В.П. КоРявов
МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В ОБЩЕМ КУРСЕ
ФИЗИКИ
ОПТИКА
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений
Российской Федерации
по образованию в области
прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
«Прикладная математика и физика»
и по другим направлениям и специальностям
в области математических и естественных наук,
техники и технологии
Москва «Студент» 2012

УДК 535
ББК 22.343
К66
ПЭВМ 978-5-4363-0008-5
К66
Рецензенты:
кафедра «Менеджмент» Московского государственного института радиотехни-
ки, электроники и автоматики (технического университета), зав. кафедрой —
канд. техн. наук, дои. 14.11 Кудрявцева; д-р экон. наук, проф. С.В. Смирнов
(Московский государственный индустриальный университет)
Корявов В.П.
Методы решения задач в общем курсе физики. Оптика:
Учеб. пособие. — М.: Студент, 2012. — 344 с.: ил.
ПЗВМ 978-5-4363-0008-5
В учебном пособии подробно разобраны методы решения задач по курсу
оптики. Задачи систематизированы по разделам, каждый из которых предваря-
ется кратким изложением теоретического материала.
Для студентов технических вузов, а также преподавателей физики высших
и средних учебных заведений.
УДК 535
ББК 22.343
© ООО «ТИД «Студент», 2012

Предисловие
В данной книге продолжается рассмотрение методов решения
задач в общем курсе физики, начатое в уже вышедших изданиях:
Корявов В.П. Методы решения задач в общем курсе физики. Ме-
ханика: Учеб. пособие — М.: Высш. шк.‚ 2007; Корявов В.П. Ме-
тоды решения задач в общем курсе физики. Термодинамика и мо-
лекулярная физика: Учеб. пособие — М.: Высш. шк.‚ 2009 и Коря-
вов В.П. Методы решения задач в общем курсе физики.
Электричество и магнетизм: Учеб. пособие — Торгово-издат. Дом
«Студент», 2011. Ссылки на них в тексте будут отмечаться 1, 2 и 3
соответственно с указанием страниц.
Особенности преподавания физики в Московском физи-
ко-техническом институте (МФТИ) заключаются, во-первых,
в значительности затрачиваемого времени (шесть семестров) на
изучение предмета и, во-вторых, в привлечении к преподаванию
по совместительству сотрудников исследовательских физических
институтов Российской Академии Наук (РАН) и различных мини-
стерств, т. е. высококвалифицированных специалистов.
Любая практическая деятельность физиков фактически сво-
дится к решению конкретных задач. Понимание этого привело
к тому, что и в процессе обучения, и при проверке знаний на экза-
менах на кафедре общей физики МФТИ большое внимание уде-
ляется умению решать задачи. Поэтому все экзамены включают
письменные контрольные работы. О достаточной сложности
предлагаемых задач свидетельствует то, что студентам на письмен-
ных экзаменах разрешается пользоваться учебниками, книгами,
конспектами и другими учебными пособиями.
Придумывать новые задачи — обязательное требование к пре-
подавателям кафедры общей физики. О количестве задач можно
судить, например, по тому что в первом семестре, посвященном
изучению механики, необходимо иметь 20 задач (контрольная по
первому заданию и Экзаменационная работа по два варианта из
пяти задач). Эта трудная работа (придумывание задач) проводится
на кафедре более полувека. Накоплено много хороших задач.
Практически исчерпаны все возможные варианты. Лучшие и по-
казательные (представительные) задачи вошли в три тома сборни-
ка под редакцией В.А. Овчинкина. В первом томе (Сборник задач
по общему курсу физики: В 3 ч. / Под ред. В.А. Овчинкина. — Ч. 1.
Механика. Термодинамика и молекулярная физика. — 2-е изд.,
испр.и доп. — М.: Изд-во МФТИ, 2002) содержится 1060 задач по
механике и 827 задач по термодинамике и молекулярной физике.
Во втором томе (Сборник задач по общему курсу физики / Под
3

ред. В.А Овчинкина. — Ч. 2. Электричество и магнетизм. Опти-
ка. — М.: Физматкнига‚ 2004) содержится 715 задач по электриче-
ству и магнетизму и 627 задач по оптике.
Методы решения задач по оптике приведены в данной книге.
Полнота методов подтверждается ссылками на задачи указанного
сборника задач. Каждый из 11 тематических разделов начинается
с краткого изложения основных теоретических сведений.
В отличие от имеющихся различных задачников с решениями
здесь возможно впервые сделан акцент на изложении методов ре-
шения задач и соответствующей систематизации.
Предполагается, что основными читателями данной книги
станут преподаватели и студенты физических специальностей
университетов и институтов, а также учителя средних школ.
Более 40 лет автор имел возможность общаться с сотрудника-
ми кафедры общей физики МФТИ и благодарен им за все полез-
ное, что смог от них почерпнуть, и особенно заведующему кафед-
рой — профессору А.В. Максимычеву за поддержку моей работы,
А.В. Гуденко за полезные замечания, сделанные им после деталь-
ного ознакомления с рукописью книги. За помощь в издании кни-
ги выражаю большую благодарность Д.П. Корявову

Введение
Методы решений новых задач создаются на основе общих све-
дений о рассматриваемых явлениях и известных методах решения
аналогичных задач.
Затруднения при решении задач следует преодолевать допол-
нительными усилиями, чтением учебников, беседой с однокурс-
никами, обсуждением на семинарских занятиях с преподавателя-
ми. Данная книга может быть полезна, если самостоятельные
упорные предварительные попытки найти решение задачи не дают
результата. Автор старался, чтобы книга не была «решебником»,
а помогала освоить методы решения задач, проясняла трудные во-
просы. Если человек не хочет научиться решать задачи, а стремит-
ся лишь к сдаче тетради с заданием, то он найдет, откуда перепи-
сать решения, может быть и неправильные, и сделает это без на-
стоящей пользы для себя. Автор надеется, что, воспользовавшись
этой книгой, даже ленивый чему-нибудь научится.
В общем курсе физики оптика существенно отличается от
школьной программы.
Решение задач полезно проводить по следующему плану:
1) хорошо понять условие задачи, используя рисунки и до-
полняя их затем по ходу решения;
2) обдумать условие задачи и возможные пути и варианты ре-
шений;
3) используя необходимые физические законы, выписать
уравнения и, если они в векторном виде, то выбрать удобную сис-
тему координат, и записать уравнения в проекциях;
4) выписать дополнительные условия, которые необходимы
для решения задачи, и написать решение уравнений;
5) провести анализ результатов решения: по единицам изме-
рения, правильности предельных значений полученных зависимо-
стей (с учётом области применимости решения), разумности по-
рядков вычисленных величин (по грубым оценкам и здравому
смыслу).
В данной книге автор не стремился доводить решения кон-
кретных задач до численных результатов (за некоторым исключе-
нием). Важно было проследить цепочки задач, попытаться их сис-
тематизировать и провести анализ различных вариантов.
Цель данной книги — показать, как общие физические зако-
ны, которые будут кратко изложены, позволяют решить большое
количество задач.

1 . Геометрическая оптика
и элементы фотометрии
Оптика — греч. ори/сё — наука о зрительных восприятиях. Сло-
во «ортйке» образовано от арго: — видимый, зримый. В широком
понимании в оптику кроме видимого излучения (света) включают
также рентгеновское, ультрафиолетовое, инфракрасное и радио-
излучение. По традиции оптику подразделяют на геометрическую
оптику, не занимающуюся изучением природы света, и физиче-
скую, включающую все остальное.
Геометрическая, или лучевая, оптика основывается на четырех
законах, установленных опытным путем.
1. Прямолинейное распространение света (луча) в однород-
ной среде. Одним из основных фактов, подтверждающих это, яв-
ляется наличие теней предметов.
2. Независимость световых пучков. Эффект, производимый
отдельным пучком, не зависит от наличия других пучков.
3. При отражении от поверхности падающий на поверхность
луч, нормаль к поверхности и отраженный луч лежат в одной
плоскости. Причем угол отражения (между нормалью и отражен-
ным лучом) равен углу падения (между нормалью и падающим лу-
чом).
4. При прохождении луча через границу двух сред падающий
луч, нормаль к границе и прошедший луч лежат в одной плоско-
сти. Причем угол падения а (между нормалью к границе и падаю-
щим лучом) и угол преломления [З (между нормалью к границе
и прошедшим лучом) связаны законом Снеллиуса
зйпа/зйпв = пд = „м. (1.1)
Здесь введены величины, не зависящие от углов, а определяе-
мые свойствами сред: пд — относительный показатель преломле-
ния; п, и п, — абсолютные показатели преломления среды 2 и 1 со-
ответственно (луч идет из среды 1 в среду, обозначенную 2).
Принцип взаимности в оптике заключается в том, что при изме-
нении направления лучей на обратное их взаимное расположение
не меняется.
Приведенные законы согласуются с принципом (аксиомой)
Ферма, в соответствии с которым свет распространяется по крат-
чайшему оптическому пути, равному пути, умноженному на пока-
затель преломл ния среды.
Докажем, псзтьзуясь законом отражения, что если луч света, ис-
ходящий из точки А, попадает в точку В после отражения от плос-
6

кого зеркала (рис. 1.1), то длина пуги этого
луча меньше, чем длина любого другого
пути, проходящего от А к зеркалу; а затем к В
(Не 1.2)‘. Точка А'является мнимым изобра-
жением точки А. Она лежит на пересечении
продолжения ВС и нормали к зеркалу из точ-
ки А. Из равенства треугольников АС0
и А'СО следует равенство А'С = АС. Значит
АЪ равно пути из А в В. Любой другой путь,
например, АСЪ = А'С? представляет ломан-
ную линию между А'и В, т. е. более длинный
путь.
Покажем, что если луч света, исходящий
из точки А, попадает в точку В после прелом-
ления на плоской границе раздела двух сред
(рис. 1.2), то оптическая длина
этого луча меньше, чем оптиче-
ская длина любого пути, соеди-
няющего А и В (принцип Фер-
ма) при выполнении закона
преломления (1.1) (Мг 1.3). Для
оптической длины Ь ломаной,
Ь
В
Ьь
9;’
‚г--______-
ё о
.$——————————-1 -——————— о.-
соединяющей точки А и В, име-
ем Ь = ща/сова + пф/созв. При
этом должно выполняться до-
полнительное соотношение
а 130: + Ь $313 = сопзт (постоянст-
во длины проекции ломаной на
плоскость раздела сред). Для
минимума оптической длины
необходимо
112
дЬ/доъ =п‚а51поъ/соз2 а +п,1›(в1пВ/со$2 В)(4В/‹1а)=0.
Из дополнительного условия следует асов’ а +12 / сов’ Вх
хшр /‹1оъ) = О. Сопоставив последнее выражение с предыдущим,
видим, что экстремум будет при выполнении (1.1). Убедиться, что
это минимум, а не максимум, можно вычислив вторую производ-
ную, либо из геометрических соображений.
1 В скобках указаны номера задач см.: Сборник задач по общему курсу физики:
В 3 ч. — Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика / Под ред. В.А. Овчинкина. —
М.: Физматкнига, 2004.
Рис. 1.2
щффффффщфффц
О‘

112
п. >п2
$3
52
5.‘
Рис. 1.3
Рассмотрим ход световых лучей при прохождении через одну
или несколько преломляющих плоскостей. Гомоцентрическим на-
зывают пучок лучей, пересекающихся в одной точке. На рис. 1.3
показаны лучи, идущие из точки 5, и проходящие через границу
(АВ) сред с разными показателями преломления п, и п, < п,.
Во-первых, отметим, что после прохождения границы гомоцен-
тричность лучей не сохраняется (продолжение показанных на ри-
сунке лучей в первую среду попадает в точки 52 и 53). Во-вторых,
при некотором угле падения акр преломленного луча нет, остается
только отраженный луч (для других лучей отраженные не показа-
ны). Это явление называется полным внутренним отражением. Из
(1.1) для угла полного внутреннего отражения получаем
зйпоскр = п2/п,. (1.2)
Параксиальными (приосевыми) называются мало расходящие-
ся пучки. Для них сохраняется гомоцентричность и можно гово-
рить о мнимом источнике.
А На рис. 1.4 показана стеклянная пла-
стинка толщиной Н, на которой рассматри-
ваются точки 5, и 5,. Чтобы после 5, уви-
деть 52, надо было опустить тубус микро-
скопа на расстояние 1. Из рисунка видно,
что мнимое изображение точки $2, обозна-
ченное 5„ находится от верхней границы
пластинки на расстоянии 1. Из подобия тре-
угольников следует: 11:36 = 1 шва. Используя
(1.1), где считаем п, = 1, п, = п и паракси-
альность лучей, получаем для показателя
преломления пластинки п = зйпоь/зйпв в
д: шва/гав = 11/1 (Мг 1.7).

При рассматривании через плоскопараллель-
ную стеклянную пластинку толщиной 11 с показа-
телем преломления п предмета 5„ находящегося за
пластинкой на расстоянии 1 (рис. 1.5), в нормаль-
ном к поверхности пластинки направлении, полу-
чаем мнимое изображение 52 на расстоянии х. Ис-
пользуя (1.1), находим: 1 {все + 11 1313 = х ша. Отку-
да, как и в предыдущей задаче, х = 1+ 11/п (Не 1.8).
Если на плоскопараллельную стеклянную пла-
стинку под углом а падает узкий пучок света ши-
риной а (рис. 1.6), содержащий две спектральные
компоненты с показателями преломления п, и п,
(п, > п‚), при некоторой толщине пластинки 11 по-
Рис. 1.5
сле ее прохождения будут два пучка, из которых
каждый содержит только одну ком- х А
поненту. Найдем необходимую для ' 2
этого минимальную толщину а а
(М: 1.12). Используя (1.1), получа-
ем: зйпсх/зйпв = п и 1313 = $1пВ/(1 — д д д
— $1п2[3)'/2 = вйпоь/(п? — з1п2оъ)‘/2. Ус- у д д
ловие разделения пучков (ширина Й д 131 д 52
пучка по поверхности пластинки д д д
меньше разности смещений лучей П
разной длины волны)
а/созоъ = 11 [зйпа/(пд — 51п2оъ)'/2 — М 7»:
— зйпоъ/(п; — $1п2оъ)'/2].
Рис. 1.6
Отсюда находим 12.
Человек, стоящий на берегу
пруда, смотрит на камень, нахо-
дящийся на дне. Глубина пруда
12 = 1 м. Найдем, на каком рас-
стоянии 11’ от поверхности воды
получится изображение камня,
если луч зрения составляет
с нормалью к поверхности воды
угол'оъ = 60°. Показатель прелом-
ления воды п = 1,33 (М9 1.18). На
рис. 1.7 показаны лучи, идущие
от камня. Выражая расстояние
АВ, получаем 11с1В/со52 В =
= 1:'с1оъ / сов’ а. Из (1.1) находим $111 01/8111 В = п и соответствующие
9

дифференциалы сов ада = сов 13:18. Подставляя в предыдущее урав-
нение, получаем 11’: (соз2 а /соз2 В)(‹1[3/‹1оъ)=(со$3 а /соз’ |З)/п =
= 0,215 м.
Многогранник — это тело, ограни-
‚‚ ченное плоскостями. Призма — это
’ многогранник, у которого основания
являются равными многоугольника-
ми, а боковые грани — параллело-
граммами. Со времен Ньютона приз-
мы в оптике играют важную роль. На
рис. 1.8 показано сечение, перпенди-
кулярное боковым граням призмы,
р„с_ 13 которое называют главным сечением.
Угол АВС (е) называется преломляю-
щим для луча света, показанного на
рисунке. Из геометрии и (1.1) получаем для угла отклонения луча
8:01, — В, +оъ2е/В2 =(оъ‚ + оъдд-(В, +В,)=а‚ +а,—е. (1.3)
Для нахождения минимального угла отклонения (Не 1.9) прирав-
няем нулю производную дБ / до, =1+с1оъ 2 /с1оъ‚ = О. Откуда следует
|оъ‚| = |а2|. Таким образом, минимальное отклонение луча происхо-
дит, когда входящий и выходящий лучи симметричны. При этом
из (1.3) следует: 20: = б + е и оъ — В = 8/2. Из (1.1) находим
п = вйп[(е +8) / 2] / з1п(е / 2). При заданном п и е отсюда можно най-
ти б (Мч 1.11). Если преломляющий угол е и угол падения о; малы,
то мал и б. В этом случае
б=(п—1)е. (1.4)
При многократном отражении луча внутри призмы из-за уве-
личения угла отражения наступает полное внутреннее отражение.
Найдем количество светлых пятен на экране за стеклянным кли-
ном (п = 1,41 ‚ г = 1О°), если на него, как показано на рис. 1.9, па-
дает тонкий луч света (Не 1.14). Из (1.2) получаем акр = 45° 10’. При
первом падении угол а‚=1О°, при втором а,=30°, при третьем
оъ,=5О°. Это больше критического а, > акр, и поэтому луч не выхо-
дит из клина.
исходящий из точки световой поток, падающий на некоторую
систему может быть ограничен входным зрачком (входным отвер-
10

г/
%:аКР2 а 2:// /
1,7 й й КР‘ /й й
Рис. 1.9 Рис. 1.11
АХ
а
2
Ж
пз
стием). Угол 2и (и — угол от оси пучка), под которым виден вход-
ной зрачок, называется апергурным углом, или апертурой системы.
Перед торцом стеклянного цилиндрического световода, по-
казатель преломления которого равен п, на его оси расположен
точечный источник света (рис. 1.10). Найдем угловую апертуру
(2и) пучка света, проходящего через световод (Мг 1.15). По свето-
воду пойдут лучи, ограниченные лучом, испытывающим на его
стенке полное внутреннее отражение. На торце световода вйпи =
= пзйпв. Из (1.2) условие полного внутреннего отражения
в1п(90° — В) = 1/п. Отсюда 2и = 2агс$1п(п2 — 1)”. Так будет, пока
п? < 2, т. е. вйпи < 1. Для больших значений п угловая апертура
2и = п.
Найдем наименьшую возможную величину показателя пре-
ломления п жидкости, при котором монета, помещенная под дно
стакана с этой жидкостью, не будет видна через боковую стенку
стакана (Не 1.16). Во-первых, покажем, что
плоскую пластинку при вычислении угла
полного внутреннего отражения можно не
учитывать. На рис. 1.11 между двумя среда-
ми находится плоский слой. Из (1 .2) следует,
что полное отражение на нижней границе
будет при зйпат, = п,/п‚. Используя (1.1), по-
лучаем этот, = п,/п‚. Поэтому в случае жид-
кости в стакане (рис. 1.12) 90° — акр > акр, т. е.
ад, < 45°. Откуда вйпакр = 1/п < зйп 45°‚ следо-
вательно, не видна монета при п > 2*”. Р” 1-12
11

Аналогичным образом ре-
шается задача о том, с каким
углом ос нужно взять трапеъ
цеидальный сосуд с водой
АВСВ (рис. 1.13), чтобы
сквозь его боковую стенку не
было видно предмета, поло-
женного под сосуд. Показа-
тель преломления воды п =
Р“ 1-13 = 1,33. Дно сосуда имеет
форму прямоугольника
(Мг 1.17). Из треугольника ЕРС: а + 2(9О° — акр) = 18О°. Откуда а =
= 2оъкр. Следовательно, предмет, положенный под сосуд не будет
виден в случае зйп (оъ/2) > 1/п. Соответственно, а > 97‚5°.
) ”’ 1 \ "`
9о°
дЁ/Ё ‚ "мс
/ / / й
/ ж
у /
З / й
А 1 Д”
Рис. 1.14
Ь
г
щи
В/
//
4
\
\
ж
г
Для обращения (переворачивания) изображения часто исполь-
зуют так называемую призму Дове (рис. 1.14), представляющую
собой усеченную прямоугольную равнобедренную призму Найдем
длину 1основания призмы, которая должна обращать пучок света
максимального сечения, если ее высота 12 = 2,11 см, а показатель
преломления стекла п = 1,41 (Мг 1.13). Сечение пучка будет макси-
мальным, если один крайний луч, идущий из Ð²ÐµÑ€Ñ Ð½ÐµÐ¹ точки В, по-
падает в нижнюю точку В, а второй уже после отражения от ниж-
ней грани из точки А идет в точку С. На нижней грани, чтобы свет
не Ð²Ñ‹Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ð» из призмы, угол падения у должен быть больше угла
полного внутреннего отражения ( 1.2) вйпоъкр = 1/п = О,7О92. Имея
тригонометрические таблицы, можно провести расчеты с большой
точностью. Можно использовать, что заданная величина п близка
к 2. Из (1.1) в таком случае В = 30°, (а — В) = 15°. Считая этот угол
малым, Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ð¼ $315’ = 15/57,3 = 0,26. Отсюда 1= 11 (1 + 1/1315°) я
в 10 см.
12

Рис. 1.15
Используя свойства эллипсоида и параболоида (И. Н. Брон-
штейн‚ КА. Семендяев «Справочник по математике для инженеров
и учащихся ВТУ3ов»), можно получить их замечательные отра-
жающие свойства (рис. 1.15). Для эллштсоида лучи, исходящие из
одного фокуса, собираются в другом фокусе. При удалении одного
из фокусов в бесконечность получаем параболоид и, соответствен-
но, параллельный пучок. При отражении от выпуклой поверхно-
сти параболоида лучи расходятся по направлениям, исходящим из
фокуса.
Рис. 1.16
Рассмотрим преломление (и отражение) на сферической гра-
нице (радиуса К с центром в точке 0), разделяющей среды с пока-
зателями преломления п, и п2 (рис.1.16). В точке А луч, исходящий
из 5„ преломляется в соответствии с (1.1) и попадает в точку 52.
В случае параксиальных пучков (относительно оси 5,52) можно
считать 5,5 а 5‚А и 525 в 5,А. Используя теорему синусов, из тре-
угольника 5‚А0 получаем 5‚О/5,А = зйпа/зйпу, а из треугольника
А5,О соответственно А5,/052 = яйлу/впав. Отсюда следует
(5,0/5,А)(А52/052) = зйпа/вйпв = п2/п,.
13

Принято отрезки вправо от 5'(по направлению распространения
света) считать положительными, а влево — отрицательными. Обо~
значим ~5', А~ = ~5', Я = — а, (а, < 0), 1А 5',~ = ~5'5',~ = а, (начало коорди~
нат по оптической оси в точке 5). Подставляя это в предыдущую
формулу, получаем
(1.5)
п,(1/а, — 1/Л) = п,(1/а, — 1/Л) = О.
Введенная здесь величина Д называется нулевым инвариантом
Аббе. При преломлении в случае параксиальных пучков она сохра-
няет свою величину. Все лучи гомоцентрического пучка из 5', пе-
ресекают ось в одной точке Я„которая называется стигматическим
изображением 5',.Соответственно система называется стигматиче-
ской, если точка изображается точкой и астигматической, если
изображение в виде пятна или пространственной фигуры. Отме-
тим, что для выпуклой поверхности (как на рисунке) Л берется по-
ложительным, а для вогнутой отрицательным. Иногда (1.5) удоб-
нее представить в виде
(1.б)
и,/а, — и2/а, = (и, — и,)/Л = Ф.
Это соотношение используется при расчете всех оптических
систем, содержащих много последовательных сферических по-
верхностей раздела.
Величина Ф называется оптической силой и измеряется в диоп-
триях (1 дптр = м-').
Из (1.6) следует, что при а, = — о~ имеем
а, = п,Л/(и, — и,) =~2;
(1 )
при а,=~о
а, = -п,Л/(и, — и,) = /,.
(1 )
Величины /; и /2 зависят только от радиуса кривизны поверхно-
сти Л и показателей преломления п, и и, обеих сред. Они называ-
ются фокалъными расстояниями: ~ — переднее фокальное расстоя-
ние (точка У; — передний фокус); ~2 — заднее фокальное расстоя-
ние (У; — задний фокус). Из (1.7) и (1.8) получаем
/2Я = — и2/и,.
(1 )
Приведенными формулами можно воспользоваться и в случае
отражения света от сферических зеркал. Формула (1.1) дает закон
отражения, если положить и, = — и,. Знак «минус» необходим, так
как угол отраженного луча отсчитывается в другую сторону от
14

нормали: вйпв = —з1па и В = —оъ. Из (1.6) находим формулу для
сферического зеркала
\ 1/а‚ + 1/02 = 2/К. (1.10)
, Эту формулу для параксиального пучка можно ‚получить и не-
посредственно из закона отражения.
Из (1.7) или (1.8), подставляя п, = —п‚, определяем фокусное
расстояние"
/=1]=/;=К/2. (1.11)
Из (1.10) следует
1/а‚ + 1/а, = 1/1? (1.12)
В случае зеркала изображение действительное, если оно нахо-
дится по одну сторону с источником, и мнимое, если расположено
за зеркалом. Для вогнутого зеркала получаем действительный фо-
кус (К > О), для выпуклого — мнимый (К < О). Для плоского зерка-
ла К = оо, поэтому а, = —а,. Изображение мнимое и симметрично
расположенное.
Поверхность ртути хорошо отражает свет. В равномерно вра-
щающемся сосуде (угловая скорость со противоположна напря-
женности поля тяготения 3) поверхность ртути является парабо-
лоидом (1, с. 359) 2 = о›2г’ / (23), где 2 — расстояние по оси враще-
ния, а г — расстояние поверхности от оси. Для радиуса кривизны
поверхности вблизи оси вращения имеем (1, с. 17) К = 3/со1. Из
(1.11) фокусное расстояние 1 = 3/(2033) (Мг 1.1).
С помощью описанного в предыдущей задаче зеркала можно
получить, например, фотографшо Луны (Мг 1.20). Фокусное рас-
стояние [= 3/(2001) мало по сравнению с расстоянием до Луны (Ь).
Поэтому; как следует из (1.12), изображение будет фактически
в фокальной плоскости. Отношение размеров изображения (И)
к диаметру Луны (Н) равно 12/Н = 171, = 3/(2Ьсо2). Отсюда находим
нужную угловую скорость вращения сосуда с ртутью.
Рассмотрим, как смещается изображение в вогнутом зеркале,
когда между зеркалом и его фокусом помещают плоскопарал-
лельную пластику, если предмет находится на оси зеркала даль-
ше его фокуса (рис. 1.17) (М 1.21). Используя (1.1), параксиаль-
ность лучей и обозначения на рисунке, где показан ход луча
к изображению АВ) получаем Ь = хдвоъ + шар + 19:30: = (а, — 11 +
+ Ь/п) ша. Откуда ад = Ь/тва = а, — Ь (п — 1)/п. Таким образом, но-
15

вое положение зеркала должн
быть сдвинуто в сторону пре
мета на 12 (п -— 1)/п.
С помощью сферическ х
вогнутых зеркал можно созда Ь
систему для задернски во вре -
ни короткого светового им-
пульса. Разрез такой системы
показан на рис. 1.18. Радиус
кривизны зеркала 3, равен г, =
= 10 м, радиус кривизны зерка-
Рис „7 ла 32 равен г, = 1 м. Расстояние
между зеркалами Ь = 5,5 м,
т. е.‚ как следует из (1.1О)‚ рав-
но сумме фокусных расстояний. В таком случае луч, идущий па-
раллельно оси зеркал (на расстоянии Ь = 15 см), пройдет через фо-
кус, а отразившись пойдет параллельно оси на расстоянии 11/ 10
(что следует из подобия треугольников). Пройдя шесть раз между
зеркалами (61„)‚ луч выйдет через отверстие диаметром (1 = 2 мм
в большом зеркале (на оси). Для определения времени задержки
{светового импульса необходимо 61, = 3,3-1О3 см разделить на ско-
рость света 3-10") см/с. Получим 1= 1,1°10-7 с (Мг 1.19).
Рис. 1.18
Центрированными оптическими системами являются системы
оптически однородных преломляющих или отражающих сред, от-
деленных одна от другой сферическими поверхностями, центры
кривизны которых расположены на одной прямой, называемой
главной оптической осью системы. Простейший и важный случай
центрированной системы представляют две сферические поверх-
ности, ограничивающие какой-либо прозрачный материал (на-
16

Л

а: =Ё = МКМ" 1)(1/Кл “ 1/к2)]›
ан =Л = -1/[(1\7- 00/31 " 1/К2Л-
Таким образом, фокусные расстояния (для одинаковых сред
с двух сторон линзы) равны по величине и противоположны по
знаку
д = „а. (146)
В соответствии с (1.6) оптическая сила лштзы
Фд = 1/1 (1.17)
В зависимости от знака и величины К, и К, (радиусы кривизны
сферических поверхностей отсчитываются в направлении от сфе-
рической поверхности к центру кривизны, а фокусные расстояния
в направлении от линзы к фокусу) и знака (1\’— 1) величина ]` может
быть-положительной или отрицательной, т. е. фокус может быть
мнимым или действительным. Причем, если первый фокус —
мнимый, то и второй мнимый, если первый действительный, то
и второй действительный. Если параллельные лучи после прелом-
ления в линзе сходятся (т. е. фокусы действительны), то линза на-
зывается собирательной, или положительной (на рисунках изобра-
жается З). При мнимых фокусах параллельные лучи после прелом-
ления расходятся. Такие линзы называются рассеивающими, или
отрицательными (на рисунках изображаются Х). Вводя фокусное
расстояние 1 = 1; = —_Д из (1.14) получаем
1/02 - 1/0. = 1/15
Это формула тонкой линзы. При расположении источника сле-
ва от линзы а, отрицательно, и получаем формул); которой часто
пользуются для абсолютных значений |а‚| и |а,|
1/]а‚| + 1/|а2| = 1/[ (1.18)
Луч, проходящий через оптический центр линзы, не прелом-
ляется. Линии, по которым идут зги лучи, называются побочными
осями, в отличие от главной оси, проходящей через центры кри-
визны сферических поверхностей. Лучи, параллельные главной
оси, собираются в фокусе, а параллельные побочной оси — в точке
пересечении ее с фокальной плоскостью, проходящей через фокус
перпендикулярно главной оси. Лучи, проходящие через фокус,
после преломления в линзе идут параллельно соответствующим
осям.
Если, например, заданы радиусы сферических поверхностей
К, = 25 мм и К, = 40 мм и показатель преломления стекла линзы
18
/
/
/
(1451
/

$1
м
="
2‘
п Е Е
Ё
Ё
|
н
Ё
‚$3
1
1тф 13:11:
ТЮ
_'-------_ _-
Ё
‹!>:
1
1
2
Е
‘ан |
|
ж ‚ё
_ „а р
б!
Рис. 1.22
Найдем, как сместится фокус фотоаппарата, если внутрь аппа-
рата на пути лучей (перпендикулярно оптической оси) (рис. 1.22)
поместить плоскопараллельную пласпшку толщиной 1: = 6 мм с по-
казателем преломления п = 1,5 (объектив сильно задиафрагмиро-
ван) (Не 1.24). В таком случае синусы и тангенсьг можно заменить
углами. Используя обозначения на рис. 1.22, получаем
К=1‚+1‚+13=1‚+13+/ш/пи[—Д= '
=11+1‚/оъ+13/оъ— К/а=/1(п— 1)/п.
В оптике источник (объект) и его изображение оптической
системой называют оптически сопряженными точками. В соответ-
ствии с теоремой обратимости объект и его изображение могут ме-
няться местами. Понятие оптически сопряженные точки строго
применимо лишь к безаберрационным (не искажающим) оптиче-
ским системам в параксиальных пучках. Для реальных систем оно
часто используется как приближение. Покажем, что наименьшее
расстояние между двумя оптически сопряженными относительно
собирающей линзы точками равно 4Д где 1 — фокусное расстояние
линзы (Мг 1.26). Используя (1.19)‚ находим экстремум 1 = а + Ь,
приравнивая нулю производную
с11/с1а = а7[а + а]7(а —/)]/с1а = 1 +}7(а —]) — а]7(а —])2 = О.
Точка экстремума а = 21Ё Можно вычислить вторую производ-
ную 1 и убедиться, что она положительна, т. е. имеем минимум.
Используя (1 . 19), находим 1= 412 так как для Ь получаем аналогич-
ное условие.
21

Из формулы (1.6) для источника и изображения, получаемого
в результате преломления на сферической границе (см. рис. 1.16),
имеем
а, = п2Ка‚/[(п2 — п,)а‚ + щК]. (1.2О)
Введем систему координат, в которой ось х идет вдоль главной
оптической оси (начало в точке 5), а ось у ей перпендикулярна.
координату источника обозначим х (вместо ад), координату изо-
бражения х'и введем коэффициенты (А, В, С, 1)), зависящие толь-
ко от радиуса кривизны и показателей преломления
х'= п2Кх/[(п2 — п‚)х + щК] = (Ах + В)/(Сх + 1)). (1.21)
Здесь В написано для общности, на случай сдвига системы ко-
ординат вдоль оси х.
Рис. 1.23
Если источник находится на расстоянии у от оси х (рис. 1.23)
в точке Р, то проведя прямую Р0 через О, можно рассматривать ее
как оптическую ось и воспользоваться предыдущим результатом.
Для параксиальных лучей, обозначая проекции Р и Р'на ось х как
О и О’, получаем б’? н 50 и 5?‘ я $01 Отсюда из подобия тре-
угольников
у7у = 400700! = (х’ — Ю/(х — К).
Используя (1.21), находим
у'= п,Ку/[(п, — п‚)х + п‚к] = Еу/(Сх + 1)). (1.22)
В случае осевой симметрии для третьей декартовой координа-
ты (г) получаем такое же соотношение.
Выражение типа (1.21) и (1.22) называется коллшаеарным соот-
ветствием. Из (1.21) и (1.22) можно написать и обратные соотно-
шения
22

х = (АЭс'+ В')/(СЭс'+ в’), у = Еу7(С5с' + в’), (1.23)
ГДС
в'= в, с'= с, А’ = -1›, 1)’ = —А, Е’ = (вс л- АВ)/Е. (1.24)
При коллинеарном соответствии каждая плоскость, прямая
линия и точка пространства предметов переходят соответственно
в плоскость, прямую линию и точку в пространстве изображений.
Обращение знаменателя коллинеарных преобразований в нуль
приводит к тому; что точки плоскости
Сх + В = О (1.25)
изображаются бесконечно удаленными точками. Таким образом,
все лучи, выходящие из одной и той же точки плоскости (1.25)‚
после прохождения оптической системы, идут параллельно. Плос-
кость (1 .25) называется фокальной плоскостью пространства пред-
метов, или передней фокальной плоскостью. Аналогично, для фо-
кальной плоскости изображений или задней фокальной плоско-
сти имеем уравнение
С5с'+ 1)'= О. (1.26)
Приведенные формулы годятся для центрированной системы,
состоящей из любого количества сферических поверхностей, так
как изображения, полученные после одной поверхности, можно
рассматривать как предметы для следующей поверхности и т. д.
Отсчет абсцисс в пространстве предметов идет от положения пер-
вой преломляющей поверхности, в пространстве изображений —
от положения последней преломляющей поверхности.
Точки пересечения фокальных плоскостей с главной оптиче-
ской осью называют главными фокусами соответственно простран-
ства предметов (Р) и изображений (Р) (передний и задний). Из
(1.24) — (1.26) координаты фокусов
х, = -1›/с‚ х; = -рус' = А/С. (127)
Система может не иметь фокальных плоскостей, если С = С’ =
= О. Такая система называется телескошпческой, или афокально”.
При прохождении через такую систему параллельный пучок лучей
остается параллельным.
Отношение у7у называют поперечным увеличением или просто
увеличением. Увеличение положительно, если изображение пря-
мое, и ‚отрицательно, если изображение перевернутое. Две сопря-
женные плоскости, отображающиеся друг в ДРУГ? с поперечным
23

увеличением ууу = +1 называют главными плоскостями. Уравнения
этих плоскостей можно получить, полагая у'= у в (1.22) и (1.23)
Сх+1)—Е=О‚ С5с'+1)'—Е'=О. (1.28)
Первая плоскость называется главной плоскостью пространст-
ва предметов (передней главной плоскостью), а вторая — главной
плоскостью пространства изображений (задней главной плоско-
стью). Точки пересечения главных плоскостей с главной оптиче-
ской осью называют главными точками центрированной системы.
Абсциссы главных точек (в пространстве предметов Н, в про-
странстве изображений Н’) находим из (1.21) — (1.23), полагая
у = у’
х„ = (Е - 1»/с‚х;‚.= ‹Е'- 1›'›/с'=
=[ВС + А (Е — 1))]/(ЕС). (1.29)
Для сферической поверхности на рис.1.16 из (1.21) — (1.23)
получаем х„ = х}, = О.
Главные и фокальные точки центрированной системы называ-
ют ее кардинальными точками. Так как коллинеарное соответствие
определяется четырьмя параметрами (берется отношение четырех
коэффициентов к пятому), то положение четырех кардинальных
точек полностью определяется коллинеарным соответствием.
Р _ М _____________ __ М’
а О’
О 17 Н Н’ 1?’ а’
А, ------------- -- М > Р’
Рис. 1.24
На рис. 1.24 показан ход лучей из точки В не лежащей на глав-
ной оптической оси. Луч РМ, параллельный главной оптической
оси и его продолжение в пространство изображений встретит
главные плоскости в сопряженных точках М и М С Кроме того, он
должен пройти через задний фокус Р’. Положение этого луча пол-
ностью определяется точками М ‘и ГС Луч из В проходящий через
фокус, встретит переднюю главную плоскость в точке А’ и, прохо-
24

дя затем параллельно главной оптической оси, попадет в сопря-
женную ей точку М’, а затем пересекает первый луч в точке Р’, ко-
торая и является изображением точки В Проекция точки Р на
главную оптическую ось (точка О) изобразится проекцией точки
Р’ на главную оптическую ось (точка О’).
Расстояния фокальных точек от соответствующих главных то-
чек называют главными фокусными расстояниями системы (так
в «Оптике» ГС. Ландсберга и справочниках, а в «Оптике» Д.В. Си-
вухина наоборот). Так как в дальнейшем удобнее помещать начало
координат в фокальные точки, воспользуемся представлением
Д.В. Сивухина. Фокусные расстояния в пространстве предметов
(1) и пространстве изображений (Г ) определяются формулами
1г=хн"хг= Е/С‚/`=х3„г "ха =
Е7С'= (ВС — АВ)/(СЕ). (1.30)
Формулы (1 .21) — (1.23) можно упростить соответствующим
выбором систем координат. Поместим начала координатных систем
для пространства предметов в передний фокус Е а для пространства
изображешай — в задний фокус 171 Абсциссы в этих системах будем
обозначать Х и Х 3 а ординаты У и УС Очевидно, что У= у и У’ = у’.
По выбору систем х, = х}. = О. Тогда из (1.27) и (1.30) должно быть
А = В= О, Е/С=/и В/С=[_/`. Поэтому (1.21) и (1.22) переходят в
хх'=17'; (1.31)
г/1*=лх= Ху/с (1.32)
Отношение оБ/оъ (см. рис. 1.24) называют угловым увеличени-
ем. Сопряженные точки К и К ', лежащие на главной оптической
оси, которые отображаются друг в друга с угловым увеличением
оБ/оъ = +1, называют узловыми точками. Они, так же как главные
и фокальные, относятся к кардинальным точкам (на рис. 1.24 они
не изображены, чтобы его не загромождать).
Отношение длины бХ' изображения бесконечно малого отрез-
ка, параллельного главной оптической оси, к длине бХ самого от-
резка называют осевым, или продольным, увеличением. Используя
(1.31) и учитывая направление отрезков, получаем
бХ7бХ= —Х7Х= —Л7Х? = —(Х')2/(/7'). (1.33)
Сравнение этих формул с (1.32) показывает, что осевое увели-
чение в общем случае не равно поперечному увеличению.
Рассмотрим соединение двух центрированных систем, когда
их оптические оси совпадают, а расстояние от заднего фокуса пер-
25

Рис. 1.25
Принимаем полученное изображение за предмет для второй
системы. Координаты этого предмета в координатной системе
с началом вточке Р; будут Х = Х, — Л, 1'2 = 1;. Если Х', У' — коор-
динаты изображения, даваемые второй системой (а, следователь-
но, и всей сложной системой) относительно начала Р, то из (1.31)
и (1.32)
Х2Х Л12 уу у2 Худ '
Исключая промежуточные координаты Х„1'„Х, ~2, получаем
(1.34)
Х' = Ц ХЯЯ ' — Л А), У' = Ц; ЦЩ ' — Л А).
Это формулы коллинеарного соответствия, в которых
А=Я', В О, С= — Л, В=Я', Е=Я.
(1.35)
Из (1.27) и (1.30) находим координаты фокапьных точек и фо-
кусные расстояния сложной системы
Х Ц,~Л, Х~' —.~; ЦЛ, ~= —,~ Д/Л, ~' = Я;/Л. (1.36)
2б
вой до переднего фокуса второй равно Л (это оптический интервал,
который считается положительным, если свет идет от Г', к Г,)
(рис. 1.25). Начало координат каждой из складываемых систем по-
местим в ее фокальные точки. Для всей системы возьмем начало
координат в пространстве предметов всей системы в фокусе У;, а в
пространстве изображений — в фокусе Г',.
Если Х, У вЂ” координаты предмета, а Х1, 1'1 — его изображения,
даваемые первой из складываемых систем, то в соответствии
с (1.31) и (1.32)

Координаты главных точек
Х„ = Х, +[=д (Л-Ы/А, Х„!= Х,‘ +/‘=д'(Д’—Д)/А. (1.37)
Следовательно,
Х„/Х„! =д/ЬС (1.38)
Если оптический интервал А обращается в нуль, то фокусные
расстояния / и 1‘ ’ обращаются в бесконечность, т. е. система будет
телескопической.
Найдем фокусное расстояние [ и положение главных плоско-
стей центрированной системы, состоящей из двух тонких линз
с фокусными расстояниями Д и Д, расположенных на расстоянии
1 друг от друга (Мг 1.32).Из (1.36) находим фокусное расстояние
(абсолютное значение) системы
17-13/3/01 +13 — 0- (1-39)
Используя (1.37), (1.39) и рис. 1.25, находим расстояние до пе-
редней главной плоскости Н,Н = Х„ — 1‘ = 111/03 +1; — 1) и задней
главной плоскости Н, 71’= Х„7 —1;'= — 21/01 + Д — 1). Заметим, что
положение главных плоскостей Н, и Н,’ — это положение линз.
Систему двух тонких линз можно заменить одной «эквивалент-
ной« тонкой линзой, которая при любом положении объекта дает
такое же по величине его изображение. «эквивалентную» линзу
следует поместить в передней главной плоскости системы двух
линз. Фокусное расстояние определяется (1.39) (М 1.33).
для параксиального луча (см. рис. 1.23), выходящего из О под
углом а и приходящего в О’ под углом а‘ (первый угол положи-
тельный, а второй — отрицательный), имеем 11 = —хоъ = —х а‘. Сле-
довательно, ха = хо‘. Используя (1.21) и (1.22), получаем
пуа = пуа: (1.4О)
Величину пуа называют ъшвариантом Лагранжа-Гельмгольца,
она не изменяется при преломлении параксиального луча на сфе-
рической поверхности. Соотношение (1.4О) можно применять для
сложной системы из сферических поверхностей.
Рассмотрим, как меняется высота изображения предмета, полу-
ченная с помощью линзы на экране, если расстояние от предмета
до экрана остается постоянным. Высота первого изображения 12,.
После передвижения линзы к экрану высота изображения 1:,
(рис. 1.26). Найдем высоту предмета 12 (М 1.27). Используя (1.19)
и условие задачи а, + Ь, = а, + Ь, = Ь (постоянная), получаем а‚Ь‚ =
= 0,1), = К (постоянная). Неизвестные величины удовлетворяют
27

Рис. 1.26
одному и тому же уравнению, которое напишем для а,: а} — Ьа, +
+ К = 0. Отсюда а, = Ь, и а, = 12,. Используя это и соотношения из
подтойия треугольников: а,/Ь, = 12/12, и а,/Ь, = Ь/щ, получаем 11 =
= ( 1 2)1/2_
Если бы в предьщущей задаче были заданы: расстояние между
экраном и предметом 1, = 50 см и 1= 10 см (см. рис. 1.26), то мож-
но было бы вычислить фокусное расстояние 1” (Мв 1.28). Из (1.19)
получаем 1/а + 1/(Ь — а) = 1/(а + 1) + 1/(Ь — а — 1) = 1/[ Отсюда
а = (Ь - 1)/2. Из (1.19)/= а (Ь — а)/Ь = (В — 12)/(41‚) = 12 см.
Изображение предметов, получаемое с помощью тонкой лин-
зы, всегда можно получить геометрическим построением, зная,
что луч через центр линзы идет не преломляясь, а проходящий че-
рез фокус выходит параллельно главной оптической оси (или луч,
идущий параллельно главной оптической оси, после преломления
идет через фокус). Луч 1, падающий на линзу под углом, после
преломления пройдет через
1 д ФП точку в фокальной плоскости
т (ФП), в которую приходит луч
2 2, идущий параллельно перво-
\ му через оптический центр
линзы (рис. 1.27).
Рассмотрим ход лучей че-
1* рез двояковыпуклую тонкую
‘Ё 7 линзу с одной посеребренной,
т. е. отражающей, поверхно-
Р“- 1-27 стью (рис. 1.28, а). Найдем фо-
28

Рис. 1.28
кусное расстояние [полученного таким образом зеркала. Радиус
кривизны чистой поверхности Кь Радиус кривизны посеребрен-
ной поверхности 122, показатель преломления материала линзы
п (Не 1.29). Луч идет справа параллельно главной оптической оси,
на которой лежат центры окружностей, описывающих сечение по-
верхностей. Угол падения ос и угол преломления В связаны соотно-
шением ос/В = п. Удаления точек преломления и отражения от
главной оптической оси в силу параксиальности примерно одина-
ковы, и поэтому К,и = Вдов и /= К,и/б. На рис. 1.28 б и в показаны
углы при отражении в точке А и преломлении в точке В. Исполь-
зуя обозначения на рисунке, получаем
у=2‹и+а-в›-‹а-в›=2и+а-в‚
б+оъ=п(2и+2а—В)+поъ=
2пи + 2пи — ос = 2паК,/К‚ + 2пи — а,
б = 2ос[п(К‚/К, + 1) — 1],
/= (1/2)К,К,/[п12‚ + (п — 1)К‚]. (1.41)
При решении этой задачи можно воспользоваться сложением
оптических сил, учитывая (1.11), (1.15) и то, что свет через линзу
проходит дважды. Из (1.15) и (1.6) для линзы имеем
1/Л = (п — 1)(1/К1 + 1/32) = Флэ (1-42)
29

где Фл — оптическая сила тонкой линзы.
Для зеркала из (1.11) имеем:
1/13 = 2/122 = Ф, (1.43)
Для системы имеем:
1/1’ = 2/Л + 1/6 = 2(п — 1)(1/К. + 1/К2) + 2/112 = 2[(п - 0/31 + п/КА.
Видно, что последнее выражение совпадает с (1.20).
Из (1.20) для плосковыпуклых тонких линз находим в случае
плоского зеркала (К, = оо) Д = (1/2)К,/(п — 1), в случае плоской
преломляющей поверхности (К, = оо) А = (1 /2)К‚/п. При одинако-
вых К, и К, (Не 1.30)
Л/Ь = п/(п — 1).
Для рассматривания предметов (получения увеличенного изо-
бражения) используется одна собирательная линза (лупа) или сис-
тема линз (микроскоп, зрительная труба). В астрономических зри-
тельных трубах (телескопах) и биноклях (представляющих совмеще-
ние двух зрительных труб) используется также отражение от зеркал.
Зрительная труба Кеплера в простейшем случае имеет две собира-
тельные линзы (объектив и окуляр) и дает перевернутое изображе-
ние. В зрительной трубе Галилея (объектив — собирающая линза,
а окуляр — рассеивающая) получается прямое изображение.
Фокусное расстояние объектива зрительной трубы (Кеплера)
равно Д = 60 см, а окуляра — 1; = 4 см. Показатель преломления
стекла объектива и окуляра п = 3/2. Найдем, каким объективом из
стекла того же сорта следует заменить объектив трубы, чтобы в нее
можно было рассматривать удаленные предметы в воде (вода за-
полняет и внутреннюю часть трубы), если показатель преломле-
ния воды п, = 4/3. Найдем также увеличение трубы (Мг 1.35). Ис-
пользуя (1.15), в случае погружения объектива в воду получаем
Лп/Л = (п - Н/(п/пт - 1) = 4› (1-44)
откуда фокусное расстояние Д, = 240 см. Оптическая сила в воде
должна быть равна сумме оптической силы в воздухе и силы,те-
ряемой за счет преломления 1//„д = 1/13 + 1/Д,. В воде [вод = 48 см.
Для вычисления фокусного расстояния окуляра в воде восполь-
зуемся (1.44) 1;, = 16 см. Угловое увеличение для телескопической
системы, которой является зрительная труба, оС/оъ = Люд/ 22 =
= 48/16 = 3.
Человек с нормальным зрением (глаз может аккомодироваться
от 10 см до бесконечности) рассматривает удаленный предмет с по-
мощью зрительной трубы Гшшлея (в качестве объектива — соби-
рающая линза с фокусным расстоянием Д = 40 см, в качестве оку-
ляра — рассеивающая линза с фокусным расстоянием]; = -2 см).
30

Найдем, при каких расстояниях Ь между объективом и окуляром
человек увидит четкое изображение предмета (Не 1.36). Если глаз
аккомодирован на бесконечность, то система телескопическая,
и расстояние между объективом и окуляром 1, =д +1; = 38 см. При
смещении окуляра в сторону объектива на х расстояние изображе-
ния, даваемого объективом, от окуляра а = —(1/;| + х), а расстояние
до изображения (при аккомодации на 10 см) Ь = —10 см. Учитывая,
что для окуляра (рассеивающей линзы) фокусное расстояние отри-
цательное, получаем из (1.19): -1/10 — 1/(2 + х) = —1/2. Откуда х =
= 0,5 см, Ь = 37,5 см.
Труба Галилея 9-кратного увеличения имеет длину 40 см. По-
сле того как объектив и окуляр трубы заменили собирающими лин-
заьш, труба стала давать то же увеличение. Найдем фокусные рас-
стояния Д ‘и 1; ‘этих линз, а также фокусные расстояния Д и 13 объ-
ектива и окуляра трубы Галилея (Мг 1.37). Для трубы Галилея
в данном случае |Д| — Щ = 40 см, угловое увеличение щ/а, =
= [ДИЫ = 9. После замены на собирающие линзы имеем трубу
Кеплера и, соответственно, И’| + и’| = 40 см, угловое увеличение
или,’ = 1131/1131 = 9. Решая эти уравнения, находим Д’ = 36 см,
Д'=4см,Д =45 см,д=—5 см.
Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива 1’ = 50 см
установлена на бесконечность. Найдем, на какое расстояние А!
надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на
расстоянии 50 м (Мг 1.38). Используя (1.19), получаем: при а, = со,
Ь, =/= 50 см, при а, = 50 м, Ь, =/а,/(а, —/) = 50,5 см. Чтобы рас-
смотреть изображение, надо окуляр отодвинуть на А! = Ь, — Ь, =
= 0,5 см.
На систему линз, изображенную на рис. 1.29, падает слева па-
раллельный пучок света. Найдем положение точки схождения этого
пучка после прохождения системы (М 1.39). После первой линзы
пучок собирается в ее фокусе (точка 0,) на расстоянии а, = 5 см от
, 15 см ‚ 5 см ‚
в | |
—>
-._›_. ........... -.........-. овощ -.
—)
->
_/= +10см [д —20см ]`= +9см
Рис. 1.29
31

второй линзы. Используя (1.19), получаем изображение от второй
линзы на расстоянии Ь, = — 4 см, так как 1/а, + 1/Ь, = — 1/20. Изо-
бражение находится в точке О„которая является фокусом третьей
линзы. Поэтому после прохождения третьей линзы получаем па-
раллельный пучок. Точка схождения находится на бесконечности.
Система телескопическая.
Найдем изображение точки, которая находится на расстоянии
10 см слева от крайней левой линзы системы, изображенной на
6 — см
2
3
10 см
5см
,/'= — 5
Рис. 1.30
1=+5
1, = /; + /," Д; + 1,)/[(Ь вЂ” /;)(/2 + 1,) — /212] = 1,0613 см.
Линейное увеличение
а = [1,/(Ь вЂ” Ь)](Ь/1,) = [Ь (/; + /2) — Я]/(Я) = 150.
Рассмотрим толстые линзы как центрированные системы, со-
стоящие из двух сферических границ раздела между средами с раз-
ными показателями преломления.
рис. 1.30 (№ 1.40). Используя (1.19), для первой линзы имеем
1/10+ 1/Ь, = — 1/5. Отсюда Ь, = — 10/3 см. Для следующей линзы
а, = 10 см. Поэтому Ь, = 10 см. Это изображение находится в пра-
вом фокусе третьей линзы. За ней идет параллельный пучок, кото-
рый четвертой линзой собирается в ее фокусе, т. е. на расстоянии
5 см справа от четвертой линзы.
Микроскоп имеет объектив с фокусным расстоянием ~ = 1 см
и окуляр с фокусным расстоянием 12 = 3 см, расстояние между
ними Ь = 20 см. Найдем, на каком расстоянии 1, должен находить-
ся объект, чтобы окончательное изображение получилось на рас-
стоянии 1, = 25 см от глаза (что является оптимальным расстояни-
ем ясного зрения), и какое при этом получится линейное увеличе-
ние а (№ 1.41). Используя (1.19) и обозначения на рис. 1.31,
имеем 1/1, + 1/Ь = 1//;, 1/(Ь вЂ” Ь) — 1/1, = 1Я
Исключив Ь, находим

Рис. 1.31
Для сферической границы раздела коллинеарное соответствие
выражается формулами (1.21) — (1.23). Из этих формул, а также из
(1.29) находим, что координата главной плоскости для сфериче-
ской поверхности раздела х„= (Š— Р)/(С = О, т. е. совпадает с ее
пересечением с оптической осью.
Для фокусных расстояний, отсчитываемых от главной плоско-
сти, из (1.21) — (1.23) и (1.30) получаем
/" = х„. — х„= — Е/С = — Ли/(и' — и);
/'= х,. ' — х„.' = — Е'/С' = Ли/(и' — и).
(1.45)
Используя эти формулы, а также (1.36), можно рассчитать па-
раметры любой центрированной системы. Сделаем это для тол-
стой линзы с радиусами сферических поверхностей Л, и Л, и пока-
зателями преломления первой среды, линзы и второй среды соот-
ветственно и„п, и и,. Из (1.45) получаем
(1.46)
(1.47)
/; = — Л,п,/(и, — и,), /;' = Л,и,/(и, — и,);
Я, = — Л,и,/(и, — и,), ~2' = Л2и,/(и, — и,).
Если толщина линзы 1, то расстояние до передней фокальной
точки Р; второй поверхности от задней фокальной точки Г, ' пер-
вой поверхности
~ = /2 + ( — /;'= 6/[(п, — и,)(п, — и,)];
6' = ~(п, — п,)(п, — и,) + и, [Л,(п, — и,) + Л,(п, — и,)]. (1.49)
33
Из (1.36) находим координаты фокальных точек (в простран-
стве предметов начало координат в Г„а в пространстве изображе-
ний — в Е2 ) (рис. 1.32)

х, = — п,п,(п, — п,)Л,'/[(и, — п,)6);
х,,' = п,пз(ц — п,)К,'/[(и, — и,)61.
! !
! Ь
!
!
Рис. 1.32
Начало отсчета определяется из (1.46) и (1.47).
Из (1.36) фокусные расстояния толстой линзы
/ = — п,п,К,К,/6, /' = п,изК,Л,/6.
(1.51)
Перепишем полученные формулы для случая линз из материа-
ла с показателем преломления и, = и, находящихся в воздухе
и =и=1~
! 3
Из (1.49) и (1.51) имеем
6 = (и — 1)[(Л, — А',)п — ((п — 1)~;
/'= — /' = — иК,К2/6.
Из (1.36), (1.37) и (1.51) получаем
х, = и Л '/6, х,' = — пЯ'/6;
х„= х, + /, х„,' = х,' + /'.
Расстояние главных плоскостей от поверхностей линзы
Ь = (и — 1)Л,(/6, Ь' = (и — 1)Л,(/6.
(1.52)
(1.53)
(1.54)
(1.55)
(1.56)
34
Применим полученные формулы для толстой линзы в виде ша-
ра с показателем преломления п, = п в воздухе ц = из = 1 (М 1.42).
Радиусы преломляющих поверхностей Л, = Л, Л, = — Л.
Из (1.46) положение Г, определяем из переднего фокуса пер-
вой преломляющей поверхности (расстояние Л = — Л/(и — 1) от
преломляющей поверхности) (рис. 1.33), а положение У опреде-

Рис. 1.33
ляем из заднего фокуса второй преломляющей поверхности (рас-
стояние 1;’ = К/(п — 1) от преломляющей поверхности).
Из (1.5О) координаты фокусов системы (толстой линзы в виде
шара)
х, = пК/[2(п - 1)], хг’ = —пК/[2(п — 1)]. (1.57)
Из (1.51) для фокуса системы
/= —/'= Кп/[2(п — 1)]. (1.58)
Из (1.37) и (1.51) находим положение главных плоскостей
х„ = х, +/= пК/(п — 1), х„Г = х,’ +_/’ = —пК/(п — 1). (1.59)
Вычисляя положение главной плоскости от преломляющей
поверхности, получаем пК/(п — 1) — К/(п — 1) = К.
Таким образом, главная плоскость проходит через центр шара.
Подставляя п = 4/3, находим/= 2Кдля п = 1,5 имеем[= 1,512.
Расстояние до фокуса от преломляющей поверхности К/ (п — 1) —
— Вп/[2(п — 1)] = К (2 — п)/[2(п — 1)]. Видно, что фокальные точки
находятся внутри шара при п 2 2.
Найдем для стеклянного (п = 1,5) шара радиуса К = 4 см рас-
стояние х'от центра шара до изображения предмета, который рас-
положен в 6 см от поверхности шара, и увеличение изображения
(Мг 1.43). Ранее получено, что
главная плоскость проходит \ =
через центр шара. Поэтому
(рис. 1.34) расстояние от пред-
мета до главной плоскости
х = 10 см. Из предыдущего
1‘ = 1,512 = 6 см. Так как
1/х +1/х'= 1/‚5 то х'= 15 см,
а у7у = хУх = 1,5. Рис. 1.34
3* 35

Найдем фокусное расстояние [стеклянной (п = 1,52) плоско-
выпуклой линзы (радиус К = 26 см, толщина != 3,04 см) и положе-
ние объекта (5), находящегося на расстоянии 75 см от-ближайшей
поверхности линзы и расположенного со стороны: 1) выпуклой
поверхности; 2) плоской поверхности (Не 1.44). В первом случае
К, = К = 26 см, К, = оо (рис. 1.35), во втором К, = —К = —26 см,
К, = оо (рис. 1.36). Из (1.52) и (1.53) в обоих случаях/= К/(п — 1) =
= 50 см. Расстояние главных плоскостей от поверхностей линзы
из (1.56) в первом случае 12 = О, 11’ = -1/п = —3,04/1‚52 = -2 см.
Обозначив расстояние от предмета до передней главной поверхно-
сти (поверхности линзы) х, которое по условию равно 75 см, а до
задней главной поверхности х’, и используя 1/х + 1/х'= 1/12 полу-
чаем х’ = 150 см. От плоской поверхности линзы это расстояние
равно 148 см. Во втором случае И = 2 см, и 12’ = О. Расстояние от
Н Н’ 2см
—>/'<————
Ё|Н|=5Осм/ ]=5Осм
:%——:———> ‚г 1
5 д 5
г \к г
; |х| = 75 см 1 х '= 150 см :
Рис. 1.35
2см НН’
г-Э’
м
5
р}
‘Э
75 см п х '= 143 см
1
36

предмета до передней главной поверхности равно теперь 77 см.
Получаемое расстояние изображения равно 143 см.
Найдем фокусное расстояние ~и положение главных плоскостей
двояковыпуклой толстой линзы, для которой и т 1,5; Я, = 10 см;
Л = 4 см 1 = 2 см (№ 1.45). Из (1.52) и (1.53) ~ = 6 см. Из (1.56)
главные плоскости лежат внутри линзы на расстояниях Ь = 1 см
и Ь' = 0,4 см от передней и задней поверхностей линзы.
Определим положение главных плоскостей, фокальных точек
и фокусное расстояние системы двух тонких линз, изображенной
на рис. 1.37 (№ 1.46). Из (1.36) ~= 2,5 см. Из (1.37) ~х„~ = 7,5 см. На
рис. 1.37 изображены для системы положения главных плоскостей
Ни Н'и фокусов Ги Г'.
У2 = — 5см
Ул =+5 см
Г
° ~~ф» а» °
1
1
1
1
-~ 'ф
,5 ем
1
1
7,5 см
ф
1
1
1
!
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
' 5СМ!
7,5 см
10 см
Рис. 1.37
(1.60)
У = ШФ/дй,
где телесный угол ЫЙ определяется расстоянием от источника Л,
площадкой ШЯ, через которую идет поток энергии, и углом накло-
на 6 ее нормали к направлению вектора потока
(1.61)
ж = ~5соз0УЯ2.
В случае точечного источника
аФ = .ЯЯсовЯ/Я2.
(1.62)
37
Излучение света — это излучение энергии. Поток лучистой
энергии Ф вЂ” это энергия, проходящая через площадку за единицу
времени. Источники излучения, расположенные на расстояниях,
больших по сравнению с их размером можно рассматривать как
точе шые. Такие источники характеризуются силой света (потоком
лучистой энергии на единицу телесного угла)

Величина ./ зависит от направления и называется интенсивно-
стью лучистого потока, или лучистостью излучения. Если интенсив-
ность не зависит от направления, то из (1.6О)
Ф = 4п1. (153)
Для характеристики протяженных источников вводится вели-
чина, называемая яркостью (или поверхностной яркостью) (В).
Для потока энергии с площадки 075 в направлении, которое со-
ставляет угол 9 с нормалью к площадке, в телесный уголаЮ полу-
чаем
а/Ф = ВСОЗЭдЗдО. (1.64)
Для источников, у которых яркость подчиняется закону Лам-
берта (В не зависит от направления — идеально рассеивающие),
в результате интегрирования по углам в полупространстве получа-
ем величину, которая называется светимостью (К)и представляет
суммарный поток лучистой энергии с единицы площади источни-
ка в телесный угол 21: (при энергетическом рассмотрении употреб-
ляется термин энергетическая светимость, или излучательность)
к/2
К=В_[со56а752=2лВ[со$9з1п9с16=лВ. (1.65)
О .
Так как (10 = с1951п9с1ф, где 9 изменяется от О до п/2, а ср, от ко-
торого в силу симметрии относительно нормали к поверхности
нет зависимости, — от О до 2тс.
Для характеристики светового поля используется также поня-
тие интенсивность светового (лучистого) потока (1) — световой по-
ток, протекающий через видимую величину площадки (а/Зсозэ, где
9 — угол между направлением потока и нормалью к площадке)
внутрь единичного телесного угла
1 = а/Ф/(сшсозэдп). (1.66)
Интенсивность светового потока играет для характеристики
светового поля ту же роль, что яркость для характеристики светя-
щейся поверхности (1.64). Поэтому ее иногда называют яркостью
светового потока.
Падающий на поверхность (площадью 415‘) некоторого тела
световой поток создает ее освещенность
Е = дФ/аз. (1.67)
38

В случае точечного источника (1.62)
Е = ./со$9/К2. (1.68)
В случае протяженного источника надо интегрировать поток
по площадкам источника света.
Для измерения введенных фотометрических понятий введены
специальные эталоны и единицы (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Величина Обозначение Ецишща Символ Единтша
световая энергетическая
Световой поток Ф люмен лм Ватт
Сила света 1 кандела кд Ватт/стерадиан
Яркость В кандела/м’ кд/м2 Ватг/(стерадиан-м2)
Светимость К люмен/м’ лм/м’ Ватт/м’
Освещенность Е люкс лк Ватт/м2
Переходной множитель, определяющий в ваттах мощность,
необходимую для получения светового ощущения, вызываемого
потоком 1 люмен, измеренный для определенного интервала длин
волн, соответствующего максимуму чувствительности глаза,
а именно А = 555 нм, называется мехаштческим эквивалентом света
(А):
А = О,ОО16О Вт/лм. (1.69)
Найдем освещенность Е площадки, если источником света слу-
жит бесконечная плоскость, параллельная этой площадке, причем
поверхностная яркость источника В всюду одинакова и не зависит
от направления (Не 1.47). Освещенность находим интегрировани-
ем по всей площади источника. Этотинтеграл в точности равен
интегралу (1.65) для излучения с площадки в полупространство
(светимости). Таким образом, Е = лВ. То же получаем для гори-
зонтальной площадки, освещаемой небесной полусферой, если
считать яркость неба повсюду равномерной и равной В (М 1.48).
Для ламбертовых источников, представляющих круг и полусферу
с одинаковой яркостью, светимость одна и та же (светящийся
диск неотличим от светящейся полусферы).
Считая, что лист бумаги рассеивает свет по закону Ламберга,
найдем, какую освещенность Е следует создать на белом листе бу-
маги с коэффициентом отражения К, чтобы его яркость была
В (Не 1.49). Поток света с единицы площади поверхности должен
быть равен светимости (1.65) /‹Е = кВ. Отсюда находим необходи-
мую освещенность.
39

Освещенность, получаемая при нормальном падении солнеч-
ных лучей на поверхность Земли, составляет приблизительно Е‘, =
= 105 лк. Найдем, какова освещенность Е изображения Солнца, да-
ваемого свободной от аберраций (искажений) линзой диаметром
В = 5 см и фокусным расстоянием 1“ = 10 см, если угловой диаметр
Солнца а = 30‘ (Мг 1.50). Линза собирает весь идущий через нее
поток на площади изображения. Изображение далекого предмета
получается в фокальной плоскости линзы. Его диаметр оф Поэто-
му Е = ЕОП/(оъ/У = 3,28 °1О8 лк.
Отметим, что освещенность определяется величиной 5, кото-
рая называется светосилой линзы (объектива)
5 = (аду. (1.7О)
Освещенность, получаемая при нормальном падении солнеч-
ных лучей на поверхность Земли, Е н 105 лк. Считая, что излучение
Солнца подчиняется закону Ламберта, и пренебрегая поглощени-
ем света в атмосфере, найдем яркость Солнца, если известно, что
радиус земной орбиты К = 1,5°1О8 км, а диаметр Солнца В = 1,4°1О°
км (Не 1.51). С единицы поверхности Солнца излучается (1.65) по-
ток, равный кВ. Со всей поверхности Солнца 41: (1)/2)2 поток соз-
дает на поверхности (на радиусе Земли К) освещенность
Е = пВ4л(ЗВ/2)2/(4тсК3). (1.71)
Отсюда В = (4/тс)(К/Б)3Е = 1,5-1О9 кд/мг.
Найдем освещенность поверхности Земли у экватора светом,
отраженным Луной в полночь в полнолуние, считая, что Солнце
является ламбертовым источником света, а Луна — ламбертовым
отражателем. Яркость Солнца ВС = 1,5-109 кд/м2, радиус Солнца
КС = 7-108 м, расстояние от Солнца до Земли (и Луны) ВО = 1,5-1О" м,
расстояние от Луны до Земли К, = 3,8-1О3 м, видимый радиус Кл =
= 1,7-1О6 м, коэффициент отражения лунной поверхности К = 7 %
(Не 1.52). На рис. 1.38 схематично изображены Солнце, Земля
и Луна. Освещенность от Солнца на расстояниях до Земли и Луны
определяется (1.7О) Е = пВСКС2/КО2. Для сферической поверхности
Луны эта величина будет меняться как косинус угла (9) от направ-
ления на Солнце. Отраженный свет идет к Земле в телесном угле
(2 = яку/ц}. Здесь 123 — радиус Земли. Учитывая зависимость от-
раженного потока от угла 9, для потока Ф в телесный угол (2 мож-
но написать
п/2
ф = КпВСКС2Кд22п9 [соз2 95111 еде/яд.
0

О
Рис. 1.38
Чтобы получить освещенность на экваторе Земли этот поток
надо разделить на 1:11}. В результате имеем:
Е = (2/3)/‹тсВСКС2Кд2/ (1202123).
Тепловой фотоприемник (рис. 1.39)
представляет собой полую камеру площа-
дью внутренней поверхности 5 = 2 см2,
имеющую небольшое отверстие площа-
дью 5, = 1 мм2. Внутренняя поверхность
камеры незначительную часть света по-
глощает (коэффициент поглощения [с =
0,01), а остальную часть рассеивает.
В этих условиях внутри полости созда- Р” 139
ется равномерно распределенное по
всем направлениям излучение. Найдем, какая часть светового по-
тока Ф/ФО (где Ф, — световой поток, попадающий на входное от-
верстие камеры) выходит через отверстие обратно (Мг 1.54). При
равновесии должен быть энергетический баланс. Входящая в еди-
ницу времени энергия ФОБ’, должна равняться сумме выходящей
Фб’, и поглощенной КФ($ — 5,). Откуда Ф/ФО = 1/[1 + 1‹($— 5,)/.$`,] =
= 1/3.
Действительное изображение, сформированное собирающей
линзой, рассматривается сначала непосредственно, а затем на бе-
лом экране. Найдем, как зависит в обоих случаях яркость изобра-
жения от диаметра линзы (М 1.56). В первом случае изображе-
ние — это просто источник. В соответствии с (1 .64) яркость опре-
41

Деляется потоком излучения в единицу телесного угла. При
увеличении диаметра линзы увеличивается и поток, и телесный
угол, а поток в единицу телесного угла (яркость) не меняется. Во
втором случае источником является изображение на экране, раз-
мер которого при увеличении диаметра линзы не меняется, а осве-
щенность и, соответственно, яркость увеличивается пропорцио-
нально квадрату диаметра линзы.
Найдем яркость изображения Луны, наблюдаемой в телескоп
с объективом диаметром 75 мм, при увеличениях: 1) 2О-кратном;
2) 25-кратном; 3) 5О-кратном. Яркость Луны, видимой невоору-
женным глазом, принимаем за единицу. Диаметр зрачка глаза счи-
таем равным 3 мм (Мг 1.57). Яркость изображения в данном слу-
чае — это освещенность получаемого изображения. На рис. 1.40
показан ход лучей без телескопа (а) и с телескопом (б). Обозначая
освещенность от Луны на поверхности Земли Ед, для освещенно-
сти изображения в глазу (без телескопа) получаем Е„па',1/(4.$'„), где
50 — площадь изображения в глазу Для увеличения в телескопе
(см. рис. 1.40, б) имеем
Г = оъ/[З =л/_Д = В/а’. (1.72)
да
5о
42

Отношение площадей изображения в глазу после телескопа ‚5‘ и
без телескопа 50 равно 5/50 = (а/ВУ.
Диаметр потока, выходящего из телескопа, с! = В/ Г оказывает-
ся меньше диаметра зрачка (1, = 3 мм только в том случае, когда
Г = 50 (с! = 1,5 мм).
Пока с! > ф, в глаз попадает поток, проходящий через 1), < 1).
Освещенность изображения при этом Е„т:1)„2/(4.$`) = Е„тс‹1„2/(45„)
(в соответствии с (1.72)), т. е. не меняется. При (1 = аД/2 поток
уменьшается в 4 раза. Во столько же раз уменьшается яркость изо-
бражения.
Зная, что диаметр объектива астрономического телескопа В =
= 18 см, коэффициент пропускания всей оптической системы те-
лескопа равен 0,5, и что невооруженный глаз различает звезды
шестой величины, а возрастанию звездной величины на единицу
соответствует уменьшение ее видимой яркости приблизительно
в 2,5 раза, найдем: 1) величину наиболее слабых звезд, которые
могут быть видимы с помощью этого телескопа; 2) наивыгодней-
шее увеличение для наблюдения звезд; 3) величину звезд, которые
будут видимы при увеличении в 10 раз, если диаметр зрачка глаза
равен а’, = 3 мм (М9 1.59). Предполагаем, что размер изображений
для звезд, которые можно считать точечными источниками, опре-
деляется Дифракцией и не меняется. Освещенность изображений
будет определяться только приходящим потоком света. Диаметр
окуляра д должен быть не меньше диаметра зрачка 41„ чтобы в зра-
чок попадал весь поток, входящий в объектив (в действительности
из-за потерь — только половина). Для максимального (наивыгод-
нейшего) увеличения диаметр окуляра должен равняться диаметру
зрачка. Такое увеличение называется нормальным. В данном слу-
чае оно 60-кратное. Обозначая поток без телескопа, непосредст-
венно в глаз, Фо, с учетом потерь получаем для потока в глаз после
телескопа
Ф/Ф„ = 0,517 = О,5(В/с1,)2.
Изменение звездной величины яркости звезд
АА’ = 13(О,51'7)/132,5.
Для максимального увеличения А1\’„,„ в 8, для 10-кратного
АЫЮ н 4. Таким образом, если невооруженным глазом можно уви-
деть звезды шестой величины, то при 1О-кратном увеличении
звезды — 1О-й величины, а при нормальном — звезды 14-й вели-
чины.
43

Для широких пучков света можно устранить аберрацию. Однако
резкое изображение небольших участков поверхности о, располо-
женных на оптической оси перпендикулярно к ней, будет при
одинаковом увеличении всех участков о. Это удовлетворяется при
выполнении условия синусов Аббе
п‚$1пи,/(п‚в1пи‚) = у2/у, = И (1.73)
где п, и п, — показатели преломления среды со стороны объекта
и изображения; У= у2/у‚ — увеличение, которое должно, следова-
тельно, оставаться постоянным для любой пары сопряженных лу-
чей, исходящих из точки, лежащей на оси, и ограниченных углами
и, и и, с осью системы (рис. 1.41).
п: Ф.
2%.
5‚| ё
Рис. 1.41
Точки 5, и 52 при выполнении (1.73) называют апланатически-
ми. Угол и, может принимать большие значения, т. е. апертура пуч-
ка не ограничена, но величина у, предполагается малой. При ма-
лой апертуре (1.73) переходит в (1 .4О). Условие синусов Аббе — это
следствие физического требования равенства оптических длин по
разным направлениям от каждой точки предмета до соответствую-
щей точки изображения (одинаковость фаз волн, о которых будет
сказано далее).

2. Формулы Френеля. Световое давление
История физики складывалась так, что в силу практических
потребностей больших успехов в первую очередь добилась меха-
ника. Полученные на основе наблюдений и опытов законы позво-
лили создать хорошее теоретическое представление о механиче-
ских процессах и методы их расчета. Оптика по практическим по-
требностям и количеству наблюдений шла вслед за механикой.
Естественно, что при описании света использовались представле-
ния о частицах и волнах. Бьшо установлено, что свет является по-
перечной волной, может распространяться в вакууме и имеет ко-
нечную скорость. Развитие науки об электричестве и магнетизме,
приведшее к созданию стройной теории, в том числе и для элек-
тромагнитных волн, подтверждавшейся хорошим совпадением
с наблюдениями и опытами, дало возможность применить ее
к световым волнам. Оказалось, что скорость распространения
электромагнитных волн совпадает со скоростью света, что волны
поперечные, что соотношение между показателем преломления
и диэлектрической постоянной соответствует наблюдаемой вели-
чине. При использовании представления о свете, как об электро-
магнитной волне, хорошо описываются интенсивности волн при
отражении и преломлении, а также расщепление спектральных
линий (эффект Зеемана) и вращение плоскости поляризации све-
та в магнитном поле.
Рассмотрим прохождение света сквозь границу двух сред, счи-
тая, что свет представляет собой электромагнитную волну удовле-
творяющую уравнениям Максвелла (3, с. 465). Если на границу
двух изотропных однородных диэлектриков падает плоская элек-
тромагнитная волна, то, как показывает опыт, от границы раздела
диэлектриков будут распространяться две плоские волны — отра-
женная и преломленная. В электромагнитной волне вектор напря-
женности электрического поля Е перпендикулярен вектору на-
пряженности магнитного поля Н. Распространение электромаг-
нитной волны описывается вектором Пойнтинга (3, с. 482),
указывающим направление вектора плотности потока энергии 5
5 = с [Е,Н]/(4п). (2.1)
Векторы Е, Н и 5 взаимно перпендикулярны и составляют
правовинтовую систему (вектор 5 направлен в сторону движения
правого винта при повороте от Е к Н).
Для плоской волны связь между абсолютными значениями Е и
Н, меняющимися в одинаковой фазе, определяется диэлектриче-
45

ской проницаемостью. е и магнитной проницаемостью р среды
(3, с. 481)
(8)"’ Е = (ЮШН- (21)
В оптической части спектра для прозрачных диэлектриков
р и 1 и в этом случае (е)'/2Е = Н.
Отмечая касательные к границе сред (обозначены Цифрами 1
и 2) компоненты векторов Е и Н индексом т, а нормальные — ин-
дексом п, из уравнений Максвелла (3, с. 465) в любой момент вре-
мени для любой точки границы раздела получаем
Ем = Ева Н: = Нт епЕм = 82Е„2› Мнил = ШНлг (2-3)
Т
В первой среде результирующее значение напряженности поля
определяется суммой полей падающей и отраженной волн, а во
второй — полем проходящей волны.
Отмечая падающую волну индексом е, отраженную — индек-
сом г и преломленную — индексом д, обозначая соответствующие
радиусы-векторы г (от некоторого произвольного начала коорди-
нат), частоты о), фазовые скорости д, показатели преломления гра-
ничащих сред п, и п„ значения волновых векторов к и амплитуды
напряженности электрического поля Е, получаем выражения для
волн
Е,ехр[1(о),1 — 191)], К, = сое/о, = (о‚п‚/с;
Е‚ехр[1(со‚1 — |‹‚г)], К, сад/о, = со‚п‚/с; (2.4)
Е„ехр[1(ш‚,1 — |‹„г)], 19, = (од/од = оздпд/с.
Заметим, что постоянство скалярного произведения г на каж-
дый к определяет плоскость, перпендикулярную вектору к.
Из граничного условия (2.3) следует:
Е„ехр[1(со,1 — |‹,г)] + Е„ехр[1(а›‚1— |‹‚г)] = Ед,ехр[1(о›„1— |‹„г)].
Для выполнения этого соотношения в любой момент времени
1в любой точке границы раздела при неподвижных средах необхо-
димо, чтобы во всех трех показателях экспонент были одинаковы
коэффициенты при 1. Поэтому
(о = о), = 03„ = о). . (2.5)
6’
Направим ось 2 перпендикулярно границе раздела. Углы, кото-
рые волновые векторы падающей, отраженной и преломленной
волн составляют с осью г, которые называются углами падения, от-
ражения и преломления, обозначим соответственно ‹р, ‹р' и чл. Гра-
ничные условия должны выполняться сразу во всех точках грани-
46

цы раздела (плоскости хОу). Это возможно только тогда, когда зави-
симосгь Е, от координат точки в плоскости хОу у всех трех волн
одинакова, т. е. равны составляющие волновых векторов вдоль х и у
1: = 19„ = 19„ = шгцзйпср/с, КО, = 19„ = К‘ = О. (2.6)
д ‘У
Таким образом, волновые векторы лежат в одной плоскости,
проходящей через нормаль к границе и 15„ которая называется
плоскостью падения. Используя (2.4), можно записать
К} =/‹‚: +19: =‹о2п‚2 /с2, К} =/‹}„ +12}, =со2пё /с2.
Для составляющих волнового вектора нормальных к границе
раздела, учитывая направление относительно 2 и (2.6), получаем
[си =—/с„ = —‹оп, созф/с, К“ = (со/сип; —п,’ зйп’ ф)“. (2.7)
На рис. 2.1 показано расположение волновых векторов и век-
торов напряженносгей электрического и магнитного полей в па-
дающей, отраженной и преломленной волнах. Плоскость хОу —
плоская граница между средами. Плоскость 20х — плоскость паде-
ния. Ось 02 направлена вниз из первой среды во вторую. Ось Оу
направлена к читателю. Волновые векторы к лежат в плоскости
падения. Их игрековые компоненты равны нулю. Для иксовых
компонент можно написать 19„ = Кдйшр, 19, = /с‚$йп‹р'‚ 19„ = Кдвйпчл. Из
(2.4) — (2.6), вводя обозначения о, = с/п, и о, = с/п,‚ находим
Рис. 2.1
47

зйпср/о, = зйп‹р'/0‚ = зйпш/О,
Из первой части равенства следует ср = ‹р`. Это — закон отраже-
ния.
Для преломленной волны имеем (закон преломления)
эйти/ЗШФ = п./п2 = (г./г2>"’ (гм/иди = 1/п =. 07/14, (2-8)
где п — относительный показатель преломления; а`— диэлектри-
ческая проницаемость среды, связанная с показателем преломле-
ния.
Получилось, что геометрические законы отражения и прелом-
ления следуют из электромагнитной теории света и выполняются
независимо от векторных амплитуд и фаз, с которыми связано на-
правление колебаний в поперечной волне (поляризации). Ампли-
туды отраженной и преломленной волн зависят от поляризации
падающей волны. Векторные амплитуды всегда можно предста-
вить в виде суммы составляющих, лежащих в плоскости падения
и перпендикулярных к ней. На рис. 2.1 приведены компоненты
вектора напряженности электрического поля и вектора магнитно-
го поля, лежащие в плоскости падения (отмечены индексом д)
и перпендикулярные к ней (отмеченные индексом ф). Направле-
ния векторов выбраны так, чтобы в соответствии с (2.1) они со-
ставляли правую тройку с вектором плотности потока энергии.
Уточняя (2.2)‚ можно написать
(8)"2Е„ = (ЮШНь (ЕЩЕ; = (ЮШЩ- (29)
Пользуясь рис. 2.1 и (2.9), запишем выражения для проекций
компонент
д, = 154, совф, 19„ = Ед, д: = —Ее„$1п‹р, (2.1о)
На = —Нд‚со$‹р = —(е‚/д,)‘/2Е„со5‹р,
Неу = Не; = (8|/д|)1/2Ее||э
Н = Не“ зйпср = (е,/р‚)‘/2Еещвйп‹р;
02
Ед = —Е‚| созср, Е„ = Ед, Ед = —Е‚„в1п‹р, (2.11)
На = Нгпсоэф = (81/д1)1/2Егф созфэ
Нгу = Нд = (дт/дпудЕдр
Ни = Н,“ зйпср = (е,/р‚)'/2Е‚1$1п‹р;
Ед, = Ед созху, Еду = Е“, Ед: = —Е„, зйпш, (2.12)
Ндх = — ‘мсозхр —(е2/р2)‘/2Е‘„со$\|1,
Нду = Нац = (82/д2У/2Еа1р
Н“ = Нд, зйпш = (е,/р2)'/2Едщзйпш.
48

В соответствии с (2.3) граничные условия
Е„+Е„„=Е‚ Е +Е =Е
ц,+н‚‚=н:, Н:+17‚,=1?;,‚
81Ее2 + 81Ег2 = 82Едг9 ‚дне: + д1Нп = ц2Ндг°
(2.13)
В результате имеем
Е,‘ созф — Ед, совф = Ед совку, (2.14)
‹81/д1)1/2Е4 + (ел/ИУДЕ," = (52/д2У/2Е4р
е; п]. = Если
—(г‚/д.>"2Е„тс08Ф_+ (г./н1)"’Е„СОЗФ = -‹е2/м2›*/=Е„созш‚
е,Е„„ втпср + е‚Е‚д згшр = 82Е4|$1пчд
шНд зшср - „‚Н„ вшф = р2Н4 втш.
В последнее соотношение подставляем (2.9):
(31д1У/2Ее151пФ “ (гпддтЕгщ “ПФ = (52Н2У/2Едт ЗЁШУ- (2-15)
Используя геометрические законы отражения и вводя обозна-
чение пд = (е,/е‚)‘/2(р,/р‚)‘д‚ находим амтшитудные коэффшшенты
отражения К, и пропускания Ц (Мг 2.5):
К“ = ЕМЕд, = (пдсозф — созчд/(созч/ + пдсозср); (2.16)
7] = Ед/Е,“ = 2созср/(созц; + п„со$‹р); (2.17)
К,‘= Ед /Е„ = (созср — п„со$ч:)/(со$‹р + пдсозш); (2.18)
Т, = Едц/Еед = 2соз‹р/(сов‹р + пдсозш). (2.19)
При р, = р, = 1 имеем:
К‘ = (з1п2‹р — з1п2ч1)/($1п2‹р+$йп2ч/) = 13(‹р — ш)/г3(‹р + ш); (2.16а)
7], = Ъйпшсозср/[вйпар + цр)соз(‹р — чж)]; (2.17а)
К, = —$1п(‹р — чж)/зйп(‹р + чл); (2.18а)
Т, = 25йпшсо$‹р/$1п(‹р + ш). (2.19а)
Соотношения (2.16а) — (2.19а) называются формулами- Френе-
ля. Аналогичным образом можно получить соотношения для маг-
нитных векторов.
Фазы волн совпадают, если амплитуды имеют одинаковый
знак, и отличаются на п, если амплитуды имеют противополож-
ные знаки. Из (2.11) и (2. 14) видно, что фаза преломленной волны
совпадает с фазой падающей при любых углах. Зависимость фаз
4-4647 49

отраженных волн от углов и показателей преломления приведена
в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Фазы впряженных волн
Углы и показатели (ар + ф) < 11/2 (ф + ф) > 11/2
преломления
ф > ш, т. е. п; > п‘, фаза Е, щ противоположна фаза Е, 1 противоположна
или п > 1 фазе Ед; фаза Е,‘ противопо- фазе Е, 1; фаза Е," совпадает
ложна фазе Ед с фазой Еф
‹р < ш, т. е. п; < щ, фаза Ед совпадает с фазой ФЗЗЗ Ед СОВПМЗСТ С ФЗЗОЙ
или п < 1 Ед; фаза Е,‘ совпадаетс фазой Ед; фаза Ед противоположна
12„ фазе Е.“
Энергия волны, падающей на единицу площади поверхности
границы раздела в единицу времени, есть проекция вектора Пойн-
тинга (2. 1) на нормаль к границе раздела. Усредняя энергию за пе-
риод 2п/о), находим
И/е = сп, (Е 3* +Е Ё„)соэ‹р/(8п). (2.2О)
Соответственно для отраженной и преломленной волн
И’, = сп, (Е: +ЕЁ„)соз‹р/(8п); (2.21)
на, = сп,(Е 3, +Е З‚„)соз ч; /(8тс). (222)
Отношение отраженного потока к падающему для случаев,
представленных на рис. 2.1, определяется квадратами амплитуд-
ных коэффициентов отражения и называется коэффициентом от-
ражения
КЁ = [8йп(‹р - чд/ э1п(Ф + ч/Л’; (2-23)
131% =[18(Ф ‘ Чд/ 18(Ф + ЧОГ- (2-24)
Проверим с помощью формул Френеля, что ноток энерши па-
дающей волны через границу раздела сред равен сумме потоков
энергии преломленной и отраженной волн через ту же границу
(Мг 2.1). Сделаем это для случая, когда Е лежит в плоскости паде-
ния. Из первого и второго уравнений (2.14) и (2.16а) имеем
1—К„ =7]‚соз\у/соз‹р, 1+К„ =п7]‚. (2.25)
Из-третьего и четвертого уравнений (2.14) и (2.18а) получаем
1+Кд = Т‘, 1-1?‘ = Тдп совчд/созф. (2.26)
50

Из (2.25)
(2.27,'
Из (2.26)
1 — Я,' = Т,'л сов у/сов~р.
(2.28)
Для потоков энергии из (2.1) и (2.2), используя относительный
показатель преломления л = л,/л„в случае равенства потока энер-
гии падающей волны потокам энергии отраженной и преломлен-
ной волн имеем
сов(рЕ~ = сов(рЕ~~ +л сов Ч~Е
(2.29)
Вводя амплитудные коэффициенты отражения и преломле-
ния, находим
1= Я' + Т'л сов у/сов ~р.
(2.30)
Видно, что правая часть равна 1 при использовании равенства
(2.27), которое получено из формул Френеля.
В случае нормального падения волны (д = у = О) из (2.25)
и (2.26), находим
1 — Я, = Т,, 1 + Я, = лТ,, 1 + Я, = Т„1 — Я, = лТ,. (2.31)
Отсюда получаем
Я, = — Я, = — (л — 1)/(л + 1) = — (л, — л,)/(л, + л,); (2.32)
1= р+т,
(2.34)
где
р = Я~~' = (л — 1) ' /(л + 1) ';
т=лТ' =4л/(л+1)'.
(2.35)
(2.36)
Коэффициент отражения при нормальном падении (р) назы-
вается отражательной способностью. Для воды (л = 1,33) он равен
0,02, для стекла (л = 1,5) равен 0,04. Таким образом, ни вода, ни
51
Т = Т, = 2/(л + 1).
Результат подчеркивает, что нет смысла говорить о плоскости
па,д;ения.
Из (2.30), вводя коэффициенты отражения р и преломления
(пропускания) т (по энергии), получаем ()~о 2.2, )~~о 2.3)

стекло не являются хорошими зеркалами. Для зеркал используют-
ся металлические покрытия. Коэффициент пропускания при нор-
мальном падении (т) называется поверхностной прозрачностью.
Найдем, сколько процентов светового потока теряется на отра-
жение в призматическом бинокле, схема которого дана на рис. 2.2,
если показатель преломления стекла линз и призм равен п = 1,5
(Не 2.4). На рисунке цифрами отмечены места, где имеются поте-
ри на отражение (внутри призм потерь нет). Из (2.36) находим
долю прошедшего света т = 4-1‚5/2,5 = 0,96. Поэтому потери
в процентах равны 100 (1 — 0,968) = 28 %.
_1/\2 : з
д >7/\в >
\/
Рис. 2.2
При скользящем падении (ф = п/2), как следует из соотноше-
ний (2.23) и (2.24) =КЁ =1, происходит полное отражение
света.
Плоскость, в которой лежит напряженность электрического
поля (Е), называется плоскостью колебаний и по новой терминоло-
гии плоскостью поляризашш (раньше так называлась плоскость,
перпендикулярная к этой, в которой лежит вектор напряженности
магнитного поля). Если направление плоскости поляризации при
распространении света не меняется, то свет называется линейно
поляризованным. В общем случае направление плоскости поляри-
зации падающего света составляет некоторый угол с плоскостью
падения, который называется азимутом колебания (поляризашш)
падающей волны. При этом имеются компоненты Е в плоскости
падения и перпендикулярной к ней. Ранее (см. табл. 2.1) было по-
лучено, что на границе фаза волн не меняется или меняется на 1:.
52

В результате поляризация остается шшейной (Мз 2.6). Исключени-
ем является только случай полного внутреннего отражения (1.2).
При этом из (2.7) следует, что 19„ — мнимая величина. В таком слу-
чае вместо преломленной волны в (2.4) получаем колебания, зату-
хающие с увеличением расстояния (г) от границы. Характерным
параметром является глубина проншсновения во вторую сред); кото-
рая из (2.7) равна
Ь=(с/а›)-1/(п,2вйпдр-пё)“. (2.37)
Найдем азимут колебания преломленной волны В и азимут ко-
лебания отраженной волны у, если азимут падающей волны а,
а угол падения ф (Не 2.7). Обозначая {за = Ее, / Е , [36 = ЕЩ/Е ,
137 = Ед/Ед, из (2.16а) — (2.19а) получаем
кэВ = с0з(ч> — чтвоъ, тау = —с08(‹р — Шива/СОБОР + ч!)-
Из (2.16а) для отраженной волны получаем, что составляющая
Е в плоскости падения равна нулю при (р + ч; = тс/2, т. е. отражен-
ный свет линейно поляризован в плоскости, перпендикулярной
плоскости падения. Используя (1.1), находим связь угла падения
в этом случае (рв с показателем преломления
твсрв = п = п,/п‚. (2.38)
Угол (рв называется углом Брюстера. Заметим, что угол между
преломленной и отраженной волнами равен п/2. Отсюда также
следует, что в отраженной волне, которая возникает в результате
колебаний в отражающей среде, а они лежат в плоскости, перпен-
дикулярной преломленной волне, могут быть поперечные колеба-
ния, перпендикулярные плоскости падения.
Формулы Френеля хорошо описывают отражение и преломле-
ние света на чистой границе раздела двух прозрачных диэлектри-
ков. Небольшие отступления от формул Френеля наблюдаются
лишь при отражении под углом Брюстера и вблизи от него. Коэф-
фициент отражения (2.16а) не обращается в нуль ни для какого
угла падения, хотя при угле Брюстера он очень мал. Это связано
с тем, что изменение диэлектрической постоянной, а, следова-
тельно, и показателя преломления, на границе диэлектриков про-
исходит плавно, а не скачком. В результате возникает вращение
плоскости поляризации — эллиптическая поляризация отражен-
ного света. Выполняется и обратное заключение — при наличии
эллиптической поляризации существует компонента вектора по-
ляризации, лежащая в плоскости падения. Это получается при
53

стекла (п = 1,5) естественного света (М 2.11). Учитывая, что па-
дающий свет естественный Е 31 = Е 3", и при угле Брюстера Е ‚д = О,
получаем
1, /1. =(ЕЕ1. +Е:.›/‹ЕЗ‚ +ЕЕ||)=‹1/2)ЕЕ1/ЕЕ1 ==‹1/2›к3.
Используя (2.23) и (2.38), определяем
1/1, = (1/2) [(п2 — 1)/(п2 + 1)] 2 = 0,074.
Найдем, при каких условиях луч све-
та, падающий на боковую грань про-
зрачной изотропной призмы (рис. 2.3)
с преломляющим углом а = 60’, прохо-
дит через нее без потерь, т. е. не претер-
певает отражений на поверхностях приз-
мы (Мг 2.12). Ограженного света не бу-
дет, если электрический вектор лежит
в плоскости падения, а угол падения
(также и для обратного хода) равен углу
Брюстера. Ход лучей симметричен. Из равностороннего треуголь-
ника, (2.38) и ‹р + ч: = п/2 получаем чл, = ш, = оъ/2 = 3О° и п =
= 1/ъ330° = 1,732.
Если задан показатель преломления, а требуется найти пре-
ломляющий угол призмы (Ме 2.13), то можно воспользоваться
теми же формулами. -
Из (2.23) и (2.24) следует, что коэффициент отражения не меня-
ется, если ход луча меняется на противоположный (Мг 2.14).
Рассмотрим отражение от плоской поверхности среды, на ко-
торую нанесен слой прозрачного диэлектрика толщиной 1с показа-
телем преломления п. Найдем связь между комплексными ампли-
тудами Е, и Е, падающей и отраженной волн при падении, близ-
ком к нормальному (прямому), когда теряется смысл плоскости
падения, и можно для любой поляризации пользоваться, напри-
мер, формулами для волны, поляризованной перпендикулярно
плоскости падения. Считаем заданными коэффициенты Френеля
(2.18а) и (2.19а) на верхней и нижней границах слоя К, и 12„ 7] и 7;
(Мг 2.15). Из (2.4) следует, что разность фаз волны после отраже-
ния от нижней границы слоя изменяется на
б = К,21п = (2п/7„„)21п. (2.42)
На рис. 2.4 показана картина отражения для удобства под не-
большим углом и написаны результирующие коэффициенты. Ко-
эффициенты для обратного движения отмечены штрихом. Из
55

(2.18а) следует, что при замене
ч; на ‹р меняется знак коэффици-
ента, т. е.
К = —К'. (2.43)
Из (2.19а) и (2.18а)
ТТ’+К2=1. (2.44)
В результате имеем
Е, / Е, = К, +7]7]’К,е"’5 +
+Д Д'к,'к}е"‘5 +цтг,'*к;е"‘® +...
Откуда по формуле для суммы геометрической прогрессии
Е, / Е, = К, +7]7]’К,е“‘б /(1—К,’К,е"5).
Используя (2.36) и (2.37)‚ получаем
Е, / Е, = (К, +К,е”б)/(1+К,К,е"б). (2.45)
Это выражение обращается в нуль, если действительная
и мнимая части числителя обращаются в нуль: К, + К2соз(2п/‹,1) =
= О, з1п(2п1с,!) = О. Из последнего следует: 2п/с,1 = тп или
1 = т7ь0/(4п) = тЖ/4, .46)
где т — целое число; А — длина волны в пленке.
Тогда из первого соотношения получаем К, + (—1)"'К, = О. Если
т — нечетное, то К, = К„ если т — четное, то К, = —К,. Обозначая
показатель преломления над пленкой п,‚ а под пленкой — п,‚ по-
лучаем из (2.32)
К1 = (п `" пд/(п + т): К2 = („2 " т/(пл _ п)
Если К, = —К,‚ то п(п2 — п,) = О. Откуда имеем, либо п = О, либо
п, = п, И то, и другое не представляет интереса. Поэтому т долж-
но быть нечетным, а следовательно, К, = К, Откуда
п = (п,п2)‘/2. (2.47)
Таким образом, отражение отсутствует (просветленная оптика),
если толщина пленки 1 = тж/4, где т — нечетное, и выполняется
(2.47) (Мг 3.15).
При отражении от идеального зеркала может меняться только
фаза, но не амплитуда волны. Поэтому для идеального зеркала,
покрытого сверху слоем прозрачного диэлектрика, К, = е“. Вводя
56

обозначение (2.42), получим из (2.45) Е,/Е, = (Я, + ~' ~'- ~)/(1 +
+ Я,е-~'- >). Отсюда ~Е,~ = ~Е,~ (М 2.16).
Найдем коэффициенты отражения р и пропускания т для со-
вокупности двух параллельных полупрозрачных плоскостей (пер-
вая имеет р, и т„а вторая: р, и т,), предполагая, что степень моно-
хроматичности падающего света невелика, так что интерференции
не происходит, а имеет место сложение интенсивностей света
(Ж 2.17). Учитывая многократные отражения и пропускания на
границе, можно записать
2 2 2
Р— Р1 + Р 2 т1 + Р 2 т1 Р1Р 2 +" — Р1 + Р 2 т1 / Π— Р, Р ~ )1
т = т, т, + т, т, р, р, + т, т, (Р, р, ) ' +... = т, т, / (1 — р, р, ).
Из (2.27) имеем р, + т, = 1, р, + т, = 1. Поэтому получаем
р = (р, + р, — 2р,р,)/(1 — р,р,), т = (1 — р,)(1 — р,)/(1 — р,р,). (2.48)
(2.49)
Р = тР/[1 + (т — 1)Р].
Подставляя это в (2.48), получаем
Р,, = (Р + Р— 2Р Р)/(1 — Р„Р) = (т + 1)Р/(1 + тр).
Это доказывает (2.49). Аналогичным образом предполагаем
и доказываем следующее:
т = (1 — р)/[1 + (т — 1)р].
(2.50
Заметим, что на каждой поверхности показатель преломления
меняется. За 1 следует и, затем 1, потом л и т. д.
Найдем коэффициенты отражения и пропускания для стопы
Столетова, состоящей из Жплоскопараллельных стеклянных пла-
стинок, при падении на нее под углом Брюстера света, поляризо-
ванного перпендикулярно плоскости падения, и построим график
их зависимости от %для показателя преломления и = 1,5 (М 2.19).
Из (2.23) р= Л,' =[яп(~р — у)/в1п(~р+у)]' =0,148. Пояснение связи
57
Рассмотрим теперь совокупность из нескольких параллельных
полупрозрачных плоскостей с одинаковыми значениями р и
т (М 2.18). Индексом будем обозначать число таких плоскостей.
Тогда для двух плоскостей из (2.48) находим: р, = 2р/(1 + р), т, =
= (1 — р)/(1+ р). Для трех плоскостей, подставляя это в (2.48), по-
лучаем: р, = Зр/(1 + 2р), т, = (1 — р)/(1 + 2р). Для четырех плоско-
стей, соответственно имеем: р, = 4р/(1 + Зр), т, = (1 — р)/(1 — Зр).
Предполагаем зависимость

д’ т и А! в стопе Столетова дано на рис. 2.5. Видно,
1 что т = 2М Подставляя это в (2.49) и (2.5О)‚ полу-
чаем
2 р„ = 21\’/(21\’ + 5,76), т„ = 5,76/(21\/ + 5,76).
п
1
п
1 Найдем степень поляризашш преломленного
д 3 луча по выходе его из стеклянной пластинки с по-
1 казателем преломления п для заданного угла паде-
ния (ф) естественного света (М9 2.20). Используем
п (2.17а) и (2.19а) на верхней границе; на нижней
‚ 2_5 границе — те же формулы с переставленными (р и
чл. Из (2.4О) и (2.41), учитывая, что падающий свет
естественный, получаем
А = [соз‘(ч1 — Ф) + 11/[соз‘(ч/ — Ф) + 1].
По заданным ф и п с помощью (1.1) находим ч; и затем А.
Выясним, будет ли существовать угол полной поляризации
при отражении линейно поляризованного света от границы, если
магнитные проницаемости р, и д, граничащих сред отличны от
единицы (М: 2.22). Из уравнений (2.14) и (2.15)
1 — К, = 7] созху/созср, 1 + К, = пдц; (2.51)
1 + К, = Т„ 1 — К, = Т,п,‚совч1/со$‹р;
сачок изд шю.-ь5
1 + К, = 7] (г,/е‚) (зйпчх/Зйпф), 1 — К, = Т,п2‚$1п\р/в1п‹р.
Напомним, что
п = (е/ед) ‘д (щ/рд ‘д. (2.52)
Для полной поляризации в направлении, перпендикулярном
плоскости падения, должно быть К, = О. Для нахождения угла имеем
1 = (гд/г.) (81пш/81пФ)/п2.‚ сову/СОЗФ = "ш
Исключая чл, получаем: кедр = (п„ — 1)/(1 — 212,). Окончательно
для угла Брюстера имеем
ЁБФБ = (Ед/гнул (3211: " 51д2У/2/(32д2 " 81111) и
Возможна полная поляризация в плоскости падения. Считая
в уравнениях (2.51) К, = О, получаем другой угол Брюстера
ЧФЁ а (Еда/дул (32141 - 31%) “2/(31311 "' 32119”?
Оба случая взаимно исключают друг друга, так как знаки под-
коренных выражений противоположны.
58

Найдем отражательную способность среды, для которой
а = р (М 2.23). В уравнениях (2.51) считаем е, = р, = 1, е, = р, Из
(2.52) п„ = 1. Решая уравнения, полученные из (2.51), находим
К, = К, = О. _
Для получения эллиптической или круговой поляризации
можно использовать полное внутреннее отражение. При полном
внутреннем отражении волновой вектор в (2.7) становится мни-
мым, что приводит к экспоненциальному затуханию амплитуды
во второй среде. Заметим, что при комплексном волновом векторе
в (2.4) получаем особый тип волн, у которых плоскости одинако-
вых амплитуд и плоскости одинаковых фаз взаимно перпендику-
лярны. Волны называют однородными, если волновые векторы ве-
щественные, и неоднородными в случае комплексных волновых
векторов. При полном внутреннем отражении из (2.7) и соотно-
шения 19„ = [сдсозхр получаем
созч/ = 1(п‚/п,)($1п2‹р — п,2/п‚2)'/2. (2.53)
Из (2.16а) — (2.19а) записываем формулы Френеля в удобном
виде
12„ = Е," /Е,„ =[п2 совф +1($1п2 ‹р—п2)"2]/ (254)
/[п2 со3‹р—!($1п2 ‹р—п2)"2];
7] = Ед/Ед =2псоз‹р/[п2соз‹р — Квйпдр — п2)'/2]; (2.55)
К,= Е‚,/Е„= [совф + 1(з1п2‹р — п3)'д]/[соз‹р — 1(з1п2‹р — п2)‘/2]; (2.56)
Т,= ЕЩ/Еш = 2соз‹р/[соз‹р — 1(з1п2‹р — п2)‘д]. (2.57)
Из этих формул следует, что |Е‚,| = |Ец| и |Е‚‚| = |Е‚‚|, т. е. отра-
жение полное. Во второй среде неоднородная волна не исчезает,
а присутствует в виде некоторого неизменного среднего потока
энергии паратшельно границе.
При полном отражении фаза волны испытывает скачок. Для
волны, поляризованной перпендикулярно плоскости падения, ис-
пользуя (2.56) можно записать
соэф + 1(з1п2‹р — п2)‘д = Аехр(1б,/ 2), (2.58)
где А и б 1 — величины вещественные, п = п‚/п‚.
Тогда из (2.56)
совср — 1(5пт2‹р — п2)'/2 = Аехр(—1б,/ 2), К, = ехр(1б,).
Таким образом, б 1 — скачок фазы при полном отражении из
(2.58)
Асовб,/ 2 = созср, А$1пб,/ 2 = (зйпдср — пг) ‘д.
Отсюда
59

13(б 1 / 2) = (зйпдр — п2)‘/2/соз‹р. (2.59)
Используя (2.54), аналогичным образом получаем скачок фазы
для волны, поляризованной в плоскости падения,
Ещё“ / 2) = (зйпдф — п2)‘/2/(п2со$‹р). (2.6О)
Если в падающей волне нет разности фаз между компонентами
в плоскости поляризации и перпендикулярной, то после отраже-
ния возникает разность
б = б, — 8,. (2.61)
Из (2.59) и (2.6О) находим
13(б/2) = со$‹р(з1п2‹р — п2)'/2/зйп2‹р. (2.62)
Это выражение обращается в нуль при угле полного внутрен-
него отражения, который определяется из (2.7): зйтрт = п, и при
ф = п/2. Видно, что т3б/2 > О, и б меняется от О до 1:. В соответст-
вии с (2.61) колебания в плоскости падения опережают колебания
в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Вращение
плоскости поляризации происходит влево. Поляризация называ-
ется левой эллиптической (или круговой при равенстве амплитуд)
(Мг 2.25). Если в падающей волне разность фаз между компонен-
тами равна к (колебания в противофазе), то в отраженной волне
поляризация будет правой эллиптической (или круговой). Для па-
дающего линейно поляризованного света с азимутом +45° этого не
будет (М9 2.28). А
Найдем максимальный сдвиг при изменении ф между (рт и к/2
(Мг 2.26). Для нахождения максимума (2.62) введем обозначение
зйпдр = х, 136/2 = у(х). Тогда у = [(1/х — 1)(1 — п2/х)]‘д,
ду/дх = (1/2)[—(1 — п’/х)/х’ + ,
+(1/х — 1) п’/х’1/[(1/х — 1)(1 — п2/х)1"’.
Приравнивая это нулю, находим
х = 2п2/(1 + п’), со$2‹р‚„ = (1 — п2)/(1 + п’).
Для того чтобы получить б„‚ = п/2, нужно п = п2/п, = «б — 1 =
= 0,414 или при п, = 1 должно быть п, = 2,41 (Мг 2.27). Только для
алмаза п, = 2,42, а для других сред меньше. В таком случае можно
использовать два последовательных отражения, как это происхо-
дит в паршшелешшеде Френеля (рис. 2.6) для получения эллипти-
ческой и круговой поляризации.
60

А М В
Рис. 2.6
Найдем преломляющий угол ср параллелепипеда Френеля, вы-
полненного из стекла с показателем преломления п, = 1,7
(Мг 2.24). При каждом отражении (см. рис. 2.6) б = тс/4. Используя
(2.62), п = 1/п‚ и связь тангенса с косинусом, получаем для нахож-
дения ср
$1п4‹р — (1 + 1/п,2) со52(1т/8) зйп2ср + (1/п,2) соз2(тс/8) = О.
Откуда (р, = 6О°32', ф, = 38°42'.
Падающий на тела свет оказывает на них механическое
давление. Это предполагалось в корпускулярной теории Ньютона.
Давлением света Кеплер объяснял направление кометных хвостов
(от Солнца). Экспериментально это впервые измерил П.Н.
Лебедев. Электромагнитная теория света в соответствии
с наличием потока энергии и соответствующего импульса
позволила провести расчеты. Представление света в виде фотонов,
обладающих энергией и импульсом, дает возможность вычислить
давление света на тела.
Исходя из представления о том, что свет состоит из фотонов,
каждый из которых обладает импульсом
рф = т/с, (2.63)
где 12 — постоянная Планка; у — частота света; т» — энергия фото-
на; с — скорость света в вакууме, определим давление рср световой
волны на плоское зеркало, предполагая, что коэффициент отра-
жения зеркала равен г, а угол падения ф. Определим также танген-
циальную силу т, действующую на единицу поверхности зеркала
со стороны падающего излучения (М 2.31). Обозначая число фо-
тонов в единице объема П, получаем, что число фотонов, падаю-
щих на площадку зеркала 8 в единицу времени, равно 1\/с.5`соз‹р.
Вводя единичный вектор в направлении движения фотонов й и
плотность энергии в падающей волне и = Мг», для суммарного им-
пульса света, ПЗДЗЮЩСГО В ЕДИНИЦ)’ времени на площадку 5, нахо-
ДИМ
61

р, = й,и5соэ‹р. (2.64)
Для отраженного импульса
р, = й2ги$со$‹р. (2.65)
Имея в виду, что
Е = с1р/с11, (2.66)
для силы, действующей на площадку зеркала, получаем
Е = —(р, — р,) = (й, — й2)и.$'соз‹р. (2.67)
Эта сила создает давление на площадку
рср = и(1 + г) соз2ср и т = (1/2)и(1 — г) 51п2‹р. (2.68)
При нормальном падении (ср = О) для идеального зеркала
(г = 1) давление излучения равно 2и, для полностью поглощающей
поверхности (г = О) соответственно и (Мг 2.35).
Если отражающая поверхность не зеркало, а идеально матовая
(удовлетворяет закону Ламберта), то она отражает весь падающий
на нее свет и равновероятно по всем направлениям. Найдем дав-
ление и касательное напряжение, действующие на поверхность
зеркала в этом случае (Мг 2.32). Найдем вероятность того, что на-
правление отраженного фотона составляет с нормалью к поверх-
ности угол между 9 и 9 + (19. Для этого вычислим соответствую-
Щий этому телесный угол
д!) = 2тсз1п6д9. (2.69)
Так как в полупространство с телесным углом 21: фотоны рас-
пределяются равномерно, то их число, а следовательно, и вероят-
ность пойти в телесный угол с!!! равна сЮ/(2тг) = зйпеде. Результи-
рующий импульс всех отразившихся фотонов благодаря симмет-
рии относительно нормали к поверхности будет складываться из
составляющих импульса вдоль нормали к поверхности. Таким об-
разом, среднее значение проекции импульса одного фотона на
нормаль к поверхности равна
1720111 / с) 0039 $111 ЭдО = (1 / 2)/ш / с.
0
Для результирующего импульса всех отразившихся фотонов
получаем
р, = п1\’с5со3‹р(1/2)/п›/с = (1/2)пи5со3‹р. (2.7О)
62

где п — единичный вектор нормали к отражающей поверхности.
Сила, действующая на площадку 5‘, равна
Е = р, — р, = и.$`(й — п/2)соз‹р. (2.71)
Проецируя на нормаль и поверхность, получаем давление и ка-
сательное напряжение
рср = и[соз2‹р + (1/2)со$‹р] и т = (1/2)изйп2‹р. (2.72)
Найдем световое давление солнечного излучения на единицу
площади земной поверхности, перпендикулярной направлению
излучения (Не 2.37). Считаем, что солнечная постоянная, т. е. энер-
гия, которую приносят солнечные лучи за единицу времени на
единичную площадки поставленную перпендикулярно к направ-
лению излучения на среднем расстоянии Земли от Солнца, равна
1,35-1О6 эрг/(с-см2). В соответствии с (1.67) — это плотность пото-
ка, или освещенность, Е = и с. Используя (2.68)‚ при полном по-
глощении излучения (абсолютно черное тело, г = О)
р = и = Е/с = 0,45 дин/м’. (2.73)
Это приблизительно 0,5 мг/м’, при полном отражении (абсо-
лютно зеркальное тело, г = 1) р = 2Е/с‚ при матовой поверхности
(тело, удовлетворяющее закону Ламберта) из (2.72) р = (3/2) Е/с.
Выразим силу давления
плоской световой волны,
падающей на поверхность
шара, размеры которого ве-
лики по сравнению с дли-
ной световой волны
(М 2.38). В этом случае
можно не учитывать ди-
фракцию, а ограничиться
приближением геометриче-
ской оптики. На рис. 2.7 по- Рт и
казан световой поток, па-
дающий на шар. В силу
симметрии результирующая сила направлена по оси х. Площадь
малого кольцевого элемента поверхности шара 415 = 2па2зйпср акр.
Используя (2.67), находим силу на единицу площади, когда коэф-
фициент отражения поверхности равен г и не зависит от угла паде-
ния
1; = исозф + гис0$фсо$2ф = (1 - г)исоз‹р + 2гисоз3ср.
63

Интегрируя по освещенной поверхности шара (ср изменяется
от О до тс/2)‚ получаем
п/2
г, = 1 [(1—г)и со5‹р +2ги со$3 ср]2ла2 зйп фа'‹р= тса2и. (274)
О
Оказывается, что сила в этих случаях не зависит от коэффици-
ента отражения.
При идеально матовой поверхности шара, используя (2.71),
имеем
1; = исожр + исоз‹р(1/2)$1п‹р.
Соответственно
п/2
Р, = ‘Пи созср + и со$‹р(1/2)$1п ‹р]2тса2 зйп ‹рс1‹р = (4/ 3)тса2и.
0
Реально коэффициент от-
ражения зависит от угла паде-
ния. Это можно получить из
(2.16)‚ (2.18). Усреднение зави-
симостей для неполяризован-
ного света дает увеличение ко-
эффициента отражения с уве-
личением угла падения. На
рис. 2.8 угол падения луча АВ
45°. Фотоны, попадающие на
окружность ВВ, будут отра-
р„с_ 23 жаться под прямым углом к на-
правлению падающего луча,
таким образом, каждый фотон передает импульс Ьи/с. Фотоны,
попадающие внутрь окружности, передают импульс, больший
Ии/с, а вне окружности — меньший т/с. Как получено ранее, при
коэффициенте отражения, не зависящем от угла, увеличение ком-
пенсирует уменьшение, и в результате давление не зависит от ко-
эффициента отражения. Если коэффициент отражения возрастает
с увеличением угла падения, то уменьшение импульса за счет фо-
тонов, падающих вне окружности, будет больше. Следовательно,
давление на идеально, т. е. полностью, отражающий шар будет
больше (Мг 2.39). `
Определим отношение силы светового давления Е солнечного
излучения на поверхность земного шара, считая ее абсолютно чер-
64

ной, к силе гравитационного притяжения Земли к Солнцу 13, если
известны средняя плотность Земли р, ее радиус а, расстояние до
Солнца К, период обращения вокруг Солнца Ти плотность энер-
гии солнечного излучения вблизи Земли и (Мс 2.40). Используя
(2.73) и (2.74)‚ получаем Ь] = шва’. Для силы гравитационного при-
тяжения имеем (1, с. 144) В = (4/3)па3р4тс2К/Р. Поэтому отноше-
ние сил 12/13 = 3иР/(16п1а12р). При подстановке числовых значе-
ний получаем очень малую величину (порядка 10-14).
Найдем величину и направление силы Е, действующей на еди-
ницу площади поверхности раздела вуакуум — стекло (показатель
преломления п = 1,5), если из вакуума падает перпендикулярно
к поверхности световой пучок интенсивности 1 = 10 Вт/см1
(Мг 2.33). Исходим из представлений, аналогичных (2.63)
рф = Мс, И = 11/(211), К = (оп/с, Еф = На), (о = у/(2п)‚ (2.75)
где рф и Еф — импульс и энергия фотона; к — волновой вектор; у и
со — частота и круговая частота.
Интенсивности отраженного и прошедшего пучков находим
с помощью (2.35) и (2.36): [от = 1(п — 1)2/(п + 1)2, 1,“, = 1-4п/(п + 1)2.
Подсчитывая число фотонов, приходящихся на единицу площади
за единицу времени, как 1/(йсо), получаем
рт = Лещ/со, рт = 1т|‹„„‚/ш, рт, = 1„„к„„/ш.
Используя (2.66) и то, что вы, = —|‹„,д и 1‹„р = Кшп, из изменения
импульса за единицу времени получаем
Ё = Рпр + рагр т Рт = (1/0201 - 1)/(п + 1) = 1,310" ДИН/СМ’-
Такая сила действует со стороны поверхности на пучок фото-
нов. Противоположно направленная сила давит на поверхность
стекла.
Линейно поляризованная световая волна с направлением
электрического вектора в плоскости падения и интенсивностью
1 = 1 Вт/см2 падает из вакуума под углом Брюстера на круглую
плоскопараллельную пластинку толщиной с! = 3 мм и диаметром
В = 10 см. Показатель преломления стекла п = 1,5. Найдем момент
силы М, действующей на пластинку, а также направление поворо-
та пластинки (Не 2.34). В данном случае нет отраженного света.
Свет преломляется и выходит из пластинки, как показано на
рис. 2.9. В соответствии с (2.75) фотон обладает импульсом
рф = й/с = йсо/с. Относительно точки 0 фотон обладает моментом
импульса АМ = рф], который он передает пластинке. Для угла Брю-
65
5-1647

Рис. 2.10
стера из (2.38) имеем: твср = п.
Угол преломления ч: = п/2 — (р.
Из геометрии 1 = с1з1п(‹р —
— чд/созш. Так как вйпср = т3‹р/(1 +
+ туф) = п/(1 + п’), созср = 1/(1 +
+12’), 1=(с1/п)(п’ — 1)/(1 + п’)-
Число фотонов, падающих на
пластинку в единицу времени,
А! = [1/(йш)](п1)1/4)соз‹р.
В результате полный момент,
действующий на пластинку,
М = МАМ = (1/с)(п1)?/4)(а7/п)х
х (п2 — 1)/(п2 + 1) = 2-10-3дин-см.
Найдем давление света на
идеальное зеркало, если излуче-
ние изотропно (Не 2.36). Вос-
пользуемся методом, аналогич-
ным примененным ранее (2,
с. 171) для молекул идеального
газа. Найдем число фотонов, уда-
ряюшихся в единицу поверхно-
сти зеркала за 1 с. Фотоны пада-
ют под разными углами О к нор-
мали к площадке поверхности
зеркала 075. На рис. 2.10 показана
площадка и элемент излучающе-
го объема‚ из которого фотоны
попадают на площадку под углом
9. Благодаря симметрии относи-
ТСЛЬНО нормали К ПЛОЩЗДКС ЭТОТ ОбЪСМ равен
с1У= КаЮдЮпКЗЁпЭ = 2тсК’с1К$1пЭс19.
Обозначая число фотонов в единице объема П, получаем, что
в объеме с! У их будет МИЛ Используя изотропность, находим, что
в направлении площадки (15 летит их доля с1.$'соз9/(4тсК2). Таким
образом, для числа ударяющих в площадку фотонов имеем
фат = 1\’2тс122‹112$йп9с19с1.$`со$6/(4пК1) = (1 /2)1\/с15'з1п6соз9‹19с1К.
Учитывая (2.63), и = ил», идеальность зеркала (упругое отра-
жение) и что (Ж = са’! (с — скорость света), для нормального к по-
верхности зеркала давления получаем
66

п/2
р= (117/(15: [или/с)созе(1/2)1уз1песозе‹1е‹с =
(2.76)
0
тс/2
= и ‘Нов’ 6с1(—со$9)= и /3.
0
Найдем закон изменения плотности световой энергии при от-
ражении от медленно движущегося идеального зеркала (М 2.41).
Используя (2.4), в случае нормального падения на границу (плос-
кость, перпендикулярную оси г) плоской волны Е, =
= Ед, ехр[1(со,1 — 19,2] получаем отраженную волну Е, = Е„‚ехр[1 (со; +
+ 191]. Для движущейся со скоростью о в направлении 2 границы
имеем г = Ш. Для идеального зеркала амплитуда отраженной вол-
ны равна амплитуде падающей волны, а проходящей волны нет.
Для того чтобы выполнялось условие непрерывности Е на границе
показатели экспонент должны быть одинаковыми, т. е.
о), — 1911 = (о, + 190.
Подставляя К, = ‹о,/с и К, = со/с, получаем
(о, = со, (1 — 20/с).
Таким образом, при неподвижной границе (о = О) энергия фо-
тонов йод, а на подвижной границе На), = йсо, (1 — 2о/с). Соответст-
вующим будет и отношение плотностей энергий и, = и,(1 — 2о/с).
Для встречного движения зеркала 2 = —ш и, соответственно, о), +
+ /с,о = о), — 190 и и, = и,(1 + 2о/с).
Оценим напряженность электрического поля Е и давление
света р в фокусе идеальной линзы (фокусное расстояние /= 5 см),
на которую падает световой пучок площадью 5’ = 1 см’ лазера
мощностью 1\/= 500 МВт с длиной волны 7» = 6943А(М9 2.42). Ис-
пользуя (2.1) и (2.2) для пучка света, падающего на линзу получа-
ем 1\’= <ЕН>5с/(4п) = <Е?>5с/(4п), а давление ро = П/(Бс). Счита-
ем, что
Ео а (<Е?>)‘/2 = [4п1\’/(5с)]'д = 1,45-1О3 ед. СГСЭ = 4,3-1О5 В/см,
р‘, н 1,67-105 дин/см1 а 0,16 атм.
Идеальная линза концентрирует эти параметры на площадь
дифракционного пятна. В разделе о дифракции будет показано,
что его площадь 5„ = т:(0,61/)„/г)2 = (О,611г/?„)2/5, где г — радиус по-
перечного сечения падающего пучка. Полученную площадь надо
подставить в предыдущие формулы вместо 5‘. В результате нахо-
дим
5. 67

Е = (<Е7>)‘/2 = $Е„/(о,61л;ж) = 1,5-1О3Е„ = 6,4-1О8 В/см,
р = [5/(О‚61тс]`7ь)]2р0 = 2‚25‹1о6р„ = 3‚6-1О5 атм.
Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью т = 0,5 мс
энергию И/= 1 Дж в виде почти параллельного пучка сечением 5 =
= 1 см2. Рабочая длина волны лазера 7» = 694313, излучение во вре-
мя импульса можно считать равномерным. Определим следующие
величины: 1) давление несфокусированного пучка света на пло-
Щадку, перпендикулярную пучку; 2) давление света на площадку
перпендикулярную к пучку при максимально возможной концен-
трации светового пучка (при фокусировке в область с площадью
поперечного сечения порядка М); 3) напряженность электриче-
ского поля Е в области максимально возможной концентрации
светового пучка (Мг 2.43). Используя (2.68)‚ получаем
1) р = И/(1 + г)/(ст.$') = (2/3)(1 + г) дин/см’, где г — коэффи-
циент отражения поверхности;
2) р н 1441 + г)/(ст7ь) в 15О(1 + г) атм;
3) Е н [811 РУ/(сОГд/Ж н 6-104 ед. СГСЭ а 1,8-1О7 В/см.

З. Интерференция монохроматического света
Для многих типов волн характерно, что при пересечении их
путей они не меняются. Освещенность прожектором предмета не
изменится, если луч прожектора где-то пересечет луч другого про-
жектора. Если нет влияния, то действие таких волн, например ос-
вещенность одного предмета двумя прожекторами, просто сумми-
руется (складываются линейно интенсивности). Говорят, что су-
Ществует суперпозиция.
При определенных условиях сложение волн может происхо-
дить по-другому. В случае волн одинаковой частоты с неизменным
сдвигом фаз, которые называют когерентными, происходит сложе-
ние амплитуд. В результате при одинаковых амплитудах и проти-
воположных фазах двух складывающихся волн получаем гашение
одной волны другой. Такие сложения называют интерференцией.
На экране, освещаемом когерентными волнами, из-за изменения
разности фаз, определяемой разностью хода, возникает интерфе-
ренционная картина.
В случае света источниками электромагнитных волн являются
возбужденные атомы, которые излучают в течение около 10-8 с на
частотах порядка 10-15 Гц (А т 10-5 см). При несогласованности
различных излучателей (некогерентности) интерференционная
картина, т. е. наличие максимумов и минимумов, не наблюдается.
Для получения интерференции проще всего волну, идущую от од-
ного источника разделить, например с помощью зеркала или двух
щелей, на две и пустить по разным путям. При не очень большой
разнице путей когерентность двух волн сохраняется, и они дают
интерференционную картину. В общем случае локальные источ-
ники создают сферические волны. Удобно вначале рассмотреть
сложение плоских волн.
Плоские монохрома- У“
тические волны описыва- - _ _
к
ются формулами (2.4), где Ё е ум (т: 2)
вектор Е — напряжен- 1 а д
ность электрического "а 1. 1
поля, среднее значения _ к’ - Ау
квадрата которого в соот- 5 1, ё
ь<————————->-
ветствии с (2.39) равно '
Рис. 3.1
интенсивности волны. На
рис. 3.1 представлены две
одинаковые плоские (К, = О) волны, приходящие в начало коорди-
нат под углами а и (—а) с одинаковой фазой и одинаковой ампли-
69

тудой А (вектор Е направлен по оси х и от х не зависит). Для каж-
дой волны можно написать
Е(у, ~, ~) = Аехр[~(и~ — Кг)] = Яу, ~)ехр(ко~),
(3.1)
где 5 — комплексная амплитуда, Й„= О, Й, = Ыпа, Й, = Йсова, ин-
тенсивность 1 = А'.
Для суммарной комплексной амплитуды в плоскости ~ = О име-
ем
Ю = Аехр(йв1пау) + Аехр( — йв1пау) = 2Асов(Ыпау). (3.2)
В данном случае получилось действительное значение для Х
Для распределения суммарной интенсивности волн в плоскости
~ = О, учитывая, что е'"' ~'"' = 1, находим
1 = 5Ю" = Я = 4А'сов'(Ыпау) = 2А'[1 + сов(2Ыпау)]. (3.3)
В случае разных амплитуд волн вместо (3.2) и (3.3) имеем
~ = ЯЯ~ = (А рь~~<ч + А е-'~~~~У)(А е-~ь~~~У + А е~ь~'ию) =
1 2 1 2
= А,' + А,' + 2А,А,сов(2Ыпау).
(3.4)
Если в плоскости ~ = О помес-

Из (3.4) максимальное значение суммарной интенсивности
[Ш = (А, + А2)2, минимальное 1„„„ = (А, — А2)2 (Не 3.1). Различи-
мость интерференционной картины тем лучше, чем больше Ау и,
в соответствии с (3.8)‚ чем меньше а. Для Ау т 1 мм при А в
н 0,5 мкм необходимо а н О‚25-1О-3.
Если волны приходят под разными углами (а, и —оъ,), то вместо
(3.4) имеем
1 = А} + А} + 2А,А2с0$[/‹($1поъ, + зйпоъду]. (3.9)
При малых углах в формулах (3.8) вместо 20: нужно принимать
а, + а, (Мг 3.2).
На рис. 3.3 показана л у
схема опыта, которая
была использована Юн-
гом для получения карти-
ны интерференционных
полос. Свет от яркого ис-
точника, например от
Солнца, падает на отвер-
стие 5‘, от которого дохо-
дит до отверстий 5, и 5,.
Расстояние 1между источ-
никами 8, и 52 выбирается
таким, что они являются согласованными (когерентными) и дают
интерференционную картину на экране, находящемся на расстоя-
нии Ь. Вместо отверстий могут быть использованы щели. Для мо-
нохроматичности волн можно воспользоваться фильтром. При ис-
пользовании лазеров вследствие их высокой пространственной
когерентности отпадает необходимость в отверстии 5. Поток на-
правляют сразу на б‘, и 5,. При малых углах а и достаточно боль-
ших расстояниях Ь волны у экрана можно считать плоскими
и пользоваться приведенными выше формулами.
Из (3.8) следует
Ау = Х/(2оъ) = МЛ. (3.1О)
Вводим расстояния г, и 23, для которых
г} = [Я + (у — 1/2)2 и г} = 13 + (у + 1/2)?
ПОСЛС вычитания первого равенства ИЗ ВТОРОГО И разложения
на МНОЖИТСЛИ, ПОЛУЧЗСМ ДЛЯ разности хода
Аг = г2 — г, = у1/1‚ = у-2оъ. (3.11)
71

Из (3.3) получаем
1 = 21„[1 + со5(/су1/1.) ] = 21„[1 + со5(/‹Аг)]. (3.12)
Максимумам соответствует разность хода
Аг = т)». (3.13)
Откуда координаты максимумов
у‚„ = тЖЬ/Д (3.14)
Зная положение первого максимума и данные опытной уста-
новки, например в опыте Юнга с двумя щелями, из (3.14) можно
найти длину волны 7» = у,1/Ь (Не 3.3).
В соответствии с (2.4) при распространении волны в веществе
с показателем преломления п разность хода определяется оптиче-
ской длиной, т. е. расстоянием, умноженным на показатель пре-
ломления.
Рассмотрим интерференционную установку Юнга (см.
рис. 3.3), в которой на пути одного луча (обозначенного г,) стоит
трубка длиной 11 с плоскопараллельными стеклянными основа-
ниями. Вначале трубка наполнена воздухом, для которого показа-
тель преломления п‚, затем ее наполняют хлором. При этом на-
блюдается смещение интерференционной картины на 1\/ полос.
Считая температуру постоянной и длину волны света 7» известной,
найдем показатель преломления хлора пг (Мг 3.4). В соответствии
с (3.13) разность хода изменилась на
/1(п2 — п,) = М. (3.15)
Отсюда находим п, Полосы смещаются в сторону трубки.
На рис. 3.4 показана схема опыта, в котором интерференцион-
ная картина получается с помощью бипризмы Френеля. Бипризма
состоит из двух призм с малым преломляющим углом о: и показа-
телем преломления п, сложенных основаниями. Источник света
(длиной волны 7») — узкая Щель 5, параллельная ребру бипризмы.
Как следует из (1.4), преломленные лучи поворачивают на угол В =
= (п — 1)оъ. Штриховые линии показывают положение мнимых ко-
герентных источников 5, и $2. При малых В они находятся практи-
чески на расстоянии а от бипризмы. Расстояние между ними
5,52 = 1 = 2а(п — 1)оъ. Расстояние до экрана Ь = а + Ь. Используя
(3.14), находим положение т-го максимума (светлой полосы)
(Не 3.5):
у‚„ = тМа + Ь)/[2а(п — 1)оъ]. (3.16)
72

Отсюда расстояние между максимумами
Ау = Ма + Ь)/[2а(п — 1)оъ]. (3.17)
Ширина области перекрытия пучков на экране 21213. Откуда
число полос на экране 1\’= 2ЬВ/(Ау) (Мг 3.8).
Найдем, в какую сто-
рону и на какую величину
сместится нулевая интер-
ференционная полоса,
которая находится на оси
(точнее в плоскости сим-
метрии) установки, если
щелевой источник света
немного сместить в на-
правлении, перпендику-
лярном оси оптической
системы на величину
11 (Мг 3.9). На рис. 3.5 на-
Рис. 3.5
чальное положение источника на оси системы 5‘, а центр интерфе-
ренционной картины в точке О. После перемещения источника на
расстояние 11 в Уможно считать, что интерференционную картину
создает бипризма ЕВВ, а на пути пучка, идущего через ее нижнюю
часть стоит плоскопараллельная пластина АЕВС толщиной 1 =
= 2110:, которая увеличивает оптическую длину пути и смещает
картину вниз на число полос 1\’= 1(п — 1)/?„. Ширина полос опре-
деляется (3.17). При этом центр интерференционной картины 0’
сместится вниз на расстояние
у’ = НАу = 1\’7„(а + Ь)/[2а(п — 1)а] = 1(а + Ь)/(2аоъ) = 1+ [Ь/а.
73

Смещение от начального центра О равно у = у’ — 1 = [Ь/а.
На рис. 3.6 показана схема опыта с бипризмой (преломляю-
щий малый угол а, показатель преломления п) и линзой, поме-
щенной между бипризмой и точечным монохроматическим ис-
точником (с длиной волны ж) таким образом, что ширина интер-
ференционных полос оказалась не зависящей от расстояния от
экрана до бипризмы. Найдем расстояние между интерференцион-
ными полосами и максимальное число полос М которое можно
наблюдать в этой установке, если оно получается при удалении
экрана от бипризмы на расстояние Ь (М9 3.6). Ширина полос не
меняется при сложении параллельных пучков волн. Это значит,
что источник находится в фокусе линзы и на бипризму падает па-
раллельный пучок света. Используя (3.8), имеем Ау = Ж/[2(п — 1)а].
Для получения максимального числа полос надо максимальный
размер области перекрытия пучков разделить на ширину полосы
А/= Ь-2(п - 1)оъ/(Ау) = 41‚(п — 1 уса/ж.
л
Если в предыдущей задаче заданы преломляющий угол а, по-
казатель преломления бипризмы п и расстояние между вершина-
ми преломляющих углов 11, то, используя рис. 3.6, можно найти
расстояние от экрана до бипризмы Ь = Ь/[4(п — 1)оъ], при котором
получается наибольшее число полос 1\/= 11 (п — 1)ог./7\. Полосы ис-
чезнут, если экран отодвинуть от бипризмы на расстояние больше
21„ при котором уже отсутствует перекрытие интерферирующих
пучков (Мв 3.7).
На рис. 3.7 показаны два когерентных источника 5, и б‘, и эк-
ран, на котором получена интерференционная картина. Экран на-
ходится на расстоянии а = 2 м от источников. Обозначив расстоя-
ние между источниками 1и длину волны света 7», из (3.1О) получа-
ем ширину полосы Ау = Ж/(2а) = Жа/1. Если собирающую линзу
с фокусным расстоянием 1’ = 25 см поставить на расстоянии 2] от
источников (рис. 3.8), то это соответствует переносу источников
74

Л
„э; 5; Э
0-1
Е 52 Ф
5: д >; : 21 . 2/ : 0-4; .
Рис. 3.7 Рис. 3 8
ближе к экрану на 415 При этом Ау‚/Ау =
= (а — 4 /)/а = 1/2. Если источники нахо-
дятся в фокальной плоскости линзы
(рис. 3.9), то интерферируют два пучка, для
которых 20:, =1/ 1. Тогда Ау2/Ау = Да =
= 1/8. Отметим, что в этом случае для по-
лучения интерференционной картины не-
обходимо перекрытие пучков, ограничен-
ных размером линзы. Предельное расстоя-
ние Ь, на котором перекрываются пучки,
должно быть больше а — 1Ё Из подобия тре-
угольников, обозначая диаметр линзы В, получаем 0/1, = 1/15 По-
этому должно выполняться условие 0/1 > а// — 1 = 7 (М 3.10).
Один из способов разделения света от одного источника на два
пучка связан с тем, что отделенная от линзы часть создает такую
же картину как вся линза. При этом вследствие уменьшения пло-
щади уменьшается лишь поток света. На рис. 3.10, а показана лин-
за (фокусное расстояние / = 50 см) и вырезаемая вдоль диаметра
часть (заштрихована) шириной а. Для построения картины хода
Л
ш
а б
Рис. 3.10
75

лучей от плотно соединенных частей линзы отметим для верхней
части линзы центр линзы 0„ для нижней части центр линзы 02
(рис. 3.10, б). Если задано, что расстояние между полосами в ин-
терференЦНонной картине от точечного источника монохромати-
ческого света (А = 6000 А) равно Ау = 0,5 мм и не меняется при пе-
ремещении экрана, то, следовательно, интерферируют два пучка
из параллельных лучей, т. е. источник 5 лежит в фокальной плос-
кости линзы. Направление пучков за линзой определяется лучами
$0, и $02, угол между которыми 2оъ = а/[ Используя (3.8)‚ нахо-
дим а = Ж17(Ау) = 0,6 мм (Не 3.11). интерференционную картину
можно получить и раздвигая части разрезанной по диаметру лин-
зы и прикрывая прохождение прямого света (билинза Бийе).
При падении света на пластинку из
прозрачного диэлектрика происходит
отражение от верхней и нижней по-
Ф раженных волн. Найдем разность хода
Л для пластинки постоянной толщины 11 с
показателем преломления п при паде-
А нии света от точечного бесконечно уда-
11 ленного источника под углом падения
и ч’ (р. На рис. 3.11 показан ход лучей.
Предполагается, что коэффициент от-
ражения настолько мал, что можно не
Р“- 3°11 учитывать многократное отражение.
Угол преломления ц: определяется фор-
мулой Снеллиуса (1.1)
п = зйпср/зйпш.
Обозначая разность хода (оптическую длину) А, получаем
А = 2пй/созхр — Штзйпч/зйпф/совш = (2/1/со5ч1)(п — зйп2ср/п) =
= 2/1(п2 — $1п2‹р)/(пс0$\|1) = 2Ь(п2 — зйп2ср)'/2 = 2/тсовш. (3.18)
В соответствии с табл. 2.1 при отражении от верхней границы
фаза волны меняется на противоположную, а разность хода — на
Ж/2‚ при отражении от нижней поверхности и преломлении на
верхней фаза не меняется. С учетом этого разность хода при сло-
жении волн равна
Аф = А + т. (119)
Так как складываются параллельные пучки, интерференцион-
ная картина локалшзована на бесконечности. Для ее наблюдения
76
Аср Э верхностей пластинки и сложение от-'

экран надо поставить на большом расстоянии. Получаемые при
этом полосы называют полосами равного наклона. При использова-
нии линзы на экране в фокальной плоскости линзы параллельным
лучам одинакового наклона соответствует точка. Так как картина
не зависит от положения источника, она будет отчетливой и при
использовании протяженного источника.
Условие для максимумов
т?» = Аф = А + Ж/2 = 2/1(п2 — $1п2‹р)'/2 + х/2. (3.2О)
интерференционной картины не получается, если
2/1(п2 — 51п3ф)1/2 + Ж/2 < х.
Следовательно, картина исчезает при 12 < ж/(4п) (Не 3.14). При
п = 1,5 и 7» = 6'1О-5 см имеем 11 <1О-5 см.
Напомним, что ранее было получено решение для просветлен-
ной оптики (2.47). В оптических приборах потери света через при-
бор происходят главным образом вследствие отражения света от
поверхностей оптических деталей. Для увеличения прозрачности
стекла его поверхность покрывают тонкой пленкой, показатель
преломления которой меньше показателя преломления стекла.
Найдем, каковы должны быть толщина пленки и ее показатель
преломления, чтобы Отражательная способность стекла обрати-
лась в нуль (М) 3.15). Воспользуемся (2.46) и (2.47). Оптическая
толщина пленки должна быть равна четверти длины световой вол-
ны в вакууме. Показатель преломления пленки п = (п,п,)'/2, где
п, — показатель преломления стекла, а п, = 1 — показатель пре-
ломления воздуха. Отражения не будет также в том случае, когда
оптическая толщина пленки 1п = 1(п,)'/1 = Ж/4 + М/2, где 1\’— це-
лое число. Однако при пользовании белым светом, где присутст-
вуют разные длины волн, применять толстые пленки невыгодно.
В случае пластинок переменной толщины луч, отраженный от
верхней поверхности, и луч, отраженный
от нижней поверхности (рис. 3.12), дают
интерференционную картину только на 1 /
поверхности пластинки, где взаимодейст- 1
вуют два луча. Локализацию картины на 2
поверхности можно рассматривать как не-
кий рисунок полос. Во все другие точки,
находящиеся над поверхностью, попадает
много лучей (следствие протяженного ис- 2
точника), и интерференционная картина
отсутствует (в среднем получаем одну и ту РНС- 3-12
77

же интенсивность во всех точках). Полу-
чаемые при этом полосы называют поло-
сами равной толщины. Если угол между
поверхностями пластинки мал, то мож-
но воспользоваться соотношением (3.2О)
и рис. 3.13 для определения расстояния
Р"°° 343 между максимумами. Получаем
2л‚„(п2 - атгфуиг + ж/2 = тж, 2ь‚„, ‚(пг - запчрул + ж/2 = (т + ш.
Отсюда для угла между поверхностями пластинки а получаем
(М9 3.13)
а = (м +1 - ’1‚„)/Ау = Ж/ПАУО!’ - ЗЙГЁФУ/Ч- (3.21)
Найдем угол о: между гранями очень тонкой клиновидной пла-
стинки, показатель преломления которой п = 1,5, если на ней в от-
раженном свете при нормальном падении наблюдаются интерфе-
ренционные полосы шириной Ау = 5 мм, зная, что длина волны
света А = 5800 А (Не 3.16). Из (3.21) следует
а = Ж/(2пАу) н 8".
Для расстояния между максимумами полос на поверхности
стеклянного клина с углом а (Не 3.12) имеем: Ау = Ж/[2оъ(п2 —
— $1п2‹р)'/2].
Найдем распределение освещенности (интенсивности суммар-
ной волны) в интерференционной картине на воздушном клине
(две плоские пластинки под углом ос) в отраженном монохромати-
ческом свете с длиной волны 7» при нормальном падении, если
можно считать, что интенсивность световых пучков, отраженных
от обеих поверхностей клина, одинакова и равна 10 (М: 3.17). Ис-
пользуя (3.3) и учитывая, что при у = О, где у — расстояние от реб-
ра клина, интенсивность равна нулю (вместо косинуса надо взять
синус), имеем
1 = 41„$1п2(2тгуоъ/?ь).
Полосы равной толщины можно наблюдать в воздушной про-
слойке между плоской поверхностью стеклянной пластинки (по-
стоянной толщины) и плоско-выпуклой линзой, прижатой к пла-
стинке выпуклой стороной. Получаемая картина называется коль-
цами Ньютона. Кольца обычно наблюдают в длиннофокусный
микроскоп, сфокусированный на соответствующую поверхность.
На рис. 3.14 приведена схема, показывающая ход лучей при на-
78

ц. -.- -._....-. ь.-.-._._.-.—._._._.-.-.
‘д
КА
Рис. 3.14
Рис. 3.15
блюдении интерференции в отраженном свете. Интерференцион-
ная картина образуется лучами 1 и 2 на поверхности, отмеченной
жирной штриховой линией. На рис. 3.15 показан ход лучей при
наблюдении интерференционной картины в проходящем свете на
поверхности, отмеченной штриховой линией. Толщина воздушно-
го клина 11 меняется в зависимости от расстояния от оси симмет-
рии г (см. рис. 3.14)
11 = К(1 — сова) н Ка2/2 н КН/(2К1) = 13/(213). (3.22)
79

При наблюдении колец Ньютона в отраженном синем свете
(А = 4500 А) с помощью плосковыпуклой линзы, положенной на
плоскую пластинку; радиус третьего светлого кольца оказался рав-
ным 1,06 мм. После замены синего светофильтра- на красный был
измерен радиус пятого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм.
Найдем радиус кривизны К линзы и длину волны Акр красного
света (Не 3.26). Из (3.26) (г5/г3)2 = (9/5)?„кр/7\. Отсюда Акр = 0,7 мкм
и В = 1 м.
Плоскопараллельная стеклянная пластинка лежит на одной из
поверхностей двояковыпуклой линзы. При наблюдении колец
Ньютона в отраженном свете натриевой горелки (Ж = 5890 А) най-
дено, что радиус темного кольца порядка т = 20 (центральному
темному кольцу соответствует т = 0) равен г = 2 мм. Когда пла-
стинка была положена на другую поверхность линзы, радиус тем-
ного кольца тою же порядка сделался равным г = 4 мм. Найдем
фокусное расстояние линзы, если показатель преломления стекла,
из которого она изготовлена, п = 1,5 (М 3.27). Из (3.24) 1/12 =
= тА/гд. Из (1.42) 1/[= (п — 1)(1/К, + 1/122) = (п - 1)т?„(1/г‚2 +
+ 1/232), откуда
1’ = г‚2г22/[(п — 1)т?ь(г,2 + 52)] = 54 см.
Найдем радиус г центрального темного пятна колец Ньютона,
если между линзой и пластинкой налит бензол (п = 1,5). Радиус
кривизны линзы В = 1 м. Показатели преломления линзы и пла-
стинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном натриевом
свете (Х = 5890 А) (М 3.28). Так как в (3.23) входит оптическая
длина, то 21т + ›„/2 = (т + т). Поэтому из (3.24) для т = 1 нахо-
дим г = (Юм/п)“ = 0,63 мм.
На поверхности жидкости с показателем преломления п, пла-
ваег очень тонкая линза с показателем преломления п < п‚, геомет-
рические размеры которой пока-
заны на рис. 3.16. Рассчитаем, ка-
кая картина будет видна
в отраженном монохроматиче-
ском свете с длиной волны ж, если
смотреть на линзу сверху (Мг 3.23).
Используя (322), для толщины
линзы получаем
12 = (1/2)(а2 — г’)(1/К‚ + 1/Кд).
Учитывая, что на границах
линзы фаза меняется на Ж/2, для РНС- 3-15
6-1647 81

светлых колец в соответствии с (3.25) имеем: 2/т = п(а2 — г‚„2) х
х (1/12, + 1/122) = тж, откуда гм? = а2 — тХ/[п (1/12, + 1/К‚)].
Кольца Ньютона получаются с помощью плосковыпуклой
линзы с радиусом кривизны К‚, положенной на вопётую сфериче-
скую поверхность с радиусом кривизны К, > Д. Ко ьца наблюда-
ются в отраженном свете. Найдем радиус г„‚ т-го темного кольца,
если длина световой волны равна Х (М9 3.29). Используя (3.22)
и (3.23), получаем
11 = (1/2)г2(1/К‚ — 1/112), 211 = тж. (3.27)
Отсюда г„‚ = [тЖ/П/К, — 1/К,)]‘/2.
Если вместо вогнутой поверхности взять выпуклую (Не 3.30),
то действуя аналогичным образом получаем г„‚ = [тж/(1/К, +
+1/к‚›1*/2.
Тонкая симметричная двояковыпуклая шшза сложена с тонкой
симметричной двояковогнутой линзой так, что в некоторой точке .
они соприкасаются. Показатель преломления обеих линз п = 1,6.
Наблюдается интерференционная картина в отраженном свете на
длине волны 7» = 0,6 мкм. Найдем фокусное расстояние [системы
линз, если радиус 5-го (т = 5) светлого кольца г = 2 мм (Мг 3.31).
Из (3.28) по известным т и г находим (1/К‚ — 1/В,). Используя
(1.6) и (1.15), где для симметричных линз К, = —В, (эти индексы
относятся к одной линзе, а ранее записанные — к разным лин-
зам), находим фокусное расстояние системы Р
1/1”`= 2(п - 1)(1/К1 - 1/32),
откуда Г= г?/[2т7\(п — 1)] = 1,1 м.
Для оптической силы системы на
рис. 3.17 (М 3.33) в соответствии
с (1.6) получаем Ф = 2(п — 1)т7„/г’.
Интерференционная картина
(кольца Ньютона) наблюдаются
в проходящем свете (см. рис. 3.15).
Показатель преломления линзы
и пластинки равен п = 1,5. Найдем
отношение интенсивностей 1‚„„/1„„„
света в максимуме и минимуме интерференционной картины
и выясним, можно ли увидеть картину невооруженным глазом,
если контрастная чувствительность глаза равна 0,05 (М 3.32). Ин-
терференционная картина локализована на поверхности, отме-
ченной жирной штриховой линией. Если в точку А приходит вол-
на 2 с амплитудой Ео, то амплитуда волны 1 после отражения
82

в точке В в соответствии с (2.32) Е, = Е„(п — — 1)/(п + 1). После от-
ражения в точке Симеем Е, = Е, (п — 1)/ /(п + 1) = Ед (п — 1)2/(п +
1)’. Сложение происходит в точке А и дает 1„„„/1„„„ = (Ед + Ед
1/(Ео - Е,)2 = [(п2 + 1)/(2п)]2 = 1,17. Интерференционная картина
достаточно контрастна, чтобы ее можно было увидеть невоору-
женным глазом.
Полученные для интерференции света результаты можно приме-
нить и для радиоволн. Спутник Земли, поднимаясь над горизонтом,
излучает радиоволны длиной 7» = 10 см. Микроволновый детектор
расположен на берегу озера на высоте И = 1 м над уровнем воды
(рис. 3.18). Найдем, при каком угле а спутника над горизонтом де-
тектор зарегистрирует 1-й и 2-й максимумы интенсивности сигнала,
считая поверхность воды гладкой (Не 3.18). Обозначая видимую вы-
соту спутника над горизонтом 1/2, получаем, что о: = = 1/(2Ь). Мни-
мый источник находится на расстоянии 1/2 ниже горизонта.
В результате г,’ = Ь? + (1/2 — 102 и г} = [Я + (1/2 + НУ, откуда
Аг = г, — г, = 2/11/Ь = 2120:.
Ба-Е
г -------- -__)‹1
4 ж.
иг г
Рис. 3.18
В соответствии с табл. 2.1 для вертикальной поляризации при
отражении нет потери половины длины волны, а для горизонталь-
ной при таком отражении теряется половина длины волны. Для
вертикальной поляризации 1-й максимум г, — г, = О, од, = О, 2-й
максимум г, — г, = ж, ад = Ж/(2/1) = 2°5О'. Для горизонтальной по-
ляризации 1-й максимум г, — г, = Ж/2, щ, = Ж/(4/2) = 1°20'‚ 2-й мак-
симум г, — г, = 31/2, 0:2, = зж/(4ь) = 4°.
Радиоизлучение от точечного космического источника с дли-
ной волны 7» = 1 м, находящегося в плоскости экватора, принима-
ется с помощью двух одинаковых антенн, расположенных по на-
правлению восток-запад на расстоянии Ь = 200 м друг от друга. На
входной контур приемника подается сумма сигналов, приходящих
от обеих антенн по кабелям одинаковой длины. Найдем, как ме-
няется в результате вращения Земли амплитуда напряжения (Д, на
входном контуре приемника (Не 3.20). На рис. 3.19 показано поло-
6* 83

Ёис. 3.19
жение антенн (15 и 2) при повороте Земли на угол ос. Разность хода
сигнала до антенн при малом угле а равна Аг = Ьзйпоъ. Так как на-
пряжение на контуре пропорционально корню квадратному из
интенсивности сигнала, то из (3.12) получаем
П = Н„[со5(/сАг/2)] = Щ[со5(тс1‚$1па/7„)] = Носозсог. (3.28)
При малых а имеем зйпоъ а а = шзг, где юз = 2п/Д — угловая
скорость вращения Земли; Тз — период вращения Земли.
Период изменения амплитуды напряжения
Т= 2тс/оо = ЖТЗ/(пЬ) = 2,3 мин. -
Источником освещения в интерферометре Майкельсона явля-
ется лазер, частота которого перестраивается во времени по ли-
нейному закону со = а›„(1 + ах). Разность хода в плечах интерферо-
‘ме а Ь = 1 м. Длина волны Ж = 1 мкм, а = 0,1 с-‘. Найдем частот
О
изменения тока фотоприемника, регистрирующего интерферен-
ционную картину (Мг 3.35). Заменяя частоту на длину волны (со =
= 2тсс/А)‚ получаем 1/7» — 1/?ь„ = аг/Ао. Умножая это на Ь и учиты-
вая, что Ь/Ж за период 1= Т= 1/\›
меняется на единицу, находим у =
= Ьа/Ж‘, = 100 кГц.
Для измерения скорости час-
тиц жидкости бесконтактным ме-
тодом используется лазерный ане-
мометр. Два когерентных лазерных
пучка с длиной волны излучения
ж = 0,63 мкм и углом сходимости
ср = 2° пересекаются в некоторой
области жидкости, в которой не-
большие взвешенные частички
движутся со скоростью
и (рис. 3.20). Определим скорость
этих частиц, если известно, что
84

‘п.
при регистрации отраженного от них света частота колебаний тока
фотоприемника Ф равна у = 5,54 кГц (Не 7.2). В соответствии
с (3.8) ширина интерференционных полос в области пересечения
пучков на траектории частицы Ау = ж/ф. Время пролета частицей
расстояния Ау равно периоду Т модуляционной составляющей ин-
тенсивности отраженного от частиц света Т = Ау/д = Х/(фо), отку-
да о = М/ф = 10 см/с.
На рис. 3.21 показан ход лучей в пластинке Луммера-Герке,
с помощью которой осуществляется многолучевая интерференция.
Для получения большого количества отражений угол ч: должен
быть близок к предельному (1 .2), чем достигается уменьшение по-
терь света при отражении. С помощью линзы Л на экране Э полу-
чаем интерференционную картину. Условие интерференционного
максимума т-го порядка: 2/тсовч1 = тж (здесь не учтено измене-
ние фазы при отражении, так как оно производит только несуще-
ственное смещение всей интерференционной картины). Подстав-
ляя (1.2)‚ для порядка интерференции имеем
т = 2/2(п2 — 1)‘/2/7к.. (3.29)
Найдем относительное смещение А1/1 интерференционных по-
лос, полученных с помощью пластинки Луммера—Герке (толщина
11 = 2 см, показатель преломления п = 1,5, температурный коэф-
фициент линейного расширения стекла а = 8,5-1О-° К“, длина
волны света Ж = 500 нм), при изменении температуры на 1 °С, пре-
небрегая зависимостью показателя преломления от температуры
(Мг 3.22). Относительное смещение полос А!/1= Ат/т = Ат/ 1. Из
(3.29) Ат = 2А/2 (п2 — 1)'/1/7\. При нагревании на 1 °С в результате
теплового расширения А}: = Ьа: = оь/г. Поэтому
А1/1= 2ла‹пг - юнг/ж.
о т + 2
0т+1
Ът
_;_
Рис. 3.21

4. интерференция квазимонохроматического
света. Временная когерентность
Реальные источники света излучают несколько спектральных
линий или даже сплошные спектры. При этом излучение на каж-
дой из частот не представляет бесконечную синусоидальную вол-
н); и поэтому даже в случае двух частот результирующая волна не
является волной со средней частотой и периодически меняющей-
ся амплитудой, как это получается при сложении двух гармоник.
Интерференционная картина не мгновенна, а усредняется по вре-
мени от хаотической последовательности цугов, колебания в кото-
рых не связаны по фазе.
Воспользуемся интерференционной системой, изображенной
на рис. 3.3 и формулой (3.12) для случая, когда в точке 5 находятся
два независимых некогерентных источника с частотами со, и о),
Считая интенсивности одинаковыми и заменяя 1: = со/с и Аг =
= (!/1‚)у, как в (3.11), получаем изменение интенсивности по у (на-
пример, на поставленном экране)
1 = 21„[1 + соз(/с‚Аг)] + 21„[1 + со$(/9Аг)] =
= 41„{1 + соз[(оэ‚ + (02)1у/(2сЬ)]сов[Асо1у)/(2с[‚)]}. (4.1)
где Асе = (о), — со‚).
Изменение интенсивности в зависимости от у показано на
рис. 4.1. Если Аи) много меньше со, и (1)„ то второй сомножитель
меняется медленно на протяжении многих интерференционных
полос, а первый сомножитель меняется быстро, определяя рас-
[Ода
81.,
41,
О Ау (псЬ)}(Ао›1) У
Рис. 4.1

стояние ме
соседними поло-

Полосы исчезают при Аш1у/(2сЬ) = п, т. е., вводя (о = (а), +
+ со2)/2 и 7» = 2пс/о›‚ при
у = МоЬ/(Ашд. (4.7)
Для максимального т получаем
тта, = у/Ау = (о/Асо = МАХ. (4.8)
Рассмотрим, как будет меняться резкость колец Ньютона при
перемещении плосковыпуклой линзы в направлении, перпенди-
кулярном пластинке, если кольца наблюдаются в отраженном све-
те В-линии На, которая не монохроматична, а представляет собой
две близкие спектральные линии с ж, = 5890 А и А, = 5896
(Мг 4.1). Двум линиям соответствуют две системы колец. Если
линза соприкасается с пластинкой, то вблизи центра картины по-
лосы имеют небольшой относительный сдвиг; т. е. практически
совпадают, обеспечивая достаточную резкость картины. На неко-
тором расстоянии от центра светлое кольцо одной системы совпа-
дает с темным кольцом другой, и картина полос исчезает. Вблизи
от этого радиуса картина становится нерезкой. В соответствии
с (3.23) и (3.25)
(т + 1/2)ж‚ = т›„„ (4.9)
откуда т = (Ж,/2)/(?„2 — м) = 5890/12 я 490. Из (4.1) и рис. 4.1 сле-
дует, что кольца снова будут резкими, когда т = 2-490 = 980. При
перемещении линзы от пластинки кольца стягиваются к центру
картины (см. решение задачи Не 3.34 на с. 80). Если линзу пере-
местить на 490 м, то через поле зрения пройдет 490 колец, и в
центре картины кольца исчезнут. При перемещении линзы" на
2-490 7», = 980 Д, кольца в центре снова будут резкими. При пере-
мещении на 3-490 Ж, = 1470 7», кольца опять пропадут.
Если задано положение минимальной резкости колец, то из
(4.9) можно найти разность длин волн при известной средней дли-
не волны (Не 4.2).
На рис. 4.4 показана система для получения интерференцион-
ных полос равного наклона на экране (Э) в фокальной плоскости
линзы (Л) при отражении от плоскопараллельной пластинки (П),
освещаемой монохроматическим источника света 5, от которого
прямой свет на линзу не попадает. Длина световой волны ж = 6000 А,
толщина пластинки 11 = 1,6 мм, показатель преломления п = 1,5,
фокусное расстояние линзы [= 40 см. Найдем радиус г первого ви-
димого наэкране Э темного интерференционного кольца, если
центр колец темный. Вычислим минимально допустимую ширину
88

линии ЛХ, освещающей пластинку,

Рис. 4.5
которой получается по крайней мере одно кольцо (т = 1) (Не 4.5).
Подставляя в (4.11) т = 1, находим 12., = 3612/7741)’ = 0,81 мм.
Свет от двух одинаковых некогерентных точечных источников
(рис. 4.5) 5, и 5, (Х = 500 нм, М = 50 нм) падает на непрозрачный
экран с двумя отверстиями, расстояние между которыми Ь = 1 см.
Интерференция света, прошедшего через отверстия, наблюдается
вблизи точки В лежащей на оси системы. Источники и точка на-
блюдения находятся на одинаковом расстоянии Ь = 2 м от экрана.
При симметричном удалении источников от оси (т. е. при увеличе-
нии расстояния Ь между источниками) интерференционная карти-
на в окрестности точки Р периодически возникает и исчезает. Оце-
ним число периодов восстановления интерференционной картины
при увеличении расстояния Ь от нуля до 12 (0 5 Ь 5 11) (Не 4.6). Ис-
пользуя (3.11) и рис. 4.5, получаем для разности хода из источника
5, до Р: г, — г, = ЬЬ/(2Ь). Максимальное число периодов при изме-
нении Ь от нуля до Ь определяется из условия Ь2/(2Ь) = т)», откуда
тж, = Ь2/(2Ь7м) = 50. Совпадающую с этой картину получим и для
второго источника, если будет монохроматичность. Если источни-
ки немонохроматичные, то из (4.8) находим тш = МА?» = 10.
Свет далекого точечного источника 5’ падает на фотоприемник
ФП непосредственно и отразившись от горизонтальной плоскости
(рис. 4.6). При вертикальном перемещении источника фотопри-
емник регистрирует изменения интенсивности падающего на него
света. Оценим максимальный угол а возвышения источника над
горизонтом, при котором еще заметны изменения фототока, если
перед фотоприемником установлен светофильтр СФ с полосой
пропускания Ау = 3-10" Гц. Входное отверстие фотоприемника на-
ходится на высоте Ь == 1 см над отражающей плоскостью (Не 4.7).
Используя (3.11), для разности хода получаем Аг = Ь-2а. Из (4.8)
находим максимальный порядок интерференции т“, = МАХ =
90

ГДФП
О 7 Л П 7 г ' г П О г ! С У ' ' С ' У 7 7 7 ' 7 7 г!
= у/Ау. Изменения фототока "’
будут наблюдаться, пока Аг = ->
= 2/2а << тж?» = ЖуАу = с/Ау. -›
—>
—>—
Отсюда а < с/(2ЬАу) = 0,05.
В интерферометре Рэлея _ _ __
плоская волна испытывает 1
дифракцию на двух щелях. `› ”` `
Дифракционная картина ‘> ` Г:
... П И
_, |
наблюдается в фокальной
плоскости линзы с фокус-
ным расстоянием [= 100 см "°;"‘
(рис. 4.7). Одну из щелей за- Рис ‘И
крывают плоскопараллель-
ной пластинкой дисперги-
рующего вещества толщиной 11 = 0,01 мм с законом дисперсии
п(7„) = А - ВЖ, где А и В — некоторые постоянные. При этом белая
(ахроматическая) полоса смещается на расстояние 1= 4 мм. Най-
дем постоянную А, если известно, что расстояние между Щелями
равно Н = 1 см (Мг 4.8). Изложенное про дифракцию на щелях
подразумевает, что щели являются точечными источниками света.
Дифракционная картина — это интерференционная картина. При
вычислении разности фаз кроме разности хода надо учесть влия-
ние пластинки из диспергирующего вещества, которая дает раз-
ность хода (п — 1)/2. Учитывая (3.11), для разности фаз получаем
Ф = (2п/ж) {1Н/1’ — их) — 1111}. Условие ахроматичности состоит
в том, что Ф не зависит от 7», т. е. дФ/ат = О. Поэтому
—(2п/?„){1Н//`— [п(7„) — 1111} — (2тс/1/Ж)‹1п/с1)„ = О,
откуда А = 1 + [Н/(Лз) = 5.
91

Интерференция света от
двух малых отверстий в не-
ё
прозрачном экране наблюда-
- - ется в точке Р (рис. 4.8). По-
5 д Р зади отверстий на пути лучей
" поставлены две одинаковые
кюветы, наполненные возду-
Рис. 4.8 хом при одинаковом началь-
ном давлении. При измене-
нии давления в одной из кю-
вет изменение интенсивности света в точке Р имеет
осциллирующий характер. Определим разность давлений Ар газа
в кюветах, при которой амплитуда! осцилляций становится равной
нулю, если 1-й минимум интенсивности наступает при разности
давлений Ар, = 10-3 мм рт. ст. Спектр излучения точечного источ-
ника 5 равномерен в полосе Асо и имеет относительную ширину
Аоэ/ш = 10-5 (Мг 4.9). Показатель преломления воздуха п растет
с увеличением плотности, которая пропорциональна давлению.
При малых изменениях можно считать в данном случае для кювет
длиной 1, что (п — 1) 1 = аАр, где а — постоянная величина. Ис-
пользуя (3.12), получаем
1 = 21„[1 + со$(/‹Аг)] = 21о{1 + со$[/‹ (п — 1)1]}.
Подставляя К = со/с и интегрируя это по спектр); находим
Ф:
1 = 2(1„/Асо)][1+со$(соаАр/с)]‹1‹о =
= 21„{1 + [2с/(АаэаАр)]соз[(со‚ + ш‚)аАр/(2с)]вйп[АсоаАр/(2с)]}.
Изменение интенсивно-
сти в точке Р в зависимости
от аАр показано на рис. 4.9,
которыи можно сравнить
с рис. 4.3. Обозначив (со, +
+ со2)/2 = (о, получаем усло-
вие первого минимума
о›аАр‚/с = 1:. Картина исчеза-
ет, когда аргумент синуса
становится равным п =
= АсоаАр,/(2с). Исключая а, находим
цъ
41.,
21., '
аАБ
Рис. 4.9
Ар, = Ар,2со/А‹о = 200 мм рт. ст.
92

Два пучка белого света, полученные от одного точечного ис-
точника, сходятся на входной щели оптического спектрального
прибора. Разность хода А = 300 м. Оценим разрешающую способ-
ность К спектрального прибора, который может обнаружить ин-
терференцию этих пучков (Не 4.12). Разность хода отбирает длины
волн из сплошного спектра. Для максимумов имеем: А = т›„„‚.
Здесь т — целое число. Только эти длины волн дадут усиление
в спектре. Все остальные создают фон. Для соседних максимумов
получаем А = (т + 1)?„‚„ = тжт, ‚. Откуда А?» = Ат, — Ат = 7ь‚„/т =
= ж; / А. Разрешающая способность спектрального прибора К =
= МАХ. Взяв среднее значение длины волны белого света 7» = 600 нм,
находим К 2 МА?» = т = А/Ж. в 5108.
Для минимумов А = (т + 1/2)?ь‚„.
Ё,
1; .---—-—-
<
‘$17
д
°\
Рис. 4.11
Два пучка белого света от одного источника приходят в точку
наблюдения Р (рис. 4.11, а) с разностью хода А. С помощью спек-
троскопа высокой разрешающей способности исследуется распре-
деление энергии в спектре колебаний, возникающих в точке Рпри
наложении обоих пучков. Оказалось, что наблюдаются чередую-
Щиеся максимумы и минимумы спектральной интенсивности 1(у),
причем частотный интервал между соседними максимумами Ау =
= 10 МГЦ (рис. 4.11, б). Определим разность хода А (М: 4.13). Для
максимума т-го порядка А = т?» = тс/ут. Для соседних максиму-
мов у‚„+ ‚А/с — у‚„А/с = 1. Отсюда А = с/(ум, — у‚„) = с/Ау = 30 м.
Монохроматическое излучение проходит через интерферометр
Маха-Цандера, в одном из плеч которого расположена кювета
с газом длиной 1. В кювете создается избыточное давление. При
этом показатель преломления газа в нем изменяется по закону
п(1) = 1 + ш. Определим спектр колебаний тока фотоприемника,
расположенного в области нулевой полосы интерферометра
(Не 4.14). Используя формулу для сложения монохроматических
94

волн (3.12)‚ получаем 1 ^— 1„[1 +
+ соз(1‹Аг)] = 1„[1 + со5(со1оъ1/с)]. Отсю-
да следует, что ток меняется во време-
ни с частотой О = со1ос/с.
В фурье-спектрометре, служащем
для исследования спектрального излу-
чения, одн из зеркал интерферомет-
ра Майкелтъна перемещается со ско-
ростью о = 0,1 см/с (рис. 4.12). Най-
дем, какова зависимость тока
фотоприемника от времени 1(1), если
излучение содержит две спектральные Рт „2
линии ж, = 500 нм и ж, = ж, + ах, где
81 = 0,02 нм, с отношением интенсив-
ностей 12/1, = 0,5. Оценим минимальное время измерения, необ-
ходимое для разрешения этих линий. Изобразим трафик зависи-
мости тока от времени (Мг 4.17). Разность хода КА = 2сот/с. Ис-
пользуя (3.12) и складывая две гармоники, получаем
[(1) = 1,[1 _+ сов(2со‚т/с)] + 1,[1 + соз(2ш,дг/с)] =
= 1, + Ь + 1,совО,1+ 1,со5(221= 1,51, + 1с(:)соз(21.
На рис. 4.13 показано сложение ам-
плитуд с учетом фаз. Здесь [(1) определя-
ется по теореме косинусов: Д} = Д’ + 1,2 +
+ 21,1,со$(АОг); частота биений АО =
= 2АОо/с = маха/кг = 21: -0,16 рад/с; пе-
риод биений т = 2п/АО = 6,25 с; несущая
частота О = (О, + (2,)/2 я 2соо/с =
= 41ш/Х = 2п-4-103 рад/с; период несущей
частоты Т = 2п/(2 = 2‚5°10-4 с. На Рт‘ ‘из
рис. 4.14 показан график зависимости
тока от времени. Время измерения долж-
но быть больше периода биений.
Такой же интерферометр (см. рис. 4.12) можно использовать для
источника, излучающего на длине волны Х = 500 нм, с шириной
спектральной линии Аж = 0.01 нм. Спектральная интенсивность
внутри спектральной линии 1(‹о) = 1., = сопвт. Найдем зависимость
тока фотоприемника от времени [(1) и оценим минимальное время,
необходимое для изучения спектрального состава излучения, при
0 = 0,01 см/с. Нарисуем график зависимости тока от времени
(Не 4.18). Используя (4.4) и подставляя туда 1 = т, находим
`95

Х(г)
~,ох,
51

Ку) л
Фг-вьэьэ-ЬЁ/‘Ф
1 д
5 10 15 у, м
Рис. 4.17
1 волн в точке приема от положения у приемника): 1) отношение
интенсивностей 102/10, источников; 2) относительные ширины
АН?» спектров обоих источников; 3) высоты И, и 112, на которых
располагались источники. Углы наклона интерферирующих пуч-
ков к горизонтальной поверхности считаем малыми (М: 4.19). Для
сложения монохроматических источников из (3.12) имеем
110’) = 101“ + со$(/<У1‚/1‹)1- (4-12)
На рис. 4.18 эта зависи-
мость показана штриховой
линией. Подставляя /‹ =
21г/7ь, получаем положения
т-го максимума и расстоя-
1/104
4
ние между максимумами 2
у„‚ = тМ/Ы Ау. =
= жЬ/д. (4.13) О
Для немонохроматиче-
ских источников из (4.4) Рис. 4.18
имеем
Ыу) = 21„,{1 + 2сЬ/(Асо1у)со$[‹о1„у/(с1‚)]зйп[Аш12_у/(2с1‚)]}. (4.14)
Эта зависимость показана на рис.4.18 сплошной линией. Для
максимумов выполняется (4. 13).
Полученная в эксперименте и приведенная в условии зависи-
мость (см. рис. 4.17) при больших значениях у соответствует моно-
хроматической зависимости (4.12). Это возможно в том случае,
если один из источников, например обозначенный 1, является мо-
нохроматическим, а второй — квазимонохроматическим. Из.
(4.13), учитывая, что 1, = 211„ и подсчитывая по зависимости, пред-
7-1647 97

ставленной на рис. 4.17, расстояние между максимумами Ау, =
= 15/40 = 0,375 м, получаем 11, и 4 м. Для немонохроматического
источника из (4. 14) получаем расстояние между максимумами Ау, =
= ЖЬ/1,. Так как это отличается от Ау„ то возникают биения. Из
рис. 4.17 видно, что биения происходят через п = 8 полос, т. е. для
совпадения фаз имеем: пАу, = (п 21: 1)Ау,. Получаем два возможных
значения Ау, = 7Ау,/8 н 0,328 м и 9Ау,/8 н 0,422 м) и две возмож-
ные высоты 1: = ХЬ/(2Ау,) (4‚57 и 3,55 м). Из рис. 4.17 следует, что
биения прекращаются примерно через 30 полос (т. е. тж = 30). Из
(4.14) это должно произойти, когда синус равен нулю. В результате
имеем
т“, = у/Ау, = (о/Асо = ММ. (4.15)
Отсюда находим Ах/Ж = 1/т„„„ = 1/30 в 3%.
Используя рис. 4.17 и рис. 4.18, получаем: 210, в 4,7 — 3,5 = 1,2
усл. ед.; 210, + 210, н 3,5, откуда 10,/10, я 1,9.
С помощью интерферометра Майкельсона получена интерфе-
рограмма 1(А), т. е. зависимость интенсивности 1 в интерференци-
онной картине от разности хода А (рис. 4.19). В эксперименте ис-
пользовался точечный источник света, в спектре которого име-
лись две спектральные линии. Используя интерферограмми
оценим: 1) отношение интенсивностей 10,/10, спектральных линий;
2)длины волн х, и ж, спектральных линий; 3) ширины А)», и М,
спектральных линий. Интенсивности интерферирующих пучков
света в обоих плечах интерферометра Майкельсона будем считать
одинаковыми (Не 4.20). Как и в предыдущей задаче из интерферо-
граммы видно, что одна из спектральных линий достаточно моно-
хроматична. Из рис. 4.19 для ее длины получаем ж, = 15 мкм/27 =
= 0,55 мкм. Для нахождения ж, используем рис. 4.19. По рисунку
1(А)‚
усл. ед.
6
5
д
2
1
| 1 | 1 1 ф | 4
15 20 25 30 А, шсм
Рис. 4.19
Ф
ЕЛ
р-н
Ф

на биение приходится п = 10 волн. Поэтому п)», = (п Ё 1)?„‚. Отсю-
да получаем два возможных значения ж, (500 и 600 нм). Так как
биения заканчиваются примерно при Ати = тих, = 20 мкм, то ис-
пользуя (4.16), находим А)», = м/тш = хд/АМ Получаем два воз-
можных значения АХ, (18 и 12,5 нм). Как и в предыдущей задаче из
рис. 4.19 и 4.18 получаем 2 ш в 4,7 — 3,5 = 1,2 усл. ед.; 210, + 210, в
н 3,5 усл. ед., откуда 102/10, н 1,9.
Для измерения углового
расстояние между двумя уда- Фильт: 414’ а
ленными некогерентными ис- д \ ‹_
точниками их излучение про- ё
пускают через фильтр с поло- °‘ ё
сой АХ вблизи линии ХО = Ь
2
= 500 нм, а затем — через ин-
терферометр Майкельсона, ф
одно из зеркал которого пере-
мещается со скоростью и = АС
=О,1 см/с (на рис. 4.20: З,
и 32 — зеркала; П — полупро-
зрачная пластинка; Ф — фо- Рис. 4.20
топриемник; АС — анализа-
тор спектра). Анализ спектра сигнала фотоприемника, пропор-
ционального интенсивности света, показал наличие спектральных
компонент с разностью частот Аи = 5 Гц. Определим угловое рас-
стояние оъ между источниками, а также оценим требуемое время
измерения и полосу пропускания фильтра А?» (Мг 4.21). В соответ-
ствии с (3.1) для прямых лучей в интерферометре складывающие-
ся волны дают
Е‘ .‚ ежи. 4. е1/‹(Ь—2ог)_
Здесь Ь — длина плеча интерферометра. Одно из плеч умень-
шается за счет перемещения зеркала со скоростью о. Из (3.12) по-
лучаем, что интенсивность имеет гармонику со5(2/‹ш) = созпд.
Для источника под углом оъ аналогичным образом получаем
Е2 м едкого]. + ейссоюи. — 2т)_
Соответственно интенсивность имеет гармонику со$(2/ссо3оц›1) =
= сова;
Обнаруженная разность частот этих спектральных компонент
с учетом малости а и равенства К = 2к/›„„;
АУ = О, — О, = 2/ш(1 — со$оъ)/(2т:) а под/хо.
99

Отсюда находим а = (мАи/оУ/д я: 0,05 рад.
Для немонохроматическою излучения с шириной спектра А/с =
= МАХ/Ж каждая из гармоник уширяегся в полосу А/= А0/(2п) =
= 20А/с/(2тс) = (0/7ь)(АА/?„). Для возможности наблюдения, которое
есть в данном эксперименте, должно быть А] < Аи. Поэтому Аж <
< (121 = 25 нм. Ограничение времени наблюдения т (обрезание
гармоники) приводит к уширению спектра гармоники б» т 1/т
(подробнее см. разд. 5, формула (5.7)). Это уширение также долж-
но удовлетворять требованию: б» < Аи. В результате 1: > 1/Ау = 0,2 с.

5. Протяженные источники света.
Пространственная когерентность
В разделе 3 источники считались точечными’, монохроматиче-
скими и когеренгными (так как они получались разделением од-
ною на два). Реально любой источник имеет некоторый размер.
Рассмотрим протяженные монохроматические источники, кото-
рые можно представить как бы состоящими из точечных некоге-
рентных источников. В таком случае на экране происходит нало-
жение интерференционных картин. Складываются квадраты ам-
плитуд, т. е. интенсивности от отдельных источников и важно,
насколько сдвинута одна интерференционная картина относи-
тельно другой. Считается, что картина исчезает, если она сдвига-
ется больше чем на четверть расстояния между максимумами (раз-
ность хода меняется на четверть длины волны). На рис. 5.1 показа-
на обычная схема Юнга. Разность фаз лучей, идущих из 0 в Р,
5 Э
-Т- ‘ р
- -- 1
З'_.‹Ё._.-.Р .- _ - „я: .- _ ......................... -.-
Ь 0
. ----.52 -
'
Рис. 5.1
обозначим ч: = КАп Она определяется, например, с помощью
(3.11) и описывает распределение максимумов и минимумов на
экране. Для разности фаз лучей, идущих в Риз точки 5‘, отстоящей
от 0 на расстояние у, получаем ч: + (21т/М1у/Ь. В соответствии
с (3.12) находим интенсивность суммы волн в Р из 5
1= МН + совы! + (2д/7»)1}’/1«1}‚ (5.1)
где Д, — интенсивность источника.
Для двух некогерентных источников света одинаковой интен-
сивности 10 (один в 5„ другой в ‚З‘, на расстоянии Ь от первого) из
(5.1) получаем
1 = 21„{1 + со$шсо$[1т1Ь/(7„Ь)]}. (5.2)
В случае протяженного источника интенсивности 10 и ширины
Ь надо (5.1) проинтегрировать от —Ь/2 до Ь/2
101

Ь/2
1 = 2‹1„ /ь) _[{1+соз[ц‚ +(2тс / ту / шагу =
—Ь/2
= 21„{1 + совку з1пьъЬ1/(жц1/[лЬ1/(жц1 }. (53)
Интерференционная картина на эк-
ране, следующая из (5.3)‚ определяется
изменением ч/(у). Эта картина показана
на рис. 5.2. Максимальная интенсив-
ность при созч/ = +1, минимальная при
совку = —1. Отличие максимума и мини-
мума от 410 и О определяется вторым со-
множителем, зависящим от размера ис-
Рис 51 точника. Из (4.3) для видности картины
получаем (Мг 5.1)
1’= (1т - 1тйп)/(1тах + 1 ) = |81П[тгЫ/(Х1д1/[тгд1/(ЖЫ1Ъ (5-4)
тйп
Эта зависимость от Ь показана на рис. 5.3.
Из (5.4) видно, что интерференционная картина исчезает
(У = О) при
ЭХ
1 = ЖЬ/Ь = Ж/(р. (5.5)
Эта величина называется
поперечным размером (шири-
ной) пространственной коге-
рентности, а ср = Ь/ 1, — угловой
шириной источника. Таким
образом, изменение фазы на-
капливается и приводит к от-
сутствию когерентности не
ц и. М,
только при смещении вдоль , 27 37
направления распространения
волны (длина когерентности), гид 53
но и в плоскости, перпендику-
лярной этому направлению
(ширина когерентности). Для получения интерференционной
картины оптическая разность хода 1 и расстояние между щелями
ХОД
[шел ДОЛЖНЫ УДОВЛЕТВОРЯТЬ СЛСДУТОЩИМ УСЛОВИЯМ!
1 < ст = им < жЬ/ь = ж/ф. (5.6)
ХОД
Здесь учтено, что длительность цуга (из соотношения неопре-
Деленностей)
140)“
517
’ [шел
102

Т^'1/АУ. (5.7)
а также, что
Х = с/у и Аи/и = АЖ/Х. ' (5.8)
Под А здесь подразумевается абсолютное значение разности.
Апергурой интерференции называется угол
в =!/1‚ = х/ь. (59)
На экран с двумя узкими параллельными щелями падают лучи
непосредственно от Солнца. Найдем, при каком расстоянии 1 ме-
жду щелями могут наблюдаться интерференционные полосы за
экраном, если угловой диаметр Солнца ‹р в 0,01 рад (Не 5.2). Из
(5.6) 1 < ж/ф = 5000 А/0‚01 в 0,05 мм. Отметим, что это очень ма-
ленькое расстояние.
С помощью линзы Л О‘ = 50 мм) можно получить изображе-
ние Солнца на отверстии в экране Э, за которым помещены две
узкие параллельные щели на расстоянии 1 = 1 мм друг от друга.
Найдем, при каком рас-
стоянии Ь между экраном л э |
и щелями могут наблюдать- - '
ся интерференционные по- - -
лосы за щелями, если угло- а а ФЬ
вой диаметр Солнца а в '
в 0,01 рад (Не 5.3). Система _ .
изображена на рис. 5.4. 1 Г 2 Ь
В данном случае размер ис- °
точника Ь = а Л Из (5.6)
следует Ь > оьЛ/Ж в 100 см.
Интерференционная картина наблюдается с помощью би-
призмы Френеля (преломляющий угол а = 20‘, показатель пре-
ломления п = 1,5). Экран Э и источник света 5‘ (А = 600 нм, А?» =
= 20 нм) находятся на одинаковом расстоянии от бипризмы. Оце-
ним число интерференционных полос, которые будут видны на
экране. Найдем, на каком расстоянии от центра интерференцион-
ной картины интерференционные полосы размываются. Опреде-
лим допустимый размер источника, при котором можно наблю-
дать все интерференционные полосы (Мз 5.5). Схема опыта пока-
зана на рис. 5.5. Воспользуемся результатами решения для
бипризмы при точечном источнике (см. Не 3.8). Ширина полос
Ау = из = х/[оъ(п — 1)] = 2-10-2 см. Размытие полос связано с не-
монохроматичностью источника и определяется (4.8). Число по-
103
Рис. 5.4

Рис. 5.5
лос вверх по экрану тж = МА?» = 600/20 = 30. Столько же вниз.
Таким образом, число интерференционных полос, которые будут
видны на экране, 1\’= 60. Размывание полос происходит на рас-
стоянии от центра интерференционной картины у = Аутш =
= 0,6 см. Допустимый размер источника, когда экран и источник
находятся на одинаковом расстоянии от бипризмы, в соответст-
вии с (5.9), Ь = Ж/(р = Ж/ху = МВ = Ау = 2-10‘? см.
Перед линзой Л (рис. 5.6) установлена плоскопараллельная
стеклянная пластинка П, перпендикулярная главной оптической
оси и освещаемая монохроматическим светом от протяженного
источника. Опишем интерференционную картину в фокальной
плоскости линзы. Найдем, как изменится эта картина при накло-
не пластинки на угол ос = 1О° (по отношению к исходному положе-
нию). Фокусное расстояние линзы 1‘ = 30 см (Не 5.6).
Воспользуемся результатами, полученными ранее, (см.
рис. 3.11). Интерференционная картина получается для каждого
точечного источника благодаря сложению проходящей волны
с волной, отразившейся от нижней, а потом и от верхней, поверх-
ностей пластинки. Это полосы равного наклона. Предполагаем,
что дальнейшее (многократное) отражение можно не учитывать
из-за малости коэффициента отраже-
П Л ния. С помощью линзы интерферен-
. ционная картина благодаря осевой
симметрии получается в фокальной
....... -. ‚_..=‚дд.дд_.-.- плоскости линзы в виде колец. Так
“* как картина не зависит от положения
источника, она будет отчетливой
и при использовании протяженного
:<-———>‚ источника. Благодаря линзе на экра-
не в фокальной плоскости линзы па-
Рис- 5-5 раллельным лучам одинакового на-
: Эва
—>3><;-<——
104

клона соответствует точка. При наклоне пластинки кольца стано-
вятся эллипсами. Центр картины в данном случае находится
в точке схождения тех параллельных лучей, которые падают на
пластинку по нормали. Поэтому Центр картины при наклоне пла-
стинки на угол оъ смещается на х = Два в [а = 0,58 мм.
Радиоизлучение космического источника длиной волны ж,
имеющего угловой размер ‹р, принимается горизонтальным вибра-
тором, служащим антенной. Вибратор расположен на отвесном
берегу на высоте 11 над уровнем моря. Рассматривая поверхность
воды как плоское зеркало, определим, как будет меняться интен-
сивность принимаемого сигнала в зависимости от угла а возвь1ше-
ния источника над горизонтом. Найдем, при каких значениях уг-
лового размера источника интенсивность принимаемого сигнала
не будет зависеть от а. Считаем значения о: и (р малыми (М 3.19).
На рис. 5.7 приведены все обозначения и ход лучей. Для разности
Рис. 5.7
хода имеем г, — г, = 2/101, для размера источника — Ь = срЬ. Исполь-
зуем (5.3), учитывая, что
ч; = (2п/?ь)2/га = 4тсНоъ/Ж.
В результате получаем зависимость 1(оъ):
1 = 21„{1 + со$(4тс/2оъ/?к) [$1п(2п/2‹р/7„)]/(2т:/1‹р/?ь)}. (5.10)
Зависимость интенсивности от а исчезает, когда синус равен
нулю, т. е. (р = жт/(2/2), где т = 1, 2, @nP
Свет от протяженного монохроматического источника 5 пада-
ет на непрозрачный экран Э, в котором имеются два малых отвер-
стия. Интерференция света, прошедшего через отверстия, наблю-
дается в точке Р (рис. 5.8). Источник света 5 и-точка Р находятся
на одинаковом расстоянии Ь от экрана. При увеличении расстоя-
ния [между отверстиями изменение интенсивности в точке Риме-
ет осциллирующий характер. Определим линейный размер Ь ис-
105

точника света, если 1-й минимум
интенсивности в точке Р наблюда-
ется при 1 = 1, = 1 см, а амплитуда
осцилляций становится равной
нулю при 1 = 12 = 20 см (условие
1 << Ь выполняется всегда)
(М) 5.8). Чтобы воспользоваться
(5.3), вычислим разность хода Аг =
= 2113/2 = 12/Ь и ч: = (21т/М11/Ь. На
рис. 5.9 показано изменение ч; и
созч/ в зависимости от 1 (парабола
и осцилляции с уменьшающимся
периодом). Штриховой линией
показан результат умножения ко-
синуса на синус и деления на величину, в которую входит 1. Мини-
мум косинуса достигается при ч: = п, откуда 21,1 = АЬ. Для обраще-
ния амплитуды осцилляций в нуль аргумент синуса должен быть
равен п, отсюда находим линейный размер источника Ь = Мл, =
= 213/12 = 0,1 см.
Наблюдаются полосы равной толщины в воздушном клине ме-
жду двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками, об-
разующими между собой очень малый угол. Клин освещается рас-
сеянным светом. Наблюдение ведется невооруженным глазом
с расстояния ясного зрения 1, = 25 см в направлении, перпендику-
лярном поверхности клина, причем глаз может смещаться перпен-
дикулярно ребру клина. Оценим максимальное число интерфе-
ренционных полос М. которое можно увидеть в монохроматиче-
ском свете при таком способе наблюдения, если диаметр зрачка
глаза а1 = 5 мм. Оценим также степень монохроматичности света,
необходимую для того, чтобы такое максимальное число полос
могло наблюдаться (М 5.9). Интерферируют лучи, отраженные от
верхней и нижней пластинок. В точки пространства, расположен-
106

ные над верхней пластинкой, при рассеян-
ном освещении приходят лучи со всевоз-
можными сдвигами, и это не приводит _к ин-
терференционной картине. Но в каждой
точке на поверхности верхней пластины при
малой толщине клина и падении лучей поч-
ти нормально лучи из разных точек будут
складываться и разность хода зависит толь-
ко от толщины клина. Таким образом, ин-
терференционная картина локализуется на
поверхности верхней пластинки, она как бы
нарисована на этой поверхности. Изображе-
ние данной точки попадает в глаз (рис. 5.10).
В точку А на сетчатку глаза благодаря линзе
попадают луч, идущий нормально к поверх-
ности, и луч, идущий к поверхности под уг-
лом а. Для нормально идущего луча раз-
ность хода в точке максимума А„ = 2/2 (11 —
толщина клина в данной точке). Заметим, что изменение фазы
при отражении от среды с большим показателем преломления на
Ж/2 имеет место и на верхней и на нижней пластинке и не учиты-
вается. Для луча, идущего через клин под углом а, разность хода
Аи = 2/1(1 — оъ2/2) в 2/1 - На’. Интерференционная картина переста-
нет наблюдаться, если лучи приходят в точку А в противофазе, т. е.
разность хода равна Ж/2. Получая отсюда Нов’ = Ж/2 и подставляя
в условие максимума (211 = тж), находим максимальный порядок
тж = 2/2/7» = 1/оъ2 = 41З/а71. Отсюда 1\/= ттах в 104. Для оценки до-
пустимой немонохроматичности для наблюдения такого числа
максимумов воспользуемся тем, что интерференционная картина
исчезает, если
Рис. 5.10
(т + 1)?» = т(?„ + м), (5.11)
откуда м/ж = 1/(ттд + 1) н 1/т = 10-4.
тах
Полосы равной толщины, получающиеся в тонком стеклян-
ном клине с показателем преломления п = 1,5 при освещении рас-
сеянным монохроматическим светом с длиной волны А = 5000 А,
проецируются линзой Л на экран Э. Перед линзой помещена
квадратная диафрагма со стороной 1 = 1 см и отстоящая от клина
на расстояние Ь = 50 см. Найдем, какой максимальный порядок
интерференции А! может при этом наблюдаться на экране. Главная
оптическая ось системы приблизительно перпендикулярна по-
верхности клина (Мг 5.10). Система изображена на рис. 5.11. Оп-
107

А Э тический путь по нормали к поверхности
пластинки А = 2/т. Оптический пугь под
Л Л углом а в соответствии с (3.18): А„ =
= 221022 — а’)'д. То, что получается в точке
д В на поверхности пластинки посредством
т ——; 1 линзы собирается без изменения фазы-
!“— - в точке А на экране. Картина на экране
исчезнет, если по нормали при 2/т = тж
д идет минимум, а под углом а при 2/т (1 -
а — а2/п3)'д = тж — 7м/2 максимум. Исполь-
зуя эти соотношения, получаем макси-
д В мальный порядок интерференции 1Ч= т =
д ' п = (п/а)? = (2пЬ/1)2 = 22 500.
д‘; 5 а‘ Источник света 5 расположен на рас-
стоянии Ь = 1 м от тонкой слюдяной пла-
сгинки толщиной 11 = 0,1 мм с показате-
лем преломления п = 1,4 (рис. 5.12). На
таком же расстоянии от пластинки расположен небольшой экран
Э, ориентированный перпендикулярно отраженным лучам, на ко-
тором наблюдаются интерференционные полосы. Угол ф = 60’.
Найдем порядок т интерференционной полосы в центре экрана
и ширину А! интерференционных полос. Оценим допустимый раз-
мер Ь и допустимую монохроматичность АХ источника. Использу-
ется зеленый свет с длиной волны А = 560 нм (М: 5.12). Обозначая
угол преломления чл, имеем зйпф/зйпху = п, АО = Ищу, АВ =
= тгхрсоэф. В результате для разности хода получаем
А = п°2/1/со$\у — 2т3ш$йпф = 2/тсовчл = 21101’ -3йп2‹р)‘д. (5.12)
Рис. 5.11
108

Подставляя значения, находим А = 2,210’? см.
Заметим, что для получения разности фаз в (5.12) нужно доба-
вить (или отнять) х/2, так как один луч отражается от среды
с большим показателем преломления. _
Порядок интерференции т = (А 1 Х/2)/)„ а 393. Угол схожде-
ния лучей В в силу симметрии примерно равен апертурному углу
интерференции
В = АВ/(Ь/созф) = теч/совдр/Ь в 0,2-10-4.
Из (3.7) для ширины интерференционной полосы имеем: А! =
= Х/В я 2,84 см. Предельный размер источника из (5.9): Ь = МВ =
= 2,84 см. Допустимая немонохроматичность, как и в (5.11), М =
= А/т я 1,42 нм.
С помощью зритель-
ной трубы, установленной
на бесконечность, наблю-
дают интерференционные
полосы в тонкой плоско-
параллельной стеклянной
пластинке толщиной Ь =
= 0,2 мм с показателем у
преломления п = 1,41; при Ё 4
этом угол наблюдения
‹р может изменяться от 0
до 90° (рис. 5.13). Найдем
максимальный и минимальный порядок интерференционных по-
лос. Оценим допустимую немонохроматичность М источника,
при которой бУдУТ достаточно четко наблюдаться все интерферен-
ционньте полосы. Определим допустимый размер источника света
в этом интерференционном эксперименте. Используется зеленый
свет с длиной волны 7» = 560 нм (М 5.13). Как и в предыдущей за-
даче здесь наблюдаются полосы равного наклона. Для максималь-
ного порядка интерференционных полос из (5. 12) при ф = 0 полу-
чаем: тш = (2/т — 7ь/2)/1 = 1000. Для минимального порядка при
ф = 90° находим тт = [2/т (п1 — 1)'д — Ж/2) ]/7ь = 714. допустимую
немонохроматичность оцениваем как и в (5.11) М = Х/тш г 0,56 нм.
Так как зрительная труба установлена на бесконечность, картина
наблюдается как бы на бесконечности (угол В в предыдущей зада-
че равен нулю), поэтому источник может быть любого размера.
Картина не зависит от положения источника.
ж Кх
ж Чх
\Ё Е‘
цДЪ/ч-
‘Р
уйй
44;
Рис
109

1, отн.ед.
Рис. 5.14
В двулучевой интерференционной схеме с равными интенсив-
ностями интерферирующих лучей используется источник белого
света, размер которого Ь = 0,025 см. Интерференционная картина,
наблюдаемая через светофильтр, изображена на рис. 5.14. Оценим
полосу пропускания фильтра ЛХ и апертуру Й = (1/2) 1/А. (В тексте
задачи № 5.14 эта апертура названа апертурой интерференции, ко-
торая в действительности определяется (5.9)). Средняя длина вол-
ны равна Х = 500 нм (№ 5.14). Немонохроматичность (пропуска-
ние фильтра) приводит к тому, что интерференционная картина
портится, как это видно из рис. 5.14, примерно через 12 полос.
Используя (5.11), получаем ЛХ = Х/т = 500/12 = 41,7 нм. Из
рис. 5.14 можно найти видность, определяемую (5.4), Е = (Х
— К.,„)/(У + К.,„) = (З,З вЂ” 0,7)/(З,З+ 0,7) = 0,65. Из (5.4) и (5.9) по-
лучаем
Г = ~в1п[уйДХА)]/[шЫ/(ХА)]~ = ~яп[пй/р]/[кй/р]~= фпх/х~ = 0,65.
Отсюда х = ш/2 и Й = р/2 = 10-'.
Можно задать Й и находить Ь (№ 5.15).
В одно из плеч интерферометра Майкельсона вместо отражаю-
щего зеркала помещена непоглощающая пластина с полупрозрач-
ной передней и зеркальной задней стенкой (рис. 5.15). Толщина
пластины Ь = 2 мм, показатель преломления л = 5, спектр падаю-
щего излучения изменяется от 0 до 110 ГГц. При перемещении
зеркала во втором плече детектор регистрирует ряд пиков интен-
сивности излучения. Найдем, каково расстояние между пиками
в единицах длины перемещения зеркала (№ 4.16). В соответствии
с (5.6) и заданным спектром излучения для длины когерентности
получаем („., = с/Ли = 0,3 см. Для интерференции необходимо, что-
бы оптическая разность хода лучей была меньше этой величины.
Поэтому луч, отразившийся от поверхности пластины, не будет
когерентен с лучом, отразившимся от задней стенки пластины.
110

О тическая разность хода 2/т =
= см > [ш Напомним, что для ин-
тер ерометра Майкельсона, изобра-
жен ого на рис. 5.15, подвижное зер-
кало, перемещаясь с постоянной ско-
ростью д, приводит в соответствии
с (3.12) к изменению интенсивности
1 н 1 + со$(2/ст) = 1 + со3(2сот/с) =
= 1 + созшг). Измеряя частоту моду-
ляции О, можно найти О. Обозначая
перемещение зеркала х = т и положе-
ние интерференционного пика при от-
ражении от поверхности пластины х =
О, для положения интерференционного
пика при отражении от задней стенки
пластины имеем: х = 2/т = 2 см.
На рис. 5.16 изображена схема установ-
ки Майкельсона‚ предназначенной для из-
мерения угловых диаметров звезд. Зеркала
З, — 34 направляют в объектив телескопа
два пучка света, интерферирующие друг
с другом в фокальной плоскости объекти-
ва. При измерении углового диаметра ги-
гантской красной звезды Бетельгейзе Май-
кельсон нашел, что интерференционные
полосы исчезли, когда расстояние между
внешними зеркалами З, и З, В = 306,5 см.
Считая, что эффективная длина волны
света от Бетельгейзе равна 5750 А, вычис-
лим угловой диаметр этой звезды
а (М: 5.18). На рис. 5.17 показан источник
света, простирающийся от 1 до 2 и отвер-
стия, соответствующие зеркалам 3, и 3„ на
расстоянии Вдруг от друга. От каждой точ-
ки источника благодаря двум отверстиям
образуется интерференционная картина.
Источники на звезде можно разбить на
пары (например, 1‘ и 2‘) так, чтобы интер-
ференционные картины от них бьши сдви-
нуты на половину полосы, т. е. разность
хода через два отверстия равнялась х/2. Та-
ким образом, пути от краев звезды (1-2)
Рис. 5.15
33 34
Р
Рис. 5.16
111

Должны различаться на ж. Получаем: 1351110: ш На = 7». Для углов
размера звезды находим о: а МВ = 1,87'10-7. Можно применить
гой способ с использованием (5.3). Обозначая расстояние до зв
Параллельный пучок вета
от удаленного источника 1 дли-
ной волны 7» = 500 нм падает на
бипризму с преломляющим уг-
лом о: = 10-2 рад и шириной
1) = 2 см, выполненную из
стекла с показателем преломле-
ния п = 1,5 (рис. 5.18). 1) Най-
дем, на каком расстоянии Ь от
бипризмы следует расположить
экран, чтобы на нем можно
было наблюдать максимально
возможное число интерференционных полос. 2) Оценим допусти-
мую немонохроматичность А?» света, необходимую для наблюде-
ния всех полос. 3) Оценим также допустимый угловой размер
ч; источника в этом интерференционном опыте (Мг 5.19). Угол от-
клонения лучей в призме с малым преломляющим углом (см.
рис. 3.6) (р = а (п — 1). За бипризмой образуются два пучка из па-
раллельных лучей. В соответствии с (3.7) расстояние между интер-
ференционными полосами Ау = Ж/(2ф) = 0,005 см. Оно не зависит
от расстояния до экрана, лишь бы он находился в зоне перекры-
тия пучков. Максимальное перекрытие пучков и, следовательно,
максимальное число полос, как следует из подобия треугольников
на рис. 5.18, Ь = В/(4‹р) = 1 м. Максимальное число полос Люд =
= (В/2)/Ау = 200. Максимальный порядок интерференции тж =
= 1\’„ш/2 = 100. Допустимая немонохроматичность в соответствии
с (5.11) А?» = Ж/ттах = 5 нм. Допустимый угловой размер удаленно-
го источника должен быть меньше углового расстояния между по-
лосами ч; < Ау/Ь = Ж/(В/2) = 5-10-5 рад = 0,17‘. Можно также вос-
пользоваться условием для ширины когерентности (5.6) 11/2 <
< Мхи.
Билинза Бийе изготовлена из двух половинок тонкой соби-
рающей линзы с фокусным расстоянием /= 10 см. На расстоянии
х = 3Л2 от нее помещен источник света в виде щели, освещаемой
широкоугольным источником света с длиной волны 71 = 5790 А
Экран для наблюдения интерференционных полос установлен
112
Рис. 5.18

Рис. 5.19
с противоположной стороны билинзы на расстоянии Ь = 330 см от
нее. Найдем, при какой минимальной ширине щели Ь интерфе-
ренционные полосы на экране пропадут. Считаем, что различные
точки щели излучают световые волны некогерентно. Расстояние
между половинками билинзы а = 0,5 мм (Мг 5.7). Система изобра-
жена на рис. 5.19. Две половинки линз образуют два источника 5,
и $2, излучение которых, перекрываясь, создает на экране интер-
ференционную картину. Из подобия треугольников находим, что
расстояние между источниками равно За, а их расстояние от лин-
зы 31 Используя (5.2), получаем, что исчезновение полос происхо-
дит при ширине щели Ь = МЬ — 3_/)/(3а) = 1,15 мм.
Из тонкой линзы диаметром В = 2,5 см с фокусным расстоя-
нием/= 50 см вырезана центральная полоска шириной а = 0,5 см,
после чего обе половины линзы сдвинуты до соприкосновения
(билинза). Источник света 8 с длиной волны А = 500 нм распола-
гается на оси системы в фокальной плоскости линзы (рис. 5.20).
1) Найдем, на каком расстоянии Ь от билинзы следует располо-
жить экран, чтобы на нем можно было наблюдать максимально
возможное число интерференционных полос, и определим шири-
ну Ау интерференционных полос и их число. 2) Оценим допусти-
мую немонохроматичность м
источника света в этом интерфе-
ренционном эксперименте, не-
обходимую для наблюдения всех
полос. 3) Оценим допустимый
размер Ь источника света
(М9 5.20). За билинзой, как и за
бипризмой, образуются два пуч-
ка из параллельных лучей (см.
8-1647 113

рис. 5.20). Точка О является центром для верхней части линз
Она отстоит от оси на а/2 и через нее луч из Я идет не преломл—
ясь. Все лучи, проходящие через верхнюю часть линзы параллель-
ны этому лучу. Угол у = (а/2)//: В соответствии с (3.7) расстояние
между интерференционными полосами Лу = Х/(2у) = 0,005,~см.
Оно не зависит от расстояния до экрана, лишь бы он находился
в зоне перекрытия пучков. Максимальное перекрытие пучков и,
следовательно, максимальное число полос, как следует из подобия
треугольников на рис. 5.20, А = (Р— а)/(4у) = 1 м. Максимальное
число полос Ж „= (Р(/2)/Лу = 200. Максимальный порядок интер-
ференции т = Ж „ /2 = 100. Допустимая немонохроматичность
в соответствии с (5.11) ЛХ = Х/и „= 5 нм. Допустимый угловой
размер удаленного источника должен быть меньше углового рас-
стояния между полосами у < Лу/А = 2Х/(Р— а) = 5 10-' рад = 0,17'.
Поэтому Ь < у / = 0,0025. Можно также воспользоваться условием
для ширины когерентности (5.6) (Р— а)/2 < Х/у.
Бипризма освещается моно-
хроматическим светом с длиной
волны Х = 500 нм от удаленного
протяженного источника с угло-

В интерференцион-
ной схеме (рис. 5.22) ис-
пользуется квазимоно-
хроматический источник
свей; 5 (ж = 5-10-5 см).
Отражающие зеркала
расположены симмет-
рично относительно ис- Рис 512
точника ‚5‘ и экрана Э, на
котором наблюдается
интерференция. Найдем: 1) ширину интерференционной полосы
Ау на экране; 2) область локализации полос на экране; 3) макси-
мальный и минимальный порядок интерференции и число наблю-
даемых полос П; 4) степень монохроматичности А)», при которой
число наблюдаемых полос максимально; 5) допустимый размер
источника Ь. Параметры схемы: Ь = 1 м; 1 = 2,5 см; В = 10 см
(Мг 5.16). Угол схождения лучей на экране 20: = 21/Ь. В соответст-
вии с (3.8) находим Ау = Ж/(2оъ) = ХЬ/(21) = 10-3 см. Область лока-
лизации полос ограничивается размером зеркала В. Из подобия
треугольников следует, что область перекрытия пучков, отражен-
ных от верхнего и нижнего зеркал, ограничивается отражением от
ближнего к экрану конца зеркала и равна |у„„„| = 2‚5/ 11 а 0,25 см.
Отсюда для максимального порядка интерференции имеем тж, я
в 250. Минимальный порядок (в центре экрана) равен нулю. Так
как полосы идут вверх и вниз от центра экрана, А! н 500. Необхо-
димую монохроматичность находим с помощью (5.11): АЖ —
= Ж/тш = 20 А В соответствии с (5.5) допустимый размер источ- .
ника Ь = ЖЬ/(21) = 10-3 см.
В интерференционной схеме, изображенной на рис. 5.23, ис-
пользуется квазимонохроматический протяженный источник све-
та 5 (А = 5,О'1О-5 см, АЖ = 28А). Полагая, что спектральная интен-
сивность излучения постоянна в интервале АЖ, найдем: 1) ширину
" ч в
`:`:" . .
""`
Рис. 5.23
3* 115

интерференционных полос Ау на экране Э; 2) количество наблю-
даемых полос; 3) область локализации полос на экране; 4) макси-
мальный и минимальный порядок наблюдаемых полос; 5) допус-
тимый размер источника Ь. Параметры схемы 1. = 1 м; В = 10 см;
1= 0,5 см. Отражающее зеркало расположено симметрично рто-
сительно источника 5 и точки 0 экрана Э (М 5.17). Угол схожде-
ния лучей на экране 2а = 21/Ь. В соответствии с (3.8) находим Ау =
= ж/(2а) = АЬ/(21) = 5-10-3 см. Область локализации полос ограни-
чиваегся размером В зеркала. Из подобия треугольников следует,
что область перекрытия пучков, отраженных от зеркала, ограни-
чивается отражением от его краев. Получаем: у, = -1 /9 в —О‚1 см,
у, = = 1 / 11 а 0,1 см. Число полос 1\’= (у, — у‚)/Ау я 40. координата
нулевого максимума (из симметрии) у, = 0,5 см. Поэтому точке у,
соответствует тш в 0,4/(5-10-3) в 80, точке у, соответствует тм н
:0,6/(5°10-3) в 120. В соответствии с (5.5) допустимый размер ис-
точника Ь = ХЬ/(21) = 5-104 см.
В интерференционной схеме с двумя параллельными зеркала-
ми (рис. 5.24) используется протяженный источник монохромати-
ческого света в виде однородно светящейся полоски шириной Ь =
= 5-10-3 см. Длина волны излучения 7» = 600 нм, расстояние между
зеркалами 12 = 0,2 см. Найдем, какова видность Уинтерференцион-
ных полос на экране, расположенном на расстоянии 20 = 0,5 м от
источника. Выясним, в каком направлении и на какое расстояние
следует переместить экран, чтобы: 1) видность увеличилась в два
раза; 2) интерференционная картина исчезла (размьшась).Разме-
ры зеркал считать достаточно большими. Прямые лучи от источ-
ника на экран не попадают (Мг 5.22). Используя формулы (5.3)
и (5.4) и подставляя в них 1 = 11 и Ь = 20/2, находим У= зйпх/х, где
х = 2пЫ/(7ь 20) = 2п/3. Для начальной видности имеем И, ж 0,4. При
увеличении 20 в два раза И в 0,85 (также примерно в два раза). Та-
ким образом, экран надо отодвинуть на А 2 = 220 — 20 = 20 = 0,5 м.
7 Э
7
[ 20 1
Рис. 5.24
116

Картина будет размыта при х = к, что соответствует 2 = 224/3 в
2:33 см, т. е. А: а 17 см.
В интерференционной схеме Юнга, используемой для опреде-
ления угловых размеров источника, картина интерференции «за-
шумпена» некогерентной фоновой засветкой (рассеянным светом
посторонних источников). Интенсивность фона вдвое превышает
интенсивность каждою из интерферирующих пучков. Оценим уг-
ловой размер источника, если видностъ наблюдаемой интерфе-
ренционной картины в окрестности нулевой полосы У= 1/3 (А =
= 500 нм, расстояние между Щелями 1 = 5 мм (Не 5.24)). Из (5.3)
получаем
10’) = 210“ + то“) + 1 э
где [ф — интенсивность «шумовой» засветки; 10 — интенсивность
каждою из интерферирующих пучков; И Ч |81п(тг‹р1/1)/(тгч›1/1)|;
‹р — угловой размер источника; ч: = 2п1у/ж; 1, — расстояние от Ще-
лей до экрана.
Используя (5.4), находим У= Уо/П + 1Ф/(21„)] = (1/2)И, и И, =
= 2/3, Откуда Ф/(Ж/О т 1/2 И Ф = (1/2)(1/1) = 510"-

6. Дифракция Френеля. Зонные пластинки
Общим свойством волн является способность при распростра-
нении огибать встречающиеся на их пути препятствия. Это назы-
вается дифракцией. Для построения фронтов световых волн Гюй-
генс ввел представление о том, что фронт создает вторичные ис-
точники волн, и следующее его положение представляет
огибающую линию фронтов вторичных волн. Дальнейшее усовер-
шенствование представлений о распространении волн, названное
принципом Гюйгенса-Френеля, было сделано Френелем. При рас-
чете амплитуды волны Френель предложил учитывать амплитуды
и фазы вторичных волн. Считая все источники на фронте волны
в одинаковой фазе, для получения амплитуды в произвольной
точке Р складываем амплитуды вторичных волн от всех элементов
фронта (источников на фронте)
Е = у К(6)(Аг)е
5
Цап-Кг)
с15, (6.1)
где А — амплитуда сферических волн,
выходящих с поверхности фронта (5);
9 — угол между нормалью п к поверхно-
сти фронта и вектором г, направленным
в точку Р (рис. 6.1). От угла 9 зависит
коэффициент К. В случае малых изме-
нений коэффициента К и расстояния
г можно не учитывать изменения ам-
Рис. 6.1 плитуд, а принимать во внимание толь-
ко изменение фазы, которая зависит от
разности хода (разности расстояний).
Таким образом, опуская также общую зависимость от времени,
получаем от каждого элемента поверхности вклад в амплитуду
волны
аУЕ = А е-“Рс15. (6.2)
Длина вектора с1Е на фазовой плоскости пропорциональна
площади поверхности (15, а ф — его фаза.
Удобно вводить зоны Френеля. На рис. 6.2 показано введение
зон Френеля на примере точечного источника 5. Фронт волны
представляет сферическую поверхность, на которой зоны Френе-
ля определяются относительно точки наблюдения Р, в которой
вычисляется суммарная амплитуда. Границы зон устанавливаются
из условия, что фаза волн, приходящих в точку Р от границ зоны
118

- ------‹ И
. ---------‹ “а
Рис. 6.2
изменяется на п, а оптический путь, соответственно, — на х/2. Ис-
пользуя обозначения, приведенные на рис. 6.2, получаем уравне-
ние для определения радиусов зон Френеля
г‚„2 = а? — (а — дм)’ = (Ь + тХ/2)’ — (Ь + 11„‚)’. (6.3)
Вначале из второй части этого равенства находим
Ьт = [Ьтж + т’(Ж/2)2]/[2(а + 12)]. (6.4)
Здесь учтено, что 11‚„ << а и Им << Ь. При не очень больших т и
А << Ь имеем
12” в ЬтЖ/[2(а + Ь)]. (6.5)
Поэтому для радиуса т-й зоны Френеля получаем
гм’ н 2а/1„‚ н аЬтХ/(а + Ь). (6.6)
На рис. 6.3, называемом векторной (фазо- д
вой) диаграммой, показано, как векторы (6.2)
суммируются в первой зоне Френеля. Поворот
последнего в сумме вектора относительно перво-
го, т. е. изменение фазы равно 1:, что соответст-
вует разности хода ›„/2. Первая зона Френеля А‘
описывается вектором А‚. Продолжая сложение,
получаем вектор второй зоны Френеля А‚, на- Ад’
правленный противоположно А,. Обычно зоны,
суммарный вектор которых направлен противо- __ Ф
положно А„ называют отрицательными. Влия- Р“ 63
ние угла и расстояния, которыми пренебрегли
в (6.1) приводит к уменьшению абсолютной ве-
личины А, по сравнению с А,. В результате получаем сштраль Фре-
неля (рис. 6.4). Для суммы всех зон можнонаписать А„ = А, + А, +
119

А1
+ А, + ...= А,/2 + А,/2 + А, + А,/2 + А,/2 +
+ ... = А,/2, так как члены типа А,/2 + А, +
+ А,/2 = О. Полученные результаты можно
применить к прохождению волн через
препятствия, открывающие или закры-
вающие несколько зон Френеля. При
прохождении отверстия, открывающего
т зон Френеля, амплитуда в точке наблю-
дения (Р)
(6.7)
А = А,/2 + А /2.
Рис. 6.4 В случае нечетного т в Р получаем
светлое пятно, в случае четного ж — прак-
тически темное.
Для точечного источника радиусы зон определяются из (6.6)
и рис. 6.2. Освещенность в центре дифракционных колец на экра-
не зависит от радиуса отверстия, через которое проходит свет. Ми-
нимум освещенности достигается, если отверстие содержит чет-
ное число зон Френеля, максимум — если нечетное (№ 6.7).
В непрозрачной пластинке имеется отверстие диаметром
Ш = 1 мм. Оно освещается монохроматическим светом с длиной
волны Х = 500 нм от удаленного источника. Найдем расстояние
А от отверстия, на котором будет наблюдаться наибольшая осве-
щенность (№ 6.11). Из (6.6) для бесконечно удаленного источника
(а = ю, Ь = Е,„) имеем Е = Р/(4Хт), где число открытых зон для
максимума освещенности должно быть нечетным и = (2Ж + 1)
при Ж = О, 1, 2, ... Для максимальной освещенности Ж = О. Поэто-
му 1, = а"./(4Х) = 0,5 м.
Интенсивность света в некоторой точке Р на оси за отверстием
в непрозрачном экране, на который нормально падает параллель-
ный пучок монохроматического света, равна 1„если в отверстии
укладывается одна зона Френеля. С помощью векторной диаграм-
мы найдем интенсивность света в той же
~Ю»
точке, если радиус отверстия уменьшить
-Ю» на а = 1/3 первоначальной величины
а г (№ 6.21). Параллельный пучок имеет
Ь плоский фронт. На рис. 6.5 показан
фронт (штриховой линией), проходя-
щий через отверстие радиуса г. Разность
хода между лучами от края и центра от-
Ф» верстия (!и 1.) находим, используя тео-
рему Пифагора: ~г 1г = У ЦР+ 1) — г2
Рис. 6.5
120

откуда АЬ = 1 — Ь = г2/(1 + Ь)
в г1/(2Ь). Разность фаз Аф
= (2тс/МАЬ. Для первой зоны Фре-
|| 12
неля (при А]. = Ж/2) А‹р = п. В слу- - Аф
чае отверстия радиуса г = г‚(1 — ос) '"
меньшего радиуса первой зоны гд, А,
получаем: Аф = п (1 — 002. На век-
торной диаграмме (рис. 6.6) пока- д
заны амплитуды, соответствующие 5 _<2
первой зоне и отверстию радиуса
г (А, и А). Для получения А сумми-
руются элементарные векторы до
фазы А‹р. При этом, как видно из
равнобедренного треугольника, угол наклона вектора А равен
Аср/2. Поэтому А = А‚в1п(А‹р/2)‚ а интенсивность
1 = 1,$1п2(А‹р/2). (6.8)
Рис. 6.6
При о: = 1/3 и, соответственно Аср = т: (1 — а)’ = 4п/9, получаем
1 = 1‚51п2(2п/9) в 1,$1п2(40°) а 0,411,.
Параллельный пучок монохроматического света (А = 5000 А)
интенсивностью 10 падает на непрозрачный экран с круглым отвер-
стием радиусом г = 1 мм. 1) Найдем расстояния Ь,‚ 122, ...‚ Ь„‚ от эк-
рана до точек Р‚, Рд, ...‚ Р‚„ на оси отверстия, для которых в преде-
лах отверстия укладывается 1, 2, ...‚ т зон Френеля. 2) Построим
приближенно график зависимости интенсивности света на оси от-
верстия от расстояния от точки наблюдения до экрана. 3) Найдем,
насколько надо сместиться из точки Р,‚ удаляясь от экрана, чтобы
интенсивность света в новой точке наблюдения стала в два раза
меньше, чем в точке Р, (М 6.22). 1) Используя (6.6), находим Ь„‚ =
= г2/(т7ь) = 200/т. 2) Для нахождения интенсивности воспользу-
емся (6.8). Вводя интенсивность при отверстии, соответствующем
первой зоне Френеля, 1, = 410 и учитывая, что А‹р = (2п/Ж)г2/(2Ь),
получаем
1/1, = з1п2(А‹р/2) = $1п2[(тс/2)г2/(Ж‚Ь)] = $1п2[(1:/2)(Ь,/Ь)]. (6.9)
Эта зависимость изображена на рис. 6.7. 3) Чтобы интенсив-
ность стала в два раза меньше, аргумент синуса должен быть равен
п/4. Из (6.9) следует: Ь = 212„ АЬ = Ь, = 200 см.
Плоская монохроматическая световая волна интенсивностью 10
падает нормально на непрозрачный экран в виде полуплоскости
121

дч|ы
1 1 | д
50 100150 200 250“
Рис. 6.7
с вырезом на краю, имеющем форму полу-
круга (рис. 6.8). Найдем интенсивность
света в точке 11 для которой граница выре-
за совпадает с границей 1-й зоны Френеля
(Мг 6.23). На рис. 6.9 на векторной диа-
грамме, в соответствии с (6.7), показаны
амплитуды векторов от половины 1-й зоны
Френеля А,/2 = Ао и от открытой половины
А„/2. Их сумма равна (3/2)А„. Соответст-
венно интенсивность 1 = (9/4)1„.
На белой стене наблюдается тень от
прямолинейного края АВ непрозрачного
экрана, освещаемого параллельными монохроматическими луча-
ми, падающими на экран перпендикулярно (А = 5000 А). Плоско-
сти стены и экрана параллельны, расстояние между ними Ь = 4 м.
На краю экрана выточено углубление, имеющее форму полукруга
радиусом г = 1 мм (рис. 6.10). Найдем, как изменится интенсив-
ность света в точке стены, являющейся геометрической тенью
Центра 0 соответствующего круга по сравнению с интенсивно-
стью в той же точке, когда углубления не было (М 6.24). Обозна-
чая интенсивность света в точке наблюдения в отсутствие экрана
10, в соответствии с (6.7) и рис. 6.4, при экране без углубления име-
ем: Ат = А„/2 и 1‚д = 10/4. К этому добавляется интенсивность от
половины круга, для которой из (6.8) и (6.9) получаем: 1, „к =
= 21„з1п2[пг’/(21Ь)]. Суммарная интенсивность 1/10 = 1/4 +
+ 251п3[1и°/(2ХЬ)] = 5/4. По сравнению с 1,‚, интенсивность увели-
А о ‚_ В чится в 5 раз.
Два точечных некогерентных источ-
ника монохроматического света 5 и 5"
освещают экран (рис. 6.11). Для точки
Рпс. 6-10 С выполняется условие 5С = $’С = 1 м.
122

Найдем, во сколько раз изменится осве-
щенность в точке С, если на пути лучей
в точках А и А’расположить непрозрачные
экраны с круглым отверстием диаметром
0,6 мм. Центры отверстий совпадают с 5С
и УС; АС = 9 см, А'С = 20 см. Длина волны
света 7» = 5600 А. Выясним также, как из-
менится ответ, если источники когерентны
Рис. 6.11
(Не 6.12). Из (6.6) следует, что экран А от-
крывает приблизительно две зоны Френеля
и в точке С от этого источника освещенность практически равна
нулю. Экран А'открывает приблизительно одну зону Френеля. От
этого источника имеем амплитуду 2А„ и интенсивность 4Ао2. Без эк-
ранов в случае некогерентных источников складываются интенсив-
ности и в результате общая интенсивность равна 2Ао3, т. е. с экрана-
ми оказывается в два раза больше. В случае когерентных источни-
ков при отсутствии экранов в точке С складываются амплитуды
и интенсивность равна 4А„2. Таким образом, при использовании эк-
ранов в этом случае интенсивность не изменится.
Точечный источник света с двумя монохроматическими линия-
ми ж, = 6600 А и ж, = 4400 А одинаковой интенсивности располо-
жен на расстоянии 1 = 1 м от экрана. Перед экраном на расстоя-
нии а = 0,2 м располагается непрозрачный лист с отверстием диа-
метром 1) = 0,92 мм так, что источник света, центры отверстия
и экрана расположены на общей оси системы. Найдем, как отли-
чаются освещенности в центре экрана при наличии и в отсутствие
листа (Не 6.26). Используя (6.6) и рис. 6.4, находим, что для первой
длины волны отверстие равно примерно двум зонам Френеля (ин-
тенсивность близка к нулю), а для второй длины волны отверстие
равно примерно трем зонам Френеля (А, я: 2А„). Если интенсив-
ность от каждой волны 10, то без листа интенсивность 210, а с лис-
том 41„. Таким образом, интенсивность увеличится в два раза.
Между точечным источником и приемником излучения уста-
новлен непрозрачный экран с круглым отверстием, размер которо-
го соответствует внешнему краю второй зоны Френеля. Всю систе-
му заполняют водой, показатель преломления которой п = 1,33.
Определим интенсивность излучения 1, которую зарегистрирует
приемник, если известно, что в отсутствие экрана интенсивность
была равна 10 (Не 6.27). Так как фаза волны в (6.1) определяется
оптической длиной, то длина волны в среде с показателем пре-
ломления п уменьшается в п раз. Используя (6.6), найдем, какое
число зон соответствует отверстию при погружении системы
в воду из условия 2ХаЬ/(а + Ь) = т (Ж/п) аЬ/(а + Ь). Получаем
123

т = 2п = 2,66 = 2 + 2/3. На рис. 6.12 приведена
соответствующая векторная диаграмма, из ко-
торой следует А = 2А,зш60' = А,~ГЗ и Х = ЗХ,.
В плоскопараллельпой сееплаппой пласпеп-
ка с показателем преломления и, на которую

шается в п раз, и используя (6.6), получаем 1= (В/2)2п/7„. В резуль-
тате 1 = 100 см, ЕМ = (4/3)(8л$/с)'” = 1200 В/см.
Найдем также, на каком расстоянии 1, от поверхности диэлек-
трика (в воздухе) электрическое поле максимально и чему оно
равно (М 6.29). В соответствии с (2.34) в отраженной волне напря-
женность электрического поля меняется в (п — 1)/(п + 1) раз. На-
пряженность поля увеличится в два раза и будет максимальной,
если диаметр светового пучка окажется равным диаметру 1-й зоны
Френеля для точки наблюдения в воздухе. Используя (6.6), полу-
чаем Ь = (В/2)2/7ь = 50 см. Складывая отраженное поле с имев-
шимся в пучке, в соответствии с (6.10), получаем Е =
= (5/3)(8п5/с)'д = 1500 В/см.
Направленность излучения ультразвукового дальномера обеспе-
чивается рупором конической формы длиной а = 15 см и диамет-
ром выходного отверстия В = 10 см. Оценим, в каких пределах
можно перестраивать излучаемую частоту чтобы интенсивность
волны, излучаемой в направлении оси рупора, изменялась бы не
более, чем в 2 раза. Средняя рабочая частота у = 100 кГц. Считаем
волну распространяющуюся в рупоре, сферической. Скорость
звука о = 330 м/с (М: 6.49). Для длины волны при средней рабочей
частоте получаем А = о/у = 0,33 см. С помощью (6.6) число зон
Френеля на выходном отверстии рупора для объекта (точки на-
блюдения), находящегося на большом расстоянии, т = (В/2)1/
/(?„а) = 5. Для замирания сигнала число зон должно бьпъ четное: 4
или 6. Условие ослабления интенсивности сигнала в 2 раза — по-
луцелое число зон Френеля (4,5 и 5,5). Соответствующие длины
волн из (6.6) А = (В/2)/та. Для диапазона частот находим преде-
лы: от 89,1 до 108,9 кГц.
При закрывании т зон непрозрачным экраном некоторого ра-
диуса светлое пятно всегда находится в центре тени, полагающей-
ся из геометрической оптики (пятно Пуассона, продемонстриро-
ванное Араго)
А = А„‚„/2. (6.11)
Край пятна определяется тем, что при сдвиге непрозрачного
экрана от линии, соединяющей источник с Центром пятна, при-
мерно на ширину зоны Френеля происходит уменьшение части
открытой зоны и открывается часть ранее закрытой зоны с ампли-
тудой противоположного знака. Для оценки диаметра пятна (д)
и его углового размера ‹р с д/Ь при диаметре экрана В используем
(6.6) для плоской волны
ср т д/Ь т МВ. (6.12)
125

Отметим, что если открыта только одна 1-я
зона Френеля, то амплитуда в два раза больше,
чем при открытии всех зон. Эффект можно
усилить еще более, закрыв все отрицательные
зоны. Такая конструкция называется зонной
пластинкой (подробнее см. далее). Если от-
крыть только половину площади первой зоны,
то возможны два ва ианта: для части в виде
круга Ашк = (А,/2) 2, а для части в виде полу-
круга Ат = А‚/2 (рис.6.14). Еще раз подчерк-
нем, что рассматриваются препятствия и расстояния, которые
значительно больше длины волны света. Учитывается волновая
природа, но отклонения от геометрической оптики довольно
малы.
Может показаться странным, что при увеличении отверстия
в экране, через которое проходит поток света, от размера 1-й зоны
Френеля до размера 2-й зоны освещенность в точке наблюдения,
относительно которой рассчитываются эти зоны, падает почти до
нуля (Не 6.6). Дело здесь в том, что хотя поток света увеличивается
в два раза, но он распределяется по экрану другим образом.
Найдем интенсивность света 1 в центре дифракционной кар-
тины от круглого экрана, когда он закрывает первую зону Френеля,
если в отсутствие экрана интенсивность равна 10 (Мг 6.1). Из спи-
рали Френеля (см. рис. 6.4) следует, что при всех открытых зонах
(в отсутствие экрана) амплитуда волны А,/2, а интенсивность, сле-
довательно, 1„ = А,2/4. При закрытой первой зоне из (6.11) следует,
что амплитуда волны равна А,/2, а интенсивность 1 = Ад2/4 а
=А,2/4 = 10.
Яркий источник света можно сфотографировать, поместив ме-
жду ним и фотопластинкой гладкий непрозрачный шар. Это связа-
но с тем, что в центре геометрической тени существует светлое
пятно Пуассона. Край пятна определяется смещением шара на
ширину 1-й открытой зоны Френеля, а размер — (6.9). Из (6.6) для
шара диаметром 1) = 40 мм при длине волны света Ж = 5000 А и
расстояниях а = 12 м и Ь = 18 м (размеры в классическом опыте
Поля) (рис. 6.15) получаем ширину 1-й открытой зоны Френеля
Аг = аЬж/[(а + Ь) В] = 180 71 в 0,1 мм. Найдем размер изображения
у’, если размер источника у = 7 мм, и определим, будет ли изобра-
жение испорчено, если поверхность шара испещрена множеством
неправильных царапин, глубина которых 11 порядка 0,1 мм, а так-
же, если шар заменить диском (М 6.15). Размер изображения на-
ходим из геометрии у’ = у Ь/а = 10,5 мм. Чтобы опыт удался, не-
126
Рис. 6.14

)‚1""`—"""""“-—чЁ::::—"\\\
а '
Ьь( 4
г Т д?‘
Рис. 6.15
`Tr
ровности не должны открывать соседнюю (противоположного
знака) зону Френеля, т. е. должно быть 12 < Аж: В случае диска из
крайней точки источника, находящейся на расстоянии у от оси,
диск виден в виде эллипса диаметрами В и 1) (1 — оъ2/2), где ос =
= у/а. Разность соответствующих радиусов должна быть меньше
ширины зоны Френеля Ва2/4 < А): Откуда получаем условие при-
менения диска у < 2(а/1))[аЬ7\/(а + 12)] в 1 м.
Между точечным монохро-
матическим источником света
и точкой наблюдения перпен-
дикулярно соединяющей их ли-
нии помещен экран, состоящий
из секторов двух кругов
(рис.6.16). Радиус одного из них
равен радиусу 1-й зоны Френе- р„с_ 5_15
ля, другого — радиусу 2-й зоны
Френеля. Найдем интенсив-
ность света в точке наблюдения, если в отсутствие экрана она рав-
на 10. Рассмотрим экраны, изображенные на рис. 6.16, а, 6019 6.8).
Используя (6.7) и (6.11), получаем, что все зоны кроме 1-й и 2-й
дают амплитуду А,/2. Считаем, что А, я А,. В случае, изображенном
на рис. 6.16, а, половина 2-й зоны дает А,/2 н —А‚/2. В результате
сумма амплитуд А,/2 — А‚/2 = О. Интенсивность равна нулю. В слу-
чае, изображенном на рис. 6.16, б, четверть 2-й зоны дает А‚/4 ‚ъ
н —А,/4. В результате сумма амплитуд А‚/2 — А‚/4 = А,/4. Так как
интенсивность в отсутствие экрана 10 =
= (А,/2)2, то интенсивность в данном
случае 1 = 10/4.
Непрозрачный экран, имеющий
форму полудиска, помещен между то-
чечным источником 5 и точкой наблю-
дения Ртаким образом, что точка Орас-
полагается на одной прямой с точками
5 и Р (рис. 6.17). Экран закрывает не-
большое нечетное число полузон Фре- РИФ 5-17
127

неля. Найдем освещенность в точке Р (М9 6.2). Воспользовавшись
(6.7), для амплитуды волны в точке Р можем написать
А=(1/2)(А‚ +А2+...+А„_|)+(1/2)(А„ +(А„„ +А„+2+...).
Для А! нечетного при небольшом А’ выражение в первой скоб-
ке равно нулю, а в последней — (А„, ‚/2). Поэтому А а (1 /2) (А„ +
+ Ад, + 1) а О. Таким образом, в точке Р будет минимальная осве-
щенность.
Между точечным источником и точкой наблюдения Р поме-
щен диск, центр которого расположен на одной прямой с точка-
ми 5 и Р (см. рис. 6.17). Одна половина диска прозрачна, другая
непрозрачна. Диск закрывает первые три зоны Френеля. Толщи-
на прозрачной части диска 1= М(7„/2)/(п — 1), где п — показатель
преломления прозрачной части диска; А! — целое число. Найдем
освещенность в точке Р при четном и нечетном А’ (Не 6.3). Ам-
плитуда от трех половинок зон Френеля приблизительно равна
А‚/2‚ амплитуда от всех открытых зон — (—А‚/2), так как начина-
ется с 4-й открытой зоны. Сумма зависит от фазы волны, про-
шедшей через диск. При четном А’ сдвига фаз нет. В результате
имеем минимум освещенности. При нечетном А! волны оказыва-
ются в фазе и дают амплитуду приблизительно А„ как при откры-
той 1-й зоне.
Диск из стекла с показателем преломления п (для длины волны
7») закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения Р
Найдем, при какой толщине И диска освещенность в точке Рбудет
наибольшей (Не 6.16). На рис. 6.18, а (векторной диаграмме) пока-
заны амплитуды волн: в отсутствие диска АО, от полутора зон Фре-
неля Ат, от зон вне диска Аж. Показатель преломления увеличи-
вает фазу волны на (2тс/7ь)(п — 1)/1. Максимум амплитуды в точке
наблюдения будет, когда угол поворота Ат = (5/4)п + 2тс т, где
т = О, 1, 2, ..., откуда 12 = (2т + 5/4)(?„/2)/(п - 1).
Рис. 6.18
128

На прозрачный экран с круглым отверстием площадью в одну
треть зоны Френеля (для данной точки наблюдения) нормально
падает плоская монохроматическая волна. Зависимость коэффи-
циента преломления материала экрана от длины волны ж имеет вид
п(?„) = 1 — а)», где а = 1 мм-'. Определим минимальную толщину
экрана (11), при которой интенсивность в выбранной точке наблю-
дения обращается в нуль (М 6.54). На рис. 6.18, б приведена век-
торная диаграмма, где показаны вектор Ат от отверстия в треть
зоны Френеля и вектор Ат от остальных зон, которые вместе со-
ставляют вектор АО от всех зон. Прохождение волны через экран
приводит к изменению фазы в отрицательном направлении (по
часовой стрелке), так как показатель преломления п < 1. Чтобы
в сумме с АШ составить нуль, вектор Аж должен повернуться по
часовой стрелке на 300° = 2тс(5/6). Поэтому (2п/Х)/1(п — 1) =
= —2л(5/6), откуда 11 = 5/(6оъ) = 0,83 мм.
Точечный источник света с двумя монохроматическими ли-
ниями к, = 660 нм и ж, = 440 нм одинаковой интенсивности рас-
положен на расстоянии Ь = 1 м от экрана. Перед экраном на рас-
стоянии а = 0,2 м расположен прозрачный диск диаметром В =
= 0,92 мм, вносящий фазовую задержку в т: для обеих компонент,
причем источник света, центры диска и экрана лежат на общей
оси. Найдем, как отличаются интенсивности света в центре экра-
на при наличии и отсутствии диска (Не 6.25). Из (6.6) находим
число зон, которым соответствует диск для разных длин волн. Для
7», = 660 нм имеем
т = 1‚(1)2/4)/[а(1‚ - ат = (9‚2›2-1о-8 -1/(0‚2-0,8-66О'10-9 д4) = 2.
Для 7», = 440 нм соответственно т’ = 3.
В первом случае (для м) интенсивность только от зон, начиная
с третьей (первые две дают нуль). Эта интенсивность соответству-
ет интенсивности в отсутствие диска, т. е. 10. Для другой длины
волны к амплитуде от трех зон добавляется (с учетом знака из-за
сдвига фаз) амплитуда от зон, начиная с четвертой, примерно рав-
ная амплитуде в случае отсутствия диска (АО). Таким образом, по-
лучаем амплитуду 3А„ и интенсивность 910. В сумме с первой име-
ем 10 10.
В параллельном пучке радиоизлучения, длина волны которого
7» = 3 см, поставлен диск из диэлектрика с показателем преломле-
ния п = 1,5. Диск перпендикулярен направлению пучка. Диаметр
диска 1) = 20 см. Пренебрегая отражением излучения от диска, оп-
ределим, при какой толщине диска 11 и на каком расстоянии Ь от
диска вдоль его оси будет наблюдаться максимальная интенсив-
129
9-1647

ность излучения (№ 6.17). Расстояния, для которых диск является
т-й зоной Френеля из (6.6) для плоской волны (а = со),
Ь = П/(4 тХ).
Амплитуда от волны вне диска определяется (6.8) со знаком,
противоположным знаку амплитуды от волны, проходящей че-
рез диск. Чтобы волны имели при сложении одинаковый знак,
разность хода при прохождении через диск должна быть равна
нечетному числу половин длин волн (и — 1) й = (Й + 1/2)Х,
а диск соответствовать нечетному числу зон Френеля. Поэтому
й = (Й + 1/2)Х/(и — 1) = (Х/2)/(и — 1) + И/(и — 1) = 3 + бlс см,
Й = О, 1, 2, ... Расстояния Ь, на которых будут наблюдаться мак-
симальные интенсивности, получаем при т = 1, 3, 5, ...: Ь
= 33,3, 11,1, 6,65, ..., см.
Непрозрачный диск диаметром Р = 1 см освещается плоской
нормально падающей волной (Х = 5.10-' см). Найдем, при каком
минимальном диаметре отверстия, проделанного в центре диска,
интенсивность света в точке, находящейся за диском на оси сим-
метрии на расстоянии А = 1,5 м, равна нулю (№ 6.19). Используя
(6.6), определяем число зон, перекрываемых диском, т
= Р2/(4ХА) = 33,33. На рис. 6.19 приведена векторная диаграмма.
Вектор А, соответствует амплитуде в точке Р в отсутствие диска;
вектор А, — от зон, закрытых диском. Соответственно от всех ос-
тальных А Чтобы погасить этот вектор, нужно иметь вектор А„
соответствующий 1,66 зоны Френеля. Из (6.6) находим диаметр
нужного отверстия Ш = 2(1,66ХА)'~' = 0,2236 см.
Вдали от точечного источника Ю электромагнитной волны по-
ставлен бесконечный идеально отражающий экран АЗ (рис. 6.20).
Пользуясь векторной диаграммой, найдем, как изменится интен-
сивность отраженной волны в точке 5', если из экрана вырезать
диск СР с центром в основании перпендикуляра, опущенного из

5 на плоскость экрана, и сместить этот диск по
направлению к источнику на ‘/„ длины волны.
Площадь диска составляет 1/3 от площади пер-
вой зоны Френеля. Определим, как изменится
результат, если смещение произвести в проти-
воположную сторону на ту же величину
(Мг 6.4). Воспользуемся спиралью Френеля
(см. рис. 6.4). В данном случае (рис. 6.21) ам-
плитуда волны, вызываемой всеми зонами
Френеля, изобразится вектором АО, амплитуда
волны от 1/3 1-й зоны Френеля — вектором Ат, р„с_ 511
амплитуда волны от всех остальных зон — век-
тором Ат. Длины всех трех векторов одинаковые, так как вектор
Ат является хордой дуги, представляющей 1/3 от полуокружности.
Векторы образуют равносторонний треугольник. При увеличении
расстояния до точки наблюдения вектор, описывающий приходя-
щую волну на фазовой диаграмме поворачивается против часовой
стрелки. Смещение центрального круга к источнику на Ж/ 12 при-
водит к повороту вектора Ат по часовой стрелке на величину со-
ответствующего изменения фазы 2(2тс/?„)?„/ 12 = п/З. Вектор Ад,
становится противоположно направленным вектору Ат, Так как
их абсолютные величины одинаковы, они в сумме дают нуль, т. е.
отраженная волна ничего не приносит в точку 5‘. При смещении
центрального круга от точки ‚5‘ вращение вектора Ат будет проис-
ходить в другую сторону на тот же угол. Вектор Ад, совпадет с АО.
С ма амплитуд отраженных волн в данном случае будет равна
Щ, т. е. в Л раз больше, чем при ровном экране. Интенсивность
волны возрастет в три раза.
Рассмотрим задачу; которая отличается от предыдущей тем,
что площадь диска составляет половину первой зоны Френеля.
Найдем, на какое минимальное расстояние И следует сместить
диск в направлении от источника, чтобы ин-
тенсивность отраженной волны в точке 5 оста-
лась неизменной (Мг 6.5). На рис. 6.22 показа-
на спираль Френеля для данного случая. Что-
бы сумма амплитуд отраженных волн была
равна АО," необходимо повернуть вектор Ат на
угол ‹р = 3тс/2. Так как разности фаз 21: соответ-
ствует разность хода ж, то 2}: = 371/4, откуда Ь =
= 37ь/8.
Вдали от точечного источника 5 стоит бес-
конечный идеально отражающий экран. Из Рис- 612
131
9*

2
экрана удален диск диаметром Ш, = 2г, —, где
г, — радиус первой зоны Френеля, и поставлен
другой диаметром Ш, = Ш,с/2. Найдем интенсив-
ность |отраженной волны в точке 5', если диск
диаметром Ш, стоит в плоскости экрана
(№ 6.14). Используя (6.6) и одинаковое рас-
Рис. 6.23 стояние от экрана источника и точки наблюде-
ния, получаем, что отверстие соответствует '/,
площади первой зоны Френеля, а вставленный диск — '/,. На
рис. 6.23 (векторной диаграмме) показаны амплитуды волн: отра-
женных от всего экрана А„пропавшая от '/, первой зоны Френеля
А„и отраженная от '/, первой зоны Френеля, благодаря вставлен-
ному диску А„,. В сумме эти три амплитуды дают нуль. Следова-
тельно, 1= О.
Симметрично между источ-
ником Ю (Х = 4900 А) и точкой на-
блюдения (Р) расположен непро-
1
зрачный экран с круглым отвер-
стием (г = 0,35 мм). Расстояние
от источника до экрана а = 1 м.

Рис. 6.25
вдоль оси на расстояние Ь'= 3 мот экрана (Не 6.10). Для определе-
ния числа зон Френеля в обоих случаях воспользуемся (6.6). Внача-
ле т = г (а + Ь)/(7ьа1›) = 4/3. Во втором случае т = 2/3. На рис. 6.25
(векторной диаграмме) показаны векторы амплитуд в первом
(рис. 6.25, а) «БАШ и во втором (рис. 6.25, б) «БАШ случаях. Как и в
предыдущей задаче значения векторов амплитуд в отсутствие экра-
на различаются из-за разных расстояний АШ/Ао, = (а + Ь)/(а + Ь) =
= 2/3. В результате для интенсивностей получаем 12/1, = 4/9.
Параллельный пучок монохроматического света с длиной вол-
ны А = 6000 А нормально падает на непрозрачный экран с круг-
лым отверстием диаметром 1) = 1,2 мм. На расстоянии Ь = 18 см за
экраном на оси отверстия наблюдается темное пятно. Найдем, на
какое минимальное расстояние Ад нужно сместиться от этой точки
вдоль оси отверстия, удаляясь от него, чтобы в центре дифракци-
онной картины наблюдалось темное пятно (М9 6.13). Из (6.6) сле-
дует: 17/4 = тЖЬ. Для темных пятен число зон должно быть чет-
ным т = 21\/, где 1\’= 1, 2, 3, ..., поэтому обозначив 17/4 = 2МЬ‚,
расстояние между соседними темными пятнами
АЬ = [вг/(зжлп/(п - 1) - 1/м = вид: /(1›г 4 вжьд = 27 см.
Точечный монохроматический источник 5 и точка наблюде-
ния Р расположены симметрично на расстояниях Ь по обе сторо-
ны от экрана с круглым отверстием. Отверстие имеет наименьший
диаметр, при котором интенсивность света в точке Р равна нулю.
В отсутствие экрана интенсивность света в точке Р равна 10. Ис-
то-шик света и точку наблюдения отодвинули от экрана в положе-
ния $'и Р'(рис. 6.26). Найдем, какой будет интенсивность колеба-
ний в точке Р'(М9 6.53). В первом случае открыты две зоны Френе-
ля. Из (6.6) получаем радиус отверстия г, = (Иди. Опять же из
(6.6) найдем число зон во втором случае: т = 1. Амплитуда волны
в отсутствие экрана во вторых положениях АО, = А„‚/2. Так как АО, =
= (1„)'/2‚ то в точке Р’ интенсивность 1 = (2А„‚)2 = 10.
133

Точечный источник
5 монохроматического све-
та с длиной волны ж, поме-
щенный в фокусе шшзы Л с
диаметром В и фокусным
расстоянием 12 создает на
экране, отстоящем от линзы гид 619
на расстоянии 212 светлое
пятно интенсивностью 1„ (рис. 6.29). Найдем интенсивность света
1 в центре дифракционного пятна на экране, если источншс отнести
на расстояние 2] от линзы. Рассчитаем отношение 1/10 для случая
1) = 5 см, /= 50 см, А = 500 нм (Не 6.52). В первом случае, так как за
линзой плоская волна, интенсивность света на экране и в плоско-
сти линзы одинакова и равна 10. Так как амплитуда волны от источ-
ника уменшается обратно пропорционально расстоянию и на рас-
стоянии 1 в первом случае равна АО = (1„)'/2, то при смещении в от-
сутствие линзы на экране (на расстоянии 41) она будет равна Ао/4.
Соответственно интенсивность 1„/ 16. Для второго случая положе-
ния источника число зон Френеля на линзе из (6.6) т = 1Р/(4/А).
Так как в данном случае в центре экрана находится изображение
источника, линза распрямляет спираль Френеля, т. е. амплитуда
здесь А = ттгАо/4 = птиц/обл). Интенсивность 1 = А2, 1/10 я 4-106.
Точечный источник света и точка наблюдения Р расположе-
ны симметрично на расстоянии 2Ь на оси круглого отверстия
в непрозрачном экране. Отверстие оставляет открытой одну зону
Френеля для точки В Найдем, во сколько раз изменится интен-
сивность света в точке Р, если к отверстию без нарушения осевой
симметрии приложить тонкую линзу с фокусным расстоянием
[ = Ь (Мг 6.33). Для радиуса первой зоны Френеля из (6.6) при
а = Ь = Ь получаем г, = (ЬЖ/2)‘/2. При использовании линзы
с /= Ь на отверстие падает параллельный пучок света. Из (6.6) при
а = оо и Ь = Ь имеем г„‚ = (атМШ. В таком случае отверстие соот-
ветствует половине первой зоны Френеля, но с другой Аол. В обоих
случаях на отверстие приходит один и тот А
же поток энергии. Элементы амплитуд Ф ‘д’
одни и те же, но в точке Рони складь1вают-
ся различно из-за разных фаз (рис. 6.30). Аод
Суммы длин векторов должны быть одина-
ковы пАо = пАод/2. Соответственно Аид =
= А, «б. Таким образом, интенсивность
УВСЛИЧИТСЯ В два 13838.
Рис. 6.30
135

Линза с фокусным расстоянием 1“ = 50 см и диаметром В = 5 см
освещается параллельным монохроматическим пучком света
с длиной волны Ж = 630 нм. Найдем, во сколько раз интенсивность
волны 1 в фокусе линзы превышает интенсивность волны 10, па-
дающей на линзу. Оценим также размер а’ пятна в фокальной
плоскости (Мг 6.43). Найдем вначале, скольким зонам Френеля
соответствует отверстие, Диаметр которого равен диаметру линзы
1). В (6.6) подставляем а = оо, Ь =л откуда т = 132/(474). Обозначив
амплитуду падающего на линзу света АО, находим амплитуду в фо-
кусе линзы. Учитывая, что свет, падающий на линзу от всех эле-
ментов поверхности линзы приходит в фокус в одной и той же
фазе, получаем, что полуокружность (см. рис. 6.3), соответствую-
шая одной зоне Френеля, распрямляется в прямую линию длины
пАО. Для т зон амплитуда А‚„ = пАОт = пА01У/(4ЖЛ. Отношение ин-
тенсивностей 1/10 = А2/АО3 (пВ2)2/(47„])2. Приравнивая поток
энергии, падающий на линзу (диаметр В), потоку, приходяшему
в фокус (диаметр пятна а’), получаем 101)? = ДР, откуда
а’ = В(10/1)'/2 = 47470113) = 1,27_/)\./В.
На пути плоской световой волны (Ж = 0,54 мкм) поставили
тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием 1‘ = 50 см, не-
посредственно за ней — диафрагму с круглым отверстием и на рас-
стоянии Ь = 75 см от диафрагмы — экран. Найдем, при каких ра-
диусах отверстия центр дифракционной картины на экране имеет
максимальную освещенность (Не 6.30). На рис. 6.31 показана схе-
ма задачи. Замечательным свойством линзы является то, что в фо-
кусе все элементы волны имеют одинаковую фазу Поэтому на ок-
ружности, проведенной из фокуса, все элементы в одной фазе, как
—?
-—>-
Ь
—>— '
_› 5
—> Е
—> н]. Е
-› . Г; Е .
|
Е, ' Ь #5
Рис. 6.31
136

ской сходящейся волне наблюдается такой же эффект, как при
использовании собирающей линзы: волны от всех элементов от-
верстия приходят в одной и той же фазе — спираль разворачивает-
ся в прямую линию. Суммарная амплитуда соответствует длине
линии. В данном случае (трех зон) она равна 3тсАо. Соответственно
интенсивность 1 = 91:21„ Сферическая сходящаяся волна создает
в плоскости экрана поле практически с одной амплитудой, но со
сдвигом по фазе, который можно вычислить по расстоянию от
фронта сферической волны до плоскости экрана. Для малых углов
схождения это равно приблизительно расстоянию от точки фрон-
та до плоскости экрана по нормали (х). Обозначив расстояние от
оси экрана р и считая радиус волны в 1%, получим 1202 = (Ко — х)? +
+ рд, откуда х = р2/(2КО). Отсчитывая фазу волн от фаз волны
в центре отверстия, получаем в зависимости от р фазы волн ф, =
= (2тс/7ь)р2/(2К„). Аналогичным образом для точки 2 на оси экрана
находим (р, = (2п/Ж)р2/(22). Относительный сдвиг фаз
Ф = Ф: - Ф. = (Л/ЖЛУП/г - 1/Ко)- (6-13)
Граница зон Френеля (при 2 2 Ко) определяется из условия
(р = —т1г. Поэтому
р: = тжгдо/(г — Ко). (6.14)
Используя условие, что при плоской волне для В отверстие от-
крывает три зоны Френеля, получаем: 02/4 = т7„2В„/(2 — Ко) =
= ЗЖКО, откуда
т = 3(2 — Кош. (в.15)
При 2 = Ко имеем т = О. При 2 = 3120 получаем т = 2. Две зоны
Френеля дают минимум. Других минимумов нет, так как для чет-
ных т получаются отрицательные значения 2.
Рассмотрим вариант подобной задачи, когда вместо экрана
с круглым отверстием используется экран с кольцевым вырезом
(рис. 6.34). При освещении экрана плоской
волной он оставлял бы открытыми вторую,
третью и четвертую зоны Френеля для точки
0 (Мг 6.51). Как и в предыдущей задаче три
выпрямленных участка спирали дают ам-
плитуду ЗтсАО и, соответственно, интенсив-
ность 1 = 911210. Локальные минимумы ин-
тенсивности будем искать при смещении
точки наблюдения от О в область 2 $ Ко
138

(М 6.51). Для сдвига фаз в точке наблюдения воспользуемся
(6.13). Граница зон Френеля (при 2 5 Ко) определяется из условия
‹р = ттс, поэтому
РЁ. = т Жгдо/(Ко — 2)-
Для внешней границы кольца получаем: т4 = 4(К„ — 2)/2, для
внутренней: т, = (Д, — 2)/2. При 2 = В имеем т, = т, = О. Локаль-
ные минимумы образуются, когда на кольцевой вырез будет укла-
дываться четное число зон Френеля тд — т, = 3(К„ — 2)/2 = 2п‚
п = 1, 2, 3, ...‚ откуда
2„ = 3К„/(2 п + 3).
При п = 1 имеем 2, = (3/5)В„‚ при п = 2 получаем 2 = (3/7)К„
и т. д.
При рассмотрении плоских щелей используются плоские зоны
(зоъш Шустера). На рис. 6.35 показана плоская щель (перпендику-
лярная плоскости рисунка) ширины дБ, через которую идет пло-
ская волна. Амплитуда волны, попадаю-
щей в точку Р (это любая точка на ли- у у у у у у у
нии, перпендикулярной рисунку),
пропорциональна площади щели
и уменьшается из-за угла. Фаза, т. е. по-
ворот вектора на векторной диаграмме
увеличивается с расстоянием. Результат
сложения векторов от щелей (спираль Р
Корню) показан на рис. 6.36. Полностью '
открытая плоскость фронта дает в сум-
ме вектор А„, наполовину открытая —
А„/2. Для преграды, изображенной на
рис. 6.37, в точке Р амплитуда опись1ва-
ется вектором А‚„ на рис. 6.36. Распреде-
ление интенсивности света (квадрата
амплитуды) 1 на экране, перед которым
находится непрозрачная полуплоскость,
параллельная экрану и перпендикуляр-
ная направлению распространения пло-
ской световой волны, рассчитанное
с использованием спирали Корню, по-
казано на рис. 6.38. Под краем непро-
зрачной полуплоскости интенсивность
равна '/‚‚ части интенсивности при ее _
отсутствии. Рис- 6-35
Рис. 6.35
139

НФНН НИМИ
Рис. 6.37
Н‘?
вис. 6.38
Зная радиусы зон Френеля (6.6)‚ можно изготовить специаль-
ное устройство, называемое зонной пластинкой, которая прикры-
вает зоны через одну, обеспечивая таким образом сложение ам-
плитуд одного знака, приводящее к значительному увеличению
интенсивности волны в точке наблюдения. Зонная пластинка дей-
ствует подббно собирательной линзе. Используя (6.6)‚ можно на-
писать для расстояний от источника до пластинки (а) и от пла-
стинки до точки наблюдения (Ь):
1/а + 1/Ь = тх/гт2 = 1/]Ё (6.16)
Эта формула аналогична формуле для линзы. Величину _/ назы-
вают основным фокусом, или максимальным фокусным расстояни-
ем,
Д, = гЗ/А. (6.17)
В отличие от линзы, зонная пластинка дает не одно, а много
изображений источника. Если сместить точку наблюдения так,
чтобы в пределах первого прозрачного кольца укладывалась не
одна, а три зоны Френеля, то в итоге получаем усиление интен-
сивности в точке на расстоянии 11., для которой
1/а + 1/ь‚ = 3/13.
Положение всех точек усиления интенсивности определяется
соотношением `
1/а + 1/Ь„ = (2п + 1)/1{„ п = О, 1, 2, ...,
откуда
Д, =_/„/(2п + 1). (6.18)
Фокусные расстояния меньше основного (максимального) фо-
куса.
140

При отрицательных значениях п получаем мнимые фокусы и,
соответственно, расходящиеся волны, как для мнимых источни-
ков (Ме 6.40).
Освещенный предмет расположен на оси зонной пластинки на
расстоянии а от нее. Самое дальнее от зонной пластишш изображе-
ние предмета получается на расстоянии Ь от нее. Найдем, на каких
расстояниях Ь„ от пластинки получаются остальные изображения
предмета (Не 6.41). Используя (6.16) и (6.18), получаем: Д, = аЬ/ [а +
+ 1))(2п + 1)].
Зонная пластинка дает изображение источника, удаленного от
нее на 3 м, на расстоянии 2 м от своей поверхности. Найдем, где по-
лучится изображение источника, если его ОгОДВИНУГЬ на бесконеч-
ностъ (Мг 6.35). Из (6.16) имеем 1/а + 1/Ь = 1/Ь„ откуда Ь, = 1,2 м.
Определим фокусное расстояние 1‘ зонной пластинки для света
с длиной волны 5000 А, если радиус 5-го кольца этой пластинки
равен 1,5 мм; определим также радиус г, 1-го кольца этой пластин-
ки. Выясним, что произойдет, если пространство между зонной
пластинкой и экраном заполнено средой с показателем преломле-
ния п (п > 1) (Не 6.36). Используя (6.16), получаем [= Г52/(57м) =
= 90 см, г, = 01)“? = 0,672 мм. При заполнении пространства меж-
ду зонной пластинкой и экраном средой длина волны уменьшится
в п раз. Фокусное расстояние увеличится, и максимумы, располо-
женные на оси пластинки отодвинутся от нее.
Если у зонной пластинки закрыты все зоны, кроме первой, то
интенсивность в фокусе (точки наблюдения), в соответствии
с (6.7), равна 1, = А} = (2Ао) 1 = 41„ (Не 6.37).
Если у зонной пластинки закрыты все зоны, кроме верхней по-
ловины первой, то интенсивность в фокусе (точки наблюдения),
в соответствии с (6.7), равна 1, д = АО’ = 10 (Не 6.38).
Зонная пластинка с радиусом первой зоны Френеля г, = 0,5 мм
помещена перед отверстием в экране диаметром 1) = 1 см. Пла-
стинка освещается параллельным монохроматическим пучком
света с длиной волны ж = 500 нм и интенсивностью 10. Определим
интенсивность 1 волны в фокусе пластинки. Оценим также размер
пятна (1 в фокальной плоскости (М) 6.44). Используя (6.6), найдем
число зон, укладывающихся в отверстии т = (г„‚/г‚)2 = В2/(2г‚)2 =
= 122/(4112) = 100, где Ь = гЗ/А = 50 см — фокусное расстояние зон-
ной пластинки. Амплитуда от т/2 открытых зон равна А = А,т/2 =
= А„т. Соответственно для интенсивности имеем: 1 = 1„ т’ = 10-104.
Размер пятна оцениваем из условия сохранения потока энергии:
1ш12/4 = 1„тсг,2т/2, откуда 41:: 2,8 231/1) = 7-10-3 см. При вычислении
по (6.9) с! * 5-10-3 см.
141

Рис. 6.39
С помощью зонной пластинки надо сфотографировать освещен-
ный предмет с угловым размером 20: = 0,1 рад. Оценим число зон
пластинки, при котором будет достигнута наибольшая четкость
в изображении всех частей предмета (М: 6.42). Рассмотрим, как ска-
зывается на четкости изображения (уменьшение интенсивности
в точке наблюдения) точечного источника наклон зонной пластин-
ки относительно прямой линии, проходящей через источник, центр
зонной пластинки и изображение на угол п/2 — ос, где а << тг/2. На
рис. 6.39 показаны источник (5), зонная пластинка (точка О —
центр пластинки, точка С находится на внешнем радиусе г некото-
рой зоны) и изображение (Р). По теореме косинусов х2 = а? + г? +
+ 2агсвйпоъ. Извлекая корень и разлагая в ряд Тейлора, получаем
с точностью до квадрата малой по сравнению с 1 величины г/а:
х = а + гзйпа + рдсов3оъ/(2а).
Аналогично,
у = Ь — гзйпоь + Нсоз2а/(2Ь).
Для разности хода имеем
А = (х + у) — (а + Ь) = Нсозш (1/а + 1/Ь)/2.
При а = О получаем АО = :°(1/а + 1/Ь)/2. Приращение разности
хода, связанное с наклоном зонной пластинки, определим по
формуле
бА = АО (1 — с052оъ) = Аозйпдх а Аоа’.
142

Если бА > Х/2, то возникает перекрытие положительных и от-
рицательных зон и интенсивность волны в точке наблюдения
(четкость изображения) уменьшается. Таким образом, предельное
значение определяется соотношением А„ в ж/(2а2). Откуда для
числа зон Френеля получаем А! в А„/(›„/2) в 1/оъ2. Для неточечного
предмета нечеткость проявляется именно для крайних точек, для
которых зонная пластинка имеет наклон. Поэтому предельное
число зон Френеля, при котором должно получиться наиболее
четкое изображение, будет А! Ы 1/оъ2 т 400.
Зонная пластинка Френеля
с радиусом первой зоны Фре-
неля г, = 0,6 мм создает изобра-
жение удаленного протяженно-
го объекта с угловым размером
а = 5‚7°. Оценим максималь-
ный размер пластинки, а также
допустимую при этом размере
относительную немонохрома-
тичность света Ах/ж, при кото-
рых изображение краев объекта
остается достаточно резким
(Не 6.55). Зоны Френеля для
крайних точек протяженного
объекта имеют вид эллипсов
с разностью (рис. 6.40) Аг =
= г‚„ - г„„„ = г„‚п - соз‹а/2›1 - Рт- 6-40
а г‚„оъ1/8. Эта величина должна
быть меньше ширины крайних зон Френеля, чтобы перекрываю-
щиеся положительные и отрицательные зоны не гасили ДРУГ ДРУ‘
га. Используя (6.6) для удаленного объекта, получаем г‚„ „Ч — г„‚ =
=/)„/(2г„‚). Из (6.6) для первой зоны Френеля 1“ = гВ/А. Обозначив
диаметр пластинки 1), имеем: Вой/ 16 < гЗ/В. Поэтому В = 4г‚/а =
= 2,4 см. Максимальное значение т = 132/(4132). Относительную не-
монохроматичность находим, как и в (4.8)‚ из условия (А + АЖ) т =
= Мт + 1). Поэтому АХ/Х = оъ2/4 = 2,5-1О-3.
Еще больший эффект можно получить от фазовых зонных пла-
спилок, в которых вместо задержки волны непрозрачностью созда-
вать изменение фазы волны на противоположную.
Зонная пластинка, вырезанная из стекла с показателем прелом-
ления п, представляет собой тело вращения, сечение которого по-
казано на рис. 6.41. Пластинка помещена в непрозрачную оправу.
143

Радиусы ступенек т, = 2 мм, г, = 4 мм, г, =
= б мм. Толщина ступенек Ь одинакова.
Определим максимальное фокусное рас-
стояние /,„пластинки для света с длиной

кзм + МР) — („и + АР)| = тж/2.
ПОДСТЗВЛЯЯ СЮДЗ ВЫЧИСЛСННЫС ЗНЗЧСНИЯ, НЗХОДИМ
гм? = тЖ/П/а + 1/Ь — 2/К|.
Для измерения размеров малых светящихся частиц предложе-
на схема, изображенная на рис. 6.43. Частица 5 и плоскость на-
блюдения П расположены на двойном фокусном расстоянии от
собирающей линзы Л с фокусным расстоянием 1’ = 25 см. Перед
линзой на некотором расстоянии Ь, которое можно изменять
в процессе эксперимента, расположен экран Э с двойной щелью.
Расстояние между щелями с! = 1 см, ширина каждой щели 1= 2 мм.
Длина волны света А = 5°1О-5 см. Определим ширину интерферен-
ционных полос, наблюдаемых на плоскости П, если экран распо-
ложен точно посередине между частицей- 5 и линзой (Ь = 1‘). Оце-
ним также, при каком значении Ь интерференционные полосы
исчезнут, если размер источника Ь = 10-3 см (Мг 6.48). В случае
применимости геометрической оптики изображение частицы, как
это следует из (1.19), будет на плоскости наблюдения П. Примени-
мость геометрической оптики следует из того, что в теневом изо-
бражении щели в плоскости линзы укладывается большое число
зон Френеля, вычисленных относительно точки наблюдения на
плоскости П. Из (6.6) при Ь = 1’ находим число зон:
Ат = т, — т, = [(а7‚/2 + 1,)’ — (д‚/2)1]8Л(4/?7„) н 700 >> 1.
Волны, идущие из 5 через щели, пройдя линзу в случае Ь = [схо-
дятся в Рпод углом о: = аж Как следует из (4.6) ширина интерферен-
ционных полос Ау = Аде! в 1,25-10*3 см. Полосы исчезнут, если при
изменении Ь расстояние между щелями окажется больше ширины
когерентности. В соответствии с (5.5) с! 2 ж/ф = 742] — Ь)/Ь, откуда
Ь=2/—Ьс1/?ь=30см.
10-1647

7. дифракция Фраунгофера. Разрешающая
способность оптических инструментов
Рассмотрим дифракцию параллельного пучка света, который
получается либо от очень удаленного источника, либо за собираю-
щей линзой, в фокусе которой находится точечный источник,
либо от лазера. Радиусы зон Френеля для такого пучка определя-
ются из (6.6)
г‚„2 = Ьтж. (7.1)
Используя это соотношение, можно ввести безразмерный вол-
новой парамегр (р) для характеристики типов дифракции в зависи-
мости от размера препятствия (1)) и расстояния от препятствия до
экрана (Ь), на котором возникает дифракционная картина
р = (ЖЬУд/В. (7.2)
Геометрической оптике соответствует р << 1, когда длина вол-
ны света значительно меньше характерных размеров и волновые
свойства не проявляются. При р т 1, когда, как следует из (7.1)‚
картина определяется некоторым количеством зон Френеля, име-
ем дифракцию Френеля, рассмотренную в разделе 6. При р >> 1,
когда препятствие занимает малую часть первой зоны Френеля,
получаем дифракцию Фраушофера. Расстояние от препятствия до
экрана не просто много больше размеров препятствия (Ь >> В),
а должно выполняться условие:
(Ь МИ >> В. (7.3)’
Для наблюдения дифракции
Фраунгофера используется линза,
которая переводит дифракцион-
ную картину из бесконечности
в фокальную плоскость линзы. За-
метим, что картина на экране при-
вязана к линзе и остается непод-
вижной при смещении щели.
На рис. 7.1 дана схема дифрак-
ции Фраунгофера на щедш шири-
ной В при падении на нее по нор-
мали плоской волны интенсивно-
стью 100.
Интенсивность волны — это
РИС- 7-1 энергия, проходящая через еди-
146

Р/2
А = ( А„е'~""'Ш = А ))(К1аа/а),
— Р/2
(7.4)
где Й = 2я/Х вЂ” волновое число, а
а = Й (Р/2)в1пО = (ш/Х)Рв1пО.
(7.5)
Можно ввести максимальную амшпитуду на экране, которая по-
лучается при О = О
ничную площадку С каждого элемента фронта волны (Ш), нахо-
дящемся на щели, распространяются волны под различными угла-
ми О. Модули амплитуд волн А„связаны с интенсивностью: Хоо =
= А '. Линза собирает параллельные лучи в одну точку (суммирует
амплитуды). Необходимо учесть сдвиг фаз для различных элемен-
тов на щели, зависящий от его положения (в данном случае от
расстояния х от центра щели). Удобно воспользоваться комплекс-
ным представлением амплитуды волны

д‚= ’
\ ‘Ввысь
Л Ац-ъд А а
х А. х 31119 е
19 19 0 ваше
Р .7.2
ис ` В ’\
Рис. 7.3
Естественно, что тот же результат (7.4) получаем для гармони-
ческой водшы
0/2
А = _[ А„, со$[(о!—(2тс / юх в1п9]‹1х =
—0/2
= А„В{$1п[(п/?„)В31п9]/[(п/Юдвйпе]}со$‹о1. (7. 10)
На щель шириной В положена стеклянная призма с показате-
лем преломления п и преломляюшим углом а (рис. 7.3). На грань
АВ призмы нормально падает плоская монохроматическая волна.
Найдем направления на нулевой максимум и минимум в дифрак-
ционной картине Фраунгофера (М 7.11). Для разности хода лучей,
проходящих через края щели, А = В (пзйпа — зйпе). Для направле-
ния на нулевой максимум А = О и 31116 = пзйпа. Для направления на
минимумы, как это следует из (7.8), А = т?» = В(п$1поъ — зйпв), от-
куда получаем
51116 = пзйпа 1- тЖ/В, (7.11)
гдет=: 1,12‚:Ь3,
Дифракция Фраунгофера плоской волны на щели наблюдается
в фокальной плоскости линзы. Найдем, во сколько раз изменится
интенсивность в фокусе линзы, если щель накрыть плоскопарал-
лельной мастикой, амплитудный коэффициент пропускания ко-
торой имеет вид т(х) = вйп(пх/а). Ось х направлена перпендикуляр-
но щели, точки х = О и х = а — координаты краев щели (Не 7.26).
Обозначая амплитуду без пластинки А, и с пластинкой А„ можно
записать А, = у (А, /а)т(х)‹1х = 2А‚ /1г, откуда 1,/1, = „2/4.
0
148

Точечный источник света
находится на некотором рас-
стоянии а от Щели шириной 1).
За щелью на расстоянии Ь от
нее помещен экран, плоскость
которого параллельна плоско-
сти щели. Прямая, соединяю-
щая источник света с середи-
ной щели, перпендикулярна
плоскости экрана. Найдем
приближенное выражение для
расстояния х между централь- Р” и
ным максимумом и первым ди-
фракционным минимумом на
экране, считая, что углы дифракции малы. Найдем также условие
применимости полученного приближенного выражения (М: 7.15).
Используя рис. 7.4, получаем
г,’ = Ь’ + (х — 0/2)’; г,’ = Ь’ + (х + 0/2)’; г, — г, = 2х1)/(г‚ + 23).
Извлекая корни и разлагая в ряд, находим
г, + г, = Ь[2 + (х? + В’/4)/Ь2].
Подставляя в предыдущее, имеем
г, — г, = 2х1)/(г‚ + гд) = (хВ/Ь) [1 — (х2 + 1Р/4)/(2Ь2)].
Ограничиваясь первым членом, получаем
х = ЬЖ/В.
Ошибка при вычислении г, — г, должна быть мала по сравне-
нию с ж. Отсюда получаем применимость соответствующей фор-
мулы
(ЁЖ/П + В’/4)/(2Ь’) << 1.
На щель шириной а нормально падает плоская волна с длиной
волны ж. Щель закрыта двумя стеклянными пластинками шириной
а/2 и толщиной 12 с показателями преломления п, и п, и коэффи-
циентами пропускания (по интенсивности) т, и 1,. Найдем распре-
деление интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера.
Определим, при каком условии в центре картины получается тем-
ная полоса (М 7.28). Каждая половинка открытой щели описыва-
ется (7.4). Учитывая пропускание, для амплитуд получаем Аид“?
и Ату/г. Сдвиг фазы между этими векторами равен
149

Ац/ = К [(п, — п,)/1 + (а/2)$йп0].
На рис. 7.5 показано сложение векторов
амплитуд, соответствующих волнам через ка-
ждую пластинку на векторной (фазовой)
диаграмме. С помощью теоремы косинусов
АД находим т = т, + т, + 2(т,т,)'/2со$А\у. Для ин-
Рис 7 5 тенсивности (квадрата вектора суммы) полу-
‘ ' чаем
1 = {А„„(а/2)$1п[/с(а/4)$1п0]/[/‹(а/4)$1п9]}2[т‚ + т, + 2(т‚т,)‘дсо$А\|1].
В центре получится темная полоса, если за счет показателе
преломления волны придут в противофазе, т. е. при К/2(п‚ — п,) =
= (2т + 1)1т, где т = 0, 1, 2,
Дифракционные полосы от двух одина-
°Т 51 °Т 51 ковых параллельных щелей наблюдаются
“от 52 и“ 52 в фокальной плоскости линзы Л (рис. 7.6),
5, и 5, — бесконечно удаленные линейные
-—у——› источники монохроматического света, па-
в раллельные щелям. Определим, при каком
Л угловом расстоянии (р между 5, и 5, ди-
фракционные полосы исчезнут, если рас-
стояние между центрами щелей равно В и
велико по сравнению с шириной щели
и длиной световой волны А (Не 7.21). Мак-
17 Г симум от наклонного луча попадет на экра-
Рис. 7.6 не на минимум от луча, падающего
нормально (7.8)‚ если Ввйпе = ж/2 + тж, где
т — целое число. Отсюда находим 0 в (ж/В)(т + 1/2).
Для той же установки, что и выше, найдем, при каком расстоя-
нии х между источниками 5, и 5, дифракционные полосы исчез-
нут, если источники поместить в фокальной плоскости коллима-
торной линзы с фокусным расстоянием 1’ (Мг 7.22). Чтобы полу-
чить два параллельных пучка, как в предыдущей задаче, должно
быть х =]`0 =[(7„/В)(т + 1/2).
Интерференционная схема Юнга (расстояние между щелями
в непрозрачном, экране 1= 1 см) используется для оценки степени
монохроматичности источника, излучающего в окрестности ли-
нии длиной волны 7» = 500 нм. Оказалось, что при изменении ши-
рины щелей от Ь, = 0,5 мм до Ь, = 0,1 мм число наблюдаемых по-
лос возрастает вдвое (от А’, = 40 до Н, = 80). Оценим ширину спек-
тра излучения А)», имея в виду что плоскость наблюдения удалена
150

в зону Фраунгофера, и визуально наблюдаются лишь полосы, ин-
тенсивность которых составляет не менее 4 % интенсивности ну-
левой полосы (М 5.23). Так как плоскость наблюдения находится
в зоне Фраунгофера, полуширина первого максимума определяет-
ся (7.8), а интенсивность следующего составляет менее 4 % от пер-
вого, то наблюдения возможны только в пределах области на экра-
не 2АХ/Ь, где А — расстояние от щелей до экрана. Для монохрома-
тического источника в схеме Юнга из (3.8) получаем ширину
полос Лу = ХА/! и число Ж = 2(/Ь = 40. Поскольку это число совпа-
дает с наблюдаемым числом Л~„немонохроматичность еще не
уменьшает число полос, т. е. определяемое (4.8) т = Х/ЛХ > 40/2.
При уменьшении Ь в 5 раз число полос в отсутствие влияния не-
монохроматичности должно возрасти в 5 раз. Этого не наблюдает-
ся. И, следовательно, ограничение связано с немонохроматично-
стью, т. е. и = Х/ЛХ = Ж,/2 = 80/2 = 40. Откуда ЛА = А/40 =
= 12,5 нм.
Плоская волна проходит через стек- А1
9
лянную пластинку с показателем пре-
ломления и = 3/2, падая на ее поверх-
ность нормально (рис. 7.7). Толщина г гг
пластинки испытывает скачкообразное
изменение на величину Ь вЂ” 2Х/3 вдоль

На край плоского полубесконечного прозрачного экрана
нормально падает плоская квазимонохроматическая волна. Зави-
симость коэффициента преломления материала экрана от частоты
у имеет вид п(у) = 1 — В/у, где В = 3°1О" с-'. Определим, при какой
толщине 12 экрана интенсивность прошедшего света равна нулю
в любой точке плоскости, перпендикулярной экрану и проходя-
щей через его край (Не 7.68). При п = 1 вектор Е„ соответствую-
щий экрану на векторной диаграмме совпадает с вектором Е„ со-
ответствующем волне через открытую часть. При заданной зави-
симости коэффициента преломления происходит изменение фазы
вектора Е, от фазы вектора Е, на величину К]: (п — 1) = —(2л/?„) ›<
›< ЬВ/у. Векторы будут в противофазе, т. е. дадут В сумме нуль, если
(2п/Ж)11В/у = п + 21ст, где т = О, 1, 2, MW Отсюда наименьшая тол-
щина равна 11 = с/(2В) = 0,5 мм (с — скорость света).
Оценим длительность т светового импульса от одной грани
восьмигранного вращающегося зеркала, расположенного на рас-
стоянии Ь = 200 м от точечного источника света 5. Световой им-
пульс регистрируется фотоумножителем с малой шириной входной
щели, расположенным вблизи источника (рис. 7.8). Ширина грани
зеркала равна а = 1 см. Длина волны света 7» = 500 нм. Зеркало вра-
щается с частотой у = 16 Гц (Не 7.65). Нормаль к поверхности зер-
кала вращается с угловой скоростью о) = 2пу. Конец луча мимо
ФЭУ движется с в два раза большей скоростью. Относительная ли-
нейная скорость ФЭУ относительно луча о = 2оэЬ. С учетом ди-
фракции (7.5) ширина светового сигнала 1 н а + 2(7ь/а)[‚, поэтому
т = т: ша + а/(2Ь)]/(2тсу) н 10-6 с.
р/2
-1)/2
Рис. 7.8 Рис- 7-9
цилиндрическая линза освещается параллельным пучком мо-
нохроматического света (рис. 7.9). Найдем, во сколько раз изме-
нится интенсивность в фокусе и ширина центрального максиму-
ма, если центр линзы перекрыть непрозрачной полоской, ширина
которой вдвое меньше ширины линзы, а также как изменится све-
152

А = Аоо(в1п[к(Р/2) в1пО]1/[(Й/2)в1пО].
Для средней части линзы ширины Ь
(7.12)
А, = А в1п[й(Ь/2)в1пО]/У/2)в1пО].
Если эта часть закрыта, то
А — А, = А„]яп[ЦР/2)япО] — в1п[Ш(Ь/2)в1пО]]/[(Й/2)в1пО] =
= А сов[(Ш/4)(Р + Ь)в1пО]в1п[(Й/4)(Р— Ь)в1пО]/[(Ш/2)в1пО]. (7.13)
Для распределения интенсивности имеем
Х = Х,сов'[(Р + Ь)®4)япО]в1п'[(Р— Ь)®4)в1пО]/[(Й/4)в1пО]'. (7.14)
Для центрального максимума (при О = О) в отсутствие полоски
из (7.12) получаем Х, = Х,ХУ, а при наличии полоски из (7.14) Х, =
= Х,(Р— Ь)'. Их отношение для заданного условия равно 1/4.
Ширина центрального максимума без полоски из (7.12) и (7.5)
ЛО, = 2Х/Р, а с полоской из (7.14) ЛО, = 2Х(Р+ Ь), так как косинус
раньше обращается в нуль. Их отношение для заданного условия
равно 2/3.
Для отношения потоков находим Ф,/Ф, = (Х,Л612)/(Х,ЛО,) = 1/6.
Цилиндрическая линза шириной
Р освещается параллельным пучком мо-
нохроматического света. Центральная
часть линзы (рис. 7.10) перекрывается
прозрачной полоской, вносящей фазо-
вую задержку в к. Найдем, какова ши-
товой поток в центральном максимуме (№ 7.32). Из (7.4) и (7.5)
для незакрытой линзы получаем

Для круглого отверстия интегрирование громоздко. Поэтому
приведем лишь результат для малых углов. Дифракционная карти-
на представляет светлые и темные кольца. В случае отверстия ра-
диуса К угловое направление на темные кольца (угловой радиус)
От = [0‚61 + (т — 1)/2]?ь/К. (7.16)
_где т = 1, 2, 3, ` B
С Искусственного спутника Земли, обращающегося по круго-
вой орбите на расстоянии 11 = 250 км, проводится фотографирова-
ние земной поверхности. Разрешающая способность фотопленки
А! = 500 линий/мм. Найдем, какими параметрами должен обладать
объектив фотоаппарата (диаметр В, фокусное расстояние 1‘), чтобы
при фотографировании разрешались детали с линейными разме-
рами 1 а 1 м (Мг 7.9). Разрешение деталей определяется размером
дифракционного пятна, связанного с диаметром объектива фото-
аппарата. Для углового размера пятна из (7.16) имеем
9 я: 1,22?ь/В. (7.17)
Чтобы разрешать детали с размером 1 на рас-
стоянии И (рис. 7.11), необходимо 9 5 1/11. Для диа-
метра объектива получаем 1) 2 1,22М:/1 = 16,8 см.
Способность разрешения на пленке связана с рас-
стоянием между зернами пленки, которое равно
1/181. Детали изображения должны быть больше
этого расстояния (1/И) [2 1/1\’, откуда 1‘ 2 Ь/(М) =
= 50 см. Поэтому 0/1’: 1/3.
На рис. 7.12 изображена схема интерференци-
онного опыта Юнга, в котором используется явле-
ние дифракции света на двух щелях. В качестве
источника света в схеме применен лазер, работаю-
1 щий на длине волны 7» = 6328 А. Пучок света на
Рт Н] выходе лазера имеет плоский волновой фронт.
Диаметр пучка с! = 2 мм.
Э Найдем, при каком рас-
стоянии между щелями
В возможно наблюдение
д интерференционной кар-
П? ..................................... -. тины на Экране, если рас_
ё стояние от источника до
_ с ` | двойной Щели Ь = 4 м
- (Мг 7.23). В соответствии
Рт- 743 с (7.17) диаметр пучка на
1/11
154

расстоянии Ь будет равен а’, = а’ + 2-1‚22(7„/с1)1‚ = 0,45 см. Расстоя-
ние между щелями должно быть меньше этого диаметра, чтобы
свет попадал на две щели.
При аэрофотосъемке местности используется объектив с фо-
кусным расстоянием 1’ = 10 см и диаметром В = 5 см: Съемка про-
изводится на фотопленку, имеющую разрешающю способность
К = 100 мм-‘. Определим, какие детали местности могут быть раз-
решены на фотографиях, если съемка производится с высоты
11 = 10 км (М 7.36). Угол, разрешаемый по дифракции, из (7.17)
0, = 1,227„/1) = 1,22-5,5-10°5/5 = 1‚35-10-5. Угол, разрешаемый на
пленке, 0, = 1/(11!) = 10-4. Так как 02 > 0„ то он и определяет разре-
шаемые размеры. Поэтому [т а 12 02 = 1 м.
С самолета, летящего на высоте 12 = 5 км, производится аэро-
фотосъемка местности. Найдем, какими следует выбрать фокус-
ное расстояние / и диаметр объектива В фотоаппарата, чтобы сфо-
тографировать объекты размером 1: 2,5 см на фотопленку с разре-
шающей способностью 1\/= 500 штрих/мм. Определим также, на
какое время т следует открывать затвор фотоаппарата (экспози-
ция), чтобы движение самолета со скоростью о = 360 км/ч не при-
водило к размытию изображения (Мг 7.10). Как и в предыдущей
задаче, получаем
в 2. 1‚22м:/1 = 12 см, 12 ь/(мд = 40 см.
Размывания картины не будет, если отношение смещения объ-
екта в системе, связанной с самолетом, к высоте полета будет
меньше отношения размера зерна пленки (расстояние между
штрихами) к фокусному расстоянию фотоаппарата: 171/11 < (1 /1\/)/1Ё
Откуда
т < н/(мт в 0‚25-1о-з с.
Современные фотопленки способны разрешать до 2 = 104 ли-
ний/см. Найдем, какую светосилу (т. е. отношение квадратов диа-
метра 1) и фокусного расстояния 1‘) должен иметь объектив фото-
аппарата, чтобы полностью использовать разрешающую способ-
ность пленки (М) 7.38). В соответствии с (7.17) должно
выполняться ш) 5 1/(17). Откуда 02/17 2 2278 я: 0,25.
Оценим, с какого расстояния Ь можно увидеть раздельно свет
от двух фар автомобиля (Не 7.3). Из (7.17) 0 ^- МВ < 1/Ь, где В =
= 0,5 см — диаметр зрачка глаза, а 1= 100 см расстояние между фа-
рами. Отсюда 1, < 10км.
О зоркости хищных птиц ходят легенды. Оценим на основе ди-
фракционных соображений, может ли орел, летящий на высоте
155

Гальванометр имеет зеркальце диаметром
О ~ Ш Ю = 5 мм. Оценим (учитывая дифракционные
эффекты), дальше какого расстояния А не сле-
дует отодвигать шкалу от гальванометра, если
отсчеты с помощью зрительной трубы можно
Е выполнять с точностью до ! = 0,5 мм (№ 7.45).
На рис. 7.13 дана схема измерений, в которую
входят шкала (Ш), зрительная труба (ЗТ), зер-
3, кало (3) и осветитель (0). Дифракционное
пятно от зеркала, определяемое [7.17) должно
быть меньше точности отсчета 1,22 (Х/Ю) А < (.
Откуда А < И/(1,221) = 3,7 м.
Плоская монохроматическая волна длиной Х падает на плоско-
вогнутую сферическую линзу диаметром 2р, с показателем прелом-
ления и и радиусом кривизны Л. Пространство вне линзы закрыто
экраном. Вычислим интенсивность в центре кривизны линзы, ле-
жащей на оптической оси системы. Найдем, при каких радиусах
линзы р интенсивность в центре кривизны максимальна (р, « Л)
(№ 7.30). Интегрируем по кольцам на линзе. Разность фаз опреде-
ляется оптической разностью хода. Для амплитуды в центре кри-
визны имеем
Рис. 7.13
1 км, разглядеть мышонка размером 2 см (№ 7.5). Диаметр Р зрач-
ка глаза орла не превышает нескольких миллиметров. Если пред-
положить, что Ю = 1 см и Х = 6 10-' см, то угол, под которым орел
может различить две точки предмета раздельно, примерно в три
раза больше углового размера мышонка 2 10-'.
Камера-обскур длиной А = 10 см с малым отверстием предна-
значена для фотографирования удаленных предметов. Оценим
диаметр отверстия Ю камеры, при котором она имеет наибольшую
разрешающую способность, если длина волны Х = 5000 А
(№ 7.16). В соответствии с геометрической оптикой изображение
на экране далекого источника равно размеру отверстия. Чем мень-
ше отверстие, тем резче изображение. Однако при уменьшении
отверстия в соответствии с (7.16) пятно будет увеличиваться. Для
диаметра пятна Ю„имеем Ю„= Ю+ 2 1,22ХА/Ю. Минимум этой ве-
личины при Щ/60 = О. Откуда Ю = (2,44ХА) 1~' = 0,35 мм. Близкая
величина получается также, если приравнять отверстие первой
зоне Френеля (6.6).
156
Е = Е, /[пр,')2 ехр[!пкр' /[2Я)[зпрДр =
О
= Е,2Л(ехр[~пйр„'/(2Л)] — 11/(1р 'иИ).

Для получения интенсивности амплитуду умножаем на сопря-
женную величину. В результате получаем
Х„= 16Е 'Ж1п'1йпр,'/(4Л)]/(р 4пЧР).
Интенсивность максимальна при Ь~р„'/(4Я) = и (т + 1/2), где
т — целое число. Отсюда р, = [(2т + 1)ХЯ/и]'~', т = О, 1, 2, ...
Пучок фтористо-водородного лазера, работающего в одномо-
довом режиме на длине волны Х = 3 мкм, формируется зеркалами
диаметром Р = 3 м. Оценим, на каком максимальном расстоянии
А может находиться мишень, чтобы плотность потока энергии на
ней была практически равна плотности потока на зеркале
(М 7.17). Для оценки возьмем расстояние, на котором из любой
точки зеркала пучок света за счет дифракции, определяемой
(7.17), будет иметь диаметр, равный диаметру зеркала, Р = 2А ~
~ 1,221/Р. Откуда А = Р2/(2,44 Х) = 1200 км.
Луч лазера фокусируется идеальной оптической системой с от-
ношением Я~Р = 1. Оценим мощность Жлазера, при которой
в электрическом поле в фокусе системы электроны смогут приоб-
рести энергию порядка энергии покоя тс'. Найдем, как зависит
Кот длины волны Х, и какое магнитное поле В будет при этом
в фокусе (М 7.50). В соответствии с (7.16) диаметр дифракционно-
го пятна в фокусе системы 6 =Я/Р = А. Ускорение электрона обу-
словлено электрическим полем световой волны, действующим на
его заряд е. Так как до ускорения покоящийся электрон обладал
энергией тс', то после ускорения его энергия (см. 1, с.179)
тС/(1 — ]3') 'и = 2тс'. Откуда ]3 = о/с = (3) '~'/2 = 0,87. Поскольку ус-
корение происходит в течение четверти периода световой волны
(Т/4), то пройденный электроном путь будет 0,87 сТ/4 0,2А < Ш—
диаметра пятна в фокусе системы. Ускорение электрона можно
оценить как с/(Т/4) = 4с'/Х = еЕ/т. Откуда электрическое поле
в волне Е = 4тс/(Хе). В соответствии с (2.1) поток энергии через
площадь дифракционного пятна (равной примерно А2) и, следова-
тельно, мощность лазера Ж= УЕ'с/(4к) т'И/е2 = 10" Вт. Таким
образом, мощность лазера от длины волны не зависит. Магнитное
поле В в фокусе равно электрическому полю (в СГСЭ) В =
= 4тс'/(Хе) = 10' Гс.
Комету с угловым размером у = 10-' рад фотографируют через
телескоп с объективом Р = 100 см. Оценим, во сколько раз изме-
нится интенсивность света в центре изображения, если объектив
закрыть экраном с отверстием Ш = 1 см. Длину волны света примем
равной Х = 0,5 мкм (Мо 7.70).
157

Используя (7.17), получаем, что при открытом объективе ди-
фракционный угол М В = 5-10-7 < ш, а при закрытом экраном с от-
верстием Мс! = 5-10-5 > ш. Таким образом, в первом случае можем
воспользоваться геометрической оптикой. Обозначая освещен-
ность объектива Е и фокусное расстояние 12 получаем для интен-
сивности (освещенности) в центре изображения 1, = ЕВ’/(\у/)2. Во
втором случае 12 = ЕсР/[Оь/аО/Р. Отношение интенсивностей 12/1, =
= Ж3В2/(шс11)2 = 2,5-105. При такой оценке надо иметь в вид): что
переход от геометрической оптики к дифракции происходит по-
степенно.
Первый зеркальный телескоп, созданный И. Ньютоном, имел
диаметр зеркала (объектива) В, = 5 см и фокусное расстояние Д =
= 15 см. Канадский инженер Э. Борра пытается организовать соз-
дание телескопа, в котором зеркалом служила бы поверхность
вращающейся в сосуде воды. Предполагаемые параметры зеркала
(объектива): В, = 30 м и 1; = 100 м. Оценим, во сколько раз должны
отличаться средние освещенности изображений звезды Бетельгей-
зе, полученные в фокальных плоскостях объективов этих телеско-
пов. Угловой диаметр звезды ч; = 2,3°10-7 рад. Коэффициент отра-
жения зеркала телескопа Ньютона К, Н 1, а для поверхности воды
К, = 0,02. Длину волны принимаем равной Ж = 0,6 мкм (Не 7.67).
Используя (7.17), получаем для телескопа Ньютона дифракцион-
ный угол МВ, в 10-5 >> ш, и для телескопа Борра МВ, в 2104 << ш.
Учитывая это, как и в предыдущей задаче, и коэффициент отраже-
ния, находим освещенности изображений: для телескопа Ньютона
Е„ в (В,/2)2/(Д?„/В,)2, для телескопа Борра Ев я К (В,/2)2/(Д\у/2)2.
Вторая оказывается в 176 раз больше первой.
Изображение микродеталей, лежащих на черной подложке,
проецируют с большим увеличением на экран. Одна деталь (более
темная) имеет диаметр д, = 50 мкм, другая (более светлая) рассеи-
вает в 1‹ = 5 раз большую долю падающего света и имеет диаметр
а’, = 2 мкм. Оценим отношение средних освещенностей изображе-
нш`а этих двух деталей. Применяется объектив диаметром В = 1 мм
с фокусным расстоянием 1‘ = 20 мм; длина волны используемого
света Ж = 0,5 мкм (Мг 7.66). Из (7.17) получаем разрешение объек-
тива А в 1 МВ = 10 мкм. Таким образом, для более мелких деталей
изображение дифракционное, а для более крупных — геометриче-
ское. Из формулы для линзы (1.19) 1/а + 1/Ь = 1/л где а — рас-
стояние от линзы до предмета; Ь — расстояние от линзы до изо-
бражения, увеличение изображения Ь/а =17(а — 1) = (Ь — л/[в Ь/1Ё
Видно, что для большего увеличения предмет надо приближать
158

к фокусу. В геометрическом варианте площадь изображения 5, =
= п(а7‚Ь)2/(2/)2, поток света Ф, е ‚2, а освещенность изображения
Е, = Ф‚/.$`, е (21712)? В дифракционном случае площадь изображе-
ния 5‘, = л(Ь1,227„/В)2, поток света Ф, е Кд}, освещенность изобра-
жения Е, = Ф,/5'2 е /с(с1,В)/(1,22?„Ь)2. Отношение Е,_/Е, = 0,034.
Объектив телескопа имеет фокусное расстояние Д = 3 м и диа-
метр 1) = 15 см. Определим фокусное расстояние 1; окуляра, при
котором полностью используется разрешающая способность объ-
ектива, если диаметр зрачка глаза 113 = 3 мм. Предполагая, что
в системе телескоп-глаз отсутствует аберрация, оценим, на каком
расстоянии Ь с помощью такого телескопа можно читать книгу
с размером букв Ь в 2 мм (М 7.37). Согласно (7.17)‚ получаем раз-
мер дифракционного пятна [н]; -1,22?„/В. Для использования раз-
решающей способности объектива разрешающая способность
окуляра, определяемая (7. 17) должна быть меньше углового разме-
ра полученного пятна 1,22-?„/с1 $ 1/1; я 13 -1,22?„/(1)];). Здесь с! —'диа-
метр окуляра. Таким образом, система должна быть телескопиче-
ской: В/Д = (1/13. Необходимо также, чтобы световой поток в зра-
чок глаза не обрезался телескопом, то есть, чтобы было с! = а,
Такое увеличение системы называется нормальным. Для фокусно-
го расстояния окуляра получаем 13 = лёд/В = 6 см. Чтобы разли-
чать буквы, их угловой размер Ь/Ь должен быть больше МВ. Отку-
да Ь 5 ЬВ/х н 600 м.
На рис. 7.14 показана схема телескопа (зрительной трубы), где
а, — угловой размер объекта, наблюдаемого простым глазом, а, —
угловой размер того же объекта в телескопе. Нормальное увеличе-
ние
1\’= оь/оъ, =]Ё/Д = 13/(13. (7.18)
Отметим, что увеличение больше нормального нецелесообраз-
но, так как при этом разрешающая способность системы не увели-
чивается (оно ограничивается размером зрачка), а яркость изобра-
Рис. 7.14
159

жения (из-за того, что не весь поток, попадающий в объектив, до-
ходит до глаза) уменьшается (М 7.39).
Для зрительной трубы (Мг 7.40) с диаметром объектива В = 5 см
из (7.17) разрешаемый угловой размер 9 и 1,22 МВ в 2,76". При
диаметре зрачка д = 5 мм нормальное увеличение, при котором
будет использована полная разрешающая способность трубы
(7.18), 1\’= 19/43 = 10.
Производится фотографирование удаленных предметов с по-
мощью объектива телескопа диаметра В на фотопластинке, поме-
щенной в его фокальной плоскости. Полученный снимок с помо-
щью окуляра того же телескопа проецируется на удаленный экран.
Найдем, каково должно быть угловое увеличение телескопа, что-
бы при этом была использована полностью разрешающая способ-
носгь объектива телескопа, если изображение на экране рассмат-
ривается с того же места, где расположен проекционный аппарат.
Диаметр зрачка глаза равен с13 (Не 7.44). Так как фотографируется
удаленный предмет и снимок проецируется на удаленный экран,
фактически имеем дело с телескопической системой. На рис. 7.15
показано объединение в систему. Для удобства экран рассматрива-
ется с другой стороны с того же расстояния Ь. Ранее рассматрива-
лась подобная ситуация и было получено нужное увеличение
(7.18) 1\’= 0/(13 .
Выясним, в чем выгода применения телескопов для рассматри-
вания звезд, если они не дают увеличения по сравнению с невоо-
руженным глазом (Не 7.42). Угловые размеры почти всех звезд
много меньше разрешаемых угловых расстояний даже самых боль-
щих телескопов. При таких условиях величина изображения звез-
ды на сетчатке глаза определяется только Дифракцией и не зави-
сит от увеличения телескопа. Яркость изображения зависит от по-
тока света, входящего в систему. Для телескопа с нормальным
увеличением он во столько же раз больше чем для невооруженно-
Э
Л
Рис. 7.15
160

го глаза, во сколько площадь объектива больше площади зрачка
глаза. Это позволяет с помощью телескопа увидеть более слабые
звезды. Увеличение выше нормального, как уже отмечалось, выго-
ды не дает, так как поток ограничивается зрачком.
В принципе можно постро-
ить телескоп сколь угодно вы-
сокой разрешающей способно-
сти без объектива, заменив
объектив круглым отверстием.
Определим, какова должна
быть длина Ь такого телескопа,
чтобы он имел ту же разре-
шающую способность, что
и обычный телескоп с диаметром объектива 1) = 1 м, а также най-
дем светосилу Бтелескопа без объектива (Мг 7.43). На рис. 7 . 16 по-
казана схема такого телескопа (без окуляра). Лучи соответствуют
направлениям, соответствующим разрешающей способности
обычного телескопа. Длина Ь позволяет максимально развести
изображения (дифракционные пятна), которые затем рассматри-
ваются в окуляр. Используя (7.16), получаем Ь-1,22?„/1) в 0/2. От-
куда Ь в В2/(2,447ь) а 1000 км. В данном случае 1, играет роль фо-
кусного расстояния. В соответствии с (1.7О) получаем
5 а (В/Ь)? н (2,447\/В)2 в 1,5°10"2.
Разрешаемое угловое расстояние для телескопов, в которых ис-
пользуются зеркала, рассчитывается также по (7.17). Самый боль-
шой зеркальный телескоп был сооружен в России. Найдем его уг-
ловое разрешение, если диаметр зеркала В = 6 м (Мг 7.41). 0 в
н 1,227„/1) в 0,023".
Какова должна быть минимальная длина отрезка на Луне
(среднее расстояние от Земли 3,84'105 км) и Солнце (среднее рас-
стояние от Земли 1,5-103 км), чтобы его изображение в рефлекторе
с диаметром зеркала 6 м можно было отличить от изображения
точки (Не 7.46). Используя (7.17), находим, что длина отрезка на
Луне равна примерно 40 м, на Солнце — около 15 км.
Найдем, каково должно быть минимальное расстояние между
двумя точками на поверхности Марса Нм), чтобы их изображение
в телескопе (рефракторе) с диаметром объектива 1) = 60 см можно
было отличить от изображения одной точки. Будем считать, что
Марс наблюдается в момент великого противостояния, когда рас-
стояние до него от Земли минимально и составляет Ь = 56-106 км
(не 7.47). Считая ж = 5000 А, из 0.17) получаем
Рис. 7.16
161
11-1647

[м 2 1,22(7ь/В)1‚ = 56 км.
Оценим, во сколько раз отличаются напряженности электриче-
ского поля монохроматической волны А = 1 мкм в фокусе сфериче-
ского зеркала (Еф) (диаметр 1) = 10 см, радиус кривизны К = 1 м)
и на его входе (Е) (Не 7.18). Используя (7.17) и то, что фокусное
расстояние сферического зеркала приблизительно вдвое меньше
радиуса кривизны, получаем из закона сохранения потоков энер-
гии ЕЧУ = Еф2[(1,22?„/1))К/2] 2, что Еф/Е в П/(ЖК) = 104.
Изображение точечного источника проецируется на экран
с помощью тонкой линзы с малым апертурным числом двумя спо-
собами, реализуемыми при условии, что расстояние от источника
до экрана в обоих случаях остается постоянным и равным 1, = 4 м,
фокусное расстояние линзы [ = 0,75 м. Найдем, как относятся ос-
вещенности в центре дифракционного изображения в этих двух
случаях (М: 7.6). При малых апертурных углах пучки параксиаль-
ные и можно воспользоваться формулой для тонкой линзы (1.19).
Из условия 1/а +1/Ь =1//= 4/3, а + Ь = Ь = 4. Откуда а, = 3 м, а, =
= 1 м, Ь, = 1 м, Ь, = 3 м. Используя (7.17), получаем площадь ди-
фракционного пятна ‚З‘ т Ь2. Поток энергии для параксиального
пучка Ф т 1/а2. Освещенность дифракционного пятна Е Н Ф/‚З т
е 1/(а Ь)’. Отсюда следует, что освещенность пятен не меняется.
Рассмотрим аналогичную задачу. Снова изображение точечно-
го источника проецируется на экран с помощью тонкой линзы
с малым апертурным числом двумя способами. В первом расстоя-
ние от источника до линзы равно ее удвоенному фокусному рас-
стоянию. Во втором это расстояние составляет 5/4 фокусного рас-
стояния линзы. Определим, во сколько раз изменится освещен-
ность в центре дифракционного изображения (Не 7.7). В первом
случае а, = 21Ё Из формулы линзы Ь, = 215 Размер дифракционного
пятна получаем с помощью (7.17) а’, = ЖЬ,/В = 21171). Во втором
случае а, = 5[/4 и, следовательно, Ь, = 5/ и (1, = щ/в = 51170. Пло-
щадь пятна увеличилась в т = 25/4 раз. Поток увеличился в п =
= (а‚/а,)2 = 64/25 раз. Освещенность увеличилась в п/т = 256/625 я
== 0,4, т. е. уменьшилась примерно в 2,5 раза.
Оценим минимально необходимую для локащш Луны энергию
И/световой вспышки рубинового лазера (А = 0,7 мкм), если отра-
жение луча осуществлялось 14 призмами, установленными на Лу-
ноходе-1. Каждая из призм отражает луч на угол 180°. Отражение
от призмы рассматриваем, как отражение от плоского зеркала
диаметром а’ = 6 см. Посьшка и прием луча осуществлялись теле-
скопом Симеизской обсерватории. Диаметр зеркала телескопа 1) =
= 2,5 м. При приеме мог быть обнаружен сигнал, состоящий из
162

двух фотонов (Не 7.13). Необходимое число фотонов, излучаемых
лазером, обозначим М = УУ/(Ьу). Из-за дифракции на зеркале те-
лескопа, в соответствии с (7.16), эти фотоны распределятся по
площади на поверхности Луны: б‘, = (п/4)(1,22 жиру, где Ь я 380
тыс. км — расстояние от Земли до Луны. На единицу площади
в среднем попадает фотонов М/.$',. Число фотонов на одну отра-
жающую призму (М/5,) тшР/4. Из-за дифракции на призме эти фо-
тоны расходятся на площадь $2 = (п/4)(1,22 жЬ/а)? на поверхности
Земли. В телескоп попадает (М/Б) (ти12/4)(т:1)2/4)/52. Учитывая, что
И’ = М/ти = й-2тсс/7к, и что отражателей А’ штук, получаем
И’ > 4(1 ‚22)47„3п1‚4й/(1\/‹14В4).
О прибытии на Луну космонавты могут сообщить на Землю,
растягивая на поверхности Луны черный круглый тент. Найдем,
каким должен быть радиус гэтого тента, чтобы его можно было за-
метить с Земли в телескоп с объективом В = 5 м, если контрастная
чувствительность приемника 0,01 (Не 7.48). Считая 71 = 5000 А
и расстояние до Луны Ь = 384 440 км, из (7.7) получаем площадь
на Луне, соответствующую дифракционному --
пятну в телескопе $0 в пОьЬ/ВУ. Это то, что ‚Г""`Зх\
мы видим как точку Затемненная тентом по- Ё`Ё'1 ; в
верхность уменьшает поток в дифракционное ‘: 35:’
пятно. Точки становятся менее яркими. Им гид 7_1-,
на поверхности Луны соответствуют области,
показанные на рис. 7.17 штриховыми окружностями. В них попал
тент, отмеченный зачерненным кругом. Яркой точке соответствует
область в окружности 5„ По условию о контрастной чувствитель-
ности влияние тента можно заметить, если ($0 — т: 19/50 5 0,99. От-
куда
г20,17„[‚/1):4м.
Блестящий металлический межпланетный корабль поперечного
размера с! = 10 м опустили на поверхность Луны в полнолуние.
Оценим диаметр В зеркала телескопа, в который можно с Земли
увидеть прибытие корабля, если контраст, надежно обнаруживае-
мь1й глазом, принять равным К = 0,15, считая коэффициент отра-
жения лунной поверхности равным р = 0,1, а металла — р = 1,
и длину волны света, в которой ведется наблюдение 7» = 0,6 мкм
(М 7.49). В соответствии с (7. 16) светящаяся точка на Луне наблю-
дается в телескоп в виде дифракционного пятна. Но в угол, опре-
деляемый этим пятном, попадает излучение и из других точек на
поверхности Луны, находящихся на площади 50 = МЕЖ/В)’. Часть
11- 163

этой поверхности может быть занята межпланетным кораблем,
площадь которого 5 = пад/4. Если эта площадь попадает на пятно,
то происходит изменение относительной яркости [(50 — 5)р, +
+ 5р2 — „р,]/(.$'„р,). Это отношение должно быть больше К, чтобы
его можно было обнаружить глазом. Отсюда (5р2 — $р,)/($„р,) я
н „Ур/(Борд > К. В результате должно быть 1) > (Кр, /р2)'/227\1„/а7 а 5,5 м.
Ракета удаляется от Земли и перестает быть видимой на фоне
неба в телескоп с объективом диаметра В, = 80 мм, когда она нахо-
дится на расстоянии Ь, = 2°1О4 км от Земли. Найдем, на каком рас-
стоянии Ь, от Земли удается заметить эту ракету в телескоп с объ-
ективом диаметром В, = 200 мм при той же контрастной чувстви-
тельности глаза (М) 7.51). На таких расстояниях ракета
представляет собой светящуюся точку. В фокусе объектива в соот-
ветствии с (7.17) получаем дифракционное пятно площадью
(в первом случае) 5, = тсОь/Вдтё Попадаюшая в объектив телеско-
па мощность излучения А’ пропорциональна квадрату диаметра
объектива и обратно пропорциональна квадрату расстояния до ра-
кеты. Вводя некоторую константу ПО, в первом случае получаем
М, = М, (1),/1‚,)2. Средняя освещенность дифракционного пятна
в таком случае Е, в 1\’„1),4/(1‚‚2?„%2). Вокруг дифракционного пят-
на — изображение неба. Освещенность этого изображения про-
порциональна площади объектива, через которую входит поток
света от неба, отнесенной к площади изображения некоторого
участка неба, которая пропорциональна фокусному расстоянию
объектива. Вводя некоторую постоянную величину а, получаем
для освещенности изображения неба в первом случае Е,„ =
= а(1),/Д)2. Величина (0/1), как известно, называется светосилой
объектива. Контраст изображения ракеты на фоне неба в первом
случае у = (Е,„ + Е‚)/Е,„ = 1 + МОВЗ/(аЬВУВ). Так как это предель-
ный контраст, то он такой же и во втором случае. Откуда следует,
что должно выполняться равенство ЬВ/ВВ = [22/022. Для этого
1,2 = ДВ/В, = 5-104 км.
Излучение лазера непрерывного действия на длине волны А =
= 0,63 мкм мощностью 1\’= 10 мВт направляется на спутник с по-
мощью телескопа‚ объектив которого имеет диаметр В = 30 см.
Свет, отраженный спутником, улавливается другим таким же теле-
скопом и фокусируется на фотоприемник с пороговой чувстви-
тельностью Мм = 10-‘4 Вт. Оценим максимальное расстояние Ь до
спутника, на котором отраженный сигнал еще может быть обнару-
жен. Поверхность спутника равномерно рассеивает падающий
свет с коэффициентом отражения р = 0,9. Диаметр спутника с! =
= 20 см (Не 7.52). Из (7. 17) угловая расходимость пучка света, иду-
164

щего на спутник, равна МВ. Так как мощность, рассеиваемая
спутником, М’ равна мощности, попадающей на него, умножен-
ной на р, то 1\/’= рМ12/[4(?„1‚/1))2] = (1 /4)р1\’[с11)/(?„1‚)]2. По условию
спутник равномерно рассеивает оптическую мощность А!’ в телес-
ный угол 2тс. Поэтому принимаемая телескопом мощность равна
1\’%:(1)2/4)/(2п Ь) = (1/8)1\’(1)/[‚)2.
Эта величина должна быть больше пороговой
(1/8)1\’1В/Ь)’ =(1/32)р^/(‹1/7»)2(19/Ь)‘ 2 М.
Откуда Ь 5 [тор = (1/2)В[р1\’сР/(2М2]'/4 21 70 км.
Оценим расстояние Ь, с которого можно увидеть невооружен-
ным глазом свет лазера, генерирующего в непрерывном режиме
мощность М = 10 Вт на частоте у = 6-10” Гц, если для формирова-
ния луча используется параболическое зеркало диаметром
1) = 50 см. Глаз видит источник в зеленой части спектра, если
в зрачок (диаметр зрачка с! = 5 мм) попадает п = 60 квантов в се-
кунду (Мг 7.53). В соответствии с (7.16) находим площадь ди-
фракционного пятна. Считая, что мощность равномерно распре-
деляется по пятну, находим ее часть, которая попадает в зрачок.
Она должна быть больше той, которую видит глаз,
1\’п(а'/4)/[(п/4)(Ь°2,247ь/В)] 2 п/ш Откуда
Ь 5 (дВ/с)[1\’У/(п/1)]'/3 в 3,210” км,
где 11 = 6‚6-10°34 Дж-с — постоянная Планка; с — скорость света.
В фокальной плоскости объектива телескопа помещена фото-
пластинка. Освещенность изображения звезды на фотопластинке
в о. = 10 раз меньше освещенности дневного неба. Найдем, во
сколько раз надо увеличить диаметр объектива (В), чтобы осве-
щенность звезды на фотопластинке стала в В = 10 раз больше ос-
вещенности изображения неба (Мг 7.54). Освещенность изображе-
ния звезды на фотопластинке Ед, е .5`„д„„„„/.$'„„бр. Так как звезды —
это фактически светящиеся точки, то их изображением на пла-
стинке является дифракционное пятно с угловым размером (7. 17).
Обозначая фокальное расстояние объектива 1, получаем
Ед, е д/(Жт/Ш) е В‘. Части неба, имеющие угловой размер чин, на
пластинке занимают площадь е м,’ 1‘, которая не зависит от разме-
ра объектива. Поэтому освещенность неба Е„ е 132, и отношение
освещенности изображения звезды Ем, к освещенности неба Е„
равно Е„/Е„ е В’. В первом случае Е„/Е„ = 1/оъ е 13,2, во втором
Е„/Е„ = [З е 0,2. Откуда 022/03 = а В и 0/1), = 10.
ор‘
165

При наблюдении в телескоп с нормальным увеличением осве-
щенность изображения звезды на сетчатке глаза в а = 10 раз мень-
ше освещенности дневного неба, рассматриваемого в тот же теле-
скоп. Найдем, во сколько раз надо увеличить диаметр объектива
для того, чтобы освещенность изображения звезды на сетчатке
стала в В = 10 раз больше освещенности изображения неба, если
вместе с объективом телескопа заменен и окуляр таким образом,
что увеличение телескопа осталось нормальным (Мг 7.55). Для
нормального увеличения было получено (7.18) 1\’= В/а/З. Обозна-
чая освещенность от дневного неба на зрачке и телескопе Ен, по-
лучаем освещенность на сетчатке глаза без телескопа Ег =
= „п(с13/2)2/.$} и с телескопом Е, = Е„тс(В/2)2/$,„ Так как площади
изображений с телескопом и без телескопа при нормальном уве-
личении относятся: Зг/Ь} = 132/432, то освещенности при нормаль-
ном увеличении не меняются: Е, = Ер Освещенность изображения
звезды зависит от диаметра дифракционного пятна и диаметра
объектива. Угловой размер дифракционного пятна от объектива
9, т МВ. После нормального увеличения в зрачке угол дифракци-
онного пятна 9, = ели/а, т ›„/а„ т. е. в такой системе угол дифрак-
ционного пятна определяется с13 и поэтому не меняется, как бы не
менялось 1). Входящий же поток увеличивается с увеличением В.
По условию освещенность звезды Ею т 0,2 т Ег/оъ, а необходимо
получить Ед т 19,2 т ЕГВ. Откуда 021/03 = аВ = 100. Следовательно,
В, = 100,.
Определим минимальное разрешаемое рас-
стояние б микроскопа при наилучших условиях
освещения для 1) безыммерсионного объектива
с числовой апертурой а = 0,9; 2) того же объекти-
ва, но с масляной иммерсией (п = 1,6). Длина вол-
ны при визуальных наблюдениях 7» = 5500 А
(Не 7.59). На рис. 7.18 показана схема части мик-
роскопа. Напомним, что числовая апертура а =
=п$1пи, где и — апертура или апертурный угол,
под которым видна диафрагма (в данном случае
Рис. “з” объектив) из точки предмета, лежащей на опти-
ческои оси. Для повышения числовои апертуры
применяют иммерсию, т. е. жидкость с возможно высоким показа-
телем преломления, заполняющую пространство между покров-
ным стеклом над рассматриваемым предметом и объективом. Из
(7.17) получаем
Ф = з//= 1‚22›„/‹п1›) = 1‚22›„/(2/пв1пи).
9 В
166

Отсюда
б = О,617„/(п$1пи). (7.19)
По условию числовая апертура при п = °1 равна 0,9, т. е.
зйпи = 0,9. Поэтому в первом случае б = 0,3 мкм, а во втором б =
= 0,19 мкм.
Найдем, каково должно быть увеличение микроскопа, чтобы
полностью использовать разрешающую способность его объекти-
ва (М 7.56). Наименьший разрешаемый объективом размер опре-
деляется (7.19). Невооруженным глазом с расстояния ясного зре-
ния Ь этот объект виден под углом о: = б/Ь. В микроскоп он виден
под углом В = На, где П — увеличение микроскопа. Угол В должен
быть не меньше минимального углового расстояния (7.17) 6 =
= 1,227\/с1, разрешаемого глазом (д — диаметр зрачка глаза). Усло-
вие В 2 О дает 1812 (2Ьп5йпи)/с1. Увеличение, называемое нормаль-
ным, равно
А/„орм = (2Ьп$1пи)/с1. (7.2О)
Применять увеличение больше нормального нецелесообразно,
так как при этом разрешающая способность микроскопа не повь1-
шается, а яркость изображения предмета уменьшается.
С помощью объектива телескопа диаметром 1) и фокусным
расстоянием [производится фотографирование удаленных объек-
тов на мелкозернистой пластинке, помещенной в фокальной
плоскости объектива. Полученное изображение рассматривается
в микроскоп с числовой апертурой пзйпи и увеличением М. Най-
дем, каким условиям должны удовлетворять числовая апертура
и увеличение микроскопа, чтобы полностью использовать разре-
шающую способность объектива телескопа (Мг 7.63). Используя
(7.17), получаем различаемый размер на пластинке 1,227„ЛВ. Что-
бы сохранить это разрешение, разрешение микроскопа (7.19)
должно быть лучше, т. е. 1227471) 2 0,61?„/(п$1пи). Откуда пзйпи 2
2 13/(21). Используя (7.2О), для увеличения получаем 1\’2
2 (2Ьп$1пи)/с1 = ЬВ/(Д1).
Найдем, каково должно быть фокусное расстояние 1; окуляра
микроскопа, чтобы была полностью использована разрешающая
способность объектива. Числовая апертура объектива равна пзйпи,
фокусное расстояние объектива Д, длина тубуса (трубы микроско-
па) 1. Длину тубуса можно считать равной расстоянию между объ-
ектом и плоскостью первого изображения (т. е. изображения, да-
ваемого объективом) (Не 7.62). Микроскоп — это система двух
линз, для которых, как следует из (1.36), фокусное расстояние
167

1” = 115/1. Здесь 1 — фактически расстояние меЖдУ фокусами, так
как в микроскопе фокусное расстояние объектива много меньше
фокусного расстояния окуляра, и окуляр располагается от изобра-
жения, создаваемого объективом, на расстоянии, близком к фо-
кусному расстоянию окуляра, чтобы получить большее увеличе-
ние. Увеличение микроскопа (системы линз) должно быть таким,
чтобы изображение находилось на расстоянии ясного зрения
Ь (как в обычной линзе): 1\/ = Ь/[= Ы/(Д/Э). Для полного использо-
вания разрешающей способности объектива необходимо, чтобы
это увеличение было больше нормального для телескопа, опреде-
ляемого (7.20):
Ы/(Д/З) 2 (2Ьп51пи)/ а‘,
откуда 13 5 [д/[Дпэйпи].
Угловая апертура электронного микроскопа и = 10-4, а оптиче-
ского — и а 1. Оценим напряжение П, ускоряющее электроны, при
котором разрешающая способность этих приборов будет одинако-
ва (М 7.64). Длина волны электрона, обнаруживаемая при ди-
фракции и в соответствии с теорией де Бройля, о которой речь
пойдет в атомной физике, Ж = /1/р, где И — постоянная Планка; р =
= то — импульс электрона. Используя соотношение для энергии
электрона т02/2 = еП (где е — заряд электрона) и подставляя зна-
чения постоянных из соответствующих таблиц, получаем для дли-
ны волны А, = 12,24/(Н)'/2‚ где П- в вольтах (В), а 7» — в ангстре-
мах (А). Разрешаемый с помощью микроскопа размер объекта
(7.19) б = О,617„/(п51пи). Условие равенства разрешающих способ-
ностей оптического и электронного микроскопов
О,617ьо„, зйпиот = 0,61АЭ/$1пиэ = О,61-12,24/[(Н)‘/2$1пиэ],
откуда П = [12‚24зйпио„т/(?„о„тзйпиэ)] а: 600 В,
Интерференционные кольца Ньютона получены при отраже-
нии рассеянного монохроматического света (А = 600 нм) от по-
верхности линзы с радиусом кривизны К = 60 см и плоского зер-
кала. Наблюдение колец производится с помощью микроскопа
с малой апертурой. Найдем, при какой апертуре микроскопа
и возможно наблюдение максимального числа колец, и каково
при этом число колец (Мз 7.60). Интерференционные картины
в пластинках переменной толщины локализованы на поверхности
(как бы нарисованы). В одной и той же точке (рис. 7.19) нарисова-
ны картины разных углов наклона (так как рассеянный свет). Ко-
личество картин, которые сразу наблюдаем в точке В посредством
того, что они передаются в точку А, зависит от апертуры и. Сдвиг
168

между этими картинами определяется разностью
разностей хода (по нормали и под углом а) Л, = 2Ь =
= тХ, Л. = 2Ьсова. Максимальное значение а равно
и. Когда Л„= тХ + Х/2, то эта картина портит карти-
ну при нормальном падении. Это условие существо-
вания интерференционной картины Ли = 2Ьсояи = 2Ь ~
х (1 — и'/2) = тХ + Х/2. Отсюда Аи = Х/2 и т,„=
= 2Ь/Х = 1/и'. Так как Ь = Л и'/2, то и4 = Х/Л. Получа-
ем и = 2' и т „= 10' колец.
Параболическое зеркало диаметром !! = 1 м ис-
пользуется как антенна для волн длины ь = 3 см.
Оценим наименьшее расстояние А !„, на котором
следует поместить приемник для снятия диаграммы направленно-
сти (№ 7.1). Для получения дифракционного пятна в параллель-
ных лучах на бесконечно большом расстоянии источник должен
быть в фокусе параболического зеркала и должно выполняться ус-
ловие дифракции Фраунгофера (7.3). Используя (7.1), получаем
Л/2 << г! = (ХЕ . )!~2. Откуда А !„>> Ю'/(4Х) = 10 м.
В интерферометре Майкельсона источником света служит круг-
лая диафрагма 5'диаметром Р = 0,05 мм, которая освещается па-
раллельным пучком монохроматического света с длиной волны
Х = 0,6 мкм. Длины плеч интерферометра АВ = 30 см, АС = 10 см
(рис. 7.20). Интерференционная картина в виде концентрических
колец наблюдается на экране Э, помещенном в фокальной плос-
кости линзы. Оценим число т интерференционных колец, наблю-
даемых в пределах главного дифракционного максимума источни-
ка (№ 7.8). Разность хода от зеркал определяет тот слой, в котором
образуются интерференционные полосы равного наклона от ис-
точника ъ. Разность хода при нормальном падении / = 2 (АВ—
— АС) = 40 см, а при угле наклона
~р разность хода (соир = ( (1
Рис. 7.19

Чаксимумов интерференционной картины, получаем число колец
т: (1,22)2!7ь/1)2 в 70. '
Квадратное отверстие со стороной 1,0 = 0,2 см освещается па-
раллельным пучком солнечных лучей, падающих нормально
Кплоскости отверстия. Найдем форму и размер 1, х Ь изображе-
ИНя отверстия на экране, удаленном на != 50 м от него, если плос-
‚Шить экрана параллельна плоскости отверстия. Границей осве-
Лённости на экране считаем положение первого дифракционного
/ Ннимума наиболее сильно отклоняемых лучей (видимый спектр
фЮ-ЮОО А) (Мг 7.24). При рассмотрении бесконечной Щели
уМмарная амплитуда по некоторому направлению складывается
Зэлементарных амплитуд от полосок. В результате вычисления
Шеграла (7.4) получаем (7.7) и (7.5). Если длина щели 11 сравнима
ее шириной В, то интегрировать надо по прямоугольникам.
й результате получим
1 = 1„{$йп[(л/?ь)В$йп‹р]/[(п/Ж)В31п‹р]}2{$1п[(п:/7„)/1$1п\|/]/
/[(тс/7ь)/15йпч/]}2. (7.21)
С) На рис. 7.21 показан результат
Ш эксперимента с прямоугольной
щелью. Дифракционная картина
(:) вытянута больше в направлении
короткой стороны. Для квадратно-
ОШ <:> Ш П [] го отверстия все одинаково в обоих
направлениях. изображением яв-
(Э ляется практически квадрат со сто-
роной, определяемой (7.8). Для
Е максимальной длины волны полу-
Рис 7 21 чаем Ь = 2(?„/1‚„) 1= 3,5 см.
' ' Диафрагма линзы имеет форму
гага с длиной стороны 1). Точечный монохроматический ис-
„(для света помещается на главной оптической оси линзы. Най-
На распределение интенсивности света, получающееся в резуль-
“д! дифракции в плоско-
д‘ изображения
17,1 ‚пникашё 7.25). На
‘9107-12 показано распо-
“дожив источника $0,
131,4 ‘д. диафрагмы и экра-
д?’ в котором получено
д“ ение источника.
Н‘)? 07.23 воспроизведе-
1:19:35“ рис. 7.22 в трех- Рис- 7-22
О
нЗ
ИО
1

А
Рис. 7.23
мерном виде. В приближении геометрической оптики лучи, про-
ходящие через линзу сходятся в точке О, положение которой на
расстоянии гд от центра линзы определяется по формуле для лин-
зы. Сферическая поверхность 5‘, описанная радиусом г‘, из точки
О, ограничена краями диафрагмы. Поле сходящейся волны на по-
верхности 5‘ можно найти в приближении геометрической оптики,
учитывая обратимость лучей и взяв амплитуду в точке 0 равной
единице
Е, = (1/г„)ехр[1(со1 + |‹гО)].
Здесь вычисляется амплитуда волны, идущей противоположно
выбранному направлению вектора го, поэтому знак «+».
Поле в точке наблюдения Р от всех элементов (15 поверхности
5 вычисляем в соответствии с принципом Гюйгенса—Френеля
(6.1)
Е, = у ехр {1[(ш1— |‹(г - г„)]} двум-о). (722)
5
Вводя вектор р = г — го и пользуясь теоремой косинусов, полу-
чаем
г = г‘, [1 + (2гор +р2)/г„2]‘/2.
Разлагая в ряд Тейлора с точностью до величин, содержащих
квадраты р, находим
Г - ’о = (года)? 4‘ 02/(270) - (1/2ЖгорУ/Го’ = РТ. + (1/2)Р’/*‹›ЗЁП’(РГ1)-
а в линейном приближении
171

г — гс, = рг‚. (7.23)
где г, = го/ц, — единичный вектор.
Ошибка, допустимая при вычислении г— го должна быть много
меньше длины волны. Поэтому линейным приближением можно
пользоваться при условии
р2/г„ << х. (7.24)
Вычислим световое поле в окрестности О в предположении,
что выполняется (7.24). Для прямоугольной системы координат
в плоскости экрана используем единичные векторы: й в направле-
нии х, 1 в направлении у и |‹ в направлении, перпендикулярном эк-
рану Получаем
р = йх + ]у и г‚= йзйпср +]51пц; + кг„.
Последний член никакой роли не играет, так как в скалярном
произведении отсутствует. Подставляя это в (7.23), находим
г — гд = хзйтр + узниц. (7.25)
Если угол
о: = атсг3[В/(2г„)]. (7.26)
под которым из О видна половина стороны квадратной диафраг-
мы, мал, то синусы в (7.25) можно заменить углами. В (7.22) 075 =
= го2с1срс1ш, а в знаменателе можно приближенно гзаменить на го.
Окончательно
+а+а
Е, =е‘®' 1 ]е“"<х°*т>а‹раху. (727)
—а-а
Интегрируя это, считая, как уже отмечалось, амплитуду в точ-
ке 0 равной 1, для произвольной точки Р имеем амплитуду
А = [$1п(2тсоъх/?ь)/(2пах/Ж)][зйп(2тссху/?ь)/(2тсау/?ь)], (7.28)
а интенсивность
1 = [$1п(2тсах/7„)/(2поъх/Ж)]2[51п(2поъу/7„)/(2т:оъу/?ь)]2. (7.29)
Оптическая система (труба или микроскоп) дает в качестве
изображения светящейся точки систему дифракционных колец.
Согласно Рэлею, минимальное расстояние между двумя близкими
точками, которые еще изображаются раздельно, определяется тем,
что центральный светлый кружок от первой светящейся точки
должен приходиться на первое темное кольцо дифракционной
картины, даваемой второй светящейся точкой. Ориентировочно
можно принять, что глаз способен различить две близкие точки,
172

если максимумы освещенно-
сти в местах их геометриче-
ских изображений превосхо-
дят интенсивность посереди-
не между ними не менее чем
на 15 %. Приняв это, прове-
рим, действительно ли при
выполнении критерия Рэлея
получатся раздельные изо-
бражения двух самосветя-
щихся точек. Для простоты
расчета примем, что диа-
фрагма квадратная, так как
в случае круглой диафрагмы результаты мало отличаются от тех,
которые получаются для квадратной диафрагмы, в частности
в предыдущей задаче (М9 7.34). Самосветяшиеся точки излучают
некогерентные волны. Поэтому на экране складываются не ам-
плитуды, а интенсивности. В соответствии с (7.29), на экране от
двух симметричных относительно главной оптической оси светя-
щихся точек получаем распределение интенсивностей, показан-
ное на рис. 7.24, где ё = (2тс/Ж) х В/(2г„) (см. также рис. 7.23). Ми-
нимальное расстояние между центрами дифракционных кружков
соответствует по Рэлею разности координат Ад = п. На рис. 7.24
штриховые кривые изображают распределение интенсивностей от
каждой из рассматриваемых двух самосветящихся точек, а сплош-
ная кривая дает суммарную интенсивность. Видно, что интенсив-
ность в центре картины почти на 20 % меньше максимальной ин-
тенсивности, равной приблизительно наибольшей интенсивности
от одной светящейся точки. Поэтому при выполнении критерия
Рэлея получается раздельное изображение самосветящихся точек.
Найдем решение аналогичной задачи, отличающейся тем, что
изображаемые точки не самосветящиеся, а освещаются одним
и тем же источником света. Например, можно использовать два
круглых отверстия в экране, размеры которых малы по сравнению
с расстоянием между ними. Рассмотрим качественно три случая:
1) отверстия освещаются пучком лучей, параллельных главной оп-
тической оси; 2) отверстия освещаются параллельными лучами,
но наклонными к главной оптической оси; 3) отверстия освеща-
ются диффузным светом (Ме 7.35). В данной задаче имеем дело
с когерентными источниками. Поэтому складывать надо не ин-
тенсивности, а амплитуды (7.28). Фаза колебаний меняется на 18О°
при переходе через минимум освещенности в соседнее светлое
кольцо. В первом случае волны из отверстий выходят в одинако-
173

вых фазах. В точке О (см.
рис. 7.23), проходя одинако-
вые расстояния, они имеют
одинаковые фазы. Амплиту-
да результирующего колеба-
ния в точке О будет в два
раза, а интенсивность в че-
тыре раза, больше, чем в слу-
чае изображения одного из
отверстий. Распределение
результирующей интенсив-
ности дает кривая, представ-
ленная на рис. 7.25. Она име-
ет лишь один максимум,
а изображение в глазу будет
Рис- 7-25 такое же, как от одной точки.
Поэтому в этом случае раздельного изображения освещаемых то-
чек не получится, если расстояние между ними равно минималь-
ному расстоянию, требуемому критерием Рэлея (как на рис. 7.24).
Чтобы получилось раздельное изображение, надо это расстояние
увеличить (как видно из рис. 7.25) примерно в 1,4 раза. В соответ-
ствии с этим в такое же число раз уменьшится и разрешающая
способность по сравнению со случаем самосветящихся объектов.
Во втором случае при освещении отверстий параллельными луча-
ми, наклоненными под углом 9 к главной оптической оси, волны
из отверстий выходят с разностью фаз б = (2п/ж)а731п9, где (1 — рас-
стояние между центрами отверстий. С такой же разностью фаз
они придут и в точку О. Если а7$1п9 = Ж/4, то б = тс/2, интенсив-
ность в О будет в два раза больше соответствующей интенсивно-
сти при наличии одного из отверстий. Разрешающая способность
при таком освещении будет такая же, как в случае самосветящихся
объектов. Если дзйпб = ›„/2‚ то б = п. Тогда волны приходят в точку
0 в противоположных фазах и интенсивность там будет равна
нулю. Разделение изображений будет выражено весьма резко. При
таком освещении расстояние между отверстиями для их раздель-
ного изображения может быть меньше предела Рэлея. При диф-
фузном освещении (случай 3) отверстия освещаются лучами все-
возможных направлений. В этом случае получается практически
такая же разрешающая способность, как и для самосветящихся
объектов.
Дополнительными называются экраны, у которых непрозрач-
ные места одного по форме и положению совпадают с отверстия-
ми другого. Докажем, что при дифракции Фраунгофера интенсив-
174

ности дифрагированного света от дополнительных экранов совпа-
дают во всех направлениях, за исключением направления
падающей волны (принцип Бабине) (М9 7.14). В соответствии
с принципом Гюйгенса-Френеля (6.1) напряженность поля вол-
ны, дифрагировавшей на экране, представляется интегралом по
отверстиям экрана. Если сложить напряженность от первого экра-
на Е, с напряженностью от второго экрана Е2, то получаем напря-
женность в отсутствие экрана Е = Е, + Е, Так как в падающей вол-
не свет распространяется только в одном направлении, для всех
других направлений Е = О. Таким образом, Е, + Е, = О. Откуда
Е,’ = Е}, или 1, = 12.
Плоская световая волна падает нормально на абсолютно чер-
ный экран, размеры которого велики по сравнению с длиной вол-
ны. Часть энергии поглощается черным экраном, а часть рассеи-
вается из-за дифракции. Покажем, что количество поглощенной
энергии равно количеству рассеянной (Мг 7.12). Рассмотрим отвер-
стие той же величины и формы, что и черный экран. Если на от-
верстие и экран падает одна и та же плоская волна, то количество
энергии, поглощенной экраном, будет равно количеству энергии,
падающей на отверстие. Согласно принципу Бабине, интенсивно-
сти света во всех направлениях, за исключением направления па-
дающей волны, в обоих случаях одинаковые. Следовательно, оди-
наковы и энергии, рассеянные экраном и отверстием. Но в случае
отверстия вся энергия рассеивается. Значит, энергия, поглощен-
ная экраном, равна энергии, рассеянной им.
Пыль, взвешенная в воздухе, делает видимым узкий лазерный
луч. Луч виден особенно хорошо, если смотреть почти навстречу
ему в пределах угла приблизительно 1О° (9 = 10/57,3 = 0,17)
(Не 7.4). Это объясняется тем, что при дифракции света лазера на
пылинке ширина максимума в силу принципа Бабине определяет-
ся (7.17). Откуда при длине волны света А = 6300 А для диаметра
пылинки получаем В н ж/е в 4 мкм.

8. Спектральные приборы
Одним из основных спектральных приборов, используемых
для разложения света в спектр и измерения длин волн, является
дифракционная решетка. Решетки изготовляют нанесением боль-
шого числа штрихов (может быть несколько тысяч на мм) на стек-
лянные или металлические пластинки.
Рассчитаем дифракционную картину при сложении световых
волн от А’ щелей для так называемой щелевой решетки. На рис. 8.1,
а показаны: решетка (Р), у которой ширина щелей Ь и период их
повторения а‘, линза (Л), с помощью которой дифракционная кар-
тина воспроизводится на экране (Э) в фокальной плоскости лин-
зы. В решетке осуществляется многолучевая интерференция коге-
рентных дифрагированных пучков света. Разность фаз между со-
ответствующими пучками света с длиной волны 7» от соседних
щелеи
б = (2тс/7ь)ай$1п9. (8.1)
й й й й й й й й й й
„ь а _
р;\ е‘ _
йй й\` Ж
л- ‚
п
Э 0-й м: „
МЗКСИМУМ МЗКСИМУМ
Рис. 8.1
Обозначая амплитуду от одной щели в направлении нормали
буквой а, получаем от А’ щелей (как сумму геометрической про-
грессии)
А!
А =2ае“”`”5 = а(1 - е туи - е т) =
п=|
= а[$1п(1\’б/2)]/[$1п(б/2)]е”" ‘т’. (8.2)
176

Интенсивность света (М 8.4)
1 = [А~' = АА' = ~а~'[в1п(Л5/2)]'/[яп(5/2)]'.
Используя (7.7) для щели и подставляя 5 из (8.1), получаем
1 =А,'(яп [(н/Х) ЫпО]/[(н/Х) ЫпО] 1'~
~(з1п [(я/Х)%1в1пО]/яп[(п/Х) Шв1пО]]'.
(8.3)
В соответствии с (7.6) А, = А Ь вЂ” это максимальная амплитуда
на экране при 0 = О, а А„— это амплитуда падающей волны.
Зависимость интенсивности от 81пО показана на рис. 8.1, б. Как
и для одной щели ~я суммы всегда получаем минимум при усло-
вии (7.8) (так как каждая щель ничего не дает в этом направлении)
ЫпО = тХ, где т = + 1, + 2, + 3, ...
При т = 1 такой минимум показан на рис. 8.1, бв точке япО =
= Х/Ь.
Добавочные минимумы, как это следует из (8.3), имеем при
Шв1пО = Х/Ж, дапО = 2Х/Ж, ЫяпО = ЗХ/Ж, ..., сЫпО = (Ж вЂ” 1) Х/М
В общем виде для добавочных минимумов получаем
жпО =+ р~/ж
(8.4)
Здесь р — целые числа, кроме О, Ж, 2Ж, ... Значениям О, К, 2Ж,
..., как это видно из (8.3) соответствуют максимумы. Чтобы найти
угловую ширину максимума (М 8.31), надо (8.4) продифференциро-
вать по р:
( 050/Бр = (Х/Щ
и положить бр = 1, откуда
(8.5)
60 = Х/(М1совв).
Заметим, что ширина максимумов увеличивается с ростом О.
Направление на максимумы, как следует из (8.3), а также из сов-
падения фаз пучков через щели, получаем при условии
(8.6)
ШяпО = +тХ(т = О, 1, 2, ...), причем т < Ш/Х.
177
12 164~
Эти максимумы называются главными соответствующего по-
рядка т.
Интенсивность нулевого главного максимума (при 0 = О) пре-
восходит максимум для одной щели в ЛР раз. Для раскрытия неоп-

Максимальная длина волны, которая может получиться в спек-
тре дифракционной решетки (Не 8.15), определяется (8.6). Для по-
лучения в спектре волн с длинноволновой границей А = 100 мкм =
= 104 см период решетки должен быть не менее 0,01 см.
Выясним, могут ли перекрываться спектры 1-го и 2-го порядков
дифракционной решетки при освещении ее видимым светом
(Не 8.17). Из (8.6) для спектров первого порядка имеем диапазон
изменения (131110 от 4000 до 7000 А, а для спектров второго порядка
от 8000 до 14 000 А, т. е. спектры не перекрываются.
На дифракционную решетку с числом штрихов п = 100
штрих/см падает плоская монохроматическая волна (Хо = 1 мкм),
частота которой начинает медленно изменяться со временем по за-
кону а) = оэ„(1 + ах). За решеткой расположена линза с фокусным
расстоянием 1‘ = 100 см. Оценим время, в течение которого поло-
жение 6-го максимума в фокальной плоскости достигнет положе-
ния 5-го в начальный момент времени. Известно, что максимум
интенсивности перемещается вдоль фокальной плоскости со ско-
ростью о = 100 м/с (Мг 8.62). Из (8.6) начальное направление на
6-й максимум определяется углом 06 н вжо/а, начальное направле-
ние на 5-й максимум — 05 в ЗАО/а’, где с! = 1/п — период решетки.
Разность координат 6-го и 5-го максимумов в фокальной плоско-
сти Ах =Д„/с1. Откуда 1= Ах/о = 10-4 с.
Возможны решетки, у которых «непрозрачные» участки имеют
некий коэффициент пропускания а. Распределение интенсивности
по углам для таких решеток определяется (8.3). Величину интен-
сивности вычислять сложно. Очевидно только одно, что при о: —› 1
(полное пропускание) она должна стремиться к нулю (Мг 8.20).
На дифракционную решетку нормально падает параллельный
пучок монохроматического света с длиной волны ж. Решетка име-
ет А! щелей шириной Ь и периодом а’. Найдем угловое распределе-
ние интенсивности света за решеткой, если закрыть центральную
ее часть непрозрачным экраном так, что по краям решетки открь1-
тыми остаются по п щелей. Нарисуем (качественно) график зави-
симости интенсивности 1 от 31110 (Не 8.21). Используя (7.4) — (7.6),
(8.1) и (8.2), получаем для амплитуды волны на экране
А = А0($1п9/а)[$йп(1\/б/2)/$1п(б/2)]е“”' “д”,
где а = (те/Живите; б = (2п/Ж)‹1в1п0.
Для части решетки, кроме п щелей с каждой стороны
В = А„(з1поъ/а)[$1п({1\’ — 2п}б/2)/51п(б/2)]е‘<“- 1- 2*)”.
12* 179

мов нулевых порядков. Если же число штрихов решетки очень ве-
лико, то совпадают также интенсивности дифрагированного света
для всех направлений, за исключением направления падающего
света (М: 8.5). Введем обозначения
а = (п/хпвйпа и В = (тс/Мдзйпоъ. (8.7)
Выражение (8.3) с учетом (7.6) представим в виде
[(9) = А„„21›2($1па/оъ)2(з1пНВ/зйпв)’, (8.8)
где Ат — амплитуда падающей волны (от параметров решетки не
зависит).
Подставив значения а, получим
1(9) = А„„1ж2[з1п2оъ/(л151п19)](ЗЁпМВ/зйпв)’.
Для дополнительной решетки соответственно
119) = А„„27м2[$йп2оъ'/(л231п29)](зйпМВ/зйпшё
где а‘ = (та/ММ — Ь)51пО, так что а + ‹1' = (п/Жддзйпб = В.
Для главных максимумов с131п9 = тж, а + а’ = тж. Поэтому
$1п3оъ = вйта’ и, следовательно, 1;„= 1„‚. При т = О рассуждение не
применимо, так как в этом случае в знаменателе 31119 = О.
При больших значениях А’ главные максимумы очень резкие.
Практически весь свет концентрируется в главных максимумах,
занимающих очень узкие интервалы углов АО, стремящихся
к нулю при 1\/—› оо. Практическое значение имеют только углы,
удовлетворяющие условию с1з1п9 = т?» (направление на максиму-
мы), а также углы, отличающиеся от них ничтожно мало. Это
и доказывает совпадение распределений интенсивностей для обе-
их решеток.
Параллельный пучок монохроматического света падает на ди-
фракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихо-
ванной поверхности. Найдем, при каком значении отношения Ь/д
ширины щели Ь к периоду решетки с! интенсивность главных ди-
фракционных максимумов 2-го порядка максимальна (М: 8.6). Из
(8.6) для максимумов 2-го порядка получаем дзйпэ = 3:27». Подста-
вив в (8.3), находим
1 = А„21\Р[$1п(2пЬ/а’)]2/(2тсЬ/с1)2.
Отсюда получаем, что максимальная интенсивность будет при
Ь/с! = 1/4 или Ь/с! = 3/4.
181

Покажем, что для обычной амплитудной щелевой дифракци-
онной решетки справедливо неравенство 1д„ф 5 1ш/4, где, в соот-
ветствии с (1.66)‚ 1„,д — полный поток энергии, падающий на ре-
шетку; 1д„ф — поток энергии дифрагированного света, приходя-
щийся на все дифракционные максимумы, кроме максимума
нулевого порядка. Максимальное значение дифрагированного по-
тока энерпш достигается в случае, когда ширина щелей решетки
равна половине ее периода (М 8.7). Введем обозначения
‹1= д/‹1‚‹1(а'— Ы/а’: 1 - 4-
Суммарный поток энергии прошедшего света, распространяю-
щийся по всем максимумам, пропорционален входной площади
решетки, в данном случае а, а интенсивность нулевого максимума,
в соответствии с (7.7)‚ пропорциональна 42. Отмечая результаты
для дополнительной решетки штрихом, получаем
1„‚‚„„./‹1 = 12„‚.‚.„/‹13 10/42 = 10701’)?
В соответствии с принципом Бабине (см. задачу М: 7.14, с. 175)
для дополнительных решеток [щ = 1 ;,„ф. Кроме того, [шт = 1„ +
+ Дм. Исключив из написанных соотношений 11,“, и 10’, найдем
1д„ф = (1 — а) 1„р„„,. Учитывая также, что 1„р„ш = с; 1„,д, получим [Мф =
= с; (1 — а) 1„,„,. Максимум для 1д„ф получается при а = 1/2. При
этом [щ = 1„„/4.
На дифракционную решетку с шириной щелей Ь, равной поло-
вине периода с1(‹1 = 2Ь), нормально падает плоская монохромати-
ческая волна. Найдем дошо энерпш падающей волны, рассеянную
в нулевой и в каждый из вторых и первых порядков (с! = 107»)
(Не 8.22). Из (8.6) для первых максимумов с1з1п9 = 17», для вторых
с1$1п6 = $27». Из (8.6) и (8.7) получаем: 1(О) = АООЧУМ, 11, = АОО2Ь2М х
х 4/18, 1„ = О. Для падающего потока 1 = Ашгагм. Отсюда получа-
ем, что для этой решетки в нулевом максимуме отношение интен-
сивностей равно 1/4, в первых в 0,1, во вторых — нуль.
При наклонном падении света на дифракционную решетку (под
углом 90 к нормали, рис. 8.3) вместо (8.6) для положения главных
максимумов (совпадение фаз пучков) получаем (М 8.9)
с1($1п9 — $1п9„) = т)». (8.9)
Для дифракционных минимумов вместо (8.4)
с1(з1п9 — 51:19,) = (т + р/Мх где р = 1, 2, ..., 1\’— 1. (8.10)
из (8.9) находим
182 ’

с1($1п0 — 311165) = с1-2со$[(0 +
+ 9„)/2]з1п[(0 — 0„)/2] = тж.
При с! >> к это соотношение мо-
жет выполняться только при 0 —› 00.
Полагая О я: ВО, получаем (при условии
а >> ж)
с1(9 — 9,) соз0„ а тж. (8.11)
Постоянная решетки как бы
уменьшилась по сравнению со случа-
ем нормального падения и стала равной дсозео (вместо д). При
этом углы 0 — 00, определяющие направления на максимумы, от-
считываются от направления падающего света (или отраженного
в отражающей решетке).
Найдем длину волны рентгеновских лучей, падающих на ре-
шетку с периодом 1 мкм под углом 89°30', если угол дифракции для
спектра второго порядка равен 89° (Мг 8.10). С помощью (8.11) на-
ходим А = 0,379 А.
Над центром старой граммофошюй пласпшки помещен точеч-
ный источник света на высоте И = 1 см. Глаз наблюдателя, распо-
ложенный на расстоянии а = 110 см от оси пластинки на высоте
11 = 10 см, видит, помимо геометрического изображения источника,
систему полос на поверхности пластинки. Определим расстояние
Ах между ними, если расстояние между бороздками с! = 0,5 мм,
а длина волны к = 5500 А (Мг 8.26). В соответствии с (8.9) условие
максимума т-го порядка (рис. 8.4)
с1($1п0, — 51:10,) = тж,
а максимума (т + 1)-го порядка
с1(з1п0‚' — $йп0,') = (т + 1))».
Рис. 8.3
При переходе от одного максимума к другому углы 6, и О, по-
лучают приращения АО, и 439„ связанные соотношением
А
д! 9! 92 Ь
01 х: ‘О 02
Рис. 8.4
183

с1(со36,А6, — со$62А9,) = 7». Кроме того, х, = И,136„_х, = И,[36„ при-
чем х, + х, = а = сопзт. Из этого условия получается второе соотно-
шение И,АЭ,/со$26, + Н,А6,/со$96, = О. Из этих двух соотношений
находим АО, и А92, а после этого — расстояние между максимума-
ми Ах = Ах, = Ах, = И,А9,/со$19, = —/1,А9,/соз292. Вычисления мож-
но упростить, заметив, что углы О, и О, мало отличаются от угла
падения 9„ соответствующего правильному отражению света от
пластинки. Заменив эти углы углом 90, находим
Ах = “11/72/(‚71 + д2)1[7»/(б1С0$’9о)1-
При этом сове), я 11,/х, н И,/х„ или сове, = (11, + Ь,)/(х, + хд) =
= (И, + И,)/а = 1/10, откуда Ах = 1 см.
Найдем, при каком условии
можно наблюдать зеркальное отра-
жение от шероховатой поверхно-
сти при малых и больших углах
падения (Мг 8.16). На рис. 8.5 по-
казана шероховатая поверхность
(средняя линия отмечена штрихо-
вой линией) и падающие под уг-
лом 6 относительно нормали
к средней линии лучи. Рассмотрим интерференцию вторичных
волн, исходящих от поверхности тела под углом 9‘ к нормали
к средней линии поверхности. Разность хода каких-либо двух лу-
чей, идущих в рассматриваемом направлении, определяется выра-
жением
А = АВ — ВС = а (з1п9' — зйпб) + 11 (со59' + соэв).
Здесь а может принимать какие угодно значения. Поэтому
если 9‘ з: 6, то разность хода А может принимать также какие угод-
но значения, и притом для неправильной поверхности тела эти
значения будут встречаться одинаково часто. Это показывает, что
правильное отражение, если такое возможно, может происходить
лишь под углом 6‘ = 6. В таком случае А = 2/1со59. Отсюда видно,
что, каков бы ни был размер 11, можно подобрать достаточно боль-
шой угол 6, для которого А << 7» (складываемые лучи почти
в фазе). При этом условии отражение правильное. При нормаль-
ном падении А = 2/1 и правильное отражение возможно лишь при
соблюденииусловия 11 << 7».
Найдем период с! отражательной решетки о, если входная А и
выходная В щели спектрального прибора (рис. 8.6) расположены
184

на окружности радиуса К = 1 м, центр
которой совпадает с Центром решетки М
На щель А последовательно направляют
пучок СО-лазера (длина волны излуче-
ния ж, = 5 мкм) и пучок СО2-лазера (ж, =
= 10 мкм). При этом 2-й порядок дифра-
гировавшего пучка СО-лазера возвраща-
ется во входную щель, а 1-й порядок ди-
фрагировавшего пучка от СО2-лазера па-
дает на выходную щель. Расстояние от выходной щели до нормали
МВ к решетке а равно 0,5 м (Мэ 8.51). Обозначив угол падения на
решетку 90 и учитывая, что для ж, угол дифракции 9, = —6„, в соот-
ветствии с (8.9) при т = -2 получаем: 431119, = 1,. Для ж, имеем:
с1(в1п9 — 31:19,) = с1(а/К — 311160) = ж, (при т = 1), откуда
(1 = (К/а)(?ь‚+ 12) = 30 мкм.
Рассмотрим фазовые решетки.
Прозрачная периодическая структу- * * ф + * *
ра, профиль которой изображен на рис. у
8.7, освещается сверху плоской монохро- Ё
матической волной, падающей нормаль- Г; 1, д 2 а 1
но на верхнюю границу Ширина уступов ' ' Е ' '
и впадин структуры одинакова. При за- Рис- 8-7
данном показателе преломления п под-
берем глубину 11 таким образом, чтобы главные фраунгоферовы
дифракционные максимумы 1-го порядка имели наибольшую ин-
тенсивность. Найдем, какова при этом интенсивность нулевого
главного максимума (Не 8.19). Для каждого уступа или впадины
можно воспользоваться (7.4) и (7.5)
А = Ашдзйпа/а, где а = /‹(Ь/2)$1п6.
Вектор для уступа отстает по фазе на /:(п — 1) + 1251116. Складь1-
вая их, от одного периода получаем
А = А„„Ь($1поъ/оъ)(1 + е"‘1”<”" ‘)* ”°‘"°') =
= 2А00Ь(51поъ/оъ)со5{/‹[/1(п — 1) + Ь$1п9]/2}е”‘“"”’ ‘>*"5‘"°'/2.
Умножая, как обычно, на сопряженный вектор, находим ин-
тенсивность от одного периода решетки, а используя (8.2) и (8.1),
для всей решетки
[(6) = Д,($1па/оъ)2[з1п(2оъ1\’)/$1г12оъ]2{1 + со$[/‹/1(п — 1) + 142511101}, (8.12)
где 1„ = 2А„„21›2.
185

Направление на максимумы 1-го порядка из (8.6) 31119 = Х/(2Ь).
Чтобы (8. 12) давало максимум, косинус должен быть равен 1. Сле-
довательно‚
/с/:(п — 1) + Кдзйпе = 21: т, где т = 1, 2, P5^
Откуда 1: = (т — 1/2)?м/(п — 1). .
Нулевой максимум соответствует 9 = О. При этом соз[1с12(п — 1)] =
= соз[п(2т — 1)] = —1. Таким образом, нулевой максимум исчезает.
При уменьшении разности оптических длин (Не 8.18), как вид-
но из (8.6) и (8.12), направления на главные максимумы не меня-
ются, а интенсивности стремятся к нулю.
Рассчитаем и проанализируем ди-
_ Ф‘ фракционную картину при нормальном
д д д и д и / падении света на пилообразную решетку
4- д д 4 д а выполненную из стекла с показателем
' преломления п (рис. 8.8). Число зубьев
решетки равно М, а >> н. Длина волны
падающего света равна А (М 7.29). Такие
решетки называют фазовыми, так как че-
р„с_ 33 редуется сдвиг фаз, а не пропускание (от-
крытый участок — закрытый участок).
Используя рис. 8.8, можно записать сдвиг фазы в пределах одного
зуба в зависимости от х
‹р(х) = 1431119 — (п — 1)/1/а]х, (8.13)
где К = 2п/х — волновое число падающей волны.
Обозначив амплитуду падающего на зуб света Авт для суммар-
ной волны в направлении угла 9 получаем
А = А“, ТИШИ): = А„„а($1па)/а, (8. 14)
0
где
а = ‹р(а) = Цаэйпа — (п — 1)/1]. (8.15)
Суммирование от всех зубьев решетки производим, используя
(8.2) и (8. 1) и учитывая несколько другие обозначения. В итоге для
распределения интенсивности имеем
1 = Ы[в1п(0,5а/с1\’з1п6)]/[з1п(О,5а/‹з1па)]}1(в1па)1/а’.
Положение максимумов (кроме главного) зависит от длины
волны света. Угловое разведете максимумов разных длин вот; яв-
186

ляется спектральной характеристикой 1), называемой угловой дис-
персией. Из (8.6) дифференцированием получаем:
с1со$060 = тбж; (8.16)
для дифракционной решетки
В, = 60/671 = т/(дсо50). (8.17)
При наблюдении положения линий на экране или фотопла-
стинке удобно заменить угловое расстояние 60 на линейное 65 =
= / 60, где 1“ — фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр
на экран. Это вводит линейную дисперсшо
В, = 65/67» = ХВЭ. (8.18)
На практике нередко указывают и обратную величину.
Подсчитаем: 1) угловую дисперсию в угле/А в спектре 1-го по-
рядка для решетки, имеющей 3937 штрих/см; 2) линейную дис-
персию спектрографа с такой решеткой при объективе с фокус-
ным расстоянием 50 см; 3) величину, обратную линейной диспер-
сии [А/мм]. Считаем, что углы дифракции малы (соз0 в 1)
(Не 8.27). Согласно (8.17) В, = 1/ дсоз0) а 1/с1н 8,1 угле/А. В соот-
ветствии с (8.18) В: = 0,0197 мм/ и обратная линейная дисперсия
50,7 А/мм.
Найдем, какое расстояние между компонентами желтой линии
дублета натрия (ж, = 5890 А, ж, = 5896 А) получится на фотографи-
ческом негативе в спектрографе, описанном в предыдущей задаче
(Мг 8.28). Как следует из (8.6), для нулевых максимумов (т = 0) нет
зависимости от ж. Для первых максимумов зйп0, = м/с! = Ж-3937 =
= 0,23, 511102 = 22/07. Получаем 02 — 0, и (ж, — Жд/а’. Расстояние на
негативе А = (А, — Ж,)17а7 в 0,12 мм.
Найдем угловую дисперсию решетки с постоянной а’ = 5 мкм,
если 7» = 5000 А, порядок спектра т = 3 (М 8.29). Используя (8.6)
и (8.16), получаем В, = 60/6?» = т/(дсо50) = (т/ф/[1 — (тЖ/аОЧШ =
= о,в3-1о4 рад/см = 13 угле/А.
Для дифракционной решетки с числом штрихов п = 500
штрих/мм предел разрешения в спектре 1-го порядка равен 671 =
= 0,1 нм при средней длине волны 7» = 600 нм. Изображение
спектра получается с помощью линзы на экране. Определим ми-
нимальный допустимый диаметр Вт, линзы, при котором изобра-
жение спектра может быть разрешено (Мг 8.44). Из (8.17) имеем:
60 = т6Ж/(с1со$0) а п6ж. Дифракция на линзе (7.17) не должна ис-
187

°угловую расходимость дифракционного 1,
и 589,593 нм) разрешался на экране (Не 8.24). Угол дифракции на
линзе (7.17) должен быть меньше угловой дисперсии (8.16):
М]? < тбЖ/(дсозе). Подставляя (8.6) и учитывая, что Ош =
= (а/2)/1, получаем 1 < ВабЖ/(2х2). С учетом условия малости уг-
лов необходимо, чтобы [тдп >> 1).
Удаленный протяженный источник испускает две узкие спек-
тральные линии ж, = 500 нм и А, = 500,2 нм равной интенсивно-
сти. Свет от источника непосредственно падает на дифракцион-
ную решетку Оценим угловой размер ч; источника, при котором
можно разрешить эти две линии (Не 8.41). Из (8.6) и (8.17) для уг-
ловой дисперсии имеем при подходящем угле (р
1) = (др/ай = т/(с1сов‹р) = (1/7м)51п‹р/со$‹р < 1/7ь.
Угол с1‹р должен быть больше углового размера источника чл,
чтобы развести разные длины волн. Таким образом, ц: < (ж, —
— жд/ж, = 4'1О-4 рад.
Рентгеновское излучение с длиной
волны 7» = 2,8 А дифрагирует на кри-
сталле каменной соли, испытывая отра-
жение от ряда кристаллических плоско-
стей под углом (р = 3О° к нормали. Тол-
щина кристалла Ь = 0,56 мм. Определим
ВЕН”
ё
максимума (Мг 8.61). На рис. 8.11 пока-
зана схема отражений от плоскостей.
Напомним, что условие максимума по
Брегу-Вульфу т. е. прихода всех отра- --
женных лучей в фазе, Рис- 3-11
2с1зйпоъ = т)». (8. 19)
Минимум, ограничивающий ширину максимума, создается
тем, что на векторной диаграмме вектор каждого отраженного
луча слегка изменяет фазу Это можно интерпретировать как изме-
нение т на бт = 1/М Из условия Брега-Вульфа имеем: 2с1созаба =
= бтж. Если фаза изменится на 21:, соответственно разность хода
7», то суммарный вектор равен нулю. Это и есть условие минимума.
Таким образом, угловая полуширина максимума равна
89 = Ж/(Юа/созос) = ж/(2Ьзйпф) = Ж/Ь = 0,510“ рад.
Возможность разрешения близких длин волн характеризуется
разрешающей способностью. Для любых спектральных приборов,
189

где складываются А! лучей (многолучевых систем), предел разре-
шения определяется, как всегда, совпадением направления на ми-
нимум для ж с направлением на максимум в том же порядке т для
ж + аГж (критерий Релея)
тж+ж/1\’=т(ж+аГж),
Откуда разрешающая способность, или сила
К = ж/агж = тМ (8.2О)
Например, для разрешения дублега В-линии натрия (ж, = 5890 А,
ж, = 5896 А) (Не 8.1), разрешающая сила должна быть К = ж2/(ж2 —
— ж‚) = 5896/6 в 1000.
Из (8.6) для максимума порядка интерференции имеем
ттш = аУ/ж. (8.21)
Из (8.18) максимальное разрешение
Км = ПаУ/ж = 1 /ж, (8.22)
где 1 — длина решетки.
Получается, что для разрешения не нужно много штрихов на
мм. Но оказывается, что много штрихов необходимо, чтобы рабо-
тать с немонохроматическими источниками. Эта способность ха-
рактеризуется дисперсионной областью — шириной спектра источ-
ника Аж, при которой еще существует интерференционная карти-
на. Картина исчезает, если
то + м) = (т + 1)›„, (8.23)
ОТКУДЗ дисперсионная область
с; = м = ж/т. (8.24)
Чтобы работать с источниками с большим Аж нужно малое т и
соответственно малый период а’ (так как с! т тж) и большое М
Подсчитаем минимальное число штрихов решетки, которая мо-
жет разрешить натриевый дублет (ж, = 5890 А, ж, = 5896 А) в спек-
тре 1-го порядка (Не 8.32). Используя (8.2О), находим: А! = 5896/6 в
н 1000.
Найдем разрешающую способность решетки с периодом с! =
= 2‚5-10-4 см и шириной 1 = 3 см в спектрах 1-го и 4-го порядков
(Не 8.33). В соответствии с (8.2О) К = т1/с1. Поэтому К, = 12 ООО и
К, = 48 ООО.
190

На плоскую отражательную решетку, содержащую 1\’= 50 000
штрихов, нормально падает свет от двойной линии натрия (ж, =
= 5890 А, 7», = 5896 А). Плотность штрихов п = ‚5000 штрих/мм.
Найдем, какой максимальный порядок спектра т можно получить
от такой решетки, и каково минимальное расстояние б?» между
спектральными линиями, которое способна разрешить решетка
в указанной области спектра. Спектр максимального порядка фо-
тографируется на фотопластинке с помощью объектива с фокус-
ным расстоянием /= 50 см. Вычислим, какое расстояние Ах между
спектральными линиями ж, и 71.2 получится на фотопластинке
(М 8.65). Учитывая, что период решетки с! = 1/п, из (8.2О) находим
тш = д/ж. Подставляя данные, имеем: 20 ООО/5896. Максималь-
ный порядок равен целому числу содержащемуся в этом выраже-
нии, т. е. тш = 3. Согласно (8.2О) аж = шит) = 0,04 А. Угловое
расхождение (8.17) 80 = (А, — ?„‚)/(с1со$0). Для вычисления Ах это
выражение надо умножить на 1" и подставить косинус, используя
(8.6),
Ах = лиц, - жд/(аг - магу/г = 1 мм.
При наклошюм падении пучка света на решетку как бы изме-
няется период решетки, но и как бы изменяется ее длина, а число
щелей остается неизменным. Поэтому разрешающая способность
не меняется (Не 8.34).
Если, закрепив неподвижно трубу в которую наблюдаются ди-
фракционные спектры, закрыть через одну щели решетки, то раз-
решающая способность, которая определяется длиной решетки
(8.22), не изменится, а дисперсионная область, в соответствии
(8.24), где т = Каш, уменьшится в два раза, так как с! и, следова-
тельно, т увеличиваются в два раза (Мг 8.35).
Спектр некоторого вещества в видимой области содержит ряд
спектральных линий в диапазоне от 400 до 600 нм с минимальной
разницей длин волн б?» = 0,5 А. Спектр изучается с помощью дос-
таточно большой дифракционной рещетки с периодом с! = 0,01 мм.
С помощью линзы спектр проецируется на экран, расположенный
в ее фокальной плоскости, и рассматривается затем невооружен-
ным глазом с расстояния наилучшего зрения (Ь = 25 см). Опреде-
лим минимальное значение диаметра шшзы В и ее фокусного рас-
стояния 1, при которых наблюдатель может увидеть все линии
спектра. Диаметр зрачка глаза принимаем равным 41„ = 0,5 см
(Не 8.25). Рабочий диапазон источника (дисперсионная область)
Аж = 200 нм. Используя (8.24) и то, что м, = (400 + 6О0)/2 = 500 нм,
получаем: т = 500/200 = 2,5. Таким образом, надо принять т = 2.
191

Разрешающая способность должна быть К = Хер/б?» = 500/0,05 =
= 104. Из (8.2О) 1\’= К/т = 5000. Рабочая длина решетки 1 = На! =
= 5 см. Диаметр линзы не должен быть меньше размера решетки,
чтобы не ухудшать разрешение по дифракции 1) = 1 = 5 см. Ис-
пользуя (8.17), получаем, что должны быть разрешены углы 80 и
2 бЖ/а! = 10-5. Расстояния между линиями, для вычисления кото-
рого можно было сразу воспользоваться (8.18), будет равно б: =
= 180. Это расстояние должно быть разрешимо по дифракции
в зрачке глаза (7.17) 65 > ЬХ/дзр, откуда 1’ > хЬ/(аьбе) = 2,5 м.
Свет от газоразрядной трубки диаметром 1) = 0,1 см, непосред-
ственно падает на дифракционную решетку Оценим, на каком
минимальном расстоянии Ьтш от трубки нужно расположить ре-
щетку чтобы при этом можно было разрешить две спектральные
линии. с расстоянием между ними б?» = 5 нм при ж = 500 нм
(Мг 8.39). Угловой размер источника должен быть меньше углово-
го размера главного максимума (8.4), которым определяется раз-
решающая способность решетки,
В/Ь < х/(мд). (8.25)
Используя (8.22), получаем Ь > ркш = 10 см. Другой подход
к решению этой задачи связан с пространственной когерентно-
стью: ширина когерентности (5.5) должна быть больше размера
решетки.
Свет от удаленного источника, угловой размер которого ч; =
= 10-3рад, непосредственно падает на дифракционную решетку
Оценим, какую максимальную разрешающую способность Ктах
можно получить в таких условиях (М 8.40). Как и в (8.25), должно
быть ч; < Ж/(Нд). Используя (8.22), получаем, что максимальное
разрешение Ктах ю 1/ч/ = 1000.
Коллиматорная щель 5, освещаемая источником света, по-
мещается в главном фокусе линзы Л с фокусным расстоянием
/ = 20 см. Пройдя через линзы свет падает на дифракционную ре-
щетку плоскость которой перпендикулярна главной оптической
оси линзы. Число штрихов решетки 1\’= 1000, ее период с! = 0,001 см.
Найдем, какова должна быть ширина коллиматорной щели Ь, что-
бы была полностью использована разрешающая способность ре-
щетки в окрестности длины волны Х = 5000 А (Не 8.37). На рис.
8.12 показана схема расположения щели и решетки. За решеткой
стоит линза Л‘, которая дает дифракционную картину на экране Э.
Чтобы полностью использовать разрешающую способность ре-
шетки, надо несильно испортить остроту максимумов, которыми
определяется способность к разрешению, т. е. должно выполнять-
192

Е"""""""
Рис. 8.12
ся условие: Ь//<< 0 а Ж/(Мд), отсюда Ь <}?„/(1\’а1) а 0,001 см. Можно
также воспользоваться тем, что ширина когерентности (3.5)
в плоскости решетки должна быть больше размера решетки: АЛЬ >
> на, что приводит к тому же результату.
Свет от газоразрядной трубки диаметром 1) = 1 см непосредст-
венно падает на дифракционную решетку; расположенную на рас-
стоянии Ь = 100 см. Оценим, какой будет в этих условиях макси-
мальная разрешающая способность Вши = х/атх (Не 8.38). Из (5.5)
размер пространственной когерентности 1 н мл). Число щелей,
попадающих в этот размер (эффективных), Мэф в 1/с1, где а! — пери-
од решетки. Учитывая (8.21)‚ для разрешающей способности ре-
шетки (8.20) находим Км, в (а/хжх/а) н Ь/В = 100.
Одним из условий стабильности дифракционной картины, по-
лученной с помощью дифракционной решетки, является постоян-
ство температуры. Оценим максимально допустимое изменение
температуры АТ решетки, при котором еще практически полно-
стью используется ее разрешающая способность, если фотографи-
рование спектров ведется в 1-м порядке. Температурный коэффи-
циент линейного расширения материала решетки а = 10-5 К”,
полное число штрихов 1\’= 105 (М) 8.55). Для линейного теплового
расширения имеем для относительного изменения периода ре-
шетки Ас1/с1 = аАТ Из (8.6) следует: Ас131п0 + с1со50-А0 = 0, откуда
АО = —Аа151п0/(с1°со$0) = —оъА ТтЖ/(дсовэ).
Дифракционная решетка с числом штрихов 1\’= 105 имеет за-
водской дефект: ее период на разных участках не одинаков и изме-
няется в пределах 0,1 %. Выясним, можно ли с помощью такой ре-
шетки обнаружить простой эффект Зеемана в магнитном поле
с индукцией В = 10‘ Гс на длине волны А = 600 нм. Найдем мини-
мальное расстояние между линиями, которое может разрешить та-
кая решетка (Не 8.43). При помещении источника света в магнит-
ное поле наблюдается расщепление спектральных линий, назы-
ваемое эффектом Зеемана. В случае простого эффекта Зеемана
193
13-1647

расщепление по частоте Аи) = еВ/(2т‚с)‚ где е — заряд электрона;
т, — его масса; с — скорость света. Отсюда А?» = ж1еВ/(4птес2) =
= 0,16 А. Минимальное разрешение в 1-м порядке из (8.2О): б?» =
= Х/(тН) = 0,06 А < АЖ, т. е. при отсутствии дефектов решетки
расщепление можно обнаружить. Для решетки с дефектами мак-
симум 1-го порядка размыт между углами 6, и 02, где файле, = ж,
с1251п92 = ж, или 9, н х/а„ 92 н 74:12, откуда угловая полуширина мак-
симума 1-го порядка А6/2 = ((12 - с1‚) ›„/(2а‚а,) я Ада/ОШ), где
АаУ/с! = 104 — относительное изменение периода решетки. При
малых углах 9 угловая дисперсия в первом порядке 89/63. а т/с! =
= 1/(1, откуда бы, в с1А9/2 = Асд/(2с1) = 3 А > м. Таким образом,
разрешить зеемановское расщепление с помощью данной дефект-
ной решетки нельзя.
Мягкое рентгеновское излучение с длиной волны Ж = 10 нм ди-
фрагирует на компакт-диске при скользящем падении. Ширина
дорожки на поверхности компакт-диска а’ = 0,8 мкм. Ширина ра-
бочей части компакт-диска Ь = 3,2 см. Найдем направление на
первый дифракционный максимум и разрешающую способность
такого спектрального прибора в первом порядке (Мг 8.105). На
рис. 8.13 показан падающий луч и луч, идущий к первому макси-
муму Из (8.9) следует: с! (зйпб — 311160) = ж. Считая 9 близким к 9О°
и вводя угол ос = 9О° — 9, получаем: ‹1(1 — сова) ю да2/2 = А, откуда
а = (п/щт в 9°. Из (8.2О) имеем К = 1\’= Ь/с! = 4-10‘.
Для рентгеновских лучей не существует линз и сферических
зеркал. Для наблюдения дифракции рентгеновских лучей узкий
пучок их попадает на кристалл или (при скользящем падении) на
дифракционную решетку Дифракционная картина фиксируется
на фотопластинке без какой бы то ни было фокусировки. Найдем,
на каком расстоянии 1, от кристалла необходимо установить фото-
пластинку, чтобы на ней наблюдалась дифракционная картина
Фраунгофера, если ширина пучка падающих рентгеновских лучей
11 = 1 мм, а длина волны А = 1 А. На опыте пластинку устанавлива-
ют на расстоянии нескольких или десятков сантиметров, а для вы-
числения направлений на дифракционные максимумы пользуют-
ся формулами фраунгоферовой дифракции. Принимая во внима-
ние вычисленное значение 1„ объясним, почему можно поступать
таким образом (Мг 8.59). В соответствии с условием для дифрак-
ции Фраунгофера: 1,. >> 112/3» т
в 10 км. Как сказано в условии,
а на практике пластинки ставят
‘ ' ‘ ' ° ' ' ' ‘ ‘ ' ‘ ' ' ‘ ' ' ' ' " намного ближе к кристаллу. ПО-
Рис. 8.13
194

лучаюшиеся дифракционные пятна не соответствуют дифракции
Фраунгофера, но направления на них можно определять, проводя
прямые линии от кристалла на расположенные на очень большом
расстоянии фраунгоферовы максимумы. ,
Получим выражение для разрешающей способности (одномер-
ной) дифракционной решетки в рентгеновской области спектра
(М 8.60). При падении параллельного пучка рентгеновских лучей
с длиной волны А под углом скольжения оъо на решетку с периодом
с! направление дифрагированного пучка т-го порядка определяет-
ся условием (8.9)
а7(совоъ„ — сова) = тж.
Для такого же пучка с близкой длиной волны 7С: а7(созоъ —
— сова’) = тж‘. Отсюда Щсова‘ — сова) = тОь — ж‘), или дзйпсх-боъ =
= тбж, где введены обозначения ба = |оъ' — ос|, б?» = |7ь' — М. Для
спектрального разрешения необходимо, чтобы оба пучка про-
странственно разделились. Если 1 — расстояние до фотопластин-
ки, измеренное вдоль направления дифрагированного луча, то бо-
ковое смещение одного пучка относительно другого х = 1боъ. Усло-
вие разрешения состоит в том, чтобы это смещение было не
меньше ширины дифрагированного пучка, т. е. х 2 11. Ширина
11 определяется выражением И = Вата, где 1) — ширина дифракци-
онной решетки. В результате условие разрешения принимает вид
1тб7ь/(дзйпоъ) 2 Вэйпоъ.
Минимальному разрешаемому расстоянию б?» соответствует
знак равенства. Поэтому для разрешающей способности получаем
х/зж = тж/(вазапга) = мтм/ьг.
Так как А/лг << 1, то ж/бж << Мт, т. е. разрешающая способ-
ность решетки в рентгеновской области спектра меньше, чем в оп-
тической. Для повышения разрешающей способности надо при-
менять узкие пучки, а фотопластинку располагать возможно даль-
ше от решетки.
С помощью оптического затвора из параллельного пучка света,
содержащего смесь двух монохроматических компонент ж, =
= 500 нм и А, = 510 нм выделен короткий импульс длительностью
т = 5° 10-13 с. Импульс последовательно дифрагирует на двух одина-
ковых отражательных решетках, после чего распространяется
в направлении, параллельном исходному (рис. 8.14). Найдем, при
каком расстоянии Ь между решетками длительность импульса на
13. 195

выходе увеличится вдвое, (период
решетки с! = 5°10-4 см; выделяется
1-й порядок дифракции). (М) 8.49).
д.11 В соответствии с (8.6) разные дли-
ны волн приводят к разным углам
1!
‘Г; д > направлений максимумов 1-го по-
:‹—>: рядка. Из (8.17) имеем: 89 =
гид 3.14 = бЖ/ (с1с0$9). Путь между решетка-
ми А = Ь/созё. Для различных уг-
лов из-за разных длин волн
бА = 1‚31п0б0/со520 = ЬЗЕпЭбЖ/(дсоздд) = ЬЖбЖ/(ддсоздд).
По условию увеличение длительности импульса вдвое дает
бА/с = т (где с — скорость света). Из (8.6) з1п0 в 0,1; со$30 н 1.
Окончательно получаем
Ь = стдд/(Жсрбж) н 75 см.
Если задать расстояние между решетками (Мг 8.50), то с помо-
щью последней формулы можно вычислить т.
монохроматический плоский пучок света с длиной волны А =
= 600 нм падает нормально на дифракционную решетку с перио-
дом а’ = 5 мкм. Определим относительное‘ изменение частоты све-
та, продифрагировавшего во второй порядок, если решетка дви-
жется с постоянной скоростью о = 500 см/с параллельно своей
плоскости (Не 8.63). Смещение решетки на х = ш приводит для из-
лучения под углом 0 относительно нормали к плоскости решетки
к изменению разности хода на 12151110. Если взять 1 = А/с, где с —
скорость света, то получим изменение разности хода в ах =
= (о/сжзйпэ. Отсюда бЖ/Х = Ау/у = (0/с)31п0. Используя (8.3), на-
ходим Ау/у = (о/с)т?„/с1 = 4'109.
Дифракционная решетка, имеющая 1000 штрих/мм, освещает-
ся параллельным пучком монохроматического света. Решетка пе-
ремещается со скоростью у = 0,5 см/с в направлении, указанном
на рис. 8.15. В фокальной плоско-
д Р, "В сти линзы установлена фильтрую-
: щая маска, пропускающая лишь
Е г 1,1 1-йчи (—1)-й порядки дифракции.
. Наидем, какова частота изменения
Е тока фотоприемника, установлен-
' Т ного в точке Р, плоскости изобра-
5 жения, и чем отличаются токи фото-
Рис- 8-15 приемников, установленных в точ-
ПИФ
.196

ках Р, и Р, (М9 8.64). При смешении решетки на расстояние х = т
набег фазы для волн (:1)-го порядка с учетом (8.6) изменяется на
величину
(р = ЁКА = :(2тс/?ь)01$йп9 = _4:(21т/?ь)00„/д =‘ 1-21101/(1.
Соответственно, разность между волнами первых порядков
Аф = 4тл/с1. Период колебаний тока определяется из условия 1 =
= Ти Аср = 21:. Для частоты получаем у = 1/Т= 20/11 = 10 кГц. Для
(:2)-х порядков у = 40/с1 = 20 кГц. В точках Р, и Р, токи фотопри-
емников сдвинуты по фазе.
Двумерная решетка, плоскость ко-
торой перпендикулярна главной оп-
тической оси линзы, освещается пло-
ской, нормально падающей монохро-
матической волной. На рис. 8.16
точками показана картина дифракци-
онных максимумов, которая возника-
ет в фокальной плоскости линзы.
Найдем отношение интенсивности
максимума в точке с координатами
х = 2, у = 3 (отмечена на рисунке кре-
стиком) к интенсивности главного Рис‘ ыб
максимума (х = О, у = О). Отноше- у
ние периода решетки к ширине
щелей с1/Ь = 6. Изобразим (по ана-
логии с рис. 8.16) картину дифрак-
ции, если двумерную решетку за-
менить двумя расположенными
рядом одномерными решетками,
как показано на рис. 8.17
(Не 8.108). Двумерная решетка эк-
вивалентна двум одномерным ре-
шеткам со взаимно перпендику-
лярными щелями, расположенны-
ми непосредственно друг за
другом. При дифракции на решет- Рис. 8.17
ке с вертикальными щелями мак-
симумы будут лежать на оси х, причем в соответствии с (8.6)
з1п6‚„ = тХ/а‘.
Из (8.3), имея в виду что это квадрат амплитуды, и подставляя
зйпет, получаем
197

Ат = А„31п(птЬ/4)/ (тстЬ/д). (8.26)
При дальнейшей дифракции на решетке с горизонтальными
щелями каждый максимум расщепляется на серию максимумов,
лежащих на прямой, параллельной оси у, углы между которыми
вновь определяются (8.6)
з1п6„ = пх/д.
Отношение амплитуд подобно (8.26)
А‚„„ = А‚„$1п(1гпЬ/с1)/(ппЬ/с1) =
= А„[51п(птЬ/с1)/(тстЬ/с1)][31п(1гпЬ/а1)/(ппЬ/с1)]. (8.27)
В фокальной плоскости максимумы имеют координаты
х„‚ = т/А/с! и у„ = п/х/д.
При с1/Ь = 6, т = 2, п = 3 получаем А23/А„ =
=[$1п(1т/3)/(тс/3)][$1п(тс/2)/(тс/2)] = Зад/ай а 0,28.
При дифракции на решетках, показанных на рис. 8.17, получа-
ем только максимумы вдоль осей х и у. перекрестной дифракции
нет: максимумы, кроме главного, не расщепляются.
Если потребуется найти, например, отношение максимумов
интенсивности, находящихся в точках с координатами х = 1, у = 2
и х = —1‚ у = О соответственно (Мг 8.109), то надо просто восполь-
зоваться (8.27), учитывая, что интенсивность равна квадрату ам-
плитуды
ДШ/Ддд) = $1п2(тс2Ь/д)/(тс2Ь/д)2 = $йп2(2тс/3)/(2тс/3)2 = 0,17.
Если двумерную решетку заменить двумя рядом расположен-
ными одномерными решетками (рис. 8.18), то одна серия макси-
у д мумов разместится вдоль оси х,
а другая — также по прямой,
к
проходящей через (О, О), и пер-
пендикулярной наклонным
/ штрихам.
’7 Ё
Параллельный пучок им-
пульсного лазера с длительностью
импульса 1 пс (10-‘2 с) падает
нормально на дифракционную
решетку с высоким разрешени-
ем. Излучение, дифрагированное
под углом О = 45° к оси падающе-
Рис. 8.18 го пучка, регистрируется быстро-
198

действующим фотоприемником, установленным в фокусе удален-
ного от решетки объектива диаметром В = 3 см. Оценим длитель-
ность импульсов, регистрируемых фотоприемником. Считаем, что
оптическая плоскость объектива установлена ‚перпендикулярно
оси дифрагированного пучка, разрешение определяется дифракци-
ей на объективе (Мз 8.45). Число щелей решетки, от которых пучки
попадают на объектив, можно определить из геометрии А! =
= В/(соз9 (1). Учитывая условие максимума (8.6) и то, что импуль-
сы в направлении угла 9 отстают на каждом периоде решетки на
т = с1$1п9/с, (8.28)
где с — скорость света, получаем длительность импульса в направ-
лении угла 9
= тА’ = дэйп9/(ссоз9). (8.29)
Для угла 9 = 45° находим Т = В/с = 10-‘0 с.
импульсное излучение с длительностью импульсов то = 1 пс
и длиной волны Х = 0,53 мкм падает на дифракционную решетку
с разрешающей способностью К = 3400. Оценим отношение дли-
тельности импульсов за решеткой и длительности падающих им-
пульсов (Мг 8.46). Используя (8.28), (8.29) и (8.2О), получаем Т я
=Ю/с+ тонбто.
Излучение неодимового лазера с длиной волны А = 1,06 мкм
представляет собой последовательность ультракоротких импульсов,
следующих с интервалом т = 1 нс. Излучение падает нормально на
решетку с числом штрихов п = 1500 штрих/см. Найдем, каков ми-
нимальный размер Ь решетки, с помощью которой можно разре-
шить структуру спектра излучения во 2-м порядке дифракции
(Не 8.47). Используя (8.2О), для разрешающей способности решет-
ки получаем
В = Х/бй. = у/бу = с/(Жбу) = ст/Ж. = тА’ = тЬ/а’ = тЬп
откуда Ь = ст/(Жтп) = 100 см.
импульсное излучение лазера с длительностью импульсов т =
= 10 пс проходит через спектрометр с дифракционной решеткой
с максимальной оптической разностью хода А = 10 см. Найдем из-
менение пшршш полосы излучения Асс/Ас), (М9 8.52). Учитывая
запаздывание, аналогично (8.28), имеем для т, в А/с, т, = т. Поэто-
му Асс/Асс, = тд/т, я ст/А = 3-103.
Лазер испускает световые импульсы с центральной длиной
волны 0,6 мкм с длительностью т = 1 пс и скважностью (отноше-
199

ние периода повторения импульсов к длительности каждого из
них) 103. Это излучение пропускается через монохроматор с разре-
шающей способностью К = 5-104. Оценим скважность импульсов
О по выходе из монохроматора (М) 8.53). Как и в предыдущих за-
дачах используем (8.6)‚ (8.2О)‚ а также (8.28) и (8.29)
т, = тМ/с ‚- 1о-т с.
Считая период повторения импульсов тем же самым и учиты-
вая, что длительность импульса увеличилась в 100 раз, для новой
скважности получаем О = 10.
Рис. 8.19
Найдем величину наименьшего основания призмы Ь, изготов-
ленной из стекла, дисперсия которого вблизи В-линии натрия
|а7п/с1>ь| = 956 см-', чтобы призма смогла разрешить желтый дублет
натрия (ж, = 5890 А, ж, = 5896 А) (Мг 8.2). На рис. 8.19 показан ход
лучей через призму. Выбираем наклон таким образом, чтобы внут-
ри призмы лучи шли приблизительно вдоль основания призмы.
Так как длины волн несколько различаются, а показатель прелом-
ления зависит‘ от длины волны, то в результате имеем сдвиг фаз
для разных длин волн. Разность хода Ьа/п. Угол расхождения лучей
(поворот фронтов), отличающихся по длине волны на ат, опреде-
ляем из {во = Ьс1п//1. Минимум получаем в направлении, для кото-
рого, как и в случае щели, разность оптических длин равна 7», по-
этому А = Ьа/п. Откуда разрешающая способность
К = На?» = Ь |с1п/с1)„|. (8.3О)
Учитывая условие, получаем К = (1/2)(?„, + Жд/(Ж, — Д).
В результате
Ь = (к, + 7„2)/[2(?„2 — Жддп/адь] = 1 см.
Заметим, что стекло обладает так называемой нормальной дис-
персией (дп/дж < О). Подтверждение этому следует из расположе-
ния цветов при разложении белого света призмой (рис. 8.20). Уве-
200

личение угла а, а, следователь-
но, и п = эйпос/вйпв происходит
при уменьшении ж. Напомним,
что при прохождении белого В ‘а
света через дифракционную ре- Ждёт;
щетку главные максимумы сов- зеле
падают и дают белый свет, рис, 3,20
а первые максимумы начинают
расходиться. При этом в соответствии с (8.6) угол отклонения тем
больше, чем больше длина волны, т. е. при прохождении через
призму осуществляется в обратном
порядке.
На рис. 8.21 показано преломление
параллельного пучка света в призме при
симметричной ее установке, когда угол
О отклонения пучка от первоначального
направления минимален и достигается
наибольшая разрешающая сила. В этом
случае О = 20. — А, где ос — угол падения; Рис. 8.21
А — угол при вершине призмы. Для угло-
вой дисперсии, обусловленной зависимостью показателя прелом-
ления материала призмы от длины волны, имеем
Не = 89/61 = (б9/бп)(бп/б7&) = 2(бос/бп)(бп/б7ь). (8.31)
Так как оптическая длина пути луча, идущего вдоль основания
призмы, равна сумме длин ВА и АС, то пЬ = 21з1поъ, где 1 — длина
ребра призмы. Поэтому Ьбп = 21со$оъбоъ и бос/бп = Ь/(21со$оъ). Для
ширины пучка имеем В = [совоь Подставляя это в (8.31), находим
угловую дисперсию призмы
Д, = (Ь/[Лбп/бж. (8.32)
Подставляя это в (8.3О) получаем разрешающую силу
К = ж/бх = Ыбп/бх) = 1391). (8.33)
Обратим внимание, что разрешающая сила призмы пропор-
циональна длине основания призмы и не зависит от преломляю-
щего угла А. Однако с увеличением угла А уменьшается В, и, как
видно из (8.32), возрастает угловая дисперсия. Максимальный
угол А ограничивается полным внутренним отражением при выхо-
де из призмы. Находится он из соотношения зйп(А/2) = 1/п.
Спектрограф имеет стеклянную призму с основанием Ь = 10 см
и преломляющим углом А = 60°, устанавливаемую при работе на
201

угол наименьшего отклонения вблизи длины волны А = 5000 А.
Показатель преломления стекла призмы п = 1,73; фокусное рас-
стояние объектива коллиматора 1“ = 25 см. Найдем, какова должна
быть ширина коллиматорной щели а, чтобы можно было практи-
чески полностью использовать теоретическую разрешающую спо-
собность призмы (Мг 8.3). Для теоретической разрешающей спо-
собности призмы имеем (8.3О)
к = мам = цап/дм.
Здесь ат — минимальная разность длин волн двух спектраль-
ных линий, разрешаемых призмой при бесконечно узкой колли-
маторной щели. Разность показателей преломления для этих спек-
тральных линий бп = ж/Ь. Благодаря различию в показателях пре-
ломления первоначально параллельный пучок лучей на выходе из
призмы становится расходящимся. Рассчитаем угловое расхожде-
ние вышедшего пучка в предположении, что на призму падал па-
раллельный пучок.
На рис. 8.22 показан ход лучей
в призме. Для углов падения и прелом-
ления имеем: зйпф, = пэйпчд. Отсюда при
постоянном ф,
бпзйпш, + псозчд-бш, = О.
Рис. 8.22
Так как ф, + ф, = А = сопзт и, следо-
вательно, бш, + бхи, = О, то
бпзйпхр, = псозчд-бхр,
Далее, из зйпф, = пзйпхр, находим угловое расхождение вышед-
шего пучка
бф, = (вйпчд/созфдбп + (псозш/совфдбхр, =
= [зйпчд/совф, + (псозш/соэфдзйпч/,/(псо$\|/,)]бп.
При установке на угол наименьшего отклонения (ф, = ф, = ф,
Ч’: = Ч’2 = Ч’)
бф, = 2($1п\р/со$ф)бп = 2(з1пч1/со$ф)(?ь/Ь). (8.34)
Для полного использования теоретической разрешающей спо-
собности призмы необходимо, чтобы угловая ширина коллима-
торной щели (9 = 0/1) была мала по сравнению с бф. Это дает
а << 2(зйпч//со$ф)/>„/Ь.
202

Ё
|
П
|
.
|
|
.
|
.
|
.
я
.
|
|
.
Ё
1
\х\\\\\ \\\
Для А/2 = ф = 3О°‚ п = 1,73 получаем
а << 2(4 - п2)-'/’ Ль/Ь = 217412 = 2,5-1О-3 мм.
Для сужения спектра излуче- . П
ния лазера на красителе, имею-
щего широкий спектр в окрестно- “Ш
сти длины волны Ж = 600 нм, . ЧК. а
внутри резонатора устанавливает- д
ся призма П под углом минималь-
ного отклонения (рис. 8.23). Оце-
ним спектральную ширину б?» из- рис, 3,23
лучения такого лазера, если
призма изготовлена из стекла, имеющего дисперсию аУп/адь = 1000
см- ' в окрестности длины волны генерации, а преломляющий
угол А = 10°. В резонаторе лазера установлена также диафрагма
диаметром 1) = 0,5 см (Не 8.58). Используем результаты, получен-
ные в предыдущей задаче. Угол ч; = А/2 = 5° мал, как и ‹р. Чтобы
воспользоваться формулой (8.34), запишем бп = (ан/диодах. Под-
ставляя в формулу (8.34) и учитывая, что луч проходит через приз-
му, отражается от зеркала и опять проходит через призму для его
отклонения от оси получаем А‹р = 2А(а7п/а')„)б7„. Этот интервал
длин волн будет усиливаться при отражениях от зеркал, если он
меньше дифракционной расходимости лучей, определяемой диа-
фрагмой Аф 5 МВ. Исполёзуя это, находим спектральную ширину
аж = Ж/(2ВАдп/ш) = 35 .
Другой способ сузить спектр излучения лазера на красителе
связан с использованием дифракционной решетки. Одно из зер-
кал резонатора заменено дифракционной решеткой, нормаль
к которой составляет угол 00 = 60° к оси резонатора. Определим
ширину спектра аж такого лазера, если диаметр кюветы с красите-
лем 1) = 0,5 см (М) 8.57). В соответствии с (8.9) для решетки имеем
а! (зйпе — 311160) = тж. Дифференцируя это, получим с1со$0б6 = тбж.
Интервал длин волн б?» будет усиливаться, если он меньше расхо-
димости лучей, определяемой Дифракцией на границах кюветы
80 5 МВ. Отсюда, уёитывая (8.9) и то, что 0 = —0„, получаем б?» $
зжстгб/ОВ) = 0,2 .
Стеклянная призма с основанием Ь = 10 см изготовлена из тя-
желого флинта, дисперсия которого в окрестности 7» =6000 А рав-
на дп/фь = 1000 см-'. Найдем, какую максимальную разрешаю-
щую способность может иметь дифракционная решетка, ширина
заштрихованной части которой равна длине основания этой приз-
203

мы. Сравним также разрешающую способность такой решетки
с разрешающей способностью призмы (Мг 8.66). Для максималь-
ного разрешения решетки надо использовать наклонное падение
лучей на нее. Из (8.9), полагая 6 = —9„‚ для абсолютного значения
т получаем т?» $ 2:1 (так как синус не может бьггь больше едини-
цы). Для решетки длиной Ь получаем число щелей 1\’= Ь/д. Из
(8.2О) Ерш = 212/7» = 3‚3°105. Используя (8.3О)‚ находим Ерш/Км =
= (2/Ж)/(с1п/Щь) = 33.
Ширина заштрихованной части дифракционной решетки рав-
на длине основания призмы из каменной соли. Разрешающая спо-
собность решетки в 1-м порядке равна разрешающей способности
призмы для длины волны 7» = 515ОА. Определим период решетки
а’, если показатель преломления каменной соли для длины волны
ж, = 4861А равен п, = 1‚5537‚ а для длины волны 12 = 546113. п2 =
= 1‚5477 (Мг 8.67). Из (8.2О) КМ, = т1\/= тЬ/с1. Из (8.3О) для приз-
мы К” = Ь дп/адь = Ь |(п‚ — п‚)/(?ь2 — 7„‚)|. Из равенства разрешающих
способностей получаем с! = |аГ/\./с1п| = 104 см.
Эшелон Майкельсона является
+ + + * + + + + + разновидностью фазовой решетки.
1. Он состоит из нескольких (30 —
_Й_ 40) пластин из однородного стекла
$ (показатель преломления п). Тол-
в щина пластин (12 н 1-3 см) строго
одинакова с точностью до сотои
доли длины волны света (ж). Пла-
стины сложены подобно лестнице
РНС- 8-24 со сдвигом на Ь (рис. 8.24). На-
правление (угол 0) на главный ин-
терференционный максимум определяется условием
п]: + Ьв1п0 — Ьсозе = т)». (8.35)
При малых углах получаем (Не 8.101)
т = (п — 1)/2/7ь. (8.36)
Дифференцируя это по 7», находим угловую дисперсию
89/61 = т/(Ьсозе + Ьзйпе). (8.37)
При малых углах дифракции
60/81 в т/Ь. (8.38)
Используя (8.35), получаем
204

80/87» г: (п — 1)/1/(Ь7»). (8.39)
Так как Ь и Ь — величины одного порядка, угловая дисперсия
эшелона Майкельсона очень большая. Угловое расстояние между
максимумами получаем дифференцированием (8.35) и равенством
бт = 1 (Не 8.101):
89 = 7»/ Ь. (8.4О)
Для дисперсионной области эшелона Майкельсона из (8.24)
и (8.35) имеем
с: = м» = 7»/т = 7»2/[(п - ил]. (8.41)
Разрешающая способность эшелона Майкельсона без учета
дисперсии показателя преломления стекла из (8.2О) и (8.35)
7»/87» = Пт = А/(п - 1)/т/7„. (8.42)
Чтобы учесть дисперсию показателя преломления стекла, за-
пишем (8.35) для длины волны 7.‘ = 7. + 87» и соответственно п’ =
= п + (с1п/с17»)87»
п72 + 1251110 — /1со$0 = т7»'.
В соответствии с критерием Релея разрешающая способность
(8.2О) определяется совпадением направления этого максимума
с направлением на минимум для 7»
п/т + Ь$1п0 — Нсо$0 = т7» + МА’
откуда следует
7»/87» = А/(т — лап/до»). (8.43)
Эшелон Майкельсона состоит из 18/ = 30 стеклянных пласти-
нок с показателем преломления п = 1,5; толщина каждой из них
И = 1 см. Найдем, какова должна быть длина Ьт, основания стек-
лянной призмы, чтобы она имела такую же разрешающую способ-
ность, что и рассматриваемый эшелон. Дисперсия показателя пре-
ломления призмы дппр/сд» = 956 см-‘; длина волны 7» = 6000 А
(Мг 8.102). Используя (8.30) и (8.42), получаем Ьщ, = Не (п — 1) 11/7» =
= 2,6 м.
десять тонких стеклянных плоскопараллельных пластинок
толщиной 11 = 1 мм с показателем преломления п = 1,5 собраны
в эшелон Майкельсона. Определим дисперсионную область С и
разрешающую способность К эшелона в окрестности волны 7» =
= 500 нм. Оценим допустимый разброс толщины А/т плоскопарал-
205

лельных пластинок при их изготовлении (Мг 8.104). Из (8.41) С =
= А?» = ж/т = ?„1/[(п — 1)/1] = 0,5 нм. Из (8.42) ж/зж = 1\’т = 1\’(п —
— 1)/2/7„ = 104. Допустимый разброс толщины пластинок определя-
ется тем, что между волной после первой и волной после десятой
пластинки разность хода должна быть меньше Ж/2 (чтобы не было
противоположной фазы), т. е.
А/(п — 1)А/2 < Ж/2,
откуда А}: < ›„/[21у (п — 1)] = то = 50 нм.
Тонкие стеклянные Плоскопараллельные пластинки собраны
в стопу представляющую собой «лестницу» (эшелон Майкельсо-
на) (см. рис. 8.24). Высоты ступенек одинаковы и равны Ь, показа-
тель преломления п. На эшелон падает параллельный пучок света
с длиной волны 7». Наблюдается дифракционная картина Фраун-
гофера в прошедшем свете. Известно, что два наиболее ярких ди-
фракционных максимума имеют одинаковые интенсивности. Оп-
ределим возможные значения толщины пластин 12 (Не 7.69). Рас-
пределение интенсивности в случае эшелона описывается (8.12).
Откуда получаем 11 = (т — 1/2)7„/(п — 1).
интерферометр Фабри—Перо состоит из двух стеклянных или
кварцевых пластинок Р, и Р, между которыми обычно находится
воздух (рис. 8.25). Плоские поверхности пластинок, обращенные
друг к другу, тщательно отшлифованы и имеют покрытие, обеспе-
чивающее значительное отражение. Для достижения параллельно-
сти отражающих поверхностей используются специальные рас-
порные кольца. Такие интерферометры называются эталонами
Фабри—Перо. Наружные поверхности пластинок обычно образу-
ют небольшие углы с внутренними, чтобы отраженный от них
светлый блик не мешал наблюдению основной интерференцион-
ной картины. Интерференционная картина, получающаяся в фо-
кальной плоскости линзы, состоит из концентрических колец рав-
ного наклона. При расстоянии между внутренними поверхностя-
Р:
Рис. 8.25
206

ми пластин 1:, пользуясь (3.18)‚ для определения направления на
интерференционные максимумы (угол 0) получаем (Не 8.74)
2110030 = т)». (8.44)
Видно, что порядок интерференции т очень большая величи-
на. При работе с эталоном Фабри-Перо в зеленой области спек-
тра (А = 5500 А), если расстояние между пластинками 12 = 1 см,
и углы малы (Мг 8.76), порядок спектра из (8.44) равен т а 36 300.
Угловое расстояние между максимумами находим дифферен-
цированием —211з1п080 = ж 8т. При 8т = 1 имеем
АО = —?„/(211$йп0). (8.45)
Из (8.44) дифференцированием получаем угловую дисперсию
80/87» = —т/(2/2в1п0). (8.46)
Для малых углов 0 имеем /1(2 — 02) = т)». Отсюда определяем
угловую дисперсию интерферометра Фабри-Перо
80/81 = —т/(2/20) = —1/(?„9). (8.47)
Дисперсионная область в соответствии с (8.23), (8.24) и (8.44)
С = Аж = Х/т = 7З/(2/исовб). (8.48)
Большая угловая дисперсия является преимуществом интер-
ферометра Фабри-Перо перед другими спектральными аппарата-
ми, а малая дисперсионная область позволяет использовать его
как фильтр.
При 11 = 1 см, А = 5000 А, считая угол 0 малым (Не 8.75) полу-
чаем М = 0,125 А.
Разрешающую способность интерферометра Фабри-Перо
можно определить, пользуясь следующим критерием. Для разре-
шения двух спектральных линий 7» и А.‘ необходимо, чтобы в ин-
терференционной картине, даваемой интерферометром, эти ли-
‘ яшшчж!
1 2 3 4 5 6 7
Рис. 8.26
207

нии были разведены на расстояние не меньше полуширины ли'-
нии. Пользуясь этим критерием, найдем выражение для
разрешающей способности интерферометра Фабри — Перо
(Ж 8.77). На рис. 8.26 схематически показан ход лучей в интерфе-
рометре Фабри — Перо. Пластинки изображены прямыми линия-
ми. Коэффициент отражения света по интенсивности от каждой
отражающей поверхности обозначим р, а интенсивность падаю-
щего света 1,. Учитывая, что коэффициент прохождения света
(1 — р) для интенсивностей прошедших пучков 1, 2, 3, ... получим
~ =(1 — аИ
У вЂ” 2(1 )2У.
1 = р4(1 — р)'1 '
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Так как интенсивность равна квадрату амплитуды, для ампли-
туд имеем
А, = (1 — р)А,;
= р(1 — р)А
А, = р'(1 — р)А,'
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Здесь А, — амплитуда падающего света.
Каждый пучок запаздывает по фазе относительно предыдуще-
го пучка на
(8.49)
Л = (2хс/Х)2ЬсовО,
где Ь вЂ” расстояние между отражающими плоскостями интерферо-
метра; Π— угол падения.
С учетом запаздывания амплитуду результирующего колеба-
ния прошедшей волны можно представить в виде геометрической
прогрессии:
А = А,(1 — р)(1 + ре-" + р'е — '" + ..) = А,(1 — р)/(1 — ре-'~).
Интенсивность находим как произведение А на сопряженное
~ = А,'(1 — р)'/[(1 — ре-' )(1 — р~~~)] =
= 1(1 — р)'/[(1 — р)' + 4ряп'(Л/2)).
(8.50)
Х/1, = 1/[1 + (4р/т')яп'(ЙЬсоБО)~,
(8.51)
208
Относительную интенсивность прошедшего света называют
функцией пропускания

где т = 1 — р коэффициент прохождения; /с = 2тс/7м — волновое
число.
При А = (2т + 1)п знаменатель в выражении (8.50) максима-
лен, и интенсивность минимальна: [т = 1„(1 — р)’/(1 + р)’, или
1„„„ я (1„/4)(1 — р)’ в О, так как р в 1. '
Интенсивность при А = 2тп достигает максимума [шах = 10.
Максимальная интенсивность уменьшается вдвое, когда (1 — р)? +
+ 4рз1п1(А/2) = 2(1 - р)2‚ т. е.
4р51п2(А/2) = (1 — р)’. (8.52)
Отличие входящего в формулу А от соответствующего макси-
муму обозначим бА, тогда А = 2ттс + бА и 31п(А/2) =
= сов(тп)з1п(бА/2). Подставив это в (8.52) и учитывая малость си-
нуса, получаем бА = (1 — р)/(р)'/2.
Направление на половинную интенсивность линии с длиной
волны А определяется из условия
(2тс/Ж)211со39 = 2тп + бА.
Для того же направления и половинной интенсивности боль-
шей длины волны А’ получаем
(2п/?„')2/:со$9 = 2ттс — бА.
Расстояние между максимумами обеих линий равно полуши-
рине линии, т. е. минимальному расстоянию, разрешаемому ин-
терферометром.
Получаем (А + ?„')/(7к' — А) = 2ттс/(бА) = 2т1:(р)'д/(1 — р). Ввиду
близости линий А и А’
К = 1/81 = т1ъ(р)'/2/(1 — р) а тп/(1 — р) я: (тс/Ю2/1/(1 — р). (8.53)
ЭТО выражение МОЖНО записать В ТОМ же виде, ЧТО И ДЛЯ ди-
фракционной решетки, т. е. 1/83. = Пэфт. Роль эффективного чис-
ла штрихов играет величина
Пэф = п/(1 — р). (8.54)
Полученные результаты справедливы и для случая, когда ин-
терферометр работает в отраженном свете.
В эталоне Фабри-Перо для большого разрешения надо иметь
много интерферирующих лучей (большое Пэф), т. е. большой ко-
эффициент отражения р (доля отраженной энергии). Наибольшее
т имеем при нулевом угле. Некоторые рассуждения приводят к
следующему результату: для эталона Фабри-Перо
1 4-1647 209

к = ж/агх = 2пртт/(1 — р), мы, = 21г/(1 - р). (8.55)
Зеркала интерферометра Фабри-Перо, имеющие коэффици-
ент отражения р = 99 % (по интенсивности), расположены на рас-
стоянии Ь = 1 м друг от друга. Эталон используется в качестве оп-
тического резонатора на длине волны 7» = 0,63 мкм. Пользуясь ана-
логией с колебательным контуром, определим добротность
резонатора и ширину бу резонансной кривой (в мегагерцах). Оп-
ределим также частотный интервал Ау между двумя соседними ре-
зонансами (М: 8.78). Резонанс возникнет, если волна, отразив-
шись от одного, а потом от другого зеркала, будет в той же фазе.
Для этого должно выполняться условие: 21, = т)». Ближайшая дли-
на волны отличается на АЖ. И для нее 21, = (т — 1)(?„ + АХ), откуда
Аж = Ж/(т — 1) в ж/т. Подставляя сюда предыдущее, получаем для
частотного интервала Ау = (у/АЖАХ/т) = с/(2Ь) = 150 МГц (здесь
с — скорость света).
Относительные потери энергии после двух отражений за время
2Ь/с равны 2(1 — р). За период волны Т= 1/у = ж/с относительные
потери энергии равны ?„(1 — р)/[‚. Для добротности получаем (см.
3, с. 323, формула (9.29))
О = 2тсЬ/[М1 — р)]. (8.56)
Используя условия задачи, находим О = 109. Для ширины резо-
нансной кривой имеем (см. 3, с. 392, 393, формулы (1О.42)
и (1О.44))
бу = у/О = с/(ХО). (8.57)
Подставляя условия задачи, находим бу = 0,5 МГЦ.
Отсюда можно получить разрешающую способность интерфе-
рометра Фабри-Перо, наряду с (8.55)
К = Ж/б?» = у/бу = 2тсЬ/[М1 — р)]. (8.58)
интерферометр Фабри-Перо состоит из двух одинаковых
плоских зеркал с коэффициентом отражения по энергии р = 0,95,
расположенных на некотором расстоянии Ь друг от друга. На ин-
терферометр нормально падает плоская волна, содержащая две
спектральные компоненты ж, = 546,740 нм и ж, = 546,768 нм. При
изменении Ь интерферометр последовательно настраивается на
пропускание одной из спектральных компонент (ж, или м). Оце-
ним минимальное Ь,“ и максимальное ЬШ значения, при которых
интерферометр способен отделить одну спектральную компоненту
210

от другой (На 8.89). В соответствии с (8.58) разрешающая способ-
ность
К = 2пЬ/Ш1 - 9)] 2 Ж/(М - М),
где 7» = (ж, + Ж,)/2.
Равенство дает значение минимального расстояния 1‚„„„ я
в О,0О85 см. Для того чтобы спектры не перекрывались, нужно
чтобы дисперсионная область (8.24) с использованием (8.21) удов-
летворяла условию О = Ж/т = Ж2/(2Ь) 2 ж, — Д, откуда ЬМ =
= 7м2/[2(7„, — 70)] в 0,53 см.
Излучение гелий-неонового лазера анализируется с помощью
интерферометра Фабри-Перо. Спектральная линия излучения
лазера совпадает с серединой линии поглощения неона на длине
волны А = 0,63 мкм. Оказалось, что пустой интерферометр Фаб-
ри—Перо в этих условиях имеет разрешающую способность
К, = 108. Если пространство между зеркалами интерферометра за-
полнить разреженным неоном, то разрешающая способность па-
дает до значения К, = 0,810‘. Определим, какую часть энергии из-
лучения поглощает неон на длине 1 = 1 м (М 8.90). Обозначив
энергетический коэффициент отражения р, расстояние между
зеркалами интерферометра Ь и используя (8.58), получаем для раз-
решающей способности интерферометра К, = 2тсЬ/[М1 — р)]. Если
кроме доли уходящей энергии (1 — р) учесть долю поглощаемой
на пути Ь (обозначим оъо), то для разрешающей способности име-
ем К, = 2тсЬ/[М1 — р + оъ„)]. Получаем
1/12, — 1/110 = жад/(2пЬ),
откуда а, = 2111, (1 /К, — 1/К„)/?„ и 0,025 Ь. Доля энергии, поглощае-
мой на длине 1,
а, = а,1/Ь = 0,025 = 2,5 %.
Определим время установления колебаний и добротность в оп-
тическом резонаторе, используемом в лазерах (длина волны излу-
чения 7» = 0,63 мкм) и состоящем из двух плоскопараллельных зер-
кал, расположенных на расстоянии Ь = 100 см друг от друга
и имеющих коэффициент отражения по энергии р, = 100 % и р, =
= 80 %. Явлениями дифракции на краях зеркал пренебрежем
(М) 8.81). Учитывая, что на одном из зеркал отражение без потерь,
в формулу (8.56) надо добавить 2, т. е. (2 = 4пЬ/[М1 — р,)]. Подста-
вив заданные параметры, получим о н 103. Время установления
м. 211

колебаний равно сумме задержек складываемых лучей. Используя
(8.44), (8.20) и вводя скорость света с, находим
т = 1\’-2Ьсо56/с = тМ/с = Щ/с я 2-10-7 с.
Спектр лазерного импульса анализируется с помощью интер-
ферометра Фабри—Перо‚ образованного зеркалами с коэффици-
ентом отражения по энергии р т 1, находящимися на расстоянии
Ь друг от друга. Оценим длительность импульса после прохождения
через интерферометр (Мв 8.93). Как и в предыдущей задаче, дли-
тельность импульса т = 1\’-21‚со59/с. Подставив (8.55)‚ находим
т ^- 41тЬ/[(1 — р)с].
На резонатор Фабри-Перо с расстоянием между зеркалами
(базой) Ь = 0,5 м и разрешающей способностью К = 106 падает
ультракороткий световой импульс длительностью т = 104‘ с и дли-
ной волны 7.. =5ОО нм. Определим зависимость от времени сигна-
ла, который зарегистрирует фотоприемник, установленный за ре-
зонатором Фабри-Перо (Не 8.91). Фотоприемник зарегистрирует
серию импульсов длительностью т, следующих друг за другом
(в результате отражения от зеркал интерферометра) с задержкой
А! = 2Ь/с‚ где с — скорость света. Подставив параметры из усло-
вия, получим Ах: 3-104‘ с. Уменьшение интенсивности импульсов
связано с потерями энергии при отражениях и определяется доб-
ротностью (8.56)‚ которая, как следует из (8.58)‚ совпадает с разре-
шающей способностью О = К. Изменение интенсивности а’! т
т (1/К)‹1(1/ Т) т 1 (12/ 10:11. Отсюда следует, что интенсивность сигна-
лов затухает с характерным временем К/у = Ю/с га 1,6°1О'9 с. Мож-
но просто воспользоваться (8.57).
Импульс видимого света длительностью т падает на интерфе-
рометр Фабри-Перо параллельно его оси и затем фокусируется
на чувствительную площадку фотоприемника. Расстояние между
зеркалами интерферометра Ь = 15 см, коэффициент отражения
зеркал по энергии р = 0,99. Оценим, при каком значении т в фото-
токе возникнут осцилляции, имеющие затухающий характер. Оце-
ним также частоту осцилляций и, характерное время Т затухания
и число А’ колебаний фототока за время Т Инерционность фото-
приемника считаем достаточно малой (Мг 8.98). Квазипериодиче-
ские осцилляции фототока возникнут, если длительность импуль-
са меньше задержки между складывающимися лучами вследствие
отражения от зеркал, т. е. т < 2Ь/ с, где с — скорость света. Получа-
ем т < 10-9 с. Соответственно, частота осцилляций у = 109 Гц. В со-
ответствии с (8.56) и (8.57), как и в предыдущей задаче, для види-
212

\
\
\
\\\\\\\\\\
ж / ж /
Л
Ж
/ Ж Ж
+ _’.ь л — . _ . — „бж- . _ . - . _ . —. ЛЪ-.-.-.Й . _ . . . _ . _.
5 „ ‚ „ ‚
Ё
|
Рис. 8.27
мого света О а 1,5-103, характерное время затухания Т я М2/с в
н 3°10-7 с, число колебаний за время затухания 1\/'== Т/т я 300.
Излучение точечного монохроматического источника (А =
= 5000 А) проходит через резонатор Фабри-Перо (расстояние ме-
жду зеркалами Ь, = 25 см). Найдем, каково минимальное расстоя-
ние 1„ между зеркалами второю резонатора (рис. 8.27), если после
его установки вслед за первым резонатором первые девять колец
в фокальной плоскости линзы исчезают. Определим радиус перво-
го оставшегося кольца. Фокусное расстояние линзы / = 100 см
(Не 8.79). В соответствии с (8.44) при уменьшении И кольца сдви-
гаются к центру (6 уменьшается). Сдвигаясь к центру кольца ис-
чезают. Для первого резонатора 21„ = тж, 21‚‚со$0„, = (т — 10))», где
0,0 — направление на 1О-е кольцо, откуда
2Ь,(1 - соэбю) = 1о›„. (8.59)
Условие того, что волна, образовавшая 10-е кольцо, пройдет
через второй резонатор, 2Ь2(1 — СОЗЭЮ) = пж. Для малых углов
2Ь,9„,2/2 в „ж. Первое кольцо и минимальное 1„ будет при п = 1*.
Используя (8.59), находим Ь‚= 0,1Ь‚ = 2,5 см. Так как 6,0 = (А/Ьд“? в
я: 4,5-10-3‚ радиус кольца К = 10 = 0,45 см.
С помощью интероферометра Фабри-Перо исследуется вьще-
ленный системой фильтров участок спектра шириной АЖ = 0,2 нм.
Минимальная разность длин волн соседних спектральных линий
б?» = 0,001 нм. Оценим максимальное значение коэффициента
пропускания т = 1 — р (где р — коэффициент отражения зеркал по
энергии), при котором разрешаются соседние линии (Мг 8.80). Из
(8.24) дисперсионная область интерферометра Фабри-Перо м =
= Ж/т = 7ь2/(2Ь), где т = 2Ь/Ж — порядок интерференции; Ь — база
интерферометра. В результате Ь = Ьш = 73/(21371). Из (8.57) разре-
шаюшая способность интерферометра К = х/бх а». 2л1‚[?„(1 — р)] =
= пМАМ1 — р)]. Отсюда т = 1 — р н т: бж/А}, я 1,5 96,
213

Определим разрешающую способность спектрометра инфра-
красного диапазона, работающего по следующему принципу Из-
лучение исследуемого ИК-источника в диапазоне 7» в 3 мкм сме-
шивается в нелинейном кристалле с излучением стабильного ар-
гонового лазера. При этом возникает излучение на суммарной
частоте, лежащей в оптическом диапазоне. Последнее анализиру-
ется с помощью интерферометра Фабри-Перо, зеркала которого
отстоят друг от друга на расстояние Ь = 1 см и имеют коэффици-
ент отражения по интенсивности р = 0,9 (Не 8.83). В интерферо-
метре Фабри-Перо анализируется излучение с частотой со = шт, +
+ ю„(а›„ = сопзт). Для этой частоты разрешающая способность}? =
= со/бсо = тМ Из (8.44) тж = Ц?» = Ьсо/(пс). Используя (8.54), по-
лучаем К = со/бсо = Ьсо/[с(1 — р)]. Откуда бы = с(1 — р)/Ь. Так как
бод = б(‹о„„ + ‹о„) = быт‘, то Км = сот/быт, = ‹д›„к[‚/[с(1 — р)] =
= 2Ьп/[7ь„„(1 — р)] в 2-105.
В интерферометре Фабри-Перо с открытым воздушным про-
межутком между зеркалами при температуре 7] = 293 К наблюда-
ется одно из колец равного наклона, угловой размер которого О, =
= 0,01 рад. При повьппешш температуры кольцо стягивается к цент-
ру и исчезает. Найдем температуру 7}, при которой это произой-
дет, если для воздуха при температуре 7] разность п — 1 = 0‚0ОО29‚
где п — показатель преломления. (Для воздуха разность п — 1 про-
порциональна его плотности) (Не 8.84). Уравнение (8.44) в случае,
когда между зеркалами находится среда с показателем преломле-
ния п, приобретает вид
2Ьпсо$Э = тж, (8.6О)
где 9 — угол наклона лучей; Ь — база интерферометра.
Для выбранного кольца т = сопвт, поэтому при изменении
температуры будем иметь: п‚соз9‚ = п2соз9‚, или
п‚(1 — 93/2) = п2(92 = О). (8.61)
Оптическая плотность определяется показателем преломле-
ния, умноженным на расстояние, т. е. количеством частиц, взаи-
модействующих со светом. Это количество останется тем же,
если сжать среду увеличив ее плотность (р). Отсюда можно сде-
лать вывод, что (п — 1) ^- р. Предполагая, что воздух описывается
уравнением состояния идеального газа (см. 2, с. 8), и давление его
при-изменении температуры не меняется, получаем п — 1 = А/Т}
где А — постоянная величина, которую находим из условия А =
214

= (п, — 1)7] = О‚О8497. Используя (8.61)‚ находим п‚(1 — 03/2) =
= п, = 1 + А/Т} = 1‚0ОО24. Откуда 7; = 354 К.
Точно изготовленный интерферометр Фабри-Перо с расстоя-
нием между зеркалами Ь = 1 см освещается монохроматическим
светом с длиной волны А = 632,8 нм (гелий-неоновый лазер). Най-
дем, сколько интерференционных колец «исчезнет», если откачать
воздух между зеркалами, Показатель преломления воздуха п =
= 1‚ООО29. Оценим минимальную немонохроматичность Аж источ-
ника света, при которой интерференционные кольца в центре
картины окажутся полностью размытыми (Не 8.107). Используя
(8.6О) при 0 = 0, находим порядок интерференции: т = 2Ьп/7м.
Число исчезающих колец А т = 21‚Ап/?„ н —9,2, т. е. исчезнут 9 ко-
лец. Немонохроматичность источника определяется дисперсион-
ной областью интерферометра (8.48): М = х/т = Х/(2Ь) я: 0,02 нм.
интерферометр Фабри-Перо образован двумя зеркалами
с коэффициентом отражения по энергии р = 0,95, разнесенными
на расстояние Ь = 10 мм. Интерференционная картина фиксиру-
ется на фотопластинке. Оценим величину допустимых изменений
атмосферного давления в лаборатории за время экспозиции. Пока-
затель преломления воздуха связан с атмосферным давлением
р (в паскалях) соотношением п = 1 + 28-104" р. Длина волны А =
= 5000 А (Не 8.86). Из (8.55) для разрешающей способности имеем
В = ж/бж = 2пт(р)‘”/(1 — р). Учитывая, что п близко к 1, а угол
0 мал, из (8.44) получаем т я 2Ь/Ж и В в 4,840‘. Допустимые изме-
нения длины волны определяются сохранением возможности раз-
решения и равны '
ах я ж/к. (8.62)
Условие максимума определяется (8.6О). Подставляя п и диффе-
ренцируя, получаем 21, -28-10-‘°соз0'бр = тбж 5 т А/К. Отсюда, ис-
пользуя (8.44), находим бр 5 (1 + 28-10-'°р)/(28°10-'°К) в 0,7-102 Па.
интерферометр Фабри-Перо образован двумя зеркалами
с коэффициентом отражения по энергии р = 0,9, разделенными
кольцом из инвара толщиной 110 = 100 мм. Интерференционная
картина фиксируется на фотопластинке. Оценим допустимое из-
менение температуры в лаборатории за время экспонирования,
если коэффициент линейного расширения инвара а = 9-10-7 К";
длина волны Х = 5000 А (Мг 8.85). Толщина кольца из инвара при
изменении температуры 1: = 1:0 (1 + аТ). Подставляя это в (8.44),
имеем
2/1„(1 + аТ)созб = тж. (8.63)
215

Отсюда т в 2/г/7ь. Дифференцируя (8.63) и используя (8.62), по-
лучаем
2/юъсо$9бТ = тбх 5 тж/К.
Используя (8.63), находим бТ$ (1 + оьТ)/(оъК) я: 1/(оъК) н 0,05 К.
На интерферометр Фабри-Перо, состоящий из двух одинако-
вых зеркал диаметром 1) = 1 см, падает свет с длиной волны х =
= 500 нм. Интерференционная картина наблюдается с помощью
зрительной трубы, установленной на бесконечность, и имеет вид
концентрических колец. Первое кольцо имеет угловой радиус
6 = 10-2 рад. Оценим максимальную разрешающую способность
спектрального прибора в этих условиях (Мг 8.87). Используя фор-
мулу (8.47) для угловой дисперсии, получаем для разрешающей
способности К = Ж/б?» = 1/(986). Минимальный угол 89 должен
выходить за пределы дифракционного пятна (7.17). В таком случае
К 5 В/(ЭЖ) = 2105. Существует и другой способ, основанный на
(8.20). Обозначим расстояние между зеркалами 11. Тогда из (8.44)
тж н 2/1/7». Число интерферирующих лучей А’ = В/(26/1)‚ поэтому
К = тША’ = В/(ЭЖ). (8.64)
На интерферометр Фабри-Перо, состоящий из двух одинако-
вых зеркал, падает пучок света с длиной волны 7» н 0,5 мкм. Интер-
ференционная картина наблюдается в фокальной плоскости лин-
зы диаметром 1) = 2,5 см с фокусным расстоянием [ = 10 см и име-
ет вид концентрических колец. Первое кольцо имеет диаметр
с! = 1 см. Оценим максимальную разрешающую способность спек-
трального прибора в этих условиях (Не 8.88). Угловой радиус перво-
го кольца 6 = с1/(2/) подставим в (8.64): К = В/(ЭЖ) = 2/В/(аГА) = 106.
Найдем максимальную и минимальную амштитуду колебаний
поля внутри резонатора Фабри-Перо, настроенного в резонанс
с нормально падающей монохроматической волной амплитуды АО.
Коэффициент отражения зеркал по интенсивности р = 0,95. По-
глощением света пренебрегаем (Не 8.94). При резонансе волны,
идущие внутри зеркал слева направо, имеют одинаковую фазу Так
же и волны, идущие внутри зеркал справа налево, имеют одинако-
вую фазу, которая может совпадать с фазой волн, идущих слева на-
право, а может быть противоположной. Это зависит от расстояния
между зеркалами. Подсчитаем отдельно сумму амплитуд волн,
идущих слева направо (А,), и сумму волн, идущих справа налево
(А,). Обозначим коэффициент отражения по амплитуде К = (р)‘/2,
а коэффициент пропускания по амплитуде Т = (1 — р)”. Тогда
216

Ь 2 с/(2Ау). Имея в вид); что максимальный порядок интерферен-
ции из (8.44) т = 21‚/?„, и используя (8.55), находим
Ж/б?» = Ф/бт = [2п(р)"’/(1 — Р)1(21-/7\)-
Подставив Ж = 2тсс/(о, получим бсо = с(1 — р)/[(р)'/221‚]. Воз-
можность регистрации таких изменений частоты определяется
временем измерения, т. е. бо) т 2п/ 71 Так как р близко к единице,
то 1 — р н 2п2Ь/(сТ) === 0,03 или р = 0,97.
АС Г pј
р
Ё Ь >. дР
Рис. 8.29
Для выделения одной моды из большого числа мод, генери-
руемых газовым лазером, предлагается использовать модифици-
рованный резонатор Фабри-Перо, одно из зеркал которого за-
менено наклонной отражательной дифракционной решеткой
(ДР) (рис. 8.29). Внутри резонатора располагается наряду с ак-
тивной средой (АС) телескопическая система (ТС), предназна-
ченная для расширения светового пучка, падающего на решетку.
Найдем минимальный размер В, до которого нужно расширить
пучок, чтобы можно было выделить одну моду Длина резонатора
Ь = 15 см, длина волны генерации 7» = 1,2 мкм, решетка имеет
А’ = 1600 штрих/мм. Используется дифракция в 1-м порядке
(Не 8.56). Условие автоколлимации (обратного отражения на ди-
фракционной решетке) в 1-м порядке 24151119 = ж, где с! = 1/181; 9 —
угол наклона решетки. Отсюда получаем 31119 = МЧ/2, совэ =[1 —
— (ЖМ/2)2]'/2. Используя (8.45), находим для интерферометра
Фабри-Перо угловое расстояние между максимумами АО =
= —?„/(21‚$1п6). Из (8.47) угловая дисперсия гав/аж = —1/(7„ $36).
Поэтому интервал между максимумами А?» = (аж/де) АО =
=78/(21‚созО). Имеем АА/Ж = Ау/у а Х/(2Ь). Используя (8.17)
и (7.17) для дифракционной решетки, получаем АО = тАж/(дсозе) 2
231/11 При т = 1 и с! == 1/1\’ находим
В 2 2Ьсо89/(М) = Ь[1 — (ХН/2)2]‘/’/(7ь1\’/2) в 4,4 см.
11
218

При нормальном падении на плоскопараллельную пластинку
из непоглощающего материала параллельного пучка монохрома-
тического излучения, длина волны которого перестраивается не-
прерывно, коэффициент пропускания пластинки «осциллирует»
так, что его соседние максимумы приходятся на длины волн 720,
840 мкм и т. д. Найдем показатель преломления материала пла-
стинки, если ее толщина 1, = 1,2 мм (М: 8.73). Для прохождения
через пластинку должно выполняться условие как для интерферо-
метра Фабри-Перо, заполненного веществом (8.60). Получаем
21‚псоз9 = тм, 2Ьпсоз9 = (т + 1))»,
Исключая т, находим п = 1/[2Ьсо$9(1/?„‚ — 1/)‚‚,)] в ?„?„‚/[2[‚(Ж„ —
- т] = 2,1. с
В интерферометре Фабри-Перо среда между зеркалами обла-
дает дисперсией (зависимостью показателя преломления от длины
волны света). При изменении длины волны света А на величину
А?» наблюдаемые интерференционные кольца сдвигаются так, что
каждое кольцо перемещается на место соседнего кольца. Предпо-
лагая, что база интерферометра Ь >> ж, вычислим дисперсию по-
казателя преломления среды бп/бх (Мг 8.82). Из (8.44) направле-
ния на максимумы 21‚соз9 = тж. Дифференцируя по А, получаем:
(бп/бюсов9 — пзйп9 89/87» = т/(2Ь). Разрешаем относительно угло-
вой дисперсии 69/87» = (бп/бж — п/Ж)соз9/(пз1п9). Используя выра-
жение для углового расстояния А9 между максимумами (8.45), по-
лучим
М. = (бЖ/б9)А9 = —[7„/(2Ьп$1п9)]/[(бп/б?ь — п/Ж)со$9/(п$1п9)].
Используя малость угла 9, находим бп/бж = п/Ж — Ж/(2ЬАА).
Плоский пучок монохроматического света шириной В падает
нормально на плоский резонатор Фабри-Перо. Оценим доброт-
ность резонатора О, при которой диаметр пучка на выходе резона-
тора возрастает приблизительно в 3 раза. Длина волны падающего
света отвечает максимуму пропускания резонатора (Мг 8.92). Ис-
пользуя (8.51), получаем, что для малых углов 9, максимум про-
пускания имеет место при Н: = тп. Из (8.53) и (8.56) добротность
резонатора О = 21г(р)‘/2/т. Соответственно для малых углов 9
1/1, = 1/(1 + 929-74).
Из-за дифракции на зеркалах угол 9 лежит в интервале
-7„/1)$ 9 5 МВ.
219

Диаметр выходного пучка возрастет в 3 раза, если резонатор
будет пропускать волны в угловом диапазоне — Х/(ЗВ) 5 6
$>„/(31)). Полагая 0204/4 я 1, имеем О я 2/02 в 1802/3».
На испаряющуюся прозрачную пленку нормально падает излу-
чение лазера с длиной волны А = 630 нм. Контроль толщины пленки
осуществляется путем измерения интенсивности прошедшего из-
пучения, которая периодически изменяется в процессе испарения,
так что 1‚„,„/1‚„„ = 0,84. Пренебрегая поглощением света, опреде-
лим, при какой минимальной толщине интенсивность прошедше-
го света достигнет максимального значения (М: 8.96). Для про-
зрачной пленки предполагаем, что коэффициент отражения по
амплитуде г << 1. В таком случае можно ограничиться так назы-
ваемым двулучевым приближением, т. е. учитывать только сразу
прошедший луч и луч, испытавший отражение от задней и перед-
ней границ пленки. Введем коэффициент прохождения по ампли-
туде 5. Пренебрегая поглощением света в пленке, из закона сохра-
нения энергии имеем: з’ = 1 — р‘. Для отношения амплитуд про-
шедшего и падающего света получаем
Е„„„„_/Е„„ = з’ + 32 ‚г ей,
где б = Нп (К — волновое число; 1- толщина пленки; п — показа-
тель преломления пленки).
Для отношения интенсивностей находим
1„р„„‚/1„„ = |Е /Е„„|2 = з‘ (1 + гдед)(1 + где-д‘) = (1 — г?)2х
прош
›‹(1 + г‘ + 2›°со5б) н 1 + 2г3со$б — 2:1.
Отсюда [ш = 1, „т, = 1 — 4:3. Используя условие задачи
и (2.35), имеем: г? = 0,04 = (п — 1)2/(п + 1)’ и п = 1,5. Чтобы лучи
были в одной фазе, должно быть б = 4пп1„„„/?„ = 21:. Откуда 1‚„,„ =
= Х/(2п) = 210 нм.
На подложке осаждается прозрачная пленка, контроль толщи-
ны которой производится путем измерения доли (по энергии) от-
раженного назад излучения лазера с длиной волны А = 0,63 мкм. По
мере увеличения толщины пленки эта доля осциллирует, прини-
мая минимальное значение, равное 2-10-2. Найдем, какова толщи-
на пленки в эти моменты. Излучение падает нормально к поверх-
ности пленки. Коэффициент отражения на границе пленка-под-
ложка (по амплитуде) г„ = -1 /7 . Рассмотрим двулучевое
приближение (М) 8.97). Обозначим коэффициент отражения на
границе воздух-пленка г, коэффициент прохождения на границе
воздух-пленка з. Складываем отразившийся луч с лучом, прошед-
шим в пленку отразившимся от подложки и прошедшим через
220

Здесь не учтено изменение фазы при отражении, так как оно
производит только несушественное смещение всей интерферен-
ционной картины. С каждой стороны пластины число интерфери-
рующих пучков
А’ = Ь/(2/п3ш). (8.66)
Учитывая закон преломления (1.1): вйпф/зйпху = п, из (8.65) по-
лучаем
211(п2 — $1п2‹р)‘/2 = т)». (8.67)
Так как угол ‹р близок к предельному (9О°), из (8.66) находим
(Не 8.70)
А! = Ь (п1 — 1)‘/2/(212). (8.68)
При вычислении угловой дисперсии и дисперсионной области
(Мг 8.69) необходимо учитывать дисперсию показателя преломле-
ния (зависимость его от длины волны света). Дифференцируя
(8.67) по 7», получим
п (дн/ат) — зйпсрсозф (до/ат) = (п? - зйп2‹р)'дт/(2/и).
Вводя малый угол е = 90° — (р, находим
акр/ад» = [п(с1п/с1?„) — т(п2 — зйпдр)'/2/(21:)]/($1п‹рсо3‹р) а
а [п(с1п/а0ь) — (п2 — 51п2ф)/?ь]/е. (8.69)
Для угловой дисперсии удобно вводить В = дв/Щк.
Дисперсионную область определяем из двух соотношений
2Ь(п2 — $1п2‹р)‘д = (т + т;
211[(п + дп/сдАжР — зйп2ср)]'д = т(?„ + м).
Преобразуя второе соотношение и разлагая соответствующие
величины по малому параметру получим
2ь(п2 - 51п2ф)‘/2[1 + 2п(ап/д›„)А›„/(п2 - э{п2<р)1= т(7„ + м),
откуда
м = щпг - пт/пькпг - 1) - этажи/щи}. (8.70)
Для разрешающей способности пластинки Луммера-Герке из
(8.2О), (8.67) и (8.68) получаем
В г Май» = т1\/= 1‚(п2 — 1)/7м. (8.71)
222

Чтобы разрешить дублетную структуру линии На О» =6563 А)
при разности длин волн дублета 0,14 А, пренебрегая аУп/адь, пла-
стинка Луммера—Герке (п = 1,5) должна иметь (Мг 8.71) в соответ-
ствии с (8.71) Ь = 2,5.см.
Найдем, какой должна быть длина Ь основания стеклянной
призмы, чтобы она имела такую же разрешающую способность,
как и пластинка Луммера—Герке длиной 1, = 20 см с показателем
преломления п = 1,5. Дисперсия показателя преломления призмы
дпт/сд» = 956 см". Длина волны света А = 6000 А (Не 8.72). Ис-
пользуя (8.30) и (8.71), находим
ь = цпг - 1)/(м1п„,/д›„) = 4,36 м.
При учете дисперсии показателя преломления пластинки Лум-
мера-Герке
Мат = Ь[(п2 — 1)/7ь — лип/дм]. (8.72)
Электрон движется в вакууме со скоростью а вблизи поверхно-
сти дифракционной решетки с периодом а’. Скорость электрона
параллельна поверхности решетки и перпендикулярна ее штри-
хам. Определим длины волн, которые могут излучаться под углом
0 к нормали решетки из-за взаимодействия электрона с решеткой
(эффект Смита-Парселла) (Мг 8.54). Электрон, проходя мимо
элементов решетки, периодически возбуждает в них возмущения,
следующие друг за другом через время 1: = аУ/о. Запаздывание воз-
мущений по нормали к решетке равно т, а разность хода тс, где с —
скорость света. Если наблюдения ведутся под углом 9 к нормали
решетки, то разность хода уменьшается на 4131110, т. е. равна А =
= с1(с/а — зйпе). Усиление, сложение в фазе, происходит при А =
= тж, где 7» — длина волны света. Так как с/д > 1, то т $ 0 исклю-
чаются. Следовательно, |з1п0| = |с/о — тХ/а’ | 5 1.
Наблюдается дифракция параллельного пучка монохромати-
ческого излучения с частотой и = 10” Гц, падающего нормально на
дифракционную решетку с числом штрихов 1\’= 1,510‘. Найдем,
во сколько раз изменится угловая расходимость в 1-м порядке,
если падающее на решетку излучение промодулировать так, чтобы
были сформированы короткие импульсы длительностью т = 10-‘2 с
(Не 8.42). Используя (8.6) для положения максимума (зйшр = Мс!)
И (3-4) для его ширины, для угловой расходимости максимума
В 1‘М "Орядке бф, получаем уравнение вйп (ф + 8‹р‚) = Х/а‘ + А/(Нд).
УЧИТЫвая (8.6) и малость б‹р‚, имеем бф, = (1/1\’)13‹р.
223

монохроматический свет получает спектральное расширение
(размазку) при ограничении длительности импульса. Из (5.7) име-
ем: Ах: т 1/т. Обозначив угловое расширение бср, и дифференцируя
(8.6), получаем
созсрбф, = АА/а’ = (АЖ/Ажио,
откуда
бчъ = (Аж/Хит = (АУ/Итвф = твФ/(тч).
В результате бчъ/бФ. = [ЁБФ/(ТУЛ/[ЁВФ/М = П/(тч) = 15.

9. Элементы фурье-оптики и голографии
В методе Гюйгенса-Френеля волновое поле получалось сум-
мированием вторичных сферических волн от- элементов фронта
волны. В методе Релея волновое поле представляется в виде суммы
плоских волн. Это называют также разложением по пространст-
венным гармоникам. Для плоской волны (5 = ае ‘т’ Ф д) полагаем
К, = О. Поэтому
кг = Кдх + 192 = Кзйпа-х + 1ссозог2 = их + (18 — и3)‘/22‚ (9.1)
где введено обозначение и = К, = Кзйпа, а о: — угол наклона волно-
вого вектора к к оси 2.
Для комплексной амплитуды имеем
А(х, 2) = аехр{1[их + (18 — и3)‘/22]}. (9.2)
При постоянном 2, например при 2 = О, получаем распределе-
ние комплексной амплитуды в зависимости от х
А(х, О) = АО = ае "д, (9.3)
ГДС и — так НЗЗЫВЗСМЗЯ ПРОСТРЯНСТВВННЯЯ частота. СООТВСТСТВСННО
МОЖНО ВВЕСТИ пространственный ПСРИОД
А = 2п/и. (9.4)
Подставляя (9.3) в (9.2), получаем
А(х, 2) = А„ехр[1(1‹2 — и2)‘/12]. (9.5)
Множитель ехр[1(1‹2 — и2)‘/22] называется функцией передачи сво-
бодного пространства.
Рассмотрим сложение трех пло- д
ских волн с амплитудами 1, а и —а ‚с
(а << 1), идущих под углами О, ‘а
ос и —а к оси 2 (рис. 9.1) и имеющих
одинаковую фазу в точке х = О, 2 = О. '°‘ — г,
Для суммы трех волн имеем °‘ 1
А„(х, 2) = ехр(11‹2) + аехр{1[их +
+ (18 — и2)‘/2;]} + аехр{1[ — их + °
+ (#2 _ „2)1/22]} = еЕ/с: .|.. аеКих+ 1‹2со$а)+ Рис. 9.1
+ ае‘“‘“ " "=°°‘°’. (9.6)
При 2 = О
Ас(х‚ О) = 1 + ае‘"*+ ае-‘"*= 1 + 2 асозих. (9.7)
15-1647 225

Рис. 9.4
На рис. 9.2 приведена эта зависимость. Пространственный пе-
риод А определяется (9.4). На рис. 9.3 приведена векторная диа-
грамма сложения волн в плоскости 2 = О.
При смещении плоскости наблюдения в область 2 > О происхо-
дят периодические изменения контраста интерференционной
картины. Найдем положения плоскостей наблюдения, в которых
контраст картины максимальный и минимальный и вычислим
видность И определяемую (4.3) (Не 9.1).
Для произвольного 2 из (9.6) получаем
А(х‚ 2) = е"‘= + е”‘г°°5° 2асозих. (9.8)
На рис. 9.4 приведена векторная диаграмма сложения этих
векторов. Вектор, соответствующий сумме волн под углами
а и —а‚ взят при х = О. При изменении 2 он будет поворачиваться.
Разность фаз векторов
Аср = /с2(1 — сова). (9.9)
Сложение векторов дает экстремумы в плоскостях 2„‚ где фаза
Акр = пп. При х = О для четного п имеем максимумы, для нечетно-
го — минимумы. Из (9.9) находим
2„ = тсп/[К (1 — со$оъ)]. (9.1О)
Такое сложение называется амплитудной модуляцией. На экра-
не, расположенном в такой плоскости 2, получаем чередование
максимумов и минимумов при изменении х, которое называется
синусоидальной решеткой. Для видности (4.3) имеем
у: `ý 2 _ Атйп2)/(Атах2 + Атйп2) =
тах
= [(1 + 2а)2 — (1 — 2а)2]/[(1 + 20)’ + (1 — 2а)2] а 4а.
226

В плоскостях, где второй вектор
в (9.8) перпендикулярен первом);
амплитуда суммы практически не
меняется (видность У= О), но меня-
ется фаза (наклон суммарного век-
тора на векторной диаграмме)
(рис. 9.5). Для положения таких
плоскостей имеем
2„ = (п/2)(2п + 1)/[/‹ (1 — со$ос)]. (9.11)
Получающееся распределение называется фазовой решеткой.
Световое поле, которое создается сложением волн, и затем по-
вторяется на некоторых расстояниях 2, можно создать и с помо-
щью одной волны и некоторой решетки или транспаранта с задан-
ным коэффициентом пропускания.
Дифракционная решетка размером Ь и периодом с! освещается
нормально падающей плоской волной (длина волны 7» << д). За
ней воспроизводится ее изображения в плоскостях саморепродук-
ции. Оценим число изображений, наблюдаемых за решеткой, в ко-
торых еще различима ее структура (М 9.26). Используя (8.6) и ма-
лость угла, получаем в первом порядке 9 а ж/а. Положение по-
вторных изображений решетки определяется (9.1О) 2„ = лп/[/с(1 —
— со56)] а (МЕР) п а (сР/Юп. Число изображений ограничивается
длиной участка, на котором перекрываются пучки, проходящие
через решетку и идущие под углами 6 и —9, т. е. 2„ = Ь/(26).
В результате птах = Ь/(2с1).
Найдем спектр плоских волн Р(и) за синусоидальной решеткой,
освещенной нормально падающей плоской волной, если ампли-
тудный коэффициент пропускания решетки т(х) = 1 + асовпх
(а < 1) (Не 9.2). Действие синусоидальной решетки создает за ней
поле, описываемое коэффициентом пропускания. Сравнивая это
с (9.7), видим, что поле за синусоидальной решеткой совпадает
с полем от трех волн — одна по нормали и две под углами о: и —оъ.
Для пространственной частоты имеем
и = О = Квиток. (9.12)
Спектр по пространственной частоте (и = О) показан на
рис. 9.6. Воспользуемся представлением о б-функции: б(х) = 1 при
х = хо и б(х) = О во всех других точках. Поэтому
Ни) = б(и) + (а/2) б(и — О) + (а/2)б(и + О).
227
15*

На)? Спектр соответствует трем плоским вол-
1- нам, распространяющимся в направлениях
Кзйпоъ = О, $0 с амплитудами 1, а/2, а/2.
Дифракция света на синусоидальной
решетке является пространственным ана-
логом амплитудной модуляции сигнала
в виде (1 + асозпдсозои.
Вместо одной гармоники по времени
получаем три: со, со — (2, (д) + (2.
Для разделения пространственных гар-
моник (волн разных направлений) исполь-
зуется линза, собирающая каждую волну в точку в фокальной
плоскости. Положение точки определяется направлением волны.
Интенсивность в этой точке определяется амплитудой волны.
Линза осуществляет фурье-преобразование волнового поля и дает
его спектр в фокальной плоскости, которую в этом случае называ-
ют фурье-плоскостью. Появляется возможность действиями
в этой плоскости влиять на амплитуды и фазы составляющих
волн.
Если функцию пропускания (транспарант) можно представить
в виде ряда (или интеграла) Фурье, 1 (х) = 2С, ехр([и„х), то волно-
Л
вое поле на выходе из решетки будет состоять из плоских волн,
амплитуды которых пропорциональны коэффициентам С„ перед
соответствующими гармоническими составляющими функции
пропускания, а направления распространения оъ„ определяются
величинами их пространственных частот и‚‚ = /сзйпоъ„.
Найдем спектр плоских волн за щелью шириной В, освещае-
мой нормально падающей плоской волной, а также за щелью, пе-
рекрытой решеткой с периодом с! и размером прозрачных участков
Ь (1) = М1, где 1\/— число штрихов решетки) (Мг 9.3). Используя
(7.4)‚ обозначая волновое число
Дим К = 2тс/7ь и пространственную
частоту и = /‹ зйпф, для спектра за
щелью получаем Р,(и) и
т [$1п(1)и/2)]/(Ви/2). Спектр по-
казан на рис. 9.7. В случае ре-
шетки, используя (8.3), находим
/\\ В?
\/ "= щ’ то - [з1п‹1›и/2›1/‹Ьи/2› ›‹
мю
ют
-о о о Ё
Рис. 9.6
% % ›‹ {51п[(тс/7ь)1\’а’и/2]/[$йп (а/и/2)]}.
Рис. 9.7
228

Два плоских монохроматических
когерентных пучка света с длиной
волны 7» = 600 нм равными амплиту-
дами А‘, падают под углом а = 10,06
рад на синусоидальную решетку с ам-
плитудными коэффициентами про-
пускания т(х) = (1 + зйпЩ)/2 (рис.
9.8). В точке х = 0 эти волны создают
синфазные колебания. Период ре-
шетки с! = 10-3 см. Найдем простран- р„с_ 93
ственный спектр волн за решеткой
(Мг 9.11). В данном случае параметры волн и решетки выбраны
специальным образом. Для волн получаем К, = Кзйпа в (2тс/Моъ =
= 2п°1О3 см-К Для решетки О = 211/07 = 2п-103 см“. Отсюда О =
= Кзйпа. В таком случае т(х) = [1 + (еш — е-‘°*)/(2!)]/2. Результи-
рующее поле от двух падающих на решетку волн Аде“ и Аде-Ш по-
лучаем умножением их суммы на т(х), учитывая, что 1 = ем,
(Аое"" + Ао?“’*)т(х) = (Аодш + 14085“)! 1 + (г‘“" - г"“">/(21)1/2 =
= Ао[(1/2)г‘“‘ + (1/4)г’"“’"’"” + (1/2)?“ + (1/4)г“"“"""”1.
За решеткой распространяются четыре плоские волны в на-
правлениях
Кзйпб = 1-9 и 1252.
Аналогичным образом рассмотрим два плоских монохромати-
ческих когерентных пучка света с длиной волны А. = 500 нм и ам-
плитудами АО и 2А„, падающих под углами а = 10,05 рад на сину-
соидальную решетку с амплитудным коэффициентом пропуска-
ния т(х) = (1 + соэО.х)/2. В точке х = 0 эти волны создают противо-
фазные колебания (см. рис. 9.8). Период решетки а’ = 10-3 см. Най-
дем пространственный спектр волны за решеткой (М 9.4). Здесь,
так же как в предыдущей задаче, параметры волн и решетки вы-
браны специальным образом. Для волн получаем К, = Каша в
в (2тс/7ь)оъ = 2тс-103 см-'. Для решетки О = 2тг/с1 = 211-103 смт‘. Отсю-
да О = Кзйпа. В таком случае
т(х) = [1 + (еш + е““‘)/2]/2. (9.13)
Результирующее поле от суммы падающих на решетку волн
Аоед‘ — 2А„е-‘**
229

(знак «—»‚ так как в противофазе) получаем умножением их суммы
на т(х)
(Аоедд — 2Аое"‘д")т(х) = (А0/2)(е’“‘ — 2е"9*)[1 + (ем + е"“‘)/2] =
= А„[(1/2)е’“" + (1/4)е'7‘1’ — г“ — (1/2)е"7‘1" — 1/4].
За решеткой распространяются пять плоских волн в направле-
ниях
Кзйпб = О; 152; 120.
Спектр амплитуд показан на рис. 9.9.
Ат)?
а
2 а
|4 4,
О 29
Рис. 9.9
Плоский монохроматический пучок света интенсивностью 10
и длиной волны 7» дифрагирует на двух последовательно располо-
женных синусоидальных решетках с амплитудным коэффициен-
том пропускания т,(х) = т2(х) = (1 + со$(2.х)/2 (рис. 9.10, а). Опре-
делим, при каких расстояниях А: между решетками интенсив-
ность дифракционных максимумов 1-го порядка максимальна
и минимальна, и найдем эти значения (М9 9.12). В соответствии
с (9.8) за первой решеткой имеем три волны
(1 так: + (1 /4)е‘<‘1‘ + твоя» + (1/4)а‹-ш + того», (914)
где пространственная частота и = Кзйпсх = (2.
Если в точке Офазы волн (нормальной и наклонной) одинако-
вы, то в точку О, (на расстоянии А: от 0) наклонная волна, соот-
ветствующая 1-му максимуму, придет раньше. Разность хода
А2(1 - сова) в А2а2/2. Значения А: для максимума при сложении
волн определяются из условия: А2ос2/2 = тж, откуда
Актах = 4п/ст/(Р. (9. 15)
230

Условие для минимумов: х“
А2оъ2/2 = (т + 1/2)?„. Соответст-
венно
Агтдп = 4тс/с(т + 1/2)/02. (9.16)
где 1: = 2тс/?„‚ т = 1, 2, 3,
Используя (9.14), получаем
амплитуды волн, проходящих
через решетки. Схематично они
изображены на рис. 9.10, б.
В направлении 1-го максимума
после второй решетки напря-
мую идет волна от первого мак-
симума после первой решетки
и дифрагированная прямая вол-
на от первой решетки. В сумме
амплитуда, отнесенная к ам-
плитуде волны, падающей на
первую решетку, при условии
максимума (9.15)‚ равна 1/4.
Следовательно, 1„„„/1„ = 1 / 16.
При расстояниях между решет- р„с_ 9_ю
ками, соответствующих мини-
муму (9.16), складываются волны в противофазе. Таким образом,
суммарная амплитуда равна нулю и относительная интенсивность
1„„„/1о = 0-
Рассмотрим теперь случай, когда вторая решетка смещается
вдоль оси 2 со скоростью о (рис. 9.11, а), и, соответственно, интен-
сивность нулевого дифракционного максимума периодически из-
меняется. Определим частоту (о этих изменений, а также отноше-
ние максимальной и минимальной интенсивностей (Мг 9.13).
Максимумы перед второй решеткой, а, следовательно, и за ней
получаем при расстояниях, определяемых (9.15)‚ Обозначая пери-
од появления максимумов Т = 21г/оэ, получаем: оТ = о-2тс/со =
= 4п/с/(22, откуда
НЦНН’
Ё
'>
СЧ
Ъ
е‘ м-х ее = "
Ч!
7 й“
00!
оо|›-
(о = 002/(2/0, (9.17)
где К = 2тс/7ь.
На рис. 9.11, б схематично показано, как складываются ампли-
туды. На расстояниях, соответствующих максимуму (9.15)‚ полу-
чаем 1/4 + 1/8 = 3/8. На расстояниях, соответствующих минимуму
(9.16), наклонные волны в противофазе к нормальной, и поэтому
231

хд}
ПИНГ’
а
1 1
4 8
1 ’1 ‘1
———> —>— —>_—>—>
12 14 1 1
1 1 1616
4 8
б
Рис.9.11
1/4 — 1/8 = 1/8. Отношение максимальной амплитуды к мини-
мальной равно 3.-Для интенсивностей имеем 1„„„/1„„„ = 9.
Предлагается следующая схема спектрометра — устройства для
исследования спектрального состава излучения источника света
(В), содержащего две спектральные компоненты. Сколлимирован-
ный пучок света дифрагирует на двух последовательно располо-
женных одинаковых синусоидальныхрешетках (с периодом (1),
одна из которых перемещается с постоянной скоростью о (рис.
9.12, а). В фокальной плоскости линзы Л, исследуется зависи-
мость 1(!) интенсивности первого спектрального максимума от
времени. Оказалось, что эта зависимость имеет вид, изображен-
ный на рис. 9.12, б. Определим относительное расстояние Аж/Ж
между двумя спектральными компонентами ж и ж + АЖ в излуче-
нии источника (М9 9.14). Из (9. 17), где О = 21с/а', получаем для час-
тот изменения интенсивности
со, = тиф/ФА, и со, = кия/ст»,
Суммарная интенсивность изменяется по закону, изображен-
ному на рис. 9.12, б. Как видим, имеют место «биения». «Медлен-
ная частота (огибающая) равна (со, — ш,)/2. «Быстрая» частота рав-
на (со, + о),)/2. В одном периоде «медленной» частоты содержится
п = 30 «быстрых» колебаний. Поскольку Ж т о), то АН?» = Аоо/со =
= п = 30.
232

Рис. 9.13
Свет точечного квазимонохроматического источника 5 колли-
мируется объективом Л, и попадает на систему из двух последова-
тельно расположенных одинаковых синусоидальных дифракцион-
ных решеток (рис. 9.13). При продольном смещении одной из реше-
ток фотоприемник Ф регистрирует осцилляции интенсивности
в первом дифракционном максимуме. Считая углы дифракции
малыми, определим длину волны источника А и оценим ширину
спектра излучения А)», если известно, что первый минимум интен-
сивности наблюдается при расстоянии между решетками Ь = 1„ =
= 2 см, а амплитуда осцилляций становится равной нулю при Ь 2
2 Ь, = 20 см. Период решетки с! = 104 см (Не 9.31). Первый мини-
233

мум интенсивности в 1-м дифракционном максимуме, направле-
ние на который из (8.6) зйпоъ а ос = А/а’, появляется в результате
сложения двух волн, идущих в этом направлении. Одна волна
представляет дифракцию на второй решетке нормально на нее па-
дающей волны после первой решетки; вторая волна — результат
дифракции в 1-й порядок на первой решетке и проходящей через
вторую решетку без дифракции. Минимум интенсивности будет,
если эти волны окажутся в противофазе (разность фаз равна п).
Получаем условие
Аф = (2тс/Х)(1 — 1„ сова) = п.
При малых углах (21т/ж)1‚‚ (ж/д)2/2 = п, поэтому 7» = аР/Ь, =
= 5-10-5 см.
Осцилляции исчезают, когда складываемые волны перестают
быть когерентными. В соответствии с (5.6) [дсозоъ 2 ст = Ю/АА, от-
куда Ах 2 2с12/1. в 10-5 см. Здесь т — длительность цуга волны.
Рис. 9.14
Амплитудная синусоидальная решетка с коэффициентом про-
пускания по амплитуде т(х) = (1 + со$(1х)/2 установлена во вход-
ной плоскости оптической системы (рис. 9.14) и освещается
нормально падающей плоской волной (длина волны А). Найдем
контрастность изображения в выходной плоскости, если в общей
фокальной плоскости двух линз на оптической оси разместить
прозрачную пластинку, вносяЩуЮ фазовую задержку в 11/2 (удов-
летворяющую условию: (п — 1)}: = т?» + ж/4‚ где п и 1: — показатель
преломления и толщина пластинки) (М 9.20). Используя (9.14)
и обозначая амплитуду падающей волны А, получаем, что ампли-
туды трех волн, создающих изображение, равны А/2, А/4 и А/4. На
рис. 9.15, а — в показаны векторные диаграммы сложения волн.
В точке О на оптической оси без пластинки имеем результат, пред-
ставленный на рис. 9.15, а), с пластинкой — на рис. 9.15, б). При
изменении х в присутствии пластинки получаем результат, пред-
234

ставленный на рис. 9.15, в). Видно, что макси-
мальная амплитуда и, следовательно, макси- а
мальная интенсивность [Ш = А2/2 будет на оп-
тической оси. Минимальная интенсивность
1„„„ = А2/4. Контрастность картины определя- А;
ется видностью (4.3) и равна У = (Да, 2 б
_ 1тйп)/(1тах + 1тйп) = 0ȳ
В оптической схеме предметом является
дифракционная решетка с большим числом
штрихов и шагом а! (рис. 9.16). Решетка осве-
щается плоской нормально падающей моно-
хроматической волной. Если в общую фокаль-
ную плоскость линз поместить такую же ре-
шетки то наблюдаемое изображение входной
решетки практически не изменится. Опреде- Р“°- 9-15
лим минимальный интервал времени т между
моментами возникновения изображения решетки, если угол паде-
ния волны затем изменять по закону оъ(!) = 2(7„/а7)$1п(2тп›1), где час-
тота у = 1 Гц, Ж/а’ << 1. Считаем, что для заданного шага решеток
фокусное расстояние линз минимально (Мг 9.23). В общей фо-
кальной плоскости находятся источники для формирования даль-
нейшей дифракционной картины. При изменении о: источники
сдвигаются. Периодически решетка пропускает волны от источ-
ников. Из (8.6) направление на ближний максимум а = 9 = 7ь/с1.
Подставляя это в закон изменения ос, получаем: Ж/а’ = 2(?ь/с1)
$1п(2тп›т), т. е. зйп(2т›т) = 31п(тг/6), откуда т = 1/(12У) = 1/12 с.
Если в фокальную плоскость поставить решетку с периодом,
в два раза большим решетки-предмета (Мг 9.24), то изменится
только интенсивность максимумов изображения решетки, а ин-
тервал не изменится.
При нормальном освещении амплитудной синусоидальной ре-
шетки монохроматическим параллельным пучком света в плоско-
мчим
Рис. 9.16
235

› Р ЕР’ стях саморепродукщш Р вос-
› : производится ее изображе-
Е ние (рис. 9.17). Если за
@M а ._._.. а ..... _._ ..... .-:-. дифракционной решеткой
Е поместить однородную плос-
2 копараллельную пластинку
толщиной И = 30 мм с пока-
зателем преломления п, то
все плоскости изображения
сместятся по оси 2 на А: = 10
Рис. 9.17 мм. Определим п, если отно-
шение длины волны Ж к пе-
риоду решетки (1 достаточно мало (Мс! << 1) (М 9.25). Волна, па-
дающая на пластинку под углом а, в пластинке идет под углом В (по
закону Снелиуса, учитывая малость углов, так как по условию
Х/а/ << 1, имеем: зйпоъ/зйпв а а/В = п). Без пластинки положение
плоскости Р определяется (9.9): К: — Кгсозос = ттс. В присутствии
пластинки получаем условие: Ка, — К}: + Кп/т — Кдсозоъ + Кйсозоъ —
— Кп/псозв = тп. Для сдвига плоскости саморедукции имеем
—›ы"Ё‹- А:
Ь{4
гТж
31
ННй
ыг-д
Ь
п7
А: = г, — 2 = /1[1 — п(1 - со5В)/(1 — со$оъ)] а
= И (1 — пЕУ/а‘) = Й (1 — 1/п)‚
откуда п = И/(Ь — Ад) = 1,5.
Во входной плоскости По оптической системы (рис. 9.18) рас-
положена решетка с периодом (1 и шириной Ь = 5а7/ 12, освещаемая
нормально падающей монохроматической волной. Определим ам-
плитудную прозрачность маски, установленной в Фурье-плоско-
сти Ф (обшей фокальной плоскости линз Л, и Лд, если в выходной
плоскости П, необходимо получить световое .поле‚ комплексная
амплитуда которого представляет синусоидальную амплитудную
структуру с глубиной модуляции, равной единице, и периодом
(1, = аУ/2 (М9 9.42). Линза Л, создает в Фурье-плоскости источники,
которые за линзой Л2 дают пучки различного наклона, образую-
щие в плоскости П, интерференционную картину При отсутствии
По Л; Ф П; П,
б |
- г
_._›_._.г_ ....... _._ _ ....... -. _ . . . . . . . _ . . _ . _ . _ . _ . _.
- г
_› Е
Рис. 9.18
236

Рис. 9.19
ная синусоидальная р.ешетка находится в передней фокальной
плоскости линзы Л,‚ а изображение рассматривается в задней фо-
кальной плоскости линзы Л2. Найдем, как зависит характер изо-
бражения от соотношения между частотой решетки (2 и диамет-
ром линзы 1) (Мз 9.30). Система показана на рис. 9.19. В фокаль-
ной плоскости линзы Л, три точечных изображения от трех
плоских волн, для которых из (9.2) и (9.12) имеем зйпоь = Ыь/А, где
период решетки А = 211/52. В соответствии с (7.17) для дифракци-
онного пятна линзы получаем: 9 я МВ. Для разрешения волн
должно быть о: > 9. Для малых оъ получаем 1) > А. Угловое расстоя-
ние между максимумами на экране за второй линзой, определяе-
мое (3.1О)‚ также должно быть больше дифракционного пятна вто-
рой линзы А/(2/) > МВ. В результате должно выполняться:
В > А > 27471) или тсВ/(М) > О > 2тс/В.
На рис. 9.20 показана оптическая схема мультшшикащш изо-
бражения. Объект-транспорант с общим размером Ь = 1 см и раз-
мером мельчайших деталей б = 0,01 мм расположен во входной
плоскости ПО оптической системы и освещается монохроматиче-
ским пучком света (А = 500 нм). Мультиплицированное (размно-
женное) изображение возникает в выходной плоскости П,. В об-
Щей фокальной плоскости линз Л ‚ и Л2 (Фурье-плоскости оптиче-
ской системы) располагается амплитудная решетка. Определим
По Л; Ф Л; П;
238

период решетки Ш и ее общий размер Р, необходимые для качест-
венного воспроизведения мультиплицированного изображения.
Оценим ширину щелей решетки Ь, если необходимо получить не
менее десяти периодически повторяющихся изображений объек-
та. Фокусное расстояние объективов / = 20 см, (Хо 9.44 М 9.45).
Любая точка объекта с помощью решетки дает изображение в ка-
ждом максимуме в выходной плоскости. Направления на макси-
мумы в соответствии с (8.6): япО = тХ/Ш, т = О, +1, +2, ... Отсюда
в плоскости П, расстояние между максимумами (Х/~ф. В данной
системе размеры изображений равны размеру объекта. Чтобы изо-
бражения не накладывались друг на друга должно выполняться:
(Х/ф /'> А, откуда для периода решетки получаем Ш < 3фА = 10-'
см. Для качественного воспроизведения изображения угловой раз-
мер дифракционного пятна точки должен быть меньше углового
размера детали Х/Р < 5//: Отсюда Р > Зфб = 1 см. Для оценки ши-
рины щелей решетки Ь надо воспользоваться тем, что требуемое
число повторяющихся изображений Ж= 10 должно быть равно
числу главных дифракционных максимумов. Используя рис. 8.1, б,
получаем Жж 2(Х/Ь)/(Х/Щ. Отсюда Ь = 2фЖ = 2 10-4 см.
Ультразвуковые волны (называемые также ультраакустически-
ми), проходящие через вещество, создают в нем переменную
плотность. При изменении плотности меняется показатель пре-
ломления вещества. Это приводит к колебаниям фазы световых
волн, идущих через вещество. В таком случае получаем простран-
ственную фазовую решетку. Если складываются две слабо затухаю-
щие одинаковые по амплитуде (А) и частоте (и) плоские ультра-
звуковые волны (для них имеет место принцип суперпозиции, т. е.
простое сложение амплитуд с учетом знаков), идущие в разные
стороны вдоль оси ~, то получается стоячая волна (см. 1, с. 274),
в которой плотность изменяется по закону:
р(~, ~) = 2АБ1пй~сови~,
где волновое число Й = 2я/Х.
На рис. 9.21 показано изменение плотности в бегущей
(рис. 9.21, а) и стоячей (рис. 9.21, б) волне (точками обозначены час-
тицы среды). На рис. 9.21, в точками обозначены узлы, в которых
частицы неподвижны, а стрелками — направление движения к узлам
в некоторый момент времени, которое меняется через половину пе-
риода колебаний на противоположное. Расстояние между узлами
с одинаковым направлением движения равно длине волны Х.
Для возбуждения ультразвуковых волн используются кристал-
лы кварца, обладающие пьезоэлектрическими свойствами (изме-
239

няют размер под действием электрического поля). При работе со
стоячими волнами важно, чтобы они слабо поглощались в среде.
Из жидкостей лучше других для этого подходят ксилол, толуол
и вода.
Как видно из рис. 9.21, пространственный период изменения
показателя преломления в фазовой решетке, образованной ульт-
развуковой стоячей волной, равен длине волны, связанной с изме-
нением плотности среды (Не 9.5).
На рис. 9.22 изображена схема установки для наблюдения ди-
фракции света на ультразвуке. Стоячие ультразвуковые волны об-
разуются в кювете К. Пластинка кварца Рустановлена параллель-
но стенке АС, так что волны, излучаемые ею, распространяются
в направлении, параллельном АВ. Дифракционные максимумы
и минимумы наблюдаются в трубу 12 установленную на бесконеч-
ность. Покажем, что угол дифракции 9 для максимума т-го по-
рядка определяется из условия
Азйпе = т)», (9. 19)
где А — длина стоячей ультразвуковой волны; Ж — длина волны
света (Мг 9.6).
Так как частота ультразвуковых колебаний значительно мень-
ше частоты световых колебаний, можно считать, что жидкость,
в 1)
ЁЁ: к
_ __ е ’
5 — — - т
_ 1 _
А с
Рис. 9.22
240

в которой распространяется свет, неподвижна. Световое поле
в плоскости СВ при выходе из кюветы будет периодически ме-
няться в направлении СВ с периодом А. Таким образом, задача
сводится к дифракции света на двумерной плоской фазовой ре-
шетке с периодом А. В этом случае направление на максимумы
определяется (9.19).
Дифракция света на ультразвуковой волне в толуоле наблюда-
ется на установке, описанной в предыдущей задаче. В качестве ис-
точника света использована зеленая линия ртути (А = 5461 А).
Вместо трубы Т за кюветой поставлена собирающая линза с фо-
кусным расстоянием [ = 30 см. Дифракционные полосы получают-
ся в фокальной плоскости линзы и рассматриваются в микроскоп,
снабженный шкалой. Определим скорость звука а в толуоле, если
расстояние между соседними максимумами Ах = 0,546 мм, а час-
тота ультразвука у = 4 МГц (Мг 9.7). Для длины ультразвуковой
волны в толуоле имеем
А = д/у. (9.2О)
Эта величина является периодом фазовой решетки. При малых
6 угловое расстояние между максимумами из (9. 19) равно 9 = МА.
Расстояние между максимумами в фокальной плоскости А х =/9 =
=_/)„/А = ДА/о, откуда о = ДА/(Ах) = 1200 м/с.
Из рис. 9.21 видно, что в бегущей и стоячей волнах при отсутст-
вии затухания (поглощения) в фиксированный момент времени
изменение плотности, а, следовательно, и показателя преломле-
ния, по координате одинаково, т. е. это одинаковые пространст-
венные фазовые решетки. Поэтому при отсутствии затухания не-
возможно решить, на какой волне происходит дифракция (М) 9.8).
Необходимо иметь в виду что в фазовой решетке, создаваемой
стоячей ультразвуковой волной, показатель преломления имеет пе-
риодичность не только по пространству но и по времени, т. е. ме-
няется периодически во времени с периодом ультразвуковой вол-
ны. Это приводит к тому, что интенсивность дифрагировавшего
света испытывает периодическое изменение с той же частотой уж,
т. е. модуляцию. В результате при падении на решетку света часто-
ты у дифрагировавший свет имеет измененные частоты
(9.21)
Если жидкость, в которой установилась стоячая ультразвуковая
волна, рассматривать в микроскоп, то благодаря неоднородности
жидкости будут видны светлые и темные полосы (М: 9.9). Если бы
глаз мгновенно реагировал на световое раздражение и не обладал
у,_,=у:у
ЗВ'
16-1647 241

способностью сохранять зрительные впечатления, то бьши бы
видны светлые и темные полосы, расстояние между которыми
равнялось бы расстоянию между соседними сгущениями, т. е. А.
Через ‘/2 периода звуковых колебаний на месте каждой светлой
полосы образовалась бы темная, и наоборот. В действительности
глаз сохраняет зрительные впечатления в течение примерно 0,1 с,
т. е. времени, которое значительно больше периода ультразвуко-
вых колебаний. Поэтому глаз не в состоянии видеть смену полос,
а фиксирует некоторую среднюю освещенность сетчатки. При та-
ком усреднении интенсивность света во всех узлах скоростей сде-
лается одинаковой. Во всех пучностях скоростей интенсивность
будет также одинаковой, но отличающейся от интенсивности в уз-
лах. Поэтому период видимой картины должен равняться расстоя-
нию между соседними узлами, т. е. А/2.
Рассмотрим случай, когда горизонтальный луч гелий-неоново-
го (Не-Не) лазера с 7» = 0,63 мкм падает нормально на тонкую
стеклянную кювету с водой. В воде возбуждена стоячая ультразву-
ковая волна. Направление распространения ультразвука перпенди-
кулярно направлению падающего луча. В результате дифракции
света на ультразвуке первые дифрагированные волны отклонились
на угол 0 = 5‚7°. Дифрагированный свет анализируется интерферо-
метром Фабри-Перо толщиной Ь = 1 см. Определим спектраль-
ный состав дифрагированного света и оценим коэффициент отра-
жения зеркал интерферометра, при котором можно наблюдать ис-
следуемую структуру спектра. Скорость звука в воде о = 1,5 км/с
(Не 9.10). Спектральный состав дифрагированного света опреде-
ляется (9.21). Используя (9.2О) и (9.19) для первых дифрагирован-
ных волн получаем добавку уж = сете/Ж. Из (9.21) следует, что
Ау = 2узв в дЭ/Ж = 480 МГц. Вводя скорость света с, получаем
у = с/Ж = 4,810”. Необходимая разрешающая способность К =
= МА?» = у/Ау = 106. Используя для интерферометра Фабри-Перо
(8.58), находим: р = 1 — 2пЬ/(ЖК) н 0,9.
При наблюдении фазовых (прозрачных) структур методом тем-
ного поля в общей фокальной плоскости линз П, и Л, (фокусное
расстояние 1) на оптической оси устанавливается проволока
П (рис. 9.23). Фазовая решетка создается в жидкости стоячей ульт-
развуковой волной частоты у = 20 МГц. Найдем расстояние А! ме-
жду интерференционными полосами на экране Э, а также макси-
мально допустимое удаление Ьт, экрана от линзы Л‚, при котором
еще возможно наблюдение интерференционной картины. Диа-
метр линзы Л, В = 4 см, скорость звука в жидкости о = 1,5 км/с.
242

Ьш
Ьы Ь 4 ы
Рис. 9.23
Решетка освещается нормально падающей плоской волной (ж =
= 0,5 мкм) (Не 9.15). Пространственный период фазовой решетки
А = д/у = 2л/и = Ж/зйпоъ. (9.22)
Синусоидальная фазовая решетка дает три волны: нормальную
и две под углами а и —оъ в противофазе к первой. Углы определя-
ются (9.22). Каждая из этих волн в фокальной плоскости Л, дает
три точечных источника. Закрывая источник волны, идущей
вдоль оптической оси, имеем сумму двух волн с одинаковой фа-
зой. После второй линзы Л, получаем два пучка, составляющие
с оптической осью линзы углы оь и —оъ. Для распределения ампли-
туд по экрану получаем А(х) = ватта + ае-‘тта = 2асо$(1ос51поъ).
Интенсивность на экране
1 = АА* = 4соз2(/осзйпоъ) = 2[1 + со5(2/осз1поъ)].
Отсюда расстояние между максимумами А! = 2п/(21сзйпоь) =
= А/2 н 37,5 мкм. Можно было воспользоваться (3.1О).
Так как пучки ограничены диаметром линзы Л„ для макси-
мального расстояния, на котором пучки еще перекрываются Ьта, я
в В/(2оъ) а ВА/(2ж) в 3 м. На рис. 9.23 для решения этого вопроса
линза диаметром 1) поставлена справа от экрана.
Для такой же системы, как в предыдущей задаче, оценим допус-
тимый диаметр (дм и с1„„„) для наблюдения на экране Э интерфе-
ренционной картины от фазовой синусоидальной решетки с перио-
дом А = 2 мм, освещаемой нормально падающей плоской волной
длины ж = 0,5 мкм. Диаметр линзы Л, равен В = 2 см, фокусное
расстояние /= 20 см (Мг 9.16). Положение источников в общей фо-
кальной плоскости определяется (9.22). Расстояние между источни-
ками [а ограничивает максимальный размер проволоки дм = 2/оъ =
= 2/А/А = 0,1 мм. Минимальный размер проволоки определяется
размером фокального пятна 41„“ = 2])„/1) в 0,01 мм,
‚б. 243

Рис. 9.24
Один из методов наблюдения фазовых (прозрачных) объектов
состоит в следующем: в общей фокальной плоскости линз Л ‚ и Л,
на оптической оси устанавливается прозрачная пластинка П, вно-
сящая фазовую задержку в п/2 (рис. 9.24). Найдем распределение
интенсивности 1(х) в плоскости изображения (в задней фокальной
плоскости линзы Л,)‚ если предмет — фазовая синусоидальная ре-
шетка с амплитудным коэффициентом пропускания 1(х) =
244
поворот
на тс/2
поворот
на 3тс/2
Рис. 9.25
= ехриасозпх), а << 1, — расположен
в передней фокальной плоскости
линзы Л,. Выясним, как изменится
картина интенсивности, если ис-
пользовать пластинку с задержкой
в 3тс/2‚ и как изменится контраст,
если пластинка обладает коэффици-
ентом поглощения /‹„ (Мг 9.17). Учи-
тывая малость а, имеем: 1(х)
=ехр(1асозО.х) в 1 + [асозпх = 1 +
+ 1(а/2)(е“1* + е-Ш). Фазовая решетка
дает три волны. Волна, идущая вдоль
оптической оси, отличается по фазе
от наклонных волн на п/2. Добавле-
ние пластинки приводит к тому что
в фазовой плоскости вектор 1 пово-
рачивается на п/2 (рис. 9.25), и все
волны оказываются в одинаковой
фазе, таким образом, как для ампли-
тудной решетки 1 + (а/2)(е’9х + г“) =
= 1 + асозпх. Поворот вектора 1 на
угол 3п/2 дает 1 — асозах. При п/2
для интенсивности 1 т (1 + асовахУ в
н1 + 2асо$(2х‚ при 3тс/2 1 н (1 —

— асовпх)? я 1 — 2асо5О.х. Для разности максимальной и мини-
мальной интенсивностей в обоих случаях получаем: [ш — [т = (1 +
+ а)? — (1 — а)2 =4а. Контрастность определяется отношением
этой разности к средней интенсивности. Если во втором случае
средняя интенсивность уменьшается в 1с„ раз, то контрастность
увеличится в /с„ раз. .
ИШЬ
Рис. 9.26
При наблюдении методом фазового контраста фазовой сину-
соидальной решетки с амплитудным коэффициентом пропуска-
ния т(х) = ат“, т << 1, по ошибке фазовую пласпшку Ф располо-
жили так, что она перекрыла в общей фокальной плоскости линз
Л, и Л: один из дифракционных максимумов 1-го порядка (рис.
9.26). Найдем распределение поля в плоскости П изображения,
а также, на какое минимальное расстояние 1 нужно переместить
плоскость наблюдения, чтобы возникло изображение чисто ампли-
тудной решетки. Поясним решение с помощью векторной диаграм-
мы. Углы дифракции считаем малыми. Длина волны А (М 9.27).
Благодаря малости т можно записать: т(х) = 1 + [тсовах = 1 +
+ (1т/2)(е‘1* + г“). При падении на '
решетку вдоль оптической оси пло- шгш
ской волны амплитуды ад получаем ‚
ч _ аот о аот
за решеткои поле /(х) — д
= а„[1 + (1т/2)(е“1* + е"“")]. На век- „о т
торной диаграмме (рис. 9.27) показа- '
но это поле. После введения°фазовой рис, 9,27
пластинки фаза одного из максиму-
мов 1-го порядка меняется на п/2
(рис. 9.28). Поле имеет вид
в‹х› = до“ + ‹гт/2›‹ет + ими-тал =
= ао[1 + (1т/2)е"‘/4(е‘<°*-*/4> +
+ е—1(Ох—п/4))] = а” +
+ те'3"/4со$(О.х — п/4)].
Рис. 9.28

Чтобы получить изображение чисто амплитудной решетки
нужно вектор с амплитудой ад повернуть против часовой стрелки
на угол Аср = 3тс/4.
Две последовательно расположенные вплотную друг к другу
решетки С функциями пропускания т,(х) = (1 + со5Ох)/2 и т2(х) =
= е""°°5‘д, т << 1, освещаются плоской нормально падающей моно-
хроматической волной. Найдем, как изменится отношение интен-
сивностей волн, дифрагировавших в (:1)-е порядки дифракции,
если сдвинуть первую решетку вдоль оси х на 1/4 периода. Опре-
делим разность фаз колебаний поля в (:Ь1)-х порядках дифракции
(М 9.28). Функция пропускания первой решетки т‚(х) = (1 +
+ со3Цх)/2 = [1 + (1/2)(е“1* + е-’Ш)]/2. При малых т получаем
т2(х) = 1 + [тсозпх = 1 + (1т/2)(е“д + е-Ш).
Углы волн за решеткой
1/41те“ определяются (9.12). На
1/4е“ мху рис. 9.29, в соответствии
1 с (9.8) и (9.14)‚ показаны
1/2 волны, проходящие через
‚д, _ несдвинутые решетки. За
1/4е 1/49 ‘к второй решеткой идут соот-
1/41те""‘ ветствующие 1-м порядкам
Рт 919 первой решетки и дифраги-
ровавшие на второй решет-
ке от нормальной состав-
ляюшей за первой решеткой. Различие 1-х порядков дифракции
только в фазе. Поэтому отношение интенсивностей равно 1. При
сдвиге первой решетки на хо = п/(20) получаем для максимума
(+1)-го порядка
А„ = (1/4)1те’°* + (1/4)е‘<Щ-"/2> =
= (1/4)(те‘<‘д**/2> +е‘<‘1*-*/2>) = (1/4)(1 — Щеки-к”). (9.23)
Для максимума (—1)-го порядка имеем
А_‚ = (1/4)[те-Ш + (1/4)е-‘<°*-"/2> =
= (1/4хте-кш-п/2) + е-кш-пт) = 0/4)“ + „дудки-кпд
Отношение интенсивностей волн 1+/1_ = (1 — т)2/(1 + т)2 в
а 1 — 4т. Сравнив фазы при х = О, получим Аф = тг.
Предыдущую задачу можно усложнить, рассмотрев движение
первой (амплитудной) решетки вдоль оси х со скоростью
о (М9 9.43). Аналогично (9.23) имеем
Ан = (1/4)(те“ш+ "т +ет"`”");
А_| = — п/2) + е-дцх — 01)).
246

Для интенсивностей получаем
1„ = А„ „"‘ = (1/16)[1 + т’ + 2тсоз(!2т + 11/21;
1, = А_ А_,* = (1/16)[1 + т? + 2тсо$(ОШ — тс/2].
Можно пренебречь т1 по сравнению с 1. _
Сравнив фазы в момент 1= О, получим разность фаз Аср = тс.
Рис. 9.30
Один из методов наблюдения фазовых (прозрачных) объектов
состоит в том, что плоскость наблюдения Р смещается на некото-
рое расстояние 1 относительно плоскости Ро, сопряженной с объ-
ектом (т. е. плоскости, в которой в соответствии с геометрической
оптикой располагается его изображение) (рис. 9.30). При этом
контрастность наблюдаемой картины периодически меняется при
изменении 1. Найдем период с! фазовой синусоидальной решетки,
если в схеме, представленной на рисунке, ее контрастное изобра-
жение в первый раз возникло при 1, = АЬ, а также, при каких дру-
гих значениях 1изображение будет контрастным (Не 9.22). Из гео-
метрической оптики следует, что в сопряженной плоскости (Ро)
получаем перевернутое изображение предмета. В данном случае
предметом является световое поле,_ создаваемое фазовой решет-
кой. При слабой фазовой модуляции это три плоские волны, рас-
пространяющиеся под углами О, Ыь/а’. Это следует из (9.4) и (9.22)
А = с! = 2тс/и = 2п/(1сз1поъ) = Майна н ж/а. По условию АЬ равно
разности положений фазовой решетки (9.10) и амплитудной ре-
шетки (9.9) А], = (п/2)/[/‹ (1 — со$а)] а». п/(КоВ). Отсюда определяем
а и затем с! = ж/оъ = (2А1)„)'/2. Последующие контрастные изобра-
жения будут восстанавливаться в соответствии с (9.9) через 2131..
В фотографии изображения предметов на фотопластинках
(а затем и на бумаге или в электронной записи) получают с помо-
щью линзы. При этом регистрируется только интенсивность при-
ходящих световых волн, и картина получается плоской.
247

2 т=1
—- <-
___.. <‚‚„=о
—- 4
т=—1
1
Рис. 9.31 Рис. 9.32
Освещенный предмет создает световое поле, которое и дает
возможность его видеть. Это поле можно представить, как уже от-
мечалось, в виде суммы плоских волн. Поэтому рассмотрим ре-
зультаты для одной плоской волны от предмета, которую называ-
ют предметной (на рис. 9.31 обозначена цифрой 1). При отсутствии
линзы на пластинке равномерная освещенность и постоянная ин-
тенсивность. Если одновременно на пластинку направить волну
когерентную с той, которой освещен предмет, называемую далее
опорной (на рис. 9.31 обозначена цифрой 2), то на пластинке полу-
чится интерференционная картина от двух плоских волн. С помо-
щью химических средств из этой интерференционной картины
можно получить транспарант — синусоидальную решетку в кото-
рой зарегистрирована также и разность фаз волн. Такой транспа-
рант называется голограммой (от греч. «голог» — полный, «гра-
фо» — пишу). Если эту голограмму осветить опорной волной, то
получаем три волны (рис. 9.32). Волна при т = 1 соответствует
предметной волне (в отсутствие предмета), т. е. мнимому изобра-
жению предмета. Волна при т = -1 дает действительное изобра-
жение предмета.
Найдем амплитудный коэффициент пропускания 1:(х) голо-
граммы точечного источника света, если в качестве опорной волны
используется нормально падающая на плоскость голограммы пло-
ская волна. Расстояние от источника до голограммы равно Ь. Бу-
дем считать, что прозрачность голограммы пропорциональна ин-
тенсивности света при записи. Найдем положение действительно-
го и мнимого изображений при восстановлении изображения
нормально падающей волной. Выясним, как изменится положе-
ние восстановленных изображений, если при записи использовать
наклонный опорный пучок с углом наклона В. Оценим размер ат,
голограммы, при котором полностью используется разрешающая
способность фотоэмульсии, равная п. Найдем размер Ь восстанов-
248

Ч
Ч
х Действительное
51 "Ж а ‘ 5
Ч
Ь Ь
Ь : ф
Т г|Т
Рис. 9.33
ленного изображения (М) 9.33). На рис. 9.33 представлены голо-
грамма и ход лучей. Если в точке 0 фазы совпадают, то на расстоя-
нии х разность фаз
Аср = кии + хгу/г - ц в Кх2/(2Ь).
Отсчитывая фазу от источника, получаем
ф = ц + 1ос2/(2Ь).
Предметная волна, которая создает такое распределение фаз,
5„ = ае‘Ф. Обозначая опорную волну 5}, = а, для суммы волн имеем:
5 = $0 + 5„ = а (1 + ею). Для интенсивности волны получаем
1 = 55"‘ = 2а2(1 + созср) а 21„{1 + со$[/‹1‚ + Кх2/(2Ь)]}. (9.24)
Такую картину распределения интенсивности дает расходя-
щаяся из точки или сходящаяся в точку волна.
Таким образом, прозрачность голограммы
т(х) н 1 + сов[/‹Ь + /‹.х2/(21‚)].
При падении на эту голограмму плоской волны, параллельной
оси, за ней воспроизводятся три волны: 1) по нормали к голограм-
ме, соответствующая опорной волне, 2) сходящаяся в точку 5, яв-
ляющуюся действительным изображением источника, и 3) расхо-
дящаяся подобно предметной волне из точки 5„ являющейся
мнимым изображением источника. Расстояние между соседними
полосами на голограмме, в соответствии с (9.24), определяем из
соотношения Кхт + ,2/(21‚) — /сх„‚2/(2Ь) = 21:, откуда
Ах = хм, — х, в 21: Ь/(Кхт) а жЬ/хт. (9.25)
249

Это расстояние уменьшается с увеличением х‚„. При разрешаю-
щей способности фотоэмульсии п для ее использования должно
быть Ах я: 1/п. Отсюда размер голограммы
а .„ = х‚„ я пХЬ. (9.26)
т:
Изображение точечного источника является дифракционным
пятном, и, в соответствии с (7.7), имеет диаметр Ь в 2 ж/(2а‚„‚„) в
ю 1/п.
На рис. 9.34 показан ход лучей при использовании наклонного
(под углом В) опорного пучка. Его комплексная амплитуда
$0 = ае-‘их, где и = Кзйпр. Обозначая амплитуду предметной волны
5„ = аейр, для суммарной волны, создающей голограмму получаем:
5 = 5„ + $0 = а (едР + е-д“). Для интенсивности имеем
1 = 5.9‘ = 2а2п + соз(‹р + их)].
Рис. 9.34
При освещении голограммы т(х) е 1 получаем три волны:
1) опорную, 2) сходяшуюся в точку 5 (действительное изображе-
ние источника) и 3) расходящуюся из мнимого изображения ис-
точника 5. Преимущество такой схемы в том, что опорная волна
не мешает видеть мнимое изображение предмета.
Точечный объект движется параллельно фотопластинке, на ко-
торую записывается его голограмма. Оценим скорость о объекта,
при которой голограмма будет иметь максимальное число колец.
Объект и фотопластинка освещаются плоской волной с длиной
волны А = 0,5 мкм, нормальной к плоскости фотопластинки. Раз-
250

мер фотопластинки В = 0,1 м, расстояние между объектом и фото-
пластинкой Ь = 1 м, время экспозиции т = 0,01 с. Найдем также
разрешающую способность голограммы А! в направлении движе-
ния объекта (Не 9.38). Расстояние между кольцами определяется
(9.25). Чтобы сохранилось максимальное число колец для данной
голограммы, смещение объекта должно быть меньше расстояния
между кольцами, которое минимально на краю голограммы:
от $ ЖЬ/ 1), откуда о 5 ЖЬ/(Вт). Для разрешения расстояния А! вдоль
плоскости голограммы оно должно быть больше расстояния меж-
ду кольцами на границе голограммы А! а ЖЬ/В н 5 мкм.
Осевая голограмма точечного источника, расположенного на
расстоянии Ь = 10 см перед фотопластинкой, возникает при ин-
терференции плоской опорной волны и предметной сферической
волны, исходящей из этого источника. Найдем положения изо-
бражений источника, восстановленных с помощью той же опор-
ной волны, если вплотную к фотопластинке приложить положи-
тельную линзу с фокусным расстоянием 1“ = 5 см (Мг 9.47). На рис.
9.33 показаны получающиеся без линзы изображения: мнимое 5,
и действительное 5. Линза превращает мнимое изображение
в действительное, так как Ь > ф Его положение определяем по
формуле для линзы 1/2, + 1/Ь = 1/[2 откуда 2, =/Ь/(Ь —]) = 10 см.
Бывшее действительное изображение остается действительным.
Для него формула линзы дает: 1/2, + 1/(—Ь) = 1/л откуда 22 =
= [Ь/(Ь +1‘) = 3,3 см. Кроме того на расстоянии 1’ = 5 см (в фокусе
линзы) появится действительное изображение восстанавливаю-
щей волны.
При использовании вместо положительной линзы отршцатель-
ной (М9 9.46) при Ь = 20 см и 1‘ = -10 см получаем, что линза остав-
ляет мнимое изображение мнимым, но переводит его в положение
2„ определяемое формулой линзы: 1/2, + 1/Ь = 1/(—/), Отсюда
2, = —[Ь/(Ь + и) = —6,7 см. Бывшее действительное изображение
становится мнимым и переходит в точку 22, определяемую форму-
лой 1/2, + 1/(—Ь) = 1/(—/). Отсюда 22 = —|11Ь/(Ь — И) = —20 см.
Кроме того, на расстоянии 2, = —/= -5 см (в фокусе линзы) поя-
вится мнимое изображение восстанавливающей волны.
Голограмма точечного источника 5, расположенного на рас-
стоянии К, от фотопленки, получена по схеме Г абора в когерентном
свете с длиной волны А, (рис. 9.35). Предполагая, что предметная
и опорная волны имеют одинаковые амплитуды, равные А, найдем
во френелевском приближении распределение интенсивности 1(р)
на фотопленке при записи голограммы. Полученная таким образом
голограмма была просвечена светом с длшюй волны к > ко. Найдем
251

положение действительного и мнимого
р, изображений (Мг 9.48—9.5О). Так как
г= ига + рт = к, ‹1 + ригам - к, +
5.
: + р2/(2ВО), во френелевском приближе-
> ; нии предметную волну можно записать
2 Ко : в виде
Рис- 9-35 Аехрййог) = Аехр(1/‹о1*о)ехр[11<оо/(2Ко)].
Опуская несушественный фазовый множитель ехр(1/‹„К„)‚ по-
лучаем результат суммы плоской и сферической волн (на голо-
грамме)
1 = 2 А2{1 + со$[/‹„р2/(2В„)]}.
При просвечивании голограммы светом с длиной волны ж вол-
новое поле непосредственно за голограммой будет равно
Е т 1 т 1 + сов [/‹„р=/‹2к„›1 = 1 + соз[/‹(/<о//<)р2/(2К„)] =
= 1 + (1/2)ехр[1/‹(Ж/7»о)р’/(2К„)1 + (1/2)ехр[—1/‹(7»/7»о)р’/(2Ко)1 =
= 1 + (1/2)ехр[1/‹р1/(2К)] + (1/2)ехр[—1/‹р1/(212)].
1
Здесь К = кожух.
Второй член описывает расходящуюся сферическую волну —
мнимое изображение, а третий член — сходящуюся сферическую
волну — действительное изображение. Таким образом, мнимое 5,
и действительное 5‘, изображения располагаются на расстояниях
К = ДЖО/ж перед и за голограммой (продольное увеличение).
Заметим, что расстояние между кольцами (9.25) зависит от Ю
и поэтому минимально разрешимый поперечный размер деталей
изображения (Не 9.51) остается одинаковым.
На рис. 9.36 показано, как при голографировании в лазерном
излучении плоского предмета А опорный пучок света создается
с помощью призмы Пр, находящейся в плоскости предмета. Най-
дем расположение мнимого и действительного изображений пред-
мета при просвечивании голограммы Г Излучение лазера считаем
плоской монохроматической волной. Угол отклонения луча приз-
мой равен В. Расстояние от предмета до голограммы равно
1, (Мат 9.32). Используя результаты предыдущей задачи и рис. 9.36,
получаем изображения каждой точки предмета. Мнимое изобра-
жение находится в положении предмета (который при просвечи-
вании голограммы отсутствует). Нижняя точка изображения 5,.
Действительное изображение имеет нижнюю точку 5.
252

действительное
Рис. 9.36
Голограмма записана на пластинке радиусом г = 5 см. Она ос-
вещается монохроматическим светом длиной волны к = 0,5 мкм,
а изображение получается на расстоянии Ь = 1 м. Найдем допус-
тимую немонохроматичность света А)», при которой еще полностью
используется теоретическая разрешающая способность голограм-
мы (М: 9.34). Разрешающая способность голограммы сохранится,
т. е. вся голограмма будет работать, если разность хода волн с края
голограммы и от центра не превышает длины излучаемого источ-
ником света цуга — длины когерентности (5.6)
(и + ‚от - Ь а ‚г/(щ 5 ст = им. (9.27)
Отсюда А?» 5 2ЬЮ/г? = 0,2 нм.
Получена голограмма небольшого предмета, расположенного
на расстоянии Ь = 50 см от нее. Определим, каким должен бьггь
размер а фотопластинки, чтобы записать на голограмме детали раз-
мером Ь и 0,01 мм, и какая немонохроматичность света А?» допус-
тима при записи голограммы, если длина волны света Х = 0,5 мкм
(М) 9.35, 9.37). Размер детали должен быть больше размера ди-
фракционного пятна
Ь 2 ЬЖ/(2а).
Отсюда 2а 2 жЬ/Ь = 2,5 см. Допустимая немонохроматичность
из (9.27)
М 5 8Ь2/Ь. (9.28)
Для приведенных в условии значений Ах = 1,6 нм.
При записи голограммы предмета, находящегося на расстоя-
нии Ь = 1 м, используется излучение Не-Ме лазера (А в 6300 А).
Восстанавливается изображение с помощью протяженного квази-
253

монохроматического источника с угловым размером а = 10-4 рад.
Найдем, какой минимальный размер деталей в восстановленном
изображении, и какая при этом требуется монохроматичность
(Не 9.36). Восстановятся только те детали, угловой размер которых
больше углового размера источника. Таким образом, минималь-
ный размер деталей в восстановленном изображении Ь а аЬ =
= 10-2 см. Для определения требуемой монохроматичности из
(9.28) находим А?» $ 8081. 2 8-10-6 см.
При записи голограммы на фото-
х“—>“;,]:— пленку с толщиной слоя фотоэмуль-
у 1 сии И = 5 мкм падают две плоские мо-
нохроматические волны (Ж = 5-10-5
см) с равными амплитудами. Одна из
Т волн (опорная) падает по нормали
к фотопластинке, другая (предмет-
ная) — под углом о: = 6О° к нормали.
Предполагая, что показатель прелом-
А ления фотоэмульсии п = 1, определим
> расстояние между слоями с макси-
` до _ 2 мальным почернением фотоэмульсии
Рис 9.37 (интерференционные максимумы).
Наидем, сколько таких слоев проидет
луч света, пронизывающий фотопла-
стинку по нормали (Не 9.40). На рис. 9.37 показана пластинка
и падающие на нее волны. Так как амплитуды и длины волн оди-
наковы, для опорной волны имеем: 50 = аеш, а для предметной,
соответственно, .5'„ = ведет“ * ‘шт. Их сумма 5 = 50 + .$'„.
Введем обозначение
с!
(р = Кхзйпоъ — /‹2(1 — сова). (9.29)
Для интенсивности 1 = 5.9‘ получаем
1 = 2а3(1 + созф) = 4а2соз2(‹р/2). (9.3О)
Максимумы находим из условия ср/2 = т: т, где т — целое чис-
ло. Учитывая, что /с = 271/7», получаем
хзйпа — гсозос = Ат. (9.31)
Обозначая угол наклона этих линий в плоскости (х, 2) В, полу-
чаем
1313 = с1х/с12 = (1 — созщ/зйпоь = т3(а/2). (9.32)
Расстояние между линиями (9.31) по оси х (при 2 = О)
254

1 = Ж/зйпос. (9.33)
Расстояние между линиями (по нормали к ним)
а1 = 1со5В = (х/2)/вйп(а/2). ' (9.34)
Расстояние между линиями по оси 2 из (9.31)
11, = 7м/(1 — совок) = (Х/2)/в1п2(сх/2). (9.35)
Число слоев, которое пройдет луч света, пронизывающий пла-
стинку по нормали, 1\1= 12/12, = 5.
В результате фотообработки линии максимумов становятся
зеркальными поверхностями, т. е. получается полупрозрачная объ-
емная Отражательная решетка. Оценим относительную ширину
Аж/ж спектра отраженной волны при освещении этой решетки па-
раллельным пучком белого света, распространяющимся вдоль оси
2 (Мг 9.52). Используя (9.35) и (9.32)‚ для числа зеркальных поверх-
ностей получаем 1\’= (211/Юз1п2В. Столько же будет отраженных
интерферирующих волн, длина волн которых ж, определяется ус-
ловием Брегга-Вульфа (волны должны быть в одной фазе) 0131116 =
=7„‚. Используя (9.34), находим ж, = А. Как следует из (8.12)
и (8.13), дисперсионная область (ширина спектра, при котором
получаем интерференционную картину) определяется числом
складываемых волн (порядком интерференции): АЖ/й. = 1/т = 1/1\’.
При создании объемной голографиче- /„//„
ской решетки в среде толщиной 11 = 50 мкм _..__Ъ4.///4..__‹_
регистрируется результат интерференции /”””
ч —>-————>-///‹<—г-—<—
встречных пучков света с длинои волны Ж = ///////
= 500 нм (рис. 9.38). Оценим максимальную д/
ширину спектра отраженной волны при ос- Рис 9 38
вещении полученной объемной решетки
параллельным пучком белого света
(Мг 9.53). При таком освещении в среде устанавливается стоячая
волна. Число максимумов 1\1= 11/(7ь/2). Используя результат пре-
дыдущей задачи, получаем АЖ = ж/м = 2,5 нм. Для разрешающей
способности такой решетки из (8.9) имеем: К = х/вж = т1\1 =
= 212/7» = 200.
Для записи голограммы без опорного пучка используется схема,
изображенная на рис. 9.39. Предмет 5, освещаемый параллельным
пучком монохроматического света ж, расположен на расстоянии
Ь от входной плоскости По, а фотопластинка (голограмма) -- в вь1-
ходной плоскости П,. В некоторой точке фурье-плоскости (обшей
фокальной плоскости линз Л , и Л,) установлен небольшой непро-
255

пленку под углом а и —а к нормали падают м}
два широких пучка лазерного излучения 410
с длиной волны Ж (рис. 9.41). Интенсив-
ность излучения в пучках 410 и 10 соответст-
венно. После проявления и обработки фо-
топленки ее просвечивают лазерным пуч-
ком интенсивностью 410 и той же длины
волны ж. Этот пучок падает на поверхность Рис. 9_41
полученной таким образом голографиче-
ской решетки под углом ос к нормали. Пред-
полагая, что амплитудная прозрачность решетки пропорциональ-
на интенсивности света при записи, определим спектр плоских
волн за решеткой (М9 9.41). Используя (3.9) и (3.6) и вводя про-
странственную частоту (9.12) (2 = Кзйпа н Ка, имеем для суммар-
ной интенсивности пучков
1 = 410 + 10 + 410сов(2!2х) = 10[5 + 4соз(2пх)].
При освещении голограммы получаем за ней поле
Дх) Ы 10[5 + Дед“ + е-'7Ш)](410)‘/2е‘°* е Зет + 2е-‘Ш + 2едш.
Таким образом, за решеткой получаем три волны. Наиболь-
ШУ10 ЗМПЛИТУДУ ИМССТ ВОЛНЗ, [ЭЗСПРОСТРЗНЯЮЩЗЯСЯ ПОД УГЛОМ (1,
Т. С. В направлении ПЗДЗЮЩСЙ ВОЛНЫ.
фотопленка

10. Дисперсия света.
Эффект Доплера в оптике
Распространение возмущения (изменение некоторого пара-
метра) в виде волны по различным средам было рассмотрено в ме-
ханике в струне и упругих средах (см. 1, с. 272), в термодинамике
в газе (см. 2, с. 45), в электричестве в среде, определяемой диэлек-
трической и магнитной проницаемостями (см. 3, с. 480) и в оптике
(2.4). Так как всякое возмущение можно представить в виде ряда
Фурье — разложения по гармоникам, в первую очередь рассматри-
вается гармоническое возмущение. Для электрического поля Е в
световой волне имеем волновое уравнение (для плоской волны
в направлении х)
д2Е/д12 = д2д2Е/дх2, (10.1)
где 02 = 1/(гр). _
Решение этого уравнения представляет сумму двух произволь-
ных функций
Е(х, 1) = до: - т) + ];(х + т). (102)
Для гармонического возмущения, вводя частоту со и волновой
вектор [с = 2тс/Ж, где А — длина волны, получаем
Е(х, 1) = А31п((о1 — /‹‚х) + В51п(сот+ /‹х). (1О.3)
Решение представляет собой две волны, бегущие в положи-
гельном и отрицательном направлениях оси х. Фазой волны, на-
пример, бегущей в положительном направлении оси х, называется
аргумент функции
А$1п(ш1 — 10:). (1О.4)
Скорость распространения фазы (фазовая скорость) определя-
‘чтся аргументом фазы. Скорость из условия со: — /сх = сопвт
о = дх/а’! = со/К. (1О.5)
_ С такой скоростью волна распространяется без изменения сво-
“й формы. Фазовая скорость, являясь свойством среды, по кото-
“ой распространяется волна, зависит от со и К. Бегущая волна
10.4) не может переносить никакого сигнала. Для передачи сиг-
“ала ее надо прервать или изменить. В простейшем случае рас-
“мотрим сумму близких по о) и К волн
со‚=(о„+ба)‚о)2=ш0—бш,/‹‚=/‹„+б/с,/с2=/‹0—б/‹.
“$8

Тогда
Е = Е, + Е, = А$йп(ш‚! — /‹‚х) + А$1п(оо21 — Кус) =
= 2Асоз[(со‚ — со2)1/2 — (К, — 19)х/2]вйп[(ш‚ +_а›2)1/2 —
— (К, + /‹‚)х/2] = 2Асо$(!ба› — хб/с)51п((о„г — /с„х).
Обозначим переменную амплитуду
= 2Асо$(1бо) — хб/с). (1О.6)
Происходит как бы модуляция амплитуды.
В распространяющейся волне
Е = а51п(о)„1 — Кох),
амплитуда волны (1О.6) медленно меняется во времени и в про-
странстве. Скорость распространения изменения амплитуды по
пространству называется групповой скоростью. Из условия {бы —
— хб/с = сопзг она равна (М9 10.1)
и = боэ/б/с. (1О.7)
Это скорость перемещения амплитуды и, следовательно, энер-
гии в волне. Найдем связь между групповой (1О.7) и фазовой (1О.5)
скоростями
и = с1со/с1/с = ‹1(0/‹)/а7/‹ = о + Кда/д/с. (10.8)
Подставляя /с = 2п/Ж, получаем формулу Релея
и = о — Жди/ат. (10.9)
Зависимость фазовой скорости от длины волны называется
дисперсией.
Заметим, что понятие групповой скорости теряет смысл при
быстрой деформации профиля волны, а годится только для случая
не очень большой дисперсии.
Дисперсия называется нормальной, если
сия/ед > О и и < о (1О.1О)
и аномальной, если
а'11/с1)„<Оии>о. (10.11)
Вводя скорость света в вакууме с, когда а = ц = 1, для показате-
ля преломления получаем
п = с/о. (1О.12)
п, 259

Длина волны в среде
А. = 2тш/ш = 2тсс/(пш) = ЖО/п, (10.13)
где ж, — длина волны в вакууме.
Для групповой сйорости из (1О.9) получаем (Мг 10.2)
и = (с/п)[1 + (А/п)а'п/аГА] = 0[1 + (Ж/тдп/сйь]. (1О.14)
Из (1О.8) и (10.13) находим
и = 1/(с1/с/с1со) = 1/[с1(21т/7»)/а7ш] = 1/[а7(свп/с)/с1а›] =
= с/(п + шдп/дш) = с/(п + дат/до). (1О.15)
д Свойства среды определяют зави-
4} симость фазовой скорости света в ней
/Б(Ю от длины волны. На рис. 10.1 показана
А зависимость оОм) и касательная к ней
в некоторой точке при Х = м, которая
пересекает ось ординат в точке А. Пе-
репишем (1О.9) в виде а = и + (да/ат) ж.
11 > х Это уравнение прямой линии в коорди-
натах (о, 7»), которая пересекает ось ор-
динат при значении, равном групповой
скорости и (Не 10.3).
Покажем, что в среде с линейным законом дисперсии о = а + Ь?»
возмущение любой формы, непрерывно изменяясь, будет перио-
дически восстанавливаться. Так как любое возмущение можно
представить как сумму гармонических волн, можно ограничиться
синусоидами. При этом достаточно показать, что это выполняется
для трех гармонических волн. На рис. 10.2 изображены три волны
в момент, когда их максимумы находятся в точке А (для удобства
рисунка амплитуды взяты
С В Е А одинаковой величины).
В этот момент ближайшие
к точке А максимумы нахо-
дятся в точках Е, 1) и С.
Именно эти точки при
дальнейшем их движении
могут снова совпасть в не-
которой точке. Проверим
это. За время т точка
Рис. 10.1
13 Е пройдет путь з, = 0,1,
‘ ’ а точка 1), чтобы совпасть
Рис. 10-2 с точкой Е, должна пройти
260

путь, на ж; — ж, больший: 52 = о; = з, + 7»: — А, = 0,1 + ж, — м. Отку-
да т = (к, — хд/(о; — 0,) = 1/1). До встречи С и Епроходят з,‘ = 0,13
и з, = 036 = $‚' + ж, - Ж, = 0‚т' + Аз — М. Откуда т' = (ЖЪ- Жд/(о, — 0,) =
= 1/Ь = т. Таким образом, максимумы трех волн снова совпадут
(Не 10.4).
Вычислим групповую скорость и для различных законов дис-
персии (о — фазовая скорость):
1) о = а (а = сопзт) — недиспергируюшая среда, например зву-
ковыс волны в воздухе;
2) о = а (ж) — волны на поверхности воды, вызываемые силой
тяжести (гравитационные волны);
3) о = а/(МШ — капиллярные волны;
4) о = а/х — поперечные колебания стержня;
5) о = (с2 + ЁЖ)” - электромагнитные волны в ионосфере
(с — скорость света в вакууме; 7» — длина волны в среде);
6) а = ссо/(шдер — с2ос2)'/2 — электромагнитные волны в прямо-
линейном волноводе, заполненным диспергирующей средой с ди-
электрической проницаемостью в = е(‹л) и магнитной проницае-
мостью р = мод) (с — скорость света в вакууме; а — постоянная,
зависящая от размеров и формы поперечного сечения волновода)
(Мг 10.5). Используя (1О.8) и (1О.9)‚ получаем:
1) и = 0 = а;
2) и = о — (1/2)?„а/(7„)'/2 = а(7ь)'/2/2 = 0/2;
3) и 0/00” + (1/2)?»а/(7»)”’ = (3/2)а/(?»)"’ = (3/2)0;
4) и = а/Ж + Жа/ж’ = 20/7» = 212;
5) и = а — ЬЧЗ/д = с2/о;
6) из (1О.5) следует: д = ссо/(со2гр — с2оъ2)‘/2 = оэ/К. Отсюда с/с =
= (со2ар. — с2оъ2)‘/2. Дифференцируя по со и подставляя это выраже-
ние окончательно получаем: сс1/с/с1со = (0/с)[ед + (ш/2)‹1(ар)/с1ш].
В результате
и = дсо/д/с = (с2/0)/[гр. + (ш/2)с1(гр)/дш]. (1О.16)
В случае немагнитной среды (р. = 1) из (1О.16) находим, что со-
отношение
ш) = сг. (1о.17)
ВЫПОЛНЯСТСЯ при УСЛОВИИ
а + (со/2)с1е/с1со = 1.
261

Отсюда получаем а'е/(1 — е) = 2с1оо/со. Интегрируя это уравне-
ние, находим (е — 1)а›2 = А = сопзт и закон дисперсии: а = 1 + А/со2
(Не 10.6).
Так как групповая скорость, соответствующая передаче энер-
гии или сигнала, по специальной теории относительности (см. 1,
с. 165) не может превзойти скорость света, из (1О.17) следует, что
фазовая скорость может превосходить скорость света в вакууме
(Не 10.7).
Найдем групповую скорость и рентгеновского излучения в сре-
де, если предельный угол полного внутреннего отражения при па-
дении этих волн на среду из воздуха равен ос. Показатель прелом-
ления рентгеновских волн определяется выражением п2 = 1 —
— (903/(02, где соо —— постоянная величина (Не 10.8). Из условия сле-
дует, что показатель преломления меньше 1. Таким образом, п =
= 51пос/51п90°. Для фазовой скорости имеем
о = с/п = с/(1 — о)„2/о)2)'/2 = ю/К.
Отсюда с/с = ((02 — тог)”. Дифференцируя, находим
саУ/с = шдш/(о? — $02)“.
В результате и = аса/ат = с(‹о2 — со„2)'/2/‹о = сг/с/оэ = с2/о = сп =
= свйпоъ.
Майкельсон измерил скорость света в сероуглероде по методу
вращающегося зеркала. Показатель преломления сероуглерода для
средней длины волны видимого спектра п = 1,64, а величина" 1 +
+ (Ж/пшп/ад» = 0,93. Определим, какое следует ожидать значение
для отношения скорости света в вакууме к измеренной этим мето-
дом скорости света в сероуглероде (Мг 10.9). Метод вращающегося
зеркала связан с прерыванием гармонической волны, т. е. дает
групповую скорость. Из (1О.14) имеем
с/и = п/[1 + (Ж/п)а'п/а')ь] = 1,64/О,93 = 1,76.
На вход оптического световода подается периодическая после-
довательность коротких импульсов длительностью т = 0,1 нс с час-
тотой следования у = 1 Г Гц. Источником света является натриевая
лампа, в излучении которой выделяют две желтые линии с длина-
ми волн 7», = 589,0 нм и ж, = 589,6 нм. Определим, при какой ми-
нимальнои длине световода частота следования импульсов на вы-
ходе станет равной 2 ГГЦ. Дисперсия показателя преломления
стекла дп/сйь = —1033 смг‘. Затухание в стекле не учитываем
(Не 10.57). Ширина спектра короткого импульса, который считаем
262

прямоугольным в соответствии с (5.7), А] = 1/т = 10"’ Гц. Частот-
ный интервал между желтыми линиями натриевой лампы из (5.8)
АР = сАх/Ю = 5,210“ ГЦ, т. е. этот частотный интервал значитель-
но превосходит спектр импульса, и линии на таком интервале мо-
гут быть разрешены. Время распространения импульса по свето-
воду с учетом (1О.14)
1= Ь/и = Ь (п/с)/[1 + (х/пМп/сдь] в [‚(п/с) [1 — (ж/Щдп/дж].
Здесь использовано разложение по малой величине (ж/п)
дп/сд в 0,034 << 1.
Для изменения времени распространения в зависимости от
длин волн имеем
А1= 1, — 1, = —1‚ (АЖ/сШп/фь = 1/\г — 1/(2у) = 1/(2у).
Откуда Ь = —с/(2уА7ьс1п/с1ж) = 2‚42-1О5 см = 2,42 км.
Получим формулу для диэлектрической проницаемости е(‹о)
ионизованного газа в монохроматическом электрическом поле Е =
= Еосозсог. Столкновениями электронов и ионов пренебрегаем
(Мг 10.10). Рассмотрим среду в виде атомов разреженного газа,
в которых колебания электрона соответствуют гармоническому
осциллятору Вводя массу электрона т, заряд е и характеристику
упругой связи в атоме ‚С получаем для вынужденных под действи-
ем электрического поля отклонений (г) электрона от положения
равновесия (уравнение колебаний)
тг" + [г = еЕосозоп. (1О.18)
Здесь штрихи обозначают вторую производную по времени.
Вводя собственную частоту осциллятора (во = (/7т)'/2‚ можно
переписать уравнение колебаний
г" + 030% = (е/т)Е„со5со1. (1О.19)
Решение этого уравнения можно представить в виде решения
однородного уравнения (правая часть равна нулю) плюс частное
решение неоднородного. Решение однородного уравнения быстро
затухает. Поэтому для теории дисперсии имеет значение только
частное решение, которое ищем в виде
г = Асозшг, А = (е/т)Е„/(ш„2 - со’). (1020)
Атом в электрическом поле приобретает дипольный момент рп
Обозначив число атомов в единице объема М, для вектора поляри-
зации имеем
263

Р = Нег = Ж(е'/т)Е,сояи~/~и ' — и') = Ме'/т)Е/(и ' — и'). (10.21)
Используя связь электрической индукции с диэлектрической
проницаемостью и полем Л = яЕ = Е+ 4г~Р, получаем для показа-
теля преломления и диэлектрической проницаемости
и' = я = 1 + 4кЖ (е'/т)/(и„' — и').
(10.22)
Заметим, что для атомов или молекул с большим собственным
дипольным моментом (который проявляется в статике и опреде-
ляет я) и' < я, так как и определяется для электромагнитных волн,
имеющих большую частоту. При высоких частотах собственный
дипольный момент не успевает проявиться.
Формула (10.22) не применима при и = и,. Качественно экспе-
риментальная зависимость показана на рис. 10.3.
Для ренттеновскнх лучей (и » и,) и плазмы (и, = О) (М 10.10)
получаем из (10.22)
и' = я = 1 — 4нЖ(е'/т)/и' = 1 — и '/и' = 1 — ч '/ч ', (10.23)
где плазменная частота
и = (4шЖе'/т)'~' = 2кч,.
(10.24)
При и > и, получаем и < 1 и

гетические коэффициенты пропускания волн отличаются в 10 раз
для слоев плазмы, толщины которых различаются в два раза. Пре-
небрегая интенсивностью волн, отраженных от задней границы
каждого слоя, найдем толщины 11, и 112 (Мг 10.19). Из (10.27) следу-
ет 12/1, = ехр[—(4тсу/с)х(/12 — /1‚)]. Так как по условию И, = 212„ то
получаем И, = с1п1О/(4тсух). Используя (1О.23) и (1О.25)‚ находим
12,: 13,5 м, 11, в 27 м.
В ионосфере Земли (на высоте т 100 км), где концентрация
свободных электронов 1\/= 1О5см-3 и постоянное магнитное поле
В = 0,5 Гс, вдоль силовых линий магнитного поля могут распро-
страняться электромагнитные волны («свистящие атмосферики»)
с законом дисперсии вида: К? = 4п1\’есо/(сВ)‚ где К — волновое чис-
ло; е — заряд электрона; со — угловая частота; с — скорость света.
Найдем фазовую и групповую скорости таких волн, если со = 106 с-‘
(Не 10.44). Из условия с помощью (1О.5) получаем фазовую ско-
рость о = со//‹ = [сВсо/(4пА/е)]‘/2 = О,5-1О'° см/с = с/6. Из условия
со = /‹2сВ/(4тс1\’е) после дифференцирования и подстановки /с нахо-
дим и = 20 = 10"’ см/с = с/З.
Ионосфера представляет плазму; и прохождение через нее ра-
диоволн определяется (1О.23) и (1О.24). При частоте волны со > сор
волна проходит через ионосферу а при со < сор волна полностью от-
ражаегся в соответствии с (1О.26) (Не 10.13).
Если радиосигнал частоты у = (о/(2тс) отражается на опреде-
ленной высоте, то концентрация электронов в точке отражения
определяется (1О.24) (Мг 10.14)
П = тсту2/е2 = 1,24°1О'3у2.
Показатель преломления ионосферы для радиоволн частотой
у = 10 МГц равен п = 0,90. Найдем концентрацию А’ электронов
в ионосфере, а также фазовую о и групповую и скорости для этих
радиоволн (Не 10.18). Из (1О.23) Мг = (1 — п2)тсо2/(4ле2) а: О,24-1О4
см-3. Фазовая скорость с) = с/п а 3,3°1О‘° см/с (больше скорости
света в вакууме). Из (1О.17) получаем групповую скорость
и = с2/с2 = сп. (1О.28)
В результате и = 2,7-1О'° см/с (меньше скорости света в вакууме).
Плазма заполняет полупространство х > О, причем концентра-
шая электронов растет вглубь по закону 1\’(х) = р.х; р = сопзт. Пер-
пендикулярно границе х = О падает электромагнитный волновой
пакет со средней частотой со, уходит в плазму, отражается от зоны
критической плотности и через некоторое время т регистрируется
265

при х = О. Определим время т (М9 10.43). Глубину 1, на которую
уходит в плазму пакет, определяем из условия одр = со. Используя
(1О.23), находим 1 = оо2те/(4тсе1р). Для скорости распространения
пакета (групповая скорость) из (1О.28) получаем а/х/Щ = и = сп. От-
куда для времени
а’! = (1/с) с1х/(1 — х/1)'/’.
Интегрируя до предельной глубины 1, получаем время распро-
странения в одну сторону 21/с. В результате т = тсо2/(ртссе2).
Оценим диапазон длин волн, в котором можно обнаружить ис-
точник космического радиоизлучения, находящийся за Луной,
если угловой размер лунного диска ч; я: 104 рад. При этом сред-
нюю высоту неровностей лунной поверхности принимаем равной
12 в 100 м, а среднюю концентрацию электронов в ионосфере Зем-
ли А! а 106 см-3 (Не 10.59). Для прохождения волн через ионосферу
их частота, в соответствии с (1О.23), должна быть больше плазмен-
ной сор = (4п1\’е2/т)‘/1 в 5,6-1О7с-'. Значит максимальная длина вол-
ны м,“ = 2пс/сор и 35 м. Со стороны малых длин волн ограничение
связано с Дифракцией на поверхности Луны. Если неровности по-
верхности Луны равны ширине зоны Френеля на радиусе Луны, то
интенсивность волны в точке наблюдения будет близка к нулю. Из
(6.6) для плоской волны, идущей из космоса, радиус зоны Френе-
ля гм? а Ьтж. Дифференцируя это, имеем: 2г„‚с1г„‚ = Ыьдт. При дт = 1
имеем с1г„‚ = 11. Соответственно г‚„ = гл — радиус Луны и ч: = 2г„/Ь.
Откуда Жтт = ту 2 1 м.
На плоскую границу плазмы, занимающей полупространство,
под углом ‹р падает плоская электромагнитная волна длиной ж.
Концентрация электронов плазмы растет вглубь, при этом на по-
верхности она много меньше критической. Определим концентра-
Цию электронов М“, внутри плазмы, при которой наступает полное
отражение волны (Мг 10.56). Представим плазму в виде т слоев
с показателями преломления: п„ п‚, ..., п„‚. Последний слой «пред-
критический», далее — полное внутреннее отражение. Для каждо-
го слоя запишем закон преломления:
зйпф/вйпш, = п,/ 1, зйпцд/зйпху, = п,/п‚, ..., зйпшт/вйпхркр = пкр/пт.
Перемножая, получим
эйпср/вйпшкр = пкд где зйпч/‚Ф = 1.
Все это справедливо и при т —›оо. В результате, используя
(1О.23), находим
266

пд} = вйпдр = 1 — соз2‹р = 1 — со р2/ш2;
соз2ср = сед/юг = 4п1\’„ре2/(т,со2);
НЧ, = теш2соз2ф/(4ле2) = тел с2со5‹р/(7ь2е1).
Фотосфера Солнца представляет собой плазму, и прохождение
радиоволн через нее с учетом (1О.24) определяется условием для
длины волны (Мг 10.15)
Ж < (с/е)(т1г/1\’)'/2.
Получим выражение для фазовой скорости радиоволны в ионо-
сфере в зависимости от длины волны 7» в ионосфере (Мг 10.16).
Подставляя п = с/о и со = 2тгс/7ь в (1О.23)‚ находим 02 = с“ +
+ МеЧВ/(тст).
Лазер на СО, со средней длиной волны 7» = 10,6 мкм излучает
две близкие частоты у, и у, Излучение такого лазера смешивается
в нелинейном кристалле с излучением лазера на На (ж, = 1,06
мкм). Анализ излучения на комбинационных частотах (у, + у, и
у, + уз) показал, что соответствующие им длины волн отличаются
на б?» = 0,5 нм. Определим разность длин волн А?» = ж, — к, излуче-
ния лазера (Не 10.17). Разница длин волн
б?» = с/(у, + у‚) — с/(у, + у2) = с(у, — у,)/[(у, + у3)(у2 + у3)] = 5 А.
Используя это, ДЛЯ лазера получаем
Аж = ж, - ж, = с/у, - с/у, = с(у, - у‚)/(у‚у,) = 5 Ам + у,)›‹
х (у, + у,)/(у‚у,) = 5 Ан + у,/у‚)‹1 + у,/у,) в 5 А(11)2 =
= 6-10-6 см = 60 нм.
Для оценки интегральных и средних характеристик межзвезд-
ной плазмы можно использовать экспериментальный факт, уста-
новленный сразу же после открытия пульсаров. Оказалось, что
из-за дисперсии плазмы импульсы радиоизлучения пульсаров на
более низких частотах всегда запаздывают по отношению к им-
пульсам более высоких частот. Рассмотрим следующий идеализи-
рованный пример. Два монохроматических сигнала с длинами
волн А, = 3 см и ж, = 5 см распространяются в плазме. Определим
полное число М, свободных электронов на пути сигналов (т. е. их
число в цилиндре площадью 1 см2 и высотой, равной расстоянию
от источника до приемника), если испушенные одновременно
сигналы запаздывают друг относительно друга на время А1= 10-5 с.
Концентрация электронов хотя и не постоянна вдоль пути сигна-
лов, но показатель преломления везде весьма близок к единице.
267

Определим также среднюю концентрацию А’ свободных электро-
нов на пути сигналов, если их относительное запаздывание Аг/го =
= 10-‘5 (10 — время распространения сигнала от источника до при-
емника) (Мг 10.20). Используя (10.26) и (1О.23) и, что п близко к 1,
для времени распространения волны имеем
(11 = фс/и = (1/с)а1х/(1 — сор2/ш2) н (1/с)фс[1 + (1/2)со„2/ш2].
Используя (1О.23), вводя полное число электронов на всем
пути М, и интегрируя время распространения, получаем
г= г, + 4ке2/(2стш=)] пода: = ж, + е2Х21\/„/(2тстс3).
Для разности времен распространения имеем
А1= иди; - Ж,2)/(2тстс3);
м, = мтсзш/[аоу - жал в 4-10”,
откуда 1\’= 1\’„/(с:„) = 2птс2А1/[е2(7„2? — >„‚2)т„] = 1‚4-10-3 1/см3.
импульсное излучение пульсара СР 1919 + 21 на частоте у = 80
МГц достигает Земли на А1= 7 с позже, чем соответствующий им-
пульс на частоте у = 2000 МГц. Оценим расстояние Ь до пульсара,
если принять среднюю концентрацию электронов в межзвездном
пространстве равной А’: 0,05 см-3 (Мг 10.21). Из (10.28) и (1О.23)
получаем
и = с(1 — сор2/ш2)'/2. (10.29)
Для показателя преломления, близком к 1, находим
и н с[1 - 1\’е2/(21тт\›3)]. (10.30)
ДЛЯ РЗЗНИЦЫ времен прихода ИМПУЛЬСОВ ПОЛУЧЗСМ
А! = Ь(1/и, — 1/и2) = [‚(и2 — и‚)/(и,и2) в
в Ь1\’е2(1/у,2 — 1/у22)/(2т:тс) а ЬПе1/(2птуЗ).
Отсюда Ь = 2псту3А1/(А/е2) н 6,67-102° см и 700 св. лет.
Измерение скорости ракеты при вертикальном взлете прово-
дится импульсным радиолокатором, расположенным в точке стар-
та. На экране локатора по оси времени фиксируются моменты по-
сылки двух последовательных радиоимпульсов и их приема после
отражения от ракеты. Поскольку скорость распространения ра-
диоволн в ионосфере точно не известна, возникает погрешность
в определении скорости ракеты. Найдем относительную погреш-
ность в определении скорости (Ад/о) ракеты, принимая макси-
мальную концентрацию электронов в ионосфере равной
268

1У= 106 смт’, а рабочую частоту радиолокатора у = 400 МГц
(Не 10.22). Используя (10.30) и обозначая время распространения
сигнала 1 и разность между результатами двух измерений Ах, нахо-
дим
Ао/о = А1/1‘= (с — и)/с = 1\’е2/(2п`ту2). (1О.31)
В результате эта величина равна 2‚5-10-4.
В целях проверки теории относительности предполагается
с помощью радиоволн точно измерить параметры орбиты искусст-
венного спутника Земли. Однако из-за преломления радиоволн
в ионосфере, где средняя концентрация электронов 1\/= 105 см-З,
возникают ошибки измерений. Оценим минимальную частоту
уж, на которой следует проводить такие наблюдения (Не 10.23).
В релятивистское определение импульса, энергии, изменения
хода времени и сокращения размеров входит поправка к единице
порядка (аи/с)? (см. 1, с. 179). Для параметров орбиты с учетом
(1О.31)
АК/К т (0/с)2/ 1 т Аг/г ^* Аи/и Н 1\’е2/(2тсту2).
Отсюда у,“ я е(с/0)(1\’)'/2/(2пт)‘д я 0,810" Гц.
Определим число свободных электронов на атом Аз, если
пленка серебра прозрачна для ультрафиолета, начиная с энергии
Е = 5 эВ. Для серебра относительная атомная масса А = 108, плот-
ность р = 10,5 г/см’ (Мг 10.24). Используя постоянную Планка
й, получаем для частоты ультрафиолета со = Е/й = 5-1,6-10-‘2
(1‚054-10-27) а 8-1015 1/с. Граница прозрачности определяется из
(1О.23) при п = 0, откуда
А’ = тш2/(4пе2) = 2-1022 см-3.
Число атомов серебра в единице объема
ПА, = рМА/А, (1О.32)
где ПА — число Авогадро (см. 2, с. 9). Получаем М“ = 6-10” см-3,
т. е. один электрон на три атома серебра.
Параллельный пучок рентгеновского излучения длины волны
7» = 0,1 нм падает на тонкую двояковыпуклую линзу из бериллия
(плотность бериллия р = 1,85 г/см’, порядковый номер 2 = 4, от-
носительная атомная масса А = 9) с поверхностями одинаковых
радиусов кривизны К = 40 см. Диаметр линзы считать равным В =
= 9 см. Найдем угол расхождения (р пучка после линзы (Мг 10.25).
В соответствии с (1О.23) показатель преломления среды п меньше
269

единицы, и ее можно считать облаком электронов по 2 на каждый
атом. Используя (1 . 15), находим для фокусного расстояния линзы
1/1г= (п - 1)(1/к, - 1/к,) = (п - 1)2/к. (1033)
Для фокусного расстояния получаем отрицательную величину
Таким образом, линза является рассеивающей.
Угол расхождения пучка
Ф ш р/г= 21) (п — 1)/к.
Используя (1О.23) и (1О.32)‚ соответствующую бериллию, нахо-
дим
(р н В2р1ЧАе2Ж2/(КлАтес2) в 104 рад.
Дифракционная расходимость Аср н МВ я 10-9рад << (р.
Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на
плоско-вогнутую линзу из графита (плотность графита р =
= 2,25 г/см3, порядковый номер 2 = 6, относительная атомная
масса А = 12). Предполагая, что для рентгеновского излучения все
электроны вещества можно считать свободными, оценим попе-
речный размер дифракционного пятна в фокусе линзы г‚для излу-
чения с длиной волны А = 2 нм. Радиус вогнутой поверхности
линзы К = 60 см, диаметр В = 5 см (Мг 10.58). Для концентрации
электронов, подобно (10.32), имеем 1\’= 2А/„р/А = 6,810” см-3.
В соответствии с (1О.23) показатель преломления графита для
рентгеновского излучения
п = п - 4п1\’е3/(тсо2)]‘/2.
Подставив о) = 2пс/ж, получим п я 0,88.
Используя (1О.33), находим 17= К/(п — 1) = 500 см.
Из (7.17) размер дифракционного пятна г, в шт) а 200 нм.
На экран из ЗВе (плотность р = 1,85 г/см3) падает плоская
волна Ж = 100 А (от рентгеновского лазера). В экране имеется круг-
лое отверстие диаметром а! = 2‚45°10-2 см. Расстояние до точки
Р наблюдения Ь = 1 м. Определим толщину экрана 12, когда интен-
сивность в точке Рмаксимальна (поглощением и отражением пре-
небрегаем). Определим также величину максимальной интенсив-
ности. (Для рентгеновского излучения электроны бериллия мож-
но считать свободными). (Не 10.26). Для дифракции Френеля на
отверстии для точки Р число зон Френеля тф определяем с помо-
щью (6.6)
тф = сР/(4ЖЬ) = 3/2.
270

На рис. 10.4 приведена векторная
диаграмма: А„, = А,Г2; А — ампли-
туда всех зон, находящихся в берил-
лие. Для получения максимальной
интенсивности в точке наблюдения
необходимо вектор, описывающий
б

Рис. 10.6
(рис. 10.6). Оценим угол схождения лучей ф в фокусе параболоида
для рентгеновского излучения с энергией 2 кэВ, если зеркало из-
готовлено из бериллия (плотность р = 1,85 г/см3‚ порядковый но-
мер 2 = 4, относительная атомная масса А = 9) (Мг 10.28). Так как
энергия рентгеновского излучения (Е = 2кэВ) превышает энергию
связи электронов, то все (их четыре) электроны можно считать
«свободными». Их концентрация 1\’= 21УАр/А в 4,910” см-3. Ис-
пользуя связь Е = 1111 = Ис/Ж = Но), по табличным значениям полу-
чаем: ?» = 6 А. Из (1О.23) следует:
п ю 1 — 2п1\’е1/(тсо2) = 1 — ПгКЛЖ2/(2тс),
где так называемый классический радиус электрона
гкл = е2/(тс2) = 2,8'1О-‘3 см.
Используя рис. 10.6, получаем (р 2: 40:. Из условия полного
внутреннего отражения п = 5111 (тс/2 — а) = сова = со$(‹р/4) н 1 —
— ср2/32. Таким образом, ‹р2/32 в М2гЫ/(2п), откуда (р = 4?ь(1\/г„/тс)'д и
2 5°1О‘2 рад.
Рентгеновское излучение падает на поверхность железной пла-
стины (плотность железа р =7,8 г/см3, порядковый номер 2 = 26,
относительная атомная масса А = 56). Предполагая, что для доста-
точно жесткого излучения все электроны вешества можно считать
свободными, определим, на сколько отличается от единицы пока-
затель преломления железа для рентгеновского излучения с дли-
ной волны в вакуумеаж = 8,610‘? нм. Найдем угол скольжения
В при полном °{‹внеш'нем» отражении излучения от поверхности
железной пластины (М91О.29). Концентрация электронов 1\’=
= ЗМАр/А а 2,210” см-д’. Используя (1О.23) и (о = 2тсс/7м, находим
272

1 — п = 7‚2°1О-°. Из условия полного отражения п = 51110: = созв я
я 1 — [32/2. Откуда [З а: 3‚8-1О-3 рад.
Оценим мощность А’, при которой лазерный луч диаметром
а! = 1 мм вызывает электрический пробой газа. Свободный пробег
электронов в газе при условиях опыта равен 1,“, ‚= 10-4 см, потен-
циал ионизации газа Н = 10 В, длина волны излучения Ж а 5-10-5
см (Не 10.30). В лазерном луче/плотность потока энергии описыва-
ется модулем вектора Пойнтинга (2.1)
|5| = М/(паР/4) = с<Е7>/(41т) = сЕо2/(8л), (1О.34)
где Ед — амплитуда гармонически меняющейся напряженности
электрического поля. Под действием этого поля происходит дви-
жение электронов, которые можно считать свободными, и описы-
вать их движение уравнением тх"= —еЕ„со$‹о1‚ где штрихами обо-
значена вторая производная смещения по времени. Интегрируя,
находим скорость электрона 0 = —(е/т)(Е„/оэ51пшг. Максимальная
кинетическая энергия электрона
т02/2 = (т/2)(е/т)’(Е„/со)2 = еН.
Отсюда Е} = 2Птсо/е. Используя (1О.34) и связь со = 21: с/ж, на-
ходим
1\’= садЕд2/32 = сШПтш2/(16 е) в 1‚7°1О‘9 эрг/с а 1,710‘? Вт.
Волоконный световод представляет собой стеклянный ци-
линдр (сердцевину) с показателем преломления п,‚ окруженный
оболочкой с показателем преломления п, (рис. 10.7). В сердцевину
с помощью короткофокусной линзы вводится импульс света от
лазера длительностью т = 5-10“? с. Оценим длину импульса света
на выходе световода длиной Ь = 100 м. При оценке примем во
внимание, что диаметр сердцевины д много больше длины волны
света А. Групповая скорость света в стекле и = 2-103 м/с и п, =
= 1,О2п, (Не 10.31). Так как а! >> ж, можно воспользоваться пред-
ставлениями геометрической оптики.
По волноводу будут распространяться
лучи, которые не выходят за угол пол-
ного внутреннего отражения а, кото-
рый определяется соотношением
вйпоъ = п,/п‚. Путь максимально на-
клонной части пучка 5 = Ь/зйпоъ =
= Ьп,/п2. Удлинение пути Аз =
= 1‚(п‚/п2 — 1). Время этой добавки
Рис. 10.7
13 1647 273

в длительности импульса получаем, разделив удлинение на груп-
повую скорость. Таким образом, максимальная длина импульса
тж = т + 1„(п,/п2 — 1)/и в 10-3 с.
«Рентгеновод» представляет собой полый капилляр, стенки ко-
торого выполнены из твердого вещества ($102). Захват рентгенов-
ского кванта в «рентгеновод» происходит за счет полного «внут-
реннего» отражения. Оценим, какими должны быть внутренний
диаметр капилляра В и радиус изгиба «рентгеновода» К, чтобы он
был пригоден для транспортировки рентгеновских лучей с энерги-
ей Е = 10 кэВ (Не 10.33). Для рентгеновского излучения в соответ-
ствии с (10.23) показатель преломления в веществе меньше едини-
цы. Как и в предыдущей задаче, угол полного внутреннего отраже-
ния а определяется соотношением это: = п = (1 — шр2/оэ2)‘д. Вводя
угол скольжения 9 = п/2 — а, получаем 31:19,“, в От, = (пр/со =
= 1‚2-10-3. Используя (10.23), находим А’ т 1023 см-3. Чтобы отраже-
нию не мешали дифракционные эффекты, должно быть ш) >>
>> Этах, т. е. В >> МОМ в 10-5 см. Для оценки радиуса изгиба
«рентгеновода» воспользуемся тем, что угол изгиба В, на расстоя-
нии 5 который равен В = з/К, должен быть много меньше угла
скольжения 9 = 0/5, т. е. з/К << 0/3. Отсюда К >> 53/13 = 0/93 в
в 7 см.
Найдем показатель преломления п газа и его градиент по высо-
те на поверхности Венеры, атмосфера которой состоит из углеки-
слого газа СО, с поляризуемостью молекул а = 2‚7-1О-2‘ см3. Давле-
ние на Венере р = 100 атм, температура 1= 500 °С. Найдем также
радиус кривизны гсветового луча, пущенного горизонтально. Вы-
ясним, к каким особенностям атмосферной оптики планеты при-
водит найденное значение. Ускорение свободного падения на Ве-
нере да = 0,843, Учтем, что радиус г кривизны горизонтального
луча определяется соотношением 1/г = (1 /п)с1п/ат (Не 10.34). В со-
ответствии с (1О.21), (1О.22) и определением поляризуемости
(см. 3, с. 64) на одну молекулу и на единицу объема получаем
п = (1 + 4тсоъ1\’)'/2. (1О.35)
Распределение концентраций молекул по высоте описывается
распределением Больцмана (2, с. 189)
1701) = „оехр[’т3в‚7/ (К Т>1‚ (1О.36)
где М, = р„/(/‹Т) — концентрация молекул при 1: = О; р — давление
на поверхности; /‹ — постоянная Больцмана; Т — температура.
Подставляя (1О.36) в (1О.35) и разлагая по малому параметру
находим
274

п ={1 + 4тг01[Ро/(/<7`)1еХр[8в’1/(/<7`)1}‘” =
я 1 + 2тсос[р0/(/‹Т)][1 - двь/(кпъ (1О.37)
На рис. 10.8 показано распространение лучей с
на высотах, отличающихся на ат. Поворот на угол гЁ;
В выражаем следующим образом: В = (с/п)/г =; ф '
= [с/(п — с1п) — с/п]/с1/1. Откуда, учитывая, что 4. ' В
п близко `к 1, следует: Т с `
п
г = п/(с1п/с1/1) в —(/‹Т)2/(2тсоър„т3„). (1О.38)
Подставляя заданные величины, получаем
г: —1ОО км. Так как г < О, центр кривизны распола-
гается при И < О, т. е. горизонтальные и близкие В
к ним лучи не могут выйти за пределы атмосферы
Венеры (И < гв). Таким образом, в атмосфере Вене-
ры возможна круговая рефракция, при которой луч
света огибает планету на некоторой высоте.
Обозначив показатель преломления на поверх- Р“ 10-8
ности планеты по, из (1О.37) получаем
п — 1 = (по - 1)ехр[—т31г/(/‹Т›1 = (до - 1)[1 - тЗЙ/(КТЛ- (1039)
Это соотношение справедливо при тд/г/(КТ) << 1. Принимая
во внимание, что (п — 1) << 1, находим с помощью (1О.38)
г = —/сТ/[(п„ — 1)т3].
Для Земли по = 1‚ООО3 (Мг 10.35) и получаем для круговой реф-
ракции г а —2,9'104 км. Так как радиус Земли равен 6‚4-1О3 км
и пО — 1^-р„‚ для для круговой рефракции давление (и плотность)
в атмосфере Земли должны быть увеличены в 4,5 раза.
Световой луч распространяется в поле тяжести параллельно
поверхности Земли. Пренебрегая движением воздуха, определим
величину отклонения луча на пути 1 км. Считаем давление р = 1
атм, температуру воздуха Т = 300 К, коэффициент преломления
воздуха при этих условиях п = 1‚ООО3 (Мг 10.36). Обозначая гори-
зонтальную координату луча х, и опускание 2, выразим их связь
с радиусом кривизны траектории г? = х’ + (г — 2) 2. Учитывая ма-
лость г, находим 2 в х2/(2г). Используя (1О.38) и (1О.39), получаем
2 = -(х’/2)(1/п)(п - Нтг/(КТ) = (Аллонж/око = 1‚8 СМ-
Для одновременной передачи множества сигналов используется
геостационарный спутник Земли в качестве ретранслятора. Оце-
ним, сколько телефонных каналов с шириной полосы А] = 3 кГц
275
18‘

можно одновременно передавать по такой линии связи на средней
частоте 10 ГГц. Средняя концентрация свободных электронов на
пути сигналов 1\/= 105 см-3. Влияние ионов можно не учитывать
(Не 10.32). Геостационарный спутник движется по окружности
в плоскости экватора с периодом, равным периоду обращения
Земли (см. 1, с. 145) Т= 2тс/со. Обозначив ускорение свободного.
падения на поверхности Земли 3 и радиус Земли КЗ, получим для
радиуса орбиты К уравнение оэ1К = 3 (К3/К)2. Расстояние от по-
верхности Земли до спутника
Ь = К3[3/(‹о2К3)]‘/3 — К, = 36 ООО км.
Сигнал, двигаясь с групповой скоростью (1О.15) и = с/(п +
+ удп/ду), где п — показатель преломления среды (1О.23), прохо-
дит расстояние 21, за время
т н2Ь/с = (2Ь/с)(п + у дп/ду).
Возможный диапазон частот Ау приводит к диапазону
Ат н (2Ь/с)(с1п/а7у)Ау.
Этот диапазон связан с шириной спектра Ау соотношением
неопределенностей АуАт я 1. Используя это, находим
(Ау)2 = с/(2Ьс1п/с1у) = су3/(2Ьур2),
Ау = [су3тсте/(2Ь1Че2Г/2 в 6103 Гц.
Разделив эту полосу на ширину полосы телефонного канала,
получим
п н Ау/А/ в 2105 каналов.
На плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны К = 100 см па-
дает плоская монохроматическая волна, частота которой возраста-
ет со временем по закону со = оэ„(1 + аг), (о) — (од/Фе << 1, 7» = 1
мкм. Определим константу а, если фокус перемещается со скоро-
стью о = 3 км/с. Показатель преломления линзы п = 1,5. Диспер-
сия линзы а/п/ай = —1О3 см-‘ (Не 10.37). Из (1.15) получаем Р =
= К/(п — 1). Используя (1О.13) п?» = 2тсс/со, имеем
Хдп/сд + п = —(2тсс/оэ2)с1‹о/а0ь.
По условию жал/щ = —1О-4'1О3 = —0,1 << 1,5, поэтому
004210) = —2тсс/(п(о2).
276

Для скорости движения фокуса получаем
0 = дР/сй = —[К/(п — 1)2]с1п/‹1!;
дп/а’! = (дп/ЫА)(сТ)ь/с1со)(с1(о/а7!);
доз/а’: = сода.
Так как а! = (со — изд/со‘, << 1, то
а = 0(п — 1)2па)„2(1 + а1)/[К(а7п/с1)ь)2пс‹о„] я
н 0(п — Шп/(Юодп/ай) = —1,12-104 1/с.
Показатель преломления некоторой прозрачной среды вблизи
частоты <ш> изменяется по закону: п(со) = по — А/(ш — сад), где пО =
= 1,5, (по = 4°1О‘4 с-', А = сопзт, со < (од. Через слой такого вещества
толщиной 1 = 3 см проходит короткий световой импульс, средняя
частота которого равна <о›>, а спектральная ширина Асо << |<со> —
— со„|. Известно, что |<со> — соо| а 10‘? с-', и |п(<со>) — по| = 0,01. ОЦе-ч
ним время прохождения импульса через слой и сравним это время
со временем прохождения такого же расстояния в вакууме
(Не 10.39). Используя (1О.15), для групповой скорости импульса
получаем
и = с/(п + содп/дсо) = с/[пО — А/(со — (од) + Аю/(со — ШОУ].
Время прохождения импульса
т = (1/С)[По - А/(Ф - Фе) + АФ/(Ф - Шоу]
о) = <а)>'
Из условия следует, что <ш> н (во = 4-10” г‘ и А = 1О‘°с-'. Ис-
пользуя это, получаем: т = (1/с) [п„ + А‹о„/(<со> — со„)1] = 5,5 1„ с, где
т = 1/с = 10-‘0 с — время прохождения расстояния 1 в вакууме.
Можно рассмотреть другую зависимость: п(со) = пд — А(оо — 030)
(Мг 10.40). Действуя аналогичным способом, находим
т = (1/с){по + [п(со) - по1Ф/(|<Ф> - Фе!) = 1,2 нс.
Для того чтобы короткий импульс-сигнал, описываемый
функцией 10), передать через диспергируюшую среду без искаже-
ний, предлагается на входе в среду сформировать плоское волно-
вое возмущение, периодически (с периодом Т) повторяя ситал 10).
Найдем, при каком минимальном расстоянии от входной плоско-
сти повторяется неискаженная форма сигнала. Закон дисперсии
среды в полосе частот, охватываемых сигналом, имеет вид /с(со) =
= Воог (Не 10.41). Периодически повторяющийся сигнал на входе
277

в среду [(1) можно записать в виде 2 /(1—пТ). Любую периодиче-
п=0
скую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Вводя (во =
= 2тс/72 получаем представление
Ё 1‘ (1 — п Т) =Ё Ст ехр(1тш 01).
п=0 т=1
СООТВСТСТВСННО ВОЛНОВОС ВОЗМУЩЕНИЕ, распространяющееся
В среде,
. 50, г) = Ё Ст ехр{1[тсо„1— /‹(тш„ )2]}.
т=1
Здесь /‹(тоэ„) обозначает зависимость /‹ от (тсод).
Разность фаз гармоник с тсоо и то равна
А‹р‚„ = [/‹(тсо0) — /‹((о„)]2 = В(т2 — 1)о)„22. (1О.4О)
Минимальная разность фаз между второй (т = 2) и основной
(т = 1) гармониками бф = 380)}: для совпадения волн должна
быть кратна 21:, т. е. 3Всо„22 = 2тсп‚ откуда 2 = 21гп/(3Всо02). Подста-
вим это в (1О.4О)
Асрт = (2/3)т:(т2 — 1)п.
Эта разность фаз будет кратна 21: для всех т при п, кратных 3.
При минимальном п = 3 из (1О.4О) получаем г,“ = 2тс/(Во›„2) =
= Т/(2лВ).
Аналогичным образом можно рассмотреть среду с законом
дисперсии /‹(ш) = Все‘ (Не 10.42). Вместо (1О.4О) имеем Асрт =
= В(т4 — 1)‹о„42. Для совпадения второй и первой гармоник полу-
чаем Асрт = 15Всо„42: = 2тсп. Минимальное значение п = 15. При за-
данном 2 = Ь находим (ватт = [21т/(ВЬ)]‘/4.
Специальная теория относительности была рассмотрена в ме-
ханике (см. 1, с. 165). Эффект Доплера состоит в том, что частота
о) сигнала, излучаемого источником в неподвижной системе,
в приемнике, удаляющемся со скоростью о, равна
030 = ю[(1 — 0/с)/(1 + д/с)]‘/2. (1О.41)
где с — скорость света.
Такая же формула получается для удаляющегося источника
и неподвижного приемника. В этом случае в формуле (1О.41) надо
278

у о) поменять индексы (со, будет соответствовать частоте на уда-
ляющемся источнике, а со — частоте, принимаемой на неподвиж-
ном приемнике). Для вывода считаем, что приемник расположен
в неподвижной системе отсчета К, а источник имеет частоту у,
в движущейся со скоростью 0 системе отсчета К‘. В системе К ис-
точник в момент 1, находится в точке х„ а в момент 12 — в точке х2.
Полагаем длительность сигнала в системе К (по часам К) т = 12 — 1,.
Для координат имеем
х2 = х, + от/с. (10.42)
Действие на приемник начинается в момент 9, и заканчивается
в 92
9, = 2‘, + а/с, 62 = 12 + (а + т)/с, (1О.43)
где а — расстояние от источника до приемника.
Длительность воздействия на приемник
6 = 92 — 9, = т(1 + д/с). (1О.44)
Учитывая, что в движущейся системе то = т (1 — 123/02)“, и что
число колебаний А’ в обеих системах одинаково, получаем
А’ = уот, = ус(1 - о’/с2)'/2. (1О.45)
Для частоты в приемнике находим
у = П/Э = у„[(1 — 0/с)/(1 + 0/с)]'д. (1О.46)
В случае, если скорость источника направлена под углом (р к
направлению на приемник в (1О.43) и (1О.44) добавляется созф:
О = т(1 + осовф/с).
Подставляя это и (1О.45) в (1О.46), получаем
у = П/Э = у, (1 — 02/с2)‘/2/[(1 + (0/с)со3‹р]. (1О.47)
Если ч; — угол между направлением наблюдения и направле-
нием скорости, измеренной в системе координат, связанной с ис-
ТОЧНИКОМ, ТО УГОЛ ‹р измерен В СИСТСМС координат, СВЯЗЗННОЙ
С ПРИСМНИКОМ. УГЛЫ СВЯЗЗНЫ СООТНОШСНИСМ
соз‹р = (созч/ — о/с)[1 — (о/с)со$ч1]. (1О.48)
Подставляя в (1О.47), находим
у = у, [(1 — (0/с)со8‹р]/(1 — 03/02)”. (1О.49)
279

х Если источник движется со скоро-
стью а в среде с показателем преломле-
д> ния п (Мг 10.47), то из (1О.49) находим
9 АЖ/Ж = (о/с)псо$‹р.
Из точки А (рис. 10.9) на спутник, ле-
тящий со скоростью г), падает лазерный
луч с частотой го. Отраженный луч реги-
А В стрируется в точке В. Найдем частоту
и принимаемого на Земле сигнала. Оце-
ним разрешающую способность К реги-
стрирующего спектрального прибора,
необходимую для обнаружения релятивистской поправки к сме-
шению частоты (Мг 10.45). Перейдем в систему отсчета, связанную
со спутником. В соответствии с (1О.47) частота сигнала на спутни-
ке будет
Рис. 10.9
исп = У0(1 — В2)‘/3/(1 + Всозоъ),
где введено обозначение В = о/с.
Такую же частоту в системе, связанной со спутником, будет
иметь отраженный сигнал. Используя (1О.47) и учитывая, что
спутник движется в направлении точки В, получаем
у = Усп(1 - [гуд/п - ввозе) =
= и0(1 — В2)/[(1 + Всо$оъ)(1 — 80039]. (1О.5О)
Считая, что угол падения равен углу отражения, получаем для
релятивистской поправки
(и — \›„)/\›0 = (Ау/уд) ред я [32 = и2/с2 в 1О'9.
Отсюда следует, что разрешающая способность К спектрально-
го прибора должна быть К 2 (у/Ахдш в 109.
Излучение рубинового лазера рассеивается на звуковых коле-
баниях в воде. При рассеянии света происходит доплеровское сме-
щение частоты. Оценим число штрихов А’ дифракционной решет-
ки, с помощью которой в 1-м дифракционном порядке можно об-
наружить смещение частоты в свете, рассеянном под прямым
углом. Скорость звука в воде о = 1400 м/с, показатель преломле-
ния п = 1,3. Считаем, что в воде есть звуковые волны всевозмож-
ных направлений (Не 10.48). На рис. 10.10 показана система звуко-
вых волн, от которых в случае выполнения условия Брега-Вуль-
фа, заключающегося в том, что световые волны (длины же),
отраженные от разных звуковых волн (длины мВ), должны быть
в фазе, что обеспечивает соответствующий угол 27„„со5(у/2) = ткс.
280

Рис. 10.10
Доплеровское изменение частоты определяется (с учетом направ-
ления отраженной волны) по формуле
(уо — у)/\›„ = Ау/у‘, = 2У/(с/п)со$(у/2).
В соответствии с (8.2О) условие разрешения
К = тА’ 2 у/Ау.
Отсюда при т = 1 получаем А’: 1,2-105.
Спектральные линии, излучаемые нагретым газом, оказывают-
ся уширенными вследствие того, что атомы газа движутся с разны-
ми скоростями относительно наблюдателя (эффект Доплера).
Считая распределение скоростей атомов газа максвелловским,
оценим размеры Ь дифракционной решетки с периодом с! = 1
мкм, которую надо использовать для изучения формы спектраль-
ных линий, излучаемых неоном “Не при температуре Т =
= 1000 К (М) 10.50, 10.46). В соответствии с (10.46) имеем:
Ау/у = АН?» = (Х — 7ь0)?ь„ = о/с. (10.51)
Распределение Максвелла для компоненты скорости молеку-
лярного движения представимо (см. 2, с. 158)
а'п(0х) = Аехр[—т0х2/ (2/сТ)]с10х. (1О.52)
Используя (10.51), связываем отклонения А от Хо (АО — длина
волны, соответствующая неподвижному атому).
Спектральное распределение
10» — Драй» = оъс1п(0„) = осАехр[—тс2(7ь — 7ь„)2/(2/сП„2)](с/7ь)‹1)ь =
= Вехр[1 — тс2(?ь — Ж0)2/(2/с7?ь„2)]‹171.
Полуширину этой спектральной линии определим из условия
10». — М) = (1/2)1(0)-
Отсюда для ширины линии 2(?„„ — ко) можно получить
281

2(7м„ — 3.0) = 2(7ь„/с)(2/сТ1п2/т)‘д. (1О.53)
Спектральный прибор должен обладать разрешающей способ-
ностью
К 2 (Ж/2)/(?„„ — Ко) = (с/2)/(2/‹71п2/т)'/2 я 105.
При работе в первом порядке
К = 1\’= Ь/с1.
где Ь — размер дифракционной решетки.
Таким образом,
Ь=Кс1210см.
Оценим температуру водородной лампы, используемой в качест-
ве источника света в интерферометре Майкельсона, если при сме-
щении одного из зеркал число наблюдаемых интерференционных
максимумов составляет 1\’= 7-104. Первоначально зеркала интерфе-
рометра были расположены на одинаковых расстояниях от дели-
тельной пластинки. Влиянием протяженности источника пренеб-
регаем (Мг 10.55). Число полос связано с длиной когерентности
(5.6): Ь = Ю/Аж. Для числа максимумов имеем: 1\/= Ь/Ж = МАХ. Ис-
пользуя ( 10.53), получаем АН?» = (2/с)(2/с71п2/т)‘д. Учитывая, что
К/т = К/ц (см. 1, с. 8), находим Т = рд/(8КМ1п2) а 400 К.
Двойная звезда состоит из двух близких по массе звезд, вра-
щающихся относительно общего центра с периодом т = 10 сут
и отстоящих друг от друга на расстояние Ь = 2-107 км. Определим,
какое число штрихов А! дифракционной решетки необходимо для
того, чтобы при наблюдении видимого спектра водорода в излуче-
ниях этих звезд можно было во 2-м порядке заметить вращение
системы. Выясним, можно ли таким образом заметить относи-
тельное вращение таких звезд, если период т = 10 лет. Температура
поверхности звезд Т= 6000 К (Не 10.51). Для среднеквадратичной
скорости теплового движения молекул водорода (см. 2, с. 160)
имеем: о, == (КТ/рУд Ч 5°105 см/с, где К = 8,3°107 эрг/(Кмоль) —
газовая постоянная; р = 2 г/моль — молекулярная масса водорода.
Скорость молекул, связанная с вращением,
д, = пЬ/т = 7,2-10° см/с.
В соответствии с (10.51) и (8.20)
К = тА/ 2 Х/АЖ я: с/(20). (1О.54)
282

Здесь число 2 указывает на то, что на краях вращение проходит
в противоположные стороны. При наблюдении т = 2 получаем
А! 2 103. Припериоде вращения 10 лет скорость вращения умень-
шается в 365 раз. В соответствии с (1О.53) расщепление за счет
вращения значительно меньше ширины линииЁ Установить вра-
Щение невозможно.
Наблюдаются периодические изменения в спектре излучения
двойной звезды, которые обусловлены эффектом Доплера. Спек-
тральные линии периодически с периодом т = 10 сут разделяются
на две компоненты. Максимальная разница длин волн двух ком-
понент линии водорода 7» = 4340 А в излучении этой звезды равна
А?» = 8,84 А. Предполагая, что двойная звезда состоит из двух оди-
наковых звезд, найдем их массы и расстояние между ними
(Не 10.52). Используя результаты предыдущей задачи, из (1О.54)
находим линейную скорость вращения а н (с/2)(А?„/Ж) = 3-107 см/с.
Расстояние между звездами Ь = 211 = 2оТ/п = 1,610” см. Масса
одной из звезд М = 402 К/у = 4,310” кл; где у — гравитационная по-
стоянная.
Оценим порядок скорости о, с которой должен удаляться от
Солнца космический корабль, чтобы находящийся в нем космо-
навт, имея в распоряжении спектрометр с дифракционной решет-
кой, мог заметить движение корабля относительно Солнца при
наблюдении видимой части спектра солнечного водорода во 2-м
порядке. Найдем, какое число штрихов А’ должна иметь при этом
дифракционная решетка. Температура поверхности Солнца Т =
= 6000 К (М: 10.53). Линии спектра имеют размазку за счет тепло-
вого движения атомов водорода — доплеровское уширение. По-
этому скорость движения корабля может быть зарегистрирована
только, если она превосходит скорость движения атомов водорода
на поверхности Солнца
о > (КТ/тв) = [3-1,38-10-'6 -6-103/(1,67-1О-24)] = 1,2-1о6 см/с.
Из (1О.51) Ау/у = м/ж = (А — ком, = о/с. Разрешающая спо-
собность К = х/зж = тМ Для наблюдения необходимо Ах > б)». От-
сюда 1\’> с/(ту) = 1‚5'104.
В оптическом резонаторе, состоящем из четырех плоских зеркал
(рис. 10.11), световые волны могут распространяться во встречных
направлениях по периметру квадрата, сторона которого равна 1.
Если такой резонатор привести во вращение с угловой скоростью
О вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, то резонанс-
ные частоты у для встречных волн оказываются одинаковыми.
Объясним явление и определим разность Ау этих частот (М 10.54).
283

Рис. 10.11
Эффект обусловлен изменением оптических длин путей для
встречных волн. При вращении линейная скорость зеркал
од = 01(2)'/2. По направлению распространения света скорость
о = 0„/(2)‘д = (21/2. Используя (1О.51)‚ получаем Ау/у = 20/с = О1/с.
Можно также воспользоваться (1О.49).

11 . поляризованный свет.
Элементы кристаллооптики и нелинейной оптики
При наблюдении отражения или прохождения световых волн
через вещества была обнаружена линейная, или плоская, поляриза-
ция. При такой поляризации колебания вектора напряженности
электрического поля (Е), который называют световым вектором,
происходят в одной плоскости, называемой плоскостью поляриза-
ции. Существуют также волны, в которых вектор напряженности
не только периодически меняется по модулю, но и вращается во-
круг направления распространения волны. Поскольку конец век-
тора при этом в каждой точке пространства описывает эллипс, эта
поляризация называется эллиптической. Если смотреть навстречу
световой волне, то при вращении вектора по часовой стрелке по-
ляризацию называют правой, а при вращении против часовой
стрелки — левой. При неизменной длине вектор поляризация на-
зывается круговым. Подчеркнем, что это одна волна, хотя ее всегда
можно представить в виде суммы двух компонент волны со взаим-
но перпендикулярными линейными поляризациями с постоянной
разностью фаз (когерентных). Также и линейно поляризованный
свет можно рассматривать как сумму двух противоположных кру-
говых поляризаций.
Некогерентное излучение многих атомов, в котором интенсив-
ности волн равномерно распределены по направлениям (углам)
поляризации, называется естественным светом.
Поляроидом (или поляризатором) называют устройство, при
прохождении через которое от произвольного света остается толь-
ко свет, линейно поляризованный в плоскости, называемой плос-
костью пропускания поляроида. Экспериментально установлена
зависимость интенсивности за вторым поляроидом (12) от угла ме-
Жду их плоскостями пропускания о: (закон Малюса):
1, = дсозга, ‹11.1)
где 1, — интенсивность за первым поляроидом.
Если за одним поляроидом поставить другой с плоскостью
пропускания, повернутой на 9О° относительно плоскости пропус-
кания первого, то свет за вторым отсутствует.
Если на поляроид падает естественный свет интенсивности 10,
то интегрируя все составляющие естественного света и используя
закон Малюса, получаем
285

л
Х = (1/к) ( Х, сов'а Ша = Х,/2.
О
(11.2)
(11.3)
Е = Е е'~""-"> Н = Н е'<"'-"'> Р = Р е~"'-"'>
О О О
Используя для плоской монохроматической световой волны
уравнения из (см. 3, с. 480, 482) и вводя обозначение фазовой ско-
рости волны о.и единичного вектора волновой нормали (направ-
ление распространения фазы волны)
(11.4)
Ы = (и/о)$с,
получаем
Р = — (с/о)[ХН], Н = (с/о)[ХЕ]
(11.5)
и для вектора Пойнтинга Б (плотности потока энергии), указы-
вающего также направление распространения лучей света,
Б = с/(4к) [ЕН]
(11.6)
где с — скорость света в вакууме.
В изотропных средах (см. 3, с. 66) векторы Е и Р одинаково на-
правлены и связаны соотношением
Р = еЕ,
где а — диэлектрическая проницаемость.
В анизотропных средах векторы Р и Е в общем случае имеют
разное направление, а их компоненты связаны соотношением
286
Существует проект оснащения фар и ветрового стекла автомо-
билей пленками из поляроида. Найдем, как должны быть ориен-
тированы эти поляроиды, чтобы водитель мог видеть дорогу, осве-
щаемую светом его фар, и ему не мешал свет от фар встречных
автомобилей (М 11.7). Если плоскости пропускания поляроидов
на фарах и ветровом стекле автомобилей повернуты на 45' от вер-
тикали, то разрешенные плоскости на ветровом стекле встречного
автомобиля будут составлять 90' и не будут пропускать свет от фар
встречного автомобиля. Свет собственных фар, отражаемый
встречными предметами, будет виден водителю.
В плоской монохроматической волне с частотой и и волновым
вектором К для напряженности электрического поля Е, напряжен-
ности магнитного поля Н и индукции электрического поля Р в за-
висимости от времени ~ и расстояния г можно записать

ц = 2 г/„Ек, (117)
где 1, К пробегают значения х, у и 2. _
Величина 2„‘ называется диэлектрическим тензором, или тензо-
ром диэлектрической проницаемости второго ранга (при трех
компонентах векторов). Свойства среды в общем случае различны
по разным направлениям. Характеристики световых волн зависят
от направления их распространения и поляризации. При выпол-
нении закона сохранения энергии в волне следует симметрия тен-
зора (ед = ед). В таком случае существуют три главных направления
и, соответственно три главных значения 2„ г, и г, (для краткости
используем один индекс, например, е, г ед) для которых
В, = е‚Е‚, В, = гуЕ„ В, = а‚Е,. (11.8)
Это показано на рис. 11.1.
Геометрическим образом симметричного тензора является эл-
липсоид. Полуоси эллипсоида а, = (ед-т. Относительно главных
осей уравнение эллипсоида (Френеля) имеет вид
едх? + ау + 8:22 = 1. (11.9)
Среда называется одноосной, если е, = ау. В таком случае эл-
липсоид представляет собой эллипсоид вращения относительно
оси 1, которая называет-
ся оптической осью кри- д
сталл. Подчеркнем, что д д
это не линия в кристал- ‘и """"""""" "
ле, а направление. г’ а’
Из соотношений А ............... --
(11.5) и (11.6) следует, что
П перпендикулярен Ы и
Н, Е перпендикулярен
Н и 5, который перпен-
дикулярен Е и Н. Таким
образом, векторы В, Е,
Ы и 5 лежат в плоскости,
перпендикулярной Н.
Это показано на рис. 1)
11.2.
Для электрических
векторов Е и 1) можно х
ввести составляющие Е“ Рис- 11-1
‘рт-вентффффтффф:
ь-ц-ць-—--——-———-———————:
287

и В" вдоль оптической оси и Е, и 0„
перпендикулярные оптическои оси.
Для связи напряженности поля и ин-
дуктивности в соответствии с (11.8) по-
лучаем
В” = гнЕдд, П, = е,Е„ (11.1О)
Н где е“ и е, — постоянные, называемые
продольнои и поперечной диэлектри-
Рис- 11-2 ческими проницаемостями кристалла.
Плоскость, в которой лежат опти-
ческая ось кристалла и нормаль Ы к фронту волны, называется
главным сечением кристалла. Это не одна плоскость, а семейство
параллельных плоскостей.
Если вектор В перпендикулярен главному сечению кристалла,
то 1) а 1) 1, а потому П = е,Е, т. е. среда ведет себя как изотропная.
В этом случае из (11.5) получаем, что скорость волны не зависит
от направления ее распространения и равна
о = г), а до = с/(е,)‘/2 = с/п,. (11.11)
Такая волна называется обыкновенной. Положение фронта вол-
ны из точки 0 в некоторый момент времени показано на рис. 11.3.
Кружочками обозначена поляризация (направление векторов Е и
П), перпендикулярная главной плоскости.
Если вектор 1) лежит в главной плоскости, то вектор Е, кото-
рый также лежит в главной плоскости, можно представить в виде
суммы компонент по направлению Ы и по направлению 1), т. е.
Е = Е„ + Ед. Из второй формулы (11.5) находим
2- оптическая ось Н = (‘д/‘дшввъ (11-12)
Компонента Е„ выпадает.
В главной плоскости векторы
Е и В имеют составляющие вдоль
оптической оси кристалла и пер-
пендикулярны оси кристалла, по-
этому
Ед = ЕП/В = (Епдд + Е,В,)/В =
= (ЦВ/аи + ВВ/ед/В. (11.13)
Обозначив угол между Ы и оп-
тической осью кристалла 9
Рис. 11.3 (рис. 11.4), имеем
288

Ед/В = 1/89 = ($1п29)/е„ + П
+ (со$29)/е1 = ПВ/гдд +
+ щг/е, (11.14)
2- оптическая
ось
Вводя показатель преломления
п = с/о = (г)‘/2, получаем
1/п„2 = ($1п29)/п|2 + (со$26)/}2} = В
= ($1п29)/пе2 + (со$29)/п„2. (11.15) Р с 114
и . .
Здесь по определяет фазовую
СКОРОСТЬ ПО ДЭННОМУ направлению 2- оптическая ось
(рис. 11.5), показатели для волны ц,
вдоль оптической оси кристалла по
(обыкновенный показатель преломле-
шая кристалла) и перпендикулярно
оптической оси п„ (необыкновенный
показатель преломления кристалла)
являются характеристиками кри-
сталла и обычно приведены в табли-
цах. На рис. 11.5 показано направле-
ние поляризации волн в главной
плоскости (отмечено черточками).
Одноосные кристаллы иначе на-
зывают двоякопреломляющими, так Р"°- 11-5
как в них один луч может разделить-
ся на два (обыкновенный и необыкновенный) со взаимно перпен-
дикулярными поляризациями и разными фазовыми скоростями.
Для получения сдвига фаз используются пластинки из двоякопре-
ломляющих кристаллов, вырезанные параллельно оптической
оси. Сдвиг фаз удобно измерять в длинах волн. Если толщина пла-
стинки равна целому числу длин волн падающего на нее по нор-
мали монохроматического света, то пластинка его не меняет (если
нет поглощения и рассеивания). Такую пластинку называют пла-
стинкой в длину волны. При увеличении (или уменьшении) толщи-
ны такой пластинки на половину длины волны ее называют пла-
стинкой в полдлины волны. Пластинку называют пластинкой
в четверть длины волны, если толщину пластинки в длину волны
изменяют на четверть длины волны. На рис. 11.6 показано поло-
жение фронтов обыкновенной (о) и необыкновенной (е) волн при
прохождении нормально падающей монохроматической волны
через пластинку (толщиной И), вырезанную параллельно оптиче-
ской оси кристалла. Окружность и эллипс соответствуют волне из
каждой точки, в которую приходит волна, прямые линии — фрон-
ьььдд_ь
П П!
19-1647 289

+ у т
*^ Ми мм ау на
‚ш
„ \/: ‚Ё
а б
Рис. 11.6
ты волн, представляющие огибающие всех волн из точек. В случае
отрицательного кристалла (фазовая скорость необыкновенной
волны д, больше фазовой скорости обыкновенной волны до, соот-
ветственно, показатель преломления необыкновенной волны п,
меньше показателя преломления обыкновенной волны) по
(рис. 11.6, а). Случай положительного кристалла (о, < 0„ и п, > п„)
показан на рис. 11.6, б.
В частности при толщине пластинки И = 0,03 мм и п„ = 1,658,
п, = 1,486 разность хода, А = (по — п,)/1 = 5,16 мкм (Не 11.3).
Толщина пластинки в половину длины волны (в вакууме) оп-
ределяется из соотношения
Ж/2 = |по — п‚|/1. (11.16)
Разность фаз ср = (2п/7ь) |п„ — п‚| И = п. Толщина пластинки
в четверть длины волны определяется из соотношения
х/4 = |п„ - „м. (11.17)
Разность фаз (р = (2п/7ь) |п„ — п,| 11 = тс/2.
Два когерентных пучка квазимонохроматического неполяри-
зованного света равной интенсивности дают на экране интерфе-
ренциоштые полосы. Найдем, какой толщины кристадшическую
пластинку надо ввести на пути одного из этих пучков, чтобы ин-
терференционные полосы исчезли и притом так, чтобы их нельзя
было восстановить никакой стеклянной пластинкой, вводимой
в другой пучок. Выясним, как изменится картина, если за кри-
сталлической пластинкой поставить поляроид, а также при каком
положении поляроида интерференционных полос не будет
(М 11.74). Каждое направление колебаний в волне можно пред-
ставить в виде двух составляющих, электрические векторы кото-
рых взаимно перпендикулярны и параллельны главным осям пла-
стинки. При введении пластинки интерференционные полосы от
каждой составляющей сместятся. Если пластинка является пла-
290

стинкой в полволны, то разность смещений полос составит поло-
вину ширины полосы. При этом интерференционные полосы
пропадут. При введении поляроида они появятся вновь. Исключе-
ние составляет случай, когда оси поляроида наклонены под углом
45° к осям пластинки. В этом случае интерференционные полосы
наблюдаться не будут.
Световые волны с одинаковыми частотой и линейной поляри-
зацией распространяются в плечах дВУЛУЧевого интерферометра. На
выходе из него фотоприемник регистрирует интенсивность света
Ь Оказалось, что при изменении оптического пути в одном из
плеч она колеблется между [ш и 1„“ так, что видность У= (1„‚„
— 1„„„)/(1„,„ + 1,“) = 1. Найдем, какой будет ее наименьшая вели-
чина, если в одно из плеч интерферометра поместить прозрачную
кристаллическую пластинку Ж/4. Считаем, что поток проходит че-
рез пластинку однократно (Не 11.51). Из условия для видности
следует, что 1„“ = О и волны имеют одинаковые амплитуды. Пла-
стинка в А/4 приводит к круговой поляризации. Если амплитуда
волн равна 1, то амплитуды компонент после пластинки равны
1/«5 и взаимноперпендикулярны. Наименьшей видность будет
при максимальном уменьшении суммарной амплитуды волн. Это
будет, если главное направление пластинки совпадает с направле-
нием поляризации падающей волны. В таком случае
1‚„„. = ‹1 + 1/«/ё›= + ‹1/«/5›= = 2 + «б,
1„„„ = ‹1 - 1/45)’ + ‹1/Л›2= 2 - «Е,
откуда у = 6/2.
Если падающая волна линейно поляризована в плоскости,
перпендикулярной оптической оси кристалла, то через пластинку
идет только обыкновенная волна. Если падающая волна линейно
поляризована в плоскости, параллельной оптической оси кри-
сталпа, то через пластинку идет только необыкновенная волна.
Если плоскость поляризации падающей волны составляет некото-
рый угол с оптической осью кристалла, то через пластинку прохо-
дят обыкновенная и необыкновенная волны. При этом разности
фаз определяются (11.16) и (11.17). На рис. 11.7, а показано рас-
пределение компонент в такой волне в некоторый момент време-
ни, и на рис. 11.7, б — соотношение между амплитудами компо-
нент. При сдвиге компонент на Ж/2 волна остается линейно поля-
ризованной, как показано на рис. 11.7, в. При сдвиге компонент
на ›„/4 волна после пластинки оказывается эллиптически поляри-
зованной. При равенстве амплитуд компонент (а = 45°) получает-
19, 291

#1 $2 чп 2
Рис. 11.9
мых увеличенных изображения предмета, когда между пластинкой
и предметом помещена собирающая линза на расстоянии 4 см от
предмета. После того как к линзе вплотную приложили собираю-
щее очковое стекло с оптической силой 5 дптр, стало видно только
одно изображение предмета. Определим фокусное расстояние
1’ линзы (Мг 11.6). В диоптриях (дптр) измеряется оптическая сила
линз (1.17). Для 1 дптр фокусное расстояние равно 1 м. Для 5 дптр
фокусное расстояние в 5 раз меньше, т. е. Д,“ = 20 см. Оптическая
сила двух линз, поставленных одна за другой, равна сумме их оп-
тических сил Ф = 1// + 1/ДЧК = 1/11” Так как одно изображение
получается для параллельных лучей, предмет находится в фокаль-
ной плоскости системы, т. е. ж, = 4 см. Подставляя это в преды-
дущее соотношение, находим [ = 5 см.
Узкий пучок неполяризованного света падает нормально на пла-
стинку исландского шпата и затем нормально на вторую такую же
пластинку главная плоскость которой образует с главной плоско-
стью первой пластинки угол 30°. Затем свет падает на экран. Пла-
стинки вырезаны так, что оптическая ось составляет угол у с плос-
костью пластинки. При этом О 5 у < 9О°. Опишем полученную кар-
тину и найдем относительную интенсивность наблюдаемых на
экране пятен (Мг 11.8). Кристаллы исландского шпата являются
двоякопреломляющими отрицательными кристаллами. Так как
пластинки вырезаны под углом у к оптической оси, картина лучей
соответствует изображенной на рис. 11.9. После первой пластинки
получаются два, сдвинутых один относительного другого, луча
со взаимно перпендикулярной поляризацией и одинаковыми ам-
плитудами, так как падающий на пластинку свет был неполяризо-
293

ванным (естественным). На вторую пластинку падает поляризо-
ванный свет под углом 30° к плоскостям поляризации второй пла-
стинки. Из двух падающих лучей имеем за второй пластинкой
четыре луча с относительными интенсивностями 1:3:1:3, так как
напротив угла 30° амплитуда равна 1/2 падающей, напротив угла
во° - д/2.
Для нахождения наименьшей толщины 1: пластинки из кварца,
вырезанной параллельно оптической оси, чтобы падающий плос-
ко поляризованный свет выходил поляризованным по кругу (п, =
= 1,5533, п„ = 1‚5442, 7» = 5'10-5 см) (Не 11.1), воспользуемся (11.17)
11 = (Х/4)/(п, — по) = 0,014 мм.
Одна и та же пластинка может оказаться пластинкой в четверть
волны для света с длиной волны ж, = 5880 А и пластинкой, кото-
рая поворачивает плоскость поляризации на 90° для другой волны
с длиной ж, = 5740 А, что достигается с помощью пластинки
в полволны. Найдем толщину такой пластинки, если разность по-
казателей преломления для обыкновенного и необыкновенного
лучей равна 0,2 (Не 11.2). Используя (11.17) и (11.16), получаем:
11, = 7350 А, Н, = 14350 А. Толщины пластинок можно увеличивать,
добавляя целое число длин волн:
Н, = и, + т ж, = (7350 + т5880)А‚
Н, = ь, + ‚ж, = (14350 + р574о)А,
где т и р — целые числа.
Видно, что первая линейная зависимость начинается ниже, но
Идет круче. Поэтому они должны пересечься. Подбирая т и р,
Можно найти Н, одинаковое для обеих зависимостей. Это будет
‘три т = 91 и р = 92. При этом наименьшая толщина пластинки
Ч = 0,0542 мм.
В интерференционном опыте Юнга между щелью 5 и щелями
Ё‘, и 52 (рис. 11.10) введен поляроид В главные оси которого па-
аллельны или перпендикулярны щелям 5, и $2. Найдем, как из-
‚енится интерференционная картина на экране, если щели 5, и 52
нрикрыть пластинками в полволны, ориентированными во взаим-
„'о перпендикулярных плоскостях (параллельно и перпендикуляр-
.‘о щелям). Определим, что произойдет, если поляроид Р повер-
чуть на 90°, и какая картина будет наблюдаться, если убрать поля-
црид. Рассмотрим ту же задачу если вместо пластинки в полволны
Дспользуется пластинка в четверть волны. Щели 5, и $2 предпола-
Ч1ются узкими (порядка длины волны), а расстояние между ними
‘Ьльшим по сравнению с их шириной (Не 11.9). В классическом
дНыте Юнга распределение интенсивности света на экране и рас-
‘4

/
О
УМЫ!
стояния между максимами опре-
деляются (3.12) и (3.10). Установ- /
ленный за щелью 5 поляроид Х’
приводит в соответствии с (11.2) И В
к уменьшению интенсивности
в два раза. При установлении пе-
ред щелями 5, и 52 пластинок ч
в полволны так, что из света, по-
ляризованного параллельно Р 52
(перпендикулярно) щелям, одна Рис п ю
пластина пропускает только ' °
обыкновенную волнуд а другая —
только необыкновенную, получаем изменение фазы на полволны,
т. е. сдвиг полос на половину ширины между ними. Если поляроид
повернуть на 9О°‚ то сдвиг будет в другую сторону; но картина сов-
падет с первой, сдвинутой. Если убрать поляроид, то положение
полос не изменится, но не будет уменьшения начальной интен-
сивности и интенсивность увеличится в два раза. При использова-
нии поляроида и пластин в четверть волны картина сдвинется на
1/4 расстояния между полосами от той, которая была без пластин.
При повороте поляроида на 9О° сдвиг будет в другую сторону Если
убрать поляроид, то картины складываются, т. е. полосы пропадут.
Частично линейно поляризованный свет (смесь естественного
и линейно поляризованного) рассматривается через николь (поля-
роид). При повороте николя на 6О° от положения, соответствую-
щего максимальной яркости, яркость пучка уменьшилась в два
раза. Найдем степень поляризации пучка А = (Дм, — 1„„„)/(1„,„ +
+ 1„„„) и отношение интенсивностей естественного и линейно по-
ляризованного света (Дм, и [Шт — максимальная и минимальная
интенсивности света, проходящего через николь) (Мг 11.10). В со-
ответствии с (11.1) и (11.2) [ш = 1„ + 1„/2. После поворота николя
имеем: 1„ сов? 6О° + 1„/2 = 1„/4 + 4/2. По условию 1„ + 1,/2 = 2(1„/4 +
+ 1‚/2), откуда 1„ = 1„ 1‚„„= (3/2)1„, 1„„„ = (1/2) 1„‚ А = 1/2.
Если бы в этой задаче было задано А = 1/2, а требовалось бы
найти отношение интенсивностей после и до поворота (М: 11.11),
то 1„‚„/1„„„ = (А + 1)/(1 — А) = 3 = (1„ + 1/2)/(1,/2). Откуда 1„ = Д.
Поэтому 12/1, = (1„/4 + 1„/2)/(1„ + 1,/2) = 1/2.
Один поляроид пропускает 30 % света, если на него падает ес-
тественный свет. После прохождения света через два таких поля-
роида интенсивность падает до 9 %. Найдем угол (р между осями
поляроидов (Мг 11.12). Используя (11.2) можем найти долю потерь
(р), не связанных с поляризацией, 0,31, = р-О,51,. Отсюда р = 0,6.
295

Таким образом, после двух поляроидов 0,091 = О‚3РО‚6со52‹р. По-
этому соз2ср = 1/2 и (р = 45°.
При падении на поляроид естественного света энергетиче-
ский коэффициент пропускания составляет 1 = 0,4, при этом
проходящий свет оказывается полностью линейно поляризован-
ным. Найдем коэффициент пропускания Т естественного света
для системы из четырех таких поляроидов, повернутых относи-
тельно друг друга на углы (р = 6О° (М: 11.94). Обозначим коэффи-
циент пропускания линейно поляризованного света при прохож-
дении по разрешенному направлению поляроида т. Без поглоще-
ния через поляроид проходит половина интенсивности. Поэтому
из условия: 1= (1 /2)т = 0,4 получаем т = 0,8. Коэффициент про-
пускания через четыре поляроида
Т = (1 /2)т(тсо52‹р)3 = (1 /2)т4со$°‹р = О‚ОО32.
Неполяризованный свет проходит через два одинаковых скре-
щенных под углом 6 = 45° неидеальных поляроида. Энергетические
коэффициенты пропускания света, поляризованного по двум вза-
имно перпендикулярным осям поляроидов, равны а2 и 122, при
этом а2 > Ы. Определим, какая часть светового потока пройдет че-
рез систему из двух поляроидов. Проведем численный расчет при
а2 = 0,9 и Ь2 = 0,1 (М9 11.95). После прохождения первого полярои-
да амплитуды колебаний (некогерентных) по осям поляроида Ах, =
= Е„а/(2)'/2; Ау, = Е0Ь/(2)‘/2. После прохождения второго поляроида
по каждои оси возникнут некогерентные вклады:
по оси х2: Е„а(асо$6)/(2)'/2 и Е„Ь(а$1п6)/(2)‘/2;
по оси у2: Е„а(Ь$1п9)/(2)‘/2 и Е„Ь(1›со59)/(2)‘/2.
Сложение происходит как для некогерентного света, т. е. скла-
дываются интенсивности:
1х2 = Е; (а4/2)(1/2) + Ед? (а2Ь2/2) = (1„/4)(а4 + а21э2);
[д = (1„/4)(Ь4 + а2Ь2).
Коэффициент пропускания системы из двух поляроидов
1/10 = (112 + 1у2)/1„ = (1/4)(а4 + 114 + 2а2Ь2) = (1/4)(а1 + ЫУ = 1/4.
Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света,
поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. Най-
дено положение поляроида, соответствующее максимальной ин-
тенсивности прошедшего света. При повороте поляроида из этого
положения на угол а = 3О° интенсивность света уменьшилась на
р = 20 %. Найдем отношение интенсивности света 1,‘, поляризо--
296

ванного по кругу к интенсивности линейно поляризованного све-
та Д, (Не 11.13). При круговой поляризации интенсивность и ам-
плитуда связаны соотношением 1„ = 2Ак2. Для максимальной ин-
тенсивности [тах = 1„ + (1/2)1„. После поворота поляроида на угол
3О° имеем 0‚81„‚„ = 1„соз23О° + (1/2)1„. Отсюда 1к/1„' = 1/2.
Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света,
поляризованного по кругу рассматривается через николь (поляро-
ид). Найдено положение николя, при котором интенсивность
проходящего света максимальна. При повороте николя от этого
положения на некоторый угол вокруг оси пучка интенсивность
проходящего света уменьшается в т = 2 раза по сравнению с мак-
симальной и во столько же раз увеличивается по сравнению с ми-
нимальной. Найдем отношение интенсивности 1„ света, поляризо-
ванного по кругу, к интенсивности света 1„, линейно поляризован-
ного (М9 11.14). При круговой поляризации интенсивность
и амплитуда связаны соотношением 1„ = 2Ак1. Для максимальной
интенсивности [шах = 1„ + (1 /2) 1,‘, для минимальной 1„,‚„ = (1/2)1„.
После поворота поляроида на некоторый угол имеем 1= [ш /т =
= т1„„„. Используя это, находим 1„/1„ = 2/(т2 — 1) = 2/3.
Смесь света, поляризованного по кругу и естественного рас-
сматривается через кристаллическую пластинку в четверть волны
и николь. При вращении николя вокруг оси светового пучка най-
дено, что максимальная интенсивность света, прошедшего через
систему, в т = 3 раза превосходит минимальную интенсивность.
Найдем отношение интенсивности света 1,‘, поляризованного по
кругу, к интенсивности естественного света 1„ (Не 11.16). Круговую
поляризацию можно рассматривать как сумму двух независимых
колебаний, сдвинутых на Ж/4. При устранении этого сдвига путем
использования пластинки в четверть волны получаем линейную
поляризацию с интенсивностью круговой поляризации 1 к = Ат} +
+ Аду? = 2А„„2. При вращении николя (поляроида) будем макси-
мально получать эту величину минимально — нуль. Из естествен-
ного света через николь получаем половину интенсивности, по-
этому [Ш = [к + 1‚,/2 = т1„„„ = т1‚/2. Отсюда 1„/1„ = (т -1)/2 = 1.
Параллельный пучок монохроматического света с длиной вол-
ны ж, поляризованный по правому круг): падает нормально на
пластишсу в полволны. Найдем состояние поляризации света, про-
шедшего через эту пластинку (Не 11.17). На рис. 11.11 штриховой
линией показана сдвинутая на Ж/2 волна. При этом вместо право-
го круга вращения появляется левый.
Параллельный пучок монохроматического света с длиной вол-
ны ж падает нормально на поляроид, а затем — на пластинку в пол-
волны. Главная плоскость поляроида (в которой лежит электриче-
297

Рис. 11.11
ский вектор пропускаемой им волны) составляет угол а с осью
этой пластинки. Найдем состояние поляризации прошедшего све-
та на выходе из пластинки в полволны (Мг 11.18). После прохож-
дения поляризованной волны через пластинку в полволны компо-
ненты по оси пластинки и перпендикулярно к оси сдвигаются на
полволны. В результате плоскость поляризации выходящей волны
повернется на угол 2а от направления поляризации падающей
волны (на угол оъ от оси пластинки).
Параллельный пучок монохро-
матического света проходит через
два николя, главные плоскости ко-
торых повернуты друг относитель-
но друга на угол оъ = 2О°. Между
николями ставится пластинка од-
ноосного кристалла, вырезанная
параллельно оптической оси
и вносящая разность хода ж/2 меж-
Рт “и ду обыкновенным и необыкновен-
ным лучами. Найдем, какой угол
В должна составлять оптическая
ось пластинки с главным направлением первого николя, чтобы
свет через систему не прошел (Мг 11.19). На рис. 11.12 разрешен-
ное направление первого николя ОМ, разрешенное направление
второго николя 0181,. Чтобы свет не прошел через второй николь,
направление поляризации света АВ должно быть перпендикуляр-
но ОМ. Пользуясь результатом предыдущей задачи, получаем, что
свет после первого николя будет поляризован по АВ, если ось пла-
стинки направлена по биссектрисе угла АОН, или ВОМ. Исполь-
зуя рис. 11.12, находим В, = —п/4 + оъ/2 = —35°, [32 = тс/4 + оъ/2 =
= +55°.
Два николя М и А’; повернуты относительно друг друга на угол
а; между ними помешен николь Л, (рис. 11.13). На систему падает
параллельный пучок неполяризованного света. Предполагая, что
298

п, п, п,
Рис. 11.13
необыкновенный луч прохо-
дит через каждый николь без
потерь, найдем ориентацию
николя М, относительно ни-
коля М, при которой интен-
сивность проходящего света
максимальна. Определим
интенсивность проходящего
света в этих положениях,
если интенсивность падаю- рис, 11,14
щего света равна 1„
(М 11.67). На рис. 11.14 показано расположение плоскостей про-
пускания николей. Используя (11.1)‚ получаем 1 =
= (1„/2)со$2[3со$’(а — В). Максимальное значение интенсивности
определяется максимумом функции
ДБ) = со$Всов(а — В) = (1/2)[соза + соз(2|3 — а)].
Приравнивая первую производную нулю, получаем, что мак-
симум этой функции будет при з1п(2В — а) = 0. Годятся В = оъ/2
и В = (а — 1:)/2. Для интенсивности имеем 1 = (1„/2)соз‘(а/2).
Между скрещенными пилюлями помещена пластинка из кварца,
вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пла-
стинки составляет угол 45‘ с главными направлениями николей.
Рассчитаем минимальную толщину пластинки И, при которой
одна линия водорода 7», = 6563 А
будет сильно ослаблена, а дРУГая 171
А, = 4102 А будет обладать макси-
мальной интенсивностью. Величи-
на анизотропии кварца Ап = 0,009
(Не 11.69). На рис. 11.15 показаны
векторы проходящих волн. После
первого николя М, в пластине рас-
пространяются обыкновенная
и необыкновенная волны с длина-
ми А, и 3,2. При распространении
волны через пластинку разность
хода обыкновенной и необык- Рис. 11.15
299

новенной волн равна Ап/т. Если эта величина равна м, то на выхо-
де из пластинки имеем для суммы волн поляризацию, как после
первого николя, которая не проходит через второй николь А’, От-
сюда 11, = м/Ап = О,ОО73 см. Чтобы волна длиной ж, проходила че-
рез второй николь пластинка должна давать разность хода т7к2/2.
В случае удовлетворения первого условия должно быть т = 3. По-
лучаем 112 = (3/2)Ж2/Ап = О‚ОО68 см. Таким образом, пластинка тол-
щиной 0,07 мм удовлетворяет поставленным условиям.
Между двумя скрещенными николями помещена кристалли-
ческая пластинка толщиной с! = 0,045 мм с показателями прелом-
ления п, = 1,55, п„ = 1,54. Пластинка вырезана параллельно опти-
ческой оси кристалла и ориентирована так, что главное направле-
ние первого николя составляет угол ос = 30° с ее оптической осью.
На систему нормально падает естественный свет с длиной волны
Ж = 6000 А и интенсивностью 10. Найдем интенсивность 1 света,
прошедшего через описанную систему (Не 11.73). После прохож-
дения пластинки имеем две волны со взаимно перпендикулярны-
ми поляризациями и сдвинутыми по фазе на б = (2тс/Ж)с1(п, — по) а
в (3/2)тс. Перед вторым николем одна волна азйпоъей“, другая
асозоъедш”) (здесь а — амплитуда волны за первым николем). В со-
ответствии с (1 1.2) 02 = 10/2. Через второй николь проходят проек-
ции этих волн, которые в сумме дают
аэйпоъсозоъ — асозосвйпосе“ = асозоъзйпоъ (1 — е"д).
Вынося за скобку ем, для интенсивности за вторым николем
получаем
1 = (1„/2)51п32оъ$1п2(б/2).
Для сравнения яркостей двух поверхностей, освещаемых непо-
ляризованным светом, одну из них рассматривают непосредствен-
но, а другую — через два николя. Найдем, каково отношение этих
яркостей, если освещенность обеих поверхностей кажется одинако-
вой при угле между николями оъ = 6О°. Считаем, что потери света
в каждом николе на отражение и поглощение составляют р = 10 %
от падающего света (Не 11.20). Интенсивность света с поверхно-
сти, которую рассматриваем непосредственно, обозначим 1„ а с
поверхности, рассматриваемой через николи, — 12. После первого
николя в соответствии с (11.2) интенсивность уменьшается напо-
ловину, а с учетом отражения и поглощения равна 12(1/2)(1 —
— р/ 100). Из (11.1) за вторым николем интенсивность
12(1/2)(1 — р/1ОО)со$2оъ(1 — р/1ОО).
300

_2 _2
де_пе<0о ‘по
п е >п„ положительный кристалл
п е<по отрицательный кристалл
Рис. 11.16
Так как по условию эта интенсивность равна 1„ то отношение
яркостей
1,/12= (1/2)(1 — р/10О)2со$3оъ = 0,1.
Найдем, как отличить свет, поляризованный по левому кругу,
от света, поляризованного по правому кругу (Не 11.75). На рис.
11.16 показаны фронты обыкновенной и необыкновенной волн
для положительного (пунктиром) и отрицательного одноосных
кристаллов. На рис. 11.17, а показано изменение компонент элек-
трического вектора в волне поляризованной по правому кругу
в осях, соответствующих обыкновенной и необыкновенной осям
в кристаллической пластинке. На рис. 11.17, б показано изменение
компонент электрического вектора в волне после положительного
кристалла в Ж/4, а на рис. 11.17, в — для отрицательного кристалла
в ж/4. По направлению линейной поляризации определяем направ-
ление круговой поляризации. Аналогичные рисунки можно сделать
для левой круговой поляри-
зации. На них направление
линейной поляризации из- у
менится на 9О°.
Выясним, как отличить
естественный свет от света,
поляризованного по кругу,
и от смеси естественного
света с поляризованным по
кругу (Мг 11.76). Пропуска-
ем свет через пластинку
в четверть длины волны
и николь. Если при враще-
нии николя и при любом
положении пластинки ин-
Направление
света
3 а
тенсивность не меняется, то Рис. 11.17
301

Рис. 11.17
это естественный свет. Если интенсивность меняется и падает до
нуля, то это свет, поляризованный по кругу Если интенсивность
меняется, но не падает до нуля, то это свет, частично поляризован-
ный по кругу (смесь естественною и поляризованного по кругу).
Рассмотрим, как отличить друг от друга 1) эллиптически поля-
ризованный свет, 2) смесь естественною света с линейно поляри-
зованным светом (отчасти линейно поляризованный свет),
3) смесь естественного света с эллиптически поляризованным све-
том (отчасти эллиптически поляризованный свет) (М 11.77). Как
и в предыдущей задаче пропускаем свет через пластинку в чет-
верть длины волны и николь. Если вращением пластинки и нико-
ля можно получить нулевую интенсивность света, то свет эллип-
тически поляризован. Если этого не получается, то свет представ-
ляет собой либо смесь естественного света с линейно
поляризованным, либо смесь естественного с эллиптически поля-
ризованным. Чтобы различить эти случаи, сначала на пути света
ставят только один николь и устанавливают его на минимум про-
ходящего света. Затем перед николем помещают пластинку в чет-
верть длины волны. Вращением пластинки и николя добиваются
минимума интенсивности. Если этот минимум получается при
прежнем положении николя (или при повороте его на 18О°), то
свет представляет смесь естественного и линейно поляризованно-
го. Если же для получения минимума требуется повернуть николь
на некоторый угол, то свет представляет смесь естественного с эл-
липтически поляризованным.
На кристаллическую пластинку, вырезанную паратшельно оп-
тической оси, падает нормально свет, поляризованный по кругу
102

нии клина будет меняться угол а и, следовательно, в каждой точке
клина будет изменяться интенсивность.
При углах о: = 90, 180 и 270° весь клин будет освещен равно-
мерно, а при углах а = 45, 135, 225, 315° будет наблюдаться наибо-
лее резкая разница в интенсивности темных и светлых полос, при-
чем при переходе через углы о: = 90, 180, 270° темные полосы будут
переходить в‘ светлые, а светлые — в темные.
_, Клин из двоякопреломляющего вещества,
оптическая ось которого параллельна ребру
_› клина, помещен на пути монохроматического
“› света, поляризованного по кругу (рис. 11.18).
-> Свет, прошедший через клин, рассматривает-
—› ся через поляроид, главное направление кото-
рис, 11,13 рого составляет угол 45° с ребром клина. Най-
дем число темных полос т, наблюдаемых на
поверхности клина. Максимальная толщина
клина дм, = 0,05 см, п, = 1,54, п, = 1,55,
А = 5000 А (Не 11.71). На рис. 11.19 показаны
главные оси вещества клина и разрешенное
направление поляроида. Темные полосы воз-
никают, когда разность хода в клине а! (п, —
— п„) = т?» — 7м/4, откуда максимальное число
полос т в дм (п, — п„)/?„ а 10.
Имеется горизонтальный параллельный пучок эллиптически
поляризованного света. Обнаружено, что при прохождении пучка
через пластинку в 71/4 при определенной ее ориентации свет ока-
зывается линейно поляризованным под углом а, = 23° к вертика-
ли. Если пластинку повернуть на угол 90°, то весь свет снова ока-
зывается линейно поляризованным под углом а, = 83° к вертика-
ли. Найдем отношение а/Ь полуосей эллипса поляризации и угол
(р наклона большой оси (Мг 11.21). На рис. 11.20 штриховой лини-
ей показана вертикаль, от которой отсчитываются углы. Исполь-
зование дополнительной пластинки в ж/4 соответствует в зависи-
мости от ее поворота либо прохождению линейно поляризованно-
го света через пластинку толщиной в А/2, либо как в отсутствие
пластинки. Эти два случая на рис. 11.20 отмечены как 1-я линей-
ная поляризация и 2-я линейная поляризация. Главная оптическая
ось (у) является биссектрисой между этими направлениями. Соот-
ветственно, В = (а, — оъ‚)/2 = 30°. Если 1-я или 2-я линейные по-
ляризации проходят через пластинку в ж/4, то возникает эллипти-
ческая поляризация. Эллипс, по которому идет конец электриче-
304
Рис. 11.19

1-я линейная
поляризация у
`* 2-я линейная
поляризация
3
Рис. 11.20
ского вектора, показан штрих-пунктирной линией. Отношение
полуосей эллипса а/Ь = 138 = (3)‘/’. Наклон большой оси (р = а, +
+ В = 53°.
Плоская монохроматическая эллиптически поляризованная
волна падает на кристаллическую пластинку, после которой уста-
новлен анализатор. Оказалось, что существует такое положение
кристаллической пластинки, при котором интенсивность света,
вышедшего из анализатора, не зависит от положения анализатора
и равна 1,. В отсутствие пластинки максимальная интенсивность
света, которая может быть получена после анализатора, составила
12. Определим отношение полуосей эллипса поляризации
(М: 11.23). Полная интенсивность волны 10 = Д + 1„ где 1, и 1, —
интенсивности по главным осям. Считаем максимальной интен-
сивность по х. Поэтому 1, = 12. Если полуоси эллипса поляризации
а и Ь, то Ц], = (а/Ь)’ (а > Ь). Соответственно, 1, = (Ь/а)11,. Первое
условие задачи будет соблюдено, если из пластинки выйдет волна,
поляризованная по кругу
11 = 1о/2 = 0/2)“, + 1,) = (1/2)Ь(1 + д/а’),
откуда Ь/а = (2 1,/1‚ — 1)'д.
Плоская световая волна эллиптически поляризована. Длины
полуосей эллипса колебаний равны соответственно а и Ь. Найдем,
какую кристацшическую пласпшку надо поставить на пути распро-
странения волны и как ориентировать эту пластинку чтобы полу-
чить свет, поляризованный по кругу 1) с тем же направлением вра-
шения; 2) с противоположным направлением вращения (Не 11.24).
т /22о-1в47 305

Напомним формулу Эйлера (см. 1, с. 101). Комплексное число
можно записать в виде
2 = х + [у = р(со5‹р + ёзйпф), где 1 = (—1)'/2.
Дифференцируя 2 по (р, получаем: а/2/а7ф = р (—з1п‹р + 1созср) =
=12. Отсюда показательная форма записи комплексного числа
(формула Эйлера)
2 = р(со$‹р + Еэйпср) = рею. (11.19)
Гармонические колебания описываются формулой
и = Асо5(‹01 + 01). (11.2О)
Такие величины называются синусоидальными.
Удобно использовать комплекс-
ную форму, для которой действи-
тельная и мнимая части представля-
ют гармонические функции
и = Ае’<*°“°>. (11.21)
Векторные диаграммы таких ве-
личин строятся в плоскости, вра-
Щающейся с угловой скоростью со.
Рис „д На рис. 11.21 показано, как склады-
ваются синусоидальные величины
А,з1п(со1 + 01,) + А‚51п(0э1‘ + 01,) = А$1п(0›1 + 01). (11.22)
Используя теорему косинусов, имеем
А = [АЗ + Ад? + 2А‚А,со3(01‚ — 0ъ‚)]'/2; (11.23)
1301 = (А‚$1п01‚ + А251п012)/(А‚со$а, + А2соз012). (11.24)
у А На рис. 11.22 в системе глав-
ных осеи х и у показан эллипс
‘1 а поляризации. Для компонент
электрического вектора имеем
Ех = асозсог, Е, = 123111001. Считая,
эх что волна распространяется по
оси 2 (в правой системе), кото-
рая направлена в сторону чита-
теля, имеем левую эллиптиче-
скую поляризацию. Перейдем
к системе координат, оси кото-
Рис. 11.22
306

Е = сов45'(асови~ + ов1пи~) = [(а' + о2)/2]'~'сов(и~ — а);
Е„= сов45'( — асови~+ ов1пи~) = [(а' + о')/2]'~2сов[и~ — (к — а)];
Ща =О/а.
Колебания вдоль осей ~ и и совершаются с одинаковыми ам-
плитудами [(а'+ О')/2]'~', причем колебание вдоль оси г, опережает
по фазе колебание вдоль оси и на угол 5 = н — 2а. Кристалличе-
скую пластинку надо внести так, чтобы ее оси были ориентирова-
ны вдоль с и и и чтобы она изменила разность фаз до +я/2. Для
этого должно быть выполнено соотношение
(и~ — а — Й ~) — (и~ — и + а — 1ф = +ш/2,
откуда
1 = (2а — н +к/2)/(Ʉ— Й ) =Х(а/т~ — 1/2 + 1/4)/(и„— и ).
В таком случае волна перейдет в волну, поляризованную по
кругу. Знаку «+» соответствует то же направление вращения, что
и в исходной эллиптически поляризованной волне, а знаку « вЂ” »вЂ”
противоположное. Такой же результат получится, если толщину
пластинки изменить на целое число волн в среде тХ/(и„— и ), где
т — целое число.
Некогерентная смесь неполяризованного, линейно поляризо-
ванного света и света с круговой поляризацией анализируется с по-
мощью быстро вращающегося поляризатора и фотоприемника, ток
которого зависит от интенсивности света. Оказалось, что глубина
модуляции фототока равна т, = 0,1. После установки на пути лучей
пластинки Х/4 было выяснено, что свет по-прежнему представляет
собой некогерентную смесь неполяризованного, линейно поляри-
зованного света и света, поляризованного по кругу, но теперь глу-
бина модуляции фототока составила т, = 0,2. Определим степень
поляризации света (М 11.22). В первом опыте поляроид из интен-
сивности неполяризованного света Х„„пропускает, согласно (11.2),
1„„/2, из круговой поляризации 1„, соответственно, 1„/2. Эти величи-
ны не зависят от.вращения поляроида. В модуляции максимальное
значение фототока получаем, когда разрешенное направление по-
ляроида совпадает с линейной поляризацией (1„)
1 = 1„+ 1„/2 + 1„„/2.
(11.25)
307
рой являются биссектрисами главных осей. Используя
(11.22) — (11.24), для того же колебания в этой системе координат
получаем

Минимальная интенсивность получается, когда разрешенное
направление поляроида перпендикулярно линейной поляризации
1„„„ = 1„/2+ 1„„/2. (11.26)
В соответствии с определением модуляции
т, = (1„,„ — 1„„„)/(1‚„„ + 1„,‚„) = 1„ /(1„„ + [к + Д) = 0,1. (11.27)
При использовании пластинки в Ж/4 линейная поляризация
превращается в круговую, а круговая — в линейную, поэтому
т, = [к /(1„„ + 1„+ Д) = 0,2.
Степенью поляризашш смеси света называют величину
А = (1„_„ — 1„„„)/(1‚„„ + 1„„„) (11.28)
или
А = (1, — Д)/(1, + д). (11.29)
Здесь интенсивности во взаимно перпендикулярных направле-
ниях.
Используя (11.28), (11.25) и (11.26), находим А = 0,1.
На плоский экран, состоящий из двух поляроидпъш полутшоско-
спэй, граничащих друг с другом вдоль прямой, перпендикулярно
падает пучок параллельных лучей, поляризованных по кругу (рис.
11.23). Оси поляроидов взаимно перпендикулярны. Интенсивность
падающего света равна 1„. Определим интенсивность 1 света в точке
В расположенной в плоскости, перпендикулярной плоскости экра-
на и проходящей через границу раздела между поляроидами. Най-
дем, как будет поляризован свет в точке Р (М: 11.25). В соответст-
вии с вычислениями на основе спирали Корню интенсивность све-
та под краем непрозрачной полуплоскости равна 1„/4. Поляроид,
поставленный в открытую полуплоскость, из естественного или по-
ляризованного по кругу света оставляет половину интенсивности
(1„/8) и дает линейную поляризацию, со-
ответствующую данному поляроиду
При установлении второго поляроида во
вторую полуплоскость получаем такую
же интенсивность. В сумме в точке Р
имеем 10/4. Так как складываются два
линейно поляризованных когерентных
со взаимно перпендикулярными на-
правлениями поляризации, имеющие
Р сдвиг фаз л/4, в точке Р имеем круговую
Рис. 11.23 поляризацию,
308

Плоская волна монохроматиче-
ского света, поляризованного по кру-
гу, создает в точке Р интенсивность
10. На пути волны ставят две большие
пластишш в Х/4, как показано на рис.
11.24. Главные направления пласти-
нок ориентированы взаимно пер-
пендикулярно. Найдем интенсив-
ность 1 в точке Р (Мг 11.27). Обозна-
чив амплитуды волны по осям 00,
и до» получим Рис. 11.24
= 2 = =
1„ ад,’ + во, 20%} 200,2
ФНННН
Ж
После установки пластин имеем линейно поляризованные
волны во взаимно перпендикулярных направлениях (от верхней
полуплоскости половина амплитуды и от нижней полуплоскости
половина амплитуды). В результате
1 = (а„‚/2)1 + (аШ/2)’ + (00/2)’ + (00/2)’ = во} = (1/2)1о
На прозрачную пластинку в полшошш, ограниченную прямо-
линейным краем, нормально падает пучок параллельных линейно
поляризованных лучей интенсивности 10 (рис. 11.25). Плоскость
поляризации падающего света наклонена под углом 45° к краю
пластинки. Определим интенсивность 1 прошедшего света в точке
В расположенной в плоскости, перпендикулярной плоскости пла-
стинки и проходящей через ее край. Найдем, какова будет в об-
щем случае (при произвольной толщине пластинки) поляризация
прошедшего света в точке Р (Не 11.30). Если прикрыть полуволно-
вую пластинку непрозрачным экраном, то используя спираль
Корню, находим, что интенсивность на границе геометрической
тени будет 10/4. Если открыть полуволновую пластинку, то доба-
вится второй пучок той же интенсивности. Так как полуволновая
пластинка поворачивает плоскость поляризации на 90‘, оба про-
шедших пучка будут поляризованы линей-
но во взаимно перпендикулярных плоско- * * * * * * * *
стях. При их наложении в точке Р получа-
ем 1 = 210/4 = 1„/2. При специально
подобранной толщине пластинки, когда
разность фаз между пучками равна тп
(т — целое число), свет в точке Р будет по-
ляризован линейно. В общем случае, в за-
висимости от толщины пластинки, возни- о Р
Рис. 11.25
309

кает дополнительная разность фаз, которая приводит к эллипти-
ческой поляризации.
Плоская волна монохроматического света (длина волны ж),
поляризованного по кругу, создает в точке Р интенсивность Д, На
пути волны ставят большую пластинку из идеального поляроида
(рис. 11.26). Показатель преломления вещества поляроида п. Най-
дем толщину (1 пластинки, при которой интенсивность света
в точке Р будет максимальной, и чему равна [шах (Мг 11.26). При
движении через среду с показателем преломления меняется фаза.
Максимальная сумма синусоид достигается в случае, если на вы-
ходе разность фаз будет равна 2пт (т — целое число). Для рас-
стояния с! и длины волны в вакууме 7» получаем (2п/Ж)(п — 1)а! =
= 2тст, откуда с! = тЖ/(п — 1). Если компоненты круговой поляри-
зации аш и аду, то 10 = ад} + ад} = 2а0х2 = 200,2. Предполагая, что раз-
решенное направление поляроида по оси у, получаем, что у-я ком-
понента приходит целиком в точку В а от х-й компоненты остает-
ся половина. Поэтому 1%, = (а„х/2)2 + аоу? = (5/4)а„‚2 = (5/8)1„.
Плоская волна круювой поля-
ризации (длина волны 7») падает на
дох полубесконечный экран (см. рис.
Ф 11.26), изготовленный из полярои-
""""""""""" "Р да с показателем преломления для
—> разрешенного направления п (п —
_› “Оу — 1) << 1) и толщиной а = Х/[4(п —
___ — 1)]. Найдем, какова степень по-
ляризации света в точке наблюде-
ния Р (М9 11.28). Как и в предыду-
щей задаче для составляющей, ко-
торую не пропускает поляроид, имеем 10/8. Проходящая через
поляроид компонента получает отличие в фазе (2п/7к)(п — 1)а =
= п/2. В сумме это дает 10/4. Используя (11.1О), для степени поля-
ризации получаем А = (1/4 — 1/8)/(1/4 + 1/8) = 1/3.
Плоская поляризованная по кругу монохроматическая волна
света с длиной волны А и интенсивностью 10 падает на диск, выре-
занный из идеального поляроида, показатель преломления которо-
го равен п. Диск закрывает для некоторой точки Р одну зону Фре-
неля. Найдем, какова должна быть толщина а! диска, чтобы интен-
сивность света в точке Р была максимальной, и определим эту
интенсивность 1,“, (Не 11.31). Разложим свет, поляризованный по
кругу, на две линейно поляризованные компоненты с интенсивно-
стями 10/2 каждая. Одна из компонент пропускается поляроидом,
а другая — нет. Для получения максимальной интенсивности диск
310
НИ
Рис. 11.26

должен изменить фазу проходящей компоненты на (2т + 1) п (где
т — целое число), чтобы она совпала с составляющей от всех зон
для этого же направления поляризации. Поэтому (2п/7ь)‹1 (п — 1) =
= (2т + 1)т:‚ откуда
с! = (2т + 1)(?„/2)/(п -— 1).
Обозначив амплитуду компоненты круговой поляризации Ат,
получаем АО} = 0/2. При изменении фазы складываем ‘амплитуду
первой зоны с амплитудой _от всех остальных, равной Аох. В резуль-
тате (3А„‚)2 = 910/2. От всех зон, кроме первой, для второй компо-
ненты получаем Ащ? = 10/2. В сумме имеем 1 = 910/2 + 10/2 = 51„.
Круглое отверстие в непрозрачном экране А
содержит для точки наблюдения Р одну зону
Френеля. Отверстие закрыто поляроидом так,
что направления колебаний в первой и вто-
рой половинках зоны взаимно перпендику-
лярны. Отверстие освещается светом, поля-
ризованным по кругу. Определим интенсив- А
ность света 1 в точке Р, если в отсутствие
экрана она равна 10. Найдем, как будет поля-
ризован свет в точке наблюдения. Считаем, Аид
что в поляроидах нет поглощения света раз- А)“
решенной поляризации (Мг 11.32). На рис.
1 1.27 приведена векторная диаграмма для ди-
фракции Френеля на отверстии. В отсутствие
экрана 10 = АО} + АО}. Первая зона увеличивает вектор в два раза,
а поляроид уменьшает в два раза. Поэтому для половинок зоны
получаем на рис. 11.27 векторы А, и Ау. Для интенсивности в точке
наблюдения получаем 1 = А} + Ау? = 210. Векторы А, и Ау взаимъ:
перпендикулярны и имеют сдвиг фаз О или п (л/2 из-за круговс‘
поляризации и п/2 из-за половины первой зоны Френеля). Следо-
вательно, свет в точке Р поляризован линейно.
В непрозрачном экране, на который нормально падает пло-
ская линейно поляризованная волна интенсивностью 10, вырезано
круглое отверстие размером в одну зону Френеля для некоторой
точки наблюдения, лежащей на оси системы. В отверстие вставле-
ны пластинки в ›„/4 в форме полудисков, одноименные оси кото-
рых ориентированы взаимно перпендикулярно. Ншравление ко-
лебаний в падающей волне составляет 45° с главннии направле-
ниями пластинок. Найдем интенсивность колебаний в точке
наблюдения (Не 11.39). Если амплитуду падающей волны обозна-
чить Ед = (1„)‘/2, то за отверстием в непрозрачном экране, пред-
311
Рис. 11.27

1 Ео
51 52
711 . 712
Рис. 11.28
ставляющем первую зону Френеля, получаем амплитуду 2Е„. В ка-
ждой половинке Е„. На векторной диаграмме (рис. 11.28) показа-
ны амплитуды по главным осям за пластинками Ед = Е,‘ = Е„/(2)‘д.
От каждой половинки получается волна круговой поляризации
(с противоположными направлениями вращения). Представляя
волны с круговой поляризацией в виде суммы волн по главным
осям, имеем по оси ё сумму 2Е„/(2)‘/2, а по оси п разность, равную
нулю. Для интенсивности находим 1 = 210.
В непрозрачном экране, на который нормально падает пло-
ская линейно поляризованная волна интенсивностью 1„, вырезано
круглое отверстие размером в две зоны Френеля для некоторой
точки наблюдения, лежащей на оси системы. Первая зона пере-
крыта пластинкой х/4 в форме диска, а вторая — пластинкой Х/4
в форме кольца. Одноименные оси пластинок ориентированы вза-
имно перпендикулярно. Главные направления пластинок состав-
ляют угол 45’ с направлением колебаний в падающей волне. Най-
дем интенсивность колебаний в точке наблюдения (Мг 11.40). По
аналогии с предыдущей задачей в первой зоне Френеля имеем
Ед = Е,‘ = 2Е„/(2)‘/2. Для двух зон получаем (Е,)„„„ = О, (Е„)„„„ =
= 4Е„/(2)'д. Для интенсивности находим 1 = 810.
Плоская монохроматическая световая волна, поляризованная
по кругу, нормально падает на пласпшку А/2. В пластинке имеется
круглое отверстие размером в одну зону Френеля для точки В ле-
жащей на оси системы. Интенсивность падающей волны равна 10.
Определим интенсивность 1 и отношение полуосей эллипса коле-
баний электрического вектора световой волны в точке
Р (М: 11.92). Обозначив главные оси пластинки х и у, падающую
волну представим в виде суммы компонент
Е, 8 Е}, совал, Е, = Ео зйпсог.
312

Дифракция на отверстии в одну зону Френеля даст в точке Р
Ех, = 2Еосозшг, Еу, = 2Едзйпоог.
Дифракция на пластине в Ж/2 даст в точке Р противоположную
круговую поляризацию и сдвиг фаз ф, определяемый толщиной
пластины и ее показателем преломления
Ех, = Е„со5(‹о1 + ср), Еу, = — „этил! + ф).
Поле в точке Р представляет суперпозицию двух противопо-
ложных круговых поляризаций с амплитудами 2Ео и Ед. Макси-
мальная напряженность будет в момент, когда Е, и Е, параллель-
ны: Ета, = 2Е„ + Ед = ЗЕО. Минимальная напряженность будет
в момент, когда Е, и Е, антипараллельны: Е,“ = 2Е0 — Ед = Ед. По-
этому отношение осей эллиптической поляризации равно трем.
При расчете интенсивности волны в точке Р можно рассуждать
различными способами. Во-первых, волны с противоположными
круговыми поляризациями не интерферируют, так как среднее
значение скалярного произведения их напряженностей Е, и Е, бу-
дет равно нулю из-за быстро меняющегося угла между ними. Ос-
таются только квадраты напряженностей, т. е. интенсивность
в точке Р равна сумме интенсивностей компонент 1 = (2Е„)2 +
+ (Е„)2 = 5Е02 = 510. Во-вторых, интенсивность можно найти, пред-
ставляя результирующее поле, имеющее эллиптическую поляриза-
цию, как суперпозицию двух плоско поляризованных волн с ам-
плитудами 3Е„ и ЕО, соответствующих главным осям эллипса поля-
ризации. Они также не интерферируют между собой, так как
поляризованы в перпендикулярных плоскостях. Интенсивность
результирующего поля 1 = (3Е0)1 + (Е„)2 = 1ОЕО2 = 510, где 10 = Ед? +
+ Ед? = 2Е„2 — подсчитанная аналогичным образом интенсивность
падающей волны. Третий способ определить интенсивность со-
стоит в непосредственном вычислении результирующего поля:
В = Е: + Е; = ‹Е‚. + Еж + ‹Е‚. 4 Еж =
= Е„2{[2со$о›1 + сов (а)! + ‹р)]2 + [251пш1 — вйп (со! + ‹р)]2}=
= Е02[4со$2со1 + 4созсо1со5(о›1 + (р) + со52(оэ1 + (р) +
+ 431п2оэ1 + 4$1пф151п(ш1 + ф) + з1п2(о›1 + (р)] =
= Е„2[4 + 4 со5(2со! + (р) + 1] = Е„2[5 + 4со5(2о›1 + <р)].
Видно, что максимальное значение Е’ равно 9Е„2, минималь-
ное - Ед’, а среднее значение В (интенсивность) в пять раз боль-
ще среднего значения квадрата поля в исходной волне (Е„2).
Если отверстие имеет размер в 1/3 зоны Френеля (Мг 11.93), то
амплитуды от отверстия и остальных зон будут имеет одинаковое
21-1647 313

значение Ед. Соответственно, максималь-
ное значение 2Ео, а минимальное О, т. е. от-
ношение полуосей эллипса колебаний рав-
но О (или оо). Для интенсивности получаем:
1 = Е; + Ед? = 2Ео2 = 210.
Определим интенсивность света 1 в точ-
ке Рэкрана, на который падает монохрома-
тический свет интенсивностью 10, если на
пути поставить диск из оптически активно-
го вещества, закрывающего полторы зоны
Френеля и поворачивающего плоскость поляризации на 9О°. Пре-
Рис. 11.29
небрегаем отражением и поглощением света (Мг 11.33). На рис.
11.29 приведена векторная диаграмма. В отсутствие экрана [О = Ао2,
от полутора зон имеем амплитуду волны А„(2)'/2. От остальных зон
Ат = А„. Так как диск поворачивает поляризации на 9О°‚ складыва-
ются интенсивности 1 = 2А„2 + АО? = ЗА} = 31„
Плоская монохроматическая волна, поляризованная по кругу
падает на диск, вырезанный из пластинки Ж/2. Для точки наблюде-
ния на оси диск закрывает три первые зоны Френеля. Толщина
диска подобрана так, что он вносит дополнительный оптический
путь в 3Ж/2 для необыкновенного луча. Найдем, во сколько раз из-
менится интенсивность в точке наблюдения, если диск убрать.
Поглощением и отражением света пренебрегаем (М 11.37). Обо-
значим амплитуду обыкновенного и необыкновенного лучей Ео.
В отсутствие диска интенсивность света 10 = 2Е„2. При наличии
диска для необыкновенного луча, как следует из векторной диа-
граммы (рис. 11.30), получаем поворот, соответствующий 3Ж/2.
Вектор изображен штриховой линией на рис. 11.30, а. В сумме
d
Рис. 11.30
314

с вектором от остальных зон (ЕЮ) получаем Е, = ЗЕО. Отличие
фазы обыкновенного луча состоит в том, что пластинка в Ж/2. Век-
тор изображен штриховой линией на рис. 11.30, б. в сумме с векто-
ром от остальных зон получаем Е‘, = Ед. Таким образом, 1 = 9ЕО2 +
+ Ед? = 10 Ео? = 51„.
Параллельный пучок неполяризованного А
монохроматического света падает на пластин- Акт А]
ку ._в Ж/4. Интенсивность света в некоторой
точке Р за пластинкой равна 10. Из пластинки у!
вырезают диск, закрывающий одну зону Фре- А
неля для точки Р Диск повернули вокруг луча А‘,
на угол 9О° и поставили на место. Найдем, ка-
кой стала интенсивность 1 в точке Р (Не 11.34).
На рис. 11.31 приведена векторная диаграмма. Рис. 11.31
Первоначально 1 = АО? От первой зоны ампли-
туда 2Ао, от остальных зон Ад. После поворота диска, так как в пла-
стинке Ж/4 поляризации взаимно перпендикулярны, складывают-
ся не амплитуды, а интенсивности 1 = (2А„)2 + АО’ = ЗАО? = 510.
Параллельный пучок неполяризованного монохроматического
света падает на пластинку в А/2. Интенсивность света в некоторой
точке наблюдения Рза пластинкой равна 10. Из пластинки вь1реза-
ют диск, закрывающий полторы зоны Френеля для точки В Диск
повернули вокруг луча на угол тг/2 и поставили на место. Найдем,
какой стала интенсивность 1 в точке Р (Не 11.35). На рис. 11.29
приведена векторная диаграмма до поворота диска. Интенсив-
ность 10 = АО? От полутора зон имеем амплитуду волны А„(2)‘/2. От
остальных зон Ат = АО. После поворота диска, так как в пластинке
›„/2 поляризация только меняет знак, то складываются амплитуды,
как показано на рис. 11.32. В результате А = Ат + А„, а интенсив-
ность 1 = (2А„)2 + АО? = 5А02 = 510.
Из кристаллической пластинки Ж/2 вырезаны диски диаметром
в одну и две зоны Френеля для точки В Диски вносят в пучок света
вплотную друг к другу; так что у них совпадают 1) разноименные
главные направления, 2) одноименные глав-
ные направления. При этом для света, поля-
ризованного по одному из главных направле-
ний, ни амплитуда, ни фаза колебаний не из-
менились. Найдем, во сколько раз изменится
интенсивность света той же поляризации
в случаях 1 и 2, если малый диск повернуть на
9О° (Не 11.36). На рис. 11.33 показаны диски.
Обозначим сдвиг фазы, который создает пла-
Рис. 11.32
21, 315

стинка Ж/2‚ через ф, а амплитуду
волны АО. В случае совпадения од-
ноименных осей до поворота пер-
вая зона в точке Рдает 2АОедФ, вто-
рая 2АОе‘Ф, все зоны, начиная
с третьей, АО. По условию задачи
`—' Р АО + 2АОедФ — 2АОе^Р = АО, откуда
ж/2
е“ = 1, т. е. ф = 21:. После поворота
малого диска А = АО — 2АО — 2АО =
дЦННУНН>
13она =—3АО. Соответственно, 1 = 91О.
Ц В случае совпадения разноимен-
2 зоны ных осеи АО 2АОе"Ф*"‘ — 2АОе'Ф =
=АО, откуда ею = —1‚ т. е. ф = п.
Рис. 11.33 После поворота малого диска А =
= АО + 2АО ед" — 2АО е“ = 5АО. Соот-
ветственно‚ 1 = 251О.
Зонная пластинка изготовлена из поляроида. Во всех четных
зонах поляроид ориентирован вертикально, во всех нечетных —
горизонтально. Найдем, какова будет интенсивность света в ос-
новном фокусе пластинки, если она освещается неполяризован-
ным светом (Мг 11.38). В разделе 6 (см. с. 140) приведены результа-
ты для интенсивности за зонной пластинкой. Обозначив число
зон в зонной пластинке А’, а интенсивность падающего света 1О,
для интенсивности в фокусе зонной пластинки имеем 1 = 1ОМ.
Учитывая, что поляроид уменьшает интенсивность в два раза
(11.2), и в данном случае за поляроидами поляризации взаимно
перпендикулярны, т. е. складываются интенсивности, получаем
увеличение интенсивности в А” раз. Влияние от зон вне зонной
пластинки порядка 1О можно не учитывать.
Бесконечный экран состоит из двух поляроидных полуплоско-
стей, граничащих друг с другом вдоль прямой линии. Главное на-
правление одной из полуплоскостей параллельно, а другой пер-
пендикулярно этой прямой. На экран перпендикулярно его по-
верхности падает пучок параллельных лучей естественного света
с длиной волны А. Опишем качественно дифракционную картину,
получающуюся за экраном (Мг 11.29). Поскольку когерентность
отсутствует, картина будет представлять наложение интенсивно-
стей от двух дифракционных картин, возникающих на границе не-
прозрачной полуплоскости. Надо учесть, что поляроид уменьшает
интенсивность наполовину и дает линейную поляризацию. Скла-
дываются интенсивности.
316

ка) = Е„2(1 + е-‘Ф - е-гчоп + т» - ат) = Е„2(3 - 2соз2ср).
Для видности и периода получаем те же значения.
д Ь Параллельный пучок поляри-
< >' зованного по кругу монохромати-
ческого света падает на решетку
с периодом с! и шириной щелей
‘Т Ь = (1/2. Каждая щель перекрыта
0 двумя полосками поляроида оди-
наковой ширины 12/2 с взаимно
перпендикулярными разрешенны-
й ми направлениями. Найдем, како-
ва поляризация света в нулевом
и боковых дифракционных макси-
мумах (1 1-м, 1 2-м, ...) (Не 11.43).
На рис. 11.35 показано, что решетки из поляроидов с одинаковы-
ми направлениями сдвинуты друг относительно друга на Ь/2. Сле-
М’
довательно, разность хода в направлении на т-и максимум
Ат = ` ‚„ = (Ь/2)т ж/а’, так как с1$1п9т = т?»
При этом разность фаз б„‚ = 1сА‚„ = (211/7») ЬтЖ/(2с1) = ттс/2. Так
как в свете, поляризованном по кругу, сдвиг между компонентами
п/2, то полная разность фаз ‹р‚„ = тп/2 + п/2. Таким образом, полу-
чаем:
- нулевой максимум (т = О) ф‘, = п/2 — круговая поляризация
с сохранением направления вращения падающего света;
- первый порядок (т = 11) ‹р„ = тс, ‹р_‚ = О — линейная поля-
ризация;
- второй порядок (т = 12) ‹р„ = 3тс/2‚ ‹р_2 = —тс/2 — круговая
поляризация с противоположным по отношению к падаюшему
вращением;
- третий порядок (т = 13) ср+3 = 21:, ‹р_3 = —тг — линейная по-
ляризация;
- четвертый порядок совпадает по направлению на минимум
для решеток с шириной щели 12/2, т. е. этот максимум отсутствует.
Следующие максимумы можно получить из общей формулы
аналогичным образом.
Найдем, как изменится разрешающая способность дифракци-
онной решетки‚ если одну ее половину прикрыть поляроидом,
ориентированным параллельно штрихам решетки, а другую — по-
ляроидом, ориентированным перпендикулярно к штрихам. Выяс-
ним, будет ли зависеть разрешающая сила решетки от поляриза-
ции падающего света (Не 11.44). В данном случае имеем две ре-
шетки, имеющие вдвое меньшее число штрихов, дающие
318
аОуЮОх
‘О
=
Р
г-д
0-1
ы
и:
Ё
\
В)
хм
И
13
Ф

одинаковые интерференционные картины, в которых поляриза-
ции взаимно перпендикулярны, т. е. складываются интенсивно-
сти. В соответствии с (8.22) разрешающая способность уменьшит-
ся в два раза. Так как поляроиды определяют поляризацию, разре-
шающая способность от поляризации не зависит.
Добавим к рассмотренной системе два поляроида — перед ней
и за ней, главные направления которых параллельны друг другу
и образуют угол 45° с направлением штрихов решетки. Опреде-
лим, как изменится разрешающая способность такой решетки по
сравнению с решеткой, ничем не прикрытой (Мг 11.45). Добавле-
ние направленных таким образом поляроидов, приводит к сложе-
нию проекций амплитуд. Разрешающая способность не изменит-
ся.
Наблюдается дифракция Фраунгофера монохроматического
света с длиной волны А = 0,6 мкм на плоской решетке. Найдем, как
изменится расстояние между дифракционными максимумами
и интенсивность нулевого максимума, если каждую вторую щель
закрыть полимерной пленкой толщиной 11 = 13,5 мкм, показатель
преломления которой п = 1,1. Отражением света от пленки пренеб-
регаем (М: 11.47). Пленка создает разность фаз Аср = (2тс/Ж)/2(п — 1) =
= 4,51: = 41: + п/2. Сдвиг фаз между потоками через прикрытые
и неприкрытые щели равен тг/2. Имеем две решетки с вдвое боль-
шими периодами. В соответствии с (8.3) и (8.6) получаем, что рас-
стояние между максимумами уменьшится в два раза. Для интен-
сивности максимумов вместо [ш = 101%, получаем [ш , „д =
=1о(1\//2)’ + 1007/2)’ = 1‚‚.‚„./2-
Наблюдается дифракция Фраунгофера монохроматического
циркулярно поляризованного излучения на плоской решетке.
Найдем, как изменится расстояние между дифракционными мак-
симумами и интенсивность нулевого максимума, если щели за-
крыть пластинками в ›„/2 так, что главные оси пластинок в сосед-
них щелях будут взаимно перпендикулярны (Не 11.48). Сдвиг фазы
компонент круговой поляризации на ›„/2 вперед или назад приво-
дит к изменению направления круговой поляризации и, следова-
тельно, интерференционная картина не изменяется.
Плоская монохроматическая линейно поляризованная волна
падает нормально на периодическую структуру, состоящую из че-
редующихся полосок поляроида, главные плоскости которых вза-
имно перпендикулярны. Отношение ширины полосок разных ти-
пов равно трем. Направление колебания электрического вектора
волны составляет угол а с главной плоскостью полоски с меньшей
шириной. Определим направления на главные максимумы перво-
319

го порядка и их интенсивности, если интенсивность волны в нуле-
вом максимуме равна 10 (М9 11.49). Обозначив ширину меньшей
полоски а’, получаем, что периоды обеих решеток, из которых со-
стоит система, равна 4:1. В соответствии с (8.6) направление на
главные максимумы первого порядка 51119 = :›„/(4‹1). Обозначив
амплитуду волны, идущей через полоску меньшей ширины, а, по-
лучаем для более широкой полоски амплитуду За. Используя (8.3)
и то, что складываются взаимно перпендикулярные амплитуды,
получаем
1 = 1„1\”д2(со$2оъ + 9вйп2оъ) = 1О1\Рс1'2(1 + 8зйп2оъ).
Плоская монохроматическая волна с круговой поляризацией
падает нормально на систему из пластинки Ж/2 и поляроида. Най-
дем, какова будет интенсивность прошедшей волны, если между
ними разместить некоторое произвольное число пластинок Ж/4.
Главные оси всех пластинок и поляроида параллельны. Интенсив-
ность падающей волны 10 (М 11.52). Пластинка Ж/2 меняет лишь
направление круговой поляризации. Если затем стоит поляроид,
то интенсивность света 1 = 10/2. Набор пластинок Ж/4 эквивален-
тен какому-нибудь варианту 7ь/4, Ж/2, 7». При 7» ничего не меняется.
При ж/2 меняется направление вращения. В обоих случаях остает-
ся 1 = 10/2. При Ж/4 круговая поляризация превращается в линей-
ную под углом 45° к главным осям пластинки. В этом случае, в со-
ответствии с (11.1), за поляроидом имеем интенсивность 1 =
= 1„соз345° = 10/2.
Можно взять систему из пластинки Ж/4 и поляроида, а встав-
лять пластинки Ж/2 (Мз 11.53). Аналогичное рассмотрение приво-
дит к такому же результату. `
Параллельный пучок естественного света интенсивностью 10
и длиной волны А падает на систему из двух скрещенных полярои-
дов П, и П, и клина К из кварца с малым преломляющим углом ос.
Показатели преломления кварца равны п, и п„. Оптическая ось
клина параллельна его ребру и составляет угол 45° с разрешенны-
9%
П1
“НН»
Рис. 11.36
320

ми направлениями поляроидов
(рис. 11.36). Пройдя через систе-
му свет падает на белый экран Э.
Найдем распределение интен-
сивности света 1(х) на экране.
Определим, что увидит наблюда-
тель на экране Э, если между ним
и поляроидом П, расположить
линзу так, чтобы экран оказался
в ее фокальной плоскости
(М9 11.54). На рис. 11.37 приведе-
на векторная диаграмма для сис-
темы, на которой показаны ин- Рис. 11.37
тенсивности, соответствующие
этим векторам. В каждой точке экрана интерферируют две линей-
но поляризованные компоненты (с одинаковой поляризацией)
с интенсивностью 10/8 и фазовым сдвигом Аф = п + Ках(п„ — по),
где волновое число /‹ = 2л/›„‚ оъх — толщина клина на расстоянии
х от верхней грани клина. В соответствии с (3.12) для интенсивно-
сти на экране получаем
1 = 2(1„/8)(1 + созАср) = (1„/4){1 - соз[(2п/?ь)осх(пе - „дн.
Отсюда ширина интерференционной полосы (аргумент коси-
нуса меняется на 21: при изменении х на 1)
!= хлам, — п„)].
В соответствии с (3.8), такую‘ интерференционную картину
создают две плоские волны с углом схождения оъ(п„ — по). Следова-
тельно, при постановке в системе линзы (с фокусным расстояни-
ем 1‘) в ее фокальной плоскости на экране получим два светлых
пятна на расстоянии оъ(п, — п„)[
На систему состоящую из чередующихся 1\’+ 1 поляроидов
и А! пластинок кварца, вырезанных параллельно оптической оси,
падает плоская монохроматическая волна длины Ж (рис. 11.38).
Главные направления всех поляроидов параллельны и составляют
угол 45° с оптической осью пластинок. Волна поляризована вдоль
главного направления поляроида. Толщины пластинок с1, М, ...,
2“ - ‘а’. Показатели преломления кварца равны по и пе. Определим
амплитуду А волны на выходе из системы, если на входе она равна
А„. Отражением света на границах пластинок и поляроидов пре-
небрегаем. Найдем, какова спектральная разрешающая способ-
ность этой системы (М 11.55). После первой пластинки имеем две
321

7 й?
УПА
‘тж
` ‘И 7
Рис. 11.38
волны с амплитудами А„/(2)'/2 и ортогональными поляризациями.
После второго поляроида их амплитуды уменьшаются до А„/2.
Сдвиг фаз между этими волнами равен ф = /‹с1(п„ — пе). Каждая из
этих волн, пройдя вторую пластинку и третий поляроид, разделит-
ся также на две волны с амплитудами А/4 и взаимными фазами О,
ф, 2‹р, Зср. После поляроида с номером 1\/+ 1 имеется сумма волн,
которую можно подсчитать как сумму геометрической прогрес-
сии:
Е = ‹А„/2”>2ехр‹гт‹р›= ‹А„/2“›п - ехр‹ж2“‹р›1/п - ехрифл.
Амплитуда волны на выходе из системы равна:
А = Щ = (Ао/Ё”) $ЁП(2”Ф/2)/$ЁП(Ф/2)-
При (р —+ 2тст (т = 0,1, 2, ...) А —› АО.
Такая система может работать как спектральный аппарат, вы-
деляющий узкие спектральные полосы вблизи фиксированных
частот (интерференЦионно-поляризационный фильтр Лио). Так
как порядок интерференции ‹р/(2п)‚ а число интерферирующих лу-
чей 2”, разрешающая сила в соответствии с (8.20) К =[‹р/(2т:)]2” =
= с1(п„ — п„)2”/7ь.
На периодическую структуру, состоящую из тонких параллель-
ных диэлектрических пластин, падает плоская монохроматическая
волна, волновой вектор (к) которой перпендикулярен оси 2 (рис.
11.39). Толщины пластин равны аъ, расстояние между ними д, ди-
электрическая проницаемость пластин равна 8„ окружающей сре-
ды — е. Длина волны значительно больше (10 и 07,. Покажем, что
структура аналогична одноосному кристаллу; и определим показа-
тели преломления обыкновенного п‘, и необыкновенного п, лучей
(Мг 11.56). Для обыкновенного луча колебания напряженности
322

Рис. 11.39
электрического поля Е, в волне перпендикулярны оптической оси
(2). На границе сред непрерывно Ео. Поэтому для электрической
индукции имеем: в пластинке 1), = е‚Е„‚ вне пластинки 1) = еЕо.
Так как А >> до и д, то В усредняется по площадям, которые про-
порциональны до и д. Таким образом, Взф(д + до) = В,д„ + Вд =
= Е„(е‚д„ + ед), откуда еж, = Вэф/Ео = (е,до + ед)/(д + дд) и пэф = по =
= (дэф 0)1/2_
Для необыкновенного луча (направление колебаний в главной
плоскости) на границах 1) непрерывна, поэтому
Еэф(д + д„) = Еедо + Ед = [Хдо/е, + д/е).
Отсюда гэф е = В/Еэф = (д + до)/(до/е‚ + д/а) = ее,(д + д„)/(ед„ +
+ 814) и "эф = пе = (834; е)!”-
Для модуляции линейно поляризованного света существует
устройство, состоящее из трех параллельных двулучепреломляю-
Щих пластинок (рис. 11.40), две из которых в Ж/4 неподвижны,
а третья (в Ж/2), расположенная между ними, совершает заданное
во времени вращение на угол 9(!) вокруг оси системы. Определим
зависимость от времени амплитуды, фазы и поляризации модулид
рованного света, если нормально падающее на первую пластинку
в ›„/4 монохроматическое излучение линейно поляризовано
в плоскости, составляющей с ее оптической осью угол, равный 45°
(М 11.57). После прохождения первой пластинки возникает пра-
вая круговая поляризация: Е, = Автол, Е, = Асозсог. Перейдем
в систему координат 05,11), связанную с вращающейся пластинкой
323

›„/4 ж/2 х/4
Ф
Г
К
у
х
-/ д/ цЙ Рис. 11.41
Рис. 11.40
НИИ
Х/2. На рис. 11.41 показано, что система (х‚у) повернута относи-
тельно (ад) на угол 6. Пользуясь рис. 11.41, получаем
Ед = А(5йпоз1соз6 + созсызйпб) = А$1п(со1 + О);
Е,‘ = А(—$йп‹о1'зйп9 + созшгсозе) = Асо$(со1 + 9).
Пусть п — «медленная» ось. Тогда после прохода пластинки
Ж/2
Е: = Азйщш! + О);
Е,‘ = Асо$(‹л1 + 9 — п) = -Асо$(со1 + 6).
С помощью рис. 11.41 возвращаемся в систему (х‚у), считая
9 отрицательным
Е, = А$йп(‹о1 + 9)со$(—6) - Асо$(со1 + е)зап‹`-е) = А51п(‹о1+ 29);
Д, = —Аз1п(оэ1 + 9)$1п(—9) — Асо5(о›1 + 9)со$(—6) = —Асо$(со1 + 29).
Таким образом, получаем левую круговую поляризацию.
После прохода третьей пластинки в х/4 получаем линейно по-
ляризованный свет с первоначальной амплитудой и фазой, моду-
лированной по закону ‹р(:) = 290), т. е. на выходе волна Е =
=А5йп[‹о1 + 290)].
Оптическое волокно можно представить в виде протяженной
Двулучепреломляющей пластинки, главные оси которой повора-
чиваются на некоторый угол, зависящий от расстояния 2 от вход-
ного сечения. Пусть 9(2) = аг, где а — некоторая константа, и на
вход волокна падает линейно поляризованный свет, плоскость по-
ляризации которого совпадает с одной из главных осей. Найдем,
при каких значениях величины а возможен переход этого состоя-
ния поляризации в круговое, если разность показателей прелом-
ления обыкновенной и необыкновенной волн равна Ап, а длина
324

волны к (Не 11.58). Предполагаем, что на входе волокна световая
волна линейно поляризована Ею = созсог, Ею = О. Будем рассматри-
вать распространение света в системе координат главных осей во-
локна (ёд). Считаем п «медленной» осью. В результате получаем
Ед
Круговая поляризация возникает, если
‹р(2) = (2тс/Ж)Ап2 = п/2 + ттс и 9(2) = а: = 11/4 + 111/2,
= созшгсозщг), Еп = со5[‹о1 — ‹р(2)]з1п9(2).
где т и 1 — целые числа.
Тогда а = (2п/МАп (1 + 2/)/(2 + 4т).
Линейно Поляризованное лазерное излучение с длиной волны
А = 0,63 мкм падает нормально на тонкую магнитно-оптическую
прозрачную пленку с чередующейся одномерной доменной струк-
турой. Свет, проходящий через соседние домены, испытывает по-
ворот плоскости поляризации в противоположные стороны на
угол п/2. Ширина доменов одинакова и равна (1. Дифракционная
картина наблюдается в фокальной плоскости линзы. Определим
интенсивность света в дифракционных максимумах нулевого, 1-го
и 2-го порядков, если известно, что при освещении тем же излуче-
нием обычной амплитудной решетки, состоящей из чередующих-
ся прозрачных и непрозрачных полосок шириной д, интенсив-
ность в максимуме 1-го порядка оказывается равной 1 (Мг 11.50).
Доменная структура пленки представляет собой фазовую решетку
с фазовым сдвигом т: в соседних полосках шириной а’. Период ра-
вен 2:1. Решетку можно представить как сумму двух амплитудных
подрешеток периода 2с1, сдвинутых относительно друг друга на
расстояние а! и вносящих фазовый сдвиг п. Интенсивность четных
максимумов равна нулю. Интенсивность первого максимума — 41.
Показатель преломления кристаллического кварца для длины
волны Ж = 589 нм равен п‘, = 1,544 для обыкновенного луча и п, =
= 1,553 для необыкновенного луча. На пластинку из кварца, выре-
занную параллельно оптической оси, нормально падает линейно
поляризованный свет указанной волны, занимающий спектраль-
ный интервал А?» = 40 нм. Найдем толщину пластинки с! и направ-
ление поляризации падающего света, если свет после пластинки
оказался неполяризованным (Мг 11.60). Лучи должны иметь оди-
наковую интенсивность, т. е. амплитуды разных поляризаций
должны быть одинаковыми. Поэтому поляризация по отношению
к главным осям пластинки должна составлять 45°. Разность хода че-
рез пластинку обыкновенного и необыкновенного лучей а/(п, — п„)
325

при отсутствии интерференции должна превышать длину коге-
рентности (5.6)‚ равную Ю/АЖ. Отсюда а‘ > .7ь2/[А7ь(п, — п„)] = 1 мм.
Можно исходить из того, что
(2л/7к)‹1 (п, — по) — 2тсд (п, — п„)/(7ь + АЖ) > 21:.
Расположив пластинку, вырезанную из исландского шпата, па-
раллельно его оптической оси, между скрещенными николями,
можно осуществить монохроматор, позволяющий, например, за-
держать одну из линий дублета натрия и пропустить другую. Най-
дем, какой должна быть при этом минимальная толщина с1„„„ пла-
стинки и как ее нужно ориентировать. Показатели преломления
исландского шпата для линии ж, = 589,0 нм равны п„ = 1‚48654
и п„, = 1‚65846, для линии 7», = 589,6 нм — пе, = 1,48652 и по, =
= 1,65843 (М9 11.61). Для гашения интерферирующие лучи должны
иметь одинаковые амплитуды, поэтому ось пластинки надо распо-
ложить под углом 45° к разрешенным направлениям николей.
Если для одной волны (м) разность хода на выходе из пластинки
будет составлять целое число длин волн, то эта волна сохранит на-
правление поляризации и не пройдет через второй николь. Если
для этой же толщины пластинки разность хода для второй волны
(м) будет равна нечетному числу половин длин волн, то вторая вол-
на пройдет через второй николь без потерь. Порядки интерферен-
ции двух волн должны различаться на полуцелое число т, — т, =
= с1(по, — пед/Ж, - с1(п°, — п„)/7„, = с1(Ап,/?„, — Ап,/?ь,) = р + 1/2, где
р — целое число. Минимальной толщине пластинки соответствует
р = О: с1=(1/2)/(Ап,/?ь, — Ап/М) = 1,59238 мм. При этом т, = аГ/Ж, =
= 464‚7936 и т, = аУ/Ж, = 464,2936. Разность порядков т, — т, с из-
менением с! меняется медленно, так как Ап << п. Если а! увеличить
в отношении 465/464‚7936, то т, станет целым числом 465, а т, =
= 464,4998‚ т. е. очень близким к полуцелому. Следовательно,
с1„„„ = 1,5931 мм.
Кварцевая пластинка Ж/2 используется как анализатор степени
поляризации лазерных импульсов. Оценим минимальную дли- _ ,
тельность лазерных импульсов, для которых еще- можно полЬзо-Ё- " -‘ д
ваться таким анализатором, если длина волны света А = 0,63 мкм,
а коэффициенты преломления для обыкновенного и необык-
новенного лучей в кварце п, = 1,5442 и п, = 1,5533 соответственно.
дисперсией показателей преломления пренебрегаем (М 11.62).
Длительность импульса (т) должна обеспечивать когерентность
при разведении обыкновенного и необыкновенного лучей, т. е.
326

ст > па’. Для толщины пластинки можно написать Х/2 = (п, — п„)с1.
Таким образом, т > пж/[2(п„ — пе)с].
Ограниченный импульс длительностью т линейно поляризо-
ванного излучения нормально падает на двулучепреломляюшую
пластинку толщиной (1. Пластинка вырезана параллельно оптиче-
ской оси. Плоскость поляризации света составляет угол 3О° отно-
сительно одного из главных направлений. Найдем значения а’, при
которых за пластинкой будут наблюдаться два различных импуль-
са. Определим, как поляризованы эти импульсы и каковы макси-
мальные значения их амплитуд, если максимальное значение ам-
плитуды исходного импульса равно Е„. Разность Ап = п„ — пе счита-
ем известной и не зависящей от частоты света (Не 11.63). Чтобы
импульсы разделились, разность хода лучей с разной поляризаци-
ей должна быть больше длины когерентности Ат! > ст. Откуда
а’ > ст/Ап. Учитывая поляризацию и (11.1), для амплитуд получаем
Е„/2 и 3‘/2Е„/2.
На поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной
Ь = 0,1 см нанесено высокоотражающее покрытие с энергетиче-
ским коэффициентом отражения р = 0,9. На пластинку нормаль-
но падает монохроматический пучок неполяризованного света
(Хо = 600 нм). Свет на выходе из пластинки оказался почти полно-
стью линейно поляризованным вследствие слабой анизотропии
материала пластинки. Оценим минимальную величину анизотро-
пии показателя преломляющей пластинки Ап = п‘, — п„‚ при кото-
рой возможен этот эффект (Не 11.64, Мг 11.79). Пластинку можно
рассматривать как интерферометр Фабри-Перо, который назь1-
вают также эталоном, и который можно считать резонатором. Раз-
решающая способность интерферометра Фабри-Перо (8.58) К =
= Х/б?» = 2пЬ/[М1 — р)]. Фактически б?» — ширина резонансного
пика. Один из лучей, образующихся в пластинке, резонирует,
а другой нет (выходит за бЖ). Обозначив длину волны в вакууме ХО,
получим разность хода между ними
А?» = Жо/по — Жо/пе = жоАп/пКпо в п, в по, 7», а: 7„„/п„ в Жо/пе а: Ж/п).
Чтобы один луч вышел за резонансный пик, должно быть
АЖ > б)». Получаем ЖОАп/п’ > ?„2(1 — р)/(2тс1‚), откуда
Ап 2 Хо (1 — р)/(2п[‚) = 1/110, (11.3О)
где КО = В/п —добротность резонатора без вещества. В результате
Ап 2 10-5. В данном случае разрешающую способность можно рас-
сматривать как добротность.
327

Поверхности плоскопараллельной кварцевой пластинки толщи-
ной с! = 0,5 мм, вырезанной параллельно оптической оси, покры-
ты высокоотражающими покрытиями с коэффициентом отраже-
ния по энергии р = 0,9. Пластинка освещается параллельным пуч-
ком света с круговой поляризацией (длина волны Ж = 5-10-5 см).
Найдем поляризацию и интенсивность света, прошедшего через
пластинку, если интенсивность падающего света 1. Главные пока-
затели преломления по = 1,5442‚ п, = 1‚5534 (Не 11.80). Используя
(11.30)‚ получаем, что проходит только одна компонента, именно
та, для которой выполняется условие резонанса (8.44) 2с1 = тЖ/п.
В данном случае это необыкновенный луч, линейно поляризован-
ный в направлении главной оси пластинки. Пластинка действует
как поляроид, и интенсивность прошедшего света 1 = 1О/2.
Между двумя скрещенными поляроидами расположена анизо-
тропная кристаллическая пластинка с заданными Ап и а’, вь1резан-
ная параллельно оптической оси. Разрешенные направления по-
ляроидов составляют угол 45° с оптической осью. Система осве-
щается параллельным пучком амплитудно-модулированного
света. Найдем, при какой частоте модуляции система пропустит
боковые гармоники, отфильтровав несущее колебание (Мг 11.59).
В соответствии с результатами для модулированных колебаний
(см. 3, с. 426) получаем для амплитудно-модулированного света
несущую гармонику со и благодаря частоте модуляции О две боко-
вые гармоники со — О и со + О. В данной системе задерживается
свет с длиной волны, для которой пластинка является пластинкой
в длину волны, и пропускается длина волны, для которой пла-
стинка является пластинкой в полволны. Должно выполняться ус-
ловие: Ат! = т2пс/со = (т + 1/2)2пс/(со + О) = (т — 1/2)2пс/(со — О),
откуда (2 = пс/(Апд).
Одноосные кристаллы СёЗе могут быть выращены в виде тон-
ких (десятки микрометров) пластинок оптического качества с вь1-
сокой степенью параллельности поверхностей, причем оптиче-
ская ось лежит в плоскости пластинки. Из такого кристалла изго-
товлена пластинка ж/4 на длину волны 1000 нм. Толщина
пластинки Ь = 50 мкм, показатели преломления п„= 2,500 и п, =
= 2,475. На эту пластинку перпендикулярно оптическим поверх-
ностям падает параллельный световой пучок с указанной длиной
волны и линейной поляризацией, направленной под углом 45°
к оптической оси. Определим состояние поляризации прошедше-
го и отраженного света (линейная, круговая, эллиптическая; если
эллиптическая, то каково отношение полуосей и как ориентиро-
ван эллипс относительно оптической оси) (М) 11.98—11.100). Так
328

как поверхности пластинки строго параллельны, то ее можно рас-
сматривать как интерферометр Фабри — Перо. Для обыкновенного
луча и,1. = 125 мкм = 1251, т. е. целое число полуволн. При этом
пропускание равно 1, а отражение — О. Для необыкновенного луча
и,1. = 123,75 мкм = 123,751. К целому добавляется ЗХ/4. В соответ-
ствии с (8.50) получаем максимальное отражение. Для коэффици-
ента отражения (по интенсивности) из (2.35) следует
р = (и, — ])'/(и, + 1)2 = 0,]8.
Из (8.50) для интенсивности отраженного света получаем
1 /1 = 1 — 1 /1 = 4ряп'(Л/2)/[(1 — р)' + 4рзш'(Ь/2)] = 0,517 = 0,52.
Относительное пропускание по интенсивности: 1„,/1, = 0,48.
Относительная амплитуда прошедшей волны: А = (1„,/1,)'~' =
Таким образом, в отраженном свете будет присутствовать одна
поляризация, параллельная оптической оси пластинки, а прошед-
шее излучение будет эллиптически поляризованным с соотноше-
нием полуосей 1:0,7 (для амплитуд) и с направлением большой
полуоси перпендикулярно оптической оси пластинки.
Две полярнзвцнонные призмы с воздушной прослойкой изготов-
лены из исландского шпата. В одной призме оптическая ось пер-
пендикулярна, в другой — параллельна плоскости падения (рис.
11.42). Опишем действие каждой призмы. Найдем, как будет по-
ляризован проходящий свет, какая призма будет пропускать боль-
ше света, в каких пределах должен быть заключен угол а, чтобы из
призмы выходил линейно поляризованный свет. Для исландского
шпата и, = 1,658, и, = 1,486. Свет падает на грань призмы перпен-
дикулярно (Хо 11.66). Из (1.2) для полного внутреннего отражения
на границе с воздухом угол падения должен быть больше а =
агсз1п(1/и). Это раньше получаем для обыкновенного луча, кото-
рый таким образом выводится из призмы. Из каждой призмы вы-
ходит необыкновенный луч с поляризацией в направлении глав-
ной оптической оси. Для получения этого должно выполняться:
1/и, < япа < 1/и„откуда 37'6'
< а < 42'18'. Для определения
пропускания света призмами

призмы поляризация необыкновенного луча лежит в плоскости
падения. Обозначив угол падения а и угол преломления у, для от-
ношения коэффициентов пропускания получаем
Т/Т, = (сова + сову/и)/(сову + сова/и).
Учитывая (2.8), находим косинусы. Подставляя косинусы
и и = и„находим, что отношение коэффициентов пропускания
больше 1. Для второй призмы поляризация лежит в плоскости па-
дения луча, а для первой — перпендикулярно плоскости падения.
Отсюда следует, что вторая призма пропускает больше света.
Призма Волластона (рис. 11.43) изготовлена из

круговой поляризации света пластинка превращает свет в линейно
поляризованный в плоскости, перпендикулярной главному на-
правлению поляроида при изменении разности хода в пластинке
либо на п/4, либо на 3тс/4. Результат не меняется, если добавить
целое число длин волн. Условием образования темной полосы ми-
нимального порядка будет либо: с1(п, — по) = тж, + 12/4, либо:
с1(п, — по) = т)», + 379/4, где ж, — наибольшая длина волны в па-
дающем свете, для которой т есть Целое число. Аналогичным ус-
ловием для меньших длин волн 1„ в том числе и для минимальной
длины волны ж, будет либо: а'(п„ — по) = (т + К)7„, + Ж,/4, либо:
‹1(п, — п„) = (т + К)?„, + 3Ж,/4. Здесь К — целое число. Оно меняется
для ж, и достигает максимального значения для минимального м.
Исключив т из приведенных выше выражений, получаем макси-
мальное значение
К = 6101.. - НИЖ: - 10/0112) = 10-
На кварцевую пластинку толщиной 3 мм, вырезанную парал-
лельно оптической оси, нормально падает пучок белого линейно
поляризованного света, плоскость поляризации которого состав-
ляет угол 45° с осью пластинки. Выходящий из пластинки свет
сначала вновь проходит через николь, скрещенный спервичным
поляризатором светового пучка, а затем падает на щель спектро-
скопа. Найдем, сколько темных полос будет наблюдаться в спек-
тре между длинами волн м, = 5890 А и 7», = 4860 А, если обыкно-
венный (по) и необыкновенный (пс) показатели преломления квар-
ца для этих длин волн имеют следующие значения: для 1„ — по =
= 1,5442, п, = 1,5533, а для м- п, = 1,5497, п, = 1‚5589 (М 11.72).
Разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами,
вносимая кварцевой пластинкой, А = с1(п, — п„). Подставив сюда
численные значения а’, п„, по, получим, что А практически одина-
ково для 1„ и м. Число длин волн Ад, укладывающихся в А, будет
К, = А/Ад. Соответственно, К, = А/Жр Число промежуточных длин
волн (между крайними), удовлетворяющих подобному условию
и не меняющих состояние поляризации, а, следовательно, даю-
щих в спектре темные полосы, равно К, — К, = 12.
Фазовая сштусоидалъная решетка с глубиной модуляции т << 1
установлена в передней фокальной плоскости линзы Л, и освеща-
ется параллельным пучком монохроматического линейно поляри-
зованного света с длиной волны А. Определим толщину и ориен-
тацию маленькой кристаллической пластинки, установленной
в фурье-плоскости (рис. 11.45), при которой контраст изображе-
22‘ 331

Э
_› А, А, п Ё
г 4
-> П / /
й й
-> й ф
й 5
›— />.< /=.< 1‘ =.<'[ =Ё
Рис. 11.45
ния на экране (видность) максимален. Найдем также, какова при
этом максимальная и минимальная видность при вращении поля-
роида вокруг оптической оси (поляроид расположен между лин-
зой Л, и экраном) (Мг 9.18). Если на оптической оси установить
пластинку в А/2 так, чтобы направление поляризации пучка со-
ставляло с главными осями пластинки 45°, то поляризация про-
шедшего света изменится на 90°. Поворачивая поляроид, можно
пропустить либо один осевой пучок, либо два боковых. Один осе-
вой пучок не приводит к интерференционной картине, а пред-
ставляет собой параллельный пучок постоянной интенсивности
(У = О). Два боковых пучка дают интерференционную картину
с [ш = О. В соответствии с (4.3) видность У= 1.
Решетка с функцией пропускания т(х) = 1 + тсозпх, т < 1, ус-
тановлена во входной плоскости схемы Катрона (рис. 11.46) и ос-
вещается параллельным пучком монохроматического циркулярно
поляризованного света с длиной волны А. Определим толщину ма-
ленькой кристаллической пластинки, установленной на оси сис-
темы в фурье-плоскости, а также взаимную ориентацию разре-
шенного направления поляроида и пластинки, если контраст
(видность) изображения на экране максимален. Найдем также,
чему равна видность изображения, если после этого повернуть по-
ляроид на 9О° (Мг 9.21). Если на оси системы установить пластинку
в А/4, то она превращает осевую компоненту с круговой поляриза-
цией в линейно поляризованную. Поляроид в случае, когда его
__ А, А2 п Э
г
—>> ф
_‚ п с
О Ц г
‘Ё’ г
Э й
= 1. >.= х >.= 1‘ =.= 1‘ =/
Рис. 11.46
332

разрешенное направление составляет угол 45° с главными осями
пластинки, может либо пропускать, либо исключить осевую ком-
поненту с линейной поляризацией. При этом боковые компонен-
ты приобретают после поляроида линейную поляризацию. Так как
амплитуды у этих компонент одинаковые, при исключении осе-
вой компоненты получаем [т = 0 и в соответствии с (4.3) вид-
ность У= 1, т. е. максимальна. С заданной ФУНКЦией пропускания
для амплитуд каждой из компонент круговой поляризации имеем
т/2. Считая, что поляроид установлен под углом 45°, получаем:
2(т/2)/(2)'/2 = т/(2)'/2. От двух боковых в максимуме получаем
сумму т(2)‘/2‚ в минимуме — нуль. При прохождении осевой ком-
поненты имеем: [шах = [1 + т(2)‘/1]2; [т = 1, откуда У: т(2)'/2.
Для наблюдения фазового (прозрачного) объекта в общей фо-
кальной плоскости линз Л ‚ и Л2 на оптической оси устанавливают
небольшой идеальный поляроид, который вносит для проходящего
света фазовую задержку в 21: (рис. 11.47). Определим видность ин-
терференционной картины в задней фокальной плоскости линзы
Л2, если расположенную в передней фокальной плоскости линзы
Л ‚ фазовую решетку с амплитудным коэффициентом пропускания
т(х) = ехр(!-О,2со$0х) освещать плоским пучком монохроматиче-
ского света, поляризованного по кругу (М: 9.19). поляризованный
по кругу свет можно представить как сумму двух пучков с линей-
ной взаимно перпендикулярной поляризацией. Через поляроид
проходит пучок, поляризация которого совпадает с разрешенным
направлением поляроида (обозначим индексом «р»)‚ и не прохо-
дит пучок, у которого поляризация перпендикулярна разрешенно-
му направлению поляроида (обозначим индексом «з»). После про-
хождения через решетку каждый из пучков дает три плоские вол-
ны. Поляроид поглощает только центральную плоскую волну
пучка «з». Поэтому в плоскости экрана складываются волны
с комплексными амплитудами
1;(х) = а(1 + 1-О,1е“1* + годе-т) и
Дх) = а(1-0,1е‘°* + Е-О,1е-‘1*).
^1 ^2
У У У У У
ь>
Е!
г-
\\\\\\\\\ \\\\\\ Ф
Рис. 11.47
333

Интенсивность в плоскости экрана
~(у) = ~ + ~, = ~~ ~~* + ~, ~* = д~ + ~ ~*;
1 = а'(1 + 0,04), 1,.„= а'
В соответствии с (4.3) Г= 0,02. Пространственный период Л =
= 2тс/(2Й).
Две одинаковые плоские
густые решетки из параллель-

Одним из самых больших значений п, обладает сероуглерод (п, =
= 2-10-‘1 ед. СГСЭ). Мощный пучок лазерного излучения с пара-
болической зависимостью интенсивности от расстояния от Центра
пучка (1 = 1„(1 — 13/13) при г < го и 1 = О при г > го) проходит сквозь
слой сероуглерода толщиной 1, = 5 см. Найдем, на каком расстоя-
нии от кюветы с сероуглеродом сфокусируется лазерный пучок
10 = 5-103 Вт/см2, го = 5 мм (Мг 11.89). Для интенсивности света, на-
пример используя (6.1О)‚ можно записать
1= 5 = со) = сЕ2/(8п). (11.31)
На рис. 11.49 показано, как поворачивается фронт волны при
прохождении через кювету Из плоской волна превращается в схо-
дящуюся сферическую. За одно и то же время лучи проходят раз-
ный путь. Фронт поворачивается на угол оъ. Из рис. 11.49 находим
г/Г = -—Ьа7п/а'п (11.32)
ё Ь 7
‘у „ ь А
ф‘ _ к
\ п+Ап7/Ё ‚- ‚о
П У а
< Р >
Рис. 11.49
Используя условие и (11.31), получаем с1п/с1г = —(8к/с)п21„ ><
›‹ 2г/го2. Отсюда
Р= гО2с/(161тп21ОЬ) = 3 м.
У большинства веществ показатель преломления уменьшается
с ростом температуры (вследствие теплового расширения). Пучок
лазерного излучения видимого диапазона спектра проходит сквозь
слой слабопоглощающей жидкости толщиной Ь = 1 см, так что
в жидкости устанавливается распределение температуры 1 = 10 +
+ 1,(1 — Н/го?) при г < гО и 1 = 10 при г > го, где г — расстояние от
центра пучка, г, = 2 °С, п, = 2 мм. Найдем фокусное расстояние
и знак наведенной в жидкости линзы, если а/п/д! = —4'1О-4 К“
(М) 11.91). Для градиента показателя преломления получаем
335

дп/а?’ = а/п/с11°а11/с1г›= ——а’п/с1п,°2г/г„2 > 0.
Пользуясь ‚рис. 11.49, находим Р= гд2/(2Ьдс1п/с1х) = —25 см —
рассеивающая линза.
Гауссов пучок неодимового лазера О» = 1 мкм) с радиальным
распределением поля по сечению: Е-= Е0ехр(—г®/ го3) (гО =,3 мм)„от
которого и происходит его название, и с плоским волновым фрон-
том падает на плоскопараллельную пластинку толщиной а! = 1 см,
изготовленную из нелинейного вещества, показатель преломле-
ния которого зависит от интенсивности: п = по + п,Е7 (п, = 104‘ ед.
СГСЭ). Оценим, при какой мощности лазера возможно умень-
шить диаметр пучка (фокусировка) после прохождения пластинки
(М9 11.90).
Фокусировка пучка возможна, если уменьшение диаметра пуч-
ка из-за нелинейной фокусировки, которую можно характеризо-
вать отношением его радиуса (го) к расстоянию фокусировки 1С
больше дифракционной расходимости гО/у’ > ж/гд. Используя усло-
вие и рис. 11.49, получаем: с1п/с1г = п-2Ес1Е/с1г = —4п,Е„2/(е3г0) =
= год/а’), откуда ЕО2 = Же2/(4п241). И3„(2.1) 1 = 5 = рсЕ3/(4тс).
Нелинейный интерферометр Фабри-Перо представляет собой
тонкую пластинку из вещества, показатель преломления которого
пропорционален квадрату напряженности электрического поля:
п = по + п,Е2. Пластинка покрыта высокоотражаюшими покрытия-
ми с коэффициентом отражения по энергии р = 99 %. Определим
уровень плотности мощности 5 лазерного излучения (А = 1,051
мкм), пропускаемого таким интерферометром, если по = 3,5, п, =
= 10-9 ед. СГСЭ, а толщина пластинки а! = 12 мкм (Не 11.88). Ин-
терферометр пропускает излучение только при точной настройке
в резонанс, т. е. при 2с1п = тж. При малой мощности п в по. Для от-
ношения 2с1пО/Ж получаем 79,92. Ближайшее к нему целое число
т = 80. Используя условие, получаем
Е? = (тж — 2с1п„)/(2с1п,) = (1/3)-1О7 ед. СГСЭ,
Поток мощности, выходящей из интерферометра, в соответст-
вии с5(2,.1)
1 = 5 = сеЕ2(1 „- руин) = 108 вт/смг.
Здесь-е = по?
Пространство между зеркалами интерферометра Фабри-Перо
с разрешающей способностью К ‘= Ж/б?» = 108 заполнено химиче-
ски чистым нитробензолом. При ‘наложении однородного "попе-
речного электрического поля нитробензол становится слабоанизо-
336

тропной средой,’ причем оптическая ось совпадает с направлением
поля (эффект Керра)’; ‘интерферометр освещается монохроматиче-
ским пучком неполяризованного света (Ж = 600 нм). Оценим ми-
нимальную величинузэтектрическогоз поля, при которой навыходе
интерферометра будет наблюдаться почти полностью линейно-поё-
ляризованный свет. Постоянной Керра называют константу В’ в
выражении
пе — по =_ЖВЕ2. (1у1'.33)
Постоянную примем В = 2-1О-5_ед. _СГСЭ (Не 11.87). Считая
длину волны света ввакууме Ж, для разныхпоказателей преломле-
ния в нитробензоле получаем разницу длин ВОЛНА?» = Ж/по — Х/пе в
а ЖАп/пг. Для показателей преломления имеем по в пс == п в 1. Если
А?» > б?» = Ж/К, то в интерферометре резонирует только один из лу-
чей, т. е. наблюдаетсяе поляризация. Таким образом, должно вы-
полнятьсяусловие: Апт = 1/12, откуда \
@ =й [Аптт/оьвлнг = штат = 900 в/м.
В заполненной -нитробензолом кювете с прозрачными окнами
расположен плоский. конденсатор. Пучок света круговой поляри-
зациис длиной водный и интенсивностью [щ Ð¿Ñ€Ð¾Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ñ‚ внутри
конденсатора с пластинами длиной 1= 6 см, а затем через поляро-
ид П с разрешеннымзнаправлением, составляющим угол о: = 45°
с-направлением электрического поля в конденсаторе (рис. 11;5О).:
Найдем, как зависит интенсивность [Ш
темы от напряженности поля Е в конденсаторе, и при каком зна-
чении Е система окажется непрозрачной для света. Постоянная
Керра нитробензола В =ь 2°1О-5 ед. СГСЭ (М 11.96). Круговую по-
ляризацию можно представить в виде суммы Ð´Ð²ÑƒÑ Ð»Ð¸Ð½ÐµÐ¹Ð½Ð¾ поля-
Ñ€Ð¸Ð·Ð¾Ð²Ð°Ð½Ð½Ñ‹Ñ (вдоль и поперек электрического поля) волн с ампли-
тудами АО = (1„„/2)‘/2 и сдвигом фаз А‹р = :тс/2. В отсутствие в кон-
г- ’ П-
; * `wÙ
‘И ⟠‘г- р Ш
Рис. 11.50
А
Ч
337
ПУЧКЗ. света на ВЫХОДС СИСт

денсаторе электрического поля после поляроида распростра-
няются две волны одинаковой линейной поляризации с амплиту-
дами А, = А2 = А„(2)'/2 = (1„„)'/2/2 и тем же сдвигом фаз.
‘Электрическое поле Е превращает нитробензол в анизотроп-
ную среду с оптической осью, параллельной полю, и, в соответст-
вии с (11.33)‚
Ап = пе — по = ЖВЕ?
В результате сдвиг фаз становится равным
Асрд = 111/2 + /с!Ап = 2тс(В1Е1 1 1/4).
В соответствии с (3.12)
1„„„ = (1.‚„/4)(1 + С05АФЕ)'
Интенсивность обращается в нуль при АфЕ = 2тс(т + 1/2), т. е.
при В/Е’ 11/4 = т 11/2 или В/Е? = т +1/2 1 1/4 (т = О, 1, 2, ...).
Минимальное поле, при котором Д,“ = О, соответствует т = О
и равно Е = 1/2(В!)'/2 в 15 кВ/см.
Рассмотрим также вариант, когда заполненная нитробензолом
кювета с прозрачными окнами и расположенным в ней плоским
конденсатором помещена между скрещенными поляроидами П,
и П2, разрешенные направления которых составляют угол о: = 45°
с направлением электрического поля в конденсаторе (рис. 11.51).
На систему падает пучок неполяризованного света с длиной вол-
ны А и интенсивностью 1“. Расстояние между пластинами а! = 0,8
см, их длина в направлении луча 1 = 6,4 см. Найдем, как зависит
интенсивность [Шх пучка света на выходе системы от напряжения
Н между пластинами конденсатора, и при каком напряжении ин-
тенсивность 13“ достигает максимального значения. Постоянная
Керра нитробензола В = 2-10-5 ед. СГСЭ (Не 11.97). Линейно поля-
ж ф
Т г
'|
›’ 554
та?
Ш -
к:
Рис. 11.51
338

ризованная волна после первдго поляроида имеет амплитуду А =
= (1‚,„/2)'/3 и может быть представлена как сумма двух синфазных
линейно поляризованных (вдоль и поперек электрического поля)
волн с амплитудами А„ = А/(2)‘/2. В отсутствие поля волна через
второй поляроид не проходит. Это эквивалентно двум волнам,
разностььфаз между которыми Аф = тс, а их амплитуды А, = А, =
= А0/(2)'/2 = (1/8)”. Электрическое поле Е = П/с! превращает нит-
робензол в анизотропную среду с оптической осью, параллельной
полю. В соответствии с (11.33) Ап = п, — п„ = ЖВЕ? Сдвиг фаз меж-
ду волнами
Афд = к + /‹1Ап = тс(1 + 2В1Е2) = т: (1 + 2В1П2/с12).
вы, = (1„„/8)(1 + созАсрд) максимальна при
А‹р‚5= 2пт, т. е. при (1 + 2 В1Н3/а72)= 2т (т = 1, 2, ...). Наименьшее
напряжение, при котором достигается максимальная интенсив-
ность (1вых = 1тах), будет при т = 1 и равно П = с1/(2В1)‘д = 50 ед.
СГСЭ = 15 кВ.
Линейно поляризованный импульс квазимонохроматического
излучения проходит через электрооптическую ячейку Поккельса
длиной 1= 10 см. Показатель преломления ячейки увеличивают по
закону п(1) = по + он. Найдем, как изменится длительность им-
пульса и его средняя частота после прохождения через ячейку
если ос = 3-108 с-‘ (Не 10.38). Электрооптическим эффектом Пок-
кельса называют изменение оптических свойств кристалла под
действием внешнего электрического поля. Как видно из (11.33)
эффект Керра пропорционален квадрату напряженности поля.
Эффект Поккельса — линеен. Практическая безынерционность
позволяет использовать эффект Поккельса для создания быстро
действующих оптических затворов и высокочастотных модулято-
ров света. Ячейка Поккельса представляет собой кристалл, поме-
щенный между двумя скрещенными николями. Николи не про-
пускают свет при отсутствии внешнего электрического поля. Свет
проходит при наложении электрического поля. Оптически одно-
осный кристалл вырезают перпендикулярно оптической оси. Свет
направляют вдоль этой оси. Если внешнее поле направлено пер-
пендикулярно оси, получаем поперечный модулятор света, если
параллельно распространению света — продольный модулятор.
При включении поля возникает двойное лучепреломление. Появ-
ляется сдвиг фаз, зависящий от разности хода. Набег фазы будет
равен
Интенсивность 1
Ф = “п = (од/с)! (по + ш)-
339

Используя представление об интеграле Фурье (см. 3, с. 425),
получаем выражение сигнала через спектр
00
ЕЯ = ~С(и)е!( ' ' )Ши.
На входе в ячейку при х = О
00
ЕЯ = / С(и)е 'с(и.
При учете набега фазы для сигнала на выходе из ячейки имеем
00 00
Е(~) =~ е ~( '"С(и)е' 'Ши=( С(и)ехр~~и(~ — аИ/с) — и,(/сфи=
-00 00
00
со '"'а= с,гдет=1 — а с — и, с.
Таким образом, длительность увеличится в 1/(1 — а(/с) = 1,1 раз.
Во столько же раз уменьшится частота.
Можно решать иначе. Обозначим длительность приходящего
к ячейке сигнала Т. Из ячейки начало его выходит через ~„а конец
через ~,. В кристалле за й сигнал проходит путь Ш = '1с/иЯ~Й. Для
начала сигнала
!= с! сс(л, +а!) (с/и))п(л, +ас,)/л,,
О
откуда к( = (л,/а)(е '/с — 1).
Аналогичным образом записываем для конца сигнала
~2
! = с( ~!с(л, +а!)=(с/и))п(л, +ас,)/(л, с-аТ))
Т
откуда ~, = (и,/а + Т)(е '/с — и,)/а.
В результате ~, — ~, = Те"/' и (~, — 1()(/Т = е '/' = 1 + а'/' = 1 1.

Предметный указатель
А
Азимут колебания (поляризации) вол-
ны 52
Амплитудная решетка 226
Амплитудные коэффициенты отраже-
ния и преломления 49
Анализатор 305
Апертура системы 11
— интерференции 103
Апертурный угол (угловая апертура) 11
Апланатические точки 44
Астигматическая система 14
Афокальная система 23
Б
Билинза Бийе 76
Бинокль 30, 52
Бипризма Френеля 72
В
Видность 87
Волновой параметр 146
Волна гармоническая 148
— когерентная 148
— обыкновенная 288
— однородная 59
— опорная 248
— плоская поляризованная по кругу
310, 312
— предметная 248
— ультразвуковая 239
— эллиптически поляризованная 305
Второстепенные (добавочные) макси-
мумы 178
— минимумы 178
Входной зрачок 10
Г
Гауссов пучок 336
Главная оптическая ось 15
— плоскость 24, 33
Главное сечение 10
— кристанла 228
Главные точки центрированной систе-
мы 24
— фокусные расстояния 25
Главный фокус 23
Глубина резкости 20
Голограмма 248
Гомоцентрический пучок 8
Групповая скорость 258
Д
Двойная звезда 282
Двойное лучепреломление 292, 339
Двоякопреломляющий кристалл 289
Дельта-функция 227
Дисперсионная область 190
Дисперсия аномальная 259
— линейная 187
— нормальная 2%, 259
— угловая 187, 189
Дифракция 118
— Фраугофера 146
Диэлектрический тензор (главные на-
правления и главные значения) 287
Длина когерентности 102
Длительность импульса 212
Добавочные минимумы 177
Добротность 211
Дополнительный экран 174
Допустимый диаметр 187
Е
Естественный свет 285
3
Закон дисперсии линейный 260
— Ламберта 38
— Малюса 285
— отражения 6
— Снеллиуса 6
Затухание волн 264
Зонная пластинка 126, 1Ф, 316
— фазовая 143
Зоны Френеля 118
— Шустера 139
Зрительная труба 30, 160
И
Инвариант Лагранжа — Гельмгольца 27
Интенсивность света (колебаний) 54
— светового (лучистого) потока (лучи-
стость излучения) 38
Интерференционные полосы 290
Интерференция 69
— многолучевая 85
Интерферометр двулучевой 291
— Мапькейсона 85
— Фабри — Перо 2%, 237
— нелинейный 336
К
Камера-обскур 156
Кардинальные точки 24
Коллинеарное соответствие 22
Кольца Ньютона 78
Контрастность 234
341

Коэффициент отражения 50, 51
— преломления 51, 129
— пропускная 179
Критерий Релея 190
Крутовая поляризация (правая и левая)
285
Лазер 164
— гелий-неоновый 211, 242, 253
— импульсный 198
— на неодимовый 199
— на СО2 267
Линза 276
— отрицательная (рассеивающая) лин-
за 18, 252
— положительная (собирающая) линза
18, 77, 251
— толстая 33
— тонкая 17
Линейная поляризация 52, 285
Линейно поляризованный свет 52
Лупа 30
М
Метод вращающегося зеркала 262
— Релея 225
— темного поля 242
Микроскоп 30, 32, 166, 167
Мультипликация 238
Н
Немонохроматичность 253
Необыкновенный показатель прелом-
ления кристалла 289
Нулевой инвариант Аббе 14
О
Объектив 30
Обыкновенный показатель преломле-
ния кристалла 289
Одноосная среда 287
Одноосный кристалл 289, 328
Оптическая длина 72
— ось кристалла 287
— сила 14
Оптический интервал 26
— затвор 195
— путь 76
— резонатор 210, 283
— световод 262
— центр линзы 17, 18
Оптическое волокно 324
Опыт Юнга 154, 294
Освещенность 39, 120, 162
Осцилляция 212, 217
Отражательная способность 51
342
П
Параксиалькый пучок 8
Параллелепипед Френеля 60
Плазма 264
Пластинка Луммера — Герке 85, 221
Пластинки переменной толщины 77
— постоянной толщины 56
Плоскость колебаний 52
— падения 47
— поляризации 52, 285
— пропускания 285
— фокальная 18, 28
Побочная ось 18
Поверхностная прозрачность 52
Полосы равного наклона 77
— равной толщины 78
Полное внутреннее отражение 8
Поляроид 285, 296, 297, 310, 311, 319,
321
Поток лучистой энергии 37
Призма 10, 2%, 201, 204
— Волластона 330
Принцип Бабине 175
— взаимности 6
— Гюйгенса — Френеля 118
— таутохронизма 19
Просветленная оптика 77
Пространственная частота 225
Пространственный период 225
Пульсары 226
— радиоизлучение 266
Пятно Пуассона 125
Р
Размер (ширина) пространственной
когерентности 122
Разрешающая способность 155, 189,
192, 193, 195, 207
«Рентгеновод» 274
Решетка дифракционная 180, 318
— двумерная 197
— дополнительная 180
— отражательная 178, 184
— синусоидальная 188, 220, 229
— фазовая 185, 186, 227
Ряд Фурье 228, 239, 258
С
Саморепродукция 236
Самофокусировка 334
Светимость 38
Световод 273
Световой вектор 285

Светосила объектива (линзы) 40, 155
«Свистящие атмосферики» 265
Сила света 37
Скважность 199
Скользящее падение 52
Сложение оптических сил 17, 30
Солнечная постоянная 63
Соотношение между шириной спектра
и длительностью светового импульса
(соотношение неопределенности) 103,
276
Сопряженные точки 21
Спектрограф 201, 330
Спектроскоп 331
Спираль Корню 139
— Френеля 119
Степень поляризации 158, 308
Стигматическое изображение 14
Стигматический пучок 14
Схема Габора 251
— Юнга 71
Т
Телескоп 30, 159 — 161
Телескопическая система 23
Тепловой фотоприемник 41
Транспарант 227, 248
У
Угловая полуширина главного макси-
мума 147
Увеличение угловое 25
— нормальное 43
— поперечное 23
— продольное (осевое) 25
Угол Брюстера 53
— отклонения 10
— полного внутреннего отражения 8
— преломления 10
Узловые точки 25
Условие Брэга — Вульфа 255
— синусов Аббе 44
Ф
Фаза волны 258
Фазовая скорость 258, 267
Фокус основной 19, 140
Формула Релея 259
Формулы Френеля 49, 287
Фотоприемник 233
Фотосфера Солнца 267
Функция передачи 225
Фурье-плоскость 228, 236, 255
Фурье-преобразование 228
Фурье-спектрометр 95
Ц
Центрированная оптическая система
16
Ш
Ширина когерентности 5
— полосы 70
— спектра излучения 150
— спектральной линии 178
Э
Эллиптическая поляризация (правая
и левая) 285
Эталон (интерферометр) Фабри — Перо
206
Эффект Доплера 278
— Зеемана 193
— Керра 337
— Поккельса 339
— Смита — Парселла 223
Эшелон Майкельсона 204
Я
Яркость 38
— изображения Луны 42
— светового потока 38
— Солнца 40
Ячейка Поккельса 339

Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Введение . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Геометрическая оптика и элементы фотометрии . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Формулы Френеля. Световое давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Интерференция монохроматического света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4. Интерференция квазимонохроматического света. Временная
когерентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5. Протяженные источники света. Пространственная когерентность . . 101
6. Дифракция Френеля. Зонные пластинки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7. Дифракция Фраунгофера. Разрешающая способность оптических
инструментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8. Спектральные приборы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9. Элементы фурье-оптики и голографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10. Дисперсия света. Эффект Доплера в оптике . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
11. поляризованный свет. Элементы кристаллооптики и нелинейной
оптики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Учебное издание
Корявов Владимир Павлович
Методы решения задач в общем курсе физшси
Оптика
Изд. Не 04. Подп. в печать 03.10.11. Формат 60х88'/„‚. Бум. офсетная.
Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная. Объем 21,07 усл.печ.л.
21,57 усл. кр.-отг. Тираж 1000 экз. Заказ 1647
ООО «ТИД «Студент»,
109004, 1: Москва, ул. Земляной Вал, д. 64, стр. 2, офис 717(31)
Тел.: (495)915-08-96, 915-80-41
Е-та11: $а1е5_зтис1епт@та11.ги
ООО «Великолукская городская типография»
182100, Псковская область, г: Великие Луки, ул полиграфистов, 78/12
Тел./факс: (811-53) 3-62-95.
Е-таП. 2а|‹а2@уе1т1р.гь: