
= ijjj- (/)г|?д (<)е h Bя/г)""/2 справедлива аналогичная оцен-
m:*c*Kg»@)e=Wl(n\??Ytf
X dy <^oo, то
Оба этих утверждения доказываются так же, как и
теорема 1.1,
77

§ 2. Формулы выпутывания на примере
квазилинейного интегро-дифференцяадьного уравнения
первого порядка
Рассмотрим Г-отображение JJ е1А^ = ехр u \ Ар. d\n
с образующей еы^г, порожденной линейным оператором
Afj, (т. е. Г-произведение).
Пусть Up — некоторое дифференцируемое семейство
обратимых линейных операторов на отрезке [т, t].
Определение 2.1 Выпутыванием оператора Ut
t
из Г-произведения ехр и \ A\\,d\x \ назовем преобразование
т
производящего оператора Ар в новый оператор Лр. такой,
что
t t
ехр {i I Ауйр } = Ut ехр {i J S^dy,} U?. B.1)
T T
Явная формула для указанного преобразования произ-
производящего оператора имеет вид
Zv^UfAtUp + iU?^. B.2)
Можно сформулировать это утверждение иначе. Пусть
заданы производящие операторы Ар и В^., порождающие
t t
Г-произведения ехр у \ A^d\i | и ехр \i ^ By,d\i | . Если се-
мейство Uу. удовлетворяет уравнению
i -^ + (A^Uy, - UyJBv) = 0, tx e [t, t],
то выпутывание оператора Ut переводит производящий
оператор А^ в By.. В частности, выпутывание оператора
Ut, удовлетворяющего уравнению
не изменяет производящего оператора Т-произведения.
Пример 2.1. Пусть {Лц} — семейство несамо-
несамосопряженных линейных операторов в гильбертовом
78

пространстве, удовлетворяющее условию
1тАр = ±
Обозначим
ReA
Пусть это семейство самосопряженных операторов порож-
}>¦
дает Г-произведение Up = ехр и J Re Ay. d\i\ . Тогда Up —
{(* Л
— i \ Re Ар d\k I.
о •"
Выпутывание оператора Ut из Г-произведения
t
ехр \i \ Apdpl приводит к формуле
ехр li j ^djij- = Ut ехр I— j Im Ар d\a\ Щ1,
где новый производящий оператор Im Ар равен Im Ар —
= U? Im ApUp.
Заметим, что Im Ар ^0 и оператор ехр j — \ Im
j
самосопряжен.
Пример 2.2. Формула выпутывания для квази-
квазилинейного интегро-дифференциального уравнения перво-
первого порядка. В гл. I мы изучали нелинейные уравнения
первого порядка
/ (х, 0) = /о (ж), х ?Е R",
где функции а (х, t; If]) = {аг (х, t; If]), . . ., ап (х, t; [/])
и b (x, t; [/]) интегрально зависят от /, т. е. являются
гладкими функциями от интегралов вида
Гх... )dxm j dy1.. . j dymp(x, t;ylt ...,ym, xx,. .., tro)x
о
X / (г/i, tx).. . / (ym, тт), m = 1, 2,. .. B.4)
79

Кроме того, предполагалось, что а, — вещественные функ-
функции (/ = 1, . • ., п).
Решение задачи B.3) можно записать в виде Г-отобра-
жения:
t
f (х, t) = exp {- \ [a (x, t; [/]) -^ + b(x, т; f/])] dx] /0 (x).
о
B.5)
Будем выпутывать в правой части этой формулы оператор
(т т"
По формулам B.1), B.2) получим
t
j \jl•, ь i — kja\j s — \ t a iu-, t, I/ J/ ^— \ a i r I \ju,^y, \ }
0
где
r (x, t) = exp j— J b'x dxl /0 (^),
0 '
а оператор й, равен
К = exp |— ^ a -^j 6 (ж, т; [/]) exp |— ^ a —^ . B.7)
о о
Имеет место тождество
exp |— \| a (ж, т; [/]) Aj cp (ж) == ф (g-1 (ж)),
6
где gt — сдвиг вдоль траекторий системы
дХ%' 1) =а(Х (х, t), ц [/]), X (х, 0) --= х, B.8)
т. е. gt (х) == X (х, t). Поэтому оператор Ь~ из B.7) есть
оператор умножения на функцию b (X (х, т), т; [/]).
Теперь совершим преобразование B.6) в каждом инте-
интеграле B.4) и воспользуемся характеристиками B.8). В
80

результате интеграл B.4) перейдет в следующий:
yy... j dymp(x, t; X (уъ tx),...
. . ., X (ym, тт), tj, . . ., rm)r {yt, r,) . . . r (ym, тт) X
X |/ (ylt tJ . . . / (ymi Tj |, B.9)
где обозначено
/(и, т) = det зг1—
Напомним, что
%- = /(divo)(X, f; [/J); J(x, 0) = 1. B.10)
После замены каждого интеграла вида B.4) на интеграл
B.8) функции а (х, t; [/]), Ъ (х, t; Iff) перейдут в а (х, t;
[г, X, Л), Ь (х, t; [г, X, Л), а уравнения B.8), B.10) при-
примут вид
t),t;[r,X,J]), X(x,0) = x,
B.11)
= J(x, t)(diva)(X(x, t), t; [r, X, J}), J(x, 0) = 1.
Кроме того, формула B.6) в новых обозначениях име-
имеет вид
/ (х, t) = ехр {- J [а (х, х; [г, X," /]) ^-] dt} r (x, t), B.12)
о
где
t
г (х, t) = ехр {- j 5 (X (х, т), т; [г, X, /]) йт} /„ (ж). B.13)
Этим закончен процесс выпутывания. Мы доказали, что
исходное Г-отображение B.5) эквивалентно системе урав-
уравнений B.11), B.13), которая представляет собой систему
характеристик для задачи B.3) (см. § 2 гл. I).
Для того чтобы сформулировать этот результат на язы-
языке ^-отображений, введем следующие обозначения. Пусть
Ф (t) = (г (•, t), X (¦, t), J (•, t)) — функция со значения-
значениями в пространстве непрерывных (п -\- 2)-мерных вектор-
81

функций на R". Определим образующую Г-отображения:
Gx, [Ф] = (ехр{-гЪ(X(•, *), *; [ф])}, X(-,t) +
+ ва(X(.,<).' Ь 1ф]). exP{6div5(X(., О, *; [Ф])})-
Пусть, кроме того,
Ф(О) = (/о, Х(.,0), 1),
где Z (х, 0) = ж.
Теорема 2.1. Рассмотрим Т-отображение
t
f (х, t) = exp {- J (a (x, т; [/]) ^- + й (я, т, [/])) dt} /0 (z),
о
a также Т-отображение
t
ф(О=(П^.^[ф])ф(°) (^ Ф = (г, Х, /)). B.14)
Имеет место формула (выпутывания)
t
f (x, t) = exp {- ^ [a (x, т; [Ф]) ^-) dt} <p {x, t). B.15)
о
Можно также рассматривать B.14) как систему Г-отоб-
ражений, отвечающих B.11), B.13). Выпутывание B.15)
преобразует исходное Т-отображение B.5) в систему
Г-отображений B.14).
§ 3. Выпутывание в Т-отображении
с унитарной нелинейностью
Пусть Н — оператор с унитарной нелинейностью
(см. § 2 гл. И):
Н Щ = Жп (х, -ihd/дх, t; [г|з]>|>,
•ф = гр (х, t), х е R".
Напомним, что символ Sfth (x, p, t; Ыр]) является гладкой
функцией от х, р, t, h медленного роста при | х |, | р | —>-
-> оо, l/h-+- оо и гладкой функцией от интегралов вида
^dx^dy г|5(у, х)р(х,р, t,y, —ih-^-, tj $(у, т),
о
82

Пусть при каждом г|з оператор
& ЖН{1- ih д/дх, t;
самосопряжен в La (R"). В дальнейшем будем опускать
индекс h у символа Жь.-
Предположим, что Ж (t, Ь|з]) является производящим
оператором Т-отображения
Ч>(*. О = [Пехр{ Г^(т' №)^}W> °)- C-2)
Преобразуем это Г-отображение с помощью формул
выпутывания. Рассмотрим еще один оператор В с унитар-
унитарной нелинейностью:
В [г|з] = 33h (x, —ih д/дх, t; ЬрЩ.
2 1
Линейный оператор 33h (х, —ihd/dx, т; [г|з]) при фиксиро-
фиксированном г|) будем также обозначать через 33h (t, [ty]). Пред-
Предположим, что оператор
3Sh (х, — ih д/дх, t; [г|з])
при фиксированном if самосопряжен. Индекс h ниже
будем опускать. Символ 33 (х, р, t, [if>]) является гладкой
функцией от интегралов вида C.1).
Используя формулы выпутывания B.1), B.2), получим
из C.2)
t
ф (х, t) = ехр {- ~ J Ш ((*, [*]) d|i} X
о
X ехр {- -?¦ J л- (т, М>]) dt} i[5 (ж, р),
о
где
X (т, [*]) = 5? (Хл (т), Рл (т), т; ^]) -
83

а операторы Xh (т), Ph (т) определяются по следующим
формулам:
Xh (т) = (exp {- 4" \ & (I*, N>]) ф})
X
О
X
х (~ ih ?)(ехРЬ X\® (I*.
о
Формула C.2), таким образом, принимает вид
t
oj>(x, t) = ехр{--I-\® (|i, [ф])ф}Ф(ж, 0, C.3)
о
где
г
Ф (х, 0 = ехр |- 4- ^ С*, №1)dT} * (*. °)- C-4)
о
Используя C.3) и самосопряженность §3 ([i, [ф]), пре-
преобразуем каждый интеграл вида C.1) в интеграл
t 2 1
j dt j dy ф (у, т) [р (х, р, г; X, (т), Ph (т), т) Ф (•, т)] (у). C.5)
о
Заменим каждый интеграл C.1), входящий в функции
Ж или 3d, на интеграл C.5). Получим новые функции
Жх (х, р, t; lXh, Ph, ф]) и Si (x, p, t; lXh, Ph, q>]), являю-
являющиеся функционалами от операторных семейств Xh, Ph
и функции ф.
Обозначим (здесь оператор Р (х) действует первым):
Хх{х, \t, Р, ф]) = Жх{1 (т), Р (т), т; [X, Р, Ф]) -
В этих обозначениях формулы C.3), C.4) приводят к
следующей теореме,
84

Теорема 3.1. Рассмотрим Т-отображение
t
Ф(х, 0 =ехр{—-j-^iCr, [Хл, Ph, ф]) dtj ф (х, О),
Ф(*,О) = ф(*,О), C'6)
где Х^, Рй удовлетворяют системе уравнений Гейзенберга
1 ^ ~
„(*). Ph(t), t; [Xh, Ph, ф]),
C.7)
Хл@) = х,Рл@) = -^А.
Имеет место следующая формула выпутывания:
t
Ъ(х, t) = exp{--i-^i(n, [Хл, Ph, Ф])ф}ф(х, t), C.8)
о
где
&i(|i, [^h, Рй, ф]) = «х (х, - ffc, д/дх, t; [Хй, Рл, ф]).
Пример 3.1. Г-отображение в представлении взаи-
взаимодействия. Предположим, что символ SB (x, p, t; Ь|з])
не зависит от г|з, т. е.
— линейный оператор (назовем его свободным гамильто-
гамильтонианом). Пусть
Ж (х, р, t; Ь|)]) = Ш (х, p,t) + УС (х, р, t; ty]).
2 1
Оператор CfC (x, — ih д/дх, t; [г|з]) назовем гамильтонианом
взаимодействия.
Формулы теоремы 3.1 позволяют представить решения
уравнения
85

в следующем виде:
t
f i Г ~ 1
ij)ft (х, t) = ехр ^ г- \ да (М-) «И1 г Фл (^> О»
о
где
t
Фл (ж, О = ехр | ^- \ 3t\ (т, [^ft, Pft, фЛ]) dxl фЛ (ж, 0),
о
Оператор ^ (оператор ^ в представлении взаимодейст-
взаимодействия) задается формулой
2 1 ^
Л-i (е, Xh, Ph, Фл) = ^(^(т), РЛ(т), т; [1Л, РЛ> ф]),
где операторы Xh(t), Ph (t) удовлетворяют системе урав-
уравнений Гейзенберга
. о,
dt dp v v ' v
2 1
у1 ^^ p c/^ /> p.. /'П'^ ih -^—
dt

ГЛАВА IV
КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Постановка задачи
В этой и следующих главах построена квазиклас-
квазиклассическая асимптотика решения конкретных уравнений
с унитарной нелинейностью, возникающих в квантовой
электродинамике и теории поля. К этому типу относятся
также уравнения Хартри и нелинейные уравнения Макс-
Максвелла с пространственной дисперсией. В данной главе
мы подробно рассмотрим простейшее, но в то же время ха-
характерное уравнение с унитарной нелинейностью: уравне-
уравнение Шредингера для парного взаимодействия.
Будем решать следующую задачу Коши:
A.1)
4>ft |,=о = е«^хо,
где 1];л = % (х, t) — неизвестная функция, %о ?= С?° (Rn)>
So 6Е С~ (Rn), So и %о — вещественные функции. Потен-
Потенциал Vh задается формулой
Vh(x,t)= §p(x,y)\yh(y,t)\2dy, A.1')
где р е С™ (Rn), p — вещественная функция.
Таким образом, задача A.1) отличается от обычного
уравнения Шредингера квантовой механики тем, что по-
потенциал поля зависит от волновой функции \J5 частицы.
Поэтому уравнение A.1) можно назвать уравнением са-
самосогласованного поля: частица сама изменяет поле, в
87

котором движется. Параметр А в A.1) считается мальш.
Нашей задачей будет отыскание приближенного (асимпто-
(асимптотического) решения A.1) при h—>0.
Будет показано, что задача A.1) и целый ряд подобных
ей нелинейных задач, которые мы рассмотрим ниже, име-
имеют асимцтотические решения вида
%(х^) = ет8(Х'{\(х^,к), A.2)
где амплитуда ор регулярна при h -*¦ 0 (в отличие от экс-
экспоненты eislh, производные которой сингулярны при
h—y 0). Точнее, асимптотическое решение имеет вид A.2)
лишь при достаточно малом «времени» t; в целом же оно
строится с помощью более сложной конструкции канони-
канонического оператора [13, 16] (см. ниже).
Наличие у дифференциального уравнения решений ти-
типа A.2) тесно связано с существованием у него характе-
характеристик и бихарактеристик. Напомним, что для линейных
уравнений теория разрешимости и построение асимптоти-
асимптотических решений развивается именно на базе понятия ха-
характеристики и бихарактеристики. Обычный путь асимп-
асимптотического решения линейного дифференциального урав-
уравнения таков:
1) Выделяется функция Гамильтона Н, т. е. символ
старшей части дифференциального оператора.
2) Строится система Гамильтона (уравнения бихарак-
бихарактеристик):
°*.-»L{x,P,t), %. = -"LiX,P,t). A.з)
3) С помощью бихарактеристик (X, Р) явно вычисляет-
вычисляется фаза (характеристика) S и амплитуда ф в выражении
A.2).
Основным моментом здесь является наличие у системы
A.3) гладких решений, «хорошо» зависящих от началь-
начальных данных.
Как было показано в гл. I, II, для нелинейных урав-
уравнений вида A.1) также можно определить понятие харак-
характеристик и бихарактеристик. Рассмотрим с этой точки зре-
зрения более подробно задачу A.1).
Прежде всего мы покажем, что представление решения
в виде A.2) является непосредственным следствием формул
выпутывания, полученных в гл. III.
88

§ 2. Построение асимптотики в малом
с помощью формул выпутывания
Задача A.1) эквивалентна следующему] Г-отобра-
жению:
= ехр{-4~\dx(-h*A + Jр(ж, г/) [фЛ(г/, t)|2 Л/)}of,(z, 0),
° i
ifo (х, 0) = ехр {-^ 50 (
Применим к нему формулу выпутывания из §§ 2, 3 гл. III.
«Выпутаем» осциллирующий множитель ехр \-^-S{x, t, h\i,
где S (x, 0, Д) = So (x). Получим
где
Ф (х, t, h) = ехр {^dT (- -i- ~
4- S(x, t, h)
а»
- х J P (ж. У) IФ (г/, т, h) |2 dy -
_2-|^--А._ AS+ihA)j\q> (x, 0, ft), B.2)
<р (х, 0, Л) =
Функцию «S в этих формулах мы выберем ниже так, чтобы
член порядка l/h в показателе экспоненты B.2) был ра-
равен нулю. А сейчас повторно применим формулу выпуты-
выпутывания к Г-отображению B.2), определяющему функцию
Ф (х, t, x). «Выпутаем» оператор
Получим
ф(ж, t,h) = Utf(x, t,h),

где
t
/ (х, t, h) = ехр Ц (— -^ а0 (х, х [/]) - ах (х, т) +
о
+ {ih) U? о Д о &,)}/(*, 0, й), B.3)
/ (х, 0, й) = хо (ж).
Здесь мы обозначили:
ai(z, t, h) = AS(X(z, t, h), t, h),
ao(z,t,h,[f]) =
= (|f (X (г, *, Л), t,h) + \ VS (X (z, t, h), t, h) |2 +
+ $ p (X (z, t, h, X (y, t, h)) X
t
X exp h j oi (г/, т, h) dx\ \f(y, t, h) |2 dy) ,
X3- (ж, f, fc) = ^Г1 ^г-о?/„ / = 1,..., n, X = (Xlt..., Xn).
Отметим следующее очевидное тождество:
DX (г, t, h)
y? ==
t
== exp |2 ^ аг (z, t,
о
и еще один раз применим формулу выпутывания к Г-отобра-
г
жению B.3). «Выпутаем» множитель ехр \ — \ аг (х, т, h) dx\.
о *
Получим
t
/ (х, f, fe) = ехр |— j ai (х, т, h) dx\ % (x, t, h),
о
где
%(x,t,h) =
= exp{j(- -^-b{x, x, h, [%]) + (ih)Ax)dx}%(x, 0, h), B.4)
о
% (x, 0, h) = xo (ж).
90

Здесь мы обозначили:
b(z, t,h, [Xh\) =
= 2L (X (z, t, h), t, h) + \VS(X (z, t, h), t, k) |2 +
+ J p(X(z, t, h), X(y, t, h))\x(y,t,h) |»dy, B.5)
i
V
DX (x, t, h)
Выберем теперь функцию S так, чтобы коэффициент при
(—i/h) в показателе экспоненты B.4) был равен нулю. По-
Получим уравнения (см. B.4), B.5))
t
% (х, t, h) = exp Uh J Дт dx\ %0 (x),
B 6)
||2^ o
Решение второго уравнения легко выразить через функ-
функцию Z:
S (x, t,h) = S (Х-1 (х, t, h), t, h),
t
S {z, t, h) = So (z) + jj (M- B, т, fc)«/4 -
0
- J p (X (г, t, h), X (y, x, h)) | % (y, t, h) |a dy) dx, B.7)
Здесь через Х (•, t, h) обозначена функция, обратная к
Х(-, t,h).
В свою очередь функция X может быть получена как
решение уравнения
B/. *. ^I2^
B-8)
Уравнение для функции % получим из B.6):
!? %(*,о;л) = хо(*). B-9)
91

Оператор Kt в B.9) действует по формуле
-. /~DZ(s,t,h) Гд /
У "' [ [у
/(г)
DX(z, t, h)
Wz
г=Х-Цх, t, h
I
г, t, h)
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Лемма 2.1. Решение *) % (х, t) задачи Коши A.1)
на отрезке [0, Го], на котором DX/Dz ^> 0, имеет вид
. (*, 0 = /ехр
(г, f, К)
X (*, t. A)
(z, t, fe)
где функции S, X, % определяются из B.7) — B.9).
Замечание 2.1. Решение задачи B.9) регулярно
при h ->- 0 и имеет вид
X (z, t, К) = Хо (z) + (-ih)%1 (z, t) + O (/г2),
где Xi — вещественная функция. Подставляя это разло-
разложение в B.8), получим аналогичное разложение для функ-
функции X
X (z, t, h) = Хо (z, t) + O (h)\
где функция Хо удовлетворяет уравнениям
дХ
at
Xo (г, О) = z,
(г,0)=
B.10)
Следовательно, в силу леммы 2.1 решение задачи A.1)
имеет вид
ехр {4-
z=X0\x, О
(подробнее см. § 3 гл. VI).
Замечание 2.2. Уравнения B.10) являются ха-
характеристическими для следующего уравнения Власова,
*) Существование решения задачи A.1) было доказано в § 1
гл. III.
92

отвечающего задаче A.1):
дх дР JJ ' ' B.11)
F (х, р, 0) = хо (хN (р - V^o (x)).
dF
at
Решение задачи B.11) легко выписать явно с помощью
функции Хо:
DXo(,,t)
Dz /z=X01(x, t)
Энтропия задачи B.11) (см. § 2 гл. I) равна
Но (t) = g S (х, t, 0) F (x, p, t)dxdp = \S (z, t, 0) xo B) d«.
G другой стороны, из формулы леммы 2.1 получим
](-ih) (In $h(x,
ih , DX (z, t, h)
]П
+ T ]П Dz
Следовательно, имеет место следующая формула для
энтропии уравнения Власова:
#„ @ = lim (- й) f
§ 3. Асимптотика в целом
В предыдущем параграфе асимптотическое решение
задачи A.1) было построено лишь на отрезке времени
0 ^ t <; Т, в то время как решения системы B.10) суще-
существуют глобально. Причина такого ограничения заключе-
заключена в невозможности обратить функцию X при всех t > 0.
Действительно, якобиан / (г, t) = DX (z, t)IDz лишь в
исключительных случаях может быть отличен от нуля при
всех t >0, а, вообще говоря, / (z, t) = 0 — в некоторые
моменты времени tx, t2, . . . Соответствующие точки X (z,
tj), X (z, t2), ... называются фокальными. Асимптотиче-
Асимптотическое решение в окрестности фокальной точки не имеет
вида A.2), а строится с помощью канонического операто-
93

pa. Этот оператор позволяет выписать формулу для асимп-
асимптотического разложения сразу при всех t ]> 0.
Рассмотрим (п + 1)-мерное многообразие А. в фазо-
фазовом пространстве R2n+2 = {{х, t; р, pl); х, p e Rn; t, pl e
6R}, задаваемое формулами
х = X(z,t),p = P (z, 1),р< = -\Р (z, t) |2 - Vo (X (z, t), t),
V0(x, t) = $p(x, X{z, t))ll{z)dz, C.1)
где X, P — решения системы характеристик для
уравнения Власова B.11). Многообразие Л лагранжево
относительно формы dx Д dp + dt Д dp* (см. § 2 гл. I).
Пусть Xxi_x — канонический оператор на Л, опреде-
определенный с точностью до О (h) но мере da — dz Д dt [13, 16].
Глобальное решение задачи A.1) будем искать в виде
t)= [W)[hxo](x,t). C.2)
По лемме 12.2 гл. V книги [16] найдем
Vh (x, t) = j р (х, у) | [ЖТЫ {х, t) |2 dy =
Таким образом, формула C.1) для Vo (x, t) имеет место
при всех t ЕЕ [0, °о). Подставим теперь tyh (x, t) в уравне-
уравнение A.1). Используя теорему 11.1 гл. V книги [16], полу-
получим
= (- ih) ( XT ^f) {x, t) + O {№) = О {h% C.3)
так как d^o/dt = 0.
Таким образом, формула C.2) задает при всех t > 0
асимптотическое решение задачи A.1), которое удовлетво-
удовлетворяет начальным данным A.1) и уравнению C.3), причем
функция О(№) в C.3) имеет оценку
= 0, 1 C.4)
94

§ 4. Вычисление средних
Волновая функция г])/, удовлетворяет задаче
¦фл (z, 0) = Xo (ж) ехр j— -?- So (a:
где
Я (ж, p, t) = p* + Fh (x, t),
D.1)
^/i = (f%. ^)L3(Rn) •
Вычислим асимптотическое разложение Fh при А->0 с
помощью методов § 2 гл. II. Функция плотности
г
составленная из % и ее l/Zt-преобразования Фурье 1]зЛ,
удовлетворяет уравнению (см. § 1 гл. II)
=0 D.2)
и позволяет вычислить среднее от любого псевдодиффе-
2 1
ренциального оператора f = f (x, p):
(¦фл. Ж^ск") = J j /(«. Р) ё (й", Р. Л h) dx dp. D.3)
По формуле коммутации с экспонентой [16]
2 a
где
= 2л ел tit^^^o
|a|=k 131=0 5/?
95

Фа,р — вещественные полиномы от производных функции
So, gP s= gi1 ... |n'1; остаток QN имеет оценку
<const.
Определим обобщенную функцию
Tn(*, P) = S Ts(
ft
= S 2 (-i)w+ftx
X 6'a| (p - VS0 (x)) Фв,
*=° D.5)
2/C ft
Как показано в § 1 гл. II, среднее iy/t-псевдодифферен-
2 1
циального оператора f = f (x, p) на волновой функции
xph вычисляется по формуле
x, p, t) dxdp + O (hN), D.6)
где функция rh является решением следующей задачи
Копти:
)h = O, D.7)
rh (x, p, 0) = yh (x, p).
В случае гамильтониана D.1) rh удовлетворяет задаче
-ihQ (x, p,t) + 2 (_ ih) р -g- (х, р, *)- Л«ДЛ (х, р, 0 4-
X г„ (у, |, 0 dy dg) rh (ж, р, 0 = 0, D.8)
rh (х, р, 0) = yh (x, р).
Асимптотическое решение задачи D.8) имеет вид
rh = го + (~ih)ri + • • • + (~ih)"-i rN_t + О (h»), D.9)
96

где функции го, ги . . . определяются из D.8) стандартным
образом.
Для формулировки окончательного результата наших
вычислений введем обозначение:
= 2 jr
дра
fc-2 к-l-l к-2
Mk (x, p,t;r) = 2 2 ^ i + S ^ * > 2.
!=1 m=0 m=0
Лемма 4.1. Коэффициенты rj из D.9) удовлетворя-
удовлетворяют следующей рекуррентной системе уравнений:
и при к ^> 2:
) 0 + brk_,-Mk = 0; D.10)
при этом
rj (x, p, 0) = fj (x, p), j = 0, 1, 2, . . .
Заметим, что для функции го получается квазилиней-
квазилинейное интегро-дифференциальное уравнение типа Власова,
исследованное в г с I.
Введем характеристики для D.10):
(г, со, <) __
at ~~
= ^ -g- (X (г, со, 0, X (г', со', 0) ^о (z', со', *) dz'dco' = 0,
D.11)
P(z,co,0) = coeR";
-^- (z, со, <) = 0, г0 (г," со, 0) = Го (г, со).
В силу D.5)
Yo (г, со) = хо (zN (со - V^o («)).
4 В. П. Маслов 97

Поэтому система характеристик переходит в задачу Коши
для одного обыкновенного дифференциального уравнения
в банаховом пространстве С (R2"):
D.12)
X(z,co,0) = z, M (Z, со, 0) = 2©.
Функция го определяется через решение D.12) следующим
образом:
го (х, р, t) = xl (г (ж, р, 0N (со (х, р, 0 —
- V So (z (ж, р, t))), D.13)
где {z (x, р, t), со (ж, р, t)} — решение уравнений
X (z, со, t) = х, Р (г, со, f) = р.
Остальные коэффициенты rfc, А = 1, 2, . . ., вычисляются
из линейных уравнений D.10):
гк (х, р, t) = гк (г (ж, р, t), со (#, р, t), t),
t
fk (z, to, if) = yfe (z, со) 4- \ Mk+i (X (z, to, t), P (z, со, т), т; r) dt —
о
- \ (Ы (X (z, со, т), P (z, со, т)), т) dx +
0
-g- (X (z, со, т), X (z', со', т)) fk (zr, to', т) dz'da' X
co,0,P(z,to,0,0. D.14)
Таким образом, функция fH удовлетворяет линейному
уравнению вида
гк = /о + / (rfc),
где /о — заданная функция, а / — интегральный оператор
типа оператора Вольтерра. Отметим также, что в D.14)
интегралы по «импульсам» со' берутся явно за счет б-функ-
ции в начальных условиях для г,- (см. D.5)).
98

Лемма 4.2. Потенциал V.h в формуле D.1) имеет
асимптотическое разложение
N-1
% D.15)
где О (hN) — гладкая финитная функция по х ?Е Rn, рав-
равномерно ограниченная величиной hN • const. При этом
Vo (x, t) = jp (х, X (z, VSo (z), t))xl (z) dz,
V1(x,t) = 0,
Vk (x, t) = ft p (ж, X (z, со, i))?fc (z, со, t)dz da, k > 2.
§ 5. Решение уравнений с применением операторных
методов
Формула D.15) позволяет вычислить асимптотику сред-
среднего (р г|з, of) на решении of задачи Коши A.1). Таким об-
образом, задача A.1) сведена к линейной.
При малых t > 0 решение получившейся линейной за-
задачи будем искать в виде
где
S — вещественная функция, 5, ф? С™, функция ф ре-
регулярно зависит от h:
JV-l
Ф (х, р, *, Л) = 2 (- »Л)' 9i (^- Р. О- E-2)
Для того чтобы функция E.1) удовлетворяла уравне-
уравнению A.1), достаточно, чтобы
^ O. E.3)
По формуле композиции [16]
2 х
2 1 ^- 21 — S(x, V t)
t)T(t) Q(xpth)eh
4* 99

где
э
p + VS — ihw, t
Поэтому уравнение E.3) выполняется, если
Используя формулу коммутации с экспонентой [16]
и явный вид функции Гамильтона // = р2 + Fj,, получим
из E.4)
)(-«»)»Дф = 0. E.5)
Введем начальные условия:
S (х, р, 0) = 0, ф (х, р, 0, Л) = ео (х, р), E.6)
где ео ?Е С^° (R2") — любая финитная функция, тождест-
тождественно равная единице в окрестности компактного множе-
множества Q в R« X Rp:
<? = {(«, Р) \Р = Vi'o (ж), аг G supp xo}.
Уравнения E.5), E.6) решаются по схеме, приведенной
в [13]. Для функции S получаем уравнение Гамильтона —
Якоби
jg. + (p + VlS)s + F0 (*,*) = 0, S(x,p,0) = 0.
Система характеристик этой задачи имеет вид D.11).
Решение S (x, p, t) записывается явной формулой
S(х,p,t) = p(z-x) + § [Р2(z,р,х)- Vo(XB,р,т),тI dx,
о
E.7)
где z = z (х, р, t) — решение уравнения
х = X (z, p, t).
100

Отметим, что
zix p t) = х 4- d*^ (x v t) E 8)
Для коэффициентов разложения функции ф^- по степеням
(—ih) получим из E.5) систему уравнений
^1 + 2р ^- + (AXS) Ф, + ДФм + 2
(функции Fs берутся из D.15)).
Как было показано в гл. I, система такого вида легко
решается с помощью характеристик X, Р. Пусть
|д »/('<*¦* О;* 0 у>0, E.9)
где
jlz p
E.10)
Время ? считаем малым, так что / ^> 0. Функции ц,- опре-
определяются из следующей системы:
¦^1 — 7^0 = 0, uo{z,p,O) = eo(z,p),
E.11)
JJ = 0. wi (z- P. 0) = 0 (/ > 1),
/r=o
где
7f / .> -i/TT 7\Га "(«(», p, t), p, t) II
Au(z,p,t)=>yj(z,p,t) \AX у #/ ;
Отсюда найдем все функции и у, например,
«o(z, р, t) = е0 (z, р) ехр {— ^ Ух (X (z, p, т), т) йт| .
101

Формулы E.7), E.9), E.11) полностью определяют
асимптотическое решение t|>j,. Сформулируем полученный
результат. Прежде всего, в силу теоремы 2.2 гл. I сущест-
существует То > 0 такое, что при 0 <; t ^ To, (z, со) 6г supp ео
система уравнений
=2P(g,mi0i x(z,co,0) = z,
i^l^iL = J|L (z(Z| со, *), X (y, VS0 (y), t)%l (y)dy,
P (z, со, 0) = to
/ -v rw DX (z, и, t) -^ A
имеет гладкое решение (л, Р), причем jy ^^и.
На отрезке 0 <J t <^ To построим функцию
\ —4A1 nf II *s 2 г 11\'Л
% (х, t) = [е " S(x' р' ° ^det 6{j + -g^gjr (х, р, t) \) х
ЛГ-1 j
(-lhfu"(x + -df(x,p,t),p,t))\eh Xo(x),
E.13)
где функция S (x, p, t) определяется по формуле
t t
S (x, p,t) = [p{z-z) + l\P (z, p, x) |2 dx - $ rft ^ p (X (z,p,x),
*=*(*, Р, О '
о с
причем z (х, p,t) = х -\- -д— (х, р, t) есть решение уравнения
x = X{z, p, t).
Пусть в формуле E.13) uo (x, p, t) = ео (х, р), а функ-
функции щ при к ^ 1 определяются из рекуррентной системы
E.11).
Лемма 5.1. Функция tyh из E.13) является асимпто-
асимптотическим решением задачи A.1):
- ih gy° - Л«Д^Л (х, 0 + Цн (х, t) J p (x, у) |% (
= hN^fN(x,t,h) E.14)
102

где через О (h°°) обозначена гладкая функция, имеющая сле-
следующую оценку для любых к = 1, 2, ... и \ а \ = О, 1,
2, ...:
Правая часть /jv в E.14) — это некоторая гладкая функ-
функция, имеющая оценку C.4).
Замечание. Применяя метод стационарной фа-
фазы, легко доказать, что функция E.13), построенная с по-
помощью операторного метода, совпадает в рассматриваемом
частном случае по mod О (h) с найденной ранее в § 2 асим-
асимптотикой. Преимущество представления E.13) состоит в
том, что оно почти без изменений переносится на более
сложные задачи, в которых начальные данные не имеют
такого простого вида, как в A.1) (см. подробнее следую-
следующую главу).
Асимптотическое решение сохраняет вид E.13) на
отрезке времени, где якобиан / ^> 0. В окрестности фо-
фокальных точек формула E.13) неприменима.
Для того чтобы написать глобальную формулу, рас-
рассмотрим семейство лагранжевых многообразий
Kj = {я = X (z, со, t); p= P (z, со, г) - со; z e Rn}
и канонический оператор Cfc]^t на нем. Здесь X, Р — ре-
решение системы E.12) характеристик для уравнения Вла-
Власова.
Повторяя построения § 3, можно доказать, что функ-
функция
N-1 г
% = [x?t S (- ihf щ] {х, р, t) e~Soix) хо (х),
н=о
где ко = во, Щ, и2, . . . определяются из системы уравне-
уравнений типа E.11), является асимптотическим решением за-
задачи A.1) по mod О (hN).
Подробные вычисления будут продемонстрированы в
следующей главе на примере системы уравнений Хартри.

ГЛАЗА V
КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА
ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С УНИТАРНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
§ 1. Уравнения Хартри
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему из т час-
частиц с волновыми функциями
Пусть взаимодействие описывается потенциалом
Vh(x,t) = {Vtf\x,t), A = l,...,m},
причем
т
VW (x, t) = 2 \ fki (*, У, I) | Ф<Л B/, t) |2 dy, x e R",
где fkj (•, ¦, t) Е= Со°° (R2") — некоторые гладкие вещест-
вещественные функции.
Пусть задана функция Гамильтона
F(х, p,t,V,h)=2(- ihf Fk{x,p,t,V), ftE@,l) A.1)
класса S°° (R^ X Rp X R™)*), гладко зависящая от t €E R.
Пусть i^o (ж, p, t, V) — вещественная функция.
*) Класс ?°° (Rm) состоит из комплексных функций, все произ-
производные которых растут не быстрее одной и той же степени | х |.
104

Рассмотрим следующую нелинейную задачу Кошм
(уравнения Хартри):
- th ^- + F(x, p, t, Vh (x, t), h) ypfl = 0,
i A.2)
№ (xt 0) =\хр (x,h), j = l,...,m; ^-jfcJL.
Здесь начальные данные %W удовлетворяют условиям:
а) финитности: функции у№ и их 1А-преобразования
Фурье со всеми производными имеют порядок О (/г°°) вне
компактной области, т. е. существует вещественная функ-
функция ев €Е CJT (R5™) такая, что
Х<» (х, h) = ео (х, р)х® (х, h)+O (Л«); A.3)
б) предельности: для любого символа / €Е S°° (R2n)
выполняется равенство
= 2 (- iA)k 11 pf (x,p)f {x, P)dp + O (h"+i), A.4)
где pi3' — некоторые обобщенные функции с компактными
носителями, причем Ро" — вещественные; число N опре-
определяет точность, с которой мы будем решать задачу A.2).
2. Вычисление средних. Будем искать асимптотику
при h -> О решения задачи A.2). Прежде всего найдем
разложение потенциала Vh в асимптотический степенной
ряд по h. Точно так же, как это было сделано в § 4
гл. IV, получим следующее утверждение:
Лемма 1.1. Справедлива формула
N
V fi {Хч If — /1 ^— IIIJ V s \X, I) -\- \J \fl )i \i *O)
где
ReF^ = 0,
m
VT {x, t) = 2 И /м (*. 2/. t) r? (y, p, t) dy dp,
105

причем ряд
N
является асимптотическим разложением при h -> О реше-
решения гФ (х, р, t,h) задачи Коши
N
rU)(x,p,O,k)= %(-lhydP(x,p).
fc=O
Следствие. Функции r0 (/ = 1, . . ., т) удовлет-
удовлетворяют системе уравнений Власова
bf_ bf_ dFo »rf I dF0 dF0 дУ0 \
dt ~f" dx dp dp { dx + dV dx ) ~>~
(» = 0, A.6)
где
,p,t, Vo) — ZJ -Q^Q-n Г
потенциал Vo зависит от Го':
m
V{*\x, t) = 2 \[ Ы {x, y, t)rf(y, p,t)dydp, A = 1,.... m;
j=x •>•>
а функции Q, Fx, dFo/dp, dFo/дх, dFo/dV в A.6) рассматри-
рассматриваются в точке (х, р, t, Vo (x, t)).
Аналогично вычисляются и остальные функции г^\
s = 1, . . ., N - 1 (ср. § 4 гл. IV).
106

Как было показано в § 2 гл. I, система A.6) может
быть решена с помощью характеристик:
gp A-8)
где
>'. 0)
а у функций Q, дРо/дх, дРо/др опущены аргументы (X, Р,
t, Vo (X, t)).
Система A.8) представляет собой обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение в банаховом пространстве непре-
непрерывных вектор-функций {Х1У . . ., Хп; Ри . . ., Рп;
г^\ . . ., г^}. Достаточно решить A.8) на компактном
множестве начальных данных (z, со), содержащем внутри
себя носители функций pf (z, со) и ео (z, со) (см. A.3),
A.4)). Пусть такое решение существует при любом t SE
S R (см. теорему 2.2 гл. I и замечание к ней). Оно задает
каноническое преобразование
gt: {z, со) -> (X (z, со, t), P (z, со, t)).
Пусть z (х, р, t), со (х, р, t) — функции, задающие об-
обратное преобразование gj1. Тогда
г^ (х, р, t) = г?я (z (х, р, t), со (х, р, t), t).
3. Асимптотическое решение. Определив все коэффи-
коэффициенты разложения A.5) потенциала Vh, мы сведем зада-
задачу A.2) к распадающейся системе линейных уравнений.
Пусть
Л",, = {{х, р) | х = X (я, со, t),
р = Р (z, со, t) — со; 2Е R"}
— семейство лагранжевых многообразий в R™ X Rp-
Построим по mod hN канонический оператор CW^t на Л™,(
107

[16]. Пусть
4#'> (х, t) = [Ж*>р] (ж, р, 0 %Ф(х, h), A.9)
N
ф (z, СО, t,h)= 2 (- ^)йфй (Z, СО, t), A.10)
фО B, СО, 0) = бо B, СО), ф„ B, СО, 0) = 0 (& > 1). A.11)
Из A.9) — A.11) следует, что при t = 0
2 1
(см. A.3)), т. е. функция A.9) удовлетворяет начальным
условиям A.2) с точностью до О (h°°).
Подставим A.9) в уравнение A.2). Используя формулу
коммутации 1//г-псевдодифференциального оператора с ка-
каноническим оператором (см. [16], гл. V), а также разло-
разложения A.1), A.5), получим
\—ih f- + F (х, р, t, Vh (x, t), h)] *b«> (x л _
,21 '
= (— ih) [Ж}1*t&q] (x, p, t) %W (x, h) -J- (— ih) +1 Mn, j (x, t, h),
где оператор ЗР имеет вид
N
fc=o A.13)
% = J + Fi (X, P, t, Fo (X, t)) -1 Q (X, P, t, Vo (X, t));
SPu при к ^ 1 есть дифференциальный оператор на Л™)(
с гладкими, не зависящими от h коэффициентами.
Остаток J#jv,/ в формуле A.12) имеет следующую оцен-
оценку в норме пространства Соболева (при к = 0, 1, 2, . . .):
I #*, у (•,*, Л) kk <*-*?»(*)• A-14)
2
Из формул A.12) — A.14) вытекает следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть функции фй удовлетворяют
начальным условиям A.11) и системе уравнений *)
SVPo - 0,
ъ A.15).
2 PfPiH = ^ *= 1,.... AT.
;
*) Учитывая явный вид A.13) оператора ?Р0 j систему A.15),
A.11) легко решить.
108

Тогда функция
N
является асимптотическим решением системы уравнений
Хартри, т. е.
[- iA jf + F (х, p, t, Vh (х, t), h)] 4 (х, t) =
где остаток JF$3- удовлетворяет оценке A.14).
§ 2. Температурные уравнения Хартри
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечномерное
обобщение задачи Коши A.2). Пусть Н = —А2А +
+ U (х) — оператор Шредингера L2 (Rn) с гладким ве-
вещественным потенциалом U, причем функция U (х) дос-
достаточно сильно растет при | х ]-> оо, так, что спектр Н
дискретен
Ег (К) < Е2 (Л)< . . . <E}(h)<. ..
и регулярен при h -> 0:
sup E](h)<^ oo,
0<Л<1
оператор е~1^ и все его коммутаторы с х и —id/дя при лю-
любом t ^> 0 являются операторами Гильберта — Шмидта
в L2 (Rn), а собственные функции %} = %j (xi Щ операто-
оператора Н:
^д;, / = 1,2, ...
и их преобразования Фурье %j (p, h) со всеми производ-
производными имеют по mod О (h00) носители, ограниченные в R"
равномерно по / (см. условие а) § 1).
Обозначим
a (h) = 2 ехР {— $Ei С1))' Р = -fif = const > °
3=1
109

(R — постоянная Больцмана, Т — температура). Сходи-
Сходимость и асимптотика ряда о (h) будут получены ниже.
Рассмотрим бесконечный набор волновых функций
{^ (х, t, h), г|>2 (х, t,h), . . .}
и построим набор потенциалов
Vh(x, t) = {V^(x,t), к = 1,2,...},
B.1)
где Z/fc S iS00 равномерно по к — 1, 2, . . .; функции Z,ft —
вещественные.
Обозначим через Z00 пространство вещественных после-
последовательностей г; = {vn} с нормой
Предположим, что
F (х, р, t, h, V) = 2 (~ ihfFH (x, p, t, V), B.2)
где i,j5GR",<eR,FG^/iE @, 1), Fo — веществен-
вещественная функция; для любых мультииндексов а, р и у =
= (V и, • • •- У О
< С., „, у (О A + | х |У A + | р If A + | V \U\ B.3)
/ = i,2,..., г.
Температурными уравнениями Хартри называется
[23] следующая нелинейная задача Коши:
\ -ihd^f + F{x,p,l;Vh (I, t, h)) ^ = О,
л\*1 • (f О п\ —— *\f • (f Pi\ 7 ¦ A s
т 3 \ ' ' / "— /w V ) '*"yi J ™"~ ¦"¦) ") • • • ?
где вектор-функция Fh зависит от г|) по формулам B.1).
Нашей задачей будет построение асимптотического
(при h -v 0) решения уравнений B.4).
110

Будем искать решение B.4) в виде
4 EAh) 2 1
Ч>(* Л) 2 G{xp
h), B.5)
где
Gh {х, р, t) = Rh (х, p, t) exp {- ¦§• Я} . B.6)
Подставив функции B.5) в формулу B.1), получим
Поскольку система {%j} образует базис в L2 (R™), то
для любых 1/А-псевдодифференциальных операторов / =«
2 1 2 1
= / (х, р) и g = g (x, p) с достаточно быстро убывающими
символами справедлива формула для следа tr (fg*)
оо
2 iflv hi)» = ^т-п \\ 1 (х, р) g(x, p)dx dp.
Как будет показано ниже, символ Gh быстро убывает
по (х, р), и поэтому
vWlx, t) = = [[ Lk (х, у, t) I Gh (y, g, t) Г2 dy dl. B.7)
Для того чтобы функция ty] из B.5) удовлетворяла
уравнению B.4), достаточно потребовать, чтобы
9Gb 2 1 4 3 4 2 1
— ih-? {х, р, t) + /? (х, р, t, Vh (x, t), h) Gh (x, p, t) = 0.
Используя формулу для символа композиции двухЛ1К-
псевдодифференциальных операторов ([16], стр. 340), по-
получим уравнение в символах
dGh 2 1 2
— ih -~ (x, a,t) + F (х, со + р, t, Vh (x, t)) Gh (х, со, if) = 0,
B.8)
где Vh зависит от Gh по формуле B.7); со €= Rn.
Выберем начальные условия для Gh. Положим
Rh (х, р, 0) = е0 (х, р),
111

где е0 е С~ (R2n), причем
е е0 (х, р)Х, = е - (%,- + О {Ы)), у = 1, 2,... B.9)
lO(h°°)\\L^h«Ck, к = 1,2,...
Такая функция <?0 найдется в силу условий, наложенных
на оператор Н.
Из B.5), B.6), B.9) следует, что
%(*, 0, h) = Xj{x, h) + O(h°°), B.10)
так что начальные условия на "фу удовлетворяются с точ-
точностью до О (/t°°).
2. Вычисление средних. Рассмотрим символ Th опера-
оператора expj—-к-ЯI, т.е.
Th (х, — ihd/dx) = ехр {- -| #} .
В силу условий, наложенных на оператор Н, символ
Th и его производные принадлежат пространству L2 (R2").
По формуле для символа сложной функции ([16], стр. 340)
получим
где Нш = | со — ihdldx |2 + U (х). Далее из формулы для
сложной функции ([16], стр. 40) следует асимптотическое
разложение
Th (х, со) = ехр 1-уЯ (х, со)} х
ЛГ—1
X 2(-»ЛШ*.«>) + 0(А B.11)
где функция -^ О Aг ) и все ее производные принадлежат
Z2(R2n) и ограничены при h ->- 0, а коэффициенты /^ могут
быть явно вычислены:
/0(х, со) = 1,
Л(^)=|а4Мсо, B.12)
112

Полагая в B.7) Lk = 1, t = О, получим
BЛЗ)
Теперь мы в состоянии вычислить потенциалы
Из формул B.8), B.12) и § 2 гл. II вытекает, что
= 2 (~ ih)j ffi L* (ж, У, О О (У, I, to, /) di/ 4 Ло + О (/г]У),
B.14)
где ряд
является асимптотическим разложением решения г (х, /?,
со, i, h) уравнения
2 2
^^ / /j Tl / T/" I f 7 П /I /) I T" 0 ^ V \ ^~\ \
ч Op * ' \ Op /I
причем
Г](х, р, со, 0) = 2 2 ^j ~L~— 6(s)(p —со) x
s=o m=o
X /i-5-m(x-,co) (^ -|^(^, со)) /m(z,co). B.16)
За счет интеграла по d(o в B.14) достаточно учесть лишь
слагаемые с индексом s = 0 в B.16). Таким образом, на-
начальные условия для' г, примут вид
rj (х, р, со, 0) = ехр {— рЛ" (х, со)}/, (х, соJб (р — со).
B.17)
Так же, как и в гл. IV, для функций г} получим из B.15)
рекуррентную систему уравнений. Уравнение для г7-
при / 5> 1 сводится к линейному интегральному уравне-
уравнению типа Вольтерра (см. § 4 гл. IV), а для г0 получаем
ИЗ

уравнение Власова
9го9го9/о_9го/а/о_9/оаГо\
~di > дх др др \ дх 3V дх ) '
г0 (ж, р, (о, 0) = ехр {— Щ (х, со)} б (р — со).
Здесь функции Fo, Ft берутся в точке (х, р, t; Vo (x, t)),
а потенциал Vo равен
V~oh) (х, t) = ± Щ Lk (х, у, I) г0 (у, I, со, t) dy dl dco,
a° = JJ exp ^— № {x > w)} ^ ^co
(последняя формула для a0 следует из B.11), B.13)).
Как известно (§ 2 гл. I), уравнение B.18) решается с по-
помощью системы характеристик
дХ_ _dFo 9P дГо dF0 дУ
dt ~ ~др ' dt ~ ~дх ~~ ~W ~дх~ '
X (z, I, со, 0) = z, P (z, g, со, 0) = I, ¦
fo(z, I, со, 0) = ехр { -рЯ (z, со)}б (| — со).
При этом
г0 (ж, р, со, 0 = r0 (z (х, р, со, <), I (х, р, со, *), со, t),
где функции г (...), | (...) задают обратное отображение
к каноническому отображению
&: (г, g) -> (Z (г, g, со, t), P (г, g, со, t)).
3. Построение асимптотического решения. Мы вычи-
вычислили асимптотическое разложение потенциала:
N-X
3=0
JV—1
( 2 (- ^)m ГО 4 {*, У, t) rm (у, g, cM) dy dg da ) + О (h ).
X (
114

При этом
, t)=±§Lk(x, Xo(z, g, t), t)r00(z, g, t)dzdg,
def
где Xo (z, g, t) = X (z, g, g, t), r00 (z, I, t) = r0 (z, I, I, t).
Пусть, кроме того, Po (z, |, t) = P (z, %, g, t). Функции
^0) Poi roo удовлетворяют уравнениям B.19) для X, P, r0
и начальным условиям
Хо (г, ?, 0) = г, Ро (z, g, 0) = g, r00 (г, g, 0) = в-РЯ(г,0
B.20)
Задача Коши B.4) сведена к линейной. Найдем ее асим-
асимптотическое решение. Пусть
Л«,/ = {ж = Хо (г, со, г), р = Ро (z, со, г) — со; г? R™}
— семейство тг-мерных лагранжевых многообразий в R™ X
X Rp. Обозначим через ЛГщ, < канонический оператор по
mod hN на нем [13,16]. Решение B.4) ищем в виде B.6), где
Gh(x, со, 0 = [^(ф] («, <»,0.
N-1
fe=0
фо(г,(о,О) = вхр{-|-Я(г, со)} ¦ <?0 (z, со), B.21)
, (о, 0) = ехр|— -|//(z, co)| /fc(z, co)eo(z, со), А>1.
Начальные условия здесь выбраны с учетом B.6), B.9),
B.11), B.20).
Точно также, как и в § 1, найдем из B.21) и уравнения
B.8) рекуррентную систему обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений для функций cpfc. Например, для ср0
получим задачу
Эсро , Гр 1
1Г + L 1 ~"
ф0 (г, со, 0) = ехр |— -|- Н (z, со)| е0 (z, со),
где у функций Fo, Fx опущены аргументы Хо, Ро, t, V0(X0, t).
.115

Таким образом, построено асимптотическое решение
температурных уравнений Хартри B.4). Именно, имеет
место
Теорема 2.1. Функции
N~~1
= ехр || Е} (h)\ \кЩ\ ( 2 (- ^)*Ф*) 1 (ж, р, t) Ъ (х, h)
1 J L ft=o
удовлетворяют начальным условиям B.10) и соотношению
34. 2 1 2
- ih -^ + F (ж, р, t, Vh (x, t), h) i|), == (- ih)N+1tfNt j (x, t, h),
где остаток J%n, j оценивается в Wl (Rn) следующим об-
образом:
II «#лг, з (•. t, h) J s < CN, s (t) hr\
2
§ 3. Квазиклассическая асимптотика решений системы
уравнений нелинейной квантовой механики
1. Постановка задачи. В этом параграфе мы изучим
асимптотические решения систем нелинейных уравнений,
не распадающихся, в отличие от уравнений Хартри, на
отдельные скалярные уравнения после вычисления потен-
потенциала взаимодействия V.
Символы операторов, которые мы теперь будем рас-
рассматривать, являются матричнозначными функциями.
Пусть
Рассмотрим матричнозначную функцию F (x, p, t, V, h)
класса S°° (R™ X RJ X Rv» m) *)> гладко зависящую от t
и h. Пусть
s
F (x, p, t, V,k)= 2 (- Щ} F} (x, p, t, V) C.1)
3=0
и матрица Fo (x, p, t, V) имеет l различных веществен-
вещественных собственных значений \ik (x, p, t, V) постоянной крат-
кратности Гк и не имеет жордановых клеток.
*) Все элементы матрицы класса 5°° (Rn, m) принадлежат S°° (Rn)
(см. сноску на стр. 104); т — это размер матрицы.
116

Положим
м t
где //[V (•, ?, •, т) ЕЕ Cj° (R2n) — гладкие вещественные
функции ?, tER. Потенциалы Vh квадратично зависят
от М вектор-функций i|)v = (ф^, . . ., 1{4т))-
Рассмотрим задачу Коши для системы нелинейных
уравнений, обобщающих уравнения нелинейной оптики
с пространственной и временной дисперсией (в частном
случае — уравнений Максвелла) [25]:
Зф 2 1 2
-ih -^ + F(x,p,t,Vh(x,t),h)^ = O,
Ы*, °) = **(*, Ч v=. 1, . .., М.
Найдем ее асимптотическое решение при й-*-0 с про-
произвольной точностью О (hN) (для уравнений оптики h =
= 1/@, где со — частота).
Наложим следующие условия на начальные данные
C.3):
а) финитность: все компоненты i^v (x, h) и их l//t-
преобразования Фурье if>o3v (p, h) вместе со всеми произ-
производными вне компактной области (х, р) имеют порядок
О (А00); т. е. существует функция е,ЕС (R™) такая, что
1$ (х, К) = е0 (х) е0 (р) Vo? + О (Л00);
., 9 C-4)
б) условные предельности: для любого матричнознач-
ного символа A^S™ (R2™, т)
2 X
(А(х, р)г|H„, i^ov) =
= 2 (- iA)fcйtr и (*- р) р^^' р)*) ^ dP + °(А]У)> C-5)
m
где (х, iK) = \ ^j X(i) (ж) ^(i> (ж) ^х ! tr обозначает след,
* — эрмитово сопряжение матрицы, pf — некоторые т X
X /п-матрицы из финитных обобщенных функций, матри-
матрица р(„0) эрмитова.
117

2. Вычисление средних. В отличие от предыдущих
примеров, здесь мы не будем сводить вычисление потен-
потенциала взаимодействия к асимптотическому разложению
матрицы плотности. Используем другой метод.
Пусть X<f> (z, «, t), Р® (z, со, t) — гладкие функции
со значениями в Rn (/' = 1, . . ., Z; z, co?E R"; ?GE R), удов-
удовлетворяющие гамильтоновой системе уравнений:
= -^(X^,PA),t), PW)(Z,co,O) = co,
где XjEEC°° — вещественные функции, причем
lt (x, p, t) ф %j (x, p, t), i Ф j. C.7)
Рассмотрим (п 4" 1)-мерные лагранжевы многообразия
в (R" х R,) X (Rp X Ri:
Aj (со) = {(x, t, p, pl) \x = X (z, со, t), p = P (г, со, t) — со,
pt = -%j(X,P, t); z6R"}.
Пусть Wj = Cfc}[a — канонический оператор на семей-
семействе Aj no mod hN [13, 16]. Будем искать асимптотическое
решение задачи C.3) в виде
4,
^ (х, t,h)= 2 №Д (х, р, t) i|;ov (x, h), C.8)
где
IV—1
aj — гладкие" т х m-матричнозначные функции. Под-
Подставим C.8) в формулу C.2) для потенциала взаимодей-
взаимодействия
М 1 Л 2 3 2
У \ At l\fT /7*1 I-г П f\ / , /И / Т f \ V
/i \ tiI Ц^iu-^J ^,^7, •'У /vfe \i/i tii*/) l/ A
v=l i, j=l 0
2 1
X [WjCli] (^i Pi T) ^Ovi tyov)> C.10)
где а* — сопряженная к матрице at. В этой сумме ос-
останутся лишь слагаемые при i = /, а остальные члены
118

имеют порядок О (h°°). В силу условия C.5) для этого
достаточно доказать, что при i Ф j
A
[Щ[] (х,р, т) A, s (у, t, х, т) [#ур,-] (а-, р, т) dx = O(h~)
C.11)
для любых скалярных функций ср,-, ф^, причем правая
2 1
часть О (h°°) есть оператор хЛ (у, ж, р, t), символ которого
является гладкими быстро убывает по х, р и по ilh со все-
всеми производными. Формула C.11) вытекает из следующей
леммы.
Лемма 3.1. При i Ф j и любом иЕЕС™ (R211) имеет
место соотношение
— Ж(р' —р)
в [^гфг] (Ж, р, t) [Жфй [X, р', X)U{X) dx = О (А"),
C.12)
где остаток О (/г00) = я^ (р', р, <) является гладким и
быстро убывает при (i/fi, р', р) —>- оо со всеми произ-
производными.
Доказательство. Подставим вместо канони-
канонических операторов <%",¦, Жj в C.12) их разложения по особым
и неособым картам [13, 16]. Вычислим затем стационарные
точки получившихся интегралов. Оказывается, что при
условии C.7) стационарных точек у этих интегралов нет,
и поэтому они равны О (h00). Продемонстрируем это лишь
в случае неособых карт. Аналогично рассматривается об-
общий случай.
С точностью до несущественных множителей интеграл
C.12) переписывается (в неособых картах) в виде
dx ^ exp j-i [x (p' — p) + Sj (x, р', т) — Si (x, р, т)]| X
X
y rf(i dx, (з.13)
V\ Jj (*. p', x) Ji (*,M)| '
где xf* (x, p, x) — решение уравнения х = X&(x0, p, x),
s = i, j, a Js(x, p, x) = —g^- {x<-s) (x, p, x), p, x) Ф 0. Дей-
Действия Si и Sj удовлетворяют уравнениям Гамильтона —
119

Якоби
dSk(x, р, t) I dS^(x, p, t) \
* V + ^ (*' to +P,t)= 0, A = i, /. C.14)
Вычислим стационарную точку (х, т) интеграла C.13).
Она определяется из уравнений
dS- _ 8S: def
Со • ~ Co ¦ ~
Яг \ > f ' / Ят \ ' /^> /"
Отсюда и из C.14) вытекает равенство
%t (Т, р, т) = Kj (х, р, т),
которое при i Ф j не может иметь места в силу C.7). Сле-
Следовательно, интеграл C.13) не имеет стационарных точек
и равен О (h°°). Лемма 3.1 доказана.
Теперь в формуле C.10) остаются лишь слагаемые с ин-
индексами i = j. Они преобразуются с помощью теорем § 12
гл. V [16]. Главный член получившейся асимптотики Vh
имеет вид
1 3 \
Используя C.5) и C.9), отсюда найдем окончательное
выражение для асимптотики Vh- Сформулируем этот ре-
результат в виде леммы.
Лемма 3.2. Имеет место разложение
JV-1
Vh (x, t) = Vo (x, t) + 2 (- ihyVr (x, t) + О (h% C.15)
r=l
где коэффициенты Vo, . . ., Vn-i — некоторые функции,
интегрально зависящие от af\ k = 0, 1, . . ., iV—1;
j = 1, ...,/. Для Fo имеется явное выражение
м i t
Str
v=l i=X 0
X pl0) (z, со)] /fc, (x, t, X(i) (z, to, т), т) dz dco. C.16)
120

3. Построение асимптотического решения. Подставим
разложение C.15) в уравнение C.3). Нелинейный опера-
оператор F в C.3) примет вид
f = F(z, р, t, Vo{x, t)) + (- ih)F1 (x, p, t, Vo(x, t)) +
+ (- ih) ^ (x, p, t, Vo (I t)) Vfa t) + O (fc«). C.17)
Напомним, что через \ij (x, p, t, V), j = 1, . . ., l, мы
обозначаем собственные числа матрицы Fo (x, p, t, V).
Пусть Р] (х, р, t, V) — соответствующие операторы про-
проектирования в Ст на /-е собственное подпространство, при-
причем
pfr = б,, кри 2 Pi = /. 2 v-iPi == ^'о,
5=1 3=1 C.18)
Кратность Г] собственного числа \ij по условию не зависит
от (х, р, t, V) и 2 ri = m-
3=1
Из C.17) видно, что главную роль при коммутации опе-
оператора F с каноническими операторами C.8) будет играть
матричный символ F@), где
F0) (х, р, t) = Fj (х, р, t, Vo (x, t)), / = 0, 1, ...
Обозначим
Kj (х, р, t) = }xj (х, р, t, Vo (x, t)),
Ej (х, р, t) = Pj (х, р, t, Vo (x, t)), / - 1, . . ., /.{6ЛЩ
Тогда Ej и Kj удовлетворяют соотношениям вида C.18) с за-
заменой Fo на F(°K
Формула C.19) задает функцию Гамильтона hj для
системы уравнений C.6). Отметим, что Xj зависит от Vo,
a Vo есть функционал от Х^\ i = 1, . . ., I (см. C.16)).
Таким образом, Я,- (х, р, t) интегрально зависит от функций
X®, т. е. система C.6) представляет собой систему интегро-
дифференциальных уравнений, рассмотренную в гл. I.
Отметим, что в формуле C.16) для Vo участвуют еще
невычисленные матрицы а|. Для их нахождения подста-
подставим функцию C.8) в уравнение C.3) и воспользуемся
131

теоремой [16] о коммутации l/Ti-псевдодифференциального
оператора с каноническим оператором:
дг|з 2 1 2
— ih-^- + F (х, р, t, Vh (х, t), h) % =
I
= 2 WjRpj] (I, p, t) ^v (x, h) + (- ihfQN (I, P\ t, h) %n
i—i
C.20)
где символ остатка Qn имеет оценку
-д-) ("я-) Qn{x, p,t, К) < ' C.21)
для любых а, р, гг, г2. Операторы i?; в C.20) разлагаются
по степеням h:
N-i
Здесь i?jr) — дифференциальный оператор порядка j с
гладкими, не зависящими от h матричнозначными (т X
X ттг)-коэффициентами,
C-23)
причем все функции в C.23) вычисляются в точке х =
$\ р = PW. Матрица Г;- задается формулами
() + ^4rFi?'i' C-24)
где Lj (ц, ж, р) = (ji _ ^ (ж, р, <)) (И- - ^@) {х,\ р, О),
причем производные от L> в C.24) берутся в точке ]х =
= - к] (Х«\ Р0\ t).
Кроме того, справедливы тождества
TjE, = Г3, Е}Г} = Г, + A - Е,) Щ , C.25)
122

екторий C.6).
Подставим в C.20) разложение C.9) и потребуем, чтобы
в правой части коэффициенты при степенях (—ih)K, к =
= 0, 1, . . ., N — 1, были равны нулю. Получим систему
(к)
уравнении для матриц а) .
Rfaf = 0,
+ R^af = 0,
C.26)
Потребуем, чтобы в начальный момент t = 0
I
7 C-27)
2 af (z, a), 0) = 0, A>1,
3=1
где / — единичная матрица.
Тогда из C.8) и начальных условий C.6) получим
, 0, К) = 2 2 (- ih)*af(x, p, 0)%,(х, К) =
j=i k=o
= е0 (ж) е0
В последнем равенстве мы использовали формулу C.4).
Таким образом, условия C.27) гарантируют удовлетво-
удовлетворение начальным данным C.3) с точностью до О (А00).
Решим систему уравнений C.26), C.27), Из первого
уравнения C.26) и формулы C.23) имеем
2 (h - h) Ekaf = 0,
или, учитывая, что ?}
к
123
f = kjaj0).

Отсюда следует, что область значений af (как опера-
оператора в Ст) должна принадлежать собственному подпро-
подпространству F(°\ отвечающему собственному числу kj, т. е.
Ejuf = af. C.28)
Второе уравнение C.26) запишем в виде
EfifEiaf + Rfaf + A - Е,) R?af +
+ EjRp A - E,)af = 0.
В силу C.23) и C.28) отсюда получаем два равенства:
Eflfaf = 0,
Rfaf +{i^Ej)R^af = 0. C'29)
Первое из этих равенств дает уравнение переноса для aj0)
(-It -ьг;)«)о) = о.
Начальное условие выберем, исходя из C.28) и начальных
условий C.27):
af (z, со, 0) = е0 (z)e0 (аЩ (Х<« (z, со, 0),-Р№ (z, со, 0), 0).
C.31)
Покажем, что решение уравнений C.30), C.31) удов-
удовлетворяет условию C.28). Действительно, положим
af = Ejbf.
Тогда для матрицы Ъ) получим уравнение
Выберем матрицу bf так, чтобы она удовлетворяла
задаче
C33)
bf (z, со, 0) = e0 (z)e0 (со)/.
Тогда в силу C.25) матрица bf автоматически будет удов-
удовлетворять и уравнению C.32), а следовательно, решение
124

Йадачи C.30), C.31) обязательно имеет вид
af (z, со, t) = Ej {ХФ (z, со, t), P0> (z, со, 0, t)bf (z, со, t),
т. е. условие C.28) выполнено. Остальные коэффициенты
af\ к = 1, 2, . . ., вычисляются аналогично из системы
C.26).
В качестве примера найдем матрицу af\ Используя
C.29) и C.23), получим
^ C.34)
Для того чтобы определить саму матрицу af = Ejuj +
~Ь S Ека<] >¦ остается найти компоненту Ej-af. Она вычи-
сляется из третьего уравнения системы C.26):
Rfaf + RVaf + Rfaf = 0.
Действительно (см. C.23)),
EiRfEpP + E^Rfaf + 2 EjRfE^ = 0,
или
9
). C.35)
C.36)
(=0
Тогда условия C.27) автоматически выполняются. Как
и при переходе от C.30) к C.33), рассмотрим матрицу
(z, со, t), удовлетворяющую задаче
Поставим начальные условия
C.37)
% V ki ~ h I
125

Тогда решение C.35), C.36) имеет Вид
bjuj =
Таким образом, в силу C.34)
Аналогично вычисляются и остальные матрицы aj , /с =
= 2, . . ., N — 1; при этом
a
f
Esa?\ C.38)
где матрицы Esajh) определяются явно через , aj1'1' , . . .
. . . , а^ аналогично C.34):
АН) / @)
а матрица bf^ удовлетворяет задаче Коши вида
f=0
с известными функциями D\ в правой части и /, в на"
чальных данных.
Подведем итог. Считая известными решения Х^', Р&>
системы C.6), мы определили потенциалы Fq (cm. C.16))
и свели вычисление матриц
afU = 0, ...,iV-l,/ = l, ...,/,
к решению обыкновенных дифференциальных уравнений
вида C.39).
Таким образом, из C.6), C.16), C.19), C.33) получаем
следующую систему уравнений для функций X*, Р':
(I)
126

и матриц bf1:
±- + [A Ej (XW B, со, О, Р(Л (z, со, 0, 0] bf + I>f = О,
(II) bf (z, со, 0) - е0 (z)e0 (со) /,
где
%j (х, р, t) = \ij (х, р, t, Vo (x, t)),
Ej (х, р, t) = Р, (х, р, t, Vo (x, t)); j = 1, ...,/,
а потенциал взаимодействия Fo задается формулами
м i t
vp (х, t) = 2 2 \d* й /** (ж' ^ x&(z'ш'т)-т)х
v=l i=l о
X tr [bl0) (z, со, т)* Е{ (Х%, со, t)P(i) (г, со, т), т)* X
хЕг{Х&{г, со, т), P(i)(z, со, т), т) X
X &|0) (z, со, т) pf (z, со)] dz da, к = 1, ..., М.
Матрица Г3- здесь определена формулой C.24).
Система (I), (II) является системой обыкновенных ин-
тегро-дифференциальных уравнений первого порядка, изу-
изученных в гл. I. Она имеет решение на некотором отрезке
[О, То]. На этом отрезке времени из формулы C.38) мы
определим все коэффициенты а|А) разложения C.9), т. е.
вычислим функции т|)„ из C.8). Итак, доказана
Теорема 3.1. Вектор-функции o|)v(;r, t, h) =
= 2л [3fj(ij](x, p, t)tyOv(x, h) удовлетворяют задаче
i=i
d\b, 2 1 2
— ih-?- + F (x, p, t, Vh (x, t), h) я|), = (- ih)NRs. v (x, t, h),
^ (x, 0, h) = ^ov (x, h) +0 (A»), v = 1, . . ., M,
причем «невязки» i?w> имеют следующую оценку в простран-
пространстве Wi:
k, ^ = 0, 1,2, ...,
v= I, .... М.
127

Пример. Рассмотрим систему уравнений нелинейной
квантовой механики:
ih -т А) aip -\- mc^ty = О,
C.40)
4JT6 i . in |—| » ~tl%€ . /о / л \
где Ф, А — скалярный и векторный потенциалы электро-
^0 а\ /1 0>
магнитного поля, а =
о и
~4 Х 4"мат"
рицы, а = (ctj, а2, а3) — матрицы Паули, гр — четырех-
компонентная вектор-функция. Гамильтониан уравнения
C.40) имеет два собственных числа Х+ (х,р, t) = еФ(х, )
: с j/"m2c2 + р e-A(x,t)
х, р €Е R3; знаки ± соот-
соответствуют уравнениям для электрона и позитрона. По-
Поставим начальные условия для C.40), отвечающее элект-
электрону:
з (х, 0) = е
4-SoW
C.42)
где е0 ?Е C~(R3), Хо = (—?¦) — собственная функция, отве-
чающая %+ (х, VS0 (x), 0), т. е.
Ъ (х) [
тс
(x)--^-A (x, 0) |
50(ar) е-А(х,0))в{0{х)=0.
Выпишем систему Гамильтона:
х = Нр, р = -Нх, t = Hvt, pt = -Ht,
х |т=0 = х0, р |т=0 = VS0 (-^о), t |т=0 = 0, C.43)
), 0),
где Н (х, t, р, р1) = (р' — еФ (х, t)J — <
— m2c2, а точка обозначает дифференцирование по т.
Кроме того, рассмотрим уравнение вращения спина
для C.40) (см. выше уравнение (II) или [13], стр. 323):
г -^г = ^ (Зда' + Ща) %, \ хт=0 = %0 (z0) e0 (х0), C.44)
128

где о' = (о 0) — 4-рядные матрицы Паули, 3d = rot A —
т дер 1 дА
магнитная индукция, в = — ~ -^ электрическая
напряженность, причем вектор-функции 33 и вберутся в
точке х = х (х0, t). Уравнения для потенциалов электромаг-
электромагнитного поля C.41) в пределе (h -у 0) примут вид:
ПФ = ^иЧ/1П UA^m.l\J\, C.45)
где / = Dx/Dx0.
Пусть Ф, А, х, х, t, р, р1 — решение характеристиче-
характеристической системы C.43) — C.45). Рассмотрим лагранжево
многообразие в Rj x R( X Rp X B.pt:
An+1 = {x = x (x0, r),t = t {x0, t), p = p {x0, t),
Пусть Ж111х — канонический оператор на нем с точностью
до О (h). Из теоремы 3.1 получим следующий результат.
Теорема 3.2. Существует отрезок [0, То], на ко-
котором функция
¦ф {х, t) = Ж^к (X)
удовлетворяет системе уравнений C.40), C.41) с точностью
до О (h2) (в норме L2).
Аналогичный результат можно получить при всех t€E
EER, накладывая некоторые условия «общего положения»
на многообразие Л.
Замечание. Нетрудно убедиться, что система C.43)—
C.45) является записанной в лагранжевых координатах
системой уравнений релятивистской полевой гидродинамики
заряженной жидкости:
= 4яр, [JA = Ыри.
5 В. П. Маслов

ГЛАВА VI
КОНТИНУАЛЬНО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе вводится континуально-интегральное
уравнение, которому удовлетворяет Г-отображение, отве-
отвечающее нелинейным уравнениям квантовой механики.
Правая часть этого уравнения может быть интерпретиро-
интерпретирована как нелинейный континуальный интеграл.
Асимптотическое решение этого континуально-инте-
континуально-интегрального уравнения проводится методом, обобщающим
известный метод стационарной фазы для континуального
интеграла Фейнмана [14]. Как известно, метод стационар-
стационарной фазы применим к интегралу вида:
I=^e~F(x)<p(x)dx, (ре С ^еГ
при условии, что стационарные точки х = хъ . . ., хп ре-
решения уравнения dF (х) = 0 — невырождены, т. е. матри-
матрица А формы d2F невырождена в стационарных точках.
Формула метода стационарной фазы имеет вид
где D (х) = deb А, а ук — индекс Морса стационарной
точки хк. Эта формула была перенесена автором в 1965 г.
[13, 14] на случай континуального интеграла Фейнмана.
Интеграл Фейнмана представляется в виде
, A)
где S [q (т)] = J L (q, q, т) dx, q = q (т), q @) = у, q (t) =
о
= x, L (q, q, r)"— -^ V (<?, т). Если 6? [q (т)] = 0 имеет
130

невырожденные решения qk — qk (т), т. е. d2S при q (т) =
= qk (т) не имеет нулевого собственного значения, то
^2|W)|-'^xp ] ' (S[q*(x)]-^Пк B)
где Y(t — индекс Морса экстремали qK (т), а
Этот ответ может быть переписан в виде канонического
оператора, отвечающего лаграшкеву многообразию Лп (t)
в фазовом пространстве р, х. Это многообразие в облас-
областях, хорошо проектируемых на ж-плоскость, задается урав-
0S (о1* i.t)) 1-. . „ , ,
нением р = —„ . В целом ;v (t) задается уравнения-
уравнениями р = Р (t, у, р0), х = X (t, у, р0), где Р, X удовлетворяют
д\7(Х,
и начальным
уравнениям Ньютона X = Р, Р =
условиям X|t=0 = у, Р |f=0 = р0. Уравнение X {t, у, р0) =
= х относительно р0 для фиксированных у, х и t опре-
определяет точки р0 такие,
ЭХ
D (qk) = det
что q* (т) = X (г, у, р'о),
Если вырожденные экстремали отсутствуют, то окрест-
окрестность точких на An(t) хорошо проектируется на плоскость х.
При этом условии в окрестности точки х канонический
оператор равен правой части выражения B). В окрестно-
дХ,
сти точек, в которых матрица ^~
вырождена. Эта фор-
формула для канонического оператора сохраняется, если
часть координат (вырожденных) заменить на импульсы
и совершить по ним преобразование Фурье *).
Канонический оператор 3f][n.t) на Лп(«) дает асимптотику
при h -> 0 континуального интеграла A) как в невырож-
невырожденных, так и в вырожденных стационарных точках —
траекториях. Таким образом соотношение I
а
обоб-
обобщает B) и это соотношение можно считать формулой мето-
метода стационарной фазы.
*) То есть в таком смешанном р, х представлении формула для
канонического оператора сохраняет вид B).
5*
131

Нелинейный континуальный функционал Ф, который
мы получим в этой главе, обобщает континуальный инте-
интеграл Фейнмана. Роль уравнений Ньютона в нем играет
система уравнений характеристик для уравнения Власо-
Власова. Траекторий (в фазовом пространстве) у этой системы
нет, но начальное лагранжево многообразие {(х, р)\х = у}
она переводит в некоторое лагранжево многообразие Л™ (t).
Для функционала Ф также имеет место соотношение Ф ж
~ ^л!"@' котоРое естественно трактовать как формулу
метода стационарной фазы для него.
§ 1. Континуально-интегральное уравнение,
отвечающее Т-отображению
Рассмотрим Г-отображение с образующей
2 1
Gt,e Ы = Gt,z (х, — ihdldx, t; [v]) v (х, t),
являющейся псевдодифференциальным оператором с уни-
унитарной нелинейностью. Пусть 0 = t0 < tx < . . . <
<; tjf+i = t — некоторое разбиение отрезка [0, t], Atj =
= tj+1 — tj, 8jv = maxAtj, x €E R™. Г-отображение
t
t=0
строится по формулам
¦ф (x, t) = lim i|)iv+1 (x, t),
5дг-»0
-Фо (X, t) = ЦО(Х),
где %+1 (x, t) = ipft (x, t) при 0<i<^ и
2 1
(«, t) == GtH, t-tH(x, — ihdldx; [tyk])tyk(x, tk)
при tk^C ^Ctk+i № = 0, 1, . . ., N). Из этих формул и из
определения псевдодифференциального оператора *)
получим следующую лемму.
*) Интегралы здесь и ниже понимаются в смысле теории обоб-
обобщенных функций.
132

Лемма 1.1. Пусть в норме некоторого пространства
Соболева W* (Rn), k > О существует Т-отображение
A.1). Тогда справедливо равенство
N
X П Gtk,Atk(Xk+u lk,W)^o(xo)dx^ (I-2)
)c=o
5j-S Rn; предел берется в норме W% (Rn).
Запишем равенство A.2) в следующей (континуальной)
форме:
Ч> (*,*) =
= \ SDq \ 2)р%(q@))exp \^-\p (t)dq (тI X
g«)=x о
t
где формально обозначено 33q = Д —q \ , q (т) 6Е Rn.
т=о BяЛ)
Равенство A.3) назовем континуально-интегральным
уравнением, отвечающим Г-отображению A.1). Это есть
уравнение относительно неизвестной функции "ф. Лемма 1.1
дает метод вычисления функции гр (х, t) по ее значениям
в предыдущие моменты времени.
Из леммы 1.1 и скалярного (т = 1) варианта теоремы
1.1 гл. III получим следующий результат.
Следствие. Пусть V (х) и а (х, у) — веществен-
вещественные непрерывные ограниченные функции соответственно на
R" и R2". Тогда решение задачи Коши
-ih ft
+ $ (х, t) J а (х, у) | $ (у, t) p dy = 0, A.4)
if (ж, 0) = if 0 (х)
133

удовлетворяет при каждом "ф0ЕЕ w\ (Rn) уравнению
(lV+1)- -o...«tev
М
, A.5)
1 = х.
Континуальной записью формулы A.5) назовем сле-
следующее континуально-интегральное уравнение:
t
*|> (X, f) =
q(tj=x 0
г» п ч
., A.6)
где формально обозначено
t
§ 2. Континуально-интегральное уравнение
для функции плотности
Рассмотрим Г-отображение г|з0 (х) -> т|з (х, f) с обра-
образующей Cr(j?, построенное по формуле A.1). Сопоставим
функции г|з функцию плотности (см. § 1 гл. II)
B.1)
Пусть
Ри Е (ж, g, со, z; [?]) = Gt> е (ж, S + со; [g]) G(> e (x + z, g; [g]).
С помощью образующей
1 2
/2 1 а а \
Pt, t Ш = Pt, г [х, I, — ih fa , —шщ; [g]jg (x, g, t)
построим Г-отображение
8<*. 5-0 =( П ^..) t?o3, ^о(ж, Е) = g(x, g, 0). B.2)
-с=0
134

Лемма 2.1. Пусть существует Т-отображение
A.1), определяющее функцию ty. Тогда существует Т-ото-
Т-отображение B.2), причем g (x, ?, t) совпадает с функцией
плотности B.1). ул:'-Я
Лемма доказывается аналогично лемме 1.1 гл. П.
Перепишем'Г-отображение B.2) в форме континуально-
интегрального уравнения:
1 (Т _ ,.. *¦ ч v
N
Г & ^ * г 1
X П Ptk, Д<„ fe+i> Sft, %-, zk+1; [^]) da: dg dz da>, B.2')
Jt=O
где
tA/jY + 1 "'I feJV + X fei l-t'vt' Libt-Q • ¦ . Lt'iA' J\ ;
d^ = d^0 . . . d\N, dz — dz1 ... dzN+1,
d(i> = da>Q . . . dcojv-
В континуальных обозначениях (см. § 1) уравнение B.2)
имеет вид
g(x,\,t)= J
f
X ехр {у ^ [2/ (т) ^ (т) + tj (т) dp (т)] dt} x
о
t
X П ^. d, (q (т), р (т), 2/ (т), т, (г); [?]). B.3)
Пример 2.1. Рассмотрим задачу Коши A.4). В си-
силу леммы 2.1 гл. II справедливо равенство
,t)\*dy= \g(y,l,t)a{x,y)dydl.
Введем специальное обозначение для этого интеграла:
Из формулы B.2') получим следующее уравнение для
135

функции Ф:
Ф(х, t) = Нт 2Щ Aa(x,y)dyx
X
ро(*„ЖЫ (exp {±
)C=0
(t) G f,\ 3) It / M Л/ L 1 /7-r At
Vf I i»fc+1 \ biff 4/ Uui , blfll L±l>i»r I U-X U-,6,
xk+l — xk zk+1 — zk
где xk = —j-. , zk = —д- и (М =
Аналогично A.6) это уравнение запишем в контину-
континуальной форме:
\ Dq
t)
t
X
о
+ O(Tl(t),t)-0>(?(T),t)]dt}. B.4)
Решение задачи Коши A.4) выражается через решение
континуально-интегрального уравнения B.4) с помощью
интеграла Фейнмана (см. A.6)):
гр (*,«)= \
X ехтэ i ~-~
0
§ 3. Асимптотика решения континуально-интегрального
уравнения
Рассмотрим задачу Коши для оператора с унитарной
нелинейностью:
3l|) /2 g \
— ih-^(x,t)+fflh[x, — ih^, t; [tyh]j qh{x, t) = 0,
1 C-1)
ij5ft (ж, 0) = e0 ( ж, — ih v-) x (ж, h),
136

где Жк (х, pit; [ty]) — гладкий символ медленного роста по
2 1
х, р, оператор Жп (х, — ih д/дх, t; bp]) самосопряжен
т. Г 2 р (= рх (Wn\ ур= Г2 (Т1п\
Континуально-интегральное уравнение для функции
¦ф имеет вид (см. A.3))
t
X exp {i- J [p (т) q (t) - Жи (q (t), p (t), t; [i|)h])] dt} . C.2)
Найдем асимптотику при h -+¦ 0 решения уравнения
C.2) или, что то же, асимптотику решения задачи Коши
C.1). Предположим, что функция плотности, отвечающая
начальным данным C.1), имеет асимптотическое разло-
разложение
t
—г ХР
_ V / /MSX (r ri\ Л- ( ih\N+1 Л г (-г п h\ H Ч\
)c=l
где 80, . . ., 6jv+1 — обобщенные функции из WtS(R2n),
причем
sup 16iv+1 (•, •, h)||w-s(R2m< const, C.4)
Л 2 ч
Пусть б0 — вещественная финитная функция. Символ
Жъ. (х, р, t; г|з) по определению оператора с унитарной не-
нелинейностью (§ 2 гл. II) гладко зависит от интегралов вида
, x)p[x,p,t;y, —ih^,xj^(y,x)dy, C.5)
где функция р (х, р, t, у, 5, т) вещественна и финитна по
xi Pi У, \- Каждый такой интеграл заменим на выражение
J dx \ б0 (у, I) р (х, р, Г, X (у, I, х), Р (у, I, х), х) dy dl, C.6)
о
где X, Р — некоторые гладкие функции.
137

После такой замены функция Ж§ (х, р, t; [ipl) перейдет
в некоторую функцию $f0 (x, p, t; [X; Р\). Рассмотрим си-
систему Гамильтона
9^^Il = d^l{X(x,p,t),P(x,p,t),t;[X; Р]),Х{х,р,О) = х
C.7)
дР(у, t) = _^Х(х,р,t),Р(х,р,0,*;[X; Р]),Р(х,р,0)=р.
Из теоремы 2.2 гл. I и замечания к ней получим лемму:
Лемма 3.1. Существует компакт V d H2" такой,
что supp б0 (Ц V, supp e0 d V и при (х, p)EEV система
C.7) разрешима на любом отрезке [О, Т].
Построим семейство лагранжевых многообразий А =
= {A?,f} в R2n = RJJ X Rp по формуле
M,t = {(х,р)\х = X(z, ft>, t),p = Р (z, ш, t), (z, ©) e F},
i?E LO, Л.
Пусть Jf][ — канонический оператор [13, 16] на семействе
Л, т. е. отображение
ЖТ: С (VX [О, То]) -> 5 (R; х Rp X [0, 7']),
где 6" — пространство Шварца. Пусть N — любое целое
положительное число, a gjv — любая обобщенная функ-
функция, удовлетворяющая оценке C.4).
Лемма 3.2. Существует функция <p,v вида
N
q>lV (z, со, f, h) = 2 (- ifeL (z, ©, f), фй GE С (К X [О, Т\),
и=о
C.8)
удовлетворяющая начальным условиям
Фо (z, и, 0) = е0 (z, о),
Фк (я, ©, 0) = 0, к > 1,
и такая, что функция
удовлетворяет уравнению
~ ih T + ^n(x,p~iht )
138

Здесь правая часть Яп имеет оценку (для любого веществен-
вещественного г)
Утверждение этой леммы доказано в гл. V книги [16].
Отметим, что функции фЛ в C.8) строятся явно как ре-
решения рекуррентной системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка (примеры
см. в гл. IV, V).
Теорема 3.1. На любом отрезке [0, Т], на котором
существует *) решение tyh (•, t) EEL2 (R") задачи C.1), оно
представимо в виде
Ун {х, t) = [жТчя] (z, -ihfc,i)% (х, h) +
+ (- ihf®N (x, t, h), C.11)
где
sup \\3SN (¦, t, /i)|L2< ТС Т {норма в L2),
а функция ф]у обладает свойствами, указанными в лемме 3.2.
Доказательство. Выразим каждый интеграл
C.6) в Жь. (я, Р, t; Ь|з]) через функцию плотности g (x, p, t, h)
(см. гл. II). Получившуюся функцию мы обозначаем
Жь. {х, р, t; lg]). Построим асимптотическое решение задачи
Коши для функции плотности (см. B.6) гл. II). Это реше-
решение gs имеет вид (см. подробнее гл. IV)
IV
gN (x, p, t, h) = 2 (- iWgW (x, p, t)
/С=0
и удовлетворяет задаче
Жп (х, р - ih д/дх, t; [gy]) gN -
2
-Жп(х- ih~, p, t; [gN]j gN = (- ih)N+1QN (x, p, t, h),
N
gN (x, p, 0, h) = 2 (— ihf \ (^, p).
/C=0
*) См. гл. Ill, § 1.
139

Здесь остаток Qn ограничен в W2 s T [Rin) при некотором
г ^> 0. Как показано в § 2 гл. II, функция
рщ- [g (х, р, t, h) — gN (x, p, t, h)] = rw (x, p, t, h)
ограничена в W^s~r- Для функции грЛ (х, t) получаем сле-
следующее уравнение:
дф 2 1 „
-ih^ + 3?h (х, - iA 9/Зж, г; [^ + (- ihf+1 Tjv] ^ = 0.
C.12)
Предварительно построив функцию giv, с помощью лем-
леммы 3.2 построим асимптотическое решение t|4N) (#> р, t) =
= lx\.h <{>n4x, p, t), удовлетворяющее формулам C.9),
C.10). Далее заметим, что
SKh (х, р, t\ [gN + (-ih)N^yN}) =
= $Kh (x, p, t; [gN]) + (- Щ^МР (х, p, t), C.13)
где символ ^fh' финитен по х, р (так как функция р в интег-
интеграле C.6) финитна), а поэтому оператор Ж® (т) =
= &ffl(l',— ihdldx, t) ограничен в L2 (Rn).
Из представления C.13) уравнений C.12), C.9) и из
2 1
самосопряженности Ж к (#.— ihdldx, t; [gN]) следует, что
разность SdN = — г?— в C.11) удовлетворяет урав-
\ (— ih)N I
,t, h)f = (-If
нению
J f
^w). C-14)
Здесь скобки (•, •) обозначают скалярное произведение
в L2 (R"). Из уравнения C.14) следует, что
о
2 1
-\-1 J?iv (х, — inд/дх, x,h)\\]
Теорема доказана.
140

Следствие. Пусть функция tyh (x, 0) удовлетворя-
удовлетворяет условиям C.1), C.3), C.4). Тогда решение континуально-
интегрального уравнения *)
М)= \
)
\
-\a(g(t), у)Шу, J)\*dy]dt} C.15)
представило в виде
l>ft(х, t) = [.JU\n] [x, -ih~,t)x(x, h) + 0(hN), C.16)
IV
где
= 2 (— ^)ЛФл> Фо = ео> а •^'л'1 — канонический
оператор на семействе многообразий {А">(}, построен-
построенном по решению (X, Р) интегро-дифференциалъной систе-
системы Гамильтона
ЭХ (Х, Р, t)
\jJLL
,t t))80(y, l)dydl,
P (x, p, 0) = p.
Формула C.16) представляет собой обобщенный метод
стационарной фазы для интеграла C.15). Действительно,
стационарные траектории показателя экспоненты C.15) —
это классические траектории X, Р системы C.17). Но имен-
именно на них и сосредоточен (по модулю О (Л00)) канонический
оператор Cfc\ (см. введение к данной главе).
*) Функции V u a — вещественные ограниченные и гладкие
(см. следствие из леммы 1.1).

ГЛАВА VII
АППРОКСИМАЦИЯ ЛОМАНЫМИ ТРАЕКТОРИЙ
ИНТЕГРАЛА ФЕЙНМАНА
И ЕЕ ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ
В предыдущей главе мы определили нелинейное континуальное
уравнение. Однако возникает вопрос: на каком основании мы назва-
назвали полученное выражение интегралом. Этот вопрос может быть от-
отнесен и к фейнмановскому интегралу, пока комплексная мера в нем
не определена. С большим правом можно было бы фейнмановский
интеграл по путям назвать интегралом, если бы он аппроксимиро-
аппроксимировался суммами по ломаным путям. Именно такой аппроксимацией
и ее обобщением мы и будет заниматься во второй части книги.
Мы попытаемся дать суммам по различным совокупностям ломаных
путей вероятностную трактовку. Непосредственное отношение к
вопросу о мере в континуальном интеграле имеет задача о «фейнма-
новской трубке», т. е. об определении континуального интеграла
не по всему пространству, а по некоторой «трубке» в пространстве
траекторий. Мы увидим ниже, что «трубки» не исчерпывают всех
множеств путей, меру которых нам нужно было бы определить, что-
чтобы ответить на вопрос о море в континуальном интеграле Феннма-
на. Подмножество «трубок» образует лишь подмножество «собы-
«событий», которое мы называем ниже псевдоистинными. Тем не менее
в § 1 мы начнем именно с интерпретации «трубок» Фейнмана, как
«трубок» с абсолютно черной границей.
§ 1. Эвристические соображения
1. Дискретный аналог интеграла по путям. Задача о случайном
блуждании броуновской частицы есть пример цепи Маркова. По
аналогии мы вводим для задачи о колебаниях решетки с дискрет-
дискретным временем понятие комплексной марковской цепи. Это понятие
и есть дискретный аналог интеграла по путям. Теорема о том, что
комплексная марковская цепь удовлетворяет уравнению в конеч-
конечных разностях, является аналогом теоремы Фейнмана о том, что
континуальный интеграл удовлетворяет уравнению Шредингера.
Амплитуда однородной марковской цепи, которой является,
например, решение однородной по t разностной схемы, за один шаг
т по времени может быть представлена в виде
а (т) = Аи @), А = |[ аи ||, i, / < s,
и @) = К @), . . , щ @)),
142

где А — матрица, не зависящая от t. Для шага гат получаем
и (лт) = Апи @).
Теперь определим амплитуду виртуального пути. Пусть в мо-
момент 0 колебался го-й атом кристаллической решетки (все остальные
покоились). В момент х оставим колеблющимся только ii-й атом, а
все остальные остановим, т. е. положим все компоненты вектора
и (т), за исключением ?гй, равными нулю. Далее действуем вновь
матрицей А, затем положим все компоненты полученного вектора,
за исключением ?2-ц, равными нулю, и т. д. В результате мы полу-
получим амплитуду виртуального пути (?0, it,. . ., iN, к) (N — число ша-
шагов по t), равную Mio(O) oioiiaijia . . .aiN_liNaiNk. Очевидно, что
2
с единственной отличной от нуля /с-компонентой. Пусть
= In e-ift ift+i> И пусть uia @) — единичный вектор. Тогда
к 2 **VV(\UM)+.:+\iNtk)). A.1)
11,г2,...,г;у
Обозначим через ^ (г'о, А) множество всех виртуальных путей, при-
приходящих из г-ro узла в к-й, а через I = 1-ч i — виртуальный
путь (j0, jl7. . ., jlV/;). Пусть
Тогда формулу A.1) можно будет переписать в виде
Сумму в экспоненте нетрудно представить как криволинейный ин-
интеграл по ломаной от некоторого функционала, который мы будем
называть лагранжианом данной разностной схемы (или комплексной
марковской цепи). В частности, если схема однородна по х, т. е.
akj ~ а (к — )), то, полагая L (z) = — г In a (z), получим *)
иК (Nx) = ^ е
где I — путь по ломаной, соединяюще!! io-ii и k-ii узлы.
Мы получили дискретный аналог интеграла но путям Фейнмана.
Ясно, что дискретная аппроксимация Г-произведешш также при-
приводит к интегралу Фейнмана. С точки зрения получения квази-
квазиклассических асимптотик такое представление ^-произведения пред-
представляется весьма удобным, так как к континуальному интегралу
Фейнмана может быть применен метод стационарной фазы.
*) Величина In a (z) имеет связь с аналогом энтропии в комплекс-
комплексной теории вероятностей.
143

2. Вероятностная трактовка подмножества^множества путей.
Мы попытаемся здесь дать некоторую физическую интерпретацию
различных подмножеств множества путей в сумме A.1). Прежде все-
всего возникает вопрос о том, можно ли на каком-нибудь эксперимен-
эксперименте получить «событие», отвечающее любому подмножеству мно-
множества путей S3 (io> к). Для важного класса подмножеств ответ на
этот вопрос содержится, по существу, в первоначальной работе
Фейнмана о континуальном интеграле для уравнения Шредингера.
Для того чтобы перенести соображения Фейнмана на дискретный
случай, мы повторим их вначале применительно к задаче о рас-
распространении света.
Совершенно ясно, как поставить эксперимент, который был бы
ответом па вопрос, распространяется ли солнечный луч прямо.
Очевидно, что нужно поставить перпендикулярно по отношению к
направлению на Солнце черные плоскости с отверстиями (черные
диафрагмы), центры которых находятся на этой прямой. Если (при
радиусе отверстий, много большем длины волны) интенсивность
света 1г вблизи прямой, проходящей через диафрагмы, не отли-
отличается (с заданной степенью точности) от интенсивности света /2
без диафрагмы, то можно сказать, что солнечный луч прямой. Этот
эксперимент покажет одновременно применимость в данных усло-
условиях геометро-оптического подхода.
Математическое описание постановки эксперимента с черными
поглощающими диафрагмами в стационарном случае весьма слож-
сложно. В случае же света, распространяющегося от мгновенного источп
ника, задача с установкой черных диафрагм в моменты tlt t%, . . ., t-
ставится следующим образом. Решаем задачу Копти для момента
tl и полученное решение и его производные по t умножаем на харак-
характеристическую функцию диафрагмы %, равную единице в отверстии
диафрагмы и нулю вне его. Полученные функции принимаем вновь
в качестве начальных условий и решаем задачу Коши до момента
t2, затем снова умножаем полученное решение4на характеристиче-
характеристическую функцию второй диафрагмы % и т. д. Умножение на функцию
% означает, что вся часть решения, за исключением отверстия, по-
поглощается.
Если наш эксперимент настолько точен или отверстия настоль-
настолько малы, что интенсивности 1Х и /2 не равны, то очевидно, что, вооб-
вообще говоря, будет отлична от нуля и интенсивность света, распро-
распространяющегося вдоль кривой. Иными словами, если мы^вдоль не-
некоторой кривой поставим черные диафрагмы, то интенсивность про-
прошедшего че.рез них света будет отлична от нуля. Интенсивность света
пропорциональна числу фотонов, поэтому мы можем интенсивность
света, прошедшего через диафрагму, трактовать как вероятность
прохождения фотонов вдоль данной кривой, или, точнее, трубки во-
вокруг этой кривой. При этом чем больше мы поставим диафрагм вдоль
кривой, тем точнее мы вычислим вероятность того, что фотон прохо-
проходит вдоль этой трубки. В пределе, когда промежутки между диа-
диафрагмами устремятся к нулю, мы получим черную трубку, т. е. такую
трубку, стенки которой поглощают, как абсолютно черное тело.
Интуитивно ясно, что если трубка прямая, то вычисление ин-
интенсивности света, прошедшего через эту трубку, дает нам вероят-
вероятность того, что фотоны распространяются по прямой. Менее оче-
очевиден следующий логический переход: если трубка кривая, то ин-
интенсивность света, прошедшего через эту трубку, дает нам вероят-
вероятность того, что фотон распространяется вдоль этой кривой.
144

Проделаем такой же опыт для диффундирующих частиц. Иными
словами, поставим «черные» ворота для диффундирующих частиц
вдоль некоторой кривой: пусть стенки ворот обладают тем свойством,
что любая частица, дотрагивающаяся до них, прилипает к ним.
Это означает полное поглощение частиц на стенках, т. е. аналог
абсолютно черного тела. По аналогии мы будем говорить об этих
воротах как о черных диафрагмах. Математически их можно опи-
описать, умножая решение уравнения диффузии на функцию %, рав-
равную нулю вне ворот в момент tlt затем, снова решая с этим новым
начальным условием уравнение диффузии до моментами т. д., сло-
словом, совершенно аналогично случаю волнового уравнения. Полу-
Полученное решение (а не квадрат его, как в случае волнового уравнения)
определяет вероятность прохождения диффузионных частиц через
ворота — диафрагмы. Если промежутки между диафрагмами ус-
устремить к нулю, мы получим черную трубку, на стенках которой
частица прилипает.
Как известно, условия прилипания на стенках трубки равно-
равносильны нулевым краевым условиям на этой стенке для решения
уравнения диффузии. Аналогично для уравнения теплопроводно-
теплопроводности условием полного поглощения является, очевидно, абсолютный
нуль температуры. Таким образом, в этом случае, в отличие от вол-
волнового уравнения, проблема абсолютно черного тела решается прос-
просто. В случае волнового уравнения эта проблема не решена (см. [10]).
Отметим, что вероятность для диффузионной частицы пройти
черную трубку равна мере Винера этой трубки. По аналогии можно
сказать, что решение соответствующей задачи для уравнения Шре-
дингера дало бы «меру Фейнмана» трубки для фейнмановского
континуального интеграла. Таким образом, проблема определения
«меры Фейнмана» трубки эквивалентна проблеме математического
описания «абсолютно черного тела» на границе трубки. Последняя
нроблема поставлена еще в прошлом веке, а первая возникла после
работ Фейнмана в 50-х годах нашего столетия.
^Есть еще одно существенное и глубокое физическое^различие в
волновой и диффузионной задачах. Диффундирующая частица, ко-
которая проходит через ворота, «не знает» о том, что рядом ворота,
а фотон «знает». Иначе говоря, для диффундирующей частицы мы
можем поставить мысленно ворота и следить только за теми частица-
частицами, которые через них проходят. Это невозможно сделать для света
в силу его волновой природы. Таким образом,ьставя диафрагмы^в
случае света, мы существенно влияем экспериментом на процесс
распространения света, а в случае диффундирующих частиц —
несущественно. Эти рассуждения становятся ясными при переходе
к дискретному аналогу процесса диффузии — случайному блужда-
блужданию броуновской частицы и дискретному аналогу волнового урав-
уравнения — системе уравнений колебаний кристаллической^ решетки.
В то время как в задаче о случайном блуждании частица может
проходить любой путь с некоторой вероятностью, в случае, напри-
например, одномерной кристаллической решетки из п центров xi, i =
= 1,. . ., п, лежащих на окружности *), ситуация иная. Эту послед-
последнюю задачу, для простоты, будем рассматривать с дискретным вре-
временем tx, t.z,..., tN (например, если бы мы считали задачу на ЭВМ,
*) То есть п шариков, соединенных пружинками. Эта задача
полностью детерминирована. Но по аналогии с волновой механикой
мы ниже придаем ей вероятностную интерпретацию.
145

то мы рассматривали бы разностную аппроксимацию производной
по времени). Ситуация, при которой в момент tx отклоняется центр
?j, а остальные остаются в покое, в момент t2 — центр xi, а осталь-
остальные покоятся, и вообще — в момент t^ отклоняется центр х^, ос-
остальные в покое, разумеется, невозможна — такого события не су-
существует. Поэтому такое явление мы будем называть виртуальным
событием (виртуальным путем xjfc). Такое виртуальное событие
мы можем осуществить лишь насильственно, останавливая в каж-
каждый момент tji колебания всех центров, за исключением ж^. Мате-
Математически это означает, что в моменты t^ мы действуем на решение
матрицей, у которой все элементы ац равны нулю и лишь а;^. = 1.
Эта операция является дискретным аналогом умножения на харак-
характеристическую функцию диафрагмы.
В случае задачи о случайном блуждании, складывая вероятнос-
вероятности путей частицы, мы можем получить вероятность любого события.
В случае колебаний решетки, разумеется, сумма вероятностей вир-
виртуальных путей Xfy, к — 1,. . . , п, не равна вероятности суммы.
Если первая сумма но путям является дискретным аналогом ви-
неровского континуального интеграла, то вторая сумма по путям
есть дискретный аналог фейнмановского континуального интегра-
интеграла *). По существу, уравнение, описывающее случайные блуждания,
является разностной схемой, аппроксимирующей уравнение диф-
диффузии, а задача о колебании решетки с дискретным временем —
разностной схемой, аппроксимирующей волновое уравнение.
Многие свойства интегралов имеют точный дискретный аналог и
могут быть проверены на суммах по путям. Если мы рассматриваем
сумму по всем путям (x;fc, tk), лежащим в некоторой заданной труб-
трубке, то получаем дискретный аналог абсолютно черной трубки и
«меры Фейнмана». Оказывается более удобным рассматривать имен-
именно такую аппроксимацию черной трубки; а не конечно-диафраг-
менную, как это делал сам Фейнман.
Простейшей черной трубкой будет описанный ранее виртуаль-
виртуальный путь xtk, который естественно принять в качестве элементарного
виртуального события.
Аналогом черной трубки, не зависящей от t, служит произве-
произведение
uTV = (РА)пи@),
где Р — матрица, у которой все элементы нули и лишь на диагона-
диагонали, в части, отвечающей отверстию трубки, стоят единицы. Если
выбросить из матрицы А все те строки и столбцы, которые соот-
соответствуют нулевым строкам и столбцам матрицы Р, то мы получим
некоторую квадратную матрицу В порядка, равного рангу А.
Ясно, что ненулевые элементы вектора игр равны ВпРив (под
Рип понимаем те элементы и0, которые отвечают единицам матрицы
Р). Таким образом, дискретная аппроксимация черной трубки лег-
легко поддается численному счету.
Кроме фейнмановской трубки, необходимо рассматривать все-
всевозможные подмножества множества элементарных виртуальных
*) Точнее, обобщение фейнмановского интеграла на релятивист-
релятивистский случай волнового уравнения, который мы здесь даем.
146

путей для того, чтобы получить дискретный аналог не только труб-
трубки, но и любого множества.
Рассмотрим примеры таких подмножеств в случае п = 2, т. е.
кристаллическую решетку из двух центров хх, хг и два момента
времени: tt — начальный момент и t2 — конечный. В этом случав
путь (хх -* х2) является событием, означающим, что в начальный
момент времени мы отклонили лишь атом л^, а в конечный момент
t2 смотрим, как отклонился атом х2 (мысленно остановив все осталь-
осталь) Р ( { ( ) ( ) (
2 р,
ные). Рассмотрим также пути (хх
—> х2) (см. рисунок).
х{], (хх -> х2), (хг ~> х^), (ж2
a a)
аб)
ае)
аг)
бг)
Объединение двух первых событий (.г, -> xt) -\- (zi -> хг) состоит
в том, что мы отклонили в первый момент г, атом хх и наблюдаем
в момент t2 отклонения двух атомов .г, и хг. Точно также объедине-
объединение (хг —> хг) + (х2 -» xi) есть событие, состоящее в том, что мы
отклонили атомы xi и х2 в момент h и наблюдаем отклонение атома
х\ в момент t2. Но событие, состоящее в объединении (х\ -* х\\ -\-
+ (х2 -* х2), вообще никоим образом не может быть осуществлено
на одной решетке даже с помощью вмешательства наблюдателя
в процесс колебаний (о котором мы говорили ранее *)). Эти события
могут быть одновременно осуществлены лишь на двух экземплярах
решетки**). Это объединение — виртуальное событие. Точно так
же объединение (xi -> х2) + (хг -» xi) виртуальное.
* Так как в этом событии отклонение х\ в момент h не влияет на
отклонение х.г в момент t2, а отклонение х2 в момент h не влияет
на
отклонение х\ в момент t2
**) Значит, вероятность суммы таких событий может быть*(вооб-
ще говоря) больше единицы, пли, точнее, должна быть нормиро-
нормирована уже по-другому (перенормирована).
147

Замечательно, что объединение двух последних виртуальных
событий уже будет истинным событием *); оно состоит в том, что
мы отклонили в момент h атомы xi и х2 и наблюдаем их же в мо-
момент i2.
Аналогичный пример можно привести, взяв два последующих
момента времени t^ и t]!+1 и рассматривая совокупность всевозмож-
всевозможных путей, приводящих из фиксированной начальной точки х$, h
в фиксированную конечную xr, tn, а в моменты t^, tk+v проходящих
один из отрезков рисунка. Событие, отвечающее рисунку аб, сос-
состоит в том, что мы вмешиваемся в процесс колебания атомов, оста-
останавливая в момент tic (tk+1) все атомы, кроме х\ (х2). Совокупность
двух таких событий (ба) уже невозможно осуществить на одной
решетке с помощью диафрагм. Чтобы отличать виртуальные события,
которые могут осуществляться на одной решетке с помощью вмеша-
вмешательства наблюдателя, от виртуальных событий, которые вообще
не могут быть осуществлены на одной решетке, мы будем первые
называть псевдоистинными. Таким образом, элементарные виртуаль-
виртуальные события — пути •— псевдоистинные **).
В теории цепей Маркова часто говорят о некоторой физической
системе S, которая в каждый момент врпмени может находиться в
одном из состояний Ai, . . ., Aic и меняет свое состояние только
в моменты fi, ..,*„,... Такая же терминология может быть естествен-
естественным образом принята для следующей задачи в случае комплексных
марковских цепей. Рассматривается эволюционирующая квантовая
система в энергетическом представлении некоторого оператора Н,
причем производная по времени заменяется конечно-рааностной в
моменты t = ii, t2,. . ., tn,. . . В этом случае задача о черной трубке,
т. е. об определении амплитуды псевдоистинных событий, еще более
актуальна. Здесь речь идет об эволюции квантовой системы при нали-
наличии энергетического фильтра, т. е. резонансного поглощения неко-
некоторых энергий (или частот).
Введем теперь строгое определение виртуального события для
простого частного случая. Рассмотрим задачу Коши для уравнения
Шредингера (х ?Е R, *>-0):
где if) = г|> (х, t), tyu ЕЕ С™ (R). Пусть G (x, |, t) — функция Грина
этого уравнения я%а ъ (х) — характеристическая' функция отрезка
[а, Ь]:
у I Х)= I1 для*е=[в,ь],
а'ь V ; \0 для хф[а,Ь]-
Функция
^ G(x,y.,t)Xa,b{y)dy
*) А значит, его вероятность не больше единицы: происходит
интерференция.
**) Их вероятности не превосходят единицы.
148

описывает состояние в момент t + s электрона, пролетавшего через
черную диафрагму в момент s. Очевидно, что для любой точки
с ?Е [а, Ь] имеет место равенство if>a b = if>a c + ipCi b.
Обозначим через фа (г), где Q = [а, Ь] X [а, 0], функцию,
равную i|?ai ь (.г, t, s) при я ?Е [а, р] и нулю при х ? R \ [а, |5].
Вероятность обнаружить на отрезке [а, р] частицу, прошедшую
через диафрагму [а, Ь], равна
Таким образом, прямоугольнику Q плоскости R2 можно сопос-
сопоставить (виртуальное) событие, состоящее в том, что электрон, прой-
пройдя черную диафрагму [а, Ь],_ попал на экран [а, р]. Вероятность
этого события равна || г[)д ||2. Это соответствие может быть естествен-
естественным образом обобщено.
Плоскость R2 есть прямое произведение прямой х, на которой
расположен экран, и прямой у, на которой-расположена диафраг-
диафрагма. Первую прямую будем называть базой, а вторую — слоем.
Множество всех подмножеств из R2 составляет булеву алгебру
относительно естественных операций объединения и пересечения.
Элементы этой алгебры мы будем называть виртуальными события-
событиями, а всю плоскость — пространством элементарных виртуаль-
виртуальных событий. Функцию г|)д (х), следуя Фейнману, будем называть
(комплексной) амплитудой события О. Аналогично, обозначая через
Xg (xi у) характеристическую функцию области g 6E R2, положим
^ dyG(x,y,t)xg(x,y) jj G{y,l
— оо —оо
и, если эти интегралы сходятся, будем называть гр^ (х) амплитудой
события g. Интенсивностью Р (g) события g будем называть квад-
квадрат нормы амплитуды. (Моменты времени t и s здесь фиксированы).
Элементарному виртуальному событию — точке i»?ER2, с коор-
координатами (х, |) — сопоставим комплексное число
которое будем называть амплитудой элементарного виртуального
события.
Среди виртуальных событий выделим важный класс псевдоис-
псевдоистинных событий, а среди псевдоистинных — класс истинных собы-
событии. Виртуальные события содержат псевдоистин цые, которые в
свою очередь содержат истинные. Псевдоистинным событием будем
называть событие, отвечающее прямому произведению отрезка слоя
на отрезок базы. Такие события могут быть осуществлены с помощью
черных диафрагм с отверстиями, отвечающими отрезкам слоя, и
экранов, отвечающих отрезкам базы. Пересечение (произведение)
двух нсевдоистинных событий — псевдоистинное событие. Ему от-
149

вечают наложенные друг на друга диафрагмы и экран, равный пере-
пересечению экранов. Объединение псевдоистинньтх событий, очевидно,
уже не является псевдоистинным, что мы уже видели на примере
колебаний кристаллической решетки.
Примем в качестве суммы двух псевдоистинных событий наимень-
наименьшую (несвязную, вообще говоря) область, составленную из прямо-
прямоугольников, которая их заключает. Тогда множество псевдоистин-
псевдоистинных событий образует структуру *). Сумме отвечает событие, кото-
которое получается, если объединить диафрагмы и экраны членов сум-
суммы. Интенсивность псевдоистинного события, как нетрудно убедить-
убедиться, не превосходит единицы и имеет смысл вероятности (см. [19, 22]).
Истинным событием будем называть прямоугольник {(х, у): а ^
*ч х ^ Р> —oo^j/^oo}. Амплитуда такого истинного события
равна
dyG(x,y,t)
при я^1<рп нулю вне этого отрезка. Таким образом, при х g
ЕЕ [а, р] амплитуда совпадает с решением уравнения Шредингера,
а интеграл от ее квадрата определяет (истинную) вероятность на-
нахождения электрона на интервале (а, Р) в момент t -\- s. Множество
истинных событий, очевидно, составляет подалгебру алгебры вир-
виртуальных событий.
Введем тецерь понятие виртуальных несовместных событий,
отвечающее классическому понятию теории вероятности. События
называются несовместными, если их проекции на х (базу) не
пересекаются (в отличие от классического случая, где требуется,
чтобы не пересекались лишь сами события). Очевидно, что для двух
несовместных событий интенсивность их суммы равна сумме пн-
тенсивностей.
В алгебре виртуальных событий отдельно выделяется важный
случай непересекающихся событий. Будем называть виртуальные со-
события непересекающимися, если отвечающие им области не пере-
пересекаются. Амплитуда суммы двух пепересекающихся событий рав-
равна сумме амплитуд каждого из событий, но интенсивность суммы
таких событий, вообще говоря, не равна сумме интенсивностей.
Как нетрудно видеть, имеет место лишь грубое неравенство
если gi П gk = Ф, i ф к.
§ 2. Определение комплексной марковской цепи
Пусть задано конечное множество К = {ai,. . , а^}, элемен-
элементы которого называются элементарными состояниями, и целое
положительное Л^. Рассмотрим множество Q всевозможных
*) Эта структура называется ортомодулярной и впервые была
рассмотрена Нейманом в другой ситуации для определения логики
квантовых систем.
150

последовательностей iV состоянии
{<4V- ¦ , aiN) — <яi i — (ii,. . , iN),
называемых элементарными виртуаъъными событиями, и предполо-
предположим, что каждой последовательности состояний шг сопоставлен
комплексный вектор г|> (о^), имеющий к компонент:
причем ф/? (оL) = 0, если A: =? г'д,. Определим функцию г|> на алгебре
й всех подмножеств множества Q, полагая
Таким образом, на алгебре й, элементы которой называются вир-
виртуальными событиями, задана аддитивная функция множества
\|з: Ш —-> С"' *). Виртуальные события А и А' называются орто-
ортогональными, если ортогональны векторы г|) (А) и я|з (Л'). Виртуаль-
Виртуальное событие, обозначаемое через AJ1, состоящее из всех последова-
последовательностей состояний, удовлетворяющих условию a,m = aj, бу-
будем называть состоянием aj в момент т, или короче — состоянием.
Функция г|) называется амплитудой, если она нормирована:
ft
| г|> (Q) (| 2 = 2 l^j (^) I2 = ^ и в люE°й фиксированный момент
3=1
т различные состояния попарно ортогональны: <г|) (-4["), ^ (^,'")> =
= 0, если ;' ф I.
Предложение 2.1. Квадрат нормы амплитуды объедине-
объединения состояний М А^1 равен сумме квадратов норм их амплитуд.
Квадрат нормы амплитуды любого состояния не превосходит еди-
единицы.
Доказательство. Для любого т <J N амплитуда мно-
множества UA f равна сумме амплитуд виртуальных событий А]п (/ ?
6Е /)¦ Поскольку амплитуды этих событий попарно ортогональны,
то
к
и (у a?) if12 |f 2
= 2 и * (ЛГ) и2 < 2
Предложение, доказано.
*) Через С'с обозначено конечномерное линейное пространство
векторов -ф— (ijji,. . ., tyrC) со скалярным произведением <ф, \р> —
к
= 2 ФЛ и ноРмол II "Ф II = (<^j 'Ф>I''1' Черта сверху означает
комплексное сопряжение.
151

Будем называть интенсивнистью виртуального события А квад-
квадрат нормы его амплитуды. Предложение 2.1 показывает, что ин-
интенсивность любого состояния не превосходит единицы.
Определение 2.1. Пусть на алгебре Ш виртуальных собы-
событий задана амплитуда г|). Будем говорить, что она определяет ком-
комплексную марковскую цепь (КМ-цепь), если существует набор уни-
унитарных матриц {Z'}^ * и единичный вектор г|)° *) такие, что ампли-
амплитуда любого элементарного виртуального события <at = {а;г . . .
. . ., aiN} равна
= №. • • ¦>%)¦¦ % = 0, если i = iN
B.2)
JV—1 **)
1К)
Матрицы Z1, 1= 1, 2,. . ., N — 1, называются матрицами
перехода КМ-цепи за один шаг, а матричные элементы Zy — ам-
амплитудами перехода из состояния ау в состояние а\. КМ-цепь назы-
называется однородной, если амплитуды перехода за один шаг не зави-
зависят от номера шага.
Множество К называется множеством состояний КМ-цепи.
§ 3. Марковские свойства комплексных цепей
Рассмотрим основные свойства амплитуды КМ-цепей. Пусть
/i,. . ., IN — подмножества множества {1, 2,. . , к}. Вычислим
амплитуду виртуального события
Виртуальные события такого вида называются псевдоистинными.
Обозначим через X/ диагональную матрицу, у которой диаго-
диагональный элемент равен единице, если i?/, i нулю в противном
случае.
Л е м м а 3.1. Амплитуда псевдоистинного события АТ т
равна
^(Ah iN) = (xiN°zN-4iN_1°...°zioxh)r- C.1)
Доказательство. Из определения функции if> следует,
что амплитуда элементарного виртуального события a>i равна
*) Все матрицы имеют размер к X к, & векторы — к компонент.
**) По аналогии с определением случайного процесса (см. [19])
можно дать более формальное определение КМ-цепи, Например,
под КМ-цепью можно понимать набор функций {SjjJLj, где ?3: Q —»
—> К, причем |3- (со4) = ац.
Г>2

Суммируя амплитуды элементарных виртуальных событий, пред-
представленные в такой форме, получаем C.1). Лемма доказана.
Если А и А' — два виртуальных события, то условной интен-
интенсивностью события А относительно А' назовем величину
Рассмотрим теперь виртуальное событие А = 4j+1'fj'"'>*j.>
состоящее из объединения всех последовательностей состояний
coit принимающих фиксированные значения а^, . . , аг;, a,/+1 в мо-
моменты /',.., I, I -\- 1. Аналогично определяем виртуальное событие
A' = Aj""'3 j.. По аналогии со случаем цепей Маркова будем го-
говорить, что виртуальному событию А\+1'1\''3 i. отвечает последова-
последовательность состояний КМ-цепи fljj+i в момент I + 1, а,; — в момент
/, и т. д. а\ • в момент /.
Теорема 3.1. Условная интенсивность виртуального собы-
события А = А '+1' Г'1'',- относительно А' = А1,''"'1, зависит только
от состояний RM-цепи в моменты I и I -\- 1 и равна квадрату модуля
амплитуды перехода из состояния а;; в состояние а^+1.
Доказательство. Поскольку матрицы Z1 (I = 1, 2,. . .
. . ., N — 1) — унитарные, то из определения интенсивности и
формулы C.1) вытекает равенство
|| ф {А П А') р = || Ц+х oZ?cxi; о Z^o... oZio^) гро |р = | z\^ .у ^,
где с{ = II Xi^Z'^o.. .oZio xtl) il>° IP = И гр (^1') f. Поэтому I (A/A') =
= | z\ . |. Теорема доказана.
Величину | zy |2 будем называть интенсивностью перехода
из <zj в aj за один шаг.
Теорема 3.1 показывает, что интенсивность состояний КМ-цепи
обладает марковским свойством: если известно, что в момент I
КМ-цепъ находилась в состоянии а;, (событие А^ ), а в момент
I -\- 1 — в состоянии fli;+1 (событие Al ), то условная интенсив-
интенсивность виртуального события А^1 относительно Ai не зависит от
того, в каких состояниях находилась КМ-цепъ до момента I. Анало-
Аналогичным свойством обладает и амплитуда КМ-цепи.
Теорема 3.2. Пусть ср и 9 ¦— произвольные единичные век-
векторы. Если отношение
где А = Aj+l'1!" > , А' = А1''"'3, , конечно, то оно зависит толь-
ко^от состояний КМ-цепи в моменты I и I -f- 1,
153

Доказательство. Из формулы C.1) следует
где
Ф1. =
чi
(Заметим, что зависимость от состояний, в которых находилась
КМ-цепь до момента /, содержит только величина -ф\ .)
С другой стороны, <9,г|з (А')> = Щ ty\ , где SJ = (Zl о . . .
...°ZN~16)J_ Если <В, а|з (А')~) ф 0, то отношение Р(Л,ср/Л',
9) = z- г (Ф[ 1Е[ ) очевидно, зависит только от состояний
КМ-цепи в моменты I и I -\- 1. Теорема доказана.
Если ф — единичный вектор гильбертова пространства Л, то
пространство Л можно представить в виде ортогональной суммы
подпространства Н± (<р), ортогонального ф, и его ортогонального
дополнения Н (ф): Н = Н^ (<р) + Н (ф). Проекцией вектора я|з
в Я(ф) называют скалярное произведение <ф, t|?)>.
По аналогии будем называть амплитудой виртуального собы-
события А в Л (ф) (Л = С'с) величину <ф, г|з (А)), а отношение / (А,
ф/Л', 9) — будем называть условной амплитудой события А в Н (ф)
относительно Л' в Н (9).
Приняв утверждение теоремы 3.2 в качестве определения КМ-
цепи в терминах условной амплитуды, можно в качестве следствия
получить формулы B.2) и, таким образом, прийти к исходному опре-
определению.
Наметим путь такого подхода к определению КМ-цепи *).
Пусть j§ — некоторая а-алгебра подмножеств множества Q
и z — а-аддитивная функция множества, заданная на ^ и прини-
принимающая значения в гильбертовом пространстве //. Функцию z
назовем гильбертовым зарядом, если: а) для любого 9 €Е Л и лю-
любой убывающей последовательности j, D ;, э ¦ . ¦, Г) ё\ = Ф,
gi ?Е я&, существует предел: lim <9, г (g;)> = 0; б) для любого
г->со
9 ЕЕ Л" и любой последовательности попарно непересекающихся
множеств {gi}^° выполнена оценка
Пространством с амплитудой называется тройка (?2, Ж, г|з),
состоящая из пространства элементарных виртуальных событий
Q, полукольца виртуальных событий Ж, содержащего множество
Q в качестве элемента, и аддитивной функции множества г|з: Ж ->
-> /f (называемой амплитудой) такой, что |]г|з (Q) |]н = 1, где/f —
гильбертово пространство.
*) Это замечание содержит попытку наметить аксиоматический
подход и в дальнейшем использоваться не будет.
154

Пусть / — некоторое множество индексов; семейство операто-
операторов {ni}iej, действующих в Ж, называется проекционным, если для
любого t е / выполнены четыре условия: а) я? = щ; б) образ
щЖ полукольца X является о-алгеброй, содержащей Q; в) сужение
амплитуды г|з на сг-алгебру я;Л" является гильбертовым зарядом
на щЖ; г) амплитуды непересекающихся виртуальных событий
из ПгЖ ортогональны.
Четверка W = (Q, Ж, г|э, (я;}г&г) называется пространством
с проекционным семейством.
Нетрудно определить интеграл на п\Ж, доказав, что для любого
В ?Е Н сужение функции множества <6, г|) (g)>: Ж -> С на а-алгеб-
ру п-Ж является зарядом на m-h'.
Можно обобщить цонятие случайной величины и случайного
процесса. Для этого достаточно установить, что сужение интенсив-
интенсивности / (g) = (|op (g) ||jj на п-Ж является вероятноетшш мерой.
Пусть (Е, ?8) — измеримое пространство. Пара (jij, ф), где
Hj S {п:}, а ф — (л-]Л\ -А) — измеримая функция, называется
обобщенной случайной величиной на W со значениями в (Е, 93). Пусть
Т — некоторое множество. Обобщенным случайным процессом на
W со значениями в (Е, ;Я) называется пара %t = {пщ, ф(}, FГ,
являющаяся при каждом фиксированном t обобщенной случайной
величиной. Функция '!?'"'' \ , вычисляемая по формуле
t\(Bl BJ = *ttl- , = 1,2,...,
где
называется конечномерным распределением амплитуд обобщенной
случайной величины.
Если i (t) = г, то можно считать, что %i — случайная величи-
величина, а функция /'""'" = 1| ф'''"' \ fa — ее конечномерное рас-
нределение вероятностей.
Чем же является с этой точки зрения КМ-цепь? Пусть задано
множество Е — Е^ = (ах, . . . , %), элементы которого называются
состояниями, и Q = Q|y — множество последовательностей Л^
состояний. Каждая последовательность
называется э 1емешпарным виртуальным событием.
Рассмотрим множество унитарных матриц {Z1} размера k X k
к
и единичный вектор <р = (фх, . ., щ), || ф |] = B I 4>il2 ) • Онреде-
4=1 '
лим амплитуду г|з на полукольце Ж1^, элементами которого
455

являются множества
Семейство операторов {я;}р действующих в Л"^ по правилу
является проекционным, поэтому четверка
{я;}^) является пространством с проекционным семейством.
Определение 3.1. КМ-цепью на wfj со значениями в Ец
называется обобщенный случайный процесс gj = {Щ, <Pi}> » =
= 1, 2,. . ., JV, такой, что
Если амплитуда любого состояния обобщенного случайного
процесса ?j на Wjy со значениями в Е^ отлична от нуля, то можно
дать следующее эквивалентное определение КМ-цепи в терминах
определенной выше условной амплитуды.
Определение 3.2. Обобщенный случайный процесс на
Wff со значениями в Е% называется КМ-цепъю, если при 2=1,2,...
. . ., N условная амплитуда виртуального события gj*" ' j'1,/,'j'+1
в йф относительно gji j J в Л9 не зависит от состоянии про-
процесса в моменты tlt. . ., *г_г
§ 4. Лагранжиан КМ-цепи
Предположим, что интенсивности переходов КМ-цепи отличны
от нуля. Такая КМ-цепь называется КМ-цепью без запрещенных
переходов.
Пусть элементарными состояниями КМ-цепи являются точки
вещественной прямой: К = {а^. . ., <%}, а,- g= R. Для простоты
будем считать, что ay = jh, где h > 0. Через последовательность
точек {(ait, xZ)}^, т > 0, на плоскости (я, t) проведем непрерыв-
непрерывную кривую х (?), линейную при t g [(I —- 1) т, lx\, называемую
траекторией. Можно считать, что множество элементарных вир-
виртуальных событий Q состоит из траекторий, так как эти множества
совпадают с точностью до изоморфизма. Рассмотрим кусочно-ли-
кусочно-линейную интерполяцию комплексной энтропии.
Обозначим через В; (t) непрерывную функцию, равную нулю
при t «^ xl, единице при t !> т (I + 1) и линейную при t e [xl,
т (I + 1)]. Пусть при I < x/h < I + 1, m < у /ft < /га + 1
N-i
' (*, У, t) = 2 6i W 2 Г1
3=1 i', m'=0
156

где V — матрицы перехода КМ-цепи, а *)
Определение 4.1. Кусочно-непрерывная комплексная
функция L (х, х, t), определенная при почти всех t формулой
L (х, .г, 1)=-щ-1 (х, у, t) \у^х_Ц1_,1у t e [xl, T(l + I)], D.2)
называется лагранжианом КМ-цепи. Действием КМ-цепи назы-
называется функционал на траекториях, вычисляемый по правилу
-гЛГ
?[*@]= j L{x[t),±(f), t)dt. D.3)
Предложение 4.1. Пусть S — действие КМ-цепи и
ха (t) — траектория, отвечающая элементарному виртуальному
событию coi = {Я|, . . , ajjy}. Тогда амплитуда элементарного
виртуального события со^ равна
i> К) = № К), ¦•¦>% («*)); ^i = °. если г + 'n.
D4)
где i|)° — единичный вектор, определяющий амплитуду КМ-цепи.
Доказательство. Рассмотрим интеграл лагранжиана
вдоль траектории хш (t):
iN N-l *l+l
'- (*«. w. *«, о. *) dt = 2 1 z t*« w- *« (')• *)Л-
T (=1 fj
При i SE (';, *{+1) функция *ш (t) постоянна: *ш (i) = (аг — a{ )/т,
Из определения лагранжиана D.2) вытекает равенство
9 ,
L (г/ -)-*(( — i,), -с, t) = -тгг I (ев, у, t), поэтому
д
*) Отметим, что In z'+;, m+rj»-P/J5J,' является аппроксимацией
комплексной энтропии, введенной ниже, так как когда шаги сетки
стремятся к нулю, модуль коэффициентов матрицы ZJ стремится
к единице, а для «равно вероятных» событий логарифмы ампли-
амплитуды совпадают с комплексной энтропией.
157

Таким образом,
'/+1
С
Ч Ч
Теперь мы заметим, что из D.1) следует, что при t ЕЕ (fy, t/+])
а 1 ,
Подставляя полученные соотношения в D.3), находим
tIV JV—1
f T V ;
5[а;ш@] = \ irf* =— Zj lnz| 4 .
Поэтому
= Д < i ¦
(=1
Утверждение доказано.
Обозначим через г|)° (х) функцию, равную г|3р если х = а;. Сум-
Суммируя амплитуды элементарных виртуальных событий, записанные
в виде D.4), получаем
Следствие. Амплитуда истинного события может быть
представлена в виде
г|),= 2 exp \~S\x{t)\\^(x{x)), 1 = 1,..., к. D.5)
Формула D.5) является дискретным аналогом континуального
интеграла Фейнмана [21, 22].
Сопоставим каждому вектору -ф0 из С^ вектор г|з по формулам
D.5). Тем самым задается линейный оператор (матрица), действую-
действующий в С*: Лг|з° = г|з. Матричные элементы матрицы А можно вычис-
вычислить по формуле
Введем обозначение
Рассмотрим дифференцируемую функцию So (x, t), сопоставим
ей функцию на сетке So (jh, xl) и введем оператор умножения на
158

функцию ехр |~^~<Уо (•, xl)\, действующий в С*:
= (ехр \~-S0(h,
• • ., ехр \ j %
\X
Наша ближайшая цель — прокоммутировать операторы ехр \— -—
1 a f i 1
ХЛ(-, Пц и expj — St. Используя формулу
'(+1
So (х ((/+1), tM) - So (x (t,), t{) = ^ ~ So (x (t), t) dt =
h
h
dS0
преобразуем показатель экспоненты в D.5):
ехр |-^г- S [х («)]} V (х (т)) = ехр -^- [51 (х (тЛГ),
•ГП
+ J L' (г ((), ¦* («), ') rf* - -Уо (х (t), T) jl г|з° (* (т)), D.6)
где
dS dS
V (х, i, t) = L (х, т, t) - IT {х' 1)-*Ж [х' ')• <4-7)
Лагранжианы, связанные соотношением D.7), называются экви-
эквивалентными. Формула D.6) дает правило вычисления амплитуды при
переходе к эквивалентному лагранжиану. Из нее же следует форму-
Г 1 1
ла коммутации с оператором умножения на ехр < — — So (¦, xN) У:
f
ехр \ — — М-,
= ехр |— S'j о ехр |- — So (•, 0)|, D.8)
где
S'[x{t)]= j L'(x(t),*(t), t)dt.
i
Для сравнения рассмотрим два свойства эквивалентных преобра-
преобразований функции Лагранжа в классической механике,
159

Если L — лагранжиан механической системы и So [х (t)) — ве-
вещественная дифференцируемая функция, то на множестве траекто-
траекторий с фиксированными началом и концом экстремали действия
t t
S[x(t)]={ L(x(t), *{t),t)dt и S'[x(t)] = fl/ (x(t), t(t), t)dt,
о о
/ dSo dSo \
L' (x, A, t) = L (x, i, t) — \~gt~ + * "я— (x @) ] совпадают. В самом
деле,
6S> [x (t)] = \{^--?f^(x(t),t (t), ()) bx (t) dt +
0
t
Поэтому bS' \x (t)] = 0 тогда и только тогда, когда 6S [х (t)] = 0.
Пусть Н (р, х, t) — функция Гамильтона механической системы,
лагранжиан которой есть L (х, т, t). Преобразованию L—>L' = L —
I dS dS\
— \~Qj- + * -fa 1 функции Лагранжа отвечает каноническое преобра-
преобразование гамильтоновых переменных х -» X, р -> Р с производя-
производящей функцией канонического преобразования
Ф {х, Р, t) = <Р, х> - So (x, t).
§ 5. Виртуальные события
1. Полуизмеримые множества. Множество виртуальных эле-
элементарных событий, рассматривавшееся выше в связи с КМ-це-
пями, может быть параметризовано множеством векторов.
Рассмотрим два множества: множество В, состоящее из чисел
натурального ряда от 1 до к, и множество А = В X . . . X В =
= В'^'1. Пусть (oi = (а^, . . ., а. ). Сопоставим этому элементар-
элементарному виртуальному событию точку | (со;) = (х, у) множества
def
Jf ¦=. А X В с координатами
Множество^ назовем слоем, а множество В — базой множества JV.
С точностью до изоморфизма ?: Q -^ ,АР множество элементар-
элементарных виртуальных событий Q можно отождествить с множеством JT.
В дальнейшем точки множества JV мы также будем называть эле-
элементарными виртуальными событиями.
160

Псевдопстинным событиям при отображении ? отвечают прямо-
прямоугольные множества в J\T, называемые цилиндрическими:
{* = .. U. ш*}=»«(^) = /1Х...Х/№}. E.1)
г: tel iel
они образуют полукольцо Ж'ж подмножеств множества Ж.
Зададим амплитуду ф на КЛ„:
Ф (е) = Ф D), где g (Л) = g.
Рассмотрим скалярную функцию / на JV:
f^,y) = %N{<at), «* = К a.N), E.2)
где я|згу — компонента вектора а; = iN, у = {iv. . , iN_x), г|) (вл
с номером iN. Эта функция обладает очевидным свойством: если при
каждом фиксированном х просуммировать ее значения по слою,
а затем сложить квадраты модулей этих сумм, то в результате по-
получим единицу:
E.3)
г/е«
Определим класс множеств, более широкий, чем полукольцо псевдо-
псевдоистинных событий, и введем для него понятия амплитуды и интен-
интенсивности.
Пусть (A, jg, v) и (В, $, ц) — пространства с а-конечными
мерами *). Обозначим через JV прямое произведение множеств
А ж В: JV = А X В. Множество JV будем называть пространст-
пространством, множества А ж В — слоем и базой соответственно. Рассмотрим
банахово пространство функций
Li (Li) = Li (Li (A, c&, v); B, S3, (x),
состоящее из измеримых функций, заданных на В, принимающих
значения в LiD, с&, у) и имеющих интегрируемый относительно
меры р квадрат нормы*в пространстве L\. Норма в Li (Li) задается
соотношением
|| ф (•) || = П' |х (dx) И v (dy) | ф (х, у) |)*уА. E.4)
'J3 \А
Элементы этого пространства называются функциями из Li на
базе со значениями в L\ на слое.
Приведем два примера функций из Li (Li). В пространстве с
б-конечной мерой существуют множества конечной меры. Следова-
*) Тройка (X, ЗС, р), состоящая из множества X, а-алгебры
его подмножеств ЗС и меры р на 37, называется пространством
с мерой. Мера р называется а-конечной, если 3 {ж,} : X = \Jfxu
г>1
р (xi) < оо.
6 В. II. Маслов 161

тельно, существуют множества а ? <& п р ?^ такие, что v (a) <
< оо и [1 (Р) < сх>. Характеристическая функция %g прямоуголь-
прямоугольника g = а X Р, определяемая формулой
A, если а ? а п 6 ЕЕ 3,
{а, Ь) == |
рассматриваемая как функция точки на ^ (т. е. как %д (а, •)) и при-
принимающая значения в Lx (В, 3), ц), является простои функцией *).
Ее норма в L2 (Ьг) конечна:
Следовательно, Хг 6= ^2 С^г)-
Пусть множества А и В состоят из конечного числа точек и
мера отдельной точки равна единице. Тогда вместо интегралов в E.4)
следует писать суммы E.3), и в этом случае функция / (х, у), опре-
определенная формулой E.2), является элементом пространства L2 (Lt).
Определение 5.1. Множество g €E N называется полу-
полуизмеримым, если его характеристическая функция принадлежит
Ьг (Zj). Полумерой полуизмеримого множества называется норма
Ьг (Ьг), его характеристической функции.
Охарактеризуем свойства класса полуизмеримых множеств
G. Теорема об умножении функций L2 (Lt) на характеристическую
функцию полуизмеримого множества позволяет определить поня-
понятие амплитуды и интенсивности в значительно более общей ситуа-
ситуации, чем мы рассматривали до сих пор. Для доказательства этой
теоремы понадобятся две леммы о простых функциях **).
Лемма 5.1. Пусть % (х, у) — простая функция по i6B
со значениями в Ьг(А, Л;, v) и с ~^> 0, d ^ 0. Тогда функции
Rex (х, у), к (х, у) = min {к(х, у), с}, % (х, у) = max {x (х, у),
d} также являются простыми функциями на базе В со значения-
значениями в Lx (А , ,-Л', v).
Доказательство. Ясно, что все три функции являются
простыми. Так как класс измеримых функций замкнут относительно
операций sup, inf и Re, то при каждом фиксированном х все три
функции измеримы относительно а-алгебры J&. Далее,
Кох(г, у)К|х(ж, у)\, |х>, у) |<
<!*(*, У)\, I Ъ (*. </)К I * (z. У)\-
поэтому в силу теоремы 3.7.9 из [24] все они являются элементами
Lt{A, Л, v).
Следствие 5.1. Если й" (х, у) — простая функция на В со
значениями в Lx (A, ^%, v), то функция
х (х, у) = max {min {Re у. (х, у), 1}, 0}
также является простой функцией на В со значениями «L, (A, Jfc, v).
*) Функция называется простой, если она принимает не более
счетного числа различных значений.
**) В последних двух случаях рассматриваются вещественные
функции.
162

' «II о^м м а 5.2. Если Xg (х> У) ~~ характеристическая функция
полуизмеримого множества g ?Е JV', то существует последователь-
последовательность функций {%п {х, у)}™ такая, что: а) 0 < %п < 1; б)
Хп (х, У) — простая функция из L2 (В, ?В', и) со значениями в
Lx (A, j&, v); в) || х.п (х, •) — Xg (xr)\\Ll -> 0 пР» » -> °° 3-**
^х-почти всех х.
Доказательство. В силу определения полуизмеримого
множества и плотности в ?2 (Lx) класса простых функций из L2 со
значениями в Lx (см. [24], гл. 3, § 1, п. 3.8) существует последова-
последовательность {XnVj0 простых функций из L% на В со значениями в Lx на
А такая, что || ~хп {х, ¦) — %g (х, ¦) [\L —> 0 при jx-почти всех х.
Рассмотрим последовательность функций {Хп}, принимающих
значения на отрезке [0, 1]:
def
"/„(*. У) =max{miu{Re "/n(x, у), {}, 0}.
В силу следствия 5.1 это простые функции на В со значениями в ?х
на А, принадлежащие Ьг (Lj): \\ х.п II l2(l,) < II Ум II U(U)- Таким об-
образом {Хп} ¦— последовательность простых функций из Z,2 на В со
значениями в it на i.
Поскольку x.g ix> У) — вещественная функция, принимающая
только два значения — нуль и единица, то
I Xg (х, у) - хп (х, у) | > | -/g (ж, 2/) - Пе хп (ж, у) | >
> I Xg (х, У) - Хп (ж> У) I-
Поэтому || ^ (х, ¦) — Хп (я, •) I Lt < II 5Cg (*. •) — Хп (^. •) II l, "* °
[х-почти всюду. Итак, последовательность {Xn}f удовлетворяет
условиям а) — в). Лемма доказана.
Теорема 5.1. Если г|> 6Е ^г (^i) u Xg ~~ характеристичес-
характеристическая функция полуизмеримого множества, то функция Xgty также
принадлежит L2 (L^.
Доказательство. Сначала докажем, что функция
(Xgi|>) (x, •) сильно измерима *), а затем убедимся, что квадрат ее
нормы в Lx (А, ,7^, v) — [л-интегрируем. Тем самым будет доказано,
что Xg1> e L2 (Lj).
Пусть {ijjn} и {Хп/ — последовательности простых функций
из L2 на В со значениями в Lx на А такие, что
IIЧ>„(х, -)-ip(x, ¦) ||Li -* 0, || Хп(х, ¦)- Xg (*, •) llLl -0
при [х-почти всех х Ei В. Не уменьшая общности, можно считать,
что функции ч|)п и Хп постоянны на одних и тех же множествах из 3}
и функции Хп удовлетворяют условиям а) —в) леммы 5.2.
Поскольку произведение двух функций из Llt одна из которых
ограничена по модулю, также принадлежит Lx, то при fx-почти всех
х функции
(Хп^Фп) (х, ¦), (Х„г|>) (х, •), (xgi|>) (x, •)
*) То есть существует последовательность простых функций,
сходящаяся к Xgty ц-почти всюду по норме Lv
6* 163

нрнпадложат L± (A, ^?,v). Зафиксируем такое значение х поцешш
норму разности в Lt функций Хп'Фп и ty
<fl(xe(*. -)-xn(*. ¦))*(*. О^ + Ж*. •)-%(*, -)!Ll.
Последнее слагаемое стремится к нулю jx-почти всюду при п -» оо.
Поэтому для доказательства сильной измеримости функции Xg1!3
достаточно убедиться, что || {%g (х, • ) — /п (*. •)) t (^. •) II l, ~* °
fx-почти всюду при п -^ оо.
Функция г|) (а:, у), являющаяся при фиксированном х элемен-
элементом из Lx (A, j&, v), конечна при v-почти всех у. Значит, последо-
последовательность {фп}:
Фи (*» у) = (Xn — Xg) Ф («» г/)
— сходится к нулю при ji-почти всех х и v-почти всех у. Кроме
того, равномерно по п справедлива оценка
| Фн (*, у) I < 2 | $ (х, у) |.
Следовательно, при ц-почти всех х выполнены условия теоремы
Лебега о продельном переходе иод знаком интеграла по мере v:
lim || (у - %п) Ч- (*. •) IL = Нт | ф (х, у) | v (dy) ¦-=,
П-»СЗО ° i
Отсюда вытекает сильная измеримость функций Xg!
Докажем, что квадрат ее нормы в L1(A, c&, v) интегрируем
относительно меры jx. Для доказательства воспользуемся тем фак-
фактом, что если / — неотрицательная измеримая функция и если су-
существует интегрируемая функция Ф, такая что / (х) ^ Ф (г), то
функция / интегрируема. Это утверждение следует, например, из
[24], теорема 3.7.9.
Пусть / (х) = || Xg^-Ф (¦*> •) II ?,- Поскольку я|з е L2 (LJ и || xg ¦
•ф(*> Oil l, ^ 1'Ф (¦2Г> ") 1 Li> т0 в качестве функции Ф можно при-
принять интегрируемую относительно меры jx функцию ||гр (х, Oil*
Выше было доказано, что последовательность простых функций
(Х„грп) (х, ¦) со значениями в Ьг сходится [х-почти всюду к (Xgi')-
¦ {х, •). Поэтому последовательность неотрицательных простых функ-
функций || (Xntn) {x, -)\\Ll сходится (х-почти всюду к || (xg-ф) (^, OIlj.
Следовательно, функция / (х) измерима относительно а-алгебры 33.
Отсюда следует интегрируемость квадрата нормы в Lx функции
Xgi|) относительно меры jj,. Теорема доказана.
Обозначим через G класс полуизмеримых подмножеств мно-
множества Я.
Следствие 5.2. Класс G замкнут относительно опера-
операции пересечения.
Доказательство. Характеристическая функция мно-
множества g1 П g2 есть произведение характеристических функций
164

множеств gt и g2. Поскольку характеристическая функция полуиз-
полуизмеримого множества принадлежит L2 (Ьг), то из теоремы, доказан-
доказанной выше, следует, что произведение характеристических функций
полуизмеримых множеств также принадлежит L2 (Z,x), что и требо-
требовалось. Следовательно, множество. gx f] g2 полуизмеримо.
Следствие 5.3. Класс G замкнут относительно операции
объединения.
Доказательство. Характеристическая функция объ-
объединения множеств g1 и g2 имеет вид
Поскольку L% (Ьг) — линейное пространство и все три слагаемых
принадлежат ?2 (Z,x), то XglLjg2 S Li (Li) п множество g1 \J g2
полуизмеримо.
Следствие 5.4. Если g ZD g', g, g' 6E G, mo g \ g' ?? G.
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что
Лемма 5.3. Существует счетное множество попарно непере-
непересекающихся полуизмеримых множеств {gi}?° такое, что \J g. = J\".
i=l
Доказательство. Поскольку меры ц и v а-конечны,
то множества А и В можно представить в видо объединения счет-
счетного числа попарно непересекающихся множеств {а;}^° и {Pi}J°,
принадлежащих а-алгебрам о? и SS соответственно, таких, что
v (ai) < °°> М- (Pi) < °°' ^се прямоугольники а, X Р; полупзме-
римы, а их объединение совпадает с Л X В = ,Л". Множество та-
таких прямоугольников счетно. Лемма доказана.
Следствие 5.5. Класс G является кольцом.
Доказательство. Следствия 5.2 и 5.4 и лемма 5.3
показывают, что класс G является полукольцом, а из следствия 5.3
следует, что G есть кольцо.
2. Амплитуда и интенсивность. Если ср ? L% (Lx), то функция
f (•) = \ Ф (•> У) v(dy) принадлежит L2 (В, 33, \х). Этот факт служит
i
основой для двух определений.
Определение 5.2. Пусть ф — комплексная функция на
Ж такая, что для любого полуизмеримого множества g функция %g(f
принадлежит пространству L2 (L-^. Ненормированной амплитудой
множества g e G называется функция из Z,3 (В, 3}, |х), вычисляе-
вычисляемая по формуле
"Ф (?) = -Ф (?)(•) = j (VP) (•- У) v(dt),
где xg — характеристическая функция полуизмеримого множества
g. При фиксированном я); функция г|) : G —» L2 (A, c/b, v) называется
амплитудой на G. Пространство JV называется пространством
элементарных виртуальных событий, его элементы — элементар-
элементарными виртуальными событиями, а элементы кольца G — вирту-
виртуальными событиями.
165

Следствие 5.0. Амплитуда является аддитивной функ-
функцией множества на кольце G.
Определение 5.3. Интенсивностью полуизмеримого
множества g называется квадрат нормы в L2 (В, 3i, ji) его ампли-
амплитуды:
def /.
/ (g) = IIЧ> (g) Ig = J I* (dx) || ф (g) (x, ¦) fu.
Пусть либо меры ц и v конечны, либо ф (х, у) 6Е {L1, L2); тогда
j\'' S G, и следовательно, кольцо G является алгеброй.
Рассмотрим отображение р: G -> G, называемое проекцией,
действующее по правилу
р (g) = А X supp \ | хя (х, у) I v (dy),
гДе 7.g — характеристическая функция множества g tE G.
Виртуальные события g и g' называются непересекающимися,
если g П ?р' == 0' и несовместными, если р (#) f) p (^') = 0. Раз-
Различие между непересекающимися и несовместными виртуальными
событиями состоит в том, что интенсивность объединения несовмест-
несовместных виртуальных событий равна, очевидно, сумме их интенсивно-
стей, а для непересекающихся множеств это утверждение, вообщо
говоря, неверно.
Виртуальные события из образа рС, называются истинными.
Множество истинных событий изоморфно а-алгебре 33 подмножеств
множества В. Таким образом, множество истинных событий явля-
является а-алгеброй.
Предложение 5.1. Сужение интенсивности на s-ал-
гебру истинных событий является конечной мерой.
Доказательство этого утверждения следует из интегрального
представления интенсивности; если g e pG, то g = А Хр\Рё5<Й?и
/ (?) = U. (dx) || ф {х, .)fu < || ф fu(Liy
где || ф (х, •) ||? ¦—интегрируемая относительно меры jx функция.
В заключение определим комплексную энтропию. Пусть ty(x,y) —
— функция из L2 (Lx) и |]г|) |JL> = 1, где (х, у) е А X В. Тогда
величину
Г -
А
называют плотностью вероятности, а &6 = \ р (х) In p (x) d[i (х)— эн-
тропией распределения р.
Будем называть комплексной энтропией величину
И
166
= ( dp. (х) I ( ф (х, у) dv (у) 2 In f ф (х, у) dv (у).
А В й

Существует очевидная связь между энтропией Ж и комплексной
энтропией Я:
1
-j- &e = Re Я.
Пусть (Ai, ^4i\ (г;), (В{, ?B\, Vj), i = 1, 2, ... пространства с
сг-конечными мерами и г|> ? L2 (Lx (А1 X 42), Вг X В2), ||i]j (JVj X
X -^г) II = 1' гдеЯг = 4; X В; (i= 1, 2, . . .). Будем обозначать
через а; точки множеств А\ п через йг — точки множеств Вг- Для
б б Z () ^
р
любых б; е Z2 (-Si) и ai
ti (аи
Ог (б-:
ВвЛИЧИНЫ
(ai, a3;
if-2 (a3, 6з) = \ Oi F1) i[ii F1) f г|) (ai, a2; 61, 62) d\i (ai)
называются сужениями амплитуды ij) на Л^ и N2 соответственно.
Сужения г|I и г|>2 называются независимыми, если существуют такие
функции /х и /2 из L2 (^i (-^i). -Bi) и ?г (^i (^г). ^г) соответственно,
что
¦ф (аг, а2: *i» h) = A (ai, 6j) /2 (а2, й2). E.5)
Вез уменьшения общности будем считать, что
|| U (N0 \\Ьг = 1; i= 1, 2
E.6)
Функции /i, удовлетворяющие условиям E.5) и E.6), называ-
называются независимыми составляющими амплитуды ¦ф.
Предложение 5.2. Если сужения амплитуды гр на
Ni и N% независимы, то комплексная энтропия амплитуды, ijj
равна сумме энтропии ее независимых составляющих:
II м = н (Ш = я (д) + я (/2).
Доказательство. Из определения комплексной энтро-
энтропии и нормировки функций Д и /2 следует:
II (if))-
vi/i/з
(In /1 + In /3) =
( U^ I f dv2/2 2 la /2) ( f d|xi I Г dvi/i h =
= j dj.ii \ dvi/i 2 In /i + Г djxi j (" dv2/2
'ln/s=

ГЛАВА VIII
КОМПЛЕКСНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
§ 1. Неаддитивная амплитуда
Пусть (А, dt, v), (В, 3), ]х) — пространства с а-конечными
мерами, JV = А X В, G — кольцо полуизмеримых множеств и Ф —
некоторая функция, отображающая G в множество ненормирован-
ненормированных амплитуд на G.
При любых фиксированных g-, g' GE G функция Ф (g)
Xg, {x, у) является элементом пространства L2 (Lj). Поэтому по
аналогии с определением ненормированной амплитуды можно
дать следующее определение.
Определение 1.1. Неаддитивной амплитудой на G на-
называется функция со значениями в L2 (В, 3$, (_»,), вычисляемая по
формуле
f A.1)
где %q (x, у) — характеристическая функция множества g.
Квадрат нормы в Ьч функции \\> (g) (¦) называется интенсив-
интенсивностью множества g, отношение / (g П g')/l {g') = / (gig') назы-
называется условной интенсивностью множества g относительно g'.
Теперь мы перейдем к рассмотрению комплексных нелинейных
цопей, определяемых неаддитпвной амплитудой па множестве вир-
виртуальных событий, вычисляемой по формуле A.1).
§ 2. Комплексные нелинейные цепи
1. Истинная амплитуда. Рассмотрим множество (aJjLp назы-
называемое множеством состояний, и пусть Ж = Ж-^ — полукольцо
подмножеств множества элементарных виртуальных событий о);,
являющихся последовательностями состояний
<*г=1\ V' i=={h ^ {2Л)
Обозначим через Q,v множество элементарных виртуальных собы-
событий. В гл. VII, §4, п. 1 мы отмечали, что с точностью до 'иаомор-

физма пространство элементарных виртуальных событий QN мож-
можно отождествить с пространством Ж=А X В, где А = В X ... X В =
_tgjv-i и g — множество чисел натурального ряда от 1 до /с.
Таким образом, слой А и база В пространства QN состоят из конеч-
конечного числа точек, мера которых равна по определению единице.
Поэтому класс G полуизмеримых множеств является алгеброй,
содержащей все подмножества множества JV. Если на G определена
неаддитивная амплитуда, ее можно сузить на любой класс подмно-
подмножеств, принадлежащий алгебре G. Далее мы будем рассматривать
неаддитивную амплитуду на полукольце Ж$ С G, элементами
которого являются множества вида
g— . U. (Oi;/iX...X/lV-ie^, /,\'6Й, B.2)
i ri/
где с4- и а? — алгебры всех подмножеств множеств слоя А и базы В
соответственно.
Итак, предположим, что на полукольце X задана неаддитив-
неаддитивная амплитуда Ф. Рассмотрим амплитуду виртуального события
g как функцию множества точек базы:
clef
При фиксированных/! . . . IN^ компоненты вектора z = (zlt . . .
. . ., ij() являются комплексными числами, аргументы и модули
которых зависят, вообще говоря, от множества точек базы IN *).
Определение 2.1. Пусть D —¦ множество и 3) — коль-
кольцо его подмножеств. Функция ср: 2) -» С называется квазиаддитив-
квазиаддитивной, если для любых d' и d" из SO таких, что а' (~| й" = й, выполнено
ер (<f) + Ф Ю - Ф (d" U <П = ф (<*) **)•
Обозначим через arg z; (IN) аргумент l-ii компоненты вектора z (I^)
и будем говорить, что Ф — амплитуда с квазиаддитивной фазой,
если a) arg zj (/Y) — квазиаддитивная функция множества;
б) I z; (/jv) | не зависит от IN при всех I ~ 1, 2, . . ., к.
Пусть Ф — неаддитивная амплитуда с квазиаддитивной фазой.
Если IN и l"N — два непересекающихся подмножества множества
индексов {1, 2, . . ., к}, то величина
; + arg гг (l"N) — arg Zj (l'N \J l"N) =
del
= arg Zj @) = vrai arg z;
не зависит от множеств IN, IN и называется истинным аргументом
комплексного числа г/, функция arg /у, определяемая формулой
def
arg z; (Jw) — vrai arg z; = (arg IN) {I), B.3)
*) При фиксированных /г . . . /jy^ класс множеств вида B.2)
является алгеброй.
**) Примером квазиаддитивной функции множества является
сумма меры и константы.
169

— аргументом множества /у, я вектор
vrai z (IN) =
= (| zi | ехр {г vrai arg zi}, ¦ . . , | zk | exp {i vrai arg zfe}) B.4)
— истинной амплитудой множества g, определенного в B.2).
Обозначим через vrai Ф функцию на Ж^, вычисляемую по пра-
правилу
vrai Ф (g) = vrai z (IN),
где vrai z (/jy) — вектор, определяемый формулами B.2 —2.4).
Лемма 2.1. Если Ф •— неаддитивная амплитуда на 3i\
с квазиаддитивной фазой и
g = U «г,
то
Ф (g) = (ехр {г arg IN}) vrai Ф (г), B.5)
где ехр {t arg 7\у} — диагональная матрица, 1-й диагональный эле-
элемент которой равен ехр (г (arg IN) (I)}, а функция vrai Ф, аддитив-
аддитивная при фиксированных Ilt . . ., IN_V является неаддитивной ампли-
амплитудой на Ж^.
Доказательство. 1-я компонента вектора ехр {i arg / v} X
X vrai Ф (g) равна
| гг | exp {i (arg IN) {I) + i vrai arg z;} = \ zt \ exp {i arg zt (IN)} =
= 2;(/]у)=Фг (g).
Отсюда следует формула B.5). Очевидно, что если Ф — неад-
неаддитивная амплитуда в смысле определения 2.1, то vrai Ф — также
неаддитивная амплитуда.
Докажем, что
где
8— U »/, }-- U "¦"¦
Из этой формулы следует аддитивность функции Ф (g) при
фиксированных /lt . . ., /jy^.
Прежде всего, из определения амплитуды, как функции со зна-
значениями в Ьч на фазе, следует равенство
1у
Поэтому
л rai Ф (g) = vrai х7^Ф (g) =
= (Хг^.A) I zi I exp {i vrai arg zi}, . . ., -/Ijy (N) | afc| exp{? vrai argzfc}
= X/iv (I «I I exp {j vrai arg zi} , | zfc | exp {j vrai arg zk}) =
170

2. Определение простой КН-цепц. Обозначим через g;_j мно-
множество из Ж\_v а чорез ~g^x — множество из <$";, связанные соот-
соотношением: если
т о
81-1 — U шг, г
где аи , . . . ^
Определение 2.2. Будем говорить, что неаддитивная
амплитуда "с квазиаддитивной фазой Ф, заданная на полукольце
Ж'до определяет простую комплексную нелинейную цепь (простую
КН-цепь), если существует набор унитарных матриц {Zl}^~1, назы-
называемых матрицами перехода простой КН-цепи, такой, что функции
множества Ф(, заданные на полукольцах Ж\ и связанные соотно-
соотношением
>'(g,), l=n, n-i 2,
Ф (йЛ =: Ф (g),
являются неаддитивными амплитудами с квазиаддитивными фа-
фазами.
Теорема 2.1. Если неаддитивная амплитуда с квазиадди-
квазиаддитивной фазой Ф определяет простую КН-г^епь, то существует
вектор о|)' и квазиаддитивные функции множества arg /;, опреде-
определенные из соотношений
Ф' (ft) = (ехР {* arg ![}) vrai Ф' (gl), I = N, N — i, . . ., 1,
такие, что амплитуда события gN равна
B.7)
Доказательство. Формула vrai г|> (g) = % vrai ij) (g),
доказанная в лемме 2.1 для неаддитивной амплитуды с квазиадди-
квазиаддитивной фазой, и соотношения A".5) дают
Ф (gN) = (еХР V аГ§ fN^ Vrai Ф (S-JV) ==
= (ехр {i arg /N}) o x7jy vrai Ф (^).
Поскольку диагональные матрицы коммутируют, то
Ф (gN) —- %iN ° (ехр {i arg /N}) vrai Ф QN).
171
г<?е (Z'}^ — набор матриц перехода простой КН-цепи.

Из формулы B.6), справедливой для простой КН-цепи, имеем
Таким образом,
ф (*w)
(exp {i arg
Повторяя рассуждения для Ф^ (g^), Ф^ (gN.2), • • •• П0ЛУ~
чим формулу B.7). Теорема доказана.
Поскольку матрицы ехр {г arg /;} унитарны, то аналогично
доказательству теоремы 2.1, воспользовавшись формулой B.7),
легко доказать теорему 2.2, описывающую в терминах условной
интенсивности марковское свойство простой КН-цепи.
Теорема 2.2. Если неаддитивная амплитуда Ф с квазиад-
квазиаддитивной фазой определяет простую КН-цепь, то условная интен-
интенсивность виртуального события (л^+1'\''"' \,, состоящего в том,
что в моменты /, . . ., к, к + 1 простая КН-цепь находилась в сос-
состояниях а,., . . ., а,., а;^ . относительно виртуального события
со/'"''. , зависит только от состояний КН-цепи в моменты k
и к -f- 1. Если {Z'}' — набор унитарных матриц перехода прос-
простой КН-цепи, то
3. Пример простой КН-цепи. Пусть {Z1)^ х — набор унитарных
матриц и а — матрица с вещественными коэффициентами. Вектору
г|> ?Е С сопоставим унитарную диагональную матрицу
U (ф) =
О
и для произвольной последовательности множеств ^
S {1, • • ., к] зададим рекуррентную последовательность векто-
векторов &:
I — 1, 2, . . ., JV, Ф°
Л= U
единичный вектор из Ск. Тогда для любого
def
со; определена функция Ф: Ф" (А) =Ф(А), яв-
ляющаяся неаддитивной амплитудой на XN с квазиаддитивной фа-
фазой. Нетрудно проверить, что амплитуда Ф определяет простую
КН-цепь.
172

§ 3. КН-цепь для нелинейного уравнения
квантовой механики
В этом параграфе мы ослабили требования к амплитуде, сформу-
сформулированные при определении простой КН-цепи, сохранив лишь
рекуррентное правило B.7) вычисления амплитуды. Нашей^'целью
является описание последовательности КН-цепей, амплитуды ко-
которых сходятся к решению задачи для уравнения с унитарной не-
нелинейностью (см. гл. II, III):
<
г|> (О, I) = ф (I, t) = 0, ( • '
где A (г|)) — оператор умножения на функцию
I
— v (х) + J а (х — у) | f (у) р dy.
О
Итак, пусть' Ф = Ф^ — неаддитивная амплитуда на Ж-^. Будем
говорить, что амплитуда Ф определяет КН-г^еиь (если существует
единичный вектор г)I и такие матричнозначные функции на С^
{Z'(-)}^, что для любого ф е CN норма матрицы Z1 (ф) (I = 1,
2, . . ., N — 1) не превосходит единицы, а амплитуда любого вир-
виртуального события gN = U (вг может быть вычислена
i: Ue.Ii,--., %е!
по рекуррентным формулам
Ф! (*,) = Хп о г1'1 {Ф1-1 (g^)) Ф1 (g^), 1 = 2,3,..., N.
Рассмотрим КН-цепь, для которой
где Кк N — трехдиагональная матрица размера к X к
К J^ ГЛ ° ^ 'ТА
a i/T (•) ¦— диагональная унитарная матрица, 1-й диагональный
элемент матрицы Uz (if>) равен
к
ехр Л L Р) + 2 Аа ^' ~ '"> А) I ^f 121 = ехр "Г" Л W-
где v (х) и а (ж) — действительные функции.

Обозначим через || • |]2 к — норму в С*, равную
1/
г=1
Относительно матрицы Kk*N ° К*к N известно ([20], стр. 84—86),
что в этой норме одна диссипативна, т. е.
Пусть t и I — некоторые положительные числа т = tlN, h = Ilk.
Определение 3.1. Комплексной энтропией КН-цопи
с неаддитивной амплитудой Ф называется величина
HN = - h S (I
3=1
а комплексной энтропией задачи Коши C.1) — функция
Я(*) = — h \{\$(х, t)pin^(«, t}dx.
Рассмотрим последовательность КН-цепей с амплитудами C.2)
при к = 1, 2, . . ., N = 1, 2, . . .
Теорема 3.1. Пусть и (х), а (х) трижды непрерывно диф-
дифференцируемы на отрезке [0, I] и и0 (х) ?Е Нз[0, I] *). Тогда в каж-
каждой точке х ЕЕ [0, I] существует предел
lim Zk N (i))™) о Z, N (я|зп~2) о ... о z N (ф#) ф' = ф (г, х),
k, N-*oo, Kh-*x ' ' '
причем функция (параметра i) Ф (;, х) принимает значения в
Л3 [0, I] и является непрерывным решением нелинейного интеграль-
интегрального уравнения
г
ф (t) = А' (<) мо + -^- \ К (t — т) о ^ (г() (Т)) ф (Т) dx, C.3)
о
*) Через Нг [0, Z] обозначено пополнение множества функций
из Сх [0, I], удовлетворяющих условиям
и @)= иB) @) = .. .=м<т> @) = и (I) = ц'2> (i)=... = u<m) (г) =о,
где т — 2 [г/2], по норме
г'
"llr={J (l«
о
174

где А (/) — разреш&ющий ohepumop задачи Ноши для уравнения
Шредингера
h ди № Э2
и (О, t) = u (/, t) = 0.
Доказательство. Из леммы 3.1, приводимой ниже,
следует, что в классе непрерывных по t и ограниченных в Н3 [О, I]
функций существует единственное решение задачи C.3), причем
функция непрерывно дифференцируема один раз по t и два раза по
х. Попутно будет доказано, что || К (t) || о о =1.
Обозначим через Pjy fc оператор проектирования
PNikty (х, *) = г|) (дЛ, Zt), (g — 1) h < а: < qh, (I — 1) Т < t < /т.
Из леммы 3.2, доказанной ниже, следует, что
причем a1 (N, к) -» 0 в норме || • [| 2,jj:
я) Иг,* =B
1
т=1
при JV, А -* оо равномерно по I, Поэтому
PN, кУ М = (^ W " Xft, N f Pn,K u° + аЛ' W *) +
N-l
+ |ET (*% w ° ^-, iv)^' pn, к (A » W)) 4' (t).
3=0
В аналогичном виде можно представить функцию фг (Q'N) и, вос-
воспользовавшись непрерывностью функции г|) (г, х) по я и г и априор-
априорной ограниченностью последовательности Ф (Q^,), вытекающей из
диссипативности матриц Z и унитарности матриц и„ (Ф')> получить
рекуррентную систему оценок
< О (iV-i) + || *> (N, к) ||2| R + с ^ raWi fc (/). C.4)
j=o
Поскольку величины О (N*1) и || a1 (N, к) jj2]j? стремятся к нулю
при JV, к -> оо, то из C.4) следует, что при любом ф
aN, к (Ф) < (° С^) + I' a' №• к) ID ехР СТ -»
Теорема доказана.
175

Лемма 3.1. Пусть выполнены, условия теоремы. Тогда в Hs
[О, I] существует единственное непрерывное по t решение задачи C.3)
Доказательство. Методом разделения переменных
можно доказать, что в уравнении C.3) оператор К (t) действует
в Нг [О, I] и его норма равна единице. В самом деле, пусть ф е
е С°° [О, I] и ф (х) = 0 при х = 0, х = I. Тогда по известной тео-
теореме о рядах Фурье ([6], стр. 295) функцию ф (х) можно разложить
в регулярно сходящийся ряд I по собственным функциям задачи
и" + %и = 0, и @) = it (I) = 0
ос /
Sfrcx I f inx
Ф,-8"*—. <Pj = я \ sin ~7~ <P ^)dx- Cf^
3=1 $
3=1
Подставляя C.5) в определение нормы и интегрируя по частям, по-
получим
3=1
решение задачи Коши можно представить в виде
( ^
3=1 ^ ' j=l
Поскольку] | ф3- @.1 = | Фэ [, то || ф (•, i)Jlr = II ф (|г. На все прост-
пространство Яг [0, 1} оператор К (t) продолжается по непрерывности.
Оценим норму оператора умножения на гладкую функцию, дейст-
действующего в Я, [0, I]. Пусть г производных функции v (х) ограниче-
г
ны на отрезке [0, I], и пусть ]V(| .== ^ max | г>C)(ж)|. В силу
0 ?.[ х
определения нормы имеем
Таким образом, если функция v (x) три раза непрерывно дифферен-
дифференцируема, то оператор умножения на функцию v (x) ограничен
в #з [0, I]. Рассмотрим теперь оператор А (и). Он обладает следую-
следующими очевидными свойствами:
а) Ц-4 (и) ||? _? < г (II v 1Ь + IIа Не» II" 11о> (локальная ограничен-
ограниченность);
б) || А {и)-A (v) |1^Й1 < т II а ||Сз (|| и ||з + || v Ц3) || и - v ||s (Липшиц-
непрерывность);
в) | exp {itA {u)lh.)\o о = 1 (равномерная ограниченность).
Эти свойства операторов К м. А позволяют использовать теоре-
теорему *) работы [17], из которой следует, что существует единственное
непрерывное решение задачи C.3). Лемма доказана.
*) Ее доказательство приведено в § 1 гл. III на частном
примере.
176

Из теоремы вложения следует существование постоянной
такой, что
Таким образом, можно утверждать, что решение задачи C.3)
дважды непрерывно дифференцируемо по х. Вычислим производную
по t. Поскольку К (t) — разрешающий оператор задачи Коши
и функция дважды непрерывно дифференцируема по х, то
_h__d_ h? д*
Следовательно, производная по t также непрерывна.
Лемма 3.2. Пусть и0 6= Н3 [О, I] и операторы Кк ^ и К (t)
определены выше. Тогда при (q ¦— 1) б ^ х < дб, (I — 1) tN~x <J
^ т <^ ltN~b
PN kK (t) ua (x) = [K'1 N о Kl nI Pn kun(x) = OLln(N;k),
где alq (JV, k) -^ 0 при N, k -* oo.
Доказательство. Поскольку функция и (т, х) =
= ,ЙГ (т) и0 (х) — непрерывно дифференцируемое решение задачи
Коши, то разность
Pjy jjU (т, ев) —' (K^N о К^ NI PN jjUo (qb) = ij>q
является решением рекуррентной системы
W-1 ~'2то \ 2
-_ i_l _2 2ii. j i 8 (ь щ /3.6)
¦ф° = О,
где
Ь = Uk,
fe2 /1 u
~~ 2m \ 2
1 и ((I + 1) t/V-i, (g - 1) Ь)
1 / и (UN-*, (q — 1) b) — 2u (UN-i, qb) + и (UN'1, (g + 1) 6)
В силу «хорошей обусловленности» системы C.6) для ее решения
выполняются оценки (см. [8], стр. 38—41):
| о|^+11 < cltN-i max eBi, (к, N) -* 0, к, N -> оо.
Отсюда следует утверждение леммы.
177

Аналогичным образом можно рассмотреть КП-цепи, соответ-
соответствующие системе уравнений.
Следствие 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1
и {Ф }°° ¦— определенная выше последовательность амплитуд КН-
ераней, сходящаяся к решению задачи C.1). Тогда энтропия КН-
граней Н^ сходится при N —* оо, к —> оо к энтропии задачи Коши
C.1) (см. определение 3.1).
Доказательство. Сумма
к
2 h {| Of (Qy) P la of (QN)} l/k = tf N
3=1
аппроксимирует интеграл Римана
i
Л [ (| ? (се, i) |2 In Y ('ж, i)) dx = // (i).
о
Поскольку при N -» со,' к -> со существует предел
lim Of (QN) = ? (,r, t)
и ? (ж, ?) — непрерывная функция, то в силу теоремы 3.7.9 из
[24] lim HN = H (t), что и требовалось доказать.
Таким образом, мы проделали путь от простейших комплекс-
комплексных марковских цепей до нелинейных уравнений. В случае
КМ-цепей амплитуда являлась аддитивной функцией множества, а
в случае КН-цепей мы использовали новое рекуррентное правило
вычисления амплитуд виртуальных событий B.7). Как показывает
приведенная выше теорема, это правило вычисления амплитуд
естественным образом связано с нелинейным характером уравне-
уравнения, к решению которого сходятся в пределе амплитуды множества
всех элементарных виртуальных событий.
§ 4. Статистический ансамбль квазичастиц
Рассмотрим систему с г степенями свободы, описываемую в ком-
комплексных переменных а;- = ,¦- (q- + ip^) системой квазилинейных
уравнений вида
^i = SamFr-(a'-5)' /=1.2,..., г. D.1)
Здесь V™ (а, а) = F3m[(a, а) — компоненты эрмитовой матрицы
размера г X г, которые могут зависеть от а и а следующим образом:
V
178

Такую систему будем называть униформпзуемой. Униформизуемые
системы это нелинейные гамильтоновы системы с гамильтонианами
вида
Ж (а, а) = 2-^Г С-.ТС" "«»•¦¦ °Ч5* ¦ ¦ ¦ V №
Система уравнений D.1) может быть записана в виде комплексифи-
цированной системы гамилыона:
*i ^>E) -12
Такая система может быть получена предельным переходом из
КН-цепей, когда шаг по времени стремится к нулю.
Пусть для любого комплексного вектора определена эрмитова
матрица V (fp, if>) размера г X г :
Рассмотрим последовательность КН-цепей, амплитуды которых
вычисляются по рекуррентным формулам
Ф^ (?;) = XJ( о ZN (Ф^1 («г,.х)) Ф^1 U^); / = 2. 3, . . ., ЛГ;
где ЛГ = 2, 3,...;
Обозначим через Qjy истинное событие, состоящее из всех элемен-
элементарных виртуальных событий. Аналогично доказательству тео-
теоремы 3.1 доказывается следующее утверждение.
Предложение 4.1. Для любого^1 ЕЕ Сг существует предел
lim Ф^
N->00
где a (t) — непрерывная функция параметра t со значениями в С,
являющаяся решением нелинейного уравнения D.1).
Определение 4.1. Униформизацией системы D.1) назы-
называется система линейных уравнений
Л, ..:, /п = 1....,г; п = 0,1, 2,...
*) Здесь использованы те же обозначения, что и в § 2 настоя-
настоящей главы.
17Й

- 2 2 *Sj:::J;- n «i;
m
где
(/? — параметр, б[. — символ Кронекера).
Систему уравнений D.4) для каждого п удобно записывать в век-
векторном виде
г/ир(п) = ТУ(п)ф(п), D.4')
где фп = {ф3-ь j } — /-"-мерный комплексный вектор (точнее —
тензор п-го ранга размерности г), a W^1 = {W;1''"' ¦"¦} — оператор
в пространстве Сг" этих тензоров, который, как и операторы
у(т) _ ly.1 ."'} обладает свойством эрмитовости.
Набор номеров (jlt . . ., jn) будем называть элементарным
состоянием п квазичастиц. Назовем вектор ф^п' = {ф^ }- },
удовлетворяющий уравнению D.4), амплитудой системы квазичас-
квазичастиц, а величину D.5) — ее гамильтонианом. Далее рассматривают-
рассматриваются амплитуды ф, • , полностью симметричные относительно
перестановок индексов f1, . . ., /п, называемые амплитудами тож-
тождественных квазичастиц.
|'n+r-l\
Обозначим через С ^ " ' гильбертово пространство полностью
симметричных тензоров ф'п' = {Ф^...^- } ранга п и размерности г.
Размерность этого пространства равна числу сочетаний из п -\-
-\- г — 1 по п.
Рассмотрим бесконечную прямую сумму
Е= ф с' " I.
п=0
Определение 4.2. Будем говорить, что каждый вектор
оо
этого пространства ф = ф ф(п), удовлетворяющий уравнению
71=0
ih(f = .Еф, D.6)
ОО j i
где Е = © W^n\ W^ = IWj1''"' ,-n}, определяет статистический
п—о : п
ансамбль с переменным числом тождественных квазичастиц, отве-
отвечающих гамильтониану D.3).
Функция ф = ф (t), являющаяся решением уравнения D.6),
называется амплитудой ансамбля тождественных квазичастиц. Оче-
Очевидно, что n-частичные подпространства инвариантны относитель-
относительно разрешающего оператора задачи D.6), который на каждом из
этих подпространств имеет вид ехр -! — —г- tW^n' t.
180

Теорема 4.1. Уравнение D.6) для амплитуды ансамбля
тождественных квазичастиц, отвечающих гамильтониану
унитарно эквивалентно уравнению Шредингера
ih-g?ty = 3V (а, а') г|), г|) е Ьг (Rn), D.7)
1 1
где а = —?=- (х -}- AV), а' = —-р=г (ж — AV). Унитарное преобразова-
преобразование, преобразующее решение уравнения D.7) в решение уравне-
уравнения D.6), имеет вид D.8).
Доказательство, Рассмотрим унитарное преобразова-
преобразование U: L* (Rn) -> ?":
( ^ (х) dx = U^. D.8)
Обратное преобразование гр = ?/+ф имеет вид
Докажем, что эрмитовы операторы Е\\Ж, определяющие уравнения
D.6), D.7), эквивалентны относительно указанного унитарного
преобразования, т. е.
U о Н о U+= Е.
Для этого заметим, что матричные элементы (U о Д о Ьг+)г1' '',т
при унитарном преобразовании D.8) могут быть найдены дифферен-
дифференцированием:
181

где
О C, Р) = (фо, e^b
Учитывая следующие свойства векторов г|>р = е ' г|>о:
справедливые при любом комплексном р 6Е Сг, найдем произво-
производящую функцию оператора
Дифференцируя ряд D.10) по р и р, получим, что элементы ,D.9)
при п ф т равны нулю, а при п = т совпадают с И7;1'"",™ —
единственными ненулевыми элементами оператора.
Это и завершает доказательство теоремы 4.1.
§ 5. Амплитуда трубки траекторий
в фазовом пространстве
В гл. VI мы изучали интеграл по траекториям в фазовом про-
пространстве — континуальный интеграл Фейнмана в «гамильтоновой
форме». Возникает естественно вопрос о вычислении амплитуды
трубки траекторий в фазовом пространстве. Отметим, однако, что
такая трубка в силу принцииа неопределенности не имеет физичес-
физического смысла «черной трубки». Действительно, разбивая интервал
времени [0, t] на промежутки At мы должны будем в каждый момент
ставить по очереди диафрагму по координатам п диафрагму по им-
импульсам и в результате в пределе ни по импульсам, ни по коорди-
координатам мы не получим полного поглощения на границе трубки. Вы-
Вычисление таких амплитуд представляет интерес лишь с точки зре-
зрения их колмогоровского продолжения на любые подмножества мно-
множества конечных траекторий.
12
Пусть Н= Н (р, х), р = idldx (Н (р, х) принадлежит С°° и огра-
ничена со всеми производными) — производящий оператор по-
лугруппы, а ех (х), ег (р) — характеристические функции некоторых
°граниченных областей Qx и Qp bi-и р-пространствах соответствен-
соответственно. Амплитуда трубки траекторий, заключенных в области Рж X
X Рр, очевидно, равна пределу при N -> оо выражения
{idldx)e1 (x)]N% (x),
to = t/N, i)H e c°°.
182

Очевидно, TN->0. Еслиже Qx =R, то ex (x)exp {ill At} e2 (idldx) —
= ex (x)e2 (idldx) + iel(x)Hei (idldx)At + О ((AtJ). Поэтому Г^ =
= <?! (г)ехр {itet (x)He2 (idldx)} e2 (idldx)e1 (x)ip0 (x) + О (At). По-
Поэтому амплитуда трубки равна е1 (ж)ф (х, t), где ф (х, t) — решение
задачи idtp/dt = ег (х)Не2 (id/dx)<p, ф (х, 0) = e2(idlx)el(x)\p0 (х). Со-
Соответственно для оператора с унитарной нелинейностью
1 2
(id/dt)q> = ^ (Х)Н (р, х, [ф* (р)ф (х)егРзсе1(х)еа (р)))ег (idlдх)ц> мы по-
получаем неаддитивную амплитуду. Процесс униформизации этого
уравнения (эквивалентный переходу к шредингеровской картине
вторичного квантования) приводит к аддитивной амплитуде, отве-
отвечающей вторично квантованному уравнению.
Асимптотика при h -» 0 решения последнего урапнения (если
в производные ввести множитель К) строится аналогично гл. VI,
если хотя бы одна классическая траектория попадает в «трубку»;
если же ни одна классическая траектория не попадает в эту «трубку»;
(т. е. прохождение электронов через трубку есть чисто диффракци-
онный эффект), то возникает весьма актуальная проблема вычисле-
вычисления такой асимптотики (экспоненциально малой). По-видимому,
в этом случае нужно искать экстремальную траекторию в классе
траекторий, допускающем скользящие лучи вдоль границы трубки,
я главный член асимптотики будет совпадать с асимптотикой реше-
решения краевой задачи с нулевыми условиями на части границы, вдоль
которой скользит экстремаль.
Аналогом черного тела (или черной «трубки») конфигурационного
пространства служит в импульсном пространстве так называемый
сепаратор скоростей. Подобно тому как «черное тело» поглощает
все частицы, которые в него попадают, сепаратор скоростей погло-
поглощает все частицы, скорости которых не принадлежат к данному се-
сепарируемому интервалу скоростей. Аналогичную роль играют все-
всевозможные фильтры радиочастот.
Сепаратор скоростей применяется обычно в молекулярных пуч-
пучках, т. е. для классических частиц. Возникает вопрос о вычислении
интенсивности электронного пучка, прошедшего через сепаратор
скоростей, с учетом квантовых диффракционных эффектов. Из глав
VII и VIII видно, что эта задача существенно более тонкая, чем те,
которые мы решали с помощью Т-отображения, и ее решение требует
детального анализа амплитуды множества путей в пространстве
скоростей, который мы проведем в следующей главе.

ГЛАВА IX
КОМПЛЕКСНАЯ МЕРА В ИНТЕГРАЛЕ ФЕЙНМАНА
§ 1. Комплексная мера в интеграле Фейнмана
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шредингера
в р-представлении:
$ (р, 0) - -ф0 <= С (Rn). A.1)
Если потенциал г; (х) принадлежит 33Q (Rn), ([16]
(гл. II, § 3)), то преобразование Фурье v принадлежит
C+(Rn), и решение задачи A.1) можно представить в виде
ряда теории возмущений, сходящегося в норме С (R"):
*(S, 0-етр{-
I —1 ft =1
где s = (slt . . ., S[) принадлежит Z-мерному симплексу
Di- {s|0 < sx < . . . < st < f}; S;+i — f; p — (Pi, . . .
.. ., Pl) e= Rni, pk e Rn, p0 = 0.
В этом параграфе вводится комплексная мера т„ на
некоторой 0-алгебре траекторий, имеющая ограниченную
вариацию, и A.2) может быть записана в виде интеграла
по мере т„:
t
$(S, 0 = SФоE - р()exp {-=±- jj IS - рт |2 йт}^(Рх). A.3)
184

В конечномерных аппроксимациях континуального
интеграла Фейнмана (см. гл. VI, §§ 1, 2 и гл. VII) траекто-
траектория частицы является непрерывной кусочно линейной
функцией. Следовательно, ее импульс будет ступенчатой
функцией. Для определенности будем считать, что сту-
ступенчатые траектории, аппроксимирующие траекторию
в импульсном пространстве, непрерывны справа. Мно-
Множество таких траекторий, образующее линейное простран-
пространство, обозначим через SP.
Рассмотрим банахово пространство $?<, непрерывных
траекторий, заданных на [0, t) и оканчивающихся в точке
нуль: х^\ [О, t] —» Rn, xt = 0, | х^ \ = max | жт |. Обозна-
Обозначим через $Р0 подпространство 9Ь, ограниченных ступен-
ступенчатых траекторий, начинающихся в нуле и имеющих
любое конечное число точек разрыва. Каждой траектории
Pi €Е З^о сопоставим непрерывный линейный функционал
на 3?0: (р, х~у = I x^dp^. Норма в 5s 0 задается формулой
|| рт || = sup | <р, х) |, || Хт: || < 1, совпадающей с опреде-
определением нормы сопряженного пространства.
Пусть N — целое положительное и 3d (RnN) — о-ал-
гебра борелевских подмножеств RnN (см. [19, 24]). Рас-
Рассмотрим класс А подмножеств множества Ifta, элементами
которого являются множества ступенчатых траекторий
вида: {Рг | (Ри, . . ., p,N) e5), BeS (RnJV) @ < tx <
<^ . . . <^ tN = t). При фиксированных tj (I ^ ; ^ N)
класс Stjv подмножеств этого вида является алгеброй. По-
Поскольку две произвольные алгебры 91^ и %м содержатся
в некоторой третьей, то класс А является алгеброй. Через
,Л мы будем обозначать а-алгебру, порождаемую алгеб-
алгеброй А, а через" %а (pS) — характеристическую функцию
множества а €Е А- , , ,
Обозначим через pri, (p, s) непрерывную справа сту-
ступенчатую траекторию [0, t] —>Rn, имеющую I скачков
Рк Ръ — Pi, ¦ ¦ •. Pi — Pi-i в точках (s1; . . ., st: px,, =
= pj при Sj ^ т < Sj+1, / = 0, 1, . . ., I. При фиксиро-
фиксированных Sj, . . ., Si величина %а (p^j (•, s)) 'является ха-
характеристической функцией некоторого борелевского мно-
множества в R"'. Рассмотрим интеграл
mf (a) = ysypf (p)Xa(P^,i(P,s)) = ^ds(%а(рт,,(•, s)),/>;
здесь sgB,, a <= A, f e C+(R"<) ([16] гл. II, § 3);
v (ЕЕ. 330 €± v ЕЕ С+ и пусть v непрерывно в 0. Комплскс-
185

del
ная амплитуда mf (a, s) = (%а (рт,г (•, s)), /> есть
0-аддитивная комплексная мера на о-алгебре Л- Она яв-
является простой функцией параметра s ЕЕ Dh если а ЕЕ
ЕЕ А, и измеримой, если а ЕЕ Л- Отсюда стандартным
образом выводится, что nij (•) также является о-аддитив-
ной комплексной мерой на а-алгебре Л, причем var mf <^
^.ctl\\f\\c+, с = const. Значит, любая конечная сумма
ft
k (a) = fo%tl @) + 2 [ ds \ dp ft (p) %a
тл
где /г ЕЕ С+ (Rnl), является cr-аддитивной комплексной
мерой на Л. Далее используем известную процедуру про-
продолжения.
Известно, что если последовательность комплексных
мер {тА}Г фундаментальна относительно нормы || га [| =
= var (т), то Нт тк (а) = т (а), а ЕЕ .Л, существует
и является а-аддитивной мерой на Л. Убедимся, что если
(при v ЕЕ С+ (R"), р0 = 0)
г
П(pi, • • •, pi) = (-i-)"'72 DгУ П »(р* - Pfc-i),
re ^l
то последовательность мер т* (а) фундаментальна относи-
относительно нормы || • ||. Действительно, если к > г, то при
Г —> оо
var (тк - тг) < 2 var (m'+i - ml) < S Г (rf)' IIv I». "* °
Таким образом, мы установили, что если v ЕВ 53О, то
комплекснозначная функция множества
„ (а) = Ха @) Н- 2 ^ rfs Ji dP/i (Р) Ха (Pt.i (p, «))¦
есть а-аддитивная функция на Л, причем var mv ^
<; ехр {с || г; || gsjk}. Интеграл по этой мере будем ниже
обозначать j ... dmv.
def
Теперь мы докажем, что мера \mv\ = var mv сосредо-
сосредоточена на множестве ступенчатых траекторий, имеющих
любое конечное число точек разрыва.
186

Ниже будет доказано *), что функции мпожестпа | ц„к | п |1„^,
равные по определению
к
P П ^(Pr —Pr-l) la (Px.fc (P-s)).
являются мерами, сосредоточенными на множестве ступенчатых тра-
траекторий, имеющих не более к точек разрыва.
Как мы видели выше, ряд 2 var fi,%&= 2 var (mfe — т11) схо-
сходится. Поэтому для любого е существует столь большое Лг, что
2 var!lB,s^e- При этом мера ^ I Iх „ % I п комплексная мера
»,Jc сосР0Доточеш>1 па ступенчатых траекториях, имеющих не
<
более N точек разрыва. Следовательно, дополнение к множеству
ступенчатых траекторий, имеющих любое конечное число точек раз-
разрыва, имеет меру | mv |, равную нулю. Иными словами, мера | mv \
и комплексная мера mv сосредоточены на множество ступенчатых
траекторий, имеющих любое коночное число точек разрыва.
Покажем теперь, что мера | \iv fe | сосредоточена на ступенчатых
траекториях, имеющих не более к точек разрыва. Для этого нам до-
достаточно убедиться, что если С1 ZD Сг Z) . . • — произвольная убы-
убывающая последовательность множеств из Л и | \iv ft | (Сг) ^ б ]> О
при всех г = 1, 2, . . ., то пересечение Г) Сг не пусто и содержит
хотя бы одну ступенчатую траекторию, имеющую не более к точек
разрыва.
Поскольку плотным множеством в пространстве С+ (Rn) являет-
является множество линейных комбинаций 8-функций Дирака и функций
из С^° (Rn) п характеристическая функция любого борелевского мно-
множества в Rn)c имеет норму в C**(Rn/t) равную единице, то существу-
существует такая функция w, являющаяся линейной комбинацией б-функции
на Rn и функций из CjJ° (Rn), что для любого множества
«6/1 vara ((.i0 k — nW:k) ^ 6/2. В этом случае varc ^«.^^ ^/2 .
Поскольку СТ ZD Cr+i 3 . . •, то существует предел
lim %c (i\) = inf %с (Рт) = % (Р,) •
Г-»оо г г т
Далее, в силу теоремы Лебега, можно совершить предельный пере-
переход под знаком интеграла**)
к
pjllw {р. - р§_г) | % (Ртд- (Р,«)) > Inn varc^^j >-|- > 0.
*) Доказательство принадлежит А. М. Чеботареву.
** |гг>| понимается как предел модулей последовательности
функций, из С^°, слабо сходящейся к го.
187

Следовательно, существуют такие р ?Н R"^ н ? 6= Г>ь что
функция % (p,(S (р, ?)) = 1. Но поскольку Cr+i С Сг, то Хс >
;> Хс ; следовательно, рт/с (р, ?) €Е Сг при всех г = 1, 2, ....
Следовательно, существует траектория, имеющая не более к то-
точек разрыва, принадлежащая пересечению множеств Сг.
§ 2. Преобразование Фурье комплексной меры
Вычислим сначала интеграл простой ограниченной
функции ф, заданной на ?Рй, относительно меры mv. Пусть
{аи}Т — набор попарно непересекающихся множеств из
Jl, и пусть ф (?>г) = срь если рх Е= ак. В этом случае
dmB = 2 Ф(?те («*) = Ф @) + S ^s $ dP/( (i3) Ф (P^.i (P.s))-
B-1)
Ряд в B.1) сходится абсолютно.
В силу комплексного аналога теоремы Лебега формула
B.1) остается справедливой и для любой измеримой отно-
относительно Л ограниченной функции на ,SP0.
Примером такой функции является следующая функ-
функция от р^е. SP0:
t
ехр |-^- \j x^dpX , x%
о
Вычислим интеграл
^ j /na (pT) = Fmv,
о
называемый преобразованием Фурье комплексной меры mv:
Fm, = 1 + 2 S dsS dP/i (P) exp {-f 2 ^Sj (Pi - ft-i)} L^o =
(^i L 3=1 J
3=1
i=1 о о Ri»r
хД У(?;)ехр{-^-
1 l
3=1 ч 3=1
188

Итак,
Fmv = exp {- 4" [»(*«) dt} . B.2)
Аналогично получается формула A.3), дающая пред-
представление решения уравнения Шредингера в виде инте-
интеграла по комплексной мере.

ЛИТЕРАТУРА
1. Л р с о п ь о в А. А., Существование обобщенных решении
уравнения Власова, ЖВМ п МФ, 1975, 15, 1.
2. Б е л о в В. В., М а с л о в В. П., Теория возмущений комп-
комплексных марковских цепей, приложение к книге: Белов
В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е., Теория
графов М., «Высшая школа», 1976.
3. БорезинФ. А., Метод вторичного квантования, М., «На-
«Наука», 1965.
4. Б е р с :; и н Ф. А., Квантование, Изв. АН СССР, сер. матем.,
1974, 38, 5, 1116—1175.
5. Б о г о л ю б о в II. Н., 1Г1 и р к о в Д. В., Введение в тео-
теорию квантованных полей, М., «Наука», 1973.
6. Владимиров В. С, Уравнения математической физики,
М., «Наука», 1973.
7. ГельфандИ. М., Я г л о м А. М., Интегрирование в
функциональных пространствах и его применения в квантовой
физике, УМН, 1956, XI, 1, 77—114.
8. Годунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схе-
схемы, М., «Наука», 1973.
9. Д а л е ц к и и Ю. Л., Континуальные интегралы, связанные
с операторными эволюционными уравнениями, УМН, 1962,
XVII, 5, 3-115.
10. Зоммерфельд А., Гл. XIX в книге Франк Ф., М и-
з е с Р., Дифференциальные уравнения математической физи-
физики, М.— Л., ОНТИ, 1937.
11. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероят-
вероятностей, М., «Наука», 1974.
12. Майков Е. В., Ф о м и н С. В., Мера в функциональном
пространстве и разностные схемы, ДАН СССР, 1963, 149, 3,
525—526.
13. М а с л о в В. П., Теория возмущений и асимптотические ме-
методы, М., МГУ, 1965.
14. М а с л о в В. П., К методу стационарной фазы для контину-
континуального интеграла Фейнмана, ТМФ, 1970, 2, 1, 30—35.
15. М а с л о в В. П., Определение комплексных марковских це-
цепей и вывод уравнения Шредингера, ДАН СССР, 1970, 192, 2,
272—275.
16. М а с л о в В. П., Операторные методы, М., «Наука», 1973.
17. М а с л о в В. П., Чеботарев А. М., Представления ре-
решения уравнения типа Хартри в виде Г-отображення, ДАН
СССР, 1975, 222, 5, 1037—1040.
190

18. Петровский II. Г., Лекция по теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, М., «Наука», 1970.
19. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А., Теория вероят-
вероятностей, М., «Наука», 1973.
20. Самарский А, А., Г у л и н А. В., Устойчивость раз-
разностных схем, М., «Наука», 1973.
21. Фаддеев Л. Д., Интеграл Фейнмана для сингулярных лаг-
лагранжианов, ЖТМФ, 1969, 1, № 1, 3—18.
22. Ф е й н м а н Р., X и б б с А., Квантовая механика и интег-
интегралы по траекториям, М., «МИР», 1968.
23. Фрадкин Е. С, Метод функций Грина в квантовой теории
поля и в статистике, Тр. ФИАН, 1965, 29, 1—130.
24. X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ н
полугруппы, М., ИЛ, 1962.
25. AchmanovS. A., Hochlov R. V., Suchorukov
А. Р., Self — fokusing, self — defokusing and self — modula-
modulation in nonlinear medium, «Laserhandbuch» v. 2, Holland —
press, 1972. 5—108.
26. DashenR.F,, HasslacherB., Neven A., Non-
perturbation methods and extended — hadron models in field
theory. I. Semiclassical functional methods, Phys. Rev., 1974,
D 10, 12, 4114—4129.
27. F a t e у e v V . A., S с h w а г z A. S., Tyupkin U.S.Jo-
pologically nontrivial particlas in quantum field theory P. N. Le-
bedey, Phys. instit., Moskow, 1975, preprint, № 157.
28. Fujiwara D., Fundamental solution of partial dlifferenti-
al operators of Schrodinger's type. I, Proc. Jap. Acad., 1947, 50,
8, 566—569.
29. К a t о Т., Quasilinelar equations of evolution nith application
to partial differential equations, Lect. Notes. Math., 1975, 448,
25-70.
30. Nelson E., Foynman integrals and the Schroedinger equati-
equation, J. Math. Phys., 1964, 5, 3, 332-343.
31. Rajaraman R., Some non-perturbative semi-classical met-
methods in quantum field theory (a pedogogical review), Phys. re-
reports, 1975, 21C, 5.
32. Woinstein A., On Maslov's quantization condition, Lect.
Notes Math., 1975, 459, 341—372.
33. Y о s h i k a v а В., On Maslov's canonical operator, Hokkaido
Math. J., 1975, 4, 1, 8—38.