Автор: Босс В.
Теги: математический анализ функциональный анализ математика дифференциальные уравнения
ISBN: 5-354-00790-9
Год: 2004
Текст
В. Босс
ко
Дифференциальные
уравнения
Краткое
и ясное
изложение
предмета
УРСС
В. Босс
лекции.
МАТЕМАТИКЕ
Дифференциальные
уравнения
Москва
УРСС
ББК22.161.6я73
Бесс В.
Лекции по математике: дифференциальные уравнения.
М.: Едиториал УРСС, 2004. - 208 с.
I§ВN 5-354-00790-9
Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до объ-
объяснений «на пальцах». Значительное внимание уделяется мотивации результатов
и укрупненному видению. Помимо обычной для дифференциальных уравнений
тематики рассматриваются: аттракторы и детерминированный хаос, бифуркации
и катастрофы, солитоны. Просто и достаточно полно излагается теория устойчи-
устойчивости. Среди нововведений — ликбез по аналитической механике, начала теории
регулирования, конусные методы, модели коллективного поведения. «Высокие
материи» рассматриваются на доступном уровне. Определенная автономность
частей позволяет ограничиться любым желаемым срезом содержания. Книга
легко читается.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД №05175 от 25.06.2001 г. Подписано* печати 23.08.2004 г.
Формат 60x90/16. Печ. л. 13. Зак. № 3-1492/665.
Отпечатано в типографии ООО «РОХОС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
I5ВN 5-354-00790-9
ИЗДАТЕЛЬСТВО У МГ С-^ С-^
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Е-таН: 11В55@1Ж55.ш
Каталог изданий
в ШгпеЬ г>Пр://1Ж55.ги
Тел./факс: 7 @95) 135-42-16
Тел./факс: 7 @95) 135-42^6
О Едиториал УРСС, 2004
2550 Ю 21643
9785354 007905 >
Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Вспомогательный материал 8
1.1. Пространство п измерений 8
1.2. Линейные функции и матрицы 10
1.3. Прямоугольные матрицы 13
1.4. Квадратичные формы 14
1.5. Нормы в Кп 15
1.6. Функции и пространства 16
1.7. Принцип сжимающих отображений 17
Часть I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ 19
Глава 2. Общая картина и опорные точки 20
2.1. Объект изучения 20
2.2. Простейшие уравнения и примеры 23
2.3. Существование и единственность 29
2.4. Продолжимость и зависимость от параметра 33
2.5. О структуре и направлениях 36
2.6. Движение по градиенту 41
2.7. Уравнения с частными производными 42
2.8. Об уравнениях первого порядка 45
Глава 3. Линейные уравнения 50
3.1. Исходные понятия 50
3.2. Принципы суперпозиции 52
3.3. Уравнения с постоянными коэффициентами 55
3.4. Системы уравнений 57
3.5. Случай равных корней 58
4 Оглавление
3.6. Неоднородные уравнения 62
3.7. Матричная экспонента 63
3.8. Теорема Лиувилля 67
3.9. Неавтономные системы 68
3.10. Фрагмент из обобщенных функций 70
3.11. Функция Грина и краевые задачи 74
3.12. Операционное исчисление 78
Глава 4. Устойчивость 81
4.1. Основные понятия 81
4.2. Второй метод Ляпунова 84
4.3. Неавтономный случай 88
4.4. Уравнение в вариациях 89
4.5. Обратные теоремы 92
4.6. Устойчивость в целом 94
4.7. Диссипативные системы 96
4.8. Проблема Рауса—Гурвица 97
4.9. Линейные неавтономные системы 99
Глава 5. Колебания 101
5.1. Гармонические сигналы 101
5.2. Вынужденные колебания . ., 103
5.3. Резонансные явления 106
5.4. Связанные системы 109
5.5. Автоколебания 112
5.6. Нелинейный маятник 115
5.7. Волны и солитоны 118
Глава 6. Возмущения и бифуркации 122
6.1. Примеры и предостережения 122
6.2. Бифуркации 123
6.3. Катастрофы 125
6.4. Структурная устойчивость 126
6.5. Парадокс Циглера 129
6.6. Методы усреднения 130
Оглавление 5
Глава 7. Аттракторы и хаос 135
7.1. Эргодичность и перемешивание 135
7.2. Ликвидация противоречий 138
7.3. Адиабатические процессы 140
7.4. Аттракторы и фракталы 143
7.5. Странный аттрактор Лоренца 146
7.6. Сложное в простом 147
Часть II
Дополнения и приложения 150
Глава 8. Теория регулирования 152
8.1. Практические задачи и примеры 152
8.2. Передаточные функции 154
8.3. О подводных рифах 156
8.4. Частотные методы 157
8.5. Задача компенсации 159
8.6. Управляемость 161
Глава 9. Механика 164
9.1. Обобщенные координаты и силы 164
9.2. Уравнения Лагранжа 168
9.3. Формализм Гамильтона 169
9.4. Вариационные принципы 171
9.5. Инвариант Пуанкаре—Картана 172
9.6. Завершение картины 174
Глава 10. Конусные методы 177
10.1. Полуупорядоченность 178
10.2. Монотонность оператора сдвига 178
10.3. Гетеротонные системы 182
10.4. Дифференциальные неравенства 183
10.5. Супероднородность 184
10.6. Примеры 186
10.7. Матричный конус 187
6 Оглавление
Глава 11. Коллективное поведение 189
11.1. Содержательные примеры 189
11.2. Формальная модель 190
11.3. Системы с ограниченным взаимодействием 193
11.4. Гомогенные системы 195
Обозначения 197
Литература 199
Предметный указатель 201
Предисловие
Есть три способа отвечать на вопросы:
сказать необходимое, отвечать с приветли-
приветливостью и наговорить лишнего.
Плутарх
Время меняет ситуацию. Традиционные курсы дифференци-
дифференциальных уравнений стареют, и простого выхода из положения нет.
С одной стороны, ясно, что тематику надо расширять, иначе «мо-
«молодые побеги» — хаос, аттракторы, солитоны и т. п. — будут
расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются
в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много
места остается в этой жизни. Дискретная математика начинает
теснить, виртуальные проблемы... Не говоря об экспансии юриди-
юридического и сексуального пространства. В итоге одно противоречит
другому — и стандартных мер недостает.
Единственное средство — тривиализация дисциплины. Ма-
Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается
и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурно-
вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает
массу свободного места. Затем переосмысливание и переоценка.
Потом отказ от второстепенных деталей. Не насовсем, конечно.
Но из «основ» многое — что загромождает — можно и нужно
вынести за скобки. Наконец, пора вспомнить, что успех достига-
достигается только играючи, вслед за удовольствием. Кто учится говорить
с натугой — остается немым.
На этом фоне писался данный том, который, как и лекции
в целом, адресован «всем», поскольку преподносит некую общую
часть. Не простую и не сложную, но дающую представление
об основах и позволяющую при необходимости двигаться дальше.
Глава 1
Вспомогательный материал
Подготовительная часть работы занимает 90 % времени
1.1. Пространство п измерений
При изучении функций
и = 1(хх,х2,...,хп)
переменные Х\, ..., хп называют координатами, набор х = {х\, ..., хп} — век-
вектором, — направляя мысль по пути ассоциаций с геометрией обычного про-
пространства. Постепенно выясняется, что в аналогии заключено больше смысла,
чем можно было бы ожидать.
Для х, у вводятся стандартные операции: умножение на скаляр А,
Хх = {Лжь ..., Ххп};
сложение и вычитание,
х±у = {х]±у],...,хп±уп},
а также скалярное произведение,
ж-у = ж1у, + ... + жпуп,
с помощью которого задается норма (длина вектора),
В некоторых ситуациях для скалярного произведения используется специ-
специальное обозначение (х,у), а также максимально простое ху — там, где ясно,
о чем идет речь.
Множество векторов, на которых введены перечисленные операции, назы-
называют п -мерным евклидовым пространством и обозначают Кп.
1.1. Пространство п измерений
Сталкиваясь с вариациями обозначений, студенты иногда проявляют недо-
недовольство. Почему бы, мол, не стандартизовать? Вообще говоря, можно, избавля-
избавляясь заодно от синонимов в разговорном языке.
Вариации позволяют учитывать обстоятельства. Например, «формула пере-
переброски матрицы» с первого множителя на второй (см. далее),
{Ах,у) = (х,Ату),
в отсутствие обозначения (ж, у) оказывается «как без рук». Но в других ситу-
ситуациях (ж, у) выглядит чересчур громоздко. Вариант ху представляется самым
экономным, однако точка в х • у иногда придает формуле визуальную ясность.
Полужирный шрифт для обозначения векторов выглядит заманчиво, но если
векторов много — рябит в глазах.
Поэтому любой стандарт, как и медаль, имеет две стороны.
Умножение на число растягивает (|Л| > 1) или сжимает (|Л| < 1) вектор,
не меняя направления при Л > 0, и меняет его на противоположное при
Л < 0. Сложение соответствует обычному правилу сложения векторов по правилу
параллелограмма. Вычитание выводится из сложения: Ь — а определяется как
вектор, который в сумме с а дает Ь.
На плоскости скалярному произведению соответствует перемножение длин
векторов на косинус угла между ними. В общем случае такая интерпретация
может быть сохранена благодаря известному неравенству Коши—Буняковского,
Хф + . . . + Хпуп
которое дает возможность ввести понятие косинуса угла при любом п,
Векторы х, у определяют как ортогональные, если их скалярное произведе-
произведение равно нулю, х • у = 0.
Важная роль ортогональности заключена в том, что с ее помощью определя-
определяется понятие плоскости, как множества векторов ж, ортогональных некоторому
вектору а,
а-ж = 0, т.е.
Говорят, что множество векторов {ж1,..., ж*} линейно зависимо, если суще-
существуют такие коэффициенты Ль ..., А*, не все равные нулю, что
Л,ж'
=0.
10
Глава 1. Вспомогательный материал
Коллинеарные векторы х\ например, — всегда линейно зависимы.
Линейно независимое множество {е1,..., еп} называют базисом, если любой
вектор х можно представить в виде линейной комбинации
Стандартный базис Кп:
с, = {1,0 0},
= {0,1,...,0},
ся = {0,0,... ,п}.
Число п векторов, составляющих базис (и не зависящее от выбора послед-
последнего), определяет размерность пространства.
1.2. Линейные функции и матрицы
Линейная функция
... + апхп
принимает постоянные значения а • х = C на «плоскостях», параллельных плос-
плоскости а - х = 0. Действительно, из а • и = /3, а-у = /3 следует а • (и — у) = 0, т. е.
вектор и — V параллелен (лежит в) плоскости а • х = 0.
Множества а- х = /3 называют гиперплоскостями2*, чтобы подчеркнуть, что
они не являются линейными пространствами, которым положено вместе с век-
векторами содержать их сумму. Другими словами, гиперплоскость — это плоскость,
не проходящая через начало координат.
Важную роль в анализе играет понятие линейного оператора, сопоставляю-
сопоставляющего вектору х = {х\,..., хп] вектор у = {у\,..., уп] по правилу:
•. • + а\пхп,
... + а2пхп,
. Уп =
Таблицу коэффициентов А = [а^],
А =
а>\\ «12
а21 а22
... + аппхп.
а>\п
а2п
ап\ ап2 ... а,
называют матрицей, и коротко пишут у = Ах, определяя тем самым умножение
матрицы на вектор.
Умножение матрицы на скаляр 7 и сложение А = [а^] и В = [Ь|;] опреде-
определяются так:
') Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой, т. е. векторы, которые
одинаково или противоположно направлены.
2* А иногда — и просто плоскостями, допуская вольность терминологии.
1.2. Линейные функции и матрицы
11
При этом, очевидно,
А(Хх + ру) = ХАх +
Умножение А на В дает матрицу С = АВ с элементами
A.1)
Правило умножения матриц возникает автоматически, если на матрицы
смотреть как на линейные операторы. Вектор х под действием оператора В
переходит в г = Вх, а вектор г под действием оператора А переходит в у = Аг.
Результирующее преобразование х в у определяется матрицей С = АВ с эле-
элементами с,^, формула вычисления которых A.1) определяется обыкновенным
приведением подобных.
Матрица АТ с элементами а^ = а^ называется транспонированной к А.
Иногда вместо АТ используют обозначение А'.
Обратной к А называют матрицу А~], такую что
А~1А = АА~] =
где / — единичная матрица,
1 =
О О
определяющая тождественное преобразование 1х = х. Иногда используют обо-
обозначение / = сНа§ {1,..., 1}.
Единичный куб, построенный на векторах (ребрах)
е, = {1,0,... ,0}, е2 = {0, 1,..., 0}, ... еп = {0, 0,..., п},
под действием матрицы (оператора) А = [а,;] переходит в параллелепипед,
построенный на вектор-столбцах
A.2)
Объем этого параллелепипеда естественно считать коэффициентом искаже-
искажения объема 6(А) линейного оператора (матрицы) А.
С тем же коэффициентом искажения объема происходит преобразование
любого тела п. Действительно, п можно разбить на N мелких кубиков (со сто-
стороной е и объемом еп), и тем самым сколь угодно точно приблизить объем п
величиной N • еп. Каждый кубик под действием матрицы А перейдет в паралле-
12 Глава 1. Вспомогательный материал
лепипед объема 6(А) • еп. Поэтому ясно, что матрица А искажает объем любого
тела в 6(А) раз.
Коэффициент искажения объема — со знаком плюс (минус), если векто-
векторы A.2) образуют правую (левую) систему координат — называется детерминан-
детерминантом А и обозначается как йехА, либо |Л|.
Из определения очевидно:
Aе1 АВ = йе1 А йе1 В.
Детерминанты в линейном анализе играют важную роль в первую очередь
потому, что позволяют отличить вырожденную матрицу, для которой йехА = О,
от невырожденной (с1е1 А ф 0).
Вырожденная матрица А:
• не имеет обратной А~];
• сплющивает объемы (до нуля)',
• любые п линейно независимых векторов переводит в линейно зависимые век-
векторы;
• имеет (обязательно) линейно зависимые вектор-строки и линейно зависимые
вектор-столбцы;
• приводит к уравнению Ах = Ь, которое не решается при Ь ф 0, а при 6 = 0 —
имеет бесконечно много решений.
Замена координат. При переходе к другой (штрихованной) системе координат
с помощью невырожденной матрицы Т:
х = Тх,
соотношение и = Ау после подстановки и = Ту! , у = Ту' и умножения слева
на Т переходит в
и =ТГ]АТу.
Поэтому в новой (штрихованной) системе координат линейному оператору А
соответствует матрица
А' =
A.3)
Исходя из A.3) преобразование Т пытаются выбрать так, чтобы матрица
приобрела в новой системе координат наиболее простой вид.
Главными инвариантами матрицы А являются собственные значения —
корни характеристического уравнения
й& (А - XI) = 0.
1.3. Прямоугольные ма трицы 13
Другими словами, собственные значения3) Л|,...,Л„ матрицы А — это те
значения параметра Л, при которых уравнение
Ах = \х A.4)
имеет ненулевые решения, которые называют собственными векторами матри-
матрицы А.
Если существует п различных собственных векторов 4), то их можно принять
за единичные орты новой системы координат, и тогда в этой системе матрица
Т~]АТ принимает диагональный вид, Т~]АТ = сИа§ {Ль ..., Л„}.
Разумеется, Т может содержать комплексные элементы, поскольку соб-
собственные значения могут быть комплексными.
Рассмотрение комплексных векторов и матриц — в какой-то степени
больной вопрос. Начинается-то все с обыкновенных чисел. Но в каких-
то ситуациях без выхода в комплексную плоскость перестает ре-
решаться характеристическое уравнение. Потом возникают проблемы
с собственными векторами. Затем — с функциями от матриц. В кон-
конце концов получается, что с самого начала проще махнуть рукой —
и все считать комплексным. Тому, кто не проходит самостоятельно
такой путь вынужденных уступок, комплексные матрицы кажутся
злонамеренной выдумкой.
Логика комплексификации математического знания более-менее
прослеживается в [8].
1.3. Прямоугольные матрицы
Прямоугольную матрицу А, имеющую га строк и п столбцов, называют га х п
матрицей. Кое-что при переходе от квадратных матриц к прямоугольным теряет
смысл (детерминант, например), но многое — сохраняется. С некоторыми уточ-
уточнениями, конечно. Например, произведение С = АВ вычисляется по той же
формуле A.1), но теперь при условии, что число столбцов А равно числу строк В.
В противном случае АВ не имеет смысла.
Идеология прямоугольных матриц позволяет освободиться от разграничения
матриц и векторов. Теперь все можно считать матрицами — но надо следить,
какую «матрицу» представляет собой вектор — вектор-столбец или вектор-
строку? Чтобы квадратную матрицу А умножать на х справа, надо, чтобы х был
обязательно вектор-столбцом, который можно транспонировать, превратив его
в вектор-строку хТ, — и тогда возможно хтА.
Поэтому, как правило, векторы считаются вектор-столбцами. Скалярное
произведение (ж, у) при этом записывается в виде хту.
3) Множество собственных значений называют иногда спектром, а максимальное зна-
значение модуля |А*| — спектральным радиусом матрицы А.
4) Если не существует (что может быть лишь при наличии равных собственных значе-
значений), — приходится использовать жордановы формы [11].
14 Глава 1. Вспомогательный материал
Такая стандартизация удобна и постепенно становится общепринятой.
Но у любого стандарта есть противники. Вопрос чисто психологический. Многим
удобнее вектор записывать в строчку и так его и мыслить. А уж если в голове
матрицы и векторы лежат на разных полочках, то их объединение в одну кате-
категорию — раздражает. Если кто-то знает, как с этим бороться, то у него широкое
поле деятельности5).
1.3.1. Определение. Максимальное число линейно независимых вектор-строк
либо вектор-столбцов матрицы А называется ее рангом и обозначается как гапк А.
В данном определении «заложена теорема», поскольку совпадение мак-
максимального числа линейно независимых строк и столбцов сразу неочевидно,
но это так.
1.4. Квадратичные формы
При изучении линейных систем широко используются квадратичные функции
(формы)
(Ух,Х) = У^УуХгХ^,
задаваемые с помощью квадратной матрицы У, которая обычно предполагается
симметричной 6\ у^ = г;;,, поскольку в разложении (Ух,х) коэффициент при
Х{Х] равен у^+у^ — и матрицу можно симметризовать, заменив г;^ на полусумму
(»•; + »л)/2-
Но при необходимости рассмотрения скалярного произведения (Ух, у)
симметризация не проходит, и тогда работает формула
(Ух,у)=(х,УТу).
При переходе к другой (штрихованной) системе координат с помощью
невырожденной матрицы 5:
х = 8х\
функция (Ух, х) после подстановки х = 8х' переходит в
(Ух, х) = (У8х\ 8х') = (8тУ8х\ х1) = (Ух\ х1) ,
откуда ясно, что матрица У, задающая квадратичную форму, при линейной замене
системы координат преобразуется по правилу
У' = 8ТУ8,
A.5)
5) От внедрения метрической системы в Англии — до примирения католиков с проте-
протестантами.
6^ Стандартом считается название «симметрическая».
1.5. Нормы в Кп 15
что отличается от A.3). Но для ортогональных преобразований7
и тогда формулы A.3) и A.5) совпадают.
1.5. Нормы в Кп
Норма может определяться не только как ||ж|| = у/(х~х). Вообще, нормой век-
вектора х € Кп называют положительное число ||ж||, удовлетворяющее следующим
требованиям:
2. ||ж + 2/||^||ж|| + |Ы1 (неравенство треугольника);
3. ||аж|| = |а| • ||ж|| для любого а € (-оо, оо).
Всякая норма порождает метрику р(х, у) = \\х — у\\.
Помимо евклидовой нормы ||ж|| = \/(ж, х) часто используется норма
||2||„ = у/(х,Ух),
где V — положительно определенная матрица; а также
||ж||т = тах |ж,-| (кубическая норма),
г
||ж||/ = ^2 М (октаэдрическая норма).
1=1
Норма однозначно определяется указанием единичного шара, в качестве ко-
которого может быть «назначено» любое выпуклое центрально-симметричное тело.
Выбор нормы «под задачу», как правило, существенно облегчает решение.
Основу свободного манипулирования нормами дает следующее утверждение.
1.5.1. В Кп все нормы эквивалентны (с точки зрения сходимости), т. е. для любых
двух норм || • || 1, || • ||2 можно указать такие константы а и /3, что
при любом х € Кп.
7^ При ортогональном преобразовании длина вектора не меняется, поэтому
(х,х) = (8х,8х)= (х,5т5х),
т.е. 8Т8 = /, что и означает 8Т = 8~].
16 Глава 1. Вспомогательный материал
-4 Норма однозначно определяется заданием единичного шара, а функция
<р(х) = \\х\\\ на множестве ||ж||2 = 1 достигает своих минимального G > 0)
и максимального F > 0) значений8^. Поэтому
711*112^11*11, < *||*||2
при любом х € Яп, что и доказывает утверждение 1.5.1. >
Нормой матрицы А называют положительное число ||Л||, удовлетворяющее
тем же самым условиям 1-3, если в них векторы заменить на матрицы.
Поскольку матрицы — это, по существу, линейные операторы в Кп, до-
дополнительно необходимо согласование норм векторов и матриц, чтобы была
возможность оценки образов Ах. Норма матрицы ||Л|| называется согласованной
с нормой вектора ||х||, если для любых А и х
1И*1К 1141 • ||*||
и для любых матриц А и В выполняется неравенство ||АВ|| ^ ||Л|| • ||Б||.
Чтобы неравенство ||Аг|| ^ ||Л|| • ||х|| давало хорошую оценку, оно долж-
должно быть неулучшаемо. Это мотивирует выделение в самостоятельное понятие
подчиненной нормы матрицы:
||41 \\Ах\\.
Нормам || • ||т и || • ||/ подчинены, соответственно,
п
\\А\\т = тах ^2 1°0'1> (строчная норма),
п
||А||/ = тах 2_^ 1а»;1' (столбцовая норма).
Евклидовой норме подчинена так называемая спектральная норма матрицы,
равная квадратному корню из максимального модуля собственного числа мат-
матрицы АТА. С вычислительной точки зрения это не совсем удобно — поэтому
в «евклидовом случае» чаще используют согласованную норму
где суммирование идет по всем г,].
1.6. Функции и пространства
Функцию /(х) называют непрерывной в точке ж0, если по любому е > 0 можно
указать такое 6, что
||х - 20|| < * => \\№ ~
Речь идет о конечномерном пространстве.
1.7. Принцип сжимающих отображений 17
Понятно, что 6 здесь определяется как величиной е > О, так и Жо. Если 6 от Хо —
не зависит, — говорят о равномерной непрерывности /(ж).
Если / зависит еще и от параметра I, т. е. /(ж, I), то указание 6 по е > О
и ж0 определяется, в общем случае, еще и параметром I. Если от I не зависит, —
говорят о равностепенной непрерывности /(ж, ^) по I в точке Жо.
Множество непрерывных функций ж(^), заданных на компактном множе-
множестве п, с нормой
||ж|| = тах|ж@1
называют пространством непрерывных функций и обозначают С[П], либо про-
просто С, если понятно, о каком п идет речь.
Пространство непрерывно дифференцируемых функций хA) с нормой
1еп
обозначают как С1 [И].
1.7. Принцип сжимающих отображений
Точку ж*, удовлетворяющую уравнению
называют неподвижной точкой оператора /.
Пара (X, р), где р(х, у) = \\х - у\\, является полным метрическим простран-
пространством, если любая последовательность Коши сходится. Другими словами, (X, р)
полно, если из р(хп,хт) -» 0 вытекает существование предела у последователь-
последовательности жп.
1.7.1. Отображение /, действующее в метрическом пространстве (X, р), назы-
называется сжимающим (сжатием), если существует такое Л < 1, что
р(/(ж), /(у)) ^ \р(х, у) для любых х,уеХ. A.6)
1.7.2. Всякое сжимающее отображение /, действующее в полном метрическом
пространстве, имеет неподвижную точку ж*, которая единственна. Последова-
Последовательные приближения ж* = /(ж*) сходятся к х* независимо от ж0.
-4 Покажем, что любая последовательность ж*, определяемая итерацион-
итерационной процедурой ж* = /(ж*), является последовательностью Коши. Очевидно,
II*" - *"|| < Ы*")|| + АН*" - хт\\ + \\Ыхт)\\,
18 Глава 1. Вспомогательный материал
Следовательно,
\\Х»-Х"\\^{Х"\+_1{Хт)^0 («,»-. оо).
Здесь мы воспользовались тем, что (р(х) на любой последовательности
хк+] = /(ж*) убывает до нуля, поскольку (р(хк~*~]) ^ \(р(хк), что вытекает из A.6).
Остается заметить, что пространство (X, р) полно. Поэтому хк -+ х*. В силу
A.6) оператор / непрерывен. Поэтому х* = /(х*). Двух неподвижных точек быть
не может, благодаря тому же неравенству A.6). >
ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Опасно понимать новые вещи
слишком быстро.
Дж. Уоррен
Изложение рассчитано на тех, кто с дифурами уже имел дело.
В той или иной степени — но, так или иначе, приобрел первые
навыки. Без этого любая попытка овладеть теорией «с листа»
просто бессмысленна, в чем полезно отдавать себе отчет, чтобы
не превратить жизнь в пустое занятие.
Никто же не учится танцевать, не вставая с постели. Матема-
Математика в этом отношении ничуть не проще. Но и не сложнее, кстати.
Практика дает потрясающие результаты, о чем большинство не по-
подозревает.
В любом случае изначально требуются определенные само-
самостоятельные шаги, чтобы «не читать иностранные книги, не зная
языка». Привыкнуть к основным понятиям и повозиться с простей-
простейшими задачами — вот что необходимо на этапе предварительного
знакомства с предметом. Успех дела на 90 % определяется соб-
собственными усилиями. Черед нормального учебника настает в тот
момент, когда в результате самостоятельной работы потенциал
недоумения достигает определенного накала.
Глава 2
Общая картина и опорные точки
2.1. Объект изучения
Дифференциальные уравнения (дифуры) — это уравнения, содер-
содержащие производные. Например, обыкновенное дифференциальное
уравнение п-го порядка,
где функция (р задана, а х{1) подлежит определению. Перемен-
Переменная I — как правило, время х\
Для совокупностей функций хA) = {х\{1),..., хпA)} рассмат-
рассматривают системы дифференциальных уравнений 2)
&к = Л(жь...-,жп,<), к= 1,...,п,
что записывается в векторной форме как
х = /(ж, I)
B.1)
и далее служит основным объектом изучения.
К виду B.1) легко приводится дифур п-го порядка
с помощью замены Х\ = у, х^ — у\ ..., хп = у^п~хК которая дает систему
ж,=ж2, ж2 = ж3, ..., хп =гр(хп, ...,х2,х191).
B.2)
B.3)
1)
Но изредка встречаются задачи с другой содержательной интерпретацией.
' Точка сверху обозначает первую производную.
2.1. Объект изучения
21
Специфика B.3) такова, что дифференцируемость решения х влечет за собой
п-кратную дифференцируемость координаты Х\ = у. Поэтому B.2) и B.3)
действительно эквивалентны.
На практике существует много промежуточных форм дифференциальных
уравнений. Например, системы уравнений второго порядка 3\ которые можно
изучать «как есть», а можно приводить сначала к виду B.1). Или, скажем,
уравнения Ф(ж, ж, I) = 0, не разрешенные относительно производной, где есть,
конечно, своя специфика, но трудности вторичны4). К тому же, если отвлекаться
на осмотр каждого закоулка — леса за деревьями не увидишь.
Фазовое пространство. Систему B.1) удобно трактовать как закон
движения точки х в неком п-мерном (вспомогательном, фик-
фиктивном) пространстве Кп, которое принято называть фазовым,
а переменные жг- — фазовыми. В случае автономной системы 5\
х = /(ж), движению точки соответствует траектория в Кп. Со-
Совокупность всех таких траекторий называют фазовым портретом
а) б)
Рис. 2.1. Карта воздушных потоков (а), смерч (б)
системы. Говорят также о поле скоростей /(ж), определяющем на-
направление допустимого движения в каждой точке х фазового про-
пространства. Фазовый портрет системы может выглядеть, например,
как на рис. 2.1а. Трехмерный вариант потоков при образовании
смерча изображен на рис. 2.1 б.
Оба приведенных примера соответствуют тому относительно редкому слу-
случаю, когда фазовое пространство совпадает с обычным физическим простран-
3* Это особенно характерно для механических приложений.
4' Вторичные трудности бывают хуже первичных. Если уравнение Ф(х, х, I) = 0 не вез-
везде разрешимо относительно х и траектория х(г) подходит к точке неразрешимости, —
возникает парадокс невозможности движения (например, парадокс Пенлеве при сухом
скольжении тяжелой точки подвеса маятника [2]). Причина обычно заключается в неаде-
неадекватности модели Ф(ж, х, г) = 0 реальной физической задаче.
5) Правые части которой, по определению, не зависят от времени.
22
Глава 2. Общая картина и опорные точки
Рис. 2.2. Траектории маятника
в фазовом пространстве
ством. Чаще фазовые переменные имеют
вспомогательный характер. Скажем, дви-
движение маятника х + ш2х = О обычно пере-
переписывается в переменных {ж, у = х} в виде
системы
х = у, у = -ш2х.
В итоге маятник движется «туда-сюда»,
но в переменных {ж, у} — «положение-
скорость» — траектории {хA), у (г)} вы-
выглядят как на рис. 2.2.
Заметим, наконец, что неавтономная система, х — }{х,1),
всегда может быть переведена в автономную добавлением к фа-
фазовым переменным времени I и, соответственно, добавлением к
х = /(ж, I) еще одного уравнения I = 1. Такой фокус дает возмож-
возможность построить геометрическую картинку, но, разумеется, никак
не устраняет принципиальную разницу между автономным и неав-
неавтономным движением. Например, весомую часть теории автоном-
автономных систем, х = /(ж), составляет изучение динамики в окрест-
окрестности точек равновесия, характеризуемых обнулением скорости,
^(ж) = 0. Понятно, что у искусственной автономной системы,
точки равновесия отсутствуют.
Задача Коши. Уравнение х = /(ж, I) всегда имеет множество (се-
(семейство) решений хA). Конкретная траектория хA) может быть
выделена каким-либо дополнительным условием — например,
фиксацией значения хA) в момент I = з. Такая задача,
• -((г** ¦/Л г»»I \ — г»» /о л\
•С — Ту*С, Ь), *С\Ъ) — *^0? \ /
называется задачей Коши, решением которой, по существу, явля-
является хA) = хA; з, Жо). Отображение V'81 (эквивалентное обозначе-
обозначение {/$,*), переводящее точку ж(з) = Жо в хA),
2.2. Простейшие уравнения и примеры
23
называют оператором сдвига по траекториям системы6). Автоном-
Автономные системы характеризуются свойством
= Щ-8.
Полугрупповое свойство оператора сдвига,
означает, что движение из любой точки х8 не зависит от того,
как система двигалась до этого. Другими словами, если а^ = {7г<жг
и «по дороге» в момент 5 система пришла в точку х89 то о предыс-
предыстории можно забыть и определить х% как х% = Т]&хв.
В автономном случае полугрупповое свойство приобретает вид
B.5)
В качестве иллюстрации рассмотрим уравнение х + х = О, решением кото-
которого служит
ХA) = С{ $т1 + С2 СО8^.
Определение констант с{, с2 при начальных данных
х@) = 0, х@) = 1
дает хA) = $т1, при этом х'A) = со$2.
Решением х(з) с начальными данными
х@) = $тг, х@) = со$1
будет х(з) = сов ^ 81П 5 + 81ПI сов 5. Из B.5) теперь следует известная тригономет-
тригонометрическая формула
81П (I + в) = СО8 I 81П 5 + 81П I СО8 5.
2.2. Простейшие уравнения и примеры
Для дифференциального уравнения
6* В неавтономном случае, вообще говоря, через любую точку
траекторий, параметрически зависящий от 5 в B.4).
проходит пучок
24
Глава 2. Общая картина и опорные точки
решение сводится к обыкновенному интегрированию:
где с — произвольная константа.
Еще одно простое уравнение, х = /(ж), т.е.
7)
эквивалентно уравнению
интегрирование которого дает
/(*)
/*>-/*-'-
что неявно определяет функцию жB).
Например, для
/?¦/¦
х — Хх
легко получаем:
1п х = XI + соп51
= сем
Уравнение
* = /(«, О
B.6)
в общем случае уже не решается ни в элементарных функциях, ни в квадрату-
квадратурах 8\ При этом «нерешаемыми» оказываются самые простые с виду уравнения.
Например, х = х2 + I2.
Тот факт, что дифур не решается аналитически, никаких фа-
фатальных последствий не имеет. Как правило, достаточно, и даже
предпочтительно, располагать численными решениями, изобража-
изображаемыми на экранах мониторов.
Тем не менее до сих пор большое внимание уделяется различ-
различным ухищрениям, позволяющим определенные уравнения решать
аналитически. При этом нельзя сказать, что такой вид деятельно-
деятельности себя изживает в связи с компьютеризацией. Дело в том, что,
7' Благодаря тому, что с дифференциалами можно обращаться как с обыкновенными
дробями, см. [7].
' То есть решение не удается записать даже с участием интегралов.
2.2. Простейшие уравнения и примеры 25
как это часто бывает, главная польза заключается в «побочных
эффектах». Поиск решения вроде бы служит основным моти-
мотивом, но соответствующие манипуляции попутно дают нечто более
существенное — умение преобразовывать уравнения, упрощать
и выявлять их свойства.
Вот один из комфортно интегрируемых вариантов уравнения B.6), называ-
называемый уравнением с разделяющимися переменными, х = <р(х)г/)A). В эквивалентной
записи
что ведет к решению в квадратурах
неявно определяющему х{1).
К разделению переменных могут приводить дополнительные ухищрения
(замены переменных). Рассмотрим два характерных примера.
Уравнение 9)
5-*-' <">
не меняется под действием преобразований
х = х - и, у = у - 2и,
которые не меняют также функции г = 2х - у. Поэтому замена г = 2х - у сразу
упрощает B.7), приводя к уравнению с разделяющимися переменными
а
— их.
2-х
Вот более сложный пример. Уравнение Абеля второго рода
как легко убедиться, инвариантно относительно преобразований
х = кх, у = -у.
К
Эти же преобразования не влияют на функцию г = ху. Поэтому переход
от переменных (ж, у) к (ж, х) упрощает B.8) и дает интегрируемое уравнение
их
' Обозначение переменных здесь подчеркивает, что аргументом может быть не обяза-
обязательно время.
26
Глава 2. Общая картина и опорные точки
(!) Последние два примера не имеют большого самостоятельного значения,
а вот использованный инструмент заслуживает пристального внимания. Речь идет
о выявлении инвариантности изучаемых уравнений к тем или иным преобразованиям.
Это, как правило, дает полезную информацию о свойствах решений, наличии законов
сохранения и т.п.
В качестве примеров обычно предпочитают что-нибудь взятое
с потолка, но стерильное, нежели уравнения движения, скажем,
механической системы. Необходимость вникать еще и в физику
иногда раздражает. Тем не менее подключение физики чаще всего
плодотворно. Более того, практически это едва ли не единственная
путеводная нить, способная удержать от бессмысленных блужда-
блужданий по лабиринту выдуманного знания. Примеры с потолка тоже
полезны, но в меру.
Колебания. Если положение материальной точки массы га харак-
характеризуется координатой х, то второй закон Ньютона приводит
к уравнению тх = Р(х), когда сила Р зависит только от х, либо
к уравнению
тх = Р(х,х,1)
в более общем случае.
*) б)
У//
Рис. 2.3. Маятники
В частности, маятник на пружине — рис. 2.3 а — движется в соответствии
с уравнением тх + кх = О, где к — коэффициент упругости пружины, т —
масса грузика.
Движение подвешенного маятника, изображенного на рис. 2.3#, описывается
так
ф + у 51П <р = О,
что для малых колебаний, в силу <р « $т ^?, переходит в
B.9)
B.10)
2.2. Простейшие уравнения и примеры 27
Крутильные колебания — рис. 2.3 в — описывает такое же уравнение
1<р + 3(р — О
(/ — момент инерции диска, 3(р — крутящий момент стержня).
В компанию механических маятников не случайно попадает и колебатель-
колебательный контур, — рис. 2.3 г — представляющий собой электрический маятник.
Уравнение колебаний снова имеет тот же вид,
названия коэффициентов другие: ^ — электрический заряд, X — индуктивность,
С — емкость. Место «возвращающей силы» занимает электрическое напряже-
напряжение
Таким образом, малые колебания всех маятников единообраз-
единообразно описываются уравнением
= 0.
B.11)
В конкретных задачах меняется лишь интерпретация перемен-
переменных. Общим решением B.11) служит
хA) = А 81П (и>1 + д),
где А — амплитуда, д — сдвиг по фазе, ш — круговая частота10).
Задание начальных условий определяет выбор констант А, д.
Вместо А 51П (ш1 + 6) в качестве хA) с тем же успехом используется
А сов (ш1 + 6) либо
ХA) = С\ $\ПШ1 + С2 СО5 072,
где выбором значений констант С\, с2 можно удовлетворить любым начальным
условиям п): ж@) = х0, х@) = у0.
Все эти варианты равносильны (сводятся один к другому подбором кон-
констант). Тот факт, что они удовлетворяют B.11), легко проверяется. Отсутствие
иных решений вытекает из теорем единственности (см. далее).
10^ Величину ш называют также просто частотой, хотя ш — 2тг*/, где V — обыкновенная
частота.
' Конечно, в реальных задачах уравнение B.11) служит лишь хорошей моделью малых
колебаний. Но само по себе оно описывает колебания любой амплитуды.
28
Глава 2. Общая картина и опорные точки
Наряду с уравнением B.11) незатухающих колебаний рассмат-
рассматривается также уравнение колебаний при наличии вязкого трения
х
х = 0.
B.12)
Все это примеры линейных дифференциальных уравнений, на ко-
которых еще недавно базировалась вся физика. Сейчас, конечно, вся
эта богатая и красивая наука уже набила оскомину. Колесо ис-
истории повернулось в сторону изучения нелинейных процессов.
Но эмоции не меняют устройства мироздания. Многие природные
явления по-прежнему линейны.
Обратим внимание на уникальную особенность, с которой
сталкивается здесь теория. Примеры обычно отражают лишь неко-
некоторые грани общих моделей. В данном случае изучение линейных
уравнений второго порядка B.12) равносильно изучению любого
конкретного примера: маятника (неважно какого), колебательного
контура и т. п. Другими словами, с некоторой натяжкой маят-
маятник по богатству содержания не уступает линейным уравнениям
второго порядка общего вида.
Систематически линейные уравнения рассматриваются в сле-
следующей главе. В то же время общие принципы усматриваются
на «маленьком» примере B.12), при решении которого уже не уда-
удается обойтись тригонометрическими функциями, что естественно,
ибо трение ведет к энергетическим потерям и колебания должны
затухать. В качестве решения напрашивается ехг, поскольку диф-
дифференцирование экспоненты сводится к умножению на константу,
= Хе
м
B.13)
В результате подстановка еА< в B.12) дает
(А2 + 7А + и2)еМ = 0.
Поэтому, если А — корень уравнения
А2 + 7А + ш2 = 0,
B.14)
2.3. Существование и единственность 29
то ехг — удовлетворяет B.12). Получается, что общее решение
имеет вид
где Аь А2 — корни B.14).
В случае комплексных корней \\, \2 возникает впечатление,
что нашла коса на камень. Но тревога оказывается ложной. Более
того, все разрешается наилучшим образом — эффективно и просто.
Если ем удовлетворяет уравнению B.12) при Х\2 = а ± г/?, — то
уравнению B.12) удовлетворяет как действительная часть функции
так и мнимая. Поэтому все действительные решения уравнения
B.12) исчерпываются семейством
со8
Несмотря на простоту, использование комплексной экспоненты ем
представляет собой выдающийся трюк, на котором базируется вся
теория линейных дифференциальных уравнений. Если говорить об ана-
аналогиях, то уместно вспомнить позиционную запись числа
Тоже совсем простая вещь, но что было бы с математикой при
записи чисел римским способом?
В векторном варианте линейное однородное уравнение имеет
вид х = Ах, а его решением, проходящим через точку х@) = Хо
является хA) = еА*Хо, что в значительной мере определяет роль
матричной экспоненты (см. далее).
2.3. Существование и единственность
Имеет ли задача решение? Этот естественный вопрос тысячи лет повсеместно
выпадал из поля зрения. Выпадал до тех пор, пока на квадратуру круга и вечный
двигатель не стало уходить слишком много сил. Сейчас такой вопрос стал обяза-
обязательным. И хотя он не всегда изобилует красотами, но это элемент фундамента,
который, как известно, нужен не потому, что в подвале жить хорошо.
30 Глава 2. Общая картина и опорные точки
Существование решения. Чтобы говорить о разрешимости уравне-
уравнения х — /(ж, I) надо уточнить, какие имеются в виду функции
/(ж,<), и что подразумевается под решением. Утрясти такие во-
вопросы раз и навсегда не удается, ибо по мере развития теории
«аппетит возрастает». Обычно отталкиваются от ситуации непре-
непрерывных /(ж, <), а под решением
± = 1{х,1), B.15)
подразумевают непрерывно дифференцируемую функцию
удовлетворяющую B.15).
Сказанное оставляет большую свободу толкования и, как пра-
правило, уточняется следующим образом. Предполагается, что речь
идет не о какой-то функции хA), удовлетворяющей B.15), а о ре-
решении х{1), проходящем через заданную точку #о в момент 1$, т. е.
о задаче Кошы
± = /{х,1), хA0) = х0. B.16)
При этом подразумевается решение B.16), определенное в неко-
некоторой окрестности точки 10, т.е. имеется в виду факт локального
существования. Вопрос о подходящих х{1), определенных на всей
оси времени (если I — это время), трактуют как задачу о продол-
продолжимости локальных решений.
В русле сказанного имеет место приятный факт.
2.3.1. Теорема Пеано. Решение задачи Коши B.16) существует
всегда.
Иными словами, для существования функции х(г), удовлетворяющей B.16)
в некоторой окрестности точки {жо,2о}> ничего кроме непрерывности правой
части /(ж, I) в окрестности {ж0, ^о} предполагать не надо.
Однако расходовать порох на доказательство результата в общей форме —
не обязательно. На практике, как правило, выполняются чуть более жесткие
требования, в которых доказательство становится проще, а выводы — сильнее
(см. далее).
Единственность. Для обеспечения единственности решения требу-
требуются дополнительные условия. Одной непрерывности /(ж, I) уже
не достаточно.
2.3. Существование и единственность
31
Например, решением
х = 2у/х
в области х ^ О служат функции хA) = A+ СJ при 1^-С. Но в данном случае
имеется также особое решение^ хA) = 0. Помимо этого, решениями будут еще
функции, получаемые склеиванием хA) = 0 с полупараболами жB) = B 4- СJ,
B ^ —С)- Получается, что через любую точку оси х = 0 проходит бесчисленное
множество различных траекторий|3) уравнения х = 2у/х.
Легко заметить, что единственность в приведенном примере нарушается там,
где частная производная /'х(х,1) обращается в бесконечность, т. е. в тех точках,
где поле /(ж, I) бесконечно быстро меняется по х. Именно это обстоятельство
часто служит источником неприятностей, и запрет на него сразу обеспечивает
единственность решения (теорема Пикара). Результат сохраняет силу и в вектор-
векторном случае — при условии ограниченности всех производных /'Х{(х, I).
Разумеется, речь идет о достаточных условиях. Через любую точку области
х ^ 0 проходит единственное решение уравнения х = 2у/х + 1, несмотря на то,
что
дх
= 00.
Более общий вариант теоремы Пикара не предполагает диф-
ференцируемости правой части и опирается на предположение
олипшицевости
1^
2.3.2. Теорема. Если /(х, I) удовлетворяет условию Липшица, то
через любую точку рассматриваемой области проходит единственное
решение задачи Коши B.16).
жутке
Липшицевость в доказательстве работает так. Задача Коши на проме-
проме, *о + А1] заменяется эквивалентным интегральным уравнением
B.17)
которое получается интегрированием й?ж/й?г = /(ж, г) по г от 10 до I.
12* Особым называют решение, в каждой точке которого нарушается единственность.
13* Множество всех решений задачи Коши в случае неединственности называют инте-
интегральной воронкой.
и* Функция /(х,г) называется липшицевой по х, если существует такая константа Ь,
что
для любых х, у, I в рассматриваемой области.
32 Глава 2. Общая картина и опорные точки
Правая часть B.17) при А1 < Ь~] (Ь — константа Липшица) представляет
собой сжимающий оператор Р, поскольку для I € [^о^о + А1]
где под ||-|| подразумевается норма в С[10,10 + АЬ] — т- е. \\хA)\\ = тах \хA)\ по I.
По той же причине Р переводит в себя шарик из С[10, Ьо + Д2] с центром в точке
хA) = жB0). Далее решает ссылка на принцип сжимающих отображений. >
Переход от дифференциального уравнения к эквивалентному инте-
интегральному B.17) характерен для задач, касающихся изучения ре-
решений хA) в целом. Дифференциальное уравнение как бы дает лишь
мгновенную фотографию, и не очень удобно там, где нужна целостная
информация о траектории. В интегральных уравнениях траектории
«присутствуют» целиком, и для определенной категории проблем это
удобнее.
Нелокальная теорема. В теореме 2.3.2 установлено существование
и единственность решения хA), определенного лишь на проме-
промежутке времени [1оЛо + А*]. На самом деле, ничего не добавляя
к предположениям, можно утверждать большее.
2.3.3. Теорема. Пусть 1(х,1) на промежутке [О, Т] удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица с константой Ь. Тогда через любую точку
рассматриваемой области проходит единственное решение задачи
Коши B.16), определенное на [10,10 + Т].
< Положим для простоты 20 = 0 и вместо обычной нормы
||х(<)|| = тах |х(<)|
1е[о,т]
возьмем эквивалентную норму15^
||ж|Г = тах е~и\хA)\.
1фТ\
Необходимое заключение следует из того, что оператор в правой части B.17)
сжимает по норме || • ||* с коэффициентом 1 - е~ьт, что вытекает из неравенства
тах
<е[о.п
I
' I [Нх(т),т)-/(у(т),т)]<1т
' Эквивалентную в силу неравенства
е~1ТЫ1)\\
2.4. Продолжимость и зависимость от параметра 33
I
ах [ еЦт-1)е-1тЬ\х(т)-у(т)\Aт<:
^ тах
1е[о,т]
о
I
^ ||* - у\\* тах У е^
О
Достижимо ли равновесие за конечное время? В условиях един-
единственности решения — не достижимо. В противном случае при
обращении времени16) (замене I на -I) из равновесия выходило бы
бесконечно много решений. Вот более точный результат.
2.3.4. Теорема. Если /(О, I) = О, то в условиях теоремы 2.3.2
нулевое равновесие системы х = О не может быть достигнуто
из ненулевого положения за конечное время.
М Предположим противное. Пусть ж@) Ф 0, но хA) = 0 при некотором
I > 0. Тогда два решения хA) и уA) = 0 сливаются при I > 0, а при обрат-
обратном течении времени нулевое решение раздваивается в момент —I на х(—1)
и у(-Ь) = 0, что противоречит единственности. >
Такого же сорта причины не дают системе достичь за конечное
время предельных циклов и других инвариантных множеств.
2.4. Продолжимость и зависимость от параметра
Продолжимость. Традиционная концентрация внимания на локальном ха-
характере теорем существования и единственности породила миф о загадочных
обстоятельствах, мешающих продолжимости решения.
На самом деле проблема довольно проста. Если в любой точке
{ж, 1} выполняются условия, обеспечивающие существование ре-
решения у задачи B.16), то продолжению хA) сколь угодно далеко
(вправо) может помешать единственная причина: уход траекто-
траектории хA) за конечное время в бесконечность (либо выход на границу
рассматриваемой области).
Например, любое решение хA) = 1§ (I 4- с) уравнения
х = 1+ х2
* Сохраняющем обычно условия единственной разрешимости задачи Коши.
34 Глава 2. Общая картина и опорные точки
определено лишь на промежутке длины тг именно по причине ухода решения
в бесконечность.
В случае х — х2 общее решение хA) = (с - 1)~] уходит в бесконечность
за конечное время, если в начальном положении хA0) > 0, и бесконечно долго
стремится к нулю при условии хA0) < 0 (но оказывается непродолжимым влево,
при движении по I к минус бесконечности).
Разумеется, «хороши» и те и другие уравнения — обеспечивающие про-
продолжимость решений и не обеспечивающие. При исследовании динамических
процессов взрывного характера, например, именно уход траекторий в бесконеч-
бесконечность определяет причину главного эффекта |7\
Понятно, что невозможность продолжения траекторий свя-
связана с быстрым ростом правой части дифура при увеличении
нормы х. Поэтому, скажем, условие ||/(ж,<)|| ^&||#|| обеспечивает
продолжимость решений х = /(ж,<) на всю ось I. Это вытекает
из следующей теоремы.
2.4.1. Теорема. Пусть при любых х Е Кп и 1^0 выполняется не-
неравенство
2
где функция Х(-) удовлетворяет условию
00
/ Ь~1((р) A(р = оо.
Тогда решение хA) задачи Коши
при любом Хо Е Яп определено при всех 1^0.
Доказательство опирается на следующий вспомогательный результат.
2.4.2. Лемма о дифференциальном неравенстве. Пусть скаляр-
ные функции <рA) и грA) при I Е [О, Т] удовлетворяют условиям
Тогда гр(О) ^ <р@) влечет за собой
<фA) ^ уA) при любом I Е [О, Г].
' Уходят в бесконечность, конечно, траектории упрощенной модели.
2.4. Продолжимость и зависимость от параметра
35
4 В предположении противного кривая грA)
должна пересечь <рA) в некоторой точке I, как
изображено на рис. 2.4, чего не может быть,
поскольку в этом случае фA) ^фA). >
< Теперь заметим, что для
в условиях теоремы 2.4.1 выполняется нера-
неравенство
ф = 2х • х = 2х • /(ж, I) < 2Щ),
Рис. 2.4
а в силу
ос
/
щ
= оо решения <рA) уравнения ф = Ь(<р) ограничены при
конечном I. Доказательство теоремы завершает ссылка на лемму 2.4.2. >
Зависимость от параметра. Чтобы модель системы, которая всегда
неточна, имела право на существование, — выводы (решения)
должны слабо зависеть от параметров задачи.
< Остановимся сначала на зависимости решения задачи Коши B.16)
от начальных данных, т.е. хA) от жB0)- Если /(х,1) удовлетворяет условию
I
показано
Липшица по ж, и Р обозначает / /(ж(т), г) й?т, то Р — как было
к
при доказательстве теоремы 2.3.2 — сжимает в пространстве С[10,10 + А1]
с коэффициентом р = А1 • Ь < 1. Отсюда, если хA) и у{1) — два различных
решения, то
откуда
\хA) - уA)\ ^ A - р)\хA0) -
что означает непрерывную зависимость хA) от жB0), т. е. непрерывность опе-
оператора сдвига 1110,1, но при достаточно малых I - 10. Однако Л1о^ при любом I
можно представить в виде композиции
где \1к - 1ь-\\ < Д^, что в итоге гарантирует непрерывную зависимость хA)
от начального положения при любом конечном I. >
< Проблема непрерывной зависимости решения х = {(х,е,1)
от параметра(ов) е на первый взгляд представляется более сложной,
36 Глава 2. Общая картина и опорные точки
но она сводится к предыдущей с помощью перехода к вспомога-
вспомогательной системе уравнений
Г х = /(ж, М),
2.4.3. Теорема. Если /(ж, е, Ь) непрерывна по совокупности пере-
переменных и удовлетворяет условию Липшица по х, то любое решение
хA) уравнения х = ^(х,е,1) непрерывно зависит от е и от х@). >
Гладкость решений. Если /(ж, I) непрерывно дифференцируема по со-
совокупности переменных т раз, то любое решение х — /(ж, I) не-
непрерывно дифференцируемо т + 1 раз. Это простое следствие того,
что интегрирование увеличивает порядок дифференцируемости
на единицу, а решения ж — /(ж, I) удовлетворяют интегральному
уравнению B.17).
Что касается дифференцируемости решений хA, е) уравнения
х = /(ж, е, 2), то их га-кратная дифференцируемость по е вытекает
из ш-кратной дифференцируемости /(ж, е,1) по совокупности
переменных 18\
2.5. О структуре и направлениях
Хорошо, когда сложная система организована иерархически. Крупные артерии,
потом — мельче, мельче, и так вплоть до капилляров. Такое свойство особенно
ценным представляется жителям Лондона, улицы которого образуют сплошную
капиллярную сеть, и там без карты черт ногу сломит. О дифурах тоже хотелось бы
иметь возможность мыслить укрупненно.
Поначалу кажется, что решение дифференциальных уравне-
уравнений — основная магистраль. Но это не главное направление тео-
теории. Особенно, если говорить об аналитических методах, которые
сейчас блекнут на фоне численного решения дифуров с помощью
цифровой техники.
О численных методах. <4 Одна из наиболее естественных идей
численного решения задачи Коши,
Ф — | 11* Т\ 1*1Тг\\ — 1*г\
&> — I \>*/9 /? V 0/ — "¦/0?
18)
Детали см. в [27-29].
2.5. О структуре и направлениях 37
заключается в замене производной ее приближением и переходе
к разностному уравнению
при достаточно малых по модулю Д<г = 1{+\ — и*
В результате вычисление значений жг = хAг) в моменты
сводится к итерационной процедуре
Вариации этой идеи с акцентом на повышении точности счета
иногда кажутся «архитектурными излишествами», но это не всегда
так. Дело в том, что определение решений на больших промежутках
времени требует очень большого числа шагов — и миллиметровые
неточности могут порождать километровые ошибки.
Ч Другая естественная идея состоит в использовании метода
последовательных приближений
х
хкA) = х@) + I /(а*_1(а), 5) из B.18)
о
для эквивалентного исходной задаче интегрального уравне-
уравнения B.17).
Если /(ж, I) удовлетворяет условию Липшица по ж с кон-
константой 1/, то невязка 6^A) = \хьA) — х*A)\, где х*A) — искомое
решение, удовлетворяет неравенству
5к-х(з) из ^ ... ^ —— шах 6о(г).
о
Выходит, что последовательные приближения сходятся к х*A)
быстрее любой геометрической профессии. В данном случае го-
говорят о факториалъной сходимости. >
Обозрение прикладных задач показывает, что решение дифуров
как таковое требуется довольно редко. Расчет движения космиче-
космических тел, боевых ракет — вот примерный круг соответствующих
38
Глава 2. Общая картина и опорные точки
потребностей. Еще одна область приложений такого рода — научные
исследования, в которых на прицеле держатся совсем другие задачи,
а решение дифуров используется в качестве пробного камня.
Гораздо чаще изучение дифференциальных уравнений имеет
целью выявление и анализ качественных эффектов.
Модель «ХИЩНИК—жертва». Перед биологами не раз возникали неожидан-
неожиданные задачи. Об увеличении численности волков, например, в результате отстрела.
По здравому размышлению — бред, тем не менее — факт. Действуя без матема-
математики, некоторые исследователи терялись в догадках.
Дифференциальные уравнения легко вскрывают элементарную причину.
Пусть х, у, соответственно, обозначают численности жертв и хищников (овец
и волков). Правдоподобна следующая динамическая модель (Вольтерра — Лотка)
{;:
= (а-ру)х,
у = GЖ - 6)у.
B.19)
Скорость х пропорциональна рождаемости, а значит — численности х, но ко-
коэффициент пропорциональности а-/Зу тем меньше, чем больше волков (поеда-
(поедающих овец). И наоборот, коэффициент *ух - 6 роста популяции хищников тем
больше, чем больше пищи, т. е. овец.
Анализ показывает, что решения B.19) в окрестности равновесия имеют
колебательный характер — система движется по замкнутым кривым (рис. 2.5).
На практике такого сорта колебания действительно имеют место.
Представим теперь, что в точке
А производится отстрел волков и си-
система перепрыгивает в точку В. Даль-
Дальнейшее движение будет происходить
по орбите меньшего размера, что ин-
интуитивно ожидаемо. Если же умень-
уменьшить численность волков в точке С,
то система перейдет в Б и будет дви-
двигаться по большей орбите. Амплитуда
колебаний увеличится. Это уже про-
противоречит интуиции, но как раз объ-
объясняет явление. Выясняется заодно,
что результат определяется выбором
Рис. 2.5. Динамика модели
«хищник-жертва»
момента отстрела.
Нужно ли было для анализа решать дифур? Вообще говоря, нет. Важна бы-
была качественная картина поведения. Разумеется, компьютер высветил на экране
фазовый портрет, решив соответствующую задачу Коши для различных начальных
данных. Но численные значения, даже приблизительные, для анализа совсем не су-
существенны. Не говоря о том, что сама модель очень далека от действительности.
2.5. О структуре и направлениях 39
На этом фоне начинает казаться, что и сами дифференциальные уравнения совсем
не обязательны. В какой-то степени это имеет под собой основание, но на той или
иной стадии размышлений все равно возникнет вопрос об источнике происхождения
рисунка 2.5.
Идею вторичности поиска решений дифуров хотелось бы особо
выделить. Гипноз слова «уравнение» многое ставит с ног на голову.
Раз уравнение — в первую очередь надо решить. А решать в 99
случаях из 100 как раз не надо. Задачи теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений, в основном, никак не связаны с необходимостью
определения хA).
На дифуры важно смотреть не только как на уравнения,
но и как на соотношения между переменными. На этом пути, не
решая уравнений, можно сделать массу полезных выводов. Полу-
Получить, например, все физические законы сохранения. Это, конеч-
конечно, впечатляет, но чересчур глобально. Рутинные задачи находятся
уровнем ниже, но и там дифуры, как соотношения, играют важную
роль. Фиксируя взаимосвязи переменных, они позволяют, не на-
находя хA), определить период колебаний, критические значения
параметров, усредненные характеристики и т. п.
Рассмотрим, для примера, теорему вириала, которая дает по-
полезную характеристику движения механической системы.
^ Уравнения движения Ньютона
где г;, Р] — векторы, умножим скалярно на г; и запишем в виде
Суммируя теперь по у и интегрируя по I, получаем
1+т 1+т
Е тп*^т - / /
Если движение периодично и г — период, то первое слагаемое в B.20)
равно нулю. В результате среднее значение кинетической энергии за период
40 Глава 2. Общая картина и опорные точки
оказывается равным вириалу сил19^
1+т
I
что широко используется физиками.
2.5.1. Теорема вириала.
(Г) = V.
Легко убедиться, что результат сохраняет силу, если движение не периодич-
периодично, но ограниченно, а усреднение берется по бесконечному промежутку времени,
1+т ос
- / при г -> оо, либо усреднение вообще не производится, но интегралы /
I
сходятся.
Если силы потенциальны, Р; — У;77, а потенциальная энергия однородна
степени I/, т.е. И(\т) — \1(г), то получается20)
В частности, для линейных колебаний (II ~ г2) (Т) — (II) — средняя кинети-
кинетическая энергия равна средней потенциальной, для движения в поле тяготения
(V ~ 1/г) (Г) = -<СГ>/2.
Упражнение
На решении задачи Коши
при любых значениях параметров выполняется равенство
'<И=^~- B.21)
В [19] пример интерпретируется как замыкание колебательного контура21)
на постоянное напряжение и. Равенство B.21) тогда означает, что половина
энергии идет на зарядку конденсатора, другая половина выделяется в виде
тепла на сопротивлении. Соотношение «50 на 50» не меняется при любом
' Клаузиус A870) вириалом называл величину —2У.
20) С опорой на известную (для однородных функций) формулу Эйлера [7]
^ Ь — индуктивность, К — сопротивление, С — емкость.
2.6. Движение по градиенту
41
варьировании 1,ДиС.В этом трудно не заподозрить действие теоремы вириала.
При механической интерпретации исходного уравнения это действительно так —
работает теорема вириала на бесконечном промежутке времени (без усреднения).
2.6. Движение по градиенту
Довольно часто встречаются уравнения
х = Чф),
где У<р(х) — градиент <р(х), т.е. вектор
B.22)
Один из источников происхождения систем B.22) — чис-
численные процедуры поиска локальных максимумов функции (р(х).
На рис. 2.6 а изображен график некой функции г = (р(х,у) двух
переменных — линии постоянного уровня <р(х,у) даны в проекции
на плоскость {ж, у}.
Рис. 2.6. х = (р(х9у)
Соответствующий фазовый портрет B.22) в плоскости (ж, у)
(на фоне контуров постоянного уровня) показан на рис. 2.66.
Движение B.22) слишком наглядно и удобно, чтобы в каждом
конкретном случае х = /(ж), т. е.
B.23)
42
Глава 2. Общая картина и опорные точки
не попытаться найти такой потенциал (р9 что У<р(ж) = /(х). В слу-
случае успеха задача становится прозрачной. Успех обеспечивается
равенством всех перекрестных производных,
что случается не так часто. Однако наличия «точного» потенциала
на самом деле не требуется (для прозрачности). Достаточно суще-
существования такого потенциала <р, что движение B.23) происходит
под острым углом к градиенту (р, т.е. (\7<р(ж), /(ж)) > 0. Удоб-
Удобства сохраняются, поскольку траектория также взбирается в гору,
хотя уже и не строго перпендикулярно вверх. Движение можно
характеризовать как псевдоградиентное.
Пусть
{:
-хъ
и функции /|, /2 монотонны, /[(ж2) > О, /2(Ж|) > 0.
Тогда движение
Г
\
Ж, =
±2 =
происходит под острым углом к исходному и имеет потенциальный характер,
в силу равенства перекрестных производных у правых частей.
Соответствующий потенциал легко находится
ф) = /,(Х2)/2(Х,) -
" Х2/,(.Т2) -
й8- I /,E) й8.
2.7. Уравнения с частными производными
Производная по времени скалярной функции и(х) вдоль траекто-
траекторий хA) автономного уравнения
х = Дх),
2.7. Уравнения с частными производными
43
очевидно, равна
т.е. скалярному произведению градиента и(х) на вектор /(х).
Величину \/и • /(ж) называют еще производной Ли, а также
производной и(х) по направлению векторного поля /(ж), либо про-
< изводной в силу уравнения х = /(ж).
Первые интегралы. Если производная й(х) в силу х = /(ж) равна
нулю, это значит, что траектории хA) целиком располагаются
на поверхностях постоянного уровня
и(х) = сопз1.
В этом случае говорят, что и(х) является первым интегралом
системы22) х = /(ж).
Легко видеть, что можно сказать и по-другому. Любое (нетри-
(нетривиальное) решение и(х) Ф сопз( линейного уравнения с частными
производными (ЧП-уравнения) \7и • /(ж) = 0, т.е.
B.24)
является первым интегралом системы х =
Надо признать, что связь между B.24) и уравнением характе-
характеристик23^ х = /(ж) — больше дает первому уравнению, нежели
второму. О каком из двух речь ни заходит, дело обычно закан-
заканчивается решением х = /(ж). Поэтому ЧП-уравнение первого
порядка B.24) — это не столько вычислительный инструмент,
сколько полезная категория мышления.
' Первым интегралом неавтономной системы х = /(ж, г) называют первый интеграл
автономной системы
'Траектории х = /(х) называют характеристиками уравнения B.24).
44 Глава 2. Общая картина и опорные точки
Наличие первых интегралов у автономной системы, вообще говоря, ред-
редкость. В том смысле, что взятое наугад уравнение, как правило, не имеет первых
интегралов24) — т. е. траектории хA) не укладываются на поверхности. Со-
Соответственно, линейное уравнение B.24) имеет нетривиальное решение лишь
в исключительных случаях. Динамика физических систем дает многочисленные
примеры таких исключений — сохранение энергии, количества движения и т. п.
Обнаружение первых интегралов в большинстве случаев обеспечивает прорыв
в решении задачи.
^ Если говорить о достаточно малых окрестностях точек фазового про-
пространства, то в них первые интегралы существуют «всегда», но от этого пользы
уже не так много. Причина (локального существования) заключается в том,
что в малой окрестности любой точки х = а, в которой /(а) ф 0, траекто-
траектории х = /(ж) почти параллельны, и их можно локальной заменой переменных
(диффеоморфизмом) перевести в систему
у, = 1, 2/2 = 0, ..., уп = 0, B.25)
имеющую п — 1 интегралов движения:
2/2 = с2, ..., уп = сп.
Возможность локального преобразования гладкого движения х = /(ж) в па-
параллельное вида B.25) называют теоремой о выпрямлении векторного поля (см. на-
например, [3, 27]), которая нередко оказывается удобным инструментом. >
Каждый первый интеграл позволяет понизить порядок изуча-
изучаемой системы на единицу. Скажем, если и(х) — первый инте-
интеграл системы х = /(ж), то выражая, например, хп из уравне-
уравнения и(х) = с (при надлежащем выборе константы с), получим
хп — <р(Х[,..., хп-[). Теперь остается решить систему
Хг =/|'(жь...,Жя-1,^(Ж1,...,Жя-1)) (г = 1, . . . , П - 1),
что отражает суть идеи.
«* Умножая уравнение25)
тх = -и\х)
на ж, получаем эквивалентное —
' Такого сорта утверждения, равно как и декларации о существовании неинтегри-
руемых уравнений, в стандартных курсах по дифференциальным уравнениям «повисают
необоснованными», поскольку находятся на другой территории — в теории групп Ли.
25)
Описывающее движение точки массы т в потенциальном поле.
2.8. Об уравнениях первого порядка 45
которое после интегрирования дает
тпх
— 4- Щх) = Е. B.26)
Интеграл движения B.26) в механической интерпретации представляет собой
закон сохранения энергии, из которого в данном случае следует
Таким образом, вместо исходного уравнения второго порядка26* остается
проинтегрировать уравнение первого порядка. >
Рассмотрение линейных ЧП-уравнений, стоящих особняком,
дает в некотором роде превратное представление о предмете, ес-
если говорить об уравнениях с частными производными вообще.
Дело в том, что уравнения более высоких порядков составляют
костяк теоретической физики, и даже называются уравнениями
математической физики.
Конечно, с точки зрения задач данного курса урматы27) рас-
расположены вдалеке, но их было бы неправильно отодвигать совсем
за горизонт. Тем более, что в некоторых ракурсах — имеются тес-
тесные связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями
(см. раздел 5.7).
2.8. Об уравнениях первого порядка
Дифференциальные уравнения начинались, естественно, с изучения простей-
простейших ситуаций. Точнее говоря, — с ситуаций, которые казались простейшими.
К таковым в первую очередь были отнесены скалярные уравнения х = /(ж, I),
Поделенные на ряд категорий. Всего две скалярные переменные — казалось бы,
что может быть проще. Но не тут-то было.
Линейное уравнение
х = аA)х + ЬA),
правда, легко решалось в общем виде28*.
Следующим шагом было уравнение Риккати
х - 2аA)х - Ь{1) + сA)х2 = О, B.27)
26* Эквивалентного системе х — у, у — -II'(х).
' Жаргонное сокращение для уравнений математической физики.
28' Сначала решается однородное уравнение х = аA)х разделением переменных,
йх/х — аA) (II, а потом варьируется константа, см. раздел 3.6.
46 Глава 2. Общая картина и опорные точки
которое, как принято утверждать, возникает в огромном количестве
прикладных задач. Определенная доля лукавства здесь состоит
в том, что уравнение B.27) появляется в любой области, где
возникает желание учесть нелинейные эффекты, ограничиваясь
простейшим вариантом квадратичной добавки. Но уравнение B.27)
интересно само по себе, с чисто математической точки зрения —
как первый шаг в нелинейный океан.
Его популярности немало способствовала также принципиаль-
принципиальная теорема Лиувилля о том, что решение B.27) не всегда можно
выразить в квадратурах от элементарных функциях. Скажем, урав-
уравнение х = х2 — I не решается в квадратурах, — любопытно, что
подстановка х = й/и сводит его к линейному уравнению второго
порядка
и + 1и = 0.
Сведение нелинейного уравнения к линейному с помощью
нелинейной замены переменных не всегда возможно, но встре-
встречается довольно часто (в учебниках). Решение линейной системы
уравнений, например
{и = аA)и + ЬA)у9
V = сA)и - аA)у,
при условии уA) ф 0 на рассматриваемом промежутке времени, —
дает решение хA) = иA)/уA) общего уравнения B.27).
Последний факт в комбинации с теоремой Лиувилля пока-
показывает, что неавтономные линейные уравнения второго порядка
и выше тоже не всегда решаются в квадратурах от элементарных
функций.
Утверждения о неразрешимости иногда воспринимаются как нечто
катастрофичное. Но все они относятся к разряду рациональной
невыразимости диагонали квадрата через сторону, что не мешает
измерению линейкой и приближенному вычислению.
Использование дополнительных инструментов иногда превращает неразре-
неразрешимые задачи в разрешимые. Вот как работает, например, квазилинеаризация29).
Подставляя
V2 = тах[2ш; - и2]
^ Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.
2.8. Об уравнениях первого порядка 47
в уравнение Риккати
2 + ЧA) = 0, B.28)
приходим к
V = гшп[г42 - 2иу - рA)у -
и
Уравнение было бы линейным — не будь операции взятия минимума. Но мини-
минимизация не портит задачу окончательно. Линейное уравнение
и = и2 - 2ип) - рA)ги - д(^)
С любой фиксированной функцией иA) обладает тем свойством, что30)
«@) = ад(О) =» уA) ^ ь){1).
В итоге
уA) = Ш1П ^ е о 1,@) + / ео [и2(з) - д(з)] ^\>.
Интересно, что подавляющая часть населения воспринимает последнее вы-
выражение как решение исходного дифференциального уравнения B.28). Меньшин-
Меньшинство предпочитает считать решением многоэтажной минимизации — сведение
ее к уравнению B.28).
Упражнение
Уравнение Бернулли
Подстановкой у = ж'~° приводится к линейному.
Интегрирующий множитель. В тех случаях, когда дифференциаль-
дифференциальное уравнение проистекает из рассмотрения не динамических задач,
функция и аргумент оказываются в определенном смысле равно-
равноправными — и тогда йу/йх — /(ж, у) часто записывают в форме
4у - /(ж, у) их = 0. Либо рассматривается более общий случай
Р(х, у) Aх + 0(ж, у) йу = 0. B.29)
Если левая часть B.29) представляет собой дифференциал
Некоторой функции (потенциала) (р(х, у), т. е. йф = Р их + Я йу>
Что означает
^ Р(ХУ) Я(*У) РЗО)
"^ См. раздел 2.4 — о дифференциальных неравенствах.
48 Глава 2. Общая картина и опорные точки
то это сразу дает первый интеграл (р(х, у) = с и тем самым решает
исходное уравнение.
Перекрестные производные у <р, как известно, равны,
д2? д2<р
дхду дудх'
откуда, в силу B.30),
дР(х9у) дЯ{х,у)
ду ~ дх ' [ }
что, собственно, и является достаточным условием существования
потенциала31) (р(х,у).
Поскольку умножение B.29) на ненулевой множитель /х(ж, у)
не меняет уравнения по сути, — потенциал (р существует и в том
случае, когда условию типа B.31) удовлетворяет уравнение
/х(ж, у)Р{х, у) их + /х(ж, у)Я{х, у) йу = 0.
Тогда /х(ж, у) называют интегрирующим множителем, и (р опре-
определяют, интегрируя A<р = цРйх + ц(}Aу, а /х предварительно
находят, решая уравнение с частными производными
д/лР _ д/х<2
~ду~ ~ ~&гГ'
что в общем случае не менее сложно, чем решение исходно-
исходного уравнения, — но при удаче проливает дополнительный свет
на ситуацию.
Иногда проблема интегрирующего множителя возникает не
в связи с решением дифференциального уравнения, а в связи
с изучением приращения некоторой величины (функции) д,
дд = РAх + С} йу.
Если условие B.31) не выполняется, то <5д не дифференциал, и д
не определяется значениями х и у. Другими словами, переменные
31) ,п -
2.8. Об уравнениях первого порядка 49
{х, у, ^} не характеризуют полностью состояние системы. Если же
существует интегрирующий множитель /х, то й/х д = /хР йж + /хф йг/
становится (говорят — полным) дифференциалом, и ситуация кар-
кардинально меняется. Параметры {ж, у, /хд} теперь однозначно опре-
определяют состояние системы. Историческим примером на эту тему
является дифференциал энтропии АЗ = #д/Т. Интегрирующий
делитель Т (абсолютная температура) обратил приращение тепла
дд в полный дифференциал функции 5.
Глава 3
Линейные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения образуют маленькую теорию, изложе-
изложение которой в деталях может занимать сотни страниц. Ядро теории поддается
более короткому описанию.
3.1. Исходные понятия
В общем случае уравнение
называют линейным, если функция <р линейна по перемен-
переменным х№. Здесь возможны несколько вариантов. Линейные уравне-
уравнения с постоянными коэффициентами: однородное
х(») + п1х{п-1) + ... + пп-хх' + апх = О C.1)
и неоднородное
х{п) + ахх{п~{) + ... + ап-\х9 + апх = /(<). C.2)
Если коэффициенты а^ зависят от I, то C.1), C.2) называют
уравнениями с переменными коэффициентами.
Уравнения C.1), C.2) записывают также в виде
Ьх = 0, Ьх = /(<),
где X,
Ьх = х(п) + а{х{п~[) + ... + ап-хх + апх,
называют дифференциальным оператором.
3.1. Исходные понятия
51
Бывает, что такого рода стенографические трюки воспринимаются
в штыки. Дескать, зачем вводить лишние понятия и названия —
экономия чернил копеечная, а голова забивается. Русский же язык
никто не пытается подменить стенографией. Однако в матема-
математике «стенография» — едва ли не главный инструмент. Переход
на лаконичный стиль очень часто производит качественный скачок
в свободе мышления и манипулирования. Оценить выгоды, конечно,
можно лишь «в процессе», но легко представить, что имеется в виду.
От детальной записи типа C.1) рябит в глазах, и суть не видна, как
не видны очертания материка пешеходу. Достаточно взять хотя бы
само свойство линейности. С помощью Ь оно выражается просто,
удобно и наглядно:
Цх + у) = Ьх + Ьу.
В сложных ситуациях, когда маленькие выгоды нанизываются одна
на другую, — суммарный эффект бывает очень большим.
В векторном варианте линейные уравнения также подразделя-
подразделяются на однородные вида
х = Ах C.3)
и неоднородные,
х = Ах +
C.4)
в том и другом случае — с постоянными коэффициентами, если
элементы матрицы А — числа, и с переменными коэффициентами,
если элементы матрицы А — функции от I.
Замена %\ = х, г2 = х\ ..., гп = х^п~^ приводит C.1) к линейной системе
т.е. г = Ах, где
А =
о
-ап
-ап_,
О 1
-а2 -а
Изучать линейные дифуры, конечно, имеет смысл с привлечением
элементарных понятий линейной алгебры. В противном случае лучше
заниматься другим делом. И причина даже не в том, что матрич-
матричные инструменты дают большой выигрыш в краткости изложения.
Просто линейные дифуры находятся на том этаже знания, где поко-
покоординатная запись не улавливает суть явлений.
C.5)
52 Глава 3. Линейные уравнения
Разумеется, жизнь может сложиться так, что изучать дифуры приходится
без линейной алгебры в багаже. Тогда лучше всего не замахиваться на уравнения
общего вида, и ограничиться изучением простейших систем типа B.12), в крайнем
случае — пары взаимосвязанных осцилляторов, чтобы аллергическая реакция
не возникла раньше времени. Такое начало в обучении, может быть, даже
оптимально, ибо «примеры более поучительны, чем правила» — и начинать
с матриц без предварительного знакомства с примерами тоже плохо.
3.2. Принципы суперпозиции
Когда результирующий эффект от нескольких независимых воздействий пред-
представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельно-
отдельности, — говорят, что система удовлетворяет принципу суперпозиции.
Для линейных однородных уравнений (с коэффициентами,
вообще говоря, зависящими от времени) принцип суперпозиции
обычно формулируется так. Если Х\A) и х2A) — решения C.1), то
решением является также
х{1) = сххх{1)+с2х2{1)
при произвольных константах С\, с2, — что вытекает из линейно-
линейности дифференциального оператора Ь. Действительно, Ьх\ = О,
Ьх2 = 0, влечет за собой
Ь(с\Х\ + с2х2) = с\Ьх\ + с2Ьх2 = 0.
То же самое справедливо для уравнения C.3), которому соответ-
соответствует линейный дифференциальный оператор
Ьх = х - А{1)х.
Неоднородные уравнения такому принципу суперпозиции
не удовлетворяют, и поэтому, строго говоря, линейными не яв-
являются 1\ хотя и принято их таковыми называть. Но они обла-
обладают другой важной особенностью, которая вполне соответствует
данному выше «гуманитарному» определению принципа суперпо-
суперпозиции. Имеется в виду следующее: если Х\{1) — решение уравнения
Ьх = /\(Ь), а х2{1) — решение Ьх = }2(Ь), то Х\{1) +х2A) — реше-
решение Ьх = 1\A) + }2{Ь). Благодаря этому2), становится возможным
^ Так же как сх = Ь при Ь ф 0 является гиперплоскостью, но не плоскостью, ибо
не проходит через начало координат. Соответственно, из сх = Ь, су = Ь не следует
с(х + у) = Ь.
' Что является следствием линейности обратного оператора Ь~].
3.2. Принципы суперпозиции
53
решать уравнения Ьх — /(I) на основе разложения правой части,
например, в ряд Фурье: если х^{1) — решение Ьх — а* зт Ы и
то хA) — 2. хкA) — решение Ьх =
Фундаментальная система решений. Функции х\A),...,хпA) (скалярные
или векторные) определяются как линейно независимые, если невозможно подо-
подобрать такие константы сь ..., сп, среди которых не все нулевые, что
В силу принципа суперпозиции, если найдены п линейно
независимых решений,
X и (*)'
, ..., хпA) =
C.6)
линейного однородного уравнения,
уравнения будет
— общим решением того же
C.7)
где констант как раз хватает, чтобы удовлетворить любому началь-
начальному условию. Совокупность линейно независимых решений C.6)
называют еще фундаментальной системой решений. Объединение
столбцов C.6) в таблицу
хи(Ь) ...
называют фундаментальной матрицей решений, которая, очевидно,
представляет собой невырожденное3' решение матричного урав-
уравнения X = АA)Х.
Невырожденное — потому, что столбиы линейно независимы.
54
Глава 3. Линейные уравнения
Можно сказать еще, что фундаментальная система решений
представляет собой набор стандартных блоков, из которых можно
«собрать» любое решение задачи Коши
х = А(Ь)х, х@) = жо.
Линейная независимость столбцов C.6) нужна, чтобы система
уравнений (векторное уравнение)
С1Ж1@) + ...+СпЖп@) = Ж0
имела решение при любом жо. Для этого линейная независимость
требуется лишь в нулевой момент, — но тогда она сохраняется при
любом I, как будет показано ниже.
Фундаментальную матрицу ХA) удобно выбирать так, чтобы
Х@) = I. В этом случае Х{1) называют матрицантом. Матрицант
позволяет записывать решение х = АA)х в виде х{1) = ХA)х@), т. е.
Х{1) представляет собой оператор сдвига ?70<. Сдвиг по траектори-
траекториям х = АA)х за время от з до I при этом равен 119д = ХA)Х~](з).
Отсюда очевидно, что оператор Т19^ — линеен. Матрицу ХA)Х~](з)
называют матрицей Коши.
Для уравнения C.1) под задачей Коши понимают
Ь(х) = О, ж@) = Жо, ж'@)=жь ..., х^п~~1\о) = хп-\.
Поэтому под линейной независимостью скалярных решений жг(<)
уравнения C.1) подразумевают линейную независимость векторов
хпA)
х\A)
Соответственно, под матрицей фундаментальных решений —
хп{1)
Х(<) =
3.3. Уравнения с постоянными коэффициентами 55
Весь этот разговор становится излишним, если изначально
перейти от уравнения C.1) к системе C.3) с матрицей C.5). Тогда
все получается автоматически.
Однако унификация имеет свои изъяны — ускользает интерес-
интересная специфика, да и в книгах перестаешь видеть «знакомые лица».
Понятно, что вопрос о существовании фундаментальной си-
системы (матрицы) принципиален. Всегда ли изучение линейного
однородного уравнения сводится к поиску п линейно независи-
независимых решений? Проблема легко решается.
3.2.1. Теорема. Фундаментальная система решений существует
всегда.
-4 Разумеется, у линейной системы х = АA)х, о которой идет речь,
элементы а^A) матрицы А подразумеваются непрерывными. В этом случае
правая часть системы х = АA)х удовлетворяет условиям Липшица, и поэтому
задача Кош и
х = АA)х, х@) = х0,
при любом х0 имеет единственное решение. Отсюда следует, что для построения
фундаментальной матрицы достаточно взять в качестве столбцов любые п реше-
решений C.6) с линейно независимыми начальными данными Ж|@),..., хп@). Линейная
независимость функций
*,(<), .-., хп(г)
при I > О будет сохраняться автоматически. В предположении противного
найдутся такие константы с,,..., сп, не все равные нулю, что
при некотором I > 0. Но это будет означать, что решение
выходящее из ненулевой точки х@) = С\Х\@) + ... + спжп@), за конечное время
приходит в нуль, что невозможно по теореме 2.3.4. >
3.3. Уравнения с постоянными коэффициентами
Идея решения однородного уравнения рассматривалась в предыду-
предыдущей главе в связи с примером B.12). Частично повторяясь, опишем
методику применительно к уравнению C.1). В качестве решения
напрашивается ем, поскольку дифференцирование экспоненты
сводится к умножению на константу,
(ем)' = Хем, C.8)
56 Глава 3. Линейные уравнения
и, благодаря этому обстоятельству, подстановка еА< в C.1) дает
(А(п) + ахХ(п~{) + ... + ап_,А + ап)ехь = 0.
Поэтому, если А — корень характеристического уравнения
(п)
Р(Х) = А(п) + «цА*" + ... + ап_!А + ап = 0,
C.9)
где Р(А) называют характеристическим полиномом, — то ем удо-
удовлетворяет C.1). Общим решением C.1), в силу принципа супер-
суперпозиции, будет4)
ж(*) = с1еА|' + ... + сяеА|1', (ЗЛО)
где Аь ..., Хп — корни C.9).
В случае комплексного корня А = а + г/3 в C.7) вместо сем
войдет сеы со$/31 либо сеы зт/31, поскольку уравнению C.1) удо-
удовлетворяет как действительная часть функции
так и мнимая.
Возможна и другая позиция. С самого начала можно рассматривать уравне-
уравнение C.1) в области комплексных функций, что освобождает от необходимости
«постоянных реверансов». Действительные решения в этом случае получаются
как действительная часть комплексных. Но надо иметь в виду, что при этом
вместе с ем решением является и гем, что, собственно, и позволяет говорить
о действительном решении просто как о действительной части комплексного:
х(г) = схем + гс2ем.
О роли теорем единственности, В теории линейных уравнений иногда
раздражает элемент угадывания. Решение как бы падает с неба.
Возникает вопрос, нельзя ли действовать логичнее, шаг за шагом.
Можно, конечно, но проще заглянуть в таблицу производных, где
уже есть готовое C.8). Метод угадывания плох, когда не исключена
возможность, что за кадром остается «неугаданное». В данном
случае ситуация иная. Теоремы единственности гарантируют, что
если уж решение найдено, то других — быть не может.
' Случай равных корней рассматривается далее.
3.4. Системы уравнений 57
Чтобы оценить выгоды использования экспоненты ех\ полезно один раз
найти решение «в лоб», например, уравнения
х + 2х + 2х = О,
в виде х{1) = еа1 $\п/31. Тьма громоздких преобразований избавляет от некоторых
иллюзий.
3.4. Системы уравнений
В ситуации C.3), т. е. х — Ах, процедура решения выглядит
несколько по иному, хотя суть та же. Решение ищется в виде ему,
где V — некоторый вектор, который, как потом выясняется, обязан
быть собственным вектором матрицы А. Подстановка ему в C.3)
приводит к уравнению еХг\у = еХгАу, т. е.
Ау = XV,
что для V Ф 0 возможно лишь в случае равенства
йе! (А - XI) = О,
C.11)
которое, как и C.9), называют характеристическим уравнением си-
системы C.3), а Р(Х) = с1е1 (А - XI) характеристическим полиномом.
В итоге общее решение C.3) имеет вид
хA) = с^еХхг + ... + спупеХпг, C.12)
где А& собственные значения5^, а ук — собственные векторы
матрицы А.
Понятно, что описанный метод работает, пока корни А& раз-
различны. При равенстве корней приходится углубляться в дебри
линейной алгебры (см. далее). Но есть простой метод решения
& = Ах, основанный на использовании матричной экспоненты
(раздел 3.7) и работающий всегда (независимо от того, каков
спектр матрицы А, т. е. различны все собственные значения А&
или нет).
'Т.е. решения уравнения C.11)
58 Глава 3. Линейные уравнения
В силу (ему = Аем решением х = Ах является
= емх0,
причем х@) = хо. Проще, как говорится, не бывает, но вопрос
может упираться в желаемую форму результата. Матричная экспо-
экспонента универсально определяется рядом
л А2 Аъ
ел=1 + А + — + — + ..., C.13)
и это вроде бы ничем не хуже задания рядом какого-нибудь
синуса или логарифма, причем компьютер легко вычисляет ем
практически с любой точностью и для любых размерностей. Тем
не менее решение в виде еАгХо оставляет некоторые свойства
системы завуалированными.
Именно по этой причине в линейной алгебре значительные
усилия прилагаются к заданию функций от матриц с помощью
конечного числа операций, что обеспечивает большую прозрач-
прозрачность результатов в некоторых секторах. В частности, если все
собственные значения А^ матрицы А различны, то существует
базис, в котором А имеет диагональный вид,
и тогда
еМ = Т^сИа^е*1',..., еА"'}Т, C.14)
что во многом более наглядно (информативно), чем задание ем
с помощью ряда.
Представление C.14) сохраняет силу в определенных ситуаци-
ситуациях и при равных корнях. Для симметричных матриц, например, —
что спасает механику от некоторых парадоксов6), — а также для
нормальных матриц, характеризуемых условием А А* = А* А.
3.5. Случай равных корней
Если у C.9) какие-то корни оказываются равными, то в решении
вида C.7) перестает хватать констант (для разрешимости задачи
См. следующий раздел.
3.5. Случай равных корней 59
Коши с произвольными начальными данными). Другими слова-
словами, перестает хватать линейно независимых решений вида ем.
Образовавшуюся брешь заполняют решения 1рем. Точнее говоря,
если А} является ^-кратным корнем C.9), то решениями C.1)
будут функции
еХ{\ 1еХх\ ..., **-1еА'', C.15)
чего как раз хватает для образования системы фундаментальных
решений.
< Доказательство этого факта не так сложно, особенно, если опирать-
опираться на «стенографические» приемы. Пусть Р(А) обозначает характеристический
полином C.9). Дифференцируя тождество
ЦеХ1) = Р(Х)еХ1
р раз по Л, получаем7)
откуда для р = О, 1,..., к - 1 следует ЬAреХ]1) = 0 тождественно по I (гдеЛ, —
к -кратный корень характеристического уравнения), поскольку в этом случае
Это, собственно, и означает, что функции C.15) являются решениями уравне-
уравнения C.1). >
Пример
У характеристического полинома Л4 + 2Л2 + 1 уравнения
жD) + 22 + ж = 0 C.16)
есть два корня \х2 = г и два корня Л3,4 = -*. Поэтому в общее решение,
х{1) = (С] + с21) сов I + (с3 + с41) вт I,
Входят, как говорят, вековые, или секулярные члены вида 1Р $\пш1 и 1рсо$ш1,
Представляющие собой колебания с неограниченно растущими амплитудами.
Обратим внимание, что характеристический полином близкого к C.16)
уравнения
х{4) + B + е)х + A + е)х = 0 C.17)
' С использованием формулы р-й производной произведения:
60
Глава 3. Линейные уравнения
при малых е Ф 0 имеет четыре различных корня
Л, 2 = ±1, Лз,4 — ±г'\/1 + е,
что в итоге дает только ограниченные решения
хA) = С\ сов I + с2 в'т I + с3 сов \/\ +е I + с4 вт у/\ + е I,
периодические по I или непериодические — в зависимости от того, рационально
у/\ + 6 или нет.
Таким образом, уравнение C.17), имеющее лишь ограниченные решения,
при е —> 0 переходит в уравнение C.16), имеющее неограниченные решения.
Совершенно иная ситуация возникает в связи с системой урав-
уравнений C.3). Часто ссылаются на ее эквивалентность однородному
уравнению, но дьявол, как всегда, прячется в деталях. Уравнение
C.1) эквивалентно системе типа C.3) — однако с матрицей кон-
конкретного вида C.5). В свою очередь, система C.3) последователь-
последовательным исключением переменных может быть приведена к уравнению
п-го порядка, но это будет весьма специфическое уравнение. По-
Поэтому утверждения об обязательном появлении вековых членов
в решении C.3) не имеют под собой оснований. Могут появиться,
а могут и не появиться.
Общий рецепт решения C.3) иногда формулируют так. Если
А} — собственное значение матрицы А кратности к, то ему
соответствует решение вида
Рк-хA)е
А,* _
,к-\
.сп(к-\I
Сп\1
C.18)
что в результате суммирования по всем собственным значениям
дает общее решение.
Понятно, что констант набирается слишком много (п2 вме-
вместо п), и в результате решения задачи Коши
х = Ах, х@) = Хо
их значения окажутся взаимозависимыми. Поэтому рецепт вклю-
включает в себя большой объем черновой работы. Решение вида C.18)
с избыточным количеством неопределенных констант надо под-
3.5. Случай равных корней 61
ставить в х = Ах — и задача в итоге сведется к решению алгебра-
алгебраической системы линейных уравнений 8\
Таким образом, рецепт эффективен, но не вполне удовлетвори-
удовлетворителен. Это довольно распространенная ситуация. Задача в принци-
принципе решается — однако туман не рассеивается. Константы опреде-
определяются, но причины, по которым какие-то из них, скажем, равны
нулю, остаются скрытыми — тогда как именно это во многих
случаях представляет главный интерес.
Классический пример дает известная ошибка в механике Лагранжа9\ ко-
который в своей знаменитой книге обмолвился, что в консервативной системе
со многими степенями свободы при равных частотах будут возникать секулярные
члены — хотя заведомо ясно, что при отсутствии внешнего источника энергии —
колебаний с бесконечно возрастающими амплитудами не может быть. Физиче-
Физические соображения здесь никак не противоречат математической стороне дела,
поскольку такие системы описываются линейными уравнениями с нормальными
матрицами, симметрия коэффициентов которых вытекает из законов механики.
У нормальных же п х п матриц всегда (независимо от того, есть равные соб-
собственные значения или нет) существуют п линейно независимых собственных
векторов — и поэтому секулярные члены появиться не могут, поскольку х = Ах
в Кп не может иметь более п линейно независимых решений.
Другая ситуация возникает, например, в случае
Г ±\ = Лж,, ж,@) = ии
[ х2 = Х\ + \х2, х2@) = иъ
где матрица А = , не имеет двух линейно независимых собственных
II ЛI
векторов. ¦- л
Интегрирование первого уравнения дает ж, = еХ1щ , что сводит определение
ж2 к интегрированию уравнения
±2 = еми\ + Хх2,
переходящего после умножения на е~м в — (х2е~м) = и\. Окончательно,
х2 = щ 2
что наглядно демонстрирует механизм появления секулярного члена.
8^ В которой неизвестных намного больше уравнений.
9^ Не будь этой ошибки Лагранжа, ее бы, как говорится, надо было выдумать, чтобы
привлечь внимание к проблеме.
62 Глава 3. Линейные уравнения
3.6. Неоднородные уравнения
В силу принципа суперпозиции, общим решением неоднородного
уравнения является
хA) = схх{A) + ... + спхп{1) + хо(г),
где Х\{1),... , хп{1) — фундаментальная система решений одно-
однородной системы, а ХоЦ) — какое-нибудь, как говорят, частное
решение уравнения C.2) либо C.4) — в зависимости от того, о чем
идет речь.
Таким образом, чтобы решить неоднородное уравнение, надо
найти хотя бы одно его частное решение и прибавить к нему
общее решение соответствующего однородного решения. Частное
решение можно найти регулярным образом, если известна фунда-
фундаментальная система решений. В этом смысле решение однородного
уравнения исчерпывает задачу.
Пусть ХA) — фундаментальная матрица решений уравнения
х = АA)х.
Поиск решения неоднородного уравнения
х = АЦ)х + /Ц) C.19)
в виде хA) = ХA)сA) при подстановке х = Хс в C.19) дает
Хс + Хс = АХс
откуда следует, с учетом Хс — АХс,
что в результате интегрирования дает
I
В итоге
г
хA) = ХA)с@) + I
3.7. Матричная экспонента
63
Выбор с@) позволяет удовлетворить начальным условиям. Если
Х@) = I (см. раздел 3.2), то
C.20)
3.7. Матричная экспонента
Функция ем является решением задачи
Х = АХ, Х@) = /
и может быть определена не как ряд
2!
3!
C.21)
C.22)
а, наоборот, как решение C.21). Другое дело, что поиск этого
решения в виде ряда
с неопределенными матричными коэффициентами С% — после
подстановки в C.21) дает
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при равных
степенях I, получаем кС^ = АСь-\9 что в итоге опять приводит
К C.22).
И обратно, почленное дифференцирование ряда C.22) пока-
показывает, что его сумма удовлетворяет уравнению C.21).
Обсуждение матричной экспоненты традиционно задержива-
задерживается на следующем факте.
64
Глава 3. Линейные уравнения
3.7.1. Для справедливости
А+в
А В
— ее
необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы матрицы А и В коммутировали, т. е. АВ = В А.
При перемножении рядов еА и ев результат становится оче-
очевидным. Из позитивных следствий отметим групповое свойство
экспоненты
С психологической точки зрения более важна «негативная»
часть утверждения 3.7.1, ибо много ошибок совершается в связи
с незаконным использованием равенства еА+в = еАев. В теории
возмущений, например, решение ХA) = е^А+еВ^ задачи
X =
Х@) =
иногда разлагают по степеням е9 опираясь на е^А+еВ^1 = еА1ееВ1,
чего нельзя делать в некоммутативном случае. Там приходится
группировать по степеням е члены ряда
что оказывается нелегким и обременительным делом. Поэтому
теория возмущений предпочитает окольные пути.
А =
Упражнение
ем =
С0$1 8111Л
51П I С05 1\
1
0
0
1
1
0
I2
2
1
1
Замена переменных. На ситуацию
х = Ах, х@) =
3.7. Матричная экспонента
65
полезно посмотреть с другой точки зрения. Осуществим заме-
замену переменных х = Ту с помощью некоторой невырожденной
матрицы Т. Исходная задача перейдет в
Если Т приводит А к диагональному виду
! ... О
Т~[АТ =
О
то система у = Т {АТу представляет собой совокупность незави-
независимых друг от друга скалярных уравнений у^ = А&2/&, интегриро-
интегрирование которых по отдельности дает
В векторном виде это можно записать как
О
гел,*
0
2/@).
Возврат в исходное пространство с помощью обратного преобра-
преобразования у = Т~хх приводит к
хA) = Т
0
0
ел
Что и определяет матричную экспоненту, если по определению
Считать х(г) = емх@).
В данном контексте полезно обратить внимание на следующее. В простран-
пространстве переменных у матрица Т~]АТ имеет полный набор собственных векторов
{1,0,...}', {0,1,0,...}', ..., {0 0,1}',
|0' Напомним, что это возможно, когда все А* различны, либо матрица А нормальна
(А*А = АА*). При этом столбцы матрицы Т должны быть собственными векторами
Матрицы А. Элементы Т, разумеется, могут быть комплексными.
66 Глава 3. Линейные уравнения
переходящих в собственные вектора матрицы А при переходе к переменным х
с помощью х = Ту. Поэтому можно сказать так: если у А есть п линейно
независимых собственных векторов, то их надо принять за единичные орты новой
системы координат, и тогда в новой системе А приобретет диагональную форму.
Идея предельного перехода. Простую и ясную картину нарушает
«случай равных корней». Естественно, возникает желание рас-
рассмотреть его как предельный случай разных корней, поскольку
равные корни всегда можно разнести, «слегка пошевелив» мат-
матрицу. Тогда можно отталкиваться от ситуации, когда А(е) имеет
различные собственные значения при любом е > 0, и А(е) —> А
при е —> 0. Однако надежда перенести выводы относительно А(е)
на А не всегда оправдывается. Беда заключается в том, что линейно
независимые собственные векторы матрицы А(е) при е -» 0 могут
переходить — ив подавляющем числе случаев переходят — в ли-
линейно зависимые. Пар уходит в гудок — результат не достигается.
На волне отрицательных эмоций идея меркнет. Тем не ме-
менее она плодотворна в ситуациях, где наличие полного набора
собственных векторов не обязательно. Например, формула
C.23)
больше известная своей красотой, нежели прикладной значимо-
значимостью п), — в случае диагонально представимой матрицы А оче-
очевидна, поскольку при линейном преобразовании Т~{ АТ ни детер-
детерминант, ни след
не меняются Х2\ а в диагональном случае C.23) означает не более
чем
о • . • о — о •
В то же время, если матрица А(е) диагонально представима при лю-
любом е и А(е) —> А при е —> 0, то соотношение вида C.23) для А(е)
в результате предельного перехода переходит непосредственно
в C.23). Дополнительные предположения здесь не требуются.
"' Равенство инертной и гравитационной массы «до Эйнштейна» было просто красивым
фактом.
|2' Поскольку детерминант равен произведению, а след — сумме собственных значений
матрицы.
3.8. Теорема Лиувилля
67
3.8. Теорема Лиувилля
Определитель Вронского. Детерминант матрицы фундаментальных
решений, \УA) = с!е1Х(<), называют вронскианом. В случае
= ем, в силу C.23), имеем IV = 1г А • РГ, откуда
C.24)
М В неавтономном случае X = А(Ь)Х отрезок [О, Ь\ можно
разбить точками Ь\, Ь2,... на промежутки малой длины Д<ь А<2,. • •
И считать матрицу АA) на каждом А<г — приблизительно посто-
постоянной (с точностью до о(А<г)). Тогда13) приближенно
Окончательно
при А1г -> О
9 а после перехода к пределу
C.25)
Когда источником служит дифференциальное уравнение п-го порядка C.1),
ТО после перехода к эквивалентной линейной системе х = АA)х на диагональ
Матрицы C.5) попадает лишь один элемент п\A). По этой причине поведе-
поведение вронскиана уравнения п-го порядка определяется одним коэффициентом
уравнения, поскольку оказывается 1г А{1) = п\{1).
Изменение фазового объема. Вектор-столбцы фундаментальной
матрицы автономной системы х = Ах образуют параллелепи-
, Пед, объем которого (детерминант) меняется с течением времени
ПО установленному выше закону РГ = 1г А • ТУ. Такова же динамика
Объема любого другого параллелепипеда, неважно большого или
((Маленького, имеющего вершину в начале координат или не имею-
имеющего 14\ Но тогда очевидно, что и объем УA) любой области $1A)
фазового пространства меняется по тому же закону V — \х А • V,
|3) Наряду с C.24), очевидно, УГA) = е1гЛ{1~з)\У(з).
' Одну вершину всегда можно поместить в нуль заменой системы координат. Ребра хA)
будут образовывать фундаментальную матрицу.
68 Глава 3. Линейные уравнения
поскольку $1(Ь) можно представить сколь угодно точно в виде
объединения маленьких параллелепипедов.
Пусть теперь речь идет об автономной нелинейной системе
х = }(х). О движении в малой окрестности любой точки ж0
можно судить по линейному приближению /(ж). Имеется в виду
следующее. Если хA) — решение х = /(ж), а хA)+г)A) — решение
того же дифура, выходящее из точки х@) +7/@), то малые г}A)
удовлетворяют уравнению (см. раздел 4.4)
= —~ —
I ох, ]
где /'(ж) = —~ — матрица Якоби. Таким образом локально
I ох ]
движение определяется линейным уравнением 15) ц = Г{х)г).
Поэтому, как и в чисто линейном случае, область $1(Ь) мож-
можно представить в виде объединения маленьких параллелепипе-
параллелепипедов Ух, объем каждого из которых меняется в соответствии с
У г — \х }'{х) • Уг. Разница с линейным случаем лишь в том, что для
каждого Уг раньше матрица была одна и та же, теперь для каждого
своя — /'(ж). Суммирование по всем Уг дает
• Г'(х) йУ.
Теперь можно учесть, что 1г/'(ж) — это дивергенция /(ж) [7].
Окончательный результат, таким образом, имеет форму
что называют теоремой Лиувилля.
3.9. Неавтономные системы
По поводу уравнений х = АA)х остается заметить, что к уже ска-
сказанному принципиально добавить нечего. Существование матрицы
^ Уравнением в вариациях, см. раздел 4.4.
3.9. Неавтономные системы 69
фундаментальных решений, формула C.20) решения неоднород-
неоднородного уравнения, принципы суперпозиции — вот, собственно, все,
что имеется в сухом осадке. В отличие от стационарной ситуа-
ситуации, АA) = А, неавтономное уравнение ж = АA)х интегрируется
в исключительных случаях.
Кстати, для интегрируемости х = АA)х достаточна «всего лишь» переста-
перестановочность АA) со своим интегралом. Тогда
1А(з)йз
= е°
фундаментальная матрица решений. Действительно,
Г А(з)аз ! А(»)а»
Х{1) = ео А{1) = АA)е* = АA)Х.
С подходящими примерами, конечно, негусто. Один из немногих принадлежит
Н. П. Еругину:
_ [о@ 6@1
Отдельного упоминания заслуживает понятие сопряженной си-
системы, каковой, по отношению к х = АA)х, служит
у = -АТ{Ь)у. C.26)
Понятно, что х = АA)х и C.26) взаимно сопряжены друг другу.
Скалярное произведение любых двух решений хA),уA) взаимно
сопряженных систем — постоянно,
Х(Ь) • у(Ь) = СОП81,
что вытекает из
— (ж, у) = (ж, у) + (ж, у) = {Ах, у) - (ж, Ату) = 0.
Поэтому общее решение любой из двух взаимно сопряженных
систем определяет п первых интегралов другой.
Упражнения
• Если система х = АA)х самосопряжена, Ат = -АA), то матрица Коши
ХA)Х~1(з) ортогональна.
70 Глава 3. Линейные уравнения
• Если КA,з) = ХA)Х~1(з) — матрица Коши системы х = АA)х, то
решением задачи Коши матричного уравнения
V = АA)УA) + УA)АТA), У(з) = IV
является УA) = КA, з)\УКтA, з).
В прикладных задачах более естественно полагаться на чис-
численные методы интегрирования. Но это касается задач, где нуж-
нужны сами решения, что случается довольно редко. Большей ча-
частью требуется выявление качественных свойств системы: наличие
равновесия или периодического режима, их устойчивость и т. п.
В такого рода вопросах «аналитическое манипулирование» играет
существенно большую роль. И по этой причине различные сла-
слабо мотивированные на первый взгляд исследования представляют
определенную ценность как основа общих представлений и по-
потенциальный инструмент анализа других задач. Даже если они
касаются очень узких секторов неавтономных систем и опираются
на малореалистичные предположения. Изыскания, не имеющие
ощутимого утилитарного значения, могут быть интересны с мате-
математической точки зрения — и это им дает не менее весомое право
на существование.
Дело в том, что математика — самоценная вещь. Ингредиент глу-
глубинного развития человека. Это очень важный аспект. Угол зрения
типа «а какой толк от математики ?» аналогичен взгляду на музыку
как на средство повышения удоев молока, — что имеет основания,
но не улавливает суть. Чисто прагматичный взгляд губит все, что
попадает в фокус. Разумеется, конкретная польза от математики
есть, но она — не столько в бухгалтерии и космических полетах,
сколько — в психологии, что ли. Знание математики влияет на стиль
жизни, мышления, решения бытовых и гуманитарных проблем. Неза-
Незаметно, исподволь — но кардинальным образом. Знание математики —
это другой фундамент для психологической надстройки. Амулет ба-
баланса и магнит стремления к абсолюту.
3.10. Фрагмент из обобщенных функций
Обычное понятие функции у = }{х), как все придуманное, в известной степени
схоластично. Температура в точке не имеет смысла, — но это не такая уж беда.
Хуже другое. Универсальная с виду идеология функциональных зависимостей
иногда совсем не работает. Как математически выразить, например, плотность
3.10. Фрагмент из обобщенных функций 71
точечного заряда? Знаменитая дельта-функция Дирака в свое время отчасти
спасла положение, но — по большому счету — еще сильнее обострила проблему.
Фундаментальный прорыв в понимании существа дела обеспечили С. Л. Соболев
и Л. Шварц, построившие теорию обобщенных функций [9] и сыгравшие в какой-
то мере роль Дедекинда на вещественной прямой.
Действительные числа существовали, конечно, и до Дедекинда, — если
можно говорить о существовании чего-то, не имеющего ясного определения.
Дедекинд внес понимание и логику в манипулирование числами [7]. То же самое
сделали Соболев и Шварц с «противоестественными» объектами типа дельта-
функции — на фоне предварительных успехов физиков, которые хороши там, где
требуется нарушение правил. У них (физиков) нет комплексов, и они спокойно
делят на нуль, если обстановка вынуждает. Черед математиков-законодателей
наступает, когда из-за «лихих методов» правда начинает мешаться с ложью, ибо
интуиция перестает работать, а законные и незаконные манипуляции выглядят
одинаково, как оголенные провода — в том и другом случае.
Итоговое определение обобщенных функций опирается на по-
понятие пространства V основных функций — бесконечно дифферен-
дифференцируемых финитных функций — финитных в том смысле, что
(р(х) = 0 вне ограниченной области (не общей для всех, а своей
для каждой <р е V).
Обобщенные функции далее определяются как линейные функци-
функционалы 16) / над V, ставящие любой функции (р Е V в соответствие
число (/, ф).
Простейший пример линейного функционала дает интегральное представ-
представление
ос
/(*)*>(*)<**• C-27)
не исчерпывающее, однако, всех возможностей, а уточнения типа того, что
пространство обобщенных функций — это пространство V*, сопряженное к V,
в котором сходимость определяется слабой топологией, порождаемой скалярным
произведением, — не годятся для первого знакомства.
Если уж цивилизация как единый биологический организм была вынуждена
постигать обобщенные функции кустарными методами, то это тем более показано
для индивидуального пути.
Дельта-функция 5{х) служит тем эталоном, на котором ста-
становится ясной суть проблемы. Изначально 5(х) определялась
16^ Линейность / означает (/,а\<р\ + 02^2) = а\(/,<р\) + «2(/,^2) Для любых действи-
действительных п\ И п2.
72
Глава 3. Линейные уравнения
как предел единичных импульсов 17) 5е(х), прямоугольной формы
(рис. 3.1) либо сглаженной (колоколообразной), — при стремлении
к нулю ширины импульса, е -> 0.
Трудность заключалась в том, что при
е -> 0 никакого разумного предела вроде бы
нет. Получается функция д(х), равная бес-
бесконечности в нуле и нулю — в остальных
точках.
Однако ситуации, в которых возника-
возникала потребность в чем-то подобном, всегда
сводились к вариантам, когда 6(х) стояла
под интегралом. То есть 6(х) нужна была
не как функция, а как нечто, обеспечи-
обеспечивающее при интегрировании определенный
эффект. Но тогда и обыкновенный предел
не нужен был. Достаточно было сходимости
интеграла
/ /
6е(х)
Рис. 3.1.
Прямоугольный
импульс 6е(х)
00
-> (р@)
-00
при е -> 0, что позволяло определить дельта-функцию как предел
де(х) -> д(х) в смысле
00 00
/ 8е(х)<р(х) их -> I д(х)<р(х)
C.28)
Итак, обобщенная функция 6(х) — это «нечто», действующее
на функции (р Е V по правилу
' Характеризуемых условием / 6е(х) их = 1.
3.10. Фрагмент из обобщенных функций
73
Что касается обычных функций /(ж), то они одновременно — и обобщен-
обобщенные, действующие на у € V в рамках определения скалярного произведения
00
их. Все множество обобщенных функций получается в ре-
00
у
-00
/1(х)(р(х) их =
00
-00
ч)<р'(х)
йх,
ос
зультате пополнения множества обычных функций пределами Д —> / по типу
C.28). За уточнениями можно обратиться |8) к [9].
Производные обобщенных функций определяются равенством
C.29)
что можно воспринимать как результат интегрирования по частям
левого интеграла. Обращение в нуль слагаемого 19) /(х)<р(х)\_
происходит из-за финитности (р(х).
Для производной д'(х) равенство C.29) приводит к
00
[ д\х)<р(х) ах = <р'(о).
Следствием C.29) является также важное соотношение
в'(х) = б(х),
где в(х) — функция Хэвисайда, единичная ступенька:
в(х) =
1, х>0;
О, х < 0.
18),
' Можно не обращаться, чтобы не терять темпа. Как бы крамольно это ни звучало —
поход к врачам чреват болезнями. Трясина мелочей затягивает, — и вернуться к главному
не всегда удается.
' Возникающего при взятии интеграла по частям.
74 Глава 3. Линейные уравнения
< Действительно, для любой функции (р € V
00 ОС ЭС
/ в'(х)ф) йх = - [ В(х)<р'(х) <1х = - $ (р'(х) их =
-ос -ос О
т.е. производная в'(х) действует на кр так же, как 6(х). >
Отметим в заключение формулы, получающиеся простой заменой перемен-
переменной при интегрировании
ОС ОС
/ 6(х - а)<р(х) их = у?(а), / 6(ах)у(х) их = -<р@).
-ос -ос
3.11. Функция Грина и краевые задачи
Идее обращения дифференциального оператора с определенной точки зрения
была посвящена вся глава. Например, формулу C.20) можно рассматривать как
обращение дифференциального оператора Ьх — х - АA) х в задаче Ьх — /(I),
х@) = ж0. Понятно, что говорить о чистом обращении Ь~] не совсем корректно,
поскольку дифференцирование не взаимно однозначно. Поэтому в множестве
допустимых решений должен быть организован отсев. Задача Коши обеспечивает
необходимый отсев фиксацией начальных данных.
Возможна и другая постановка. В некоторые моменты времени задаются
значения части переменных. Такого сорта задачи называют краевыми, в частности
двухточечными, когда для фиксации переменных используются два момента,
например, I — 0 и I = 1.
Обращение Ь в задаче Ьх = /(<) обычно имеет вид (при опре-
определенных начальных или краевых условиях)
C.30)
Функцию С(г, з) в C.30) называют функцией Грина20).
М Происхождение формулы C.30) довольно прозрачно. Пусть х3A) обо-
обозначает решение уравнения Ьх3A) — 6A — з), где
Ьх = х{п) + а,A)х{п~]} + ... + ап_,(*)ж' + апA)х
— некоторый дифференциальный оператор, а 6A - з) — единичный импульс.
20* О 6A, з) еще говорят как о ядре интегрального оператора.
3.11. Функция Грина и краевые задачи
75
Поскольку
*. (*) = /(«)*(* - «)
и система удовлетворяет принципу суперпозиции, то решением уравнения
1х = /(I) будет20
что и представляет собой C.30), если положить х3A) = 0A, з). >
В теории автоматического регулирования С(г,з) называют
импульсной переходной функцией, и на систему Ьх — }A) смотрят
как на преобразование входа }A) в выходной сигнал хA) (рис. 3.2).
С(г,з)
х(г)
Рис. 3.2. Преобразование «вход-выход»
Что в Ьх = /(I) вход, что выход, — вроде бы дело вкуса. И матема-
математически так оно и есть. Но мало кто согласится, что в тх — РA)
ускорение х — вход, а сила ЕA) — выход, — потому что сила
причина движения, но не наоборот. В определенных обстоятельствах
это дает о себе знать.
Интересно, что в стационарном случае С(г, в) является функ-
функцией лишь одного параметра г = I - з (>). Это приводит к зави-
зависимости
00
хA) = [ С{т)}{1 - т) Аз,
-00
удивительной в следующем отношении. Уравнение
ЦСA - 8) = 6A - з),
C.31)
21* Опора на принцип суперпозиции учитывает, что интегрирование представляет собой
предельный вариант суммирования.
76 Глава 3. Линейные уравнения
определяющее функцию С, после замены г = I - 8 переходит
в22) ЬтС(т) = #(т), что определяет С(т) как реакцию системы
на единственное импульсное воздействие д(т), — которую доста-
достаточно зафиксировать один раз — и этого достаточно, чтобы вычис-
вычислять впоследствии реакцию системы на любое внешнее (входное)
воздействие /(^) по формуле C.31).
Другими словами, чтобы идентифицировать систему — «вскрыть» черный
ящик — достаточно одной дельта-функции. Надо лишь знать, что система
линейна и стационарна. Тогда на вход подается один импульс — и объект
«расшифрован».
В данной теме важны определенные уточнения, которые часто
ускользают незамеченными. Для обострения вопроса рассмотрим
простейшую двухточечную задачу
х = /(г), х@) = хA) = 0. C.32)
«* Решением C.32) служит
I
хA) = Г ОA, з)/(з) из,
где
зA-\), О^з ^1.
На фоне сказанного прежде — возникает (вроде бы) парадокс. Си-
Система Ьх = х явно стационарна, но 0A, з) определяется отнюдь
не разностью аргументов, как утверждалось выше.
Причина заключается в том, что понятие стационарности от-
относится не к дифференциальному оператору, а к задаче целиком.
Поэтому ситуация C.32) не стационарна, ибо краевые условия запи-
записаны в «абсолютной» шкале времени, и при переходе от I к т = I — з
трансформируются в х(-з) = х(\ - з) = 0.
Такая же проблема возникает в задаче х = /(х), х\1=0 = х0, которую
обычно считают стационарной, но это не совсем так, дипломатично говоря.
Задача переходит в разряд стационарных, если договориться, что при сдвиге
22) г _
3.11. Функция Грина и краевые задачи 77
шкалы времени г = I - з начальное условие заменяется другим, х\т=0 = х0.
Такая условность в автономном случае для задачи Коши естественна, и она
всегда подразумевается. В двухточечной задаче ситуация иная.
В задачах автоматического регулирования (глава 8) считается, что
система (рис. 3.2) реагирует на импульс 8A — з) только с момента
1 = з прихода импульса — до этого «спит», т. е. выходной сигнал хA)
вместе со всеми производными равен нулю для I < з. Иными словами,
0A, з) является решением уравнения 1цОA, з) = О со скользящими
начальными условиями. И тогда, кстати, ОA, з) = О для I < з, что
называют условием физической реализуемости — система не может
реагировать на будущие сигналы.
Широкую популярность в свое время приобрела задача Штур-
Штурма—Лиувилля:
х + ХдA)х = 0, х@) = х(\) = 0, C.33)
возникающая в результате применения метода неопределенных
множителей Лагранжа к минимизации функционала
Л1
при ограничении
1
±2
Г дA)±2A)A1= 1, х@) = хA) = 0.
о
В C.33) требуется найти ненулевые решения хA) и значения А,
при которых такие решения существуют.
Уравнение C.33) долгое время служило простым и удобным
эталоном, на котором отрабатывались методы изучения вариаци-
вариационных задач.
Другой источник задачи Штурма—Лиувилля — колебания рас-
распределенных систем. Например,
и" + Хи = 0, и(а) = и(Ь) = 0 C.34)
78
Глава 3. Линейные уравнения
описывает колебание струны23), закрепленной в точках х = а
и х = Ь. Решением задачи являются собственные функции и соб-
собственные значения
к7Г
х,
к7Г
к= 1,2,... .
!*Л(ж) 81пх, Хк (
о — а \о — а
В квантовой механике C.34) называется уравнением Шрёдингера.
Собственные значения связаны с возможными частотами о^
колебаний системы24), А* = и\. Совокупность Х& обычно на-
называют спектром собственных значений. С ростом Ь — а спектр
становится все плотнее и в пределе, при Ь — а -> оо, заполняет всю
область @, оо).
3.12. Операционное исчисление
Решение задач, в основе которых лежит дифференциальное уравнение Ьх = /(<),
в разных вариантах опирается на идею представления /(I) в виде взвешенной
суммы (интеграла) неких стандартных функций (сигналов) — с последующим
использованием принципа суперпозиции. В предыдущем разделе это была сумма
взвешенных
импульсов, /(I) = I /(зNA - з) из. Преобразование Фурье,
основывается на разложении /(I) в сумму гармонических сигналов.
Преобразование Лапласа
C.35)
23* Уравнение C.34) получается из уравнения распространения волн в частных произ-
производных при поиске стационарных решений и(х,г) = и(х).
2А' Идет ли речь о струне гитары или о возможных значениях энергии электрона
в потенциальной яме.
3.12. Операционное исчисление 79
где р = а + к«;, — усовершенствует этот метод. Функцию /B) при
этом называют оригиналом, а /(р) — изображением, что записывают
обычно так
/(О .=
Выгоды преобразования Лапласа по сравнению со стандартным преобра-
преобразованием Фурье заключаются в том, что при больших Кер = а метод C.35)
справляется с быстрорастущими функциями, тогда как преобразование Фурье
упирается в расходящиеся интегралы25*.
Успех преобразования Лапласа при изучении линейных систем
определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, линейностью:
Во-вторых, заменой дифференцирования умножением. Точнее го-
говоря,
где при взятии интеграла по частям действительная часть р выби-
выбирается настолько большой, чтобы е~рг/A)\г=оо = 0.
Естественно, что предпочтение отдается задачам, в которых
/@) = 0, и тогда
/(*).='Р/(Р)
Есть и другие удобные свойства, но они вторичны. Например, простое
описание запаздывания
К первичным свойствам относится, конечно, формула обращения26)
' В этом, собственно, и заключается роль действительной части а, которую можно вы-
выбирать и фиксировать по своему усмотрению, исходя из потребностей задачи. В частности,
при бг = О получается преобразование Фурье функции /(г), если /(г) = 0 при г < 0.
26* И сам факт взаимной однозначности преобразования Лапласа.
80
Глава 3. Линейные уравнения
где интегрирование идет вдоль вертикальной прямой Кер = а. Но этой фор-
формулой на практике уже никто не пользуется — имеются подробные таблицы
изображений и оригиналов, введенные, к тому же, во многие компьютерные
программы математического толка.
Преобразование Лапласа хорошо работает и в применении
к многомерным системам. Например, преобразуя матричное урав-
уравнение х = Ах в соответствии с C.35), получаем
рх(р) - х@) = Ах(р),
откуда х(р) = Aр - ^"^(О), т. е. хA) = Aр - А)~{х@). Теперь
сравнение с известным фактом х{1) = емх@) дает
-1
ем = Aр-АГ1.
В скалярном случае, когда А сводится к скалярной величине А,
последняя формула переходит в
Упражнение27)
ч-1 _ *(Р)
Пусть Aр -А)~] = —^, где А(р) = с!е1 Aр - А). Тогда
А(р)
«г е- =
А(р)"
27) См. 5Нш-Нип§ Уои // 51АМ Кеч V. 40, № 3. Р. 706-709.
Глава 4
Устойчивость
4.1. Основные понятия
Точки ж*, в которых система х = /(х,1) перестает двигаться, /(х*,1) = О,
называются равновесными. Нижнее и верхнее положение равновесия маятника,
например. Первое от второго, очевидно, сильно отличается. Нижнее — устойчиво,
верхнее — неустойчиво. Для бытового понятия устойчивости существует строгий
математический аналог.
4.1.1. Определение. Положение равновесия системы
называется устойчивым по Ляпунову, если по любой его окрест-
окрестности V можно указать такую его окрестность РГ, что любое
движение, начинающееся в № не выходит за пределы V (рис. 4.1).
Рис. 4.1
На рис. 4.2 изображены два фазовых портрета. Очевидно, рав-
равновесие слева неустойчиво (седло), справа — устойчиво (устой-
(устойчивый фокус, переходящий — при замене направления движения
на обратное — в неустойчивый).
На рис. 4.3 изображены устойчивые узлы, которые становятся
неустойчивыми при обращении времени, I —>• —оо.
82
Глава 4. Устойчивость
Рис. 4.2
Рис. 4.3. Устойчивые узлы
Еще одна стандартная категория классификации точек рав-
равновесия — центр, имеющий замкнутые траектории в окрестно-
окрестности равновесия. Понятно, что ситуация «скользкая» — малей-
малейшее изменение правой части х = /(#) может превратить за-
замкнутые траектории в раскручивающиеся или скручивающиеся
спирали.
В этой связке часто фигурирует понятие сепаратрисы. В вари-
варианте седла так называют решения, проходящие через равновесие.
Вообще, термин «сепаратриса» несколько размыт. Первоначально
имелись в виду траектории, входящие или выходящие из равнове-
равновесия, когда близлежащие решения в равновесие не входят и не вы-
выходят. Потом это стали понимать шире, как решения в некотором
смысле разделяющие траектории с разным поведением. Потом еще
шире (при п > 2) — как «разделяющие многообразия».
4.1.2. Определение. Положение равновесия х* системы
4.1. Основные понятия 83
называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ля-
Ляпунову и любое решение хA), начинающееся в достаточно малой
окрестности х*, стремится к х* при I —> оо.
Иногда асимптотическую устойчивость называют локальной,
а в том случае, когда х(Ь) -> х* из любого начального положе-
положения, — говорят о глобальной асимптотической устойчивости, или
асимптотической устойчивости в целом.
Равновесие считают вполне неустойчивым (полностью неустой-
неустойчивым), если при обращении времени (направления движения) оно
превращается в асимптотически устойчивое.
Рис. 4.4. Неустойчивое равновесие, хотя все хA) -> х*
Может показаться, что в определении 4.1.2 требование устой-
устойчивости равновесия по Ляпунову излишне, ибо оно, мол, автома-
автоматически вытекает из условия хA) —> х*. Не вытекает. Все траекто-
траектории могут сходиться к равновесию, но устойчивости не будет —
на рис. 4.4 изображен пример.
В автономном случае, х = /(х), множество точек х@), из ко-
которых траектории хA) сходятся к равновесию х*, называется обла-
областью притяжения х*. Область притяжения действительно является
областью, в том смысле, что вместе с каждой точкой содержит не-
некоторую ее окрестность. Это вытекает из непрерывной зависимости
решений от начальных данных.
4.1.3. В случае
равновесие х* системы х = /(х) не может иметь ограниченную
область притяжения.
84 Глава 4. Устойчивость
«* На границе 6п области притяжения П поле /(ж) направлено по каса-
касательной к поверхности дп, иначе траектория либо попадет в П, либо разойдется
с близкими траекториями, начинающимися в П, что вступит в противоречие
с непрерывной зависимостью решений от начальных данных.
Поэтому скалярное произведение /(ж) на элемент поверхности йа, направ-
направленный по нормали к 8п, тождественно равен нулю на 8п. Но тогда
[ с11у /(х) их = I /(ж) 4а = О,
что вступает в противоречие с D.1). >
Упражнение
Утверждение 4.1.3 сохраняет силу при замене строгого неравенства D.1)
нестрогим.
4.2. Второй метод Ляпунова
Устойчивость равновесия. Начнем с ситуации нулевого положения
равновесия автономной системы 1)
х = /(х),
например,
Х\ = — 81П #2, Х2 — Х\ — #2-
Предположим, в окрестности х* — 0 существует такая скаляр-
скалярная функция У(х), что
У@) = 0 и У(х) > 0 при
В этом случае говорят, что У(х) положительно определена.
Допустим, что У(х) непрерывно дифференцируема и
D.2)
(ж) • §гас1 У(х) < О
^ Предполагая выполненными условия единственной разрешимости задачи Коши при
любом начальном положении.
4.2. Второй метод Ляпунова
85
при любом ж/0. Это означает, что функция У на траекториях
х = /(#) строго убывает2\ поскольку D.2) — не что иное, как
отрицательность производной функции УA) — У\х($)\ повремени,
У = §гас1 У(х) • х < 0.
Поэтому любое движение х = /(ж), начавшись в окрестности
У(х) < е, — в этой окрестности и остается, что обеспечивает
устойчивость равновесия х* = 0. Более того, имеет место также
асимптотическая устойчивость равновесия, поскольку УA) строго
убывает, что приводит к хA) -> 0 при I -> оо.
Если вместо D.2) выполняется нестрогое неравенство, то
асимптотической устойчивости может не быть, но устойчивость —
сохраняется.
У(х)=е
Рис. 4.5
В этом месте имеет смысл
остановиться и представить си-
ситуацию визуально. Функция
быстрее всего убывает — в на-
направлении минус градиента.
Движение под острым углом к
минус градиенту3\ т.е. УУ(ж) •
х < 0 — будет приводить к убы-
убыванию V. На рис. 4.5 пунктиром
изображена касательная к по-
поверхности У(х) = е, ограничи-
ограничивающей область У(х) < е. Дви-
Движение х = /(х) в силу D.2) направлено внутрь заштрихованной
области, из которой не может выйти в дальнейшем — иначе в точке
выхода пришлось бы двигаться под тупым углом к - §гаё У(х).
Если особо не вникать, то все выглядит достаточно убедитель-
убедительно. Но «присматриваясь», легко обнаружить вопросы, требующие
ответа. Почему, например, не может случиться так, что У(Ь), строго
убывая, не будет стремиться к нулю при I -> оо? В принципе, это
возможно, но не в данном случае.
' Положительно определенные функции, убывающие на траекториях рассматриваемых
уравнений, называют функциями Ляпунова.
3) Далее
86
Глава 4. Устойчивость
Л У(х)=е
Предположим противное,
> 6 > 0.
Рис. 4.6
Тогда в заштрихованном на рис. 4.6
кольце,
б ^ У(х) ^ У[х@)],
в котором У[жB)] обязана все время
оставаться, функция
V = ЧУ(х) • /(ж)
не просто меньше нуля, а меньше некоторого отрицательного 7 < 0, в силу непре-
непрерывности. Но при V < 7 < 0 функция УB) не может оставаться ограниченной
снизу. >
В случае неавтономной системы х = /(х,Ь) и функции Ля-
Ляпунова У(х), не зависящей явно от I, — все остается почти без
изменений. В отношении устойчивости ничего не меняется. Что
касается асимптотической устойчивости, — необходимо уточне-
уточнение. Теперь функция V, несмотря на V < О, может не добраться
до нуля. Например, в скалярном случае
х = —хе~
функция Ляпунова У(х) = х2 строго убывает,
V = 2хх = -2ж2е~* < 0 при х ф О,
но система «быстро устает» (БУ-система), и решения
останавливаются по дороге к равновесию, не достигая в пределе
х* = 0.
Таких ситуаций в скалярном случае (х — скаляр) можно из-
избежать, запретив возможность
/(ж, г) -> 0, х Ф 0 при ^ —» оо,
но рецепт перестает работать уже на плоскости. Например, система
(в полярных координатах)
г = -ге~г, ф — 1
4.2. Второй метод Ляпунова
87
все время совершает оборот в секунду, но радиус-вектор г не убы-
убывает до нуля, хотя производная У(г) = г2 по времени строго
отрицательна на любой траектории {г(г), <р(Ь)}.
Поэтому в многомерном случае выход из положения заключа-
заключается в исключении ситуации
0,
при
оо,
что сводится к анализу скалярного уравнения V =
с параметром ж.
(#, г)
Отмеченный фактор «быстрого уставания» системы лежит
на поверхности, но довольно часто остается незамеченным, что
приводит к неточным формулировкам теорем. Интересно, что осо-
особого вреда это не наносит4). Математика, оказывается, устойчива
к малым ошибкам.
Неустойчивость. Когда убывающую функцию Ляпунова не удается
подобрать, причины может быть две. Для выяснения второй —
пригодился бы инструмент, позволяющий гарантировать неустой-
неустойчивость.
Идеологическая основа го-
годится прежняя. Если в окрест-
окрестности равновесия х* = 0 систе-
системы х = /(#) у непрерывно диф-
дифференцируемой функции У(х)
{^@) = 0} область положитель-
положительности У(х) > 0 пересекается с
любой сколь угодно малой ок-
окрестностью нуля и в этом пере-
пересечении У>0, в силу х = /(х),
то равновесие
чиво5).
х* = 0 неустой-
неустойРис. 4.7. Неустойчивое
равновесие
•4 От функции Ляпунова у У(х) здесь осталось лишь обозначение. Поло-
Положительной определенности не требуется. Просто через нуль проходит функция,
у которой сектор У(х) > 0 примыкает к нулю. На рис. 4.7 это сектор АОВ. Если
допустить устойчивость, то по окрестности ||ж|| < е — пусть на рисунке это будет
Ибо о неточностях вспоминают, когда они дают о себе знать.
) Это автономный вариант теоремы Четаева.
88 Глава 4. Устойчивость
внутренность большего эллипса — можно указать такую окрестность ||ж|| < 8, —
внутренность меньшего эллипса, — что траектория, начинаясь во второй, —
не выходит из первой. С другой стороны, если рассмотреть заштрихованную
на рис. 4.7 область У(х) > а > О, касающуюся окрестности ||ж|| < 6, то в силу
V > О траектория х{1) не сможет оставаться в ||ж|| < е, ибо производная V
в пересечении кольца
с заштрихованной «территорией» — не просто положительна, а
V = ЧУ • /(ж) > 7 > О,
благодаря непрерывности. >
В неавтономном случае необходимы уточнения, аналогичные тем, которые
делались выше.
4.3. Неавтономный случай
При рассмотрении системы х — }{х,1) определенный интерес
представляет ситуация выбора функции Ляпунова У(х, I), зави-
зависящей от I. Если У(х,1) классифицировать как положительно
определенную при условии У(х, Ь) > 0, х Ф 0, то
уже не гарантирует устойчивость равновесия х* = 0. Поверхность
V = У(х, г) в пространстве переменных {V, х) меняется с течени-
течением времени, и сползание изображающей точки хA) по V теперь
не обязательно связано с приближением хA) к х* — 0.
Но если существует положительно определенная функция
ТУ (ж), такая что У(х, I) > \У(х) > 0 при х ф 0, то V < 0 влечет
за собой устойчивость равновесия.
<4 Действительно, траектория хA) не выйдет из окрестности ||ж|| < е, если
точка хAо) принадлежит окрестности ||ж|| < 6, где 6 определяется следующим
образом. Пусть тГИ^ж) = а > 0 на сфере ||ж|| = е, и 8 выбрано из условия
У(х,1о) < а при любом ||ж|| < 6. Тогда, если 1\ обозначает первый момент
выхода хA) из шара ||ж|| < е, то
а < Щх(гх)] < У{хAх), 1Х) ^ У{хA0), к) < а,
что дает необходимое противоречие. >
4.4. Уравнение в вариациях 89
Асимптотическая устойчивость требует дополнительных пред-
предположений. В частности, чтобы функция У(х, г) имела бесконечно
малый высший предел 6\ т. е. по любому е > О можно было бы ука-
указать такое д > О, что У(х, I) < е, как только ||ж|| < д и I Е [Ьо, об).
Плюс к тому, — чтобы система «быстро не уставала» (см. выше).
4.4. Уравнение в вариациях
Если х(г) — решение задачи Коши
± = /(ж,*), хA0) = ж0,
а х(г) + т}A) — решение того же дифура, выходящее из точки
ж(<о) +^Dо)» то ^/@» очевидно, удовлетворяет уравнению
17 =/И«)+ 1/, *)-/(*(*),<). D-3)
4.4.1. Устойчивостью {асимптотической устойчивостью) решения
хA) называется устойчивость (асимптотическая устойчивость) ну-
нулевого равновесия D.3).
Уравнение D.3) при малых по норме 7]A) можно записать
в виде
Таким образом, линеаризация D.3) дает
D.4)
что называют уравнением в вариациях.
Производная /'х — это матрица Якоби
' Проще говоря, чтобы У(х,1) можно было сделать сколь угодно малой (равномерно
по г) выбором х, достаточно близких к равновесию.
90 Глава 4. Устойчивость
поэтому уравнение в вариациях представляет собой неавтономную
линейную систему г\ — АA)т).
Возвращаясь к определению, полезно обратить внимание, что
устойчивость решения хA) = Е/*о,*(жо) есть не что иное, как рав-
равностепенная по I непрерывность оператора сдвига Щ^ в точке Хо-
Устойчивость по линейному приближению. В автономном случае
х = /(ж), когда речь идет об устойчивости нулевого равновесия,
уравнение D.4) принимает вид г) = /0@O7. Понятно, что здесь
проще обходиться без введения г/, сразу записывая исходную
систему в форме
х = /'@)ж + О(||х||)
и пытаясь судить об устойчивости равновесия х — /(#) по ли-
линейному приближению х = /'@)#, поскольку в линейном случае
вопрос решается исчерпывающе и достаточно легко.
4.4.2. Теорема. Для асимптотической устойчивости нулевого рав-
равновесия линейной системы х — Ах необходимо и достаточно, чтобы
действительные части всех собственных значений матрицы А были
строго отрицательны.
Ч Сходимость всех решений хA) -» 0 при I -> оо очевидна из представ-
представления
Если все А* различны, то с* константы. При равных А* (см. раздел 3.5) с* могут
полиномиально расти, но это не может перевесить экспоненциальное убывание
множителей еХк1.
Для сговорчивой части населения этого достаточно. Но, в принципе,
хA) -> 0 еще не гарантирует устойчивость (см. рис. 4.4). В линейном случае,
однако, так не бывает, что предлагается обосновать в виде упражнения7). >
Исходная проблема, таким образом, сводится к вопросу, мож-
можно ли изучение окрестности равновесия системы х = /(ж) под-
подменить изучением матрицы А = /'(О). Интуитивно ситуация до-
довольно прозрачна8^. Если действительные части всех собственных
значений матрицы /'(О) строго отрицательны, то асимптотически
7' Подсказка: любое решение представляет собой линейную комбинацию п фундамен-
фундаментальных решений, сходящихся к нулю.
8^ Разумеется, если интуиция в рассматриваемой области успела развиться.
4.4. Уравнение в вариациях 91
устойчиво равновесие не только системы ж = /'@)ж, но и х — /(ж).
Если хоть одно Яе А* > 0, то равновесие обеих систем неустойчиво.
Если же все Яе А*^0, и есть Яе А* = 0, — случай пограничный.
Даже линейная система ж — /'@)ж может быть неустойчива 9\ Рав-
Равновесие х = /(ж) может быть любым — все зависит от нелинейной
добавки о(||ж||).
Интуиция в данном случае не подводит. Формальное доказа-
доказательство асимптотической устойчивости х = /(ж) может опираться
на приводимое ниже утверждение, имеющее самостоятельное зна-
значение.
4.4.3. Лемма. Если любое решение ж = Ах стремится к нулю при
I ->• оо, то существует положительно определенная квадратичная
форма <р(х) = (ж, Ух), производная которой в силу ж = Ах строго
отрицательна при ж ф 0.
Л Очевидно,
ф = (Ах, Ух) + (ж, УАх) = (ж, (АТУ + VА)х).
Поэтому достаточно показать, что матричное уравнение
АТУ + У А = -I D.5)
имеет решением положительно определенную матрицу V.
Левая часть D.5) представляет собой линейный оператор А, действующий
в пространстве матриц п х п. Оператор А невырожден. В предположении про-
противного существует такая ненулевая матрица Уо, что АТУО 4- УоА = 0. Но тогда
можно выбрать такое х0 Ф 0, что ^(#о) = (#0, Уо%о) < 0. А это, в силу ф = -ж2,
противоречит сходимости хA) -> 0, если х@) = х0.
Наконец, решением D.5) может быть только положительно определенная
матрица V. В противном случае существует ненулевое уо, при котором
Р(Уо) = (Уо, Ууо) ^ О,
что снова, в силу ф = -ж2, вступает в противоречие с хA) -> 0 в случае
*@) = у0. >
Замечание. Обратим внимание, что лемма 4.4.3 решает заодно упражнение,
предложенное в обосновании теоремы 4.4.2, ибо доказанное существование
функции Ляпунова (р(х) влечет за собой устойчивость (раздел 4.2).
9) Например, х= к 0\х.
92 Глава 4. Устойчивость
4.4.4. Теорема. Если все собственные значения матрицы /'@) стро-
строго отрицательны, то нулевое равновесие системы ж = /(ж) асимп-
асимптотически устойчиво.
М Добавки второго порядка малости не меняют знака производной у функ-
функции (р(х). >
4.5. Обратные теоремы
Теорема 4.4.4 дает повод задуматься, нельзя ли из асимптотической
устойчивости нулевого равновесия системы ж = /(ж) сделать вы-
вывод об асимптотической устойчивости того же равновесия в случае
х = /(ж) + д(х), если ||#(ж)|| = 0(||/(ж)||). Можно, причем обос-
обоснование идеологически остается прежним, но технически более
сложным. Ключом к положительному решению вопроса может
быть следующий факт.
4.5.1. В области притяжения Г2 асимптотически устойчивого рав-
равновесия х* системы ж = /(ж) существует непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция Ляпунова У(х) (то есть положительно определенная
функция, убывающая на траекториях рассматриваемого уравнения),
у которой все поверхности постоянного уровня, У(х) = с, огра-
ограничены 10\
Утверждение 4.5.1 относится к разряду обратных теорем
[14,21], принципиальная роль которых определяется двумя об-
обстоятельствами. Во-первых, они гарантируют, что второй метод
Ляпунова применим всегда (хотя и не всегда ведет к успеху, ибо
для поиска У(х) нужна еще изобретательность и удача). Во-вторых,
информация о существовании У(х) помогает доказывать другие
теоремы — например, о сохранении свойства асимптотической
устойчивости равновесия при малом шевелении правой части.
Наиболее далеко обратные теоремы были продвинуты, пожа-
пожалуй, В.И.Зубовым [14], который пошел следующим путем. Если
для изучаемой системы существует одна функция Ляпунова, то
существует и много других, среди которых можно выбирать У(х),
10) От функций Ляпунова с неограниченными областями У(х) ^ с мало толку — траек-
траектории, уменьшая У(х), могу уходить в бесконечность (см. след. раздел).
4.5. Обратные теоремы 93
удовлетворяющие дополнительным требованиям п\ В частности,
он показал, что в области притяжения Г2 нулевого равновесия
системы х = /(ж) всегда существует функция Ляпунова, удовле-
удовлетворяющая уравнению
У = <р(х)A + У), 7@) = 0, D.6)
где -1 < У(х) < 0 при х ф 0, а выбор <р(х) > 0 должен удо-
удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Понятно, что
в пику предьщущим определениям здесь речь идет о функции Ля-
Ляпунова У{х), которая отрицательна, а не положительна, — зато
вдоль траекторий она растет, а не убывает (поэтому заменой У(х)
на —У(х) можно восстановить традиционную ситуацию).
Поскольку
У = У7(ж) • /(ж),
то D.6) представляет собой уравнение в частных производных
^(х) = Ф)A + У), D.7)
решая которое можно найти не только функцию Ляпунова, но и об-
область притяжения.
Вот как это могло бы работать. Для
х = 2х2у - ж,
У = ~У
уравнение D.7) в случае <р = х2 + у2 приобретает вид
— Bх2у - х) + —(-у) = (х2 + у2)(\ + V).
Решением здесь является
У(х,у) = е 2 Ч*-*у) - 1,
откуда видно, что границей области притяжения служит гипербола ху = 1.
В [14] приводится еще несколько примеров, но все они, конеч-
конечно, напоминают «рояль в кустах». Надеяться на решение уравне-
п) Например, всегда можно ориентироваться на У(х) = р(х,х*), где р — метрика,
эквивалентная исходной (см. обзор [21]).
94
Глава 4. Устойчивость
ния D.7) в реальной ситуации довольно трудно. Тем не менее, как
уже не раз отмечалось, не только в решении конкретных уравнений
заключаются проблемы.
4.6. Устойчивость в целом
Об устойчивости в целом говорят, подразумевая асимптотическую
устойчивость равновесия, область притяжения которого совпадает
со всем фазовым пространством.
В скалярном случае х = }{х), если равновесие х* асимптотически устойчи-
устойчиво и единственно, то оно асимптотически устойчиво в целом (>). Если функ-
функция Ляпунова У(х) убывает при лю-
любом х ф ж*, то все траектории хA)
сходятся к х* (>). Если некоторая
функция (р(х) имеет в х* локальный
минимум и не имеет других экстре-
экстремальных точек, то минимум в х* яв-
является глобальным. Рис. 4.8 наглядно
показывает: чтобы локальный мини-
^ мум не был глобальным — должен
Ф)
IX*
Рис. 4.8
быть еще локальный максимум.
Вся эта простота рушится в многомерном случае. Положитель-
Положительно определенная функция Ляпунова У(х) может строго убывать
при любом х Ф ж*, но это не мешает траекториям хA) уходить
в бесконечность. Такого сорта примеры до сих пор способны вы-
вызывать чувство восхищения, — из-за того, что пространственное
воображение у нас не слишком хорошо развито.
В первую очередь речь идет о взаимоотношении локальных
и глобальных экстремумов. Пусть (р(х) имеет в точке ж* локальный
минимум и не имеет других экстремальных точек, т. е. \7(р(х) Ф О
при х Ф х*. Уже на плоскости минимум в ж* не обязан быть
глобальным. Соответствующие примеры легко строятся на базе
следующей конструкции.
Представим, что на полосе (рис. 4.9), ограниченной параллельными прямы-
прямыми АВ и СБ, задана функция у = (р(х), график которой представляет собой
горный хребет, уходящий «тем выше — чем левее». Уровень (р(х) на прямых АВ
и СВ — нулевой, а срезы (р(х) = с > 0 — тем левее, чем больше О 0. Наконец,
&гас1 (р(х) везде отличен от нуля.
4.6. Устойчивость в целом
95
Рис. 4.9
Таким образом, полоса делит плоскость на две части (верхнюю и нижнюю),
и (р(х) убывает по мере приближения к АВ и СВ. Точнее говоря, градиент
<р(х) в близких к АВ и СВ точках направлен внутрь полосы. Это позволяет
продолжать (р(х) на всю плоскость «нисходящим образом». Ниже АВ, например,
устроить локальный минимум (продавив воронку), а выше СВ образовать склон
<р(х), уходящий, скажем, в минус бесконечность.
Следовательно, в многомерном случае при единственном локальном ми-
минимуме и отсутствии других критических точек — есть возможность «загнуть
график вниз», избегая появления локальных максимумов, как на рис. 4.8.
Склон (р(х) выше С В можно не опускать ниже уровня (р(х*), — и тогда
автономная система
х = -
будет иметь положительно определенную функцию Ляпунова (р(х) - <р(х*), везде
(кроме х ф х*) строго убывающую, но траектории хA), начинающиеся выше
СВ, будут уходить в минус бесконечность.
Рис. 4.10
Уход траекторий хA) в бесконечность возможен и в том случае, когда
единственный локальный минимум функции Ляпунова У(х) является глобаль-
глобальным, но не все области У(х) ^ с ограничены. Соответствующий пример дан
на рис. 4.10, где изображены линии постоянного уровня функции типа
У(х) =
¦х]
4.
Траектория х(Ь) -> оо выделена жирным. «Формульный вариант» имеется в [6].
96 Глава 4. Устойчивость
Подобных «неприятностей» можно избежать в дополнитель-
дополнительных предположениях.
4.6.1. Теорема. Пусть х* — точка локального минимума функ-
функции <р(х), причем \?(р(х) ф О при х ф х* ,и выполнено одно из условий:
либо
Нт <р(х) = оо,
||||
либо
\\4<р(х)\\ >ео>О при \\х\\ ^ г0 > 0.
Тогда в х* достигается глобальный минимум функции <р(х).
4.6.2. Если функция Ляпунова (р(х) удовлетворяет условиям теоре-
теоремы 4.6.1 и убывает на траекториях (не устающей быстро) системы
х = /(ж,^), то равновесие х* асимптотически устойчиво в це-
целом. (>)
4.7. Диссипативные системы
В данный контекст естественно вписываются диссипативные си-
системы, характеризуемые тем, что все их траектории со временем
входят в некий шар радиуса г и там остаются.
Наличие такого свойства бывает ясно из физических сообра-
соображений, связанных так или иначе с диссипацией энергии. Конечно,
если система из-за потерь на трение со временем стремится к рав-
равновесию, то она асимптотически устойчива и, тем более, диссипа-
тивна. Но у системы может быть источник энергии, который из-за
ограниченной мощности не в состоянии компенсировать энер-
энергетические потери при больших скоростях, — и тогда движение
будет спускаться «на Землю» из любых «заоблачных высот», вечно
продолжаясь в рамках энергетического порога.
Параллели с асимптотической устойчивостью в целом здесь заклю-
заключаются в следующем. Если наблюдатель находится так далеко, что
шар ||ж|| ^ г кажется ему точкой, то система будет видеться ему
асимптотически устойчивой в целом.
4.8. Проблема Рауса—Гурвица 97
4.7.1. Пусть функция (р(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.6.1 и
убывает на траекториях (не устающей быстро) системы ж = /(ж,4)
вне шара \\х\\ ^ К. Тогда система х = /(ж, I) диссипативна. (>)
Упомянутое выше соображение об использовании удаленного
наблюдателя хорошо работает во многих ситуациях, и вполне
может быть развито в строгий метод.
Из последней теоремы вытекает диссипативность системы
х = Ах + /(ж),
где матрица А устойчива, а нелинейная часть /(ж) ограничена, т. е.
11/(^I1 < М.
4.8. Проблема Рауса—Гурвица
Матрица А, у которой все собственные значения12) А* находятся
строго в левой полуплоскости, Ке А* < 0, — называется устойчи-
устойчивой, или гурвицевой.
Теорема 4.4.2 гарантирует, таким образом, асимптотическую
устойчивость нулевого равновесия линейной системы х — Ах
с устойчивой матрицей. Некоторый словесный каламбур здесь
возникает из-за того, что определение устойчивой матрицы нера-
неравенствами Яе А* ^ 0 было бы бессмысленно, — траектории х = Ах
в этом случае могли бы уходить в бесконечность (из-за секулярных
членов).
Полиномы (многочлены) Р(А), все корни А* которых удовле-
удовлетворяют условию КеА* < 0, также называют устойчивыми, либо
гурвицевыми, а задачу об устойчивости Р(Х) — проблемой Рауса—
Гурвица, которая имеет разнообразные по форме решения [24].
При подстановке Л = ш в
Р(Л) = Ап + М"'1 + ... + ап_,Л + ап
многочлен Р записывается в форме \Р(гш)\егаг&р^ш\ либо
Р{ш) = д{ш) + 1Н{ш), D.8)
где д и Н — многочлены от ш. Например, в случае Р(Л) = Л2 4- а,Л 4- а2,
д(ш) = -ш2 4-а2, Н(ш) = п\Ш.
12^ То есть корни характеристического полинома Р(Х) = 6е1 (А - XI).
98
Глава 4. Устойчивость
Кривая D.8) в комплексной плоскости, задаваемая парамет-
параметром ш, называется амплитудно-фазовой характеристикой полино-
полинома, либо годографом Михайлова (см. главу 8).
4.8.1. Критерий Михайлова. Если аргумент Р(гш) при изменении
ш от О до +оо меняется на величину
устойчив.
7Г
п—
0
-А*
-л;
, то многочлен Р(А)
Из представления
Рис. 4.11
видно, что изменение аргумен-
аргумента Р{ш) равно сумме прира-
приращений аргументов сомножите-
сомножителей (ш - Хк). Изображающая
точка (ш — А*) при измене-
изменении ш от нуля до +оо дви-
движется (по комплексной плос-
плоскости) вверх вдоль вертикаль-
вертикальной прямой, проходящей через
-А* (рис. 4.11). При этом ясно,
что аргумент (ш — А*) меняется на тг/2 в случае действительного корня А* < О,
на тг/2 — (р (рис. 4.11) в случае комплексного корня с вещественной частью
Ке Хк < 0 и на тг/2 + (р в случае комплексно сопряженного корня А^.
Результирующая сумма получается равной пп/2. >
На рис. 4.12 даны примеры годографов устойчивых многочле-
многочленов второго и третьего порядка. Для решения вопроса об измене-
изменении аргумента точность, понятно, не нужна. Достаточно прикинуть
точки пересечения с осями и направление ухода в бесконечность.
Это делается легко и быстро.
Рис. 4.12
4.9. Линейные неавтономные системы 99
4.9. Линейные неавтономные системы
Проблема устойчивости линейной системы
х = АA)х
является стержневой, поскольку к ней сводится, вообще говоря,
вопрос об устойчивости решений системы общего вида
х = /(ж, *),
в силу линейности уравнения в вариациях13).
Считается, что эту проблему покрывает первый метод Ляпунова, который —
в отличие от «второго» — особой популярности не завоевал, но время от времени
оказывается полезным.
Канва метода14) примерно такова. В основе лежит понятие характеристи-
характеристического показателя, определяемого для функции /(I) как верхний предел
Очевидно, х1еЫ] = а-
Характеристический показатель матрицы А{1) = [а;*B)] определяется фор-
формулой
при этом, как выясняется,
Х[АA)) = х1\№)\\].
Нечувствительность к выбору нормы здесь объясняется тем, что характеристиче-
характеристический показатель ловит порядок роста функции, а все нормы в Кп эквивалентны.
В случае ограниченной по норме матрицы А{1) любое решение х{1) системы
х = АA)х имеет конечный характеристический показатель (теорема Ляпунова).
Если АA) = А, то характеристические показатели фундаментальных решений
х = Ах совпадают с действительными частями собственных значений матрицы А.
Все это красиво выглядит, но в большей степени является идеологическим
оружием, поскольку вычисление показателей \ в нетривиальных ситуациях
весьма проблематично.
Работоспособные критерии устойчивости все-таки в основ-
основном опираются на второй метод Ляпунова. Возьмем, например,
' Это более-менее ясно из раздела 4.4, хотя там и не расставлены все точки над 1.
' См. например, [12].
100 Глава 4. Устойчивость
в качестве функции Ляпунова квадратичную форму У(х) = х2. Ее
производная вдоль траекторий х = АA)х равна
У(х) = (ж, АA)х) + (А(г)х9 х) = (ж, (АA) + АтA))х).
Поэтому, если АA) обозначает максимальное собственное значение
матрицы АA) + АтA), которая симметрична 15\ — то
что для решений хA) после интегрирования дает неравенство
Важевского
Понятно, что при АA) < Ло < 0 нулевое равновесие системы
х = А{1)х будет асимптотически устойчиво.
Упражнения (см. [12])
• Для (асимптотической) устойчивости линейной неоднородной системы
х = АA)х + /(<) D.9)
необходима и достаточна (асимптотическая) устойчивость нулевого равно-
равновесия однородной системы х = АA)х.
• Все решения D.9) при любом /(I) устойчивы (вполне неустойчивы), если
устойчиво (вполне неустойчиво) — хотя бы одно.
• Для устойчивости однородной системы х = АA)х необходима и достаточна
ограниченность всех ее решений при I —> +оо.
• Все решения устойчивой системы D.9) при I —> Ч-оо либо ограничены, либо
не ограничены |6).
• Для асимптотической устойчивости однородной системы х = АA)х необ-
необходимо и достаточно стремление к нулю при I -> +оо всех ее решений.
• Если матрица А гурвицева и ВA) -> 0 при I -> +оо, то система
х = [А
асимптотически устойчива.
15* И потому все ее собственные значения действительны.
' Решения хA) = I + се~ уравнения х = 1 + г — х не ограничены, но асимптотически
устойчивы.
Глава 5
Колебания
5.1. Гармонические сигналы
О колебаниях говорят, имея дело с периодическими функциями /(<),
характеризуемыми наличием периода колебания т:
Д« + т) = /(<).
При этом функция / считается т-периодичной.
Одним из эталонов периодического сигнала служит синусои-
синусоидальная функция (имеющая период г = 2тг/о;)
хA) = а$\п(ш1 + (р), E.1)
где а — амплитуда, аргумент синуса (ш1 + ф) — фаза, (р — сдвиг
по фазе, ш — круговая частота 1\ Функцию E.1) называют гармо-
гармоническим сигналом. Понятно, что замена в E.1) синуса на косинус
равносильна сдвигу по фазе на тг/2 — и потому не меняет природу
сигнала.
При сложении двух гармоник,
п\ $т (ш1 + <р\) + а2 51П (ш1 + <р2),
получается снова гармонический сигнал E.1) с амплитудой а,
а2 = а] + а\ + 2аха2 соз (фх - <р2),
и некоторым сдвигом по фазе. Зависимость амплитуды суммарного сигнала
от разности фаз <рх - <р2 представляет собой широко известное явление интерфе-
интерференции.
Гармонические сигналы дают стандартную основу для представления любых
функций в виде бесконечных сумм или интегралов.
* Здесь и = 2тп/, и = \/т — обыкновенная частота, г — период колебания.
102 Глава 5. Колебания
Разложение периодических функций /(I) по ортогональной тригонометри-
тригонометрической системе (см. например, [7])
{\,со$п1,$\пп1} (п = 1,2,...)
позволяет представлять /(I) в виде ряда Фурье
ос
/(I) = у + ]Р(ап сов п1 + Ьп вт п1) (-тг < I < тг), E.2)
где
тг
ап = - / /(I) соз п1сН,
В случае непериодических функций аналогом E.2) служит интегральное
представление Фурье
ос
/(I) = I (аш
E.3)
где
ос
[ /(I) со5ш1сН,
E.4)
ос
аш = - [
При работе с синусами или косинусами использование комплексной экс-
экспоненты еш1 экономит много сил — и на освоение этого приема имеет смысл
выделить некоторое время.
В преобразовании Фурье, например, E.3), E.4) заменяются на
ос
ДО = / 7(ы)еш* <Ь>>
где
ос
ш) = — / /A)е~ш( 6,1.
2тг У
-ос
Незначительное с первого взгляда упрощение — в процессе работы обора-
оборачивается существенной экономией.
5.2. Вынужденные колебания 103
В дифурах известное преимущество экспоненты заключается в том, что ее
дифференцирование снова дает экспоненту, тогда как производная синуса равна
косинусу и наоборот, что порождает неразбериху.
Вот еще один показательный пример. При сложении когерентных колеба-
колебаний, идущих от щелей дифракционной решетки, возникает сигнал
хA) = сов ш1 + сов (ш1 + (р) + ... 4- соз (ш1 + тир).
Задача суммирования здесь выглядит довольно сложной. Если же заметить, что
хA) является действительной частью суммы
гA) = е™ + е'м+^ + ... 4- ет+щ>\
проблема легко разрешается, поскольку гA) представляет собой сумму геомет-
геометрической прогрессии с показателем е11р.
5.2. Вынужденные колебания
Если в х — /(х,1) вектор-функция /(х,1) т-периодична по I, то
естественно ожидать наличия в системе г-периодичных решений.
5.2.1. Для существования г-периодичных решений хA) необходимо
и достаточно, чтобы у оператора сдвига II = {7о,т была неподвижная
точка Хо, т. е. IIхо — Жо-
< Очевидно, хA) = С/о,*(жо) является т-периодичным решением. >
Рассмотрим пока однородную линейную систему
х - АA)х E.5)
с т-периодичной матрицей АA). Решения E.5), как известно
(раздел 3.2), могут быть записаны в форме
где фундаментальная матрица Х{1) есть оператор сдвига Щ$ —
г-периодичность ХA) проверяется подстановкой в E.5).
Матрицу Х(т) (сдвиг на период) называют матрицей моно-
дромии, а ее собственные значения — мультипликаторами систе-
системы E.5).
104 Глава 5. Колебания
Для системы х — Ах с постоянными коэффициентами
Х(т) = еЛт,
а мультипликаторы //* = еХкТ, где А* — собственные значения
матрицы А. Очевидно,
ЯеЛ*<0.
Таким образом, если матрица А устойчива (все ЯеА* < 0), то
оператор сдвига за период Х(т) имеет спектральный радиус2)
< 1, и поэтому — сжимает в некоторой норме. Это вытекает
из следующего факта.
5.2.2. Лемма. Если у матрицы В спектральный радиус р(В) < 1,
то обязательно найдется норма \\ • ||+, в которой ||5||* < 1.
< В качестве || • ||* можно взять
||ж||* = тах{А-*||Б*ж||: А: = 0,1,..-},
где р(В) < А < 1, а || • || — произвольная норма в Кп.
В этом случае, очевидно,
1)л+1ж||: к = 1, 2,... } ^ А||ж||*. >
В неавтономном случае E.5) матрица Х(т) может быть опреде-
определена аналитически в редких ситуациях, но численно — практически
всегда, и с большой точностью.
Рассмотрим теперь неавтономную систему
х = АA)х + /(*) E.6)
с г-периодичными АA) и /(<). Распространенный вариант: мат-
матрица — не зависит от времени, а /(<) — внешнее периодическое
воздействие на систему.
< Из C.20) и утверждения 5.2.1 вытекает, что начальные условия ж@)
г-периодических решений E.6) определяются уравнением
г
х0 = Х(т)хй + I Х(т)Х-\з)/(з) аз,
0
2' Наибольший модуль собственного значения.
5.2. Вынужденные колебания 105
откуда
г
'(т)Х~\з)/(з)аз9
для чего необходимо и достаточно, чтобы 1 не была мультипликатором систе-
системы E.5).
При известном начальном условии периодическое решение определяется
автоматически по формуле C.20). >
Если один из мультипликаторов равен 1, периодическое решение может
не существовать. Теоретически этот вариант рассматривается элементарно —
как случай разрешимости линейного уравнения [I — Х(т)]х = Ь с вырожденной
матрицей I — Х(т).
Устойчивость периодического решения — является обычно
главным вопросом. В рассматриваемом случае проблема решается
довольно просто.
5.2.3. Теорема. Если все мультипликаторы системы E.5) по мо-
модулю меньше единицы, то у системы E.6) периодическое решение
существует, единственно и асимптотически устойчиво.
< Существование и единственность периодического решения х*A) были
установлены выше.
Из C.20) вытекает
где оператор сдвига ХA) по траекториям E.5) т-периодичен, и поэтому, если
I = кт 4- 5, где $ < т,
ХA) = Х(кт + з) = Хк(т)Х(з),
что влечет за собой ХA) -» 0, т. е. хA) - х*A) -> 0.
Помимо этого, в норме из леммы 5.2.2
Поэтому ХA) стягивает в точку любой шар ||ж||* ^ г, что обеспечивает устойчи-
устойчивость по Ляпунову. >
Обратим внимание на следующие моменты. В нетривиальном
случае3);
• На замкнутой периодической траектории х*A) не любая, а единственная
точка ж@) является неподвижной точкой оператора сдвига.
з)
Когда }A) действительно зависит от I.
106 Глава 5. Колебания
• Все решения х{1) — в условиях теоремы 5.2.3 — сходятся не только к орбите
(следу), но и к самому периодическому решению х*A), т.е. происходит
синхронизация с внешним периодическим воздействием.
Изложенный материал принято именовать теорией Флоке,
В [15] можно найти дополнительные подробности.
5.3. Резонансные явления
Резонансом называют феномен резкого возрастания амплитуды вы-
вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего гармо-
гармонического воздействия к частоте одного из собственных колебаний
системы.
При воздействии гармонического возмущения / со$ш1 на про-
простейший осциллятор динамика системы описывается уравнением
х + 7* + иох = / СО5 ^'» E-7)
где а>о обозначает собственную частоту осциллятора, а 7 — коэф-
коэффициент вязкого трения.
< К решению E.7) приводит подстановка х = Сеш1, в результате которой
получается
2 2^ ^
откуда
-ш2 + ^ш + ш]'
Действительная часть Сеш1 дает решение
хA) = Асо$(ш1-<р), E.8)
где
- иг
Устойчивость решения А соз (ш1 — (р) по Ляпунову гарантирует теорема 5.2.3
(разумеется, если */ > 0, что обеспечивает устойчивость характеристического
полинома). >
Из формулы E.9) видно, что амплитуда А максимальна при
совпадении собственной частоты о;о с частотой ш внешнего воз-
воздействия и А —> оо при а; —> о;о и 7 ~^ 0- Сдвиг по фазе (р при
о; = а>о равен тг/2. Интересно, что при ш < Шо маятник движется
5.3. Резонансные явления 107
с некоторым запаздыванием по фазе по отношению к вынуж-
вынуждающей силе, что интуитивно представляется естественным; при
ш > Шо, — наоборот, с опережением — как бы стремясь избе-
избежать воздействия, — что, в связи с неодушевленностью маятника,
кажется немного странным.
Решение E.8) можно представить в эквивалентном виде4)
хA) — Аа Вт ш1 + Ад соз ш1, E.10)
избавляясь от описания процесса сдвигом по фазе (р. Первое
впечатление от такой замены, конечно, «что в лоб, что по лбу».
Но математически тривиальные развилки часто приводят к то-
тому, что исследование начинает идти по другому пути, достигая
в итоге либо существенных результатов, либо, наоборот, упираясь
в стену и теряя ориентир. В данном случае в результате перехода
от E.8) к E.10) возникают новые категории мышления: Аа —
амплитуда поглощения и А^ — амплитуда дисперсии. Составля-
Составляющая Аа$тиI отстает от вынуждающей силы /соза;< на тг/2,
и ее среднее значение за период равно поглощаемой осциллятором
мощности. Дисперсное колебание А^со^шЬ в точности следует
по фазе за вынуждающей силой, и его интегральный вклад за цикл
в поглощаемую мощность равен нулю5).
Модель E.7) фиксирует простые качественные закономерно-
закономерности и служит удобным эталоном при рассмотрении резонансных
явлений вообще. В комбинации с принципом суперпозиции она
позволяет делать выводы о резонансе в случае периодических сил
негармонического характера. Определяющую роль при этом играет
разложение внешней силы /(<) в ряд Фурье, поскольку для резо-
резонанса существенно не совпадение частот само по себе, а наличие
в разложении
/о = ^2 исо5 (^+^)
гармоник, близких к собственной частоте щ.
4' Воспользовавшись формулой косинуса разности двух углов.
* Поглощаемая мощность РA) равна произведению силы /со$ш1 на скорость хA).
Усреднение за период дает нуль в силу (созшг зш ыг) = 0, где угловые скобки обозначают
среднее значение за период.
108 Глава 5. Колебания
Распространенное «правило» о возникновении резонанса, если частота воз-
воздействия кратна собственной частоте, ш = кш0, — вообще говоря, неверно. Оно
работает, если в разложении /(I) присутствует ощутимая гармоника с ш = ш0.
В случае
/(I) = сов 2>шо1 + сов 7шо1
частота воздействия в точности совпадает с резонансной (у — */0), но резонан-
резонанса нет.
Параметрический резонанс. Иногда возмущение действует на си-
систему косвенно — через параметры.
Рассмотрим, например, движение маятника, подвешенного на жестком
стержне длины / (рис. 2.Ъб). Пусть вертикальная координата х точки подвеса
колеблется с (круговой) частотой ш и малой амплитудой е,
х = есо$ш1.
Сила инерции, действующая на маятник в вертикальном направлении, равна
тх. Поэтому в уравнении B.9), либо B.10N) к ускорению свободного падения #
надо добавить
х = -еш1 сов ш1,
что и будет искомым уравнением движения. В частности, B.10) перейдет в
§ - еш2 со$ш1
ф+ у> = 0.
Внешней силы7), таким образом, нет, но при определенных условиях маят-
маятник удается раскачать — соответствующее явление называют параметрическим
резонансом.
Если амплитуда колебаний е достаточно мала, а частота ш
не слишком велика, можно считать (полагая / — 1), что речь идет
о дифференциальном уравнении Матье
ж+ (а>о +ео;2соза;<)ж = 0 E.11)
с малым е. Другими словами, — об осцилляторе с периодически
меняющейся собственной частотой.
При е — 0 нулевое равновесие E.11) устойчиво по Ляпунову,
и оба мультипликатора /г* системы равны по модулю единице, —
что бывает критично. В результате сколь угодно малого возмущения
' В зависимости от того, большие или малые колебания рассматриваются.
^Действующей непосредственно на переменную состояния (р.
5.4. Связанные системы 109
матрицы система может «соскользнуть» как в устойчивую ситуа-
ситуацию, оба |//^| < 1, так и в неустойчивую, — хотя бы один |//*| > 1.
Данный случай — исключение. Если частота ш ф &и>о/2, где
к = 1,2,..., — то при достаточно малом е мультипликаторы
матрицы монодромии8) Х(т) равны по модулю единице — система
остается устойчивой, возбуждение колебаний невозможно.
<4 Причина заключена в специфике допустимого возмущения. Система
E.11) в переменных х = Х\, х = х2 имеет вид
Г ж, =х2,
У ±2 = -(ш1 4- е совш1)х{,
т.е. х — АA)х, где у матрицы АA) на главной диагонали нули, — в силу
чего9) с1е1Х(т) = 1. По этой причине характеристическое уравнение для матрицы
монодромии Х(т):
/х2 Ч- 2Ь/х -Ь- 1 =0. E.12)
При ш Ф кшо/2, &= 1,2,..., и е = 0, — легко проверяется, что коэффициент Ъ
меньше единицы — таким он остается и при малом возмущении (малом е).
Поэтому корни E.12) комплексно сопряжены и равны по модулю единице,
в силу /х,//2 = 1. > Более обстоятельно рассуждение проведено в [3].
Феномен вибрации. Совершенно иная ситуация возникает, если
точка подвеса маятника вибрирует, т. е. колеблется с малой ам-
амплитудой и большой частотой ш 3> о>о- Здесь неожиданно верхнее
положение маятника становится устойчивым (см. раздел 6.6.)
5.4. Связанные системы
Два линейно связанных друг с другом линейных осциллятора
описываются системой дифференциальных уравнений
{ Ъпх2 + п\\Х\ + апх2 = 0,
= 0,
причем, если задача имеет физический смысл, то квадратичные
формы А и В,
{А = п\\х\ + 2а\2Х\х2 + а22х1,
В = Ьпх\ + 2ЪХ2ххх2 + Ъ22х2ъ
' Оператора сдвига за период.
^ См. C.25), а также теорему Лиувилля.
110
Глава 5. Колебания
Рис. 5.1
Рис. 5.2
представляют потенциальную и кинетическую энергию системы
и потому — положительно определены.
Моделью движения E.13) могут служить упруго связанные маятники
(рис. 5.1) либо связанные контуры (рис. 5.2). Опять-таки, как и в случае од-
одного маятника, в изображенных на рисунках моделях заключено все богатство
содержания системы E.13) общего вида.
Поиск решения E.13) в форме
х =
а)
приводит к системе уравнении
.2
(аи - Ъпш1)с\ + (а12 - Ъпш2)с2 = 0,
+ (а22 - Ь22^2)с2 = 0,
совместной лишь в случае равенства нулю детерминанта,
.2 ь .2
а22 —
= о,
E.14)
что называют секулярным, или вековым уравнением.
Корни E.14) дают две так называемые нормальные частоты10)
Ш\ и и>2- В итоге решение E.13) принимает вид
«Колебание», таким образом, может быть даже непериодиче-
непериодическим — при несоизмеримости частот и)\ и иJ. Интересно, что
10)
Корни E.14)
\ и ш\ оказываются действительными и положительными.
5.4. Связанные системы 111
при этом в системе присутствуют две «виртуальные» гармониче-
гармонические компоненты ^ и ^2> не взаимодействующие друг с другом.
м
Переменные1 ' ^ = |^ | линейно выражаются через х =
\Х2
причем Т «развязывает» систему E.13), приводя ее к виду12)
За конспективным изложением здесь скрывается много интересных по-
подробностей. Но традиционно эта тематика хорошо излагается (см. например,
[10, 19]), причем общий случай, п связанных осцилляторов, оказывается даже
проще |3). По этой причине мы не задерживаемся на деталях, тем более что
рассматриваемая область в большей степени принадлежит теории колебаний,
нежели дифференциальным уравнениям.
Остановимся кратко на одном важном аспекте. Помимо нор-
нормальных частот и)\ и &2 поведение связанных систем определяют
также парциальные частоты 14)
и 02 =
Иными словами, парциальная частота 0{ — это собственная частота
колебаний г-го маятника, если другой принудительно остановлен.
Совпадение парциальных частот порождает в системе неко-
некоторые удивительные явления, которые идеологически примыка-
примыкают к понятию внутреннего резонанса (между разными степенями
свободы). В случае, например, отклонения одного из маятников
и 0\ — 02 при сколь угодно слабой связи (маятники в разных по-
помещениях), через некоторое время происходит полная перекачка
энергии — от первого ко второму. Математически — тривиальная
"'Их называют нормальными координатами.
' Это то самое преобразование, которое в линейной алгебре приводит одновременно
две квадратичные формы к диагональному виду.
1 ' Не потому, что координатная запись перестает мешать, а потому, что начинают
преобладать атрибуты линейного мышления.
' Тех и других в общем случае имеется п штук.
112
Глава 5. Колебания
вещь [19], но физически (и даже философски) — удивительная.
Почему перекачка не прекращается, когда энергия колебаний рас-
распределяется между маятниками поровну? Аналитически — ответ
прост. Фазовая синхронизация оказывается такой, что первый ма-
маятник «даже на выдохе» успешнее раскачивает второй (толкает,
когда надо, а второй — невпопад). Но для Вселенной, где так ре-
решаются линейные уравнения, это имеет принципиальное значение.
Не менее интересные явления возникают в многокомпонент-
многокомпонентных системах при изучении вынужденных колебаний (раздел 8.5).
5.5. Автоколебания
Рис. 5.3
Рис. 5.4. Мягкий режим
возбуждения
Одномерное движение х = /(х)
с функцией /(ж), изображенной
на рис. 5.3, имеет нулевое неустой-
неустойчивое равновесие и ненулевое х* —
устойчивое. Поэтому движение на
плоскости
E.15)
записанное в полярных коорди-
координатах, имеет в нуле неустойчи-
неустойчивый фокус и устойчивое периоди-
периодическое решение {г = г*, <р = 1}
(рис. 5.4), называемое автоколеба-
автоколебанием. Режим возбуждения получа-
получается мягким — малейшее отклоне-
отклонение системы от нулевого состояния
покоя приводит к автоколебанию.
Пример E.15) исключителен в том смысле, что автоколебания в бо-
более реалистичных условиях неустойчивы по Ляпунову. При возмущении
начальных данных время «оборота» в нелинейных системах обычно от-
отличается от периода автоколебаний, — и эта разница нарастает
с каждым разом. В пределе точка может двигаться по той же
орбите, но с тем или иным опережением или отставанием по време-
времени. Такое свойство называют орбитальной устойчивостью, которая
и подразумевается, когда речь идет об автоколебаниях.
5.5. Автоколебания 113
Описанная выше ситуация характерна для диссипативных не-
нелинейных систем с неустойчивым фокусом, область отталкива-
отталкивания 15) ^о которого ограничена, в силу диссипативности. В резуль-
результате плоское движение
х = /(»)
«выдавливает» любую траекторию из !70 на границу <Шо, кото-
которая оказывается орбитой автоколебания, поскольку решение хA)
не может уйти с <Шо из-за непрерывной зависимости от начальных
данных.
С другой стороны, в силу той же диссипативности, траекто-
траектории хA), приходящие из бесконечности, вынуждены наматываться
на некоторую орбиту «Ш^. При совпадении <Шо = «Шоо возни-
возникает описанная выше картина, с той лишь разницей, что орбита
не обязана быть окружностью, как в примере E.15).
Заметим, что диссипативность можно охарактеризовать как
свойство полной неустойчивости «точки» оо с областью отталки-
отталкивания Ооо. В случае <Шо ф $$1^ в «кольце» между дпо и «Ш,*, будут
заключены еще несколько автоколебательных режимов. В рамках
примера E.15) это соответствует варианту, когда /(ж) обращает-
обращается в нуль несколько раз. Если при этом исключены структурно
неустойчивые ситуации касания /(ж) оси ж, то понятно, что
асимптотически устойчивые и вполне неустойчивые колебания
будут чередоваться.
Если нулевой фокус устойчив, то ближайший к нему пери-
периодический режим вполне неустойчив, и только следующий —
устойчив. В этом случае из состояния покоя в устойчивый режим
автоколебаний система самопроизвольно не переходит — требует-
требуется «раскачка». При этом говорят о жестком режиме возбуждения
автоколебаний.
Автоколебания на практике играют как положительную роль,
так и отрицательную. Классический пример использования ав-
автоколебательного режима — генератор электромагнитных волн,
' Область отталкивания неустойчивого фокуса — это область притяжения асимптоти-
асимптотически устойчивого, который получается из первого при обращении направления движения
на обратное.
114
Глава 5. Колебания
рис. 5.5, где колебание в контуре с помощью взаимоиндукции по-
подается на вход усилителя и возвращается обратно после усиления.
Уравнением колебаний в данном случае является
Щ + Щ +! = !№)>
где ^ — заряд на конденсаторе, (/ — сила тока, М — коэффициент
взаимной индукции, /(и) — характеристика усилителя «вход-вы-
«вход-выход» по напряжению (рис. 5.6). Хорошее уси-
усиление, разумеется, линейно, но это возможно
лишь в определенных границах — далее /(и)
входит в режим насыщения, что ограничивает
выходную мощность. Поэтому система дисси-
пативна — мощность автоколебаний не может
превосходить поток энергии из усилителя.
Рис. 5.5.
Генератор
Другой пример — флаттер-эффект, игра-
играющий разрушительную роль при движении
различных конструкций в жидкости или газе.
Крыло самолета, перископ подводной лодки,
лопасти турбины или воздушного винта, — все это при опре-
определенном соотношении параметров способно входить в режим
автоколебаний, опасный для целостности конструкции.
Заметим, что весь разговор в па-
параграфе относится к системам второ-
второго порядка. При этом иногда возникает
ожидание перехода к общему случаю —
к системам более высокой размерности.
Но автоколебания присущи именно си-
системам второго порядка и некоторым
механическим задачам. В общем случае
при п > 2 автоколебания — редкость.
Причины имеют топологический характер. Если область по
притяжения или отталкивания равновесия ограничена, то граница
<Шо инвариантна, поскольку движение х = /(ж) не может уйти
с <Шо из-за непрерывной зависимости от начальных данных. В слу-
случае п — 2 граница <Шо в типичных условиях оказывается контуром,
двигаясь по которому система неизбежно совершает колебания.
Рис. 5.6. Характеристика
«вход-выход»
5.6. Нелинейный маятник 115
При п > 2 возможности движения по <Шо существенно богаче —
и ожидать наличия замкнутых траекторий, вообще говоря, не резон.
5.6. Нелинейный маятник
Изучению скалярного уравнения х = /(ж) посвящаются целые
книги, что комментировать можно по-разному. С одной стороны,
Джером говорил: «Мы должны думать не о том, что может приго-
пригодиться, а о том, без чего нельзя обойтись», — и эта мысль иногда
приходится кстати. С другой стороны, можно считать, что думать
надо о том, о чем думается. И это соображение приходится кстати
даже чаще.
Чем кончится эквилибристика с уравнением х — /(ж) зага-
загадывать трудно. Не обязательно в самом уравнении могут обнару-
обнаружиться чудеса, но «перебирание четок» наталкивает на полезные
ассоциации16).
Само исходное уравнение действительно в определенном отношении совсем
просто. Повторим выкладку, которая уже делалась при выводе закона сохранения
энергии B.26). Полагая /(х) = -II1(х) и умножая х = -II1(х) на ж, приходим
к «эквивалентному» уравнению|7^
|(у +[/(*))= О,
которое после интегрирования дает первый интеграл
^+Щх) = Е, E.16)
откуда
х = ±^2(Е-11(х))у E.17)
что уже позволяет записать решение в квадратурах.
Казалось бы, о чем тут говорить. Маятник с нелинейной пружиной. Но при-
природа за внешней простотой спрятала достаточно глубокие вещи.
В качестве примера рассмотрим популярное уравнение B.9),
т.е.
х + и;2$тх = 0, E.18)
' К чему привело упорное тасование примитивных схем в электронике — хорошо
известно.
^Умножение на производную х, которая временами может обнуляться, порождает
свою специфику. Очевидную, но требующую внимательности.
116
Глава 5. Колебания
Рис. 5.7
где переменная обозначена буквой х (а не <р), чтобы подчеркнуть,
что специфика «угла» здесь никак не влияет на существо дела.
В данном случае потенциальная энергия V(х) = -о;2со8Ж,
и при условии Е ^ ш2 — маятник (если это все же маятник)
колеблется, а при Е > ш2 — вращается. В переменных {х, х}
фазовый портрет выглядит, как на рис. 5.7.
Пограничную ситуацию Е = ш2
определяет сепаратрисное решение хA),
которое при I -> оо стремится к верх-
верхнему положению равновесия, х = тг,
но достичь его за конечное время не мо-
может18^. Подстановка
в E.17) приводит к
Рис. 5.8
X = ±2Ш С08 -,
что интегрируется в элементарных функциях и дает
откуда скорость на сепаратрисе
х = ±-
имеет вид уединенной волны (солитона, см. след. раздел) — рис. 5.8.
18)
Теорема 2.3.4.
5.6. Нелинейный маятник 117
Нелинейный резонанс. Вынужденные колебания
х + ш2 §т х = есова;^ E.19)
подчиняются, естественно, другим законам, нежели линейные ко-
колебания E.7).
Конечно, интерес представляют точные решения. Но жонгли-
жонглирование формулами иногда мешает открыть глаза, чтобы увидеть
простую и ясную картину. Уравнение E.19) описывает колебания
обыкновенного маятника (качелей), физические представления
о движении которого в некоторых аспектах перевешивают анали-
аналитику. Во-первых, очевидно, что период (частота) колебаний зависит
от амплитуды (размахаI9^. Во-вторых, понятно, что совпадение
частоты ш с текущей частотой собственных колебаний маятни-
маятника порождает нелинейный резонанс20\ очень похожий (в течение
короткого промежутка времени) на обычный. Из-за нелинейно-
нелинейности резонанс прекращается сам по себе, поскольку эффективная
раскачка увеличивает амплитуду, а значит, уменьшает частоту соб-
собственных колебаний.
При диссипации энергии,
X + /ЛХ + Ш2 8111 X = 6 СО8 (лI,
ситуация меняется в том смысле, что трение, уменьшая амплитуду,
толкает систему обратно к резонансу. В результате могут возникать
циклические изменения интенсивности колебаний. Период этих
циклов оказывается зависим от соотношения параметров и при
увеличении е испытывает различные изменения (бифуркацион-
(бифуркационные удвоения периода с переходом в пределе к хаотическому
поведению — см. главу 7).
Рассмотрение популярного осциллятора Дуффинга
х + цх + и>2х + ух3 = е со§ ш1
с трением (/х > 0) или без (/х = 0) — обнаруживает примерно ту же картину.
Физически это вполне ожидаемо, поскольку ясно, что характер колебаний обыч-
обычного нелинейного маятника E.19) определяется впадиной между двумя горбами
|9' Если Т — период, А — амплитуда, то Т(А) монотонно возрастает, причем до беско-
бесконечности, когда А доходит до верхней точки.
20^ Понятно ведь, что при попадании в такт — раскачивание качелей эффективно
независимо от амплитуды.
118
Глава 5. Колебания
синуса. Сам синус ни при чем. Картина принципиально не изменится, если
вместо синуса взять похожую функцию.
Разумеется, поведение уравнения Дуффинга и E.19) будут сильно отличаться
друг от друга, если движение уйдет в область высоких потенциальных энергий.
5.7. Волны и солитоны
В задачах распространения волн классическим является телеграф-
ное уравнение
E.20)
описывающее линейные волны в различных средах (струны, звук,
светJ1).
Варианты описания нелинейных волн более разнообразны. Од-
Одним из эталонов здесь служит знаменитое уравнение Кортвега—
де Фриза (КдФ-уравнение)
щ - 6иих + иххх = 0.
Другой удобный эталон — уравнение синус-Гордона
~ ихх + 8И1 и = 0.
А В двух последних случаях могут возникать уединенные волны (солитоны),
о которых слишком много говорилось, чтобы здесь повторять. Но если кто,
по тем или иным причинам, прошел мимо — стоит иметь в виду, что история
открытия солитонов, равно как и само явление, заслуживает внимания. Дело
ведь не в том, что в ряду многочисленных находок появилась еще одна. Уединен-
Уединенные волны разрушили «линейное мировоззрение». Выяснилось, что в природе
могут существовать немыслимые по старым понятиям феномены. Особенно
впечатляющим оказалось взаимодействие солитонов, которое напоминало взаи-
взаимодействие частиц и подталкивало к мысли, что материя состоит из солитонов.
В многомерном случае производная
дх2
заменяется на V2*/.
5.7. Волны и солитоны 119
Это породило значительный всплеск эмоций у философски настроенной части
населения, поскольку в понимании устройства мира вариант Библии не всех
устраивает. >
Вернемся, однако, к ЧП-уравнениям. С отдаленных пози-
позиций они кажутся иногда чересчур загадочными. Чтобы избавиться
от этого наваждения, полезно взглянуть хотя бы один раз на си-
ситуацию изнутри и понять, что речь идет о совсем простых вещах.
По крайней мере, — не более сложных, чем тпх = /. Вот как
выглядит вывод телеграфного уравнения.
М Пусть продольное колебание распространяется вдоль стержня, парал-
параллельного оси х (рис. 5.9), и(х, Ь) обозначает степень сжатия вещества22) в момент I
в сечении ж, имеющем площадь 8, АУ = 8Ах — объем между сечениями х
и х + Ах. Сила, действующая в сечении х на объем АУ, равна
где коэффициент к определяется физикой задачи. Результирующей силой, дей-
действующей на ДУ, будет
и тогда закон Ньютона
гп-Чц = Р (га = рЗАх)
— а речь идет о механических микродвижениях масс, составляющих стержень —
дает волновое уравнение E.20), т. е.
ии =с2ихх,
где с = у/к/р — скорость волны, ии — ускорение23). >
АУ
х х+Ах
Рис. 5.9. Волна сжатия
Все приведенные уравнения имеют решения вида
и(х,1) = (р(х-с1), E.21)
' Из которого состоит стержень.
' Бесконечно малой массы, заключенной в бесконечно малом объеме АУ.
120 Глава 5. Колебания
представляющие собой плоские волны. Гео-
Геометрически это выглядит так. Если в нулевой
момент функция и(х, 0) — (р(х) имеет гра-
график, изображенный на рис. 5.10, то с тече-
^ „Л _ нием времени этот график движется вправо
Рис. 5.10. Волна ,
со скоростью с, не меняя формы.
Подстановка E.21) в E.20) дает тождество. Это говорит о том,
что телеграфному уравнению удовлетворяет любая функция E.21).
Для окончательного решения задачи надо учитывать те или иные
краевые условия, которые у нас остаются за кадром.
Подстановка E.21) в уравнения Кортвега—де Фриза и синус-
Гордона приводит, соответственно, к обыкновенным уравнениям24)
-ар' - 6<р<р' + <рт = 0, A - с2)/ + ЯП (р = 0, E.22)
которые приходится решать, и они, хотя и с техническими труд-
трудностями, решаются до конца.
Идеологически здесь все просто, и не выходит за рамки закона сохранения
энергии, что для «синус-Гордона» сразу очевидно, а для «КдФ» — после предва-
предварительного интегрирования E.22), приводящего к уравнению второго порядка
-ар - 3(р2 + (р" = С],
умножение которого на 2(р' и повторное интегрирование дает в итоге
{(рг) = 2(р -4- с<р2 -4- С\(р + С2.
Характер решения последнего уравнения зависит от расположения корней
полинома, стоящего в правой части. На анализ различных возможностей обычно
уходит много типографской краски. Но главный интерес представляет сепара-
трисное решение, определяемое заданием краевых условий на бесконечности
<р, <р', (р" -» 0 при г -> ±оо. E.23)
Условия E.23) из всех возможностей выделяют ту, в которой
у графика полинома три действительных корня и есть лунка —
такая же, как у синуса между двумя горбами. На примере второго
уравнения E.22), т.е. по сути — колебания нелинейного маят-
маятника E.18), — ситуация совершенно прозрачна. Запас энергии
у маятника таков, что добраться до верхней точки он может только
24' Где штрихи обозначают дифференцирование функции <р по аргументу т — х - сг.
5.7. Волны и солитоны 121
в пределе (оказывается — за бесконечное время). Это и порож-
порождает солитонное решение, изображенное на рис. 5.7. Ситуация с
КдФ-уравнением принципиально не отличается
от этой. Лунка другая, но суть та же (рис. 5.11).
Таким образом, «нужные» решения выде-
выделяются из возможных граничными условиями
типа E.23). То, что они оказываются сепара-
трисными25), — это уже следствие.
В существование уединенной волны долгое время не верили, почему, соб-
собственно, КдФ-уравнение и пребывало в забвении чуть ли не целый век. Потом
сразу все спохватились, поскольку стало ясно, что явление все-таки возможно
и даже широко распространено.
Прежние сомнения опирались на избыток знаний. Дело в том, что линейное
уравнение E.20) описывает распространение волн в идеализированных услови-
условиях, в которых солитоны тоже возможны26^. Но в реальной среде всегда есть
дисперсия — колебания разной частоты распространяются с разной скоростью.
Поэтому любое возмущение довольно быстро распадается на гармоники. Для
нелинейных волн было естественно ожидать того же эффекта — может быть,
в другой аранжировке.
Теперь, конечно, любой теоретик объяснит, что в нелинейной среде скорость
распространения еще зависит от амплитуды — и одна неприятность в точности
компенсирует другую. Но это уже, так или иначе, разговор с натяжкой, ибо
об амплитуде чего речь — не вполне ясно. Роль гармоник уже никакая. Скорость
действительно зависит от амплитуды, но чего? — Солитона, сигнала совершенно
определенной формы, которая «привязана» к скорости распространения. И по-
поэтому любое возмущение довольно быстро распадается на... солитоны, которые
начинают играть роль гармоник. Если один солитон догоняет другой, то на ка-
какое-то время они складываются, но «сумма» не удовлетворяет КдФ-уравнению
и вынуждена раздвоиться на те же слагаемые. В результате один солитон проходит
сквозь другой, почти не меняя формы.
Математическое подкрепление картины опирается на сведение задачи путем
нелинейной замены к задаче Штурма—Лиувилля Ьи = Хи с неким линейным
дифференциальным оператором Ь и нулевыми условиями на бесконечности.
Возникает спектр «энергий» и набор собственных функций (солитонов) — при
этом говорят о бесконечной серии первых интегралов, или законов сохранения
(что эффективно отпугивает начинающих).
Задним числом, понятно, легко все это объяснять. Но было время, когда
что-либо подобное казалось немыслимым. За историческими и математическими
подробностями можно обратиться к [18].
25' Пограничными между разными типами поведения.
' С точки зрения E.20) все возможно, поскольку любая функция <р(х — сЬ) — удовле-
удовлетворяет уравнению.
Глава 6
Возмущения и бифуркации
6.1. Примеры и предостережения
Теоремы о непрерывной зависимости решений системы
х = /(ж, I, е)
от параметра е — настраивают иногда на благодушный лад. При
этом упускается из виду, что непрерывность хA9 е) по е на конеч-
конечном промежутке по I отнюдь не мешает кардинальной перестройке
свойств системы.
Простейший пример: скалярное уравнение х = ех. При е = О все точки
стоят на месте, при е < О — нулевое равновесие асимптотически устойчиво, при
е > О — траектории уходят в бесконечность (как говорят, система идет вразнос).
Тем не менее хA, е) при достаточно малом е ^ 0 сколь угодно близко к хA, 0).
Пример Бореля обескураживает сильнее. Маятник на пружине имеет интеграл
энергии
тх2 + кх2 = Е
и периодические (синусоидальные) решения. Сколь угодно слабая подкачка
энергии е1 меняет уравнение движения на
тх2 + кх2 = Е + еЬ,
что после дифференцирования переходит в
(тх + 2кх)х = е. F.1)
Последнее уравнение исключает возможность х = 0 в силу е > 0. Но тогда
решение хA) не может иметь ни максимума, ни минимума. Это означает,
что не только колебания в системе пропали, но не осталось ничего похожего
на колебательный процесс с растущей амплитудой. Решения стали возможны
только монотонные, колебания испарились в мгновение ока.
Такие примеры, конечно, взбадривают, но их нельзя оставлять в ранге чудес.
Элементарное переосмысливание здесь все ставит на свои места.
6.2. Бифуркации
123
Уравнение F.1) эквивалентно
тх 4- 2кх = -,
х
а это уже совсем другая «история». Производная х ушла в знаменатель, и теперь
даже о непрерывной зависимости от параметра нельзя говорить.
Делая еще шаг назад (к причинам), остается признать, что равномерная
энергетическая подкачка еЬ осциллятора без качественных катаклизмов в систе-
системе — невозможна.
6.2. Бифуркации
Бифуркацией (от лат. ЫГигсш — раздвоенный) называют качествен-
качественную перестройку системы
х = /(ж, е)
при переходе параметра е через критическое значение во. Вот
несколько примеров.
В случае
х = ех - х
критическим (бифуркационным) значением является е = 0. При е ^ 0 систе-
система имеет единственное нулевое равновесие, которое асимптотически устойчи-
устойчиво. При сколь угодно малом е > 0 это равновесие становится неустойчивым,
а в его окрестности появляется два других, асимптотически устойчивых равно-
равновесия х = ±у/ё.
Рис. 6.1
124 Глава 6. Возмущения и бифуркации
В терминах потенциалов1^ приведенный пример соответствует ситуации
возмущения потенциала П{х) = -х4 добавкой —х2 (рис. 6.1). Исходный нуле-
нулевой минимум V(х) при е > О превращается в локальный максимум, по бокам
которого возникают локальные минимумы.
Большинство изучаемых бифуркаций имеет подобный локальный характер,
связанный с изменением свойств равновесия и рождением или гибелью в его
окрестности других равновесных точек.
Принципиально другой пример дает система
х = ех2 - х
с асимптотически устойчивым равновесием при любом е. Другими словами,
с равновесием х = О локально ничего «бифуркационного» не происходит. Но зна-
значение е = О критично для системы в целом. В его окрестности рождается новое
неустойчивое положение равновесия х = е~х (приходящее из бесконечности).
Более того, решения, начинающиеся в точках х@) > е~] > О, оказываются
непродолжимы вправо; в случае х@) < е~] < О — влево.
В системах большей размерности возможности качественных
изменений, разумеется, шире. В основном это появление или
исчезновение колебаний и их характеристик, не говоря пока об ат-
аттракторах.
На практике часто встречается бифуркация Андронова—Хопфа,
в которой фокус теряет устойчивость, и при этом рождается асимп-
асимптотически устойчивый цикл. Такие системы были описаны в разде-
разделе 5.5. В частности, если в правой части системы уравнений E.15)
положить /(г) — ег - г3, то получается как раз такая бифуркация
при прохождении е через нуль. Это, конечно, «рояль в кустах» —
зато максимально просто.
Более естественный пример — уравнение Ван-дер-Поля,
х-е{\ -х2)х+и2х = О, F.2)
или в записи для плоскости,
Г Х\ =Х2,
{ 7 , F.3)
[х2 = е(\ -хх)х2-и хх.
Линейное приближение F.3) в окрестности х* = 0 определяется матрицей
Г О П
2 , откуда очевидна устойчивость нулевого равновесия при е ^ 0 и не-
[-ш е\
устойчивость при е > 0. Кроме того, при е > 0 система диссипативна, хотя это
1)
Когда /(х,е) = -11\х,е).
6.3. Катастрофы
125
не так легко доказать аккуратно. С позиций удаленного наблюдателя все ясно,
поскольку при больших по норме х во втором уравнении F.3) начинает пре-
преобладать нелинейный член, «толкающий» систему к нулю — но это эвристика.
При достаточно малых е > О результат обеспечивает усреднение (см. раздел 6.6).
В итоге получается бифуркация Андронова—Хопфа.
6.3. Катастрофы
В простейшей ситуации
которая уже рассматривалась, казалось бы, ничего неожиданного
быть не может. Локальные минимумы потенциала 1/(х, е) — устой-
устойчивые равновесия, остальные критические значения — неустой-
неустойчивые. Деформация графика II(х, е) при изменении е наглядно
показывает, что происходит в системе.
Тем не менее, если параметр е
векторный, — возможны интерес-
интересные явления. Рассмотрим, напри-
например, потенциал
11(х, А) = - х4 + - Х2х2 + \{х,
критические точки которого опре-
определяются уравнением
&(х, А) - х3 + Х2х + Х{ - 0.
Это уравнение катастрофы сборки.
При различных параметрах \\,\2
кубическое уравнение имеет или
один действительный корень, или
три. Если построить график «корень
уравнения как функция параметров», — получается поверхность,
изображенная на рис. 6.2. Можно ли эту поверхность считать гра-
графиком многозначной функции х(\\,\2)? Вообще говоря, можно,
но если за кадром стоит уравнение
Рис. 6.2. Катастрофа сборки
ж = -[/'(*, А),
F.4)
возникает «второе дно».
126 Глава 6. Возмущения и бифуркации
Система F.4), находящаяся в равновесии — в локальном ми-
минимуме потенциала, при плавном изменении параметров движется
вслед за дрейфующим минимумом. Конечно, если не происходит
ничего катастрофического.
Например, если система в начальный момент находится в точ-
точке А (рис. 6.2), и параметр А2 плавно увеличивается, то состояние
системы меняется вдоль АС В. В точке С, однако, вынужденно
происходит скачок (бифуркацияJ). При возвращении А2 в исход-
исходное положение — состояние системы меняется по другому пути,
ВЕР, и система попадает не в исходное состояние А, а в другое —
Р. Получается своеобразная петля гистерезиса. Но при специ-
специальной регулировке параметров Аь А2 возможен плавный переход
из А в В вдоль АВВ — с возвратом в состояние А.
Кубическое уравнение задает канонический вид катастрофы сборки, к ко-
которому с помощью нелинейных замен координат сводятся различные другие
уравнения. По первому впечатлению, различных типов особенностей может быть
довольно много. Однако оказывается, что в типичных, структурно устойчи-
устойчивых3^, случаях при наличии двух параметров могут встречаться лишь два типа
особенностей: катастрофа сборки и катастрофа складки. При трех и более пара-
параметрах различных особенностей несколько больше, но и там дается их полная
классификация [25].
6.4. Структурная устойчивость
При изучении любых математических моделей принципиальную
роль играет вопрос о том, насколько выводы критичны по отноше-
отношению к исходным данным. Как сильно «ответ» зависит от условий
задачи? Не могут ли малейшие возмущения кардинально изменить
поведение модели? Если да, — то имеет ли смысл анализ?
Там, где модель в качественном отношении нечувствительна
к малым возмущениям, — говорят о ее структурной устойчивости,
или о ее грубости.
Если матрица А гурвицева, то движение х = Ах качественно не меняет-
меняется при малых возмущениях А. Фазовые портреты х = Ах и х = (А + АА)х
приблизительно одинаковы. Траектории приходят из бесконечности и втекают
' Система в результате переходного процесса ищет и находит другое положение мини-
минимума.
' См. след. раздел.
6.4. Структурная устойчивость 127
в нулевое равновесие. Асимптотическую устойчивость нуля не нарушают и не-
нелинейные добавки типа ех2, но они могут изменить качественную картину при
больших по норме х. Если же разрешить возмущения ~ у/\х\, то устойчивость
х* = 0 может нарушиться, зато при больших по норме х ничего принципиально
не изменится.
Если А имеет собственные значения с нулевой действительной частью,
то ситуация иная — малые возмущения могут существенно изменить фазовый
портрет. Но и здесь, кстати, при определенных довольно жестких ограничениях
на класс допустимых возмущений может обойтись без катаклизмов, что уже
встречалось при анализе параметрического резонанса (раздел 5.3).
Наличие структурной устойчивости — как показывают при-
примеры — зависит от того, чего мы хотим и что допускаем. Иными
словами, для точного определения каждый раз необходимо ука-
указать, сохранение каких свойств требуется и какие возмущения
разрешены.
Грубы ли уравнения механики? Без уточнения деталей вопрос
не имеет ответа. Если кому-то угодно разрешить возмущения,
содержащие третьи производные, то классическая механика ста-
становится бессмысленной. С другой стороны, обосновать запрет —
не так легко. Решающий аргумент, конечно, критерий практики.
Рецепт, дескать, работает — и потому правилен. Однако непра-
неправильные теории нередко дают верные результаты.
Проблема определения структурной устойчивости, понятно, в своей основе
не математическая. Физическое чутье, здравый смысл, эвристика — здесь главные
точки опоры и, одновременно, источники произвола толкования. Но до глубин
понимания доходит, когда речь идет о применимости моделей на практике.
Скажем, теорема 4.4.2 об устойчивости по линейному приближению — это
теорема о структурной устойчивости. С формальной точки зрения — совершенно
определенный и строго очерченный результат. Совсем другой вопрос, отвечает ли
такое понимание грубости модели тем или иным практическим задачам. В одном
случае — да, в другом, — может быть, нет.
Хотя в данном контексте структурно неустойчивые модели
выглядят изгоями, их попадание в поле зрения нормального ма-
математического исследования — вещь естественная и часто обяза-
обязательная. Бифуркационные значения параметра, например, это как
раз те значения е, при которых система структурно неустойчи-
неустойчива в любом разумном смысле. Но именно такие ситуации, когда
параметр системы проходит через критическое значение, широко
распространены. Их приходится изучать.
128 Глава 6. Возмущения и бифуркации
Интересно, что при этом возникает вопрос о структурной
устойчивости следующего порядка. Скажем, помимо катастрофы
сборки существует большая масса весьма хитрых поверхностей,
изучение которых распылило бы исследование по бесконечной тер-
территории. Теория катастроф тогда задается естественным вопросом,
какие поверхности структурно устойчивы по отношению к малым
возмущениям потенциала. Классификация резко упрощается [25].
Одна из стандартных схем рассмотрения проблемы структурной устойчиво-
устойчивости для уравнения
х = ;(х) F.5)
выглядит так (вопрос освещается в бегло-информационном ключе).
При возмущении
F.6)
система F.5) считается структурно устойчивой (грубой), если по любому е > О
можно указать такое 6 > О, что при возмущении ((х), удовлетворяющем условию
существует гомеоморфизм4) фазового пространства, который сдвигает точки
не более, чем на е, и переводит траектории невозмущенной системы F.5)
в траектории возмущенной системы.
Требование структурной устойчивости для систем на плоскости существенно
упрощает возможные структуры разбиения фазового пространства, так что все
они становятся обозримыми, и каждая из них определяется конечным числом
особых фазовых траекторий. Для структурной устойчивости систем на плоскости
необходимым и достаточным оказывается выполнение следующих условий:
• имеется конечное число положений равновесия, которые все являются просты-
простыми и среди которых нет центра;
• отсутствуют сепаратрисы, соединяющие два седла;
• имеется конечное число замкнутых траекторий, каждая из которых пред-
представляет собой предельный цикл, устойчивый или неустойчивый одновременно
с обеих сторон.
При малой размерности фазового пространства (п = 1,2) структурно устой-
устойчивые системы образуют всюду плотное множество. Часто упоминается негатив-
негативный результат Смейла о том, что при п > 2 почти все системы F.5) структурно
неустойчивы.
При сужении поля зрения до так называемых систем Морса—Смейла
ситуация нормализуется — почти все системы оказываются структурно устойчивы
при любом п.
' Взаимно однозначное непрерывное в обе стороны отображение.
6.5. Парадокс Циглера 129
6.5. Парадокс Циглера
Система дифференциальных уравнений
ф2 + Н2ф{ - ф2) + B - Р)<р{ + (Р - 1)(р2 = О,
- фХ) - <р{ + <Р2 = О
описывает движение шарнирно соединенных стержней при нали-
наличии вязкого трения, характеризуемого коэффициентом 6. За по-
подробностями, несущественными в данном контексте, можно обра-
обратиться к [23].
Для определения в случае Ъ — 0 критической (бифуркацион-
(бифуркационной) нагрузки Р, при которой равновесие системы F.7) теряет
устойчивость, есть два пути. Можно сразу положить Ь = 0, и тогда
получится, что равновесие устойчиво лишь при условии
О^Р^Р* «2,1.
Более трудоемкий вариант: определяется критическая нагрузка как
функция параметра Ь, затем делается переход к пределу при Ъ -> 0.
В результате получается Р* « 1,5.
Таким образом, разные способы решения задачи приводят
к разным ответам, — что и составляет парадокс Циглера.
По сути ничего удивительного здесь нет, поскольку устойчи-
устойчивость по Ляпунову не является структурно устойчивым свойством.
Поэтому множество «допустимых» Р не обязано плавно зависеть
от Ъ, что и служит источником расхождения.
Правильный ответ, пожалуй, Р* « 1,5. В диапазоне
устойчива модель F.7), но не реальная система. Наличие сколь
угодно малого трения (Ъ > 0) превращает систему в неустойчи-
неустойчивую (!) — и этот парадокс гораздо сильнее первого.
Дело в том, что трение обычно представляется благом с точки
зрения устойчивости. В том смысле, что если уж система устой-
устойчива в отсутствие трения F = 0), то появление вязкого трения
F > 0) лишь раздвигает границы устойчивости. Данный пример
показывает, что это не всегда так.
130 Глава 6. Возмущения и бифуркации
Интересно, что второй парадокс был бы совершенно незаметен, если бы
задача рассматривалась в стерильном виде — без физической интерпретации.
Увеличение каких-то элементов матрицы приводит к потере устойчивости — ну
и что?
6.6. Методы усреднения
Модели с параметром типа х = /(ж, I, е) изучаются в теории возмущений с дру-
другой стороны. Никаких бифуркационных изменений, фазовые портреты меняются
плавно, — однако требуется проследить за количественными изменениями ре-
решений при малых изменениях е.
Один из технических приемов опирается на разложение правой части
по степеням малого параметра е,
и представление решения в аналогичном виде,
хA, е) = хоA) + ех](I) + е2х2{1) + ... . F.8)
Задача тем самым переводится в русло последовательного уточнения решений.
Например, подстановка F.8) в
для определения хо(Ь) приводит к ж0 = #о с решением хоA) = е1. Для определе-
определения Х\A) — с учетом хоA) = е1 — к задаче
ж, =ж, +е2', ж@) = 1
с решением Х\(Ь) = е21 — е1. И так далее — вплоть до бесконечности. На практике,
конечно, процесс обрывается на втором-третьем шаге.
Что касается обоснования, это болезненный вопрос в теории возмущений.
Костяк теории составляют аккуратные результаты, но в реальности приходится
делать шаг влево или вправо, — и становится неясно, сходятся ряды или нет.
Физикам в этом отношении легче — им чаще везет.
Особое место в ряду таких инструментов занимают методы
усреднения, которые уже на первой итерации дают иногда желае-
желаемый результат. Вот как это выглядит «издалека».
Система
± = г/(М) F.9)
называется стандартной. Уравнение
ж = /(М,г) F.10)
6.6. Методы усреднения 131
приводится к виду F.9) следующим образом. Пусть хо(Ь, с) обозна-
обозначает решение F.10) при е — 0. Тогда метод вариации произвольных
констант с после подстановки ХоA, с) в исходное уравнение и от-
отбрасывания членов о(е) приводит к
&~е\дс) [ де'\
что укладывается в рамки F.9).
Теория усреднения заменяет F.9) автономной системой
ж = е/0(ж) F.11)
с усредненной по времени правой частью,
и позволяет судить о движении F.9) при малых е, решая F.11).
Вопрос лишь в том — на каких промежутках времени?
Если порядка единицы5) (константы), то этого мало. Дви-
Движение F.9) происходит медленно, и если речь идет о I ~ 1, —
изображающая точка за это время успевает сместиться всего лишь
на расстояние ~ е, и главные события не успевают разыграться.
Поэтому теория усреднения ориентируется на времена ~ е~1.
В описанной выше ситуации положительный результат до-
достигается, если среднее (/(ж, 2)) существует и все фигурирующие
функции липшицевы. Точнее говоря, в этом случае по любым ц
и М можно указать такое во, что для е < во и положительных
I < Ме~х будет
где хA) — решение F.11), а хоЦ) — F.9).
Доказательство подобного сорта результатов технически довольно громозд-
громоздко. Обилие деталей вообще характерно для теории возмущений, почему ее
излагают обычно в двух крайних вариантах. Либо совсем по верхам — и здесь
выбран именно этот путь, либо с такой перегрузкой подробностями, что для
' Что характерно для теорем о непрерывной зависимости от параметра.
132 Глава 6. Возмущения и бифуркации
чтения нужны очень серьезные мотивы. Компромиссный вариант можно найти
у Арнольда [4], см. также [27].
Несмотря на то, что методы теории возмущений — не очень легкий в обра-
обращении инструмент, обойтись без них при рассмотрении многих задач практически
невозможно. Поэтому здесь желательно наличие в арсенале, по крайней мере, об-
общих представлений. Хороши, конечно, и два-три самых элементарных результата,
но предпочтительнее общая картина, канва, стиль.
Очень важный аспект в теории усреднения — разделение
движений на быстрые и медленные. В записи
F.12)
[ у = д(х,у,г)
все ясно. По переменным у система движется быстро, по пере-
переменным х — медленно. По х система дрейфует, по у — вибрирует
(дрожит). Естественно ожидать, что при изучении медленных дви-
движений — по быстрым можно усреднить, но не наоборот.
При расчете, скажем, влияния Луны на движение Земли вокруг Солнца —
массу Луны можно размазать по ее орбите6*, и эффект такого усреднения, надо
полагать, даст приемлемые результаты. Если же подобный фокус проделать с ор-
орбитой Земли, то это вообще перечеркнет возможность прогноза движения Луны.
Разумеется, природа не заботится о том, чтобы поставлять диф-
дифференциальные уравнения в удобном виде типа F.12). На практике
приходится каждый раз преодолевать массу трудностей, преобра-
преобразуя уравнения и классифицируя переменные. Физики делают это
довольно легко, поскольку им помогает физическое чутье. В ма-
математически стерильных ситуациях действовать намного сложнее.
Но в том и другом случае этому все равно приходится учиться,
решая задачи.
Чтобы продемонстрировать теорию усреднения в действии,
вернемся к задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса
(раздел 5.3). Не ограничиваясь анализом малых колебаний, вместо
E.11) рассмотрим уравнение
ф + (ш1 + еш2 со8 шг) 81п <р — О F.13)
с малым еио;»ц.
' Заменив Луну гравитационным кольцом.
6.6. Методы усреднения 133
В соответствии с идеологией усреднения представим решение
(р(г) F.13) в виде суммы (р — гр + (, где грA) — медленная составля-
составляющая движения (колебания маятника, обусловленные собственной
частотой о;о), а %A) — быстрая (вынужденная осцилляция с часто-
частотой а;).
Подстановка <р = гр + ^ в F.13), с учетом
51П {ф + ^) = 5111 гр + ^ СО5 1р + о(() (бШ2 < 1),
приводит к7)
гр + ^: = -ш1 в\п гр - е%ш2 сов гр сов ш1 - &1 сов гр - еш2 вт гр сов ы1, F.14)
где
{,+^ш^совгр =-еш2 втгр совш1 F.15)
описывает вынужденные колебания маятника с частотой ш (из-за вибрации
подвеса).
В силу ш > шо формулы E.9) дают
^ ~ евтгр совш1,
подстановка чего, вместе с F.15), в F.14) — с последующим усреднением
по времени — приводит к уравнению медленного движения
гр = -ш1 51П гр + 6 вт гр сов гр, F.16)
где опосредованный коэффициент 6 > 0 мал, в силу малости е.
Интегрирование по гр правой части F.16) с обратным знаком — дает
усредненную потенциальную энергию колебаний маятника,
6
II(гр) ~ - соз гр + - $т гр,
которая имеет минимум как при гр = 0, так и при гр = тг. Получается, что верхнее
положение маятника тоже устойчиво.
Конечно, все это напоминает историю, рассказанную Дании-
Даниилом Даниным в одной из своих книг. Экспериментатор звонит фи-
физику-теоретику: «Эксперимент показал, что А > В». «Это потому-
то», — объясняет теоретик. «Прости, перепутал, — спохватывается
первый, — А < В». «Это тем более понятно», — заявляет второй,
и дает не менее убедительное объяснение.
Людьми, далекими от физики, история воспринимается как
анекдот, хотя это сама жизнь. В каждой задаче за кадром стоят
противоборствующие факторы. Определить, что перевешивает, —
' С точностью до «о малого».
134 Глава 6. Возмущения и бифуркации
особенно в случае приблизительного «равенства сил», — бывает
нелегко, и заниматься этим на глазах у широкой публики —
дело неблагодарное. Проще сконцентрироваться на одной стороне
явления, лукаво не замечая вторую.
Еще один пример — уравнение Ван-дер-Поля
х - е(\ - х2)х + х = 0.
В переменных «действие-угол»
х^ + х2
I
I , (р
невозмущенное движение х + х = 0 имеет вид
/ = 0, ф=\.
Усреднение возмущенного движения
1 = е(\- х2)х2 = 2е1(\ - 21 сов2 <р) в'т2 <р
по фазе приводит к уравнению
1=е-Ц2-1),
у которого неустойчиво нулевое положение равновесия, и асимптотически устой-
устойчиво — положение 1 = 2.
Отсюда с некоторой долей натяжки можно сделать вывод о существова-
существовании у исходного возмущенного уравнения автоколебательного режима, см. [4]
и раздел 6.2.
Глава 7
Аттракторы и хаос
Энтузиазм по поводу детерминированного хаоса чем-то напоминает эпопею
с теорией катастроф, где ожидание чудес рухнуло, как финансовая пирамида.
Чем на этот раз закончится ажиотаж, трудно сказать, но симптомы те же.
Наблюдаемый бум в значительной мере определяется остротой проблемы.
Вопрос-то по существу Космический. Откуда в этом мире берется случайность —
до сих пор не ясно. Поэтому любая попытка вывести хаотическое (случайное)
поведение из детерминированного — воспринимается с энтузиазмом. Нынеш-
Нынешний всплеск исследований и эмоций связан с открытием странных аттракторов,
фракталов и некоторыми продвижениями в области кинетики и турбулентности.
Соответствующие успехи в значительной мере обязаны повышению эффектив-
эффективности компьютеров, что, собственно, и определило поток новых результатов, —
которые пока не устоялись, и чаще рассматриваются в гуманитарно повествова-
повествовательном ракурсе, которому в главе отдается предпочтение.
7.1. Эргодичность и перемешивание
Все, конечно, начиналось со статистической физики, где эталоном
для размышлений был газ, заключенный в ограниченный объем.
Этакий трехмерный бильярд с молекулами в роли шаров.
Прямолинейные попытки вывести случайное поведение на
классической базе не удавались. Основная беда была в обратимости
времени. Уравнения Ньютона
ткхк + Рк(х) -О
содержат только вторые (четные) производные по I — и пото-
потому «не ощущают» замену1) I на — I. Другими словами, микро-
микроскопическое поведение системы обратимо, тогда как макроско-
' При возникновении трения ~ х ситуация меняется, и время начинает течь от про-
прошлого к будущему.
136 Глава 7. Аттракторы и хаос
пическое — необратимо 2\ Второй неприятностью был парадокс
возврата, состоящий в противоречии макроскопической реаль-
реальности с теоремой Пуанкаре о возвращении траектории в сколь
угодно малую окрестность начального положения3). Футболь-
Футбольный мяч к деформированному ударом состоянию не возвра-
возвращается4).
Долгое время почему-то казалось, что проблема упирается
в доказательство эргодичности, каковой называют равенство для
траектории среднего по времени среднему по фазовому простран-
пространству. Постепенно стало ясно, что эргодичность ни при чем5), а все
дело в перемешивании.
Пусть Щ обозначает оператор сдвига по траекториям, ска-
скажем, механической системы, а О0 — некоторая область фа-
фазового пространства. Если при I ->• оо мера множества точек
области 0,1 = С^(Г^о), попадающих в любую наперед заданную
область О, стремится стать про-
пропорциональной мере области О,
то система называется перемеши-
перемешивающейся, либо говорят, что си-
система обладает свойством переме-
перемешивания. Визуально перемешива-
перемешивание выглядит как «беспорядоч-
«беспорядочно равномерное» растекание об-
областей фазового пространства —
Рис. 7.1 рис. 7.1.
Мы обходим стороной различные подробности. Теорема Лиувилля гаран-
гарантирует сохранение фазового объема, но если движение механической системы
происходит, скажем, по поверхности Н постоянной энергии Н = соп$1, то мера
' Газ в целом стремится к состоянию термодинамического равновесия, макровозмуще-
макровозмущения затухают, энтропия растет.
3^ Это красивый, но совсем простой результат, легко вытекающий из теоремы Лиувилля
о сохранении фазового объема.
' Возражение в такой форме распространено, но нелогично. Однако здесь не место
затевать симпозиум.
' Фактически это было ясно с самого начала. Но психологическая ясность иногда
отстает по фазе.
7.1. Эргодичность и перемешивание 137
на этой поверхности выбирается таким образом,
\\&гАН\\*
п
чтобы /1(П$) сохранялась при изменении I. При этом р(Н) обычно нормируется
на единицу. Тогда движение перемешивающегося типа определяется условием
шп у /(п,мп) <*/, = / /(п) 4* у 9(п) ац,
н н н
где / и д — любые измеримые функции.
Это означает, что перемешивание обнуляет (при I -л оо) корреляции. Точнее
говоря, если на траекториях хA) рассматриваются функции
1К = /[ж@] и у = д[х@)],
то
(щу) - (щ)(у) -> 0 при г -» оо,
где угловые скобки обозначают среднее по фазовому пространству.
Таким образом, перемешивание обеспечивает корреляционную (линейную)
независимость щ и у. При этом в комментариях обычно говорится о расцеплении
корреляций.
Перемешивание, как правило, связано со сверхчувствительно-
сверхчувствительностью к начальным данным, выражаемой неустойчивостью, харак-
характеризуемой экспоненциальным разбеганием траекторий:
\\Щх)-Щ(у)\\~\1\\х-у\\,
при близких6^ х, у, малых I > 0 и некотором А > 1.
Для систем с дискретным временем,
где, например, /(ж) — оператор сдвига за секунду,
Точнее говоря,
\\Пх)-/(у)\\>М\х-у\\
ддя достаточно близких х, у.
' Условие близости х, у принципиально, поскольку при ограниченном фазовом объеме
любое разбегание не может долго продолжаться.
138 Глава 7. Аттракторы и хаос
Во всех случаях имеются в виду системы, совершающие финит-
финитное движение.
При Л ^> 1 говорят об «очень хорошем перемешивании», но годится и про-
простое Л > 1. Условию перемешивания удовлетворяет элементарная процедура
Жд_1_1 = {Аа^}, Л > 1,
где фигурные скобки обозначают дробную часть числа.
7.2. Ликвидация противоречий
По первому впечатлению перемешивание не спасает статистиче-
статистическую физику даже от парадоксов обратимости и возврата. Но об-
обратимые уравнения Ньютона «необратимы» в том смысле, что
простые области переводят в сложные (рис. 7.1), а сложные —
в еще более сложные. Конечно, любая область п( — Щ(&о) при
обращении времени снова «сожмется» в Г}0. Однако угадать зара-
заранее сложную область, которая бы сжалась в простую, практически
нереально — и этому соображению можно придать более-ме-
более-менее строгую формулировку. Плюс к тому, перемешивание ставит
на свои места все остальное.
Конечно, как говорится, легко сказка сказывается... Идиллия
плохо укладывается в реальность. Динамику «трехмерного бильяр-
бильярда» определяют (вроде бы) индивидуальные траектории, о поведе-
поведении которых перемешивание областей ничего не говорит. Поэтому
необходимо решить, с чем мы имеем дело — с траекториями точек
или областей? Традиционная привязка мировоззрения к движению
точки, конечно, условность. Никто законы Ньютона не проверял
с большой точностью, да и невозможно это в принципе, хотя бы
потому, что понятие геометрической точки — идеализация. Како-
Какова должна быть точность задания начальных данных для прогноза
движения? В случае перемешивания ответ бывает шокирующим.
Реальную термодинамическую систему пронизывают громадные потоки
нейтрино. Движение частиц на далеких звездах посредством гравитации карди-
кардинальным образом меняет поведение молекул в любой «изолированной системе».
Малое возмущение <р0 в направлении движения молекулы возрастает по экспо-
экспоненциальному закону
А\//т
7.2. Ликвидация противоречий 139
где Л — длина свободного пробега, г0 — радиус молекулы, г — время свободного
пробега [16]. После нескольких столкновений <рг становится больше 4тг. Э. Борель
подсчитал 7\ что перемещение массы 1 г на 1 см на какой-нибудь звезде,
удаленной от Земли на несколько световых лет, произведет у Земли изменение
гравитационного поля порядка 10"юо, что в свою очередь не позволит предсказать
направление движения молекул на времена свыше 10~6 с.
Отсюда ясна оценка необходимой точности задания начальных данных.
Сотого знака после запятой не хватает, а это уже — принципиальное фиаско.
Поэтому при механическом взгляде на термодинамическую си-
систему вполне можно считать, что речь идет о движении областей.
По крайней мере, траектория математической точки о реально-
реальности представления не дает. Интерпретация — дело вкуса. При
желании сохранить классическое представление о движении си-
системы — можно считать, что метание индивидуальной траектории
по размешивающейся области происходит под действием причин
другого уровня. Если эти причины не синхронизованы (злонаме-
(злонамеренно) 8) с перемешиванием, система будет обнаруживать обычные
статистические свойства.
Об идеологии движения математической точки в уравнениях клас-
классической механики нужно сказать еще раз. Все понимают, что это
идеализация, но вопрос в том — какая. Многие думают — такая,
которая позволяет решать любую практическую задачу повышением
точности вычислений. Но оказывается, что необходимая точность
бывает {довольно часто, и в том числе — при малых размерностях)
порядка 10100, что является принципиально непреодолимым барье-
барьером. В этих случаях говорить о движении областей не только более
естественно, но практически — необходимо.
Из-за фиксации внимания на фазовом пространстве, имеющем в стати-
статистической физике размерность порядка числа Авогадро ~ 1023, из поля зрения
иногда выпадают очевидные вещи. Взаимодействие термодинамического объекта
со средой характеризует макроскопическое взаимодействие, — «управляемое»,
в той или иной степени, законом больших чисел. Если величины хк имеют
матожидания га, то при больших п сумма
п
стабилизируется возле значения га независимо от законов распределения хк
(с некоторыми оговорками). Вот, собственно, главная причина того, что имеет
^ Воге1 Е. 1п(гос1ис1юп §еоте1пяие а рЬу51яие. Рапз: СатЫег-УШагз, 1912.
' «Бог изощрен, но не злонамерен» (А. Эйнштейн).
140 Глава 7. Аттракторы и хаос
смысл такой термодинамический параметр, как давление, — и перемешивание
здесь принципиального значения не играет.
Наоборот, в случае хк+\ = {Ххк} при Л > 1 перемешивание замечательное,
но никаких «термодинамических» проявлений не будет, если среда не реагирует
на какой-нибудь агрегат типа — (хп + ... + ж«+лг)-
7.3. Адиабатические процессы
Надо иметь в виду, что на термодинамических проявлениях свет
клином не сходится. Не раскрывая пока карт, рассмотрим популяр-
популярную задачу о движении шарика между двумя стенками (рис. 7.2).
Движение происходит по инерции с упругим отражением при
ударе. Что происходит, если стенки медленно сближаются?
а х
Это маленький пример на тему адиаба-
адиабатического изменения параметров. Если пара-
параметры изменяются быстро, работают методы
усреднения (раздел 6.6). Естественно ожидать,
что медленное изменение параметров (мед-
(медленное — по сравнению с изучаемым движе-
движением) — должно иметь свои преимущества.
И оно — имеет, но ситуация намного
Рис. 7.2 сложнее, чем при высокочастотном возмуще-
возмущении. Это уже видно по рассматриваемой зада-
задаче. Что значит медленно? Стенки можно сближать, но в момент
удара вообще останавливать — тогда скорость шарика не будет ме-
меняться совсем (по модулю). Можно сближать равномерно, можно
ускорять в момент удара. Во всех случаях результат будет разный.
Поэтому рассчитывать на однозначный закономерный эффект
возможно лишь, когда скорость сближения не зависит от движения
шарика (от моментов удара).
В этом случае можно полагаться на технику усреднения. Будем считать, для
определенности, что левая стенка закреплена в положении х = 0 и движется —
только правая, о < 0. Теорема вириала9^ в этом случае приводит к
1+т
(Т) = ~ { Рай, G.1)
^ Теорема 2.5.1 основывается как раз на идеях усреднения.
7.3. Адиабатические процессы 141
где (Т) — среднее значение кинетической энергии Т, т — текущий период
(время движения шарика «туда-обратно»), Р — сила в момент удара10).
Из G.1) следует (Р) = -2(Т)/а. Работа силы Р идет на изменение энер-
энергии Т, поэтому А(Т) = -B(Т)/а)Да, откуда А(Т)/(Т) = -2Аа/а.
Аналогично, А(Т)/(Т) = 2Ау/у, что вытекает из
(Т) = =4> Л(Т) = тпуАу.
Подставляя теперь добытые соотношения
Л(Т) _ Ла А(Т) _ Ау
~(тГ~~2~а~' ~т~~2т
в равенство
Ат Аа Ау
т а у
получаемое дифференцированием формулы для периода г = 2а/у, приходим
к А(Т)/(Т) = -Ат/т, т.е. к равенству дифференциалов
(Т) " г '
интегрирование которого дает (Т)т = сопз1, — равносильно:
(Т)
= СОП51,
V
G.2)
где I/ = 1 /г — частота колебаний шарика.
Так выводится адиабатический инвариант G.2) в [19]. Рассуж-
Рассуждение позволяет понять суть дела, но к нему можно предъявить
много претензий. Движение шарика, строго говоря, не периодич-
периодично, поэтому интервал усреднения аккуратно не определен. Если же
усреднять по бесконечному промежутку, не проходят манипуляции
с дельтами. Наконец, характер сближения стенок вообще остается
за кадром. Неявно предполагается, что поведение а дает основания
для законности усреднения.
О сложности проблемы можно получить представление по раз-
разбору в [13] классической задачи — об изменении периода ко-
колебаний маятника при медленном изменении длины стержня,
^ Представляющая собой, разумеется, дельта-функцию, если удар абсолютно упругий.
142 Глава 7. Аттракторы и хаос
на котором он подвешен11). Получается тот же адиабатический
инвариант G.2), — возникающий «всегда» в задачах подобного
толка. Однако лабиринты нюансов анализа уводят весьма далеко
от исходной, на вид элементарной, постановки вопроса.
Нужно заметить, что в том и другом случае формула G.2) легко получается
в предположении равномерного изменения параметров. Но ограничиться этим,
конечно, жалко, ибо результат остается справедливым в гораздо более широких
предположениях, которые можно с определенной долей натяжки охарактеризо-
охарактеризовать как независимость изучаемого движения (шарика, маятника) от изменения
внешних условий.
Особый интерес представляют ситуации, где такая независи-
независимость возникает (и усиливается с течением времени) автоматиче-
автоматически. Рассмотрим следующую задачу. Легкий шарик раз за разом
падает на массивную плиту и упруго отскакивает. Плита колеб-
колеблется «вверх-вниз». При определенных условиях оказывается [13],
что при отскоке шарик в среднем ускоряется, и его энергия
растет12^.
Если бы шарик падал на плиту в случайные моменты, то факт
его ускорения в среднем был бы легко объясним. По той же причи-
причине, по которой встречных машин всегда больше, чем попутных, —
шарик бы чаще ударялся в те моменты, когда плита движется
навстречу.
Но задача детерминирована. Тем не менее при определенных
условиях имеется перемешивание, в результате чего моменты удара
оказываются хаотично распределенными. Технические детали здесь
довольно трудоемки [13], но в идеологическом отношении это
хороший пример на тему рождения детерминированного хаоса13).
Что касается условий, при которых в рассмотренной задаче
обнаруживается эффект ускорения, — то это большие и малые
частоты колебаний плиты. Если плита колеблется «пилообразно»,
со скоростью V, а уA) — средняя скорость движения шарика,
то при V <^ уA) движения плиты и шарика становятся незави-
п* Либо об изменении частоты колебаний в контуре при медленном изменении емкости
конденсатора [19].
' Что является аналогом механизма, предложенного Ферми для объяснения происхо
ждения быстрых частиц в космических лучах.
' Хаоса моментов удара. Рост средней скорости (энергии) шарика — это уже агрегиро
ванный (термодинамический) результат на базе хаотического распределения ударов.
7.4. Аттракторы и фракталы 143
симыми, корреляции расцепляются и моменты ударов становятся
хаотично (случайно) распределенными.
7.4. Аттракторы и фракталы
Аттрактор — это притягивающее множество. Скажем, если отоб-
отображение / — в том числе многозначное — преобразует в себя
компакт X, то последовательные отображения /к(Х) оказывают-
оказываются вложены друг в друга,
...С/*(Х)С...С/(Х)СХ
и при к -> оо будут сходиться к аттрактору А. При этом А
будет неподвижным множеством 14) отображения /, т. е. /(^4) = А.
Поэтому динамический процесс
G.3)
при хо е А остается в А.
Если 1]% — оператор сдвига по траекториям дифференциаль-
дифференциального уравнения х = д(х) и G^Х С X при I > 0, то аттрактор ^4
снова определяется как предельное множество [5\ Щ(Х) -> ^4 при
< -> 00.
При рассмотрении динамических систем с дискретным време-
временем G.3) на заднем плане часто подразумевается сдвиг по траек-
траекториям х = д(х) в единицу времени.
Помимо аттракторов динамическая система может обладать и другими
инвариантными (неподвижными) множествами, в частности, репеллерами —
отталкивающими множествами.
Аттракторы простых динамических систем нередко оказывают-
оказываются довольно экзотическими образованиями. Например, канторово
множество К представляет собой аттрактор двузначного отобра-
отображения
/(я) = /,(*) У/2(х),
В частности, неподвижной точкой /.
' Аттракторами являются асимптотичес
лебаний, а также более сложные притягивающие множества.
' Аттракторами являются асимптотически устойчивые равновесия, траектории автоко-
144 Глава 7. Аттракторы и хаос
Рис. 7.3
где
1 1 2
/\(х) = -х, /2(х) = -х+ -,
преобразования подобия отрезка [0, 1]. В результате К можно
описать как неподвижное множество преобразования /. Тот факт,
что функции /! и /2 являются преобразованиями подобия, влечет
за собой свойство самоподобия множества К — и это характерно
для многих аттракторов.
Здесь уместно повторить сказанное в [8] по этому поводу.
«Все во всем», — говорил Прокл, о чем-то догадываясь. На этом уровне
так все и осталось до сих пор. Конечно, явление самоповторения целого в соб-
собственных частях, многократного включения своих копий, — обогатилось новыми
фактами. Каждый фрагмент голограммы, например, при освещении лазерным
лучом воспроизводит сфотографированный объект целиком. Этакая бесконеч-
бесконечность, уходящая внутрь себя. Голографический «удар по мозгам» полвека назад
был очень внушителен. А теперь еще аттракторы и фракталы, моделирующие
бесконечное самовложение на любой вкус (пыль Кантора, ковер Серпинского,
снежинка Кох, губка МенгераI6).
Дэвид Бом экстраполировал идею целиком на Вселенную. Дескать, мир —
это большая голограмма, каждая частичка которой содержит информацию о це-
целом (так называемая холономная парадигма). Идея родилась как средство пре-
преодоления старого ЭПР-парадокса17^ из области квантово-механических непри-
неприятностей. Суть парадокса в том, что в некоторых ситуациях элементарные
частицы, благодаря уравнению Шрёдингера, обязаны согласовывать поведение
' Не говоря о природных явлениях (рис. 7.3).
17* Парадокс Эйнштейна—Подольского—Розена.
7.4. Аттракторы и фракталы 145
друг с другом, как бы мгновенно обмениваясь сигналами — в нарушение запрета
сверхсветовых скоростей.
Бом повторил фокус с колумбовым яйцом. Парадокса нет, поскольку нет
различных частиц. Частицы, мол, не отдельные объекты, а лишь разные лица
чего-то единого. Поэтому никакого обмена сигналами вообще нет, как нет его
между отражениями одного предмета в разных зеркалах.
Чтобы хоть как-то передать невыразимое, Бом «нарисовал» аналогию. Аква-
Аквариум с рыбкой проецируется на два взаимно перпендикулярных экрана. Наблю-
Наблюдатель, которому видны только экраны, уверен, что есть две рыбки. Потом он
замечает, что их поведение согласованно, и делает вывод о наличии мгновенного
обмена сигналами.
Вот, собственно, и вся парадигма. Трюк с аквариумом играет решающую
роль, и на его счет можно отнести всю популярность идеи, которая худо-бедно
до сих пор тлеет. Самое интересное, что Бом, скорей всего, прав, но идея уперлась
в глухую стену. Ситуация в чем-то напоминает атмосферу зарождения квантовой
механики. Там что-то должно было колебаться. С мертвой точки ушли, решив:
пусть колеблется «непонятно что», и тогда удалось придумать математический
инструмент. Здесь пока все застопорилось на аквариуме.
Аттрактор не обязательно, но часто оказывается фракталом.
Фракталами называют множества, имеющие дробную размерность.
Разумеется, речь идет не об обычной размерности, а о так назы-
называемой размерности по Хаусдорфу, которая определяется следую-
следующим образом. Скажем, множество А в Кп покрывается кубиками
со стороной е. Если N{6) обозначает минимальное число кубиков,
необходимых для покрытия А, и NF) при е -> О растет пропорци-
пропорционально е~А, то величина й называется
размерностью А по Хаусдорфу. У канто-
рова множества эта размерность равна
В рядовых ситуациях величина й
г о Рис. 7.4
равна обычной размерности.
Стандартный пример фрактала — кривая
Кох. Ее построение начинается с единичного от- ^ С" ") Л
резка, который заменяется ломаной из четырех С " ~ '*"" ^
отрезков, каждый из которых имеет длину 1/3, ^\ /^
как на рис. 7.4. Далее с каждым звеном ломаной С ^}
операция повторяется (с поправкой на коэф- Ц,г^ ;г^р^
фициент подобия) и т.д. Длина ломаной п-го Ц ,^
порядка получается равной D/3)п, результиру- рис 7 5
ющая длина — бесконечна.
146 Глава 7. Аттракторы и хаос
Если построение кривой начинается с треугольника, получа-
получается снежинка Кох (рис. 7.5).
Аттрактор, являющийся фракталом, называют странным.
7.5. Странный аттрактор Лоренца
При изучении динамических систем значительный интерес пред-
представляет движение в пределах самого аттрактора. В случае не-
непрерывного времени разнообразие возможностей на плоскости
не очень велико. Причина проста. Требование единственности
решения х = д(х) не позволяет траекториям самопересекаться,
и тогда варианты поведения не так многочисленны. В случае п ^ 3
запрет самопересечения траекторий уже большой роли не игра-
играет, и сложные аттракторы возникают в довольно простых с виду
системах.
Конечно, исторически первым странным аттрактором был
сосуд с газом18). Но этот пример постепенно перестал быть ин-
интересным. Определенный фурор в 1963 году произвел аттрактор
Лоренца, открытый при изучении системы
х = -10ж+ Юу,
у = 28ж - у - хг,
8
^ = --г + ху.
Изображение аттрактора Лоренца напоминает перекрученный мо-
моток ниток. Размерность — дробная, движение траектории — хао-
хаотичное, очень чувствительное к заданию начальных данных.
Изученная Лоренцем система имеет некоторое отношение к метеорологии.
Убедившись в сверхчувствительности исследуемых траекторий, Лоренц написал
статью «...может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии породить торнадо
в Техасе?» — значительно облегчив жизнь синоптиков.
Открытие Лоренца часто восхваляют за обнаружение детерми-
детерминированного хаоса в условиях малой размерности, что несколько
' Здесь есть некоторое расхождение с определением фрактала как множества с дробной
размерностью. Формально это исключает траектории броуновского движения, равно как
и кривые Пеано, заполняющие квадрат.
7.6. Сложное в простом 147
путает карты. Траектория одномерной системы х^+[ = {Аж&}, где
фигурные скобки обозначают дробную часть числа, при больших А
дает очень качественный пример хаотичного поведения, чрезвы-
чрезвычайно критичного к заданию начальных данных. В непрерывном
времени это соответствует движению по окружности,
с естественной фиксацией угла по модулю 2тг.
Революционный характер находки Лоренца — в другом. Был
обнаружен очень простой пример невыдуманной динамической си-
системы со сложным поведением, которая возникла в рядовой вычис-
вычислительной практике. Стало ясно, что детерминированный хаос —
это не экзотика, а рутина, которую мы не замечали раньше из-за
отсутствия вычислительных средств.
Если угодно, ситуация чем-то напоминает указание Вейер-
штрассом примера нигде не дифференцируемой функции, тогда
как заведомо ясно, что почти все функции недифференцируемы.
В подобных ситуациях очень важно понимать, как может ре-
реализоваться та или иная возможность, и может ли. Детерминиро-
Детерминированный хаос мог бы возникать в системах лишь с очень сложным
описанием, специально сконструированных, нереалистичных —
и тогда бы мы имели дело совсем с другой Вселенной.
7.6. Сложное в простом
Надо признать, что эффективное изучение странных аттракторов
без современной вычислительной техники едва ли было возмож-
возможно. Роль компьютеров в математике вообще очень велика, хотя
в большинстве случаев это и завуалировано. Примеры и численный
эксперимент традиционно относились к разряду вспомогательных
средств. Теперь же они постепенно переходят в категорию главен-
главенствующих факторов, определяющих успех исследования.
Вот довольно яркий пример простейшей итерационной про-
процедуры
А), G.4)
148
Глава 7. Аттракторы и хаос
Рис. 7.6
в которой компьютеры позволили обнаружить удивительные явле-
явления. Для определенности пусть, например,
хк+\ =4Ххк(\ -хк).
G.5)
Понятно, что итерации функции /(ж) = 4Хх(\ - х) приводят
к полиномам возрастающей степени (/к(х) — полином степени
2*), причем 1к(х) при условии А Е @, 1) и любом к отображает
[О, 1] в [0, 1]. У функции /(ж) неподвижная точка одна (А ^ 1/4)
либо две A/4 < А < 1 — рис. 7.6 а). С увеличением количе-
количества итераций количество неподвижных точек (число пересечений
прямой у = х с графиком функции /к(х)) может увеличиваться
(рис. 7.66) — и определяется значением А.
Неподвижная точка /к(х) (решение уравнения х = /к(х)) — это цикл
к -го порядка: после к итераций точка возвращается в исходное положение. При
увеличении Л в системе происходит бесконечное число бифуркаций. Сначала
процедура G.5) сходится к одному из равновесий, потом начинают появляться
циклы удвоения 19\ СB), СB2),..., затем при некотором Л^ наступает хаос,
потом снова циклы и т. д.
Реализация широкого спектра возможностей на очень простой
модели G.5) сама по себе удивительна. Но еще более удивительно
другое. В бифуркационной картине системы G.5) обнаруживаются
общие закономерности поведения систем вида G.4), независи-
независимые в широком диапазоне от того, какова конкретно функция
19^ Циклом С(р) длины р называют траекторию Х\,...,хр, удовлетворяющую G.5)
и условию Х\ — хр.
7.6. Сложное в простом 149
/(ж, А). В частности, в последовательности Ль Л2,... бифуркаци-
бифуркационных значений параметра А и даже в численном описании самих
циклов С{р) выявляется наличие универсальных констант, чего
до исследований Фейгенбаума20) никто не ожидал.
Еще одно удивительное явление — иерархия циклов Шарков-
ского. Если в G.4) из существования цикла С(т) следует суще-
существование С(п), пишут т У п. Шарковский установил общую
закономерность:
3 >- 5 >- 7 >- ... >- 3-2^5-2^7-2>- ...
... >- 3 • 22 >- 5 • 22 >- 7 • 22... >- 23 У 22 >- 2 >- 1.
Таким образом, цикл СC) как бы самый старший. Из его
наличия вытекает существование любых других циклов21).
Разнообразие нелинейностей опять до некоторой степени ока-
оказывается декорацией. Вот что по этому поводу говорилось в [8].
Впечатление бесконечного многообразия нелинейностей, по-видимо-
по-видимому, проистекает из привычки думать о функциях в категориях ря-
рядов Тэйлора, что порождает иллюзию неисчерпаемых возможностей.
Во многих же задачах это не затрагивает существа дела. Там важно
другое. Выпукла или вогнута функция, имеет ли экстремальные точ-
точки, насколько быстро растет по сравнению с линейной. В этом случае
«тэйлоровский ассортимент» превращается в украшение, и остает-
остается не так много вариантов. Поэтому «нелинейная целина» обширна,
но не настолько, как иногда кажется.
* Обнаружившего этот феномен.
* Все эти результаты подробно и широко отражены в литературе.
ЧАСТЬ II
ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Кино легко смотреть, но трудно делать.
Дополнения и приложения бывают двух типов. Идеологиче-
Идеологические и технические. Первые — для кругозора, вторые — для трени-
тренировки. Избранный формат ориентируется на идеологию. Поэтому
в прикладных областях намечаются лишь контуры.
Скажем, теория регулирования (глава 8) на собственной тер-
территории изобилует техническими подробностями, но они малоин-
малоинтересны вне рамок узкой специализации. В то же время принципы
и методы управления сегодня стали, пожалуй, необходимой частью
конструктивного мышления. Поэтому в рамках курса дифферен-
дифференциальных уравнений естественно коснуться этой области хотя бы
вскользь. Точнее говоря, не «хотя бы», а именно вскользь, потому
что писать легко — читать трудно, и реакция на перегрузку хоро-
хорошо известна. Есть даже физический закон Ле-Шателье: реакция
системы всегда направлена против внешнего воздействия.
Механика — другое дело. Ее все знают, но — в рамках об-
общей физики. Аналитическая механика (глава 9) — совсем другая
наука. Другой этаж знания. Там механические задачи изучаются
не по отдельности, а «сразу все вместе». Для мировоззрения —
ценная вещь. Как пример стиля, глобального подхода... С точки
зрения дифференциальных уравнений — вообще незаменимая об-
область. Изучать ее надо, разумеется, по обстоятельным учебникам
[5, 10], но для получения общих представлений больше подходит
что-нибудь промежуточное.
Конусные методы (глава 10) остаются пока за бортом образо-
образовательной системы, что является результатом какого-то недоразу-
недоразумения. По приводимым в главе фрагментам легко судить, что речь
идет о простых и эффективных методах решения нелинейных задач.
Модели коллективного поведения (глава 11) дают некоторое
представление о возможностях и потребностях развития диффе-
дифференциальных уравнений в нестандартных направлениях.
Глава 8
Теория регулирования
8.1. Практические задачи и примеры
Размышлять об автоматическом регулировании удобно с некоторым запасом
примеров, чтобы за абстракциями чувствовать реалии.
ОУ
объект
управления
ИУ
исполняющее
устройство
Рис. 8.1. Управление с обратной связью
Большая масса практических задач управления укладывается
в схему, изображенную на рис. 8.1. Объектами управления могут
быть:
• Автопилот. Вход хю — положения рычагов, определяющих тягу, углы по-
поворота элеронов и т.д. Выход жои( — параметры полета (скорость, курс,
высота).
• Химический реактор. Вход х]п — концентрации реагентов, ингибиторов и ка-
катализаторов; температура, давление и т. п. Выход жош — производительность
или качество получаемого продукта, по измерению которого ИУ так или
иначе влияет на вход (открывает вентили, подогревает и т. п.).
• Экономика фирмы. Вход х]п — распределение финансов и других ресурсов.
Выход жош — прибыль.
Это примеры, свидетельствующие о возможной «широте зама-
замаха». Для понимания существа дела лучше подходят более скром-
скромные задачи. Что-нибудь вроде центробежного регулятора Уатта,
8.1. Практические задачи и примеры
153
х\п
ДВИГАТЕЛЬ
хоы
' 8-2. Центробежный
регулятор
который первоначально был ори-
ориентирован на управление паро-
паровой машиной (патент 1784 года),
а потом широко использовался
во многих системах для поддер-
поддержания необходимой скорости вра-
вращения (турбин, двигателей).
Принцип действия отражает рис. 8.2.
Вал регулятора соединяется с валом дви-
двигателя (напрямую или через зубчатые пе-
передачи). Центробежная сила вращения
и натяжение пружины, противодействуя
друг другу, влияют на расхождение шаро-
шаровых грузов, которое, тем или иным способом, передается на вход регулируе-
регулируемой машины — меняя, скажем, давление пара, вращающего турбину^.
Просмотр большого количества при-
примеров показывает, что масса практиче-
практических задач, несмотря на содержательное
разнообразие, единообразно описывает-
описывается схемой, изображенной на рис. 8.3, где
Ь° — дифференциальный оператор, опи-
описывающий поведение объекта управле-
управления, Ьс — дифференциальный опера-
оператор исполнительного устройства 2\ При
этом дифференциальные операторы обыч-
обычно преобразуют выход во вход, что в ка-
качестве описания выглядит несколько про-
противоестественно. Реальное положение дел
лучше отражают импульсные переходные
функции 0A, з) (обратные операторы
X), см. раздел 3.11, — действующие
по направлению прохождения сигналов
(рис. 8.4).
Х\п
0
Ь Хоы Х\п
^ Х\п Хо\л
хг
Рис. 8.3. Схема
регулирования
•ч
С"
с?
Рис. 8.4. С°хт = хоих,
' При определенных условиях расходящиеся грузы сами по себе могут влиять на частоту
вращения, меняя нагрузку. Достаточно вспомнить балет или фигурное катание.
' Которое может состоять из последовательно соединенных: датчика, усилителя, пре-
преобразователя, манипулятора.
154 Плавав. Теория регулирования
8.2. Передаточные функции
Самым сложным в зарождении теории автоматического регулирования, конечно,
была постановочная часть. Переход от переплетенной мешанины из датчиков
и сервоприводов к структуризации задач, ясному виденью, — такой качественный
скачок просто так не дается .
Рис. 8.5. Блок
, Одним из важных шагов на этом пути было понимание4),
что реальные системы можно представлять в виде соединенных
друг с другом блоков, или звеньев (рис. 8.5), каждый из которых
описывается уравнением
где Ь и М — дифференциальные операторы.
Далее, если не оговорено противное, рассматриваются исключительно авто-
автономные системы. Поэтому Ь и М — это дифференциальные операторы с посто-
постоянными коэффициентами.
Следующий шаг заключался в переоткрытии для нужд ав-
автоматического регулирования преобразования Лапласа, которое
до этого было, скорее, философским украшением, нежели рабо-
рабочим инструментом5), — а тут эффективно заработало.
Преобразование Лапласа описания блока ЬхоиХ = Мх[п дает
Ир)Хоих(р) = М(р)х[п{р), (8.1)
где Ь(р) и М(р) — это обычные характеристические полиномы.
Например,
1х = х + Тхх + Тох => 2
' С чем-то подобным в миниатюре все мы сталкивались, когда в шестом классе решали
задачи на составление уравнений.
' Пришедшее в результате длительных проб и ошибок.
5* При решении конкретного дифференциального уравнения преобразование Лапласа
никаких особых выгод (по сравнению с классическими методами) не дает, хотя и принято
таинственно утверждать обратное.
8.2. Передаточные функции
155
В результате (8.1) приводит к очень простому соотношению
где
называют передаточной функцией блока.
Таким образом, если вместо сигналов хA) рассматривать их
изображения х(р), то выход каждого элементарного блока получа-
получается умножением входа на передаточную функцию. Каждый такой
факт, взятый в отдельности, ничего особенного не представляет,
но в совокупности — возникает ощутимый эффект. Если систе-
систему из десятка блоков при дифференциальном описании можно
предлагать в качестве головоломки, то в терминах передаточных
функций это не сложнее, чем «дважды два».
Хитросплетения соединений опять-таки подразделяются на
небольшое число категорий.
X
Щр)
У ъ
Щр)
Рис. 8.6. Последовательное соединение
Последовательное соединение звеньев (рис. 8.6). Передаточная
функция И^ блока, выделенного пунктиром, очевидно, равна
что вытекает из 2* =
156
Глава 8. Теория регулирования
Параллельное соединение
(рис. 8.7) также приводит к
простой формуле
Рис. 8.7. Параллельное соединение в СИЛУ й = У+ * =
Наконец, обратная связь
(рис. 8.8) порождает форму-
формулу6)
Рис. 8.8. Обратная связь
которая получается исключе-
исключением и и у из очевидных со-
соотношений
и — "№{%, % — УУ\у, у — х — и.
Минус в у — х — и характеризует отрицательную обратную связь.
8.3. О подводных рифах
Использование блок-схем, с одной стороны, удобная вещь, с дру-
другой — опасная, ибо маскирует реальность. За абстракцией иногда
не видны совсем простые вещи.
Рассмотрим пример. Входное и
выходное напряжение в ЕС -цепочке,
изображенной на рис. 8.9, связывает
дифференциальное уравнение
Рис. 8.9. Цепочка
ЯСй
оиХ
иои1 =
' IV обозначает передаточную функцию блока, выделенного пунктиром.
8.4. Частотные методы
157
с,=±=
Рис. 8.10. Последовательное соединение?
которое получается исключением напряжения м^ на конденсаторе
и тока / в цепи из соотношений
В результате получается, что ЕС -цепочку можно считать блоком
с передаточной функцией
Тр
1+Тр'
= ЕС.
Следующий шаг ведет к парадоксу. Последовательное соединение КС-
цепочек (рис. 8.10) в соответствии с формулой IV — \У\\У2 должно было бы
приводить к
_ Т,Т2р2
V A+Т[Р)A+Т2рУ
но чисто электрический (правильный) расчет дает [22]
1
О+ЗДО+Тяр)-
Причина заключается в том, что последовательное соединение четырех-
четырехполюсников не является таковым с точки зрения блок-схем. Вторая цепочка,
как говорят электрики, подсаживает первую, — что приводит к возникновению
обратной связи, охватывающей схему целиком.
8.4. Частотные методы
Для функций, равных нулю при7) I < 0, преобразование Фурье
принимает вид
/И = ^
Л,
и является частным случаем преобразования Лапласа.
' А именно такие функции рассматриваются в теории регулирования.
158 Глава 8. Теория регулирования
При подстановке р = ш в №(р) получается так называемая
амплитудно-фазовая характеристика
Физическая интерпретация здесь такова. Если на вход линей-
линейного звена с переходной функцией И^(р) подать гармонический
сигнал 81па;<, то на выходе будет сигнал А &т(ш1 + <р). Вместо
синуса удобнее говорить о сигнале еш*9 — и тогда на выходе будет
просто ЛУ(ш)ешг.
В устройстве мира имеется некоторое неудобство. «Подать» на вход
системы гармонический сигнал нельзя. Если $т ш1 не приходит из ми-
минус бесконечности, а возникает в нулевой момент времени, то это
уже не гармонический сигнал. Поэтому в теории регулирования при-
принято говорить, что $тш1 («включенный» в момент 1 = 0) дает
на выходе А $т (ш1 + (р) после затухания в системе переходного
процесса. Но для затухания переходного процесса требуется устой-
устойчивость системы — а это уже другая история. Вот так попытка
отразить реальность (факт включения системы) влечет за собой не-
необходимость массы оговорок и реверансов. Но тут уж бессмысленно
жаловаться — так устроена вся жизнь.
Таким образом, фиксация внимания на функциях равных нулю
при I < 0, отражая одну сторону реальности, запутывает другую.
Во избежание некоторых принципиальных ошибок лучше все-таки
полагаться на стандартное преобразование Фурье
(8.2)
В этом случае амплитудно-фазовая характеристика остается
той же самой8)
М(ш)
Ь(ги)
соотношение между фурье-преобразованиями входа и выхода опре-
определяется формулой
' Где Ь(-) и М(-) — характеристические полиномы дифференциальных операторов Ь
и М в описании объекта Ьхои1 = Мхю.
8.5. Задача компенсации 159
и никакие оговорки не требуются. Потребность в уточнениях
возникает при изучении условий причинности9), но это совсем
другая задача.
Амплитудно-фазовая характеристика несет на себе полную ха-
характеристику о системе, в том числе — об устойчивости равнове-
равновесия. Последний вопрос сводится к изучению корней характеристи-
характеристического полинома Ь, стоящего в знаменателе И^. Иногда возника-
возникающие надежды ликвидировать «нежелательные» корни полинома Ь
подбором числителя М обычно несостоятельны, поскольку малей-
малейшее возмущение коэффициентов Ь или М превращает систему
в неустойчивую.
Амплитудно-фазовая характеристика оказывается полезной
при изучении переходных процессов в системе. Частотные методы
вообще дают новое освещение многим задачам анализа динамиче-
динамических процессов. Полезные ракурсы открываются с первых шагов,
начиная с самого частотного представления (8.2) сигнала /D),
дающего важную информацию о спектральных свойствах функ-
функции }A). Данные о спектре, в свою очередь, могут служить для
решения задач фильтрации и др.
8.5. Задача компенсации
До сих пор рассматривались автономные задачи регулирования,
где регулятор в обратной связи полностью определял вход ре-
регулируемого объекта. Уровень воды падает, поплавок опускается,
открывает кран, и т.д. Все рычаги управления в руках у поплавка.
Но есть задачи, где система подвергается внешним воздействи-
воздействиям, и регулятор может лишь частично влиять на вход системы —
а успех регулирования желателен полный.
Допустим, груз при транспортировке подвергается вибрации.
Можно ли так замкнуть обратную связь, чтобы груз оставался в по-
покое? По первому впечатлению — утопия. Тем не менее рассмотрим
«механическую игрушку» из двух тел А и В, упруго соединенных
как на рис. 8.11. К телу А с массой тп приложена гармониче-
9^ Отсутствие упреждающей реакции системы — входной сигнал еще не пришел,
а система уже реагирует.
160
Глава 8. Теория регулирования
1/51П шЬ
Рис. 8.11. Модель виброгасителя
екая сила / = и$тш1. Движение грузов описывается системой
уравнений
{тах + ках - кь(у - х) — у зт ш1,
(8.3)
тьу + кь(у - х) = 0,
решением которой служит, например,
х — а зт ш1, у = Ь 81П сь;^,
(8.4)
где амплитуды аи!) определяются подстановкой (8.4) в (8.3), что
в итоге дает
7 = (кь - тьи?) (ка + (кь - таш2)) -
Совершенно неожиданно, при
кь = тьш2
амплитуда колебаний тела А оказывается нулевой. К телу приложена
внешняя сила, но оно не движется.
Обратим внимание, что второе тело — это настоящий регулятор, включен-
включенный в обратную связь. Никакой видимой «петли замыкания» нет, тело В со своей
пружиной торчит протуберанцем — но система замкнута (по уравнениям движе-
движения). Рис. 8.12 отражает ситуацию в виде блок-схемы, на которой
Ьах = тах + (ка + кь)х, Ьь = тьу + кьу.
Конечно, исполненный фокус порождает больше вопросов,
чем дает ответов. И все же, игрушечная модель достигает главно-
главного — обнаруживает идею. Далее можно двигаться без формул10),
10)
Если не надо писать диссертацию.
8.6. Управляемость
161
кьУ
Рис.8.12
полагаясь на эксперимент и «резонансные» категории мышления.
Понятно, например, что в реальности трение ослабит эффект, зато
расширит диапазон компенсируемых частот. Главный недостаток
игрушечного виброгасителя — в том, что он реагирует на строго
выделенную частоту. Как добиться охвата более широкого частот-
частотного диапазона? Конечно, за счет поглощения энергии колебаний,
но что еще?
Если трезво взглянуть на суть эффекта, то от первого удив-
удивления не так много остается. Есть два упруго соединенных тела,
у второго собственная (резонансная) частота \А&/т& совпадает
с частотой вибрации ш — оно (тело В), в идеале, и будет коле-
колебаться. Поэтому, если на У1Р-груз поставить несколько «присосок»
с разными собственными частотами — охват будет шире. Кро-
Кроме того, саму резонансную частоту можно подстраивать за счет
изменения, скажем, характеристик упругой связи.
Так или иначе, идея гашения вибраций с помощью упругого
подсоединения к вибрирующему телу некоторого балласта весьма
примечательна, и она широко используется на практике, о чем
потребители обычно не подозревают11).
8.6. Управляемость
Одна из стандартных систем управления имеет вид
х = Ах 4- Ви,
(8.5)
где х характеризует состояние системы, и — управление, А и В —
матрицы, размера, соответственно, п х п и п х т.
П)
Кто догадывается на корабле о наличии в трюме успокоителя качки судна? Либо
о запирании электрической цепи колебательным контуром (избирательно для частоты
и2 = \/ЬС)?
162 Плавав. Теория регулирования
Первый вопрос, который здесь возникает, можно ли перевести
систему — управлением иA) — из любого начального положения
х@) = хо в любое желаемое, например, х(Т) = О? Это называют
управляемостью системы.
Конечно, если матрица В имеет размер п х п и невырождена,
то с помощью и в (8.5) можно обеспечить любое направление
движения, — и ответ положителен. Но в реальности число управ-
управляющих воздействий бывает ограниченным — и тогда возникает
проблема. Можно ли, скажем, меняя налог на прибыль, управлять
одновременно инфляцией и ростом производства? Абстрактно это
может выглядеть, например, так:
±=[2 -\\Х+[0.
Управление, получается, напрямую действует только на х\. На Х2
влияние опосредованное. Возможно ли по обеим переменным
двигаться в желаемых направлениях — не ясно, и геометрическая
интуиция в таких задачах пасует.
Ответ, тем не менее, достаточно прост, но требует некоторых
дополнительных сведений из линейной алгебры.
О матричных функциях. Матричные функции /(А) универсально представимы
рядами 12\ но в каждом конкретном случае (для конкретных / и А) могут быть
выражены через А в виде полинома степени п - 1.
Ограничимся рассмотрением случая нормальной матрицы А, в котором
всегда имеет представление типа C.14), т. е.
/(А) = Т-'сНа^ДА,),..., /(Лп)}Г. (8.7)
Из (8.7) видно, что /(А) определяется значениями /(А) всего в п точках
{А),..., Ап}, что позволяет заменить / любой другой функцией, которая в этих
точках принимает те же значения (если, конечно, речь идет о вычислении /(Л)
для данной конкретной матрицы А). В частности, /(А) можно положить равной
интерполяционному полиному Лагранжа13)
/(А) = Р(Х) = ап_, А(п-!) + ... + а,А + ао.
Типа C.13).
Где
8.6. Управляемость 163
Тогда
Хп}кТ =
,..., А„}Г)* =
к
Вернемся теперь к системе (8.5) и запишем решение хA) в мо-
момент Г, считая управление заданным и х(Т) — 0. В соответствии
с C.20) и м
1
/
т
/
т
О = жо +
о
Представляя е~Аз в виде полинома, это можно переписать в виде
т
(аоВ 4- п[АВз 4-... 4- ап-\Ап~ Взп~ )и(з) Аз = — жо, (8.8)
о
откуда ясно, что «благополучие» системы (8.5) связано с прямо-
прямоугольной матрицей 14)
1Г = [В,АВ,А2В,...9АП-1В].
Незначительные ухищрения показывают, что условие гапк V — п
необходимо и достаточно для управляемости системы 15) (8.5).
Система в примере (8.6) управляема, поскольку для нее мат-
матрица
невырождена.
' Матрица V строится слева направо — добавляются столбцы А В. Число строк V
равно п.
15^ Т.е. для разрешимости (8.8) при любом хо.
Глава 9
Механика
9.1. Обобщенные координаты и силы
Аналитическая механика дает пример того, как далеко может уйти научная дисци-
дисциплина, стартуя с крошечной площадки трех законов Ньютона, изучаемых в школе.
Пример этот замечателен еще и тем, что он показывает, насколько ценны и про-
продуктивны могут быть эквивалентные преобразования одних дифференциальных
уравнений в другие.
Голономные системы. Пусть система состоит из N точенных масс
ту, имеющих координаты г„ = {ху,уу,%у\ и движущихся под
действием активных сил Ру по известному закону т^п}^ = Р„,
где ги„ = гу обозначает ускорение. При этом естественно говорить
о движении системы (изображающей точки) в пространстве 3^
измерений.
На практике положения точечных масс, как правило, взаимо-
взаимозависимы, что регламентируется наличием связей *):
/а(г,,...,Ы = 0 (а = 1,...,й). (9.1)
Скажем, точка г = {ж, у, г) обязана двигаться по поверхности /(г) = 0.
Либо две точки соединены жестким стержнем длины /, т.е. (г\ - г2J = I2, что
можно представлять как движение системы по 5-мерной поверхности
(х, - х2J 4- B/, - у2J + (г, - *2J - I2 = 0.
Либо твердое тело приближенно мыслится состоящим из миллиона точечных
масс — и там уравнений связи не счесть, равно как и соответствующих поверх-
поверхностей, по пересечению которых обязана двигаться изображающая точка системы.
В более обшем случае связи могут включать время и скорости,
При отсутствии неинтегрируемых связей систему называют голономной.
9.1. Обобщенные координаты и силы 165
Если говорить о возможной скорости V движения по поверхно-
поверхности / = 0, то она (скорость) должна лежать в касательной плоско-
плоскости к / = 0 в текущей точке г. Соответственно, в этой касательной
плоскости будет находиться и любое (бесконечно малое) возмож-
возможное перемещение 8г = V 81 системы. Другими словами, возможные
перемещения 8г ортогональны градиенту У/(г), что равносильно
равенству нулю скалярного произведения У/(г) 8г — 0.
Обратим внимание, что здесь рассматривается случай стационарных
связей /(г) = 0, где для развития теории хватает понятия возмож-
возможных перемещений. В нестационарном случае, /(г,1) = 0, возникает
необходимость в использовании виртуальных перемещений, каковы-
каковыми являются те же возможные перемещения, но при остановленном
времени (см. [10]).
Чтобы система оставалась на поверхности /(г) = 0, необ-
необходимо действие дополнительных сил К реакции связей. Обычно
рассматривают только идеальные (удерживающие) связи, порож-
порождающие силы реакции, ортогональные поверхности /(г) = 0 —
другими словами, коллинеарные градиенту2) V/, т.е. К = АУ/,
либо, что одно и то же, К8г = 0, где 8г — любое возможное
перемещение.
При этом на и-ю точечную массу будет действовать, соответ-
соответственно, сила Ку = ХЧу/, где
у"/={^'|г'!г}
представляет собой как бы и-ю часть градиента. При наличии й
связей (9.1) результирующая сила реакции, приложенная к и-й
точечной массе, будет равна
а
где Аа — неизвестные параметры (множители Лагранжа). Уравне-
Уравнения движения
гПуШу — Ру 4- Яу
2' Механики называют связь идеальной, если работа ее сил реакции К на возможных
перемещениях 6г равна нулю, т.е. Кбг = 0, но это и есть перпендикулярность К
любому 6г, лежащему в касательной плоскости к /(г) = 0. Силы трения, таким образом,
исключаются. Их включают в рассмотрение, относя к активным силам.
166 Глава 9. Механика
приобретают вид
и называются уравнениями Лагранжа первого рода. Для решения
конкретной задачи эти уравнения (в количестве ЗЛГ) надо решить
совместно с условиями (9.1). Понятно, что на такое мероприятие
мало кто отважится. Например, если жесткое килограммовое тело
приближенно представляется в виде объединения однограммовых
«точечных масс», то число уравнений будет равно 3000 + й.
Эффективный путь совсем другой.
Обобщенные координаты. При наличии й уравнений связи3) (9.1)
любые п = 3^ — й из 3^ переменных
х„, у„, х» (*/= 1,...,Л0 (9.2)
могут быть выбраны независимо друг от друга, остальные й ко-
координат будут определяться решением системы уравнений (9.1).
На роль независимых переменных можно взять также какие-ни-
какие-нибудь более удобные параметры ^1,..., дп, с помощью которых
однозначно выражаются координаты (9.2), т.е.
Ту =Г|,(91,... ,0П) A/= 1,...,ЛГ).
Переменные #|,..., дп называют обобщенными координатами, они
хороши тем, что «развязывают» задачу. Уравнения связи упразд-
упраздняются, переменные становятся независимыми, все перемеще-
перемещения #<7 — возможными. Что касается возможных перемещений
5г = {6г\,..., 8гк}, они теперь определяются из соотношений
П о
"^^ь 1/= 1,... ,ЛГ,
1=1
дги ( Эх» ду^ дг^ }
где -— = < ——, ——, —— >. В результате связанному ограни-
ОЯг I ОЯг дЯг % )
чениями движению исходной системы теперь отвечает свободное
Имеются в виду независимые и совместимые связи.
9.1. Обобщенные координаты и силы
167
движение точки в координатном пространстве {?ь ..., #п}« Каждая
переменная #г характеризует г-ю степень свободы.
В случае двойного маятника (рис. 9.1) на
роль обобщенных координат подходят два угла
Щ и У>2-
Для описания твердого тела, насаженного
на ось, достаточно одной обобщенной коорди-
координаты (угла поворота).
Как правило, задача подбора обобщенных
координат в механике относится к числу лег-
легких, поскольку всегда опирается на наглядные
соображения.
Обобщенные силы. Переход к обобщен-
обобщенным переменным сам по себе еще про-
проблему не решает. Исходную задачу необ-
необходимо преобразовать в удобную форму,
которая бы использовала выгоды обоб-
обобщенных координат и оперировала по-
понятиями, имеющими естественную физическую интерпретацию.
В первую очередь это касается перехода от обычных сил к обоб-
обобщенным.
Работа активных сил на допустимых перемещениях может быть
записана как
Рис. 9.1. Двойной маятник
8 А =
^^
где
называют обобщенной силой, соответствующей координате #г.
Для фактического определения обобщенной силы ф, используют обычно
не формулу, а мысленный эксперимент. Приращение #дг дается только коорди-
координате д, (остальные #д; = 0), затем вычисляется работа #Лг активных сил, и (^
определяется из соотношения
8А{
оА( = (^( д^ =Ф- (^( = .
Вот простая иллюстрация. Твердое тело закреплено на оси. В точках
7*1,..., гт приложены силы 2^|,..., Ет. При повороте вокруг оси на малый
168 Глава 9. Механика
угол 6(р, очевидно, совершается работа
откуда ясно, что ф^ — есть результирующий момент приложенных сил.
9.2. Уравнения Лагранжа
В случае идеальных связей работа сил реакции на возможных
перемещениях равна нулю,
V
Поэтому уравнением движения системы, в силу Р„ — тъо^ = —Кр,
можно считать
У^СРу - тьзр) Ьту = 0.
V
Работа активных сил известна,
Для полного перехода на рельсы обобщенных координат надо еще
пересчитать работу сил инерции:
Для вычисления {/, требуется небольшая формульная эквилибристика. По-
Поскольку
24 *
ТО
\—V дгу ^—^ д,ги дги 6, ^-—ч дги ^-—ч д, дги
Е7 X 2 1
дгу а от от
9.3. Формализм Гамильтона
169
где Г — кинетическая энергия системы,
Теперь
— в силу произвольности 6^^
Лагранжа 4)
— приводит к уравнениям движения
Если обобщенные силы (^1 потенциальны, т. е. существует такая
функция (потенциал, потенциальная энергия) П(дь ... , дп), что
то уравнения Лагранжа могут быть переписаны в форме
(г = 1,...,п),
где Ь = Г — П называют функцией Лагранжа (лагранжианом) или
кинетическим потенциалом.
9.3. Формализм Гамильтона
Величины
называют обобщенными импульсами.
(9.3)
' Второго рода, но о «втором роде» обычно не упоминают.
170
Глава 9. Механика
В простейшей ситуации точечной массы га, движущейся вдоль оси ж,
лагранжиан имеет вид
Х(ж, ж) = -гаж2 - П(ж).
Импульс р = дЬ/дх = гаж — оказывается равным «количеству движения».
С помощью р{ уравнения Лагранжа могут быть записаны
в форме р{ = дЬ/дд{. Другими словами, производная обобщенного
импульса р{ равна обобщенной силе5) дЬ/дд^. Но с переменны-
переменными здесь получается перебор. К координатам д и скоростям д
добавляются еще импульсы, а уравнений не прибавляется.
Гамильтон предложил исключить скорости д, выразив их через
импульсы р с помощью уравнений (9.3). Разрешимость системы
(9.3) обеспечивается положительной определенностью гессиана
82Ь
совпадающего в рассматриваемом случае с гессианом кинетиче-
кинетической энергии. В переменных {р, д} уравнения Лагранжа приобре-
приобретают вид
(г = 1,...,п),
(9.4)
и называются уравнениями Гамильтона. Гамильтониан Н(р, д) здесь
представляет собой преобразование Лежандра лагранжиана Ь(д, д)
по переменным д. Чтобы не отвлекаться на обсуждение преоб-
преобразования Лежандра, можно сказать иначе. Гамильтониан Н(р, д)
есть функция
(9.5)
в которой скорости д выражены через р с помощью уравнений
(9.3).
5)
Что по форме соответствует второму закону Ньютона, с той лишь разницей, что речь
идет о движении в пространстве обобщенных координат.
9.4. Вариационные принципы 171
Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа достаточно прост.
В силу (9.5)
I "* X *% X X "*
откуда
ОН _ дЬ . _ дН
что, с учетом (9.3), приводит к уравнениям Гамильтона.
9.4. Вариационные принципы
Механическая интерпретация изложенных выше результатов, во-
вообще говоря, не обязательна.
Рассмотрим абстрактную вариационную задачу поиска экстре-
экстремали функционала
и
и *) <и (9.6)
на множестве гладких функций д(<), принимающих на концах
заданного промежутка времени [*о? ^1 ] фиксированные значения
д(«о) = д°ид(*1) = д1.
Совпадение обозначений считаем пока случайным. Функция
Ь — просто какая-то функция.
Так же как в конечномерном случае на экстремали в нуль обращается гра-
градиент, здесь в нуль обязана обращаться вариация 6\У. Варьируя дA) с помощью
), обращающейся в нуль на концах [4<ь М, получаем6*
к
1
откуда, в силу произвольности вариации 6дA), вытекает, что функция Ь обязана
удовлетворять уравнениям Лагранжа.
Используя интегрирование по частям.
172 Глава 9. Механика
В случае, когда Ь — лагранжиан некой механической системы,
интеграл (9.6) называют действием по Гамильтону. Из приведенной
выкладки следует, что механическая система движется по экстре-
экстремалям действия, что называют принципом Гамильтона. Это еще
одна удобная позиция, с которой некоторые механические зако-
закономерности лучше видны.
9.5. Инвариант Пуанкаре—Картана
Вывод уравнений Лагранжа и Гамильтона не так сложен, но про-
прогресс — значителен. Правда, в данной точке пути это еще не так
хорошо видно. Оценить «что имеем» — вообще трудно. А здесь
пока — есть заявка, но нет исполнения.
К тому же иногда мешает постановка неправильных вопросов.
Изучение с помощью уравнений Гамильтона простейших меха-
механических задач воспринимается часто как издевательство, потому
что кроме лишних хлопот — никаких выгод. В результате на-
начинает казаться, что вся эта аналитическая механика не стоит
выеденного яйца. Потом, конечно, обнаруживаются задачи, где
есть выигрыш, но это принципиально не меняет ситуацию. И пес-
пессимистический взгляд сохраняет резон до тех пор, пока вопрос
стоит так: чем «аналмех» может помочь в решении конкретной
задачи?
На самом деле аналитическая механика культивирована не
столько для решения отдельных задач, сколько для одновремен-
одновременного решения сразу «всех» задач. Разработка идеологии и общих
принципов здесь стоит во главе угла. Инварианты движения, за-
законы сохранения, поиск «оптимальных» типов переменных, связь
механических задач с вариационными принципами — вот что
находится в центре внимания.
Один из центральных вопросов — инварианты движения.
Сохранение фазового объема при движении механической
системы следует из7)
д2Н д2Н
Разумеется, при участии теоремы Лиувилля.
9.5. Инвариант Пуанкаре—Картана
173
что влечет за собой равенство нулю дивергенции правой части
уравнений Гамильтона:
г д2н д2н \
~
Другой инвариант движения — интегральный инвариант Пуан-
Пуанкаре—Картана 8)
(9.7)
представляющий собой интеграл по произвольному контуру в
Bп + 1)-мерном пространстве переменных {р, д, I}, и не меня-
меняющий своего значения при смещении контура вдоль «трубки тока»
механической системы [5,10].
В (9.7)
обозначает скалярное произведе-
произведение, т. е.
Инвариантность (9.7) представляет собой многомерный
аналог сохранения циркуляции при течении несжима-
несжимаемой жидкости, характеризуемом векторным полем V.
Траектории, проходящие через контур С (рис. 9.2), об-
образуют трубку тока. Если контур С' охватывает эту же
трубку тока, то
О) у • 6.Г — Ф V • ЙГ,
с
кса циркуле
/¦¦*=/
(9.8)
с с
поскольку по формуле Стокса циркуляция по любому контуру
Рис. 9.2
ГО1 V
С(а)
где С (а) обозначает любую площадку, натянутую на С. Поток же ротора через
любую замкнутую поверхность равен нулю, как равен нулю и его поток через
поверхность трубки тока. Поэтому потоки го1 V через основания С (а) и С (а)
«цилиндра», образуемого трубкой тока, — равны9), что дает (9.8). >
9)
Который часто называют основным.
Что является прообразом существования инварианта второго порядка. По теореме Ли
Хуа-чжуна A947), существует 2тг инвариантов — четные равны нечетным.
174 Глава 9. Механика
9.6. Завершение картины
Изложение в данном месте подходит к тому повороту, за которым
необходимо перейти либо на более обстоятельный стиль, либо —
на информационный. Объяснение «по верхам» перестает работать.
Поэтому мы ограничимся краткими замечаниями об основных
моментах, на которые стоит обратить внимание при знакомстве
с предметом по более детальным источникам.
о При наличии у механической системы п первых независимых интегра-
интегралов — движение происходит по поверхности п-мерного инвариантного тора10*.
На этом торе можно выбрать ровно п базисных контуров Ск, которые непрерывно
не переводятся друг в друга и не стягиваются в точку.
о Помимо (9.7) при движении механической системы сохраняется также
инвариант Пуанкаре (без Картана, и без координаты I)
1=Жу^р,<1ъ. (9.9)
о Если контур интегрирования в (9.9) стягивается в точку, то / = 0. Для
базисных (неприводимых) контуров Ск существует п переменных
1к = ф У^ », й<7,,
называемых переменными действия, что имеет особое звучание, поскольку все
1к = СОП51.
о На введение переменных действия можно взглянуть с другого кон-
конца: п-мерное инвариантное многообразие (тор) в 2га -мерном фазовом про-
пространстве описывается п интегралами 8\9... ,8п — и любую переменную
1к = 1к(8\9... ,8п) можно считать переменной действия в том смысле, что
1к = соп51 на траекториях движения, т. е. 1к = 0. Остальные п независимых
переменных угла будут определять движение по тору.
о Замена переменных — один из вопросов, который в аналитической
механике находится в центре внимания. Обобщенные координаты могут быть
определены с большой степенью произвола. Этой свободой целесообразно рас-
распорядиться так, чтобы получить дополнительные выгоды. Например, пытаясь
сделать гамильтониан независимым от максимально большого числа перемен-
переменных. Такие переменные называют циклическими, соответствующие уравнения
' Многомерный аналог поверхности обыкновенного бублика, которая представляет
собой произведение двух окружностей.
9.6. Завершение картины 175
имеют максимально простой вид р; =0, что и служит главным мотивом для
выделения переменных действия.
о Цели анализа механических задач бывают многообразны. Поэтому ис-
исследование не всегда зацикливается на циклических координатах. Значительный
интерес представляют различные канонические преобразования, переводящие
одни гамильтоновы системы в другие. Ограничимся примером из теории возму-
возмущений [10].
Если решения уравнений (9.4),
<Ь = <ь(р\<?Л и =р,-(р°. «".*).
принять за формулы перехода от переменных {р, #} к переменным {р°, ^°}, то
такое каноническое преобразование переводит систему (9.4) в
<?,° = 0, р° = 0 A=1,...,п),
а возмущенную систему
д(Н + Я) д(Н + Я)
в систему ^ _
Таким образом, в новых переменных {р°, д0} невозмущенная система «стоит
на месте», а возмущенная — определяется решением уравнений Гамильтона,
в которых фигурирует только гамильтониан возмущения Я. Другими словами,
возмущение гамильтоновои системы всегда можно представлять как возмущение
начальных данных. Это фундаментальный факт.
Подобная точка зрения проливает определенный свет на метание траектории
по размешивающейся области системы с перемешиванием (глава 7). Из приве-
приведенного здесь результата следует, что такое метание можно рассматривать как
скольжение по траекториям ансамбля невозмущенного движения. Сам же харак-
характер скольжения определяется внешними по отношению к модели факторами,
каковые могут находиться внутри или вовне системы, в другом пространстве
и в других категориях причин.
о Одна из важнейших задач аналитической механики — интегрируемость
системы. Интеграл движения, Я = сопз1 (сохранение энергии), получается сразу,
поскольку производная Я по времени в силу уравнений движения (9.4) равна
нулю,
(дн он ,\ ^ (днон дндн\
Известные по курсу общей физики законы сохранения количества и момента
количества движения — тоже легко выводятся. В определенных кругах принято
176 Глава 9. Механика
думать, что этого хватает для решения любой механической задачи, но это
далеко не так.
Не интегрируются весьма простые, с виду, задачи. Например, задача о волч-
волчке—о вращении твердого тела, закрепленного в точке, — которая в некотором
смысле неразрешима [5]. Интегрируются волчки Эйлера (тело закреплено в цен-
центре тяжести), Лагранжа (осесимметричный волчок с центром тяжести на оси)
и Ковалевской (волчок, характеризуемый определенным соотношением моментов
инерции и положения центра тяжести) — см. [26]. В первых двух случаях задача
решается относительно легко. В последнем — Ковалевская преодолела значи-
значительные технические трудности и нашла «недостающий» интеграл движения —
с неясным механическим толкованием и не вполне ясными причинами успеха.
Глава 10
Конусные методы
Конусные методы эффективны при изучении динамических систем в довольно
широком секторе. В частности, речь идет о задачах с функциями, имеющими
определенную знаковую структуру. В качестве аванса приведем простой результат.
10.0.1. Теорема. Пусть матрица АA) внедиагонально положи-
положительна 1\ ЬA) > 0, и система
х = А{1)х + ЬA)
имеет единственное положение равновесия х* > 0. Тогда х* асимп-
асимптотически устойчиво2^.
Формулировка могла бы заканчиваться восклицательным знаком, поскольку
результат неожиданный. Устойчивость обеспечивается «почти без предположе-
предположений», одной только положительностью коэффициентов. Никакой особой глубины
здесь, конечно, нет, но пример показывает насколько действенной может быть
знаковая структура задачи.
Иллюстрацией может служить система
Х\ = ($1П I — 2)Х\ Н г—Х2 + Хт, + —,
±2 = A + е~')Ж| - тО + е~1)х2 + ж3 + - + е"',
2 '
имеющая асимптотически устойчивое равновесие х* = {1, 3, 1/2}, поскольку все
предположения теоремы 10.0.1 выполнены.
Приг^; все а,-,-@^0.
^ Доказательство приводится в разделе 10.2.
178 Глава 10. Конусные методы
10.1. Полуупорядоченность
Замкнутое выпуклое множество К линейного пространства называ-
называется конусом, если ж Е К, ж ф О влечет за собой —х ^ К и ах Е К
при а ^ 0. Простейший пример конуса — неотрицательный ор-
тант3) К%.
Конус К позволяет ввести полуупорядоченность: х ^ у, если
х — у Е К. Если же х — у лежит внутри К (для чего требуется
телесность конуса), то пишут х > у. Множество точек ж, удовле-
удовлетворяющих неравенствам V ^ х ^ и, называется конусным отрезком
и обозначается (у, и).
Монотонность /(ж) означает
/(ж) ^ /($/), если х ^ у.
Отображение (оператор) /(ж) называют положительным, если
ПК) С #,
т. е. ж ^ 0 влечет за собой /(ж) > 0. В случае
ж > 0 => /(ж) > 0
говорят, что оператор сильно положителен.
Общие определения даны для удобства комментариев и неко-
некоторых отступлений. Основная линия изложения опирается далее
на ситуацию К = К\. В этом случае векторное неравенство х > у
означает ж^ > у$ для всех ].
10.2. Монотонность оператора сдвига
Правую часть системы
* = /(*,<) A0.1)
назовем внедиагонально положительной^, если при любых ж ^ 0,
I Е @, оо) и ] = 1,... ,п
.. ,ЖП,<) > 0.
3^ Множество точек х € Кп с неотрицательными координатами.
4^ Полуупорядоченность, если не оговорено противное, везде предполагается введенной
с помощью неотрицательного ортанта.
10.2. Монотонность оператора сдвига 179
Другими словами, значения /(ж, г) при х ^ 0 могут быть произ-
произвольными, но как только х попадает на границу Д+ — вектору
/(ж, I) запрещается быть направленным вовне конуса.
10.2.1. Теорема. Оператор сдвига XI81 по траекториям внедиаго-
нально положительной системы A0.1) — положителен.
М Траектории вспомогательной системы
х = /(х,1) + е A0.2)
со строго положительным вектором е > 0 — не могут выйти из конуса, так как
в граничных точках направлены строго внутрь К\. Поэтому оператор сдвига
по траекториям A0.2) положителен. При е -» 0 траектории A0.2) переходят
в траектории5) A0.1). >
Правую часть A0.1) назовем внедиагонально монотонной, если
при любых х ^ у, I € @, оо) и ] = 1,..., п
Проще говоря, внедиагональная монотонность означает монотон-
монотонность роста каждой /г(ж, г) по каждой координате х^, ] ^ г. При
непрерывной дифференцируемое™ это равносильно д^/дх^ ^ 0
при ] Ф г.
В линейном случае /(ж, Ь) = А(Ь)х внедиагональная монотонность совпа-
совпадает с внедиагональной положительностью, означая внедиагональную положи-
положительность матрицы А{1).
10.2.2. Теорема. Оператор сдвига XI81 по траекториям внедиаго-
внедиагонально монотонной системы A0.1) — монотонен.
М Если х{1) и у(Ь) удовлетворяют, соответственно,
х = /(х,1) и У = 1(УЛ
то гA) = хA) — уA) удовлетворяет системе
2 = /(у + г,1)-Лу,1) (ЮЗ)
с внедиагонально положительной правой частью.
Теорема 10.2.1 гарантирует гA) ^ 0 при условии х@) ^ у@). >
* Условия единственности решения задачи Коши подразумеваются.
180 Глава 10. Конусные методы
Внедиагональная монотонность (положительность) правых ча-
частей /(ж, I), конечно, является частным случаем обыкновенной мо-
монотонности (положительности), но именно «внедиагональность»
позволяет охватить практически интересные случаи, когда траек-
траектории не уходят монотонно в бесконечность, а стремятся к равно-
равновесию.
Для понимания результатов важен следующий факт.
10.2.3. Лемма. Если траектория х{1) внедиагоналъно монотонной
системы A0.1) начинает двигаться вперед {назад), то она все время
будет двигаться вперед {назад).
Л Другими словами, из хA) ^ х@) при малых Ь^О следует
х(г) > х(з) ^ х@)
при любых I ^ 5 ^ 0.
В непрерывно дифференцируемом случае доказательство выглядит так.
Пусть у = /(ж, I). Тогда, в силу A0.1), система уравнений
Уг = /^ —" У^ (* = 1»• • •» п)
. ох3
удовлетворяет условиям теоремы 10.2.1, и потому уA)^0, если у@)^0, и у@^0,
если у@)^0.
Таким образом, если траектория хA) начинает двигаться вперед, т. е.
х@) = у@) ^ 0, то она будет продолжать двигаться вперед, поскольку про-
производная х(Ь) все время положительна, х{1) = уA) ^0. Аналогично дело обстоит
с движением назад.
Доказательство в общем случае легко получается с опорой на полугрупповое
свойство и монотонность оператора сдвига 11в1. >
Во внедиагонально монотонном случае из х Е (у, ьз) следует
(по теореме 10.2.2)
у{1) ^ х{1) ^ п){1), A0.4)
где у{г), х{г), и){г) — траектории A0.1), выходящие из точек
у{з) = у, х{з) = х, п){з) = п) {з ^ г).
Если дополнительно
ДМ) 2*о, Я<МКо,
то у{1) ^у, ги{1) ^ ги, причем у{1) монотонно растет, &и){г) — убы-
убывает, т. е. конусный отрезок (у, и)) оказывается инвариантным —
у ^ х{1) ^ и), если х{0) Е (у, IV).
10.2. Монотонность оператора сдвига 181
Ч Последнее вытекает из следующих соображений. Если /(у,1) ^ 0, то
(при условии внедиагональной монотонности) система A0.1) удовлетворяет усло-
условиям теоремы 10.2.1 на «сдвинутом конусе», состоящем из точек х ^ V. Поэтому
уA) ^ V при любом I > 0. По аналогичной причине гиA) ^ ги.
Теперь лемма 10.2.3 гарантирует монотонный рост уA) и монотонное убы-
убывание ь)A). >
Заметим, что неравенство A0.4) означает инвариантность ко-
конусного отрезка (у, ь)) для оператора сдвига 1181, т. е.
что, в свою очередь, влечет за собой (по теореме Брауэра^)
существование у Х181 неподвижной точки ж* при любых з и I —
т.е. существование равновесия.
Если система имеет единственное равновесие ж*, то из мо-
монотонности роста уA) и ограниченности (в силу уA) ^ мЦ)) —
следует уA) -» ж*. По аналогичной причине п)A) —> х*. Но тогда
из сходимости крайних функций в A0.4) к одному пределу —
следует
хA) —> х* при любом ж@) Е (г;, ь)).
При этом очевидна асимптотическая устойчивость7) ж*.
< Теперь доказательство теоремы 10.0.1 совсем просто. Достаточно заме-
заметить, что х = АA)х + ЬA) оставляет инвариантным конусный отрезок @,/хж*),
где /х > 1, поскольку в предположениях теоремы
АA)цх* + ЬA) = /х (аA)х* + — ) < 0.
Заметим, наконец, что рассмотренные результаты в комбина-
комбинации с теорией Флоке легко применимы к изучению вынужденных
колебаний (см. раздел 5.2).
6^ Теорема Брауэра гарантирует существование неподвижной точки у непрерывного
оператора, отображающего в себя ограниченное замкнутое выпуклое множество. Инте-
Интересно, что принцип Биркгофа—Тарского [7] в данном случае гарантирует существование
неподвижной точки без предположения о непрерывности.
^ Мы не отвлекаемся на обсуждение очевидных деталей, типа того, что система
не должна быстро уставать, — см. по указателю «БУ-системы».
182 Глава 10. Конусные методы
10.3. Гетеротонные системы
Отображение /(ж) называется гетеротонным, если оно представи-
мо в диагональном виде
причем сопутствующий оператор /(и, до) монотонно растет по V
и убывает по до.
Подходящее расщепление оператора на диагонали возможно почти всегда.
Например, если каждая компонента /,-(ж) оператора /(ж) монотонно или воз-
возрастает, или убывает по каждой в отдельности координате ж;, то в качестве
сопутствующего оператора / можно взять отображение с компонентами /%(у, гу),
которые получаются из /Дж) заменой ж; на г^-, если /Дж) растет по ж;, и —
на гу; — в противном случае. Такие операторы назовем гетерогенными — они
охватывают все линейные отображения /(я) = Ах с постоянной матрицей.
Еще одна простая идея заключается в использовании представлений
/(ж) = тах{(р(х),1р(х)}
с монотонно возрастающими и убывающими функциями у? и 1р.
Для монотонного оператора /(ж) в качестве сопутствующего можно взять
/(V, ги) = /(у), для антимонотонного (убывающего по х) — /(V, гу) = /(гу).
Композиция /(#(ж)) гетеротонных операторов — гетеротонна. Сопутству-
Сопутствующий оператор —
/
Далее вводится оператор /, сопоставляющий паре элементов
(у, и)) пару (/(^, и)), /(и), V)). Легко видеть, что если теперь про-
пространство В?п пар (у, и)) полуупорядочить ортантом -й+!_, первые
п координат которого положительны, остальные отрицательны, то
оператор /(у, и)) будет монотонным (по конусу Я+*_).
В результате изучение /(х) может быть сведено к исследова-
исследованию монотонного оператора /(г;, ги) в расширенном пространстве.
Монотонность, конечно, очень сильное средство, но сама
по себе (в голом виде) она мало что дает.
Действенные предположения легко возникают в русле тео-
теорем предыдущего раздела. Роль инвариантного конусного отрезка
теперь играет сильно инвариантный конусный отрезок (г;, до), опре-
определяемый неравенствами
?{и,ь))^у, Т(п),у)^п). A0.5)
10.4. Дифференциальные неравенства 183
Неравенства A0.5) обеспечивают обычную инвариантность конус-
конусного отрезка ((г;, до), (до, г;)) для оператора /(и, до).
Роль предположения о единственности равновесия теперь иг-
играет единственная разрешимость системы уравнений 8)
{(г),п)) = у, /(до,?;) = до. A0.6)
В итоге, чтобы воспользоваться результатами предыдущего
раздела при изучении, например, системы уравнений
х = /(ж) - ж,
надо перейти к рассмотрению сопутствующей системы
( V = /(И, 1») ~ V,
[ ДО = /(ДО, V) - ДО,
оператор сдвига по траекториям которой Щ8 будет «половинкой»
монотонного оператора
&и(у, до) = {11и(у9 до), (Ти(ъо9 у)},
и при выполнении условий A0.5), A0.6) будут работать в К2п
теоремы 10.2.1, 10.2.2 и лемма 10.2.3.
10.4. Дифференциальные неравенства
В скалярном случае неравенства
х > ф, I), у < (р(у, I), х@) ^ 1/@),
влекут за собой оценку хA) > уA) при I > 0 (см. лемму 2.4.2).
Результат имеет многочисленные применения, но на п ^ 2
не обобщается. В монотонном случае идея работает почти так же
хорошо.
8* Просто разрешимость A0.6) вытекает из наличия сильно инвариантного конусного
отрезка.
184 Глава 10. Конусные методы
10.4.1. Если
и отображение /(ж, I) внедиагонально монотонно, то хA) ^уA) при
1> 0.
А При доказательстве работает та же техника, что и в разделе 10.2. >
10.4.2. Пусть оператор 1(х,1) гетеротонный и $(у,и),1) — со-
сопутствующий для него. Тогда из
х = /(ж, I), у > /(я, ю, I), и ^ /(и;, V, I), у{0) < х@) ^ Ц0)
следует
при I > 0.
10.5. Супероднородность
Предположение о единственности равновесия, а тем более о един-
единственной разрешимости системы A0.6), — легко сделать, но трудно
проверить. Поэтому конструктивные результаты в соответствую-
соответствующем направлении представляют определенный интерес.
Монотонный сильно положительный оператор /(ж) назовем
супероднородным9\ если для любых х > 0 и г Е @, 1)
}(тх) > т/(я). A0.7)
Для гетеротонного сильно положительного оператора /(ж)
аналогом A0.7) является
/ ( ТУ, -V) ) > Т{(У9 V)) (V, V) > 0). A0.8)
Обратное неравенство
V, ТиЛ < ^/(</, V)') («', И/ > 0)
следует из A0.8) с помощью замены у' = та, и/ = -гу.
г
В [15] такие операторы называются вогнутыми.
10.5. Супероднородность 185
В случае A0.7) неподвижная точка у /(#) на внутренности
конуса единственна (если есть), а в случае A0.8) система A0.6)
имеет не более одного решения при условии у, ь) > 0.
Усиление A0.8)
/(ту, -и) > т"Т(у, V)) (у, п) > 0, V е @, 1)) A0.9)
обеспечивает также существование решения.
При доказательстве перечисленных результатов эффективно использование
метрики Биркгофа
р(х, у) = тт{а: е~ах ^ у < еах} (ж, у > 0).
А Например, в ситуации A0.7)
Аналогично,
откуда
р(/(х),Ну))<р(х,у),
что влечет за собой единственность неподвижной точки, х* = /(ж*), если таковая
существует. >
Ситуации A0.8) и A0.9) рассматриваются аналогично. При появлении по-
показателя степени V 6 @, 1) операторы становятся сжимающими (с коэффициен-
коэффициентом и)у что помимо единственности обеспечивает также существование.
Упражнение
Пусть для гетерогенного оператора /(ж) при любом х > 0 и всех г выпол-
выполняются неравенства
0.
Тогда справедливо A0.8).
Существенно, что в ситуациях A0.7), A0.8) при наличии не-
неподвижной точки (равновесия) х* > 0 оговаривать существование
186 Глава 10. Конусные методы
инвариантного и, соответственно, сильно инвариантного конусно-
конусного отрезка не требуется. Таковым оказывается (тх*, —х*/ при лю-
любом г 6 @, 1). Действительно, в общей ситуации A0.8), например,
/ ( тх , -х 1 > т/(ж , х ) = тх ,
10.6. Примеры
Рассмотрим оператор /(ж) с компонентами
Х\
Функция /|(х) здесь монотонно возрастает по Х\ и убывает по ж2, а /2(ж) —
возрастает по х2 и убывает по 1|. Сопутствующим будет оператор / с компо-
компонентами
1у\
Сильная положительность / и / очевидна. Условие A0.8) легко проверя-
проверяется. Сильно инвариантным конусным отрезком является, например, (#,ги), где
V = A, 1), ги = F, 6). Поэтому / имеет на внутренности ортанта единственную
неподвижную точку, асимптотически устойчивую с точки зрения A0.1).
Рассмотрим другой оператор /:
Л(*) =
Здесь нельзя сказать, что функции /\, /2 монотонно возрастают или убывают
по Х\ или ж2. Тем не менее идея построения сопутствующего оператора может
быть оставлена прежней. Каждое конкретное ж,- (из тех х%, которые неоднократно
повторяются в записи функций /ь /2) заменяются на V,- или щ, в зависимости
10.7. Ма тричный конус 187
от того, возрастает или убывает функция /, по этому конкретному аргументу.
Такое построение приводит к сопутствующему оператору с компонентами
/2(«,ю) =
Оператор снова получается супероднородным. Сильно инвариантным для
/ оказывается тот же конусный отрезок, что и в предыдущем примере. Суще-
Существование, единственность и асимптотическая устойчивость10* равновесия при
движении A0.1) — гарантируются.
10.7. Матричный конус
Идеи полуупорядоченности широко используются также за пре-
пределами рассмотренного круга задач. Особенно — в функциональ-
функциональных пространствах при изучении интегральных уравнений, но это
слишком большая область, чтобы ее затрагивать вскользь.
Ниже рассматривается маленький пример с единственной це-
целью показать более широкие возможности использования полуу-
полуупорядоченности.
Легко проверить, что множество К положительно определенных матриц
является конусом. Полуупорядочим с помощью К пространство Е симметрич-
симметричных матриц. Будем считать элементы х 6 Кп вектор-столбцами и рассмотрим
оператор Я: Кп -> Е,
Н(х) = хх,
где штрих обозначает транспонирование.
Производная Н(х) вдоль траекторий линейной системы х = Ах равна
— (хх ) — хх А + Ахх ,
пь
т.е.
Н = НА! + АН. A0.10)
Подстановкой легко убедиться, что решением A0.10) служит
Н{1) = еА1Н@)ел'1.
ИзЯ,@)^Я2@) следует
Я,@ - Я2@ = ел'[Я,@) - Н2@)]ел'1 > 0,
10* На внутренности
188 Глава 10. Конусные методы
что означает монотонность оператора сдвига по траекториям матричного диф-
дифференциального уравнения A0.10).
Для асимптотической устойчивости нулевого равновесия системы с моно-
монотонным оператором сдвига достаточно, чтобы нашлась точка X 6 \МК, идущая
под действием оператора сдвига назад, и точка У 6 -\ШК, идущая вперед п). На-
Наличие таких точек в данном случае гарантирует разрешимость в т\К уравнения
A0.11)
при О0 6 \п1К.
В случае гурвицевой матрицы А интеграл
сходится и является решением A0.11).
Новых результатов для х — Ах, естественно, не получилось — но открылась
еще одна точка зрения на линейные системы12*. Оказалось, что самый общий
случай укладывается в рамки идеологии полуупорядоченности. Это в какой-то
степени свидетельствует, что последняя не так узка, как иногда кажется.
п* Обоснование этого факта почти не отличается от схемы рассуждений из раздела 10.2
в ситуации К = К\.
12* Новая точка зрения, в свою очередь, открывает новые пути, опробование которых
в данном случае быстро приводит к различным нелинейным обобщениям.
Глава 11
Коллективное поведение
11.1. Содержательные примеры
Пусть г-й элемент системы распоряжается выбором значения ж,
и Д(жь... ,хп) — его функция выигрыша. Один из вариантов
поведения — двигаться в направлении условного максимума В%{х)
по собственной переменной х\, что в случае непрерывного времени
может быть описано как
ж,~/,(ж)-ж, (г = 1,...,п), A1.1)
где каждое положение цели /г(х) определяется из условия
Д-(жь... ,ж,_1,/,(ж),ж,_ь... ,хп) =
Поведение A1.1) в случае асимптотической устойчивости при-
приводит в так называемое равновесие игры по Нэшу.
В рыночной модели тоже возникает динамика типа A1.1),
если под Хг подразумевается цена г-го товара, а Д(ж) - ж,- по знаку
совпадает с разницей между спросом и предложением этого товара.
Спрос выше предложения — продавец увеличивает цену, ниже —
уменьшает. Как быстро — когда как, зависит от тысячи факторов.
Куда разговор клонится, видимо, понятно. К динамике систем,
в которых существенную роль играет неопределенность. Направ-
Направление движения определено, скорость — нет. В моделях игрового
типа на скорость может влиять «с какой ноги встал». Там неопреде-
неопределенность присуща самой системе. В других случаях это может быть
следствием приблизительности знания. Скажем, в модели сосу-
сосуществования биологических видов движение A1.1) характеризует
изменение численности г-го вида в направлении стационарной
190
Глава 11. Коллективное поведение
численности /%(х). Реальная динамика, возможно, более-менее
определена, но точные уравнения неизвестны.
Если перечисленные примеры кому-то кажутся чересчур «зна-
«значительными», спектр задач легко приземлить. Душевые колонки
подключены к одному стояку, ж, — положение крана горячей во-
воды. Каждый крутит свой кран, мешая соседям добиться желаемой
температуры. Устойчива ли система?
11.2. Формальная модель
Задачи рассматриваемого типа укладываются в рамки описания
ж, = $щп(/г(х) -Хг) (г = 1,...,п), A1.2)
где /,(ж) иногда мы будем называть положением цели г-го эле-
элемента, но это лишь для удобства разговора. Ни о каких элементах
и целях можно не думать.
"Я
Рис. 11.1
Важно, пожалуй, представлять геометрическую картину, стоя-
стоящую за кадром. Рис. 11.1 изображает пример на плоскости. В четы-
четырех помеченных точках движение возможно в любом направлении
в пределах выделенных секторов. Выбранная для примера ситуа-
ситуация, когда /г(х) не зависит от XI, необязательна. Но такого сорта
предположение естественно в рассматриваемых моделях.
Дело в том, что описание
11.2. Формальная модель 191
остается тем же по сути в случае замены <?,(ж) на Л,(ж), если
Поэтому в A1.2) можно подразумевать сделанной замену д^(х) на /,-(ж) - ж,-, где
функция /|(ж) (не зависящая от ж,-) определена из условия
д4 (ж,,..., ж,-_,, /,(ж), ж,-_,,..., хп) = О,
что возможно в естественных предположениях.
Модель в записи A1.2), разумеется, неудобна, поскольку тра-
траектория х(Ь) может останавливаться «раньше времени», не говоря
о том, что само определение решения здесь имеет свои сложности.
Поэтому мы заменим A1.2) «чуть-чуть» другой системой:
Х) ~ хг] (» = 1, ... , П),
A1.3)
считая функции *у$) строго положительными и такими, что
(X)
УгA) A1 = 00 (* = 1,...,п). A1.4)
(X)
/
Расходимость интегралов A1.4) гарантирует, что система A1.3)
быстро не устает, т. е. х{1) не может сходиться к неравновесной
точке.
Вместо /((х) - Хг в A1.3) может фигурировать любая другая
функция-индикатор д^х), совпадающая по знаку с /г(ж)—ж^. Запись
A1.3) никаких особых преимуществ не имеет, за исключением
лаконичности некоторых формулировок и объяснений.
Принципиальное отличие модели A1.3) от обычных систем диффе-
дифференциальных уравнений заключается в том, что здесь в поле зрения
находится целый ансамбль систем. Каждой системе отвечает свой
набор функций {71@' • • •»7п@1- Если речь идет об асимптотической
устойчивости равновесия A1.3), то это подразумевает сходимость
хA) -» х* всех траекторий ансамбля. Устойчивость по Ляпунову —
означает, что по любой окрестности V можно указать такую — 1Г,
что, стартуя из IV', ни одна система ансамбля не может вывести
траекторию из V.
192 Глава 11. Коллективное поведение
Векторная запись системы A1.3) имеет вид
A1.5)
Стержневой вопрос в рассматриваемых моделях — асимптоти-
асимптотическая устойчивость равновесия. По первому впечатлению обычно
кажется, что ответ может быть только отрицательным, поскольку
системе «дозволяется» уж очень свободно себя вести. Тем не менее,
если существует потенциал <р(х), такой что
/(ж)-ж = -8гайу?(ж),
то движение A1.5) при любом Г(г) происходит под острым уг-
углом к минус градиенту — и потому локальные минимумы <р(х)
асимптотически устойчивы.
Действительно, на траекториях A1.5) в неравновесных точках
- х] = - ^ ЪA) (^) < 0.
Существуют ли другие классы устойчивых моделей за преде-
пределами этой возможности? С одной стороны — да, поскольку следу-
следующие параграфы указывают такие классы. С другой стороны, как
это часто бывает, при внимательном рассмотрении «да» переходит
в размытое «нет». Причина заключается в следующем. В [21] дока-
доказываются обратные теоремы для ансамблей динамических систем,
гарантирующие в случае асимптотической устойчивости существо-
существование функции Ляпунова <р(х), убывающей на траекториях A1.5),
т. е. (мы здесь не вникаем в детали)
)-*г]<0. A1.6)
Но в A1.6) не может быть ни одного положительного слагаемого
11.3. Системы с ограниченным взаимодействием 193
иначе для системы ансамбля с очень большим 7; и малыми
7« (* Ф 3) неравенство A1.6) перевернулось бы. Естественный
(но не единственный) выход из положения:
—.
Это означает, что существует потенциал <р(х), минус градиент
которого представляет собой набор функций индикаторов для
рассматриваемой модели. Иными словами, существует набор по-
положительных «интегрирующих множителей» //г(ж) > 0, таких что
становятся компонентами градиента некоторого потенциала.
Но это, конечно, идеология. На практике требуются более
удобные инструменты.
11.3. Системы с ограниченным взаимодействием
Отсутствие взаимодействия между элементами системы характе-
характеризует условие
/,-(*) = *? (*=1,...,п), A1.7)
означающее независимость положения цели каждого элемента
от состояния системы. Устойчивость равновесия в этом случае —
тривиальный факт.
Условие A1.7) еще можно охарактеризовать как д/г/дх^ = 0.
Поэтому ограничения производных естественно трактовать как
ограниченность межэлементного взаимодействия в системе.
Вот два условия
Е
з
< 1,
A1.8)
каждое из которых обеспечивает асимптотическую устойчивость
в целом равновесия ж*, если таковое существует. При замене
* Суммирование идет по всем ), а справедливость неравенств предполагается при
любом г.
194
Глава 11. Коллективное поведение
в A1.8) неравенства < 1 на < 1 -е (е > 0) — факт существования х*
можно присовокупить к выводам.
Для простоты разговора будем считать, например,
< 1 - е (е>0).
A1.9)
В этом случае по одной из теорем о среднем [7] оператор /(ж)
является сжимающим по кубической норме 2)
и Нх) — Ну)\\ ^ (\ — е)\\х — у\\ . A1.10)
Существование и единственность равновесия вытекают из
принципа сжимающих отображений. В силу A1.10) вектор /(ж) — ж
в любой граничной точке шара ||ж — ж*||ш ^ г направлен внутрь
шара (рис. 11.2). При этом из-за спе-
специфики нормы || • ||ш (шар представ-
представляет собой куб со сторонами, парал-
параллельными осям координат) умноже-
умножение /(ж) — ж на Т{1) принципиаль-
принципиально не меняет ситуацию — вектор
Г(<)(/(ж) - ж) остается направлен-
ным внутрь шара. Поэтому
Рис.11.2
= \\х-х*
является в данном случае функцией Ляпунова, которая убывает
на траекториях любой системы ансамбля A1.5).
В случае
±1
<\~е (е>0) (Н.Н)
|ж,-|, которой подчинена как
/(ж) сжимает по октаэдрической норме3) ||х||/ =
раз столбцовая норма матрицы. I
Существование и единственность равновесия снова вытекают из принципа
сжимающих отображений. Что касается динамики, то данная ситуация визуально
2)
Для ||х ||т = тах |ж,| подчиненной является строчная норма матрицы
' Которая двойственна кубической.
11.4. Гомогенные системы 195
менее очевидна. В качестве упражнения предлагается доказать, что при условии
A1.11) функцией Ляпунова может служить
С тем же успехом динамику систем с ограниченным межэлементным взаи-
взаимодействием можно изучать, отправляясь не от условий A1.8), а от
где существование строго положительных констант /Х|,...,/хп предполагается.
«Хитрость» такого обобщения заключается в линейной замене координат, при-
приводящей A1.12) к виду A1.8).
11.4. Гомогенные системы
Если иметь в виду содержательные интерпретации задачи, то
на практике довольно часто встречаются системы с однотипным,
однородным (гомогенным) взаимодействием элементов, что соот-
соответствует одинаковости знака всех производных д^/дх^. Напри-
Например, в рыночной модели с валовой заменимостью товаров [20] все
^ 0, с валовой дополнительностью — д^/дх^ ^ 0.
Пример. К источнику с внутренним сопротивлением г и ЭДС Е подключены
п электрических сопротивлений ж,, снабженных регуляторами и находящихся
в распоряжении участников А(. Цель каждого оператора состоит в поддержании
на своем сопротивлении напряжения V®. Глядя на стрелку личного вольтметра,
А( обычно крутит регулятор в соответствии со знаком функции индикатора
При г Ф ] все дд^/дх^ ^ 0, равно как и д/(/дх^ ^ 0.
Описанная «игрушка» при условии ^^ V*} < Е — устойчива (что легко
следует из приводимых ниже результатов) — и достижение равновесия (ин-
(индивидуальных целей) не вызывает затруднений. Возможны, разумеется, другие
электрические схемы, в том числе неустойчивые. Последние используются для
проверки коллективов на психологическую совместимость. Регулировать «свое
напряжение» в неустойчивой схеме — нелегкое занятие, способное довести
участника до нервного срыва.
196 Глава 11. Коллективное поведение
Ч Если монотонный оператор /(ж) имеет на инвариантном
конусном отрезке4) (у, и)) единственную неподвижную точку5),
то (лемма 10.2.3) любая траектория уA) любой системы ансамбля
A1.5), начинающаяся в точке у, монотонно возрастает, сходясь
к ж* снизу. Аналогично, П)A) — монотонно убывает и сходится
к х* сверху. Траектория х{1) с началом в любой точке (у, и)), будучи
зажатой между уA) и п)A) (см. A0.4)), тоже будет сходиться к ж*.
При всем при этом любой конусный отрезок (уA), мЦ)) оста-
остается инвариантным для /. Поэтому (уA),ь)(г)) при I -» оо пред-
представляет собой семейство инвариантных множеств, стягивающихся
к ж*, что обеспечивает устойчивость. >
Если монотонный сильно положительный оператор /(ж) су-
супероднороден — удовлетворяет неравенству A0.7) — и имеет
неподвижную точку ж* > 0, то единственность равновесия и су-
существование сколь угодно большого инвариантного конусного
отрезка на внутренности К\ можно не оговаривать — они следуют
автоматически (см. раздел 10.5).
4) То есть /(V) ^ V, /(V)) ^ V).
5' Другими словами, система A1.5) имеет на {у,Ь)) единственное равновесие х*.
Обозначения
<4 — обозначает начало рассуждения, темы, доказательства.
> — обозначает конец рассуждения, темы, доказательства.
(>) — предлагает проверить или доказать утверждение в каче-
качестве упражнения, либо довести рассуждение до «логической
точки».
А => В — из А следует В
х е X — х принадлежит X
X 1)У, X ПУ, X \У — объединение, пересечение и разность
множеств X и У
$1 — замыкание области Л
тХЛ — внутренность Л
К2 — плоскость, К3 — трехмерное, Кп — п-мерное пространство
г — мнимая единица, г2 = -1
г = х + гу — комплексное число, г = г(со$ <р + ъ&т<р) — его
тригонометрическая запись, х = Ке г — действительная
часть, у = 1т г — мнимая; г* = х — гу — комплексное
сопряженное число
х = {х\,..., хп} — вектор, Х{ — его координаты
ху — скалярное произведение векторов х и у,
Для скалярного произведения используются также эквива-
эквивалентные обозначения х • у и (ж, у)
198 Обозначения
Ат = А' — транспонированная матрица А (а^« = а^)
А* — сопряженная матрица — для получения А* матрица А
транспонируется, и ее элементы заменяются на комплексно
сопряженные
1г А — след матрицы А (сумма диагональных элементов)
—— — производная функции /(ж) в точке ж, эквивалентное
ах
обозначение /'(ж)
для производной по времени вместо х'A) чаще используется ж,
а для второй производной ж
ди
— — частная производная функции и по переменной ж. Экви-
дх
валентное обозначение и'х
У/(ж) — градиент функции /(ж), т.е. вектор
который направлен по нормали к поверхности постоянного
уровня функции /(ж) и численно равен скорости макси-
максимального роста /(ж) в точке ж
(ж) — среднее значение ж — по времени или по фазовому объему,
зависит от контекста
(у, т) — конусный отрезок, т.е. множество векторов ж, для кото-
которых выполняются неравенства V ^ ж ^ V)
00
— обозначает несобственный интеграл по бесконечному про-
промежутку, когда значение нижнего предела не играет роли
00
/
Литература
1. Андронов А. А., ВиттА.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М, 1981.
2. Аппелъ П. Теоретическая механика. М., 1960.
3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 2000.
4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. М., 1978.
5. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.,
1979. Изд. 5. М..УРСС, 2003.
6. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М., 1970.
7. Босс В. Лекции по математике. Анализ. М.: УРСС, 2004.
8. Босс В. Интуиция и математика. М., 2003.
9. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.
М., 1979.
10. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М., 1966.
11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1988.
12. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.,
1967.
13. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: От ма-
маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988.
14. Зубов В. И. Устойчивость движения. М., 1973.
15. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференци-
дифференциальных уравнений. М., 1966.
16. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. М.,
1950. Изд. 2. М.:УРСС, 2003.
17. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
М: УРСС, 2004.
18. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. М., 2000.
19. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. М, 1972.
20. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.,
1972.
21. Опойцев В. И. Обращение принципа сжимающих отображений //
Успехи матем. наук. 1976. 31, вып. 4.
200 Литература
22. Основы автоматического управления / Под ред. В. С. Пугачева. М.,
1974.
23. Панов ко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих
систем. М., 1979.
24. Постников М. М. Устойчивые многочлены. М., 1981. Изд. 2. М:
УРСС, 2004.
25. Постот Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М, 1980.
26. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: УРСС,
2001.
27. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.,
2003.
28. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
М.: УРСС, 2004.
29. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 2003.
Предметный указатель
Автоколебание 112
автономная система 21
адиабатические процессы 140
амплитуда 27, 101
— дисперсии 107
— поглощения 107
амплитудно-фазовая характери-
характеристика 98, 158
асимптотическая устойчивость
83,89
аттрактор Лоренца 146
Базис 10
бифуркация 123
— Андронова—Хопфа 124
БУ-система 86
Вековое уравнение ПО
вековые члены 59
виртуальное перемещение 165
внедиагональная монотонность
179
— положительность 178
внутренний резонанс 111
возможное перемещение 165
вронскиан 67
входной сигнал 75
вынужденное колебание 103
выходной сигнал 75
Гамильтониан 170
гармонический сигнал 101, 158
гетеротонный оператор 182
гиперплоскость 10
годограф Михайлова 98
голономная система 164
грубость модели 126
Двухточечная задача 74, 76
действие по Гамильтону 172
дельта-функция 71
детерминант 12
дисперсия 121
диссипативная система 96
дифференциальный оператор 50
Евклидово пространство 8
Жесткий режим 113
Задача Коши 22, 30
— Штурма—Лиувилля 77
задача Коши 22
Идеальная связь 165
изменение фазового объема 67
импульсная переходная функция
75
инвариант Пуанкаре 174
— Пуанкаре—Картана 173
интегральная воронка 31
интегрирующий множитель 48
интерференция 101
Катастрофа сборки 125
квадратичная форма 14
КдФ-уравнение 118
кинетический потенциал 169
коллинеарные векторы 10
конус 178
202
Предметный указатель
конусный отрезок 178
круговая частота 27, 101
Линейная независимость функ-
функций 53
линейно зависимые векторы 9
линейные волны 118
линейный оператор 10
Липшицевость 31
Матрица 10
— вырожденная 12
— гурвицева 97
— единичная 11
— Кош и 54
— монодромии 103
— нормальная 58
— обратная 11
— транспонированная 11
— устойчивая 97
— Якоби 89
матрицант 54
метод удаленного наблюдателя
97
метрика 15
— Биркгофа 185
монотонность 178
мультипликатор 103
мягкий режим 112
Невязка 37
нелинейные волны 118
нелинейный резонанс 117
неподвижная точка 17
неравенство Важевского 100
— Кош и—Буняковского 9
неустойчивость вполне 83
— полная 83
норма вектора 8, 15
— кубическая 15
— матрицы 16
— октаэдрическая 15
— подчиненная 16
нормальные координаты 111
Область отталкивания 113
— притяжения 83
обобщенная функция 70, 71
обобщенные координаты 166
обобщенные силы 167
обобщенный импульс 169
обратная связь 156
отрицательная 156
— теорема 92
оператор гетерогенный 182
— положительный 178
— сдвига 23
— сильно положительный 178
орбитальная устойчивость 112
особое решение 31
ошибка Лагранжа 61
Парадокс возврата 136
— Циглера 129
параметрический резонанс 108
первый интеграл 43
— метод Ляпунова 99
передаточная функция 155
переменные действия 174
— угла 174
— циклические 174
перемешивание 136
период колебания 101
периодическая функция 101
плоскость 9
полином гурвицев 97
— устойчивый 97
положительно определенная
функция 84
полуупорядоченность 178
потенциал 169
преобразование Лапласа 78
— Лежандра 170
— Фурье 79, 157
Предметный указатель
203
пример Бореля 122
принцип сжимающих отображе-
отображений 17
продолжимость траектории 33
производная Ли 43
— обобщенной функции 73
— по направлению векторного
поля 43
псевдоградиентное движение 42
Равномерная непрерывность 17
равностепенная непрерывность
17
размерность 10
— дробная 145
— по Хаусдорфу 145
ранг матрицы 14
реакция связи 165
резонанс 106
репеллер 143
ряд Фурье 102
Самоподобие аттракторов 144
седло 81
секулярное уравнение ПО
секулярные члены 59
сепаратриса 82
сжимающее отображение 17
система быстро устающая 86
скалярное произведение 8
собственная частота 106
собственное значение 12
собственный вектор 13
солитон 116, 118
сопряженная система 69
сопутствующая система 183
сопутствующий оператор 182
спектр матрицы 13
спектральная норма 16
спектральный радиус 13
стационарная связь 165
степень свободы 167
столбцовая норма 16
странный аттрактор 146
строчная норма 16
структурная устойчивость 126
суперпозиции принцип 52
Телеграфное уравнение 118
теорема Брауэра 181
— вириала 39, 140
— Лиувилля 46, 68
— Ляпунова 99
— о выпрямлении 44
— Пеано 30
— Пикара 31
— Пуанкаре 136
теория Флоке 106
г-периодичность 101
Уединенная волна 118
узел 81
управляемость 162
уравнение Абеля 25
— Бернулли 47
— в вариациях 89
— Ван-дер-Поля 124
— Кортвега—де Фриза 118
— Матье 108
— Риккати 45
— с разделяющимися перемен-
переменными 25
— синус-Гордона 118
— характеристик 43
— Шрёдингера 78
уравнения Гамильтона 170
— Лагранжа 169
первого рода 166
условие физической реализуемо-
реализуемости 77
устойчивость 89
— в целом 94
— по линейному приближению
90
204
Предметный указатель
— по Ляпунову 81
устойчивый фокус 81
Фаза 101
фазовое пространство 21
фазовый портрет 21
факториальная сходимость 37
финитная функция 71
фрактал 145
фундаментальная матрица реше-
решений 53
— система решений 53
функция Грина 74
— Лагранжа 169
— Ляпунова 85, 92
— Хэвисайда 73
функция-индикатор 191
Характеристический показатель
99
— полином 56, 57
характеристическое уравнение 56,
57
холономная парадигма 144
Центр 82
Частота нормальная ПО
— парциальная 111
численные методы 36
Эквивалентность норм 15
эргодичность 136
Ядро интегрального оператора 74
Издательство УРСС
специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том
числе монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии
наук, научно-исследовательских институтов и учебных заведений.
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Основываясь на широком и плодотворном сотрудничестве с Российским
фондом фундаментальных исследований и Российским гуманитарным научным
фондом, мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических условиях.
При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания — от набора,
редактирования и верстки до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
В. Босс
Лекции по математике: анализ
Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения,
вплоть до объяснений «на пальцах». Значительное внимание
уделяется мотивации результатов и укрупненному видению.
В первой части дается обширный материал стандартных
курсов математического анализа. Во второй, «необязатель-
«необязательной», части излагаются — в стиле обзоров и очерков —
примыкающие к анализу предметы: аналитические функ-
функции, топология и неподвижные точки, векторный анализ.
«Высокие материи» рассматриваются на доступном уровне.
Книга легко читается.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
В. Босс. Лекции по математике
Планируются к изданию следующие тома:
Линейная алгебра
Геометрические методы нелинейного анализа
Дискретные задачи
Теория вероятностей
ТФКП
Вычислимость и доказуемость
Оптимизация
Уравнения математической физики
Функциональный анализ
Алгебраические методы
Случайные процессы
Топология
Численные методы
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел./факс @95) 135-42-16, 135-42-46
или электронной почтой \]К88@\]К88.ги
Полный каталог изданий представлен
в Интернет-магазине: Мр://11К88.ги
Издательство УРСС
Научная и учебная
литература
т
ш
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Дифференциальные и интегральные уравнения
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений.
Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения.
Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Амелькин В. В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения.
Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.
Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
Кузьмина Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных диф. уравнений.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
В. Босс. Наваждение
Жуков А. В. Вездесущее число «пи».
Вейль А. Основы теории чисел.
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел.
Хиннин А. Я. Три жемчужины теории чисел.
Чеботарев Н. Г. Введение в теорию алгебр.
Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций.
Чеботарев Н. Г Теория групп Ли.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
Боровков А. А. Теория вероятностей.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.
Смирнов Ю. М. Курс аналитической геометрии.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Т. 1-3.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия.
Клейн Ф. Высшая геометрия.
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.
Крыжановский Д. А. Изопериметры. Свойства геометрических фигур.
Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
БоярчукА. К. и др. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). Т. 1-5.
Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1-6.
Краснов М. Л. и др. Сборники задач с подробными решениями.
^
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.
Фейнмановские лекции по физике. В 9 т.
Задачи и упражнения с ответами и решениями. В 2 т.
Вниманию читателя предлагается знаменитый курс лекций
по общей физике, который выдающийся американский фи-
физик, Нобелевский лауреат Ричард Фейнман читал в Кали-
Калифорнийском технологическом институте.
Лекции Фейнмана, записанные вначале на магнитофон,
а затем «переведенные» на «письменный английский» про-
профессорами М. Сэндсом и Р.Лейтоном, не похожи ни на
один известный курс. Они отличаются оригинальным ме-
методом изложения, в котором отразилась яркая научная ин-
индивидуальность автора, его точка зрения на пути обучения студентов физике,
его умение заразить читателей интересом к науке. Последовательность изложения
и выбор материала также отличаются от традиционных. В лекциях не тратится
время на объяснение «ученым языком» того, что современный читатель уже знает
или слышал. Зато в них увлекательно рассказывается о том, как человек изучает
окружающую его природу, какое положение занимает физика в ряде других наук,
какие проблемы наука решает сегодня и будет решать завтра.
Курс будет полезен преподавателям, заставив их по-новому взглянуть на процесс
обучения физике; студентам, которые найдут много нового в дополнение тому, что
они узнают на лекциях; школьникам, у которых сформирует интерес к физике и
поможет им войти в современную науку; а также всем интересующимся физикой.
Стивен Вайнберг
МЕЧТЫ ОБ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Физика в поисках
самых фундаментальных законов природы
В своей книге «Мечты об окончательной теории» Стивен
Вайнберг — Нобелевский лауреат по физике — описывает
поиск единой фундаментальной теории природы, которая
для объяснения всего разнообразия явлений микро- и ма-
макромира не нуждалась бы в дополнительных принципах, не
следующих из нее самой. Электромагнитные силы и радио-
радиоактивный распад, удержание кварков внутри нуклонов и
разлет галактик — все это, как стремятся показать физики
и математики, лишь разные проявления единого фундаментального закона.
Вайнберг дает ответ на интригующие вопросы: Почему каждая попытка объяснить
мконы природы указывает на необходимость нового, более глубокого анализа?
Почему самые лучшие теории не только логичны, но и красивы? Как повлияет
окончательная теория на наше философское мировоззрение?
Ясно и доступно Вайнберг излагает путь, который привел физиков от теории
относительности и квантовой механики к теории суперструн и осознанию того,
что наша Вселенная, быть может, сосуществует рядом с другими вселенными.
Жтк
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Брайан Грин
ЭЛЕГАНТНАЯ ВСЕЛЕННАЯ
Суперструны, скрытые размерности
и поиски окончательной теории
Книга Брайана Грина «Элегантная Вселенная» — увлека-
увлекательнейшее путешествие по современной физике, которая
как никогда ранее близка к пониманию того, как устро-
устроена Вселенная. Квантовый мир и теория относительности
Эйнштейна, гипотеза Калуцы—Клейна и дополнительные
измерения, теория суперструн и браны, Большой взрыв и
мульти-вселенные — вот далеко не полный перечень обсу-
обсуждаемых вопросов.
Используя ясные аналогии, автор переводит сложные идеи современной физики
и математики на образы, понятные всем и каждому. Брайан Грин срывает завесу
таинства с теории струн, чтобы представить миру 11-мерную Вселенную, в ко-
которой ткань пространства рвется и восстанавливается, а вся материя порождена
вибрациями микроскопических струн.
Книга вызовет несомненный интерес как у специалистов естественно-научных
дисциплин, так и у широкого круга читателей.
Роджер Пенроуз
НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ
О компьютерах, мышлении и законах физики
Монография известного физика и математика Роджера
Пенроуза посвящена изучению проблемы искусственного
интеллекта на основе всестороннего анализа достижений
современных наук. Возможно ли моделирование разума?
Чтобы найти ответ на этот вопрос, Пенроуз обсуждает ши-
широчайший круг явлений: алгоритмизацию математического
мышления, машины Тьюринга, теорию сложности, теорему
Геделя, телепортацию материи, парадоксы квантовой физи-
физики, энтропию, рождение вселенной, черные дыры, строение мозга и многое другое.
Книга вызовет несомненный интерес как у специалистов, так и у широкого круга
читателей.
Издательство
УРСС
@95) 135-42-46,
@95) 135-42-16,
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«Библио-Глобус» (м.Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. @95) 925-2457)
«Московский дом книги» (м. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. @95) 203-8242)
«Москва» (м. Охотный ряд, ул. Тверская, 8. Тел. @95) 229-7355)
«Молодая гвардия» (м. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. @95) 238-5083, 238-1144)
«Дом деловой книги» (и. Пролетарская, ул. Марксистская, 9. Тел. @95) 270-5421)
«Гнозис» (м. Университет, 1 гум. корпус МГУ, комн. 141. Тел. @95) 939-4ЛЗ)
«У Кентавра» (РГГУ) (м.Новослободская, ул.Чаянова, 15. Тел. @95) 973-4301)
«СПб. дом книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 311-3954)
утес
«не верит
глазам,
своим,»:
Из интервью В. Босса
¦ 01ельзл ли в двух словах
о главной особенности
«Лекций»?
- Диалектика обучения
во взаимодействии сторон.
Понимание - умение.
Суть-детали. «Лекции»
добиваются понимания.
¦ Как?
- Правдами и неправдами
{улыбается). Очень важно,
например, поместить
проблему «целиком
в кадр». Чтобы видно
было «сразу все».
- Объяснениями на
пальцах?
- Когда как, только «коротко
и ясно». Упрощения,
недомолвки. Но главное -
обнажение сути.
- >4 что посоветуете,
если завтра экзамен,
а в голове пусто?
- Таблетку димедрола.
ИЗДАТЕЛЬСТВО У 1 С^ С^
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Тел./факс: 7 @95) 135^12-16
Тел./факс: 7 @95) 135^12^6
2550 Ю 21643
В. Босс — автор замечательной книги
«Интуиция и математика» — предложил нам
издавать его «Лекции по математике».
Пока выходят первые два тома — «Анализ»
и «Дифференциальные уравнения».
Но до этого — были раздумья. Сразу стало
ясно, что «Лекции» очень эффектны, но
нетрадиционны. Поэтому мы решили:
соберем отклики. Разослали сто
экземпляров рукописи, и теперь «не верим
глазам своим». Отзывы «зашкаливают»!
ссс ее с
Это очень хорошие учебники. Из тех, что ру-
ругают в стенах ВУЗов, но зачитывают до дыр.
Доцент Ю. Сингин
О загадке книг В. Босса. «Интуиция и ма-
математика» читается как детектив. «Лек-
«Лекции» на кафедре шли нарасхват. В чем дело —
не понимаю. Какие-то скрытые пружины.
Аспирант В. Жеглов
«Лекции» В. Босса опасны. Автор просто так
отдает то, чего студенты должны добиваться
годами. На легких хлебах хороших специалис-
специалистов не выращивают.
Профессор М. Штольц
Передайте В. Боссу благодарность от студен-
студентов Казахстана. Ксероксы в Алма-Ате пере-
перегреваются. Книги замечательные.
Студенты Политеха
Все как на ладони. Где Босс раньше был?
Студент Д. Петров
Любые замечания и предложения по изданию
а также замеченные опечатки присылайте
по адресу 11К55@11К55.ги.
Полный список замеченных опечаток можно будет
увидеть на \л/еЬ-странице этой книги
в нашем интернет-магазине п11:р://11Р55.ги