ТЕОРИЯ
Ч ИСЕЛ
ПРСГЯкШНИЕ
А. А. БУХШТАБ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ. ИСПРАВЛЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ!
МОСКВА 1866
Данная книга рекомендована Ученой комиссией
по  математике ГУВУЗа' Министерства просвеще-
ния РСФСР в качестве'учебного пособии для сту-
дентов физико-математических факультетов педа-
гогических институтов.
2-2-3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить
в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел
на физико-математических факультетах педагогических институ-
тов и в университетах. Теоретико-числовые вопросы вызывают
интерес не только у специалистов математиков, но и у значи-
тельно более широкого круга людей, задумывающихся над от-
дельными арифметическими проблемами, и автор старался учесть
интересы читателей в этом отношении. Охватывая полностью
учебную программу по теории чисел, книга содержит и допол-
нительный материал, развивающий тот небольшой обязательный
курс, который проходится всеми студентами-математиками в педа-
гогических институтах. Этот дополнительный материал может
быть использован при организации работы спецсеминаров, а также
в качестве основы для ряда курсовых работ по теории чисел.
Содержание курса теории чисел в педагогических институтах
заключено в следующих главах: 4 (п. 1), 5, 6 (п. 2), 7, 8, 9,
10, 11, 13, 14, 15 (п. 1 и 3), 16, 17, 18 (п. 1), 19 (п. 1 и 2),
20 (п. 1), 21 (п. 1, 2 и 3), 23, 24 (п. 1 и 2), 25 (п. 1 и 2),
26 (п. 1), 28 (п. 1), 29 , 30, 33 (п. 1), 35 (п. 1 и 2), 36.
Автор старался добиться того, чтобы читатель мог в этой же
книге найти все то, что используется при доказательстве теорем
курса. В связи с этим в 1-й главе сформулирован ряд общих
математических положений, теорем высшей алгебры и математи-
ческого анализа, используемых в дальнейшем.
2-я и 3-я главы излагают арифметику целых чисел. Этот раздел
арифметики фактически является базисом всего дальнейшего
построения самой теории чисел. В педагогических институтах
арифметика целых рациональных чисел проходится в курсе эле-
ментарной математики и эти две главы могут быть использованы
при изучении этого курса.
В книге введена сплошная нумерация теорем (арабскими
цифрами). Это дает возможность более удобно пользоваться под-
робными ссылками. В конце книги (начиная примерно с 31-й
главы) ссылки, когда они связаны с применением элементарных
теорем теории делимости или теории сравнений, носят менее
3
систематический характер. Теоремы, относящиеся к другим раз-
делам математики и помещенные в книге только в качестве спра-
вочного материала, перенумерованы римскими цифрами. Основ-
ная часть теорем теории чисел дана с полными доказательствами.
Некоторые теоремы даются без доказательств. Автор считал, что
в тех случаях, когда важный результат не может быть дан
с доказательством ввиду его сложности, полезно по крайней
мере сформулировать его, вводя читателя в круг интересов
современной математики.
Большое место в книге занимают вопросы исторического раз-
вития теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк
развития теории чисел, история предмета освещается и в самом
тексте, а в конце многих глав помещены исторические ком-
ментарии.
Автор старался везде, где это возможно, ввести читателя
в курс современного состояния рассматриваемых вопросов и дать
представление о теории чисел как о развивающейся науке.
А. Бухштаб
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В скобках указаны страницы, на которых введены или впервые встре-
чаются эти обозначения.
а£М —а элемент множества М (стр. 15).
((ац Оз, ...,ад))—комплекс (стр. 17).
Ь | а —Ь делитель а (стр. 19).
1)\а —Ъ не делитель а (стр. 19).
f, (х)	© (х)— асимптотическое равенство функций ) (х) и со (х)
(стр. 26).
О(со(х)), о (со (х)) — (стр. 26 и стр. 27).
(аъ а2, ... , ап)—наибольший общий делитель чисел а1У а2. ... ,ап
(стр. 38).
[я1( а^, ... , а„] — наименьшее общее кратное чисел я1Р а2, ... , ап
(стр. 41).
1<х] — целая часть числа а (стр. 48).
{а}—дробная часть числа а (стр. 49).
a1+JJa4+.. ,+^«« — конечная цепная дробь (стр. 59).
е—основание натуральной системы логарифмов.
л—отношение длины окружности к диаметру.
a = 6(modm)—а сравнимо с b по модулю т (стр. 72).
а—класс по рассматриваемому модулю т (стр. 77).
ср (т)—функция Эйлера (стр. 89).
L (т) — обобщенная функция Эйлера (стр. 89).
Pra(a), Р (а)—показатель а по модулю m (стр. 140).
ф (Л)— число классов по рассматриваемому модулю т,
показатель которых равен k (стр. 143).
indai> — индекс b по рассматриваемому модулю т и осно-
ванию а (стр. 152).
—символы Лежандра и Якоби (стр. 177 и стр. 191).
a0 + -^ai + -^Oj+...—бесконечная цепная дробь (стр. 210).
{а, Ь, с} — бинарная квадратичная форма (стр. 278).
(yfi)—унимодулярная линейная подстановка (стр. 279).
{a, b, с}сл-{Л, В, С}—эквивалентность форм {а, Ь, с} и {Л, В, С}
(стр. 279).
5
т(п)—число делителей числа п (стр. 316).
а (л) — сумма делителей числа п (стр. 316).
(г(л)—функция Мёбиуса (стр. 319).
£ (s)—дзета-функция Римана (стр. 321).
Q (х)—число натуральных чисел, не превосходящих х и
свободных от квадратов (стр. 329).
л (г)—число простых чисел, не превосходящих х (стр. 333).
v(n)—число различных простых делителей числа п
(стр. 346).
х)—число простых чисел, не превосходящих х и при-
надлежащих прогрессии (стр. 358).
X (л)—характер п по рассматриваемому модулю h
(стр. 356).
ВВЕДЕНИЕ
1.	ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Первоначальные элементы математики связаны с появлением
навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравни-
тельно ранних ступенях развития человеческого общества в про-
цессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появ-
ляющееся как результат постепенного абстрагирования, является
основой всего дальнейшего развития математики.
Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной
форме математиками давно ушедших поколений, занимает боль-
шое место в современной математике, составляя основное содер-
жание одного из ее ведущих разделов, который мы называем
теорией чисел. При рассмотрении натуральных чисел мы заме-
чаем, что среди них встречаются числа с весьма разнообразными
свойствами. Так, Например, среди натуральных чисел мы выде-
ляем простые числа, и, естественно, возникает вопрос, как
распределены эти числа среди всех натуральных чисел. Мы
можем также заметить, например, что среди натуральных чисел
есть числа, которые нельзя представить в виде суммы двух
квадратов натуральных чисел, и поставить вопрос о том, какие
именно числа обладают этим свойством и как часто встречаются
такие числа.
В теории чисел, естественно, выделяются и рассматриваются
в первую очередь те проблемы, которые глубоко и достаточно
непосредственно связаны с изучаемыми объектами и важны для
построения математики в ее целом. Некоторые теоретико-число-
вые задачи возникают уже в рамках школьного курса арифме-
тики. Исторически теория чисел возникла как непосредственное
развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел вклю-
чают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за
рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматри-
ваются не только натуральные числа, но и множество всех целых
чисел, а также множество рациональных чисел.
Если рассматривать корни многочленов:
= (1)
7
с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответст-
вуют случаю, когда многочлен (1) имеет степень л = 1. Во мно-
жестве комплексных чисел естественно выделить так называемые
целые алгебраические числа, представляющие собой корни
многочленов вида (1) с целыми коэффициентами.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного
из важнейших разделов современной теории чисел, называемого
алгебраической теорией чисел. В теорию чисел включают
также вопросы, связанные с приближением действительных чисел
рациональными дробями. Такие приближения называют обычно
диофантовыми приближениями, по имени великого греческого
математика Диофанта.
Для современной теории чисел характерно применение весьма
разнообразных методов исследований; так, например, многие
проблемы теории чисел могут быть, естественно, сформулированы
в геометрической форме, и к решению такого рода задач при-
меняют геометрические соображения (геометрическая теория
чисел). В современной теории чисел широко пользуются методами
математического анализа; в частности, при изучении вопросов,
связанных с распределением простых чисел, особенно часто
приходится применять теорию функций комплексного перемен-
ного. Теоретико-числовые исследования, в которых существенно
используются методы математического анализа, являются содер-
жанием весьма значительного раздела теории чисел, получившего
наименование „Аналитическая теория чисел".
Развитие теории чисел тесно и непосредственно связано с
развитием целого ряда разделов математики.
Теория чисел не только широко использует методы, разра-
ботанные в смежных математических дисциплинах, но и сама
влияет на формирование этих дисциплин. Так, например, начало
глубоких исследований в теории алгебраических чисел было
связано с так называемой проблемой Ферма о возможности
существования целых положительных решений неопределенного
уравнения хп + у” = гп при п>2; дальнейшее развитие этой
теории оказало решающее влияние на современную алгебру,
а возникшие в теории чисел понятия „кольца", „идеала" являются
одними из основных понятий всей математики нашего времени.
Ряд вопросов теории чисел находит себе применение на практике,
например в теории телефонных сетей (кабелей), в кристаллогра-
фии, при решении некоторых задач теории приближенных
вычислений. Современную теорию чисел можно в основном
разбить на следующие разделы:
1)	Элементарная теория чисел (теория сравнений,
теория форм, неопределенные уравнения). К этому разделу
относят вопросы теории чисел, являющиеся непосредственным
развитием теории делимости, и вопросы о представимости чисел
в определенной форме. Более общей является задача решения
в
систем неопределенных уравнений, т. е. уравнений, в которых
значения неизвестных должны быть обязательно целыми числами.
Неопределенные уравнения называют также диофантовыми урав-
нениями, так как Диофант был первым математиком, система-
тически рассматривавшим такие уравнения. Мы условно называем
этот раздел „Элементарная теория чисел4*, поскольку здесь часто
применяются обычные арифметические и алгебраические методы
исследования.
2)	Алгебраическая теория чисел. К этому разделу
относят вопросы, связанные с изучением различных классов
алгебраических чисел,
3)	Диофантовы приближения. К этому разделу
относят вопросы, связанные с изучением приближения действи-
тельных чисел рациональными дробями. К диофантовым прибли-
жениям примыкают тесно связанные с этим же кругом идей
вопросы изучения арифметической природы различных классов
чисел.
4)	Аналитическая теория чисел. К этому разделу
относят вопросы теории чисел, для изучения которых прихо-
дится применять методы математического анализа.
Конечно, разделение теории чисел на такие разделы не
является стандартным. Иногда выделяют как особую часть тео-
рии чисел геометрическую теорию чисел или из общего круга
вопросов теории диофантовых приближений выделяют теорию
трансцендентных чисел. Надо, кроме этого, иметь в виду, что
часто приходится иметь дело с исследованиями, которые нельзя
ограничивать рамками одного определенного раздела.
В этой книге мы будем относительно подробно изучать тео-
рию сравнений; что же касается теории форм и неопределенных
уравнений, то эта проблематика затронута здесь в очень неболь-
шом объеме. Книга даст также некоторое общее представление
о приближении действительных чисел рациональными дробями
(диофантовы приближения). В аналитической теории чисел мы
ограничиваемся рассмотрением наиболее простых результатов,
полученных элементарными методами. Оставлены в стороне
методы, связанные с применением теории функций комплексного
переменного. Алгебраическая теория чисел совсем не рассматри-
вается в этой книге.
2.	КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
При изложении конкретного материала будут приводиться
соответствующие исторические и биографические данные. Здесь же,
во введении, мы ограничимся весьма кратким общим очерком
истории развития теории чисел.
Ранний период развития арифметики характеризуется тем,
что постепенно и притом весьма медленно развивается сам
9
процесс счета, выявляются возможности неограниченного его про-
должения, создается практическая арифметика, в которой
решаются отдельные конкретные арифметические задачи.
В трудах Евклида теоретико-числовые исследования занимают
сравнительно небольшое место, однако уже у него мы встречаем
ряд основных положений теории делимости и хотя простой, но
чрезвычайно важный результат: бесконечность множества про-
стых чисел.
Греческим математикам был известен способ выделения
простых чйсел из натурального ряда, получивший название
эратосфенова решета. Теорию чисел как особую область матема-
тики можно рассматривать только начиная с работ Диофанта
(время его жизни в точности неизвестно, по-видимому, III век
нашей эры). Диофант рассмотрел ряд задач о представимости
чисел в определенной форме и более общие задачи решения
неопределенных уравнений в целых и рациональных (точнее,
положительных рациональных) числах. Именно эти задачи яви-
лись позднее отправным пунктом всей теории форм и той базой,
откуда возникла проблематика теории диофантовых приближений.
В период упадка античной культуры работы Диофанта были
почти совсем забыты. В VIII—IX веках в арабских странах —
на территориях теперешнего Ирака, Средней Азии и других
стран Ближнего Востока —возникает своеобразная математиче-
ская культура. Арабская математика, культивируя исследова-
ния по алгебре и тригонометрии, проявляла незначительный
интерес к теоретико-числовым задачам. Некоторые арабские
ученые, например Алькарги (XI век), комментировали Диофанта,
несколько развили его символику, рассматривали арифметиче-
ские задачи того же типа, что и Диофант, однако ничего сущест-
венно нового ими не было получено.
В Европе, начиная с эпохи крестовых походов вплоть до
XVII века, развитие теории чисел, как, впрочем, и всей матема-
тики, было очень медленным. Математики обычно рассматривали
только отдельные конкретные задачи теоретико-числового харак-
тера. Общие методы были почти неизвестны. В этот период
в основном развилась практическая арифметика действий. Из
работ этого времени наибольший след в дальнейшем развитии
теории чисел оставили весьма значительные для этой эпохи
работы Леонардо Пизанского (умер в 1250 г.) и работы Регио-
монтана (1436—1476), который нашел труды Диофанта и впер-
вые в Европе стал систематически их изучать.
В XVI и в начале XVII века на латинском и французском
языках были изданы сочинения Диофанта, и ряд математиков
того времени, из которых в первую очередь можно назвать
Виета (1540—1603) и Баше де Мезирьяка (1581—1638), Занялись
комментированием этих сочинений, несколько дополняя их
новыми результатами.
Н)
В настоящем смысле теорию чисел как науку надо считать
начиная с работ французского математика П. Ферма (1601—1655),
получившего основной результат теории делимости на заданное
простое число и решившего ряд важных задач теории неопре-
деленных уравнений.
В XVIII веке Л. Эйлер (1707—1783), большая часть работ
которого была написана у нас в Петербургской Академии наук,
значительно продвинул вперед развитие теории чисел. Л. Эйлер
обобщил основной результат Ферма для случая делимости на
составные числа, создал общую теорию так называемых степен-
ных вычетов, получил очень большое число разнообразных
результатов о представимости чисел в виде форм определенного
типа, исследовал ряд систем неопределенных уравнений и полу-
чил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые.
У Эйлера мы впервые встречаемся с идеей применения методов
математического анализа к задачам теории чисел. Рассмотрение
бесконечных рядов и произведений явилось у Эйлера дейст-
венным орудием для получения теоретико-числовых резуль-
татов.
После работ Эйлера почти все крупные математики XVIII и
XIX веков в той или иной степени занимаются теорией чисел.
В частности, существенный след в развитии теории чисел оста-
вил французский математик Лагранж (1735—1813), развивший
дальше методы Эйлера. Лагранж рассматривал вопрос о пред-
ставлении чисел в виде бинарной квадратичной формы аха +
+ Ьху + су2, доказал теорему о представимости чисел в виде
суммы четырех квадратов и провел существенные исследования
по теории непрерывных дробей.
Большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел ока-
зали и работы А. Лежандра (1752—1833) по теории неопреде-
ленных уравнений высших степеней. Лежандр, между прочим,
нашел также эмпирическую формулу для числа простых чисел
в заданных пределах. Работы Эйлера, Лагранжа и Лежандра
создали базу для цельной теории, получивший позже у Гаусса
название теории сравнений.
Замечательные работы немецкого математика К. Гаусса
(1777—1855) имели особенно большое значение для всей теории
чисел. Работы Гаусса по теории сравнений 2-й степени придали
ей законченный вид, так что в настоящее время вся эта область
теории чисел базируется на результатах, изложенных им в книге
„Disquisitiones arithmeticae". В этой книге рассматривается
также теория квадратичных форм, в которой им были получены
фундаментальные результаты. Гаусс наряду с изучением обычных
целых чисел начал рассматривать также и арифметику чисел,
получивших название целых гауссовых чисел, а именно чисел
вида a + bi, где а и b—обычные целые. Эти его исследования
положили начало алгебраической теории чисел.
11
После работ Гаусса в течение всего XIX века и теперь,
в XX веке, исследования по теории чисел приобретают все
увеличивающийся размах. Крупные математики XIX века: Якоби,
Дирихле, Куммер, Чебышев, Лиувилль, Эрмит, Кронекер, Риман,
Минковский, Золотарев и другие — разрабатывают разнообразные
проблемы теории чисел.
В работах Куммера (1810—1893) и Дирихле (1805—1859),
развитых затем Кронекером (1823—1891), Дедекиндом
(1831—1916) и Е. И. Золотаревым (1847—1878), была построена
теория алгебраических чисел. Работы Лиувилля (1809—1882) и
Эрмита (1822—1901) явились основой теории трансцендентных
чисел.
В 1873 г. Эрмиту удалось доказать трансцендентность числа е,
а в 1882 г. была доказана трансцендентность числа л (Лин-
деман).
Особенно надо отметить работы Дирихле, П. Л. Чебышева
и Римана по теории простых чисел, явившиеся фундаментом
всей аналитической теории чисел. Дирихле впервые доказал
существование бесконечного множества простых чисел в ариф-
метических прогрессиях общего вида и дал асимптотические
оценки ряда важнейших числовых функций.
Чрезвычайно важное значение имеют работы великого рус-
ского математика П. Л. Чебышева (1821—1894). Чебышев пер-
вый дал оценку роста функции л (х), выражающей число простых
чисел, меньших или равных х. Его работы по теории простых
чисел являются основой для целого ряда последующих иссле-
дований в этой области. Б. Риман (1826—1866) дал основные
идеи использования функций комплексного переменного в теории
распределения простых чисел, и эти идеи в работах Адамара,
Валле-Пуссена и ряда других математиков далеко продвинули
эту теорию.
Начиная с работ Чебышева, в теории чисел большую роль
стали играть работы русских математиков, развивавших теорию
чисел во всех ее направлениях. Кроме уже упомянутого
Е. И. Золотарева, разрабатывавшего теорию целых алгебраи-
ческих чисел, в первую очередь надо отметить работы А. А. Мар-
кова (1856—1922) по теории квадратичных форм и выдающиеся
работы Г. Ф. Вороного (1868—1908) по аналитической теории
чисел и теории квадратичных форм.
XX век дал существенные сдвиги в аналитической теории
чисел, развитие которой было связано как с совершенствова-
нием уже известных, так и особенно с созданием совершенно
новых методов.
В начале XX века Э. Ландау, Г. Бор, английские матема-
тики Г. Харди и Дж. Литлвуд, а затем Е. Титчмарш, К. Зигель,
А. Пейдж, Н. Г. Чудаков, А. Сельберг и др. подробно иссле-
довали дзету-функцию Римана и L ряды Дирихле (см. главы 33
12
и 36), совершенствовали технику применения методов теории
функций комплексного переменного к исследованию разнообраз-
ных проблем аналитической теории чисел.
В XX веке стали также применяться (Г. Вейль) так назы-
ваемые тригонометрические суммы, простейшие из которых рас-
сматривались еще Гауссом.
Основное влияние на развитие аналитической теории чисел
оказали работы И. М. Виноградова, глубоко разработавшего
метод тригонометрических сумм и сумевшего с помощью этого
метода решить ряд задач, казавшихся до этого совершенно
недоступными. Применение этого метода нашло свое развитие
в работах целого ряда математиков: Ван Корпута, Л. Морделла,
Г. Давенпорта, Т. Эстермана, Хуа Ло-гена, Н. М. Коробова и др.
В самые последние годы большие успехи в аналитической
теории чисел были достигнуты благодаря глубоким идеям,
внесенным Ю. В. Линником. Эти идеи сближают некоторые
разделы аналитической теории чисел с теорией вероятностей.
Методы Линника нашли свое развитие в работах целой плеяды
его учеников и в целом значительно увеличили возможности
применения L рядов Дирихле к различным проблемам аналити-
ческой теории чисел.
Наряду с методом тригонометрических сумм и теорией рядов
Дирихле в аналитической теории чисел начиная с 1918 г. все
в большей степени применяются элементарные методы.
Метод эратосфенова решета был разработан в работах Виго
Бруна, а другая разновидность решета в работах А. Сельберга.
В последующие годы аппарат метода решета был существенно
усилен.
Советский математик Л. Г. Шнирельман в начале тридцатых
годов разработал общий метод изучения аддитивных свойств
последовательностей натуральных чисел. Идеи, заложенные
в работах Л. Г. Шнирельмана, не только принесли ему успех
в решении ряда конкретных задач, но и внесли в теорию чисел
новую проблематику, связанную с аддитивными свойствами
множеств натуральных чисел.
Проблемы, возникшие на базе работ Шнирельмана, разраба-
тывались в исследованиях А. Я. Хинчина, Г. Мана, Н. П. Рома-
нова, П. Эрдёша и др.
Из элементарных методов нужно особенно отметить разрабо-
танный в конце сороковых годов метод А. Сельберга. В рабо-
тах А. Сельберга основные законы распределения простых
чисел в натуральном ряду и в арифметических прогрессиях
были получены без применения теории функций комплексного
переменного.
Большие успехи в XX веке были достигнуты в теории
диофантовых приближений и в теории трансцендентных чисел.
Новые методы доказательства трансцендентности широких клас-
Й
сов чисел были разработаны советским математиком А. О. Гель-
фондом и немецким математиком К. Зигелем.
Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональ-
ными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем
в пятидесятых годах в работах К. Рота. Эти исследования
позволили изучить число решений некоторых неопределенных
уравнений высших степеней. Общие вопросы диофантовых при-
ближений разрабатывались в работах А. Я. Хинчина.
В последнее время все большее внимание специалистов по
теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.
Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особен-
ности французского математика А. Вейля, результаты которого
были использованы во многих теоретико-числовых исследова-
ниях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем
квадратичном невычете.
К алгебраической теории чисел относятся и интересные
работы советского математика И. Р. Шафаревича, а также
работы Б. Н. Делоне по теории кубических форм.
ГЛАВА 1
ОБЩИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
1. МНОЖЕСТВА С ОПЕРАЦИЯМИ
Высказывания „М—множество, а—элемент множества М“
(записывается а € АТ) рассматриваются как основные, не тре-
бующие определений или каких-либо пояснений. Обычно нам
придется иметь дело с множествами, в которых определена неко-
торая операция.
Определение 1. Будем говорить, что в множестве М опре-
делена некоторая операция*, если установлено соответствие,
при котором каждой паре элементов а £ М и b £М сопоставь
ляется некоторый определенный элемент с Q М, называемый
результатом операции над а и Ь.
Таким образом, согласно этому определению задание опера-
ции означает в сущности задание функции двух аргументов
f(a, b), определенной для всех а и Ь, входящих в М, значения
которой также представляют собой элементы этого множества.
В большинстве случаев мы будем иметь дело с множествами,
для которых определены две операции: сложения и умножения.
Будем, как это общепринято, результат сложения а и Ь назы-
вать суммой слагаемых а и b и записывать в виде а-|-Ь, а
результат умножения называть произведением множителей а и b
и записывать в виде ab.
Будем считать знакомыми читателю такие основные матема-
тические понятия, как „группа", „аддитивная группа", „кольцо",
„поле". Как обычно, кольцо называется кольцом с делителями
нуля, если в нем существует хотя бы одна пара элементов
а и Ъ, таких, что а#=0, Ь=/*0 и а-& = 0. Кольцо называется
кольцом без делителей нуля, если для любых двух его эле-
ментов а и Ь, таких, что а#=0 и 6=/* 0 будет также ab#=0.
* Во всем дальнейшем рассматриваются только так называемые бинарные
операции, т. е. операции с двумя элементами.
15
2. ЧИСЛА
Считая известными читателю различные классы чисел, рас-
сматриваемые в этой книге, а именно: числа натуральные, целые,
рациональные, действительные, комплексные, мы не будем давать
определения соответствующих понятий и обосновывать действия
над ними. В этой главе мы ограничимся только перечислением
основных понятий, операций и тех их свойств, с которыми мы
будем встречаться в книге.
Натуральный ряд чисел будет, как обычно, обозначаться
в виде 1, 2, 3, 4, .... а отдельные его элементы—называться
натуральными числами. Натуральный ряд чисел обладает сле-
дующими основными свойствами, называемыми аксиомой индук-
ции и аксиомой Архимеда.
Аксиома индукции. Если некоторое множество натуральных
чисел содержит единицу и вместе с каждым натуральным чис-
лом, входящим в него, содержит следующее за ним, то оно
содержит все натуральные числа.
Аксиома Архимеда. Для любых натуральных чисел а и b
существует натуральное число с, такое, что Ьс>а.
Сумма и произведение двух натуральных чисел—функции
двух аргументов, определенные во множестве натуральных чи-
сел. Мы не будем напоминать общеизвестные свойства опера-
ций сложения и умножения, а также операций со знаками нера-
венств.
Распространяя понятия суммы и произведения на произволь-
ное число слагаемых и множителей, рассматриваем выражения
вида 2 о, и Ла,. в частности, при а1 = а2= ... =as~a по-
i=i	i=i
следнее произведение обозначается в виде as и называется
s-й степенью числа а. Произведение ab можно рассматривать
как сумму a-j-а+...+а, в которой число слагаемых равной,
или как сумму & + &+... + Ь, в которой число слагаемых
равно а. Каждое число мы рассматриваем как сумму, состоя-
щую из одного слагаемого, и произведение, состоящее из одного
множителя.
С помощью натуральных чисел мы можем считать предметы,
т. е., выбирая порядок следования, приписывать соответствую-
щую числовую характеристику отдельным элементам любого
конечного множества. Вместе с тем натуральные числа позво-
ляют придавать определенные числовые характеристики конеч-
ным множествам в целом, приписывая всем множествам с оди-
наковым числом элементов одну и ту же числовую характери-
стику. Для натурального ряда чисел, пользуясь аксиомой
индукции, доказываются следующие теоремы.
Теорема I. Всякое непустое подмножество натуральных чисел
содержит наименьшее число.
16
Теорема II. Всякое конечное подмножество натуральных
чисел содержит наибольшее число.
Теорема III. Если известно, что некоторое утверждение:
1) верно для 1; 2) из предположения, что утверждение верно
при некотором п, вытекает, что оно верно для п-f-l, то это
утверждение верно для всех натуральных чисел.
Теорема IV. Если известно, что некоторое утверждение:
1) верно для натурального числа а\ 2) из предположения, что
утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что
a^k<.n, вытекает, что утверждение верно для п, то утверж-
дение верно для всех натуральных чисел k^a.
Если утверждение сформулировано в терминах, имеющих
смысл только для натуральных чисел, не превосходящих N, то
из посылок 1) и 2), где	следует справедливость утверж-
дения для всех натуральных чисел k, таких, что
Мы не будем приводить доказательства этих известных теорем.
Доказательства, в которых используется аксиома индукции или
одна из теорем: III или IV, мы будем называть доказательст-
вами методом математической индукции (индукция по п).
Для двух множеств с одинаковым числом элементов имеет
место общий принцип, который мы сформулируем, называя
условно элементы одного множества „ящиками", а второго —
„предметами". Этот принцип мы будем называть „принципом
ящиков".
Теорема V („принцип ящиков"). Пусть имеется некоторое
число „ящиков" и „предметов". Если известно, что: 1) каждый
предмет лежит в каком-то ящике; 2) ни в одном ящике не
лежит более одного предмета; 3) число предметов равно числу
ящиков, то в каждом ящике лежит один и только один предмет.
Доказательство. Обозначим число ящиков через п.
При п=1 утверждение очевидно.
Возьмем л>1 и предположим, что хотя бы один ящик пуст.
Тогда (условия 1 и 3) в остальных п—1 ящиках лежит п пред-
метов, а это противоречит тому, что в п—1 ящиках может
лежать (условие 2) не более п—1 предмета. Предположение,
что хотя бы один ящик пуст, привело нас к противоречию;
значит, все ящики не пусты. Поскольку согласно условию 2
в каждом ящике лежит не более одного предмета, то мы и
получаем, что в каждом ящике один и только один
предмет.
Определение 2. Пусть мы имеем п множеств Mlt Af в, ..., МЛ.
Комплексами из элементов этих множеств будем называть мно-
жества ((а1} а2, ...,а„)), где а^, а3.ап—элементы, взятые
так, что £ Mlt а2 € ТИ2......ап £ Мп, причем выбор элемен-
тов может быть подчинен и некоторым дополнительным условиям.
В частности, множества ML, ........М„ могут совпадать,
и тогда комплексы представляют собой занумерованные наборы
17
из элементов одного и того же множества. Элементы аг, вхо-
дящие в комплекс, будем называть элементами комплекса.
Два комплекса ((а,, а3, . ,.,ав)) и ((bp b2, ...,Ьп)) будем
считать равными тогда и только тогда, когда а1 = Ь1, а2 = Ь2, ...
.... ап = Ьп. Комплекс из двух элементов ((alf а2)) обычно
называют парой.
Теорема VI. Если элемент а( может быть выбран sx спо-
собами, элемент а2 выбран s2 способами и т. д. до элемента
а„, который может быть выбран sn способами, то комплекс
({alt а2, ...,а„)) может быть выбран si-s2-способами.
При п=1 утверждение тривиально. При п = 2 утверждение
справедливо, так как число комплексов ((ах, ая)) получается
равным сумме sx + ... -J- sr, где число слагаемых равно s2, т. е.
мы действительно получаем sx-s2 комплексов. Аналогично дока-
зывается, что если утверждение верно для п, то оно верно и
для п+1, и тогда согласно принципу полной математической
индукции это утверждение верно для всех п^1.
Теоремы I, II и IV справедливы для множества целых неот-
рицательных чисел, если в их формулировках заменить слово
„натуральный" словами „целый неотрицательный". Упорядочен-
ное кольцо всех целых чисел нам придется особенно часто рас-
сматривать в качестве объекта изучения в этой книге.
Как известно, все числовые кольца представляют собой кольца
без делителей нуля, поэтому для множества целых чисел спра-
ведлива теорема.
Теорема VII. Если ak = bk, где а, b и k (&+=0)—целые
числа, то а — Ь.
Множество целых чисел дискретно, а именно имеет место
следующая теорема.
Теорема VIII. Пусть а и Ь—целые числа и а>Ь, тогда
a^b-\-1.
Рассматривая степени целых чисел, мы, по определению при
a?feO, считаем а°=1.
Основную роль во всей арифметике целых чисел имеет тео-
рема о делении.
Теорема 1. Для любого целого а и целого Ь>0 существуют,
и притом единственные, целые q и г, такие, что a = bq + r,
O*£r<b.
Число q называют полным или неполным частным, в зависи-
мости от того, равно ли г нулю или нет; г называют остатком
от деления а на Ь.
Доказательство. Возьмем числа:
b-1, 6-2, 6-3, ...	(1)
При а^О рассмотрим множество М тех чисел в (1), кото-
рые больше, чем а. Согласно аксиоме Архимеда М не пусто,
а, следовательно (теорема 1), во множестве М должно быть
18
наименьшее число, которое мы обозначим через bs'. Обозначим
через s число, на единицу меньшее, чем s'; тогда s+l=s' и
а< Ь (s+ 1).
При а<0, —а>0 мы можем взять множество М тех
чисел из (1), которые больше, чем —а, или равны —а, и обо-
значить через Ы' наименьшее из них; тогда при t = t’—1 будет
bt<.—а b (t + 1), так что
b(—f—l)^a<.b(— О.
Мы видим, что во всех случаях для а и 6(Ь>0) существует
целое q, такое, что
d7^a<d(g+l).	(2)
Обозначая через г разность а—bq, из (2) получаем
г = а—bq<Zb(q+l)—bq = Ь и г 5^0,
так что a = bq-\-r, 0^r<_b.
Докажем теперь единственность таких q и г. Пусть
a*=bq-\-r и a = bq' + r', где	О^г'<Ь.
Предположим
r' — r = b(q — q'),
и, следовательно
сначала, что г’ > г\ тогда bq + г = bq’-}-r',
где 0 г < г' < Ь, так что 0 < г'—r<Zb, q~>q'
(теорема VIII), q^q' т. е.
r'—r = b(q — q')^b.
Мы получили противоречие с тем, что перед этим имели г'—r<Zb.
Точно таким же путем мы получаем противоречие, предположив,
что г>г', т. е. должно быть г'= г, и тогда b(q—q') = 0; а
поскольку &#=0, то q—q' = 0, q' = q.
Определение 3. Пусть а и 6(Ь=/=0)—целые числа, b назы-
вается делителем а, если существует целое число q, такое, что
a = bq. В этом случае а называется кратным b; a q — частным,
от деления а на Ь.
Соотношение делитель а» мы будем записывать для крат-
кости в виде &|а, и эта запись всегда содержит в себе предпо-
ложение, что &=/=0. Если же b не является делителем а, то мы
будем писать Ь-{а. Делитель называется собственным, если он
отличен от самого числа.
Теорема 2, При b > 0 b является делителем а тогда и только
тогда, когда остаток от деления а на Ь равен нулю.
Доказательство. Пусть a=bq-\-r, O^r<,b.
1) Если г = 0, то a = bq и Ь|а.
2) Если &|а, то существует q' такое, что a=bq', и в силу
теоремы 1 о единственности представлений а в виде а = bq + г
получим q = q’, r — Q.
Запишем ряд простых теорем о делимости.
19
Теорема 3. Для любого целого а^в имеем а|а (рефлексив-
ность отношения делимости).
Доказательство. а = а-1.
Теорема 4. Для любого целого а имеем 11 а.
Доказательство. а=Ьа.
Теорема 5.Если Ь\а,то при любом сочетании знаков ± b| ± а.
Доказательство. Если a = bq, то а = ( — Ь)(—q),
—a = b(—q), —а = (— b)q, где вместе с q число —-q тоже
целое.
Теорема 6. Если с\Ь, Ъ\а, то с|а (транзитивность отноше-
ния делимости).
Доказательство. Если a = bq1, b = cq2, где qr и <?2 це-
лые, то а = с?, где q — д^2 тоже целое.
Примечание. Из теоремы 6 непосредственно следует, что, если с]Ь,
с X а, то b /f а,
Теорема 7. Если Ь\а, то при любом целом kb\ka.
Доказательство. Если a — bq, то ka = (kb)q.
Теорема 8. Если kb\ka, k=^Q, то b\a.
Доказательство. Если ka — kb-q, где k=£0, то согласно
теореме VII a = bq.
Теорема 9. Если Ь]а, то при любом целом с Ь\ас<
Доказательство. Если a = bqlt где qt целое, то ac=bq,
где q = cqr тоже целое.
Теорема 10. Если с|а и с\Ь, то с|а + b и с\а — Ь.
Доказательство. Если a = cqlt b — cq2, где <?х и q2 це-
лые, то a + b — cq, где. <? = <?х + целое. Аналогично а—b = cq',
где q' = q1—q2 целое.
Теорема 11. Если с[ах, с|а2, ..., с[ап; &х, b2, ... , Ьп
любые целые, то с\а1Ь1 + а2Ь2-\- ... +апЬп,
Доказательство. Если с|ах, с|а2, ..., с|ап, то, при-
меняя теоремы 9 и 10, получаем последовательно с [ ахЬх, с | а2Ь2,
.... c{anbn; с\а1Ь1 + а2Ь2, с\а1Ь1 + агЬ2 + аЛЬя, .... с|ах6х-|-
-|-а2624-... +апЬп.
Примечание. Из этой теоремы непосредственно следует, что если
с(ах...с\ап_1, Ьъ ••,bn_l>bn любые целые и с (ах&х+ ... +««-Л|-1+
+ а„&й). то с\Ч„.
Теорема 12. Если £»х|ах, Ь2\а2,	&„|ап, то 6x-fe2...
... £>„|ахаг...а„.
Доказательство. Если ох = &х<7х, a2 — b2q2.an — bnqn,
где все qt целые, то axa2. . .an = bxb2.. .bnq, rpfi.q^qlq2.. .qn тоже
целое.
Теорема 13. Если b\a, то при любом целом п 5? 0 имеем bn [ а".
Доказательство. Если п = 0, то 11 1, а при п1 имеем
частный случай предыдущей теоремы, где а1=...=аП^=а и
^=...=^ = 6.
20
Теорема 14. Для любых целых чисел а 1 и #> 1 при неко-
тором з^О.
1) Существует представление а в виде
a = csgs+^-ig^1+ . • •	(3)
где Oe^Ci^g—1 при всех i = 0,	—1 и 0<с^<£—1;
2) при заданном g и наложенных на целые cs условиях пред-
ставление а в виде (3) единственное.
Доказательство. ^Существование. Возьмем любое
£>1 и применим метод математической индукции.
При а=1, взяв s = 0, c0=l=sSg—1, получаем равенство (3)
в виде 1=с0. Предположим, что рассматриваемые представле-
ния (3) имеют место для всех натуральных чисел а, меньших,
чем п. Согласно теореме 1 для п и g можно найти целые неот-
рицательные числа пх и г, такие, что
n = gnx + г, 0 < г < g— 1.
Легко видеть, что пх<п. Действительно, если быбылопх^п,
то, поскольку g> 1, г ^=0, мы имели бы n = gnx + г>> и.
Рассмотрим два возможных случая:
а)	Если пх = 0, то и = г, т. е. равенство (3) осуществляется
при s = 0, с0 = г.
б)	Если пх5э1, то 1=спх<я, и согласно предположению
о существовании представления (3) для всех чисел а^п, т. е.,
в частности, и для их, имеем:
при некотором / и O^r^g—1 (i = 0,	rt>0. Тогда
« = g«l + ''=:''tgl+1 + rt-jg'-l- ... +r<^+r,
т. e. представление (3) осуществляется при s = Z-j-1, cf = rt,...,
cx = r0, с0 = г. Согласно принципу полной математической индук-
ции (теорема IV) существование рассматриваемых представлений
доказано для всех натуральных чисел.
2) Единственность. Если
a = ^gJ+---+Gg+co = 4g't+.-.+Gg + <>	(4)
где все с,- и c’i такие, что 0 -с с; =С g— 1, 0 sg ct g — 1, с, > 0,
ci > 0, то, записав (4) в виде:
а = 5(^-1+  •• +ci) + co^g(c/gt-1+ ... +с;)+с'о,
мы получаем равенство двух представлений а вида:
a = gq + r, 0<r=cg—1.
Согласно теореме 1 это возможно только при
c0=ci, ei=c/-J+... +ci	+?;.
21
Проводя для а! то же рассуждение, получаем = затем
С^=с'г и т. д. Теперь легко видеть, что s = tf. Действительно,
если, например, было бы s<t, то, получив с0 — с^, С1 = с'Л,---.
c^=cs, мы могли бы сократить обе части на общие слагаемые
еа, Cig, • • •, csgs и, поскольку c't > 0, получили бы в правой ча-
сти (4) положительную величину, равную нулю.
Определение 4, Представление а в виде (3), где при всех I
Q^c^g—1 и с,>0, называется представлением числа в си-
стеме счисления с основанием g. Числа cs, cs_lt ..., с0 называ-
ются цифрами числа а.	_________
Для краткости выражение (3) записывают так: a =	. ,с0,
или даже просто cscs_t. . . с0.
Кольцо целых чисел рассматривается как подполе поля рацио-
нальных чисел. Рациональные числа мы будем записывать в виде
у, где а и b 5= 1 целые, т. е. фактически будут рассматри-
ваться как пара целых чисел, у которых знаменатель всегда
положителен.
Упорядоченное поле действительных чисел не является объек-
том специального изучения в этой книге. Как уже отмечалось
раньше, во введении, теория чисел изучает только вопросы,
связанные с арифметической природой действительных чисел, а
именно такие вопросы, как, например, существование уравне-
ния с целыми коэффициентами, корнем которого является данное
действительное число, приближение действительных чисел рацио-
нальными и т. д.
Действительные числа мы будем обычно обозначать буквами
греческого алфавита а, Р, у, .... но иногда, желая подчеркнуть
то, что величина рассматривается как переменная,— последними
буквами латинского алфавита х, у,	.
Будем считать известными понятия суммы, произведения,
разности, частного, степени действительных чисел. Как обычно,
пустую сумму будем считать равной нулю, а пустое произведе-
ние—равным единице.
Имея в виду интерпретацию действительных чисел на число-
вой оси, мы будем действительные числа иногда называть точками.
Модуль, или, как иначе говорят, абсолютная величина, дейст-
вительного числа а обозначается | а | и определяется формулами:
f а при аэ*0,
'а! 1 —а при а<0.
Для модулей применяются известные соотношения:
2<х(|=^2|аИ	(5)
22
и
(6)
справедливые при любом s, т. е. при любом числе слагаемых
в формуле (5) и множителей в формуле (6). Остановимся, в част-
ности, на некоторых важных свойствах модулей целых чисел.
Теорема IX. Если а—целое число, не равное 0, mo | а | ;> 1.
Теорема X. Среди целых чисел, модуль которых меньше, чем
т, только 0 делится на т.
Во множестве целых чисел имеет место теорема, аналогичная
теореме I.
Теорема Г. Всякое непустое подмножество целых чисел со-
держит наименьшее по абсолютной величине число, причем таких
наименьших по абсолютной величине чисел может быть либо
одно, либо два.
3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ФУНКЦИИ
Будем считать известными читателю не только основные по-
нятия алгебры и математического анализа, но и важнейшие их
свойства. Среди таких понятий у нас будут встречаться понятия:
интервала, сегмента, последовательности, счетного множества,
континуума, предела, непрерывной функции, ограниченной функ-
ции, логарифма, синуса, многочлена, корня многочлена, много-
члена неприводимого над данным полем, симметрического много-
члена, сходящегося и расходящегося ряда, производной, интегра-
ла и т. д. Напомним только определение периодической последо-
вательности.
Определение 5. 1) Последовательность чисел
а0, ах, а2...ап ...	(7)
называется периодической, если существуют и з^О та-
кие, что an+fc = an при всех n^s.
2) Если k и s—наименьшие числа, удовлетворяющие этим
условиям, то k называется длиной периода, a s—длиной пред-
периода.
3) При s = 0, т. е. если существует k 1, такое, что an+k = an
при всех п, последовательность (7) называется чисто периоди-
ческой.
Периодическая последовательность имеет, таким образом, вид
а0> • • • > aj-l> аз.азу • •  > Сл+й-1> • -  •
где после предперйода а0, ....as_x периодически повторяются
одни и те же элементы as, ... , aJ+ft_x,
Чисто периодическая последовательность имеет вид:
а0> • • • > ak-L> а0> • • • >	»
23
где с самого начала периодически повторяются элементы а0,
. .\afe-v
При рассмотрении действительных чисел нам придется поль-
зоваться и соответствующими теоремами, изучаемыми обычно
в курсах математического анализа и высшей алгебры. Перечис-
лим несколько основных положений алгебры и математического
анализа, на которые мы будем опираться в дальнейшем.
Теорема XI. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) над
полем Р существуют два многочлена над этим полем q(x) и г (х),
таких, что
f(x)=g(x)q(x) + r(x),
причем степень г(х) меньше, чем степень g{x).
Теорема XII (Безу—Горнер). Для любого многочлена f(x) =
= аохп + а1хп~1 + ... +ап(п^ 1) и числа а
f (х) = (х—a)g(x) + r,
где g(x) = boxn~1+	bo = a0, Ь^а^-Ь-а^ b2 = abl + ati
= <^-2 +a»-i. r = ai’„_1+an = f(а).
Теорема XIII (формула Тейлора). Для любого многочлена f (х)
f (X + h) = f (X) + А Г (X) + ~ Г (х) + ... + £ Г (X).
Теорема XIV- Любой многочлен над полем Р степени
может быть представлен в виде произведения неприводимых
над этим полем многочленов.
Теорема XV. Пусть F (ар ..., а„, Рь ..., £„)—многочлен над
полем Р, симметрический по отношению к двум системам не-
известных ах,.. .,ап и рп ..., рот. Тогда
F(av ...,ап, р1( ...,Рж) = Ф(о1..oe,Tv ...,тя),
где Ф (а1(..., о„, т1( ..., тя)—многочлен с коэффициентами из Р,
а1,.,.,аП—элементарные	симметрические многочлены от
«1.....«»-
т1( ...,тя—элементарные	симметрические многочлены от
₽i.....IV
Теорема XVI. Пусть alt . ..,а„—корни многочлена f(x) сте-
пени п. Тогда элементарные симметрические многочлены от
ах, ...,а„ выражаются рационально через коэффициенты f(x).
Теорема XVII. Сумма счетного множества счетных множеств
представляет собой также счетное множество.
Теорема XVIII. Последовательность строго вложенных друг
в друга интервалов, длины которых стремятся к нулю, имеет
одну и только одну точку, общую всем интервалам й являющуюся
общим пределом левых и правых концов этих интервалов.
24
Другими словами, если две последовательности действительных
чисел а„ и Pn(n= 1, 2, ...) таковы, что
«1 •< сс2 < а3 < ... < Рз < Ра •< Рх
и lim (Р„—ап) = 0, то существуют lim а„ и lim р„, причем
П —ОТ	П ОТ	п —> 09
lim ocn = lim pn.
Теорема XIX. Пусть f(x)—непрерывная в сегменте [а; 6]
функция; тогда:
1)	f(x) ограничена на этом сегменте.
2)	Если f (а) и f (6) имеют разные знаки, то в этом сегменте
лежит по крайней мере один корень f (х).
3)	Если с—простой корень f(x), такой, что a<.c<zb, то
в достаточно малой окрестности с, слева и справа от с, f(x)
принимает противоположные по знаку значения.
Теорема XX. Пусть f(x) — непрерывная в сегменте [а, 6] функ-
ция; т и М—соответственно наименьшее и наибольшее значе-
ния f (х) в этом сегменте; тогда
ь
т(Ь—a)s=£ j f(x)dx^M (b^a).
a
Теорема XXI (Эйлер).
1)	exi = cosx4-i sin x; 2)	(e*‘4-£“*') = cos x.
Действительное число а можно представлять в виде суммы
бесконечной систематической дроби с основанием системы счи-
сления, равным некоторому целому £>1, т. е. в виде:
« = «о + + р + • • • >	(8)
где все а(—целые числа и при	Q^at^g—1. Сокращенно
формула (8) записывается в виде а = а0, ага2 . . ., где ах, а2,...
называют цифрами дробной части а; а0 называют целой частью а
и записывают также в виде а0=[а]. Мы рассмотрим [а] как
функцию от а в главе 4. В качестве основания системы счи-
сления большей частью берется g~ 10. Известны следующие
теоремы.
Теорема XXII. Любое действительное число а. единственным
образом может быть представлено в виде (8), так что при всех
i 0^a{^g—1 и существуют at^=g—1 со сколь угодно боль-
шими i.
Бесконечная систематическая дробь (8) называется периоди-
ческой, если периодической является последовательность цифр
On ........
25
Теорема XXIII. Действительное число а является рациональ-
ным тогда и только тогда, когда представление а в виде (8)
есть периодическая дробь.
Эта теорема, в частности, означает, что если представление
а в виде систематической дроби по некоторому основанию 1
является периодическим, то периодической будет и системати-
ческая дробь, получающаяся при разложении а с другим осно-
ванием системы счисления.
Нам часто придется рассматривать функции при неограничен-
ном росте аргумента, т. е. рассматривать процесс, при котором
аргумент становится больше любого фиксированного натураль-
ного числа.
Определение 6. Функция f (х) называется асимптотически
равной функции а (х), если при х~т. е. при неограничен-
ном росте х, существует предел отношения и этот пре-
дел равен 1.
Асимптотическое равенство функций f (х) и со(х) записывается
знаком~, так что f(x}~<o(x) означает, что Jim £-1Д=1.
Примеры. 1) хэ + 2хг + Их^хэ; 2) sin у ~ у ;
3) 1п(х-)-2) —1пх.
Асимптотическое равенство / (х) ~ со (х) может иметь место и
тогда, когда разность /(х) и со(х) растет по модулю с увели-
чением х, однако рост (/(х) — ю(х)| медленней, чем рост |/(х)[
и |®(х)|.
Действительно, если =	= * + 6(х), где при
х—»-оо 6(х)—+0, откуда следует, что f(x) = co(x) + 6(x)<o(x),
|f(x)~®(х)| = ]6(х)|’|<о(х)|. Несмотря на то что 6(х) стре-
мится к нулю, произведение 16 (х) |-| со (х) | может неограниченно
увеличиваться, хотя и медленней, чем [со (х) | и |/(х) |. Так,
в только что данном примере f (х) = х8 -J- 2х2 + pGF, со(х) = х8,
a |f(x) — со(х)| = 2х2 +Vx—*оо при неограниченном увеличе-
нии х.
Определение 7. Пусть f (х) и со (х) (со (х) > 0) — две функции,
рассматриваемые на некотором множестве значений аргумента х,
таком, что х—>оо. Равенство f (х) = О (со (х)) (читается „f(x)
равно О большое от со (х)“) означает, что существует постоян-
ная А>0, такая, что | f (х) | < Асо (х) для всех достаточно
больших х, т. е. при х>х0.
Таким образом, О (со (х)) может означать любую функцию f (х),
удовлетворяющую при х>х0 условию |/(х)|< Аш(х), где А
и х0, вообще говоря, различны для различных /(х). Мы можем
всегда записать О (со (х))< Асо (х).
26
Примеры. 1) (jc — 1)а sinх = О(ха); 2) рлЗхв+1+1пх=О(х3);
3) In(1—
\. х) \х)
Теорема XXIV. \)Если /(х) = О(® (х)), g(x)>0, то f (x)g(x)=*
•=0(®(x)g(x)).
2)	Если f (х) — О (® (х)), то О (f (х)) = О (® (х)).
3)	О (ф (х)) ± О (ф (х)) = О (ф (х)).
4)	Если f (х) = О(ф(х)), то О (f (х))Д-0 (ф (х)) = О (ф (х)).
5)	О(ф(х))О(я(х))=О(ф(х)я(*)).
Доказательство. 1) Если f(x) = O(a> (х)), т. е. сущест-
вует Д > О, такое, что при х>х0 имеем |/ (х) | < Дф (х) и Я(х)>0,
то |/(x)g(x)|< Д^(х)ф(х).
2)	Запись О(/(х)) означает, что f(x) положительна для рас-
сматриваемых значений аргумента. Если /(х)<Дф(х), то
IО (/(*)) 1<Д1/(х)< Д1Дф(х), т.е. O(f (х)) = О(ф(х)).
Обозначив O(f(x)) через F (х), мы можем записать это свой-
ство в следующем виде:
Если F (х) = 0 (f (х)), f (х) = 0 (ф (х)), то F (х) — О (ф (х)).
Таким образом, символ О обладает свойством транзитивности.
Можно вместе с тем отметить, что этот символ не обладает
свойством симметричности. Из f (х) = О (ф (х)) не следует ф(х) —
= O(f(x)). Например, 1пх = О(х), но х=/=0(1пх).
3)	Если для первой из рассматриваемых функций 0(®(х))
имеем | О (ф (х)) | < Д^ (х), а для второй (О (ф (х)) | < Д2© (х), то
|О(® (х)) ± О(ф (х))|^[О(ф (x))| + |O(®(x))|<H^2)®(x).
4)	Если f (х) = О (ф (х)), то, применяя свойства 2 и 3, данные
в этой теореме, получаем
О (f (х)) + О (ф (х)) = О (® (х)) + О (ф (х)) = О (ф (х)).
5)	| О (ф (х)) О (g (х)) | = | О (ф (х)) | • J О (g (х)) | < Дхф (х) А £ (х) =
= ДФ(Х)£(Х).
Пример.	Ш (1 +1)+0(1)=0(^)-0(1) +
+°(т)=0(^)+0(т)“0(4)-
Определение 8. Пусть f(x) и © (х) (ф (х) >• 0)—две функции,
рассматриваемые на некотором множестве значений х, таком,
что х—>-оо. Равенство f (х) = о (ф (х)) (читается „/(х) равно о
маленькое от ф(х)“) означает, что	=
Символ о(ф(х)) может означать, таким образом, любую функ-
цию вида в(х)ф(х), такую, что е(х)—>-0 при х—► <».
Примеры. 1) lnx = o(x); 2)	+	=	.
27
Частными случаями определений 7 и 8 являются функции
вида 0 (1) и о(1). 0(1) означает функцию от х, ограниченную
по модулю при всех х>х0, а о (1)—функцию от х, которая
при х —>• оо имеет предел, равный нулю.
Примеры. 1) (1	(О- 2) -^- = 0(1).
ГЛАВА 2
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
1. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Каждое натуральное число п имеет по крайней мере два
положительных делителя: 1 и п. Существуют натуральные числа,
которые не имеют положительных делителей, отличных от 1 и
самого себя.
Определение 9. Натуральное число р называется простым,
если р> 1 и р не имеет положительных делителей, отличных
от 1 и р.
Мы будем обычно простые числа обозначать буквой р. Пер-
вые простые числа в натуральном ряду:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,...
Определение 10. Натуральное число и>1 называется со-
ставным, если п имеет по крайней мере один положительный
делитель, отличный от I и п. Согласно этому определению,
если п—составное число; то у п имеется делитель а, такой,
что n = ab, где Ь — ~ тоже такое, что \<Zb<Zn.
Все четные числа, кроме 2, составные, так как при n — 2k,
й>1 будет 2|п и 1<2<п.
Согласно определениям 9 и 10 множество натуральных чисел
разбивается на три подмножества: 1) простые числа, 2) состав-
ные числа и 3) число 1, которое не причисляется ни к простым,
ни к составным числам.
Теорема 15. Если р и рг — простые числа и р^рх, то р \ Pi.
Доказательство. Положительными делителями простого
рт является только 1 и само р<. Простое число р=/=1 (по опре-
делению) и р¥=Р! (по условию), так что p-fpj.
Теорема 16. Для любого натурального числа п>1 наимень-
ший, отличный от единицы положительный делитель всегда
представляет собой простое число.
Доказательство. Рассмотрим множество М положитель-
ных, отличных от 1 делителей числа п. Множество М не пусто,
так как п € М (п | п и п > 1). Согласно теореме I в множестве
М должно быть наименьшее число ?>1. Если бы q не было
простым числом, то существовало бы а такое, что \<za<zq и
а|</; но так как <? | л, то тогда (теорема 6) было бы а\п, что
28-
противоречит тому, что q—наименьший, отличный от единицы
положительный делитель п. Предположение, что q не является
простым числом, привело нас к противоречию, следовательно,
q—простое число.
Теорема 17. Каждое натуральное число, отличное от 1,
можно представить в виде произведения простых чисел.
Доказательство. Каждое простое число мы рассматри-
ваем в виде произведения, состоящего из одного множителя,
так что для всех простых чисел, и в частности для 2, утверж-
дение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы
верно для всех k, таких, что 2^k<zn. Обозначим через р
наименьший, отличный от 1 положительный делитель п, кото-
рый согласно предыдущей теореме должен быть простым числом.
Тогда п = pk'. Если k' =1, то для п = р утверждение теоремы
верно. Если k’ > 1, то 2sg&'<n и, согласно нашему предпо-
ложению, k', а следовательно, и п представимы в виде произ-
ведения простых чисел, т. е. и в этом случае наше утверждение
верно для п. Согласно теореме IV утверждение теоремы верно
для всех натуральных чисел п 2.
Два разложения на простые множители называются одинако-
выми, если они отличаются только порядком этих простых мно-
жителей; например, разложения 30 = 2-3-5 и 30 = 5-2-3 счи-
таются одинаковыми. Следующая теорема является основной
теоремой арифметики натуральных чисел.
Теорема 18. Для каждого натурального числа п > 1 сущест-
вует единственное разложение на простые множители.
Это значит, что для любого натурального п два разложения
на простые множители могут отличаться только порядком этих
множителей.
Доказательство. Предположим, что множество М на-
туральных чисел, для которых единственность разложения па
простые множители нарушена, не пусто. Тогда согласно теореме I
в множестве М имеется наименьшее число п, для которого
имеются два различных разложения на простые множители:
n = pt ...	=	... <?f.	(1)
Среди простых чисел р1( ..., ps, qlt ..., qt выберем наимень-
шее: пусть это будет, например, рг. Число р± отличается от
всех fy(l	так как если бы Pi = <7,-, то, сокращая равен-
ство (1) на plt получили бы два различных разложения на
п
простые множители для числа —
Pi
которое меньше, чем п. Pi<Zqj
при всех j=l,..., tn (теорема 15) p^q^.
Мы можем, представив qr в виде qr = рхк-\-г, где I,
1 г < подставить это выражение вместо qt в (1). Получим
rt = pip2...p, = Pi&7a...<7t-|-K,	(2)
где Д = гд2.. .qt.
29
Из (2) видно (теорема 10), что pj/?,
=	=	(3)
т. е. г <pi<.qlt R<.n, так что R, согласно предположению,
имеет только единственное представление в виде произведения
простых множителей, которое можно получить, разлагая в форт
муле (3) г и Z на простые множители. Получающиеся тогда из
(3) два разложения R на простые множители должны содержать
одинаковые простые множители, а следовательно, поскольку
Pi• • • > Pi^4t> Pi Iг> что противоречит условию 1 г <рх.
Предположение, что множество М. не пусто, привело нас
к противоречию, следовательно, М пусто, т. е. каждое п > 1
имеет единственное разложение на простые множители.
В разложении п = piP2.. .ps среди чисел рх, р2, .... ps могут
быть одинаковые простые множители, и если, например, среди
них первые k различны, мы можем записать п в виде п = Pi‘.. .рьк.
Если целое число п<0, то —п>0 и, представив —п в виде
— n= р?*...р“к, где все р,-—попарно различные простые числа,
будем иметь п = — pi'.-.p^. Такое представление, как это
следует из теоремы 18, тоже обладает свойством единственности.
Определение 11. Каноническим разложением целого числа
а > 1 называется представление а в виде а = р^1... р^, где
Pi, ..., рк—попарно различные простые числа, ......аА—на-
туральные числа, Каноническим разложением целого числа
a<Z—1	называется аналогичное представление в виде
а. аь
с =—Pi* ...рЛ
При «!=... =аЛ= 1, т. е. а = р1...рЛ, число а называют
свободным от квадратов.
Каноническое разложение n = al...as=bl...bt можно получить,
перемножая канонические разложения чисел al,..., as или чисел
Теорема 18 показывает, что результат получится один
и тот же. В частности, таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 19. Если р—простое число, р^а, р^Ь, то pJfab.
Теорема 20. Если а — ± р^.. .р^—каноническое представ-
ление числа а, то положительное число d является делителем
а тогда и только тогда, когда d = p[*.. .р£*. 0<рх<аг......
0 Ра аь-
Доказательство. Пусть d]a и простое p\d, тогда р]а,
следовательно, согласно теореме 18 р должно совпадать с одним
из чисел рх,..., рА. Таким образом, в каноническое разложе-
ние d не может войти ни один простой множитель, отличный
от р!....pft, т. е. d = p?‘... Рлк-
Если при всех i Osgp,sgcc,, то я = р?.. .Pa* = Pi*. . •pS1’?.
где q = p^~fii.. .pfc*-ftt—целое число, т. е. d\a.
30
Если же хотя бы одно р£>а/( то из предположения a = dq,
т. е. из а = р*'.. .раь = Pi1- • ‘Р*ьЯ, после сокращения на мы
получили бы для целого числа -у два различных разложения
на простые множители.
Таким образом, d = pi‘...p** является делителем а тогда и
только тогда, когда для всех i О 0, < а{.
Последовательность простых чисел неограниченна. Этот ре-
зультат был получен еще Евклидом и помещен в IX книге его
„Начал" в качестве 20-й теоремы.
Теорема 21 (Евклид). Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим, что множество простых
чисел конечно и состоит из чисел 2, 3, 5,..., р, где р —послед-
нее, самое большое простое число. Рассмотрим натуральное
число N = 2-3-5.. ,р + 1.
2^N,	p^N, так как непосредственно видно,
что при делении N на все числа 2, 3, 5, ..., р получается
остаток, равный 1 (теорема 2). Таким образом, N не делится
ни на одно простое число, т. е. (теорема 16) ^ = l; а вместе
с тем непосредственно видно, что ЛГ>1. Предположение, что
множество простых чисел конечно, привело нас к противоречию,
т. е. простые числа образуют бесконечное множество.
В дальнейшем будет показано, что простые числа, хотя их
и бесконечно много, составляют небольшую часть всех нату-
ральных чисел. Можно легко доказать, что в натуральном ряду
существуют сколь угодно большие промежутки, заполненные
сплошь одними только составными числами.
Теорема 22. Как бы велико ни было целое число k^\, в на-
туральном ряду можно найти k составных чисел, непосредст-
венно следующих друг за другом.
Доказательство. Число (k + I)! =2-3... (fe + 1) делится
на все числа 2, 3, ..., fe+I, так что среди чисел
(fe+1)1 + 2, (fe+ 1)1 + 3, ...» (fe+l)! + (fe+l) (4)
первое делится на 2, второе на 3 и т. д. до последнего fe-ro,
которое делится на fe+I. Таким образом, каждое из этих чисел
имеет положительного делителя, отличного от 1 и самого себя,
т. е. все числа (4) составные.
Следующая теорема дает критерий, позволяющий судить,
является ли натуральное число п простым или составным.
Теорема 23. Если натуральное число п(п>1) не делится
ни на одно простое число, не превосходящее ~\/~п, то оно простое.
Доказательство. Если бы п было составным, то п = ab,
где i<Za<Zn, 1<.Ь<п. Числа а и Ь не могут быть одновре-
менно больше, чем \/~п, так как тогда ab было бы больше.
31
чем п. Пусть, например, а^уп . Поскольку а > 1, у а должен
существовать по крайней мере один простой делитель р и тогда
р\п, где	что противоречит условию.
Очевидно, что если п делится хотя бы на одно простое число,
меньшее или равное V~n , то оно является составным.
Для того чтобы из множества натуральных чисел выделять
простые числа, можно взять все натуральные числа до заданной
границы и, пользуясь критерием теоремы 23, определить для
каждого из них, является ли оно простым или составным. Бо-
лее удобен способ отсеивания составных чисел, известный еще
греческому математику Эратосфену (276—194 гг. до нашей
эры).
Этот способ, получивший название решета Эратосфена, осно-
ван на следующей модификации теоремы 23.
Теорема 23'. 1) Если в множестве натуральных чисел
2, 3, 4, .... зачеркнуть числа, кратные первым г простым
числам 2, 3, ..., рг, то первое (наименьшее) незачеркнутое
число будет простым.
2) Если вычеркнуть все числа, кратные всем простым числам
до V~N, т. е. выбрать г так, что pr^.Y N < рг+1, то остав-
шиеся числа будут совпадать с множеством всех простых чисел р,
таких, что Yn'<p^n.
Доказательство. 1) Каждое составное число п делится
по крайней мере на одно простое число, меньшее, чем п. Если
число п не делится пн на одно простое число, меньшее, чем п,
то оно является простым.
2) Каждое составное число л, такое, что YN < п N, делится
(теорема 23) по крайней мере на одно простое р,YW,
т. е. на одно из чисел 2, 3,..., pr(Pr^Y^ <Pr+i)> и, следо-
вательно, будет вычеркнуто.
Простые числа р>р^ не делятся на 2, 3, ,.рг и, таким
образом, не будут вычеркнуты.
Теорема дает следующий алгоритм нахождения всех простых
чисел X; в множестве натуральных чисел
2, 3, 4, 5, 6...
первое число 2 простое. Вычеркиваем все числа, кратные 2;
тогда первое невычеркнутое число 3 простое. Вычеркиваем все
числа, кратные 3; первое невычеркнутое число 5 простое и т. д.
Продолжаем этот процесс, пока не вычеркнем все числа, крат-
ные найденным простым числам 2, 3, ..., рг, где рг такое, что
pr < V~N, а следующее простое рг+1 > 1ЛУ. Все оставшиеся
невычеркнутыми числа дадут нам множество простых чисел,
лежащих между Y^ и N (включая N, если оно простое), а
32
вместе с ранее найденными простыми 2, 3, ..., рг мы получаем
все простые числа, не превосходящие N.
Пример. Пусть W = 50. Последовательные вычеркивания
дают (рис. 1):
Х.Х Л Л Л	>ЛЗ ,17,18,
19,28,21,22,23,24,25,26,27,28,29,38,31,32,33,34,
35,38,37,38,39 М41,42,43,44,45,46,47,48,49,50..
Рис. 1.
Подчеркнуты простые числа	(2, 3, 5, 7). Остались
невычеркнутыми простые числа, лежащие между V50 и 50.
2. ФАКТОРИЗАЦИЯ
Процесс представления чисел в каноническом виде мы будем
называть факторизацией. Общий метод факторизации заданного
числа заключается в том, что п пробуют делить последовательно
на простые числа 2, 3, 5, ..., рг^]/~п до тех пор, пока не
найдется простое число р, такое, что р|п. Если такое р нахо-
дится, факторизация п сводится к факторизации меньшего числа;
если же среди этих всех простых чисел нет ни одного дели-
теля п, то согласно теореме 23 само п простое.
Для больших п этот алгоритм требует долгих вычислений.
Имеются таблицы, с помощью которых можно производить
факторизацию чисел, лежащих в достаточно широких пределах.
Так, например, таблицы Лемера, составленные им ещё в 1909 г.,
дают для каждого натурального числа 10000 000 величину
его наименьшего простого делителя, так что с помощью этих
таблиц можно найти каноническое разложение на простые мно-
жители для любого числа, лежащего в пределах первых
10 миллионов.
Многие математики давали ряд способов, рассчитанных на
уменьшение объема выкладок, необходимых для факторизации
отдельных классов чисел. Некоторые из этих приемов основаны
на применении простых алгебраических тождеств.
Если многочлен f{x) представлен в виде произведения двух
многочленов ф(х) и со(х) с целыми коэффициентами, то при
любом целом п, таком, что ф(га)>» 1 и ш(л)> 1, /(га), очевидно,
представляет собой составное число и факторизация /(га) сво-
дится к факторизации ф (га) и со (га).
Пример (так называемая теорема Софи Жермен).
Число п* + 4 при л>1 всегда составное.
2 А. А. Бухштаб
33
Это следует из того, что п4 + 4 = (я2 + 2п + 2)(л8—2п+2),
где при л>1 оба множителя больше 1.
Факторизацию чисел можно осуществлять с помощью сле-
дующей простой теоремы.
Теорема 24. Рассмотрим при нечетном п^9 числах
N0 = n, Ni = N0 + 1, Nz = Nt + 3, Ns=Ns + 5,...
так, что вообще
N^N^ + Zs-l,
п будет составным тогда и только тогда, когда в выраже-
нии (5) некоторое Ns = t2, т. е. представляет собой полный
квадрат, причем в этом случае п — (t — s)(t-t~s).
Доказательство. Из (5) получаем:
2Vs = n + (l+3+. ,.+(2s— l)) = n + sa	
Если Л^ = «+$2 = /2, то n-t2—s2 = (t — s) (/-,Ls).
1) При s ё; имеем n^6s + 9>2s +1» /2 = n + s2>
J> (s + I)2, t > s-f- 1, t — s> 1, так что «—составное число.
2) Если п нечетное составное, то n = ab, где а и Ь—нечетные
числа, такие, что 3<^а ^1^п,	При 5 = Цр по-
лучаем ^ = « + <!2 = а&+(Ц^у==(ЦДу, где
<у(т~3)» так что Делое	•
Пример. Найти разложение на простые множители
числа 391.
Находим первые числа вида (5):
Уо = 391, Ух = 392, 2У2 = 395, #., = 400 = 20».
Здесь s = 3, / = 20, так что 391 = (20—3)(20 + 3) = 17-23.
Примечание. Если применять теорему 24 для числа п, не деля-
щегося на 2, 3 и 5, то в (5) можно ограничиться значениями s<—.
Действительно, тогда n = ab, где 7<a«sVn, Vn<Z»<-y- и
. b~a 1 ( п
я“—•
Среди отдельных классов простых чисел в свое время зна-
чительный интерес вызывал вопрос о простых числах вида
2”—1. Интерес к этому вопросу возник в связи с изучением
так называемых совершенных чисел (см. главу 33). Простые
84
числа вида Af„ = 2"—1 рассматривались, в частности, фран-
цузским математиком XVII века Мерсенном, и такие числа по-
лучили название простых чисел Мерсенна.
Если число п нечетное составное, то 2" — 1 будет также
составным числом, так как из n = ab,	следует
2оЬ—1 = (2°—l)(2olb-1> + 2olb-2,+ ... +2а+ 1).
При любом четном п Ss 4 числа вида 2" —1 = 1^22 — 1 / 1^22 + 1J
составные.
Таким образом, 2“—1 может быть простым числом только,
если само п = р простое. При простых значениях п = р число
2Р—1 может оказаться простым, но может быть и составным.
Например, при р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 мы получаем простые
числа Мерсенна 22—1 =3, 23—1 =7, 26 —1 =31, 27—1 = 127,
21э—1=8191, 217 —1 = 131071 и 219 —1 =524287, а при р = П,
23, 29 числа 2Р—1 составные.
При больших значениях р определение того, будет ли 2Р—1
простым или составным, требует больших вычислений. Было
выяснено, что 231 — 1 (Эйлер, 1750 г.), 2е1—1 (Первухин, 1883 г.),
289— 1 и 2107—1 (Поуэрс, 1907 и 1914 гг.) — простые числа.
До 1952 г. самым большим известным простым числом Мерсенна
являлось число 2127— Г, простоту этого числа, имеющего 39 цифр,
установил Люка в 1876 г.
Применение быстродействующих счетных машин позволило
за последние годы найти значительно большие простые числа
Мерсенна. В 1952 г. было установлено, что 2Р—1—простое
число при р = 521, р = 607, р=1279, р = 2203 и р = 2281.
В 1957 г. было найдено простое число Мерсенна, 23217— 1,
имеющее 969 цифр. В 1962 г. были найдены два простых
числа Мерсенна 2425а — 1 и 21428 — 1, а в 1965 г. еще три прос-
тых числа Мерсенна, а именно 29в89—1,29911—1 и211213—1. Число
2U213—1 имеет 3376 цифр и является вообще самым большим из
известных нам простых чисел. Существует ли бесконечно много
простых чисел Мерсенна? Этот вопрос не решен до сих пор и,
по-видимому, является чрезвычайно трудным.
Числа вида 2"4-1 могут быть простыми только при п = 2\
Если п имеет хотя бы один нечетный делитель а> 1, то
(п \ ( п .	п .	л \
2° +1} \2а 1	—2“ (а'!, + ...— 2° +1),
где, как легко видеть, поскольку л^З, а^З, оба множителя
больше 1, так что 2" + 1—составное число.
Ферма высказал предположение, что все числа вида Fk —
= 21* -|- 1 простые; это как будто подтверждалось тем, что при
k — Q, 1, 2, 3, 4 действительно получались простые числа
3, 5, 17, 257, 65537. Следующее число такого вида 22‘4-1 было
2’	35
уже настолько велико, что Ферма не сумел определить, простое
оно или составное.
В 1739 г. Эйлер показал, что это число составное, и тем
самым опроверг гипотезу Ферма. Эйлер указал общий путь для
факторизации чисел такого вида, доказав, что все делители числа
вида 22 * +1 должны иметь вид т2"+1.
Простые числа вида 2aiI + 1, как известно, связаны с задачей
построения правильных многоугольников с помощью циркуля и
линейки. Гаусс доказал, что правильный многоугольник может
быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только
тогда, когда число его сторон п равно 2ар1-рг ... ps, где все
простые числа р( имеют вид 22‘ +1. Среди первых 1000 значе-
ний п(п>1) имеется всего только 54 числа такого вида.
Неоправдавшееся предположение Ферма, что все числа вида
22t + 1 простые, естественно ставит задачу построения других
функций f(k), значениями которых при всех натуральных k
являлись бы только простые числа. Функции, которые прини-
мают подряд много простых значений, были известны давно.
Эйлер указал интересный многочлен х2—х + 41, который
при всех целых х от 0 до 40 включительно принимает только
простые значения. При х — 41 и х = 42 значения этого много-
члена будут, однако, уже составными числами. Легко видеть,
что вообще многочлен с целыми коэффициентами не может при
всех натуральных значениях аргумента принимать только про-
стые значения.
Теорема 25. Любой многочлен с целыми коэффициентами при
некотором натуральном значении аргумента принимает значе-
ние, представляющее собой составное число.
Доказательство. Пусть f (х) = аохп + а1хп~1 + ... +а„,
где все а{—целые числа. Предположим, что при некотором k
f(k) = p, где р — простое число. Известно, что многочлен степени
п принимает одно и то же значение не больше, чем в п точках,
так что найдется такое целое f>l, что f(k-[-pt)^=p. Разлагая
f(k + pt) по степеням pt, получаем:
f (k + pt) = f (k) + Ctpt + c2 (pt)2 4- . . . + cn (pt)n, (6)
где все с,-—целые числа. Поскольку f(k) — p, из (6) получаем,
что р| f (# + pt), так что f (k + pt) —составное число.
Пример. Многочлен х2 + Зх+1 принимает простые зна-
чения при х= 1, 2, 3, 4, 5. Однако поскольку f (1) = 5 и f (6)^=5,
то /(6) согласно доказательству теоремы 25—составное число.
Действительно, /(6) = 55. Точно так же из /(2) =11 и/(13)^ 11
следует, что /(13) = 209—составное число.
В теореме 25 предположение, что рассматриваемая функция —
многочлен, существенно.
Известен вид некоторых функций /(х), принимающих при
всех натуральных значениях аргумента только простые значения.
36
Так, например, Миллс в 1947 г. доказал, что существует дей-
ствительное число а, такое, что /(х) = [а*“] при всех целых
х^> 1 принимает значения, представляющие собой простые числа.
В 1951 г. Нивен несколько уточнил эту теорему, показав, что
для любого существует а, такое, что [асХ] при всех целых
х 1 — всегда простое число.
Исторические комментарии ко 2~й главе
1.	Евклид—великий древнегреческий математик, живший
около 300 г. до нашей эры. „Начала" Евклида — важнейшее
произведение всей древнегреческой математической культуры.
Основное его содержание —изложение системы геометрии, однако
в нем рассматриваются и некоторые теоретико-числовые проблемы.
Теорема 19 в несколько другой форме имеется в „Началах"
Евклида.
2.	Теорема 18 по своему содержанию давно известна и часто
неосновательно рассматривалась как очевидное положение.
Точная формулировка с доказательством этой теоремы была
впервые дана Гауссом.
3.	Эратосфен (276—196 гг. до нашей эры) был главным биб-
лиотекарем знаменитой Александрийской библиотеки. Помимо
исследования расположения простых чисел в натуральном ряду,
занимался изучением так называемых многоугольных чисел.
Эратосфен был более известен не как математик, а как географ
и астроном, сделавший, в частности, на основании измерения
длины меридиана между Александрией и Ассуаиом довольно
точный расчет величины земного шара. Он занимался также
хронологией древней истории.
4.	Фибоначчи (Леонардо Пизанский) был первым математиком,
указавшим, что для нахождения делителей числа п достаточно
испытать делимость этого числа на числа, не превосходящие
5.	Теорема 24 основана на идее способа факторизации Ферма.
6.	Мерсенн (1588—1648) рассматривал простые числа вида
2"—1 в своем сочинении „Cogita physico-mathematica". Тот факт,
что числа 217 — 1 и 21в — 1 простые, был установлен итальянским
математиком Катальди (1552—1626) до Мерсенна. В сущности
простые числе, носящие имя Мерсенна, встречались еще в тру-
дах древнегреческих математиков.
Если взять последовательность s1# s2.....зА...,где s1 = 4,
sft = Sfe_i— 2, то (критерий Люка) Mf=2F—1 при простом р бу-
дет . простым числом Мерсенна тогда и только тогда, когда
$р_х = 0 (modp). В настоящее время числа Мерсенна находят,
применяя быстродействующие .электронно-вычислительные ма-
шрцы, обычно используя при этом критерий Люка,,
37
По-видимому, большая часть чисел вида 2Р—1 составные;
например, при простых значениях р в пределах 2300 < р < 3200
все числа вида 2Р— 1 оказались составными,
7.	В настоящее время известно, что числа вида 2а*+ 1 состав-
ные при £ — 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19,21,
23, 25, 26, 27, 30, 32, 36, 38, 39, 42, 52, 55, 58, 63, 73, 77, 81,
117, 125, 144, 150, 207, 226, 228, 250, 267, 268, 284, 316, 452, 1945.
Делители большинства из этих чисел Ферма были найдены
только в самое последнее время с помощью электронных вычис-
лительных машин. До сих пор не обнаружено ни одного про-
стого числа вида 22* 1 при &тэ5.
8.	Первые таблицы для факторизации чисел были опубли-
кованы еще в XVII веке. Одна из них, составленная Пеллем
(1668), дает возможность производить факторизацию чисел в
пределах до 100 000.
Таблица, опубликованная Деммером в 1909 г., дает для
каждого натурального числа, лежащего в пределах первых
10 миллионов, наименьший простой делитель. Польский мате-
матик Я. Кулик (1793—1863), работавший в Пражском универ-
ситете, составил таблицы для факторизации чисел в пределах
до 100000000, но эти таблицы до сих пор не напечатаны.
Издана таблица простых чисел, лежащих в пределах первых
11 миллионов натуральных чисел. Таблица первых шести милли-
онов простых чисел, наибольшее из которых равно 104 395 301,
записана в 1959 г. на микропленке.
ГЛАВА 3
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ.
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
1. ОБЩИЕ ДЕЛИТЕЛИ И ОБЩИЕ КРАТНЫЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Теорема 26. Каждое целое число а^0 имеет только конечное
множество делителей.
Доказательство. Пусть d\a, тогда a — dq. Поскольку
а^О, то т^О, и, следовательно (теорема IX), целое число
|а| = |(/|.|<71 >|d|.
Существует только конечное множество целых d, таких, что
]d|=sS|a|.
Определения 12. 1) Общим делителем целых чисел о1( ... ,ап
называется любое целое d, такое, что d\aly ... ,d\an.
2) Наибольшим общим делителем целых чисел а1( ... , аа
называется такой положительный общий делитель alt ,,. , ап,
который делится на любой другой общий делитель этих чисел.
Наибольший общий делитель числа а1г ... , а„ обозначается
(*i...ап).
38	'
Таким образом, (aL........a„) = d означает:
1)	d>0 целое
2)	d|... , d|a„
3)	если б | a1( ... , б | a„, то 6 ] d
(1)
Теорема 27. 1) Для любых целых чисел а1У ... , ап, из которых
хотя бы одно отлично от нуля, существует наибольший общий
делитель.
2) Если аг = ± р“' ... р°’, ... , ап = ± р}'1 ... pl3, где plt ...
• •• > Ps— различные простые числа, то
(2)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
все ai^=0. Обозначим через рх, ... , р, множество простых
чисел, которые являются делителями хотя бы одного из чисел
aL...ап; тогда а1г ... , ап можно записать в виде
Qi = ± Pi* ... р“\ . .. ,	= ± р? ... Pss,
(3)
где все at-^0, ... , у,-^0— некоторые целые числа. Для этого
достаточно записать каждое -£ 1 в канонической форме и
добавить недостающие простые множители в нулевой степени,
а если af=± 1, то взять а,- = ±р“ . .. р’. Докажем, что
_ min(ai.......Vi) „min (a,....-у,)
— Pi	• • • Ps
является наибольшим общим делителем чисел at.....ап.
Действительно: 1) d> 0. 2) Поскольку min (ctj...ух)>..,
... , a5 min (ctj, . .. , Y$), то согласно теореме 20d|ax, и со-
вершенно аналогично получаем, что d) а2, . .. , d | ап. 3) Если
6 j .....б|сп, то в разложении б на простые множители не
могут содержаться простые множители, отличные от рг...psf
так что б имеет вид б = pj1 ... р*’, где
Лх^ах......так что ^sCminCctx...............уг),
ks < а„ ... , ks < у^, так что ks min (a„ ... , у,)
и согласно той же теореме 20 б | d. Поскольку для d выполнены
все условия (1), определяющие наибольший общий делитель
данных чисел, то d = (a1,	,ап).
Если Ох =£ 0, ... , ап =/= 0 и (а1г ... , ап) = d, то и
(а±........а„,	0........0)	= d.
Действительно: 1) d > 0; 2) d | at, ... , d | аП и d 10.d 10;
3) если б—делитель всех чисел alt . .. , ап, 0, ... , 0, то б,
в частности, делитель аг,	,аа и 6|d.
Таким образом, наибольший общий делитель существует
и тогда, когда часть чисел равна нулю.
39
Теорема 27 дает вполне определенный алгоритм для нахож-
дения наибольшего общего делителя d конечного множества
целых чисел alt ... , а„. Если среди этих чисел есть хотя бы
одно, равное ± 1, то очевидно, что d— 1. Если все они отличны
от ± 1, то оставляем только те из них, которые отличны от
нуля, записываем их в канонической форме, а затем дописываем
недостающие простые множители с показателями, равными
нулю, т. е. берем их в виде (3); наибольший общий делитель
находится тогда по формуле (2).
Если все at равны нулю, то любое целое число 6 будет их
общим делителем, и не существует целого d, которое делилось
бы на все эти 6, т. е. в этом случае наибольшего общего дели-
теля не существует.
Пример. Найти наибольший общий делитель чисел
а= 1000000001 и 6= 1000 000 000 000001, записанных в дво-
ичной системе счисления.
Переходя к десятичной системе, получаем:
а = 2» + 1 = (2е-23+ 1) (23 +1) = 57.9 = 3я-19,
6 = 215 +1 ==(210—25 4-1) (25 +1) = 993-33 = 3’-11-331,
так что d = 32 = 9.
Теорема 28. Наибольший общий делитель чисел aL, ... , а„
всегда больше любого другого общего делителя этих чисел.
Доказательство. Пусть d = [a1, ... ,а„). Возьмем любой
другой общий делитель б этих чисел (6=£d). Согласно опреде-
лению наибольшего общего делителя ({!). условие 3) б |d, так
что d = 6<?, и поскольку d>0, |d| = |6|-|<7|, |g| =£0, т. е.
| <71 5s 1, d 5s [ б | 5s б d, так что d > б.
Теорема 29. Если (ар ... , au) = d, b\d и b>0, то
\b ’ ‘ ‘ ' b ) b '
Примечание. Из 6 | d и d | а/ следуетb | а,, так что все числа уцелые.
Доказательство. 1) d>>0, 6>0, так что-у>0.
2) Из d J а, следует (теорема 8), что у |~ при всех i= 1, ... , п.
3) Пусть б |у при всех i — 1, ... , п; тогда 66 |а,- (i = 1, ... , п);
66—общий делитель чисел ait а, значит, 66—делитель их наи-
большего общего делителя d, т. е. 66(d, а следовательно, по
той же теореме 8, б |у'.у удовлетворяет условиям (1), опреде-
ляющим наибольший общий делитель чисел у, ... ,~f.
Теорема 30.	....a„-i, a„) = ((«v ••• .	«»)•
Таким образом, наибольший общий делитель п чисел (п 5» 3)
можно найти, найдя, сначала наиболъший;общий делитель я—1
40
чисел и взяв затем наибольший общий делитель от полученного
таким образом числа d' = (alt... ,ап_г)и последнего числа ап.
Доказательство. Пусть рх, .,. , ps—простые числа,
делящие хотя бы одно из чисел alt ... , ап.
a1 = ±pil ... р*\ ... , an_i = p't1 ... р^3, a„ = pi‘ ... Psl‘,
где все az^0, ... , pz Ss=0, v,^0 целые.
min(a1....p.tv1) = min(min(a1, ... , pj.vj,
min(a„ ... ,ц5, vj = min (min (af, ... vs),
что согласно (2) и доказывает нашу теорему.
Последовательно применяя теорему, получаем, что если
(av аг) = ^!, (dn a:i) = d2. -   > (^-2. a,t)=4-i> т0 4-i бУДет
наибольшим общим делителем чисел alt а2,	, ап.
Определение 13. Пусть ах......ап—отличные от нуля целые
числа. Наименьшим общим кратным этих чисел называют
наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.
Наименьшее общее кратное чисел at, ... , ап обозначается
[al; . . . , а„].
Таким образом, [ах.....ап] = т означает, что:
1)	т > 0 целое
2)	ах | т, . . . , ап [ т
3)	если Л4>0 и ax | М
а„ \ М, то т^. М
(4)
Положительные кратные любых таких чисел а1г . . . , а„ обра-
зуют некоторое подмножество натурального ряда так, что (тео-
рема I) среди них имеется наименьшее. Таким образом, для
любого конечного множества целых чисел, не содержащего нулей,
существует наименьшее общее кратное.
Теорема 31. Если ах = ± р“* ... р*’, ... , аП = ± pi' ..  Ps’, где
все а{^ 0....Yi ^O — целые числа, то
m = [at...ап]=рТая (а‘.V1’	... р?ах(а.’Ч (5)
Доказательство. 1) т>»0 целое.
2) max (ax, .. . , ух), ... , as max (a^, ..-. , yj, так что со-
гласно теореме 20 ах | т. Аналогично получаем, что а21 т,... ,ап [ т.
3) Пусть Л4>0 целое и ax | М....а„[Л1.
М — pi ... ps’N (If > б при всех i).
Из ах | М, ... , а„\ М следует, что ах 11г ... , ух llt так что
Zx Ss max (ах, .,. , Yi)-
Аналогично получаем:
/а> max(a2, .... , у2), .... max (а,, .... yj,
41
так что т|Л4, и, следовательно, поскольку т и М положи-
тельны, т М.
Для т выполнены все условия (4), и, значит, т—наименьшее
общее кратное аг, ... , ап.
Пример. Найти наименьшее общее кратное чисел а = 333 333,
А = 420 и с = —312.
Находим канонические разложения а, b и с:
а = 3-111 111-3-111-1001 = 32-7-И-13-37,
й = 22-3-5-7, с = —2Э-3-13.
По формуле (5) получаем:
[a, b, с] = 23-32-5-7-11 • 13-37 = 40а = 13333320.
Теорема 32, Наименьшее общее кратное двух или нескольких
чисел всегда является делителем любого другого общего кратного
этих чисел, т. е. если т = [ах, ... , ап], а21М, ..., ап [ М, то т | М.
Доказательство. т>0, так что М можно представить
в виде M = mq + r, где 0<г<щ. Из а2 | М и 1 т следует,
что а2 | г. Аналогично получаем, что аг | г, ... , ап | г, т. е. г кратно
всем числам alt ...,ап. Поскольку т — наименьшее из всех
положительных чисел, кратных а1т а2, ... , ап, и г</л, то г не
может быть положительным, т. е. r = 0, M = mq, т|Л4.
Теорема 33. [flj, ... , an_lt а„] = [[а1, ...	а„], т. е. наи-
меньшее общее кратное п чисел (п^З) можно найти, найдя
сначала наименьшее общее кратное п— 1 чисел и взяв затем
наименьшее общее кратное от полученного таким образом числа
—	....an-i] и последнего числа а„.
Доказательство совершенно аналогично доказательству
теоремы 30. Достаточно в проведенном там рассуждении всюду
заменить взятие наименьшей величины — наибольшей, т. е. везде
вместо ,,min“ написать „тах“.
Теорема 34. Пусть а>0, &>0 целые, (a, b) — dn [а, Ь] = т,
тогда dtn — ab, т. е. произведение наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного двух положительных чисел равно
их произведению.
Доказательство. Пусть а =	... p^s, b = pll...ps*
(все otj-SsO, р, 0 целые); тогда (теоремы 27 и 31):
Л _ nmin(ai'P*>	_min(a4,0j)
а — Р1	Ps >
_ max(a„₽i) max (а4.Р.)
m — Pi	• •• Ps	>
min(alt P1) + max(a1, Pi) = ai + Pi,
min (af, PJ -J-max (a,, p,) = a, + p„
так что dm = ab.
42
Пример. а= 132 = 22-3 -11, б = 90 = 2-32-5, тогда d = 2-3 = 6,
m = 22-32-5*ll = 1980 и, действительно, 6-1980 = 90-132.
Теорема 34 показывает, что наименьшее общее кратное двух
положительных чисел а и b можно найтн по формуле
[а, Ь] = а .
1	J (а, Ь)
Из доказательства легко видеть, что если взять не два, а
больше чисел, т. е. взять ^>0, ...,а„>0, где п>3, то про-
изведение ... ап может оказаться больше, чем произведение
dm наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
2	. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Нахождение наибольшего общего делителя по формуле (2)
возможно, если предварительно найдены канонические разложе-
ния рассматриваемых чисел. Для очень больших чисел нахож-
дение таких разложений сопряжено с большими трудностями.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел су-
ществует еще другой алгоритм, который был дан Евклидом.
Алгоритм Евклида базируется на теоремах 35—37, в которых,
не оговаривая этого каждый раз, мы будем все рассматриваемые
величины предполагать целыми числами.
Теорема 35. Если Ь\а и б>0, то (a, b) = b.
Доказательство. 1) &>0; 2) Ь\а и b\b', 3) если б|я и
6|б, то, в частности, 6|б. Поскольку для b выполнены все усло-
вия (1), определяющие наибольший общий делитель а и Ь, то
(а, б) = 6.
Теорема 36. Если a = bq + r, то (а, b) = (b, г).
Доказательство. Пусть (a, b) = d; тогда: 1) d>0; 2) из
d[a, d[b и r = a—bq следует (теорема 11) d\r, 3) если б|б, б|г,
то 6|сг, б—общий делитель а и Ь, и, следовательно, 6|d.
Таким образом, все условия, определяющие d в качестве
наибольшего общего делителя чисел Ь и г, выполнены: (а, Ь) —
— d = (b, г).
Теорема 37. Для любых целых а и б>0, где Ь\а при не-
котором s существуют целые числа q0, qlt ... , qs и rx, r,2.rs,.
такие, что b> t\>r2z> • • • >
a = bqn + r1
b = r1q1 + r2
Г1 = г^ + г3
........., I-	(6)
Cs-l rsQs	)
и (a, b) = rs
Доказательство. Согласно теореме 1 для а и б>0,
где Ь^а, можно найти q0 и rlt такие, что a = bq0-i~rl и 0<г1< Ь.
43
Для b и /у можно найти числа и г2, такие, что b =	+ г2,
где 0^ г2<г1. Если г2 = 0, мы заканчиваем наш процесс, если
же г2 > 0, то для гх и г2 находим <?2 и г3, такие, что гх = r2q2 + г3,
б < rs < г2 и т. д.
Вообще мы для rk_1 и rk (0 < rk<_ находим qk и гА+1,
такие, что rkqk +rk+1, 0<rft+1<rA, и если гА+1 = 0, то
процесс заканчивается, а если r^i^O, процесс продолжается
таким же путем. Получаем соотношения вида:
а = bq0 + !\
b=r1q1-\-ri
Г1~ r2?a + r3	i	Z7Y
где b > rx > r2 > . . . > 0 .
Процесс построения равенств (7 ) не может быть бесконечным,
так как тогда существовало бы бесконечное множество различ-
ных натуральных чисел rk, лежащих между 0 и б. Вместе с тем
по условию самого построения процесс заканчивается только,
если некоторое rs+l = 0. Тем самым доказано, что при некото-
ром s будет /\+1 = 0, так что (7) заканчивается соотношением
и мы получаем (6), причем Ь > гг > г2 >...> rs > 0.
Пользуясь теоремами 36 и 35, получаем:
(a,b) = (b, r1) = (r1, r2)=...=(rj_1, г,) = г,.
При b<zO можно воспользоваться очевидным соотношением
(а, Ь) = (а,— Ь), так что теорема 37 вместе с дополняющей ее
теоремой 35 дает алгоритм, позволяющий находить наибольший
общий делитель двух любых целых чисел, из которых хотя бы
одно отлично от нуля.
Пример. Найти наибольший общий делитель чисел 1173
и 323.
Последовательным делением находим:
1173 = 323-3 + 204
323 = 204-1 + 119
204= 119-1 + 85
119= 85-1 + 34
85= 34-2+17
34= 17-2,
так что (1173,323) = 17.
Пользуясь алгоритмом Евклида, можно найти наибольший
общий делитель любого конечного множества целых положи-
тельных чисел а1( а2, - .-,оп. Для этого, пользуясь алгоритмом,
последовательно находим: —	d2 = (dlt aa), ... ,da_1 —
= (4„_2,ая) и согласно теореме 30 d„_x = (ava2, .. .,ая). В слу-
чае же, когда часть а£ равна нулю или отрицательна, пользу-
44
ются тем, что (Яр а2, ..ап) = ([я11, | |, ..,, |ая ]) (теорема 5),
причем, как было уже отмечено, при вычислении наибольшего
общего делителя, числа, равные нулю, можно вообще не прини-
мать во внимание. Алгоритм Евклида дает возможность находить
наименьшее общее кратное любого конечного множества поло-
жительных чисел а1г а.2, ..., ап. Для этого, пользуясь теоремами
34 и 33, последовательно находим:
di = (at, а2), т1 — ^~~ [an а2], d2 = (mlt a3),
^ = 7^= I"1». “J-’K a2, a3]........dn_l = (m„_2, a„),
^«-i = fV=V! = [^n-2.aJ = [a1, a2.....a„].
Если часть чисел af отрицательна, то, пользуясь тем, что
Яр ..., яп] = [ | aL |, ..., | ап | ], вычисления проводят для чисел
1.....| а„ |.
Пример. Найти наименьшее общее кратное чисел 1403,
1058 и 3266.
Алгоритм Евклида для чисел 1403 и 1058 имеет вид:
1403= 1058-1 4-345, 1058 = 345-3 4-23 , 345 = 23-15,
так что
<4 = (1403,1058) = 23, ^ = [1403, 1058] = 1403-^? = 64 538.
Применяя алгоритм Евклида, находим теперь da =
= (64 538,3266) = 46 и, наконец, т2 = [1403,1058,3266] =
= [64 538,3266] = 64 538 . ^ = 4 582 198.
3. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Определение 14. Числа я2..а„ называются взаимно про-
стыми, если (а1( ..., а„)= 1, т. е. если наибольший общий де-
литель этих чисел равен 1.
Определение 15. Числа а2, .. ,,ап называются попарно взаимно
простыми, если (я,-,яу)=1 при всех t #= / (1	1^/^п).
Примеры. 1) 15, 21, 77—взаимно простые числа, однако
эти числа не являются попарно взаимно простыми.
2) 34, 53, 99, 115—попарно взаимно простые числа, следо-
вательно, тем более взаимно простые.
Теорема 38. Два числа а и Ь, отличные от 0 и ± 1, взаимно
просты тогда и только тогда, когда их канонические разложе-
ния не содержат одинаковых простых множителей.
Доказательство. 1) Пусть (я, &) =1. Если бы для не-
которого простого числа р было р|а и р|Ь, то р являлось бы
общим делителем а и Ь, а поскольку (а, Ь) = 1, то было бы
Г>р>2.
45
2) Если канонические разложения а и b не содержат общих
простых множителей, то а и b можно записать в виде:
а = р?‘...р“л, & = р?*... р%\
где в каждой паре ah р,- будем иметь одно число, равное нулю,
т. е. при всех i=l, 2, ...,s имеем y; = min (а;, Р(-) = 0 и (тео-
рема 27) (a, b)— 1.
Теорема 39. Если р—простое число, то р^а тогда и только
тогда, когда (а, р) = 1.
Доказательство. При а = ± 1 это очевидно. При а Ф ± I
р^а означает, что каноническое разложение а не содержит
простого множителя р; согласно предыдущей теореме это будет
тогда и только тогда, когда (а, р) = 1.
Теорема 40. Если (а1( .. .,an) = d, то числа	вза-
имно простые.
Доказательство. Теорема является частным случаем
теоремы 29 при b = d.
Теорема 41. Если c\ab и (а, с)—1, то с|Ь.
Доказательство. В случае с=±1 с|Ь для любого Ь,
При с#=1 рассмотрим каноническое разложение с = ± рУ*..,рУл.
По условию при некотором целом q
ab = p}1... p1‘q,	(8)
(а, с) = 1, так что множители рУ*, ..., рУ* не входят в канони-
ческое разложение а (теорема 38), а тогда, поскольку канони-
ческие разложения левой и правой части равенства (8) должны
совпадать (теорема 18):
рУ*... ps* [Ь, т. е. с|Ь.
Примечание. Пользуясь этой теоремой, легко доказать, что из ра-
венства двух несократимых дробей следует равенство их числителей и зна-
менателей, т. е. если (a, b) = 1, (с, d) = 1, ~-==^r, d^J, то а = с,
О и
b = d.
Теорема 42. Если (ах, b) = 1.(aB, b) = 1, то (at... ап, Ь) = 1,
т. е. произведение чисел, каждое из которых взаимно просто
с одним и тем же числом, также взаимно просто с этим числом.
Доказательство. Рассмотрим три возможных случая:
1)	Ь = 0. Из условия (а,-, 0) = 1 получаем, что при всех I
а, = ± 1 и тогда (а1 ... ап, b) = 1.
2)	Ь=±1. В этом случае (ах... ап, ± 1) = 1 при любых
целых ах, .ап.
3)	fe#=0, b#=±l. Рассмотрим в этом случае каноническое
разложение Ь = ±р? ... р?л. Поскольку (ax,b)=l,..(a„,6)=1,
множители рУ*....pl* согласно теореме 38 не входят ни в одно
из канонических разложений чисел ах, ...,ая, а следовательно
46
(примечание на стр. 30), не входят и в каноническое разложение
их произведения . ап, так что по той же теореме 38 имеем
(ах... a„,fe)=l.
Теорема 43. 1) Если (а, Ь)=1, то при любых целых неотри-
цательных пит имеем:
(a",bm) = 1.
2) Если при каких-либо двух целых положительных значе-
ниях num (ап, bm) = 1, то (а, Ь) — 1.
Доказательство. I) Из (а, Ь) = 1 согласно предыдущей
теореме при at = ... =a„ = a(n>>0) получаем (a",b)=l, а от-
сюда таким же образом при гп>»0 получаем, что и (a", bm)= 1.
Если хотя бы одно из чисел п, т равно 0, то утверждение
очевидно.
2) Если (я”, bm)=l, n>0, т>0 и (a, b) = d, то из d\a, d\b
последовательно получаем: d\a", d\bm, d| (a”, bm), d\ 1, d=l.
Эта теорема, в частности, показывает, что если (а, рст)#=1,
где р—простое число, то {a, p)=£i, а следовательно (тео-
рема 39), р\а.
Теорема 44. Если р2—простые числа и pt^p2, то при
любых целых м^О, т^О (р", р™)=\.
Доказательство. Для двух разных простых чисел рх и
pz имеем (теорема 38) (рх, р2)=1 и, применяя предыдущую
теорему, получаем (р”, рТ)= 1.
Теорема 45. Если целое положительное число d—делитель
произведения двух взаимно простых чисел а и Ь, то d может
быть представлено и притом единственным образом в виде про-
изведения двух положительных чисел и б2, таких, что 6Ja, S2|i>.
Доказательство. Пусть р1?1... р“л—каноническое разло-
жение d. Поскольку а и b—взаимно простые числа, простой
делитель р(-, входящий в каноническое разложение d, не может
быть одновременно делителем а и Ь, т. е. либо р^а, либо prfb.
Рассмотрим сначала случай, когда pt\a. Из prfa следует
(а, р()=1, (а, р“()—1 (теоремы 39 и 43), и тогда, поскольку
Pz“‘|d, d[ab, имеем p?‘|nb, р^\Ь (теоремы 6 и 41).
Точно так же в случае prfb получаем р?‘|а.
Таким образом, каждый множитель d вида р?‘является либо
делителем а, либо делителем Ь, т. е. d = p?1... p?J = 6Х62, где
6х|а, 62|Ь.
Представление d в виде 6XS2, где 6x|a, S2|&, (а, &)=1,
единственно, так как иначе было бы два различных
канонических разложения для числа d (см. примечание к опре-
делению 11 на стр. 30).
Теорема 46. Произведение двух взаимно простых положитель-
ных чисел равно квадрату целого числа тогда и только тогда,
когда каждый из сомножителей есть квадрат целого числа.
47
Доказательство. 1) Если a = s4, b = tl, то cd = (s/)a.
2) Пусть ab = n®, (а, Ь)=1. Если каноническое разложение л
имеет вид л = р?‘... р?\ то каноническим разложением ab будет
ab = л2 = Pi“*... PsUi. Поскольку (а, Ь)=1, каждый делитель ab
вида является либо делителем а, либо делителем b и, таким
образом, а и Ь— также полные квадраты.
Теорема 47. Если at ап—попарно взаимно простые числа,
то [ах,..., ап] = at ... аП, т. е. наименьшее общее кратное по-
парно взаимно простых натуральных чисел равно их произве-
дению.
Доказательство. Прн п = 2 утверждение теоремы верно,
так как из (alt аг) = 1 следует (теорема 34):
[ах, аг] = i \ = а1а2'
Предположим, что утверждение верно для любых п попарно
взаимно простых чисел (л ^2). Возьмем любые л 4-1 попарно
взаимно простых числа ах, ..., ап, ап+1; ап+х, будучи взаимно
простым со всеми числами alt ... , ап, взаимно просто с их про-
изведением (теорема 42), и тогда согласно сделанному предпо-
ложению и тому, что при л = 2 утверждение теоремы верно,
получаем:
[ах, ... ,а„, а„+х] = [[ах, ... , а„], ая+1] = [«!••• а„, а„+1] =
= ах ... an+J.
Согласно принципу полной математической индукции утвер-
ждение теоремы верно при любом п ^2.
Теорема 48. Если at,... , аа—попарно взаимно простые числа
и ax|b, ..., ajb, то пх... a„|b.
Доказательство. По условию b—общее кратное ах>.. .,а„.
Наименьшее общее кратное попарно взаимно простых чисел
ах....ап, равное (теорема 47) а^щ ... ап, согласно теореме 32
должно быть делителем любого общего кратного этих чисел,
т. е., в частности, делителем Ь.
ГЛАВА 4
ФУНКЦИЯ [х]
1. РАЗЛОЖЕНИЕ л! НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Определение 16. Целой частью действительного числа а на-
зывается наибольшее целое число, не превосходящее а, т. е. це-
лое число п, такое, что п^а<п+1. Целая часть числа a
обозначается [а]. Следовательно,
[a]<a<[a]+1.	(1)
48
Определение 17. Дробной частью действительного числа а
называется разность а—[а].
Дробная часть числа а обозначается {а}. Следовательно,
{а)=а—[а] и 0^{а}<1.
Примеры. [5,8] = 5; [3] = 3; [л] = 3;	[—7,39] = — 8;
[—е] = —3; {4} = 0; {л} = 0,1415...;
(23)	5
i 7 / 7 ’
Теорема 49. Пусть а—действительное положительное число,
d—целое положительное. Число положительных чисел, не прево-
сходящих а и делящихся на d, равно .
Доказательство. Рассмотрим положительные числа,
кратные d и непревосходящие а; пусть наибольшее из них будет
равно sd, так что (s4-l)d уже больше, чем а; число таких
чисел
d, 2d, 3d, ..., sd
равно s, где sdssa<(s4-l)d, следовательно, ssg у <$+ 1, т. е.
Теорема 60. Для любого действительного a > 0 и целого
d>0
№Hi]-
Доказательство. Между [а] и а нет целых чисел, и
поэтому число чисел, кратных d, в сегменте 1, [а], равное со-
гласно предыдущей теореме , равно также величине ,
выражающей число чисел, кратных d в сегменте 1, а.
Теорема Б1. Для любого действительного числа а разность
[а]—2 может равняться только 0 или 1.
Доказательство. Для любого а имеем a—1 < [a] ^a,
так что
[a]-2[|]<a-2(|-l) = 2,
(a]-2[|]>a-l-2| = -l,
т. е. целое число [а]—2	может равняться только О
.или 1.
49
Теорема 52. Пусть р—простое число, п^1 целое. Для по-
казателя а наивысшей степени р, делящей nl, имеем".
а=17] + [?] + [?] + -'	<2>
т. е. при а, равном сумме (2), р"|л1, но р^х\п\.
Примечание. Ряд (2) представляет собой конечный ряд, так как,
если в знаменателе появляется степень pJ, большая числителя п, слагаемые
в (2) обращаются в нули.
Доказательство. При л<р все слагаемые в ряде (2)
равны нулю, и вместе с тем действительно в этом случае пока-
затель наивысшей степени р, делящей л!, равен нулю, так что
для таких р и л утверждение теоремы верно.
Возьмем теперь произвольное простое число р и применим
метод индукции по л. При л=1 теорема верна, так как в этом
случае л== 1 < р. Предположим, что утверждение теоремы верно
при всех л, таких, что
где N целое {N^2).
Если У<р, то утверждение теоремы верно для N, как это
было отмечено выше.
Если N ^р, то среди множителей 1,2...У произведения У!
[N 1
— I . Произ-
ведение всех остальных множителей числа 1-2... N обозначим
через М.
Тогда
Nl = p-2p.....[у]р-М = рЫ. [ур М, где р{М. (3)
Из У>р следует 1 <	<У.
Так что согласно предположению показатель наивысшей сте-
» Г 1 ।
пени р, делящей I — I I, равен:
(теорема 50). Из формулы (3) получаем, что наибольший пока-
„ ... ГЛг1,Г2У1.ГЛГ“|1
затель степени р, делящей /VI, равен 1 у] + [рГ| [ps I+•••
Таким образом, утверждение теоремы верно для N и в этом
случае. Согласно одной из форм принципа полной математиче-
ской индукции (теорема IV) теорема при произвольном простом р
верна для любого натурального п.
Пример. Найти наибольшее а, такое, что 3®|10001
50
ГЮООН, Г10007 . Г10001 . Г10001 . Г10001 . Г10001
Lx j + [“э"] + ПИ + nd + L 243 J + [ 729 J =
По формуле (2), имеем:
а =
так что 34fl8| 10001, но 34Вв|1000!.
Теорема 52 дает возможность находить каноническое разло-
жение п!, а именно, поскольку каждое простое р входит в ка-
ноническое разложение л! с показателем, равным
р
Для функции Т(х) = на основании равенства (4) и
п
равенства	, справедливого для любого целого d>0,
получаем:
Г(х) = 1пИ! = ^1пр([^] + [^ + ...).	(5)
р
В формуле (5) можно ограничиться простыми числами
прн остальных р слагаемые равны нулю.
2. ТОЧКИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ КООРДИНАТАМИ
Возьмем на плоскости решетку, образованную всеми точками
(х, у) с целочисленными координатами х, у. Функция [а] играет
большую роль при подсчете та-
ких точек, лежащих внутри
некоторой замкнутой кривой.
Теорема 53. Пусть f(x)—
неотрицательная и непрерыв-
ная при а^х^Ь функция.
Число точек с целочисленными
координатами, лежащими в
криволинейной трапеции а
0<.y^f(x)	(исклю-
чая,	таким	образом,	точки,
лежащие	на	отрезке оси х),
равно
JS	(/(*)].	(6)
^,Ь
Доказательство. При любом целом k(a<^ks^b) длина
отрезка М'М (рис. 2) равна f (k). Число точек с целыми коор-
динатами, лежащих на этом отрезке (исключая точку на оси х),
равно числу целых значений у, таких, что 0<у	(А), т. е. равно
51
[/(£)]. Поскольку все точки спелыми координатами в А'АМВВ'
располагаются на таких отрезках, где А то общее число
этих точек равно сумме (6).
Если кривая АВ задана уравнением с параметром, т. е.
— f х), и при изменении этого параметра N площадь
криволинейной трапеции А'АВВ' неограниченно возрастает, то,
естественно, возникает вопрос об оценке порядка роста числа
точек с целочисленными координатами, лежащих в этой области.
Интуитивно ясно, что если кривая АВ не является слишком
изогнутой, то число таких точек близко к площади фигуры;
однако вопрос о том, как сильно может отличаться рассматри-
ваемое число точек с целочисленными координатами от площади,
обычно вызывает серьезные трудности.
Особый интерес для теории чисел представляют случаи, когда
кривая АВ есть дуга гиперболы У = -^ или окружности у =
= JA2—х2. При рассмотрении числа точек с целочисленными
координатами в области, ограниченной гиперболой у — ~ , нам
понадобится следующая теорема.
Теорема 54.
X Г = '"* + С+°(А	<7’
где С—некоторая постоянная.
Доказательство. Заменяя подынтегральную функцию ее
наибольшим и наименьшим значениями, получаем:
к + 1
fe+i J t k •
k
так что
k + 1
o<±_ C *<1___________________________!_
It J t k Л-H ‘
k
T,	A /1 M
Из сходимости ряда —/ГрТ) согласно известному при-
знаку сравнения рядов следует сходимость ряда а1 + Ог+... .
k+1dt
где ак — j— У 7". Обозначая сумму этого ряда через С, по-
к
лучаем:
62
Если в сумме (8) взять члены начиная с (#+1)-го, то
»< S Ё (1-гЬ)-Лт
*=W + 1	k	*=W+1
так что
я	з	Л'+1
с=(Чт)+(Нт)+-+(1-П)+о(^.
1	г	>V
l+|+...+^-j^ + C+o(X)=lnJv + C4-o(A).
Таким образом, соотношение (7) доказано для целых зна-
чений х.
Пусть [х]=х—6, где OsS0<l; тогда
In [х] = In (х — 6) = In х + In ( 1 —	= In х + О y
м+с+0(й)-|пх+с+°Ш-
Число С называют постоянной Эйлера. Из (7) следует, что
С= lim ( 1+4+ ...	— In#) .	(9)
Вычисления дают, что С = 0,577215...
Теорема 55. Число S (N) точек с целочисленными положи-
тельными координатами в области, ограниченной гиперболой
N	а
у—— и координатными полуосями, равно
S(tf) = tflntf + (2C—1)# + 0(/д7),	(10)
где С—постоянная Эйлера.
Примечание,
имеем l<x<7V, так
записано в виде:
Для таких точек с целочисленными координатами
что S (N) (рис. 3) согласно теореме 53 может быть
N
[А].
Л = 1
Для получения оценки (10) надо предварительно представить S(/V) дру-
гой формулой.
N
Доказательство. Возьмем на гиперболе (рис. 3) У-—
точки D(V^N, /АО, A(l,N), B(N, 1) и их проекции на оси
координат: D' (У N, 0), ©"(О, У1У), Л'(ЬО), В’(0, 1). (Буквы
53
Рис. 3
квадрате OD'DD", исключая точки
с одним штрихом означают
проекции соответствующих
точек на ось х, а с двумя
штрихами—на ось у.)
Ввиду симметрии гипер-
болы относительно биссек-
трисы OD координатного угла
число точек с целочисленны-
ми координатами (исключая
точки на осях) в криволи-
нейных трапециях A'ADD'
и B"BDD" одинаково и со-
гласно теореме 53 равно
2 ffl-
Число точек с целочи-
сленными координатами в
на осях, равно
2	[/Ar] = [/Wj2.
Таким образом, для S(N) получаем формулу:
5(ЛГ) = 2 S	НВ
Отбрасывая скобки во всех слагаемых суммы правой части
равенства (11), т. е. заменив числами мы изменяем
каждое слагаемое меньше, чем на 1, а всю сумму—на величину,
меньшую, чем 2]Л/У. С другой стороны, [)/W] = K7Z—0, где
О<0< 1, так что [/AfpMVtf— 0)a = W-|-O (КЙ).
Из равенства (11), пользуясь теоремой 54, получаем
S(N) = 2N £ J—V + 0(/7v) = 2yflnj/W4-C4-0f--L)P
'	\К"//
—У+о (j/70 = у in w+(2С—i) v+о (/iv).
Вопрос о точной оценке числа 5(У) может быть поставлен
в виде следующей проблемы: в формуле
S(JV) = JVlntt + (2C—1)У + О(№)	(12)
получить для б возможно меныпёе значение.
54
Теорема 55, доказанная у
в 1849 г. Дирихле, дает для б зна-
чение б = у. Значительно более N
точный результат был получен /7
в 1903 г. русским математиком
Г. Ф. Вороным. Существенно
усовершенствовав метод подсчета
числа точек с целыми координа-
тами, Вороной получил для б
в (12) значение б =у + е, где е—
сколь угодно малая положитель-
ная величина. Истинное наимень- —
шее значение б в формуле (12) °'
до сих пор неизвестно. Со вре-	рИс. 4.
мени появления работы Вороного
было получено много результа-
тов, постепенно уменьшавших б; однако эти уточнения ока-
зались не слишком значительными. Например, в 1959 г. для б
было получено значение	Вместе с тем известно, что
б Ss -г . так что -г < б <^4-6.
4	4	40
Рассмотрим еще задачу подсчета числа точек с целыми коор-
динатами, лежащих в круге с центром в начале координат,
радиус которого г неограниченно увеличивается.
Теорема 56. Число А (г) точек с целыми координатами
в круге х2-\-у2 = г2 выражается формулой
А (г) = лг2+ О (г).
(13)
Доказательство, Рассмотрим точки с целыми коорди-
натами, лежащие в секторе 0sgx=Cr, Osgysg У г2—х2, т. е.
(рис. 4) в M0N, включая точки, лежащие на отрезках ОМ,
ON и дуге MN. Обозначим число этих точек через В (г).
Для каждой такой точки возьмем квадрат со стороной, рав-
ной 1, левая нижняя вершина которого совпадает с данной
точкой. Все эти квадраты заключены в секторе M'ON', ограни-
ченном окружностью:
х8 + у8 = (г + 2)2.
Действительно, левая нижняя вершина квадрата по условию
удалена от начала координат на расстояние, не большее, чем г,
а передвижение в пределах квадрата со стороной, равной 1,
может изменить расстояние от центра не больше, чем еще на
две единицы.
Б5
С другой стороны, часть плоскости, занятая этими квадратами,
заключает в себе сектор MON, ограниченный окружностью:
ха + у2 = г2.
Действительно, если точка (х0, уд) лежит в этом секторе, то
она удалена от начала координат на расстояние, не большее, чем г.
Поскольку [х0]<х0, 1Уо1 т°чка ([x0J, [z/0]) также удалена
от начала координат на расстояние, не больше, чем г, т. е. она
является левой нижней вершиной одного из рассматриваемых
нами квадратов.
Из (х0]<х0<[х0]+1, 1Уо1<Уо<1Уо1+1 заключаем, что
точка (х0, уд) принадлежит этому квадрату.
Число В (г) точек с целочисленными координатами в секторе
MON равно сумме площадей всех этих квадратов, т. е. пред-
ставляет собой величину, заключенную между площадью сектора
MON и площадью сектора M'ON':
4 лг2 < В (г)< у л (г + 2)«.
Мы получаем отсюда, что
О sS В (г) — y лг2 <2 у л (г 4- 2)2 —яг2 = лг + л,
В(г) = -^лг2 + О(г).
4В(г) равно числу точек с целочисленными координатами
в круге х2 + у2*^г2, если считать каждую такую точку, лежа-
щую вне осей координат, один раз, точки, лежащие на осях
координат,— два раза, а точку (0,0)—четыре раза.
Отсюда следует, что
А (г) = 4В (г)—4[г]—З = лг24-О(г).
Оценка (13) была известна еще Гауссу. Применяя метод
Вороного, польский математик Серпинский в 1906 г. доказал,
что формула
Д (г) = лг2 + О (г’)
2	1
верна при v = Было доказано также, что	т. е.
4- < v З-. В настоящее время известны оценки А (г) со зна-
Z	-о
2
чениями v, меньшими, чем у , однако точная, наименьшая вели-
чина v в этой формуле до сих пор неизвестна.’
56
Исторические комментарии к 4-й главе
1.	Теорема 52 впервые встречается во втором издании 1808 г.
книги Лежандра „Теория чисел*1. Основные результаты иссле-
дований П. Л. Чебышева по теории простых чисел базируются
на этой теореме, точнее на формуле (5), которую обычно назы-
вают тождеством Чебышева.
2.	Теорема 55 была опубликована Дирихле в 1849 г. Немец-
кий математик П. Лежен-Дирихле (1805—1859), семья которого
происходила из Франции, большую часть жизни провел в Бер-
лине. Лежен-Дирихле — один из крупнейших математиков
XIX века, оказавший большое влияние на развитие математи-
ческого анализа и теории чисел. В анализе особенно большое
значение имеют его работы по теории тригонометрических рядов
и дифференциальным уравнениям математической физики. В тео-
рии чисел он доказал основную теорему о простых числах
в арифметической прогрессии. Примененные им при этом ряды
получили название рядов Дирихле (см. 33-ю и 36-ю главы).
Дирихле получил фундаментальный результат о числе единиц
заданного поля алгебраических чисел и определил число бинар-
ных квадратичных форм с заданным дискриминантом.
3.	Формула (11) впервые встречается в работах Шарля Эрмита.
4.	Георгий Федосеевич Вороной (1868—1908) — замечательный
русский математик, работы которого почти целиком посвящены
теории чисел. Г. Ф. Вороной оставил сравнительно небольшое
число работ, однако они представляют существенный вклад
в теорию чисел. Его работы, посвященные теории квадратичных
форм, дают существенное развитие так называемого метода не-
прерывных параметров. Вороной построил алгоритмы для вы-
числения основных единиц кубического поля.
Мемуар Г. Ф. Вороного 1903 г. „Об одной задаче из теории
асимптотических функций*1, в котором он получил оценку
л*
У' [-у-] > послужил отправным пунктом исследований асимпто-
тического поведения различных числовых функций. В частности,
эта работа оказала большое влияние на формирование методов,
развитых в первых теоретико-числовых работах нашего выдаю-
щегося современника И. М. Виноградова.
Оценка этой функции имеет чрезвычайно большое значение
в теории чисел и рассматривается как одна из центральных ее
задач (см. 34-ю главу). Начиная с Дирихле, Вороного и вплоть
до нашего времени исследованию, этой функции, обозначенной
у нас через S (N), посвящено очень большое число работ.
Работы Вороного по аналитической теории чисел касаются
также общих вопросов р методах суммирования функций; один
из этих методов получил в математике имя Вороного.
57 *
ГЛАВА Б
КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
Рациональные числа можно задавать в разной форме, напри-
мер, одно и то же число можно записать в виде отношения
двух целых чисел -у или в виде систематической дроби по не-
которому основанию g, причем эта систематическая дробь может
быть конечной или бесконечной, в зависимости от выбора осно-
вания системы счисления. Запись в виде систематической дроби
имеет ряд существенных преимуществ особенно при приближен-
ных вычислениях, однако существенные неудобства возникают
из-за того, что форма записи зависит не только от рассматри-
ваемых величин, но и от основания системы счисления.
В этой главе мы рассмотрим другую форму записи рацио-
нальных чисел, а именно представление их в виде так называе-
мых непрерывных или цепных дробей. Большим преимуществом
аппарата цепных дробей является то, что выражение любого
рационального числа в виде цепной дроби не зависит от каких-
либо других величин, кроме самого этого числа. Другие досто-
инства, а также и недостатки этого аппарата по сравнению
с аппаратом десятичных и других систематических дробей будут
рассмотрены позже.
Определение 18. Конечной непрерывной дробью называется
число, записанное в виде
где а0, at, .... as, blt Ьг, ..., bs—целые числа.
Мы будем, конечно, предполагать, что все знаменатели,
встречающиеся в этой дроби, отличны от нуля. Очевидно, что
величина такой непрерывной дроби может быть записана в виде
р
, где Р и Q—целые числа.
Если dj = Ьг = ... = bs = 1, а{ > 1 при всех i = 1, 2, ..., а— 1
и as> 1, то такую непрерывную дробь называют обыкновен-
ной непрерывной дробью или цепной дробью.
58
Определение 19. Конечной цепной дробью называется число,
записанное в виде
. 1
ао 4----j—
‘+7+
(|)
+—ГТ’
где а0, аг, .... as—целые числа, at 1..........1.
Примечание. При s — 0 as — ап может быть любым целым числом.
Будем для удобства записывать цепную дробь (1) в виде
o0-r^j/o1 + ^J,a2 + • • • +	14-"^ Of-
Числа а0, ах, as будем называть элементами цепной
дроби.
Теорема 57. Любое рациональное число равно некоторой ко-
нечной цепной дроби.
Доказательство. Любое рациональное число можно
представить в виде $, где Р и Q целые, причем QSsl. Алго-
ритм Евклида для таких чисел Р и Q дает цепь равенств:
(2 = г1о14-гг
= г 4" r3
(2)
f—2	'S-1
f-1 = rsas
а,
S
Равенства (2) можно записать в следующем виде:
Р ,	1	<2	,	1
Q	Г1 —at4- / п
ri	।	1
7-= оа 4-77-
г2	( г»
1
= а
59
откуда получаем:
Р _ ,	1
Q —“•+	1
или в сокращенной записи:
-£- = ao + i4 + J\+- - 	+
Для целого числа, т. е. в случае Q = 1, в равенствах (2) будет
только одно первое равенство Р= 1-Р-|-0, и цепная дробь
оборвется на а0 = Р.
Естественно поставить вопрос, является ли такое разложе-
ние в цепную дробь единственным, т. е. может ли существо-
р
вать конечная цепная дробь, равная , с элементами, отлич-
ч
ными от неполных частных ait полученных в алгоритме
Евклида (2). Мы докажем, что каждое рациональное число
может быть единственным образом представлено в виде такой
цепной дроби. Этот факт существенно зависит от того, что
в определение конечной цепной дроби включено условие, что
последний элемент а,> 1 (s=/=0). Если бы мы, рассматривая
выражение вида (1), допускали для последнего элемента значе-
ние, равное 1, то единственность представления уже не имела
бы места, например:
2 +17 4 + ^3 = 2 4-17 4 + ^2 +111.
Теорема 68. Существует одна и только одна конечная цеп-
ная дробь, равная данному рациональному числу.
Доказательство. Предположим, что существуют две
р
различные конечные цепные дроби, равные -q-, т. е.
=а0 + 1}а1 + 1}аг+ ... +^а3 =
= a'0H--l7a;+j7a'3+... где	(3)
Если бы было а0 = а0, а1 = а1, ..., as = a'„ то, поскольку
эти две цепные дроби предполагаются различными, t>s.
Отнимем из обеих частей равенства (3) а0 — а0, приравняем
знаменатели получающихся после этого дробей (числители у них
одинаковые), отнимем после этого из обеих частей at = ai и т. д.,
60
так что в конце концов получим as = a' + -^a'+14- ... + ^а', что
при a3 = as и положительных a's+1, ..., af не может иметь
место.
Таким образом, найдется такое k(0*^ksS,s), что
Яо = Яо,	ak-l И
Поступая, как и выше, т. е. отнимая в (3) а0 = Оо, прирав-
нивая после этого знаменатели и т. д., до того как в (3) исчез-
нут ао = а'о, а1 = а1, .... ak_1 = a’k-1 и обозначая 4-т
4- ... 4-^4 через R, получим:
R = afe4-1/aft+i4- • •  + llas = ak + ^a'k+t 4- • • • 4-^.	(4)
Если s — k, то ak = R = [Rb
Если s = &4-l, то, поскольку согласно определению цепной
дроби аА+1 = а,>1, будем иметь < 1 Haft = [R].
Если5>й4-1, то аА+14-... 4-1/аг> 1 и в этом случае
также ak = [RJ.
Мы видим, что во всех случаях a4 = [R]; совершенно анало-
гично из формулы (4) получаем, что а'ь = [R], т. е. aft = a^,
в то время как k было выбрано так, что ak^ah. Предположе-
ние, что существуют две различные конечные цепные дроби,
р
равные -гт , привело нас к противоречию, т. е. любое рацио-
иальное число только единственным образом может быть разло-
жено в конечную цепную дробь.
Теоремы 57 и 58 устанавливают взаимно однозначные соот-
ветствия между рациональными числами и конечными цепными
дробями.
2. ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ
Для данной цепной дроби
a04-1/a14--l7a2 4-  • • +^а5	(5)
будем рассматривать так называемые подходящие дроби:
= ^0 “1“ "^^1*	= +	• ’
... , Xf=a04-jya1-f-1/at4-...4-j7ai.
Определение 20. п-й подходящей дробью (Jd^n^s) к конеч-
ной цепной дроби (5) будем, называть величину
Ап = ав+ 4-	4-... 4- ^ап.	<6>
61
Рассмотрим теперь две последовательности чисел:
Pqi Pit • • • । Рз и Q0> Qi» • • •» Qs>
определенные рекуррентными соотношениями:
0.-0.-А + 0... f2’5""25
и начальными условиями:
= Qo, Qо = 1, Р1~ П0Я1 Н- 11 <21 = &!•
Непосредственно видно, что соотношения (7) вместе
виями (8) при данных а0, а,
величины:
(7)
(8)
с усло-
.. , as однозначно определяют
Для п = 0, п = 1 и п = 2 непо-
£?=£1Д1±2»==а I / । д
<?2	+	о+ 1 +
второй подходящей дробью.
ро, Р1, .... р,п Qo, Qi....Qr
Теорема 59. Если а0, аг, ... , as—элементы цепной дроби (5),
то последовательность чисел Рп и Qn(n = Q, 1, ... , s), опре-
деленная формулами (7) и (8), обладает тем свойством, что
р
при всех этих п отношение равно п-й подходящей дроби (6).
Доказательство. Применим метод полной математиче-
ской индукции по п(0<л<$). ”
средственно проверяем, что
£» — а £1 — £о£1+_! — а л.^а
Qa~a°’ Qr а, -“<>+
совпадают с нулевой, первой и
Предположим, что утверждение теоремы верно для n(2^n*£s),
т. е. что подходящая дробь (6) равна:
Л   Рп   Рn — lan~^Pn~i	znv
а~ Qn~ Qn-^n+Qn-.'	w
Возьмем (л+1)-ю подходящую дробь Лп+1 и запишем ее
в виде:
^n+i яо + а +
+^=-
^л+1
Непосредственно видно, что если в n-й подходящей дроби
Ац величину аа заменить величиной а„Ч-, то получим Лл+1.
Рп-и Рп-г> Qn-i» Qn-з выражаются рекуррентными соотноше-
ниями (7) и (8) через а0, at, ап и не зависят от вп+1.
Заменяя в (9) ап на ав + -^—, получаем Ля+1, т. е.
62
Рп-1 +	) + рп~* Рп-1апЛ-Рп-г+^—•
л _________\	ап+1/_____,  _____________ цп + 1 _
лп+г— /	1 \	—	Q-т
Q„-i («„ + “ +<?„-. <2я-1а„+<2л-»+^=-1
\	ап+1/	“п+1
р I 7?я~1
_	" ап+1 _ Рпдп + 1Ч~ РП-1 _ Рл + 1
л , Qn-1	Qn“n + l"bQn —1 <2п+1
ЧлТ _
“п + 1
Согласно принципу полной математической индукции соот-
р
ношение А„ = -^> верно при всех л = 0, 1, ... , s.
ч п
Определение 21. Числителями и знаменателями подходя-
щих дробей к конечной цепной дроби (5) называются величины
Р„ и Qn (п = 0, 1, ... , s), определенные рекуррентными усло-
виями (7) и (8).
Эти названия оправданы тем, что отношение Рп к Q„ согласно
теореме 59 равно л-й подходящей дроби. Мы будем поэтому
р
в дальнейшем п-ю подходящую дробь (6) обозначать через .
Последовательное вычисление числителей Рп и знаменателей Qn
подходящих дробей по формулам (7) удобно располагать по
схеме
	“о	<*1	Oj	...	
рп	“0	аоа14*1	...	...	• •
Qn	1	“1	...	...	...
Каждая следующая пустая клетка заполняется результатом опе-
раций над числами двух предыдущих по горизонтали клеток и
соответствующим ял+1, стоящим над этой пустой клеткой [см.
формулы (7)].
ПР имер. Найти подходящие дроби к цепной дроби
24-^2 4- J7! 4-^34-г1 4-г1 4-^44-Г3.
	2	2	1	3	1	1	4	3
Рп	2	5	7	26	33	59	269	866
Qn	1	2	3	11	14	25	114	367
63
 р
Подходящие дроби •=* (O ^n sg 7) равны соответственно
X л
2£2^ 26 33 59 269 866
1 ’ 2 ’ 3 ’ 11 ’ 14 ’ 25’ 114 * 367’
Последняя подходящая дробь, очевидно, равна величине всей
конечной цепной дроби. /
Рассмотрим ряд свойств подходящих дробей, их числителей
и знаменателей.
Теорема 60. При п=1, 2, ... , s выполняется равенство
PB-jQn = (—(Ю)
Доказательство. Проведем индукцию по п. При л=1
равенство (10) справедливо. Действительно,
Р^а^+1, Q0=l, Р0 = а0, так что Р^о — P(IQ1 = 1.
Пусть (10) верно при некотором л(1	—1); тогда
^л + lQn Л>Фп + 1 = (^А-И + Р„-1) Qn Рa (Qnan + 1 + Qn-1) =
= -(PnQ^-Pn-iQn) ~	(- 1)B,
т. e. равенство (10) верно и при п+1. Согласно принципу
полной математической индукции равенство (10) верно при всех
n (1 <п<$).
Теорема 61. Числитель и знаменатель любой подходящей
дроби—взаимно простые числа.
Доказательство. При n = 0 Р0 = а0, Q0=l, так что
(Ро, Qo)=l-
Пусть п > 0. Обозначим через d наибольший общий делитель
Р„ и Qn, т. е. (Pn, Q„) = d. Из равенства PnQ„-1—P„.1Q„ = (—I)""1
(теорема 60), поскольку d|Pn, d|Q„, получаем <f|(—I)"-1, где
d>-0 и, следовательно, d=l.
Если рациональное число разложить в цепную дробь, то
р
последняя подходящая дробь представляет собой несокра-
р	s
тимую дробь, равную . Таким образом, разложение в цепную
дробь позволяет осуществлять сокращение дробей.
2227
Пример. Сократить дробь ggyj..
Представляя эту дробь в виде конечной цепной дроби,
находим:
g = 0 + .^4 + ^2 + ^4 +-"l + ^1 + jy6.
64
Находим подходящие дроби:
	0	4	2	4 1'		1	G
Рп	0	1	2	9	11	20	131
Qn	1	4	9	40	49	89	583
(И)
(12)
откуда
цепной
2227	131	131
9ЭП = 583’ ГДе 583— Уже несокРатимая Дробь.
Теорема 62. При 1 n<zs
Qn Qn-i QnQn-i
94 I Рп_ Pra-l I _	'
'\Qn	QnQn-1'
Доказательство.	—= (—I)"-1,
получаем (11) и (12).
Теорема 63. Знаменатели подходящих дробей к.
дроби (5), начиная с первого, образуют монотонно возрастающую
последовательность, т. е.
1 — Qo^QjCQj-^.. . < Qy-
Доказательство. Q0=l, Q1 = a12&l = Q0, так что Qo
и Qx положительны. Соотношение
Qn = Qn-ian+Qn-2 (2<n^s)	(13)
показывает, что и все следующие знаменатели Q2, Q3, .... Qs
положительны. При н>2, поскольку тогда ап^1, из (13) по-
лучаем:
QB> QB-i-1 + o= Qn-i-
Примечание. Если цепная дробь положительна, то, как это непос-
редственно следует из формул (7) и (8), числители ее подходящих дробей
также образуют монотонно возрастающую последовательность.
Теорема 64. При п^2
PnQn-2-Pn-sQn^(-l)n^	(14)
Доказательство. Заменяя в левой части (14) Рп и Q„
по формулам (7) и используя теорему 60, получаем:
РпО-п-2 Pn-iQn~ (Рц-1ап	- a) Q«-3 Рп-г (Qn-lfln Qn-z)
= «„ (Pn-1Qn-2-Pn^Q„-l) = (- 1)Л-Ч = (-DX-
Теорема 6Б. Четные подходящие дроби образуют возраста-
ющую, а нечетные подходящие дроби — убывающую последова-
тельность.
3 А. А. Бухштаб
Доказательство. Из (14) получаем:
Рп Рп-г (—1)4,
Qn Qn-a QnQn-a ’
так что при п четном имеем
р"-г
Qn Qn-г’
р
Две подходящие дроби А"~-
Qn-t
Рп^ Рп а
7Г>7Г^, а при п нечетном
Чл Чл-2
и — > У которых номер отли-
Ч п
чается на единицу, будем называть соседними.
Теорема 66. Из двух соседних подходящих дробей четная
дробь всегда меньше нечетной.
Доказательство. Согласно теореме 62 имеем:
Рп Рп-1 (-I)"'1
Qn Qn-i QnQn-i
р	р	р	р
При п четном < Я~1, а при п нечетном >л — , так что
Чл	Чл-1	Чл	Чп-1
р р
из двух соседних дробей и четная всегда меньше не-
Qn-i Qn
четной.
Теорема 67. Любая четная подходящая дробь меньше любой
нечетной дроби.
Доказательство. Если бы хоть одна четная дробь была
больше или равна нечетной, то согласно теореме 65 последняя
четная дробь тоже была бы больше последней нечетной, что
противоречит теореме 66.
Теорема 68. Расстояния (модули разностей) между сосед-
ними подходящими дробями уменьшаются с увеличением их
номера.
Доказательство. Согласно теоремам 62 и 63 имеем:
|fn±l_Z_«|=	1__ г 1	p»-i|
I Qn+i Qnl Qn+iQn Qn-iQn I Qn Qn-il
Примечание. Теорема 63 является также непосредственным след-
ствием теорем 65 и 67.
Эти теоремы показывают, что подходящие дроби с четными
и нечетными номерами являются левыми и правыми концами
вложенных друг в друга интервалов, т. е.
Р 0	Р 2 -- Р 4 <^
Qo	Qa Q<
Pl
^Qi’
причем последняя цепная дробь
ч$
цепной дроби. '
совпадает с величиной всей
66
ГЛАВА 6
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. КРИТЕРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
Множество действительных чисел заключает в себе, в част-
ности, все рациональные числа; все остальные действительные
числа называют иррациональными.
Определение 22. Действительное число а называется ирра-
циональным, если оно отлично от всех рациональных чисел,
т. е. если при всех целых а и о.
Существование иррациональных чисел было доказано еще
греческими математиками. Иррациональность числа lz<2 была
известна еще в V веке до нашей эры математикам пифагоров-
ской школы, а доказательство этого часто приписывается Пифа-
гору, хотя точно неизвестно, было ли оно построено им самим
или кем-либо из его учеников. Поскольку множество всех рацио-
нальных чисел счетно, основную массу действительных чисел
составляют иррациональные числа.
В этой главе мы рассмотрим простейшие методы, позволяю-
щие устанавливать иррациональность некоторых классов чисел,
а также докажем иррациональность нескольких величин, часто
встречающихся в математике. На первый взгляд кажется не-
оправданным то, что задача доказательства иррациональности
какого-либо действительного числа а относится к теории чисел,
однако включение такой проблематики в теорию чисел стано-
вится сразу ясным, если поставить этот вопрос в следующей
форме: доказать, что не существует целых чисел а и Ь, таких,
что Ьа = а.
Дадим сначала одну теорему, устанавливающую иррациональ-
ность довольно широкого класса действительных чисел, встре-
чающихся особенно часто в школьных курсах алгебры и
геометрии.
Теорема 69. Пусть f (х) = хп + с^'1 +...+<?„ — многочлен
с целыми коэффициентами, действительное число а —корень
f{x). Тогда а либо целое, либо иррациональное число.
Доказательство. О—целое число, так что мы рассмотрим
только случай а^=0. Предположим, что а не является ирра-
а
циональным числом, т. е. что а—рациональное число, а = у,
где а и b целые, 1, (а, 6)=1. Подставляя а = у в уравне-
ние f(x) = 0 и умножая обе части его на Ьа, получаем:
— ап = cian-'b[-... +	+ саЬп.
3*	«г
Из этого соотношения непосредственно видно, что
Поскольку (а, &)=1, то (теорема 43) (а", Ь)=1 и Ь\ап может
быть только при &= 1, т. е. а= а —целое число.
Пр и ме р. Если натуральное число а отлично от всех п-х
степеней целых чисел, то а — иррациональное число.
Действительно, а есть корень уравнения ха—а = 0. Если
число у/а не является целым, то согласно теореме 69 оно
иррациональное. Например, ]Л2 —иррациональное число, так как
последовательность квадратов целых чисел имеет вид0, 1,4, 9, ...
и ни один из этих квадратов не равен 2. Число I/21 иррацио-
нальное, так как последовательность положительных кубов це-
лых чисел имеет вид 1, 8, 27, ... и ни один из них не равен 21.
Иррациональность некоторых действительных чисел можно
установить с помощью критериев, сформулированных в следую-
щих двух теоремах.
Теорема 70. Если а — рациональное число, то существует
с>0 такое, что для любой рациональной дроби	будет
справедливо неравенство:
£
Доказательство. Пусть а = — , где /^1. Возьмем
1	a k
с = -[- - Для любой рациональной дроби у будет kb — al^O,
а следовательно (теорема IX), целое число — al\^ 1, и тогда
I a I I k	all kb — al |  I с
|a —ТГ H	^7b~T ‘
Теорема 71. Если для любого положительного числа с суще-
ствует хотя бы одна пара целых чисел а, Ь, таких, что и
то а — иррациональное число.
Доказательство. Если бы а было рациональным, то по
теореме 70 нашлось бы с>0 такое, что для любой дроби у¥=<х
выполнялось бы неравенство (1), а это противоречит тому, что
а
согласно нашим условиям для этого с существует у ¥=“ такое,
что имеет место неравенство (2). Предположение,- что а—ра-
циональное число, привело нас к противоречию, значит, а ирра-
ционально.
68
Пример. Доказать иррациональность числа а:
а- 1 — 21+24— 2» + -- -+~^—г.. •
Возьмем произвольное с>0 и выберем п настолько большим,
чтобы было 22п+1>—. Положим,
С
b=v,	+
а и Ь— целые числа. При таких а и b
1____________
2<« + 1)г	2('1+2,г
1
2<« + 1)2
1
так что а иррационально.
Теорема 72. Если при некотором 1 разложение а в си-
стематическую дробь с основанием системы счисления, равным g,
содержит сколь угодно длинные конечные цепочки, состоящие из
одной и той же цифры, то а — иррациональное число.
Иначе говоря, если в разложении
а = с0 + у + ^-+... (О^с,- <g)
для любого п0 найдутся с/г+1 = сА,+ 2 = . .. = cft+n (n>n0), причем
ck^ck + l И ck4-n=^=cfl+n + l' то а иррационально.
Доказательство. Если бы а было рациональным, то
разложение а в систематическую дробь с основанием g было бы
периодическим (теорема XXIII). Такое разложение не может
иметь одной цифры в периоде, так как для бесчисленного мно-
жества п сЛ+п^=ск+п+1. Предположение же, что период состоит
из нескольких цифр, также противоречит нашим условиям, так
как в этом случае не могли бы существовать цепочки из одной
цифры длиной больше, чем число цифр в периоде.
Пример. Число а, записываемое в десятичной системе
счисления в виде а = О, 121122 ... 11 ... 1 22 ... 2 ..., иррацио-
ч_______________________________	' г '
п единиц п двоек
нально.
2. ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ в и Л
Теорема 73. Число е иррационально.
Доказательство. Предположим, что е = у, где а и b—
натуральные числа. Известно, что
е_| — 1 —- + ——-4-
е 1 И '21	31 ' • •’
69
Из е = у следует, что а!е-1 — целое число, так что целым
будет и число
А — а! |е
2!	at
_J_______!_+
(<*4-1)1	(a+2)P”J-
Мы получаем отсюда
О < А < а! i— = ~ < 1,
(а+1)1 а + 1	’
т. е. между 0 и 1 лежит целое число. Предположение, что е
рационально, привело нас к противоречию, значит, е иррацио-
нально.
Теорема 74. Число л иррационально.
Доказательство. Предположим, что л рационально,
т. е. л = у, где а и Ь —натуральные числа. При увеличении п
1 /а2\я
величина 1 —"О; поэтому можно найти п такое, что вы-
полняется неравенство
<*>
Рассмотрим для такого п функцию
Их) = £х"(л-х)".	(4)
Заменяя л через у и разлагая (л—х)” = ^ (а —Ьх)” по сте-
пеням Ьх, можно представить f(x) в виде:
f(x) = i(cox" + c1x'’+i+...+Cnx2'’),	(5)
так что / (0) = Д (0) = ... =	(0) = 0. Если равенство (5) про-
дифференцировать s раз, где зЗэп, то получим:
fn(O) = ^]^-r.sI=Cj-n(s-°)1	•
Биномиальный коэффициент д| “ целое число, так что
/<г”(0),	(0),	, {<-2п} (0) —целые числа.
Из равенства (4) видно, что ^(х) = /(л — х), так что, диф-
ференцируя, получаем для всех k
f <*> (х) = (— 1 )* f •*» (л- х), /<*> (л) = ( — !)* flft) (0),
и,, следовательно, /(л) = f (л) = ...	(л) = 0, а /(Л>(л), ...
... , /<гл> (л) — целые числа.
70
Интегрируя f(x)sinx по частям, получаем:
Л	л
$ f (х) sin х dx = f (0) + f (л) + f (x) cos x dx =
о	0
л
= / (0) + f (л) — § f" (x) sin x dx
0
л	Л
У f' (x) sin xdx= f" (0) + Г (л)— $ /<IV) (*) sin x dx
0	0
(6)
J /<="> (x) sin X dx =	(0) + /<2п> (л)
О	’
так как следующая производная /(2п_| 2) (х) тождественно равна
нулю.
Из равенства (6) получаем:
$ f (х) sin х dx = (f (0) + / (л)) - (/" (0) + f" (л)) + .. . +
+ (—1)“ (f(2n> (0) + f(2n) (л)) = Л,	(7)
где А — целое число. Поскольку в интервале (0; л) подынтеграль-
ная функция f (х) sin х положительна, интеграл в левой части (7)
больше нуля иЛ^1. С другой стороны, из равенства (4) видно,
что при O^xs^n имеем:
/(х)<^ л2п = Л(тТ
'  ’	/г! п\ \ Ь )
и поскольку sinx==sl, то при нашем выборе п (см. (3)) имеем:
Л = р(х)8шхг/х^(у)л<4.
о
т. е. 4~2>Л2г1. Предположение, что л рационально, привело
нас к противоречию, следовательно, л — иррациональное число.
Исторические комментарии к 6-й главе
1.	Теорема 69 принадлежит Гауссу.
2.	Иррациональность числа л была доказана впервые в 1761 г.
французским математиком Ламбертом. Доказательство Ламберта
основано на применении непрерывных дробей. Доказательство,
приведенное в этой книге, было дано Нивеном в 1947 г.
71
3.	Арифметическая природа многих величин до сих пор не-
известна. Современным математикам пока не удалось установить,
являются ли рациональными или иррациональными некоторые
часто встречающиеся постоянные. Так, например, неизвестно,
является ли рациональным или иррациональным эйлерова по-
стоянная С (см. теорему 54).
ГЛАВА 7
СРАВНЕН ИЯ
Во всей этой главе мы будем рассматривать только целые
числа и обозначать их латинскими буквами.
Возьмем произвольное фиксированное натуральное число т
и будем рассматривать остатки при делении на т различных
целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и про-
ведении операций над ними удобно ввести понятие так называе-
мого сравнения по модулю.
Определение 23. Целые числа а и b называются сравнимыми
по модулю т, если разность а — Ь делится на т, т. е. если
т\а — Ь.
Таким образом, сравнение представляет собой соотношение
между тремя числами а, b и т, причем т, играющее роль
своего рода эталона сравнения, мы называем модулем. Для крат-
кости мы будем это соотношение между а, b и т записывать
следующим образом:
а = b (mod /н),
а и b будем называть соответственно левой и правой частями
сравнения. Число т, стоящее под знаком модуля, будем всегда
считать положительным, т. е. запись modm будет означать, что
т У' 1.
Если разность а — b не делится на т, то мы будем записывать
это так: а b (mod т).
Согласно определению a = 0(modm) означает, что а делится
на т.
Примеры. 101 =: 17 (mod 21); —5 = 28 (mod 11).
Теорема 75. а сравнимо с b тогда и только тогда, когда
а и b имеют одинаковые остатки при делении на т.
Доказательство. 1) Пусть a = 6(mod?n), т. е. т\а — Ь.
Представим а и b в виде а = mq1-\- rY, b — mq2-\-rit где
0 ^гг<_т, 0 ^г2<.т. Из этих представлений а и b получаем
a— b — m(q1—,у2) + г1—г2; 110 т\а — Ь, так что по теореме 10
будем иметь m\rt — rs. Поскольку—т <— гг<т, а среди
чисел, абсолютная величина которых меньше, чем т, только О
делится на т, то получаем — г2 = 0, гг^г2.
72
2) Пусть остатки от деления а и b на т равны, т. е.
a = mql-pr и b — mq2-'rr-, тогда a —b= т (q1 —q2), m\a—b,
a = b (mod m).
Согласно этой теореме сравнимость а и b по модулю т
эквивалентна утверждению: „а и b имеют одинаковые остатки
при делении на т“. Поэтому в качестве определения сравнения
можно было взять следующее.
Определение 23'. Целые числа а и b называются сравнимыми,
по модулю т, если остатки от деления этих чисел на т равны.
Согласно только что сделанному замечанию определения 23
и 23' эквивалентны. Устанавливая свойства сравнений, мы будем
этим пользоваться для упрощения некоторых доказательств.
Теоремы 76—91 дают основные свойства сравнений, которыми
мы будем пользоваться во всем дальнейшем.
Теорема 76. Рефлексивность отношения сравнимости
а=^а (mod tri).
Доказательство, а к. а имеют одинаковые остатки при
делении на т.
Теорема 77. Симметричность отношения сравнимости: если
а = Ь(упод т), то b = a(modm).
Доказательство. Если а и b имеют одинаковые остатки
при делении па т, то остатки от деления Ъ и а на т также
равны.
Теорема 78. Транзитивность отношения сравнимости: если
a=z&(mod/и), & = c(modm), то o = c(mod/n).
Доказательство. Если остатки от деления на т одина-
ковы у чисел а и Ь, а также у & и с, то а и с тоже имеют
одинаковые остатки при делении на т.
Из теорем 77 и 78 легко получить, что два числа, сравнимые
с одним и тем же третьим, сравнимы между собой по тому же
модулю.
Запись вида
аг = а2 = . . . =as(modtri)
будет означать, что любые две из величин: alt а2, .. . , as
сравнимы между собой по модулю т.
Запись вида
= . . . ak — ak+1 = . .. ~as (mod т)
будет означать, что все а1т .. . , as сравнимы между собой по
модулю т, причем ak и аЛ + 1 совпадают.
Теорема 79. Если a = b (mod т) и k — произвольное целое
число, то
ka ^kb (modm).
73
Доказательство. Если a = b(modm), то m\a — b,
m\k(a—b), m\ka—kb, ka = kb (modm).
Теорема 80. Если ka~kb (modtn) и (k, m)=l, mo
a=b (mod tn).
Доказательство. Если ka = kb (modm), to m\ka— kb,
tn\k(a — b), но тогда согласно теореме 41 условие (k, m)=l
дает tn\a—b, т. e. a = ft(modm).
Если ka = kb (mod tn) n(k,rri)=£\, то может быть a = b (mod tri),
а может быть a^bfmodm), например, 3-14^3-2 (mod 6) и
14^2(mod6), 3-10 = 3-2 (mod 6), но 10 ^2 (mod6).
Теорема 81. Если a =b (mod tri) и k — произвольное нату-
ральное число, mo ka = kb (mod km).
Доказательство. Если a = b (mod/и), то m\a— b,
km\ka — kb, ka = kb (mod km).
Теорема 82. Если ka = kb (mod km), где k и m^ произвольные
натуральные числа, mo a = b(modm).
Доказательство. Если ka = kb (mod km), то km\ka — kb,
km\k(a—b), k — натуральное, т. e. A=?=0, и тогда
m\a — b, a = b{modm).
Теорема 83. Если a = b(modm), c = d(modm), mo a-i-c^
b^-d (mod m) и a — b — d (mod m).
Доказательство. Если a = b (modm) и CE=d(modm),
то m\a— b и tn\c—d. Применяя теорему 10, получаем
m|(a — b)±(c—d), m\(a + c) — (b ± d), a ± c = b -l- d (mod m).
Теорема 83' (обобщение теоремы 83). Если а1 = b1 (mod т),
я, = (mod т), ..., ап = bn (mod tri), то а1-}-а2+ ... + =
= b, + b2 + ... + b(mod m„).
Доказательство может быть проведено аналогично предыдуще-
му, причем вместо теоремы 10 можно применить теорему 11.
Переход от случая двух сравнений (теоремы 83) к любому
числу п сравнений (теоремы 83') может быть, конечно, также
осуществлен применением принципа математической индукции.
Теорема 84. Если a=b(modm), c = d(modm), то
ас = bd (mod tri).
Доказательство. Если a b (mod m), c = d(modm), то
согласно теореме 79 ac = bc (mod т) и bc=bd (mod т); теорема 78
(транзитивность сравнений) дает тогда ac = bd (mod tri).
Теорема 84' (обобщение теоремы 84).
Если а± - b± (mod т), . .. , ап = bn (mod т), то
a-L ... ап == bt ... b„ (mod tri).
Доказательство. Последовательно применяя теорему 79,
получаем:
 • • ап	.=b2b2ba. .. bn(modту
74
Доказательство может быть также проведено применением
принципа математической индукции.
Теорема 85. Если a = b (mod т), то при любом, целом
п^О ап = bn (mod т).
Доказательство. При п = О утверждение верно согласно
теореме 76, а при п 1 оно верно согласно теореме 84', по-
лагая там
aL = . .. = аП = а и bt = ... = bn = Ь.
Переход от сравнений
а = b (mod т), c = d (mod т)
к сравнениям
а ± с = b ± d (mod т), ас= bd (mod m), а" 6" (mod/и)
будем называть соответственно сложением, вычитанием, умно-
жением, возведением в степень сравнений.
Поскольку из сравнения с = d (mod т) следует d = с (mod m),
то из сравнений a = .6(modm) и csd(modm) следует также,
что а ± d= b ± с (mod т) и ad = 6с (mod т).
Теорема 86. Если a = b (mod т) и f (х) = с() + с1х Ч- .. . + спхп —
произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то
/(a) = f(b) (mod т).
Доказательство. Если a = b (mod т), то согласно теоре-
мам 85 и 79 имеем:
as = b5' (mod т), csa5' csbs (mod m) при s = 0,l.n,
но тогда по теореме 83' получаем:
Со + паЧ- ...Jrcnan = c0\-c1b+ ... + cnbn (mod m),
t. e.
f (a) = f(b) (mod m).
Теорему 86 можно обобщить и дать в следующей форме.
Теорема 86'. Если a1^=61(modm).....at = bt (mod m) и
/(хг, ... , xt) — многочлен с целыми коэффициентами, то
f(ai....=	• • • > &t)(mod/n).
Доказательство совершенно аналогично доказательству
теоремы 86.
Теорема 87. Любое слагаемое левой или правой части сравне-
ния можно перенести с противоположным знаком в другую часть.
Доказательство. Ввиду симметричности отношения
сравнения (теорема 77) достаточно рассмотреть случай, когда
дано сравнение
a-]- b =ьс (mod т).
75
Складывая это сравнение со сравнением
— b = — b(mod т),
получаем:
а -—с— b (mod tn).
Простым следствием этой теоремы является то, что в левой
и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать
одно и то же слагаемое.
Теорема 88. В сравнении можно отбрасывать или добавлять
слагаемые, делящиеся на модуль.
Доказательство. Если а + с = &(шод т) и т.|с, т. е.
— с = 0 (mod т), то, складывая эти сравнения, получаем
a = b(modm). Аналогично из a = b(modm) и т\с получаем
a + c=b (mod т).
Поскольку левую и правую части сравнения можно менять
местами, утверждение верно и для слагаемых правой части.
Теорема 89. Если a = b (mod т) и d\m, то
a = b (modd).
Доказательство. Если a = fc(mod т), то т]а — Ь. Из d\m,
m\a — b в силу транзитивности отношения делимости (теорема 6)
получаем d\a — b, a = b (mod d).
Теорема 90. Если a = b (mod т), то множество общих делите-
лей а и т совпадает с множеством общих делителей bum.
В частности, {а, т) = (Ь, т).
Доказательство. Если a = b(modm), то т'а — Ь,
а — Ь = ту, Ь = а — ту, любой общий делитель 6 чисел а и т
является общим делителем чисел b и т, и, наоборот, если 6|Ь
и ё|т, то ё|а.
Поскольку пара а, т и пара Ь, т имеют одни и тс же общие
делители, то и (а, т) = (Ь, т).
Теорема 91. Если flES^modmj), a = b(modm2), ... ,
a = b(modmj, то a = t»(modm), где m = [mlt тг, .... mJ.
Доказательство. Если a = b (mod mJ, as&fmod ma), . . .
... , a = b (mod ms), to mja — b, m2\a — b.tnja—b и согласно
свойствам наименьшего общего кратного (теорема 32) т\а — Ь.
Сравнения в таком виде, как их здесь рассматриваем, были
введены впервые Гауссом в его знаменитой книге „Disquisitiones
arithmeticae“ („Исследования по арифметике11).
Исторические комментарии к 7-й главе
Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 г. в Брауншвейге. Боль-
шую часть своей жизни он прожил в Геттингене, где он в 1795 —
1798 гг. был студентом, а с 1807 г. до конца жизни (Гаусс
умер в 1855 г.) —профессором Геттингенского университета.
С 15 лет Гаусс начал работать в области теории чисел. Сначала
он самостоятельно получил важнейшие результаты в этой об-
76
ласти, известные уже его предшественникам, а затем открыл
ряд новых фактов исключительной важности.
Гаусс начал писать „Disquisitiones arithmeticae“ в 1796 г., и
значительная часть этого сочинения им была написана в студен-
ческие годы. Печаталась эта книга крайне медленно и появилась
только в 1801 г. В первом отделе книги Гаусс вводит понятие
сравнения. Это понятие фактически в неявном виде употреблялось
многими математиками до Гаусса, однако только Гаусс точно
определил его и систематически развил соответствующую теорию.
Дальнейшие фундаментальные результаты Гаусса, изложенные
в этой книге, из которых особенно надо выделить квадратический
закон взаимности, явились основой всего последующего раз-
вития теории чисел. Большая часть „Disquisitiones arithmeticae"
посвящена развитой Гауссом арифметической теории квадрати-
ческих форм.
В следующие годы, занимаясь различными вопросами мате-
матики и ее приложениями, Гаусс не терял интереса к теории
чисел и написал две очень важные работы в этой области
математики. В целом научное наследие Гаусса очень велико.
Полное собрание сочинений Гаусса было издано еще в XIX веке
Геттингенским научным обществом.
ГЛАВА 8
КЛАССЫ
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КЛАССАХ ПО ЗАДАННОМУ МОДУЛЮ
Определение 24. Классом по данному модулю т называется
множество всех целых чисел, сравнимых с некоторым данным
целым числом а.	_
Будем обозначать такой класс знаком а. Таким образом, а
обозначает множество всех тех х, которые удовлетворяют усло-
вию х = a (mod т). Например, по модулю 10 имеем 73 £ 13,—17 £3,
8 £—2. В силу свойства транзитивности сравнений все числа
класса сравнимы между собой, т. е. имеют одинаковые остатки
при делении на модуль.
Теорема 92. Класс чисел, сравнимых с а по модулю т, совпа-
дает. со значениями линейной функции a-\-mt при целых зна-
чениях аргумента t.	_
Доказательство. Для каждого х £ а имеем х = а (mod т),
т\х — а, x — a=mt, где / — целое, т. е. x = a-\-mt, где / — одно
из чисел: 0, ±1, ± 2, ... Таким образом, значения х находятся
среди значений линейной функции a-\-mt. Поскольку при любом
/ имеем а + mt = a (mod т), то значения этой функции при целых
значениях / совпадают со множеством чисел, сравнимых с а по
модулю т, т. е. с числами класса а.
77
Эта теорема, в частности, показывает, что каждый класс
содержит бесконечное множество чисел.
Пример. По модулю 8 класс 11 состоит из чисел:
... —21, -13,-5, 3, 11, 19, 27, ...
Теорема 93. а = Ь тогда и только тогда, когда a = b (mod m).
Доказательство. Если a = b(mod т), то для любого х£а
будет jsc(mod m); пользуясь транзитивностью отношения срав-
нения, получаем ,v=^b(modm), x£b. В силу симметрии а и b
(теорема 77) для любого х£Ь также будем иметь х£а. Классы
а и Ь, таким образом, совпадают.
Обратное утверждение очевидно. Если а — Ь, то это, в част-
ности, означает, что а£Ь, т. е. a = b(modm).
Введение классов позволяет, таким образом, заменять срав-
нение равенством соответствующих классов и, наоборот, равен-
ство классов—соответствующим сравнением. Эта теорема вместе
с тем показывает равноправность всех чисел класса. Заменяя
в некотором классе а число а любым числом Ь, принадлежащим
тому же классу, т. е. сравнимым с апо рассматриваемому модулю,
мы получаем тот же класс.
Теорема 94. Если два класса имеют хотя бы один общий
элемент, то они совпадают.
Доказательство. Пусть с£а и с£Ьтогда,с = а(modт),
c = b (mod т), так что (теорема 78) a^b(modm) и по предыду-
щей теореме а = Ь.
Теорема 94 показывает, что два класса по модулю т либо
не имеют общих элементов, либо полностью совпадают.
Теорема 95. Если какде-то число класса по модулю т имеет
при делении на т остаток, равный г, то все числа класса имеют
вид r + mt, где аргумент t принимает любые целые значения.
Доказательство. Пусть а —число некоторого класса
по модулю т и a = mq-\-r, где 0^г<т. Тогда (теорема 92)
все числа этого класса имеют вид:
а + mt = г + т (t -j- q) — г 4* mt',
где t' = t+q и f, также как и t, принимает любые целые
значения.
Теорема 96. Число классов по модулю т конечно и равно т.
Доказательство. Выше было отмечено, что все числа
класса имеют при делении на модуль один и тот же остаток.
Поскольку, наоборот, каждому остатку г соответствует опреде-
ленный класс чисел г, сравнимых с г, то классы по модулю т
могут быть взаимно однозначно сопоставлены остаткам г.
Остатками при делении на т являются числа 0, 1, 2, ... , т— 1,
78
т. е. число различных остатков, а значит, и число различных
классов равно т.
Пример. По	модулю 6 имеется	всего 6	классов, а именно:
<5{..	. -12, -6, 0, 6,	12, 18,	...}
1{..	. -Н, -5, 1, 7,	13, 19,	
2{..	. — 10, —4, 2, 8,	14, 20,	. , , 1
3{..	. -9, -3, 3, 9,	15, 21,	...}
	. -8, —2, 4, 10,	16, 22,	
5{..	.—7, -1, 5, И,	17, 23,	
Определение 2,5. Вычетом класса называется любое из чисел,
принадлежащих этому классу.
Среди неотрицательных (положительных) вычетов класса,
образующих часть множества неотрицательных чисел согласно
теореме I, содержится наименьшее число, которое мы будем
называть наименьшим неотрицательным (положительным) вычетом
класса. В классе (теорема Г) имеется наименьший по абсолютной
величине вычет класса.
Теорема 97. Наименьший неотрицательный вычет класса а
по модулю т равен остатку от деления а на т.
Доказательство. Обозначим через г остаток от деления а
пат, т. е. положим а = mq 4- г, где 0 г-< т. Тогда a = r (mod т),
а = г. Любое а имеет вид x = r + mt (теорема 95). При целых
отрицательных t будем иметь	— т<.0, т. е. положи-
тельные числа класса получаются при неотрицательных значе-
ниях t, а наименьшее среди них, получающееся при t = 0, равно г.
Теорема 98. Обозначим через г остаток от деления а на т;
тогда наименьший по абсолютной величине вычет класса а равен:
1) г, если	2) ± г, если г =	; 3) г — т, если -% <2 г < т.
Доказательство. Если a = mq^r (OsSr<m) и х£а,
то x = r-[-mt, где t может равняться 0, ±1, ±2,... • Наи-
меньшее неотрицательное значение х равно г, а наименьшее по
абсолютной величине отрицательное значение х равно г — т.
Если при этом:
1)	то г < | г — т\. Наименьший по абсолютной
величине вычет равен г.
2)	г = ~ (это может быть только при четном т), то г—- | г — т |.
Имеются два наименьших по абсолютной величине вычета г
и г — т = — г.
3)	^-<_г<.т, то |г—т\<.г. Наименьший по абсолютной
величине вычет равен г — т.
79
Следующая теорема будет иметь существенное значение для
дальнейшего.
Теорема 99. Числа класса а по модулю т образуют k классов
по модулю km, а именно классы:
а, а + т, а + 2т, ...,a + (k—1) т.	(1)
Другими словами, значения х, удовлетворяющие сравнению
х—=a(modm), совпадают со значениями х, удовлетворяющими
одному из следующих сравнений:
х = а (mod km), х = а + т (mod km), х = а + 2т (mod km),
x = a-{-(ft—l)m(modkm).
Доказательство. Возьмем некоторый класс а по мо-
дулю т. Числа этого класса имеют вид a-\-mi, где 1 = 0, ±1,
±2, . . ., т. е.
.... а—2т, а — т, а, а-\-т, а \ 2т, ...	(2)
Докажем, что находящиеся среди них числа
а, а+т, а + 2т, .... a + (k—\)т	(3)
попарно несравнимы по модулю km, т. с. принадлежат различ-
ным классам по этому модулю. Действительно, абсолютная
величина разности между двумя из чисел (3) будет положитель-
ной и вместе с тем не больше, чем разность между самым
большим из них a + (ft—l)m и самым маленьким а, т. е. не
больше, чем (А— 1)т. Такая разность не может делиться па km,
а следовательно, среди этих чисел пет сравнимых по модулю km.
Таким образом, классы
а, а + т, а + 2т, ..., a + (k— 1) т
по модулю km различны, причем очевидно, чго все числа каж-
дого такого класса целиком входят в множество (2).
Докажем теперь, что любое число из (2) сравнимо с одним
из чисел (3).
Действительно, любое число из (2) имеет вид a + Nm. Пред-
ставим N в виде N -- kq + г (О г ^k—1). Тогда
а + Nm = a + rm + ktnq = a + rm (mod km),
где a4- rm — одно из чисел множества (3). Таким образом, все
числа класса а по модулю т принадлежат к различным по моду-
лю km классам (1), не содержащим каких-либо чисел, отличных от
чисел вида (2), и теорема тем самым доказана полностью.
2. КОЛЬЦО КЛАССОВ
Введем в множестве классов по модулю т две операции,
которые будем называть сложением и умножением классов.
80
Определение 26. Суммой классов а и b называется класс а + Ь,
т. е. класс чисел, содержащий число а4- Ь.
Определение 27. Произведением классов а и b называется класс
ab, т. е. класс чисел, содержащий число ab.
Поскольку каждый класс содержит бесконечное множество
чисел, то при сложении и умножении классов а и b числа а
и Ь можно заменять любыми числами а' и Ь', принадлежащими
этим же классам. Возникает вопрос, меняются ли при этом опре-
деленные нами сумма и произведение классов.
Легко доказать, что определенная нами сумма классов един-
ственна и не зависит от выбора отдельных представителей клас-
сов, используемых при составлении суммы.
Действительно, еслиа' С a, b' С b, Toa'=a(mod/n), b'=^&(mod т)
и, применяя свойства сравнении (теоремы 83 и 84), получаем:
a' -\-b' = a-\-b (mod т), a'b' = ab (mod m),
т. е. (теорема 93)
а' + &' = а + &, a'b' = ab.
Мы видим, таким образом, что сумма и произведение клас-
сов не меняются от замены а и b числами а' и Ь'. Сумма клас-
сов а и b содержит сумму любого числа а' С а и Ь' £Ь, а произ-
ведение классов а и b содержит произведение любых таких
чисел аг и Ь'.
Для суммы классов верно и обратное, а именно любое число
с£а + Ь можно представить в виде с — а' + Ь', где а'£а, b'£b.
Действительно, с £a-\-b = а + b означает, чтос~а + &(mod т),
с—a = b (mod т), с—a£b, т. е. с можно представить в виде
с = а-\-(с‘—а), где а£а, с—а£Ь.
Например, в кольце классов по модулю 6 (см. стр. 79)
класс 2 представляет собой сумму классов 3 и 5. Любое число
класса 3, сложенное с любым числом класса 5, дает некоторое
число класса 2, и каждое число класса 2 является суммой неко-
торых двух чисел из классов 3 и 5.
Для произведений положение меняется. Вообще говоря, не
всякое число из класса а-b можно представить в виде произве-
дения двух чисел из классов а, Ь. Например, при т = 7 произ-
ведение 5-3=1, но 1 нельзя представить в виде произведения
двух чисел, дающих при делении на 7 остатки 3 и 5. Соотношение
3-5=1 означает здесь только то, что любое число из класса 3,
умноженное на любое число из класса 5, дает некоторое число
из класса 1.
Среди классов особое место занимает нулевой класс, состоя-
щий из чисел, остаток от деления которых на модуль равен
81
нулю, те. из чисел, делящихся на модуль. Мы имеем для любого
класса а:
а + 0 = а + 0 = а, о-0 = а-0 = 0.
Теорема 100. Множество классов по данному модулю пред-
ставляет собой аддитивную группу.
Доказательство. Проверим для множества классов по
некоторому модулю т справедливость условий, определяющих
аддитивную группу.
Условие 1 (замкнутость операции сложения).
Действительно, по определению сумма классов а и b по мо-
дулю т представляет собой единственный, вполне определенный
класс по этому же модулю.
Условие 2 (сочетательный закон для сложения).
Действительно,
a -J- (Ь 4- с) = а 4- {Ь -г с) = а 4- {Ь + с) = (а + Ь) + с =
= (а -|- Ь) + с = (а 4- Ь) 4- с.
Условие 3 (существование нулевого элемента). Роль нуле-
вого элемента выполняет класс 0.
Действительно, выше было показано, что а4-0 = а.
Условие 4 (существование для каждого элемента проти-
воположного ему). Для класса а противоположным классом
является класс —а, т. е. класс, содержащий число —а.
Действительно,	________
а4-(—й) = а4-(—а) = 0.
Условие 5 (переместительный закон для сложения).
Действительно,   _
а |-6 = а 4- b = b 4- а = b 4- а.
Можно отметить, что при проверке выполнимости условий
1—5 для классов существенно использовалась справедливость
этих же условий для множества целых чисел.
Установив, что множество классов есть аддитивная группа,
мы можем считать доказанными для классов все те свойства,
которые верны для всех аддитивных групп, например: 1) суще-
ствует единственный нулевой элемент (класс) 0; 2) для каждого
класса а существует единственный противоположный элемент
(класс) —а; 3) операция вычитания всегда выполнима и един-
ственна, причем а—Ь — а 4- (—6).
Теорема 101. Множество классов по данному модулю пред-
ставляет собой коммутативное кольцо.
Доказательство. Проверим выполнимость условий, опре-
деляющих коммутативное кольцо, пользуясь тем, что само мно-
жество целых чисел представляет собой коммутативное кольцо.
82
Условие 1 (множество представляет собой аддитивную
группу).
См. теорему 100.
Условие 2 (замкнутость операции умножения).
Действительно, по определению произведение классов а и b
представляет собой единственный вполне определенный класс ab.
Условие 3 (сочетательный закон для умножения). Дейст-
вительно,
a (b- с) = a (be) = a (be) = (ab) с = (ab) с= (а-b) с.
Условие 4 (переместительный закон для умножения).
Действительно,
a-b = ab = ba = b-a.
Условие 5 (распределительный закон). Действительно,
(а -|-6) с = (а + Ь) с = (а -р Ь) с = ас -j- be — ас -)- be = ас + Ьс.
Поскольку для множества классов проверена выполнимость
всех условий, определяющих коммутативное кольцо, теорема
доказана. Установив, что множество классов—коммутативное
кольцо, мы можем считать доказанными для всех классов все те
свойства, которые верны для всех коммутативных колец, напри-
мер правила действий со знаками, справедливость сочетатель-
ного закона при сложении и умножении нескольких классов и т. д.
Кольцо классов представляет собой кольцо с единицей. Роль
единичного элемента выполняет класс 1. Действительно, для
любого класса а:
1  а = а • 1а • 1 = а.
Обычным для всех колец образом вводятся определения про-
изведения па и степени (а)", а именно:
Определение 28. Пусть целое число п>0, а — класс по неко-
торому модулю т. Произведением па будем называть класс,
равный сумме a-f-a-p ...-f-а, где а повторено слагаемым п раз.
Произведение—па определим равенством — па = п( — а), а под
произведением 0-а будем понимать нулевой класс 0.
Определение 29. Пусть и >0 целое, а—класс по некоторому
модулю т. Степенью (а)'* будем называть класс, равный произве-
дению а-а.. .а, где а повторено множителем п раз. Степень (а)0
будем считать равной классу 1.
Теорема 102. 1) Для любого целого с и любого класса а по
модулю т са = са.
2) Для любого целого и любого класса а по модулю
т имеем (а)п = а".
83
Доказательство. Легко видеть, что классы са и са имеют
общий элемент са, а классы (а)" и а"—общий элемент а”, так
что согласно определению классов (определение 24) имеем:
са — са и (а)" = ал.
Определение 30. Пусть f (х) = с0хл4-с1хл"1 -|-... +с„—много-
член с целыми коэффициентами, а—некоторый класс по модулю
nv, значением этого многочлена по модулю т при х = а будем
называть выражение
f (а) = с0 (а)п + сг (а)п~1 + .. . + с„ Г.
Теорема 103. Пусть f (х)—многочлен с целыми коэффициен-
тами. Для любого класса а по рассматриваемому модулю т
/(а) = / (а).
Доказательство. Пусть / (х) = сохп -\-с1хп~1 + ... +
+ c„-iX-i-с„. Тогда, пользуясь теоремой 102, получаем:
f(a) = с0 (я)” + сДо)"-1 +    +c„_1a-4-c„-~i = с^ +	••• +
-=coa" + Cia"-1 + • • • -ь-с„=/(а).
Для колеи классов естественно поставить вопрос; могут ли
такие кольца иметь делители нуля? Оказывается, что кольцо
классов может быть кольцом с делителями нуля, а может быть
и кольцом без делителей пуля, причем легко установить, в каких
случаях будет то или другое.
Теорема 104. Кольцо классов по составному модулю пред-
ставляет собой кольцо с делителями нуля.
Доказательство. Пусть модуль т—составное число,
т. е. т — а-Ь, где \<а<.т, \<_Ь<.т. Из условия 1<а<т
получаем a^O(modm), а=^~0 и аналогично Ь=£0. Вместе с тем
a-b = ab = m — 0, т. е. а и b—делители нуля.
Пример. На странице 79 записаны классы по модулю 6.
В этом случае 2-3 — 0, 2 и 3—делители нуля. Поскольку
имеем 3-4 = 0, то 4—также делитель нуля.
Теорема 105. Кольцо классов по простому модулю представ-
ляет собой кольцо без делителей нуля.
Доказательство. Пусть модуль т = р — простое число,
а=^0, £>=5^=0. Тогда а ф 0 (mod т), b 0 (mod т), т. е^р^а^^Ь,
и тогда согласно теореме 19 p^ab, ab^O(modp), a-b = ab^0.
Таким образом, произведение классов, неравных нулевому,
всегда отлично от нулевого класса, т. е. кольцо классов в этом
случае—кольцо без делителей нуля. Для полноты можно отме-
тить, что при т=1 кольцо классов не имеет делителей нуля.
В этом случае кольцо классов состоит из одного нулевого класса.
84
Как было отмечено в теореме 93, соотношение равенства для
классов может быть записано в виде сравнения для чисел (вы-
четов) этих классов. Поэтому теоремы 104 и 105 можно записать
еще в другом виде.
Теорема 104'. По составному модулю т существуют числа
а и Ь, такие, что а 0 (mod т), b 0 (mod т) и притом, однако,
аЬ = (mod т).
Теорема 105'. По простому модулю р из a^O(modp) и
b^O(modp) следует, что a-b (mod р).
Таким образом, произведение двух чисел сравнимо с нулем
по простому модулю только тогда, когда по крайней мере один
из сомножителей сравним с нулем по этому модулю.
Метод математической индукции позволяет распространить
последнее положение на произвольное число множителей. (Про-
изведение s чисел представляется в виде произведения s—1
первых чисел и еще одного последнего.) Таким образом, имеет
место следующая общая теорема.
Теорема 105". Произведение нескольких чисел сравнимо с нулем
по простому модулю только тогда, когда по крайней мере один
из сомножителей сравним с нулем по этому модулю.
Отмеченная здесь разница в свойствах сравнений по состав-
ному и простому модулю является основной для всей теории
сравнений и определяет то, что многие теоремы этой теории,
справедливые для простых модулей, будут неверными при пере-
ходе к составным модулям.
ГЛАВА 9
ПОЛНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМЫ ВЫЧЕТОВ
1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
Определение 31. Полной системой вычетов по некоторому
модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого
класса по этому модулю.
Пример. Числа 12, —23, 2, 63, —2, 5 образуют полную
систему вычетов по модулю 6.
Поскольку в полной системе вычетов число вычетов должно
равняться числу классов, полная система вычетов по модулю т
состоит из m чисел. Обычно в качестве представителей классов
берут наименьшие неотрицательные, наименьшие положительные
или наименьшие по абсолютной величине вычеты; такие полные
системы вычетов называют соответственно: полной системой
наименьших неотрицательных вычетов, полной системой наимень-
ших положительных вычетов, полной системой наименьших по
абсолютной величине вычетов.
85
Согласно теореме 97 полной системой наименьших неотри-
цательных вычетов по модулю т является система чисел: 0, 1,
т—1, а полной системой наименьших положительных вы-
четов— система чисел: 1, 2, т.
Согласно теореме 98 при нечетном т наименьшими по абсо-
лютной величине вычетами классов 0, 1, 2, .... являются
„ Л n 1 о	т — 1	т +1	---5 ---Г"
числа: 0, 1,2, .... —, а для классов —~, ..., т—2, т—1 —
ffl “ 1	Г,	,	о
числа:----..., —2, —1; поэтому при нечетном т полной
системой наименьших по абсолютной величине вычетов является
система чисел:
При четном т для класса наименьший по абсолютной ве-
личине вычет равен ± у  если для этого класса, как это обычно
т
принято, взять вычет у, то мы получим следующую систему
наименьших по абсолютной величине вычетов четного модуля т:
— у-1, ..., —2, —1, 0, 1, 2......у.
Примеры. 1) 0, 1, 2, 3—полная система наименьших не-
отрицательных вычетов по модулю 4;
2)	1,2, 3, 4, 5—полная система наименьших положительных
вычетов по модулю 5;
3)	—4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4—полная система наи-
меньших по абсолютной величине вычетов по модулю 9;
4)	--2, —1, 0, 1, 2, 3—полная система наименьших по аб-
солютной величине вычетов по модулю 6.
Полную систему вычетов по модулю т мы будем записывать
в виде Хр х2, .... хт, причем, поскольку в полной системе
вычетов из каждого класса может быть только один предста-
витель, все X; попарно несравнимы между собой, т. е. при
х; ф. Xj (mod m). Справедливо и обратное утверждение, а
именно имеет место следующая теорема.
Теорема 106. Любые т чисел- х1( х2, .... хт, попарно не-
сравнимых между собой по модулю т, представляют собой полную
систему вычетов.
Доказательство получается непосредственным применением
„принципа ящиков" (теорема V). Будем рассматривать классы
как „ящики", а числа х1г х2....хт как „предметы" лежащие в
соответствующих „ящиках". Тогда:
1)	Каждое из этих чисел принадлежит некоторому классу,
т. е. каждый „предмет" лежит в одном из „ящиков",
86
2)	Поскольку любые два из этих чисел xi и xf несравнимы
между собой, ни в одном „ящике11 не лежит более одного „пред-
мета".
3)	Число чисел т равно числу классов, т. е. число „пред-
метов" равно числу „ящиков". Согласно „принципу ящиков"
в каждом „ящике" лежит один и только один „предмет", т. е.
каждому классу принадлежит одно и только одно из этих чисел.
Числа л\, х2, ..., хт образуют полную систему вычетов.
Теорема 107. Если (a, m)=l, й — произвольное целое и х
пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ах-гЬ
также принимает значения, образующие полную систему вычетов
по этому модулю.
Доказательство. Пусть х принимает значения х1; х2,
..., хт, образующие полную систему вычетов по модулю т.
Составим числа ах1Щ-Ь, ах2~гЬ. ..., ахт-у-Ь. Любые два из
этих чисел ах,- + Ь и ax.j b (i У- /) несравнимы по модулю т.
Действительно, если бы было ax;-~b=- axj — b (modm), то отсюда
следовало бы ax^axj (mod m), и поскольку (о, т) ~ 1, то согласно
теореме 80 х(= xf (mod т). При i Ф j это противоречит тому, что
л-,, х2, . .., хт есть полпая система вычетов. Система чисел
axt-\-b, ах2-\-Ь, ..., ахщ-\-Ь, содержащая т попарно несравни-
мых по модулю т чисел, согласно теореме 106 представляет
собой полную систему вычетов по этому модулю.
Эта теорема является частным случаем следующей более общей
теоремы.
Теорема 107'. Если (a,m) = d, b—произвольное целое, х про-
бегает полную систему вычетов по модулю-^-, то х\-Ь также
принимает значения, образующие полную систему вычетов по
модулю .
Доказательство. Эта теорема получается из предыдущей,
если принять во внимание, что из (а, т) =а следует I у ,	1 — 1.
Теорема 108. Если (а, Ь)—1, х пробегает полную систему
вычетов по модулю Ь, у пробегает полную систему вычетов по
модулю а, с — любое число, то ах + by \-с принимает значения,
образующие полную систему вычетов по модулю ab.
Доказательство. Пусть х принимает значения х1г х2, ....
хь, образующие полную систему вычетов по модулю Ь, у при-
нимает значения уу, у2, ..., уа, образующие полную систему
вычетов по модулю а. Составим числа вида ах^Ьу^с, где
! sg i b, 1 sg j а, соответствующие всевозможным различным
комплексам ((х,-, //у)).
Число таких комплексов (теорема VI) равно а-b. Докажем,
что все получающиеся при этом числа вида ах,-4- Ьу} + с попарно
несравнимы между собой по модулю ab. Действительно, если
87
axi-\rbyj^-c = axk-\-byl + c(modab'}, то согласно свойствам срав-
нений (теоремы 87 и 89} axi-\-by} — axk rbyl(m.od.b). Отбрасы-
вая (теорема 88) слагаемые, делящиеся на модуль, получаем
ах{ = axk (mod b) и, поскольку (a, b)= 1, получаем х; 3x^(0108 б);
х1( х2, .хь — полная система вычетов по модулю b и хг =
=-xfc(mod&) может быть только при xf = xk. Аналогично имеем
У/ = Ус-
Таким образом, составив ab выражений вида ах-\-Ьу-\-с,
соответствующих различным парам, x=xh y=yj, мы получим
систему ab попарно несравнимых по модулю ab чисел, т. с. соглас-
но теореме 106 полную систем)' вычетов по этому модулю.
Эта теорема может быть обобщена на произвольное число
попарно взаимно простых модулей в следующей форме.
Теорема 108'. Пусть А ~ау-а2-...-as, где все at попарно взаимно
просты, А; = — (7=1, 2, ..., s), с—произвольное целое, xt про-
ai
бегают соответственно полные системы вычетов по модулям аг.
Тогда А2хг + Агха 4- • • • -Т А.л?+ с принимает значения, образую-
щие полную систему вычетов по модулю А.
Доказательство проводится совершенно аналогично доказа-
тельству теоремы 108. Составим а2-а2 •...-as чисел вида AjXjd-
+ А2х,24- ... -г-Лр^ + с, соответствующих всевозможным различ-
ным комплексам ((х2, х.2, ...,xs)), где каждое х; принимает
соответственно а(- несравнимых по модулю а{ значений. Два
таких числа вида А2х[ 4- ... 4- АХ+с и AxXi 4-. • - 4-AjXs + G
соответствующих различным комплексам ((xi, ... , xs)) и ((х,, ... ,
xs)), несравнимы по модулю А. Действительно, если бы было
ArXi 4-... 4- Ajjc's+c^A^ 4-... 4- AX + c(mod A),
то (теоремы 87 и 89) было бы также:
А^ 4-... 4- АХ = АХ 4-... 4- АХ (mod а2).
Так как аДАа......at | Av, то, отбрасывая члены, делящиеся
на модуль, имели бы Ajxi А}хг (mod Oj). Тогда поскольку из
(a1,ai)--\, .... (aj.a^)— 1 следует (теорема 42) (ах, А1)=1,то
x'j = Xi (mod Oj); xi и Xi—два значения из полной системы вы-
четов по модулю а1, так что сравнимыми эти числа могут быть
только при х1—х1. Аналогично получаем х2=х2.........х5 = х„
что противоречит тому, что комплексы ((хх, ...,xs)) и ((х2.xs))
различные. Это доказывает несравнимость по модулю А чисел
Aixi + • • • + А^х54-с.
А чисел такого вида, попарно несравнимых по модулю А,
согласно теореме 106 образуют полную систему вычетов по
этому модулю.
88
2. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
В теореме 90 мы видели, что все числа данного класса, т. е.
все числа, сравнимые с некоторым а по модулю т, имеют с т
один и тот же наибольший общий делитель, равный (а, tri).
Определение 32. Наибольшим делителем класса называется
наибольший общий делитель какого-либо числа этого класса и
модуля.
Определение 33. Классами, взаимно простыми с модулем,
называются классы, у которых наибольший делитель равен еди-
нице.
Согласно этим определениям классы, взаимно простые с мо-
дулем, состоят из взаимно простых с модулем чисел.
Определение 34. Приведенной системой вычетов по некоторому
модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого
класса, взаимно простого с модулем.
Пример. 1, 29, —5, 71 — приведенная система вычетов по
модулю 12,так как из 12классов по этому модулю имеется 4 класса
чисел, взаимно простых с модулем, и из всех этих четырех классов
здесь взято по одному представителю.
Теорема 109. Если в полной системе вычетов отбросить пред-
ставителей всех классов, не взаимно простых с модулем, то
оставшиеся числа образуют приведенную систему вычетов.
Действительно, в полной системе вычетов имеются предста-
вители всех классов, в том числе по одному представителю
классов, взаимно простых с модулем. Все остальные числа пол-
ной системы вычетов по условию отбрасываются, т. е. остается
приведенная система вычетов. В частности, если в полной си-
стеме положительных вычетов 1, 2, ..., т оставить только числа,
взаимно простые с модулем т, то мы получим приведенную
систему наименьших положительных вычетов.
Таким образом, очевидно, что число классов, взаимно про-
стых с модулем т, равно числу целых чисел, не превосходящих
т и взаимно простых с т. Число таких классов зависит от ве-
личины модуля и является, таким образом, функцией от модуля.
Эту функцию обычно называют функцией Эйлера и обозначают
через <р(пг). Мы можем, таким образом, дать два эквивалентных
определения этой функции.
Определение 35. Функцией Эйлера <р (т) называется число
классов по модулю т, взаимно простых с этим модулем.
Определение 35'. Функцией Эйлера <р(ш) называется чис-
ло натуральных чисел, не превосходящих т и взаимно простых
ст.	_
Пример. По модулю 1, очевидно, имеется один класс 1
чисел, взаимно простых с модулем, поэтому <р(1)—1. По моду-
лю 12, как было указано выше, имеется 4 класса чисел, взаимно
простых с модулем 12, т. е. q>(12) = 4. Чтобы определить <р (24),
89
выписываем натуральные числа от 1 до 24 и вычеркиваем числа,
имеющие не равные единице общие делители с 24, т. е. числа,
делящиеся на 2 и 3. Оставшиеся числа 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
образуют приведенную систему вычетов по модулю 24; <р (24)
равно числу этих чисел, т. е. ср (24) = 8.
Поскольку приведенная система вычетов содержит предста-
вители всех <р(т) классов, взаимно простых с модулем иг, то
приведенная система вычетов состоит из <р(т) чисел. Любая
приведенная система вычетов по модулю т представляет собой,
таким образом, систему <р(ш) чисел rlt г2..... гДе
г, (mod т) при	для всех i (rh m)= 1. Справедливо и
обратное утверждение.
Теорема ПО, Любые ф(т) попарно несравнимых по модулю т
и взаимно простых с этим модулем чисел представляют собой
приведенную систему вычетов.
Доказательство. Пусть rlf ..., г(/Я) — любые <р(т)
чисел, относительно которых известно: 1) г,г, (mod/и) при
1=Д/, 2) (г,-, т)=-1. Так же как и в теореме 106, применяем
„принцип ящиков". Классы, взаимно простые с модулем т, рас-
сматриваем как „ящики", а числа гх, г2, ..., г (я)) — как „предметы".
Тогда:
1)	поскольку все rt взаимно просты с т, все эти числа при-
надлежат классам, взаимно простым с модулем, т. е. каждый
„предмет" лежит в одном из этих „ящиков";
2)	все эти числа попарно несравнимы между собой, т. е.
ни в одном „ящике" не лежит более одного „предмета";
3)	число „предметов" (чисел) <р(т) равно числу „ящиков"
(классов, взаимно простых с модулем). Согласно „принципу
ящиков" в каждом классе, взаимно простом с модулем, лежит
одно и только одно из этих чисел, т. е. числа г.г, г^т)
образуют приведенную систему вычетов.
Теорема 111. Если (а, т) = 1 и х пробегает приведенную
систему вычетов по модулю т, то ах также принимает значе-
ния, образующие приведенную систему вычетов по этому модулю.
Доказательство. Пусть х принимает значения гх, г2, . ..,
гф(в>), образующие приведенную систему по модулю т. ^ги числа
составляют часть полной системы вычетов, и поэтому согласно
теореме 107, где мы в данном случае берем Ь = д, можно сразу
утверждать, что числа аг1, аг2, ..., аг^{т} несравнимы по мо-
дулю т.
С другой стороны, поскольку гх, г2, ...,	—приведенная
система вычетов, (г,-, т) = 1 при всех ls£t <<p(m). Согласно
теореме 42 нз (г,-, т)= 1 и (а, т) = 1 следует (шу, т)— 1. Числа
arlt аг2....агТ(я> образуют, таким образом, систему <р(т)
попарно несравнимых по модулю т и взаимно простых с этим
модулем чисел, т. е. согласно теореме НО приведенную систему
вычетов.
90
Эта теорема является частным случаем следующей, более
общей теоремы.
Теорема 11 Г. Если (a, m) = d их пробегает приведенную
систему вычетов по модулю , то ух принимает значения,
образующие приведенную систему вычетов по этому модулю.
Теорема 112. Если (а, &)=1 и х пробегает приведенную сис-
тему вычетов по модулю Ь, у пробегает приведенную систему
вычетов по модулю а, то ах { by принимает значения, образующие
приведенную систему вычетов по модулю ab.
Доказательство. Пусть х принимает значения г1( г2, • • •.
г'Щ>о образующие приведенную систему вычетов по модулю Ь, у
принимает значения s2, ..., s,,(o), образующие приведенную
систему вычетов по модулю а. Составим числа вида ar^bsj,
где lsSi^q>(b), 1«£/=^ф(а). Числа гг, г.2, ..., —часть
некоторой полной системы вычетов х1, х2, ..., хь по модулю Ь,
числа S), s2...st(a) — часть некоторой полной системы вычетов
у{, у2, уа по модулю а. Числа вида ary + bs^ (1 I <р (Ь),
1 < ф (а)) составляют тогда часть чисел вида ах, + by j (1 sgi b,
l.-eyj^a), которые согласно теореме 108 образуют полную
систему вычетов по модулю ab. Разобьем числа вида ax;-{-byj
на два подмножества. Первое подмножество составим из тех
чисел пх( + 6г/ -, у которых (х(-, b) = 1 и (//у, а) = 1, т. е. из чисел
ar( + &Sy; второе — из всех остальных чисел.
Докажем, что числа второго подмножества являются пред-
ставителями классов, не взаимно простых с ab. Действительно,
если ах; + by j принадлежит второму подмножеству, то это значит,
что выполнено хотя бы одно из условий: (xit &)=#!, (г/у, я)=#1.
В случае (х;-, b) = d>\ получаем (теоремы И и 9) d | ах,by,,
d | ab, т. e. (ax,+ Ьур ab) > 1. Если же (xf, b) = 1, то (yJt a) 1,
и в этом случае аналогично получаем (ax(--j-&^y, a&)> 1.
Докажем теперь, что среди чисел второго множества имеются
представители всех классов, не взаимно простых с ab. Действи-
тельно, если ах{ Ц- Ъу — представитель класса, не взаимно простого
с ab, т. е. (ах(-\-Ьу}, ab) = d> 1, то, взяв (теорема 16) простое
число р | d, будем иметь p\axi + byJ-, p\ab, и тогда р — делитель
по крайней мере одного из сомножителей ab. Если р | а, то из
р\а, p\axi-{byJ. следует р\Ьуе, поскольку (a, b) — 1 и р\а, то
р^Ь. Наконец, согласно теореме 19 из р\ Ьуу- и р-{Ь следует
р\У;, т. е., таким образом, р — общий делитель а и у,, а значит,
(1//. a) 1-
Аналогично, если р\Ь, получаем (х,-, Ь)^1, т. е. ах^-УЬу^
принадлежит второму подмножеству. Числа ar^bsj (первое
подмножество), получающиеся после отбрасывания в полной
системе вычетов представителей всех классов, не взаимно про-
стых с модулем (чисел второго подмножества), образуют согласно
теореме 109 приведенную систему вычетов.
91
ГЛАВА 10
ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
В этой главе будут рассмотрены основные свойства функции
Эйлера ф(/п). В соответствии с определением этой функции ее
аргумент будем всегда считать натуральным числом. Наша основ-
ная цель—получить удобную формулу для вычисления этой
функции.
Определение 36. Функция f (п), определенная на множестве
натуральных чисел, называется мультипликативной, если для
любых взаимно простых натуральных чисел а и Ь:
l(a b) = f(a)f(b).	(1)
Определение 37. Функция f(n), определенная на множестве
натуральных чисел, называется вполне мультипликативной, если
равенство (1) выполняется для любых натуральных чисел а и Ь.
Очевидно, что множество вполне мультипликативных функций
есть часть множества мультипликативных функций.
Пример. Функция f(n) — na вполне мультипликативная,
так как
f (ab)— (аЬу— a’’b''— f (a) f (Ь).
Теорема 113. Если f (п) — мультипликативная функция,
aL, а.г, ..., а5, — попарно взаимно простые числа, то
f(ata2.. ,as) = f (aj f (a2).. .f(as).
Доказательство. Поскольку (я,-, a;)=l при всех i^j,
то (a1-...-a^j, a^)=l. Согласно определению мультипликатив-
ной функции имеем:
f (fli ... a^aj ^f(al ... а,_х) f (aj.
Продолжая тот же процесс, получаем:
/(ai as_tas)=f(at ••• as_t)f(as) =
— f(ai ... а,_2)Н^-1)Ж)=  •• =/(ai)--7(as-i)/(aJ.
Теорема. 114. Функция Эйлера мультипликативна, т. е.
Ф (ab) = <р (я) <р (Ь) при (а, &) = 1.
Дадим два доказательства этой теоремы.
1-е доказательство. Пусть х пробегает значения
г2....ян образующие приведенную систему вычетов по модулю
Ь, а у пробегает значения s2, s2, ..., s fa}, образующие при-
веденную систему вычетов по модулю а. Составим всевозможные
числа вида ar^bsj, соответствующие различным парам rit sy
число таких чисел (теорема VI) будет рдвно ф(6)ф(я).
С другой стороны, поскольку (a, b) — 1, то согласно теореме 112
эти числа образуют приведенную систему вычетов по модулю ab,
S2
т. е. число таких чисел должно равняться ф(аб). Произведение
ф(6)ф(а) и ф (ab) выражают одну и ту же величину, т. е.
Ф (ab) = ф (а) Ф (6).
Это доказательство существенно использовало теорему 112
о значениях линейной формы ах + Ьу. Дадим теперь другое
непосредственное доказательство теоремы.
2-е доказательство. Составим таблицу:
1,	2,	3,	.... 6; )	
6+1,	6 + 2,	6 + 3,	..., 26;	
26+1,	26 + 2,	26 -гЗ,	..., 36;	(2)
(а- 1)6+1,	(а—1)6 + 2,	(а — 1) 6 + 3,	. . ., ab .	
— и определим число чисел в этой таблице, взаимно простых с ab.
(kb-(-r, b) = 1 (теорема 90) тогда и только тогда, когда (г, 6) = 1.
Таким образом, числа, взаимно простые с Ь, а тем более и с ab,
могут быть только в столбцах с номерами г, такими, что (г, b) — 1,
где 1 sg: г 6. Число таких столбцов по определению равно ф (Ь).
Каждый такой столбец состоит из чисел:
г, b-\-r, 2Ь-(-г, (а—1)6 -|-г,	(3)
т. е. из чисел вида Ьх~\~г, где х пробегает полную систему вычетов
по модулю а. Поскольку (а, 6) = 1, то согласно теореме 107
числа (3) образуют также полную систему вычетов по модулю а,
и, следовательно, в (3) содержится ф(а) чисел, взаимно простых
с а. Мы имеем, таким образом, в таблице (2) ф(6) столбцов
чисел, взаимно простых с Ь, причем каждый такой столбец
содержит ф (а) чисел, взаимно простых с а. Если число взаимно
просто с b и с а, то (теорема 42) оно взаимно просто с ab.
Таким образом, таблица (2) содержит ф(6)ф(а) чисел, взаимно
простых с ab.
С другой стороны, эта таблица содержит все числа от 1 до
ab, и, таким образом, в ней ф (ab) чисел, взаимно простых cab, т. е.
ф(а)ф(6) — ф(аб).
Примеры.
1)	Ф(3) = 2, ф(10) = 4, ф (30)8;
2)	ф(5)~ 4, ф (8) — 4, ф(40) = 16;
3)	ф(3) = 2, ф(6) = 2, ф(18) = 6.
В последнем примере ф (3-6) =Л ф (3) ф (6), так как (3,6) = 2.
Теорема 115. Пусть р — простое число, а^1 — любое нату-
ральное, тогда ф (р*) = р1^1 (р~ 1).
Доказательство. Число взаимно просто с р* тогда и
только тогда, когда оно не делится па р (теоремы 39 и 43). Среди
первых ра натуральных чисел имеется (теорема 49) -£-= р’-1
93
чисел, делящихся на р; остальные р1 —р’-1 чисел взаимно просты
с р\ т. е. <р(ра) = ря —р’-'^р’-Нр —1).
Теорема 116. Если т = р?1р“2... р“5—каноническое разложение
числа т, то
Ф (т) = р?.  р^"1 (рх- 1) (рг -1)... (р, - 1).
Доказательство. рх, р2, ..., р, в каноническом раз-
ложении обозначают различные простые числа, поэтому (тео-
рема 44) р“*, р“г, ..., p?s—попарно взаимно простые числа и
согласно теоремам 114, 113 и 115 имеем:
Ф (р“’р“’. . . Ps’) = ф (р?) ф (Ра2). . . Ф (PsS) =
= рЧ'-1 (Рх-1)р°'-2 (р2-1) ... р“’-' (Р.-1).
Пример ы.
1)	ф(270) = ф(2"33-5) = 32(2— 1)(3- 1) (5-1) = 72;
2)	ф (700000) = ф (25-55-7) = 24-54 (2— 1)(5—1) (7- 1) = 240000;
3)	ф(45375) = ф(3-53.112) = 5-!-11.2.4.10 = 22 000.
Теорема 117. При ;п>1
ф(/7?) = тП (1 — -Р; .
Знак р\т означает здесь то, что множители произведения
берутся при всевозможных простых делителях числа т.
Доказательство непосредственно вытекает из предыду-
щей теоремы. Любое т>1 можно представить в канонической
форме т = р?‘... рг! и тогда
Ф(пг) = р?*'1.. Ps‘~l (Рх — 1). • .(Р^ — 1) =
= pt..p“«(l-±)...(l-J_)=/n п (»—fl-
\ Pl J \ Ps / р J щ \ Р /
Теорема 118.
2 Ф ((/) = т.
d‘,rn
Суммирование в левой части производится по всем положи-
тельным делителям числа т. Например, при т = 20 имеем:
94
Доказательство. Обозначим нашу сумму, значение ко-
торой, очевидно, зависит от т, через F(m), так что/1 (т) = 2 <р (d).
iftm
Доказательство разобьем на три части. Сначала докажем, что
F (гп)—мультипликативная функция, затем вычислим F (т) при
т = р’’ и, наконец, докажем, что F(m) = m.
1)	Пусть (a, b) = 1; тогда для любых 6 | а, б' | b будет (б, б') — 1,
так что, применяя правило умножения суммы на сумму, т. е.
правило раскрытия скобок и теорему 114, получаем:
F (аШЬ)=Уд>(б)2ф(б') = У У ср (б) Ф (б') = 2 Уф(бб').
ofa	6' ,h	0%b	б]а о
Полученная сумма равна Уср(^). Действительно, произведе-
d Га»
ние 66', где б|а и 6'Jb, очевидно, равно некоторому определен-
ному делителю d произведения ab. С другой стороны, если взять
некоторый делитель d произведения аЬ, то (теорема 45) мы
имеем для данного с! вполне определенное представление в виде
d = 66', где б | а, б' | Ь.
Равенство
2 У ф(66')= У Ф GO
ОДо	d[ab
теперь непосредственно следует из того, что между равными
слагаемыми левой и правой частей можно установить взаимно
однозначное соответствие, сопоставляя ф (66') ~ ф (d), если
66' = d, б|а, б' | Ь. Таким образом, получаем:
F(a&) = 2 у (d) = F (a) F (b).
d\ab
2)	Пусть т — р1, тогда
F (р*) = 2‘Р(^ = (₽(1) + 'Р(Р) + ф(Рг) + -- - +ф(р“) =
d\p'1
=•- 1 + (р- 1) + (рг — р) + ... 4-(р* — р’-1) = ра.
3)	Пустьгп = р^рг1... p“s — каноническое разложение т. Тогда
согласно теореме 113
F (/и) = F (р°') F (ра2‘) ...F (p“s) = р?р“‘. . .р°‘='п.
Исторические комментарии к 10-й главе
1. Леонард Эйлер (1707—-1783) родился в Швейцарии. В
1727 г. он был приглашен в Петербург в созданную там незадолго
до того Академию наук. Эйлер жил и работал в Петербурге с
1727 по 1741 г. и с 1766 г. до конца своей жизни.
Среди великих математиков XVIII века, создавших основы
современного математического анализа, Эйлер выделяется своей
исключительной интуицией; даже когда Эйлер, находя новые
95
результаты, обосновывал их не всегда еще строго разработан-
ными в его время методами, конечные выводы его, как это
выяснилось позже, были всегда верны. В самых различных
областях математики и ее приложений с именем Эйлера связано
чрезвычайно большое количество новых глубоких результатов,
являющихся основой всего дальнейшего ее развития.
В 1729 г. Эйлер начал переписку с членом Петербургской
Академии наук Христианом Гольдбахом, проявлявшим большой
интерес к теоретико-числовым задачам. Эта переписка и про-
будила, по-видимому, интерес Л. Эйлера к теории чисел. На-
чиная с 1732 г. и до конца своей жизни Эйлер занимался раз-
нообразными вопросами теории чисел и написал свыше 100 работ
в этой области.
Работы Эйлера по теории чисел посвящены весьма разнообраз-
ным вопросам, в том числе проблеме распределения простых
чисел в натуральном ряду, различным задачам теории форм,
разбиению чисел на слагаемые. В своих работах Эйлер не
употреблял терминов теории сравнений, однако ряд важнейших
ее результатов, сформулированных в терминах теории делимости,
были получены именно им. Для работ Л. Эйлера в теории чисел
характерно стремление использовать методы математического
анализа. Это проявилось не только в работах по распределению
простых чисел, явившихся, как было отмечено выше, началом
аналитической теории чисел, но и в работах по теории разбие-
ния чисел на слагаемые.
Труды Эйлера по теории чисел были изданы у нас в России
Академией наук в 1849 г. на латинском языке. Два тома этих
трудов под названием „Commentationes arithmeticae collectae'*
содержат 1235 страниц. Функция <р(/п), получившая в дальней-
шем его имя, была введена им в одной работе, опубликованной
в 1760 г.
2. Тождество теоремы 118 встречается впервые у Гаусса.
ГЛАВА 11
ТЕОРЕМЫ ФЕРМА И ЭЙЛЕРА
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Возьмем некоторое натуральное число а, взаимно простое
с модулем т, и рассмотрим последовательные степени а:
а, а2, а3, ...
Все числа этого бесконечного множества распределены в т
классах, следовательно, по крайней мере один из этих классов
должен содержать бесчисленное множество степ еней а. Взяв из
этого класса две степени а и обозначив их as и а1, где s > t 1,
будем иметь а5=.а1 (modт).
26
Поскольку из (а, т) = 1 следует (а‘, т) = 1, то (теорема 80)
а,_<=1 (mod/fa). Таким образом, для некоторого k s — t имеем
а*=1 (modm), причем поскольку sz>t, Tofe^l Вместе с тем
тогда и при любом натуральном п будем иметь а*'=1 (modm),
что доказывает существование бесконечного множества степеней а,
принадлежащих классу 1. Конечно, поскольку мы с самого начала
имеем известный произвол в выборе чисел as и а', то соответ-
ствующее k не определяется единственным образом. Например,
при т = 43, а = 6 имеем:
68 = 62(mod43) и 612^63(mod43),
так что
6е = 1 (mod43) и 6’zsl (mod 43).
П. Ферма для простого модуля, а Л. Эйлеру для любого
модуля удалось указать значения k > 0, при которых имеет место
сравнение ak = 1 (modm). Соответствующие теоремы, мы их будем
называть теоремами Ферма—Эйлера, являются основой всей
теории сравнений и находят широкое применение как в тео-
ретических исследованиях, так и в арифметических приложе-
ниях.
Теорема 119 (Ферма). Для любого простого р и любого аЭэ 1,
не делящегося на р, справедливо сравнение
ap-i==l (mod р).	(1)
Теорема 120 (Эйлер). Для любого модуля т и любого а ^1,
взаимно простого с т, справедливо сравнение
(modm).	(2)
Сравнения (1) и (2) мы будем называть соответственно
сравнениями Ферма и Эйлера.
Легко видеть, что теорема Ферма является частным случаем
теоремы Эйлера. Действительно, если в теореме Эйлера взять
т=р, где р — простое число, то условие (а, р) = 1 эквивалентно
условию р \а (теорема 39), а ср (р)р—1, так что при Ш — р
теорема Эйлера сводится к утверждению, что при р фа справед-
ливо сравнение a₽~l = l (modp), т. с. к теореме Ферма.
Поскольку доказательство теоремы Эйлера не сложней, чем
доказательство теоремы Ферма, приведем доказательство теоремы
Эйлера. Тем самым будет доказан и ее частный случай— теорема
Ферма.
Доказательство теоремы Эйлера. Пусть rlt г2, ....	—
некоторая приведенная система вычетов по модулю т. При
(а, т)=1 согласно теореме 111 числа arlt аг2, .... аг?(и) также
образуют приведенную систему вычетов. Установим взаимно
однозначное соответствие между этими двумя системами, сопоставив
4 А. А. Вухштаб
97
каждому из чисел arlt агг, .... аг?(ш) сравнимое с ним число из
системы rlt г2...гч1т, так, что:
art = ra (mod m))
агг = г3 (mod т)1
^^Mmod т)\
где гк, г3, rv— некоторым образом переставленные числам,
г2< • • •,' г,ш, т. е. г2 Гу ... rv = rL гъ ...
Перемножая все сравнения (3), получаем
ат(m)rLr2... r^m} = rjy... rv (mod m).	(4)
Поскольку	для всех i, то (r\ гг ,,. ro(m), tn) = 1
(теорема 42) и обе части сравнения (4) можно сократить на
rL-r2- • •  -г^тУ, так что а (mod га).
Примеры. При р = 7 имеем 26 = 64 = 1 (mod7), 3® = 729 =
= l(mod7); при р = 11, а = 2,210= 1024 = 1 (mod 11); при т = 9,
а = 5 имеем ср (9) = 6, 5® = 15625=1 (mod 9); при га = 21, а = 2
имеем <р(21) = 12, 212 = 4096= 1 (mod 21).
Запишем теорему Ферма еще в другой форме.
Теорема 119'. Для любого простого модуля р и любого нату-
рального числа а имеет место сравнение
ар = a (mod р).	(5)
Доказательство. Если р\а, то, умножая на а обе части
сравнения (1), получаем aF = a(modp). Если р\а, то р\а?—а,
так что также
ар = а (mod р).
Таким образом, сравнение (5) имеет место при любом нату-
ральном а.
Теоремы Ферма—Эйлера позволяют часто находить остатки
от деления на модуль больших степеней заданного числа. Дей-
ствительно, если нам надо найти остаток от деления aN на т,
где (a, т) = 1 и N^<f(m), то можно представить N в виде
N = <p (т) q + r, 0^r<<p(m),
Тогда
aN = (а':{т‘У-ar -—ar (mod т),
где ar может быть значительно меньше, чем alV.
Если (a, га)=/=1, т. е. (аЛ', ra)=d>l, то найдем наимень-
шее k, такое, что d|a*, так что ak = ayi, т~ту1. Обозначая
искомый остаток от деления aN на т через х, имеем:
х = aN=aN~ka1 d (mod myl)
и, следовательно, x = x1d, так что
jq=aN~ka^ (mod mi).
98
%! может быть найдено путем вычисления произведения остатков
от деления на пг1 чисел aN~k и ах. Для отыскания остатка
от деления aN~* на mL можно использовать теорему Эйлера.
Примеры. 1) Найти остаток от деления 1712147 на 52.
Обозначим искомый остаток через х. Имеем: ф(52)= 24.
х = 1712147i524.S9 + ii= 1511 = (3375)а-225^( — 5)’ 17 =
= — 21 • 17 = 7 (mod 52).
2) Найти остаток от деления 126102° на 138.
Здесь (126, 138) = 6. Если № 1261020 (mod 138), то х = 6х1,
= 21  1261019 = 21  1 1 22 46 +т =_2.117 = U« = 63^9(rnod23),
х= 54 = 2 mod (52). Остаток равен 2.
2. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА
Функция Эйлера ф (от) не всегда является наименьшим по-
ложительным значением k, таким, что а*= 1 (mod т). Для нахож-
дения значений k, меньших, чем ф(т), удовлетворяющих этому
сравнению, имеет смысл ввести в рассмотрение обобщенную
функцию Эйлера L (tn).
Определение 38. Обобщенной функцией Эйлера L(m) назы-
вается функция, определенная для всех натуральных значений т
следующим образом: £(1)=1, а при zn> 1
£ (/zz)-^1-' (Pi— Р“2-1 (Р2~ 1), • • •. P“s-1 (Ps— 1)]- (6)
где т = р^'р?2 .. . р“» — каноническое разложение т.
Примеры.
1)	£ (360) = £ (23-32-5) = [4, 6, 4] = 12.
2)	£ (735) = £ (3-5-72) = [2, 4, 42] = 84.
3)	£ (45551) = £(11.41.101) = [10, 40, 100] = 200.
При т — р* функции £ (т) и очевидно, совпадают.
Теорема 121. При любом модуле т и (а, т)—\ имеет место
сравнение
aL ню = ] (mo(j
Доказательство. Пусть т = р^р?1 ... р®>—каноническое
разложение числа т. Согласно теореме Эйлера ар‘ (Pi х) =
= 1 (mod р“>) при i— 1, 2, . .., з. Возводя обе части этого сра-
L (т)	L (т)
внения в степень —-—, где ———----------------— целое число,
р“‘ (Pi— 1)	Р/ (Pi—1)
так как по определению £ (т) кратно p“i-1 (pf—1), получаем
("!)= 1 (modpfl). Из сравнимости а1*"11 и 1 по модулям ,
Ра2> • • • ’ Р“л согласно теореме 91 следует сравнимость этих чисел
по модулю т, т. е. aL<m) = 1 (mod т).
4*	99
Примеры. 1) tn = 546, а = 5; имеем L (546) = L (2-3-7 -13) =
= [1, 2, 6, 12]= 12; 512s 1 (mod546). Действительно,
512 = 625s = 79s = 1 (mod 546).
2) m = 1360, а = 3; здесь L (1360) = L (24-5-17) = [8,4, 16]= 16;
31в = 1 (mod 1360). Действительно,
3te = 65612^11212=l(mod 1360).
Согласно теореме Ферма если m—простое число и (а, т) = 1,
то а'”~1= 1 (modm). Естественно поставить вопрос: может ли
сравнение am~l = 1 (mod tn) иметь место для составного т при
всех а, таких, что (а, т) = \, или же это сравнение является
характерной особенностью только простых модулей? Оказывается,
что существуют составные модули т, такие, что при всех а
взаимно простых с т имеет место сравнение
а™"1 = । (mod т).
Действительно, если взять « = р1-р2-... -ps, такое, что
L («)](«—1), то согласно теореме 121 будем иметь (mod т)
,	т — 1
и, возведя обе части сравнения в степень , получим
L (til)
аст-1= 1 (mod tn) при всех а, таких, что (а, «)=!. Нетрудно
подобрать такие значения т. Например, это будет иметь место при:
« = 3-1Ь 17 = 561, Д (561) = 80, 801560;
« = 5-13-17=1.105, £(1105) = 48, 48 1104;
« = 5-17-29 = 2465, £(2465)= 112, 112(2464;
« = 7-13-19 = 1729, £(1729) = 36, 36 1728.
Согласно теореме Ферма при p-fa остаток от деления а7'"1
на простое число р всегда равен единице. Можно поставить
вопрос: бывает ли остаток равен единице при делении ар~>(а> 1)
на более высокую степень р, например на р2, т. е. может ли
при каком-либо а>1 и простом р иметь место сравнение
ар~1 = 1 (modр2)? Оказывается, что такие значения а и р суще-
ствуют. Например, можно взять а = 3, р= И и тогда З10 = 2432s
= 1 (mod ll2).
Одно время некоторые математики предполагали, что сра-
внение 27''1 = 1 (mod р2) не может иметь место для простых чи-
сел р. Это предположение оказалось неверным. Можно прове-
рить, что, например, 2/,-1 = 1 (modp2) при р= 1093, хотя 1093 —
простое число.
Исторические комментарии к 11-к главе
1.	Пьер Ферма (1601—1665) —известный в свое время юрист
и советник судебного парламента в Тулузе—интенсивно и с боль-
шим успехом занимался различными математическими вопросами.
П. Ферма является одним из творцов дифференциального исчис-
100
ления и теории вероятностей, но особенно большое значение
имеют его работы по теории чисел. Большинство теоретико-
числовых результатов П. Ферма записывались им на полях
экземпляра сочинений Диофанта „Арифметика"; Ферма обычно
не записывал доказательства, а давал 'Аэлько краткие указания
о методе, который он применял для получения своего резуль-
тата. Сочинения Ферма под названием „Opera Varia“ были изданы
впервые в 1679 г.
Теорема Ферма, изложенная в этой главе, была высказана
в одном из писем, посланном им в 1640 г. Френиклу.' В этом
письме Ферма пишет, что он получил доказательство этой тео-
ремы; однако само доказательство не было им опубликовано.
Первое из известных доказательств теоремы Ферма принад-
лежит Лейбницу (1646—1716). Доказательство Лейбница было
основано на рассмотрении сравнения:
(ах + аг+ ... +апУ = аР + аР2+... +а₽ (modp).
Эйлер дал несколько различных доказательств теоремы Ферма,
из которых первое относится к 1736 г. В 1760 г. Эйлер обобщил
теорему, придав ей вид теоремы 120, носящей его имя. Надо
при этом иметь в виду, что терминология и обозначения у Ферма
и у Эйлера совершенно отличны от современных. Приведенное
нами доказательство теоремы Эйлера представляет собой непо-
средственное обобщение доказательства, данного в 1806 г. для
теоремы Ферма математиком Айвори.
2.	Вместо функции L{m), определенной формулой (6), можно
рассматривать функцию 1(т), такую, что
L (т), при 8 ф т,
у L (т), при 8 [ т,
и доказать справедливость сравнения a1 (m) = 1 (mod т) при
всех а, взаимно простых с т.
Функцию I (т) рассматривал французский математик Люка.
3.	Доказано, что для любого натурального числа а суще-
ствует бесконечное множество составных чисел т, таких, что
а">~1 = 1 (mod т) (Дюпарк, 1955 г.).
Неизвестно, бесконечно ли множество составных чисел т,
таких, что am~l = 1 (mod tri) для всех а, взаимно простых с т.
ГЛАВА 12
ГРУППА КЛАССОВ, ВЗАИМНО ПРОСТЫХ С МОДУЛЕМ
1. ГРУППА КЛАССОВ
Во множестве классов по любому модулю т всегда выпол-
нимы операции сложения, вычитания, умножения. В этом мно-
жестве есть единичный элемент, а именно класс 1. Естественно
1(т) =
101
поставить вопрос о выполнимости операции деления, т. е. выяс-
нить, является ли множество классов группой по отношению
к введенной здесь операции умножения. Легко видеть, что мно-
жество всех классов по модулю т не является группой. Это
следует хотя бы из того, что для нулевого класса не сущест-
вует обратного элемента. Действительно, при любом х произве-
дение 0-л' = 0=^]. Таким образом, из условий, определяющих
группу, одно условие здесь нарушено. Вместе с тем если
из множества всех классов выделить только классы, взаимно
простые с модулем, то имеет место следующая теорема.
Теорема 122. Множество классов, взаимно простых с модулем,
представляет собой группу.
Доказательство. Пусть t\, гг............. гф(,ч)— классы,
взаимно простые с модулем т. Проверим, что в этом множестве
выполнимы все условия, определяющие группу.
Условие I (замкнутость операции умножения) выполнено,
так как если (rt, т)=1, (г/( т)=1, то (гуу, т)—1 и =
= nrj = rk, где (rk, nz)=l, т. е. произведение классов, взаимно
простых с модулем, также представляет собой класс, взаимно
простой с модулем.
Условие II (сочетательный закон) выполнено при умножении
любых классов (теорема 101).
Условие III (существование единичного элемента) выполнено,
так как класс 1 взаимно прост с модулем и потому входит
в паше множество. Наконец, выполнено и условие IV (сущест-
вование обратных элементов). Если взять любой класс г, взаимно
простой с модулем т, то обратным классом (г)-1 будет класс
гф также взаимно простой с модулем. Действительно,
7 ГЧ> <т>-1 — Гф (т) = J
так как согласно теореме Эйлера 1 (mod т).
Класс, обратный классу г, мы будем записывать также
в виде X, так что Х=(г)-1.
г	г
Группа классов, взаимно простых с модулем т, представляет
собой коммутативную конечную группу, и порядок ее, т. е.
число элементов, равен <р (т).
В теории групп известна теорема Лагранжа, согласно кото-
рой для любого элемента А конечной группы при п, равном
порядку группы, имеет место равенство Ап~Е, где Е—единица
группы. Теорема Эйлера является частным случаем этой тео-
ремы Лагранжа для группы классов, взаимно простых с моду-
лем т. Для этой группы теорема Лагранжа принимает вид
(г)ф(т) = 1> что в другой записи и дает теорему Эйлера гФ<т) =
sl(mod/7i) при (г, т) — 1.
102
2. ПОЛЕ КЛАССОВ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
В коммутативной группе для любых двух элементов А и В
можно найти элемент X, такой, что А  Х= Х-А =^В. Для такого
элемента X можно принять обозначение X = ~. В частности,
рассматривая группу классов, взаимно простых с модулем tn,
можно, таким образом, ввести дроби ~ , у которых числитель
U
и знаменатель—классы, взаимно простые с модулем. Мы дадим
более общее определение, позволяющее рассматривать в даль-
нейшем дроби вида ~ и тогда, когда класс Ъ не взаимно прост
а
с модулем.
Определение 39. Пусть а и Ь — классы по модулю т. Част-
ным ~ называется любой класс х (если он существует), такой,
а
что
ах=Ь.
Запись будем понимать в том смысле, что k входит
а
в некоторый класс х = ~. Согласно определению 39, если а
а
Г	I b
и о—классы по модулю т, запись «С - означает, что
а
ak = b (mod т).
Теорема 123. Для любого класса b и класса а, взаимно про-
стого с модулем т, существует, и притом единственное, част-
ь
ное - .
а
Доказательство. Пусть (а, т)=1. Тогда а—элемент
группы классов, взаимно простых с модулем, и для него суще-
ствует обратный класс (о)-1.
Если существует частное х = ~, то ах = Ь, и, умножая обе
а
части этого равенства на (а)-1, получаем, что х=Ъ(«)-:1, т. е. зна-
чение х может быть только единственным. Непосредственная
проверка показывает, что a (b (a)~1) = b a (a)~1^b-1 =Ь.
Таким образом, единственность и существование класса
а
доказаны, причем установлено, что b (я)-1 = b-a®
а
103
Примеры. I) По модулю 8 частное 4=4-5 1 = 4-5ф(в>~1 =
___	5
= 4-5» = 4.
з   —1 ______________ .  
2) Пэ модулю 14 частное = = 3-11 =3.1Р <w-i= з.Ц»=13.
Поскольку дроби вида = представляют собой классы, при
а
операциях над такими дробями можно применять переместитель-
ный, сочетательный и распределительный законы.
г,	- У У
Рассматривая дроби и -- со знаменателями, взаимно про-
а с
л	к	b d
стыми с модулем, мы будем, как обычно, равенство === по-
а с
У d
ннмать в смысле совпадения классов = и = .
_	ас
Теорема 124. Пусть а и с—классы, взаимно простые с мо-
дулем т. Равенство = = ~ имеет место тогда и только тогда,
а с
когда
ad = bc (mod т).
Доказательство. 1) Пусть — = = . Возьмем число k,
а с
b	d
принадлежащее этому классу. Поскольку k£ = и k£ = , то
а	с
должны выполняться сравнения:
ak^b (mod т), ck = d(mod m).	(1)
Обозначим (fe, rn) —6, тогда сравнения (1) показывают, что
б|б и 6|d, т. е. k = k1b, т — т^, b — b^, d-d^S, где (klt ;и1) = 1.
Сокращая (теорема 82) обе части этих сравнений и модуль
на б, получаем:
ak1 = b1 (mod /пх), d, =ckt (mod mJ.
Перемножая эти сравнения и сокращая на fex, взаимно про-
стое с модулем mlt получаем последовательно:
ak1d1 —е brckr (mod mJ, adY = bYc (mod mJ.
Умножая теперь обе части и модуль на б, получаем;
ad ~bc (mod т).
2) Пусть ad = bc(modт), (а, т)—1, (с, т)=1. Возьмем
= > т. е. k такое, что ak^b (mod т). Умножая обе части
а
104
этого сравнения на с, получаем ack = be (mod т), т. е.
ack = ad (mod т). Наконец, сокращая на а, взаимно простое
с модулем, приходим к сравнению cir-d(modm), т. е. полу-
. ~d
чаем k = -
с	_	_
Поскольку (а, т) = 1 и (с, т) = 1, классы X и ~ опреде-
а с
лены однозначно и имеют общее число k, а следовательно
(теорема 94), = = ~ .
Определение 40. При (a, m) = l, (с, т) = 1 две дроби ~ из-
мазываются сравнимыми по модулю т, если be ad (mod т).
Мы будем в этом случае писать ~~~ (mod га). Согласно этому
определению сравнение ~ = (mod tri) будет означать, что
(а, /п) = 1, (с, m) = 1 и что bc = ad(modm), а следовательно,
по теореме 124 мы будем в этом случае иметь: = ==.
а с
Таким образом, сравнимость двух дробей по рассматрива-
емому модулю означает совпадение соответствующих классов.
В частном случае, если = & (mod т), то ak = b(modtn), т. е.
k£~, L = k.
а а
Теорема 125. Если
-^==^-(mod т), ~3 =3~ (mod tn),
то:
,, be + ad b'c' ±a'd' .	,	.
1) —=— =----=~,— (mod т),
' ас	ас v ’
2) —==^~, (mod т).
' ас а с v '
Доказательство. -1)	= (mod tri) и ~ = у- (mo dm) оз-
начают, что
ba' =ab' (mod т) и de' = cd' (mod m).
Умножая обе части первого из этих сравнений на сс‘, а вто-
рого—на аа' и складывая, получаем:
(be -j- ad) а’с' = (b'c' -f-a'd') ас (mod т).
Поскольку при этом из (а, т) = (а', т) = (с, т) = (с', т) = 1
следует также, что (ас, т) = (а'с', т) = 1, то последнее сра-
105
впение Можно записать в виде:
bc-J-ad b'c'4-a'd'
ас	а'с'
(mod т).
Для разности доказательство совершенно аналогично.
2)	Перемножая сравнения ba'=ab’(modm) и de' ~ cd' (modm),
получаем:
ba'dc' =sab'cd' (mod m), ^ = ^,(mod m).
Таким образом, согласно этой теореме операции сложения
и умножения сравнений с дробными членами производятся
по тем же законам, как операции с обыкновенными дробями.
Следующая теорема является непосредственным следствием
теоремы 101 для случая, когда модуль—простое число.
Теорема 126. Множество всех классов по простому модулю
представляет собой поле.
Доказательство. Уже раньше (теорема 101) было дока-
зано, что множество классов по любому модулю представляет
собой коммутативное кольцо по отношениям к введенным нами
операциям сложения и умножения. Если модуль р—простое
число, то, очевидно, существует по крайней мере один класс,
например Г, отличный от нулевого. Если класс а^О и b—про-
извольный класс, то р{а, (а, р)~ 1 и, следовательно, согласно
теореме 123 существует единственное вполне определенное част-
- ~Ь	-- г
ное х= = , т. е. ах = Ь.
а
Поскольку условие, при котором кольцо является полем,
выполнено, теорема доказана.
По составному модулю кольцо классов имеет делители нуля
(теорема 104) и, следовательно, заведомо не является полем.
ГЛАВА 13
СРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ
1. СРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ
Возьмем многочлен с целыми коэффициентами:
f W = соХп + <\хп~1 + ... 4- сп.
Рассмотрим сравнение f (x)sO (mod m), которое будем на-
зывать сравнением с неизвестной величиной х. Если мы будем
в это сравнение вместо х подставлять различные целые числа,
то, вообще говоря, некоторые значения х могут удовлетворять
сравнению, т. е. соответствующие значения f(x) могут оказаться
делящимися на т. Поставим задачу отыскания множества всех
106
таких значений х, причем не исключена возможность и того,
что это множество может оказаться пустым. Эта задача анало-
гична алгебраической задаче нахождения решений уравнения
f(x) = O. В алгебре мы ищем значения х, при которых f(x) об-
ращается в нуль. Решая сравнение f (х) sO (mod т), мы ищем
значения х, и притом целые, при которых f(x) делится на т,
т. е. имеет при делении на т остаток, равный нулю.
Оказывается, что сравнение /i'r)sO(rnodm) либо вообще
не имеет места ни при каких значениях х, либо существует
бесконечное множество целых чисел х, удовлетворяющих срав-
нению, причем все эти значения х образуют некоторое число
классов по модулю т.
Теорема 127. Если некоторое число а удовлетворяет сра-
внению
f(x) = 0 (mod m),
то весь класс а состоит из чисел, удовлетворяющих этому сра-
внению.
Доказательство. Пусть а удовлетворяет сравнению
f(x) (mod m), т. е. / (а)=0 (mod т) и Ь £ а. Тогда b = а (modm)
и согласно теореме 86 f (&) = f(a) ~Q (mod tri). Таким образом,
вместе с а любое число b класса а также удовлетворяет данному
сравнению.
Согласно этой теореме если в классе имеется хотя бы одно
число, удовлетворяющее сравнению /‘(x) = 0(mod tri), то весь
класс состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению, а если
в классе имеется хотя бы одно число, не удовлетворяющее сра-
внению, то и весь класс состоит из чисел, не удовлетворяющих
сравнению. Принимая это во внимание, естественно решениями
сравнения называть не отдельные числа, удовлетворяющие сра-
внению, а соответствующие классы.
Определение 41. Решением сравнения f(x) =0 (mod т) на-
зывается класс по модулю т, состоящий из чисел, удовлетворяю-
щих этому сравнению.
Если класс а чисел по модулю т является решением сра-
внения f (х) (mod т), то говорят, что класс а удовлетворяет
данному сравнению. Соответственно определению 41 числом ре-
шений сравнения /’(х) = 0 (mod т) называют число классов
по модулю т, удовлетворяющих этому сравнению.
Задача нахождения чисел, удовлетворяющих сравнению
f (х) = 0 (mod т), сводится к нахождению классов, удовлетворяю-
щих уравнению f(x)=7). Действительно, если f (а) = 0 (mod т),
то f (а) = 0; но тогда согласно теореме 103 f (а) =/(а) = 0. Легко
видеть, что и, наоборот, из f(a) = O следует f (а) = 0 (mod т).
Решение сравнения представляет собой частный случай общей
задачи решения уравнений. Особенностью этого частного случая
107
является то, что значениями неизвестного являются классы
по некоторому фиксированному модулю.
Число классов по данному модулю конечно, а именно по мо-
дулю т мы имеем т классов: 0, 1, т—1. Если нам дано
сравнение f (x) = 0(modm), то мы можем, перебрав все эти
классы, выяснить, какие классы удовлетворяют этому сравнению,
а какие нет, т. е. найти все его решения.
Согласно теореме 127, для того чтобы узнать, удовлетворяет ли
класс сравнению, достаточно взять какое-либо число, принад-
лежащее классу, и проверить, удовлетворяет ли оно этому
сравнению.
Таким образом, чтобы решить сравнение f (х) = 0 (mod m),
можно взять любую полную систему вычетов по модулю т:
Xj, х2, ..., хт, вычислить /(xj, /(х2), ..., /(хи) и отобрать
те xf, при которых f (х,) делятся на т. Соответствующие классы х,
дадут все решения этого сравнения. Обычное качестве хг, х2, ... хт
берут полную систему наименьших по абсолютной величине
вычетов.
Если сравнение имеет несколько решений ах, ..., af, иногда
эти решения записывают в виде х = а}, ..., a,(mod m). Таким об-
разом, х = а2, ..., as(modm) означает, что х принимает любые
значения, сравнимые с одним из чисел ах, ..., as.
Примеры. Найти все решения следующих сравнений:
1)	х3—2x-]-6s£0(mod 11). Непосредственная проверка по-
казывает, что в полной системе наименьших по абсолютной
величине вычетов
—5, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
сравнению удовлетворяет только одно число 5. Решение запи-
сываем в виде x = 5(modll).
2)	x4 + 2x3 + 6 = 0(mod8). В полной системе вычетов
—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4
пи одно число не удовлетворяет сравнению и, следовательно,
сравнение не имеет решений.
3)	х4—х8—х2 + 5х—2 = 0 (mod 6). В полной системе вычетов
—2, —1, 0, 1, 2, 3
сравнению удовлетворяют два числа: —1 и 2. Сравнение имеет
два решения: х=—l (mod6) и x = 2(mod6).
Мы видим, что задача решения сравнений вида /(х) =
= 0 (mod т) гораздо проще, чем рассматриваемая в алгебре за-
дача решения уравнений f(x) — 0. Решая уравнение f(x) = O,
мы обычно ищем решения в некотором бесконечном поле, на-
пример в поле действительных или комплексных чисел, и ие
можем путем испытаний перебрать все числа такого поля. Решая
108
сравнение /(x)sO(modm), мы ищем решение в конечном кольце
классов по модулю т и поэтому можем с помощью конечного
числа операций найти все решения. Теоретически задача реше-
ния сравнений вида f (x) = 0(mod т) этим решена полностью.
Вместе с тем надо иметь в виду, что нахождение решений пу-
тем таких испытаний при больших модулях довольно затруд-
нительно.
Дальнейшая теория таких сравнений имеет целью Дать спо-
собы, позволяющие определять число решений, а иногда и на-
ходить эти решения с помощью возможно меньшего числа опе-
раций.
Для сравнений вида f (х) = g (х) (mod т) можно сформули-
ровать теорему, совершенно аналогичную теореме 127.
Теорема 127'. Пусть f (х) и g(x)—многочлены с целыми
коэффициентами. Если некоторое число а удовлетворяет
сравнению
f(x)^g(x)(modm),	(1)
то весь класс а по модулю т состоит из чисел, удовлетворяющих
этому сравнению.
Доказательство. Если а удовлетворяет сравнению (1),
то оно удовлетворяет и сравнению
/(х)—g (х) = 0 (mod т).	(2)
Вместе с а любое b£a также удовлетворяет сравнению (2),
а следовательно, и сравнению (1) (теоремы 127 и 87).
Определение 4Г. Решением сравнения (1) называется класс
по модулю т, состоящий из чисел, удовлетворяющих этому
сравнению.
Определение 42. Два сравнения
(х) (mod mJ	(3)
и
h(x)~gt(x)(modmj	(4)
называются эквивалентными, если множество чисел, удовлетво-
ряющих одному из них, совпадает с множеством чисел, удовле-
творяющих другому сравнению.
Если т2 — т2 и сравнения (3) и (4) имеют одни и те же ре-
шения, то мы, очевидно, будем иметь два эквивалентных срав-
нения по одному и тому же модулю.
Теорема 128. 1) Если к обеим частям сравнения f(x)~
= g'(x)(modm) прибавим любой многочлен со(х), то получим
сравнение, эквивалентное первоначальному.
2)	Если обе части сравнения /(x)=g'(x) (modm) умножим
на одно и то же число, взаимно простое с модулем, то получим
сравнение, эквивалентное первоначальному.
109
3)	Если обе части сравнения и модуль умножим на одно и
то же число Л>0, то получим сравнение, эквивалентное перво-
начальному.
Доказательство. 1) Если при некотором х0
f(x0)=g(x0)(modm),
то
f (*о) + “ (*0) = g О'о) + ® (*о) (mod т)
и,	наоборот, из f (х0) + w (xu) =g(x0) + со (xu) (modт) следует
f(x0)=g(xQ) (mod и).
2) Если при некотором х0
f(x0)=g(xa)(modm) и (k, т)=1,
ТО
kf(x0) = kg (x0)(modm),
а из kf (х0) = kg (xft) (mod т) следует f(x0) sg(x0) (mod m) (тео-
ремы 79 и 80).
3) Если при некотором х0
f (х0) = g(x0) (mod tri),	(5)
то
kf (х0) = kg (ха) (modern),	(6)
а из (6) следует (5) (теоремы 81 и 82).
Из теоремы 128 (1) непосредственно следует, что сравнение
f(x)=g(x) (mod/и) можно заменить эквивалентным сравнением
f (х)—g W == 0 (mod m)>
поэтому в дальнейшем достаточно рассматривать сравнения вида
F(x) = 0(modm) (F (х) = f (х) —g(x)).
Теорема 129. Если св = с0 (mod tri), Cj^Ci(modm),
c„ = c„(modm), то сравнения /(х) = сохп + с1хп-Ч-...+
+ c„^0(modm) и g(x) = с'охп + с'1хг,~1+ ... сп ^0 (mod/n)
эквивалентны.
Доказательство. 1) Умножим сравнения
crjsc,(modffl), q = сх (modtri).....cn = cn (modtri)
соответственно на хв, x"'1, ..., 1, где x0-некоторое целое
число. Складывая полученные сравнения, имеем:
f(x0) = g(x0)(modm).
Обе части этого сравнения могут только одновременно быть
сравнимы с нулем по модулю т, и, таким образом, сравнения
f(x) = 0(modm) и g(x) = 0(modm) эквивалентны.
Согласно этой теореме, в частности, сравнение заменится
эквивалентным, если отбросить или добавить слагаемые с коэф-
фициентами, делящимися на модуль.
110
Определение 43. Степенью сравнения /(x) = 0(mod т), где
f(x)—многочлен с целыми коэффициентами, называется степень
многочлена f(x).
Согласно этому определению эквивалентные сравнения могут
иметь разную степень, Например, сравнения 2х 4- 1 = 0(mod3)
их3— l=0(mod3) эквивалентны. Степень первого из них рав-
на 1, а степень второго 3.
2. СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ
Более общей является задача решения системы сравнений:
(х)	0 (mod пц) i
(х) = 0 (mod mJ ( ,
/Jx)^ 0 (mod mJ j
где /х(х'), /2(х), ..., Д. (х) — заданные многочлены с целыми
коэффициентами.
Если некоторое число а удовлетворяет этой системе, т. е.
если m1\f1(a), m2|/3(a), ..., mJ/Да) и M = [mL, т2, mJ —
наименьшее кратное тг, т2, ..., ms, а b — любое число, такое,
что b = a (mod Л1), то (теорема 86) для всех i(ls^i^s),
/) (b) =f/ (a) (mod М), а, следовательно, согласно теореме 89
fi (b)	(a) (mod mJ, т.е. /, (&) = 0 (mod mJ (l^is^s).
Мы видим, что вместе с каждым числом а, удовлетворяю-
щим системе (7), этой же системе удовлетворяет и любое число
класса а по модулю М = [m]t т2, ..., mJ. Естественно весь этот
класс чисел рассматривать как одно решение этой системы.
Определение 44. Решением системы сравнений (7), где
fL(x), ..., fs(x)—многочлены с целыми коэффициентами, на-
зывается класс чисел по модулю M = [mlt т2, ..., mJ, состоя-
щий из чисел, удовлетворяющих всем сравнениям системы.
Соответственно этому число решений системы (7) означает
число классов по модулю М, удовлетворяющих всем этим срав-
нениям. По модулю М имеется всего только конечное число
классов. Взяв полную систему вычетов по этому модулю, можно
проверить, какие именно числа этой системы, а значит, и соот-
ветствующие классы удовлетворяют (7). Поступая таким обра-
зом, мы можем для любой системы сравнений найти все реше-
ния. В частном случае, когда модули всех сравнений одинаковы
и равны т, решениями являются классы по тому же модулю.
Примеры. 1) Найти решение системы сравнений:
х24-х + 7 = 0 (mod9), х3—х4-3^0 (mod 9).
В полной системе наименьших по абсолютной величине вы-
четов по модулю 9 системе удовлетворяет только число 4.
Решение системы—класс x=4(mod9).
Ill
2)	Найти решения системы сравнений:
х2 — Зх + 2 = О (mod 6), 2х2 + х + 2 = 0 (mod 4).
Здесь Л4 = (6, 4] =12. В полной системе наименьших по
абсолютной величине вычетов по модулю 12 системе удовлетво-
ряют два числа, а именно ±2. Решения системы—два класса по
модулю 12; т. е. x=±2(mod!2).
Еще более общей является задача решения системы сравне-
ний с несколькими неизвестными:
^(Хр х., ..., xt) s 0 (mod mJ \
••••“......................к	(8)
fs(xlr Х2, ..., xt) = 0(modms) 1
где fx(x1( х2, xt)......x2, .... xj —многочлены с це-
лыми коэффициентами.
Если ((Ot, аг, ..., at)) — комплекс чисел, удовлетворяющих
системе, т. е. если
fL(alt а2, .... aj = 0(modmj, ..., /Дап а2.at) = 0 (mod ms);
M = [ml, т2, .... mJ и Ьг = а, (mod Л4), b2 = а2 (mod Л1), ....
..., ^ = as(modyW),
то, пользуясь теоремой 86' и рассуждая совершенно так же,
как в случае системы с одним неизвестным, получим, что
комплекс ((&!, Ь2, .... bt)) также удовлетворяет системе (8).
Естественно поэтому решениями системы (8) называть соответ-
ствующие комплексы классов по модулю Л4.
Определение 45. Решением системы (8) называется комплекс
классов а2, at)) по модулю M = [mlt т2..............mJ,
удовлетворяющий всем этим сравнениям. Соответственно этому
число решений системы (8) понимается как число таких раз-
личных комплексов.
Поскольку по модулю М каждая из t компонент комплекса
может принимать М различных значений, искомые решения
приходится отбирать среди М1 комплексов. Проверяя, удовлет-
воряет ли комплекс ((а1г а2, ..., aj) системе, из каждого
класса at, az, ..., at, обычно берут наименьшие по абсолютной
величине вычеты и подставляют их в рассматриваемые сравне-
ния. Поскольку Л4‘ даже при небольших Ми/ может оказаться
сравнительно большим числом, вычисления обычно получаются
длинными.
Пример. Найти все решения системы:
х2—у'1 4-2 = 0 (mod 6),
х34-х + у+1=0(mod 3).
Здесь М — (6, 3] = 6. Среди 36 комплексов чисел вида ((а, Ь)),
где —2^а^3, —2scb-_c3, имеется только два комплекса:
112
((—2, 0)) и ((1, 3)), удовлетворяющих обоим сравнениям. Си-
стема имеет два решения:
1) х=—2(mod6), i/s0(mod6), 2) xsl(mod6), j/ = 3(mod6).
Примечание. Сравнение называется тождественным, если оно спра-
ведливо при произвольных значениях неизвестных.
ГЛАВА 14
СРАВНЕНИЯ 1-Й СТЕПЕНИ
1. СРАВНЕНИЕ 1-Й СТЕПЕНИ
Рассмотрим сначала случай одного сравнения 1-й степени
с одним неизвестным, т. е. сравнения
+ (mod т).
Такое сравнение удобнее записать, перенеся сх с обратным
знаком в правую часть в виде ах b (mod m).
Теорема 130. Если (a, m) = d и d\b, то сравнение
ах :=b (mod tn) не имеет решений.
Доказательство. Предположим, что существует хотя бы
одно число х0, удовлетворяющее сравнению, т. е. ах0 = b (mod m).
Тогда поскольку d\a и d[m, то (теорема 90) d\b, но это проти-
воречит условию d\b. Предположение существования хотя бы
одного числа, удовлетворяющего сравнению, привело к проти-
воречию, т. е. таких чисел нет.
Согласно этой теореме решения сравнения a№d(modffl)
будут разыскиваться только в случае, когда d\b. В этом случае
имеем а—а^, m = nt1d, b'-byd. Записав сравнение в виде
агйх = b±d (mod mxd), мы можем (теорема 128) заменить его
эквивалентным
a1x = b1 (mod mx),
где (ах, тг) = 1. Мы видим, что изучение сравнений 1-й степени
сводится к частному случаю, когда коэффициент при неизвест-
ном и модуль—взаимно простые числа.
Теорема 131. Если (а, т)=1, то сравнение
ах ~Ъ (modm)	(1)
имеет одно и только одно решение.
Дадим два доказательства этой теоремы. В первом доказа-
тельстве мы обходимся без теорем главы 12. Второе доказатель-
ство короче, так как оно основано на теоремах главы 12.
1-е доказательство. Возьмем полную систему наимень-
ших неотрицательных вычетов по модулю т, т. е. числа 0, 1,
2.....т—1. Поскольку (а, т) = 1, то согласно теореме 107
числа а-0, а-1, а-2...а(т— 1) также образуют полную си-
стему вычетов, а значит, среди них найдется одно и только
одно, принадлежащее тому же классу, что и число Ь. Обозначив
113
это произведение через аха, где O=cxo<m—1, будем иметь
axg = b (mod т), т. е. класс х0 удовлетворяет сравнению (1).
Это решение единственное, так как среди чисел 0, 1,2....
т—1, кроме х0, нет чисел, удовлетворяющих этому сравнению,
а значит, среди классов б, 1,2,	т—1, кроме х0, нет ре-
шений сравнения (1).
2-е доказательство. Если (а, т)— 1, то класс а при-
надлежит (теорема 122) группе классов, взаимно простых с мо-
дулем, а поэтому (теорема 123) существует единственный класс
х0 = -=, такой, что ахд = Ь, т. е. сравнение a.rst)(modm) имеет
а
одно и только одно решение.
Для нахождения этого решения можно пользоваться следую-
щей теоремой.
Теорема 132. При (а, т) = 1 решением сравнения ax = b (mod т)
является класс
х = Ьа? (m)-1 (mod m).
Доказательство. Применяя теорему Ферма, получаем
a (bav	b (mod т),
и тогда согласно теореме 131 x = i>a'p(m)-1 (mod m) — единствен-
ное решение сравнения (1).
Пример. Решить сравнение 9x = 8(mod34).
Здесь (9,34)= 1, <р(34) = 16 и мы получаем:
х = 8-915 = 8-330 = 8-314 = 8-(2187)2 = 8-11а = 16 (mod 34).
При большом т и (а, т) — 1 нецелесообразно разыскивать
решение сравнения ax = b (mod т), подставляя вместо х числа
полной системы вычетов, или искать его по формуле
x = baf(my~l (modm);
обычно значительно проще бывает воспользоваться следующей
теоремой.
Теорема 133. Если , ....	, тг = — — последова-
r	Qo Qi <2j-i Q-s а
тельность подходящих дробей разложения в цепную дробь
и (а, т) = 1, то решением сравнения ах = & (modm) является
класс
х = (— 1)уй/^_! (mod т)у
Доказательство. По условию (а, т)=1, а согласно
Р /п
теореме 61 (Ps, Qs)=l; поэтому -^ = — есть равенство двух
4s а
несократимых дробей, так что (примечание к теореме 41) Р$~т,
Qs = a.
114
Согласно теореме 60
==(-!)’>
так что
aPs-i = (—ly + mQs-i, «Л-i = ( — !)г(modт>-
Умножая это сравнение на (—1/Ь, получаем:
а ((— l/bPj-t) = b (mod m).
Таким образом, число ( — 1)Л£>Л-1 удовлетворяет сравне-
нию (1) и (теорема 131) соответствующий класс представляет
собой единственное решение этого сравнения.
Пример. Решить сравнение 55х = 7 (mod 87).
Разложение в цепную дробь дает следующую таблицу
00
элементов а£- и числителей Р,- подходящих дробей:
Pt
Здесь s = 6, так что класс х = (— 1)6-7-19 = 46(mod87) —
искомое решение.
Теорема 134. Если (а, т) — 1, а | Ь + sm, то x==b^m (modm) —
решение сравнения ах = b (modm).
Доказательство, а у = b + sm = b (mod m).
Пользуясь этой теоремой, сравнение ax^=b (mod m) последо-
вательно заменяют эквивалентными (теорема 129) сравнениями:
ах = b ± m (mod т), ax = b ± 2m (mod m),
ax = b + 3m (mod m)............
пока не попадется сравнение, в котором левую и правую части
можно сократить на а.
Поскольку условие a\b+sm при а2э0 означает, что
ms = — b (mod а), где (т, а) = 1, то $ может быть найдено
в полной системе вычетов по модулю а, т. е. число испытывае-
мых сравнений будет не больше, чем а.
Этот способ особенно целесообразен при небольших а. Напри-
мер, для сравнений вида 2№fe(modm), где 2\т при 21 b реше-
нием будет x = (mod m), а при 2\Ь будет х = Ц^(тобт).
Пример. Решить сравнение Зх = 20(mod 161).
При а = 3 число s можно выбрать среди чисел —1, 0, +1,
В данном случае 3120—161 сравнение 3x = 20(mod 161)
115
эквивалентно сравнению Зх =—141 (mod 161), так что х =
= — 47 (mod 161).
Теорема 135. Если (a, m) = d и то сравнение ах = b (mod т)
имеет d решений. Все эти решения образуют один класс по
модулю .
Доказательство. Выше (стр. 113) было показано, что при
(a, m) = d и d| b сравнение ax = b (mod т) эквивалентно сравнению
вида alx = bl (mod mJ, где mx =, (at, mJ = 1.
Согласно теореме 131 такое сравнение имеет решение,
представляющее собой один класс по модулю , т. е. этому
сравнению удовлетворяют числа вида x = a^mod-^y где а
может быть найдено применением способов, изложенных в тео-
ремах 132—134.
Числа этого класса по модулю образуют d классов по
Модулю m (теорема 99), и решения сравнения ax = b (mod m)
могут быть записаны в виде:
x = a(modm), x = a-j- (modm), ..., x = a,-\-(d—l)-^(modm).
Пример. Решить сравнение 20х = 44 (mod 108).
Здесь (20, 84) = 4 и 4|44. Сокращая обе части сравнения и
модуль на 4, получаем эквивалентное сравнение 5х = 11 (mod 27)
или 5x=65(mod 27), т. е. x=13(mod27). Множество таких х
образует по модулю 108 четыре класса: 13, 40, 67, 94. Сравне-
ние 20x = 4(mod 108) имеет четыре решения.
2. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ 1-Й СТЕПЕНИ
Пользуясь теоремами предыдущего раздела, можно для лю-
бого сравнения 1-й степени выяснить, имеет ли оно решения
или нет, и если имеет, то определить их число. Эти теоремы
можно применить к решению неопределенных, или, как их иначе
называют, диофантовых, уравнений 1-й степени.
Определение 46. Диофантовым уравнением 1-й степени с п
неизвестными называется уравнение вида
аххх + а2х2+.. .+апхп = Ь,	(2)
где все коэффициенты и неизвестные—целые числа и хотя бы
одно а,-#=0.
Определение 47. Решением диофантова уравнения (2) назы-
вается комплекс целых чисел ((%!, х2, ...» х„)), удовлетворяю-
щий этому уравнению.
116
Теорема 136. При взаимно простых коэффициентах alt
as, ..., ап диофантово уравнение
+ а2х2 + ... -г апхп = 1	(3)
имеет решение в целых числах.
Доказательство. Обозначим через М множество тех
положительных чисел Ь, для которых уравнение
aft + а2х2 + ... + а„хп = b
имеет решение в целых числах. Л1, очевидно, не пусто, так как
при заданных и1, а2, ..., ап можно подобрать целые значения
хг, х„, . .., хп, такие, чтобы а^-^ а2х.2~ ... + апхп было поло-
жительным числом.
В множестве М (теорема I) существует наименьшее число,
которое мы обозначим через d(d£M). Обозначим через
xi, х2, ..., Хп целые числа, такие, что
apci -[• а2х2 4-... 4 апх’п = d.
Пусть a1 = dq + r, где Os^r<d; тогда
Г «1 — (Qixi 4- а2х2 + апх’п} q =
=	(1 - qx'J + а2 (—qx^ +...+ап (—qx'n).
Мы подобрали целые значения: хг = 1—qx'lt х2= — qx'2,
..., хп= — qXn, такие, что aLx2 4- а2х2 4- ... 4- апхп = г, но
O^r<d, a d — наименьшее положительное число в М, т. е.
г не может быть положительным, г--0, ar — dq, d^a1.
Аналогично получаем: d | а2...d\an.
Мы видим, что d—общий делитель чисел а1, а2, ..., ап,
следовательно, поскольку (й1, ..., а„)=1, d | 1, d=l, 1 £ М,
т. е. уравнение (3) разрешимо в целых числах.
Теорема 137. Пусть d—наибольший общий делитель коэф-
фициентов аъ, а2, ..., ап. Диофантово уравнение (2) имеет ре-
шение тогда и только тогда, когда d\b. Число решений такого
уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.
Докажем последовательно все три утверждения теоремы.
1)	Пусть d\b. Для уравнения
-j- xi 4 х2 4- • • • 4- -j хп — 1,
(Пл Па	Оп \ «
у , ~ t . t. f у J = 1, существуют целые числа: c2t .. .
удовлетворяющие ему (теорема 136), т. е. такие, что
^4-^44-... 4-^=1.
117
Тогда
°1 (C1 I) + й2 (C2 4) + • • • + °« 4) = b’
t. e. ((ф! 4 1 c2 4 ’ •••’ c« 4)) ~~Решение уравнения (2).
2)	Пусть теперь d\b. Тогда левая часть уравнения (2) при
любых целых xn х„, хп делится на d, а правая на d не
делится, так что равенство (2) при целых значениях xL, х.2, .. .,хп
невозможно.
3)	Если ((х,, х',, ..., х„)) —комплекс чисел, удовлетворяю-
щий уравнению (2), то, например, все комплексы
((Xi + a^, Л'г —я/, х'3, ..., хД) при М, ±1, ±2, ...
также удовлетворяют этому уравнению и, таким образом, у нас
либо совсем не будет решений, либо их будет бесконечное
множество.
Если хотя бы одна пара коэффициентов взаимно простая, то
d=l, и уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений.
Примеры. 1) Диофантово уравнение 9xj— 21х2 + 6х3= 100
не имеет решений, так как здесь d = 3 и Зф 100.
2) Диофантово уравнение 20хх+ 6х2—15х3 +35х4 = 12 имеет
бесконечное множество решений, так как здесь d = 1.
Теорема 138. Если х0 удовлетворяет сравнению ах с (mod b),
то комплекс ^х9,	есть решение диофантова уравнения
йх + by = с.
Доказательство. Из ax0 = c(mod6) следует, что —4^
есть целое число, и непосредственная проверка показывает, что
ахо + &(£=г^)=с-
Теорема 139. Пусть d—наибольший общий делитель а и Ь,
где а=т^0, £>#=0, d\c и ((х9, у„))—некоторое решение диофантова
уравнения:	ах + Ьу = с.	(4)
Тогда множество решений уравнения (4) в целых числах совпа-
дает со множеством комплексов ((х', «/')), где х' = х9—4 /,
У' = £/о + 4^ ° t—любое целое число.
Доказательство. Пусть ((х', у’)) — произвольное реше-
ние диофантова уравнения (4), т. е. пусть
ax' -\-Ьу'— с.	(5)
По условию, х0, у9 удовлетворяют уравнению (4), т. е.
ахй-\-Ьу0 = с. Вычитая равенство (5) из последнего равенства и
118
деля все члены на d, получаем:
у(*о~х') = ^(у'-у0),
где и у—целые числа. Тогда	пР11Чем (теоре-
ма 40)	, -^ = 1, так что согласно теореме 41 имеем:
а\у-уй, у—Уй = -^ У =Уч + ~а^
где t — некоторое целое число. Подставляя найденное значение
у' в (5), получаем:
ах’^с—Ь (i/0 + y =-ол-0 —
, ь
откуда х = х0—j г.
Таким образом, любое решение уравнения (4) будет иметь
вид:
,	b ,	,	, а ,
х — х0 d i > У	У о	>
где t—некоторое целое число.
Обратное утверждение также верно. Пусть ((л', у'))—комп-
лекс, такой, что
X = x0—^t, у = y0~]--ji.
Непосредственная проверка показывает, что
а(*о~ у*)+ ь (1/о+у=ax0 + by0 = c,
т. е. ((х', у'))- — решение диофантова уравнения (4).
Примечание, Теорема верна и тогда, когда а или b равны нулю.
Например, при а = 0, т. е. в случае уравнения О’х-[- by = с, получаем
с
= (0, b) = b и при Ь\с для у имеется единственное значение г/0 = — , а х
произвольное целое. Любое решение этого уравнения можно представить в
виде х'=х0 — 1-t, у’ = i/o + 0-if, и при любом t такие х’ и у' удовлетворяют
уравнению
0-х^Ьу = с.
Пример. Решить уравнение 50х—42у = 34.
Здесь (50,	42) = 2,	2|34. Рассматривая сравнение
50x5=^34 (mod 42), находим последовательно:
4x=17(mod 21), 2x=19(mod 21),
x = 20(mod 21), хо = 2О,
так что 25'20 — 21у0= 17, у0 = 23.
Любое решение данного диофантова уравнения имеет вид:
х-20 + 21/, у = 23 + 25Н	\
ЦЭ
3. СИСТЕМА СРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ
Перейдем теперь к рассмотрению системы сравнений 1-й сте-
пени с одним неизвестным. Рассмотрим сначала систему вида:
x = q(mod mJ 1
x = c2(mod mJ J ’
Для краткости будем называть эти сравнения соответственно
первым и вторым.
Теорема 140. Пусть d — наибольший общий делитель, а
М—наименьшее кратное mt и тг; тогда если d^c2 — clt то
система сравнений (6) не имеет решений, а если d | с2—ct, то
система (6) имеет одно решение, представляющее собой класс
чисел по модулю М.
Доказательство. Из первого сравнения (6) получаем
x = c1 + mj. При любом целом t такие х удовлетворяют пер-
вому сравнению. Задача нахождения решений системы (6) сво-
дится, таким образом, к тому, чтобы выбрать такие t, при
которых х удовлетворяет и второму сравнению, т. е. найти все
целые t, такие, что
+ mJ = cs (mod mJ.
Отыскание таких t свелось к решению сравнения 1-й степени
с неизвестной /:
—Cj (mod mJ.	(7)
Если при (mlt mj = d будет d\c2—q, то (теорема 130)
сравнение (7) не имеет решений, т. е. среди всех значений х,
удовлетворяющих сравнению ХтЕсДшоб mJ, пет ни одного,
которое удовлетворяло бы сравнению x~c2(mod mJ, и си-
стема (6) несовместна. Если d\c2—щ, то решение сравнения (7)
можно записать (теорема 135) в виде класса по модулю ,
т. е. в виде:
f = a(mod^-3), t^a + ^y (y = Q, ±1, ±2, ...);
подставляя эти значения t в уравнение x = cl + mJ, выделяем
из множества значений х, удовлетворяющих первому сравне-
нию, те, которые удовлетворяют и второму:
х = с1 + т1 (a + 'Jif)=c1 + m1a + ^?!/ = P + у.
(1/ = 0, ±1, ±2, ...).
Эти значения х образуют класс по модулю = М (тео-
рема 92), т. е. x=P(mod Л1), где по теореме 34 M — [mL, тв].
В соответствии с определением 44 система имеет одно ре-
шение.
120
Примечание. Если и т2 взаимно просты, Tod=l, M = m1tn2,
поскольку в этом случае при любых Cj и с2 будет 1|с2 — система (6) для
таких модулей всегда имеет одно решение, представляющее собой класс
по модулю т^т^.
Примеры. 1) Исследовать, имеет ли решение система:
х = 9 (mod 34),
x = 4(mod 19),
и если имеет, то найти его.
Поскольку (34, 19) = 1, система имеет решение. Находим:
х = 9~Н 34 t = 4 (mod 19), 15/ =— 5 (mod 19), 3/ =—1 =
= 18 (mod 19), / = 6(mod 19), / = 6+19у.
Подставляя это значение t в выражение для х, имеем:
х = 9 + 34(6+19y) = 213 + 646t/; x = 213(mod 646).
2) Исследовать, имеет ли решение система:
x^H29(mod 63),
х = 9 (mod 35),
и если имеет, то найти его.
Поскольку (63, 35) = 7 и 7^29 — 9, то система не имеет реше-
ний.
Теорема 141. Система
х = ct (mod mJ
х=^с2 (mod т2)
x = cs (mod ms)
(8)
либо совсем не имеет решений, либо имеет одно решение.
При м е ч а н и е. В соответствии с определением 44 решение понимается
как класс по модулю, равному наименьшему кратному чисел;
mlt т2, . . . , ms.
Доказательство проведем индукцией nos. При s = 2 утверж-
дение теоремы верно в силу предыдущей теоремы.
Предположим, что утверждение теоремы верно для любых
s сравнений вида (8), и возьмем $+1 произвольных сравнений:
x = cL(rnod тг)
x = cs (mod ms)
x = cs+t (mod ms+1)
(9)
Обозначим: M = [mx......./nJ и =	ms,
Известно (теорема 33), что [Л4, ms+l] = М'. Согласно предполо-
жению могут представиться только следующие две возможности:
1) Первые s сравнений не имеют решений. В этом случае и
система (9) не имеет решений.
121
2) Первые s сравнений имеют решение, представляющее
собой класс по модулю Л4. Тогда значения х, удовлетворяющие
первым s сравнениям, совпадают со значениями х вида
х a (mod Л4), где а—некоторое целое, и система (9) экви-
валентна системе:
x = a(mod Л4),
x^cH1(mod ms+1).
Если 6 = (Д1, т?+1) и 6j7?J+1—а, то система не имеет реше-
ния, а если 6] c?+i—а, то система имеет одно решение, пред-
ставляющее собой класс по модулю [Л4, /и4.+1]=ЛГ.
Таким образом, из справедливости утверждения теоремы для
любых s сравнений рассматриваемого вида следует справедли-
вость утверждения теоремы для любых s +1 таких сравнений.
Согласно принципу математической индукции утверждение тео-
ремы верно для всех s^2.
Если система (8) имеет решения, то их можно найти, решив
сначала первые два сравнения, добавив потом последовательно
третье и т. д., пока не будет исчерпана вся система.
Теорема 142. Если тх, пг2, ... , ms—попарно взаимно про-
стые числа, то система (8) совместна и имеет одно решение,
представляющее собой класс по модулю М = т1-т2-.. ms.
Доказательство. При s = 2 утверждение верно в силу
теоремы 140 (см. примечание на стр. 121). Предположим, что
утверждение теоремы верно для любых s сравнений вида (8),
где (mh mj)=\ при г=/=/, и возьмем s-j-1 таких сравнений (9)
с попарно взаимно простыми модулями.
Согласно предположению значения х, удовлетворяющие
первым s сравнениям, совпадают со значениями х = a (mod Л4),
где M = mit .... ms, и система (9) эквивалентна системе:
xs«(mod М)
x^cs+l (mod ms+l)
Поскольку »г4+1 взаимно просто с каждым из модулей: т1г
.. . , ms, оно взаимно просто и с их произведением, так что
(М, ms+t)=\.
Система (10), а следовательно, и система (9) согласно к тео-
реме 140 имеет решение, представляющее собой класс по моду-
лю Mms+l = гщ.. .msms+1, и, таким образом, утверждение верно
для любых $+1 сравнений рассматриваемого вида с попарно
взаимно простыми модулями. Согласно принципу полной матема-
тической индукции утверждение теоремы верно при любом $.
Пример. Решить систему сравнений:
№ 2 (mod 7),
x = 5(mod 9),
x=ll(mod 15).
(Ю)
122
Решаем сначала систему, состоящую из двух первых срав-
нений:
х~ 5 + 9/ = 2 (mod 7), 2t=—3(mod 7), / = 2(niod 7),
£ = 2 + 7y, x = 5 + 9 (2 + 7iJ = 23 (mod 63).
Таким образом, данная нам система эквивалентна системе:
x==23(mod 63),
х = 11 (mod 15).
Здесь (63, 15) = 3 и 31 23—11, так что система совместна.
Решаем ее:
х = 23 + 63yz= 11 (mod 15), 3y = 3(mod 15),
y^l(mod 5), у = 1 + 5z, х = 23 — 63 (1 + 5z) = 86+ 315z.
Ответ. x = 86(mod 315).
Для нахождения решения системы сравнений 1-й степени
с взаимно простыми модулями можно пользоваться следующей
теоремой.
Теорема 143. Пусть тг, т2,	, ms—попарно взаимно про-
стые числа, М = т1,гпг.. ,т/, у±, у^, .  • , ys подобраны так, что
У1= l(mod т1),-^-у2= 1 (mod mJ, ....	1 (mod mJ,
/74 (	//1-2
м • , м	,	, м ,
*0 - +J У1С1 + т2	+ • •  + ms
Тогда решение системы
№Cj(mod mJ л
x = c2(mod т2) I
x = + (niod mJ J
будет иметь вид: x = x0(mod М).
ГТ	ГТ	I М	I М
Доказательство. Поскольку	••• >	и
с/l = 1 (mod mJ, получаем х0 =~^~ lJici = (mod mJ. Ана-
логичным образом проверяем, что х0 с2 (mod mJ, ... , х0^
= + (mod mJ, т. е. х0 удовлетворяет всем сравнениям системы.
Согласно теореме 142 решение этой системы представляет
собой класс по модулю М, т. е. x = x0(mod М).
Пример. Решить систему:
№6(mod 17),
№4 (mod 11),
х=—3(mod 8).
Находим:
И •8у1 =-1 (mod 17), 3^ = 1 (mod 17), ух = 6;
17-8t/2 = 1 (mod 11), 4y2=l(mod ll),'ya = 3;
17-Hys = 1 (mod 8), 3y3=l(mod 8), y3 = 3;
x0 = 11-8-6-6+17-8-3-4— 17-11-3-3= 125 (mod 17-11-8);
x= 125 (mod 1496).
Рассмотрим теперь систему сравнений 1-й степени общего
вида:
a1x = bl (mod mJ 1
a2x = b2(mod mJ .
a,x = bjmod mJ ,
Если хотя бы при одном t(l<«^s) Для (af, m;) = a!(- будет
dJfbj, то (теорема 130) не существует значений х, удовлетво-
ряющих i-му сравнению, а, следовательно, система (11) не имеет
решений.
Если же для всех i d, | blt то каждое сравнение можно ре-
шить относительно х и заменить систему (11) эквивалентной
системой:
x^ct (^mod ,
x = c2(mod^J ,
x^(mod^).
Такая система согласно теореме 141 либо не имеет решений,
либо, если решения есть, то значения х, удовлетворяющие ей,
<	Г ma	Hz* *1
образуют класс по модулю ~, ... , ~ •
Пример. Решить систему сравнений:
7x = 3(mod 11),
15x = 5(mod 35),
3x^2 (mod 5).
Решая каждое сравнение, заменяем эту систему эквивалент-
ной ей системой сравнений:
x=2(mod 11),
x = 5(mod 7),
х = 4 (mod 5).
124
Применяя теорему 143, находим:
7-5-1/!= 1 (mod 11), t/! = 6; 11-5z/2== 1 (mod 7), уг = — 1;
11 -7- y3 = 1 (mod 5), 1/3 = 3;
x0 = 7-5-6-2—11-5-5+11-7-3-4 = 299 (mod 11-7-5),
Ответ. x = 299(mod 385).
Исторические комментарии к 14-й главе
1.	Неопределенные уравнения 1-й степени начали рассмат-
риваться еще индусскими математиками примерно с V века.
Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными по-
явились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, на-
пример, при рассмотрении вопросов, связанных с определением
периодического повторения небесных явлений.
2.	Во 2-м издании книги французского математика Баше де
Мезирьяка „Problemes plaisants et delectables qui se font par les
nombres", вышедшем в 1624 г., решается неопределенное урав-
нение ах — Ьу=\. Баше де Мезирьяк фактически применяет
процесс, сводящийся к последовательному вычислению непол-
ных частных и рассмотрению подходящих дробей; однако он не
рассматривал непрерывных дробей, как таковых, и не употреблял
обозначений вида (1) 5-й главы. Популярное сочинение Баше де
Мезирьяка оказало большое влияние на развитие теории чисел,
так как способствовало возникновению интереса к этой области
математики.
Баше де Мезирьяк известен и как поэт, писавший свои
стихи на многих языках. В 1621 г. он выпустил издание сочи-
нений Диофанта со своими примечаниями.
3.	После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках раз-
личные правила для решения неопределенного уравнения
1-й степени с двумя неизвестными давали Ролль, Эйлер, Саун-
дерсоп и другие математики.
Цепные дроби к решению таких уравнений были применены
Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это тот
же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими
математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до
него.
Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться
и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с
Гаусса.
4.	Задачи, сводящиеся к рассмотрению системы сравнений
1-й степени, рассматривались в арифметике китайского матема-
тика Сун Тзу, жившего примерно в начале нашей эры. У него,
как у целого ряда китайских, индусских, арабских и европей-
ских ученых, решавших такие задачи после- него, вопрос ста-
вился в следующей форме: найти число, дающее заданные
125
остатки при делении на заданные числа. Сун Тзу дает способ,
фактически эквивалентный тому, который дан у нас в теореме
143, и поэтому теорему 143 иногда называют китайской тео-
ремой об остатках. Работа Сун Тзу стала известна в Европе
в 1852 г. Независимо от китайских математиков способ реше-
ния задач такого рода был дан индусским математиком Браме-
гупта (588—660).
Леонардо Фибоначчи в своей книге „Liber abaci" рассмат-
ривал задачу нахождения числа V, делящегося на 7 и имеющего
остаток, равный 1, при делении на 2, 3, 4, 5 и 6.
5.	Система неопределенных уравнений 1-й степени впервые
встречается у китайских математиков VI века. Задачи, приво-
дящие к таким системам, встречаются у Леонардо Фибоначчи и
у Баше де Мезирьяка.
Система п сравнений с п неизвестными изучалась Гауссом.
Полное исследование систем линейных сравнений было дано в
работах Фробениуса и Стейница в конце XIX века.
ГЛАВА 15
СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
1. СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Переходя от сравнений 1-й степени к сравнениям более
высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот слу-
чай, когда модуль—простое число. В этом случае имеется ряд
весьма важных теорем, которые, вообще говоря, неверны для
составных модулей. Вместе с тем теория сравнений по простому
модулю является основой, на которой строится изучение срав-
нений по составному модулю.
Во всей этой главе буквой р будем обозначать модуль, пред-
ставляющий собой простое число.
Теорема 144. Если р\сй, то сравнение
сохп -Г qx"-1 + ... + сп ~ 0 (mod р)
может быть заменено эквивалентным сравнением с коэффициен-
том при старшем члене, равном единице.
Доказательство. Рассмотрим сравнение 1-й степени
c0y=l(mod р); поскольку р \с0, то (с0, р) = 1 и (теорема 131)
сравнение имеет решение. Найдем число уй, удовлетворяющее
этому сравнению, т. е. у0 такое, что cdy0=l(mod р).
Тогда сравнение сох” + схх?~1 + ... + сп = 0 (mod р) эквива-
лентно (теорема 128) сравнению
хп 4- (с1Уо) х"-1 + ... + (слУо) = 0 (mod р),
126
а следовательно (теорема 129), сравнению
xH + b1xH-1+...+b„ = 0(mod р),
где ^^^„(mod р),	, b„ = cnt/0(mod р).
Пример. Заменить сравнение
27х34-14ха—10%+ 13 = 0(mod 59)
эквивалентным сравнением с коэффициентом при старшем члене,
равным 1.
Решаем сравнение 27 у0= 1 (mod 59) и находим р0 = 35. Дан-
ное нам сравнение эквивалентно сравнению
х3+ 14  35х3— 10-35x4- 13-35 = 0 (mod 59),
т,. е. сравнению х3-J-18х2 + 4х—17 = 0 (mod 59).
Теорема 145. Если f(x) и g(x)— многочлены с целыми коэф-
фициентами, то сравнения 'по простому модулю
f (х) == 0 (mod р)	(1)
и
f(x) — (хр—x)g'(x) = 0 (mod р)	(2)
эквивалентны.
Доказательство. Пусть х0 удовлетворяет сравнению (1),
т. е. f(x0) = 0 (mod р). Поскольку при любом х0 согласно тео-
реме Ферма (теорема 119') х%—x0sO(modp), то
f(x0) —(х” —xjg-(x0)=0(mod р).
Пользуясь той же теоремой Ферма, получаем, что если х0
удовлетворяет сравнению (2), Tof(x0) = (х?—x0)g(x0) ^0 (mod р),
и, ^аким образом, сравнения (1) и (2) эквивалентны.
Из этой теоремы непосредственно вытекает следующая.
Теорема 146. Сравнение по простому модулю р, степень
которого больше, чем этот модуль или равна ему, может быть
заменено эквивалентным сравнением степени, меньшей чем р.
Доказательство. Пусть /(х)—многочлен с целыми ко-
эффициентами степени п^р. При делении f (х) на хр—х со-
гласно известному способу деления многочлена на многочлен
неполное частное g(x) и остаток г (х) будут также многочленами
с целыми коэффициентами:
f(x) = (xp—x)g(x) + r (х),
где степень г(х) меньше степени xf — х, т. е. меньше, чем р.
Согласно. предыдущей теореме сравнения f (х) = 0(mod р) и
г (х) = 0 (mod р) эквивалентны.
Примечание. Практически удобней пользоваться теоремой 145, заме-
няя каждое слагаемое многочлена Xs, где s^p, слагаемым
xs—(хр—х) Xs-Р = Xs ~ {р~ 11
127
степени, меньшей чем s. Следовательно, если s = (p—l)g+г (1 < р—1),
го Xs можно заменить на хг. Проделывая эту операцию для всех слагаемых
многочлена, достигнем того же результата, что и применением теоремы 146.
Пример. Сравнение х16-)-Зхв—5х7—х4 + 6х—2 = 0(mod7)
заменить эквивалентным сравнением степени, меньшей чем 7.
Решение. Согласно примечанию к теореме 146 мы полу-
чим эквивалентное сравнение, если заменим х16 на х16-2 '’=х4,
х8 на х2, х7 на х. Таким образом, заданное сравнение эквива-
лентно сравнению
(х4-}- Зх2—5х)—х1 + 6х—2=0 (mod 7),
т. с. сравнению Зх2 + х—2 = 0 (mod 7).
Теорема 147. Если f(x), g(x), й(х), г (х) — многочлены с це-
лыми коэффициентами: f (х) = g (х) h (х) + г (х), и все коэффици-
енты г (х) делятся на простое число р, то любое решение
сравнения
/(х) =0(modp)	(3)
является решением по крайней мере одного из сравнений:
g(x) = 0 (mod р), h (х) = 0 (mod р).	(4)
Доказательство. Пусть х0 — решение сравнения (3),
т. е. f (х0) = 0 (mod р). Поскольку все коэффициенты г (х)
делятся на р, будем также иметь г (x0) = 0(modp), а поэтому
£(Хо)Л(хо) = f (х0) — r(x0) = 0(mod р).
Согласно теореме 105" из сравнимости произведения g (х0) Л (х0)
с нулем по модулю р следует, что по крайней мере один из
этих множителей сравним с нулем по этому модулю, т. е. х0—
решение по крайней мере одного из сравнений (4).
Пример. В сравнении х44- 18x2 + 5 = 0(mod 31) левую
часть можно представить в виде (х2 — 4)(х2—9)-(-(31х2—31),
и мы находим все решения этого сравнения, решая сравнения:
х2—4 = 0 (mod 31), х2 — 9 = 0(mod31), т. е. x = ±2(mod31)
и х = ± 3(mod 31). Все эти четыре класса удовлетворяют на-
шему сравнению.
Для составных модулей эта теорема неверна. Например,
сравнению х24-4x = x(x4-4) = 0(mod 12) удовлетворяет класс 6,
не являющийся решением ни одного из сравнений: х = 0 (mod 12),
х + 4 = 0 (mod 12).
Теорема 148. Сравнение степени п по простому модулю р
с коэффициентом при старшем члене, не делящимся на р,
может иметь не больше чем п решений.
Доказательство. Утверждение теоремы верно при л=Г.
Действительно, в этом случае мы имеем сравнение 1-й степени:
с^х + q = 0(modр), где рфс0, т. е. (q, р)=1, а такое сравне-
ние (теорема 131) имеет в точности одно решение. Применим
128
теперь для доказательства теоремы метод полной математической
индукции.
Предположим, что утверждение теоремы верно для всех
многочленов (п—1)-й степени со старшими коэффициентами, не
делящимися на простой модуль р. Возьмем теперь произволь-
ный многочлен л-й степени:
f (х) = сохп + CjX”-1 + ... + сп,
где р^с0> и рассмотрим сравнение
f(x) = 0 (mod р).	(5)
Если это сравнение не имеет ни одного решения, то число
решений меньше чем п.
Если же это сравнение имеет решения, то возьмем любое
число х0, удовлетворяющее ему, и разделим f (х) на х—х0.
Согласно теореме Безу (теорема XII) будем иметь:
f(x) = (x—xo)g(x) + /(xo).
Коэффициенты многочлена (л—1)-й степени
g(x)-buxf‘-1+ ..
могут быть, как известно, найдены по схеме Горнера и пред-
ставляют собой целые числа, причем Ь0 = с0.
Поскольку х0 удовлетворяет сравнению (5), р | f (х0), т. е.
здесь применима теорема 147, то все решения (5) находятся
среди решений сравнений х—x0 = 0(modp) и g(x) = 0(modp),
удовлетворяя либо одному из них, либо обоим.
Сравнение х—x0 = 0(modp) имеет одно решение, а сравне-
ние g(x) = 0 (mod р), представляющее собой сравнение (л—1)-й
степени по простому модулю с коэффициентом при старшем
члене 60 = с0, не делящемся на р, согласно предположению
может иметь не больше чем п—1 решений. Таким образом,
сравнение (5) имеет не больше чем 1+(л—1). т- е- не больше
чем п решений.
Утверждение теоремы было проверено при л=1. Из спра-
ведливости утверждения для многочленов (п—1)-й степени сле-
дует справедливость этого же утверждения для многочленов
л-й степени. Согласно принципу полной математической индук-
ции справедливость теоремы доказана.
Пример. х0=31 удовлетворяет сравнению 1 lx2=65 (mod 103).
Найти все решения этого сравнения.
Очевидно, что вместе с классом 31 этому сравнению удов-
летворяет и класс—31. Коэффициент при старшем члене 11 не
делится на простой модуль 103, поэтому сравнение не может
иметь больше двух решений.
Ответ. х = ± 31 (mod 103).
5 А. А. Бухштаб
129
Для составных модулей эта теорема неверна. Сравнение
степени п по составному модулю с коэффициентом при старшем
члене, не делящемся на Модуль или даже взаимно простом
с модулем, может иметь больше чем п решений. Например,
сравнение х2—3x + 2 = 0(rnod6) имеет 4 решения: I, 2, ?, 5.
Теорема 149. Если сравнение степени п по простому модулю
р имеет больше чем п решений, то все коэффициенты сравне-
ния делятся на р.
Доказательство. Возьмем любое простое число р. Если
сравнение CjX + c, =0 (mod р) имеет больше чем одно решение,
то согласно теореме 131 (с0, р)тМ, т. е. р|с0, а тогда и р|сг
Таким образом, при п = 1 теорема верна. Предположим, что
утверждение теоремы верно для многочленов степени, меньшей
чем п, т. е. предположим, что число решений сравнения сте-
пени, меньшей чем п, может превосходить степень сравнения
только тогда, когда все коэффициенты делятся на модуль р.
Возьмем любое сравнение степени п:
сохП-\-с1хп~1... 4-c„ = 0(modp),	(6)
имеющее больше чем п решений. Согласно теореме 148 в таком
сравнении с0 делится на р, а тогда сравнение
+<r„ = 0(modp),	(7)
эквивалентное (теорема 129) сравнению (6), также имеет больше
чем п решений.
В сравнении (7), степень которого меньше чем п, а число
решений превосходит степень согласно предположению, все
коэффициенты должны делиться на р, т. е. р|с1( ..., р|ся.
Поскольку уже раньше было установлено, что р | с0, утвержде-
ние теоремы верно для п. Согласно принципу полной матема-
тической индукции справедливость теоремы доказана.
Теорема 150. Пусть f (х) = х"+qx"-1	сп—многочлен
с целыми коэффициентами и свободным членом сп 0 (mod р),
где р—простое число, причем р^п. Сравнение f (x) = 0(niodp)
имеет п решений тогда и только тогда, когда все коэффициенты
остатка от деления хр~1 — 1 на f(x) кратны р.
Доказательство. Пусть хр~г — 1 =f (х)£(х)4-г (х), где
g(x) и г (х)—многочлены с целыми коэффициентами, причем
степень г (х) меньше чем п.
1). Докажем достаточность условия. Пусть коэффициенты
г (х) делятся на р.
Обозначим через S и Т соответственно число решений срав-
нений
f(x)e=0(modp),	(8)
g(x)=0(modp).	(9)
130
Сравнение х*"1—l = 0(modp) по теореме Ферма имеет р—1
решений. Каждое из этих р— 1 решений согласно теореме 147
является решением хотя бы одного из сравнений! (8) или (9),
т. е. S + Т P— 1-
Сравнение (9) степени р—1— п имеет коэффициент при
старшем члене, равный единице, так что (теорема 148) Т р— 1—п
и, следовательно,
S	(р— 1) — Т^р— 1 — (р— 1 — п) — п.
Поскольку при этом в силу той же теоремы 148 S^n, по-
лучаем S = n, т. е. из делимости коэффициентов г (х) на р сле-
дует, что число решений сравнения (8) равно п.
2) Докажем необходимость условия. Пусть сравнение (8)
имеет п решений. Если х0—решение сравнения (8), то
f (хо) = 0 (mod р) и вместе с тем, поскольку р^ сп, то р х0, а следо-
вательно, согласно теореме Ферма xj-1 —1 =0(modp), так что
г (*о) = (4-1— 1)—f (x0)g (х0) = 0 (mod р).
Таким образом, каждое из п решений сравнения (8) является
решением сравнения г (х) = 0 (mod р), степень которого меньше
чем п. Согласно теореме 149 все коэффициенты г (х) делятся на р.
Пример. Сравнению x3^l(modl3) щовлетворяют клас-
сы 1 и 3. Имеет ли это сравнение еще одно решение?
Деля х12 — 1 на х3—1, находим:
х12— 1 = (х3 — 1) (х9 + хв + х3+ 1),
так что г (х) — 0, и,. следовательно, это сравнение имеет . три
решения.
2. СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Некоторые из рассмотренных нами теорем можно легко обоб-
щить на случай сравнений с несколькими неизвестными вида
f(xlt ха, .... xi) = 0(modp),	(10)
где /(хх, хг, ..., хД—многочлен с целыми коэффициентами,
а р—простое число. Непосредственным обобщением теоремы
146 является следующая.
Теорема 151. Если в левой части сравнения (10) некоторые
из неизвестных встречаются в виде степени с показателем р,
то сравнение (10) можно заменить эквивалентным сравнением,
в котором степень каждого из неизвестных не превосходит р— 1.
Доказательство. Рассуждая совершенно так же, как и
при доказательстве теоремы 145, убедимся, что сравнение (10)
эквивалентно сравнению
f(xlt х2, ... X,)—(*f—Xi)g(«i,	•... Xs) = 0(modp),
5*
131
где g(xlt ха,	xs)— произвольный многочлен с целыми ко-
эффициентами.
Если среди слагаемых f (xlt ха....xs) есть член вида
Ах*1... х*'‘... Xs"(l<i<s), где k^p, то мы можем, взяв
g(xlt хг, ...,	= Ах*1... х*‘'р ... х*‘ > заменить его членом
4xJ* ... х*‘-(р~1) ... X*', затем Ах*1.. . x*<-a (p-1) ... х*‘ и т. д.
Если kt- = (p—+г,-, где l^rf^p—1, то в показателе
для Xi можно отбросить (р—1)<7г и получить эквивалентное
сравнение, в котором слагаемое Лх?1 ... х?1... х?’ будет за-
менено на Ах*1.. . Х(‘... х*3. Проделав такие операции для всех
слагаемых по отношению к каждому из неизвестных, входящему
с показателем р, получим сравнение, эквивалентное перво-
начальному, в котором степень по отношению к каждому неиз-
вестному будет не больше чем р—1.
Теорема 152. Если сравнение f(xlt ха.. x5) = 0(modp),
степень которого по каждому неизвестному меньше чем р,
удовлетворяется при всех целых х1г хг, ..., xs, то все коэф-
фициенты многочлена f(xlt ха, .... xs) делятся на р.
Доказательство. Проведем индукцию по числу неиз-
вестных s. При s=l утверждение теоремы верно. Предположим,
что утверждение теоремы верно при s = n, и возьмем произ-
вольное тождественное сравнение /(хх, ..., х„, xn+1) = 0(mod р),
степень которого по каждому неизвестному меньше чем р. Если
k—наибольший показатель степени неизвестного хп+1, то срав-
нение можно представить в виде:
g0(*i....*„)**+!H-gita.....х„)х*;;+...+ей(х„.... х„) =
^0(mod р),
где все g((x1, ..., хп) — многочлены с целыми коэффициентами,
степени которых по каждому неизвестному меньше чем р. Если
вместо хх, ..., хп подставить любые целые числа, то получим
тождественное сравнение с неизвестной хл+1 степени k<_p.
Согласно теореме 149 все коэффициенты этого сравнения:
^го(х1,..., х„), ..., gA(xlt ..., х„)—должны при любых значе-
ниях хх, ..., х„ делиться на р. Поскольку согласно предполо-
жению для многочленов от п аргументов утверждение теоремы
верно, все коэффициенты этих многочленов, а следовательно,
и многочлена f(хх, ..., хп, хп+1) должны делиться на р.
Согласно принципу полной математической индукции утвер-
ждение теоремы верно для любого числа аргументов.
3. ПРИЛОЖЕНИЯ: ТЕОРЕМА ВИЛЬСОНА, ТЕОРЕМА ШЕВАЛЬЕ
В качестве приложения теоремы 150 докажем интересное
свойство простых чисел, которое обычно называют теоремой
Вильсона.	. .
432
Теорема 153. Для любого простого числа р имеет место
сравнение:
(р—1)1 + 1 ==0(modp).
Доказательство. Пусть р^З, т. е. р нечетно и
(-lf-i=l.
Свободный член сравнения
f(x) = (x— 1)(х—2) ... (х—(р—l)) = 0(modp), (11)
равный (р—1)! == 1-2-• .(р—1), не делится (теорема 105’) на р.
Классы 1, 2, ..., р—1 удовлетворяют этому сравнению, т. е.
число решений сравнения (11) равно его степени. Рассмотрим
равенство
хр~' — \ = f(x)-\ + r(x),
где г (х)—остаток от деления хр-1—1 на f(x). Тогда согласно
теореме 150 все коэффициенты остатка
г (х) - (х'-1- 1)-(х-1) (х-2) ... (х—(р — 1))
делятся на р. В частности, на р делится свободный член г(х),
равный по абсолютной величине (р—1)1 + 1. При р = 2 утверж-
дение теоремы проверяется непосредственно.
Примеры.
1) р = 5, 41 + 1 = 25, 5125.
2) р = 7, 61 + 1 = 721, 71721.
Теорема 154. Если п—составное число, то
(п—1)1 + 1^0 (mod п).
Доказательство. Пусть п составное, т. е. п~а-Ь, где
l<Za<zn, 1 <+< п; тогда а|(гг—1)1 и, следовательно,
оф(п—1)1+1, но тогда и подавно (примечание к теореме 6)
п\(п—1)1 + 1.
Теоремы 153 и 154 показывают, что необходимым и доста-
точным условием того, чтобы число п> 1 было простым, является
делимость (п—1)1 + 1 на п.
Иногда простое число р может быть делителем n! + 1, при
значениях п<р—1, например,
181+ 1=0(mod23), 611 + 1 =(mod71).
Следующая теорема была доказана впервые Шевалье в 1936 г.
Теорема 155. Пусть f(xlt х2, ..., xj—многочлен с целыми
коэффициентами со свободным членом, равным нулю. Если степень
этого многочлена меньше чем число неизвестных, то сравнение
по простому модулю р
f(x1( х2, ..., xj = 0(modp),	(12)
кроме очевидного решения ((0, 0.. 0)),	имеет по крайней
мере еще одно решение.
133
'До к а з ате л ьс т в о. Пусть f(xlt xs,..., xt)—многочлен
степени n<s со свободным членом, равным нулю.
Рассмотрим сравнение
(f(xu х2,..., ОГ^1-(1-хГ1)(1-хГ1)...
... (1—xsp-1)(modp).	(13)
Согласно теореме 151 сравнение (13) можно заменить экви-
валентным сравнением
F (xlt хг, .... x^l-U-x^Hl-^-1) ...
... (l-xf^^odp),	(14)
в котором и левая часть будет иметь по отношению к каждому
неизвестному хх, х2, . . ., xs степень, меньшую чем р.
Степень F (хх, х2...... xs) не больше чем степень
(f(xlt х2> ..., xs))/’-1, т- е- не больше чем л(р—1), и, следо-
вательно, меньше чем s(p — 1). Старшим членом в сравнении (14)
является член (—1)6Г+1хр"1хр-1.. .х?*1, который не может со-
кратиться с левой частью, так как его степень s(p — 1) больше
степени всех членов левой части. Коэффициент при этом старшем
члене не делится на р, и, следовательно, согласно теореме 152
сравнение (14) не является тождественным. Сравнение (13),
эквивалентное сравнению (14), также не будет тождественным,
так что существует система значений х1 = а1, ха = а2.xs= as,
не удовлетворяющая сравнению (13), т. е. такая, что
(f(ax, a2,	1-(1-а?’1) (1-аГ1) .. •
... (1—af-1)(modp).	(15)
Поскольку свободный член f (х1( х2,.,,, хЛ.) равен нулю,
непосредственная проверка показывает, что комплекс ((0,0,..., 0))
удовлетворяет сравнению (13), а значит, все эти а1; а2, ...,
не могут одновременно принадлежать нулевому классу, и среди
них найдется по крайней мере одно а;, такое, что p^tz,-.
По теореме Ферма (теорема 119) при р^а, имеем:
1 —ар-1 - 0(mod р),
так что из сравнения (15) получаем:
а2, ..., as))p~l 1 (mod р).
Согласно той же теореме Ферма это может быть только,
если
/(“1.	.....0 = 0 (modp),
т. е., кроме очевидного нулевого решения ((О, 0, ..., 0)), срав-
нение (12) имеет но крайней мере еще одно, отличное от нуле-
вого, решение.
134
Пример. При любых целых а, b и с сравнение по простому
модулю р
ах2 + by2 + cz2 = 0 (mod р)
имеет решение, при котором по крайней мере одно неизвестное
не делится на р.
Исторические комментарии к 15-й главе
1. Теорема 148 была доказана Лагранжем в 1768 г. Лагранж:
не рассматривал классы решений, а формулировал теорему,
говоря о наибольшем числе целых х, лежащих между —у и ,
при которых f(x) делится на р. Доказательство, приведенное
у нас, близко к доказательству, данному Гауссом.
2. Варинг в своем сочинении „Meditationes Algebraicae11,
вышедшем в свет в 1770 г., приводит без доказательства тео-
рему 153. Варинг пишет, что теорема принадлежит его ученику
Джону Вильсону. Первое доказательство теоремы Вильсона
было дано в 1771 г. Лагранжем. Гаусс обобщил теорему Вильсона
на случай составного модуля (теорема 198 20-й главы).
ГЛАВА 16
СРАВНЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
В этой главе будут рассмотрены способы приведения срав-
нений по составному модулю к сравнениям по простому модулю.
Следующая теорема показывает, что решение сравнений по
модулю т = р“* ... рр, где pz— простые числа, может быть
приведено к решению сравнений по модулям р“‘. Во всей этой
главе f(x) будет обозначать произвольный многочлен с целыми
коэффициентами.
Теорема 156. Если m — p(i1...pft—каноническое разложение
модуля т, то сравнение
f (х) = 0 (mod т)	(1)
эквивалентно системе сравнений:
f(x)=O (mod pi*) '
:::::::::: г-
f (х) =0 (mod р“а) j
(2)
Доказательство. Решения системы (2) (определение 44)
представляют собой классы по модулю т, равному наимень-
шему общему кратному чисел р“‘, ..., р“*. Если , класс а по
135
модулю т удовлетворяет системе (2), т. е.
•••!	то согласно теоремам 32 и 47,
делится на т,
f(a) = O (modm),
если
/(а)
т. е. а представляет собой решение сравнения (1).
Наоборот, если класс а удовлетворяет сравнению (1), то
m|f(a), и поскольку р?‘1 т, имеем: р?* | f (a),f (а)=0 (mod р?‘) при
i = l, 2...s, т. е. а—решение системы (2).
Для нахождения решений системы (2) обычно предварительно
решают каждое из сравнений этой системы. Если хотя бы одно
из сравнений (2) не имеет решений, то и вся система несов-
местна, т. е. в этом случае сравнение (1) не имеет решений.
Если каждое из сравнений имеет хотя бы одно решение, то
находим их в виде:
х = ах (mod р“‘)
x = as (mod р“‘)
(3)
Значения х, удовлетворяющие всем этим сравнениям с вза-
имно простыми модулями, существуют и образуют класс по
модулю т, являющийся решением (3), а следовательно, реше-
нием исходной системы (2) и сравнения (1).
Если некоторые из сравнений (2) имеют больше чем по од-
ному решению, то мы получим несколько систем вида (3), а
именно, если сравнение f (х) = 0 (modp?1) имеет kr решений,
f (х) = 0 (mod р“2) имеет k2 решений, ..., f (х) = 0 (mod р“’) име-
ет ks решений, то мы можем составить	систем
вида (3), каждая из которых даст по одному решению си-
стемы (2), и тогда система (2) и сравнение (1) имеют	. -ks
решений.
Можно сформулировать полученный нами результат в виде
следующей теоремы.
Теорема 157. Число решений сравнения (1) равно . -ks,
где kt, k2, ..., ks соответственно равно числу решений каж-
дого из сравнений (2).
Пример. Решить сравнение х2 —3x-|-23 = 0(mod 63).
Сравнение эквивалентно системе:
х2 — Зх + 23 = О (mod 7),
х2 —3x4-23 = 0 (mod 9).
Для сравнения х2—Зх + 2 = 0 (mod 7) находим два решения:
x=l(mod7) и х^2 (plod 7), а для второго сравнения
136
х9—Зх + 5— 0 (mod 9) — два решения: х=4 (mod 9) и
x=8(mod9). Решаем четыре системы:
l)x=l(mod7), 2)x=l(mod7),
№4 (mod 9); х = 8 (mod 9);
3) x=2(mod7), 4) %3 2(mod7),
x==4(mod9);	x = 8 (mod 9)
и находим следующие решения: 1) x = 22(mod63),
2) х = 8 (mod 63), 3) х = 58 (mod 63), 4) х^ 44 (mod 63).
Рассмотрим теперь сравнение по модулю р1, где р—простое
число. Покажем, что нахождение решений таких сравнений
сводится к решению сравнений по простому модулю.
Теорема 158. В каждом классе а по простому модулю р, удов-
летворяющем сравнению f (х) s0 (mod р), таком, что p\f (а),
числа, удовлетворяющие сравнению /(x) = 0(modp*) 1), обра-
зуют класс по модулю рк.
Доказательство. Применим метод полной математиче-
ской индукции по k. Пусть f (х) — произвольный многочлен с
целыми коэффициентами и а, такое, что plf(a), p{f'(а). Сте-
пень f(x) обозначим через п(п^1). При k=i утверждение
верно по условию. Предположим, что утверждение верно при
некотором k, т. е. предположим, что среди чисел
.... а—р, а, а + р, а + 2р, ...
числа, удовлетворяющие сравнению
f (x)sO(mod р*5),
образуют один класс по модулю р* вида
x = b (mod р*).
(4)
(5)
Число Ъ а, так что b^a (mod р), f' (b)=fr (a) (mod р) (теоре-
ма 86) и из условия p\f (а) следует p\f (&). Поскольку b удов-
летворяет сравнению (4), то / (д) = 0 (mod рА),	—целое число.
Сравнение первой степени/'(&)/ +0 (modр), у кото-
рого коэффициент при неизвестном и модуль взаимно просты,
имеет решение, так что можно подобрать число t0, такое, что
r(b)p4 + f(b) = 0(modpA+1).	(6)
Тогда класс чисел по модулю рй+1
x = y(modp*+1),	(7)
где pktn, удовлетворяет сравнению
f (х) = 0(modp*+1).	(8)
137
Действительно, в разложении	по степеням p*t
(теорема Ньютона)
/ (ь+рЧ)=/(£>)+Г (b)pkt0 4- Mp4)3 +  • • 4-с„ (АЛ
все <4 =	—целые числа, и поскольку при k^\ будет
2k 2= k 4- 1, то все слагаемые, начиная с третьего, делятся на
рА+1, так что
f (¥) = f (b+р%) = /(*) + Pktof (b) = 0 (mod p**i).
Таким образом, класс (7) по модулю pA+1 удовлетворяет
сравнению (8).
Докажем, что среди чисел вида (5), кроме класса (7), не
существует других классов по модулю р4+1, удовлетворяющих
сравнению (8). Заметим прежде всего, что поскольку у = Ь'-=
^a(modp), то p^f (у). Возьмем среди чисел вида (5) какое-
либо число Yi = a + p/>t1, удовлетворяющее сравнению (8); тогда
yt— y = p*(/i — /0), так что, разлагая по формуле Тейлора,
имеем:
/ (V1) = НУ + рк (G - U) = /(¥) + Р*	f (У) (mod p4+1). (9)
Поскольку р4+1|НУ1)> P*+1 [ f (У) и вместе с тем p^f (у), то
(9) показывает, что р | tr—10, так что из ух—y = p4(/i —/0) по-
лучаем ух = y(modp4+1); уг принадлежит по модулю pk+1 тому
же классу, что и у.
Мы видим, что из справедливости теоремы для k следует
справедливость утверждения для А+ 1. Согласно принципу пол-
ной математической индукции теорема верна при любом k^A.
Мы видим, что для того, чтобы, зная решение x = fe(modp4)
сравнения (4), такое, что p\f (Ь), найти решение x = y(modp4+1)
сравнения (7), надо взять у = />4-р4/0, где tQ удовлетворяет
сравнению (6).
Доказательство теоремы таким образом эффективно и дает
возможность для каждого решения а сравнения f (x) = 0(modp),
такого, что p\f' (а), найти последовательно решения сравнений
f (х) =0 (mod р2), ..., f (х) = 0 (mod ра) при любом сколь угодно
большом а.
Пример. Решить сравнение х3 —2х2 —30х + 41 = 0 (mod 125).
Здесь /(х) = х3—2х2 —30x4-41, 125 = 53. Решаем сначала
сравнение f (х) ~0 (mod 5), эквивалентное сравнению хэ—2х24-
4-1^0(mod5), и находим для него решение х= 1 (mod5). Со-
ставляем сравнение f (1)= О(mod5), т. е. —31/-|-2==
5=0 (mod 5) или t = 2 (mod 5). Беря /0 = 2, находим решение
сравнения f(x) = 0(mod25) в виде х= 1 4-2-5= 11 (mod 25).
Составляем сравнение /'(H)Z-j-^~^5sO(mod5), т. е. 289/4-
138
+ 32 = 0 (mod 5), решением которого является f = 2(mod5),
т. е. в качестве /0 здесь также можно взять fft = 2.
Решение сравнения f (х) = 0 (mod 125) будет иметь вид х =
= 11 + 2-25(mod 125), т. е. х = 61 (mod 125).
Теорема 159. Пусть p\f (а)и
xria(mod/)	(10)
решение сравнения f(x)=O (mod pk).
1) Если pk+l\f(a), то среди чисел (10) нет ни одного числа,
удовлетворяющего сравнению
f(x)=0(modp*+1).	(И)
2) Если рА+1|/(а), то все числа (10) удовлетворяют сравне-
нию (11).
Доказательство. Разложим [(a + p^t) по степеням pkt:
f (а + pkt) = f (а) + f (a) pht + с2 (р*/)2 + ... + с„ (р*0".	(12)
где п — степень f(x), с^— -^ —целые числа (2^з^п). По
условию р | f' (а) и при Л^1 2k k + 1, так что все слагае-
мые правой части (12), начиная со второго, делятся на pk+1.
1) Если pk+1tf(a), то правая часть равенства (12) не делится
на р*+1 (примечание к теореме 11) ни при каком t, и из этого
равенства получаем pk+1J(f (а-\- pkt), т. е. среди чисел (10) нет
ни одного, удовлетворяющего сравнению (И).
2) Если p*+1/f(a), то правая часть (12) при любом целом t
делится на p*+1; pft+1|f (a + pkt), т. е. все числа (10) удовлет-
воряют сравнению (11).
Теорема 159 показывает, что в случае р|/'(а) среди значе-
ний х, удовлетворяющих сравнению f(x) = O (modp), может не
быть чисел, удовлетворяющих сравнению
f (x) = 0(mod р“),	(13)
но может быть и несколько классов по модулю р1, являющихся
решениями сравнения (13).
ГЛАВА 17
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
1. показатели классов по заданному модулю
В этой главе мы рассмотрим вопрос о распределении в
классах по модулю т последовательности:
а, а2, а3, ...,	(1)
где а — некоторое число, взаимно простое с модулем.
В начале главы 11 было показано, что среди этих степеней
должны существовать степени а*, сравнимые с единицей по
139
модулю т. Мы будем рассматривать наименьшее положитель-
ное k, при котором 1 (modm), и называть его показателем
а по модулю т.
Определение 48. Показателем а по модулю т (будем обозна-
чать его через Рт(а}) называется наименьший положительный
показатель степени а, сравнимой с единицей по модулю т.
Если модуль т фиксирован, то показатель Рю (а) зависит
только от выбора а, в этом случае будем обозначать его для
краткости Р(а). Согласно этому определению Р(а) означает
положительное число, такое, что
ар(а) == 1 (modm),
причем при всех г, таких, что 1<г<Р(а), ar^l(modm).
Примеры. 1) Найти Рп(3).
Легко проверить, что
З1, 38,38,3‘, З5^ 1 (mod 11), а 3е~ 1 (mod 11), так что Ри(3)-6.
2) Найти по модулю 15 Р(2) и Р(11).
21, 22, 23^l(modl5), a 24 = l(modl5), так что Р(2) = 4.
112 = 1 (mod 15), так что Р(11) = 2.
Рассмотрим свойства функции Р (а), причем во всей этой
главе, не оговаривая этого каждый раз, будем считать, что
(a, т) = 1.
Теорема 160. Если fe = a(modm), то Р (Е) — Р (а).
Доказательство. При b~a (mod т) для любого нату-
рального s bs^as(mnAm) (теорема 85). Из ар<0)1 (modm)
следует bPW = 1 (mod m), а из ar^l(modm) при leSJr<;P(a)
следует, что при таких г будет также и br 1 (mod т), т. е.
действительно Р(Ь) = Р(а).
Согласно этой теореме для всех чисел, принадлежащих од-
ному и тому же классу а, показатель по модулю т одинаков.
Мы можем поэтому рассматривать Р (а) как функцию, опреде-
ленную на множестве классов, взаимно простых с модулем, и
обозначать ее в виде Р(а).
Теорема 161. Если а" =1 (modm), то P(a)[n. Иными сло-
вами, показатели всех степеней а, сравнимых с единицей по
модулю т, кратны наименьшему положительному из них.
Доказательство. Представим п в виде п = Р (a) q + г, где
0 < г < Р (а). Поскольку а" = 1 (mod m) и ар <°> = 1 (mod т), то
1 Еа"= ар юч+г = (ар -а'^а' (mod m).
Согласно определению 48 при всех г, таких, что 1 г < Р (а),
аТ несравнимо с единицей по модулю т, и, таким образом, г
может равняться только нулю, т. е.
n = P(a)q, P(a)|n.
МО
Теорема 162. Р (а) | <р (т).
Доказательство. По теореме Эйлера а’s 1 (modт),
следовательно, согласно предыдущей теореме имеем Р (а) | <р (т).
Если вместо чисел а брать классы а, то теорема 162 будет
представлять собой частный случай общей теоремы теории групп,
согласно которой порядок любого элемента группы—делитель
порядка группы.
Теорема 162 может быть дана в несколько более усиленном
виде.
Теорема 162'. P(a)\L(m), где L(m)—обобщенная функция
Эйлера (определение 38).
Доказательство. При (а, т) — 1 а1 (m) = 1 (mod т) (тео-
рема 121), и тогда согласно теореме 161 Р (a)\L (т).
Теоремы 162 и 162' показывают, что показатели по модулю
т достаточно искать среди делителей <р (т) и даже среди дели-
телей L (т).
Пр и меры. 1) По модулю т = 22 найти Р (3) и Р(7).
(р (22) = 10, поэтому значениями Р (а) могут быть только 1, 2,
5 и 10. Находим З1, З2 1 (mod 22), Зв = 1 (mod 22), Р(3) = 5.
Для а = 7 имеем: 7,72,75	1 (mod 22) и, следовательно, Р(7) = 10.
2) По модулю т = 133 найти Р (2).
Находим L (133) = 18, так что Р(2) —одно из следующих
чисел: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Поскольку 21, 22, 23 , 2е, 2® i (mod 133),
то Р (2) = 18.
Теорема 163. Сравнение а*=а* (mod т) имеет место тогда
и только тогда, когда s = t (mod Р (а)).
Доказательство. 1) Пусть as=al (mod т), t; тогда,
поскольку (a, zn)=l, обе части этого сравнения можно (тео-
рема 80) сократить на а1, так что = 1 (mod т). Согласно
теореме 161 будем иметь P(a)|s—t, s^t (mod P (а)). Случай
Z>s^sO сводится к уже рассмотренному, так как левую и
правую части сравнения можно поменять местами.
2) Пусть s = t (modP(a)),	Тогда s = t + P(a)y,
где у целое неотрицательное.
as = а*+р <“> « = a* (ар ^)y = at (mod т).
Случай	сводится к уже рассмотренному.
Теорема 164. В последовательности (1) все числа принадле-
жат Р(а) классам, представителями (вычетами) которых яв-
ляются числа:	,	.
а, а2, а?...aPW.	(2)
Доказательство. Числа (2) попарно несравнимы между
собой. Действительно, согласно теореме 163 a5=at(modm)
только тогда, когда s = t (mod Р (а)); но среди показателей сте-
пеней а в последовательности (2) нет сравнимых по модулю Р (а).
С другой стороны, в силу той же теоремы, если показатели
двух степеней а сравнимы по модулю Р(а), то степени сравнимы
141
по модулю т, поэтому в последовательности (1) не может быть
больше чем Р (а) несравнимых по модулю т чисел, т. е. каж-
дое число вида aN (1 N оо) сравнимо с некоторым числом
последовательности (2).
Пример. По модулю т = 21, Р(2) = 6. Среди степеней ос-
нования 2 попарно несравнимыми величинами являются степени:
21, 22 = 4, 2Э = 8, 2*=16, 25 = 11, 28 = 1 (mod 21), и, таким обра-
зом, все числа вида 2s принадлежат классам 1, 2, 4, 8, 11, 16.
Теорема 165. Р (cf) = Р (а) тогда и только тогда, когда
(s, Р(а)) = 1.
Доказательство. 1) Пусть (s, Р(а)) — 1. Найдем наимень-
шее положительное целое число у, такое, что (asy = 1 (mod т).
Из последнего сравнения получаем asv= 1 (mod т), т. е. согласно
теореме 161 должно быть P(a)\sy, но, поскольку (s, Р(а))=1,
это может быть только при Р (а) | у, и наименьшее положитель-
ное значение у, удовлетворяющее поставленному условию, рав-
но Р (а).
2) Пусть (s, P(a)) = d>l. Тогда —и —целые числа н
_i_	р („)
(a*) d =(a₽(a))d = 1 (mod m), т. e. P	< P (a).
Эта теорема показывает, что среди степеней последователь-
ности (2) все степени as, у которых s взаимно просто с Р (а),
имеют тот же показатель по модулю т, как и само а.
Пример. По модулю т=19, Р(5) = 9. Среди степеней
основания 5: 51, 52, 53, 54, 55, 5е, 5’, 5®, 5е — подчеркнуты те,
у которых показатели взаимно просты с 9. Для всех этих сте-
пеней и всех чисел соответствующих классов 5, 52 = 6, 5* =17,
55 = 9, 57=16, 58= 4 показатели также равны 9.
Теорема 166. Если по модулю т P(a) — k, то классы
а, а2, ..., а*	(3)
представляют собой различные решения сравнения:
xk^ 1 (mod m).	(4)
Доказательство. Если Р(а) = Л, то aft=l(modm), и
тогда при любом s^O (a1’}’1 —	1 (modm), так что все числа
as удовлетворяют сравнению (4),’ т. е. классы (3) — решения
этого сравнения.
Согласно теореме 164 все эти решения различны.
Примечание. Кроме классов (3), сравнение (4) может, вообще гово-
ря, иметь и другие решения. Например, при т=36, Р(5) = 6 классы (Г,
52=25, 58=17, Г4 = 13, 58 = 29, 5® = Г" являются решениями сравнения
5 I (mod 36), но это сравнение имеет и другие решения, а именно (классы)
7, И, 19, 23, 31, 35.
142
Оказывается, и мы это установим в следующей теореме, в
случае, когда модуль т—простое число, классы (3) исчерпы-
вают все решения сравнения (4).
Теорема 167. Если по простому модулю р имеем P(a) = k,
то классы
а, а2, ..., а*	(5)
представляют собой все решения сравнения
1 (mod р).	(6)
Доказательство. В теореме 166 уже было установлено,
что классы (5) являются различными решениями сравнения (6).
Поскольку модуль р — простое число, сравнение (6) (тео-
рема 148) не может иметь больше чем k решений и, таким
образом, классы (5) исчерпывают все возможные решения этого
сравнения.
Пример. Зная, что 2 удовлетворяет сравнению
Xs = 1 (mod 17),
найти все решения этого сравнения.
Так как <р(17)= 16, то Р17(2) находится среди чисел 1, 2,
4, 8, 16. Непосредственная проверка показывает, что Р(2)=8.
Решениями данного сравнения являются классы:
2, 22 = 4, 2® = 8, 24 = 16, 2й = 15, 2« = ТЗ, 2Т =9, 2’ = 1.
2. ЧИСЛО КЛАССОВ С ЗАДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Если мы возьмем все классы, взаимно простые с модулем т,
то каждый такой класс а принадлежит некоторому показателю
k = Р (а), причем (теорема 162) k | <р (т).
Мы будем рассматривать при заданном т число классов,
для которых показатель по модулю т равен k, и обозначать
это число через ip(fe).
При k(т) число k не может быть значением Р (а), так
что при (m) имеем ip (k) = 0.
Примеры. 1) При m=ll имеем <р(11)=10. Возможные
значения k = Р (а) должно быть среди делителей 10, т. е. среди
чисел 1, 2, 5, 10. Составим следующую таблицу значений Р (а):
а		2	3	4	5	6	7	8	9	10
k = P (а)	1	10	5	5	5	10	10	10	5	2
В первой строке выписаны представители всех классов, вза-
имно простых с модулем, а во второй строке—соответствую-
143
щие значения Р(а). Таким образом, по модулю 11 имеется один
класс, показатель которого равен 1, один класс, показатель
которого равен 2, четыре класса, показатели которых равны 5,
и четыре класса, показатели которых равны 10, т, е. при т — 11
имеем:
ф(1)= 1, ip(2)=l, ip(5) = 4, ф(10)=4.
2) При т = 20 <р (20) = 8. Возможные значения А = 1, 2, 4, 8.
Соответствующая таблица будет иметь вид:
а	1	3	7	9	11	13	17	19
P(fl)	1	4	4	2	2	4	4	2
ip(l) = 1, 4>(2) = 3, ip(4) = 4, ф(8)=0.
Теорема 168.
2 ф(А) = ф(т).
k Jqa (m)
Доказательство. Выпишем все положительные дели-
тели <р(/и), обозначая их через A1=l, k2, .... ks = q(m). Всего
по модулю т имеется ф(т) классов, взаимно простых с tn, и
каждый из этих классов имеет в качестве показателя одно из
чисел: An k2, ..., ks (теорема 162).
Некоторые из этих классов имеют показателем Alt причем
число таких классов равно ф(А1), некоторые имеют показате-
лем Аа, причем число таких классов равно ip(Aa), и т. д. до
последней части этих классов, в которую войдут тр(А^) классов
с показателями, равными ks. Сумма
равна общему числу классов, взаимно простых с модулем т,
т. е. равна <р (/п) и, таким образом,
V ф (А) = ф (AJ + тр (k2) + ... + ф (AJ = ф (т).
Пример. В примере 1 к предыдущей теореме было вычис-
лено, что по модулю 11 ip(1) = 1, ф(2) = 1, ф (5) = 4, ф(10) = 4,
(А) = ф(1) + ф(2) + ф(5) + ф(10) = Ю = ф (11).
k | 1 о
Теорема 169. По простому модулю р для любого целого As? 1
ф (А) ф (А).
Доказательство. Рассмотрим классы, для которых по-
казатели по модулю р равны А. Если таких классов не суще-
ствует, то ф(А) = 0, т. е. ф(А)<ф(А). Если существует хоть
144
один такой класс а, т. е. если P(a) = k, то согласно теореме 167
классы	_
а, а*....а*	(7)
образуют все решения сравнения х*= I (mod р).
По теореме 165 Р (а®) = Р (а) тогда и только тогда, когда
(s, ft)=l. Число таких s (l«gs^ft) равно <р (Zs), так что число
классов в (7), у которых показатель равен k, тоже равно ф(й).
С другой стороны, любой класс Ь, у которого показатель по
модулю р тоже равен k, должен удовлетворять сравнению (6),
и поэтому Ь должен находиться среди классов (7).
Это значит, что, кроме <p (ft) классов, имеющихся в (7),
вообще не существует других классов, у которых показатель
равняется ft, т. е. ip(fe) = <p(fe). Мы видим, таким образом, что
ip(ft) может равняться либо нулю, либо <р (ft), т. е. во всяком
случае ф (ft) sS ф (ft).
Теорема 170. По простому модулю р при k\p—1 всегда
ф (ft) = ср (ft).
Доказательство. Согласно теоремам 118 и 168 при мо-
дуле т, равном простому числу р, имеем:
2ф(Л) = р-1,	(8)
fel р-1
£ф(/г)=р-1.	(9)
Поскольку в формулах (8) и (9) ft пробегает одни и те же
значения, то, вычитая (9) из (8), можно объединить попарно
слагаемые с одними и теми же значениями ft, так что
2 {Ф(Л)-Ф(Л)}=0.	(10)
*|Р-1
Согласно теореме 169 ф (ft) ф (ft), т. е. все слагаемые в ле-
вой части равенства (10) неотрицательны. Сумма неотрицатель-
ных слагаемых может равняться нулю только, если все сла-
гаемые равны нулю, т. е. при всех k\p—1	*
Ф(й)—Ф(й) = О, ф(й) = ф(й).
Пример. Для простого модуля 11 в примере на страни-
це 143 было найдено, что ф(1)= 1, ф(2)= 1, ф(5) = 4, ф(10) = 4,
и действительно имеем также ф(1)= 1, ср (2) = 1, ф(5) = 4,
Ф (10) = 4.
ГЛАВА 18
ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ
1. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Определение 49. Класс а, где (а, т)=1, называется перво-
образным корнем по модулю т, если показатель а по атому
модулю равен ф(т), т. е. если Р (а) = ф(т).
145
Вместе с классом а мы будем называть первообразными
корнями и все числа этого класса.
При (a, т)=1 а” 1 (mod т) и (теорема 162) Р (а) | ф (т),
поэтому, если все собственные делители ф(т) не являются зна-
чениями Р(а), то Р (а) может равняться только ф(/п). Таким
образом, чтобы убедиться, что а, где (а, /п)=1,— первообраз-
ный корень по модулю т, достаточно проверить, что а*
^l(modm) при всех 6|ф(т), таких, что 1^А<ф(т).
Пример. По модулю 54 класс 5—первообразный корень.
Действительно, ф(54)=18. Собственные делители ф(54) равны
1, 2, 3, 6, 9. Легко проверить, что 5*	1 (mod 54) при А=1,
2, 3, 6, 9.
Для простого модуля т = р имеем <р (р) = р—1. Первообраз-
ными корнями по простому модулю р являются классы, пока-
затели которых по_ этому модулю равны р—1, т. е. классы
а, для которых Р(а) — р— 1.
При р\а (т. е. (а, р)= 1) класс а будет первообразным кор-
нем по модулю р, если при всех k\p—1, таких, что
<р —1, ак 1 (mod р).
Пример. На странице 144 были указаны показатели по
модулю р= 11 для всех классов, не делящихся на 11. Показа-
тели, равные р—1, т. е. 10, имеют четыре класса; 2, 6, 7, 8, яв-
ляющиеся, таким образом, первообразными корнями по моду-
лю 11.
Первообразных корней по модулю т может совсем не быть
и, таким образом, число первообразных корней может рав-
няться нулю. Так, например, на странице 144 были указаны
показатели по модулю 20 для всех классов, взаимно простых
с модулем. Для всех этих классов показатель отличен от <р (20) =
=8, т. е. первообразных корней по модулю 20 не существует.
Теорема 171. По любому простому модулю р существует
Ф (р—1) классов первообразных корней.
Доказательство. Первообразные корни по модулю р —
классы, у которых показатель k равен р—1. Согласно теореме 170
при k = p—1 число ф(&) таких классов равно <p (k) — ф (р — 1).
Если а—класс первообразных корней по простому модулю р,
то согласно теореме 165 все классы as при ($, р —1) = 1,
Is^s^p—1 имеют по модулю р тот же показатель р—1, т. е.
также являются классами первообразных корней. Придавая $
значения, образующие приведенную систему вычетов по модулю
р — 1, получим ф(р — 1) классов первообразных корней, т. е.
все первообразные корни по модулю р.
Пример. По модулю 13 класс 2 является первообразным
корнем, так как при k — 1, 2, 3, 4, 6 (собственные делители 12)
2* ф 1 (mod 13).
146
Мы получим все первообразные корни по модулю 13, если
возьмем классы вида 2s, придавая 5 значения 1,5, 9, И, обра-
зующие приведенную систему вычетов по модулю 12. Находим
четыре первообразных корня по модулю 13:
2^2, 2® = 6, 2^=17, 2» = 7.
Теорема 172. Если а— первообразный корень по модулю т,
то числа
а, а2, ая, ... , а*'"1*	(1)
образуют приведенную систему вычетов по модулю т.
Доказательство. Если а — первообразный корень по
модулю т, то Р (а) = <р (т), и тогда согласно теореме 164 числа (1)
попарно несравнимы по модулю т. Из (а, т) = 1 следует (теоре-
ма 43), что все числа (1) взаимно просты с модулем.
Таким образом, система ф(т) чисел (1), попарно несравни-
мых по модулю т и взаимно простых с этим модулем, образует
(теорема ПО) приведенную систему вычетов.
Замечание. В частности, если а — первообразный корень
по простому модулю т = р, то <р (р) = р — 1, и числа
а, а2, ... , а?-1	(2)
образуют приведенную систему вычетов по модулю р.
Пример. По модулю р= 11 число 2 — первообразный ко-
рень. Степени 2 от первой до десятой, т. е. числа:
21, 22 = 4, 23 —8, 24=5, 25sl0, 2«^9, 2’s7, 28s=3,
2»=6, 2’°sl (mod 11),
образуют приведенную систему вычетов по модулю 11.
Для нахождения первообразных корней по простому модулю
можно пользоваться следующим критерием.
Теорема 173. Если р^ р^ ... р“»—каноническое разложение
числа р— 1 и
р-i	р-i
а 1 (mod р), ... , а Ра 1 (mod р),
то а—первообразный корень по простому модулю р.
Доказательство. Любой собственный делитель k числа
р— 1 является делителем хотя бы одного из чисел и тогда
Pi
^- = kl. Если бы для такого fe(l^fe<p — 1) было а*
= 1 (mod р), то
j-i
a Pi = ак1= (ак)1= 1 (mod р),
что противоречит условию. Таким образом, для всех собствен-
ных делителей k числа р— 1 имеем аь ф 1 (mod р) и, следова-
тельно, а—первообразный корень по модулю р.
p-1
Очевидно, что условие а и 1 (mod р) для всех простых ph
входящих в каноническое разложение р — 1, является не только
достаточным, но и необходимым условием того, чтобы а было
первообразным корнем по простому модулю р.
Пример. Доказать, что 2 есть первообразный корень по
модулю р = 53.
на
р—1—52 = 2’-13. Имеем: 213 = 24	1 (mod 53),
2T = 22e=(8192)2£s(30)2=—1 (mod53)
и, таким образом, согласно теореме 173 число 2 — первообраз-
ный корень по модулю 53.
2. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ ПО СОСТАВНЫМ МОДУЛЯМ
Рассмотрим теперь вопрос о существовании первообразных
корней по составному модулю. Прежде всего отметим, что перво-
образные корни по модулю рл находятся среди первообразных
корней по модулю р.
Теорема 174. Пусть р —простое число. Любой первообраз-
ный корень по модулю р“(а^э1) является также первообразным
корнем, по модулю р.
Доказательство. Если а не первообразный корень по
модулю р, то существует k такое, что 1^/г<р—1 и afts
si (modp). Тогда а* = 1-Ьр/ и, разлагая ак!>а = (1-ЬрОр
по степеням pt, получаем akpa Х== 1 + р'"1р/ + ~—9 ~1--(р/)а+
1-2
+ .. • = 1 (mod р“), где Ар“-1<; р1-1 (р—1) = <р(ря), так что а не
первообразный корень по модулю р’.
Таким образом, задача отыскания первообразных корней по
модулю р“ при а> 1 сводится к тому, чтобы среди первообраз-
ных корней по модулю р отобрать числа, являющиеся также
первообразными корнями и по модулю р1.
Теорема 175. Если а—первообразный корень по простому
модулю р и
(р-d =& 1 (mod ря),
где а >2, то а является также первообразным корнем по мо-
дулю рЛ.
Доказательство. Пусть по модулю рл P{a) — k, тогда
а*= 1 (mod р“) и k | р1-1 (р— 1) (теорема 162). Вместе с тем будет
справедливо и сравнение aft=l (modp), так что поскольку а—
первообразный корень по модулю р, то (теорема 161) р—1[А,
А = (р —1)^, (р—1) t |р“-1 (р — 1), £|ра-1, =	где О^р^а—1.
Таким образом, й = рЦр—1),
в
app(p-i)s 1 (modp) (OscP=^«—1).
148
Если бы было ОаСр^а—2, то, возводя обе части сравнения
в
др₽ <р- 1)	1 (mod ра)
в степень ра-2“₽, получили бы
2(₽-!)== 1 (modра),
что противоречит условию теоремы. Таким образом, Р может
равняться только а—1, так что
P(a) = p«-i(p—1) = Ф(р«),
т. е. а — первообразный корень по модулю р".
Теорема 176. Если а первообразный корень по простому мо-
дулю р>2, то из двух чисел а и а + р по крайней мере одно
является первообразным корнем по модулю р2.
Доказательство, a+р вместе с а также является пер*
вообразным корнем по модулю р, причем р^а. Предположим,
что а и а-\-р не являются первообразными корнями по модулю р2;
тогда согласно предыдущей теореме:
(mod р2) и (a + p)p-1=l (modp2),
(а + ру-1—аг-'^р— 1)а^"2р + Ср_1^-эр2+ ... = 0(modp2),
так что р® | (р—1)ар~2р, р\(р—1)ар-2, что противоречит тому,
что р\р—1 и р^а.
Поскольку уже раньше (теорема 171) было установлено су-
ществование первообразных корней по любому простому модулю,
теорема 176 доказывает существование первообразных корней
по модулю р2, где р—нечетное простое число.
Теорема 177. Если а—первообразный корень по модулю р\
где р—нечетное простое число, то а является первообразным
корнем по модулю ра при любом a ^2.
Доказательство. Докажем сначала, что при п = ра-2,
где р — нечетное простое число, a 2^2, Csn = s) » $>2,
будет
(3)
Действительно: 1) при s = 2 ра~г\п^-^, т. е. ра-2[С£’,
2) при s^3 ра“2 является делителем числителя выражения
—1)	(п —5+1)
»	1-2.. ,s •
ГЛ] + ГЛ.]+...
а pLpJ L₽ J есть наивысшая степень р, делящая знамена-
тель (теорема 52), поэтому
/-И-И-lc;.
149
Если s = 3, то
а если s>4, то
= а—2—Ssa—2—> a—s,
т. е. p'-'IC’.
Перейдем теперь к доказательству того, что а является
первообразным корнем по модулю ра.
р^а, так что согласно теореме Ферма ap~l=l (modp),
ар-1=1 + pt	(4)
и вместе с тем поскольку РрДа)^р(р—1), то p^t.
Возводя (4) в степень п = рл~г, где а >2, получаем
(р-п = (1 + ptr =i + npf + C2n (pty+ .. . + Спа (pt)n.
Из (3) при s > 2 получаем р* | Csnps и, следовательно,
p*\cl(piy+...+cnn(ptYi.
Вместе с тем npt = р1-11 не делится на ра, так что
ар“ 2 (р-d 1 (mod р“),
и согласно теореме 175 а—первообразный корень по модулю р*.
Пример. Найти первообразный корень по модулю 625. По
модулю 5 класс 2 является первообразным корнем, так что
(теорема 176) из двух чисел: 2 и 2 + 5 = 7—по крайней мере
одно должно быть первообразным корнем по модулю 52.
24	1 (mod 5г), так что согласно теореме 175 2 — первообраз-
ный корень по модулю 5®, но тогда (теорема 177) 2—перво-
образный корень и по модулю 54 = 625.
Теорема 178. Для любого модуля р*, где р—нечетное про-
стое число и целое а 1, существуют первообразные корни.
Доказательство. Теорема является непосредственным
следствием теорем 171, 176, 177.
Теорема 179. По модулю т = 2рЛ, где р —любое нечетное
простое число и а 1 целое, существуют первообразные корни.
Любой нечетный первообразный корень по модулю р1 является
также первообразным корнем по модулю 2р*.
Доказательство. Если а нечетно и a*s 1 (modр*), то
a*=l(mod2), а следовательно (теорема 91), ak= 1 (mod2pa).
Из ak= 1 (mod 2р“), очевидно, следует aft=l(modp"). Таким
образом, для нечетных а показатели по модулям р® и 2р® равны,
т. е.
Рар® (п) ~ Рр& (а) •
150
При нечетном р в любом классе по модулю р“ из двух со-
седних чисел одно нечетное. Взяв из класса первообразных
корней по модулю р“, существование которого было доказано
(теорема 178), такое нечетное число а, будем иметь
Р*р* (а) = РР* (а) = Ф (Р*) = Ф (2ра),
т. е. а будет первообразным корнем и по модулю 2р“.
Пример. Найти первообразный корень по модулю 50.
В примере к теореме 177 было найдено, что 2 есть перво-
образный корень по модулю 25. Любое нечетное число, срав-
нимое с 2 по модулю 25, будет первообразным корнем по мо-
дулю 50. Например, таким первообразным корнем будет число 27.
Теорема 180. При 2 [а, а^З имеет место неравенство:
(5)
Доказательство. Пусть а—любое нечетное число. Дока-
жем неравенство (5) индукцией по а. При а = 3 неравенство (5)
верно, так как нз а=14-2/ следует, что
а2 = 1 4- 4Z (£ 4-1) = 1 (mod 23), т. е. Р8 (а)	2.
Допустим, что неравенство (5) верно при ct = ns=3; тогда
а2"-2 = 1 4-2'7.	(6)
Возводя обе части равенства (6) в квадрат, получаем
а2”-1 = 1 4- 2Я+Ч 4- 22л^ = I (mod 2П+1),
т. е. (5) верно и при а = п4-1.
Согласно принципу математической индукции (теорема III)
теорема доказана для всех а^З.
Замечание. Поскольку <р(2’) = 2а-1, теорема. показывает,
что по модулю 2“ при сс^З Р (а)=^<р (2“), т. е. по такому
модулю не существует первообразных корней.
Теорема 181. Первообразные корни по модулю т существуют
тогда и только тогда, когда:
1)	т = ра 1 где р —любое нечетное простое число, а —любое
2)	т = 2рЛ [ ' целое положительное.
3)	т — 2Л при 0=^asC2.
Доказательство. Существование первообразных корней
в случаях 1 и 2 при а>0 было доказано (теоремы 178 и 179).
В оставшихся случаях /п=1, 2, 4 можно непосредственно ука-
зать первообразные корни, равные соответственно 1, 1, 3.
Докажем теперь, что при всех других т первообразных
корней нет. В случае zn = 2“, а^З первообразных корней не
существует, согласно замечанию к теореме 180.
Если т имеет хотя бы два различных нечетных простых де-
лителя рх и р2, то, поскольку рх — 1 и р2—1—не взаимно про-
151
стые числа, формула (6) главы 11 показывает, что L (m)<<p(m).
L (т) <<р (т) и при т = 2“ р?, а>1, р^1. В обоих этих слу-
чаях согласно теореме 162' Р(а)<ф(т), т. е. по модулю т не
существует первообразных корней.
ГЛАВА 19
ИНДЕКСЫ
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Общеизвестно, какое большое значение в различных разделах
математики и в особенности в вычислительной практике имеют
логарифмы. В теории чисел вводится сходный с логарифмами
аппарат, который мы будем называть индексами. Логарифмом b
по основанию а, как известно, называется показатель степени а,
равный Ь. В теории чисел аналогично этому рассматривают показа-
тель степени а, сравнимой с b по рассматриваемому модулю т,
и такой показатель называют индексом b по модулю т и осно-
ванию а.
Определение 50. Пусть (а,т)=1, (Ь,т) = 1‘, число s назы-
вается индексом Ь по модулю т и основанию а, если
a3=b (mod т).
Для краткости при фиксированном модуле т мы будем за-
писывать это в виде s = indod, а если фиксировано также и осно-
вание а, то еще короче, в виде s —indft.
Таким образом, согласно определению:
aiadab = lj (mod m).	(1)
ЕслиЬ^Ь, то из aJ=b(modm) следует также а* = 1?! (modzn),
т. е. индекс числа Ь является также индексом и всех чисел из
Ь, и мы можем такое число s называть индексом класса Ь.
Определение 50'. Пусть (а,т)=\, (b,m) = l. s называется
индексом класса b по модулю т и основанию а, если по этому
модулю	_s _
Примеры. Пусть модуль т—13, основание а = 2, тогда
2®= 12 (mod 13), т. е. ind212 — 6, и для любого Ь= 12 (mod 13)
будет также indab = 6,213 = 2(mod 13), т. е. ind22 = 13, и вместе
с тем, поскольку 21 as 2 (mod 13), имеем также ind22 = 1.
Пусть модуль т = 21, основание а = 5. Тогда 54= 16 (mod 21),
5esl(mod21), т. е. по модулю 21 inds16 = 4, ind6l = 6. По
этому модулю ind8 2 не существует, так как не существует s
такого, что 2 (mod 21).
Если в качестве основания взять число а, не являющееся
первообразным корнем по модулю т, то индексы будут суще-
ствовать не для всех чисел, взаимно простых с модулем т.
152
Действительно, если Р(а) = Л<ф(т), то согласно теоре-
ме 164 среди степеней а имеется только k различных, и для
чисел, принадлежащих остальным ф(т)—k классам, индексов не
существует. Иначе обстоит дело, если основание есть перво-
образный корень по модулю т. В этом случае, как мы докажем
в следующей теореме, любое число, взаимно простое с модулем,
имеет бесконечное множество индексов.
Будем в этой главе первообразные корни по модулю т
обозначать буквой g, чтобы отличать их от других оснований.
Теорема 182. Пусть g—любой первообразный корень по моду-
лю т. Для каждого числа Ь, взаимно простого с модулем т,
существуют индексы по основанию g, т. е. существуют s та-
кие, что
gs = b (mod т).
Множество всех таких индексов s для данного фиксирован-
ного b совпадает с неотрицательными числами некоторого класса
по модулю ф(щ).
Доказательство. Согласно теореме 172 степени перво-
образного корня g:	(т)
о * о >	» б
— образуют приведенную систему вычетов по модулю т.
Если взять любое число Ь, взаимно простое с т, то в приве-
денной системе вычетов (2), которую можно заменить также
системой g°=l,g, g2, ... , gT<m>-1, существует число и притом
только одно, принадлежащее тому же классу, что и Ь, т. е.
сравнимое с b по модулю т.
Таким образом, при некотором s (O^sCq)(m)— 1)
gf=b(modm), т. е. существует по крайней мере один индекс b
по основанию g, причем этот индекс не больше чем ф(/и)— 1.
Докажем теперь, что числа s такие, что gs=b (modт) сов-
падают с неотрицательными числами некоторого класса по мо-
дулю ф(т).
Если s и sx—два числа, таких, что (mod т) и
gs‘sfe(modm), Togs,=g3'(modm)) и тогда, поскольку Р (g) = ф (т)
согласно теореме 163, sx = s (mod ф (тп)), т. е. все индексы b
принадлежат одному классу по модулю ф (т).
Все неотрицательные числа этого класса являются индексами,
так как согласно той же теореме из sr = s (тос1ф (т)) следует
gSi=gf(mod т), и если gf=b(modm), то и gs*=b (mod m), т. е.
любое неотрицательное s1( сравнимое с s по модулю ф (т), также
является индексом Ь.
Теорема 183. Пусть g — первообразный корень по модулю
т, (b, т) — 1; сравнение
csb(modm)	(3)
имеет место тогда и только тогда, когда
lndr с =indr b (mod ф (т)}.
(4)
153
Примечание. Выше было отмечено, что числа с и Ь, сравнимые по
модулю т, имеют по заданному основанию g одни и те же индексы. Прини-
мая это во внимание, теорему 183 можно получить из теоремы 182.
Дадим непосредственное доказательство теоремы 183.
Доказательство. 1) Пусть c = b(mod/и); тогда согласно
определению индекса (1):
gln V = с=b = gln V (mod т);
но поскольку P(g) = v(m), то по теореме 163 из
g е =g g (mod т)
следует
ind£c = indg& (mod <p (m)).
2) Пусть ind^c = ind?f> (mod <p (m)); тогда согласно той же
теореме
g‘nV sg[nd? (mod m),
т. e. c = b(modm).
Переход от сравнения (3) к сравнению (4) мы будем назы-
вать индексированием сравнения (3), а переход от (4) к (3) по-
тенцированием.
Теорема 184. Пусть g — первообразный корень по модулю т,
(а, т) = 1, (b, т) = I.
Тогда
ind£ (a&) = indga4- indg.fr (mod <p(m)).
Доказательство. Согласно определению индекса (1):
g g ’ = ab = g g • g g —g g g (modm),
но поскольку P (g) = <p (m), то согласно теореме 163 из
g g = g g g (mod m)
следует
indg (ab) = ind^a + ind^b (пк^ф (m)).
Теорема 184'. Пусть g— первообразный корень no мо-
дулю m,
(ар m) = 1, (а2, m) = 1, ... , (an, tri) = 1.
Тогда
ind^(ai-a2- ... a„)^ind£a1 + indga2+ ... + indga„(im^(m)). (5)
Доказательство. Утверждение теоремы верно при л = 1.
Предположим, что утверждение теоремы верно при некотором п
(п^1). Возьмем любые «4-1 чисел а1} ... , ап, an+i, взаимно
простых с модулем т. Согласно теореме 184
iпdg (ах ... ап, ап+1) = ind* (а1 ... ап) + ind* an+1 (mod ф (т)), (6)
и поскольку по предположению
indg (ах ... а„) indg + ... + ind* а„ (mod ф (m)),	(7)
154
то из (6) и (7) получаем справедливость утверждения для чисел
Согласно принципу полной математической индукции срав-
нение (5) верно для любого числа чисел а{, взаимно простых
с модулем т.
Теорема 185. Пусть g — первообразный корень по модулю т,
(a, m) = 1, п 0; тогда
ind^ ап = п ind^ a (modq? (т)).	(8)
Доказательство. g°=l(modm), так что ind^ 1
= 0(mod<p (m)), indga° = indg 1 =0^0inde.a(modqt(/n)), т. e.
сравнение (8) верно при п = 0.
При п=1 левая и правая части в сравнении (8) совпадают,
а при п 5^2 теорема 185 представляет собой частный случай
теоремы 184' при а1 = а2= ... =а„ = а.
Определение 51. Если y = A(modm), (а, т) = 1, т>1, то
под ind„— будем понимать ind^A, т. е. индекс любого числа
S a v	g ’	'
из класса k по модулю т.
Теорема 186. Пусть g — первообразный корень по модулю
/п>1, (a, m) —1; тогда
ind* у = indf b — ind^ a (mod <p (m)).
Доказательство. При (a, m) = 1 существует (теорема 123)
единственный класс k по модулю т, такой, что a-k=b. Индек-
сируя сравнение ak = b (mod т), получаем:
indg а 4- ind^ k = ind* b (mod <p (лг)),
или
ind,— — ind₽fe = ind b — indp.a(modq>(m)).
Теоремы 184, 185 и 186 показывают, что операции с индек-
сами производятся по тем же правилам, что и операции с ло-
гарифмами.
В частности, конечно, можно брать такие значения индексов,
что indoft = ind а 4- ind b.
2. ИНДЕКСЫ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Особенно большое значение имеет случай, когда модуль—
простое число. Поскольку, как было показано выше (теорема 171),
по любому простому модулю р существуют первообразные
корни, то, взяв за основание какой-либо из них, получим си-
стему индексов, в которой каждое число, не делящееся на р,
будет иметь свои индексы.
155
Индексы каждого такого числа согласно теореме 182 пред-
ставляют собой неотрицательные числа некоторого класса по
модулю р—1, а теоремы 183—186 дают следующие правила
операций с индексами по модулю р.
1.	Если a = b(modp), то inda = ind b (modp—1), и, наобо-
рот, из ind а = ind b (modp—1) следует a = b (modp).
2.	ind(ax.. .a„) = inda1+ ... + inda„(modp— 1).
3.	ind a" = n ind a (modp — 1).
4.	ind -^- = indb — ind a (modp — 1).
Для краткости здесь везде опущен значок g, указывающий
основание, которое предполагается одинаковым в левой и пра-
вой частях. Все индексируемые числа предполагаются не деля-
щимися на р. По простому модулю р для каждого числа суще-
ствует бесконечное множество индексов, сравнимых по модулю
р — 1, и в качестве индекса можно брать любое из них. Обычно
из всех возможных значений индекса по данному основанию
берут наименьшее; при таком выборе индексов они имеют зна-
чения, меньшие чем р—1.
Таблицы индексов для простых модулей р содержат индексы
чисел от 1 до р—1. Для каждого такого числа и всех сравни-
мых с ним по модулю р в таблице указывается индекс, пред-
ставляющий собой одно из чисел: 0,1, р — 2. В некоторых
таблицах в качестве индекса единицы указывается не 0, ар—1.
Таблицы индексов составлялись многими авторами. В 1839 г.
таблицы индексов для простых чисел, меньших чем 1000, были
опубликованы Якоби (Jacobi „Canon Arithmeticos").
В конце книги (стр. 372 — 378) приведены таблицы индексов
по простым модулям р=й 109.
3. ИНДЕКСЫ ПО СОСТАВНЫМ МОДУЛЯМ
Для составных модулей вида р“ и 2р“, где р —простое
число (р>2), как было доказано (теоремы 178 и 179), суще-
ствуют первообразные корни, и поэтому для любого числа, вза-
имно простого с таким модулем, существуют индексы.
Пример. Составить таблицу индексов по модулю 27 с осно-
ванием g = 5.
Собственные делители числа <р (9) = 6 равны 1, 2, 3.
Поскольку 51, 5s *, 53 несравнимы с 1 по модулю 9, то 5—перво-
образный корень по модулю 9 = За, а следовательно (теорема 177),
и по модулю 27 —З3. Получаем последовательно:
5«=1, 5^=5, 5В * = 25, 5* = 17, 54 = 4, 5’= 20, 5е = 19, 57 =14,
58 = 16, 5’=26, 510=22, 511 * * = 2, 51В=10, 519 = 23, 514 * = 7,
516 = 8, 516 = 13, 517 = 11 (mod 27).
156
Таблица индексов по модулю 27 имеет вид:
а	1	2	4	5	7	8	10	11	13	14	16	17	19	20	22	23	25	26
ind а	0	11	4	1	14	15	12	17	16	7	8	3	6	5	10	13	2	9
Теоремы 183 —186 устанавливают правила операций с индек-
сами по таким модулям, причем в этих случаях
Ф (Ра) = Ф (2ра) =ра~г (Р-1).
Достаточно иметь таблицы индексов по модулям ра с осно-
ваниями g, представляющими собой нечетные первообразные
корни. Как было доказано в теореме 179, если нечетное осно-
вание g является первообразным корнем по модулю р“, то оно
является первообразным корнем и по модулю 2р“, причем, как
мы докажем, при таком основании индексы чисел по модулю 2р“
такие же, как и по модулю р“.
Теорема 187. Пусть g—нечетный первообразный корень по
модулю ра (р>2), (а, 2р) = 1; тогда каждый индекс числа а по
модулю ра и основанию g является индексом а по модулю 2ра и
основанию g.
Доказательство. Пусть s —индекс а по модулю р“ и
основанию g, т. е.
g3 a (mod ра).
При 2^0, 2]g имеем gJ=a(mod2), так что g*^a(mod 2pa),
т. е. s — индекс а и пО модулю 2р“.
Таблицы индексов по составному модулю вида т — ра или
т = 2ра, где р —нечетное простое число, содержат индексы всех
чисел а, таких, что Is^asCm — 1 (a, tri) — 1. Индекс такого
числа а является также индексом всех чисел, сравнимых с а по
модулю т.
В таблицах Якоби даныиндексыдлямодулей вида т = ра< 1000.
В таблицы индексов, которые помещены в конце книги,
включены индексы по составным модулям /п = 9, 25, 27, 49, 81.
При а = 2 для модуля т = 2а существует первообразный
корень g= 3.
При а^зЗ для модуля т = 2а не существует первообразных
корней (теорема 181), и поэтому степени одного основания не
могут являться представителями всех классов, взаимно простых
с модулем.
Понятие индекса можно обобщить, введя индексы и для мо-
дулей вида т = 2“ при а^З. Индексы по таким модулям будут
представлять собой уже не числа, а пары чисел. Для построе-
ния такой системы индексов нам понадобится следующая теорема.
157
Теорема 188. При a 5s 2 два числа вида (—1)“5® и (—1)°'5®'
(v,	сравнимы по модулю т = 2а тогда и только тогда,
когда
и = и' (mod 2) и v = и' (mod 2а-а).
Доказательство. Методом полной математической индук-
ции докажем, что при любом п2э2 имеет место равенство:
5а"" = 1+2%, где 2\tn.	(9)
При п = 2 равенство (9) верно, так как 5=1+2а-1. Пусть
равенство (9) верно при некотором п(п>2), тогда, возводя обе
части равенства в квадрат, получим
Б4"”1 + + Г+Д 2""+п) = 1 + 2п+%+1,
где
^1 = ^ + 2"-^.
Поскольку при М5э2 2 | 2""1, 2\in, то 2^^п+1, т. е. из спра-
ведливости равенства (9) для п следует его справедливость
и для п+1. Согласно принципу полной математической индук-
ции равенство (9) верно при всех п. Соотношение (9) показы-
вает, что при п>2	(5) = 2п-а.
Рассмотрим сравнение
( —1)°5® = (—1)°'5®'(mod 2°).	(10)
Если n = u'(mod2), то сравнение (10) принимает вид
5® =5®' (mod2a), что, поскольку
Р9«(5) = 2*-а,
согласно теореме 163 может иметь место тогда и только тогда,
когда v = u' (mod 2“-а).
Если же и + u'(mod 2), то сравнение (10) невозможно ни при
каких о ио', так как при a 5= 2 из 5® = — 5®' (mod2a) следовало бы
1 =—1 (mod 4),
что неверно.
Таким образом, сравнение (10) имеет место тогда и только
тогда, когда и = и' (mod 2) и вместе с тем v=.v' (mod2a-a.)
Теорема 189. При a 5=2 любое нечетное число сравнимо по
модулю 2а с одним и только одним числом из множества:
— 52°”а....— 52, —5,5, 5а....5аа-а. (И)
Доказательство. Числа (11) имеют вид (— 1)“5®, где и рав-
но 0 или 1, 1 о «С 2“_ 2. Согласно предыдущей теореме они по-
парно несравнимы по модулю 2’. Все эти числа принадлежат,
таким образом, различным классам нечетных чисел по модулю 2’,
168
и так как их число 2-2“~2 = 2’-1 равно числу нечетных классов
по модулю 2’, то согласно „принципу ящиков1' в системе (11)
имеется. по одному и только одному представителю каждого
такого класса.
Определение 52. Индексом нечетного числа а по модулю 2я
при а 5=3 называется пара чисел ((«, v)), гдео^О, такая, что
( —l)a5” = a(mod2’).	(12)
Такую пару ((и, о)) будем иногда записывать также в виде
inda. Теорема 189 показывает, что при а^З любое нечетное
число имеет индекс по модулю 2я.
Пример. Пара ((0, 0)) является индексом 1 по любому
модулю 2я(а^3). Действительно, (—1)°-5° = 1 (mod2“).
Определение 53. Две пары: ((и, о)) и ((и', с»')), где v^Q,
и' ^0—называются сравнимыми по двойному модулю ((/и, п)),
если
и = и' (modzn), и = v' (mod и).
Сравнимость пар: ((и, и)) и ((и', о'))—по двойному модулю
((/и, п)) будем записывать в виде:
((«, и)) = ((«', o'))(mod((m, п))).
Очевидно, что две пары, сравнимые по двойному модулю
с одной и той же третьей, сравнимы между собой.
В сравнении (12) число а можно заменить числом Ь, сравни-
мым с а по модулю 2я, так что индекс а по модулю 2я является
вместе с тем индексом всех чисел класса а. Теорема 188 пока-
зывает, что индексом данного числа вместе с парой ((и, и))
является также любая пара, сравнимая с ((и, о)) по двойному
модулю ((2, 2я-2)). Теорему 188 при а3 можно поэтому запи-
сать в следующей форме.
Теорема 188'. При а^З a =b (mod 2я) тогда и только
тогда, когда индекс а сравним с индексом b по двойному мо-
дулю ((2, 2”3)).
Определение 54. Суммой индексов ((ult с\)) + ... + ((ип, о„))
называется индекс ((«j + ... + ип, v14-... + с»п)).
Теорема 190. При а 5s 3 для модуля 2я индекс произведения
нечетных чисел сравним с суммой индексов сомножителей по
двойному модулю ((2, 2я-2)).
Доказательство. Пусть а1, аг, .... ап — нечетные числа.
(_ 1)“,.5”. = ^(mod2я), .... (— l)“».5’n=a(,(mod2‘).
Перемножая эти сравнения, получаем:
(_1)««+"-+‘^5’.+---+’» = д1_.ал(1ПО(12я).	(13)
Г59
Пусть индекс ах.. .ая равен ((«, и)), т. е.
(-I)°.5v = 4i1...a„(mod2‘).	(14)
Согласно теореме 188 из сравнений (13) и (14) следует, что
((«, y)) = ((«i+   +«„- »i+...+»„)) =
= ((«<, *1)) +-..+((«„, vn)) (mod((2, 2’~2))).
В случае, когда а1=...=ап, вместо ((«,, аг)) + .. .((«„,»„))
будем для краткости писать п ((Uj, к1)).
Мы получили, таким образом, что для модуля 2a(as»3)
индекс степени а" сравним с /г ind а по модулю ((2, 2’-2)).
Таблицы индексов по модулям видат = 2а, где а3, даются
в виде пар ((«, о)). Таблица индексов по такому модулю указы-
вает для каждого класса нечетных чисел соответствующую пару,
представляющую собой индекс чисел данного класса.
Пример. Составить таблицу индексов по модулю т = 64.
64 = 2®; для чисел вида (—где и равно 0 или 1, а о
пробегает полную систему вычетов по модулю 21 = 16 (0	15),
находим:
±5° = ±1,	±52 = ±25, ±58 = ±61,
±54 = ±49, ±55 = 53, ±5« = ±9, ±5’ = ±45,
±58 = ±33, ±5®^±37, ±510 = ±57, ±5П = ±29,
±512 =± 17, ±513=±21, ±514 = ±41,
± 515 = ± 13 (mod 64).
Таблица индексов по модулю 64 будет иметь вид:
а	ind а		а	ind а		а	ind а		а	ind a
1	((0,0))		17	((0 12))		33	((0,8))		49	«0,4»
3	((1.3))		19	((1,7))		35	((1,11))		51	«1.15»
5	((0.1))		21	((0.13))		37	«0,9»		53	«0,5»
7	((1.10))		23	((1, К))		39	«1,2»		55	«1.6»
9	((0,6))		25	((0.2))		41	«0,14»		57	«о.ю»
И	((1,5))		27	((1.9))		43	((1.13))		59	«1.1»
13	((0,15))		29	((0.И»		45	((0,7))		61	«о.з»
15	((1.4))		31	((1.8»		47	«1,12»		63	«1,0»
Индексы можно применять для вычисления остатков от деле-
ния на заданный модуль т произведений с двумя или несколь-
кими сомножителями и, в частности, степеней.
Имея таблицу индексов по модулю т, чтобы найти остаток
от деления	на т, где все а,- взаимно просты с т, мы
искомый остаток обозначаем через х и пишем
x = ax.. .a„ (mod т).	(15)
160
Индексируя сравнение (15), получаем:
indjt = inda14- ... 4-ind а„ (mod ф (/п)).
Находим в таблице индексов s = ind а1 + ... + ind ап, так что
ind х = s (mod ф (m)).
Находим число, индекс которого равен s, т. е. г такое, что
s = indr. Тогда
ind х = ind г (mod ф (щ)),
откуда (теорема 183)
х = г (mod т).
В частности, если ах= ... ==.а„=а, мы получаем прием для
вычисления остатка от деления на модуль т степени ап.
Пример. Пользуясь таблицей индексов, найти остаток от
деления на 61 числа 3720-2312.
х = 3720 • 2312 (mod 61), ind х = 20 ind 37 + 12 ind 23 (mod 60).
В таблицах по модулю 61 с основанием g = 59 или g=—2
находим ind 37 = 9 и ind 23 = 27, так что
ind х —- 504 = 24 (mod 60).
По значению индекса находим х. Число 24 является индек-
сом 20, так что ind № ind 20 (mod 60), х = 20 (mod 61).
Если т =	то для нахождения остатка от деления
на т произведения или степени находим остатки rlt ....г,при
делении на модули /?"*, ..., затем решаем систему уравнений:
x = rL (mod р“1),
xssr^mod р“').
При Рг = 2,	остаток от деления на 2ai находим другими
методами (без применения теории индексов) или рассматриваем
индексы по модулю 2* (определение 52).
При Pi~2, ах=1 мы можем представить т в вида
(2р“’), . ..,р“4 и находить с помощью индексов остатки от деле-
ния на 2р“‘, ...,ps3.
Пример. Найти остаток от деления иа 1242 числа 35100;
1242 = 2.3®. 23.
Находим остаток г\ от деления 35100 на 2-3s = 54:
q = 35100 (mod 54), ind == 100 ind 35 (mod 18).
В таблице индексов по модулю 27 с основанием g=5 нахо>
дим
ind 35 = ind 8 — 15,
6 А. А. Вухштаб
161
так что
ind rx = 1500 = 6 (mod 18).
По модулю 27 находим, что 6 = ind 19, так что
гх = 19 (mod 54).
Находим остаток г2 от деления 35100 на 23.
r2 = 35100 = 12100(mod23), indr2 = 100-ind 12=100-10 =
= 10 (mod 22), r2 = 12 (mod 23).
Решая систему x= 19 (mod 54), x= 12 (mod 23), находим:
x=127 (mod 1242). Остаток равен 127.
Исторические комментарии к 17-й, 18-й а 19-й главам
1.	Теория степенных вычетов возникла на базе мемуара
Эйлера „Теорема о вычетах, получающихся от деления степе-
ней*1 (1755). Понятие показателя данного основания было вве-
дено Гауссом.
2.	Понятие первообразного корня было введено Эйлером.
Теорема о существовании первообразного корня для любого
простого модуля была высказано без доказательства в 1769 г.
Ламбертом. Доказательство этой теоремы встречается у Эйлера,
однако оно не было дано им в достаточно четкой форме. Гаусс
дал два различных доказательства существования первообразных
корней по простому модулю (теорема 171).
3.	П. Л. Чебышев в ряде теорем указал некоторые классы
простых чисел, для которых можно легко найти первообразный
корень.
4.	И. М. Виноградов дал оценку величины наименьшего пер-
вообразного корня по простому модулю. Он доказал, что если
обозначить через g(p) наименьший первообразный корень по
модулю р, то при любом сколь угодно малом е> О
,£(р) = о(рт+е).
Существует предположение, что простые числа р, для кото-
рых 2 является первообразным корнем, имеют положительную
плотность в множестве простых чисел; Это значит, что если
обозначить через Т (х) число таких р<х, а через п (х) — общее
число простых р^х, то при некотором а>0для всехх(х5® 1)
выполняется неравенство Т (x)S& ал (х). Это предположение пока
не удается ни доказать, ни опровергнуть.
о. Теорема 181 встречается впервые у Гаусса в,„Disquisitiones
arithmeticae*'.
6. Понятие индекса, основные свойства индексов были даны
Гауссом.
162
ГЛАВА 20
ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ
1. ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Определение 55. Двучленным сравнением называется сравне-
ние вида
Ах" = В (mod т).
Мы рассмотрим двучленные сравнения по простому модулю
р > 2 вида
х" = а (mod р).
(1)
Теорема 191. 1) При р^а сравнение (1) по простому модулю
р>2 либо совсем не имеет решений, либо число решений равно
наибольшему общему делителю п и р—1.
2) Сравнение (1) не имеет решений, если для б = (п, р—1)
б-finda, и имеет 6 решений, если 6|inda.
Доказательство. Пусть (п, р —1) = б. По простому
модулю р (теорема 171) существует первообразный корень.
Индексируя сравнение (1) по некоторому основанию g, предста-
вляющему собой первообразный корень, получаем
п ind х = ind a (mod р— 1).
(2)
Сравнения (1) и (2) согласно теоремам 183 и 185 эквива-
лентны. Если обозначить indx = z, inda=&, то для неизвест-
ной z получим сравнение 1-й степени:
nzssb(mod р—1).
(3)
При 6^inda, т. е. б^б, сравнение (3) не имеет решений
(теорема 130), но тогда не существует и значений х, удовлетво-
ряющих сравнениям (2) и (1).
При 6 | ind а, т. е. 6 | Ь, сравнение (3) имеет б решений (тео-
рема 135). Значения indx, удовлетворяющие сравнению (2),
принадлежат б классам по Модулю р—1, а следовательно, и
для х существует б классов по модулю р, удовлетворяющих
сравнению (1).
Примечание. При сравнение (1) может быть записано в виде
*ns0(modp) и в этом случае оно имеет одно решение: xsO(modp).
Определение 56. 1) а называется  вычетом п-й степени по
простому модулю р, если р^а и сравнение х" = a (mod р)
имеет решения.	
2) а называется невычетом п-й степени по простому
модулю р, если сравнение x" = a(modp) не имеет решений.
В частности, вычеты 2-й степени по простому модулю: р на-
зываются квадратичными вычетами по этому модулю, Вычеты
3-й степени — кубическими вычетами, а вычеты 4-й степени —
бик вадратичными.
6*	163
Заменяя в сравнении (1) а любым числом, сравнимым с ним
по модулю р, получим (теорема 129) сравнение, эквивалентное (1).
Если а представляет собой вычет n-й степени по модулю р,
то весь класс а состоит из вычетов n-и степени по модулю р,
а если а—невычет, то и весь соответствующий класс состоит
из невычетов. Можно поэтому вместо отдельных вычетов и не-
вычетов n-й степени рассматривать соответствующие классы.
Определение 56'. а =/=0 называется классом вычетов п-й
степени по простому модулю р, если сравнение хп = а (modp)
имеет решения, а называется классом невычетов n-й степени,
если сравнение хп = а (mod р) не имеет решений.
Имея таблицу индексов по модулю р, легко найти все классы
вычетов степени п по этому модулю. Действительно, теорема 191
показывает, что вычетами n-й степени по модулю р являются
только те числа а, для которых (п, р—1) | ind а. Рассматривая
таблицу индексов по модулю р, можно отобрать все такие а.
Пользуясь этим же свойством, легко определить число таких
классов.
Теорема 192. По простому модулю р>2 число классов
вычетов n-й степени равно , где 6 = (п, р—1).
Доказательство. Всего по модулю р имеется р—1
классов, взаимно простых с модулем (класс 0, состоящий из
чисел, делящихся на р, согласно определению 56' не причис-
ляется к вычетам n-й степени).
Индексы этих классов образуют полную систему вычетов по
модулю р—1, т. е. каждому такому классу (если взять
ind 1 = р—1) можно сопоставить индекс, равный одному из
чисел:
1. 2....р-1.	(4)
Возьмем б = (п, р—1). Среди первых р—1 чисел (4) имеется
2^- чисел, делящихся на 6, т. е. согласно теореме 191 суще-
р—1	.
ствует -у- классов вычетов n-й степени по простому модулю р.
Пример. Пользуясь таблицей индексов, найти классы вы-
четов 6-й степени по модулю р — 11.
Здесь 6 = (6, 10) = 2. В таблице индексов по модулю 11
находим, что индексы, делящиеся на 2, имеют следующие классы:
1, 3, 4, 5, 9. Эти классы и будут классами вычетов 6-й степени
по модулю 11.
Теорема 193. Если 6 = (п, р—1), то вычеты n-й степени
по простому модулю р>2 совпадают с вычетами степени 6
по этому модулю.
Доказательство. Если (и, р—1) = б, то будем иметь
также (S, р —1) = 6. При р\а сравнения x" = a(modp) и
1W
x’sa(modp) согласно теореме 191 имеют решения при одних
и тех же числах а, таких, что б (ind а.
Будем поэтому в дальнейшем рассматривать вычеты и невы-
четы n-й степени только для таквд п, которые являются дели-
телями р—1, и рассматривать сравнения вида (1), где п\р—1.
При п|р—1 теоремы 191 и 192 принимают следующий вид.
Теорема 19Г. При р\а, п\р—1 сравнение x" = a(modp) по
простому модулю р>2 либо совсем не имеет решений,
либо имеет п решений. По такому модулю а является выче-
том п-й степени тогда и только тогда, когда п | ind а.
Теорема 192'. По простому модулю р>2 а п\р—1 число
„	р—1
классов вычетов п-и степени равно -— .
В следующей теореме мы установим необходимое и доста-
точное условие того, чтобы а при п\р—1 было вычетом п-й
степени по модулю р.
Теорема 194. При п\р—1 а является вычетом п-й сте-
пени по простому модулю р > 2 тогда и только тогда, когда
р-i
а " = 1 (mod р).	(5)
Доказательство. Индексируя сравнение (5), получаем,
что это сравнение имеет место тогда и только тогда, когда
ind a = 0 (modp—1) или ^^inda = (p—l)f,
inda = n^, (t — целое),
т. e. сравнение (5) имеет место тогда и только тогда, когда
п) ind а.
Примечание. Легко проверить, что теоремы 191 и 192 справедливы
также и при р = 2. В этом случае а£1 и р—1=«1, так что утверждения
этих теорем тривиальны.
Сравнение ^slfmodp), очевидно, имеет решение
х = 1 (modp). Согласно теореме 191 это сравнение будет,
вообще говоря, иметь б — (п, р—1) решений, а при п\р—I
(теорема 19Г)—п решений. Естественно классы, удовлетворяю-
щие этому сравнению, или, что то же самое, уравнению (x)n= 1,
называть корнями п-й степени из единицы по модулю р. Анало-
гично этому классы (если они существуют), удовлетворяющие
сравнению (1), т. е. уравнению (£)"= а, естественно назвать
корнями п-й степени из а по модулю р.	_
Определение Б7. Корнем п-й степени из класса а по про-
стому модулю р называется класс чисел по этому модулю,
удовлетворяющих сравнению
x" = a(modp).	(6)
165
По простому модулю р, если п\р—1, либо не существует
ни одного корня n-й степени, либо число корней равно п (тео-
рема 191').
Теорема 195. При п|р—1, р^а все решения сравнения (1)
по простому модулю р>2 можно получить, умножая одно
решение этого сравнения на различные решения сравнения
х" = 1 (mod р).
Другими словами, все корни n-й степени из а по модулю р
можно получить, умножая один из этих корней на различные
корни n-й степени из 1.
Доказательство. Поскольку ind 1=0 и п[0, сравнение
x"=l(modp) имеет и решений. Обозначим эти решения через
ty.....tn, где /г ^^(modp) и p\t{. Пусть х0 удовлетворяет
сравнению (1), тогда
(x0/f)n =Хо 1 so (mod р)
при i= 1, 2, п, т. е. классы xott.......х0/„ представляют
собой решения сравнения (1).
Поскольку р\а, то р^х0 (х0, р) — 1, и, следовательно, числа
xotlt ..., xotn являются (теорема 111) частью приведенной си-
стемы вычетов по модулю р; х0/1г ..., xQtn представляют собой
и различных решений сравнения (6) n-й степени и, значит,
исчерпывают все решения этого сравнения.
Сравнение по простому модулю
Ах" = В (mod р)	(7)
при р^А эквивалентно сравнению
x', = a(modp),
где Аа = В (mod р) (теорема 144). При р^В будем иметь также
р^а И', следовательно, согласно теореме 191 сравнение (7) либо
совсем не имеет решений, либо число решений равно 6, где
6 = (п, р—I).
Имея таблицу индексов ио модулю р, сравнение (7) можно
решить и не преобразовывая его к виду (6). Индексируя срав-
нение (7), получаем:
п ind х = ind В — ind A (modp—1),	(8)
т. е. сравнение 1-й степени с неизвестной z = indx.
Решая это сравнение относительно z = ind х, находим все
значения indx, удовлетворяющие сравнению (8), а затем по
таблицам находим й значения х, удовлетворяющие сравнению (7).
Пример. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнение
13xal = 5(mod 31).
166
Индексируя, находим:
11 + 21 indx = 20 (mod 30),
7 ind x = 3 (mod 10), ind x = 9 (mod 10),
indx = 9, 19, 29(mod 30), x = 12, 21, 29 (mod 31).
(Индексы взяты в таблице с основанием g = 3.)
Ответ. Классы 12, 21, 29 по модулю 31.
2. ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ НО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
Совершенно аналогичным образом можно применять тео-
рию индексов и для решения сравнений
Ахп В (mod т)	(9)
в случае составного модуля т, если для этого модуля сущест-
вует хотя бы один первообразный корень, взяв который в ка-
честве основания, можно построить систему индексов.
При т>2 получаем в этом случае сравнение 1-й степени
с неизвестной indx: nindx = indB— ind A (mod tp (m)), из ко-
торого в случае существования решений находим значения indx,
а по ним и значения х.
Сравнение (9) имеет или не имеет решения в зависимости
от того, будет ли (и, <р (m)) | ind В — ind Л. В частности, можно
применить этот критерий для модулей m = p'L при р>2 и
в пределах имеющихся таблиц отыскивать решения сравнений
вида Лх" = В (mod р“).
Это позволяет, между прочим, выяснить вопрос о существо-
вании для заданного простого р>2 числа а, такого, что
а^-1 ~ 1 (mod ря)	(10)
(см. стр. 100). Действительно, такие числа а удовлетворяют
сравнению xf~1 = 1 (mod рг), которое эквивалентно сравнению
(р—1) indх = О (modp (р—1)), т. е. ind№0(modp). По мо-
дулю р (р— 1) будет р—1 классов таких индексов, а следова-
тельно, по модулю р2 существует р—1 классов искомых зна-
чений х. При р ^э5 будем иметь не менее. четырех таких
классов. Мы видим, что для любого р^5, кроме чисел а,
сравнимых с ± 1, существуют и другие значения а, удовлетво-
ряющие условию (10). Любое число а, индекс которого делится
на р, будет удовлетворять сравнению (10), причем все эти зна-
чения а будут образовывать р— 1 классов по модулю ра.
Пример. Пользуясь таблицей индексов, найти все числа а,
такие, что a’sl (mod49).
Здесь р = 7. В таблице индексов по, модулю 49 находим
шесть классов^ чисел по? этому модулю, индексы которых де-
лятся на 7; а именно классы: 1,18, 19, 30, 31, 48, т. е. а=±1,
±18, ±19 (mod 49).
J67
Для составного модуля т = р?‘.. ,рз‘ мы заменяем сравнение
(9) системой:
Лх" В (mod р?‘)
4x" = B(modp“‘).
При модуле т = 2а, а^З, для решения сравнения (9) можно
воспользоваться теоремами 188' и 190 для вычисления индекса х
в виде пары ((и, v)) с тем, чтобы потом по значениям этого
индекса найти и все значения неизвестной х.
Пример. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнение
7х*= 23 (mod 64).
Решение. 64 = 2®. Индексируя сравнение, получаем:
ind 7 + 6 ind х = ind 23 (mod ((2, 16))).
Обозначая indx через ((«, о)) и пользуясь таблицей индек-
сов по модулю 64, составленной в примере на странице 160,
находим последовательно:
((1, 10)) + 6((«, о)) = ((1, 14))(mod((2, 16))),
((6u+l. 6Щ-10)) = ((1, 14)) (mod ((2, 16))),
6м + 1 = 1 (mod2), 6o-f- 10s 14(mod24),
u = 0,l(mod2), у = 6, 14 (mod24).
В качестве значений индекса ((м, о)) имеем четыре пары:
((0, 6)), ((0, 14)), ((1, 6)), ((1, 14)).
В таблице индексов находим соответствующие значения х по
модулю 64, а именно: х = 9, 23, 41, 55 (mod 64). Сравнение
имеет четыре решения: классы 9, 23, 41 и 55 по модулю 64.
3. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
Понятие корня n-й степени можно распространить на про-
извольные модули.
Определение 58. Корнем n-й степени из класса а по модулю
т называется класс чисел, удовлетворяющих сравнению
хп = а (mod т).	(И)
Рассмотрим квадратные корни по любому модулю из еди-
ницы и определим их число. Начнем со случая, когда m = pk,
где 1, р — простое число.
Теорема 196. При любом нечетном простом р и k^l
число квадратных корней из единицы по модулю рк равно 2.
При р = 2 число квадратных корней из единицы по модулю 2*
равно соответственно: 1 при fe=0 и Г, 2 при k = 2; 4 при
6>3.
.168
Доказательство. 1) Сравнение x2sl(modp*) при не-
четном простом р запишем в виде (х—1) (x-f-1) = 0 (mod рА).
Оба множителя при одном и том же значении х не могут де-
литься на р, так как из х—1=^0(modp) и х+1=0(modp)
следовало бы 2s0(modp), что при р>2 невозможно.
Поэтому сравнение х2(modp*) при р>2 может удовлет-
воряться тогда и только тогда, когда х—1=0(modp*) или
х-f-1 =0 (mod р*), т. е. при х^ ± 1 (mod pft). Мы видим, таким
образом, что при нечетных р существуют два квадратных корня
из единицы по модулю р*.
2) Возьмем теперь р = 2, &2&3. Обозначим через ((и, у))
индекс по модулю 2* чисел х, удовлетворяющих сравнению
х2 = 1 (mod 2*).	(12)
Поскольку, как было отмечено раньше, индекс 1 по мо-
дулю 2* равен ((0, 0)), индексируя сравнение (12), получаем
согласно теоремам 188' и 190:
2((и, у) = ((0, 0)) (mod ((2, 2А"2))),
или u = 0(modl), у = 0 (mod 2А-Я). Для и по модулю 2, и для
v по модулю 2*-2 получаем соответственно:
u=0(mod2), u=l(mod2), у=0 (mod 2*"а), y=2A-s (mod 2А-2),
т. е. четыре значения индекса х, а именно:
((0,0)), ((1,0)), ((0,2*~3)), ((1,2*-®)).
которым соответствуют четыре класса решений сравнения (12), эти
классьГи являются квадратными корнями из единицы помодулю2А.
В случае р = 2, k — Q или 1 непосредственно находим, что
существует один, а при р = 2, k — 2—два класса решений
сравнения (12).
Теорема 197. Пусть m = 2hpil... р*в, где Pi>2 — канониче-
ское разложение модуля т\ тогда число квадратных корней из
единицы по этому модулю равно:
1)	2* при k = 0 или k= 1,
2)	2J+1 при Л = 2,
3)	2,+ 2 при Л>3.
Доказательство. Нам надо определить число решений
сравнения x2=l(modm), которое эквивалентно (теорема 156)
системе:
х2 = 1 (mod 2А)
х2 s 1 (mod pi1)
(13)
х2= 1 (mod р^).
Согласно предыдущей теореме каждое из этих сравнений,
кроме первого, имеет два решения. Если обозначить через ц
169
число решений первого сравнения, то система (13), а следова-
тельно, и сравнение x2=l(modm) имеет по теореме 157 т|2д
решений.
В предыдущей теореме было определено, что: 1) при Л —О
и А=1 т)= 1; 2) при k~2 rj —2; 3) при А >2 т|=-22, так что
число квадратных корней из единицы по модулю т в этих трех
случаях получается соответственно равным 2J, 2,+1 и 2J+2.
Примечание. При т>2 каждому квадратному корню г из еди-
ницы по модулю т можно сопоставить отличный от г квадратный ко-
рень т — г.
Действительно, если г2 = 1 (mod т), то и (т—г)г ™1 (mod т), причем
т—гф г, так как если бы было т—г = г, то имели бы т—г (modm),
2г з= 0 (mod т). Вместе с тем из г2 =1 (modm) видно, что (т, г)=1, так
что было бы т | 2, что противоречит условию т>2.
Пример. Определить число квадратных корней из единицы
по модулю т = 600.
Поскольку 600 = 28-3-52, т. е. А = 3, s = 2, число таких
корней будет равно 24 = 16.
Результат, полученный в теореме 197, можно применить для
доказательства одной теоремы Гаусса, представляющей собой
непосредственное обобщение теоремы Вильсона (теорема 153).
Это обобщение было приведено Гауссом в „Disquisitiones arith-
meticae"
Теорема 198. Пусть г1; г2, ... , г (т)—приведенная система
вычетов по модулю т. Тогда
i\r2 ... rv(w) = /(modm),	(14)
где 1 = —1, если т принадлежит множеству, состоящему
из числа 4, всех чисел вида рк и 2рк, где р—любое нечетное
простое число, А^1, и /~1, если т не принадлежит этому
множеству.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
в качестве
Р = ггга ... гч[т)	(15)
рассматривать произведение чисел, образующих приведенную
систему наименьших неотрицательных вычетов.
При т— 1 и т = 2 мы можем в правой части (14) взять
как I = —1, так и I = 1.
Пусть т>2. Объединим попарно все числа в (15) следую-
щим образом. Для каждого ri решаем сравнение rpc = 1 (mod т),
(г.; т)=\, и находим такое, что г,Г/ = 1 (modт).
1) Если r^Tj, составляем пару „первого типа*1 ((г,, г7)).
Все такие множители rit Г] в (15) можно отбросить, так как
произведение каждых двух чисел, образующих такую пару,
дает при делении на т остаток, равный 1.
170
-2) Если Г/=Г/, т. е. если г* = 1 (modm), то для такого г{
составляем пару „второго типа" ((rh т—rj), где согласно при-
мечанию к теореме 197 (т—rz)2=l(modm) и т—rt отлично
от rt. Для каждого из произведений двух чисел г/ и т— г{,
образующих пару второго типа, имеем:
Г[(т—Г/) = — =—1 (modm).
Таким образом, Р по модулю m сравнимо с (—1)", где л —
число пар второго типа.
Поскольку в парах второго типа объединены попарно реше-
ния сравнения № = 1 (mod т), число этих пар будет равно по-
ловине числа квадратных корней из единицы по модулю т.
Согласно теореме 197 при т = 4, т-р11 и т = 2р* имеем
п —~-2= 1, т. е. Р =—1 (modm). Если же m = 2*-pj*-.. . >pss —
каноническое разложение т, то согласно той же теореме:
1)	при k = 0 и 1, $Эз2, число n=~2s четно;
2)	при k — 2,	1, число n = ^-2J+1 четно;
3)	при &Ss3, s^O, число n = y2J+2 четно.
Таким образом, во всех этих трех случаях
Р = + 1 (mod т).	(16)
Непосредственная проверка показывает, что сравнение (16)
верно для т — 1 и т = 2, соответствующих значениям k = 6
и 1 при s — 0, что вместе с ранее рассмотренными случаями
исчерпывает все возможные значения т.
Сравнивая результаты, полученные в теоремах 198 и 181,
можно теорему 198 записать также в следующей форме.
Теорема 198'. Произведение чисел, образующих приведенную
систему вычетов по модулю т>2, сравнимо по этому модулю
с — 1 тогда и только тогда, когда по модулю т существуют
первообразные корни. Для всех остальных модулей это произве-
дение сравнимо с -|- 1.
Примеры, а) т=18 = 2-За. Здесь Пг, = 1 -5-7- 11 • 13-17 =
= (5.11)(713).(117) = 1-1(—1)=—1 (mod 18).
б) т = 30 = 2-3-5.	Здесь Пг, = 1 -7-11 • 13-17-19-23-29 =
= (7-13)-(17-23)-(1-29) (11 • 19) = 1 • 1 (—1) (—- 1)^1 (mod 30).
4. показательные сравнения
Таблицы индексов можно применять и для решения пока-
зательных двучленных сравнений вида
ax = b(modm).	(17)
171
Если по модулю т существуют первообразные корни, то,
индексируя сравнение (17), получаем сравнение
х ind а = ind b (mod <р (т)),	(18)
представляющее собой следствие сравнения (17). Все значе-
ния х, удовлетворяющие сравнению (17), находятся среди чи-
сел х, удовлетворяющих сравнению (18). С другой стороны,
каждое неотрицательное значение х, удовлетворяющее сравне-
нию (18), удовлетворяет также и сравнению (17).
В случае сравнения вида
= &*<*> (mod т),	(19)
где f(x) и g(x)—многочлены с целыми коэффициентами,
а т—модуль, для которого существует первообразный корень,
индексируя, получаем сравнение вида
F (х) = 0 (mod ф (т)),	(20)
где
F (х) = f(x) ind а—g(x) indft.
Значения х, удовлетворяющие сравнению (19), совпадают
со значениями х, удовлетворяющими сравнению (20).
ГЛАВА 21
СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
1. КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ И НЕВЫЧЕТЫ
Общий вид сравнения 2-й степени по простому модулю р
имеет вид:
c0x2 + c1x + c2 = 0(modp).	(1)
В качестве модуля р мы будем брать нечетные простые
числа. При р = 2 решения, если они есть, находятся испыта-
нием классов 0 и 1. Мы будем рассматривать только случай
р^са, так как при р | с0 сравнение (1) эквивалентно сравнению
1-й степени qx + с2 0 (mod р).
Теорема 199. При р>2, р^с0 сравнение (1) эквивалентно
некоторому сравнению вида
(х 4-с)а = a (mod р).	(2)
Доказательство. Сравнение (1) при рфс0 можно (тео-
рема 144) сначала привести к виду
xa4-&1x-|-&8 = 0(modp).	(3)
172
Рассмотрим два возможных случая:
1) Если 2 | blt то сравнение (3) можно записать в виде:
(х + у)2^ (т)8-Mmodp).
2) Если 2 f blt то сравнение (3) заменяем эквивалентным
сравнением
*а + (&1 + Р)* + Ьа = О (modp),
которое, поскольку р нечетно и, следовательно, 21 Ьг + р, можно
записать в виде
(51+f)2—b2 (modp).
Таким образом, в обоих случаях мы получаем сравнение
вида (2), эквивалентное первоначальному.
Если обозначить х + с через г, то вопрос о существовании
решений и нахождении этих решений для любого сравнения
2-й степени сводится к исследованию сравнения z2 = (modp).
В этой главе мы будем рассматривать только такие сравнения,
записывая их в виде
x2 = a(modp),	(4)
причем будем считать а не принадлежащим нулевому классу,
т. е. таким, что р^а. _
В случае, когда а£0, очевидно, что сравнение (4) имеет
только одно решение x = 0(modp), так как при x^O(modp),
a = 0(modp) будет также х2 a (mod р).
Сравнение (4) является частным случаем (при и = 2) сравне-
ния /^a(modp), рассмотренного в 20-й главе.
Некоторые из результатов настоящей главы являются част-
ными случаями теорем 20-й главы. Чтобы сделать изучение
сравнений 2-й степени независимым от общей теории двучлен-
ных сравнений, будем наряду со ссылками на ранее установ-
ленные результаты давать и новые доказательства, проводя их
специально для рассматриваемого случая.
При p-f'a сравнение (4) может не иметь решений. Например,
легко проверить, что сравнению x2 = 2(mod5) не удовлетворяет
ни один из классов по модулю 5.
Вместе с тем если при р \ а сравнение (4) имеет реше-
ние х0, то решением будет также класс — х0, отличный от хв.
Действительно, если x“ = a(modp), то и (— х0)2 = a(mod р),
причем поскольку р\а, то р^х?, а, следовательно, для р>2
будет 2х0	0 (modp), х0 — х0 (mod р), т. е. решения х0 и—хв
различные.
С другой стороны, сравнение (4) не может (теорема 148)
иметь более двух решений. Таким образом, если исключить из
раеемотрення, как мы это сделали, значения а, кратные р, то
173
сравнение (4) либо имеет два решения, либо не имеет ни одного
решения. Если при некотором а сравнение (4) имеет два реше-
ния, то и для любого bsa(modр) это сравнение имеет два
решения, поэтому естественно рассматривать сравнение (4) не
для отдельных чисел а, а для соответствующих классов.
Определения 59. 1) Класс чисел по модулю р называется
классом квадратичных вычетов по этому модулю, если для чисел
а, принадлежащих этому классу, сравнение х2 = a (mod р) имеет
два решения.
2) Класс чисел по модулю р называется классом квадратич-
ных невычетов, если для чисел а, принадлежащих этому классу,
сравнение х2 = a(mod р) не имеет решений.
Соответственно этому все числа, принадлежащие классам
квадратичных вычетов, т. е. все числа а, для которых сравне-
ние x2 = a(modp) имеет два решения, будем называть квадра-
тичными вычетами по модулю р и аналогично все числа а, для
которых это сравнение не имеет решений, —квадратичными не-
вычетами по этому модулю. Числа а, принадлежащие классу О,
для которых сравнение (4) имеет одно решение, не причисляются
ни к квадратичным вычетам, ни к квадратичным невычетам.
Если сравнить определения 59 с определениями 56 и 56', то
легко видеть, что понятие квадратичного вычета (невычета) по
модулю р совпадает с понятием вычета (невычета) 2-й степени
по этому модулю.
Теорема 200. Необходимым и достаточным условием того,
чтобы а было квадратичным вычетом по простому модулю
р(р>2, р^а), является справедливость сравнения
а 2 =1 (mod р).	(5)
Доказательство. 1) Эта теорема является частным слу-
чаем теоремы 194 при п = 2.
Дадим еще одно доказательство этой теоремы.
2) Согласно теореме 150 необходимым и достаточным усло-
вием того, чтобы сравнение (4) имело два решения, является
делимость на р всех коэффициентов остатка от деления хр~1—1
на х2—а. Найдем этот остаток.
По теореме Безу остаток от деления /(?) на (?—а) равен
[(а), так что
г~ — l = (z—a)g(z) + r,
р-i
где г = а2 —1, a g(z) — многочлен с целыми коэффициентами.
Заменяя в (6) г на х2, получаем:
1 — 1 = (ха—a) g (ха) + (a	1) ;
следовательно, необходимым и достаточным условием того,
174
чтобы, сравнение (4) имело два решения, является делимость
а * —1 на р, т. е. выполнение условия (5).
Теорема 201. Необходимым и достаточным условием того,
чтобы а было квадратичным невычетом по простому модулю р
(р>2, р^а), является
р-i
а 4 =— 1 (mod р).	(7)
Доказательство. Согласно теореме Ферма при р^а
имеем:	v
/ /> — 1	\/р—1	\	\
—1 /	4 +1/ =ар~1—l=0(modp). (8)
Если а — квадратичный невычет по модулю р, то первый
множитель не делится на р и, следовательно (теорема 105"),
на р делится второй множитель, т. е. выполнено условие (7).
Оба множителя в (8) не могут одновременно делиться на р, так
как тогда их разность 2 тоже делилась бы на р > 2, что невозмож-
р-1
но. Поэтому если выполнено условие (7), то а 2	1 (modp), т. е.
согласно теореме 200 а — квадратичный невычет по модулю р.
Теоремы 200 и 201 можно объединить в виде следующего
критерия, данного впервые Эйлером; этот критерий позволяет
судить, является ли целое число а, не делящееся на простой
модуль р>2, квадратичным вычетом или невычетом по этому
модулю.
Критерий Эйлера. Число а, не делящееся на простое число р
(р >• 2), является квадратичным вычетом или невычетом по мо-
р-1
дулю р в зависимости от того, будет ли а 2 сравнимо' с +1
или с —1 по этому модулю.
Примеры. Число 2—квадратичный невычет по простому
модулю 11, так как 25 = 32 =—1 (mod 11).
Число 3—квадратичный вычет по модулю 11, так как
3& = 243=1 (mod И).
Теорема 202. По любому простому модулю р> 2 число классов
квадратичных вычетов равно числу классов квадратичных невы-
четов.
Доказательство. Установим сначала, что число классов
р—1
квадратичных вычетов по такому модулю р равно .
Это утверждение является частным случаем теоремы 192'
при и = 2; мы можем также легко доказать это, пользуясь тео-
ремой 200.
Действительно, согласно теореме 200 классы квадратичных
вычетов по модулю р представляют собой решения сравнения
jc 2 =l(modp),	(9)
175
и, следовательно, число квадратичных вычетов равно числу
решений этого сравнения. Имеем:
х*’1—1 = (х^“—1) (х^4-1).
р-1
Поскольку остаток от деления хр-1 —1 на х 2 —1 равен
нулю, то (теорема 150) сравнение (9) имеет решений, т. е.
о—1
по простому модулю р > 2 существует классов квадратич-
ных вычетов. Всего по модулю р существует р—1 классов
чисел, взаимно простых с модулем, и, таким образом, число
классов квадратичных невычетов равно р—1—= ~2~< т- е-
столько же, сколько классов квадратичных вычетов.
Теорема 203. Числа I2, 22, ... , ('-у-) образуют систему
представителей всех классов квадратичных вычетов по простому
модулю р > 2.
Доказательство. Каждое из этих чисел представляет
собой квадратичный вычет по модулю р, так как сравнение
x2 = s2(modp), где 1 sC s , имеет два таких решения:
x = ±s(modp). Все эти числа попарно несравнимы по моду-
лю р. Действительно, если взять любые два из них: s2 и /а
(1	, то
l<s±/<p—1, p\s—t, pJ(s + t,
н, следовательно (теорема 105'):
(s-H)(s—0 5^0(modp), s2 (mod р).
Таким образом, числа
I2, 22....
1)	принадлежат классам квадратичных вычетов,
2)	никакие два из них не принадлежат одному и тому же
классу,
3)	число этих чисел равно числу классов квадратичных
вычетов.
Согласно „принципу ящиков" (теорема V) можно утверждать,
что эти числа образуют систему представителей этих классов
по одному из каждого класса.
Пример. Найти классы квадратичных вычетов по модулю
р=17.
Берем числа 12= 1, 22 = 4, 32 = 9, 4s—16, 52 = 8(modl7),
62=2(modl7), 72=15(mod 17), 8a= 13(mod 17).
176
Классами квадратичных вычетов по модулю 17 являются
классы:	_ ____
I,	2,4, 8, 9, ГЗ, 15, Г5.
Имея таблицу индексов по модулю р, можно найти квадра-
тичные вычеты, отобрав числа, у которых индексы четные
(теорема 19 Г).	I
2.	СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА
При изучении сравнений 2-й степени удобно пользоваться
так называемым символом Лежандра. Введение этого символа,
как будет видно из дальнейшего, значительно упрощает запись
многих результатов и облегчает вычисления. Символ Лежандра
для числа а по простому модулю р>2 принято записывать
в виде	, причем этот символ определяется следующим
образом.
Определение 60. Пусть р—простое число, р>2 и р^а.
Символом Лежандра (-0 обозначается +1 или —1, смотря
по тому, будет ли а квадратичным вычетом или невычетом по
модулю р, т. е.:
f а_ \а= l-j-l. если а—квадратичный вычет по модулю р,
\ р J = I — 1, если а—квадратичный невычет по модулю р.
Другими словами,	равно +1, если сравнение
x2 = a(modp) имеет два решения, и равно —1, если это
сравнение не имеет решений.
Примеры. 1) (уу) = 1, так как сравнение № = 3(mod 11)
имеет два решения: х== ± 5 (mod 11);
2)	= — 1, так как сравнение х2 == 2 (mod 5) не имеет
решений.
Запишем ряд свойств символа Лежандра, непосредственно
вытекающих из определения и ранее установленных свойств
квадратичных вычетов и невычетов. Поскольку символ
определен у нас только для простых модулей р>2 и р^а, то
запись во всех следующих теоремах 204—212 будет озна-
чать, что р и а удовлетворяют этим условиям.
Теорема 204. Если d = a(modp), то =
Доказательство. Если (у^ = 1,т. е. а—квадратичный
вычет по модулю р, то и любое b£a тоже будет квадратичным
177
вычетом по этому модулю, и = Если = — 1, то и
весь класс а состоит из квадратичных невычетов по модулю р,.
т. е. при b = a(modp), = —1.
Теорема 205.	=
Доказательство. Сравнение x2^az(modp), p|a, имеет
два решения: x = ±a(modp).
В частности, = 1.
Теорема 206 (критерий Эйлера).
a’ =(y)(modp).	(10)
Доказательство. Если = 1, т. е. если а — квадра-
тичный вычет по модулю р, то согласно теореме 200 имеем:
р-i
а а ==•!
Если = —1> т- е- если а — квадратичный невычет по
модулю р, то согласно теореме 201 имеем:
р-i	, .
а2 = —1 = ( — iCniodp).
Таким образом, сравнение (10) верно для любого а, не деля-
щегося на р.
Примеры.
1)	= 3е = 729= 1 (mod 13), так что =
2)	= 108=( —2)* = 16=— 1 (mod 17), так что	= — 1.
Теорема 207. (^ = / + J- есм
\ Р J 1—1, если p = 3(mod4).
Доказательство. Согласно теореме 206 имеем:
р-i
===(— 1) ’ (mod р).
В левой н правой частях этого сравнения стоят величины,
по абсолютной величине равные 1. Две такие величины могут
быть сравнимы по модулю р>- 2, только если они равны, т. е.
/—1\	£22	
(-^-) = (-1р.	(И)
р-i
(—1) » равно 4-1 или —1, смотря по тому, будет ли
p = l(mod4) или p = 3(mod4).
178
Поскольку сравнение хг=г—1 (modp) можно записать в виде
Xs + 1 = 0(modp), то теорему можно записать ещё в следующей
форме.
Теорема 207'. Целые значения х, при которых х2+1 делится
на простое число р, существуют тогда и только тогда, когда
р= 1 (mod 4).
Пример. Существуют ли значения х, такие, чтобы № + 1
делилось на 127? Поскольку р«= 127 = 3 (mod 4), таких значений
не существует.
Теорема 208.
...
Доказательство. Согласно теореме 206 имеем:
->ап) 2	••• «л2
и произведение .. (у) по абсолютной величине
равны 1. Выше было отмечено, что два таких числа сравнимы
по модулю р>2 только тогда, когда они равны, следовательно,
- (?)
В частности, = (у)	» и> таким образом, если
\	(ab\ .	fа \	( Ь \	/ а!Л
),т° (7) = 1, а если =	то =
= —1, т. е. произведение двух квадратичных вычетов
или двух квадратичных невычетов по модулю р представляет
собой квадратичный вычет по этому модулю, а произведение
квадратичного вычета на невычет представляет собой квадратич-
ный невычет.
Из теоремы 208 следует также, что если	то и при
любом s^0 имеем ^^ = 1, т. е. любая степень квадратичного
вычета представляет собой квадратичный вычет по рассматри-
ваемому модулю.
Пример. 52 = 2 (mod 23). Пользуясь тем, что 2 является
квадратичным вычетом по модулю р = 23, найти все классы
квадратичных вычетов по этому модулю.
Беря степени 2, находим последовательно такие классы квад-
ратичных вычетов по модулю 23.
2, 4, 8, 16, 2-16 — 9, 2-9=18, 2-18=13, 2-13 = 3, 2-3 = 6,
’ 2^6= 12, 2П2 = 1.
179
23—1
Мы нашли 11=—классов квадратичных вычетов, т. е.
все такие классы.
Ответ. Т, 2, 3, 4, 6, 8, 9,12, 13, Тб, 18.
Следующий критерий, установленный впервые Гауссом, дает
новый, отличный от критерия Эйлера, способ выяснять, является
ли некоторое число а квадратичным вычетом или невычетом по
простому модулю р.
Теорема 209 (критерий Гаусса). Для любого а, не деляще-
гося на простой модуль р (р>2), имеем:
где I—число чисел множества:
а, 2а, .... а,	(12)
у которых наименьший по абсолютной величине вычет по про-
стому модулю р отрицателен.
Доказательство. Каждое число из (12) сравнимо с одним
и только одним числом приведенной системы вычетов по мо-
дулю р:
... , -2, -1, 1, 2................(13)
так что каждому числу sa из (12) мы сопоставим число из (13)
вида ( — l)<’rJ( такое, что sa = (—l^r^modp), где
и ls равно 0 или 1, причем /,= 1 тогда и только тогда, когда
наименьший по абсолютной величине вычет $а по модулю р
отрицателен.
Если взять два таких числа: sa и ta (s=£t), то соответст-
вующие rs и rt также будут не равны друг другу. Действительно,
если бы было rs = rt, т. е. sa=( — 1 )z*rJ(mod р) и ta=( — 1 )'< rs(modp),
то мы имели бы sa = ± ta (mod р), р | (s Т t)a. Поскольку при
l<s<^—, 1 =sS =sS , s^=t, имеем 0 <|s ± t1<р—1,
то p-fs±^ и, следовательно, р|я, что противоречит условиям
теоремы.
Таким образом, придавая s значения, равные 1,2, ... ,	,
будем получать в качестве rt также разные значения из числа
чисел 1, 2, .... и, таким образом, г^, га..........rp_i и
s
. _	р—1
1, 2, ... , Sj— могут отличаться только порядком, так что
Л = /"iг8 ... гр-j = 1«2 ... ^2—
-j-	Л .
180
Перемножая сравнения:
1 -а = (—1 У‘ г j (mod р),
2-а = (—l)'*ra (mod р),
__.
£-2- а = ( —1) а rp-i (modp),
получаем:
р-i	it+11+...-i-ip-i
А-а 3 = (—1)	а Л(тобр).
Сокращаем обе части сравнения на А, где А, как произве-
дение чисел, взаимно простых с р, также взаимно просто с р:
р-i	ii+i>+---+lp-i
а 3 = ( —1)	3 (modр).
Согласно критерию Эйлера (теорема 206) имеем:
р-i , х
a3 = ^—j(modp),
так что
+1р-1
(-j)^(-l) “(modp).	(14)
В левой и правой частях сравнения (14) величины по абсо-
лютной величине равны 1; из сравнимости их по модулю р вы-
текает их равенство, т. е.
ii+it+--+ip-i
(-J) = (-l)	3 =(-1)\
где I—число чисел равных 1, т. е. число чисел во множе-
стве (12), у которых наименьший по абсолютной величине вычет
по модулю р отрицателен.
Пример. Имеет ли решение сравнение х2 ~ 6 (mod 19)?
Находим наименьшие по абсолютной величине вычеты чисел
6s( 1 < s sg 9), подчеркивая те из них, у которых такой вычет
отрицателен:
6-1=6,	6-2=—7, 6-3 = —1, 6-4 = 5,	65=—-8,
6-6=—2, 6-7 = 4,	6-8=—9, 6-9=—3 (mod 19).
Здесь 2 = 6, так что	= (—I)9 = 1, и, значит, сравнение
jca = 6(modl9) имеет два решения.
Теорема 210.
/4-1» p=l(mod8) или p = 7(mod8),
VP J — I — 1> если p = 3(mod8) или p = 5(mod8).
181
Доказательство. Согласно критерию Г аусса (теорема 209)
.)=(—!)', где /—число чисел во множестве
1-2, 2-2, 32, ... , ^-2 = р — 1,	(15)
т. е. во множестве 2, 4, 6, ... , р—1 четных чисел, меньших
или равных р—1, для которых наименьший по абсолютной
величине вычет по модулю р отрицателен.
Числа, лежащие в интервале от 1 до р—1, имеют отрица-
тельный наименьший по абсолютной величине вычет, если они
больше, чем у. Согласно теореме 49 число четных положи-
тельных чисел, меньших или равных у, равно . Во мно-
жестве (15) всего имеется чисел, и, таким образом, чисел,
больших чем у , будет
2
При:
Р.1
4] ‘
р = 8л)-1 / — 4л — 2л — 2л,
р = 8л-]-3 / = (4л-]-1) — 2л = 2л-|-1,
р = 8л + 5 I = (4л -}- 2)—(2л-)-1) = 2л+1,
р = 8л + 7 I = (4л 3)—(2л-)-1) = 2(л4-I).
Таким образом, = (—4/ равно 1 для простых чисел р
вида 8л4-1 или 8л4-7 и равно —I для простых чисел р вида
8л 4-3 и 8л 4* 5.
Теорему 210 можно записать в виде
Л*_1
так как легко проверит/., что е   четно, если р = 8п4-1 или
8л4*7> и нечетно, если р = 8л4-3 или 8л4-5. Теорема 210
означает, что простые делители чисел вида х4—2 могут иметь
только вид 8л 4-1 или 8л 4-7.
Пример. Существует ли целое число х, такое, что №—2
делится на 79?
Поскольку 79 = 8-94-7, то = и. следовательно, та-
кое целое число х существует.
182
3. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
Для двух нечетных простых чисел р и q значения символов
Лежандра и связаны замечательным соотношением,
которое обычно называют законом взаимности квадратичных
вычетов. Закон взаимности был найден еще Эйлером, однако
первое доказательство было дано Гауссом. Этот закон в соче-
тании с теоремами 204 , 205, 207, 208, 210, кад будет показано
дальше, дает удобный способ вычислять символ Лежандра
при любом а.
Закон взаимности дает непосредственное и притом очень
простое выражение для произведения символов Лежандра
и , где р и д—простые числа. В то время как способы
вычисления каждого из этих символов в отдельности, данные,
например, в теоремах 206 и 209, требуют при больших р и q
длинных вычислений, произведение этих символов вычисляется
совсем просто. Мы дадим предварительно следующую вспомога-
тельную теорему.
Теорема 211. Пусть р и д—нечетные простые числа и
q<Zp, тогда
(т) Ш=<-”’•
где s — число чисел х, принадлежащих множеству 1, 2.р 2 •
и удовлетворяющих какому-либо из сравнений вида qx=r (mod р),
2	2 *
Доказательство. Согласно теореме 209 ^-^-^=(—0s'»
где s'—число чисел х во множестве
(17)
абсолютной величине вычет qx по
числу чцсел х в (17), таких, что
1, 2,
для которых наименьший по
модулю р отрицателен, т. е.
при некотором целом у
Р
2
Поскольку 0<х< -j- , для возможных значений у получаем
неравенства:
(18)
* р	р \	1 1
,	а — 1
и так как q нечетно, то 1 у «S
р (* 2	2 У 2
IM
Замена у соседним с ним целым числом изменяет величину
qx—py на ±р', для каждого х в (17) может быть самое боль-
шее одно у, при котором qx—ру лежало бы в пределах от
— у до О, т. е. s' равно числу пар ((х, у)), где х выбрано из
множества 1, 2, .... ^у~, а у—из множества 1,2, ..., ^у^,
удовлетворяющих неравенству (18).
Поменяв местами puq (а также хну), получаем (-£-) = (—l)s",
s’—число пар ((х, у)), где х и //—всевозможные числа, взятые
так, что 1	, 1 <«/<Цр и - J- <ру—qx<0.
Поскольку pJ[q и при	Р^х, то py=^qx, так
что условие —~-<ру — <?х<0 можно записать в виде f)^qx—
— ру<-^. Произведение
(г) (f)’!-1)''*’'
где s = s' + sn, равно числу всевозможных пар ((х, у)), состав-
ленных из чисел 1, 2.....для х и 1, 2, ..., для у,
таких, что
р .	.а
<qx — py<±.
При q<p для каждого целого х может быть самое большее
одно такое у, так что число этих пар равно числу чисел х
в множестве 1, 2, ...» ^у^, таких, что <?x = r(modp) при не-
л	а
котором г, удовлетворяющем условию —у <г <у •
Теорема 212 (закон взаимности). Для двух любых нечетных
простых чисел р и q имеем:
—1,
+1,

если р = 4п-[-3 и </ = 4п' + 3,
если хоть одно из чисел р или q имеет вид
4п+ 1.
Доказательство. Пусть q<p. Обозначим через М мно-
жество чисел х, таких, что	и ^xsr(modp) при
о	а
некотором г, таком, что —
Согласно теореме 211 имеем:
(f)(f
184
где s—число чисел х£М. Каждому числу х0£М можно сопо-
ставить число =	—хо> также входящее в М. Действн-
,	Р— I	1	,	о—1
тельно, из	следует l«s;xo^Sj—, и если
qx0 == г (mod р), —	< г < у , то
+	г = ^-~г (modp).
Обозначив —г через г', будем иметь qx0 = r' (modp),
где, поскольку —-у<г<-Д-, получаем —'Т<~г=2_$!—
— г<4"> так что Х’Я£М. Число хл = р^~ — х0 отлично от х0,
р Ч- 1
за исключением случая, когда =	.
Объединим числа М в пары вида ^х0,	где
х0 «/=—х0. Если не входит в М, то все числа М ра-
зобьются на такие пары, и s будет четным, а если входит
в М, то в М, кроме чисел, входящих в эти пары, останется
Р “1“ 1 А
еще одно число , и s будет нечетным.
Нам остается только выяснить, входит ли в М или нет.
1)	Если р = 4п + 1, то — нецелое число, не входит
в М, т. е. s будет четно.
2)	Если р = 4п-|-3 и q — 4n'-\-l, то
+	(modp).
При q<p имеем •< Р?и ? несравнимо с числами г,
лежащими между —f и так чт0 ~ 4 ~ не входит в
т. е. s—четно.
3)	Если p = 4n + 3, q — 4n' + 3, то
(7Р+2=,р’±1_|_^_£^±_е (modp).
_	р	q — р , q р+ 1 - .ж
Поскольку —-у <-L-^< у ,	€М, s нечетно.
Ввиду того что выражение	симметрично по отно-
шению к р и q, случай p<q сводится к уже рассмотренному.
189
Легко проверить, что выражение % * • нечетно, если
р = 4п + 3 и q — 4n' + 3, и четно, если хотя бы одно из чисел р
или q имеет вид 4л + 1; поэтому доказанный нами закон взаим-
ности можно дать также в следующей форме.
Теорема 212'.
/ „ х / „ х	Р-1	<?-1
как величину, равную ± 1, можно перенести в другую
сторону и записать эту формулу также в виде
/ X	₽-1	?-1 / X
' 1 (v)-	<19)
р-1 . <?-1
Применяя формулу (19), знак (—1) 2 ‘ 2 обычно опреде-
ляют, как в теореме 212, смотря по тому, каковы остатки от
деления р и q на 4.
Пример.	так как 59=14-4 + 3 и 83 =
= 20-4 + 3.
Закон взаимности вместе с ранее установленными свойствами
символа Лежандра (теоремы 204, 205, 208, 210) позволяет вы-
числять (у) для любых апр(р\а простое), т. е. определять,
имеет или нет решения сравнение х2 = а (modp).
Вычисляя символ Лежандра -у), мы можем считать 0<а<р,
так как если бы число а не лежало в этих пределах, его
можно было бы заранее заменить (теорема 204) остатком от
деления на р.
Если а =	— каноническое разложение а, то (тео-
рема 208)
причем, так как I ~} = 1, можно оставить и притом в первой
степени только те множители, у которых а,- нечетны, заменяя
нечетные а; единицами.
Если некоторое р,= 2, то
вычисляется по теореме 210,
а к множителям вида
числению
где q—нечетное простое (<7<р),
применяется формула (19), сводящая вычисление к вы-
где г—остаток от деления р на q, так
186
Непосредственно видно, что этот процесс сводит вычисление
символа Лежандра к вычислению других символов Ле-
жандра, в которых а заменяется меньшими числами. Продолжая
этот процесс, мы дойдем до символов вида = 1 и =
= (—1) *	(р', р"— некоторые простые).
Применение теоремы 207 часто существенно облегчает вы-
числения.
Примеры. 1) Имеет ли решения сравнение x2 = 68(mod 113)?
Модуль 113—простое число. Находим:
Чп)(А)=-т4Н4)-'-
Сравнение не имеет решений.
2) Имеет ли решения сравнение х2 = 310 (mod 521)? 521 —
простое число; ® =	=
= © = © = '•
Сравнение имеет два решения.
3) Имеет ли решения сравнение ха+174 = 0 (mod 619)?
619-простое число; = (Й) Ш (ив) =
= Ш (S)=- m (W=- (4) (S)=- (А) (А) -
Сравнение имеет два решения.
4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
Закон взаимности позволяет определить, для каких простых
модулей р(р>2) данное простое число q (или —q) (q=£2) яв-
ляется квадратичным вычетом. Действительно, представим р
в виде р = 4д/ + г, где l<r<4g (г, 4g) = 1; тогда
137
Таким образом, q является квадратичным вычетом для тех и
— • — / г \
только тех простых чисел р, для которых (—1) *	* и/'
а—q—квадратичный вычет простых чисел р, для которых
.«±1 / г х
(-1) • 1 41 = 1-
х £г1.£+1/гЧ
При данном q величины (—1) 1	3 1 — 1 и (—1) 3	3 ^-1
зависят от г, т. е. от того, в какой из прогрессий по модулю 4q
лежит р.
Замечание. В частном случае, когда q = \ (mod4), пред-
ставив р в виде p = qt-\-r', где 1 <r'< q, будем иметь =
=	= (y) ' ПРИ заданном q величина (у) зависит только
от г', т. е. от того, в какой прогрессии по модулю q лежит р.
При q — 2 символ равен +1 или —1, смотря по тому,
будет ли р=1,7 (mod 8) или р==3,5 (mod 8) (теорема 210),
a = (-у) равно +1 или —1, смотря по тому, будет
ли р= 1,3 (mod8) или р = 5,7 (mod8) (теоремы 207 и 210).
Таким образом, и в этих случаях значение символа Лежандра
зависит от того, в какой из прогрессий по модулю 4q лежит р.
Аналогичная задача определения нечетных простых моду-
лей р, для которых данное а является квадратичным вычетом,
может быть поставлена и для составных а. Эта задача может
быть поставлена также в следующей форме: определить, какие
простые числа р являются делителями чисел вида хг—а.
Можно ограничиться случаем, когда все простые множители
различны, так как при вычислении символа Лежандра в ка-
ноническом разложении а = ±<?“.. .<?“• каждое а, можно заме-
нить остатком от деления на 2.
Беря случай a — (±qi)-qi... qk, где все qt—различные про-
стые числа, мы для каждого из этих множителей определим
прогрессии по модулю 4<?z, в которых простые числа р таковы,
что = и прогрессии по этому же модулю, в которых
простые числа р таковы, что = — 1 £в случае, когда в<0,
при i=l вместо (-у-) берем (“у1)]-
После этого остается определить общий вид тех простых
чисел р, при которых

(20)
188
д. а. найти те прогрессии по модулю
М = [4?i, 4g2...4gJ = 4<m2 . .. qk,
для которых.в произведении (20) число множителей, равных—1,
четно. Проще, однако, представить простые числа р в виде
р — Mt -J- г (1 г < М, (г,/И) — 1) и для каждого г определить,
являются ли простые числа прогрессии Mt + r квадратичными
вычетами или невычетами.
Примеры. 1) Для каких простых чисел р>2 сравнение
х2~3 (modp) имеет решения?
Представляем р в виде р = 12? + г, где r= 1, 5, 7, 11.
( 3 \ . J~=r( r\ / 1 ПРИ ' = 1,11,
V р ) (0 з J )— 1 при г = 5,7.
Сравнение имеет решения для простых модулей р=1 (mod 12),
р^ 11 (mod 12) и не имеет решений для модулей р = 5 (mod 12),
р = 7 (mod 12).
2)	Определить, какие простые множители могут быть у чисел
вида х2 + 6. Здесь а = —6, М = 24. Представляем р в виде
р = 24? + г, где г=1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
/_б\	/ 2\ / 3 X f (у) при 111 17’ 19 (mod 24)’
\ Р ) \ Р )	— ПРН Р = 5, 7, 13, 23 (mod 24).
Пользуясь результатом предыдущей задачи, находим, что
—б\ _ (	1 при р=1, 5, 7, И (mod 24),
Р	( —1 при р = 13, 17, 19, 23 (mod 24),
т. е., кроме 2 и 3, простые множители чисел вида х2 + 6 имеют
вид 24? + г, где г—одно из чисел 1, 5, 7, 11.
Теория квадратичных вычетов может быть применена для
нахождения простых делителей натуральных чисел; например,
следующая теорема позволяет в определенных случаях из мно-
жества всех простых чисел выделить подмножество простых
чисел, которые заведомо не могут быть делителями заданного 7V.
Теорема 213. Пусть
N = ax* + by*f	(21)
где а, Ь, хп, у0—целые числа, (axQ, by0)=l, 'р—нечетный про-
стой делитель N; тогда
(~)=(~1М	(22)
Доказательство. Из условий p|tucj + by*, (ах0, by0) = l
получаем р^а, р | Ь, р^уа, ах* + by\ s 0 (mod р).
189
(ало)’ s — dby} (mod p), t. e.— afy/J—квадратичный вычет по
модулю р и, таким образом,
или
Пользуясь формулой 11 (теорема 207), получаем:
(f)-(=!)-(_l^.
Условие (22) существенно ограничивает возможные простые
делители чисел N вида (21).
Пример. Разложить на простые множители число
10541 = 3-59а + 2-7а.	(23)
Согласно теореме если р| 10541, то	—1) 1 =
=в и=1'
В примере на странице 189 мы видели, что (—j = 1 при
р= 1, 5, 7, 11 (mod 24), так что простые делители р «С ]/10541
находятся среди чисел: 5, 7, 11, 29, 31, 53, 59, 73, 79, 83, 97, 101.
Из (23) сразу видно, что 5, 7, 59 не делители этого числа.
3-59а + 2-7а = 3-4а + 98 ф 0 (mod 11),
3-59а + 2-7а = 3 + 98 & 0 (mod 29),
3-59а + 2-7а = 3(—3)а4-98^0 (mod 31),
3-59а + 2-7а = 3-62 + 98 0 (mod 53).
Непосредственным делением находим:
734'10541, 79 4'10541, 83|10541, 10541=83-127.
Частными случаями теоремы являются следующие утверж-
дения: .
1)	Нечетные простые делители р чисел вида ла + ра, где
(л, у)-1, имеют вид: р = 4л+1.
Действительно, при ДО = л4 + $/а условие (22) принимает вид:
р-1
(-1) = =1.
2)	Нечетные простые делители р чисел вида ла + 2#а, где
(х, у)=1, имеют вид: р = 8п+1, р = 8п + 3.
Действительно, при W = xa + 2i/a, 24'х условие (22) прини-
мает вид:
(|)»н) *. (-п • -с-» ’ •
что может иметь место только прй р = 8n +1 или р = 8п + 3.
190
При x=*2xlt 2\у, (xn р)=®1, W = 2 (2xJ-|-рг) получаем тот
же результат.
3)	Нечетные простые делители р чисел вида 2х2—у2 и х2—2у2
при (х, у)=1 имеют вид: р = 8п-)-1, р = 8л-|-7.
Действительно, при N = x2— 2у2, 2\х условие (22) сводится
к (— ) — (— 1) а i = 1> что может иметь место только при
р = 8л+1 или р = 8п + 7.
При x = 2xlt N = — 2 (у2 — 2X1), 2f у, (у, %i) = l получаем
тот же результат.
Рассмотрение чисел вида 2х2—у2 =— (у2—2х2) сводится
к разобранному случаю.
Теорема 202 показывает, что среди чисел от 1 до р—1 квад-
ратичные вычеты по простому модулю р составляют половину
этих чисел. Естественно поставить вопрос, как распределены
квадратичные вычеты и невычеты по модулю р в некотором
интервале от 1 до Q, где Q < р — 1.
И. М. Виноградов и Пойа независимо друг от друга в 1918 г.
доказали следующую теорему, которую мы приводим без дока-
зательства.
Теорема 214. Обозначим через число квадратичных вычетов
по простому модулю р, находящихся среди чисел 1, 2.....Q.
Тогда
= у Q + 9 р^р 1пр,
где |0|<-1.
Эта теорема показывает, что при Q, большом по сравнению
с p^plnp, примерно половина всех чисел от 1 до Q являются
квадратичными вычетами по простому модулю р.
Аналогичная теорема была указана И. М. Виноградовым для
вычетов п-й степени.
Теорема 214'. Пусть п[р—1, Rn — число вычетов п-й степени
по простому модулю р, находящихся среди чисел 1, 2, ... , Q.
Тогда
J>„ = ^-Q + O/plnp,
где |9]< 1.
S. СИМВОЛ ЯКОБИ
Обобщением символа Лежандра является символ, введенный
Якоби.
Определение 61. Пусть нечетное т = ргрг .., ps, где р,—
простые числа, среди которых могут быть одинаковые, (а, т) = 1.
191
Символ Якоби определяется равенством
где J при 1=1, 2, ... , s—символы Лежандра.
Символ Лежандра ( —) является частным случаем символа
Якоби.	{pJ
При т = р, где р —простое число, символ Якоби ) явля-
ется по определению вместе с тем и символом Лежандра. Таким
образом, для простого модуля т-р символ Якоби равен 4-1
или — 1, в зависимости от того, имеет ли сравнение х2~а (mod p)
решения или нет. Вместе с тем символ Якоби может рав-
няться + 1 и тогда, когда сравнение х2 = a (mod т) не имеет
решений.
Например, сравнение х2 = 2 (mod 15) не имеет решений,
а символ Якоби = (4) (4) = L
Свойства символа Якоби аналогичны свойствам символа Ле-
жандра. В теоремах 215—216, 218—222 мы будем, не оговари-
вая этого каждый раз, буквой т обозначать произвольное не-
четное число, большее чем единица, и, рассматривая какой-либо
символ Якоби вида , всегда считать (а, т)=\. Пусть
m = Pj ... ps, где р; — простые числа.
Теорема 215. Если a =^b (mod т), то символы Якоби
и ) равны.
Доказательство. Согласно определению 61 и теореме 204,
Теорема 216.
= 1.
Доказательство. Согласно определению 61 и теореме 205
имеем:
При доказательстве следующих теорем нам понадобится вспо-
могательная теорема.
Теорема 217. Пусть nt, nt, ... , nt—произвольные нечетные
числа, k равно 1 или 2, тогда
(nt-D + Crti-O+.-.+CnJ-Offita ...n#)*—1 (mod 22*). (24)
192
Доказательство. Для любого нечетного п 2]п— I и
41пя — 1. так что при А=1 и k = 2 будет 2*|n*—1. При s=l
сравнение (24) верно, так как левая и правая части тогда
одинаковы.
Пусть сравнение (24) верно для любых $ нечетных чисел nz.
Возьмем s-i-1 произвольных нечетных чисел ....ns, ns+1.
Поскольку сравнение (24) согласно предположению справедливо
для nv .... ns, то
(fit— 1) + ... + (п*—1 ) + (п*+1— =	... ns)^—1+(и$ + 1—1) =
= («I • • • n,ns+1)k —1—((nx ... nJ*—1) (n*+1 — l)(mod22*).
Поскольку 2*| (Hi ... nJ*— 1, 2*| n*+i — 1, to
((nx . .. nJ* — 1) (n*+i — 1) = 0 (mod 2a*), так что
(n* — 1)+..-+(n1—1 ) + («*+!—	(mod 2**).
Согласно принципу индукции (теорема III) сравнение (24)
при й=1 и й = 2 верно для произвольных нечетных чисел
пх, ... , ns, как бы много их ни было.
Теорема 218.	= (—1) * •
Доказательство. Согласно определению 61 и формуле (11)
Теорема 217 при £=1 дает
+ ... +	’ ’ Z*"1 - (mod 2),
/-1 \ —
такчто -—) = (—1) * .
\ tn )
Теорема 219. (ai "т	...	.
г	\ т / \т /	\/п /
Доказательство. Согласно определению 61 и теореме 208
/О] ... \ _ /01    gj\	/Oj . , , Oj \
\ т / \ Р1 / ' ” \ Ps )
—
\Pi) ’ ' ’ \Pi7 ‘ ‘ ‘ \Ps). ' ’ ‘ \Ps) \m )	/
• /9 \	m'~1
Теорема 220.	—0 " •
Доказательство. Согласно определению 61 и формуле (16)
имеем:
7 А. А. Вухштаб
193
Теорема 217 при А —2,дает
<21 +... + <pl s U₽/т< g-2.<moJ 2h
О	о	0,0
так что '
Мы обобщим закон взаимности, распространив его на значе-
ния символа Якоби. Сначала рассмотрим частный случай сим-
вола Якоби , где q — простое число, большее 2.'
Теорема 221. Для любого нечетного простого числа q и не-
четного т имеем:
Доказательство. Пусть т = рг	ps, где р, —простые
числа., Согласно определению 61 и теоремам 208 и 212'
=	WPi РД = ((Р±\
\Pi) ”* \pj \ q / \pJ\q)
/ л \ /п \	р>~х 9~l	Pt~l Ч~1
=	'	• Ь1) 1 * =
(Pi-i.	. р<-1 \ ?-i
= (_1Д—+--+—.
Поскольку (теорема 217 при Л = 1)
то получаем:
Теорема 222 (закон взаимности для символов Якоби). Пусть
т и п —нечетные числа, большие 1; тогда
Доказательство. Пусть n = qt ... qt, где q( — простые
числа. Согласно теореме 219, определению 61 и теореме 221
получаем;
,4>	*	[ 41	*• .	.4*_* 1
= (—1) » < » »
Поскольку (теорема 217 при 6=1)
(mod 2>’
194
Введение символа Якоби дает возможность во многих случая^
значительно упростить вычисление символа Лежандра. Как было
уже отмечено, символ Лежандра при нечетном а и про-
стом р совпадает с таким же символом Якоби. Вычисление же
символа Якоби упрощается за счет того, что при составном
а<р можно непосредственно применять закон взаимности, в то
время как, рассматривая одни только символы Лежандра, необ-
ходимо представить в виде произведения символов вида
(у). гДе Qi — простые множители числа а.
Примеры. 1) Имеет ли решения сравнение хв = 506
(mod 1103)?
( 506 \
Поз)’
рассматривая его как символ Якоби:	।	'
Сравнение не имеет решений.
2) Имеет ли решения сравнение 903 (mod 2111)?
2111—простое число. Вычисляем символ Лежандра, рассмат-
ривая его как символ Якоби:
/ 903 \ _ /2111 \_ /305\	f—12 А
\21ll/	\ 903 ) ~ \903/— V305J V ЗОБ J
__  /—1\ /_3_\ _ _ /305\   /_2 \ = .
~ UosAaosJ- u)“ ь
Сравнение имеет два решения.
Исторические комментарии к 21-й главе
1.	Символ был назван символом Лежандра в честь
французского математика Адриана Лежандра (1752—1833). Ле-
жандр, помимо ряда исследований в теории чисел, плодотворно
работал над развитием теории; эллиптических интегралов.
В 1798 г. Лежандр опубликовал сочинение „Essai sur la theorie
des nombres“, в котором излагаются разнообразные результаты
по теории чисел, полученные к тому времени. В этой книге
7*	195
Лежандр впервые и ввел символ, называемый нами теперь сим-
волом Лежандра.
2.	Закон взаимности был открыт эмпирически Эйлером (L. E п-
ler, Opusc, analytica 1, St. Peterb., 1783, стр. 84). Лежандр
в „Essai sur la theorie des nombres" приводит закон взаимности
в несколько иной формулировке и дает доказательство, не яв-
ляющееся, однако, полным.
Первое полное доказательство закона взаимности было дано
Гауссом в 1796 г. в возрасте 19 лет и опубликовано им вместе
с другим, вторым доказательством в 1801 г. (Disquisitiones
arithmeticae). Формулируя и доказывая этот закон, он не
пользуется символом Лежандра. В последующие годы Гаусс
нашел и опубликовал еще шесть других доказательств этого
закона.
В XIX веке было опубликовано свыше 50 работ с различ-
ными доказательствами закона взаимности, а к настоящему вре-
мени это число еще значительно возросло. Конечно, многие из
этих доказательств близки по своей идее и отличаются только
в деталях.
Интересное доказательство закона взаимности было дано
в 1872 г. Е. И. Золотаревым в статье „Nouvelle demonstration
de la loi de reciprocite de Legendre". Известны некоторые обоб-
щения закона взаимности на случаи вычетов степеней, больших
чем 2.
Закон взаимности для биквадратичных вычетов был доказан
К. Якоби в лекциях, прочитанных им в 1836—1837 гг.; однако
даже для этого случая формулировка закона взаимности полу-
чается довольно сложной. Закон взаимности квадратичных вы-
четов был перенесен также на случай сравнений, рассматриваемых
в произвольных квадратичных полях. Интересные результаты
о законах взаимности весьма общего вида были даны в ряде ра-
бот И. Р. Шафаревича.
3.	Теоремы 207 и 210 часто называют дополнительными к за-
кону взаимности. Теорема 207 была известна еще Ферма, а тео-
рема 210 была доказана впервые Эйлером.
Теорема 214 была опубликована И. М. Виноградовым в „Жур-
нале физико-математического общества при Пермском универ-
ситете", т. 1, 1918 г. Доказательство основано на применении
конечных тригонометрических сумм. Пользуясь этой теоремой,
И. М. Виноградов доказал, что наименьший квадратичный не-
1
вычет простого модуля р меньше чем рзУе 1п2рдля всех доста-
точно больших значений р.
В 1957 г. Берджесс доказал, что при любом 8>0 наимень
шнй квадратичный невычет простого модуля р представляет со-
\к+.
бой величину порядка О(р* ). Этот результат представля-
196
ет собой существенное улучшение результата И. М. Виногра-
дова.
Весьма вероятно, что на самом деле наименьший квадратич-
ный невычет по модулю р при возрастающем р представляет
собой величину порядка О(р*) (гипотеза И. М. Виноградова).
4.	Символ Якоби был введен им в 1837 г. К. Якоби (1804—1851)
известен главным образом своими работами в различных обла-
стях математического анализа (эллиптические функции, уравне-
ния в частных производных, вариационное исчисление) и в меха-
нике. Развитая им теория эллиптических функций применялась
им для получения теоретико-числовых результатов. В теории
чисел Якоби оставил большой след своими работами по теории
кубичных и биквадратичных вычетов.
ГЛАВА 22
СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
1. СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО МОДУЛЮ/»*, ГДЕ р— ПРОСТОЕ ЧИСЛО
Рассмотрим сначала сравнения 2-й степени по составному
модулю вида рк.
Теорема 223. Сравнение
xs = a (modp*),	(1)
где р—нечетное простое число, А^»1, p-fa, имеет два решения
или ни одного, смотря по тому, равен ли символ Лежандра
+1 или —1.
Доказательство. Если = 1, то сравнение x8=a(mod р)
имеет два решения: х0 и —х0, причем ввиду р^а будет также
pfx0. Поскольку тогда для f(x) = x8—а имеем p^f' (х0), то
(теорема 158) и при любом &^»1 сравнение (1) будет иметь два
решения. Если (у) в—1» то сравнение x4 = a(modp) не имеет
решений, а, следовательно, при любом k^l не будет подавно
иметь решений и сравнение (1).
Зная решения сравнения x8 = a(modp), можно найти реше-
ния сравнения (1) при любом &s*l.
В случае, когда решениями сравнения (1) при любом k
будут (теорема 223) x=±l(modp*).
Если же а £ 1, то для нахождения решений сравнения (1)
можно применить способ, изложенный в главе 16 (теорема 158).
Можно также пользоваться следующей теоремой.
197
Теорема 224. Если х0 удовлетворяет сравнению по простону
модулю р> 2:
!	х*==а(то<1р),
где р^а,
, Р* = х: + С1х‘-’а + С^;-4а‘+.,.	1
Q»=Ci4-4c^-’n+c:4_‘tf+...	(*>i) г
то p{Qa и решения сравнения
хг = a (mod pk)	(3)
имеют вид х = ± Pkyk (mod рк), где у k —решение сравнения
Qfty=l (mod рк).
Доказательство.
Pft + /^Qft=(x0 + /a)\ P*-V5Q*=(x.-Ka)‘,
так что, поскольку р[х,— а, имеем:
Pfe—aQl = (Pt + /aQA) (Р*—/aQj = (x’—a)A = 0 (modpft),
PL-aQ|(modp4).	(4)
' По!условию а = л?(modp), так что из формул (2) получаем:
Pft = x*0(l + C1 + CJ+ ...) (modp),
Qft = x*-1(^ + a + C:+ ...)(modp)
и, следовательно,
P* + xoQ» = (2*o)fc(niodp).	(5)
Докажем, что p^Qk. Если предположить, что р|фЛ,то из
сравнений (4) и (5) последовательно получаем: p|Pft, р|(2хв)*,
а отсюда, поскольку р>2, следует р| ха (теорема 105'). Число
х0 —решение сравнения x® = a(modp), т. е. р | xj—а, откуда по-
лучаем р|а, что противоречит условию.
Таким образом, доказано, что pfQft и< следовательно, су-
ществует ук такое, что Qkyk= 1 (modpk).
Умножая обе части сравнения (4) на yl, получаем:
(P^)a = a(mod р*),
т. е. х = + PApft(mod рк) образуют два решения сравнения (3).
В предыдущей теореме было показано, что сравнение (3) не
может иметь других решений.
Пример. Решить сравнение ха s=3 (mod IIs).
Сравнение x2 = 3(modll) имеет решение x = 5(mod 11).
Беря xe = 5, а = 3, вычисляем:
Р3 = 5э + 3.5-3=170, Q3 = 3-5a + 3 = 78.
Решая сравнение 78у.= 1 {mod 1331), находим уа = 529, так
что № 170.529 = 753 (mod 1331).
198
Ответ. x=±753(mod 1331).	-
Рассмотрим теперь случай р = 2, т.е. сравнение x*=a(mod2*),
где 2fa.
Теорема 225. При 2f а сравнение
№='a(mod2*)	(6)
имеет: 1) при k— 1 одно решение; 2) при k — 2,a = 1 (mod 4)—два
решения; 3) при Л2эЗ, a=l(mod8)—четыре решения. Во всех
остальных случаях сравнение (6) с нечетными а не имеет ре-
шений.
Доказательство. При fe=l и k = 2 утверждение тео-
ремы проверяется непосредственно.
Пусть теперь й^З. Обозначим через ((и, о)) индекс по мо-
дулю 2* чисел х, удовлетворяющих сравнению (6), а индекс а
по этому модулю обоз начим через ((с, d)).
Индексируя сравнение (6) получаем:
2((и, v)) = ((c. d))(mod((2, 2*-A)))t
Т‘ е"	2и = с (mod 2) и 2us=d (mod 2*-2-).
Если с= 1 или если 2fd, то сравнение (6). не имеет, реше-
ний, а если с = 0 и 2\d, то u = 0, l(mod2), ь = у ,
y + 2A-s (mod 2*-а), т. е, индекс ((ы, о)) имеет четыре значения
((°’ £)) ((°’ 4+2*‘э))- ((*-4))- (('• 4+2*”')) * «>
ответственно получаем четыре решения сравнения (6).
Таким образом, при й^З сравнение (6) имеет решения
тогда и только тогда, когда ind а = ((с, d)), где с = 0, а d — чет-
ное число, т. е. d = 2r, a = 5ar(mod 2ft).
Легко видеть, что 52г= 1 (mod8), в то время как —52Г,
52г+1, —52r+1 сравнимы по модулю 8 соответственно с числами
7, 5, 3, т. е. сравнение (6) имеет решения тогда и только тогда,
когда a= 1 (mod8).
Эги решения можно найти, пользуясь теоремой 159 главы 16,
а если по рассматриваемому модулю 2* имеется таблица индек-
сов, то сравнение проще решать, пользуясь этой таблицей.
Пример. Решить сравнение №4-71 = 0(mod 128).
Пользуясь таблицей индексов по модулю 64 (стр. 160), ре-
шаем сначала сравнение №±71 =0 (mod 64), т. е. сравнение
№ = 57 (mod 64).
Индекс 57 по модулю 64 = 2® равен ((0, 10)). Обозначая ин-
декс х по этому модулю через ((и, о)), получаем
2((и,и)) = ((0, 10)) (mod ((2, 24))); 2u = 0(mod2)t 2u=10(mod 16);
и = 0, l(mod2), и = 5, 13(modl6).
Индекс х равен одной из следующих napt ((0, 5)), ((0, 13)),
((1, 5)), ((1, 13)), откуда' находим решения сравнения
х2 + 71 = 0 (mod 64) в виде х = ±11, ±21 (mod 64). Имеем:
199
128|218 + 71, но 128^11’4-71, так что согласно теореме 159
решения сравнения ха + 71 =0(mod 128) можно записать в виде
xs± 21 (mod 64).
Ответ. Сравнение имеет четыре решения по модулю 128,
а именно классы: 21, 43, 85, 107.
2. СРАВНЕНИЕ 2-Й СТЕПЕНИ ПО ПРОИЗВОЛЬНОМУ
СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
Рассмотрим теперь сравнение xa=a(modm) при составном
модуле т.
Теорема 226. Пусть т=>2*	где plt .... р3—раз-
личные нечетные простые числа (а, т)=1.
1) Сравнение
xa=a(modm)	0
имеет решения тогда и только тогда, когда а является квад-
ратичным вычетом по всем модулям plt ..., ps и, кроме того,
если А = 2и то а = 1 (mod 4), а если Л>3, то а= 1 (mod 8).
2) Число решений сравнения (7), если решения существуют,
равно 2* при k = Q и й=1, 2*+1 при k=2 и 2*+а при Z>>3.
Доказательство. Сравнение (7) эквивалентно системе:
ха = a (mod 2*)
x2 = a(modp*«) I	(8)
№ = a (mod р*«)
Если f-K... = (-) = 1, то:
\Р1/ \pJ
1)	при k = 0 и А=1 первое сравнение в (8) имеет одно ре-
шение, каждое из следующих сравнений имеет по два решения.
Система (8) и сравнение (7) имеют 2s решений;
2)	при k — 2, a=l(mod4) каждое из сравнений в (8) имеет
по два решения. Система (8) и сравнение (7) имеют 25+1 решений;
3)	при А>3, a=l(mod8) первое сравнение согласно тео-
реме 225 имеет 4 = 2а решений и, следовательно, система (8)
и сравнение (7) имеют по 2,+а решений.
Во всех остальных случаях, т. е.:
1)	если хоть один из символов Лежандра = —1»
2)	если при k=2 имеем a = 3(mod4),
3)	если при fe>3 имеем а = 3, 5, 7(mod8),
в систему (8) входит сравнение, не имеющее решений, а следо-
вательно, не имеет решений и сравнение (7).
При нечетном т, как было отмечено раньше (стр. 186),
сравнение xa=a(modm) может не иметь решений, несмотря на
то, что символ Якоби равен 1. Однако, если этот символ
200
равен —1, вопрос о наличии решений сравнения (7) решается
отрицательно.
Теорема 227. Если т нечетное, (a, zn)=l, символ Якоби
= —1, то сравнение xa = a(modm) не имеет решений.
Доказательство. Пусть каноническое разложение нечет-
ного т имеет вид: т = pj* ... р*»; тогда
( а \_f a_\k'	( а\к*
\ ^ ) ~ \ Pi) ' ” \PSJ
Если	=—1, то среди множителей по крайней мере
один равен —1, так что при некотором i(lsgt<Cs) сравнение
x2 = a (modpj не имеет решений, а следовательно, не имеет
решений и сравнение x2=a(modm).
ГЛАВА 23
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ
При изложении теории сравнений мы уже встречались с за-
дачами, возникающими в рамках элементарной арифметики,
например с задачей отыскания остатков от деления. В этой главе
мы рассмотрим еще некоторые другие вопросы элементарной
арифметики, изучение которых упрощается применением теории
сравнений.
1. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Рассмотрим применение теории сравнений к вопросу об оты-
скании признаков делимости на т, где т— число, взаимно про-
стое с 10.
Теорема 228. Пусть (т, 10) = 1, Pm(10) = k и N записано
в системе счисления с основанием 10. Число N делится на т
тогда и только тогда, когда на т делится сумма чисел, кото-
рые получаются при разбиении справа налево цифровой записи
числа N на грани по k цифр в каждой грани.
Доказательство. Запишем N в системе счисления с ос-
нованием 10*, т. е. в виде
^=cдloy+cJ_1(loy-l+...+C1loA+co. (1)
где при всех i = 0, 1..s 0=Cctsgl0ft—1.
Если Ри(10) = А, то 10* = 1 (mod т), и тогда
ЛГ = с,-|-с,-1 + ... Ч-Cid-Co (mod/п).
Остатки от деления на т чисел .N и сл-]-с5-1 + • • •+ci + со
равны; следовательно, W делится на т тогда и только тогда,
когда на т делится сумма с5 +сл_тЧ-сг +Число с0.
201
как это непосредственно видно из fl),, равно остатку от деле-
ния V на 10*, т. е. с0—число, которое в десятичной системе
счисления имеет цифры, одинаковые с последними А цифрами
числа N.
Отбросив эти цифры в записи N, мы получим число —
остаток от деления этого числа на 10* равен ст, т. е. q—число,
которое в десятичной системе имеет цифры такие же, как в пред-
последней грани из k чисел у числа N, нт. д.
Таким образом, с0, clt .... сх—числа, которые получаются
при разбиении справа налево числа N на грани, по k цифр
в каждой грани.
Примеры. 1) Признак делимости на 9. Р9(10)=1,
10*= 1 (mod 9). Число делится на 9 тогда и только тогда, когда
на 9 делится сумма его цифр.
2) Признак делимости йа 11, Ри(10) = 2, 10а = 1 (mod 11).
Число N делится на И тогда и только тогда, когда на И де-
лится сумма чисел, которые получатся при разбиении N на
грани по 2 цифры в каждой грани.
Поскольку й = Рм(10) всегда является делителем <р(т), то
А^ф(/п). Признак делимости на т, сформулированный в тео-
реме 228, всегда будет таков, что - количество цифр в каждой
грани будет не больше чем <р(т). В частном случае, при оты-
скании признаков делимости на простое число р(р% 10), будет
k\p— 1 иЧ<р-1, т. е. число цифр в каждой грани будет
пе больше чем р—1. Наименее удобен этот признак тогда, когда
k максимально, т. е. k = p— 1, или, иначе говоря; тогда,
когда 10 представляет собой первообразный корень по модулю р.
Например, при р = 7, поскольку Р7(10) = 6, соответствующий
признак делимости на 7 будет следующий: число делится или
не делится на 7, смотря по тому, делится ли на 7 сумма чисел,
получающихся при -разбиении числа на грани, по 6 цифр в каж-
дой грани.
Применять этот признак имеет смысл только тогда, когда
испытываемые числа очень велики.
В дополнение к теореме 228 дадим признак делимости на
2" и 5".
Теорема 229. Пусть N записано в десятичной системе.
N делится на 2я (на 5я) тогда и только тогда, когда на 2п
(соответственно на 5") делится число, имеющее те же цифры,
что и последние п цифр числа N.
Доказательство. Пусть W= 10п$ + г, 0<г< 10". Если
2" | N, то 2я | г, и, наоборот, если 2я | г, то 2я | Точно так же
5я j N тогда и только тогда, когда 5я j г.
Если N записано в системе счисления с основанием 10, т. е.
если
W==c,10*+-... н-Сп10я + сп_110я-Ч ... +с0.
202
где при всех / 0<cz<9, то г = ся_110"“14:... 4-с., т. е. г —
число/: цифры' 'которого 1 такйе ike, как и последние п цифр
числа N..........	: .
Примеры. 1) 73571625 делится на 125 = 5*, так как
125)625.
2) '909 311 736 не делится'на 16==24, так как 161736.
Если т = ра1*.. .р“*—каноническое разложение числа т, то
число N делится на m тогда н только тогда, когда N делится
на каждое из чисел р™1, .р“«.
Делимость на числа р**(< = 1, 2, ..., s) может быть выяснена
с помощью соответствующего признака делимости, основанного
на теоремах 228 и 229.
Пример. Определить, делится ли на 3256 число
Я = 65 204 779728.
3256 = 28-11 «37. Имеем 2* ( 728, так что 2* | Я. Разбивая
N на грани но две цифры в каждой, получаем:
N = 6 52 4~ 4 4~ 77 4~ 97 4~ 28 (mod 11),
так что 11 | N. Так как 10®= 1 (mod 37), то, разбивая N справа
на грани по три цифры в каждой, получаем Я = 654-204-Ь
4-779 4-728 = 0 (mod 37), так что 37 | N и N делится на 3256.
При нахождении признаков делимости на т для чисел N,
записанных в десятичной системе счисления, можно пользоваться
следующей теоремой.
Теорема 230. Пусть (т, 10) = 1, 10' =—l(tnodm) и N за-
писано в десятичной системе счисления; число N делится на т
тогда и только тогда, когда на т делится сумма взятых по-
переменно со знаками плюс и минус чисел, которые получаются
при разбиении справа налево цифровой записи числа N на грани,
по I цифр в каждой грани.
Доказательство. Если 10'=— 1 (mod ог) и
Я = (10Т4- <4-i (Ю1)’-14- .. - 4- <4 (Ю') 4-с0,
то
N = (—1)4 +(— 1)*"Ч-г+ •• •— Ci+cjmod т).
Остатки от деления на т у чисел N и с0 — с14- ... +(—1)4
равны, а следовательно, N делится на т тогда, когда на т де-
лится сумма с0—<44- •  • +(—1)4* Здесь с0, с1г .... cs—числа,
которые получаются при разбиении справа налево цифровой
записи числа N на грани, по / цифр в каждой.
Примеры. 1) Ю1^—1 (mod 11). Число N делится или не
делится на 11, смотря по тому, делится ли на 11 сумма цифр
числа N, взятых попеременно со знаками „плюс" и „минус**.
2) 10® >s— 1 (mod 7). Число N делится или не делится на 7,
смотря по тому, делится ли на 7 сумма взятых попеременно со
203
знаками „плюс“ и „минус" чисел, получающихся при разбиении
справа налево числа V на грани, по три цифры в каждой.
Например, 61907531 делится на 7, так как, разбивая справа
налево это число на грани, потри цифры в каждой, и складывая
получающиеся числа, взятые попеременно со знаками „плюс"
и „минус", получаем:
531—907 + 61 = — 315 ^0(mod 7).
Если т = р—простое число, р \ 10, то согласно теоремам.
р-1	р-1
200 и 201 будет либо 10 * = 1 (modp), либо 10 * =—1 (modp),
и, таким образом, наименьшее из чисел k и I, фигурирующих
в теоремах 228 и 230, будет всегда не больше чем . Это
значит, что признак делимости на простое число р (р=Н=2, 5),
такой, как в теореме 228 или в теореме 230, всегда можно сфор-
мулировать так, что число цифр в каждой грани будет не больше
р—1
чем 5- •
Следующий весьма общий способ для отыскания признаков
делимости представляет собой обобщение приема, указанного
еще в XVII веке французским математиком и философом Паска-
лем (1623—1662).
Способ Паскаля. Пусть N записано в системе счисле-
ния с основанием g, т. е. пусть
N^=csgs+cJ_1gs~1+...+c0, где при всех I Q^c^g—X,
b0= 1, ^^^(modzrc), ^“^(modm).	(2)
Число N делится на m тогда и только тогда, когда на т
делится число
cA+c»-A-i+ • • • 4-С(А).	(3)
Действительно, если справедливы сравнения (2), то
N = csgs+cs_1gs-1+ ... +с0 = сД + с,_1&,_1+ ... +<?Д (mod т),
так что V делится иа т в зависимости от того, делится ли на
т число, указанное формулой (3),
Теоремы 228 и 230 являются частными случаями применения
этого способа. Действительно, теорема 228 представляет собой
частный случай способа Паскаля при g= 10*. таком, что
10*= 1 (mod яг); причем здесь из g= 10*= 1 (mod т) следует,
что все Ь(= 1.
Теорема 230—частный случай способа Паскаля при g=10‘,
где I такое, что 10х =—l(modm), причем здесь
Ь^-1. 6я= + 1........*,«(-!)*.
Для применения способа Паскаля в системе счисления с ос-
нованием 10 нужно знать остатки от деления на т степеней
204
основания 10. Эти остатки дают набор чисел blt умножая на ко-
торые цифры любого данного числа и составляя сумму сД+ ...
... 4-с^ 4-с0&0, можно узнать, делится ли число на т.
Так, например, при т — 7 имеем 60=1, 6х = 10 = 3,
6а= 102^2, 63==Ю’=—1, Ь4==10*=—3, frB=10s=—2(mod7),
а дальше все эти значения bt периодически повторяются.
Пример. Узнать, делится ли на 7 число N = 269341058.
Находим, что (V = 8-|-5-3 + 0-24-1 (—1)4-4(—3) + 3 (—2)4-
9-1 4-6-3 + 2-2 == 0(mod 7), так что N делится на 7.
2. ПРОВЕРКА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Теория сравнений дает следующий способ проверки арифме-
тических действий.
Выбираем некоторый модуль т и заменяем большие числа
а, Ь, с, ..., над которыми нам надо производить действия (сло-
жение, вычитание, умножение, возведение в степень), неболь-
шими числами а', Ь', с'..сравнимыми с ними по модулю т.
Произведя действия над а, Ь, с...мы точно такие же дей-
ствия производим над а', Ь', с', ... Если действия произведены
правильно, то результаты этих действий над а, Ь, с, ... и над
а', Ь', с', ... должны быть сравнимы по модулю т.
Действительно, согласно теоремам 83', 84 , 85 если
a = a'(modm), b = b' (mod т), ...,
то
a+&4-... = fl' + 6'4-... (mod tn), a-b.. . = a’b'... (mod tn),
an=bn (mod m).
Для проверки соотношения y=c представляем его в виде
а = Ьс. Применение этого способа проверки, конечно, имеет
смысл только тогда, когда нахождение таких чисел а', Ь', с',...
может быть осуществлено легко и быстро. Для этого обычно
в качестве модуля т выбирают т = 9 или т = 11. Каждое число,
записанное в десятичной системе счисления, сравнимо с суммой
его цифр по модулю 9, так что мы можем сформулировать сле-
дующий способ „проверки с помощью девятки11.
Для каждого числа вычисляется остаток отделения на 9 суммы
цифр. Производя действия над числами, производят такие же
действия над этими остатками. Результат рассматриваемых дей-
ствий над этими остатками должен отличаться от суммы цифр
искомого результата на число, кратное девяти.
Конечно, если ошибка такова, что разность между найденной
и истинной величинами кратна 9, то она при этом способе про-
верки не будет замечена.
По модулю т=11 каждое число, записанное в десятичной
системе счисления, будет сравнимо с суммой цифр, взятых справа
205
налево попеременно со знаками „плюс" и „минус";: поэтому мы
можем сформулировать следующий способ „проверки с помощью
одиннадцати". Для каждого числа вычисляется остаток от де-
ления на 11 суммы цифр», взятых попеременно'справа налево со
знаками „плюс" и „минуе". Результат рассматриваемых действии
над этими остатками должен отличаться от суммы взятых по-
переменно со знаками „плюс" и „минус" справа налево цифр
искомого: результата на число, кратное 11. Если ошибка будет
кратна 11, она не будет замечена при этом способе.
При сложных вычислениях имеет смысл проводить две про-
верки: одну с помощью модуля 9, а другую с помощью модуля 11.
В этом случае ошибка не будет замечена только, если она
кратна 99, что, конечно, бывает очень редко.
Примеры. 1) Проверить с помощью модуля 9, верен ли
результат умножения 73416-8539 = 626899224.
Находим, что сумма цифр первого множителя 21 = 3(mod9),
а второго 25 = 7 (mod.9). Сумма цифр произведения равна 48 и
действительно отличается от 3-7 = 21 на число, кратное 9.
2) С помощью модуля 11 проверить результат:
(3197)’= 32 675 926 373..
Сумма Цйфр основания, взятых попеременно со знаками „плюс"
и „минус", 7 —94-1—3 = 7(mod 11). Соответствующая сумма
для результата, равная —9, отличается от 73 = 343 на число,
кратное одиннадцати.
3) Проверить с помощью модулей 9 и 11, верно ли, что
5 839 131 309 ое
67 377	= 85847~
Сумма цифр делимого 42 =6 (mod 9), делителя 30e=3(mod9)
и частного 32 = 5(mod9). Произведение 3-5=15 отличается
от 6 на число, кратное 9.
Проверяем с помощью модуля И. Знакопеременная сумма
цифр делимого, делителя и частного равны соответственно 22,
2 и 14. Произведение 2-14 = 28 отличается от 22 на число, не
кратное II, так что результат не верен.
3. ДЛИНА ПЕРИОДА ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ
Применим некоторые из рассмотренных свойств сравнений
к вопросу об определении длины периода, получающегося прн
обращении обыкновенной дроби в десятичную. Начнем со слу-
чая дробей, у которых знаменатель не делится ни на 2, ни на 5.
Теорема 231. Пусть (Ь, 10)= 1, 1<а<6, (а, ft)»l, тогда
разложение у в бесконечную десятичную дробь будет содержать
РЬ(Ю) цифр в периоде.
206
Доказательстве. Пусть РЬ(1О)=Л и, таким образом,
10* = 1 (mod 6).
. Согласно теореме 1 10a = 6c0+rli где 0<rt<:6,
(rL, ft) = (10a, Ь) = 1 (теоремы 36 и 42), так что, в частности,
rt не может равняться нулю, т. е. laS/j-Cd. Мы имеем
для пары rL, Ь те же условия, что и для пары а, Ь, так что
получаем неограниченно продолжаемую последовательность
равенств:
10a =6с0 + г1
10г1=г»с1 + га
^rk-i = ^ck-i +^*
(4)
где при всех i величины rt и q таковы, что
1<г(<6, 0<с,- =	с ю(г9 = а)
и при всех i имеем (rlt Ь) = 1.
Деля все члены равенств (4) последовательно на 106, 10®6,..
10*6, ..получаем
а ?О I Г1  СО I । г»  	_
b	Ю'ПОЬ Ю'1'10а ' 10а&— * ’'
Со	(5)
10^10*^ ••• фю*ь	' f
Из соотношений (5) находим
о. 10* = (св10*-1 + с110*-а+ ... 4-Q.j) b + гh,
так что гк = а- 10* = a(mod6), и поскольку 1 <rk<6, 1 «5а<6,
то гк — а.
Совпадение величин гк и а показывает, что после k шагов
равенства (4) периодически повторяются, т. е. ck+t = cs при всех
s = 0, 1, 2, ...
Поскольку	—►О при увеличении п, из равенств (5) полу-
чаем периодическое разложение
Д___со [ ci t, I cJt-i I с» I ci I I	I
Ь 10 ' 10* "t* ' ‘ ‘ IQfe IQfe+l ' iQfe+l~ ’ ’ ’	10»
или в сокращенной записи
у = 0.- (coci • • •
Можно утверждать, что найденный'нами период длины k —
наименьший. Действительно, если
у = 0, (C0Cj.. .Q_i),
то
£о I lELIJ-J. Д
b 1О'Г  •' -г ю' Т10«* ь ’
а10г= (cQ10z-l+ . •  +^-i) Ь + а = fl (mod Ь)
и поскольку (а, Ь)=1, то 10*== 1 (modb), так что наименьшее
значение / = Pt(10) = k.
22
Пример. Найти число цифр в периоде разложения в бес-
конечную десятичную дробь. <р (91) — 72. Испытывая делители
72, т. е. 1, 2, 3, 4, б, 8..находим fe = Р81 (10) = 6, так что
22
длина периода равна 6. Действительно, ^ = 0, (241758).
У1
Теорема 232. Если у = 0, (сос ... где k = Pb(lO), с0,
ct....ск,г и r0 = a, rlt rk_r определены равенствами (4),
то при всех i = 0, 1, ..., k—1 имеем-.
~b==^' (с£• • •cfe-lcO‘• •с£-1)1
Доказательство. Поскольку гА = г0 = а, гк+1 = Г!........
то равенства (4), начиная с i-ro, можно записать в виде:
10г,= 6С|4-ги1
10r*_i = 6c* + ro	...
где все неотрицательные числа с и положительные г меньше
чем Ь. Поскольку (rh b) = l и Pb(lO) = k, то согласно преды-
дущей теореме первые k значений с в (6), а именно q, ..., с4_х,
с0, .... с,.! образуют период разложения у, т. е.
Т = 0. (q...CA_xC0...Q_x).
Р6(10) |<р(Ь) и, следовательно, Рь (10)	(Ь), так что из те-
оремы 231 следует, что для рассматриваемых там дробей у
число цифр в периоде всегда не больше чем <р(Ь). Если вос-
пользоваться теоремой 162', то можно утверждать, что число
цифр в периоде не превосходит L (Ь).
208
В частности, разложение в бесконечную десятичную дробь
чисел вида у, где р—простое и l^a^p — 1, всегда имеет
не больше, чем р— 1 цифр в периоде, причем число этих цифр
представляет собой делитель р—1.
Если 10—первообразный корень по модулю р, то длина пе-
риода наибольшая возможная и равна р — 1. При таких знаме-
нателях k = p—1 и число различных остатков в (4) равно р—1,
т. е. эти остатки образуют всю приведенную систему вычетов
по модулю р.
В этом случае согласно теореме 232 разложения
*	1	2
нечные десятичные дроби для всех чисел — , — , ...
лучаются друг из друга циклической перестановкой,
зная одну из них, легко найти все остальные.
в беско-
Р—1
, -— по-
Р
так что,
1	14
Пример. Зная, что-^ = 0, (052631 578 947 368421), найти jg .
Поскольку число цифр в периоде равно 18, то 10 пред-
ставляет собой первообразный корень по модулю 19, и разло-
жение получается из разложения циклической подстанов-
кой. Непосредственным делением находим первые две цифры
4 = 0,73... так что
= 0, (736 842 105 263 157 894).
Если при (а, &)=1, (&, 10) =1 а не лежит в промежутке
между 1 и b—1, то a — bq^a', где I =<а'—1, у = '7 + у > и
после выделения целого числа д число цифр в периоде разло-
жения определяется значением Рь (10) по теореме 231.
Если в дроби у 6 = 2а-5^-&', где (Ь', 10) = 1,то, обозначая
max (a, р) = /, имеем:
a a g2z~a5f~P 1 А
Ь~2*-59-Ь'~ к/.ft' “ ю* * Ъ' '
А
Разложение & после выделения целой части чисто периоди-
1
ческое, а умножение на осуществляется переносом запятой
на I разрядов влево, так что разложение получается смешанно
периодическим, причем число цифр в периоде будет равно
Рь- (Ю).
209
ГЛАВА 24
БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
1. СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Веяв две бесконечные последовательности целых чисел
Got G»t ’ • •
И
A. h. ь3, ....
напишем выражение
соединяя, таким образом, элементы этих двух последователь-
ностей в указанном порядке знаками 4- и —. Мы не можем
пока что рассматривать . выражение (1) как результат ряда
сложений и делений, поскольку в нем не определено, что
прибавляется к каждому ап и на что делятся числа Ьп. Выраже-
ние (Г) мы будем называть бесконечной непрерывной дробью.
Рассматривая выражение (1), обозначим через Лп так назы-
ваемую л-ю подходящую дробь
где 4- и -— знаки сложения и деления, так что А„—неко-
торое рациональное число.
Если существует предел Ап при увеличении л, т. е. если
lim4„=«, где а—некоторое действительное число, то непре-
рывная дробь (1) называется сходящейся, а а называется ве-
личиной бесконечной непрерывной дроби (I).
Если все &„=1 и при все ая5=1, выражение (1) на-
зывается обыкновенной бесконечной непрерывной дробью или
бесконечной цепной дробью.
Определение 62. Бесконечной цепной дробью называется выра-
жение вида
Go 4	j
Я14А+7
(2)
где а0—целое число, а все остальные ап—натуральные числа,
т. е. а„>1 при л—1, 2, ...
210
Будем в дальнейшем записывать выражение (2)> в виде
(3)
р
Определение 63. Подходящей дробью к бесконечной цеп-
ной дроби (2) называется конечная цепная дробь
Л
<2
Определение 64. Бесконечная дробь (2) называется сходящей-
ся, если существует предел ее подходящих дробей, т. е.
Р»
lim
п -> а
Определение 65. Величиной бесконечной сходящейся цепной
дроби (2) называется предел ее подходящих дробей, т. е. число
а, такое, что Нт ^ = а.
Если величина (2) равна а, будем записывать это в виде
а = а0 +	+ ^а2 + ...
Конечные и бесконечные цепные дроби объединяет общим
понятием цепных дробей, понимая под этим выражения вида
где последовательность целых чисел а0, ^^1, о2^1... может
быть конечной или бесконечной, причем в случае конечной по-
следовательности последний член
Свойства подходящих дробей, их числителей и знаменателей,
сформулированные в теоремах 59—68, справедливы и для бес-
конечных цепных дробей. Действительно, как бы велико ни
было п, подходящие дроби £-°,	.....к бесконечной дроби
(2) являются вместе с тем подходящими дробями к конечной
цепной дроби 47О ++ ^2 +... ..+1/а„-{--^а„+1, так что ут-
верждения теорем 59—68 верны для всех п.
Для дальнейшего наиболее существенны следующие свойства.
Теорема 59'. Если а0, at, а2, ... —элементы цепной дроби (2),
то последовательность чисел Рп и Q„, определенная рекуррент-
ными условиями'.
Pn = Pn-ian+Pn-2 1	о
ПЛ	л ( ПРИ 2
Qn = Qn-ian+Qn-2 J н
и начальными условиями'.
Ро	Qq= 1 > Pi = аоа1 4-1, Qi = Оц
 р
обладает тем свойством, что при всех п. отношение
п-й подходящей дроби (3).
(4)
(5)
равно
211
Определение 66. Числителями и знаменателями подходящих
дробей (3) к бесконечной цепной дроби (2) называются величины
Рп и Qn, определенные условиями (4) и (5).
Теорема 60'. При п=1, 2, ...
(6)
Теорема 6Г. Числитель и знаменатель любой подходящей
дроби к бесконечной цепной дроби (2)—взаимно простые числа.
Теорема 62'. При всех п Ss 1
|Р»	1
I On Сп—11 CnQn-1
Теорема 63'. При увеличении номера п знаменатели Q„ бес-
конечной цепной дроби, начиная с л = 1, монотонно, неограниченно
возрастают.
Доказательство. Действительно, поскольку в бесконеч-
ной цепной дроби ап 1 при всех п > 1, то согласно сделан-
ному выше замечанию результат теоремы 63 распространяется
на любое множество значений п, так что
1 = Qo< Q1 < Qa <• < •
Поскольку все Q„—целые числа, то при п>1 каждое Q„ по
крайней мере на единицу больше предыдущего, т. е.
Аналогично доказывается следующая теорема (см. примеча-
ние на стр. 65).
Теорема 63*. При увеличении п числители Рп положительной
бесконечной цепной дроби монотонно, неограниченно возрастают.
Теорема 68'. Модули расстояний между соседними подходя-
щими дробями монотонно уменьшаются с увеличением номера и
стремятся к нулю.
Доказательство. В теореме 68 было доказано, что
|Рн+1 Pnl^lPn Л.-11
I Сп+1 CnI I Сп Сп-11
и так как согласно предыдущей теореме 63' Q„—юо, то
I ^±1 — ^5 I   !— — о.
IСп+1 СnI Qn+iQn
Теорема 233. Подходящие дроби с четными и нечетными
номерами образуют систему концов вложенных друг в друга
интервалов.
Доказательство. В теореме 65 было установлено, что
четные подходящие дроби образуют возрастающую последова-
тельность, а нечетные подходящие дроби—убывающую после-
довательность, и при этом любая четная дробь меньше любой
нечетной дроби.
212
Так как все это верно для любого числа подходящих дро-
бей, то
Р а Р1	7* < ^Рь^Р»	Р1
Qo	Q»	Qi	*'* Q» Qs	Qi
Докажем, что рассматриваемые нами цепные дроби с эле-
ментами ап 1 («=1, 2, ...) всегда сходятся и, следовательно,
имеют определенную величину.
Теорема 234. Любая бесконечная цепная дробь сходится.
Доказательство. Пусть нам дана произвольная цепная
дробь:
а0 +	+ ^fl2 + •
где все ап—целые числа и а„^1 при всех п=1, 2, 3, ...
В предыдущей теореме было доказано, что подходящие дроби
с четными и нечетными номерами являются левыми и правыми
концами системы вложенных друг в друга интервалов. Согласно
теореме 68' имеем:
Рд _Рд-1- 1 I_ А
Qn Qn+il ’
так что длины интервалов:
/Р» РЛ /Ра. Рз\
\ Qo' Q1J ’ \Qa ’ QsJ
стремятся к нулю при увеличении п.
Согласно известной теореме математического анализа (тео-
рема XVIII) левые и правые концы такой системы вложенных
друг в друга интервалов, длины которых стремятся к нулю,
имеют общий предел, представляющий собой некоторое дейст-
вительное число а, такое, что
lim ^- = а.
Замечание. Из приведенного доказательства непосред-
ственно видно, что величина бесконечной цепной дроби больше
любой четной подходящей дроби и меньше любой нечетной под-
ходящей дроби, так что
— <—<	<а<	< — < — <—	(7)
Qi	Q» QiQi'	{ )
Для случая, когда цепная дробь конечная, неравенства (7) также
верны, однако а совпадает с последней подходящей дробью (см.
примечание к теореме 68).
Определение 67. Пусть а = а04-1/а1 + -1/ая-|-...; полными
частными в разложении а будем называть величины а0, alt
а2, ..., определенные равенствами'.
a = a04-4zt4-...при s>0,
а = а0 при s = — 1.
213
Теорема 335. Пусть а=а04-4-.+«• •. *I+i—полное
частное в разложении а, тогда
и
_ Psas+ » 4~	1
QA+i + Qj-i
_	_-Pj-i—®Qr_i
"+l" aQs-P,
(8)
(9)
«)ё Р»у Qr» P,-i. Qs-i~числители и знаменатели s-й и ($—1)-й
подходящей дроби к а.
Доказательство. Сравнивая выражения
и	yf=fl0+J/fli+--+-1/flz+4+1
И	*с$+1
а = flo + ^<h + • • • + ^о,г 4- ^aJ+1,
непосредственно видим, что если в заменить at+l через
а,+1, то получим а. Согласно теореме 59'
Р S4-1 __^A+14-Pj_i	/ini
QJ+1 Qa+i + Qj-i'	* ’
где Pr, Q,, Рт_г, Q,.! не зависят от величины oJ+1.
Заменяя в (10) aJ+j через aJ+1, получим, как это только
что было отмечено, а, т. е.
„ _ Рда14-1+Рд_1
^А+1 + Qj-i ’
откуда следует и (9).
Замечание. Формулы (8) и (9) верны и при s = 0 и
s — — 1, если принять P_1=l, Q_j = O, Р_2 = 0, Q_2=l.
Действительно,
„___„ ।	_actti~Ь 1_Л>а1 +1 „ п_ЬаЦ-О
° ' Qj	Qo^+O	Oa-f-l ‘
В дальнейшем, рассматривая величины Р,, Qt, при $=—1
и s=— 2, будем всегда считать:
P_r=l, Q_1 = 0, Р.2 = О, Q_s = l.
2. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Рассмотрим теперь разложение действительных чисел в цеп-
ные дроби.
Определение 68. Разложением действительного числа а в цеп-
ную дробь называется представление а в виде
a = a0 + 1Jal +J/a2+.,.,
где а0, alt a2... -—.конечная или бесконечная последовательность
целых чисел, такая, что при k 1 все ак 1, а в случае конеч-
ного разложения последний элемент а^з>1.
214
Теорема 236. Пусть разложение а в цепную дробь имеем вид:
a = a0 + lial + -iJai+...
Введем обозначение
а\ = а3 + ^а3+1+ ...
Тогда:	,	, ,
1) а = д0 +	4- ... 4- Чз,-! + -^as, т. е. as ~ а3 представляет
собой s-e полное частное в разложении а;
2) a, = [aj при всех s.
Доказательство. 1) Для конечной цепной дроби это
соотношение очевидно. Рассмотрим случай бесконечной цепной
дроби. Если предел подходящих дробей к бесконечной цепной
дроби a, + 4iJ+1+ ... равена,, то as>l и согласно известным
теоремам о пределе суммы и частного.
lim (a0 +17 aj + ... + ^а3 4- 4z,+J + ... 4- ^+i) =
= a0+J/a14-... 4--%_14-1/ lim(a,+J/a,+i+ • • • +J/4+*).
t	'
t. e., действительно, a = a04-17a14- ... +^a.3_l+^a.s\ Os=a,.
2) Если цепная дробь конечная и а3.— ее последний элемент,
то а, = а, = [а,].
Если а3 не является последним элементом, то
“,+1 = <+1 = ^+1 + 1Ч+2+... >1; 0<5-Ч-< 1,
и, как только что было доказано в первой части,
=	> так что a, = [aj.
Примеры. 1) Найти величину цепной дроби:
a = 1 4-^4 4--^1 4-414- ...,
где все дальнейшие элементы равны последовательно 1 и 4.
Согласно теореме 236 имеем:
а=1 4-^4 + Чх=14-—=	. 4а2 —4а—1=0,
1 4а 4- 1	4а4-1 ’	’
1 ±	л 14- /“2
а = 2 ’ т* е’’ поскольку а>0, а = —.
2) Найти величину цепной дроби:
а = 2 4--^2 4-'х/2 4-371 4-^2 4-^2 4-v2 4-171 4-.. •,
где все дальнейшие элементы последовательно принимают зна-
чения 2, 2, 2, 1.
Согласно теоремам 236 и 235 имеем:
a = 24-j72 4-j724-V14-Va, Д= ^*4% •
215
Составляем таблицу значений Рп и Qa при n = 0, 1, 2, 3:
	2	2	2	1
Рп	2	5	12	17
Qn	1	2	&	7
так что я=	7аа — 12а —12 = 0, и поскольку а>0, то
„ б-нКзо
а я=--_---.
Теорема 237. Для любого действительного числа существует
разложение в цепную дробь.
Доказательство. Пусть нам дано произвольное дейст-
вительное число а. В теореме 57 было доказано, что если а—
рациональное число, то существует конечная цепная дробь,
равная а.
Рассмотрим теперь случай, когда а —иррациональное число.
Обозначим через а0 целую часть а, а через ах — величину,
обратную дробной части а, т. е. возьмем ax = —, так что
С—вф
Поскольку а иррационально, а0^а и а1 также иррациональ-
ное число, причем ах>1.
Мы видим, таким образом, что для любого иррационального
числа а можно найти целое число a0 = [cij и иррациональное
число о^, такие, что a = a0 + ^-. Находя таким же образом
для а, числа а2 = [оса] и a}> 1
для числа a1 = (a1l и a2>
и т, д., получим:
а1 = °1 + ^
а0 = [а]

(П)

где при з 1 все иррациональные числа а,>1 и, таким обра-
зом, при всех таких s числа а,=[а,]^1.
216
Числа а0, ах, а^, ... образуют бесконечную последователь-
ность целых чисел и, поскольку при s^sl	мы можем,
взяв эти числа в качестве элементов, составить бесконечную
цепную дробь а04-4-..., которая согласно теореме
234 сходится.
Докажем, что величина этой цепной дроби равна нашему
исходному числу а. Действительно, из равенств (11) получаем
a = aQ + 1}al 4- ... +1/а,4-га,+1,
так что согласно теореме 235 имеем:
„__P/h+l + ^S-l
Qsas+i'i~
и
I ~I _ [	1 4~ Pf-1 _ Ps I =
 I Qsl iQa+i + Qs-i Qjl
=
(Qs*1j+i+ Qs-i) Qj Q^ai+1 Qg
Поскольку (теорема 63', стр. 212) Qr—<-oo, величина |a—[
при увеличении s становится меньше любого наперед заданного
положительного числа, т. е. lim^ = a.
S-f «Sts
Мы видим, таким образом, что для заданного иррациональ-
ного числа а имеется алгоритм, позволяющий строить цепную
дробь, равную а. Легко проверить, что для рациональных a
алгоритм (11) совпадает с алгоритмом, данным при доказатель-
стве теоремы 57, причем при рациональном а все а3 также
рациональны и процесс заканчивается, как только as становится
целым числом.
П	П	1 ”1“
Пример. Разложить в цепную дробь a =	>
Находим:
Поскольку at = a, будем иметь ау = [a,] = [a] = a0= 1, так
что 1X3 = at и т. д.
В последовательных равенствах (И) будет a = a1 = aJ=...,
а0 = at = ая = ... = 1, т. е.
1+Г5^1+-У1+-У1 + ...	(12)
2
Пример. Найти первые четыре элемента разложения в цеп-
ную дробь числа я = 3,14159265...
217
Находим a0 = [n] = 3;i «i ~ q7i415§26577 ; fli ==[ail = 7;
1	0,14159265... . г i й.
— а,—а,“'0,00885145... ’ a2“laaJ—10»
_	1	_0,00885145....
“8-<ц—а,“'0,00882090... ’ а»-1а»1“Ь
Таким образом,
n-3+-v7 + j7154-J/l + ...
Для числа я был вычислен ряд элементов цепной дроби.
Разложение л в цепную дробь имеет такой вид:
n = 3 + -i;7 + iy15 + iyl +г292+1/1 +Г1 +^1 +1/2 + 1/1 +
+ -V3 + -v14-1/14 + j72 + 1/1 4-...	(13)
Пример. Найти первые шесть элементов в разложении
J/2 в цепную дробь.
Решение, a—	2—единственный действительный корень
уравнения х3 — 2 — 0; 1<а<2, так что а=1 + —; подставляя
(1 \э
14~—) —2 = 0, или после
упрощений а®—За8—Зс^—1=0. Непосредственными испыта-
ниями находим 3<aj<4, так что aj = 3+ —. Разложив левую
°8	<-i
часть уравнения для а2 по схеме Горнера по степеням а,—3,
находим:
А+А+--1о=о.
а» «а «а
откуда
10a8—6a8—6a2— 1 =0.
Из этого уравнения находим теперь, что 1<а2<2, так что
а2 = 1 + —• Таким же образом находим для а8 уравнение
За8— 12а8—24а3— 10 = 0,
откуда получаем:
5<а3<;6, a8 = 5 + —.
“4
Уравнение для а4 будет иметь вид:
55а8—81aJ—33а4—3 = 0,
откуда находим, что
1<а4<2, а4 = 1 + =.
аь
218
Уравнение для а, имеет вид:
62а; + 30а;—84а,—55 = 0,
откуда находим, что 1<а5<;2.
Таким образом,
У 2 = 1 + ^3 + г1 +^5 + 1/1
В теореме 237 было доказано, что для любого действитель-
ного числа существует по крайней мере одно разложение в
цепную дробь. Возникает вопрос, могут ли для данного дейст-
вительного числд а существовать различные разложения в цеп-
ную дробь, т. е. может ли для некоторого а существовать раз-
ложение
а = а0 +	+ гаг + .. - ,
где а0,	а£5*1...—целые числа, отличные от тех, кото-
рые были получены с помощью алгоритма, примененного при
доказательстве теоремы 237.
Оказывается, разложение любого действительного числа в
цепную дробь обладает свойством единственности, а именно: две
различные конечные или бесконечные последовательности целых
чисел
а0, a, 1, а25s I ... и o', o'^l,
образуют две различные по величине цепные дроби, т. е. если
хотя бы для одного i а~/=а\, то
а0 + Щ + ^аа 4-.. - #=Яо + ^01 + ^a't + • • •
При этом, как и раньше, в случае конечных цепных дробей
сохраняется условие, что последний элемент больше единицы.
Теорема 238. Для любого действительного числа а сущест-
вует одна и только одна цепная дробь, равная а.
Доказательство. Существование цепной дроби, рав-
ной а, было установлено в теореме 237. Нам надо доказать
единственность такой цепной дроби. Пусть
a = a0 + ^ai+"^яа+• • • =а'0-[-1!а1	+ ... ,
где а{ и a't — целые числа, причем при i 5= 1 все а( и а' поло-
жительны. Будем считать, что из этих двух цепных дробей по
крайней мере одна бесконечная, так как случай равенства двух
конечных цепных дробей уже был рассмотрен в теореме 58.
Предположим, что эти две цепные: дроби отличаются хотя
бы одним элементом, и обозначим через k первый по порядку
номер, такой, что ak^=a'k, т. е. предположим, что
ао = ао> я1 —	••• »	— °*-i, ak=^=ak •
219
Обозначим а* = а* + ^ak+l + • • • . «л = а» + ^(4+х + • • •
Из равенства (теорема 236J
“ = а0 +	. • + ^*-1 + ^ак =
= а'о + -^ai + ... + ^<4-1 + J7c4
получаем ak — akt но тогда согласно теореме 236, имеем:
«* = [“»] =[“*] = <4,
что противоречит условию ak=^a'k.
Предположение, что действительное число а имеет два раз-
личных разложения, привело нас к противоречию, и, таким
образом, разложение в цепную дробь может быть только одно.
Примечание. Единственность разложения уже не будет иметь места,
если отказаться от условия при s^l или вообще брать непрерыв-
ные дроби вида (1).
Например, из (12) получаем разложение
Ltp=2 + l/l+l/l+l/l+,„ ;
но, как легко проверить, для этого же числа имеем другое разложение в
непрерывную дробь:
з + .V —3+-V3J_ -V_34_ ф .,
Теорема 238 показывает, что любое разложение действитель-
ного числа в цепную дробь, полученное каким-либо другим
методом, отличным от того, который был применен при доказа-
тельстве теоремы 237, даст нам ту же цепную дробь, как и в
рассмотренном там алгоритме.
Разлагая действительные числа в цепные дроби, мы для
каждого рационального числа имеем единственное разложение,
представляющее собой конечную цепную дробь, а для каждого
иррационального числа—единственное разложение, представ-
ляющее собой бесконечную цепную дробь. В этом отношении
разложения действительных чисел в цепные дроби характери-
зуют природу действительных чисел лучше, чем разложения в
систематические дроби.
Разложения рациональных чисел в систематическую дробь,
например в десятичную, могут быть конечными и бесконечными,
причем характер таких разложений существенно зависит от
основания системы счисления.
Поскольку между действительными числами и цепными дро-
бями установлено взаимно однозначное соответствие, мы будем
в дальнейшем, в случае, когда
а=а0 ++	+	,
220
подходящие дроби к этой цепной дроби называть также
для краткости подходящими дробями к числу а.
3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е в ЦЕПНУЮ ДРОБЬ
В качестве примера рассмотрим разложение в цепную дробь
числа е.
Теорема 239.
^±| = 2 + 1У6 + 1У10+ ... +1У(4« + 2) + ...
Доказательство. Определим f„(x) (n = 0, 1, 2, ...),
как сумму ряда:
f (v\ — nl I (я + 1)1 vг I (n + 2)l I	у (/t + s)1 J.2i
/nW (2n)l II (2л + 2)1 * 'r2l (2П4-4)!	‘	si (2n + 2s)! л ‘
5 — 0
Этот ряд сходится при любых значениях х; однако мы будем
рассматривать только значения х, лежащие в интервале (0; 1).
Легко проверить, что имеет место тождество
f„ (х)— (4п + 2)/я+1 (х) = 4ха/я+2 (х).	(14)
Действительно, коэффициент при ха* в левой части равен-
ства (14) равен
(n-|-fe)l _.. 4-91 (п + ^ +1)1	__
Й1(2п + 2й)!	''	“г^/й!(2п + 2й + 2)1
(n + k)l ( 2n + l \	2(n + fe)l
fcl (2n + 2fc)l V 2« + 2й+1/ (fc —l)l(2n + 2fe + l)l ’
а в правой части равенства (14) он равен
4 (п-рk +1)!	2(п4-й)1
(й—1)1(2л + 2й+ 2)1 — (й—1)!(2га +2й 4-1)1 ’
так что (14) верно.
in А
Обозначим —V2 7 через в частности, поскольку
yS у4	1
/.(*)=! +^г + -?г+    =т<^+‘г >•
4 « =s (*+< +4+    ) =й
то
221
Из тождественного равенства (14) при х—у получаем:
а ==(4п + 2) + —.	(15)
*»n+t
Поскольку ая+1 положительно, равенства (15) показывает,
что при всех п а„>4л + 2>1,	<1, т. е. 4rt + 2 = [aJ и по-
®п+1
следовательность соотношений (15) при n = 0, IF 2..<
«0=2 + 1
а^б + 1
аа= Ю + —
дает разложение а0 в цепную дробь:
|±] = ao-2 + jy6 + -1/10+...+^4n + 2) + 1.,	(16)
Теорема 240.
e = 2 + 1/l+-iy2 + j/l + j7l +^4 +^1 +J/1 + Г6 + ...,	(17)
т. е. элементы а„ разложения е в цёпную дробь имеют вид;
«о = 2. а3„ = а3в+1=1 и а3п_г = 2п.
Доказательство. Обозначим подходящие дроби к правой
р
части (17) через -тА, а подходящие дроби к (16) через
R	Чп
(п = 0, 1, 2, ...). Докажем, что
Яп  ^3n4-l+ Qan + l
$п ^Зл + 1 — Qsn + l
Принимая во внимание значение элементов цепной дроби
(17), имеем:
РЭп+1 = ^3<. + Р3«-1. ^Зп = ?3п-1 + РЗл-2"
Р зп-1 = 2«Р3в_2 + Рзп-з>
Р Лп-i*^ Рип~3~^ Рзп-4> Рзп-3~ ^Зп-«+ Р»п-Ь>
откуда находим:
РЭл+1 = 2PSrt_j + Pjn-2 = (4/1 +1) P3n-2 H-2Pgfl_S =
= (4н + 2) Р3в,2 + P3n_8-PSB_4 = (4/1 + 2) РЯп_г + Р3в_6.
Аналогичное соотношение имеем и для Q^,^, так что
Р Зя+1 = (4/1 + 2)Р3в_2 + Р8й_5, 1	-п
Q3n+i = (4n + 2)QSn_2+4?iB_6. / '	}
222
Докажем индукцией по п, что
^ = |(/>an^ + Qa„+1).	(19)
Из (16) и (17) непосредственно вычисляем /?0 = 2, 7?1=13,
PL — 3, Pt=l9, Qi — 1, 0.4 = 7, так что соотношение (19) верно
при п = 0 и ;я = 1.
• Предположим, что соотношение (19) верно для всех R с но-
мерами, меньшими чем п, где п 2, т. е., в частности,
^я-1= "2* (^sn-j 4* Qan-a)» ^п-i = ~2 (^*зп-б *t* Qsn-»)»
тогда, используя равенства (18), получаем:
Ra = (4л 4-2)	+ Rn_z = | {(4п + 2) (Р3„_2 + Qs„_2) +
4“ ^8/1-В 4* Qsn-б) = '2‘(^>Вп+1 4“ Qsn + l)-
Согласно принципу полной математической индукции равен-
ство (19) верно для всех п.
Совершенно аналогично доказывается, что
^п=2'(^> Зя + 1	Сзп + 1)-
Рассматривая теперь предел отношения величин Rn и S„, нахо-
дим:
цт £»п±1 +1
n-t-ar Qajj-f-! _ 1;„ Рэл+14-Qsn-n _____e+1
! — ИШ p8fl+1_Q3n+1	’
Qan + i
T. e.	lira ^i±L = e.
fl—►QD WS/t + l
Поскольку цепная дробь в правой части (17) сходится, мы
р
будем иметь также, что вообще lim-y"=e, а это доказывает
Л-*<Ю
теорему.
Исторические комментарии к 5-й и 24-й главам
1)	Процесс последовательного образования бесконечных не-
прерывных дробей, получающихся при разложении некоторых
действительных чисел частного вида, описан в алгебре Бом-
белли, вышедшей в 1572 г.; однако Бомбелли, описывая процесс,
не употребляет обозначений вида (1). Обозначения вида (1) для
непрерывных дробей впервые встречаются у Катальди в 1613 г.,
только вместо знака „ + “ он писал ,,et“.
223
Конечные цепные дроби вида (1) 5-Й главы рассматривались
немецким математиком Швентером (1585—1636). Швентер при-
менял таблицы типа тех, которые даны у нас на странице 65.
Широкое применение цепные дроби получили начиная с
работ известного физика, астронома и математика Христиана
Гюйгенса (1629—1695). Гюйгенс рассматривал цепные дроби в
связи с задачей подбора зубчатых колес, у которых отношение
числа зубцов было возможно ближе к некоторому заданному
числу. Число зубцов в таких колесах нельзя было брать слиш-
ком большим, так что приходилось отыскивать два сравни-
тельно небольших натуральных числа, отношение которых было
близко к заданному числу. Решение задач такого рода, есте-
ственно, приводит к рассмотрению цепных дробей и подходящих
к ним. Подбор таких зубчатых колес был нужен Гюйгенсу в
связи с его намерениями построить модель, имитирующую
движение планет в солнечной системе.
2)	Теория цепных дробей была систематически разработана
Эйлером, а затем Лагранжем.
2
е ft _J
3)	Разложение —- в цепную дробь при любом натураль-
е * +1
ном k было найдено Эйлером в 1737 г. Разложение в цепную
дробь числа е (теорема 240) также принадлежит Эйлеру.
ГЛАВА 25
ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
РАЦИОНАЛЬНЫМИ ДРОБЯМИ
1.	ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПОДХОДЯЩИМИ
ДРОБЯМИ
Рациональные числа, как известно, образуют счетное мно-
жество, в то время как множество иррациональных чисел не-
счетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех
действительных чисел составляют иррациональные числа. При-
менение иррациональных чисел в практике обычно осущест-
вляется заменой данного иррационального числа некоторым
рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой
точности от этого иррационального числа. При этом обычно
стараются выбрать рациональное число возможно простым, т. е.
в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после за-
пятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно неболь-
шим знаменателем. Для громоздких рациональных чисел, ъ е.
чисел с большими знаменателями, также иногда возникают
задачи, связанные с необходимостью отыскания хороших ра-
циональных приближений, понимая под этим отыскание рацио-
224
нальных чисел со сравнительно Небольшими знаменателями,
мало отличающимися от данных чисел.
Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения
задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять
действительные числа рациональными дробями так, что ошибка
от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих
рациональных чисел.
Теорема 241. Для любых двух соседних подходящих дробей
р	р
~ и к действительному числу а имеет место неравенство
Г Qnl QnQn+i ’
(1)
p
и если	, то
Чд+1
a —
1
Доказательство. Если	, подходящие дроби
Чп+1
р	р J.
и • из которых одна четная, а другая нечетная, лежат
Ул Чп+1
по разные стороны от а (замечание к теореме 234), и поэтому
расстояние от а до любой из них меньше длины интервала,
образованного этими двумя подходящими дробями, т. е.
1 ~ й НI fe;-I=ототГх •
’ Т0 1“-= Q„ Qn+1 • р
Теорема 242. Для любой подходящей дроби к действи-
тельному числу а справедливо неравенство:
1
Q3 '
р
Доказательство. Если 0 = ^, то неравенство (2) оче-
р	п	р
видно. Пусть , т. е. существует подходящая дробь .
При n>0 Q„<Q„+i и согласно предыдущей теореме
а—
Qn
Если a =
a—
Qn
(2)
имеем:
1
Q*n‘
Отдельно рассмотрим случай п = 0. Если
a^Oo-Ь 1/а1 + ^а2 + ...,
то
|а“&| = Га1 + ^ал+ • •' <1 = ^г’
1	1	ч©
8 а. А. Бухштаб
225
Теорема 243. Если а=/= то
|а_^|>______!____
Г Q.rQ„(Q»+1+QJ'
(3)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда для а
существует подходящая дробь . Неравенства (7) 24-й главы
Р Уя+*	Р	Р
показывают, что при	подходящие дроби и х^на-
Чп+»	Чп	Чп + в
ходятся по одну и ту же сторону от а, и тогда, пользуясь еще
теоремой 64, получаем:
I ~ _ РП ( I ^п+*_ Рп I _	^nQn-t-Bl
I	Qnl QnQn+>
^n+t	________^n + i	___	____1______
Qn(Q n+ian-f-a+ Qn) ^Qn(Qn+1an+2-hQnan+1)“ Qn (Q„+1-f-Q„)'
p
При a=7p±^ будет a„+g>l, так что
xr»+i
I -y   Pn I __ I Pfl+B  ?n I   _arc+l__
I	Qnl I Qn+i Qnl	Qn(Qn+ian+e+Qn)
______________________^rt + l_________________1_
WQa+b+Qa+i) Qn(Qn+i + Q»)’
n________________________________p
Если же — последняя подходящая дробь, т. е. a== х^ , то
Qn+l	Чп+1
L_L*|_______1 >	1
Г Qnl QnQn+i	Q»(Qn+i+Qn) '
Теоремы 241 и 243 дают оценки приближения любого дей-
ствительного числа подходящей дробью Так как при всех
Ч п
п имеем Q„<Qn+i» то можно написать также
1 <|« Ч- 1
2Q„Q„+i 4“ Qj*5 QnQn+i ’
Л 1
и, таким образом, -х-х----с точностью до множителя, заключен-
ЧпЧп+1
ного между у и 1, определяет порядок приближения а подхо-
дящей дробью с номером п.
Теорема 242 показывает, что при этом, во всяком случае,
обеспечивается точность приближения
Qn
Мы видим, что, вообще говоря, подходящие дроби дают луч-
шие приближения к действительным числам, чем конечные деся-
220
тичные дроби, получающиеся в процессе разложения этого числа
по степеням . Действительно, если q, q,..,—десятичные
знаки числа а после запятой и q = [a], т. е.
a = q + ^-+^-+...,
то, взяв в качестве приближенного значения а число
с -4-—4- I с" —
° г 10	10" ~ 10" ’
будем иметь:
I а _ I — _£п+1_ । еп+а I
|	10" |	10n+1 юп+а *
Обозначив 10" через В, имеем:
~ 10” •
a —
В '
Десятичная дробь q4-^ + •  • +Д)й = ’5' выражает действи-
тельное число а с точностью до величины, обратной знаменателю,
в то время как согласно теореме 242 приближение подходящими
дробями обеспечивает точность до величины, обратной квадрату
знаменателя.
Надо при этом иметь в виду, что при больших значениях ап
Qa+1 может быть намного больше, чем Q„, и тогда согласно
теореме 241 точность приближения подходящими дробями будет
еще лучшей.
Для того чтобы найти рациональное приближение действи-
тельного числа а с точностью до е, можно подобрать подходя-
р	1
щую дробь ту5 с таким номером п, чтобы Q„Qn+1 было больше , и
хп	8
тогда будем иметь:
a —
e.
Пример. Найти подходящую дробь к числу 24-^5, отли-
чающуюся от этой иррациональности меньше чем на 0,00001.
Последовательность знаменателей:
Q0=l, Q1==4, Qa=17, Q3 = 72, Q4 = 30S, Qe= 1292, ...
так что
QiQi> 100000,
отличается от 2-tp<5 меньше чем на 0,00001.
8*
227
Пример. Найти первые четыре подходящие дроби к числу л,
оценить порядок приближения этими дробями и найти подходя-
щую Дробь, Приближающую Л С ТОЧНОСТЬЮ ДО .
Пользуясь равенством (13) 24-й главы, составляем таблицу
числителей и знаменателей подходящих дробей к л:
	3	7	15	1	292 | ...
pn	3	22	333	355	103 993	... 1
Q„	1	7	106	113	33 102
ро о Pi _22 Р2 _333 Р, _355
<?□	' Qi ~ 7 ’ Q, -106’ Q3 — 113’
Неравенство (1) дает:
' 7-106 < 700’ |Л 106 J < 106.113 <	’
Рациональное приближение к л в виде у , дающее сравнитель-
но близкое к л значение, было известно еще Архимеду. Особенно
удобным рациональным приближением к л является число
дающее при сравнительно небольшом знаменателе высокую
точность. Это связано с тем, что в разложении л число а4
сравнительно большое (а4 = 292), и поэтому после знаменателя
113 следующий знаменатель намного больше, чем 113.
Докажем, что каждая следующая подходящая дробь всегда бли-
же к рассматриваемому действительному числу а, чем предыдущая.
Теорема 244. Для любых двух соседних подходящих дробей
р р
и к действительному числу а имеем:

(4)
р
Доказательство. Как и в теореме 237, при
получаем:
I а — Zj? I = I +	___Рп I _ ---------L---------
I Q„l lQBaB+1 + Qn_i	QB| (QBa„+1 + Qn_1)Q„ ’
__ P»-l j _ |	+ i 4- Pn-l  Pn-11 =_________дВ + 1________
Qn-il I QB«B+i + QB-i QB-il (Q«aB-f-i+QB-i) QB-i ’
228
H0 ai»+i и Q» > С»-к так что модуль разности в (5) меньше,
чем в (6). При а=£л неравенство (4) очевидно.
Чп
В следующей теореме мы покажем, что рациональная дробь,
в некотором смысле достаточно хорошо аппроксимирующая дей-
ствительное число, должна обязательно совпадать с одной из
его подходящих.
Теорема 245. Если для целых а и Ь (Ь>0, (а, 6) = 1) выпол-
няется неравенство
|а—Т 1<^’
то —одна из подходящих дробей к а.
Доказательство. Пусть а (при а = | утверждение
теоремы тривиально). Рассмотрим разложение ~ в цепную дробь:
у = а0 + гп1 + ... +1/а, = -^,
О	хд
обозначая через подходящие дроби к этому разложению, возь-
мем число
Тогда
ю==^-1~ а<^8-1
aQs—Р t
(7)
I,. I Qj-iI_IPs-i—iQs-i [ Qs_iI_J_	__1
Г+ Qt |-| *Qs~Ps + Qt I	#*|а—
откуда получаем, что
ю>2—I.
Пусть co = aJ+1 + ^as+ 2 4* ... — разложение ш в цепную дробь.
Поскольку <!)> I, то a5+i^l, и тогда
а0 4- ^а± + ... 4* -^as -f ijag+14-... — Р
представляет собой некоторую цепную дробь, величину которой
мы обозначили через р.
Согласно формуле (8) 24-й главы имеем:
О  Pj^-j-P3-1
Qjm4- Qs—i ’
и, подставляя сюда выражение ш из (7), после простых преоб-
разований получаем р = а, так что цепная дробь a04"^ai+-’«
... +^а^, равная |, есть подходящая дробь к а.
229
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ДРОБЯМИ С ЗАДАННЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ДЛЯ ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ
В теоремах 241 —244 ставился вопрос о порядке приближения
действительных чисел подходящими дробями. В следующих
теоремах рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты,
показывающие, как обстоит дело с приближением действитель-
ных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что
эти рациональные числа будут подходящими дробями. Вместе
с тем в доказательствах этих теорем мы часто будем пользоваться
уже известными нам теоремами о цепных дробях, так как
использование их обычно дает наиболее простые пути для
исследования рациональных приближений.
Пусть а —произвольное действительное число. Как было от-
мечено раньше, уже из теории десятичных дробей следует суще-
а	I а |	1	г-,
ствование рационального числа у , такого, что а — у < у. По-
ставим вопрос о возможности таких приближений а рациональ-
ными числами у, при которых точность приближения будет
оценена не величиной у, а величиной, в т раз меньшей, т. е.
а
вопрос о нахождении рациональных чисел у, таких, что
где т —любое заранее заданное положительное число.-
Например, можно поставить задачу нахождения такого рацио-
нального приближения к ос, чтобы точность приближения была
в 1000 или в 1000000" раз лучшей, чем величина, обратная зна-
менателю. Это соответствует выбору т = 1000 или т= 1000000.
Оказывается, что, как бы велико ни было т, можно найти рацио-
нальную дробь у, приближающую а с точностью до , причем,
и это является самым интересным, дробь ~ мы можем выбрать
так, что
Теорема 246 (Дирихле). Для любого действительного числа
а и произвольного т > 1 можно найти рациональную дробь
а
у, такую, что
р
Доказательство. Обозначим, как обычно, через
(п = 0,1, 2, ...) подходящие дроби разложения а в цепную
дробь. Последовательность
Q»" 1 Qi ...
230
может быть конечной или бесконечной, но, во всяком случае,
поскольку Q0=l, а Oh можно найти наибольший номер п,
такой, что Qn«Cx.
В качестве дроби у, удовлетворяющей условиям теоремы,
р
можно выбрать , т. е. положить а = Рп, b = Qn. Действительно,
рассмотрим два возможных случая,
1) Q„ не является последним знаменателем (это будет для
любого иррационального а, но может быть и в случае рацио-
нального а), т. е. существует Qn+1, такое, что
Qn^x<Qn+1.
Тогда при а = Рп, b = Qn согласно теореме 241 имеем:
2) Q„ — знаменатель последней подходящей дроби разложс-
Р
ния а, т. е. а=ту. Тогда при а = Рп, b = Qn имеем:
1“-Й1 = 0<й.
Пример. Найти рациональное приближение у к 1^5 с точ-
ностью до
Согласно теореме 246 такую дробь можно найти среди дробей
со знаменателями, меньшими чем 1000. Разлагая j/*5 в цепную
дробь, получаем
/5 = 2 + Щ 4- Г4 4- ^4 + ^4 + ^4 + ...
Находим подходящие дроби:
	2	4	4	4	4	4	
Рп	2	9	38	161	682		
Qn	1	4	17	72	305	1292	
Наибольшим знаменателем, меньшим чем 1000, является
Q„ = 305. Искомая дробь равна | И.5“зб51<'1000.305 '
Обобщим теорему 246 при целых на случай нескольких
действительных чисел.
231
Теорема 247. Пусть «1, а8, ...» ап—действительные числа;
т—целое число (tssI). Существуют рациональные числа
-5, ...,	. такие, что
о	о
|а1-т|<бГ’ |“«—..................1“"-т|<ТГ’ Ь^п-
Доказательство. В единичном n-мерном кубе берем
тл+1 точек с координатами:
({taj, {fea2}, .... {feocn}),
где fe = 0, 1, 2, .... т", a {feaj— дробная часть fea,-.
Разделим каждую из сторон этого куба на т равных частей
точками 0, — , —	— = 1и соответственно этому весь куб на
т" одинаковых частей, так, что в пределах каждой части любая
координата увеличивается меньше чем на-^. Поскольку число
точек ({fetZj}, {fea2}, . . {fea„}) больше, чем число частей, то по
крайней мере две точки:
({ЬЧЬ {ЬЧЬ .... {&'*„}) и ({&Ч)« {64}........{«>4)).
где	попадают в одну и ту же часть, и
тогда соответствующие координаты этих точек отличаются друг
1
от друга меньше, чем на — .
{b'aj = b'as-a's, {b"as} =tfai-a’s,
где aj и aj(s = O, 1..n) —целые числа, так что, например,
при b'<Ztf получаем для всех s = 0, 1, 2, .... п:
\(b"-b')as-(a’s-as)\< L, или |af-J|<_L,
где af = a' —a', b — b’ — b'^Zx”1 — целые числа.
Примечание. Дроби у , .... ~, существование которых мы
доказываем в этой теореме, могут оказаться сократимыми.
Пример. Найти две дроби с одним и тем же знаменателем Ь,
приближающие соответственно е и л с точностью до ~.
Решение. В этом примере п — 2, г = 4. Согласно теореме
знаменатель b искомых дробей может быть выбран «С 4s =16.
Берем точки с координатами ({fee}, {fen}), fe = 0,1, .... 16. Находим
две точки ({2е}, {2л}) и {9е}, {9л}), у которых координаты
232
отличаются меньше, чем на у. Полагая ft = 9 — 2 — 1 и подбирая
соответствующие числители, получаем:
I 191	1 I 221 _ 1
7 |<4-7 ’ | ”	7 j^4-7’
3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Теорема 242 показывает, что для любого действительного
числа а существует бесконечное множество рациональных чисел
a	I а I 1	а
у , таких, что а—у , причем в качестве у можно взять
любую подходящую дробь к а.
Можно ли в этом неравенстве заменить постоянную 1, стоя-
щую в числителе, другой более маленькой величиной с<. 1 так,
Ia I с
а—-у <
осуществлялось при любом а для бесконечного множества ра-
циональных дробей?
Оказывается, это можно сделать, и такое неравенство будет
иметь место при с = - * = 0,4472. .., причем постоянная
У 5	к 5
здесь наилучшая; для меньших значений с существуют значения
а, при которых неравенство а — у С у осуществляется уже
только для конечного числа дробей у .
Теорема 248. (Гурвиц). Для любого действительного числа
а существует бесконечное множество рациональных дробей
а
т-, таких, что
и
а I 1
“ ь КГ&2 '
(9)
Доказательство. Разложим а в цепную дробь. Мы до-
р
кажем, что из трех любых соседних подходящих дробей по
крайней мере одна может служить в качестве у в неравенстве (9).
Доказательство этого утверждения будем вести от противного.
Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих
дробей выполняются неравенства:
233
р р
и ^расположены по разные стороны от а я поэтому при
четном п из (10) следует:
I  1 sg а <	_____1
Qn+/5Q^a^Qrt-i K3q;./
а при нечетном:
рп-1 ,	_1	а Pj,____1_
Qi^iKsqI-j <Э» K5Q*
так что и в том и в другом случае имеем:
' ( 1 . ±VI|_ 1
Q3J 1<2» <?"-«!	’
или, умножая на Q„ и перенося все члены в одну сторону,
(га-У-/5(^-) + 1<0,
\Чл-1/	\ЧП_1/
т. е.
(jin__/5	_£ Q„ 1 +/5
^2 / ~~~ 4 ’ Q„_j^	2	’
или, поскольку Qa и Qn-i—целые числа,
р р
Поскольку тг- и также расположены по разные сто-
Чп Чд+1
роны от а, из (10) аналогично получаем:
Qn+l 1+1^5	, ,
Qn <	2	’
Пользуясь еще тем, что ап+1^1, из (И) и (12) получаем:
> + К5	Q п+1  Qn^n+i-b Qn-i
2 Qn ~ Q„
Предположение, что выполнены все три неравенства (10),
привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для
р	р	р
одной из трех подходящих дробей	, взятой в
Чп-1	Чп Чп + 1
качестве у, должно выполняться неравенство (9). Придавая п
различные значения, получим бесконечное множество дробей,
удовлетворяющих неравенству (9).
Перейдем теперь к доказательству того, что постоянная
1
К5
, фигурирующая в теореме Гурвица, наилучшая.
234
Теорема 249. При любом положительном
1
И
Кб
а = * *2Г — существует только конечное число рациональных чисел
, таких, что
О
a—
b3 *
(13)
1 I
Доказательство. Предположим, что при а = - %—,
неравенство (13) удовлетворяется для бесконечного
у 5
множества рациональных чисел у. Тогда для каждой такой
дроби выполняются неравенства
1 .а
X
6’ ’
откуда, подставляя значение а, получаем:
а возводя в квадрат, получаем:
£_/5X<a3-a5-&»<^+K5X.
Поскольку 0 сУ 5 Л < 1, то при достаточно большом ft бу-
дем иметь;
— 1 <а2—ab — b3^. 1
и, следовательно, целое число a*—ab—Ь* = 0, %- = - -	,
V	&
что при целых а и & не может иметь места. Полученное про-
тиворечие показывает, что неравенство (13) может иметь место
только для конечного числа рациональных чисел ~.
Замечание. Из теоремы 249 следует, что при замене А.
достаточно малым положительным с можно добиться того, что
неравенство Ja — у|<:-^- не будет осуществляться уже ни для
„	, а	14- Кб"
одной рациональной дроби -у , так что при a = —— всегда
для всех целых а и ft будет иметь место неравенство
Существенные обобщения теоремы 248 были даны в работах
А. А. Маркова. Марков показал, что если из множества дейст-
14-Уб"
вительных чисел исключить числа, эквивалентные сс0 = — 9— ,
235
т. е. числа вида , где AD — ВС= ±1, А, В, С, D —
целые, то для оставшихся действительных чисел а неравенство
С
(14)
осуществляется при с=~= для бесконечного множества ра-
циональных чисел у. Это значение с наилучшее, что легко про-
верить, рассматривая рациональные приближения к а1 = ]/г2.
Исключив после этого еще все числа, эквивалентные ах—
т. е. числа вида > где AD — ВС=±1, А, В, С, D —
С Gj “f" U
целые, получаем множество действительных а, в котором нера-
венство (14) удовлетворяется для бесконечного множества ра-
циональных чисел уже при с —	, и т. д. В своих исследо-
ваниях Марков связывает вопрос о порядке приближения дей-
ствительных чисел рациональными дробями с изучением соот-
ветствующих квадратичных форм.
Исторические комментарии к 25-й главе
1.	Китайский астроном Цзу Чун-чжи (V век нашей эры)
показал, что л заключено между 3,1415926 и 3,1415927. Он
,	355
указал в качестве рационального приближения к л величину .
110
В Европе рациональные приближения л в виде и ~
впервые указаны Адрианом Метиусом (1571—1635).
Английский математик Валлис (1616—1703) вычислил 35
первых элементов разложения л в цепную дробь. Общий вид
элементов разложения л в цепную дробь неизвестен.
2.	Теоремы 248 и 249 были опубликованы Гурвицем в 1891 г.
Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней
мере одна дает приближение вида (9), был доказан Борелем
в 1903 г.
3.	Андрей Андреевич Марков (1856—1922) занимался весьма
разнообразными вопросами математики, но особенно большое
значение имеют его работы по теории чисел и по теории веро-
ятностей. Исследования А. А. Маркова по теории квадратичных
форм являются основными для всего последующего развития
этой области теории чисел. Важнейшие результаты А. А. Мар-
кова, полученные им в этом направлении, изложены им в ма-
гистерской диссертации „О бинарных квадратичных формах
положительного определителя".
235
Научная деятельность А. А. Маркова протекала в Петер-
бургском университете, после окончания которого Марков рабо-
талв нем с 1880 г. до конца своей жизни, и в Академии наук,
избравшей его академиком в 1890 г.
ГЛАВА 26
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
1. ОТЫСКАНИЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Подходящие дроби в определенном смысле являются наилуч-
шими приближениями к действительным числам.
Конечно, очевидно, что, поскольку множество рациональных
чисел всюду плотно, не существует рациональной дроби, кото-
рая была бы ближе к данному иррациональному числу, чем
любая другая дробь.
Говоря о наилучшем приближении, мы понимаем под этим
наилучшее приближение по сравнению не со всеми другими ра-
циональными числами, а только по сравнению с рациональными
числами, у которых знаменатель меньше, чем у данной дроби,
или равен ему.
Определение 69. Рациональная дробь
шим приближением к действительному
вует ни одной рациональной дроби
которая была бы ближе к а, чем у.
а
у называется наилуч-
числуа, если не сущест-
со знаменателем ^Ь,
Таким образом, согласно этому определению у является
наилучшим приближением к а, если для любой другой рацио-
нальной дроби — , такой, что
У
будем иметь у > Ь.
Геометрически это означает, что если взять на числовой пря-
мой точку а и интервал с концами в точках а — у , а + у »
то все рациональные дроби, лежащие в этом интервале, имеют
знаменатели, большие чем Ь.
Таким образом, если у — наилучшее приближение к а, то
рациональные дроби со знаменателями <i> лежат вне этого
интервала или совпадают с одним из его концов.
237
5
Примеры. 1) у является наилучшим приближением к
числу е, так как среди рациональных дробей со знаменателем
1 и 2 нет ни одного числа, которое было бы ближе к е, чем
, т. е. ближе к е, чем , могут быть только дроби 4-, где
Ь>2.
2) у не является наилучшим приближением к ]/" 2. Дейст-
вительно, V2 =1,41..., и легко проверить, что дробь у со
ю к	./-х-	10
знаменателем, меньшим, чем у у , ближе к у 2, чем — =
= 1,428... .
Рассмотрим вопрос об отыскании наилучших приближений
к действительным числам и, в частности, докажем, что все под-
ходящие дроби, начиная с первой, не только дают хорошие
приближения к действительным числам, ио всегда являются
наилучшими приближениями.
Теорема 250. Если интервал (у; образован двумя ра-
циональными дробями, такими, что bc — ad=l, то:
1) любая рациональная дробь, лежащая в этом интервале,
имеет знаменатель, больший чем b и d:
2) для любого действительного числа а, принадлежащего этому
интервалу, по крайней мере одна из дробей ~ или , а имен-
но ближайшая к а, является наилучшим приближением.
Доказательство. 1) Пусть рациональная дробь — тако-
У
ва, что	и Ьс—ad=l, тогда, поскольку а, Ь, х, у —
целые и Л>0, t/>0, из bx — ау>$ получаем Ьх — ау^\, а,
следовательно,
£ « 1 . (1)
у b by by	' ’
С другой стороны,
поскольку у лежит между у и -j,
х а с а Ьс—ad 1
b~ ~bd ~bd’
(2)
так что, сравнивая (1) и (2), получаем	т. е. y>d.
Совершенно аналогично, рассматривая вместо bx—ау выра-
жение cy—dx и вместо у—у разность у—у, доказываем, что
У>Ъ.
238
2) Пусть у<аСу > Ьс—ad=l. Если у ближе к а, чем
у , то у — наилучшее приближение к а.
Действительно, любая рациональная дробь у, лежащая бли-
a	f а с \
же к а, чем у, должна принадлежать интервалу (у; у! и,
следовательно, согласно первой части теоремы для нее будет
у>Ь. Таким образом, любая дробь, которая ближе к а, чем
у , имеет знаменатель, больший чем Ь, т. е. у—наилучшее
приближение к а.
Если у ближе к а, чем у, то аналогично получаем, что
с	,	а с
у—наилучшее приближение к се, а если у и у лежат на рав-
ном расстоянии от а, то обе эти дроби являются наилучшими
приближениями.
Примечание. Вообще говоря, как это будет видно из следующей
теоремы, оба конца интервала I у; у) могут быть одновременно наилуч-
шими приближениями к а и тогда, когда расстояния от а до концов интер-
вала не равны.
Р
Теорема 251. При 5^1 любая подходящая дробь к дей-
4s
ствительному. числу а является наилучшим приближением.
Р
Доказательство. При	а заключено в интервале,
X J
р	р
концами которого являются и nJ~1 , причем (теорема 60 )
чх-1
PsQs-l— Ps-lQs~ 1. или PS-1QS— PsQs-i=l (в зависимости от
четности или нечетности s).
Согласно предыдущей теореме ближайшая к а из двух дро-
р	р	р
бей и , а таковой является т/ (теорема 244), является
наилучшим приближением.
При $ = 0
да является
может быть
Qo = 1 и 7р = Р0 — [а], как легко видеть, не всег-
40
р ft
наилучшим приближением, так как V-—= [а] +1
р	°
ближе к а, чем ~ -
355	°
Пример. Дробь ypj, найденная нами (стр. 228) в качестве
хорошего приближения к числу л, является согласно послед-
ней теореме наилучшим приближением, т. е. ни одна дробь со
355
знаменателем <113 не может быть ближе к л, чем -гт».
11и
239
2. МНОЖЕСТВО ВСЕХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
К ЗАДАННОМУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМУ ЧИСЛУ
Естественно возникает задача определения всех наилучших
приближений к заданному действительному числу а.
Прежде всего заметим, что все наилучшие приближения к а
лежат в сегменте ([а]; [а]-|-1).
Действительно, если рациональное число у лежит вне этого
сегмента, то по крайней мере один из концов сегмента, а именно
ближайший к а, имеет знаменатель 1 <6 и расположен ближе
к а, чем у, т. е. у не является наилучшим приближением.
Легко указать алгоритм, дающий последовательное построе-
ние всех наилучших приближений со знаменателями 1,2, 3, ...
Сначала из двух чисел [а] и [а]-|-1 берем то, которое ближе
к а; это число будет наилучшим приближением со знаменате-
лем 1. Берем затем в этом интервале последовательно все рацио-
нальные числа со знаменателями 2, 3, 4, .... проверяя каж-
дый раз, не существует ли рационального числа с меньшим
или таким же знаменателем, которое было бы ближе к а, чем
исследуемое число. Если для числа у не нашлось ни одного
рационального числа со знаменателем ^Ь, которое было бы
ближе к а, то у является наилучшим приближением. Конечно,
при этом для сравнения из всех чисел с меньшими чем п зна-
менателями достаточно взять ближайшее к а. Очевидно, что в
случае иррационального а может быть самое большее одно наилуч-
шее приближение со знаменателем л, а в случае, когда а
рационально, не больше двух. Таким образом, этот алгоритм
позволяет выделять из множества рациональных чисел все наи-
лучшие приближения к а.
Для рационального числа а = у число наилучших прибли-
жений конечно, так как все рациональные числа интервала
( -£ ; т- 4- 1 ) со знаменателями, большими чем Ь, дальше от
\L6JL&J/
а	а
т- , чем само число -г.
и	и
Пример. Найти все наилучшие приближения к р/3 со
знаменателями, меньшими чем 15.
Решение. l<jJ/3<2, ^/3 =1,44224...
1 —наилучшее приближение со знаменателем 1; у —наилуч-
шее приближение со знаменателем 2. В рассматриваемом интер-
вале (1; 2) все дроби со знаменателями 3 и 4 дальше от f/3,
чем |, а из дробей со знаменателем 5 отбираем наилучшее при-
240
7	а -_ з
ближение , которое ближе к у 3, чем • Дроби со знаме-
Э	х
о z_	у
нателем 6 дальше от у 3, чем -g-. Из дробей со знаменате-
лем 7 отбираем наилучшее приближение ~. Наилучших при-
ближений со знаменателем 8 нет, а среди дробей со знамена-
13
телем 9 находим наилучшее приближение у. Все дроби со зна-
з z —	13
менателями 10, 11, 12, 13, 14 и 15 дальше от у 3, чем у.
3	7
Таким образом, искомые наилучшие приближения: 1,ъ-, — >
10 13
7’9*
Следующая теорема позволяет значительно уменьшить число
испытываемых чисел.
р
Теорема 252. Пусть ~ (fe = 0, 1,2, ...) — подходящие дроби к,
действительному числу <х = а0-{--^+ а^. .тогда любое на-
илучшее приближение к а находится среди чисел вида:
Р ь*+ Pk-i
Qk-i ’
(3)
где при ft=l, 2, ... величина х принимает значения такие,
что	а при 6 = 0 выражение (3) берем со значе-
ниями P_i=l, Q_i = 0, 0<хг$аг
Доказательство. Предположим, что у—некоторое
наилучшее приближение к а, отличное от всех чисел (3), в
частности отличное и от всех чисел • Поскольку, как
ЧЛ-1
было отмечено выше, все наилучшие приближения к а лежат
в сегменте ([а]; [аЦ-1) и Р0 = [а], Q0=l> то
Р О	а	Л) + 1
b <2о 
Рассмотрим последовательность
Ps
которая, в частности, при рациональном конечна,
р	р	а
1) Если 7г<_г<^7Г» то т лежит между двумя какими-
либо соседними числами в (4).
Р
Отметим при этом, что в случае рационального а = -^ вели-
ГК
а	Р Р
чина -г-не может лежать между и Действительно, если
241.
a	 Р Р
бы -г- лежало между и , то согласно теореме 250 было
0	Vs 4s—1
р	р
бы b>Qs', вместе с тем, поскольку а—-^ = 0, дробь ближе
к а, чем наилучшее приближение у , так что Qs>b.
Таким образом, в последовательности (4) найдутся две под-
ходящие дроби ~=± и ~, между которыми лежит у.
Легко проверить, что числа:
Pk-l Pk + Pk-l ^Pk+.Pk-l Ok+lPk+Pk-l _ PfU-l
Qfi-i ’	’ 2Qfe + Qft-i ’	’ ^a+iQa + Qa-i Qa+i
— либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают, т. е.
лежат по одну и ту же сторону от а.
Действительно, разность между двумя соседними членами:
п-гтгхМ-к^-1 и	—в последовательности (5), равная,
U + l) Qat*Qa_i ‘ЧйтЧй-г
как легко вычислить:
(< + l)Pft+Pft_t (Рь + Р*-,_______(-I)*-1_______ z61
(/4-1)Qa+Qa-i	((* + 1)Qa+Qa-i)('Qa+Qa-i)’ 1 '
имеет при всех t один и тот же знак.
ГТ а	(f +!) Рл + Рц 1
Пусть -т- лежит между двумя такими членами:	•
&	.	гтЧчлтчй-!
+ t	U + 0 Pk+?k-i tPk+Pk 1
и	тогда одна из величин U+OqI+Qa-i’ 707НЙ
ближе к а, чем наилучшее приближение у , т. е. один из зна-
менателей: +	^Qa+Qa-i больше чем Ь. Вместе
с тем согласно теореме 250 из (6) следует, что b больше обоих
этих знаменателей.
2) Если С1	, т0 4 лежит между двумя числами
монотонно убывающей конечной последовательности:
Рр-М 2Ро4- 1 ЗР0+1	Д1Р p-Ь 1 дрД1 +1 Pi zy\
Qo ’ 2Qo ' 3Qo '	’ Oi Qo 01 Qi
т. e. между некоторыми числами и	из (7).
Дробь	ближе к а, чем наилучшее приближение у,
а, следовательно, t-\-\>b-, вместе с тем, поскольку разность
(t 4“ 1 ) Р О 4“ 1	1	%	Г)ГА
— *----/ i == 77ГТ"п • то согласно той же теореме 250
имеем b > t + 1.
Предположение, что у отлично от всех чисел (5), в обоих
возможных случаях привело нас к противоречию, т. е. теорема
доказана.
242
Примечание. Среди чисел <3) могут быть и числа, не являющиеся
наилучшими приближениями.
Пример. Найти все наилучшие приближения к числу л:
л = 3,1415... =3 + jy7+jy15+...,
со знаменателями, меньшими или равными 75.
Подходящие дроби к числу л имеют вид:
3	22 333
1 ’ 7 ’ 106......
Дроби вида (5) со знаменателями sC75 имеют вид:
4	7	10	13	16	19	22	3	25 47	69	91
1’	2 ’ 3 ’ 4	’ 5	’ 6	’	7 ’	1’	8’ 15 ’	22 ’ 29’
113	135	137	179	201	223
36 ’	43 ’	50	’	57 ’	64	’ 71 ‘
Оставляем из них те, которые ближе к л, чем другие дроби
из этой последовательности с меньшими знаменателями, и по-
лучаем, таким образом, искомые наилучшие приближения:
3 13 16 19 22 179 201 223
1 ’ 4 ’ 5 ’ 6 ’ 7 ’ 57 ’ 64 ’ 71 ’
ГЛАВА 27
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФАРЕЯ
1.	ФАРЕЕВЫ ДРОБИ
Приближения действительных чисел рациональными изуча-
лись нами до сих пор главным образом с помощью аппарата
цепных дробей. Эти приближения исследуются также с помощью
так называемых последовательностей Фарея, имеющих большое
значение и при рассмотрении многих других вопросов теории
чисел.
Определение 70. Последовательностью Фарея Ф„ называют
а
множество несократимых рациональных чисел у со знаменате*
лем Ь^п, принадлежащих сегменту [0; 1] и расположенных
в порядке их возрастания.
Фареевы последовательности названы по имени английского
ученого Дж. Фарея, опубликовавшего в 1816 г. некоторые
свойства этих последовательностей.
Примеры. Последовательности Фарея при п=1, 2, 3, 6
имеют вид:
_	1 о 11	л 10	1	11	|о 1	1	2 1)
Ф1 —) 1 ’ 1(>	|]’ 2 ’ 1/’ Ф»— | 1 ’ 3’ 2 ’ 3’ I / ’
_	( 0	1	11121323451)
— j 1 ’ 6’ 5’ 4 ’ 3’ 5’ 2 ’ 5’ 3’4’ 5’ 6’ 1 / '
243
Дроби, входящие в Ф„, часто называют фа рее вы ми дробями
порядка л. Начнем с теоремы, дающей алгоритм построения
для каждой дроби в ФП1 следующей за ней.
Теорема 253. Пусть у£Ф„, у0—целое число, такое, что
п—Ь<уое£п и ау0 =—1 (modb), х0=ауа^ } тогда — являет-
У	у9
ся в Ф„ дробью, непосредственно следующей за
Замечание. Целое число у0, удовлетворяющее условиям
л — Ь<у„^п и ау0 = —1 (mod 6), существует, так как (а, 6)=1,
и из Ь последовательных чисел, лежащих между п — Ь и л,
включая п, одно удовлетворяет сравнению ау0 = — 1 (mod b).
Доказательство. Из х0 — °У|)Ь+ * следует Ьх0 — ау0=1,
(х0, уо) = 1, и поскольку уа<,п, то ув€Ф„: = ъ +	•
Пусть у—дробь из Ф„, непосредственно следующая за у .
Если	, то, так как a, b, с, d, х0, у0 — целые
V и trf)
числа, имеем: x0d — cy0^zl, cb — ad^l и ——-г = [——4-) +
Уо ь \Уа “ /
,(с____e \ _ xod—сур . cb—ad 1	J_ __ & +1/0
"Г \ d b ) dy0 ' bd "" dyt‘db dby9 ‘
С другой стороны,
x#____a_t>Xp—Qj/o_ 1
Уо b byB by9 •
откуда следует
~iyT^b^' b + y«<d-
Поскольку у€Фи и, следовательно, d^n, получаем
b + y0^n, y0^n — b, что противоречит условию теоремы.
Предположение, что между и — в Ф„ лежит еще одна
дробь, привело нас к противоречию, т. е. ——ближайшая в Ф„
Уо
дробь, следующая за у ; у = ^-и, поскольку обе эти дроби
несократимые, с = х0, d — y0.
Пример. Найти в Ф1о дробь, следующую за у.
Решаем сравнение 3t/=—1 (mod 7); находим уs2 (mod 7),
j/0 9, x0 = ^?=i-i = 4. Искомая дробь 4-.
Теорема 254. Если у и у—две соседние дроби в Ф„ и
, то верны следующие соотношения:
244
1)	b+d>n,
2)	be—ad = 1,
3)	наибольший общий делитель (b, d) = l.
Доказательство. Согласно предыдущей теореме с = х0,
d=y0, где n—b<y0^n, ау0 = — 1 (mod6), х0°=	1 откуда:
1)	b + d = b + y0>n,
2)	be—ad = bxa—ау0 = 1,
3)	вытекает из 2).
Теорема 255. Если	—три последовательные
дроби в Ф„, то — = г~г^-
г	" у b+d
Дробь называют медиантой у и у.
Доказательство. Согласно теореме 254а имеем:
bx—ау= 1,
—dx + су = 1,
откуда, решая относительно х и у, получаем:
_______________ а + с _____ b + d	к  а + о
Х Ьс—ad'	Ьс—ad' у b+d*
Теорема 256. Любая дробь иэ Фя+1 со знаменателем п + 1
лежит между двумя соседними в Ф„ дробями и является их
медиантой.
Доказательство. В Фп+1 не может быть двух соседних
дробей со знаменателем п+1, так как это противоречило бы
теореме 2548. Любая дробь из Фп+1 со знаменателем, равным
п+1, лежит между двумя дробями из Ф„ и, образуя вместе
с ними в Фя+1 три последовательные дроби, является (тео-
рема 255) их медиантой.
Эта теорема дает удобный способ получения последователь-
ности Фя+1, если нам известна последовательность Ф„.
Если — и у—две соседние дроби в Фя, то
(а + с) b — a(b + d) =Ьс—ad = l, (а + с, b + d) = I,
т. е. медианта	—несократимая дробь и^у£Ф„+1 тогда
и только тогда, когда & + d = n + l. Добавление таких медиант
к Фя дает нам множество Фп+1.
Пример. Зная Ф, (см. пример на стр. 243), найти Ф7.
Находим в Фв соседние дроби, у которых сумма знаменате-
„	_	-	011121132
лей равна 7; это будут: у и у; j и у у и у; и в'’’ у
245
Вставляя в Фв между этими дробями их медианты, получаем:
/ 0_ 1 J_ J_ £ 2 J_ Л 3 1 ± J. 2. 5
J~| I ’ 7 » 6’5’ 4’ 7 ’ 3’ 5’ 7 ’ 2 ’ 7 ’ 5’ 3’ 7 ’
JL £ J. -II
4 ’ 5 ’ 6 ’ 7 • 1 / •
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ФАРЕЕВЫМИ ДРОБЯМИ
Последовательности Фарея позволяют находить хорошие
рациональные приближения к действительным числам, обеспечи-
вающие точность до величины, обратной квадрату знаменателя.
Теорема 257. Пусть 0<а<1. Из двух соседних дробей
в Ф„, между которыми лежит а, по крайней мере одна дробь
у- отличается по абсолютной величине от а меньше, чем на
J_
/» ‘
тт	г-г	а	. с	а с
Доказательство. Пусть у < а < у , где у и у—две
соседние дроби в Фп.
Ес ли у sg а <	, то, так как согласно теореме 254а
Ьс—ad = l, получаем:
| _ а | а+с а  Ьс—ad	1
Iа —ТI b-t-d-~b = Ь (ь + d) < Р •
Аналогично, если < а < у, то получаем | а—у | < ~ .
Примечание. Если а лежит вне интервал» (0; I), то мы можем
применять нашу теорему к {а}-, а затем в найденном неравенстве
|{а}--пРи®авить к уменьшаемому и вычитаемому в левой части
целое чйсло [а]=а—(а).
Рассмотрение последовательностей Фарея позволяет дать про-
стые доказательства многих теорем о рациональных приближе-
ниях действительных чисел. В виде примера приведем доказа-
тельство теоремы 246 25-й главы при целом т. Очевидно, что
при этом достаточно рассмотреть случай, когда 0^а<1,так
как при других а можно вместо а брать {а}, и затем в заклю-
чительном неравенстве поступать так же, как в предыдущем,
случае (см. примечание к теореме 257).
Доказательство теоремы 246. Пусть т^1 целое,
а (0<а< 1) лежит между двумя соседними в Фх дробями у
и4, так что <а<4. Если	то, так как
d	и	а	и	о 4- а
согласно теореме 254 Ьс—ad=l и b-\-d>x, получаем:
1	а I 1 ° + с а I bc—ad . I	_
|а—rl^lb+d-T|-b(b+dj<bT’ ГДе
246
Случай	рассматривается аналогично.
Фареевы дроби можно применять также для нахождения
наилучших приближений.
Теорема 258. Если а лежит между двумя соседними в Ф„
дробями, то по крайней мере одна из них представляет собой
наилучшее приближение к а.
тт	i-r а	с а с
Доказательство. Пусть у< а< , у и у—соседние
дроби в Ф„; тогда be—ad— 1 и согласно теореме 250 по край-
ней мере одна из дробей: у и у, есть наилучшее приближе-
ние к а.
Теорема 259. Если а лежит между двумя соседними в Ф„
дробями у и у, то среди несократимых дробей со знамена-
телем n-4-l наилучшим приближением к а может быть
только дробь Эта дробь является наилучшим прибли-
жением тогда и только тогда, когда b-[-d = n-[-1 и расстоя-
ние от этой дроби до а не больше расстояний от у и .
Доказательство. В Фп+1 может быть только одна дробь
со знаменателем «4-1, лежащая в интервале ; у^ , а именно
дробь при b-f-d = n4-l (теорема 256).
Достаточность условия. При b-|-d = n4-l, кроме ,
О и
в интервале (-у; у) нет других дробей со знаменателями
«С и 4-1 (теорема 256), и если расстояние до а от —не больше,
чем от у и у , то оно тем более не больше, чем расстояние до
а от всех дробей, расположенных вне этого интервала.
Необходимость условия очевидна. Если £4^, где
D -р и
b + d = п 4-1 — наилучшее приближение к а, то ~~ должно
быть не дальше от а, чем дроби у и у.
Если исходя из интервала ^у; у) последовательно строить
медианты, отбирая интервалы, заключающие в себе а(0<а<1),
то согласно последней теореме можно найти все наилучшие
приближения. Мы имеем при этом в виду, что при увеличении
номера п новые фареевы дроби появляются (теорема 256) только
в качестве медиант двух соседних дробей. Если а не принадле-
жит интервалу (0; 1), то вместо а рассматриваем a' = {a}.
247
Пример. Найти все наилучшие приближения к 1п10=
«=2,30258... со знаменателями п<30.
Возьмем а' = {In 10} = 0,30258..., 0 < а' < 4-. Оба конца -2-,
« *
у и их медианта у есть наилучшие приближения в Фэ;
0<а'<у. Медианта у не является наилучшим приближением,
так как она дальше от а', чем у; у< а'<у . Следующая ме-
2	,	,	11
дианта v ближе к а , чем -т- и т. е. является наилучшим
I	4 и
2,1	3	2
приближением; -= < а < . Медианта ближе к а, чем
/	u	1U	/
1	3	1
и у, т. е. также нанлучшее приближение; а' < у. Меди-
анта уз не является наилучшим приближением; уд<а <уз*
Медианта ближе к а', чем и , т. е. наилучшее прибли-
жение. Продолжая процесс, находим еще следующие наилучшие
приближения к а,: 33, 43, jg- In 10 = 2 +а', так что наилуч-
шими приближениями к In 10 со знаменателями <100 являются
числа:
9 _5	7 16 23 53 76 99 175
2 ’ Т ’ 7 ’ 10 ’ §3 ’ 33 ’ 43 ’ 76 ‘
ГЛАВА 28
КВАДРАТИЧЕСКИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
1. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Рациональные числа представляют собой корни уравнений
1-й степени вида ах+Ь = 0 с целыми коэффициентами.
Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми
являются те иррациональности, которые являются корнями
квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа
мы будем называть квадратическими иррациональностями.
Определение 71. Число а. называется квадратической ирра-
циональностью, если а—иррациональный корень некоторого
уравнения
ах* + Ьх + с = 0	(1)
с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.
При таком а, очевидно, будет.а^0, с^0. .
243
Коэффициенты а, b, с уравнения (1), очевидно, можно взять
взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения
D = Ъг—$ас будем называть также дискриминантом а. 
—Z>+ rba—4ас —Ь——4ас
Корни уравнения (1) равны---------------и---------------»
так что любую квадратическую иррациональность а можно пред-
ставить в виде а = Р, где Р и Q целые, a D (D > 1)—целое
п -	m ' p~Vd
неквадратное число. Второй корень уравнения (1) а =——
будем называть иррациональностью, сопряженной с а.
В определении квадратической иррациональности особенно
важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных
уравнениях с целыми коэффициентами. Любое а является кор-
нем квадратного уравнения и даже уравнения 1-й степени,
например уравнений хг — а2 = 0, х — а~0.
Примеры, а) У~7 — квадратическая иррациональность, так
как "К 7 является иррациональным корнем уравнения х2—7=0.
_	1—Кт
б) а = —-------квадратическая иррациональность, так как а
представляет собой иррациональный корень уравнения 9х2—
— 6х— 4 = 0. Здесь Р= — 1, Q=—3, 0 = 5.
в) J/ 2 не является квадратической иррациональностью.
Действительно, корень любого квадратного уравнения с це-
р ». j/p
лыми коэффициентами имеет вид—, где Р, Q, D — целые
з ~ Р 11 У/~ D
числа, причем D>1. Если бы мы имели / 2=—~—, то,
возводя это равенство в куб, мы получили бы, что —рацио-
нальное число, а следовательно, рациональным являлось бы и
2, что противоречит результату, полученному в примере на
странице 68.
В этой главе мы будем рассматривать квадратические ирра-
циональности в связи с изучением так называемых периодиче-
ских цепных дробей.
Определение 72. Цепная дробь о0 +	. назы-
вается периодической, если периодической является последова-
тельность элементов а0, alt а2, ... .
В частности, если последовательность элементов чисто перио-
дическая, то и соответствующая цепная дробь называется чисто
периодической.
Длину периода последовательности а0, а........... будем
называть также длиной периода цепной дроби а0 4* 1/а1-Ь-^ая4-....
249
Если в разложении а после элементов а0, ..., as_t наступает
периодическое повторение элементов а„ .... а,+Л_1( т. е. длина
периода равна	то будем записывать « в виде:
® = ао + ^а1 + • • •	+	< • • +‘^Clj+*_i+ • • •.
I---------------J
в частности, в случае чисто периодического разложения, т. е.
при $ = 0, в виде
I-------.----------j
Теорема 260. Цепная дробь
a = a0 + 4z1 + -iya!! + ...	(2)
является периодической с длиной периода k тогда и только
тогда, когда при некотором s имеет место равенство непол-
ных частных a3^k=a3.
Доказательство.
a,=<’, + -1/aJ+i+-..	(3)
os+*=^+*H--l/aJ+jk+1+...	(4)
1) Если правая часть в (2) представляет собой периодическую
цепную дробь с длиной периода k, то существует такое s, что
при всех n^s ап+к==ап и, следовательно, разложения (3) а3
и (4) «,+* одинаковы, т. е. a,+ft = a,.
2) Если а4+Л = а4, где А 5*1, то согласно теореме един-
ственности цепных дробей (теорема 238), разложения (3) и (4)
одинаковы, т. е. при всех n^s fln+* = nn и, следовательно,
дробь (2) периодическая с длиной периода k.
В частности, цепная дробь (2) будет чисто периодической
тогда и только тогда, когда при некотором k(k^\) имеем:
аЛ = ас — а.
Рассматривая величины периодических цепных дробей, мы
получаем некоторую часть действительных чисел. Оказывается,
и это на первый взгляд кажется неожиданным, что множество
таких чисел совпадает с множеством квадратических иррацио-
нальностей.
Этот замечательный результат был получен впервые в 1770 г.
Лагранжем.
Тот факт, что величина любой периодической цепной дроби
является квадратической иррациональностью, доказывается сов-
сем просто, и мы начнем именно с этого. Более сложно дока-
зывается то, что любая квадратическая иррациональность разла-
гается в периодическую цепную дробь; этот факт и называют
обычно теоремой Лагранжа.
Теорема 261. Величина любой периодической цепной дроби
представляет собой квадратическую иррациональность.
250
Доказательство. Пусть a = aD = a0 + 1/a1 + -14z2+...
представляет собой периодическую цепную дробь, т. е. суще-
ствуют s h	такие, что as+k — as. Согласно теореме 235
н замечанию к ней
_Р.ч-i— °Qs-t	__Ps+k-t ^Qs+k-i
P._i’	i+*
следовательно,
Ps-3-----------------aQi-2 _ Ps + ft-3 aQs+k-t	ZE\
“Qs-1— ₽s-i “Qi+ft-i—Ps+k-i'	' ’
Равенство (5) после приведения к общему знаменателю дает
квадратное уравнение с целыми коэффициентами:
Ааа + Ba+ С = О,
где А = Qs-iQs+k-i — Qs-tQs+k-i- В частности, при $ = 0
<4 = Q_iQ*_a — Q-sQ*-i= — <2*-1¥=0. Доказательство того, что
А^=0 при s>> 1 проводим от противного.
Прежде всего отметим: из соотношения (6) главы 24 следует,
что в последовательности
Q_i = 0> Qo=l QiQz•	(7)
любые два соседних знаменателя взаимно просты. Если пред-
положить, что Л = 0 при некотором s =& 1, то	•
, Из равенства этих двух несократимых дробей следует
Qf+ft-s= Ог-я> Qj-+*-i =
а это противоречит тому, что при s^l, k^l в последователь-
ности (7) имеются самое большее два равных знаменателя.
Иррациональность а следует из того, что разложение а в
цепную дробь бесконечно.
Пример. а= 1 Н--^2-|-^ 1	1-Ь^З-Ь ... (т. е. дальше
I____________j
периодически повторяются элементы 1, 1, 3). Составить квад-
ратное уравнение, корнем которого является а, и найти вели-
чину а.
В данном случае s = 2, k — 3; находим подходящие дроби
до включительно:
44
	1	2	1	1	3	...
рп	1	3	4	7	25	...
Qn	1	2	3	5	18	...
251
При s = 2, fe = 3 равенство (5) принимает вид:
1—0	7—5а	. 9 ~ . о п 74- У1/
2а^3— 18а—25 ’	7а4-2 —0, а= jj •
Корень берется с положительным знаком, так как а>1.
При нахождении величины а чисто периодической цепной
дроби
. 4-1/aft_14-...
1_.---------------------1
удобней всего пользоваться соотношением (8) 24-й главы, при
s = k—1, ak = a, т. е. формулой
(, = Рц~е
Qfe_i°+ Q»_s ’
или
Qi-la2 4" (Qa-2 ^-1) а Pf-t =0.
При вычислении величины а смешанной периодической цеп-
ной дроби вида
а = а0 4-4-- • • +	_14-^ + • • • + ^+л-1 + • • •
I----------J
удобней всего найти сначала величину а, чисто периодической
цепной дроби
аз — ^ + ~^+1+ • • . +~/Ся.а-1+ • • •»
Р. ias4-Ps а
а потом из соотношения a = >, - s rz, • наити а.
Q»_ias4-Q3_i
Пример. Найти величину цепной дроби:
а = 1 4- 1 + -^2 4- 14-111 +	4-...
Находим сначала P = as = 44-..., где 44-... обозначает
цепную дробь 44-^4 4--^4 4-... Здесь сразу видно, что 0 = 44-у ,
откуда Р2 — 40 —1=0, а6 = р = 24-У’5. Пользуясь таблицей
значений Рп и Q„, вычисляем:
	1	1	2	1	1	...
Рп	1	2	5	7	12	« • •
Qn	1	1	3	4	7	« • .
252
По формуле (8) 24-й главы находим:
~ =	= 12(2+/5~) + 7 = 133-/5
.Ол+Сз 7( 2+ Кб) + 4	79
Прежде чем перейти к теореме Лагранжа, докажем следую-
щую вспомогательную теорему.
Теорема 262. Если квадратическая иррациональность а пред-
ставлена в виде а — а0 + 1^а1+...-1-^а„_1+^а„, где все а{
целые, то ап также квадратическая иррациональность с тем же
дискриминантом, как у а.
Доказательство. Пусть а — корень квадратного урав-
нения Ла8 + Ва + С = 0. где А, В, С —целые числа. Подставляя
а = а0 4- — , получаем:
Л(а°+^) +В(ао+^)+С = 0>
или
(Аа3 + Ва0 + С) aj + (2Аа0 + В) а, + А = О,
т. е. at представляет собой корень уравнения Blai -f- Ct = О
с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен
(2Ла0 4- В)’ - 4 (Аа3 + Вав + С)А = В3 — 4 АС,
причем Cl = A^Q.
Заменяя в квадратном уравнении + B(Kj-|*C = 0 cq через
ах -f-J- , аналогично получаем, что а8 —корень квадратного урав-
нения с целыми коэффициентами Д8а’+В8аа+ С8 = 0 с таким
же дискриминантом, как у аг и а.
Продолжая таким же образом дальше, получим, что а„ —
корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами с таким
же дискриминантом, как у аП_1, а„_2...cq, к.
Теорема 263 (Лагранж). Любая квадратическая иррацио-
нальность разлагается в периодическую цепную дробь.
Доказательство. Пустьа —квадратическая иррациональ-
ность, т. е. а — иррациональное число, представляющее собой
корень многочлена f (х) = Ах3 + Вх + С с целыми коэффициен-
тами. Подставляя в Аа3 + Ва + С — 0 а =	(тео-
рема 235) и приводя к общему знаменателю, получаем:
(^п-1 ап + ^л-®)2 + £ (Рп-1 ап + Рп-г) (Qn-1 ап "1* Qn-®) +
4_£(Qn-ian_l_ Qn-®)2=О,
т. е. выражение вида
(8)
253
где А„ = AP*_t 4- BP,., QB_, + CQ^ = Q2_1 / (Jfcl) ,
Bn = 2AP,., Рв_8 + В (P„_x Qn_, + PB_2 (?„_,) + 2CQ~_, QB_8,
си = лр;_. + вр„_2 Q,_84-CQ2., - Q». J (^=1)
— целые числа.
Согласно предыдущей теореме дискриминант уравнения (8)
В^-4ЛвСв = В2-4ЛС	(9)
и, таким образом, не меняется при увеличении п.
Докажем сначала, что Ап и Са при достаточно большом п
имеют противоположные знаки, а затем, пользуясь тождеством (9),
докажем, что величины Ап, В„ и С„ — ограничены.
р р
и > как известно (замечание к теореме 234), на-
vri-l хп-а
ходится по разные стороны от а, причем при достаточно боль-
шом п сколь угодно мало отличаются от а.
f(a)=O, но поскольку а —иррациональное число, то
/' (а) = 2Ла + В 0.
Таким образом, а—простой корень уравнения f(x)~Q.
Известно, что в достаточно малой окрестности слева н справа
от простого корня значения непрерывной функции, в данном
случае многочлена f(x) — Ах3 + Вх + С, имеют разные знаки,
т. е. An = Q*_J (^=2) н <?„ = <•*_,/при достаточно
\ЧМ-а/
большом п противоположны по знаку, причем / I ) и /	)
\чл-1/ \Чп—ъ/
и, следовательно*, Ая и Ся не равны нулю.
Таким образом, при достаточно большом л произведение
ДвСв<0 и дискриминант уравнения (8) можно представить
в виде суммы двух неотрицательных чисел: В* н (—4ЛВСВ).
Поскольку —4ЛоСв>0, В’>0, имеем:
0 < В» < В» - 4АаС„ = В2—4 АС,
0< — 4А С ^В'-4АС = В2 —4 АС,
т. е. величины В’и — 4А„Сп ограничены. Из ограниченности В’
следует ограниченность |ВП|, а из ограниченности — 4АпСа,
поскольку Ли и Сп не равны нулю, следует ограниченность | Ап |
и К„1-	,	, м.
Таким образом, существуют две постоянные L и М, такие,
что при всех л выполняются неравенства:
L<A„<M, L<Bn<M, L<Ca<M,
254
а отсюда, поскольку А„, В„, С„ целые, следует, что среди урав-
нений (8) при безграничном увеличении п существует только
конечное число различных уравнений. Каждое квадратное урав-
нение имеет только два корня, поэтому и среди корней уравне-
ний (8) существует только конечное число различных, а значит,
и среди величин:
а = а0, оц, а3, ...	(10)
имеется только конечное число различных.
Отсюда, во всяком случае, следует, что среди чисел (10) най-
дутся хотя бы два одинаковых, т. е. найдется аЛ, равное неко-
торому последующему at+n. Равенство afe+n = aA (теорема 260)
означает, что разложение а в цепную дробь периодическое, и,
таким образом, теорема доказана.
Мы уже раньше имели примеры периодических разложений
квадратических иррациональностей (см. стр. 215—217). Теорема
Лагранжа дает нам теперь уверенность в том, что для любой
квадратической иррациональности мы после некоторого числа
шагов получим совпадение двух неполных частных и, таким
образом, найдем периодическую последовательность_элементов.
1 I V~23
Пример. Разложить в цепную дробь а = —.
Находим последовательно: а = 1+ —, а, = (/"23 + 2) =
= 1 +-,
„	3/23+13	,,,1 п 3/*23+13	,	1
аг=-----2---=13 + ^' а’ =----19----
^=£^±2=2+1, а,= а (У23 + 4) = 3+£.
ae==£2M13=14.J_( а7 = 4(/23 + 3) = 3+1,
ae=-^hi = 2+^, ав = А(/23 + 2), т. е.
Получаем:
l.+.jCgg = i+1/i +1/13 +1/1 +1/2+-1/з+1/1 +1/3+-I/2+ ...
3	I I
2. ЧИСТО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Поскольку мы теперь знаем, что любая квадратическая ирра-
циональность разлагается в периодическую цепную дробь, есте-
ственно выяснить, для каких квадратических иррациональностей
такое разложение будет чисто периодическим. Следующая теорема
дает исчерпывающий ответ на этот вопрос.
255
Теорема 264. Квадратическая иррациональность а=Р ,
где Р, Q и D (D>1) целые, разлагается в чисто периодиче-
скую цепную дробь тогда и только тогда, когда а > 1 и сопря-
,	P—1^D
Жженная иррациональность а ——— лежит в интервале
(-1; о).
Доказательство. 1) (Необходимость условия.) Пустьа —
величина чисто периодической цепной дроби, т. е. при некото-
ром k^l ak = a. Для таких а имеем a0 = cft2sl, так что
а = ^о + 1Уа1+ ... > 1.
Из соотношения
а =	+
Qft-i а+ Qft-s
(где, в частности, при й = 1 P_1 = I, Q_i = 0) получаем:
Для многочлена
f (JC) = Qfc-iJc24*(Qfe-2 Р k-i)х Pk.t
имеем (при й>1 теоремы 63' и 63" (страница 212), а при & = 1
непосредственное вычисление):
f(0) = -Pft_2<0 и f(-l) = (Qft_1-Qft_2) + (Pfr_1-Pft_2)>0,
так что в интервале (—1; 0) должен лежать один из корней
этого многочлена. Поскольку а>1, то в этом интервале лежит
не а, а другой корень, равный а', т. е. —1 <а'<;0.
2) (Достаточность условия.) Пусть а =	1 и—1<а' =
Q
Все полные частные ап к а (согласно теореме 262) — квадра-
тичные иррациональности с тем же дискриминантом D, так что
Р 4- V ~D
при любом п имеем а„ = 	---, где Ря и Qn — целые. Сопря-
женная к ая иррациональность а'п, т. е. 2-й корень уравнения (8),
будет1' иметь вид а'я	,
Докажем, что при всех п^О выполняются неравенства
-1<а;<о.	(П)
Предположим, что неравенства (11) верны при некотором
n(nSeO). Для сопряженных величин ая и ая+1 из соотношения
1 , , 1 1
а =а„4------ получаем; а„ =а„ + ——, а„+1 =—-------; посколь-
ая+х	а„+1	а„-а„
256
ку ап 5» 1 и согласно предположению — 1 < с/ < 0, то из по-
следнего равенства находим, что —1<а„+1<0.
а'0 = а', так что неравенства (11) при /г = 0 верны по условию,
а тогда, как мы только что доказали, они верны и при л=1.
Таким образом, неравенства (11) верны при п-0 и п=1, а из
справедливости их для п следует справедливость и для /г+1.
Согласно принципу индукции (теорема III) неравенства верны
при всех /г(/г>=0).
Согласно теореме Лагранжа существуют s и k, такие, что
aJ+ft = a, и> следовательно, для сопряженных иррациональностей
а'+А = а'. Переходя к сопряженным иррациональностям, из соот-
, 1
ношения	— получим:
as
«;_,=+-!+7; — Д=^-1
us	as
и поскольку 0 < —то as-1 =---------------, .
as
л	,	1
Аналогично из соотношения as+A_1 = as+k-i +“'— получим
as + k
J, и поскольку, как было отмечено выше,
++А-1
<+* = <» т0 ^+*-1 = ^-1-
Из равенства правых частей в a'_1 = a,_i + -» и
as
^as+k-i+—~ получаем	а тогда и =
a«+*
= ax-i. Мы доказали, что в условиях теоремы из равенства
as+k = as следует равенство = «Х_1Т но тогда из последнего
равенства получаем as+k-2 — as-2 и т. д., пока не дойдем до
aft = a0 = a, так что разложение а в цепную дробь чисто перио-
дическое.	_
1 ч- V13
Примеры. 1) а= \— разлагается в чисто периодиче-
□
1 — /13
скую цепную дробь, так как а>1, а а'= —□------ лежит между
— 1 и 0. Действительно, в разложении а с самого начала по-
вторяются элементы 1, 1, 1, 6, 1, так что
a=l +^1 +^1 +-L'6+-L'1 + ...
1 1
24- Уз"
2)	4— разлагается в смешанную периодическую цепную
2__У^з”
дробь, так как сопряженное число —— больше нуля.
9 А. А. Бухштаб
257
Теорема 265. Пусть D—неквадратное число, Q—целое,
D>Q*> 0; тогда разложение в цепную дробь имеет вид:
= ао +"^ai + • • • + ak~i + "^2а0+ • • •
4	I I
Доказательство. Если D>»Qa, то число а = а0-|—,
'гр1
У,- , будет иметь чисто периодическое разложение
К D
в цепную дробь. Действительно, а7>1 и а =аа--заключено
= 2а0, так что (теорема 264)
Ч J
a0 + ^Q—= 2д04--^ ах-|- ...	2а0-[--^ а14-... ,
где последовательно повторяются элементы 2а0, сх, ... ,
и тогда
где а0 =
в интервале (—1; 0);
ао4
д-— ао +	4"	...
ч	I	I
Примеры.
1)	/7 = 2+1У1+1У1+17!+J44-... (Здесь а0 = 2.)
2)	/53 = 7-Н173 + 171 н-^+^З+^ин-... (Здесьа0 = 7.)
I_________________________I
Э)	-^=1+^9 + -^2+... (Здесь а0=1.)
Исторические комментарии к 28-и главе
1. Великий французский математик Жозе Луи Лагранж ро-
дился в 1736 г. в Турине. Некоторое время он работал в Бер-
линской Академии наук. С 1772 г.—член Парижской Академии
наук. Последние годы своей жизни —профессор Политехнической
школы в Париже.
Труды Лагранжа по математическому анализу, механике и
теории чисел имеют фундаментальное значение для развития
этих дисциплин. Лагранж—один из создателей дифференциаль-
ного исчисления, классической теории дифференциальных урав-
нений и вариационного исчисления. В своей „Аналитической
механике" он показал возможность построения механики на базе
математического анализа.
258
В теории чисел Лагранж дал основные результаты в теории
бесконечных цепных дробей и показал их приложения к решению
неопределенных уравнений. Лагранж доказал теорему о пред-
ставлении чисел в виде суммы четырех квадратов и положил
начало изучению бинарных квадратичных форм общего вида
(см. 31-ю и 32-ю главы).
2. Доказательство теоремы 264 было опубликовано Э. Галуа
в 1828 г. Галуа доказал также, что в случае чисто периодиче-
ского разложения сопряженная квадратическая иррациональность
имеет те же элементы, но расположенные в обратном порядке.
ГЛАВА 29
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
1.	ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Рациональные числа и квадратические иррациональности
представляют собой корни многочленов 1-й и 2-й степени с це-
лыми коэффициентами. В этой главе мы будем рассматривать
корни многочленов с целыми коэффициентами любой степени.
Определение 73. Комплексное или действительное число а
называется алгебраическим числом, если оно является корнем
некоторого многочлена с целыми коэффициентами, неравными
одновременно нулю.
Если а— корень многочлена f (х) = аохп 4- а^*"1 + ... + ап
степени п с целыми коэффициентами, т. е. если /(а) — 0, то a
является корнем многочлена
х', + ^х""1 + ... 4-^
<2q	Aq
с рациональными коэффициентами. Очевидно, что корень любого
многочлена с рациональными коэффициентами, неравными одно-
временно нулю, является корнем некоторого уравнения с целыми
коэффициентами. Поэтому вместо определения 73 можно дать
другое, эквивалентное.
Определение 73'. Комплексное или действительное число a
называется алгебраическим числом, если оно является корнем
некоторого многочлена
f(x) = boxn + biXn-^ + ...+bn
с рациональными коэффициентами.
В этой главе мы будем рассматривать только действительные
алгебраические числа, ие оговаривая этого каждый раз. Из
f (a) — 0 следует f (а) ф (a) = 0, где в качестве ф (х) можно взять
произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Таким обра-
зом, для любого алгебраического числа а существует бесконечное
множество многочленовсрациональными коэффициентами, корнями
9*
259
которых является а; из всех этих многочленов обычно рас-
сматривают многочлен наименьшей степени.
Определение 74. Число п называется степенью алгебраичес-
кого числа а, если а есть корень некоторого многочлена n-й сте-
пени с рациональными коэффициентами и не существует тож-
дественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффи-
циентами степени, меньшей чем п, корнем которого являлось
бы число а.
Если корень многочлена n-й степени с целыми рациональ-
ными коэффициентами а не является корнем ни одного тожде-
ственно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами
степени, меньшей чем п, то а не может быть корнем и тожде-
ственно неравного нулю многочлена с рациональными коэффи-
циентами степени, меньшей чем п, т. е. а—алгебраическое число
степени п.
Рациональные числа являются алгебраическими числами 1-й
степени. Любая квадратическая иррациональность представляет
собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем
квадратного уравнения с целыми коэффициентами, она не яв-
ляется корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми
коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто назы-
вают кубическими иррациональностями, а алгебраические числа
4-й степени —биквадратическими иррациональностями.
Пример. jZ2— алгебраическое число 3-й степени, т. е. ку-
бическая иррациональность. Действительно, это число есть корень
многочлена 3-й степени х3 —2 с целыми коэффициентами и,
как было отмечено в примере на странице 249, jZ2 не является
корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми
коэффициентами.
Определение 75. Если алгебраическое число n-й степени а
является корнем многочлена
f (x)~xn + bixn~l+...Ьп (л>1)	(1)
с рациональными коэффициентами, то f (х) называется мини-
мальным многочленом для а.
Таким образом, минимальным многочленом для а называется
многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициен-
тами и старшим коэффициентом, равным единице, корнем кото-
рого является а.
Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой много-
член с рациональными коэффициентами степени п, корнем ко-
торого является а, то многочлен (1) может быть получен из него
делением всех коэффициентов на коэффициент старшего члена.
Пример. Минимальным многочленом для у/2 является
Xs —2, так как корень этого многочлена ^2 не является корнем
260
какого-либо многочлена меньшей степени с рациональными коэф-
фициентами.
Теорема 266. Если f (х)—минимальный многочлен для алгебраи-
ческого числа а и F (х)—многочлен с рациональными коэффи-
циентами, такой, что F(a) = O, то f(х) — делитель F{x),
т. е. F (x) — f (x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональ-
ными коэффициентами.
Доказательство. Согласно известной теореме алгебры
F (х) можно представить в виде
F(x) = f (x)g(x) + r(x),
где g(x) и г (х) — многочлены с рациональными коэффициентами,
причем степень г (х) меньше степени f (х).
Поскольку F(a) = 0 и /(а) = 0, то, придавая х значение а,
получаем r(a) = 0; а —корень многочлена г(х) с рациональными
коэффициентами степени, меньшей, чем у минимального для a
многочлена, т. е. меньшей, чем степень а. Это может быть только,
если г (х) тождественно равно нулю, а, значит, F (х) = f (x)g(x).
Для данного а существует единственный минимальный мно-
гочлен. Действительно, частное от деления друг на друга двух
минимальных многочленов для а должно быть рациональным
числом, равным единице, что означает тождественное их равенство.
Теорема 267. Для любого алгебраического числа а минималь-
ный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.
Доказательство. Пусть /(х)— минимальный многочлен
для а. Предположим, что f (х) приводим над полем рациональных
чисел, т. е. что f (х) = й)(х)ф (х), где и (х) и ф (х) — многочлены
с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем п.
Из равенства со (а) ф (а) = f (а) = 0 следует, что из двух чисел:
а> (а) и ф (а), по крайней мере одно равно нулю. Пусть, напри-
мер, со(а) = О, тогда а —корень тождественно неравного нулю
многочлена со (х) с рациональными коэффициентами степени,
меньшей, чем у f(x), а это противоречит тому, что f (х) — ми-
нимальный многочлен для а. Предположение, что многочлен f (х)
приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным,
т. е. f (х) неприводим над этим полем.
Теорема 268. Если a—корень неприводимого над полем ра-
циональных чисел многочлена F (х) с рациональными коэффици-
ентами степени п, то а — алгебраическое число степени п.
Доказательство. Обозначим минимальный многочлен
для а через f(x). Согласно теореме 266 F (х) = f (х) g (х); где
g(x)— многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку
F (х) неприводим над полем рациональных чисел и /(х) отлично
от постоянного, то g(x) — с, где с рационально, F (x} — cf (х),
т. е. степень f{x) равна пи, следовательно, a—алгебраическое
число п-й степени.
26Г
Пример. Пусть р —простое число, f/a при любом целома
(а> 1), не равном р-й степени другого целого, представляет
собой алгебраическое число степени р. Действительно, это число
есть корень неприводимого над полем рациональных чисел дву-
членного уравнения хр — а~0.
Если а — алгебраическое число степени п и f(x)— минималь-
ный многочлен для а, то все корни ах, а2, ..., ап уравнения
/(х) = 0, отличные от а, называются сопряженными с а.
Один из корней ах, а2, . . . , ап, мы будем ставить его на
первое место, совпадает с а, так что а = аг.
Теорема 269. Сумма, разность, произведение и частное двух
алгебраических чисел а и 0 (для частного при 0^=0) являются
алгебраическими числами.
Доказательство. 1) Пусть а —корень многочлена f(x)
степени п с целыми коэффициентами, корни которого: ах, а2,..., а„,
a 0 — корень многочлена ф (х) степени т с целыми коэффици-
ентами, корни которого: 0Х, 02, ,.., 0т (0 = 0Х). Рассмотрим
многочлен:
п т
Г(х)=П П (x-fy + ₽/)) =
z=i/=i
= (х-ах - 0Х) (х-ах- 02)...(х-ах- 0J,
(х а2 0Х) (х аъ 02).. . (х а2 Рй),
(х - а„ - 0Х) (х - а„- 02)... (х - а„ - 0J.	(2)
Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку
величин ах, otj, ,,., ап, то некоторые строки переставятся местами,
но произведение в целом останется неизменным. Эго значит, что
F(х) — симметрический многочлен по отношению к ах, а2...ап.
Точно так же подстановка величин 0Х, 02 ..., 0т будет менять
только порядок столбцов в правой части выражения (2), так
что F(x) — симметрический многочлен по отношению к 0Х, р2, ...
...,рт. В целом F (х) — симметрический многочлен от двух
систем аргументов: апа2, . ,.,а„ и 0Х, 02..0т.
Согласно известным теоремам о симметрических многочленах
(теоремы XV и XVI) коэффициенты многочлена F (х) могут быть
выражены рационально через элементарные симметрические
функции от ах, а2, ..., а„ и 0Х, 02, .... 0т, т. е. через целые
коэффициенты f (х) и ф (х). Эго значит, что коэффициенты F (х)
рациональны, и, следовательно, числоа+0=ах+0х, являющееся,
как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F (х),
есть алгебраическое число.
2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраи-
ческих чисел а и 0 есть алгебраическое число, достаточно, ана-
262
(3)
логично тому, как это было только что сделано для многочлен (2),
рассмотреть многочлен
F (х) = П П (х —агру).
i=i/=1
Этот многочлен с целыми коэффициентами имеет в качестве
одного из своих корней а1р1 = ар.
3) Пусть р — корень многочлена ф(х) — Ьохп + Ьгхп~1 + ...+&„,
(/?,-—целые числа), тогда—р является корнем многочлена с це-
лыми коэффициентами ф (—х) = (— 1)гадохл + (— If+jx""1 + .. .
...+/, а прир^О корень многочлена хлф(-^=Ь0 +
+ Ьгх + ... + Ьпхп. Таким образом, вместе с р алгебраическими
числами являются — р и .
Р
Разность а — р может быть представлена в виде а + (— Р),
т. е. в виде суммы двух алгебраических чисел, а потому также
представляет собой алгебраическое число. При Рт^О частное
= являясь произведением двух алгебраических чисел,
представляет собой также алгебраическое число.
Если степени алгебраических чисел аир равны тип, то,
взяв в качестве f (х) и ф (х) соответствующие минимальные мно-
гочлены, будем в (2) и (3) иметь многочлены степени тп, и,
таким образом, непосредственно видно, что а + р и ар — алгебраи-
ческие числа степени, не большей чем тп. Многочлены ф (х),
ф( — х) и хлф одинаковой степени, а следовательно, р, —р
1 V Х
и -р—алгебраические числа одной и той же степени, откуда
следует, что и а—Ри j имеют степени, не больше чем тп.
Примеры. 1) /2 и/3—алгебраические числа 2-й степени,
а /2 + /3— алгебраическое число'4-й степени.
Действительно, если а. — ]/2"+/3, то а2 = 5 + 2/6, а4 —
— 10а2+1=0, т. е. а — корень многочлена f(x) = x4 — 10х2 + 1
с целыми коэффициентами, и
I (х) = (х- /2- /3) (х- /2 + У3) (х + /2 - /3) (х + /2 + /5). (4)
Из теоремы единственности разложения многочлена на не-
приводимые множители следует, что любые неприводимые над
полем рациональных чисел множители f(x) должны являться
произведением каких-то множителей правой части равенства (4).
Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить много-
член с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем 4,
т. е. f (х) — неприводимый над полем рациональных чисел много-
член, а, следовательно, согласно теореме 268, /2+ /З — алгебра-
ическое число 4-й степени.
263
2) a « [/3 я р = i/12, как легко видеть^— алгебраические
числа 6-й степени, а произведение ар — р/б—алгебраическое
число 3-й степени.
Теорему 269 можно дать также в другой форме.
Теорема 269'. Множество всех действительных алгебраи-
ческих чисел представляет собой поле.
г. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших
рациональных приближений: погрешность при замене алгебраи-
ческого числа рациональной дробью не может быть достаточно
мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю
рациональной дроби. С отдельными частными случаями, натал-
кивающими нас на мысль об этом, мы уже встречались раньше.
Действительно, в 6-й главе (теорема 70) было показано, что
для рационального а, т. е. алгебраического числа 1-й степени,
существует постоянная с >0, такая, что для любой рациональной
дроби у, отличной от а, будет выполняться неравенство
В 25-й главе (стр. 235) было показано, что для
представляющего собой алгебраическое число 2-й степени, можно
подобрать с>0, такое, что для любой рациональной дроби будет
иметь место неравенство
(5)
Можно доказать, что неравенство (5) при соответствующем
с = с(а) имеет место для всех квадратичных иррациональностей.
Оказывается, что имеет место общая теорема, доказанная впервые
в 1844 г. французским математиком Лиувиллем.
Теорема 270 (Лиувилль). Для любого действительного ал-
гебраического числа а степени п можно подобрать положитель-
ное с, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных
чисел ~ (у будет иметь место неравенство
<6>
При п = 1 теорема была доказана в 6-й главе. Здесь мы рас-
смотрим сразу общий случай, включающий и случай рациональ-
ного а.
264
Доказательство. Пусть/(х) = Лох" + Л1х"“1 + ... + Л„—
неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем
которого является а. В качестве f (х) можно, например, взять
многочлен, получающийся из минимального для а многочлена
после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное
их знаменателей.
Согласно теореме Безу имеем:
Дх) = (х —a)g(x),	(7)
где g (х) — многочлен с действительными коэффициентами.
Возьмем произвольное б>0; |g(x)| — непрерывная, а следо-
вательно, ограниченная функция от х в сегменте |а —6; a-j-б],
т. е. существует положительное число М, такое, что |g(x)|
для всех х из этого сегмента. Обозначим через c = min	, б) ,
так что ис=сб. Для произвольного рационального числа
у могут представиться две возможности:
1)у лежат вне сегмента [а — б; а + б]. Тогда
2) у удовлетворяет неравенствам а —6^у=са + б, тогда
| g (у) | М и, подставляя в (7) вместо х значение у, полу-
чаем:
a-fp (8)
Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен /(х)
степени п^2 не имеет рациональных корней, а при л = 1 не
имеет корней, отличных от а, так что
11 ( а XI_ | Яодв + Я1ая~16+...+ЛЯ6Д | /А
ШЛг ь"
Поскольку числитель |Лоа" + Л1а”-16+ ... +Л„6"| — целое
неотрицательное, отличное от нуля число, т. е. число, большее
или равное 1, то:
k G-) I Ь" •
Сравнивая неравенства (8) и (9), получаем:
так что и в этом случае имеем:
Конечно, заменив с немного меньшей величиной, можно в вы-
ражении (6) вместо знака написать знак >.
Пример. Пусть D — неквадратное целое число. Найти 0-0,
такое, что для всех рациональных чисел у имело бы место не-
равенство
V D — корень многочлена х2 — D. Деля х2 —D на х—]^D, на-
ходим:	g(x) =х+у7). При VD — 6<x<j^DH-6 имеем
|g(*)|< 2J/D + 6, т. е.	+ В качестве с берем
min Q	’ ПРИ этом выг°Дней всего взять б так, что
fia+2^5~1==0’ т> е- б= -Vd+Vd+T.
При таком 6 получаем c = ]/D + 1 — VD, так что при любых
целых а и b имеем:
|/D-i

Теорема Лиувилля показывает, что приближение любого
алгебраического числа степени п рациональными дробями у огра-
ничено снизу величиной порядка у. В частности, для квадрати-
1
ческих иррациональностей имеем здесь величину порядка у.
Можно показать, что, кроме квадратических иррациональ-
ностей, имеются и другие иррациональности, для которых порядок
приближения рациональными дробями ограничен снизу величиной
порядка
Теорема 271. Если все элементы разложения а в цепную дробь
ограничены, то для а можно подобрать с>0 так, что для
любой рациональной дроби у будет иметь место неравенство
(10)
Доказательство. Пусть а = а0 + ^aY + -Чз2 + ... и суще-
ствует М, такое, что ап^М при всех n = 0, 1, 2, ...
Возьмем произвольную дробь у и пусть Ь заключено между
двумя знаменателями соседних подходящих дробей, так что
Q«-i Qs (s> 1), тогда, поскольку подходящие дроби явля-
ются наилучшими приближениями (теорема 251), имеем;
266
Пользуясь теоремами 59', 63' и 243, находим:
Q,= Q,-A+Qf_2<fr(M + l).
Qj+i = Q А+14- Qj-1 < b (M + 1) M + b = b (M* 4-м +1),
I Pj	1	1
1“ Qi I> Qs (Q, + Q,+ 1) ft3 (At + 1) (ЛР + 2М +2) ’
так что
| “ ~ ~b I > fc»“(Af 4-l)(Ma + 2Af +2) ’
т. e. неравенство (10) справедливо при c = (M + 1) (^ + 2M + 2) •
Теорема 272. Если элементы разложения а в цепную дробь
неограниченны, то для любого с>0 существует бесконечное
множество рациональных дробей у , таких, что
Доказательство. Пусть а = а0 +	4- -^а2 +... Возьмем
произвольное с>0. По условию существует бесконечное мно-
жество s, таких, что а1+1 > у. Для каждой подходящей дроби
Р	1
q4 с номером s, таким, что	согласно теореме 241
будем иметь:
I	Р J	1	1	1 С
<2,1	QSQS+1” <2, «2^+1+ Q,_1) Qfas+1 Q* ’
что доказывает существование бесконечного множества дробей
у, удовлетворяющих неравенству (11).
Теоремы 271 и 272 показывают, что существование положи-
тельного с, такого, что для любой дроби выполняется неравен-
ство (10), есть необходимое и достаточное условие ограниченности
элементов разложения а в цепную дробь. В теореме 271 доказана
необходимость этого условия. Из теоремы 272 следует, что это
условие достаточно. Действительно, если существует 0-0, такое,
что для любой дроби у выполняется неравенство (10), то по
теореме 272 элементы разложения а в цепную дробь не могут
быть неограниченными.
В 1908 г. норвежский математик Аксель Туэ доказал теорему,
дающую гораздо более точную, чем в теореме Лиувилля, оценку
снизу разности | а—yj. Дальнейшие результаты в этом направ-
лении были получены Зигелем, Дисоном, Гельфондом, Шней-
дером. Наиболее точная оценка была получена в 1955 г. англий-
ским математиком Ротом. Мы приводим без доказательства
267
полученную им теорему. Эту теорему, имеющую очень большое
значение в теории чисел, принято называть теоремой Туэ — Зи-
геля—Рота.
Теорема 273 (Туэ —Зигель —Рот). Пусть а—алгебраическое
число степени п^2; тогда при любом е>0 существует только
конечное число рациональных дробей у, таких, что
1
fea+s‘
Из этой теоремы вытекает, что для любого алгебраического
числа а степени п>2 и произвольного положительного е можно
подобрать 0-0 так, что для любой рациональной дроби у будет
иметь место неравенство
Для алгебраических чисел степени, большей чем 2, этот ре-
зультат значительно улучшает теорему Лиувилля. При п = 2
теорема Лиувилля, однако, дает более точный результат. Поль-
зуясь теоремой Туэ — Зигеля —Рота, можно доказать следующую
интересную теорему теории неопределенных уравнений.
Теорема 274. Если f (z) = Aoz" + А^"'1 +•••+ А„ — непри-
водимый над полем рациональных чисел многочлен с целыми
коэффициентами степени н^З, то при любом целом В^О
уравнение
Ай^ + А1хп~1у+...+Апуп = В	(12)
не может иметь бесконечного множества решений в целых числах.
Доказательство. Пусть ах, ag.......ал —корни много-
члена /(г), т. е. f(z) — A0(z — ах).. . (z —а„). Поскольку f (г)
неприводим, все его корни различны, т. е. существует б>0,
такое, что [а; —аД>-6 при всех i^/. Представим многочлен,
стоящий в левой части уравнения (12), в виде
Лохп + А1хп~1у+ ... +Апуп = ynf (4) =
^Аоуп(^-аЛ...(^-апУ	(13)
Предположим, что уравнение (12) имеет место при некоторых
_ „	2
целых х и у>и, таких, что У>у
ний (12) и (13) получаем:
тогда из уравне-
a	..... a ±	(14)
I1 У I I 9 У I . I “ У | 1Г I А„1 v '
Среди множителей левой части (14) по крайней мере один
не превосходит — у -гт\- > иначе левая часть была бы больше
268
правой. Изменив нумерацию» мы можем считать, что таким мно-
жителем будет |ах — у|, т. е. что
а
Тогда при 1 = 2, ...,п имеем:
— и, пользуясь равенством (14), получаем:
|„ ±JBJ______________1______1 |В| РГ'1
I 1	£/1~ У"М0| ’ I х I I х I у" |Л0| [6J	’
Г-7Г'Г"—?1
т. е.
где
(15)
Поскольку многочлен (12) неприводим над полем рациональ-
ных чисел, степень ах не меньше 2. Существование сколь угодно
больших целых чисел у, таких, что несократимая дробь £ удовлет-
воряет неравенству (15), противоречит теореме Туэ — Зигеля —
С 1
Рота, так как при у^у0, п^З, 0<е<1 имеем
Таким образом, в парах целых чисел х, у, гдеу>0, удовлет-
воряющих уравнению (12), значения у ограничены, т. е. число
таких у конечно.
Для каждого у число возможных значений х не превосхо-
дит п, т. е. число таких пар конечно.
Каждой паре целых чисел хну, где у<0, удовлетворяющих
уравнению (10), соответствует пара х, —у (где —г/>0), являю-
щаяся решением уравнения
Л0У* - А1Х"-1у 4- ... + (- 1)" Апуп = В.
Таких пар также может быть только конечное число. Мы
доказали, таким образом, что теорему 274 можно рассматривать
как следствие теоремы Туэ — Зигеля — Рота.
Теорема Туэ—Зигеля —Рота является одним из наиболее
глубоких результатов теории алгебраических чисел.
Поскольку (теорема 242) для любой иррациональности а
-	а
существует бесконечное множество рациональных чисел у, таких,
269
что | а—у | <-j^, то результат теоремы Туэ —Зигеля —Рота
нельзя улучшить, заменив в правой части через у; однако
не исключена возможность того, что для любого алгебраического a
при достаточно малом с>0 и всегда выполняется нера-
венство
Согласно теореме 272 отсюда следовала бы ограниченность
элементов разложения в цепную дробь любого алгебраического
иррационального числа.
Вместе с тем некоторые математики считают более вероятным,
что это неверно, т. е. предполагают существование алгебраи-
ческих чисел, у которых элементы разложения в цепную дробь
неограниченны. Не исключена возможность того, что, кроме
квадратических иррациональностей, не существует алгебраиче-
ских иррациональных чисел с ограниченными элементами.
Характер разложений алгебраических чисел степени, большей
чем 2, таким образом, совершенно неизвестен. До сих пор не-
известно разложение хотя бы одного алгебраического числа сте-
пени п>2 в цепную дробь. Было бы очень интересно, если бы
удалось получить разложение в цепную дробь хотя бы одной из
простейших иррациональностей 3-й степени, например I/2, или
по крайней мере выяснить, ограничены ли элементы этого раз-
ложения.
ГЛАВА 30
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
1. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА ЛИУВИЛЛЯ
В предыдущей главе мы рассматривали числа, являющиеся
корнями уравнений с целыми коэффициентами. Исчерпывают ли
такие числа все множество действительных чисел или же сущест-
вуют действительные числа, отличные от алгебраических? Основ-
ные теоремы теории множеств приводят нас к выводу, что мно-
жество алгебраических чисел счетно, а отсюда уже непосредст-
венно следует существование действительных неалгебраических
чисел.
Теорема 275. Множество всех алгебраических чисел счетно.
Доказательство. Рассмотрим сначала множество 7И„ всех
алгебраических чисел степени п.
270
- Каждому неприводимому многочлену с целыми коэффициен-
тами
f (*) = аохп 4- а1х"~14- ... + а„
сопоставим число Н — |а014-1 аг I + ...+KN
Очевидно, что существует только конечное число таких мно-
гочленов с заданным значением Н, а следовательно, поскольку
каждый такой многочлен имеет не больше чем п корней, су-
ществует только конечное число алгебраических чисел с задан-
ным значением величины Н для соответствующего многочлена.
Придавая И значения 1,2, 3, ... и рассматривая все соот-
ветствующие неприводимые над полем рациональных чисел много-
члены и их корни, получаем множество Мп алгебраических
чисел степени п представленным в виде суммы счетного мно-
жества конечных множеств, т. е. Мп — счетное множество.
Множество М всех алгебраических чисел равно Af14-Af2 +
+ Л134-..., т. е., являясь суммой счетного множества счетных
множеств Мп, также представляет собой счетное множество.
Теорема 276. Существуют действительные неалгебраические
числа.
Доказательство. Множество действительных чисел не-
счетно. В этом множестве действительные алгебраические числа
согласно последней теореме образуют счетное подмножество,
а следовательно, не исчерпывают все множество действительных
чисел.
Определение 76. Любое неалгебраическое число называется
тр ансцендентн ым.
Таким образом, а называется трансцендентным числом, если
не существует ни одного многочлена с целыми коэффициентами,
корнем которого является а, т. е. если для всех n= 1, 2, ... при
любом комплексе целых, не равных одновременно нулю чисел
((с0, q....с„)) имеем: с0а',4-с1ап-14- ... 4-с„=^0.
Из доказательства теоремы 276 видно, что множество дей-
ствительных трансцендентных чисел получается исключением из
множества всех действительных чисел, имеющего мощность
континуум, счетного множества; это обычно выражают, говоря,
что почти все действительные числа трансцендентны.
Из теоремы 269 следует, что сумма, разность, произведение
и частное двух неравных нулю чисел, из которых одно транс-
цендентное, а другое—алгебраическое, является трансцендентным
числом. В частности, трансцендентными числами являются
комплексные числа вида а+Р», где а — действительное трансцен-
дентное, а р—действительное алгебраическое число. Вопросы
существования трансцендентных чисел возникли впервые в ра-
ботах Эйлера. Рассуждения, приведенные в теоремах 275 и 276,
показывающие существование трансцендентных чисел, принад-
лежат немецкому математику Г. Кантору.
271
Впервые существование трансцендентных чисел было установ-
лено Лиувиллем. Доказательство существования трансцендент-
ных чисел у Лиувилля эффективно; на основе следующей теоремы,
являющейся непосредственным следствием теоремы 270, строятся
конкретные примеры трансцендентных чисел.
Теорема 277. Пусть а—действительное число. Если для любого
натурального и. любого действительного с>0 существует
хотя бы одна рациональная дробь у, fy=^aj, такая, что
то а—трансцендентное число.
Доказательство. Если бы а было алгебраическим, то
нашлись бы (теорема 270) целое положительное п и действитель-
ное с>0, такие, что для любой дроби у было бы |а—у|^^ .
а это противоречит тому, что согласно условию теоремы для
этих п и с существует дробь у такая, что имеет место (1).
Предположение, что а — алгебраическое, привело нас к противо-
речию, следовательно, а —неалгебраическое, т. е. трансцендент-
ное, число.
Числа а, для которых при любых и^1 и с>0 неравенство
(1) имеет решение в целых числах а и Ь, называются трансцен-
дентными числами Лиувилля.
Пример. “ = 1^г+1о5]- + у^]-+--- =0,1100010 ... -транс-
цендентное число.
Доказательство. Возьмем произвольные действительные
и с>0. Возьмема= 10*'	_i_	. Н—^\ь = 10Л1,
Uo11^ 10®' ioft1/
2
где k выбрано настолько большим, что 10А1 2? — и тогда
„	а|__	1	,	1	,	_	1	/, , 1 , 1 ,
* j	+]0(fe + 3)J + •••<- 10(ft+i)i -г 2 2® ‘	‘ ’
_ 2	1	_	1
~10ftl * 10ш <сьп •
Поскольку для произвольных n > 1 и О 0 можно найти
дробь у такую, что |а— у	то а —трансцендентное число.
Если вместо теоремы Лиувилля воспользоваться результатом
Рота (теорема 273), то теорему 277 можно существенно усилить
и дать в следующем виде.
Теорема 277'. Пусть а —действительное число. Если для
некоторого е>0 и любого с>0 существует рациональное
272
число -г ( ir =5^ а)» гпакое, что
о \ 0 * J
I а I с
то а—трансцендентное число.
Доказательство. Если бы а было алгебраическим сте-
пени п&в2, то при любом 8>0 нашлось бы с>0 такое, что
для любой дроби у- было бы |а— у	(теорема (273), а
это противоречит условию теоремы.
Согласно теореме 70 а не может быть и алгебраическим 1-й
степени, так как тогда имелось бы с>0, такое что для любой
дроби у выполнялось неравенство
I	а \ с . с
|“ b |	Ь 6*+' •
Таким образом, а —трансцендентное число.
Пример. Пользуясь теоремой 277', доказать трансцендент-
CD
х? (-1)"
ность числа а— -,п- 
п = 1	1
Возьмем 8 = "2 и произвольное с>0. Выбрав Ь = -^у,
1_2,	, (-0Л
2	2*’ ***
где k настолько большое, что 2°’в'8
a
23ft 7 ’
—, имеем:
с г
так что а—трансцендентное число.
2. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЛА в. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ВОПРОСА О ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЛАХ
Теорема Лиувилля, давая возможность строить трансцен-
дентные числа определенной природы, названные нами числами
Лиувилля, не дает, однако, возможности определить, являются
ли алгебраическими или трансцендентными различные постоян-
ные, с которыми мы особенно часто встречаемся в математичес-
ких вычислениях и исследованиях.
В частности, эта теорема оказалась недостаточной для дока-
зательства трансцендентности числа е—основания системы на-
туральных логарифмов. Трансцендентность е была доказана
только в 1873 г. французским математиком Ш. Эрмитом.
273
Теорема 278. Число е трансцендентно.
Доказательство. Предположим, что е — корень много-
члена с целыми коэффициентами с0, сх, ..., сп, так что
со + cie + • • • + £ne” = 0-	(2)
Обозначим через М наибольшую из абсолютных величин коэф-
фициентов cs, так что при всех s = 0,l, .... п имеем
„(Л+1)»
При заданном п функция (у__ щ при увеличении у стремится
к нулю и, поскольку существуют сколь угодно большие простые
числа, мы можем выбрать Простое число р так, что будут
одновременно выполняться условия:
пр(гг + 1)	1
f < 2М (n+1) е" - Р > I со I и Р>П.
Рассмотрим функцию степени (n+l)p —1
А	ГР"1
f W = £=Т)Т (х -1)' (х - 2)' ... (х - ПЛ
Интегрируя по частям, находим:
Je*"7 (0 dt = -f (х) +е7(0) + ]ех~Ч' (/) dt =.
о	о
ж
= - (/ (х) +f (х)) + ex(f (0) + Г (0)) + $ е*-*Г (t)dt=...
О
Продолжим этот процесс, пока не дойдем до производной
порядка (п +-1) р, равной тождественно нулю; получим:
jV“7(0<#=-F(x) + esF(0),	(3)
О
где F(x) = f(x) + f(x) + f (х) + ... (до производной порядка
пр + р-1).
Подставляя в (3) вместо х число s и умножая на cs, (0 s л),
имеем:
Б
csF (s) +с, $ е,-7 (0 dt = c^F(Q).	(4)
о
Придавая s значения 0,1, ..., я, складывая при таких s равен-
ства (4) и принимая во внимание, что ввиду тождества (2) правая
часть получается равной нулю, находим:
ceF(0)-bc*F(l)4-...+cZ(«)+S ^R"7(0^ = 0. (S)
s=o е
274
Разложение f (х) по степеням х имеет вид:
f(*)=(Vi*'-1 + А X + • • )’	<6>
где Ap_L, Ар, ...—целые числа. Получаем;
H0) = f (0) = ...=^-2>(0) = 0, а f^(O) = Ap_1 =
= (—1)п^.К.2^...п^
есть целое число, которое, поскольку р простое и п<р, не
делится на р; fr) (0), /V+1’ (0), ..., как легко видеть из (6), — це-
лые числа, делящиеся на р.
F (0) =	(0)4- ffp) (0) + /^+1) (0) + • • • представляет собой
сумму целого числа /(/,-1)(0), не делящегося на р, и других
целых чисел, кратных р, так что р F (0). Поскольку р2>|₽0|»
то будет также p^cBF(0).
Разложение f (х) по степеням х — k, где 1 k п, имеет вид:
f W =-(^iyr р + В*' р^ (*-*И+1 + . • •). (7)
где все коэффициенты Bki р, Bki р+1, ...—целые числа.
Дифференцируя (7), легко видеть, что при всех таких k
F (k) = f(k) + f' (A) 4- ... — целое число, делящееся на р.
В сумме
7? = cBF(0)4-₽1f (1)4-...+с„^(«)
первое слагаемое не делится на р, а все остальные слагаемые
делятся на р, так что R — целое число, не делящееся на р, и,
таким образом, отлично от нуля.
Целое число, отличное от нуля, имеет модуль, больший или
равный единице (теорема IX), так что
Оценим теперь величину j R | сверху. Согласно (5)
п s
|Я|=12
s=o 0
Во всех интегралах, входящих в R, величина t пробегает
значения, не выходящие за пределы сегмента [0; п], а при та-
ких t справедливо неравенство:
так что при всех 8 = 0,1, .... п имеем (теорема XX):
что противоречит полученному ранее неравенству | R | S» 1.
275
Предположений, что е— алгебраическое число, привело нас к
противоречию; следовательно, в —неалгебраическое, т. е. транс-
цендентное, число.
Развивая метод Эрмита, в 1882 г. Линдеман доказал теорему,
устанавливающую трансцендентность довольно обширного класса
чисел. Мы приведем эту теорему без доказательства, так как
оно лежит в том же круге идей, что и доказательство трансцен-
дентности числа е, существенно используя, однако, ряд свойств
множества алгебраических чисел.
Теорема 279 (Линдеман). Если	+ ... + А^п = О,
где Лг, Л2, ..., А„ — алгебраические числа, среди которых хотя
бы одно не равно нулю, ах, а2, . .., ап попарно различны и
аг,	, а„ — алгебраические числа, то 04 — трансцендентное число.
Теорема 279 означает, что если а1( ..., ап —попарно раз-
личные алгебраические числа, то при любых, не равных одно-
временно нулю, алгебраических числах Л(......Лп выражение
A^^-j- . , . + Апеал^0. Этот результат выражают, говоря, что
eai, ...,еап при таких а{ линейно независимы над полем алгеб-
раических чисел.
Из общей теоремы Линдемана, в частности, вытекают следую-
щие результаты (теоремы 280 и 280').
Теорема 280 (Линдеман), л — трансцендентное число.
Действительно, 2i —алгебраическое число (корень уравнения
х24-4 = 0). Если бы л было алгебраическим, то (теорема 269)
алгебраическим было бы и число 2л г.
Известно, что е2™ = 1 =е°, т. е. е° — е2П/ = 0, а тогда согласно
теореме 279 (при At — 1, Аа= — 1, 04 = 0, а2 = 2л1) число 0
было бы трансцендентным. Полученное противоречие показывает,
что л трансцендентно.
Теорема 280'. При любом алгебраическом а (а^О) In а — транс-
цендентное число.
Действительно, если бы 1па = р был алгебраическим числом,
то из е? = а = ае°, ае°— е? = 0 согласно теореме 291 следовалобы,
что 0 также трансцендентное. Полученное противоречие пока-
зывает, что in а трансцендентное число.
Метод Эрмита —Линдемана оказался, однако, бессильным
установить трансцендентность многих других величин, часто
встречающихся в математике, таких, например, как 2y'a, loga3, е”
и т. д.
В период с 1882 по 1929 г. теория трансцендентных чисел
почти не двигалась вперед. Известные методы были исчерпаны,
а новых путей для доказательств трансцендентности не было
видно.
В 1929 — 1934 гг. советский математик А. О. Гельфондввел
в теорию трансцендентных чисел существенно новые методы,
позволившие ему и другим математикам, работавшим в этом
направлении, установить трансцендентность многих величин,
276
арифметическая природа которых до этого не была известна.
В частности, этим методом была доказана трансцендентность
указанных выше величин 2^s, loga 3, е" и многих других, о ко-
торых до этого не было даже известно, являются ли они ирра-
циональными.
Общая теорема, доказанная А. О. Гельфондом (мы приводим
ее без доказательства), заключается в следующем.
Теорема 281 (Гельфонд). Если а —алгебраическое число,
отличное от 0 и 1, р—алгебраическое иррациональное, то
а?—трансцендентное число.
Этой теоремой была решена знаменитая проблема, постав-
ленная Гильбертом еще в 1900 г. на Международном съезде
математиков и считавшаяся одной из наиболее трудных среди
целого ряда проблем, выдвинутых им на этом съезде. Частным
"ZT
случаем этой теоремы является трансцендентность чисел а? ,
где целое, а b целое, отличное от п-й степени.
Трансцендентность е~ также получается как частный случай
теоремы Гельфонда, так как в теории функций комплексного
переменного доказывается, что еп= (—1)_(.
Как простое следствие этой же теоремы получается, что ло-
гарифмы рациональных чисел при рациональных основаниях
системы логарифмов либо рациональны, либо трансцендентны,
т. е. не могут быть алгебраическими иррациональностями. Про-
блема определения арифметической природы таких чисел была
поставлена еще Эйлером.
Работы Гельфонда и других математиков, среди которых
можно в первую очередь назвать Зигеля, Маллера, Шнейдера,
Шидловского, в последующие годы существенно продвинули
теорию трансцендентных чисел. Вместе с тем о многих вели-
чинах, часто встречающихся в математике, мы до сих пор не
можем сказать, являются ли они трансцендентными или алгеб-
раическими. Так, например, предполагают, что эйлерова посто-
янная С, введенная в 4-й главе (теорема 54),— трансцендентное
число. Доказать это пока не удалось, и, как было отмечено в 6-й
главе, не опровергнута даже возможность того, что С —рацио-
нальное число.
Исторические комментарии к 30~й главе
1.	Проблемы, относящиеся к теории трансцендентных чисел,
возникли впервые в работах Эйлера, ставившего, в частности,
задачу доказательства трансцендентности иррациональных зна-
чений логарифмической функции.
Теорема 275, показывающая, в частности, существование
трансцендентных чисел, была дана в работах Георга Кантора
(1845-1918).
277
2.	Французский математик Лиувилль (1809 — 1882) известен
своими работами по теории дифференциальных уравнений, эллип-
тических функций и теории трансцендентных чисел. Вопросы су-
ществования трансцендентных чисел были рассмотрены Лиувил-
лем в работах, опубликованных в 1844 и в 1851 гг. до работ
Кантора. Числа Лиувилля проще определить как числа а, для
которых при любом т^г=1 существует бесконечное множество ра-
циональных чисел ~ , таких, что |а— у |<у». Легко видеть, что
это определение совпадает с тем, какое было дано на стра-
нице 272.
3.	Ш. Эрмит (1822 —1901)—французский математик, рабо-
тавший в области теории функций, алгебры и теории чисел
(трансцендентные числа, квадратичные формы).
4.	Теорема Линдемана является частным случаем общих теорем
Зигеля и Шидловского об алгебраической независимости значе-
ний так называемых f-функций при алгебраических значениях
аргумента.
5.	Теорема 281 опубликована А. О. Гельфондом в 1934 г. До
этого (в 1929 г.) теорема была им доказана для частного слу-
чая, когда 0— мнимая квадратическая иррациональность.
ГЛАВА 31
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
1.	Общие свойства бинарных квадратичных форм
В 14-й главе мы рассматривали неопределенное уравнение
1-й степени: ах + Ьу = с. Задача, поставленная там, заключалась
в представлении целого числа с в виде формы ах + by, где а
и Ъ—заданные, ахи // — неизвестные целые числа.
В этой главе рассмотрим вопрос о представлении целых чи-
сел в виде формы 2-й степени с двумя неизвестными, или, как
обычно говорят, бинарной квадратичной формы.
Определение 77. Бинарной квадратичной формой называется
выражение вида
ахгЪхусуй,
где а, Ь, с —некоторые целые числа.
Будем а, Ь, с называть соответственно первым, вторым и
третьим коэффициентом формы и для краткости такую форму
обозначать через {а, Ь, с), так что
{а, Ь, с} — ахг + Ьху+су2.	(1)
Переменным х, у будем придавать только целые значения.
Форма (1) представляет собой функцию от двух аргументов,
278
у которой в качестве множества значений аргументов берется
кольцо целых чисел. Основная задача, которую мы здесь ста-
вим,—отыскание представлений заданного N в форме (1), т. е.
нахождение целых х и у, таких, что
ох2 -|- Ьху + су2 — N.	(2)
Определение 78. Соотношение (2) при целых х, у будем
называть представлением числа N формой {а, Ь, с}.
Для каждой формы (1) будем рассматривать множество целых
чисел N, представимых этой формой.
Определение 79. Две формы {а, Ь, с} и {Л, В, С} называются
равными, если а = А, Ь = В, с = С.
Таким образом, равенство двух форм означает тождественное
равенство, и если две формы равны, то они принимают одина-
ковые значения для каждой пары значений х ну. Если в форме (1)
после замены х на ах' + 0у', а у на ух' -\-ду', гдеа, 0, у, 6 — целые,
получается форма Ax'2-t~Bx'y' + Су'2, то будем говорить, что
линейная подстановка
х = ах' + $у’ 1	,3.
у=ух' + 8у' I
переводит форму {а, Ь, с} в форму {А, В, С}.
Замену х и у в форме (1) их выражениями из (3) будем на-
зывать применением линейной подстановки (3) к форме (1).
Начнем с рассмотрения некоторых общих свойств бинарных
квадратичных форм.
Определение 80. Формы {а, Ь, с} и {Л, В, С} называются
эквивалентными, если существует линейная подстановка
х = ах' + Ру' 1
i/ = yx' + 6i/' J
с целыми коэффициентами а, р, у, б и определителем
ад — Ру = 1, переводящая {а, Ь, с} в {Л, В, С}, т. е, такая, что
ах2 + Ьху + су2 = Ах'2 + Вх'у' + су'2.	(4)
Эквивалентность форм {а, Ь, с} и {Л, В, С} будем записывать
в виде
{а, Ь, с}сл{Л, В, С}.
Линейные подстановки (3) с целыми а, р, у, 6 и определи-
телем аб —Ру = 1 мы будем называть унимодулярными подста-
новками и обозначать в сокращенной записи знаком
279
Иа соотношений (4) и (3) следует:
А = аа2 + bay 4- су®
В = 2аар -j- b (аб 4- Ру) 4- 2с8у
(5)
С = ара+Ьр5 + с5а
Таким образом, формы {а, Ь, с) и {Л, В, С} эквивалентны
тогда и только тогда, когда существуют целые числа а, р,у,8,
такие, что имеют место соотношения (5).
Определение 81. Дискриминантом формы {а, Ь, с} называ-
ется число & = Ь2 — 4ас.
Теорема 282. Эквивалентные формы имеют один и тот же
дискриминант.
Доказательство. Если {а, Ь, с}сл{Л, В, С}, то суще-
ствуют целые а, р, у, 6, при которых соотношения (5) верны.
Непосредственное вычисление дает
В2 — 4АС = (Ь2 — 4ас) (а8 — ру)® = Ь2 — 4ас.
Мы не будем рассматривать форм с дискриминантом Д = О,
так как в этом случае имеем:
4а (ах2 4- Ьху 4- су2) = (2ах4- by)2,
т» е. после умножения на 4а мы получаем квадрат линейной
формы.
Теорема 283. Отношение эквивалентности квадратичных
форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности
и транзитивности, т. е.:
1)	{а, Ъ, с)сл{а, Ь, с).
2)	Если {а, Ь, с} со {Л, В, С}, то {Л, В, С}сл{а, Ь, с}.
3)	Если {а, Ь, с}	blt cj, {alt blt c1}cz>{a2, b2, cs},
mo {a, b, с)с/э{а2, b2, ca}.
Доказательство. 1) Унимодулярная подстановка^^,
т. е. подстановка
х^х'
У = У',
переводит форму {а, Ь, с} самое в себя.
2) Если подстановка гдеаб — ру = 1, переводит {а, Ь,с}
в {Л, В, С}, то обратная подстановка м тожеунимоду-
лярна и переводит {Л, В, С) в {а, Ь, с}.
3) Если {а, Ь, с}сл{ax, blt q), {alt blt q)c/5{a2, bit c2),
T. e. существуют унимодулярные подстановки:
(aiM,	(Ч’М,	(6)
kvi6i/	\Y1 ба A	'
переводящие соответственно {a, b, с] в {а1э blt cj и blt Cj}
280
в {а2, bt, с2), то произведение подстановок (6), т. е. подстановка
/ГИ1<Ч + Р1У» <*1Ра + Р16»\
VYiOa + Mi YiPi + Mi/’	' ’
переводит {а, Ь, с} в {а2, Ь2, с2}.
Определитель подстановки (матрицы) (7) равен произведению
определителей подстановок (матриц) (6), т. е. тоже равен 1.
Из теоремы непосредственно следует, что две квадратичные
формы, эквивалентные одной и той же третьей, эквивалентны
между собой.
Теорема 284. Если {л, Ъ, с}сл{Л, В, С} и А, В, С не равны
одновременно нулю, то наибольший общий делитель (а, Ь, с) =
= (Л, В, С).
Доказательство. Из формул (5) непосредственно видно,
что поскольку А, В, С не равны одновременно нулю, то и среди
чисел а, Ь, с имеется по крайней мере одно число, отличное
от нуля, т. е. (теорема 27) существуют наибольшие общие дели-
тели (Л, В, С) и (а, Ь, с). Из тех же формул (5) видно, что
если d\a, d\b, d\c, то d\ A, d\B, d|C.
Поскольку отношение эквивалентности симметрично, то и из
d | А, d ] В, d | С следует d ] a, d | b, d | с. Множества общих делителей
у а, Ь, с и у А, В, С совпадают, а следовательно, н(а,Ь, с) =
= (Л, В, С).
Определение 82. Форма {а, Ь, с} называется примитивной,
если (a, b, с) — 1.
Если
N— ах*-\-bxy+ суя и (a, b, c) — d,
то
^ар^ + брсу+^у2, где Л1 = /,
Ci =	, (#1, Ьг, с2) = 1
и форма {flj, blf cj будет уже примитивной.
Изучая представление натуральных чисел квадратичными фор-
мами, достаточно ограничиться рассмотрением примитивных
квадратичных форм.
Теорема 285. Эквивалентные квадратичные формы представ-
ляют одно и то же множество целых чисел.
Доказательство. Пусть {а, Ь, с}сл{Л, В, С}, т. е. су-
ществует унимодулярная подстановка (3), такая, что при выпол-
нении соотношений (5) имеет место тождественное равенство (4).
Целым значениям х', у', очевидно, соответствуют целые значе-
ния х и у, и если
N = Ах'2 + Вх'у' + Су'я, то и ax* + bxy + cy* = N,
т. е. любое число, представимое формой {Л, В, С), представимо
формой {а, Ь, с}.
281-
Поскольку отношение эквивалентности обладает свойством
симметричности (теорема 283), то и любое число, представимое
формой {а, Ь, с}, представимо формой {Л, В, С}.
Определение 83. Классом {а, Ь, с} называется множество
всех квадратичных форм, эквивалентных форме {а, Ь, с}.
Согласно теореме 283 (транзитивность отношения эквивалентно-
сти), если {Л, В, 0} со {а, Ь, с}, то множество квадратичных форм,
эквивалентных {Л, В, С}, совпадает с множеством форм, эквива-
лентных {а, Ь, с}, т. е. {Л, В, С}={а, Ь, с). Класс {а, Ь, с}
объединяет все квадратичные формы, эквивалентные любой из
форм этого класса.
Все формы данного класса имеют один и тот же дискрими-
нант (теорема 282). Вместе с тем один и тот же дискриминант
могут иметь и формы разных классов. Например, 5х2 + у2 и
2х2 + 2ху + 3уг — неэквивалентные формы, так как число 7 пред-
ставимо второй из них (х=1, у — 1) и не представимо в виде
5x2-|-t/2 ни при каких целых х и у. Вместе с тем эти формы
имеют один и тот же дискриминант Д= —20,
Определение 84. Представление N в виде (2) с взаимно
простыми х, у называется собственным представлением.
Очевидно, что достаточно рассматривать собственные пред-
ставления. Действительно, если (х, y) = d и /V представимо
в виде (2), то и
— собственное представление .
Теорема 286. Число N представимо собственным образом фор-
мой {а, Ь, с} тогда и только тогда, когда существует форма
{Л, В, С}со{а, Ь, с}, такая, что A=N, 0a^B<2|AZ|.
Доказательство. 1) Пусть при целых х = а, у = Р, где
(а, Р)=1, выполняется равенство
N - аа2 4- bay + су2.
Решив неопределенное уравнение
аб—Ру = 1
с неизвестными б, у, находим б и у, а затем представим число
Q = 2atzP -J- b (аб + Ру) + 2суб
в виде:
Q = 2\N\q + r, где 0 г < 21 .V |.
Преобразование
х=ах' + (р —У',
у = ух -Цб —	У
282
с определителем аб—Ру = 1 переводит форму {а, Ь, с} в неко-
торую эквивалентную форму {А, В, С}, где согласно форму-
лам (5)
А = аа2 4- bay + су2 = N,
В = 2Цр-а?^)+ь(а(б-у<7-И1) + (₽-^-1*1) у) +
+ 2су (б—2q-L^L(aa2-]-bay + cy2) =
= Q — 2\N\q = r,
так что 0 В < 2 | N ].
2) Существование формы {Л, В, С}сг>{а, Ь, с], где j4 = 7V,
означает, что некоторая унимодулярная подстановка (3) пере-
водит {а, Ь, с} в { Л, В, С}, т. е. выполняется тождественное
равенство
ах2 4- Ьху + су2 = Ах'г 4- Вх'у' 4- Су'\
В частности, при х' = 1, у' = 0, где (1, 0) = 1, и соответ-
ствующих целых значениях х = а, у = у имеем:
N~A = aa2+ Ьау4~суа,	(8)
т. е. W представимо формой {а, Ь, с},
Это доказательство показывает, что, зная подстановку (3),
переводящую {а, Ь, с} в {N, В, С}, мы по формуле (8) нахо-
дим представление N формой {а, Ь, с }.
Теорема 287. Для каждого собственного представления N =^= 0
формой {а, Ь, с}:
N = аа2 -J- bay 4- суа,
и заданной формы {N, В, С}, эквивалентной форме {а, Ь, с},
существует только одна унимодулярная линейная подстановка
(а р\
вида ( j ( переводящая { а, Ь, с} в { N, В, С}.
Доказательство. Пусть I и I ^,1—две унимоду-
лярные подстановки, переводящие {а, Ь, с} в {N, В, С}.
Поскольку Nт^О, то а и у не могут равняться нулю одно-
временно.
Если, например, а=^0, то из
аб—Ру ~ ад'— р'у = 1
получаем:
6-6' = £(Р-0')-
(9)
Согласно формулам (5) при A = N имеем: аа2 4- bay4- су2 = N,
В = 2аар 4-Ь (аб4-Ру)4-2суб = 2aafi' 4-Ь (ад’ 4- Р'у) 4~2суб', от-
куда получаем:
(2aa4-by)(p-p') = -(ba-f-2cy)(6-6').	(10)
283
Заменяя в (10) б—S' по формуле (9) н перенося все члены
в левую часть, получаем: 2N(0—р') = 0. Поскольку
то |3 = |3', а, следовательно, ввиду (9) и 6 = 6*. Случай у^=0
рассматривается аналогично.
Теорема 288. Пусть Д—дискриминант квадратичной формы
{а, Ь, с} и число N представимо собственным образом этой
формой; тогда:
1) сравнение
га = Д (mod4|M|)	(11)
имеет решения;
2) Для каждого собственного представления N формой { а, Ь, с }
существует форма {N, В, С}с/э{а, Ь, с}, такая, что В удов-
летворяет сравнению (11) и 0<;В<2|У|.
Доказательство. Пусть существуют целые, взаимно про-
стые х и у, такие, что N = ах2 + Ьху + су2. Согласно теореме 286
существует форма {2V, В, С} со {а, Ь, с}, такая, что
0<В<2|Л?|.
Теорема о равенстве дискриминантов эквивалентных форм
показывает, что тогда
В2 — 4NC = b2 —4ас = Ь,	(12)
В2 - Д (mod 41 N |),
т. е. сравнение (11) имеет решения и В удовлетворяет этому
сравнению, причем 0 В < 21 N |.
Число решений сравнения (11) было определено в теореме 226.
Пример. Число 86 не представимо формой х2-{-Зху + у2,
так как здесь Д = 5,
1
и сравнение xa = 5(mod 8-43) не имеет решений.
Сравнение (11) может иметь решение и тогда, когда W
не представимо формой { а, Ь, с }. Например, 1, очевидно, не пред-
ставимо формой 2ха4-3уа, а вместе с тем здесь Д = —24 и срав-
нение х2=—24 (mod 4) имеет решения.
Теорема 289. Для каждой квадратичной формы {а, Ь, с)
существует эквивалентная форма {А, В, С}, такая, что
|В|^[4)<С[.	(13)
Доказательство. Формы {а, Ь, с) и {с, —Ь, а} эквива-
/О — 1\
лентны, так как унимодулярная подстановка [ ।	1 переводит
первую из них во вторую. Мы можем поэтому всегда начать
с формы, у которой |а|=с1с], и если при этом |Ь[=с|а|, то
искомая форма найдена. Если	, то найдем целые t и г,
такие, что
Ь = 2 ] а [ £ +г,
284
где |г|^|а|, т. е. возьмем в качестве г наименьший по абсо-
лютной величине вычет по модулю 21 а |, который (теорема 98)
заключен в сегменте [—| а |; | а|].
71	IаI
Унимодулярная подстановка j )» Где k= — tt т. е. под-
становка.
г I а | , ,
X = X — J—- ty ,
a s ’
У = У‘,
переводит форму {а, Ь, с} в эквивалентную форму {а1( blt сг},
где согласно формулам (5) at = а, bt = —2а t Ь = Ь—2 |а| / = г,
т. е. в форму, где | b, | «С | аг | .
Если lOil^lql, то форма {at, blt ct} удовлетворяет постав-
ленным условиям.
/О —1\
Если	то подстановкой (. переводим
{аг, Ь1( су } в эквивалентную форму {сх, —Ь±, а,}, т. е. в форму
{ Од» ^2»	} > тде
I аг I = I q | < 1011 = | а | и |с21 =- |а,1 = |а| < |с[.
„	71 Л\ /0-1\
Произведение подстановок Iq j) и I j q) Равно подста-
(k —1\
новке I j I .
Таким образом, при | а [ sg | с [ из двух унимодулярных под-
71	7/г —1\
становок Iq ]) иН ^1 либо первая дает квадратичную форму,
удовлетворяющую поставленным условиям, либо вторая перево-
дит {а, Ь, с} в эквивалентную форму с коэффициентом при х2,
меньшим по модулю, чем у первоначальной формы, причем
коэффициент при у2 не увеличивается по модулю.
Модуль коэффициента при х2 может принять только конеч-
ное число различных значений, меньших чем | а |, так что,
продолжая такие преобразования, мы должны встретиться с пер-
вым случаем, т. е. прийти к эквивалентной форме {А, В, С},
такой, что | В |	| А | «g | С |.
Пример. Для формы { 11, 6, 5} найти эквивалентную форму
{ А, В, СI, такую, что | В[ sg [ A |	| С |.
Здесь |с[<|а|, поэтому сначала применяем подстановку
70 —1\
К qI, переводящую нашу форму в форму {5, —6, 11}.
Для этой формы находим:
—6=10(—1) + 4, t = — 1, k=l.
285
Унимодулярная подстановка К А переводит {5, —6, 11}
в форму {5, 4, 10}, удовлетворяющую условиям (13).
Теорема 290. При любом А=£0 существует только конечное
число неэквивалентных форм, имеющих дискриминант, равный А.
Доказательство. Пусть форма {а, Ь, с} такая, что
(14)
Рассмотрим два случая:
1) А = Ьа—4ас>0.	Тогда ас<0,	—4ас = А—6а^А,
]ас]= — ОС<^-<А .
2) А = Ьа—4ас< 0. В этом случае очевидно, что ас > 0 и Ь2^ас.
— А = 3ас + (ас—Ьа)5®3ас, |ас|=ас^—А.
Таким образом, в обоих случаях из неравенств (14) следует
|&|2<НН^||А|.
Существует только конечное число комплексов ((а, Ь, с))
с целыми а, Ь, с, удовлетворяющих этим условиям, и поскольку
каждая квадратичная форм а эквивалентна форме с условиями (14),
то существует только конечное число неэквивалентных форм
{а, Ь, с} данного дискриминанта А. Мы доказали, таким об-
разом, конечность числа классов любого данного дискрими-
нанта А 0.
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПОЛОЖИТЕЛЬНО
ОПРЕДЕЛЕННЫМИ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
Поскольку
ах3 + Ьху + су* = а (х-}-А	(с—A.'j у* =
= а(х+ТаУУ~^У2’
то при А<0, а>0 форма {а, Ь, с} принимает, кроме нуля,
только положительные значения, а при А<0, а<0 — только
отрицательные значения.
Определение 85. Форма {а, Ь, с} при А <; 0, а > 0 назы-
вается положительно определенной, а при А<0, а<0—отри-
цательно определенной.
Поскольку при таком А числа а и с имеют одинаковые знаки
и каждой положительно определенной форме {а, Ь, с} соответ-
ствует отрицательно определенная форма { — а, —Ь, —с} , при-
нимающая те же значения, но с обратным знаком, достаточно
рассмотреть только один из этих двух случаев. Мы будем рас-
сматривать положительно определенные формы.
286
Из теоремы 285 следует, что если {а, Ь, с} —положительно
определенная форма, то и весь класс {а, Ь, с} состоит из по-
ложительно определенных форм. Можно поэтому говорить о клас-
сах положительно определенных форм. Для положительно опре-
деленных форм теорему 289 можно несколько уточнить и дать
ее в следующем виде.
Теорема 289'. Для каждой положительно определенной формы
{а, Ь, с} существует эквивалентная форма {ах, bx, сх}, такая,
что
— ах <; bx =с ах sg с1(
а если ах = сх, то 0	b1s^a1.
Доказательство. Поскольку у положительно определен-
ных форм коэффициенты при х2 и у2 положительны, форму
{а, Ь, с} согласно теореме 289 можно заменить эквивалентной
формой {Л, В, С}, такой, что —Л=^В<Л<С.
Если В =— Л, то форму {Л, —Л, С} подстановкой Q
переводим в { Л, Л, С}.
Если А — С, В <0, то форму {Л, В, А } подстановкой
переводим в эквивалентную форму {Л, — В, С}, где 0< —В^ Л.
Таким образом, в неравенствах (13) можно избежать случая
В = — Л, а в случае, когда А = С,— сделать коэффициент при ху
неотрица тельным.
Определение 86. Положительно определенная форма { А, В, С}
называется приведенной, если
— А<_В ^А^С, |
а при А~С 0=сВ^Л=С. J	(15)
Теорема 291. В каждом классе положительно определенных
форм имеется в точности одна приведенная форма, т. е. одна
форма, удовлетворяющая условиям (15).
Доказательство. Пусть две эквивалентные положительно
определенные формы {a, b, с}сл{ах, bit q} удовлетворяют
условиям:	-a<b<a^c,
—at <b1^a1 <clt
а при равенстве а и с или ах и сх соответственно b или bt
неотрицательны.
Рассмотрим случай, когда щ^а. Случай а^а1 ввиду сим-
метрии рассматривается совершенно аналогично. Обозначим через
(у б) унимодулярную подстановку, переводящую {а, Ь, с}
в {ах, Ьх, сх}, так что
ах = аа2 4-bay 4-су2	1
Ьх = 2асф4-Ь(аб4-ру) 4-2су2 J ’
287
Из первой формулы в (16), поскольку а < с, | b | < а, получаем!
ajSsajjXza2 —а|ау |-|-ау®,	(17)
откуда
|ay|< 1—(jaj-|y|)2^l,
т. е. |ау равен 0 или 1.
Если ay | = 0, то, поскольку аб —ру = 1, а и у не могут
одновременно обращаться в нуль, одна из этих величин равна О,
а другая по модулю равна 1, так что из неравенств (17) получаем:
a^a1^a(a2 + y2) = a, а = д1.
Если | ay | = 1, то аа = уа = 1, и из (17) также получаем:
т. е. всегда a = av
Рассмотрим теперь три возможных случая.
1)	Если с>д, т. е.	с. В этом случае, поскольку
| ay | sg 1, равенство a = ar = aaa H-bay + суа может иметь место
только при у = 0, а тогда аб — ₽у = 1 дает аб=1. Вторая фор-
мула в (16) принимает вид: = 2aa0-j-Ь, т. е. 2а jbL — b.
По условию
—a<zb^a, ~a<b^a,
так что 2 а | Ьх — b может иметь место только при b = blt а тогда
из равенства дискриминантов Ь2 — 4дс = — 4а1с1 получаем, что
и с = с1.
2)	Если с1>а1, то можно рассмотреть преобразование, пере-
водящее {fllt Ьг, сх} в {а, Ь, с}. Поскольку доказано, что
ах = д, совершенно аналогично получаем br = b, cL = c.
3)	Если с = а = д1 = с1, то из равенства дискриминантов
Ь2 — 4ас = Ья1 — 4а1с1
получаем b2 = b2, и так как согласно условиям b и Ьх неотри-
цательны, то b = b1.
Разработанная нами теория позволяет определить, являются ли
две заданные положительно определенные формы эквивалент-
ными, и в случае их эквивалентности —найти подстановку, пере-
водящую одну из них в другую. Чтобы решить этот вопрос,
мы, применяя алгоритм, изложенный в доказательствах тео-
рем 289 и 289', заменяем каждую из этих форм эквивалентной
формой, удовлетворяющей условиям (15). Если мы при этом
получим одну и ту же форму, то (теорема 2833) первоначальные
формы эквивалентны. Если мы получим две разные формы,
удовлетворяющие условиям (15), то согласно теореме 291 две
первоначальные формы не могут принадлежать одному и тому же
классу, т. е. эти формы неэквивалентны.
Если подстановки S и Т перегодят соответственно {а, Ь, с)
и {ах, blt сх} в одну и ту же форму {А, В, С }, удовлетворяю-
288
щую условиям (15), то подстановка ST-1 переводит {а, &, с)
в {ах, 6Х, сх}.
Пример. Определить, эквивалентны ли формы {73, 17, 1}
и {3, —3, 1 }. Если они эквивалентны, то найти подстановку,
переводящую вторую форму в первую.
Форму {73, 17, 1} подстановкой	переводим в форму
{1, -17, 73}.
-17--2(-9)4-1, t = — 9, А = 9.
/1 9\
Подстановка (р 1 ) переводит {1, —17, 73} в приведенную
форму { 1, 1, 1 } .
Подстановка Т =	о)(о?) = (1	9) переводит { 73, 17, 1 }
непосредственно в {1, 1, 1}. Форму {3, —3, 1} подстановкой
переводим в { 1, 3, 3 }. Здесь 3 —2-l-f-l,/=-H,A = — 1.
Подстановка	переводит { 1, 3, 3} в { 1, 1, 1 } , а под-
/о —1\ /1 —1\	/О—IX	.	,о „ . ,
становка5={, Но j 1 = (t t 1 переводит форму {3, — 3, 1}
непосредственно в {1, 1, 1}.
Формы {73, 17, 1} и {3, —3, 1} эквивалентны,
=	ST-1 = (ioi) — подстановка, переводящая
{3, — 3, 1} в {73, 17, 1}/
Теоремы существования 289 и 289' эффективны в том смысле,
что они дают определенный способ нахождения унимодулярной
подстановки , переводящей положительно определенную
форму {а, Ь, с} в приведенную форму { А, В, С}. Естественно
возникает вопрос: сколько существует таких подстановок и чем
они отличаются друг от друга? Ради простоты сформулируем
соответствующие теоремы для примитивных форм.
Теорема 292. Для любой приведенной примитивной положи-
тельно определенной формы {а, Ь, с} с дискриминантом, отлич-
ным от —3 и —4, существуют в точности две унимодулярные
подстановки, переводящие эту форму самое в себя.
Одна из этих подстановок > а другая g .
Доказательство. Если , где аб — Ру = 1, переводит
форму {а, Ь, с}, удовлетворяющую условиям теоремы, в {а, Ь, с},
то по формулам (5) имеем:
а = аа14-Ьау + суа,	(18)
b — 2ааР -}у Ь (аб 4- Ру) + 2суЗ,	(19)
с = ар1 + &рб4-с6а.
10 А. А. Вухштхб
289
Докажем, что из равенства (18) следует
1 >аг — |ау| +уа.	(20)
Действительно, если с > а, то ввиду — a<ib^a неравен-
ства (20) есть непосредственное следствие равенства (18).
Рассматривая же случай с = а, т. е. случай, когда
имеем, поскольку дискриминант А отличен от —3 и —4,
{а, Ь, с}{1, 1, 1} и {a, b, с}^{ 1, 0, 1}.
Наибольший общий делитель (а, Ь, с)=1, так что Ь^а
и й=40, т. е. Q<Zb<Za, и тогда из (18) также следует неравен-
ство (20).
Из неравенства (20) следует:
|ау|< 1 — (|а| — |у|)2<1, ау = 0.
Предположим, что а = 0, тогда из «5 — ру=1 получаем:
Ру=—1, у = ±1. При с>а это противоречит равенству (18),
а при с = а из равенств (19) получаем 2Ь = 2а\8, что невоз-
можно, поскольку, как это было отмечено выше, в этом случае
0< Ь< а.
Таким образом, а=/=0, у = 0, «6=1.
Из равенства (19) получаем 2аа0 = О, 0 = 0, так что приа=1
/1 0\	.
паша линейная подстановка имеет вид: К и, а при а = — 1
вид (“i-?)-
Определение 87. Унимодулярные линейные подстановки, пере-
водящие квадратичную форму самое в себя, называются ее авто-
морфизмами.
Теорема 293. При А =— 4 существует только одна приведен-
ная положительно определенная форма, а именно форма {1,0, 1}.
Эта форма имеет четыре автоморфизма:
Доказательство. Из Ьг — 4ас = — 4, а>0, с>0,
I b j а -С с следует:
4 =с 4ас — 4 + Ь2	4 + ас,
4
Зас<4, lsgacsS-5-, ас=1, а = с=1, Ь = 0,
□
т. е. {а, Ь, с} = {1, 0, 1}.'
Пусть есть автоморфизм {1, 0, 1 }| тогда из (18) и (19)
получаем: 1=а2 + уа, О = а0 + у6, т, е. либо 1) а = ±1, у = 0,
Р=0, либо 2) а —0, у —±1, 6 = 0. Поскольку аб —ру = 1, то
в первом случае б = а, а во втором р = — у, что и дает четыре
автоморфизма (21).
290
Теорема 294. При Л ——3 существует только одна приведен-
ная положительно определенная форма, а именно форма {1, 1, 1 } .
Эта форма имеет шесть автоморфизмов:
/1 0\ / —1 0\ /О—1\ / о 1\	/ 1 1\ / —1 —1\
\о i у * V о—ij’ и 1/’ к—i-М’ \—io/’ \ 1 о; •
Доказательство. Из ба— 4ас — — 3,	а>0,	с>0,
I Ь | а с следует: 4ac = 3 + b2sg3 + ac; ас 1; ас=1; а=1;
с=Г, 6=1, т. е. {а, Ь, с} = {1, 1, 1}.
Пусть — автоморфизм {1, 1, 1 } I тогда соотноше-
ния (18) и (19) дают;
1 =а2 + ау + уа, 1 = 2а0+аб + 0у + 2уб.	(22)
Если ау = 0, то, поскольку аб — 0у = 1, могут быть следую-
щие возможности:
1) у=±о,-а=1, 6 = 1, 0 = 0; 2) у = 0, а = —1, б = —1, 0 = 0;
3) а = 0, у = 1, 0 = — 1, б=1;4)а = 0;у = — 1, 0 = 1,6 = — 1.
Если ау^=0, то ау=1—а2—у2<0> I aY I =— аУ> «7 =
= (|а|— j у |)2 —	—1, ау = —1. Соотношения (22) и условие
аб —0у=1 дают еще две следующие возможности:
5) а=1, у = —1, 0—6=1, 6+0=1, 0=1, 6 = 0;
6) а = —1, y l, 6—0=1, 6 + 0 = —1, 6 = 0, 0 = — 1.
Теорема 295. Число автоморфизмов примитивной положи-
тельно определенной формы {а, Ь, с} с дискриминантом Д
равно1
1)	4 при Д =— 4,
2)	6 при Д =— 3,
3)	2 при всех остальных значениях Д.
Доказательство. Пусть X—некоторая унимодулярная
линейная подстановка, переводящая {а, Ь, с) в приведенную
форму { А, В, С}, a U — автоморфизм {Л, В, С}; тогда SUS'1 —
автоморфизм {а, Ь, с}. Мы получим все автоморфизмы {а, Ь, с},
если в SUS'1 при заданном X будем в качестве U брать раз-
личные автоморфизмы {А, В, С}. Действительно, если V —
произвольный автоморфизм {а, Ъ, с}, то X-1VX переводит
{Л, В, С} самое в себя, т. е. X-1VX = [/, V = SUS~1.
Поскольку St/jX-1 = XU2X“1 только при U1=(/2, то число
автоморфизмов у {а, Ь, с} и {Л, В, С} одинаково, т. е. со-
гласно теоремам 292 , 293 и 294 равно четырем при Д= — 4,
шести при Д = —3 и двум во всех остальных случаях.
Определив число автоморфизмов, укажем их конкретную форму.
Теорема 296. Примитивная положительно определенная
. г .	1	□	л	/1 0 \	— 1 ОХ
форма {а, Ь, с} с дискриминантом Д, кроме о i 7 м \ 0 — 1/ ’
10*
291
имеет еще только следующие автоморфизмы:
тт	гг	/1 0\	/—1 0\
Доказательство. Подстановки К ) и [ 0_i)> оче-
видно, являются автоморфизмами для любой квадратичной
формы. Если дискриминант А отличен от —4 и —3, то (тео-
рема 295) других автоморфизмов нет.
Пусть {а, Ь, с}—форма с дискриминантом А =— 4; под-
/— Ь \
\ 2 С \	.
становка	& I переводит ее в форму
\ ° Т /
а (—^-х —су\* -\-Ь (-£х—су\ fax + y у\ + с (ах + ^ У
4аС4 Ь (ах2 + Ьху + су2),
т. е., поскольку Ь2—4ас = — 4, в {а, Ь, с}.
Пусть {а, Ь, с}—форма с дискриминантом А = — 3; подста-
/1—ft \
----С 1
новка . , переводит ее в форму
I	1 **р О I
(\-Ь	\2	/1—&	\ / 1+ft \
al — х—су] +bl — x~cy]lax + -^-y] +
/ .l-J-Ь \2	I-|_4ac_&a
+ С ( ах + —t- у\ = —1—----------(ах2 + Ьху + су2),
т. е., поскольку Ь2—4ас = — 3, в {а, Ь, с}. Аналогично про-
/1 + & \
/ -g- с \
веряем, что и подстановка I i—ftl ПРИ ® представ-
\ а ~2~/
ляет собой автоморфизм {а, Ь, с}.
292
Если —автомог
является автоморфизмом.
(ъ
~2
— а
, очевидно, также
с \
I при Д =— 4 и автоморфизмы
’"‘Г/
„ \	f—1—ь	\
° 1	~2-------С \
j_b I и	I ПРИ 3 получаются
2 /	\ а 2 /
из уже найденных переменой знаков у всех элементов. Согласно
теореме 295, найдя при А —— 4 четыре, а при А =— 3 шесть
автоморфизмов, мы исчерпали все возможные автоморфизмы
таких форм..
Теорема 297. Число унимодулярных линейных подстановок,
переводящих примитивную положительно определенную форму
{а, Ь, с} в эквивалентную ей форму {ах, &х, сх} с дискрими-
нантом А, равно:
1)	4 при А = — 4;
2)	6 при А = — 3;
3)	2 при всех остальных значениях А.
Доказательство. Пусть S—такая линейная подстановка,
переводящая {а, Ь, с} в {ах, bx, сх}, U — произвольный автомор-
физм { а, Ь, с}; тогда US также переводит { а, Ъ, с} в {ах, blt сх }.
Мы получим все унимодулярные подстановки, переводящие
{а, Ь, с} в {ах, bt, сх}, если при заданном S будем в качестве
U брать различные автоморфизмы формы {а, Ь, с}. Действи-
тельно, если Т—произвольная унимодулярная лилейная под-
становка, переводящая {а, Ь, с}, в {ах, 6Х, сх}, то TS~l—
автоморфизм {а, Ь, с}, т. е. TS~l = U, T — US.
Вместе с тем равенство L/xS = t/2S возможно только при
i/x=(72.
Таким образом, число унимодулярных подстановок, пере-
водящих {а, Ь, с] в {ах, bL, сх }, равно числу автоморфизмов
{а, Ь, с}, т. е. согласно предыдущей теореме равно: 4 при
Д =— 4; 6 при А= — 3 и 2 при всех остальных значениях А.
Теоремы этой главы дают возможность найти все собствен-
ные представления положительного числа N примитивной поло-
жительно определенной формой {а, Ь, с}. Для этого:
1) Решаем сравнение В2 = A (mod 42V) и находим значения В,
удовлетворяющие этому сравнению, такие, чтоОг^ В<2У. Если
таких значений В нет, то (теорема 288) не существует представ-
лений N формой {а, Ъ, с}. Если же такие В существуют, то
каждому представлению N формой {а, &, с} соответствует (тео-
ремы 288 и 282) эквивалентная форма {N, В, С} с такими В
и С, где С определяется из равенства (12).
293
2) Найдя все В, удовлетворяющие сравнению = Л (mod 4N),
такие, что 0^B<.2N, и соответствующие С, мы можем соста-
вить все формы {N, В, С}, а затем, выделив из них, как это
было показано выше, формы, эквивалентные {а, Ь, с}, найти
/а р\
все унимодулярные подстановки вида , переводящие
{а, Ь, с} в такие {N, В, С}.
Согласно формулам (5), где A = N, каждая пара а, у есть
решение неопределенного уравнения
N — ах2 Ьху + су2.
Пример. Найти все представления числа 73 формой
Зха— Зху-’- у2.
Очевидно, что в данном случае все представления собствен-
ные. Дискриминант Д =—3. Сравнение В2=—3 (mod 292), экви-
валентное системе В2 =—3(mod73), = —3(mod4), имеет
(теорема 226) четыре решения. Находя эти решения, получаем;
В^± 17 (mod 292), В = ± 129(mod 292).
Из возможных значений В условию 0^5<2-73 удовлет-
воряют В = 17 и В = 129. Значения С, определяемые из равен-
ства В2—^-13-С ——3, равны соответственно 1 и 57.
Форма {3, —3, 1 }, как мы выяснили в примере на странице
289, эквивалентна форме {73, 17, 1} и переходит в нее с по-
мощью подстановки	такчтохх = 1, yv = 10 представляет
собой решение уравнения
3х2-3ху + у2 = 13.	(23)
Умножая j) слева на указанные в теореме 296 для слу-
чая Д =— 3 автоморфизмы —1) ’ (—3 2) Ф°РМЫ {3, —3, 1},
находим еще две подстановки, переводящие {3, —3, 1} в
{73, 17, 1}, а именно _______1} и (17 2,)’ что дает еще два
решения: х2 =— 8, г/2 =— 7 и х3 = 9, у3 = 17.
Остальные три подстановки получаются из найденных пере-
меной знаков всех элементов, что дает еще три решения:
*4 = —1,	— Ю; х6 = 8,
Ув = 7; хв = — 9, уа = —17.
При В = 129, С = 57 форма {73, 129, 57} подстановкой
(j переводится в форму {57, — 129, 73}. Форма
{ 57, — 129, 73} подстановкой Н переводится {1, 15, 57} и.
294
наконец, эта форма подстановкой	переводится в {1, 1, 1}.
Произведение U = (i ~q) (} — (J “	=	{ —в)
переводит {73, 129, 57} непосредственно в { 1, 1, 1 }, а произ-
ведение St/-1, где S —	пеРев°Дит форму {3, —3, 1}
в {73, 129, 57}. Находим
о — 1 \ /— 8 — 7\_ Z 1	1\
1 — 1Д— 1 —1/ ^—7—6/’
х7 = 1, у1 =—7 — решение неопределенного уравнения (23).
Умножая
слева на а
находим еще две подстановки:
8 — 7\
17 __15у 1 пеРев°"
дящие {3, —3, 1 } в {73, 129, 57}, и получаем соответствующие
решения: хв = 9, у6 = 10 и х9 = —8, t/9 =—17. Меняя знаки,
находим еще три решения: х10 =—1, у10 = 7; хи =— 9,
уп ——10; х1а = 8, £/i2 = 17, так что уравнение (23) имеет всего
12 решений в целых числах.
Исторические комментарии к 31-й главе
1.	Теория квадратичных форм возникла как естественное
обобщение ряда частных задач с неопределенными уравнениями;
некоторые из этих задач мы рассмотрим в следующей главе.
В 1773 г. Лагранж в своей работе „Recherches d'Arithmeti-
que“ опубликовал основные результаты о представлении чисел
бинарными квадратичными формами. В то время как до Лагран-
жа (Ферма, Эйлер и другие математики) изучали только формы
частного вида, Лагранж, рассматривая бинарные квадратичные
формы вида (1), заложил основы общей теории. Лагранж рас-
сматривал линейные подстановки с определителем, равным ±1.
Он показал возможность замены заданной формы другой фор-
мой, удовлетворяющей условиям (13) теоремы 289, и‘установил
основную связь между вопросом о. представимости чисел квад-
ратичной формой и существованием решений соответствующего
сравнения 2-й степени.
Лежандр в 1798 г., излагая в своей книге „Essai sur la theo-
rie des nombres** результаты Лагранжа по теории квадратичных
форм, внес существенные упрощения и дополнения. В своих
исследованиях он пользовался законом взаимности, доказатель-
ство которого, оказавшееся, однако, неполным, было им поме-
щено в этой же книге. Таким образом, часть результатов Ле-
жандра была полностью обоснована только после выхода гаус-
совских „Disquisitiones arithmeticae".
295
Применяемая в настоящее время в теории квадратичных форм
терминология введена в основном Гауссом, который в своих
„Disquisitiones arlthmeticae" дал систематическую теорию бинар-
ных квадратичных форм, причем в отличие от Лагранжа он так же,
как Лежандр, брал формы вида ах* + 2Ьху + су*. Гаусс далеко
продвинул теорию таких форм. Рассматривая линейные Преоб-
разования с произвольными определителями, он ввел понятие
эквивалентности квадратичных форм, существенно различая пре-
образования с определителями, равными +1 и —1. Гаусс, не
ограничиваясь делением на классы, дал более полную класси-
фикацию бинарных квадратичных форм. Исследования Гаусса
существенно опирались на развитую им теорию композиции форм.
2.	Число классов й(А) данного дискриминанта Д рассматри-
вается как числовая функция от А. Эта функция играет большую
роль в различных задачах теории чисел. Изучение этой функции
было начато в работах Гаусса и Якоби, но особенно важные
результаты были получены здесь Дирихле, который дал вывод
формул, выражающих эту функцию через другие, сравнительно
простые арифметические величины.
3,	Квадратичные формы с большим, чем два, числом пере-
менных начали изучаться еще Гауссом (тернарные формы). Наи-
более общие квадратичные формы от п переменных также изуча-
лись уже в XIX веке. В настоящее время теория таких форм
с большим успехом развивается многими математиками.
ГЛАВА 32
НЕКОТОРЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ КВАДРАТОВ
И В ВИДЕ Ха-|-2_уа
Общие методы решения диофантовых уравнений с двумя
неизвестными
aoxn + a1xn~ly+...+anyn = N
в целых числах х и у почти не разработаны.
Мы начнем с нескольких диофантовых уравнений, являющихся
частными случаями уравнений, изученных в предыдущей главе.
В качестве первой задачи рассмотрим вопрос о представлении
чисел в виде суммы двух квадратов.
Теорема 298. Уравнение
= (1)
где N (N >0) целое, имеет решения в целых, взаимно про-
стых числах х и у тогда и только тогда, когда каноническое
разложение N не содержит простых чисел р вида 4л 4-3 и
296
4фУ. Число собственных представлений N в виде (1) равно 4и,
где v—число решений сравнения
z2=— 1 (mod N).	(2)
Примечание. Число решений сравнения (2) было определено
в теореме 226.
Доказательство. На странице 190 (частный случай тео-
ремы 213) было найдено, что при взаимно простых х и у число
вида х2-[-у2 не делится на простые числа р = 4п + 3, поэтому,
если N имеет хотя бы один такой делитель, уравнение (1) не имеет
решений с взаимно простыми х и у. При (х, у) = 1 по крайней
мере одно из чисел х, у нечетно; левая часть уравнения (1)
сравнима с 1 или 2 по модулю 4 и если 4/ЛА, то уравнение (1)
также не имеет решения с такими х, у.
Если N не имеет простых делителей вида 4n-f-3 и 4\ N,
то (теоремы 226 и 207) сравнение (2) имеет решения, т. е.
Заменяя В через 2z, легко определить, что число решений
сравнения
В2 = —4 (mod 4М) *	(3)
в два раза больше, чем число решений сравнения (2), т. е.
равно 2и. Поскольку вместе с каждым В сравнению (3) всегда
удовлетворяет и 4//—В, то число решений этого сравнения, таких,
что 0гСВ-<2Лг, равно v и, следовательно, согласно результа-
там, полученным в предыдущей главе, существует v форм
{ ЛГ, В, С} с дискриминантом —4, у которых 0s^B<2V.
Все эти формы согласно теоремам 291 н 293 эквивалентны
{1,0, 1 } и для каждой из них (теорема 297) существуют четыре
унимодулярные линейные подстановки, переводящие {1, 0, 1}
в такую форму {V, В, С}, т. е. общее число таких преобра-
зований равно 4о.
Различным унимодулярным линейным подстановкам соответ-
ствуют различные представления Д'” в виде (1) (теорема 287), и,
таким образом, результаты, полученные в 31-й главе (см. стр. 293),
показывают, что число представлений N в виде (1) равно 4v.
Если N = Pil ... Ps* или N — 2pil ... р^ , где все р, — про-
стые числа вида 4п + 1, то сравнение (2) имеет 2J решений, и
число представлений Д'” в виде (1) равно 2*+2.
Каждому решению х0, у0 уравнения (1) можно сопоставить
восемь решений, получающихся перестановкой этих величин и
различными изменениями в их знаках. Если рассматривать только
положительные значения неизвестных, то решений будет v.
Частный случай теоремы 298 для простых значений N был
доказан Эйлером.
Теорема 299. Если не считать различными разложения,
отличающиеся порядкам слагаемых, то каждое простое число
297
р = 4n 4*1 единственным образом разлагается на сумму двух
квадратов.
Доказательство. При N = p = 4n4-1 сравнение (2)
имеет два решения (у —2). Уравнение х2 + у2~р имеет два
решения в положительных числах, при этом (х, у) = 1, х^=у,
так что если разложения р = х2 + у2 и р = у24-х2 считать оди-
наковыми, то будет в точности одно и только одно разложение.
Решения уравнения х24~У2 = Р можно найти, рассматривая
числа р — I2, р — 22, р — З2, ..., пока не найдем среди них квад-
рата. Применение общих теорем предыдущей главы требует
обычно более длинных вычислений, чем непосредственный под-
бор. Совершенно аналогично теореме 298 можно рассмотреть
представления положительных чисел в виде х24-2р2.
Теорема 300. Уравнение
х2 + 2у2-У,	(4)
где N—положительное нечетное число, имеет решения в це-
лых взаимно простых числах х, у тогда и только тогда, когда
каноническое разложаще N не содержит простых чисел р
вида 8л+ 5 и 8п4- 7. Число таких представлений равно 2v,
где v—число решений сравнения
z2 = — 2 (mod TV).	(5)
Доказательство. Необходимость условия была показана
на странице 190 (частный случай теоремы 213).
Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8л 4-5 и
8л 4-7, то сравнение (5) имеет решения, т. е. у=#0. Совершенно
так же, как и в теореме 298, получаем, что число форм {./V, В, С}
с дискриминантом Д =— 8, таких, что 0<^B<z2N, равно о.
Так же, как в теоремах 293 и 294, докажем, что все формы
с дискриминантом Д =— 8 эквивалентны форме {1, 0, 2}.
Действительно, если у приведенной положительно опреде-
ленной формы {а, Ь, с} дискриминант Д = Ь2 —4ас =— 8, то,
поскольку |й | sC с, имеем: 8=С 84-Ь2 = 4ас = 84-й2 8 4-ас,
2=СасС-|-, т. е. ас = 2, а = 1, с = 2, Ь= 0.
Таким образом, при Д= — 8 так же, как при Д = — 4 и при
Д — — 3, имеется один класс положительно определенных форм.
Для каждой из v форм вида {а, Ь, с} существуют (теорема 297)
два унимодулярных линейных преобразования, переводящих
{1, 0, 2} в {Д\ В, С}, и тогда, принимая опять-таки во внимание
теорему 287, получаем, что уравнение (4) имеет 2v решений
с взаимно простыми значениям х и у.
Число решений сравнения (5) определяется теоремой 226.
Согласно этой теореме, если jV = Pi‘ ... р*!. где все р; — про-
стые числа вида 8л 4-1 и 8л 4-3, то у = 2\ и число представ-
лений N в виде (4) равно 2f+1. В частности, отсюда вытекает,
298
что любое простое число р вида 8n + 1 или 8п + 3 единствен-
ным образом может быть представлено в виде суммы квадрата
и удвоенного квадрата натуральных чисел.
Примечание. При четном N = 2Nt могут быть два случая:
1) Если нечетное, то, заменяя в уравнении (4) х через 2хх и сокра-
щая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в теореме 300.
2) Если JVj четно, т. е. 4 | Лт, то из равенства (4) следует 2|х, 2 у, т. е.
не существует решений уравнения (4) с взаимно простыми х и у.
Число решений уравнений (1) и (4) было легко определить
благодаря тому, что для дискриминантов Д = — 4 и Д = — 8
существует всего только по однол^у классу квадратичных форм.
Легко видеть, что если {а, Ь, с} — положительно определенная
форма с взаимно простыми а, Ь, с и если существует только
один класс примитивных форм с дискриминантом Д = 62—4ас,
то совершенно так же, как в теоремах 298 и 300, можно опре-
делить число собственных решений уравнения
ах2 + Ьху + су2 — N.
Известно, что для следующих значений — Д^ЮО:
— Д = 3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67	(6)
— существует только по одному классу таких квадратичных
форм.
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ
ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТОВ
В 1770 г. Лагранж доказал, что каждое натуральное число
представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
Доказательство этого замечательного факта опирается на извест-
ное алгебраическое тождество Эйлера:
(а? + а’ + а» + al) (bl -{- Ы + Ы + b24) = cl + 4 + d + d, (7)
где
сх =	-|- ^2^2 Н- asb3 ^4^41	= О]ф2 ааЬг -|- asb4 atb3,
с3~ aib3—a3br -|- а4Ь2—о,3Ь^, с4 = а^Ьц а^Ьг -|- а2Ь3 Пз&2.
Справедливость этого тождества при любых аг, а2, а3, а4,
bx, b2, b3, bt легко проверяется непосредственным вычислением.
Начнем с рассмотрения разбиений простых чисел на сумму
квадратов. В то время как простые числа вида 4п-|-1 предста-
вимы в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (тео-
рема 299), простые числа вида 4п-|-3 не всегда представимы
даже в виде суммы трех квадратов целых чисел. Легко, напри-
мер, заметить, что число 7 нельзя представить в виде суммы
трех таких квадратов. Вместе с тем оказывается, что каждое
299
простое число представимо в виде суммы четырех квадратов
целых чисел.
Для простых чисел вида р = 4п 4-1 это представляет собой
непосредственное следствие теоремы 299, так как из p = aa4-ta
следует р = аа4-Ьа4-0а4-0я. Докажем, что и простые числа р
вида 4п4-3 также представимы в виде суммы четырех квадра-
тов. Чтобы иметь доказательство, не зависящее от результатов
31-й главы, будем брать общий случай произвольного простого
числа. Нам понадобится следующая вспомогательная теорема.
Теорема 301. Для любого простого числа р^2 существуют
1	0
целые числа т, х0, такие. что \^т<~ и
х1+у* + 1=рт.	(8)
Доказательство. Числа
0а, Р, 22, ..., (^)2	(9)
попарно несравнимы по модулю р. Действительно, то, что среди
чисел 1а, 2а, ...,	нет сравнимых по модулю р, мы
доказали в теореме 203, а то, что эти числа несравнимы с 0,
очевидно. Отсюда вытекает, что и числа
— 1, — 1-Р, — 1—2а.......(Ю)
попарно несравнимы по модулю р.
Общее число чисел в последовательностях (9) и (Ю) равно
р +1, т. е. превосходит общее число классов по модулю р, а
это значит, что среди них, взятых в совокупности, есть по
крайней мере одна пара чисел, принадлежащих одному классу,
т. е. сравнимых по модулю р. Одно из чисел такой пары при-
надлежит последовательности (9), а другое—(10), т. е. при не-
которых х0 и уа, где	0	, имеем:
= — 1 — у® (modp), %о + Уо+ 1 s0(modp),
*о + Уо + 1 =рт,
Из равенства (8) непосредственно видно, что m^l.
Теорема 302 (Лагранж). Каждое простое число предста-
вимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
Доказательство. Согласно предыдущей теореме для
каждого простого числа р>2 существует т, такое, что
1	и
2	рт = х0 + у04-12-|- 0а,
зоо
т. е. рт представимо в виде суммы четырех гквадратов. Обо-
значим через рт3 наименьшее положительное число, кратное р,
представимое в виде суммы четырех квадратов целых чисел;
тогда
= а* -|- я* 4- яэ -|- п4	(1Г)
,	_ р
при некоторых целых аг, а2, а3, и 1	.
Докажем сначала, что т0 — нечетное число. Действительно,
если бы было т0 — 2/п', то из равенства (11) следовало бы, что
среди чисел alt а2, а3, а4 не может быть одного или трех не-
четных чисел, т. е. числа alt аг, а3, а4 либо все четные, либо все
нечетные, либо, наконец, два четных и два нечетных. Мы мо-
жем тогда разбить эти числа на две пары, так, что в каждую
пару входят числа одинаковой четности и, если, например,
2|a14-a2, 2|й3 + о4, записать равенство (11) в виде:
1 i: ~2 । .-,2 >	\	+	। /а1 — az\2 । /аз + й4 V ।
рт (Я1 +<2а 4-а3 +«а ) =	2—J "Ц—2—) 'Д—2 )
+ (^у.
где lsgm'<me, что противоречит тому, что рт0 было наи-
меньшим числом, кратным р, представимым в виде суммы
четырех квадратов целых чисел. Таким образом, т0 — нечетное
число.
Обозначим через rt, г2, г3, г4 соответствующие наименьшие
по абсолютной величине вычеты чисел at, а2, а3, а4 по модулю
т0 так, что, поскольку т0 нечетно, все|г(|<^. Поскольку все
г,- = й[ (mod т0), из равенства (11) следует:
г!Н- ггг + rl + г J =а2 + al + al + а\ = 0 (mod m0),
т</ = г? + ^ + Гз + г4,	(12)
и1^и+г;+,:+г!к;1(ь)’.(=Лг
Перемножая равенства (11) и (12) и пользуясь формулой (7),
получаем:
т02р/ = (al + al + а32 + я2) ( г2 + г2 + г, + г2) =
= c! + c:+4+cL	(13)
где
С1= air 1 + airi + а3гз 4~ аиг4s ai 4* я2 + аз 4* ~ 0 (mod tn0),
Ct =	— а2гг 4- a3f4	= O (mod m0).
Для с8 и c4 аналогично получаем c3 = 0 (mod wi0), c4 = 0(modmo).
301
Деля все члены равенства (13) на т*9, получаем:
<и>
где все —- целые.
Поскольку рт0 было наименьшим положительным числом,
кратным р и представимым в виде суммы четырех квадратов,
а 0^/</п0, то равенство (14) показывает, что / = 0. Из ра-
венства (12) получаем:
Г1 = f2 = r3 = ri = 0, a; = 0(modm0) при i = 1, 2, 3, 4,
ffio|a? + <4 + t4 + al, m’i\mop, m0\p,
т. e. поскольку l^m0<^-, to m0=l. Равенство (11) прини-
мает вид p — а* +Й2+о4, т. е. р представимо в виде суммы
четырех квадратов целых чисел.
При р = 2 имеем: 2— 124- 124- О2 4-О2.
Теорема 303 (Лагранж). Каждое натуральное число пред-
ставимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
Доказательство. Мы доказали, что каждое простое
число представимо в виде суммы четырех квадратов целых
чисел. Формула (7) показывает, что произведение двух, а сле-
довательно, и любого числа простых чисел, каждое из которых
представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел,
также представимо в таком виде.
Поскольку каждое натуральное число, большее чем 1, есть
произведение простых чисел, а 1 = 124-024-024-0а, утвержде-
ние справедливо для всех натуральных чисел.
3. ПРОБЛЕМА ВАРИНГА
*
Рассматривая разбиения чисел на сумму квадратов, мы,
естественно, подходим к более общей проблеме о представле-
ниях чисел в виде сумм n-х степеней. В 1770 г. английский
математик Варинг высказал без доказательств ряд предложений,
относящихся к этой проблеме. Варинг утверждал, что каждое
натуральное число представимо в виде суммы не более 9 кубов,
19 биквадратов и т. д.
Общая проблема, возникшая в связи с этими в сущности
только эмпирическими соображениями и получившая название
проблемы Варинга, заключается в том, чтобы доказать, что для
каждого натурального ,п существует s, такое, что любое целое
положительное X представимо в виде суммы s слагаемых, яв-
ляющихся точными n-ми степенями целых неотрицательных чи-
сел. Решение этой проблемы было получено только в 1909 г.
Мы дадим формулировку теоремы, доказанной впервые Д. Гиль-
302
бертом; изложение любого из известных доказательств заняло
бы слишком много места и по своему характеру выходит за
рамки этой книги.
Теорема 304. Для любого фиксированного натурального числа
п существует определенное число s, зависящее только от п,
такое, что для каждого натурального N уравнение
JV^ + ^+...+х"	(15)
имеет решение в целых неотрицательных числах xlt х2, ..., xs.
В теореме утверждается существование для каждого п соот-
ветствующего s, обладающего таким свойством, так что s = s(n).
Конечно, основное здесь то, что s не зависит от N, иначе
утверждение было бы совершенно тривиальным, поскольку
N = + ... при xt = ... = xN= 1. Для каждого п можно
рассматривать наименьшее значение s, при котором каждое
натуральное число N представимо в виде (15); это наименьшее
значение s, зависящее от п, обозначают обычно через
Например, g(2) = 4. Действительно, каждое натуральное
число представимо в виде суммы четырех квадратов целых не-
отрицательных чисел (теорема 303), и, как было отмечено, су-
ществуют числа, не представимые в виде суммы трех квадра-
тов, например, как это легко видеть, все числа вида N = 8й+ 7.
При п = 3 было доказано, что £(3)^9. Существуют два
числа, а именно 23 и 239, которые нельзя представить в виде
суммы восьми кубов, что означает: £(3)5=9, а значит £(3) = 9.
Оказывается, что, кроме этих двух чисел, все остальные на-
туральные числа представимы в виде суммы восьми кубов.
Вообще, для каждого п существуют сравнительно небольшие
числа N, для которых в уравнении (15) приходится брать много
слагаемых; наличие таких чисел определяет то, что при увели-
чении п функция £(п) быстро растет.
Теорема 305.
£(n)^2"+g]-2.
[3""1
у, — 1; тогда У < 3",
так что в представлениях N в виде (15) целые положительные
х2, ..., xs могут равняться только 2 и 1. Слагаемых вида
[3я 1
2^ — 1, так что,
/ Г3""|	\
поскольку УУ —2'4^—1) = 2"—1, имеем:
Л/ = 2П+.. .-р2"+1”+.. . + Iя
ГЗП'| ,	•	(16)
оп —1 Раз 2"—1 раз
303
Если в разложении N уменьшить число степеней двойки и
увеличить число единиц, то общее число слагаемых только воз-
растет. Наименьшее число слагаемых в разложении (15) для
такого N, как это видно из (16), равно [|5^+2л — 2, т. е.
я(п)>2-+[^]-2.
Имеются основания предполагать, что 2"4- [gnj—2 является
для всех л 5*1 истинным значением g(n). Известны следующие
результаты (теоремы 306 и 306'), которые мы приводим без дока-
зательств.
Теорема 306. Если при натуральном п, отличном от 4 и
5, -имеет место неравенство
то
(17)
Теорема 303 представляет собой частный случай теоремы 306.
Теорема 306'. Если при натуральном п имеет место нера-
венство
3" —2"
3*1
2” I *
то
—Зпри2"< р] + !;!;] +
3nJ
‘4»1
злр
Если ставить вопрос о представлении натуральных чисел в
виде (15) не для всех натуральных чисел, а только всех чисел,
начиная с некоторого, то число s необходимых для этого сла-
гаемых оказывается значительно меньшим.
Обозначим через G (п) наименьшее значение s, при котором
уравнение (15) имеет решение в целых неотрицательных числах
xtl хг....хг для всех чисел N, начиная с некоторого
т. е. для всех натуральных чисел N, исключая, может быть,
только конечное их число.
При п = 2 значения g(n) и G (п) совпадают: G(2) = 4, так
как (см. выше) существуют сколь угодно большие числа, не
представимые в виде суммы трех квадратов. В 1942 г. Ю. В. Лин-
ник доказал, что G(3)=c7. Было также доказано, что G(4) = 16,
G(5)^23. Как быстро растет функция G(n) при увеличении п?
Как много придется брать слагаемых в уравнении (15) при боль-
ших п, чтобы оно было разрешимо в целых неотрицательных
числах для всех натуральных N, начиная е некоторого? Ряд
304
крупных современных математиков разрабатывали методы оценки
функции G (п). Особенно эффективным оказался метод И. М. Ви-
ноградова, доказавшего, что
G (и) = О (п In п).
4. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ФЕРМА
Рассмотрим теперь неопределенное уравнение Ферма
x«-Dz/2=l,	(18)
имеющее большое значение во всей теории диофантовых урав-
нений. Мы докажем, что при каждом натуральном значении D,
отличном от полного квадрата, это уравнение имеет бесконеч-
ное множество решений в целых числах, и дадим общий метод
для нахождения всех его решений.
Теорема 307. Пусть D—целое положительное неквадратное
число и х0, у0 (хо>0, у0 >0) — решение диофантова уравнения
(18); тогда х0 и у0 представляют собой соответственно числи-
тель и знаменатель одной из подходящих дробей к |/ D.
Доказательство. Из xj — DyJ = 1 следует, что — >
___
И
(х0 - V~Dy0) (ха + VD у0) = 1,
_____________*_____—
X Р
т. е. согласно теореме 245 —	—одна из подходящих дро-
бей к VD- Поскольку х0 и уп, удовлетворяющие уравнению
х Р
(18), — взаимно простые числа, из равенства — следует:
{/о Чз
— Уо Qs'
В теореме 265 мы получили общий вид разложения в
цепную дробь, а именно:
/Р = а0+Чг1 + ^Д2+... + ^й-1+^2п0 + ...	(19)
Оказывается, что решениями уравнения (18) могут быть чис-
р
лители и знаменатели только тех подходящих дробей т/к(19),
ЧЗ
у которых индекс s имеет вид kn — \.
Теорема 308. Если х0, уй (х0>0, у0 > 1) — решение диофан-
това уравнения (18), то x0 = Pkn_lt y0 = Qkn-i, где ^-——под-
ходящая дробь к (19).
Доказательство. В предыдущей теореме мы доказали,
что если пара целых положительных чисел х0, t/0 представляет
305
р
собой решение уравнения (18), то x0 = Ps, y0 = Qs, где —
подходящая дробь к	Число а есть корень квадратного
уравнения с целыми коэффициентами
х2—0=0.	(20)
Полное частное ai+i = ai+i + ^af+2+• • • разложения Vo в
цепную дробь представляет собой корень некоторого квадрат-
ного уравнения
^J + las+l +£s+las+l + Cj+l = 0
с тем же дискриминантом, как у уравнения (20) (теорема 262),
и согласно формулам 28-й главы (стр. 254) (при n = s+ 1, А — 1,
В = 0, С=—D) имеем:
AS+1 = P*-DQ* = 1, a BS+1-2(PSPS_1—DQSQS_1)‘,
Bs+1 — четное число, которое мы обозначим через — 21. Решая
квадратное уравнение для aJ+1, получаем aJ+1 =	т. е.
разложение ai+1 в цепную дробь должно иметь тот же период,
как в разложении (19) числа VD, и отличается от него только
начальным членом. Это может быть только при ( = a0, s-|- 1 =
= kn, т. е. s — kn — 1. Теперь остается только выяснить, какие
именно из чисел Pk„_lt Qkn-i являются решениями уравнения (18).
Теорема 309. Пусть D—целое положительное неквадратное
число, k — длина периода разложения Уо в цепную дробь. Мы
получим все решения уравнения (18) в целых положительных
числах х и у, если положим:
x=Pkn-i< y=Qkn-t<
где п—любое натуральное число, такое, что kn четно.
Доказательство. В предыдущей теореме мы уже уста-
новили, что все целые положительные решения уравнения (18)
находятся среди пар вида	Qkn-i- Нам остается только
выяснить, при каких п числа x0 = Pkn_1, y0 = Qkn-i удовлетво-
ряют уравнению (18).
Полное частное akn в разложении (19) числа имеет вид:
аА„ = 2д0 + 1Уд1+...+-17аД-1+ ....
т. е.
aA„ = ao+VO.	(21)
Согласно формуле (8) 24-й главы
- iakrt 4* Ъп - а
Qftn-з ’
306
так что, подставляя сюда значения акп из формулы (21), полу-
чаем:
D Qkn -1 + (°0Qfcn -1 + Qkn - 2)	~ (ао^кп -1 + Ркп - 2 ) +
+ Ль-1/О.	(22)
Поскольку YD иррационально, из равенства (22) следует:
Pka-l ~ aoQku-l Qkn-2’
DQlta-i = aoPkn~l + Pkn-2‘
Умножая первое из этих равенств на Ркп_х, а второе на
Qkn-i и вычитая, получаем:
Р kn-l DQkn-l = Рftn-lQftn-2 Pkn-lQkn-l = (
Следовательно, пара Pkn_lt Qftn_! будет являться решением
уравнения (18) тогда и только тогда, когда (—l)ftn=l, т. е.
при четных значениях kn. Наименьшими положительными зна-
чениями х0, уй, удовлетворяющими уравнению Ферма (18), яв-
ляются:
*о = Лб-1> Уо = О.к-1> если k четно.
*о = Р2а-1, yo = Qik-1> если k нечетно.
Примеры. 1) Найти наименьшие целые положительные
значения х, у, удовлетворяющие уравнению х2 — 22у2=1.
Разлагая "/22 в цепную дробь, получаем:
Y22 = 4 + Г1 + г2 + Щ + iJ2 Ч-^П- ^8 + •..
I______________________1
Здесь А: = 6 —четное число, поэтому х0 = Ръ, уи — Qs — искомые
наименьшие значения хну. Вычисляя, находим х0= 197,
{/о = 42.
2) Найти наименьшие целые положительные значения х, у,
удовлетворяющие уравнению х2 — 13{/2—=1.
Разлагая УТЗ в цепную дробь, получаем:
/ТЗ = 3 + 1У1 +Г1 Ч-^Ч-17! Ч-^бЧ-...
I_____________ I
Здесь 6 = 5, наименьшее четное kn равно 10, поэтому иско-
мые значения х0 = Р9> y0 = Q9. Вычисляя, находим: х0 = 649,
{/о = 180.
Совершенно аналогично уравнению (18) можно решить урав-
нение
Xs — Dy2 ——1.	(23)
Теоремы 307 и 308 переносятся на этот случай без всяких
изменений, а в теореме 309 вместо условия четности kn надо
поставить условие 2{kn. Таким образом, при четных значениях
k диофантово уравнение (23) не имеет решений.
307
Б. ПРОБЛЕМА ФЕРМА
Рассмотрим диофантово уравнение
x2 + y2 = z2,	(24)
где х, у и 2—натуральные числа.
Известно, что числа х, у, z можно рассматривать как длины
двух катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.
Геометрически задача решения неопределенного уравнения (24)
формулируется как задача нахождения прямоугольных треуголь-
ников, у которых длины всех сторон —целые числа.
Эта задача рассматривалась математиками различных стран
еще в глубокой древности.
Общие делители двух из величин х, у, z в уравнении (24)
должны быть делителями третьей из них и могут быть сокра-
щены. Мы можем поэтому ограничиться рассмотрением взаимно
простых значений неизвестных.
Теорема 310. 1) Если х, у, z—попарно взаимно простые
числа, удовлетворяющие уравнению (24), то из двух чисел х
и у одно четно, а другое нечетно.
2) Взаимно простые числа х, у, z (х>0, у>0, z>0), из
которых х четно, удовлетворяют уравнению (24) тогда и только
тогда, когда
x — 2ab, у = а2— b2, z = a2-\-b2,	(25)
где а>Ь^>0, (а, &)=1 и из чисел а и b одно четно, а другое
нечетно.
Доказательство. 1) При (х, у)=1 числа х и у не
могут быть одновременно четными. Если бы х и у были оба
нечетными, то г было бы четным и мы имели бы:
z2=x2 + y2 = (2fe1-f- 1)2 + (2Аа + l)2 = 2(mod4),
z = 2fe, г2 = 0 (mod 4), 2 — 0 (mod 4),
таким образом, из двух чисел х и у одно четно, другое не-
четно, а следовательно, z нечетно.
2) Достаточность условий. При любых а и b числа
x = 2ab, у = а2—Ь2 и z = a2 + b2 удовлетворяют уравнению (24).
Действительно,
(2а&)2 + (а2 - Ь2)2 = (а2 + &2)2.
Если (а, b) == 1, (а2 — b2, a2 + b2) = d, то d|2a2, d|262, и
поскольку а и b различной четности, то (d, 2)=1, d|a2, d\b2,
d= 1, т. е. (х, у,_ г)= 1.
При	числа х, у, z натуральные.
Необходимость условий. Пусть х, у, г, где 2|х,—
произвольные взаимно простые натуральные числа, удовлетво-
308
ряющие уравнению (24); тогда, как это установлено выше,у их
нечетны и
\ 2)	2 Д 2 )'
Пусть	тогда d\z и т. е. d=l. Произ-
Z4-U	2—у
ведение двух взаимно простых чисел —у2 и —<р представляет
собой квадрат целого числа, а следовательно (теорема 46),
каждое из этих чисел также является полным квадратом, т. е.
при некоторых целых а и b (я>»0, Ь>»0) имеем:
ЦД = аа, ^-=^ = 62, 2 = аг + Ьй, у = а2 — Ъъ, xt — 4aib2, x = 2ab,
где а>6>0. Кроме того, из (х, у, z) = 1 следует (а, Ь) = 1.
Придавая а и b разные значения, удовлетворяющие условиям
теоремы, мы можем получить все решения уравнения (24).
Например, при а = 2, Ь=1 получаем: х = 4, у = 3, 2 = 5;
при а —3, Ь = 2 получаем: х=12, у —5, 2=13 и т. д.
Многие диофантовы уравнения, в отличие от уравнения (24),
вообще не имеют решений в целых положительных числах.
Например, уравнение x2 + f/2 + z2 = 0, очевидно, не имеет таких
решений, так как левая часть его при положительных х, у, г
больше нуля.
Существуют диофантовы уравнения, не имеющие решений в
целых положительных числах, хотя левая часть уравнения при-
нимает значения разных знаков. Примером такого уравнения
может служить уравнение х4-|-у4—22 = 0.
Теорема 311. Уравнение
х* + у* = z2	(26)
не разрешимо в целых положительных числах.
Доказательство. Применим индукцию по z, придавая
г всевозможные натуральные значения. В нашем доказательстве
все буквы будут означать только целые положительные числа.
При z=l непосредственно видно, что уравнение (26) не
имеет таких решений.
Предположим, что уравнение (26) не имеет решений с целы-
ми положительными х и у при всех z<n, а при z = n имеет
такое решение х = х0, z/ = t/0, т. е-
(4)2 + (f/o)2-n2.	(27)
Рассмотрим два случая:
1) (*0, Уо> п) = 1; тогда согласно предыдущей теореме либо
2|х0, либо 2|у0. Если 2|х0, то (теорема 310) имеем: угв = а*—Ь2,
(а, b) = 1, у0 — нечетное число. Квадраты нечетных чисел имеют
вид 4k +1, а отсюда легко видеть, что разность квадратов двух
взаимно простых чисел а и b может равняться квадрату нечет-
ного уй, только когда а нечетно, а b четно.
809
Изаа = (/? + &а при (a, b) = 1 получаем, что а = иа + оа,
b = 2uv, где («, 0 = 1. Далее, из (27) получим также Хо=а(2Ь)
и (a, 2b) = 1, так что по теореме 46 имеем: a = sa, 2& = 7а, где
s и t целые, а поскольку b = 2uv, то /а = 4«и. Ввиду того что
(и, 0 = 1, равенство ^y = uv может иметь место (теорема 46)
только при и = х?, v—y\. Подставляя в равенство а = и2 + Уа
найденные выражения для а, и и v, получаем:
xi+^ = s2.	(28)
Из тождества (27) видно, что xj < п ,и, кроме того, мы имели
выше $2 = а и 2а|х„, так что $=Са<Хо<л, т, е. равенство
(28) противоречит тому, что согласно предположению уравнение
(26) не имеет решений в целых положительных числах при z<Zn.
Если 2|(/0, то, рассуждая аналогично, получаем то же про-
тиворечие.
2) (х0, у„, n) = d>l, тогда	где целое
п
что также противоречит нашему предположению.
Полученное в обоих случаях противоречие показывает, что
из предположения отсутствия решений уравнения (26) с нату-
ральными х, у и z<.n следует отсутствие таких решений и
при z = n. Согласно теореме IV уравнение (26) не имеет таких
решений при всех натуральных z.
Неоднородное диофантово уравнение с двумя неизвестными
с однородной левой частью степени, большей чем два, обычно
имеет только конечное множество решений (теорема 274). Мно-
гие диофантовы уравнения с тремя неизвестными также имеют
конечное число решений или совсем не имеют решений в целых
числах.
Мы не имеем общего метода (алгоритма), который позволял
бы для любого данного диофантова уравнения решать вопрос,
имеет ли оно или не имеет решения в целых числах; неизвест-
но даже, существует ли такой алгоритм. Мы можем ставить
вопрос о существовании решений в целых или целых положи-
тельных числах для отдельных уравнений или для некоторых
классов диофантовых уравнений определенного вида. Наиболее
известная из таких задач проблема, возникшая еще у Ферма.
В одной из книг Диофанта рассматривается задача о разбие-
нии заданного квадрата на сумму двух квадратов, причем Дио-
фант имеет в виду квадраты положительных рациональных чи-
сел. На полях своего экземпляра сочинений Диофанта, там, где
решается эта задала, П. Ферма записал: „Вместе с тем невоз-
можно разложить куб на два куба или биквадрат на два би-
квадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень,
310
большую чем два, на две степени с таким же показателем.
Я нашел поистине удивительное доказательство этого, но поля
книги слишком узки, чтобы вместить его". Ферма так и не
обнародовал свое доказательство, н нам неизвестно, имел ли
он полное доказательство этого утверждения в том смысле,
как мы его понимаем, т. е. для множества всех натуральных
чисел. Несмотря на то что с тех пор прошло более 300 лет,
утверждение Ферма, часто называемое последней теоремой
Ферма, не доказано, хотя н не опровергнуто. Истинное поло-
жение здесь таково, что для нас более уместно говорить не о
теореме, а о проблеме Ферма.
Проблема Ферма. Верно ли, что для любого целого
п 3 уравнение
xre + yn = zn	(29)
не имеет решений в целых положительных числах?
Если для какого-либо п доказано, что уравнение (29) не
имеет решений в целых положительных числах, то говорят, что
утверждение Ферма верно для этого п.
Справедливость утверждения Ферма при п = 4 представляет
собой непосредственное следствие теоремы 311, так как для
такого п уравнение (29) можно записать в виде
+	(z2)2.
Легко видеть, что если утверждение Ферма верно при неко-
тором и0, то оно верно и для всех чисел, кратных п0. Это
вытекает из того, что уравнение х”»* + yn,ik = zn,k можно запи-
сать в виде (x*)“»-r(yft)n,> = (zft)n«.
Для очень многих частных значений и утверждение Ферма
оказалось верным. Вместе с тем огромное число безуспешных
попыток решить элементарными методами проблему Ферма в
общем виде привело математиков к мысли, что ее решение не
лежит в рамках элементарной арифметики и алгебры.
Исторические комментарии к 32-й главе
1.	Великий древнегреческий математик Диофант жил и рабо-
тал в Александрии. Время его жизни в точности неизвестно;
большинство историков относит его к III или IV веку нашей
эры. То немногое, что мы знаем о его жизни, известно только
благодаря одной арифметической задаче, составленной в поэти-
ческой форме вскоре после Диофанта. В ответе, который полу-
чается при решении этой задачи, содержится, в частности, то,
что Диофант умер 84 лет от роду.
Диофант написал „Арифметику", состоящую из 13 книг,
„Поризмы", „Полигональные числа". Большая часть его сочи-
нений ле сохранилась. Из 13 книг его „Арифметики" до нас
дошло только 7 книг. Большая часть известных нам книг
311
„Арифметики" посвящена решению систем неопределенных урав-
нений 2-й степени. Решая весьма разнообразные системы неоп-
ределенных уравнений, Диофант проявил большое мастерство и
изобретательность. Диофант рассматривает рациональные, но,
конечно, как во всей древнегреческой математике, только поло-
жительные значения неизвестных. В отличие от Евклида и боль-
шинства других древнегреческих математиков Диофант не
излагает строго логических доказательств, обосновывающих
применяемые им приемы. Основная его цель—дать метод нахож-
дения решения. Он не ставит себе задачу нахождения всех
решений неопределенного уравнения даже тогда, когда их бес-
численное множество, и вполне удовлетворяется отысканием
одного решения. Сочинения Диофанта оказали решающее влия-
ние на весь последующий период развития теории чисел.
2.	Ферма знал доказательство того, что каждое простое
число вида р = 4п+1 представимо в виде суммы двух квад-
ратов, но сохранились только некоторые указания о методе
его доказательства (так называемый „метод спуска").
Эйлер в 1749 г. опубликовал первое из известных нам
доказательств теоремы 299. Он доказал также, что, если число
вида 4п + 1 составное, оно или вообще не представимо в виде
суммы двух квадратов, или имеет больше, чем одно такое
представление. Таким образом, единственность представления
числа вида 4п+1 в виде суммы двух квадратов — необходимое
и достаточное условие того, чтобы это число было простым.
Условия существования решений уравнения (1) (теорема 298)
были без доказательства известны еще голландскому математику
Жирару (1595 —1632). Доказательство теоремы, данное Эйлером,
основывалось на теореме 299 и тождестве
(а! + al) (ft + Ь’) = (аЛ + а.Л)2 + (аА—a2bi)2-
3.	Теорема о том, что простые числа вида р = 8п+1 и
р = 8п + 3 представимы в виде х2 + 2у2, была высказана Ферма
в 1654 г. и доказана Эйлером в 1763 г. Эйлер доказал также,
что простые числа вида р = 6/г + 1 представимы в виде х2Н-Зу2.
Теория квадратичных форм для доказательства теорем такого
типа была применена впервые Лагранжем в 1773 г.
4.	Если все формы с дискриминантом А примитивны, то
дискриминант А называется фундаментальным. Наибольший по
абсолютной величине из известных фундаментальных отрица-
тельных дискриминантов А, для которого существует только
один класс,—это А = — 163 (h( —163) = 1). Доказано, что при
— 500 000 000 < А < —163 для всех фундаментальных дискрими-
нантов А величина h (А) > 1, а среди фундаментальных дискри-
минантов Д<— 500 000 000 существует самое большее один
дискриминант, такой, что h (А) = 1 (Хейльбронн, Линфут, Лемер).
312
5.	Теорема 303 была высказана Баше де Мезирьяком в
1621 г,, который проверил ее справедливость для многих нату-
ральных чисел; эту теорему часто называют теоремой Баше.
Ферма на полях своего экземпляра сочинений Диофанта написал,
что методом спуска получил доказательство теоремы Баше.
Первое известное доказательсто теоремы принадлежит Лагран-
жу, и поэтому мы называем ее теоремой Лагранжа.
6.	Английский математик Баринг (1734 — 1798) известен
больше всего по своим работам в теории симметрических мно-
гочленов. В теории чисел его имя связано только с поставлен-
ной им проблемой о представлении чисел в виде суммы степе-
ней (теорема 304). Эта проблема, получившая его имя, постав-
лена им в его сочинении „Meditationes algebraicae". После
Гильберта ряд математиков дали различные, более простые,
чем у Гильберта, доказательства теоремы Баринга. Сравнительно
элементарное доказательство теоремы было дано Линником.
7.	Теорема 306 — результат работ ряда математиков, начиная
с Лагранжа, рассмотревшего случай и = 2. Частными случаями
теоремы 306 является то, что g(3) = 9, g(6) = 73, g(7)=143,
g(8) = 279. Случай n = 3 был рассмотрен Виферихом в 1909 г.,
а случай п = 6 — индийским математиком Пиллаи в 1940 г. При
п^7 результат теоремы 306 был получен в работах Диксона,
Нивена и Рабегендея. Теорема 306' принадлежит Диксону.
Существование g(4) было доказано впервые Лиувиллем в 1859 г.
Точные значения g(4) и g(5) до сих пор неизвестны. Число 79
нельзя представить в виде 18 биквадратов, так что g(4)^19.
С другой стороны, было доказано, что £(4)гс35, т. е. 19^
<:g(4)sc35 (Диксон). Относительно g(5) известно, что 37
s^g(5)c40 (Чень Цзынь-жунь).
Неравенство (17) было проверено для очень многих п, и
пока не было найдено ни одного натурального п, для которого
оно было бы неверным.
В 1957 г. Малер доказал существование п0, такого, что фор-
мула
^(n) = 2"+g]-2
верна при всех п п0.
С другой стороны, электронно-вычислительные машины дали
возможность Стемлеру в 1964 г. установить справедливость этой
формулы для всех «^200 000.
8.	При всех п^=2 справедливо неравенство G(n) 1, так
что оценка G(n) = O(n In п) не может быть слишком сильно улуч-
шена. И. М. Виноградов доказал, что G(n) < n(3 In п +11), а Дун
Гуан-чан, пользуясь методом Виноградова, получил в 1957 г.
оценки: G(n) < п(3 1пп-|-9) при гг = 2* и G(n) < и(31пп-|-7) при
п=£2к.
313
Существует предположение, что G(n)<2n +1 прип^2* и
G(n) = 4n при и = 2*, k> 1.
Справедливость этой гипотезы до сих пор не установ-
лена .
9.	Уравнение (18) часто называют уравнением Пелля, так
как именно под таким названием оно фигурирует в трудах
Эйлера. Пелль не занимался этим уравнением, и название было
дано Эйлером по ошибке. Ферма, по-видимому, первый матема-
тик, знавший общий метод решения уравнения (18), и поэтому
это уравнение многие математики называют уравнением Ферма.
Ферма знал доказательство того, что это уравнение при любом
целом положительном D, отличном от полного квадрата, имеет
бесконечное множество решений, но свое доказательство не
опубликовал. Ферма предложил английским математикам Броун-
керу (1620 —1684) и Валлису в качестве задачи доказать уже
известный ему факт существования бесконечного множества
целочисленных решений уравнения (18). Броункер дал метод на-
хождения решений уравнения Ферма, но вопрос о числе реше-
ний этого уравнения остался у него невыясненным. Исследова-
ния Броункера были приведены в трудах Валлиса, а затем вошли
во второй том алгебры Эйлера. Вместе с тем ни Броункер, ни
другие английские математики и даже Эйлер не доказали, что
уравнение Ферма при любом целом положительном D, отличном
от полного квадрата, имеет решения в целых числах; это было
сделано только Лагранжем.
Можно отметить, что отдельные уравнения вида (18) встре-
чались задолго до работ Ферма, Броункера и Лагранжа. Так,
например, такие уравнения рассматривались индусским матема-
тиком VII века Брамегупта, который умел решать их, а уравне-
ние ха — 2у2=1 встречается еще раньше у греческих и индус-
ских математиков примерно за четыре столетия до нашей эры.
10.	Отдельные целочисленные решения уравнения (24) были
известны в глубокой древности. Общие решения уравнения (24)
были даны в трудах Евклида и Диофанта. Формулы (25), дающие
целочисленные решения уравнения (24), рассматривались также
древними индусскими математиками.
Доказательство теоремы 311 было дано Ферма, а затем Эйле-
ром. Ферма в одном из своих писем дал в общих чертах дока-
зательство теоремы, а его друг Френикль де Бесси по этим
указаниям восстановил и опубликовал его в 1676 г. По вопросу
о том, имел ли Ферма полное решение проблемы, получившей
его имя, можно только строить догадки, и имеются серьезные
основания сомневаться в этом.
Первое опубликованное доказательство утверждения Ферма
при п = 3 было дано в 1774 г. Эйлером. Весьма вероятно, что
независимо от общего случая оно было известно Ферма. Дока-
зательство Эйлера было не совсем полным: недостающее звено
314
было восполнено после опубликования Лагранжей своих иссле-
дований по теории бинарных квадратичных форм.
При п = 5 доказательство утверждения Ферма было дано
Лежандром и Дирихле в 1823—1827 гг., а при п = 1—Ламэ
в 1837 г. Общий подход к проблеме Ферма был намечен в рабо-
тах немецкого математика Куммера, который применил создан-
ную им для этого теорию алгебраических чисел. Первоначаль-
ный результат, полученный Куммером, связан с арифметической
природой чисел Бернулли.
Числами Бернулли (по имени швейцарского математика Якова
Бернулли) называются числа Blt В2....определенные соотно-
шениями
^ + 1 BL -Qn+1	+ С^ + 1 Вз-. • • + (-1)"-1 C- + 1 Bn =
<3°)
Придавая в формуле (30) n последовательно значения 1, 2, 3, ...,
можно вычислять значения В{:
В2 = эд, В3 = ^,	у, B5=gg,...
Куммер доказал, что если при некотором простом р числители
у Blf В2, ..Вр~3 не делятся на р, то при п = р уравнение (29)
э
не имеет решений в целых положительных числах. В дальней-
шем Куммер и другие математики значительно усилили этот
результат, и в настоящее время таким Путем удалось, в част-
ности, доказать справедливость утверждения Ферма для всех п
в пределах от 3 до 4002.
ГЛАВА 33
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
1. ЧИСЛО И СУММА ДЕЛИТЕЛЕЙ
В теории чисел рассматриваются разнообразные функции f (и),
значения которых при натуральных значениях п связаны с ариф-
метической природой п. Множество рассматриваемых функций
удобнее не ограничивать заранее какими-либо требованиями,
кроме единственного требования: каждая функция должна быть
определена для всех натуральных значений аргумента.
Определение 88. Функция f (х) называется числовой, если она
определена при всех натуральных значениях аргумента х.
Согласно этому определению значительная часть функций,
рассматриваемых обычно в математическом анализе, таких, как,
например, е*, sinx, arctgx, logax,— числовые функции. Обычно
315
в теории чисел рассматривают числовые функции, которые либо
вообще определены только при натуральных значениях аргумента,
либо функции, для которых натуральные значения аргумента
являются характерными точками, определяющими величину функ-
ции и в других точках. В качестве примера таких числовых
функций могут служить рассмотренные нами раньше: функция
Эйлера <р(п) (определение 35), функция [х] (определение 16).
Функция Эйлера вообще определена только при натуральных
значениях аргумента, а у функции [х] все значения определя-
ются ее значениями при целых х.
Рассмотрим сначала числовые функции т(п) и о (п), завися-
щие от делителей аргумента, т (п) определяется как число поло-
жительных делителей натурального п, а о(п) определяется как
сумма положительных делителей п, т. е.
T(n) = 21, a(n) = 2d.	(1)
d\n	d[n
Примеры. т(1)—1, т(18) = 6, так как у числа 18 шесть
положительных делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Если р простое, то т(р) = 2.
а (18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9+ 18 = 39; о(р) = 1 + р.
Теорема 312. Если р^'-р^- ... *р“’ — каноническое разложе-
ние натурального числа, то
••• •P?0 = (“i + l)(a8+l)... (<++1).	(2)
Доказательство. Любой положительный делитель числа
n = p“i.p“2. ... .р“» (теорема 20) имеет вид р§*р^ ... pf‘, где
0	0s^p2=Ca2, .... 0=сР^^а4, и, таким образом, число
положительных делителей п равно числу комплексов((рх, Р2 Р),
где рх принимает ах + 1 значений от 0 до ах, р2 принимает
а2+1 значений от 0 до а2......Р, принимает <++1 значений
от 0 до as. Согласно теореме VI число таких комплексов равно
(СХ1+1)(сх2 + 1) ... (а,+ 1), т. е.
т(р“‘Р“2 ... Р^) = («1+1)(“я + 1) ... (а,+ 1).
Примеры. т(1000000) = т(2".5в) = 7.7 = 49, т(48510) =
= т(2.32.5.72.11) = 2.3.2.3.2 = 72.
Теорема 313. Если р^р^г ... р“« —каноническое разложение
натурального числа, то

Ps —1
(3)
316
Доказательство.
*(Р?‘Р?	= S d= 2	Р?‘Р?* • • 	=
₽?•... P°sS 0<Р'<а«
о<р)<а/
= (1 + рх + р;+ ... +р?*)(1 +р2 + р“+ .. - +Р?1)-  •
...(l+p, + ps2+...+p?0-	(4)
Действительно, перемножая числа, стоящие в скобках, в пра-
вой части, мы получим слагаемые вида р^1р^ ... pfs, где рх при-
нимает значения от 0 до ах, р2 — от 0 до а2....0,—от 0 до as,
причем каждое такое слагаемое суммы в левой части (4) полу-
чится один и только один раз. Чтобы получить формулу (3),
остается только каждый множитель правой части записать в виде:
l+p,. + pf+...	J
г[ *
Пример, а (19 800) = о (23-32-52-11)=
!24—1 Зэ —1 53—1 И2 — 1
2—1 3—1	5—1
Теорема 314. Функции т(м) и а (м) — мультипликативные
функции.
Доказательство. Если а — р^ ... р®1 и b = q^ ... q^ —
канонические разложения взаимно простых чисел а и b (все р(-
и — простые числа), то р“* ... р“лр?’ <$* —каноническое
разложение ab и t(ab) = (ax-j- 1) ... (а,+ 1) (рх + 1) ... (Рх +1) =
= т(а)т(Ь),
Сумма собственных положительных делителей натурального
числа п бывает меньше, чем п („недостаточные числа"), а бы-
вает и больше, чем п („избыточные числа").
Иногда, правда очень редко, встречаются числа, у которых
сумма собственных положительных делителей в точности равна
самому этому числу. Такие числа получили название „совер-
шенных чисел". Вместе с самим числом п сумма положитель-
ных делителей такого числа п равна 2п, так что мы можем
дать следующее определение.
Определение 89. Число п называется совершенным, если
о (п) = 2п.
Совершенные числа рассматривались еще математиками Пифа-
горейской школы в VI веке до нашей эры. Евклид нашел фор-
мулу, позволяющую находить четные совершенные числа. Эйлер
317
доказал, что формула Евклида исчерпывает все множество чет-
ных совершенных чисел. Мы можем объединить результаты
Евклида и Эйлера в виде следующей теоремы.
Теорема 315. Четное число п является совершенным тогда и
только тогда, когда оно имеет вид:
n — 2k~1(2k — l),	(5)
где k 2, a P = 2k—1— простое число.
Доказательство.
1)	Достаточность условия. Если Р = 2*—1—про-
стое число, то 2*-1 Р — каноническое разложение п, и согласно
формуле (3) имеем:
0(w) = ^^(P+l) = (2A-l)2te = 2n,
т. е. п — совершенное число.
2)	Необходимость условия. Пусть п—четное совер-
шенное число. Представим п в виде п = 2к~хЬ, где Ь — нечетное
число, k Ss2. Поскольку ст (х) —мультипликативная функция и
(2*“1,1>) = 1, то
ст (п) = ст (2*“ *) о (Ь) = (2* - 1) о (&).
По условию ст (п) = 2п = 2*&, так что
(2*~l)o(b) = 2*i>.	(6)
Из равенства (6) видно, что 2* — 1 [ 2*£>, и так как
(2* — 1, 2*) = 1, то 2к—11 b, fe = (2*—1)с, где с—собственный
делитель Ь. Подставляя в (6) вместо b величину (2*—1)с и
сокращая на 2*—1, получаем:
о(Ь) = 2*с = (2*-1)с + с = Ы-с.	(7)
Выше было отмечено, что с\Ь и с<Ь. Если бы с не рав-
нялось 1, то у b было бы по крайней мере три положительных
делителя: Ь, с и 1; ст (b) b + с + 1, что противоречит- равен-
ству (7). Таким образом, с=1 и Ь = 2к—1 имеет согласно (7)
только два положительных делителя: b и 1, т, е. Ь — простое
число. Тогда
п = 2*-i b = 2*-1 (2*— 1),
где 2*— 1 = Р—простое число.
Простые числа вида Р = 2к—1 мы назвали простыми чис-
лами Мерсенна. Было доказано (стр. 35), что число вида 2к — 1
может быть простым, только когда само k—простое число.
Таким образом, четные совершенные числа п имеют вид:
n=^=2J>~1 (2f— 1), где Р = 2Р—1 —простое число.
Каждое простое число Мерсенна Р = 2Р — 1 дает нам неко-
торое совершенное число, и, вычисляя последовательные числа
Мерсенна, мы получаем все четные совершенные числа.
318
Указанные на странице 35 значения р = 2, 3, 5, 7, 13.
при которых 2Р — I —простые числа Мерсенна, по формуле (5)
(k = p), дают совершенные числа: 6, 28, 496, 8128, 33 550 336, ....
Самое большое известное до сих пор четное совершенное
число 211212 (21121Э—1) соответствует самому большому из извест-
ных чисел Мерсенна 21121а—1. До настоящего времени неизвестно
ни одного нечетного совершенного числа, и есть основания пред-
полагать, что нечетных совершенных чисел вообще не суще-
ствует. Несмотря на большое число работ, идущих в этом
направлении, доказать это пока не удалось, и проблема суще-
ствования нечетных совершенных чисел остается среди нерешен-
ных трудных задач теории чисел.
Многие математики, особенно в ранний период развития
теории чисел, рассматривали так называемые „дружественные"
числа. Числа а и b называются дружественными, если сумма
собственных делителей а равна Ь, а сумма собственных дели-
телей b равна а, т. е. о (а) — а = Ь, а (Ь) — Ь = а, или сг(а) =
= о (Ь) = а + Ь,
Например, числа 220 и 284 образуют пару дружественных
чисел. Вопросу об отыскании пар таких чисел раньше уделя-
лось довольно много внимания, но современная теория чисел
мало интересуется этой задачей.
2.	ФУНКЦИЯ МЕБИУСА
Важную роль в теории чисел играет числовая функция
Мёбиуса, обозначаемая обычно через ц(л).
Определение 90. Функцией Мёбиуса называется функция р (п),
определенная следующими условиями:
1)Р(1) = 1;
2)	р(п) = (—l)f, если каноническое разложение п имеет вид:
n = pL ... ps;
3)	[i(n) = 0, если р2 | п, т. е. если в каноническое разложение п
входит хотя бы один простой множитель в степени, большей,
чем первая.
Примеры. р(90) = р(2 • 3'-5) —0, р (77) = р (7-11) = 1,
р (56) = р (23-7) = 0, р (105)-р(3.5-7)=—1.
Теорема 318,
V /Л [ 1» еСЛи П ~ 1>	/о,
jLp(d)=4 п	,	(8)
I 0, если п>1.	v ’
Доказательство. 1) При п=1 сумма равна р(1)==1,
по определению.
2)	Если п > 1, то существует каноническое разложение
п = р“* ... р“\ Для любого делителя d|n, содержащего хотя бы
одно простое число в степени, большей, чем первая, p(d) = O;
319
поэтому в сумме (8) можно оставить только делители произве-
дения pi ... ps, т. е.
2и(<0 = 2 МФ = Ц(1)+ 2 H(P<)+ 2 Н(Р/Р/)+- =
dpi	dlPi-.Pj	i	i.l
= i-ci(+cs3-... + (-i)sq=(i-ir=o.
Пример. При n = 84, |л(1) + ц(2) + |*(3) + р(7) + ц(6) +
+ p(14) + |i(21) + p(42)= 1-3 + 3-1=0.
Теорема 317 (Мёбиус). Если f(x) и F (х) —числовые функ-
ции, такие, что для любого натурального п
%f(d) = F(n),	(9)
d\n
ТО
^F p(d) = f(n).	(10)
d\n '
Доказательство. Из равенства (9) следует, что
и (d)=Sn(d) Ш
d\n 4	'	d\n fl | л
Каждое f (6) будет встречаться в двойной сумме справа при всех d,
таких, что б|-^-, т. е. при cfd|n, d| . Поэтому собирая слагае-
мые с одними и теми же значениями 6, получаем:
2н(4) 2f(S) = 2^6) 2H(d)=f(n).
•	«1а,	*	«|т
так как 2 И (Ф равна нулю для всех б, кроме б = п, а при
б = л мы получаем одно слагаемое, равное f(n) (теорема 316).
Формулу (10) называют обращением формулы (9) суммиро-
вания по делителям.
Примеры. Обращением соотношения т(п) = 21 является
формула	У*4т u(d)= 1.
Обращением формулы (теорема 118) y^f>(d) = m является
Лт
формула
£-ТН(^) = Ф(/п).	(11)
4|л>
320
Эту формулу при m > 1 можно преобразовать следующим
образом:
ф)-т£^ = тЩ1 ,
dim	р\т ' и '
так что получаем еще одно новое доказательство теорем 116 и 117.
3.	ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Важнейшие числовые функции, рассматриваемые в теории
чисел, непосредственно связаны с функцией, получившей на-
звание дзета-функции Римана. Систематическое изучение этой
функции было начато в трудах немецкого математика Римана
во второй половине XIX века.
Определение 91. Дзета-функцией Римана £(s) называется
функция, определенная при s = a-\-it, где о>1, как сумма
абсолютно сходящегося ряда:
1 + '9s+	• • •,
£ и “
т. е.
00
£(s) = S^- = о +	а>1).
л = 1
(12)
В курсах математического анализа доказывается, что £(s)
при натуральных четных s выражается рационально через л,
например:
да-ЕИ-
п = 1
Дзета-функция Римана является частным случаем так назы-
ваемых рядов Дирихле, т. е. рядов вида
LZ («)
ns '
Л = 1
(13)
В теории чисел обычно рассматриваются ряды Дирихле, где
в качестве f(n) фигурируют различные числовые функции. Мно-
гие такие ряды выражаются через £(s) с помощью сравнительно
простых формул.
Пример. При действительных s>l У* = (s).
/7=1
Действительно, возводя в квадрат абсолютно сходящийся
при s > 1 ряд (12), получаем:
Ф	СО	® OD
П1 п,=1 а л, = 1 л,=1
1 _ у т(т)
(«!«»/ J— ms *
П = 1
11 А. А. Бухштаб
321
так как в двойной сумме каждое число т = л1ла получается
столько раз, сколькими способами т представимо в виде про-
изведения двух положительных делителей, т. е. т (т) раз.
Теорема 318. При действительном з>-1
Доказательство. Ряд V, сходится абсолютно при
П'1
з>1, так как |	|	. Умножая при з>1 этот ряд на аб-
солютно сходящийся ряд (12), получаем:
00	00	09	09	99
Обозначим п^п — т, тогда т будет принимать все значения
от 1 до оо. Для каждого такого т п будет принимать значения,
равные всем делителям т, так что полученное равенство мы
можем записать в виде:
Us)S^= Ё^гЕм(п) = 1.	(15)
п = 1	т = 1 л|гп
так как согласно теореме 316	равна нулю для всех т,
film
кроме т = 1, при котором получаем слагаемое, равное 1. При
s > 1, £(з)>0, так что, деля обе части равенства (15) на £(з),
получаем (14).
При з = 2 получаем, в частности:
у н(п)_ 1 А
п* С(2) я»’
Примечание. Формула (14), так же как и результат предыдущего
примера, верна и при комплексных значениях s = CF+it, если о>1.
Исторические комментарии к 33-й главе
1.	Евклид в IX книге „Начал" показывает, что все числа,
удовлетворяющие условиям теоремы 315, являются совершен-
ными (достаточность условий). Эйлер доказал, что, кроме чи-
сел, удовлетворяющих условиям теоремы, нет других четных
совершенных чисел (необходимость условий).
Нечетные совершенные числа, если они существуют, должны
иметь сравнительно много различных простых делителей и быть
322
весьма большими по величине, а именно иметь не менее 15 де-
сятичных знаков.
2.	Совершенные числа являются промежуточными между так
называемыми недостаточными и избыточными числами. Число п
называется недостаточным или избыточным, смотря по тому,
будет ли а (п) меньше или больше чем 2п. Нечетные числа
бывают как недостаточными, так и избыточными; самое малень-
кое среди нечетных избыточных чисел —это число 945.
Известно, что функция А (х), выражающая число избыточных
чисел, меньших или равных х, удовлетворяет неравенствам:
0,241х < А (х) <2 0,314х, так что большинство чисел является
недостаточным. В 1933 г. было доказано существование предела
А(х)
отношения —, но величина этого предела пока не определена.
3.	Еще Эйлер дал 60 пар „дружественных" чисел. Среди
этих пар 34 такие, в которых оба числа четные, и 26 пар,
в которых оба числа нечетные. В настоящее время известно
уже несколько сот пар дружественных чисел, однако среди них
нет ни одной, в которой одно число было бы четным, а другое
нечетным, и неизвестно, существуют ли вообще такие пары.
4.	Немецкий математик и астроном Мёбиус (1790—1868)
известен прежде всего как геометр. Он первый систематически
рассмотрел свойства функции р,(п), получившей его имя. Функ-
ция р(п) встречается впервые в его работе 1832 г.; фактически
в неявном виде эта функция рассматривалась еще до этого
Эйлером.
5.	Известен целый ряд теорем, аналогичных теореме 317,
дающих обращение сумм различного вида (см., например, фор-
мулы (9) и (11) 34-й главы). Основную роль в формулах обра-
щения играют свойства функции Мёбиуса, сформулированные
в теореме 316. Сумма левой части тождества (8) играет роль
разрывного множителя, позволяющего в некотором множестве
значений п выделять те, которые равны 1.
Сумму 2 иногда называют числовым интегралом от
d/n
функции /(п).
6.	Бернгард Риман (1826—1866) — один из крупнейших не-
мецких математиков XIX века, оставивший фундаментальные
работы в различных областях математики и ее приложений.
Особенно большое значение имеют его работы по теории функ-
ций комплексного переменного и по теории рядов. Мемуар
Римана „О числе простых чисел, не превосходящих данной вели-
чины** является основой всего дальнейшего развития современ-
ной теории простых чисел. В этом мемуаре Риман рассматри-
00
вает дзету-функцию £ (s) = У, — сначала для комплексных зна-
п = 1
11
323
чений s = o + t7, таких, что а>1, а затем аналитически про-
должает ее на всю комплексную плоскость. Он устанавливает
основные свойства этой функции, в том числе функциональное
уравнение, дающее непосредственную связь между g(s) и £(1—s).
Функциональное уравнение для £(з) показывает своего 'рода
симметрию этой функции относительно прямой о = -^. Риман
установил связь между поведением £($) в так называемой
критической полосе O^o^l и распределением простых чисел.
Риман высказал гипотезу, что в этой полосе все нули £($) лежат
на прямой о = у. Есть все основания предполагать, что эта
гипотеза Римана верна, однако доказать ее не удалось. Доказа-
тельство гипотезы Римана дало бы возможность решить ряд важ-
ных проблем, возникающих при изучении простых чисел.
ГЛАВА 34
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ
1. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА ДЕЛИТЕЛЕЙ.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ
Для многих числовых функций, рассматриваемых в теории
чисел, характерно, что при увеличении аргумента значения
функции меняются крайне нерегулярно. Например, функция т(п)
для составных п, состоящих из достаточно большого числа
простых множителей, может принимать сколь угодно большие
значения и вместе с тем для всех простых значений п имеем
т (п) = 2.
Если вместо таких функций рассматривать их средние зна-
чения на сегменте [1; /V], то обычно оказывается, что эти сред-
ние меняются довольно гладко и могут быть с достаточно боль-
шой точностью аппроксимированы сравнительно простыми выра-
жениями.
Определение 92. Средним значением числовой функции f(x)
на сегменте [1; /V] (N целое) называется величина
f(l) + /(2)+...+/(V)
Начнем с рассмотрения порядка роста средних значений
некоторых числовых функций, введенных в предыдущей главе.
Теорема 319. Среднее значение функции т (п), выражающей
число положительных делителей п, на сегменте [1; ДО] равно:
1пЯ + (2С-1) + 0(:р1=),
где С—эйлерова постоянная.
324
Доказательство. т(п) равно числу точек с целыми поло-
жительными координатами на гиперболе ху = п, т. е. числу реше-
ний уравнения ху = п в целых положительных Числах х, у.
Действительно, для каждого делителя d числа п пара
^)) пРеАставляет собой решение этого уравнения и, на-
оборот, каждое решение уравнения ху — п в положительных целых
числах хну определяет в качестве значения х некоторый вполне
определенный делитель d. Поскольку кривые ху = п при раз-
ных п не имеют общих точек, то, придавая п значения 1,2, ..., N,
получим, что сумма
t(1) + t(2)+...+t(JV)
равна общему числу точек с целыми положительными коорди-
натами в области xys^N, х>0, t/>0. Число таких точек
в теореме 55 было обозначено через S(Af), и согласно тому, что
там было доказано, получаем:
л
т(1) + т(2)+... +т(Ю = £ [41 =
fe=i L J
= N In N + (2C — 1) N + 0 (/ft),
т. e. действительно
т (1) + г (2)+ .. 	(^) = ln N + (2C _ !) + о	(1)
Прн больших N величина 2C—ничтожна no
2C—14-0 Д=А
сравнению c InN; lim----Гп Д'—- = 0 и мы получаем асимп-
тотическое равенство
n
InW.
п= 1
Можно сказать, что при больших N на долю каждого из
первых N натуральных чисел в среднем приходится примерно
In N делителей.
Теорема 320. Среднее значение функции о(п), выралсающей
сумму делителей п, на сегменте [1; N] равно
лтЯ
^W + O(lnJV).
Доказательство. Так как вместе с d величина 6 = 4-
также пробегает все положительные делители числа п, то
Н , N	N	N
Е у-  е>
0=1	п=1 4|л л = 1 4|л d*=i n^N
л - о (mod 4)
325
Заменяя п через sd, видим, что, когда п пробегает значения,
кратные d и меньшие, чем W, величина s пробегает целые зна-
чения от 1 до наибольшего целого числа, не превосходящего
n	ГЛП	«г
-~L , т. е. до -j- , и, таким образом:
[-]
s	<3>
s = i
n = 0 (mod сП	».
Из (2) и (3) получаем:
I» w =
Я = 1
IV I, IV . XV	, 1	IV	IV . «
-г- sg —г < -з-	4-1,	так что	-г	и	-7- 4-1	отличаются
La J a L“J	L®J	L “ J
от на величину, по модулю меньшую чем 1, т. е.
[4]=4+°<])' [4]+|=т+о<1>.
где каждое 0(1) по модулю меньше чем 1.
NN	N
=?Ei+^Z£^+o(^)=^E^+o(^in^), (4)
d=l	d=l	d=l
так как (теорема 54)
N	N
Е^<Е| = О(ШЛ').
d=l	d=l
Заметим теперь, что
S i< 2 f G4t4)-4- (5)
d=.V + i	d=N+l	' d=N + i 4	z
так что
Из равенств (4) и (6) получаем:
^O(n) = g№4-0(yiniV),	(7)
П=1
326
так что
. e(l) + »<2)^..+,W gW40(ln„b
iV
откуда получается также асимптотическое равенство
4-Е o(n)^f2N.
П = 1
Для первых У натуральных чисел средняя величина дели-
«г^з
телей примерно равна N.
2. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА
Теорема 321. Среднее значение функции Эйлера <р (п) на сег-
з
менте [1; TV] равно -^N + 0 (In N).
Доказательство. Пользуясь формулой (11) 33-й главы,
получаем:
N	Н	Л'
п = 1	п = 1 d,n	d=i	n^N
п— о (mod d)
При доказательстве предыдущей теоремы было получено
тождество (3)
L +4ffl([4] + +
L J \ L J	/
п s 0 (mod d)
так что
([?]+)•
d=l
Заменяя, как и в предыдущей теореме, ^4] и +1 на
4 + 0(1), (|0(1)|< 1) имеем:
лг	#	w
Еф(п)ЧЕ^) (4+°(1))2=¥Е^+
rtxsl	d=i	4	z	d = i
/	N	\	/ ®	“	\
+o *L1Jf1+offl+	*+’)+
\	d = i	/	'4=1	d=N + l	'
+ o (N In N) = № + 0 (N In N).
327
Мы воспользовались здесь тем, что ввиду оценки (7) 4-й главы
и оценки (5) настоящей главы
об	®
I	I £<4-.
d=l	d = l	d=N + i	d=W+l
О1 о V [1 (<0	1	6
а согласно теореме 318 / 5	=» •
d~N
Деля полученное для У <р (м) выражение на N, приходим
rt = i
к равенству
ф(1) + ф(2)+...+ф(ЛГ) _ ДГ _j_ о 0п ДГ)	(8)
Полученный результат можно выразить также в виде сле-
дующей теоремы.
Теорема 32Г. В полусегменте (0; 1] отношение числа несо-
кратимых дробей (фареевых дробей) со знаменателями, мень-
шими или равными N, к общему числу всех лежащих там дробей
с такими же знаменателями стремится к пределу, равному
4 = 0,6079...
я’
Действительно, для данного b число несократимых дробей
у в полусегменте (0; 1] равно числу положительных а, мень-
ших или равных b и взаимно простых с Ь, т. е. равно <р (&).
Придавая b значения 1, 2, ..., N, получим, что общее
число A(N) несократимых дробей в этом полусегменте со зна-
менателями N выражается согласно (8) в виде:
A (N) = Ф (1) + <р (2) + ... + Ф (N) = № + О (N In N) =
= N (Х+ 1)4-0 (М In N).
В полусегменте (0; 1] мы имеем b дробей со знаменателем Ь,
а именно дроби:
_1_ _2	£
Ь ’ 6......Ь '
Общее число В (N) всех дробей со знаменателями b^N
в полусегменте (0, 1] равно
N
B(N) = ^b = ^N(N + l).
Ь=1
Деля A (N) на B(N) и переходя к пределу, находим:
,. A (N)	Г6 1	6 Л СА-7Л
пт urn Ь + ОЬ—г	=-, = 0,6079...
L"’ \Ar + 1/J п'
328
Этот результат показывает, что несократимые дроби состав-
ляют примерно 60% от числа всех дробей, т. е. их приблизи-
тельно в полтора раза больше чем сократимых.
3. ЧИСЛА. СВОБОДНЫЕ ОТ КВАДРАТОВ
Определение 93. Число называется свободным от квадратов,
если оно не делится ни на один квадрат простого числа, т. е.
если его каноническое разложение имеет вид: п = р^й.. .ps, где
ра, ..., ps—различные простые числа.
Обозначим через Q (х) число свободных от квадратов чисел,
меныцих или равных х.
Теорема 322.
QW = £
k=i
Доказательство. Докажем сначала формулу
Каждое число п мы представим, и притом единственным об-
разом, в виде n = k2s, где k2—наибольший квадрат, делящий п,
а s—число, свободное от квадратов. Мы получим все натураль-
где в k-й Строке выписаны произведения k2 на числа, свободные
от квадратов. Согласно сделанному выше замечанию каждое
натуральное число встречается в этой таблице один и только
один раз, так что всего в таблице (под чертой) имеется [х]
чисел, не превосходящих х.
В первой строке имеется Q чисел, не превосходящих х,
во второй строке имеется Q ( — } чисел, не превосходящих х,
329
ит. д. Действительно, при любом k в А-й строке чисел, не
превосходящих х, столько, сколько существует чисел s, свобод-
ных от квадратов, таких, что k2s^x, , т. е. Q чисел.
Таким образом, должно выполняться равенство
Q(£) + Q (£) + ••+$ (£) + ••=[*].
где Q отлично от нуля только при	т. е. соотно-
шение (9) доказано.
Теперь перейдем к доказательству самой теоремы.
Q (х) можем записать в виде:
QW=	(10)
п^Ух К ' кп
так как согласно теореме 316 среди всех членов в правой части
равенства (10) сохраняется только слагаемое с п=1.
В членах правой части равенства 10 значения k делители п,
т. е. k^n^y~x, так что k принимает значения в пределах
от 1 до ]Лх.
Для каждого такого k имеем n = 0(mod£),	поэтому,
меняя порядок суммирования в правой части равенства (10)
и, полагая n = ks, получаем:
QW= S_I*W S = S_l*(^) S _Q (kv) ’
k^Vx	n^Vx	k^Vx	x
nso(modJfc)	S^J/
Согласно формуле (9) имеем:
— и окончательно получаем:
qw= L fcW).
k^Vx J
(П)
Пример. Вычислить Q(100), т. е. число чисел, свободных
от квадратов, среди первых ста натуральных чисел.
rinm ' Г1*»!	Г10<П	Г10°1 , Г1оо1	Г1оо1 , Г1001 ci
Q(100)=[100]— |-^-J - [-gr|- [25J + [збJ - [49] + |юб] =61-
Теорема 323.
<?W = ^x+0(Kx).	(12)
330
Доказательство. Из равенства (11) совершенно анало-
гично тому, как при доказательстве теоремы 321, пользуясь
оценкой
и теоремой 318, получаем:
<?(*)= Е EJ^+of Е
k^V х	Xfetgk'je /
Формула (12) показывает, что отношение числа чисел, сво-
бодных от квадратов, к числу всех натуральных чисел в отрез-
ках натурального ряда по мере увеличения длины отрезка
стремится к пределу, равному = 0,6079..., т. е. чисел, сво-
бодных от квадратов, больше, чем чисел, делящихся на квад-
раты каких-либо простых чисел.
Исторические комментарии к 34-й главе
1.	Теорема 319, являющаяся непосредственным следствием
теоремы 55, принадлежит Дирихле. Вороной улучшил остаточ-
ный член в формуле (1) (см. 4-ю главу). Лучшая известная
в настоящее время оценка У т(л) (Ин Вэнь-линь, 1959 г.)
имеет вид:
n	f 13 \
2x(n) = NlnN + (2C —1) N +	.
n = l
2.	В то время как среднее значение функции т (л) на сег-
менте [1; N] увеличивается, мало отличаясь от InW, сама эта
функция меняется чрезвычайно нерегулярно. Для всех простых
значений п эта функция равна 2, и вместе с тем было доказано
(Вигерт, 1907 г.), что для любого е>0 существует бесконечное
(1 _g)	п
множество п, таких, что т(п)>2 ininn. Вигерт доказал
также, что при любом е>0 для всех п, начиная с некоторого,
, In п
. .	_(1+8):-;-
имеет место неравенство т(п)<2 in inn
3.	Величина т(п) равна числу решений уравнения х1хг = п
целых положительных числах xv ха. Рассматривается более
331
общая функция т4(л), равная числу решений уравнения
ххха.. .хк = п в целых положительных числах, т. е. равная числу
представлений п в виде произведения k натуральных множите-
лей. Функция т(п) является частным случаем функций т*(л),
а именно т(п) = тг(п). Э. Ландау в 1912 г. доказал, что
£Tft(/i) = NPt(lnAr) + <AAr*+i+J,	(13)
« = 1
где (In 7V) = c0 In*-1 Af-f-q In*-2 Af + .. •	—многочлен от
In AZ степени £—1. Результат Вороного—частный случай фор-
мулы (13) при k = 2.
В дальнейшем для остаточного члена в (13) прн различных
k были получены несколько более точные оценки. Например,
при k = 3 остаточный член в (13) был заменен на C>(aZS(I).
4.	В настоящее время известна лучшая, чем (7), оценка
2 в(п), а именно работы Н. М. Коробова (1958 г.) дали воз-
nsN
можность доказать, что
У, o(n) = ^№ + 0 (az (InAZp*) .
Л Л’
5. Теорема 321 была доказана впервые Мертенсом в 1874 г.
В настоящее время на основе работ Н. М. Коробова полу-
чена следующая оценка:
У <р (п) = £ № + О (az (In АГр") .
6. Теорема 323 была опубликована впервые в 1885 г. Геген-
бауэром. В настоящее время применение теории функций комп-
лексного переменного дало возможность получить более точную
оценку остаточного члена.
ГЛАВА 35
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ
1. НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИИ, ВЫРАЖАЮЩЕЙ
ЧИСЛО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАННЫХ ПРЕДЕЛАХ
Существование бесконечного множества простых чисел дока-
зывается (теорема 21) совсем просто; однако вопрос о том, как
часто среди натуральных чисел встречаются простые и как про-
стые числа распределены среди натуральных, оказывается весьма
сложным. Представим себе, что будем последовательно переби-
332
рать все натуральные числа в порядке их возрастания. Будут
ли при этом простые числа встречаться сравнительно равномерно,
будет ли число встречающихся простых чисел подчиняться ка-
ким-либо законам или окажется, что они беспорядочно разбро-
саны среди натуральных чисел?
Число простых чисел, меньших или равных х, мы обозначим
через я(х), так что
л(х) = У! 1.
Р^Х
Для каждого данного х можно, пользуясь, например, теоре-
мой 23', выписать все простые числа р^х и определить их
число, т. е. вычислить л(х); однако мы не получаем при этом
представление о том, как меняется функция л(х) с увеличе-
нием х, т. е. представление о том, как быстро увеличивается
число простых чисел, если брать все большие отрезки нату-
рального ряда.
Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел
(теорема 21) может быть записана в виде
л (х) —> оо при х—► оо.
Однако эта теорема ничего не говорит о том, как быстро
при увеличении х растет величина л(х). В этой главе мы ста-
вим себе в первую очередь задачу — дать оценки порядка роста
функции л(х).
В 1808 г. Лежандр опубликовал найденную им эмпирически
формулу
~ i..\ ~	х
я W ~ In х—1.08366 ’
дающую приближенные значения функции л(х) при больших
значениях х. На самом деле, как было доказано позже, более
близкое к истинным значениям л (х) дает выражение д х_1 , а
еще более близкие значения к л(х) при больших значениях х
дает функция
di
In t
Гаусс еще в юношеские годы вычислял среднюю плотность
простых чисел в пределах имевшихся тогда таблиц, и эти вычис-
ления показывали, что именно выражение (1) является функцией,
хорошо аппроксимирующей л(х); однако свои соображения он
опубликовал много позже.
В 1848 и 1850 гг. появились две замечательные работы
П. Л. Чебышева, в которых исследовался вопрос о порядке
роста функции я (х). В работе 1850 г. Чебышев доказал, что
ззз
я (х) при больших х заключена между двумя величинами:
а^~ и Ь^~, где а и b—положительные постоянные. Чебышев
1пх 1пх’
показал, что в качестве а и b можно взять значения <2 = 0,921,
Ь= 1,106, так что а и & сравнительно близки к 1. В дальней-
ших работах были получены и другие значения а и Ь, более
близкие к 1.
Мы докажем теорему Чебышева, ограничиваясь, однако,
только доказательством существования постоянных а и Ъ
(0<Са< 1, Ь>1), не стремясь получить для них возможно
близкие к 1 значения, так как это было бы сопряжено с техни-
ческими усложнениями доказательства.
Теорема 324 (Чебышев). Существуют две постоянные а и Ь,
такие, что 0 < а < 1, b > 1 и для всех х 2 выполняются не-
равенства
а^--< л (х) < Ь~—.	(2)
In х ' ' In X	' '
Примечание. Оценку л (х) < Ь мы будем называть оценкой я (х)
сверху, а опенку я (х) > а у^—оценкой л (х) снизу.
Доказательство. Мы установим прежде всего нужные
нам для дальнейшего оценки снизу и сверху выражения
Т(х)-2Т (А) , где
Т (х) = In [х]1 = £ In р ( [-i] + [£] + ... )	(3)
р
—функция, рассматривавшаяся нами еще в 4-й главе (стр. 51).
При имеем:
Т(2п)—2Т(п) = У 1пА—У 1п/г = 1п^ + 1п^+ ...
А=п + 1	4=1
... + 1пЦ^>(п+ 1)1п2,	(4)
,	, п\ < п
так как каждое слагаемое вида 1п—— = 1п 1-J—	In 2, а
первое из иих In^y^5sln4 = 21n2.
С другой стороны,
^=c:n<i+c^+...+c;n+...+c’"=(i + i)»n-2«",
так что имеем:
Т (2п)— 2Т (л) = 1л .^<2и1п 2.	(5)
334
Воаьмем произвольное хэг 6 и подберем п такое, что
2n<x<2(n-f- I).
Для таких х величина Т (х) либо равна Т (2л), либо больше
чем Т(2п) на величину 1п(2л + 1), а Т (у) — ?'(«). так что
Т (2n) - 2Т (ft) Т (х) -2Т < Т (2n) - 2Т (n) + In (2л + 1),
откуда, пользуясь оценками (4) и (5) и тем, что п + 1	, по-
лучаем:
Г(х)-2г(|)>(п+1)1п2>^2х,	(6)
Т (х) -2Т < 2л In 2 + In (2л + 1) х In 2 +
+ ln(x+l) = O(x).	(7)
1) Оценка л(х) снизу. Формула (3) показывает, что
7W-27(i)-Sj„P{([^-2[A]) +
+ ([?]-2 И)4- } '
так как при р > х все слагаемые во всяком случае обращаются
в нуль.
Скобки вида	—2
что коэффициент при 1пр
—при р >х равны нулю, так
в правой части может быть записан
в виде
£=s
где р^х, т. е. slnp<lnx, s^[^-
Согласно теореме 51 в правой части тождества (8) каждая
скобка не больше 1, а число таких скобок, как мы только что
„	1п X	, In X
показали, не больше чем-—, так что a„^l-i—и из тожде-
1п р	у in р
ства (8) получаем:
Т(х)-2Т[|)< £ lnpj^ = lnx£ 1=л(х)1пх.	(9)
Х ' Р<х	р^х
Сравнивая неравенства (9) и (6), имеем:
. . . 1п 2
л (X) 1ПХ >-2-Х,
, .	X	1п 2
т. е. n(x)>-ai—, где а = -к~
' '	1п х	2
Это неравенство доказано при х^=6, но очевидно, что,
несколько уменьшив а, можно сделать его справедливым для
всех х^2.
2) Оценка л(х) све рху. Поскольку все слагаемые в пра-
вой части тождества (8) неотрицательны, то, оставив из них
только те, у которых Р~>-^ > мы во всяком случае, не увели-
чим сумму.
При у<р^х имеем:
(Н-2й)+(Н-2И)+--=1 (|0)
Действительно, при таких р и х^б, 2р>х, р2> у>х,
так что в левой части (10) только
причем для таких р имеем:	= 1.
Из равенства (8) получаем:
отлично от нуля,
Т(х)-2т(|)>	2	1пр>1п| £	1 =
——<р^х
2	ft
= (л(х) —л(у))1Пу.	(11)
Прибавляя к левой и правой частям неравенства (11)
л(х)1п2, т. е. величину, меньшую чем х1п2, и пользуясь
оценкой (7), получаем:
л (х) Inх~л (у) 1п у < Т(х)-2Т ^у) +х!п2 = О (х),
так что существует постоянная с, такая, что при всех х^2
л (х) 1пх —л (у) 1п у <сх.	(12)
Для любого х^2 можно найти настолько большое s, что
у<2, так что л^у)=0. Последовательно пользуясь неравен-
ством (12), получаем:
л (х) 1пх	сх + л (у) In у < СХ-ЬСуН-Л (у) 1п у <. . . <
-f- С у “f” . . . "4” С —£ -f- Л	In у
< СХ ( 1 + у + у + .. .) = 2сх,
т. е., положив 2с — Ь, получаем:
336
Для того чтобы получить значения а и Ь, более близкие к 1,
П. Л. Чебышев вместо Т (х)—2Т(~ ) брал выражение
У J
(13)
Рассматривая (13), он получил сначала оценки для функции
§(х)= У 1пр,
получившей название функции Чебышева, а затем уже перешел
к оценкам л(х).
Из теоремы Чебышева, в частности, следует, что при увели-
чении х отношение	—-0.
Действительно, согласно неравенствам (2) имеем:
а	л (х)	Ь
In х х	In х ’
1 л
так что поскольку при увеличении х величина	—>-0, то и
" (*) t Q
X
Среди первых ста натуральных чисел содержатся 25 простых,
т. е. простые числа составляют здесь 25% натуральных. Среди
первой тысячи натуральных чисел имеются 169 простых (16,9%).
Таблицы простых чисел показывают, что при увеличении про-
межутка рассматриваемых натуральных чисел доля простых чисел
уменьшается. Это само по себе не исключало, однако, того, что
простые числа и при больших х могли все же составлять хотя бы
не менее 0,000 001% от числа натуральных чисел. Теорема
Чебышева показывает, что на самом деле это не так и отноше-
ние при увеличении х становится меньше любого наперед
заданного числа.
Теорема Чебышева позволяет сравнивать число простых чисел
в заданных пределах и число чисел какой-либо другой под-
последовательности натуральных чисел. Возьмем последователь-
ность простых чисел и, например, последовательность всех квад-
ратов натуральных чисел:
2, 3, 5, 7, И, 13, 17, ...
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Среди первых ста натуральных чисел имеются 25 простых и
10 квадратов, так что простых чисел вначале больше, чем квад-
ратов. Что получится в этом отношении, если брать достаточно
большие отрезки натурального ряда? Каких чисел будет больше:
простых или квадратов?
Обозначим через К (х) число квадратов натуральных чисел
в пределах от 1 др х, т. е. чисел /га, таких, что 1^Аа<х.
337
Число таких чисел равно числу натуральных k, таких, что
1 k < V~x, т. е. К (х) = [У х]..
Пользуясь неравенством Чебышева (оценка (2) снизу), полу-
чаем:
х
Л (*) In X Y X
К (х)	й kiT •
у X	Л (х)
, а следовательно, и неограниченно увеличиваются
при увеличении х, так что л (х) стремится к бесконечности
быстрее, чем К(х). Таким образом, простых чисел в заданных
достаточно больших отрезках натурального ряда значительно
больше, чем квадратов.
Пользуясь теоремой Чебышева, можно получить оценку вели-
чины простого числа с номером г. Оказывается, что r-е про-
стое число представляет собой величину порядка rlnr.
Теорема 325. Существуют две положительные постоян-
ные cud, такие, что для всех простых чисел рг (г 2)
имеет место соотношение
cr In г < pr< dr In г.	(14)
Доказательство. Согласно теореме Чебышева имеем:
а-г^~ < л (р.) < Ьг— ,	(15)
In рг у,г'	\прг’	' '
так что, поскольку по определению л(рг) = г (число простых
чисел, меньших или равных чем r-е простое число, равно г),
из неравенств (15) получаем:
р,<-^г1прг	(16)
и
РГ>У rlnpr>y rlnr.	(17)
In 2
~г= при увеличении z стремится к нулю, так что при доста-
V г	_
точно большом рг имеем In pr<Z а]/грг. Подставляя эту оценку
1прг в неравенство (16), возводя затем в квадрат и логарифми-
руя, получаем при г>г0:
рг<г\ 1прг<21пг.
Из неравенства (16) получаем теперь
р,<^-г In pf<| rlnr.	(18)
Объединяя оценки (17) и (18), имеем при г^г0:
qr In г < pr< dxr In г,
338
1	2
где с, = -г , d. = — . Постоянные с, и d, можно заменить постояй-
х р ’ х а	1	1
ними с и d, так что оценка (14) величины рг будет уже верна
при всех рг, начиная с 3.
Для того чтобы охарактеризовать густоту некоторой подпо-
следовательности натуральных чисел
0-i> я2> а3. ’ • •'	• • • >
часто начинают с того, что рассматривают вопрос о сходимости
или расходимости ряда обратных величин:
— + — + —	. + —+ ....
а3 1 а3 1	1
Известно, что ряд величин, обратных всем натуральным
числам, т. е. гармонический ряд
1+т+1+-- •+!+•••	<19>
расходится. Если в ряде (19) выбросить достаточно большое
число членов, то вместо этого ряда может получиться сходя-
щийся ряд. Например, если в (19) оставить только члены вида
1
, то получающийся при этом ряд
как известно, будет сходящимся.
Рассмотрим ряд величин, обратных простым числам, т. е. ряд
т+4+г+"  + £+•	<2°>
и докажем, что он расходится. Это покажет, что, хотя простые
числа в натуральном ряду встречаются все реже, их все же
настолько много, что сумма обратных величин может дать сумму,
превосходящую любую наперед заданную величину.
Расходимость ряда (20) была доказана впервые Эйлером
в 1737 г. Доказательство Эйлера было основано на рассмотре-
нии бесконечного произведения П
р
ставляет собой первый пример применения методов математи-
ческого анализа к теории простых чисел. Мы дадим здесь дока-
зательство, основанное на применении неравенств Чебышева.
Теорема 326. Ряд величин, обратных простым числам, рас-
ходится.
Доказательство. Рассмотрим ряд
21п1 + з1пз + Пп1+• ’ '+гТп7+• ’ ’
при s—>1 и пред-
339
b
dx
\	= In In b —In In 2 при увеличении b стремится к беско-
1
во
Р dx
вечности, т.е. I —расходится. Согласно известному интеграль-
9
ному признаку сходимости рядов ряд (21) также расходится.
Сравним теперь ряд (21) с рядом
т+т+т+гг+-+		<22>
В теореме 325 было доказано, что pf<Zdr\nr, (г ^2), откуда
следует, что
£ i 1
pr d т 1п т ’
т. е. члены ряда (22) больше соответствующих членов расхо-
дящегося ряда (21), умноженных на постоянную ^-. Согласно
теореме о сравнении рядов с положительными слагаемыми
ряд (22) расходится.
В 1845 г. французский математик Бертран высказал предпо-
ложение, что при любом х>1 между х и 2х всегда найдется
хотя бы одно простое число. Это предположение получило
название постулата Бертрана. В 1852 г. Чебышев доказал спра-
ведливость этого постулата и получил более сильный результат,
а именно доказал, что при достаточно больших х и о>-=-
всегда существует простое число р, лежащее между х и бх.
Мы дадим результат Чебышева в несколько ослабленной форме.
Теорема 327. Существует постоянная 5, такая, что между
х(х^э1) и бх всегда имеется по крайней мере одно простое
число.
Доказательство. Согласно неравенствам (2) имеем:
л (бх) — л (х) > а ,	. — Ьг——=,—,х ,к , {(аб—Ь) 1п х—&1пб}. (23)
' '	' ’ In (6x) Inx lnxln(Cx)lv ’	1 \ >
Если взять б> — , то при достаточно большом х^х0 выра-
жение (23) будет положительным, т. е. между х и бх лежит
по крайней мере одно простое число. Несколько увеличив б,
можно сделать так, что л(6х)—л(х) будет положительным и
для 1 sg х «с х0.
2.	ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Работы Чебышева поставили перед математиками задачу
доказать, что в неравенствах (2) а и b могут быть при доста-
точно большом х взяты сколь угодно близкими к 1, т. е. полу-
340
чить асимптотическую формулу
(24)
выражающую, что lim -Д = 1.
\1п X J
Чебышев в 1848 г. доказал, что если предел отношения
л (х):у^ существует, то он может быть равен только 1 (см. те-
орему 331). Основная трудность заключается в том, чтобы уста-
новить существование этого предела, и Чебышеву не удалось
этого сделать. Существование этого предела и тем самым до-
казательство формулы (24), получившей название асимптотичес-
кого закона распределения простых чисел, было получено в 1896 г.
независимо друг от друга Адамаром и Валле-Пуссеном. Тот
факт, что для теоремы, которую в течение многих лет безус-
пешно пытались доказать крупнейшие математики, было полу-
чено сразу два доказательства, не является случайностью. До-
казательства Адамара и Валле-Пуссена основаны на применении
теории функций комплексного переменного, а именно на рас-
смотрении дзета-функции Римана £(s)(cm. 33-ю главу) при ком-
плексных значениях s. Идея такого подхода к проблеме распре-
деления простых чисел была дана Б. Риманом в 1859 г. (см.
исторические комментарии к 33-й главе).
Применение функции £(s) для получения асимптотической
формулы (24) основано на том, что при s = о -(- it (о > 1) эта
функция может быть представлена в виде
Us)=n—Ц-,	(25)
р j—L
Р'
где произведение распространено по всем простым значениям р.
Соотношение (25) при действительных з>-1 было известно еще
Эйлеру (1748), и его обычно называют тождеством Эйлера Ко вре-
мени появления в 1896 г. работ Адамара и Валле-Пуссена разви-
тие самой теории функций комплексного переменного достигло
такой стадии, что сделало возможным, использовав идеи Римана,
доказать асимптотический закон распределения простых чисел.
Работы Римана, Адамара и Валле-Пуссена показали, что
X
Jdt	х
дает более точное приближение к л(х), чем Мы при-
2
ведем здесь только формулировку основной теоремы Адамара
и Валле-Пуссена.
Теорема 328,
<26>
1
341
Поскольку, как легко можно доказать,	» форму-
9
ла (24) является непосредственным следствием формулы (26).
Установление асимптотического равенства (26) не исчерпы-
вает проблемы изучения роста функции л (х). Основной задачей
Ж
/ С dt
здесь является оценка модуля разности между л(х) и \	.
2
Существенные результаты в этом направлении были получены
Н. Г. Чудаковым. При этом были использованы оценки соот-
ветствующих тригонометрических сумм, полученные методом
И. М. Виноградова. Последние работы И. М. Виноградова и
Н. М. Коробова дали следующую оценку:
х	—- е
IяW-jnnl<схе~а |ПХ)6" ’	(27)
3
где с и а—некоторые постоянные.
В пределах известных в настоящее время таблиц значений
X
л (х) величина обычно принимает значения, несколько
большие чем л (х), однако в 1914 г. английский математик Литл-
вуд доказал, что функция J принимает бесконечное множе-
Я
ство раз значения, и меньшие и большие чем л(х).
В теории чисел доказательства, основанные на применении
теории функций комплексного переменного, принято условно
называть „неэлементарными“. Таким образом, доказательство
называется „элементарным" не в смысле его простоты, а в том
смысле, что оно осуществляется, оставаясь в рамках действи-
тельного переменного. Доказательства теорем Чебышева в этом
смысле являются „элементарными".
Многие математики до недавнего времени сомневались в воз-
можности построения „элементарного" доказательства асимпто-
тического закона распределения простых чисел; однако это мне-
ние оказалось ошибочным. В 1949 г. норвежский математик
А. Сельберг и венгерский математик П. Эрдёш опубликовали
„элементарное" доказательство этого асимптотического закона.
Асимптотический закон распределения простых чисел позволяет
получить результат значительно более сильный, чем доказанный
Чебышевым постулат Бертрана.
Из формулы (24) легко получить простое следствие, что при
произвольном сколь угодно малом е>0 для любого х>-х0, т. е.
342
для любого достаточно большого х, существует по крайней
мере одно простое число, лежащее между х и (1 + е)х.
В настоящее время в этом отношении известен значительно
более сильный результат, а именно доказано, что существует
такое, что при достаточно больших значениях х между
х и х + х* всегда лежит по крайней мере одно простое число.
Определением такого возможно меньшего значения 0 занима-
лись многие математики. Например, в 1936—1937 гг. в резуль-
тате работ Н. Г. Чудакова и Ингама для 'в было получено
значение jy+e> а затем даже gj + в- Есть предположение, что,
на самом деле, при всех достаточно больших х существует по
крайней мере одно простое число, лежащее между хих+Ух;
однако доказать это пока не удалось.
3.	ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ СУММ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
Формула (3) не дает возможности получить непосредствен-
ное доказательство асимптотического закона; вместе с тем из
этой формулы можно получить асимптотические оценки некото-
рых сумм, зависящих от распределения простых чисел. Мы
остановимся на оценках сумм	'
Нам понадобится при этом следующая теорема.
Теорема 329.
У, 1пй=х1лх—х + 0(1пх).
Доказательство. Согласно известным оценкам интеграла
(теорема XX) имеем:
ь
т (Ь—а)	f (0 dt М (Ь—а),
а
где т и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения
непрерывной функции f (t) в сегменте a^t^b.
При f (t) = In t имеем:
к	k +1
J	J In tdi.	(28)«
k-l	k
Пусть [x] = n. Придавая в неравенствах (28) числу k значе-
ния 2, 3, ..., п и складывая, получаем:
п	П + 1	Л+1
IntdtC § In tdi. (29)
1	2	1
343
Легко видеть, что поскольку Жх<я+1. то
|	In t dt | < Ini dt =C in(x+ l)=»O(lnx),
11	X
и аналогично
| J Initft—Inf dt[ = О (Inx);
I	1
тогда из неравенств (29) находим:
22 ln&= In t A + O(lnx) = xlnx—x-f-O(lnx).
1
Теорема 330.
£1^ = 1пл + 0(1).	(30)
р<*
Доказательство. Согласно формуле (5) 4-й главы и те-
ореме 329 имеем:
tL 1пНЙ + Й + ---}=^2 1пА = 1пх + 0(1). (31)
Но
т S 1прЯЯ + К + Е 1п/’{^+^+ •• •} =
P^,Jt
(32)
v In п,
так как ряд z 1 (Л _iij сходится.
П = 2
Мы имеем также согласно неравенствам (2) Чебышева оценку
0< £ 1пр(7—[р'])< S 1пр<л(х)-1пх = О(х),
Р Ь~ Х	Р
так что
т S 1пр[|]== 2 ’-т+0(1)-	(33)
р^х
Из (33), (31) и (32) получаем теперь
у !И_|пж+0(1),
Р^х
344
т. е. существует постоянная с, такая, что
£^ = 1пх+г(х),	| г (х) | < с.	(34)
Применяя очевидное тождество
Н«) g (u)+f(u+ 1) (g (и+ 1)—£(«)) +
+ f(u + 2) (g (и + 2)-g (и +1)) +...+/(и) (g(o)-g (o-D) =
=g(«)(Z(«)-f(«+i))+g(«+i)(/(«+i)-H« + 2))+...
...+g(o-l)(/(o-l)-/(v)) + g(o)/(o)	(35)
и пользуясь теоремой 330, мы теперь докажем уже упомянутую
выше теорему П. Л. Чебышева о том, что предел отношения
л (х) к не может быть отличен от 1.
Теорема 331. (П. Л, Чебышев.) Если при увеличении х от-
ношение п (х):-^ стремится к определенному пределу, то этот
предел равен 1.
Доказательство. Предположим, что lim -?~т- — у < 1;
х->- и I Х \
тогда для достаточно большого целого числа N при всех t, та-
ких, что N -С t =£? №, будем иметь л (t) < Yi > где	<1>
( 1, если k — простое число;
' 7	'	(0, если k—составное число.
Применяя тождество (35) при /(/) = ^,	= u = N,
v = N3, а также принимая во внимание, что согласно теореме 324
величина л(()“ ограниченна, получаем:
in р	1п к
S = S (л(А) — Л (k~ 1))— =
N<p^N' k-H + 1
N*-l
/1пЛ In (fe4-l)\ ,	In №	.... InW
= 2	----^±_^ + л(№)—	=
k = N
yi-!	A + l	yi — i £ +1
= L "W J '-Ч^Л+ОО)- £ j	+
k=N k	k=N It
N*
-	+0(1)^П(/)1Д1Г1^+0(1).
N
345
Мы воспользовались здесь тем, что функция л (0 постоянна
в интервале (k; k-\-1). Поскольку л (£) < Y1 при всех t, та-
ких, что N №, теперь получаем:
s 7<4!2птг'‘''+0,1)-
N<p^:Nt	N
= Y1(lnW — In 2)4- О (1) = Y1 In ЛА-ЬО (1).	(36)
С другой стороны, согласно формуле (30)
In р_ гу In р_ In р____
2-4 Р — 2-4 р 2 Р ~
= 1п№—1пЛГ + О(1) = 1пЛГ-|-О(1).	(37)
Сравнивая формулы (36) и (37), имеем: lnW4-O(l)<Y1lnW4*
4-0(1), (1 — Y1)Jn(V<O(l), lntf = o(T-!—} = О(1),т.е. InW—
ограниченная величина.
Предположение, что lim ^х\- <. 1, привело нас к противо-
® I Х )
\1п х)
речию. Совершенно аналогично приводит к противоречию и пред-
положение, что lim я >• 1, т. е. предел отношения л (х)
X	,
к может равняться только 1.
Пользуясь теоремой 330, с помощью преобразования Абеля
можно получить асимптотические оценки целого ряда других
сумм с простыми числами. Особенный интерес представляет сле-
дующая оценка, существенно уточняющая теорему 326.
Теорема 332.
S 7=lnln* + fl + 0U).	(38>
Р^х
где В—некоторая постоянная.
Доказательство. При g(/) = V. — имеем:
р
g (k)—g(k —1)_ I — , если k = p — простое число;
(6, если k — составное число.
Применяя тождество (35) при и = 2, v = [х] (х2э=2), а также
принимая во внимание, что согласно теореме 330
g([x])	ln[x]4-O(l)	, ,	1 \
In [х] In [х]	\1пх/ ’
346
получаем:
ps^-x	fc=s
V ( 1	1	\ I g(IyD —
— 2-i £(«Ц1пй In (к + 1)У In [Х1
k = 3
[*1-1 jfe+1
= E«wJn^+1+0(in)“
k=i k
[xi -1 ft+i	И	. . .
- 2u J Fk?z + 1+0^;-J 7Й?т + 1+иЫ
fe = a k	a
fg(O* ,
) 11паг т
Мы воспользовались здесь тем, что g(t) постоянна в интер-
вале (k, &Ч-1), и тем, что (теорема 330)
±^_ош
J t lna t C1 In х J i - V МпхУ 
[X]	[х]
Заменяя g(t) выражением 1п£-|- г(£), где | г (/)[< с [оцен-
ка (34)], получаем:
у	- i+of_LV
р	2	2
= lnlnx+(l-lnln2+j!7<a")-f^li'+0(Iii-x). (39)
а	х
Имеем:
|1^«4лт-1П“о(к)-	<4<»
X	X
да
Несобственный интеграл J * сходится, так что В —1 —
3
да
— In 1п2 +У—некоторая постоянная величина, и из (39)
2
и (40) находим окончательно
S y = lnlnx4-B + o(i^).
р<х
347
Вычисление постоянной В показало, что В = 0,26149....
Оценка (38) показывает, что, хотя ряд величин, обратных про-
стым числам, расходится, сумма этого ряда образует медленно
растущую величину. Например, при х = 100000 000 (сто миллио-
нов!) величина Inlnx меньше чем 3, а если увеличить х еще
в десять раз, то в у добавится более 45 000 000 слагаемых,
К'
которые, однако, увеличат эту сумму меньше, чем на 0,2.
Рассмотрим функцию v (п), выражающую число различных
простых делителей п. Согласно определению если п — р^' ... р?‘ —
каноническое разложение п, то v(n) = s. Например, v(600) =
= v(23-3-52) = 3, v(n!) = ji(n).
Мы поставим задачу определения среднего значения этой
функции.
Теорема 333. Среднее значение функции v(n) на сегменте
[1, JV] равно
In In N+В+О ,
где В—постоянная теоремы 332.
Таким образом, в среднем на каждое из первых N натураль-
ных чисел приходится совсем немного, а именно примерно lnln^
различных простых делителей.
Доказательство.
N	N
л=1	л=1о1л P^N
S |-
п = о (mod р)
где 10р | < 1, так что, пользуясь неравенствами (2) Чебышева
(оценка сверху), получаем:
I S’/|<Z 1->ОТ-о(ст)-
P<N	p^N
а теперь на основании теоремы 332 имеем:
£ 7+°(|та) = л,|п|пЛ,+вл,+°(и») <41>
л=1	р^ IV
Деля левую и правую части равенства (41) на N, получаем:
Tv S v (n) = lnln/V + B + 0(^J •
Л=1
348
4.	ФОРМУЛА МЕЙССЕЛЯ
Асимптотический закон распределения простых чисел дает
представление о примерной величине л(х) при больших значе-
ниях х. Нахождение точных значений этой функции при боль-
ших значениях аргумента сопряжено с длинными вычислениями.
Мы остановимся здесь на некоторых точных формулах для л (х),
позволяющих вычислять значения этой функции, не составляя
предварительно таблицы самих простых чисел. Начнем с того,
что определим одну новую теоретико-числовую функцию двух
аргументов, которой удобно пользоваться при вычислении зна-
чений л (х).
Обозначим через Ф (х, у) число чисел, меньших или равных х,
не делящихся на простые числа, меньшие или равные у, или,
иначе говоря, число чисел n«gx, взаимно простых с [у]1.
Теорема 334. Пусть рг = 2, ра, ,,., рг —простые числа, мень-
шие или равные чем у, тогда
ф(х,у)= £	(42)
d[p,. . ,рг
Доказательство. Согласно теореме 316 имеем:
f	1, если (n, Pi... pr) = 1;
2 ц (d) = 4 0, если п делится хотя бы на одно
<<1(п.Р1.. ,рг)	из ПрОСТЫХ чисел plt...,pr.
ф(х.у)= 2	5 i = S 2	н(<0 =
nigZjr	nsjx d | (n, p,. . . pr)
(я.	(я, p,. .->r) = l
L h(<0 £ i- E
d>Pt...pr	d|Pi...pr
rt^o (mod d)
Пример. Вычислить число чисел среди первых 1250 нату-
ральных чисел, не делящихся на простые числа р/1250.
I/1250 — 10,7... . Простыми числами sg 10,7 являются числа
2, 3, 5, 7. По формуле (42) находим
Ф (1250,^1250)= £ rap(d) = p^l_ra_
rfla.3'6'7 L	L J
Г12501	Г12501	Г12501 . Г12501 . Г12501 , Г12501 . Г12501 ,
“ L“J " M J “ l“j + M J + mJ + W + [15"J +
, Г12501 , Г12501	Г12501	Г12501 Г12501	Г12501 , Г12501 OQ,
+m+мт J - m ““ m “ L’to’J “LwJ+L 210 J=287,
В следующей теореме мы дадим формулу, которая осущест-
вляет подсчет числа простых чисел методом.эратосфенова решета.
349
Теорема 335. Если plt р2, рг —простые числа ^Ух, то
л (х)-л(/х)+1 = у
d\pt...pr
Доказательство. Ф(х, |/х) выражает число чисел х,
не делящихся на простые числа ^Ух, т. е. согласно теореме23'
отличается от числа простых чисел, лежащих между Ух их
(включая х, если х — простое число), только одним числом 1.
Таким образом, пользуясь еще предыдущей теоремой, получаем:
л(х)-л(/х)+1 = Ф(х,/х) = У [-j]|i(d).	(43)
1 Pi... р.
Произведение рг-р2‘ ... -рг обозначим через М. Формулу (43)
можно записать в развернутом виде:
л(х)-л(/х)+1 = И- у [^-]+ £ [^-]-
Р> I м	piPj | м
- Е|мШ + -	<«>
PiPjPk\M
Эта формула дает численный подсчет числа; простых чисел,
лежащих между Ух и х, получаемых в процессе применения
решета Эратосфена. Выпишем все натуральные числа ^х — их
будет [х]. Вычеркнем числа, кратные р1г— их будет ; крат-
ные р2, —их будет — , и т. д. до чисел, кратных р., — их
Г х 1	L	г к -1
будет ly I , т. е. всего произведем У ЦИ вычеркиваний.
м L
Добавим числа s£x, кратные всевозможным PiPj, где р,Ру | М,
т. е. добавим У I—— чисел. Вычеркнем числа sgx, крат-
P|P/iAf ^P‘Pf-1
ные всевозможным PiPjPk, где PjPjph\M, т. е. вычеркнем
У	—— чисел, и т. д.
PiPjPh\M
Правая часть равенства (44) выражает число чисел
остающихся после всех этих вычеркиваний и добавлений.
Подсчитаем это же число остающихся чисел другим спосо-
бом. Если среди чисел plt р2,	, рг имеется s простых дели-
телей числа л(л^х), то п было выписано один раз, вычерк-
нуто С* раз, добавлено С’ раз, вычеркнуто С’ раз и т. д.
Поскольку
1-с*+с*—...+(-i)JC’=(i-ir=o,
350
такое п вычеркивается столько раз, что, несмотря на все до-
бавления, оно не сохранится. Числа п^х, не делящиеся ни
на одно из чисел р1( р2, рг, совсем не вычеркиваются и
сохраняются. Таким образом, после всех вычеркиваний и до-
бавлений останутся те и только те числа, которые не делятся
Haj^j, р2, .... рг, т. е. останется 1 и простые числа р, такие, что
]/х<р=С*- Число этих оставшихся чисел равно 1-)-л(х) —
— л(]/х). Мы получаем, таким образом, другое доказательство
тождества (43), наглядно показывающее связь формулы (43)
с решетом Эратосфена.
Пример. При х = 45 простыми числами, меньшими или
равными 1^45 = 6,7, ..., являются 2, 3 и 5.
”(45) - п (6,7)-1 + [45]- [¥]-[¥]- [¥] + [“] + [и] +
Применение формулы (43) приводит к длинным вычислениям,
так как сумма в правой части содержит большое число сла-
гаемых. Мейссель в 1870 г. дал формулу, в которой л(х) выра-
жается не через ф(х, ха), как в (43), а через ф(х, Xя). Эта
формула гораздо удобнее, чем формула (43) для вычисления
значений л(х).
Теорема 336 (Мейссель).
л (х)=Ф (х, х’)—	£	"(7) +
х3 <р < х’
1 /	-	-	\ (	—	—
-(-у ( л (х 2) +л (х3)— 2 ) ( л (хя)—л(х’)-)-1
(45)
Доказательство. Пусть pJ+1, рх+а, ...» Pt — простые
1 j.	_i	2
числа, лежащие между х3 их2, так что s = n(x3), f = л(х2) и
pJ<x3<pJ+1<pf+2< ... <pf<x2.
Обозначим через М множество чисел О, не делящихся на
1
простые числа р=Сх3. Очевидно, что числа, входящие в М, не
могут иметь трех или больше простых делителей.
1)	1	2
2)	В Л4 входят все простые числа, лежащие между хэ и х
(включая х, если х—простое число). Число таких простых чи-
351
сел равно л (х) —я(х 8) = л(х) —s.
3)	Составные числа, входящие в Л!, не могут иметь больше
двух простых делителей, т. е. они имеют вид PtPj, (Pt^pj),
где, поскольку р,ру<Сх, для наименьшего из этих двух простых
множителей р,- имеем:
х3<р,-^х\ Pi^pj<^-.	(46)
Для каждого р(, где s<j<Z, число простых чисел Ру,
удовлетворяющих условиям (46), равно
л(Р') + 1 = я +
\ РI /	\PiJ
а общее число составных чисел в М равно
у Ш-i+i) =
\ \Pij )
Z=s+1
s
(s + /-l)(/-s)
2
3
8
<
J.
Таким образом, для Ф(х, x3) —общего числа чисел в М
получаем формулу:
Ф(х, х3)= 1 + л (х) — s+ £	яМ_|(5 + /_1)(/_5) =
1 1 ' "'
8	^2
X <р<г
= л(х) + У л (Д)—y(* + s—2)(/—s+1),
х3<р<х2
_1 1
откуда, заменяя s и i их значениями л(х3) и л(х“), получаем
для л(х) формулу (45).
Пример. Найти число простых чисел в пределах от 1 до 1250.
В примере на странице 349 было найдено, что
Ф(1250, /1250) = 287. Между/1250=10,7... и /1250 = 35,3...
лежат простые числа 11, 13, 17, 19, 23, 29 и 31; л (10,7) = 4,
л (35,3) = 11. Находим при х — 1250:
V (х\	/1250\ .	/1250\ ,	/1250Х , „ Л2Б0Х .
.	/1250Х .	/1250\ ,	/1250Х
+ Л 1-23- ) + Л I-W) + П 1"ЗГ ) = 135‘
л(1250) = 287— 135 + 4-(11 +4-2) (11 - 4+ 1) = 204.
352
Вычисления значений функций л(х) обычно осуществляются
с помощью формулы Мейсселя или аналогичных формул такого
1
рода. Известны формулы, выражающие л(х) через Ф(х, хп)
при и>3, и значения л (у) при сравнительно небольших зна-
чениях у, однако эти формулы очень громоздки.
Исторические комментарии к 35-й главе
1.	Еще в 1798 г. Лежандр в первом издании своей книги
„Essai sur la theorie des nombres“ опубликовал приближенную
формулу для л (х) в виде д	втором издании этой
книги он уточнил свою формулу, взяв в качестве А число 1.
2.	Гаусс свои соображения о величине функции л (х) при
больших значениях х сообщил только в 1849 г., а опубликованы
они были в 1863 г., уже после работы Римана.
3.	Пафнутий Львович Чебышев родился в 1821 г. С 1837
по 1841 г. учился в Московском университете. В 1846 г. защи-
тил магистерскую диссертацию по теории вероятностей. С 1847 г.
и до конца своей жизни (1894 г.) работал в Петербургском уни-
верситете. Почти с самого начала своей жизни в Петербурге
стал работать также и в Академии наук, куда был избран
в 1853 г. адъюнктом, а в 1859 г. академиком. Помимо своих
замечательных работ по теории чисел, Чебышев известен своими
фундаментальными работами по математическому анализу, тео-
рии вероятностей и прикладной математике.
В 1849 г. П. Л. Чебышев написал книгу „Теория сравнений**.
Эта книга представляет собой оригинальный и весьма глубокий
для того времени курс основ теории чисел. В качестве одного
из дополнений к этому курсу П. Л. Чебышев дает свой мемуар
„Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной
величины**. В этом мемуаре, опубликованном также отдельно,
в частности, доказывается теорема о том, что предел отношения
л (х) к не может быть отличен от 1.
Работа П. Л. Чебышева „О простых числах**, в которой даны
неравенства вида (2) для функции л (х) и доказательство посту-
лата Бертрана, опубликована Петербургской Академией наук
в 1850 г.
4.	Постулат, получивший название постулата Бертрана, был
сформулирован Бертраном в следующей форме: „При п 3 суще-
ствует простое число р, такое, что п<р<2п—2. Бертран про-
верил справедливость этого постулата при всех пвС 3000 000
и применил его при доказательстве одной теоремы теории групп.
Чебышев дает более сильный результат, а именно, он доказал,
что число простых чисел в таком интервале неограниченно
увеличивается при увеличении величины п.
12 А. А. Бухштаб
353
5.	Результат П. Л, Чебышева о том, что предел отношения
л (х) к не может (если он существует) отличаться от I,
получается у него как следствие из следующей теоремы: „При
произвольном сколь угодно большом k и любом сколь угодно
малом а >• О существует бесконечное множество х, таких, что
X
х / \ С dt х
— ® —тг	п W — \ 1; < а —г- •
1П*Х	J In f 1п*х
1
D	Г dt	А
Величина интеграла I дает более точное приближение
я
к л (х) (при достаточно больших х), чем , как бы мы
ни выбирали постоянную величину В.
Еще Риман дал формулу, устанавливающую непосредствен-
ную связь между л (х) и нулями £(s), лежащими в критической
полосе, Формула Римана была полностью обоснована в 1894 г.
Мангольдом.
х
„	/ ч С dt
Есть предположение, что модуль разности между л(х) и \
значительно меньше, чем это дано в формуле (27). Предполагают,
что модуль этой разности представляет собой величину порядка
0(К*1пх). Такая почти предельно хорошая оценка л (х) будет
получена, если будет доказана гипотеза Римана (см. стр. 324).
X
Оценка разности между л(х)иУ^ зависит от того, на-
сколько далеки от прямой а=1 нули g(s).
6.	Доказательство асимптотического закона распределения
простых чисел, данное А. Сельбергом и П. Эрдёшом, основано
на использовании тождества
In®р + 2 lnplng = 2xlnx-+-0(x),	(47)
к
где р и q пробегают простые значения. Тождество (47) получило
название тождества Сельберга. Со времени выхода работы Сель-
берга и Эрдёша появилось несколько различных вариантов
элементарного доказательства асимптотического закона распре-
деления простых чисел.
7.	В 1940 г. П. Эрдёш доказал, что limp?k' < с < 1,
т. е. разность между соседними простыми числами рА+1—рк для
бесконечного множества значений k меньше, чем с In рА, где с< 1.
С другой стороны, было доказано (Эрдёш, Ранкин), что суще-
ствует некоторая постоянная Ь, такая, что для бесконечного
354
множества простых чисел pk будет выполняться неравенство
Р*+1—Pk>b\npk
In In рк In In In In
(in In Inpfc)2
в качестве b можно взять b — ec—г, где C—постоянная Эйлера
(см. стр. 53), е>0—произвольно малая величина.
8.	Теорема 332, так же как и теорема 330, была доказана
в 1847 г. Мертенсом. Применение методов теории функций
комплексного переменного позволило значительно уточнить
оценку (38). Мертенс доказал также, что
где С—постоянная Эйлера.
9.	Теорема 333 известна из работы Гарди и Рамануджана (1917).
Если вместо функции v(n) взять функцию £2(п), равную числу
простых делителей п, считая каждый из них столько раз, сколько
раз он встречается в каноническом разложении п (например,
Q (1200) = Q (24-3-52) = 7), то также имеем:
g^Q(n) = jVlnIn + 5^+0
причем постоянная В, = В + У,  где В — постоянная
теоремы 332.
10.	Теорема 335 встречается впервые в виде формулы (44)
в книге Лежандра „Essai sur la theorie des Hombres”. После ра-
бот Мейсселя различные формулы, выражающие л (х) с помощью
функции Ф (х, у), были построены Рогелем (1899) и Чипола (1905).
ГЛАВА 36
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ПРОГРЕССИЯХ. АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ
1.	ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Для большинства результатов, о которых будет идти речь
в настоящей главе, доказательства весьма сложны, и мы не будем
их приводить. Основная задача этой главы—дать очерк совре-
менного состояния теории простых чисел с тем, чтобы читатели,
заинтересовавшиеся рассматриваемой проблематикой, обратились
к специальной литературе.
В предыдущей главе мы рассмотрели вопросы, связанные
с распределением простых чисел в натуральном ряду. Как сле-
дующую ступень изучения простых чисел естественно поставить
12»	355
задачу изучения их распределения в различных подпоследова-
тельностях натурального ряда. Наиболее простыми бесконечными
подпоследовательностями натурального ряда являются арифме-
тические прогрессии.
Если взять, например, прогрессию с разностью 10:
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97, ....	(1)
то в начале среди ее членов встречается сравнительно много
простых чисел (подчеркнутые члены); будут ли простые числа,
содержащиеся в этой прогрессии, образовывать бесконечное мно-
жество или начиная с некоторого места простые числа больше
уже встречаться не будут?
Оказывается, и это было впервые доказано в 1837 г. Дирихле,
что не только в прогрессии (1), но и вообще в любой прогрессии,
у которой начальный член взаимно прост с разностью, содер-
жится бесконечное множество простых чисел.
Теорема 337 (Дирихле). Если (k, /) = 1, то прогрессия
I, l + k, l + 2k, / + ЗА, ...	(2)
содержит бесконечное множество простых чисел.
Условие (fe,/) = 1 существенно, так как если (k, Z)=d>l,
то все члены последовательности (2) делятся на d и прогрессия
тогда содержит самое большее одно простое число. Мы приводим
эту теорему без доказательства. Доказательство, данное Дирихле,
основано на рассмотрении особых теоретико-числовых функций
Х(п), называемых характерами (характеры по модулю k), и так
называемых L рядов Дирихле
при комплексных значениях аргумента $.
Характером по модулю k называется числовая функция X (л),
такая, что: 1) Х(1) = 1, 2) Х(а)~0, если (а, А)^=1, 3) X(afe) =
=Х (а)Х (й) для любых а и Ь, 4) X (а) = X (6), если a = b (mod А).
Можно легко доказать, что все отличные от нуля значения такой
функции представляют собой корни степени <р (А) из единицы.
Доказательство использует то, что характеры имеют одно и
то же значение для всех чисел, сравнимых по модулю k, т. е.
для всех чисел, принадлежащих одной и той же прогрессии
с разностью k.
В 1949 г. А. Сельбергом было опубликовано элементарное
доказательство этой теоремы. Для отдельных частных случаев
теорема Дирихле может быть получена совершенно элементарно,
и мы рассмотрим несколько примеров таких доказательств.
Теорема 338. Множество простых чисел вида 4/4-3 бесконечно.
356
Доказательство. Предположим, что существует только
конечное множество простых чисел вида 4/4-3; тогда можно
взять число jV, равное произведению всех таких простых чисел.
Из x=l(mod4) и у~1 (mod 4) следует xy=l(mod4), по-
этому произведение простых чисел вида 4/ +1 не может рав-
няться 4W — 1 (4W—1 й 1 (mod 4)). Таким образом, число 4N—1
должно иметь по крайней мере один простой делитель р вида
4/4-3, т. е. должно существовать простое число р, такое, что
p\N и pl (4W— 1), откуда получаем р|1, в то время как р^З.
Предположение, что существует только конечное число простых
чисел вида 4/4-3, привело нас к противоречию; значит, мно-
жество таких простых чисел бесконечно.
Совершенно аналогично доказывается бесконечность множе-
ства простых чисел вида 6/4-5. Из предположения, что суще-
ствует только конечное множество таких чисел, следует суще-
ствование хотя бы одного простого числа р, такого, что p\N
и р| (6N — 1), где N—произведение всех простых чисел вида
6/4-5, и тогда р|1, что не может иметь места.
Несколько сложнее доказывается следующая теорема.
Теорема 339. Множество простых чисел вида 4/ 4- 1 бесконечно.
Доказательство. Предположим, что существует только
конечное число простых чисел вида 4/4-1; тогда можно взять
N равным произведению всех этих чисел. Возьмем любой про-
стой делитель р числа 4№-|-1. Из того, что р|4№4~1 следует
(2N)2 =—l(modp), т. е. = Р = 4/-Н (теорема 207).
Поскольку N—произведение всех простых чисел вида 4/4-1,
то р является одним из делителей /V, p\N и р|4№ 4-1, откуда
получаем р|1, в то время как р> 1. Предположение, что су-
ществует только конечное число простых чисел вида 4/ + 1,
привело нас к противоречию, т. е. множество таких простых
чисел бесконечно.
Теорема 340. Множество простых чисел вида 6/4-1 бесконечно.
Доказательство. Предположим, что существует только
конечное число простых чисел вида 6/4-1; тогда можно взять
число Л/, равное произведению всех этих чисел. Любое нечетное
простое число р можно записать в виде 12/ 4- г, где r= 1, 5, 7
или 11. Вычислим символ Лежандра
(—= (— 1)~ (—- =
\ р )	U2/+r) к ’	\12/+<)
1, если г=1 или г = 7,
= (—1) ® (—О 8 \3/ 1—1, если г— 5 или г = 11.
Таким образом, = только если р = 1 (mod 6).
357
Возьмем любой простой делитель р числа 4№4*3, число р не-
четно и
(2У)а:	3 (mod р),	= 1,
т. е., как мы только что доказали, р имеет вид 6/4-1, и, сле-
довательно, p\N.
Из p\N и р|4У*+ 3 следует р|3, р = 3, что противоречит тому,
что р = 6/ + 1. Полученное противоречие доказывает бесконеч-
ность множества простых чисел вида 6/4-1.
Обозначим через я, (fe, х) число простых чисел в прогрессии (2),
меньших или равных х. Теорема Дирихле заключается в том,
что при = l их—► оо величина л7 (k, х)—>• оо. Для функции
лД&, х), так же как для функции л(х), ставится проблема опре-
деления порядка роста при увеличении аргумента х.
Методы, с помощью которых был определен порядок роста
л (х), были перенесены на случай произвольной арифметической
прогрессии, у которой начальный член и разность—взаимно
простые числа, и была доказана следующая теорема.
Теорема 341. При любых постоянных, взаимно простых k и I
имеет место асимптотическое равенство:
(3)
(4)
(5)
между
nt(k, х) ~ J, г^е ф(А)—функция Эйлера.
Я
Из этой теоремы вытекает, что
л,(k, х) ~ ~,
‘v ' <р (fe) In х ’
а также ввиду формулы (24) 35-й главы, что
Оценка (3) точнее, чем (4), в том смысле, что разность
левой и правой частями в (3) по модулю меньше, чем в (4).
Значительно труднее изучение порядка роста функции я{(А, х),
когда k растет вместе с х. Важные результаты в этом отношении
были получены в последние годы К. А. Родосским, Татудзава и
Э. К. Фогелсом.
Асимптотическое равенство (5) показывает, что в каждой
из прогрессий kt 4-/, такой, что (k, I) — 1, содержится в извест-
ном смысле одинаковое количество простых чисел. Действительно,
число прогрессий с разностью k, где (k, /) = 1, равно ф (£), и,
как показывают равенство (5), на долю каждой из них при-
ходится примерно часть от общего числа простых чисел,
лежащих в пределах от 1 до х.
358
Показывая, что в каждой такой прогрессии содержится
весьма значительное количество простых чисел, формулы (3) и
(4) вместе с тем ничего не говорят о том, как далеко от начала
прогрессии начнут встречаться простые числа. В этом отношении
чрезвычайно интересный результат был получен в 1944 г.
Ю. В. Линником. Теорема Линника устанавливает границу для
наименьшего простого числа любой заданной прогрессии.
Теорема 342 (Линник). Существует постоянное число с0,
такое, что при любых взаимно простых k и 1 (1 </<&) наи-
меньшее простое число, принадлежащее прогрессии
I,	l + k,	l + 3k, ....
не превосходит kc‘.
Арифметические прогрессии представляют собой значения
линейной функции f (/) = £/ + / при / = 1, 2, 3... Если вместо
линейной функции взять другую функцию /(^),то можно также
ставить задачу: содержит ли последовательность
/(1). f(2), /(3), ...	(6)
бесконечное множество простых чисел?
Например, если взять f (/) — f8 + 1, то может быть поставлена
задача: содержит ли последовательность чисел вида /8+1, т. е.
последовательность
2,	5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101........ (7)
бесконечное число простых чисел?
Вначале здесь попадается довольно много простых чисел;
среди первых 3000 членов этой последовательности имеется 300
простых чисел. Будут ли простые числа встречаться в этой
последовательности и дальше, как бы далеко мы ни ушли от ее
начала? Современная теория чисел пока не сумела решить этот
вопрос, и, таким образом, неизвестно, содержит ли последова-
тельность (7) бесконечное число простых чисел или начиная
с некоторого места простые числа больше не будут в ней встре-
чаться.
Не. надо думать, что трудность этой проблемы связана с ка-
кой-то особенностью функции /®4-1; проблема будет столь; же
трудной, если аналогичный вопрос поставить и для другого
неприводимого над полем рациональных чисел многочлена 2-й
степени а1* + Ы + с, где (а, Ь, с)=1. Еще труднее становится
проблема, если перейти к многочленам более высокой степени.
До сих пор ни для одного многочлена с целыми коэффи-
циентами	. ,
7(/) = aZ+^n-1+...+en
степени п>1 не удалось установить существование бесконечного
числа простых чисел в последовательности (6). Таким образом,
359
современной теории чисел удается исследовать распределение
простых чисел только в арифметических прогрессиях, да и то
далеко не полностью.
2. ПРОБЛЕМЫ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Значительные трудности встречаются и в так называемых
аддитивных задачах с простыми числами, т. е. в задачах, в
которых простые числа встречаются в качестве слагаемых. Наи-
более известна из этих задач — знаменитая проблема Гольдбаха —
Эйлера.
В 1742 г. Гольдбах в письме к Эйлеру поставил проблему
доказать, что каждое нечетное число может быть представлено
в виде суммы трех простых чисел (нечетные числа берутся, на-
чиная с 7). Эйлер в ответном письме высказал гипотезу, что
имеет место гораздо более сильное утверждение, а именно, что
каждое четное число (начиная с 4) может быть представлено
в виде суммы двух простых чисел. Эти проблемы получили
название проблемы Гольдбаха—Эйлера.
Конечно, если бы удалось решить задачу, поставленную
Эйлером, то отсюда справедливость теоремы Гольдбаха получа-
лась бы как очевидное следствие. Действительно, любое нечет-
ное число вида 2Л; 4-1 5* 7 можно представить в виде 2Af-{-l =
= 3-|-2(М—1), где 2(N— 1)5s4; так что из разложимости
2 (N — 1) на сумму двух простых вытекает разложимость 2N 4- 1
на сумму трех простых чисел. Вместе с тем решение проблемы
Гольдбаха не дает возможности сделать вывод о справедливости
утверждения Эйлера. Таким образом, проблема Эйлера труднее
и, как потом выяснилось, значительно труднее, чем проблема
Гольдбаха.
Эти две проблемы можно объединить общей формулировкой:
„доказать, что каждое натуральное число # > 1 может быть
представлено в виде суммы не более чем трех простых чисел".
В течение почти двухсот лет, прошедших после переписки
Гольдбаха и Эйлера, а именно к началу XX века, эти проблемы
казались совершенно недоступными, а вместе с тем численные
вычисления показывали, что натуральные числа в пределах до
нескольких миллионов обычно разлагаются на сумму двух или
трех простых чисел даже несколькими способами.
Известный специалист по аналитической теории чисел Э. Лан-
дау в 1912 г. поставил вопрос о том, чтобы доказать, что каждое
натуральное число W > 1 может быть представлено как сумма не
белее ну хотя бы миллиона или какого-либо другого опреде-
ленного числа простых чисел, однако и в таком виде задача
в то время представлялась чрезвычайно трудной.
Первый результат в направлении решения проблемы Гольд-
баха был сделан замечательным советским математиком
360
Л. Г. Шнирельманом, который в 1930 г. доказал справедливость
теоремы в той форме, которая была предложена Ландау. Теорема
Шнирельмана может быть сформулирована в следующей форме.
Теорема 343 (Шнирельман). Существует постоянная k,
такая, что каждое натуральное число, большее чем 1, может
быть представлено в виде суммы не более k простых чисел,
т. е. для любого натурального M(W>1)
= Pi + Pz + • •  +р*>
где pt—либо простые числа, либо нули.
Число k у Шнирельмана было довольно велико; однако в на-
стоящее время методом Шнирельмана справедливость теоремы
доказана при сравнительно небольших значениях k. Если брать
натуральные числа N^N0, т. е. брать натуральные числа, начи-
ная с некоторого, то метод Шнирельмана позволяет доказать
справедливость теоремы при fe=18.
Работа Л. Г. Шнирельмана, явившаяся в то время сенсацией
в математике, интересна особенно тем, что разработанные им
методы стали основой нового направления теории чисел. Метод
Шнирельмана находит применение не только в задаче Гольдбаха —
Эйлера, но и в других аддитивных проблемах. Интересные резуль-
таты, связанные с применением метода Шнирельмана, получил
Н. П. Романов, исследовавший множество чисел, представимых в
виде суммы простого числа и числа вида а" при заданном целом
а > 1.
В 1934 г. совершенно исключительного успеха в решении
аддитивных задач с простыми числами добился академик Иван
Матвеевич Виноградов. Ему удалось полностью решить проблему
Гольдбаха для всех чисел, начиная с некоторого. Доказанная им
теорема может быть сформулирована следующим образом.
Теорема 344 (Виноградов). Существует постоянное число No,
такое, что все нечетные числа, большие чем Мо, могут быть
представлены в виде суммы трех простых чисел.
Таким образом, проблема Гольдбаха решена для всех чисел,
за исключением, быть может, конечного их числа. Можно было бы
организовать проверку теоремы Гольдбаха и для чисел не пре-
восходящих Мо, однако это пока не сделано. Полученное для No
значение настолько велико, что даже для современных быстро-
действующих электронных вычислительных машин потребовалось
бы слишком большое количество времени.
Решение И. М. Виноградовым проблемы Гольдбаха явилось
чрезвычайно важным событием в развитии аналитической теории
чисел. При решении этой проблемы И. М. Виноградов применил
созданный им весьма мощный метод, основанный на применении
конечных тригонометрических сумм. Этот метод нашел себе при-
менение при решении многих трудных задач теории чисел,
в частности, многих аддитивных задач с простыми числами.
361
Метод Виноградова оказался все же недостаточным для.реше-
ния аддитивных задач с двумя простыми слагаемыми, и про-
блема Гольдбаха—Эйлера о представлении четных чисел в виде
суммы двух простых чисел остается до сих пор нерешенной. Вме-
сте с тем было доказано (Н. Г. Чудаков, Ван-Корпут, Т. Эстерман),
что почти все четные числа разлагаются на сумму двух простых
чисел; это значит, что отношение числа чисел отрезка [1; М],
неразложимых на сумму простых чисел, к самой величине N
стремится к нулю при увеличении N.
В аналитической теории чисел ставятся также задачи о пред-
ставимости чисел в виде суммы одного простого числа и других
чисел заданного вида.
Задачи такого типа обычно являются весьма трудными. Так,
например, только весьма тонкие аналитические методы позволили
Ю. В. Линнику решить в 1959 г. проблему, поставленную в
1923 г. английскими математиками Харди и Литлвудом, а именно
ему удалось доказать следующую теорему.
Теорема 345 (Линник). Каждое достаточно большое нату-
ральное число п может быть представлено в виде суммы простого
числа и двух квадратов целых чисел, т. е. в виде
n — p + k2 + l2.
Среди аддитивных задач с простыми числами особой извест-
ностью пользуется проблема так называемых простых чисел-
близнецов. Кроме 2, все остальные простые числа—нечетные
и наименьшая возможная разность между ними равна 2.
Определение 94. Два простых числа с разностью, равной 2,
называются простыми числами близнецами.
Например, среди первых 50 натуральных чисел имеется 6 пар
простых чисел близнецов, а именно:
3,	5; 5, 7; И, 13; 17, 19; 29, 31 и 41, 43.
Предполагают, что существует бесконечное число таких пар,
однако ни доказать, ни опровергнуть это предположение пока не
удалось. Простые числа близнецы можно выделить из натураль-
ного ряда способом, совершенно аналогичным обычному эратос-
фенову решету.
Теорема 346. Пусть рг = 2, р2, ..., рГ—все простые числа
Ni2(N^7). Если в натуральном ряду последовательно
вычеркнуть все числа п, делящиеся на рг, на р2, ..., на рг, а
также все числа п, такие, что п + 2 делится хотя бы на одно
из чисел pit р2, .... рг, то оставшиеся числа образуют множество
простых чисел р, таких, что р+2 также простое число, причем
VTT+2<p^N.
Доказательство. Число 1 будет зачеркнуто, так как
14*2 = 3 делится на 3. Все остальные натуральные числа
362
n*^\f N -\-2 будут также вычеркнуты, так как каждое из них
делится па какое-нибудь из чисел plt р2, ...,рг_._
Из чисел п, лежащих между KW+ 2 и ЛГ, (р^ + 2<;	N),
все п такие, что п или п-\-2— составное, будут вычеркнуты,
так как тогда п или п-|-2 или оба эти числа делятся по край-
ней мере на одно из чисел plt pit .... рг. Числа р такие, что
р + 2 тоже простое число и yN + 2<Zp^N, не будут вычерк-
нуты, так как в этом случае р и р + 2 не делятся на рх, р.2, ... рг,
которые тогда меньше чем р.
Мы имеем, таким образом, алгоритм, позволяющий находить
все пары простых чисел близнецов р, р + 2, где V М + 2<р
Добавляя к ним пары близнецов р, р + 2, где р <)zN + 2, мы
находим все близнецы р, р + 2, где p^N.
Этот алгоритм позволяет, таким образом, вычислять значения
функции B(N), выражающей число простых чисел p^N, таких,
что р + 2 тоже простое число. Проблема простых чисел близне-
цов заключается в том, чтобы доказать, что при увеличении N
величина В (М) тоже неограниченно увеличивается.
Подобный алгоритм можно построить для нахождения про-
стых чисел p^N, таких, что р' = 2М—р тоже простое, т. е.
для нахождения рассматриваемых в проблеме Гольдбаха—Эй-
лера пар простых чисел ((р, р')), сумма которых равна заданному
четному числу 2М.	_
Теорема 346'. Пусть р2 = 3<р3<1.. .<.рг^УПCpr+iC
С.. -СР.С 1Л2+—все нечетные простые числа, не превосхо-
дящие V2N.
Если среди нечетных натуральных чисел п, таких, что
3^n^N, вычеркнуть все числа, делящиеся хотя бы на одно из
чисел р2, р3, .... рг, а также все числа п, такие, что 2У—п
делится хотя бы на одно из чисел pt, р3, ..., pr, .... ps, то остав-
шиеся числа образуют множество простых чисел р, таких, что
p' = 2N — p тоже простое, причем У~Й<2р^П.
Доказательство. Если р — простое число, такое, что
K^<psS.V, и 2N—р — р' тоже ^ростов, то р не делится на
простые числа, не превосходящие ^N, а р' = 2N—p^N^V^N,
не делится ни на одно простое число, не превосходящее yr2N.
Если же для такого р число 2N—р составное, то по крайней
мере один нечетный простой делитель 2N—р не превосходит
т. е. такое р будет вычеркнуто. Все составные числа,
меньшие или равные ЛГ, и простые числа, меньшие или равные
]/~N, будут, очевидно, вычеркнуты, так как у каждого из этих
чисел имеется по крайней мере один простой делитель, не пре-
восходящий УТИ.
363
Добавляя к оставшимся числам простые числа p^,VU,
такие, что p'=2W—р простое, мы получим все пары простых
чисел р и р , удовлетворяющие условию р + р' = 2N, (3<р>С N).
Беря наряду с парами ((р, р')) еще и пары ((р', р)), мы найдем
все решения уравнения Гольдбаха—Эйлера:
x + y^2N,	(8)
где оба неизвестных принимают только значения, представляющие
собой простые числа.
Обозначим число решений уравнения (8) в простых числах,
т. е. число пар простых чисел ((р, р'))> таких, что р + р’ — 2N,
через Р(2Л/). Проблема Гольдбаха—Эйлера заключается в том,
чтобы доказать, что P(2/V)>0 при всех N
Пример. Найти все пары простых чисел ((р, р')), таких,
что р +р' = 232. Нечетные простые числа, меньшие или равные
/116, равны 3, 5, 7, а для чисел, меньших или равных /232,
прибавляются еще простые числа И и 13. В множестве нечет-
ных чисел 3, 5, 7, 9, ... ,115 выбрасываем (вычеркиваем) все
числа /г, делящиеся на 3, и числа п, такие, что 232—п = 0 (mod 3),
т. е. n. = 1 (mod 3). Остаются нечетные числа п = 2 (mod 3), т. е.
числа: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89,
95, 101, 107, 113. Из оставшихся чисел выбрасываем те п, для
которых n = 0(mod5), и те, для которых232—n = 0 (mod5), т. е.
n^2(mod5). После этого остаются числа: 11,23, 29, 41, 53, 59,
71,83, 89, 101,113. Выбрасываем затем числа вида п = 0 (mod 7),
а также вида 232—n = 0(mod7), т. е. n=l (mod7). После этого
остаются числа: 11, 23, 41, 53, 59, 83, 89, 101. Выбрасываем
еще числа п, такие, что 232—n = 0(mod 11), т. е. n = 1 (mod 11),
и числа п, такие, что 232 — п = 0(mod 13), т. е. п= 11 (mod 13).
В итоге остаются числа: 41, 53, 59, 83, 101. Добавляем к ним
простые числа 3 и 5, меньшие чем /116, для которых 232—3 =
= 229 и 232—5 = 227 —тоже простые числа. Представления числа
232 в виде суммы двух простых чисел имеют вид
232 = 3 + 229 = 5 + 227 = 41 + 191 =53+179 = 59+ 173 =
= 83+149=101 + 131,
и еще 7 представлений, получающихся переменой мест слагае-
мых. Уравнение х + у = 232 имеет 14 решений в простых числах,
т. е. Р (232)= 14.
Решето, аналогичное тому, которое мы применили для на-
хождения пар простых чисел ((р, р')), таких, что р'—р = 2, и
решений уравнения Гольдбаха—Эйлера р + р' = 2ЛГ, может быть
построено и для других аддитивных задач с простыми числами.
Решето подобного типа часто называют двойным эратосфеновым
364
решетом (два „просеивания" для каждого из простых чисел
Pi^y'N). Такое решето было впервые построено французским
математиком Мерлином.
Подобно тому как обыкновенное эратосфеново решето выра-
жено в виде формулы (44) 35-й главы, можно и для двойного
эратосфенова решета построить формулы, выражающие функции
B(N) и Р (2N) в явном виде. В правой части формулы (44)
35-й главы фигурируют величины вида , выражающие чис-
ло чисел, меньших или равных N и делящихся на k, причем k
равно произведению простых множителей, взятых из числа простых
чисел р2, ..., pr^y~N. Величина [дП не более чем на 1
отличается от . В случае двойного эратосфенова решета для
каждого k вида k = pi, ... р,. в правой части будет 2s величин,
каждая из которых отличается от -у тоже не более чем на 1.
Использование формулы (44) 35-й главы для определения порядка
роста n(N) встречает ту основную трудность, что, хотя после
замены каждого слагаемого на у ошибка не велика и не превос-
ходит 1, общее число слагаемых в сумме, равное, как легко
видеть, 2Г — 2я представляет собой очень большое число,
намного большее, чем само л (х).
Еще большие трудности встречаются при использовании по-
добных формул для B(N) или P(2N). Например, в формуле для
B(N) число слагаемых равно 1-f-2C?+ 22СГ2+2Г-1С^-1—
= 3Г—2Г, г = л(}/Г7У + 2). В 1919 г. норвежский математик Виго
Брун разработал замечательный метод, дающий возможность
использовать двойное эратосфеново решето для оценки функций
вида В (N) и P(2N). Прежде всего Виго Брун заменил эти
1
функции функциями В (N, № ) и Р (2N, (2W “). Функция В (N,N “)
выражает число чисел N, таких, что все простые делители п
1 1
и п + 2 больше чем №. Функция Р (2N, (2W)“) равна числу
чисел n=ss2/V, таких, что простые делители п и 2N — n больше
1
чем (2N)a. Для таких функций при а= 10 Брун строит двойное
1
решето (решето Виго Бруна), так что величины P(N, N10) и
1
P(2N, (2AQ10) оказываются заключенными между двумя суммами
со сравнительно небольшим числом слагаемых, причем величины
самих этих сумм оцениваются сверху и снизу хотя и сложным,
но вполне элементарным методом. Применяя этот метод, Виго
365
Брун доказал, что В (А, А10) и Р (2N, (2N)10) неограниченно
увеличиваются при увеличении N.
Если число п^ 2N таково, что все простые делители п больше
1
чем (22V)1*, то п состоит не более чем из девяти простых мно-
жителей. Если же при этом и у числа 2N — п все простые мно-
1
жители больше чем (2ЛГ)10, то п'= 2N—п тоже состоит не
больше чем из девяти простых множителей. Таким образом,
1
получив, что Р (2N, (2А)10)-^ оо, В. Брун доказал, что каждое
достаточно большое четное число 2N может быть представлено
в виде 2N = п + п', где каждое из слагаемых пип' состоит не
более чем из девяти простых множителей. Точно так же из того,
1
что B(N, №°)—юо, следует существование бесконечного мно-
жества чисел п, таких, что и п и п’ = п + 2 состоят не более
чем из девяти простых множителей.
Ряд усовершенствований, внесенных в метод Виго Бруна, по-
зволил снизить число простых множителей у п и п' (в проб-
леме Гольдбаха—Эйлера 2N = п + п' и в проблеме близнецов
п'— п = 2) до четырех (А. А. Бухштаб, 1940 г.).
Другое решето, существенно отличающееся от решета Виго
Бруна, было построено А. Сельбергом.
Используя различные методы решета, развитые Виго Бруном,
Бухштабом, Сельбергом, Куном, в конечном счете удалось сни-
зить число простых множителей у п до двух, а у п' до трех
(Ван-Юань, Б. В. Левин 1958 г.).
В 1948 г. венгерский математик А. Реньи доказал следующую
теорему.
Теорема 347. Существует постоянная I, такая, что каждое,
достаточно большое натуральное четное число 2N представимо
в виде 2N = р + п, где р — простое число, а п состоит не более
чем из I простых множителей.
В 1964 г. А. А. Бухштаб доказал теорему 347 со значением
1 = 3. Аналогичная теорема была им доказана и в проблеме прос-
тых чисел близнецов.
Теорема 348. Множество простых чисел р, таких, что р + 2
состоит не более, чем из трех простых сомножителей, бесконечно.
Рассматривая простые числа близнецы, Виго Брун доказал
также следующую теорему.
Теорема 349. Ряд величин, обратных простым числам близ-
нецам, сходится.
Теорема 349 показывает, что если даже простые числа близ-
нецы образуют бесконечное множество, то их все же намного
меньше, чем всех простых чисел. Ряд У*, величин, обратных
Г
366
всем простым числам, расходится (теорема 326), но если оста-
вить в нем только простые числа р, такие, что р' = р + 2 тоже
простое, то получится сходящийся ряд.
Простые числа близнецы —пара нечетных простых чисел с воз-
можно маленькой разностью 2. Можно рассматривать тройки,
четверки и т. д. простых чисел с возможно маленькими разно-
стями. Для трех простых чисел р, р' и р", где р>3, не может
быть одновременно р' = р + 2 и р* = р' + 2= р + 4. Действитель-
но, числа р, р + 2 и р + 4 образуют полную систему вычетов по
модулю 3, и, таким образом, одно из этих чисел обязательно
делится на 3. Наименьшие возможно маленькие разности между
тремя простыми числами, отличными от 3, это разности р'—р = 2,
р"—р' = 4 (или р'—р~4, р"—р' — 2). Тройки простых близ-
нецов р, р' = р + 2, р" — р + & встречаются вначале сравнительно
часто, например ((5,7, II)), ((11, 13, 17)); вместе с тем таблицы
простых чисел показывают, что по мере удаления от начала на-
турального ряда такие простые числа встречаются все реже и
реже. Английские математики Харди и Литлвуд поставили проб-
лему доказательства существования бесконечного множества
таких троек простых чисел: р, р' = р + 2 и р" — р + 6. Эта проб-
лема по трудности значительно превосходит проблему существо-
вания бесконечного числа простых чисел близнецов. Проблема
становится еще труднее, если рассматривать четверки простых
чисел: р, р' = р + 2, рг = р + §, р"' = р + 8.
Можно поставить ряд и других задач теории простых чисел,
которые еще ждут своего решения. Перечислим некоторые из них.
1.	Доказать, что существует постоянное число к, такое, что
неравенство р' — p<tk имеет бесконечное множество решений в
простых числах р и р'.
2.	Найти постоянное число к, такое, чтобы существовало
бесконечное множество пар простых чисел р и р', таких, что
р' — р=к.
3.	Доказать, что каждое четное натуральное число представ-
ляет собой разность двух каких-либо простых чисел.
4.	Доказать существование бесконечного множества простых
г р— 1
чисел р, таких, что р тоже простое число.
5.	Доказать, что существует бесконечное множество троек
соседних простых чисел pi_1, ph р/+1, образующих арифметическую
прогрессию, т. е. таких, что pt — р<~12~*~р '•
6.	Доказать, что для любого сколь угодно большого числа л
существует л простых чисел pti, pit, .... р(п таких, что
Pi, — Р‘, = Pi, — Pi,= "-= Pi„ — PiB-t-
7.	Доказать, что существует по крайней мере один многочлен
f(x) =ах* + Ьх+с с целыми коэффициентами а, Ь, с такой, что
367
последовательность f(l), f (2), f(3), ... содержит бесконечное
множество простых чисел.
8.	Определить существует ли квадратный трехчлен f(x) =
= ax2+bx+c, такой, что при всех х, таких, что f(x) = p, где р
простое число будет также простым и число р + 2?
9.	Доказать, что в последовательности
1,1,2,3,5,8,13,21..
где каждое следующее число равно сумме двух предыдущих
(последовательность Фибоначчи) существует бесконечное мно-
жество простых чисел.
10.	Будет ли для любых взаимно простых чисел k и I бес-
конечным множеством простых чисел р, таких, что все простые
делители числа р + 2 принадлежат прогрессии I, l + k, l + 2k, ...?
И. Доказать, что каждое достаточно большое натуральное
число N либо само является квадратом, либо представимо в
виде суммы W = p + s2, где р —простое число.
12.	Доказать, что все нечетные числа, начиная с некоторого,
могут быть представлены в виде суммы простого числа и удвоенного
квадрата простого числа (числа 5777 и 5993 не представимы в
таком виде).
13.	Определить, будет ли бесконечным множество натуральных
чисел п, таких, что п = pk, п + 1 =р{, где р и рг— простые числа,
k и I — целые.
14.	Доказать, что при любом натуральном п между п2 и
(п+1)а лежит по крайней мере одно простое число.
15.	Доказать, что при любом е > 0 каждое натуральное число N,
начиная с некоторого	где N0 = N0(e)) может быть
представлено в виде N = « + «', где все простые делители чисел
п и п' ие превосходят Л+
16.	Доказать существование бесконечного множества простых
чисел, представимых в виде суммы трех кубов натуральных чисел.
17.	Доказать, что для каждого натурального числа N сущест-
вует целое число а, такое, что ха — x-j-a принимает простые зна-
чения при №0,1,2,... ,N.
18.	Доказать, что множество простых чисел, для которых
g = 2, является первообразным корнем, имеет положительную
плотность.
Конечно, не исключена возможность того, что некоторые из
этих проблем будут решены в отрицательном смысле.
Исторические комментарии к 36-й главе
1.	Теорема 337 для случая 1=1 была высказана в 1775 г.
Эйлером.
Лежандр в своей книге “Theorie des nombres* (1808) привел
доказательство теоремы 337, однако это доказательство опиралось
368
на одно вспомогательное предложение, которое, как это выясни-
лось позже, оказалось неверным.
Доказательство Дирихле было существенно упрощено Э. Лан-
дау.
2.	Характер называется действительным, если его значениями
являются только числа 0,1 и —1. Основная трудность, возни-
кавшая при доказательстве теоремы 337 методом Дирихле,
оо
заключалась в том, чтобы доказать, что У. ¥=0 для всех
П = 1
действительных характеров по модулю k. Доказательство Сель-
берга обходится без этого.
3.	Элементарные доказательства существования бесконечного
множества простых чисел для очень многих арифметических
прогрессий частного вида были получены до Сельберга разными
авторами, например, было известно элементарное доказательство
для всех прогрессий вида kt ± 1 (t = 1,2,3,.. .). Для многих
прогрессий применялся метод Чебышева, аналогичный тому,
который он применял при доказательстве теоремы 324. Доказа-
тельство А. Сельберга было первое элементарное доказательство,
годное в общем случае.
4.	Теорема 341 была доказана Валле-Пуссеном. Валле-Пуссен
доказал, что при любом постоянном k
"Л*. - да J -^ + О .	(8)
где с — постоянная, зависящая только от k, В настоящее время
остаточный член в формуле (8) оценен более точно.
5.	Таблицы простых чисел в широких пределах показывают
преобладание количества простых чисел вида 4t + 3 по сравнению
с простыми числами вида 4Z+1-
Выяснилось, однако, что такое преобладание простых чисел
вида 4t + 3 не будет продолжаться неограниченно далеко. Методом
Литлвуда было доказано, что существует постоянная А, такая,
что для бесконечного множества значений х будет иметь место
неравенство
л* (4, х)>л3(4, x) + A-^-(lnlnlnx)2
и вместе с тем для бесконечного множества значений х будет
иметь место неравенство
ла (4, х) > я, (4, х) + А (In In In х)».
В 1957 г. Лич нашел число 26861, для которого я3(4, х)< лг(4,х).
26 861 наименьшее число, обладающее таким свойством. В пре-
369
делах до 3000 000 имеется только один интервал значений х
(61 600<х< 63 400), для которых ns (4, х) < (4, х).
6.	В настоящее время вычислено, что для достаточно боль-
ших k постоянная Со теоремы 342 такова, что 1 < Со < 5448.
Согласно гипотезе Човла наименьшее простое число в про-
грессии (2) не превосходит &1+в для любого е>0и всех доста-
точно больших k-
7.	Еще в 1882 г. Вебер доказал, что каждая примитивная,
бинарная квадратичная форма ах3-]-Ьху-]-су2 с неквадратным
дискриминантом для бесконечного множества пар целых х, у
принимает значения, представляющие собой простые числа (при
£><10 форма предполагается положительно определенной).
В 1954 г. Бригс показал, что эта теорема может быть дока-
зана методом Сельберга.
8.	Христиан Гольдбах (1690—1764) —математик, член Петер-
бургской Академии наук.
9.	Л. Г. Шнирельман (1905—1935) известен своими работами
по теории чисел, геометрии и вариационному исчислению. Он
доказал, что множество натуральных чисел, представимых в
виде р + р', где р и р' — простые числа, после добавления к нему 1
имеет положительную плотность.
Последовательность натуральных чисел alt а2, ..., ап, ...
называется последовательностью положительной плотности, если
существует постоянная а, такая, что У, l^oJV для всех це-
a^N
лых положительных N.
10.	Н. П. Романов (1934) доказал, что если к множеству
натуральных чисел, представимых в виде суммы простого числа
и степени заданного целого основания а>1, добавить число 1,
то получится множество положительной плотности. Он доказал,
что то же самое будет, если вместо степеней заданного основания
взять k-e степени натуральных чисел (k^\ любое целое).
11.	И. М. Виноградов не только доказал представимость всех
достаточно больших нечетных чисел N в виде суммы трех простых,
но и дал асимптотическую формулу для числа J (АГ) таких пред-
ставителей, а именно доказал, что
~2Н^П(1 +(^1?) П (1 —ра-Зр + з) ’
где первое произведение распространено по всем простым числам,
а второе по простым делителям числа N.
Постоянная No в теореме 344 была определена (К. Бороздкин)
в виде N	. Хуа Ло-кен рассмотрел ряд задач о представ-
лении натуральных чисел суммами k-x степеней простых чисел.
12.	В 1931 г. Т. Эстерман доказал, что каждое натуральное
число, большее чем 1, может быть представлено в виде суммы
370
простого числа и числа, свободного от квадратов, и дал асимп-
тотическую формулу для числа таких представлений.
13.	К. Прахар доказал (1952 г.), что существует бесконечное
множество чисел k, таких, что уравнение р'—p = 2k имеет бес-
конечное множество решений в простых числах р и р'.
14.	В 1963 г. Б. М. Бредихин, развивая метод Линника, до-
казал, что каждое достаточно большое число N представимо в
виде N = p + f (k, I), где р простое число, /(fe, /) = ak24-bklA-cl2
примитивная положительно определенная форма, 0< f (k, I) < N.
Теорема Бредихина является, таким образом, обобщением тео-
ремы 345. Им же был получен и ряд других теорем такого типа.
15.	Мерлин был убит на фронте во время первой мировой
войны и оставил свою, работу незаконченной.
16.	При доказательстве теоремы 347 А. Реньи существенно
использовал так называемое „большое решето" Линника. Дока-
зательство теоремы 348 (так же как и теоремы 347 с I = 3)
опирается на оценку.
У, р2 (k) max
v a (mod k}
(a. k) = i
Ло (k, X)
_____i e dt
<p(A)J Ini
2
(9)
Q
где v = -g-—e, e>0, A— произвольная постоянная. Эта оценка
была получена в 1962 г. М. Б. Барбаном.
В настоящее время А. И. Виноградов получил оценку (9) со
значением v = ^—е, что дает возможность решать многие ранее
недоступные задачи аддитивной теории чисел.
17.	В 1959 г. была опубликована таблица простых чисел-
близнецов в пределах до 1 100 000. Известны такие большие пары
простых чисел-близнецов, как, например, 10 016 957 и 10016 959.
Фрютль подсчитал, что среди первого миллиона натуральных чисел
имеется 166 четверок простых чисел вида р, р' — рХ2,р" = р + 6,
р"' = р + 8, а в пределах до двух миллионов имеется 295 таких
четверок. Эти подсчеты были продолжены В. А. Голубевым.
18.	Среди проблем, сформулированных на страницах 367—368,
проблема 6 предложена П. Эрдёшом, а проблемы 11 и 16 Харди
и Литлвудом.
ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ ДЛЯ МОДУЛЕЙ,
НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ 112
Левые таблицы служат для нахождения индексов. Правые
таблицы служат для нахождения чисел (классов) по заданным
значениям индексов. Пусть по модулю т имеем ind^a — s. Левые
таблицы позволяют по значениям т и а найти s. Для этого в 1-й
строке (под надписью „Модули") находим модуль т, а в 1-м
столбце (под надписью „числа") находим число а. Индекс s
находится на пересечении столбца, в котором лежит модуль т,
и строки, в которой лежит число а.
Пример. Найти индекс 58 по модулю 89. На стр. 377
в левой таблице на пересечении столбца, сверху которого на-
писан модуль 89, и строки, слева которой написано число 58,
находим, что ind 58 = 75.
Правые таблицы позволяют по значениям т и s найти а.
Для этого в 1 -й строке (под надписью „модули") находим модуль т,
а в 1-м столбце (под надписью „индексы") находим индекс s.
Число а находится на пересечении столбца, в котором лежит
модуль т, и строки, в которой лежит индекс s.
В частности, по индексу s= 1 могут быть найдены первообраз-
ные корни g, являющиеся основаниями взятых систем индексов.
Пример. Найти по модулю 49 число, индекс которого ра-
вен 40. На стр. 375 в правой таблице на пересечении столбца,
сверху которого написан модуль 49, и строки, слева которой
написан индекс 40, находим число 11. Индекс 11 по модулю 49
(основание g = 3) равен 40.
372
Числа	|	Модули										
	3	5	7	9	11	13	17	19	23	25	27
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26	0 1	0 3 1 2	0 4 5 2 1 3	0 5 4 1 2 3	0 3 4 6 2 7 1 9 8 5	0 7 4 2 3 11 5 9 8 10 1 6	0 14 1 12 5 15 11 10 2 3 7 13 4 9 6 8	0 7 1 14 4 8 6 3 2 11 12 15 17 13 5 10 16 9	0 12 8 2 17 20 15 14 16 7 21 10 18 5. 3 4 9 6 13 19 1 И	0 3 1 6 4 15 9 2 8 7 17 18 12 19 5 14 16 11 13 10	0 И 4 1 14 15 12 17 16 7 8 3 6 5 10 13 2 9
3 * S S	Модули										
	3	5	7	9	11	13	17	19	23	25	27
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	5	5	7	11	3	3	21	3	5
2		4	4	7	5	4	9	9	4	9	25
3		2	6	8	2	5	10	8	15	2	17
4			2	4	3	3	13	5	16	6	4
5			3	2	10	7	5	15	14	18	20
6					4	12	15	7	18	4	19
7					6	2	11	2	10	12	14
8					9	9	16	6	3	11	16
9					8	8	14	18	17	8	26
10						10	8	16	12	24	22
11						6	7	10	22	22	2
12							4	11	2	16	10
13							12	14	19	23	23
14							2	4	8	19	7
15							6	12	7	7	8
16								17	9	21	13
17								13	5	13	11
18									13	14	
19 20 21									20 6 11	17	
cd EJ О x	Модули										
	29	31	37	41	43	47	49	53	59	61	67
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 27 28 29 30 31 32 33	0 17 1 6 10 18 8 23 2 27 5 7 26 25 11 12 21 19 13 16 9 22 4 24 20 15 3 14	0 24 1 18 20 25 28 12 2 14 23 19 11 22 21 6 7 26 4 8 29 17 27 13 10 5 3 16 9 15	0 11 34 22 1 9 28 33 32 12 6 20 13 3 35 8 5 7 25 23 26 17 21 31: 2 24 30 14 15 10 27 19 4	0 14 25 28 18 39 1 2 10 32 37 13 9 15 3 16 7 24 31 6 26 11 4 27 36 23 35 29 33 17 12 30 22	0 27 1 12 25 28 35 39 2 10 30 13 32 20 26 24 38 29 19 37 36 15 16 40 8 17 3 5 41 11 34 9 31	0 18 20 36 1 38 32 8 40 19 7 10 11 4 21 25 16 12 45 37 6 25 5 28 2 29 14 22 35 39 3 44 27	0 26 1 10 29 27 36 2 13 40 11 33 30 20 25 28 35 39 24 38 37 16 17 3 18 14 7 4 41	0 49 1 46 15 50 10 43 2 12 34 47 32 7 16 40 22 51 45 9 11 31 39 44 30 29 3 4 18 13 5 37 35	0 15 54 30 32 11 38 45 50 47 27 26 37 53 28 2 20 7 48 4 34 42 51 41 6 52 46 10 14 43 39 17 23	0 31 6 2 22 37 19 33 12 53 45 8 40 50 28 4 17 43 26 24 25 16 27 39 44 11 18 21 5 59 29 35 51	0 17 3 34 57 20 61 51 6 8 13 37 59 12 60 2 32 23 38 25 64 30 14 54 48 10 9 29 22 11 7 19 16
I Индексы I	Модули										
	29	31	37	41	43	47	49	53	59	61	67
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32	1 3 9 27 23 11 4 12 7 21 5 15 16 19 28 26 20 2 6 18 25 17 22 8 24 14 13 10	1 3 9 27 19 26 16 17 20 29 25 13 8 24 10 30 28 22 4 12 5 15 14 11 2 6 18 23 7 21	1 5 25 14 33 17 11 18 16 6 30 2 10 13 28 29 34 22 36 32 12 23 4 20 26 19 21 31 7 35 27 24 9	1 7 8 15 23 38 20 17 37 13 9 22 31 12 2 14 16 30 б 35 40 34 33 26 18 3 21 24 4 28 32 19 10	1 3 9 27 38 28 41 37 25 32 10 30 4 12 36 22 23 26 35 19 14 42 40 34 16 5 15 2 6 18 11 33 13	1 5 25 31 14 23 21 11 8 40 12 13 18 43 27 41 17 38 2 10 3 15 28 46 42 22 16 33 24 26 36 39 7	1 3 9 27 32 47 43 31 44 34 4 12 36 10 30 41 25 26 29 38 16 48 46 40 22 17 2 6 18 5 15 45 37	1 3 9 27 28 31 40 14 42 20 7 21 10 30 37 5 15 45 29 34 49 41 17 51 47 36 52 50 44 26 25 22 13	1 55 16 54 20 38 25 18 46 52 28 6 35 37 29 2 51 32 49 40 17 50 36 33 45 56 12 11 15 58 4 43 5	1 59 4 53 16 29 3 55 12 37 48 26 9 43 36 50 22 17 27 7 47 28 5 51 20 21 19 23 15 31 60 2 57	1 63 16 3 55 48 9 31 10 27 26 30 14 11 23 42 33 2 59 32 6 43 29 18 62 20 54 52 60 28 22 46 17
374
	Модули										
₽: о s Т	71	73	79	81	83	89	97	101	103	107	109
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	6	8	4	47	79	16	34	1	44	1	93
3	26	6	1	—	30	1	70	69	39	70	28
4	12	16	8	40	76	32	68	2	88	2	78
5	28	1	62	1	1	70	1	24	1	47	16
6	32	14	5	—	27	17	8	70	83	71	13
7	1	33	53	50	58	81	31	9	4	43	88
8	18	24	12	33	73	48	6	3	30	3	63
9	52	12	2	—	60	2	44	38	78	34	56
10	34	9	661	48	80	86	35	25	45	48	1
11	31	55	68	17	10	84	6	13	61	22	107
12	38	22	9	—	24	33	42	71	25	72	106
13	39	59	34	52	15	23	25	66	72	14	7
14	7	41	57	43	55	9	65	10	68	44	73
15	54	7	63	—	31	71	71	93	40	11	44
16	24	32	16	26	70	64	40	4	74	4	48
17	49	21	21	39	78	6	89	30	70	29	21
18	58	20	6		57	18	78	39	20	35	41
19	16	62	32	42	23	35	81	96	80	78	3
20	40	17	70	41	77	14	69	26	89	49	94
21	27	39	54	—	6	82	5	78	43	7	8
22	37	63	72	10	7	12	24	14	3	23	92
23	15	46	26	31	66	57	77	86	24	62	105
24	44	30	13	—	21	49	76	72	69	73	91
25	56	2	46	2	2	52	2	48	2	94	32
26	45	67	38	45	12	39	59	67	14	15	100
27	8	18	3	—	8	3	18	7	15	104	84
28	13	49	61	36	52	25	3	11	92	45	58
29	68	35	11	11	46	59	13	91	86	32	10
30	60	15	67	—	28	87	9	94	84	12	29
31	11	11	56	22	50	31	46	84	57	27	74
32	30	40	20	19	67	80	74	5	16	5	33
33	57	61	69	—	40	85	60	82	100	92	27
34	55	29	25	32	75	22	27	31	12	30	6
35	29	34	37	51	59	63	32	33	5	90	104
36	64	28	10	—	54	34	16	40	64	36	26
| Индексы |	Модули										
	71	73	79	81	83	89	97	101	103	107	109
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35	1 7 49 59 58 51 2 14 27 47 45 31 4 28 54 23 19 62 8 56 37 46 38 53 16 41 3 21 5 35 32 11 6 42 10 70	1 5 25 52 41 59 3 15 2 10 50 31 9 45 6 30 4 20 27 62 18 17 12 60 8 40 54 51 36 34 24 47 16 7 35 29	1 3 9 27 2 6 18 54 4 12 36 29 8 24 72 58 16 48 65 37 32 17 51 74 64 34 23 69 49 68 46 59 19 57 13 39	1 5 25 44 58 47 73 41 43 53 22 29 64 77 61 62 67 11 55 32 79 71 31 74 46 68 16 80 76 56 37 23 34 8 40 38	1 5 25 42 44 54 21 22 27 52 11 55 26 47 69 13 65 76 48 74 38 24 37 19 12 60 51 6 30 67 3 15 75 43 49 79	1 3 9 27 81 65 17 51 64 14 42 37 22 66 20 60 2 6 18 54 73 41 34 13 39 28 84 74 44 43 40 31 4 12 36 19	1 5 25 28 43 21 8 40 6 30 53 71 64 29 48 46 36 83 27 38 93 77 94 82 22 13 65 34 73 74 79 7 35 78 2 10	1 2 4 8 16 32 64 27 54 7 14 28 56 И 22 44 88 75 49 98 95 89 77 53 5 10 20 40 80 59 17 34 68 35 70 39	1 5 25 22 7 35 72 51 49 39 92 48 34 67 26 27 32 57 79 86 18 90 38 87 23 12 60 94 58 84 8 40 97 73 56 74	1 2 4 8 16 32 64 21 42 84 61 15 30 60 13 26 52 104 101 95 83 59 И 22 44 88 69 31 62 17 34 68 29 58 9 18	1 10 100 19 81 47 34 13 21 101 29 72 66 6 60 55 5 50 64 95 78 17 61 65 105 69 36  33 3 30 82 57 25 32 102 39
370
I Числа	1	Модули										
	71	73	79	81	83	89	97	101	103	107	109
37	20	64	19	30	22	11	91	56	93	38	65
38	22	70	36	35	20	51	19	97	22	79	96
39	65	65	35	—	45	24	95	35	9	84	35
40	46	25	74	34	74	30	7	27	31	50	79
41	25	4	75	7	44	21	85	45	50	40	45
42	33	47	58	—	3	10	39	79	87	8	101
43	48	51	49	8	33	29	4	42	77	59	66
44	43	71	76	3	4	28	58	15	47	24	77
45	10	13	64	—	61	72	45	62	79	81	72
46	21	54	30	24	63	73	15	87	68	63	90
47	9	31	59	5	13	54	84	58	85	66	5
48	50	38	17	—	18	65	14	73	11	74	76
49	2	66	28	46	34	74	62	18	8	86	68
50	62	10	50	49	81	68	36	49	46	95	17
51	5	27	22	—	26	7	63	99	7	99	49
52	51	3	42	38	9	55	93	68	58	16	85
53	23	53	77	9	69	78	10	23	97	52	97
54	14	26	7	—	5	19	52	8	59	105	69
55	59	56	52	18	И	66	87	37	62	69	15
56	19	57	65	29	49	41	37	12	34	46	43
57	42	68	33	—	53	36	55	65	17	42	31
58	4	43	15	4	43	75	47	92	28	33	103
59	3	5	31	37	62	43	67	29	98	21	71
60	66	23	71	—	25	15	43	95	26	13	14
61	69	58	45	14	48	69	64	77	36	10	22
62	17	19	60	15	47	47	80	85	101	28	59
63	53	45	55	—	36	83	75	47	82	77	36
64	36	48	24	12	64	8	12	6	60	6	18
65	67	60	18	53	16	5	26	90	73	61	23
66	63	69	73	—	37	13	94	83	42	93	12
67	47	50	48	16	29	56	57	81	13	103	47
68	61	37	29	25	72	38	61	32	56	31	99
69	41	52	27	—	14	58	51	55	63	26	25
70	35	42	41	44	56	79	66	34	49	91	89
71		44	51	21	65	62	11	44	67	89	42
72		36	14	—	51	50	50	41	6	37	11
| Индексы J	Модули										
	71	73'79		81	83	89	97	101	ЮЗ	107	109
36	64	72	38	28	63	57	50	78	61	36	63
37	22	68	35	59	66	82	56	55	99	72	85
38	12	48	26	52	81	68	86	9	83	37	87
39	13	21	78	17	73	26	42	18	3	74	107
40	20	32	76	4	33	78	16	36	15	41	89
41	69	14	70	20	82	56	80	72	75	82	18
42	57	70	52	19	78	79	12	43	66	57	71
43	44	58	77	14	58	59	60	86	21	7	56
44	24	71	73	70	41	88	9	71	2	14	15
45	26	63	61	26	39	86	45	41	10	28	41
46	40	23	25	49	29	80	31	82	50	56	83
47	67	42	75	2	62	62	58	63	44	5	67
48	43	64	67	10	61	8	96	25	14	10	16
49	17	28	43	50	56	24	92	50	70	20	51
50	48	67	50	7	31	72	72	100	41	40	74
51	52	43	71	35	72	38	69	99	102	80	86
52	9	69	55	13	28	25	54	97	98	53	97
53	63	53	7	65	57	75	76	93	78	106	98
54	15	46	21		36	47	89	85	81	105	108
55	34	И	63		14	52	57	69	96	103	99
56	25	55	31		70	67	91	37	68	99	9
57	33	56	14		18	23	67	74	31	91	90
58	18	61	42		7	69	44	47	52	75	28
59	55	13	47		35	29	26	94	54	43	62
60	30	65	62		9	87	33	87	64	86	75
61	68	33	28		45	83	68	73	11	65	96
62	50	19	5		59	71	49	45	55	23	88
63	66	22	15		46	35	51	90	69	46	8
64	36	37	45		i64	16	61	79	36	92	80
65	39	39	56		71	48	14	57	77	77	37
66	60	49	10		23	55	70	13	76	47	43
67	65	26	30		32	76	59	26	71	94	103
68	29	57	11		77	50	4	52	46	81	49
69	61	66	33		53	61	20	3	24	55	54
70		38	20		16	5	3	6	17	3	104
71		44	60		80	15	15	12	85	6	59
377
Числа	Модули										
	79	81	83	89	97	101	103	107	109		
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108	44 23 47 40 43 39	6 23 28 13 20 27	39 19 32 17 68 42 35 71 38 41	20 27 53 67 77 40 42 46 4 37 61 26 76 45 60 44	28 29 72 53 21 33 30 41 88 23 17 73 90 38 83 92 54 79 56 49 20 22 82 48	61 57 17 98 22 36 64 28 76 46 89 80 54 43 60 16 21 63 75 88 53 59 20 74 52 19 51 50	33 35 41 66 65 53 18 75 54 94 38 29 71 19 23 91 99 21 76 10 96 27 81 55 32 52 37 90 95 51	83 39 58 80 65 85 98 51 68 41 20 9 76 60 102 25 88 82 57 64 97 67 19 75 101 87 56 96 18 100 55 17 54 53	80 50 60 81 87 20 83 64 4 30 46 86 37 51 38 62 40 57 95 75 102 98 19 61 52 53 55 2 9 34 67 70 24 82 39 54		
Индексы	Модули										
	79	81	83	89	97	101|103 1		107	109		
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107	22 66 40 41 44 53		68 8 40 34 4 20 17 2 10 50	45 46 49 58 85 77 53 70 32 7 21 63 11 33 10 30	75 84 32 63 24 23 .18 90 62 19 95 87 47 41 11 55 81 17 85 37 88 52 66 39	24 48 96 91 81 61 21 42 84 67 33 66 31 62 23 46 92 83 65 29 58 15 30 60 19 38 76 51	13 65 16 80 91 43 9 45 19 95 63 6 30 47 29 42 4 20 100 88 28 37 82 101 93 53 59 89 33 62	12 24 48 96 85 63 19 38 76 45 90 73 39 78 49 98 89 71 35 70 33 66 25 50 100 93 79 51 102 97 87 67 27 54	45 14 31 92 48 44 4 40 73 76 106 79 27 52 84 77 7 70 46 24 22 2 20 91 38 53 94 68 26 42 93 58 35 23 12 11		
378
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ 6000
2	167	389	631	883	1153	1447	1709	2011	2309	2621
3	173	397	641	887	1163	1451	1721	2017	2311	2633
5	179	401	643	907	1171	1453	1723	2027	2333	2647
7	181	409	647	911	1181	1459	1733	2029	2339	2657
И	191	419	653	919	1187	1471	1741	2039	2341	2659
13	193	421	659	929	1193	1481	1747	2053	2347	2663
17	197	431	661	937	1201	1483	1753	2063	2351	2671
19	199	433	673	941	1213	1487	1759	2069	2357	2677
23	211	439	677	947	1217	1489	1777	2081	2371	2683
29	223	443	683	953	1223	1493	1783	2083	2377	2687
31	227	449	691	967	1229	1499	1787	2087	2381	2689
37	229	457	701	971	1231	1511	1789	2089	2383	2693
41	233	461	709	977	1237	1523	1801	2099	2389	2699
43	239	463	719	983	1249	1531	1811	2111	2393	2707
47	241	467	727	991	1259	1543	1823	2113	2399	2711
53	251	479	733	997	1277	1549	1831	2129	2411	2713
59	257	487	739	1009	1279	1553	1847	2131	2417	2719
61	263	491	743	1013	1283	1559	1861	2137	2423	2729
67	269	499	751	1019	1289	1567	1867	2141	2437	2731
71	271	503	757	1021	1291	1571	1871	2143	2441	2741
73	277	509	761	1031	1297	1579	1873	2153	2447	2749
79	281	521	769	1033	1301	1583	1877	2161	2459	2753
83	283	523	773	1039	1303	1597	1879	2179	2467	2767
89	293	541	787	1049	1307	1601	1889	2203	2473	2777
97	307	547	797	1051	1319	1607	1901	2207	2477	2789
101	311	557	809	1061	1321	1609	1907	2213	2503	2791
103	313	563	811	1063	1327	1613	1913	2221	2521	2797
107	317	569	821	1069	1361	1619	1931	2237	2531	2801
109	331	571	823	1087	1367	1621	1933	2239	2539	2803
113	337	577	827	1091	1373	1627	1949	2243	2543	2819
127	347	587	829	1093	1381	1637	1951	2251	2549	2833
131	349	593	839	1097	1399	1657	1973	2267	2551	2837
137	353	599	853	ПОЗ	1409	1663	1979	2269	2557	2843
139	359	601	857	1109	1423	1667	1987	2273	2579	2851
149	367	607	859	1117	1427	1669	1993	2281	2591	2857
161	373	613	863	1123	1429	1693	1997	2287	2593	2861
167	379	617	877	1129	1433	1697	1999	2293	2609	2879
163.	383	619	881	1151	1439	1699	2003	2297	2617	2887
379
2897	3221	3529	3821	4127	4447	4751	5051	5399	5683
2903	3229	3533	3823	4129	4451	4759	5059	5407	5689
2909	3251	3539	3833	4133	4457	4783	5077	5413	5693
2917	3253	3541	3847	4139	4463	4787	5081	5417	5701
2927	3257	3547	3851	4153	4481	4789	5087	5419	5711
2939	3259	3557	3853	4157	4483	4793	5099	5431	5717
2953	3271	3559	3863	4159	4493	4799	5101	5437	5737
2957	3299	3571	3877	4177	4507	4801	5107	5441	5741
2963	3301	3581	3881	4201	4513	4813	5113	5443	5743
2969	3307	3583	3889	4211	4517	4817	5119	5449	5749
2971	3313	3593	3907	4217	4519	4831	5147	5471	5779
2999	3319	3607	3911	4219	4523	4861	5153	5477	5783
3001	3323	3613	3917	4229	4547	4871	5167	5479	5791
ЗОН	3329	3617	3919	4231	4549	4877	5171	5483	5801
3019	3331	3623	3923	4241	4561	4889	5179	5501	5807
3023	3343	3631	3929	4243	4567	4903	5189	5503	5813
3037	3347	3637	3931	4253	4583	4909	5197	5507	5821
3041	3359	3643	3943	4259	4591	4919	5209	5519	5827
3049	3361	3659	3947	4261	4597	4931	5227	5521	5839
3061	3371	3671	3967	4271	4603	4933	5231	5527	5843
3067	3373	3673	3989	4273	4621	4937	5233	5531	5849
3079	3389	3677	4001	4283	4637	4943	5237	5557	5851
3083	3391	3691	4003	4289	4639	4951	5261	5563	5857
3089	3407	3697	4007	4297	4643	4957	5273	5569	5861
3109	3413	3701	4013	4327	4649	4967	5279	5573	5867
3119	3433	3709	4019	4337	4651	4969	5281	5581	5869
3121	3449	3719	4021	4339	4657	4973	5297	5591	5879
3137	3457	3727	4027	4349	4663	4987	5303	5623	5881
3163	3461	3733	4049	4357	4673	4993	5309	5639	5897
3167	3463	3739	4051	4363	4679	4999	5323	5641	5903
3169	3467	3761	4057	4373	4691	5003	5333	5647	5923
3181	3469	3767	4073	4391	4703	5009	5347	5651	5927
3187	3491	3769	4079	4397	4721	5011	5351	5653	5939
3191	3499	3779	4091	4409	4723	5021	5381	5657	5953
3203	3511	3793	4093	4421	4729	5023	5387	5659	5981
3209	3517	3797	4099	4423	4733	5039	5393	5669	5987
3217	3527	3803	4111	4441					
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................................... 3
Обозначения....................................................   б
Введение
1. Предмет теории чисел ..................................
2. Краткий исторический очерк развития теории чисел.......	9
Глава 1. Общие основы теории чисел
1. Множества с операциями ................................. 15
2. Числа ................................................. 16
3. Последовательности. Функции.............................23
Г л а в а 2. Простые числа
1. Простые и составные числа..............................  28
2. Факторизация..........................................  33
Исторические комментарии.................................  37
Глава 3. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное
1. Общие делители и общие кратные целых чисел ..............38
2.	Алгоритм Евклида .......................................43
3.	Взаимно простые числа...................................45
Глава 4. Функция [х]
1.	Разложение nt на простые	множители.................48
2.	Точки с целочисленными	координатами ....................51
Исторические комментарии...................................57
Глава 5. Конечные цепные дроби
I. Представление рациональных чисел цепными дробями .... 58
2. Подходящие дроби......................................  61
Глава 6. Иррациональные числа
1. Критерии иррациональности................................67
2. Иррациональность сил....................................69
Исторические комментарии.................................  71
Глава 7. Сравнения...............................................72
Исторические комментарии................................   76
Глава 8. Классы
1. Распределение чисел	в классах по заданному модулю .... 77
2. Кольцо классов..........................................80
Глава 9. Полная и приведеннан системы вычетов
I. Полная система вычетов ................................  85
2. Приведенная система	вычетов.............................89
381
Глава 10. Функция Эйлера ........................................52
Исторические комментарии ..................................95
Глава 11. Теоремы Ферма и Эйлера
1. Основные теоремы........................................96
2. Обобщение теоремы Эйлера................................99
Исторические комментарии .	,............................ 100
Глава 12. Группа классов, взаимно простых с модулем
1. Группа классов..........................................101
2. Поле классов по простому	модулю .......................103
Глава 13. Сравнения с неизвестной величиной
1. Сравнения с одной неизвестной.........................  106
2. Системы сравнений......................................111
Глава 14. Сравнения 1-й степени
1.	Сравнение 1-й степени .................................113
2.	Неопределенное уравнение 1-й степени ..................116
3.	Система сравнений 1-й степени..........................120
Исторические комментарии..................................125
Глава 15. Сравнения по простому модулю
1.	Сравнение по простому модулю с одним неизвестным .... 126
2.	Сравнение по простому модулю с несколькими неизвестными . 131
3.	Приложения: теорема Вильсона, теорема Шевалье..........132
Исторические комментарии..............................    135
Глава 16. Сравнения по составному модулю .....................  135
Глава 17. Степенные вычеты
1. Показатели классов по заданному модулю.................139
2. Число классов с заданным показателем . ..............  143
Глава 18. Первообразные корни
1.	Первообразные корни по простому модулю	145
2.	Первообразные корни по составным модулям ........ 148
Глава 19. Индексы
1. Общие свойства........................................  152
2.	Индексы по простому модулю ..........................  155
3.	Индексы по составным модулям...........................156
Исторические комментарии..................;	.............162
Глава 20. Двучленные сравнения
1.	Двучленные сравнения по простому модулю ........ 163
2.	Двучленные сравнения по составному модулю ........ 167
3.	Квадратные корни из единицы .......................    163
4.	Показательные сравнения................................171
Глава 21, Сравнения 2-й степени по простому модулю
1.	Квадратичные вычеты и невычеты ......................  172
2.	Символ Лежандра........................'	. . ..........177
3.	Закон взаимности.......................................183
4.	Некоторые приложения теории квадратичных вычетов .... 187
5.	Символ Якоби.........................................  191
Исторические комментарии...........*.......................195
382
Глава
1.
2.
22.	Сравнения 2-й степени по составному модулю
Сравнения 2-й степени по модулю р*. где п_.пвостое ЧцСло •
Сравнение 2-й степени по произвольному составному модулю •
197
200
Глава 23. Арифметические приложения теории сравнений
I.	Признаки делимости....................
2.	Проверка арифметических действий ....................
3.	Длина периода десятичной дроби	..........
201
205
209
Глава 24. Бесконечные цепные дроби
1.	Сходимость бесконечных цепных дробей.................. .	210
2.	Разложение действительных чисел в цепные дроби J	' 214
3.	Разложение числа е в цепную дробь	221
Исторические комментарии.....................................223
Глава 25. Приближение действительных чисел рациональными
дробями
1.	Приближение действительных чисел подходящими дробями . . 224
2.	Приближение действительных чисел рациональными дробями
с заданным ограничением для знаменателей....................230
3.	Приближение действительных чисел бесконечной последователь-
ностью рациональных чисел...................................233
Исторические комментарии...................................  236
Глава 26. Наилучшие приближения
1. Отыскание наилучших приближений с помощью цепных дробей 237
2. Множество всех наилучших приближений к заданному действи-
тельному числу..........................................  .	240
Глава 27. Последовательности Фарея
1. Фареевы дроби .........................................  243
2. Приближение действительных чисел фареевыми дробями . , . 246
Глава 28. Квадратические иррациональности и периодические цеп-
ные дроби
1. Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби 248
2. Чисто периодические разложения ........................  255
Исторические комментарии....................................258
Глава 29. Алгебраические числа
1. Поле алгебраических чисел...........................;	• • 259
2. Рациональные приближения алгебраических чисел...........264
Глава 30. Трансцендентные числа
1. Трансцендентные числа Лиувилля...........................270
2. Трансцендентность числа е. Современное состояние вопроса
о трансцендентных числах....................................273
Исторические комментарии....................................277
Глава 31. Представление чисел квадратичными формами
1. Общие свойства бинарных квадратичных	форм..............278
2. Представление натуральных чисел положительно определенными
квадратичными формами . ....................................286
Исторические комментарии....................................295
Глава 32. Некоторые диофантовы уравнения
1.	Представление чисел в виде суммы двух квадратов и з виде
х*-Ь2у* ...................................................296
383
2.	Представление натуральных чисел в виде суммы четырех квад-'
ратов................................................. ....	299
3.	Проблема Варинга.........................................302
4.	Неопределенное уравнение Ферма...........................305
5.	Проблема Ферма ..........................................308
Исторические комментарии....................................311
Глава 33. Числовые функции
1.	Число и сумма делителей..................................315
2.	Функция Мёбиуса..........................................319
3.	Дзета-функция Римана ....................................321
Исторические комментарии....................................322
Глава 34. Средние значения числовых функций
1.	Среднее значение числа делителей. Среднее значение суммы де-
лителей ...................................................324
2.	Среднее значение	функции	Эйлера ....................... 327
3.	Числа, свободные	от квадратов.........................  329
Ис	торические комментарии................................  331
Глава 35. Распределение простых чисел в натуральном ряду
1.	Неравенства Чебышева для функции, выражающей число про-
стых чисел в заданных пределах........................ ....	332
2.	Обзор дальнейших результатов..........................   340
3.	Оценки некоторых сумм с	простыми числами................343
4.	Формула Мейсселя ......................................  349
Исторические комментарии....................................353
Глава 36. Распределение простых чисел в арифметических про-
грессиях. Аддитивные задачи
1. Простые числа в арифметической	прогрессии................355
2. Проблемы аддитивной теории	простых	чисел.................360
Исторические комментарии....................................368
Таблицы индексов ...........................................372
Таблица простых чисел ......................................379
Александр Адольфович Бухштаб
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Редактор Э. К. Викулина. Художник обложки Н. Н. Румянцев. Художественные ре-
цактор В. С. Эрденко. Технические редакторы Т. В. Павлова, Т. А. Семейкина. Кор-
ректор Т. А. Кузнецова.
Сдано в набор 29/Х1 1965 г. Подписано к печати 28/111 1966 г. бОхЭО1,,. Печ. л. 24.
Уч.-нзд. л. 20.41. Тираж 63 тыс. эка. (Тем. пл. 1966 г. Хг 23). А13В77.
• • •
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР.
Москва. 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Перовая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполяграфпрома Комитета
по печати при Совете Министров СССР, Москва, Ж-64. Валовая, 28. Заказ М 3194.
Цена беа переплета 67 коп. Переплет 18 коп.
’•-Г i
БЕСПЛАТНЫЕ
УЧЕБНИКИ!
ВРЕМЕН СССР
БОЛЬШАЯ БИБЛИОТЕКА
НА САЙТЕ
«СОВЕТСКОЕ ВРЕМЯ»
sovietime.ru
СКАЧАТЬ