РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В. Г. Р е к а ч
проф., докт. техн, наук
РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Допущено Министерством высшего и среднего специаль-
ного образования РСФСР в качестве учебного пособия для
студентов инженерно-строительных вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва — 1966
531.53
УДК539.30
Р—36
Рецензенты:
кафедры сопротивления материа-
лов ЛИСИ (докт. техн, наук
проф. В. А. Гастев) и МИСИ
(докт. техн. наук проф.
И, С. Цурков)
3-2-5
101-66
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сложность задач теории упругости и разнообразие методов
их решения заставляет изучающих эту дисциплину обращаться
к большому числу источников — монографий, учебников и статей.
В настоящее время отсутствует такое учебное пособие, в котором
наряду со сводкой основных уравнений и формул теории упругости
приводилось бы решение задач по всем разделам, включенным
в данное руководство.
При написании настоящего учебного пособия автор ставил перед
собой задачу по возможности сосредоточить в одном месте основ-
ной материал, позволяющий практически использовать уравнения
теории упругости.
В пособие включены расчетные уравнения и формулы с крат-
кими пояснениями к ним, необходимые для решения задач мате-
матической теории упругости, т. е. задач, в которых удовлетво-
ряются все основные уравнения теории упругости и локальные
краевые условия.
Приводимые задачи иллюстрируют теоретический курс и несколь-
ко дополняют его.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов инже-
нерно-строительных вузов и факультетов, а также может быть
использовано при прохождении университетского курса теории
упругости.
В дальнейшем предполагается подготовить аналогичное учебное
пособие к решению задач прикладной теории упругости (стержни,
тонкостенные и массивные пространственные,системы), т. е. задач,
в решение которых введены различные упрощающие гипотезы.
Автор глубоко признателен заслуженному деятелю науки и тех-
ники РСФСР докт. техн, наук проф. В. А. Гастеву и коллективу
кафедры сопротивления материалов МИСИ имени В. В. Куйбы-
шева за ценные замечания при подготовке к печати настоящего
издания.
1* 3
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем пособии наряду с классическими задачами подобра-
ны задачи, имеющие практическое значение и характерные приме-
нением того или иного приема решения. Помещены в основном
решенные задачи, а для самостоятельного решения указаны раз-
личные их варианты (|), отличающиеся нагрузкой или краевыми
условиями, для которых даны ответы или ссылки на источники.
Расчетные уравнения приведены в криволинейных ортогональ-
ных координатах аь а2, а3 и для трех частных систем координат:
прямоугольной, круговой-цилиндрической (в дальнейшем для крат-
кости называется цилиндрической) и сферической, а для плоскости—
прямоугольной и полярной. Другие системы координат встре-
чаются в отдельных задачах.
Решения даны как с упругими постоянными Е, о, так и с 1, G.
Автор не ставил цель унифицировать ход решения задач, а,
наоборот, стремился использовать различные способы расчетов
с тем, чтобы они дополняли теоретические объяснения.
В первой главе рассмотрены уравнения равновесия и крае-
вых условий, необходимые формулы для исследования напряжен-
ного состояния в точке, а также задачи на их применение.
Вторая глава посвящена исследованию деформаций. В рас-
смотренных задачах наряду с другими координатами введены пло-
ские параболические и эллиптические координаты.
Третья глава посвящена применению общих уравнений
к решению частных задач теории упругости: полярно-симметричной
и осесимметричной при различных системах осей координат.
В четвертой главе показано применение общих решений
уравнений теории упругости для ряда практически важных задач.
Различные приемы решения плоских задач в прямоугольных
координатах разбираются в п я т о й главе. Дано решение с помо-
щью функций напряжений — перемещений, применение комплекс-
ной переменной, решение по методу начальных функций, исполь-
зование однородных краевых решений, метод конечных разностей.
В шестой главе приведены уравнения плоской задачи
в полярных координатах и рассматриваются приемы решения
задач в этих координатах.
4
Седьмая глава посвящена кручению призматических и ци-
линдрических стержней постоянного и переменного сечений.
Вопросы о температурных напряжениях и деформациях решают-
ся в восьмой главе.
Контактные задачи, связанные с выяснением напряженного
и деформированного состояний в области соприкосновения двух
тел, разбираются в девятой главе.
В десятой главе приведены уравнения динамической задачи
теории упругости. Рассматриваются стоячие волны, связанные
с колебанием упругих тел, напряжения, возникающие от враще-
ния тел, и распространение в телах упругих волн от действия
источника возбуждения силового или температурного характера.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
«1, ®2» аз"-°Ртогональные криволинейные коор-
динаты
х, у, z —прямоугольные декартовы координаты
г, р, z —цилиндрические координаты
г, р, а—сферические координаты
ux, иу, uz, 1 проекции смещения точки и на непо-
I движные координатные оси (%, у, z;
г’ Р’ 2,1 I г, р, z; г, р, а), составляющие век-
иг, иа ) тора перемещения
YXi %Х>
*у> Yy> Zy,
Xz, Yz, Zz
RTi &Г1
Rfh #0, ^0,
*z, Bz, Zz
Rr, Br, Ar,
составляющие тензора напряжений
в прямоугольных координатах
то же, в цилиндрических* координа-
тах
то же, в сферических координатах
Q — плотность материала
F c^ + 2G
E~G^+G~
к
а 2(1 + 0)
О Е
2(1+g)
Eg
модуль продольной упругости
коэффициент Пуассона
коэффициенты Ламе
1	(l+<T)(l-2ff)
дх^ dyi
дг2
оператор Лапласа ,
ехх>
eyxj
eZXi
exyi eXZi
eyyi eyzi
ezyi ezz
составляющие тензора деформаций в
прямоугольной системе координат

x— время
t—температура
pv — нормальное, касательное и полное
напряжения по площадке с нор-
малью v
Qi, о2, аз — главные	нормальные напряжения
в точке
т12> т23> т31-« главные касательные напряжения
в точке
Jb ^2, ^з — инварианты напряженного состояния
в точке
6
Глава 1
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
1.	УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКОГО И ДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
1.	Ортогональные криволинейные координаты
d(Hhby____________1 у VvA dgv
da/i	2 gv	dah '
v
(>')
где av, ад —ортогональные криволинейные координаты (взаимно
перпендикулярные поверхности);
Hh, —нормальные напряжения;
Vh = Hv — касательные напряжения;
ghi gv—коэффициенты первой квадратичной формы;
з
ds2 = 3 Sh d2ah;
i
< дх \2 z ду \2	z дг \2
^h~\dah) + ( dah )	(. dah ) ’
И T. Д.
даЛ v &п дх
Vgh dah = dSh — длина элемента координатной линии;
COS (04, X) = Ygi ,
cos (а ц) = l/'a~ ^ctl направляющие косинусы нормали к
\ ъ У) V si Qy » поверхности щ в точке (аь а2, а3);
cos (аь =
7
Д = V gigzgz — коэффициент единицы объема;
dV = Д dat da2 da3 — элементарный объем;
Н—массовая сила, отнесенная к единице
объема в направлении координаты с^;
uv — перемещения в направлении криволи-
нейных координат.
2.	Прямоугольные координаты
= а2 = у, a3 = z —плоскости,
gi = g2 = gs = 1, Д=1, dV = dxdy dz,
ds2 = dx2 + dy2 + dz2.
Уравнения равновесия:
дХх	dXy	dXz	Y	0 < _ d2ux	\	.
-дГ + ~дГ+'-дГ+*-(\-$^г) '
дх	dy	dz	Ф Г	U < ’ 6 dx2	J	’	J
dZx	।	dZ«	I	dZz_________1-7_ n f  n ^2цг	Л	I
dx	+ dy	+ dz	+ Z — U ~6 3т2	)	•	J
(1.1а)
3.	Цилиндрические координаты
at = г— круговые цилиндры;
a2 = P—плоскости, проходящие
a3 = z—плоскости, параллельные плоскости хОу (рис. 1).
Согласно рис. 1
x = rcosp, z/ = rsinp, z;
откуда g!=l, g2^rz, g3=l; A = r;
dV = rdrdf>dz-, ds2 = dr2 + r2d$z + dzz.
8
Уравнения равновесия:
dRr , dr 1	L 1 r	dp 1	L	> dz 1	^7	—+ 7? = 0(	d*ur > 4 — ® dr2 >	1;
дВт	[ 1	dBp	, dBz	2BT	+b=o(=	d2U|3 \ ® dr2 у ’	
dr 1	' r	dp	г dz	I” r			
dZT	1		1 dZz -1	Zr	fz=o( = q	d2uz \	
dr 4	r	50 1	1 dz 1	r		5r2 ) '	
(1.16)
4.	Сферические координаты
cti = r —сферы;
а2 = 0 — плоскости, проходящие через ось Ог;
а3 = а— конусы с вершиной в точке О (рис. 2).
Согласно рис. 2
x=rsinacos0, у = г sin a sin 0, z^rcosa,
откуда
£1=1, g2 = r2sin2a, g3 = r2; A = r2 sin а;
dV = r2 sin a dr dfi da;
ds2 = dr2 + r2 sin2 a d$2 + r2 da2.
Уравнения равновесия:
dRr 1	1 dRa 2Rr — B^ — Aa + Raciga	л
dr * r sin a 50	* r da *	r	*
+«-°C=e^)'
dBT____1	gBp	1	dBa	Ba(3 + 2ctgg)
dr	*	r sin a	50	*	r	da	*	r	*	.
dAr 1	&4(з	i	dAa	(Rr — Bgjctga — ЗЛГ
dr * r sin a ’ 50	* r 5a	r	*
+^o( = e^)J
II. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Локальные краевые условия, справедливые для каждой
поверхности тела с нормалью v, имеют вид:
Av = Xxl “Ь Xyin -|- л
Уv —
Zv —	ZytTl -J- ZzH,
(1.1В)
точки
(1.2)
9
где
/ = cos (х, v), m = cos(r/, v), n = cos(z, v),
I24- m2 4- n2 = 1.
Интегральные краевые условия, справедливые для части
поверхности тела, обычно плоскости, определяют, что сумма
напряжений, действующих по поверхности, равна внешним си-
лам (задача 5.3).
Нормальное и касательное напряжения к площадке с нор-
малью v соответственно равны:
av == Хх12 4- Yym2 4- Zzn2 4- 2Xylm 4- 2Yzmn 4- 2Zxnl,
tv = ]/X2+y2+Z2—a2.
Полное напряжение pv = ]/a2 + Tv-
III. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
Главные нормальные напряжения в точке —а2, о3 опре-
деляют как корни кубического уравнения:
a3 — JiG2 4- J2o — J3 = 0,	(1.4)
где Ji—инварианты (величины, не зависящие от выбора осей
координат) напряженного состояния, соответственно
равные:
Yl-Zb
(1.5)
J3 —
ХхУ xzx
XyYyZy
XzYzZz
Выражение инвариантов напряженного состояния через глав-
ные напряжения:
j1 = or1-|_or24-o3,
J2 —	4~	4~ о2о3,
J3= О’|(У2О’3.
Главные касательные напряжения определяют по формулам:
Ti2— ± ~ёг (ai—о2);
^23 = ± ~2~ (а2---
Т31 — ±	(аз“°4).
(1.6)
(1.7)
10
Значения нормальных и касательных напряжений на любых
площадках, проходящих через данную точку, лежат на заштри-
3, а).
хованной части плоскости опхп (рис.
При условии <т1>о2><т3 экстремальные значения касатель-
ного напряжения определяют по формулам:
Ттах — ± —~ •	(1 • 8)
min	z
Площадки, по которым действуют экстремальные касатель-
ные напряжения, показаны на рис. 3, б.
Задачи
1.1.
Написать уравнения равновесия бесконечно малого парал-
лелепипеда, выделенного из тела, на которое действует сила
притяжения от массы М, находящейся в точке т], £ (рис. 4).
11
Масса параллелепипеда dm = qdV, где dV = dxdydz.
Расстояние между массами dm. и М
г = 1/а-х)2 + (т]-//)2 + (^-г)2.
Согласно закону Ньютона между массами dm и М действует
сила притяжения
dF = k2^^ = k2-^-dV,
где k2 — гравитационная постоянная.
Проекции силы dF на оси координат будут равны:
dFx = k2-^-dVcos(r, х) = k2(£—х) dV;
dFy = k2 dV cos (r, y) = k2 (n — y) dV;
dFz = k2^-dV cos (r, z) = k2	(£ - z) dV.
Подставляя значения dFx,y,z в уравнения (1. 1в) и сокращая
на элементарный объем dV, получаем:
Написать уравнения равновесия бесконеч-
нее. 5	но малого параллелепипеда, выделенного из
тела, которое находится на поверхно-
сти земли и подвергается силе земного притяжения (рис. 5).
Полагая (g— х) = (?] — у) = 0 и (£ — г)	г (задача 1.1), получаем
dFx = dFy = G, dFz = Q^-dV^QgdV,
где
k2M
g — —^----ускорение силы тяжести;
k2—гравитационная постоянная;
М. — масса земли (6-1021 т);
г — радиус земли (6,37-103 км).
12
Уравнения (1.1а) примут вид:
дХх	дХу	dXz	_
дх	г	ду	“f'	dz
Wx	,	dYv	,	d¥z	_	n.
дх	ду	*	dz	’
dZx	.	dZy	dZz	,	n
dx	dy	dz	se
1.3.
Написать краевые условия, подсчитать напряжения и дефор-
мации для тела ABCD малой толщины, на которое действует
Рис. 6
нормальная к контуру сжимающая нагрузка интенсивностью р
(рис. 6). Объемные силы принять равными нулю.
Согласно уравнениям (1.2)
Xv = Xxcos(x, v)+XyCOs(y, v);
yv = yxcos(x, v) + Yy cos (y, v).
Значение косинусов надо написать для положительных зна-
чений dx и dy, т. е. для участка АВ:
cos (х, v) =	(4-я четверть);
dx
cos (у, v)=---(3-я четверть).
Краевые условия примут вид:
— pcos(x, v)=Xxcos(x, v) +ХУ cos (у, v);
—pcos(y, v) = yxcos(x, v) 4- Yу cos (y, v)
13
или
р=-х.+х,^-, p-y-tf~y-
Напряженное состояние в теле характеризуется системой
напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия и крае-
вым условиям:
Xx = Yy=-p, Xy = Yx = 0.
Деформации будут равны:
е — е -	P('~g) р -о
— ^уу — Ё	’ е*У —
Для тела произвольного очертания получим:
ч	1.4.
Рм. 7	Написать краевые условия для тре-
угольного профиля малой толщины,
к которому по линии ОВ приложена нагрузка д = уу (рис. 7).
По линии О А (х = у tg Р)
cos (х, v) = cos (360—Р) = cos Р;
cos (у, v) = cos(270—Р) = —sinPr
Xv = Vv = 0, и краевые условия примут вид:
Хх cos р—Ху sin р = 0;
Yx cos р—Yy sin р = 0.
По линии ОВ (х = 0)
cos (х, v) = cos 180° = — 1;
cos (у, v) = cos90° = 0;
Xv = yt/—нагрузка совпадает с положительным направлением
оси Ох;
yv=o.
14
Краевые условия будут
^х ——У У? Ух —О-
1.5.
Проверить, каким условиям удовлетворяет электростатиче-
ская система напряжений Максвелла.
Y _	1	Г < ди	Л2	< ди	У2	С	ди	Y1 •	Y _	1	ди	ди
х	8л	L \ дх	)	\ ду	)	\	dz	') J ’	v	4л	дх ’ ду	’
у - 1	Г—Y1 • v — 1
у	8л	L \ ду	)	\ dz	)	\	дх	J J 1	г	4л	ду	dz
7—	1	Г<^\2	( dU	\2 _z	dU	Л 2п .	_	1	dU	dU
г ~	8л	L \ dz	)	\ дх	J	\	ду	) J ’	х —	4л	dz	дх	*
Ответ: 1) Уравновешивается при
v < дх* ду* dz* J U*
2) Находится в равновесии с массовыми силами
X, у, z= vW-fL, ™
’	4л \ дх ду дг J
1.6.
В случае отсутствия массовых сил напряжения могут быть
выражены через три функции напряжений.
Проверить подстановкой в однородные уравнения (1.1а) сле-
дующие системы напряжений:
1) Систему Максвелла (1870 г.):
ж ду2 дг2 ’ у дх ду ’
' -	, ^2Xi . у з2х2 .
и дг2 ”г" дх2 ’ z	ду дг ’
, _ д2Хз , д2%2 . 7 _	52Хз
’* дх2 ду2 ’	дгдх ’
2) Систему Морера (1892 г.):
v _ R>1 . у — ^2 • 7 — д2Фз .
х ду дг ’	у дг дх ’ 1	дхду ’
•___1 5 /	5т|)2 _	.
у	2	дг	\	дх	'	ду	дг	)	’
г __l.£л .
2	ч' дх\	ду	'	дг	дх	)	’
г___1	/	Э1|>3		0^1	^2	\
2	ду	\_	дг	дх	ду	)
15
1.7.	Задача Ламе (1859 г.) [1].
Для плоского напряженного состояния вывести уравнения
равновесия в криволинейных изостатических координатах Ламе
(кривые, совпадающие в каж-
дой точке с направлением глав-
ных напряжений и о2).
Пусть st изостата, совпада-
ющая с направлением глав-
ного напряжения о^, a s2—изо-
стата, совпадающая с а2; и р2
радиусы кривизны этих изостат
(рис. 8).
Выделяя двумя парами беско-
нечно близких изостат элемент
плоскости ABCD и составляя условия его равновесия, получаем:
dCTf I 01 — ^2 ।
0S1 Q2 "Г
до2
ds2
—а2 I с _л
——+ S2-0,
где Si—проекция объемной силы на направление dst.
1.8.
В точке упругого тела главные напряжения равны:
а1 = 50 Мн!м\ а2 =—50 Мн/м\ а3 = 75 Мн/я2.
Рис. 9
Найти полное pv, нормальное av и касательное tv напряже-
ния по площадке, равнонаклонной к главным осям (рис. 9).
Задача решается применением уравнений (1.2) и (1.3).
Ответ: pv = 59,5 ТИн/я2; ov = 25 Мн/я2;
rv = 54,1 Мн!м\
16
1.9.
В точке упругого тела действуют напряжения Хх, Yy, Zz,
Yx и Ху (рис. 10). Напряжения Yz^=Zx = 0.
Найти главные нормальные
напряжения crz и напряжения
по площадке, параллельной
оси z, нормаль которой обра-
зует с осью х угол а.
При решении задачи исполь-
зуют уравнения (1.4) и (1.3).
Ответ:
crv = Хх cos2 а + Yy sin2 а + Ху sin 2а;
= (Yy—Хх) sin2a + Xy cos 2а;
z,»0;	/Q-^y+xi.
1.10.
В точке упругого тела напряжения равны: Хя = 50 Мн/м2,
YV = Q, Zz= — 30 Мн/м2, Ху = 50 Мн/м2, Yz=—75 Мн/м2,
ZX = 8Q Мн/м2.
Найти главные нормальные и касательные напряжения.
При решении задачи используют уравнения (1.4), (1.5) и (1.8).
Ответ:
с?! =• 99,3 Мн/м2, <т2 = 58,8 Мн/м2, <т3 = —138 Мн/м2,
Ттах= Н8,6 Мн/м1.
Глава 2
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
1. УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
1. Криволинейные координаты
hh VIh +	dah	|
_	_	>	(2-1)
e-=/ Й^(т=)+/ gX(7=)  J
где ehh — относительные линейные деформации;
^hv—относительные угловые деформации.
Объемное расширение
0 = 2 e^ = i [^(К^И1)+-^(КБ^И2)+^(К^мз)] -
(2-2)
Компоненты элементарного вращения:
01 = 2/ЙГз С	( ^Ыз) ~	“2> ] 5
W2 = iFh7^(KF1M1)-^(Ki;M3)];
0)3 = 77^	’	(2'3)
Заметим, что на основании формул векторного исчисления
(div rot и = 0) составляющие вращения тождественно удовлетво-
ряют равенству
5^ (К^2^3wi) +	(К(Кй’1й’2(°з) = О-
Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных коор-
динатах см. [2], стр. 727.
18
2. Прямоугольные координаты
Изменение координат через перемещения:
8х = их, 8у = иу, 8z = uz.
Уравнения деформаций:
Z,	0 __dux ' диУ . Л
- дх , еху - ду т дх ,
р р -д^ >ди*. >
eVV - ду > еУ* - dz 'г ду > ?
о —	. о — ди* I дих
zz dz ’ zx дх ' dz ' J
Объемное расширение:
А	I д“У I
dx ‘ dy ‘ dz
Компоненты вращения:
(2.1a)
(2.2a)
1 / duz диу ч ,
2 С dy dz ) ’
,, _ 1 <dux duz\ .
v	2 \dz	dx J ’
z ~ 2 < dx	dy J ’
(2.3a)
Уравнения неразрывности деформаций:
d^^xx 1	д2еуу _	_ d*exy
ду* 1		dx dy
д*еуу	1 d2ezz _	_ d2eyz
dz*	Г ду* -	dy dz
d2ezz	d2exx	_ d*ezx
dx*	1 dz* ~	dz dx
d Г dezx dexy __ deyz "I = d*exx .
dx L	dy	dz	dx	J	dy dz	’
d Г	dexy	deyz	_	dezx	1	_	n	d2euu	.
dy L	dz	dx	dy	J	dz dx	’
d Г	deyz	dezx	__	dexy	1	_	g	d2ezz
dz\_	dx	dy	dz	J	dx dy	’ J
Первая группа тождеств Сен-Венана выражает непрерывность
кривизн деформированных волокон тела, вторая — непрерывность
относительных углов закручивания [3].
2* 19
3. Цилиндрические координаты
Изменение координат через перемещения:
бг = ыг, 6(3 =-у, 6г = иг.
Уравнения деформаций:
dur	1 dita . ur
err =	; eBa = — •_1 + — ; ezz =
ГГ Qr	pp r dp	Г ’
_ 1 dur duB	uB
erP~ r ' ap + dr	r ’
диВ , 1 duz
6|3z ~ dz r r ' ap ’
du~ . dur
zr or dz
Объемное расширение:
A _ 1 a (rur) , 1 3-"P . duz
r ' dr r  ар -Г dz ’
Компоненты вращения:
r “ 2r < ap r dz ) '
_ 1 Гдиг duz\ .
13 — 2 < dz dr ) ’
“z = 27 [ dr (ru₽) ~ af ] *
Уравнения неразрывности деформаций:
d*eTT d2ezz _ d2erz .
dz2 * dr2 dr dz '
34p , 1 d2ezz	1 dezz _ 1 d Z 3*pz
dz2 "l” r2 ' apa	r ’ dr ~ r ' dz < ap	T
1	— _L d2<fePr) .
r ' ap2 ' r ’ dr V	dr J dr	r ' dr ap ’
d2erp 	a2 zcpz\ 1 d2<?rz_ 9 a2 < ezl
dz2 Г dr dz V r ) r ap dz ~ ap dr r
arl d('-epz) -1	1 d2{r2erB) 32 feTZ\
dr L r dr J r2 * dr dz dr 30 \ r J
d2erz °2 (' epz) 32 ('epr) _ а Г 3 (repp) I
ap2 arap агар ~r dz Lerr ar J *	)
Для плоской задачи в полярных координатах (г и р) остается
только одно третье уравнение, так как erz = eBz = ezz = 0, а осталь-
ные деформации будут функциями г и 0.
duz
dz
(2.16)
<•
(2.26)
1
(2.36)

(2.46)
dr dz
d Г
= e;
dz L
20
4. Сферические координаты
Изменения координат через перемещения:
8г = иг, 6р = —6а = —
r’ r г sin а ’ г
Уравнения деформаций:
диг
етг -~ог;
_ 1 диа иг '
е““ ~ г ' да ' г ’
__	1 диг д < арЛ .
““ г sin а др	Г dr г J ’
0	г д f 11аЛ \ I дит
га Г dr V г ) г ’ да
еРа = —J— Г	(ир sin а) -|- 4^-1 .
ра rsina L да ' р 71 др J J
Объемное расширение
а 1 д z 2 v .	1 г д (	• ” \ । ди$ 1
0 = —(r2ur)4---------;(иа sin a) +^q-	.
г2 дг ' г/ 1 г sin a L да 4 “	* 1 1 др J
Компоненты вращения:
сог = -и—?--Г -^г —-4- (up sin а) 1 ;
г 2г sin a L др да ' р 7 J ’
1 Г диг д z ч "1
1 Г д z .ч дит 1
= О—:--- -3— (rua sin а)--- .
а 2r sin a L дг ' р 7 др J J
(2.1в)
(2.2в)
(2.3в)
Уравнения неразрывности деформаций см. [2], стр. 730.
11. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
Главные деформации
корнями уравнения:
в точке—е2, е3* определяются тремя
2(#хх
еух
^zx
еху
2 (еуу е)
ezy
&xz
eyz
2(ezz—e)
(2-5)
* Для главных направлений (/, 2, 3) компоненты сдвига равны нулю.
21
Направляющие косинусы главных деформаций et (корни урав-
нения 2.5) определяют из уравнений:
2 (fixx ^i)li 4"	4“	= Oj
&yxli 4" 2 (вуу	&yz1'l'i = 0, |	(2.6)
^zx^i 4" ^zyf^i 4" 2 (&zz И/ == 0, J
с учетом уравнения
/i + ml4-n1=l.	(2.7)
Относительное удлинение линейного элемента, направление
которого характеризуется косинусами /, т и и, определяют
по формуле
е = ехх12 4- еуут2 4- ezzn2 4- еху1т 4- eyzmn 4- ezxnl.	(2.8)
Задачи
2.1.
Даны перемещения:
xz	oxy	z2 + a(x2—г/2)
Uz=------, Uy =---- , Ux =-!-5,
z a ’ y a ' x	2a *
где a—постоянная.
Найти деформации и показать, что они удовлетворяют урав-
нениям неразрывности деформаций.
2.2. Задача Сен-Венана (1855 г.).
Цилиндрический или призматический брус с образующими,
параллельными оси г, сов-
падающей с линией цен-
тров тяжестей поперечных
сечений, изгибается по
концам парами M = FIy!a,
которые лежат в плоскости
хОг (рис. 11, о).
Найти напряженное и
деформированное состоя-
ния.
Полагаем
4=-4^	(а)
где а — постоянная, а ос-
тальные составляющие тензора напряжений равны нулю. Приня-
тая система напряжений удовлетворяет уравнениям (1.1а) при
отсутствии массовых сил и краевым условиям (1.2) по боковой
поверхности.
22
По торцовым сечениям имеем
М = ^-= — ZzxdF—^ ^x*dxdy,	(б)
F
откуда 1У= \ \ x2dxdy—момент инерции площади сечения отно-
сительно оси у.
Относительно оси х момент напряжений равен нулю, так как
оси х и у предполагаются главными осями.
Главный вектор напряжений Zzdxdy равен нулю, так как
F
ось Oz совпадает с линией центров тяжести.
Компоненты деформаций, согласно (3.1), равны:
дих диу  ох диг  х .	'I
дх	ду	а ’ dz	а '	I
4-	- dUx I	I дих — О I
ду dz dz ' дх дх ' ду	J
Полученные деформации удовлетворяют условиям неразрыв-
ности (2.4а). Интегрируя уравнения (в), получаем:
Их = -^[г2 + о(х2 — у2)], uv = ^xy, uz=—~.
Линия центров поперечных сечений смещается по закону
= и при большом значении а ее можно считать окруж-
Е1У
ностью радиуса а = -^~ с центром в точке х = а, 2 = 0, назы-
ваемой центром кривизны.
Деформация поперечного сечения в форме прямоугольника
показана на рис. 11, б.
2.3.
При действии сосредоточенной силы Р на полупространство
2>0 перемещения получились равными (см. задачу 4.4):
_ Р <1—2о z \ х
Ux^~ 4лб < Я + z —~R2 ) ~R '
У fatG \ R+z R*) R ’
Wz = 4nG [2 (1— а) ] ~Р *
где
R = V хг + у2 + ^2-
23
Найти деформации и проверить, удовлетворяют ли они уравне-
ниям неразрывности деформаций (2.4а).
2.4.
Подсчитать объемное расширение для следующих случаев
плоских ортогональных координат: параболических (софокусные
а, и а2 параболы), гиперболических (софокусные сц— гиперболы
и а2—эллипсы).
Для плоской
где
задачи объемное расширение, согласно (2.2),
подсчитываем по формуле
2
1
А = КdV = /\ dai da2;
ds2 = ds2 ds2 = gi dal -|- g2 da2.
Пользуясь комплексным выражением, будем считать
ax + ia2 = f(x + iy),
где /(..^ — аналитическая функция.
Параболические координаты (рис. 12):
0ц 4- 1а2 = У 2 (х + iy);
где г = Ух2 + у2—расстояние от фокуса (х = t/ = 0);
а?—а|	Л .
х =	,	0 аА < оо;
«/ = ±0^2,	0<Ja2<oo;
gi = g2 = a*-|-(x|;
A = /(a? + al)2 = a^ + al;
еУа> + <и
Эллиптические координаты (рис. 13):
. .	. x-\-iy
ai + ^а2 = arcsin а ,
24
St—So
SIn“1=^^
ch a = 51 + 52
СП 2 2a
где	_____________________________
$1 = У(х + а)2 + у2,	s2 = /(x —a)2—y2
— расстояния точки (x, у) от фокусов, лежащих на оси х в точ-
ках %!=—а и х2 = а.
x = asina1cha2, 0^а1<2л;
у = ± cos at sh а2, 0^а2<оо;
gi = gz = a2 (cos3 at + sh2 a2) =
= a2 (ch2 a2—sin3 at);
Д — a2 (cos2 cq + sh2 a2);
9 =________1______X
a(cos2a!-|-sh2a2)
X [	j/’cos2a1+sh2a2uJ-J-
+	(V cos2 at + sh2 a2 и2) J.
Если к координатам ai и a2 присоединить третью, не зависящую
от них координату a3=z, то соответственно получим простран-
ственные параболические и эллиптические цилиндрические коор-
динаты.
2.5.
Найти значения перемещений и2 и при которых компо-
ненты вращения равняются нулю.
Приравнивая выражения (2.3) нулю, находим:
_ дФ __ дФ .
Ui~VTida1~ <*i ’
_ дФ __ дФ .
U2~Vg2da2~~ ds2 ’
_ дФ	_ дФ
М3	5s3 '
Таким образом, вращение исчезает (со! = со2 = со3 = 0), когда
проекции смещения являются частными производными по длинам
координатных линий от одной и той же функции Ф — потенциала
смещений.
Для случаев прямоугольных координат (gi = g2 = g3=l)
__ дФ _____ дФ ____ дФ
Ux~~dT ’ иУ~~д^' Uz~~dz~ •
25
2.6.
Прямоугольная пластинка толщиной h ограничена плоскостями
z=±y и изгибается моментами Мх и Му, равномерно распре-
деленными по ее краям (рис. 14, а).
Определить величины моментов, при которых кривизны в пло-
скостях xOz и yOz положительны, т. е. центры кривизн лежат
в положительном направлении оси z.
Полагаем
Xx = Eaz, Yy = Ebz,	(а)
где а и b — постоянные, а остальные составляющие тензора на-
пряжений равны нулю.
Принятая система напряжений удовлетворяет уравнениям (1.1а)
Рис. 14
при отсутствии массовых сил и краевым условиям (1.2) по сво-
бодным плоскостям Z = ± у .
Проинтегрировав уравнения деформаций (2.1а), получим для
смещений выражения:
их — (а—оЬ) xz;	иу = (Ь — era) yz;
а —сгЬ 2 Ь~+
—	—?>— X	у —	2 Z .
(б)
Перемещения (б) удовлетворяют уравнениям неразрывности (2.4а).
Согласно уравнениям (б), каждая плоскость z = const изгибается
с кривизнами в плоскостях xOz и yOz, соответственно равными
(ob—а) и (оа—Ь).
Полагая R} и R2 радиусами кривизны (рис. 14, б), получаем:
1 d2uz <
-п- = -^-г = во—
дх2	’
1 d2uz	1
/?2 ду2
26
откуда
1 < 1 । <* Л и 1	< 1 , а
а~ 1-<А Ri R2 ) ’	1—(ARa^Ri
Интенсивность изгибающих моментов:
л
2
J Xxzdz = -o(-l-+-^-);
h
2
MV= \ Yvzdz= ~D	'
_ h
2
Eh3
где D = 12(i—a2)' цилиндрическая жесткость.
2.7.
Для деформации тела, симметричной относительно начала
координат О, найти все ее компоненты.
Если деформация симметрична относительно начала координат,
то перемещение uR любой точки направлено по радиусу-вектору R
Согласно уравнениям (2.1а) получим;
р I %2 df (R) .
вхх —Г(К)+ R dR ,
__2ху df(R) .
Ёх«~ R ' dR ’
evy = f(RH
У2 df(R) .
R ' dR ’
_2yz df(R),
«z R ' dR ’
ezz=f(R) + ^
df(R) .
dR ’
_2гх df(R)
ezx R ' dR ’
27
2.8.
Для деформации тела, симметричной относительно оси Oz,
найти все ее компоненты, соответствующие прямоугольной системе
координат.
Обозначим через иг проекцию перемещения на плоскость хОу
и через и2 проекцию его на ось Oz. Ввиду
осевой симметрии иг и uz являются функ-
циями г и г, где
г = ]Лх2 + у2 (рис. 16).
Перемещения будут равны:
ux = -~x = f(r, г) х;
Uy = -y~y = f(r, г)у;
uz = uz(r, г), где f (г, z} = ~~.
Согласно уравнениям (2.1а) получим:
р	df z).	_ 2xy df (r, z).
exx — f(r,z) + r  dr , exy—— g-r ,
e -f(r I У2 df  e t/H', z) . у ,
eyy — /V>Z)+r dr , eyZ — y dz + dr r ,
p _ duz .	_ df (r, z) duz x
2Z ~ dz ’ e™~x dz "T" dr ' r •
2.9.
В некоторой точке тела
eX3C = 0,001, еуу=— 0,0005, ezz = 0,0005,
ex;/ = 0,003, 6^ = 0,001, ezx= — 0,0008.
Определить главные деформации и ориентировку их по отноше-
нию к осям Ох, Оу, Oz.
Задача решается при помощи уравнений (2.5), (2.6) и (2.7).
2.10.
Для случая плоской деформации, когда и2 = 0, их = их(х, у),
иу = иу(х, у), определить главные деформации и их ориентировку.
Ответ. Один из корней уравнения (2.5) равен нулю, два
других определяются квадратным уравнением
в2 (ехх -Ь &уу) "F ехх@уу	^ху = 0.
Одна из трех главных деформаций совпадает с осью Oz, две
другие лежат в плоскости хОу.
Глава 3
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И ИХ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
I. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
1. Прямая и обратная формы закона Гука
(3.1)
==
з
где 0 =
tfft = W + 2Gefth, 1
Hv = Gehv. J	( }
2. Уравнения в перемещениях
(1+2й)/ёёД_
~2G [^(НГз®з)-Д(К£2®2)] + /i^#i=°;
(X + 2G) 1/—
v ' г gz да2
—20[^(^®1)-^;(^5з®з)] + И^#2 = °;
(X+2G) 1/	—
v ’ Г g3 да3
— 2G [	®2) “ ] +	Нз = °’
где <£>i определяют по формулам (2.3), 0—по формуле (2.2).
3. Уравнения в напряжениях
Три уравнения равновесия (1.1) и шесть уравнений нераз-
рывности деформаций [2], выраженные в напряжениях, согласно
формулам (3.1).
29
II. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
1. Прямая и обратная формы закона Гука
вхх ~ ~2G	Л,0) ;	e — — X • ху ~ G		
euv = 2G“		e — — У • g Z9		(3.1a)
е*2 = 1G~ ।	> 4«0>	_ J_7 &ZX 	 Q ^X'	J	
ХЖ = Х0 + 2С^; Xy = G		duy\. \ dy dx ) ’		
УЙ = Х0 + 2О^; Уг = С		(duv , duz\ . < dz dy ) ’		(3.2a)
Zz=X0 + 2G^; ZX = G(		fduz dux\ < dx ' dz J 9		
где 0 определяют по формуле (2.2а).
	2. Уравнения в перемещениях	(3.3a)
	(X+2G)® 2GQ S!')+X-0;	
	(X + 2G)|--2G(^-^.) + r = 0;	
	ад	z day d(ox \ n	
	(X+2G)^	2G(d; dyX) + Z-Q, ]	
ИЛИ	(X + G)-g- + GV2«x + X = 0; ' (Х + С)^ + С72Ый + У = 0; .	(3.3a')
	(X + G)-g- + GV2u2 + Z = 0, J	
где	2z x a2!---) , дЦ...)	g2(...)	
	v	dx* 1 dy* 1 dz* •	
Уравнения	(3.3a') можно представить в форме:	
	^ + (l-2O)VX + l=^X = 0; ‘	
	-| + (1-2о)?Ч + 1=^У = 0; -	(3.3a")
	f- + (l-2O)V2«2 + ^Z = 0. j	
* Другая форма: ехх=-^- [Хх—С (Yy + Zz)].
30
3. Уравнения в напряжениях
Три уравнения равновесия (1.1а) и шесть уравнений нераз-
рывности — уравнения Бельтрами — Митчела:
V%c +	1 1+0	020 _ 0%2 —	-2+- dx	—f	' dX	! dY	dZ s		
				1—a \	4 dx ।	dy	dz y		
Wv +	1	320 _	-2^- dy	— (	' dX .	1 dY	dZ 4		
	1+a	dy2 ~		1—a \	. dx	' dy	' dz z		
V2Z2 +	1	a2© _	__9T+_	° (	' dX ,	ЗГ			
	1+a	3z2 —	1 dz	1—<A	4 dx 1	0# 1	dz z		(3.4а)
v2Y +	1	320		( dX	+ —'	у				
	1 + a’	0x dy	k dy	dx					
v2rz+	1	020 _		dZ \					
	l+a	dy dz	< dz 1	dy )	•>				
V2ZX +	1	020 _		dX \					
	1-t-a	dz dx	V dx ।	dz )					i
где © — Хх + Уу + Zz.
При постоянстве объемных сил X, У, Z правые части уравнений
(3.4а) равны нулю.
III. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
1. Прямая и обратная формы закона Гука
^rr		1 2G	(^Rr-	©Y i+oy ’	£r|3 —		
e№ —	1 2G	(Bp-	-r+ +; 1+0 у	^z =	71 Sl' j	(3.16)
Szz =	1 2G	(zz-	©Y l+a 7 ’	Czr =	~GZr- J	1
R,_M + 2G^;	+
2G /	>
г С	+Ury ’
= Х0 -}
=	(3.26)
*	\ dz 1 г 0(3 у
Z2=X0 + 2G-^; Zr = G(+	,
z 1 dz ’ r V dr 1 dz J 1
где 0 определяют по формуле (2.26). fl- J- ( < Qu.f,
'Эг г
2. Уравнения в перемещениях
(l + 2G)rf—2G[^b-Aw]+rR_0;
(X + 2G) 1 	2G Js) + В = 0;
(X + 2G)rf-20[A(me)_^] + rZ = o,
(3.36)
31
где ®г, ®р и ®z определяют по формулам (2.36),
или
ти , _, 2_	__R_.
v ur-i-1_2a дг -г Г2' др Г2 — G ’
^2и _|_1_ . _0?_ А.	---JL-
V	гдр^ др r* G '
n2 .	1 бЮ Z
^+1=25-аГ=-—o’’
(3.36')
где V2(...) определяют по формуле (4.16).
3. Уравнения в напряжениях
Три уравнения равновесия (1.16) и шесть уравнений
рывности деформаций:
T72D	2 /п	D \	4 0^Э I 1	02®  п.
V Rr	r2 (Rr В₽)	Г2 	+1+а'аг2— °’
Т2Вр + -^(7?г-Вр) + ^-4^ +
,	1	1 < д , 1	^2 \ п Л
нераз-
г ара
=o-
<3z2
(3.46)
Тгв,+ 4
д*®	2
г dz * г2
д20	2
dr dz	г2
dZr Bz q.
0p
0Zp
0p
г2
4-=о,

где 0 = /?r + Bp-!-Zz.
IV. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
1. Прямая и обратная формы закона Гука
е"— 2G С^г—1+о ’ егР— G
е₽₽ ='2G'1 +<т	’ ер“ = ‘ё’^а’
еаа = -2Q- (Аа —	©) ; ear = -Q Ar. j
(3.1в)
32
Rr = X0 + 2G ;
B₽==X0 + ^(^^ + ur + Uactga);
Л = Л0 + -^(^ + и0;
Я3 = -£ Г J_._^ + r2jlf±n'| •	*	(3,2в)
‘ p r Lsina d₽ + dr < r ) J ’
Ba=4(^L + u₽ ctga + ^-Л^Л ;
r \ da 1 p b 1 sin a 30 ) ’
A — g Г r* а /ua \ . d«r ~|
T rLr5r<rJ''daJ’	j
где 0 определяют по формуле (2.2в).
2. Уравнения в перемещениях
(X-|-2G) г sina-^—го!"4г —-^-(copsin a)”]+rsina7? = 0;
Of	I О p (/CL	I
(X + 2G)-J- 2G Г	- 4 (roa) I + rB = 0;
v 1	' sin a dp L da dr ' J 1	’
(3.3b)
(% + 2G) sina-^— 2G (rapsina) —	+
+ r sina/l = 0,
где cor, (Dp и (Da определяют по формулам (2.3b).
Задачи
3.1.
Написать основные уравнения в напряжениях для осесим-
метричной задачи (ось г) в цилиндрических координатах.
Согласно уравнениям (1.16) и (3.46) имеем:
уравнения равновесия
j^L + _^-|_^-gS + ^ = O;
дг 1 dz 1 г '
dZr	dZz . Zr . у 
dr	dz r	u’
уравнения неразрывности деформаций
™-4(^-вр)+1гб-^-=°;
v2Bp+^(^-B₽) + r^4-^-=0;
3 Зак. 1215
33
V2Z _j__1_	0*
VZ2+l + a fe2 u’
5727 1	1 . d20___L 7 — 0-
V Lt n + a drdi r>
где
^(•••) , 1 d(...) , d2(...)
dr2 ~Г~ r dr "г” dz2
и
3.2.
Написать основные уравнения в перемещениях для осесим-
метричной задачи (ось z) в цилиндрических координатах и найти
их решение.
Так как задача осесимметрична, то все величины зависят от г
и г; кроме того, up = (or = coz = 0, и уравнения (3.36) приводятся
к виду:
30 , К д / ч п
-д- Н---(гео) = 0;
дг 1 г	dz	х	’
00	К	0	/	х	л
--------5-	(гео) = 0,
dz	г	dr	v	’
где со = сор (г, г) и K=y+2G -
Из первого уравнения (а)
00	тл 0(0
~д7~	К ~дГ •
Дифференцируя выражение (б) по г и подставляя во
уравнение (а), продифференцированное по г, находим:
02(О . 0 г 1 0 (гео) “| _ п
~д^±~дГ L"
Приняв в последнем уравнении
(О = R (г) Z (z)
и разделив переменные, получим два уравнения:
d2Z о v n
^-PZ==O;
, 1	, <1____i-Лр-О
da2 + a da + I 1 a2 J “ U’
(а)
(б)
второе
дг
(в)
где а^рг; р — произвольное число.
Решая полученные уравнения, находим согласно (ц):
со = ZY (а) (Лр ch pz + sh pz),
34
। де Zi (a) = EPJ{ (a) + FpNt (a) —цилиндрическая функция первого
порядка;
Ji (a) — функция Бесселя первого порядка
первого рода;
Ni (а) — функция Неймана первого по-
рядка;
Ар, Вр, Ер, Fp — произвольные постоянные.
Согласно уравнению (б)
—/Ср (Ар sh pz + Bp ch pz) Z1 (a),
откуда
0 = —К (Ap sh pz + Bp ch pz) Zi (a) da + f (z) =
= К (Ap sh pz + Bp ch pz) Zo (a) + f (z),	(д)
где Zo (a) = EPJO (a) + FPNQ (a) — цилиндрическая функция нулевого
порядка.
3.3.
Написать основные уравнения в перемещениях для полярно-
симметричной задачи в сферических координатах и привести их
общее и частное решения.
Так как задача полярно-симметричная, то все величины зави-
сят только от г и, кроме того,
Wa =	= (Dp = С0а = 0.
Объемное расширение, согласно (2.2в),
g _ dur . 2 Ur
dr ' г '
Таким образом, остается только первое уравнение (З.Зв), кото-
рое принимает вид:
= (а)
п Л
,Де A. + 2G ’
Общее решение однородного уравнения
т(^+2^) = °
находим последовательно:
-.Ur	= J___(г2и \ _ or
dr г г* dr Ur> —
и
Чг = С1Г + -^-.	(б)
3* 35
Частное решение неоднородного уравнения (а) получим в форме
общего решения (б) методом вариации произвольных постоянных,
положив Cj и С2 функциями г:
йг = С1(г)г + ^р.	(в)
Первая производная частного решения
4Г = С‘(Г)-^С2<Г)	(Г)
при условии, что
а (г) г + ^с2 (г) = 0.	(д)
Вторая производная
= С; (г) + А С2 (г) —А- с; (г).	(е)
Подставив (в), (г) и (е) в уравнение (а), получим:
c;(r)-4c;(r)+/?i = o.	(Ж)
Решая совместно уравнения (д) и (ж), находим:
С! (г) = - \ 4 dr' С* W = 5 ¥ dr- (3)
С	с
Подставив выражения (з) в уравнение (в), получим частное реше-
ние.
3.4.	Задача Ламе (1859 г.) [4].
Определить перемещения и напряжения в замкнутой сфери-
ческой оболочке, нагруженной изнутри (г = а) и извне (г = Ь)
равномерно распределенными давлениями (pL и р0)«
Согласно уравнению (а) задачи (3.3)
^=^+4-.
Объемное расширение
0 = ^ + 2^ = i.jL(r!„r) = 3Ci.
Напряжения, согласно формулам (3.2в), равны:
Rr = 10 + 2G	= (зх + 2G) Ct -	С2;
Ве = Аа = 10 + -4«r = (31 + 2G) ^ + 4- С2.
36
Краевые условия задачи имеют вид:
при г = а Rr = —pt,
» r = b Rr = — Po-
Удовлетворяя краевым условиям, получаем:
r _	1 picfi—pob3
1 3X + 2G’	b3 — a3 ’
r _ 1 a3b3(pi—po)
2~ 4G'	Ь3—а3
При деформации сфера сохраняет свою форму.
3.5.	Задача Ламе (1852 г.) [4].
Определить деформацию шара радиуса а от взаимного притя-
жения его частиц.
На каждую единицу объема шара действует радиальная сила
R — —, где g—ускорение силы тяжести на поверхности шара
(задача 1.2).
Уравнение равновесия при наличии радиальной силы имеет
вид (задача 3.3):
d ( dur ' 2ит \ Qgr _ 0
dr < dr + г )	a&+2G)~'3'	* '
Пользуясь результатами задачи (3.3), получим общее реше-
ние уравнения (а) в форме:
иг = СгГ.	(б)
Для сплошного шара С2—-0.
Частное решение берем в форме:
ит = Вг3.	(в)
Подставляя (в) в (а), получаем:
В =_____м_____
10a(X + 2G) ’
и перемещение будет равно
«г = Ctr + 10a®f_|_2G) ’
Так как поверхность шара свободна от напряжений (Rr=a—0),
то окончательно находим:
и   L.	< 5X + 6G 
т	10 %+2G < 3K + 2G	а3 ) '	W
Интересно отметить, что внутри сферы радиуса a j/"
радиальная деформация представляет укорочение, вне этой сферы—
37
удлинение. Таким образом, в очень больших телах от взаимного
притяжения частиц возникают значительные начальные напря-
жения.
3.6.
Написать основные уравнения в перемещениях для осесим-
метричной задачи (г) в сферических координатах и найти их
общее решение.
Так как задача осесимметрична, то все величины зависят от г
и а; кроме того, и$ = <йг = соа = 0, и уравнения (3.Зв) приводятся
к виду:
м 30 2G д /	•	\ I n п
(% + 2G) Тг +	(гар sin а) + R = 0;
(X + 2G) -g—2G^- (га₽) + г А = 0,
где, согласно (2.2в) и (2.Зв),
0 = -4-'-т- U2Wr)4----г------ (ua sin а);
г2 dr v г/ * г sin а За ' а	'
1 г диг д , Я
Уравнения будут однородными при /? = Д = 0:
30 .	К	3	/	.	\	п	\
-х- +	(со sin а) = 0;	]
дг 1	г2 sin а	За	v '	•
30 За> А	I
За dr ’	J
(a)
где
„ 2G
Полагая
л ЗФ
Q = K-^r и <0 =
тождественно удовлетворим второму
уравнение будет
д2Ф . . дФ , »
-а-»- + ctg а —к г2 -=-«
За2 & За 1 Зг2
ЗФ
За ’
уравнению (а),
"2ф 0.
(б)
а первое
Приняв в последнем уравнении
ф = #(г)Д (а)
и разделив переменные, получим два уравнения:
(PR _n(n+l) р_ п.
dr2 г2 К—U,
4-4 + ctg а + п (п + 1) А = 0.
da2 1	° da 1	'	1 '
(в)
38
Решая полученные уравнения, находим:
Ф = (Anrn+1Bnr~n) [ЕпРп (y.) + FnQ,n (И)],	(г)
где p, = cosa;
Рп (р.)—функции Лежандра первого рода, или полиномы
Лежандра;
Qn(p) — функции Лежандра вто-
рого рода (см. гл. 4
и [5]);
Ап, Вп, Еп, Fn—произвольные постоян-
ные.
Согласно формулам (б):
0 = К	= К 1Ап (п+ 1) гп-
—Вппг~<‘п+1')] [f„Pn(p) + FnQn(p)]; (д)
co	1 дФ
г	г да ~
= — (Anrn-+-Bnr~n х) [FnP;(p.)+FnQ;(jA)]. (е)
3.7.	Задача Митчела (1900 г.) [4].
Найти распределение напряжений в бесконечном конусе a = a1?
в вершине которого вдоль его оси действует сила Р (рис. 17).
Ввиду симметрии относительно оси г,
^р — ^Р — ^р = 0» й)г = й)а = 0.
Уравнения (З.Зв) при отсутствии массовых сил примут вид
уравнений (а) задачи (3.6).
Решения уравнений (а) задачи (3.6), при которых смещения
обратно пропорциональны радиусу г, имеют вид:
1)	ит		 F cos a e 4лб г '		
	а 1 ? яя	__	X + 3G	F sin a	
		2(%4-2G) 4nG г ' 		3% + 4G F cos a — Z + 2G ’ 4л' r2 ’ 	 GF cos a X+2G 4 л r2 ’ 	 G	F sin a		(a)
		К 4- 2G 4 л	r2 •	
39
2)
В	_ В sin а ф '
Ur г ’	г	l + cosa ’
р _  of? — • /? — 26 — . s^n а •
r2 , Ka-Z(j r2 l + cosa’
Л — 26 В Cosa •
/la-zu r2 l + cosa ,
Вв = 2G ---------г ,
p г2 (1 +cos a)	J
(6)
где F и В —произвольные постоянные.
Краевые условия задачи, при a = сцЛа = Ra = 0, после сокра-
щения пропорциональных членов приводятся к одному уравне-
нию вида:
_J_.A+ 26 =0
X-j-26 4n^l-|-cosa1 ’
откуда
о_	1 + cosai F
8jt(X + 2G)
Второе условие для определения F получим, составив сумму
проекций на ось конуса z силы Р и напряжений по сферической
поверхности с центром в вершине конуса. Из последнего усло-
вия следует:
Р =	f1 — cos3ai) + G (1 — cos a4) (1 + cos2 cq)].
При a4 = -^- получим давление в какой-либо точке на тело, огра-
ниченное плоскостью.
3.8.
Пользуясь результатами задачи (3.2), определить перемещения
для осесимметричной задачи в цилиндрических координатах.
Согласно уравнениям (2.26) и (2.36)
q = X.д (гир> ।	)
г дг ' дг ’
2(0 = +-^_	|
dz dr	J
Исключив из уравнений (а) перемещение uz, получим
д Г 1 д (rur) "I . д2иг dQ	да)
dr L г	dr J ‘ dz2 ~ dr'	dz
Общее решение уравнения (б) задаем в форме:
ur = 7?(r)Z(z).
(а)
(б)
(в)
40
Подставляя выражение (в) в однородное уравнение (б) и раз-
деляя переменные, получаем два уравнения:
g-^ = 0;	)
+	)
где g — тг, т—произвольное число.
Уравнения (г) имеют решения:
Z = Ат ch mz + Вт sh mz\	1
R = Z, (a) = GmЛ (a) + HmNl (a). )	(д)
Согласно уравнению (в)
ur = (Ат ch mz + Bm sh mz) [GmJt (a) + HmNi (a)]	(e)
и соответствующей сумме решений по т.
Согласно второму однородному уравнению (а)
^r=^z=m	+	(a)’
откуда
uz — — (Am sh mz + Bm ch mz) [GmJQ (a) + HmNQ (a)] + f (z)	(ж)
(см. [5]) и соответствующей сумме решений по т.
Для отыскания частного решения подставляем в уравнение (б)
значения 9 и со из задачи 3.2. После простых преобразований
получим:
Д1.^^+^ = (Лр5Ь^ + ВрсЬН4(а), (з)
где
Zt (a) = [EpJi (a) + FpNt (a)];
_	Лр = (2—K)pAp;
Bp = (2 — K) pBp; a = pr.
Полагая
ur = R (r) (Ap sh pz + Bp ch pz),
где R (r) — неизвестная функция г, и подставляя в уравнение (з)г
получаем:
d2R .1 dR . <.	1 \ ъ 1 у / х	/тА
das + a'da+C.1	a2) % ~ р* Zi (a)‘
Частное решение уравнения (и) принимаем в форме:
* При отыскании частного решения приняты во внимание формулы:
Zo = ^i = Z0 — ~ %!•
41
Окончательно перемещения будут
«Г = 2	(а) +	(а)1 (Ат ch mz + Вт sh mz) —
т
— 2 2^2 [EPJ° + FpN° sh pZ + ЕР ch pZ}’
p
где Ap и Bp определяют по формулам (з).
Согласно второму уравнению (а)
Uz= J (2а>-^) dr+ /(*) =
= 2 \GmJo (“) + нт^о (а)] (Лот sh mz + Вт ch mz) +
m
+ 2y { (Яр ch pz + Bp shpz) [EpJit^ + FpNi (a)] —
— 2(APchpz +Bpshpz) [EpJ0 (a)+ BpNo (a)] }* + /(?)•	(m)
3.9.
Пользуясь результатами задачи (3.6), определить перемещения
для осесимметричной задачи в сферических координатах.
Согласно уравнениям (2.2в) и (2.Зв)
9 = Л • -4 Гг2иг) + —Д-4" (rua sin a),
г2 дг \ г/ 1 г2 sin a da ' a z’
1 Г диг д ч ч "1
или	dUr , дг 1	• ;г (Ua sin a) = r20; sin a da 4 a	'	
	dUr да	r2^«=2r3(0 dr	’	J	(a)
где	Ur	= r2ur, Ua = rua-	(6)
Для однородной системы (а), приняв
гт о dO	г т dO	/ v
Uг = г2 и Ua =	,	(в)
г dr a da ’	' '
* При получении настоящих выражений приняты во внимание формулы:
\ Z1(a) da=—Z0(a),	\ aZ0 (a) da = aZi (а).
42
тождественно удовлетворим второму уравнению (а), а первое
уравнение будет
д / 2дФ\ .	1 д /дФ .	\	~
г )+--------Н- ( Sin а ) = 0.
дг \ дг у 1 sin а да \ да у
Полагая в последнем уравнении
Ф (а, г) = R (г) А (а)	(г)
и разделяя переменные, получаем два уравнения:
Яг’‘а7)-п(п+1>Л-0'
d?A .	. dA .	/ I i \ л л
я—о ctg а —р п (ti -f-1) А = 0.
da2 1 ь da 1	'	1 7
Решая полученные уравнения, находим:
Ф = (Cnrn + Dnr-n^) 1ЕпРп (ц) + FnQn (р)1.	(д)
Согласно уравнениям (б) и (в)
иг =	= [Cnnrn~l-Dn (п+l) г—2] х
X [ЕпРп (ц) + FnQn (р)],	(е)
иа = = у •	= <С«гП-1 + D«r“"“2)	(И) + FnQk (Н)1 • (ж)
Для неоднородной системы (а), согласно (б) и данным за-
дачи (3.6), имеем:
2Ао = —2 (Апгп+3 + Впг-П+2) [ЕпРп (и) + FnQn (р)Ь
г29 = ЖН 1) rn+2 — Bnnr-n+1] [£nPn(p) + F„Q„(p)l.	(з)
Приняв частное решение в форме:
t7r = г2 2г3® da и Ua =	,	(и)
г dr ' J	“ да ’	' ’
где
J 2Ао da = - 2 (Лпг"+3 + Bnr~n^) [ЕпРп (р) + FnQn (р)],
тождественно удовлетворим второму уравнению (а), а первое
уравнение будет
д F 2 5Ф \ ,	1 д ХйФ .	\
МГ ^J+sW<taC7tas,naJ =
= (Лпги+2 + Вг-п+1) \ЕпРп (v) + FnQn (р)],	(к)
где
дп = [К(п+1) + 2 (п + 3)]Л„;
Вп= -[Ки + 2(и—2)]В„.
43
Полагая
Ф (а, г) = R (г) [ЕпРп (р) + FnQn (р) ]	(л)
и подставляя в уравнение (к), получаем после необходимых
сокращений:
R = Anrn*2 + Bnr~n+1,
откуда	_
~Б (г\ _	гп+2_____г-п+1
2(2n + 3)	2(2n—1)'
ф = (Хгп+2 + Жг-П+1) [ЕпРп (и) + FnQn (р)],	(м)
где	_
Jn = 2(2n+3) [К(»+1) + 2(п + 3)1 Л„;
Ж = 2"(2n"—Т)	+ 2 ^П~~2>] Вп‘
Согласно формулам (б) и (и)
— Ur дФ । 1 (• о о ,
ur = -4 = -д— + т \ 2гто асо =
г г2 дг 1 г2 J
= {[(« + 2) X + 2Л„] rn+1- [(n—1) Ж + 2В„] г~п} х
X [ЕпРп (р) + F„Q„ (р) ];	(н)
Ж = = у • = (Xrn+1 + Ж/-") [ЕпР'п (jx) + FnQn (о)
Окончательное значение перемещений получим, сложив выра-
жения (е) и (ж) с (н) и (о):
ит = [anrn+1 + bnr~n + Cnnr”-1—Dn (n + 1) r~n~2] X
X [EnPn (p) + FnQn (p)l;	(n)
ua = (Жгп+1 + Жг-П + Cnrn~l + Г>пг-П-2) X
x \EnP’n (p) + FnQn (p)],	(p)
где
an = (n + 2) Ж - 2ДП = 2 " +1 [K(n + 2) + 2(/i-l)]4„; ‘
bn=-[(n-l)X + 2Bn] =
= -2(^T)-[K(«-i)+2(« + 1)]Bn;	(c)
2(2^3) [К(П+1) + 2(П + 3)1Лг;
^=2(i=ljlKn + 2(/i-2)]Bn;
An, Bn, Cn, Dn, En, Fn—произвольные постоянные.
44
Если начало координат (г = 0) принадлежит рассматриваемому
телу (внутренняя задача), то константы Вп и Dn равны нулю;
если г —> оо (внешняя задача), то константы Ап и Сп равны нулю;
если полюсы (а = 0 и а = л) при-
надлежат телу, то константа
Fn = 0.
3.10.	Задача Вебера (1952 г.) [6].
Определить напряженное со-
стояние шара радиуса а, сжатого
силами Р, приложенными в по-
люсах (рис. 18, а).
При задании внешних нагрузок
на поверхности сферы, где г = а
(внутренняя задача), имеем:
#г=ог(а) и Лг = т(а).	(а)
Эти функции надо представить рядами:
со
а (а) = 3 ^пРп (н);
п=0
оо	оо
ти=2 T"^f=-2 TnSsina’
n=i	n=l
где коэффициенты определяют по формулам:
л
or (a) Рп (cos a) sin a da,
о
л
тп —	т (a)	sin a da.
n 2n (n + 1) J ' ' da
о	J
В настоящей задаче
z — p при 0<a<e и л—е<а<;л
о (а) =
0 при е<а<л-8
т (а) = 0.
Разобьем нормальную нагрузку на две:
or (а) = о<1> (а) + сг<2> (а)
так, что
(а) =
а(2)(а) =
-р	при	о<	а <	С £
0	»	е <	а <	С л
—р	»	л—	£ <	С а < л
0	»	о<	а <	С л — е
(б)
(г)
(Д)
45
Рассмотрим первый случай нагрузки:
ст(1) (а) = 2 ап’ Рп (cos а),
п=0
где, согласно формулам (в),
= —2-уг^-1- р Рп (cos a) sin а da =
о
е
= (2Л+1)Р„(со50) = ^-^| =
О
= — -f- {1Яг+1 (1) — Рп+1 (cose)] —[Рп_! (1) — Pn-i(COS 8)]} =
= — 4 [Pn-i(c°S6) — Pn+1(cose)].	(е)
Площадь, по которой распределена равномерная нагрузка р
при малом значении угла е, примерно равна ла282 (рис. 18,6).
Производя предельный переход, т. е. полагая 8 —> 0 и рла2ъ2—
получаем:
^(D— Р lim pn-l (COS 8)—Pn+1 (COS 8) _ — Р(2п+1)
Qn “	2ЛЯ21™	3	-	4^2
Для сосредоточенной силы в полюсе а = л аналогично будем
иметь:
'’(-»=  -4^(2»+ ') (- 1)"
Таким образом,
On = Ok1’ + On’ =
О при п= 1, 3, 5, ...
2^2 (2и+1) при п = 0, 2, 4, ...
(ж)
и нагрузка выражается рядом
а(а)= 2 о„Рп(р)= — ^2	(з)
п=0	п=0, 2, 4, ...
который расходится в полюсах а = 0иа = ли сходится в осталь-
ных точках.
46
Для решения задачи надо иметь выражение напряжений через
полиномы Лежандра. Воспользуемся для этого результатами
задачи (3.9) и формулами (3.2в):
/?г = хе + 2б^= 2 l(n+l)(2Ga„+KMn)r" +
n=0, 2, 4, . . .
+ 2Gn(n-l)Cnrn-2]Pn(|i);
Ar~ г V dr w“+ da J ~
= 2 Ш + Д^"-2(и-1)С/-2]Ш	(и)
n=0, 2, 4, ...
Для определения произвольных постоянных Ап и Сп исполь-
зуем уравнения (а):
(n + 1) (2Gan + КМП) ап + 2Gn (п -1) ап^Сп = -(2n+L)P ; '
(к)
{ап Ч- пАп) + 2 (п	1) а 2Сп = 0.
Решая уравнения (к), получаем:
. _	(2n + 3)(2n+l)P/nan+2G
п~	4{К(л+1)2 + 2(л + 3)(1-п)-(2л + 3)[(п+2)-2(И+1)а]} ;
(-> _ ап4~п?^п
п~ 2(га—1)
- 2 (1 - „)'(?„ + 3) 1« (" + 1)’ + 2 (" + 3) (п + 1) — 2 (2» + 3) I-
При проведении вычислений учтено, что
Q— 2(^ + 6) ’
Технику подсчета рядов (и) см. в [6], гл. VI.
При г = 0 не обращаются в нуль лишь слагаемые, соответ-
ствующие коэффициентам Ао и С2, и легко подсчитать напряже-
ния в центре шара.
Глава 4
ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ. РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
Так как в различные формы общих решений основных урав-
нений входят гармонические ф и бигармонические ср функции,
рассмотрим решения гармонического и бигармонического уравнений.
I. ГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ (ЛАПЛАСА)
1. Ортогональные криволинейные координаты*
<4Л>
Применяя метод разделения переменных, можно получить
нормальные формы решений уравнения (4.1):
Ф = Ф1 (<*1) Фг (аг) Фз (аз) >
ф = 2ф1(а1)ф2(а2)Фз(аз).
2. Прямоугольные координаты
V2d, = ^L+ ^!Ф+^!Ф =0;	(4.1а)
v ™	ду2 дг2 ’
ф = Х(х)У(у)2(г).	(4.2а)
Подставляя (4.2а) в (4.1а), получаем:
1 d2X . 1 d2Y 1 d2Z _ n
X ‘ dx2 + Г ' dy2 + Z ' dz^ U’
или после разделения переменных
^-а2Х = 0; -^-62У = 0; -g--c2Z = 0
dx2	dy2	dz2
при a2-j-b2 + с2 = 0.
* Ламе, 1834 г.
48
Используя последние уравнения, получим нормальные формы
решения:
гр = e±axe±bye±cz = e±ax±by±cz	(4.2а')
и ряд частных случаев
ф= 2 f п) e±1/m2+Tl2z (sin mx 4-cos mx) (sinm/H-cosm/) (4.2a")
m, n
при a = itn, b = in, c = ±Ym2 + n2;
ф = 2 <p (a, b) е±аж±ьУ cs°® (Ya2+ b2 z) (4.2aw)
a, b
при c = i Ya2-\-b2.
Наиболее общим выражением гармонической функции будет [7]
Л
ф = / [(х cos о. + г/sin a + 7г), a] da,
— Л
из которого могут быть получены различные частные решения.
Представляет интерес частное решение уравнения (4.1а)
в форме
Ф = [ (х—а)2 + (у—6)2 + (г—с)2]1/2,
где а, b и с—постоянные.
3. Цилиндрические координаты
Т!ф = 1 « Л4*Л+4..2. + ^| = 0;	(4.16)
Y г dr \ dr J 1 г2 dp2 дг2	'	'
ф = Я(г)В(0)7(г).	(4.26)
Подставляя значение ф (4.26) в уравнение (4.16), получаем:
1 1 d Г dR \	1	1 d2B 1 d*Z _ „
R ' г ’ dr V dr ) + г2 ' В ‘ dp + z ' dz2 — u’
или после разделения переменных:
1	<*2Z	_
Z ’ dz* ~	'
1 d*B _ _ 2.
В ' dp2 — P ’
a2 a + (a2—p2) R = 0,
da2 1 da 1 ' r 7	’
где a = mr, m и p — целые положительные числа.
4 Заказ № 1215
49
Решая последние уравнения, находим:
Z = Ат ch mz + Вт sh mz,
В = СР cos рР + Dp sin pP,
R = EpJp (a) + FpNp (a),
где 4(а) = ГуУЗ fej((7+fen Гу )2ft~Функция Бесселя р-го по-
4 у л=о 'F-r ' 4 у рядка первого рода;
1 r^t>(a)	dJD(a)n
NP (a) = -у I —gz-( — l)p —qz-] — функция Бесселя р-го по-
и	и	рядка второго рода, или
функция Неймана.
Окончательно формула (4.26) будет
ф (/•. р> г) = 21pjp №+в™,pnp Xs sh
т, р
4.	Сферические координаты
+w>]-°	<41в>
где “ф = R (г) В (Р) А (а)	(4.2в)
—объемная сферическая (шаровая) функция (см. ниже)
Подставляя значение ф (4.2в) в уравнение (4.1в), получаем:
±.А<Г2^Л,	1	___l^sinaV0
R dr V dr у В sin2 a dp2 Asina da < da 5111
или после разделения переменных:
1 <РВ ,
В ‘ 402 — т >
-J— • sin а -|- Г п (п + 1)-----"I А = О,
sin a da \ da У L	7 sin2aj
где пг = 0, 1, 2,...—целое число;
п — любое число.
Решая первые два уравнения, находим:
R(r) = Anrn + Bnrn-\
В (Р) = Ст cos /пР + Ди sin п р.
50
Третье уравнение, если обозначить cosa = p, приводится
к уравнению присоединенных функций Лежандра:
Нормальные формы решения последнего уравнения при т = 0
(симметричные задачи), п — целом числе и —1<р<1 имеют
вид
А (р,) = ЕпРп (р) + FnQn (р),
где
п , .	1 dn (и.2—1)«	,	„
”п(н)=2ййГ----dp’*------функции Лежандра первого рода, или
полиномы Лежандра;
п
Qn (и) = у Рп (и) 1п 4=^ - 2 т (и) pn-k (и) — функции Ле-
fe=l
жандра второго рода.
Последовательные значения приведенных величин равны:
Ро(и)=1;	Qo(H)-4in44^;
Л(н) = р;	Qi(h) = pi(h)Qo(h)—1;
р2 (н)=4 (Зн2— 1);	Q2 (н)=р2 (и) Qo (и)и;
(н) = 4 (5н2— Зи); Q3(H) = f,3(H)Qo(H)—4 и2—4»
Z	z	о
Продолжение см. в [5], ч. II.
При п>т—целых числах и —1<р<1
(И*) = ^п,тРп,т (Н) Н” ^n,7nQn,7n (н)>
где
Р (и}-(1	^п(Н)	(1-H2)V	, мп
U И; d(Am	2,ln! d[in+m^ A' ’
Qn,m (h) (1— H2) 2	присоединенные функции Лежандра
первого и второго родов, степени и,
порядка т.
В частности, РП)0 (и) = рп (не-
последовательные значения приведенных величин равны:
рм(н) = ГТ=72;
^2,1 (и) = зн /1 - н2, Р2,2 (и) = з (1 - И2);
^3,1 (н) = 4 (5р2-1) VР3,2 (н) = 15р (1-и2);
^з,з(ц) = 15(1—ц2) 1^1—ц2 и т. д.
4* 51
Таблицы этих функций для п = 1, (1), ..., 10 и т = 0, (1), ..., 4
даны в [8].
При т—целом числе (0, 1,2, ...), n = v — комплексном, так
что v (v +1) = 1 ± Ы, где b—заданное число, и при —1<р<1
получим:
(и) ~ EvrnPvm (н) “Ь F vmQ.vm (и),
где f’vm(n) и Qvm(f-i) — присоединенные функции Лежандра первого
и второго родов, комплексной степени vfv-|-l) = l ± bi, поряд-
ка т. Техника табулирования этих функций дана в [9]. Окон-
чательно формула (4.2в) будет
ф = 2 (АпГп + ^пГ-п-1) (Ст cos /пр + Dm sin mp) х
тп
X [ЕптРппг (И) + FnmQnm (h)L
Всякая однородная функция n-й степени координат х, у, z —
Fn(x, Уч г}ч для которой выполнено условие V2Fn = 0, может быть
представлена в виде объемной сферической функции:
Fn(x> Уч z) = rnYn(a, Р),
где
Yn (^ч Р) ~ А (а) F (Р) = [ЕптРпт (cos a) -f- FnmQnm (cos а)] х
X (Ст cos mp + Dm sin m$) — поверхностная сферическая функция.
При симметричных задачах (т = 0)
Уп (а) = ЕпРп (cos а) + FnQn (cos а).
5.	Дополнительные решения
Дополнительные решения получают комбинированием уже
известных решений:
а)	линейные комбинации:
б)	производные по параметрам:
dk 1 dk2 ' dkdrn ь д’’
в)	интегралы по параметру с зависящей от него весовой
функцией:
f (k)^kdk и т. д.;
г)	производные и неопределенные интегралы по а4, а2, а3,
если дифференциальное уравнение Лапласа не содержит в явном
виде координат а4, а2, а3, например уравнение в прямоугольных
координатах:
Э- S srad^ и т- д-
52
II.	БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
V2V2<p = о.	(4.3)
Частные решения:
а)	ф = хгр, z/гр, ггр, 7?2гр,	(4.4)
где 7?2== х2 + у2 + г2;
б)	любой полином степени не выше третьей;
в)	полином любой степени со специально подобранными коэф-
фициентами, удовлетворяющий уравнению (4.3).
III.	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ
И БИГАРМОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Краевые задачи для гармонических и бигармонических урав-
нений рассмотрены у Ф. Трикоми [10], гл. 4.
Большое значение для решения задач по теории упругости
имеют краевые задачи уравнений эллиптического типа (?2гр = 0,
\72572ф = 0): задачи Дирихле, Неймана и смешанная.
1.	Задача Дирихле
(первая краевая задача)
Определить гармоническую функцию гр в замкнутой области D
по известным значениям ее на границе области С.
2.	Задача Неймана
(вторая краевая задача)
Определить гармоническую функцию гр (с точностью до про-
извольной константы) в замкнутой области D по известным зна-
чениям ее нормальной производной на границе области С, кото-
рые должны удовлетворять условию:
3.	Смешанная задача
(третья краевая задача)
Определить гармоническую функцию в замкнутой области D,
когда на одной части контура области даны значения функции,
а на другой — значения нормальной производной, или когда
заданы значения некоторой линейной комбинации
nm(3) + B(S)-g- = F(S)	(4.6)
53
краевых значений неизвестной гармонической функции ф и ее
нормальной производной dip/dv.
Краевые задачи решают при помощи интегральных уравнений
Фредгольма второго рода и различными численными методами.
Для плоской задачи (х, у; г, 0) наиболее эффективным являет-
ся метод конформных отображений, посредством которого можно
преобразовать заданную область D в круг или полуплоскость.
Для этих двух случаев имеется готовое решение задачи Дирихле
[Ю], § 4,5.
IV. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ
1. Уравнения Ламе в векторной форме
Уравнения (3.3) в векторной форме имеют вид:
[“ + 2(^25) Г<> ] ““	<4-7>
ИЛИ
V2# + ^гас* div = °,	(4.8)
где и — вектор полного перемещения точки;
г—радиус-вектор точки, проведенный из произвольно выбран-
ного начала прямоугольной системы координат (см. [11]);
dtix . du-y du^	1 rt dp* г z? i
=	+	gradF = -j- 6].
dx 1 dy 1 dz ’ b	dr 1 J
2. Решение Б. Г. Галеркина*
В векторной форме:
2Gu = 2 (1 —о) V2(p—grad divcp.	(4.9)
Для прямоугольных координат
Ф = ДР1 +	+	—вектор Галеркина;
divq)=^L + ^2 +^3	(4.10)
Y dx 1 dy 1 dz '	4	7
cpi — произвольные бигармонические функции.
В скалярной форме:
Для прямоугольных координат
2G (их, иу, uz) = 2(1-о)	,	(4.9а)
* См. [12], [13].
54
где
ф = ^1. + ^Р2+^P1 .	(4.10а)
ж дх ду ' дг	'	'
Напряжения определяют по формулам (3.2а).
Для цилиндрических координат
2Gur = 2(l—о) (cos (JV2<pi + sin Р?2<р2)—
2G«₽ = 2(1 —о) (sin	— cos ₽V2<p2)—~	;	(4.96)
2Gu2 = 2(l —o) V2<₽3-^-,
где
<P = cos₽^l-^£.*+Siop4a + S!i’.^+^, (4.106)
v«( ) = «!U+l.^+±.^+^
V V-J gr2 -t- r dr 1- f2 3p2 dz2 •
1 Э2 d2
При г = const (оболочки) V2(...) = 72	+	,
П2/ X	I
» r—»oo v2 (...)	+	•
x ' dr2 dz2
Напряжения определяют по формулам (3.26).
Для сферических координат
2Gur = 2(1 —or) (cos Р sin aV2^ + sin p sin aV2(p2 +
+ cosaV3<p3) —	;
2G«p = 2(l— o)(sinpV2<p!—cospV2(p2) — 7^77^ ;
2Gua = 2(1 —or) (cos p cos aV2q)i + sin p cos aV2<p2 —
— sin aV^') —--4®- ,
J r da ’	)
где
(4.9b)
Ф cos P sin a 4^- —
+ sin p sin a
sinp дф! cos p cos a <^<Pi
r sin a dp	r da
, cos p dqp2 1	d(p3 ,
-ч—-------—4^- +cos a —
dr 1 r sin a dp 1
, sinp cos a dcp3 sin a
i r dp 7~
d?..	2 d...	1
dr2 r dr "'~r2sin2a
। ctg a d...
r2 ' da ‘
dr '
а<рз .
da ’
d2...	1 d2..
dp2 + r2 ‘ da2
J. (4.10b)
1
55
При г = const
-о/ ч	1 /о?.. , .	д... .	1	д?..
v (•••) — Г2 da2 +ctga да +sin2a'dp2
Напряжения определяют по формулам (3.2 в).
3.	Решение П. Ф. Папковича* и Г. Д. Гродского**
В векторной форме:
2Gu = 4 (1—о)ф— grad (гф + ф0).	(4.11)
Для прямоугольных координат
=	4-/ф2-|-Лфз—гармонический вектор;
ф0—гармонический скаляр;
фг — произвольные гармонические функции.
В скалярной форме:
2G(ux, иу, и2) = 4(1—а) ^,2,3—’	(4.11а)
где з|? = xip14-t/^2 + zi|>3.
Напряжения определяют по формулам (3.2а).
4.	Решение Г. Нейбера***
В векторной форме:
2Gu = 4 (1 — о) ф —grad F.	(4.12)
Для прямоугольных координат
ф = /ф4 +/ф2 + Лфз—гармонический вектор;
фг—произвольные гармонические функции;
V2F = 2	+ ЛРз у	(4,13)
\ дх 1 ду 1 dz у	v '
В скалярной форме:
2G(ux, Uy, uz) = 4 (1 —q)i|)b2;3—z (4.12a)
с учетом формулы (4.13).
Решение (4.12) использовано в задачах о концентрации напря-
жений.
5.	Решение Е. Треффца****
2G(ux, Uy, ыг) = ^1,2,3 + ^-^ г ,	(4.14)
где
V2lh _ П и _	1	(	_J_ ^2 I 5гРз \
* См.	14].
** См.	[15].
*** См.	[16, 17].
**** см	[18].
56
6.	Решение Ламе
2G(ux, иу, uz) = 4'i,2, з + i—~о~	*’2—fX2,3’1Л , (4.15)
\ Xi yi z/ т1,2, л । ।—2а\ду, z, х дг, х, у J	'
где
?2фг = О,	V2Yi 2 з =	3’1 — д'*1’3’1,2 .
’	л1,2, 3	у dy,z, X
Задачи
4.1.	Задача Ламе для цилиндра (1852 г).
Круговой цилиндр высотой h с внешним радиусом b и внут-
ренним а подвергается внутреннему и внешнему р0 равномер-
ным давлениям.
Определить напряжения и перемещения для следующих крае-
вых условий:
а)	цилиндр опирается на абсолютно жесткую и гладкую пло-
скость;
б)	цилиндр находится между двумя жесткими и гладкими
плоскостями, расстояние между которыми не меняется.
В случае осесимметричной деформации тел вращения, как
показал А. Ляв ([4], § 188), напряжения и деформации выра-
жаются через одну бигармоническую функцию ф3 = ф (4.96):
2Gur=-f^-; u₽ = 0;
r dr dz' p ’
2Guz=[2(l-a)V2—^г]ф + 6;
=	Rfi = Br = Bz = Z(i = Q;
T72 d2 , 1 d , d*
де V ” 5r2 + r  dr + dz* ’
(a)
6—произвольная постоянная.
Подстановкой можно проверить, что при заданной системе
напряжений удовлетворяются два уравнения равновесия (1.16)
и четыре уравнения неразрывности (3.46), если 7272ф--=0.
Для отыскания функции ф удобно задать ее в виде степен-
ного конечного ряда переменной г, коэффициентами которого
57
являются неизвестные функции г:
ф(г, Г)=3 fk(r)zh = f0(r)-l fi(r)z +
h—Q
+ f2 (r) Z2 + f3 (r) Z3 + ft (r) zi.	(6)
Подставляя это выражение в бигармонический оператор
Т72Г72	< в* . 2 03	1	02	1 д
V V — С dri + г ‘ dr3	г2 ‘ дг* + гЗ • дг +
. о д* . 2 дз , д* \ Л	. .
+ 2 0r2dz2~*~ г '0r0z2+ dz4 ) ‘Р 0
1
Dt
и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях z,
получаем дифференциальные уравнения для определения неиз-
вестных функций /f. Эти уравнения эйлеровского типа и инте-
грируются в элементарных функциях. Результат интегрирования
выражается формулами:
/о (И —	+ Во In г "И С0г2 + DqP2 In г +
+ т(тв‘+т^-4л‘-с0г1-
- 4 (ЗВ. + 2D„) r‘ In г +1 (с.-4 О.) г‘ + ^4 r‘ In г.
ft (г) = At + Bi In г + С1Г2 + Dj/-2 In r +
г4-4М/41пг;
/2 W — -^2 4~ ^2 In Г + C2r2 -f-	In r
+ 4 (44 - c.)r«-4In r;
f2 (f)= АзH-B3 In г-|-С3Г2-}- D3r2 In r;
ft (r) = At + Bt in r + C4r2 + Dtr2 In r.
Для краевых условий п. «а» имеем:
при r = a Rr=—pi, Zr = 0,
r = b Rr = —p0, Zr = 0,
» z = 0 Zz = Rz = 0,
z = h uz = 0.
’ (г)
)
»
»
Анализ функции ф и краевых условий позволяет сделать сле-
дующие выводы:
1)	Функция (р зависит от нечетных функций fn. Четные функ-
ции характеризуют давление, пропорциональное первой степени г.
2)	Чтобы Zr = 0 при г = должны равняться нулю кон-
станты В3, С3 и £>3.
3)	Постоянная Ах не влияет на напряженное и деформиро-
ванное состояния.
58
Приняв во внимание перечисленные условия, получим:
ф(г, г) = (ВИпг + С^г + Лг3.	(д)
Составляя выражения для напряжений и перемещений и удов-
летворяя краевым условиям, находим:
д _Ро—Ptnw с _^—o)(Pob2—Pia2) .
1 &—а*	’	1	2 (1-|-or) (62—а2) ’
л =	(2—р) (р0б2—рга2). о = ст (р062—PjQ2) h
3	3 (1-4-<т) (.62—ffi) ’ и	G(1 + <т)(б2—а2) '
Перемещения и напряжения будут
„ _ _	1 Г (Ро-Pi) , (1—о)(р0б2—р,а2) 1.1
т 2G (б2—a2) L	г	1+а J’
_ а (р0б2—рга2)	,
z G(l-|-o)(62 —а2) k h
р	_ а2б2	ро—Р;	р0б2—рга2	.
Аг	б2—а2	г2	б2—а2	’
о =	q2&2	Ро—Pi	Роб2—Рга2	.
₽	б2—а2	г2	б2—а2	’
Zz = Rz — Q.
Для краевых условий п. «б» удобно взять высоту цилиндра
равной 2h, а функцию ф—по уравнению (д). Полученные зна-
чения должны совпадать с ре-
зультатами решения задачи (6.1)
при uz = Zr = Q и Zz = a(Rr + B&).
4.2. См. [19].
Определить напряженное состо-
яние в прямоугольной плите, огра-
ниченнои плоскостями z=±-^ ,
л: = 0, у = 0, х = а и у = Ь, свободно
опертой по краю и нагруженной
нормальной, равномерно распре-
деленной нагрузкой р (рис. 19).
Для решения задачи берем, согласно [19], одну бигармони-
ческую. функцию Ф = (р3-
В этом случае (4,9а) перемещения и напряжения будут
2Gux = —	; 2Guy = —;
х дхдг' у дудг ’
2Guz= [2(1-о) V2—
Хж=^(ст?2—ху~-"
д3ф
дх ду dz 1
(а)
59
ZI-i[(2-O)V-^]T;Z, = A[(1_o)p_^](p,
где
V2( )=ak + ^L+^L.
v v •> dx* dy* dz*
Краевые условия задачи выразятся так:
при 2=—у 2Z=— р, XZ = YZ = Q;
»	z = 4 Z2 = K2 = Xz = 0;
»	х = 0 и х = а Xx — uz = Q-,
»	у = О и y = b Yy — uz = 0.	(б)
Бигармоническая функция, удовлетворяющая краевым усло-
виям (б) по х и у, согласно (4.2а") и (4.4), имеет вид:
оо со	_______
,= 22 [A»sh|> /<+-£) +
m=l 71=1
+ втп ch (яг ^ + ^() + cmnz ch (яг	+
+ Dmnz sh (яг 1/-5- + -J)] sin	sin .	(в)
Распределенная нагрузка р тоже раскладывается в двойной
ряд по формуле
оо оо
Evi . тпх . плу	t ч
>, атп sin sin ,	(г)
m=in—i
где
а Ъ
4 Р С . тих . ппу 1	<
атп = -^-\ J р sin —— sin-^dxdy.
О о
Для определения произвольных постоянных Атп, Втп, Стп,
Dmn используют четыре краевых условия (б) по г\
Zz = —р, /2 = 0иХ2 = 0 или Yz = 0 [см. формулы (а)].
60
Исследования работы толстых плит [19] привели к следую-
щему выводу: техническая теория расчета тонких плит [4],
основанная на предположениях, что ezz = eyz = exz = 0 и Zz = О
(откуда Хх, Yy и Xy = Yx изменяются по линейному закону),
позволяет упростить решение и для плит с отношением наимень-
шего размера а или Ь к толщине й, равным трем и более, полу-
чить весьма близкие к точным результаты.
4.3.	Задача Бусинеска (1885 г.) [4].
На упругое полупространство г>0 нормально к граничной
плоскости 2 = 0 действует сила Р (рис. 20, а).
Определить перемещения и напряжения.
о)	Р
Рис. 20
Задачу рассматривают как осесимметричную в цилиндриче-
ских координатах с логарифмической особенностью в начале коор-
динат— точке приложения силы. Для определения перемещений
и напряжений расчетными являются формулы (а) задачи 4.1.
Задачу решают введением бигармониче^лой функции
<Р=-фз=-^{# + (1— 2o)[zln(7? + z) — /?]},	(а)
где
R = у г2 + 22 = Y к2 4- у2 4- г2.
Принимая во внимание, что
dR _ г dR z &	_ №
~R ’ ~dF ~	—	’
l2[z\n(R+z) — R] = Q,
61
получаем:
_ Р г г (1 —2а) R	z ~]	•)
Ut~ 4nG* R2 L R + z	R J ’
“г= 4nGR [2 0 —ст) + '£2' ] ’
р _ Р Г(1— 2а) R	3r2z П
Кг 2л/?« L R + z '	R3 J ’
о _	(1-2а)Р/ R_______г_Л
р~ Зл/?2 <R + z	R ) ’
7 _ ЗР г3
Lz ~ 2nRz' R3 ’
(б)
п _7______ЗР гг2
Л2 —z,r—	2лд2 д3 ,
Rp = ВГ = Bz = Zft — up = О.
При R—> оо все перемещения и напряжения стремятся к нулю.
При z = O и R = г получим перемещения граничной плоскости:
(1-2о) Р
г ~ 2лОг
_(1-<Т)Р	(1-о2)Р
z 2лСг яЕг
(в)
Граничная плоскость z = Q свободна от напряжений (Zz =
= RZ = O) за исключением точки /? = 0, где напряжения безгра-
нично возрастают. Последнее объясняется наличием сосредото-
ченной силы Р, приложенной в начале координат, и может быть
показано следующими вычислениями.
Вырежем в начале координат из полупространства полусферу
радиуса R, когда R мало (рис. 20, б), нагруженную силами
в виде напряжений по наклонным площадкам.
Проекция главного вектора этих сил на ось z отлична от
нуля и равна
Z = [Zr cos (Rr) + Zz cos (7?г)] dF = | cos (Rr) =
F
cos (Rz) = —cos a = —,
r
— since =
Л
2 jx	2
dF = rdp • Rda | = |^- dp sin a + ^- cos s') rRda =
о 0
л
2
= 3P sin a cos2 ada = P.
о
4.4.	Задача Кельвина (1848 г.) [4].
Сила Р приложена в точке бесконечно большого тела вдоль
оси z.
Определить перемещения и напряжения.
62
Начало координат принимают в точке приложения силы и ок-
ружают малой шаровой областью. Задача решается в прямо-
угольных координатах заданием би-
гармонической функции
Ф = Фз=Л/?,	(а)
где
7? = /x2 + z/2 + z2;
,	Рис. 21
А — произвольная постоянная.
Согласно формулам (а) задачи (4.2) имеем:
___ A xz .	_ A t/z
Ux ~ ~2G	Uy~~2G'RS~’
Uz= ~2GR [ £2 +(3 — 4a)l ;
>,-#[(1-2")-^];
Л=-^-[(1-2о)+^];
2.=->[(1-20) + ^-].
(«
Для определения произвольной постоянной А составим проек-
цию всех сил, расположенных на поверхности малой сферы, на
ось z (рис. 21):
Z= [Zzcos(R, z) + Zvcos(R, y) + Zxcos(R, x)]dF =
= | cos (R, x) = —, cos (R, y) = —, cos (R, z) =
=—cosa=—dR = rdp-Rda| =
2Л Л
_d^^+24(l-2a) + ^]rW«-
0	0
л
= 2лА sina[(l — 2a) + 3 cos2a] da = 8(1 —о)лД,
о
откуда
д _ p
8л(1—a) ‘
63
Проекции сил на оси х и у равны нулю.
Окончательно перемещения будут
_	(1+а)Р	хг _	(1 + G)P	д2Р	.
Ux~ 8лЕ(1—а) ' Р3 — 8nG(% + 2G) ‘ дг дх ’
_	(1 + а)Р	yz _	(b+G)P	&R
Uy~ 8лЕ(1—а) ‘ 7?з — 8яО(Х+2О) дг ду ’
__ (% + G)P d2R R
~ 8jtG(% + 2G) ' dz2 “f" 4nGR *
4.5.	Задача Черутти (1882 г.) [4].
На упругое полупространство г>0 касательно к граничной
плоскости г = 0 действует сила Т (рис. 22).
Определить перемещения.
Полагая, что сила Т приложена в начале координат вдоль
оси х, решаем задачу введением двух бигармонических функций
(4.9а):
Ф1-4л(Г-о)</? + 2<1~а)(1~2Р) ИМЯ + 2)-/?]}
Фз = 4МТ^)(1”2°)Х1П(/? + г)-
Далее, согласно формулам (4.9а), получим:
Т с X+3G %з \ 1 Т
Ux~4nG\, % + G + Р2 > R 2л(% + 0)Р
4
71 Г х2 ”1	1
4n(% + G) L	Р(Р + 2) I R~t~z ’
и	Г J____________-__________1 •
у~	4л	R	LGP2	(X + G)(7? + z)2	J ’
_Т_____х_ г z ___________1___________"I
Uz~	4л ' R	LgP2^’	(X + G)(/? + z)	J •
В точке О— Xzdxdy =
Т.
(а)
(б)
64
нормально к граничной
Рис. 23
4.6.	Задача Миндлина (1936 г.) [20].
Определить напряженное состояние от силы Р, приложенной
внутри упругого полупространст
плоскости z = 0 (рис. 23).
Так как напряженное состо-
яние симметрично относительно
оси г, напряжения и переме-
щения определяют по формулам
(а) задачи 4.1.
При выборе бигармонической
функции ф Миндлин поступил
следующим образом:
1) Применил решение Кель-
вина (задача 4.4) к силе, при-
ложенной в точке (0, 0, с):
=	с)2.
2) Для уничтожения напря-
жений Zz и Rz на плоскости
г = 0, полученных из решения Кельвина, и удовлетворения условия
оо
2nrZzdr=—Р	при z>c
о
прибавил для точки (0, 0, —с) пять ядер деформаций:
а)	силу в направлении оси z:
Д/?2 = Д/г2 + (г + с)2;
б)	пару сил в направлении оси z:
B(z + c),
Рг ’
в)	центр сжатия в направлении оси z:
С In (Т?2 ^ -|- £)>
г)	линию сжатия вдоль оси z от z-\-c = 0 до z-\-c= —оо:
D [ (z + с) In (Т?2 + z с) — R2]5
д)	диполь (двойной центр сжатия) с осью, параллельной
оси z:
F
*2 *
Таким образом, была получена бигармоническая функция
Ф =	4- AR2 4—4- С In (Т?2 4~ г 4~ £) 4"
2	F
+ D [(z 4- с) In (R2 4- z 4- с)—/?21 +•	(а)
5 Заказ № 1215
65
3) Определив напряжения Z2 и Т?2 по формулам задачи 4.1
и удовлетворив трем условиям п. 2, получил значение всех по-
стоянных:
8я (Ь-с) <задача 4,4);’ л = (3—4а) At;
В =—2cAt; С=—4(1—2а)сА1;
D = 4(l—a)(l—2o)A1; F = 2c2A1.
Подставив полученные величины в формулу (а), можно найти
окончательное значение функции ср:
т = &Г(Т^Г {* +18” <1	-11
+ 4(1—2а) [(1— о) г — ос] 1п(Т?2 + ? + с)}.	(б)
Если с—>оо, то все члены, содержащие Т?2, исчезают
лучается решение задачи Кельвина
~ PRi
ф 8л (1—о) ’
Если с—>0, то получается задача
неска (4.3):
ф = + [2аТ? + (1 — 2сг) z In (R + г)].
и по-
(4.4):
(в)
Буси-
(г)
торой являются
Пользуясь функцией напряжений (б),
г по формулам (а) задачи 4.1 определяют
напряжения.
Подобным же методом [20} Миндлин
решил задачу при действии сосредоточен-
ной силы внутри упругого полупростран-
ства на глубине с параллельно граничной
плоскости z = 0, частными случаями ко-
задачи Кельвина (с = оо) и Черутти (с = 0).
4.7. Задача Митчела (1900 г.) [4].
Найти распределение напряжений в бесконечном конусе а = ан
в вершине которого перпендикулярно к оси конуса действует
сила S (рис. 24). 
Надо найти решения уравнений (З.Зв), при которых смещения
обратно пропорциональны радиусу г.
Примем ит и иа пропорциональными cos пр, а ир—sin пр.
66
В этом случае перемещения будут
Ur=2¥4^±^^+Ctg.»+Dctgn«);
cosnfl Г % + 3G . d f r20 \ .
Ua “ r sin a L ~ 2G Sm a da \cos n$ )
+ (ctgn| + Dctg"|)cosa + Ftgn^ + tfctgn-^] ;
^in«L Г „ X + 3G ^9 <Cf a_Dct a4
p r sin a L 2G cos n$ \ b 2	& 2 /
X cos a — F tgn у +//ctgn у ,
где
(a)
9 = —[Д(п + соз a) tgn-^ + B(n —cosa)ctgn-£ J
А, В, C, D, F, H—произвольные постоянные.
При n = 0 или п = 1 решения требуют особого исследования.
Для решения задачи комбинируют три типа решений:
< ч F sin a cos fl
I) Ur =	;
' r 4jiG r '
% + 3G	F cos a cosfl e
2(% + 2G)' 4iiG	r ’
%+ 3G F sin fl
— 2(% + 2G) ’ 4nG~ ’ ~V~ ’
n _ 3X + .4G F sin a cos fl
~ — X4-2G ’ 4nG F2 ’
л P G F sin a cos fl.	- n>
Aa=B^WG--^-—T2------------«	4 = 0,
d _ G F sin fl .	GF
Dr~ VF2G’'4^’"72~ ’ Лт~	X + 2G '4л”
cos fl	C
2) ur = 0; ua=----------- -

U3 =
1+cosa ’
2GC (1—cos a) cos fl
cos a cos fl
r2 •
sin fl
1 +cos a ’
Rr = 0; Aa = —B$ =
д _ 2GC (1—cos a) sin fl . & __
r~ r* (1 +cos a) sin a ’ r
D _ОП C cos P
*a-za7^T+cosa-
, D sin a cos fl	D o	D . o
3) ^ = 7~"i + cosa ; «a = —cosp; U(J=—-sinp;
^=-Ла = -2С^-4г7ХСО5Р; B3 = 0;
г2 1 +cos a ? p ’
r2
(l + cosa)sina ’
2GC sin a
r2 1 + cos"a ’
1

(6)
(в)
(0
(Д)
5* 67
л	sin a sin В D D	1	\ . o
Лв -= — G-* • —j—:-; BT = G -s- ( 2 — 7-- ) sin B;
p	r2 l+cosa r r2 \ l + cosa у r
Ra = — G	(2 —+— COS 0.
r2 \	14-cos a J r
Краевые условия задачи имеют вид: при a = 04 Ла=7?а =
= Ва = 0, что приводит к трем однородным уравнениям относи-
тельно С, D и F. Из полученных уравнений
п (l+cosa^)2 г, ~	14-cos ал г
С=~D==- 4n(% + 2G) F-
Составляя сумму проекций на ось х силы S и напряжений
по сферической поверхности с центром в вершине конуса, полу-
чаем:
S = 4- (2 + C1+2g' + 2G (1 — cos “1)2-
4.8. См. [6], гл. 6, § 8.
Исследовать напряженное состояние в тяжелой сфере радиу-
са а, опирающейся на жесткое горизонтальное основание.
Действующими силами являются: удельный вес материала у
и реакция основания
Р=^-ла3у,	(а)
и
приложенная в нижнем полюсе сферы (а = л).
Согласно задаче (3.10) поверхностную нагрузку можно предста-
вить в форме:
On=(-l)n^-2^2=(-l)”-1^Ya>	(б)
в частности
о0 — — У уа, о{ = уа.	(в)
Для удельного веса с потенциалом П уравнение (4.8) имеет
вид:
v2»+ 12.2g graddiv»=— 4=-<rgrad п’ <г)
и ему можно удовлетворить, введя потенциал перемещений
«=4~gradx>	(д)
определяемый, как показывает подстановка выражения (д) в урав-
нение (г), из уравнения
™=24?Л)п-	<е>
68
Потенциал удельного веса П = yz = yr cos a = yrPi (|i),	(ж)
т. e. является гармонической функцией. Принимая в общем случае П = 2ПП = 2ЕПГПРП(И)	(з)
и разыскивая решение уравнения (е) в форме: где Fn — неизвестные постоянные, получаем:	(и)
V =	(1—2g) Fn	rn+2D 4(1—a)(2n + 3) ' KnW	(К)
и согласно (д) Ur G дг и u“ G да '	(л)
В нашем случае, учтя формулу (ж), найдем: перемещения
_ 3(1— 2g) Y 2	_	(1—2о)у 2 £in а	м
иг— 20(1—а) О r C0S ’ Ua~	20(1 — a) G Г Sin	'
п напряжения
п	3 —а	л (1—2а)у
= 5(1-а) Y'-cosa; Hr=-^5(1_-yrsina;
Ла = Др= 5(itfg) Yrcosa-	(н)
Поверхность сферы г = а повсюду, кроме полюса (а = л),
должна быть свободна от напряжений. Частное решение (н)
уравнения надо сложить с его общим решением [(и) задачи 3.10]
с суммированием по всем целым положительным числам от и = 0
до п = со:
(/г + 1) (2Gan + ККАп) ап + 2Gn (п -1) ап-*Сп = (-1 f-1	уа;
G [(an + пАп) + 2 (п— I) а~2Сп\ = 0.	(о)
При п = 1 (частное решение) правые части уравнений (о) соот-
ветственно равны [(в) + (н)]:
3 —a	2(1—2a) ч
Oi = уа—: ya = -^7-j------7- ya,
1 r	5(1—a) r	5(1 —a) I	/пч
1—2a ZdPi	\	k 7
. ya ( —r1- = — sin cc .
1	5(1—a) T < da	J J
После определения постоянных An и Cn напряжения находят
по формулам (и) задачи 3.10. Технику подсчета рядов (и) см. [6],
гл. VI, § 8.
69
4.9.	См. [6], гл. VI, § 5.
Исследовать напряженное состояние в тяжелом шаре радиу-
са а, вращающемся с постоянной угловой скоростью со относи-
тельно оси z.
При вращении шара относительно оси z возникают центро-
бежные силы, которые имеют потенциал
П=-^(х2 + ^).	(а)
Переходя к сферическим координатам по формулам:
х == г sin a cos р, у = г sin а sin [3
и учитывая, что
Р2 (cos а) = Р2 (|i) = у (Зр,2 — 1)
(см. гл. 4), получаем
П=-^Г2+^ГГаР2(Н)-	(б)
Первый член соответствует потенциалу, зависящему лишь от г:
П = П(г),	(в)
и уравнение (е) задачи (4.8) будет
(г)
откуда прямым интегрированием находим:
V2nWdr	(д)
о о
и, следовательно,
и	----1—2а__С 2j-j, ч
Ur~ G dr ~ 2G(l-o)rt у'Л[г)аг’ I	(е)
Ua — 0, f
/?г = 10 + 2б^ = П(г)-^=^ j rm(r)dr,	I
' (»)
Aa = Bp = X9 + 2G-y- = j^-n (r) + (1Lg^3- \ r2H (r) dr,
b
лг=о.
70
Чтобы поверхность шара при г = а была свободна от напря-
/кений, к полученному решению (ж) надо прибавить общее ре-
шение уравнений (4.8) в форме [задача 3.9, формулы (п)]:
иг = 2А0(1—2а)г, иа = 0,	1
7?г = Ла = В₽ = 46(1+о) До, Д. = 0 )	(3)
при значении До, определенном из соотношения
П («)П (Г) dr + 4G (1 + о) До = о,
О
согласно первому уравнению (ж).
Получаем
о
Сумма (ж) и (з) дает:
"'= -WTST [п	j гЧ1<'> *] г +
О
+ «Со, С S г’пиdr- “--°-
о
А>Г = П(Г)-П(Й)~ 2(iz„a) [4- S rin^dr-
о	(к)
-^pn(r)dr], Дг = 0,
Л, =	п (г) - П (а) + 4=^ х
х[^$г2П(г)^ + ^г*П(г)^].
О	О	J
С учетом первого члена формулы (б) окончательно получим:
ы<1> _ У®2(1 —2o)r Z 3 —а 2	2\	оа> —О
Ur - 30Gg(l-a) < 1+а а	Г )' “° -U’
Л?> = °,		(л)
ДП) — Вй* — V(°2 • 3~~g С а2  1 ~3а I
Ла	- 15g j_a	3_а г J j
Частное решение, соответствующее второму слагаемому фор-
мулы (б), составляем по уравнениям (л) и (к) задачи 4.8 для
п = 2 и£„ = ^.
71
Согласно этому решению на поверхности сферы (г = а) напря-
жения будут равны:
Для снятия напряжений (м) надо наложить решение (и)
задачи 3.10 с двумя постоянными — А2 и С2. Постоянные опре-
деляем из условий отсутствия напряжений Rr и Аг при г = а\
3 (2Ga2 + KM2) a2 + 4GC2=----2J^g) (6—5ст); 1
G(a2 + 2j2)a2 + 2GC2 = -	, J
где
з /П1Л , i\ л	tz 2G I— 2o
6Z2— 7 (2К-|-1)Л2, К— ^_|_2G — 1—a ,
A2 = ±-(3K-10)A2.
4.10.	См. [21].
К поверхности кругового цилиндра радиусом а и длиной I
приложена осесимметричная уравновешенная нагрузка вида:
Zz(r,0) = A(r),
Zz(r, /) = /2(г),
RT (a, z) = f5 (z),
Яг(г, 0) = f3(r), |
n t	0<r<a
WMiW-J
Zr (a, z) =f6 (z), 0<z</,
(a)
где — кусочно-непрерывные функции, ограниченно изменяю-
щиеся в соответствующих интервалах.
Определить бигармоническую функцию ср (см. задачу 4.1), удов-
летворяющую условиям (а).
Функцию ср принимаем в форме:
<р (г, г) = z (Аг2 + Вг2) + 3 [Ль sh (pftz) +
k=i
+ Bh ch (jAftZ) + Ck[ikZ sh (pftz) + Dhpkz ch (p,ftz)] x
X Jo (щг) + 3 [EhJo(^kr) + Gk'kkrJ^kr)] sin (lftz). (6)
fe=i
Функция (б) будет удовлетворять условиям (а) в том случае,
когда:
1)	Величины =
72
2)	Величины являются корнями уравнения
Л (р.Аа) = 0
при асимптотической формуле =
•п0+^г)+°(4“) •
3)	Функции /Дг) — /4(г) в интервале 0<,г<.а можно пред-
ставить в виде рядов по бесселевым функциям:
«о+ 2	S &*А(НЛГ)-
fe=l	h=i
4)	Функции f5 (г) и fQ (г) в интервале О С z < / можно пред-
ставить в виде рядов Фурье:
со	оо
-V-+ 2cos	У	sin (^г)-
k=l	fe=l
5)	Коэффициенты формулы (б) можно представить через
bt, Ci и dt, приняв во внимание формулы (а) задачи 4.1.
Глава 5
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
I. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Zz==Yz = Xz — &zy ~ ^ZX — 0» £zz ~ (Хх 4~ у)'
1.	Уравнения равновесия
£^_+J^+x=of = е-5^ \
дх 1 ду 1	\ дх2 J ’
^+-ф-+у==0Г = е-?т-У
дх 1 ду 1	\ * dr2 J
2.	Геометрические уравнения
_____ дих _______ &иу
вхх~~дх~’ еУУ~~ду~'
_ дих диу
вх«~ ду ф дх 
д2ехх д2еуу   д2еху _
ду2	* дх2	дхду ~
3.	Физические уравнения
^ХХ — ~g~ (*х ^^у)?
еуу ~ ~1Г	вХх),	>
_ 2(1+_а1х .
txy— Е ^уч
^Х — 1___а2 (ехх "Ь &еуу) Ч
~ 1___02 (еУУ “Ь Gexx) Ч
£
Xy = Yx= 2(1+о)еху'	’
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
74
4.	Основные уравнения в напряжениях
^ + т^ + Х = 0' ^7+4г + Г = 0''‘
V4X. + V,)=-2-^« + ^-)= 
(5.6)
5. Основные уравнения в перемещениях
Го । /1 ч д2 “]	1/11^ д2иУ . 2 (1—<у2)
2 “ч—п—И (1 — &) д о~ Их 4~ (* 4“ о) “5—д—-е—
L дх2 '	7 ду2 J х 1 '	' дх ду 1	Е
/1	।	\ д2“х	।	Го д2 । /1	ч д2 1	।	2(1—о2)
(1 4-o') -5—- 4- 2 -4-s- + (l—о)	4——б—-У = 0,
v	1	7 дхду	1	L ду2 1 v	7 дх2 J	у 1 Е	’
или в форме Ламе:
r ( 2Х
° < X + 2G
с ( 2Х
< K-+2G
Х = 0;
(5-7)
где
-Ц- + б72г/ж + Х = 0; 1
^- + GV4 + ^ = 0, J
(5-8)
0 — du*
дх
диу 2Х
ду ’ А, + 2б
1 —а
И. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
&ZZ   &ZX   &zy  	- У Z   0» Zz   &	4“ У y) ’
Для случая плоской деформации во всех уравнениях
надо заменить
п. 1
а
о на (Ь = -;-,
1—а
а
(5.9)
Е НЭ Ei = ~l^2- •
В этом случае, например, уравнения (5.7) будут
[2(1_о)^ + (1-2Я)^]и.+^+г<-+°><1-г°>Х^0; (5.7а)
а уравнения (5.8) превратятся в
<’-+й)т + СТ!“>+х-°( = е^); '
У = 0,
(5.8а)
75
Согласно уравнениям (3.3а) получим:
(l+2C!)-g—2G-g- = 0; )
(l+2G)-5- + 2G-^.O, j
где
у _____________	_ Е	_ а
Л— 1—<J2 ’ £1— 1—<т2 ’	1—О ’
ИЛИ
1 — £<*
л~ (1 + а)(1_2а)
(см. условные обозначения).
(5.86)
III. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Решение с помощью функций напряжений — перемещений
Уравнения (5.7) имеют общее решение:
Ux = 2V2q>1-(l+(T)^r(^- + -^)+a^ + 6; 1
, . ,	,	(5.10)
и, = 27*ф2-(1+о)^ (^ + ^)-ах + с, J
где	фг — произвольные бигармонические функции;
а, Ь, с—постоянные, характеризующие перемещение твердого
тела.
Общее решение уравнений (5.7а) имеет вид (см. уравне-
ния 4.9а):
“. = 2(l-a)V^,-4(^ + '*9+a9 + 6; )
+	+ J (5J°a>
Уравнения (5.6) посредством введенной функции напряже-
ний <р(х, у) (Эри, 1861 г.), через которую напряжения выражаются
по формулам:
у _ 32ф у _ д2Ф
ду* ' v~ дх* '
Ху= —	----Xy—Yx,
у дхду v
(5.Н)
76
где X и Y—постоянные объемные силы*, приводятся к бигармо-
ническому уравнению
V2V2<p = -^- + 2	2' + 4^- = 0-	(5.12)
т дх4 1 дх2 ду2 1 ду^	'	’
Бигармоническая функция ср (х, у) должна удовлетворять гра-
ничным условиям задачи в напряжениях:
У ___ д2ф	dy	, d2(p	dx ___ d Z дф \	\
v —	ду2	ds дх ду	ds	ds \ ду ) ’	I
у ___ д2ф dy д2ф dx _ d Z б/ф \ I (5.13;
v дх ду ds дх2 ds ~~ ds \ dx ) ’ J
или в случае второй основной задачи, когда на контуре L заданы
перемещения, — условиям
мж = Я1(8), uv = gz(s),	(5.14)
где gi (s) — заданные смещения точек контура Л, которые являются
функциями дуги s контура.
2.	Применение комплексной переменной**
При комплексных переменных
г = х+й/ и z = x—iy	(5.15)
уравнение (5.12) будет
с общим решением
ф = у 1Жг) + г^ + х(г) + хЙ1- (5.17)
или
q> = Re[n|>(z) + x (z)b	(5-18)
где	Re — вещественная часть выражения в квадратных
скобках;
ф (г) и х (г) — неизвестные аналитические функции комплекс-
ной переменной г;
Ф(г)их(г) — функции, сопряженные с ф(г) и х(г).
Граничные условия (5.13) для первой основной задачи на кон-
туре L имеют вид:
i^+i Ж U) ЖФЖ + ZOO =
= i (Xv + rYv) ds + C = /1 + ff2+const. (5.19)
о
* Формулы (5.11) обобщаются и при наличии переменных объемных сил,
ямеющих потенциал.
** См. [22, 23].
77
Для второй основной задачи условия (5.14) на контуре L будут
2G (ux + iuy) = хф (z)—zip' (z) — %' (г) = 2G (gt + ig2),	(5.20)
где х =	—для плоского напряженного состояния;
% = 3—4<г—для плоской деформации.
Компоненты напряжений находят по формулам Колосова—
Мусхелишвили:
Хх + Yv = 2 [ф' (z) + ф' (z)] = 4Re ф' (z);
Yy-Xx + 2iXy = 2 [гф" (г) +х" (z)J.	(5.21)
Компоненты результирующей силы, действующей по конечной
дуге АВ (рис. 25), равны (5.13):
Момент сил, действующих по дуге АВ относительно начала
координат О,
М = $ (xKv—yXv) dx - - j [xd (A) +yd (i) ] =
= -[*< + *<]:+<	<5-23>
Уравнения (3.3a) для плоскости будут
(X + 2G)5-2G^-0, 
(X + 2G)-| + 2G|2 = O,
(5-24)
78
откуда следует, что 0 и со — сопряженные гармонические функ-
ции двух переменных, а именно:
(X + 2G) 0 +	= f (х + iу)	(5.25)
(см. [4], стр. 216).
3.	Решение методом начальных функций *
Плоскую задачу решают смешанным
стные принимают перемещения их, иу и
методом: за неизве-
напряжения Ху, Yy.
Искомые величины представляют в виде рядов Маклорена по сте-
пеням координаты у и выражают через начальные функции их,
и®, Ху и Уу —значение функций при у = 0 (рис. 26).
Для случая плоской деформации система расчетных уравне-
ний имеет вид:
ах	дХ,. ay	dY„
^ + ^==0, ^ + ^ = 0;
дх	ду v ’ дх	ду
+	<5-26>
Вводя для сокращения записи обозначения:
U — Gux, V = Guy, Yy = Y, ХУ = Х,
А = а, -^- = 0,	(5.27)
дх ’ ду	v '
приводим уравнения (5.26) к виду:
♦ См. [24].
79
Таблица 4.1
Функции	Значения линейных дифференциальных операторов L при начальных функциях			
	U0	Vo	yo	Xo
и	Lvu = cos ay— ay 2(l-o)Sinaj/ .	1—2a . ivo-=-2Tf—)S"W- ay _		z.	 nr\c Cf 1/	T	1—2o . Luv~ 2(l-a)Sinaj/ ay	Luy~ 4(1La)sinaj/	T	1	• Lux=— Sinai/— sin ay—ay cos ay
V		2(1—a) cosa// £yv = cos ay+ . аУ	T	3—4o	. Lyy — 771	<— Sin ay — v 4(1 — o)a	* у 	Y	 r\ e rt 11	4(1 — a) a Lvx = Luy
Y X Хх	2(l-a)	y sin ay i	a X (sin ay + ay cos ay) .	2a Lfj==y—cos ay — ya2 —— sin ay 1—0	2(1— a)	У т	a Lyv=~T^x X (sin ay — ay cos ay) LXv — Lyu r	a Lv- 1-0 X X (sin ay—ya cos ay)	4(l + o)	У LYy = ^vv Lxy~=^VU T	a Ly=1—cosaz/— ya - 2(1— o)Sina//	LYx = Luv LXX = LUU г	У® ^-2(l_a)cos^+ , 3—2o . + -2(1-ojSlnaj/
$U= —aV + X,	1
I
₽y=- aX,
₽X=-li^-TiF«y-
Напряжения Xx определяем по формуле
Xx=T^25[(l-a)at7 + opV].
Решение уравнений (5.28) получим в форме:
= LuvUQ -f- LuvVQ + LuyY° -f- ^uxX°;
V = LyuUQ + LvvVQ + LvyY° + Lvx^Q\
Y — Lyu^J0 + LyvV0 + LyyYq +
X = LxuU0 + LXvVQ + LxyYq + LXxXQ,
(5.28)
(5.29)
где буквой L обозначены линейные дифференциальные операторы,
которые в трансцендентной форме операционного метода приве-
дены в табл. 4.1.
Чтобы от символической формы перейти к действительному
представлению в форме бесконечных рядов, нужно тригономе-
трические функции разложить в ряды по степени ау и заменить a
д
на .
дх
При плоском напряженном состоянии Е и ст необходимо
заменить соответственно на
Е(1 + 2<т)	?<т
(1 + а)2 и 14-ог’
4.	Использование краевых однородных решений*
Полагая в однородных уравнениях (5.7)
и«=(1+о)з^Ь + <Ч/+6;	1
г да ’ дат	I <5-30)
u« ~~ L дх2 1 ду2 J	ах + с, J
получим
Й2<Р	io	а4(Р	134<Р_о	rs оП
дх*	дх2ду2	+ду4 ~U"	^,dl)
* См. [25, 26, 27].
6 Зак. 1215	81
Приняв
Ф = Ф (у) cos kx,
найдем
q> = (Ла ch ky + Bk sh ky + Cky ch ky 4- Dhy sh ky) x	kx. (5.32)
Отсюда при a = O
ux — ± k \ Ahk sh fey + Bhk ch ky + Ch (ch ky + ky sh ky) +
+ Dh (sh ky + ky ch ky)] kx + ay + ft;
Uy = k [Akk ch ky + Bkk'sh ky + Ch {ky ch fey—2sh ky) +
-\-Dh{ky sh ky—2ch£t/)] s^kx — axA~c;
Xx = —Ek2 [Akk sh ky+Bhk ch ky+Ch (ch ky + ky sh ky) +
+ Dh (sh ky + ky ch ky)]	kx;	(5‘33)
Yy—Ek2 {Akk sh ky-\-Bhk chky -]-Ck{ky sh ky—ch ky) +
+ Dk {ky ch fey—sh ky)]	kx;
Xv = Yx = ± Ek2 [Akk ch ky + Bhk sh ky +
+ Ch ky ch ky + Dk ky sh ky]	kx.
>
Если при y=-}-h Yy = Xy = 0, то, приравнивая нулю детер-
минант краевых условий, получим:
4Х2 — sh22X = (2Z + sh 2А,) (2Х — sh 2%) = 0,	(5.34)
где K = kh.
При К = а±Ы получаем два определяющих уравнения:
-f^-=±cos2&, -^7 = ± ch 2а
sh2a	’ sin2b
или, при значении
Ь = у Cth 2а Vsh22a—4а2,	(5.35)
= ± cos (cth 2а Vsh22a—4а2).	(5.36)
График уравнения (5.36) приведен на рис. 27. Взяв 2п зна-
чений а (&), можно приближенно удовлетворить краевым усло-
82
виям по сторонам х = с1их = с2в^ точках. Для более точного
удовлетворения краевых условий надо частное решение от на-
грузки разложить по неортогональным функциям однородных
решений, зависящим от корней уравнений (5.34) (см. задачу 5.9).
5. Решение в конечных разностях*
При использовании прямоугольной сетки (рис. 28, а) полу-
чают последовательные разности Лп<рл по формулам:
дфб ~ AxTfe = Фг~ Ф*	д2Ф& ~	= Фг—2фд + Фг .
дх ~ 2Дх 2Дх ’ дх2 ~ Дх2	Дх2 ’
d<fk ~	_ фт—фп ~ АрФ* _ фщ—2фй + фп .
ду ~ 2Ау 2Ау ' ду2 ~ Дг/2	Дг/2 ’
д ( Фг—ф; Л
52Фй ~ ду \ 2Дх у ___Фр Фг ФоН“Фд.
дх ду ~ д /фт—Ф„Л— 4ЛхАу ’
д^у^кг J	(5-37)
д4Фй ~ МфА 6<pfe—4<ре—4фг + Ф; + Фз .
дх^ ~ Дх4	Дх4	’
д4Фй ~	_ бфд—4фт—4фп + фР+фи .
ду^ ~ Дг/4	Дг/4	’
д4ФЛ ~ 4<pfe —2<pOT—2<рп—2<ре—2<рг + фр + <рд4-<рГ + фо
дх2ду2^	&х2ку2	’
где фл — значение функции в точке k.
Бигармоническое уравнение (5.12)
У2У2ФЛ = О
примет вид 13-членного алгебраического уравнения:
[6 (а + 4') + 8] ‘Pft-4 [(! + а) (Фг + <Pt) +
+ (^ 1 + — (фт + фп) J + 2 (фр + фд + фг + ф0) +
+ а(фг + ф8) + -1(фР + фи) = 0,	(5.38)
* См. [28].
6* 83
где
а = (Ау: Ах)2 и = (Ах : Ду)2.
При квадратной сетке Ах = Ay = /i, а= 1 и уравнение (5.38) будет
/г472Г2фД = 20фй—8 (фг Н-<рг + <рте + ф„) +
+ 2 (фр + фд + фг + Фо) + ф< + фв + ф» + фи = 0.
Гармоническое уравнение ?2фД = 0 примет вид:
Й272фД = фго+ ф; + фп + ф1 —4фй = 0.
Напряжения в точке k определяют по формулам:
V _ ^2Ф А	Фт ~ 2фд + фл
х ду2 ~ А у2
у _ а2фд ~ <Pi—2<рд+ф;
у дх2 ~	Д%2
V _у _ _ 52срд ~ (Фо + Фг) — (фр + ф9)
У х дх ду ~ 4Дх Ду
(5.39)
(5.40)
(5.41)
При составлении уравнений для ближайших к контуру узлов
(/и, п, о и т. д.; см. рис. 28, а) надо ввести значения функции ф
Рис. 28
в узлах на контуре и в ближайших узлах за его пределами.
Значение функции ф в узлах на контуре определяют по экстра-
поляционным формулам:
фх = ф/ + 2Ах (^Y;
za ч	(5-42)
ФУ = фп + 2А1/(^-)о.
(см. рис. 28, б).
Задачи
5.1.
Прямоугольный параллелепипед большой длины (uz = 0 — пло-
ская деформация) находится под действием равномерного давле-
84
ния — р и опирается на абсолютно жесткое (их = 0) и гладкое
(Ух = 0) основание (рис. 29).
Рис. 29
Определить напряженное и деформированное состояния.
Решение однородных уравнений (5.7а) принимаем
(5.10а), полагая ф1 = 0 и ср2 = <р:
форме
Ux —
иу= [2(1— 0)^-4-(1—2о)^] Ф —ах + с. J
Напряжения определяем по формулам:
У __ Ei ,	।	к_ Е(1—о)	д	Г о	д2 д2 "1
Лх~ Т^о'1	Gievy'	14-а	‘ ду	L Г^а	' ду2 ~ дх2 J
/	I	\	£(1—о)	д	Г д2 .	2 — о д2 1
~~ 1—а? ^6уу +	— 1 + а ' ду [	+ П^а ' ~д^ J <*)’
v —V —_____11__А Г/j___________________——а —1m
дх ) 1+а <5x1?	’ дх2 ду2 JT
дх ду 1	’ I
(а)
(б)
2(l + oi)
Задаемся функцией <р в форме полинома 3-й степени:
Ф = Ах2у-\-Ву3,
где А и В —неизвестные коэффициенты.
Согласно (б) и (в) перемещения и напряжения
по формулам:
(в)
находим
их = — 2 Ах -\-ау + Ь;
= 2 [2 (1 — о) Л + 3 (1 — 2о) В] у — ах + с\
V 2Е(1—о)
1 + а
у _2Е(1—о)
1+о
(г)
2 —о
1 — о
J
в
J
85
Краевые условия задачи имеют вид:
при х — 0 их = Yx = О,
»	х = h	Хх = — р, YX = O,
» У=±Ь Yy = Xy = O.
Согласно краевым условиям получим:
(1—а2)р	2-о л
2Е ’	з(1—о)я’
а = Ь = с = О.
Окончательно имеем:
_	(1-а2)р	_q(14-g)p	)
UX—	р	иу~ р У>
i	(д)
Хх=-р, Xy = Yx = Yy = O. j
Полученное решение совпадает с решением по формулам
сопротивления материалов.
5.2.
Тонкая прямоугольная пластинка (6=1) нагружена по тор-
цам нагрузкой p — 2ky, которая приводится к изгибающим
парам Mz (рис. 30).
Рис. 30
Исследовать напряженное состояние в пластинке.
Решаем задачу в напряжениях, принимая, согласно (5.11),
напряжения по формулам:
Y _ а2(Р у — а2(Р У - д2Ф	/ v
Лх ~ дуг ’ у~ дл-2 ’ У ~ дх ду '	’
Функцию напряжений задаем в форме:
ф = Ау\	(б)
где А — произвольная постоянная.
В этом случае
Хх = вАу, Yv = Xy = Yx = Q.
86
Краевые условия задачи:
при у =±4' Гг/ = ХУ = 0>
» x=±l YX=Q, Xx = 2ky.
Первые условия удовлетворяются тождественно, а из послед-
него получаем:
Л ——
д- 3 .
Приняв Mz известным, определим k:
h/2
Mz = 2 Xxy\-dy = k-^,
О
откуда
Л3
Окончательно получим:
v *,	12A1Z Mz	i
Xx = 2ky = -^y = -^-y,	(в
1«/j3
где = Этот результат известен из курса сопротивления
материалов.
5.3.
Узкая прямоугольная балка (6 = 1) оперта по краям
и изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивно-
стью q (рис. 31).
Исследовать напряженное состояние в балке.
Опирание осуществляем при помощи торцовых касательных
сил, являющихся равнодействующими касательных напряжений Yx
и по величине равных опорным реакциям, которые возникли бы
87
в точках А и В. Задачу решаем в напряжениях, задаваясь функ-
цией напряжений (5.12) в форме:
ф(х> У) = ^У3(^х2—^) + |х2г/ + -|г/3 + -|х2.	(а)
Согласно (5.11) напряжения будут равны:
у — ^Ф_ Лх ~ ду^ - у _д2ф Г у дх^	d ^-^-y^y + ky; (^У2+ ь) у + а,	1 >	(б)
Xy=Yx =	— /)д2? = — (dy2 b) х. дх ду	\ у । /	1	
Краевые условия задачи:
1) при у =	Yv=—q, Ху = 0, )
2) » у = 4	Yy = 0,	Ха = 0 J
— точные, или локальные (для каждой точки соответствующего
участка). При	имеем:
h/2	h/2
I-	Nx= J XJdy	= 0,	II.	Mz=	J Xxydy = Q, I
-h/2	-h/2	I
h/2	f
III.	£ Yxdy=-1^	|
-h/2	)
(в)
— приближенные, или интегральные, условия, которые оправды-
ваются принципом Сен-Венана.
Согласно условиям 1 и 2:
<й3 bh\ ,	Л2 , , п
—24	+	dT + &=0,
d№ . Ь'г . n
2Г+-г + а = 0,
откуда
а==—— b = — d=——	(г)
а 2 ’ и 2h ’ а	'
Условия I и III удовлетворяются тождественно, что легко
проверить подстановкой.
Согласно условию II:
2/Д 4	10> ’
88
где Л = -^-—момент инерции балки.
Окончательно напряжения будут равны:
=_277	У2-У + ку =
у«=т-м4-»’-4Л29+'0;'
Х„=Гх= —У*')*-
По формулам сопротивления материалов
Y __„ __	__ д ______и
Xx^Gx~ Iz У~ 2IZ \ 4: Х ) У'
где Mz— изгибающий момент.
Рис. 32
Уу — ву = 0 (продольные волокна не давят друг на друга);
v _v________QS™	q f h2 x
Yx — T— — 2/z C 4 У У-х'
где S7C—статический момент относительно оси z отсеченной
части площади поперечного сечения балки;
Q — поперечная сила.
Эпюры Хх и Yy приведены на рис. 32.
5.4.	Задача Леви (1898 г.) [4].
Определить напряжения в бесконечном тонком клине от
действия жидкости с удельным весом у и удельного веса мате-
риала клина р (рис. 33).
Функцию напряжений принимаем в виде однородного поли-
нома третьей степени:
ф(х, y)=ax3 + bx2y + cxy2 + dy\	(а)
89
где а, b, с, d—постоянные величины.
Краевые условия задачи имеют вид:
при у = —xtga
—Хх cos a—Ху sin a = у у cos a;
—Xv cos a—Yy sin a = yy sin a;
при у=xtgp
Xx cos p—Xy sin p = 0,
Xy cos P—Ky .sin 0 = 0,
где напряжения определяем по формулам (5.11) при У = ри
Х = 0.
Решая уравнения краевых условий, получаем:
°-- S(iea+tgw 1р№Р~a)—y(2—3tgatg₽—tg'«x)];
t-T[P-tg^+tep -^(tgp-tga)] ;
d-^-f-p-J^ffr + CaOtga + tgP)] .
Напряжения определяем по формулам (5.11):
Хж=='5“=:2сл:+6^;
v = jSr = Qax + 2by;
' _у _	52<р
‘»~Гж — дхду
рх= —2су — (2Ь + р) х. J
(в)

Решение М. Леви приводит к линейному распределению нор-
мальных и касательных напряжений и может быть использовано
при расчете плотин.
5.5.	Задача Галеркина (1929 г.) [29].
Определить напряжения в бесконечном трапециевидном сече-
нии ACDB от действия удельного веса материала р (рис. 34).
Решение разбивают на три части:
1)	Принимают функцию напряжений ср для треугольного про-
филя АОВ (см. задачу 5.4).
2)	Составляют функции напряжений для треугольного про-
филя АОВ при действии на него в вершине О горизонтальной
90
силы Ру — вертикальной силы Рх—<р2 и момента М — ср3. Эти
функции имеют вид:
„ _	//(₽ — Sinpcos₽)4-x2sin2p	, у р,
Ч>1 -----------p2-sin2 Р--------- arCtg Т
_ у Sin2p + x(P Sinp COS Р) , у р .
^2 ~ P2’-Sin2’p aFCtg ~Т Гх’
М	Z х2—у2 . Q 2ху □ .
Фз = "о-/ • Q--О---оГ- ( тА Sin Р------COS р +
2 (sinp—pcosp) \х2-4-#2 r х2 + у2 r 1
+ 2 cos p arctg .
(а)
Рис. 34
не приложено, то:
3)	Подбирают значения сил Py, Px и момента M такими, что-
бы напряжения по плоскости CD, сум-
мируясь из значений пп. 1,2, приводи-
лись к системе сил, заданных на этой
плоскости.
Согласно задаче (5.4) с заменой х на
у, находим:
ф = pc|gP У3—
Силы тяжести создают на плоскости CD
усилия (см. рис. 34):
s,=o, sx=-^-tg₽,
MO1 = SX ^ = 4Jtg2p.
Так как к плоскости CD внешних си
2Х = 0, Рж + 8ж = 0
2У = 0, Ру = 0,
2Л4О1 = 0, Рхtg ₽ + М + Sx АМР = о,
откуда получим:
Рх=—^-МР, ^=0, 1
. 3 (В)
M=-^tg2₽.	J
Функция напряжений для трапециевидного профиля будет
Ф(л, г/) = <р + <р2Рх + ф3Л4,	(г)
и напряжения определятся по формулам:
у 02Ф у д2Ф у	д2Ф
х~ ду^ ’ dxt ' ЛУ~	дхду ~РУ'
91
 Определить напряжения в бесконечном трапециевидном се-
чении ACDB от действия жидкости с удельным весом у (см.
рис. 34).
Функция напряжений ср для этого случая будет
<Р = —	(2у3 ctg р — Зу2х ctg2 р + Зух2 + х3).	(д)
5.6. Задача Колосова (1910 г.) [30].
Бесконечная пластинка ослаблена эллиптическим отверстием
и подвергнута равномерному растяжению с напряжениями р,
направленными под углом к оси х (рис. 35).
Рис. 35
Исследовать напряженное состояние.
Область, лежащую вне эллиптического отверстия в комплекс-
ной области z = x + iy, можно отобразить на область, лежащую
вне единичного круга в комплексной области £ = £ + гт), с по-
мощью функции отображения ([30], стр. 204):
z =	=	+	(а)
где 0<m=C 1, £>0.
Контур единичного круга | g | = 1 соответствует эллипсу с
центром в начале координат для плоскости г и с полуосями
{а = с (1 +m), Ь = с(1—т).	(б)
Согласно (б)
При повороте осей на угол зависимость между напряже-
ниями, согласно (1.5) и (1.3), имеет вид:
XxJl + ^yi +	)	/г\
Yyi-ХХ1 + 2iXyi = e2i^Yy-Xx-2iXy). J
92
Поскольку в бесконечности
Х™ = р, Y^ = X^ = Q,
то	Xx + Yv = p, Yy-Xx + 2iXv=-pe-Wi.	(д)
Согласно (5.21) в бесконечности
4Re ip' (z) — р, 2 [zip" (z) + %" (z)[ = — ре-2^1.	(е)
Для эллиптического отверстия, согласно (5.22) и (5.19),
Fx + iFy = Q-,	1
------------ ------ i	(ж)
ip(z) + zip'(z) + %'(z) = 0. 1
С помощью (а) находим:
ф (z) = ip [/(£)] =Ф1(£),	Гз)
x(z) = x[f (0] = xi(0-
Тогда
-I/ (7\ _ 4ip _ dipt dg _ ip; (g) .	л
dz dg ' dz f'(g) ’
— _Ё%_ — 4g (g) .
A dz ~ dZ ' dz - f (g) ’	(
nh"/^_ d ripi(g) -1 dg _ ipng)fz (?)/"(?) .
V (Z) “ dg L /' (?) J dz “ If (g)]3
v" м - ± Г xl (?) 1JL _ х'П?)/'(?)-%! (?) f" (?)
X vz' L f (?) J dz	If' (g)P • J
Подставив (и) в формулы (5.20), (5.21), (5.22) и (5.23), получим:
Ux + lUy^d^-ty^)—[-р^-1О) + хИ£)] ;	(к)
Xx + yy = 4Re^>;	(л)
y у-хх+2ixy=[Г& ф; (о г (Р -
-Жф;(^)Г(^)-+ хи^г (о-хитрп	w
Fx + iFy=-i	(н)
M = Re [Z1^)-2^x;^)_2^1ip;(^)]®	(о)
Чтобы напряжения были однозначными, функции	(£) и
Xi (£) должны иметь вид:
ф; (S) = J ал-п, х; (р = 2 вп^.	(п)
п=0	п=0
Из уравнений (ж) и (н) видно, что на круге |£| = 1 имеет
место соотношение
Ж)Ф1(0+Н^)Ж) + хЙС) = о
и для сопряженных функций	1	(р)
г«)0)+Ж)ф;(?)+х;(о=о. J
93
Интегрируя (п), получаем:
=	+ A iiK+2
";2	(с)
Х1 (?)=в0?+в1 м+2 ?т^+в,
п=2
где А и В — комплексные постоянные, характеризующие переме-
щения твердого тела.
Подставляя выражения (с) в формулу (к), находим условие од-
нозначности перемещений—равенство нулю коэффициента при1п
(3_а)Л + (1+а)В1 = 0.	(т>
Для | £ | = 1 имеем:
Г (£) = с (1 —g-) = с (1 -те^у,
Ш = с (? +	= с (е~^ + те®);
п—2
°°	,	(у)
= Аое-^-1А£-2	ЛпеИп-1) ₽;
п=2
(?) = 2	х; (?)=Boei₽+iB1p-
п=0
оо
-S +гs"e*<,-”,,,
п=2
Подставляя эти выражения в (р) и приравнивая коэффициен-
ты при Р и находим:
сА} 4~ ~ 0;
— сА% 4—д— Ад 4~ c/tiAq 4~ Во — 0;
cAi -J- стАз-= 0;
и
cAq 4~ CIT1A2 4~ cAq 4~ П1А2—В2 Oj
—стА0 + сА2 4- cmAi---у- = 0.
(ф)
94
При n>3 Лп = 0, при n>5 Вп = 0.
Согласно (е)
А	В —____
4 » Оо 2 е
Решая первое уравнение (ф) совместно с уравнением (т), получаем
Л1 = В1 = 0. Решая остальные уравнения системы (ф), находим:
Л2 = -^-(т—2e2i₽i);
В2 = -у-- (1 + т2—2mcos Pi);
В3 = 0, В4= — -^-e2i₽i.
Искомые функции будут
Ф' (£) =	+ -т- (т-2e2i₽i) Г2;
%" (О = —(1 —т2—2т cos 2pt) Г2-^-
Отсюда, согласно (л), получим:
+ У у = 1+т2_^2т cos 2р 11 —012 — 2 cos 2 (Pl — Р) +
+ 2mcos2pcos (р!—Р) — 2msin2psin2 (Pi — P)].	(x)
Наибольшее напряжение будет на конце большой полуоси
(Р = 0) при значении р4 —	. В этой точке Уу = 0 и
v	1—m2 + 2—2т	Ъ-\-т
max Хх = р —г—.——Q— = р -г-?— .
х г 1+/п2—2т	г 1—т
Учитывая (в), окончательно получаем
max Хх = р 1 + 2	.	(ц)
Уравнение (ц) выражает результаты задачи Г. В. Колосова.
	При ш — 0 и Pi = 0 получается решение для кругового от-
верстия—задача Кирша (см. задачу 6.7).
	Определить максимальные напряжения при всестороннем
растяжении бесконечной пластинки, ослабленной эллиптическим
отверстием.
Ответ: Максимальное напряжение будет на конце большой
полуоси х=±а и составит [30]
max Хх =	.	(ч)
 Найти закон распределения напряжений в бесконечной
пластинке, ослабленной квадратным отверстием и подвергнутой
простому растяжению; усилия растяжения в бесконечности
95
наклонены к оси х под углом Pi*. Квадратное отверстие в плос-
кости z отобразить на единичный круг в плоскости £ с помощью
функции отображения
г — с(1-----(ш)
з
где с = -^-а;
а—длина стороны криволинейного квадрата (рис. 36).
Уравнения контура получаем из формулы (ш) при |£|=1:
Рис. 36
х = с ^cos р----j-cos Зр^) ,
у = —с ^sin р —L— sin Зр)	(щ)
(см. [31], стр. 64).
5.7. См. [23].
Решить первую основную задачу для по-
луплоскости у^О. На границе полуплос-
кости (ось Ох) приложены нормальное Yy —
= N(x) и касательное Ху — Т(х) напряжения, которые являются
непрерывными и удовлетворяют при больших | х | условиям N =
м(т)-
Складывая формулы (5.21), получаем:
Yy + iXy=-^' (z) + ф' (z) + гф" (z) + x"(z),	(a)
и, следовательно, граничное условие может быть записано в форме:
Я + 1Т = Ф(/)4-ФТ?)4-^Ф'(/) + ф(/))	(б)
или, что то же,
^/Т = С^ + Ф(0 + ^Ф770 + фЖ	(в)
где для упрощения записи принято
О) = Ф(0 и %"(0 = Ф(/).	(Г)
Для случая когда функции (в) голоморфные и исчезают
в бесконечности, доказывается ([23], стр. 361), что они равны:
оо
(д)
— оо
। / \	1 С	N + tT	1, .	1 С	N— IT	±11	/ \
<ф(г)=—. \ ———dt + -^- \ 77—^-t dt.	(е)
Y v 7	2лг j t—z 1 2nt j	(t—z)2	v 7
—oo	—oo
* Х~ = У~ = Р, ^ = 0-
96
Аналогично решается задача Митчела (1902 г.) ([23], § 93а).
Определить напряженное состояние в полуплоскости у^О,
когда отрезок —	оси Ох подвержен равномерному давле-
нию р (рис. 37).
В рассматриваемом случае Т = 0, а — р при —a^t^a
и ==: 0 для других значений t.
Согласно формулам (д) и (е)
ф(2)=	_dt__ р [)n(z_^)]i=a P_ln^ziS
' ' 2nz J z — t	2т 1 v ,J	2пг z + a
а1	’	(Ж)
ф (2)==	_____£££__.
44 7	2Л/ J (t — z)2	Ш(?2—fl2) •
Выражение 1п-г, а является приращением функции In (г — /) при
Z | U.
Рис. 37
непрерывном изменении / от —а до а:
z — t = re~^ (см. рис. 37):
In (г — /) = 1пг — Z0;
ln-^- = In - i (Pi - В2).
z + a r2
Напряжения определим по формулам (5.21):
Хх + Yy = 4/?еФ (г) = -	(Р, - р2);
Уг/-Хх + 2/Хг/ = 2[?Ф' (г) + 4> (г)] =
_____________ 2ра	z — z   4рау ________ 4рау (z2— а2)
-~т~’ г2—а2 ~ л (Z2 — а2) — я (г2_а2) (г2—а2) ’
откуда
Y     Р /о  о \ I_______2.pay (х2 у2 о2)
Лх— „ Ф1 Р2/-Г- я[(х2 + 2/2_а2)2+4а2^2] »
у_______Р_ /о _ й \	2рау(х2—у —Д2)	.
1У— л Р2' л |(х2 + у2—а2)2 + 4а2у2] ’ [
У ___	4раху2	|
ЛУ ~ л 1(х2 + у2—а2)2 + 4а2у2] •	)
(3)
(и)
(к)
(л)
7 Зак. 1215
97
Приняв в формуле (к)
г2 — а2 = г^2е~1 <01+02),
получим
Yy — Xx+2iXy =
и, учтя формулу (и), найдем:
Хх=	+	’
Уу = - £ (Pi - р2) - 2ра -у cosr^ + р2) ; >
Ху = - 2ра уз'т (Р1+Рг) .
(к')
(л')
Напряжения непрерывны вплоть до границы. В точках t = ± а
напряжения перестают быть непрерывными, оставаясь ограничен-
ными (у = — rY sin pt = — r2sinp2).
Перемещения непрерывны вплоть до всей границы (включая
точки /=±а). При |z| —-> оо смещения возрастают как In | z |.
 Определить напряженное состояние в полуплоскости у О,
когда на отрезке —	оси Ох приложены постоянные каса-
тельные напряжения.
5.8. См. [32], гл. VII.
Прямоугольная полоса вдоль оси х (при у = 0 и y — h) нахо-
дится между абсолютно твердыми и гладкими плоскостями;
на торцах полосы (при х = 0 их = /) произвольные —статические,
геометрические или смешанные условия (рис. 38).
<////// ////////////////////////у,//////////,
Рис. 38
Определить напряженное и деформированное состояния для
случая плоского напряженного состояния.
При у = 0 и y = h
Uy = Ху = 0.	(а)
В этом случае для начальных функций имеем:
4 = х“ = о.	(б)
98
Удовлетворяя граничным условиям (а) при y = h, получаем
систему двух дифференциальных уравнений бесконечно высокого
порядка относительно искомых начальных функций их и У£:
[(1 — о) sin (ah) — (1 4-0) ah cos (ah)]	+
+ |[(3-a)^--(l+o)/icos(a/z)J У» = 0;
— 2 (1 + a) a [sin (ah) + ah cos (ah)] ux +
+ [(1 — a) sin (ah) — (1 + a) ah cos (ah)J Yy = 0.	(в)
Вводя разрешающую функцию F (х) по формулам:
их = Г -1~— sin (ah) — ah cos (ah) 1 F, 1
L 1 > a	J ?	(r)
Y°y = 2a [sin (ah) + ah cos (ah)] F, J
тождественно удовлетворяем второму уравнению (в), а первое
принимает вид:
[sin2 (ah)] F = 0.	(д)
Решение уравнения (д) берем в форме:
F = CeiX.	(е)
Подставляя выражение (е) в уравнение (д), приходим к урав-
нению
sin2 (kh) = 0,	(ж)
откуда
и и _ пя
k — kn— Л ,
где п —любое положительное число.
Таким образом, общее решение уравнения (д) будет
Г = 2 Лп ch (knx) + Вп sh (knx) + Спх ch (knx) + Dnx sh (knx),	(з)
n=0
где An, Bn, Cn и Dn — произвольные постоянные.
Из общего решения выпадает элементарное решение в поли-
номах, отвечающее нулевым корням уравнения (ж).
Чтобы найти элементарное решение, надо представить уравне-
ния (в) в виде бесконечных рядов и выделить из них первые
члены. Это дает:
— 2<ишх + (1 —о) У^ = 0; 1
2(1+а)а2ы’ + <лхУ“ = 0. J	(и)
Из уравнений (и) получаем:
их = —2—BqX-[-Aq^ Yy — aBn, Xx = Bq.	(к)
7* 99
Используя выражения (к), (г), (з) и (5.29), приходим к следую-
щим формулам:
Ыя = Л0 + -^-В0х- 3(-1)пй {knsh(knx)An +
п=1
+ kn ch (knx) Вп + [ ch (knx) + knx sh (knx) ] Cn +
+ [ sh (knx) + knx ch (knx) ] cos (kny);
uv= 2 (— 1 № {kn ch An + kn sh ^пХ> Bn +
n=l
+ [ sh (k”x) + knx ch (knx) ] Cn +
+ [ ch + knX sh ^nX) ] °zt} sin
°°
Yv = gB0 + 2 2 (— l)nknh[knch(knx) An +
71 = 1
+ kn sh (knx) Bn + [3 sh (knx) + knx ch (knx)] Cn +
+ [3 ch (knx) + knx sh (knx)\ Dn cos (&ny);
Xx=B0—2 2 (— l)n knh{knch(knx) An + knsh (knx)Bn +
n=l
+ [sh (knx) + knx ch (knx)] Cn +
+ [ch (knx) + knx sh (knx)] Dn} cos (kny).
Xy = 2 2 (— l)n knh{knsh(knx) An + knch(knx) Bn +
+ [2 ch (knx) + knx sh (knx)] Cn + [2 sh (knx) +
4-	knx ch (knx)] Dn} sin (kny).	j
С помощью произвольных постоянных Ao, BOi An, Bn, Cn, Dn
(n=l, 2, 3, oo) можно удовлетворить любым краевым усло-
виям (х — 0 и х = /).
Формулы (л) являются обобщениями известных решений
Файлона и Рибьера [33, 34] (см. также [1], гл. X).
В Решить аналогичную задачу в случае когда при у —О
и y = h ux = Yy = 0 (см. [32], гл. VII).
 То же, когда при у —0 и y = h Yy = Xy = 0 (см. [35]).
100
5.9. См. [36].
Тонкая прямоугольная полоса (6=1) нагружена силой, рав-
ной 1, в точке х = с, y = h. Края полосы (х=±/) заделаны
(4/х = 0 по всей высоте 2/г, wy = 0 при у=0) (рис. '39).
Сформулировать краевые условия задачи.
Сосредоточенную в точке х = с силу
в интервале —/г^х^С/ как предел функции
можно представить
гО для —l^x<Zc л
/(%)=
р »	С X С + 8
ч0 »	с + е < х
(а)
при е—>0; произведение ре
остается конечным и равно единице.
Рис. 39
Учитывая выражение (а), заменяем силу тригонометрическим
рядом:
оо	со
Г / к 1	, 1 V ПЛС ПТ1Х .	1 VA • ПЛ,С . ПЛХ
f(x) = -2r+-r 2jcos—cos—+т 2jsin“^sin— • (6)
?t=l	n—1
Краевые условия на продольных кромках будут
при y = h
оо	оо
tz 1	,	1 V ППС ППХ ,	1 v • ПТ1С . ПЛХ AZ м
гу = 1г + т 2 cos —cos—+т 21 Sin —sin — , Ху = 0,
п=1	п=1
при у = —h
Yy = Xy = 0.
Краевые условия на поперечных кромках, при х=±/, будут
их = 0 для —h<Zy<Zh,
иу = 0 » у = 0.
Решение задачи с использованием однородных краевых реше-
ний см. в [36].
101
5.10. См. [28].
Рассчитать квадратную балку-стенку, нагруженную согласно
рис. 40.
Рис. 40
Вычислим значение функции напряжений на контуре.
Участок 1:
y* = lS = 0’	= Ф = ^ + С2,
ху==—	=
Полагаем с1==с2 = с3 = 0.
Участок 2:
Yy = ^=~4P’ ^^~4PX + C^ <Р= — 2px2 + c4x + cs,
На границе участков 1 и 2 значения функции и ее производ-
ных должны совпадать,
откуда	—4px + c4|x=0)4/ = 0, ^- = с6 = 0,
— 2рх2 4' с^х -|- с$ |х=о/н ~ 0*
Следовательно, с4= 1,6р/, с5=—0,32pZ2 и для участка 2
ср = —2рх24~ 1,6р/х—0,32pZ2,	= 0.
При х = 4 ф = 0,725, где В =
Л	ои
102
Участок 3i
X _-^L = o, =	ф = с7р + С8, УХ=-^_ = О, -J₽ = C9.
х ду2	ду 7’ т ' ° х дхду ’ дх v
Из равенства граничных значений участков 2 и 3 имеем:
с7 = 0, с8 = (— 2рх2+ \fiplx—О,32р/2)ж=о,5ь
с9 = (—4рх + 1,6р/)х=о,5ь
откуда
с8=—0,02pZ2, с9=—0,4pZ, и для участка 3
Ф = —0,02pZ2= —0,72В, -|$-=-0,4р/, -|$- = 0.
Участок 4:
V __ д2Ф _п дф _	_ viz.
1 у ~ ~дх* ~~ U’ ~dx—Ci(h Ф — сюЛ“г
X = д2ф -О
и дх ду ’ ду 12‘
Из равенства граничных значений участков 3 и 4 имеем:
ci2 = 0, с10= — 0,4р/, (с1ох + сп)х=0,5/= — 0,02pZ2,
откуда
си = 0,18р/2, и для участка 4
<p=-0,4p/x + 0,18p/2, -^=-0,4pZ, ^ = 0.
Участок 5:
у _ а2<Р __	„	_	пх,г
Уи~ дх2~	Р>	~fa-	РХ + С13,
Ф = — 0,5рх2 + с13х + с14.
_	^2<Р _ л = г
у дх ду ’ ду 15'
Из равенства граничных значений участков 4 и 5 имеем:
(—рх + с13)х=о,4г = —0,4pZ;
(—0,5рх2 4- с13х + с14)х= о ,41 — {—0,4pZx + 0,18pZ2)x= о ,4/
откуда
с1з = 0, c44=0,10pZ2, Cis = 0, и для участка 5
Ф= — 0,5px24-0,10pZ2, -^=—рх,	=
При х = 0 ф = 3,6В,
» Х —	Ф=3,1В,
О'
» х = 4- ф = 1,6В.
О
103
Законтурные значения функции ср получим по формулам (5.42):
по нижнему краю
Фу = фп + 2Az/	= фп
[так как (|Q, = o] ,
где фп — любое нижнее предконтурное значение ф;
по боковой грани
ф« = ф1 + 2Дх = Фг + 2	0,4pZ) = ф/ — 4,8В,
где фг—любое боковое предконтурное значение <р;
по верхнему краю
фэ = фп + 2Ау(-|^)о = фп,
где фп — любое верхнее предконтурное значение ср.
Контурные и законтурные значения ср приведены на рис. 40.
Применив уравнения (5.39) к отдельным узлам, найдем:
узел 1
20фх — 8 (3,6В 4~ ф4 4" Фг 4" фг) 4~2 (ф54~ 3, IB -f- 3,1В-|-фб) 4*
+ Ф? + Ф1 + Фз + Фз = 0,
или
21ф! — 16ф2 + 2ф3 — 8ф4 + 4ф5 + ф7 = — 16,4В;
узел 2
20ф2—8 (3,1В 4- фб 4" фз 4" Ф1) 4~ 2 (фб 4” 3,6В 4~ 1,6В 4“ ф4) 4~
4“ Фе—0,72В -|- Фг 4” Фг — 0,
или
— 8ф! + 22ф2—8фз + 2ф4—8ф54-ф8= — 15,12В
и т. д. (для всех 15 узлов, показанных на рис. 40).
Решив систему из 15 уравнений, получим:
фА = 3,356В, ф2 = 2,885В, ф3 = 1,482В,
ф4 = 2,906В, ф5 = 2,512В, ф6 = 1,311В,
ф7 = 2,306В, ф8 = 2,024В, ф9 = 1,097В,
ф10= 1,531В, фА1= 1,381В, ф12 = 0,800В,
Ф1з — 0,634В, ф14 = 0,608В, ф15 = 0,396В.
Графическое изображение поверхности напряжений (функ-
ции ф) дано на рис. 41.
104
Напряжения определяем по формулам (5.41), например:
точка I
(3.35S-2-3.60Q+3.3B6) а = _0 50р (сжатие).
Х'х = (3>600-2-3>j|6+2,885)B = _0j207p (сжатие);
точка XIII
Ххш = (°’634-2-0+0,634)А = 1,27р (растяжение).
Рис. 41
Эпюра нормальных напряжений Хх по сечению, совпадающему
с осью у, приведена на рис. 40.
При решении уравнений метода конечных разностей может
быть широко использована современная вычислительная техника.
Глава 6
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
1. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
—	“ &ZT —
ezz —	-g~ (Rr + Bp).
Уравнения этой главы получаются как частный случай из
соответствующих уравнений в цилиндрических координатах (1.16,
2.16 и т. д.).
1.	Уравнения равновесия
Ыг I 1	। Вг ^Р । г» п Г п &иг \ .
дг + г ' др + г + - U < ~ 6 дх* ) ’
-^-+—•4^- + -^zl+s = ° Г=е~гу-') •	(6.1)
дг 1 г ар 1 г 1	V ^T2 У	'	'
2.	Геометрические уравнения
диг	1 дип . иг \
r dr ’ рр г ар г ’ I
_ 1 диг । дир	up |	(6-2)
г ' ар ф дг	г ’ J
1 л d /	п dipp \ ।_1	д2егг____дегг	__ 1 а2 (г#гр)
? дг \ дг ) ’’	г ар2	dr г ’ dr ар	\ • /
3.	Физические уравнения
&тт “ ~g“ (Rr <тВр),
е₽₽ = (Вр — aRr), }
2(1 + 0 г> I
erp Е Ар* J
(6-4)
106
Rr = | _а2 (err + <^00 )> I
Вр = т^-(е&а + <уегг), 
D	Е
— 2(1 + а)ег|3’	,
4.	Основные уравнения в напряжениях
dRr j__1 . d/?p I Rr Ер .
dr "* г dp ' г ~*
дВт . 1 дВ$ . 2£?г .
дг'г ' др ''	г'1
72(Яг + В3) = 0,
(6-5)
(6.6)
где
д* ...
дг*
1 д ...	Id2...
г дг + г2 ар2
5. Основные уравнения в перемещениях
Z d2 , 1 d	1 , 1—о d2 \	, d / 1+а d
< Зг2 + г ‘ дг	г2 * 2г2 302 ) Ur + 30 < 2г ' дг
3 —о \	.	1 — а2
2г2 ) u₽ h Е Я — 6,
3 С 1+ff	J_____3	3—ст	1 \	Z З2 J_______3_
00 V 1 —а г • Зг	+ 1 - ст	г2 у Ur	\ дг2	' г	дг
1
f2
_2_
1—0
_1 д2 । 2(1 + о) в_ л
Г2" 302 Jwl?+ £ й °-
Производя замену переменных по формуле
г = е' (/ = 1пг),
 (6-7)
J
(6-8)
можно привести уравнения (6.7) к уравнениям с постоянными
коэффициентами:
/32	. . 1— о З2 \	, 3 < 1+0 3	3—ст V, .
< 3/2 1 + 2 ’ 302)Ur + 30 < 2 ' dt	2 J ы₽ +
+ -Ц— e2lR(t) — 0;
3 < 1+ст 3 . 3-ст Л , < 32	, , 2	32 \
<30 < 1-ст ' 3/ + l-о JUr+G/2	+ 1 — о ’ 302 J“₽ +
^2(1+ст)е2(В(^ = 0_
(6-9)
v2(.«.)
107
II. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ezz = czr — crp = Zr — <Zp = 0,
Zz = o' (Rr + B$).
Для случая плоской деформации во всех уравнениях п. I надо
заменить
о на — , а Е на Е<= Е 9 .
1	1 —и ’	1	1 —и2
III. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Решение с помощью функций перемещений—напряжений
Решение однородных уравнений (6.7) можно принять в форме
Б. Г. Галеркина:
«Г= — 2Р [(1+°')-^-2(cos pv2q>i + sin pv2<p2) ] +
+ a sin [J 4-6 cos [J;
«₽=—44^^'ж~2(5‘п^2<Р1‘~ cospv2<p2>] + |
+ acos|3 — b sinP + cr,	j
где ф/ — произвольные бигармонические функции;
rn-rnsR дФ1	sinP дф! , . о дф2	cos ft дф2 .
ф-cosp дг	г -t-sinp дг -г г	др ,
а, b и с — постоянные, характеризующие перемещение твердого
тела.
Общее решение (/? = В = 0) уравнений (6.6) с помощью функ-
ции напряжений ф (г, Р) получим, принимая напряжения по
формулам:
р _ 1 dtp 1 д2ф „ _ д2ф	ч
Кг~ г дг ф г2 ' др2 ’ 3 дг2 ’	•
о_п_	д ( 1 аФ \ _ 1 5ф 1_ <32ф	(6J1>
о,- — кр —	аг < г ' ар у “ г2 ' ар	г ' дг ар • J
При задании напряжений в форме (6.11) систему уравне-
ний (6.6) приводят к бигармоническому уравнению:
'’г’!Ф=(^+4-4+^-»!<р=0-	<6-12>
Обширный класс бигармонических функций ф получают из
гармонических ф посредством преобразований
Ф = гфсозр, гф sin р и г2ф.
108
Из известных частных решений би гармонического уравнения
(6.12) укажем на следующее:
<р (г, Р) = Л* + Вор + A In г + Вгг In г + С г2 +
+ Dr₽ sc°ns ₽+ [(A r*-\-B1r3-\-Clr~1-\-Dlrlnr') р-
со
АСН + 2 <Л"Г” +В„г™ + С„,г- +	(613)
т—2 ,3
+ Dmr-n^"stn$+ г”1[Лтсоз/пр +
т—2, 3
+ Bmsininfi + Cm cos (m — 2)	2) Р]. j
При полярно-симметричных задачах вместо (6.12) имеем урав-
нение
/ d2 , 1 d у __ ^4ф	9	1	^2ф
\ dr2 г ’ dr ) dr4	г dr3 r* dr2
+^-4г=°>	<6Л4>
общее решение которого
ср = A In г + Br2 In г + Cr2 + D.	(6.15)
Напряжения определяют по формулам:
^=А-	-J = 4 + B(l+21nr) + 2C;	
	= -А + в(3 + 21пг) + 2С;	(6.16)
	вг=/?₽=о.	
2. Применение комплексной переменной ***
Согласно рис. 42 имеем:
их = ur cos’p — up sinP;
•о. q I	(6.17)
uy = ur sin p + Up cos p,
откуда
ux + iuy = ur (cos p + i sin P) + ^3 (cos p +
+ i sin P) = (ur + fup) e^.
* Величины Ло и не влияют на напряженное состояние и могут быть
опущены.
** Этот член берут в случае замкнутого кольца для получения однознач-
ных перемещений; в уравнении (6.13) он написан для плоского напряженного
состояния.
*** См. [30], гл. 8.
109
Для плоского напряженного состояния, согласно (5.20), находим:
Ыг + шэ = е-1₽	—Ц--[гт|5' (г) + х' (z)|| . (6.18)
Подставив в правую часть формулы (6.18) z = re^ и z = re~^
и разделив вещественную и мнимую части, получим выражения
иг и up в полярных координатах.
Согласно формулам
Rr = Хх cos2 р + Yy sin2 р + Ху sin 2р;
Вр = Хх sin2 р + Yy cos2 р—Ху sin 2Р;
Rp = (Yy—Хх) sin р cos р + Ху (cos2p — sin2 Р)
находим соотношения
Rr + 5р = Хх + Y
Вр — Rr + 2fRp = (Yу—Xx-}-2iXy) е2гР,
откуда, приняв во внимание (5.21), получим:
Rr + Вр = 2 [ф' (г) + ф' (г)] = 4Иеф' (г),	(6.19)
Вр-/?г + 2/7?р = 2[гф"(г)+ x"(z)]e2*	(6.20)
Вычитая выражение (6.20) из (6.19), находим
Rr — i Rp = ф' (г) + ф' (г) — [гф" (г) + %" (г)] е2^.	(6.21)
3. Использование краевых однородных решений
Решение однородных уравнений (6.9) можно принять в форме:
д Z 1 + а	д	3—а \ г . Z д2 <
Wr~lp’C — 2	dt 2 )	+
+	Ai + asinp + frcos р;
_ < J <Э2	1 _ и	д* Ус
dt* 2	302 J /1
д Л *+СТ д 4_ а Л f _4_
30 < 1 —а ‘ dt "* 1—а)У /2-1-
+ а cosP — b sin р + се*,
(6.22)
ПО
где fi =	t) — функции, удовлетворяющие уравнению
±L + 2-^-+-^ + 2-^-2-^ + f-0	(6 23)
З/4 z 3/2 зр г	зрг z 3/2 +/—и- (O.zo;
Частное решение уравнения (6.23) может быть принято в форме:
для клинообразной области
/ = В(Р)?',
откуда
f (Р, r) = rh [Ak cos (k — 1) P + B* sin (k— 1) p +
+ C*cos(^+1) P + Dftsin (& +1) Pl; (6.24)
для незамкнутой кольцевой области
f = T(O
HP, r) = (^rft+1+Bftr-fe-i + Cftrft-1 + Dftr-fe+1) Лр,
где k — неопределенный параметр;
Ak, Bk, Ck, Dk—произвольные постоянные.
Перемещения будут равны:
в первом случае
«г=4 1(1 +<>) Аг —(3—о)] {(k-V) cos (£— 1) ₽ —
— Лд sin (k— 1) Р] + (Аг + 1) [Dft cos (k+ 1) P—
— Ck sin (k +1) pi} + a sin p + 6 cos P;
«э=-у{(^-1) [(1+o) £+(3—о)] [ЛА cos (&—-1) p +
+Bh sin (k— 1) P1 + (k+ 1) [(1 +o) k — (З-o)] X
X [CA cos (k+ 1) p + £>Asin(&+ 1) PI} +
+ acosp — ftsinp—cr;
во втором случае
ur = ± 4 {(1 +o)(A!-2) ЛЛг'‘+1-[(1 +o)Ai + 4]Bft/--'t-1+ ‘
,	, 1cos
+ [(1 +o) k-4] Chr’^-(i +o) (k+2) Dhr~h+11 sin AP+
4-asinP4-bcosP;
«3= - |{l(l +<r) & + 4] Л/‘+1 +[(l+o) k + 4] Bftr-/i"1 +
+ l(l+o) 4] Cv'^+Kl +o) Й-4] Dkr~h+1} X
sin
X	&P + acosP — bsinp—cr.
cos	J
(6.25)
(6.26)
(6.27)
111
Далее по формулам (6.5) составляют выражения для напряже-
ний. Так, для первого случая:
/?r = G/erft-1{(l +<у) (k—3) (k — 1) [В*cos (£—1)р—
— 4ftsin(£—l)p] + (&+l)L(l+<*M—(3—<J)] X
X [Ра cos (k + 1) р—CAsin (й + 1) £]};
Вр = — Gk (£-f- 1) r*"1 {(1 +<у) (& —1)[BaCos (&—1)р—
—-/Usin (&—1) Р]-Н(1+а)&—(3—cr)] [PAcos(&+l)P— '
—Cft sin (k+ 1) Р]};
Br = Bp = —Gkr^1 {(1 + о) (k— 1 )2 [Ла cos(£—l)p +
+ BASin(Z:-l)p] + (A!+l)[(H-o)A!—(3-а)]х
х [Са cos (^-[-1) Р+ Z?A Sin Д-1) р]}.	J
(6.28)
Имея значения перемещений (6.26) и (6.27) и напряжений
(6.28), можно сформулировать любые кра-
евые однородные решения.
Задачи
6.1. Задача Ламе (1852 г.)
Длинный полый цилиндр находится под
действием нормальных внешнего р0 и внут-
реннего pt давлений, равномерно распре-
деленных по боковой поверхности (рис. 43).
Найти напряжения и перемещения.
Ввиду полярной симметрии и двух
краевых условий
Rr=a— Pi И Rr=b— Ро (а)
принимаем функцию напряжений (6.15) в форме:
<р = А lnr-J-Сг2 *.
(б)
Согласно формулам (6.16) напряжения будут равны:
Д	А
Rr = -^ + 2C, Др=—± + 2С, 7?₽ = Вг = 0.	(в)
Используя краевые условия (а), получаем:
_а262(р0—Pi) .	c>r_a2Pi—Ь2р0
Ь2—а2	’	Ь2—а2 ’ ’
* При сплошном цилиндре <р = Сг2, ЦГ = В$ =—р0, Rp = Вг = 0.
П2
откуда
=	[а2рг—^ро+^гСро—рО] ;
B₽ = b5Z^2 [a2Pi — b2p0— ~ (po—Pi)] •
Для определения перемещения ur(up = 0) надо проинтегриро-
вать уравнения (6.4) с учетом уравнений (6.2) и соотношений
(5.9). Уравнения (6.4) для данной задачи имеют вид:
E^ = RT-аА: '
Е^ = В^-а^г.
(Д)
Из уравнений (д) получаем:
UT = 2G(b^-a^) [П~2а) (a2Pi —fe2Po) r +	(Pi—Po)] •	(e)
6.2. Задача Головина (1881 г.) [37].
Плоский круговой брус с внешним радиусом b и внутренним а
и сечением в форме узкого прямоугольника (6=1) изгибается
моментами М, расположенными
по торцам (рис. 44).
Определить напряжения и
перемещения.
Ввиду того что напряжения
не зависят от полярного угла р,
берем, согласно формуле (6.15),
функцию напряжений в форме:
ф = A In г + Br2 In г + Сг2. (а)
Рис. 44
Краевые условия задачи
имеют вид:
ь
Rr=a = 0, Rr=b = О, dr = 0,
а
ъ
J B$rdr = M. (б)
а
Развертывая уравнения (б), получаем:
+ в (1 +21па) + 2С = 0;
^ + В(1 + 21п fe) + 2C = 0;
(в)
А In ± + В (b2 In b—a2 In а) + С (b2—а2) = М.
Третье условие (б) удовлетворяется при удовлетворении двух
первых.
8 Заказ № 1215
113
Решаем уравнения (в):
д 4Л4 ого 1 b
А=------тга2Ь2 1п— ;
/V	а
С = -^- [Ь2—а2+ 2 (b2 In b—a2 In а)],
где
N = (62—а2)—4а2Ь2\п2±-.
Напряжения будут равны:
Ъ= —+ 1п т+а 1ПТ> ’	I
n 4М / a2b21 b . /9. г .	9, а . <9 9Ч |
ВР=-дг(—^ln- + b2ln-+а21п- + Ь2-а2). J
Приближенное решение по формулам сопротивления материа-
лов, где напряжения Вр изменяются по гиперболическому закону,
хорошо согласуется с полученным точным решением.
Для определения перемещений надо проинтегрировать урав-
нения (6.4):
у/ = |{^Л + [2(1-о)1пг+1-Зо]В + 2(1-а)С; '
-•^ + - = if _ 1+£я + [2(1 — o)lnr + 3 — ст]В +	, .
г ар 1 г е t г2 । l \	/	। j ।	(д)
+ 2(1-а)с};
г ' ЗР дг г	J
Интегрируем последовательно первое и второе уравнения (д)«
ur =-g { — А + [2(1— о) In г—1—а] гВ +
+ 2(1-о)гС}+Л (Р);
«₽=¥'-₽-ЛФ) + Г2(г).
Подставляя найденные значения перемещений в третье урав-
нение (д), получаем два уравнения:
= /ИР)+Л(₽) = о,
114
откуда
f i (₽) = b sin ₽ — a cos Р» Mr) = cr-
Окончательно перемещения будут
ur = -^-1 ~ A + [2(1 — о) In r— 1 — or] rB +
+ 2(1 —a) rC J- + a sin p + b cos P;
4B
= -g- rp + a cos p — b sin P + cr.
(e)
[ср. с формулой (6.10)].
Для определения произвольных постоянных a, b и с надо
закрепить брус так, чтобы исключить его движение как твердого
тела, например принять в точке Ох
В, = В„=^ = 0.
Перемещение включает две составляющие: перемещение
4В а	~
и поворот сечения на угол р относительно центра О как твер-
дого тела. Следовательно, при чистом из-
гибе поперечные сечения остаются пло-
скими (гипотеза Бернулли).
6.3. Задача Митчела (1900 г.).
Определить напряженное состояние в
тонком (6=1) неограниченном клине с
углом 2a, к вершине которого приложена
сила Р, составляющая с осью клина угол
Pi (рис. 45). 
Задаемся функцией напряжений в фор-
ме:
<р = Ar р sin р + Br р cos р. (а)
Краевые условия задачи имеют вид:
прир=±а Вр = 7?р = 0,
>0 2Х = 2У = 0.
Согласно уравнениям (6.11) напряжения будут равны:
D 2Xcosp 2В sin р D n n
Кг =----------------,	= Kp = и.
(б)
Таким образом, краевые условия по сторонам клина удовлет-
воряются, а условия для определения произвольных постоянных
8* 115
будут
SX =	Rr cos fir dp + P cos Pj — 0;
—a
a
2У = RT sin pr dp + P sin = 0,
—a
откуда
2P cos pt _________2Pr .
2a + sin 2a 2a + sin 2a ’
2P sin Pj _ 2Pp
2a—sin 2a — 2a—sin 2a
Окончательно получим:
P   2P /cos p! cos P	sin p4 sin p
~ r \ 2a + sin 2a	2a—sin 2a
(в)
При r-^0 напряжения 7?r—>oo, так как было сделано пред-
положение, что сила приложена в точке.
При малом угле 2a напряжения, определенные по формулам
сопротивления материалов, близки к полученным в данной задаче.
В Определить напряженное состояние, если к вершине клина
приложен момент М (см. рис. 45).
Указание. Функцию напряжений взять в форме:
Ф = Лр+ sin 2р.
(r)
Ответ:
Rr=— |fsin2p, В₽ = 0;
(cos 2|3 — cos 2a),
где С определяется из условия
a
гВтг dfi = М
—а
и равно
м
sin 2a—2a cos 2a ’
(Д)
 Определить напряженное состояние в тонком неограничен-
ном клине с углом а, по наклонной грани которого приложена
равномерно распределенная вертикальная нагрузка интенсив-
ностью q (рис. 46).
Указание. Функцию напряжений взять в форме (см. 6.13):
ф = г2 (Л2 cos 2Р + В2 sin 2р + C2fl + D2).	(е)
116
Ответ:
7?г = -4— cos2 В, Вл=--------sin2 В,
г sina r’ р sin a
Br = Rr =	— sin 2₽.
r p 2 sin a *	J
 Определить напряженное состояние в тонком неограни-
ченном клине с углом а для двух случаев
нагрузки:
1) давление жидкости с удельным весом
у на вертикальную грань;
2) удельный вес материала клина g.
Указание. В обоих случаях функцию
напряжений взять в форме (см. 6.13):
Ф = г2 (Л3 cos Зр + В3 sin Зр + С3 cos р +
+ Z)3sinP),	(з)
определить напряжения по формулам (6.11) и
для учета действия удельного веса к полу-
ченным выражениям прибавить частные зна-
чения напряжений по формулам:
~Rr == ~~~ grcosp, В$= — grcosp, ^р = Вг = 0, (и)
которые получаются из уравнений равновесия (6.6) при
положить а = -^- и ^ = 0.
/? = gcosP и В=—gsinp (к)
(см. рис. 46).
6.4. Задача Фламана (1892 г.).
Определить напряженно-деформи-
рованное состояние в упругой полу-
плоскости х 0, нагруженной сосре-
доточенной силой Р, перпендикуляр-
ной к границе х = 0 (рис. 47).
Настоящая задача является ча-
стным случаем задачи (6.3), если
Приняв это во внимание, получим:
Яр = Я₽ = Вг = 0
(а)
— случай элементарного радиального распределения напряжений
(Митчел, 1900 г.).
117
На любой окружности произвольного диаметра D, касающей-
ся граничной линии в точке приложения силы (см. рис. 47),
D = —Ц и 7?г	= const,
cos р г nD
Главное касательное напряжение во всех точках окружности
\%г—Я|з1 р	,
^тах —	2	—	— Const,
поэтому при оптических исследованиях плоских моделей вблизи
точек приложения сил на экране видны подобные окружности
(изобары —линии равных напряжений).
Уравнения (6.4) для плоской деформации будут
диг  2(1—о2) Р cos р
дг	лЕ г ’
«г , 1 диР _ 2а (14-а)Р COS0
г г ' ар — лЕ  г ’ |	W
r dp *” dr r *	J
Интегрируя^последовательно первое и второе уравнения, получаем:
Ur = -2(17Г Р cosР 1п /• + Г (0);
«з = ~2°(W)P sin Р + 2(17е°2)Р sin Р In г—f (0) + fi (г).
Для нахождения неизвестных функций f (Р) и fi (г) подстав-
ляем значение перемещений в третье уравнение (б), которое
после некоторых преобразований будет
f" (Р) + f (0) + 2(1+g^~2g)P sin 0 = А (г) - rf; (г)
и разобьется на два уравнения:
f" (Р) + ИР) = - 2(1 + g)^~2g) P sin 0,
Л(г)-7А(г) = 0*.
Неизвестные функции будут равны:
f (Р) = Ci cos 0 + С2 sin 0 + (1 + g)„£~2g)P P cos 0,
fi(r)=C3r.
* Приравнивание обеих частей уравнения нулю, а не произвольной константе
объясняется тем, что эта константа не входит в выражение перемещений.
118
Окончательно перемещения будут
-^^1ПЛСО5р-<^‘’><1-2°>Р Psi„|> +
+ [ с, + (1 + а1^Г2°),Д ] cos ₽-С, sin ₽,
2(1—а2)?.	. о (1 + о)(1—2о)Р о д
ЦР= лЕ 1пГ51ПР-^-Ъ------------₽COSP-
— Ci cos р — [ С2—2(7 (+ g) Р ] sinp + C3r.
Для определения произвольных постоянных Ct надо закрепить
полуплоскость так, чтобы исключить ее движение как твердого
тела, например,
при р = 0	= О,
» r = h и р = 0 иг = 0.
В этом случае [38]
Ci = С3 = О,
Сг=211-?8)Р1пА-|1+°>У°|Р,
z лЕ	лЕ
и перемещения определяем из формул:
«,-^^l^[ln^eosP + ^psin₽],
“»= "‘‘лГ'* {[ 1ПТ + 27Г~ .l‘jr'Р-АгЙ)-РСО5₽}  <в>
Точки граничной линии (p = ±yj имеют перемещения:
tlj> — Uy
(1 + а)(1-2а)Р .
2Е
2 1-а2 Р у
U Л =Ux= ± —-------рг2— 1П 4-
л х __и лЕ
(1 + 0)Р
лЕ
— 4-
h
Согласно рис. 47 напряжения
осям х и у, будут равны:
по площадкам, параллельным
А'» = Rr cos2 р =
2Р хз
Л (х2+*/2)2
2Р cos3 р ф
л г ’
Yy^Rr sin2p=-^
ya = Xi/ = ^sin2p =
ху2 _____ 2Р cos р sin2 р
(х2+г/2)2~	л г '
2Р х2у _ ___________2Р cos2 Р sin р
Л (х2 + у2)2	л	г
(д)
И Определить напряжения в полуплоскости от действия
момента (см. рис. 47).
119
Ответ:
R,= -^-sin2p, B3 = 0,
tf3 = Br = -^-cos2 3 * * * *0
(см. задачу 6.3).
 Задача Черрути (1882 г.).
Определить напряжения в упругой полуплоскости, нагружен-
ной в начале координат силой Т, направленной вдоль оси у
(см. рис. 47).
Ответ:
Rr=	B3 = R3 = BP = 0.
6.5. Задача Герца (1883 г.).
Определить напряженное состояние
круглого диска, сжатого двумя силами
Р, не проходящими через центр (рис. 48).
Задача решается наложением трех
состояний [1], стр. 522:
1) Точка А является полюсом, из ко-
торого исходит радиальное сжатие, вызывающее напряжения
5₽1=я₽1=о.
(а)
2) Точка В является другим полюсом, из которого исходит
радиальное сжатие, вызывающее напряжения
Я₽2 = Я₽з = 0.	(б)
3) К диску приложено равномерное всестороннее растяжение р,
при котором
#r3 = B|33 = P, fy3=0	(В)
(см. задачу 6.1).
При одновременном действии всех трех нагрузок имеем напря-
жения в точке С:
Rr = р —	cos cos2cq + у- cos р2 cos2a2^) ;
Вр = p —	(y- cos Pj sin2 Oi + y- cos p2 sin2 a2^) ;
Br = —— —cosPtsinajCOscti —— cosp2sina2cosa2).
120
Принимая во внимание, что
I Q	ТС	I Q
“1 + 02= у» а2 I Р1—у»
G = d cos сц = d sin р2, rz = d cos а2 = d sin 0ц
где d—диаметр окружности, окончательно получаем:
9Р
^r = P-y3-sin(P1 + P2);
я₽=д. = о.
Чтобы окружность АВС во всех точках, кроме А и В, была
свободна от радиальных напряжений Rr, надо положить
9Р
P =	+	(Д)
где sin (Pi + P2) — постоянная.
 Определить напряженное состояние круглого диска, сжа-
того двумя силами Р, проходящими через центр диска, и постро-
ить эпюру нормальных напряжений по диаметральному сечению,
перпендикулярному к силам.
6.6. См. [39].
Определить напряженно-деформированное состояние в полом
круговом полуцилиндре большой длины, лежащем на абсолютно
Рис. 49
жестком (и$ = 0) и гладком (Рр = О) основании, от действия гид-
ростатической нагрузки q = y(h — fcsinf}), где у—удельный вес
жидкости (рис. 49).
Задаемся функцией напряжений в форме (6.13):
оо
Ф = Д0г2 + Во In г + 2 (Amrm+Bmrm^+Cmr~m+Dmr-m+2) cos /пр. (а)
т=2,4
121
Краевые условия задачи имеют вид:
при r = b Rr =—y(h—6sin0), Br = 0;
» r = a Rr = 0, Br = 0;
» 0 = 0 и p = л = 0, up = 0.
Раскладывая sin fl в интервале 0^0^ л по формуле
sin 0 = 2--± v
г л л	(т— 1)(т+1)
гп=2, 4,. . .
и принимая напряжения по формулам (6.11):
/?г=2Л0+	2 № Атгт~* + (т-2) (т+\)’Втгт+
2, 4,. ..
4- т (т 4-1) Стг~т~2 4- (т 4- 2) (т — 1) Dmr~m\ cos m0;
В₽ = 2Л0-^-+ 2 [m(rn-\)Amrm^ +
2,4,...
4- (tn 4- 2) (т 4- 1) Bmrm + т (т + 1) Стг~т^ +
4-	(т 4- 2) (т— 1) Dmr'm] cos яг0;
Rp = Br= 2 rn[(fn-l)Amrm-* + (m+V) Bmrm—
2, 4, ...
— (m + 1) Cmrm-2— (m— 1) Dmr~m] sin m£,
получаем из первых четырех краевых условий значения
произвольных постоянных формулы (а):
-   у (2Ь — л/г) Ь2	г>   у (2Ь— л/г) а2/?2 )
Я° “	2 (/г2 —а2)	’	““	/г2 — а2	’
Ат = (т 4-1) ImC—(т— 1) D] ат+1сГт+3-,
= ^- (m — 1) [mD — (яг + 1) С] а~т+1а-т+1;
Ст = ^-(т— 1) Da~m+1am+3-,
Dm = - (яг + 1) Da~m+1am+1,
(б)
(в)
(г)
всех
(Д)
122
где
ь
а = —;
а '
Д = я (CB—mAD) (m — I)2 (m + I)2;
А = (т — 1) а2 — (т — 2) — а’2(т+1);
В = т2а~2 — (т — 2) — (т + 2) а"2гп;
С = — (m — 1) а'2 + т — а’2(т+1);
£> = —та"2 + (т + 1) + а"2т.
Перемещения определяем из уравнений (6.4) с учетом (6.2).
Интегрируя первые два уравнения (6.4) и приравнивая нулю
произвольные функции* *, находим:
ElUr = 2(\-<^A0r-(\+<^^- 2 {(1+<т1)тАпГ’п-1 +
2,	4, ...
+ [т-2 + а, (пг + 2)] Bmrm^-(1 + at) тСтгт^-
— [т + 2 4- (т—2)] Z)mr“m+1} cos mfi;
^i«₽= 2 {(+	+ *1)^4-4] Bmrm+1 +
2, 4, .. .
+ (14-0!) tnCmr-m-14- [ (1 4- a i) m—4] Dmrm+1} si n m$.	(e)
Таким образом, краевые условия по 0 удовлетворяются.
Для случая равномерных внешнего р0 и внутреннего pt давле-
ний на полуцилиндр при условии, что pob^pta, получается
известное решение задачи Ламе.
 Найти напряженно-деформированное состояние в сплошном
полуцилиндре (а = 0) радиуса Ь, лежащем на абсолютно жестком
и гладком основании, от действия гидростатической нагрузки
(рис. 49).
Указание. Функцию напряжений взять в форме:
ср = лог2+ 2 (Amrm + Bmrm+2) cosznp. (ж)
т=2, к, . . .
2(1 +Qi)
* Третье уравнение (6.4) егр =----fпри функции напряжений
в форме (а) удовлетворяется тождественно.
123
 Исследовать напряженное состояние в тонком (6=1) коль-
цевом диске, растянутом двумя силами Р (рис. 50).
см. [1], стр. 512.
Указания: 1. Сосредоточенную силу заменить равномерно
распределенной нагрузкой q —	на участке 2ай, где а—малый
угол.
2.	Функцию напряжений принять в форме (а).
6.	7. Задача Кирша (1898 г.).
Исследовать напряженное состояние в тонкой (6=1) равно-
мерно растянутой прямоугольной пластинке с малым круговым
отверстием (рис. 51).
Напряжения, вызванные малым отверстием, имеют характер
местных напряжений, быстро затухающих при удалении от него.
Напряжения в сплошной пластинке могут быть определены
через функцию напряжений
<Ро = 4 РУ2 = у pr2 sin2 0 = Z pr* — cos 2₽)’
при которой
Х* = ^ = р’ Yu = xy = °-
При использовании для решения настоящей задачи функции
напряжений <р и больших значениях г должны получаться
такие же напряжения, что и с функцией <p0-
Согласно формулам (6.13) функцию напряжений задаем в форме:
<р = A In г + Br2 In г + Сг2 + (Л2г2 + В2г4 + С2г~2 + Z)2) cos 2р.	(а)
Чтобы избежать возрастания напряжения с ростом г, пола-
гаем В = В2 = 0, а для получения при больших значениях г
124
таких же напряжений, что и с функцией <р0, нужно, чтобы
С = ^Р и Аг = -±р.
Таким образом, функция напряжений
<p = Alnr + fr2 + (- |r2 + C2r2 + D2) cos 2р,	(б)
а напряжения
Произвольные постоянные определяем из условий:
при r = a Rr = Вг = 0*.
Составив эти условия, получим:
д Р“2 с _ Ра* п — ?а2
Л-----2“, G2-- —, /J2_—.
Окончательно напряжения будут
Bs“4[1+-?-(1+^-)cos2₽] ;		<в>
Так как тело не односвязное, необходимо проверить одно-
значность перемещений. Вычисления показывают, что перемеще-
ния однозначные—это подтверждает правильность решения.
На рис. 51 приведена эпюра В$:
при р = ± У В3 = Зр,
» р = 0 или л В$=—р.
Т аким образом, увеличение напряжений — «концентрация
напряжений» будет у края отверстия.
Если ширина пластинки d не очень велика по сравнению
с диаметром отверстия 2а, но все же больше чем 4а, то макси-
мальное значение можно определить по формуле
max Вр « Зр^.	(г)
* Из уравнений (6.11) следует, что можно составить условия и для
дер
функции ф: при г = а ф = 0 и -^- = 0.
125
1) Точка А является
6.8. Задача Митчела (1900 г.) [4].
Определить напряженное состояние
в тонком (6=1) круглом тяжелом
диске, лежащем на абсолютно твердой
горизонтальной плоскости (рис. 52).
Сила в точке опирания диска
Р = л/?2у,
где у — удельный вес материала.
Задача решается наложением двух
состояний:
полюсом, из которого исходит радиаль-
ное сжатие, вызывающее напряжения:
D _ 2Р COS Р _
г л г ~
В$ = R$ = Вг = 0,
(а)
и по краю диска при г = 27? cos р напряжения равны (задача 6.4):
RT =—yR, Хх =—yRcos2p,’ Yy=—yR sin2 p, XB= —-^y-sin2p.
2) Для уничтожения найденных напряжений надо прибавить
систему напряжений:
Xv = ^-^^y,
х ду2 2 v п у дх ду 2*’
определяемых функцией напряжений
Ч)=Т [4' + 7? (х2 + У2) —У2х] •	(б)
Учтя, что f/ = rsin р, x = R— rcosfJ, нетрудно при г = 2R cos [J
получить на краю диска напряжения, обратные указанным в п.1.
В каждом горизонтальном сечении действует радиальное
в направлении к точке А давление, равное
-^-(47?2cos2p- г2).
6.9. См. [30], гл. 8, § 7.
Бесконечная пластинка ослаблена круговым отверстием,
на контуре которого при г = ае^, где а — радиус отверстия,
приложены известные напряжения Rr и Вг.
Исследовать напряженное состояние.
126
Аналитические функции ф' (?) и %" (?) решения (6.21) надо
разложить в степенные ряды так, чтобы при г = оо они были
конечными. Эти функции будут иметь вид:
Ф' (z) = з Anz~n, х" (г) = 2 Bnz~n,	(а)
п=0	п=0
где Ап и Вп—комплексные постоянные.
Из формул (6.19) и (6.21) видно, что напряжения в беско-
нечности определяются постоянной Во и вещественной частью
постоянной Ао- Мнимая часть постоянной Ао не влияет на напря-
женное состояние.
Интегрируя (а) по г, находим:
оо
4>(г) = Л0г + Л11пг —2
п:2	(б)
X' (г) = Вйг + В, In z-2	+ С2,
71=2
где Cf—комплексные постоянные.
Учитывая соотношения:
Ф' (г) = 2 Лг"п;
п=0
оо ___________ _
____	_ _	__ ___ о ______71+1	_
х' (г) = вог + в, In г- 2 Пп_х + С2,
п=2
из формулы (6.18), получаем:
оо
«г + »и₽ = е-^ [^(^Лоз + Л^пг—2 Л+ С1)-
71=2
ОО
- (лог + г22 ^-(п+1>) -
71=1
ОО __ _
-^(^+^^^-2	•	(в)
71=2
Положим z = re’P,
тогда	1пг = 1пг + ф.	(г)
Эта функция не однозначна по 0. Приращение ur + iHp
при обходе отверстия составит
127
и условие однозначности для перемещений будет
(3-а)Л1 + (1+о)В1 = 0)
откуда
Л=-4±^в,	(д)
Так как напряжения А?г и Вг заданы при г = а, выражение
(Rr — iBr)r=a можно разложить в комплексный ряд Фурье [40]
(Rr — iBT)r=a = 2 С„еМ,	(е)
П=—оо
где коэффициенты Сп определяем по формуле
2л
С" = -2Г$ [Яг(Р)-Вг(₽)1г=ае--М,	(«)
О
n = 0, 1, —1, — 2, ...
Подставляя в (6.21) ряды (а) и (е) и учитывая условия
на контуре (г = а), находим:
оо	оо	оо  
2	4-e-in₽ + 2 4г «м +
п=—оо	п=0	п=0
оо	оо
+ 2	=
п=0	п=0
= 2[(1+„)Л-^]^-Ае,-
п=0
оо _
-Во<^+2	(з)
71=0
Сравнивая коэффициенты с одинаковыми степенями eiri₽ в обеих
частях уравнения (з), получаем:
л+л0->=с0, 4-4=С1,
В0 = С2,~ = Сп при п>3,
-^~Ап--^- = С-п при п>1.
(и)
Приняв во внимание, что Ло + Ло и Во характеризуют напря-
женное состояние в бесконечности, считаем их известными. Вели-
128
чина мнимой части постоянной Ао соответствует смещению абсо-
лютно твердого тела (в), и ее можно принять равной нулю.
Постоянные определяем по формулам:
АоАо — 2А0 и А! = —Bi (см. д).
о — о
Далее из уравнений (и) и (д) находим:
В,= -^-аСъ А1=-^~-аС1,
В2 — 2А0а2—CQa2, А2 = В0а2 + С2а2,
а при и >3
Вп = (п—1) а2Ап_2—апС_п+2, Ап = Спап.
(к)
Полное решение задачи будет возможно, если заданы распре-
деление напряжений по круговому контуру и условия в беско-
нечности.
 Определить рассмотренным методом напряженно-деформи-
рованное состояние в широкой плите, ослабленной в средней
части малым круговым отверстием радиуса а и подвергнутой
равномерному растяжению с напряжениями р, направленными
вдоль оси х (см. рис. 51).
Ответ: 1. Напряжения — см. формулу (в) задачи (6.7).
2. Перемещения, согласно (в), при С1 = С2 = 0 будут
равны:
[-^+°!+(^+^>2₽]; 1 (
 Найти распределение напряжений в бесконечной пластинке
с круговым отверстием, если по краю отверстия при r = a — —р
и Вг = 0. Напряжения в бесконечности равны нулю.
Ответ:
Я5' (г) = 0, %" (z) =	,
^ = -^-,	Вг = 7?р = О,
 Найти напряжения в тонком кольцевом диске с внешним
радиусом b и внутренним а, сжатом по толщине двумя силами
(рис. 53).
Решение см. в [41].
9 Зак. 1215
129
6.10.
Найти однородные решения для тонкого клина, заделанного
в конечном числе точек основания, при следующих данных
(рис. 54): на клин действует жидкость с удельным весом у;
а = 4- = 0,524;	6 = 4^=0,262; h = 4 м.
О	12
Для получения частного решения, удовлетворяющего неодно-
родным краевым условиям по граням^ОЛ и ОВ, принимаем в урав-
нениях (6.26) и (6.28) k = 2 и для упрощения выражений считаем
о = 0.
Произвольные постоянные частного решения определяем
из условий:
при р = а В$ =—у г cos (а -j- 6), R$ = 0,
» р = —а Вр = /?р = О.	(Э)
Общее однородное решение получим при однородных краевых
условиях по граням ОА и ОВ:
при 6 = а Вв = /?в = О,
» р=— а =	=	(б)
которые в развернутом виде дают четыре уравнения:
(k— 1) sin (k— 1) аАк— (k— 1) cos (k-— 1) аВк-\~	1
+ — 3) sin (&+ 1) аСк — (k — 3) cos (k + 1) aDh = 0;
(k— I)2 cos (k— 1) аЛй-(-(&— I)2 sin (k— 1) аВй +
+ (k—3) (k + 1) cos (k + 1) aCk +
+ (k — 3) (fe+l)sin(^+ 1)а£)й = 0;
(k— 1) sin (k-— 1) аДй + (k— 1) cos (& — 1)	+
4- (& —3) sin (k + 1) аСй+ (k—3) cos (&+ 1) aDk = 0;
(k— I)2 cos (k— 1) aAk—{k — I)2 sin (fe — 1) аВй+
4- (k — 3) (k 4-1) cos (k + 1) аСй —
— (£—3) (6 + 1) sin (fe 4-1)	= 0.
130
Чтобы постоянные Л&, В*, Сд и Dh не равнялись нулю, опре-
делитель A (fe) системы (в) должен быть равен нулю. Раскрыв
определитель, получим трансцендентное уравнение для опреде-
ления k:
sin 2&а = + k sin 2а;	(г)
полагая
k = a±ib,	(д)
подставляя в уравнение (г) и разделяя действительные и мнимые
части, получаем уравнения для определения а и Ь:
sin 2аа ch 26а = ± a sin 2а;
cos 2аа sh 26а = ± b sin 2а,	(е)
или, при значении
а = ± Ctgin 2а* । sh2 s*n2 »	(ж)
cos sin2a (cth | 26а | |Лsh2 26а— b2 sin2 2а )а =
= ± sin 2а . b .	(з)
sh 26а	' '
При числовых значениях задачи (а = 0,524) уравнения (з) и
(ж) будут
а = ± 1,155 cth | 1,056| /sh21,056—0,7562,	(и)
cos 1,21 (cth 11,0561 У sh21,056—0,7562) = ±	.	(к)
График уравнения (к) приведен на рис. 55. Значение неко-
торых его корней дано в табл. 6.1.
Для множества параметров km = am ± ibm, найденных из урав-
нений (и) и (к), соответствующие им константы определяем
по формулам:
Ah = Fk^(k), Bk = Fk\2(k),
C^F^k). Dk=Fht^	(Л)
9* 131
Таблица 6.1
т	km=am±ibm
1—4	±4.051 ±Л 1,94
5 — 8	± 7,178 ±/. 2,45
где Aj(&) — алгебраические дополнения элементов какой-либо
строки или столбца определителя *;
Fk—произвольные коэффициенты пропорциональности.
Взяв в общем решении любое конечное число членов, можно
удовлетворить граничным условиям по опорной плоскости АВ
в любом конечном числе точек.
* Для упрощения записи индекс т при k не ставят.
Глава 7
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
СТЕРЖНЕЙ
!. ЧИСТОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
1.	Допущения
При решении задачи о чистом кручении стержней следуют
«полуобратному методу» Сен-Венана, полагая
Xx = Yy = Zz = Xy = Yx = Of
где z—ось стержня.
2.	Основные уравнения
При принятых допущениях расчетные уравнения будут:
Статические уравнения (см. 1.1в)
dXz  л dYz  q dZx . dZy  q	/7 j ч
dz —v, dz —v, dx -r dy —v.
Краевые условия (1.2)
на боковой поверхности
Zxcos(v, x)+Zycos(v, у) = 0,	(7.2)
на торцах (z = 0 и z=l)
^XzdF = Q, ^YzdF = 0,
F	F
c p	(7-3)
J J (Yzx-X2y)dF = Mz,
F
где Mz крутящий момент.
Геометрические уравнения (2.1а и 3.4а)
G
е	е — д“х I -dUy- — Q-
вхх дх ~’ ху ду + дх и’
&иу Л	дих I duz
е =—^==0, exz =
уу ду ’	дг ‘ дх
е -duz__Q е _диУ , диг
tzz — dz — v, eyz
I
I
J
(7.4)
(7-5)
________	___________ _____________2
dz dy G
V2y2 = 0, V2Xz = 0.
133
3.	Решение задачи посредством функции Прандтля
Напряжения выражают через функцию ф = ф(х, у) по фор-
мулам:
Хг = 2ж = ^, Yz = Zv= —(7.6)
Согласно уравнениям (7.5)
У2Ф = С.	(7.7)
Интегрированием уравнений (7.4) находят, отбросив члены,
представляющие перемещения стержня как твердого тела:
их =—ayz, uy = axz, uz = 0,	(7.8)
где а — угол закручивания на единицу длины стержня.
Из двух последних уравнений (7.4) получают уравнение
дх2 ‘ ду2	’
откуда
С= —2aG.	(7.9)
4.	Свойства функции Прандтля
Из уравнения
Рис. 56
(7.2) (рис. 56)
дФ dy	дФ dx   t/Ф  Q
ду ds	дх ds	ds ’
и, следовательно, на контуре сплошного стержня
Ф(х, у) = 0.	(7.10)
Касательное напряжение в любой точке
сечения направлено по касательной к линии
ф = const, проходящей через эту точку, и про-
порционально быстроте изменения Ф по нормали к этой линии:
=	^ = 0.	(7.11)
Согласно теореме о циркуляции касательного напряжения
(Бредт, 1896 г.)
£ Szds = 2aGF®,	(7.12)
Ф=С
где^ф^ у h ds — площадь сплошного сечения, ограниченная
Ф=С
рассматриваемой кривой.
134
Л42 = 2 \
Согласно третьему уравнению (7.3)
=	(7.13)
F
где d(& = Szdv — дифференциал функции напряжений (7.11);
F—площадь сечения (включая отверстия).
11. ЧИСТОЕ КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ (ВАЛОВ) ПЕРЕМЕННОГО
СЕЧЕНИЯ*
1.	Допущения
При кручении вала переменного сечения (рис. 57) задача
решается в цилиндрических координатах при следующих допу-
щениях:
ur = uz = 0,	=	(г, г).	(7.14)
2.	Основные уравнения
При принятых допущениях (7.14) расчетные уравнения будут:
Геометрические уравнения (2.16)
диг	duz
e,.r=-^- = 0, е„ = -£
„ Ur I 1	П
е₽₽ — — + — * “Эр" — °’
dz + dr ~U’
_ _1_	дит	Эир up
г'	др
_J_	диг	<4 ________
~ г ' др +" dz ~ дг '
О,
(7-15)
дир “р
дг	г

* См. [30].
135
Уравнения закона Гука
Rr = B^ = Zz = Zr = 0,
Вг=^ = о(^Ь-ШЛ ,
\ дг г у ’
Bz = Z₽ = G^l .
dz	>
(7.16)
Статические уравнения (1.16).
При отсутствии объемных сил из уравнений равновесия
остается лишь одно:
I dBz !	Q
dr ’Т’ dz г
а остальные удовлетворяются тождественно.
Последнее уравнение можно записать в форме:
А(г2Вг) + ^(г2В2) = 0	(7.17)
и тождественно удовлетворить введением функции напряжений
ф по формулам:
Вг =—V’-p-.	=	(7.18)
г г2 dz ’	г2 дг	'	'
Решая совместно уравнения (7.16) и (7.18) или пятое уравне-
ние (2.46) (остальные уравнения неразрывности деформаций удов-
летворяются тождественно), получаем:
*L + ^_ = 0.	(7.19)
dr2 г dr * dz2	'	7
Если боковая поверхность свободна от внешних сил, то резуль-
тирующее касательное напряжение направлено по касательной
к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль v равна
нулю. В этом случае имеем:
Br cos (v, г) + Bz cos (v, г) = О,
где
COS (v, г) =	4^-	,	cos	(v,	z) = —.
' ’	7	ds	' ’	1	ds
Приняв во внимание формулы (7.8), получим:
dip	dz	(	dip	dr	_	dip	_ n
dz	ds	*	dr	ds	—	ds	— '
откуда следует, что на контуре
ф = const;
(7.20)
136
на торцах (z = 0 и 2 = /)
(7.21)
а 2л
Mz = J J BzrdF = J J Bxr2drdp =
F	0 0
a	a
= 2лЛ r2Bz dr = 2л dr = 2лф |a ,
J	J	dr	T	Io
о	0
где a—радиус рассматриваемого поперечного сечения, определя-
емый уравнением образующей.
Если на боковой поверхности действует нагрузка р, то
1
г2
дф	dz	1	dip	dr___
dz	ds	r2	dr	ds	P'
г2
откуда
ds	r
и вместо формулы (7.20) получим:
s
ф = — r2p ds.
о
(7.22)
3.	Решение дифференциального уравнения кручения вала*
Возможны различные формы решений уравнения (7.19).
В степенных функциях.
Полагаем
ф = гп2,н.	(7.23)
Подставляя значение ф в уравнение (7.19), находим п = 4
и tn = 1, откуда
ф = (Аг + В) (Cr* + D),	(7.24)
и напряжения принимают вид:
Вг=—^(C^ + D),	Bz = 4Cr (Az + B).	(7.25)
Из формул (7.25) получаем ряд частных случаев, например при
A = D = 0 и В — I—элементарное решение задачи о кручении
круглого вала. В этом случае
ф = Сг4, Вг = 0, Bz = 4Cr,
и на основании формулы (7.21)
С =
* См. [42].
137
В функциях Бесселя.
Полагая
ф = 7?(г)2(г),
где R(r)—функция переменной г, a Z(z)— переменной г, и под-
ставляя в уравнение (7.19), получаем:
± Ь2Я = 0;
дг r dr	(7.26)
Л27	I	4	7
4|-tx2z=o,
dz2	J
где %—некоторое число.
Уравнения (7.26) имеют следующие два решения [43]:
ф = (Л sh Xz + В ch Xz) [Cr2J2 (Xr) + Dr2Y2 (кг)];	(7.27)
4>= (Л sin Xz + В cos Xz) [Cr2I2 (кг) + Dr2K2 (Ml,	(7.28)
где, согласно обозначениям [43],
J2(kr) и У2 (кг) — функции Бесселя второго порядка действитель-
ного аргумента соответственно первого и вто-
рого рода;
12(кг) и К2(кг)— функции Бесселя второго порядка мнимого ар-
гумента соответственно первого и второго рода.
Напряжения определяют по формулам:
Вг= —Х(Л chXz + BshXz) [CJ2 (кг) -}-DY2 (Xr)]; 1
B^M^shXz + BchMlCMM + oyjV)] )	(7,29)
И
Вг= —к (A cos kz— В sin kz) [CI2(kr) + DK2(kr)],
B2 = X (Л sinXz + В cos kz) [С1± (Xr) + DKi (Xr)],	(7.30)
где Jb У1? /i, Ki — функции Бесселя первого порядка.
В функциях Лежандра.
Дифференциальное уравнение кручения валов переменного
сечения (7.19) в криволинейных, ортогональных, изотермических
координатах* имеет вид:
«	-АС44*-')~о,	(7.31)
dg < г3 dg у 1 дт] < г3 дт] 7
где £ (г, z) и т] (г, z) — криволинейные, ортогональные, изотерми-
ческие координаты в плоскости осевого
сечения вала.
* Изотермические
НИЯМ -----------У- и
dz дг
координаты g (г, г) и г] (г, г) удовлетворяют соотноше-
дт)
dr dz
138
Координаты и Y] в плоскости rOz (см. рис. 57) связаны
с координатами г и z соотношениями:
r = Ce^sinr], z — Celcos iq	(7.32)
и обратно
£ = In у72 + г2, т] = arctg у .
Полагая
(7.33)
находим:
(7.34)
(7.35)
’l’ = fi (£)Мя),
где ft (£) — функция	а /гСп) — функция т|, и подставляя в уравне-
ние (7.31), получаем, учтя формулы (7.32), два уравнения:
34г - («- о (”+2) А=°;
-^-3ctgr)^ + (n-l)(n + 2)/2 = 0,
где п—некоторое постоянное число.
Из первого уравнения (7.33), принимая Л(£) = ет^
fi^) = Ane^^ + Bne(—+^
Решение второго уравнения (7.33) ищем в форме:
/2 (n) = sin2 т]У (cos y|) = (1 — Н2) У (и) >
где р, = cos т].
Подставляя значение /2 (л) в0 второе уравнение (7.33), прихо-
дим к уравнению Лежандра:
+	<7-36>
откуда
У(р) = (1-И2)-^^- ,	(7.37)
где Рп (р,)—функции Лежандра первого рода, а при п — целом
числе —полиномы Лежандра.
Первое решение уравнения (7.31) будет
= [Дпе<«+2)£ +	sin4 П .	(7.38)
Второе решение имеет вид:
фп = [Д„е(п+2)Е +	Sin4 т) ^"2(>х) ,	(7.39)
где Qn (fx) — функции Лежандра второго рода.
При п = 0 и и=1 решения получаются непосредственно
из второго уравнения (7.33):
при и = 0
/2 = Со cos г] + Do (1 + cos2 т]);
139
при п= 1
f2 — Ci + Di (3 cos y| — cos3 T|).
Таким образом, решения (7.38) и (7.39) дополняются двумя
значениями функции ф:
фо = (Л0е2^ + Во^) [Со cos т] + Do (1 + cos2 т])];
ф1 = (Л[Ct + Di (3 cos y| — cos3 T|)].	(7.40)
При эллиптических координатах g и tj, которые связаны
с координатами гиг соотношениями:
r = ashgsinr], z = achgcosr|,	(7.41)
полагая
4l’ = f1 (£) Мп),
приходим к решению в форме (см. [42], стр. 92):
фо= [ДосЬ^ + Во(1 +ch2g)] [Со cos г) + £>о (1 + cos2 т])]; ’
Ф1= И1 + В1 (3chg — ch3 £)] [Ct 4- Di (3cos т]—cos3t))[;
t. = Sh4Sln‘n[^^ + B„-^]x

Г p d2Pn (p)
Ldp,2
d^Qnfa) "I
dp2 J ’
T Dn
(7.42)
где n = cost], 0 = chg;
Pn(...)—функции Лежандра первого рода;
Qn(...) — функции Лежандра второго рода.
Если переменить роли координат г и г, т. е. расположить
полюса эллиптической системы координат не на оси вала Ог,
а на оси Or, то связь между г, z и g, г] будет
r = achgcosT], г = a sh g sin т].	(7.43)
и решение (7.42) примет вид:
ipo = [Ло sh g + (1 — sh2 g)] [Co sin t] + Do (1 + sin2 T])J; '
Ф1 = [A + Bi (3 sh g 4- sh3 g)] [Ci + Di (3 sin r] —sin3 r))];
= in ch4 В cos4 т] [ An d2^2(9) +
ч/ Г C d2Pn (p)
XL 71 du2
d2Qn(O) q v
de2 J x
I r) d2Qn (p)
^Un d[i2 J ’ j
(7.44)
где 6 = i sh g, fx = sin т).
140
Задачи
7.1
X2 и2
Стержень эллиптического сечения / (%, у) = — + —-----1 = О
скручивается моментом Mz.
Исследовать напряженное состояние стержня.
Задаемся функцией напряжений в виде:
1),	(а)
где А—неизвестный множитель.
Подставляя функцию Ф в уравнение (7.7), получаем:
2А , 24 о „
+-fc2 = ~2aG,
откуда
-__________________________ aticfib2
и функция напряжений
aGa262	х2 у2 \
Ф — a‘^+b^ С 1 ~ a2 ~~b2)	(б)
Напряжения определяем по формулам (7.6):
z __ дФ __	2а6а2
^г=*~ду'~ ~ а2-\-Ь2 У'
z _	<ЭФ _ 2а6&2
г—	дх ~~ а2+Ь2 Х'
Рис. 58
Эпюры напряжений приведены на рис. 58.
Для определения Mz пользуемся формулой (7.13).
Согласно формуле (б) площадь эллипса
nab( 1 - 4±» = nab( 1 -
V aGa^ }	< Фшах J
где при х = у — О
m __________________________ aGa2b2
^max - ”2-^ •
141
По формуле (7.13)
ф
max
М2^2
Ф
max
ф
®max
о	о
z ,т, лаба363
— ЛаЬФщах -- “^2_j_&2 •
Наибольшее напряжение в точке (О, Ь)
V 2М2
тахл2 =—~~ .
2 лаЬ2
7.2.
Стержень кругового сечения f (х, у) = х2 + у2 — а2 =- 0 скру-
чивается моментом Mz.
Исследовать напряженное состояние стержня.
Для функции напряжений принимаем выражение
Рис. 59
® = Af (х, у) = А (х2 + у2—а2), (а)
где А — неизвестный множитель.
Согласно уравнению (7.7)
2 А + 2А= — 2aG,
откуда
и функция напряжений будет
Ф = -^(а2-х2-г/2).	(б)
Напряжения определяем согласно формулам (7.6):
Хг=-^-аОу, yz=--g- = aGx.	(в)
Эпюры напряжений приведены на рис. 59.
Согласно формуле (7.13)
Mz = у лаба4.
Наибольшие напряжения
шах Х2 == шах У 2 =’	(г)
1Т/7	JT6Z3	о
где Wp = -£----полярный момент сопротивления.
Все формулы настоящей задачи являются частным случаем
формул задачи (7.1) при а=Ь, когда эллипс превращается в круг.
142
7.3.	Задача Вебера (1921 г.)
Круглый стержень диаметром b
с полукруглой выточкой радиуса а
скручивается моментом Мг (рис. 60).
Найти напряженное состояние
стержня.
Уравнения контуров сечения в
полярных координатах имеют вид:
ft (г, Р) -— 6 cos р — 0,
/2 (С PW2—Я2=О.	(а)
Функции напряжений принимаем в форме:
Ф (г, Р) = А ~~~~===-А. (\2 — а2— br cos р + -^- cos р^ ,	(б)
где А — неизвестный множитель.
Функция Ф на контуре равна нулю.
В декартовых координатах при
rcosp = x, rsinp = y, r2 = x2 + y2
функция напряжений
Согласно уравнению (7.7)
л_________________________
/1 — 2 ’
и функция напряжений будет
Ф = ^Г- [a2—r2 + 6cosp р — -7-)] •	(в)
Касательные напряжения в полярных координатах, согласно
рис. 60, равны:
R2 = Xz COS0 + Yzsinp = ^--y.-|^—
дФ S	1 дх \ __ 1 дФ .
дх <	г ' др ) г * др ’
D v q v ’ о дФ дх дФ ду дФ
r	г дх дг ду дг дг
Дифференцируя функцию Ф, получаем:
/?2 = - aGb ( 1 — sin Р; )
B2 = aG р— 6 (7 +-^cosp] . ]
143
Максимальное значение касательное напряжение принимает
в точке контура, находящейся на дне выточки:
(maxBz)3==0 = —aG(2b—a).	(д)
г«=а
При Ь > а оно вдвое больше, чем на контуре без выточки
(концентрация напряжений
у выточек).
7.4.	Задача Сен-Венана.
Прямоугольный стержень со сто-
ронами а и b (а > Ь) скручивается
моментом Mz (рис. 61).
Исследовать напряженное состоя-
ние стержня.
Функцию напряжений принимаем
в виде:
Ф=а<7(-Т--У2)+Г’	(а)
где У7 —неизвестная функция.
Подставив выражение (а) в уравнение (7.7), найдем, что функ-
ция F должна удовлетворять гармоническому уравнению
d*F ! d*F _0
дх* + ду*
(б)
и краевым условиям
при х = ± у F = aG (у2 —	,
при !/= ±у F = 0.
Согласно методу Фурье будем искать частное решение урав-
нения (б) в форме:
F(x, y) = X(x)Y (у),	(в)
где Х(х) — функция от х;
У (у)—функция от у.
Подставляя функцию F (х, у) в уравнение (б) и разделяя пере-
менные, приходим к уравнениям:
Х2Х = 0, -^ + к2у = 0,	(г)
dx*	1 dy* 1	'
где X2 — постоянная величина.
Ввиду симметрии задачи решение уравнений (г) берем в виде
четных функций X = chXx, Y = cos Ку,
откуда	F =ch Лдх cos Хду.	(д)
При у = ± у F = О,
144
откуда	cosXfty = 0 и
(fc = 0, 1, 2, ...).
Прих=±у F = aG (^y2—^-^ ,
oo
T. e. 2 АсЬдЦ^соз(г>+;>"» _oC(>_jl) .	(e)
k=Q
Правую часть равенства (e) в интервале —раскла-
дываем в тригонометрический ряд по косинусам:
оо
aG (у2 — -J-) = 2 cos (2й-+--~ у,	(ж)
k=Q
где
ъ
Bk-^l aG (у2-^ cos^-+-1-)^ du= —8aGft2(-.1)ft
h b J аи\У 4 J cos b ау лЗ(2й+1)3 •
b
~~2
Сравнивая коэффициенты Ak и Bk выражений (e) и (ж), получим:
л d u (2&+l)jta
4* = BA i ch ------
Окончательно функция напряжений будет
Ф_«с " jJ- s? V-------1	—ь-—
Наибольшее касательное напряжение будет в середине длин-
ных сторон при % = 0 и у=±Ь/2:
оо
max Xz -	1	= aGb 1 —V --------------Утт;—
ду l*=o	n f9b_j_n2rh (2^ + 1) ла
ь	k=0 (2R+ 1)2 СП -^7--
У=±2	L	2&
(и)
Эпюры напряжений приведены на рис. 61.
Согласно выражению (7.13)
Mz = aGab3
1	64 b
k=0
(2fe+l)na я
26
(2fe+l)5
(к)
145
Бесконечные ряды при а : b > 1 быстро сходятся.
Ю Зак. 1215
Для практических расчетов удобно пользоваться формулами:
maxXz = -^^-, max Y z = q2(maxXz),"
a =
Mz
^кр
где
СКр = <7зСаЬ3 — жесткость на кручение.
Значения коэффициентов приведены в табл. 7.1.
(л)
(м)
Таблица 7.1
а : b	<71	<72	<7з	а : b	<71	<72	<73
1	0,208	1,-000	0,140	6	0,298	0,743	0,298
1,5	0,230	0,860	0,196	8	0,307	0,743	0,307
2	0,246	0,795	0,229	10	0,312	0,743	0,312
3	0,267	0,753	0,263	оо	0,333	0,743	0,333
4	0,282	0,745	0,281		С/з)		С/з)
7.5.	Задача Сен-Венана.
Стержень с поперечным сече-
нием в форме равностороннего тре-
угольника высотой а скручивается
моментом Mz (рис. 62).
Исследовать напряженное со-
стояние стержня.
Функцию напряжений прини-
маем в виде:
Ф = А |^х2+ г/2 —
_±(хЗ_3ху2)_^_] .	(а)
Легко проверить, что на контуре сечения
/	а	х । 2 а \
V у и у~ +
функция Ф обращается в нуль.
Из уравнения (7.7)
и функция напряжений (а) будет
ф=_^[х2 + у2-1(х3-ЭД-^-] .	(б)
146
Согласно (7.6) напряжения
Х2=-аС(у + ^),	1
Yz = aG [х —^(х2 —у2)] . J
(в)
Эпюры напряжений приведены на рис. 62.
7.6.	Задача Лейбензона [44].
Стержень с поперечным сече-
нием в виде полукольца скручи-
вается моментом Mz (рис. 63).
Исследовать напряженное со-
стояние стержня.
Уравнение Пуассона (7.7) в полярных координатах будет
02ф	1	дф 1	02ф
-х-ъ- Ч--л——о" •	= — 2aG.	(а)
дг2	1 г	дг	1 г2	др2	' 7
Найдем решение уравнения (а), удовлетворяющее на контуре
условию (7.10) для функции напряжений
Ф = 0.	(б)
Разложим правую часть уравнения (а) в интервале 0^(3^л
в ряд Фурье:
оо
-2aG=—^2	(в)
п=0
и будем искать решение уравнения (а) в форме ряда
оо
Ф (г, ₽) = 2 МП sin (2л 4-1)0.	(г)
п=0
Подставив выражения (в) и (г) в формулу (а), получим опреде-
ляющее уравнение для
d*fn	,	\ dfn	(2n+l)2	f _	8 aG	}
dr2	'	r dr r2	‘n	л 2n+l
Решая уравнение (д), находим:
fn (г) = Anr2n+1 +	+ Спг\	(е)
где Ап и Вп — постоянные интегрирования;
8aG	z ч
Сп = —775--тт-775—. .<775—— постоянная частного решения, (ж)
п л (2п—1) (2п+1) (2n-f- 3)	г	' 7
Ряд (г) удовлетворяет условию Ф = 0 на прямолинейных участ-
ках (Р = 0 и р = л). Из остальных двух условий:
fn (a) = fn(b) = 0
10* 147
определяем An и Bn (e). Окончательно получаем:
fn (r) = cnb* (e2-ane2n+1-dne-2"-1),
где
1— /г2"+з	1—^2п-1
1—^lM+2 ’ bn — k l_^4.t+2 И
1 а	Г	(
k~ b ’	b • J
Функция кручения (г) будет
о®
ф (Q, Р) = Ь2 2 Сп (Q2—anQ2n+L—bnQ~2n~1) sin (2/1+1) р.
По формулам (7.6)
Y дФ 1 Z дФ . □ дФ cos р \
^=^- = + (.++sinP + < -гг
Y	_1Л^СОеВ-дФ sin р \
z дх Ь < cosp ар Q )
Отсюда, согласно рис. 63,
дФ
^ = yzSinp + XzcoSp = |-l.^,)
Bz = yzcos(J—Xz sinp = —у
Окончательно получим:
Rz = b S cn (2n + 1) [q-antfn-6nQ-2<a+1>] cos (2rt+ 1) p,
n=0
(3)
(и)
(к)
(л)
Bz = —b 2 Cn (2n+ 1) Q-anQ2n + M“2(r“+1)] sin (2n+ 1) p.
n=0
Результирующее касательное напряжение достигает наиболь-
шего значения при 1 и Р = у (в середине дуги полуокруж-
ности большого радиуса).
Определить связь угла закручивания а с крутящим момен-
том A4Z.
Я Рассмотреть кручение бруса с сечением в форме полукруга,
когда k = 0 (задача Тимошенко).
7.7.	Задача Феппля (1905 г.) [30].
Конический вал скручивается мо-
ментом Mz, приложенным к его вер-
шине (рис. 64).
Определить касательные напря-
жения.
148
Любая функция отношения
r Z = cos В const
V Г2 + ?2	Г
удовлетворяет уравнению (7.19).
Принимаем функцию ф в форме:
L/r2 + z2	3 < ),<Г2_|_22 У J
Постоянную С определяем из уравнения (7.21):
г==_________________________змг________
2л (2—3 cos p+ c°s3 Р)
(а)
(б)
(в)
Касательные напряжения, согласно формулам (7.18), будут
равны:
Вт =--------Bz =
(r2 + z2^/2
Сгг
(г^+г2)ъ,й
(г)
7,8.	Задача Мелана (1920 г.) [45].
Вал в форме эллипсоида вращения скру-
чивается моментами Mz, приложенными
к его вершинам (рис. 65).
Найти касательные напряжения.
Эллиптические координаты £ и т] связаны
с координатами гиг равенствами:
г = a sh g sin т], г = a ch g cost]. (а)
Рис. 65
Линии т] = const представляют собой семейство гипербол, орто-
гональных эллипсам g = const, вещественная ось которых Ог,
а мнимая — Or.
Линии g = const—семейство софокусных эллипсов с межфо-
кусным расстоянием 2а и большой осью, совпадающей с осью Ох
(см. рис. 13; на рис. 65 это ось Oz).
Принимаем функцию ф в форме:
ф^-С(2—3ch£ + ch2£).	(б)
Эта функция на оси вала при обращается в нуль.
На поверхности при g = const, соответствующей некоторому эллип-
соиду вращения, она постоянна.
Напряжения:
т, = 0;
т =________ЗС sh |_____ (В)
11 a3 sin2 т] (ch2 £— cos2 £)х/2 J
При т] = у , т. е. на оси Or
ЗС ., о ЗС г
тп = —V th g ------------г .
1	«3	а3 у г2_|_а2
(Г)
149
7.9.	Задача Мелана (1920 г.) [45].
Бесконечный вал, имеющий вид одной
из ветвей двуполого гиперболоида враще-
ния, скручивается моментом Mz, прило-
женным к его вершине (рис. 66).
Найти касательные напряжения.
Задаемся функцией напряжений в виде:
ф = С(2— 3 cos-q + cos3 т]),	(а)
Рис. 67
где постоянную С определяем по формуле
(7.21).
Напряжения:
ЗС sin п	-ч
т? =-----------!-----Т7~; I
a3 sh2 | (ch2 g—cos2r])/2 J* (6)
= 0.	)
 Исследовать кручение вала с боковой
поверхностью, образованной вращением дуги
гиперболы вокруг мнимой оси (вала в форме
однополого гиперболоида вращения; рис. 67).
Указание. Принять функцию напряже-
ний в форме:
ф = С (2 — 3 sin т| sin3 т]).	(в)
Рис. 68
7.10.	См. [42], стр. 98.
Исследовать кручение цилиндрического
вала, ослабленного полостью в виде эл-
липсоида вращения, большая ось которого
расположена на оси Oz (рис. 68).
Приняв в третьем равенстве (7.42)
n = 2, 42 = С2а4, В2 = 0,
С2= 1, d2=-d,
получим
(а)
где
D == Ch |0 (2—3 sh2 ао) 3		(б)
8 sh4 а0 8	2
150
Функция (а) равна нулю при г = 0 и g = g0, т. е. на оси Oz
и на контуре некоторого эллипса в осевом сечении вала. При
г—> оо функция ф стремится к значению Сг4, т. е. к решению
для сплошного цилиндрического вала.
Касательные напряжения равны:
2 Са sin2 т) sh2 g Г j Г chg(2—3sh2 g) __
(ch2 g—cos2 г])1/2 I L 8 sh4 g
Ca sin- n sb- t |4 cth p Г Siq+yj + ’
(ch2 g—cos2 T))1/2 I	L 2 sh2 g
+ 4cthE1nthi]} .
(в)
На внутреннем криволинейном контуре при g = g0
т? = 0,
_ CDa sin2 т]
” ~ ch3g0 (ch2 Во—COS2 л)1/2 * _
 Исследовать кручение цилиндрического вала с эллиптиче-
ской полостью, большая ось которой перпендикулярна к оси вала.
Указание. При выборе функции ф принять в третьем равен-
стве (7.44)
n = 2, А2 = С2а?, В2 = 0, C2=l, D2=—D.
 Исследовать кручение цилиндрического вала со сферической
полостью, расположенной на его оси.
Указание. При выборе функции ф принять в уравнении (7.38)
п = 2, А2 = С2, В2 = — С2е^°.
Глава 8
ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАДАЧА
Предполагается, что температура изменяется в таких преде-
лах, при которых коэффициенты упругости не меняются; удли-
нения пропорциональны температуре и по всем направлениям
одинаковы, а следовательно, угловые деформации при нагрева-
нии элементарного объема равны нулю. Рассматриваются уста-
новившийся и неустановившийся температурные процессы.
I. УСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ПРОЦЕСС
Установившимся называется такой температурный процесс,
при котором t = t(x, у, z) — известная функция координат.
1. Статические и геометрические уравнения
Их принимают в форме (1.10) и (2.10).
2. Физические уравнения
Прямая форма закона Гука — уравнения Дюгамеля —
Неймана (1838, 1885 гг.):
^ХХ ~	[^Х & (Уу 4“ Zz)] О./, &ху — ~Q Ху, "j
evv = ~£	— я (Zz + Xx)l + a/, eyz = ^-Yz, }	(8.1)
е2г = 4-12г-ст(Хж4-Уу)] + а^ ezx = ±-Zx, j
где а — коэффициент линейного расширения.
at — относительное температурное расширение.
Обратная форма закона Гука
Хж = Х0 + 2бежж — Kat, Xy = Gexy,
Yy = M + 2Geyy — Kat, Yz = Geyz, [	(8.2)
Zz = X0 + 2GeZ2 — Kat, Zx = Gezx, J
где
/С = 2G + 3% = t	(см. задачу 1.3).
152
Зс Уравнения Ламе
(Z + G)g + GV2u,-Kag = 0, '
(% + G)g + GV4-^ag = O, r
(l + G)g + GV’-uz-Ka| = O. J
(8-3)
Условия на поверхности (1.2), приведенные к составляющим
вектора перемещения и, имеют вид:
z	дих\ /ди,. dux\
(“ + 2G7)' + ° (7+тп;>+
+GC^+ds')n=Katl’
л /'du,. дих\ /	dtinX
G (17+17) Z+(X0+2G 17)'”+
_ /duz диу\
a(^ + ^ + a(d£ + ^'jm +
\ dx 1 dz у 1 V dy 1 dz J 1
(8-4)
+ (\0 + 2G ^)n = Ka/n.
Из уравнений (8.3) и (8.4) следует, что температурная задача
приводится к обычной задаче теории упругости при наличии
объемных сил
X, У, Z_grad(-K»()_-KO(J, g, g)
и внешнего нормального поверхностного давления интенсивностью
p = Kat.
4. Уравнения Бельтрами — Митчела
V2Xx+ 2(У} -S+rSv2Z+2Ga£=0;
1\ ОХа Л,-f-ZU	их*
..у, + ^:^ + ^т + 2ва^0:
те_+ 2(1 + 6). а^+ажа71; + 2ео«_0.	(85,
та^+^+ч.^+га, « о;
у 1	К	dxdy 1	dxdy	’
рту,+ 2й+£). 1^ + 20» « _0;
z 1	К dy dz 1	dydz ’
153
2(t + «).|!81 + 2C « _Q,
1 К dz дх 1 dz дх ’
где
&=Xx+Yy + Zz = Ke-3Kat;
2(% + G) __ 2 2GK _ Е
К ””1+а’	% + 26""1—а*
5. Решение уравнений Ламе
Решение уравнений (8.3) берут в форме:
их= Ux’ + uk-’;
иу = и^ + и^; }
и2= «<!> + ««>, J
где иС1) — общее решение;
и(2)—частное решение.
Общее решение принимают согласно гл. 4.
Полагая при нахождении частного решения
/у(2)_ QF (2)_ dF (2)___ dF
Ux ~ дх ’ Uy “ ду ' Uz ~ dz '
получают для функции F уравнение Пуассона:
V2f=CTZ = -T±TaZ’
Л -р 2G	1 — О
откуда
Р(г „	С
V ’ У’ ’	4л(Ц-2О)^ /(x-g)2+(t/-T])2+(z-£)2 ’
где £, т], £—координаты элементарного объема dV;
V—объем всего тела.
Краевые условия (8.4) будут
z	5u(i> \ Z ди<}>	ди<1> х
(1»',, + 20т^)' + е(т + тг)'"+
,r С duzly , <4w\ „ 2GKat . 9Г д / dF \
+ Gl^r + Tjn = vRGZ-2G^r<^-J’
д««’х. / ....	\
(8-6)
(8.7)
(8.8)
(8-9)
_____
дх -г ду J
г ди^ ди<» X
+ (>.0“’ + 2С^)
ди™
2GKat п/>
rt = Z + 2Gm“2G
/ ди™ ди™ X
Чтг + тЯ
2GKat о/->
n = l + 2Gn“2G'
(8.10)
154
6.	Плоская деформация
Основные условия
duz — duz duz _
дх “ ду — ’ dz '
их = их(х, у), иу = иу(х, у), uz = az,
XZ = YZ = O, Zz= 2(X_|_G) (Хх + Уу)— X + G (a —at), I
Xx = Xx(x, y), Yy~Yy(x, y), Xy = Xy(x, y). j
Уравнения равновесия
dX* _ dYx dYy a
dx ' dy ' • dx ' dy
Уравнение неразрывности деформаций
v2(Xx+y«)+^-v2z = o.
(8.П)
(8.12)
(8.13)
Интегрируя уравнения (8.12) и (8.13), получают напряжения:
х~ ду2
 _дЦи — Т)'
у~ дх2
, _ дг (Ц—Т)
У	дхду
(8-14)
где U — функция, удовлетворяющая бигармоническому уравнению
V2V2t7 = 0;	(8.15)
7—функция, удовлетворяющая уравнению Пуассона
V27’ = ™/ = ^-	(8.16)
/V —j— ZrkJ
Для определения перемещений надо проинтегрировать уравне-
ния (8.1) с учетом (8.11) в форме:
2G(% + G)	=	Lya + GKctf—XGa;
2G (X + G)	У v —Хх + G/<a^ - XGa.
Интегрируя предыдущие уравнения, получаем:
2С(Х + 0Ых = Ц^ J ^Udx-(K + G)d{U~T) -
— MJax + fi (у)-,
2С(Х + 0ив=Ц^ J ^Udy-(X + G)d(U~T} -
— \Gay + /2 W» j
(8.17)
155
где
fi (у) — Ау-\-В, /2(х) =—Ах-[-С—функции, соответствующие пе-
ремещению твердого тела.
При решении задачи в полярных координатах формулы (8.14)
преобразуются так:
(8.18)
а уравнение (8.16) будет
д2Т ( 1 дТ 1 д2Т _2GKat,
дг2 + г ' дг + г2 ' ар +
(8.19)
Составляющие перемещения находят из уравнений:
2G (X + G)	Rr Вр + GRat—KGa-,
2G(X + G)	^l?r + GKa/-XGa.
\ Г	U р	Г у	£
Интегрируя эти уравнения, окончательно получают:
2G(A, + G)ur = M^ J V2t/dr—(% + G)^=^--‘
— XGar + Л (Р);
2G (X + G) up = — Ц— J J 44J dr dp —
-4-	$ VaGdp + (X + G)4- [r J ^=^-dp] +
+ 2G.l+2GKa ф d₽~ $ Л (P) dP + F2 (r),
где
Fi (P) = A sin p + В cos P; F2 (r) = Cr + A —
функции, соответствующие перемещению твердого тела.
7. Плоское напряженное состояние
Основные условия
156
Формулы (8.14) и (8.15) остаются без изменения, а уравне-
ние (8.16) приводится к виду:
?2Т=ОЛа =	(8.22)
Для определения перемещений надо проинтегрировать уравне-
ния (8.1) с учетом (8.21).
II. НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ПРОЦЕСС
Неустановившимся называется такой температурный процесс,
при котором t = t(x, у, z, т) — неизвестная функция положения
точки и времени т.
Для определения температуры дополнительно рассматривают
уравнение теплопроводности
xV2^+ — =	(8.23)
k
где и =-----коэффициент температуропроводности;
k — коэффициент теплопроводности по Максвеллу;
с—удельная теплоемкость;
Q —плотность;
W—количество тепла, которое выделяется в едини-
це объема за единицу времени источником теп-
ла, расположенным внутри элементарного объ-
ема dV.
Уравнение (8.23) интегрируют с учетом различных условий
на поверхности. Наиболее часто при решении задач встречаются
следующие случаи:
1.	Температура на поверхности является заданной функцией
от координат и времени.
2.	Поток тепла через поверхность тела равен нулю, т, е. во
всех точках поверхности с нормалью v
^ = 0.	(8.24)
3.	Поток тепла через поверхность тела является заданной
функцией от координат и времени.
4.	Происходит излучение с поверхности. Если поток тепла
через поверхность пропорционален разности температур на гра-
нице между телом (/) и окружающей средой (/0), т. е. опреде-
ляется выражением
где Н—коэффициент теплоотдачи, то граничное условие имеет
вид:
/e-g- + //(Z-Zo) = O.	(8.25)
157
5.	На границе двух слоев
ь — ь az2
dv dv ’
Задачи
8.1.
Определить напряжения в симметрично нагретой [t = t (г)]
длинной трубке (плоская деформация) с наружным радиусом b
и внутренним а.
Согласно формулам (8.18)
= —•d(L'~r)- ,R₽ = Вr = 0. 1
r г dr ’ р г	, .
1	(а)
» dZ(U-T)	I	47
Из уравнения (8.19)
d2T	1 dT	.
dr2	r * dr	b
или
d	f	dT \	,
r ~zr~ =tir,
dr	\	dr у	1	’
откуда
T = C0 + C1lnr+ J	j tjdr.
c	c
Функцию U надо взять в форме:
U = С21пг + С3г2.
Согласно формулам (а) напряжения будут
г
^ = ^=^+2С3-4-$ hr dr;
С
г
B^ = -^^- + 2C3 + ^ J tjdr-ti.
С
Произвольные постоянные (С2—и С3 определим из усло-
вий:
при r= a Rr = ®,
158
откуда
ъ
C3 = 2(b2_02) § ti.rd.r-,
а
а	Ъ
с2 — = [fc2 5 t,rdr—a2^ /trdr] .
С	с
Напряжение Zz определится по формуле (8.11), так как
Хх + У у — Rr +
При очень короткой трубке (плоское напряженное состояние)
ti заменяется на /2 согласно формуле (8‘.22).
8.2. Задача Гадолина (1858 г.) [46].
Определить напряжения в длинном цилиндре, состоящем из
двух труб различного материала, насаженных друг на друга
(рис. 69). Температура цилиндра / = /(г),
т. е. симметрична относительно оси, прохо-
дящей через центр. Соприкосновение меж-
ду трубами не нарушается.
Обозначим давление между трубами при
нагревании через X.
Значение X определим из условия, что
перемещение точек внешнего радиуса внут-
ренней трубы и(гу и внутреннего радиуса
внешней трубы u(r2) одинаково.
Рис. 69
Согласно формулам (8.20) и задаче 6.1 перемещения труб
вдоль радиуса будут равны:
2G^
Г1	Г1
r\ J tr dr—rl j tr dr
0	0
(rl~rl)r
r
7~ $ trdr +
0
I ^ir [ fr Hr xC +
t’(^i + Gi)(r22-r21) УГаГ	Ki
Г1
r?	r.2
rl j’ tr dr—rl j tr dr	r
20^'- ° м-'й"-----------------+-И "+
0
r (a)
62r
(X2+G2) (rl-rl)
Гз
J trdr + x^2^02
Г2
rl , rlrl f 1 \
rl—rl^ rl—rl' r ) •
159
Уравнения (а) можно записать короче:
20^ = <pt (г)—Xipj (г); 1
2G2u(ry = <р2 (г) + Хф2 (г), J
где значения ф; и ф, ясны из сравнения уравнений (а) и (б).
Так как при г = г2 и^ = и^у, то
у — 62Ф1 (г2)—Gi<p2 (г2)	, ,
О1Ф1 (Г2)—<32^2(г2) ‘	v ’
8.3.
Определить напряжения в несимметрично нагретой длинной
трубе с внутренним радиусом а и наружным Ь. Температура
в трубе выражается известной функцией t~t(r, 0).
Так как рассматривается случай плоской деформации, приме-
няем формулы (8.18). Функцию Т вычисляем из уравнения (8.19)
V2T = ^(r, 0),	(а)
где
Mg	₽>•
Разложим функцию (г, 0) в тригонометрический ряд:
Л {г, 0) = фо (г) + 2J [фп (г) COS П0 + фп (г) sin /10],	(б)
П—1
где
фп(г)=-^ ti(r, 0)cosn0-d0;
—л
Фп(г) = ^Л tt(r, 0)sinn0-d0.
JI J
Член фо (г) исключим из рассмотрения, так как это решение
приводится в задаче 8.1.
Функцию Т будем искать в виде ряда
т = 2 [/п (г) cos n$ + gn (г) sinn0].	(в)
П=1
Подставив выражения (б) и (в) в уравнение (а), найдем для
неизвестных функций fn (г) и gn (г) следующие уравнения:
fn(r) + yfn(r) — -^fn(r)= ф„(г); )
1/7.2	(
giW + ygnW-тг^п(г)-^(г). J
160
Так как уравнения (г) эйлеровского типа, то, введя новую
переменную z = lnr (r = ez), получим первое уравнение (г) в виде:
fn (z)-n*fn (г) = е2гФп (ег) = сод (г).	(д)
Общее решение уравнения (д) будет
/n(z) = 6Zne- + M-nz.	(е)
Частное решение найдем методом вариации произвольных
постоянных ап и Ьп (см. задачу 3.3).
Окончательно для fn(z) получим:
ez	е?
fn (г) = anenz + bne~nz + е~пгап (z) dz-e-^ § enza>n (г) dz, (ж)
кп	еп
где kn и 1п — произвольно выбранные числа.
Для gn (г) после соответствующей замены функции соп (г) на
основании уравнения (д) получаем аналогичное выражение.
В результате подстановки выражения (ж) в формулу (в) и обрат-
ного перехода к переменной г найдем:
оо	г	г
т = 2 Г i r-n+1<pn (г) dr—f rn+1<pn (r) dr 1 cos rtp
n=l	hn	In
co	r	r
+ S [£ $ r-n+1yn(r)dr—^- J гп+1фп(г)«/г] sinnp. (3)
n=l	hn	In
Члены общего решения войдут в выражение функции U.
Бигармоническую функцию U, согласно (6.13), берем в форме
и _ |(B,r> + C,r- + D,r Ш г) ™	г₽ ₽ ] +
ОО
+ 2 (Anrn + Впгп+2 + Спг~п + Dnr~n+2) пр. (и)
п=2
По формулам (8.18) определяем напряжения,	д
после чего произвольные постоянные общего ре- /\
шения находим из условий: при г = °. Rr = ВГ = 0.	/_\
8.4.	См. [47].	/ ггр\
Определить напряженное состояние в беско- /	\
нечной треугольной плотине от действия темпе- /	\
ратуры /i=3 rfeq4 (р) (рис. 70).
fe=0
Рис. 70
Из уравнения (8.19)
п	р
rk+2 г	Р
Г = Е Т+2 [sin(fe + 2)P <jpft (р) cos (k + 2) pdp-
k=Q	0
11 Заказ № 1215
161
— cos(& + 2)0 J <pft(0)sm(fc + 2)MP] = S	(a)
0	k=0
Функцию (/, согласно формулам (6.22), берем в форме:
U = г2 (А2 cos 20 Ц- В2 sin 20 + С2 + D$) +
+ 2 ^+2 \Ak cos (k + 2) 0 + Bh sin (k + 2) 0 + Ch cos £0 + Dh sin £0].
h—i
(6)
Далее по формулам (8.18) определяем напряжения:
RT = 2C2 + 2£>20 — 2A2 cos 20 + 2B2 sin 20—g0 (0) +
+ Д rft(^+l)l — (&4~2) 4aC0s (& + 2) 0 — (Й +2) Basing+ 2)0 +
+ (2—k) Ck cos k$ + (2—k) Dh sin k$ + gk (0)];
Bp = 2C2 + 2E>20 + 2A2 cos20 — 2B2 sin 20—g0 (0) +
+ 2 (6+W + 2) + [^ftcos(/j + 2)0 + Bftsin(A: + 2)0 +
fe=l
+ Ch cos k$ + Dh sin £0—тУйП ;
/< -1” Z J
Rp = BT = — D2 4“ 2Л2 sin 2p 4“ 2B2 cos 2p 4~	(P) 4~
+ 2 (k + 1) rft[ (k + 2) A h sin (k + 2) 0 - (k + 2) Bh cos (k + 2) 0 +
k=l
+ &CfcSinZ>0—kDk cos Z?0 + 	1 •
г? “Г 1 J
Произвольные постоянные находим из граничных условий:
при 0 = 0 и 0 = а 7?р = Вр = 0.
В работе Г. Н. Маслова [47] разобраны случаи, когда темпе-
ратура изменяется по следующим законам:
^ = <jp(0), t= 2 гЧа(Р);
h=2
/= 2 r“ftq>A(0), /=г<р(0),
k=2
и приводятся графики изменения напряжений.
8.5.
Определить напряженное состояние в полой сфере с внут-
ренним радиусом а и внешним b под действием температуры
t = t(r).	____________
162
Из условий полярной симметрии очевидно, что остается лишь
перемещение иг = иг(г). Согласно уравнениям (8.3) и (3.36) имеем:
dQ   d /duT ] 2ит\ __ Ка dt	z х
17~d7 \~dFн Г) '“7+20'17 ’	W
Общее решение этого уравнения:
г
=	+	+	jj r2t dr.	(б)
О
Из уравнений (8.2) для полярных координат получаем:
Rr = M + 2G^-Kat =
аг
О
Вр = Ла = Хе + 2О-^-Ка/ =
= KCi + 2G-4 + ^§;-4- ?
11 г3 1 л + 2О г3 J
О
2Gf(at
K + 2G *
)
Из краевых условий задачи—г = , RT = 0 находим:
ъ
4Ga J r2t dr
C1 = (A. + 2G) (Ьз—а3) ’
b	а
Сг = Ц-2О [&з_оз § r2tdr— r2tdrj .
а	О
Уравнения (в) окончательно будут
Ъ	г
D	4GKa	Г г3—а3	С 2/ л	1 f
Аг =	।	\ г t dr--~ \	rut dr ;
г	л4-2и L (Ь3—а3) г3 J	г3 j J ’
а	а
Ъ	г
о л	2GKa Г 2г3 + а3 Р 2/	। 1 f 2/ j 1
— Аа — 2Q [ (63_a3) гз ^rtdr + yg^rtdr^.
а	а
По уравнению (б)
Ъ	г
и —____Е___Г4Сг3 +	С	rHdr_—	t	r2tdr~\
Ur~k+2G	L	(b3—a3)r^	yiar	r2	yiar]
a	a
Решение для сплошной сферы получим, приняв С2 = а = 0.
11* 163
8.6.
Определить напряжения в цилиндрическом теле вращения от
/ = /(г, г), где ось z совпадает с осью вращения.
В этом случае при отсутствии объемных сил напряжения
вычисляем по формулам осесимметричной деформации (задача 4.2),
для тел, нагруженных по поверхности нормальным давлением Да/,
интенсивность которого меняется вдоль оси тела и при наличии
фиктивных массовых сил (8.3).
Полагая
и
-2 дТ 20Да , .	\	4. (	.\
2G^Z^ r) — tl(z1 /'),
где
v V J dr2 r dr dz* '
получим напряжения по формулам:
[wWTO-7'-^-V!7'J 
7 а Г31. + 4О a=«/-T)	„--I .	'	<a>
Lz~ dz L2(% + 0) V U dz*	v J ’
p - 7 - д Г ^ + 2G У2П d*(U-Tyy
—	— dr 2(X+G) V и dz2 J .	)
Уравнения (а) удовлетворяют уравнениям равновесия (8.3) и
уравнениям Бельтрами — Митчела (уравнения 8.5, см. задачу 3.1).
Функцию U выбирают в одной из форм, удовлетворяющих
бигармоническому уравнению
<22_ + l._± + _^yt/ = 0.	(б)
< dr* г dr ' dz* >	k ;
Приводим некоторые частные решения уравнения (б):
и (Z, r)= s fk(r)zk,	(в)
fe=-0
где fk (г)—функции от г (задача 4.2);
U (г, г) = (С1 + С2г + С3г2 + С4г3)1пг;	(г)
[/(г, г) = С(г2 + г2)п,	(д)
* Формулы (а) получены из общего решения неоднородных уравне-
ний (8.3).
164
1	1	1
где « =	1,
U(z, r) = C(^ + z*)nz,	(e)
3	1	i
где n=—g-; -T, 1;
U [z, r) = C [(r2+z2)~2z2—|(r2 + z2)-2]	(ж)
и т. д. (см. [48]).
Произвольные постоянные решения определяем из краевых
условий на поверхности тела:
Rr =—Kat, Zr = 0.	(з)
8.7. См. [46].
Определить
напряженное состояние в полуплоскости х>0
под действием неравномерной темпе-
ратуры (х,	t(x, у) (рис. 71).
Для решения задачи представ-
ляем функции Т и U в виде ин-
тегралов Фурье. Как известно, фун-
кцию f (%, у), заданную в бесконечной
области, можно представить в виде
интеграла Фурье, если эта функция
подчиняется условию Дирихле и,
кроме того, еще условию
оо со
§	\f(x, y)\dxdy = A,
—со —оо
(а)
где А — конечная величина.
Если функция t (х, у) удовлетворяет указанным условиям
и абсолютно интегрируема, то:
(х> У)= i $
о
оэ	со со
daAda2 t Q, т]) х
О	—00—00
X cosaA (£—х) COS a2 (rj — у) d^d^\.	(б;
Функция Г, удовлетворяющая уравнению Пуассона, имеет
вид:
оэ оо
Т(х, {/)=— -^2 J	a^ + ct| t®1 (*’ ai> a2)cosa2t/ +
0 0	2
+ co2(x, aA, a2) sina2y]daAda2,	(в)
165
где
оо оо
®i(*, ах, а2)=	/(£, г]) cos а4 (g—х) cos а2т] dr] dg;
—ОО —оо
оо оо
со2 (х, аь а2)=	t(^, rOcosaJg—х) sin a2r] dr] dg.
—оо —оо	)
(г)
Функцию U принимаем в форме:
оо оо
u = -~z j 5 1Ф1 (*, а4, а2) cos а2у + ф2 (х, ан а2) sin а2у] do^ da2, (д)
О о
где
грДх, а1? а2) = (Д + ^х) е~а2х; 1
х|?2 (х, ab а2) = (А2 + В2х) е~^х. ]
Напряжения, согласно (8.14), будут
ОО ОО	*ч
1 Р Р (
Хх =—\	(х, a1? a2) cos а2г/+г|;2 (х, аь а2) sin а2у+
0 о
+ „21„2- [®1(х, а1?а2) cos а2у + со2 (х, а1?а2) sina2z/]| dc^ da2;
1*1 “Г 1*2	J
oo oo
Yy § § |ф;'(х, cq, a2) cosa2z/ + ip"(x, a1? a3)sina2z/ +
0 0
+	[®i' (*- ai> aa) cos a2y + co" (x, ab a2) sin a2z/]| dat da2;
OO oo
Xu = —^2 5	a2{~~^(*,ai,a2)sina2y +
0 0
+	(X, ab a2) cos a2y + X
U1 “Tu2
X [cOj (x, a4, a2) sin a2y + (o' (x, a1( a2) cos a2y] | d^da^
Из краевых условий при х = 0, YX = Q, Хх=0, находим:
д __<oi(0. at. «2)	.	1
1	af + al	’
д __ <о2 (0, ab a2) .
2	a| + a!	’
о _w;(0, ab a^ + a^ (0, ab a2) .
Oi	al + af
d _ o>2 (0. «1, а2) + «2<о2(О, «1. »г)
2	ai + a2
(Ж)
(3)
166
Из приведенного алгоритма получают общее решение задачи,
однако вычисления связаны с большими трудностями, обуслов-
ленными интегрированием сложных функций.
8.8.	См. [49], гл. VIII, § 2.
Определить напряжения в полупространстве г>0 при нали-
чии на поверхности точечного источника тепла мощностью W.
Помещаем начало координат в точечном источнике тепла.
Температурное поле, создаваемое таким источником в теле,
заполняющем все пространство, определяем, решая уравне-
ние (8.23) в форме (8.9)
где R = У г2 + z2;
W—мощность источника тепла;
К = kqc.
Температурное поле (а) может быть использовано для случая
полупространства, если предположить, что поверхность, ограни-
чивающая полупространство (z = 0), полностью теплоизолирована.
Действительно, температурный градиент
dt __ W z	( .
dz ~~	4лК ’ Я3
при z = 0 равен нулю, т. е. поток тепла в направлении нормали
к поверхности полупространства обращается в нуль.
Для нахождения напряженного состояния используем термо-
упругий потенциал перемещений F уравнения (8.8).
Для настоящей задачи уравнение (8.8) примем в виде:
= где c = ^-w.	(в)
Частным интегралом уравнения (в) будет выражение
что легко проверить, приняв во внимание равенства:
dR ________________ z dR ___ г
dz R 9 dr — R
Напряжения определяем по формулам:
^=2G(^-w)-cGC^--4); '
~р _-у _ar  cGrz
167
Все напряжения при R —> оо обращаются в нуль. На поверх-
ности при 2 = 0 Rz=0, но остается нормальное напряжение
у  cG
1	г
Чтобы уничтожить это напряжение, наложим на полученное
решение второе поле напряжений, определяемое функцией пере-
мещений Лява [4], заданной в виде:
Ф = А [г2 In (/? + ?) + Rz] + В [z2 In (R + z) — Rz], (д)
где А и В—пока произвольные постоянные.
Напряжения второго поля определим по формулам:
2G г
1—2а' R
2G d Z _2 д2ф \
^4[(3_2о+^)(2Л+В)_2В];
~	2G д г г* 1 дф 1
р 1—2а dz L Y г dr J
^ + ^> + В)-^}
(е)
Постоянные интегрирования А и В определим из условий:
при 2 = 0
Zz — Zz-\- Zz = О,	Rz = Rz -j- R.z = 0.
Раскрыв
последние равенства, найдем:
(3—2<т) (2Л + В) —2В=(1 —2о)-|-;
2(1—о) (2Л + В) —2В = 0,
откуда
2Л + В==1уС;
(1-а)(1-2а)
п- 2 с.
168
Теперь, согласно формулам (е), получим:
А’ Г1 1 >- J '
Я=тага [*-(<—2o)^J;
Rz = ZT = cG ,
и окончательно, складывая два поля напряжений (г) и (ж):
Я,= -2(1~О)^;
Be = 2(l-O)CG(TL7-4),	(з)
Zz-0,	Rz = Zr = 0.
Перемещения определим по формулам:
dF 1 д2ф	z 1	ч г
Ur~~dr~ \—2a'~drdz~C^~Q^ R+z ’
ы* = ^-+li [2 V2cP-S] = cU-o) In (7? + z). (И)
Из выражений (и) видно, что перемещение ит остается ограни-
ченным в бесконечности, а перемещение uz неограниченно воз-
растает. В начале координат (источник тепла) оба перемещения
имеют особенность.
 Дифференцируя выражения (з) и (и) по г, можно получить
поле напряжений и перемещений в полупространстве, находящемся
под действием помещенного в начале координат теплового диполя
(источник и сток), ось которого совпадает с осью г.
8.9.	См. [50], задача 97.
Начальная температура шара радиуса а полярно-симметрична
и определяется функцией / (г). На поверхности шара сохраняется
температура 0°.
Определить температуру любой точки внутри сферы при т>0.
Уравнение теплопроводности (8.23) для этого случая имеет
вид:	/" d2t , 2 dt \ dt	z ч + г- dr )= дх-
Полагая	t = y,	(б)
где v = v (г, т),
169
получаем уравнение
__ d2v ___ dv
~дг% ~ а?
(в)
при краевых условиях
v (0, т) = 0, v (а, т) = 0	(г)
и начальном
v(r, Q) = f (г).	(д)
Решая уравнение (в) с учетом выражений (г) и (д), получим:
00	П2л2%	£
/(r-T) = -^2e “2 ^sin-^- j rf (г) sin-^dr. (е)
п=1	О
Далее для термостатического случая можно следовать задаче
(8.5), для термодинамического — задаче (10.6), учтя, кроме темпе-
ратуры, силы инерции.
 См. [50], задача 106.
Начальная температура шара радиуса а и окружающей среды
равна 0°. Начиная с момента т = 0, температура окружающей
среды растет линейно со временем, так что t = Ьт, где b—постоян-
ная. Теплообмен между средой происходит по закону Ньютона
(уравнение 8.25).
Найти распределение температуры внутри шара, считая задачу
полярно-симметричной.
8.10.	См. [50], задача 116.
Цилиндр радиусом а и длиной I с температурой t = f (г, z)
при т = 0 помещают в среду с температурой 0°. Теплообмен
боковой поверхности и оснований цилиндра с окружающей средой
происходит по закону Ньютона.
Найти распределение температуры внутри цилиндра в любой
момент времени.
Уравнение теплопроводности (8.23) в цилиндрических коор-
динатах при осевой симметрии имеет вид:
< d2t	,	1	dt . дЧ \	dt	, х
х	----5—F-5-5-	-5—	•	(а)
\ dr2	'	г	dr dz2 /	dx	4 '
Краевые условия, согласно уравнению (8.25), представим
в форме:
fe-^_^|2=0 = 0, k^ + Ht\z=l = O, '
dt	(б)
k~ + Ht\r^a = Q,	Ц0, Z, т)<0О,
170
начальное условие—
t (г, z, O) = f(r, z).	(в)
Интегрируя уравнение (а) с учетом выражений (б) и (в),
получим:
00	fvn , Pk\
t{r,z,x) = 2	(cos^ + ^sin^^e _v2
k, n=l где Д _	4Hfevn	Г P rr	H	Hl k' p- k ’ Pa — положительные корни уравнения 1кГ0(ц)+Н^0 (р) = 0; vn — положительные корни уравнения 2 tg v — — — — . ь	р v	(Г) rf (Г, г) х 1 -^dzdr;	(д)
Глава 9
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
Контактные задачи связаны с выяснением напряженного
и деформированного состояний в области соприкосновения двух
тел.
Помимо общих соотношений теории упругости, при решении
контактных задач широко пользуются приведенными ниже фор-
мулами.
I.	ДЕЙСТВИЕ СИЛЫ НА УПРУГУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ
При действии силы на упругую полуплоскость (#>0) поль-
зуются формулой Фламана (задача 6.4)
, m	2(1— а2) Р. х (14-а)Р	2(1—(j2)P
°>-	1пй—Чг--- -ДЁ Jn|xi + C;
(9-1)
их(х, 0)xSO = T0 + q)2y~2q)P.	(9.Г)
В общем случае плоской задачи при одном участке контакта
— давление р = р(х) находят как решение интегрального
уравнения:
а
J ра>1п| 1-||^ + f(x) = C,	(9.2)
— а
где
f(x) =
У1 (х) + Уг (*)
^1 + ^2
(9-3)
В последней формуле и 0“2—известные упругие постоянные,
уДх) и у2(х) — аппликаты (координаты у) обеих поверхностей
до деформации, отсчитываемые от общей касательной плоскости.
Решение уравнения (9.2), данное И. Я- Штаерманом [51],
имеет вид:
а
р(х) =---L]/а2-х2 (	(9.4)
, V '	J уга2_£2 (|—X)	'	'
—а
172
при условии
Q
V
(9.5)
выражающем отсутствие у р (х) иных особенностей, кроме лога-
рифмической.
II.	ДЕЙСТВИЕ СИЛЫ НА УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
При действии силы на упругое полупространство (z>0) поль-
зуются формулами Бусинеска (задача 4.3)
_(1-<у2)Р
Uz=° ~ лЕг '
_	(1-2<т)Р
т“	4лСг
и решением Треффца
__ ।	,	д-л
их, У, Z - %, 2, 3 + Z г ,
где = 0;
дх _ 1 / дг|Ч . дтр2 . di|)3 \
дг “4а—3 \ дх ' ду дг )
(9.6)
(9-7)
(9.8)
(9.9)
Последним решением можно учесть как нормальное Р, так
и касательное Т давления по плоскости контакта.
III.	КОНТАКТ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ
При контакте двух упругих тел, ограниченных поверхностями
^i = /\ (х, у) и г2 = /2(х, у), пользуются интегральным уравнением
для определения давления р(£, г]) в месте контакта [52]
S — y) + f2(x, у) —
X Г
Tt L ^2
1—oj I Г f P (g. n) dg dt]
-> V /u-g)2 + (y-< ’
Г
(9.10)
где S — сближение осей упругих тел вследствие смятия в месте
контакта;
F — площадь контакта;
~~л£. j j/-(	~"J2 ~~ УпРУгие перемещения точек Aj
тел (задача 9.1), вычисляемые по формуле (9.6).
173
Задачи
9.1.	Задача Герца (1881 г.) [38].
Рассмотреть напряженное состояние двух длинных соприкасаю-
щихся цилиндров с параллельными осями, прижатых друг к другу
по длине распределенными силами интенсивностью р.
Возьмем две точки Л4 и Л2 на поверхности цилиндров, находя-
щиеся на расстоянии £ от плоскости, которая проходит через
Рис. 72
оси последних (рис. 72, а). Расстояние между этими точками
до деформации равно
+	+	(а)
где
о 1	,	1 _Я1 + #2
Р 27?!	2R2 ""	*
Под действием нагрузки р цилиндры сплющатся в месте’сопри-
косновения, образовав плоскость контакта в форме прямой полосы
шириной 2а, и оси их сблизятся на величину S (рис. 72, б).
Если а>^, то точки А{ и А2 совместятся и
s—41’—4г> = л 1+па = PI2,
ИЛИ
где и™- вертикальная проекция перемещения точки Л,;
и{у — то же, точки Л2.
Если ширина плоскости контакта мала по сравнению с радиу-
сами цилиндров, то каждый из цилиндров можно приближенно
рассматривать как упругую полуплоскость, использовав для
вычисления перемещений Uy} и и™ формулу (9.1).
174
Полагая удельное давление на площадке контакта переменным,
получаем:
а
р (х) dx = p.
—а
(б)
Под действием нагрузки р(х), действующей на полоску шири-
ной dx, точка Al (рис. 72, в) переместится в вертикальном направ-
лении на величину (9.1)
du'" = ~~ 2(!т£1°~ Р W dx 1П 1	1 “ Р dx=~ 2(1я7°21) Х
X [ln|s-x|+ 2(1Lai)-ln^i]
полное перемещение
а
^1>=-2(1т?2) { ^Р(*)1п^-*1^ + [201Д1)-1п/?1]р}	(В)
—а
и аналогично для и™ с заменой индекса 1 на 2.
Сложив и™ и Uy\ получим:
а
+ S''wln|s~x|‘ix = t,v+c’ <г)
—а
где через С обозначена сумма членов, не зависящих от
Путем дифференцирования по £ и исключения участка инте-
грирования £ — 8i<	— 82, когда 8t и е2 стремятся к нулю,
a lim (е2 : Et) = 1, а подынтегральное выражение при х = ^ стре-
мится к бесконечности [38], можно получить интегральное урав-
нение вида:
4 Ш dx = 2^-	(д)
— а
Решив уравнение (д), Герц нашел, что
р(х)=Р^уа2-х2,	(е)
2р
ГДС	Ртах —	*,
г______________________(ж)
/ 4р7?1/?2 Zl-gj , 1-
К л(Я!+Я2Д Ei Е2 J' J
Наибольшее сжимающее напряжение ртах будет в середине
полоски контакта.
175
9.2.	Задача Герца (1881 г.) [38].
Рассмотреть деформации и напряжения в области соприкосно-
вения двух шаров, прижатых друг к другу силами Р.
Возьмем две точки и А2 на поверхностях шаров, находя-
щиеся на расстоянии р от оси г, проходящей через центры шаров
2
(рис. 73, а). Расстояние между этими точками до деформации
равно:
£1 + ?2 = 2^- + 2R2 = Р®2’
где
о __	1		1	+
Р“	2R2 - 2RlR2 ’
Под действием нагрузки Р шары сплющатся в месте сопри-
косновения, образовав плоскость контакта в форме круга ради-
уса а, и центры их сблизятся на величину б.
Если а>р, то точки А{ и А2 совместятся и получим (зада-
ча 9.1):
^> + и<2)-б-₽е2,	(б)
где и? и ul2)—вертикальные проекции перемещений точек Ai и Л2.
Считая шары приближенно за упругие полупространства, можно
найти вертикальные проекции перемещений по формуле (9.6):
и?>=\ rlz’j.PW iF,
J J	s
F
где p(r) — удельное давление на расстоянии г от оси г, при
котором
$ $ p(r)dF = P;
F
176
s—расстояние от точки Aif где определяется прогиб, до
точки приложения нагрузки р (г) dF\
dF = sdsdty, г = q sin гр (рис. 73,6).
Составив сумму вертикальных проекций перемещений (б),
получим интегральное уравнение:
F
ИЛИ
+	$ 5 p(r)dsdy = 8-W.	(в)
F
Решив это уравнение, Герц нашел [38], что:
Р (г) = -^ах №—f2>	(г)
где
_ зр
Ртах - 2ла* ’
V 4 (Rt + R2) < Ei + Е2 J •	W
Сближение центров шаров
о	/I— cr? . 1 — сгё\ па	z .
б=<-£Гк+-Ё^;-2-Рп1ах.	(е)
Наибольшее сжимающее напряжение—в центре площади кон-
такта (г = 0): здесь материал работает в условиях всестороннего
сжатия. Наибольшее растягивающее напряжение—на контуре
площади контакта и при Е{ = Е2 = Е и ^ = ^2 = 0,3 составляет
Zz=o = 0,133pmax.
9.3.	Задача Штейхера.
Определить напряженное состояние, возникающее в упругом
полупространстве г > 0 под штампом, имеющим форму круга ради-
уса а, весом Р (рис. 74).
12 Заказ № 1215
177
Согласно задаче (4.3)
“z = 4nGR [2(1— °)+	•
На поверхности при г = О
_ (1— о)Р _(1—о2)Р
Uz=Q 2nGr пЕг '
где г = ]/х2 + у2.
Так как осадка любой точки штампа одна и та же, то
(а)
U2=o = const = 4- Р^Х;^У ,	(б)
J /%2 + ^2
f Е
ГДе
р(х, У) — искомое давление в
точке с координатами х, у.
Решая уравнение (б) совместно
с уравнением
Р = р (х, у) dx dy, (в)
F
получаем:
Р (*.*/) =->	(г)
2и1-^
где Ро = ^‘	<д)
Рис. 75
Эпюра давлений приведена на
рис. 74.
И Получить решение задачи
Бусинеска (1885 г.) для эллипти-
ческого штампа, нагруженного в
центре силой Р.
О5т в е т:
Р(х, у) =
=--------г Р	, (е)
где а и Ъ — полуоси эллипса.
9.4.	Задача Егорова (1938 г.) [53].
Определить напряженное со-
стояние, возникающее в упругом
полупространстве г>0 под штампом, имеющим форму круга
радиуса а и нагруженным силой Р, приложенной с эксцентри-
ситетом е (рис. 75).
178
Условия для решения задачи:
1)	При 2 = 0 Yz — Xz = 0.
2)	При 2 = 0 и г = ]/х2 +у2<а
__1_ С Р У')dx dy _
Z-° n£t J У X2^-y2
F
А -\-Вх.
3)	При 2 = 0 и г = ]/х2 + у2>а
р (х, у) = 0.
Для решения составляем уравнение равновесия:
2Z = 0,
р (х, у) dx dy = Р;
ЪМу = 0,
хр (х, у) dxdy = Ре;
2Мх = 0,
ур (х, у) dx dy = 0.
Решение, удовлетворяющее условиям задачи, имеет вид:
l+3-^-cosP
р(г) = ——?==Р;	(а)
2 ла У а2 — г2
«z=°('')=^i^(4“^cosp+1)P;
При 0 = 0 и r — х напряжения определяем по формуле
1 _|_ з
=	----г °‘х V 	<г>
2
По формуле внецентренного сжатия				
	Р(Х):	_ р ла2	0+4»-	(д)
Согласно напряжения	формуле (г) под штампом	при х == — а и е = а/3 равны нулю, так как		растягивающие
lim —	+4	lim	-а~^х = lim	1/а-+^=0.
л->(—а) ।		2С->(—а)	V а2—X2	г а — х
12* 179
9.5.	Задача Садовского (1928 г.).
Определить напряженное состояние, возникающее в упругой
полуплоскости у>0 от штампа шириной 2а и весом Р (рис. 76).
Силами трения по подошве штампа при определении нормаль-
ных давлений пренебрегаем.
При пользовании формулой (9.1) надо учесть, что величина
h—переменная, и осадку от распределенной нагрузки определять
по формуле
а
Uy (х, 0) = —--Я£О)2 J Р (В) In I x—l I d%.	(а)
—а
Условия для решения задачи:
1)	При г/ = 0 Xj, = O.	1
2)	При // = 0 и —а<х<а
S Р(В)1п|х-^|^ = Л.	<б)
—а	I
3)	При у = 0 и —а>х>а р(£) = 0.	]
Составляя уравнение равновесия штампа (2У = 0), получаем:
а
J p®dl=p.
—а
Решение, удовлетворяющее условиям (б), имеет вид:
р (х) =--/ - =	• г 1 — ,	(в)
я а2 — х2	п 1 х2
где
Р - X
С1о~ 2а ’ Х ~ 2 '
180
9.6.	Задача Флорина (1936 г.) [53].
Определить напряженное состояние, возникающее в упругой
полуплоскости у >0 под штампом шириной 2а, к которому при-
ложен момент М = Ре (рис. 77).
Условия для решения задачи:
1)	При у = 0 Ху = 0.
2)	При у = 0 и —а<х<а
а
\ Р®1п|х-||^ = Вх.
—а
( оо >х>а
3)	При у = 0 и ) _а>х>__0О
I р(1) = 0.
Составляя уравнение равновесия
штампа (2MZ = 0), получаем:
Рис. 77
а
—а
Решение, удовлетворяющее условиям задачи, имеет вид:
, ,__2М х
Р — ла2 '	а2_х2 ’
tga
_ 4(1—a2)
лЕа2
М.
9.7.	См. [54].
Определить давление под штампом, имеющим форму круга
радиуса а, в упругом полупространстве г > 0 для случая извест-
ных касательных сил в области контакта t(r), направленных
по радиусу, проведенному из начала координат к рассматриваемой
точке.
Согласно уравнению (9.8) упругие перемещения будут
«х,а,г = Ф1,2,з + г£^^,	(а)
где 72ф; = 0;
1	< ^1>1 । ^1>2 । ^1>3 Л
дг ~ 4a — 3< дх ду дг ) ’	у >
Напряжения на плоскости z = 0 обозначим:
Xz (х, у, 0) = X (х, у); У2 (х, у, 0) = Y (х, у);
Zz(x, у, 0) = — р(х, у).	(в)
181
Согласно закону Гука и уравнениям (а):
dipt । ЭСФз+х) I _ X 1
dz	дх	|z=o ~	G	'	|
»1>2 , д(Ф1+х)| =У f	(Г)
dz	ду	|z=o	G	’	j
Дифференцируя и складывая уравнения (г), получим:
д	Z	dipt	,	5ib2	\	,	Z	52 , 52	\ ., ,	.	1	/	дХ	,	дУ	\	,	ч
dz	С	дх	+ ду	)	+	С	дх*	ду*	J (^з +	X) ~	G	Q	дх	+	ду	),	(Д)
или, принимая во внимание, что
/ _Э2_	<?2(^з+Х)
V 5x2 + ду* ) (*з+ х) — дгг >
придем к уравнению
д Г31|>1 , ^2	д(1>з+х)Т . 1 /5Х , 5У\
dz L дх "* ду дг J G \ дх * ду )
Это уравнение позволяет определить гармоническую функцию,
заключенную в квадратные скобки [ар], по ее нормальной про-
изводной на плоскости г = 0, пользуясь формулой
оо
где
R= K(x-S)2 + (z/-T|)2 + z2-
Считая все функции исчезающими в бесконечности, получим
согласно (е):
,.,-^>1.^2	д(я|>з+х)__1 се Xi(g, П)+Гп(|, n)
47 дх ду дг	2лсИ /(x_g)2 + ({/_.U5UI1-
(ж)
На основании выражения (б) получим вместо уравнения (ж)
уравнение
(7Z	C/Z ZJLZ3 J J А
ОО
Нормальное напряжение на поверхности, согласно закону Гука
и уравнению (б), будет равно:
Р(*.1Л = -ГТ7[> + (1-2»)-|]„0-	«
ду
Исключим из формул (з) и (и) функцию :
^|„.=Й «
оо
182
где
r = ]/'(x-^+(z/-n)2.
Согласно выражению (а) перемещения на поверхности будут:
^х = Ф1(х, у, 0), u® =ip2 (х, г/, 0), и° = ^3(х, у, 0).	(л)
Определим деформацию поверхности упругого полупростран-
ства от действия заданных касательных сил /(г).
Введем функцию
Т (г) = р (г) dr.	(м)
Г
В этом случае
= ~/(r)cosp = — X;
4—	= — t(r) sin 8 = —У;
ду \ > v ’
дХ । dY _ д*т	д2т _ v2 т
дх ' ду дх2	ду2 Nxvi *
Формула (к) при р (х, у) = 0 будет
<»>
оо
В дальнейшем считаем функции Т и ф3 исчезающими в бес-
конечности. Применив к ф3 формулу (е) и дифференцируя по «г,
найдем:
дфз _	1 д 1 дф3(|, т), 0)	,
dz ~	2л ’ dz J J Я ' dz
оо
откуда приходим к формуле решения задачи Дирихле для полу-
пространства z>0:
ф3 (х, у, г) = - lim	d£> dx\. (о)
S
Из формулы (о) вытекает, что
S
= И 4-V^3(g, П, O)dldn.	(п)
183
Сопоставив формулы (н) и (п), найдем осадку поверхности
полупространства при действии только касательных усилий:
цо(/) = (ьма+£)Г(Г).	(р)
Обозначив осадку от нормального давления р (я, у) через uz (р),
получим:
и°(р) + ^ (О = Z (г),
где Z(r) — уравнение поверхности вдавливаемого штампа, или
uz(p) =Z(r) — uz(t).
Давление р(г) вычисляем по формуле
л
2 Ф
---------------z	£ М f X
2л/ а2—г2	« J J 11 —а2
О о
X [Z- (KFffiW?) +	] +
(с)
(т)
С
р/)
Для гладкого штампа, не имеющего углов на границе
такта, С = 0.
кон-
9.8. См [55].
Исследовать напряженное состояние кругового бруса постоян-
ного сечения (6=1), который опирается на абсолютно твердое,
Краевые условия задачи:
гладкое основание и симметрично
загружен изгибающими моментами М
и нормальными силами N
Напряжения в брусе
формулами:
р _ ±	д<р	, 1	32<р .
~ г ‘	дг	г2	’	ар2 ’
R Й2(Р •
Р _ D ________1_	JL / дф
К|3 - Dr	-	г •	дг
(рис. 78).
выражаем
- (а)
где <р—бигармоническая функция.
при г —а
» г = Ь
ur — BT = 0; 1
Rr^-Br = 0-, )
(б)
184
Q . Л
при Р=± у
ъ	ь
Bp dr = N, Bprdr = M, Rp = O.	(в)
а	а
Принимаем функцию <р в форме одного из известных частных
интегралов бигармонического уравнения (6.13):
ср = (Лгх + BrK+2 + Cr~K + Dr~K+2) cos Хр,	(г)
где Л—неопределенный параметр.
Согласно формулам (а):
Rr = [X (1 — X) Аг^-2 — (X + 1) (X—2) В г7-—X (X + 1) Сг-^-2 + ‘
+ (1 — X) (Х + 2) Dr-*-] cos Хр;
Bp = [X (X— 1) Ar*~2 + (X + 1) (X + 2) Br*- + X (X + 1) Сг~*~2 +
+ (X— 1) (X—2) Dr~K] cos Хр;	(д)
Rp = Вт = X [(X— 1) Аг*-~2 + (X + 1) BrK— (X + 1) Сг-^-2 +
+ (1— X)Dr-*] sinXp.
Перемещения определяем из уравнений:
’в»>;
I <е)
г др 1 г Е х р г/	j	' '
1 дит , дир	Up _ 2(1 + 0) р I
г ' др "г dr	г Е	J
Интегрируя уравнения (е) и приравнивая нулю произвольные
функции, находим:
Еит = {— (1 + ст) ХЛгх-1 — [X—2 + о (X + 2)] ВЕ-+1 +
+ (1 + о) XCr-^-1 + [X + 2 + ст (X—2)] Dr~K+1} cos Хр;
Еир = {(1 + о) ХЛг^-1 + [(1 + о) X + 4] ВАН +
+ (1 + ст) XCr-^-1 + [(1 + о) X—4] Dr-*+1} sin Хр. (ж)
Составляя условия (б) и приравнивая нулю детерминант А(Х)
этих уравнений, получаем трансцендентное уравнение для опре-
деления X:
А(Х) = Х(Х2—1)А3[ —2Х(3—ст)(Х+1)а + 6(1—ст) х
X (X2— 1)а-1 + (1+Ь) (Х3 + 5Х—2) а-3 +
+ 2(Х2 + 4Х + 2—2ст)а-2*-1—	'	(з^
— 2 (X + 1) (2Х—1 + ст) а2*-*] = О,
а
где а = у .
185
При А = 0 получаем решение Ламе, при А=±1—частные
интегралы бигармонического уравнения, отличные от решения (г).
Остальные корни уравнения (з) дают множество параметров А™.
Для каждого параметра Ат соответствующие ему константы
определяем по формулам:
Ат — А^ (Ати) Fт,	— А2 (Атп) Fmi
Ст — Аз(Кт) Fm>	= ^^(Кт) Fm,	(и)
где Аг (Ат)— алгебраические дополнения элементов какой-либо
строки или столбца определителя А (Ат);
Fm—произвольный коэффициент пропорциональности.
Суммируя решения по т, получаем общее выражение функ-
ции напряжений для напряженного состояния, симметричного
относительно координаты р:
ф = 2 [ Д1 (М	+ Д2 (М ГКт+2 +
т
+ Дз (Кп) Г-*™ + Д4 (1т) /--Ьт+2] рт cos Хго0.	(к)
Подставляя ряд (к) в формулы (д) и (ж), находим значение
напряжений и перемещений.
Оставляя нужное количество членов в ряду (к), можно удо-
влетворить двум интегральным условиям (в), а для локального
условия (в) потребовать равенства нулю в конечном числе
точек r = rt; в точках г = ^это условие уже выполнено (уравне-
ния б).
 Решить задачу (9.8) при отсутствии перемещений иг и ир
по линии контакта г = а.
9.9. См. [56].
Определить давление при вда-
вливании штампа в полуплоскость
у < О, учитывая силы трения между
ними. Задачу рассмотреть, полагая,
что штамп находится в состоянии
предельного равновесия на сдвиг*,
когда горизонтальная сила сдвига
T = fP, где f — коэффициент тре-
ния, а Р— сила, прижимающая
штамп (рис. 79).
Приняв за f (я) уравнение контура штампа, получим граничные
условия в форме:
* Сила Т не создает момента (штамп не повертывается).
186
Yy=o = Xy=o—свободная поверхность;
Xy=o + fYy=0 = 0 и иу=о — f (x) + c—поверхность под штампом.
Интегрируем уравнения деформаций для полуплоскости:
х	Ъ
Их + С, =	л $ Уу=0 dx + J Ху=0 In (I- х) dg;
а	а
Ъ	х
^-Иу + С2= ^=oln(g-x)dg- 2^°о) л J Xv=odx,
а	а	)
£
где £\ = ]-_Р2 ’	— постоянные.
Последнее уравнение (б) представим в форме:
b	х
иу + С2 = J Уу=0 In | l-Х I dg- л J Ху=о dt.
а	О
Производная от перемещения
л	ъ
яЕ1 X диу Л _ р dg
2	\ дх Jy=o J у 0 g—х
а
(а)
(б)
(в)
(г)
1—20
2(1-0)
TtXy—о.
На основании условия (а) выражение (г) примет вид:
,	ь
nEj / диу \	р	dg	1—20	tv	, .
~2~ \~дГ)у=о ~ J Yy=0+ 2(1—а) л^у=0-	(д)
а
Введем функцию комплексной переменной z = x-\-iy\
ъ
(^) - их — itiy =	-^77 •	(е)
Правая часть формул (д) выражается через действительную
и мнимую части функции (е) при у =
Л1?! < диу\ ~	. е 1—20	“	z ч
2 (. дх )y=o~Ux + f' 2(1—0) иУ
Принимая условие (а), получаем:
^f1f,W = Hx + f-^=zJj-“y.	(3)
На свободной поверхности Yy=Q = 0 и мнимая часть функции
при у = 0 равна нулю.
Краевые условия на участках вне штампа
при у=^0 и —оо <; х <Za, b <Zx <Z со
иу — 0;
(и)
187
на участке соприкосновения штампа с упругой полуплоскостью
при у=0 и а<.х<.Ь
I г 1—2(У	TtE। п/ / v
^х + Л 2(1—0)
(К)
Кроме того, функция wl(z):
1)	Ввиду отсутствия под штампом сосредоточенных сил может
иметь на действительной оси особенности вида z~a, где 0<а< 1.
2)	В бесконечности должна вести себя как Pz"1, где Р— сила,
прижимающая штамп.
3)	Утраченная при дифференцировании выражения (г) постоян-
ная должна войти в выражение функции (к) и определяется из
дополнительных данных.
Таким образом, задача свелась к частному случаю граничной
задачи смешанного типа по отысканию функции комплексной
переменной (задача Римана — Гильберта).
Надо найти функцию, которая на оси х удовлетворяет условию:
a (*) ^х+ b (х) uy = F (х),
где
а(х) = О, &(х)=1 при —оо<х<а, 6<х<оо;
а(х) = 1, b (x) = f •	приа<х<6;
z Ц 6)
F(x) = ^-f' (х).
Решения однородной задачи имеют вид:
ъ
№i(2) = exp[±arctg(f.4=j^) jj (2Д((г^) >	<л>
а
где Р (z) — некоторый полином.
Беря разные полиномы Р (z), получим различные решения
однородной задачи:
где
при этом | 0 | < 1.
188
Для первого полинома (м) получим:
ь
ш,и=—,	Е'	
(В)
Чтобы решение (н) стало общим, к нему нужно прибавить
функцию, удовлетворяющую однородным условиям:
(z—a)Q(z — Z?)1-0 ’
Давление, действующее на штамп,
р (*) = — Jm [wt (z)]z==x_i0.
При отсутствии трения между штампом и упругим телом
f = 0 и 0 = ^агс^Т7Г=Й’ = 7 •
Подставив в выражение (н) с учетом функции (о) значения
f = 0 и 0 = у, приняв z —> х и отделив мнимую часть, получим:
Р W = - Уу=о = -4 1/7----f' W К(£-а)(6-Ю X
2 У (х—а) (Ь—х) J
х	С	.
х	(х—а) (Ь—х)
В Определить	давление	с	учетом трения	при вдавливании
силой Р в полуплоскость штампа с плоским основанием \f (х) =
= const] (см. [52], гл. I, § 8).
Ответ:
1_е
WL (?) =--7=== (Z~a Y
(z—a)(z — b) \z — b J
При f = 0 и 9 = y
/ x	P
^'1 (2) ---г	= •
V (z — a) (z — b)
На поверхности полуплоскости нормальное давление
р W = — Т Jm [йУ1 (z)b=*-«o = v 1// т •
Ср. с результатами задачи (9.5).
189
9.10. См. [57].
Определить напряженное и деформированное состояния в упру-
гой полуплоскости если на отрез-
ке АВ
Ых = ^1 + С1, w!Z = g,2 + O2,	(а)
на оси Ох вне отрезка АВ
Yy = N = 0, Ху = Т = 0	(б)
и известен главный вектор усилий (X, У),
действующих на отрезок АВ (рис. 80).
По условию
^Tdx = X,	^Ndx=—Y. (в)
АВ	АВ
Если бы N и Т были известны на участке АВ, то задача
была бы решена.
Применяя метод комплексной переменной (z= х + iy), находим,
выражение для вспомогательных функций [23]:
W) =	$ (N + iT)\n(t-z)dt + C3-,
АВ
= —2^7 J (N—гТ) In (/—z)dt—гф'(г) + С4.
AB
(r>
Подставляя выражения (г) в формулу перемещений (5.20)
2G (их + Шу) = хф (г) — гф' (г) — %' (г),	(д)
где для плоской деформации
X + 3G
Z + G
3 —4а,
и переходя к пределу г—»т, где т — точка отрезка АВ,
получаем, учтя (а), интегральные уравнения для определе-
ния N и Т:
I	т
? Т(01п|г-т|^ + ал N(t)dt= —+
о
Ci = fi (т) +
l	T
дг (Z) ln| Z—— ал T(t)dt =
-i	о
= x_|_ J §2 (T) + C2 =	(T) + ^2?
(e)
190
где
X— 1	1
« = —ГТ < 1 •
% +1
Введем в рассмотрение функции Ui + iVi и ^2 + z^2 комплекс-
ной переменной г:
1
U^iV^ \ T(t)\n(t — z) dt\
-i
i
[/2 + iV2= f N(f)\n(t—z) dt.
-i	J
(ж)
Из формул (ж) видно, что U1 и U2 являются логарифмиче-
скими потенциалами простых слоев, распределенных на АВ с плот-
ностями Т и N.
На основании симметрии функции (/Дх, у) и U2(x, у) будут
четными относительно у. Тогда по известной формуле теории потен-
циала получим:
2п L \ ду	ду J- I л V ду J +	'
и аналогичную формулу для N.
Значками « + » и «—» помечены значения производной, полу-
чаемые при подходе к точкам отрезка АВ сверху (у>0) или
снизу (у<0).
Из формулы (з), пользуясь соотношениями Коши—Риманаг
выводим:
0	0	о
=	+0) + С	(и)
и аналогично для
На основании формул (и) решение уравнений (е) сводится
к нахождению двух вещественных функций и U2, непрерыв-
ных на всей плоскости, гармонических вне отрезка АВ, которые
ведут себя в бесконечности соответственно как [из выражений (ж)
и (в)] X In | z | и Y In | z | и удовлетворяют на верхнем крае от-
резка АВ условиям:
Ui —	= f 1 + Ci, U2 + aVi = f2 + C2,	(к)
где Vi и V2 — функции, сопряженные соответственно с иг и U2.
Для решения задачи отобразим плоскость z, разрезанную
вдоль АВ, на внешность круга |£|=1 плоскости £ = £ + гт] изве-
стным соотношением:

(л)
191
На основании перечисленных свойств искомых функций при
К1>!
+ iVi = X In £ + 3 ап£> п + £\;
1
оо
tWV2 = yin£ + Sf>,rn + C2,
1
(м)
где ап и Ьп — искомые вещественные коэффициенты.
Приняв £ =	(r> 1) и считая, что функции U19 U2 и одно-
значные части функций V2 непрерывны вплоть до контура
круга, а также что предыдущие разложения справедливы и при
г=1 (из этого следует, что ряды San и S&* сходятся), получим
на основании формул (к) при О^р^л:
оо	оо
2 ап cos пр + а 2 bn sin п$ = Ft + С в
1	1
оо	оо
2	bncos пр—а 2 ап sin пр = F2 + C2,
1	1
(н)
где
Л = А + аУр,
р2 = 1г — а^Р-
2
Умножив обе части (н) на —cosm[3 (m=l, 2, ...) и инте-
грируя в пределах от 0 до л, придем к бесконечной системе
линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных вида:
оо
п — Ст]
п=1
со
Ьщ СС 2 ^тп^п — Ст,
п—1
(о)
где
Л
__2_ Г
fynn — п
О
4п
\ cos mP sin пр dp = л (п2—т2)
о	О
при нечетном (и—tri)
при четном (и—т)
С'т и Ст— коэффициенты Фурье функций и F2 при разложе-
нии их в промежутке 0—л в ряды по косинусам.
Если fi и f2 имеют, например, ограниченные производные
по р в промежутке 0—л, то ряды в левых частях выражения (н),
а тем более ряды в выражении (м), сходятся абсолютно и рав-
номерно. Найдя	и U2-\-iV2, по формулам (г) и (ж) непо-
средственно определяем ф(г) и %'(г).
Глава 10
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Полагая, что движение упругого изотропного тела (среды)
характеризуется бесконечно малыми деформациями, можно на-
писать уравнения движения, применив принцип Д’Аламбера:
-1)+стг<“- “« “) =
= р (д2их- —у d2Uz	(10 1)
* < дт2 ’ дт2 ’ дт2 J ’	UV.i;
или в векторной форме:
(X + 6)grad0 + GV2« = Q-^-.	(10.2)
Используя векторное тождество
rot rot = grad div—V2,
получаем из уравнения (10.2)
(X 4- 2G) grad div и — Grot rot u= •	(10.2')
При принятых условиях движения формулы деформаций и за-
кона Гука остаются без изменения.
I.	ПРОСТОЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
При простом гармоническом движении с периодом Т = ^- ,
где р — круговая частота колебаний, смещения можно выразить
так:
их = A cos (рт + е) их;
иу = А cos (рх + е) иу;
uz = A cos (рх + е) u'z
и получить уравнения (10.1) в форме:
(Х+О (-g, 4-	+	«г)*=о. (10.3)
* В уравнениях (10.3) для простоты записи штрихи у перемещений опу-
щены.
13 Зак. 1215	193
Дифференцируя эти уравнения соответственно по х, у, z
и складывая результаты, находим
(V24-/z2) 0 = О,	(10.4)
где
=	(10.5)
Приняв
х2 = -^,	(10.6)
получим уравнения (10.3) в форме:
+	(Ю.7)
Если 0 удовлетворяет уравнению (10.4), т. е. V29=—/г20,
решение уравнений (10.7) будет
«X, «и, «2 = Ux1’ + «х2), Иу’ + ^у’, *4п + м12),	(10.8)
где и™, Uyy, ul1’—общее решение уравнений (10.7) без правой
части при условии, что
П(П ,.	дихУ диьУ диг1У
0ш = div и =	н—^- + -^- = 0,	(10.9)
дх 1 ду ' dz ’	'	7
так как оно определено из уравнения (10.4);
(10-Ю)
—частное решение уравнений (10.7) с правой частью.
Уравнения (10.4) и (10.7) без правой части называются урав-
нениями колебаний, или уравнениями стоячих волн.
Их частные решения для случаев:
прямоугольных координат
= ег(йх+/2/+тг),	(10.11)
(плоская волна)
где	fe2 + Z2 + m2 = x2;
цилиндрических координат
гДт = e±i{mz+k^Rk (Г у) *	(10.12)
(цилиндрическая волна);
при k = tn = 0
лбо = (Я1₽ + а2) (btz + b2) Ro (иг);
* Rk (Pr) = EkJk (рг) + FkNk (рг) — цилиндрическая функция порядка k
(гл. 4, п. 3).
194
сферических координат
u^=-^Rn+yt(nr)Yn(a, Р)«	(10.13)
У Г
(сферическая волна);
при п = 0
При колебаниях в плоскости (т = 0) плоская волна переходит
в прямолинейную, а цилиндрическая в круговую.
II.	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
При 0 = 0 уравнения (10.1) будут
GV2 {Цхч Щр ^z) — Q	^z)-	(10.14)
Если сох, «у, (уравнения 2.3а) равны нулю так, что век-
тор и является градиентом некоторого потенциала ф, т. е.
и = grad ф = i + j + k ,
ь т дх 1 J ду * dz ’
ИЛИ
UX- дх ’ иУ~ ду ’ Uz~ dz 1
то	0 = У2ф,
/' 30	30	30 \ _2 ,	ч
< дГ ’ ~ду ’	— V (и*> uv> ыг)
и уравнения (10.1) будут
(1 + 2G) V2 (мж, иу, иг) = q (их, иу, uz).	(10.15)
Уравнения (10.14) и (10.15) являются волновыми уравнениями
в пространстве вида
c2V2<p=$,	(10.16)
где с —скорость распространения волн.
Волны сдвига, искажения (S-волны), не вызывающие объем-
ного расширения (0 = 0), имеют скорость c2=J/G/q; безвихревые
волны ((ox = coy = (oz = 0), волны уплотнения — разрежения (Р-
волны), при которых изменяется объем, распространяются со
—.
* Уп (а, ₽) = 2 СтпРпт (cos а) ег™$—сферическая или шаровая функция
т
степени п (гл. 4, п. 4).
13* 195
Если ф = ф(х, у, г), то уравнение (10.16) принимает форму
волнового уравнения на плоскости:
При ф = ф (х, 1 мерное волновое у	+	по 17) С < dx2 1 dy2 ) дт2 •	UU.1/) г), аналогично ф = ф(у, т), получается одно- равнение: (10.18) dx2	дт2	'	'
Общее решение уравнения (10.18), данное Д’Аламбером, имеет
вид:	<P = fi(x—cx) + f2(x + ci;)	(10.19)
где ft — произвольные функции.
Процесс, выражаемый уравнением (10.19), состоит из двух
волн, распространяющихся со скоростью с.
Если ф = ср(г, т), где г—радиус-вектор точки, то уравнение
(10.18) принимает форму:
с2 /	\ д2ф	/1П
Общее решение уравнения (10.20)
ф = /.1.(Г..Т7£т) + ^(/-+^)<	(1021)
где ft — произвольные функции.
Процесс, выражаемый уравнением (10.21), состоит из двух
круговых волн с источником в неподвижной точке, распрост-
раняющихся со скоростью с.
Поверхность s возмущенной части среды перемещается в на-
правлении своей нормали v со скоростью с.
Кинематические условия (девять уравнений) для точек поверх-
ности s ([4], § 205) имеют вид:
дих dv	_ dux . / _ dx	dux * m = dy	dux dz		1_ c	. dux • 1 dx ’		
диу dv	duv dx	duii -—IL : fn = dy	duv n = dz		1_ c	du у . dx ’		 (10.22)
duz dv	duz . t _ dx	duz -tr-  m = dy	duz dz		1_ c	. dUz dx ’		
где
/ = cos (х, v), m = cos(y, v), rz = cos(z, v) — направляющие коси-
нусы поверхности s.
Динамические условия (три уравнения) для точек поверхнос-
ти s:
-^-)=-(Xv,yv,zv)t	(10.23)
196
। де Xv, Yv, Zv —проекции на оси x, у, z напряжения на по-
верхности s.
Правые части уравнений (10.23) можно написать в виде:
-[(1 + С)/^ + с(/^ + т^ + л^) +
+ (U^'- + G'"^) + (Uw + G"^r)]- <10-24>
Два недостающих выражения (10.24) составляют путем кру-
говой замены букв х, у, г, Z, т, и.
III. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ПО ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО
ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
1. Волны Релея *
Плоские волны простого гармонического характера, распро-
страняющиеся по граничной плоскости z = 0 среды г>0, при
которых возмущение проникает лишь очень неглубоко в среду,
называются волнами Релея. Перемещения при распространении
волны в направлении оси х имеют вид:
их, иу, uz — Uxy + u$c2), Uyy + uy\ u(ziy + u(zy, (10.25)
где
u(xy, Uyy, uzv = (is, k, f) x_2Qe_sz+i(pT-/x\
u™,	=	0, d) h-^Pe-^+^-M,	(10,26)
и, согласно (10.4), (10.5) и (10.7),
d2 = f2—h2, s2 = f2—*2.	(10.27)
На граничной плоскости z = 0 должны быть выполнены усло-
вия:
^_^л. = 0, -^.-^ = 0, X0 + 2G-^- = 0, (10.28)
то же, в раскрытом виде:
-^ + (*2 + /2)^г=о, *=о; 1
(х2 — 2h2)-^-2d2-^-2sf^ = Q, [	<10-29)
\	/ /j2	Д2 I Х2 ’ J
1	X2	п
где заменено через -^ — 2.
О	пл
* См. [58].
197
Условие k = 0 показывает, что движение происходит в плос-
кости xz(uy = 0).
Исключение Р и Q из уравнений (10.29) приводит к урав-
нению
х8 - 8х6 + 24х4 - 16 (1 + /г2) х2 + 16Й2 = 0,	(10.30)
где
—о	X2	ТГ2 Л2
Х2 = у2- И Й2 = -^-.
При несжимаемом материале (Х=оо) = о и из уравнения
X2
(10.30) получим:
х6 — 8х4 + 24х2—16 = 0.
При действительном значении корня х2 = 0,91262. ..
d2=f2, s2 = 0,08737 ... f2,
2л \
~г )
и скорость распространения волн
ют по формуле
длина волны
Т = 0,955...
определи-
(10.31)
т. е. она близка к скорости волн сдвига.
2. Волны Лява *
Если тело состоит из двух физически различных областей:
г>0 и —h^z^O, то появляется другой тип волн, называемых
волнами Лява. Перемещения в этом случае имеют вид:
их. иу, uz = (Q, v. 0)е^<х~ст) (для—/i<z<0)
и	j (10.32)
ux, иу. ^z=(0, v', 0)е^х~сх) (для г>0), J
где v и v'—функции z **.
Осуществляя непрерывность v и Yz = Zy при переходе плос-
кости z = 0 и полагая YZ = Q при z=—h. получают:
v = у0cos [oq (z-\-h)] (для —/г<г^О),
у' = v0 cos (oqh) e-°'qz (для г>0),
где v0 — произвольная величина,
=	(о')2= 1—X- ,
	Cl	v '	(cl)2
* См. [59].
** Здесь и далее буквы без штрихов относятся к верхнему слою, а со
штрихами — к нижнему.
198
G
е
^)2 = V’
и скорость распространения волн Лява с при условии с\>с2
определяют из уравнения:
Отсюда следует, что скорость распространения волн Лява
зависит от длины волны — и, таким образом, будет происхо-
дить дисперсия волн.
IV. ВОЗБУЖДЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН МАССОВЫМИ СИЛАМИ *
Если движение происходит под действием массовых сил X, Y,
Z, зависящих от координат х, у, z и времени т, то уравнения
движения (10.1) будут
(* + G)(-^. f-. #)+GV2(«x, иу, uz) + q(X, Y, Z) =
-?2-Y	(Ю.34)
\ dx2 dx2 dx2 /	v '
Представив массовые силы в виде **:
X, У, Z - grad Ф +rot (Д Л4, N) -
/• dO дф dO \ Z dV	dM dL	dv дм	dL Л
V dx ’ ду ' dz ) ‘ \ ду	dz ’ dz	дх ' дх	ду ) '
(10.35)
а смещения в форме:
их, иу, uz = grad <р + rot (F, G, H),	(10.36)
удовлетворим уравнениям (10.34), если функции q>, F, G, H удов-
летворяют уравнениям:
dx2	°iv t — dx2	|
=	^--c^H = N, I (1°‘37)
ox2 2	dx2	2	J
2	4“ 20	/ D \
гдес^—------------квадрат скорости безвихревых волн (Р-волн);
с2 = —— квадрат скорости волн сдвига (S-волн).
* См. [4].
** Решение Кельвина (1848 г.) для статического действия сил.
199
Частные решения уравнений (10.37) могут быть написаны
в форме:
<Р = 'А’ S И 4-ф'(т “£) dx'dy'dz', ’
F= 1 2- ( ( — L' Гт —— dx'dy'dz',
4лс% j J J г < с2 >	*	’	(ю 38)
°’«f Ш - W'-S dx'dy'dz,
Выражая величины Ф', L', .. . через X', Y', Z' по формулам:
И тЧЛ'¥+1" V+2'^')^'^ 
^-^b'^-Y'^yx'dy'dz'-,
т	>(10.39)
т	)
где X', У', Z' — значения X, У, Z в точке (%', у', г') внутри
области Т, когда массовые силы отличны от
нуля;
г — расстояние точки (х, у, г) от точки (%', у', г'),
можно произвести интегрирование формул (10.38).
V. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ
Уравнения для смещений, симметричных относительно оси г
’ согласно (3.36) будут
(% + 2G)^ + 2G^= -р\г, '
(X + 2G)$-^4(r<o₽) = 0,
или, согласно (3.36'):
(% + G)-^ + G(Vur-y0- -Р\г,
(% + G)^- + GV2uz = 0,
(10.40)
200
где
л । I диг . ur , duz
О — err + epp + £zz — ~^г + — +	5
л	ди-р	ди г	f\
2й)в = -^----; сог = со2 = 0;
р dz dr r z
p—угловая скорость вращения.
В прямоугольной системе координат, исходя из
(3.3а'), получим:
(X + G)-g + GVVc + P2QX = 0;
(% + G)-g + GV4 + p2Qy = 0; 
(% + G)-g + GV2uz = 0.
уравнений
(10.41)
VI. ПЛОСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1.	Уравнения движения
дХх । дХу   д^ц,х в
dx dy	дт2 ’ I
I
дх'ду~^дх2' J
(10.42)
2. Уравнения закона Гука
Xx-(% + 2G)^ + %^-;
y, = (X + 2G)^ + %^; >
у х < ду дх J J
(10.43)
3. Уравнение неразрывности деформаций
п2 / у । у \	2(X-|“G) д^ f дих , dtiy \ р
V2 (Хл 4- Yy)----хQ -д-2-	+ ~-д~ J - О,
или
(10.44)
201
4. Метод комплексной переменной *
Дифференцируя первое уравнение (10.42) по х, второе — по у,
и вычитая один результат из другого, получаем:
Уравнение (10.45) тождественно удовлетворяется, если напря-
жения равны:
Xx =	32Ф ду2	1 2ci	д2ф . дт2 ’	1		
v __	32ф	1	д2Ф	(	(10.46)
Y У	дх2	24	’ дт2 ’	J	
где функция Ф — динамический аналог функции Эри удовлетво-
ряет уравнению
»• <10-47>
Если возмущения перемещаются со скоростью с параллельно
оси х, то, введя преобразование
1 = х—сх, =
получим уравнение (10.47) в форме:
(	' д2	1 д2 \ < д2	1	д2 ' ч д&	Si ' дф ) < д&	si Ф]2 .	)ф = 0,	(10.48)
где	•Q	• <1	С2 \1/2	. S1 = Ф1 = 1	1 — — J , .„	. Z,	С2 \1/2 §2=ф2 = 1 (J	•		(10.49)
Формулы (10.46) будут			
хх = уУ=-	Э2ф	С2 <Э2ф __ Э2ф	1	Э2ф дт]2 4	дт]2 2	™ ^2 ’ 4d+p22)-^		(10.50)
И	V 1 у 	 д2Ф . 02 д2Ф_ ^У~Г1у— 0^2 “ГГ2 ^^2 •		(10.51)
Приняв	=	^2 = ^ + <s2ti,		(10.52)
получим решение уравнения (10.48):			
Ф-Л (Z,) + Л (Zi) + F2 (z2) + Л(z2) = 2Re [F, (2j) + F2 (z2)], (10.53)
* Cm. [60] и [61], § 76.
202
где /4(2^), Fifa) и F2(z2), F2(z2)— сопряженные аналитические
функции комплексных пере-
менных и z2.
Подставив выражение (10.53) в формулы (10.50) и (10.51),
найдем:
Хх=—2Re +	F'(^)+ '
+ 2" (1 + Pl) Л: (Z2)l;	>	(10.54)
^ = (1 + PD Re [№) + /№)];
Xx + ^=-2(pl-p|)Re[F';(*i)b	J
После подстановки выражений (10.54) в формулы (10.43) и
интегрирования получим:
Gux= — Re [Fj (г4) 4-у (1 + Р1)^(г2)]; )
1 + 61	[	<10-55)
G^ = Jm[p1r;(z1) + -^F;(z2)J.	J
Введя эти выражения в третью формулу (10.43), найдем:
Xv = 2Jm [Р1^(г1) + ^^-2Л"(г2)] .	(10.56)
Задачу можно решить также в перемещениях, в этом случае,
подставляя формулы (10.43) в уравнения (10.42), получаем:
TX + 2G д* д* "I X4-G диу	_	е	g2Ux	.
L G ’ дх2 + ду2 J Ux + G "дхду	“	G	’	дт2	’
~.9	(10.57)
% + G д*их ГХ + 2О d2 d2 1	_	q
G ‘ дх ду + L G ' ду* + Эх2 J	“	G	’	дт2	\
Приняв
_	X + G д2Ф	а
Ыж- G 'дхдУ'	(10.58)
_X + 2G д2Ф д2Ф	Q д2Ф
Uv~ G ' дх2 + ду^	G дт2 ’ J
где Ф = Ф(х, у, т),
тождественно удовлетворим первому уравнению (10.57), а второе
примет вид уравнения (10.47):
(10-59>
которое для случая, рассмотренного выше, решается аналогично.
203
5.	Метод интегральных преобразований * **
Используют различные формы метода интегральных преобра-
зований, основанного на преобразованиях Фурье и Лапласа. Ниже
приводится порядок решения по одной из форм этого метода:
а)	для каждой функции /, входящей в уравнения (10.42)
и (10.43) или в уравнения (10.57), вводят интегральное преобра-
зование, переводящее заданные уравнения в более простые,
содержащие функции /;
б)	определяют функции /; константы, входящие в эти функ-
ции, находят из рассмотрения краевых условий;
в)	пользуясь интегральной теоремой Фурье, обращают функ-
ции f в /.
6. Метод функционально-инвариантных решений **
Согласно этому методу решение волнового уравнения
-2	1 д2и	а V2и	о-'75-9 = 0 cl дх2	(10.60)
разыскивают в форме:	
u = Re[f (£)],	(10.61)
где f (£) — произвольная	комплексная	функция аргумента
£ (я, у, т), удовлетворяющая	волновому уравнению
(см. решение 10.19);	
£(х, У, т)-функционально-инвариантное	решение уравнения
(10.60), удовлетворяющее условию	
UxJ	4 Ur J	2 = о.	(10.62)
Общий интеграл системы дифференциальных уравнений для £	
принимают в неявном виде:	
I (С) т + т (С) х + п (С) у - k (С) = 0,	(10.63)
где /, m, n, k — коэффициенты.
Для плоской волны коэффициенты при переменных %, у, т
должны быть вещественными. Задаваясь двумя коэффициентами,
например I и /л, получают:
= тх ± т2у,	(10.64)
где плюс соответствует движению волны к границе, минус — от
нее.
Разработанным методом исследуют законы отражения упругих
колебаний от свободной поверхности тела.
* [61], § 77, [62], [63].
** См. [64], [65].
204
Установлено, что граничные условия не могут быть удовле-
творены каким-либо одним типом волн.
При падении на свободную границу волны расширения (сдвига)
<Pi = f (уг — тх-^У —т2у^	(10.65)
отражаются оба типа волн:
<р2 = Л/(^/т + тх—	^ — т2у^)
и
= (j-c—mx — j/^- — т2у^) .
Постоянные Л и В определяют из краевых условий путем
подстановки в них ф Ф1 + ф2 и хр.
Задачи
10.1.	Задача Кри (1892 г.) [66].
Определить напряженное состояние цилиндра радиусом b
и длиной 2/, вращающегося с угловой скоростью р.
Расчетными уравнениями являются уравнения (10.40).
Краевые условия задачи:
при г=Ь
» z = ± I
Rz = 0 и
#r = Zr-0
ъ
Zz2jtrdr = 0.
о
(а)
Последнее условие является интегральным (вместо Z2 = 0),
но, согласно принципу Сен-Венана, полученное напряженное
состояние будет достаточно точным в точках, удаленных от кон-
цов цилиндра.
В терминах Е и о* уравнения (10.40) будут
(l-о) Е 30, Е	.
(1фа)(1—2а) дг ' 1-фа dz г V »
(1—а)£ де_______Е JL £/
(1 ф- а) (1—2а) дг	1 ф а г дг
Решение этих уравнений, удовлетворяющее краевым условиям
(а), имеет вид:
+	и. = Вг,	(в)
205
где
-__P2q62 3—5cf е о p2q62q
2Ё~ '
Напряжения будут равны:
Лг=Л<^>.^; Zr = %=0;
8	1 — Q
d P2Q Л 3 2сг « о 1-
-у
7  p2Q (62—2г2) о
Zz “ Z yzzy
(г)
10.2. 138].
Определить напряженное состояние тонкого кольцевого диска
с внешним радиусом b и внутренним а, вращающегося с
ной угловой скоростью р.
постоян-
Диск находится под действием
p2Qr (рис. 81).
центробежных сил
инерции
4
J
Уравнение движения, согласно (6.1), будет
dRr .	о л
-^ + -7—+^ = °.
Подставив в уравнение (а) значение напряжений
сократив на постоянный множитель, получим:
d2ur . 1 dur_^r__ Q (1—g2) P2f
dr2 ‘ r dr r2 ~
Решая уравнение (б), находим:
„	q(1—<т2)р2г3
llr —-j----------------
(а)
(6.5) и
(б)
(в)
Е
8Е
* Частное решение принято в форме иг = С3г3.
206
По формулам (6.5)
R = Л В (3+0)QpM ;
р л В (1 + 3<т)еРМ	{	(Г>
Л"ГГ2	8	' ’ J
где новые неизвестные
<4 = -^»
1—CF	1H-Q
определяем из краевых условий
при Г = "	/?г = 0.
Окончательно напряжения будут равны:
о	(3 + а)ер2 Г,„ 1-1-Зсг „	2/, Ь2М
Эпюры напряжений RT и Вр приведены на рис. 81.
10.3. Задача Кри (1898 г.)
Определить перемещения шара радиуса~а, который вращается
относительно оси z с угловой скоростью р.
Краевые условия (1.2) для поверхности сферы при г = а
имеют вид:
Xr = Yr = Zr = 0.
Массовые силы уравнений (10.41) можно считать градиентом
потенциала
<р=4ер2(%2+^2)’	(а>
который может быть представлен в форме:
= QP2r2 + -^-QP2(x2 + y2—2z2),	(б)
где
г2 = %2 -|- у2 _|_ г2.
Первый член формулы (б) дает чисто радиальную объемную
2
силу -yQp2r с чисто радиальным смещением иг(и$==иа==0), кото-
рое можно определить из первого уравнения (10.40):
207
(X + 2G)	+ 2 ^) + 4 epV = 0.	(в)
Решив уравнение (в), получим:
_ а2рр2	< 5X + 6G _ г2 \	,
r	15(X + 2G) <3X4-20 a2J ’
откуда
tZ2Qp2 /'5K-\-6G Г2 \ / ч	. x
«X, Uy, «Z— 15(X + 2G) <3X+2G	&) ('X' y,z^’
Подобным образом решается задача о деформации шара взаим-
ным притяжением его частиц (земля).
Второй член потенциала ср (см. формулу б) представляет
собой объемную сферическую (шаровую) функцию второго порядка
V2 = r2Y2 (а) = r2P2 (cos а) = ~ (3 cos2 а — 1)	(е)
(см. гл. 4).
Уравнения (10.41) для этого случая будут
Р-+е)(Д' г,- £>+OV(«., «в. «.) +
+	#• sS-H-o-	(»)
1 6 \ дх ду ' dz J L	'
Принимая во внимание свойства сферических функций
(см. гл. 4), получаем решение:
иу. uz = A [(5X4-7G) г2 (х, у. —2г)—
— (2X + 7G) (х2 + №—2г2) (х, у, г)] +
+ В(х, у, — 2г)— 42-(хтр2ёу k2U, *6 —2г) +
+ (х2 + г/2 —2г2) (х, у, г)],
где произвольные постоянные А и В, определенные из гранич-
ных условий, равны:
QP2 (7^ + 66)	.
42 (л + 26) (19Х+ 146) G ’
ер2(4х + 3б)
36 (19%+146)*
10.4.	Задача Поххамера (1876 г.) [671.
Исследовать колебания изотропного кругового цилиндра
радиуса а, поверхность которого 'свободна от напряжений.
208
Для решения задачи воспользуемся уравнениями (3.36), под-
ставив вместо массовых сил 7?» В, Z силы инерции; в этом слу-
чае получим:
(X + 2G)	— -^ + 2G ^ = Q	;	]
v	1 'dr г dp 1 dz * dx2	I
।	1 30 dcor . oz> dco, 32up I
(X + 2G)—— 2G-— + 2G= o-^-4 ; f (a)
v	1	' r dp dz 1 dr * dx2 ’	v '
। or\ 30	2G	d	,	4	।	2G	d(dr d2uz
(X + 2G) s-(acor)	H----яг = Q -A~r .	1
v	' dz	r	dr	v p/	1	r	dp K dx2	)
Предполагая, что смещения есть гармонические функции от
гит вида
ur = Ue^yz+Px\ и$ = Уе1(У2+Рх\	(б)
где U, V и IF —функции г и р, приходим к ряду решений.
Крутильные колебания.
При U = W = 0 и V = V (г) первое и третье уравнения (а)
удовлетворяются тождественно, а второе принимает вид уравне-
ния Бесселя:
d2V ,1 dV , < *	1 Л т/ л	/ х
9 Qp2 2
где х2 = —у2.
Интегрируя уравнение (в), получим:
У = Л/1(х, г),	(г)
где Ji (иг) — функция Бесселя первого порядка.
Условия на поверхности удовлетворяются, если х является
корнем уравнения:
При х = О = и V = Аг перемещения будут равны:
iP(l/£2-r)
ur = ur = 0, up = Are v G '.	(e)
Решение (e) представляет собой волну кручения, которая
, f G
распространяется вдоль оси цилиндра со скоростью с2= у -- .
Для цилиндра длиной I со свободными от напряжений тор-
цами получим:
, плг f пл _ / G ,	\
Up = Anr cos -j- cos	у — T + eJ ,
1/4 14 Зак 1215
209
где п—целое число;
е — фаза колебаний.
Продольные колебания
При V = О, U = U(r), W = W(r) второе уравнение (а) удовлет-
воряется тождественно, а первое и третье принимают вид урав-
нений Бесселя:
дг2 1 г дг 1	’	,
(Ж}
а2ш₽ 1 Лор z 1 \	'
Н-----л—Н %2 —9 ) (Ов = О,
дг2 1 г дг 1 \ г2 у р
где
Й2 _ ^Р2	v2 н2 _ ^Р2	у2
п ~х + 2б Y	Х “ G	Y •
Решая уравнения (ж), находим:
Qoc Jo (hr) и сор ос (xr).
Удовлетворяя уравнениям
0 =	+ у + еНуЖ*),
2wp= QyU —	f
получаем
6/ = Я^Л(М + ВуЛ(хг); 1
В d
W - AiyJ0 (hr) + -^- ~ [rJj (xr)].
Напряжения на поверхности цилиндра г = а равны нулю
в том случае, когда постоянные А и В связаны уравнениями:
[2а^^-^4(М]л + 2Су^в-0, 1
}	(и)
2Y^7^^ + (2Y2-^-2p1(’«z)B = 0.	J
Приравняв нулю детерминант уравнений (и), получим уравне-
ние для определения частот.
Поперечные колебания
Приняв
U = (J (г) cosр, V = V(r)sinp, W = W (г) cos р (к)
и подставив эти величины в уравнения (а), получим три диффе-
ренциальных уравнения относительно функций U (г), V (г), W (г),
решение которых имеет вид:
210
U(r) = A dJj(hr'> By d-l^-rl- 4- C ;
v '	dr 1 r dr 1 r ’
у (r\______Д J±(hr)fry Л (Kr)qdJj (xr) .
' '	r	' r	dr ’
W (r) = iAyJi (hr) — (Ви2^ (иг).
(л)
Условия отсутствия напряжений на поверхности имеют
сложный вид и здесь не приводятся [4].
10.5.
Исследовать радиальные колебания тонкого (6=1) кольцевого
диска с внутренним радиусом а и внешним Ь, края которого
свободны от напряжений.
Так как задача полярно-симметричная, расчетное уравнение
в перемещениях, согласно уравнению (6.14), имеет вид:
Zd2 1 д 1\	1—ст2 д2аг_
\дг2 ' г ‘ дг г2 JUr Е 6 дт2 “
Приняв
ur,= W cos (рх + е) *,
получим уравнение Бесселя:
dr2 1 г dr ' \ г2 /
где
И2
1—а2
Е
QP2.
Решая уравнение (в), находим
W = AJi (nr) + BN{ (иг),
и окончательно перемещение принимает вид:
ur = [AJ± (иг) + BNi (иг)] cos (рх + е).
(а)
(б)
(в)
(г)
(Д)
Напряжения определяем по формулам (6.5).
На краях диска при г = а и г = Ь напряжения Rr равны
нулю; это приводит к двум уравнениям:

И
* Задачу можно решать и методом разделения переменных, приняв
ur = R(r) Т(1}.
14* 211
Исключая из этих уравнений А и В, получаем уравнение
частот.
10.6.	Задача Пуассона (1828 г.) [4].
Рассмотреть радиальные колебания полого шара с внешним
радиусом b и внутренним а.
Задача полярно-симметричная: все величины зависят только
ОТ Г И Т И Ua = Up = (Dr = (D|3=(Da = 0.
Согласно первому уравнению (3.36) имеем:
(% + 2G)g-e^ = 0,	(а)
где
0 = ^ + 2-^-. (см. 2.26)
Приняв
ur = AW (г) cos (рт + е),	(б)
получим уравнение:
—tv Ч------—И ( h2----- )W = 0,	(в)
dr2 1 г dr 1 < г2 у ’	v 7
где
Интеграл уравнения (в) будет
Краевые условия задачи:
а
при г= ь
^r = %0 + 2G^ = (X+2G)-^ + 2%-^ = O. (д)
Условие (д) для сферы радиуса г имеет вид:
{(X + 2G) [(2 — Л2г2) sin hr — 2hr cos hr] +
+ 2X (hr cos hr—sin hr)} A + {(X + 2G) [(2—h2r2) cos hr + 2hr sin hr] —
— 2X (hr sin hr + cos hr)} B = 0.	(e)
212
Написав последнее уравнение для значений г = а и г=Ь
и исключив из полученных уравнений Л и В, придем к уравнению
частот:
Kha + (h2a2 — К) tg ha _ Khb + (h2b2 — К) tg hb	,
(h2a2 — K)~Khatgha~~ (h2b2 — K) — Khb tg hb 3	W
где
Для очень тонкого слоя период
Т =	-1^-.	(з)
Для сплошного шара В = 0.
 Задача Дамба (1882 г.) [4].
Исследовать колебания сплошного шара радиуса а, при кото-
рых 0 = 0.
Указания:
1. Решение однородных уравнений (10.7) принять в форме:
^Х, у, z~ R (г) Ух, у, Z (а, Р).
2. Для определения соотношений между функциями Yx,y,z(«,Р)
использовать условие (10.9).
10.7.
Определить перемещения в бесконечном теле от сосредоточен-
ной силы %(т), приложенной в начале координат и действующей
в направлении оси х.
При решении предполагаем, что область Т, где массовые силы
отличны от нуля, неограниченно уменьшается, а
т
X' dx' dy' dz' = XQ,
(a)
где Xo—сила, действующая на точку (%', у', г') в направле-
нии оси х.
В рассматриваемом случае полагаем
(б)
где г—расстояние точки (х, у, z) от начала координат.
15 Зак. 1215
213
Согласно формулам (10.39) определяем величины:
ф'Гт——>=- 1 xfT—;L' = 0;
\ Ci у 4лр Л \ Ci У дх' ’	9
(т-7г)т?-:
N' (’ Нт) = - «(т ~к)	
Разделяя пространство вокруг точки (х, у, г) на тонкие слои
сферическими поверхностями с центром в этой точке, интегралы
(10.38) можно выразить формулами:
Ш“ГФ' 0
СО
= С _ >
J 4jiq л < Ci J г J J dx'
о
где ds—элемент поверхности сферы радиуса г;

если начало координат внутри s;
dr-1 i л 2 dr o'1
д , - ds = 4лг2 - -д^— , если начало координат вне s;
г0 расстояние точки (х, у, г) от начала координат.
В первом случае г0<г, во втором rQ>r.
Интегрируя по г, верхний предел можно заменить г0’
го
) д'о1 Г < г \ .
= ^)dr =
о
г
С1
1	dr-1	(*	//	,ч	1 ,
= л-------5— \ т X (т —т ) du ,
4jtq	дх	J	Л	'
о
где т'=— и вместо г0 принято г.
ci
Аналогично находим:
F = 0;
_ °2
G = -4SFT $
о
т
-1 °2
я==-тнг4г- J
о	J
(в)
214
Определяя перемещения по формулам (10.36) с учетом фор-
мул (в) и (г), получаем:
Г	1
1 д2г~г Р , ,	.	1	/ дг \2 _
Ux= -----------Я~9~ \ Т Xх--------т ) ОТ -4--J----- ( -5— X
4лр дх2 j Л' 4лрг \ дх J
г
V
Г
1	иг	I	/	/	/ч	1 t .	1	иг	иг
UV = ~A-----Ъ \ Т X (Т “ Т )	+“i-------5----И— X
у 4лр	дх ду	J	Л '	4л()г	дх	ду
г
(Д)
С1
0
г
с2
___	1 д2г~г С , , ____________ f.dx' ।	1 дг дг
z 4л9 дх dz j X / г 4ЯрГ
8ncie С0, dz' ду ) [ г X с2)]’
1
4л^р
(е)
 Подсчитать перемещения при % (т) = A cos рт.
Пояснение:
г
с2
J T'x(T-T')dT' = -^-[cosp^T—
С1
— cospf^T	—^sinp(\ —£-)+-^sinp(\ —4“)] •
\ ci У с2	\	с2/ С1	\ С1 У J
Процесс состоит в распространении простых гармонических
волн двух родов со скоростями Ci =	— волна объемного
/~G
-----волна сдвига.
15* 215
 Подсчитать перемещения (д) при %(T) = const и сравнить
с результатами задачи 4.5.
10.8. [61], § 76.
Определить перемещения полуплоскости у>0, когда к гра-
нице у = 0 приложен импульс нормального давления, движущийся
со скоростью с.
Краевые условия имеют вид: при у = 0
Yy= -^-[РЧх-с^+РЦх-ст)],	(а)
Х, = 0.	(б)
Положив в выражении (10.56) я = 0> найдем, что уравнение (б)
будет удовлетворено, если принять
мч(Е)+ (1^|)2	(в)
откуда
№)=-	(г)
Подставив последнее соотношение в формулу (10.54), получим
для Yy следующее выражение:
Yy = (1 +PD"1 Re [(1 +PD2 Fi U0 + W2F; (z2)].	(д)
Таким образом, граничное условие (а) будет удовлетворено,
если принять
р d + №2P(B)	fe)
(1 _|_р2)2_4р1р2 •	< >
Согласно выражениям (10.55) и уравнениям (г) и (е)
°Ux= (1 + Р^Р—4Pip2 Re	(1 + ₽|)2 Р (Z2>] ’ j
R.	(Ж/
<4 = -	(Z0-2P' (z2)]. J
Формулы (ж) выражают решение Снеддона.
 Задача Снеддона [68].
Решить ту же задачу для случая движущегося импульса
касательного давления.
Указание. Краевые условия принять в форме: при х = 0
^ = 0;
Ху =	(х~ст) + Г (*- ст)1-	(3)
216
 Задача Галина [52, 61], § 76.
Исследовать напряженное состояние в полуплоскости //>0
от движения по ее поверхности штампа с постоянной скоростью с.
10.9. См. [61], § 77.
Определить перемещения в полуплоскости у>0, когда к ее
границе у = 0 приложено переменное давление р(х, т).
Введем переменную
Краевые условия задачи имеют вид:
при у = 0
У у —	Р (х, т ), Ху = 0.
Для решения задачи вводим для всех величин, входящих
в выражения (10.42) и (10.43), двумерное преобразование Фурье,
определяемое формулой
J (|, у, (°) = "2~'	f (х, у, х') ei&x+(iyt'y) dx dx'.	(б)
— оо —оо
Если обе части каждого из уравнений в системах (10.42) и
(10.43) умножить на exp [i (gx + oor")] и проинтегрировать по каж-
дому из переменных х и х' от —оо до оо *, то получим систему
совместных дифференциальных уравнений:
ЦХх—^ = (X + 2G) сЛ/х;
(в)
^УХ-_^ = (Л + 2О) g)%.
Ul/
Напряжения определяем по формулам:
Хх= —il(k + 2G)ux + K ;
Yy = - №йх + (% + 2G)	;	<г)
Yx = GC~dy~~i^Uy) •
Если формулы (г) подставить в уравнения (в), то для определения
преобразований Фурье функций их и иу получим два совместных
* Предполагается, что неизвестные уравнений (10.42) и (10.43) стремятся
к нулю, когда величина х2 + у2 ~^оо.
217
дифференциальных уравнения:
<₽!->) «#+ [ р-р1 ]»«=°-
(д)
[Р2(|2_(02)_^-]йх+(р2-1)11^ = 0,
где
R2_X + 2G
Р — G *
Путем исключения членов уравнения (д) можно привести
к простому виду:
П0 С”^/2 (их, иу) = 0,	(е)
где
п* = g2—со2, п22 = £2 — р2со2.	(ж)
Из уравнения (е) получим:
их = А1е-п^ + А2е~п^‘ '
-	(з)
иу = В^-™ + В2е~п*У,
где постоянные интегрирования At и В[ зависят от £ и (о.
Подставив выражения (з) в уравнения (д), найдем следующие
соотношения между постоянными интегрирования:
М2 = ^2Вь n1A1 = i^B1.	(и)
Преобразовав краевые условия (а), получим еще два уравне-
ния:
фр2-2)-^-^их]	=-р(£, «,);
(к)
|*fx_ -g |	=0
L dy ъ »Jy=o
Решая уравнения (и) и (к), находим:
711 ~	2Gc	’	2Gc ’
01 -	2G~c	’ °2-	2G^’
где
c = c(g, co) = (g2—ПЛ,£2.	(Л)
Подставляя эти постоянные в уравнения (з) и обращая полу-
ченные таким образом выражения посредством двумерной инте-
218
гральной теоремы Фурье, получаем для составляющих вектора
перемещения следующие выражения:
“-а $ f
—ОО —оо
—	dt, d<o;
(->
“«-sM
—oo —oo
—	l2nre-n^ ] e-i(E*+««') dl da.
Решение этой задачи методом интегральных преобразований
приведено в [62], стр. 499 — 501.
10.10. См. [69].
Исследовать колебания упругой полуплоскости у>0, когда
на границе ее начинает действовать источник упругих переме-
щений. При т^О полуплоскость находится в покое.
При плоской деформации и отсутствии объемных сил урав-
нения Ламе имеют вид:
(X + G)4|- + GV4e = Q^;
n I дв I ГГ72 _ д^У
+ 0	4- GV Uy — Q дт2 .
При плоском напряженном состоянии вместо X надо брать
л *__ 2XG
“Z + 2G ’
Напряжения определяем по формулам:
Xx = %9 + 2G	;
ди7/
y < ду дх J
Положим при х—>со и | у\ —>со все компоненты вектора
смещений и тензора напряжений стремящимися к нулю.
219
Введем в рассмотрение функцию Ф (х, у, т) и выразим через
нее перемещения:
_ Л+G д2Ф	ч
Ux~ G ' дхду ’	I
_Л + 2С д2ф <Э2Ф	q <Э2Ф	I
Uy~ G ' ду2 + дх2	G ' ~д^ ’ J
Подставляя выражения (б) в уравнения (а), приходим к урав-
нению (10.59). Напряжения выражаем через функцию Ф сле-
дующим образом:
r,_(3l + 4G)-^ + (l + 2G)™_
-(Х+2б)-Д-5^-2;
' 1	' G ду дт2
v V	Л д3Ф ZA . д3Ф д3Ф
Xv — Yx— дхду2 + (А. + 2G) -^3- q д^г • J
(в)
Для решения уравнения (10.59) применим два интегральных
преобразования, а именно: преобразование Лапласа по перемен-
ной т и комплексное преобразование Фурье по переменной у.
Так как рассматривается случай нулевых начальных условий,
надо положить:
ФГг и —аф(%’ У' °)— а2ф(*’ У, °) __ д3Ф(х, /7,0) _п z к
кЛ’ У'	дт ~ ат2 “ дт3	*	v4
Умножая уравнение (10.59) на e~vx и интегрируя по тот0 до оо,
находим вспомогательное дифференциальное уравнение для Ф
с двумя независимыми переменными — х и у:
(42—У’
\	С1 У \	С2 У
где
оо
Ф(х, у, р)= е_ргФ(х, у, т)б/т.
о
Умножая уравнение (д) на и интегрируя по х от —оо
до 4-оо, получаем дифференциальное уравнение:
где
F(a, у, р) = ~т=г
у 2л
оо
ешхф	р)
—оо
220
Ограниченное в бесконечности решение уравнения (е) имеет
вид:
F (а, У, р) = А ехр ( — у }/ а2 + -^- ) +
+ В ехр ( — у ]/а2 +-^J- ,	(ж)
где А и В определяем из условий на границе полупло-
скости у = 0.
Воспользовавшись формулой обращения для комплексного
преобразования Фурье:
ф(*. У. Р)
оо
=	? е-шхр У' рУ^а1
У 2л J
найдем, что
Ф(х, у,
оо	_____
р) = ^7^ S e~iax [л ?)ехр Vа2+7г) +
+ В(а, р)ехр(—у j/a2+-^-^)da.	(з)
Используя затем формулу обращения для преобразования
Лапласа:
у-}-гоо
Ф(х, у, ^=2^7 J еРтФ(х, у, p)dp,	(и)
у—гоо
окончательно получим
у-}-г оо	оо
Ф (х, у, т) = -hU £ е™ (-4= ? e~iax х
’ 2т J I/2л J
у—гоо	—оо
х [ А (а, р) ехр ( - У а2 +
+ В (а, р) ехр ( — у |/ а2 +	] da} dp,	(к)
где А (а, р) и В (а, р) определяем исходя из краевых условий.
Получив из выражения (к) Ф (х, у, т), по формулам (б)
вычисляем составляющие смещения, а по формулам (в)— напря-
жения.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Папкович П. Ф. Теория упругости. М., Оборонгиз, 1939.
2.	В л а с о в В. 3. Избранные труды, т. 1, изд. АН СССР, 1963.
3.	Винокуров Л. П. Прямые методы решения пространственных
и контактных задач для массивов и фундаментов. Изд. ХГУ, Харьков,
1956.
4.	Ляв А. Математическая теория упругости. М.— Л., ОНТИ НКТП СССР,
1935.
5.	Янке Е. иЭмде Ф. Таблицы функций, ГИФМЛ, 1959.
6.	Л у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости. ГИТТЛ,
М., 1953.
7.	Г у р с а Э. Курс математического анализа, т. 3, ч. 1. М.— Л., ОНТИ,
1936.
8.	Tallqvist Н. J. Sechsstellige Tafeln der 32 ersten Kugelfunktionen,
Helsingfors, 1938.
9.	P e к а ч В. Г. Расчет тонких сферических оболочек. Тр. МИСИ,
вып. 34, М., 1963.
10.	Т р и к о м и Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. ИЛ,
1957.
11.	Треффц Е. Математическая теория упругости. М.— Л., ОНТИ, 1934.
12.	Г а л е р к и н Б. Г. Общее решение уравнений теории упругости для
изотропного тела. «ДАН СССР», сер. А, 1930, стр. 355.
См. также [29].
13.	Г а л е р к и н Б. Г. О функциях напряжения. «ДАН СССР», сер. А,
1931, стр. 281.
См. также [29].
14.	П а п к о в и ч П. Ф. Выражение общего интеграла уравнений теории
упругости через гармонические функции. «Изв. АН СССР», сер. матем.
и естеств. наук, 1932, № 10.
См. также [1].
15.	Г р о д с к и й Г. Д. Интегрирование уравнений равновесия упругого
тела вращения при осесимметричном относительно его оси распределении
объемных и поверхностных сил. «Изв. АН СССР», сер. матем. и естеств.
наук, 1934, № 10.
16.	N е u b е г G. Ein neuer Ansatz zur Losung raumlicher Probleme der
Elastizitatstheorie. Zeitschr, fur angew. Math, und Meeh., 14, 1934,
№ 4.
17.	H e й б e p Г. Концентрация напряжений. ГТТИ, 1947.
18.	T p e ф ф ц Е. «Прикл. матем. и механ.», т. 10, вып. 4, 1946.
19.	Г а л е р к и н Б. Г. Упругие прямоугольные и треугольные толстые
плиты. «ДАН СССР», стр. 273, 1931.
См. также п. 29.
20.	М у n d 1 i n R. D. Physics, v. 7, may 1936.
21.	Абрамян Б. Л. К задаче осесимметричной деформации круглого
цилиндра. «ДАН Армян. СССР», XIX, 1954, № 1.
222
22.	Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к плоской
задаче теории упругости. ГТТИ, 1935.
23.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи магемаiпие-
ской теории упругости. Изд. АН СССР, М., 1933, 1937, 1918, 1954.
24.	Власов	В. В. Метод начальных функций в	плоской	задаче	теории
упругости.	Изв. МВ и ССО СССР, Строительство и	архитектура,
1958, № 2.
25.	П а п к о в	и ч П. Ф. Об одной форме решения	плоской	задачи	теории
упругости	для прямоугольной полосы. «ДАН	СССР»,	Новая	серия,
т. XXVII, 1940, № 4.
26.	F a d 1 е J., Die Selbstspannungs Eigenfunktionen der quadratischen
Scheibe, Ing. Archiv Bd. XI, 1940, № 4.
27.	К и т о в e p К. А. Об использовании специальных систем бигармо-
нических функций для решения некоторых задач теории упругости.
' «Прикл. матем. и механ.», т. XVI, вып. 6, 1952.
28.	Варвак П. М. К расчету высоких балок. Сборник трудов Киевского
строительного ин-та, вып. 3, ОНТИ, НКТП, 1936.
29.	Галеркин Б. Г. Расчет трапециедальных плотин. Труды Ленинград-
ского ин-та инженеров путей сообщений, № XCIX, 1929.
См. также Собр. соч. т. 1, АН СССР, 1952.
30.	Ван цзи-де. Прикладная теория упругости. Физматгиз, М., 1959.
31.	Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий, М.— Л.,
ГИТТЛ, 1951.
32.	Власов В. 3. иЛеонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на
упругом основании. Физматгиз, 1960.
33.	R i b i ё г i, Comptes Rendus, Paris, 1898.
34.	L. M. G. F i 1 о n. On an approximative solution for the bending of a beam
of rectanqular cross section etc, Philosoph. Trans. Roy. Soc. of London
A. Series, 1903, v. 201.
35.	Власов В. В. Метод начальных функций в плоской задаче теории
упругости. Канд, диссерт., Изд. МГУ, 1958.
36.	Прокопов В. К. Об одной плоской задаче теории упругости для
прямоугольной области. «Прикл. матем. и механ.», т. XVI, вып. 1, 1952.
37.	Головин X. С. Одна из задач статики упругого тела. Известия
СПб, практического технологического ин-та, т. 3, 1880—1881.
См. также п. 38, § 52.
38.	Кац А. М. Теории упругости. М., ГИТТЛ, 1956.
39.	Р е к а ч В. Г. Некоторые симметричные случаи опирания тел на абсо-
лютно жесткое и гладкое основание в условиях плоской задачи. «Науч-
ные доклады высшей школы, Строительство», 1959, № 1.
40.	Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля, аналитические
и специальные функции, преобразование Лапласа. М., Физматгиз,
1961.
41.	В а й н б е р г Д. В. Местные напряжения в плоском кольцевом диске
от двух сосредоточенных сил. «Прикл. матем. и механ.», т. XIII , вып. 2,
стр. 151 — 158, 1949.
42.	Соляник-Красса К. В. Кручение валов переменного сечения.
М.— Л., Гостехиздат, 1949.
43.	Грей Э., Мэтьюз Г. Б. Функции Бесселя и их приложение
в физике и механике. ИЛ, 1963.
44.	Новожилов В. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958.
45.	М е 1 a n Е.. Techn. Bletter. Prag Nr 48 и 49/50, 1920.
46.	Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. «Мир»,
1964.
47.	Маслов Г. Н. Температурные напряжения и деформации бетонных
массивов на основах теории упругости. «Изв. Научно-исследо-
вательского ин-та гидротехники», т. XIII, 1934.
48.	Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.
«Высшая школа», 1961.
223
49.	Me л а н Э. иПаркус Г. Температурные напряжения, вызываемые
стационарными температурными полями. М., ГИФМЛ, 1958.
50.	Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики.
М., ГИТТЛ, 1954.
51.	Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.— Л.,
Гостехиздат, 1949.
52.	Г а л и н Л. А. Контактные задачи теории упругости. М., Гостехиздат,
1953.
53.	Флорин В. А. Расчет оснований гидротехнических сооружений. М.,
Стройиздат, 1948.
54.	Леонов М. Я. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое
полупространство. «Прикл. матем. и механ.», т. XVII, вып. 1, 1953.
55.	Р е к а ч В. Г. Контактная задача для плоского бруса кругового очерта-
ния. «Изв. Вузов МВ и ССО СССР, Строительство и архитектура»,
1958, № 2.
56.	Галин Л. А. Вдавливание штампа в полуплоскость при наличии сил
трения. «ДАН СССР», т. XXXIX, 1943, № 3.
57.	Шерман Д. И. Плоская задача теории упругости со смешанными
краевыми условиями. Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР, 1938,
№ 88.
58.	R е у 1 е i g h W. Proc. bond. Math., Soc. 17, 4 (1885).
59.	L о v e A. E., Some Problems in Geodynamics, Cambridge, 1911.
60.	R a d о k I. R. Quart. Appl. Math. 14. 289. 1956.
61.	Снеддон И. H. иБерри Д. С. Классическая теория упругости <.
Физматгиз, 1961.
62.	С н е д д о н И. Н. Преобразования Фурье. ИЛ, 1956.
63.	П е т р а ш е н ь Г. И. О рациональном методе решения задач дина-
мической теории упругости в случае слоисто-изотропных областей
с плоскопараллельными границами раздела. Записки ЛГУ, 1956, № 208.
64.	С м и р н о в В. И. и С о б о л е в И. С. Новые методы решения пло-
ской задачи упругих колебаний. Тр. Сейсмологического ин-та, 1932, № 20.
64а. Смирнов В. И. иСоболев И. С. О применении нового метода
к изучению упругих колебаний в пространстве при наличии осевой сим-
метрии. Тр. Сейсмологического ин-та, 1933, № 29.
65.	Е р у г и н Н. П. О функционально-инвариантных решениях. Ученые
записки ЛГУ, 1948, № 15.
66.	С h г е е С., Q и а г t J. Риге and Appl. Math., 23, 335, (1889).
См. также [4], стр. 290, 303.
67.	Р о с h h a m m е г L., J. reine a. augew. Math., 81, (1876).
См. также [4], стр. 300.
68.	S n е d d о n I. N. Rend. Circ. Math. Palermo, 1, 57 (1952).
69.	Б о p о д а ч e в Н. М. Колебания упругой полуплоскости. Труды
Куйбышевского инженерно-строительного ин-та, вып. 5, 1958.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие.................................................... 3
Введение ,..................................................... 1
Глава 1
Теория напряжений
I.	Уравнения статического и динамического равновесия......... 7
1.	Ортогональные криволинейные координаты ................. 7
2.	Прямоугольные координаты................................ 8
3.	Цилиндрические координаты............................... к
4.	Сферические координаты.................................. 9
II.	Условия на поверхности .................................... 9
III.	Напряженное состояние в точке............................ 10
Задачи.................................................. 11
Глава 2
Теория деформаций
I.	Уравнения деформаций в ортогональных	координатах........... 18
1.	Криволинейные координаты............................... 18
2.	Прямоугольные координаты............................... 19
3.	Цилиндрические координаты.............................. 20
4.	Сферические координаты ................................ 21
II.	Деформированное состояние в точке......................... 21
Задачи.................................................. 22
Глава 3
Основные уравнения теории упругости и их решения
для частных случаев
I.	Ортогональные криволинейные координаты.................. 29
1.	Прямая и обратная формы закона Гука................... 29
2.	Уравнения	в	перемещениях............................ 29
3.	Уравнения	в	напряжениях............................. 29
II.	Прямоугольные	координаты................................ 30
1.	Прямая и обратная формы закона Гука................... 30
2.	Уравнения	в	перемещениях............................ 30
3.	Уравнения	в	напряжениях............................. 31
III.	Цилиндрические координаты................................ 31
1.	Прямая и обратная формы закона Гука................... 31
2.	Уравнения в перемещениях.............................. 31
3.	Уравнения в напряжениях............................... 32
IV.	Сферические координаты................................... 32
1.	Прямая и обратная формы закона Гука................... 32
225
Стр.
2.	Уравнения в перемещениях............................... 33
Задачи................................................... 33
Глава 4
Общие решения основных уравнений теории упругости.
Решение пространственных задач
I.	Гармоническое уравнение (Лапласа)........................ 43
1.	Ортогональные криволинейные координаты................. 43
2.	Прямоугольные координаты............................... 48
3.	Цилиндрические координаты.............................  49
4.	Сферические координаты................................. 50
5.	Дополнительные решения................................. 52
II.	Бигармоническое уравнение................................. 53
III.	Краевые задачи для гармонических и бигармонических уравнений 53
1.	Задача Дирихле (первая краевая задача) ................ 53
2.	Задача Неймана (вторая краевая задача) ................ 53
3.	Смешанная задача (третья краевая задача)............... 53
IV.	Различные формы общих решений уравнений Ламе............. 54
1.	Уравнения Ламе в векторной форме....................... 54
2.	Решение	Б. Г. Галеркина................................ 54
3.	Решение П. Ф. Папковича и Г. Д. Гродского.............. 56
4.	Решение	Г. Нейбера..................................... 56
5.	Решение	Е. Треффца..................................... 56
6.	Решение	Ламе .......................................... 57
Задачи................................................... 57
Глава 5
Плоская задача в прямоугольных координатах
I.	Плоское напряженное состояние............................ 74
1.	Уравнения равновесия................................... 74
2.	Геометрические уравнения............................... 74
3.	Физические уравнения................................... 74
4.	Основные уравнения в напряжениях....................... 75
5.	Основные уравнения в перемещениях...................... 75
II.	Плоская деформация........................................ 75
III.	Решение основных уравнений............................... 76
1.	Решение с помощью функций напряжений — перемещений . .	76
2.	Применение комплексной переменной...................... 77
3.	Решение методом начальных функций...................... 79
4.	Использование краевых однородных решений............... 81
5,	Решение в конечных разностях........................... 83
Задачи................................................... 84
Глава 6
Плоская задача в полярных координатах
I.	Плоское напряженное состояние........................... 106
1.	Уравнение равновесия................................   106
2.	Геометрические уравнения ....	  106
3.	Физические уравнения.................................. 106
4.	Основные уравнения в напряжениях	.............. 107
5.	Основные уравнения в перемещениях..................... 107
II.	Плоская деформация....................................... 108
III.	Решение основных уравнений.............................. 108
1.	Решение с помощью функций перемещений — напряжений . .	108
2.	Применение комплексной переменной..................... 109
3.	Использование краевых однородных решений .............. ПО
Задачи.................................................. 112
226
Глава 7
Кручение призматических и цилиндрических стержней Стр.
I.	Чистое кручение стержней постоянного сечения............... 133
1.	Допущения.............................................. 133
2.	Основные уравнения..................................... 133
3.	Решение задачи посредством	функции	Прандтля............ 134
4.	Свойства функции Прандтля.............................. 134
II.	Чистое кручение круглых стержней (валов) переменного егчгннн 135
1.	Допущения.............................................. 135
2.	Основные уравнения..................................... 135
3.	Решение дифференциального	уравнения	кручения вала ....	137
Задачи.................................................. 140
Глава 8
Температурная задача
I.	Установившийся температурный процесс....................... 152
1.	Статические и геометрические уравнения................. 152
2.	Физические уравнения................................... 152
3.	Уравнения Ламе......................................... 153
4.	Уравнения Бсльтрами—Митчела............................ 153
5.	Решение уравнений Ламе................................. 154
6.	Плоская деформация..................................... 155
7.	Плоское напряженное состояние.......................... 156
II.	Неустановившийся температурный процесс.................... 157
Задачи.................................................. 15В
Глава 9
Контактная задача
I.	Действие	силы	на	упругую	полуплоскость................... 172
II.	Действие	силы	на	упругое	полупространство................. 173
III.	Контакт двух упругих тел................................. 173
Задачи.................................................. 174
Глава 10
Динамическая задача
I.	Простое гармоническое движение.......................... 193
II.	Распространение волн в упругой изотропной среде........... 195
III.	Распространение волн по поверхности упругого изотропного тела 197
1.	Волны Релея........................................... 197
2.	Волны Лява............................................ 198
IV.	Возбуждение упругих волн массовыми силами................ 199
V.	Деформирование тел под действием центробежных сил........ 200
VI.	Плоские динамические задачи.............................. 201
1.	Уравнения движения.................................... 201
2.	Уравнения закона Гука................................. 201
3.	Уравнение неразрывности деформаций.................... 201
4.	Метод комплексной переменной.......................... 202
5.	Метод интегральных преобразований..................... 204
6.	Метод функционально-инвариантных	решений ............. 204
Задачи.................................................. 205
Литература.................................................... 222
Владимир Германович Рекач
Руководство к решению задач
по теории упругости
Редактор Т. М. Минаева
Художник И. Н. Копглерман
Технический редактор Л. Л. Ежова
Корректор В. С. Кикоть
•
Т—15222 Сдано в набор 25/VIII—65 г.
Подгг. к печати 15/XII—65г.
Формат б0х901/1в Объем 14,25 печ. л.
10,28 уч.-изд. л.	Изд. № от/174
Тираж 25000 экз. Заказ 1215 Цена 39 коп.
Тематический план издательства «Высшая
школа» (вузы и техникумы) на 1966 г.
Позиция № 101
Москва, И-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 16 Главполи-
графпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9